Franz Josef Gruber, Rainer Joeckel
Formelsammlung für das Vermessungswesen
Franz Josef Gruber, Rainer Joeckel
Formelsammlung für das Vermessungswesen 13., erweiterte und aktualisierte Auflage 2007
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
Dipl.-Ing. (FH) Franz Josef Gruber ist in Baden-Württemberg in der Vermessungsverwaltung beschäftigt. Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel lehrt an der Hochschule für Technik Stuttgart im Studiengang Vermessung und Geotechnik.
1. Auflage 1986 10. Auflage 2001 (Zuletzt erschienen in 10. Auflage beim Konrad Wittwer Verlag, Stuttgart.) 11. Auflage 2004 12. Auflage 2005 13., erw. u. akt. Auflage April 2007
Alle Rechte vorbehalten © B.G. Teubner Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden, 2007 Lektorat: Ralf Harms / Sabine Koch Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.teubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8351-0192-0
Vorwort Diese Formelsammlung ist in 1. Auflage 1986 im Selbstverlag des Verfassers, bis zur 9. Auflage beim Dümmler-Verlag und in der 10. Auflage beim Wittwer-Verlag erschienen. Sie wird seit der 11. Auflage vom Teubner-Verlag herausgegeben. Die Formelsammlung wendet sich in erster Linie an Techniker und Ingenieure in der Ausbildung, aber auch an Vermessungstechniker, Vermessungsingenieure, Bauingenieure und Architekten in der Praxis. Die kompakten und übersichtlich gestalteten Themen sollen dem Benutzer in der Ausbildung und in der Berufspraxis eine Hilfe sein. Nachdem wir die 12. Auflage um die räumlichen Transformationen erweitert haben, wurde in der 13. Auflage der Abschnitt Höhenmessung auf die neu eingeführten Normalhöhen abgestimmt. Mit der Herausgabe der 12. Auflage erfolgte eine weitere Buchbewertung. Die Rückmeldungen enthielten viele und zum Teil sehr wertvolle Verbesserungs- und Ergänzungsvorschläge. Den größten Teil dieser Vorschläge haben wir in der 13. Auflage miteingearbeitet. Für diese Anregungen sind wir sehr dankbar und hoffen, dass wir auch weiterhin durch Vorschläge unserer Leser unterstützt werden.
März 2007 Franz Josef Gruber Rainer Joeckel
[email protected] [email protected] Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen
1
1.1 Griechisches Alphabet
1
1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen
1
1.3 DIN Papierformate
1
1.3.1 DIN Blattgrößen
1
1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 )
2
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse
4
1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen
4
1.4.2 Maßverhältnisse
6
2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe
7 7
2.1.1 Grundgesetze
7
2.1.2 Gesetze der Anordnung
7
2.1.3 Absoluter Betrag - Signum
7
2.1.4 Bruchrechnen
7
2.1.5 Lineare Gleichungssysteme
8
2.1.6 Quadratische Gleichungen
8
2.1.7 Potenzen - Wurzeln
8
2.1.8 Logarithmen
9
2.1.9 Folgen - Reihen
9
2.1.10 Binomischer Satz
10
2.1.11 n - Fakultät
10
2.1.12 Verschiedene Mittelwerte
10
2.2 Differentialrechnung
11
2.2.1 Ableitung
11
2.2.2 Potenzreihenentwicklung
12
2.3 Matrizenrechnung
13
2.3.1 Definitionen
13
2.3.2 Rechnen mit Matrizen
13
VIII
2.4 Ebene Geometrie
15
2.4.1 Arten von Winkel
15
2.4.2 Kongruenzsätze
15
2.4.3 Ähnlichkeitssätze
15
2.4.4 Strahlensätze
16
2.4.5 Teilung einer Strecke
16
2.4.6 Dreieck
17
2.4.7 Viereck
19
2.4.8 Vielecke
20
2.4.9 Kreis
21
2.4.10 Ellipse
23
2.5 Trigonometrie
24
2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
24
2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck
26
2.5.3 Additionstheoreme
28
2.5.4 Sphärische Trigonometrie
29
3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen
30 30
3.1.1 Räumliches Bezugssystem
30
3.1.2 Lagebezugssystem
30
3.1.3 Höhenbezugssystem
30
3.1.4 Bezugsfläche
31
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
32
3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem
32
3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem
32
3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem
32
3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem
33
3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem
33
3.2.6 Polarkoordinaten
33
3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System)
34
3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System)
35
3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen
36
IX
4 Vermessungstechnische Grundaufgaben
37
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
37
4.1.1 Richtungswinkel und Strecke
37
4.1.2 Polarpunktberechnung
39
4.1.3 Kleinpunktberechnung
40
4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt
42
4.1.5 Schnitt mit Gitterlinie
42
4.1.6 Geradenschnitt
43
4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis
44
4.2 Flächenberechnung
45
4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen
45
4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten
46
4.2.3 Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System
46
4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen
46
4.3 Flächenteilungen
47
4.3.1 Dreieck
47
4.3.2 Viereck
48
5 Winkelmessung
49
5.1 Instrumentenfehler am Theodolit
49
5.2 Horizontalwinkelmessung
52
5.2.1 Begriffsbestimmung
52
5.2.2 Satzweise Richtungsmessung
52
5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss
53
5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen
54
5.3 Vertikalwinkelmessung
55
5.4 Winkelmessung mit der Bussole
56
5.5 Winkelmessung mit dem Vermessungskreisel
56
6 Strecken- und Distanzmessung
57
6.1 Streckenmessung mit Messbändern
57
6.1.1 Korrektionen und Reduktionen
57
6.2 Optische Streckenmessung
58
6.2.1 Basislattenmessung
58
X 6.2.2 Parallaktische Streckenmessung
59
6.2.3 Strichentfernungsmessung (Reichenbach)
60
6.3 Elektronische Distanzmessung
61
6.3.1 Elektromagnetische Wellen
61
6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung
61
6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre
62
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
63
6.4.1 Frequenzkorrektion
63
6.4.2 Zyklische Korrektion
63
6.4.3 Nullpunktkorrektion
64
6.4.4 Meteorologische Korrektion ( 1. Geschwindigkeitskorrektion)
67
6.4.5 Geometrische Reduktionen
67
6.4.6 Abbildungsreduktion
69
6.5 Vertikale Exzentrität
70
6.5.1 Distanzmesser mit eigener Kippachse
70
6.5.2 Distanzmesser ohne eigene Kippachse
70
6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken
7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen
71 72 72
7.1.1 Abriss
72
7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung
73
7.1.3 Exzentrische Streckenmessung
77
7.1.4 Gebrochener Strahl
78
7.2 Einzelpunktbestimmung
79
7.2.1 Polare Punktbestimmung
79
7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung
80
7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab
81
7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung
82
7.2.5 Bogenschnitt
84
7.2.6 Vorwärtseinschnitt
85
7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach Cassini
87
7.3 Freie Standpunktwahl mittels Helmert-Transformation
88
XI
7.4 Polygonierung
90
7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen
90
7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall
91
7.4.3 Freier Polygonzug
92
7.4.4 Ringpolygon
93
7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge
94
7.4.6 Fehlertheorie
95
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung 7.5.1 Statistische Überprüfung
7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte
8 Transformationen 8.1 Ebene Transformation 8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung 8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten
96 96 97 98 98 98 99
8.1.3 Helmert-Transformation (4 Parameter)
100
8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter)
103
8.1.5 Ausgleichende Gerade
105
8.2 Räumliche Transformation
107
8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)
107
8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt
109
8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koor111 dinaten und umgekehrt 8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten 113 und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER 8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger - bzw. 115 UTM - Koordinaten
9 Höhenmessung
118
9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
118
9.2 Höhen
120
9.3 Geometrisches Nivellement
122
9.3.1 Definitionen
122
9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise
122
9.3.3 Grundformel eines Nivellements
123
XII 9.3.4 Feinnivellement
123
9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke- /linie oder - /schleife
124
9.3.6 Höhenknotenpunkt
125
9.3.7 Ziellinienüberprüfung
126
9.3.8 Genauigkeit des Nivellement
128
9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement
129
9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung
130
9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m)
130
9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen
131
9.4.3 Trigonometrisches Nivellement
133
9.4.4 Turmhöhenbestimmung
134
10 Ingenieurvermessung
136
10.1 Absteckung von Geraden 10.1.1 Zwischenpunkt in einer Geraden
136 136
10.2 Kreisbogenabsteckung
137
10.2.1 Allgemeine Formeln
137
10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ
138
10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P
139
10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten
140
10.2.5 Näherungsverfahren
142
10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung
143
10.2.7 Korbbogen
144
10.3 Klotoide
145
10.3.1 Definition
145
10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide
147
10.4 Gradiente
148
10.4.1 Längsneigung
148
10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten
148
10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung
149
10.5 Erdmengenberechnung
150
10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen
150
10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien
151
10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen
152
10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe
153
10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren
153
XIII
11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen -
155
155
Allgemein 11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen
155
11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen,der Gewichtsreziproken und der Unbekannten
156
11.1.3 Genauigkeit
156
11.1.4 Statistische Überprüfung
157
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen
158
11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
161
12 Grundlagen der Statistik
162
12.1 Grundbegriffe der Statistik
162
12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen
164
12.3 Vertrauensbereiche (Konfidenzbereiche)
165
12.4 Testverfahren
166
12.5 Messunsicherheit u
167
12.6 Toleranzen
168
12.7 Varianz
169
12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen
169
12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz
170
12.8 Standardabweichung
171
12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen
171
12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung)
172
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke
173
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
174
Literaturhinweise
177
Internetportale
177
Stichwortverzeichnis
178
1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Griechisches Alphabet Α,α Β,β Γ, γ ∆,δ Ε,ε Ζ,ζ
Alpha Beta Gamma Delta Epsilon Zeta
Η,η Θ, ϑ Ι,ι Κ,κ Λ,λ Μ,µ
Eta Theta Jota Kappa Lambda My
Ν,ν Ξ,ξ Ο,ο Π,π Ρ,ρ Σ ,σ
Τ ,τ Υ,υ Omikron Φ, ϕ Pi Χ,χ Rho Ψ,ψ Sigma Ω,ω Ny
Tau
Xi
Ypsilon Phi Chi Psi Omega
1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen = gleich
ungleich L ähnlich O angenähert n entspricht < kleiner als > größer als > kleiner oder gleich P größer oder gleich
, [ ] Summe von
... X Z
und so weiter
AB
Strecke AB
unendlich
Dreieck
lim
Grenzwert
^
kongruent
e= = % ppm
daraus folgt
Wurzel aus
Aussagen sind gleichwertig
sgn x signum x ( 1, 0, -1)
a
Betrag von a
n!
n Fakultät ; n! = 1 2 n
n
n -te Wurzel aus
2,71828183 3,141592654 Prozent parts per million
1.3 DIN Papierformate 1.3.1 DIN Blattgrößen Grundsätze des Formataufbaus
DIN Blattgrößen
Fläche F 0 des Ausgangsformats A0
Format
F0 = x y = 1 m2 x:y=1: 2 H y=x 2
Die Flächen zweier aufeinanderfolgender Formate verhalten sich wie 2 : 1
mm
A0
841 x 1189
A1
594 x 841
A2
420 x 594
A3
297 x 420
A4
210 x 297
A5
148 x 210
A6
105 x 148
2
1 Allgemeine Grundlagen
1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 1. mit ausgefaltetem, gelochten Heftrand für Ablage mit Heftung
A0 841x1189
A1 594x841
A2 420x594
A3 297x420
1.3 DIN Papierformate DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 2. zur Ablage ohne Heftung z. B. in Fächern oder Taschen
A0 841x1189
A1 594x841
A2 420x594
A3 297x420
3
4
1 Allgemeine Grundlagen
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse 1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen Basiseinheit 1 m Die Basiseinheit 1 Meter ist auf der 17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 1983 definiert worden als die Länge einer Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft. Vorsätze und Vorsatzzeichen Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko
Vorsatzzeichen T G M k h da d c m µ n p
Zehnerpotenz = 1012 = 109 = 106 = 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6 = 10-9 = 10-12
Für das Vermessungswesen wichtige Einheiten Größe Fläche Volumen Winkel Zeit Frequenz Kraft Druck
Einheit Quadratmeter Kubikmeter Radiant Sekunde,Minute, Stunde,Tag Hertz Newton Pascal
Kurzzeichen m² m³ rad ( = m/m ) s,min,h,d Hz (= s-1 ) N ( = kg m/s² ) Pa
Längenmaße Aus der Längeneinheit Meter abgeleitete Längenmaße: 1 000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000 001 m
= 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6
m m m m m m m
= 1 km = 1 hm = 1 dam = 1 dm = 1 cm = 1 mm = 1 µm
= 1 Kilometer = 1 Hektometer = 1 Dekameter = 1 Dezimeter = 1 Zentimeter = 1 Millimeter = 1 Mikrometer
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Flächenmaße Aus der Flächeneinheit Quadratmeter abgeleitete Flächenmaße: 1 000 000 m² 10 000 m² 100 m² 0,01 m² 0,000 1 m² 0,000 001 m²
= 106 = 104 = 10² = 10-2 = 10-4 = 10-6
m² m² m² m² m² m²
= 1 km² = 1 ha =1a = 1 dm² = 1 cm² = 1 mm²
= 1 Quadratkilometer = 1 Hektar = 1 Ar = 1 Quadratdezimeter = 1 Quadratzentimeter = 1 Quadratmillimeter
Raummaße Aus der Volumeneinheit Kubikmeter abgeleitete Raummaße: 0,001 m³ = 10-3 m³ 0,000 001 m³ = 10-6 m³
= 1 dm³ = 1 cm³
= 1 Kubikdezimeter = 1 Liter = 1 Kubikzentimeter
Winkelmaße Einheit des Winkels ist der Radiant ( rad )
Definition
Bogenla¨nge = br = Radius (1 rad = Winkel α für b = r = 1 )
1 Vollwinkel n 2 rad 1 rad
200 gon n 180 =
= 3, 141592654 Sexagesimalteilung:
Zentesimalteilung:
1 Vollwinkel n 360°( Grad ) n 60 ' ( Minuten ) 1° n 60 '' ( Sekunden ) 1'
1 Vollwinkel n 400 gon ( Gon) n 100 cgon ( Zentigon ) 1 gon n 10 mgon ( Milligon ) 1 cgon
Bezeichnung bei Taschenrechnern: degree ( DEG ) = Grad
grad ( GRAD ) = Gon
RAD = rad
Umwandlung Grad - Gon - Radiant : 1 = 10 gon = rad 9 180
1 gon = 0, 9 =
rad 200 gon
200 gon 1 rad = 180 =
Vermessungstechnisches Sonderzeichen ρ: ! = 180 = 57, 295779
! (gon) =
200 gon = 63, 661977
5
6
1 Allgemeine Grundlagen
1.4.2 Maßverhältnisse Maßstab M M=
s Kartenstrecke 1 = s NK = m Strecke in der Natur
m = Maßstabszahl Strecke in der Natur
sN = sK m
Maßstabsumrechnung bei Längen
s N = s K1 m 1 = s K2 m2 s K1 m2 s K2 = m1
Maßstab und Flächen Fläche in der Natur
FN = aN bN
Fläche in der Karte
FK = aK bK
FN = aN bN = aK m bK m FN = FK m2 m = Maßstabszahl
Maßstabsumrechnung bei Flächen
F N = F K 1 m 21 = F K 2 m 22 F K 1 m 22 = F K 2 m 21
2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe 2.1.1 Grundgesetze Kommutativgesetze
a+b= b+a
ab = ba
Assoziativgesetze
(a + b ) + c = a + (b + c )
(a b ) c = a (b c )
Distributivgesetz
a (b + c ) = a b + a c
2.1.2 Gesetze der Anordnung a < b J b > a J (b − a ) > 0 Aus a < b folgt:
a+c < b+c
ac < bc
wenn c > 0
Aus a < b folgt:
−a > −b
1 > 1 a b
wenn a > 0
2.1.3 Absoluter Betrag - Signum Definitionen Betrag a
Gesetze Signum a
a=0
a =a a =0
a0
sgn a = 1 sgn a = 0
a+b > a + b a−b P a − b a1 + a2 + + an > a1 + a2 + + an
2.1.4 Bruchrechnen Erweitern Addition Multiplikation
a = az b bz a b a b
+ c = ad+bc d bd c a c = d bd
Nenner stets ungleich Null
Kürzen Subtraktion Division
az = az: z = a bz bz: z b a − c = ad−cb b d bd a : c = ad b d bc
8
2 Mathematische Grundlagen
2.1.5 Lineare Gleichungssysteme a1x + b1y = c1
D = a1b2 − a2b1 0
eindeutige Lösung , wenn :
a2x + b2y = c2
x=
c1b2 − c2b1 a1b2 − a2b1
y=
a1c2 − a2 c1 a1b2 − a2 b1
2.1.6 Quadratische Gleichungen Allgemeine Form:
x 1,2 =
ax 2 + bx + c = 0
−b b 2 − 4ac 2a D = b 2 + 4ac
Normalform:
x 1,2 = −
x 2 + px + q = 0
D= D > 0 : 2 Lösungen
D = 0 : 1 Lösung
p 2
p 2 p 2
2
2
−q
−q
D < 0 : keine Lösung
2.1.7 Potenzen - Wurzeln Definitionen
an = a a a a n
a1 = a
a 0 = 1 (a 0 )
a = x J xn = a
Rechenregeln:
a m a n = a m+n
n
a n b = n ab
a m : a n = a m−n
n
a : nb =
(a m ) n = a mn a n b n = (a b ) n a n : b n = (a : b ) n
n
a b
( n a )m = n am m n
a =
a −1 = a1n 1
an = n a m
a n = n am m
mn
a
a− n =
n
1 am
2.1 Mathematische Grundbegriffe
2.1.8 Logarithmen x = log b a J b x = a
Definition
H
a, b > 0 und b 1
log b b = 1 ; log b 1 = 0
Rechengesetze
Sonderfälle
log a u v = log a u + log a v
log 10 x = lg x
log a u v = log a u − log a v
log e x = ln x
log a u n = n log a u
log 2 x = lb x
log a n u = 1 n log a u
Umrechnung von Basis g auf Basis b
log b x = log b g log g x
log b g log g b = 1
lg x = lg e ln x = 0, 434294 ln x ln x = ln 10 lg x = 2, 302585 lg x
2.1.9 Folgen - Reihen Folge a 1 , a 2 , , a n
Reihe a 1 + a 2 + + a n =
Arithmetische Folge
Arithmetische Reihe
a n = a 1 + (n − 1 )d
n
ak = sn k =1
s n = n (a 1 + a n ) 2
d = a n − a n −1 = konstant Geometrische Folge
a n = a q n −1
Geometrische Reihe
sn = a
qn − 1 1 − qn = a q−1 1−q
q1
a q = a n n−1 = konstant Unendliche geometrische Reihe s=
lim s n = a 1−q nG
q 1 10 99
2.1.12 Verschiedene Mittelwerte MH > MG > MA a1 p1 + a2 p2 + + an pn [p i ]
Allgemeines Arithmetisches Mittel
M AA =
Arithmetisches Mittel
MA =
Geometrisches Mittel
MG = n a1 a2 an
Harmonisches Mittel
1 1 1 MH = 1 n a1 + a2 + + an
a1 + a2 + + an n
p = Gewicht
2.2 Differentialrechnung
2.2 Differentialrechnung 2.2.1 Ableitung df(x ) Erste Ableitung: f (x ) oder dx
Funktion f(x) : Ableitungsregeln Potenzregel
y = a xn
y = n a x n −1
Produktregel
y=uv
y = u v +u v
Quotientenregel
y= u v
Kettenregel
y = f (g(x ))
y = v u −2 v u v
y = f (g(x )) g (x )
Tabelle von Ableitungen
c
f (x ) 0
sin x
f (x ) cos x
xn
n x n −1
cos x
− sin x
x
1 2 x
tan x
1 cos 2 x
x
1 n n x n −1
cot x
−
ex
ex
arcsin x
ax
a x ln a
arccos x
−
ln x
1 x
arctan x
1 1 + x2
log a x
1 x ln a
arccot x
−
f(x)
n
f(x)
1 sin 2 x
1 1 − x2 1 1 − x2
1 1 + x2
11
12
2 Mathematische Grundlagen
2.2.2 Potenzreihenentwicklung TAYLORsche Formel MACLAURINsche Form
f (x ) = f (0 ) + Restglied:
f (0 ) f (0 ) 2 f (n ) (0 ) n x+ x ++ x + R n (x ) 1! 2! n! n +1 R n (x ) = x f n +1 (x ) wobei 0 < ϑ < 1 (n + 1 )!
Allgemeine Form
f (x 0 + h ) = f (x 0 ) +
Restglied:
f (x o ) f (x 0 ) 2 f (n ) (x 0 ) n h+ h ++ h + R n (h ) 1! 2! n!
R n (h ) = 1 n!
(1 + x ) m = 1 +
m x+ 1
x 0 +h
(x 0 + h − x ) n f (n +1) (x )dx
x0
m 2 x + 2
m 3 x + 3
1 = 1 − x + x2 − x3 + − 1+x
x 1
2.3 Matrizenrechnung
13
2.3 Matrizenrechnung 2.3.1 Definitionen Matrix :
System von Elementen a ik mit i = 1m und k = 1n in m Zeilen und n Spalten angeordnet
A
=
(m,n )
a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn
Rechteckige Matrix:
mn
Quadratische Matrix:
m=n
Skalar:
m = n =1
Vektor:
einzeilige Matrix = Zeilenvektor
einspaltige Matrix = Spaltenvektor
a1 a2
an
a1 a2 am
Nullmatrix:
alle Elemente a ik = 0
Diagonalmatrix:
quadratische Matrix bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen = 0 a ik = 0 fu¨r alle i k
Einheitsmatrix:
Diagonalmatrix mit a ii = 1 fu¨r alle i
Symmetrische Matrix:
quadratische Matrix mit a ik = a ki für alle i, k
Gleichheit von Matrizen: A = B wenn a ik = b ik fu¨r alle i, k
2.3.2 Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraktion
AB=C
a ik b ik = c ik
i = 1m ; k = 1n
Die Addition von Matrizen ist - kommutativ:
A+B=B+A=C
- assoziativ:
A + (B + C) = (A+ B) + C
Zwischen Addition und Subtraktion besteht in der Gesetzmäßigkeit kein Unterschied
14
2 Mathematische Grundlagen
Transponieren einer Matrix Eine Matrix wird transponiert, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht
A H AT :
aik H aki
i = 1m ; k = 1n
Für Symmetrische Matrizen gilt: A T = A (A T ) T = A
Regeln:
( A B)T = BT AT ( A B C)T = CT BT AT Matrizenmultiplikation
A
B = C
(m,n )
(n,p )
c ik =
(m,p )
B = (n,p )
A = (m,n)
a 11
a 1n a i1
a in a m1
a m n
n
a ij b jk j =1
i = 1m ; k = 1p
b 11
b 1k
b 1p b n1
b nk
b np c 11 c 1k
c i1
c ik
cm 1
cm k
c 1p ci p cm p
= C (m,p )
Für die Multiplikation müssen die Matrizen A und B verkettbar sein. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ: A B B A
A (B + C ) = A B + A C A B C = A (B C ) = (A B ) C
aber distributiv: und assoziativ: Matrizeninversion
Existiert eine Matrix B mit A B = B A = E (Einheitsmatrix), dann ist B die zu A inverse Matrix und wird mit A −1 bezeichnet, also A A −1 = A −1 A = E (A quadratisch) KRAMERsche Regel für symmetrische Matrizen a 22 −a 12 −a 12 a 11
A=
a 11 a 12 a 12 a 22
A=
a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33
mit
D = a11 b11 − a12 b21 + a13 b31
b 11 = a 22 a 33 − a 223 b 22 = a 11 a 33 − a 213 b 33 = a 11 a 22 − a 212
H A −1 = 1 D
H A −1 = 1 D
mit D = a 11 a 22 − a 212
b 11 −b 21 b 31 −b 21 b 22 −b 32 b 31 −b 32 b 33
b 21 = a 12 a 33 − a 13 a 23 b 31 = a 12 a 23 − a 13 a 22 b 32 = a 11 a 23 − a 13 a 12
2.4 Ebene Geometrie
15
2.4 Ebene Geometrie 2.4.1 Arten von Winkel Nebenwinkel
betragen zusammen 200 gon
+ = 200 gon
Scheitelwinkel
sind gleich groß
=
Stufenwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
" = "
Wechselwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
* = *
Winkel
deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind entweder gleich groß oder ergänzen einander zu 200 gon
Außenwinkel
Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden = + nicht anliegenden Innenwinkel
Winkelsummen
Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 200 gon Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 400 gon Im n Eck ist die Summe der Innenwinkel (n - 2) 200 gon
2.4.2 Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in: a) drei Seiten SSS b) zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel SWS c) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite SSW d) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln WSW einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WWS
2.4.3 Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn: a) drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben b) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen c) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen d) zwei Winkel übereinstimmen
16
2 Mathematische Grundlagen
2.4.4 Strahlensätze 1. Strahlensatz SA : SA = SB : SB
2. Strahlensatz AB : A B = SA : SA
2.4.5 Teilung einer Strecke Teilungsverhältnis
Innere Teilung
Äußere Teilung
AT i : T i B = a : b
AT a : T a B = a : b
T i = innerer Teilpunkt T a = äußerer Teilpunkt Harmonische Teilung Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke außen und innen im gleichen Verhältnis geteilt wird AT i : T i B = AT a : T a B = a : b Stetige Teilung (Goldener Schnitt)
a : x = x : (a − x ) x = a ( 5 − 1) 2
a = AB
2.4 Ebene Geometrie
17
2.4.6 Dreieck Allgemeines Dreieck Bezeichnungen im Dreieck
a: b: c:
Gegenseite der Ecke A Gegenseite der Ecke B Gegenseite der Ecke C
ha: hb : hc:
Höhe zur Seite a Höhe zur Seite b Höhe zur Seite c
Winkelsumme im Dreieck (Innenwinkel) + + = 200 gon Winkelsumme am Dreieck (Außenwinkel) + + = 400 gon Beziehungen im Dreieck Seitenhalbierende s , Schwerpunkt S Schwerpunkt S = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1
Winkelhalbierende w, Inkreis Inkreismittelpunkt O = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Inkreisradius != F s =
(s − a )(s − b )(s − c ) s
s = a+b+c 2
F = Fläche des Dreiecks
Mittelsenkrechte, Umkreis Umkreismittelpunkt U = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Umkreisradius
r = abc 4F
F = Fläche des Dreiecks
18
2 Mathematische Grundlagen
Rechtwinkliges Dreieck
Satz des PYTHAGORAS
c2 = a2 + b2
Kathetensatz
Höhensatz
h2 = p q
a2 = c p b2 = c q
Fläche
F= ab 2
Gleichschenkliges Dreieck
a=b;=
Höhe
hc = a2 − c 2
Fläche
F=
2
a 2 sin 2
Gleichseitiges Dreieck
= = = 60
Höhe
h= a 3 2
Fläche
2 F= a 3 4
Umkreisradius
r= a 3 3
Inkreisradius
!= a 3 6
2.4 Ebene Geometrie
2.4.7 Viereck Quadrat Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang Diagonale
d= a 2
Umfang
U=4a
Fläche
F = a2
Diagonale
d = a2 + b2
Umfang
U = 2(a + b )
Fläche
F=ab
Rechteck Die Diagonalen sind gleich lang
Raute Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
e 2 + f 2 = 4a 2 Umfang
U=4a
Fläche
F= 1 ef 2
Parallelogramm Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig Umfang
U = 2(a + b )
Fläche
F = a ha = b hb
Trapez m = 1 (a + c ) 2
a parallel c Umfang
U= a+b+c+d
Fläche
F = 1 (a + c ) h 2
19
20
2 Mathematische Grundlagen
2.4.8 Vielecke Allgemeines Vieleck
Summe der Innenwinkel
(n − 2 ) 200 gon
Summe der Außenwinkel
(n + 2 ) 200 gon
Anzahl der Diagonalen
n(n − 3 ) 1 2
Anzahl der Diagonalen in einer Ecke n = Anzahl der Ecken
Regelmäßiges Vieleck 1. Jedes regelmäßige Vieleck kann in n gleichschenklige, kongruente Dreiecke zerlegt werden 2. Der Zentriwinkel eines Dreiecks beträgt: = 1 n 400 gon
3. Jeder Außenwinkel beträgt: = 200 gon + 1 n 400 gon
n = Anzahl der Ecken
4. Jedes regelmäßige Vieleck hat gleichgroße Seiten und Winkel 5. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen In- und einen Umkreis 6. Der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks hat von den Ecken die gleiche Entfernung
n−3
2.4 Ebene Geometrie
2.4.9 Kreis Bezeichnungen am Kreis Umfang
= in sich geschlossene Kreislinie
Bogen
= Teil des Umfanges
Radius
= Verbindungsstrecke Kreispunkt - Mittelpunkt
Sekante
= Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet
Sehne
= Strecke, deren Endpunkte auf dem Kreis liegen
Tangente
= Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt
Kreisbogen
b = r [rad ]
Kreisumfang
U = 2 r = d
Kreisfläche
F = r2 = d2 4
Kreisabschnitt Sehne
s = 2r sin 2
Pfeilhöhe
h = r 1 − cos = 2r sin 2 4 2
Radius
2 r= s + h 8h 2
Fläche
2 F = r ( [rad] − sin ) 2
21
22
2 Mathematische Grundlagen
Kreis und Sehne Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises und halbiert den Mittelpunktswinkel Ähnlichkeit am Kreis Sehnensatz
AE EB = CE ED
Sekantensatz
SE SF = SC SD
Tangentensatz
2
ST = SE SC
2.4 Ebene Geometrie Winkel am Kreis
= Mittelpunktswinkel = Umfangswinkel = = ; 2 Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß
= Sehnentangentenwinkel
Satz des THALES: Jeder Umfangswinkel über dem Halbkreis = 100 gon
2.4.10 Ellipse
a = große Halbachse b = kleine Halbachse F 1,2 = Brennpunkte
Ortslinie für die Punkte P mit F 1 P + F 2 P = konstant = 2a Umfang - Näherungsformel U O 3 (a + b ) − ab 2 Fläche
F= ab
1 für b a> 5 Lineare Exzentrität
e = a2 − b2
U > (a + b )
23
24
2 Mathematische Grundlagen
2.5 Trigonometrie 2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Definition der Winkelfunktionen Sinusfunktion sin =
Gegenkathete a = c Hypotenuse
Kosinusfunktion cos = Ankathete = b c Hypotenuse Tangensfunktion tan =
Gegenkathete a = b Ankathete
Kotangensfunktion cot =
Ankathete = b a Gegenkathete
Beziehungen zwischen den Funktionen des gleichen Winkels
sin 2 + cos 2 = 1 sin α
cos α
1 − sin 2
sin cos
1 − cos 2
tan
tan 1 + tan 2
cot
1 1 + cot 2
Das Vorzeichen der Wurzel hängt vom Quadranten ab
cot = cos sin
sin tan = cos
1 1 + tan 2 cot 1 + cot 2
tan α sin 1 − sin 2
cot α
1 − sin 2 sin
1 − cos 2 cos
cos 1 − cos 2 1 tan
1 cot Quadrant I II
sin + +
cos + -
tan/cot + -
III IV
-
+
+ -
2.5 Trigonometrie
25
Besondere Werte, Grenzwerte 0° (0 gon)
30°
45° (50 gon)
60°
90° (100 gon)
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
3 3
1
3
cot
3
1
3 3
0
Funktionswerte kleiner Winkel
sin O tan O
Umwandlungen
sin
100 gon
200 gon
+ cos α
-/+ sin α
300 gon
400 gon
- cos α
- sin α
cos
-/+ sin α
- cos α
+/- sin α
+ cos α
tan
-/+ cot α
+/- tan α
-/+ cot α
- tan α
cot
-/+ tan α
+/- cot α
-/+ tan α
- cot α
Arcusfunktionen
Hauptwert arcsin arccos
−100 gon > > +100 gon
0 gon > > +200 gon
arctan
−100 gon< < +100 gon
arccot
0 gon< < +200 gon
Nebenwerte
= n 400 gon = 200 gon− n 400 gon = + n 400 gon = − n 400 gon = + n 200 gon
= + n 200 gon
n = 1,2.. n = 0,1.. n = 1,2.. n = 1,2.. n = 1,2.. n = 1,2..
26
2 Mathematische Grundlagen
2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck
Sinussatz
a = b = c = 2r sin sin sin r = Umkreisradius Gegenwinkel der größeren Seite: Gegenwinkel der kleineren Seite:
1 Lösung 2 Lösungen 1 Lösung keine Lösung
sin γ < 1 sin γ = 1 sin γ > 1
Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke a
s 2a = a c sc
2
+ c cos s [rad ] sin
2
a s [rad ] + tan
2
s c = Standardabweichung der Strecke c s , s = Standardabweichung der Winkel , [rad ] Kosinussatz 2 2 2 cos = b + c − a 2bc 2 2 2 cos = a + c − b 2ac 2 2 2 cos = a + b − c 2ab
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke c
s 2c =
a − b cos c
2
sa
+
b − a cos sb c
2
+
ab sin s [rad ] c
s a , s b = Standardabweichung der Strecken a, b s = Standardabweichung des Winkels [rad ]
2
2.5 Trigonometrie Projektionssatz
a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = b cos + a cos
Tangenssatz
a+b = a−b
+ 2 − tan 2
tan
b+c = b−c
+ 2 − tan 2 tan
c+a = c−a
+ 2 − tan 2
tan
Halbwinkelsätze
sin = 2
(s − b )(s − c ) bc
cos = 2
s( s − a ) bc
sin
= 2
(s − a )(s − c ) ac
cos
= 2
s( s − b ) ac
sin
= 2
(s − b )(s − a ) ab
cos
= 2
s( s − c ) ab
tan = 2
! (s − b )(s − c ) = s−a s(s − a )
! = 2 s−b ! tan = s − c 2 tan
s = 1 (a + b + c ) 2 !2 =
(s − a )(s − b )(s − c ) s
! = Inkreisradius
27
28
2 Mathematische Grundlagen
2.5.3 Additionstheoreme Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen
sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos − sin sin sin( − ) = sin cos − cos sin cos( − ) = cos cos + sin sin tan( + ) =
tan + tan 1 − tan tan
cot( + ) =
cot cot − 1 cot + cot
tan( − ) =
tan − tan 1 + tan tan
cot( − ) =
cot cot + 1 cot − cot
Trigonometrische Funktionen des doppelten und des halben Winkels sin = 2 sin 2 cos 2 2 cos = cos 2 2 − sin 2 2 cos = 1 − 2 sin 2 cos = 2 cos 2 2 − 1 1 + cos = 2 cos 2 2 2 1 − cos = 2 sin 2
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 − sin 2 cos 2 = 1 − 2 sin 2 cos 2 = 2 cos 2 − 1 1 + cos 2 = 2 cos 2 1 − cos 2 = 2 sin 2 sin =
1 − cos 2 2
cos =
1 + cos 2 2
tan =
1 − cos 2 1 + cos 2
cot =
1 + cos 2 1 − cos 2
+ − cos 2 2 + − sin − sin = 2 cos sin 2 2 + − cos + cos = 2 cos cos 2 2 + − cos − cos = 2 sin sin 2 2 sin + sin = 2 sin
2.5 Trigonometrie
2.5.4 Sphärische Trigonometrie Rechtwinkliges Kugeldreieck a sin = sin sin c
sin = sin b sin c
b cos = tan tan c = cos a sin
a cos = tan tan c = cos b sin
tan a tan = sin b
tan = tan b sin a
cos c = cos a cos b = cot cot NEPERsche Regel: cos eines Stückes = Produkt der cot der benachbarten Stücke Produkt der sin der nicht benachbarten Stücke wobei a durch (90°- a) und b durch (90°- b) ersetzt und Winkel γ = 90° nicht beachtet wird. Schiefwinkliges Kugeldreieck
Sinussatz
sin a = sin b = sin c sin sin sin
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Seitenkosinussatz
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos cos c = cos a cos b + sin a sin b cos cos = − cos cos + sin sin cos a
Winkelkosinus
cos = − cos cos + sin sin cos b cos = − cos cos + sin sin cos c
Fläche
F = r 2 [rad ]
r = Radius
= + + − 180 (sphärischer Exzess)
29
3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen 3.1.1 Räumliches Bezugssystem Dreidimensionales Koordinatensystem mit gegebener Orientierung zur Bestimmung der Raumkoordinaten von Punkten. WGS 84 = World Geodetic System 1984
Z
Bezugsfläche: WGS 84 - Ellipsoid Koordinatenursprung auf +/- 1m im Massenmittelpunkt der Erde
P
ZP XP YP
X Meridian von Greenwich
X-Achse durch den Meridian von Y Greenwich Y-Achse rechtwinklig nach Osten auf der X-Achse Z-Achse mittlere Umdrehungsachse der Erde Seit 1989 realisiert durch das Europäische Referenznetz ETRS 89 (European Terrestrial Reference System1989)
3.1.2 Lagebezugssystem Auf einer Bezugsfläche, meist einem Rotationsellipsoid, festgelegtes System von Lagekoordinaten. Im amtlichen Vermessungswesen der Bundesrepublik Deutschland benutztes Lagebezugssystem: DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz Bezugsfläche: Bessel-Ellipsoid Zentralpunkt: TP Rauenberg L 0 , B 0 Orientierung: Dreieckseite Rauenberg - Berlin, Marienkirche Abbildung: Gauß-Krüger-Projektion für Folgenetze
3.1.3 Höhenbezugssystem In der Regel durch eine Höhenbezugsfläche und ihren Abstand zu einem Zentralpunkt definiertes System
3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen
31
3.1.4 Bezugsfläche Mathematisch, physikalisch oder mittels vorhandener Festpunktfelder definierte Fläche, auf die sich Lagekoordinaten, Höhen oder Schwerepotenziale von Vermessungspunkten beziehen.
Bezugsflächen für Lagevermessungen oder räumliche Vermessungen Rotationsellipsoid Mittleres Erdellipsoid:
Ersatzfläche für das gesamte Geoid ( WGS 84 - Ellipsoid )
Lokal bestanschließendes Erdellipsoid:
Ersatzfläche für einen Teil des Geoids
Referenzellipsoid:
Rotationsellipsoid, das als Bezugsfläche für eine Landesvermessung dient (z. B. Bessel-Ellipsoid)
Parameter des Erdellipsoids: Ellipsoid
Bessel
WGS 84
große Halbachse
a
6 377 397,155 m
6 378 137,00 m
kleine Halbachse
b
6 356 078,963 m
6 356 752,314 m
Abplattung
= (a − b ) /a
1: 299,15
1: 298,257 223 563
Erste numerische Exzentrität
Zweite numerische Exzentrität 2 2 e 2 = a −2b b
2 2 e 2 = a −2b a
Meridiankrümmungshalbmesser
M=
a2 b2 (a 2 cos 2 B + b 2 sin B ) 2
3
Querkrümmungshalbmesser
N=
a2 a2
cos 2 B + b 2
sin 2 B
Kugel als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid, für Vermessungen in kleineren Ländern Erdkugel
Radius R
Bildkugel
Radius der Soldnerschen Bildkugel Radius der Gaußschen Schmiegungskugel
RS = N RG = M N
Ebene als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid oder für eine Bildkugel, für Vermessungen in einem Gebiet bis zu 10 x10 km²
Höhenbezugsfläche
siehe 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
32
3 Geodätische Grundlagen
3.2 Geodätische Koordinatensysteme 3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem
ϕ = Geographische Breite λ = Geographische Länge
3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem B = Ellipsoidische Breite Winkel, den der in der Meridianebene liegende Normalkrümmungshalbmesser N mit der Äquatorebene bildet L = Ellipsoidische Länge Winkel, den die elliposidische Merdianebene eines Punktes mit der geodätischen Nullmeridianebene bildet H E = Ellipsoidische Höhe Punkthöhe über dem Ellipsoid
3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem X = (N + H E ) cos B cos L Y = (N + H E ) cos B sin L 2 Z = N sin B b 2 + H E sin B a
a = große Halbachse b = kleine Halbachse N = Normalkrümmungshalbmesser
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
33
3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem
Die Abszissenachse ist ein Meridian durch den Koordinatenanfangspunkt P0 . Die Ordinate Y eines Punktes Pi ist das sphärische Lot von Pi auf die Abszissenachse, die Abszisse X von Pi ist der Meridianbogen vom Koordinatenanfangspunkt P0 bis zum Ordinatenlotfußpunkt.
T = Sphärischer Richtungswinkel
3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem
I,II,... Quadranten t = ebener Richtungswinkel s = Strecke
3.2.6 Polarkoordinaten
Φ = Polarwinkel Anmerkung: Ist die Nullrichtung = Abszissenachse, so ist der Polarwinkel = Richtungswinkel
s = Strecke
34
3 Geodätische Grundlagen
3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System) Das GK-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten auf dem Ellipsoid in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 3°breiten Meridianstreifen.
Meridianstreifen Jeder Meridianstreifen hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 1°40' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 6°, 9°, 12°und 15°östlich von Greenwich. Die Meridianstreifen werden in östlicher Richtung durchnummeriert und mit einer Kennzahl bezeichnet. Kennzahl K z = L 0 /3
L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) R = Rechtswert = Ordinate = R 0 + y
R 0 = Ordinatenwert des Hauptmeridians = K z 10 6 + 500 000 m y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: 3 5 y = Y+ Y 2 + Y 2 +
6R 24R
R = Erdradius 6380 km
H = Hochwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) eines 3°breiten Meridianstreifens. Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Die Abszisse wird längentreu abgebildet:
x= X
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
35
3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System) Das UTM-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 60 Zonen von je 6°breiter Ost-West-Ausdehnung.
Zonen Jede Zone hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 3°30' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 3°, 9°und 15°östlich von Greenwich. Die Zonen werden in östlicher Richtung von 1 bis 60 durchnummeriert. Zonennummer Z =
L0 + 3 + 30 6
L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) E = Ostwert = Ordinate = E 0 + y
E 0 = (Z + 0, 5 ) 10 6 m y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: y = Y+
Y3 + Y5 +
6R2 24R2
R = Erdradius 6380 km N = Nordwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Abbildungsmaßstab des Bezugsmeridians
m 0 = 0, 9996
36
3 Geodätische Grundlagen
3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen
Standpunkt westl. des Bezugsmeridians
Standpunkt im Bezugsmeridian
Standpunkt östl. des Bezugsmeridians
Nordrichtungen GgN = Geographisch-Nord (Nördliche Richtung des Meridians durch einen Punkt) GiN = Gitter-Nord (Nördliche Richtung der durch einen Punkt verlaufenden Parallelen zum Bild des Bezugsmeridians) MN = Magnetisch-Nord (Nördliche Richtung der durch einen Punkt verlaufenden horizontalen Projektion der magnetischen Feldlinien)
Deklination D
= Winkel zwischen GgN und MN, von GgN nach Osten +, nach Westen (in Deutschland stets westlich vom Meridian)
Nadelabweichung d
= Winkel zwischen GiN und MN, von GiN nach Osten +, nach Westen -
Meridiankonvergenz c
= Winkel zwischen GiN und GgN von GgN nach Osten +, nach Westen (im Bezugsmeridian GiN = GgN ; c = 0) Näherungsformel:
c O (L − L 0 ) sin ' O
y ! tan ' N
L − L0 = geogr. Längenunterschied zwischen Standpunkt und Bezugsmeridian ' = Geographische Breite N = Querkrümmungshalbmesser ( siehe 3.1.4) y = Abstand vom Bezugsmeridian !=
200gon bzw. 180
4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 4.1.1 Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )
y = y 2 − y 1
x = x 2 − x 1 Richtungswinkel t 1,2 = arctan
y x
Quadrant I II III IV
t t t + 200 gon t + 200 gon t + 400 gon
y x Funktion auf Taschenrechner: arctan = tan-1 + + -
+ +
+ + -
arctan arctan arctan arctan
Formel für quadrantengerechten Richtungswinkel nach JOECKEL y = y 2 − y 1 + 1 10 −a x = x 2 − x 1 + 1 10 −a a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird. (z.B. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit) t [rad ] = arctan
y + − (1 + sgnx ) sgny 2 x
y t [gon ] = 200 arctan x + 200 − (1 + sgnx ) sgny 100 Für Taschenrechner mit voreingestellter Einheit ”Gon”
t [gon ] = arctan
y + 200 − (1 + sgnx ) sgny 100 x
38
4 Vermessungstechnische Grundlagen
Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P1 (y1 , x1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )
y = y 2 − y 1
x = x 2 − x 1
Strecke
s 1,2 = y 2 + x 2 Probe:
y + x = (y 2 + x 2 ) − (y 1 + x 1 ) = s 2 sin(t 1,2 + 50 gon )
Genauigkeit: Standardabweichung eines Richtungswinkels
s t [rad ] =
sP s
s P = Standardabweichung eines Punktes s = Strecke Standardabweichung einer Strecke nach PYTHAGORAS
ss =
y s
2
s 2y 1 + s 2y 2 + x s
2
s 2x 1 + s 2x 2
s s = s 21 + s 22 fu¨r s 1 = s y1 = s x1 und s 2 = s y2 = s x2 s xi , s yi = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes Die Berechnung von Richtungswinkel und Strecke ist auch mit der Tastenfunktion R - P eines Taschenrechners möglich. Die Rechenfolge ist aus der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen.
Näherungsformel für Spannmaßberechnung
c = a+d
2 dO b 2a
a O c ; b klein
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
39
4.1.2 Polarpunktberechnung Gegeben: Koordinaten des Punktes P1 (y 1 , x 1 ) Richtungswinkel t Strecke s
Koordinatenunterschiede
x = s cos t
y = s sin t
Probe: s 2 = y 2 + x 2
Koordinaten des Punktes P i
y i = y 1 + y
x i = x 1 + x
Die Polarpunktberechnung kann auch mit der Tastenfunktion P - R eines Taschenrechners erfolgen. Die Rechenfolge ist der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sy =
y s ss
2
+ (x s [rad ])
2
sx =
x s s s
2
+ (y s [rad ]) 2
Standardabweichung eines Punktes
s P = s 2x + s 2y
s P = s 2s + (s s [rad ])
2
Standardabweichung der Querabweichung
s q = s s [rad ]
s t = s = Standardabweichung des Richtungswinkels s s = Standardabweichung einer Strecke s y , s x = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes
40
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.3 Kleinpunktberechnung Kleinpunkt in der Geraden
Gegeben: Koordinaten der Punkte PA (Y A , X A ) und PE (Y E , X E ) Abszissen im örtlichen Koordinatensystem x A , x i , x E s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter
o=
YE − YA s
a=
XE − XA s
Probe:
a2 + o2 O 1 YE = YA + o s
XE = XA + a s
Maßstabsfaktor
m= S s Koordinaten der Punkte P i
Y i = Y A + o (x i − x A ) Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] − n x A )
X i = X A + a (x i − x A )
[X i ] = n X A + a ([x i ] − n x A )
n = Anzahl der Punkte Pi oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Seitwärts gelegener Punkt
Gegeben: Koordinaten der Punkte PA (Y A , X A ) und PE (Y E , X E ) Örtliche Koordinaten der Punkte Pi (yi , xi ) s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter
o=
YE − YA s
a=
XE − XA s
Probe:
a2 + o2 O 1 YE = YA + o s
XE = XA + a s
Maßstabsfaktor
m= S s
Koordinaten der Punkte P i
Y i = Y A + o (x i − x A ) + a y i Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] − n x A ) + a [y i ]
n = Anzahl der Punkte Pi oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i
X i = X A + a (x i − x A ) − o y i
[X i ] = n X A + a ( [x i ] − n x A ) − o [y i ]
41
42
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt Gegeben: Seiten a, b, c
2 2 2 p= b +c −a 2c
h = a2 − q2
2 2 2 q= a +c −b 2c
h = b2 − p2
p+q= c Genauigkeit: Standardabweichung der Seite p
sp =
b s c b
2
+ 1 sc 2
2
+ a c sa
2
Standardabweichung der Höhe h
sh =
b 2 s 2b + p 2 s 2p h2
s a , s b , s c = Standardabweichung der Seiten a,b,c
4.1.5 Schnitt mit Gitterlinie
Yi = YA +
Y E − Y A (X i − X A ) (X E − X A )
Xi = XA +
(X E − X A )(Y i − Y A ) (Y E − Y A )
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
4.1.6 Geradenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ), P 2 (y 2 , x 2 ), P 3 (y 3 , x 3 )und P 4 (y 4 , x 4 )
1. Möglichkeit
y2 − y1 tan t 1,2 = x 2 − x 1
y4 − y3 tan t 3,4 = x 4 − x 3
Koordinaten des Schnittpunktes P S
xS = x3 +
y S = y 1 + (x S − x 1 ) tan t 1,2
(y 3 − y 1 ) − (x 3 − x 1 ) tan t 1,2 tan t 1,2 − tan t 3,4
oder
y S = y 3 + (x S − x 3 ) tan t 3,4 Probe: y2 − yS tan t 1,2 = x 2 − x S
oder
y4 − yS tan t 3,4 = x 4 − x S
2. Möglichkeit: Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 3,1 , t 3,4 und der Strecke s 1,3 aus Koordinaten siehe Abschnitt 4.1.1
s 1,S = s 1,3
sin(t 3,1 − t 3,4 ) sin(t 3,4 − t 1,2 )
Koordinaten des Schnittpunktes P S
y S = y 1 + s 1,S sin t 1,2 Probe:
t 1,2 = t 1,S
x S = x 1 + s 1,S cos t 1,2
43
44
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis
Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (y A , x A ), P B (y B , x B ) und des Kreismittelpunktes P M (y M , x M ) Radius r Berechnung der Richtungswinkel t A,B , t A,M und der Strecken AB, AM aus Koordinaten
(siehe Abschnitt 4.1.1)
= t A,M − t A,B h = AM sin
h > r : keine Lösung h > r : keine Lösung h < r : 2 Lösungen
HS = r 2 − h2 2
AH = AM − h 2 AS 1 = AH − HS
AS 2 = AH + HS
Koordinaten der Schnittpunkte
y S 1 = y A + AS 1 sin t A,B
y S 2 = y A + AS 2 sin t A,B
x S 1 = x A + AS 1 cos t A,B
x S 2 = x A + AS 2 cos t A,B
Probe:
SM = r
und
t A,B = t A,S
4.2 Flächenberechnung
45
4.2 Flächenberechnung 4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen Dreieck Allgemein
2F = Grundseite Ho¨he 2F = a b sin = a c sin = b c sin 2F = 4 r 2 (sin sin sin )
r = Umkreisradius
c2 b2 a2 2F = = = cot + cot cot + cot cot + cot 2F = 2 s(s − a )(s − b )(s − c ) ; s = a + b + c 2 Rechtwinkliges Dreieck
2F = a b
Gleichschenkliges Dreieck
2F = a 2 sin
Gleichseitiges Dreieck
2F = 1 a 2 3 2
Trapez Allgemein
Verschränktes Trapez
2 c2 2F = cota − + cot
2F = (x E − x A )(y E + y A )
2F = (a + c) h
Kreis Kreisfläche
F = r2 = d2 4
Kreisausschnitt (Sektor)
F = [rad ] r 2 2
Kreisabschnitt (Segment)
2 F = r ([rad] − sin ) 2
46
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten Gaußsche Flächenformel Trapezformel
Dreiecksformel
n
2F =
(y i + y i +1 )(x i − x i +1 ) i =1
2F =
(x i + x i +1 )(y i +1 − y i ) i =1
n
n
2F =
y i (x i −1 − x i +1 ) i =1
2F =
x i (y i +1 − y i −1 ) i =1
n
Flächenberechnung im Uhrzeigersinn X Fläche positiv Flächenberechnung gegen den Uhrzeigersinn X Fläche negativ
Fläche aus Polarkoordinaten
Nullrichtung
2 3
1
r i = gemessene Richtung
s1
s i = gemessene Strecke
r1
5
4
Standpunkt
Grundformel: F = 1 a b sin 2
2F =
n
s i s i +1 sin(r i +1 − r i ) i =1
4.2.3 Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System r F [m 2 ] =
Y 2 [km 2 ] F [m 2 ] R 2 [km 2 ]
R = Erdradius 6380 km Y = Abstand vom Mittelmeridian
4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen Baden-Württemberg:
Z F bedeutet die größte zulässige Abweichung in Quadratmetern zwischen einer aus Landeskoordinaten berechneten Fläche F und der im Liegenschaftskataster nachgewiesen Flurstücksfläche Z F = 0, 2 F Genauigkeitsstufe 1, 2
4.3 Flächenteilungen
47
4.3 Flächenteilungen 4.3.1 Dreieck Nach der Ermittlung der Strecken si werden die Koordinaten der Neupunkte Pi mit diesen Strecken si über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen
Von einem Eckpunkt
s=
F 1 AB 2F 1 = F h
F = ∆ABC ; F1 = Teilungsfläche
Durch gegebenen Punkt P
s=
F 1 AC AB 2F 1 AC = F AP h AP
F = ∆ABC ; F1 = Teilungsfläche Parallel zur Grundlinie
s 1 = AC
F1 F
s 2 = BC
F1 F
F = ∆ABC ; F1 = Teilungsfläche
Parallel zur Höhe
Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt
s 1 = AC
F1 F2
F 1 =Teilungsfläche
s 2 = AE F 2 = AE h 2
F1 F2
48
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.3.2 Viereck Nach der Ermittlung der Strecken si werden die Koordinaten der Neupunkte Pi mit diesen Strecken si über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen
Von einem Eckpunkt
s=
2F 1 F 1 AB = F ABD h1
F1 = Teilungsfläche
Durch gegebenen Punkt P
F 1 = F 1 − F APD
F1 = Teilungsfläche
s=
F 1 AB F ABP
Parallelteilung
x = a2 − 2F1(cot + cot ) 2F h 1 = a + 1x s1 =
h1 sin
s2 =
h1 sin
F1 = Teilungsfläche Senkrechtteilung Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt F 1 = F 1 − F AED F1 = Teilungsfläche
x = h 2 − 2F 1 cot
s1 =
s2 =
s 1 = AE + s 1
s1 sin
Sonderfall s = F 1 cot
2
F1 = Teilungsfläche
F y = s1
2F 1 h+x
5 Winkelmessung 5.1 Instrumentenfehler am Theodolit Zielachsenfehler c c ist der Winkel, um den die Zielachse des Theodolits vom rechten Winkel zur Kippachse abweicht.
k c ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Zielachsenfehlers. Bestimmung: Anzielen eines etwa in Kippachsenhöhe liegenden Punktes in zwei Fernrohrlagen
c=
(A II − A I ) − 200 gon 2
A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II Auswirkungen auf die Horizontalrichtung
kc =
c sin z
z = Zenitwinkel Minimum z = 100 gon ; k c = c Maximum z = 0 gon Auswirkungen auf den Horizontalwinkel
kc = c
1 − 1 sinz2 sinz1
Der Zielachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.
Kippachsenfehler k k
ist der Winkel, um den die Kippachse vom rechten Winkel zur Stehachse abweicht.
k k ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Kippachsenfehlers.
50
5 Winkelmessung
Kippachsenfehler Bestimmung: a) Anzielen eines hochgelegenen Punktes in zwei Fernrohrlagen
k=
(A II − A I ) − 200 gon − c tan z 2 sin z
AI = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel b) Abloten eines hohen Punktes in zwei Fernrohrlagen, nachdem Steh- und Zielachsenfehler beseitigt sind.
k = arctan l tan z 2s l = Abstand A 1 A 2 am Maßstab s = Abstand Theodolit-Maßstab z = Zenitwinkel Auswirkung auf die Horizontalrichtung
k k = k cot z z = Zenitwinkel Minimum z =100 gon ; k = 0 Maximum z = 0 gon Auswirkung auf den Horizontalwinkel
k k = k (cot z 2 − cot z 1 ) Der Kippachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.
Gemeinsame Bestimmung von Zielachsen- und Kippachsenfehler Messung einer Horizontalrichtung zu zwei Punkten in zwei Fernrohrlagen
R i = (A II − A I − 200 gon ) = 2k c + 2k k A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel Kippachsenfehler
k=
R 1 sin z 1 − R 2 sin z 2 2(cos z 1 − cos z 2 )
Zielachsenfehler
c=
R 1 sin z 1 − 2k cos z 1 2
5.1 Instrumentenfehler am Theodolit
51
Höhenindexkorrektion k z Korrektion eines in einer Fernrohrlage gemessenen Zenitwinkels wegen fehlerhafter Stellung des Höhenindex. Bestimmung: Anzielen eines Punktes in beiden Fernrohrlagen und Ablesen der Zenitwinkel
kz =
400 gon − (z I + z II ) 2
z I = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II = Ablesung Zenitwinkel Lage II Verbesserung
vz = kz Die Höhenindexkorrektion wird durch Beobachten des Zenitwinkels in zwei Fernrohrlagen und Abgleichung der Ablesungen auf 400gon eliminiert .
Stehachsenfehler v Winkel, den die Stehachse des Theodolits mit der Lotrichtung bildet. Kein Instrumentenfehler, deshalb nicht durch Messung in zwei Fernrohrlagen zu eliminieren. Bestimmung: Ablesung des Zenitwinkels z bei Horizontalrichtungen von R = 0, 100, 200 und 300 gon (z 0 , z 1 , z 2 , z 3 )
v 1 = 1 (z 2 − z 0 ) 2
v 2 = 1 (z 3 − z 1 ) 2
Auswirkung auf die Horizontalrichtung R i
k v = (v 1 sin R i − v 2 cos R i ) cot z i
52
5 Winkelmessung
5.2 Horizontalwinkelmessung 5.2.1 Begriffsbestimmung Beobachten in Halbsätzen:
Beobachten in Lage I (A I ) Teilkreisverstellung um wenige gon Beobachten in Lage II (A II )
Beobachten in Vollsätzen:
Beobachten in Lage I (A I ) und Lage II (A II ) Teilkreisverstellung um 200/n weitere (n - 1) Beobachtungen in Lage I und Lage II
n = Anzahl der Sätze
5.2.2 Satzweise Richtungsmessung Berechnung: Reduzierung der Ablesungen in jedem Satz auf die erste Richtung R 1
Ri =
A I + (A II 200 gon ) − R 1 [Lage I ] 2
A I = Ablesung Lage I A II = Ablesung Lage II Mittel aus allen Sätzen [R ] R iM = ni
n = Anzahl der Sätze
s = Anzahl der Richtungen
Summenprobe
[A I ] + [A II ] = 2n [R iM ] + s (R 1 [Lage I ] + R 1 [Lage II ]) Genauigkeit:
d i = R iM − R i
v i = d i − [d ] / s
[v i ] = 0
Standardabweichung einer in einem Satz beobachteten Richtung
sR =
[vv ] (n − 1 )(s − 1 )
n = Anzahl der Sätze
s = Anzahl der Richtungen
Standardabweichung einer in n-Sätzen beobachteten Richtung
sR = sR 1 n Standardabweichung eines Winkels
s = sR 2
5.2 Horizontalwinkelmessung
5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss Alle Winkel zwischen zwei Richtungen werden einzeln beobachtet.
Berechnung: ausgeglichener Winkel
i = i + v v = −w / s
Widerspruch
w = [ i ] − 400 gon s = Anzahl der Richtungen
Genauigkeit: Standardabweichung eines in n-Sätzen beobachteten Winkels
s n = w s s = Anzahl der Richtungen Standardabweichung eines ausgeglichenen Winkels
s = s n 1 − 1 s s = Anzahl der Richtungen Standardabweichung eines in einem Satz beobachteten Winkels
s = s n n n = Anzahl der Sätze
53
54
5 Winkelmessung
5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen Es sind mindestens zwei gemeinsame Ziele notwendig
1. Reduzieren
o i = R 1i − R 2i R 1i = Richtung 1. Teilsatz R 2i = Richtung 2. Teilsatz 2. Orientierungsunbekannte [o ] o = ni
n = Anzahl der gemeinsamen Ziele 3. orientierte Richtung
R oi = R 2i + o 4. endgültige Richtung
Ri =
R 1i + Roi 2
Summenprobe
[R2i ] + s o = [Roi ] s = Anzahl der Richtungen
Verbesserung
v 1i = R i − R 1i v 2i = R i − R oi vi =
(v 1i + v 2i ) 2
Probe:
[v i ] = [v 1i ] = [v 2i ] = 0
5.3 Vertikalwinkelmessung
5.3 Vertikalwinkelmessung Höhenindexkorrektion kz =
400 gon − (z I + z II ) 2
fehlerfreier Winkel zI =
(z I − z II ) + 400 gon 2
oder
zI = zI + kz
;
z II = z II + k z
z I = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II = Ablesung Zenitwinkel Lage II Summenprobe pro Standpunkt
[z I ] + n k z = n z n = Anzahl der Sätze Genauigkeit: Standardabweichung für die einmal bestimmte Höhenindexkorrektion
s kz =
[k z k z ] sn−1
s = Anzahl der Richtungen n = Anzahl der Sätze Standardabweichung des Mittels aller n s Höhenindexkorrektionen
s kz =
s kz ns
Standardabweichung eines in n-Sätzen beobachteten Zenitwinkels
sz =
s kz n
also s z > s k z
55
56
5 Winkelmessung
5.4 Winkelmessung mit der Bussole
d' = Missweisung der Sicht W' = gemessenes magnetisches Azimut t = Richtungswinkel c = Meridiankonvergenz D = Deklination Bestimmung der Missweisung der Sicht d': Messung des magnetischen Azimuts W' auf einem koordinierten Punkt P1 nach einem koordinierten Punkt P2
d =t−W Die Missweisung der Sicht enthält außer der Deklination D und der Meridiankonvergenz c auch noch etwaige Instrumentenfehler.
5.5 Winkelmessung mit dem Vermessungskreisel
U = Kreiselanzeige E = Gerätekonstante N = Nordlage des Kreisels Z = Zielung c = Meridiankonvergenz W = Weisung
Geodätisches Azimut
= Z−N = W+E Richtungswinkel
t = A−c
Astronomisches Azimut
A = − tan B = ( a − L ) cos B B = Ellipsoidische Breite L = Ellipsoidische Länge a = Astronomische Länge
6 Strecken- und Distanzmessung 6.1 Streckenmessung mit Messbändern 6.1.1 Korrektionen und Reduktionen Temperaturkorrektion
k t = (t − t 0 ) D A
D A = abgelesene Bandlänge
α = Ausdehnungskoeffizient : α Stahl = 0,0000115 m/m °C α Invar = 0,000001 m/m °C t = Bandtemperatur
t0 = Bezugstemperatur, t0 = 20°C
Kalibrierkorrektion
kk =
D Ist DA D0
D A = abgelesene Bandlänge
D Ist = Ist-Wert eines Messbandes Bestimmung auf einer Vergleichsstrecke oder auf einem Komparator D 0 = Solllänge des Messbandes unter Normalbedingungen (Nennmaß)
Länge eines freihängenden Bandes
D = DA + k k + k t
Alignementreduktion wegen Messbandneigung sowie seitlicher Auslage 2
ra = − h 2D Durchhangreduktion bei gleichen Höhen der Bandenden
rd = −
D3 p2 24F 2
F = Spannkraft gemessen in N p = Eigengewicht des Messbandes pro Längeneinheit in N/m
58
6 Strecken- und Distanzmessung
6.2 Optische Streckenmessung 6.2.1 Basislattenmessung s = b cot 2 2
Gegeben:
Basis b
Gemessen:
Parallaktische Winkel
Genauigkeit: Standardabweichung der berechneten Strecke s
ss =
2
s s b b
2 + s s [rad] b
2
b fehlerfrei:
s b = Standardabweichung der Latte b s = Standardabweichung des Winkels γ Messanordnungen: Basis am Ende (s < 75 m)
s = b cot 2 2 Genauigkeit:
s s [cm] O 8, 0 s [mgon ] s 2 [hm] Basis in der Mitte (75 m < s < 150 m) 1 2 s = b cot + cot 2 2 2 Genauigkeit:
s s [cm] O 2, 8 s [mgon ] s 2 [hm]
Hilfsbasis am Ende (150 m < s < 400 m) Forderung:
be O b
b b e = b cot 2 2
be O b s
s = be
sin + b e sin b e
Genauigkeit:
s s [scm ] O 1, 6 s [mgon ] s 3 [hm ]
2 s s = s s[rad ] b
6.2 Optische Streckenmessung
6.2.2 Parallaktische Streckenmessung
Lo L z2
Lu
z1 s
Gemessen:
Zenitwinkel z 1 , z 2 Lattenablesung oben L o Lattenablesung unten L u
L − Lu s = cot z o − cot z2 1 Genauigkeit: Standardabweichung der Ablesung an der Latte oben/unten
s Lo = s Lu = s s z [rad] Standardabweichung der Lattenablesung
sL = sLo 2 = s 2 s z [rad] Standardabweichung der Strecke
ss =
s2 2 s z [rad ] L
s z = Standardabweichung des Zenitwinkels L = Lo − Lu
59
60
6 Strecken- und Distanzmessung
6.2.3 Strichentfernungsmessung (REICHENBACH)
Gemessen:
Bekannt:
Zenitwinkel z Lattenablesung oben L o oder Lattenablesung unten L u Instrumentenhöhe i = arctan 1 2k
Lattenablesung oben L o Lattenablesung Mitte L m
k = 100
ε = 0,3183 gon
Ablesung: Ober- und Unterstrich
D=
Lo − Lu cot(z − ) − cot(z + )
H = D cot(z + ) − L u + i
Ablesung: Ober- und Mittelstrich
D=
Lo − Lm cot(z − ) − cot z
H = D cot z − L m + i
Näherungsformel:
D = 100 L cos 2 = 100 L sin 2 z h = 100 L sin cos = 100 L sin z cos z
H = h − L m + i L = Lo − Lu
6.3 Elektronische Distanzmessung
61
6.3 Elektronische Distanzmessung 6.3.1 Elektromagnetische Wellen Signalgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit Brechzahl n der Atmosphäre
c c = n0 c 0 = 299 792 458 m/s
c n = c0
N = (n − 1) 10 6
n = n (p,t,e,λ )
p = Luftdruck t = Temperatur e = Feuchte
λ = Trägerwellenlänge Frequenz
c f=
6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung Impulsverfahren Der Sender sendet nur während sehr kurzer Zeit und das ausgesandte Wellenpaket (Puls) dient als Messsignal
D=
c0 t 2n
t = Impulslaufzeit c 0 = Lichtgeschwindigkeit n = Brechzahl der Atmosphäre Phasenvergleichsverfahren Der vom Sender kontinuierlich abgestrahlten Welle wird ein periodisches Messsignal aufmoduliert
D = n
M ' M + 2 2 2
M = Modulationswellenlänge n = Anzahl der M ' = Phasendifferenz
62
6 Strecken- und Distanzmessung
6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre Brechzahl N bei Licht als Trägerwelle für Normatmosphäre nach DIN ISO 2533 (Luft trocken; 0,03% CO2; T = 273 K
p = 1023,25 hPa)
Gruppenbrechungsindex n Gr nach BARRELL und SEARS
(nGr − 1) 106 = 287, 604 + 3
1, 6288 0, 0136 +5 2T 4T
T = Trägerwellenlänge für tatsächliche Verhältnisse Brechungsindex n L nach KOHLRAUSCH
N L = (n L − 1 ) = 987 10 −6
(n Gr − 1 ) 4, 1 10 −8 p− e (1 + t ) (1 + t )
t = Trockentemperatur in °C ; tf = Feuchttemperatur in °C p = Luftdruck in hPa e = Partialdampfdruck des Wasserdampfs in hPa α = Ausdehnungskoeffizient der Luft = 0,003661 Einfluss von e vernachlässigbar klein ! Genauigkeit:
dN L = dn L 10 6 = 0, 29dp − 0, 98dt − 0, 06dt f Standardabweichung der Distanz D
Einfluss von p,t,t f
s D = 0, 09s 2p + 0, 96s 2t + 0, 004s 2t f 10 −6 D Repräsentative Brechzahl Bestimmung der Brechzahl n m Messung von p 1 , t 1 , t f 1 auf Station 1 Messung von p 2 , t 2 , t f 2 auf Station 2
n 1 = n 1 (p 1 , t 1 , t f1 ) n 2 = n 2 (p 2 , t 2 , t f2 )
nm =
n1 + n2 2
Brechzahl nur repräsentativ, wenn günstige Witterungsbedingungen vorliegen d. h. bedeckt, leichter Wind
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen 6.4.1 Frequenzkorrektion kf = Da
f0 − f f
c0 = Bezugsfrequenz no f = gemessene Frequenz D a = abgelesene Distanz
f0 =
λ = Trägerwellenlänge c 0 = Lichtgeschwindigkeit n o = Bezugsbrechzahl
6.4.2 Zyklische Korrektion Bestimmung: Messanordnung im Labor
Auswertung:
d i = (L i − L 0 ) − (D i − D 0 )
Graphische Bestimmung der Sinusfunktion - Auftragen der Differenz d i im oben dargestellten Diagramm - Konstruktion der Sinuskurve, Abgreifen der erforderlichen Werte
k zi = A sin 2 (D i − C ) U
mit
C = DC − n U
A = Amplitude der zyklischen Verbesserung U = λ /2 = Länge des Feinmaßstabes λ = Modulationswellenlänge n = Anzahl der ganzen Wellen D i = Distanz
63
64
6 Strecken- und Distanzmessung
6.4.3 Nullpunktkorrektion Nullpunktkorrektion und Maßstabskorrektion aus Vergleich mit Sollstrecken Einteilung: Alle Teilstrecken an der gleichen Stelle des Feinmaßstabes gleichmäßig über die Gesamtstrecke verteilen, Bestimmung mit Schräg- oder Horizontalstrecken
D = D Soll − D
Ausgleichende Gerade:
D = Da + kn + kf + kz
D a = gemessene Distanz k n = meteor. Korrektion k f = Frequenzkorrektion k z = zyklische Korrektion
D = k 0 + k M D
Ausgleichung: Verbesserungsgleichung: v i = k 0 + k M D i − D i
Nullpunktkorrektion k 0(mm) =
D in km; ∆D in mm
Maßstabskorrektion für 1 km
[DD ] [D ] − [D ] [D D ] n [DD ] − [D ] 2
k M(mm) =
−[D ] [D ] + n [D D ] n [DD ] − [D ] 2
Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit (einer gemessenen Strecke)
s0 = sD =
[v i v i ] n−2
n = Anzahl der Messungen
Standardabweichung der Nullpunktkorrektion
s k0 = s 0 Q k0k0
Q k0k0 =
[DD ] n [DD ] − [D ] 2
Standardabweichung der Maßstabskorrektion
s kM = s 0 Q kMkM
Q kMkM =
1 [DD ] − [D ] 2
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
65
Nullpunktkorrektion Bestimmung der Nullpunktkorrektion durch Streckenmessung in allen Kombinationen Einteilung: Geradlinige Raumstrecke unterteilt in t Teilstrecken Anzahl der möglichen Strecken: n =
t ( t + 1) 2
Lageskizze für t = 4 Teilstrecken:
Direkte Berechnung : Allgemein
k0 =
t t −j +1
t
6 − 1 ) j =1
(t 2
(2i − t − 1 ) D0,5(−j
i =1
2 +(2t
+3 )j )+i −t −1
Geschlossene Formel für 3 Teilstrecken
k 0 = 1 (−2D 12 + 2D 14 − 2D 23 − 2D 34 ) 4 Geschlossene Formel für 4 Teilstrecken
k 0 = 1 (−3D 12 − D 13 + D 14 + 3D 15 − 3D 23 − D 24 + D 25 − 3D 34 − D 35 − 3D 45 ) 10 Geschlossene Formel für 5 Teilstrecken
k 0 = 1 (−2D 12 − D 13 + D 15 + 2D 16 − 2D 23 − D 24 + D 26 − 2D 34 − D 35 − 2D 45 − D 46 − 2D 56 ) 10
66
6 Strecken- und Distanzmessung
Nullpunktkorrektion Berechnung der Nullpunktkorrektion und der Teilstrecken über Ausgleichungsrechnung( Matrizenschreibweise):
p = t + 1 Unbekannte (t Teilstrecken, 1 Nullpunktkorrektion) Verbesserungsgleichungen
v ij =
v=AX-l
k =j −1
k =i
x k − k 0 − D ij
für i = 1(p − 1 )
und j = (i + 1 )p
Normalgleichungen
NX-r=0 Unbekannte
X = N −1 r = Q xx r v = Vektor der Verbesserungen X = Vektor der Unbekannten l = Vektor der Beobachtungen (Strecken D) r = Vektor der Absolutglieder (r = A T l) A = Koeffizientenmatrix der Unbekannten N = Normalgleichungsmatrix Q xx = Kofaktorenmatrix der Unbekannten (Inverse N −1 der Normalgleichungsmatrix) Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 = sD =
[v T v ] n−p
n − p = 1 (t + 1 )(t − 2 ) 2
n = Anzahl der Messungen Standardabweichung der Nullpunktkorrektion s k0 = s 0
6 = s 0 Q k0k0 t( t − 1 )
t = Anzahl der Teilstrecken Standardabweichung der unbekannten Teilstrecken
s xi = s 0
2(d + 1 ) = s 0 Q xixi t+1
t = Anzahl der Teilstrecken
d=
12 t (t 2 − 1 )
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
67
6.4.4 Meteorologische Korrektion ( 1. Geschwindigkeitskorrektion) kn = Da
(n o − n ) n
D = Da + k n
D a = gemessene Distanz n 0 = Bezugsbrechzahl n = tatsächliche Brechzahl der Atmosphäre
6.4.5 Geometrische Reduktionen Neigungs- und Höhenreduktion
r N,H = r N + r H
r N = Neigungsreduktion r H = Höhenreduktion
Höhenunterschied gegeben: für Strecken < 10 km: S R = D und S = S 0
r N,H = D
H2 − H1 2 D H1 H 1 + R 1 + R2 1−
−1
S = D + r N,H
D = gemessene Distanz einschließlich der meteorolog.Korrektionen S R = Schrägstrecke S = Strecke auf Bezugsfläche S 0 = Sehne R = Erdradius 6380 km H 1 , H 2 = Höhe über NN
68
6 Strecken- und Distanzmessung
Geometrische Reduktion Neigungs- und Höhenreduktion Näherungsformel für kurze Strecken und kleine Höhenunterschiede
S R = D und S = S 0
Reduktion wegen der Neigung
Reduktion wegen Höhe 2 H r H O − D − H m R 2D
2
r N O − H 2D
H = H 2 − H 1
Hm =
H1 + H2 2
S = D + rH + rN D = gemessene Distanz einschließlich der meteorolog.Korrektionen S R = Schrägstrecke S = Strecke auf Bezugsfläche S 0 = Sehne R = Erdradius 6380 km H 1 , H 2 = Höhe über NN Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S Einfluss von ∆H
sS =
H s H D
Einfluss von H m
s H = Standardabweichung des Höhenunterschieds s H m = Standardabweichung der Höhe H m
sS =
S s Hm R
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen Geometrische Reduktion Höhenreduktion ( ohne Neigungsreduktion ) für Strecken < 10 km :
SH = S= S0 = R= Hm =
r H = −S H
Hm R + Hm
Strecke im Horizont Hm Strecke im Bezugshorizont Sehne Erdradius 6380 km mittlere Höhe
S = SH + r H
Näherungsformel
H r H O −S H Rm
6.4.6 Abbildungsreduktion Gauß-Krüger-System
r AGK = (Y 21 + Y 1 Y 2 + Y 22 ) S 2 6R
Strecke im ebenen Abbild
s = S + r A GK
Näherungsformel
rA O
Y 2m S 2R 2
Ym =
Y1 + Y2 2
Y 1 , Y 2 = Abstände vom Bezugsmeridian UTM-System
r AUTM = 0, 9996 1 +
Strecke im ebenen Abbild
Y2m −1 S 2R2
s = S + r A UTM
Näherungsformel für: Abbildungsreduktion und Höhenreduktion im GK-System
Y2 H s = S − Rm + m2 2R Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian
S = S0
69
70
6 Strecken- und Distanzmessung
6.5 Vertikale Exzentrität 6.5.1 Distanzmesser mit eigener Kippachse
D T = D + e cos z T −
(e sin z T ) 2 2D
für Distanzen > 15m
D T = D + e cos z T
6.5.2 Distanzmesser ohne eigene Kippachse
D = −e cot z T
D T = D − e cot z T
6.6 Zulässige Abweichungen
6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken Baden-Württemberg:
Definition Genauigkeitsstufe 1: Die Genauigkeitsstufe 1 gilt für Gebiete, in denen hohe Grundstückswerte vorkommen. Ein Gebiet kann eine Gemarkung oder einen Teil derselben ( z. B. den Innenbereich) umfassen. Genauigkeitsstufe 2: Die Genauigkeitsstufe 2 gilt für die übrigen Gebiete
Zulässige Streckenabweichung Z SG
Z SG
bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke unmittelbar nacheinander ermittelten Längen
Genauigkeitsstufe 1
Z SG = 1 (0, 0001 s + 0, 03 ) 2
Genauigkeitsstufe 2
Z SG = 0, 0001 s + 0, 03
Zulässige Streckenabweichung Z SV
Z SV
bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke zu verschiedenen Zeiten oder mit verschiedenen Messgeräten ermittelten Längen sowie zwischen gemessenen und berechneten Strecken
Genauigkeitsstufe 1
Z SV = 1 (0, 008 s + 0, 0003 s + 0, 05 ) 2
Genauigkeitsstufe 2
Z SV = 0, 008 s + 0, 0003 s + 0, 05
s = Länge der Strecke
71
7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen
x t i,k t i,ok
oi
R i,k
Pi
Nu de l s T lrich tu eil n kr eis g es
7.1.1 Abriss
v i,k
Pk y
Gegeben: Koordinaten der Festpunkte P i (y i , x i ), P 1 (y 1 , x 1 )P k (y k , x k ) Gemessen: Richtungen R i,1 R i,k Richtungswinkel t i,1 t i,k aus Koordinaten berechnen Orientierungsunbekannte
oi =
[o i,k ] [t i,k − R i,k ] n = n
für k = 1n
n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten orientierter Richtungswinkel
t i,ok = R i,k + o i Verbesserung
v i,k = t i,k − t i,ok
[v i,k ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Orientierungsunbekannten
s oi =
[v i,k v i,k ] n(n − 1 )
n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten Standardabweichung des orientierten Richtungswinkels
s t = s 2o i + s 2R
s R = Standardabweichung der Richtung
7.1 Indirekte Messungen
73
7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung Standpunktzentrierung Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecke e 1 Richtungen r EXZ,S , r EXZ,ZP
1 = r EXZ,ZP − r EXZ,S Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 1 sin 1 S
R1 = 1 +
Zielpunktzentrierung
Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecke e 2 Richtungen: Standpunkt S r S,EXZ Standpunkt EXZ r EXZ,S , r EXZ,ZP
2 = r EXZ,S − r EXZ,ZP Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 2 sin 2 S
r S,ZP = r S,EXZ +
74
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Genauigkeit: Standpunkt - Zielpunktzentrierung Standardabweichung des Winkels δ Einfluss von S
s [rad] = e2 sin sS S
Einfluss von e
s [rad ] = sin s e S
max. Auswirkung: ε = 100 (300) gon
Einfluss von ε
s [rad ] = e cos s [rad ] S
max. Auswirkung: e = 0 (200) gon
e auf mm messen und ε auf cgon
s S = Standardabweichung der Strecke S s e = Standardabweichung der Strecke e s = Standardabweichung des Winkels ε Doppelzentrierung
Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecken e 1 , e 2 Richtungen r EXZ 1 ,EXZ 2 , r EXZ 1 ,S r EXZ 2 ,EXZ 1 , r EXZ 2 ,ZP
1 = r EXZ 1 ,EXZ 2 − r EXZ 1 ,S 2 = r EXZ 2 ,EXZ 1 − r EXZ 2 ,ZP Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 1 sin 1 + e 2 sin 2 S
R1 = 1 +
R2 = 2 +
Genauigkeit: sin 1 s e 1 2 e 1 cos 1 s 1 [rad ] sin 2 s e 2 2 + + S S S 2 e 2 cos 2 s 2 [rad ] 2 [ ] rad s S + + S S
s 2 [rad ] =
2
7.1 Indirekte Messungen Exzentrische Richtungsmessung Indirekte Bestimmung der Zentrierungselemente Gemessen:
Winkel S , Z , S , Z Richtung r S,A , r S,B Basis g
= r S,B − r S,A Winkelsumme: S + S + = 200 gon Winkel auf Winkelsumme abgleichen
Berechnung der örtlichen Koordinaten von S(y S , x S ) und Z(y Z , x Z )
yi =
g cot i + cot i
x i = y i cot i
Berechnung von e, t S,Z aus örtlichen Koordinaten
e = (y Z − y S ) 2 + (x Z − x S ) 2
yZ − yS t S,Z = x Z − x S
= S + t S,Z
r S,Z = r S,B + = r S,A + +
75
76
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Exzentrische Richtungsmessung Anschluss an Hochpunkt (Herablegung) Gegeben: Koordinaten der Punkte T, F Gemessen: Richtungen r A,T , r A,F , r A,B r B,T , r B,A Basis b
Strecke S und Richtungswinkel t T,F aus Koordinaten berechnen
= r A,T − r A,B e=b
= r B,A − r B,T
= r A,F − r A,T
sin sin( + )
= arcsin e sin S
R=+ Polygonzuganschluss:
Polygonzugabschluss:
T = 200 gon −R
T = 200 gon +R
A = r A,1 − r A,T
A = r A,T − r A,1
t T,A = t T,F + T y A = y T + e sin t T,A
x A = x T + e cos t T,A
Zwei Lösungsprinzipien: 1. Bestimmung der Koordinaten von A und Anschluss an A 2. Bestimmung der Polygonzugelemente e und ßT und Anschluss an T
Die Herablegung kann auch umgekehrt werden ( „Herauflegung“), indem vom bekannten Bodenpunkt A aus der Hochpunkt T bestimmt wird. t A,T = t A,F −
y T = y A + e sin t A,T
x T = x A + e cos t A,T
7.1 Indirekte Messungen
7.1.3 Exzentrische Streckenmessung Ein Punkt exzentrisch Gemessen: Winkel Strecken e, S E
S = S 2E + e 2 − 2 S E e cos
Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S
SE e − cos S SE S S
Einfluss von S E
sS =
Einfluss von e
S s S = e − E cos s e S S
Einfluss von ε
s S = e sin s [rad ]
s S E = Standardabweichung der Strecke S E s e = Standardabweichung der Strecke e s = Standardabweichung des Winkels ε Zwei Punkte exzentrisch Gemessen: Winkel 1 , 2 Strecken e 1 , e 2 , S E
S1 = S2E + e21 − 2 SE e1 cos 1 S = S21 + e22 − 2 S1 e2 cos( 2 + 2 )
2 = arcsin
e 1 sin 1 S1
77
78
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.1.4 Gebrochener Strahl
Gemessen: Strecken a, b Winkel
= arctan
q=
sin b + cos a
a b sin S
sin = arctan a + cos b
Probe: = +
S = a 2 + b 2 + 2 ab cos
Genauigkeit: Standardabweichung der Winkel α,β
s [rad] = 1 S γ klein:
q2 2 q2 2 s + s + (a2 − q2 ) s 2 [rad] a2 a b2 b s O a s S
s = Standardabweichung des Winkels γ
s wie s berechnen, jedoch muss a gegen b ausgetauscht werden
Standardabweichung der Strecke S
sS = γ klein:
a2 − q2 2 b2 − q2 2 sa + s b + q 2 s 2 [rad ] a2 b2 s S O s 2a + s 2b
s a , s b = Standardabweichung der Strecken a und b
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2 Einzelpunktbestimmung 7.2.1 Polare Punktbestimmung
Gegeben:
Koordinaten des Standpunktes P S (y S , x S ) Koordinaten des Anschlusspunktes P A (y A , x A )
Gemessen: Richtungen r S,A , r S,i bzw. sA , si Strecken bzw.
r S,A , r S,Ex s A , s Ex , e
Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S Horizontalwinkel
i = r S,i − r S,A
i = r S,EX − r S,A −
= arctan seEX s i = e 2 + s 2EX
Richtungswinkel
t S,i = t S,A + i Maßstab
s A gemessen:
s m = s AA
s A nicht gemessen:
Strecke s A aus Koordinaten berechnen m=1
Koordinaten des Neupunkts
y i = y S + s i m sin t S,i
xi = xS + si m cos t S,i
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten und Standardabweichung eines Punktes Pi siehe 4.1.3 Polarpunktberechnung
79
80
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung
Gegeben:
Koordinaten der Punkte P S (y S , x S ) , P A (y A , x A )
Gemessen: Schrägstrecke s i Horizontalwinkel i Zenitwinkel i Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S
Richtungswinkel
t S,i = t S,A + i
Koordinaten des Neupunkts
y i = s i sin i sin t S,i
y i = y S + y i
xi = s i sini cos t S,i
x i = x S + x i
z i = s i cos i
zi = zS + z i
7.2 Einzelpunktbestimmung
81
7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab
Gegeben:
Koordinaten der Punkte P S (y S , x S ) , P A (y A , x A ) Höhe H S , Instrumentenhöhe i
Gemessen: Schrägstrecken s 1 , s 2 Horizontalwinkel 1 , 2 Zenitwinkel z 1 , z 2 Strecken am Kanalstab P 1 P und P 2 P sowie P 1 P 2 sind bekannt yA − yS Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen t S,A = arctan x A − x S Richtungswinkel
t S,1 = t S,A + 1
t S,2 = t S,A + 2
Koordinaten und Höhe von Punkt P 1 und P 2
y 1 = y S + s 1 sin z 1 sin t S,1
x 1 = x S + s 1 sin z 1 cos t S,1
H 1 = H S + s 1 cos z 1 + i
y 2 = y S + s 2 sin z 2 sin t S,2
x 2 = x S + s 2 sin z 2 cos t S,2
H 2 = H S + s 2 cos z 2 + i
Kontrolle:
(y 2 − y 1 ) 2 + (x 2 − x 1 ) 2 + (H 2 − H 1 ) 2 = P 1 P − P 2 P = P 1 P 2 Koordinaten und Höhe von Punkt P
y P = y 1 + (y 2 − y 1 )
P1P P1P2
x P = x 1 + (x 2 − x 1 )
P1P P1P2
H P = H 1 + (H 2 − H 1 )
P1P P1P2
82
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung
y
Räumliche reflektorlose Polaraufnahme von drei Wandpunkten P 1 , P 2 und P 3 von A (0;0;0) aus, damit Wandebene E festgelegt.
y
Anzielung des Gebäudeeckpunktes P von A(0;0;0) aus mit Horizontalrichtung α und Zenitwinkel β, damit Gerade g festgelegt.
y
Bestimmung des Gebäudeeckpunktes P als Schnitt der Geraden g mit der Ebene E (Durchstoßpunkt)
Ebene E in vektorieller Darstellung mit einem Ebenenpunkt P 1 und Normalenvektor n:
(r − r 1 ) n = 0 oder
r n = r 1 n (I)
mit Vektor
r1 =
y1 x1 z1
und Normalenvektor
n=
(x 3 − x 1 )(z 2 − z 1 ) − (z 3 − z 1 )(x 2 − x 1 ) (z 3 − z 1 )(y 2 − y 1 ) − (y 3 − y 1 )(z 2 − z 1 ) (y 3 − y 1 )(x 2 − x 1 ) − (x 3 − x 1 )(y 2 − y 1 )
=
aE bE cE
7.2 Einzelpunktbestimmung Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung Gerade g in vektorieller Darstellung mit einem Geradenpunkt A und Richtungsvektor R:
r = rA + t R
Da A der Koordinatenursprung ist, gilt hier r A = 0 und damit
r = t R (II)
mit Richtungsvektor R =
sin sin cos sin cos
=
aG bG cG
Parameter t Gemeinsamer Punkt P von Gerade g und Ebene E, dazu (II) in (I) eingesetzt:
t R n = r1 n damit Parameter
r n t = R1 n
oder
t=
y1 aE + x1 bE + z1 cE aG aE + bG bE + cG cE
Skalares Produkt r 1 n in Matrizenschreibweise
y1 x1 z1
T
aE bE cE
= y1 aE + x1 bE + z1 cE
Skalares Produkt R n in Matrizenschreibweise
aG bG cG
T
aE bE cE
= aG aE + bG bE + cG cE
Koordinaten für Punkt P
yP xP zP
=t
aG bG cG
mit r = t R
oder
y P = t sin sin x P = t cos sin z P = t cos
83
84
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.5 Bogenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 ) Gemessen: Strecken s 1 , s 2 Bedingung: s 1 + s 2 = s : eine Lösung (schlechter Schnitt) < s : keine Lösung > s : zwei Lösungen
PN rechts von P1,P2 : + h PN links von P1,P2 : -h 1. Möglichkeit:
Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen
= arccos
s 21 + s 2 − s 22 2s s 1
t 1,N = t 1,2
Probe: = arccos
s 22 + s 2 − s 21 2s s 2
Probe: t 2,N = t 1,2 200 gon
Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + s 1 sin t 1,N
Probe: y N = y 2 + s 2 sin t 2,N
x N = x 1 + s 1 cos t 1,N
Probe: x N = x 2 + s 2 cos t 1,N
2. Möglichkeit:
p=
s 2 + s 21 − s 22 2s
h = s21 − p2 o=
Probe: q =
s 2 + s 22 − s 21 2s
p+q=s
Probe: h = s22 − q2
y2 − y1 s
a=
x2 − x1 s
Koordinaten des Punktes P N
yN = y1 + o p + a h
Probe: s 1 , s 2 aus Koordinaten berechnen
xN = x1 + a p − o h Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN
sP =
1 2 s s sin
günstig O 100gon
s s = Standardabweichung der Strecken
= 200 gon − ( + )
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2.6 Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel
Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 ) Gemessen:
Richtungen r 1,N , r 1,2
r 2,N , r 2,1
Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen Dreieckswinkel aus Differenzen der gemessenen Richtungen r ermitteln
= r 1,N − r 1,2
= r 2,1 − r 2,N
t 1,N = t 1,2 +
t 2,N = t 1,2 200 gon −
1. Möglichkeit:
s1 =
s sin sin( + )
s2 =
s sin sin( + )
Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + s 1 sin t 1,N
x N = x 1 + s 1 cos t 1,N
Probe:
y N = y 2 + s 2 sin t 2,N
y N = y 2 + s 2 sin t 2,N
2. Möglichkeit: Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + (x N − x 1 ) tan t 1,N
xN = x1 +
(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 ) tan t 2,N tan t 1,N − tan t 2,N
xN = x2 +
(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 ) tan t 1,N tan t 1,N − tan t 2,N
Probe:
y N = y 2 + (x N − x 2 ) tan t 2,N
85
86
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Vorwärtseinschnitt über Richtungswinkel
Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) , P 2 (y 2 , x 2 ) , P 3 (y 3 , x 3 ) , P 4 (y 4 , x 4 ) Gemessen: Richtungen r 1,N , r 1,3
r 2,N , r 2,4 Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 1,3 , t 2,4 und der Strecken s 1 , s 2 aus Koordinaten
t 1,N = t 1,3 + (r 1,N − r 1,3 ) t 2,N = t 2,4 + (r 2,N − r 2,4 )
= t 1,N − t 1,2
= t 2,1 − t 2,N
Weitere Berechnung siehe Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN
sP =
1 s 2 + s 2 s [rad ] t 1 2 sin
günstig O 121 gon (bei symmetrischer Anordnung)
s t = Standardabweichung der Winkel α, β Seitwärtseinschnitt gemessen wird α und γ = 200gon − ( + )
Weitere Berechnung siehe Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach CASSINI
Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (y A , x A ) , P M (y M , x M ) , P B (y B , x B ) Gemessen: Winkel ,
Y C = Y A + (X M − X A ) cot
Y D = Y B + (X B − X M ) cot
X C = X A − (Y M − Y A ) cot
X D = X B − (Y B − Y M ) cot
Berechnung des Richtungswinkels t C,D aus Koordinaten Koordinaten des Punktes P N
XN = XC +
Y M − Y C + (X M − X C ) cot t C,D tan t C,D + cot t C,D
Y N = Y C + (X N − X C ) tan t C,D
tan t C,D < cot t C,D
Y N = Y M − (X N − XM ) cot t C,D
cot t C,D < tan t C,D
Probe: = t N,M − t N,A
= t N,B − t N,M
Die Lösung ist unbestimmt, wenn alle vier Punkte auf einem Kreis, dem sogenannten gefährlichen Kreis liegen: Die beiden Kreise fallen ineinander es gibt keinen Schnittpunkt der Kreise
PC = PD = PN
87
88
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.3 Freie Standpunktwahl mittels Helmert-Transformation
Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte P 1 (Y 1 , X 1 ), P 2 (Y 2 , X 2 ) P n (Y n , X n ) Gemessen: Polarkoordinaten der Anschlusspunkte Richtungen r 1 , r 2 , r n , Horizontalstrecken s 1 , s 2 , s n rN, sN Polarkoordinaten für die Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten (r i , s i ) in ein örtliches rechtwinkliges Koordinatensystem (y , x) mit Koordinatenursprung im Standpunkt
x i = s i cos r i
y i = s i sin r i
Berechnung der Koordinaten des Standpunktes Transformation der Koordinaten des örtlichen yx-Systems in die Koordinaten eines übergeordneten YX-Systems mittels einer Helmert-Transformation (siehe 8.1.3) Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
[Y ] Y i = Y i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
o=
xi Yi − yi Xi 2
x i + y 2i
a=
xi Xi + yi Yi 2
x i + y 2i
[X ] X i = X i − ni
7.3 Freie Standpunktwahl Koordinaten des Standpunktes
Y0 = YS − a yS − o xS
X0 = XS − a xS + o yS vorgegebener Maßstabsfaktor m = 1: o Transformationsparameter o= m
Maßstabsfaktor
m = a2 + o2
a a= m
Abweichungen
WXi = −X 0 − a x i + o y i + X i
W Y i = −Y 0 − a y i − o x i + Y i Probe: [WYi ] = 0
[WXi ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 4 2
2
Probe: [W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i
2
2
− (a 2 + o 2 ) x i + y i
Berechnung der Koordinaten der Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten in das yx-System
x N = s N cos r N
y N = s N sin r N Koordinaten der Neupunkte
YN = Y0 + a yN + o xN
XN = X0 + a xN − o yN
Verbesserung der Koordinaten - Nachbarschaftstreue Einpassung Koordinatenverbesserungen für jeden Neupunkt, in denen die Fehlervektoren aller Anschlusspunkte entsprechend ihrer Punktlage Berücksichtigung finden
YN = YN + vy
vy =
[p i v Y i ] [p i ]
p i = s1i
XN = XN + vx
vx =
[p i v X i ] [p i ]
s i = (Y N − Y i ) 2 + (X N − X i ) 2
Absteckwerte für ein im Koordinatensystem YX vorgegebene Punkte
a a2 + o2 x 0 = −X 0 a T + Y 0 o T
oT = −
yA = y0 + aT YA + oT XA
xA = x0 + aT XA − oT YA
aT =
o a2 + o2
y 0 = −X 0 o T − Y 0 a T
Berechnung der Polarkoordinaten im örtlichen System über Richtungswinkel und Strecke (siehe 4.1.1)
89
90
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4 Polygonierung 7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen a) Zug mit beidseitigem Richtungs- und Koordinatenabschluss (Normalfall) Anzahl β : n Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 3 Winkelabschlussverbesserung Koordinatenabschlussverbesserung
b) Zug ohne Richtungsabschluss Anzahl β : n-1 n-1 Anzahl s : Neupunkte: n - 2 Redundanz: 2 Koordinatenabschlussverbesserung
c) Zug ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss Anzahl β : n-1 n-1 Anzahl s : Neupunkte: n - 1 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen
d) eingehängter Zug ohne Richtungsanschlüsse - im örtlichen Koordinatensystem rechnen und ins Landeskoordinatensystem transformieren
n-2 Anzahl β : Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 1 eine Maßstabskontrolle e) freier Zug - im örtlichen Koordinatensystem rechnen Anzahl β : n - 2 Anzahl s : n - 1 Neupunkte: n - 1 und x 2 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen
f) geschlossener Polygonzug (Ringpolygon)
siehe 7.4.4 Ringpolygon
7.4 Polygonierung
7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall Koordinaten der Anschlusspunkte P 0 (y 0 , x 0 ), P 1 (y 1 , x 1 ) Koordinaten der Anschlusspunkte P n (y n , x n ), P n+1 (y n+1 , x n+1 ) Gemessen: Brechungswinkel i Strecken s i,i +1 Gegeben:
1. Berechnung von Anschluss- und Abschlussrichtungswinkel t 0,1 , t n,n +1 siehe 4.1.1 Richtungswinkel und Strecke 2. Winkelabweichung / Winkelabschlussverbesserung
W W W = nW
W W = t n,n +1 − (t 0,1 + [ ] − n 200 gon ) n = Anzahl der Brechungspunkte β = Brechungswinkel 3. Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon +WW (400 gon) 4. Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
Probe für Koordinatenunterschiede
y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1 2 sin(t i,i +1 + 50 gon ) 5. Koordinatenabweichungen
Wy = (y n − y 1 ) − [y ]
W x = (x n − x 1 ) − [x ]
6. Koordinatenverbesserungen
v y i,i +1 =
s i,i +1 Wy [s ]
v x i,i +1 =
s i,i +1 Wx [s ]
7. Endgültige Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 + v y i,i +1
x i +1 = x i + x i,i +1 + v x i,i +1
8. Abweichungen Lineare Abweichung
WS = W2y + W2x
Längsabweichung
WL =
Lineare Querabweichung
v y [y ] + v x [x ] 2
[y ] + [x ]
[x ] = [x i,i +1 ]
2
WQ =
v y [x ] + v x [y ] [y ] 2 + [x ] 2
[y ] = [y i,i +1 ]
91
92
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4.3 Freier Polygonzug örtliches Koordinatensystem y, x mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0
Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon
t 1,2 = 0 gon
Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
y 1,2 = 0
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
x 1,2 = s 1,2
Probe für Koordinatenunterschiede
y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1 2 sin(t i,i +1 + 50 gon )
örtliche Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 x i +1 = x i + x i,i +1
Sind von Anfangs- und Endpunkt Landeskoordinaten bekannt, so können die örtlichen Koordinaten der Polygonpunkte in Landeskoordinaten transformiert werden. Siehe 8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten!
7.4 Polygonierung
7.4.4 Ringpolygon
örtliches Koordinatensystem y, x z. B.: mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0
Winkelabweichung W W bzw. Winkelabschlussverbesserung W W
n = Anzahl der Ecken
[ i ] = gemessene Brechungswinkel
Sollwerte:
[ i ] = (n + 2 )200 gon [ i ] = (n − 2 )200 gon
für Außenwinkel für Innenwinkel
W W W = nW
W W = (n 2 )200 gon −[ i ] Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon +WW (400 gon)
t 1,2 = 0 gon
Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
y 1,2 = 0
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
x 1,2 = s 1,2
Koordinatenabweichungen
Wy = 0 − [y ]
W x = 0 − [x ]
Koordinatenverbesserungen
v y i,i +1 =
s i,i +1 Wy [s ]
v x i,i +1 =
s i,i +1 Wx [s ]
Endgültige Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 + v y i,i +1
x i +1 = x i + x i,i +1 + v x i,i +1
93
94
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge Baden-Württemberg: Zahl der Brechungspunkte
n > 0, 01 [s ] + 3 Zulässige Streckenabweichung der Polygonseite [m]
Z E 1 = 1 (0, 006 s + 0, 02 ) 2 Z E 2 = 0, 006 s + 0, 02
Zulässige Winkelabweichung [mgon]
ZW 1 = 2 3 ZW 2 =
600 2 (n − 1 ) 2 n + 10 2 [s ] 2 600 2 (n − 1 ) 2 n + 10 2 [s ] 2
Zulässige Längsabweichung [m]
Z L 1 = 2 0, 03 2 (n − 1 ) + 0, 06 2 3
Z L 2 = 0, 03 2 (n − 1) + 0, 06 2 Zulässige Querabweichung [m]
Z Q 1 = 2 0, 003 2 n 3 + 0, 00005 2 S 2 + 0, 06 2 3
Z Q 2 = 0, 003 2 n 3 + 0, 00005 2 S 2 + 0, 06 2 [s ]= Summe der Seiten eines Polgonzuges in Metern S = Strecke zwischen Anfangspunkt- und Endpunkt n = Anzahl der Brechungspunkte einschließlich Anfangs- und Endpunkt
7.4 Polygonierung
7.4.6 Fehlertheorie Querabweichung beim gestreckten Zug Querabweichung des freien Zuges: am Zugende
Q Ende =
n(2n − 1 ) [ ] s s [rad ] O 6(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 3
in der Zugmitte
Q Mitte =
n( n + 1 ) [ ] s s [rad ] O 24(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 24
Querabweichung bei beidseitigem Richtungsanschluss: am Zugende
Q Ende =
n(n + 1 ) [ ] s s [rad ] O 12(n − 1 )
in der Zugmitte
Q Mitte =
(n + 1 )(n + 3 ) [s ] s [rad ] O 96(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 12 n [s ] s [rad ] 96
Querabweichung bei beidseitig richtungs- und lagemäßig angeschlossenem Zug (Normalfall): in der Zugmitte
Q Mitte =
n 4 + 2n 2 − 3 [s ] s [rad ] O 2 192n(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 192
Bei lagemäßig beidseitig angeschlossenen Zügen ist die Querabweichung am Zugende stets Null.
n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s = Standardabweichung des Brechungswinkels Längsabweichung beim gestreckten Zug Längsabweichung beim freien Zug am Zugende
L Ende = (n − 1 ) s s =
[s ] s ss
Längsabweichung beim lagemäßig angeschlossenen Zug (Normalfall) in der Zugmitte
L Mitte = 1 (n − 1 ) s s = 1 2 2
n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s s = Standardabweichung Polygonseite
[s ] s ss
95
96
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung 7.5.1 Statistische Überprüfung Redundanz Gesamtredundanz
r = n−u n = Anzahl der Beobachtungen u = Anzahl der Unbekannten Redundanzanteil
sl r i = 1 − ql il i pi = 1 − sl i i
2
= qv iv i pi
q l il i = Gewichtsreziproke der ausgeglichenen Beobachtung
p i = Gewicht q v i v i = Gewichtsreziproke der Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s l i = Standardabweichung einer Beobachtung nach der Ausgleichung (a posteriori) Einfluss auf die Verbesserung Redundanzanteil in Prozent Auswirkung einer Änderung einer Beobachtung auf deren Verbesserung
EV i = r i 100% EV > 40% 10% > EV > 40% EV < 10%
gut kontrolliert kontrolliert schlecht kontrolliert
Normierte Verbesserung
v vi vi NVi = s vi i = = s 0 q vivi sl i ri v i = Verbesserung s v i = Standardabweichung einer Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit a priori r i = Redundanzanteil 2,5 < NV < 4 NV } 4
Grober Fehler möglich Grober Fehler sehr wahrscheinlich
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung
97
Grober Fehler v GF i = − r ii
Einfluss auf die Punktlage Einfluss eines etwaigen Groben Fehlers auf den die Beobachtung berührenden Punkt
EP i = −v i
1 − ri r i = GF i (1 − r i )
EP i = −v i [rad ]
1 − ri r i S i = GF i [rad ](1 − r i ) S i
für Strecken
für Richtungen
S i = Strecke zwischen den verknüpften Punkten
7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte Baden-Württemberg: Zulässige lineare Abweichung bei der Doppelaufnahme oder bei der Verprobung der Aufmessung eines Punktes zur Bestimmung von Landeskoordinaten Genauigkeitsstufe 1, 2
Z P = 0, 03 m
Zulässige lineare Abweichung bei der Überprüfung eines durch Landeskoordinaten festgelegten Punktes Genauigkeitsstufe 1
Z P = 0, 06 m
Genauigkeitsstufe 2
Z P = 0, 08 m
8 Transformationen 8.1 Ebene Transformation 8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung
Gegeben: Koordinaten des identischen Punktes im Quellsystem: Koordinaten des identischen Punktes im Zielsystem: oder Verdrehungswinkel
P E (y E , x E ) P E (Y E , X E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )
Berechnung der Richtungswinkel
T A,E = arctan
YE XE
yE t = arctan x E
Verdrehungswinkel
= T−t Transformationsgleichung
Y = x sin + y cos
X = x cos − y sin
8.1 Ebene Transformation
99
8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P A (y A , x A ) , P E (y E , x E ) im Zielsystem: P A (Y A , X A ) , P E (Y E , X E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )
y = y E − y A
x = x E − x A
Y = Y E − Y A
X = X E − X A
Berechnung der Richtungswinkel
t A,E (Y, X ) = arctan
(Y E − Y A ) (X E − X A )
t A,E (y, x ) = arctan
(y E − y A ) (x E − x A )
Berechnung der Strecken
S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2
s = (y E − y A ) 2 + (x E − x A ) 2
Verdrehungswinkel
= t A,E (Y, X ) − t A,E (y, x ) Transformationsparameter
o=
Y x − X y S = s sin s2
Y0 = Y A − o x A − a y A
Probe:
a=
X x + Y y S = s cos o 2 + a 2 O 1 s2
X0 = X A − a x A + o y A
Maßstabsfaktor
m= S s Transformationsgleichungen
Y = Y0 + o x + a y Probe: [Y] = k Y 0 + o [x ] + a [y ]
X = X0 + a x − o y
[X] = k X 0 + a [x ] − o [y ]
k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 o x+ a y a x− o y Y = Y0 + m X = X0 + m m m
100
8 Transformationen
Sonderfall: X Koordinatensystem (y, x) Koordinatensystem (Y, X) (Landessystem = Quellsystem) (Messungslinie = Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem:
P A (Y A , X A ) , P E (Y E , X A ) P A (0, x A ) , P E (0, x E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(Y, X )
s = x E − x A = gemessene Strecke Berechnung des Richtungswinkels
t A,E (Y, X ) = arctan
(Y E − Y A ) (X E − X A )
Berechnung der Strecke
S=
(Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2
Verdrehungswinkel
= t A,E (y, x) − t A,E (Y, X) = −t A,E (Y, X)
yA = yE = 0
Transformationsparameter
) ( o = − Y E − Y2 A s = − s sin S S y 0 = − o XA − a YA
Probe:
( ) a = X E − X2 A s = s cos S S
x0 = xA − a XA + o YA
Maßstabsfaktor
m= S s Transformationsgleichungen
y = y0 + o X + a Y
x = x0 + a X − o Y
Probe:
[y ] = k y 0 + o [X ] + a [Y ]
[x ] = k x 0 + a [X] − o [Y]
k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 o X+ a Y a X− o Y y = y0 + m x = x0 + m m m
o2 + a2 O 1
8.1 Ebene Transformation
8.1.3 Helmert-Transformation (4 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 2 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(y, x )
Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
[Y ] Y i = Y i − ni
[X ] X i = X i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
Transformationsparameter
o=
xi Yi − yi Xi 2 xi
2 + yi
Y0 = Y S − a y S − o x S
a=
xi Xi + yi Yi 2
2
xi + yi
X0 = X S − a x S + o y S
Maßstabsfaktor
m = a2 + o2 Abweichungen
W Y i = −Y 0 − a y i − o x i + Y i
WXi = −X0 − a x i + o y i + Xi
Probe:
[WYi ] = 0
[WXi ] = 0
101
102
8 Transformationen
Helmert-Transformation Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 4
Probe: 2
2
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 ) x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte
Transformationsgleichungen
Y = Y0 + a y + o x
X = X0 + a x − o y
Probe nach der Transformation weiterer Punkte:
[Y] = k Y 0 + a [y ] + o [x ] [X] = k X 0 + a [x ] − o [y ] k = Anzahl der transformierten Punkte Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 a y+ o x a x− o y Y = Y0 + m X = X0 + m m m
Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Zielsystem) (Quellsystem) Transformationsparameter
aT =
a a2 + o2
y 0 = −X 0 o T − Y 0 a T
oT =
o a2 + o2
x 0 = −X 0 a T + Y 0 o T
Transformationsgleichungen
y = y0 + aT Y − oT X
x = x 0 + aT X + oT Y
8.1 Ebene Transformation
8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystems (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 3 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(y, x )
Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
[Y ] Y i = Y i − ni
[X ] X i = X i − ni
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter 2
a1 =
xiXi yi − yiXi xiyi = m 1 cos N
a2 =
xiXi xiyi − yiXi xi N
a3 =
yiYi xi − xiYi xiyi = m 2 cos N
a4 =
xiYi yi − yiYi xiyi = m 1 sin N
2
= m 2 sin
2
2
2
2
N = xi yi − xiyi
2
Y0 = YS − a3 yS − a4 xS
X0 = XS − a1 xS + a2 yS
Drehwinkel für Abszisse und Ordinate Abszisse
a = arctan a 41
a
2 Ordinate = arctan a 3
Maßstabsfaktor für Abszisse und Ordinate Abszisse
m1 = a21 + a24
2 2 Ordinate m 2 = a 2 + a 3
103
104
8 Transformationen
Affin-Transformation Abweichungen
WYi = −Y 0 − a 3 y i − a 4 x i + Y i WXi = −X 0 − a 1 x i + a 2 y i + X i Probe:
[WYi ] = 0
[WXi ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] 2n − 6
Probe: 2
2
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 ) x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsgleichungen
Y = Y0 + a3 y + a4 x
X = X0 + a1 x − a2 y
Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Zielsystem) (Quellsystem) Transformationsparameter
a a T1 = a 1 a 3 +3a 2 a 4
−a2 aT2 = a1 a3 + a 2 a ,4
a a T3 = a 1 a 3 +1a 2 a 4
−a a T4 = a 1 a 3 + 4a 2 a 4
y 0 = −a T4 X 0 − a T3 Y 0
x 0 = −a T1 X 0 + a T2 Y 0
Transformationsgleichungen
y = y 0 + a T3 Y + a T4 X
x = x 0 + a T1 X − a T2 Y
8.1 Ebene Transformation
105
8.1.5 Ausgleichende Gerade Transformation der Koordinaten Landessystem (Y, X) X örtliches System (y, x) (Quellsystem) (Zielsystem) Transformation der Ordinaten unabhängig von den Abszissen Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im örtlichen System: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Landessystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 2 P(Y, X ) Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Landessystem:
Ordinatenausgleichung Vorläufige Transformation der Ordinaten Y
T = arctan
yE − yA t = arctan x E − x A
YE − YA XE − XA
vorläufige Parameter a = cos
o = sin
= t−T
y0 = yA − a YA − o XA
vorläufige Ordinaten
yi = y0 + a Yi + o Xi Endgültige Transformation der Ordinaten Y Verbesserungsgleichung
v Y i = −x i m − b + y i m =
[x i y i ] n − [x i ] [y i ] [x 2i ] n − [x i ] 2
b =
[y i ] [x i ] n − n m
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
a = cos( + ) o = sin( + ) y 0 = y A − a Y A − o X A + x A m + b Transformationsgleichung - Ordinaten
y = y0 + a Y + o X
= arctan m
y i = y i − yi
106
8 Transformationen
Ausgleichende Gerade Abszissenausgleichung Vorläufige Transformation der Abszissen X vorläufige Parameter
x0 = xA + a XA + o YA
a und o aus Ordinatenausgleichung
vorläufige Abszissen
xi = x0 + a Xi − o Yi
Endgültige Transformation der Abszissen X Verbesserungsgleichung
v x i = −x i m A − x 0 + x i m A =
[x i x i ] n − [x i ] [x i ] [x 2i ] n − [x i ] 2
x 0 =
[x i ] [x i ] n − n m A
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
Maßstabsfaktor
x 0 = m x 0 + x 0
m = 1 + m A
Transformationsgleichung - Abzissen
x = x0 + m a X − m o Y
Rücktransformation der Koordinaten Örtliche System (y, x) X Landessystem (Y, X) (Zielsystem) (Quellsystem) Transformationsparameter
aT = a
o T = −o
1 x + oT y X0 = − m 0 0
1 x − aT y Y0 = − m 0 0
Transformationsgleichungen 1 aT x − oT y X = X0 + m
1 oT x + aT y Y = Y0 + m
x i = x i − x i
8.2 Räumliche Transformation
8.2 Räumliche Transformation 8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) Der konforme Übergang von einem kartesischen Quellsystem (A) zu einem kartesischen Zielsystem (Z) kann mit Hilfe der räumlichen Ähnlichkeitstransformation erfolgen.
Für die Transformation müssen 7 Parameter gegeben oder bestimmbar sein:
X, Y, Z 1 , 2 , 3 *) m
3 Translationen: 3 Rotationen: 1 Maßstabsfaktor:
*)Das Vorzeichen der Rotationen ist positiv, wenn vom Ursprung aus und entlang der Achsen gesehen im Uhrzeigersinn gedreht wird!
Allgemeine Form der Transformationsgleichungen
XZ = + m R XA mit X Z =
XZ YZ ZZ
=
X Y Z
XA =
XA YA ZA
und R = R 3 R 2 R 1
107
108
R1 =
R=
8 Transformationen
1 0 0 0 cos 1 sin 1 0 − sin 1 cos 1
R2 =
cos 2 0 − sin 2 0 1 0 sin 2 0 cos 2
R3 =
cos 3 sin 3 0 − sin 3 cos 3 0 0 0 1
cos 2 cos 3 cos 1 sin 3 + sin 1 sin 2 cos 3 sin 1 sin 3 − cos 1 sin 2 cos 3 − cos 2 sin 3 cos 1 cos 3 − sin 1 sin 2 sin 3 sin 1 cos 3 + cos 1 sin 2 sin 3 sin 2 − sin 1 cos 2 cos 1 cos 2
Für kleine Drehwinkel folgt mit sin O , cos O 1 und sini sinj O 0:
R=
1 3 − 2 − 3 1 1 2 − 1 1
Transformationsformeln für kleine Drehwinkel
X Z = X + m (X A + 3 Y A − 2 Z A ) Y Z = Y + m (− 3 X A + Y A + 1 Z A ) Z Z = Z + m ( 2 X A − 1 Y A + Z A )
8.2 Räumliche Transformation
109
8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt
Geographische Koordinaten L, B, H E X Kartesische Koordinaten X, Y, Z
X = (N + HE ) cos B cos L Y = (N + H E ) cos B sin L 2 Z = N sinB b2 + HE sinB = ((1 − e2 ) N + HE ) sinB a
mit:
N=
a 1 − e 2 sin 2 B
2 2 e 2 = a −2b a
Bessel-Ellipsoid
Internationales Ellipsoid
a = große Halbachse
6 377 397,155 m
6 378 388,000 m
b = Kleine Halbachse
6 356 078,963 m
6 356 911,946 m
110
8 Transformationen
Kartesische Koordinaten Y, X, Z X Geographische Koordinaten L, B, H E
L = arctan Y X 2 B = arctan Z + e2 b sin p − e a cos3
p H E = cos B − N
mit:
N=
a 1 − e 2 sin 2 B
2 2 e 2 = a −2b a
2 2 2 e = a −2b b
Za = arctan p b p=
X2 + Y2 Bessel-Ellipsoid
Internationales Ellipsoid
a = große Halbachse
6 377 397,155 m
6 378 388,000 m
b = Kleine Halbachse
6 356 078,963 m
6 356 911,946 m
8.2 Räumliche Transformation
8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt optimierte Formeln nach GERSTBACH
Geographische Koordinaten B, L X Gauß-Krüger-Koordinaten R, H
R=
L0 + 0, 5 10 6 + y 3
V 2 − t 2 + l 2 (0, 3 − t 2 ) y = l c 1 + l2 V 6
mit L 0 = 6°, 9°, 12°oder 15°für Deutschland 5, 03 − t 2 H = xB + l2 c t 1 + l2 V 2 24 mit:
x B = E 0 B + E 2 sin 2B + E 4 sin 4B + E 6 sin 6B für das Bessel-Ellipsoid gilt:
E 0 = 111 120, 619 608 m/° E 2 = -15 988,6383 m E 4 = 16,7300 m E 6 = -0,0218 m l=
L − L0 ! cos B
2 c= a b
V=
1 + e 2 cos 2 B
t = tan B ! = 180
2 2 2 e = a −2b b
a = 6 377 397,155 m b = 6 356 078,963 m
111
112
8 Transformationen
Gauß-Krüger-Koordinaten R, H X Geographische Koordinaten B, L
4, 97 + 3t 2 B = Bx − y2 ! t V2 1 − y2 24 2 L − L0 = y
mit:
y 2 ! 2 1− (V 2 + 2t 2 − y 2 (0, 6 + 1, 1t 2 ) ) cos B x 6
B x = " + F 2 sin 2" + F 4 sin 4" + F 6 sin 6" H "= E 0 für das Bessel-Ellipsoid gilt:
E 0 = 111 120, 619608 m/° F 2 = 0,143 885 358° F4 = 0,000 210 790° F 6 = 0,000 000 423°
y =
yV c
! = 180
V=
1 + e2 cos 2 Bx
t = tan B x y = R−
L0 + 0, 5 10 6 3
2 c= a b
2 2 2 e = a −2b b
a = 6 377 397,155 m b = 6 356 078,963 m Hiermit auch Umrechung von einem Gauß-Krüger-Merdianstreifensystem in das benachbarte Merdianstreifensystem möglich (R, H ) L 0 H
L, B H
(R, H ) L 0
mit L 0 = 3 o , 6 o , 12 o oder 15 o
3o
8.2 Räumliche Transformation
8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER Geographische Koordinaten B, L X UTM-Koordinaten E, N
E = E 0 + [1 ] L + [3 ] L 3 + [5 ] L 5 N = m G + [2 ] L 2 + [4 ] L 4 + [6 ] L 6 mit:
L = L − L 0 E0 =
mit L 0 = 3°, 9°, oder 15°für Deutschland
L0 + 3 + 30, 5 10 6 6
m = 0,9996 G = G 0 B + G 2 sin 2B + G 4 sin 4B + G 6 sin 6B für das Internationale Ellipsoid gilt:
G 0 = 111 136,536 655 m/° G 4 = 16,9763 m
G 2 = -16 107,0347 m G 6 = -0,0223 m
[1] = m ! N cos B
m [3] = 6! 3 N cos 3 B (1 − t 2 + 2 ) m [5] = 120! 5 N cos 5 B (5 − 18t 2 + t 4 + 2 (14 − 58t 2 ))
m [2] = 2! 2 N cos 2 B t m [4] = 24! 4 N cos 4 B t (5 − t 2 + 9 2 )
m [6] = 720! 6 N cos 6 B t (61 − 58t 2 + t 4 ) ! = 180
N=
c 1 + 2
t = tan B = 0, 006 768 170 cos 2 B 2
c = 6 399 936,608 m
113
114
8 Transformationen
UTM-Koordinaten E, N X Geographische Koordinaten B, L
B = B F + (2 ) y 2 + (4 ) y 4 + (6 ) y 6 L = L 0 + (1 ) y + (3 ) y 3 + (5 ) y 5 mit:
y = E − E0
L0 + 3 + 30, 5 10 6 6
E0 =
oder
E 0 = (Zone + 0, 5 ) 10 6
L 0 = (Zone − 30 ) 6 − 3 B F = " + F 2 sin 2" + F 4 sin 4" + F 6 sin 6" N "= mG 0
m = 0,9996 für das Internationale Ellipsoid gilt:
G 0 = 111 136,536 655 m/° F 4 = 0,000 213 851° (2 ) = −
!
t F (1 + 2F )
2
2 m2 N F
F 2 = 0,144 930 071° F 6 = 0,000 000 432°
! 2 2 ( 2 )) ( 4 t F 5 + 3t F + 6 F 1 − t F 24 m 4 N F ! 2 4) ( (6 ) = − 6 t F 61 + 90t F + 45t F 720 m 6 N F (4 ) =
(1 ) =
! m N F cos B F
(3 ) = − (5 ) =
! 3
6 m 3 N F cos B F
(1 + 2t 2F + 2F )
! 120 m 5
5
N F cos B F
(5 + 28t 2F + 24t 4F )
! = 180
NF =
c 1 + 2F
t F = tan B F 2F = 0, 006 768 170 cos 2 B F
c = 6 399 936,608 m
8.2 Räumliche Transformation
115
8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger - bzw. UTM - Koordinaten 8.2.5.1 Dreidimensionale Überführung 1. Schritt: Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit mindestens drei identischen Punkten
Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten der identischen Punkte X, Y, Z
Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit identischen Punkten durch Ausgleichung
Berechnung von Kartesischen Koordinaten bezogen auf das Bessel- bzw. das Internationale Ellipsoid (siehe Abschnitt 8.2.2)
W X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4)
W B, L und H E = H N + N oder näherungsweise HE O HN
Ausgangsdaten: GK- oder UTM- Koordinaten Amtliche Höhen H N (Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen N )
Ergebnis: X, Y, Z, 1 , 2 , 3 , m (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“)
116
8 Transformationen
2. Schritt: Mit den im 1. Schritt bestimmten Parametern werden die WGS- 84Koordinaten der identischen Punkte und der Neupunkte in das Landessystem ( GK oder UTM) überführt.
WGS 84 Koordinaten
X,Y,Z
7-Parameter Transformation (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für Kleine Drehwinkel“)
W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2)
W B, L, H E
Umrechnung in Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4)
W GK- oder UTM - Koordinaten und falls Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen bekannt: H N = H E − N
8.2 Räumliche Transformation
117
8.2.5.2 Zweidimensionale Überführung Die zweidimensionale Überführung ist dann zweckmäßig, wenn nur GK- oder UTMKoordinaten und keine Höhen benötigt werden. Hierbei werden die 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation nicht über identische Punkte bestimmt, sondern die schon für ein größeres Gebiet bekannten Parameter (globale Parameter) übernommen (näherungsweise Vortransformation).
Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten aller Punkte X, Y, Z
Räumliche Ähnlichkeitstransformation mit globalen Parameter ( Vortransformation) (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“) W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2) W B, L, (H E )
Umrechnung in vorläufige Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4) W GK- bzw. UTM - Koordinaten
Bestimmung der 4 Parameter (lokale Parameter) einer ebenen Ähnlichkeitstransformation über identische Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W Y 0 , X 0 , a, o
Ebene Ähnlichkeitstransformation aller Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W lokal best eingepasste Landeskoordinaten (GK bzw. UTM)
Landeskoordinaten (GK- bzw. UTM-Koordinaten) der identischen Punkte
9 Höhenmessung 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen Schwerebeschleunigung g → → → g = b+ z
→ g = Schwerebeschleunigung → b = Gravitation → z = Zentrifugalbeschleunigung g Pol = b O 9, 833
m s2
g A¨qu O
m s2
9, 780
(z = 0 )
Schwerepotential W Schwerepotential W =
Lageenergie = gh Masse
m2 s2
Lageenergie = Potentielle Energie = m g h
g = Schwerebeschleunigung m = Masse h = Bezugshöhe Niveauflächen Die Niveaufläche (Äquipotentialfläche) ist eine Fläche konstanten Schwerepotentials W.
dW = − g dh
H
dh = − dW g
Zwei Niveauflächen, die sich um die Potentialdifferenz dW unterscheiden, sind in der Regel nicht parallel. Daraus folgt auch, dass die Lotlinien gekrümmt sind.
9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
119
Geoid Das Geoid ist eine Niveaufläche im Schwerefeld der Erde mit W = W0 = konstant, die den mittleren Meeresspiegel bestmöglich approximiert.
Quasigeoid Das Quasigeoid ist die Bezugsfläche für die Normalhöhen ( siehe 9.2). Diese Bezugsfläche entsteht, wenn man die Normalhöhen der Oberflächenpunkte entlang der Lotlinie nach unten abträgt. Das Quasigeoid ist keine reine Äquipotentialfläche, weicht aber vom Geoid nur wenig ab.
Normalhöhennull In Deutschland wurde nach der Wiedervereinigung das Deutsche Haupthöhennetz 1992 ( DHHN 92) geschaffen. Als Höhenbezugsfläche gilt in Deutschland die Normalhöhennullfläche (NHN). Diese entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid. Datumspunkt ( Lagerungspunkt) ist der NivP “Kirche Wallenhorst“ bei Osnabrück.
120
9 Höhenmessung
9.2 Höhen Geopotenielle Kote Die geopotentielle Kote CP eines Punktes P ist die Potentialdifferenz zwischen dem Potential WP des Punktes und dem Potential der Referenzfläche ( Geoid) mit W = W0 ,
CP = W = W0 − WP = CP − C0 mit C0 = 0 C P O h niv (g 0 + g P )/2
m2 s2
h niv = nivellierter Höhenunterschied g 0 ; g P = gemessene Schwerebeschleunigung am Punkt P 0 und Punkt P oder streng: P
CP =
g h P0
h = differentiell kleine Höhenunterschiede g = zu h gehörige Schwerebeschleunigung 2
Die geopotentiellen Koten C mit der Maßeinheit ms 2 können bei Division durch g sm2 wieder in metrische Einheiten zurückgeführt werden.
H= C g Das Problem hierbei ist die Bestimmung bzw. Festlegung der repräsentativen Schwerebeschleunigung g.
9.2 Höhen
121
Normalhöhen Die Normalhöhe HN ist der metrische Abstand eines Punktes P von der als Normalhöhennullfläche bezeichneten Höhenbezugsfläche. Die Normalhöhenbezugsfläche entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid. Kurze Darstellung der Ableitung der Normalhöhen: y Ausgangswert: Geopotentielle Kote CP des Punktes P = Potentialdifferenz zum Geoid
y
Ein gedachter Punkt T weise gegenüber einem Niveauellipsoid ebenfalls die Potentialdiffernz CP auf.
y
Metrischer Abstand des Punktes T vom Niveauellipsoid
HN =
CP P
P = berechenbarer Mittelwert der Normalschwere zwischen Punkt T und dem Niveauellipsoid y
Die Höhe HN wird vom Punkt P aus längs der Lotlinie (näherungsweise Ellipsoidnormale) nach unten abgetragen und man erhält den Punkt Q
Führt man dies für beliebig viele Punkte P durch, so bilden die Punkte T das Telluroid und die Punkte Q das Quasigeoid
122
9 Höhenmessung
Ellipsoidische Höhen und Normalhöhen Die Ellipsoidische Höhe HE ist der metrische Abstand eines Punktes P zur Ellipsoidoberfläche gemessen entlang der Ellipsoidnormalen.
HE = HN + N N = Quasigeoidundulation Bei bekannten Quasigeoidundulationen N können ellipsoidische Höhen HE ( z.B. aus satellitengestützten Messungen) in Normalhöhen HN umgerechnet werden und umgekehrt. Berechnung der Ellipsoidschen Höhen aus kartesischen Koordinaten siehe 8.2.2
9.3 Geometrisches Nivellement 9.3.1 Definitionen Nivellementstrecke (Niv - Strecke)
Nivellementlinie (Niv - Linie)
Nivellitische Verbindung zweier Zusammenfassung von benachbarter Höhenfestpunkte, die in aufeinanderfolgenden Niv-Strecken der Regel durch Wechselpunkte unterteilt ist
Nivellementschleife (Niv - Schleife)
Höhenknotenpunkt
In sich geschlossene Folge von NivLinien oder Niv-Strecken
Höhenpunkt, zu dem mindestens drei Niv-Linien führen
9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise 1. Größte Zielweiten: 30 - 50 m bei Feinnivellement: 25 - 35 m (Zielweiten abschreiten oder abmessen) 2. Gleiche Zielweiten für den Rück- und Vorblick eines Standpunktes Zielweite Vorblick = Zielweite Rückblick; wenn dies nicht möglich ist, muss der Einfluss von Erdkrümmung und Refraktion berücksichtigt werden. 3. Zielhöhe nicht unter 0,3 m über Boden (Refraktionseinflüsse) 4. Hin- und Rücknivellement oder Anschluss an zwei höhenbekannten Festpunkten 5. Gerade Anzahl von Standpunkten (2 Niv - Latten verwenden) 6. Anwendung des Verfahrens "Rote Hose", um den Kompensationsrestfehler und den Höhenversatz unwirksam zu machen
9.3 Geometrisches Nivellement
123
9.3.3 Grundformel eines Nivellements Höhenunterschied Höhenunterschied = Rückblick - Vorblick
∆h
=
r
-
Höhenunterschied zwischen zwei Höhenfestpunkten Sollhöhenunterschied (Differenz zwischen zwei vorgegebenen Höhen)
H = H E − H A H A = Höhe des Anfangpunktes H E = Höhe des Endpunktes Isthöhenunterschied (beobachteter Höhenunterschied zwischen zwei Höhenpunkten)
h =
n
n
r i − i =1 v i i =1
n = Anzahl der Niv-Standpunkte
9.3.4 Feinnivellement Beobachtungsverfahren Lattenablesung an Zweiskalenlatten:
r l = Rückblick / linke Lattenskala r r = Rückblick / rechte Lattenskala v l = Vorblick / linke Lattenskala v r = Vorblick / rechte Lattenskala
rl G vl G vr G rr
Auswertung der Beobachtung sofortige Standpunktskontrolle
k I = r l − v l − (r r − v r )
sofortige Vor- und Rückblickkontrolle
k r = r r − r l −Teilungskonstante k v = v r − v l −Teilungskonstante
kl = kv − kr Zulässige Abweichung
k I > 0, 2 mm
k r , k v > 0, 15 mm
Höhenunterschied
h =
h l + h r 2
h l = r l − v l
;
h r = r r − v r
v
124
9 Höhenmessung
9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke- /linie oder - /schleife Bestimmung eines Höhenneupunktes zwischen zwei Höhenfestpunkten A, E mit den Höhen H A und H E
Nivellementstrecke/-linie
Nivellementschleife
AE
A=E X
Sollhöhenunterschied
Sollhöhenunterschied
H = H E − H A Isthöhenunterschied
h = h i = r i − v i Streckenwiderspruch
w S = H − h
HA = HE
H = 0 Isthöhenunterschied
h = h i = r i − v i Schleifenwiderspruch
w U = −h
Verteilung des Strecken- bzw. Schleifenwiderspruchs w S , w U
wichtiger Hinweis: Die Verbesserung v i darf nicht mit dem Vorblick v i verwechselt werden. 1. Verbesserung der einzelnen Rückblickablesungen a) nach der Anzahl der Standpunkte (wenn alle Zielweiten etwa gleich lang)
vi = w n
n = Anzahl der Niv-Standpunkte b) nach den Zielweiten
v i = w 2z S
z = z R = z V = Zielweite S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Rückwärtsablesung
ri = ri + vi
2. Verbesserung der Höhe des Neupunktes
vN = w SN S
S N = Niv-Strecke vom Höhenfestpunkt bis zum Neupunkt S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Höhe des Neupunktes
HN = HN + vN
9.3 Geometrisches Nivellement
9.3.6 Höhenknotenpunkt Bestimmung eines Höhenneupunktes von mehreren Höhenfestpunkten aus
Gewogenes Mittel der Höhe des Neupunktes
HN =
[H N i p i ] [p i ]
pi = 1
Si S i = Länge einer Niv-Strecke H N i = H i + h i h i = beobachteter Höhenunterschied H i = Höhenfestpunkte
Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 =
[p i v i v i ] n −1
vi = H Ni − H Ni n = Anzahl der beobachteten Höhenunterschiede Standardabweichung des Höhenneupunktes
s HN =
s0 [p i ]
125
126
9 Höhenmessung
9.3.7 Ziellinienüberprüfung Verfahren aus der Mitte
wenig empfehlenswertes Verfahren
h = a 1 − b 1 fehlerfrei
a 2 Soll O b 2 + (a 1 − b 1 )
Verfahren nach KUKKAMÄKI
z O 15 m
I1 :
h = a 1 − b 1
I2 :
h = a 2 − b 2 − d a 2 Soll = a 2 − 2d b 2 Soll = b 2 − d
fehlerfrei
d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 )
9.3 Geometrisches Nivellement Verfahren nach NÄBAUER
sehr zu empfehlen
z O 20 m
I1 :
h = (a 1 − d ) − (b 1 − 2d ) = (a 1 − b 1 ) + d
I2 :
h = (a 2 − 2d ) − (b 2 − d ) = (a 2 − b 2 ) − d 2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b 2 − d
Verfahren nach FÖRSTNER
sehr zu empfehlen
z O 20 m
I1 :
a 1 − b 1 = h − d
I2 :
a 2 − b 2 = h + d 2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b 2 − d
127
128
9 Höhenmessung
9.3.8 Genauigkeit des Nivellement Gewichtsansatz
p=
1 S[km ]
S = Länge einer Niv-Strecke [km]
Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Strecken-bzw. Linienwidersprüchen Einfachmessung
s0 =
1 wSwS 2n S
Doppelmessung
sD =
s0 2
w S = Streckenwiderspruch: Summe der Höhenunterschiede aus Hin- und Rückmessung n = Anzahl der Widersprüche S = Länge einer Niv-Strecke/Linie [km] Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Schleifenwidersprüchen Einfachmessung / Doppelmessung
s0 = sD =
1 wUwU n U
w U = Schleifenwiderspruch: Abweichung der Summe der Höhenunterschiede von Null n = Anzahl der Widersprüche U = Länge einer Niv-Schleife = Σ S Schleifenwiderspruch aus Einzelmessung: Standardabweichung s 0 Schleifenwiderspruch aus Doppelmessung: Standardabweichung s D Standardabweichung einer Niv-Strecke von der Länge S i
si = s0 Si
bzw. s iD = s D S i
9.3 Geometrisches Nivellement Genauigkeit des Nivellement Standardabweichung einer Niv-Strecke der Länge S aus Einzelhöhenunterschieden s S = s h
S 2Z
Z = Zielweiten S = Länge einer Niv-Strecke Standardabweichung des Einzelhöhenunterschiedes
s h = s A 2 s A = Ablesegenauigkeit an der Nivellierskala
9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement Baden-Württemberg: Zulässiger Streckenwiderspruch aus Hin- und Rückmessung
III.Ordnung
D [mm ] = 2 S D [mm] = 3 S D [mm ] = 5 S
IV.Ordnung
D [mm ] = 6 S
I.Ordnung II.Ordnung
S = Länge einer Niv-Strecke in km
Zulässige Abweichung aus gemessenem Höhenunterschied und vorgegebenem Höhenunterschied I.Ordnung
F [mm ] = 2 + 2 S
II.Ordnung
F [mm ] = 2 + 3 S
III.Ordnung
F [mm ] = 2 + 5 S F [mm ] = 2 + 6 S
IV.Ordnung
S = Länge einer Niv-Strecke in km In anderen Bundesländern gelten z.T. andere Streckenwidersprüche und Abweichungen
129
130
9 Höhenmessung
9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung 9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m)
Gemessen:
Zenitwinkel z Distanz D oder Strecke S Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t
Höhenbestimmung mit Distanz D
H = D cos z + i − t Höhenbestimmung mit Strecke S
H = S cot z + i − t Höhenbestimmung des Standpunktes
H S = H Z − H
Höhenbestimmung des Zielpunktes
H Z = H S + H
Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ∆H 2 s H = (cot z s S ) +
S s [rad ] z sin 2 z
2
+ s 2i + s 2t
s S = Standardabweichung der Strecke S s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
131
9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen Einseitige Zenitwinkelmessung für Strecken < 10 km: D = S R und S = S 0 Gemessen: Zenitwinkel z Distanz D Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t Einfluss der Erdkrümmung
[rad ] = S 2 2R
2 kE O S 2R
Einfluss der Refraktion
kR O − k S 2R
2
[rad ] = k S 2 2R
R = Erdradius 6380 km k = Refraktionskoeffizient k O 0,13 Höhenbestimmung mit Distanz D
2 2 H = D cos z + D sin z (1 − k) + i − t 2R
Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont
H = 1 +
HA S2 S cot z + (1 − k ) + i − t R 2R sin 2 z
Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ∆H 2 2 2 s H = (cos z s D ) + (D sin z s z[rad ]) + D s k 2R
2
+ s 2i + s 2t
s D = Standardabweichung der Distanz D s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe s k = Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten
132
9 Höhenmessung
Höhenbestimmung über große Distanzen Gegenseitig gleichzeitige Zenitwinkelmessung Bestimmung von ∆H ohne Kenntnis der Refraktion
Gemessen: Zenitwinkel z A , z B Distanz D Instrumentenhöhen i A , i B
Hinweise für die Beobachtung der Zenitwinkel: - gleichzeitig beobachten - bei stabilen Refraktionsverhältnissen - bei gleichmäßig durchmischter Luft
Höhenbestimmung mit Distanz D
H = D sin
zB − zA + iA − iB 2
Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont
H = 1 +
HA S ( cot z A − cot z B ) + i A − i B R 2
Ermittlung des Refraktionskoeffizienten k k = 1 − (z A + z B − 200 gon ) R 200 S R = Erdradius 6380 km S = Strecke Diese Art der Bestimmung des Refraktionskoeffizienten k ist sehr unsicher, da die Messfehler in den Zenitwinkeln z den Refraktionskoeffizienten sehr stark beeinflussen. Genauigkeit: Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten
sk =
R 2 s z [rad ] S
s z = Standardabweichung des Zenitwinkels
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
9.4.3 Trigonometrisches Nivellement s r O s v > 250 m
Höhenunterschied
h Trig = Vorblick - Ru¨ckblick
h = s v cot z v − s r cot z r + (t r − t v ) oder mit t r = t v :
h = s v cot z v − s r cot z r
Höhenbestimmung einer trigonometrischen Niv-Strecke
H = h i
Genauigkeit: Standardabweichung des Einzelhöhenunterschieds
s h i = 2((cot z s s ) 2 + zr O zv
s s [rad ] z sin 2 z
2
+ s 2t )
sr O sv
s s = s s r = s s v = Standardabweichung der Strecken s s z = s zr = s zv = Standardabweichung der Zenitwinkel s t = s t r = s t v = Standardabweichung der Zieltafelhöhe Standardabweichung einer trigonometrischen Niv-Strecke
s H = n s 2h
s h = s h 1 = s h 2 = .... n = Anzahl der Einzelhöhenunterschiede
133
134
9 Höhenmessung
9.4.4 Turmhöhenbestimmung Horizontales Hilfsdreieck Aufriss
Grundriss
Gegeben: Höhen der Kippachsen H K A , H K B Gemessen: Horizontalwinkel , Basis b
Zenitwinkel z A .z B sA = b
sin sin( + )
Forderung: b = 2h = 2s s=h Forderung: z O 50 gon
sB = b
: b auf Millimeter messen : z doppelt so genau wie α, β
sin sin( + )
h A = s A cot z A
h B = s B cot z B
H TA = H KA + h A
H TB = H KB + h B
HT =
H TA + H TB 2
Genauigkeit: Standardabweichung der gemittelten Höhe H T , wenn:
sA O sB , s HT =
O ,
hA sb b
2
zA O zB , +
h A O h B und H K A , H K B fehlerfrei
hA tan s [rad ] 2
2
+
2 hA s z [rad ] sin 2 z A
s b = Standardabweichung der Strecke b s = s = Standardabweichung der Horizontalwinkel s z = Standardabweichung der Zenitwinkel
2
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
135
Turmhöhenbestimmung Vertikales Hilfsdreieck
Gegeben: Gemessen: Höhen der Kippachsen H K A , H K B Basis b Zenitwinkel z A , z B Günstige Anordnung: H K A O H K B b O 2h H z A O 80 gon s b O h H z B O 50 gon wobei h O H T − H K A O H T − H K B
sb =
b cot z A + H K A − H K B cot z B − cot z A
Forderung: b auf Millimeter messen z A doppelt so genau wie z B messen
H T A = H K A + (b + s b ) cot z A
HT =
H TA + H TB 2
H TB = H KB + s b cot z B Die schleifenden Schnitte der Zielstrahlen lassen sich vermeiden, wenn der Turm zwischen den Theodolitstandpunkten liegt. Die Strecke b kann indirekt ermittelt werden oder direkt gemessen werden, wenn im Turm eine Durchfahrt existiert.
sa =
H K B − H K A + b cot z B cot z A + cot z B
sb = b − sa
H T A = H K A + s a cot z A H T B = H K B + s b cot z B
HT =
H TA + H TB 2
10 Ingenieurvermessung 10.1 Absteckung von Geraden 10.1.1 Zwischenpunkt in einer Geraden Mit unzugänglichen oder gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten
= − 200 gon
Gemessen: Winkel
a und b Näherungswerte
e O a b sin O a b [rad ] a+b a+b Bei unbekanntem a und b
Gemessen: Winkel , Strecke e
= −200 gon ;
= − 200 gon
e Oe
+
e = e−e
e = e+e
e Oe
−
10.2 Kreisbogenabsteckung
10.2 Kreisbogenabsteckung 10.2.1 Allgemeine Formeln
Hauptpunkte: Bogenanfang A Bogenende E Bogenscheitel S
Rechenproben: Bogenlänge
b = r [rad ]
Tangente
t = r tan 2
Scheiteltangente
t 1 = r tan 4
Pfeilhöhe
h = r 1 − cos 2
(c + r ) sin = t 2
Scheitelabstand
tan c = r tan 2 4
h + r cos = r 2
Sehne
s = 2r sin 2
Zentriwinkel
= 200 gon −
Radius
r=
Tangentenfläche (∆ ATE - Kreisabschnitt)
s2 + h 8h 2 F T = r 2 tan 2 − 2 [rad ]
Kreisausschnitt (Sektor)
[rad ] r 2 F= 2
Kreisabschnitt (Segment)
2 F = r ([rad] − sin) 2
137
138
10 Ingenieurvermessung
10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ Richtungen der Tangenten und Radius sind bekannt
Tangentenschnitt T zugänglich Winkel γ mit dem Theodolit messen oder Winkel γ über das ∆ PQT ermitteln sin
= c 2 2a
Tangentenschnitt T nicht zugänglich 1. Bestimmung der Winkel ψ,ϕ :
a) Hilfsgerade b direkt messen und Winkel ψ,ϕ mit dem Theodolit messen
b) Polygonzug von P nach Q messen:
- Brechungswinkel i und Strecken s i messen - Berechnung des Polygonzuges im örtlichen Koordinatensystem ohne Richtungsanund -abschluss - Strecke b und die Winkel δ und ε aus den Koordinaten der Punkte P,1,2,Q berechnen
' = 400 gon − P −
) = 200 gon − Q −
2. Berechnung mit Sinussatz
= ' + ) − 200 gon PT = sin ) AP = t − PT
b sin
QT = sin ' EQ = t − QT
b sin t = Tangentenlänge
10.2 Kreisbogenabsteckung
10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P
1. Beide Tangentenrichtungen bekannt
x 1/2 = y tan
2
y tan
2
2
+ 2p y tan
− y2 2
Zwei Lösungen möglich
Ordinate y und Abszisse p gemessen Tangente
Radius
t 1/2 = p + x 1/2 Probe:
r 1/2 = t 1/2 tan
2
x 2 + y 2 = 2ry
2. Eine Tangentenrichtung und der Radius bekannt
x 1/2 = r 2 − (r − y )
2
Zwei Lösungen möglich
Tangente
t 1/2 = p + x 1/2 Ordinate y und Abszisse p gemessen
139
140
10 Ingenieurvermessung
10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Orthogonale Absteckung von der Tangente 1. mit gleichen Abszissenunterschieden ∆x
xi = i x
i = 1n n = Anzahl der x
y i = r − r 2 − x 2i Näherungsformel
yi O
x 2i 2r
2. mit gleichen Bogenlängen ∆b
*[rad ] = b r
200 ; *[gon ] = b r
*i = i *
i = 1n n = Anzahl der b
x i = r sin * i y i = r − r cos * i
Orthogonale Absteckung von der Sehne 1. bei Vorgabe von Abszissen x i
xi = x i − s 2 2 h = r − r2 − s 4
2 y i = r 2 − x 2i − r 2 − s 4
2. bei Vorgabe der Bogenlänge b i
b *i [rad] = ri
b
200 ; *i [gon] = ri
y i = −r cos * i − − cos 2 2 x i = r sin * i − + sin 2 2
10.2 Kreisbogenabsteckung
141
Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Absteckung nach der Sehnen-Tangenten-Methode Polare Kreisbogenabsteckung durch Angabe der Richtungen ri vom Standpunkt E und Messen der aufeinanderfolgenden Sehnen. Es soll immer von A nach E abgesteckt werden.
Pi
∆b
s r
s
i
ri = i * 2
s
∆b
r1
s
P1
b 200 *[rad ] = b r ; *[gon ] = r s = 2r sin * 2
∆b
r
ω
α
r
M
sR
ω/2
rA
A
rA = 0
i = Anzahl der Sehnen
E Probe: *r = − i *
s r = 2r sin * r
Absteckung mit Hilfe eines Sehnenpolygons Fortlaufende Kreisbogenabsteckung im Trassenverlauf mit polaren Absteckelementen
Die größte absteckbare Sehnenlänge:
s max = 2 r 2 − (r − d ) 2
d = Stollenbreite
* = 2 arcsin s 2r A = 200 gon + * 2
i = 200 gon+ *
Wegen der fortgesetzten Verlängerung des Polygonzuges ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss ergibt sich mit wachsender Punktzahl eine schnell anwachsende Lageunsicherheit.
142
10 Ingenieurvermessung
10.2.5 Näherungsverfahren Genähertes Absetzen von der Tangente
2 yO x 2r
wenn: xr < 1 10
r = Radius Genähertes Absetzen von der Sekante
sin * = s 2 2r
x = s cos *
y = s sin *
r = Radius Viertelmethode
Streng:
2 h = r − r2 − s 4
Genähert:
h O 1 h 4 r = Radius
falls:
s< 1 r 5
10.2 Kreisbogenabsteckung Näherungsverfahren Einrückmethode für Zwischenpunkte zwischen zwei Bogenpunkten bei flachen Bögen x O b
yO
x(s − x ) 2r
r = Radius
10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung Pfeilhöhenmessung am Bogenanfang
h=
a b2 2r (a + b )
r = Radius
im Kreisabschnitt für flache Bögen für gleiche Bogenlängen / bei gleichen Sehnen
2 hO s 8r
r = Radius
hO ab 2r
r = Radius
für ungleiche Bogenlängen
143
144
10 Ingenieurvermessung
10.2.7 Korbbogen Dreiteiliger Korbbogen Der dreiteilige Korbbogen wird bei Straßeneinmündungen angewendet. Nach den "Richtlinien für die Anlage von Landstraßen, Teil III: Knotenpunkte (RAL-K)" verhalten sich die Radien wie folgt: r 1 : r 2 : r 3 = 2 : 1 : 3 Die Zentriwinkel der Kreisbögen sind 1 = 17, 5 gon , 3 = 22, 5 gon
y 1 = r 1 (1 − cos 1 )
x1 = r 1 sin 1
y 2 = r 3 (1 − cos 3 )
x2 = r 3 sin 3
r 1 = y 1 − r 2 (1 − cos 1 )
r 2 = y 2 − r 2 (1 − cos 3 )
a1 = x 1 − r 2 sin 1
a 2 = x 2 − r 2 sin 3
c1 = (r 2 + r 2 ) + (r 2 + r 1 ) cos
c2 = (r 2 + r 1 ) + (r 2 + r 2 ) cos
t1 = a 1 +
c1 sin
t2 = a 2 +
c2 sin
10.3 Klotoide
145
10.3 Klotoide 10.3.1 Definition Die Klotoide ist eine Kurve, deren Krümmung k stetig mit der Bogenlänge wächst.
Krümmung
1 = L k= R A2
Grundformel
A2 = L R
Grundgleichungen zwischen den Bestimmungsstücken L = R 2$ 2$
Parameter A
A= LR =
Radius
2 R = AL = L = 2$
Bogenlänge
2 L = AR = 2$ R = A 2$
Tangentenwinkel
2 2 $= L = L 2 = A 2 2R 2A 2R
A 2$
Einheitsklotoide Alle Klotoiden sind einander ähnlich. Aus der Einheitsklotoide mit dem Parameter a = 1 lassen sich die Elemente anderer Klotoiden mit dem Parameter A als Vergrößerungsfaktor berechnen:
R=rA
L=lA
146
10 Ingenieurvermessung
Bestimmungsstücke der Einheitsklotoide Koordinaten eines Klotoidenpunktes
2n −1
2n −2
2$
(−1 ) n +1 (4n − $1 )(2n − 1 )! n =1
x = 2$
(−1)n +1 (4n − $3)(2n − 2)! n =1
y=
Näherungsformeln für 0 > l > 1 und sechsstellige Genauigkeit:
y = [(42410 −1 l 4 − 336 −1 ) l 4 + 6 −1 ] l 3
l= L A
x = [(3474, 1 −1 l 4 − 40 −1 ) l 4 + 1 ] l Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes
y M = y + r cos $
x M = x − r sin $
Tangentenabrückung
r = y M − r = y + r cos $ − r
lange Tangente
t l = x − y cot $
kurze Tangente
tk =
Klotoidensehne
s = x2 + y2
Richtungswinkel
y " = arctan x
y sin $
Längenunterschied zwischen Klotoidenbogen und Klotoidensehne 3 B−SO B 2 24R
B = Klotoidenbogenlänge S = Klotoidensehne R = Radius
10.3 Klotoide
10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide Symmetrisch
= − 2$ t = (R + R ) tan 2
T = t + XM b = R [rad ] Gesamtbogenlänge:
B = b + 2L Unsymmetrisch
d=
R 2 − R 1 sin
= − ($ 1 + $ 2 ) t 1 = tan 2 (R + R 1 )
T1 = X M1 + t 1 + d t 2 = tan 2 (R + R 2 )
T2 = X M2 + t 2 − d b = R [rad ] Gesamtbogenlänge:
B = L1 + b + L2
147
148
10 Ingenieurvermessung
10.4 Gradiente 10.4.1 Längsneigung
s[% ] = h 100 = 100 tan l s h tan = 1 n = l = 100
10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten
(x 2 − x 1 ) s 2 − (h 2 − h 1 ) 100 x TS = + x1 s2 − s1 100
h TS = h 1 +
s1 ( x TS − x 1 ) 100
s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung : + Steigung , - Gefälle
10.4 Gradiente
10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung
TS = Tangentenschnittpunkt A = Ausrundungsanfang E = Ausrundungsende S = Scheitelpunkt +H W = Halbmesser Wanne −H K = Halbmesser Kuppe s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung : + Steigung , - Gefälle auf die Horizontale reduzierte Tangentenlänge Bogenstich
Scheitelpunkt
f=
T=
H W,K s 2 − s 1 100 2
T2 2H W,K
xS = xA −
s 1 H W,K 100
hS = hA +
s
(x S − x A ) 2H W,K
2 Scheitelpunkt vorhanden, wenn: s 1 < 0
Ordinate y an der Stelle x i
y=
(x i − x A ) 2 2H W,K
Höhe der Gradientenkleinpunkte x i
hi = hS +
(x − x A ) (x S − x i ) s = h A + 1 (x i − x A ) + i 2H W,K 2H W,K 100
149
150
10 Ingenieurvermessung
10.5 Erdmengenberechnung 10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen
l = Profilabstand
F i = Fläche der Querprofile
V = 1 (F i + 4F m + F i +1 ) l 6
Prismatoidenformel
F m nicht bekannt: F m =
F i + F i +1 2
Pyramidenstumpfformel
V = 1 F i + F i F i +1 + F i +1 l 3
Näherungsformel
V O 1 (F i + F i +1 ) l 2
2
Mit der Näherungsformel wird das Volumen stets zu groß erhalten.
GULDINsche Regel V = Querschnittsfläche * Weg des Schwerpunktes V = 1 (F i + F i +1 ) l k m 2
l = Profilabstand in der Achse
Verbesserungsfaktor
k m = 1 (k i + k i +1 ) 2
ki =
R − ysi R
k i +1 =
R − y s i +1 R
R = Radius, wobei: R > 0 Rechtskurve; R < 0 Linkskurve Schwerpunktsabstand von der Achse
yS = 1 6F
n
(y 2i + y i y i +1 + y 2i +1 ) (z i − z i +1 ) i =1
F = Querschnittsfläche
10.5 Erdmengenberechnung Mengenberechnung aus Querprofilen Komplexe Berechnung von Mengen aus Querprofilen
V = 1 S n (F n −1 + F n ) + 1 2 2
n −1
S i (F i −1 − F i +1 )
i =1
S i = Stationierung,wobei S 0 = 0 F i = Fläche der Querprofile n = Anzahl der Querprofile
10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien
V = h (F 1 + F n + 4(F 2 + F 4 + ) + 2(F 3 + F 5 + )) 3 ungerade Flächenanzahl notwendig;
2
F1 + Fn 2 h = Abstand zwischen zwei Höhenlinien ( Schichthöhe ) F i = Schichtfläche
sind nur zwei Flächen vorhanden: F 2 =
Näherungsformel
V = h (F 1 + F n + 2(F 2 + F 3 + + F n −1 )) 2 Dreiachtel - Regel für 4 Flächen
V = 3 h (F 1 + 3F 2 + 3F 3 + F 4 ) 8 Regel für 7 Flächen nach Weddle
V = 3 h (F 1 + 5F 2 + F 3 + 6F 4 + F 5 + 5F 6 + F 7 ) 10
151
152
10 Ingenieurvermessung
10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen Mengenberechnung aus Dreiecksprismen
hi =
h i1 + h i2 + h i3 3
V=
n
Fi hi i =1
F i = Fläche der Dreiecke n = Anzahl der Dreiecke Mengenberechnung aus Viereckprismen Rostrechtecke oder Rostquadrate
j
hm =
(g i h i ) i =1 4n
h i = Rostpunkthöhen g i = Rostpunktgewichte Gewicht 1 Eckpunkte Gewicht 2 Randpunkte Gewicht 3 Randinneneckpunkte Gewicht 4 Innenpunkte F = Fläche der Rostrechtecke oder -quadrate n = Anzahl der Quadrate oder Rechtecke j = Anzahl der Rostpunkte
V = F hm
10.5 Erdmengenberechnung
10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe n = Böschungssteigung h = Böschungshöhe
b = Rampenbreite m = Rampenneigung n1 = Rampenböschungssteigung
2 n + 3b V 1 = h (m − n ) 2h n 1 1 − m 6
2 n + 3b V 2 = h m 2h n 1 1 − m 6
10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren Dreiseitprisma
V = a b 1 (h 1 + h 2 + h 3 ) 3 2
Vierseitprisma
V O a b 1 (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) 4
153
154
10 Ingenieurvermessung
Mengenberechnung sonstiger Figuren Pyramide
V = 1Fh 3 Kegel
V = 1 F h = r2 h 3 3 Zylinder
V = r2 h
Pyramidenstumpf
V = h F1 + F2 + F1 F2 3 Kegelstumpf
V = h(r 21 + r 22 + r 1 r 2 ) 3 Obelisk
V = h [(2a 1 + a )b 1 + (2a + a 1 )b ] 6 Grund- und Deckfläche sind im Abstand h parallel zueinander
Keil
V = h ( 2a 1 + a ) b 1 6
11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein 11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen ursprüngliche Verbesserungsgleichung Beobachtung + Verbesserung = Funktion der Unbekannten; Gewicht
li
+
vi
f i (x 1 , x 2 , , x n )
=
p
umgestellte Verbesserungsgleichung
v i = f i (x 1 , x 2 , , x n ) − l i = ai1 x 1 + a i2 x 2 + + a in x n − l
i
bei linearen Funktionen Absolutglied l i = l i bei nicht linearen Funktionen wird mit Hilfe der TAYLORschen Reihe die Gleichung linearisiert dazu werden Näherungswerte x 0i eingeführt x i = x 0i + x i wobei x i durch eine differenzielle Größe dx i ersetzt werden kann x i = x 0i + dx i
f i (xi ) = f i (x0i + dxi ) = f i (x0i ) +
f i (x0i ) dxi + ...... x0i
Koeffizienten (partielle Ableitungen) Absolutglied
a ik =
f i (x 0i ) x 0i
l i = l i − f i (x 01 , x 02 , , x 0n ) = l i − l 0
Matrizenschreibweise
v=Ax−l;P v = A= x= l= P= l= l0 =
mit l = l − l 0
Verbesserungsvektor Koeffizientenmatrix Vektor der Unbekannten Absolutgliedvektor Gewichtsmatrix Messwertvektor Vektor der Näherungswerte der Messwerte
v i = Verbesserung a ik = Koeffizienten x i = Unbekannte l i = Absolutglied p i = Gewicht l i = Messwert l 0 = Näherungswert des Messwerts
156
11 Ausgleichungsrechnung
11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten aus dem Minimum der Quadratsumme der Verbesserungen folgt: ( vTPv = Minimum ) Normalgleichungsmatrix
N = AT P A
Gewichtsreziprokenmatrix
Q = N −1 = Q xx
h- Vektor
h = AT P l
Vektor der Unbekannten
x = N−1 h = (AT P A )−1 AT P l
Direkte Berechnung vTPv
v T P v = l T P l - h T x
v= Ax-l
Verbesserungsvektor Ausgleichungsprobe
AT P v = 0
Vektor der Ausgeglichenenen Messwerte
l = l + v = A x + l0
Kofaktorenmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
Q l l = A N −1 A T = A Q A T
Kofaktorenmatrix der Verbesserungen
Q vv = P −1 − A N −1 A T R = Q vv P = E − A N −1 A T P
Redundanzmatrix
11.1.3 Genauigkeit Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 =
vT P v n−u
n = Anzahl der Messungen u = Anzahl der Unbekannten
Standardabweichung der Unbekannten x i
s xi = s 0 qxi x i q x i x i = Diagonalglieder von Q xx = Q xx
ii
11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - allgemein Genauigkeit
Standardabweichung der Messungen vor der Ausgleichung (a priori)
s li =
s0 pi
p i = Gewicht der Messung s 0 = Standardabweichung a priori
Standardabweichung der Messung nach der Ausgleichung (a posteriori)
s li = s 0 q lili
q l i l i = Diagonalglieder von Q l l = Q l l
ii
11.1.4 Statistische Überprüfung Redundanzanteil einer Beobachtung
r i = (R) ii (R ) ii = Diagonalglieder der Redundanzmatrix R Kontrolle:
ri = r = n − u EV-Wert einer Beobachtung
EV i [% ] = r i 100
Normierte Verbesserung einer Beobachtung
NV i =
vi vi = s 0 q vivi s li r i
q v i v i = Diagonalglieder von Q vv = Q vv
ii
157
158
11 Ausgleichungsrechnung
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichungen für Strecken und Richtungen ausgeglichene Strecke
s ik = s ik + v s ik
nicht lineare Verbesserungsgleichung
v sik = (x k − x i ) 2 + (y k − y i ) 2 − s ik linearisierte Verbesserungsgleichung
v s ik = −a 1 ik x i − b 1 ik y i + a 1 ik x k + b 1 ik y k − l Streckenkoeffizienten
a 1 ik = cos t 0ik
Absolutglied
l
s ik
s ik
b 1 ik = sin t 0ik
= s ik − s 0ik
ausgeglichener Richtungswinkel [gon]
t ik = r ik + o i + v r ik
nicht lineare Verbesserungsgleichung
yk − yi v r ik [gon ] = 200 arctan x k − x i − r ik − o i linearisierte Verbesserungsgleichung
v r ik [gon ] = −* i − a 2 ik x i − b 2 ik y i + a 2 ik x k + b 2 ik y k − l
Richtungskoeffizient
sint a2ik = − s0ik0ik 200
Absolutglied
l r ik = o 0i − (t 0ik − r ik )
r ik
cos t b 2 ik = + s 0ik0ik 200
Näherungswert der Orientierungsunbekannten y i = y i − y 0i y k = y k − y 0k
x i = x i − x 0i x k = x k − x 0k
o 0i =
[t 0ik − r ik ] n
; wenn Pi = Festpunkt: H x i = y i = 0 ; wenn Pk = Festpunkt: H x k = y k = 0
y i , x i = Koordinaten des Standpunkts y k , x k = Koordinaten des Zielpunkts y 0i , x 0i = Näherungskoordinaten y 0k , x 0k = Näherungskoordinaten s ik = gemessene Strecke s 0ik = Strecke aus Näherungskoordinaten r ik = gemessene Richtung o i = Orientierungsunbekannte in Pi o i = o i − o 0i t 0ik = Richtungswinkel zum Näherungspunkt n = Anzahl der Messungen
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen/Strecken
159
Gewichtung von Strecken- und Richtungsbeobachtungen Genauigkeitsansatz bei der Streckenmessung
s 2S = a 2 + b 2 S 2 a = entfernungsunabhängiger Anteil b = entfernungsabhängiger Anteil S = Streckenlänge Genauigkeitsansatz bei der Richtungsmessung
s 2R = s 2r + c 200 S
2
+ d 200 S
2
s r = Standardabweichung einer aus mehreren Sätzen gemittelten Richtung ohne Einfluss der Exzentrizitäten c, d = Exzentrizitäten (Aufstellfehler) in den Endpunkten Gewichtsansatz
s 20 = s 2S ( für 1 km -Strecke) p 0S = 1
p Si =
s 20 s 2S i
p Ri =
oder
s 20 s 2R i
s 20 = s 2R ( für 1 km lange Visur ) p 0R = 1 p Ri =
s 20 s 2R i
p Si =
s 20 s 2S i
s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit s R i = Standardabweichungen der Richtungen s S i = Standardabweichungen der Strecken
Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten ∆x, ∆y, ∆ο siehe 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein Koordinaten von Pi bzw. Pk , Orientierungsunbekannte o
y i = y 0i + y i
x i = x 0i + x i
o i = o 0i + o i
y k = y 0k + y k
y k = y 0k + y k
o k = o 0k + o k
Berechnung der Verbesserungen a) aus linearen Verbesserungsgleichungen b) aus nicht linearen Verbesserungsgleichungen Vergleich beider Verbesserungen (Schlussprobe)
160
11 Ausgleichungsrechnung
Genauigkeit a)
s 0 , s xi , s li , s li siehe Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein
b)
Fehlerellipse Richtung der extremen Abweichung Richtungswinkel der großen Halbachse der Fehlerellipse
2Q xy
= 1 arctan 2 Q xx − Q yy Gewichtstreziproke Q xx , Q yy , Q xy aus der Gewichtsreziprokenmatrix Q = N−1 Größe der extremen Abweichung
s 2max,min =
s 20 2 Q xx + Q yy (Q xx − Q yy ) + 4Q 2xy 2
Standardabweichung der Punkte
s P = s 2max + s 2min = s 0 (Q xx + Q yy ) = s 2x + s 2y
Abweichung in einer beliebigen Richtung t der Fehlerellipse
s t = s 2max cos 2 (t − ) + s 2min sin 2 (t − )
11.3 Höhennetzausgleichung
161
11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichung Für Höhenunterschied zwischen zwei Neupunkten
v ik = x k − x i − l
ik
mit l
ik
= l ik
Ist einer der zwei Punkte ein bekannter Höhenfestpunkt, so gilt entweder v ik = H k − x i − l ik und damit
v ik =
− x i − l ik
oder v ik = x k − H i − l ik
v ik = x k
mit l
= l ik − H k
und damit
− l ik
ik
mit l
ik
= l ik + Hi
v = Verbesserung x = Höhe des Neupunktes H = Höhe des Festpunktes l = Beobachtung/gemessener Höhenunterschied l' = Absolutglied Matrizenschreibweise
v=Ax-l ;P v = Verbesserungsvektor x = Vektor der Unbekannten l = Beobachtungsvektor l = Absolutgliedvektor P = Gewichtsmatrix Gewichtsansätze beim geometrischen Nivellement
p= 1 s s = Entfernung
bei trigonometrischer Höhenmessung (kurze Distanzen)
p = 12 s
Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten, der Verbesserungen und der Genauigkeit siehe 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein
12 Grundlagen der Statistik 12.1 Grundbegriffe der Statistik Messabweichungen Fehler falsche Ablesungen, Zielverwechslungen etc., die durch sorgfältige Arbeit vermieden werden und durch Kontrollmessungen aufgedeckt werden können systematische Abweichung - bekannte systematische Abweichungen (z. B. unzureichende Kalibrierung, Temperatureinflüsse) sollen durch Korrektionen beseitigt werden - unbekannte systematische Abweichungen sind nur sehr schwer zu bestimmen zufällige Abweichungen nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Einflüsse während mehrerer Messungen am selben Messobjekt innerhalb einer Messreihe
Zufallsgrößen X = Zufallsgröße
x i = Beobachtungswert; Einzelwert für eine Zufallsgröße L = Messgröße; Zufallsgröße, deren Wert durch Messung ermittelt wurde
l i = Messwert; Einzelwert für eine Messgröße Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert x = E(x ) Schätzwert für x = arithmetischer Mittelwert x
Varianz Varianz σ² ist ein Streuungsmaß für die zufällige Abweichung eines einzelnen Messwertes vom Erwartungswert der Messgröße
Standardabweichung Standardabweichung σ ist die positive Wurzel der Varianz Schätzwert für " = empirische Standardabweichung s
12.1 Grundbegriffe der Statistik Standardabweichung σ Erwartungswert x bekannt
zufällige Abweichung
i = xi − x
Varianz
" 2x =
Standardabweichung
"x =
[ i i ] n
nG
[ i i ] n
nG
x = Erwartungswert x i = Beobachtungswert; Messwert n = Anzahl der Beobachtungswerte
Standardabweichung s Schätzwert für x = arithmetischer Mittelwert x bekannt arithmetischer Mittelwert
[x ] x = ni
Verbesserung
vi = x − xi
(empirische) Varianz
s 2x =
(empirische) Standardabweichung
sx =
[v i v i ] n−1 [v i v i ] n−1
(empirische) Standardabweichung des Mittelwertes
Freiheitsgrad (Redundanz)
x i = Beobachtungswerte n = Anzahl der Beobachtungswerte u = Anzahl der Unbekannten; hier u = 1
[ ]2 [v i v i ] = [x 2i ] − xni
f = n−u
sx =
sx n
163
164
12 Grundlagen der Statistik
12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen Standardisierte Normalverteilung N (0,1) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X mit Erwartungswert x = 0 und Varianz " 2x = 1
u=
standardisierte normalverteilte Zufallsvariable
x − x "x
1 exp − u 2 2 2
Wahrscheinlichkeitsdichte
' (u ) =
Verteilungsfunktion
(u ) = P(X < u ) =
u
' (x)dx
−
(u p ) = p
p-Quantil der standardisierten Normalverteilung
u p = Wert, für den die Verteilungsfunktion Φ(u) einer nach N (0,1) verteilten Zufallsgröße einen vorgegebenen Wert p annimmt
Einseitig begrenztes Intervall
(up) = P (− < u < up ) Zweiseitig begrenztes Intervall
P (−up1 < u < up2 ) = (up1 ) − (1 − (up2 ) ) Symmetrisches Intervall
P (−up < u < up ) = 2 (up) − 1 (u p ) = P + 1 2
u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung, kann rückwärts aus der Tabelle 1 entnommen werden Zweiseitige Quantilen der standardisierten Normalverteilung p% (u p )
50,00
68,30
90,00
95,00
98,00
99,00
99,73
99,90
0,75
0,84
0,95
0,98
0,99
1,00
1,00
1,00
up
0,68
1,00
1,64
1,96
2,33
2,58
3,00
3,03
12.3 Vertrauensbereiche
12.3 Vertrauensbereiche (Konfidenzbereiche) Vertrauensniveau
P = 1− Wenn nichts anders vereinbart ist, soll 1 - α = 0,95 benutzt werden.
Anmerkung:
Vertrauensintervall für den Erwartungswert µ
P ( C ,u > x > C ,o ) = 1 − Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " x bekannt standardisierte Normalverteilung untere Vertrauensgrenze
C ,u = x − u p
"x n
obere Vertrauensgrenze
C ,o = x + u p
Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " t-Verteilung untere Vertrauensgrenze
C ,u = x − s x t f;1−/2
x
"x n
unbekannt
obere Vertrauensgrenze
C ,o = x + s x t f;1−/2
x = Mittelwert der Messwerte n = Anzahl der Messwerte u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung t f;p = Quantil der t-Verteilung (Tabelle 2) s sx = x s x = empirische Standardabweichung n Vertrauensintervall für die Standardabweichung
P ( C ",u > " x > C ",o ) = 1 − Vertrauensgrenzen c²-Verteilung untere Vertrauensgrenze
C ",u = s x
f ( 2f;1−/2
obere Vertrauensgrenze
C ",o = s x
( 2f;1−/2 , ( 2f,/2 = Quantile der c²-Verteilung (Tabelle 3) f = n - 1 = Freiheitsgrade
f 2 ( f;/2
165
166
12 Grundlagen der Statistik
12.4 Testverfahren Testniveau:
P = 1−
5% Signifikanz:
α = Irrtumswahrscheinlichkeit
α = 0,05
1% Hochsignifikanz: α = 0,01
Signifikanzbeweise sind in 5% aller Fälle Fehlschlüsse Hochsignifikanzbeweise sind in 1% aller Fälle Fehlschlüsse
Signifikanztest für den Mittelwert t-Verteilung Gegenüberstellung
Testgro¨be t f =
Nullhypothese
x = x
x − x s x J Quantil der t-Verteilung t f;p
x < x : einseitige Fragestellung ( 1 - α ) x >< x : zweiseitige Fragestellung ( 1 - α/2 ) Nullhypothese verwerfen
t f > t f;p
d.h. x ist signifikant > bzw < x
x = Mittelwert x = Erwartungswert s x = empirische Standardabweichung des Mittelwertes f = Freiheitsgrade t f;p = Quantil der t-Verteilung ( Tabelle 2 ) Beim Vergleich zweier Mittelwerte gilt: x − x = x1 − x2
f = f1 + f2
s 2x = s 2x 1 + s 2x 2
Signifkanztest für Varianzen
s1 > s2
F-Verteilung s 21 J Quantil der F-Verteilung F f 1 f 2 ;p s 22
Gegenüberstellung
Testgro¨be
Nullhypothese
s 21 =1 s 22
einseitige Fragestellung
Nullhypothese verwerfen
s 21 > F f 1 ,f 2 ;p > 1 s 22
d.h. s 21 ist signifikant > s 22
s 21 = Varianz mit f 1 Freiheitsgraden s 22 = Varianz mit f 2 Freiheitsgraden F f 1 ,f 2 ;p = Quantil der F-Verteilung (Tabelle 4)
12.5 Messunsicherheit
167
12.5 Messunsicherheit u Das Messergebnis aus einer Messreihe ist der um die bekannte systematische Abweichung berichtigte Mittelwert x E verbunden mit einem Intervall, in dem vermutlich der wahre Wert der Messgröße liegt.
y = xE u Die Differenz zwischen der oberen Grenze dieses Intervalls und dem berichtigten Mittelwert bzw. der unteren Grenze dieses Intervalls wird als Messunsicherheit u bezeichnet. Die Messunsicherheit setzt sich aus einer Zufallskomponenten u z und einer systematischen Komponenten u s zusammen.
Zufallskomponente u z Messreihe unter Wiederholungsbedingungen bei unbekannter Wiederholstandardabweichung " r
uz =
t s n
Messreihe unter Wiederholbedingungen mit wenigen Einzelwerten bei bekannter Wiederholstandardabweichung " r
uz =
t "r n
t = Quantil der t-Verteilung n = Anzahl der Beobachtungswerte Systematische Komponente u s kann im allgemeinen nur anhand ausreichender experimenteller Erfahrung abgeschätzt werden
Zusammensetzung der Komponenten zur Messunsicherheit u Lineare Addition
u = uz + us
u z >> u s
Quadratische Addition
u = u2z + u2s
uz O us
Besteht die Messunsicherheit u nur aus der Zufallskomponenten, entspricht die Messunsicherheit dem halben Vertrauensbereich.
168
12 Grundlagen der Statistik
12.6 Toleranzen Toleranzbegriffe
Nennmaß Istabmaß
Istmaß
Kleinstmaß
Grenzabmaß -
Grenzabmaß +
Maßtoleranz Größtmaß
Nennmaß (Sollmaß):
Maß, das zur Kennzeichnung von Größe, Gestalt und Lage eines Bauteils oder Bauwerks angegeben und in Zeichnungen eingetragen wird
Istmaß:
Durch Messung festgestelltes Maß
Istabmaß:
Differenz zwischen Istmaß und Nennmaß
Größtmaß:
Das größte zulässige Maß
Kleinstmaß:
Das kleinste zulässige Maß
Grenzabmaß:
Differenz zwischen Größtmaß und Nennmaß oder Kleinstmaß und Nennmaß
Maßtoleranz:
Differenz zwischen Größtmaß und Kleinstmaß
12.7 Varianz
12.7 Varianz 12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen - Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz FFG)
Lineare Funktionen a)
x = a1l1 + a2l2 + + anln
s 2x = a 21 s 21 + a 22 s 22 + + a 2n s 2n b)
x = l1 + l2 + + ln
s 2x = s 21 + s 22 + + s 2n c)
x = l 1 + l 2 + + l n und s 1 = s 2 = s n = s s 2x = n s 2
l i = Messwert a i = Koeffizienten s i = Standardabweichung einer Messung n = Anzahl der Messungen n = Anzahl der Messungen Nichtlineare Funktionen
x = f (l 1 , l 2 ., l n ) Linearisierung durch das totale Differential
dx = f dl 1 + f dl 2 + + f dl n l 1 l 2 l n Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz)
s 2x =
f l 1
2
s 21 + f l 2
2
s 22 + + f l n
2
l i = Messwert n = Anzahl der Messungen s i = Standardabweichung einer Messung
s 2n
169
170
12 Grundlagen der Statistik
12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz (Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz) y = f (x 1 , x 2 , , x n )
Funktion
Linearisierung durch das totale Differential
dy = f dx 1 + f dx 2 + + f dx n x 1 x 2 x n Varianz der Funktion y
f x 1
s 2y =
2
s 21 +
f x 2
Kovarianzfortpflanzungsgesetz 2
s 22 + +
f x n
2
s 2n
+2 f f s 12 + f f s 13 + + f f s n−1,n x 1 x 3 x n−1 n x 1 x 2 s 2y = s 20 q yy q yy = Gewichtsreziproke der Funktion y s i = Standardabweichungen s 12 s n−1,n = Kovarianzen zwischen voneinander abhängigen Variablen x i Matrizenschreibweise m-dimensionaler Vektor y = Funktion des n-dimensionalen Vektors x
Funktion
y = f(x) =
f 1 (x 1, x 2,
, x n ) f 2 (x 1, x 2,
, x n ) f m (x 1 , x 2 ,
, x n )
Kovarianzmatrix der Funktion y
yy = F xx F T
Die partiellen Ableitungen der Operators f(x) werden zusammengefasst in der
Funktionsmatrix
F =
f 1 x 1 f 2 x 1 f m x 1
Kovarianzmatrix von x
xx =
s 20
Q xx =
s 21 s 12 s 1n s 21 s 22 s 2n s n1 s n2
s 2n
f 1 f 1 x 2 x n f 2 f 2 x 2 x n f f m m x 2 x n Kofaktorenmatrix
Q xx =
q 11 q 12 q 1n q 21 q 22 q 2n q n1 q n2 q nn
12.8 Standardabweichung
12.8 Standardabweichung 12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen mit gleicher Genauigkeit Einfaches arithmetisches Mittel [l ] l = ni Standardabweichung des arithmetischen Mittels
sl = s n Standardabweichung einer Beobachtung [v i v i ] n−1
s=
[ i ]2 [v i v i ] = [l 2i ] − ln
mit verschiedener Genauigkeit Allgemeines arithmetisches Mittel
l =
[l i p i ] [p i ]
Standardabweichung des arithmetischen Mittels
sl =
s0 [p i ]
Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewicht 1
s0 =
[p i v i v i ] n−1
[ ]2 [p i v i v i ] = [p i l 2i ] − p i l i [p i ]
Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewichtp i
si =
s0 pi
l i = Messwert n = Anzahl der Messungen p i = Gewicht vi = l − l i Probe: [v i ] = 0 bzw.
[v i p i ] = 0
171
172
12 Grundlagen der Statistik
12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung) mit gleicher Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung
s=
[d i d i ] 2n
Standardabweichung der Doppelmessung
sM =
[d i d i ] = s 4n 2
mit verschiedener Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung vom Gewicht 1
s0 =
[d i d i p i ] 2n
Standardabweichung der Doppelmessung
sM =
[d i d i p i ] s = 0 4n 2
d i = Differenz zwischen Hin und- Rückmessung n = Anzahl der Messungen
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke Gewichte
p 1 : p 2 : : p n : 1 = 12 : 12 : : 12 : 12 s1 s2 sn s0 pi =
Gewicht p i
s 20 s 2i
p1 s2 H p 2 = 22 s1
s2 s 2i = p0i
Gewichtsfortpflanzungsgesetz Funktion
x = a1l1 + a2l2 + + anln
Gewicht der Funktion
s 2x a 21 a 22 a 2n 1 px = s2 = p1 + p2 + + pn 0
s i = Standardabweichung s 0 = Standardabweichung vom Gewicht 1, Gewichtseinheitsfehler a i = Koeffizienten l i = Messwerte Gewichtsreziproke q1 s2 H q 2 = 12 s2
q 1 : q 2 : : q n : 1 = s 21 : s 22 : : s 2n : s 20
Gewichtsreziproke q i
qi =
s 2i s 20
s 2i = s 20 q i
Kofaktorenfortpflanzungsgesetz Funktion
x = a1l1 + a2l2 + + anln
Gewichtsreziproke der Funktion
q xx =
s 2x = a 21 q 1 + a 22 q 2 + + a 2n q n s 20
s i = Standardabweichung s 0 = Standardabweichung vom Gewicht 1 a i = Koeffizienten l i = Messwerte
173
0,978308 0,982997 0,986791 0,989830 0,992240 0,994132 0,995604 0,996786 0,997599 0,998250 0,2 0,99931
0,843752 0,866500 0,886861 0,904902 0,920730
0,934478 0,946301 0,956367 0,964852 0,971933
0,977784 0,982571 0,986447 0,989556 0,992024
0,993963 0,995473 0,996636 0,997523 0,998193 0,1 0,99903
0,841345 0,864334 0,884930 0,903200 0,919243
0,933193 0,945201 0,955434 0,964070 0,971283
0,977250 0,982136 0,986097 0,989276 0,991802
0,993790 0,995339 0,996533 0,997445 0,998134 0,0 0,99865
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
3,0
0,935744 0,947384 0,957284 0,965620 0,972571
0,694974 0,729069 0,761148 0,791030 0,818589
0,691462 0,725747 0,758036 0,788145 0,815940
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,02
0,846136 0,868643 0,888768 0,906582 0,922196
0,698468 0,732371 0,764238 0,793892 0,821214
0,507978 0,547758 0,587064 0,625616 0,662757
0,01
0,503989 0,543795 0,583166 0,621720 0,659097
0,00
0,500000 0,539828 0,579260 0,617911 0,655422
up
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,03
0,994297 0,995731 0,996833 0,997673 0,998305 0,3 0,99952
0,978822 0,983414 0,987126 0,990097 0,992451
0,936992 0,948449 0,958185 0,966375 0,973197
0,848495 0,870762 0,890651 0,908241 0,923642
0,702944 0,735653 0,767305 0,796731 0,823814
0,511966 0,551717 0,590954 0,629300 0,666402
0,04
0,994457 0,995855 0,996928 0,997744 0,998359 0,4 0,99966
0,979325 0,983823 0,987454 0,990358 0,992656
0,938220 0,949497 0,959070 0,967116 0,973810
0,850830 0,872857 0,892512 0,909877 0,925066
0,705402 0,738914 0,770350 0,799546 0,826391
0,515953 0,555670 0,594835 0,633072 0,670031
0,05
0,994614 0,995975 0,997020 0,997814 0,998411 0,5 0,99977
0,979818 0,984222 0,987776 0,990613 0,992857
0,939429 0,950528 0,959941 0,967843 0,974412
0,853141 0,874928 0,894350 0,911492 0,926471
0,708840 0,742154 0,773373 0,802238 0,828944
0,519938 0,559618 0,598706 0,636831 0,673645
0,06
0,994766 0,996093 0,997110 0,997882 0,998462 0,6 0,99984
0,980301 0,984614 0,988089 0,990862 0,993053
0,940620 0,951543 0,960796 0,968557 0,975002
0,855428 0,876976 0,896165 0,913085 0,927855
0,712260 0,745373 0,776373 0,805106 0,831472
0,523922 0,563560 0,602568 0,640576 0,677242
0,07
0,994915 0,996207 0,997197 0,997948 0,998511 0,7 0,99892
0,980774 0,984997 0,988369 0,991106 0,993244
0,941792 0,952540 0,961636 0,969258 0,975581
0,857690 0,879000 0,897958 0,914656 0,929219
0,715661 0,748571 0,779350 0,807850 0,833977
0,527903 0,567495 0,606420 0,644309 0,680822
0,08
0,995060 0,996319 0,997282 0,998012 0,998559 0,8 0,99993
0,981237 0,985371 0,988696 0,991344 0,991344
0,942947 0,953521 0,962462 0,969946 0,976148
0,859929 0,881000 0,899727 0,916207 0,930563
0,719043 0,751748 0,782305 0,810570 0,836457
0,531881 0,571424 0,610261 0,648027 0,684386
0,09
0,995201 0,996427 0,997365 0,998074 0,998605 0,9 0,99995
0,981691 0,985738 0,988989 0,991576 0,993613
0,944083 0,954486 0,963273 0,970621 0,976704
0,862143 0,882977 0,901475 0,917736 0,931889
0,722405 0,754903 0,785236 0,813267 0,838913
0,535856 0,575345 0,614092 0,651732 0,587933
174 12 Grundlagen der Statistik
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Tabelle 1
Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
175
Tabelle 2 t f;p
Quantilen der t-Verteilung nach „Student”
p=1− f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40
0,841
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
0,9995
1,84 1,32 1,2 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,03 1,02 1,02 1,02 1,01 1
3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,41 1,4 1,38 1,37 1,34 1,33 1,32 1,31 1,3 1,28
6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,72 1,71 1,7 1,68 1,64
12,71 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,06 2,04 2,02 1,96
31,8 6,96 4,54 3,74 3,36 3,14 3 2,9 2,82 2,76 2,6 2,53 2,49 2,46 2,42 2,33
63,66 9,92 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,25 3,17 2,95 2,85 2,79 2,75 2,7 2,58
636,62 31,6 12,94 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,58 4,07 3,85 3,72 3,65 3,5 3,29
Tabelle 3 Quantilen der ( 2 -Verteilung
= 0,05 p f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100
/2 0,025 0,001 0,015 0,216 0,484 0,831 1,24 2,17 2,18 2,7 3,25 9,69 16,79 24,43 32,36 74,22
1 − /2 0,975 5,02 7,38 9,35 11,14 12,8 14,45 16 17,54 19,00 20,84 23,17 46,98 59,34 71,42 129,56
( 2f,/2 , ( 2f,1− /2 = 0,01 /2 0,005 0 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 7,34 13,79 20,71 27,99 67,33
1 − /2 0,995 7,88 10,60 12,84 14,86 16,7 18,55 20,3 21,96 23,6 25,19 40 53,67 66,77 79,49 140,17
176
12 Grundlagen der Statistik
Tabelle 4 F f 1 ,f 2 ;p
Quantilen der F-Verteilung
1-α
f1
3
4
5
6
8
10
15
20
50
100
f2 0,95 0,99
3
9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 8,7 8,7 8,6 8,6 8,5 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,9 26,7 26,4 26,2 26,1
0,95 0,99
4
6,6 6,4 6,3 6,2 6,0 6,0 5,9 5,8 5,7 5,7 5,6 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 14,0 13,7 13,6 13,5
0,95 0,99
5
5,4 5,2 5,0 5,0 4,8 4,7 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1
0,95 0,99
6
4,8 9,8
4,5 9,2
4,4 8,8
4,3 8,5
4,2 8,1
0,95 0,99
8
4,1 7,6
3,8 7,0
3,7 6,6
3,6 6,4
0,95 0,99
10
3,7 6,6
3,5 6,0
3,3 5,6
0,95 0,99
15
3,3 5,4
3,1 4,9
0,95 0,99
20
3,1 4,9
0,95 100 0,99 0,95 0,99
4,6 9,7
4,6 9,6
4,4 9,2
4,4 9,1
4,4 9,0
4,1 7,9
3,9 7,6
3,9 7,4
3,8 7,1
3,7 7,0
3,7 6,9
3,4 6,0
3,4 5,8
3,2 5,5
3,2 5,4
3,0 5,1
3,0 5,0
2,9 4,9
3,2 5,4
3,1 5,1
3,0 4,8
2,8 4,6
2,8 4,4
2,6 4,1
2,6 4,0
2,5 3,9
2,9 4,6
2,8 4,3
2,6 4,0
2,5 3,8
2,4 3,5
2,3 3,4
2,2 3,1
2,1 3,0
2,1 2,9
2,9 4,4
2,7 4,1
2,6 3,9
2,4 3,6
2,4 3,4
2,2 3,1
2,1 3,0
2,0 2,6
1,9 2,5
1,8 2,4
2,7 4,0
2,5 3,5
2,3 3,2
2,2 3,0
2,0 2,7
1,9 2,5
1,8 2,2
1,7 2,1
1,5 1,7
1,4 1,6
1,3 1,4
2,6 3,8
2,4 3,3
2,2 3,0
2,1 2,8
1,9 2,5
1,8 2,3
1,7 2,0
1,6 1,9
1,4 1,5
1,2 1,4
1,0 1,0
Literaturhinweise Baumann, Eberhard: Vermessungskunde: Lehr- und Übungsbuch für Ingenieure Band 1: Einfache Lagemessung und Nivellement, 5. Auflage 1999 Band 2: Punktbestimmung nach Lage und Höhe, 6. Auflage 1998 Bonn: Ferd. Dümmler Fröhlich, Hans : Vermessungstechnische Handgriffe, 4. Auflage 1995 Bonn: Ferd. Dümmler Gerstbach, Gottfried: Zur Lösung ellipsoidischer Aufgaben mit elektronischen Taschenrechnern ZfV 1974 S. 207 Heck, Bernhard: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung 3. Auflage 2003 Heidelberg: Wichmann Joeckel, Rainer; Stober, Manfred: Elektronische Entfernungs- und Richtungsmessung, 4. Auflage 1999 Stuttgart: Wittwer Kahmen, Heribert: Vermessungskunde, 19. überarbeitete Auflage 1997 Berlin: W. de Gruyter Matthews, Volker: Vermessungskunde Teil 1: 29. Auflage 2003; Teil 2: 17. Auflage 1997 Stuttgart: Teubner Resnik Boris; Bill, Ralf Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich 2. Auflage 2003 Heidelberg: Wichmann Schödlbauer, Albert: Rechenformeln und Rechenbeispiele zur Landesvermessung Wichmann- Skripten Heft 2 Teil 1-3 1982, Karlsruhe: Wichmann Vermessungswesen: Normen ( DIN Taschenbuch 111 ) 6. Auflage 1998; Berlin: Beuth Witte, Bertold und Schmidt, Hubert: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen 5. Auflage 2004 Heidelberg: Wichmann
Internetportale www.adv-online.de www.sapos.de www.ascos.de www.terramapserver.de earth.google.de
Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen Satellitenpositionierungsdienst der dt. Landesvermessung Satellitenreferenzdienst der E.ON Ruhrgas AG Luftbilder und Geodaten-Internetportal Satellitenbilder
Stichwortverzeichnis A Abbildungsreduktion, 69 Ableitungen, 11 Abriss, 72 Absteckung, 136 von Geraden, 136 von Kreisbogen, 137 Abszissenausgleichung, 106 Additionstheoreme, 28 Affin - Transformation, 103 Ähnlichkeitssätze, 15 Alignementreduktion, 57 Arcusfunktionen, 25 Arithmetische Folge, 9 Reihe, 9 Assoziativgesetze, 7 Atmosphäre, 62 Ausgleichende Gerade, 105 Ausgleichungsrechnung, 155
DIN Blattgrößen, 1 DIN Faltungen, 2, 3 Distributivgesetz, 7 Doppelzentrierung, 74 Dreieck Gleichschenkliges, 18 Gleichseitiges, 18 Durchhangreduktion, 57
E Einheitsklotoide, 145 Ellipse, 23 Ellipsoidische Höhen, 122 Ellipsoidische Koordinaten, 32 Entfernungsmessung reflekterlose, 82 Erdellipsoid, 31 Erwartungswert, 162 Exzentrische Richtungsmessung, 73 Streckenmessung, 77
B Barrell, 62 Basislattenmessung, 58 Bezugsflächen, 31 Bezugsrichtungen, 36 Bezugssysteme, 30 Binomialkoeffizient, 10 Binomische Formeln, 10 Binomischer Satz, 10 Bogenschnitt, 84 Brechzahl, 62 repräsentative, 62 Bruchrechnen, 7
D Deklination, 36 DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz, 30 Differentialrechnung, 11
F Fakultät, 10 Fehlerfortpflanzungsgesetz, 169 Fehlertheorie, 95 Feinnivellement, 123 Flächenberechnung aus Koordinaten, 46 aus Maßzahlen, 45 aus Polarkoordinaten, 46 eine Kreisfläche, 45 eines Kreisabschnitts, 45 eines Kreisausschnitts, 45 eines Dreiecks, 45 eines Trapez, 45 Flächenmaße, 5 Flächenreduktion, 46 Flächenteilungen, 47 Dreieck, 47 Viereck, 48
Stichwortverzeichnis Folge, 9 Arithmetische, 9 Geometrische, 9 Freie Standpunktwahl, 88 Frequenz, 61 Frequenzkorrektion, 63
Geometrische, 122 Geometrisches Nivellement, 122 Trigonometrische, 130 Höhennetzausgleichung, 161 Höhenreduktion, 69 Höhensatz, 18
G
I
Gauß-Krüger-Koordinaten, 34, 111 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem, 34 Gaußsche Flächenformel, 46 Gebäudeaufnahme mit reflekterloser Entfernungsmessung, 82 Gebrochener Strahl, 78 Genauigkeit, 128 des Nivellement, 128 Geographische Koordinaten, 32, 109 Geoid, 119 Geometrische Folge, 9 Reihe, 9 Geometrisches Nivellement, 122 Geopotenielle Kote, 120 Geradenschnitt, 43 Geschwindigkeitskorrektion, 67 Gewichte, 173 Gleichung, 8 Lineare, 8 Quadratische, 8 Goldener Schnitt, 16 Gon, 5 Gradiente, 148 Griechisches Alphabet, 1 Guldinsche Regel, 150
Impulsverfahren, 61 Inkreisradius, 17
H Halbwinkelsätze, 27 Helmert - Transformation, 101 Herablegung, 76 Höhe und Höhenfußpunkt, 42 Höhenindexkorrektion, 51 Höhenknotenpunkt, 125 Höhenmessung
179
K Kalibrierkorrektion, 57 Kanalstab, 81 Kathetensatz, 18 Kegel, 154 Kegelstumpf, 154 Keil, 154 Kettenregel, 11 Kippachsenfehler, 49 Kleinpunktberechnung, 40 Klotoide, 145 Kohlrausch, 62 Kommutativgesetze, 7 Kongruenzsätze, 15 Koordinaten, 109 Gauß-Krüger, 109 UTM-, 114 WGS 84, 115 Koordinatensystem Ellipsoidisches geographisches, 32 Ellipsoidisches kartesisches, 32 Gauß - Krüger, 34 Rechtwinkig-spärisches, 32 Sphärisches geographisches, 32 Koordinatentransformation, 99 Korbbogen, 144 Korrektion, 57 Frequenz-, 63 Kalibrier-, 57 Maßstabs-, 64 Meteorologische, 67 Nullpunkts-, 64 Temperatur-, 57
180
Stichwortverzeichnis
Zyklische, 63 Kosinusfunktion, 24 Kosinussatz, 26 Kotangesfunktion, 24 Kovarianzfortpflanzungsgesetz, 170 KRAMERsche Regel, 14 Kreis, 21 -abschnitt, 21 -bogen, 21 -fläche, 21 -umfang, 21 Kreisbogenabsteckung, 137 Kugeldreieck, 29 Rechtwinkliges, 29 Schiefwinkliges, 29 Kuppenausrundung, 149
L Längenmaße, 4 Längsabweichung, 91 Längsneigung, 148 Lichtgeschwindigkeit, 61 Lineare Gleichung, 8 Lineare Querabweichung, 91 Logarithmen, 9
M MACLAURINsche Form, 12 Maßeinheiten, 4 Maßstab, 6 Maßstabskorrektion, 64 Maßverhältnisse, 6 Matrizenrechnung, 13 Mengenberechnung aus Höhenlinien, 151 aus Prismen, 152 aus Querprofilen, 150 einer Rampe, 153 Meridiankonvergenz, 36 Messabweichungen, 162 Messunsicherheit, 167 Meteorologische Korrektionen, 67 Mittelsenkrechte, 17 Mittelwert, 9, 10
Allgemeiner artihmetischer, 10 Arithmetischer, 10 Geometrischer, 10 Harmonische, 10
N Nadelabweichung, 36 Neigungsreduktion, 67 Nepersche Regel, 29 Niveauflächen, 118 Nivellement, 122 Geometrisches, 122 Trigonometrisches, 133 Nivellementstrecke, 124 Nordrichtung Geographisch-Nord, 36 Gitter-Nord, 36 Magnetisch-Nord, 36 Normalhöhen, 121 Normalhöhennull, 119 Normalverteilung, 164 Nullhypothese, 166 Nullpunktskorrektion, 64
O Obelisk, 154 Ordinatenausgleichung, 105 Orientierungsunbekannte, 72
P Parallelogramm, 19 Phasenvergleichsverfahren, 61 Polarkoordinaten, 33 Polarpunktberechnung, 39 Polygonzug -berechnung, 91 Potenzen, 8 Potenzreihenentwicklung, 12 Produktregel, 11 Projektionssatz, 27 Punktbestimmung Bogenschnitt, 84 dreidimensional polare, 80
Stichwortverzeichnis Freie Standpunktwahl, 88 mit Kanalstab, 81 polare, 79 Polarverfahren, 79 Polygonzug, 90 Vorwärtseinschnitt, 85 Pyramide, 154 Pyramidenstumpf, 154 Pythagoras, 18
Q Quadrat, 19 Quadratische Gleichungen, 8 Quasigeoid, 119 Quasigeoidundulation, 122 Quotientenregel, 11
R Radiant, 5 Raummaße, 5 Raute, 19 Rechteck, 19 Rechtwinkliges Dreieck, 18 Reduktion Abbildungs-, 69 Alignement-, 57 Durchhang-, 57 Geometrische, 67 Höhen-, 69 Neigungs-, 67, 68 Refernzellipsoid, 31 Refraktionskoeffizient, 132 Reichenbach, 60 Reihe, 9 Arithmetische, 9 Geometrische, 9 Richtungsmessung, 52, 73 Exzentrische, 73 Satzweise, 52 Richtungswinkel, 37, 38 Ringpolygon, 93 Rückwärtseinschnitt nach Cassini, 87
S Satz des Thales, 23 Satz von Pythagoras, 18 Satzvereinigung, 54 Schnitt - Gerade - Kreis, 44 Schwerebeschleunigung, 118 Schwerepotential, 118 Sears, 62 Sehnensatz, 22 Seitenhalbierende, 17 Seitwärtseinschnitt, 86 Sekantensatz, 22 Signalgeschwindigkeit, 61 Signifikanztest für den Mittelwert, 166 für Varianzen, 166 Signum, 7 Sinusfunktion, 24 Sinussatz, 26 Spannmaßberechnung, 38 Standardabweichung, 163 Standpunktzentrierung, 73 Statistik, 162 Stehachsenfehler, 51 Strahlensätze, 16 Strecke, 38 Streckenmessung, 57, 77 Elektronische, 61 Exzentrische, 77 mit Messbändern, 57 Optische, 58 Parallaktische, 59 Strichentfernungsmessung, 60
T Tangensfunktion, 24 Tangenssatz, 27 Tangentensatz, 22 Tangentenschnittwinkel, 138 TAYLORsche Formel, 12 Teilung, 16 einer Strecke, 16 Harmonische, 16 Stetige, 16
181
182
Stichwortverzeichnis
Temperaturkorrektion, 57 Testverfahren, 166 Thales, Satz des, 23 Toleranzen, 167, 168 Trägerwelle, 62 Transformation, 98 Affin -, 103 Ebene, 98 Helmert -, 101 Räumliche -, 107 zwei identischen Punkten, 99 Trapez, 19 Trigonometrisches Nivellement, 133 Turmhöhenbestimmung, 134 Horizontales Hilfsdreieck, 134 Vertikales Hilfsdreieck, 135
U Umkreisradius, 17 Universales Transversales Mercator-Koordinatensystem (UTM-System), 35 UTM-Koordinaten, 35, 113
V Varianz, 162 Varianzfortpflanzungsgesetz, 169 Verbundkurve, 147 Vertikalwinkelmessung, 55 Vertrauensniveau, 165 Vetrauensbereiche, 165 Vetrauensintervall für die Standardabweichung, 165 Vieleck, 20 Allgemeines, 20 Regelmäßiges, 20 Viereck, 19 Viertelmethode, 142 Vorsätze, 4 Vorsatzzeichen, 4 Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel, 85 über Richtungswinkel, 86
W Wahrscheinlichkeitsfunktion, 164 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 164 Wannenausrundung, 148 Winkel -maße, 5 Winkelarten, 15 Außenwinkel im Dreieck, 15 Nebenwinkel, 15 Scheitelwinkel, 15 Stufenwinkel, 15 Wechselwinkel, 15 Winkelfunktionen, 24 Winkelhalbierende, 17 Winkelmessung, 49 mit dem Vermessungskreisel, 56 mit der Bussole, 56 mit Horizontschluss, 53 Satzvereinigung, 54 Winkelsummen, 15 Wurzeln, 8
Z Zenitwinkelmessung, 131 einseitige, 131 Zentrierung, 73 Zielachsenfehler, 49 Ziellinienüberprüfung, 126, 127 aus der Mitte, 126 nach Förstner, 127 nach Kukkamäki, 126 nach Näbauer, 127 Zielpunktzentrierung, 73 Zufallsgrößen, 162 Zufallskomponente, 167 Zulässige Abweichungen, 129 für Flächenberechnung, 46 für Nivellement, 129 für Polygonzüge, 94 für Strecken, 71 Zyklische Korrektion, 63 Zylinder, 154
