Formelsammlung Strömungstechnik

Strömungstechnik Formelsammlung

Andreas Zimmer SS 98

Inhaltsverzeichnis 1.

Hydrostatik.................................................................................................................................... 4

1.1

Kolbendruck.................................................................................................................................. 4

1.2

Hydraulische Presse..................................................................................................................... 4

1.3

Schweredruck ............................................................................................................................... 4

1.4

Gesamtdruck ................................................................................................................................ 4

1.5

Druckkraft ..................................................................................................................................... 4

1.6

Wandkräfte ................................................................................................................................... 4

1.7

Kommunizierende Gefäße............................................................................................................ 4

1.8

Auftriebskraft................................................................................................................................. 5

2.

Strömung idealer Fluide .............................................................................................................. 5

2.1

Kontinuitätsgesetz ........................................................................................................................ 5

2.2

Energiegleichung nach Bernoulli .................................................................................................. 5

2.3

Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli ) ............................................................................... 6

2.4

Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli) ............................................................................... 6

2.5

Meßgeräte ..................................................................................................................................... 6

3.

Strömung realer Fluide................................................................................................................ 7

3.1

Reibungs- bzw. Schubspannung.................................................................................................. 7

3.2

Kinematische Viskosität................................................................................................................ 7

3.3

Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen) ............................................................................................... 7

3.4

Erweiterte Energiegleichung......................................................................................................... 8

4.

Strömungsdruckverluste und Reibungswiderstände .............................................................. 8

4.1

Allgemeine Umrechnung .............................................................................................................. 8

4.2

Druckverlust in laminaren Rohrströmungen ................................................................................. 8

4.3

Druckverlust in turbolenten Rohrströmungen............................................................................... 9

4.4

Druckverlust in nicht kreisförmigen Querschnitten ....................................................................... 9

4.5

Druckverlust an Rohrbögen und -einbauten................................................................................. 9

4.6

Widerstandskennlinie.................................................................................................................. 10

4.7

Reihen und Parallelschaltung von Widerständen....................................................................... 10

4.8

Fließformel für offene Kanäle ..................................................................................................... 10

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2

5.

Strömungsimpuls und Kräftegleichgewicht............................................................................ 11

5.1

Impulsgleichung.......................................................................................................................... 11

5.2

Impulsstromgleichung................................................................................................................. 11

5.3

Impulssatz................................................................................................................................... 11

5.4

Einfache Impulsbilanz.................................................................................................................. 12

5.5

Strömung mit Energiezufuhr........................................................................................................ 13

6.

Kompressible Strömung ........................................................................................................... 14

6.1

Zustandänderungen..................................................................................................................... 14

6.2

Thermische Zustandgrößen ( p, T, ρ )........................................................................................ 14

6.3

Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, χ, cV, cp)............................................................................. 15

6.4

Energiegleichung ......................................................................................................................... 16

6.5

Druckverlust................................................................................................................................. 16

6.6

Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung)................................................. 16

6.7

Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung) ...................................................... 16

6.8

Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung)...................................................................... 17

7.

Strömungsmaschinen ............................................................................................................... 18

7.1

Gliederungskriterien..................................................................................................................... 18

7.2

Stutzenarbeit............................................................................................................................... 18

7.3

Leistung ...................................................................................................................................... 19

7.4

Wirkungsgrad............................................................................................................................... 19

7.5

Energieumsetzung im Laufrad..................................................................................................... 19

7.6

Ähnlichkeitsbedingungen............................................................................................................. 20

7.7

Kavitation ..................................................................................................................................... 20

7.8

Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen .................................................................................... 21

7.9

Reihen- und Parallelschaltung.................................................................................................... 21

7.10 Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen .................................................................. 22

8.

Sonstiges .................................................................................................................................... 22

8.1

Wärmeenergie, -arbeit ................................................................................................................ 22

8.2

Winkelfunktionen ........................................................................................................................ 22

8.3

Umrechnungen Druck................................................................................................................. 22

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3

1.

Hydrostatik

1.1

Kolbendruck p=

1.2

F A

[ Pa = N / m² ]

Pa : Pascal

F : Kolbenkraft

[ N = kg∙m / s² ]

N : Newton

A : Kolbenfläche

[ m² ]

p:

[ Pa = N / m² ]

Pa : Pascal

F : Kolbenkraft

hydrostatischer Druck

[ N = kg∙m / s² ]

N : Newton

A : Kolbenfläche

[ m² ]

s:

Weg des Kolben

[m]

p:

hydrostatischer Schweredruck

[ Pa = N / m² ]

ρ:

Dichte der Flüssigkeit

[ kg / m³ ]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

h:

Flüssigkeitstiefe

[m]

Schweredruck p = ρ⋅g⋅h

1.4

hydrostatischer Druck

Hydraulische Presse F2 A 2 d22 s1 = = = F1 A1 d12 s2

1.3

p:

Pa : Pascal

Gesamtdruck pges = p0 + ρ ⋅ g ⋅ h

pges :Absolutdruck

[ Pa = N / m² ]

Pa : Pascal

p0 : Systemdruck oberhalb der Flüssigkeit z.B. pB ρ:

1.5

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

h:

Flüssigkeitstiefe

[m]

p:

hydrostatischer Druck

[ Pa = N / m² ]

Pa : Pascal

F : Kraft

[ N = kg∙m / s² ]

N : Newton

A : Fläche

[ m² ]

Wandkräfte F = ρ ⋅ g ⋅ zs ⋅ A

1.7

[ kg / m³ ]

Druckkraft F = p⋅A

1.6

Dichte der Flüssigkeit

F : Wand- bzw. Bodenkraft

[ N = kg∙m / s² ]

A : projektzierte belastete Fläche

[ m² ]

ρ:

Dichte der Flüssigkeit

[ kg / m³ ]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

N : Newton

zs : Schwerpunktabstand von der Spiegeloberfläche

[m]

p2 − p1 = ρ ⋅ g ⋅ ∆h

p:

hydrostatischer Druck

Pa : Pascal

ρ1 h2 = ρ2 h1

ρ:

Dichte der Flüssigkeit

[ kg / m³ ]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

Kommunizierende Gefäße

∆h : Niveaudifferenz

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[ Pa = N / m² ]

[m]

4

1.8

Auftriebskraft FA = ρFl ⋅ g ⋅ V FG = ρK ⋅ g ⋅ V FG = m ⋅ g

FA : Auftriebskraft

[ N = kg∙m / s² ]

N : Newton

FG : Gewichtskraft

[ N = kg∙m / s² ]

N : Newton

ρFl : Dichte der Flüssigkeit

[ kg / m³ ]

ρK : Dichte des Körpers

[ kg / m³ ]

g:

[ 9,81 m / s² ]

2.

Strömung idealer Fluide

2.1

Kontinuitätsgesetz •

V = A ⋅ v = konst •

m = A ⋅ v ⋅ ρ = konst A1 ⋅ v 1 = A 2 ⋅ v 2 d12 ⋅ v1 = d22 ⋅ v2

2.2

Erdbeschleunigung

⋅

V : Volumenstrom

[ m³ / s ]

⋅

m : Massenstrom

[ kg / s ]

v:

[ m / s]

Strömungsgeschwindigkeit

A : Strömungsquerschnitt

[ m² ]

ρ:

Dichte

[ kg / m³ ]

d:

Rohrdurchmesser

[m]

Energiegleichung nach Bernoulli g⋅ z +

p v2 + = konst ρ 2

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

ρ:

Dichte

[ kg / m³ ]

p:

hydrostatischer Druck

[ Pa = N / m² ]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

z:

Ortshöhe von der Null-Linie

[m]

Pa : Pascal

Anwendung: 1. 2. 3. 4.

In der Skizze Ebenen festlegen und in Strömungsrichtung numerieren, eine davon zur Null-Linie erklären. Bernoulli-Gleichung aufschreiben. Komponenten überprüfen: Was ist bekannt, unbekannt, konstant, gleich und Null ist. z.B. horizontale Strömung z1 = z2 =0, Staupunktströmung v2 = 0 Rest der Bernoulli-Gleichung aufschreiben.

Energieform

v2 v2 p p g ⋅ z1 + 1 + 1 = g ⋅ z 2 + 2 + 2 ρ ρ 2 2

Druckform

ρ ⋅ g ⋅ z1 + p1 +

Höhenform

z1 +

ρ ⋅ v12 2

= ρ ⋅ g ⋅ z 2 + p2 +

v12

ρ ⋅ v 22 2

v 22

p1 p + = z2 + 2 + g⋅ρ 2⋅g g⋅ρ 2⋅g

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5

2.3

Ausfluß eines offenen Behälters ( Torricelli ) v = ϕ⋅ 2⋅g⋅h

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

h:

Spiegelhöhe über der Öffnung

[m]

ϕ : Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung

t=

2 ⋅ A0

⋅

µ ⋅ AM ⋅ 2 ⋅ g

(

z0 −

z1

)

t:

[s] [ m² ]

AM : Mündungsquerschnittsfläche

[ m² ]

µ:

2.4

Zeit für komplettes Leerlaufen

A0 : Behälterquerschnittsfläche Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung

z0 : Spiegelhöhe über dem Ausfluß

[m]

z1 : Höhe des Behälterbodens über dem Ausfluß

[m]

Ausfluß aus einem Druckbehälter (Torricelli)  p  v = ϕ ⋅ 2 ⋅  g ⋅ h + ü  ρ  

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

h:

Spiegelhöhe über der Öffnung

[m]

ρ:

Dichte

[ kg / m³ ]

pü : Überdruck im Behälter pü = pabs – pB ϕ : Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung

2.5

Meßgeräte Piezorohr

⇒

mißt den statischer Druck pstat

Pitot-Rohr

⇒

mißt den Totaldruck (Gesamtdruck) ptot

Prandtl-Rohr

⇒

mißt den dynamischer Druck pdyn durch Integration von Piezo- und Pitot-Rohr und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v

Venturi-Rohr

⇒

mißt den statischen Druck an zwei verschiedenen Querschnitten und errechnet daraus Strömungsgeschwindigkeit v*

p tot = p stat + p dyn v= v* =

2 ⋅ (p tot − p stat ) ρ 2 ⋅ g ⋅ ∆h   1 −  A 2 A   1 

   

2

   

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

g:

Erdbeschleunigung

[ 9,81 m / s² ]

∆h : Spiegelhöhedifferenz in den Piezo-Rohren

[m]

ρ:

[ kg / m³ ]

Dichte

A2 : kleinerer Querschnitt

[ m² ]

A1 : größerer Querschnitt

[ m² ]

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6

3.

Strömung realer Fluide

3.1

Reibungs- bzw. Schubspannung τ=

3.2

FR v = η⋅ A l

τ:

Schubspannung

[ N / m² ]

FR : Scherkraft

[N]

A : Strömungsquerschnitt

[ m² ]

η : dynamische Viskosität

[ Pa⋅s ]

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

l:

charakteristische Länge

[m]

Kinematische Viskosität ν=

η ρ

ν: η:

kinematische Viskosität

[ m² / s ]

νWasser (20 °C) = 1⋅10-6

νLuft (20 °C) = 15⋅10-6

dynamische Viskosität

[ Pa⋅s ]

-3

ρ:

3.3

ηWasser (20 °C) = 1⋅10

ηLuft (20 °C) = 1,8⋅10-5

Dichte

[ kg / m³ ]

Ähnlichkeitsgesetze (Kennzahlen)

Re = Fr =

v ⋅l ν v2 g⋅l

v Ma = a

Re : Renolds-Zahl

a=

p⋅χ ρ




2320

⇒

turbolente Strömung

Fr : Froude-Zahl Fr


0,3 (siehe Kap. 3.3) auf. Die meisten realen Gase können als ideale Gase bis auf Wasserdampf angesehen werden. Typische Beispiele für kompressible Strömung: •

Gas- und Dampfströmungen in Rohrleitungen bei großen Durchsätzen

•

Ausströmung von Gasen und Dämpfen aus Druckbehältern ( p > 2 bar )

•

Düsen und Diffusorströmungen

•

Strömungen mit großem Wärmeaustausch

•

Kompressoren- und Turbinenströmungen

6.1

Zustandänderungen

Kompression:

Expansion:

Dissipation:

isochore:

•

Dichte wird erhöht

•

mechanische Arbeit muß zugeführt werden

•

Dichte wird verringert

•

Energie wird freigesetzt und als technische Arbeit genutzt

•

Umwandlung von potentieller Energie in Wärme bzw. Verlustenergie (Druckverlust)

•

nicht umkehrbar

•

in adiabaten Systemen führt Dissipation zur Temperaturerhöhung

•

V = konstant

•

Gay-Lussac: p1 / T1 = P2 / T2

•

„Wärmewirkung auf ein ideales Gas bei konstanten Volumen führt allein zur Änderung der inneren Energie“.

isobare:

•

p = konstant

•

Gay-Lussac: V1 / T1 = V2 / T2

•

„Bei einer isobaren Zustandsänderung tritt die Änderung der inneren Energie und die Volumenänderungsarbeit auf“.

•

T = konstant

•

Boyle-Mariotte:

•

„Keine Wärmeisolierung - die Temperatur bleibt gleich, weil die Wärme nach außen abgegeben wird.“

isentrope:

•

∆q = 0

(adiabate)

•

„Verlustfreier Idealprozeß, gut isoliertes System – keine Wärme fließt über die Grenzen nach außen “.

isotherme:

6.2

p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2

Thermische Zustandgrößen ( p, T, ρ ) p = Ri ⋅ T ρ

ρ=

1 m = υ V

R i = cp − c V

P:

Druck

[ Pa ]

ρ:

Dichte

[ kg / m³ ]

Ri :

spez. Gaskonstante

[ J / (kg⋅K) ]

m:

Masse

[ kg ]

T:

absolute Temperatur

[K]

υ:

spez. Volumen

[ m³ / kg ]

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6.3

Kalorische Zustandgrößen ( u, h, s, χ, cV, cp) Spezifische innere Energie u Sie bezeichnet den Energiezustand des ruhenden Systems, d.h. die nicht sichtbare Bewegungs- und Potentiaenergie der Mohlekühle.

u=

U m

∆u = c V ⋅ ∆ T

u:

spez. Innere Energie

[ J / kg ]

U:

innere Gesamtenergie

[J]

∆T :

Temperaturdifferenz

[K]

cV :

isochore spez. Wärmekapazität

[ J / (kg⋅K) ]

K : Kelvin

Spezifische Enthalpie h Die Enthalpie bezeichnet das Arbeitsvermögen eines ruhenden idealenStoffes im Zustand # gegenüber einem beliebigen Vergleichzustand $.

h=u+

p ρ

u:

∆h = cp ⋅ ∆T ∆h = h1 − h2

spez. Innere Energie

[ J / kg ]

h:

spez. Enthalpie

[ J / kg ]

∆T :

Temperaturdifferenz

[K]

cp :

isobare spez. Wärmekapazität

[ J / (kg⋅K) ]

K : Kelvin

Spezifische Wärmekapazität cV und cp Unter der spezifischen Wärmekapazität versteht man die Wärmemenge, die erforderlich ist, um eine Stoffmasse von 1 kg um 1 Grad zuerwärmen oder abzukühlen. Man unterscheidet isobare cp (p=konst.) und isochore cV (V=konst.) spez. Wärmekapazität. Das Verhältnis der beiden spez. Wärmekapazitäten nennt man Isentropenexponent χ.

cV =

Ri

Ri :

χ−1

cp = R i ⋅

χ χ−1

R i = cp − c V T1  υ 2   = T2  υ 1  χ=

χ −1

p =  1  p2

  

spez. Gaskonstante

[ J / (kg⋅K) ]

υ:

spez. Volumen

[ m³ / kg ]

p:

Druck

[ Pa ]

T:

absolute Temperatur

[K]

cp :

isobare spez. Wärmekapazität

[ J / (kg⋅K) ]

cV :

isochore spez. Wärmekapazität

[ J / (kg⋅K) ]

χ −1 χ

cp cv

Mollier-Diagramm ( h,s-Diagramm Bild 8.3 ) Nicht alle kompressiblen Stoffe können als ideale Gase aufgefaßt werden. Für den technisch wichtigen Stoff Wasserdampf, der sich nicht wie ein ideales Gas verhält, sind die mathematischen Zusammenhänge recht kompliziert. Die Zusammenhänge sind im Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm) grafisch dargestellt. Neben der spez. Enthalpie spielt die spez. Entropie (s) eine wichtige Rolle. Spezifische Entropie s Die spezifische Entropie bezeichnet den Energieverlust (Dissipation) der duch irreversible Wärmeentwicklung bei realen Zustandsänderungen ensteht. Das Entropiedifferential ∆s ist also bei idealen verlustfreien Zuständen gleich null. Solche Zustandsänderungen heißen isentrop (gleichbleibende Entropie). Im h,s-Diagramm liegen isentrope Anfangs- und Endzustände dementsprechend auf einer vertikalen Linie.

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6.4

Energiegleichung v12 v2 + h1 ± E zu / ab = 2 + h2 + YV 2 2

[ J / kg ]

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[m/s]

YV :

spez. massebezogener Energieverlust

[ J / kg ]

p:

Druck

[ Pa ]

Druckverlust p12 − p22 l T = λ ⋅ ⋅ v12 ⋅ mit p1 d Ri ⋅ T1 Tmit

1 = ⋅ (T1 + T2 ) 2

∆p V = p1 − p2 YV =

6.6

spez. Enthalpie

Ezu/ab :spez. Energie zufuhr /-abfuhr von außen [ J / kg = N!m / kg ]

( g⋅∆z = 0 )

6.5

h:

∆p V ρ

λ:

Rohrreibungszahl

l:

Länge

d:

Durchmesser

[m]

v:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

Tmit : mittlere Temperatur

[K]

Ri :

[ J / (kg⋅K) ]

spez. Gaskonstante

∆pV: Druckverlust

[ Pa ]

YV :

[ J / kg ]

spez. massebezogener Energieverlust

Behälterausströmung (isentrope und reale Zustandsänderung)

v 2 = ϕ ⋅ 2 ⋅ ∆hs χ −1   2⋅χ   p2  χ  v2 = ϕ ⋅ ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 −    p χ−1   1   

! 2 = µ ⋅ Ψ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ ρ1 ⋅ p1 m

v:

Strömungsgeschwindigkeit

ϕ:

Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,

Ψ=

Wenn

2 χ +1   χ  p2  χ  p2  χ  ⋅   −    χ − 1  p1   p1     

 p2   p 2    <    p1   p1 Krit .

[ m / s]

ϕ < 1 ⇒ reale Strömung µ:

Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung

∆hs : isentropes spez. Enthalpiegefälle

[ J / kg ]

χ:

Isentropenexponent

Ri :

spez. Gaskonstante

[ J / (kg⋅K) ]

m:

Massenstrom

[ kg / s ]

Ψ:

Ausflußfunktion

⋅

6.7

[m]

dann ist Schallgeschwindigkeit bzw. überkritische Strömung (Strahl platzt auf) erreicht und Ψmax = konst (siehe Bild 8.6).

Düse / Lavaldüse (isentrope und reale Zustandsänderung) Düse

⇒

Querschnittsverjüngung, Konvergenz, Strömungsbeschleunigung bis v = a, Druckabfall

Lavaldüse

⇒

keine Geschwindigkeitsbegrenzung sondern Überschallströmung v ≥ a, zuerst Querschnittsverjüngung dann Querschnittserweiterung, im engesten Querschnitt Amin: v = a, Druckabfall. Austrittsdruck und -querschnitt müssen bei der Gestaltung aufeinander abgestimmt sein (siehe Tabelle Seite 8-13).

Der Massenstrom ist durch den engsten Querschnitt (Amin) bei kritischem Druck (pkrit -Lavaldruck) und kritischer Geschwindigkeit (vkrit) begrenzt. χ

pkrit

 2  χ −1  = p1 ⋅   χ + 1

χ: pkri :

Isentropenexponent kritischer Druck

[ Pa ]

⇒ gilt natürlich auch für Behälterausströmung

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v 2 = ϕ ⋅ v12 + 2 ⋅ ∆hs χ −1   2⋅χ   p2  χ  2 v 2 = ϕ ⋅ v1 + ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 −    p χ −1   1   

!A =m !1=m ! 2 = µ ⋅ Ψ ⋅ A2 ⋅ 2 ⋅ ρ1 ⋅ p1 m min

Ψ=

6.8

2 χ +1   χ  p2  χ  p2  χ  ⋅   −    χ − 1  p1   p1     

v: ϕ:

Strömungsgeschwindigkeit

[ m / s]

Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert, ϕ < 1 ⇒ reale Strömung

µ:

Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung

∆hs : spez. Enthalpiegefälle

[ J / kg ]

χ:

Isentropenexponent

Ri :

spez. Gaskonstante

[ J / (kg⋅K) ]

m:

Massenstrom

[ kg / s ]

Ψ:

Ausflußfunktion

⋅

Diffusor (isentrope und reale Zustandsänderung) Diffusor

⇒

Querschnittserweiterung, Divergenz, Strömungsverzögerung (Unterschallströmung) v < a, Druckanstieg bzw. Verdichtungsströmung.

Es gelten grundsätzlich dieselben Zusammenhänge wie bei den Düsen. Da jedoch p2 / p1 > 1 ist, muß mit geänderten Vorzeichen bei der Berechnung der Austrittsgeschwindigkeit gerechnet werden. Ausflußfunktion und Massenstromgleichung gelten durch math. Kompensation des Vorzeichenwechsels unverändert.

χ −1   2⋅χ  p2  χ  2 v 2 = ϕ ⋅ v1 − ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅   − 1 p χ −1  1    

v:

Strömungsgeschwindigkeit

ϕ:

Geschwindigkeits- oder Reibungsbeiwert,

[ m / s]

ϕ < 1 ⇒ reale Strömung µ:

Einschnürungsfaktor, µ < 1 ⇒ reale Strömung

∆hs : spez. Enthalpiegefälle

[ J / kg ]

χ:

Isentropenexponent

Ri :

spez. Gaskonstante

[ J / (kg⋅K) ]

m:

Massenstrom

[ kg / s ]

Ψ:

Ausflußfunktion

⋅

Hinweis für Behälter-, Düse-, Lavaldüse und Diffusorströmung: Fehlt eine Größe kann man sie nartürlich auch durch die Durchflußgleichung bestimmen.

•

m2 = A2 ⋅ v2 ⋅ ρ2

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7.

Strömungsmaschinen

7.1

Gliederungskriterien •

•

•

7.2

Art des Fluids: ⇒

Hydraulische Maschinen, inkompressible Flüssigkeiten, Wasserturbine und Pumpen.

⇒

Thermische Maschinen, kompressible Gase und Dämpfe, Gas- und Dampfturbinen oder Turboverdichter.

Durchströmungsrichtung: ⇒

Radialmaschinen, werden von innen nach außen oder von außen nach innen durchströmt.

⇒

Axialmaschinen, werden senkrecht zur Rotationsbewegung in Wellenrichtung durchströmt.

Art der Energieumwandlung: ⇒

Arbeitsmaschinen: mechanische Arbeit

⇒

Kraftmaschinen:

potentielle Energie

→

potentielle Energie

Pumpe und Verdichter

→

mechanische Arbeit

Turbinen

Stutzenarbeit Hydraulische Maschinen:

Yid = g ⋅ ∆z =

∆p ∆ v 2 + 2 ρ

Yid :

ideale Stutzenarbeit

[ J / kg ]

für ∆z = 0

∆p ∆v 2 + 2 ρ ∆p tot Yid = ρ Yid =

Thermische Maschinen:

Yid = ∆h +

∆v 2 2

für Entspannung (Turbine)

∆h = h1 − h2 χ −1   χ   p2  χ  ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅ 1 −    ∆h = p χ−1   1   

für Verdichtung (Ventilator)

∆h = h2 − h1 χ −1   χ  p2  χ  ⋅ Ri ⋅ T1 ⋅   ∆h = − 1 p χ −1  1    

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7.3

Leistung Arbeitsmaschinen:

! ⋅ Yid m η

P:

Leistung

[J/s=W]

Yid :

ideale Stutzenarbeit

[ J / kg ]

Fu ⋅ u Fu ⋅ r ⋅ ω M ⋅ ω = = η η η

! : m

Massenstrom

[ kg / s ]

Fu :

Umfangskraft

[N]

u:

Umfangsgeschwindigkeit

[m/s]

η:

Wirkungsgrad

ω:

Winkelgeschwindigkeit

! ⋅ Yid ⋅ η P=m

P:

Leistung

[J/s=W]

P = Fu ⋅ u ⋅ η P = Fu ⋅ r ⋅ ω ⋅ η = M ⋅ ω ⋅ η

Yid :

ideale Stutzenarbeit

[ J / kg ]

! : m

Massenstrom

[ kg / s ]

Fu :

Umfangskraft

[N]

u:

Umfangsgeschwindigkeit

[m/s]

η:

Wirkungsgrad

ω:

Winkelgeschwindigkeit

ηi :

innerer Wirkungsgrad (Strömungsverluste)

P= P=

ω = 2⋅π⋅f

W : Watt

[1/s]

Kraftmaschinen:

7.4

ω = 2⋅π⋅f

W : Watt

[1/s]

Wirkungsgrad η = ηi ⋅ ηvol ⋅ ηm

ηvol : volumetrischer Wirkungsgrad (Spaltleckageverluste)

7.5

ηm:

mechanischer Wirkungsgrad (Lagerreibung, Getriebeverluste)

Yid :

ideale Stutzenarbeit

u:

Umpfangsgeschwindigkeit u = r⋅ω

[m/s]

c:

absolute Strömungsgeschwindigkeit

[m/s]

w:

relative Strömungsgeschwindigkeit

[m/s]

cm :

Mediangeschwindigkeit

[m/s]

cu :

Umfangskomponente der Absolutgeschw. cu = c⋅ cosα [ m / s ]

k:

Verengungsfaktor

b:

Laufradbreite

[m]

D:

Laufraddurchmesser

[m]

Energieumsetzung im Laufrad Eulerische Hauptgleichung:

Yid = u2 ⋅ c2u − u2⋅c1u bei Axialmaschinen

Yid = u ⋅ (c2u − c1u )

Geschwindigkeitspläne (Bild 2.7)

u = π⋅D⋅n V! cm = ⋅ k A

[ J / kg ]

ARadial = π ⋅ D ⋅ b A Axial =

(

π ⋅ D2a − Di2 4

)

Sonstige Geschwindigkeiten aus den Winkelbeziehungen ( sin, cos, tan )

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19

7.6

Ähnlichkeitsbedingungen Zum Umrechnen von Betriebszustände oder Baugrößen einer Typenreihe (gleiche Konstruktionsmerkmale). Größenverhältnis:

V! I = kD3 ⋅ kn V!

kD =

II

YI ∆p totI = kD2 ⋅ kn2 = YII ∆p totII

Drehzahlverhältnis:

DI DII

kn =

nI nII

PI = kD5 ⋅ kn3 PII

7.7

Kavitation HHM (NPSHR)

Maschinenkennzahl (spezifische Maschinenhaltedruckhöhe), muß nicht berechnet werden,

HHA (NPSHA)

Anlagenkennzahl (spezifische Anlagenhaltedruckhöhe)

sondern wird angeben oder kann direkt abgelesen (Bild 3.4) werden.

Bedingung für Kavitationsfreiheit:

NPSHA > NPSHR NPSHA = NPSHR ⋅ S A

NPSHR : spezifische Maschinenhaltedruckhöhe

[m]

NPSHA : spezifische Anlagenhaltedruckhöhe

[m]

SA :

Sicherheitsfaktor

Erforderliche geodätische Zulaufhöhe (Zulaufhöhe muß oberhalb des Saugstutzens liegen):

∆hz = NPSHA −

p0 − pD c2 Y − 0 + V 2⋅g g ρ⋅g

∆hz : geodätische Zulaufhöhe

[m]

p0 :

Druck im Saugstutzen

[ Pa ]

pD :

Dampfdruck

[ Pa ]

c0 :

Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]

YV :

( Bild 5.1 )

spez. massebezogener Energieverlust

[ J / kg ]

Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden. Erforderliche geodätische Saugfhöhe (Saughöhe muß unterhalb des Saugstutzens liegen):

∆hs = NPSHA +

p 0 − pD c2 Y + 0 − V 2⋅g g ρ⋅g

∆hs : geodätische Saughöhe

[m]

p0 :

Druck im Saugstutzen

[ Pa ]

pD :

Dampfdruck

[ Pa ]

c0 :

Absolutgeschwindigkeit im Saugstutzen [ m / s ]

YV :

spez. massebezogener Energieverlust

( Bild 5.1 )

[ J / kg ]

Anlagendruckverluste werden angeben oder müssen aus den Rohr- und Einzelwiderständen berechnet werden.

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7.8

Betriebsverhalten von Arbeitsmaschinen Bestimmung des Betriebspunktes im Kennfeld: Der Betriebspunkt läßt sich aus dem Maschinenkennfeld bestimmen, indem man zusätzlich die Anlagenkennlinie in das Diagramm einfügt. Der Schnittpunkt der Anlagenkennlinie mit der Maschinenkennlinie bei betrachteter Drehzahl bezeichnet man als Betriebspunkt, weil sich dort die Betriebscharakteristiken von Anlage und Maschine bei gleichen Volumenstrom treffen. Ändern sich die Anlagen-Reibungswiderstände (Anlagenkennlinie) z.B. durch Ventilstellung, so verändert sich der Betriebspunkt auf der Drosselkurve .

Bestimmung der Anlagenkennlinie:

∆p t = R * ⋅ V! 2

Für jeden Anlagen-Reibungswiderstand (Rmax geschlossene Drosselklappe, Rmin offene Drosselklappe) ist eine Tabelle zu erstellen. Die Werte sind dann in das Kennfeld einzutragen.

V! ∆p t Möglichkeiten der Maschinenregelung: •

Drosselregelung, ist im engeren Sinn keine Maschinenregelung, da die Anlagenkennlinie primär verändert wird. Zu beachten ist beiKennfeldern mit Totaldruckerhöhung (∆ptot = Y⋅ρ) , ob die Drosselung saug- oder druckseitig erfolgt, da die Fluiddichte druckabhängig ist.

•

Drehzahlregelung, ist die effektivste Art der Maschinenregelung, die Geschwindigkeitsdreicke optimal und der innere Wirkungsgrad maximal ist. Die optimale Drehzahl ergibt sich aus minimaler Leistung im Betriebspunkt. Drehzahl betriebene Antriebe bedeuten allerdings höhere Anschaffungskosten.

7.9

Reihen- und Parallelschaltung Reihenschaltung:

⇒

Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addieren sich

∆pges = ∆p1 + ∆p2 + ∆p3 R ges = R1 + R 2 + R 3 ⇒

Parallelschaltung:

Volumenströme addieren sich

V! ges = V! 1 + V! 2 + V! 3 1 R ges

=

1 R1

+

1 R2

+

1 R3

Die Ersatzkennlinie bei Anlagen und Maschinen können graphisch ermittelt werden, indem bei Reihenschaltung die Druckverluste oder Totaldruckerhöhungen addiert werden und bei Parallelschaltung die Volumenströme. Dir Ersatzkennlinien bei Anlagen können rechnerisch ermittelt werden, indem über ein Ersatzschaltbild der Ersatzwiderstand ermittelt wird. Bei Maschinen ist das nicht möglich.

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7.10

Druckverlauf in Rohrsträngen mit Arbeitsmaschinen Die Totaldruck-Extremwerte treten direkt vor oder hinter einer Arbeitsmaschine auf, Siehe hierzu Druck-Weg-Diagramm (Bild 7.7).

∆p tot = (p stat 2 − p stat 1) + (pdyn2 − pdyn1)

8.

Sonstiges

8.1

Wärmeenergie, -arbeit Q = m ⋅ c ⋅ (t 2 − t1 ) Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ

Q : Wärmeemergie

[J]

m : Masse

[m]

c:

spezifische Wärmekapazität

∆ϑ : Temperaturdifferenz

8.2

Winkelfunktionen sin α =

GK Hyp

cos α =

AK Hyp

tan ∂ =

8.3

[ kJ / kgK ] [ ° oder K ]

GK :

Gegenkathete

AK :

Ankathete

Hyp :

Hypotenuse

GK AK

Umrechnungen Druck 1 bar

=

105 Pa

1 Torr

=

133,3 Pa

1 Pa

=

10-5 bar

1 bar

=

750,06 Torr

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