Mathematische Formelsammlung: für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 10. Auflage

Lothar Papula Mathematische Formelsammlung

Lothar Papula

Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler 10., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit über 400 Abbildungen, zahlreichen Rechenbeispielen und einer ausführlichen Integraltafel STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1986 2., durchgesehene und erweiterte Auflage 1988 3., verbesserte Auflage 1990 4., verbesserte Auflage 1994 5., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage 1998 6., durchgesehene Auflage 2000 7., durchgesehene und erweiterte Auflage 2001 8., durchgesehene und ergänzte Auflage 2003 9., durchgesehene und erweiterte Auflage 2006 unveränderter Nachdruck 2009 10., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Gabriele McLemore, Wiesbaden Bilder: Graphik & Text Studio, Dr. Wolfgang Zettlmeier, Barbing Satz: Druckhaus „Thomas Müntzer“, Bad Langensalza Druck und buchbinderische Verarbeitung: Stürtz GmbH, Würzburg Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0757-1

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Vorwort zur 10. Auflage

Das Studium der Ingenieur- und Naturwissenschaften verlangt nach rasch zuga¨nglichen Informationen. Die vorliegende Mathematische Formelsammlung fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler wurde dementsprechend gestaltet. Zur Auswahl des Stoffes Ausgehend von der elementaren Schulmathematik (z. B. Bruchrechnung, Gleichungen mit einer Unbekannten, Lehrsa¨tze aus der Geometrie) werden alle fu¨r den Ingenieur und Naturwissenschaftler wesentlichen mathematischen Stoffgebiete behandelt. Dabei wurde der bewa¨hrte Aufbau des dreiba¨ndigen Lehrbuches Mathematik fu¨r Ingenieure und Naturwissenschaftler konsequent beibehalten. Der Benutzer wird dies sicherlich als hilfreich empfinden. Im Anhang dieser Formelsammlung befinden sich eine ausfu¨hrliche Integraltafel mit u¨ber 400 in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders ha¨ufig auftretenden Integralen (Teil A) sowie wichtige Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik (Teil B). Der Druck dieser Tafel erfolgte auf eingefa¨rbtem Papier, um einen raschen Zugriff zu ermo¨glichen. Behandelt werden folgende Stoffgebiete:                

Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie Vektorrechnung Funktionen und Kurven Differentialrechnung Integralrechnung Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen Lineare Algebra Komplexe Zahlen und Funktionen Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen Gewo¨hnliche Differentialgleichungen Fehler- und Ausgleichsrechnung Fourier-Transformationen Laplace-Transformationen Vektoranalysis Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen der mathematischen Statistik

nderungen gegenu¨ber der 9. Auflage Die Kapitel I bis XIII wurden u¨berarbeitet und an verschiedenen Stellen erweitert.

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Vorwort

Zur Darstellung des Stoffes Die Darstellung der mathematischen Begriffe, Formeln und Sa¨tze erfolgt in anschaulicher und allgemeinversta¨ndlicher Form. Wichtige Formeln wurden gerahmt und grau unterlegt und zusa¨tzlich durch Bilder verdeutlicht. Zahlreiche Beispiele helfen, die Formeln treffsicher auf eigene Problemstellungen anzuwenden. Ein ausfu¨hrliches Inhalts- und Sachwortverzeichnis ermo¨glicht ein rasches Auffinden der gewu¨nschten Informationen. Eine Bitte des Autors Fu¨r Hinweise und Anregungen –– insbesondere auch aus dem Kreis der Studentenschaft –– bin ich stets dankbar. Sie sind eine unverzichtbare Voraussetzung und Hilfe fu¨r die stetige Verbesserung dieser Formelsammlung. Ein Wort des Dankes . . . . . . an alle Fachkollegen und Studenten, die durch Anregungen und Hinweise zur Verbesserung dieses Werkes beigetragen haben, . . . an die Mitarbeiter des Verlages, ganz besonders aber an Frau Gabriele McLemore und Herrn Thomas Zipsner, fu¨r die hervorragende Zusammenarbeit wa¨hrend der Entstehung und Drucklegung dieses Werkes, . . . an Frau Schulz vom Druck- und Satzhaus „Thomas Mu¨ntzer“ fu¨r den ausgezeichneten mathematischen Satz. Wiesbaden, Sommer 2009

Lothar Papula

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Inhaltsverzeichnis

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie . . . . . .

1

1 Grundlegende Begriffe u¨ber Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 1.2

Definition und Darstellung einer Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2

2 Rechnen mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1.1 Natu¨rliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2.1.2 Rationale, irrationale und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1.3 Rundungsregeln fu¨r reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.1.4 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade . . . . . . . . . . . 5 2.1.5 Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Binomischer Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Elementare (endliche) Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1 3.2 3.3 3.4

Definition einer (endlichen) Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arithmetische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Zahlenreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 16 16 16

4 Gleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.1

4.2 4.3 4.4 4.5

Algebraische Gleichungen n-ten Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Kubische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Allgemeine Lo¨sungshinweise fu¨r Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphisches Lo¨sungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regula falsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangentenverfahren von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 18 18 18 20 21 22 23 24

5 Ungleichungen mit einer Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

VIII

Inhaltsverzeichnis

6 Lehrsa¨tze aus der elementaren Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ho¨hensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kathetensatz (Euklid) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Satz des Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strahlensa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 26 27 27 27 28 28

7 Ebene geometrische Ko¨rper (Planimetrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.1

7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 7.12

Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Allgemeine Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Spezielle Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.1 Rechtwinkliges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.2 Gleichschenkliges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2.3 Gleichseitiges Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechteck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parallelogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rhombus oder Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regula¨res n-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreissektor oder Kreisausschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreissegment oder Kreisabschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreisring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31 32 32 32 32 33 33

8 Ra¨umliche geometrische Ko¨rper (Stereometrie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 8.17 8.18 8.19

Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wu¨rfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pyramidenstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tetraeder oder dreiseitige Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Keil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerader Kreiszylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerader Kreiskegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gerader Kreiskegelstumpf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelausschnitt oder Kugelsektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelschicht oder Kugelzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kugelabschnitt, Kugelsegment, Kugelkappe oder Kalotte . . . . . . . . . . . . . . . Ellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rotationsparaboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tonne oder Fass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Torus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Guldinsche Regeln fu¨r Rotationsko¨rper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 34 34 34 35 35 36 36 36 37 37 37 38 38 38 39 39 40 40

Inhaltsverzeichnis

IX

9 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.1

9.2

Ebene Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.1 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.3.3 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems . . . . . . . Ra¨umliche Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 42 42 42 42 43 44 44 44 44 45 45

II Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.1 1.2 1.3 1.4

Vektoren und Skalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichheit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kollineare, parallele und antiparallele Vektoren, inverser Vektor . . . . . . . . . .

46 46 47 47

2 Komponentendarstellung eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.1 2.2 2.3

Komponentendarstellung in einem kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . 48 Komponentendarstellung spezieller Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt (inneres Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorprodukt (a¨ußeres Produkt, Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spatprodukt (gemischtes Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeln fu¨r Mehrfachprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 51 51 53 55 56

4 Anwendungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.1 4.2

Arbeit einer konstanten Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorielle Darstellung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Zwei-Punkte-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 57 57 58

X

Inhaltsverzeichnis

4.3

4.2.4 Abstand zweier paralleler Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Abstand zweier windschiefer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . Vektorielle Darstellung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Punkt-Richtungs-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Drei-Punkte-Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Ebene senkrecht zu einem Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Abstand zweier paralleler Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene . . 4.3.8 Schnittwinkel zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.9 Schnittgerade zweier Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 60 60 60 61 62 62 63 64 65 66 66

III Funktionen und Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 1.1 1.2

Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellungsformen einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Parameterdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Kurvengleichung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67 67 67 67 68 68

2 Allgemeine Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periodizita¨t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umkehrfunktion (inverse Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 69 69 70 70

3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Grenzwert einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Grenzwert fu¨r x ! x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Grenzwert fu¨r x !  1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln fu¨r Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwertregel von Bernoulli und de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 72 72 72 72 73 74

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4.1 4.2

Definition der ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) . . . . . . . . . . Lineare Funktionen (Geraden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Allgemeine Geradengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Hauptform einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 75 75 75 75 76

Inhaltsverzeichnis

4.3

4.4

4.5 4.6 4.7

4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Abstand eine Punktes von einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadratische Funktionen (Parabeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Hauptform einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Produktform einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Scheitelpunktsform einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynomfunktionen ho¨heren Grades (n-ten Grades) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Abspaltung eines Linearfaktors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Nullstellen einer Polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Produktdarstellung einer Polynomfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Horner-Schema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung) . . . . . . . . . . . . Interpolationspolynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Allgemeine Vorbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Interpolationsformel von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Interpolationsformel von Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

76 76 76 77 77 77 78 78 78 78 78 78 79 80 81 81 81 83

5 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 5.2 5.3

Definition der gebrochenrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Nullstellen, Definitionslu¨cken, Pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1 6.2 6.3

Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

7.7

Winkelmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definition der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangens- und Kotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen . . . . . . Trigonometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Formeln fu¨r halbe Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Formeln fu¨r Winkelvielfache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Formeln fu¨r Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.5 Formeln fu¨r Summen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.6 Formeln fu¨r Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen in der Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) . . . . . . . . . . . . 7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung . . . . . . . . . . 7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90 91 92 93 93 94 94 95 95 96 96 97 97 97 98 98 98

XII

Inhaltsverzeichnis

7.7.3

Superposition (berlagerung) gleichfrequenter harmonischer Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1 8.2 8.3

Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Arkusstangens- und Arkuskotangensfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

9 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 9.1 9.2

Definition der Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Abklingfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Sa¨ttigungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Wachstumsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.4 Gauß-Funktion (Gaußsche Glockenkurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.5 Kettenlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 104 104 104 105 105 105

10 Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.1 10.2

Definition der Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Spezielle Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

11 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 11.1 11.2 11.3

Definition der Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Formeln fu¨r halbe Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Formeln fu¨r Vielfache des Arguments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.4 Formeln fu¨r Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.5 Formeln fu¨r Summen und Differenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.6 Formeln fu¨r Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.7 Formel von Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 108 109 109 109 110 110 111 111 111

12 Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 12.1 12.2

Definition der Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

13 Kegelschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 13.1 13.2

Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Geometrische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung) . . . . . . 13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobener Kreis) . . . . . 13.2.4 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2.5 Parameterdarstellung eines Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114 114 114 115 115 115 115

Inhaltsverzeichnis

13.3

13.4

13.5

Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.1 Geometrische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung) . . . . . . 13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Ellipse) . . . 13.3.4 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3.5 Parameterdarstellung einer Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Geometrische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung) . . . . . 13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Hyperbel) 13.4.4 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.5 Parameterdarstellung einer Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.6 Gleichung einer um 90 gedrehten Hyperbel . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkligen Hyperbel ða ¼ bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.1 Geometrische Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Parabel) . . . 13.5.4 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.5 Parameterdarstellung einer Parabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIII

116 116 116 116 117 117 118 118 118 118 119 120 120 120 121 121 121 121 122 122

14 Spezielle Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10

Gewo¨hnliche Zykloide (Rollkurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Epizykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypozykloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Astroide (Sternkurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardioide (Herzkurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lemniskate (Schleifenkurve) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strophoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cartesisches Blatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Kleeblatt‘‘ mit n bzw. 2n Bla¨ttern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.1 Archimedische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.10.2 Logarithmische Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123 123 124 125 125 126 126 127 127 128 128 128

IV Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1 Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Differenzenquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentialquotient oder 1. Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ho¨here Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 129 129 130 130

2 Erste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

XIV

Inhaltsverzeichnis

3 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10

Faktorregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Implizite Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungen einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) . . . Ableitungen einer in Polarkoordination dargestellten Kurve . . . . . . . . . . . . .

132 132 132 133 133 135 135 136 136 137

4 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung . . . . . . Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monotonie und Kru¨mmung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Kru¨mmung einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relative Extremwerte (relative Maxima, relative Minima) . . . . . . . . . . . . . . . Wendepunkte, Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 138 138 139 139 140 141 143

V Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 1.1 1.2 1.3

Definition eines bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Berechnung eines bestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Elementare Integrationsregeln fu¨r bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

2 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 2.1 2.2 2.3

Definition eines unbestimmten Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Tabelle der Grund- oder Stammintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

3 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.1 3.2 3.3

3.4 3.5

Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Allgemeines Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partielle Integration (Produktionsintegration) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Integration der Partialbru¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden . . . . . . . . . . . . . Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Trapezformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Simpsonsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Romberg-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150 150 151 153 154 154 157 158 158 158 159 161

Inhaltsverzeichnis

XV

4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.1 4.2

Unendliches Integrationsintervall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

5 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.1 5.2 5.3

5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

Integration der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeit einer ortsabha¨ngigen Kraft (Arbeitsintegral) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare und quadratische Mittelwerte einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Linearer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Quadratischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion . . . . . . . . . . . . . Fla¨cheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fla¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fla¨chentra¨gheitsmomente (Fla¨chenmomente 2. Grades) . . . . . . . . . . . . . . . . Bogenla¨nge einer ebenen Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen eines Rotationsko¨rpers (Rotationsvolumen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mantelfla¨che eines Rotationsko¨rpers (Rotationsfla¨che) . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwerpunkt eines homogenen Rotationsko¨rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massentra¨gheitsmoment eines homogenen Ko¨rpers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

165 165 166 166 166 166 166 168 169 169 170 171 172 173

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 1.1 1.2

1.3

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe . . . . . . . . . . . Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Vergleichskriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium fu¨r alternierende Reihen . . . . . 1.2.5 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen . . . Spezielle konvergente Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

175 175 175 176 176 177 177 178 178 178

2 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 2.1 2.2 2.3

Definition einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe . . . . . . . . . . . . 180 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

3 Taylor-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Taylorsche und Mac Laurinsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Mac Laurinsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Taylorsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mac Laurinsche Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Na¨herungspolynome einer Funktion (mit Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181 181 181 182 182 183 185

XVI

Inhaltsverzeichnis

4 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fourier-Zerlegung einer nichtsinusfo¨rmigen Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187 187 189 191

VII Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 1 Reelle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 n-dimensionale Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Definition einer reellen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Gleichheit von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Spezielle quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Dreiecksmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Symmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6 Orthogonale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Rechenoperationen fu¨r Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Multiplikation von Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Regula¨re Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Definition einer inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix A1 unter Verwendung von Unterdeterminanten . . . . . . . . . . . 1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A1 nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) . . . . . 1.6 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1.2 Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2.1 Rangbestimmung einer (m; n)-Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten . . . . . . . . . . . 1.6.2.2 Rangbestimmung einer (m; n)-Matrix A mit Hilfe elementarer Umformungen . . . . . . . . . . . . . . . .

194 194 194 196 197 197 197 198 198 198 198 198 199 199 199 199 200 201 201 201 202

204

2 Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Zweireihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Dreireihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Determinanten ho¨herer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Unterdeterminate Dik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) Aik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Definition einer n-reihigen Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

205 205 206 207 207 207 207

202 202 203 203 203 203 203 204 204

Inhaltsverzeichnis

2.4 2.5 2.6

XVII

Laplacescher Entwicklungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenregeln fu¨r n-reihige Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante . . . . . . . 2.6.1 Elementare Umformungen einer n-reihigen Determinante . . . . . . . 2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer n-reihigen Determinante . . . .

208 208 210 210 210

3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 3.1 3.2

3.3 3.4

3.5 3.6

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lo¨sungsverhalten eines linearen (m; n)-Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit eines linearen (m; n)-Systems Ax ¼ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Lo¨sungsmenge eines linearen (m; n)-Systems Ax ¼ c . . . . . . . . . Lo¨sungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems . . . . . . . Lo¨sungsverfahren fu¨r ein lineares Gleichungssystem nach Gauß (Gaußscher Algorithmus) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 quivalente Umformungen eines linearen (m; n)-Systems . . . . . . . 3.4.2 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Unabha¨ngigkeit von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

211 211 211 212 212 212 213 214 214 214 217 217

4 Komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Definition einer komplexen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechenoperationen und Rechenregeln fu¨r komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . Konjugiert komplexe Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konjugiert transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Hermitesche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Schiefthermitesche Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Unita¨re Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218 219 219 220 220 220 220 221

5 Eigenwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.1 5.2

Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix . . . . . . . . . . . . . . 221 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller n-reihiger Matrizen . . . . . . . . . . . . 223

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 1.1 1.2 1.3

Algebraische oder kartesische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polarformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Trigonometrische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Polarform ! Kartesische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Kartesische Form ! Polarform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

224 225 225 225 226 226 226

XVIII

Inhaltsverzeichnis

2 Grundrechenarten fu¨r komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 2.1 2.2 2.3

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

3 Potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 4 Radizieren (Wurzelziehen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 5 Natu¨rlicher Logarithmus einer komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 6 Ortskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6.1 6.2 6.3

Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ortskurve einer parameterabha¨ngigen komplexen Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Inversion einer Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

7 Komplexe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.1 7.2

7.3

Definition einer komplexen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitionsgleichungen einiger elementarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Exponentialfunktion (e-Funktion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wichtige Beziehungen und Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Eulersche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imagina¨rem Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen fu¨r komplexes Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imagina¨rem Argument . . . . . . . . .

234 234 234 234 235 235 235 235 235 235 236

8 Anwendungen in der Schwingungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 8.1 8.2

Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Ungesto¨rte berlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen („Superpositionsprinzip‘‘) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 1.1 1.2

Definition einer Funktion von mehreren Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Analytische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Fla¨che im Raum . . . . . . . 1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2.3 Ho¨henliniendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

239 239 239 240 240 240 240

Inhaltsverzeichnis

1.3

Spezielle Fla¨chen (Funktionen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Rotationsfla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfla¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2.2 Spezielle Rotationsfla¨chen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XIX

241 241 241 241 242

2 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Partielle Ableitungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ . . . . Partielle Ableitungen ho¨herer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verallgemeinerte Kettenregel (Differentiation nach einem Parameter) . . . . . . Totales oder vollsta¨ndiges Differential einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Linearisierung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Relative Extremwerte (relative Maxima, relative Minima) . . . . . . . 2.5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Lagrangesches Multiplikatorverfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 243 244 245 246 247 249 249 250 251

3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 3.1

3.2

Doppelintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Definition eines Doppelintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten . . 3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten . . . . . . . . . 3.1.4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4.1 Fla¨cheninhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fla¨che . . . . . . . . 3.1.4.3 Fla¨chentra¨gheitsmomente (Fla¨chenmomente 2. Grades) Dreifachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Definition eines Dreichfachintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Berechnung eines Dreichfachintegrals in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten . . . . . 3.2.4 Berechnung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten . . . . . . . 3.2.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.1 Volumen eines zylindrischen Ko¨rpers . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.2 Schwerpunkt eines homogenen Ko¨rpers . . . . . . . . . . . . . 3.2.5.3 Massentra¨gheitsmoment eines homogenen Ko¨rpers . . . .

253 253 254 256 256 256 257 258 259 259 260 262 262 263 263 263 264

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 1.1 1.2 1.3 1.4

Definition einer gewo¨hnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung . . . . . . . Lo¨sungen einer Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

266 266 266 267

XX

Inhaltsverzeichnis

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 2.1 2.2 2.3 2.4

2.5

Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen . . . . . . . . . . . . Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen lo¨sbar sind (Tabelle) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung . . . . . . 2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung . . . . . . . 2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung . . . . . 2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten . . . . . . . . . . . 2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung 2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung . . . . . . . . . . 2.5.1 Streckenzugverfahren von Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.3 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267 268 269 270 270 270 270 270 271 271 273 273 275 276

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 3.1 3.2

3.3

Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zuru¨ckfu¨hren lassen . . . . . . . . . . . . . . . Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung . . . . . . . 3.2.2.1 Wronski-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2.2 Allgemeine Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung . . . . . Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung . . . . . . . . . .

279 280 280 280 280 280 281 284

4 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 4.1

4.2

Mechanische Schwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Freie ungeda¨mpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Freie geda¨mpfte Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.1 Schwache Da¨mpfung (Schwingungsfall) . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3.3 Aperiodisches Verhalten bei starker Da¨mpfung (Kriechfall) 4.1.4 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung . . . 4.1.4.2 Stationa¨re Lo¨sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elektrische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . .

287 287 287 288 288 289 289 290 290 290 291

5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 292 5.1

Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

Inhaltsverzeichnis

5.2 5.3

Integration der homogenen linearen Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Wronski-Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Allgemeine Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . .

XXI

292 292 293 294

6 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 6.1 6.2 6.3

Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration des homogenen linearen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Integration des inhomogenen linearen Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Integration durch Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung . . . . . . . . . 6.3.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

295 296 297 297 297

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 1 Gaußsche Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 2 Auswertung einer Messreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 3.1 3.2

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r eine Funktion von zwei unabha¨ngigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r eine Funktion von n unabha¨ngigen Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

4 Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 5 Ausgleichskurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 5.1 5.2 5.3

Ausgleichung nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadrate . . . . . . . 307 Ausgleichs- oder Regressionsgerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Ausgleichs- oder Regressionsparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

XII Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 2 Spezielle Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 3.1 3.2 3.3

Sprungfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Rechtechige Impulse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Diracsche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssa¨tze) . . . . . . . . . . . 324 4.1 4.2 4.3 4.4

Linearita¨tssatz (Satz u¨ber Linearkombinationen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungssatz (Zeitverschiebungssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Da¨mpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

324 324 325 326

XXII

4.5 4.6 4.7 4.8

Inhaltsverzeichnis

Ableitungssa¨tze (Differentiationssa¨tze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Originalfunktion . . . . 4.5.2 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Bildfunktion . . . . . . . Integrationssa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertauschungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

327 327 328 329 329 330

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 5.1 5.2 5.3

Allgemeines Lo¨sungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 331 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 332

6 Tabellen spezieller Fourier-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

XIII Laplace-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssa¨tze) . . . . . . . . . . 340 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Linearita¨tssatz (Satz u¨ber Linearkombinationen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hnlichkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungssa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Da¨mpfungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ableitungssa¨tze (Differentiationssa¨tze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Originalfunktion . . . . 2.5.2 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Bildfunktion. . . . . . . . Integrationssa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Integrationssatz fu¨r die Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.2 Integrationssatz fu¨r die Bildfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Faltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grenzwertsa¨tze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

340 341 342 343 343 343 345 345 345 346 347 348

3 Laplace-Transformierte einer periodischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 4 Laplace-Transformierte spezieller Funktionen (Impulse) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 5 Anwendung: Lo¨sung linearer Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 5.1 5.2 5.3

Allgemeines Lo¨sungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 356 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . 357

6 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

Inhaltsverzeichnis

XXIII

XIV Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 1 Ebene und ra¨umliche Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 1.1 1.2

1.3 1.4 1.5

Vektorielle Darstellung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Ableitung einer Vektorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Tangentenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Ableitungsregeln fu¨r Summen und Produkte . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bogenla¨nge einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . Kru¨mmung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

363 364 364 364 364 365 366 366 367

2 Fla¨chen im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 2.1 2.2 2.3 2.4

Vektorielle Darstellung einer Fla¨che . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fla¨chenkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fla¨chennormale und Fla¨chenelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tangentialebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Tangentialebene beim Fla¨chentyp ~ r ¼~ r ðu; vÞ . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Tangentialebene beim Fla¨chentyp z ¼ f ðx; yÞ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Tangentialebene beim Fla¨chentyp Fðx; y; zÞ ¼ 0 . . . . . . . . . . . . .

369 370 370 371 371 372 372

3 Skalar- und Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 3.1 3.2

Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

4 Gradient eines Skalarfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 5.1 5.2 5.3

Divergenz eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 Spezielle Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379

6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in speziellen Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 6.1 6.2 6.3

Darstellung in Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 Darstellung in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 Darstellung in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

7 Linien- oder Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Linienintegral in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linienintegral im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wegunabha¨ngigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . Konservative Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arbeitsintegral (Arbeit eines Kraftfeldes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

387 389 389 390 391

XXIV

Inhaltsverzeichnis

8 Oberfla¨chenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 8.1 8.2

Definition eines Oberfla¨chenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals in symmetriegerechten Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals unter Verwendung von Fla¨chenparametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

392 393 393 394

9 Integralsa¨tze von Gauß und Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 9.1 9.2

Gaußscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Stokes’scher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 1.1 1.2 1.3

Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398 Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Variationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 3 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Absolute und relative Ha¨ufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laplace-Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bedingte Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Multiplikationssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stochastisch unabha¨ngige Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mehrstufige Zufallsexperimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

402 403 403 404 404 405 405

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 4.1 4.2 4.3

Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 Kennwerte oder Maßzahlen einer Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410

5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 5.1 5.2 5.3 5.4

Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypergeometrische Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Approximationen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabelle) . . . . .

412 414 416 417

6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 6.1

Gaußsche Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 6.1.1 Allgemeine Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 6.1.2 Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Inhaltsverzeichnis

XXV

6.1.3 6.2

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . 420 6.1.4 Quantile der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . 423 7.1 7.2

Mehrdimensionale Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen, Linearkombinationen und Produkte von Zufallsvariablen . . . . . . . 7.2.1 Additionssa¨tze fu¨r Mittelwerte und Varianzen . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Multiplikationssatz fu¨r Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

423 425 425 426 426

8 Pru¨f- oder Testverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 8.1 8.2

Chi-Quadrat-Verteilung („ c 2-Verteilung“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 t-Verteilung von Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 1.1 1.2 1.3

Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Ha¨ufigkeitsverteilung einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben . . . . . . . 434

2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 2.1 2.2 2.3

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe . . . . . . . . . . . 437 Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Ha¨ufigkeitsfunktion . . . . 439 Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . 440

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 3.1 3.2

3.3

Aufgaben der Parameterscha¨tzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scha¨tzfunktionen und Scha¨tzwerte fu¨r unbekannte Parameter („Punktscha¨tzungen“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Scha¨tz- und Stichprobenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Scha¨tzungen fu¨r den Mittelwert m und die Varianz s 2 . . . . . . . . 3.2.3 Scha¨tzungen fu¨r einen Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Scha¨tzwerte fu¨r die Parameter spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertrauens- oder Konfidenzintervalle fu¨r unbekannte Parameter („Intervallscha¨tzungen“) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei bekannter Varianz s 2 . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz s 2 . . . . . . . . . . .

441 441 441 442 443 443 444 444 445 446

XXVI

Inhaltsverzeichnis

3.3.4 3.3.5 3.3.6 3.3.7

Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m bei einer beliebigen Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertrauensintervalle fu¨r die unbekannte Varianz s 2 einer Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vertrauensintervalle fu¨r einen unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Musterbeispiel fu¨r die Bestimmung eines Vertrauensintervalls . . . .

447 448 449 450

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“) . . . . . 451 4.1 4.2

Statistische Hypothesen und Parametertests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spezielle Parametertests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Test fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei bekannter Varianz s 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Test fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz s 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Tests fu¨r die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte m1 und m2 zweier Normalverteilungen („Differenzentests“) . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.1 Differenzentests fu¨r Mittelwerte bei abha¨ngigen Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3.2 Differenzentests fu¨r Mittelwerte bei unabha¨ngigen Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Tests fu¨r die unbekannte Varianz s 2 einer Normalverteilung . . . 4.2.5 Tests fu¨r den unbekannten Anteilswert p (Parameter p einer Binomialverteilung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

451 452 452 454 455 456 457 461 463 465

5 Chi-Quadrat-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466

XXVII

Anhang

Teil A

Integraltafel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale

mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit

ax þ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax þ b und px þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2 þ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2  x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax2 þ bx þ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a3  x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a4 þ x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a4  x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b und px þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b und px þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  x 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2  a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax2 þ bx þ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin ðaxÞ und cos ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . einer Arkusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinh ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cosh ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinh ðaxÞ und cosh ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tanh ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coth ðaxÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . einer Areafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

471 472 473 474 476 478 478 478 479 480 481 482 484 486 488 490 492 494 497 497 498 499 500 502 503 504 505 505 506

XXVIII

Anhang

Teil B

Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik . . . . . . . . . . . 507 Tabelle 1:

Verteilungsfunktion fðuÞ der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . 508

Tabelle 2:

Quantile der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

Tabelle 3:

Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512

Tabelle 4:

Quantile der t-Verteilung von „Student“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514

Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516

1

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

1 Grundlegende Begriffe u¨ber Mengen 1.1 Definition und Darstellung einer Menge Menge Unter einer Menge M versteht man die Zusammenfassung gewisser wohlunterschiedener Objekte, Elemente genannt, zu einer Einheit. a 2 M : a ist ein Element von M ða geho¨rt zur Menge MÞ a 62 M : a ist kein Element von M ða geho¨rt nicht zur Menge MÞ Beschreibende Darstellungsform M ¼ fx j x besitzt die Eigenschaften E1 ; E2 ; E3 ; . . .g Aufza¨hlende Darstellungsform M ¼ fa1 ; a2 ; . . . ; an g: Endliche Menge mit n Elementen M ¼ fa1 ; a2 ; a3 ; . . .g: Unendliche Menge Leere Menge Eine Menge heißt leer, wenn sie kein Element entha¨lt. Symbolische Schreibweise: f g; ; Teilmenge Eine Menge A heißt Teilmenge einer Menge B, wenn jedes Element von A auch zur Menge B geho¨rt. Symbolische Schreibweise: A  B. A heißt Untermenge, B Obermenge.

B

A

Gleichheit von Mengen Zwei Mengen A und B heißen gleich, wenn jedes Element von A auch Element von B ist und umgekehrt. Symbolische Schreibweise: A ¼ B

2

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

1.2 Mengenoperationen Durchschnitt zweier Mengen (Schnittmenge) Die Schnittmenge A \ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu A als auch zu B geho¨ren:

A

B

A

B

A

B

A \ B ¼ fx j x 2 A und x 2 Bg Vereinigung zweier Mengen (Vereinigungsmenge) Die Vereinigungsmenge A [ B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A oder zu B oder zu beiden Mengen geho¨ren: A [ B ¼ fx j x 2 A oder

x 2 Bg

Differenz zweier Mengen (Differenzmenge, Restmenge) Die Differenz- oder Restmenge A n B zweier Mengen A und B ist die Menge aller Elemente, die zu A, nicht aber zu B geho¨ren: A n B ¼ fx j x 2 A und

x 62 Bg

2 Rechnen mit reellen Zahlen 2.1 Reelle Zahlen und ihre Eigenschaften 2.1.1 Natu¨rliche und ganze Zahlen N ¼ f0; 1; 2; . . .g

Menge der natu¨rlichen Zahlen

N* ¼ f1; 2; 3; . . .g

Menge der positiven ganzen Zahlen

Hinweis: Die Zahl 0 geho¨rt nach DIN 5473 zu den natu¨rlichen Zahlen. N* ist die Menge der natu¨rlichen Zahlen ohne 0, d. h. N* ¼ N n f0g. Eigenschaften: Addition und Multiplikation sind in der Menge N unbeschra¨nkt durchfu¨hrbar.

2 Rechnen mit reellen Zahlen

3

Primzahl p Natu¨rliche Zahl gro¨ßer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. &

Beispiele Die ersten Primzahlen lauten: 2, 3, 5, 7, 11, 13, . . . &

Zerlegung in Primfaktoren Jede natu¨rliche Zahl n  2 la¨sst sich eindeutig in ein Produkt aus Primzahlen zerlegen. &

Beispiel 140 ¼ 2  70 ¼ 2  2  35 ¼ 2  2  5  7 ¼ 2 2  5  7 &

Gro¨ßter gemeinsamer Teiler (ggT) ggT mehrerer Zahlen: gro¨ßte Zahl, die gemeinsamer Teiler der gegebenen Zahlen ist. Regel: Man zerlegt die Zahlen in Primfaktoren und bildet das Produkt der ho¨chsten Potenzen von Primfaktoren, die allen gegebenen Zahlen gemeinsam sind. &

Beispiel 9 > =

60 ¼ 2 2  3 1  5 1 72 ¼ 2 3  3 2 ggT ¼ 2  3 2

1

¼ 12

> ;

)

12 ist die gro¨ßte Zahl, durch die 60 und 72 gemeinsam teilbar sind. &

Kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) kgV mehrerer Zahlen: kleinste Zahl, die alle gegebenen Zahlen als Teiler entha¨lt. Regel: Man zerlegt die Zahlen in Primfaktoren und bildet das Produkt der jeweils ho¨chsten Potenzen von Primfaktoren, die in mindestens einer der gegebenen Zahlen auftreten. &

Beispiel 9 > =

60 ¼ 2 2  3 1  5 1 72 ¼ 2 3  3 2 kgV ¼ 2  3  5 3

2

1

¼ 360

> ;

)

360 ist die kleinste Zahl, die durch 60 und 72 teilbar ist. &

4

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

Einige Teilbarkeitsregeln Eine natu¨rliche Zahl ist teilbar durch . . .

wenn . . .

2

die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist,

3

die Quersumme durch 3 teilbar ist,

4

die aus den beiden letzten Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist,

5

die letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist.

Ganze Zahlen Z ¼ f0;  1;  2;  3; . . .g

Menge der ganzen Zahlen

Auch u¨bliche Schreibweise: Z ¼ f. . . ,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, . . .g : Addition, Subtraktion und Multiplikation sind in der Menge Z unbeschra¨nkt durchfu¨hrbar. 2.1.2 Rationale, irrationale und reelle Zahlen Die Menge Q der rationalen Zahlen entha¨lt alle endlichen und unendlichen periodischen Dezimalbru¨che (Dezimalzahlen): Q ¼

n

x j x ¼

a b

mit

a 2 Z

o und b 2 N *

Menge der rationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen bestehen aus allen unendlichen nichtperiodischen Dezimalbru¨chen (Dezimalzahlen). Die Menge R der reellen Zahlen entha¨lt die rationalen und irrationalen Zahlen und somit sa¨mtliche (endlichen und unendlichen) Dezimalbru¨che (Dezimalzahlen). &

Beispiele (1) (2) (3)

33 ¼ 4;125 8 1 ¼ 0;333333 . . . 3 pffiffiffi 2 ¼ 1;414213 . . .

endliche Dezimalzahl (rational) unendliche periodische Dezimalzahl (rational) unendliche nichtperiodische Dezimalzahl (irrational) &

2 Rechnen mit reellen Zahlen

5

2.1.3 Rundungsregeln fu¨r reelle Zahlen In der Praxis wird mit endlich vielen Dezimalstellen nach dem Komma gerechnet. Bei Rundung auf n Dezimalstellen nach dem Komma gelten dann folgende Regeln:

(3)

Es wird abgerundet, wenn in der ðn þ 1Þ-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 0, 1, 2, 3 oder 4 steht. Es wird aufgerundet, wenn in der ðn þ 1Þ-ten Dezimalstelle nach dem Komma eine 5, 6, 7, 8 oder 9 steht. Rundungsfehler:  0;5  10 n

&

Beispiele

(1) (2)

Wir runden die nachfolgenden Zahlen auf 3 Dezimalstellen nach dem Komma (die in der 4. Dezimalstelle nach dem Komma stehende Ziffer (Pfeil) entscheidet dabei u¨ber Ab- oder Aufrundung): 4;517863 . . .  4;518 # Aufrundung

Fehler:  0;5  10 3 ¼ 0;0005

0;417346 . . .  0;417 # Abrundung

Fehler:  0;5  10 3 ¼ 0;0005

&

2.1.4 Darstellung der reellen Zahlen auf der Zahlengerade Zahlengerade Die bildliche Darstellung einer reellen Zahl erfolgt durch einen Punkt auf einer Zahlengerade, wobei positive Zahlen nach rechts und negative Zahlen nach links, jeweils vom Nullpunkt aus, abgetragen werden:

–2,5 –2

–1

0

1

2

2,5

Anordnung der Zahlen auf der Zahlengerade a < b

(a kleiner b)

a ¼ b

(a gleich b)

a > b

(a gro¨ßer b)

Weitere Ungleichungen: a  b

(a kleiner oder gleich b)

a  b

(a gro¨ßer oder gleich b)

a

b a=b

b

a

6

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

Betrag einer reellen Zahl Der Betrag j a j einer reellen Zahl a ist der Abstand des Bildpunktes vom Nullpunkt: 8 < a jaj ¼ 0 : a

fur €

9 a > 0=

a

ðj a j  0Þ a ¼ 0 ; a < 0

0

a

Rechenregeln fu¨r Betra¨ge (1)

ja  bj  jaj þ jbj

(2)

jaj  jbj  jaj þ jbj

(3)

j a1 þ a2 þ . . . þ an j  j a1 j þ j a2 j þ . . . þ j an j

(4)

jabj ¼ jaj  jbj a jaj   ðb 6¼ 0Þ   ¼ b jbj

(5)

Beachte:

jxj ¼ a

,

(Dreiecksungleichung)

x1= 2 ¼  a ða > 0Þ

Signum (Vorzeichen) einer reellen Zahl 8 < 1 sgn ðaÞ ¼ 0 : 1

fur €

9 a > 0= a ¼ 0 ; a < 0

2.1.5 Grundrechenarten Es sind vier Grundrechenarten erkla¨rt: 1. Addition

! Summe a þ b

(a, b: Summanden)

2. Subtraktion

! Differenz a  b

(a, b: Minuend bzw. Subtrahend)

3. Multiplikation

! Produkt a  b a ! Quotient b

(a, b: Faktoren)

4. Division

(a, b: Dividend bzw. Divisor; b 6¼ 0Þ

Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier reeller Zahlen ergeben wieder reelle Zahlen. Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist verboten! a oder Andere Schreibweisen fu¨r Produkte bzw. Quotienten: a  b oder a b bzw. b a = b oder a : b.

2 Rechnen mit reellen Zahlen

7

Rechenregeln aþb ¼ bþa ab ¼ ba

Kommutativgesetze Assoziativgesetze

a þ ðb þ cÞ ¼ ða þ bÞ þ c a ðb cÞ ¼ ða bÞ c a ðb þ cÞ ¼ a b þ a c

Distributivgesetz

2.2 Zahlensysteme Dezimalsystem (dekadisches oder Zehnersystem) Basis: a ¼ 10

Zehn Ziffern: 0; 1; 2; . . . ; 9

Die Darstellung einer (reellen) Zahl erfolgt durch Entwicklung nach fallenden Potenzen der Basis a ¼ 10. Es handelt sich dabei um ein Stellenwert- oder Positionssystem, d. h. der Wert einer Ziffer ha¨ngt von der Position (Stelle) ab. &

Beispiel 1998 ¼ 1000 þ 900 þ 90 þ 8 ¼ 1  10 3 þ 9  10 2 þ 9  10 1 þ 8  10 0 # # # # 1

9

9

8

Schreibweise: (1998)10 , wobei der Index 10 die Basis des Systems kennzeichnet. Sind Mißversta¨ndnisse ausgeschlossen, darf der Index weggelassen werden. &

Dualsystem (bina¨res oder Zweiersystem) Basis: a ¼ 2

Zwei Ziffern:

0, 1

Die Entwicklung einer (reellen) Zahl erfolgt hier nach fallenden Potenzen der Basis a ¼ 2 (Rechenbasis der Computersysteme). &

Beispiele (1)

ð1001:1Þ2 ¼ 1  2 3 þ 0  2 2 þ 0  2 1 þ 1  2 0 þ 1  2 1 ¼ 1 ¼ ð9;5Þ10 ¼ 8þ0þ0þ1þ 2

(2)

Wir stellen die Zahl ð11Þ10 aus dem Dezimalsystem im Dualsystem dar: ð11Þ10 ¼ 11 ¼ 8 þ 2 þ 1 ¼ 1  2 3 þ 0  2 2 þ 1  2 1 þ 1  2 0 # # # # 1

0

1

1

Ergebnis: ð11Þ10 ¼ ð1011Þ2 &

8

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

2.3 Intervalle Intervalle sind spezielle Teilmengen von R, die auf der Zahlengerade durch zwei Randpunkte a und b begrenzt werden ða < bÞ. Endliche Intervalle ½a; b ¼ fx j a  x  bg

oder

a  x  b

½a; bÞ ¼ fx j a  x < bg

oder

a  x < b

ða; b ¼ fx j a < x  bg oder

a < x  b

ða; bÞ ¼ fx j a < x < bg

a < x < b

oder

)

abgeschlossenes Intervall halboffene Intervalle offenes Intervall

Unendliche Intervalle ½a; 1Þ

¼ fx j a  x < 1Þ

oder

a  x < 1

oder

x  a

ða; 1Þ

¼ fx j a < x < 1Þ

oder

a < x < 1

oder

x > a

ð1; b

¼ fx j 1 < x  bg

oder

1 < x  b

oder

x  b

ð1; b Þ ¼ fx j 1 < x < bg

oder

1 < x < b oder

x < b

ð1; 0Þ R 

oder

Rþ

oder

ð0; 1Þ

ð1; 1Þ R

oder

1 < x < 0

oder

x < 0

0 < x < 1 oder

x > 0

1 < x < 1

oder

jxj < 1

2.4 Bruchrechnung Hinweis: Die nachfolgenden Begriffe und Regeln lassen sich sinngema¨ß auch auf mathematische Ausdru¨cke u¨bertragen. Ein Bruch a = b heißt echt, wenn j a j < j b j ist, sonst unecht. Kehrwert einer Zahl 8 < a Der Kehrwert von

:

9 1=a = ist

a=b

b=a

;

ðmit a 6¼ 0, b 6¼ 0Þ

Regel: Bei der Kehrwertbildung werden Za¨hler und Nenner miteinander vertauscht. &

Beispiel Der Kehrwert von 2 ist

1 3 4 ¼ 0,5, der Kehrwert von ist . 2 4 3

&

2 Rechnen mit reellen Zahlen

9

Erweitern eines Bruches mit einer Zahl k 6¼ 0 a ak ¼ b bk Regel: Za¨hler und Nenner werden mit derselben Zahl k 6¼ 0 multipliziert. &

Beispiel Wir erweitern den Bruch

2 mit der Zahl 3: 5

2 2 3 6 ¼ ¼ 5 53 15 &

Ku¨rzen eines Bruches durch eine Zahl k 6¼ 0 a a=k ¼ b b=k

a k c c ¼ ¼ b k d d

bzw.

(Kurzen € des gemeinsamen Faktors kÞ

Regel: Za¨hler und Nenner werden durch dieselbe Zahl k 6¼ 0 dividiert. &

Beispiel Wir ku¨rzen den Bruch

15 durch 5: 25

15 15=5 3 ¼ ¼ 25 25=5 5

bzw:

15 53 3 ¼ ¼ 25 55 5 &

Addition und Subtraktion zweier Bru¨che a c ad bc  ¼ b d bd Regel: Die Bru¨che werden gleichnamig gemacht, d. h. auf einen gemeinsamen Nenner, den sog. Hauptnenner, gebracht. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner. &

Beispiel 3 2 35þ24 15 þ 8 23 þ ¼ ¼ ¼ 4 5 45 20 20

ðHauptnenner : 4  5 ¼ 20Þ &

10

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

Multiplikation zweier Bru¨che a c ac  ¼ b d bd Regel: Zwei Bru¨che werden multipliziert, indem man ihre Za¨hler und ihre Nenner miteinander multipliziert. &

Beispiel 3 5 35 15  ¼ ¼ 4 7 47 28 &

Division zweier Bru¨che (Doppelbruch) a c a d ad : ¼  ¼ b d b c bc Regel: Zwei Bru¨che werden dividiert, indem man mit dem Kehrwert des Divisors (Kehrwert des Nennerbruches) multipliziert. &

Beispiel 4 5 4 7 47 28 : ¼  ¼ ¼ 3 7 3 5 35 15

 Divisor :

5 7

 &

2.5 Potenzen und Wurzeln Potenz a n Unter einer Potenz a n versteht man ein Produkt mit n gleichen Faktoren a: an ¼ a  a  a ... a |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} n Faktoren

ða 2 RÞ n: Exponent oder Hochzahl ðn 2 N *Þ

a: Basis oder Grundzahl

Ferner (fu¨r a 6¼ 0Þ: a 0 ¼ 1; a n ¼ &

1 an

Beispiele (1)

5 4 ¼ 5  5  5  5 ¼ 625

(2)

2 3 ¼

1 1 1 ¼ ¼ 23 222 8

&

2 Rechnen mit reellen Zahlen

11

Rechenregeln fu¨r Potenzen a m  a n ¼ a mþn

(2)

am ¼ a mn an

(3)

ða m Þ n ¼ ða n Þ m ¼ a m  n

(4)

a n  b n ¼ ða  bÞn  a n an ¼ ðb 6¼ 0Þ n b b

(5)

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

(1)

ða 6¼ 0Þ

m; n 2 N *; a; b 2 R

Im Falle a > 0; b > 0 gelten die Potenzregeln sogar fu¨r beliebige reelle Exponenten. Ferner (fu¨r a > 0Þ: a b ¼ e b  ln a &

Beispiele (1)

3 2  3 3 ¼ 3 2 þ 3 ¼ 3 5 ¼ 243

(2)

ð5 4 Þ 2 ¼ 5 4  2 ¼ 5 2 ¼ 25  3 20 3 20 ¼ ¼ 4 3 ¼ 64 5 53 1

(3)

Wurzel

1

&

p ffiffiffi n a

Die eindeutig bestimmte nichtnegative Lo¨sung x der Gleichung x n ¼ a mit a  0 heißt n-te Wurzel aus a ðn ¼ 2; 3; 4; . . .Þ. Symbolische Schreibweise: x ¼

ffiffiffi p n a

oder

1

x ¼ an

a: Radikand ða  0Þ n: Wurzelexponent ðn ¼ 2; 3; 4; . . .Þ

Anmerkungen pffiffiffi (1) n a ist diejenige nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist. pffiffiffi (2) n a la¨sst sich pffiffiffi auch als Potenz der Basis a mit dem rationalem Exponenten 1=n darstellen: n a ¼ a 1=n . Es gelten die Potenzregeln (1) bis (5). pffiffiffi pffiffiffi (3) 2 a ¼ a : Quadratwurzel aus a (der Wurzelexponent wird meist weggelassen) ffiffiffi p 3 a : Kubikwurzel aus a pffiffiffiffiffiffi (4) Man beachte: a 2 ¼ j a j (5)

Das Wurzelziehen oder Radizieren ist die zum Potenzieren inverse Operation: pffiffiffi b ¼ a n , a ¼ n b (nur fu¨r a  0, b  0)

12

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

ffiffiffiffiffiffi p pffiffiffi 1 m 1 n a m ¼ ða m Þ n ¼ a n ¼ ða n Þ m ¼ ð n aÞ m pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi pffiffiffi 1 1 1 m p n a ¼ m a1 n ¼ ða n Þ m ¼ a m  n ¼ m  n a pffiffiffiffiffi ffiffiffi pffiffiffi p 1 1 n a  n b ¼ ða 1 n Þ  ðb n Þ ¼ ða bÞ n ¼ n ab rffiffiffiffiffi p ffiffiffi 1 a1n n a an n a p ffiffiffi ¼ 1 ¼ ðb > 0Þ ¼ n b b b bn

(1) (2) (3) (4) Merke: &

(3)

m; n 2 N *; a  0; b  0

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffi pffiffiffi n a  b 6¼ n a  n b

Beispiele ffiffiffi p pffiffiffi 2 (1) 9 ¼ 9 ¼ 3; (2)

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

Rechenregeln fu¨r Wurzeln

p ffiffiffiffiffi 3 21 ¼ 2;7589 ;

qffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 4 256 ¼ 4 2 8 ¼ ð2 8 Þ 4 ¼ 2 8  4 ¼ 2 2 ¼ 4

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 6 2;5 2 ¼ 2;5 6 ¼ 2;5 3 ¼ 3 2;5 ¼ 1;3572 ffiffiffiffiffi ffi q ffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffi pffiffiffi 4 1 1 1 1 1 1 4 p 3 6 ¼ 6 3 ¼ ð6 3 Þ 4 ¼ 6 3  4 ¼ 6 12 ¼ 12 6 ¼ 1;1610 &

2.6 Logarithmen Logarithmus log a r Jede positive Zahl r > 0 ist als Potenz einer beliebigen positiven Basis a > 0, a 6¼ 1 in der Form r ¼ a x darstellbar. Die eindeutig bestimmte Lo¨sung x der Gleichung r ¼ a x heißt Logarithmus von r zur Basis a. Symbolische Schreibweise: r: Numerus ðr > 0Þ

x ¼ log a r

a: Basis ða > 0; a 6¼ 1Þ

Anmerkungen (1) (2) (3)

Logarithmen ko¨nnen nur von positiven Zahlen gebildet werden und sind noch von der Basis abha¨ngig! Fu¨r jede (zula¨ssige) Basis a gilt: log a a ¼ 1; log a 1 ¼ 0. log a ða x Þ ¼ x (fu¨r a > 0; a 6¼ 1 und x 2 R)

(4)

a log a x ¼ x

&

Beispiele (1)

5 x ¼ 125

(2)

log 4 64 ¼ 3

(3)

log 10

(fu¨r a > 0; a 6¼ 1 und x > 0)

)

1 ¼ 2 100

x ¼ log 5 125 ¼ 3

ðwegen 125 ¼ 5 3 Þ ðwegen 64 ¼ 4 3 Þ   1 1 ¼ 10  2 wegen ¼ 2 100 10

&

2 Rechnen mit reellen Zahlen

13

(1) (2) (3) (4)

log a ðu  vÞ ¼ log a u þ log a v u log a ¼ log a u  log a v v log a ðu k Þ ¼ k  log a u   p ffiffiffi 1 n log a u ¼  log a u n

|fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

Rechenregeln fu¨r Logarithmen

a > 0; u > 0; v > 0; k 2 R; n 2 N *

Spezielle Logarithmen 1. Zehnerlogarithmus (Briggscher oder dekadischer Logarithmus): log 10 r lg r 2. Zweierlogarithmus (bina¨rer Logarithmus): log 2 r lb r 3. Natu¨rlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis): log e r ln r ðe ¼ 2;718281 . . . ¼ Eulersche ZahlÞ &

Beispiele (1) (2) (3)

1 ðwegen 1 ¼ 2 0 und 8 ¼ 2 3 Þ ¼ log 2 1  log 2 8 ¼ 0  3 ¼  3 8 ln 104 ¼ 4;6444 pffiffiffiffiffi 1 1 1  lg 24 ¼  1;3802 ¼ 0;4601 lg 3 24 ¼ lg ð24 3 Þ ¼ 3 3

log 2

&

Umrechnung von der Basis a in die Basis b (mit a > 0, b > 0, a 6¼ 1, b 6¼ 1) log b r ¼

log a r 1 ¼  log a r ¼ K  log a r log a b log a b

ðr > 0Þ

Regel: Beim Basiswechsel a ! b werden die Logarithmen mit einer Konstanten K (dem Kehrwert von log a b) multipliziert. Spezialfa¨lle (1)

Basiswechsel 10 ! e: lg r lg r ln r ¼ ¼ ¼ 2;3026  lg r lg e 0;4343

(2)

Basiswechsel e ! 10: ln r ln r ¼ ¼ 0;4343  ln r lg r ¼ ln 10 2;3026

14

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

2.7 Binomischer Lehrsatz n-Fakulta¨t n! (gelesen: „ n Fakulta¨t“) ist definitionsgema¨ß das Produkt der ersten n positiven ganzen Zahlen: n ! ¼ 1  2  3 . . . ðn  1Þ n ¼

n Q

ðn 2 N *Þ

k

k¼1

Erga¨nzend definiert man: 0 ! ¼ 1 Zerlegung: ðn þ 1Þ ! ¼ 1  2  3 . . . n  ðn þ 1Þ ¼ n ! ðn þ 1Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} n!

Der Binomische Lehrsatz Die Potenzen eines Binoms a þ b lassen sich nach dem Binomischen Lehrsatz wie folgt entwickeln ðn 2 N *Þ: ða þ bÞ n ¼ a n þ

n 1

a n1  b 1 þ ... þ

¼

n   X n k¼0

Die Koeffizienten dungsgesetz lautet: n k

¼

k n k

a nk  b k ¼

n 2 

a n2  b 2 þ

3

a n3  b 3 þ . . .

n  1 a  b n1 þ b n ¼ n1

n   X n k¼0

n

k

a k  b nk

(gelesen: „ n u¨ber k “) heißen Binomialkoeffizienten, ihr Bil-

n ðn  1Þ ðn  2Þ . . . ½n  ðk  1Þ n! ¼ k! k ! ðn  kÞ !

ðk  nÞ

Entwicklung fu¨r ða  bÞ n : Im Binomischen Lehrsatz wird b formal durch  b ersetzt (Vorzeichenwechsel bei den ungeraden Potenzen von b). Anmerkung La¨sst man fu¨r den Exponenten n auch reelle Werte zu, so erha¨lt man die allgemeine (unendliche) Binomische Reihe (siehe Tabelle VI.3.4). Das Bildungsgesetz der Binomialkoeffizienten bleibt dabei erhalten.

2 Rechnen mit reellen Zahlen

15

Einige Eigenschaften der Binomialkoeffizienten n 0 n k

¼ ¼

n n 

n

¼ 1

n nk

¼ 0

k n



fur €



n k þ1

þ

k

n

k > n 

 ¼

nþ1 k þ1

1



¼



n  ¼ n n1

Pascalsches Dreieck zur Bestimmung der Binomialkoeffizienten n Der Binomialkoeffizient steht in der ðn þ 1Þ-ten Zeile an ðk þ 1Þ-ter Stelle. k Zeile 1

1 1

1

2

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1

2

1

3

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1

3

3

1

4

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1

4

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1

5

6

4

1

5

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

10

10

5

1

6

|fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl}

1 :

&

6 :

15 :

15

20

:

" :   6 3

6 :

1 :

7 :

Beispiel   6 ¼ 20 (7. Zeile, 4. Stelle; eingekreiste Zahl im obigen Pascalschen Dreieck) 3

Die ersten binomischen Formeln ða þ bÞ 2 ¼ a 2 þ 2 a b þ b 2 ða þ bÞ

3

(1. Binom)

¼ a þ 3a b þ 3a b þ b3 3

2

2

ða þ bÞ 4 ¼ a 4 þ 4 a 3 b þ 6 a 2 b 2 þ 4 a b 3 þ b 4 ða  bÞ 2 ¼ a 2  2 a b þ b 2

(2. Binom)

ða  bÞ 3 ¼ a 3  3 a 2 b þ 3 a b 2  b 3 ða  bÞ 4 ¼ a 4  4 a 3 b þ 6 a 2 b 2  4 a b 3 þ b 4 ða þ bÞ ða  bÞ ¼ a 2  b 2

(3. Binom)

&

16

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

3 Elementare (endliche) Reihen 3.1 Definition einer (endlichen) Reihe Unter einer endlichen Reihe versteht man die Summe a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼ a1 : Anfangsglied

n P k¼1

ak ak : allgemeines Reihenglied (k ¼ 1, 2, . . . , nÞ

an : Endglied

3.2 Arithmetische Reihen Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant: ak þ 1  ak ¼ const: ¼ d. Die Reihe besitzt den Summenwert a þ ða þ dÞ þ ða þ 2 dÞ þ . . . þ ½ a þ ðn  1Þ d ¼   n 2 a þ ðn  1Þ d ¼ 2 a: Anfangsglied

n P k¼1

½ a þ ðk  1Þ d ¼

an ¼ a þ ðn  1Þ d : Endglied

Bildungsgesetz der arithmetischen Reihe: ak ¼ a þ ðk  1Þ d

ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

3.3 Geometrische Reihen Der Quotient zweier aufeinanderfolgender Glieder ist konstant: Reihe besitzt den Summenwert a þ a q þ a q 2 þ . . . þ a q n1 ¼ a: Anfangsglied

n P k¼1

a q k1 ¼

a ðq n  1Þ q1

ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Fu¨r q ¼ 1 hat die geometrische Reihe den Summenwert n a

3.4 Spezielle Zahlenreihen

(2)

ðq 6¼ 1Þ

an ¼ a q n  1 : Endglied

Bildungsgesetz der geometrischen Reihe: ak ¼ a q k  1

(1)

ak þ 1 ¼ const: ¼ q. Die ak

n P

n ðn þ 1Þ 2 k¼1 n P ð2 k  1Þ ¼ n 2 1 þ 3 þ 5 þ . . . þ ð2 n  1Þ ¼

1 þ 2 þ 3 þ ... þ n ¼

k ¼

k¼1

4 Gleichungen mit einer Unbekannten n P

(3)

2 þ 4 þ 6 þ ... þ 2n ¼

(4)

12 þ 22 þ 32 þ ... þ n2 ¼

(5)

(6)

k¼1

17

2 k ¼ n ðn þ 1Þ n P k¼1

k2 ¼

1 2 þ 3 2 þ 5 2 þ . . . þ ð2 n  1Þ 2 ¼ 13 þ 23 þ 33 þ ... þ n3 ¼

n P k¼1

n ðn þ 1Þ ð2 n þ 1Þ 6

n P k¼1

k3 ¼

ð2 k  1Þ 2 ¼

n ð2 n  1Þ ð2 n þ 1Þ 3

n 2 ðn þ 1Þ 2 4

4 Gleichungen mit einer Unbekannten 4.1 Algebraische Gleichungen n-ten Grades 4.1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen Eine algebraische Gleichung n-ten Grades besitzt die allgemeine Form an x n þ an  1 x n  1 þ . . . þ a1 x þ a0 ¼ 0

ðan 6¼ 0; ak 2 RÞ

Eigenschaften (1)

(2) (3)

Die Gleichung besitzt ho¨chstens n reelle Wurzeln oder Lo¨sungen. La¨sst man auch komplexe Lo¨sungen zu, so gibt es genau n Lo¨sungen, wobei grundsa¨tzlich mehrfache Werte entsprechend oft geza¨hlt werden (Fundamentalsatz der Algebra, siehe auch VIII.4). Fu¨r ungerades n hat die Gleichung mindestens eine reelle Lo¨sung, fu¨r gerades n dagegen braucht die Gleichung keine reelle Lo¨sung zu haben. Komplexe Lo¨sungen treten (wenn u¨berhaupt) stets paarweise auf, na¨mlich in konjugiert komplexer Form (siehe VIII.1.1).

Allgemeine Lo¨sungsformeln existieren nur fu¨r n  4. Fu¨r n > 4 ist man auf Na¨herungsverfahren angewiesen (z. B. auf das Tangentenverfahren von Newton, siehe I.4.5). Ist eine reelle Lo¨sung x1 der algebraischen Gleichung n-ten Grades bekannt (eine solche Lo¨sung la¨sst sich ha¨ufig durch Erraten oder Probieren finden), so kann die Gleichung durch Abspalten des zugeho¨rigen Linearfaktors x  x1 im Grad um Eins erniedrigt werden (siehe Horner-Schema, III.4.5).

18

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

4.1.2 Lineare Gleichungen Allgemeine Form einer linearen Gleichung (mit Lo¨sung): a1 x þ a0 ¼ 0

)

x1 ¼ 

a0 a1

ða1 6¼ 0Þ

4.1.3 Quadratische Gleichungen Allgemeine Form a2 x 2 þ a1 x þ a0 ¼ 0

ða2 6¼ 0Þ

Normalform mit Lo¨sungen (sog. „ p, q-Formel“) x þ px þ q ¼ 0 2

)

Die Diskriminante D ¼

x1=2

p  ¼  2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s  pffiffiffiffi p 2 p  D q ¼  2 2

 2 p  q entscheidet dabei u¨ber die Art der Lo¨sungen: 2

D > 0: Zwei verschiedene reelle Lo¨sungen D ¼ 0: Eine doppelte reelle Lo¨sung D < 0: Zwei zueinander konjugiert komplexe Lo¨sungen (siehe VIII.1.1) Vietascher Wurzelsatz x1 þ x2 ¼  p ; x1 ; x2 : &

x1 x2 ¼ q

Wurzeln (Lo¨sungen) der quadratischen Gleichung

Beispiel ð p ¼  4; q ¼  5Þ x2  4x  5 ¼ 0  2  2 p 4 q ¼ þ 5 ¼ ð 2Þ 2 þ 5 ¼ 4 þ 5 ¼ 9 > 0 D ¼ 2 2 )

Zwei verschiedene reelle Lo¨sungen pffiffiffi 9 ¼ 2  3; d. h. x1 ¼ 5;

x1=2 ¼ 2 

x2 ¼  1

x1 þ x2 ¼ 5  1 ¼ 4 ¼  p x1 x2 ¼ 5  ð 1Þ ¼  5 ¼ q

&

4.1.4 Kubische Gleichungen Allgemeine Form a3 x 3 þ a2 x 2 þ a1 x þ a0 ¼ 0

ða3 6¼ 0Þ

4 Gleichungen mit einer Unbekannten

19

Normalform mit Lo¨sungen x3 þ ax2 þ bx þ c ¼ 0  3  2 p q 3b  a2 2a3 ab þc und q ¼  þ mit p ¼ 3 2 3 3 27 entscheidet dabei u¨ber die Art der Lo¨sungen:

Die Diskriminante D ¼

D > 0: Eine reelle und zwei zueinander konjugiert komplexe Lo¨sungen D ¼ 0: Drei reelle Lo¨sungen, darunter eine doppelte Lo¨sung 1Þ D < 0: Drei reelle Lo¨sungen Cardanische Lo¨sungsformel x1 ¼ u þ v 

a 3

uþv a u  v pffiffiffi  þ 3j 2 3 2 uþv a u  v pffiffiffi x3 ¼    3j 2 3 2 x2 ¼ 

9 > > > > > > > > = > > > > > > > > ;

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi q 3 þ D  2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi q  D v ¼ 3  2

u ¼

j : Imaginare € Einheit ðsiehe VIII:1:1Þ

Hinweis: Numerische Lo¨sungsmethoden fu¨hren meist schneller zum Ziel. Spezialfall D < 0: Fu¨r D < 0 erha¨lt man die drei reellen Lo¨sungen meist bequemer mit Hilfe des trigonometrischen Lo¨sungsansatzes rffiffiffiffiffiffiffi  j jpj a x1 ¼ 2   cos  3 3 3 rffiffiffiffiffiffiffi   jpj j a  cos þ 120  x2 ¼ 2  3 3 3 rffiffiffiffiffiffiffi   jpj j a  cos þ 240  x3 ¼ 2  3 3 3

9 > > > > > > > > = > > > > > > > > ;

cos j ¼ 

q s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  jpj 3 2 3

Der Hilfswinkel j wird aus der angegebenen Gleichung berechnet. Vietascher Wurzelsatz x1 þ x2 þ x3 ¼  a ; x1 ; x2 ; x3 : 1Þ

x1 x2 þ x2 x3 þ x3 x1 ¼ b ;

x1 x2 x3 ¼  c

Wurzeln (Lo¨sungen) der kubischen Gleichung

Fu¨r den Spezialfall p ¼ q ¼ 0 erha¨lt man eine dreifache Lo¨sung: x1=2=3 ¼  a=3:

20 &

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie Beispiel x 3 þ 1;6 x 2  3;96 x  6;48 ¼ 0 p ¼

3b  a 3  ð 3;96Þ  1;6 ¼ 3 3 2

ða ¼ 1;6; b ¼  3;96; c ¼  6;48Þ 2

¼  4;813333

2 a3 ab 2  1;6 3 1;6  ð 3;96Þ   þc ¼  6;48 ¼  4;064593 27 27 3 3  p 3  q 2  4;8133333  4;0645932 þ ¼ þ ¼ 0 Diskriminante: D ¼ 3 2 3 2 q ¼

Es gibt also drei reelle Lo¨sungen, darunter eine Doppello¨sung. Wegen D ¼ 0 ist u ¼ v: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q u ¼ v ¼ 3  ¼ 3 2;0322965 ¼ 1;266667 2 Lo¨sungen nach der Cardanischen Lo¨sungsformel unter Beachtung von u þ v ¼ 2 u und u  v ¼ 0: x1 ¼ 2u  x 2=3 ¼ 

a 1,6 ¼ 2  1,266 667  ¼ 2 3 3

2u a a 1,6  ¼ u  ¼  1,266 667  ¼  18 2 3 3 3 &

Spezialfall: x 3 + a x 2 + b x = 0

(Absolutglied c = 0)

Die Gleichung zerfa¨llt in eine lineare Gleichung mit der Lo¨sung x1 ¼ 0 und in eine quadratische Gleichung mit mo¨glicherweise zwei weiteren Lo¨sungen: x ¼ 0

x 3 þ a x 2 þ b x ¼ x ðx 2 þ a x þ bÞ ¼ 0

)

x1 ¼ 0

x2 þ ax þ b ¼ 0 &

Beispiel x 3  2 x 2  15 x ¼ 0 x ¼ 0 x ðx 2  2 x  15Þ ¼ 0 Lo¨sungen:

)

x1 ¼ 0

x 2  2 x  15 ¼ 0

)

x2=3 ¼ 1  4

x1 ¼ 0; x2 ¼ 5; x3 ¼  3 &

4.1.5 Bi-quadratische Gleichungen Eine algebraische Gleichung 4. Grades mit ausschließlich geraden Exponenten heißt biquadratisch: a4 x 4 þ a2 x 2 þ a0 ¼ 0

oder

x4 þ ax2 þ b ¼ 0

ða4 6¼ 0Þ

Sie la¨sst sich mit Hilfe der Substitution u ¼ x 2 in eine quadratische Gleichung u¨berfu¨hren. Aus den beiden Wurzeln dieser Gleichung erha¨lt man durch Ru¨cksubstitution die (reellen) Lo¨sungen der bi-quadratischen Gleichung 2Þ . 2Þ

Allgemeines Lo¨sungsverfahren fu¨r eine beliebige Gleichung 4. Grades: siehe Bronstein-Semendjajew

4 Gleichungen mit einer Unbekannten &

21

Beispiel x 4  10 x 2 þ 9 ¼ 0 Substitution:

u ¼ x2

u 2  10 u þ 9 ¼ 0

)

u1=2 ¼ 5  4;

u1 ¼ 9 ;

u2 ¼ 1

Ru¨cksubstitution mittels x 2 ¼ u: x 2 ¼ u1 ¼ 9

)

x1=2 ¼  3

x 2 ¼ u2 ¼ 1

)

x3=4 ¼  1

Lo¨sungen:

x1 ¼ 3 ;

x2 ¼  3 ;

x3 ¼ 1;

x4 ¼  1 &

4.2 Allgemeine Lo¨sungshinweise fu¨r Gleichungen Fu¨r viele Gleichungen wie beispielsweise Wurzelgleichungen, trigonometrische oder goniometrische Gleichungen, Exponential- und logarithmische Gleichungen gibt es kein allgemeines Lo¨sungsverfahren. Sie lassen sich daher meist nur mit Na¨herungsmethoden behandeln (siehe graphische und numerische Lo¨sungsverfahren). In Sonderfa¨llen gelingt es, die Gleichung mit Hilfe elementarer Umformungen oder einer geeigneten Substitution in eine algebraische Gleichung n-ten Grades zu u¨berfu¨hren, die dann mit den in I.4.1 dargelegten Methoden gelo¨st werden kann. Wichtiger Hinweis: Der bergang von der gegebenen Gleichung zu einer algebraischen Gleichung n-ten Grades ist oft nur mit Hilfe nichta¨quivalenter Umformungen 3Þ mo¨glich (Beispiel: Quadrieren von Wurzelausdru¨cken, siehe nachfolgendes Beispiel (1)). Dabei kann sich die Lo¨sungsmenge der Gleichung vera¨ndern, d. h. es ko¨nnen sog. „Scheinlo¨sungen“ auftreten. Es ist daher stets durch Einsetzen der gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung zu pru¨fen, ob auch eine Lo¨sung dieser Gleichung vorliegt oder nicht. &

Beispiele (1)

Wurzelgleichung

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x þ1 þ1 ¼ 2x

Die Wurzel wird zuna¨chst isoliert und anschließend durch Quadrieren (also eine nichta¨quivalente Umformung) beseitigt: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x þ 1 ¼ 2 x  1 j quadrieren 4 x þ 1 ¼ ð2 x  1Þ 2 ¼ 4 x 2  4 x þ 1 4x2  8x ¼ 0;

x2  2x ¼ 0;

x ðx  2Þ ¼ 0

)

x1 ¼ 0 ;

x2 ¼ 2

Wir pru¨fen durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung (Wurzelgleichung), ob diese Werte auch die Wurzelgleichung lo¨sen: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 40þ1þ1 ¼ 20 ) 1þ1 ¼ 1þ1 ¼ 2 ¼ 0 x1 ¼ 0

x1 ¼ 2

Widerspruch: x1 ¼ 0 ist somit keine Lo¨sung der Wurzelgleichung pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 2 þ 1 þ 1 ¼ 2  2 ) 9þ1 ¼ 3þ1 ¼ 4 ¼ 4 x2 ¼ 2 ist eine (und zwar die einzige) Lo¨sung der Wurzelgleichung

Lo¨sung: 3Þ

x ¼ 2

Bei einer a¨quivalenten Umformung bleibt die Lo¨sungsmenge einer Gleichung erhalten. Umformungen, die zu einer Vera¨nderung der Lo¨sungsmenge fu¨hren ko¨nnen (aber nicht mu¨ssen), heißen nichta¨quivalente Umformungen.

22

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie (2)

1 4 Unter Verwendung der Beziehung cos 2 x ¼ 1  sin 2 x („trigonometrischer Pythagoras“) und der sich anschließenden Substitution u ¼ sin x erhalten wir zuna¨chst: Trigonometrische Gleichung cos 2 x ¼ sin x þ

1  sin 2 x ¼ sin x þ

1 4

oder

sin 2 x þ sin x 

3 ¼ 0 4

3 u2 ¼  1;5 ¼ 0 ) u1 ¼ 0;5 ; 4 Ru¨cksubstitution mittels sin x ¼ u: 9 p > > þ k  2p sin x ¼ u1 ¼ 0;5 ) x1 k ¼ = 6 ðk 2 ZÞ > 5 ; x2 k ¼ p þ k  2p > 6 u2 þ u 

sin x ¼ u2 ¼  1;5 ) Keine Lo¨sungen p 5 Lo¨sungen: x1 k ¼ þ k  2p; x2 k ¼ p þ k  2p 6 6

ðk 2 ZÞ &

4.3 Graphisches Lo¨sungsverfahren Die Lo¨sungen der Gleichung f ðxÞ ¼ 0 sind die Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ. Um diese zu bestimmen, erstellt man eine Wertetabelle, zeichnet die Funktion und liest die Nullstellen aus der Zeichnung ab. Meist ist es jedoch gu¨nstiger, die Gleichung f ðxÞ ¼ 0 zuna¨chst durch Termumstellungen auf die Form f1 ðxÞ ¼ f2 ðxÞ zu bringen. Die gesuchten Lo¨sungen sind dann die Abszissen der Schnittpunkte der beiden (meist wesentlich einfacheren) Kurven y ¼ f1 ðxÞ und y ¼ f2 ðxÞ. Nachteil: Geringe Ablesegenauigkeit Beispiel e x þ x 2  4 ¼ 0

y

Aufspalten durch Termumstellungen:

4

e x ¼ 4  x 2

f1 ðxÞ

y = 4 – x2

f

f

&

f2 ðxÞ

Lo¨sungen nach nebenstehendem Bild (Schnittstellen der Parabel y ¼ 4  x 2 mit y ¼ e  x ): x1   1;05;

x2  1;95

1

y = e –x

x

1 ≈ –1,05

≈1,95 &

4 Gleichungen mit einer Unbekannten

23

4.4 Regula falsi Es werden zuna¨chst zwei Na¨herungswerte (Startwerte) x1 und x2 fu¨r die gesuchte Lo¨sung x der Gleichung f ðxÞ ¼ 0 so bestimmt, dass sie auf verschiedenen Seiten der Lo¨sung x liegen. Dies ist bei einer stetigen Funktion der Fall, wenn f ðx1 Þ  f ðx2 Þ < 0 ist, d. h. die Funktion muss in den beiden Startpunkten ein unterschiedliches Vorzeichen haben. Die gesuchte Lo¨sung x liegt somit im Intervall ½ x1 ; x2 . Einen besseren Na¨herungswert erha¨lt man dann aus der Gleichung x3 ¼ x2 

x 2  x1 y2 y 2  y1

y1 ¼ f ðx1 Þ ;

mit

y2 ¼ f ðx2 Þ

Dann wiederholt man das beschriebene Verfahren mit den Startwerten x1 ; x3 oder x2 ; x3, je nachdem, ob f ðx1 Þ  f ðx3 Þ < 0 oder f ðx2 Þ  f ðx3 Þ < 0 ist usw. Geometrische Deutung

y

Die Kurve y ¼ f ðxÞ wird zwischen x1 und x2 durch die dortige Sekante ersetzt. Der Schnittpunkt dieser Sekante mit der x-Achse liefert einen verbesserten Na¨herungswert fu¨r die gesuchte Lo¨sung (Nullstelle x). Dann wird das Verfahren mit den Startwerten x1 ; x3 oder x2 ; x3 wiederholt (siehe weiter oben).

P2

Sekante

y2 y = f(x)

x1 x3

y1

x

x

x2

P1

&

Beispiel Nullstellenberechnung von: x 3  0;1 x  1 ¼ 0

f ðxÞ ¼ x 3  0;1 x  1: oder

Startwerte (siehe Skizze) x1 ¼ 0;9

x 3 ¼ 0;1 x þ 1 und

x2 ¼ 1;1:

y

f ðx1 Þ  f ðx2 Þ ¼ f ð0;9Þ  f ð1;1Þ ¼ ¼ ð 0;361Þ  ð0;221Þ < 0 Verbesserter Wert nach der Regula Falsi: x2  x1 x3 ¼ x2  y2 ¼ y2  y1 ¼ 1;1 

y = 0,1x + 1 1

0,5

1;1  0;9 0;221 ¼ 0;221  ð 0;361Þ

¼ 1;024 Kontrolle:

y = x3

1,5

f ð1;024Þ ¼  0;029  0

1,5

0,5

x

≈1 &

24

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

4.5 Tangentenverfahren von Newton Ausgehend von einem geeigneten Startwert x0 (auch Roh-, Na¨herungs- oder Anfangswert genannt) erha¨lt man nach der Iterationsvorschrift xn ¼ xn  1 

f ðxn  1 Þ f 0 ðxn  1 Þ

ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ

eine Folge von Na¨herungswerten x0 ; x1 ; x2 ; . . . fu¨r die gesuchte Lo¨sung x der Gleichung f ðxÞ ¼ 0. Im Falle der Konvergenz verdoppelt sich mit jedem Iterationsschritt die Anzahl der gu¨ltigen Dezimalstellen. Konvergenzbedingung Die Folge der Na¨herungswerte x0 ; x1 ; x2 ; . . . konvergiert gegen die gesuchte Lo¨sung x der Gleichung f ðxÞ ¼ 0, wenn im Intervall ½ a; b , in dem alle Na¨herungswerte liegen, die folgende Bedingung erfu¨llt ist:    f ðxÞ  f 00 ðxÞ     ½ f 0 ðxÞ 2  < 1

y y = f(x) Tangente in P0 P0

Geometrische Deutung Die Kurve y ¼ f ðxÞ wird an der Stelle x0 durch die dortige Tangente ersetzt. Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse liefert dann einen verbesserten Na¨herungswert x1 fu¨r die gesuchte Lo¨sung (Nullstelle x). Dann wird das beschriebene Verfahren mit x1 als Startwert wiederholt usw.. &

P1 x

y0

y1 x2

x1

x

x0

y

Beispiel ln x þ x  2;8 ¼ 0

oder

ln x ¼  x þ 2;8

Startwert nach nebenstehendem Bild: x0 ¼ 2

y = –x + 2,8

f ðxÞ ¼ ln x þ x  2;8 f 0 ðxÞ ¼

Tangente in P1

1 þ 1; x

f 00 ðxÞ ¼ 

Konvergenzbedingung fu¨r den Startwert

1 x2 x0 ¼ 2:

y = ln x 1

f ð2Þ ¼  0;10685 f 0 ð2Þ ¼ 1;5 ;

f 00 ð2Þ ¼  0;25

     f ð2Þ  f 00 ð2Þ   ð 0;10685Þ  ð 0;25Þ      ¼  ½ f 0 ð2Þ 2  ¼   2 1;5 ¼ 0;01187 < 1 Die Konvergenzbedingung ist somit erfu¨llt.

1

x ≈2

5 Ungleichungen mit einer Unbekannten

25

Newton-Iteration (zwei Schritte): n

Lo¨sung:

f 0 ðxn  1 Þ

f ðxn  1 Þ

xn  1

xn

1

2

0,106 85

1,5

2,071 23

2

2,071 23

0,000 63

1,482 80

2,071 65

x ¼ 2;071 65

ðKontrolle :

&

f ð2;071 65Þ ¼  0;000 005Þ

5 Ungleichungen mit einer Unbekannten Ungleichungen mit einer Unbekannten x entstehen, wenn man zwei Terme T1 ðxÞ und T2 ðxÞ durch eines der Relationszeichen „< “, „> “, „ “, „ “, miteinander verbindet. Sie lassen sich in vielen Fa¨llen (a¨hnlich wie Gleichungen) durch sog. „a¨quivalente Umformungen“ lo¨sen. Zu diesen geho¨ren: 1. Die Seiten einer Ungleichung du¨rfen miteinander vertauscht werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen umgedreht wird. 2. Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf ein beliebiger Term TðxÞ addiert oder subtrahiert werden. 3. Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen positiven Term TðxÞ > 0 multipliziert oder durch einen solchen Term dividiert werden. 4. Eine Ungleichung darf mit einem beliebigen negativen Term TðxÞ < 0 multipliziert oder durch einen solchen Term dividiert werden, wenn gleichzeitig das Relationszeichen umgedreht wird. Anmerkungen (1)

(2)

&

Bei der Multiplikation bzw. Division mit einem Term TðxÞ muss TðxÞ 6¼ 0 vorausgesetzt werden. Kann TðxÞ sowohl positiv als auch negativ werden, so ist eine Fallunterscheidung durchzufu¨hren. Die Lo¨sungsmengen von Ungleichungen sind in der Regel Intervalle bzw. Vereinigungen von Intervallen. Beispiel x2 < x

oder

x 2  x ¼ x ðx  1Þ < 0

Wir lo¨sen diese Ungleichung wie folgt durch Fallunterscheidung (das Produkt kann nur negativ sein, wenn die Faktoren x und x  1 ein unterschiedliches Vorzeichen haben). 1. Fall: x > 0 ) x > 0 und x < 1 ) 0 < x < 1 x 1 < 0 2. Fall:

Lo¨sungsintervall:

x < 0 x 1 > 0



0 < x < 1

)

x < 0

und

x > 1

)

Widerspruch &

26

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

Ha¨ufig lassen sich Ungleichungen mit Hilfe einer Skizze anschaulich lo¨sen, wie wir am soeben behandelten Beispiel zeigen wollen. &

Beispiel Die Lo¨sungen der Ungleichung x 2 < x liegen dort, wo die Parabel y ¼ x 2 unterhalb der Geraden y ¼ x verla¨uft. Lo¨sungsweg: Kurvenschnittpunkte berechnen, Skizze anfertigen und das Lo¨sungsintervall „ablesen“. Kurvenschnittpunkte: x2 ¼ x

oder

y x ðx  1Þ ¼ 0

x1 ¼ 0 ;

x2 ¼ 1

Aus der Skizze folgt:

L ¼ ð0;1Þ

)

y=x

1

0,5 y = x2 0,5

1

x

0<x 0: nach rechts; a < 0: nach links) b: Verschiebung der x-Achse (b > 0: nach oben; b < 0: nach unten) x ¼ uþa

bzw.

y ¼ vþb

u ¼ x a v ¼ yb

y

v

P v

y

a

u

0'

0

b

x

x

9.1.3.2 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Polarkoordinaten Bezeichnungen Pol:

y P

Koordinatenursprung O

Polarachse:

x-Achse

r

y

f 0 4Þ

u

x

Unter dem Hauptwert wird ha¨ufig auch der im Intervall  p < j  p gelegene Wert verstanden.

x

9 Koordinatensysteme

Polarkoordinaten x ¼ r  cos j;

!

43

Kartesische Koordinaten

y ¼ r  sin j

Kartesische Koordinaten r ¼

!

Polarkoordinaten

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y y , sin j ¼ , x 2 þ y 2 , tan j ¼ x r

cos j ¼

x r

ðx 6¼ 0Þ

Die Berechnung des Winkels j erfolgt am bequemsten anhand einer Lageskizze (siehe nachfolgendes Beispiel) oder nach der folgenden vom jeweiligen Quadrant abha¨ngigen Formel: Quadrant

I

II, III

IV

j ¼

arctan ðy=xÞ

arctan ðy=xÞ þ p

arctan ðy=xÞ þ 2 p

Sonderfall: x ¼ 0 &

)

j ¼ p=2 fu¨r y > 0 , j ¼ 3p=2 fu¨r y < 0

Beispiel

y

Gegeben:

P ¼ ð4; 3Þ,

Gesucht:

Polarkoordinaten r; j des Punktes P

d. h.

x ¼ 4,

y ¼ 3

P

Lo¨sung: Der Punkt P liegt im 2. Quadrant. Aus dem eingezeichneten rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten der La¨ngen 3 und 4 und der Hypotenuse r berechnen wir der Reihe nach r, den Hilfswinkel a und daraus j: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ ð4Þ 2 þ 3 2 ¼ 5 3 3 tan a ¼ ) a ¼ arctan ¼ 36;87 4 4 j ¼ 180  a ¼ 143;13

3 r

3 4

f

a

x

–4

Zu diesem Ergebnis fu¨hrt auch die obige Formel: j ¼ arctan ðy = xÞ þ p ¼ arctan ð3 =  4Þ þ p ¼ arctan ð 3 = 4Þ þ p ¼ 2;4981 ¼ 143;13

&

9.1.3.3 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems Das neue u; v-System geht durch Drehung um den Winkel j um den Nullpunkt aus dem alten x; y-System hervor. ðx; yÞ: Koordinaten des Punktes P im alten System

y

ðu; vÞ: Koordinaten des Punktes P im neuen System u ¼ y  sin j þ x  cos j v ¼ y  cos j  x  sin j

P v

v y u

x ¼ u  cos j  v  sin j y ¼ u  sin j þ v  cos j

f 0

x

u

44

I Allgemeine Grundlagen aus Algebra, Arithmetik und Geometrie

9.2 Ra¨umliche Koordinatensysteme 9.2.1 Rechtwinklige oder kartesische Koordinaten Die drei Koordinatenachsen (x; y- und z-Achse) stehen paarweise senkrecht aufeinander und besitzen die gleiche Orientierung wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand (rechtsha¨ndiges System). Die Lage des Raumpunktes P wird durch drei Abstandskoordinaten x, y und z, die sog. rechtwinkligen oder kartesischen Koordinaten, beschrieben: O:

z

Ursprung, Nullpunkt

z

x; y; z: Senkrechte Absta¨nde des Punktes P von den drei Koordinatenebenen

P = (x;y;z)

x; y; z 2 R z:

z

Ho¨henkoordinate

y

0

y

x

x y

x

9.2.2 Zylinderkoordinaten Die Lage des Raumpunktes P wird durch zwei Abstandskoordinaten r, z und eine Winkelkoordinate j, die sog. Zylinderkoordinaten, beschrieben (siehe hierzu auch XIV.6.2) 5) : O:

z

Ursprung, Nullpunkt

z

r; j: Polarkoordinaten des Projektionspunktes P 0 in der x; y-Ebene ðr  0; 0  j < 2 pÞ z:

r:

r P

Ho¨henkoordinate (entspricht der kartesischen Koordinate z mit z 2 R)

z 0

Senkrechter Abstand des Punktes P von der z-Achse

y f

r x

x x

y

y

P'

9.2.3 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten ( r; j; z) x ¼ r  cos j;

5Þ

! Kartesische Koordinaten (x; y; z)

y ¼ r  sin j;

z ¼ z

Statt r verwendet man ha¨ufig auch r (wenn Verwechslungen mit der Kugelkoordinate r auszuschließen sind).

9 Koordinatensysteme

45

Kartesische Koordinaten (x; y; z) r ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y2;

Sonderfall: x ¼ 0

tan j ¼ )

y ; x

!

Zylinderkoordinaten ( r; j; z)

z ¼ z

ðx 6¼ 0Þ

j ¼ p=2 fu¨r y > 0 , j ¼ 3p=2 fu¨r y < 0

9.2.4 Kugelkoordinaten Die Lage des Raumpunktes P wird durch eine Abstandskoordinate r und zwei Winkelkoordinaten J und j, die sog. Kugelkoordinaten, beschrieben (siehe hierzu auch XIV.6.3):

z z

r

P

r u 0

z y

f

y x

x

y

x

O: r:

Ursprung, Nullpunkt

! Abstand des Punktes P vom Nullpunkt (La¨nge des Ortsvektors ~ r ¼ OP ; r  0)

J:

Winkel zwischen dem Ortsvektor ~ r und der positiven z-Achse (Breitenkoordinate mit 0  J  p)

j:

Winkel zwischen der Projektion des Ortsvektors ~ r auf die x; y-Ebene und der positiven x-Achse (La¨ngenkoordinate mit 0  j < 2 p)

9.2.5 Zusammenhang zwischen den kartesischen und den Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten (r; J; j) x ¼ r  sin J  cos j;

! Kartesische Koordinaten (x; y; z)

y ¼ r  sin J  sin j;

Kartesische Koordinaten (x; y; z) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ x 2 þ y 2 þ z 2;

!

J ¼ arccos

z ¼ r  cos J

Kugelkoordinaten (r; J; j) ! z qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; x2 þ y2 þ z2

tan j ¼

y x

46

II Vektorrechnung

1 Grundbegriffe 1.1 Vektoren und Skalare Vektoren sind gerichtete Gro¨ßen, die durch eine Maßzahl und eine Richtung vollsta¨ndig beschrieben und in symbolischer Form durch einen Pfeil dargestellt werden (Bild a)). Die La¨nge des Pfeils heißt Betrag j ~ a j ¼ a des Vektors ~ a, die Pfeilspitze legt die Richtung (Orientierung) des Vektors fest.

Q

a

a = PQ

a =a

a)

P

b)

Ein Vektor ~ a la¨sst sich auch eindeutig durch einen Anfangs- und Endpunkt festlegen: ! ~ a ¼ PQ (Bild b)). Bei einer physikalisch-technischen Vektorgro¨ße geho¨rt zur vollsta¨ndigen Beschreibung noch die Angabe der Maßeinheit. Skalare dagegen sind Gro¨ßen ohne Richtungseigenschaft. Sie sind durch Angabe einer Maßzahl (bzw. einer Maßzahl und einer Maßeinheit) eindeutig beschrieben. In 1. 2. 3.

den Anwendungen unterscheidet man: Freie Vektoren: Sie du¨rfen parallel zu sich selbst verschoben werden. Linienflu¨chtige Vektoren: Sie sind la¨ngs ihrer Wirkungslinie verschiebbar. Gebundene Vektoren: Sie werden von einem festen Punkt aus abgetragen.

1.2 Spezielle Vektoren Nullvektor ~ 0 : Vektor der La¨nge 0 (seine Richtung ist unbestimmt) Einheitsvektor ~ e : Vektor der La¨nge 1 ! Ortsvektor ~ r ðPÞ ¼ OP : Vom Nullpunkt O zum Punkt P gerichteter Vektor

1 Grundbegriffe

47

1.3 Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie sich durch Parallelverschiebung zur Deckung bringen lassen. Sie stimmen in Betrag und Richtung und somit auch in ihren Komponenten u¨berein (siehe II.2.1). a

~ a ¼ b~ , ax ¼ bx ; ay ¼ by ; az ¼ bz

b

ax ; ay ; az : Skalare Komponenten von ~ a bx ; by ; bz : Skalare Komponenten von b~

1.4 Kollineare, parallele und antiparallele Vektoren, inverser Vektor Kollineare Vektoren lassen sich stets durch Parallelverschiebung in eine gemeinsame Linie bringen (Bild a)). Parallele Vektoren haben gleiche Richtung (Bild b)). Symbolische Schreibweise: ~ a " " b~: Antiparallele Vektoren haben entgegengesetzte Richtung (Bild c)). Symbolische Schreibweise: ~ a " # b~. b

a

b

a

a

b

–a b

a

a)

b)

c)

d)

Parallele bzw. anti-parallele Vektoren sind demnach kollinear. Zu jedem Vektor ~ a gibt es einen inversen oder Gegenvektor  ~ a (Bild d)). Er entsteht aus dem Vektor ~ a durch Richtungsumkehr. Die Vektoren ~ a und  ~ a sind somit gleichlang, ihre Komponenten unterscheiden sich lediglich im Vorzeichen.

48

II Vektorrechnung

2 Komponentendarstellung eines Vektors 2.1 Komponentendarstellung in einem kartesischen Koordinatensystem Die Einheitsvektoren ~ ex ; ~ ey und ~ ez , auch Basisvektoren genannt, stehen paarweise senkrecht aufeinander und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem (rechtsha¨ndiges System), d. h. sie haben dieselbe Orientierung wie Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand (Bild a)). Statt ~ ex ; ~ ey ; ~ ez verwendet man auch die Symbole ~ e1 ; ~ e2 ; ~ e3 oder ~ i; ~ j; k~. z z

az P

ez ex x

a ey

ay

y ax

a)

y

b)

x

In diesem System besitzt ein Vektor ~ a die folgende Komponentendarstellung (Bild b)) 1Þ : 0

1 ax ~ ex þ ay ~ ey þ az ~ ez ¼ @ ay A a ¼~ ax þ ~ ay þ ~ az ¼ ax ~ az ~ ay ; ~ az : Vektorkomponenten von ~ a ax ; ~ ax ; ay ; az : Vektorkoordinaten oder skalare Vektorkomponenten von ~ a 0 1 ax @ ay A : Schreibweise in Form eines sog. Spaltenvektors az Schreibweise als Zeilenvektor: ~ a ¼ ðax ay az Þ

2.2 Komponentendarstellung spezieller Vektoren

0 1 x2  x1 ! ex þ ðy2  y1 Þ~ ey þ ðz2  z1 Þ~ ez ¼ @ y2  y1 A P1 P2 ¼ ðx2  x1 Þ~ z2  z1 0 1 x ! ey þ z~ ez ¼ @ y A Ortsvektor von P: ~ r ðPÞ ¼ OP ¼ x ~ ex þ y~ z ! Vektor P1 P2 :

1Þ

Bei ebenen Vektoren verschwindet die dritte Komponente.

2 Komponentendarstellung eines Vektors

Nullvektor:

Basisvektoren:

49

0 1 0 ~ 0 ¼ 0~ ex þ 0~ ey þ 0~ ez ¼ @ 0 A 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 ~ ex ¼ 1~ ex þ 0~ ey þ 0~ ez ¼ @ 0 A ; analog: ~ ey ¼ @ 1 A ; ~ ez ¼ @ 0 A 0 0 1

2.3 Betrag und Richtungswinkel eines Vektors Betrag (La¨nge) eines Vektors j~ aj ¼ a ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a~ a a 2x þ a 2y þ a 2z ¼ ~

Richtungswinkel eines Vektors (Richtungskosinus) Fu¨r die Richtungswinkel a; b und g, die der Vektor ~ a 6¼ ~ 0 mit den drei Koordinatenachsen (Basisvektoren) bildet, gelten folgende Beziehungen: cos a ¼

z

a g

ax ay az ; cos b ¼ ; cos g ¼ j~ aj j~ aj j~ aj

cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼ 1

a

b y

x

Hinweis: Fu¨r den Nullvektor ~ 0 lassen sich keine Richtungswinkel angeben. Umgekehrt lassen sich die Vektorkoordinaten aus dem Betrag und den drei Richtungswinkeln (Richtungskosinus) des Vektors berechnen: ax ¼ j ~ a j  cos a ;

&

ay ¼ j ~ a j  cos b ;

az ¼ j ~ a j  cos g

Beispiel Wir berechnen den Betrag und die drei Richtungswinkel des Vektors ~ a ¼ 4~ ex  2~ ey þ 5~ ez : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 4 cos a ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 0;5963 ) a ¼ 53;4 j~ a j ¼ 4 2 þ ð 2Þ 2 þ 5 2 ¼ 45 ¼ 6;71 ; 45 2 cos b ¼ pffiffiffiffiffi ¼  0;2981 45

)

b ¼ 107;3 ;

5 cos g ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 0;7454 45

)

g ¼ 41;8

Kontrolle: cos 2 a þ cos 2 b þ cos 2 g ¼ 0;5963 2 þ ð 0;2981Þ 2 þ 0;7454 2 ¼ 1 &

50

II Vektorrechnung

3 Vektoroperationen 3.1 Addition und Subtraktion von Vektoren Geometrische Darstellung Addition und Subtraktion zweier Vektoren erfolgen nach der Parallelogrammregel. Summenvektor Differenzvektor

~ s ¼ ~ aþ ~ d ¼~ a

b

b~ b~

s

d

Differenzvektor: Zu ~ a wird der inverse  Vektor  von b~ addiert: d~ ¼ ~ a  b~ ¼ ~ a þ  b~ . Die Addition mehrerer Vektoren erfolgt nach der Polygonregel (Vektorpolygon).

a

an a3

~ a2 þ ~ a3 þ . . . þ ~ an s ¼~ a1 þ ~

Summenvektor s

Hinweis: Das Vektorpolygon liegt i. Allg. nicht in einer Ebene.

a2 a1

Komponentendarstellung Addition und Subtraktion zweier Vektoren erfolgen komponentenweise: 0

1 0 1 0 1 ax bx ax  bx ~ a  b~ ¼ @ ay A  @ by A ¼ @ ay  by A az bz az  bz

Rechenregeln Kommutativgesetz Assoziativgesetz

~ a þ b~ ¼  ~ a þ b~ þ ~ c ¼ 

b~ þ ~ a   ~ a þ b~ þ ~ c

3 Vektoroperationen

51

3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Geometrische Darstellung la

l~ a : Vektor mit der La¨nge j l j  j ~ a j und der Richtung oder Gegenrichtung des Vektors ~ a:

a

l > 0 : l~ a "" ~ a fu¨r

la = l a

l < 0 : l~ a "# ~ a ~ l ¼ 0 : l~ a ¼ 0

Komponentendarstellung Die Multiplikation eines Vektors mit einem reellen Skalar erfolgt komponentenweise: 0

1 0 1 ax l ax l~ a ¼ l @ ay A ¼ @ l ay A az l az Rechenregeln Assoziativgesetz Distributivgesetze

ðl 2 RÞ

lðm ~ a Þ ¼ mðl ~ a Þ ¼ ðl mÞ ~ a   ~ ~ l ~ a þ b ¼ l~ a þ lb ðl þ mÞ ~ a ¼ l~ a þ m~ a

9 > =

l; m 2 R

> ;

Normierung eines Vektors a

Fu¨r den in Richtung des Vektors ~ a 6¼ ~ 0 weisenden Einheitsvektor ~ ea gilt: 0 ~ ea ¼

ax =j ~ aj

1

~ a B C ¼ @ ay =j ~ ajA; j~ aj az =j ~ aj

ea

j~ ea j ¼ 1

a =a 1

3.3 Skalarprodukt (inneres Produkt) Definition eines Skalarproduktes Das Skalarprodukt ~ a  b~ zweier Vektoren ~ a ~ und b ist der wie folgt definierte Skalar:   ~ a  b~ ¼ j ~ a j   b~  cos j j: Winkel zwischen den beiden Vektoren mit 0  j  180

b

f a

52

II Vektorrechnung

Skalarprodukt in der Komponentendarstellung 0

1 0 1 bx ax ~ a  b~ ¼ @ ay A  @ by A ¼ ax bx þ ay by þ az bz az bz Regel: Komponentenweise multiplizieren, die Produkte aufaddieren. Spezialfa¨lle (1) (2) (3)

~ a~ a ¼ a 2x þ a 2y þ a 2z ¼ j ~ aj2   ( j~ a j   b~ ~ a "" ~ a  b~ ¼   fu¨r   ~  j~ a j  b~ a "#

b~

)

b~

Die Einheitsvektoren ~ ex ; ~ ey ; ~ ez bilden eine orthonormierte Basis 2Þ : ex ¼ ~ ey  ~ ey ¼ ~ ez  ~ ez ¼ 1 ; ~ ex  ~

~ ex  ~ ey ¼ ~ ey  ~ ez ¼ ~ ez  ~ ex ¼ 0

Rechenregeln Kommutativgesetz Distributivgesetz Assoziativgesetz

~ a  b~ ¼   ~ a  b~ þ ~ c ¼   l ~ a  b~ ¼

b~  ~ a ~ a  b~ þ ~ a~ c

  ðl ~ a Þ  b~ ¼ ~ a  l b~

ðl 2 RÞ

Schnittwinkel zweier Vektoren Den Schnittwinkel j zweier vom Nullvektor verschiedener Vektoren ~ a und b~ berechnet man aus der folgenden Gleichung ð0  j  180 Þ: cos j ¼

~ ax bx þ ay by þ az bz a  b~   ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   j~ a j  b~ a 2x þ a 2y þ a 2z  b 2x þ b 2y þ b 2z

cos j ¼ 0 cos j > 0 &

) )

rechter Winkel spitzer Winkel ðstrumpfer Winkel bei cos j < 0Þ

Beispiel

0

1 0 1 1 5 Wir bestimmen den Schnittwinkel j der Vektoren ~ a ¼ @ 2 A und b~ ¼ @1 A : 3 5 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q   pffiffiffiffiffi  b~ ¼ 5 2 þ ð 1Þ 2 þ ð 5Þ 2 ¼ pffiffiffiffiffi 51 j~ a j ¼ 12 þ 2 2 þ ð 3Þ 2 ¼ 14 ; 0

1 0 1 1 5 ~ a  b~ ¼ @ 2 A  @1 A ¼ 5  2 þ 15 ¼ 18 ; 3 5 ) 2Þ

18 cos j ¼ pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ¼ 0;6736 14  51

j ¼ arccos 0;6736 ¼ 47;7

Orthonormierte Vektoren sind Einheitsvektoren, die paarweise aufeinander senkrecht stehen.

&

3 Vektoroperationen

53

Orthogonalita¨t zweier Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ a und b~ stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet: ~ a  b~ ¼ 0

, ~ a ? b~

Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor Durch Projektion des Vektors b~ auf den Vektor ~ a 6¼ ~ 0 entsteht der Vektor b~a ¼

~ a  b~ j~ aj2

!

b

  ea ~ a ¼ b~  ~ ea ~ f

(Komponente von b~ in Richtung ~ a Þ.

a

ba

~ a mit ea : Einheitsvektor in Richtung von ~ ~ a ~ ea ¼ j~ aj

3.4 Vektorprodukt (a¨ußeres Produkt, Kreuzprodukt) Definition eines Vektorproduktes Das Vektorprodukt ~ c ¼ ~ a  b~ zweier Vektoren ~ a und b~ ist der eindeutig bestimmte Vektor ~ c mit den folgenden Eigenschaften: (1)

  j~ c j ¼ j~ a j   b~  sin j

c =a ×b

(2) ~ c ?~ a und ~ c ? b~ b

ð~ c~ a ¼~ c  b~ ¼ 0Þ (3) ~ a; b~; ~ c:

Rechtssystem

f a

j: Winkel zwischen den Vektoren ~ a und b~ mit 0  j  180 Geometrische Deutung: Der Betrag des Vektorproduktes ~ c ¼~ a  b~ ist gleich dem Fla¨~ cheninhalt des von den Vektoren ~ a und b aufgespannten Parallelogramms:     AParallelogramm ¼  ~ a  b~ ¼ j ~ a j   b~  sin j

ð0  j  180 Þ

54

II Vektorrechnung

Vektorprodukt in der Komponentendarstellung 0

1 0 1 0 1 ay bz  az by bx ax ~ a  b~ ¼ @ ay A  @ by A ¼ @ az bx  ax bz A ax by  ay bx az bz Anmerkung xi

Durch zyklisches Vertauschen der Indizes erha¨lt man aus der ersten Komponente die zweite und aus dieser schließlich die dritte Komponente. &

?

y

z

7

0 1 1 Wir berechnen mit Hilfe des Vektorproduktes den Fla¨cheninhalt A des von den Vektoren ~ a ¼ @ 4 A und 0 1 0 2 ~ @ b ¼ 5 A aufgespannten Parallelogramms: 3 1 0 1 0 1 0 1 0 12  0 12 1 2 ~ a  b~ ¼ @ 4 A  @ 5 A ¼ @ 0  3 A ¼ @  3 A 0 3 5þ8 13 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   ) A ¼ ~ a  b~ ¼ 12 2 þ ð 3Þ 2 þ 13 2 ¼ 17;94 Beispiel

&

Vektorprodukt in der Determinantenschreibweise  ~  ex  ~ ~ a  b ¼  ax   bx

~ ey ay by

 ~ ez   az   bz 

Die Determinante la¨sst sich formal nach der Regel von Sarrus berechnen (siehe VII.2.2). Spezialfa¨lle (1) (2) (3)

Fu¨r kollineare Vektoren ist ~ a  b~ ¼ ~ 0 und umgekehrt (entartetes Parallelogramm). ~ ~ a~ a¼0 Fu¨r die Einheitsvektoren ~ ex ; ~ ey ; ~ ez gilt (sie bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem): ~ ex  ~ ex ¼ ~ ey  ~ ey ¼ ~ ez  ~ ez ¼ ~ 0 ey ¼ ~ ez ; ~ ex  ~

~ ey  ~ ez ¼ ~ ex ;

~ ez  ~ ex ¼ ~ ey

ez

ex

ey

3 Vektoroperationen

55

Rechenregeln Antikommutativgesetz Distributivgesetze

Assoziativgesetz

~ a  b~ ¼   ~ a  b~ þ ~ c ¼   ~ a þ b~  ~ c¼   l ~ a  b~ ¼

   b~  ~ a ~ a  b~ þ ~ a ~ c ~ a ~ c þ b~  ~ c

  ðl ~ a Þ  b~ ¼ ~ a  l b~

ðl 2 RÞ

Kollineare Vektoren Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren ~ a und b~ sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt verschwindet: ~ a  b~ ¼ ~ 0 , ~ a " " b~

oder

~ a " # b~

3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt) Definition eines Spatproduktes   Das Spatprodukt ~ a b~~ c dreier Vektoren ~ a; b~ und ~ c ist das skalare Produkt aus den Vektoren ~ a und b~  ~ c : 





~ a b~~ c ¼~ a  b~  ~ c



a c

b





Das Spatprodukt ~ a b~~ c ist positiv, wenn die Vektoren ~ a; b~ und ~ c in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem bilden, sonst negativ.   Geometrische Deutung: Der Betrag des Spatproduktes ~ a b~~ c ist das Volumen des von den Vektoren ~ a; b~ und ~ c aufgespannten Spats (auch Parallelepiped genannt):   VSpat ¼  ~ a b~~ c  Spatprodukt in der Komponentendarstellung 

 ~ a b~~ c ¼ ax ðby cz  bz cy Þ þ ay ðbz cx  bx cz Þ þ az ðbx cy  by cx )

Spatprodukt in der Determinantenschreibweise 

  ax   ~ a b~~ c ¼  bx   cx 

ay by cy

 az   bz   cz 

56

II Vektorrechnung

Rechenregeln (1) (2)

~ a; b~ und ~ c du¨rfen zyklisch vertauscht werden:



     ~ a b~~ c ¼ b~~ c~ a ¼ ~ c~ a b~

Vertauschen zweier Vektoren bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Spatproduktes:     z. B. ~ a b~~ c ¼ ~ a~ c b~ (die Vektoren b~ und ~ c wurden vertauscht).

Komplanare Vektoren Drei Vektoren sind genau dann komplanar, wenn ihr Spatprodukt verschwindet:  &

 ~ a b~~ c ¼0

, ~ a; b~; ~ c sind komplanar (d. h. sie liegen in einer Ebene)

0 1 0 1 1 2 4 1 c ¼ @ 5 A Das Spatprodukt der Vektoren aus ~ a ¼ @  2 A; b~ ¼ @ 1 A und ~ 6 2 4    1 2 4        ~ a; b~; ~ c sind komplanar a b~~ c ¼ 4 1 2 ¼ 0 ) ~    2 5 6  Beispiel

0

verschwindet:

&

3.6 Formeln fu¨r Mehrfachprodukte (1)

(2)

Entwicklungssa¨tze:     ~ a  b~  ~ c ¼ ð~ a ~ c Þ b~  ~ a  b~ ~ c     ~ ~ ~ ~ a  b ~ c ¼ ð~ a~ cÞb  b  ~ c ~ a          ~ a  b~  ~ c  d~ ¼ ð~ a~ c Þ b~  d~  ~ a  d~ b~  ~ c Spezialfall ~ c¼~ a; d~ ¼ b~:      2    2 ~ a  b~  ~ a  b~ ¼ ~ a  b~ ¼ ð~ a~ a Þ b~  b~  ~ a  b~

4 Anwendungen 4.1 Arbeit einer konstanten Kraft ~ verrichtet beim Verschieben eines Massenpunktes m um den Eine konstante Kraft F Vektor ~ s die folgende Arbeit (Skalarprodukt aus Kraft- und Verschiebungsvektor): F

~~ ~j  j~ W ¼F s ¼ jF s j  cos j ¼ Fs s Fs : Kraftkomponente in Wegrichtung s ¼ j~ s j: Verschiebung

m

f

Fs s

4 Anwendungen

57

4.2 Vektorielle Darstellung einer Geraden 4.2.1 Punkt-Richtungs-Form In der Parameterdarstellung Gegeben: Ein Punkt P1 auf der Geraden g mit dem Ortsvektor ~ r1 und ein Richtungsvektor ~ a der Geraden

r1

P1 a la P

~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ a

r ( l)

l: Parameter; l 2 R; ~ a 6¼ ~ 0 &

g

0

Beispiel Die Vektorgleichung der durch den Punkt P1 ¼ ð1;  2; 0 1 2 ~ a ¼ @4 A lautet: 2 0 1 0 1 0 1 2 1 ~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l~ a ¼ @ 2 A þ l @ 4 A ¼ @ 2 5 2 5

5Þ verlaufenden Geraden mit dem Richtungsvektor

1 þ 2l  4l A þ 2l

ðl 2 RÞ &

In der Determinantenschreibweise   ~  ex  ax   x  x1

~ ey ay y  y1

~ ez az z  z1

    ¼ 0  

~ ex ; ~ ey ; ~ ez : Einheitsvektoren (Basisvektoren) ax ; ay ; az : Skalare Vektorkomponenten des Richtungsvektors ~ a x1 ; y1 ; z1 : Koordinaten des festen Punktes P1 der Geraden x; y; z: Koordinaten des laufenden Punktes P der Geraden 4.2.2 Zwei-Punkte-Form Gegeben: Zwei verschiedene Punkte P1 und P2 auf der Geraden g mit den Ortsvektoren ~ r1 und ~ r2

r1

Parameter; l 2 R Richtungsvektor der Geraden

r2 – r1 P2 r2

! r1 þ l ð~ ~ r2  ~ r1 Þ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l P1 P2 ¼ ~ l: ~ r2  ~ r1 :

P1

l ( r2 – r1 ) P r ( l)

0

g

58 &

II Vektorrechnung Beispiel Die Vektorgleichung der Geraden durch die beiden Punkte P1 ¼ ð1; 5; 0Þ und P2 ¼ ð1; 3; 2Þ lautet: 0 1 0 1 0 1 1 1þ1 1 þ 2 l @ A @ A @ r2  ~ r1 Þ ¼ 5 þ l 3  5 ¼ 5  8lA ðl 2 RÞ ~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ð~ 0 20 2l &

4.2.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden Gegeben: Eine Gerade g mit der Gleichung ~ a und ein Punkt Q r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ mit dem Ortsvektor ~ rQ d ¼ ~ a:

&

r1

P1 a

rQ

Q

d

j~ a  ð~ rQ  ~ r1 Þ j j~ aj

g

Richtungsvektor der Geraden

0

Beispiel Wir berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð1; 5; 3Þ von der Geraden mit der Vektorgleichung 0 1 0 1 1 2 @ A @ ~ a ¼ 1 þ l 3 A: r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ 4 5 0

1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 11 2 0 3  20  17 ~ r1 Þ ¼ @  3 A  @ 5  1 A ¼ @  3 A  @ 4 A ¼ @ 0 þ 2 A ¼ @ a  ð~ rQ  ~ 2A 5 34 5 1 8 0 8 r1 Þ j ¼ j~ a  ð~ rQ  ~ d ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi ð17Þ 2 þ 2 2 þ 8 2 ¼ 357 ;

j~ aj ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 2 þ ð 3Þ 2 þ 5 2 ¼ 38

pffiffiffiffiffiffiffiffi j~ a  ð~ rQ  ~ r1 Þ j 357 ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 3;065 j~ aj 38 &

4.2.4 Abstand zweier paralleler Geraden Gegeben: Zwei parallele Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen

P2 r2

~ a1 und r ðl1 Þ ¼ ~ r1 þ l1 ~

P1 a 1

r2 þ l2 ~ ~ a2 r ðl2 Þ ¼ ~ d ¼

j~ a1  ð~ r2  ~ r1 Þ j j~ a1 j

a2

d g2

r1

0

g1

a1 und ~ a2 sind genau dann Die Geraden g1 und g2 mit den Richtungsvektoren ~ a2 ¼ ~ 0 ist. In der Abstandsformel darf der Vektor ~ a1 durch den parallel, wenn ~ a1  ~ Vektor ~ a2 ersetzt werden.

4 Anwendungen &

59

Beispiel P1 ¼ ð1; 0; 5Þ ist ein Punkt der Geraden g1 ; P2 ¼ ð0; 2; 1Þ ein solcher der Geraden g2 . Der gemein0 1 2 a2 ¼ @ 1 A . Wir bestimmen den Abstand d dieser parallelen Geraden: same Richtungsvektor ist ~ a1 ¼ ~ 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 2 01 2 1 4  ~ r2  ~ r1 Þ ¼ @ 1 A  @ 2  0 A ¼ @ 1 A  @ 2 A ¼ @  1 þ a1  ð~ 1 15 1 4 4þ r2  ~ r1 Þ j ¼ j~ a1  ð~ d ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi ð6Þ 2 þ 7 2 þ 5 2 ¼ 110 ;

j~ a1  ð~ r2  ~ r1 Þ j ¼ j~ a1 j

j~ a1 j ¼

1 0 1 2 6 8A ¼ @ 7A 1 5

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 22 þ 12 þ 12 ¼ 6

pffiffiffiffiffiffiffiffi 110 pffiffiffi ¼ 4;282 6 &

4.2.5 Abstand zweier windschiefer Geraden Gegeben: Zwei windschiefe Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen

P2

a2

~ a1 und r ðl1 Þ ¼ ~ r1 þ l1 ~ a2 ~ r2 þ l2 ~ r ðl2 Þ ¼ ~ d ¼

d

j ½~ a1 ~ r2  ~ r1 Þ j a2 ð~ j~ a1  ~ a2 j

g1 P1

Die Geraden g1 und g2 sind genau dann windschief (d. h. nicht parallel und kommen nicht zum Schnitt), wenn die Bedingungen a2 6¼ ~ 0 und ½~ a1 ~ r2  ~ r1 Þ 6¼ 0 er~ a2 ð~ a1  ~ fu¨llt sind. &

g2

r2

a1

r1 0

Beispiel

0 1 0 1 0 1 0 1 5 2 1 3 @ A @ A @ A ~ r ðl1 Þ ¼ ~ r1 þ l1 ~ r2 þ l2 ~ und ~ r ðl2 Þ ¼ ~ a1 ¼ 2 þ l1 1 a2 ¼ 1 þ l2 @ 2 A sind die Glei1 0 3 1 chungen zweier windschiefer Geraden g1 und g2 , deren Abstand d wir berechnen wollen:   1 1  a2 ð~ r2  ~ r1 Þ ¼  3 2 ½~ a1 ~  ð2  5Þ ð 1  2Þ

3 1 ð0  1Þ

    1    ¼ 3     3

0 1 0 1 0 1 0 1 1 3 16 5 ~ a1  ~ a2 ¼ @ 1 A  @ 2 A ¼ @ 9  1 A ¼ @ 8 A ; 3 1 23 1 d ¼

1 2 3

j~ a1  ~ a2 j ¼

3 1 1

    ¼ 8  

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ð 5Þ 2 þ 8 2 þ ð 1Þ 2 ¼ 90

a2 ð~ j½~ a1 ~ r2  ~ r1 Þ j j  8j ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 0;843 a2 j j~ a1  ~ 90 &

60

II Vektorrechnung

4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Unter dem Schnittwinkel j zweier Geraden versteht man den Winkel zwischen den zugeho¨rigen Richtungsvektoren (auch dann, wenn sich die Geraden nicht schneiden).

g2 a2 a2

a1

j ¼ arccos

~ a2 a1  ~ j~ a1 j  j~ a2 j

g1

f

Gegeben: Zwei Geraden g1 und g2 mit a2 den Richtungsvektoren ~ a1 und ~

a1



a1 und g2: ~ a2 erha¨lt man Den Schnittpunkt S der Geraden g1: ~ r ¼~ r 1 þ l1 ~ r ¼~ r2 þ l2 ~ durch Gleichsetzen der Ortsvektoren: ~ r 2 þ l2 ~ r1 þ l1 ~ a1 ¼ ~ a2 Diese Vektorgleichung fu¨hrt (komponentenweise geschrieben) zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den beiden Unbekannten l1 und l2 . Die (eindeutige) Lo¨sung liefert die zum Schnittpunkt S geho¨rigen Parameterwerte. Den Ortsvektor ~ rS des gesuchten Schnittpunktes S erha¨lt man dann durch Einsetzen des Parameterwertes l1 in die Gleichung der Geraden g1 (alternativ: l2 in die Gleichung der Geraden g2 einsetzen). &

0

1 0 1 3 2 Die beiden Geraden g1 und g2 mit den Richtungsvektoren ~ a1 ¼ @ 1 A und ~ a2 ¼ @ 5 A schneiden 2 3 sich unter dem folgenden Winkel: 0 1

~ a2 3  2 þ 1  5 þ ð 2Þ  3 a1  ~ B C j ¼ arccos ¼ arccos @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ j~ a1 j  j~ a2 j 3 2 þ 1 2 þ ð 2Þ 2  2 2 þ 5 2 þ 3 2 Beispiel

¼ arccos 0;2168 ¼ 77;5 &

4.3 Vektorielle Darstellung einer Ebene 4.3.1 Punkt-Richtungs-Form In der Parameterdarstellung

~ r ðl; mÞ ¼ ~ r1 þ l ~ a þ m b~ l; m: Parameter; l; m 2 R ~ ~ a  b : Normalenvektor der Ebene

P

mb

Gegeben: Ein Punkt P1 der Ebene E mit dem Ortsvektor ~ r1 und zwei nichtkollineare Richtungsvektoren ~ a 6¼ ~ 0 und b~ 6¼ ~ 0 der Ebene

r (l; m) b E P1

a

r1

0

la

4 Anwendungen &

61

0 1 8 a ¼ @1A Eine Ebene E enthalte den Punkt P1 ¼ ð1; 3; 5Þ und besitze die beiden Richtungsvektoren ~ 0 1 3 1 ~ @ und b ¼ 2 A. Ihre Vektorgleichung lautet dann: 4 0 1 0 1 0 1 0 1 1 8 1 1 þ 8l þ m ~ r ðl; mÞ ¼ ~ r1 þ l ~ a þ m b~ ¼ @ 3 A þ l @ 1 A þ m @2 A ¼ @ 3 þ l  2 m A ðl; m 2 RÞ 5 3 4 5 þ 3l þ 4m Beispiel

&

In der Determinantenschreibweise   ax    bx   x  x1

ay by y  y1

ax ; ay ; az :

    bz  ¼ 0  z  z1  az

)

bx ; by ; bz : x1 ; y1 ; z1 : x; y; z:

Skalare Vektorkomponenten der Richtungsvektoren ~ a und b~ Koordinaten des festen Punktes P1 der Ebene Koordinaten des laufenden Punktes P der Ebene

4.3.2 Drei-Punkte-Form In der Parameterdarstellung Gegeben: Drei verschiedene Punkte P1 ; P2 und P3 der Ebene E mit den Ortsvektoren ~ r1 ; ~ r2 und ~ r3

¼~ r1 þ l ð~ r2  ~ r1 Þ þ m ð~ r3  ~ r1 Þ l; m: Parameter;

l; m 2 R

r3 – r1

 !  ! ~ r ðl; mÞ ¼ ~ r1 þ l P1 P2 þ m P1 P3 ¼

P3

P1

r3

P r (l; m) r2 – r1

r1

E P2

r2

Die Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn die drei Punkte nicht in einer Geraden liegen. Dies ist 0 r1 Þ  ð~ r3  ~ r1 Þ 6¼ ~ 0 ist. der Fall, wenn ð~ r2  ~ Die Vektoren ~ r2  ~ r1 und ~ r3  ~ r1 sind Richtungsvektoren, ihr Vektorprodukt ein Normalenvektor der Ebene. &

Beispiel Die Gleichung der Ebene durch die drei Punkte P1 ¼ ð1; 1; 2Þ; P2 lautet wie folgt: 0 0 1 0 1 @ A ~ r ðl; mÞ ¼ ~ r1 þ l ð~ r2  ~ r1 Þ þ m ð~ r3  ~ r1 Þ ¼ 1 þ l @ 4 5 2

¼ ð0; 4; 5Þ und P3 ¼ ð 3; 4; 9Þ   

0 1 1 3  1 1 @ A 4  1A ¼ 1 þm 92 2

0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 4 1  l  4m ¼ @1A þ l@ 3A þ m@ 3A ¼ @1 þ 3l þ 3mA 2 7 7 2  7l þ 7m

ðl; m 2 RÞ &

62

II Vektorrechnung

In der Determinantenschreibweise         

1 x 1 x1 1 x2 1 x3

y y1 y2 y3

z z1 z2 z3

     ¼0   

xi ; yi ; zi : Koordinaten des festen Punktes Pi der Ebene ði ¼ 1; 2; 3Þ x; y; z: Koordinaten des laufenden Punktes der Ebene 4.3.3 Ebene senkrecht zu einem Vektor Gegeben: Ein Punkt P1 der Ebene E mit dem Ortsvektor ~ r1 und ein Normalenvektor ~ n der Ebene (steht senkrecht auf der Ebene) ~ n  ð~ r ~ r1 Þ ¼ 0

oder

n r – r1

P1 r1

~ n ~ r ¼~ n ~ r1

P

E

r

Koordinatendarstellung der Ebene: ax þ by þ cz þ d ¼ 0

&

0

0 1 2 Die Gleichung einer Ebene durch den Punkt P1 ¼ ð10;  3; 2Þ und senkrecht zum Vektor ~ n ¼ @1A 5 (Normalenvektor) lautet wie folgt: 0 1 0 1 2 x  10 ~ n  ð~ r ~ r1 Þ ¼ @ 1 A  @ y þ 3 A ¼ 2 ðx  10Þ þ 1 ðy þ 3Þ þ 5 ðz  2Þ ¼ 0 5 z 2 Beispiel

)

2 x þ y þ 5 z ¼ 27 &

Q

4.3.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene

rQ

Gegeben: Eine Ebene E mit der Gleichung ~ n  ð~ r ~ r1 Þ ¼ 0 und ein Punkt Q mit dem Ortsvektor ~ rQ

d n

j~ n  ð~ rQ  ~ r1 Þj d ¼ j~ nj Q0 :

Fußpunkt des Lotes von Q auf die Ebene E

E

P1 r1

0

Q'

4 Anwendungen &

63 0

Beispiel

n ¼@ Eine Ebene verla¨uft durch den Punkt P1 ¼ ð3; 1; 8Þ und steht senkrecht zum Vektor ~ berechnen den Abstand d des Punktes Q ¼ ð1; 2; 0Þ von dieser Ebene: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 13 1 2 ~ n  ð~ rQ  ~ r1 Þ ¼ @ 5 A  @ 2  1 A ¼ @ 5 A  @ 1 A ¼ 2 þ 5  24 ¼  17 3 08 3 8 j~ nj ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ð1Þ 2 þ 5 2 þ 3 2 ¼ 35 ;

d ¼

1 1 5 A : Wir 3

j~ n  ð~ rQ  ~ r1 Þ j j  17 j ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 2;874 j~ nj 35 &

4.3.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene Gegeben: Eine Ebene E mit der Gleichung ~ n  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 0 und eine zu dieser Ebene parallele Gerade g mit a der Gleichung ~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ d ¼

g a

P1

d

r1

j~ n  ð~ r1  ~ r0 Þ j j~ nj

n

Parallele zu g

P0

Eine Gerade mit dem Richtungsvektor ~ a verla¨uft genau dann parallel zu einer Ebene mit dem Normalenvektor ~ n, wenn das Skalarprodukt ~ a~ n verschwindet.

E

r0

0 &

0

1 2 n ¼ @ 1 A ; Die Ebene E verlaufe durch den Punkt P0 ¼ ð1; 3; 2Þ und senkrecht zum Vektor ~ 5 0 1 2 die Gerade g gehe durch den Punkt P1 ¼ ð0; 7;  3Þ und besitze den Richtungsvektor ~ a ¼ @ 1 A : 1 Wegen 0 1 0 1 2 2 ~ a~ n ¼ @ 1 A  @1 A ¼ 4 þ 1  5 ¼ 0 1 5 Beispiel

gilt g k E. Wir berechnen den Abstand 0 1 0 2 0 ~ n  ð~ r1  ~ r0 Þ ¼ @  1 A  @ 7 5 3 j~ nj ¼

d zwischen Gerade und Ebene: 1 0 1 0 1 1 2 1  3 A ¼ @  1 A  @ 4 A ¼  2  4  25 ¼  31 2 5 5

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 2 þ ð1Þ 2 þ 5 2 ¼ 30 ;

d ¼

j~ n  ð~ r1  ~ r0 Þ j j  31 j ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 5;660 j~ nj 30 &

64

II Vektorrechnung

4.3.6 Abstand zweier paralleler Ebenen Gegeben: Zwei parallele Ebenen E1 und E2 mit den Gleichungen

n2

~ n1  ð~ r ~ r1 Þ ¼ 0 und

Q

P2

~ n2  ð~ r ~ r2 Þ ¼ 0

E2

r2 d

j~ n1  ð~ r1  ~ r2 Þ j j~ n2  ð~ r1  ~ r2 Þ j ¼ d ¼ j~ n1 j j~ n2 j

n1 P1

Q : 0

Q :

Beliebiger Punkt der Ebene E2

Q'

r1

Fußpunkt des Lotes von Q auf die zweite Ebene E1

E1

0

Zwei Ebenen sind genau dann parallel, wenn n2 kollinear ihre Normalenvektoren ~ n1 und ~ ~ n2 ¼ 0 ist. sind, d. h. ~ n1  ~ &

0

Beispiel Ebene E1 :

P1 ¼ ð3; 1;  2Þ,

1 2 B C Normalenvektor ~ n1 ¼ @ 1 A 4 0

Ebene E2 :

P2 ¼ ð 4; 3; 0Þ,

B Normalenvektor ~ n2 ¼ @

4

1

C 2A

8 Die Ebenen sind parallel, da ~ n2 ¼  2 ~ n1 und somit ~ n1  ~ n2 ¼ ~ 0 ist: 1 0 1 0 2 4 C B C B n1 ~ n2 ¼ @ 2 A ¼  2 @  1 A ¼  2 ~ 8

4 |{z} ~ n1

Wir berechnen den Abstand d der Ebenen: 0 1 0 2 3þ B C B ~ r1  ~ r2 Þ ¼ @  1 A  @ 1  n1  ð~ 4

4

1

0

2

1 0

7

1

C B C B C 3 A ¼ @ 1 A  @ 2 A ¼ 14 þ 2  8 ¼ 8 2  0 4 2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi j~ n1 j ¼ 2 2 þ ð1Þ 2 þ 4 2 ¼ 21 d ¼

j~ n1  ð~ r1  ~ r2 Þ j 8 ¼ pffiffiffiffiffi ¼ 1;746 j~ n1 j 21 &

4 Anwendungen

65

4.3.7 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Gegeben: Eine Gerade g mit der Gleia und eine chung ~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ Ebene E mit der Gleichung ~ n  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 0

g n

Ortsvektor des Schnittpunktes S:

S

n

~ r1 Þ n  ð~ r0  ~ ~ ~ a rS ¼ ~ r1 þ ~ n~ a Schnittwinkel j:

j~ n~ aj j ¼ arcsin j~ n j  j~ aj

f a

rs

P0

E

r0 P1 0

a

r1

Eine Gerade mit dem Richtungsvektor ~ a und eine Ebene mit dem Normalenvektor ~ n kommen genau dann zum Schnitt, wenn ~ n~ a 6¼ 0 ist. &

Beispiel Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E : 0 1 0 1 2 3 @ A @ a ¼ 0 þ l 4 A ; g: ~ r ðlÞ ¼ ~ r1 þ l ~ 5 1

E:

0 1 0 1 2 x1 @ A @ ~ n  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 1  y  1 A ¼ 0 1 z2

Wir berechnen den Schnittpunkt S sowie den Schnittwinkel j. Schnittpunkt S: 0 1 0 1 0 1 0 1 2 12 2 1 @ A @ A @ A @ ~ n  ð~ r0  ~ r1 Þ ¼ 1  1  0 ¼ 1  1A ¼  2 þ 1  3 ¼  4 1 25 1 3 0 1 0 1 2 3 @ A @ ~ n~ a ¼ 1   4 A ¼ 6  4  1 ¼ 1 6¼ 0 1 1

)

Gerade und Ebene schneiden sich

0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1  12 2 3 2 2 3 ~ n  ð~ r0  ~ r1 Þ 4 @ @ @ A @ A @ A @ A A ~ ~ 16 A ¼ r1 þ a ¼ 0 þ 4 ¼ 0  4  4 ¼ 0 þ rS ¼ ~ ~ n~ a 1 4 5 1 5 5 1 0 1 0 1 2  12  10 ¼ @ 0 þ 16 A ¼ @ 16 A ) S ¼ ð10; 16; 9Þ 5þ 4 9 Schnittwinkel j: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi j~ n j ¼ 22 þ 12 þ 12 ¼ 6 ; j ¼ arcsin

j~ aj ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 2 þ ð 4Þ 2 þ ð 1Þ 2 ¼ 26



j~ n~ aj 1 ¼ arcsin pffiffiffi pffiffiffiffiffi ¼ arcsin 0;0801 ¼ 4;6 j~ n j  j~ aj 6  26 &

66

II Vektorrechnung

4.3.8 Schnittwinkel zweier Ebenen Unter dem Schnittwinkel j zweier Ebenen versteht man den Winkel zwischen den zugeho¨rigen Normalenvektoren der beiden Ebenen.

E2

Gegeben: Zwei Ebenen E1 und E2 mit den Normalenvektoren ~ n1 und ~ n2 j ¼ arccos

&

n1 f

n2



~ n2 n1  ~ j~ n1 j  j~ n2 j

E1

Beispiel Wir bestimmen den Schnittwinkel j zweier Ebenen E1 und E2 mit den Normalenvektoren 0 1 0 1 3 2 @ A @ ~ n1 ¼  2 und ~ n2 ¼ 1 A: 3 1 0 1 0 1 3 2 @ A @ ~ n1  ~ n2 ¼  2  1A ¼ 6  2  3 ¼ 1 3 1 j~ n1 j ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 2 þ ð 2Þ 2 þ 3 2 ¼ 22 ;

j ¼ arccos

~ n1  ~ n2 j~ n1 j  j~ n2 j



j~ n2 j ¼

¼ arccos

1 pffiffiffiffiffi pffiffiffi 22  6

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2 2 þ 1 2 þ ð 1Þ 2 ¼ 6



¼ arccos 0;0870 ¼ 85;0 &

4.3.9 Schnittgerade zweier Ebenen n1  ð~ r ~ r1 Þ ¼ 0 und Gegeben: Zwei Ebenen E1 und E2 mit den Vektorgleichungen ~ ~ n2  ð~ r ~ r2 Þ ¼ 0 Gleichung der Schnittgeraden g g:

a r ðlÞ ¼ ~ r0 þ l ~

ðl 2 RÞ

Richtungsvektor: ~ a ¼~ n1  ~ n2 Der Ortsvektor ~ r0 eines (noch unbekannten) Punktes P0 ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ der Schnittgeraden g wird aus dem linearen Gleichungssystem ~ n1  ð~ r0  ~ r1 Þ ¼ 0 ~ n2  ð~ r0  ~ r2 Þ ¼ 0 bestimmt, wobei eine der drei Unbekannten x0 , y0 , z0 frei wa¨hlbar ist (z. B. x0 ¼ 0 setzen).

67

III Funktionen und Kurven

1 Grundbegriffe

1.1 Definition einer Funktion Unter einer Funktion von einer Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem Element x 2 D genau ein Element y 2 W zuordnet. Symbolische Schreibweise: y ¼ f ðxÞ: Bezeichnungen x: y: D: W:

Unabha¨ngige Vera¨nderliche (Variable) oder Argument Abha¨ngige Vera¨nderliche (Variable) oder Funktionswert Definitionsbereich der Funktion Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion

In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen sind x und y in der Regel reelle Variable, y ¼ f ðxÞ ist dann eine reellwertige Funktion der reellen Variablen x.

1.2 Darstellungsformen einer Funktion 1.2.1 Analytische Darstellung Die Funktion wird durch eine Funktionsgleichung dargestellt. Explizite Form:

y ¼ f ðxÞ

Implizite Form:

Fðx; yÞ ¼ 0

1.2.2 Parameterdarstellung

y

Die Variablen (Koordinaten) x und y ha¨ngen von einem (reellen) Parameter t ab, sind somit (stetige) Funktionen von t : x ¼ x ðtÞ y ¼ y ðtÞ

t2 t t1

) t1  t  t2

y(t)

x(t)

x

68

III Funktionen und Kurven

1.2.3 Kurvengleichung in Polarkoordinaten r ¼ r ðjÞ

y

ðj1  j  j2 Þ

f2

Pol: Koordinatenursprung Polarachse: x-Achse j: Polarwinkel r : Abstand vom Pol ðr  0Þ

r( f2 )

f

r(f)

f1 r( f1 )

Pol

x

Polarachse

1.2.4 Graphische Darstellung Die Funktion y ¼ f ðxÞ wird in einem rechtwinkligen Koordinatensystem durch eine Punktmenge dargestellt (Funktionskurve, Schaubild oder Funktionsgraph genannt). Dem Wertepaar ðx0 ; y0 Þ mit y0 ¼ f ðx0 Þ entspricht dabei der Kurvenpunkt P ¼ ðx0 ; y0 Þ. x0 ; y0 : x0 : y0 :

y

Kartesische Koordinaten von P  Abszisse von P Ordinate

y = f(x) y0

Jede Parallele zur y-Achse schneidet die Kurve ho¨chstens einmal.

P

x0

x

2 Allgemeine Funktionseigenschaften 2.1 Nullstellen Schnitt- bzw. Beru¨hrungspunkte der Funktionskurve mit der x-Achse:

y y = f(x)

f ðx0 Þ ¼ 0 Doppelte Nullstelle: Beru¨hrungspunkt mit der x-Achse

x0

x

2 Allgemeine Funktionseigenschaften

69

2.2 Symmetrie y

Gerade Funktion

y = f(x)

Die Funktionskurve ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse: f ð xÞ ¼ f ðxÞ

f(–x)

(fu¨r alle x mit x 2 D ,  x 2 D)

f(x)

–x

x

x

y

Ungerade Funktion

y = f(x)

Die Funktionskurve ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

f(x) –x

f ð xÞ ¼  f ðxÞ

x

f(–x)

x

(fu¨r alle x mit x 2 D ,  x 2 D)

2.3 Monotonie Monoton wachsende Funktion

y y = f(x)

f ðx1 Þ  f ðx2 Þ f( x2 )

(fu¨r alle x1 ; x2 2 D mit x1 < x2 )

f( x1 ) x2

x1

Monoton fallende Funktion

y

y = f(x)

f ðx1 Þ  f ðx2 Þ (fu¨r alle x1 ; x2 2 D mit x1 < x2 )

x

f( x1 ) x1

f(x2 ) x2

x

Gilt nur das Zeichen < oder >, so heißt die Funktion streng monoton wachsend bzw. streng monoton fallend. Viele Funktionen zeigen ein bestimmtes Monotonieverhalten nur in Teilintervallen ihres Definitionsbereiches.

70

III Funktionen und Kurven

2.4 Periodizita¨t y

Die Funktionswerte wiederholen sich, wenn man in der x-Richtung um eine Periode p fortschreitet: f ðx  pÞ ¼ f ðxÞ (fu¨r alle x 2 D)

Periode p

f(x) x

f(x + p)

y = f(x)

x+p

x

Mit p ist auch  k  p eine Periode der Funktion ðk 2 N *Þ. Die kleinste (positive) Periode heißt primitive Periode.

2.5 Umkehrfunktion (inverse Funktion) Definition Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt umkehrbar, wenn aus x1 6¼ x2 stets f ðx1 Þ 6¼ f ðx2 Þ folgt (zu verschiedenen Abszissen geho¨ren verschiedene Ordinaten). Die Umkehrfunktion von y ¼ f ðxÞ wird durch das Symbol y ¼ f 1 ðxÞ oder besser y ¼ g ðxÞ gekennzeichnet. Bestimmung der Funktionsgleichung der Umkehrfunktion Jede streng monoton fallende oder wachsende Funktion ist umkehrbar. Bei der Umkehrung werden Definitions- und Wertebereich miteinander vertauscht. In vielen Fa¨llen la¨sst sich die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion schrittweise wie folgt ermitteln: 1. Die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ wird zuna¨chst nach der Variablen x aufgelo¨st: x ¼ g ðyÞ 1Þ . 2. Durch formales Vertauschen der beiden Variablen erha¨lt man hieraus die Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ von y ¼ f ðxÞ. Die Rechenschritte du¨rfen auch in der umgekehrten Reihenfolge ausgefu¨hrt werden. Zeichnerische Konstruktion der Umkehrfunktion Die Kurve y ¼ f ðxÞ wird Punkt fu¨r Punkt an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten, d. h. an der Geraden y ¼ x gespiegelt.

y y = f(x) y=x y = g(x) x

1Þ

Die Auflo¨sung muß mo¨glich und eindeutig sein. x ¼ g ðyÞ heißt auch „die nach x aufgelo¨ste Form von y ¼ f ðxÞ“.

3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion &

71

Beispiel y ¼ f ðxÞ ¼

x þ2 , x

Auflo¨sen der Gleichung nach x :

x 6¼ 0 xy ¼ x þ 2

)

x y  x ¼ x ðy  1Þ ¼ 2

Vertauschen der beiden Variablen fu¨hrt zur Umkehrfunktion:

y ¼ g ðxÞ ¼

) x ¼ g ðyÞ ¼

2 ; x 1

2 y1

x 6¼ 1 &

3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion 3.1 Grenzwert einer Folge Definition einer Zahlenfolge Unter einer (reellen) Zahlenfolge ( kurz als Folge bezeichnet) versteht man eine geordnete Menge reeller Zahlen. Jeder positiven ganzen Zahl n wird dabei in eindeutiger Weise eine reelle Zahl an zugeordnet. Symbolische Schreibweise: han i ¼ a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . a1 ; a2 ; a3 ; . . .:

Glieder der Folge

ðn 2 N *Þ an : allgemeines Glied der Folge (n-tes Glied)

Grenzwert einer Zahlenfolge Die reelle Zahl g heißt Grenzwert oder Limes der Zahlenfolge han i, wenn es zu jedem e > 0 eine positive ganze Zahl n0 gibt, so dass fu¨r alle n  n0 stets j an  g j < e ist. Eine Folge han i heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert g hat. Symbolische Schreibweise: lim an ¼ g

n!1

Eine Folge han i, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Eine Folge hat ho¨chstens einen Grenzwert. &

Beispiel Die Folge han i ¼ g ¼ lim

n!1

  1 1 1 1 ¼ 1; ; ; . . . ; ; . . . ist konvergent mit dem Grenzwert n 2 3 n

1 ¼ 0 (sog. Nullfolge). n

&

72

III Funktionen und Kurven

3.2 Grenzwert einer Funktion 3.2.1 Grenzwert fu¨r x ! x0 Eine Funktion y ¼ f ðxÞ sei in einer Umgebung von x0 definiert. Gilt dann fu¨r jede im Definitionsbereich der Funktion liegende und gegen die Stelle x0 konvergierende Zahlenfolge hxn i mit xn 6¼ x0 stets lim f ðxn Þ ¼ g, so heißt g der Grenzwert von y ¼ f ðxÞ n!1

fu¨r x ! x0 (Grenzwert an der Stelle x0 ). Symbolische Schreibweise: lim f ðxÞ ¼ g

x ! x0

Man beachte, dass die Funktion an der Stelle x0 nicht definiert sein muss. Der Grenzwert an dieser Stelle (Definitionslu¨cke) kann trotzdem vorhanden sein. &

Beispiel lim

x!1

x2  1 ðx þ 1Þ ðx  1Þ ¼ lim ¼ lim ðx þ 1Þ ¼ 2 x!1 x!1 x 1 x 1 &

3.2.2 Grenzwert fu¨r x !  1 Besitzt eine Funktion y ¼ f ðxÞ die Eigenschaft, dass die Folge ihrer Funktionswerte fu¨r jede u¨ber alle Grenzen hinaus wachsende Zahlenfolge hxn i ðxn 2 DÞ gegen eine Zahl g strebt, so heißt g der Grenzwert von y ¼ f ðxÞ fu¨r x ! 1 (Grenzwert im „Unendlichen“). Symbolische Schreibweise: lim f ðxÞ ¼ g

x!1

Analog wird der Grenzwert &

Beispiel lim

x!1

lim

x ! 1

f ðxÞ erkla¨rt.

0 1 x 1 ¼ lim @ A ¼ 0 1 x!1 1 þ x2 þx x &

3.3 Rechenregeln fu¨r Grenzwerte Voraussetzung: Alle auftretenden Grenzwerte sind vorhanden. (1) (2) (3)

lim C  f ðxÞ ¼ C 



lim f ðxÞ

x ! x0



ðC 2 RÞ

x ! x0

lim ½ f ðxÞ  gðxÞ ¼ lim f ðxÞ  lim g ðxÞ

x ! x0

lim ½ f ðxÞ  g ðxÞ ¼

x ! x0

x ! x0



x ! x0

   lim f ðxÞ  lim g ðxÞ

x ! x0

x ! x0

3 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion

 (4)

lim

x ! x0

(5)

lim

x ! x0

f ðxÞ g ðxÞ

 ¼

x ! x0

 lim

x ! x0

h

a f ðxÞ



¼ a

lim f ðxÞ

in

x ! x0



lim f ðxÞ



x ! x0

lim ½ log a f ðxÞ  ¼ log a

(8)

lim g ðxÞ 6¼ 0Þ

x ! x0

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffi n f ðxÞ ¼ n lim f ðxÞ

x ! x0

(7)

ðVoraussetzung :

lim g ðxÞ

x ! x0

lim ½ f ðxÞ  n ¼

(6)

lim f ðxÞ

x ! x0

73



x ! x0

lim f ðxÞ

x ! x0



ð f ðxÞ > 0Þ

Diese Regeln gelten sinngema¨ß auch fu¨r Grenzu¨berga¨nge vom Typ x ! þ 1 bzw. x !  1.

3.4 Grenzwertregel von Bernoulli und de l’Hospital 0“ 1“ Fu¨r Grenzwerte, die auf einen unbestimmten Ausdruck der Form oder fu¨hren, „0 „1 gilt die sog. Bernoulli-de l’Hospitalsche Regel: lim

x ! x0

f ðxÞ f 0 ðxÞ ¼ lim 0 x ! x0 g ðxÞ g ðxÞ

Voraussetzung: f ðxÞ und g ðxÞ sind in einer Umgebung von x 0 stetig differenzierbar und der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Anmerkungen (1) (2)

In einigen Fa¨llen ist die Regel mehrmals anzuwenden, ehe man zu einem Ergebnis kommt; es gibt jedoch auch Fa¨lle, in denen die Regel versagt. Die Regel gilt auch fu¨r Grenzu¨berga¨nge vom Typ x !  1.

&

Beispiel lim

x!0

sin 2 x 0 ! 1  cos x 0

(Za¨hler und Nenner streben beide gegen 0)

Regel von Bernoulli-de l’Hospital: lim

x!0

sin 2 x ðsin 2 xÞ 0 2 sin x  cos x ¼ lim ¼ lim ¼ lim ð2  cos xÞ ¼ 2  1 ¼ 2 x ! 0 ð1  cos xÞ 0 x!0 x!0 1  cos x sin x &

74

III Funktionen und Kurven

Unbestimmte Ausdru¨cke der Form 0  1, 1  1, 0 0 , 1 1 oder 1 0 lassen sich in 0 1 vielen Fa¨llen wie folgt durch elementare Umformungen auf den Typ oder zuru¨ck0 1 fu¨hren: lim j ðxÞ

Funktion j ðxÞ u ðxÞ  vðxÞ

(A)

Elementare Umformung

x ! x0

u ðxÞ 1

01

oder

vðxÞ 1 (B)

(C) &

vðxÞ

u ðxÞ  vðxÞ

11

u ðxÞ v ðxÞ

0 0, 1 0, 1 1

ðu ðxÞ > 0Þ

vðxÞ 1 u ðxÞ



1 u ðxÞ

1 u ðxÞ  vðxÞ e v ðxÞ  ln u ðxÞ

Beispiel lim ðx  ln xÞ ! 0  1

x!0

(vom Vorzeichen abgesehen)

Elementare Umformung ( Typ (A) mit u ðxÞ ¼ x und v ðxÞ ¼ ln x; 2. Version): 0 1 ln x 1 lim ðx  ln xÞ ¼ lim @ ! x!0 x!0 1 1 A x Regel von Bernoulli-de L’Hospital:

1 1 B x C ln x ðln xÞ C ¼ lim ð xÞ ¼ 0 lim ðx  ln xÞ ¼ lim @ ¼ lim  0 ¼ lim B 1 A x!0 x!0 x!0 x!0 @ x!0 1A 1  2 x x x 0

1

0

0

&

3.5 Stetigkeit einer Funktion Eine in x0 und einer gewissen Umgebung von x0 definierte Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x0 stetig, wenn der Grenzwert der Funktion fu¨r x ! x0 vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert u¨bereinstimmt: lim f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ

x ! x0

Eine Funktion, die an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist, heißt eine stetige Funktion. Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x0 unstetig, wenn f ðx 0 Þ nicht vorhanden ist oder f ðx 0 Þ vom Grenzwert verschieden ist oder dieser nicht existiert. Es gibt dabei verschiedene Arten von Unstetigkeitsstellen (Lu¨cken, Pole oder Unendlichkeitsstellen, Spru¨nge).

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

75

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) 4.1 Definition der ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen) f ðxÞ ¼ an x n þ an  1 x n  1 þ . . . þ a1 x þ a0

ðan 6¼ 0Þ

n: Polynomgrad ðn 2 N Þ a0 ; a1 ; . . . an : Reelle Polynomkoeffizienten Ganzrationale Funktionen oder Polynomfunktionen sind u¨berall definiert und stetig. Sie werden in der Regel nach fallenden Potenzen geordnet (siehe hierzu III.4.5, Horner-Schema).

4.2 Lineare Funktionen (Geraden) 4.2.1 Allgemeine Geradengleichung Ax þ By þ C ¼ 0

ðA 2 þ B 2 6¼ 0Þ

4.2.2 Hauptform einer Geraden Gegeben: Steigung m und Achsenabschnitt b (Schnittpunkt mit der y-Achse)

y

y = mx + b

y ¼ mx þ b

b

a

x

m ¼ tan a (a: Steigungswinkel)

4.2.3 Punkt-Steigungsform einer Geraden Gegeben: Ein Punkt P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ und die Steigung m oder der Steigungswinkel a ðm ¼ tan aÞ y  y1 ¼ m x  x1

y P P1

a

y1 x1

y – y1

a x – x1

y

x

x

76

III Funktionen und Kurven

4.2.4 Zwei-Punkte-Form einer Geraden

y P

Gegeben: Zwei verschiedene Punkte P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ und P2 ¼ ðx2 ; y2 Þ

P2 P1

y  y1 y 2  y1 ¼ x  x1 x 2  x1

ðx1 6¼ x2 Þ

y1

a

y – y1

y2 – y1

a x2 – x1 y2 x – x1

x1

x2

y x

x

4.2.5 Achsenabschnittsform einer Geraden Gegeben: Achsenabschnitte a und b auf der x- und y-Achse x y þ ¼ 1 a b

ða 6¼ 0; b 6¼ 0Þ

y

b x

a

4.2.6 Hessesche Normalform einer Geraden Gegeben: p: Senkrechter Abstand des Nullpunktes O von der Geraden

y

a: Winkel zwischen dem Lot vom Nullpunkt O auf die Gerade und der positiven x-Achse p

x  cos a þ y  sin a ¼ p

a 0

x

4.2.7 Abstand eines Punktes von einer Geraden Gegeben: Gerade A x þ B y þ C ¼ 0 und ein Punkt P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ der Ebene Ax þ By þ C 1 1 d ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A 2 þ B 2

y P1 = (x 1 ;y 1 ) d

ðA 2 þ B 2 6¼ 0Þ

p 0

x

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

77

4.2.8 Schnittwinkel zweier Geraden Gegeben: Zwei Geraden g1 und g2 mit den Gleichungen y ¼ m1 x þ b1 und y ¼ m2 x þ b2 m 2  m1 tan d ¼ 1 þ m1  m2 Voraussetzung:

y g2

d 

g1



ð0  d  90 Þ x

m1  m2 6¼  1

Spezialfa¨lle (1)

g1 k g2 :

m1 ¼ m2

(2)

g1 ? g2 :

m1  m2 ¼  1

und

d ¼ 0 und d ¼ 90

4.3 Quadratische Funktionen (Parabeln) Hinweis: Die nach rechts und links geo¨ffneten Parabeln werden in III.13.5 behandelt.

y

4.3.1 Hauptform einer Parabel S

y ¼ ax2 þ bx þ c

ða 6¼ 0Þ

a ¼ 6 0: ffnungsparameter a > 0: nach oben geo¨ffnete Parabel a < 0: nach unten geo¨ffnete Parabel   b 4ac  b2 ; Scheitelpunkt: S ¼  2a 4a Spezialfall:

a>0 x

a 3Þ. Das Polynom muss dabei nach fallenden Potenzen geordnet sein. Fehlt in der Funktionsgleichung eine Potenz, so ist im Horner-Schema der entsprechende Koeffizient gleich Null zu setzen! Beispiel f ðxÞ ¼ 3;2 x 3  2 x 2 þ 5;1 x þ 10; 3,2 x0 ¼ 2 3,2

f ð2Þ ¼ ?

2

5,1

10

6,4

8,8

27,8

4,4

13,9

37,8

Ergebnis:

f ð2Þ ¼ 37;8 &

80

III Funktionen und Kurven

4.6 Reduzierung einer Polynomfunktion (Nullstellenberechnung) Ist x1 eine Nullstelle von f ðxÞ ¼ a3 x 3 þ a2 x 2 þ a1 x þ a0 , so gilt nach III.4.4.1: f ðxÞ ¼ ðx  x1 Þ f1 ðxÞ ¼ ðx  x1 Þ ðb2 x 2 þ b1 x þ b0 Þ Dabei ist f1 ðxÞ ¼ b2 x 2 þ b1 x þ b0 das 1. reduzierte Polynom von f ðxÞ, dessen Koeffizienten man wie folgt aus dem Horner-Schema erha¨lt: a3 x1

a2

a1

a0

a3 x1

ða2 þ a3 x1 Þ x1

ða1 þ a2 x1 þ a3 x 21 Þ x1

a3 a2 þ a3 x1 a1 þ a2 x1 þ a3 x 21 a0 þ a1 x1 þ a2 x 21 þ a3 x 31 |ffl{zffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} b1 b0 f ðx1 Þ ¼ 0 b2 Die restlichen (reellen) Nullstellen von f ðxÞ sind dann (falls u¨berhaupt vorhanden), die Lo¨sungen der quadratischen Gleichung f1 ðxÞ ¼ 0. Anmerkungen (1)

(2) (3)

&

Die Reduzierung einer Polynomfunktion 3. Grades setzt die Kenntnis einer Nullstelle x1 voraus. Diese la¨sst sich oft durch Probieren, Erraten oder durch graphische oder numerische Rechenverfahren ermitteln (siehe hierzu I.4.3, I.4.4 und I.4.5). Bei Polynomfunktionen 4. und ho¨heren Grades erfolgt die Nullstellenberechnung analog durch mehrmalige Reduzierung, bis man auf eine quadratische Gleichung sto¨ßt. Bei der Reduzierung spielt die Reihenfolge, in der die Nullstellen bestimmt werden, keine Rolle. Die Produktdarstellung der Polynomfunktion ist davon unabha¨ngig. Beispiel f ðxÞ ¼  x 3 þ 5 x 2  3 x  9 Durch Probieren findet man eine Nullstelle bei x1 ¼ 3. Abspaltung des zugeho¨rigen Linearfaktors ðx  3Þ mit Hilfe des Horner-Schemas fu¨hrt zu: 1 x1 ¼ 3

5

3

9

3

6

9

1 2 3 0 |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} b1 b0 f ð3Þ b2 1. reduziertes Polynom:

f1 ðxÞ ¼  x 2 þ 2 x þ 3

Weitere Nullstellen:

x2 þ 2x þ 3 ¼ 0

Produktdarstellung:

f ðxÞ ¼  ðx  3Þ ðx þ 1Þ ðx  3Þ ¼  ðx  3Þ ðx þ 1Þ

oder

x2  2x  3 ¼ 0

)

x2 ¼  1 ;

x3 ¼ 3

2

&

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

81

4.7 Interpolationspolynome 4.7.1 Allgemeine Vorbetrachtungen Von einer unbekannten Funktion y ¼ f ðxÞ sind n þ 1 verschiedene Kurvenpunkte (sog. Stu¨tzpunkte) bekannt: P0 ¼ ðx0 ; y0 Þ;

P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ;

P2 ¼ ðx2 ; y2 Þ; . . . ;

Pn ¼ ðxn ; yn Þ

Die Abszissen x0 ; x1 ; x2 ; . . . ; xn heißen Stu¨tzstellen, die zugeho¨rigen Ordinaten y0 ; y1 ; y2 ; . . . ; yn Stu¨tzwerte. Wir setzen dabei voraus, dass die Stu¨tzstellen xi paarweise voneinander verschieden sind. Es gibt dann genau eine Polynomfunktion n-ten (oder auch niedrigeren) Grades, die durch diese Punkte verla¨uft. y Pn–1 P0

Nährungspolynom P1

y0

x0

y1

x1

Pn

P2

y2

x2

yn–1

xn–1

yn

xn

x

Diese Na¨herungsfunktion wird als Interpolationspolynom bezeichnet, da man mit ihr z. B. beliebige Zwischenwerte der (unbekannten) Funktion im Intervall x0  x  xn na¨herungsweise berechnen kann. In der Praxis erweist sich der direkte Lo¨sungsansatz y ¼ a0 þ a1 x þ a2 x 2 þ . . . þ an x n als wenig geeignet. Setzt man na¨mlich der Reihe nach die Koordinaten der n þ 1 Stu¨tzpunkte P0 ; P1 ; P2 ; . . . ; Pn in diesen Ansatz ein, so erha¨lt man ein lineares Gleichungssystem mit n þ 1 Gleichungen und ebenso vielen unbekannten Koeffizienten a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an , das sich jedoch nur mit erheblichem Rechenaufwand (Gaußscher Algorithmus!) lo¨sen la¨sst. 4.7.2 Interpolationsformel von Lagrange Das Lagrangesche Interpolationspolynom durch n þ 1 verschiedene Punkte besitzt die Form y ¼ y0  L0 ðxÞ þ y1  L1 ðxÞ þ y2  L2 ðxÞ þ . . . þ yn  Ln ðxÞ x0 ; x1 ; x2 ; . . . ; xn : y0 ; y1 ; y2 ; . . . ; yn :

Stu¨tzstellen Stu¨tzwerte

L0 ðxÞ; L1 ðxÞ; L2 ðxÞ; . . . ; Ln ðxÞ:

Lagrangesche Koeffizientenfunktionen

82

III Funktionen und Kurven

Die Lagrangesche Koeffizientenfunktionen Lk ðxÞ sind Polynome n-ten Grades und wie folgt definiert: L0 ðxÞ ¼

ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ ðx  x3 Þ . . . ðx  xn Þ ðx0  x1 Þ ðx0  x2 Þ ðx0  x3 Þ . . . ðx0  xn Þ

L1 ðxÞ ¼

ðx  x0 Þ ðx  x2 Þ ðx  x3 Þ . . . ðx  xn Þ ðx1  x0 Þ ðx1  x2 Þ ðx1  x3 Þ . . . ðx1  xn Þ

ðx  x0 Þ ðx L2 ðxÞ ¼ ðx2  x0 Þ ðx2 .. . ðx  x0 Þ ðx Ln ðxÞ ¼ ðxn  x0 Þ ðxn

 x1 Þ ðx  x3 Þ . . . ðx  xn Þ  x1 Þ ðx2  x3 Þ . . . ðx2  xn Þ  x1 Þ ðx  x2 Þ . . . ðx  xn  1 Þ  x1 Þ ðxn  x2 Þ . . . ðxn  xn  1 Þ

Anmerkungen

(2)

In der Koeffizientenfunktion Lk ðxÞ fehlt genau der Faktor ðx  xk Þ. Der Nenner ist dabei stets der Wert des Za¨hlers an der Stelle xk ðk ¼ 0; 1; . . . ; nÞ. Nachteil der Interpolationsformel von Lagrange (z. B. gegenu¨ber der Newton-Interpolation, siehe III.4.7.3): Soll ein weiterer Stu¨tzpunkt hinzugenommen werden, um den Grad des Na¨herungspolynoms um 1 zu erho¨hen, so mu¨ssen sa¨mtliche Koeffizientenfunktionen neu berechnet werden.

&

Beispiel

(1)

k

0

1

2

3

xk

0

2

5

7

yk

12

 16

 28

54

Das Lagrangesche Na¨herungspolynom durch diese vier Stu¨tzpunkte ist von ho¨chstens 3. Grade. Lo¨sungsansatz: y ¼ y0  L0 ðxÞ þ y1  L1 ðxÞ þ y2  L2 ðxÞ þ y3  L3 ðxÞ Bestimmung der Koeffizientenfunktionen: L0 ðxÞ ¼

ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ ðx  x3 Þ ðx  2Þ ðx  5Þ ðx  7Þ 1 ¼ ðx 3  14 x 2 þ 59 x  70Þ ¼ ðx0  x1 Þ ðx0  x2 Þ ðx0  x3 Þ ð0  2Þ ð0  5Þ ð0  7Þ 70

L1 ðxÞ ¼

ðx  x0 Þ ðx  x2 Þ ðx  x3 Þ ðx  0Þ ðx  5Þ ðx  7Þ 1 ¼ ðx 3  12 x 2 þ 35 xÞ ¼ ðx1  x0 Þ ðx1  x2 Þ ðx1  x3 Þ ð2  0Þ ð2  5Þ ð2  7Þ 30

L2 ðxÞ ¼

ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ ðx  x3 Þ ðx  0Þ ðx  2Þ ðx  7Þ 1 ¼ ¼  ðx 3  9 x 2 þ 14 xÞ ðx2  x0 Þ ðx2  x1 Þ ðx2  x3 Þ ð5  0Þ ð5  2Þ ð5  7Þ 30

L3 ðxÞ ¼

ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ ðx  0Þ ðx  2Þ ðx  5Þ 1 ¼ ¼ ðx 3  7 x 2 þ 10 xÞ ðx3  x0 Þ ðx3  x1 Þ ðx3  x2 Þ ð7  0Þ ð7  2Þ ð7  5Þ 70

4 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

83

Na¨herungspolynom nach Lagrange:     1 1 y ¼ 12   ðx 3  14 x 2 þ 59 x  70Þ  16  ðx 3  12 x 2 þ 35 xÞ  70 30     1 1 ðx 3  9 x 2 þ 14 xÞ þ 54  ðx 3  7 x 2 þ 10 xÞ ¼ x 3  5 x 2  8 x þ 12  28   30 70 &

4.7.3 Interpolationsformel von Newton Das Newtonsche Interpolationspolynom durch n þ 1 verschiedene Punkte besitzt die Form y ¼ a0 þ a1 ðx  x0 Þ þ a2 ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ þ a3 ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ þ . . . . . . þ an ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ . . . ðx  xn  1 Þ x0 ; x1 ; x2 ; . . . ; xn : y0 ; y1 ; y2 ; . . . ; yn :

Stu¨tzstellen Stu¨tzwerte

Pk ¼ ðxk ; yk Þ:

k-ter Stu¨tzpunkt ðk ¼ 0, 1, 2, . . . , nÞ

Die Berechnung der Koeffizienten a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an erfolgt zweckma¨ßigerweise nach dem sog. Steigungs- oder Differenzenschema: k

xk

yk

I a0

0

x0

y0

1

x1

y1

2

x2

y2

3

x3

y3

      n

      xn

      yn

II a1

½ x0 ; x1  ½ x1 ; x2  ½ x2 ; x3  ......

III

a2 ½ x0 ; x1 ; x2  ½ x1 ; x2 ; x3  ......

a3 ½ x0 ; x1 ; x2 ; x3  ......

......

84

III Funktionen und Kurven

Die Gro¨ßen ½ x0 ; x1 ; ½ x0 ; x1 ; x2 ; ½ x0 ; x1 ; x2 ; x3 ; . . . heißen dividierte Differenzen 1., 2., 3., . . . Ordnung und sind wie folgt definiert: Dividierte Differenzen 1. Ordnung (Spalte I) Sie werden aus zwei aufeinanderfolgenden Stu¨tzpunkten gebildet: y0 x0 y1 ½ x1 ; x2  ¼ x1 .. .

½ x0 ; x1  ¼

   

y1 x1 y2 x2

Dividierte Differenzen 2. Ordnung (Spalte II) Sie werden aus drei aufeinanderfolgenden Stu¨tzpunkten gebildet: ½ x0 ; x1 ; x2  ¼

½ x0 ; x1   ½ x1 ; x2  x0  x2

½ x1 ; x2 ; x3  ¼

½ x1 ; x2   ½ x2 ; x3  x1  x3

.. .

Dividierte Differenzen 3. Ordnung (Spalte III) Sie werden aus vier aufeinanderfolgenden Stu¨tzpunkten gebildet: ½ x0 ; x1 ; x2 ; x3  ¼

½ x0 ; x1 ; x2   ½ x1 ; x2 ; x3  x0  x3

½ x1 ; x2 ; x3 ; x4  ¼

½ x1 ; x2 ; x3   ½ x2 ; x3 ; x4  x1  x4

.. .

Entsprechend sind die dividierten Differenzen ho¨herer Ordnung definiert. Anmerkung Vorteil der Interpolationsformel von Newton (z. B. gegenu¨ber der Lagrange-Interpolation, siehe III.4.7.2): Die Anzahl der Stu¨tzpunkte kann beliebig vergro¨ßert (oder auch verkleinert) werden, ohne dass die Koeffizienten neu berechnet werden mu¨ssen (das Rechenschema ist nur entsprechend zu erga¨nzen).

5 Gebrochenrationale Funktionen &

85

Beispiel k

0

1

2

3

xk

0

2

5

7

yk

12

 16

 28

54

Das Newtonsche Na¨herungspolynom durch diese vier Stu¨tzpunkte ist von ho¨chstens 3. Grade. y ¼ a0 þ a1 ðx  x0 Þ þ a2 ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ þ a3 ðx  x0 Þ ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ

Lo¨sungsansatz:

Berechnung der Koeffizienten nach dem Steigungs- oder Differenzenschema: k

xk

yk

I

II

III

a0 a1 0

0

12

1

2

 16

2

5

 28

3

7

54

a2 a3

 14 4

2 1 9

41

a0 ¼ 12;

a1 ¼  14;

a2 ¼ 2;

a3 ¼ 1

Na¨herungspolynom nach Newton: y ¼ ¼ ¼ ¼ ¼

12  14 ðx  0Þ þ 2ðx  0Þ ðx  2Þ þ 1  ðx  0Þ ðx  2Þ ðx  5Þ ¼ 12  14 x þ 2 x ðx  2Þ þ x ðx  2Þ ðx  5Þ ¼ 12  14 x þ 2 x 2  4 x þ x ðx 2  7 x þ 10Þ ¼ 12  14 x þ 2 x 2  4 x þ x 3  7 x 2 þ 10 x ¼ x 3  5 x 2  8 x þ 12 &

5 Gebrochenrationale Funktionen 5.1 Definition der gebrochenrationalen Funktionen f ðxÞ ¼

gðxÞ am x m þ am  1 x m  1 þ . . . þ a1 x þ a0 ¼ hðxÞ bn x n þ bn  1 x n  1 þ . . . þ b1 x þ b0

ðam 6¼ 0; bn 6¼ 0Þ

g ðxÞ: Za¨hlerpolynom vom Grade m h ðxÞ: Nennerpolynom vom Grade n n > m: Echt gebrochenrationale Funktion (sonst unecht gebrochen) Definitionsbereich:

x 2 R mit Ausnahme der Nullstellen des Nennerpolynoms h ðxÞ

86

III Funktionen und Kurven

5.2 Nullstellen, Definitionslu¨cken, Pole Nullstelle x0 Es gilt f ðx0 Þ ¼ 0, d. h. g ðx0 Þ ¼ 0 und hðx0 Þ 6¼ 0. Definitionslu¨cke x0 Der Nenner der gebrochenrationalen Funktion verschwindet an der Stelle x0 , also gilt h ðx0 Þ ¼ 0. Die Definitionslu¨cken fallen daher mit den (reellen) Nullstellen des Nenners zusammen. Es gibt somit ho¨chstens n (reelle) Definitionslu¨cken, ermittelt aus der Gleichung h ðxÞ ¼ 0. Pol oder Unendlichkeitsstelle x0 Ein Pol x0 ist eine Definitionslu¨cke besonderer Art: Na¨hert man sich der Stelle x0 , so strebt der Funktionswert gegen þ 1 oder  1. In einer Polstelle gilt somit h ðx0 Þ ¼ 0 und g ðx0 Þ 6¼ 0, falls Za¨hler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen haben (siehe auch weiter unten). Die in einem Pol errichtete Parallele zur y-Achse heißt Polgerade (senkrechte Asymptote). Verha¨lt sich die Funktion bei Anna¨herung an den Pol von beiden Seiten her gleichartig, so liegt ein Pol ohne Vorzeichenwechsel, anderenfalls ein Pol mit Vorzeichenwechsel vor. Ist x0 eine k-fache Nullstelle des Nennerpolynoms h ðxÞ, so liegt ein Pol k-ter Ordnung vor: k ¼ gerade

) Pol ohne Vorzeichenwechsel

k ¼ ungerade ) Pol mit Vorzeichenwechsel Berechnung der Nullstellen und Pole 1. Man zerlegt das Za¨hler- und Nennerpolynom jeweils in Linearfaktoren und ku¨rzt (falls u¨berhaupt vorhanden) gemeinsame Faktoren heraus. 2. Die im Za¨hler verbliebenen Linearfaktoren liefern dann die Nullstellen, die im Nenner verbliebenen Linearfaktoren die Pole der gebrochenrationalen Funktion. Durch das Herausku¨rzen gemeinsamer Linearfaktoren ko¨nnen u. U. Definitionslu¨cken behoben und somit der Definitionsbereich der Funktion erweitert werden. &

Beispiel y ¼

3 x 4  12 x 3  9 x 2 þ 42 x  24 3ðx þ 2Þ ðx  1Þ 2 ðx  4Þ ¼ x3 þ x2  x  1 ðx  1Þ ðx þ 1Þ 2

ðx 6¼ 1; 1Þ

Za¨hler und Nenner wurden in Linearfaktoren zerlegt, gemeinsame Linearfaktoren herausgeku¨rzt: y ¼

3 ðx þ 2Þ ðx  1Þ ðx  4Þ ðx þ 1Þ 2

Nullstellen:

x1 ¼  2 ;

Pole:

x4 ¼  1

Polgerade:

x

¼ 1

x2 ¼ 1 ;

x3 ¼ 4

(Pol ohne Vorzeichenwechsel) (Parallele zur y-Achse)

Die urspru¨nglich vorhandene Definitionslu¨cke bei x ¼ 1 wurde somit behoben. &

6 Potenz- und Wurzelfunktionen

87

5.3 Asymptotisches Verhalten im Unendlichen Echt gebrochenrationale Funktion Eine echt gebrochenrationale Funktion na¨hert sich im Unendlichen (d. h. fu¨r x !  1Þ stets der x-Achse: Asymptote im Unendlichen:

y ¼ 0

Unecht gebrochenrationale Funktion Eine unecht gebrochenrationale Funktion f ðxÞ wird zuna¨chst durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion (Polynomfunktion) pðxÞ und eine echt gebrochenrationale Funktion r ðxÞ zerlegt: f ðxÞ ¼ p ðxÞ þ r ðxÞ. Im Unendlichen verschwindet r ðxÞ und die Funktion f ðxÞ na¨hert sich daher asymptotisch der Polynomfunktion p ðxÞ: Asymptote im Unendlichen: &

y ¼ p ðxÞ

Beispiel y ¼

3 x 4  12 x 3  9 x 2 þ 42 x  24 x3 þ x2  x  1

ðunecht gebrochenrationale FunktionÞ

Polynomdivision: 9 x 2 þ 30 x  39 ð3 x 4  12 x 3  9 x 2 þ 42 x  24Þ : ðx 3 þ x 2  x  1Þ ¼ 3 x  15 þ 3 x þ x2  x  1 |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}  ð3 x 4 þ 3 x 3  3 x 2  3 xÞ p ðxÞ r ðxÞ  15 x 3  6 x 2 þ 45 x  24  ð 15 x 3  15 x 2 þ 15 x þ 15Þ 9 x 2 þ 30 x  39 Asymptote im Unendlichen:

y ¼ 3 x  15 &

6 Potenz- und Wurzelfunktionen 6.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten Potenzfunktionen mit positiv-ganzzahligen Exponenten y ¼ xn;

1 < x < 1

(„Parabel n-ter Ordnung“)

ðn 2 N *Þ

88

III Funktionen und Kurven

Eigenschaften (1) (2)

Symmetrie: Fu¨r gerades n erha¨lt man gerade Funktionen (Bild a)), fu¨r ungerades n ungerade Funktionen (Bild b)). Nullstelle: x1 ¼ 0 (n-fache Nullstelle)

Bild a) zeigt die gerade Funktion y ¼ x 2 (Normalparabel), Bild b) die ungerade Funktion y ¼ x 3 (kubische Parabel). y y y = x2 y = x3 1

x

–1

a)

1

x

b)

–1

Potenzfunktionen mit negativ-ganzzahligen Exponenten y ¼ x n ¼

1 ; xn

x 6¼ 0

ðn 2 N *Þ

Eigenschaften (1) (2) (3)

Symmetrie: Fu¨r gerades n erha¨lt man gerade Funktionen (Bild a)), fu¨r ungerades n ungerade Funktionen (Bild b)). Pol: x1 ¼ 0 (Pol n-ter Ordnung) Polgerade: x ¼ 0 (y-Achse) Asymptote im Unendlichen: y ¼ 0 (x-Achse)

Bild a) zeigt die gerade Funktion y ¼ x  2 , Bild b) die ungerade Funktion y ¼ x  1 . y

y

y = x –1 1

y = x –2

y = x –2

y = x –1

1

x

1

a)

1

x

b)

6 Potenz- und Wurzelfunktionen

89

6.2 Wurzelfunktionen

pffiffiffi Die Wurzelfunktionen y ¼ n x sind die Umkehrfunktionen der auf das Intervall x  0 beschra¨nkten Potenzfunktionen y ¼ x n ðn ¼ 2; 3; 4; . . .Þ : y ¼

p ffiffiffi n x;

x  0

ðn ¼ 2; 3; 4; . . .Þ

Eigenschaften (1) (2)

Monotonie: Streng monoton wachsend Nullstelle: x1 ¼ 0

pffiffiffi Bild a) zeigt die Wurzelfunktion y ¼ x (Umkehrfunktion von y ¼ x 2 , x  0), pffiffiffi Bild b) die Wurzelfunktion y ¼ 3 x (Umkehrfunktion von y ¼ x 3 , x  0). y

y

1

1 y = √x

3

y = √x

y = x2

y = x3

x

1

1

a)

x

b)

6.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Unter einer Potenzfunktion mit rationalem Exponenten versteht man die Wurzelfunktion m

y ¼ xn ¼

ffiffiffiffiffiffi p n m x ;

x > 0

ðm 2 Z ; n 2 N *Þ

(„ n-te Wurzel aus x m “) Eigenschaften (1) (2) (3)

Monotonie: Bei positivem Exponenten streng monoton wachsend (Bild a)), bei negativem Exponenten streng monoton fallend (Bild b)). Definitionsbereich: x > 0, bei positivem Exponenten x  0. Erweiterung auf beliebige reelle Exponenten a: y ¼ x a ¼ e ln x ¼ e a  ln x a

ðx > 0Þ

90

III Funktionen und Kurven

Bild a) zeigt die streng monoton wachsende Funktion y ¼ x 2=3 ðx  0Þ, Bild b) die streng monoton fallende Funktion y ¼ x  1=2 ðx > 0Þ. y

y

y = x 2/3

1

y = x –1/2 1 x

1

5

1

a)

x

b)

7 Trigonometrische Funktionen Weitere Bezeichnungen:

Winkelfunktionen, Kreisfunktionen

7.1 Winkelmaße Winkel werden im Grad- oder Bogenmaß gemessen. Bogenmaß eines Winkels

v

Bogenmaß x : Maßzahl der La¨nge des Kreisbogens, der im Einheitskreis dem Winkel a gegenu¨berliegt 2Þ . Einer vollen Umdrehung entsprechen im Gradmaß 360 (Altgrad), im Bogenmaß 2 p rad (gelesen: Radiant) 3Þ .

1 a

Bogenmaß x u

Umrechnung der Winkelmaße Vom Grad- ins Bogenmaß:

x ¼

p a 180

Vom Bogen- ins Gradmaß:

a ¼

180 x p

1 0,017 453 rad; 2Þ 3Þ

1 rad 57,2958

In einem beliebigen Kreis ist x das Verha¨ltnis aus der Kreisbogenla¨nge b und dem Radius r ðx ¼ b=rÞ. Neben dem Altgrad gibt es noch den Neugrad. Einer vollen Umdrehung entsprechen dabei 400 gon. Das Bogenmaß ist eine dimensionslose Gro¨ße, man la¨sst daher die Einheit rad meist weg.

7 Trigonometrische Funktionen

91

Drehsinn eines Winkels

v P

Die Winkel erhalten wie folgt ein Vorzeichen: Im Gegenuhrzeigersinn u¨berstrichene Winkel werden positiv, im Uhrzeigersinn u¨berstrichene Winkel negativ geza¨hlt.

x a –a

u –x P'

7.2 Definition der trigonometrischen Funktionen Darstellung im rechtwinkeligen Dreieck a ist ein spitzer Winkel in einem rechtwinkeligen Dreieck ð0  a  90 Þ. Definitionsgema¨ß gilt dann:

sin a ¼

Gegenkathete a ¼ Hypotenuse c

cos a ¼

Ankathete Hypotenuse

tan a ¼

Gegenkathete a ¼ Ankathete b

cot a ¼

Ankathete b ¼ Gegenkathete a

¼

b c

c

a

a b

a, b: Katheten c: Hypotenuse

Darstellung im Einheitskreis Fu¨r einen beliebigen (positiven oder negativen) Winkel a gilt definitionsgema¨ß (P ist dabei der zum Winkel a geho¨rende Kreispunkt):

v „Obere Tangente“ cot a P

sin a ¼ Ordinate von P

1

cos a ¼ Abszisse von P

sin a

tan a ¼ Abschnitt auf der „rechten Tangente“ cot a ¼ Abschnitt auf der „oberen Tangente“

a

cos a

u tan a „Rechte Tangente“

92

III Funktionen und Kurven

Quadrantenregel (Vorzeichenregel) Quadrant

I

II

III

IV

Sinus

þ

þ





Kosinus

þ





þ

Tangens

þ



þ



Kotangens

þ



þ



v II

I a u

III

IV

7.3 Sinus- und Kosinusfunktion Die trigonometrischen Funktionen y ¼ sin x und y ¼ cos x zeigen den folgenden Verlauf (x : Winkel im Bogenmaß): y y = cos x y = sin x

1

–p

–p 2

0

p 2

p

3 2

p

2p

5 2

p

3p

x

–1

Eigenschaften ðk 2 ZÞ

y ¼ sin x

y ¼ cos x

Definitionsbereich

1 < x < 1

1 < x < 1

Wertebereich

1  y  1

1  y  1

Periode (primitive)

2p

2p

Symmetrie

ungerade

gerade

Nullstellen

xk ¼ k  p

xk ¼

Relative Maxima

xk ¼

p þ k  2p 2

xk ¼ k  2 p

Relative Minima

xk ¼

3 p þ k  2p 2

xk ¼ p þ k  2 p

p þk p 2

7 Trigonometrische Funktionen

93

7.4 Tangens- und Kotangensfunktion Die trigonometrischen Funktionen y ¼ tan x und y ¼ cot x zeigen den in den Bildern a) und b) dargestellten Verlauf (x : Winkel im Bogenmaß): y

y

1

1 p – 23 p – p – 2

0

p 2

p

3 2

p 2p

5 2

p

x

– 2 p – 23

a)

p –p – p 2

0 p 2

p

3 2

p

2p

x

b)

Eigenschaften ðk 2 ZÞ

y ¼ tan x

y ¼ cot x

Definitionsbereich

x 2 R mit Ausnahme p þk p der Stellen xk ¼ 2

x 2 R mit Ausnahme der Stellen xk ¼ k  p

Wertebereich

1 < y < 1

1 < y < 1

Periode (primitive)

p

p

Symmetrie

ungerade

ungerade

Nullstellen

xk ¼ k  p

xk ¼

Pole

xk ¼

Senkrechte Asymptoten

x ¼

p þk p 2

p þk p 2

xk ¼ k  p

p þk p 2

x ¼ k p

Beide Funktionen besitzen keine relativen Extremwerte.

7.5 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen Zusammenhang zwischen sin x und cos x  p cos x ¼ sin x þ 2

 p sin x ¼ cos x  2

Der Kosinus la¨uft dem Sinus um p=2 voraus, der Sinus la¨uft dem Kosinus um p=2 hinterher.

94

III Funktionen und Kurven

Trigonometrischer Pythagoras sin 2 x þ cos 2 x ¼ 1 Weitere elementare Beziehungen tan x ¼

sin x 1 ¼ cos x cot x

cot x ¼

cos x 1 ¼ sin x tan x

Umrechnungen zwischen den trigonometrischen Funktionen sin x

cos x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1  cos 2 x

sin x

cos x

tan x

cot x



qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  sin 2 x

sin x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  sin 2 x 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  sin 2 x sin x



tan x

cot x

tan x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 x

1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ cot 2 x

1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan 2 x

cot x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ cot 2 x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  cos 2 x

1 cot x

cos x

cos x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  cos 2 x

1 tan x

Das Vorzeichen wird nach der Quadrantenregel bestimmt (siehe III.7.2).

7.6 Trigonometrische Formeln 7.6.1 Additionstheoreme sin ðx1  x2 Þ ¼ sin x1  cos x2  cos x1  sin x2 cos ðx1  x2 Þ ¼ cos x1  cos x2 sin x1  sin x2 tan ðx1  x2 Þ ¼

tan x1  tan x2 1 tan x1  tan x2

cot ðx1  x2 Þ ¼

cot x1  cot x2 1 cot x2  cot x1

7 Trigonometrische Funktionen

95

7.6.2 Formeln fu¨r halbe Winkel rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  cos x ¼  sin 2 2 r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1 þ cos x ¼  cos 2 2 r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 1  cos x sin x 1  cos x tan ¼  ¼ ¼ 2 1 þ cos x 1 þ cos x sin x x

Das Vorzeichen wird nach der Quadrantenregel bestimmt (siehe III.7.2).

7.6.3 Formeln fu¨r Winkelvielfache Formeln fu¨r doppelte Winkel sin ð2 xÞ ¼ 2  sin x  cos x cos ð2 xÞ ¼ cos 2 x  sin 2 x ¼ 1  2  sin 2 x ¼ 2  cos 2 x  1 tan ð2 xÞ ¼

2  tan x 1  tan 2 x

Formeln fu¨r dreifache Winkel sin ð3 xÞ ¼ 3  sin x  4  sin3 x cos ð3 xÞ ¼ 4  cos 3 x  3  cos x tan ð3 xÞ ¼

3  tan x  tan 3 x 1  3  tan 2 x

Formeln fu¨r n-fache Winkel (n = 2, 3, 4, . . .) sin ðn xÞ ¼

n 1 þ

 sin x  cos n  1 x 

n 5

k

:

3

 sin 3 x  cos n  3 x þ

 sin 5 x  cos n  5 x  þ . . .

cos ðn xÞ ¼ cos n x  n

n

n 2

 sin 2 x  cos n  2 x þ

Binomialkoeffizienten (siehe I.2.7)

n 4

 sin 4 x  cos n  4 x  þ . . .

96

III Funktionen und Kurven

7.6.4 Formeln fu¨r Potenzen sin 2 x ¼

1 ½1  cos ð2 xÞ 2

sin 3 x ¼

1 ½3  sin x  sin ð3 xÞ 4

sin 4 x ¼

1 ½ cos ð4 xÞ  4  cos ð2 xÞ þ 3 8

cos 2 x ¼

1 ½1 þ cos ð2 xÞ 2

cos 3 x ¼

1 ½3  cos x þ cos ð3 xÞ 4

cos 4 x ¼

1 ½ cos ð4 xÞ þ 4  cos ð2 xÞ þ 3 8

7.6.5 Formeln fu¨r Summen und Differenzen x þ x  x  x  1 2 1 2  cos 2 2 x þ x  x  x  1 2 1 2  sin sin x1  sin x2 ¼ 2  cos 2 2 x þ x  x  x  1 2 1 2 cos x1 þ cos x2 ¼ 2  cos  cos 2 2 x þ x  x  x  1 2 1 2 cos x1  cos x2 ¼  2  sin  sin 2 2

sin x1 þ sin x2 ¼ 2  sin

tan x1  tan x2 ¼

sin ðx1  x2 Þ cos x1  cos x2

sin ðx1 þ x2 Þ þ sin ðx1  x2 Þ ¼ 2  sin x1  cos x2 sin ðx1 þ x2 Þ  sin ðx1  x2 Þ ¼ 2  cos x1  sin x2 cos ðx1 þ x2 Þ þ cos ðx1  x2 Þ ¼ 2  cos x1  cos x2 cos ðx1 þ x2 Þ  cos ðx1  x2 Þ ¼  2  sin x1  sin x2

7 Trigonometrische Funktionen

97

7.6.6 Formeln fu¨r Produkte sin x1  sin x2 ¼

1 ½ cos ðx1  x2 Þ  cos ðx1 þ x2 Þ 2

cos x1  cos x2 ¼

1 ½cos ðx1  x2 Þ þ cos ðx1 þ x2 Þ 2

sin x1  cos x2 ¼

1 ½ sin ðx1  x2 Þ þ sin ðx1 þ x2 Þ 2

tan x1  tan x2 ¼

tan x1 þ tan x2 cot x1 þ cot x2

7.7 Anwendungen in der Schwingungslehre 7.7.1 Allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion y

Allgemeine Sinusfunktion y ¼ a  sin ðb x þ cÞ

a

ða > 0; b > 0Þ x0

x y = a sin(bx + c)

Eigenschaften (1) (2) (3)

p = 2 p/b

–a

Periode: p ¼ 2 p=b Wertebereich:  a  y  a Verschiebung auf der x-Achse, bezogen auf die elementare Sinusfunktion y ¼ sin x („Startpunkt“): x0 ¼  c=b (fu¨r c > 0 ist die Kurve nach links, fu¨r c < 0 nach rechts verschoben) y

Allgemeine Kosinusfunktion y ¼ a  cos ðb x þ cÞ

a

y = a cos(bx + c)

ða > 0; b > 0Þ

Eigenschaften: hnlich wie bei der allgemeinen Sinusfunktion (siehe oben)

x

x0 –a

p = 2 p/b

98

III Funktionen und Kurven

7.7.2 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen) 7.7.2.1 Gleichung einer harmonischen Schwingung Auslenkung y eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers) in Abha¨ngigkeit von der Zeit t : y ¼ A  sin ðw t þ jÞ

y

ðA; w > 0Þ

T A

A: w: j: T: f:

Amplitude (maximale Auslenkung) Kreisfrequenz der Schwingung Phase, Phasenwinkel oder Nullphasenwinkel Schwingungs- oder Periodendauer T ¼ 2 p=w Frequenz, f ¼ 1=T ¼ w=ð2 pÞ w ¼ 2 p f ¼ 2 p=T

– f/v

t y = A sin( vt + f)

–A

Eine in der Kosinusform y ¼ A  cos ðw t þ jÞ dargestellte harmonische Schwingung la¨sst sich wie folgt in die Sinusform umschreiben:  y ¼ A  cos ðw t þ jÞ ¼ A  sin

p wt þ j þ 2 |fflfflffl{zfflfflffl}

 ¼ A  sin ðw t þ j *Þ

Nullphasenwinkel j *

Regel: Nullphasenwinkel j um p=2 vergro¨ßern 7.7.2.2 Darstellung einer harmonischen Schwingung im Zeigerdiagramm Eine harmonische Schwingung y ¼ A  sin ðw t þ jÞ la¨sst sich in einem Zeigerdiagramm durch einen rotierenden Zeiger der La¨nge A darstellen. 4Þ Die Rotation erfolgt dabei aus der durch den Nullphasenwinkel j eindeutig bestimmten Anfangslage heraus um den Nullpunkt mit der Winkelgeschwindigkeit w im Gegenuhrzeigersinn. Die Ordinate der Zeigerspitze entspricht dabei dem augenblicklichen Funktionswert der Schwingung (Bild a)). v + cos

A sin( v t + f) A A vt

A sin f

f u

a) 4Þ

Darstellung durch komplexe Zeiger: siehe VIII.8.1.

– sin

b)

+ sin

– cos

7 Trigonometrische Funktionen

99

Bei der bildlichen Darstellung einer Schwingung im Zeigerdiagramm zeichnet man verabredungsgema¨ß nur die Anfangslage (Zeiger der La¨nge A unter dem Winkel j gegen die Horizontale). La¨sst man auch einen negativen „Amplitudenfaktor“ A zu, so gelten fu¨r das Abtragen der unverschobenen Schwingungen die folgenden Regeln (A < 0 bedeutet eine Vergro¨ßerung des Phasenwinkels um p, d. h. eine zusa¨tzliche Drehung des Zeigers um 180 (Bild b)): Schwingungstyp

A > 0

A < 0

y ¼ A  sin ðw tÞ

nach rechts abtragen

nach links abtragen

y ¼ A  cos ðw tÞ

nach oben abtragen

nach unten abtragen

Liegen die Schwingungen in der „phasenverschobenen“ Form y ¼ A  sin ðw t þ jÞ bzw. y ¼ A  cos ðw t þ j) vor, so erfolgt eine zusa¨tzliche Drehung um den Nullphasenwinkel j (fu¨r j > 0 im Gegenuhrzeigersinn, fu¨r j < 0 im Uhrzeigersinn). &

Beispiel Das nebenstehende Bild zeigt die Anfangslage der folgenden Zeiger:  p y1 ¼ 4  sin w t þ 4  p y2 ¼  3  sin w t  3   3 p y3 ¼ 3  cos w t  4

y2

3

60°

4

y1

45° 135° 3 y3 &

7.7.3 Superposition (berlagerung) gleichfrequenter harmonischer Schwingungen Die ungesto¨rte berlagerung zweier gleichfrequenter harmonischer Schwingungen y1 ¼ A1  sin ðw t þ j1 Þ und y2 ¼ A2  sin ðw t þ j2 Þ fu¨hrt zu einer resultierenden Schwingung der gleichen Frequenz (Superpositionsprinzip der Physik). Im Zeigerdiagramm werden die Zeiger von y1 und y2 nach der aus der Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel zu einem resultierenden Zeiger y ¼ A  sin ðw t þ jÞ zusammengesetzt. Amplitude A und Nullphasenwinkel j ko¨nnen direkt abgelesen oder nach den folgenden Formeln berechnet werden ðA1 > 0; A2 > 0Þ: y = y1 + y2

y ¼ y1 þ y2 ¼ A  sin ðw t þ jÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ A 21 þ A 22 þ 2 A1 A2  cos ðj2  j1 Þ tan j ¼

A1  sin j1 þ A2  sin j2 A1  cos j1 þ A2  cos j2

y2

A

A2 f2 f

A1

y1

f1

Anmerkungen (1)

Bei der Berechnung des Nullphasenwinkels j aus der angegebenen Gleichung ist die Lage des resultierenden Zeigers zu beru¨cksichtigen (Skizze anfertigen und Quadrant des Winkels bestimmen).

100

III Funktionen und Kurven

(2)

Die Formeln fu¨r Amplitude A und Phasenwinkel j gelten auch dann, wenn beide Einzelschwingungen in der Kosinusform vorliegen. Die resultierende Schwingung ist dann ebenfalls eine (gleichfrequente) Kosinusschwingung vom Typ y ¼ A  cos ðw t þ jÞ.

&

Beispiel

y = y 1 + y2

  2 y2 ¼ 3  sin w t þ p 3



p y1 ¼ 4  sin w t þ ; 8

p 2 ; j2 ¼ p 8 3 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ffi 2 p ¼ 4;68 A ¼ 4 2 þ 3 2 þ 2  4  3  cos p  3 8

A1 ¼ 4 ;

A2 ¼ 3 ;

 2 p 8 3   ¼ 1;8806 tan j ¼ p 2 4  cos þ 3  cos p 8 3 4  sin

p

A

y2

j1 ¼

f

4,7 62°

y1



þ 3  sin

)

j ¼ arctan 1;8806 ¼ 1;082 ¼ 62

Resultierende Schwingung: y ¼ y1 þ y2 ¼ 4;68  sin ðw t þ 1;082Þ &

8 Arkusfunktionen Die Umkehrfunktionen der auf bestimmte Intervalle beschra¨nkten trigonometrischen Funktionen heißen Arkus- oder zyklometrische Funktionen. Die Intervalle mu¨ssen dabei so gewa¨hlt werden, dass die trigonometrischen Funktionen dort in streng monotoner Weise sa¨mtliche Funktionswerte durchlaufen und somit umkehrbar sind. Der Funktionswert einer Arkusfunktion ist ein im Bogen- oder Gradmaß dargestellter Winkel.

8.1 Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion y

Arkussinusfunktion

p 2

y ¼ arcsin x mit  1  x  1 ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall  p=2  x  p=2 beschra¨nkten Sinusfunktion.

y = arcsin x

1

–1

Der Arkussinus liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadrant. –p 2

x

8 Arkusfunktionen

101 y

Arkuskosinusfunktion

p

y ¼ arccos x mit  1  x  1 ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall 0  x  p beschra¨nkten Kosinusfunktion.

p 2

y = arccos x

Der Arkuskosinus liefert nur Winkel aus dem 1. und 2. Quadrant. 1

–1

x

Eigenschaften

y ¼ arcsin x

y ¼ arccos x

Definitionsbereich

1  x  1 p p   y  2 2

1  x  1

Wertebereich

0  y  p

Symmetrie 5Þ

ungerade

Nullstellen

x1 ¼ 0

x1 ¼ 1

Monotonie

streng monoton wachsend

streng monoton fallend

8.2 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion Arkustangensfunktion

y p

y ¼ arctan x mit  1 < x < 1 ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall  p=2 < x < p=2 beschra¨nkten Tangensfunktion. Der Arkustangens liefert nur Winkel aus dem 1. und 4. Quadrant. Arkuskotangensfunktion y ¼ arccot x mit  1 < x < 1 ist die Umkehrfunktion der auf das Intervall 0 < x < p beschra¨nkten Kotangensfunktion.

2

y = arctan x

–

p 2

y p p

y ¼ arccos x verla¨uft punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum

y = arccot x

2

1

Der Arkuskotangens liefert nur Winkel aus dem 1. und 2. Quadrant. 5Þ

x

1

P ¼ ð0; p=2Þ.

x

102

III Funktionen und Kurven

Eigenschaften

y ¼ arctan x

y ¼ arccot x

Definitionsbereich

1 < x < 1

1 < x < 1

Wertebereich



Symmetrie 6Þ

ungerade

Nullstellen

x1 ¼ 0

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

y ¼ 

p p < y < 2 2

0 < y < p

p 2

streng monoton fallend y ¼ 0;

y ¼ p

Die Berechnung der Funktionswerte von y ¼ arccot x erfolgt nach der Formel arccot x ¼

p  arctan x 2

8.3 Wichtige Beziehungen zwischen den Arkusfunktionen arcsin x þ arccos x ¼ p=2

arctan x þ arccot x ¼ p=2

arcsin x ¼ arctan

! x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  x2

arctan x ¼ arcsin

! x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ x2

arccos x ¼ arccot

! x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  x2

arccot x ¼ arccos

! x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ x2

arccot x ¼

8 < :

arctan ð1=xÞ arctan ð1=xÞ þ p

fur €

9 x > 0= x < 0

;

Formeln fu¨r negative Argumente

6Þ

arcsin ð xÞ ¼  arcsin x

arccos ð xÞ ¼ p  arccos x

arctan ð xÞ ¼  arctan x

arccot ð xÞ ¼ p  arccot x

y ¼ arccot x verla¨uft punktsymmetrisch zum Symmetriezentrum P ¼ ð0; p=2Þ.

9 Exponentialfunktionen

103

9 Exponentialfunktionen 9.1 Definition der Exponentialfunktionen y

e-Funktion (Basis e) y ¼ ex ;

1 < x < 1 y = ex

Basis:

Eulersche Zahl e   1 n e ¼ lim 1 þ ¼ 2;718 281 . . . n!1 n

1

1

Allgemeine Exponentialfunktion (Basis a) y ¼ ax;

x

y

1 < x < 1 y= 1 3

( )

(Basis a > 0; a 6¼ 1Þ Das Bild zeigt die Exponentialfunktionen y ¼ 2x (streng monoton wachsend) und 1 x y ¼ (streng monoton fallend). 3

x

y = 2x

1

y ¼ a x ist auch als e-Funktion darstellbar: y ¼ a x ¼ e lx

ðl ¼ ln aÞ

Eigenschaften 1 < x < 1 y < 1 (keine Nullstellen!) (d. h. a > 1): Streng monoton wachsend (d. h. 0 < a > 1): Streng monoton fallend

(1) (2) (3)

Definitionsbereich: Wertebereich: 0 < Monotonie: l > 0 l < 0

(4) (5) (6)

Asymptote: y ¼ 0 (x-Achse) y ð0Þ ¼ 1 (alle Kurven schneiden die y-Achse bei y ¼ 1) y ¼ a  x entsteht durch Spiegelung von y ¼ a x an der y-Achse.

1

x

104

III Funktionen und Kurven

9.2 Spezielle Exponentialfunktionen aus den Anwendungen In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen treten Exponentialfunktionen meist in der zeitabha¨ngigen Form auf, z. B. bei Abkling- und Sa¨ttigungsfunktionen (t: Zeit). 9.2.1 Abklingfunktion y ¼ a  e lt þ b oder

y a+b

y ¼ a  e  t=t þ b

– tt

y=a e

+b

ða > 0; l > 0; t > 0; t  0Þ y=b

Eigenschaften (1) (2) (3)

b t

Tangente in t = 0

Streng monoton fallende Funktion. Asymptote fu¨r t ! 1: y ¼ b Tangente in t ¼ 0 schneidet die Asymptote an der Stelle t ¼ 1=l.

t

y

Spezialfall: b ¼ 0

a

y ¼ a  e lt

– tt

y=a e

oder y ¼ a  e  t=t t

Tangente in t = 0

t

t

Tangente in t = 0

y=a+b

9.2.2 Sa¨ttigungsfunktion y ¼ a ð1  e  l t Þ þ b oder

 y ¼ a 1  e  t=t þ b

y a+b

(

– tt

y = a 1– e

)+b

ða > 0; l > 0; t > 0; t  0Þ Eigenschaften (1) (2) (3)

Streng monoton wachsende Funktion. Asymptote fu¨r t ! 1: y ¼ a þ b Tangente in t ¼ 0 schneidet die Asymptote an der Stelle t ¼ 1=l.

b

t

9 Exponentialfunktionen

105

Spezialfall: b ¼ 0

y

 y ¼ a 1  e lt

a

t

Tangente in t = 0

y=a

oder

 y ¼ a 1  e  t=t

(

– tt

y = a 1– e

)

t

9.2.3 Wachstumsfunktion y ¼ y0  e a t ,

t  0

y0 > 0:

Anfangsbestand (zur Zeit t ¼ 0)

a > 0:

Wachstumsrate

y

y = y0 · e at

y0 t

9.2.4 Gauß-Funktion (Gaußsche Glockenkurve) y ¼ a  e  b ðx  x0 Þ

2

ða > 0, b > 0Þ

y a y = a e – b ( x – x0 )

Eigenschaften (1) (2) (3)

Maximum bei x0 : y ðx0 Þ ¼ a Symmetrieachse: x ¼ x0 (Parallele zur y-Achse durch das Maximum) Asymptote im Unendlichen: y ¼ 0 (x-Achse)

9.2.5 Kettenlinie

y

Eine an zwei Punkten P1 und P2 befestigte, freiha¨ngende Kette nimmt unter dem Einfluß der Schwerkraft die geometrische Form einer Kettenlinie an ða > 0Þ: y ¼ a  cosh

x

x0

x a

 a  x=a þ e  x=a ¼ e 2

P2

P1

a

x y = a cosh a

( ) x

2

106

III Funktionen und Kurven

10 Logarithmusfunktionen 10.1 Definition der Logarithmusfunktionen Die Logarithmusfunktionen sind die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen. Allgemeine Logarithmusfunktion y ¼ log a x mit x > 0 ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y ¼ a x ða > 0, a 6¼ 1Þ. Das nebenstehende Bild zeigt die Funktionen y ¼ log e x  ln x (streng monoton wachsend) und y ¼ log 0;5 x (streng monoton fallend).

y y = ln x

1 1

5

–1

x

y = log0,5 x

Eigenschaften (1) (2) (3) (4)

Definitionsbereich: x > 0 Wertebereich:  1 < y < 1 Nullstellen: x1 ¼ 1 Monotonie: 0 < a < 1: Streng monoton fallend a > 1: Streng monoton wachsend

(5) (6) (7)

Asymptote: x ¼ 0 (y-Achse) Fu¨r jede (zula¨ssige) Basis a gilt: log a 1 ¼ 0; log a a ¼ 1 Die Funktionskurve von y ¼ log a x erha¨lt man durch Spiegelung von y ¼ a x an der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten.

10.2 Spezielle Logarithmusfunktionen

y

Natu¨rlicher Logarithmus (a = e) y ¼ log e x  ln x ;

y = ex y=x

x > 0

(Umkehrfunktion von y ¼ e x ) 1

Das nebenstehende Bild zeigt, wie man y ¼ ln x durch Spiegelung von y ¼ e x an der Winkelhalbierenden y ¼ x erha¨lt.

y = ln x 1

x

11 Hyperbelfunktionen

107

Zehnerlogarithmus (Dekadischer oder Briggscher Logarithmus, a = 10) y ¼ log 10 x  lg x ;

x > 0

Zweierlogarithmus (Bina¨rlogarithmus, a = 2) y ¼ log 2 x  lb x ;

x > 0

11 Hyperbelfunktionen 11.1 Definition der Hyperbelfunktionen y= = sinh x und y == cosh x

y

x

y ¼ sinh x ¼

e e 2

y ¼ cosh x ¼

e x þ e x 2

x

1 y = cosh x

y = sinh x

1

x

Fu¨r großes x gilt: sinh x cosh x

1  ex 2

Eigenschaften

y ¼ sinh x

y ¼ cosh x

Definitionsbereich

1 < x < 1

1 < x < 1

Wertebereich

1 < y < 1

1  y < 1

Symmetrie

ungerade

gerade

Nullstellen

x1 ¼ 0 x1 ¼ 0 (Minimum)

Extremwerte Monotonie

streng monoton wachsend

108

III Funktionen und Kurven

y = tanh x und y = coth x y ¼ tanh x ¼

e x  e x e x þ e x

y ¼ coth x ¼

e x þ e x e x  e x

y

y = coth x Asymptote 1 y = tanh x

Fu¨r großes x gilt:

1

tanh x coth x 1

–1 y = coth x

Eigenschaften

y ¼ tanh x

y ¼ coth x

Definitionsbereich

1 < x < 1

jxj > 0

Wertebereich

1 < y < 1

jyj > 1

Symmetrie

ungerade

ungerade

Nullstellen

x1 ¼ 0

Asymptote

x1 ¼ 0

Pole Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

y ¼ 1

x ¼ 0 (y-Achse) y ¼ 1

11.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen Hyperbolischer Pythagoras cosh 2 x  sinh 2 x ¼ 1 Weitere elementare Beziehungen tanh x ¼

sinh x cosh x

coth x ¼

cosh x 1 ¼ sinh x tanh x

x

11 Hyperbelfunktionen

109

Umrechnungen zwischen den Hyperbelfunktionen sinh x

cosh x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  cosh 2 x  1

sinh x

cosh x

tanh x

coth x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinh 2 x þ 1

sinh x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinh 2 x þ 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sinh 2 x þ 1 sinh x



tanh x

coth x

tanh x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  tanh 2 x

1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi coth 2 x  1

1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  tanh 2 x

coth x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi coth 2 x  1

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cosh 2 x  1

1 coth x

cosh x

cosh x  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cosh 2 x  1

1 tanh x

Oberes Vorzeichen fu¨r x  0, unteres Vorzeichen fu¨r x < 0.

11.3 Formeln 11.3.1 Additionstheoreme sinh ðx1  x2 Þ ¼ sinh x1  cosh x2  cosh x1  sinh x2 cosh ðx1  x2 Þ ¼ cosh x1  cosh x2  sinh x1  sinh x2 tanh ðx1  x2 Þ ¼

tanh x1  tanh x2 1  tanh x1  tanh x2

coth ðx1  x2 Þ ¼

1  coth x1  coth x2 coth x1  coth x2

11.3.2 Formeln fu¨r halbe Argumente rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cosh x  1 ¼  (Oberes Vorzeichen fu¨r x  0, unteres fu¨r x < 0Þ sinh 2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x cosh x þ 1 cosh ¼ 2 2 x sinh x cosh x  1 ¼ ¼ tanh 2 cosh x þ 1 sinh x x

110

III Funktionen und Kurven

11.3.3 Formeln fu¨r Vielfache des Arguments Formeln fu¨r doppelte Argumente sinh ð2 xÞ ¼ 2  sinh x  cosh x cosh ð2 xÞ ¼ cosh 2 x þ sinh 2 x ¼ 2  cosh 2 x  1 tanh ð2 xÞ ¼

2  tanh x 1 þ tanh 2 x

Formeln fu¨r dreifache Argumente sinh ð3 xÞ ¼ 3  sinh x þ 4  sinh 3 x cosh ð3 xÞ ¼ 4  cosh 3 x  3  cosh x tanh ð3 xÞ ¼

3  tanh x þ tanh 3 x 1 þ 3  tanh 2 x

Formeln fu¨r n-fache Argumente (n = 2, 3, 4, . . .) n n  cosh n  3 x  sinh 3 x þ sinh ðn xÞ ¼  cosh n  1 x  sinh x þ 3 1 n þ  cosh n  5 x  sinh 5 x þ . . . 5 n n  cosh n  2 x  sinh 2 x þ  cosh n  4 x  sinh 4 x þ . . . cosh ðn xÞ ¼ cosh n x þ 2 4 n : Binomialkoeffizienten (siehe I.2.7) k 11.3.4 Formeln fu¨r Potenzen 1 ½ cosh ð2 xÞ  1  2 1 ½ sinh ð3 xÞ  3  sinh x  sinh 3 x ¼ 4 1 ½ cosh ð4 xÞ  4  cosh ð2 xÞ þ 3  sinh 4 x ¼ 8

sinh 2 x ¼

1 ½cosh ð2 xÞ þ 1  2 1 cosh 3 x ¼ ½cosh ð3 xÞ þ 3  cosh x  4 1 ½cosh ð4 xÞ þ 4  cosh ð2 xÞ þ 3  cosh 4 x ¼ 8 cosh 2 x ¼

11 Hyperbelfunktionen

111

11.3.5 Formeln fu¨r Summen und Differenzen x þ 1 2 x þ 1 sinh x1  sinh x2 ¼ 2  cosh 2 x þ 1 cosh x1 þ cosh x2 ¼ 2  cosh 2 x þ 1 cosh x1  cosh x2 ¼ 2  sinh 2 sinh x1 þ sinh x2 ¼ 2  sinh

tanh x1  tanh x2 ¼

x2 

x  1 2   x2 x1   sinh 2   x2 x1   cosh 2   x2 x1   sinh 2  cosh

x2  x2  x2  x2 

sinh ðx1  x2 Þ cosh x1  cosh x2

11.3.6 Formeln fu¨r Produkte sinh x1  sinh x2 ¼

1 ½ cosh ðx1 þ x2 Þ  cosh ðx1  x2 Þ 2

cosh x1  cosh x2 ¼

1 ½ cosh ðx1 þ x2 Þ þ cosh ðx1  x2 Þ 2

sinh x1  cosh x2 ¼

1 ½ sinh ðx1 þ x2 Þ þ sinh ðx1  x2 Þ 2

tanh x1  tanh x2 ¼

tanh x1 þ tanh x2 coth x1 þ coth x2

11.3.7 Formel von Moivre ðcosh x  sinh xÞ n ¼ cosh ðn xÞ  sinh ðn xÞ ¼ e  n x

Sonderfall ex e

x

n ¼ 1:

¼ cosh x þ sinh x ¼ cosh x  sinh x

ðn 2 N*Þ

112

III Funktionen und Kurven

12 Areafunktionen 12.1 Definition der Areafunktionen Die Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen heißen Areafunktionen, wobei die Umkehrung von y ¼ cosh x im Intervall x  0 vorgenommen wird. Die Areafunktionen lassen sich durch logarithmische Funktionen ausdru¨cken.

y = arsinh x und y = arcosh x  y ¼ arsinh x ¼ ln

y

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x þ x2 þ 1

 y ¼ arcosh x ¼ ln

y = arcosh x

1

ð 1 < x < 1Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x þ x2  1

x

1

ðx  1Þ

y = arsinh x

Eigenschaften

y ¼ arsinh x

y ¼ arcosh x

Definitionsbereich

1 < x < 1

x  1

Wertebereich

1 < y < 1

y  0

Symmetrie

ungerade

Nullstellen

x1 ¼ 0

x1 ¼ 1

Monotonie

streng monoton wachsend

streng monoton wachsend

y = artanh x und y = arcoth x 1  ln y ¼ artanh x ¼ 2 ðj x j < 1Þ y ¼ arcoth x ¼ ðj x j > 1Þ

1  ln 2



1þx 1x

 y y = arcoth x

1



 x þ1 x 1

–1

1

y = arcoth x y = artanh x

x

12 Areafunktionen

113

Eigenschaften

y ¼ artanh x

y ¼ arcoth x

Definitionsbereich

1 < x < 1

jxj > 1

Wertebereich

1 < y < 1

jyj > 0

Symmetrie

ungerade

ungerade

Nullstellen

x1 ¼ 0

Pole

x1=2 ¼  1

Monotonie

streng monoton wachsend

Asymptoten

x ¼ 1

x1=2 ¼  1

x ¼ 1 y ¼ 0 (x-Achse)

12.2 Wichtige Beziehungen zwischen den Areafunktionen Umrechnungen zwischen den Areafunktionen arsinh x

arsinh x

arcosh x

artanh x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  arcosh x 2 þ 1

x ! artanh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arcoth x2 þ 1

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arcosh x arsinh x 2  1

artanh

arcoth x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! x2  1 x

0 1 ! x 1 artanh x arsinh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arcosh @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiA 1  x2 1  x2 1 ! 1 x arcoth x arsinh @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiA arcosh qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1 x2  1

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi! x2 þ 1 x

! x arcoth qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  1   1 arcoth x

0

artanh

  1 x

Oberes Vorzeichen fu¨r x > 0, unteres Vorzeichen fu¨r x < 0.

114

III Funktionen und Kurven

Additionstheoreme qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi arsinh x1  arsinh x2 ¼ arsinh x1 1 þ x 22  x2 1 þ x 21 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   arcosh x1  arcosh x2 ¼ arcosh x1 x2  ðx 21  1Þ ðx 22  1Þ 

 x 1  x2 artanh x1  artanh x2 ¼ artanh 1  x1 x2   1  x1 x2 arcoth x1  arcoth x2 ¼ arcoth x1  x2

13 Kegelschnitte 13.1 Allgemeine Gleichung eines Kegelschnittes Kegelschnitte sind ebene Kurven, die beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit Ebenen entstehen. Zu ihnen geho¨ren Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel. Gleichung eines Kegelschnittes in achsenparalleler Lage Ax2 þ By2 þ Cx þ Dy þ E ¼ 0

ðA 2 þ B 2 6¼ 0Þ

Verlaufen die Symmetrieachsen der Kegelschnitte nicht parallel zu den Koordinatenachsen, so entha¨lt die Kegelschnittgleichung noch ein gemischtes Glied. Durch eine Drehung des x; y-Systems la¨sst sich dann stets die achsenparallele Lage erzeugen (siehe I.9.1.3.3). Art des Kegelschnittes Kreis:

A ¼ B

Ellipse:

AB > 0

Hyperbel:

AB < 0

Parabel:

A ¼ 0; B 6¼ 0

13.2 Kreis

A 6¼ B

und

oder

B ¼ 0; A 6¼ 0

y

13.2.1 Geometrische Definition P r

M P ¼ const: ¼ r M

x

M : Mittelpunkt des Kreises r : Radius des Kreises ðr > 0Þ Symmetrieachsen: Durchmesser, d. h. jede Gerade durch den Kreismittelpunkt M

13 Kegelschnitte

115

13.2.2 Mittelpunktsgleichung eines Kreises (Ursprungsgleichung) y

x2 þ y2 ¼ r2

P = (x;y)

y

M ¼ ð0; 0Þ Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ:

x x1 þ y y1 ¼ r 2

r x

M

x

13.2.3 Kreis in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobener Kreis) ðx  x0 Þ 2 þ ðy  y0 Þ 2 ¼ r 2

y P = (x;y)

y

M ¼ ðx0 ; y0 Þ

r

y0

Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ:

M

ðx  x0 Þ ðx1  x0 Þ þ ðy  y0 Þ ðy1  y0 Þ ¼ r 2 Der verschobene Kreis kann durch eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems auf den Mittelpunktskreis (Ursprungskreis) zuru¨ckgefu¨hrt werden ðM ¼ ðx0 ; y0 Þ als Nullpunkt wa¨hlen).

x

x0

x

13.2.4 Gleichung eines Kreises in Polarkoordinaten r 2  2 r0 r  cos ðj  j0 Þ þ r 20 ¼ R 2

y P = (r;f) R

M ¼ ðr0 ; j0 Þ (in Polarkoordinaten) R:

r

Radius des Kreises

Pol: O ¼ ð0; 0Þ Polarachse:

M r0

x-Achse

f0

f

0

13.2.5 Parameterdarstellung eines Kreises x ¼ x0 þ r  cos t y ¼ y0 þ r  sin t

ð0  t < 2 pÞ

x

y P = (x;y)

y y0

r t M

M ¼ ðx0 ; y0 Þ t:

Winkelparameter x0

x

x

116

III Funktionen und Kurven

13.3 Ellipse 13.3.1 Geometrische Definition y

F1 P þ F2 P ¼ const: ¼ 2 a

P

M: F1 ; F2 : 2 a: 2 b: e:

Mittelpunkt Brennpunkte Große Achse (Hauptachse) Kleine Achse (Nebenachse)  Brennweite F1 M ¼ F2 M ¼ e ða > b > 0Þ e2 ¼ a2  b2 e ¼ e=a: Numerische Exzentrizita¨t ðe < 1Þ Symmetrieachsen:

b F1

M

e

F2

x

a

x-Achse und y-Achse

Spezialfall b > a: Die Brennpunkte liegen jetzt auf der y-Achse (um 90 gedrehte Ellipse mit der Hauptachse 2 b, der Nebenachse 2 a und e 2 ¼ b 2  a 2 Þ: Spezialfall a ¼ b:

Kreis mit dem Radius r ¼ a

13.3.2 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse (Ursprungsgleichung) y

x2 y2 þ 2 ¼ 1 2 a b

P = (x;y)

y b

M ¼ ð0; 0Þ

x x1 y y1 þ 2 ¼ 1 Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ: 2 a b

a

M

x

x

13.3.3 Ellipse in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Ellipse) ðx  x0 Þ 2 ðy  y0 Þ 2 þ ¼ 1 2 a b2 M ¼ ðx0 ; y0 Þ Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ: ðx  x0 Þ ðx1  x0 Þ ðy  y0 Þ ðy1  y0 Þ þ ¼1 2 a b2

y P = (x;y)

y b y0

a

M

x0

x

x

Die verschobene Ellipse kann durch eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems auf die Ursprungsellipse zuru¨ckgefu¨hrt werden ðM ¼ ðx0 ; y0 Þ als Nullpunkt wa¨hlen).

13 Kegelschnitte

117

13.3.4 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten Pol im Mittelpunkt b r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  e 2  cos 2 j

y

ðe < 1Þ

P = (r;f) r

b f

Pol: M ¼ ð0; 0Þ Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  b2 e ¼ a Pol im linken Brennpunkt p r ¼ 1  e  cos j

a

M

x

y P = (r;f)

ðe < 1Þ

r f

Pol: F1 ¼ ð0; 0Þ (linker Brennpunkt) Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  b2 b2 e ¼ ; p ¼ a a

F1

M

F2

y

Pol im rechten Brennpunkt r ¼

p 1 þ e  cos j

x

P = (r;f)

ðe < 1Þ

r f

Pol: F2 ¼ ð0; 0Þ (rechter Brennpunkt) Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  b2 b2 e ¼ ; p ¼ a a 13.3.5 Parameterdarstellung einer Ellipse x ¼ x0 þ a  cos t y ¼ y0 þ b  sin t

ð0  t < 2 pÞ

F1

x

y P = (x;y)

y b y0

M ¼ ðx0 ; y0 Þ

F2

M

a

M

x0

x

x

118

III Funktionen und Kurven

13.4 Hyperbel 13.4.1 Geometrische Definition F P  F P ¼ const: ¼ 2 a 1 2

y

P

b

M: F1 ; F2 : S1 ; S2 : 2 a: 2 b: e:

Mittelpunkt Brennpunkte Scheitelpunkte Große oder reelle Achse Kleine oder imagina ¨ re Achse

Brennweite F1 M ¼ F2 M ¼ e2 ¼ a2 þ b2 ða > 0; b e ¼ e=a: Numerische Exzentrizita¨t ðe >

F1 S1

a S2 F2

M e

x

 e > 0Þ 1Þ

Symmetrieachsen: x-Achse und y-Achse 13.4.2 Mittelpunktsgleichung einer Hyperbel (Ursprungsgleichung) x2 y2  2 ¼ 1 2 a b

y

b Asymptote y = – a x y

M ¼ ð0; 0Þ b x a x x1 y y1 Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ:  2 ¼ 1 a2 b

Asymptoten:

P = (x;y)

b

y ¼ 

F1 S1

M

a S2 F2 x

x

b Asymptote y = a x

13.4.3 Hyperbel in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Hyperbel) ðx  x0 Þ 2 ðy  y0 Þ 2  ¼ 1 2 a b2 M ¼ ðx0 ; y0 Þ b ðx  x0 Þ Asymptoten: y ¼ y0  a Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ: ðx  x0 Þ ðx1  x0 Þ ðy  y0 Þ ðy1  y0 Þ  ¼1 a2 b2

y Asymptote y

P = (x;y) b

y0

F1 S1

M

a S2 F2

Asymptote x0

x

x

Die verschobene Hyperbel kann durch eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems auf die Ursprungshyperbel zuru¨ckgefu¨hrt werden ðM ¼ ðx0 ; y0 Þ als Nullpunkt wa¨hlen).

13 Kegelschnitte

119

13.4.4 Gleichung einer Hyperbel in Polarkoordinaten Pol im Mittelpunkt y

b r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e 2  cos 2 j  1

ðe > 1Þ

b F1 S1

P = (r;f)

r f a S 2 F2

M

x

Pol: M ¼ ð0; 0Þ Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 e ¼ a

Pol im linken Brennpunkt r ¼

p e  cos j  1

y

ðe > 1Þ

P = (r;f)

r f F1 S1

M ¼ ðe; 0Þ

M

x

S 2 F2

Pol: F1 ¼ ð0; 0Þ (linker Brennpunkt) Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 b2 ; p ¼ e ¼ a a Oberes Vorzeichen: linker Ast Unteres Vorzeichen: rechter Ast

Pol im rechten Brennpunkt r ¼

p e  cos j  1

y P = (r;f)

ðe > 1Þ

M ¼ ð e; 0Þ Pol: F2 ¼ ð0; 0Þ (rechter Brennpunkt) Polarachse: Große Achse (x-Achse) qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 b2 e ¼ ; p ¼ a a Oberes Vorzeichen: linker Ast Unteres Vorzeichen: rechter Ast

r F1 S1

M

f S 2 F2

x

120

III Funktionen und Kurven

13.4.5 Parameterdarstellung einer Hyperbel y

x ¼ x0  a  cosh t y ¼ y0 þ b  sinh t

ð 1 < t < 1Þ

Asymptote y

P = (x;y) b

M ¼ ðx0 ; y0 Þ

y0

F1 S1

Oberes Vorzeichen: rechter Ast Unteres Vorzeichen: linker Ast

a S2 F2

M

Asymptote x

x0

x

13.4.6 Gleichung einer um 90 gedrehten Hyperbel y2 x2  ¼ 1, a2 b2

y

M ¼ ð0; 0Þ

y

P = (x;y)

F2

Große Achse: y-Achse Kleine Achse: x-Achse a Asymptoten: y ¼  x b

a M Asymptote

Verschobene Hyperbel

S2

b S1

F1

x

x

Asymptote

ðy  y0 Þ 2 ðx  x0 Þ2  ¼ 1 2 a b2 M ¼ ðx0 ; y0 Þ 13.4.7 Gleichung einer gleichseitigen oder rechtwinkeligen Hyperbel (a = b) x2 y2  ¼ 1 a2 a2

oder

x2  y2 ¼ a2 ;

M ¼ ð0; 0Þ

Asymptoten: y ¼  x (stehen aufeinander senkrecht) Legt man die Koordinatenachsen in Richtung der Asymptoten, so lautet die Gleichung der gleichseitigen Hyperbel x y ¼ a 2 =2. Verschobene Hyperbel ðx  x0 Þ 2 ðy  y0 Þ 2  ¼ 1 2 a a2 Asymptoten:

oder

ðx  x0 Þ 2  ðy  y0 Þ 2 ¼ a 2 ;

y ¼ y0  ðx  x0 Þ ðstehen aufeinander senkrechtÞ

M ¼ ðx0 ; y0 Þ

13 Kegelschnitte

121

13.5 Parabel Hinweis: Gleichungen der nach oben bzw. unten geo¨ffneten Parabel siehe III.4.3. 13.5.1 Geometrische Definition AP ¼ F P S: F: L: p:

Scheitelpunkt Brennpunkt Leitlinie Parameter (Abstand des Brennpunktes von der Leitlinie: jp j ¼ 2 e)   j pj SF ¼ e ¼ e: Brennweite 2 p > 0: ffnung nach rechts p < 0: ffnung nach links Symmetrieachse: x-Achse 13.5.2 Scheitelgleichung einer Parabel y2 ¼ 2px S ¼ ð0; 0Þ Symmetrieachse: x-Achse Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ: y y1 ¼ p ðx þ x1 Þ

y L P

A

S F

x

p

y y

P = (x;y)

S

x

x

13.5.3 Parabel in allgemeiner Lage (Hauptform, verschobene Parabel) ðy  y0 Þ 2 ¼ 2 p ðx  x0 Þ S ¼ ðx0 ; y0 Þ Symmetrieachse: Parallele zur x-Achse durch den Scheitelpunkt S Tangente in P1 ¼ ðx1 ; y1 Þ:

y y

y0

P = (x;y)

S

ðy  y0 Þ ðy1  y0 Þ ¼ p ðx þ x1  2 x0 Þ Die verschobene Parabel kann durch eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems auf die Scheitelgleichung zuru¨ckgefu¨hrt werden ðS ¼ ðx0 ; y0 Þ als Nullpunkt wa¨hlen).

x0

x

x

122

III Funktionen und Kurven

13.5.4 Gleichung einer Parabel in Polarkoordinaten y

Pol im Scheitelpunkt r ¼ 2 p  cos j ð1 þ cot 2 jÞ

P = (r;f) r

S ¼ ð0; 0Þ

f S

Pol: S ¼ ð0; 0Þ Polarachse:

Symmetrieachse (x-Achse)

y

Pol im Brennpunkt r ¼

p 1  cos j

P = (r;f) r f

S ¼ ð p=2; 0Þ Polarachse:

x

F

S

Pol: F ¼ ð0; 0Þ Symmetrieachse (x-Achse)

13.5.5 Parameterdarstellung einer Parabel x ¼ x0 þ c t 2 y ¼ y0 þ t c:

x

ð1 < t < 1Þ

reelle Konstante

y y

y0

P = (x;y)

S

S ¼ ðx0 ; y0 Þ Symmetrieachse: Parallele zur x-Achse durch den Scheitelpunkt S x0

x

x

14 Spezielle Kurven

123

14 Spezielle Kurven Hinweis: Die Kurvengleichungen liegen in der Parameterform x ¼ x ðtÞ, y ¼ y ðtÞ oder in der Polarkoordinatenform r ¼ r ðjÞ vor.

14.1 Gewo¨hnliche Zykloide (Rollkurve) Ein Punkt P ¼ ðx; yÞ auf dem Umfang eines Kreises, der auf einer Geraden (x-Achse) abrollt, beschreibt eine als Rollkurve oder gewo¨hnliche Zykloide bezeichnete periodische Bahnkurve: x ¼ Rðt  sin tÞ y ¼ R ð1  cos tÞ

y

ð1 < t < 1Þ

R:

Radius des Kreises

t:

Parameter („Wa¨lzwinkel“)

2R

P

R t

A pR

2 pR

x

Eigenschaften (1) (2) (3)

Periode der Bahnkurve: p ¼ 2 p R (Kreisumfang!) Fla¨che unter einem Bogen (grau unterlegt): A ¼ 3 p R 2 La¨nge (Umfang) eines Bogens: s ¼ 8 R

14.2 Epizykloide Ein Punkt P ¼ ðx; yÞ auf dem Umfang eines Kreises, der auf der Außenseite eines zweiten (festen) Kreises abrollt, beschreibt eine als Epizykloide bezeichnete Bahnkurve:   R0 þ R t x ¼ ðR0 þ RÞ cos t  R  cos R   R0 þ R y ¼ ðR0 þ RÞ sin t  R  sin t R

y s A

ð 1 < t < 1Þ

R R0

R0 :

Radius des festen Kreises

R:

Radius des abrollenden Kreises

t:

Winkelparameter

t

P x

124

III Funktionen und Kurven

Eigenschaften (1)

Die Gestalt der Kurve ha¨ngt vom Verha¨ltnis m ¼ R0 =R der beiden Radien ab. Die Epizykloide ist in sich geschlossen, wenn m rational ist. Ist m ganzzahlig, so besteht die Epizykloide aus genau m Bo¨gen. Fu¨r den Spezialfall R ¼ R0 erha¨lt man eine Kardioide (siehe III.14.5).

(2)

La¨nge eines Bogens: s ¼

(3)

Fla¨che zwischen einem Bogen und dem festen Kreis (grau unterlegt): A ¼

8 RðR0 þ RÞ R0

p R 2 ð3 R0 þ 2 RÞ R0

14.3 Hypozykloide Ein Punkt P ¼ ðx; yÞ auf dem Umfang eines Kreises, der auf der Innenseite eines zweiten (festen) Kreises abrollt, beschreibt eine als Hypozykloide bezeichnete Bahnkurve:   R0  R t R   R0  R y ¼ ðR0  RÞ sin t  R  sin t R

y

x ¼ ðR0  RÞ cos t þ R  cos

ð 1 < t < 1; R0 > RÞ

A R

s

P t x R0

R0 :

Radius des festen Kreises

R:

Radius des abrollenden Kreises

t:

Winkelparameter

Eigenschaften (1)

Die Gestalt der Kurve ha¨ngt vom Verha¨ltnis m ¼ R0 =R der beiden Radien ab. Die Hypozykloide ist in sich geschlossen, wenn m rational ist. Ist m ganzzahlig, so besteht die Hypozykloide aus genau m Bo¨gen. Fu¨r den Spezialfall R0 ¼ 4 R erha¨lt man eine Astroide (siehe III.14.4).

(2)

La¨nge eines Bogens: s ¼

(3)

Fla¨che zwischen einem Bogen und dem festen Kreis (grau unterlegt): A ¼

8 RðR0  RÞ R0

p R 2 ð3 R0  2 RÞ R0

14 Spezielle Kurven

125

14.4 Astroide (Sternkurve) Die Astroide oder Sternkurve ist ein Spezialfall der Hypozykloide fu¨r R0 ¼ 4 R ¼ a (siehe III.14.3): x ¼ a  cos 3 t

)

y ¼ a  sin 3 t

y

a > 0 0  t < 2p

a/4

Eigenschaften (1) (2) (3) (4) (5)

Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten: x 2=3 þ y 2=3 ¼ a 2=3 Die Kurve ist spiegelsymmetrisch zur x- und y-Achse. 3 pa2 Fla¨che (grau unterlegt): A ¼ 8 La¨nge (Umfang) der Kurve: s ¼ 6 a

P

t

x a

Die Schnittpunkte einer jeden Tangente mit den beiden Koordinatenachsen haben den Abstand a (Ausnahme: Tangenten in den vier Spitzen).

14.5 Kardioide (Herzkurve) Die Kardioide oder Herzkurve ist ein Spezialfall der Epizykloide fu¨r R ¼ R0 ¼ a=2 (siehe III.14.2). Die Kurvengleichung lautet in Polarkoordinaten: r ¼ a ð1 þ cos jÞ ða > 0; 0  j < 2 pÞ

y r = a(1 + cos f) a

Eigenschaften (1) (2) (3)

Die Kurve ist spiegelsymmetrisch zur x-Achse. 3 Fla¨che (grau unterlegt): A ¼ pa2 2 La¨nge (Umfang) der Kurve: s ¼ 8 a

a

–a

2a

x

126

III Funktionen und Kurven

14.6 Lemniskate (Schleifenkurve) r ¼ a

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi cos ð2 jÞ

y

ða > 0Þ

r = a √ cos(2 f)

S2

S1 a

0

A1

x

Eigenschaften (1)

Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten:

(2) (3)

ðx 2 þ y 2 Þ 2 ¼ a 2 ðx 2  y 2 Þ Die Kurve ist spiegelsymmetrisch zur x- und y-Achse. Scheitelpunkte: S1=2 ¼ ð a; 0Þ Doppelpunkt: O ¼ ð0; 0Þ

(4) (5)

Gleichungen der Tangenten in O (zugleich Wendepunkt): y ¼  x Fla¨che einer Schleife (grau unterlegt): A1 ¼ a 2 =2 Gesamtfla¨che: A ¼ a 2

14.7 Strophoide aðt 2  1Þ x ¼ t2 þ 1

9 > > > =

y

a > 0

1 < t < 1 > a t ðt 2  1Þ > > ; y ¼ 2 t þ1 S –a

Eigenschaften (1)

x=a

A2

A1

Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten:

0

a

x

ðx þ aÞ x 2 þ ðx  aÞ y 2 ¼ 0 (2)

Gleichung der Kurve in Polarkoordinaten: a  cos ð2 jÞ r ¼  cos j

(3)

Scheitelpunkt: S ¼ ð a; 0Þ ;

(4)

Gleichungen der Tangenten in O: y ¼  x

(5)

Gleichung der Asymptote: x ¼ a

(6) (7)

Doppelpunkt: O ¼ ð0; 0Þ

a2 ð4  pÞ 2 a2 Fla¨che zwischen Kurve und Asymptote (dunkelgrau unterlegt): A2 ¼ ð4 þ pÞ 2 Fla¨che der Schleife (hellgrau unterlegt): A1 ¼

14 Spezielle Kurven

127

14.8 Cartesisches Blatt 9 3at > > x ¼ = 1 þ t3 > 3at2 y ¼ 1 þ t3

> > > ;

y

a > 0 ; t 6¼  1

–a

(2)

Gleichung der Kurve in kartesischen Koordinaten: x 3 þ y 3 ¼ 3 a x y   3 3 Scheitelpunkt: S ¼ a; a 2 2

45°

A1

Eigenschaften (1)

S

A2 0

x

Asymptote –a

Doppelpunkt: O ¼ ð0; 0Þ (3)

Gleichungen der Tangenten in O: y ¼ 0 (x-Achse) und x ¼ 0 (y-Achse)

(4)

Gleichung der Asymptote: y ¼  x  a

(5) (6)

3 2 a 2 3 2 a Fla¨che zwischen Kurve und Asymptote (dunkelgrau unterlegt): A2 ¼ 2 Fla¨che der Schleife (hellgrau unterlegt): A1 ¼

14.9 „Kleeblatt“ mit n bzw. 2 n Bla¨ttern r ¼ a  cos ðn jÞ

ða > 0; n 2 N *Þ

y 120°

Eigenschaften (1)

Die Kurve umschließt n Bla¨tter. Das nebenstehende Bild zeigt ein „3-bla¨ttriges Kleeblatt“.

(2)

Fla¨che eines Blattes (grau unterlegt): A ¼

(3)

A

a

pa2 4n

Die Gleichung r ¼ j a  cos ðn jÞ j beschreibt ein „Kleeblatt“ mit 2 n Bla¨ttern (Verdoppelung der Blattzahl).

240°

x

128

III Funktionen und Kurven

14.10 Spiralen 14.10.1 Archimedische Spirale r ¼ aj

y

ða > 0Þ

ð0  j < 1Þ

s

P2

P1 r1

A r = af

Eigenschaften (1)

ap 2

r2

Fla¨che des Sektors P1 O P2 (grau unterlegt): –a p

0

x

1 2 3 a ðj 2  j 31 Þ A ¼ 6 (2)

_

La¨nge des Bogens P1 P2 :  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j2 a j j 2 þ 1 þ ln j þ j 2 þ 1 s ¼ 2 j1

14.10.2 Logarithmische Spirale r ¼ a  e bj

y

ða > 0; b > 0Þ

ð0  j < 1Þ

P1

s

r = a e bf

P2 A

r1

r2

Eigenschaften (1)

Fla¨che des Sektors P1 O P2 (grau unterlegt): A ¼

(2)

r 22  r 21 a 2 h 2 b j ij2 ¼ e j1 4b 4b

_

La¨nge des Bogens P1 P2 : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ij2 a 1 þ b2 h 1 þ b2 ðr2  r1 Þ ¼ e bj s ¼ j1 b b

0

a

x

129

IV Differentialrechnung

1 Differenzierbarkeit einer Funktion 1.1 Differenzenquotient y

Dy f ðx0 þ DxÞ  f ðx0 Þ ¼ Dx Dx

Sekante

Q

Dy

y = f(x)

Geometrische Deutung Steigung der Sekante durch P und Q: Dy ms ¼ tan e ¼ Dx

P e

Dx

y0

x0 + Dx

x0

x

1.2 Differentialquotient oder 1. Ableitung  dy  Dy f ðx0 þ DxÞ  f ðx0 Þ ¼ lim ¼ lim Dx ! 0 dx  x ¼ x0 Dx ! 0 Dx Dx Geometrische Deutung Steigung der Kurventangente in P:  dy  mt ¼ tan a ¼ dx  x ¼ x0 Dy vorhanden, so Dx ! 0 Dx heißt die Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle x0 differenzierbar.  dy  Schreibweisen: y 0 ðx0 Þ ; f 0 ðx0 Þ ; dx  x ¼ x0 Ist der Grenzwert

lim

y y = f(x)

P a

y0 x0

Tangente x

1.3 Ableitungsfunktion Die Ableitungsfunktion y 0 ¼ f 0 ðxÞ ordnet jeder Stelle x aus einem Intervall I den Steigungswert der dortigen Kurventangente als Funktionswert zu. Man spricht dann kurz von der (ersten) Ableitung oder dem Differentialquotienten von y ¼ f ðxÞ. Schreibweisen:

y0 ;

f 0 ðxÞ ;

dy dx

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig (Umkehrung gilt nicht). Eine Funktion mit einer stetigen (ersten) Ableitung wird als stetig differenzierbar bezeichnet.

130

IV Differentialrechnung

Differentialoperator Der Differentialoperator 1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ:

d erzeugt durch „Einwirken“ auf die Funktion y ¼ f ðxÞ die dx

d dy ½ f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ ¼ ¼ y0 dx dx &

Beispiel y ¼ 5 x 3  2  sin x  7

)

y0 ¼

d ½ 5 x 3  2  sin x  7  ¼ 15 x 2  2  cos x dx &

1.4 Ho¨here Ableitungen Die ho¨heren Ableitungen sind wie folgt definiert: 2. Ableitung: 3. Ableitung: .. .

d 2y d ½ f 0 ðxÞ ¼ dx 2 dx

d 3y d ¼ ½ f 00 ðxÞ y 000 ¼ f 000 ðxÞ ¼ 3 dx dx .. . d ny d y ðnÞ ¼ f ðnÞ ðxÞ ¼ ¼ ½ f ðn  1Þ ðxÞ dx n dx !

n-te Ableitung:

y 00 ¼ f 00 ðxÞ ¼

Differentialquotient n-ter Ordnung

1.5 Differential einer Funktion y

Zuwachs des Funktionswertes bzw. der Ordinate auf der Kurve:

y = f(x) Q

Dy ¼ f ðx0 þ DxÞ  f ðx0 Þ Zuwachs des Funktionswertes bzw. der Ordinate auf der Tangente: dy ¼ f 0 ðx0 Þ dx

ðdx ¼ DxÞ

Dy Tangente

Q' dy

P y0 x0

dx = Dx x0 + Dx

x

Dx und Dy sind die Koordinatena¨nderungen auf der Kurve, dx und dy die entsprechenden Koordinatena¨nderungen auf der in P errichteten Kurventangente, jeweils bezogen auf den Beru¨hrungspunkt P. Die Gro¨ße dy ¼ f 0 ðx0 Þ dx heißt Differential von f ðxÞ und beschreibt die nderung der Ordinate auf der Kurventangente, wenn man in der xRichtung um dx ¼ Dx fortschreitet. Fu¨r kleine nderungen dx ¼ Dx gilt dann: Dy  dy ¼ f 0 ðx0 Þ dx ¼ f 0 ðx0 Þ Dx

2 Erste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle)

131

2 Erste Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle) Ableitung f 0 ðxÞ

Funktion f ðxÞ Potenzfunktion

xn

n x n1

Trigonometrische Funktionen

sin x

cos x

cos x tan x cot x Arkusfunktionen

arcsin x arccos x arctan x arccot x

Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen

Hyperbelfunktionen

ex

ex

ax

ð ln aÞ  a x

ln x

1 x

log a x

1 ðln aÞ  x

sinh x

cosh x

cosh x tanh x coth x Areafunktionen

 sin x 1 ¼ 1 þ tan 2 x cos 2 x 1  ¼  1  cot 2 x sin 2 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  x2 1  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1  x2 1 1 þ x2 1  1 þ x2

arsinh x arcosh x artanh x arcoth x

sinh x 1 ¼ 1  tanh 2 x cosh 2 x 1  ¼ 1  coth 2 x sinh 2 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x 1 1 1  x2 1 1  x2

132

IV Differentialrechnung

3 Ableitungsregeln 3.1 Faktorregel Ein konstanter Faktor C bleibt beim Differenzieren erhalten: y ¼ C  f ðxÞ

y 0 ¼ C  f 0 ðxÞ

)

3.2 Summenregel Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise differenziert werden: y ¼ f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ þ . . . þ fn ðxÞ

)

y 0 ¼ f 01 ðxÞ þ f 02 ðxÞ þ . . . þ f 0n ðxÞ

Linearkombinationen von Funktionen, z. B. ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) werden mit Hilfe der Faktor- und Summenregel differenziert.

3.3 Produktregel Bei zwei Faktorfunktionen: y ¼ u ðxÞ  v ðxÞ &

)

y 0 ¼ u 0 ðxÞ  vðxÞ þ u ðxÞ  v 0 ðxÞ

Beispiel y ¼ ðx 2  3 xÞ  sin x |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |ffl{zffl} u v

ðu 0 ¼ 2 x  3 ;

v 0 ¼ cos xÞ

y 0 ¼ u 0 v þ u v 0 ¼ ð2 x  3Þ  sin x þ ðx 2  3 xÞ  cos x &

Bei drei Faktorfunktionen: y ¼ u ðxÞ  v ðxÞ  w ðxÞ y 0 ¼ u 0 ðxÞ  vðxÞ  w ðxÞ þ u ðxÞ  v 0 ðxÞ  w ðxÞ þ u ðxÞ  vðxÞ  w 0 ðxÞ

) &

Beispiel y ¼ x 3  e x  arctan x |{z} |{z} |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} u v w

 u0 ¼ 3x2 ;

v0 ¼ ex ;

w0 ¼

1 1 þ x2



1 ¼ y 0 ¼ u 0 v w þ u v 0 w þ u v w 0 ¼ 3 x 2  e x  arctan x þ x 3  e x  arctan x þ x 3  e x  1 þ x2   x ¼ x 2  e x ð3 þ xÞ  arctan x þ 1 þ x2

&

3 Ableitungsregeln

133

3.4 Quotientenregel y ¼

u ðxÞ vðxÞ

y0 ¼

)

u 0 ðxÞ  v ðxÞ  u ðxÞ  v 0 ðxÞ ½ vðxÞ 2

ðv ðxÞ 6¼ 0Þ

Gebrochenrationale Funktionen werden nach dieser Regel differenziert. &

Beispiel y ¼

3x2  x sin x

y0 ¼

u0 v  uv0 ð6 x  1Þ  sin x  ð3 x 2  xÞ  cos x ¼ v2 sin 2 x

ðu ¼ 3 x 2  x ;

v ¼ sin x ;

u0 ¼ 6x  1;

v 0 ¼ cos xÞ

&

3.5 Kettenregel Die Ableitung einer aus den beiden (elementaren) Funktionen y ¼ F ðuÞ und u ¼ uðxÞ zusammengesetzten (verketteten) Funktion y ¼ F ðu ðxÞÞ ¼ f ðxÞ ist das Produkt aus der a¨ußeren und der inneren Ableitung (sog. Kettenregel): dy dy du ¼  dx du dx

oder

f 0 ðxÞ ¼ F 0 ðuÞ  u 0 ðxÞ

Bezeichnungen y ¼ F ðuÞ: u ¼ u ðxÞ:

ußere Funktion Innere Funktion

 y ¼ F ðu ðxÞÞ ¼ f ðxÞ

dy ¼ F 0 ðuÞ: ußere Ableitung (Ableitung der a¨ußeren Funktion) du du ¼ u 0 ðxÞ: Innere Ableitung (Ableitung der inneren Funktion) dx Zur Anwendung der Kettenregel Die vorgegebene (nicht elementar differenzierbare) Funktion y ¼ f ðxÞ wird zuna¨chst mit Hilfe einer mo¨glichst einfachen Substitution u ¼ u ðxÞ in eine von der „Hilfsvariablen“ u abha¨ngige (elementare) Funktion y ¼ F ðuÞ u¨bergefu¨hrt: Substitution

y ¼ f ðxÞ ! y ¼ F ðuÞ u ¼ u ðxÞ

Die Substitution u ¼ u ðxÞ ist dabei die innere Funktion, y ¼ F ðuÞ die a¨ußere Funktion. Beide Funktionen mu¨ssen elementar nach der jeweiligen unabha¨ngigen Variablen (d. h. nach x bzw. nach u) differenzierbar sein. Die beiden Ableitungen (innere und a¨ußere Ableitung) werden dann miteinander multipliziert, anschließend wird die Hilfsvariable u durch „Ru¨cksubstitution“ beseitigt.

134 &

IV Differentialrechnung Beispiel Gegeben:

y ¼ f ðxÞ ¼ ln ð1 þ x 2 Þ

Gesucht:

y 0 ¼ f 0 ðxÞ

„Grundform“: Substitution:

Logarithmusfunktion ln u u ¼ u ðxÞ ¼ 1 þ x 2

ußere und innere Funktion: y ¼ F ðuÞ ¼ ln u

u ¼ u ðxÞ ¼ 1 þ x 2

mit

Kettenregel (mit nachtra¨glicher Ru¨cksubstitution): y0 ¼

dy dy du 1 2x 2x ¼  ¼  2x ¼ ¼ dx du dx u u 1 þ x2 &

Kettenregel fu¨r dreifach verschachtelte Funktionen Gegeben ist die Funktion y ¼ F ðvÞ

mit v ¼ v ðuÞ und

u ¼ uðxÞ :

Die Ableitung der mittelbar von der Variablen x abha¨ngigen (verketteten) Funktion y ¼ F ðv ðu ðxÞÞÞ ¼ f ðxÞ nach der Variablen x wird wie folgt gebildet: y0 ¼

dy dy dv du ¼   dx dv du dx

oder

f 0 ðxÞ ¼ F 0 ðvÞ  v 0 ðuÞ  u 0 ðxÞ

Die vorgegebene Funktion y ¼ f ðxÞ wird mit Hilfe zweier Substitutionen in eine elementar differenzierbare Funktion der „Hilfsvariablen“ v u¨bergefu¨hrt (die Substitutionen werden von innen nach außen ausgefu¨hrt). Dabei mu¨ssen die a¨ußere Funktion y ¼ F ðvÞ und die beiden inneren Funktionen v ¼ v ðuÞ und u ¼ u ðxÞ nach der jeweiligen unabha¨ngigen Variablen elementar differenzierbar sein.

&

Beispiel y 0 ¼ f 0 ðxÞ ¼ ?

y ¼ f ðxÞ ¼ sin 3 ðx 2 þ xÞ ,

Schrittweise Zerlegung der nicht elementaren Funktion von innen nach außen mit Hilfe zweier Substitutionen. 1. Substitution:

u þ x2 þ x

2. Substitution: Somit gilt:

v ¼ sin u

y ¼ v3

mit

) )

v ¼ sin u

y ¼ sin 3 u ¼ ðsin uÞ 3 y ¼ v3

und

u ¼ x2 þ x

Kettenregel (erst y nach v differenzieren, dann v nach u und schließlich u nach x): y0 ¼

dy dy dv du ¼   ¼ 3 v 2  cos u  ð2 x þ 1Þ ¼ 3 ð2 x þ 1Þ v 2  cos u dx dv du dx

Ru¨cksubstitution (in der Reihenfolge v ! u ! xÞ: y 0 ¼ 3 ð2 x þ 1Þ  ðsin uÞ 2  cos u ¼ 3 ð2 x þ 1Þ ½sin ðx 2 þ xÞ  2  cos ðx 2 þ xÞ &

3 Ableitungsregeln

135

3.6 Logarithmische Differentiation Bei der logarithmischen Differentiation wird die Funktion y ¼ f ðxÞ zuna¨chst beiderseits logarithmiert und anschließend unter Verwendung der Kettenregel differenziert. Die Ableitung der logarithmierten Funktion ln y ¼ ln f ðxÞ heißt logarithmische Ableitung von y ¼ f ðxÞ. Es gilt: d 1 ðln yÞ ¼  y0 dx y Anwendung findet die logarithmische Differentiation z. B. bei Funktionen vom Typ y ¼ ½ u ðxÞ v ðxÞ mit u ðxÞ > 0. &

Beispiel y ¼ f ðxÞ ¼ x cos x ,

ln y ¼ ln x cos x ¼ cos x  ln x

Logarithmieren: Differenzieren:

x > 0

d d ðln yÞ ¼ ðcos x  ln xÞ dx dx

Die linke Seite wird nach der Kettenregel, die rechte Seite nach der Produktregel differenziert: 1 1  x  sin x  ln x þ cos x  y 0 ¼  sin x  ln x þ cos x  ¼ y x x      x  sin x  ln x þ cos x  x  sin x  ln x þ cos x ¼ x cos x y0 ¼ y x x &

3.7 Ableitung der Umkehrfunktion y ¼ f ðxÞ sei eine umkehrbare Funktion, x ¼ g ðyÞ die nach der Variablen x aufgelo¨ste Form von y ¼ f ðxÞ ðy ¼ f ðxÞ , x ¼ g ðyÞÞ. Zwischen den Ableitungen f 0 ðxÞ und g 0 ðyÞ besteht dann die Beziehung f 0 ðxÞ  g 0 ðyÞ ¼ 1

g 0 ðyÞ ¼

oder

1 f 0 ðxÞ

ð f 0 ðxÞ 6¼ 0Þ

aus der sich die Ableitung g 0 ðxÞ der Umkehrfunktion y ¼ g ðxÞ bestimmen la¨sst, indem man zuna¨chst in der Ableitung f 0 ðxÞ die Variable x durch gðyÞ ersetzt und anschließend auf beiden Seiten die Variablen x und y miteinander vertauscht. &

Beispiel f 0 ðxÞ ¼

1 ¼ 1 þ tan 2 x cos 2 x

Gegeben:

y ¼ f ðxÞ ¼ tan x ;

Gesucht:

Ableitung der Umkehrfunktion gðxÞ ¼ arctan x

y ¼ f ðxÞ ¼ tan x

,

x ¼ g ðyÞ ¼ arctan y

Nach Vertauschen der beiden Variablen folgt hieraus:

)

g 0 ðyÞ ¼

g 0 ðxÞ ¼

1 1 1 ¼ ¼ f 0 ðxÞ 1 þ tan 2 x 1 þ y2

d 1 ðarctan xÞ ¼ dx 1 þ x2 &

136

IV Differentialrechnung

3.8 Implizite Differentiation Die Gleichung der Funktion (Kurve) liege in der impliziten Form F ðx; yÞ ¼ 0 vor. Die Ableitung la¨sst sich dann nach einer der beiden folgenden Methoden bestimmen. 1. Methode: Implizite Differentiation unter Verwendung der Kettenregel Die Funktionsgleichung F ðx; yÞ ¼ 0 wird gliedweise nach der Variablen x differenziert, wobei y als eine von x abha¨ngige Funktion zu betrachten ist. Daher ist jeder die Variable y enthaltende Term unter Verwendung der Kettenregel zu differenzieren. Anschließend wird die Gleichung nach y 0 aufgelo¨st (falls u¨berhaupt mo¨glich). &

Beispiel x 2 þ y 2 ¼ 16

Kreis:

oder

F ðx; yÞ ¼ x 2 þ y 2  16 ¼ 0

d ðx 2 þ y 2  16Þ ¼ 2 x þ 2 y  y 0 ¼ 0 dx

)

y0 ¼ 

x y

Der Term y 2 wurde dabei nach der Kettenregel differenziert (Ergebnis: 2 y  y 0 ). &

2. Methode: Implizite Differentiation unter Verwendung partieller Ableitungen y0 ¼ 

Fx ðx; yÞ Fy ðx; yÞ

Fx ðx; yÞ; Fy ðx; yÞ:

ðFy ðx; yÞ 6¼ 0Þ Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ F ðx; yÞ (siehe IX.2.1)

Die Ableitung y 0 wird i. Allg. von beiden Variablen, d. h. von x und y abha¨ngen. &

Beispiel Kreis:

x 2 þ y 2 ¼ 16 Fx ðx; yÞ ¼ 2 x ;

oder

F ðx; yÞ ¼ x 2 þ y 2  16 ¼ 0

Fy ðx; yÞ ¼ 2 y

)

y0 ¼ 

Fx ðx; yÞ 2x x ¼  ¼  Fy ðx; yÞ 2y y &

3.9 Ableitungen einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) Erste Ableitung (Kurvenanstieg) und zweite Ableitung einer in der Parameterform x ¼ x ðtÞ, y ¼ y ðtÞ dargestellten Funktion (Kurve) lassen sich wie folgt bilden: y0 ¼

y_ dy ¼ x_ dx

y 00 ¼

x_ y€  y_ x€ d 2y ¼ x_ 3 dx 2

ðx_ 6¼ 0Þ

Die Punkte kennzeichnen dabei die Ableitungen nach dem Parameter t.

4 Anwendungen der Differentialrechnung &

137

Beispiel Mittelpunktsellipse:

x ¼ a  cos t, x_ ¼  a  sin t ;

y ¼ b  sin t,

0  t < 2p

y_ ¼ b  cos t

)

y0 ¼

b  cos t b y_ ¼   cot t ¼  a  sin t a x_

&

3.10 Ableitungen einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve Eine in Polarkoordinaten dargestellte Kurve mit der Gleichung r ¼ r ðjÞ lautet in der Parameterform wie folgt: x ðjÞ ¼ r ðjÞ  cos j ;

yðjÞ ¼ r ðjÞ  sin j

Fu¨r die erste Ableitung (Kurvenanstieg) und die zweite Ableitung gelten dann: y0 ¼

dy r_  sin j þ r  cos j ¼ dx r_  cos j  r  sin j

y 00 ¼

d2y r 2 þ 2 r_ 2  r r€ ¼ dx 2 ðr_  cos j  r  sin jÞ 3

Die Punkte kennzeichnen dabei die Ableitungen nach dem Winkelparameter j. &

Beispiel Wir bestimmen den Kurvenanstieg der Kardioide r ¼ 1 þ cos j in dem zum Polarwinkel j ¼ p=4 geho¨renden Kurvenpunkt: r ¼ 1 þ cos j ; y0 ¼ ¼

r_ ¼

dr ¼  sin j dj

 sin j  sin j þ ð1 þ cos jÞ  cos j r_  sin j þ r  cos j ¼ ¼  sin j  cos j  ð1 þ cos jÞ  sin j r_  cos j  r  sin j  sin 2 j þ cos j þ cos 2 j 2  cos 2 j þ cos j  1 ¼  2  sin j  cos j  sin j  sin jð1 þ 2  cos jÞ

)

y 0 ðj ¼ p=4Þ ¼  0;414 &

4 Anwendungen der Differentialrechnung 4.1 Geschwindigkeit und Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung Geschwindigkeit v und Beschleunigung a einer geradlinigen Bewegung erha¨lt man als 1. bzw. 2. Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes s ¼ s ðtÞ nach der Zeit t : Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:

vðtÞ ¼ s_ ðtÞ

Beschleunigung-Zeit-Gesetz:

a ðtÞ ¼ v_ ðtÞ ¼ s€ðtÞ

138

IV Differentialrechnung

4.2 Tangente und Normale Tangente und Normale im Kurvenpunkt P ¼ ðx0 ; y0 Þ einer Kurve y ¼ f ðxÞ stehen senkrecht aufeinander. Ihre Gleichungen lauten (in der Punkt-Steigungs-Form):

Tangente:

y  y0 ¼ f 0 ðx0 Þ x  x0

Normale:

y  y0 1 ¼  0 f ðx0 Þ x  x0

y y = f(x) Tangente

P y0

f 0 ðx0 Þ 6¼ 0

Normale

x0

x

4.3 Linearisierung einer Funktion Eine nichtlineare Funktion y ¼ f ðxÞ la¨sst sich in der unmittelbaren Umgebung des Kurvenpunktes P ¼ ðx0 ; y0 Þ (in den Anwendungen meist als Arbeitspunkt bezeichnet) durch die dortige Kurventangente, d. h. durch eine lineare Funktion approximieren. Die Gleichung der linearisierten Funktion lautet: y

y  y0 ¼ f 0 ðx0 Þ  ðx  x0 Þ

y = f(x)

oder P

Dy ¼ f 0 ðx0 Þ  Dx Dx; Dy:

&

y0

Relativkoordinaten bezu¨glich des Arbeitspunktes P ¼ ðx0 ; y0 Þ ðDx ¼ x  x0 ; Dy ¼ y  y0 Þ

Linearisierte Funktion (Tangente)

x0

x

Beispiel Wir linearisieren die Funktion y ¼ ðx þ 1Þ  e x in der Umgebung der Stelle x0 ¼ 0: y0 ¼ y ð0Þ ¼ 1

)

Arbeitspunkt:

P ¼ ð0; 1Þ

y 0 ¼ 1  e x þ ðx þ 1Þ  e x ¼ ðx þ 2Þ  e x Linearisierte Funktion:

y  1 ¼ 2 ðx  0Þ oder

)

y 0 ð0Þ ¼ 2

y ¼ 2x þ 1

Bei Verwendung von Relativkoordinaten bezu¨glich des Arbeitspunktes P:

Dy ¼ 2 Dx &

4 Anwendungen der Differentialrechnung

139

4.4 Monotonie und Kru¨mmung einer Kurve 4.4.1 Geometrische Deutung der 1. und 2. Ableitung Das Verhalten einer (differenzierbaren) Funktion y ¼ f ðxÞ in einem Intervall I wird im wesentlichen durch die ersten beiden Ableitungen bestimmt.

Monotonie-Verhalten Die 1. Ableitung y 0 ¼ f 0 ðxÞ ist die Steigung der Kurventangente und bestimmt somit das Monotonie-Verhalten der Funktion:

y

y f' ( x 0 ) < 0

f' ( x 0 ) > 0

y 0 ¼ f 0 ðx0 Þ > 0: y 0 ¼ f 0 ðx0 Þ < 0:

streng monoton wachsend (Bild a))

P

P

streng monoton fallend (Bild b))

y0

monoton wachsend

f 0 ðx0 Þ  0:

monoton fallend

x0

x

x0

f 0 ðx0 Þ  0:

y0

a)

x

b)

Kru¨mmungs-Verhalten Die 2. Ableitung y 00 ¼ f 00 ðxÞ bestimmt das Kru¨mmungs-Verhalten der Funktion: y 00 ¼ f 00 ðx0 Þ > 0:

y 00 ¼ f 00 ðx0 Þ < 0:

y

P

P

Rechtskru¨mmung (konkave Kru¨mmung, Bild b))

Hinweis: Siehe hierzu auch XIV.1.5

f'' ( x 0 ) < 0

f'' ( x 0 ) > 0

Linkskru¨mmung (konvexe Kru¨mmung, Bild a))

Der Drehpfeil in den nebenstehenden Bildern kennzeichnet den Drehsinn der Kurventangente beim Durchlaufen des Punktes P in positiver x-Richtung.

y

y0

y0

a)

x0

x0

x

b)

x

140

IV Differentialrechnung

4.4.2 Kru¨mmung einer ebenen Kurve Kurvenkru¨mmung Die Kru¨mmung j einer ebenen Kurve y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ ist ein quantitatives Maß dafu¨r, wie stark der Kurvenverlauf in der unmittelbaren Umgebung dieses Punktes von dem einer Geraden abweicht: j ¼ j > 0 j < 0

y 00 ½1 þ ðy 0 Þ 2  3=2

y y = f(x) f''(x) > 0

, Linkskru¨mmung , Rechtskru¨mmung

f''(x) < 0

Linkskrümmung

Rechtskrümmung

x

Kru¨mmungskreis Der Kru¨mmungskreis einer Kurve y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P ¼ ðx; yÞ beru¨hrt dort die Kurve von 2. Ordnung (gemeinsame Tangente, dieselbe Kru¨mmung). Der Radius r dieses Kreises heißt Kru¨mmungsradius, der Mittelpunkt M ¼ ðx0 ; y0 Þ Kru¨mmungsmittelpunkt. Kru¨mmungsradius r 1 ½1 þ ðy 0 Þ2  3=2 ¼ r ¼ jjj j y 00 j

y Tangente Normale y = f(x)

Kru¨mmungsmittelpunkt M = (x0; y0) x0 ¼ x  y 0 

y0 ¼ y þ

1 þ ð y 0Þ 2 y 00

1 þ ð y 0Þ 2 y 00

P r M

Krümmungskreis x

x; y: 0

Koordinaten des Kurvenpunktes P 00

y,y :

1. bzw. 2. Ableitung von y ¼ f ðxÞ im Kurvenpunkt P

4 Anwendungen der Differentialrechnung

141

Der Kru¨mmungsmittelpunkt M liegt stets auf der Kurvennormale des Beru¨hrungspunktes P. Die Verbindungslinie aller Kru¨mmungsmittelpunkte einer Kurve heißt Evolute, die Kurve selbst wird als Evolvente bezeichnet. Die Koordinaten x0 und y0 des Kru¨mmungsmittelpunktes sind dabei Funktionen der x-Koordinate des laufenden Kurvenpunktes P und bilden daher eine Parameterdarstellung der zur Kurve y ¼ f ðxÞ geho¨renden Evolute. Sonderfa¨lle Gerade:

j ¼ 0,

Kreis:

j j j ¼ 1=r, r ¼ r ¼ const:

&

r ¼ 1 (r : Kreisradius)

Beispiel Wir bestimmen die Kru¨mmung und den Kru¨mmungskreis der Sinusfunktion an der Stelle x ¼ p=2, d. h. im Punkt P ¼ ðp=2; 1Þ: y ¼ sin x ; j ¼

y 0 ¼ cos x ;

 sin x ½1 þ cos 2 x 3=2

)

y 00 ¼  sin x j ðp=2Þ ¼

 sin ðp=2Þ 1 ¼ ¼ 1 ½1 þ cos 2 ðp=2Þ 3=2 ð1 þ 0 2 Þ 3=2

y

Kru¨mmungsradius: 1 1 r ðp=2Þ ¼ ¼ ¼ 1 j kðp=2Þ j j  1j Kru¨mmungsmittelpunkt:

P

1

M ¼ ðp=2; 0Þ

y = sin x M

Begru¨ndung: Im Punkt P verla¨uft die Tangente waagerecht, die Normale somit parallel zur y-Achse. Der Kru¨mmungsmittelpunkt M liegt im Abstand r ¼ 1 unterhalb von P und somit auf der x-Achse.

p /2

p

x

–1 &

4.5 Relative Extremwerte (relative Maxima, relative Minima) Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt in x0 ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung von x0 stets f ðx0 Þ > f ðxÞ

bzw.

f ðx0 Þ < f ðxÞ

ist ðx 6¼ x0 Þ. Die folgenden Bedingungen sind hinreichend (Voraussetzung: f ðxÞ ist mindestens zweimal differenzierbar): Relatives Maximum (Hochpunkt)

y Maximum

Die Kurve besitzt in x0 eine waagerechte Tangente und Rechtskru¨mmung:

y = f(x) f(x0)

0

f ðx0 Þ ¼ 0

und

00

f ðx0 Þ < 0

x0

x

142

IV Differentialrechnung

Relatives Minimum (Tiefpunkt)

y

Die Kurve besitzt in x0 eine waagerechte Tangente und Linkskru¨mmung: f 0 ðx0 Þ ¼ 0

y = f(x) Minimum

f 00 ðx0 Þ > 0

und

f(x0) x

x0 &

Beispiel Wir bestimmen die relativen Extremwerte der Funktion y ¼ x 2  e  x . Die dabei beno¨tigten Ableitungen y 0 und y 00 erhalten wir jeweils mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel: y 0 ¼ u 0 v þ v 0 u ¼ 2 x  e  x þ e  x  ð 1Þ x 2 ¼ ð2 x  x 2 Þ  e  x

)

f

f

y ¼ x 2  e x v

u

y ¼ ð2 x  x 2 Þ  e  x |fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl}

u

y 00 ¼ u 0 v þ v 0 u ¼ ð2  2 xÞ  e  x þ e  x  ð 1Þ ð2 x  x 2 Þ ¼

)

f

0

v

¼ ð2  4 x þ x Þ  e  x 2

)

ð2 x  x 2 Þ  e  x ¼ 0

f

y0 ¼ 0

)

2x  x2 ¼ 0

)

y2 ¼ 0; 5413

)

xð2  xÞ ¼ 0

)

6¼ 0

x1 ¼ 0

)

x1 ¼ 0 ;

x2 ¼ 2

)

y1 ¼ 0 ;

x2 ¼ 2

y 00 ðx1 ¼ 0Þ ¼ 2 > 0 00

y ðx2 ¼ 2Þ ¼  2  e

) 2

< 0

Min ¼ ð0; 0Þ )

Max ¼ ð2; 0; 5413Þ &

Allgemeines Kriterium fu¨r einen relativen Extremwert In einigen Fa¨llen versagen die oben genannten Kriterien, wenn na¨mlich neben f 0 ðx0 Þ auch f 00 ðx0 Þ verschwindet. Dann entscheidet die na¨chstfolgende, nichtverschwindende Ableitung f ðnÞ ðx0 Þ wie folgt u¨ber Existenz und Art eines Extremwertes: f 0 ðx0 Þ ¼ 0

(waagerechte Tangente)

Die na¨chstfolgende, nichtverschwindende Ableitung sei f

n ¼ gerade f

ðnÞ

)

ðx0 Þ

ðn  2Þ:

f

ðnÞ

ðx0 Þ < 0:

Maximum

f

ðnÞ

ðx0 Þ > 0:

Minimum

Extremwert

ðx0 Þ 6¼ 0 n ¼ ungerade )

ðnÞ

Sattelpunkt

(siehe IV.4.6)

4 Anwendungen der Differentialrechnung &

143

Beispiel Wir untersuchen die Funktion y ¼ x 4 auf relative Extremwerte: y0 ¼ 4x3 ;

y ¼ x4;

y0 ¼ 4x3 ¼ 0

y 00 ¼ 12 x 2

y

)

x0 ¼ 0

y ð0Þ ¼ 0

)

Kriterium versagt

y 000 ¼ 24 x

)

y 000 ð0Þ ¼ 0

y ð4Þ ¼ 24

)

y ð4Þ ð0Þ ¼ 24 6¼ 0

00

y = x4 1

Es ist n ¼ 4, d. h. gerade und y ð4Þ ð0Þ > 0. Die Funktion y ¼ x 4 besitzt somit an der Stelle x0 ¼ 0 ein (sogar absolutes) Minimum.

x

–1 Minimum 1

&

4.6 Wendepunkte, Sattelpunkte y

Wendepunkt In einem Wendepunkt a¨ndert sich die Art der Kurvenkru¨mmung, d. h. die Kurve geht dort von einer Links- in eine Rechtskurve u¨ber oder umgekehrt. In einem Wendepunkt a¨ndert sich somit der Drehsinn der Kurventangente. Die folgende Bedingung ist hinreichend: f 00 ðx0 Þ ¼ 0

und

f''(x) > 0

f''(x) < 0

y = f(x) W Wendetangente

f 000 ðx0 Þ 6¼ 0 x

x0

Wendetangente:

Tangente im Wendepunkt

Sattelpunkt Ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt genannt) ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Die hinreichende Bedingung lautet daher: f 0 ðx0 Þ ¼ 0 ; &

f 00 ðx0 Þ ¼ 0

und

f 000 ðx0 Þ 6¼ 0 y

Beispiel

y'' > 0

Die kubische Parabel y ¼ x 3 besitzt an der Stelle x0 ¼ 0 einen Sattelpunkt: y0 ¼ 3x2 ; 0

00

y 00 ¼ 6 x ;

y ð0Þ ¼ y ð0Þ ¼ 0 ; Sattelpunkt:

y ð0Þ ¼ 6 6¼ 0

ð0; 0Þ

Wendetangente:

1

y 000 ¼ 6 000

y ¼ 0 (x-Achse)

y=x3

Sattelpunkt –1

1

x

–1 y'' < 0 &

144

V Integralrechnung

1 Bestimmtes Integral 1.1 Definition eines bestimmten Integrals Das bestimmte Integral

Ðb

f ðxÞ dx la¨sst sich in anschaulicher Weise als Fla¨cheninhalt A

a

zwischen der stetigen Funktion y ¼ f ðxÞ, der x-Achse und den beiden zur y-Achse parallelen Geraden x ¼ a und x ¼ b deuten, sofern die Kurve im gesamten Intervall a  x  b oberhalb der x-Achse verla¨uft. y

y = f(x)

f(x0)

f(x1)

Dx

Dx

x0 = a

x1

f(x2)

f(x3)

Dx

Dx x2

f(xn–1) f(xn)

x3

xn–1 xn = b

x

ba , ersetzen n jeden Streifen in der aus der Abbildung ersichtlichen Weise durch ein Rechteck und summieren dann u¨ber alle Rechtecksfla¨chen. Dies fu¨hrt (bei einer monoton wachsenden Funktion) zu der sog. Untersumme Wir zerlegen zuna¨chst die Fla¨che in n Streifen gleicher Breite Dx ¼

Un ¼ f ðx0 Þ Dx þ f ðx1 Þ Dx þ f ðx2 Þ Dx þ . . . þ f ðxn  1 Þ Dx ¼ die einen Na¨herungswert fu¨r den gesuchten Fla¨cheninhalt darstellt. n ! 1 (und somit Dx ! 0Þ strebt die Untersumme Un gegen als bestimmtes Integral von f ðxÞ in den Grenzen von x ¼ a bis x und geometrisch als Fla¨cheninhalt A unter der Kurve y ¼ f ðxÞ im interpretiert werden darf.

n P k¼1

f ðxk  1 Þ Dx

Beim Grenzu¨bergang einen Grenzwert, der ¼ b bezeichnet wird Intervall a  x  b

1 Bestimmtes Integral

145

Symbolische Schreibweise: ðb

n P

f ðxÞ dx ¼ lim Un ¼ lim n!1

a

n!1 k¼1

f ðxk  1 Þ Dx

Bezeichnungen x: Integrationsvariable f ðxÞ: Integrandfunktion (kurz: Integrand) a; b: Untere bzw. obere Integrationsgrenze Das Integral existiert, wenn f ðxÞ stetig ist oder aber beschra¨nkt ist und nur endlich viele Unstetigkeiten im Integrationsintervall entha¨lt.

1.2 Berechnung eines bestimmten Integrals ðb f ðxÞ dx ¼ ½ F ðxÞ ba ¼ F ðbÞ  F ðaÞ a

(sog. Hauptsatz der Integralrechnung) F ðxÞ ist dabei irgendeine Stammfunktion von f ðxÞ

&

ðF 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ, siehe V.2.2).

Beispiele (1)

p=2 Ð

p=2

cos x dx ¼ ½sin x 0

¼ sin ðp=2Þ  sin 0 ¼ 1  0 ¼ 1

0

Denn F ðxÞ ¼ sin x ist wegen F 0 ðxÞ ¼ (2)

Ð3 3

d ðsin xÞ ¼ cos x eine Stammfunktion von f ðxÞ ¼ cos x. dx

ðx 2  4 x þ 1Þ dx ¼ ? 1 3 x  2 x 2 þ x ist eine Stammfunktion des Integranden f ðxÞ ¼ x 2  4 x þ 1 , da 3   d 1 3 x  2 x 2 þ x ¼ x 2  4 x þ 1 ¼ f ðxÞ F 0 ðxÞ ¼ dx 3

FðxÞ ¼

gilt. Somit ist 

ð3 ðx 2  4 x þ 1Þ dx ¼ 3

1 3 x  2x2 þ x 3

3 ¼ 3

¼ ð9  18 þ 3Þ  ð 9  18  3Þ ¼ ¼  6  ð 30Þ ¼ 24 &

146

V Integralrechnung

1.3 Elementare Integrationsregeln fu¨r bestimmte Integrale Regel 1: Faktorregel Ein konstanter Faktor C darf vor das Integral gezogen werden: ðb

ðb C  f ðxÞ dx ¼ C  a

f ðxÞ dx

ðC 2 RÞ

a

Regel 2: Summenregel Eine endliche Summe von Funktionen darf gliedweise integriert werden: ðb

ðb ½ f1 ðxÞ þ . . . þ fn ðxÞ dx ¼ a

ðb f1 ðxÞ dx þ . . . þ

a

fn ðxÞ dx a

Regel 3: Vertauschungsregel Vertauschen der Integrationsgrenzen bewirkt einen Vorzeichenwechsel des Integrals: ða

ðb f ðxÞ dx ¼ 

f ðxÞ dx a

b

Regel 4: Fallen die Integrationsgrenzen zusammen ða ¼ bÞ; so ist der Integralwert gleich Null: ða f ðxÞ dx ¼ 0 a

Geometrische Deutung:

Fla¨cheninhalt unter der Kurve ¼ 0

Regel 5: Fu¨r jede Stelle c aus dem Integrationsintervall gilt: ðc

ðb f ðxÞ dx ¼ a

ðb f ðxÞ dx þ

a

Geometrische Deutung:

f ðxÞ dx

ða  c  bÞ

c

Zerlegung der Fla¨che in zwei Teilfla¨chen

2 Unbestimmtes Integral

147

2 Unbestimmtes Integral

2.1 Definition eines unbestimmten Integrals Das unbestimmte Integral I ðxÞ ¼

Ðx

f ðtÞ dt beschreibt den Fla¨cheninhalt A zwischen der

a

stetigen Kurve y ¼ f ðtÞ und der t-Achse im Intervall a  t  x in Abha¨ngigkeit von der oberen (variabel gehaltenen) Grenze x und wird daher auch als Fla¨chenfunktion bezeichnet (Voraussetzung: f ðtÞ  0 und x  a). y

ðx f ðtÞ dt

I ðxÞ ¼

y = f(t)

a

variabel A

Man beachte: Ein bestimmtes Integral ist eine Zahl (Fla¨cheninhalt A), ein unbestimmtes Integral dagegen eine Funktion der oberen Grenze x ðFla¨chenfunktion I ðxÞÞ!

a

x

t

2.2 Allgemeine Eigenschaften der unbestimmten Integrale 1. Zu jeder stetigen Funktion f ðxÞ gibt es unendlich viele unbestimmte Integrale, die sich in ihrer unteren Integrationsgrenze voneinander unterscheiden. 2. Die Differenz zweier unbestimmter Integrale von f ðxÞ ist eine Konstante. Ðx 3. Differenziert man ein unbestimmtes Integral I ðxÞ ¼ f ðtÞ dt nach der oberen Grenze a

x, so erha¨lt man die Integrandfunktion f ðxÞ (sog. Fundamentalsatz der Differentialund Integralrechnung): ðx f ðtÞ dt

I ðxÞ ¼

)

dI ¼ I 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ dx

a

Allgemein wird eine differenzierbare Funktion F ðxÞ mit der Eigenschaft F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ als eine Stammfunktion von f ðxÞ bezeichnet. In diesem Sinne la¨sst sich der FundamentalÐx satz auch wie folgt formulieren: Jedes unbestimmte Integral IðxÞ ¼ f ðtÞ dt von f ðxÞ a ist eine Stammfunktion von f ðxÞ.

148

V Integralrechnung

4. Ist F ðxÞ irgendeine Stammfunktion von f ðxÞ und C1 eine geeignete reelle Konstante, so gilt ðx f ðtÞ dt ¼ F ðxÞ þ C1

I ðxÞ ¼ a

Die Konstante C1 la¨sst sich aus der Bedingung I ðaÞ ¼ F ðaÞ þ C1 ¼ 0 berechnen: C1 ¼  F ðaÞ. Ðx 5. Die Menge aller Funktionen vom Typ I ðxÞ þ K ¼ f ðtÞ dt þ K wird als unbea Ð stimmtes Integral von f ðxÞ bezeichnet und durch das Symbol f ðxÞ dx gekennzeichnet (die Integrationsgrenzen werden weggelassen): ð

ðx f ðtÞ dt þ K

f ðxÞ dx 

ðK 2 RÞ

a

Die Begriffe „Stammfunktion von f ðxÞ“ und „unbestimmtes Integral von f ðxÞ“ sind Ð somit gleichwertig. Das unbestimmte Integral f ðxÞ dx von f ðxÞ ist daher in der Form ð f ðxÞ dx ¼ F ðxÞ þ C

ðF 0 ðxÞ ¼ f ðxÞÞ

darstellbar, wobei F ðxÞ irgendeine Stammfunktion zu f ðxÞ bedeutet und die Integrationskonstante C alle reellen Werte durchla¨uft. Das Aufsuchen sa¨mtlicher Stammfunktionen F ðxÞ zu einer vorgegebenen Funktion f ðxÞ heißt unbestimmte Integration: f ðxÞ

unbestimmte ! Integration

F ðxÞ

mit

F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ

Geometrische Deutung der Stammfunktionen: Die Stammfunktionen (oder Integralkurven) zu einer stetigen Funktion f ðxÞ bilden eine einparametrige Kurvenschar. Jede Integralkurve entsteht dabei aus jeder anderen durch Parallelverschiebung in der y-Richtung. 6. Faktor- und Summenregel fu¨r bestimmte Integrale gelten sinngema¨ß auch fu¨r unbestimmte Integrale (siehe V.1.3). &

Beispiel Ð

ð2 x  sin xÞ dx ¼ ?

Stammfunktion zu f ðxÞ ¼ 2 x  sin x : FðxÞ ¼ x 2 þ cos x, da F 0 ðxÞ ¼ 2 x  sin x ¼ f ðxÞ Ð Lo¨sung: ð2 x  sin xÞ dx ¼ F ðxÞ þ C ¼ x 2 þ cos x þ C ðC 2 RÞ

ist.

&

2 Unbestimmtes Integral

149

2.3 Tabelle der Grund- oder Stammintegrale C, C1 , C2 : Reelle Integrationskonstanten ð 0 dx ¼ C ð

ð ð

x nþ1 þC x dx ¼ nþ1

ðn 6¼  1Þ

n

e x dx ¼ e x þ C

a x dx ¼

ð

1 dx ¼ tan x þ C cos 2 x 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 1  x2

(

arcsin x þ C1

cos x dx ¼ sin x þ C ð

ð

 arccos x þ C2

ð

Z Z

1 dx ¼  cot x þ C sin 2 x 1 dx ¼ 1 þ x2

(

arctan x þ C1  arccot x þ C2

ð sinh x dx ¼ cosh x þ C

ð

ax þC ln a

ð sin x dx ¼  cos x þ C

ð

dx ¼ x þ C

1 dx ¼ ln j x j þ C x

ð

ð

ð

ð 1 dx ¼

1 dx ¼ tanh x þ C cosh 2 x

cosh x dx ¼ sinh x þ C ð

1 dx ¼  coth x þ C sinh 2 x

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arsinh x þ C ¼ ln  x þ x 2 þ 1  þ C x2 þ 1

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1    qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcosh j x j þ C ¼ ln x þ x 2  1  þ C x2  1 8   1 1þx > > > artanh x þ C1 ¼  ln þ C1 > > ð 2 1x < 1 fur € dx ¼   > 1  x2 > > 1 x þ1 > >  ln þ C2 : arcoth x þ C2 ¼ 2 x 1

ðj x j > 1Þ

jxj < 1

jxj > 1

Hinweis: Im Anhang befindet sich eine ausfu¨hrliche Integraltafel mit u¨ber 400 weiteren Integralen (gedruckt auf gelbem Papier).

150

V Integralrechnung

3 Integrationsmethoden

3.1 Integration durch Substitution 3.1.1 Allgemeines Verfahren Ð Das vorgegebene Integral f ðxÞ dx wird mit Hilfe einer geeigneten Substitution wie folgt in ein Grund- oder Stammintegral u¨bergefu¨hrt 1Þ : 1. Aufstellung der Substitutionsgleichungen: u ¼ g ðxÞ ;

du ¼ g 0 ðxÞ ; dx

dx ¼

du g 0 ðxÞ

2. Durchfu¨hrung der Integralsubstitution: ð ð f ðxÞ dx ¼ j ðuÞ du 3. Integration (Berechnung des neuen Integrals): ð j ðuÞ du ¼ FðuÞ ðmit F 0 ðuÞ ¼ j ðuÞÞ 4. Ru¨cksubstitution: ð ð f ðxÞ dx ¼ j ðuÞ du ¼ FðuÞ ¼ Fðg ðxÞÞ ¼ F ðxÞ Anmerkungen (1)

In bestimmten Fa¨llen ist es gu¨nstiger, die „Hilfsvariable“ u durch eine Substitution vom Typ x ¼ h ðuÞ einzufu¨hren. Die Substitutionsgleichungen lauten dann: x ¼ h ðuÞ ,

dx ¼ h 0 ðuÞ , du

dx ¼ h 0 ðuÞ du

(2)

Die Substitutionen u ¼ g ðxÞ und x ¼ h ðuÞ mu¨ssen monotone und stetig differenzierbare Funktionen sein.

(3)

Bei einem bestimmten Integral kann auf die Ru¨cksubstitution verzichtet werden, wenn man die Integrationsgrenzen mit Hilfe der Substitutionsgleichung u ¼ g ðxÞ bzw. x ¼ hðuÞ mitsubstituiert.

1Þ

Dies gelingt nicht immer im 1. Schritt. Gegebenenfalls muß das neue Integral nach einer anderen Integrationstechnik weiterbehandelt werden.

3 Integrationsmethoden

151

3.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen (Tabelle) Integraltyp ð ðAÞ

f ða x þ bÞ dx

Substitution

Neues Integral bzw. Lo¨sung

u ¼ ax þ b

1  a

dx ¼ ð ðBÞ

f ðxÞ  f 0 ðxÞ dx

du a

u ¼ f ðxÞ du dx ¼ 0 f ðxÞ

ð ðCÞ

½ f ðxÞ n  f 0 ðxÞ dx

ðn 6¼  1Þ ð ðDÞ

f ½ gðxÞ  g 0 ðxÞ dx

u ¼ f ðxÞ dx ¼

u ¼ g ðxÞ dx ¼

ð ðEÞ

f 0 ðxÞ dx f ðxÞ

ðFÞ



qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  R x ; a 2  x 2 dx

du f 0 ðxÞ

x ¼ a  sin u

dx ¼ a  cos u du qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R: Rationale Funktion qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2  x 2 ¼ a  cos u von x und a 2  x 2 ð ðGÞ



qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  R x ; x 2 þ a 2 dx

x ¼ a  sinh u

dx ¼ a  cosh u du qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R: Rationale Funktion qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 þ a 2 ¼ a  cosh u von x und x 2 þ a 2 ð ðHÞ



qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  R x ; x 2  a 2 dx

f ðuÞ du

x ¼ a  cosh u

dx ¼ a  sinh u du qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R: Rationale Funktion qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2  a 2 ¼ a  sinh u von x und x 2  a 2

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x þ 5 dx ðu ¼ 4 x þ 5Þ

1 ½ f ðxÞ 2 þ C 2

ð sin x  cos x dx ðu ¼ sin xÞ

1 ½ f ðxÞ nþ1 þ C nþ1

ð ðln xÞ 2 

1 dx x

ðu ¼ ln xÞ ð

ð 2

f ðuÞ du

du g 0 ðxÞ

u ¼ f ðxÞ dx ¼

ð

du f 0 ðxÞ

ð

Beispiel

x  e x dx ðu ¼ x 2 Þ

ln j f ðxÞ j þ C

ð

2x  3 dx x2  3x þ 1

ðu ¼ x 2  3x þ 1Þ ð

x3 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4  x2

ðx ¼ 2  sin uÞ ð

x2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx x2 þ 9

ðx ¼ 3  sinh uÞ ð

1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2 x  25

ðx ¼ 5  cosh uÞ

152

V Integralrechnung

Tabelle (Fortsetzung) Integraltyp

Substitution

ð ðIÞ

R ðsin x; cos xÞ dx R: Rationale Funktion von sin x und cos x

Neues Integral bzw. Lo¨sung

R ðsinh x ; cosh xÞ dx R: Rationale Funktion von sinh x und cosh x

&

ð

u ¼ tan ðx=2Þ dx ¼

2 du 1 þ u2

sin x ¼

2u 1 þ u2

cos x ¼

1  u2 1 þ u2

ð ðJÞ

Beispiel

u ¼ e x ; dx ¼

ð

du u

sinh x ¼

u2  1 2u

cosh x ¼

u2 þ 1 2u

1 þ cos x dx sin x

sinh x þ 1 dx cosh x

Beispiel p=2 Ð

sin 4 x  cos x dx ¼ ?

0

Integraltyp (C):

Ð

½ f ðxÞ n  f 0 ðxÞ dx

mit

du ¼ cos x ; dx

u ¼ sin x ;

Untere Grenze:

x ¼ 0

)

u ¼ sin 0 ¼ 0

Obere Grenze:

x ¼ p=2

)

u ¼ sin ðp=2Þ ¼ 1

p=2 ð

ð1 sin 4 x  cos x dx ¼

0

und

n ¼ 4

du dx ¼ cos x

Substitution:

Integration:

f 0 ðxÞ ¼ cos x

f ðxÞ ¼ sin x ,

u 4  cos x

du ¼ cos x

0



ð1 u 4 du ¼ 0

1 5 u 5

1 ¼ 0

1 1 0 ¼ 5 5

Alternative: Die Integrationsgrenzen werden nicht mitsubstituiert, die Integration zuna¨chst unbestimmt vorgenommen (Substitution u ¼ sin x wie oben). Dann wird ru¨cksubstituiert und mit der gewonnenen Stammfunktion das bestimmte Integral berechnet (die Integrationskonstante darf weggelassen werden). ð ð 1 5 1 u þC ¼ ðsin xÞ 5 þ C sin 4 x  cos x dx ¼ u 4 du ¼ 5 5 p=2 ð

sin 4 x  cos x dx ¼ 0

i 1 1 h 1 1 ðsin p=2Þ 5  ðsin 0 Þ 5 ¼ ½ ðsin xÞ 5  p=2 ¼ ð1  0Þ ¼ 5 5 5 5 |ffl{zffl} |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} 1

0 &

3 Integrationsmethoden

153

3.2 Partielle Integration (Produktintegration) Die Formel der partiellen Integration lautet: ð

u ðxÞ  v 0 ðxÞ dx ¼ u ðxÞ  v ðxÞ 

ð

u 0 ðxÞ  vðxÞ dx

Ð In vielen Fa¨llen la¨sst sich ein (unbestimmtes) Integral f ðxÞ dx mit Hilfe dieser Formel wie folgt lo¨sen. Der Integrand f ðxÞ wird in „geeigneter“ Weise in ein Produkt aus zwei Funktionen uðxÞ und v 0 ðxÞ zerlegt: f ðxÞ ¼ u ðxÞ  v 0 ðxÞ. Dabei ist v 0 ðxÞ die erste Ableitung einer zuna¨chst noch unbekannten Funktion vðxÞ. Dann gilt nach obiger Formel: ð

ð

uðxÞ  v 0 ðxÞ dx ¼ u ðxÞ  vðxÞ  |fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl}

ð

u 0 ðxÞ  vðxÞ dx

!

f ðxÞ dx ¼ |{z}

Zerlegung in ein Produkt

Die Integration gelingt, wenn sich eine Stammfunktion zum „kritischen“ Faktor v 0 ðxÞ angeben la¨sst und das neue „Hilfsintegral“ der rechten Seite elementar lo¨sbar ist. Anmerkungen (1) (2)

In einigen Fa¨llen muss man mehrmals hintereinander partiell integrieren, ehe man auf ein Grundintegral sto¨ßt. Die Formel der partiellen Integration gilt sinngema¨ß auch fu¨r bestimmte Integrale: ðb

u ðxÞ  v 0 ðxÞ dx ¼ ½ u ðxÞ  vðxÞ ba 

a

&

ðb

u 0 ðxÞ  vðxÞ dx

a

Beispiel Ð

x  cos x dx ¼ ?

Zerlegung des Integranden f ðxÞ ¼ x  cos x in zwei Faktoren u ðxÞ und v 0 ðxÞ: u ðxÞ ¼ x ;

v 0 ðxÞ ¼ cos x

)

u 0 ðxÞ ¼ 1 ;

v ðxÞ ¼ sin x

Partielle Integration: Ð Ð Ð x  cos x dx ¼ x  sin x  1  sin x dx ¼ x  sin x  sin x dx ¼ |{z} |fflffl{zfflffl} |{z} |fflffl{zfflffl} |{z} |fflffl{zfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} u v0 u v u0 v Grundintegral ¼ x  sin x  ð cos xÞ þ C ¼ x  sin x þ cos x þ C &

154

V Integralrechnung

3.3 Integration einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden Die Integration einer gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ geschieht nach dem folgenden Schema: 1. Ist die Funktion f ðxÞ unecht gebrochenrational, so wird sie zuna¨chst durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion p ðxÞ und eine echt gebrochenrationale Funktion rðxÞ zerlegt (siehe III.5.3): f ðxÞ ¼ pðxÞ þ r ðxÞ Diese Zerlegung entfa¨llt natu¨rlich bei einer echt gebrochenrationalen Funktion f ðxÞ. 2. Der echt gebrochenrationale Anteil r ðxÞ wird in Partialbru¨che zerlegt (siehe Partialbruchzerlegung, V.3.3.1). 3. Anschließend erfolgt die Integration des ganzrationalen Anteils p ðxÞ sowie sa¨mtlicher Partialbru¨che (siehe V.3.3.2). Die echt gebrochenrationale Funktion ist dann als Summe sa¨mtlicher Partialbru¨che darstellbar. Besitzt der Nenner N ðxÞ z. B. ausschließlich n verschiedene einfache Nullstellen x1 ; x2 ; . . . ; xn , so lautet die Partialbruchzerlegung wie folgt: r ðxÞ ¼

Z ðxÞ A1 A2 An þ þ ... þ ¼ N ðxÞ x  x1 x  x2 x  xn

N ðxÞ, Z ðxÞ: Nenner- bzw. Za¨hlerpolynom der echt gebrochenrationalen Funktion

3.3.1 Partialbruchzerlegung

Z ðxÞ ha¨ngt Die Partialbruchzerlegung einer echt gebrochenrationalen Funktion r ðxÞ ¼ N ðxÞ noch von der Art der Nennernullstellen ab. Wir unterscheiden zwei Fa¨lle: 1. Fall: Der Nenner N (x) besitzt ausschließlich reelle Nullstellen Jeder Nullstelle x1 des Nenners N ðxÞ wird nach dem folgenden Schema in eindeutiger Weise ein Partialbruch zugeordnet: x1 :

Einfache Nullstelle

!

A x  x1

x1 : .. .

Zweifache Nullstelle

!

A1 A2 þ x  x1 ðx  x1 Þ 2

x1 :

r-fache Nullstelle

!

A1 A2 Ar þ þ ... þ 2 x  x1 ðx  x1 Þ ðx  x1 Þ r

3 Integrationsmethoden

155

Berechnung der in den Partialbru¨chen auftretenden Konstanten: Alle Bru¨che werden zuna¨chst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht (Hauptnenner) und dann mit diesem Hauptnenner multipliziert. Durch Einsetzen bestimmter x-Werte (z. B. der Nullstellen des Nenners) erha¨lt man ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die noch unbekannten Konstanten berechnen lassen. Eine weitere Methode zur Bestimmung der Konstanten ist der Koeffizientenvergleich. &

Beispiel r ðxÞ ¼

Z ðxÞ  x 2 þ 2 x  17 ¼ 3 N ðxÞ x  7 x 2 þ 11 x  5

ðecht gebrochenrationale FunktionÞ

Nullstellen des Nenners: x 3  7 x 2 þ 11 x  5 ¼ 0

)

x1=2 ¼ 1 ;

x3 ¼ 5

Zuordnung der Partialbru¨che: x1=2 ¼ 1 ðzweifache NullstelleÞ :

A1 A2 þ x 1 ðx  1Þ 2

x3 ¼ 5

B x 5

ðeinfache NullstelleÞ :

Ansatz fu¨r die Partialbruchzerlegung:  x 2 þ 2 x  17  x 2 þ 2 x  17 A1 A2 B ¼ ¼ þ þ x 1 ðx  1Þ 2 x 3  7 x 2 þ 11 x  5 ðx  1Þ 2 ðx  5Þ x 5 Berechnung der Konstanten A1 ; A2 und B:  x 2 þ 2 x  17 A1 ðx  1Þ ðx  5Þ þ A2 ðx  5Þ þ B ðx  1Þ 2 ¼ ðx  1Þ 2 ðx  5Þ ðx  1Þ 2 ðx  5Þ

)

 x 2 þ 2 x  17 ¼ A1 ðx  1Þ ðx  5Þ þ A2 ðx  5Þ þ B ðx  1Þ 2 Wir setzen fu¨r x zweckma¨ßigerweise der Reihe nach die Werte 1, 5 und 0 ein: x ¼ 1

)

 16 ¼  4 A2

)

A2 ¼

x ¼ 5

)

 32 ¼ 16 B

)

B ¼ 2

x ¼ 0

)

4

 17 ¼ 5 A1  5 A2 þ B

)

 17 ¼ 5 A1  5  4  2

 17 ¼ 5 A1  22

)

5 A1 ¼ 5

)

)

A1 ¼ 1

Partialbruchzerlegung: x3

 x 2 þ 2 x  17 1 4 2  þ ¼ x 1 ðx  1Þ 2 x 5  7 x 2 þ 11 x  5 &

2. Fall: Der Nenner N (x) besitzt neben reellen auch komplexe Nullstellen Die komplexen Lo¨sungen der Gleichung N ðxÞ ¼ 0 treten immer paarweise, d. h. in konjugiert komplexer Form auf. Fu¨r zwei einfache konjugiert komplexe Nennernullstellen x1 und x2 lautet der Partialbruchansatz wie folgt: Bx þ C Bx þ C ¼ 2 ðx  x1 Þ ðx  x2 Þ x þ px þ q

156

V Integralrechnung

Dabei sind x1 und x2 die konjugiert komplexen Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x 2 þ p x þ q ¼ 0: Entsprechend lautet der Ansatz fu¨r mehrfache konjugiert komplexe Nullstellen: B1 x þ C1 B2 x þ C2 Br x þ Cr þ 2 þ ... þ 2 x2 þ px þ q ðx þ p x þ qÞ 2 ðx þ p x þ qÞ r (der Nenner N ðxÞ besitzt die jeweils r-fach auftretenden konjugiert komplexen Nullstellen x1 und x2 . Sie sind die Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x 2 þ p x þ q ¼ 0Þ: Die Berechnung der Konstanten erfolgt wie im 1. Fall. &

Beispiel r ðxÞ ¼

Z ðxÞ 3 x 2  11 x þ 15 ¼ 3 N ðxÞ x  4 x 2 þ 9 x  10

ðecht gebrochenrationale FunktionÞ

Nullstellen des Nenners: x 3  4 x 2 þ 9 x  10 ¼ 0

)

x1 ¼ 2 ;

x2=3 ¼ 1  2 j

Zuordnung der Partialbru¨che: x1 ¼ 2 ðreell; einfachÞ :

A1 x 2 Bx þ C x2  2x þ 5

x2=3 ¼ 1  2 j ðkonjugiert komplex; einfachÞ :

ðx2=3 ¼ 1  2 j sind die konjugiert komplexen Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x 2  2 x þ 5 ¼ 0, die beim Reduzieren der kubischen Gleichung N ðxÞ ¼ x 3  4 x 2 þ 9 x  10 ¼ 0 auftritt) Ansatz fu¨r die Partialbruchzerlegung: x3

3 x 2  11 x þ 15 3 x 2  11 x þ 15 A Bx þ C ¼ ¼ þ 2  4 x 2 þ 9 x  10 ðx  2Þ ðx 2  2 x þ 5Þ x 2 x  2x þ 5

Berechnung der Konstanten A; B und C: 3 x 2  11 x þ 15 A ðx 2  2 x þ 5Þ þ ðB x þ CÞ ðx  2Þ ¼ 2 ðx  2Þ ðx  2 x þ 5Þ ðx  2Þ ðx 2  2 x þ 5Þ

)

3 x 2  11 x þ 15 ¼ A ðx 2  2 x þ 5Þ þ ðB x þ CÞ ðx  2Þ Wir setzen fu¨r x zweckma¨ßigerweise der Reihe nach die Werte 2, 1 und 0 ein: x ¼ 2

)

x ¼ 1

)

x ¼ 0

)

5 ¼ 5A 7 ¼ 4A  B  C 15 ¼ 5 A  2 C

)

A ¼ 1

)

B ¼ 2;

) C ¼ 5

Partialbruchzerlegung: x3

3 x 2  11 x þ 15 1 2x  5 ¼ þ 2  4 x 2 þ 9 x  10 x 2 x  2x þ 5 &

3 Integrationsmethoden

157

3.3.2 Integration der Partialbru¨che Bei der Integration der Partialbru¨che treten insgesamt vier verschiedene Integraltypen auf. Bei reellen Nullstellen des Nenners N (x) ð ð

&

9 > > > > =

dx ¼ ln j x  x1 j þ C1 x  x1

> > > ðr  2Þ > ;

dx 1 ¼ þ C2 r ðx  x1 Þ ð1  rÞ ðx  x1 Þ r  1 Beispiel ð

 x 2 þ 2 x  17 dx ¼ ? x 3  7 x 2 þ 11 x  5

jeweils gelost € durch die Substitution u ¼ x  x1

ðecht gebrochenrationale FunktionÞ

Partialbruchzerlegung des Integranden (siehe 1. Beispiel aus V.3.3.1): x3

 x 2 þ 2 x  17 1 4 2 ¼  þ  7 x 2 þ 11 x  5 x 1 ðx  1Þ 2 x 5

Integration der Partialbru¨che: ð ð ð ð  x 2 þ 2 x  17 dx dx dx 2 dx ¼ þ4 ¼ 3 2 2 x  7 x þ 11 x  5 ðx  1 Þ x 1 x 5 ¼ ln j x  1 j  (Substitutionen u ¼ x  1

bzw.

4  2  ln j x  5 j þ C x 1

v ¼  5 grau unterlegt) &

Bei konjugiert komplexen Nullstellen des Nenners N (x) Im Falle einfacher konjugiert komplexer Nullstellen: ð

Bx þ C B  ln j x 2 þ p x þ q j þ dx ¼ x2 þ px þ q 2 1 0

0

1

B 2C  Bp C B 2x þ p C þ @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A  arctan @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A þ C3 4q  p2 4q  p2

Die bei mehrfachen konjugiert komplexen Nullstellen des Nenners auftretenden Integrale vom ð ð dx x dx bzw. mit r  2 entnimmt man der Typ ðx 2 þ p x þ qÞ r ðx 2 þ p x þ qÞ r Integraltafel im Anhang (falls p 6¼ 0 ! Integrale (63) bis (70); falls p ¼ 0 ! Integrale (29) bis (34)).

158

V Integralrechnung

3.4 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden Der Integrand f ðxÞ des bestimmten oder unbestimmten Integrals wird in eine Potenzreihe entwickelt und anschließend gliedweise integriert ( Voraussetzung: Der Integrationsbereich liegt innerhalb des Konvergenzbereiches der Reihe). &

Beispiel Ð1

cos

pffiffiffi

x dx ¼ ?

0

Potenzreihe (Mac Laurinsche Reihe) fu¨r cos z (siehe VI.3.4): cos z ¼ 1  Substitution z ¼ cos

z2 z4 z6 þ  þ  ... 2! 4! 6!

ðj z j < 1Þ

pffiffiffi x:

pffiffiffi

x x2 x3  þ  ... þ x ¼ 1 4! 6! 2!

ðx  0Þ

Gliedweise Integration: ð1 cos 0

 ð1  pffiffiffi

x x2 x3 þ x dx ¼ 1  þ  . . . dx ¼ 2! 4! 6! 0

 ¼ x  ¼ 1

1 x2 x3 x4 þ  þ  ... ¼ 2  2! 3  4! 4  6! 0

1 1 1 þ  þ  . . . 0;763 ðauf drei Nachkommastellen genauÞ 2  2! 3  4! 4  6! &

3.5 Numerische Integration 3.5.1 Trapezformel Die Fla¨che unter der Kurve y ¼ f ðxÞ wird zuna¨chst in n Streifen gleicher Breite h zerlegt, dann wird in jedem Streifen die krummlinige Begrenzung durch die Sekante ersetzt (der „Ersatzstreifen“ besitzt die Form eines Trapezes, im Bild grau unterlegt): y y = f(x) P0 P1 y0

y1

Pn–1 Pn–2

Pn

P2 y2

h h x2 x0 = a x 1

yn–2 h xn–2

yn–1

yn

h xn–1 xn= b

x

Die nachfolgende Trapezformel gilt unabha¨ngig von dieser geometrischen Deutung (sofern das Integral existiert).

3 Integrationsmethoden



ðb f ðxÞ dx a

1 1 y0 þ y1 þ y2 þ . . . þ yn  1 þ yn 2 2

 ¼

159



1 ð y0 þ yn Þ þ ð y1 þ y2 þ . . . þ yn  1 Þ 2 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S1 S2

h ¼ 

 h ¼

1  S1 þ S2 2

 h

Streifenbreite (Schrittweite): h ¼ ðb  aÞ=n Stu¨tzstellen: x k ¼ a þ k  h o k ¼ 0; 1; 2; . . . ; n Stu¨tzwerte: yk ¼ f ðx k Þ

3.5.2 Simpsonsche Formel Die Fla¨che unter der Kurve y ¼ f ðxÞ wird in 2 n, d. h. in eine gerade Anzahl „einfacher“ Streifen gleicher Breite h zerlegt. In jedem der insgesamt n „Doppelstreifen“ (er besteht aus zwei aufeinanderfolgenden „einfachen“ Streifen, die im Bild grau unterlegt sind) ersetzt man dann die krummlinige Begrenzung durch eine Parabel: y y = f(x) P0

y1

h x0 = a

y2 h

x1

P2n

P2

P1 y0

P2n–1 P2n–2

y2n–2 y2n–1 y2n h

x2

h

x2n–2 x2n–1 x2n = b

x

ðb f ðxÞ dx ð y0 þ 4 y1 þ 2 y2 þ 4 y3 þ . . . þ 2 y2 n  2 þ 4 y2 n  1 þ y 2 n Þ a

h ¼ 3

  h ¼ ¼ ð y0 þ y2 n Þ þ 4 ð y1 þ y3 þ . . . þ y2 n  1 Þ þ 2 ð y2 þ y4 þ . . . þ y2 n  2 Þ |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 3 S0 S1 S2   h ¼ S0 þ 4  S1 þ 2  S2 3

Breite eines einfachen Streifens (Schrittweite): h ¼ ðb  aÞ=2 n Stu¨tzstellen: x k ¼ a þ k  h o k ¼ 0; 1; 2; . . . ; 2 n Stu¨tzwerte: yk ¼ f ðx k Þ

160

V Integralrechnung

Beim Simpsonverfahren muss die Anzahl der Stu¨tzpunkte Pk ¼ ðxk ; yk Þ ungerade sein. Die Simpsonsche Formel gilt unabha¨ngig von der geometrischen Deutung (sofern das Integral existiert). Fehlerabscha¨tzung Voraussetzung: 2 n ist durch 4 teilbar 1 ðIh  I2 h Þ 15

DI

Na¨herungswert bei der Streifenbreite h Ih : I2 h : Na¨herungswert bei doppelter Streifenbreite 2 h Gegenu¨ber Ih verbesserter Wert: Iv ¼ Ih þ DI

&

Beispiel Ð1

e  x dx ¼ ? 2

0

Wir wa¨hlen 2 n ¼ 4 und somit h ¼ 0;25. k

xk

Erstrechnung ðh ¼ 0;25Þ

Zweitrechnung ðh* ¼ 2 h ¼ 0;5Þ

yk ¼ e  x k

yk ¼ e  x k

2

0 1 2 3 4

0 0,25 0,5 0,75 1

2

1

1 0,939 413 0,778 801

0,778 801

0,569 783 0,367 879

0,367 879

1,367 879 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S0

1,509 196 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S1

Ih ¼ ðS0 þ 4  S1 þ 2  S2 Þ

0,778 801 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S2

1,367 879 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S *0

0,778 801 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} S *1

0 |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} S *2

h 0;25 ¼ ð1;367 879 þ 4  1;509 196 þ 2  0;778 801Þ ¼ 0; 746 855 3 3

h* 0;5 I 2 h ¼ I * ¼ ðS *0 þ 4  S *1 þ 2  S *2 Þ ¼ ð1;367 879 þ 4  0;778 801 þ 2  0Þ ¼ 0; 747 181 h 3 3 Fehlerabscha¨tzung:

DI ¼

Verbesserter Integralwert:

1 1 ðIh  I2 h Þ ¼ ð0,746 855  0,747 181Þ ¼  2;2  10  5 15 15 Ð1 0

e  x dx Iv ¼ Ih þ DI ¼ 0,746 855  0,000 022 ¼ 0;746 833 2

&

3 Integrationsmethoden

161

3.5.3 Romberg-Verfahren Romberg-Schema Nach bestimmten (weiter unten beschriebenen) Rechenvorschriften werden fu¨r das gesuchte Ðb bestimmte Integral f ðxÞ dx zuna¨chst Folgen von Na¨herungswerten Ti; k berechnet und a

wie folgt im sog. Romberg-Schema angeordnet: T0; 1  Ý T1; 2 T1; 1 Ý T T2; 3 T2; 1 2; 2 Ý T3; 2 T3; 3 T3; 4 T3; 1 .. .. .. ..  . . . . Ý TN; 1

TN; 2

TN; 3

1. Index:

Zeilenindex

2. Index:

Spaltenindex

TN; 4

TN; N þ 1

Dann gilt na¨herungsweise: ða f ðxÞ dx ¼ TN; N þ 1 b

Anmerkungen (1) (2)

Jede der Spalten konvergiert fu¨r N ! 1 gegen den gesuchten Integralwert, ebenso die durch Pfeile gekennzeichnete Diagonalfolge. Die Rechnung ist abzubrechen, wenn sich zwei benachbarte Elemente einer Spalte innerhalb der gewu¨nschten Stellenzahl nicht mehr voneinander unterscheiden.

Berechnung der Elemente T i, 1 aus Spalte 1 (i = 0, 1, . . . , N) Das Integrationsintervall a  x  b wird der Reihe nach in 1; 2; 4; 8; . . . ; 2 N Teilintervalle gleicher La¨nge zerlegt (Prinzip der fortlaufenden Halbierung der Schrittweite). Mit der Trapezformel aus V.3.5.1 werden dann fu¨r diese Zerlegungen Na¨herungswerte Ðb Ti; 1 fu¨r das Integral f ðxÞ dx berechnet, die die Elemente der 1. Spalte bilden (grau a

unterlegt). Der Zeilenindex i kennzeichnet dabei die Anzahl der Teilintervalle (2 i Teilintervalle).

162

V Integralrechnung

Die Berechnungsformeln lauten: ba ½ f ðaÞ þ f ðbÞ 2    1 ba ¼ T0; 1 þ ðb  aÞ  f a þ 2 2        1 ba ba 3 ðb  aÞ T1; 1 þ f aþ þf aþ ¼ 2 2 4 4

T0; 1 ¼ T1; 1 T2; 1 .. . Ti; 1

2 1 4 ba Ti  1; 1 þ ði  1Þ  ¼ 2 2

P

2 ð i  1Þ

j¼1

3  ð2 j  1Þ ðb  aÞ 5 f aþ 2i 

ði ¼ 1; 2; . . . ; NÞ

Aus diesen Elementen lassen sich alle u¨brigen Elemente berechnen. Berechnung der Elemente T i, 2 aus Spalte 2 (i = 1, 2, . . . , N) Die Berechnung dieser Elemente erfolgt aus den Elementen der 1. Spalte nach der Formel Ti; 2 ¼

4  Ti; 1  Ti  1; 1 3

ði ¼ 1; 2; . . . ; NÞ

Berechnung der Elemente T i, 3 aus Spalte 3 (i = 2, 3, . . . , N) Die Berechnung dieser Elemente erfolgt aus den Elementen der 2. Spalte nach der Formel Ti; 3 ¼

16  Ti; 2  Ti  1; 2 15

ði ¼ 2; 3; . . . ; NÞ

Berechnung der Elemente T i, k aus Spalte k (k = 2, 3, . . . , N + 1; i = k – 1, k, . . . , N) Die Berechnung dieser Elemente erfolgt aus den Elementen der ðk  1Þ-ten Spalte nach der Formel Ti; k ¼

4 ðk  1Þ  Ti; k  1  Ti  1; k  1 4 ð k  1Þ  1

ðk ¼ 2; 3; . . . ; N þ 1; i ¼ k  1; k; . . . ; NÞ

(allgemeine Romberg-Formel).

&

Beispiel Wir berechnen das Integral

Ð1 0

e  x dx fu¨r N ¼ 3, d. h. fu¨r Zerlegungen in 1, 2, 4 und 8 Teilintervalle. 2

3 Integrationsmethoden

163

Mit a ¼ 0, b ¼ 1 und f ðxÞ ¼ e  x

2

erhalten wir:

Berechnung der Elemente Ti; 1 ði ¼ 0; 1; 2; 3Þ T0; 1 ¼

1 1 ½ f ð0Þ þ f ð1Þ ¼ ðe 0 þ e  1 Þ ¼ 0;683 940 2 2

1 1 ½ T0; 1 þ f ð0;5Þ ¼ ð0;683 940 þ e  0;25 Þ ¼ 0;731 370 2 2     1 1 1 1 T1; 1 þ f f ð0;25Þ þ f ð0;75Þg ¼ 0;731 370 þ ðe  0;0625 þ e  0;5625 Þ ¼ 0;742 984 ¼ 2 2 2 2   1 1 ¼ T2; 1 þ f f ð0;125Þ þ f ð0;375Þ þ f ð0; 625Þ þ f ð0; 875Þg ¼ 2 4   1 1 0;742 984 þ ðe  0;015 625 þ e  0;140 625 þ e  0;390 625 þ e  0;765 625 Þ ¼ 0;745 866 ¼ 2 4

T1; 1 ¼ T2; 1 T3; 1

Berechnung der Elemente Ti; 2 ði ¼ 1; 2; 3Þ T1; 2 ¼

4  T1; 1  T0; 1 4  0;731 370  0;683 940 ¼ ¼ 0; 747 180 3 3

T2; 2 ¼

4  T2; 1  T1; 1 4  0;742 984  0;731 370 ¼ ¼ 0; 746 855 3 3

T3; 2 ¼

4  T3; 1  T2; 1 4  0;745 866  0;742 984 ¼ 0; 746 827 ¼ 3 3

Berechnung der Elemente Ti; 3 ði ¼ 2; 3Þ T2; 3 ¼

16  T2; 2  T1; 2 16  0;746 855  0;747 180 ¼ 0; 746 833 ¼ 15 15

T3; 3 ¼

16  T3; 2  T2; 2 16  0;746 827  0;746 855 ¼ 0; 746 825 ¼ 15 15

Berechnung des Elementes T3; 4 T3; 4 ¼

64  T3; 3  T2; 3 64  0;746 825  0;746 833 ¼ 0; 746 825 ¼ 63 63

Romberg-Schema k 1

i

Ð1

2

3

4

 Ý

0

0,683 940

1

0,731 370

0,747 180

2

0,742 984

0,746 855

3

0,745 866

0,746 827

 Ý

0,746 833

 Ý

0,746 825

0,746 825

e  x dx 0;746 825 2

0

Exakter Wert (auf 6 Dezimalstellen nach dem Komma genau):

0,746 824

&

164

V Integralrechnung

4 Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale werden durch Grenzwerte erkla¨rt. Ist der jeweilige Grenzwert vorhanden, so heißt das uneigentliche Integral konvergent, sonst divergent.

4.1 Unendliches Integrationsintervall Die Integration erfolgt u¨ber ein unendliches Intervall. Man setzt (falls der Grenzwert vorhanden ist; l > a): 1 ð

y = f(x)

ðl f ðxÞ dx ¼ lim

f ðxÞ dx

l!1

a

a

Analog:

Ða 1

&

y

Beispiel 1 Ð

l

a

f ðxÞ dx ;

1 Ð 1

x

f ðxÞ dx

e  x dx ¼ ?

0

Integration von x ¼ 0 bis x ¼ l ðl > 0Þ: I ðlÞ ¼

Ðl

e  x dx ¼ ½  e  x  l0 ¼  e  l þ e 0 ¼ 1  e  l

0

Grenzu¨bergang l ! 1: lim I ðlÞ ¼ lim

l!1

Ðl

l!1 0

e  x dx ¼ lim ð1  e  l Þ ¼ 1  0 ¼ 1 l!1

Das uneigentliche Integral ist somit konvergent und besitzt den Wert 1. &

4.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol) Der Integrand f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ b einen Pol. Man setzt (falls der Grenzwert vorhanden ist; a < l < b): ðl

ðb f ðxÞ dx ¼ lim

y = f(x)

f ðxÞ dx

l!b

a

y

b

a

a

l

b

x

5 Anwendungen der Integralrechnung &

165

Beispiel ð1 0

dx qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ? 1  x2

Integration von x ¼ 0 bis x ¼ l ð0 < l < 1Þ: ðl I ðlÞ ¼ 0

dx qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ½ arcsin x l0 ¼ arcsin l  arcsin 0 ¼ arcsin l |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} 1  x2 0

Grenzu¨bergang l ! 1: ðl lim I ðlÞ ¼ lim

l!1

l!1 0

dx p qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ lim ð arcsin lÞ ¼ arcsin 1 ¼ 2 l!1 2 1x

Das uneigentliche Integral ist somit konvergent und hat den Wert p=2. &

5 Anwendungen der Integralrechnung 5.1 Integration der Bewegungsgleichung Aus der Beschleunigungs-Zeit-Funktion a ¼ a ðtÞ einer geradlinigen Bewegung erha¨lt man durch ein- bzw. zweimalige Integration bezu¨glich der Zeitvariablen t den zeitlichen Verlauf von Geschwindigkeit v und Weg s: v ¼ vðtÞ ¼

Ð

s ¼ sðtÞ ¼

a ðtÞ dt

Ð

vðtÞ dt

Die Integrationskonstanten werden i. Allg. durch Anfangswerte festgelegt: s ð0Þ ¼ s0 : vð0Þ ¼ v0 :

Anfangsweg (Wegmarke zur Zeit t ¼ 0) Anfangsgeschwindigkeit (Geschwindigkeit zur Zeit t ¼ 0Þ

5.2 Arbeit einer ortsabha¨ngigen Kraft (Arbeitsintegral) ~¼ F ~ðsÞ geradlinig von s1 Ein Massenpunkt m wird durch eine ortsabha¨ngige Kraft F nach s2 verschoben. Die dabei verrichtete Arbeit betra¨gt:

W ¼

ðs2 s1

Fs ðsÞ: s: ds:

F

ðs2

~  d~ F s ¼ Fs ðsÞ ds s1

Skalare ortsabha¨ngige Kraftkomponente in Richtung des Weges Ortskoordinate (Wegmarke) Wegelement

m s1

FS(s) ds

s2

s

166

V Integralrechnung

5.3 Lineare und quadratische Mittelwerte einer Funktion 5.3.1 Linearer Mittelwert

ylinear

1 ¼  ba

ðb f ðxÞ dx a

Geometrische Deutung: Die Fla¨che unter der Kurve y ¼ f ðxÞ im Intervall a  x  b entspricht dem Fla¨cheninhalt eines Rechtecks mit den Seitenla¨ngen b  a und ylinear (Voraussetzung: Die Kurve verla¨uft oberhalb der x-Achse). Allgemein ist der lineare Mittelwert eine Art mittlere Ordinate der Kurve y ¼ f ðxÞ im Intervall a  x  b.

y y = f(x)

ylinear b

a

x

5.3.2 Quadratischer Mittelwert

yquadratisch

vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u ðb u u 1  ½ f ðxÞ 2 dx ¼ t ba a

5.3.3 Zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion y ¼ f ðtÞ ist eine zeitabha¨ngige periodische Funktion mit der Periodendauer T. ylinear

ðTÞ:

1  ¼ T

ð f ðtÞ dt

yquadratisch

ðTÞ

vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi u1 ð u 2 ¼ t  ½ f ðtÞ dt T ðTÞ

Integration u¨ber eine Periodendauer T

Hinweis: Bei Wechselstro¨men und Wechselspannungen werden die quadratischen Mittelwerte als Effektivwerte (von Strom bzw. Spannung) bezeichnet.

5.4 Fla¨cheninhalt In kartesischen Koordinaten

y y0 = f0(x)

ðb A ¼

ð yo  yu Þ dx

A

a

yu = fu(x)

yo ¼ fo ðxÞ: yu ¼ fu ðxÞ:

Obere Randkurve Untere Randkurve

a

b

x

5 Anwendungen der Integralrechnung

167

Hinweis: Die Integralformel gilt nur unter der Voraussetzung, dass sich die beiden Randkurven im Intervall a  x  b nicht durchschneiden ð yo  yu Þ. Anderenfalls muss die Fla¨che (z. B. anhand einer Skizze) so in Teilfla¨chen zerlegt werden, dass die Formel fu¨r jeden Teilbereich anwendbar ist. y

Spezialfall: yu ¼ fu ðxÞ ¼ 0 (x-Achse) y = f(x)

ðb A ¼

ðb y dx ¼

a

f ðxÞ dx

A

a

y ¼ f ðxÞ:

In der Parameterform

b

a

Obere Randkurve

y

x

t2

x = x(t) y = y(t)

ðt2

t1

y x_ dt

A ¼

A

t1

x ¼ x ðtÞ



y ¼ y ðtÞ x_ ¼

x(t1)

Parametergleichungen

x(t2)

x

der oberen Randkurve

dx dt

Leibnizsche Sektorformel

1 A ¼ 2

 t2  ð     ðx y_  y x_ Þ dt     

y t1

A

x = x(t), y = y(t) t2

t1

x ¼ x ðtÞ y ¼ y ðtÞ x_ ¼

dx ; dt



x

Parametergleichungen der oberen Randkurve

y_ ¼

dy dt

168

V Integralrechnung

In Polarkoordinaten

y

j2

1  A ¼ 2

r = r( f)

ð

f = f2

2

r dj

A

j1

r ¼ r ðjÞ:

f = f1

Randkurve in Polarkoordinaten

x

5.5 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fla¨che 1  xS ¼ A

ðb

1  yS ¼ 2A

x ð yo  yu Þ dx ; a

ðb ð y 2o  y 2u Þ dx a

yo ¼ fo ðxÞ:

Obere Randkurve

yu ¼ fu ðxÞ:

Untere Randkurve

A:

Fla¨cheninhalt (siehe V.5.4)

y y0 = f0(x) S

yS

Multipliziert man die Formeln mit der Fla¨che A, so erha¨lt man die statischen Momente Mx und My der Fla¨che bezogen auf die xbzw. y-Achse:

1  Mx ¼ A  ys ¼ 2

yu = fu(x) a

xS

ðb

x

b

ðb ð yo2



yu2

Þ dx

My ¼ A  xs ¼

a

x ð yo  yu Þ dx a

Teilschwerpunktsatz Der Schwerpunkt S der Fla¨che A liegt auf der Verbindungslinie der beiden Teilfla¨chenschwerpunkte S1 und S2 : A xS ¼ A1 xS1 þ A2 xS2

y

A yS ¼ A1 yS1 þ A2 yS2 A ¼ A1 þ A2 : Fla¨che Teilfla¨chen von A A1 ; A2 : S ¼ ðxS ; yS Þ: Schwerpunkt der Fla¨che A S1 ¼ ðxS1 ; yS1 Þ: Schwerpunkt der Teilfla¨che A1 S2 ¼ ðxS2 ; yS2 Þ: Schwerpunkt der Teilfla¨che A2

S

S2 A2

S1

A1 x

5 Anwendungen der Integralrechnung

169

5.6 Fla¨chentra¨gheitsmomente (Fla¨chenmomente 2. Grades) Ix ; Iy :

Axiale oder a¨quatoriale Fla¨chenmomente 2. Grades bezu¨glich der x- bzw. y-Achse

Ip :

Polares Fla¨chenmoment 2. Grades bezu¨glich des Nullpunktes

1 Ix ¼  3

ðb ð yo3  yu3 Þ dx

y y0 = f0(x)

a

ðb Iy ¼

x 2 ð yo  yu Þ dx a

yu = fu(x)

Ip ¼ Ix þ Iy a

yo ¼ fo ðxÞ:

Obere Randkurve

yu ¼ fu ðxÞ:

Untere Randkurve

b

x

Schwerpunktachse

Satz von Steiner I ¼ IS þ A d 2 S

A

I:

Fla¨chenmoment bezu¨glich der gewa¨hlten Bezugsachse

IS :

Fla¨chenmoment bezu¨glich der zur Bezugsachse parallelen Schwerpunktachse

A:

Fla¨che

d:

Abstand zwischen Bezugs- und Schwerpunktachse

Bezugsachse d

5.7 Bogenla¨nge einer ebenen Kurve In kartesischen Koordinaten ðb qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s ¼ 1 þ ð y 0 Þ 2 dx

y Q P

s

y = f(x)

a

y0 ¼

dy ¼ f 0 ðxÞ dx

a

b

x

170

V Integralrechnung

In der Parameterform ðt2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx_ Þ 2 þ ðy_Þ 2 dt s ¼

y t2 t1

x = x(t)

s

y = y(t)

t1

x ¼ x ðtÞ



Parametergleichungen

y ¼ y ðtÞ x_ ¼

dx ; dt

der Kurve y_ ¼

x(t1)

x(t2)

f = f2

s

x

dy dt

In Polarkoordinaten y

j2

ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r 2 þ ðr_Þ 2 dj s ¼

r = r ( f)

j1

r ¼ r ðjÞ: r_ ¼

f = f1

Kurve in Polarkoordinaten

dr dj

x

5.8 Volumen eines Rotationsko¨rpers (Rotationsvolumen) In kartesischen Koordinaten

y y = f(x)

Rotation um die x-Achse ðb Vx ¼ p 

y 2 dx

a

x

b

a

y ¼ f ðxÞ:

Rotierende Kurve

Rotation um die y-Achse

y

ðd Vy ¼ p 

x 2 dy

d

c

x ¼ gð yÞ:

x = g(y)

Rotierende Kurve (in der nach x aufgelo¨sten Form) c

x

5 Anwendungen der Integralrechnung

171

In der Parameterform Rotation um die x-Achse y

ð

t1

y 2 x_ dt

Vx ¼ p 

t2

x = x(t) y = y(t)

t2

t1

x ¼ x ðtÞ



x

Parametergleichungen

y ¼ y ðtÞ

der rotierenden Kurve

dx x_ ¼ dt

y

Rotation um die y-Achse ðt2 Vy ¼ p 

t2

x 2 y_ dt t1

x ¼ x ðtÞ



x = x(t) y = y(t)

Parametergleichungen

y ¼ y ðtÞ

der rotierenden Kurve

t1

dy y_ ¼ dt

x

5.9 Mantelfla¨che eines Rotationsko¨rpers (Rotationsfla¨che) Rotation um die x-Achse y

ðb Mx ¼ 2 p 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y 1 þ ð y 0 Þ 2 dx

y = f(x)

a

y ¼ f ðxÞ: y0 ¼

Rotierende Kurve

dy ¼ f 0 ðxÞ dx

a

b

x

172

V Integralrechnung

Rotation um die y-Achse ðd My ¼ 2 p 

x

y

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ ðx 0 Þ 2 dy

d

c

x ¼ gð yÞ: x0 ¼

x = g(y)

Rotierende Kurve (in der nach x aufgelo¨sten Form) c

dx ¼ g 0 ð yÞ dy

x

5.10 Schwerpunkt eines homogenen Rotationsko¨rpers Rotation um die x-Achse

y y = f(x)

xS ¼

p  Vx

ðb x y 2 dx a

yS ¼ 0 ;

zS ¼ 0

y ¼ f ðxÞ:

Rotierende Kurve

Vx :

Rotationsvolumen (siehe V.5.8)

Rotation um die y-Achse p  yS ¼ Vy xS ¼ 0 ; x ¼ gð yÞ: Vy :

ðd y x 2 dy

S xS

a

x

b

y

d

c

zS ¼ 0 Rotierende Kurve (in der nach x aufgelo¨sten Form) Rotationsvolumen (siehe V.5.8)

yS S

x = g(y)

c

x

5 Anwendungen der Integralrechnung

173

5.11 Massentra¨gheitsmoment eines homogenen Ko¨rpers Allgemeine Definition ð

ð r dm ¼ r 

J ¼

2

ðmÞ

ðVÞ



dm:

Massenelement

dV :

Volumenelement

r:

Senkrechter Abstand des Massenbzw. Volumenelementes von der gewa¨hlten Bezugsachse

r:

Bezugsachse

r 2 dV

dm ¼ r dV

dm r

Körper der Masse m = rV

Dichte des homogenen Ko¨rpers

Hinweis: Siehe hierzu auch IX.3.2.4.3 (Dreifachintegral)

Satz von Steiner Schwerpunktachse

J ¼ JS þ m d 2 J:

Massentra¨gheitsmoment bezu¨glich der gewa¨hlten Bezugsachse

JS :

Massentra¨gheitsmoment bezu¨glich der zur Bezugsachse parallelen Schwerpunktachse

m:

Masse des Ko¨rpers

d:

Abstand zwischen Bezugs- und Schwerpunktachse

Bezugsachse

S

Körper der Masse m

d

Massentra¨gheitsmoment eines Rotationsko¨rpers Rotation um die x-Achse ð¼ BezugsachseÞ 1 Jx ¼ p r  2

y y = f(x)

ðb 4

y dx a

y ¼ f ðxÞ: r:

Rotierende Kurve Dichte des homogenen Rotationsko¨rpers

a

b

x

174

V Integralrechnung y

Rotation um die y-Achse ð¼ BezugsachseÞ 1 Jy ¼ p r  2

d

ðd x 4 dy

x = g(y)

c

x ¼ gð yÞ: r:

Rotierende Kurve (in der nach x aufgelo¨sten Form) Dichte des homogenen Rotationsko¨rpers

c

x

175

VI Unendliche Reihen, Taylorund Fourier-Reihen

1 Unendliche Reihen

1.1 Grundbegriffe 1.1.1 Definition einer unendlichen Reihe Aus den Gliedern einer unendlichen Zahlenfolge han i ¼ a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . werden wie folgt Partial- oder Teilsummen sn gebildet: sn ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼

n P k¼1

ak

(n-te Partialsumme)

Die Folge hsn i dieser Partialsummen heißt „Unendliche Reihe“. Symbolische Schreibweise: 1 P n¼1

an ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an þ . . .

Bildungsgesetz einer unendlichen Reihe: an ¼ f ðnÞ

mit

n 2 N*

1.1.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe Besitzt die Folge der Partialsummen sn einen Grenzwert s, lim sn ¼ s, so heißt die n!1 1 P unendliche Reihe an konvergent mit dem Summenwert s. Symbolische Schreibweise: n¼1

1 P n¼1

an ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an þ . . . ¼ s

Besitzt die Partialsummenfolge keinen Grenzwert, so heißt die unendliche Reihe divergent. 1 P an heißt absolut konvergent, wenn die aus den Betra¨gen ihrer Eine unendliche Reihe Glieder gebildete Reihe

n¼1 1 P

n¼1

j an j konvergiert. Eine absolut konvergente Reihe ist immer

konvergent. Eine Reihe mit dem „Summenwert“ s ¼ þ 1 oder s ¼  1 heißt bestimmt divergent.

176

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

1.2 Konvergenzkriterien Die Bedingung lim an ¼ 0 ist zwar notwendig, nicht aber hinreichend fu¨r die Konvern!1 1 P an . Die Reihenglieder einer konvergenten Reihe mu¨ssen also (notgenz der Reihe n¼ 1

wendigerweise) eine Nullfolge bilden. &

Beispiel

1 P

Die unendliche Reihe

n¼1

ð1 þ 0;1 n ) divergiert, da die Reihenglieder wegen

lim ð1 þ 0;1 n Þ ¼ 1 6¼ 0

n!1

keine Nullfolge bilden. &

Die nachfolgenden Kriterien stellen hinreichende (aber nicht notwendige) Konvergenzbedingungen dar. Sie ermo¨glichen in vielen Fa¨llen eine Entscheidung daru¨ber, ob eine vorgegebene Reihe konvergiert oder divergiert. Der Summenwert einer konvergenten Reihe la¨sst sich jedoch nur in einfachen Fa¨llen exakt bestimmen. Na¨herungswerte erha¨lt man (wenn auch meist sehr mu¨hsam) durch gliedweises Aufaddieren der Reihenglieder bis zum Erreichen der gewu¨nschten Genauigkeit.

1.2.1 Quotientenkriterium    an þ 1   ¼ q < 1 lim  n!1 an 

ðKonvergenz; an 6¼ 0Þ

Fu¨r q > 1 divergiert die Reihe, fu¨r q ¼ 1 versagt das Kriterium, d. h. eine Entscheidung u¨ber Konvergenz oder Divergenz ist anhand dieses Kriteriums nicht mo¨glich. &

Beispiel Wir zeigen mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass die folgende Reihe konvergiert: 1þ Mit an ¼

1 1 1 1 1 þ þ þ ... þ þ þ ... 1! 2! 3! n! ðn þ 1Þ !

1 n!

und

an þ 1 ¼

1 ðn þ 1Þ !

folgt unter Beachtung von ðn þ 1Þ ! ¼ n ! ðn þ 1Þ:

1    an þ 1  n! n! 1 ðn þ 1Þ !   ¼ lim ¼ lim ¼ lim ¼ lim ¼ 0 lim 1 n ! 1  an  n!1 n ! 1 ðn þ 1Þ ! n ! 1 n ! ðn þ 1Þ n!1 n þ 1 n! Wegen q ¼ 0 < 1 konvergiert die Reihe. &

1 Unendliche Reihen

177

1.2.2 Wurzelkriterium lim

n!1

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi n j an j ¼ q < 1

ðKonvergenzÞ

Fu¨r q > 1 divergiert die Reihe, fu¨r q ¼ 1 versagt das Kriterium, d. h. eine Entscheidung u¨ber Konvergenz oder Divergenz ist anhand dieses Kriteriums nicht mo¨glich. &

Beispiel Wir untersuchen die unendliche Reihe

1  n P 2 n¼1

lim

n!1

p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi n j an j ¼ lim

n!1

n

mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz:

s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi    2 n 2 n ¼ lim ¼ 0 n!1 n n

Die Reihe ist somit wegen q ¼ 0 < 1 konvergent. &

1.2.3 Vergleichskriterien Das Konvergenzverhalten einer unendlichen Reihe

1 P

an mit positiven Gliedern kann oft 1 P bn bemit Hilfe einer geeigneten (konvergenten bzw. divergenten) Vergleichsreihe n¼1

n¼1

stimmt werden. Mit dem Majorantenkriterium kann die Konvergenz, mit dem Minorantenkriterium die Divergenz einer Reihe festgestellt werden. Majorantenkriterium Die vorliegende Reihe konvergiert, wenn die Vergleichsreihe konvergiert und zwischen den Gliedern beider Reihen die Beziehung (Ungleichung) an  bn

ðf u¨ r alle n 2 N *Þ

besteht. Die konvergente Vergleichsreihe wird als Majorante (Oberreihe) bezeichnet. Es genu¨gt, wenn die angegebene Bedingung an  bn von einem gewissen n0 an, d. h. fu¨r alle Reihenglieder mit n  n0 erfu¨llt wird. Minorantenkriterium Die vorliegende Reihe divergiert, wenn die Vergleichsreihe divergiert und zwischen den Gliedern beider Reihen die Beziehung (Ungleichung) an  bn

ðf u¨ r alle n 2 N *Þ

besteht. Die divergente Vergleichsreihe wird als Minorante (Unterreihe) bezeichnet. Es genu¨gt, wenn die angegebene Bedingung an  bn von einem gewissen n0 an, d. h. fu¨r alle Reihenglieder mit n  n0 erfu¨llt wird.

178

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

1.2.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium fu¨r alternierende Reihen Eine alternierende Reihe 1 P n¼1

ð 1Þ n þ 1  an ¼ a1  a2 þ a3  a4 þ  . . .

ðalle

ai > 0Þ

konvergiert, wenn sie die folgenden (hinreichenden) Bedingungen erfu¨llt: a1 > a2 > a3 > . . . > an > an þ 1 > . . .

und

lim an ¼ 0

n!1

Die Glieder einer konvergenten alternierenden Reihe bilden dem Betrage nach eine monoton fallende Nullfolge. Die Reihe konvergiert auch dann, wenn die erste der beiden Bedingungen erst von einem bestimmten Glied an erfu¨llt ist. &

Beispiel Die sog. alternierende harmonische Reihe (auch Leibnizsche Reihe genannt) 1 

1 1 1 þ  þ  ... 2 3 4

1 konvergiert, da ihre Glieder dem Betrage nach eine monoton mit dem Bildungsgesetz an ¼ ð 1Þ n þ 1  n fallende Nullfolge bilden:   1 1 1 1 1 1 > ¼ 0 > > ... > > > ... und lim n!1 2 3 n nþ1 n &

1.2.5 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen (1)

(2) (3) (4) (5)

Eine konvergente Reihe bleibt konvergent, wenn man endlich viele Glieder wegla¨sst oder hinzufu¨gt oder aba¨ndert. Dabei kann sich jedoch der Summenwert a¨ndern. Klammern du¨rfen i. Allg. nicht weggelassen werden, ebenso wenig darf die Reihenfolge der Glieder vera¨ndert werden. Aufeinander folgende Glieder einer konvergenten Reihe du¨rfen durch eine Klammer zusammengefasst werden; der Summenwert der Reihe bleibt dabei erhalten. Eine konvergente Reihe darf gliedweise mit einer Konstanten multipliziert werden, wobei sich auch der Summenwert der Reihe mit dieser Konstanten multipliziert. Konvergente Reihen du¨rfen gliedweise addiert und subtrahiert werden, wobei sich ihre Summenwerte addieren bzw. subtrahieren. Eine absolut konvergente Reihe ist stets konvergent. Fu¨r solche Reihen gelten sinngema¨ß die gleichen Rechenregeln wie fu¨r (endliche) Summen (gliedweise Addition, Subtraktion und Multiplikation, beliebige Anordnung der Reihenglieder usw.).

1.3 Spezielle konvergente Reihen Geometrische Reihe 1 P n¼1

a q n1 ¼ a þ a q 1 þ a q 2 þ . . . þ a q n1 þ . . . ¼

Divergenz fu¨r j q j  1

a 1q

ðj q j < 1Þ

2 Potenzreihen

179

Wichtige konvergente Reihen (1)

1þ

1 1 1 1 þ þ þ ... þ þ ... ¼ e 1! 2! 3! n!

(2)

1

1 1 1 1 þ  þ  . . . þ ð 1Þ n þ 1  þ . . . ¼ ln 2 2 3 4 n

(Eulersche Zahl)

(alternierende harmonische Reihe) 1 1 1 1 p þ  þ  . . . þ ð 1Þ n þ 1  þ ... ¼ 3 5 7 2n  1 4

(3)

1

(4)

1 1 1 1 1 p2 þ 2 þ 2 þ 2 þ ... þ 2 þ ... ¼ 2 6 1 2 3 4 n

(5)

1 1 1 1 1 p2 nþ1  þ  þ  . . . þ ð 1Þ  ¼ 12 12 22 32 42 n2

(6)

1 1 1 1 1 þ þ þ þ ... þ þ ... ¼ 1 12 23 34 45 n ðn þ 1Þ

2 Potenzreihen 2.1 Definition einer Potenzreihe Entwicklung um die Stelle x0 PðxÞ ¼

1 P n¼0

an ðx  x0 Þ n ¼ a0 þ a1 ðx  x0 Þ 1 þ a2 ðx  x0 Þ 2 þ . . . þ an ðx  x0 Þ n þ . . .

a0 , a1 , a2 , . . . : reelle Koeffizienten der Potenzreihe Entwicklung um den Nullpunkt Spezialfall der allgemeinen Entwicklung fu¨r x0 ¼ 0: PðxÞ ¼

&

1 P n¼0

an x n ¼ a0 þ a1 x 1 þ a2 x 2 þ . . . þ an x n þ . . .

Beispiele (1)

PðxÞ ¼

(2)

PðxÞ ¼

1 xn P x1 x2 xn ¼ 1þ þ þ ... þ þ ... 1! 2! n! n¼0 n ! 1 P n¼1

ð 1Þ n þ 1 

ðEntwicklungszentrum: x0 ¼ 0Þ

ðx  1Þ n ðx  1Þ 1 ðx  1Þ 2 ðx  1Þ 3 ¼  þ  þ ... n 1 2 3

(Entwicklungszentrum: x 0 ¼ 1Þ

&

180

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

2.2 Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe

1 P n¼0

an x n besteht aus dem offenen Intervall

j x j < r, zu dem gegebenenfalls noch ein oder gar beide Randpunkte hinzukommen. Die positive Zahl r heißt Konvergenzradius. Fu¨r j x j > r divergiert die Potenzreihe. Divergenz

?

Konvergenz

?

x1 = – r

0

x2 = r

Divergenz

x

Berechnung des Konvergenzradius r ( bei lu¨ckenloser Potenzfolge)    an  1   oder r ¼ p ffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ lim  n ! 1 an þ 1  lim n j an j n!1

Diese Formeln gelten auch fu¨r eine um die Stelle x0 entwickelte Potenzreihe. Die Reihe konvergiert dann im Intervall j x  x0 j < r, zu dem gegebenenfalls noch ein oder gar beide Randpunkte hinzukommen. Sonderfa¨lle r ¼ 0: Potenzreihe konvergiert nur fu¨r x ¼ x0 r ¼ 1: &

Potenzreihe konvergiert besta¨ndig (d. h. fu¨r jedes x 2 RÞ

Beispiel ðan ¼ an þ 1 ¼ 1Þ P ðxÞ ¼ 1 þ x þ x 2 þ x 3 þ . . . þ x n þ x n þ 1 þ . . .      an  1  ¼ lim ¼ lim 1 ¼ 1 Konvergenzradius: r ¼ lim  n ! 1 an þ 1  n!1 n!1 1 Verhalten in den beiden Randpunkten:

x1 ¼ 1

1  1 þ 1  1 þ ...

x2 ¼ 1

1 þ 1 þ 1 þ 1 þ ...

Konvergenzbereich:  1 < x < 1

oder

divergent (divergente alternierende Reihe) divergent („Summenwert“ ¼ 1)

jxj < 1 &

2.3 Wichtige Eigenschaften der Potenzreihen (1) (2)

(3)

Eine Potenzreihe konvergiert innerhalb ihres Konvergenzbereiches absolut. Eine Potenzreihe darf innerhalb ihres Konvergenzbereiches gliedweise differenziert und integriert werden. Die neuen Potenzreihen haben dabei denselben Konvergenzradius r wie die urspru¨ngliche Reihe. Zwei Potenzreihen du¨rfen im gemeinsamen Konvergenzbereich der Reihen gliedweise addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Die neuen Potenzreihen konvergieren dann mindestens im gemeinsamen Konvergenzbereich der beiden Ausgangsreihen.

3 Taylor-Reihen

181

3 Taylor-Reihen

3.1 Taylorsche und Mac Laurinsche Formel 3.1.1 Taylorsche Formel Eine ðn þ 1Þ-mal differenzierbare Funktion f ðxÞ la¨sst sich um das „Entwicklungszentrum“ x0 wie folgt entwickeln (sog. Taylorsche Formel ): f 0 ðx0 Þ f 00 ðx0 Þ f ðnÞ ðx0 Þ f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ þ ðx  x0 Þ 1 þ ðx  x0 Þ 2 þ . . . þ ðx  x0 Þ n þ Rn ðxÞ 1 ! 2 ! n ! |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |ffl{zffl} Taylorsches Polynom fn ðxÞ vom Grade n

Somit:

Restglied

f ðxÞ ¼ fn ðxÞ þ Rn ðxÞ

Restglied nach Lagrange Rn ðxÞ ¼

f ðn þ 1Þ ðxÞ ðx  x0 Þ n þ 1 ðn þ 1Þ !

ðx liegt zwischen x und x0 Þ

3.1.2 Mac Laurinsche Formel Die Mac Laurinsche Formel ist ein Spezialfall der allgemeinen Taylorschen Formel fu¨r das Entwicklungszentrum x0 ¼ 0 (Nullpunkt): f 0 ð0Þ 1 f 00 ð0Þ 2 f ðnÞ ð0Þ n x þ x þ ... þ x þ Rn ðxÞ f ðxÞ ¼ f ð0Þ þ 1! 2ffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl ! n! |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl ffl} |ffl{zffl} Mac Laurinsches Polynom fn ðxÞ vom Grade n

Somit:

f ðxÞ ¼ fn ðxÞ þ Rn ðxÞ

Restglied nach Lagrange Rn ðxÞ ¼

f

ðn þ 1Þ

ðJ xÞ n þ 1 x ðn þ 1Þ !

ð0 < J < 1Þ

Restglied

182

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

3.2 Taylorsche Reihe f ðxÞ ¼ f ðx0 Þ þ

x0 :

f 0 ðx0 Þ f 00 ðx0 Þ ðx  x0 Þ 1 þ ðx  x0 Þ 2 þ . . . ¼ 1! 2!

1 P n¼0

f ðnÞ ðx0 Þ ðx  x0 Þ n n!

Entwicklungszentrum oder Entwicklungspunkt

Voraussetzung: f ðxÞ ist in der Umgebung von x0 beliebig oft differenzierbar und das Restglied Rn ðxÞ in der Taylorschen Formel verschwindet fu¨r n ! 1. &

Beispiel Wir entwickeln die Sinusfunktion um die Stelle x0 ¼ p=2: f ðxÞ ¼ sin x

)

f ðp=2Þ ¼ sin ðp=2Þ ¼ 1

f 0 ðxÞ ¼ cos x

)

f 0 ðp=2Þ ¼ cos ðp=2Þ ¼ 0

f 00 ðxÞ ¼  sin x

)

f 00 ðp=2Þ ¼  sin ðp=2Þ ¼  1

)

f 000 ðp=2Þ ¼  cos ðp=2Þ ¼ 0

)

f

000

f ðxÞ ¼  cos x f

ð4Þ

.. .

ðxÞ ¼ sin x

ð4Þ

ðp=2Þ ¼ sin ðp=2Þ ¼ 1

Die Taylorreihe lautet damit wie folgt (die Sinusfunktion verla¨uft spiegelsymmetrisch zur Geraden x ¼ p=2, daher verschwinden die Koeffizienten der ungeraden Potenzen): sin x ¼ 1  ¼ 1

1 1 ðx  p=2Þ 2 þ ðx  p=2Þ 4  þ . . . ¼ 2! 4! 1 P ðx  p=2Þ 2 ðx  p=2Þ 4 ðx  p=2Þ 2 n þ  þ ... ¼ ð 1Þ n  2! 4! ð2 nÞ ! n¼0

&

3.3 Mac Laurinsche Reihe Die Mac Laurinsche Reihe ist eine spezielle Form der Taylorschen Reihe fu¨r das Entwicklungszentrum x0 ¼ 0 (Nullpunkt): f ðxÞ ¼ f ð0Þ þ

f 0 ð0Þ 1 f 00 ð0Þ 2 x þ x þ ... ¼ 1! 2!

1 P

f

ðnÞ

n¼0

ð0Þ n x n!

Bei einer geraden Funktion treten nur gerade Potenzen auf, bei einer ungeraden Funktion nur ungerade Potenzen. &

Beispiel Wir bestimmen die Mac Laurinsche Reihe von f ðxÞ ¼ e x : f ðxÞ ¼ f 0 ðxÞ ¼ f 00 ðxÞ ¼ . . . ¼ f

ðnÞ

f ð0Þ ¼ f 0 ð0Þ ¼ f 00 ð0Þ ¼ . . . ¼ f

ðnÞ

ex ¼ 1 þ

ðxÞ ¼ . . . ¼ e x ð0Þ ¼ . . . ¼ e 0 ¼ 1

x1 x2 xn þ þ ... þ þ ... ¼ 1! 2! n!

1 P xn n¼0

n!

Die Reihe konvergiert besta¨ndig, d. h. fu¨r jedes reelle x.

&

3 Taylor-Reihen

183

3.4 Spezielle Potenzreihenentwicklungen (Tabelle) Funktion

Potenzreihenentwicklung

Konvergenzbereich

1Þ

Allgemeine Binomische Reihe n n n n ð1  xÞ n 1 x1 þ x2  x3 þ x4  ... 1 2 3 4 ða  xÞ n

an 

n 1

an1  x 1 þ

n 2

an2  x 2 

n 3

n > 0 : jxj  1 n < 0 : jxj < 1

a n  3  x 3 þ . . . n > 0 : j x j  jaj n < 0 : j x j < jaj

Spezielle Binomische Reihen ð1  xÞ 4

1

1

1 1 13 2 137 3 1  3  7  11 4 x  x  x  x  . . . jxj  1 4 48 4  8  12 4  8  12  16

ð1  xÞ 3

1

1

1 1 12 2 125 3 1258 4 x  x  x  x  ... 3 36 369 3  6  9  12

jxj  1

ð1  xÞ 2

1

1

1 1 11 2 113 3 1135 4 x  x  x  x  ... 2 24 246 2468

jxj  1

3

1

3 1 31 2 311 3 3113 4 x þ x  x þ x  ... 2 24 246 2468

jxj  1

ð1  xÞ  4 1

1

1 1 15 2 159 3 1  5  9  13 4 x þ x  x þ x  . . . jxj < 1 4 48 4  8  12 4  8  12  16

ð1  xÞ  3 1

1

1 1 14 2 147 3 1  4  7  10 4 x þ x  x þ x  ... 3 36 369 3  6  9  12

jxj < 1

ð1  xÞ  2

1

1 1 13 2 135 x þ x  x 2 24 246

jxj < 1

ð1  xÞ  1

1  x1 þ x2  x3 þ x4  ...

ð1  xÞ  2

1

ð1  xÞ  2

1  2x1 þ 3x2  4x3 þ 5x4  ...

ð1  xÞ  3

1

ð1  xÞ 2

1

3

3

þ

1357 4 x  ... 2468

3 1 35 2 357 3 3579 4 x þ x  x þ x  ... 2 24 246 2468

1 ð2  3 x 1  3  4 x 2 þ 4  5 x 3  5  6 x 4 þ . . .Þ 2

jxj < 1 jxj < 1 jxj < 1 j xj < 1

Reihen der Exponentialfunktionen ex e x ax

1Þ

1þ

x1 x2 x3 x4 þ þ þ þ ... 1! 2! 3! 4!

j xj < 1

1

x1 x2 x3 x4 þ  þ  þ ... 1! 2! 3! 4!

j xj < 1

1þ

ðln aÞ 1 1 ðln aÞ 2 2 ðln aÞ 3 3 ðln aÞ 4 4 x þ x þ x þ x þ . . . j xj < 1 1! 2! 3! 4!

Fu¨r den Spezialfall n 2 N * erha¨lt man ein Polynom n-ten Grades. Die Entwicklungskoeffizienten die Binomialkoeffizienten (siehe I.2.7).

n k

sind

184

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

Tabelle (Fortsetzung) Funktion

Potenzreihenentwicklung

Konvergenzbereich

Reihen der logarithmischen Funktionen ln x ln x

ln ð1 þ xÞ

1 1 1 ðx  1Þ 2 þ ðx  1Þ 3  ðx  1Þ 4 þ  . . . 0 < x  2 2 3 4 " # 1  3  5   x1 1 x1 1 x1 1 x1 7 x > 0 2 þ þ þ þ ... xþ1 3 xþ1 5 xþ1 7 xþ1

ðx  1Þ 1 

x1 

x2 x3 x4 þ  þ  ... 2 3 4



x2 x3 x4  x1 þ þ þ þ ... 2 3 4  

1þx x3 x5 x7 ln 2 x1 þ þ þ þ ... 1x 3 5 7

ln ð1  xÞ

1 < x  1 1  x < 1 jxj < 1

Reihen der trigonometrischen Funktionen x3 x5 x7 þ  þ  ... 3! 5! 7!

sin x

x1 

cos x

1

tan x

x1 þ

cot x

1 1 1 1 3 2  x  x  x5  ... x 3 45 945

x2 x4 x6 þ  þ  ... 2! 4! 6! 1 3 2 5 17 7 62 x þ x þ x þ x9 þ ... 3 15 315 2835

jxj < 1 jxj < 1 jxj
1

3.5 Na¨herungspolynome einer Funktion (mit Tabelle) Bricht man die Potenzreihenentwicklung einer Funktion f ðxÞ nach der n-ten Potenz ab, so erha¨lt man ein Na¨herungspolynom fn ðxÞ vom Grade n fu¨r f ðxÞ (sog. Mac Laurinsches bzw. Taylorsches Polynom). Funktion f ðxÞ und Na¨herungspolynom fn ðxÞ stimmen an der Entwicklungsstelle x0 in ihrem Funktionswert und in ihren ersten n Ableitungen miteinander u¨berein. Fehlerabscha¨tzung Der durch den Abbruch der Potenzreihe entstandene Fehler la¨sst sich i. Allg. anhand der Lagrangeschen Restgliedformel abscha¨tzen (siehe VI.3.1). Er liegt in der Gro¨ßenordnung des gro¨ßten Reihengliedes, das in der Na¨herung nicht mehr beru¨cksichtigt wurde. Na¨herungspolynome spezieller Funktionen (Tabelle) 1. Na¨herung: Abbruch nach dem ersten nichtkonstanten Glied 2. Na¨herung: Abbruch nach dem zweiten nichtkonstanten Glied Diese Na¨herungen liefern in der Umgebung des Nullpunktes sehr brauchbare und nu¨tzliche Ergebnisse. Funktion

1. Na¨herung

2. Na¨herung

ð1  xÞ n

1  nx

1  nx þ

ex

1þx

1þx þ

n ðn  1Þ 2 x 2

1 2 x 2

186

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

Tabelle (Fortsetzung) Funktion

1. Na¨herung

2. Na¨herung

e x

1x

1x þ

ax

1 þ ðln aÞ x

1 þ ðln aÞ x þ

ln ð1 þ xÞ

x

x 

ln ð1  xÞ

x

x 

  1þx ln 1x

1 2 x 2

2x

2x þ

2 3 x 3

sin x

x

x 

1 3 x 6

cos x

1

1

1 2 1 4 x þ x 2 24

tan x

x

x þ

1 3 x 3

arcsin x

x

x þ

1 3 x 6

arccos x

p x 2

p 1 3 x  x 2 6

arctan x

x

x 

arccot x

p x 2

p 1 3 x þ x 2 3

sinh x

x

x þ

1 3 x 6

cosh x

1þ

1þ

1 2 1 4 x þ x 2 24

tanh x

x

x 

1 3 x 3

arsinh x

x

x 

1 3 x 6

artanh x

x

x þ

1 3 x 3

1 2 x 2

1 2 x 2

1 2 x 2 ðln aÞ 2 2 x 2

1 2 x 2

1 3 x 3

4 Fourier-Reihen

187

4 Fourier-Reihen 4.1 Fourier-Reihe einer periodischen Funktion Eine periodische Funktion f ðxÞ mit der Periode p ¼ 2 p la¨sst sich unter bestimmten Voraussetzungen (siehe weiter unten) in eine unendliche trigonometrische Reihe der Form f ðxÞ ¼

1 P a0 þ ½ an  cos ðn xÞ þ bn  sin ðn xÞ 2 n¼1

entwickeln ðsog. Fourier-Reihe von f ðxÞ in reeller FormÞ. y y = f(x)

p = 2p

2p

6p

4p

x

Berechnung der Fourier-Koeffizienten an und bn 1  a0 ¼ p 1  an ¼ p

2ðp

f ðxÞ dx 0 2ðp

f ðxÞ  cos ðn xÞ dx ; 0

1 bn ¼  p

2ðp

f ðxÞ  sin ðn xÞ dx

ðn 2 N *Þ

0

Anmerkungen (1)

(2)

Voraussetzung ist, dass die folgenden Dirichletschen Bedingungen erfu¨llt sind: 1. Das Periodenintervall la¨sst sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen f ðxÞ stetig und monoton ist. 2. Besitzt die Funktion f ðxÞ im Periodenintervall Unstetigkeitsstellen (es kommen nur Sprungunstetigkeiten mit endlichen Spru¨ngen infrage), so existiert in ihnen sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert. In den Sprungstellen der Funktion f ðxÞ liefert die Fourier-Reihe von f ðxÞ das arithmetische Mittel aus dem links- und rechtsseitigen Grenzwert der Funktion.

188

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

Symmetriebetrachtungen f ðxÞ ist eine gerade Funktion: f ðxÞ ¼

1 P a0 þ an  cos ðn xÞ 2 n¼1

ðbn ¼ 0

f u¨ r

n 2 N *Þ

f ðxÞ ist eine ungerade Funktion: f ðxÞ ¼

&

1 P

bn  sin ðn xÞ

n¼1

ðan ¼ 0

n 2 NÞ

f u¨ r

Beispiel

y

Wir bestimmen die Fourier-Reihe der im Bild dargestellten periodischen Funktion mit der Periodendauer p ¼ 2 p :

1

f ðxÞ ¼

1 x; 2p

0  x < 2p

2p

Berechnung der Fourier-Koeffizienten ðn 2 N *Þ: a0 ¼

an ¼

¼

bn ¼

¼

1  p 1  p 1 2p2 1  p 1 2p2

2ðp

f ðxÞ dx ¼ 0

1  p

2ðp

0

1 1 x dx ¼  2p 2p2

2ðp

0



cos ðn xÞ x  sin ðn xÞ þ n2 n

2ðp

f ðxÞ  sin ðn xÞ dx ¼ 0



sin ðn xÞ x  cos ðn xÞ  n2 n

2ðp

1  p

f ðxÞ  cos ðn xÞ dx ¼

2 p

0

¼

0

1  p

2 p

2ðp

0

¼

0

2ðp

x dx ¼ 0



1 2p2

1 2 x 2

1 1  x  cos ðn xÞ dx ¼ 2p 2p 2 

1 2p2

 0

2p

x

¼ 1

0

2ðp

x  cos ðn xÞ dx ¼ 0



1 1 þ0 2 0 n2 n

1 1 x  sin ðn xÞ dx ¼  2p 2p 2 1 2p 2

4p

¼ 0 2ðp

x  sin ðnxÞ dx ¼ 0

 2p 1 2p 1 1  0þ0 ¼ ¼   n 2p2 n p n

Die Fourier-Reihe beginnt daher wie folgt:   1 1 1 1  sin x þ  sin ð2 xÞ þ  sin ð3 xÞ þ . . . f ðxÞ ¼ 2 p 2 3 &

Komplexe Darstellung der Fourier-Reihe

f ðxÞ ¼

1 P n ¼ 1

cn  e

jnx

mit

1 cn ¼  2p

2ðp

0

f ðxÞ  e j n x dx

ðn 2 ZÞ

4 Fourier-Reihen

189

Die komplexe Fourier-Reihe la¨sst sich auch wie folgt aufspalten: f ðxÞ ¼

1 P n¼1

cn  e j n x ¼ c0 þ

1 P n¼1

cn  ejnx þ

1 P n¼1

cn  e j n x

Der Koeffizient c  n ist dabei konjugiert komplex zu cn , d. h. c  n ¼ c*n . Zusammenhang zwischen den Koeffizienten an , bn und cn 1. bergang von der reellen zur komplexen Form c0 ¼

1 a0 ; 2

cn ¼

1 ðan  j bn Þ ; 2

c n ¼

1 ðan þ j bn Þ 2

ðn 2 N*Þ

y

2T

T

3T

t

T

2. bergang von der komplexen zur reellen Form a0 ¼ 2 c0 ;

an ¼ cn þ c n ;

bn ¼ j ðcn  c n Þ

ðn 2 N*Þ

4.2 Fourier-Zerlegung einer nichtsinusfo¨rmigen Schwingung Eine nichtsinusfo¨rmig verlaufende Schwingung y ¼ y ðtÞ wie im obigen Bild mit der Kreisfrequenz w0 und der Schwingungsdauer (Periodendauer) T ¼ 2 p=w0 la¨sst sich nach Fourier wie folgt in ihre harmonischen Bestandteile (Grundschwingung und Oberschwingungen) zerlegen (Fourier-Zerlegung in reeller Form): y ðtÞ ¼ w0 : n w0 :

1 P a0 þ ½ an  cos ðn w0 tÞ þ bn  sin ðn w0 tÞ 2 n¼1

Kreisfrequenz der Grundschwingung ðw0 ¼ 2 p=T Þ Kreisfrequenzen der harmonischen Oberschwingungen ðn ¼ 2; 3; 4; . . .Þ

190

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen

Berechnung der Fourier-Koeffizienten an und bn 2  T

a0 ¼

2  an ¼ T ðT Þ:

ð y ðtÞ dt ðTÞ

ð

y ðtÞ  cos ðn w0 tÞ dt ; ðTÞ

2 bn ¼  T

ð y ðtÞ  sin ðn w0 tÞ dt

ðn 2 N *Þ

ðTÞ

Integration u¨ber ein beliebiges Periodenintervall der La¨nge T

Fourier-Zerlegung in phasenverschobene Sinusschwingungen y ðtÞ ¼

1 P a0 þ ½ an  cos ðn w0 tÞ þ bn  sin ðn w0 tÞ ¼ 2 n¼1 1 P

¼ A0 þ

n¼1

An  sin ðnw0 t þ jn Þ

Berechnung von Amplitude An und Nullphasenwinkel jn aus den Fourier-Koeffizienten an und bn : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a0 an , An ¼ a 2n þ b 2n , ðn 2 N *Þ tan jn ¼ A0 ¼ 2 bn An , jn : Amplituden- bzw. Phasenspektrum (sog. Linienspektren)

Fourier-Zerlegung in komplexer Form y ðtÞ ¼

1 P n¼1

cn  e j n w0 t

Berechnung der komplexen Fourier-Koeffizienten cn : cn ¼

1  T

ðT

y ðtÞ  e  j n w0 t dt

ðn 2 ZÞ

0

T ¼ 2 p=w0 :

Schwingungsdauer

j cn j:

Amplitudenspektrum (Linienspektrum)

4 Fourier-Reihen

191

4.3 Spezielle Fourier-Reihen (Tabelle) 1. Rechteckskurve

yðtÞ ¼

yðtÞ ¼

y

8 > > > < y^

0  t 

fur € > > > :0

y^ 2 y^ þ 2 p

T 2

y^

T < t < T 2

T 2

t

2T

  1 1 sin ðw0 tÞ þ  sin ð3 w0 tÞ þ  sin ð5 w0 tÞ þ . . . 3 5

2. Rechteckimpuls Impulsbreite:

T

y

T b ¼  2a 2

8 > y^ > > > > > > < yðtÞ ¼  y^ fur € > > > > > > > : 0

a < t
> t þ y^  > > > T > < yðtÞ ¼ fur € > > > > > 2 y^ > : t  y^ T

yðtÞ ¼

b

4 y^ y^ þ 2 p 2



y

0  t 

T 2

T  t  T 2

y^

T 2

T

2T

 1 1 1  cos ðw tÞ þ  cos ð3 w tÞ þ  cos ð5 w tÞ þ . . . 0 0 0 12 32 52

t

t

192

VI Unendliche Reihen, Taylor- und Fourier-Reihen y

4. Dreieckskurve

yðtÞ ¼

yðtÞ ¼

8 > > > > > > > > < > > > > > > > > :



8 y^ p2

y^

4 y^ t T

T 0  t  4

4 y^ t þ 2 y^ fur € T

T 3 < t < T 4 4

4 y^ t  4 y^ T

3 T  t  T 4

3 T 4

T 2

y^ y^  2 p

sin ðw0 tÞ þ



y^

0  t < T



t

y

T

yðtÞ ¼

5 T 4

^

1 1 1  sin ðw0 tÞ  2  sin ð3 w0 tÞ þ 2  sin ð5 w0 tÞ  þ . . . 12 3 5

y^ t; T

T

–y



5. Kippschwingung (Sa¨gezahnimpuls) yðtÞ ¼

T 4

2T

t

 1 1  sin ð2 w0 tÞ þ  sin ð3 w0 tÞ þ . . . 2 3

6. Kippschwingung (Sa¨gezahnimpuls)

yðtÞ ¼

yðtÞ ¼

8 2 y^ > > t > > < T

0  t 

> > > 2 y^ > : t  2 y^ T

2 y^ p

fur € T < t < T 2

  1 1 sin ðw0 tÞ   sin ð2 w0 tÞ þ  sin ð3 w0 tÞ  þ . . . 2 3

7. Kippschwingung (Sa¨gezahnimpuls) yðtÞ ¼ 

T 2

y^ t þ y^; T

y ^

0  t < T

y

T

yðtÞ ¼

y^ y^ þ 2 p

 sin ðw0 tÞ þ

 1 1  sin ð2 w0 tÞ þ  sin ð3 w0 tÞ þ . . . 2 3

2T

t

4 Fourier-Reihen

193 y

8. Sinusimpuls (Einweggleichrichtung)

yðtÞ ¼

yðtÞ ¼

8 > y^  sin ðw0 tÞ > > < > > > :

0  t 

T 2

y^

fur € T  t  T 2

0

T 2

T

 y^ y^ 2 y^ 1 1 þ  sin ðw0 tÞ   cos ð2 w0 tÞ þ  cos ð4 w0 tÞ þ p 2 p 13 35  1  cos ð6 w0 tÞ þ . . . þ 57

9. Sinusimpuls (Zweiweggleichrichtung) yðtÞ ¼ y^ j sin ðw0 tÞ j ;

0  t  T

y y^

T

T/2

yðtÞ ¼

t

2 y^ 4 y^  p p



1 1  cos ð2 w0 tÞ þ  cos ð4 w0 tÞ þ 13 35  1 þ  cos ð6 w0 tÞ þ . . . 57 y

10. Parabelbo¨gen 4 y^ yðtÞ ¼ 2 T



T t  2

2

^

;

0  t  T

y

T 2

4 y^ y^ y ðtÞ ¼ þ 2 p 3

t



T

3 T 2

1 1 1  cos ðw0 tÞ þ 2  cos ð2 w0 tÞ þ 2  cos ð3 w0 tÞ þ . . . 2 1 2 3

t



194

VII Lineare Algebra

1 Reelle Matrizen 1.1 Grundbegriffe 1.1.1 n-dimensionale Vektoren n-dimensionaler Vektor n reelle Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge bilden einen n-dimensionalen Vektor. Sie werden in der linearen Algebra u¨blicherweise durch kleine lateinische Buchstaben in Fettdruck (aber ohne Pfeil) gekennzeichnet: a, b, c, . . . Schreibweisen 0

a1

1

Ba C B 2C C a ¼ B B .. C @ . A

n-dimensionaler Spaltenvektor mit den n Vektorkoordinaten (skalaren Vektorkomponenten) a1 , a2 , . . . , an

an a ¼ ða1

a2

...

an Þ

n-dimensionaler Zeilenvektor

Rechenoperationen und Rechenregeln Die n-dimensionalen Vektoren bilden in ihrer Gesamtheit den n-dimensionalen Raum Rn . Rechenoperationen und Rechenregeln sind die gleichen wie bei ebenen und ra¨umlichen Vektoren, d. h. Vektoren des R 2 bzw. R 3 , siehe hierzu Kap. II. Ausnahmen: Vektor- und Spatprodukte sind nur im 3-dimensionalen Anschauungsraum definiert. 1. Addition und Subtraktion erfolgen komponentenweise: 0 1 0 1 0 1 a1 b1 a1  b1 Ba C Bb C Ba  b C 2C B 2C B 2C B 2 B C B C C ab ¼ B . CB . C ¼ B .. B C . . @ . A @ . A @ A . an bn an  bn

1 Reelle Matrizen

195

2. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar erfolgt komponentenweise: 0 1 0 1 a1 la1 Ba C B la C B 2C B 2C C ¼ B . C la ¼ l B ðl 2 RÞ . B . C B . C @ . A @ . A an lan 3. Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird gebildet, indem man zuna¨chst die einander entsprechenden (d. h. gleichstelligen) Vektorkoordinaten miteinander multipliziert und dann die insgesamt n Produkte aufaddiert: 0

1 0 1 b1 a1 Ba C Bb C n X B 2C B 2C C B C b þ a b þ . . . þ a b ¼ ai bi  ¼ a ab ¼ B 1 1 2 2 n n B .. C B .. C @ . A @ . A i¼1 an bn 4. Betrag eines Vektors: jaj ¼ a ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 21 þ a 22 þ . . . þ a 2n ¼ a  a

Spezielle Vektoren Nullvektor 0: Vektor der La¨nge 0, alle Vektorkoordinaten haben den Wert 0. Einheitsvektor e: Vektor der La¨nge 1 (normierter Vektor). Orthogonale Vektoren a, b: Vektoren, deren Skalarprodukt verschwindet ða  b ¼ 0Þ Komponentendarstellung eines Vektors a ¼ a1 e1 þ a2 e2 þ . . . þ an en ei : Einheitsvektor (Basisvektor), dessen i-te Vektorkoordinate den Wert 1 hat, wa¨hrend alle u¨brigen Vektorkoordinaten verschwinden ði ¼ 1, 2, . . . , nÞ. Die Einheitsvektoren ei bilden eine Basis des n-dimensionalen Raumes R n , d. h. jeder n-dimensionale Vektor a la¨sst sich in eindeutiger Weise als Linearkombination dieser (linear unabha¨ngigen) Bassisvektoren darstellen 1Þ .

1Þ

Zum Begriff der linearen Unabha¨ngigkeit von Vektoren siehe VII.3.6.

196 &

VII Lineare Algebra 0

Beispiel

1

1

0

2

1

B 0C B 1C B C B C Gegeben sind die Vektoren a ¼ B C und b ¼ B C. Wir bestimmen den Vektor a þ 3 b, das @ 2A @ 5A 1 3 Skalarprodukt a  b sowie den Betrag von a: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 6 1 2 1 B 0 B 3C B 0C B 1C B 0C B C B C B C B C B a þ 3b ¼ B C ¼ B CþB C ¼ B C þ 3B @ 2 @ 15 A @ 2A @ 5A @ 2A 1 9 1 3 1

6

1

0

5

1

B 3C þ3 C C B C C C ¼ B @ 17 A þ 15 A 8 þ9

0

1 0 1 1 2 B 0C B 1C B C B C ab ¼ B CB C ¼ 1  ð 2Þ þ 0  1 þ 2  5 þ ð 1Þ  3 ¼  2 þ 0 þ 10  3 ¼ 5 @ 2A @ 5A 1 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 þ 0 2 þ 2 2 þ ð 1Þ 2 ¼ 1 þ 0 þ 4 þ 1 ¼ 6 jaj ¼ &

1.1.2 Definition einer reellen Matrix Unter einer reellen Matrix A vom Typ len bestehendes rechteckiges Schema mit recht angeordneten Spalten: 0 a11 a12 . . . a1 k . . . B B a21 a22 . . . a2 k . . . B B .. .. B .. B . . . B A ¼ B B ai 1 ai 2 . . . ai k . . . B B B . .. .. B .. . . @ am 1

am 2

...

am k . . . " k-te Spalte

ðm; nÞ versteht man ein aus m  n reellen Zahm waagerecht angeordneten Zeilen und n senka1 n

1

C a2 n C C C .. C . C C C ai n C C C .. C . C A

i-te Zeile

am n

Bezeichnungen ai k :

Matrixelemente ði ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

i:

Zeilenindex ði ¼ 1; 2; . . . ; mÞ

k:

Spaltenindex ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Schreibweisen A; Aðm; nÞ ; ðai k Þ; ðai k Þðm; nÞ Die m Zeilen werden auch als Zeilenvektoren (mit hochgestelltem Index), die n Spalten auch als Spaltenvektoren (mit tiefgestelltem Index) bezeichnet.

1 Reelle Matrizen

197

0

Schreibweisen

a1 k

1

C B B a2 k C C B ak ¼ B . C B .. C A @ am k |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl}

a ¼ ðai 1 ai 2 . . . ai n Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl ffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} i

i-ter Zeilenvektor

k-ter Spaltenvektor

Die ðm; nÞ-Matrix A ist dann wie folgt darstellbar: 0 11 a B a2 C B C C A ¼ ða1 a2 . . . an Þ ¼ B B .. C @ . A am (Zeile aus n Spaltenvektoren bzw. Spalte aus m Zeilenvektoren) 1.1.3 Spezielle Matrizen Nullmatrix 0: Spaltenmatrix: Zeilenmatrix: Quadratische Matrix: Transponierte Matrix A T :

Alle Elemente sind Null. Matrix mit nur einer Spalte, auch Spaltenvektor genannt. Matrix mit nur einer Zeile, auch Zeilenvektor genannt. Matrix mit gleichvielen Zeilen und Spalten ðm ¼ n; sog. n-reihige Matrix oder Matrix n-ter Ordnung). Sie entsteht aus der ðm; nÞ-Matrix A, indem man Zeilen und Spalten miteinander vertauscht („Stu¨rzen“ einer Matrix). A T ist daher vom Typ ðn; mÞ. Es gilt stets ðA T Þ T ¼ A. Beim Transponieren wird aus einem Zeilenvektor ein Spaltenvektor und umgekehrt.

1.1.4 Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen A ¼ ðai k Þ und B ¼ ðbi k Þ vom gleichen Typ heißen gleich, A ¼ B, wenn sie in ihren entsprechenden (d. h. gleichstelligen) Elementen u¨bereinstimmen: ai k ¼ bi k fu¨r alle i; k.

1.2 Spezielle quadratische Matrizen Allgemeine Gestalt einer n-reihigen Matrix: Hauptdiagonale

Nebendiagonale

198

VII Lineare Algebra

Spur einer quadratischen Matrix Die Summe aller Hauptdiagonalelemente heißt Spur der Matrix A: Sp ðAÞ ¼ a11 þ a22 þ . . . þ ann 1.2.1 Diagonalmatrix Alle außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente verschwinden: ai k ¼ 0

i 6¼ k

fu¨r alle

Schreibweise: diag ða11 ; a22 ; . . . ; an n Þ 1.2.2 Einheitsmatrix Diagonalmatrix mit ai i ¼ 1

fu¨r alle

i

Schreibweisen: E, I, ðdi k Þ 1.2.3 Dreiecksmatrix Alle Elemente oberhalb bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden:

Untere Dreiecksmatrix:

ai k ¼ 0

fu¨r alle

Obere Dreiecksmatrix:

i < k

ai k ¼ 0

fu¨r alle

i > k

1.2.4 Symmetrische Matrix Alle spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen stehenden Elemente sind paarweise gleich: A ¼ AT

oder

a i k ¼ ak i

fu¨r alle

i; k

1.2.5 Schiefsymmetrische Matrix A ¼ AT

oder

ai k ¼  ak i

fu¨r alle

i; k

Die Hauptdiagonaleelemente verschwinden: ai i ¼ 0 fu¨r alle i.

1 Reelle Matrizen

199

1.2.6 Orthogonale Matrix A  AT ¼ E Die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren sind zueinander orthogonal und normiert, es ist stets det A ¼ 1 oder det A ¼  1. Eine orthogonale Matrix ist immer regula¨r, die inverse Matrix A 1 existiert somit und es gilt A T ¼ A 1 . Das Produkt orthogonaler Matrizen ist wiederum orthogonal.

1.3 Rechenoperationen fu¨r Matrizen 1.3.1 Addition und Subtraktion von Matrizen Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre entsprechenden (d. h. gleichstelligen) Elemente addiert bzw. subtrahiert: A  B ¼ ðai k Þ  ðbi k Þ ¼ ðai k  bi k Þ

ði ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Rechenregeln A; B; C sind Matrizen vom gleichen Typ: Kommutativgesetz Assoziativgesetz Transponieren

AþB ¼ BþA A þ ðB þ CÞ ¼ ðA þ BÞ þ C ðA þ BÞ T ¼ A T þ B T

1.3.2 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Multiplikation einer Matrix mit einem reellen Skalar erfolgt, indem man jedes Matrixelement mit dem Skalar multipliziert: l  A ¼ l  ðai k Þ ¼ ðl  ai k Þ

ðl 2 R; i ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Folgerung: Ein allen Matrixelementen gemeinsamer Faktor darf vor die Matrix gezogen werden. Rechenregeln A und B sind Matrizen vom gleichen Typ, l und m reelle Skalare: Assoziativgesetz Distributivgesetze

l ðm AÞ ¼ mðl AÞ ¼ ðl mÞ A ðl þ mÞ A ¼ l A þ m A lðA þ BÞ ¼ l A þ l B

Transponieren

ðl AÞ T ¼ l A T

200

VII Lineare Algebra

1.3.3 Multiplikation von Matrizen A ¼ ðai k Þ sei eine Matrix vom Typ ðm; nÞ; B ¼ ðbi k Þ eine Matrix vom Typ ðn; pÞ. Dann heißt die ðm; pÞ-Matrix C ¼ A  B ¼ ðci k Þ mit ci k ¼ ai 1 b1 k þ ai 2 b2 k þ . . . þ ai n bn k ¼

n P j¼1

ai j bj k

das Produkt der Matrizen A und B ði ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; pÞ. Anmerkungen (1) (2)

Die Produktbildung ist nur mo¨glich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B u¨bereinstimmt. Der Multiplikationspunkt darf auch weggelassen werden. Das Matrixelement ci k des Matrizenproduktes A  B ist das Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B (siehe Falk-Schema weiter unten).

Falk-Schema zur Berechnung eines Matrizenproduktes C = A . B Matrix A: Typ ðm; nÞ Matrix B: Typ ðn; pÞ

k-te Spalte

;

B

A

:

i-te Zeile

A.B ci k

: Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B

Rechenregeln Voraussetzung: Alle Rechenoperationen der linken Seiten mu¨ssen durchfu¨hrbar sein. Assoziativgesetz Distributivgesetze

A ðBCÞ ¼ ðA BÞ C A ðB þ CÞ ¼ A B þ A C ðA þ BÞ C ¼ A C þ B C

Transponieren

ðA BÞ T ¼ B T A T

Man beachte, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, d. h. i. Allg. gilt A  B 6¼ B  A.

1 Reelle Matrizen &

201 

Beispiel Wir berechnen das Matrizenprodukt C ¼ A  B mit A ¼

B

A

1 2

0 1

3 4

1 1 0 1 3

4 1 2

3 1 3

0 3 2

2 17

6 17

6 5

1 0 3 2 1 4 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} (2,3)

 )

C ¼ AB ¼



0

1 1 4 3 0 @ und B ¼ 1 1 1 3 A: 0 2 3 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} (3,4)

1 2 6 6 3 17 17 5 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} (2,4)



C ¼ AB B  A dagegen existiert nicht, da B vier Spalten, A aber nur zwei Zeilen hat.

&

1.4 Regula¨re Matrix Eine n-reihige Matrix A heißt regula¨r, wenn ihre Determinante einen von Null verschiedenen Wert besitzt: det A 6¼ 0. Ihr Rang ist dann Rg ðAÞ ¼ n. Ist det A ¼ 0, so heißt A singula¨r. Es ist dann Rg ðAÞ < n. &

Beispiele 0

1 A ¼ @ 1 0  B ¼

1 3

2 3 1 5 15

1 5 2A 8

)

  1  det A ¼  1  0

2 3 1

)

  1 det B ¼  3

 5  ¼ 0 15 



5 2 8

    ¼ 33 6¼ 0  

)

)

A ist regula¨r

B ist singula¨r &

1.5 Inverse Matrix 1.5.1 Definition einer inversen Matrix Die regula¨ren Matrizen (und nur diese) lassen sich umkehren, d. h. zu jeder regula¨ren Matrix A gibt es genau eine inverse Matrix A  1 mit A  A 1 ¼ A 1  A ¼ E Eine quadratische Matrix A ist demnach genau dann invertierbar, wenn det A 6¼ 0 und somit Rg ðAÞ ¼ n ist. Man beachte: A und A 1 sind kommutative Matrizen. Weitere Bezeichnungen fu¨r A  1 : Kehrmatrix, Umkehrmatrix oder Inverse von A. Rechenregeln fu¨r regula¨re Matrizen ðA 1 Þ 1 ¼ A ;

ðA 1 Þ T ¼ ðA T Þ 1 ;

ðA  BÞ 1 ¼ B 1  A 1

202

VII Lineare Algebra

1.5.2 Berechnung einer inversen Matrix 1.5.2.1 Berechnung der inversen Matrix A–1 unter Verwendung von Unterdeterminanten 0

A 1

Ai k : Di k :

A11 B A 1 B 12 ¼ B . det A @ .. A1 n

A21 A22 .. . A2 n

... ... ...

1 An 1 An 2 C C .. C . A

ðdet A 6¼ 0Þ

An n

Algebraisches Komplement (Adjunkte) von ai k in det A ðAi k ¼ ð 1Þ i þ k  Di k Þ ðn  1Þ-reihige Unterdeterminante von det A (in det A wird die i-te Zeile und k-te Spalte gestrichen)

Hinweis: Zuna¨chst die adjungierte Matrix A adj bilden (sie entha¨lt in der i-ten Zeile die algebraischen Komplemente A i 1 , A i 2 , A i 3 , . . ., A i n ), diese dann transponieren („stu¨rzen“) und anschließend mit dem Kehrwert der Determinante det A multiplizieren: A 1 ¼

1  Aadj det A

1.5.2.2 Berechnung der inversen Matrix A–1 nach dem Gaußschen Algorithmus (Gauß-Jordan-Verfahren) Man bildet zuna¨chst aus den n-reihigen Matrizen A und E (Einheitsmatrix) die Matrix 0

a11 B a21 B ðA j EÞ ¼ B .. @ .

a12 a22 .. .

... ...

a1 n a2 n .. .

an 1 an 2 . . . an n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} A

       

1 0 0C C .. C .A 0 0 ... 1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} E 1 0 .. .

0 1 .. .

... ...

vom Typ ðn; 2 nÞ und bringt diese dann durch elementare Zeilenumformungen (siehe hierzu VII.1.6.1.3 und VII.3.4.1) auf die spezielle Form 0

1 0 ... 0 B0 1 ... 0 B .. B .. .. @. . . 0 0 ... 1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} E

1   b11 b12 . . . b1 n   b21 b22 . . . b2 n C C 1  . .. .. C ¼ ðE j A Þ  . A . .  .  bn 1 bn 2 . . . bn n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} B ¼ A 1

Dies ist bei einer regula¨ren und daher umkehrbaren Matrix A stets mo¨glich. Die Einheitsmatrix E hat jetzt den Platz der Matrix A eingenommen, die Matrix B ist die gesuchte inverse Matrix A  1 .

1 Reelle Matrizen &

203

Beispiel

0 1 1 0 2 Die 3-reihige Matrix A ¼ @ 4 1 1 A ist regula¨r und somit invertierbar ðdet A ¼ 1 6¼ 0Þ. Fu¨r ihre 3 2 7 Inverse A  1 erhalten wir (die jeweils durchgefu¨hrte Operation wird rechts angeschrieben; Zi : i-te Zeile):   0 1 0 1 1 0 2  1 0 0 1 0 2  1 0 0   ðA j EÞ ¼ @ 4 1 1  0 1 0 A  4 Z1 ) @ 0 1  7  4 1 0 A ) 3 2 7  0 0 1  3 Z1 0 2 13  3 0 1  2 Z2 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} A E   0 1 0 1  1 0 2  1 0 0  2 Z3 1 0 0  9 4 2 @ 0 1 7  4 1 0 A þ 7 Z3 ) @ 0 1 0  31 13 7 A ¼ ðE j A  1 Þ    0 0 1 5 2 1 0 0 1 5  2 1 |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1 E A 0 1 9 4 2 Somit gilt: A  1 ¼ @ 31 13 7A 5 2 1 Kontrollmo¨glichkeit:

A  A 1 ¼ A 1  A ¼ E &

1.6 Rang einer Matrix 1.6.1 Definitionen 1.6.1.1 Unterdeterminanten einer Matrix Werden in einer Matrix A vom Typ ðm; nÞ m  p Zeilen und n  p Spalten gestrichen, so heißt die Determinante der p-reihigen Restmatrix eine Unterdeterminante p-ter Ordnung oder p-reihige Unterdeterminante von A.

1.6.1.2 Rang einer Matrix Unter dem Rang einer Matrix A vom Typ ðm; nÞ wird die ho¨chste Ordnung r aller von Null verschiedenen Unterdeterminanten von A verstanden. Symbolische Schreibweise: Rg ðAÞ ¼ r.

1.6.1.3 Elementare Umformungen einer Matrix Der Rang r einer Matrix A a¨ndert sich nicht, wenn sie den folgenden elementaren Umformungen unterworfen wird: 1. Zwei Zeilen (oder Spalten) werden miteinander vertauscht. 2. Die Elemente einer Zeile (oder Spalte) werden mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert. 3. Zu einer Zeile (oder Spalte) wird ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert.

204

VII Lineare Algebra

1.6.2 Rangbestimmung einer Matrix 1.6.2.1 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A unter Verwendung von Unterdeterminanten Wir beschreiben das Verfahren fu¨r den Fall m  n. Ist jedoch m > n, so ist im folgenden die Zahl m durch die Zahl n zu ersetzen. 1. Der Rang r der Matrix A ist ho¨chstens gleich m, d. h. r  m. Man berechnet daher zuna¨chst die m-reihigen Unterdeterminanten von A. Gibt es unter ihnen wenigstens eine von Null verschiedene Determinante, so ist r ¼ m. 2. Verschwinden aber sa¨mtliche m-reihigen Unterdeterminanten von A, so ist r ho¨chstens gleich m  1. Es ist dann zu pru¨fen, ob es wenigstens eine von Null verschiedene ðm  1Þ-reihige Unterdeterminante gibt. Ist dies der Fall, so ist r ¼ m  1. Anderenfalls ist r ho¨chstens gleich m  2. Das beschriebene Verfahren wird dann solange fortgesetzt, bis man auf eine von Null verschiedene Unterdeterminante von A sto¨ßt. Die Ordnung dieser Determinante ist der gesuchte Rang der Matrix A.

&

Beispiel  A ¼

2 0

3 4

1 2

 )

m ¼ 2;

n ¼ 3

r  2.  2 Es gibt eine von Null verschiedene 2-reihige Unterdeterminante, z. B.  0 und somit

 3  ¼ 8 (in der Matrix A wurde 4

die 3. Spalte gestrichen). Die Matrix A besitzt damit den Rang r ¼ 2. &

1.6.2.2 Rangbestimmung einer (m, n)-Matrix A mit Hilfe elementarer Umformungen Die ðm; nÞ-Matrix A wird zuna¨chst mit Hilfe elementarer Umformungen in die folgende Trapezform gebracht ðbi i 6¼ 0 fu¨r i ¼ 1; 2; . . . ; rÞ: 0 B B B B B B B B B B B B B B @

b11

b12

...

b1 r

b1; r þ 1

b1; r þ 2

...

0 .. .

b22 .. .

...

b2; r þ 1 .. .

b2; r þ 2

... .. .

0

0

...

b2 r .. . br r

br; r þ 1

br; r þ 2

...

0 0 .. .

0 0 .. .

... ...

0 0 .. .

0 0 .. .

0 0 .. .

... ...

0

0

0

0

0

...

...

1 9 > > > > b2 n C C = C C > C > > C > br n C ; C C C 9 0 C > C > 0 C = .. C . A > > ; 0 b1 n

r Zeilen

ðm  rÞ Nullzeilen

Der Rang von A ist dann gleich der Anzahl r der nicht-verschwindenden Zeilen: Rg ðAÞ ¼ r.

2 Determinanten &

205

Beispiel

0

1 Wir bringen die (3,4)-Matrix A ¼ @ 2 1

3 7 0

5 8 11

1 0 7 A mit Hilfe elementarer Umformungen zuna¨chst in 21

die gewu¨nschte Trapezform und lesen aus dieser den Rang ab: 0 1 0 0 1 1 3 5 0 1 1 3 5 0 @ A @ A 2 7 ) @0 A¼ 2 7 8 7  2 Z1 ) 0 1 0 3 6 21  3 Z2 0 1 0 11 21 þ Z1 Somit gilt:

3 1 0

5 2 0

1 0 7A 0

Nullzeile

Rg ðAÞ ¼ 2 &

2 Determinanten Determinanten n-ter Ordnung (auch n-reihige Determinanten genannt) sind reelle Zahlen, die man den n-reihigen quadratischen Matrizen aufgrund einer bestimmten Rechenvorschrift zuordnet. Schreibweisen

     D; det A; j A j; j ai k j;    

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

an 1

an 2

... ... ...

a1 n a2 n .. . an n

        

ai k :

Elemente der Determinante ði; k ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

2.1 Zweireihige Determinanten Definition einer zweireihigen Determinante Unter der Determinante einer 2-reihigen Matrix A ¼ ðaik Þ versteht man die reelle Zahl   a11   a21

 a12  ¼ a11 a22  a12 a21 a22 

Berechnung einer 2-reihigen Determinante   a11   a 21

 a12   ¼ a11 a22  a12 a21 a22 

 Hauptdiagonale    Nebendiagonale

Regel: Der Wert einer 2-reihigen Determinante ist gleich dem Produkt der beiden Hauptdiagonalelemente minus dem Produkt der beiden Nebendiagonalelemente. &

Beispiel

  4 det A ¼  3

 7  ¼ 4  8  ð3Þ  7 ¼ 32 þ 21 ¼ 53 8

&

206

VII Lineare Algebra

2.2 Dreireihige Determinanten Definition einer dreireihigen Determinante Unter der Determinante einer 3-reihigen Matrix A ¼ ðai k Þ versteht man die reelle Zahl   a11   a21   a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

    ¼  

¼ a11 a22 a33 þ a12 a23 a31 þ a13 a21 a32  a13 a22 a31  a11 a23 a32  a12 a21 a33

Berechnung einer 3-reihigen Determinante nach der Regel von Sarrus

 Hauptdiagonalprodukte    Nebendiagonalprodukte

:

D ¼ a11 a22 a33 þ a12 a23 a31 þ a13 a21 a32  a13 a22 a31  a11 a23 a32  a12 a21 a33

Regel: Die Spalten 1 und 2 der Determinante werden nochmals rechts an die Determinante gesetzt. Den Determinantenwert erha¨lt man dann, indem man die drei Hauptdiagonalprodukte ( Þ addiert und von dieser Summe die drei Nebendiagonalprodukte (  ) subtrahiert. &

Beispiel  1  det A ¼  2  6

2 0 5

 3   1  ¼ ?  1

det A ¼ 1  0  1 þ ð 2Þ  1  6 þ 3  2  5  6  0  3  5  1  1  1  2  ð 2Þ ¼ ¼ 0  12 þ 30  0  5 þ 4 ¼ 17 &

2 Determinanten

207

2.3 Determinanten ho¨herer Ordnung 2.3.1 Unterdeterminante Di k Die aus einer n-reihigen Determinante D durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte hervorgehende ðn  1Þ-reihige Determinante heißt Unterdeterminante Di k :

Di k

      ¼      

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

ai 1 .. .

ai 2 .. .

an 1

an 2

... ... ... ...

a1 k a2 k .. . ai k .. . an k

... ... ... ...

       ai n  ..  .  an n  a1 n a2 n .. .

i-te Zeile

" k-te Spalte 2.3.2 Algebraisches Komplement (Adjunkte) Ai k Die Gro¨ße Ai k ¼ ð 1Þ i þ k  Di k heißt algebraisches Komplement oder Adjunkte des Elementes ai k in der Determinante D. Der Vorzeichenfaktor ð 1Þ i þ k kann nach der Schachbrettregel bestimmt werden: þ



þ

...



þ



...

þ .. .

 .. .

þ .. .

...

Schachbrettregel: Der Vorzeichenfaktor von Ai k steht im Schnittpunkt der i-ten Zeile mit der k-ten Spalte.

2.3.3 Definition einer n-reihigen Determinante 2Þ Der Wert einer n-reihigen Determinante D ¼ det A wird rekursiv nach der folgenden „Entwicklungsformel“ berechnet („Entwicklung nach den Elementen der 1. Zeile“): D ¼ det A ¼ A1 k :

n P k¼1

a1 k A1 k ¼ a11 A11 þ a12 A12 þ . . . þ a1 n A1 n

Algebraisches Komplement (Adjunkte) von a1 k in D

Prinzipiell la¨sst sich damit eine n-reihige Determinante durch wiederholte Anwendung der Entwicklungsformel auf 3-reihige Determinanten zuru¨ckfu¨hren, die nach der Regel von Sarrus berechnet werden ko¨nnen. Dieses Verfahren erweist sich jedoch in der Praxis als ungeeignet, da die Anzahl der dabei anfallenden 3-reihigen Determinanten mit zunehmender Ordnung n der Determinante rasch ansteigt. Beispiel: Fu¨r n ¼ 5 sind 20, fu¨r n ¼ 6 bereits 120 3-reihige Determinanten zu berechnen! Ein praktikables Rechenverfahren wird in Abschnitt VII.2.6 angegeben. 2Þ

Fu¨r eine 1-reihige Matrix A ¼ ðaÞ wird det A ¼ a festgesetzt.

208

VII Lineare Algebra

2.4 Laplacescher Entwicklungssatz Eine n-reihige Determinante la¨sst sich nach den Elementen einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln (Laplacescher Entwicklungssatz): Entwicklung nach den Elementen der i-ten Zeile n P a i k Ai k ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ D ¼ k¼1

Entwicklung nach den Elementen der k-ten Spalte n P ai k Ai k ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ D ¼ i¼1

Ai k :

Algebraisches Komplement (Adjunkte) von ai k in D ðAi k ¼ ð 1Þ i þ k  Di k )

Di k :

ðn  1Þ-reihige Unterdeterminante von D (siehe VII.2.3.1)

&

Beispiel

   Wir entwickeln die 4-reihige Determinante D ¼   

1 4 9 8

2 0 0 1

0 3 0 3

D ¼ a31 A31 þ a32 A32 þ a33 A33 þ a34 A34 ¼ |{z} |{z} |{z} |{z} 9 0 0 4    2 0 1   1   A31 ¼ þ  0 3 A34 ¼   4 2  ¼  21 ; 1 8 3 1

1 2 4 1

    nach den Elementen der 3. Zeile:   

9 A31 þ 4 A34

2 0 1

0 3 3

   ¼ 69  

D ¼ 9 A31 þ 4 A34 ¼ 9  ð 21Þ þ 4  ð69Þ ¼  189 þ 276 ¼ 87 &

2.5 Rechenregeln fu¨r n-reihige Determinanten Regel 1: Der Wert einer Determinante a¨ndert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander vertauscht werden („Stu¨rzen“ einer Determinante): det A ¼ det A T Regel 2: Beim Vertauschen zweier Zeilen (oder Spalten) a¨ndert eine Determinante ihr Vorzeichen. Regel 3: Werden die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit einem Skalar l multipliziert, so multipliziert sich die Determinante mit l. Regel 4: Eine Determinante wird mit einem Skalar l multipliziert, indem man die Elemente einer beliebigen Zeile (oder Spalte) mit l multipliziert. Regel 5: Besitzen die Elemente einer Zeile (oder Spalte) einen gemeinsamen Faktor l, so darf dieser vor die Determinante gezogen werden:

2 Determinanten

209

Regel 6: Eine Determinante besitzt den Wert Null, wenn sie eine der folgenden Bedingungen erfu¨llt: 1. Alle Elemente einer Zeile (oder Spalte) sind Null. 2. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind gleich. 3. Zwei Zeilen (oder Spalten) sind zueinander proportional. 4. Eine Zeile (oder Spalte) ist als Linearkombination der u¨brigen Zeilen (bzw. Spalten) darstellbar. Regel 7: Der Wert einer Determinante a¨ndert sich nicht, wenn man zu einer Zeile (oder Spalte) ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert. Regel 8: Fu¨r zwei n-reihige Matrizen A und B gilt das Multiplikationstheorem: det ðA  BÞ ¼ ðdet AÞ  ðdet BÞ Das heißt die Determinante eines Matrizenproduktes A  B ist gleich dem Produkt der Determinanten der beiden Faktoren A und B. Regel 9: Die Determinante einer n-reihigen Dreiecksmatrix A besitzt den Wert det A ¼ a11 a22 . . . an n Das heißt die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt der Hauptdiagonalelemente. Regel 10: Fu¨r die Determinante der inversen Matrix von A gilt: det ðA  1 Þ ¼

&

1 det A

ðdet A 6¼ 0Þ

Beispiel 0

Mit

4 A ¼ @1 0

2 3 1

1 5 7A 2

0

und

1 B ¼ @1 4

0 2 1

1 3 5A 8

berechnen wir die Determinante des Matrizenpro-

dukt A  B unter Verwendung des Multiplikationstheorems (Regel 8):     4 2 5   1 0 3     det ðA  BÞ ¼ ðdet AÞ  ðdet BÞ ¼  1 3 7    1 2 5 0 1 2   4 1 8 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} 5 6

    ¼ 5  ð 6Þ ¼  30  

&

210

VII Lineare Algebra

2.6 Regeln zur praktischen Berechnung einer n-reihigen Determinante 2.6.1 Elementare Umformungen einer n-reihigen Determinante Der Wert einer n-reihigen Determinante a¨ndert sich nicht, wenn man eine der nachfolgenden elementaren Umformungen vornimmt: 1. Ein den Elementen einer Zeile (oder Spalte) gemeinsamer Faktor l darf vor die Determinante gezogen werden (Regel 5). 2. Zu einer Zeile (oder Spalte) darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Zeile (bzw. anderen Spalte) addiert werden (Regel 7). 3. Zwei Zeilen (oder Spalten) du¨rfen miteinander vertauscht werden, wenn man zugleich das Vorzeichen der Determinante a¨ndert (Folgerung aus Regel 2).

2.6.2 Reduzierung und Berechnung einer n-reihigen Determinante Die Berechnung einer n-reihigen Determinante kann fu¨r n > 3 nach dem folgenden Schema erfolgen: 1. Mit Hilfe elementarer Umformungen werden zuna¨chst die Elemente einer Zeile (oder Spalte) bis auf ein Element zu Null gemacht. 2. Dann wird die n-reihige Determinante nach den Elementen dieser Zeile (oder Spalte) entwickelt. Man erha¨lt genau eine ðn  1Þ-reihige Unterdeterminante. 3. Das unter 1. und 2. beschriebene Verfahren wird nun auf die ðn  1Þ-reihige Unterdeterminante angewandt und fu¨hrt zu einer ðn  2Þ-reihigen Unterdeterminante. Durch wiederholte Reduzierung gelangt man schließlich zu einer einzigen 3-reihigen Determinante, deren Wert dann nach der Regel von Sarrus berechnet wird. Hinweis: Um in einer Zeile (bzw. Spalte) Nullen zu erzeugen, sind Spalten (bzw. Zeilen) zu addieren. &

Beispiel

  1   2 Die 4-reihige Determinante det A ¼   3  1

4 1 2 5

3 1 2 4

2 1 2 1

       

la¨sst sich wie folgt mit Hilfe elementarer Um-

formungen auf eine 3-reihige Determinante zuru¨ckfu¨hren: Wir addieren zur zweiten, dritten und vierten Zeile der Reihe nach das ð 2Þ-fache, 3-fache bzw. 1-fache der 1. Zeile und entwickeln die Determinante anschließend nach den Elementen der 1. Spalte:     det A ¼   

1 0 0 0

4 7 14 1

3 7 11 1

2 5 4 3

      7 7 5      ¼ 1   14 11 4  ¼ 1  78 ¼ 78     1 1 3  |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 78

Die Berechnung der 3-reihigen Determinante erfolgte dabei nach der Regel von Sarrus. &

3 Lineare Gleichungssysteme

211

3 Lineare Gleichungssysteme 3.1 Grundbegriffe 3.1.1 Definition eines linearen Gleichungssystems Ein aus m linearen Gleichungen mit n Unbekannten x1 ; x2 ; . . . ; xn bestehendes System a11 x1 þ a12 x2 þ . . . þ a1 n xn ¼ c1 a21 x1 þ a22 x2 þ . . . þ a2 n xn ¼ c2 .. .. .. .. . . . . am 1 x1 þ am 2 x2 þ . . . þ am n xn ¼ cm

Ax ¼ c

oder

heißt lineares Gleichungssystem oder lineares ðm; nÞ-System. Bezeichnungen aik : A: x: c:

Koeffizienten des linearen Gleichungssystems ði ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; nÞ Koeffizientenmatrix des Systems Lo¨sungsvektor Spaltenvektor aus den absoluten Gliedern des Systems 0 B B A ¼ B @

a11 a21 .. .

a12 a22 .. .

am 1

am 2

... ... ...

1 a1 n a2 n C C .. C ; . A

0

1 x1 B x2 C B C x ¼ B .. C ; @ . A

am n

Erweiterte Koeffizientenmatrix (A j c) 0 a11 a12 . . . a1 n B a21 a22 . . . a2 n B ðA j cÞ ¼ B .. .. .. @ . . .

am 1 am 2 . . . am n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} A

0

1 c1 B c2 C B C c ¼ B .. C @ . A

xn

       

c1 c2 .. .

cm

1 C C C A

cm |{z} c

Die erweiterte Koeffizientenmatrix ðA j cÞ spielt eine entscheidende Rolle bei der Untersuchung des Lo¨sungsverhaltens eines linearen ðm; n)-Systems (siehe VII.3.2). 3.1.2 Spezielle lineare Gleichungssysteme Homogenes System: A x ¼ 0 (alle ci ¼ 0, d. h. c ¼ 0) Inhomogenes System: A x ¼ c (nicht alle ci ¼ 0, d. h. c 6¼ 0) Quadratisches System: m ¼ n (auch ðn; nÞ-System genannt)

212

VII Lineare Algebra

3.2 Lo¨sungsverhalten eines linearen (m, n)-Gleichungssystems 3.2.1 Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit eines linearen (m, n)-Systems A x = c Rg ðAÞ ¼ Rg ðA j cÞ ¼ r Ein lineares Gleichungssystem ist stets lo¨sbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ðA j cÞ u¨bereinstimmt. Bei einem homogenen System A x ¼ 0 ist die Lo¨sbarkeitsbedingung immer erfu¨llt. Ein homogenes System ist daher stets lo¨sbar. 3.2.2 Lo¨sungsmenge eines linearen (m, n)-Systems A x = c Lineares ðm; nÞ-System Ax¼c ? Rg ðAÞ ¼ Rg ðA j cÞ ¼ r ?

? r ¼ n Genau eine Lo¨sung

? Rg ðAÞ 6¼ Rg ðA j cÞ

? r < n Unendlich viele Lo¨sungen mit n  r Parametern

? Keine Lo¨sung

Der im Schema durch den gestrichelten Weg angedeutete Fall kann nur fu¨r ein inhomogenes System eintreten (ein homogenes System ist stets lo¨sbar). Im einzelnen gilt somit: Homogenes lineares (m, n)-Gleichungssystem A x = 0 Das homogene System besitzt entweder genau eine Lo¨sung, na¨mlich die triviale Lo¨sung x ¼ 0, oder unendlich viele Lo¨sungen (darunter die triviale Lo¨sung). Inhomogenes lineares (m, n)-Gleichungssystem A x = c (c =/ 0) Das inhomogene System besitzt entweder genau eine Lo¨sung oder unendlich viele Lo¨sungen oder keine Lo¨sung. &

Beispiele (1)

Wir pru¨fen, ob das inhomogene lineare (2,3)-System x1  2 x 2 þ x1 þ lo¨sbar ist.

x3 ¼ 1

x2  4 x 3 ¼ 8

3 Lineare Gleichungssysteme

213

Dazu bestimmen wir den Rang der Matrizen A und ðA j cÞ mit Hilfe elementarer Umformungen:  ðA j cÞ ¼

 )

1 0

2 3

  1  1 5  7

}

  1 2 1  1 1 1 4  8  Z1 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} A c

Die Matrizen ðA j cÞ und A besitzen jetzt Trapezform. Es ist Rg ðAÞ ¼ Rg ðA j cÞ ¼ 2. Das Gleichungssystem ist somit lo¨sbar. Wegen n  r ¼ 3  2 ¼ 1 erhalten wir unendlich viele Lo¨sungen mit einem Parameter. (2)

Wir zeigen, dass das inhomogene lineare (3,2)-System 0 1 0 1 1 2   4 x @5 9A ¼ @ 9A y 10 2 3 nicht lo¨sbar ist:

 1 1 2  4 ðA j cÞ ¼ @ 5 9  9 A  5 Z1 2 3  10  2 Z1 |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} |{z} A c 0

0

1 ) @0 0

2 1 7

 1  4   11 A   18  7 Z2

0

1 ) @0 0

2 1 0

 1  4   11 A   59

Die Matrizen ðA j cÞ und A besitzen jetzt Trapezform. Es ist Rg ðAÞ ¼ 2; Rg ðA j cÞ ¼ 3 und somit Rg ðAÞ 6¼ Rg ðA j cÞ: Das lineare Gleichungssystem ist daher nicht lo¨sbar. &

3.3 Lo¨sungsverhalten eines quadratischen linearen Gleichungssystems Fu¨r den Spezialfall eines quadratischen ðn; nÞ-Systems gilt das folgende Kriterium fu¨r die Lo¨sbarkeit und Lo¨sungsmenge: Lineares ðn; nÞ-System Ax¼c ? det A 6¼ 0 (A ist regula¨r) ? Genau eine Lo¨sung

? det A ¼ 0 (A ist singula¨r) ? Rg ðAÞ ¼ Rg ðA j cÞ ¼ r < n Unendlich viele Lo¨sungen mit n  r Parametern

? Rg ðAÞ 6¼ Rg ðA j cÞ Keine Lo¨sung

Ein homogenes lineares ðn; nÞ-System A x ¼ 0 ist stets lo¨sbar. Fu¨r det A 6¼ 0 erha¨lt man als einzige Lo¨sung die triviale Lo¨sung x ¼ 0, im Falle det A ¼ 0 besitzt das homogene System unendlich viele Lo¨sungen mit n  r Parametern. Der durch den gestrichelten Weg angedeutete Fall kann nur fu¨r ein inhomogenes System eintreten.

214 &

VII Lineare Algebra Beispiel x1  2 x 2 þ x 3 ¼ 6 2 x1 þ x2  x3 ¼ 3  x1  4 x2 þ 3 x3 ¼ 14

  1  det A ¼  2  1

)

2 1 4

1 1 3

    ¼ 2  

Das vorliegende quadratische lineare Gleichungssystem besitzt wegen det A ¼ 2 6¼ 0 eine regula¨re Koeffizientenmatrix A und somit genau eine Lo¨sung. &

3.4 Lo¨sungsverfahren fu¨r ein lineares Gleichungssystem nach Gauß (Gaußscher Algorithmus) 3.4.1 quivalente Umformungen eines linearen (m, n)-Systems Umformungen, die die Lo¨sungsmenge eines linearen ðm; nÞ-Systems nicht vera¨ndern, heißen a¨quivalente Umformungen. Zu ihnen geho¨ren: 1. Zwei Gleichungen du¨rfen miteinander vertauscht werden. 2. Jede Gleichung darf mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl multipliziert oder durch eine solche Zahl dividiert werden. 3. Zu jeder Gleichung darf ein beliebiges Vielfaches einer anderen Gleichung addiert werden. 3.4.2 Gaußscher Algorithmus Ein lineares ðm; nÞ-Gleichungssystem A x ¼ c la¨sst sich stets mit Hilfe a¨quivalenter Umformungen in ein a¨quivalentes gestaffeltes Gleichungssystem A * x ¼ c * vom Typ * x2 þ . . . þ a 1*r xr þ a *1; r þ 1 xr þ 1 þ . . . þ a *1 n xn ¼ c 1* a *11 x1 þ a 12 * x2 þ . . . þ a *2 r xr þ a *2; r þ 1 xr þ 1 þ . . . þ a 2*n xn ¼ c 2* a 22   

  

  

  

* xn ¼ c r* a r*r xr þ a *r; r þ 1 xr þ 1 þ . . . þ a rn 0

¼ c *r þ 1

0

¼ c *r þ 2

  

   ¼ c m*

0

u¨berfu¨hren ða *i i 6¼ 0 fu¨r i ¼ 1; 2; . . . ; rÞ, wobei gegebenenfalls auch Spaltenvertauschungen, d. h. Umnumerierungen der Unbekannten notwendig sind. Es ist dann und nur * ¼ 0 ist. Im Falle der Lo¨sbarkeit erha¨lt dann lo¨sbar, wenn c *r þ 1 ¼ c r*þ 2 ¼ . . . ¼ c m man somit ein gestaffeltes Gleichungssystem mit r Gleichungen und n Unbekannten, das sukzessiv von unten nach oben gelo¨st werden kann.

3 Lineare Gleichungssysteme

215

Dabei sind noch zwei Fa¨lle zu unterscheiden: 1. Fall: r = n Das gestaffelte System besteht aus n Gleichungen mit n Unbekannten und besitzt genau eine Lo¨sung. 2. Fall: r < n Das gestaffelte System entha¨lt weniger Gleichungen ðrÞ als Unbekannte ðnÞ. Daher sind n  r der Unbekannten, z. B. xr þ 1 ; xr þ 2 ; . . . ; xn , frei wa¨hlbare Gro¨ßen (Parameter). Man erha¨lt dann unendlich viele Lo¨sungen mit n  r Parametern. Beschreibung des Eliminationsverfahrens von Gauß 1. Im 1. Rechenschritt wird z. B. die Unbekannte x1 eliminiert, indem man zur i-ten Gleichung das  ðai 1 =a11 Þ-fache der 1. Gleichung addiert ða11 6¼ 0; i ¼ 2; 3; . . . ; mÞ. Bei der Addition verschwindet dann jeweils x1 . 2. Das unter 1. beschriebene Verfahren wird jetzt auf das reduzierte Gleichungssystem, bestehend aus m  1 Gleichungen mit den n  1 Unbekannten x2 ; x3 ; . . . ; xn , angewandt. Dadurch wird die na¨chste Unbekannte (z. B. x2 ) eliminiert (Voraussetzung: a22 6¼ 0Þ. Nach insgesamt m  1 Schritten bleibt eine Gleichung mit einer oder mehreren Unbekannten u¨brig. 3. Die Eliminationsgleichungen bilden dann zusammen mit der letzten Gleichung ein gestaffeltes lineares Gleichungssystem, aus dem sich die Unbekannten sukzessiv von unten nach oben berechnen lassen. 4. Sollte bei einem Schritt die weiter oben genannte Voraussetzung (Diagonalelement 6¼ 0) nicht erfu¨llt sein, so muss eine Zeilenvertauschung vorgenommen werden, um zu einem von Null verschiedenen Pivotelement zu gelangen. Der Prozeß endet, wenn eine solche Vertauschung nicht mehr mo¨glich ist. Anmerkungen (1) (2)

Es spielt keine Rolle, in welcher Reihenfolge die Unbekannten eliminiert werden. Den a¨quivalenten Umformungen eines linearen Gleichungssystems A x ¼ c entsprechen in der Matrizendarstellung elementare Zeilenumformungen in der erweiterten Koeffizientenmatrix ðA j cÞ. Damit ergibt sich der folgende Lo¨sungsweg: 1. Zuna¨chst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix ðA j cÞ mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen in die Trapezform ðA * j c *Þ gebracht (dies ist im Falle der Lo¨sbarkeit stets mo¨glich). 2. Anschließend wird das a¨quivalente gestaffelte System A * x ¼ c * sukzessiv von unten nach oben gelo¨st.

216 &

VII Lineare Algebra Beispiele (1)

Wir lo¨sen das lineare (3,3)-Gleichungssystem x1  2 x2 þ 2 x1 þ

x2 

x3 ¼

6

x3 ¼ 3

 x1  4 x2 þ 3 x3 ¼ 14 mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus. Das System besitzt wegen det A ¼ 2 6¼ 0 genau eine Lo¨sung. Wir verwenden hier das „elementare“ Rechenschema mit Zeilensummenprobe (E : eliminierte Gleichung; ci : Absolutglied; si : Zeilensumme): x1

x2

x3

1

2

1

6

6

2

1

1

 3

 1

2

4

2

12

12

1

4

3

14

12

1

2

1

6

6

5

3

15

13

6

4

20

18

E1

 2  E1

E1 E2 1;2  E2

6

ci

si

3;6

18

15;6

0;4

2

2;4

Die grau unterlegten Zeilen bilden das gesuchte gestaffelte System.

Gestaffeltes System x1  2 x2 þ

Lo¨sung: (2)

6

)

x1 ¼ 1

5 x2  3 x3 ¼ 15

x3 ¼

)

x2 ¼ 0

0;4 x3 ¼

)

x3 ¼ 5

x1 ¼ 1 ;

2

x2 ¼ 0 ;

" "

x3 ¼ 5

Ist das homogene lineare (4,3)-Gleichungssystem x1 þ

x2 þ 2 x3 ¼ 0 x2 

x3 ¼ 0

3 x1 þ 4 x2 þ 5 x3 ¼ 0 3 x1 þ 5 x2 þ 4 x3 ¼ 0 nicht-trivial lo¨sbar? Zuna¨chst bringen 0 1 B0 B A ¼@ 3 3

wir die Koeffizientenmatrix A 1 0 1 2 1 C B0 1 1 C B ) @ 4 5 A  3 Z1 0 5 4  3 Z1 0

auf Trapezform: 1 1 2 1 1 C C 1 1 A  Z2 2 2  2 Z2

0 )

1 B0 B @0 0

1 1 0 0

1 2 1 C C 0A 0

Nullzeilen

Es ist r ¼ Rg ðAÞ ¼ 2; n ¼ 3, d. h. r < n. Das homogene System ist somit nicht-trivial lo¨sbar. Das gestaffelte Gleichungssystem x1 þ x2 þ 2 x3 ¼ 0 x2  wird gelo¨st durch

x3 ¼ 0 x1 ¼  3 l;

x2 ¼ l;

x3 ¼ l

ðx3 wurde als Parameter gewa¨hlt; l 2 RÞ. &

3 Lineare Gleichungssysteme

217

3.5 Cramersche Regel Ein quadratisches lineares ðn; nÞ-Gleichungssystem A x ¼ c mit regula¨rer Koeffizientenmatrix A besitzt die eindeutig bestimmte Lo¨sung xi ¼

Di D

ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

(Cramersche Regel; nur fu¨r kleines n praktikabel). D: Di :

Koeffizientendeterminante (D ¼ det A 6¼ 0Þ Hilfsdeterminante, die aus D hervorgeht, indem man die i-te Spalte durch die Absolutglieder c1 ; c2 ; . . . ; cn des Gleichungsystems ersetzt.

&

Beispiel Das quadratische lineare Gleichungssystem 2 x1 þ x1 

x2 þ

x3 ¼

2

x2 þ 3 x3 ¼ 7

5 x 1 þ 2 x 2 þ 4 x3 ¼

1

besitzt eine regula¨re Koeffizientenmatrix A und ist somit eindeutig lo¨sbar:   2 1 1   D ¼ det A ¼  1 1 3  ¼  2 6¼ 0 5 2 4 Berechnung der beno¨tigten Hilfsdeterminanten:    2 1 1    D2 ¼ D1 ¼  7 1 3  ¼  2 ;  1 2 4 Lo¨sung:

x1 ¼

D1 2 ¼ 1; ¼ 2 D

x2 ¼

 2  1  5

2 7 1

1 3 4

D2 4 ¼ 2; ¼ 2 D

    ¼ 4;   x3 ¼

 2  D3 ¼  1 5

1 1 2

D3 4 ¼ 2 ¼ 2 D

2 7 1

    ¼ 4  

&

3.6 Lineare Unabha¨ngigkeit von Vektoren n Vektoren a1 ; a2 ; . . . ; an aus dem m-dimensionalen Raum R m heißen linear unabha¨ngig, wenn die lineare Vektorgleichung l1 a1 þ l2 a2 þ . . . þ ln an ¼ 0 nur fu¨r l1 ¼ l2 ¼ . . . ¼ ln ¼ 0 erfu¨llt werden kann. Verschwinden jedoch nicht alle Koeffizienten in dieser Gleichung, so heißen die Vektoren linear abha¨ngig. Im Falle der linearen Abha¨ngigkeit gibt es also mindestens einen von Null verschiedenen Koeffizienten. Entha¨lt das Vektorsystem a1 ; a2 ; . . . ; an den Nullvektor oder zwei gleiche (oder kollineare) Vektoren oder ist mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der u¨brigen darstellbar, so sind die Vektoren linear abha¨ngig.

218

VII Lineare Algebra

Kriterium fu¨r linear unabha¨ngige Vektoren Die n Vektoren a1 ; a2 ; . . . ; an des Raumes R m werden zu einer Matrix A vom Typ ðm; nÞ zusammengefaßt. Der Rang r dieser Matrix entscheidet dann daru¨ber, ob die Vektoren linear unabha¨ngig sind oder nicht. Es gilt: r ¼ n

, linear unabha¨ngig

r < n

, linear abha¨ngig

Ist A quadratisch, d. h. liegen n Vektoren des R n vor, so gelten folgende Aussagen: 1. A ist regula¨r, d. h. det A 6¼ 0

,

2. A ist singula¨r, d. h. det A ¼ 0

, linear abha¨ngig

linear unabha¨ngig

3. Im R n gibt es maximal n linear unabha¨ngige Vektoren. Mehr als n Vektoren sind immer linear abha¨ngig. &

Beispiel

0 1 1 a1 ¼ @ 0 A ; 1

 1  det A ¼  0 1

0 1 2 a2 ¼ @ 1 A ; 3 2 1 3

4 1 1

0 1 4 a3 ¼ @ 1 A 1

    ¼  4 6¼ 0  

)

A

0

)

1 A ¼ @0 1

2 1 3

1 4 1A 1

ist regula¨r

Die drei Vektoren des 3-dimensionalen Raumes sind daher linear unabha¨ngig.

&

4 Komplexe Matrizen 4.1 Definition einer komplexen Matrix Eine ðm; nÞ-Matrix A mit komplexen Elementen ai k ¼ bi k þ j  ci k heißt komplexe Matrix ðbi k ; ci k 2 R; j: imagina¨re EinheitÞ: A ¼ ðai k Þ ¼ ðbi k þ j  ci k Þ ¼ ðbi k Þ þ j  ðci k Þ ¼ B þ j  C  B ¼ ðbi k Þ: Realteil von A ðbi k 2 RÞ i ¼ 1; 2; . . . ; m; k ¼ 1; 2; . . . ; n C ¼ ðci k Þ: Imagina¨rteil von A ðci k 2 RÞ B und C sind reelle Matrizen vom gleichen Typ wie A. &

Beispiel A ¼



1 þ 2j 4  3j

2 þ 2j 5j



 ¼

1 4

2 5



 þ

2j 3 j

2j j

   2 2 1 2 ¼ BþjC þj 3 1 4 5 |fflffl{zfflffl} |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} & B C



 ¼

4 Komplexe Matrizen

219

4.2 Rechenoperationen und Rechenregeln fu¨r komplexe Matrizen Die fu¨r reelle Matrizen geltenden Rechenoperationen, Rechenregeln und Aussagen lassen sich sinngema¨ß auch auf komplexe Matrizen u¨bertragen (siehe hierzu VII.1): 1. Komplexe Matrizen vom gleichen Typ werden elementweise addiert und subtrahiert. 2. Die Multiplikation einer komplexen Matrix mit einem (reellen oder komplexen) Skalar erfolgt elementweise. 3. Zwei komplexe Matrizen werden wie im Reellen multipliziert, indem man die Zeilenvektoren des linken Faktors der Reihe nach skalar mit den Spaltenvektoren des rechten Faktors multipliziert (unter den in Abschnitt VII.1.3.3 genannten Voraussetzungen). 4. Spiegelt man die Elemente einer komplexen Matrix A an der Hauptdiagonalen, so erha¨lt man ihre Transponierte A T . 5. Fu¨r eine quadratische komplexe Matrix la¨sst sich wie im Reellen eine Determinante bilden, die i. Allg. jedoch einen komplexen Wert besitzen wird. &

Beispiel Matrizenprodukt C ¼ A  B (Falk-Schema, siehe VII.1.3.3): B

A

j

5j

2

1j

1 þ 2j

3j

4

j

9 þ 5j

2  2j

1þj

4 þ 4j

10  12 j

c11 ¼ ð1 þ 2 jÞ j þ ð3  jÞ 2 ¼ ¼ j þ 2 j2 þ 6  2 j ¼ ¼ j  2 þ 6  2j ¼ 4  j analog: c12 , c21 , c22

C ¼ AB

&

4.3 Konjugiert komplexe Matrix Die Matrixelemente ai k ¼ bi k þ j  ci k werden durch die konjugiert komplexen Elemente a *i k ¼ bi k  j  ci k ersetzt: A * ¼ ða *i k Þ ¼ ðbi k  j  ci k Þ ¼ ðbi k Þ  j ðci k Þ bzw. A * ¼ ðB þ j  CÞ * ¼ B  j  C Der bergang A ! A * wird als Konjugation bezeichnet. Rechenregeln ðA *Þ * ¼ A ; &

Beispiel A ¼



1þj

ðA1 þ A2 Þ * ¼ A *1 þ A *2 ;

5

2  j 3  2j



 ! A* ¼

1j

5

ðA1  A2 Þ * ¼ A *1  A *2



2 þ j 3 þ 2j &

220

VII Lineare Algebra

4.4 Konjugiert transponierte Matrix Die komplexe Matrix A ¼ ðai k Þ wird zuna¨chst konjugiert, dann transponiert: Konjugieren

A

Transponieren

! A*

ai k ! a *i k ! a *k i

! ðA *Þ T ¼ A

)

ai k ¼ a *k i

Die Operationen „Konjugieren“ und „Transponieren“ sind vertauschbar: ðA *Þ

T

¼ ðA T Þ *

Rechenregeln A ¼ A; &

Beispiel

ð A1 þ A2 Þ ¼ A1 þ A2 ;



A ¼

1 þ j 2 þ 3j 4j



5

 ! A* ¼

ð A1  A2 Þ ¼ A2  A1

1  j 2  3j 4þj

5



 ! ðA *Þ T ¼ A ¼

1

j

2  3j

4þj



5 &

4.5 Spezielle komplexe Matrizen 4.5.1 Hermitesche Matrix Eine n-reihige komplexe Matrix A ¼ ðai k Þ heißt hermitesch, wenn A ¼ A

oder

ai k ¼ a *k i

fu¨r alle i; k gilt. Eigenschaften (1)

Alle Hauptdiagonalelemente ai i sind reell.

(2)

Die komplexe Matrix A ¼ B þ j  C ist dann und nur dann hermitesch, wenn der Realteil B symmetrisch und der Imagina¨rteil C schiefsymmetrisch ist.

(3)

Die Determinante einer hermiteschen Matrix ist reell.

(4)

Im Reellen fallen die Begriffe „hermitesch“ und „symmetrisch“ zusammen.

4.5.2 Schiefhermitesche Matrix Eine n-reihige komplexe Matrix A ¼ ðai k Þ heißt schiefhermitesch, wenn A ¼ A

oder

fu¨r alle i; k gilt.

ai k ¼  a *k i

5 Eigenwertprobleme

221

Eigenschaften (1)

Alle Hauptdiagonalelemente ai i sind imagina¨r.

(2)

Eine komplexe Matrix A ¼ B þ j  C ist dann und nur dann schiefhermitesch, wenn der Realteil B schiefsymmetrisch und der Imagina¨rteil C symmetrisch ist.

(3)

Im Reellen fallen die Begriffe „schiefhermitesch“ und „schiefsymmetrisch“ zusammen.

4.5.3 Unita¨re Matrix Eine n-reihige komplexe Matrix A ¼ ðai k Þ heißt unita¨r, wenn AA ¼ E gilt (E ist die n-reihige Einheitsmatrix). Eigenschaften (1)

A ist regula¨r, die Inverse A  1 existiert somit und es gilt A  1 ¼ A. Die Inverse A  1 ist ebenfalls unita¨r. Die Matrizen A und A sind kommutativ: A  A ¼ A  A ¼ E.

(2)

Es ist stets j det A j ¼ 1.

(3)

Im Reellen fallen die Begriffe „unita¨r“ und „orthogonal“ zusammen.

(4)

Das Produkt unita¨rer Matrizen ist immer unita¨r.

5 Eigenwertprobleme 5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Ist A eine n-reihige (reelle oder komplexe) Matrix und E die n-reihige Einheitsmatrix, so wird durch die Matrizengleichung Ax ¼ lx

oder

ðA  l EÞ x ¼ 0

ein sog. n-dimensionales Eigenwertproblem beschrieben. Diese auch als Eigenwertgleichung bezeichnete Gleichung repra¨sentiert ein homogenes lineares Gleichungssystem mit dem noch unbekannten Parameter l. Bezeichnungen l: x 6¼ 0: A  l E:

Eigenwert der Matrix A Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert l Charakteristische Matrix von A

222

VII Lineare Algebra

Die Eigenwerte und Eigenvektoren lassen sich schrittweise wie folgt berechnen: 1. Die Eigenwerte sind die Lo¨sungen der sog. charakteristischen Gleichung det ðA  l EÞ ¼ 0 (algebraische Gleichung n-ten Grades mit n Lo¨sungen l 1 ; l 2 ; . . . ; l n ). 2. Einen zum Eigenwert l i geho¨renden Eigenvektor x i erha¨lt man als Lo¨sungsvektor des homogenen linearen Gleichungssystems ðA  l i EÞ x i ¼ 0

ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Er wird u¨blicherweise in der normierten Form angegeben. (Bei einem mehrfachen Eigenwert ko¨nnen auch mehrere Eigenvektoren auftreten, siehe weiter unten). Die Eigenwerte der Matrix A sind also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p ðlÞ ¼ det ðA  l EÞ. Die Eigenwerte und Eigenvektoren besitzen die folgenden Eigenschaften: 1. Die Spur der Matrix A ist gleich der Summe aller Eigenwerte: Sp ðAÞ ¼ l 1 þ l 2 þ . . . þ l n 2. Die Determinante von A ist gleich dem Produkt aller Eigenwerte: det A ¼ l 1 l 2 . . . l n 3. Sind alle Eigenwerte voneinander verschieden, so geho¨rt zu jedem Eigenwert ein Eigenvektor, der bis auf einen beliebigen von Null verschiedenen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist. Die n Eigenvektoren werden u¨blicherweise normiert und sind linear unabha¨ngig. 4. Tritt ein Eigenwert dagegen k-fach auf, so geho¨ren hierzu mindestens ein, ho¨chstens aber k linear unabha¨ngige Eigenvektoren. 5. Die zu verschiedenen Eigenwerten geho¨renden Eigenvektoren sind immer linear unabha¨ngig. Ist A eine regula¨re Matrix, so sind alle Eigenwerte von Null verschieden (und umgekehrt). Die Kehrwerte der Eigenwerte einer regula¨ren Matrix A sind die Eigenwerte der zugeho¨rigen inversen Matrix A 1 . &

Beispiel  Wie lauten die Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix A ¼ Charakteristische Matrix:    2 5 1 A  lE ¼ l 1 4 0

0 1



 ¼

2

5

1

4

2  l

5

1

4l



 ?

5 Eigenwertprobleme

223

Charakteristische Gleichung mit Lo¨sungen:   2  l 5 det ðA  l EÞ ¼  1 4l l1 ¼ 1 ;

   ¼ ð2  lÞ ð4  lÞ þ 5 ¼ l 2  2 l  3 ¼ 0 

)

l2 ¼ 3 l1 ¼ 1 ;

Eigenwerte der Matrix A:

l2 ¼ 3

Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert

l1 ¼ 1:

ðA  l1 EÞ x ¼ ðA þ EÞ x ¼ 0      x1 1 5 0 oder ¼ 1 5 x2 0

x1 þ 5 x2 ¼ 0

x1 ¼ 5 a ; x2 ¼ a   5 1 x~1 ¼ pffiffiffiffiffi 1 26

Lo¨sung (bitte nachrechnen): Normierter Eigenvektor:

 x1  5 x2 ¼ 0 ða 2 RÞ

Analog wird der (normierte) Eigenvektor zum Eigenwert l2 ¼ 3 bestimmt:

1 ~x2 ¼ pffiffiffi 2



1 1

 .

Ergebnis: Das 2-dimensionale Eigenwertproblem fu¨hrt zu zwei verschiedenen Eigenwerten l1 ¼ 1 und l2 ¼ 3, die zugeho¨rigen Eigenvektoren ~x1 und ~x2 sind daher linear unabha¨ngig. &

5.2 Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller n-reihiger Matrizen Bei einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Die Eigenwerte sind identisch mit den Hauptdiagonalelementen: li ¼ ai i ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ Bei einer symmetrischen Matrix Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen symmetrischen Matrix A besitzen die folgenden Eigenschaften: 1. Alle n Eigenwerte sind reell. 2. Es gibt insgesamt genau n linear unabha¨ngige Eigenvektoren. 3. Zu jedem einfachen Eigenwert geho¨rt genau ein linear unabha¨ngiger Eigenvektor, zu jedem k-fachen Eigenwert dagegen genau k linear unabha¨ngige Eigenvektoren. 4. Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten geho¨ren, sind orthogonal. Bei einer hermiteschen Matrix Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer n-reihigen hermiteschen Matrix A besitzen die folgenden Eigenschaften: 1. Alle n Eigenwerte sind reell. 2. Es gibt insgesamt genau n linear unabha¨ngige Eigenvektoren. 3. Zu jedem einfachen Eigenwert geho¨rt genau ein linear unabha¨ngiger Eigenvektor, zu jedem k-fachen Eigenwert dagegen stets k linear unabha¨ngige Eigenvektoren.

224

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen 1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl 1.1 Algebraische oder kartesische Form Im(z)

z ¼ x þ jy j: Imagina¨re Einheit 1Þ mit j 2 ¼  1 x : Realteil von z ðRe ðzÞ ¼ xÞ y: Imagina¨rteil von z ðIm ðzÞ ¼ yÞ

a) x

Eine komplexe Zahl z ¼ x þ j y la¨sst sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen Bildpunkt P ðzÞ ¼ ðx; yÞ (Bild a)) oder durch einen vom Koordinatenursprung 0 zum Bildpunkt PðzÞ gerichteten Zeiger z ¼ x þ j y (unterstrichene komplexe Zahl, Bild b)) bildlich darstellen. Die La¨nge des Zeigers heißt der Betrag j z j der komplexen Zahl z ¼ x þ j y: jzj ¼

P(z)

y

Re(z)

Im(z) z = x + jy

y

z

b)

x

Re(z)

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y2

Im(z)

Spezialfa¨lle

z = jy (Imaginäre Zahl)

Reelle Zahl: Im ðzÞ ¼ 0 z ¼ x þ j0  x Imagina¨re Zahl: Re ðzÞ ¼ 0

z=x (Reelle Zahl)

z ¼ 0 þ jy  jy

Re(z)

Menge der komplexen Zahlen C ¼ 1Þ



z j z ¼ x þ jy

mit



x; y 2 R

Das in der reinen Mathematik u¨bliche Symbol i fu¨r die imagina¨re Einheit wird in der Technik nicht verwendet, um Verwechslungen mit der Stromsta¨rke i zu vermeiden.

1 Darstellungsformen einer komplexen Zahl

225

Gleichheit zweier komplexer Zahlen Zwei komplexe Zahlen z1 und z2 heißen genau dann gleich, z1 ¼ z2 , wenn ihre Bildpunkte zusammenfallen, d. h. x1 ¼ x2 und y1 ¼ y2 ist ( bereinstimmung im Realteil und im Imagina¨rteil). Konjugiert komplexe Zahl

Im(z)

Die zu z ¼ x þ j y konjugiert komplexe Zahl z * liegt spiegelsymmetrisch zur reellen Achse. z und z * unterscheiden sich also in ihrem Imagina¨rteil durch das Vorzeichen:

z = x + jy

y

x

z * ¼ ðx þ j yÞ * ¼ x  j y Realteil und Betrag bleiben also erhalten: Re ðz *Þ ¼ Re ðzÞ ¼ x ;

–y

Re(z)

z = x – jy

jz*j ¼ jzj

Ferner gilt: ðz *Þ * ¼ z ;

z ¼ z*

,

z ist reell

In der reinen Mathematik verwendet man das Symbol z statt z *.

1.2 Polarformen In der Polarform erfolgt die Darstellung einer komplexen Zahl durch die Polarkoordinaten r und j, wobei die Winkelkoordinate j unendlich vieldeutig ist. Man beschra¨nkt sich bei der Winkelangabe daher meist auf den im Intervall ½0; 2 pÞ gelegenen Hauptwert (siehe I.9.1.2). Im technischen Bereich wird als Winkel j oft der kleinstmo¨gliche Drehwinkel angegeben (1. und 2. Quadrant: Drehung im Gegenuhrzeigersinn; 3. und 4. Quadrant: Drehung im Uhrzeigersinn). Die Winkel liegen dann im Intervall  p < j  p. 1.2.1 Trigonometrische Form Im(z)

z ¼ r ðcos j þ j  sin jÞ

z = r(cos f + j · sin f) r

r : Betrag von z ðr ¼ j z jÞ j: Argument ( Winkel, Phase) von z

f Re(z)

Konjugiert komplexe Zahl: z * ¼ r ðcos j  j  sin jÞ 1.2.2 Exponentialform Im(z)

z ¼ r  e jj

z = r·e jf

r : Betrag von z ðr ¼ j z jÞ j: Argument ( Winkel, Phase) von z Konjugiert komplexe Zahl:

z * ¼ r  e jj

r f Re(z)

226

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

Eulersche Formeln e j j ¼ cos j þ j  sin j ; Spezielle Werte:

e  j j ¼ cos j  j  sin j

1 ¼ 1  e j0 ;

 1 ¼ 1  e jp ;

j ¼ 1e

j

p 2

;

j ¼ 1  e

3 j p 2

1.3 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen 1.3.1 Polarform ! Kartesische Form Die Umrechnung aus der Polarform z ¼ r  e j j ¼ r ðcos j þ j  sin jÞ in die kartesische Form z ¼ x þ j y geschieht wie folgt („ausmultiplizieren“): z ¼ r  e j j ¼ r ðcos j þ j  sin jÞ ¼ r  cos j þ j  r  sin j ¼ x þ j y |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} x y &

Beispiel Wir bringen die komplexe Zahl z ¼ 3  e j 30 z ¼ 3e

j 30



auf die kartesische Form:

¼ 3 ðcos 30  þ j  sin 30  Þ ¼ 3  cos 30  þ j  3  sin 30  ¼ 2;598 þ 1;5 j &

1.3.2 Kartesische Form ! Polarform Die Umrechnung aus der kartesischen Form z ¼ x þ j y in eine der Polarformen z ¼ r ðcos j þ j  sin jÞ oder z ¼ r  e j j erfolgt mit Hilfe der Transformationsgleichungen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y2;

r ¼ jzj ¼

tan j ¼

y x

Die Winkelbestimmung (Hauptwert!) erfolgt am besten anhand einer Lageskizze oder nach den folgenden vom Quadrant abha¨ngigen Formeln (siehe hierzu auch I. 9.1.3):

&

Quadrant

I

II, III

IV

j ¼

arctan ðy=xÞ

arctan ðy=xÞ þ p

arctan ðy=xÞ þ 2 p

Beispiel Wir bringen die im zweiten Quadrant liegende komplexe Zahl z ¼  4 þ 3 j in die Polarform: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ j z j ¼ ð 4Þ 2 þ 3 2 ¼ 5

Im(z) z = –4 + 3 j r

3 ¼  0;75 ) 4 j ¼ arctan ð 0;75Þ þ p ¼ 2;498

tan j ¼

z ¼  4 þ 3 j ¼ 5 ðcos 2;498 þ j  sin 2;498Þ ¼ ¼ 5  e j 2;498

3

f –4

Re(z) &

2 Grundrechenarten fu¨r komplexe Zahlen

227

2 Grundrechenarten fu¨r komplexe Zahlen 2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1  z2 ¼ ðx1 þ j y1 Þ  ðx2 þ j y2 Þ ¼ ðx1  x2 Þ þ j ðy1  y2 Þ Regel: Zwei komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre Real- und Imagina¨rteile (jeweils fu¨r sich getrennt) addiert bzw. subtrahiert. Hinweis: Addition und Subtraktion sind nur in der kartesischen Form durchfu¨hrbar. Geometrische Deutung

Im(z)

Die Zeiger z 1 und z 2 werden nach der aus der Vektorrechnung bekannten Parallelogrammregel geometrisch addiert bzw. subtrahiert.

z1 + z 2 z2 z1 – z 2

Rechenregeln Kommutativgesetz z1 þ z2 ¼ z2 þ z1 Assoziativgesetz z1 þ ðz2 þ z3 Þ ¼ ðz1 þ z2 Þ þ z3

z1 Re(z)

2.2 Multiplikation komplexer Zahlen In kartesischer Form z1  z2 ¼ ðx1 þ j y1 Þ  ðx2 þ j y2 Þ ¼ ðx1 x2  y1 y2 Þ þ j ðx1 y2 þ x2 y1 Þ Regel: Wie im Reellen wird jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summand der zweiten Klammer unter Beachtung von j 2 ¼  1 multipliziert. &

Beispiel ð3  4 jÞ  ð2 þ 5 jÞ ¼ 6 þ 15 j  8 j  20 j 2 ¼ 6 þ 15 j  8 j þ 20 ¼ 26 þ 7 j |ffl{zffl}  20

&

In der Polarform z1  z2 ¼ ½ r1 ðcos j1 þ j  sin j1 Þ  ½ r2 ðcos j2 þ j  sin j2 Þ ¼ ¼ ðr1 r2 Þ  ½ cos ðj1 þ j2 Þ þ j  sin ðj1 þ j2 Þ z1  z2 ¼ ðr1  e j j1 Þ  ðr2  e j j2 Þ ¼ ðr1 r2 Þ  e j ðj1 þ j2 Þ Regel: Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Betra¨ge multipliziert und ihre Argumente (Winkel) addiert.

228

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

Geometrische Deutung

Im(z)

Der Zeiger z 1 ¼ r1  e streckung unterworfen:

j j1

z 2 · z1

wird einer Dreh-

1. Drehung des Zeigers um den Winkel j2 im positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) falls j2 > 0. Fu¨r j2 < 0 erfolgt die Drehung im negativen Drehsinn (Uhrzeigersinn).

r2 · r1

r1 f2

2. Streckung des Zeigers auf das r2 -fache. &

r1

z1

f1 Re(z)

Beispiel 



ð3  e j 30 Þ  ð5  e j 80 Þ ¼ ð3  5Þ  e j ð30



þ 80  Þ



¼ 15  e j 110 ¼ 15 ðcos 110  þ j  sin 110  Þ ¼

¼ 15  cos 110  þ ð15  sin 110  Þ j ¼  5;130 þ 14;095 j &

Rechenregeln z1 z2 ¼ z2 z1 z1 ðz2 z3 Þ ¼ ðz1 z2 Þ z3 z1 ðz2 þ z3 Þ ¼ z1 z2 þ z1 z3

Kommutativgesetz Assoziativgesetz Distributivgesetz Formeln (1)

z  z* ¼ x2 þ y2 ¼ jzj2

(2)

Potenzen von j: j 4 n ¼ 1;

j 2 ¼  1;

j 4 n þ 1 ¼ j;

)

jzj ¼

j 3 ¼  j;

j 4 n þ 2 ¼  1;

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z  z* j 4 ¼ 1;

j 5 ¼ j;

j 4nþ3 ¼  j

usw.

ðn 2 Z)

2.3 Division komplexer Zahlen In kartesischer Form z1 x1 þ j y1 ðx1 þ j y1 Þ  ðx2  j y2 Þ x1 x2 þ y1 y2 x2 y1  x1 y2 ¼ ¼ ¼ þj ðx2 þ j y2 Þ  ðx2  j y2 Þ z2 x2 þ j y2 x 22 þ y 22 x 22 þ y 22 Regel: Za¨hler und Nenner des Quotienten werden zuna¨chst mit dem konjugiert komplexen Nenner, d. h. der Zahl z *2 ¼ x2  j y2 multipliziert (dadurch wird der Nenner reell ): Ausnahme: Die Division durch die Zahl 0 ist (wie im Reellen) verboten! &

Beispiel 4  2j ð4  2 jÞ ð6  8 jÞ 24  32 j  12 j þ 16 j 2 24  32 j  12 j  16 ¼ ¼ ¼ ¼ 6 þ 8j ð6 þ 8 jÞ ð6  8 jÞ 36 þ 64 36  64 j 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 3. Binom ¼

8  44 j 8 44 ¼  j ¼ 0;08  0;44 j 100 100 100

&

3 Potenzieren

229

In der Polarform   z1 r1 ðcos j1 þ j  sin j1 Þ r1 ½ cos ðj1  j2 Þ þ j  sin ðj1  j2 Þ ¼ ¼ r2 ðcos j2 þ j  sin j2 Þ z2 r2   z1 r1  e j j1 r1  e j ðj1  j2 Þ ¼ ¼ z2 r2  e j j2 r2 Regel: Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Betra¨ge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert. z1

Im(z)

Geometrische Deutung Der Zeiger z 1 ¼ r1  e j j1 wird wie folgt einer Drehstreckung unterworfen:

r1

1. Zuru¨ckdrehung des Zeigers um den Winkel j2 fu¨r j2 > 0 (Drehung im Uhrzeigersinn). Vorwa¨rtsdrehung fu¨r j2 < 0 (Drehung im Gegenuhrzeigersinn). 2. Streckung des Zeigers auf das 1=r2 -fache.

r1 f1

f2 r1 r2

z1 z2 Re(z)

&

Beispiel 

8 ðcos 240  þ j  sin 240  Þ 8  e j 240 ¼ ¼ 2 ðcos 75  þ j  sin 75  Þ 2  e j 75 

  8     e j ð240  75 Þ ¼ 4  e j 165 ¼  3;864 þ 1;035 j 2 &

Formeln

  1  e jj r

(1)

1 1 ¼ ¼ z r  e jj

(2)

1 1 x y j 2 ; ¼ ¼ 2 z x þ jy x þ y2 x þ y2

1 ¼ j j

3 Potenzieren In kartesischer Form (n 2 N * ) z n ¼ ðx þ j yÞ n ¼ x n þ j

n 1

x n1  y þ j 2

n 2

x n2  y 2 þ . . . þ j n y n

Regel: Entwicklung nach dem binomischen Lehrsatz (siehe I.2.7).

230

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

In der Polarform (Formel von Moivre, n 2 Z) z n ¼ ½ r ðcos j þ j  sin jÞ  n ¼ r n ½cos ðn jÞ þ j  sin ðn jÞ  z n ¼ ½ r  e jj  n ¼ r n  e j n j Regel: Eine in der Polarform vorliegende komplexe Zahl wird in die n-te Potenz erhoben, indem man ihren Betrag r in die n-te Potenz erhebt und ihr Argument (ihren Winkel) j mit dem Exponenten n multipliziert. &

Beispiel Wir erheben die komplexe Zahl z ¼ 3 ðcos 20  þ j  sin 20  Þ in die vierte Potenz: z 4 ¼ ½ 3 ðcos 20  þ j  sin 20  Þ  4 ¼ 3 4 ½cos ð4  20  Þ þ j  sin ð4  20  Þ  ¼ ¼ 81 ðcos 80  þ j  sin 80  Þ ¼ 14;066 þ 79;769 j &

4 Radizieren (Wurzelziehen) Definition Eine komplexe Zahl z heißt eine n-te Wurzel aus a, wenn sie der algebraischen Gleipffiffiffi chung z n ¼ a genu¨gt ða 2 C; n 2 N *Þ. Symbolische Schreibweise: n a Fundamentalsatz der Algebra Eine algebraische Gleichung n-ten Grades vom Typ an z n þ an  1 z n  1 þ . . . þ a1 z þ a0 ¼ 0

(ai :

reell oder komplex)

besitzt in der Menge C der komplexen Zahlen stets genau n Lo¨sungen (auch Wurzeln genannt). Bei ausschließlich reellen Koeffizienten ai treten komplexe Lo¨sungen (falls es solche u¨berhaupt gibt) immer paarweise in Form konjugiert komplexer Zahlen auf. Wurzeln der Gleichung z n = a ðmit a 2 CÞ Die n Wurzeln der Gleichung z n ¼ a ¼ a0  e j a mit a0 > 0 und n 2 N * lauten: zk ¼

    p ffiffiffiffiffi a þ k  2p a þ k  2p n þ j  sin a0 cos n n

Hauptwert ðk ¼ 0Þ:

ðk ¼ 0; 1; . . . ; n  1Þ

a  a  p ffiffiffiffiffi n z0 ¼ a0 cos þ j  sin n n

Fu¨r k ¼ 1; 2; . . . ; n  1 erha¨lt man die Nebenwerte. Die Winkel ko¨nnen auch im Gradmaß angegeben werden.

5 Natu¨rlicher Logarithmus einer komplexen Zahl

231

Geometrische Deutung

Im(z)

Die zugeho¨rigen Bildpunkte liegen auf dem Mittelpunktskeis mit dem Radius pffiffiffiffiffi R ¼ n a0 und bilden die Ecken eines regelma¨ßigen n-Ecks. Das nebenstehende Bild zeigt die drei Lo¨sungen der Gleichung z 3 ¼ a0  e j a .

a = a0·e ja

z0 a0

3

√ a0

120°

z1

a

a 3

120°

Re(z)

z2 &

Beispiel 

Wir bestimmen die drei Wurzeln der Gleichung z 3 ¼ 8 ðcos 150  þ j  sin 150  Þ ¼ 8  e j 150 : a0 ¼ 8 ; a ¼ 150     # ffiffiffi p 150  þ k  360  150  þ k  360  3 þ j  sin ¼ z k ¼ 8 cos 3 3

n ¼ 3;

"

¼ 2 ½cos ð50  þ k  120  Þ þ j  sin ð50  þ k  120  Þ z0 ¼ 2 ðcos 50  þ j  sin 50  Þ ¼ 1;286 þ 1;532 j z1 ¼ 2 ðcos 170  þ j  sin 170  Þ ¼  1;970 þ 0;347 j z2 ¼ 2 ðcos 290  þ j  sin 290  Þ ¼ 0;684  1;879 j

ðk ¼ 0; 1; 2Þ (Hauptwert)

) Nebenwerte &

Einheitswurzeln Die n Lo¨sungen der Gleichung z n ¼ 1 heißen n-te Einheitswurzeln. Sie lauten:     k  2p k  2p k2p þ j  sin ¼ ej n z ¼ 1 ) z k ¼ cos n n n

ðk ¼ 0; 1; . . . ; n  1Þ

5 Natu¨rlicher Logarithmus einer komplexen Zahl Der natu¨rliche Logarithmus einer komplexen Zahl z ¼ r  e j j ¼ r  e j ðj þ k  2 pÞ

ð0  j < 2 p; k 2 ZÞ

2Þ

ist unendlich vieldeutig : ln z ¼ ln r þ j ðj þ k  2 pÞ 2Þ

ðk 2 ZÞ

Der Hauptwert des Winkels wird ha¨ufig auch im Intervall  p < j  p angegeben (siehe hierzu Abschnitt 9.1.2 in Kapitel I ).

232

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

Hauptwert ðk ¼ 0Þ:

Ln z ¼ ln r þ j j (Schreibweise Ln z statt ln z)

Fu¨r k ¼  1;  2;  3; . . . erha¨lt man die sog. Nebenwerte. Spezielle Werte: ln 1 ¼ k  2 p j p ln j ¼ þ k  2p j 2 &

ln ð 1Þ ¼ ðp þ k  2 pÞ j   3 ln ð jÞ ¼ p þ k  2p j 2

Beispiel z ¼ 3 þ 4 j ¼ 5  e j 0;9273 ¼ 5  e j ð0;9273 þ k  2 pÞ ln ð3 þ 4 jÞ ¼ ln 5 þ j ð0;9273 þ k  2 pÞ ¼ 1;6094 þ j ð0;9273 þ k  2 pÞ Hauptwert ðk ¼ 0Þ:

ðk 2 ZÞ

Ln ð3 þ 4 jÞ ¼ 1;6094 þ 0;9273 j &

6 Ortskurven 6.1 Komplexwertige Funktion einer reellen Variablen Die von einem reellen Parameter t abha¨ngige komplexe Zahl z ¼ z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j  y ðtÞ

ða  t  bÞ

heißt komplexwertige Funktion zðtÞ der reellen Variablen t.

6.2 Ortskurve einer parameterabha¨ngigen komplexen Zahl Die von einem parameterabha¨ngigen komplexen Zeiger z ¼ z ðtÞ in der Gaußschen Zahlenebene beschriebene Bahn heißt Ortskurve:

Im(z) t=a t z = z(t)

z ðtÞ ¼ x ðtÞ þ j  y ðtÞ

ða  t  bÞ

z(t)

t=b

Re(z)

6 Ortskurven &

233

Beispiel

Im(z)

Die Ortskurve des komplexen Zeigers z ðtÞ ¼ 2 þ j t

ð0  t < 1Þ

beschreibt die im nebenstehenden Bild dargestellte Halbgerade.

t

z

z = 2 + jt

1 1

2

Re(z) &

6.3 Inversion einer Ortskurve Inversion einer komplexen Zahl Der bergang von einer komplexen Zahl z 6¼ 0 zu ihrem Kehrwert w ¼ 1=z heißt Inversion: z ¼ r  e jj ! w ¼

1 ¼ z

Im(z)

Im(w) z

z

  1  e jj r

=

r

Re(w)

f –f

Re(z)

w = r

1/

Regel: Vorzeichenwechsel im Argument, Kehrwertbildung des Betrages von z.

w=1 z

Geometrische Deutung Der Zeiger wird zuna¨chst an der reellen Achse gespiegelt und dann auf das 1=r 2 -fache gestreckt. Inversionsregeln fu¨r Ortskurven Invertiert man eine Ortskurve Punkt fu¨r Punkt, so erha¨lt man wiederum eine Ortskurve, die sog. invertierte Ortskurve. Fu¨r die in den Anwendungen besonders ha¨ufig auftretenden Geraden und Kreise gelten dabei die folgenden Inversionsregeln: z-Ebene 1. Gerade durch den Nullpunkt 2. Gerade, die nicht durch den Nullpunkt verla¨uft 3. Mittelpunktskreis 4. Kreis durch den Nullpunkt 5. Kreis, der nicht durch den Nullpunkt verla¨uft

w-Ebene ! Gerade durch den Nullpunkt ! Kreis durch den Nullpunkt ! Mittelpunktskreis ! Gerade, die nicht durch den Nullpunkt verla¨uft ! Kreis, der nicht durch den Nullpunkt verla¨uft

234

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

Bei der Inversion einer Ortskurve erweisen sich auch folgende Regeln als nu¨tzlich: 1. Der Punkt mit dem kleinsten Abstand (Betrag) vom Nullpunkt fu¨hrt zu dem Bildpunkt mit dem gro¨ßten Abstand (Betrag) und umgekehrt. 2. Ein Punkt oberhalb der reellen Achse fu¨hrt zu einem Bildpunkt unterhalb der reellen Achse und umgekehrt.

7 Komplexe Funktionen 7.1 Definition einer komplexen Funktion Unter einer komplexen Funktion versteht man eine Vorschrift, die jeder komplexen Zahl z 2 D genau eine komplexe Zahl w 2 W zuordnet. Symbolische Schreibweise: w ¼ f ðzÞ: D und W sind Teilmengen von C.

7.2 Definitionsgleichungen einiger elementarer Funktionen 7.2.1 Trigonometrische Funktionen 9 z3 z5 > > sin z ¼ z  þ  þ ... > = 3! 5! Periode: p ¼ 2 p > > z2 z4 > þ  þ ... ; cos z ¼ 1  2! 4! 9 sin z > tan z ¼ > = cos z Periode: p ¼ p > cos z 1 > ; ¼ cot z ¼ sin z tan z 7.2.2 Hyperbelfunktionen z3 z5 sinh z ¼ z þ þ þ ... 3! 5! z2 z4 þ þ ... cosh z ¼ 1 þ 2! 4! tanh z ¼

sinh z cosh z

cosh z 1 coth z ¼ ¼ sinh z tanh z

9 > > > = > > > ;

Periode:

p ¼ j2p

Periode:

p ¼ jp

9 > > = > > ;

7 Komplexe Funktionen

235

7.2.3 Exponentialfunktion (e-Funktion) ez ¼ 1 þ

z z2 z3 þ þ ... þ 2! 3! 1!

ðPeriode:

p ¼ j 2 pÞ

7.3 Wichtige Beziehungen und Formeln 7.3.1 Eulersche Formeln e j x ¼ cos x þ j  sin x



e  j x ¼ cos x  j  sin x

7.3.2 Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen und der komplexen e-Funktion sin x ¼

1 ðe j x  e  j x Þ 2j

tan x ¼  j

e jx  e jx e jx þ e jx



cos x ¼

1 ðe j x þ e  j x Þ 2

cot x ¼ j

e jx þ e jx e jx  e jx

7.3.3 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen mit imagina¨rem Argument sin ðj xÞ ¼ j  sinh x cos ðj xÞ ¼ cosh x tan ðj xÞ ¼ j  tanh x



sinh ðj xÞ ¼ j  sin x cosh ðj xÞ ¼ cos x tanh ðj xÞ ¼ j  tan x

7.3.4 Additionstheoreme der trigonometrischen und Hyperbelfunktionen fu¨r komplexes Argument sin ðx  j yÞ ¼ sin x  cosh y  j  cos x  sinh y cos ðx  j yÞ ¼ cos x  cosh y j  sin x  sinh y tan ðx  j yÞ ¼

sin ð2 xÞ  j  sinh ð2 yÞ cos ð2 xÞ þ cosh ð2 yÞ

sinh ðx  j yÞ ¼ sinh x  cos y  j  cosh x  sin y cosh ðx  j yÞ ¼ cosh x  cos y  j  sinh x  sin y tanh ðx  j yÞ ¼

sinh ð2 xÞ  j  sin ð2 yÞ cosh ð2 xÞ þ cos ð2 yÞ

236

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen

7.3.5 Arkus- und Areafunktionen mit imagina¨rem Argument arcsin ðj xÞ ¼ j  arsinh x arccos ðj xÞ ¼ j  arcosh x arctan ðj xÞ ¼ j  artanh x



arsinh ðj xÞ ¼ j  arcsin x arcosh ðj xÞ ¼ j  arccos x artanh ðj xÞ ¼ j  arctan x

8 Anwendungen in der Schwingungslehre 8.1 Darstellung einer harmonischen Schwingung durch einen rotierenden komplexen Zeiger Eine harmonische Schwingung vom Typ y ¼ A  sin ðw t þ jÞ mit A > 0 und w > 0 la¨sst sich in der Gaußschen Zahlenebene durch einen mit der Winkelgeschwindigkeit w um den Nullpunkt rotierenden (und damit zeitabha¨ngigen) komplexen Zeiger der La¨nge A darstellen (sog. Zeigerdiagramm):

Im(y) v y(t) = A·e jvt A vt f

A

y ðtÞ ¼ A  e j ðw t þ jÞ ¼ A  e j w t A ¼ A  e jj:

Komplexe Amplitude

e jwt :

Zeitfunktion

y(0) = A

Re(y)

Die Drehung erfolgt im Gegenuhrzeigersinn. Die komplexe Schwingungsamplitude A beschreibt dabei die Anfangslage des Zeigers y ðtÞ zur Zeit t ¼ 0, d. h. es ist y ð0Þ ¼ A. Eine in der Kosinusform vorliegende Schwingung la¨sst sich wie folgt in die Sinusform umschreiben: y ¼ A  cos ðw t þ jÞ ¼ A  sin ðw t þ j þ p=2Þ ¼ A  sin ðw t þ j *Þ Der Nullphasenwinkel betra¨gt somit j * ¼ j þ p=2, d. h. der Zeiger ist (gegenu¨ber einer Sinusschwingung) um 90 vorzudrehen.

8 Anwendungen in der Schwingungslehre

237

8.2 Ungesto¨rte berlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen („Superpositionsprinzip“) Durch ungesto¨rte berlagerung der gleichfrequenten harmonische Schwingungen y 1 ¼ A 1  sin ðw t þ j 1 Þ

und y 2 ¼ A 2  sin ðw t þ j 2 Þ

entsteht nach dem Superpositionsprinzip der Physik eine resultierende Schwingung mit derselben Frequenz: y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A 1  sin ðw t þ j 1 Þ þ A 2  sin ðw t þ j 2 Þ ¼ A  sin ðw t þ jÞ ðA 1 > 0, A 2 > 0, A > 0, w > 0Þ

Berechnung der Schwingungsamplitude A und des Phasenwinkels j 1. bergang von der reellen zur komplexen Form y 1 ¼ A 1  sin ðw t þ j 1 Þ

!

y 1 ¼ A 1  e jwt

ð A 1 ¼ A 1  e jj 1Þ

y 2 ¼ A 2  sin ðw t þ j 2 Þ

!

y 2 ¼ A 2  e jwt

ð A 2 ¼ A 2  e jj 2Þ

2. Addition der komplexen Amplituden und Elongationen Im(z)

A ¼ A 1 þ A 2 ¼ A  e jj y ¼ y1 þ y2 ¼ A  e

jwt

A = A1 + A2

¼ Ae

j ðw t þ jÞ

A2

A

f

A1 Re(z)

3. Ru¨cktransformation aus der komplexen in die reelle Form y ¼ y1 þ y2 ¼ Im ð y Þ ¼ Im ð A  e j w t Þ ¼ Im ðA  e j ðw t þ jÞ Þ ¼ A  sin ðw t þ jÞ Sonderfa¨lle (1) berlagerung einer Sinusschwingung mit einer Kosinusschwingung: Letztere erst auf die Sinusform bringen (siehe VIII.8.1). (2) berlagerung zweier Kosinusschwingungen: Beide erst auf die Sinusform bringen oder die resultierende Schwingung ebenfalls als Kosinusschwingung darstellen, wobei bei der Ru¨cktransformation der Realteil von y ¼ A  e j ðw t þ jÞ zu nehmen ist.

238 &

VIII Komplexe Zahlen und Funktionen Beispiel  p ; y 1 ¼ 5  sin w t þ 4

  2 y 2 ¼ 3  sin w t þ p ; 3

1. bergang von der reellen zur komplexen Form  p p y 1 ¼ 5  e j ðw t þ 4 Þ ¼ 5  e j 4 e j w t ¼ A 1  e j w t y2 ¼ 3  ej

wtþ

2 p 3



¼

  2 3  e j 3 p e jwt ¼ A 2  e jwt



y ¼ y1 þ y2 ¼ ?

p

A1 ¼ 5  ej 4 

2

A2 ¼ 3  ej 3 p



2. Addition der komplexen Amplituden und Elongationen    p 2 p p 2 2 þ 3 cos þ j  sin p þ j  sin p ¼ A ¼ A 1 þ A 2 ¼ 5  e j 4 þ 3  e j 3 p ¼ 5 cos 4 4 3 3 ¼ 3;536 þ 3;536 j  1;5 þ 2;598 j ¼ 2;036 þ 6; 134 j ¼ 6;463  e j 1;250 y ¼ y 1 þ y 2 ¼ A  e j w t ¼ 6;463  e j 1;250  e j w t ¼ 6;463  e j ðw t þ 1;250Þ 3. Ru¨cktransformation aus der komplexen in die reelle Form  y ¼ Im ð y Þ ¼ Im 6;463  e j ðw t þ 1;250Þ ¼ 6;463  sin ðw t þ 1;250Þ &

239

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung 1.1 Definition einer Funktion von mehreren Variablen Unter einer Funktion von zwei unabha¨ngigen Variablen versteht man eine Vorschrift, die jedem geordneten Zahlenpaar ðx; yÞ aus einer Menge D genau ein Element z aus einer Menge W zuordnet. Symbolische Schreibweise: z ¼ f ðx; yÞ. Bezeichnungen x; y: z: D: W:

Unabha¨ngige Variable (Vera¨nderliche) Abha¨ngige Variable (Vera¨nderliche) oder Funktionswert Definitionsbereich der Funktion Wertebereich oder Wertevorrat der Funktion

Analog: u ¼ f ðx; y; zÞ:

Funktion von drei unabha¨ngigen Variablen x; y und z

y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ:

Funktion von n unabha¨ngigen Variablen x1 ; x2 ; . . . ; xn

Die Variablen sind im Regelfall reell.

1.2 Darstellungsformen einer Funktion von zwei Variablen 1.2.1 Analytische Darstellung Die Funktion wird durch eine Funktionsgleichung dargestellt. Explizite Form:

z ¼ f ðx; yÞ

Implizite Form:

F ðx; y; zÞ ¼ 0

240

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

1.2.2 Graphische Darstellung 1.2.2.1 Darstellung einer Funktion als Fla¨che im Raum

z

Die Variablen x; y und z einer Funktion z ¼ f ðx; yÞ werden als rechtwinklige oder kartesische Koordinaten eines Raumpunktes P gedeutet: P ¼ ðx; y; zÞ. Der Funktionswert z ¼ f ðx; yÞ ist dabei die Ho¨henkoordinate des zugeordneten Bildpunktes. Man erha¨lt als Bild der Funktion eine u¨ber dem Definitionsbereich liegende Fla¨che.

Fläche z = f(x;y) P y y

z x x

y

x

Definitionsbereich D

1.2.2.2 Schnittkurvendiagramme

Die Schnittkurvendiagramme einer Funktion z ¼ f ðx; yÞ erha¨lt man durch Schnitte der zugeho¨rigen Bildfla¨che mit Ebenen, die parallel zu einer der drei Koordinatenebenen verlaufen. Die Schnittkurven werden noch in die jeweilige Koordinatenebene projiziert und repra¨sentieren einparametrige Kurvenscharen. Ihre Gleichungen erha¨lt man aus der Funktionsgleichung z ¼ f ðx; yÞ, indem man der Reihe nach jeweils eine der drei Variablen (Koordinaten) als Parameter betrachtet. In den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen werden die Schnittkurvendiagramme als Kennlinienfelder bezeichnet. 1.2.2.3 Ho¨henliniendiagramm Das Ho¨henliniendiagramm ist ein spezielles Schnittkurvendiagramm Ho¨henkoordinate z als Kurvenparameter („Linien gleicher Ho¨he“):

mit

der

f ðx; yÞ ¼ const: ¼ c c: zula¨ssiger Wert der Ho¨henkoordinate z &

Beispiel Die Ho¨henlinien der in Bild a) dargestellten Fla¨che z ¼ x 2 þ y 2 (Mantel eines Rotationsparaboloids) sind pffiffiffi konzentrische Mittelpunktskreise mit der Kurvengleichung x 2 þ y 2 ¼ c und dem Radius R ¼ c mit c > 0 (Bild b)).

y

z

z= 3 z= 2 z= z= 1 0,5

z = x2+ y2

a)

y x

x

b) &

1 Funktionen von mehreren Variablen und ihre Darstellung

241

1.3 Spezielle Fla¨chen (Funktionen) 1.3.1 Ebenen Die Bildfla¨che einer linearen Funktion ist eine Ebene. Gleichung einer Ebene ax þ by þ cz þ d ¼ 0

z x=0

a, b, c, d : reelle Konstanten y=0

Koordinatenebenen y

x; y-Ebene: z ¼ 0 x; z-Ebene: y ¼ 0 y; z-Ebene: x ¼ 0

z=0

x

Parallelebenen

z

Ebene parallel zur x; y-Ebene: z ¼ a (siehe nebenstehendes Bild) Ebene parallel zur x; z-Ebene: y ¼ a Ebene parallel zur y; z-Ebene: x ¼ a

z=a

a

y x

1.3.2 Rotationsfla¨chen 1.3.2.1 Gleichung einer Rotationsfla¨che Eine Rotationsfla¨che entsteht durch Drehung einer ebenen Kurve z ¼ f ðxÞ um die z-Achse: z

z

r

x

z = f(r)

z = f(x) z z

a a)

b

x

x b)

y

242

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Ihre Funktionsgleichung lautet: In Zylinderkoordinaten 1Þ ( formale Substitution x ! r): z ¼ f ðrÞ  In kartesischen Koordinaten z ¼ f

formale Substitution x !

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x2 þ y2 :

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x2 þ y2

1.3.2.2 Spezielle Rotationsfla¨chen Kugel

z

x2+ y2+ z2= R2

x2 þ y2 þ z2 ¼ R2 oder r þz 2

2

R

¼ R

2

M y

Obere bzw. untere Halbkugel (in kartesischen Koordinaten bzw. Zylinderkoordinaten): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z ¼  R2  x2  y2 bzw: z ¼ 

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi R2  r2

Kreiskegel x2 þ y2 ¼

z

R2 2 z H2

oder

z ¼

H r R

Die Gleichungen beschreiben einen Doppelkegel. Fu¨r z  0 erha¨lt man den Mantel des gezeichneten Kegels mit der Funktionsgleichung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi H x2 þ y2 z ¼ R

1Þ

R

H 2

x2+ y2= R2 z2 H y x

Zylinderkoordinaten: siehe (I.9.2.2 und XIV.6.2). Den senkrechten Abstand von der z-Achse bezeichnen wir hier mit r (statt r).

2 Partielle Differentiation

243

Kreiszylinder x2 þ y2 ¼ R2

z

oder

R

r ¼ R

Ho¨henkoordinate: z 2 R

x2+ y2= R2

y x

Ellipsoid

2 x2 + y + z2 = 1 a2 b2 c2

z

x2 y2 z2 þ þ ¼ 1 a2 b2 c2

c b

Durch Auflo¨sen nach z erha¨lt man zwei Funktionen (oberer bzw. unterer Mantel des Ellipsoids). Fu¨r a ¼ b erha¨lt man ein Rotationsellipsoid (Rotationsachse: z-Achse).

a x

2 Partielle Differentiation 2.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung 2.1.1 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z = f (x; y) Partielle Ableitung 1. Ordnung nach x fx ðx; yÞ ¼ lim

Dx ! 0

f ðx þ Dx; yÞ  f ðx; yÞ Dx

Partielle Ableitung 1. Ordnung nach y fy ðx; yÞ ¼ lim

Dy ! 0

f ðx; y þ DyÞ  f ðx; yÞ Dy

y

244

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Geometrische Deutung

z Tangente in P

fx ðx0 ; y0 Þ ¼ tan a und fy ðx0 ; y0 Þ ¼ tan b sind die Steigungen der Fla¨chentangenten im Bildpunkt P ¼ ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ in der x- bzw. y-Richtung: k1 : Schnittkurve der Ebene y k2 : Schnittkurve der Ebene x

Tangente in P k2

k1

P

z = f(x;y)

z0

der Fla¨che z ¼ f ðx; yÞ mit ¼ y0 der Fla¨che z ¼ f ðx; yÞ mit ¼ x0

x0

y0 k2

y b

k1

x a

Schreibweisen fx ðx; yÞ ;

zx ðx; yÞ ;

@f ðx; yÞ ; @x

@z ðx; yÞ @x

fy ðx; yÞ ;

zy ðx; yÞ ;

@f ðx; yÞ ; @y

@z ðx; yÞ @y

@f ; @x

@f @y

bzw:

@z ; @x

@z : @y

Partielle Differentialquotienten 1. Ordnung

Partielle Differentialoperatoren Die partiellen Differentialoperatoren @=@x und @=@y erzeugen durch „Einwirken“ auf die Funktion z ¼ f ðx; yÞ die partiellen Ableitungen 1. Ordnung: @ ½ f ðx; yÞ ¼ fx ðx; yÞ ; @x

@ ½ f ðx; yÞ ¼ fy ðx; yÞ @y

2.1.2 Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y = f (x1 ; x2; . . .; xn ) Fu¨r eine Funktion y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ von n unabha¨ngigen Variablen lassen sich insgesamt n verschiedene partielle Ableitungen 1. Ordnung bilden: fx k ¼

@f @xk

ðk ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Die partielle Ableitung fx k nach der Variablen xk erha¨lt man, indem man in der Funktionsgleichung alle Variablen bis auf xk festha¨lt, d. h. als Parameter behandelt und anschließend die Funktion mit Hilfe der bekannten Ableitungsregeln (siehe IV.3) nach xk differenziert.

2 Partielle Differentiation

245

Schreibweisen

&

@f ; @xk

@y ; @xk

@ ½ f  ¼ fx k @xk

fx k ;

yx k ;

@ : @xk

Partieller Differentialoperator 1. Ordnung

Beispiel Wir differenzieren die Funktion f ðx; y; zÞ ¼ x 2 y  e 3 z þ z  sin ðx yÞ partiell nach der Variablen x : @f @ ¼ ½ x 2 y  e 3 z þ z  sin ðx yÞ ¼ 2 x y  e 3 z þ y z  cos ðx yÞ @x @x

&

2.2 Partielle Ableitungen ho¨herer Ordnung Partielle Ableitungen ho¨herer Ordnung erha¨lt man, indem man die gegebene Funktion mehrmals nacheinander partiell differenziert. Fu¨r eine Funktion z ¼ f ðx; yÞ lassen sich die ho¨heren Ableitungen nach dem folgenden Schema bilden:

1. Ordnung 2. Ordnung 3. Ordnung Schreibweisen fx x ¼

fy x

fx y x

@ @x

@ ¼ @x @ ¼ @x



@f @x

 ¼

@ 2f ; @x 2

  @f @ 2f ¼ ; @y @y @x 

fx y ¼

fy y

 @2f @ 3f ¼ @x @y @x @y @x

  @f @ 2f ¼ @x @x @y

@ @y

@ ¼ @y

  @f @ 2f ¼ @y @y 2

usw:

Vereinbarung: Die einzelnen Differentiationsschritte sind grundsa¨tzlich in der Reihenfolge der Indizes durchzufu¨hren. Abweichungen sind nur dann zula¨ssig, wenn der Satz von Schwarz erfu¨llt ist. Satz von Schwarz Sind die partiellen Ableitungen k-ter Ordnung stetig, so ist die Reihenfolge der Differentiationen beliebig vertauschbar.

246

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Unter diesen Voraussetzungen gilt fu¨r eine Funktion z ¼ f ðx; yÞ: fx y ¼ fy x fx x y ¼ fy x x ¼ fx y x ; &

fy y x ¼ fx y y ¼ fy x y

Beispiel Wir bilden die partiellen Ableitungen 1. und 2. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ ¼ x 3 y 2 þ e x y : Partielle Ableitungen 1. Ordnung: zx ¼

@ ½ x 3 y 2 þ e x y ¼ 3 x 2 y 2 þ y  e x y ; @x

zy ¼

@ ½ x 3 y 2 þ e x y ¼ 2 x 3 y þ x  e x y @y

Partielle Ableitungen 2. Ordnung: zx x ¼ zx y ¼

zy y ¼

@ @ ðzx Þ ¼ ½ 3 x 2 y 2 þ y  e x y  ¼ 6 x y 2 þ y 2  e x y ¼ y 2 ð6 x þ e x y Þ @x @x @ @ ðzx Þ ¼ ½ 3 x 2 y 2 þ y  e x y ¼ 6 x 2y þ e x y þ x y  e x y ¼ @y @y ¼ 6 x 2 y þ ðx y þ 1Þ  e x y ¼ zy x @ @ ðzy Þ ¼ ½ 2 x 3 y þ x  e x y  ¼ 2 x 3 þ x 2  e x y ¼ x 2 ð2 x þ e x y Þ @y @y &

2.3 Verallgemeinerte Kettenregel (Differentiation nach einem Parameter) Die unabha¨ngigen Variablen x und y der Funktion z ¼ f ðx; yÞ ha¨ngen noch von einem (reellen) Parameter t ab, sind also Funktionen dieses Parameters: x ¼ x ðtÞ ;

y ¼ y ðtÞ

ðt1  t  t2 Þ

Dann ist auch z eine sog. zusammengesetzte, verkettete oder mittelbare Funktion des Parameters t : z ¼ f ðx ðtÞ ; y ðtÞÞ ¼ F ðtÞ

ðt1  t  t2 Þ

Ihre Ableitung nach dem Parameter t erha¨lt man nach der folgenden verallgemeinerten Kettenregel: dz @z dx @z dy ¼  þ  dt @x dt @y dt

oder

z_ ¼ zx  x_ þ zy  y_

x_; y_; z_:

Ableitungen nach dem Parameter t

zx ; zy :

Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ

Nach erfolgter Ru¨cksubstitution (x und y werden durch die Parametergleichungen ersetzt) ha¨ngt die Ableitung z_ nur noch vom Parameter t ab.

2 Partielle Differentiation

247

Alternative: In der Funktion z ¼ f ðx; yÞ zuna¨chst die Variablen x und y durch ihre Parametergleichungen x ðtÞ und y ðtÞ ersetzen, dann die jetzt nur noch von t abha¨ngige Funktion nach diesem Parameter differenzieren (gewo¨hnliche Differentiation). &

Beispiel z ¼ f ðx; yÞ ¼ x 2 y  2 x 3 zx ¼ 2 x y  6 x ; 2

mit

x ¼ x ðtÞ ¼ t 2

und

x_ ¼ 2 t ;

y_ ¼ 2

zy ¼ x ; 2

y ¼ y ðtÞ ¼ 2 t þ 1

Die verallgemeinerte Kettenregel liefert zuna¨chst: z_ ¼ zx  x_ þ zy  y_ ¼ ð2 x y  6 x 2 Þ  2 t þ x 2  2 ¼ 4 x y t  12 x 2 t þ 2 x 2 Ru¨cksubstitution ðx ¼ t 2 ; y ¼ 2 t þ 1Þ: z_ ¼ 4 t 2  ð2 t þ 1Þ  t  12 t 4  t þ 2 t 4 ¼ 4 t 3 ð2 t þ 1Þ  12 t 5 þ 2 t 4 ¼ ¼ 8 t 4 þ 4 t 3  12 t 5 þ 2 t 4 ¼ 12 t 5 þ 10 t 4 þ 4 t 3 &

2.4 Totales oder vollsta¨ndiges Differential einer Funktion Tangentialebene Alle im Fla¨chenpunkt P ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ an die Bildfla¨che von z ¼ f ðx; yÞ angelegten Tangenten liegen in der Regel in einer Ebene, der sog. Tangentialebene. Die Gleichung der Tangentialebene lautet wie folgt (in symmetrischer Schreibweise): z  z0 ¼ fx ðx0 ; y0 Þ  ðx  x0 Þ þ fy ðx0 ; y0 Þ  ðy  y0 Þ

z Q Fläche z = f(x;y) Dz Q' dz

y0

=D x dy = Dy

dx

x

0

P z0

x

y Tangentialebene in P

248

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Totales Differential von z = f (x; y) dz ¼ fx dx þ fy dy ¼

@f @f dx þ dy @x @y

dx; dy: unabha¨ngige Differentiale

dz: abha¨ngiges Differential

Geometrische Deutung Das totale Differential dz ¼ fx ðx0 ; y0 Þ dx þ fy ðx0 ; y0 Þ dy beschreibt die nderung der Ho¨henkoordinate bzw. des Funktionswertes z auf der im Fla¨chenpunkt P ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ errichteten Tangentialebene, wenn sich die beiden unabha¨ngigen Koordinaten (Variablen) x und y um dx ¼ Dx bzw. dy ¼ Dy a¨ndern (Punkt Q 0 ). Die exakte nderung der Ho¨henkoordinate z betra¨gt Dz ¼ f ðx0 þ Dx; y0 þ DyÞ  f ðx0 ; y0 Þ ( Ho¨henzuwachs auf der Fla¨che, von Punkt P nach Punkt Q). Fu¨r kleine Koordinatena¨nderungen dx ¼ Dx und dy ¼ Dy gilt: Dz  dz ¼ fx dx þ fy dy ¼ fx Dx þ fy Dy

&

Beispiel z ¼ f ðx; yÞ ¼ x 2 y  x y 3 x ¼ 1;

y ¼ 3;

dx ¼ Dx ¼ 0;2 ;

dy ¼ Dy ¼  0;1

Zuwachs Dz auf der Fla¨che: x ¼ 1;

y ¼ 3

!

x ¼ 1 þ Dx ¼ 1 þ 0;2 ¼ 1;2 ;

y ¼ 3 þ Dy ¼ 3  0;1 ¼ 2;9

Dz ¼ f ð1;2; 2;9Þ  f ð1; 3Þ ¼  25;0908 þ 24 ¼  1;0908 Zuwachs dz auf der Tangentialebene: fx ðx; yÞ ¼ 2 x y  y 3

)

fx ð1; 3Þ ¼ 2  1  3  3 3 ¼ 6  27 ¼  21

fy ðx; yÞ ¼

)

fy ð1; 3Þ ¼ 1 2  3  1  3 2 ¼ 1  27 ¼  26

x2  3xy2

dz ¼ fx ð1; 3Þ dx þ fy ð1; 3Þ dy ¼  21  0;2  26  ð 0;1Þ ¼  4; 2 þ 2; 6 ¼  1;6 &

Totales Differential von y = f (x1 ; x2; . . .; xn ) dy ¼ fx1 dx1 þ fx2 dx2 þ . . . þ fxn dxn ¼

@f @f @f dx1 þ dx2 þ . . . þ dxn @x1 @x2 @xn

Fu¨r kleine nderungen der unabha¨ngigen Variablen liefert das totale Differential dy einen brauchbaren Na¨herungswert fu¨r den Funktionswert y.

2 Partielle Differentiation

249

2.5 Anwendungen 2.5.1 Linearisierung einer Funktion Linearisierung von z = f (x; y) Die nichtlineare Funktion z ¼ f ðx; yÞ wird in der unmittelbaren Umgebung des Fla¨chenpunktes P ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ (in den Anwendungen meist als Arbeitspunkt bezeichnet) durch eine lineare Funktion, na¨mlich das totale oder vollsta¨ndige Differential der Funktion, ersetzt: z  z0 ¼ fx ðx0 ; y0 Þ  ðx  x0 Þ þ fy ðx0 ; y0 Þ  ðy  y0 Þ oder



Dz ¼ fx ðx0 ; y0 Þ Dx þ fy ðx0 ; y0 Þ Dy ¼ Dx; Dy; Dz:     @f @f ; : @x 0 @y 0

@f @x



 Dx þ

0

@f @y

 Dy 0

Abweichungen (Relativkoordinaten) gegenu¨ber dem Arbeitspunkt P Partielle Ableitungen 1. Ordnung im Arbeitspunkt P

Geometrische Deutung Die i. Allg. gekru¨mmte Bildfla¨che von z ¼ f ðx; yÞ wird in der unmittelbaren Umgebung des Arbeitspunktes P durch die dortige Tangentialebene ersetzt.

&

Beispiel Wir linearisieren die Funktion z ¼ f ðx; yÞ ¼ x 2 y þ 2 x  e y in der unmittelbaren Umgebung des Punktes P ¼ ð1; 0; 2Þ: Partielle Ableitungen in P: fx ðx; yÞ ¼ 2 x y þ 2  e y

)

fx ð1; 0Þ ¼ 2  1  0 þ 2  e 0 ¼ 0 þ 2  1 ¼ 2

fy ðx; yÞ ¼ x

)

fy ð1; 0Þ ¼ 1 2 þ 2  1  e 0 ¼ 1 þ 2  1 ¼ 3

2

þ 2x  e

y

Linearisierte Funktion: Dz ¼ fx ð1; 0Þ Dx þ fy ð1; 0Þ Dy ¼ 2 Dx þ 3 Dy oder (mit Dx ¼ x  1;

Dy ¼ y  0 ¼ y;

z  2 ¼ 2 ðx  1Þ þ 3 y ;

d. h.

Dz ¼ z  2Þ

z ¼ 2x þ 3y &

250

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Linearisierung von y = f (x1 ; x2; . . .; xn ) 

@f @x1

Dy ¼





@f @x2

Dx1 þ 0



 Dx2 þ . . . þ 0

Dx1 ; Dx2 ; . . . ; Dxn ; Dy: 

@f @x1



 ; 0

@f @x2





@f @xn

; ...; 0

@f @xn

 Dxn 0

Abweichungen gegenu¨ber dem Arbeitspunkt P (Relativkoordinaten)

 :

Partielle Ableitungen 1. Ordnung im Arbeitspunkt P

0

2.5.2 Relative Extremwerte (relative Maxima, relative Minima) Eine Funktion z ¼ f ðx; yÞ besitzt an der Stelle ðx0 ; y0 Þ ein relatives Maximum bzw. ein relatives Minimum, wenn in einer gewissen Umgebung von ðx0 ; y0 Þ stets f ðx0 ; y0 Þ > f ðx; yÞ

f ðx0 ; y0 Þ < f ðx; yÞ

bzw:

ist ððx; yÞ 6¼ ðx0 ; y0 ÞÞ. Die entsprechenden Punkte auf der Bildfla¨che werden als Hochbzw. Tiefpunkte bezeichnet. In einem relativen Extremum besitzt die Bildfla¨che von z ¼ f ðx; yÞ eine zur x; y-Ebene parallele Tangentialebene. Somit ist notwendigerweise fx ðx0 ; y0 Þ ¼ 0

und

z

fy ðx0 ; y0 Þ ¼ 0

Fläche z = f(x;y) Tangentialebene in P

x

P

0

y

z0 x

y0

Hinreichende Bedingungen fu¨r einen relativen Extremwert Eine Funktion z ¼ f ðx; yÞ besitzt an der Stelle ðx0 ; y0 Þ mit Sicherheit einen relativen Extemwert, wenn die folgenden Bedingungen erfu¨llt sind: 1. fx ðx0 ; y0 Þ ¼ 0

und

fy ðx0 ; y0 Þ ¼ 0

2. D ¼ fx x ðx0 ; y0 Þ  fy y ðx0 ; y0 Þ  fx 2y ðx0 ; y0 Þ > 0 fx x ðx0 ; y0 Þ < 0

) Relatives Maximum

fx x ðx0 ; y0 Þ > 0

) Relatives Minimum

2 Partielle Differentiation

D < 0: D ¼ 0:

251

Es liegt ein Sattelpunkt vor. Das Kriterium ermo¨glicht in diesem Fall keine Entscheidung daru¨ber, ob an der Stelle ðx0 ; y0 Þ ein relativer Extremwert vorliegt oder nicht.

Notwendige Bedingungen fu¨r einen relativen Extremwert bei Funktionen von unabha¨ngigen Variablen: @f ¼ 0; @x1

&

@f ¼ 0; @x2

n

@f ¼ 0 @xn

...;

Beispiel



Wir berechnen die relativen Extremwerte der Funktion z ¼ f ðx; yÞ ¼ x y  27 y 6¼ 0:

1 1  x y

 mit x 6¼ 0,

Partielle Ableitungen 1. und 2. Ordnung: fx ðx; yÞ ¼ y þ fx x ðx; yÞ ¼ 

27 ; x2

fy ðx; yÞ ¼ x 

54 ; x3

27 y2

fx y ðx; yÞ ¼ fy x ðx; yÞ ¼ 1 ;

Notwendige Bedingungen: fx ðx; yÞ ¼ 0

)

yþ

9 27 > ¼ 0 > > 2 = x

fy ðx; yÞ ¼ 0

)

x 

> > 27 ; ¼ 0 > y2

) x ¼ 3;

fy y ðx; yÞ ¼

54 y3

y ¼ 3

Hinreichende Bedingungen: fx x ð3;  3Þ ¼  2 ;

fx y ð3;  3Þ ¼ 1 ;

D ¼ ð 2Þ  ð 2Þ  1 2 fx x ð3;  3Þ ¼  2 < 0

9 ¼ 3 > 0 = ;

fy y ð3;  3Þ ¼  2 ) Relatives Maximum in ð3;  3Þ

Relative Extremwerte: Die Funktion besitzt an der Stelle ð3;  3Þ ein relatives Maximum, der Fla¨chenpunkt P ¼ ð3;  3;  27Þ ist somit ein Hochpunkt. &

2.5.3 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (Lagrangesches Multiplikatorverfahren) Die Extremwerte einer Funktion z ¼ f ðx; yÞ mit der Neben- oder Kopplungsbedingung j ðx; yÞ ¼ 0 lassen sich nach Lagrange schrittweise wie folgt bestimmen: 1. „Hilfsfunktion“ bilden: F ðx; y; lÞ ¼ f ðx; yÞ þ l  j ðx; yÞ (l: sog. Lagrangescher Multiplikator)

252

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

2. Die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der von den drei Variablen x; y und l abha¨ngigen Hilfsfunktion F ðx; y; lÞ werden gleich Null gesetzt: Fx ¼ fx ðx; yÞ þ l  jx ðx; yÞ ¼ 0 Fy ¼ fy ðx; yÞ þ l  jy ðx; yÞ ¼ 0 Fl ¼ j ðx; yÞ ¼ 0 Aus diesem Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten werden die gesuchten Extremwerte bestimmt. Die angegebenen Bedingungen sind notwendig, nicht aber hinreichend. Der Lagrangesche Multiplikator ist eine Hilfsgro¨ße ohne Bedeutung und sollte daher mo¨glichst fru¨h aus den Rechnungen eliminiert werden. &

Beispiel Welches Rechteck mit den noch unbekannten Seitenla¨ngen x und y hat bei einem vorgegebenen Umfang von U ¼ 20 m den gro¨ßten Fla¨cheninhalt? Fla¨cheninhalt: A ¼ f ðx; yÞ ¼ x y

ðx; y in m; A in m2 Þ

Nebenbedingung: U ¼ 2 x þ 2 y ¼ 20

)

j ðx; yÞ ¼ x þ y  10 ¼ 0

Hilfsfunktion bilden: F ðx; y; lÞ ¼ f ðx; yÞ þ l  j ðx; yÞ ¼ ¼ x y þ l ðx þ y  10Þ Gleichungssystem fu¨r die Unbekannten x; y und l mit Lo¨sung: ) Fx ¼ y þ l ¼ 0 ) l ¼ y ¼ x ) x ¼ y Fy ¼ x þ l ¼ 0 Fl ¼ x þ y  10 ¼ 0

)

x þ x  10 ¼ 0

)

x ¼ 5

Lo¨sung der Aufgabe: x ¼ y ¼ 5m;

Amax ¼ 25 m2

ðQuadratÞ

Verallgemeinerung fu¨r eine Funktion von Nebenbedingungen:

n

&

unabha¨ngigen Variablen und

F ðx1 ; x2 ; . . . ; xn ; l1 ; l2 ; . . . ; lm Þ ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ þ

m P i¼1

m < n

li  ji ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ

Alle n þ m partiellen Ableitungen 1. Ordnung werden gleich Null gesetzt (notwendige Bedingungen).

3 Mehrfachintegrale

253

3 Mehrfachintegrale 3.1 Doppelintegrale 3.1.1 Definition eines Doppelintegrals ÐÐ Das Doppelintegral f ðx; yÞ dA la¨sst sich in anschaulicher Weise als das Volumen des in ðAÞ

Bild a) skizzierten zylindrischen Ko¨rpers einfu¨hren, sofern f ðx; yÞ  0 ist. Der „Boden“ des Zylinders besteht aus dem Bereich ðAÞ der x; y-Ebene, sein „Deckel“ ist die Bildfla¨che der Funktion z ¼ f ðx; yÞ: z

Fläche z = f(x;y)

z

Fläche z = f(x;y) Pk Säule

Mantellinien Zylinder

y

Zylinder

Bereich (A)

y

Bereich (A)

a)

zk

b) x

DAk x

Wir zerlegen zuna¨chst den Zylinder in n zylindrische Ro¨hren, deren Mantellinien parallel zur z-Achse verlaufen, und ersetzen dann jede Ro¨hre in der aus Bild b) ersichtlichen Weise durch eine quaderfo¨rmige Sa¨ule vom Volumen DVk ¼ z k  DAk ¼ f ðxk ; yk Þ DAk mit k ¼ 1; 2; . . . ; n und summieren schließlich u¨ber alle Ro¨hren (Sa¨ulen). Fu¨r das Zylindervolumen V erha¨lt man so den Na¨herungswert V 

n P k¼1

DVk ¼

n P k¼1

f ðxk ; yk Þ DAk

Beim Grenzu¨bergang n ! 1 (und somit DAk ! 0Þ strebt diese Summe gegen einen Grenzwert, der als 2-dimensionales Bereichsintegral von f ðx; yÞ u¨ber ðAÞ oder kurz als Doppelintegral bezeichnet wird und geometrisch als Zylindervolumen interpretiert werden darf (unter der Voraussetzung, dass die Bildfla¨che der Funktion z ¼ f ðx; yÞ im Bereich ðAÞ oberhalb der x; y-Ebene liegt). Symbolische Schreibweise: ðð f ðx; yÞ dA ¼ lim ðAÞ

n P

n!1 k¼1

f ðxk ; yk Þ DAk

254

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Bezeichnungen x; y: f ðx; yÞ: dA: ðAÞ:

Integrationsvariable Integrandfunktion (kurz: Integrand) Fla¨chendifferential oder Fla¨chenelement Fla¨chenhafter Integrationsbereich

3.1.2 Berechnung eines Doppelintegrals in kartesischen Koordinaten Wir legen den folgenden kartesischen Normalbereich ðAÞ zugrunde (seitliche Begrenzung durch zwei zur y-Achse parallele Geraden): yu ¼ fu ðxÞ:

Untere Randkurve

yo ¼ fo ðxÞ:

Obere Randkurve

y y0 = f0(x) dA

dA ¼ dx dy ¼ dy dx ( ) fu ðxÞ  y  fo ðxÞ ðAÞ : a  x  b

dy dx yu = fu(x) a

Das Doppelintegral

ÐÐ ðAÞ

b

x

f ðx; yÞ dA la¨sst sich dann schrittweise durch zwei nacheinander

auszufu¨hrende gewo¨hnliche Integrationen berechnen:

ðb

ðð

foð ðxÞ

f ðx; yÞ dA ¼ ðAÞ

f ðx; yÞ dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

Inneres Integral ußeres Integral

1. Innere Integration (nach der Variablen y) Die Variable x wird zuna¨chst als Parameter festgehalten und die Funktion f ðx; yÞ unter Verwendung der fu¨r gewo¨hnliche Integrale gu¨ltigen Regeln nach der Variablen y integriert. In die ermittelte Stammfunktion setzt man dann fu¨r y die (variablen) Integrationsgrenzen fo ðxÞ und fu ðxÞ ein und bildet die entsprechende Differenz. 2. ußere Integration (nach der Variablen x) Die jetzt nur noch von der Variablen x abha¨ngige Funktion wird in den Grenzen von x ¼ a bis x ¼ b integriert (gewo¨hnliche Integration nach x). Allgemeine Regel: Zuna¨chst wird u¨ber die Variable mit vera¨nderlichen Grenzen, dann u¨ber die Variable mit festen Grenzen integriert.

3 Mehrfachintegrale

255

Bei einer Integration u¨ber den kartesischen Normalbereich y

x ¼ g1 ðyÞ:

Linke Randkurve b

x ¼ g2 ðyÞ: Rechte Randkurve ( ) g1 ðyÞ  x  g2 ðyÞ ðAÞ : a  y  b

x=g1(y)

dA dy dx

x = g2(y)

a

x

gilt (Begrenzung unten und oben durch Parallelen zur x-Achse): ðð

g2ððyÞ

ðb f ðx; yÞ dA ¼

f ðx; yÞ dx dy y ¼ a x ¼ g1 ðyÞ

ðAÞ

Hier wird zuerst nach x und dann nach y integriert, wobei die Integrationsgrenzen des inneren Integrals i. Allg. noch von der Variablen y abha¨ngen. y &

2

Beispiel Ð1

x 2Ðþ 1

x¼0 y¼x

y0 = x 2 + 1 x y dy dx ¼ ? 2

Innere Integration nach der Variablen y: x 2Ðþ 1 y¼x

x 2 y dy ¼ x 2 

x 2Ðþ 1 y¼x

1 y dy ¼

¼

1 2  2 x 2 þ 1 x y y¼x ¼ 2

¼

 1 2 2 x ðx þ 1Þ 2  x 2 ¼ 2

¼

1 ðx 6 þ x 4 þ x 2 Þ 2

yu = x 1

x

ußere Integration nach der Variablen x: Ð1 1 1 ðx 6 þ x 4 þ x 2 Þ dx ¼  2 x¼0 2 ¼

Ergebnis:

Ð1

x 2Ðþ 1

x¼0 y¼x

x 2 y dy dx ¼

71 210



1 7 1 5 1 3 x þ x þ x 7 5 3

1 ¼ 0

1 2



1 1 1 þ þ 7 5 3

 ¼

1 153þ173þ175 1 15 þ 21 þ 35 71  ¼  ¼ 2 753 2 105 210

&

256

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

3.1.3 Berechnung eines Doppelintegrals in Polarkoordinaten Wir legen den folgenden Normalbereich in Polarkoordinaten zugrunde: r ¼ ri ðjÞ:

Innere Randkurve

r ¼ ra ðjÞ:

ußere Randkurve

y

f2 f + df r = ra(f)

dA ¼ r dr dj ( ) ri ðjÞ  r  ra ðjÞ ðAÞ : j1  j  j2

rd df

y ¼ r  sin j

r=

f1

dr

f

x ¼ r  cos j ;

f

dA

) r i(f

r

r+dr x

ÐÐ

Das Doppelintegral

ðAÞ

f ðx; yÞ dA la¨sst sich dann schrittweise durch zwei nacheinander

auszufu¨hrende gewo¨hnliche Integrationen y ¼ r  sin j und dA ¼ r dr djÞ: ðð

berechnen

(man

setzt

x ¼ r  cos j;

rað ðjÞ

j ð2

f ðx; yÞ dA ¼

f ðr  cos j; r  sin jÞ  r dr dj j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ

ðAÞ

Inneres Integral ußeres Integral

Zuna¨chst wird dabei nach der Variablen r integriert, wobei die Winkelkoordinate j als Parameter festgehalten wird (innere Integration). Dann folgt die a¨ußere Integration nach der Variablen j. 3.1.4 Anwendungen

y

3.1.4.1 Fla¨cheninhalt dA

Definitionsformel ðð

ðð 1 dA ¼

A ¼ ðAÞ

dA

A

ðAÞ

x

3 Mehrfachintegrale

257

In kartesischen Koordinaten

y y0 = f0(x)

ðb

foð ðxÞ

A ¼

A

1 dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

yu = fu(x)

yo ¼ fo ðxÞ: yu ¼ fu ðxÞ:

Obere Randkurve Untere Randkurve

In Polarkoordinaten j ð2

a

b

x

f2

y

rað ðjÞ

ra = ra(f)

A ¼

r dr dj f1

A

j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ

ri = ri (f)

ra ¼ ra ðjÞ: ußere Randkurve ri ¼ ri ðjÞ: Innere Randkurve

x

3.1.4.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fla¨che y

Definitionsformeln xS ¼

yS ¼

1  A 1  A

ðð x dA S

yS

ðAÞ

ðð

y dA

A

ðAÞ

xS

A: Fla¨cheninhalt (siehe IX.3.1.4.1)

x

In kartesischen Koordinaten 1  xS ¼ A 1  yS ¼ A yo ¼ fo ðxÞ: yu ¼ fu ðxÞ: A:

ðb

foð ðxÞ

y

x dy dx

y0 = f0(x)

x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

ðb

yS

foð ðxÞ

S

y dy dx yu = fu(x)

x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

Obere Randkurve Untere Randkurve Fla¨cheninhalt (siehe IX.3.1.4.1)

a

xS

b

x

258

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

In Polarkoordinaten 1 xS ¼  A 1 yS ¼  A

rað ðjÞ

j ð2

y

f2

r  cos j dr dj 2

ra = ra(f)

j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ rað ðjÞ

j ð2

S

yS

f1

r  sin j dr dj 2

ri = ri (f)

j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ

xS

ra ¼ ra ðjÞ: ußere Randkurve ri ¼ ri ðjÞ: Innere Randkurve A: Fla¨cheninhalt (siehe IX.3.1.4.1)

x

Teilschwerpunktsatz: Siehe V.5.5 3.1.4.3 Fla¨chentra¨gheitsmomente (Fla¨chenmomente 2. Grades) Definitionsformeln ðð Ix ¼

ðð y 2 dA ;

ðAÞ

y

x 2 dA ðAÞ

ðð Ip ¼

Iy ¼

dA x

r 2 dA r

ðAÞ

y

A

Ip ¼ Ix þ Iy x

In kartesischen Koordinaten ðb

y

foð ðxÞ

Ix ¼

y0 = f0(x)

y 2 dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

ðb

foð ðxÞ

Iy ¼

yu = fu(x)

x 2 dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

ðb

a

foð ðxÞ

Ip ¼

ðx 2 þ y 2 Þ dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ

yo ¼ fo ðxÞ: yu ¼ fu ðxÞ:

Obere Randkurve Untere Randkurve

b

x

3 Mehrfachintegrale

259

In Polarkoordinaten j ð2

Ix ¼

f2

y

rað ðjÞ

r 3  sin 2 j dr dj

ra = ra(f)

j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ j ð2

f1

rað ðjÞ

Iy ¼

r 3  cos 2 j dr dj

ri = ri (f)

j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ j ð2

x

rað ðjÞ

Ip ¼

r 3 dr dj j ¼ j1 r ¼ ri ðjÞ

ra ¼ ra ðjÞ: ußere Randkurve ri ¼ ri ðjÞ: Innere Randkurve Satz von Steiner: Siehe V.5.6

3.2 Dreifachintegrale 3.2.1 Definition eines Dreifachintegrals u ¼ f ðx; y; zÞ sei eine im Zylinderbereich ðVÞ definierte und dort stetige Funktion. Wir zerlegen den Zylinder zuna¨chst in n ra¨umliche Teilbereiche DVk , wa¨hlen in jedem Teilbereich einen beliebigen Punkt Pk ¼ ðxk ; yk ; zk Þ, bilden das Produkt f ðxk ; yk ; zk Þ DVk und summieren schließlich u¨ber alle Teilbereiche ðk ¼ 1; 2; . . . ; n; siehe hierzu das obere Bild auf Seite 260): n P k¼1

f ðxk ; yk ; zk Þ DVk

Beim Grenzu¨bergang n ! 1 (und zugleich DVk ! 0Þ strebt diese Summe gegen einen Grenzwert, der als 3-dimensionales Bereichsintegral von f ðx; y; zÞ u¨ber ðVÞ oder kurz als Dreifachintegral bezeichnet wird. Symbolische Schreibweise: ððð f ðx; y; zÞ dV ¼ lim ðVÞ

n P

n!1 k¼1

f ðxk ; yk ; zk Þ DVk

260

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

Bezeichnungen x; y; z: f ðx; y; zÞ: dV : ðVÞ:

z

Integrationsvariable Integrandfunktion (kurz: Integrand) Volumendifferential oder Volumenelement Ra¨umlicher Integrationsbereich

Bereich (V) (Körper)

Pk

Teilbereich DVk

zk y yk xk

x

3.2.2 Berechnung eines Dreifachintegrals in kartesischen Koordinaten Wir legen den folgenden kartesischen Normalbereich zugrunde: z ¼ zu ðx; yÞ:

„Bodenfla¨che“

z ¼ zo ðx; yÞ:

„Deckelfla¨che“

z

„Deckel“ z = z0(x;y)

Zylinder

dV ¼ dx dy dz ¼ dz dy dx 9 8 zu ðx; yÞ  z  zo ðx; yÞ > > > > = < fu ðxÞ  y  fo ðxÞ ðVÞ : > > > > ; : a  x  b

dx

dz dy

y = f0(x)

dV

„Boden“ z = zu(x;y)

y (A) y = fu(x) a

b

x

3 Mehrfachintegrale

261

ÐÐÐ

Das Dreifachintegral

ðVÞ

f ðx; y; zÞ dV

la¨sst sich dann schrittweise durch drei

nacheinander auszufu¨hrende gewo¨hnliche Integrationen berechnen: ððð

ðb

foð ðxÞ

zo ðx; ð yÞ

f ðx; y; zÞ dV ¼

f ðx; y; zÞ dz dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ

ðVÞ

1. Integration 2. Integration 3. Integration

Es wird in der Reihenfolge z; y; x integriert. Bei einer Aba¨nderung dieser Integrationsreihenfolge mu¨ssen die Integrationsgrenzen jeweils neu bestimmt werden. Zuletzt wird dabei stets u¨ber die Variable mit festen Genzen integriert.

&

Beispiel Ð2

Ðx

x Ðþ y

x¼1 y¼0 z¼0

ðx  yÞ z dz dy dx ¼ ?

1. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen z): x Ðþ y z¼0

ðx  yÞ z dz ¼ ðx  yÞ 

x Ðþ y z¼0

z dz ¼

1 1 xþy ðx  yÞ ½ z 2  z ¼ 0 ¼ ðx  yÞ ðx þ yÞ 2 ¼ 2 2

¼

1 1 ðx  yÞ ðx 2 þ 2 x y þ y 2 Þ ¼ ðx 3 þ 2 x 2 y þ x y 2  x 2 y  2 x y 2  y 3 Þ ¼ 2 2

¼

1 ðx 3 þ x 2 y  x y 2  y 3 Þ 2

2. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen y):

Ðx 1 1 1 2 2 1 1 4 x ¼ ðx 3 þ x 2 y  x y 2  y 3 Þ dy ¼ x3y þ x y  xy3  y 2 2 3 4 y¼0 2 y¼0 

1 2

¼

1 12 x 4 þ 6 x 4  4 x 4  3 x 4 1 11 x 4 11 4 ¼ ¼   x 12 12 2 2 24

x4 þ

1 4 1 4 1 4 x  x  x 2 3 4



¼

¼

3. Integrationsschritt (Integration nach der Variablen x): Ð2 11 4 11 h 5 i 2 11 11 11  31 341 x dx ¼ x ð2 5  1 5 Þ ¼ ð32  1Þ ¼ ¼ ¼ 1 120 120 120 120 120 x ¼ 1 24

Ergebnis:

Ð2

Ðx

x Ðþ y

x¼1 y¼0 z¼0

ðx  yÞ z dz dy dx ¼

341 120

&

262

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

3.2.3 Berechnung eines Dreifachintegrals in Zylinderkoordinaten Hinweis: Die Zylinderkoordinate r (senkrechter Abstand von der z-Achse, siehe I.9.2.2 und XIV.6.2) wird hier mit r bezeichnet, um Verwechslungen mit der Dichte r zu vermeiden. Beim bergang von den kartesischen Raumkoordinaten ðx; y; zÞ zu den Zylinderkoordinaten ðr; j; zÞ gelten die Transformationsgleichungen x ¼ r  cos j ;

y ¼ r  sin j ;

z ¼ z;

dV ¼ r dz dr dj

(Zylinderkoordinaten: siehe I.9.2.2 und XIV.6.2). Ein Dreifachintegral transformiert sich dabei wie folgt:

ÐÐÐ ðVÞ

f ðx; y; zÞ dV

ððð

ððð f ðx; y; zÞ dV ¼ ðVÞ

f ðr  cos j; r  sin j; zÞ  r dz dr dj ðVÞ

Die Integration erfolgt dabei in drei nacheinander auszufu¨hrenden gewo¨hnlichen Integrationsschritten, wobei zuna¨chst nach z , dann nach r und schließlich nach j integriert wird. Bei einer Aba¨nderung der Integrationsreihenfolge mu¨ssen die (in Zylinderkoordinaten ausgedru¨ckten) Integrationsgrenzen neu bestimmt werden.

3.2.4 Berechnung eines Dreifachintegrals in Kugelkoordinaten Beim bergang von den kartesischen Raumkoordinaten Kugelkoordinaten ðr; J; jÞ gelten die Transformationsgleichungen x ¼ r  sin J  cos j ;

y ¼ r  sin J  sin j ;

ðx; y; zÞ

zu

den

z ¼ r  cos J

dV ¼ r 2  sin J  dr dJ dj (Kugelkoordinaten: siehe I.9.2.4 und XIV.6.3). Ein Dreifachintegral transformiert sich dabei wie folgt:

ðVÞ

f ðx; y; zÞ dV

ððð

ððð f ðx; y; zÞ dV ¼ ðVÞ

ÐÐÐ

f ðr  sin J  cos j; r  sin J  sin j; r  cos JÞ  r 2  sin J dr dJ dj ðVÞ

Die Integration erfolgt in drei nacheinander auszufu¨hrenden gewo¨hnlichen Integrationsschritten, wobei zuna¨chst nach r, dann nach J und schließlich nach j integriert wird. Bei einer nderung der Integrationsreihenfolge mu¨ssen die (in Kugelkoordinaten ausgedru¨ckten) Integrationsgrenzen neu bestimmt werden.

3 Mehrfachintegrale

263

3.2.5 Anwendungen 3.2.5.1 Volumen eines zylindrischen Ko¨rpers Definitionsformel ððð V ¼

z

„Deckel“ z = z0(x;y)

ððð 1 dV ¼

ðVÞ

dV Zylinder

ðVÞ

dx

In kartesischen Koordinaten foð ðxÞ

ðb

dV

zo ðx; ð yÞ

V ¼

„Boden“ z = zu(x;y)

y = f0(x)

dz dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ

z ¼ zo ðx; yÞ: z ¼ zu ðx; yÞ:

dz dy

y (A)

y = fu(x)

„Deckelfla¨che“ „Bodenfla¨che“

a

x

b

z

Rotationsko¨rper Rotationsachse: z-Achse ððð V ¼

r dz dr dj ðVÞ

r; j; z:

y

Zylinderkoordinaten (siehe I.9.2.2 und XIV.6.2)

x

3.2.5.2 Schwerpunkt eines homogenen Ko¨rpers Definitionsformeln xS ¼

1  V

ððð x dV ; ðVÞ

V : Volumen (siehe IX.3.2.5.1) Bild: siehe Seite 264 oben

yS ¼

1  V

ððð y dV ; ðVÞ

zS ¼

1  V

ððð z dV ðVÞ

264

IX Differential- und Integralrechnung fu¨r Funktionen von mehreren Variablen

In kartesischen Koordinaten 1 xS ¼  V 1 yS ¼  V

zS ¼

1  V

foð ðxÞ

ðb

z

„Deckel“ z = z0(x;y)

zo ðx; ð yÞ

x dz dy dx

Zylinder

x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ foð ðxÞ

ðb

zo ðx; ð yÞ

S

y dz dy dx x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ foð ðxÞ

ðb

zS

zo ðx; ð yÞ

y

x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ

z ¼ zo ðx; yÞ: z ¼ zu ðx; yÞ:

„Deckelfla¨che“ „Bodenfla¨che“

„Boden“ z = zu(x;y)

y = f0(x)

z dz dy dx yS

(A)

y = fu (x) a

xS

Rotationsko¨rper

x

b

z

Rotationsachse: z-Achse xS ¼ 0 ;

yS ¼ 0 ððð 1  zS ¼ z r dz dr dj V

S

zS

ðVÞ

V: Rotationsvolumen (siehe IX.3.2.5.1) r; j; z: Zylinderkoordinaten (siehe I.9.2.2 und XIV.6.2)

y x

3.2.5.3 Massentra¨gheitsmoment eines homogenen Ko¨rpers Definitionsformel

Bezugsachse A

ððð J ¼ r

r 2A

dV

Körper der Masse m

ðVÞ

r: Konstante Dichte des Ko¨rpers rA : Senkrechter Abstand des Volumenelementes dV von der Bezugsachse

rA dV

3 Mehrfachintegrale

265

In kartesischen Koordinaten Bezugsachse: z-Achse ðb

foð ðxÞ

zo ðx; ð yÞ

ðx 2 þ y 2 Þ dz dy dx

J ¼ r x ¼ a y ¼ fu ðxÞ z ¼ zu ðx; yÞ

z ¼ zo ðx; yÞ: „Deckelfla¨che“ z ¼ zu ðx; yÞ: „Bodenfla¨che“ r: Konstante Dichte des Ko¨rpers

Rotationsko¨rper

z

Rotations- und Bezugsachse: z-Achse ððð Jz ¼ r 

r 3 dz dr dj ðVÞ

r: Konstante Dichte des Ko¨rpers r; j; z: Zylinderkoordinaten (siehe I.9.2.2 und XIV.6.2) Satz von Steiner Siehe V.5.11

y x

266

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

1 Grundbegriffe 1.1 Definition einer gewo¨hnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y ¼ y ðxÞ bis zur n-ten Ordnung auftreten, heißt eine gewo¨hnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung. Fðx; y; y 0 ; . . . ; y ðnÞ Þ ¼ 0

Explizite Form:

y ðnÞ ¼ f ðx; y; y 0 ; . . . ; y ðn  1Þ Þ

|fflfflffl{zfflfflffl}

Implizite Form:

n 2 N*

1.2 Lo¨sungen einer Differentialgleichung Eine Funktion y ¼ y ðxÞ heißt eine Lo¨sung der Differentialgleichung, wenn sie mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung identisch erfu¨llt. Allgemeine Lo¨sung Die allgemeine Lo¨sung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung entha¨lt n voneinander unabha¨ngige Parameter oder Integrationskonstanten. Spezielle oder partikula¨re Lo¨sung Man erha¨lt aus der allgemeinen Lo¨sung eine spezielle oder partikula¨re Lo¨sung, indem man den n Parametern feste Werte zuweist (z. B. durch zusa¨tzliche Bedingungen wie Anfangsoder Randbedingungen). Singula¨re Lo¨sung Eine Lo¨sung der Differentialgleichung, die sich nicht aus der allgemeinen Lo¨sung gewinnen la¨sst, heißt singula¨r.

1.3 Anfangswertprobleme Von der gesuchten Lo¨sung y ¼ yðxÞ einer Differentialgleichung n-ter Ordnung sind genau n Werte, na¨mlich der Funktionswert sowie die Werte der ersten n  1 Ableitungen an einer Stelle x0 vorgegeben: y ðx0 Þ; y 0 ðx0 Þ; y 00 ðx0 Þ; . . . ; y ðn  1Þ ðx0 Þ (sog. Anfangswerte). Aus diesen Anfangsbedingungen lassen sich die n Integrationskonstanten C1 ; C2 ; . . . ; Cn der allgemeinen Lo¨sung bestimmen. Dies bedeutet fu¨r eine Dgl. 1. Ordnung: Gesucht ist die Lo¨sungskurve y ¼ y ðxÞ durch den Punkt P ¼ ðx0 ; y0 Þ. Dgl. 2. Ordnung: Gesucht ist die Lo¨sungskurve y ¼ y ðxÞ durch den Punkt P ¼ ðx0 ; y0 Þ, die in diesem Punkt die Steigung y 0 ðx0 Þ ¼ m besitzt.

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

267

1.4 Randwertprobleme Von der gesuchten Lo¨sung y ¼ y ðxÞ einer Differentialgleichung n-ter Ordnung sind oft die Funktionswerte an n verschiedenen Stellen x1 ; x2 ; . . . ; xn vorgegeben: y ðx1 Þ; yðx2 Þ; . . . . . . ; y ðxn Þ (sog. Randwerte; n  2). Aus diesen Randbedingungen lassen sich dann die n Integrationskonstanten C1 ; C2 ; . . . ; Cn der allgemeinen Lo¨sung bestimmen 1Þ . Allgemeiner formuliert: Ein Randwertproblem (auch Randwertaufgabe genannt) liegt vor, wenn die gesuchte Lo¨sung einer Differentialgleichung n-ter Ordnung und gewisse ihrer Ableitungen an mindestens zwei verschiedenen Stellen des Definitionsbereiches vorgeschriebene Werte annehmen sollen (insgesamt n Randbedingungen).

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung mit trennbaren Variablen Eine Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ y0 ¼

dy ¼ f ðxÞ  g ðyÞ dx

wird durch „Trennung der Variablen“ wie folgt gelo¨st: 1. Zuna¨chst werden die beiden Variablen und ihre zugeho¨rigen Differentiale voneinander getrennt, d. h. auf verschiedene Seiten der Gleichung gebracht. 2. Dann erfolgt die Integration auf beiden Seiten der Gleichung. Die Lo¨sung lautet (in impliziter Form): ð

dy ¼ g ðyÞ

ð f ðxÞ dx

ðgðyÞ 6¼ 0Þ

Weitere Lo¨sungen kann die Gleichung gðyÞ ¼ 0 liefern, muss es aber nicht. Sie sind dann vom Typ y ¼ const:. &

Beispiel y 0 ¼ ðcos xÞ  y

oder

Trennen der beiden Variablen:

1Þ

dy ¼ ðcos xÞ  y dx dy ¼ cos x dx y

ð f u¨ r y 6¼ 0Þ

Nicht jedes Randwertproblem ist lo¨sbar, in bestimmten Fa¨llen ko¨nnen auch mehrere Lo¨sungen auftreten.

268

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen ð Integration auf beiden Seiten:

dy ¼ y

ð cos x dx

) )

ln j y j ¼ sin x þ ln j C j ) y   ln j y j  ln j C j ¼ ln   ¼ sin x C

Allgemeiner Hinweis: Beim Auftreten logarithmischer Terme wird die Integrationskonstante zweckma¨ßigerweise in der Form ln j C j angesetzt. Man beachte ferner, das in diesem Beispiel auch y ¼ 0 eine Lo¨sung ist. y ¼ C  e sin x

Lo¨sung (nach Entlogarithmierung der Gleichung):

ðC 2 RÞ

&

2.2 Spezielle Differentialgleichungen 1. Ordnung, die durch Substitutionen lo¨sbar sind (Tabelle) Differentialgleichung

Substitution

Neue Dgl/Lo¨sungsweg

ðAÞ y 0 ¼ f ða x þ b y þ cÞ

u ¼ ax þ by þ c

u 0 ¼ a þ b  f ðuÞ 1. Trennung der Variablen 2. Ru¨cksubstitution

ðBÞ y 0 ¼ f

y

u ¼

x (homogene Dgl)

ðCÞ y 0 þ g ðxÞ  y ¼ h ðxÞ  y n

y x

u ¼ y 1n

f ðuÞ  u x 1. Trennung der Variablen 2. Ru¨cksubstitution u0 ¼

u 0 þ ð1  nÞ g ðxÞ  u ¼ ¼ ð1  nÞ h ðxÞ

(Bernoullische Dgl; n 6¼ 1Þ

1. Lineare Dgl (siehe X.2.4) 2. Ru¨cksubstitution Man beachte: y ist eine Funktion von x, dies gilt daher auch fu¨r die „Hilfsvariable“ u. &

Beispiel y 2y  x ¼ 2  1 ðx 6¼ 0Þ homogene Dgl vom Typ ðBÞ x x y Substitution: u ¼ ; y ¼ xu ) y0 ¼ 1  u þ x  u0 ¼ u þ xu0 x y0 ¼

Neue Dgl:

u þ xu0 ¼ 2u  1

Trennung der Variablen: ð Integration:

du ¼ u1

Entlogarithmierung:

x ð

xu0 ¼ u  1

)

du ¼ u1 dx dx x

)

u  1 ¼ Cx

Lo¨sung (nach Ru¨cksubstitution):

)

du dx ¼ u1 x

ðx 6¼ 0; u 6¼ 1Þ

ln j u  1 j ¼ ln j x j þ ln j C j ¼ ln j C x j )

u ¼ Cx þ 1

y ¼ x u ¼ x ðC x þ 1Þ ¼ C x 2 þ x

ðC 2 RÞ

&

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

269

2.3 Exakte Differentialgleichungen 1. Ordnung Eine Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ g ðx; yÞ dx þ h ðx; yÞ dy ¼ 0

mit

@g @h ¼ @y @x

heißt exakt oder vollsta¨ndig. Die lineare Differentialform g ðx; yÞ dx þ h ðx; yÞ dy ist dann das totale oder vollsta¨ndige Differential du einer Funktion u ¼ u ðx; yÞ. Somit gilt: @u ¼ g ðx; yÞ @x

@u ¼ h ðx; yÞ @y

und

Die Lo¨sung der exakten Differentialgleichung lautet dann in geschlossener Form: ð

ð g ðx; yÞ dx þ

&

ð h ðx; yÞ 

 @g dx dy ¼ const: ¼ C @y

Beispiel Die Dgl ð1  xÞ y 0 þ x  y ¼ 0 oder ðx  y Þ dx þ ð1  x Þ dy ¼ 0 ist exakt: |fflffl{zfflffl} |fflffl{zfflffl} g 9 h @g @ > ¼ ðx  yÞ ¼  1 > > = @y @y @g @h ¼ ¼ 1 ) > @y @x > @h @ > ¼ ð1  xÞ ¼  1 ; @x @x Integration (nach obiger Lo¨sungsformel):  ð ð ð ð ð @ ðx  yÞ d x þ 1x  ðx  yÞ dx d y ¼ ðx  yÞ dx þ ½ 1  x þ x  dy ¼ @y |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 1 1 2 ¼ x  xy þ y ¼ C 2 2 1 2 x  2C oder y ¼ x  xy þ y ¼ C ðC 2 RÞ Lo¨sung: 2 2 ðx  1Þ

&

Integrierender Faktor Ha¨ufig la¨sst sich eine nichtexakte Differentialgleichung 1. Ordnung durch Multiplikation mit einer geeigneten Funktion l ¼ l ðx; yÞ in eine exakte Differentialgleichung u¨berfu¨hren. Der „integrierende Faktor“ l ðx; yÞ muss dabei die Integrabilita¨tsbedingung @  @  l ðx; yÞ  g ðx; yÞ ¼ lðx; yÞ  h ðx; yÞ @y @x erfu¨llen. In vielen Fa¨llen ha¨ngt der integrierende Faktor nur von x oder y ab, d. h. l ¼ l ðxÞ bzw. l ¼ l ðyÞ. &

Beispiel ð1 þ x yÞ dx þ ðx y þ x 2 Þ dy ¼ 0 Integrierender Faktor:

l ¼

1 x

(nichtexakte Dgl)

270

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen 1 1 ð1 þ x yÞ dx þ ðx y þ x 2 Þ dy ¼ x x

Neue (exakte) Dgl:

@g @ ¼ @y @y



1 þy x

 ¼

@h @ ¼ ðy þ xÞ ¼ 1 @x @x

)



 1 þ y dx þ ð y þ xÞ dy ¼ 0 x |fflffl{zfflffl} |fflfflffl{zfflfflffl} h g

exakte Dgl

ð

  ð ð 1 1 2 þ y dx þ y þ x  1 dx dy ¼ ln j x j þ x y þ y ¼ C x 2 |fflfflffl{zfflfflffl} x 1 2 ln j x j þ x y þ ¼ C ðC 2 RÞ y 2

Integration:

Lo¨sung:

&

2.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 2.4.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 1. Ordnung y 0 þ f ðxÞ  y ¼ g ðxÞ Die Funktion g ðxÞ wird als Sto¨rfunktion oder Sto¨rglied bezeichnet. Fehlt das Sto¨rglied, d. h. ist g ðxÞ  0, so heißt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. 2.4.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung y 0 þ f ðxÞ  y ¼ 0 Lo¨sung durch „Trennung der Variablen“: y ¼ C  e &

Ð

f ðxÞ dx

ðC 2 RÞ

Beispiel y0  2xy ¼ 0

)

y ¼ C e

Ð

2 x dx

¼ C  ex

2

ðC 2 RÞ &

2.4.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung 2.4.3.1 Integration durch Variation der Konstanten Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ y 0 þ f ðxÞ  y ¼ g ðxÞ la¨sst sich durch „Variation der Konstanten“ wie folgt lo¨sen: 1. Integration der zugeho¨rigen homogenen Differentialgleichung durch „Trennung der Variablen“. Allgemeine Lo¨sung: Ð ðK 2 RÞ y ¼ K  e  f ðxÞ dx

y 0 þ f ðxÞ  y ¼ 0

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

271

2. „Variation der Konstanten“: Die Integrationskonstante K wird durch eine (noch unbekannte) Funktion K ðxÞ ersetzt. Mit dem Lo¨sungsansatz: y ¼ K ðxÞ  e 

Ð

f ðxÞ dx

geht man in die inhomogene lineare Differentialgleichung ein und erha¨lt eine einfache Differentialgleichung 1. Ordnung fu¨r die Faktorfunktion K ðxÞ, die durch unbestimmte Integration direkt gelo¨st werden kann.

&

Beispiel 1 y ¼ x2 ðx 6¼ 0Þ x y ¼ 0 1. Homogene Differentialgleichung y 0  x Integration durch „Trennung der Variablen“: ð ð dy dx dy dx ¼ ; ¼ ; ln j y j ¼ ln j x j þ ln j K j ¼ ln j K  x j y x y x y0 

Lo¨sung:

y ¼ x2 x

oder

y ¼ K x

y0 

ðK 2 RÞ

y ¼ x2 x Integration durch „Variation der Konstanten“: K ! K ðxÞ y0 

2. Inhomogene Differentialgleichung

y 0 ¼ K 0 ðxÞ  x þ K ðxÞ

y ¼ K ðxÞ  x ;

K ðxÞ  x K 0 ðxÞ  x ¼ x 2 ; ¼ x2; x

 1 2 1 3 y ¼ K ðxÞ  x ¼ x þC  x ¼ x þ Cx 2 2

K 0 ðxÞ  x þ K ðxÞ  Lo¨sung:

K 0 ðxÞ ¼ x ) K ðxÞ ¼

1 2 x þC 2

ðC 2 RÞ &

2.4.3.2 Integration durch Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung Man lo¨st zuna¨chst die zugeho¨rige homogene Differentialgleichung yÐ 0 þ f ðxÞ  y ¼ 0 durch „Trennung der Variablen“ (allgemeine Lo¨sung: y0 ¼ C  e  f ðxÞ dx ) und versucht dann mit Hilfe eines geeigneten Lo¨sungsansatzes, der einen oder mehrere Parameter entha¨lt, eine partikula¨re Lo¨sung yp der inhomogenen Differentialgleichung y 0 þ f ðxÞ  y ¼ g ðxÞ zu bestimmen. Die allgemeine Lo¨sung y der inhomogenen Differentialgleichung ist dann die Summe aus y0 und yp : y ¼ y0 þ yp ¼ C  e 

Ð

f ðxÞ dx

þ yp

ðC 2 RÞ

2.4.4 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y 0 þ a y ¼ g ðxÞ

ða 2 RÞ

ðSpezialfall der allgemeinen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung fu¨r f ðxÞ ¼ aÞ

272

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Die Integration dieser Differentialgleichung erfolgt entweder durch „Variation der Konstanten“ (siehe X.2.4.3.1) oder durch „Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung“ (siehe X.2.4.3.2), wobei sich die letztere Lo¨sungsmethode in den meisten Fa¨llen als die zweckma¨ßigere erweist, da der Lo¨sungsansatz fu¨r eine partikula¨re Lo¨sung yp im Wesentlichen dem Funktionstyp des Sto¨rgliedes g ðxÞ entspricht. Die zugeho¨rige homogene Gleichung y 0 þ a y ¼ 0 wird durch die Exponentialfunktion y0 ¼ C  e  a x gelo¨st. Fu¨r die allgemeine Lo¨sung der inhomogenen Differentialgleichung gilt somit: y ¼ y0 þ yp ¼ C  e  a x þ yp

ðC 2 RÞ

Den Lo¨sungsansatz fu¨r eine partikula¨re Lo¨sung yp entnimmt man der folgenden Tabelle.

Tabelle: Lo¨sungsansatz yp fu¨r spezielle Sto¨rfunktionen (Sto¨rglieder) Sto¨rfunktion g ðxÞ

Lo¨sungsansatz yp ðxÞ

1. Konstante Funktion

Konstante Funktion yp ¼ c0

2. Lineare Funktion

Lineare Funktion yp ¼ c1 x þ c0

3. Quadratische Funktion

Quadratische Funktion yp ¼ c2 x 2 þ c1 x þ c0

4. Polynomfunktion vom Grade n

Polynomfunktion vom Grade n yp ¼ cn x n þ . . . þ c1 x þ c0

5. g ðxÞ ¼ A  sin ðw xÞ 6. g ðxÞ ¼ B  cos ðw xÞ 7. g ðxÞ ¼ A  sin ðw xÞ þ B  cos ðw xÞ 8. g ðxÞ ¼ A  e b x c0 ; c1 ; . . . ; cn ; C; C1 ; C2 :

9 yp ¼ C1  sin ðw xÞ þ C2  cos ðw xÞ > > = oder > > ; yp ¼ C  sin ðw x þ jÞ ( b 6¼  a C  e bx fu¨r yp ¼ bx b ¼ a Cx  e

„Stellparameter“

Anmerkungen zur Tabelle (1) (2) (3)

Die im jeweiligen Lo¨sungsansatz enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, dass die Funktion die vorgegebene Differentialgleichung lo¨st. Ist die Sto¨rfunktion g ðxÞ eine Summe aus mehreren Sto¨rgliedern, so erha¨lt man den Lo¨sungsansatz fu¨r yp als Summe der Lo¨sungsansa¨tze fu¨r die einzelnen Sto¨rglieder. Ist die Sto¨rfunktion gðxÞ ein Produkt aus mehreren Faktoren, so werden die Ansa¨tze fu¨r die einzelnen Faktoren miteinander multipliziert.

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung &

273

Beispiel y0  2y ¼ 4x  2 1. Homogene Differentialgleichung Lo¨sung:

y0 ¼ C  e 2 x

y0  2y ¼ 0

ðC 2 RÞ y0  2y ¼ 4x  2

2. Inhomogene Differentialgleichung

yp ¼ a x þ b ;

Lo¨sungsansatz fu¨r yp :

ðSto¨rglied: g ðxÞ ¼ 4 x  2Þ

y 0p ¼ a

Bestimmung der Konstanten a und b: a  2 ða x þ bÞ ¼ 4 x  2 ; Koeffizientenvergleich: 2a ¼ 4 a  2b ¼ 2 Partikula¨re Lo¨sung:

2ax þ a  2b ¼ 4x  2

)

a ¼ 2;

b ¼ 0

yp ¼  2 x

Lo¨sung der inhomogenen Differentialgleichung:

y ¼ y0 þ yp ¼ C  e 2 x  2 x

ðC 2 RÞ &

2.5 Numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 2.5.1 Streckenzugverfahren von Euler Die Lo¨sungskurve y ðxÞ der Differentialgleichung y 0 ¼ f ðx; yÞ fu¨r den Anfangswert y ðx0 Þ ¼ y0 la¨sst sich an den Stellen x1 ¼ x0 þ h, x2 ¼ x0 þ 2 h, x3 ¼ x0 þ 3 h; . . . na¨herungsweise wie folgt berechnen (h: gewa¨hlte Schrittweite): y ðx0 Þ ¼ y0

(vorgegebener Anfangswert)

y ðx1 Þ  y1 ¼ y0 þ h  f ðx0 ; y0 Þ y ðx2 Þ  y2 ¼ y1 þ h  f ðx1 ; y1 Þ y ðx3 Þ  y3 ¼ y2 þ h  f ðx2 ; y2 Þ .. . Rechenschema i

x

y

h  f ðx; yÞ

0

x0

y0 (Anfangswert)

h  f ðx0 ; y0 Þ

1

x1 ¼ x0 þ h

y1 ¼ y0 þ h  f ðx0 ; y0 Þ

h  f ðx1 ; y1 Þ

2

x2 ¼ x0 þ 2 h

y2 ¼ y1 þ h  f ðx1 ; y1 Þ

h  f ðx2 ; y2 Þ

3 .. .

x3 ¼ x0 þ 3 h .. .

y3 ¼ y2 þ h  f ðx2 ; y2 Þ .. .

h  f ðx3 ; y3 Þ .. .

274

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Fehlerabscha¨tzung Dyi ¼ y ðxi Þ  yi  yi  y~i y ðxi Þ: yi : y~i :

Exakte Lo¨sung an der Stelle xi Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei der Schrittweite h Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei doppelter Schrittweite 2 h

Geometrische Deutung Die (exakte) Lo¨sungskurve wird im Anfangspunkt P0 ¼ ðx0 ; y0 Þ durch die dortige Tangente mit der Steigung m ¼ f ðx0 ; y0 Þ ersetzt. Der an der Stelle x1 ¼ x0 þ h gelegene Tangentenpunkt P1 besitzt dann die Ordinate y1 ¼ y0 þ h  f ðx0 ; y0 Þ (Bild a)). Dieser Wert ist ein Na¨herungswert fu¨r die exakte Lo¨sung yðx1 Þ: y ðx1 Þ  y1 ¼ y0 þ h  f ðx0 ; y0 Þ Dann wird das Verfahren fu¨r den (neuen) Anfangspunkt P1 wiederholt usw.. Man erha¨lt einen Streckenzug als Na¨herung fu¨r die gesuchte Lo¨sung der Differentialgleichung (Bild b)). exakte Lösungskurve

y

P3

y

exakte Lösungskurve

Streckenzug nach Euler

P2

y0

P1

P0 Tangente

y(x1)

y1

h

h x1

x0

x

x0

a)

&

P1

P0

h x1

h x2

x3

x

b)

Beispiel y0 ¼ y  x

Anfangswert:

y ð0Þ ¼ 0

Wir berechnen die Na¨herungslo¨sung dieser Differentialgleichung im Intervall 0  x  0,2 fu¨r die Schrittweite h ¼ 0,05 und vergleichen sie mit der exakten Lo¨sung y ¼  e x þ x þ 1: y

h  f ðx; yÞ ¼ 0;05 ðy  xÞ

i

x

yexakt

0

0,00

0,000 000

0,000 000

0,000 000

1

0,05

0,000 000

 0,002 500

 0,001 271

2

0,10

 0,002 500

 0,005 125

 0,005 171

3

0,15

 0,007 625

 0,007 881

 0,011 834

4

0,20

 0,015 506

 0,010 775

 0,021 403 &

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

275

2.5.2 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung Die Lo¨sungskurve y ðxÞ der Differentialgleichung y 0 ¼ f ðx; yÞ fu¨r den Anfangswert y ðx0 Þ ¼ y0 la¨sst sich an den Stellen x1 ¼ x0 þ h; x2 ¼ x0 þ 2 h, x3 ¼ x0 þ 3 h; . . . na¨herungsweise wie folgt berechnen (h: gewa¨hlte Schrittweite): y ðx0 Þ ¼ y0

(vorgegebener Anfangswert) 1 ðk1 þ k2 Þ 2 k1 ¼ h  f ðx0 ; y0 Þ

y ðx1 Þ  y1 ¼ y0 þ

k2 ¼ h  f ðx0 þ h; y0 þ k1 Þ 1 ðk1 þ k2 Þ 2 k1 ¼ h  f ðx1 ; y1 Þ

y ðx2 Þ  y2 ¼ y1 þ

k2 ¼ h  f ðx1 þ h; y1 þ k1 Þ 1 ðk1 þ k2 Þ 2 k1 ¼ h  f ðx2 ; y2 Þ

y ðx3 Þ  y3 ¼ y2 þ

k2 ¼ h  f ðx2 þ h; y2 þ k1 Þ .. .

Rechenschema Abku¨rzung: i 0

K ¼

1 ðk1 þ k2 Þ 2

x

f ðx; yÞ

y

k ¼ h  f ðx; yÞ

x0

y0

f ðx0 ; y0 Þ

k1 ¼ h  f ðx0 ; y0 Þ

x0 þ h

y0 þ k1

f ðx0 þ h; y0 þ k1 Þ

k2 ¼ h  f ðx0 þ h; y0 þ k1 Þ K ¼

1

x1 ¼ x0 þ h .. .

y1 ¼ y0 þ K

......

Grau unterlegt: Na¨herungswert fu¨r y ðx1 Þ

1 ðk1 þ k2 Þ 2

276

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Fehlerabscha¨tzung Dyi ¼ y ðxi Þ  yi  y ðxi Þ: yi : y~i :

&

1 ðyi  y~i Þ 3

Exakte Lo¨sung an der Stelle xi Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei der Schrittweite h Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei doppelter Schrittweite 2 h

Beispiel y0 ¼ y  x

Anfangswert:

y ð0Þ ¼ 0

Wir berechnen die Na¨herungslo¨sung dieser Differentialgleichung im Intervall 0  x  0,3 fu¨r die Schrittweite h ¼ 0,1 und vergleichen sie mit der exakten Lo¨sung y ¼  e x þ x þ 1: y

f ðx; yÞ ¼ y  x

k ¼ 0;1 ðy  xÞ

i

x

0

0,0

0,000 000

0,000 000

0,000 000

0,1

0,000 000

 0,100 000

 0,010 000

yexakt 0,000 000

K ¼  0,005 000 1

0,1

 0,005 000

 0,105 000

 0,010 500

0,2

 0,015 500

 0,215 500

 0,021 550

 0,005 171

K ¼  0,016 025 2

0,2

 0,021 025

 0,221 025

 0,022 103

0,3

 0,043 128

 0,343 128

 0,034 313

 0,021 403

K ¼  0,028 208 3

0,3

 0,049 233

Na¨herungslo¨sung im Vergleich zur exakten Lo¨sung:

 0,049 859

x

y

yexakt

0,0

0,000 000

0,000 000

0,1

 0,005 000

 0,005 171

0,2

 0,021 025

 0,021 403

0,3

 0,049 233

 0,049 859 &

2.5.3 Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Die Lo¨sungskurve y ðxÞ der Differentialgleichung y 0 ¼ f ðx; yÞ fu¨r den Anfangswert y ðx0 Þ ¼ y0 la¨sst sich an den Stellen x1 ¼ x0 þ h; x2 ¼ x0 þ 2 h, x3 ¼ x0 þ 3 h; . . . na¨herungsweise nach dem Schema der folgenden Seite berechnen (h: gewa¨hlte Schrittweite).

2 Differentialgleichungen 1. Ordnung

y ðx0 Þ ¼ y0

277

(vorgegebener Anfangswert)

y ðx1 Þ  y1 ¼ y0 þ

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6

k1 ¼ h  f ðx0 ; y0 Þ

 h k1 k 2 ¼ h  f x0 þ ; y 0 þ 2 2

 h k2 k3 ¼ h  f x0 þ ; y0 þ 2 2 k4 ¼ h  f ðx0 þ h; y0 þ k3 Þ 1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6 k1 ¼ h  f ðx1 ; y1 Þ

 h k1 k 2 ¼ h  f x1 þ ; y 1 þ 2 2

 h k2 k3 ¼ h  f x1 þ ; y1 þ 2 2

y ðx2 Þ  y2 ¼ y1 þ

k4 ¼ h  f ðx1 þ h; y1 þ k3 Þ .. . Rechenschema K ¼

Abku¨rzung: i 0

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6

x

f ðx; yÞ

y y0

x0 x0 þ

h 2

y0 þ

k1 2

x0 þ

h 2

y0 þ

k2 2

x0 þ h

y0 þ k3

k ¼ h  f ðx; yÞ

f ðx0 ; y0 Þ

 h k1 f x 0 þ ; y0 þ 2 2

 h k2 f x 0 þ ; y0 þ 2 2

k1

f ðx0 þ h; y0 þ k3 Þ

k4

k2 k3

K¼ 1

x1 ¼ x0 þ h .. .

y1 ¼ y0 þ K

......

Grau unterlegt: Na¨herungswert fu¨r y ðx1 Þ

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2k3 þ k4 Þ 6

278

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Fehlerabscha¨tzung Dyi ¼ y ðxi Þ  yi  y ðxi Þ: yi : y~i :

&

1 ðyi  y~i Þ 15

Exakte Lo¨sung an der Stelle xi Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei der Schrittweite h Na¨herungslo¨sung an der Stelle xi bei doppelter Schrittweite 2 h

Beispiel y0 ¼ y  x

Anfangswert:

y ð0Þ ¼ 0

Wir berechnen die Na¨herungslo¨sung dieser Differentialgleichung im Intervall 0  x  0,3 fu¨r die Schrittweite h ¼ 0,1 und vergleichen sie mit der exakten Lo¨sung y ¼  e x þ x þ 1: y

f ðx; yÞ ¼ y  x

k ¼ 0;1 ðy  xÞ

i

x

0

0,00

0,000 000

0,000 000

0,000 000

0,05

0,000 000

 0,050 000

 0,005 000

0,05

 0,002 500

 0,052 500

 0,005 250

0,10

 0,005 250

 0,105 250

 0,010 525

yexakt 0,000 000

K ¼  0,005 171 1

 0,005 171

 0,105 171

 0,010 517

0,15

 0,010 430

 0,160 430

 0,016 043

0,15

 0,013 193

 0,163 193

 0,016 320

0,20

 0,021 490

 0,221 490

 0,022 149

0,10

 0,005 171

K ¼  0,016 232 2

0,20

 0,021 403

 0,221 403

 0,022 140

0,25

 0,032 473

 0,282 473

 0,028 247

0,25

 0,035 527

 0,285 527

 0,028 553

0,30

 0,049 956

 0,349 956

 0,034 996

 0,021 403

K ¼  0,028 456 3

0,30

 0,049 859

 0,049 859

Na¨herungslo¨sung im Vergleich zur exakten Lo¨sung:

x

y

yexakt

0,0

0,000 000

0,000 000

0,1

 0,005 171

 0,005 171

0,2

 0,021 403

 0,021 403

0,3

 0,049 859

 0,049 859 &

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung

279

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung 3.1 Spezielle Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sich auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zuru¨ckfu¨hren lassen Die in der nachfolgenden Tabelle zusammengestellten Differentialgleichungen 2. Ordnung lassen sich mit Hilfe geeigneter Substitutionen auf Differentialgleichungen 1. Ordnung zuru¨ckfu¨hren. Differentialgleichung

Substitution

ðAÞ y 00 ¼ f ðyÞ

y0 ¼

dy ¼ u dx

y 00 ¼

du dy du  ¼ u dy dx dy

Neue Dgl/Lo¨sungsweg u

du ¼ f ðyÞ dy

1. Integration durch Trennung der Variablen (siehe X.2.1): qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ð u ¼ 2  f ðyÞ dy 2. Ru¨cksubstitution ðu ¼ y 0 Þ: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ð y 0 ¼ 2  f ðyÞ dy 3. Integration durch Trennung der Variablen (siehe X.2.1)

ðBÞ

y 00 ¼ f ðy 0 Þ

y0 ¼ u

u 0 ¼ f ðuÞ

y 00 ¼ u 0

1. Integration durch Trennung der Variablen (siehe X.2.1): ð du ¼ x þC f ðuÞ (nach u auflo¨sen: u ¼ u ðxÞÞ 2. Ru¨cksubstitution ðu ¼ y 0 Þ: y 0 ¼ uðxÞ 3. Direkte Integration: Ð y ¼ u ðxÞ dx

ðCÞ

y 00 ¼ f ðx; y 0 Þ

y0 ¼ u y

ðDÞ

y 00 ¼ f ðy; y 0 Þ

00

¼ u

u 0 ¼ f ðx; uÞ 0

Weiterer Lo¨sungsweg ha¨ngt vom Typ der Funktion f ðx; uÞ ab

y0 ¼

dy ¼ u dx

u

du ¼ f ðy; uÞ dy

y 00 ¼

du dy du  ¼ u dy dx dy

Weiterer Lo¨sungsweg ha¨ngt vom Typ der Funktion f ðy; uÞ ab

280 &

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen Beispiel y 00 ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ ðy 0 Þ 2

y 00 ¼ u 0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Neue Differentialgleichung 1. Ordnung: u 0 ¼ 1 þ u 2 Substitution vom Typ (B):

y0 ¼ u;

Integration nach „Trennung der Variablen“: du qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ dx ; 1 þ u2

Z

du qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1 þ u2

ð dx

)

arsinh u ¼ x þ C1

)

u ¼ sinh ðx þ C1 Þ

Ru¨cksubstitution mit anschließender Integration: Ð y 0 ¼ u ¼ sinh ðx þ C1 Þ ) y ¼ sinh ðx þ C1 Þ dx ¼ cosh ðx þ C1 Þ þ C2 Lo¨sung:

y ¼ cosh ðx þ C1 Þ þ C2

ðC1 ; C2 2 RÞ &

3.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 3.2.1 Definition einer linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten y 00 þ a y 0 þ b y ¼ gðxÞ

ða; b 2 RÞ

Die Funktion g ðxÞ wird als Sto¨rfunktion oder Sto¨rglied bezeichnet. Fehlt das Sto¨rglied, d. h. ist g ðxÞ  0, so heißt die lineare Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen. 3.2.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 3.2.2.1 Wronski-Determinante Zwei Lo¨sungsfunktionen y1 und y2 der homogenen linearen Differentialgleichung y 00 þ a y 0 þ b y ¼ 0 heißen Basisfunktionen oder Basislo¨sungen der Differentialgleichung, wenn die aus ihnen gebildete Wronski-Determinante   y1 W ðy1 ; y2 Þ ¼  0 y1

 y2  ¼ y1 y 02  y2 y 01 y 02 

von Null verschieden ist. Die Basislo¨sungen bilden eine sog. Fundamentalbasis der Differentialgleichung, sie werden auch als linear unabha¨ngige Lo¨sungen bezeichnet. 3.2.2.2 Allgemeine Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung Die allgemeine Lo¨sung y der homogenen linearen Differentialgleichung y 00 þ a y 0 þ by ¼ 0 ist als Linearkombination zweier linear unabha¨ngiger Lo¨sungen (Basisfunktionen) y1 und y2 darstellbar: y ¼ C1 y1 þ C2 y2

ðC1 ; C2 2 RÞ

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung

281

Eine solche Fundamentalbasis y1 ; y2 la¨sst sich durch den Lo¨sungsansatz y ¼ e l x gewinnen (Exponentialansatz). Die Basisfunktionen ha¨ngen dabei noch von der Art der Lo¨sungen der zugeho¨rigen charakteristischen Gleichung l2 þ al þ b ¼ 0

ða; b: Koeffizienten der DglÞ

ab, wobei drei Fa¨lle zu unterscheiden sind ðC1 ; C2 2 RÞ: 1. Fall: l1 =/ l2 (reell) Fundamentalbasis:

y1 ¼ e l1 x ;

y2 ¼ e l2 x

y ¼ C1  e l1 x þ C2  e l2 x

Allgemeine Lo¨sung:

2. Fall: l1 = l2 = c (reell) Fundamentalbasis: y1 ¼ e c x ;

y2 ¼ x  e c x

y ¼ ðC1 þ C2 xÞ  e c x

Allgemeine Lo¨sung:

3. Fall: l1/2 = a j w (konjugiert komplex) Fundamentalbasis: y1 ¼ e a x  sin ðw xÞ ;

y ¼ e a x ½ C1  sin ðw xÞ þ C2  cos ðw xÞ

Allgemeine Lo¨sung: &

y2 ¼ e a x  cos ðw xÞ

Beispiel y 00 þ 2 y 0 þ 10 y ¼ 0 Charakteristische Gleichung mit Lo¨sungen: l 2 þ 2 l þ 10 ¼ 0 Fundamentalbasis: Lo¨sung:

y ¼ e

x

y1 ¼ e

) x

l1=2 ¼  1 3 j ð3. Fall:

 sin ð3 xÞ ;

y2 ¼ e

½ C1  sin ð3 xÞ þ C2  cos ð3 xÞ

x

a ¼  1; w ¼ 3Þ

 cos ð3 xÞ

ðC1 ; C2 2 RÞ &

3.2.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Eine inhomogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom Typ y 00 þ a y 0 þ b y ¼ g ðxÞ wird schrittweise wie folgt gelo¨st: 1. Zuna¨chst wird die allgemeine Lo¨sung y0 der zugeho¨rigen homogenen linearen Differentialgleichung y 00 þ a y 0 þ b y ¼ 0 bestimmt (siehe X.3.2.2). 2. Dann ermittelt man mit Hilfe eines speziellen, aus der nachfolgenden Tabelle entnommenen Lo¨sungsansatzes eine partikula¨re Lo¨sung yp der inhomogenen linearen Differentialgleichung. 3. Die allgemeine Lo¨sung y der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist dann die Summe aus y0 und yp : y ¼ y0 þ yp

282

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Tabelle: Lo¨sungsansatz yp fu¨r spezielle Sto¨rfunktionen (Sto¨rglieder) Sto¨rfunktion g ðxÞ 1. Polynomfunktion vom Grade n gðxÞ ¼ Pn ðxÞ

Lo¨sungsansatz yp ðxÞ 8 < Qn ðxÞ yp ¼ x  Qn ðxÞ : 2 x  Qn ðxÞ

Qn ðxÞ:

fur €

b ¼ 6 0 a ¼ 6 0; b ¼ 0 a ¼ b ¼ 0

Polynom vom Grade n

Parameter: Koeffizienten des Polynoms Qn ðxÞ 2. Exponentialfunktion gðxÞ ¼ e

cx

(1) c ist keine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  e c x Parameter: A (2) c ist eine einfache Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  x  e c x Parameter: A (3) c ist eine doppelte Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  x 2  e c x Parameter: A

3. Sinusfunktion gðxÞ ¼ sin ð b xÞ oder Kosinusfunktion gðxÞ ¼ cos ð b xÞ oder eine Linearkombination aus beiden Funktionen

(1) j b ist keine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  sin ð b xÞ þ B  cos ð b xÞ oder yp ¼ C  sin ð b x þ jÞ Parameter: A, B

oder gðxÞ ¼ Pn ðxÞ  e c x  cos ð b xÞ ðPn ðxÞ ist dabei eine Polynomfunktion vom Grade nÞ

C; j

(2) j b ist eine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ x ½A  sin ð b xÞ þ B  cos ð b xÞ oder yp ¼ C  x  sin ð b x þ jÞ Parameter: A, B

4. gðxÞ ¼ Pn ðxÞ  e c x  sin ð b xÞ

bzw.

bzw.

C; j

(1) c þ j b ist keine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ e c x ½Qn ðxÞ  sin ð b xÞ þ Rn ðxÞ  cos ð b xÞ Qn ðxÞ; Rn ðxÞ:

Polynome vom Grade n

Parameter: Koeffizienten der beiden Polynome (2) c þ j b ist eine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ x  e c x ½ Qn ðxÞ  sin ð b xÞ þ Rn ðxÞ  cos ð b xÞ Qn ðxÞ; Rn ðxÞ:

Polynome vom Grade n

Parameter: Koeffizienten der beiden Polynome

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung

283

Anmerkungen zur Tabelle (1) (2) (3) (4)

(5)

Der jeweilige Lo¨sungsansatz gilt auch dann, wenn die Sto¨rfunktion zusa¨tzlich noch einen konstanten Faktor entha¨lt. Die im jeweiligen Lo¨sungsansatz enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, dass die Funktion die vorgegebene Differentialgleichung lo¨st. Ist die Sto¨rfunktion g ðxÞ eine Summe aus mehreren Sto¨rgliedern, so erha¨lt man den Lo¨sungsansatz fu¨r yp als Summe der Lo¨sungsansa¨tze fu¨r die einzelnen Sto¨rglieder. Ist g ðxÞ ein Produkt aus mehreren „Sto¨rfaktoren“, so erha¨lt man in vielen (aber nicht allen) Fa¨llen einen Lo¨sungsansatz fu¨r yp, indem man die Lo¨sungsansa¨tze der „Sto¨rfaktoren“ miteinander multipliziert. Bei periodischen Sto¨rfunktionen vom Typ g ðxÞ ¼ sin ð b xÞ oder g ðxÞ ¼ cos ð b xÞ verwendet man ha¨ufig auch komplexe Lo¨sungsansa¨tze der allgemeinen Form yp ðxÞ ¼ C  e j ð b x þ jÞ

ðC; j:

ParameterÞ

Die gesuchte (reelle) Lo¨sung ist dann der Real- bzw. Imagina¨rteil der komplexen Lo¨sung.

&

Beispiel y 00  2 y 0  8 y ¼ 6  e 4 x y 00  2 y 0  8 y ¼ 0

1. Homogene Differentialgleichung Charakteristische Gleichung: Lo¨sung:

l  2l  8 ¼ 0 2

)

l1 ¼ 4 ;

l2 ¼  2

y0 ¼ C1  e 4 x þ C2  e  2 x

2. Inhomogene Differentialgleichung Lo¨sungsansatz fu¨r yp :

y 00  2 y 0  8 y ¼ 6  e 4 x

yp ¼ A x  e 4 x

(c ¼ 4 ist eine einfache Lo¨sung der charakteritischen Gleichung!) Bestimmung der Konstanten A: yp ¼ A x  e 4 x ;

y 0p ¼ ðA þ 4 A xÞ  e 4 x ;

y 00p ¼ ð8 A þ 16 A xÞ  e 4 x

ð8 A þ 16 A xÞ  e 4 x  2 ðA þ 4 A xÞ  e 4 x  8 A x  e 4 x ¼ 6  e 4 x j : e 4 x 8 A þ 16 A x  2 ðA þ 4 A xÞ  8 A x ¼ 6 8 A þ 16 A x  2 A  8 A x  8 A x ¼ 6 6A ¼ 6

)

Partikula¨re Lo¨sung:

A ¼ 1 yp ¼ x  e 4 x

Lo¨sung der inhomogenen Differentialgleichung: y ¼ y0 þ yp ¼ C1  e 4 x þ C2  e  2 x þ x  e 4 x ¼ ðC1 þ xÞ  e 4 x þ C2  e  2 x

ðC1 ; C2 2 RÞ &

284

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

3.3 Numerische Integration einer Differentialgleichung 2. Ordnung Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Die Lo¨sungskurve y ðxÞ der Differentialgleichung y 00 ¼ f ðx; y; y 0 Þ fu¨r die Anfangswerte y ðx0 Þ ¼ y0 , y 0 ðx0 Þ ¼ y 00 la¨sst sich an den Stellen x1 ¼ x0 þ h, x2 ¼ x0 þ 2 h, x3 ¼ x0 þ 3 h . . . na¨herungsweise wie folgt lo¨sen (h: gewa¨hlte Schrittweite): y ðx0 Þ ¼ y0

)

y 0 ðx0 Þ ¼ y 00

(vorgegebene Anfangswerte) 1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6 1 ðm1 þ 2 m2 þ 2 m3 þ m4 Þ y 00 þ 6 h  y 00 m1 ¼ h  f ðx0 ; y0 ;

  m1 m2 ¼ h  f x 0 þ h y 00 þ 2

 m2  m3 ¼ h  f x 0 þ h y 00 þ 2

y ðx1 Þ  y1 ¼ y0 þ y 0 ðx1 Þ  y 01 ¼ k1 ¼ k2 ¼ k3 ¼

k4 ¼ h ðy 00 þ m3 Þ

y 00 Þ h k1 m1 ; y0 þ ; y 00 þ 2 2 2 h k2 m2 ; y0 þ ; y 00 þ 2 2 2

 

m4 ¼ h  f ðx0 þ h; y0 þ k3 ; y 00 þ m3 Þ

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6 1 y 01 þ ðm1 þ 2 m2 þ 2 m3 þ m4 Þ 6 h  y 01 m1 ¼ h  f ðx1 ; y1 ;

  m1 0 m2 ¼ h  f x 1 þ h y1 þ 2

 m2  m3 ¼ h  f x 1 þ h y 01 þ 2

y ðx2 Þ  y2 ¼ y1 þ y 0 ðx2 Þ  y 02 ¼ k1 ¼ k2 ¼ k3 ¼

k4 ¼ h ðy 01 þ m3 Þ .. .

y 01 Þ h k1 m1 ; y1 þ ; y 01 þ 2 2 2 h k2 m2 ; y1 þ ; y 01 þ 2 2 2

m4 ¼ h  f ðx1 þ h; y1 þ k3 ; y 01 þ m3 Þ

 

3 Differentialgleichungen 2. Ordnung

285

Rechenschema Abku¨rzungen: i 0

K ¼

x x0 h 2 h x0 þ 2 x0 þ h x0 þ

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ ; 6 y0

y y0

y 00

k1 2 k2 y0 þ 2 y0 þ k3

m1 y 00 þ 2 m2 0 y0 þ 2

y0 þ

M ¼

1 ðm1 þ 2 m2 þ 2 m3 þ m4 Þ 6

k ¼ h  y0

y 00 þ m3

m ¼ h  f ðx; y; y 0 Þ

k1

m1

k2

m2

k3

m3

k4

m4

1 ðk1 þ 2 k2 þ 2 k3 þ k4 Þ 6 1 ðm1 þ 2 m2 þ 2m3 þ m4 Þ M ¼ 6 K ¼

1

x1 ¼ x0 þ h .. .

y1 ¼ y0 þ K

y 01 ¼ y 00 þ M

......

Grau unterlegt: Na¨herungswerte fu¨r y ðx1 Þ und y 0 ðx1 Þ

&

Anfangswerte:

y ð0Þ ¼ 0 ;

y 0 ð0Þ ¼ 4

2,862 259

2,867 922

0,364 333

0,530 717

0,516 811

0,674 566

0,672 562

0,10

0,15

0,15

0,20

0,20

3,327 683

0,367 000

0,10

Na¨herungslo¨sung im Vergleich zur exakten Lo¨sung:

2

1

3,320 000

0,180 000

0,05

4,000 000

y 0,000 000 0,364 333 0,672 562

x 0,0 0,1 0,2

3,102 334

3,049 565

3,670 000

3,600 000

0,000 000

0,200 000

y0

0,00

0

y

0,05

x

i

y0

0,672 591

0,364 353

0,000 000

2,867 922

3,327 683

4,000 000

2,867 838

3,327 626

4,000 000

y 0exakt

M ¼  0,459 761

K ¼ 0,308 229

yexakt

 0,370 082

 0,465 424

 0,450 698

0,286 226

0,310 233

0,304 956

 0,556 237

M ¼  0,672 317

K ¼ 0,364 333 0,332 768

 0,553 900

 0,680 000

0,672 591

0,364 353

0,000 000

 0,800 000  0,660 000

yexakt

m ¼ h  f ðx; y; y 0 Þ ¼ 0;1ð3 y  2 y 0 Þ

0,332 000

0,367 000

0,360 000

0,400 000

k ¼ h  y 0 ¼ 0;1 y 0

2,867 838

3,327 626

4,000 000

y 0exakt

&

Wir berechnen die Na¨herungslo¨sung dieser Differentialgleichung im Intervall 0  x  0;2 fu¨r die Schrittweite h ¼ 0;1 und vergleichen sie mit der exakten Lo¨sung y ¼ e x  e  3 x, y 0 ¼ e x þ 3  e  3 x :

y 00 ¼  2 y 0 þ 3 y

Beispiel

286 X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

4 Anwendungen

287

4 Anwendungen 4.1 Mechanische Schwingungen 4.1.1 Allgemeine Schwingungsgleichung der Mechanik Das Federpendel (Feder-Masse-Schwinger) dient als Modell fu¨r ein schwingungsfa¨higes mechanisches System. Bei viskoser Da¨mpfung gilt dann:

Elastische Feder

m x€ þ b x_ þ c x ¼ F ðtÞ

Gleichgewichtslage

m: b:

Masse Reibungsfaktor oder Da¨mpferkonstante c: Federkonstante F ðtÞ: Von außen auf das System einwirkende (zeitabha¨ngige) Kraft

x(t) Pendelmasse Dämpfung

4.1.2 Freie ungeda¨mpfte Schwingung Differentialgleichung der freien ungeda¨mpften Schwingung m x€ þ c x ¼ 0

oder

x€ þ w 20 x ¼ 0

m: Masse rffiffiffiffiffiffi 

c: Federkonstante c w0 : Eigen- oder Kennkreisfrequenz des Systems w0 ¼ m Allgemeine Lo¨sung (Bild: siehe Seite 288 oben) x ðtÞ ¼ C  sin ðw0 t þ jÞ

ðC > 0; 0  j < 2 pÞ

oder x ðtÞ ¼ C1  sin ðw0 tÞ þ C2  cos ðw0 tÞ

ðC1 ; C2 2 RÞ

Die Integrationskonstanten werden meist aus den Anfangswerten bestimmt: x ð0Þ ¼ x0 :

Anfangslage

x_ ð0Þ ¼ vð0Þ ¼ v0 : Anfangsgeschwindigkeit

288

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen x x(t) = C · sin(v0 t + f)

C

t

f/v0 –C

T = 2p v0

4.1.3 Freie geda¨mpfte Schwingung Differentialgleichung der freien geda¨mpften Schwingung (bei viskoser Da¨mpfung) m x€ þ b x_ þ c x ¼ 0 m: b: c: d: w0 :

oder

x€ þ 2 d x_ þ

w 20

x ¼ 0

b ; d ¼ 2m

rffiffiffiffiffiffi  c w0 ¼ m

Masse Reibungsfaktor oder Da¨mpferkonstante Federkonstante Da¨mpfungsfaktor oder Abklingkonstante Eigen- oder Kennkreisfrequenz des ungeda¨mpften Systems

4.1.3.1 Schwache Da¨mpfung (Schwingungsfall) Fu¨r d < w0 qerha ¨ lt man eine geda¨mpfte Schwingung mit der Eigen- oder Kennkreisfreffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi quenz wd ¼ w 20  d 2 : x ðtÞ ¼ C  e  d t  sin ðwd t þ jd Þ

ðC > 0; 0  jd < 2 pÞ

oder x ðtÞ ¼ e  d t ½ C1  sin ðwd tÞ þ C2  cos ðwd tÞ 

ðC1 ; C2 2 RÞ

x C · sin fd x(t) = C · e –dt · sin(vd t + fd)

t Td = 2p vd

4 Anwendungen

289

4.1.3.2 Aperiodischer Grenzfall Fu¨r d ¼ w0 tritt der aperiodische Grenzfall ein. Das System ist zu keiner echten Schwingung mehr fa¨hig und bewegt sich aperiodisch, d. h. asymptotisch auf die Gleichgewichtslage zu: x ðtÞ ¼ ðC1 t þ C2 Þ  e  d t

ðC1 ; C2 2 RÞ

Das nebenstehende Bild zeigt die Abha¨ngigkeit der Lo¨sung von den physikalischen Anfangsbedingungen: a) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

vð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0

b) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ v 0 > 0

c) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

vð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ v 0 <  d A

x

A

Umkehrpunkt der Bewegung

a)

b)

c) t Umkehrpunkt der Bewegung

4.1.3.3 Aperiodisches Verhalten bei starker Da¨mpfung (Kriechfall) Fu¨r d > w0 wird die Da¨mpfung so stark, dass das System zu keiner echten Schwingung mehr fa¨hig ist. Es bewegt sich asymptotisch auf die Gleichgewichtslage zu: x ðtÞ ¼ C1  e  k1 t þ C2  e  k2 t

ðC1 ; C2 2 RÞ

l1 ¼  k1 und l2 ¼  k2 sind dabei die Lo¨sungen der charakteristischen Gleichung l2 þ 2 d l þ w 20 ¼ 0 ðk1 ; k2 > 0Þ. Das nebenstehende Bild zeigt den zeitlichen Verlauf der Kriechbewegung in Abha¨ngigkeit von den physikalischen Anfangsbedingungen: a) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

vð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ 0

b) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

v ð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ v 0 > 0

c) x ð0Þ ¼ A > 0 ;

vð0Þ ¼ x_ ð0Þ ¼ v 0 <  k2 A

x A

Umkehrpunkt der Bewegung a)

b)

c)

Umkehrpunkt der Bewegung

t

290

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

4.1.4 Erzwungene Schwingung 4.1.4.1 Differentialgleichung der erzwungenen Schwingung Das System wird durch die periodische Kraft F ðtÞ ¼ F0  sin ðw tÞ zu Schwingungen erregt. Bei viskoser Da¨mpfung gilt dann: m x€ þ b x_ þ c x ¼ F0  sin ðw tÞ oder rffiffiffiffiffiffi b c F0 d ¼ ; w0 ¼ ; K0 ¼ 2m m m m: b:

Masse Reibungsfaktor oder Da¨mpferkonstante

c:

Federkonstante

x€ þ 2 d x_ þ w 20 x ¼ K0  sin ðw tÞ

F0 : Amplitude der Erregerkraft w: Kreisfrequenz des Erregersystems d: Da¨mpfungsfaktor oder Abklingkonstante w0 : Eigenkreisfrequenz des ungeda¨mpften Systems

4.1.4.2 Stationa¨re Lo¨sung Nach einer gewissen Einschwingphase schwingt das System harmonisch mit der Kreisfrequenz w des Erregers: x ðtÞ  xp ðtÞ ¼ A  sin ðw t  jÞ x xp(t) = A · sin(vt – f)

A f/v

t –A

T = 2p v

Schwingungsamplitude A und Phasenverschiebung j (gegenu¨ber dem Erreger-System) sind dabei frequenzabha¨ngige Gro¨ßen (sog. Frequenzgang, vgl. hierzu Bild a) und b)). f p

A Frequenzgang A = A(v) der Amplitude (Resonanzkurve) F0 c

a)

v0 Resonanzstelle vr

Frequenzgang f = f(v) der Phasenverschiebung

p 2

v0

v

b)

v

4 Anwendungen

291

Ihre Berechnung erfolgt nach den folgenden Formeln: AðwÞ ¼

F0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 m ðw 0  w 2 Þ 2 þ 4 d 2 w 2

 8 2dw > > arctan > > w 20  w 2 > > < j ðwÞ ¼ p=2 > >

 > > 2dw > > þp : arctan w 20  w 2

ðBild aÞ; Seite 290 untenÞ 9 > w < w0 > > > > > = ðBild bÞ; Seite 290 untenÞ w ¼ w0 > > > > > w > w0 > ;

fur €

Resonanzfall Das System schwingt bei der Resonanzkreisfrequenz wr ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi w 20  2 d 2

mit gro¨ßtmo¨glicher Amplitude (Resonanzfall, siehe Bild a) auf Seite 290 unten):

4.2 Elektrische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis Die Differentialgleichung einer elektrischen Schwingung in einem Reihenschwingkreis lautet wie folgt: d 2i di 1 dua ðtÞ þ w 20 i ¼  þ 2d dt 2 dt L dt

R d ¼ ; 2L

1 w0 ¼ pffiffiffiffiffiffiffi LC



C

i(t)

R

L

uR(t)

uL(t)

uC(t)

ua(t)

R:

Ohmscher Widerstand

d:

Da¨mpfungsfaktor (Abklingkonstante)

L:

Induktivita¨t

w0 :

Eigen- oder Kennkreisfrequenz

C:

Kapazita¨t

i ðtÞ:

Stromsta¨rke

ua ðtÞ: Von außen angelegte Spannung (Erregerspannung) uR ðtÞ; uL ðtÞ; uC ðtÞ: Spannungsabfall an R; L bzw. C

292

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Der elektromagnetische Reihenschwingkreis ist das elektrische Analogon des mechanischen Schwingkreises (siehe X.4.1). In beiden Fa¨llen wird die Schwingung durch eine lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten vom allgemeinen Typ y€ þ 2 d y_ þ w 20 y ¼ f ðtÞ beschrieben, wobei folgende Zuordnung gilt: Schwingkreis

y ðtÞ

d

Mechanischer Schwingkreis

Auslenkung x ¼ x ðtÞ

Elektrischer Reihenschwingkreis

Stromsta¨rke i ¼ i ðtÞ

b 2m R 2L

w0 rffiffiffiffiffi c m 1 pffiffiffiffiffiffi LC

Sto¨rglied f ðtÞ F ðtÞ m 1 dua ðtÞ  L dt

Alle Aussagen u¨ber den mechanischen Schwingkreis gelten daher auch sinngema¨ß fu¨r den elektromagnetischen Reihenschwingkreis.

5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 5.1 Definition einer linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten y ðnÞ þ an  1  y ðn  1Þ þ an  2  y ðn  2Þ þ . . . þ a1  y 0 þ a0 y ¼ gðxÞ a0 ; a1 ; . . . ; an  1 : Reelle Koeffizienten Fehlt das Sto¨rglied gðxÞ, so heißt die Differentialgleichung homogen, sonst inhomogen.

5.2 Integration der homogenen linearen Differentialgleichung 5.2.1 Wronski-Determinante n Lo¨sungen y1 ; y2 ; . . . ; yn der homogenen linearen Differentialgleichung heißen Basisfunktionen oder Basislo¨sungen, wenn die aus ihnen gebildete sog. Wronski-Determinante   y1    y 01 W ðy1 ; y2 ; . . . ; yn Þ ¼  ..  .   y ðn  1Þ 1

y2

...

yn

y 02

...

y 0n

...

 1Þ y ðn n

ðn  1Þ

y2

         

von Null verschieden ist. Die Basislo¨sungen bilden eine sog. Fundamentalbasis der Differentialgleichung, sie werden auch als linear unabha¨ngige Lo¨sungen bezeichnet.

5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

293

5.2.2 Allgemeine Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung Die allgemeine Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung ist als Linearkombination von n linear unabha¨ngigen Lo¨sungen (Basisfunktionen) y1 ; y2 ; . . . ; yn wie folgt darstellbar: y ¼ C1 y1 þ C2 y2 þ . . . þ Cn yn

ðCi 2 R; i ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Eine solche Fundamentalbasis y1 ; y2 ; . . . ; yn la¨sst sich durch den Lo¨sungsansatz y ¼ e l x gewinnen (Exponentialansatz). Die Basisfunktionen ha¨ngen dabei noch von der Art der Lo¨sungen der zugeho¨rigen charakteristischen Gleichung l n þ an  1 l n  1 þ . . . þ a1 l þ a0 ¼ 0 ab, wobei die folgenden drei Fa¨lle zu unterscheiden sind: 1. Fall: Es treten nur einfache reelle Lo¨sungen auf Jede einfache reelle Lo¨sung li liefert den (additiven) Beitrag Ci  e li x zur Gesamtlo¨sung ðCi 2 R; i ¼ 1; 2; . . . ; nÞ. 2. Fall: Es treten auch mehrfache reelle Lo¨sungen auf Eine r-fache reelle Lo¨sung l1 ¼ l2 ¼ . . . ¼ lr ¼ a liefert den Beitrag C ðxÞ  e a x , wobei C ðxÞ eine Polynomfunktion vom Grade r  1 ist. 3. Fall: Es treten konjugiert komplexe Lo¨sungen auf Eine einfache konjugiert komplexe Lo¨sung l1=2 ¼ a j w liefert den Beitrag e a x ½C1  sin ðw xÞ þ C2  cos ðw xÞ

ðC1 ; C2 2 RÞ

Tritt das konjugiert komplexe Paar jedoch r-fach auf, so mu¨ssen die beiden Konstanten C1 und C2 durch Polynome vom Grade r  1 ersetzt werden. Gesamtlo¨sung (allgemeine Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung) Die allgemeine Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung ist dann die Summe der in den Fa¨llen 1 bis 3 beschriebenen Einzelbeitra¨ge.

&

Beispiel y ð4Þ þ 3 y 00  4 y ¼ 0

(Differentialgleichung 4. Ordnung)

Charakteristische Gleichung mit Lo¨sungen: l4 þ 3l2  4 ¼ 0

)

l1=2 ¼ 1

(1. Fall), l3=4 ¼ 0 2 j ¼ 2 j

(3. Fall)

Sie liefern folgende Beitra¨ge zur Gesamtlo¨sung: C1  e x ;

C2  e  x

und

C3  sin ð2 xÞ þ C4  cos ð2 xÞ

Allgemeine Lo¨sung: y ¼ C1  e x þ C2  e  x þ C3  sin ð2 xÞ þ C4  cos ð2 xÞ

ðC1 ; . . . ; C4 2 RÞ &

294

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

5.3 Integration der inhomogenen linearen Differentialgleichung Wie bei den inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung gilt auch hier fu¨r die gesuchte allgemeine Lo¨sung: y ¼ y0 þ yp y0 :

Allgemeine Lo¨sung der zugeho¨rigen homogenen linearen Differentialgleichung (siehe X.5.2) yp : Irgendeine partikula¨re Lo¨sung der inhomogenen linearen Differentialgleichung Einen Lo¨sungsansatz fu¨r yp, der im Wesentlichen vom Sto¨rglied gðxÞ der Differentialgleichung abha¨ngt, entnimmt man der folgenden Tabelle (Fallunterscheidungen beachten). Tabelle: Lo¨sungsansatz yp fu¨r spezielle Sto¨rfunktionen (Sto¨rglieder) Sto¨rfunktion g ðxÞ 1. Polynomfunktion vom Grade n g ðxÞ ¼ Pn ðxÞ

Lo¨sungsansatz yp ðxÞ 8 < Qn ðxÞ fur yp ¼ € : k x  Qn ðxÞ Qn ðxÞ:

a0 6¼ 0 a0 ¼ a1 ¼ . . . ¼ ak  1 ¼ 0

Polynom vom Grade n

Parameter: Koeffizienten des Polynoms Qn ðxÞ 2. Exponentialfunktion g ðxÞ ¼ e

cx

(1) c ist keine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  e c x Parameter:

A

(2) c ist eine r-fache Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: yp ¼ A  x r  e c x Parameter:

A

3. Sinusfunktion (1) j b ist keine Lo¨sung der charakteristischen Gleichung: g ðxÞ ¼ sin ð b xÞ yp ¼ A  sin ð b xÞ þ B  cos ð b xÞ oder Parameter: A, B Kosinusfunktion g ðxÞ ¼ cos ð b xÞ (2) j b ist eine r-fache Lo¨sung der charakteristischen oder Gleichung: eine Linearkombination yp ¼ x r ½ A  sin ð b xÞ þ B  cos ð b xÞ aus beiden Funktionen Parameter: A, B

6 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

295

Anmerkungen zur Tabelle (1) (2) (3) (4)

(5)

&

Der jeweilige Lo¨sungsansatz gilt auch dann, wenn die Sto¨rfunktion zusa¨tzlich noch einen konstanten Faktor entha¨lt. Die im jeweiligen Lo¨sungsansatz enthaltenen Parameter sind so zu bestimmen, dass die Funktion die vorgegebene Differentialgleichung lo¨st. Ist die Sto¨rfunktion g ðxÞ eine Summe aus mehreren Sto¨rgliedern, so erha¨lt man den Lo¨sungsansatz fu¨r yp als Summe der Lo¨sungsansa¨tze fu¨r die einzelnen Sto¨rglieder. Ist die Sto¨rfunktion g ðxÞ ein Produkt aus mehreren „Sto¨rfaktoren“, so erha¨lt man in vielen (aber leider nicht allen) Fa¨llen einen geeigneten Lo¨sungsansatz fu¨r yp in Form eines Produktes, dessen Faktoren die Lo¨sungsansa¨tze der einzelnen „Sto¨rfaktoren“ sind. Bei periodischen Sto¨rgliedern wie z. B. sin ð b xÞ oder cos ð b xÞ lassen sich a¨hnlich wie bei Differentialgleichungen 2. Ordnung auch komplexe Lo¨sungsansa¨tze verwenden (siehe X.3.2.3). Beispiel y 000 þ y 0 ¼ 4  e x 1. Homogene Differentialgleichung: Charakteristische Gleichung: Homogene Lo¨sung:

y 000 þ y 0 ¼ 0

l þl ¼ 0

)

3

l1 ¼ 0 ;

l2=3 ¼ j

y0 ¼ C1 þ C2  sin x þ C3  cos x

2. Inhomogene Differentialgleichung: Lo¨sungsansatz: yp ¼ A  e x ;

y 000 þ y 0 ¼ 4  e x x y 0p ¼ y 00p ¼ y 000 p ¼ A  e

Einsetzen in die Differentialgleichung: A  ex þ A  ex ¼ 4  ex j : ex Partikula¨re Lo¨sung:

)

AþA ¼ 4

)

2A ¼ 4

)

A ¼ 2

yp ¼ 2  e x

3. Allgemeine Lo¨sung der inhomogenen Differentialgleichung: y ¼ y0 þ yp ¼ C1 þ C2  sin x þ C3  cos x þ 2  e x

ðC1 ; C2 ; C3 2 RÞ &

6 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 6.1 Grundbegriffe Wir beschra¨nken uns auf Systeme aus zwei inhomogenen linearen Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (gekoppelte Differentialgleichungen): y 01 ¼ a11 y1 þ a12 y2 þ g1 ðxÞ y 02 ¼ a21 y1 þ a22 y2 þ g2 ðxÞ

oder

y 0 ¼ A y þ g ðxÞ

296

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Bezeichnungen

 a11 a12 ; A ¼ a21 a22 A: y: y0: g ðxÞ:

y ¼

y1 y2

 ;

y0 ¼



y 01 y 02



;

g ðxÞ ¼

g1 ðxÞ g2 ðxÞ



Koeffizientenmatrix (reell) Lo¨sungsvektor (mit den beiden „Komponenten“ y1 und y2 ) Ableitung des Lo¨sungsvektors „Sto¨rvektor“ (aus den beiden „Sto¨rgliedern“ g1 ðxÞ und g2 ðxÞ gebildet)

Homogenes System:

y 0 ¼ A y (keine Sto¨rglieder)

Inhomogenes System: y 0 ¼ A y þ g ðxÞ

mit

g ðxÞ 6¼ 0

Das Differentialgleichungssystem hat die Ordnung 2 (¼ Summe der Ordnungen der beiden zum System geho¨renden Differentialgleichungen 1. Ordnung).

6.2 Integration des homogenen linearen Systems Das homogene lineare System y 0 ¼ A y la¨sst sich mit den Exponentialansa¨tzen y1 ¼ K1  e l x und y2 ¼ K2  e l x lo¨sen. Die Werte des noch unbekannten Parameters l sind die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A und damit die Lo¨sungen der charakteristischen Gleichung   a11  l det ðA  l EÞ ¼  a21

 a12  ¼ 0 a22  l 

Der Lo¨sungsvektor y ha¨ngt dabei von der Art der Lo¨sungen dieser quadratischen Gleichung ab. Es sind folgende drei Fa¨lle zu unterscheiden: 1. Fall: l1 =/ l2 (reell) y1 ¼ C1  e l1 x þ C2  e l2 x y2 ¼

ðC1 ; C2 2 RÞ

1 ð y 01  a11 y1 Þ a12

2. Fall: l1 = l2 = a (reell) y1 ¼ ðC1 þ C2 xÞ  e a x y2 ¼

ðC1 ; C2 2 RÞ

1 ð y 01  a11 y1 Þ a12

3. Fall: l1/2 = a j w (konjugiert komplex) y1 ¼ e a x ½C1  sin ðw xÞ þ C2  cos ðw xÞ y2 ¼

1 ð y 01  a11 y1 Þ a12

ðC1 ; C2 2 RÞ

6 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten &

Beispiel y 01 ¼ 4 y1  3 y2 y 02 ¼ 3 y1  2 y2

y 01

oder

!

y 02

¼

4

3

3

2

!

y1

297

!

y2

Charakteristische Gleichung mit Lo¨sungen:    ð4  lÞ  3   ¼ ð4  lÞ ð 2  lÞ þ 9 ¼ 0  3 ð2  lÞ  l2  2l þ 1 ¼ 0

)

l1=2 ¼ 1

(2. Fall)

Allgemeine Lo¨sung des linearen Systems ðC1 ; C2 2 RÞ: y1 ¼ ðC1 þ C2 xÞ  e x y2 ¼

1 1 ð y 01  a11 y1 Þ ¼ a12 3

 C2  e x þ ðC1 þ C2 xÞ  e x  4 ðC1 þ C2 xÞ  e x ¼

1 1 ðC2 þ C1 þ C2 x  4 C1  4 C2 xÞ  e x ¼  ð 3 C1 þ C2  3 C2 xÞ  e x ¼ 3 3

 1 C2 þ C 2 x  e x ¼ C1  3

¼ 

&

6.3 Integration des inhomogenen linearen Systems 6.3.1 Integration durch Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung Das inhomogene lineare System y 0 ¼ A y þ gðxÞ la¨sst sich schrittweise wie folgt lo¨sen: 1. Integration des zugeho¨rigen homogenen Systems y 0 ¼ A y (siehe X.6.2). Man erha¨lt die Lo¨sung y1 ð0Þ , y2 ð0Þ . 2. Bestimmung einer partikula¨ren Lo¨sung y1 ðpÞ , y2 ðpÞ des inhomogenen Systems. Dies geschieht mit Hilfe der Tabelle aus Abschnitt X.2.4.4, wobei im Lo¨sungsansatz fu¨r y1 ðpÞ und y2 ðpÞ jeweils beide Sto¨rglieder entsprechend zu beru¨cksichtigen sind. 3. Die gesuchte allgemeine Lo¨sung y1 ; y2 ist dann die Summe der Teillo¨sungen aus den ersten beiden Schritten: y1 ¼ y1 ð0Þ þ y1 ðpÞ ;

y2 ¼ y2 ð0Þ þ y2 ðpÞ

6.3.2 Einsetzungs- oder Eliminationsverfahren Das Lo¨sungsverfahren fu¨r ein inhomogenes lineares System y 0 ¼ A y þ g ðxÞ la¨sst sich wie folgt auf die Integration einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten zuru¨ckfu¨hren: 1. y1 genu¨gt der folgenden inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y 001 þ a y 01 þ b y1 ¼ g~ ðxÞ Lo¨sungsverfahren: siehe X.3.2

298

X Gewo¨hnliche Differentialgleichungen

Dabei bedeuten: a ¼  Sp ðAÞ ¼  ða11 þ a22 Þ

(Spur von AÞ

b ¼ det A ¼ a11 a22  a12 a21

(Determinante von AÞ

g~ ðxÞ ¼

g 01 ðxÞ

 det B

B: Hilfsmatrix (in der Koeffizientenmatrix A wird die 1. Spalte durch die beiden Sto¨rglieder g1 ðxÞ und g2 ðxÞ ersetzt) 2. Aus der 1. Komponente y1 la¨sst sich dann die 2. Komponente y2 folgendermaßen berechnen:  1  0 y2 ¼ y 1  a11 y1  g1 ðxÞ a12

Beispiel y 01 ¼  y1 þ 3 y2 þ x y 02 ¼ 2 y1  2 y2

y 01

oder

!

1

¼

y 02

2 2 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} A

a ¼  Sp ðAÞ ¼  ð 1  2Þ ¼ 3    1 3  ¼ 2  6 ¼ 4 b ¼ det A ¼  2 2    x 3  ¼ 1 þ 2x g~ ðxÞ ¼ g 01 ðxÞ  det B ¼ 1   0 2  Differentialgleichung 2. Ordnung fu¨r y1 :

!

3

y1

! þ

y2

x

!

0 f

&

g ðxÞ

ðg1 ðxÞ ¼ x; g2 ðxÞ ¼ 0Þ

y 001 þ 3 y 01  4 y1 ¼ 1 þ 2 x

Lo¨sung der zugeho¨rigen homogenen Differentialgleichung: Charakteristische Gleichung mit Lo¨sungen:

y 001 þ 3 y 01  4 y1 ¼ 0:

l2 þ 3l  4 ¼ 0

)

l1 ¼  4 ;

l2 ¼ 1

Allgemeine Lo¨sung der homogenen Differentialgleichung: y1 ð0Þ ¼ C1  e  4 x þ C2  e x

ðC1 ; C2 2 RÞ

Partikula¨re Lo¨sung der inhomogenen Differentialgleichung (Sto¨rglied: 1 þ 2 xÞ: y 01 ðpÞ ¼ A ;

y1 ðpÞ ¼ A x þ B ;

3 A  4 ðA x þ BÞ ¼ 1 þ 2 x ; Koeffizientenvergleich: 4A ¼ 2

)

A ¼  1=2

3A  4B ¼ 1

)

B ¼  5=8

y 001 ðpÞ ¼ 0 4Ax þ 3A  4B ¼ 2x þ 1 ) )

y1 ðpÞ ¼ 

1 5 x  2 8

Lo¨sung des Systems: y1 ¼ y1 ð0Þ þ y1 ðpÞ ¼ C1  e  4 x þ C2  e x  y2 ¼

 1  0 1 y 1  a11 y1  g1 ðxÞ ¼ a12 3

1 5 x  2 8

 3 9  3 C1  e  4 x þ 2 C2  e x  x  2 8 &

299

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

1 Gaußsche Normalverteilung Die Fehler- und Ausgleichsrechnung bescha¨ftigt sich mit den zufa¨lligen oder statistischen Mess- oder Beobachtungsfehlern auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 1Þ . Die Messgro¨ße X ist daher im Sinne der mathematischen Statistik eine Zufallsvariable. Die Messwerte und Messfehler einer Messreihe unterliegen dabei in der Regel der Gaußschen Normalverteilung mit der normierten Verteilungsdichtefunktion 1 1  j ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  e 2 2ps

x  m2

f(x)

s

Bezeichnungen m: s: s 2:

Mittelwert (Erwartungswert) Standardabweichung Varianz (Streuung)

m– s

m

x

m+s

Eigenschaften der Gaußschen Normalverteilung (1) (2) (3)

Maximum bei x1 ¼ m („wahrscheinlichster“ Messwert). Wendepunkte bei x2=3 ¼ m  s. Die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass ein Messwert x in das Intervall ½a; b  fa¨llt, betra¨gt

f(x)

P(a „x „b)

ðb

f(x)

jðxÞ dx

Pða  x  bÞ ¼ a

a

(entspricht der grau unterlegten Fla¨che im nebenstehenden Bild). Das Integral ist in geschlossener Form nicht lo¨sbar. 68,3 % aller Messwerte liegen im Intervall

½ m  s; m þ s 

95,5 % aller Messwerte liegen im Intervall

½ m  2 s; m þ 2 s 

99,7 %, d. h. fast alle Messwerte liegen im Intervall 1Þ

b

x

½ m  3 s; m þ 3 s 

Nach DIN 1319 soll die Bezeichnung „Fehler“ durch „Messabweichung“ (kurz: Abweichung) ersetzt werden.

300

(4)

(5)

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

Bei einer „unendlichen“ Messreihe wu¨rde der Messwert x ¼ m mit der gro¨ßten Ha¨ufigkeit auftreten. Wa¨ren Messungen ohne Messfehler mo¨glich, so wu¨rde man stets den Messwert x ¼ m erhalten. Daher wird der Mittelwert m ha¨ufig auch als „wahrer“ Wert der Messgro¨ße X bezeichnet. Die Standardabweichung s ist ein geeignetes Maß fu¨r die Streuung der einzelnen Messwerte um ihren Mittelwert m (s bestimmt im Wesentlichen die Breite der Glockenkurve). 1 Ð j ðxÞ dx ¼ 1 (alle Messwerte liegen im Intervall ð 1; 1ÞÞ j ðxÞ ist normiert: 1

(6)

Standardisierte Normalverteilung

f(x)

ðm ¼ 0; s ¼ 1Þ:

0,4

x2

f(x) =

1 · e– 2 √2p

1 1  x2 j ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  e 2 2p

–2

–1

1

2

x

2 Auswertung einer Messreihe Die normalverteilte Messreihe x1 ; x2 ; . . . ; xn bestehe aus n unabha¨ngigen Messwerten gleicher Genauigkeit (gleiche Messmethode, gleiches Messinstrument, gleicher Beobachter). Mittelwert einer Messreihe Der „gu¨nstigste“ Scha¨tzwert fu¨r den „wahren“ Wert der Messgro¨ße x ist der arithmetische Mittelwert (auch arithmetisches Mittel genannt): n P

x1 þ x2 þ . . . þ xn ¼ x ¼ n

i¼1

xi

n

Standardabweichung der Einzelmessung

s ¼

vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uP u n u v2 ti ¼ 1 i n1

¼

vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uP u n u ðx  xÞ 2 ti ¼ 1 i n1

ðn  2Þ

vi ¼ xi  x: Abweichung des Messwertes xi vom Mittelwert x ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

2 Auswertung einer Messreihe

301

Die Standardabweichung s ist ein Scha¨tzwert fu¨r den Parameter s (gleichen Namens) der normalverteilten Messgro¨ße. Alte (aber weiterhin u¨bliche) Bezeichnung fu¨r s: mittlerer Fehler der Einzelmessung ðmx Þ. n P Kontrolle: vi ¼ 0 i¼1

Standardabweichung des Mittelwertes vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u P u n v2 u t i¼1 i s ¼ s x ¼ pffiffiffi ¼ n ðn  1Þ n

vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi uP u n ðxi  xÞ 2 u ti ¼ 1 nðn  1Þ

ðn  2Þ

Alte (weiterhin u¨bliche) Bezeichnung fu¨r sx : mittlerer Fehler des Mittelwertes. Vertrauensintervall (Vertrauensbereich) Es la¨sst sich ein zum arithmetischen Mittelwert x symmetrisches Intervall angeben, in dem der unbekannte Mittel- oder Erwartungswert m der normalverteilten Messgro¨ße X mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit g (auch Vertrauensniveau oder statistische Sicherheit genannt) vermutet wird (sog. Vertrauensintervall oder Vertrauensbereich). Vertrauensgrenzen:

s x  t  pffiffiffi n

Vertrauensgrenzen

x–t s √n

x

x+t s √n

x

2t s √n

Der Faktor t ha¨ngt dabei noch vom gewa¨hlten Vertrauensniveau g (z. B. g ¼ 95 %) und der Anzahl n der Einzelmessungen ab und kann der nachfolgenden Tabelle auf Seite 302 entnommen werden (sie entha¨lt die t-Werte fu¨r die in der Praxis u¨blichen statistischen Sicherheiten). Regel: Je gro¨ßer die statistische Sicherheit, umso breiter das Vertrauensintervall! In Naturwissenschaft und Technik wird meist g ¼ 95 % gewa¨hlt.

302

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

Tabelle: Werte fu¨r den Zahlenfaktor (Parameter) t in Abha¨ngigkeit von der Anzahl n der Messwerte und dem gewa¨hlten Vertrauensniveau g Anzahl n der Messwerte

Vertrauensniveau (statistische Sicherheit) g ¼ 68;3 %

g ¼ 90 %

g ¼ 95 %

g ¼ 99 %

2

1,84

6,31

12,71

63,66

3

1,32

2,92

4,30

9,93

4

1,20

2,35

3,18

5,84

5

1,15

2,13

2,78

4,60

6

1,11

2,02

2,57

4,03

7

1,09

1,94

2,45

3,71

8

1,08

1,90

2,37

3,50

9

1,07

1,86

2,31

3,36

10

1,06

1,83

2,26

3,25

15

1,04

1,77

2,14

2,98

20

1,03

1,73

2,09

2,86

30

1,02

1,70

2,05

2,76

50

1,01

1,68

2,01

2,68

100 .. .

1,00 .. .

1,66 .. .

1,98 .. .

2,63 .. .

1

1,00

1,65

1,96

2,58

Messergebnis s x ¼ x  Dx ¼ x  t  pffiffiffi n x: Dx :

arithmetischer Mittelwert Messunsicherheit (halbe Breite des Vertrauensbereiches)

3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz &

303

Beispiel Widerstandsmessung ðn ¼ 6 EinzelmessungenÞ Ri W

i 1

60,3

2 3

Ri  R W

ðRi  RÞ 2 W2

0,2

0,04

60,2

0,1

0,01

59,9

 0,2

0,04

4

59,9

 0,2

0,04

5

60,2

0,1

0,01

6 P

60,1

0,0

0,00

360,6

0

0,14

6 P

Ri

360;6 W ¼ ¼ 60;1 W 6 6 vffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u 6 u P rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 u t i ¼ 1 ðRi  R Þ 0;14 W 2 s ¼ ¼ ¼ 61 5

R ¼

i¼1

¼ 0;167 W

Bei einer statistischen Sicherheit von g ¼ 95 % entnehmen wir der Tabelle der t-Faktoren den Wert t ¼ 2;57 fu¨r n ¼ 6. Messunsicherheit: s 0;167 W ¼ 0;175 W  0;2 W DR ¼ t  pffiffiffi ¼ 2;57  pffiffiffi n 6 Messergebnis: R ¼ R  DR ¼ ð60;1  0;2Þ W &

3 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz Hinweis: Bei der Fehlerfortpflanzung werden fu¨r die Messunsicherheiten meist die Standardabweichungen der Mittelwerte verwendet.

3.1 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r eine Funktion von zwei unabha¨ngigen Variablen Das Messergebnis fu¨r zwei direkt gemessene Gro¨ßen x und y laute: x ¼ x  Dx ;

y ¼ y  Dy

ðDx ¼ sx; Dy ¼ syÞ

Fu¨r die von x und y abha¨ngige Gro¨ße z ¼ f ðx; yÞ gilt dann: Mittelwert z ¼ f ð x; yÞ

304

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes) rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dz ¼ sz ¼

ð fx ð x; yÞ DxÞ 2 þ ð fy ð x; yÞ DyÞ 2

(Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r die Standardabweichung des Mittelwertes) ) fx ð x; y Þ Partielle Ableitungen von z ¼ f ðx; yÞ an der Stelle x ¼ x; y ¼ y fy ð x; yÞ Messergebnis z ¼ z  Dz

&

Beispiel Wir berechnen die Turmho¨he h sowie den mittleren Fehler des Mittelwertes von h aus der Entfernung e und dem Erhebungswinkel a: e ¼ ð75;2  2;5 mÞ;

a ¼ ð30  1Þ

h ¼ h ðe; aÞ ¼ e  tan a  Þ ¼ e  tan a  ¼ h ¼ h ð e; a ¼ 75;2 m  tan 30 ¼ 43;417 m  43;4 m Partielle Ableitungen 1. Ordnung an der Stelle e ¼ 75;2 m, a ¼ 30 : @h ¼ tan a @e

)

@h  Þ ¼ tan 30 ¼ 0;5774 ð e; a @e

@h e ¼ @a cos 2 a

)

@h 75;2 m Þ ¼ ¼ 100;2667 m ð e; a @e cos 2 30

Mittlerer Fehler des Mittelwertes (Standardabweichung des Mittelwertes): sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  2ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi @h @h De þ Da ¼ ð0;5774  2;5 mÞ 2 þ ð100;2667 m  0;01745Þ 2 ¼ Dh ¼ @e @a ¼ 2;2683 m  2;3 m ðDa muss aus Dimensionsgru¨nden im Bogenmaß angegeben werden: Da ¼ 1  0;017 45 rad:Þ Messergebnis:

h ¼ ð43;4  2;3Þ m &

4 Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz

305

Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r spezielle Funktionen (C 2 R) Funktion z ¼ x þy z ¼ x y z ¼ Cxy z ¼ C

x y

z ¼ Cxayb

Standardabweichung des Mittelwertes (mittlerer Fehler des Mittelwertes) Dz ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðDxÞ 2 þ ðDyÞ 2

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi    2  2  Dz        ¼  Dx  þ  Dy        y  z x sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  2      Dz      ¼  a Dx  þ  b Dy     x   y  z 

(absoluter Fehler)

ðrelativer FehlerÞ

ðrelativer FehlerÞ

Entsprechende Fehlerfortpflanzungsgesetze gelten auch fu¨r Summen mit mehr als zwei Summanden und Potenzprodukte mit mehr als zwei Faktoren.

3.2 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r eine Funktion von n unabha¨ngigen Variablen Das Messergebnis von n direkt gemessenen Gro¨ßen x1 ; x2 ; . . . ; xn laute: xi ¼ xi  Dxi

ðDxi ¼ sxi ; i ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Fu¨r die von x1 ; x2 ; . . . ; xn abha¨ngige indirekte Messgro¨ße y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ gilt dann: y ¼ f ð x1 ; x2 ; . . . ; xn Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Dy ¼ ð fx1 Dx1 Þ 2 þ ð fx2 Dx2 Þ 2 þ . . . þ ð fxn Dxn Þ 2 Messergebnis:

y ¼ y  Dy

fx1 ; fx2 ; . . . ; fxn : Partielle Ableitungen 1. Ordnung von y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ an der Stelle x1 ¼ x1 ; x2 ¼ x2 ; . . . ; xn ¼ xn

4 Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz Das lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert eine obere Fehlerschranke fu¨r den absoluten Fehler einer von mehreren Messgro¨ßen abha¨ngigen „indirekten“ Messgro¨ße (Fehlerabscha¨tzung mit Hilfe des totalen Differentials). Diese Fehlerschranke wird als maximaler oder gro¨ßtmo¨glicher Fehler oder maximale Messunsicherheit des Mittelwertes bezeichnet.

306

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

Bei zwei unabha¨ngigen Messgro¨ßen gilt: Dz max ¼ j fx ð x; yÞ Dx j þ j fy ð x; yÞ Dy j fx ; fy :

Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ fu¨r x ¼ x; y ¼ y

Dx; Dy:

Messunsicherheiten der unabha¨ngigen Messgro¨ßen (Standardabweichungen der beiden Mittelwerte)

Das lineare Fehlerfortpflanzungsgesetz wird ha¨ufig fu¨r berschlagsrechnungen verwendet, insbesondere auch dann, wenn die Messunsicherheiten der unabha¨ngigen Gro¨ßen unbekannt sind und man daher auf Scha¨tzwerte angewiesen ist. Lineares Fehlerfortpflanzungsgesetz fu¨r spezielle Funktionen (C 2 R) Funktion z ¼ x þy z ¼ x y z ¼ Cxy z ¼ C

x y

z ¼ Cxayb

Maximale Messunsicherheit des Mittelwertes Dz max ¼ Dx þ Dy

(absoluter Fehler)

           Dz max    ¼  Dx  þ  Dy     y     x z

ðrelativer FehlerÞ

           Dz max    ¼  a Dx  þ  b Dy        x y  z

ðrelativer FehlerÞ

Entsprechende „lineare Fehlerfortpflanzungsgesetze“ gelten auch fu¨r Summen mit mehr als zwei Summanden und Potenzprodukte mit mehr als zwei Faktoren. Bei n unabha¨ngigen Messgro¨ßen gilt analog: Dy max ¼ j fx1 Dx1 j þ j fx2 Dx2 j þ . . . þ j fxn Dxn j In die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion y ¼ f ðx1 ; x2 ; . . . ; xn Þ sind die Mittelwerte der unabha¨ngigen Messgro¨ßen einzusetzen, Dx1 ; Dx2 ; . . . ; Dxn sind die Messunsicherheiten (Standardabweichungen der Mittelwerte) oder deren Scha¨tzwerte.

&

Beispiel Maximaler Fehler der Turmho¨he (Beispiel aus Abschnitt XI.3.1):      @h   @h  Dh max ¼  De  þ  Da  ¼ j 0;5774  2;5 m j þ j 100;2667 m  0;017 45 j ¼ @e @a ¼ 1;4435 m þ 1;7497 m ¼ 3;1932 m  3;2 m &

5 Ausgleichskurven

307

5 Ausgleichskurven

5.1 Ausgleichung nach dem Gaußschen Prinzip der kleinsten Quadrate Unter einer Ausgleichskurve versteht man eine Kurve, die sich n vorgegebenen Messpunkten Pi ¼ ðxi ; yi Þ mit i ¼ 1; 2; . . . ; n „optimal“ anpasst: y

Pi = (xi; yi) vi yi

Ausgleichskurve y = f(x)

f(xi)

xi

x

Man bestimmt sie nach Gauß wie folgt: 1. Zuna¨chst ist anhand des konkreten Falles eine Entscheidung u¨ber den speziellen Funktionstyp, der der Ausgleichsrechnung zugrunde gelegt werden soll, zu treffen (z. B. Gerade, Parabel, Potenz- oder Exponentialfunktion). Der Lo¨sungsansatz y ¼ f ðxÞ entha¨lt dabei noch gewisse Parameter a; b; c; . . . : 2. Dann wird fu¨r jeden Messpunkt Pi ¼ ðxi ; yi Þ die vertikale Abweichung vi ¼ yi  f ðxi Þ von der Ausgleichskurve y ¼ f ðxÞ bestimmt und daraus die Summe der Abweichungsquadrate: S ða; b; c; . . .Þ ¼

n P i¼1

v 2i ¼

n P i¼1

½ yi  f ðxi Þ 2

Sie ha¨ngt noch von den Kurvenparametern a; b; c; . . . ab. 3. Nach Gauß passt sich diejenige Kurve den vorgegebenen Messpunkten „am besten“ an, fu¨r die diese Summe minimal wird (Methode der kleinsten Quadrate). Die Parameter a; b; c; . . . lassen sich dann aus den sog. Normalgleichungen (Extremalbedingungen) @S ¼ 0; @a berechnen.

@S ¼ 0; @b

@S ¼ 0; . . . @c

308

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung

Einfache Lo¨sungsansa¨tze fu¨r Ausgleichskurven Lo¨sungsansatz

Parameter

Lineare Funktion (Gerade):

y ¼ ax þ b

a; b

Quadratische Funktion (Parabel):

y ¼ ax2 þ bx þ c

a; b; c

Potenzfunktion:

y ¼ a  xb

a; b

Exponentialfunktion:

y ¼ a  e bx

a; b

Exponential- und Potenzfunktion lassen sich im halb- bzw. doppellogarithmischen Maßstab durch lineare Funktionen, d. h. durch Geraden darstellen: y ¼ a  e bx :

Exponentialfunktion

ln y ¼ ln ða  e b x Þ ¼ ln a þ ln e b x ¼ ln a þ b x  ln e ¼ ln a þ b x Mit z ¼ ln y und c ¼ ln a erhalten wir die Gerade z ¼ b x þ c : Potenzfunktion y ¼ a  x b : ln y ¼ ln ða  x b Þ ¼ ln a þ ln x b ¼ ln a þ b  ln x Mit u ¼ ln x; v ¼ ln y und c ¼ ln a erhalten wir die Gerade v ¼ b u þ c . Hinweis: Fu¨r die linearisierte Exponential- bzw. Potenzfunktion ist die Summe der Abweichungsquadrate nur fu¨r die transformierten Wertepaare minimal, nicht aber fu¨r die Wertepaare selbst. Die mit dem vereinfachten Verfahren berechneten Werte sind daher nur (fu¨r die Praxis jedoch meist vo¨llig ausreichende) Na¨herungen der Kurvenparameter.

5.2 Ausgleichs- oder Regressionsgerade Diejenige Gerade y ¼ a x þ b, die sich n vorgegebenen Messpunkten Pi ¼ ðxi ; yi Þ „optimal“ anpasst, heißt Ausgleichs- oder Regressionsgerade ði ¼ 1; 2; . . . ; n; n  3Þ. Steigung a (auch Regressionskoeffizient genannt) und Achsenabschnitt b werden wie folgt berechnet: n a ¼  b ¼

n P i¼1

n P i¼1

D¼ n 

 xi yi  

i¼1

i¼1



 

xi

 

n P i¼1

 x 2i



 yi

n P i¼1

  D

2 xi



n P i¼1

D

x 2i

n P

n P

n P i¼1

yi 

xi

 

n P i¼1

 xi yi

5 Ausgleichskurven

309

Die Ausgleichsgerade kann auch in der symmetrischen Form y  y ¼ a ðx  xÞ dargestellt werden. Sie verla¨uft durch den sog. „Schwerpunkt“ S ¼ ð x; yÞ der aus den n Messpunkten gebildeten Punktwolke ð x; y: Mittelwerte der x- bzw. y-Koordinaten der n Messpunkte; a: Regressionskoeffizient). Korrelationskoeffizient n P

xi yi  n x y i¼1 r ¼ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  n  n ffi ; P 2 P x i  n x 2 y 2i  n y 2 i¼1

1  r  1

i¼1

Die n Messpunkte liegen immer dann nahezu auf einer Geraden, wenn r sich nur wenig von  1 oder þ 1 unterscheidet. Im Falle j r j ¼ 1 liegen die Messpunkte exakt auf einer Geraden. &

Beispiel Wir zeigen zuna¨chst, dass die 5 Messpunkte P1 ¼ ð0; 0;6Þ; P2 ¼ ð2; 3;9Þ; P3 ¼ ð3; 5;8Þ; P4 ¼ ð5; 9;7Þ und P5 ¼ ð8; 14;6Þ nahezu auf einer Geraden liegen und bestimmen dann die Ausgleichsgerade. x 2i

y 2i

i

xi

yi

1

0

0,6

0

0,36

2

2

3,9

4

15,21

7,8

3

3

5,8

9

33,64

17,4

4

5

9,7

25

94,09

48,5

5 P

8

14,6

64

213,16

116,8

18

34,6

102

356,46

190,5

xi yi 0

Korrelationskoeffizient (die folgenden Summen laufen jeweils von i ¼ 1 bis i ¼ 5Þ: P P xi yi 18 34;6 ¼ 3;6 ; y ¼ ¼ 6;92 ¼ ¼ x ¼ 5 5 n n P xi yi  n x y 190;5  5  3;6  6;92 r ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0;9994 P 2  P 2  2 2 x i  n x ð102  5  3;6 2 Þ ð356;46  5  6;92 2 Þ y i  n y r ¼ 0;9994  1

)

Die Punkte liegen nahezu auf einer Geraden.

310

XI Fehler- und Ausgleichsrechnung Bestimmung der Ausgleichsgeraden y = a x + b  2 P P 2 xi ¼ 5  102  18 2 ¼ 186 D ¼ 5 xi  5

P

 x i yi 

P

 xi

P

 yi

5  190;5  18  34;6 ¼ 1;773 ¼ 186 D       P P 2 P P xi xi yi  xi yi 102  34;6  18  190;5 b ¼ ¼ ¼ 0;539 D 186 a ¼

Ausgleichsgerade:

y ¼ 1;773 x þ 0;539 &

5.3 Ausgleichs- oder Regressionsparabel Diejenige Parabel y ¼ a x 2 þ b x þ c, die sich den n Messpunkten Pi ¼ ðxi ; yi Þ „optimal“ anpasst, heißt Ausgleichs- oder Regressionsparabel ði ¼ 1; 2; . . . ; n; n  4Þ. Die Kurvenparameter a; b und c lassen sich aus den folgenden Normalgleichungen eindeutig bestimmen ( lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten a; b und c): 

n P i¼1



n P i¼1



 aþ

x 4i  x 3i

i¼1

 aþ 

n P i¼1

n P

n P i¼1

  x 2i

 x 2i

 bþ

x 3i

i¼1

 bþ 

aþ

n P i¼1

n P

n P i¼1

 x 2i

c ¼

 xi

c ¼

 xi

 b þ nc ¼

n P i¼1 n P i¼1 n P i¼1

x 2i yi x i yi

yi

311

XII Fourier-Transformationen 1 Grundbegriffe Fourier-Transformation Die Fourier-Transformation ist eine Integraltransformation. Sie ordnet einer nichtperiodischen (in den Anwendungen meist zeitabha¨ngigen) Funktion f ðtÞ,  1 < t < 1 wie folgt eine Funktion F ðwÞ der reellen Variablen w zu 1Þ : 1 ð

F ðwÞ ¼

f ðtÞ  e  j w t dt

1

Das uneigentliche Integral der rechten Seite heißt Fourier-Integral. Es existiert, wenn f ðtÞ absolut integrierbar ist, d. h. 1 Ð 1

j f ðtÞj dt < 1

gilt. Geometrische Deutung: Die Fla¨che unter der Kurve y ¼ j f ðtÞj besitzt einen endlichen Wert. Bezeichnungen f ðtÞ: F ðwÞ:

Originalfunktion (Zeitfunktion) Bildfunktion (Fourier-Transformierte von f ðtÞ, Spektraldichte)

Weitere symbolische Schreibweisen F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg F:

ðFourier-Transformierte von f ðtÞÞ

Fourier-Transformationsoperator

f ðtÞ  F ðwÞ

(Korrespondenz)

Originalfunktion f ðtÞ und Bildfunktion F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg bilden ein zusammengeho¨riges Funktionenpaar.

1Þ

Die Variable w ist bei zeitabha¨ngigen Funktionen die Kreisfrequenz.

312

XII Fourier-Transformationen

Anmerkungen (1)

Wegen der im Fourier-Integral enthaltenen (komplexen) Exponentialfunktion spricht man ha¨ufig auch von der exponentiellen Fourier-Transformation.

(2)

Die Fourier-Transformierte F ðwÞ ist eine i. Allg. komplexwertige und stetige Funktion der reellen Variablen w, die im Unendlichen verschwindet: lim F ðwÞ ¼ 0 jwj ! 1

(3)

Eine Funktion f ðtÞ heißt Fourier-transformierbar, wenn das Fourier-Integral F ðwÞ existiert. Die Menge aller (transformierbaren) Originalfunktionen wird als Originalbereich, die Menge der zugeordneten Bildfunktionen als Bildbereich bezeichnet.

(4)

Fu¨r die Fourier-Transformierte einer reellen Funktion f ðtÞ gilt: F ð wÞ ¼ ½ F ðwÞ  * ¼ F * ðwÞ (der „Stern“ kennzeichnet den bergang zum konjugiert komplexen Funktionswert)

&

f (t)

Beispiel ( f ðtÞ ¼

1

fu¨r

0

1

jtj  a jtj > a

Die Fourier-Transformierte dieses Rechteckimpulses existiert (Fla¨che unter der Kurve ¼ 2 a):

–a 1 ð

f ðtÞ  e  j w t dt ¼

F ðwÞ ¼ 1

¼ 

Somit gilt:

1  e  j w t dt ¼

a

a



1  e jwt jw

a ¼  a

t

1 ½e  j w t  a a ¼ jw

1 1 1 2  sin ða wÞ ðe  j w a  e j w a Þ ¼ ðe j a w  e  j a w Þ ¼  2 j  sin ða wÞ ¼ jw j w |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} jw w 2 j  sin ða wÞ F ( v)

F f f ðtÞ g ¼ F ðwÞ ¼ f ðtÞ

ða



2  sin ða wÞ w

2a

2  sin ða wÞ w

v &

Inverse Fourier-Transformation Fu¨r die Ru¨cktransformation aus dem Bild- in den Originalbereich schreibt man symbolisch F  1 fFðwÞg ¼ f ðtÞ

ðinverse Fourier-Transformierte)

oder FðwÞ  f ðtÞ

(Korrespondenz)

1 Grundbegriffe

313

Die Ru¨cktransformation ist durchfu¨hrbar, wenn f ðtÞ stu¨ckweise monoton, stetig und absolut integrierbar ist und in den eventuell vorhandenen Sprungstellen die beiderseitigen Grenzwerte existieren. Es gilt dann die folgende Integraldarstellung fu¨r die Originalfunktion: 1  f ðtÞ ¼ 2p

1 ð

F ðwÞ  e j w t dw 1

In den Sprungstellen liefert das uneigentliche Integral der rechten Seite das arithmetische Mittel der beiderseitigen Grenzwerte. &

Beispiel

(

F ðwÞ ¼

F ( v) 1 0

fu¨r

jwj  w0

1

jwj > w0

Aus der (rechteckigen) Bildfunktion F ðwÞ la¨sst sich wie folgt die zugeho¨rige Originalfunktion gewinnen:

– v0

f ðtÞ ¼

1  2p

1 ð

F ðwÞ  e j w t dw ¼ 1

1  2p

wð0

1  e j t w dw ¼ w0

1 2p

v0 

1  e jtw jt

w0

v

¼

w0

1 1 1 1 1 sin ðw 0 tÞ 0 ½e j t w  w  ðe j t w 0  e  j t w 0 Þ ¼  sin ðw 0 tÞ ¼  w0 ¼ 2pjt pt 2j pt p t |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sin ðw 0 tÞ ðf u¨ r t 6¼ 0Þ ¼

Fu¨r t ¼ 0 gilt: f ð0Þ ¼

1  2p

wð0

1  e 0 dw ¼ w0

1  2p

wð0

1 dw ¼ w0

1 1 0 ½w  w ðw 0 þ w 0 Þ ¼ w0 ¼ 2p 2p

1 w0  2w0 ¼ ¼ 2p p

&

Physikalische Deutung der Fourier-Transformation Die nichtperiodische zeitabha¨ngige Funktion f ðtÞ kann als Grenzfall einer periodischen Funktion mit der Periode T ¼ 1 aufgefasst werden. Sie wird in ihre harmonischen Bestandteile zerlegt, die durch harmonische Schwingungen in der komplexen Exponentialform e j w t beschrieben werden (sog. Fourier-Analyse). Anders wie bei der Zerlegung periodischer Funktionen treten hier alle Kreisfrequenzen aus dem Intervall  1 < w < 1 auf. An die Stelle der komplexen Fourier-Koeffizienten c n tritt die Fourier-Transformierte F ðwÞ, aus dem Linienspektrum wird ein kontinuierliches Spektrum: periodische Zeitfunktion

! Linienspektrum

nichtperiodische Zeitfunktion

! kontinuierliches Spektrum

314

XII Fourier-Transformationen

Im naturwissenschaftlich-technischen Bereich sind folgende Bezeichnungen u¨blich: F ðwÞ:

Spektrum von f ðtÞ (Frequenzspektrum, Spektraldichte, Spektralfunktion)

AðwÞ ¼ j F ðwÞ j:

Amplitudenspektrum (spektrale Amplitudendichte)

j ðwÞ ¼ arg ðF ðwÞÞ:

Phasenspektrum (spektrale Phasendichte)

Polardarstellung der Fourier-Transformierten F ðwÞ ¼ j F ðwÞj  e j j ðwÞ ¼ AðwÞ  e j j ðwÞ quivalente Fourier-Darstellungen (in reeller Form) f ðtÞ:

reelle Zeitfunktion (absolut integrierbar)

Entwicklung nach Kosinus- und Sinusschwingungen 1 ð

½ a ðwÞ  cos ðw tÞ þ b ðwÞ  sin ðw tÞ dw

f ðtÞ ¼ 0

1  a ðwÞ ¼ p 1  p

b ðwÞ ¼

a ðwÞ, b ðwÞ:

1 ð

f ðtÞ  cos ðw tÞ dt 1 1 ð

f ðtÞ  sin ðw tÞ dt 1

Spektralfunktionen (Amplitudendichten)

Sonderfa¨lle f ðtÞ:

gerade Funktion

)

b ðwÞ ¼ 0

(nur Kosinusschwingungen)

f ðtÞ:

ungerade Funktion )

a ðwÞ ¼ 0

(nur Sinusschwingungen)

Entwicklung nach phasenverschobenen Sinusschwingungen 1 ð

f ðtÞ ¼

BðwÞ  sin ½w t þ j ðwÞ  dw 0

BðwÞ ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ a ðwÞ  2 þ ½ b ðwÞ  2 ;

p  BðwÞ:

Amplitudenspektrum

j ðwÞ:

Phasenspektrum

tan j ðwÞ ¼

a ðwÞ b ðwÞ

1 Grundbegriffe

315

Sonderfa¨lle f ðtÞ

B ðwÞ

j ðwÞ

A ðwÞ ¼ j F ðwÞ j

gerade

j a ðwÞj

p= 2

(nur Kosinusglieder)

p  j a ðwÞ j

ungerade

j b ðwÞj

0

(nur Sinusglieder)

p  j b ðwÞ j

Zusammenhang zwischen dem Spektrum F(w) und den Spektralfunktionen a(w) und b(w) F ðwÞ ¼ p ½a ðwÞ  j  b ðwÞ A ðwÞ ¼ j F ðwÞ j ¼ p  BðwÞ ¼ p  &

Beispiel

(

f ðtÞ ¼

1

fu¨r

0

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ a ðwÞ 2 þ ½ b ðwÞ 2

jtj  a

f (t)

jtj > a

1

Die Fourier-Analyse dieses rechteckigen Impulses entha¨lt ausschließlich Kosinusterme ð f ðtÞ ist eine gerade Funktion ) b ðwÞ ¼ 0Þ: 1 ð

aðwÞ  cos ðw tÞ dw

f ðtÞ ¼

–a

a

t

0

a ðwÞ ¼

¼

a ð0Þ ¼

1  p 2 p



1  p

1 ð

f ðtÞ  cos ðw tÞ dt ¼ 1

sin ðw tÞ w

a ¼ 0

1  p

ða 1  cos ðw tÞ dt ¼ a

2  p

ða cos ðw tÞ dt ¼ 0

2 1 2 sin ða wÞ  ðsin ðw aÞ  sin 0Þ ¼  p w p w

ða 1  cos 0 dt ¼ a

1  p

ða 1 dt ¼ a

2  p

ða 1 dt ¼ 0

ðf u¨ r w 6¼ 0Þ

2 2 2a ½ t  a0 ¼ ða  0Þ ¼ p p p

Amplitudenspektrum: A ðwÞ ¼ p  j aðwÞ j ¼   2  sin ða wÞ  ¼ p   ¼ p  w

A (v) 2a

   sin ða wÞ   ¼ 2   w A ð0Þ ¼ p  a ð0Þ ¼ p 

2a ¼ 2a p

v &

316

XII Fourier-Transformationen

2 Spezielle Fourier-Transformationen Neben der exponentiellen Fourier-Transformation gibt es noch zwei weitere spezielle Fourier-Transformationen. Fourier-Kosinus-Transformation 1 ð

FC ðwÞ ¼ F C f f ðtÞg ¼

f ðtÞ  cos ðw tÞ dt 0

FC ðwÞ: Fourier-Kosinus-Transformierte von f ðtÞ Fu¨r eine gerade Funktion gilt: F ðwÞ ¼ 2  FC ðwÞ Fourier-Sinus-Transformation 1 ð

FS ðwÞ ¼ F S f f ðtÞg ¼

f ðtÞ  sin ðw tÞ dt 0

FS ðwÞ: Fourier-Sinus-Transformierte von f ðtÞ Fu¨r eine ungerade Funktion gilt: F ðwÞ ¼  2 j  FS ðwÞ &

Beispiel

f ðtÞ ¼

8 > > < > > :

f (t) a  t  0

t þa t þ a 0

fu¨r

a

0  t  a jtj  a

Fu¨r diese gerade Dreiecksfunktion erhalten wir mit Hilfe der Fourier-Kosinus-Transformation die folgende Bildfunktion:

–a

a

t

2 Spezielle Fourier-Transformationen 1 ð

F ðwÞ ¼ 2  FC ðwÞ ¼ 2 

 ¼ 2

ða f ðtÞ  cos ðw tÞ dt ¼ 2 

0

ða ¼ 2

317

ð t þ aÞ  cos ðw tÞ dt ¼ 0

½  t  cos ðw tÞ þ a  cos ðw tÞ  dt ¼ 0



cos ðw tÞ t  sin ðw tÞ a þ  sin ðw tÞ  w2 w w

a ¼ 0

  cos ða wÞ a  sin ða wÞ a  sin ða wÞ 1 þ þ 2 ¼ ¼ 2   2 w w w w    cos ða wÞ þ 1 2 ½ 1  cos ða wÞ  ð f u¨ r w 6¼ 0Þ ¼ 2 ¼ w2 w2 ða F ð0Þ ¼ 2  FC ð0Þ ¼ 2 



ða ð t þ aÞ  cos 0 dt ¼ 2 

0

  1 2 1 2 a þ a2 ¼ 2  a ¼ a2 ¼ 2  2 2

ð t þ aÞ dt ¼ 2



1 2 t þ at 2

0

a ¼ 0

&

Zusammenhang zwischen den Fourier-Transformationen F(w), FC (w) und FS (w) Jede Funktion f ðtÞ la¨sst sich wie folgt in eine Summe aus einer geraden Funktion gðtÞ und einer ungeraden Funktion h ðtÞ zerlegen: f ðtÞ ¼

1 1 1 1 ½ f ðtÞ þ f ð tÞ  þ ½ f ðtÞ  f ð tÞ  ¼ gðtÞ þ h ðtÞ 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 2 2 gðtÞ h ðtÞ

Dann gilt: F ðwÞ ¼

1 1 G ðwÞ þ H ðwÞ ¼ G C ðwÞ  j  H S ðwÞ 2 2

GðwÞ, H ðwÞ:

Fourier-Transformierte von g ðtÞ bzw. h ðtÞ

G C ðwÞ:

Fourier-Kosinus-Transformierte von g ðtÞ

H S ðwÞ:

Fourier-Sinus-Transformierte von h ðtÞ

Berechnung der Fourier-Transformation mit Hilfe von Korrespondenztabellen  Tabelle 1 (Seite 333 bis 334): Exponentielle Fourier-Transformation  Tabelle 2 (Seite 335 bis 336): Fourier-Sinus-Transformation  Tabelle 3 (Seite 337 bis 338): Fourier-Kosinus-Transformation

318

XII Fourier-Transformationen

3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen 3.1 Sprungfunktionen Sprungfunktionen werden z. B. fu¨r Einschaltvorga¨nge beno¨tigt. Sprungfunktion s (t) (Sprungstelle: t == 0) Einheitssprung, Heaviside-Funktion, Sigmafunktion (s-Funktion) s(t)

( s ðtÞ ¼

0 1

f u¨ r

1

t < 0 t  0

t

Verschobene Sprungfunktion (Sprungstelle: t == a) s(t – a)

( s ðt  aÞ ¼

0 1

f u¨ r

1

t < a t  a

a

t

„Ausblenden“ mit Hilfe der s-Funktion Die Multiplikation einer Funktion f ðtÞ,  1 < t < 1 mit der Sprungfunktion s ðtÞ bewirkt, dass alle Funktionswerte fu¨r t < 0 verschwinden, d. h. gleich Null gesetzt werden, wa¨hrend im Intervall t  0 alles beim Alten bleibt (sog. „Ausblenden“ im Intervall t < 0Þ: g (t)

( g ðtÞ ¼ s ðtÞ  f ðtÞ ¼

0 f ðtÞ

f u¨ r

t < 0 t  0

g (t) = f (t) g (t) = 0

t

3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen &

Beispiel



f ðtÞ ¼ sin t

)

g ðtÞ ¼ s ðtÞ  sin t ¼

0 sin t

f u¨ r

f (t)

319

t < 0 t  0

g (t)

1

sin t

t –1

1

g (t) = sin t

g (t) = 0 –1

t

&

„Ausblenden“ im Intervall t < a g (t)

( g ðtÞ ¼ s ðt  aÞ  f ðtÞ ¼

0 f ðtÞ

f u¨ r

t < a t  a a

t

„Ausblenden“ in den Intervallen t < a und t > b (mit a < b) g (t)

g ðtÞ ¼ ½s ðt  aÞ  s ðt  bÞ   f ðtÞ ¼ ( ¼

0 f ðtÞ

f u¨ r

t < a;

t > b

a  t  b a

&

t

g (t)

Beispiel f ðtÞ ¼ sin t ;

b

a ¼ p;

b ¼ 2p

g ðtÞ ¼ ½s ðt þ pÞ  s ðt  2 pÞ   sin t ¼ ( p  t  2p sin t ¼ f u¨ r 0 alle u¨ brigen t

1 –π

2π t –1

&

320

XII Fourier-Transformationen

„Ausblenden“ einer verschobenen Funktion Die Funktion f ðtÞ wird zuna¨chst um a verschoben und dann im Intervall t < a „ausgeblendet“: ( g ðtÞ ¼ s ðt  aÞ  f ðt  aÞ ¼

0 f ðt  aÞ

f u¨ r

t < a t  a

3.2 Rechteckige Impulse

Intervall

a  t  b ða < bÞ

f ðtÞ ¼ s ðt  aÞ  s ðt  bÞ ¼ ( a  t  b 1 ¼ f u¨ r 0 alle u¨ brigen t

f (t) 1

a

t

f (t)

Symmetrisches Intervall  a  t  a ða > 0Þ f ðtÞ ¼ s ðt þ aÞ  s ðt  aÞ ¼ ( jtj  a 1 ¼ f u¨ r 0 jtj > a

b

1

–a

a

t

f (t)

Intervall

0  t  a

f ðtÞ ¼ s ðtÞ  s ðt  aÞ ¼ ( 0  t  a 1 ¼ f u¨ r 0 alle u¨ brigen t

Intervall

1

a

t

f (t)

a  t  0

1

f ðtÞ ¼ s ðt þ aÞ  s ðtÞ ¼ ( a  t  0 1 ¼ f u¨ r alle u¨ brigen t 0 –a

t

3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen

321

3.3 Diracsche Deltafunktion Fu¨r die Beschreibung lokalisierter Impulse (die nur in einem bestimmten Zeitpunkt T einwirken) beno¨tigt man die sog. Diracsche Deltafunktion (d-Funktion, auch Dirac-Stoß oder Impulsfunktion genannt). Sie ist keine Funktion im u¨blichen Sinne, sondern eine sog. „verallgemeinerte Funktion“ (Distribution). Anschauliches Modell der Deltafunktion f (t)

Ausgangspunkt ist ein rechteckiger Impuls (Stoß) der Breite a und der Ho¨he 1=a, dessen Sta¨rke (entspricht dem Fla¨cheninhalt) den Wert 1 besitzt: 1 ð

f ðtÞ dt ¼ a  1

1/a

1 ¼ 1 a

a T

T+a

t

Mit abnehmender Breite nimmt die Ho¨he bei unvera¨ndertem Fla¨cheninhalt immer mehr zu (siehe Bilderfolge a) ! b) ! c)). Im Grenzfall a ! 0 entsteht ein Impuls mit einer Breite nahe 0 und einer unendlich großen Ho¨he. f (t)

f (t)

f (t)

1/a

1/a 1/a

a T

a)

a

a t

T

b)

T

t

c)

t

322

XII Fourier-Transformationen

Symbolische Schreibweise und Darstellung der Deltafunktion d(t – T)

d ðt  TÞ ¼

0 1

f u¨ r

t 6¼ T

∞

t ¼ T T

t

Eigenschaften der Deltafunktion Normierung 1 ð

d ðt  TÞ dt ¼ 1

ð,,Fl¨acheninhalt‘‘ ¼ 1Þ

1

„Ausblendeigenschaft“ Fu¨r bestimmte Zeitfunktionen f ðtÞ ,  1 < t < 1 gilt: ( ðb a  T  b f ðTÞ d ðt  TÞ  f ðtÞ dt ¼ f u¨ r 0 alle u¨ brigen T a

Anmerkungen (1)

Die Integrale sind nur symbolisch zu verstehen, sie ko¨nnen nicht im u¨blichen Sinne „berechnet“ werden (es handelt sich um sog. „verallgemeinerte Integrale“).

(2)

Nur wenn T zwischen a und b liegt, ist das „Ausblendintegral“ von Null verschieden.

&

Beispiel 2ðp

0

d ðt  pÞ  e  t  cos t dt ¼ e  p  cos p ¼ e  p  ð 1Þ ¼  e  p |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} f ðtÞ

Begru¨ndung: p liegt im Integrationsintervall. 1 ð

1

dðt  T Þ  cos t dt ¼ cos T |fflfflffl{zfflfflffl} f ðtÞ

Begru¨ndung: Die reelle Zahl T liegt stets im Integrationsbereich ð 1 < T < 1Þ. &

3 Wichtige „Hilfsfunktionen“ in den Anwendungen

323

„Verallgemeinerte Fourier-Transformierte“ der Deltafunktion 1 ð

F fd ðt  TÞg ¼ F ðwÞ ¼

d ðt  TÞ  e  j w t dt ¼ e  j w T

1

Sonderfall T == 0 : F fd ðtÞg ¼ F ðwÞ ¼ 1 Das Frequenzspektrum entha¨lt dann alle Frequenzen mit gleichem Gewicht („Amplitude“ jeweils 1 ! sog. „weißes“ Spektrum).

Zusammenhang zwischen der Delta- und der Sigmafunktion ðt d ðt  TÞ dt ¼ s ðt  TÞ 1

D s ðt  TÞ ¼ d ðt  TÞ Dt Die Deltafunktion ist die sog. „verallgemeinerte Ableitung“ der Sigmafunktion (Sprungfunktion). „Verallgemeinerte Ableitung“ einer Funktion f (t) Die sog. „verallgemeinerte Ableitung“ einer Funktion f ðtÞ, die an der Stelle t ¼ t 0 eine Sprungunstetigkeit aufweist und sonst fu¨r jedes t 6¼ t 0 stetig differenzierbar ist, wird wie folgt gebildet: Df ðtÞ df ðtÞ ¼ þ a  d ðt  t 0 Þ ¼ f 0 ðtÞ þ a  d ðt  t 0 Þ Dt dt Df ðtÞ D ¼ f ðtÞ: „Verallgemeinerte Ableitung“ von f ðtÞ Dt Dt df ðtÞ ¼ f 0 ðtÞ: dt a:

„Gewo¨hnliche Ableitung“ von f ðtÞ

Ho¨he des Sprunges an der Stelle t ¼ t 0 (Differenz der beiderseitigen Funktionsgrenzwerte an der Stelle t ¼ t 0 )

Die „verallgemeinerte Ableitung“ unterscheidet sich nur an der Sprungstelle t ¼ t 0 von der „gewo¨hnlichen Ableitung“ f 0 ðtÞ. An der Sprungstelle kommt noch ein Dirac-Stoß hinzu.

324

XII Fourier-Transformationen

4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssa¨tze) 4.1 Linearita¨tssatz (Satz u¨ber Linearkombinationen) Fu¨r die Fourier-Transformierte einer Linearkombination von Originalfunktionen gilt: F fc 1  f 1 ðtÞ þ c 2  f 2 ðtÞ þ . . . þ c n  f n ðtÞg ¼ ¼ c 1  F f f 1 ðtÞg þ c 2  F f f 2 ðtÞg þ . . . þ c n  F f f n ðtÞg ¼ ¼ c 1  F 1 ðwÞ þ c 2  F 2 ðwÞ þ . . . þ c n  F n ðwÞ c 1 ; c 2 ; . . . ; c n : Reelle oder komplexe Konstanten F i ðwÞ ¼ F f f i ðtÞg Regel: &

ði ¼ 1; 2; . . . ; nÞ

Es darf gliedweise transformiert werden, konstante Koeffizienten bleiben dabei erhalten.

Beispiel g ðtÞ ¼ 2  e  t  s ðtÞ þ 3  e  6 t  s ðtÞ ;

F f gðtÞg ¼ ?

Unter Verwendung der Korrespondenzen F fe  t  s ðtÞg ¼

1 1 þ jw

F fe  6 t  s ðtÞg ¼

und

1 6 þ jw

erha¨lt man mit Hilfe des Linearita¨tssatzes: F f gðtÞg ¼ F f2  e  t  s ðtÞ þ 3  e  6 t  s ðtÞg ¼ 2  F f e  t  s ðtÞg þ 3  F f e  6 t  s ðtÞg ¼ ¼ 2 ¼

1 1 2 ð6 þ j wÞ þ 3 ð1 þ j wÞ 12 þ 2 j w þ 3 þ 3 j w ¼ þ3 ¼ ¼ 1 þ jw 6 þ jw ð1 þ j wÞ ð6 þ j wÞ 6 þ jw þ 6 jw þ j 2 w2

15 þ 5 j w 15 þ 5 j w ¼ 6 þ 7 jw  w2 6  w2 þ 7jw &

4.2 hnlichkeitssatz Die Originalfunktion f ðtÞ wird der hnlichkeitstransformation t ! a t mit a 6¼ 0 unterworfen. Die neue Funktion g ðtÞ ¼ f ða tÞ zeigt dabei einen a¨hnlichen Kurvenverlauf wie f ðtÞ (gezeichnet: Bild a) f ðtÞ ¼ e  j t j , Bild b) g ðtÞ ¼ f ð2 tÞ ¼ e  2 j t j Þ: f (t)

g (t) g (t) = f (at)

a)

t

b)

t

4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssa¨tze)

325

Fu¨r die Fourier-Transformierte von g ðtÞ ¼ f ða tÞ gilt dann ( a 6¼ 0 : reell): F f f ða tÞg ¼

w 1 F jaj a

mit F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

Regel: In der Bildfunktion F ðwÞ wird zuna¨chst w durch w=a ersetzt, dann wird die neue Bildfunktion mit dem Kehrwert von j a j multipliziert. j a j < 1:

Dehnung der Zeitachse

j a j > 1:

Stauchung der Zeitachse ! Dehnung der Frequenzachse

a ¼  1:

Richtungsumkehr der Zeitachse

&

! Stauchung der Frequenzachse !

gðtÞ ¼ f ð tÞ

Beispiel Unter Verwendung der Korrespondenz F ðwÞ ¼ F f e  j t j g ¼

2 1 þ w2

erhalten wir fu¨r die Originalfunktion g ðtÞ ¼ e  j 2 t j ¼ e  2 j t j die folgende Fourier-Transformierte ða ¼ 2Þ:

w 1 1 2 1 1 4 ¼ ¼ F fe  2 j t j g ¼ F ¼  ¼ 2 2 2 1 þ ðw=2Þ 2 1 þ w 2 =4 ð4 þ w 2 Þ=4 4 þ w2 &

4.3 Verschiebungssatz (Zeitverschiebungssatz) Die Originalfunktion f ðtÞ wird um die Strecke j a j auf der Zeitachse verschoben ( a > 0: nach rechts; a < 0: nach links). Man erha¨lt die neue Funktion g ðtÞ ¼ f ðt  aÞ: f (t)

g (t)

t

g (t) = f (t – a)

a

t

Fu¨r die Fourier-Transformierte von g ðtÞ ¼ f ðt  aÞ gilt dann ð a 6¼ 0: reellÞ: F f f ðt  aÞg ¼ e  j a w  F ðwÞ

mit

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

Regel: Die Bildfunktion F ðwÞ wird mit dem „Phasenfaktor“ e  j a w multipliziert. Bei einer Verschiebung im Zeitbereich bleibt das Amplitudenspektrum A ðwÞ ¼ j F ðwÞj erhalten.

326 &

XII Fourier-Transformationen Beispiel Die in Bild a) skizzierte „Stoßfunktion“ f ðtÞ mit der Bildfunktion F ðwÞ ¼

2½ 1 þ cos ða wÞ  a2 w2

wird um a nach rechts verschoben (siehe Bild b)).

a)

f (t)

g (t)

1/a

1/a

–a

a

t

a

b)

2a

t

Die Bildfunktion der verschobenen Funktion gðtÞ ¼ f ðt  aÞ, 0  t  2 a lautet dann: F f gðtÞg ¼ e  j a w  F ðwÞ ¼ e  j a w 

2½ 1 þ cos ða wÞ  2½ 1 þ cos ða wÞ   e  j a w ¼ 2 2 a w a2 w2

&

4.4 Da¨mpfungssatz (Frequenzverschiebungssatz) Die Originalfunktion f ðtÞ wird mit e j w 0 t multipliziert („Modulation“). Die FourierTransformierte der neuen Funktion g ðtÞ ¼ f ðtÞ  e j w 0 t lautet dann (w 0 : reell): F fe j w 0 t  f ðtÞg ¼ F ðw  w 0 Þ

mit F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

Regel: Einer Multiplikation im Zeitbereich mit e j w 0 t entspricht im Frequenzbereich eine Frequenzverschiebung um w 0 ðw wird in F ðwÞ durch w  w 0 ersetztÞ. &

Beispiel

f (t)

Der folgende Rechteckimpuls soll „moduliert“ werden: ( f ðtÞ ¼

1 0

f u¨ r

jtj  T jtj > T

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg ¼

1

) ¼ s ðt þ TÞ  s ðt  TÞ

2  sin ðT wÞ w

–T

T

t

Der „geda¨mpfte“ Rechteckimpuls gðtÞ ¼ f ðtÞ  e j w 0 t besitzt dann die folgende Fourier-Transformierte: F f gðtÞg ¼ F f f ðtÞ  e j w 0 t g ¼ F ðw  w 0 Þ ¼

2  sin ½ T ðw  w 0 Þ  w  w0 &

4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssa¨tze)

327

4.5 Ableitungssa¨tze (Differentiationssa¨tze) 4.5.1 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Originalfunktion Die Fourier-Transformierten der Ableitungen der Originalfunktion f ðtÞ nach der Variablen t lauten wie folgt: 1. Ableitung F f f 0 ðtÞg ¼ j w  F ðwÞ Voraussetzung:

mit

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

f 0 ðtÞ ist Fourier-transformierbar und der Grenzwert von

f ðtÞ fu¨r

j t j ! 1 verschwindet. 2. Ableitung F f f 00 ðtÞg ¼ ð j wÞ 2  F ðwÞ ¼  w 2  F ðwÞ Voraussetzung:

mit F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

f 00 ðtÞ ist Fourier-transformierbar und die Grenzwerte von f ðtÞ und f 0 ðtÞ fu¨r j t j ! 1 verschwinden.

n-te Ableitung F ff

ðnÞ

ðtÞg ¼ ð j wÞ n  F ðwÞ

Voraussetzung:

mit F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

ist Fourier-transformierbar und die Grenzwerte f ðnÞ ðtÞ f ðtÞ; f 0 ðtÞ; . . . ; f ðn  1Þ ðtÞ fu¨r j t j ! 1 verschwinden.

von

Regel: Jeder Differentiationsschritt im Originalbereich bewirkt eine Multiplikation mit dem Faktor j w im Bildbereich. &

Beispiel Ausgehend von der (als bekannt vorausgesetzten) Korrespondenz pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2  F ðwÞ ¼ 2 p  e  0;5 w f ðtÞ ¼ e  0;5 t la¨sst sich die Bildfunktion von gðtÞ ¼ t  e  0;5 t wie folgt aus dem Ableitungssatz bestimmen ðgðtÞ ist –– vom Vorzeichen abgesehen –– genau die 1. Ableitung von f ðtÞÞ: 2

f ðtÞ ¼ e  0;5 t

2

)

f 0 ðtÞ ¼ e  0;5 t  ð tÞ ¼  t  e  0;5 t ¼  g ðtÞ 2

2

F f f 0 ðtÞg ¼ F f gðtÞg ¼  F f gðtÞg ¼ j w  F ðwÞ ¼ j w  F f gðtÞg ¼ F ft  e  0;5 t g ¼  j w  2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 p  e  0;5 w

pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 p  e  0;5 w ¼  j  2 p  w  e  0;5 w &

328

XII Fourier-Transformationen

4.5.2 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Bildfunktion Die Ableitungen der Fourier-Transformierten F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg nach der Variablen w lauten wie folgt: 1. Ableitung F 0 ðwÞ ¼ ð j Þ 1  F ft  f ðtÞg ¼  j  F ft  f ðtÞg Voraussetzung: Die Funktion t  f ðtÞ ist Fourier-transformierbar. 2. Ableitung F 00 ðwÞ ¼ ð j Þ 2  F ft 2  f ðtÞg ¼  F ft 2  f ðtÞg Voraussetzung: Die Funktion t 2  f ðtÞ ist Fourier-transformierbar. n-te Ableitung F ðnÞ ðwÞ ¼ ð j Þ n  F ft n  f ðtÞg Voraussetzung: Die Funktion t n  f ðtÞ ist Fourier-transformierbar. Regel: Die n-Ableitung der Bildfunktion F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg erha¨lt man als FourierTransformierte der mit der Potenz t n multiplizierten Originalfunktion f ðtÞ, multipliziert mit ð jÞ n . Dieser Satz wird daher auch als Multiplikationssatz bezeichnet. &

Beispiel Die Fourier-Transformierte von g ðtÞ ¼ t  e  0;5 t la¨sst sich auch mit Hilfe des Ableitungssatzes fu¨r die Bildfunktion aus der (z. B. einer Tabelle entnommenen) Korrespondenz 2

f ðtÞ ¼ e  0;5 t

2



F ðwÞ ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 p  e  0;5 w

gewinnen, da g ðtÞ ¼ t  f ðtÞ ist: F 0 ðwÞ ¼  j  F f t  f ðtÞg ¼  j  F f g ðtÞg Nach Multiplikation mit j folgt aus dieser Gleichung: F f gðtÞg ¼ j  F 0 ðwÞ ¼ j  ¼ j 

 pffiffiffiffiffiffiffiffi d pffiffiffiffiffiffiffi 2 2 2 p  e  0;5 w ¼ j  2 p  e  0;5 w  ð wÞ ¼ dw

pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 p  w  e  0;5 w

&

4 Eigenschaften der Fourier-Transformation (Transformationssa¨tze)

329

4.6 Integrationssa¨tze Integrationssatz fu¨r die Originalfunktion

F

8 t < ð :

1

9 = 1  F ðwÞ f ðuÞ du ¼ ; jw

mit

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

1 ð

f ðtÞ dt ¼ 0

Voraussetzung: 1

Regel: F ðwÞ wird durch j w dividert. Parsevalsche Gleichung 1 ð

1  j f ðtÞj dt ¼ 2p

1 ð

2

1

j F ðwÞj 2 dw

mit

F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg

1

Voraussetzung: Die Originalfunktion f ðtÞ ist quadratisch integrierbar.

4.7 Faltungssatz Faltungsprodukt Unter dem Faltungsprodukt f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ zweier Originalfunktionen f 1 ðtÞ und f 2 ðtÞ versteht man das uneigentliche Integral 1 ð

f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ ¼

f 1 ðuÞ  f 2 ðt  uÞ du 1

(Faltungsintegral, 2-seitige Faltung der Funktionen f 1 ðtÞ und f 2 ðtÞÞ Voraussetzung: Beide Funktionen sind absolut integrierbar. Rechenregeln Kommutativgesetz

f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ ¼ f 2 ðtÞ f 1 ðtÞ

Assoziativgesetz

½ f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ f 3 ðtÞ ¼ f 1 ðtÞ ½ f 2 ðtÞ f 3 ðtÞ 

Distributivgesetz

f 1 ðtÞ ½ f 2 ðtÞ þ f 3 ðtÞ ¼ f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ þ f 1 ðtÞ f 3 ðtÞ

330

XII Fourier-Transformationen

Faltungssatz Die Fourier-Transformierte des Faltungsproduktes f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ ist gleich dem Produkt der Fourier-Transformierten von f 1 ðtÞ und f 2 ðtÞ: F f f 1 ðtÞ f 2 ðtÞg ¼ F f f 1 ðtÞg  F f f 2 ðtÞg ¼ F 1 ðwÞ  F 2 ðwÞ F 1 ðwÞ ¼ F f f 1 ðtÞg;

F 2 ðwÞ ¼ F f f 2 ðtÞg

Voraussetzung: f 1 ðtÞ und f 2 ðtÞ und ihre Quadrate sind absolut integrierbar. &

Beispiel Fu¨r die Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion mit dem „Breitenparameter“ s gilt die folgende Zuordnung (Korrespondenz): 2

t 1   e 2s2 f ðtÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi 2p  s



F ðwÞ ¼ F f f ðtÞg ¼ e



s2 w2 2

Wir interessieren uns fu¨r die Faltung zweier Gauß-Funktionen mit den Breitenparametern s 1 und s 2 . Aus dem Faltungssatz folgt dann:  2 2 2 2 F f f 1 ðtÞ f 2 ðtÞg ¼ F 1 ðwÞ  F 2 ðwÞ ¼ e ¼ e (mit s

2

¼

s 21

þ



ðs 21 þ s 22 Þ w 2 2

¼ e





s 21 w 2 2

e



s 22 w 2 2

¼ e



s1w 2



s2 w 2

¼

s2 w2 2

s 22 Þ.

Durch Ru¨cktransformation erhalten wir das Faltungsprodukt: ( ) s2 w2 t2  1  1 1 2 f 1 ðtÞ f 2 ðtÞ ¼ F f F 1 ðwÞ  F 2 ðwÞg ¼ F e ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  e 2s 2 2p  s

Folgerung: Die Faltung zweier Gauß-Funktionen mit den Breitenparametern s 1 und s 2 fu¨hrt wieder auf qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s 21 þ s 22 .

eine (breitere!) Gauß-Funktion mit dem Breitenparameter s ¼

&

4.8 Vertauschungssatz Aus einer vorgegebenen Korrespondenz f ðtÞ



F ðwÞ

erha¨lt man durch Vertauschen von Originalfunktion f ðtÞ und Bildfunktion F ðwÞ wie folgt eine neue Korrespondenz (sog. Vertauschungssatz, auch als t  w-Dualita¨tsprinzip bezeichnet): F ðtÞ



2 p  f ð wÞ

F ðtÞ ist die (neue) Originalfunktion, 2 p  f ð wÞ die neue zugeho¨rige Bildfunktion.

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten &

331

Beispiel Aus der (als bekannt vorausgesetzten) Korrespondenz f ðtÞ ¼ e  j t j



F ðwÞ ¼

2 1 þ w2

erha¨lt man mit Hilfe des Vertauschungssatzes die folgende neue Korrespondenz: F ðtÞ ¼

2 1 þ t2



2 p  f ð wÞ ¼ 2 p  e  j  w j ¼ 2 p  e  j w j

Somit gilt: 1 1 þ t2



p  e jwj &

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 5.1 Allgemeines Lo¨sungsverfahren Eine (gewo¨hnliche) lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten la¨sst sich mit Hilfe der Fourier-Transformation schrittweise wie folgt lo¨sen: (1)

Die lineare Differentialgleichung wird mit Hilfe der Fourier-Transformation in eine algebraische Gleichung u¨bergefu¨hrt (Transformation vom Originalbereich in den Bildbereich).

(2)

Die Lo¨sung dieser Gleichung ist die Bildfunktion Y ðwÞ der gesuchten Originalfunktion yðtÞ.

(3)

Durch Ru¨cktransformation (inverse Fourier-Transformation) in der Regel unter Verwendung einer Transformationstabelle erha¨lt man aus der Bildfunktion Y ðwÞ die gesuchte Lo¨sung yðtÞ.

Vorteil dieser Lo¨sungsmethode: Die Rechenoperationen sind im Bildbereich meist einfacherer Art. Man erha¨lt diejenige (spezielle oder partikula¨re) Lo¨sung, die im Intervall  1 < t < 1 stetig und beschra¨nkt ist.

5.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichung im Originalbereich y 0 þ a y ¼ g ðtÞ

ða : Konstante;

g ðtÞ : St¨orfunktionÞ

332

XII Fourier-Transformationen

Transformierte Differentialgleichung im Bildbereich (mit Lo¨sung) j w  Y ðwÞ þ a  Y ðwÞ ¼ F ðwÞ ¨ Losung :

Y ðwÞ ¼

F ðwÞ a þ jw

Y ðwÞ:

Fourier-Transformierte der (gesuchten) Lo¨sung y ðtÞ

F ðwÞ:

Fourier-Transformierte der Sto¨rfunktion g ðtÞ

&

Beispiel y 0  y ¼ s ðtÞ  e  t Transformation der Dgl in den Bildbereich ða ¼  1 ; g ðtÞ ¼ s ðtÞ  e  t Þ: j w  Y ðwÞ  Y ðwÞ ¼

1 1 þ jw

oder

Y ðwÞ  ð j w  1Þ ¼

1 1 þ jw

Lo¨sung im Bildbereich: Y ðwÞ ¼

1 1 1 1 1 ¼  ¼ ¼ ¼ ð j w  1Þ ð1 þ j wÞ ð j w  1Þ ð j w þ 1Þ  w2  1 1 þ w2 ð j wÞ 2  1

Ru¨cktransformation in den Originalbereich (unter Verwendung der Tabelle 1 aus Kap. XII.6): 1 1 1 y ðtÞ ¼ F  1 f Y ðwÞg ¼ F  1  ¼  F 1 ¼   ejtj 2 2 1þw 1þw 2 &

5.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichung im Originalbereich y 00 þ a y 0 þ b y ¼ gðtÞ

ða; b : Konstanten ;

g ðtÞ : St¨orfunktionÞ

Transformierte Differentialgleichung im Bildbereich (mit Lo¨sung)  w 2  Y ðwÞ þ a j w  Y ðwÞ þ b  Y ðwÞ ¼ F ðwÞ ¨ : Losung

Y ðwÞ ¼

w2

F ðwÞ þ jaw þ b

Y ðwÞ:

Fourier-Transformierte der (gesuchten) Lo¨sung y ðtÞ

F ðwÞ:

Fourier-Transformierte der Sto¨rfunktion g ðtÞ

6 Tabellen spezieller Fourier-Transformationen

333

6 Tabellen spezieller Fourier-Transformationen

Tabelle 1: Exponentielle Fourier-Transformationen Hinweis: a > 0 ;

b > 0

Bei den Korrespondenzen Nr. 18 bis Nr. 26 handelt es sich um die FourierTransformierten sog. „verallgemeinerter“ Funktionen (Distributionen).

(1)

Originalfunktion f ðtÞ

Bildfunktion F ðwÞ

s ðt  aÞ  s ðt  bÞ ¼ 1 a  t  b ¼ f u¨ r sonst 0

j

ejbw  ejaw w

ðmit a < bÞ

(2)

s ðt þ aÞ  s ðt  aÞ ¼ 1 jtj  a ¼ f u¨ r sonst 0

2  sin ða wÞ w

(3)

s ðt þ aÞ  s ðtÞ ¼ 1 a  t  0 ¼ f u¨ r sonst 0

j

1  e jaw w

j

ejaw  1 w

(4)

(5)

s ðtÞ  s ðt  aÞ ¼ 1 0  t  a f u¨ r ¼ sonst 0 a  jtj jtj  a f u¨ r sonst 0

(6)

1 a2 þ t2

(7)

t a2 þ t2

2 ½1  cos ða wÞ w2 p  ea jwj a 8 a jwj > < jp  e 0 > :  j p  ea jwj

(8)

ea jtj

2a a2 þ w2

(9)

e  a t  s ðtÞ

1 a þ jw

(10)

t  e  a t  s ðtÞ

1 ða þ j wÞ 2

w < 0 f u¨ r

w ¼ 0 w > 0

334

XII Fourier-Transformationen Originalfunktion f ðtÞ

(11)

t 2  e  a t  s ðtÞ

(12)

t n  e  a t  s ðtÞ

(13)

eat

(14)

t  eat

(15)

Bildfunktion F ðwÞ 2 ða þ j wÞ 3 n! ða þ j wÞ n þ 1 rffiffiffiffiffiffiffi w2 p   e 4a a

2

2

sin ða tÞ t



j  2a

rffiffiffiffiffi w2 p   w  e 4a a

8 > < p p=2 > : 0

jwj < a f u¨ r

jwj ¼ a jwj > a

b

(16)

e  a t sin ðb tÞ  s ðtÞ

(17)

e  a t  cos ðb tÞ  s ðtÞ

(18)

dðtÞ

(19)

d ðt þ aÞ

e jaw

(20)

d ðt  aÞ

ejaw

(21)

e jat

2 p  d ðw  aÞ

(22)

e jat

2 p  d ðw þ aÞ

(23)

cos ða tÞ

p ½d ðw þ aÞ þ d ðw  aÞ

(24)

sin ða tÞ

j p ½d ðw þ aÞ  d ðw  aÞ 

(25)

dðt þ aÞ þ dðt  aÞ

2  cos ða wÞ

(26)

dðt þ aÞ  dðt  aÞ

2 j  sin ða wÞ

ðDirac-StoßÞ

ða þ j wÞ 2 þ b 2 jw ða þ j wÞ 2 þ b 2 1

6 Tabellen spezieller Fourier-Transformationen

335

Tabelle 2: Fourier-Sinus-Transformationen Hinweis: a > 0 ;

(1)

Originalfunktion f ðtÞ

Bildfunktion FS ðwÞ

s ðtÞ  s ðt  aÞ ¼ 1 0  t  a ¼ f u¨ r sonst 0

1  cos ða wÞ w

8 > < (2)

b > 0

> :

0  t  1

t 2t

(3)

1 t

(4)

1 pffiffiffi t

f u¨ r

t  2

0

b2

þ ða  tÞ

2

aþt (6)

4  sin w  sin 2 ðw = 2Þ w2 p 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 2w

b (5)

1  t  2

b 2 þ ða þ tÞ 2





b b2

þ ða þ tÞ 2 at

b 2 þ ða  tÞ 2

p  e  b w  sin ða wÞ

p  e  b w  cos ða wÞ

(7)

t a2 þ t2

p  eaw 2

(8)

1 t ða 2 þ t 2 Þ

p 2a2

(9)

a2

t  t2



  1  eaw

p  cos ða wÞ 2   1  cos ða wÞ

(10)

1 t ða 2  t 2 Þ

p 2a2

(11)

eat

w a2 þ w2

(12)

t  eat

(13)

eat t

(14)

t  eat

2aw ða 2

þ w 2Þ 2

arctan

2

1  4a

w a

rffiffiffiffiffiffiffi w2 p   w  e 4a a

336

(15)

(16)

XII Fourier-Transformationen Originalfunktion f ðtÞ

Bildfunktion FS ðwÞ

1 e2t  1

p w p 1  coth  4 2 2w

  a þ t  ln  a  t

p 

(17)

sin ða tÞ t

(18)

sin ða tÞ t2

(19)

sin ða tÞ t 2

(20)

(21)

(22)

sin 2 ða tÞ t2

sin ða tÞ  sin ðb tÞ t

cos ða tÞ t

sin ða wÞ w   a þ w 1   ln  2 a  w

(

p w= 2 p a= 2

8 > < p= 4 p= 8 > : 0 1 4

f u¨ r

w  a w  a 0 < w < 2a w ¼ 2a

f u¨ r

w > 2a

 ðw þ 2 aÞ  ln ðw þ 2 aÞ þ 1 w  ln w 2

þ ðw  2 aÞ  ln j w  2 a j 

p= 4 0

8 > < 0 p= 4 > : p= 2

f u¨ r

ab < w < aþb sonst

f u¨ r

0 < w < a w ¼ a w > a

" bt

 sin ða tÞ

(23)

e

(24)

e  b t  sin ða tÞ t

b 2

# 1 b 2 þ ða  wÞ 2

1  ln 4



1 b 2 þ ða þ wÞ 2

b 2 þ ðw þ aÞ 2 b 2 þ ðw  aÞ 2

!



6 Tabellen spezieller Fourier-Transformationen

337

Tabelle 3: Fourier-Kosinus-Transformationen Hinweis: a > 0 ;

(1)

Originalfunktion f ðtÞ

Bildfunktion FC ðwÞ

s ðtÞ  s ðt  aÞ ¼ 1 0  t  a ¼ f u¨ r sonst 0

sin ða wÞ w

8 > < (2)

b > 0

> :

0  t  1

t 2t

f u¨ r

1  t  2 t > 2

0

4  cos w  sin 2 ðw = 2Þ w2

(3)

1 pffiffiffi t

rffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 2w

(4)

1 a2 þ t2

p  eaw 2a

(5)

1 a2  t2

p sin ða wÞ  2 w

b (6)

b 2 þ ða  tÞ 2 aþt

(7)

b2

þ ða þ tÞ

2

þ

þ

b b 2 þ ða þ tÞ 2 at b2

þ ða  tÞ 2

p  e  b w  cos ða wÞ

p  e  b w  sin ða wÞ a a2 þ w2

(8)

eat

(9)

t  eat

a2  w2 ða 2 þ w 2 Þ 2 

(10)

pffiffiffi t  eat

1 pffiffiffiffiffi p  2

cos

w  3  arctan 2 a

ða 2 þ w 2 Þ 3=4

(11)

eat pffiffiffi t

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p a þ a2 þ w2  2 a2 þ w2

(12)

eat  ebt t

1  ln 2

(13)

eat

1 2

2



b2 þ w2 a2 þ w2

rffiffiffiffiffiffiffi w2 p   e 4a a



338

XII Fourier-Transformationen Originalfunktion f ðtÞ 

(14)

(15)

ln

a2 þ t2 b2 þ t2

 2  a þ t2 ln  2 b  t2

Bildfunktion FC ðwÞ



   

p 

e bw  e aw w

p 

cos ðb wÞ  e  a w w

8 > < p= 2 p= 4 > : 0

w < a w ¼ a w > a

(16)

sin ða tÞ t

(17)

sin 2 ða tÞ t

 2  w  4a2 1  ln  w2 4

(18)

sin ða tÞ  sin ðb tÞ t

  ða þ bÞ 2  w 2 1  ln  2 ða  bÞ 2  w 2

   

(19)

sin 2 ða tÞ t2

 8  < p 2a  w 4 : 0

w  2a

(20)

1  cos ða tÞ t

 2  w  a2 1  ln  w2 2

(21)

1  cos ða tÞ t2

8p < ða  wÞ 2 : 0

(22)

e

bt

1 2

 sin ða tÞ

f u¨ r

"

   

f u¨ r

w > 2a

    w  a

f u¨ r

w > a

aþw b 2 þ ða þ wÞ 2

þ

b 2 þ ða  wÞ 2

" bt

 cos ða tÞ

b 2

#

aw

# 1

þ

1

(23)

e

(24)

e  t  sin t t

1  arctan 2

(25)

sin ða t 2 Þ

1 2

rffiffiffiffiffiffiffiffi   2  2  p w w  sin cos 4a 4a 2a

(26)

cos ða t 2 Þ

1 2

rffiffiffiffiffiffiffi   2  2  p w w þ sin cos 4a 4a 2a

b 2 þ ða  wÞ 2 

2 w2

b 2 þ ða þ wÞ 2



339

XIII Laplace-Transformationen 1 Grundbegriffe Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation. Sie ordnet einer (in den Anwendungen meist zeitabha¨ngigen) Funktion f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 wie folgt eine Funktion F ðsÞ der (komplexen) Variablen s zu: 1 ð

F ðsÞ ¼

f ðtÞ  e  s t dt

0

Bezeichnungen f ðtÞ: Original- oder Oberfunktion F ðsÞ: Bild- oder Unterfunktion Das uneigentliche Integral der rechten Seite heißt Laplace-Integral. Es existiert, wenn f ðtÞ stu¨ckweise stetig ist (in jedem endlichen Intervall nur endlich viele Sprungstellen liegen) und fu¨r hinreichend große t-Werte die Bedingung j f ðtÞj  K  e a t

ða > 0; K > 0 : reelle KonstantenÞ

erfu¨llt (hinreichende Bedingung). Das Laplace-Integral konvergiert dann fu¨r Re ðsÞ > a. Weitere symbolische Schreibweisen F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg L:

ðLaplace-Transformierte von f ðtÞÞ

Laplace-Transformationsoperator

f ðtÞ  F ðsÞ

(Korrespondenz)

Originalfunktion f ðtÞ und Bildfunktion F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg bilden ein zusammengeho¨riges Funktionenpaar. Anmerkungen (1)

Die Laplace-Transformierte F ðsÞ verschwindet im Unendlichen: lim F ðsÞ ¼ 0

s!1

(2)

Eine Funktion f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 la¨sst sich mit Hilfe der s-Funktion auch in der Form s ðtÞ  f ðtÞ darstellen. Sie heißt Laplace-transformierbar, wenn das Laplace-Integral F ðsÞ existiert. Die Menge aller (transformierbaren) Originalfunktionen wird als Originalbereich, die Menge der zugeordneten Bildfunktionen als Bildbereich bezeichnet.

340 &

XIII Laplace-Transformationen Beispiel ( f ðtÞ ¼

f(t) t < 0

0 fu¨r

1

t  0

t

Die Laplace-Transformierte dieser Funktion lautet: 1 ð

t  e  s t dt ¼

F ðsÞ ¼



ð s t  1Þ  e  s t s2

0

1 ¼ 0

1 s2

1

t

(das uneigentliche Integral existiert nur fu¨r Re ðsÞ > 0). Somit ist: L ftg ¼

1 s2

oder

t 

1 s2 &

Inverse Laplace-Transformation Fu¨r die Ru¨cktransformation aus dem Bild- in den Originalbereich schreibt man symbolisch L  1 fFðsÞg ¼ f ðtÞ

ðinverse Laplace-Transformierte)

oder FðsÞ  f ðtÞ &

(Korrespondenz)

Beispiel Aus L fsin tg ¼

  1 1 1 ¼ sin t . folgt durch Umkehrung L s2 þ 1 s2 þ 1

&

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssa¨tze) 2.1 Linearita¨tssatz (Satz u¨ber Linearkombinationen) Fu¨r die Laplace-Transformierte einer Linearkombination von Originalfunktionen gilt: L fc 1  f 1 ðtÞ þ c 2  f 2 ðtÞ þ . . . þ c n  f n ðtÞg ¼ ¼ c 1  L f f 1 ðtÞg þ c 2  L f f 2 ðtÞg þ . . . þ c n  L f f n ðtÞg c 1; c 2; . . . ; c n :

Konstanten ðreell oder komplexÞ

Regel: Es darf gliedweise transformiert werden, konstante Faktoren bleiben dabei erhalten.

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssa¨tze) &

341

Beispiel Die Laplace-Transformierten von f1 ðtÞ ¼ t und f2 ðtÞ ¼ sin t lauten nach Tabelle XIII.6: L ftg ¼

1 s2

und

L fsin tg ¼

1 s2 þ 1

Fu¨r die Laplace-Transformierte der Linearkombination f ðtÞ ¼ 4 t þ 5  sin t erha¨lt man dann: L f4 t þ 5  sin tg ¼ 4  L ftg þ 5  L fsin tg ¼ 4  ¼

1 1 4 5 ¼ 2 þ 2 ¼ þ5 2 s2 s þ1 s s þ1

4 ðs 2 þ 1Þ þ 5 s 2 4s2 þ 4 þ 5s2 9s2 þ 4 ¼ ¼ 2 2 s ðs þ 1Þ s 2 ðs 2 þ 1Þ s 2 ðs 2 þ 1Þ &

2.2 hnlichkeitssatz Die Originalfunktion t ! a t mit a > 0 t < 0 zeigt dabei f ðtÞ ¼ sin t, Bild b)

f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 wird der hnlichkeitstransformation unterworfen. Die neue Funktion g ðtÞ ¼ f ða tÞ mit g ðtÞ ¼ 0 fu¨r einen a¨hnlichen Kurvenverlauf wie f ðtÞ ðgezeichnet: Bild a) g ðtÞ ¼ f ð2 tÞ ¼ sin ð2 tÞÞ:

f(t)

g(t)

1

1

0

p

2p

0

t

p

2p t

b)

a)

Fu¨r die Laplace-Transformierte von g ðtÞ ¼ f ða tÞ gilt dann ðmit a > 0Þ: Lf f ða tÞg ¼

s 1 F a a

mit

F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg

Regel: Der Parameter s in der Bildfunktion F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg wird durch s=a ersetzt und die neue Bildfunktion anschließend mit 1=a multipliziert. a < 1: Dehnung der Funktion f ðtÞ la¨ngs der t-Achse a > 1: Stauchung der Funktion f ðtÞ la¨ngs der t-Achse &

Beispiel Wir bestimmen die Laplace-Transformierte von sin ða tÞ unter Verwendung der Korrespondenz 1 (siehe Tabelle XIII.6): F ðsÞ ¼ L fsin tg ¼ 2 s þ1 s 1 1 1 1 1 1 1 ¼ F ¼   2   ¼ ¼ s a a a a s2 a s2 þ a2 þ1 þ1 2 2 a a a a2 a ¼ 2 ¼ s þ a2 a ðs 2 þ a 2 Þ

L fsin ða tÞg ¼

&

342

XIII Laplace-Transformationen

2.3 Verschiebungssa¨tze 1. Verschiebungssatz (Verschiebung nach rechts) Die Originalfunktion f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 wird um die Strecke a nach rechts verschoben. Die verschobene Funktion la¨sst sich mit Hilfe der Sprungfunktion s ðtÞ durch die Gleichung g ðtÞ ¼ f ðt  aÞ  s ðt  aÞ beschreiben. f(t)

g(t)

t

)

a

t

Fu¨r die Laplace-Transformierte von g ðtÞ gilt dann ða > 0Þ: Lf f ðt  aÞ  s ðt  aÞg ¼ e  a s  F ðsÞ

mit

F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg

Regel: Die Bildfunktion F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg wird mit e  a s multipliziert. &

Beispiel L fsin ðt  3Þ  s ðt  3Þg ¼ e  3 s  L fsin tg ¼ e  3 s 

1 e 3s ¼ 2 s þ1 s2 þ 1

ðnach Tabelle XIII:6Þ &

2. Verschiebungssatz (Verschiebung nach links) Die Originalfunktion f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 wird um die Strecke a nach links verschoben. Die verschobene Funktion la¨sst sich mit Hilfe der Sprungfunktion s ðtÞ durch die Gleichung g ðtÞ ¼ f ðt þ aÞ  s ðtÞ beschreiben. f (t)

g (t)

t

2090268

Papula/Kap. 13

3B2

–a

w:/p_3/vi/35vi/35vi014d.3d

t

Bearb.: Wun./Sch.

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssa¨tze)

343

Fu¨r die Laplace-Transformierte von g ðtÞ gilt dann ða > 0Þ: 0 Lf f ðt þ aÞ  s ðtÞg ¼ e a s @F ðsÞ 

ða

1 f ðtÞ  e  s t dtA

mit

F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg

0

Regel: Von der Bildfunktion F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg wird zuna¨chst das Integral

Ða

f ðtÞ  e  s t dt

0

subtrahiert, anschließend wird die neue Funktion mit e a s multipliziert.

&

Beispiel

  Ðp L fsin ðt þ pÞ  s ðtÞg ¼ e p s L fsin tg  sin t  e  s t dt ¼ e p s 0

 ¼ eps

s2

1 e ps 1  2  2 þ1 s þ1 s þ1

¼ 

 st  1 e ð s  sin t  cos tÞ p ¼  s2 þ 1 s2 þ 1 0 1 s2 þ 1

ðmit Hilfe von Tabelle XIII:6Þ &

2.4 Da¨mpfungssatz Die Originalfunktion f ðtÞ mit f ðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 wird exponentiell geda¨mpft, d. h. mit dem Faktor e  a t multipliziert. Die Laplace-Transformierte der geda¨mpften Funktion g ðtÞ ¼ e  a t  f ðtÞ mit gðtÞ ¼ 0 fu¨r t < 0 lautet dann 1Þ : Lf e  a t  f ðtÞg ¼ F ðs þ aÞ

mit

F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg

Regel: In der Bildfunktion F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg wird der Parameter s durch s þ a ersetzt. &

Beispiel Die Laplace-Transformierte der geda¨mpften Schwingung g ðtÞ ¼ e  2 t  cos t lautet unter Verwendung der s Transformation F ðsÞ ¼ L fcos tg ¼ 2 (siehe Tabelle XIII.6) wie folgt: s þ1 L fe  2 t  cos tÞ ¼ F ðs þ 2Þ ¼

ðs þ 2Þ sþ2 ¼ 2 ðs þ 2Þ 2 þ 1 s þ 4s þ 5 &

2.5 Ableitungssa¨tze (Differentiationssa¨tze) 2.5.1 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Originalfunktion Die Laplace-Transformierten der Ableitungen der Originalfunktion f ðtÞ nach der Variablen t lauten: 1Þ

Eine Da¨mpfung im physikalischen Sinne erha¨lt man nur fu¨r a > 0. Fu¨r a < 0 bewirkt der Faktor e  a t eine Versta¨rkung.

344

XIII Laplace-Transformationen

1. Ableitung Lf f 0 ðtÞg ¼ s  F ðsÞ  f ð0Þ f ð0Þ:

mit

F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg

Anfangswert von f ðtÞ

2. Ableitung Lf f 00 ðtÞg ¼ s 2  F ðsÞ  s  f ð0Þ  f 0 ð0Þ f ð0Þ; f 0 ð0Þ:

mit

F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg

Anfangswerte von f ðtÞ; f 0 ðtÞ

n-te Ableitung Lf f

ðnÞ

ðtÞg ¼ s n  F ðsÞ  s n  1  f ð0Þ  s n  2  f 0 ð0Þ  . . .  f

F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg f ð0Þ; f 0 ð0Þ; . . . ; f

ðn  1Þ

ð0Þ: Anfangswerte von f ðtÞ; f 0 ðtÞ; . . . ; f

ðn  1Þ

ðn  1Þ

ð0Þ

ðtÞ

Voraussetzung: Die n-te Ableitung von f ðtÞ ist Laplace-transformierbar. Regel: Die Bildfunktion F ðsÞ ¼ L f f ðtÞg wird zuna¨chst mit s n multipliziert, dann wird ein Polynom ðn  1Þ-ten Grades in der Variablen s subtrahiert ðdie Polynomkoeffizienten sind die Anfangswerte der Originalfunktion f ðtÞ und ihrer Ableitungen f 0 ðtÞ; f 00 ðtÞ; . . . ; f ðn  1Þ ðtÞÞ. Anmerkungen (1) (2)

&

Bei Sprungfunktionen mit einer Sprungstelle bei t ¼ 0 sind fu¨r f ð0Þ; f 0 ð0Þ; . . . ; f ðn  1Þ ð0Þ jeweils die rechtsseitigen Grenzwerte einzusetzen. Sollte die Anfangsstelle bei t 6¼ 0 liegen, so muss f ðtÞ vorher entsprechend verschoben werden. Beispiel 1 (siehe Tabelle XIII.6). Nach dem s2 þ 1 Ableitungssatz (1. Ableitung) erha¨lt man dann fu¨r die Laplace-Transformierte der 1. Ableitung f 0 ðtÞ, d. h. fu¨r die Laplace-Transformierte der Kosinusfunktion unter Beru¨cksichtigung des Anfangswertes f ð0Þ ¼ sin 0 ¼ 0: Zur Originalfunktion f ðtÞ ¼ sin t geho¨rt die Bildfunktion F ðsÞ ¼

L fðsin tÞ 0 g ¼ L fcos tg ¼ s  F ðsÞ  f ð0Þ ¼ s 

1 s 0 ¼ 2 s2 þ 1 s þ1 &

2 Eigenschaften der Laplace-Transformation (Transformationssa¨tze)

345

2.5.2 Ableitungssatz (Differentiationssatz) fu¨r die Bildfunktion Die Ableitungen der Laplace-Transformierten F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg nach der Variablen s lauten: 1. Ableitung F 0 ðsÞ ¼ Lf t  f ðtÞg 2. Ableitung F 00 ðsÞ ¼ L fð tÞ 2  f ðtÞg ¼ Lft 2  f ðtÞg n-te Ableitung F ðnÞ ðsÞ ¼ L fð tÞ n  f ðtÞg Voraussetzung: Die Funktion ð tÞ n  f ðtÞ ist Laplace-transformierbar. Regel: Die n-te Ableitung der Bildfunktion F ðsÞ ¼ Lf f ðtÞg ist die Laplace-Transformierte der mit ð tÞ n multiplizierten Originalfunktion f ðtÞ: &

Beispiel Die Laplace-Transformierte von g ðtÞ ¼ t  sin t la¨sst sich wie folgt durch Anwendung des Ableitungssatzes (1. Ableitung) auf das Funktionenpaar f ðtÞ ¼ sin t  F ðsÞ ¼

1 s2 þ 1

gewinnen: L ft  f ðtÞg ¼ L ft  sin tg ¼  F 0 ðsÞ ¼ 

d ds

 s2

1 þ1

¼

2s ðs 2 þ 1Þ 2 &

2.6 Integrationssa¨tze 2.6.1 Integrationssatz fu¨r die Originalfunktion Es wird zuna¨chst u¨ber die Originalfunktion f ðtÞ integriert. Fu¨r die Laplace-Transformierte des Integrals gilt dann: Integration u¨ber das Intervall 0  u  t L

8t 0) L

8t : 0 t > b F ðsÞ ¼

F ðsÞ ¼

f(t)

A

Aðe  a s  e  b s Þ s

6. Rechteckimpuls 8 A > > < f ðtÞ ¼  A fu¨r > > : 0

351

a

0  t < a a  t  2a t > 2a

Að1  e  a s Þ 2 s

t

b

f(t) A

a

2a

t

–A

7. Dreieckskurve Periode: T 8 > > > < f ðtÞ ¼ > > > :

¼ 2a A t a

0  t  a fu¨r

A ðt  2 aÞ a

a  t  2a f(t)

F ðsÞ ¼

Að1  e  a s Þ a s 2 ð1 þ e  a s Þ

A

a

2a

3a

4a

t

352

XIII Laplace-Transformationen

8. Dreieckimpuls

f ðtÞ ¼

8 > > > > > > > > >
> A > >  ðt  2 bÞ > > ba > > > : 0

2a  t  a þ b fu¨r a þ b  t  2b t  2b f(t)

F ðsÞ ¼

Aðe  a s  e  b s Þ 2 ðb  aÞ s 2

A

a

2a

a+b

t

2b

9. Sa¨gezahnfunktion (Kippschwingung) T ¼ a

Periode:

A f ðtÞ ¼ t a F ðsÞ ¼

fu¨r

f(t)

0  t < a

A

Að1 þ a s  e a s Þ a s 2 ð1  e a s Þ

a

2a

3a

a

2a

3a

t

10. Sa¨gezahnfunktion (Kippschwingung) Periode:

T ¼ a

f ðtÞ ¼ 

A ðt  aÞ a

F ðsÞ ¼

f(t)

fu¨r

0  t < a

A

Aðe  a s þ a s  1Þ a s 2 ð1  e  a s Þ

t

11. Sinusfunktion (Sinusschwingung) Periode:

T ¼ 2 p= a

f ðtÞ ¼ A  sin ða tÞ F ðsÞ ¼

s2

f(t) A

Aa þ a2

2p a –A

t

4 Laplace-Transformierte spezieller Funktionen (Impulse)

353

12. Geda¨mpfte Sinusschwingung f ðtÞ ¼ A  e  b t  sin ða tÞ

F ðsÞ ¼

f(t)

Aa ðs  bÞ 2 þ a 2

t T = 2p a

13. Sinusimpuls (Einweggleichrichtung) Periode: T ¼ 2 a 8   < A  sin p t a f ðtÞ ¼ : 0

fu¨r

0  t  a a  t  2a f(t)

paA F ðsÞ ¼ 2 2 ða s þ p 2 Þ ð1  e  a s Þ

A

a

2a

a

2a

3a

14. Sinusimpuls (Zweiweggleichrichtung) T ¼ a   p    t  f ðtÞ ¼ A   sin a

Periode:

F ðsÞ ¼ ¼

A

p a Að1 þ e  a s Þ ¼ ða 2 s 2 þ p 2 Þ ð1  e  a s Þ

t

a s  paA  coth a2 s2 þ p2 2

15. Sinusimpuls 8   < A  sin p t a f ðtÞ ¼ : 0 F ðsÞ ¼

f(t)

p a Að1 þ e  a s Þ a2 s2 þ p2

fu¨r

0  t  a t  a

f(t) A

a

t

t

354

XIII Laplace-Transformationen

16. Kosinusfunktion (Kosinusschwingung) Periode:

f(t)

T ¼ 2 p=a

A

f ðtÞ ¼ A  cos ða tÞ F ðsÞ ¼

As s2 þ a2

2p a

t

–A

17. Geda¨mpfte Kosinusschwingung f ðtÞ ¼ A  e  b t  cos ða tÞ

F ðsÞ ¼

f(t) A

Aðs þ bÞ ðs þ bÞ 2 þ a 2

t

T = 2p a

18. Rampenfunktion

f ðtÞ ¼

8 > > > >
b  a > > > : A

fu¨r

0  t  a

f(t)

a  t  b

A

t  b b

a

F ðsÞ ¼

Aðe  a s  e  b s Þ ðb  aÞ s 2

19. Treppenfunktion 8 0 0  t < a > > < f ðtÞ ¼ A fu¨r a  t < 2a > > : 2A 2a  t < 3a usw. F ðsÞ ¼

t

A s ðe a s  1Þ

f(t) 4A 3A 2A A a

2a

3a

4a

t

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Anfangswertprobleme

355

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Anfangswertprobleme 5.1 Allgemeines Lo¨sungsverfahren Eine (gewo¨hnliche) lineare Differentialgleichung (Dgl) mit konstanten Koeffizienten und vorgegebenen Anfangswerten (Anfangswertproblem) la¨sst sich mit Hilfe der Laplace-Transformation wie folgt lo¨sen: Originalbereich Lineare Dgl mit

direkter

konstanten Koeffizienten

Lo¨sungsweg

- Spezielle Lo¨sung der Dgl 6

(1) Laplace-Transformation

(3) Ru¨cktransformation

? Algebraische Gleichung

(2) Lo¨sen der Gleichung

- Lo¨sung der algebraischen Gleichung

Bildbereich

Lo¨sungsschritte 1. Die lineare Differentialgleichung wird mit Hilfe der Laplace-Transformation in eine algebraische Gleichung u¨bergefu¨hrt. 2. Als Lo¨sung dieser Gleichung erha¨lt man die Bildfunktion Y ðsÞ der gesuchten Originalfunktion y ðtÞ. 3. Durch Ru¨cktransformation (inverse Laplace-Transformation) gewinnt man aus der Bildfunktion Y ðsÞ mit Hilfe einer Transformationstabelle (z. B. der Tabelle XIII.6) und / oder spezieller Methoden (wie z. B. der Partialbruchzerlegung bei gebrochenrationalen Funktionen) die gesuchte Lo¨sung y ðtÞ der vorgegebenen Anfangswertaufgabe. Vorteil dieser Lo¨sungsmethode: Die Rechenoperationen sind im Bildbereich meist einfacher ausfu¨hrbar.

356

XIII Laplace-Transformationen

5.2 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichung im Originalbereich (Anfangswertproblem) y 0 þ a y ¼ g ðtÞ a:

y ð0Þ

Anfangswert: g ðtÞ:

reelle Konstante

Sto¨rfunktion

Transformierte Differentialgleichung im Bildbereich (mit Lo¨sung) ½ s  Y ðsÞ  y ð0Þ þ a  Y ðsÞ ¼ F ðsÞ Y ðsÞ ¼

Lo¨sung:

F ðsÞ þ y ð0Þ sþa

Y ðsÞ ¼ Lf y ðtÞg:

Laplace-Transformierte der (gesuchten) Lo¨sung y ðtÞ

F ðsÞ ¼ Lf g ðtÞg:

Laplace-Transformierte der Sto¨rfunktion gðtÞ

Durch Ru¨cktransformation (z. B. unter Verwendung von Tabelle XIII.6) erha¨lt man aus Y ðsÞ die zugeho¨rige Originalfunktion y ðtÞ, d. h. die gesuchte Lo¨sung der Differentialgleichung. Die Lo¨sungsfunktion y ðtÞ la¨sst sich auch in geschlossener Form angeben: y ðtÞ ¼ g ðtÞ  e  a t þ yð0Þ  e  a t g ðtÞ  e  a t : &

Faltungsprodukt der Funktionen gðtÞ und e  a t

Beispiel y 0 þ 2 y ¼ 10

Anfangswert:

y ð0Þ ¼ 0

Transformation der Dgl in den Bildraum ða ¼ 2; g ðtÞ ¼ 10Þ: ½ s  Y ðsÞ  0 þ 2  Y ðsÞ ¼

10 s

oder

s  Y ðsÞ þ 2  Y ðsÞ ¼

10 s

Lo¨sung im Bildraum: Y ðsÞ ¼

10 5 5 ¼  ¼ L f y ðtÞg s ðs þ 2Þ s sþ2

ðnach PartialbruchzerlegungÞ

Ru¨cktransformation in den Originalraum:       5 5 1 1 y ðtÞ ¼ L  1 f Y ðsÞg ¼ L  1 ¼ 5  L 1  5  L1 ¼  s sþ2 s sþ2 ¼ 5  1  5  e  2 t ¼ 5ð1  e  2 t Þ (unter Verwendung des Da¨mpfungssatzes und der Tabelle XIII.6) Lo¨sung der Anfangswertaufgabe: yðtÞ ¼ 5 ð1  e  2 t Þ

ðf u¨ r t  0Þ &

5 Anwendung: Lo¨sung linearer Anfangswertprobleme

357

5.3 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichung im Originalbereich (Anfangswertproblem) y 00 þ a y 0 þ b y ¼ gðtÞ a; b:

Anfangswerte: g ðtÞ:

reelle Konstanten

y ð0Þ;

y 0 ð0Þ

Sto¨rfunktion

Transformierte Differentialgleichung im Bildbereich (mit Lo¨sung) ½ s 2  Y ðsÞ  s  y ð0Þ  y 0 ð0Þ þ a ½ s  Y ðsÞ  y ð0Þ þ b  Y ðsÞ ¼ F ðsÞ Y ðsÞ ¼

Lo¨sung:

F ðsÞ þ y ð0Þ  ðs þ aÞ þ y 0 ð0Þ s2 þ as þ b

Y ðsÞ ¼ Lf y ðtÞg:

Laplace-Transformierte der (gesuchten) Lo¨sung y ðtÞ

F ðsÞ ¼ Lf g ðtÞg:

Laplace-Transformierte der Sto¨rfunktion gðtÞ

Durch Ru¨cktransformation (z. B. unter Verwendung von Tabelle XIII.6) erha¨lt man aus Y ðsÞ die zugeho¨rige Originalfunktion y ðtÞ, d. h. die gesuchte Lo¨sung der Differentialgleichung. Die Lo¨sungsfunktion y ðtÞ la¨sst sich auch in geschlossener Form angeben: y ðtÞ ¼ g ðtÞ  f1 ðtÞ þ y ð0Þ  f2 ðtÞ þ y 0 ð0Þ  f1 ðtÞ f1 ðtÞ: f2 ðtÞ:

1 þ as þ b sþa Originalfunktion zu F2 ðsÞ ¼ Lf f2 ðtÞg ¼ 2 s þ as þ b Originalfunktion zu F1 ðsÞ ¼ Lf f1 ðtÞg ¼

g ðtÞ  f1 ðtÞ: &

s2

Faltungsprodukt der Funktionen g ðtÞ und f1 ðtÞ

Beispiel y 00 þ 2 y 0 þ y ¼ 0

Anfangswerte:

y ð0Þ ¼ 0 ;

y 0 ð0Þ ¼ 1

Transformation der Dgl in den Bildraum ða ¼ 2; b ¼ 1; g ðtÞ ¼ 0Þ: ½ s 2  Y ðsÞ  s  0  1 þ 2 ½ s  Y ðsÞ  0 þ 1  Y ðsÞ ¼ 0 s 2  Y ðsÞ þ 2 s  Y ðsÞ þ Y ðsÞ ¼ 1 Lo¨sung im Bildraum: Y ðsÞ ¼

1 1 ¼ s2 þ 2s þ 1 ðs þ 1Þ 2

Ru¨cktransformation in den Originalraum (unter Verwendung des Da¨mpfungssatzes und der Tabelle XIII.6):   1 y ðtÞ ¼ L  1 f Y ðsÞg ¼ L  1 ¼ t  e t 2 ðs þ 1Þ Lo¨sung der Anfangswertaufgabe: yðtÞ ¼ t  e  t

ðf u¨ r t  0Þ

&

358

XIII Laplace-Transformationen

6 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen Bildfunktion F ðsÞ

Originalfunktion f ðtÞ

ð1Þ

1

d ðtÞ

ð2Þ

1 s

s ðtÞ ðSprungfunktion; SigmafunktionÞ

ð3Þ

1 sa

e at

ð4Þ

1 s2

t

ð5Þ

1 s ðs  aÞ

e at  1 a

ð6Þ

1 ðs  aÞ 2

t  e at

ð7Þ

1 ðs  aÞ ðs  bÞ

e at  e bt ab

ð8Þ

s ðs  aÞ 2

ð1 þ a tÞ  e a t

ð9Þ

s ðs  aÞ ðs  bÞ

a  e at  b  e bt ab

ð10Þ

1 s3

1 2 t 2

ð11Þ

1 s 2 ðs  aÞ

e at  a t  1 a2

ð12Þ

1 s ðs  aÞ 2

ða t  1Þ  e a t þ 1 a2

ð13Þ

1 ðs  aÞ 3

1 2 t  e at 2

ð14Þ

1 s ðs  aÞ ðs  bÞ

b  e at  a  e bt þ a  b a bða  bÞ

ð15Þ

1 ðs  aÞ ðs  bÞ ðs  cÞ

ð16Þ

s ðs  aÞ 3

ðb  cÞ  e a t þ ðc  aÞ  e b t þ ða  bÞ  e c t ða  bÞ ða  cÞ ðb  cÞ  1 a t 2 þ t  e at 2

ð17Þ

s ðs  aÞ ðs  bÞ 2

a  e a t  ½ a þ bða  bÞ t  e b t ða  bÞ 2

ð18Þ

s ðs  aÞ ðs  bÞ ðs  cÞ

a ðb  cÞ  e a t þ bðc  aÞ  e b t þ cða  bÞ  e c t ða  bÞ ða  cÞ ðb  cÞ

(Diracsche Deltafunktion)

6 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen Bildfunktion F ðsÞ ð19Þ

s2 ðs  aÞ 3

Originalfunktion f ðtÞ  1 2 2 a t þ 2 a t þ 1  e at 2

ð20Þ

s2 ðs  aÞ ðs  bÞ 2

a 2  e a t  ½ b 2 ða  bÞ t þ 2 a b  b 2  e b t ða  bÞ 2

ð21Þ

s2 ðs  aÞ ðs  bÞ ðs  cÞ

a 2 ðb  cÞ  e a t þ b 2 ðc  aÞ  e b t þ c 2 ða  bÞ  e c t ða  bÞ ða  cÞ ðb  cÞ

ð22Þ

1 sn

t n1 ðn  1Þ !

ð23Þ

1 ðs  aÞ n

ð24Þ

1 s2 þ a2

sin ða tÞ a

ð25Þ

s s2 þ a2

cos ða tÞ

ð26Þ

ðsin bÞ  s þ a  cos b s2 þ a2

sin ða t þ bÞ

ð27Þ

ðcos bÞ  s  a  sin b s2 þ a2

cos ða t þ bÞ

ð28Þ

1 ðs  bÞ 2 þ a 2

e b t  sin ða tÞ a

ð29Þ

sb ðs  bÞ 2 þ a 2

e b t  cos ða tÞ

ð30Þ

1 s2  a2

sinh ða tÞ a

ð31Þ

s s2  a2

cosh ða tÞ

ð32Þ

1 ðs  bÞ 2  a 2

e b t  sinh ða tÞ a

ð33Þ

sb ðs  bÞ 2  a 2

e b t  cosh ða tÞ

ð34Þ

1 s ðs 2 þ 4 a 2 Þ

sin 2 ða tÞ 2a2

ð35Þ

s2 þ 2a2 s ðs 2 þ 4 a 2 Þ

cos 2 ða tÞ

ð36Þ

1 s ðs 2 þ a 2 Þ

1  cos ða tÞ a2

ðn 2 N *Þ ðn 2 N *Þ

t n1  e at ðn  1Þ !

359

360

XIII Laplace-Transformationen Bildfunktion F ðsÞ

Originalfunktion f ðtÞ

ð37Þ

1 ðs 2 þ a 2 Þ 2

sin ða tÞ  a t  cos ða tÞ 2a3

ð38Þ

s ðs 2 þ a 2 Þ 2

t  sin ða tÞ 2a

ð39Þ ð40Þ ð41Þ

ðs 2

sin ða tÞ þ a t  cos ða tÞ 2a

s2 þ a 2Þ 2

s2  a2 ðs 2 þ a 2 Þ 2

t  cos ða tÞ

s3 þ a 2Þ 2

cos ða tÞ 

ðs 2

1 a t  sin ða tÞ 2

ð42Þ

1 s 2 ðs 2 þ a 2 Þ

a t  sin ða tÞ a3

ð43Þ

1 ðs 2 þ a 2 Þ ðs 2 þ b 2 Þ

a  sin ðb tÞ  b  sin ða tÞ a bða 2  b 2 Þ

ð44Þ

s ðs 2 þ a 2 Þ ðs 2 þ b 2 Þ

cos ðb tÞ  cos ða tÞ a2  b2

ð45Þ

ðs 2

þ

s2 ðs 2 þ b 2 Þ

a 2Þ

a  sin ða tÞ  b  sin ðb tÞ a2  b2

ð46Þ

s3 ðs 2 þ a 2 Þ ðs 2 þ b 2 Þ

a 2  cos ða tÞ  b 2  cos ðb tÞ a2  b2

ð47Þ

1 s ðs 2 þ a 2 Þ 2

 a t  sin ða tÞ  cos ða tÞ þ 1 2a4

ð48Þ

1 s ðs 2

þ

a 2Þ

ðs 2

þ

b 2Þ

b 2  cos ða tÞ  a 2  cos ðb tÞ þ a 2  b 2 a 2 b 2 ða 2  b 2 Þ

ð49Þ

1 s ðs 2  a 2 Þ

cosh ða tÞ  1 a2

ð50Þ

1 ðs 2  a 2 Þ 2

a t  cosh ða tÞ  sinh ða tÞ 2a3

ð51Þ

s ðs 2  a 2 Þ 2

t  sinh ða tÞ 2a

ð52Þ

s2 ðs 2  a 2 Þ 2

sinh ða tÞ þ a t  cosh ða tÞ 2a

ð53Þ

s2 þ a2 ðs 2  a 2 Þ 2

t  cosh ða tÞ

ð54Þ

s3 ðs 2  a 2 Þ 2

1 a t  sinh ða tÞ þ cosh ða tÞ 2

6 Tabelle spezieller Laplace-Transformationen

361

Bildfunktion F ðsÞ

Originalfunktion f ðtÞ

ð55Þ

1 s 2 ðs 2  a 2 Þ

sinh ða tÞ  a t a3

ð56Þ

1 s ðs 2  a 2 Þ 2

ð57Þ

1 s3 þ a3

ð58Þ

s s3 þ a3

a t  sinh ða tÞ  2  cosh ða tÞ þ 2 a4 pffiffiffi pffiffiffi   1 pffiffiffi 3at 3at  3 a t=2  cos þe 3  sin  e a t=2 3a2 2 2   pffiffiffi pffiffiffi 1 pffiffiffi 3at 3at  3 a t=2 3  sin  e a t=2 þ cos e 3a 2 2  pffiffiffi  1 3at at a t=2 þ 2  e  cos e 3 2

ð59Þ

s3

s2 þ a3

ð66Þ

s3 s4 þ a4

 pffiffiffi pffiffiffi  pffiffiffi 1 3at 3at 3 a t=2 e  3  sin  cos  e  a t=2 3a2 2 2  pffiffiffi pffiffiffi  pffiffiffi 1 3at 3at 3 a t=2 þ 3  sin e  cos  e  a t=2 3a 2 2  pffiffiffi  3at 1 at  a t=2  cos e 2e 2 3       1 at at at at pffiffiffi sin pffiffiffi  cosh pffiffiffi  cos pffiffiffi  sinh pffiffiffi a3 2 2 2 2 2   at at sin pffiffiffi  sinh pffiffiffi 2 2 a2       1 at at at at pffiffiffi cos pffiffiffi  sinh pffiffiffi þ sin pffiffiffi  cosh pffiffiffi a 2 2 2 2 2   at at cos pffiffiffi  cosh pffiffiffi 2 2

ð67Þ

1 s4  a4

sinh ða tÞ  sin ða tÞ 2a3

ð68Þ

s s4  a4

cosh ða tÞ  cos ða tÞ 2a2

ð69Þ

s2 s4  a4

sinh ða tÞ þ sin ða tÞ 2a

ð60Þ

1 s3  a3

ð61Þ

s s3  a3

ð62Þ

s3

s2  a3

ð63Þ

1 s4 þ a4

ð64Þ

s s4 þ a4

ð65Þ

ð70Þ ð71Þ

s4

s4

s2 þ a4

s3  a4

s s4 þ 4a4

cosh ða tÞ þ cos ða tÞ 2 sin ða tÞ  sinh ða tÞ 2a2

362

XIII Laplace-Transformationen Bildfunktion F ðsÞ

Originalfunktion f ðtÞ

ð72Þ

s2  2a2 s4 þ 4a4

cos ða tÞ  sinh ða tÞ a

ð73Þ

s2 þ 2a2 s4 þ 4a4

sin ða tÞ  cosh ða tÞ a

s3 þ 4a4

cos ða tÞ  cosh ða tÞ

ð74Þ

s4

ð75Þ

1 pffiffi s

ð76Þ

1 pffiffi s s

ð77Þ

s2

1 pffiffiffiffiffiffi pt rffiffiffiffiffiffi t 2 p rffiffiffiffiffiffi 4 t t  3 p

1 pffiffi s

ð78Þ

sþa pffiffi s s

1 þ 2at pffiffiffiffiffiffi pt

ð79Þ

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sþa

e at pffiffiffiffiffiffi pt

ð80Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sa sb

e bt  e at pffiffiffiffiffiffi 2t  pt

ð81Þ

sn

ð82Þ

ln

ð83Þ

ln

ð84Þ ð85Þ ð86Þ ð87Þ ð88Þ ð89Þ

1 pffiffi s

ðn 2 N *Þ

s  a  s  s  a sb

s þ a sa  2 s þ a2 ln s2  2 s þ a2 ln s2 þ b2 a arctan s  2as arctan s2  a2 þ b2  2 s  as þ b arctan ab ln

4 n  n !  t ð2 n  1Þ = 2 pffiffiffi ð2 nÞ ! p 1  e at t e bt  e at t 2  sinh ða tÞ t 2 ½1  cos ða tÞ t 2 ½cos ðb tÞ  cos ða tÞ t sin ða tÞ t 2  sin ða tÞ  cos ðb tÞ t ðe a t  1Þ  sin ðb tÞ t

363

XIV Vektoranalysis

1 Ebene und ra¨umliche Kurven

1.1 Vektorielle Darstellung einer Kurve Eine ebene oder ra¨umliche Kurve wird durch einen parameterabha¨ngigen Ortsvektor ~ r ¼~ r ðtÞ beschrieben (t: reeller Kurvenparameter mit t1  t  t2 Þ. Die Vektorkoordinaten sind dabei stetige Funktionen von t. Ortsvektor einer ebenen Kurve ~ ey ¼ r ðtÞ ¼ xðtÞ ~ ex þ yðtÞ ~

xðtÞ

y

!

P1 C

r(t1)

yðtÞ

P = (x(t); y(t)) r = r(t)

xðtÞ; yðtÞ:

Vektorkoordinaten

)=

) r(t

r(P

y(t) r(t2)

ey ex &

Beispiel



Normalparabel: ~ r ðtÞ ¼ t ~ ex þ t 2 ~ ey ¼

t

x(t)

P2 x



t2

;

1 < t < 1 &

Ortsvektor einer Raumkurve 0

1 xðtÞ ~ r ðtÞ ¼ xðtÞ ~ ex þ yðtÞ ~ ey þ zðtÞ ~ ez ¼ @ yðtÞ A zðtÞ xðtÞ; yðtÞ; zðtÞ:

Vektorkoordinaten

Vektorfunktion ~ a ¼~ a ðtÞ: Allgemeine Bezeichnung fu¨r einen von einem reellen Parameter t abha¨ngigen Vektor ~ a mit den Vektorkoordinaten ax ðtÞ; ay ðtÞ und az ðtÞ.

364

XIV Vektoranalysis

1.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter 1.2.1 Ableitung einer Vektorfunktion Die Differentiation einer Vektorfunktion ~ a ¼~ a ðtÞ erfolgt komponentenweise (die Vektorkoordinaten ax ðtÞ; ay ðtÞ und az ðtÞ mu¨ssen dabei differenzierbare Funktionen des Parameters t sein, die Ableitungen werden u¨blicherweise durch Punkte gekennzeichnet): 0

a_ x ðtÞ

1

d C B ~ ex þ a_ y ðtÞ ~ ey þ a_ z ðtÞ ~ ez ¼ @ a_ y ðtÞ A a ðtÞ ¼ ~ a_ðtÞ ¼ a_ x ðtÞ ~ dt a_ z ðtÞ ::: Analog werden ho¨here Ableitungen ~ a€; ~ a; . . . gebildet. Alle Ableitungen sind Vektoren! 1.2.2 Tangentenvektor Die 1. Ableitung eines Ortsvektors ~ r ¼~ r ðtÞ nach dem Parameter t ergibt den in der Tangentenrichtung liegenden Tangentenvektor ~ r_ ¼ ~ r_ ðtÞ. Tangentenvektor einer ebenen Kurve ~ r ¼~ r (t ) ~ ey ¼ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ~ ex þ y_ðtÞ ~

x_ ðtÞ

y

! P

y_ðtÞ

r(t)

Kurve r(t)

x &

Beispiel ~ r ðtÞ ¼ t 2 ~ ey ex þ 3t ~

r_ ðtÞ ¼ 2 t ~ ex þ 3~ ) ~ ey &

Tangentenvektor einer Raumkurve ~ r ¼~ r (t ) 0

x_ ðtÞ

1

C B ~ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ~ ex þ y_ðtÞ ~ ey þ z_ðtÞ ~ ez ¼ @ y_ðtÞ A z_ðtÞ

1.2.3 Ableitungsregeln fu¨r Summen und Produkte Summen werden gliedweise, Produkte nach der Produktregel differenziert (a¨hnlich wie bei Funktionen).

1 Ebene und ra¨umliche Kurven

365

Summenregel  d  _ ~ a þ b~ ¼ ~ a_ þ b~ dt

Produktregel d dt d dt

a) Skalarprodukt: b) Vektorprodukt: c) Produkt aus dem Skalar j und dem Vektor ~ a:

  _ ~ a  b~ ¼ ~ a_  b~ þ ~ a  b~   _ ~ a  b~ ¼ ~ a_  b~ þ ~ a  b~

d ðj ~ a Þ ¼ j_ ~ a þ j~ a_ dt

Voraussetzung: ~ a ¼~ a ðtÞ, b~ ¼ b~ðtÞ und j ¼ jðtÞ sind differenzierbare Funktionen. 1.2.4 Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektor eines Massenpunktes ~ r ¼~ r ðtÞ:

Zeitabha¨ngiger Ortsvektor der Bahnkurve eines Massenpunktes

Geschwindigkeitsvektor ~ v ¼ ~ v (t ) 0

x_ ðtÞ

1

C B ~ v ðtÞ ¼ ~ r_ ðtÞ ¼ x_ ðtÞ ~ ex þ y_ðtÞ ~ ey þ z_ðtÞ ~ ez ¼ @ y_ðtÞ A z_ðtÞ Beschleunigungsvektor ~ a ¼ ~ a (t ) 0

x€ðtÞ

1

B C ey þ € z ðtÞ ~ ez ¼ @ y€ðtÞ A ~ a ðtÞ ¼ ~ v_ ðtÞ ¼ ~ r€ðtÞ ¼ x€ðtÞ ~ ex þ y€ðtÞ ~ zðtÞ € &

Beispiel

0

1 cos t @ ~ r ðtÞ ¼ sin t A ; t ~ v ðtÞ und ~ a ðtÞ:

t  0

sei die schraubenlinienfo¨rmige Bahnkurve eines Elektrons. Wir berechnen

1  sin t ~ v ðtÞ ¼ ~ r_ ðtÞ ¼ @ cos t A ; 1 0

0

1  cos t ~ a ðtÞ ¼ ~ v_ ðtÞ ¼ ~ r€ðtÞ ¼ @  sin t A 0 &

366

XIV Vektoranalysis

1.3 Bogenla¨nge einer Kurve Bogenla¨nge einer ebenen Kurve ~ r ¼~ r (t )

P1

ðt2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðt2     _ r dt ¼ x_ 2 þ y_ 2 dt s ¼ ~ t1

y

s

t1

P P2

r(t) y(t) x(t)

x(t1) = a &

Beispiel



Kreis (Radius r): ~ r ðtÞ ¼ r

cos t sin t

 ;

0  t < 2p

r_ ¼ r ) ~



 sin t cos t

 ;

x(t2) = b x

  ~ r_  ¼ r

Kreisumfang (Bogenla¨nge des Vollkreises): s ¼

2Ðp 

2Ðp 2Ðp  ~ r_  dt ¼ r dt ¼ r  dt ¼ r ½ t 2p 0 ¼ r ð2 p  0Þ ¼ 2 p r

0

0

0

&

Bogenla¨nge einer Raumkurve ~ r ¼~ r (t ) ðt2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðt2     _ x_ 2 þ y_ 2 þ z_ 2 dt r dt ¼ s ¼ ~ t1

t1

1.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor einer Kurve Jedem Punkt P einer ebenen oder ra¨umlichen Kurve mit dem Ortsvektor ~ r ¼~ r ðtÞ lassen sich zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren zuordnen: Tangentenein~¼ N ~ ðtÞ. heitsvektor ~ T ¼ ~ T ðtÞ und Hauptnormaleneinheitsvektor N ~ Tangenteneinheitsvektor T

T

P

~ r_ 1 _ ~ T ¼   ¼   ~ r _ ~ ~ r r_

ð~ r_ 6¼ 0Þ

~ T liegt in der Kurventangente.

N

Kurve

1 Ebene und ra¨umliche Kurven

367

~ Hauptnormaleneinheitsvektor N ~_ ~ ¼  T ¼  1  ~ T_ N _ _    ~ ~ T T

(siehe Bild Seite 367 unten)

~ zeigt in Richtung der Kurvenkru¨mmung (siehe XIV.1.5). N &

Beispiel



Kreis (Radius r): ~ r ¼ r Tangenteneinheitsvektor ~ T:    sin t ~ ; r_ ¼ r cos t

cos t sin t

 ;

  ~ r_  ¼ r

~: Hauptnormaleneinheitsvektor N     cos t  cos t ~ ; ¼  T_ ¼ sin t  sin t

0  t < 2p

)

1 _ 1 ~ r ¼ r T ¼   ~ r ~ r_

  ~ T_  ¼ 1

)



 sin t cos t



 ¼

 sin t cos t



1 ~_ ~ ¼ 1 ~ N T ¼ ~ T_ ¼ T_ ¼  ~ 1 T_ 



cos t sin t



&

1.5 Kru¨mmung einer Kurve Die Kru¨mmung j einer Raumkurve ist ein Maß fu¨r die Abweichung von einer Geraden und somit fu¨r die Richtungsa¨nderung der Kurventangente pro Bogenla¨ngena¨nderung ðj  0Þ. Kru¨mmung einer Raumkurve ~ r ¼~ r (s) (s: Bogenla¨nge)      d T~  _   ¼ ~  j ¼  T ðsÞ ¼ ~ r€ðsÞ  ds

T(s) = κ N Kurve

~ r ¼~ r ðsÞ: „Natu¨rliche“ Darstellung der Kurve P

Kru¨mmung einer Raumkurve ~ r ¼~ r (t ) (t : beliebiger Parameter)   ~ r_  ~ r€ j ¼  3 ~ r_  Kru¨mmungsradius:

r ¼ 1=j (Kehrwert der Kru¨mmung)

T

368

XIV Vektoranalysis

Sonderfall: Ebene Kurve ~ r ¼~ r (t ) Bei einer ebenen Kurve unterscheidet man noch zwischen Rechts- und Linkskru¨mmung durch ein Vorzeichen (dies ist bei einer Raumkurve nicht mo¨glich). Es gilt: j ¼

y

x_ y€  x€ y_ ðx_ 2 þ y_ 2 Þ 3=2

j > 0

) Linkskru¨mmung

j < 0

) Rechtskru¨mmung

Kru¨mmungsradius:

&

κ 0

x0

r ¼ 1=j j j

x

Beispiel Wir bestimmen Kru¨mmung und Kru¨mmungsradius des Kreises x ¼ r  cos t, y ¼ r  sin t, 0  t < 2 p: x_ ¼  r  sin t ; j ¼

¼

x€ ¼  r  cos t ;

y_ ¼ r  cos t ;

y€ ¼  r  sin t

x_ y€  x€ y_ ð r  sin tÞ  ð r  sin tÞ  ð r  cos tÞ  ðr  cos tÞ ¼ ¼ ðx_ 2 þ y_ 2 Þ 3=2 ðr 2  sin 2 t þ r 2  cos 2 tÞ 3=2 r 2  sin 2 t þ r 2  cos 2 t r 2 ðsin 2 t þ cos 2 tÞ r2 1 ¼ ¼ 3 ¼ r r ½r 2 ðsin 2 t þ cos 2 tÞ 3=2 ½r 2  3=2

(unter Beachtung von sin 2 t þ cos 2 t ¼ 1Þ Somit : r ¼

1 ¼ r jjj &

Ebene Kurve y ¼ f (x) Ortsvektor: ~ r ¼~ r ðxÞ ¼ x ~ ex þ y~ ey ¼ x ~ ex þ f ðxÞ~ ey (Parameter ist die Koordinate x) j ¼

&

y 00 < 0

y 00 ð1 þ y 0 2 Þ 3=2

y

00

> 0

)

Rechtskru¨mmung

)

Linkskru¨mmung

Beispiel Wir berechnen die Kru¨mmung der Normalparabel y ¼ x 2 an der Stelle x ¼ 0: y ¼ x2; j ¼

y0 ¼ 2x;

y 00 ¼ 2

y 00 2 ¼ ð1 þ 4 x 2 Þ 3=2 ð1 þ y 0 2 Þ 3=2

)

j ðx ¼ 0Þ ¼ 2 &

2 Fla¨chen im Raum

369

2 Fla¨chen im Raum 2.1 Vektorielle Darstellung einer Fla¨che Ortsvektor einer Fla¨che im Raum (Bild a)) 0

1 xðu; vÞ ~ r ¼~ r ðu; vÞ ¼ xðu; vÞ ~ ex þ yðu; vÞ ~ ey þ zðu; vÞ ~ ez ¼ @ yðu; vÞ A zðu; vÞ u; v:

voneinander unabha¨ngige (reelle) Parameter (sog. Fla¨chenparameter) z

en

ini

L u-

Fläche

u = const. = a1 u = const. = a2

P

v = const. = b3

Lin

v-

z

v = const. = b2

ien

y

v = const. = b1

x

a)

&

b)

y

x

u = const. = a3

P(a2;b2)

r

Beispiel Ortsvektor der Mantelfla¨che eines Rotationsparaboloids ðu; v 2 RÞ: 0 1 u 2 2 @ A ~ r ðu; vÞ ¼ u~ ex þ v~ ey þ ðu þ v Þ~ ez ¼ v u2 þ v2

&

Parameter- oder Koordinatenlinien einer Fla¨che (Bild b)) u-Linien (u: variabel, v: fest): ~ r ¼~ r ðu; v ¼ const:Þ ¼ ~ r ðuÞ v-Linien (u: fest, v: variabel): ~ r ¼~ r ðu ¼ const:; vÞ ¼ ~ r ðvÞ Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien ~ tu ¼

@~ r ; @u

~ tv ¼

@~ r @v

v-Linie

tv

P tu

(Partielle Ableitungen 1. Ordnung des Ortsvektors ~ r ¼~ r ðu; vÞÞ u-Linie

370

XIV Vektoranalysis

2.2 Fla¨chenkurven Sind die Parameter u und v einer Fla¨che ~ r ¼~ r ðu; vÞ selbst Funktionen einer (reellen) Variablen t, so beschreibt der Ortsvektor Flächenkurve r(t)

~ r ¼~ r ðtÞ ¼ ~ r ðuðtÞ; vðtÞÞ P

eine Fla¨chenkurve (d. h. eine auf der Fla¨che gelegene Kurve).

r

r(t) Fläche r(u; v) 0

Tangentenvektor an eine Fla¨chenkurve ~ tv r_ ¼ ~ r_ ðtÞ ¼ u_ ðtÞ ~ tu þ v_ ðtÞ ~ u_ ðtÞ; v_ ðtÞ:

Ableitungen der Fla¨chenparameter u und v nach t

~ tv : tu ; ~

Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien der Fla¨che

2.3 Fla¨chennormale und Fla¨chenelement Jedem Punkt P einer Fla¨che mit dem Ortsvektor ~ r ¼~ r ðu; vÞ lassen sich eine Fla¨chen~ und ein Fla¨chenelement dA zuordnen. normale N ~ Fla¨chennormale N ~ steht senkrecht auf der Tangentialebene N bzw. dem Fla¨chenelement dA. ~ ~ ~ ¼  tu  tv  ; N ~ ~ tu  tv  ~ tu ; ~ tv :

  N ~ ¼ 1

Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien der Fla¨che

N tv tu P

Fläche r(u; v)

2 Fla¨chen im Raum

371

Fla¨chenelement dA

u + du R

Das Fla¨chenelement dA wird durch je zwei benachbarte u- und v-Linien begrenzt.

~ tv : tu ; ~

dv

Flächenelement dA

u = const.

dA ¼ j~ tu  ~ tv j du dv

v+

S tv dv

Tangentenvektoren an die Koordinatenlinien der Fla¨che

v = const. Q

tu du

P

2.4 Tangentialebene

Die Tangentialebene in einem Fla¨chenpunkt P entha¨lt alle Tangenten, die man in diesem Punkt an die Fla¨che anlegen kann. 2.4.1 Tangentialebene beim Fla¨chentyp ~ r ¼~ r (u; v ) ~0  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 0 N

oder

ð~ tu  ~ tv Þ0  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 0

~0 : N

Fla¨chennormale in P

~ r0 :

Ortsvektor von P

~ r:

Ortsvektor eines beliebigen Punktes Q der Tangentialebene

Tangentialebene in P N Q

~ tv : Tangentenvektoren in P tu ; ~

tv

PQ

r

P &

tu

r0

Beispiel ey þ ðu 2 þ v 2 Þ ~ ez ¼ ~ r ðu; vÞ ¼ u~ ex þ v~ 0 1 u A ðu; v 2 RÞ ¼ @ v 2 u þ v2

0

Wir bestimmen die Tangentialebene fu¨r die Fla¨chenparameter u ¼ 1 und v ¼ 1, d. h. im Fla¨chenpunkt P ¼ ð1; 1; 2Þ: 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 @~ r @~ r @ A @ A @ A ~ ~ ~ tu ¼ tv ð1; 1Þ ¼ @ 1 A ¼ 0 ; tv ¼ ¼ 1 ) ~ tu ð1; 1Þ ¼ 0 ; @u @v 2 2 2u 2v 0 1 0 1 0 1 1 0 2 ~ tv ð1; 1Þ ¼ @ 0 A  @ 1 A ¼ @ 2 A ; tu ð1; 1Þ  ~ 2 2 1

0 1 0 1 0 1 x 1 x 1 ~ r ~ r0 ¼ @ y A  @ 1 A ¼ @ y  1 A z 2 z2

0 1 0 1 2 x 1   @ A @ ~ ~ tu ð1; 1Þ  tv ð1; 1Þ  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 2  y  1 A ¼ 0 1 z2 2 ðx  1Þ  2ðy  1Þ þ 1ðz  2Þ ¼ 0

)

z ¼ 2x þ 2y  2

&

372

XIV Vektoranalysis

2.4.2 Tangentialebene beim Fla¨chentyp z ¼ f (x; y) Vektordarstellung der Fla¨che (die unabha¨ngigen Variablen x und y dienen dabei als Fla¨chenparameter): 0

1 x ~ r ¼~ r ðx; yÞ ¼ x ~ ex þ y~ ey þ f ðx; yÞ ~ ez ¼ @ y A f ðx; yÞ

Tangentialebene im Fla¨chenpunkt P = (x0 ; y0 ; z0 = f (x0 ; y0))   ~ tx  ~ ty 0  ð~ r ~ r0 Þ ¼ 0 0

1 1 ~ tx ¼ @ 0 A ; fx fx ; fy :

oder

0

1 0 ~ ty ¼ @ 1 A ; fy

~0  ð~ N r ~ r0 Þ ¼ 0 0

1 fx 1 @ fy A ~ ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi N 2 fx þ fy2 þ 1 1

Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ

Tangentialebene im Fla¨chenpunkt P in expliziter Form z ¼ fx ðx0 ; y0 Þ  ðx  x0 Þ þ fy ðx0 ; y0 Þ  ðy  y0 Þ þ z0 (Siehe hierzu auch IX.2.4) fx ðx0 ; y0 Þ, fy ðx0 ; y0 Þ:

Partielle Ableitungen 1. Ordnung von z ¼ f ðx; yÞ im Fla¨chenpunkt P ¼ ðx0 ; y0 ; z0 Þ mit z0 ¼ f ðx0 ; y0 Þ

2.4.3 Tangentialebene beim Fla¨chentyp F(x; y; z) = 0 r ~ r0 Þ ¼ 0 ðgrad Fðx; y; zÞÞ0  ð~ Bezeichnungen wie oben; der Gradient von Fðx; y; zÞ wird im Fla¨chenpunkt P gebildet (siehe hierzu XIV.4). &

Beispiel Gleichung der Tangentialebene an die Kugeloberfla¨che Fðx; y; zÞ ¼ x 2 þ y 2 þ z 2  9 ¼ 0 im Punkt P ¼ ð2; 2; 1Þ: 0 1 0 1 2x 4 grad F ¼ grad ðx 2 þ y 2 þ z 2  9Þ ¼ @ 2 y A ) ðgrad FÞ0 ¼ @ 4 A 2z 2 0 1 0 1 4 x 2 r ~ r0 Þ ¼ @ 4 A  @ y  2 A ¼ 0 ) ðgrad FÞ0  ð~ 2 z1 4 ðx  2Þ þ 4 ðy  2Þ þ 2 ðz  1Þ ¼ 0

)

z ¼ 2x  2y þ 9 &

3 Skalar- und Vektorfelder

373

3 Skalar- und Vektorfelder 3.1 Skalarfelder Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt P eines ebenen oder ra¨umlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Skalar zu: Ebenes bzw. ra¨umliches Skalarfeld f ðPÞ ¼ f ðx; yÞ

bzw.

f ðPÞ ¼ f ðx; y; zÞ

Stationa¨res Feld: Das skalare Feld vera¨ndert sich nicht im Laufe der Zeit, ist also zeitunabha¨ngig. Niveau- oder quipotentialfla¨chen: Fla¨chen im Raum, auf denen das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt: f ðx; y; zÞ ¼ const: Niveaulinien eines ebenen Skalarfeldes: Kurven, auf denen das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt: f ðx; yÞ ¼ const:

&

Beispiel Elektrostatisches Potential in der Umgebung einer geladenen Kugel. Niveau- oder quipotentialfla¨chen: konzentrische Kugelschalen. &

3.2 Vektorfelder Ein Vektorfeld ordnet jedem Punkt P eines ebenen oder ra¨umlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Vektor zu: Ebenes Vektorfeld

y

~ðx; yÞ ¼ Fx ðx; yÞ~ ex þ Fy ðx; yÞ~ ey ¼ F   Fx ðx; yÞ ¼ Fy ðx; yÞ

; y)

= (P)

F

P

Fx ; Fy :

F(x

Fx(x; y) y

Skalare Komponenten des ebenen ~ðx; yÞ Vektorfeldes F x

Fy(x; y)

374

XIV Vektoranalysis

Ra¨umliches Vektorfeld 0

1 Fx ðx; y; zÞ ~ðx; y; zÞ ¼ Fx ðx; y; zÞ~ F ex þ Fy ðx; y; zÞ~ ey þ Fz ðx; y; zÞ~ ez ¼ @ Fy ðx; y; zÞ A Fz ðx; y; zÞ Fx ; Fy ; Fz : &

~ðx; y; zÞ Skalare Komponenten des ra¨umlichen Vektorfeldes F

Beispiel Geschwindigkeitsfeld einer stro¨menden Flu¨ssigkeit: Zu jedem Flu¨ssigkeitsteilchen (Massenpunkt) geho¨rt ein Geschwindigkeitsvektor. &

Feldlinien Kurven, die in jedem Punkt P eines Vektor~¼ F ~ðPÞ durch den dortigen Feldfeldes F vektor tangiert werden. Gleichung der Feldlinien: ~ ~ F r_ ¼ ~ 0 ~ r: &

oder

~  d~ F r ¼~ 0

F(P) P

Feldlinie

Ortsvektor von P Beispiel Elektrisches Feld in der Umgebung einer positiven Punktladung: Die elektrischen Feldlinien verlaufen radial nach außen. &

Spezielle Vektorfelder ! ~(P) = const: 1. Homogenes Vektorfeld: F Der Feldvektor hat u¨berall die gleiche Richtung und den gleichen Betrag. Beispiel: Elektrisches Feld in einem geladenen Plattenkondensator. ~(P) = f (r) ~ 2. Kugel- oder radialsymmetrisches Vektorfeld (Zentralfeld): F er Der Feldvektor hat radiale Richtung (Einheitsvektor ~ er ), sein Betrag ha¨ngt nur vom     ~ Abstand r vom Nullpunkt ab: F ðPÞ ¼ f ðrÞ. Beispiel: Gravitationsfeld der Erde. ~ (P) = f (r) ~ er 3. Zylinder- oder axialsymmetrisches Vektorfeld: F Der Feldvektor hat axiale Richtung ðEinheitsvektor ~ er Þ, sein Betrag ha¨ngt nur vom     ~ðPÞ ¼ f ðrÞ. Abstand r von der Zylinderachse ab: F Beispiel: Elektrisches Feld in der Umgebung eines homogen geladenen Zylinders.

4 Gradient eines Skalarfeldes

375

4 Gradient eines Skalarfeldes Definition des Gradienten (in kartesischen Koordinaten) 0 1 @f=@x @f @f @f ~ ex þ ~ ey þ ~ ez ¼ @ @f=@y A grad f ¼ @x @y @z @f=@z f ¼ f ðx; y; zÞ: Ra¨umliches Skalarfeld Darstellung des Gradienten in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten: siehe XIV.6 Bei einem ebenen Feld verschwindet die dritte Komponente.

&

Beispiel Gradient des ra¨umlichen Skalarfeldes f ¼ x 2 þ y 2 þ z in P ¼ ð1; 0; 2Þ: 0 1 0 1 2x 2 @f @f @f ~ ~ ~ grad f ¼ ex þ ey þ ez ¼ 2 x ~ ex þ 2 y ~ ey þ 1~ ez ¼ @ 2 y A ) ðgrad fÞ0 ¼ @ 0 A @x @y @z 1 1 &

Nabla-Operator 0

1 @=@x r ¼ @ @=@y A @=@z

Die skalaren Komponenten sind die partiellen Differentialoperatoren @=@x, @=@y und @=@z (siehe hierzu IX.2.1)

!

!

Der Vektor grad f ist formal auch als Produkt des Nabla-Operator r mit dem Skalar f darstellbar: 0

1 0 1 @=@x @f=@x grad f ¼ r f ¼ @ @=@y A f ¼ @ @f=@y A @=@z @f=@z !

Anmerkungen (1)

Der Operator „grad“ (Nabla-Operator) ist ein Differentialoperator 1. Ordnung.

(2)

Der Gradient eines ra¨umlichen Skalarfeldes fðx; y; zÞ steht immer senkrecht auf den Niveaufla¨chen fðx; y; zÞ ¼ const: und zeigt in die Richtung des gro¨ßten Zuwachses von f.

(3)

Bei einem ebenen Skalarfeld fðx; yÞ ist grad f ein ebener Vektor, der senkrecht zu den Niveaulinien fðx; yÞ ¼ const: verla¨uft.

376

XIV Vektoranalysis

Rechenregeln f und y sind skalare Felder, c eine Konstante: (1)

grad c ¼ 0

(2)

grad ðc fÞ ¼ cðgrad fÞ

(3)

grad ðf þ yÞ ¼ grad f þ grad y

(4)

grad ðf þ cÞ ¼ grad f

(5)

grad ðf  yÞ ¼ fðgrad yÞ þ yðgrad fÞ

Richtungsableitung

@f eines Skalarfeldes f in Richtung des Vektors ~ a ist ein Maß @~ a fu¨r die nderung des Funktionswertes von f, wenn man von einem Punkt P aus in Richtung von ~ a um eine La¨ngeneinheit fortschreitet: Die Richtungsableitung

@f 1 ¼ ðgrad fÞ  ~ ea ¼ ðgrad fÞ  ~ a @~ a j~ aj @f ist die Projektion des Gradienten von f auf den normierten Richtungsvektor @~ a ~ a ~ . Der Maximalwert wird in Richtung des Gradienten erreicht. ea ¼ j~ aj

&

Beispiel f ¼ xy þ z ; 2

0 1 1 ~ a ¼ @1A; 1

P ¼ ð1; 1; 2Þ

Wir berechnen die Richtungsableitung des skalaren Feldes f in P in Richtung des Vektors ~ a: 0 1 0 1 1 y pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi j~ aj ¼ 12 þ 12 þ 12 ¼ 3 grad f ¼ @ x A ) ðgrad fÞ0 ¼ @ 1 A ; 4 2z 0 1 0 1 pffiffiffi  1 1 pffiffiffi @f 1 1 @ A @ A 1 6 6 3 ¼ a ¼ pffiffiffi ðgrad fÞ0  ~ 1  1 ¼ pffiffiffi ð1 þ 1 þ 4Þ ¼ pffiffiffi ¼ ¼ 2 3 @~ a 0 j~ aj 3 3 3 3 4 1



&

5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes

377

5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes 5.1 Divergenz eines Vektorfeldes Definition der Divergenz (in kartesischen Koordinaten) ~¼ div F

@Fx @Fy @Fz þ þ @x @y @z

~ðx; y; zÞ Fx , Fy , Fz : Skalare Komponenten des Vektorfeldes F Bei einem ebenen Feld verschwindet der dritte Summand. Darstellung der Divergenz in Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten: siehe XIV.6 &

Beispiel

0 2 1 x y ~ F ¼ @x þ yA yz

)

Divergenz in P ¼ ð1; 2; 0Þ:

~ ¼ @ ðx 2 yÞ þ @ ðx þ yÞ þ @ ðy zÞ ¼ 2x y þ 1 þ y div F @x @y @z 

~ div F

 0

¼ 4þ1þ2 ¼ 7

&

!

~ ist auch als Skalarprodukt des Nabla-Operators r mit dem Vektor F ~ Der Skalar div F darstellbar: !

~ ~¼ r F div F Anmerkungen (1)

Der Operator „div“ ist ein Differentialoperator 1. Ordnung.

(2)

Die Bezeichnung „Divergenz“ stammt aus der Hydrodynamik und bedeutet „Auseinanderstro¨men einer Flu¨ssigkeit“ („Divergieren“). ~ heißt auch „Quelldichte“ oder „Quellsta¨rke pro Volumeneinheit“. Ein Vektordiv F ~, dessen Divergenz verschwindet, heißt quellenfrei. Gilt in einem Punkt feld F ~ ~ < 0 eine „Senke“. div F > 0, so hat das Vektorfeld dort eine „Quelle“, fu¨r div F

(3)

Rechenregeln ~ und B ~ sind Vektorfelder, ~ A a ein konstanter Vektor, f ein skalares Feld, und c eine (reelle) Konstante: (1) (2) (3) (4) (5)

div ~ a ¼ 0     ~ ¼ ðgrad fÞ  A ~ þ f div A ~ div f A     ~ ¼ c div A ~ div c A   ~þB ~ þ div B ~ ¼ div A ~ div A   ~þ~ ~ div A a ¼ div A

378

XIV Vektoranalysis

5.2 Rotation eines Vektorfeldes Definition der Rotation (in kartesischen Koordinaten) 0

1 @Fz @Fy  B B @y C @z C B C B @F C @F x zC B ~ rot F ¼ B  C @x C B @z B C @ @Fy @Fx A  @x @y ~ðx; y; zÞ Skalare Komponenten des Vektorfeldes F

Fx , Fy , Fz : &

Beispiel

0

1 xy z ~ ¼ @x þ yA F z2

1 @ @ 2 B @y ðz Þ  @z ðx þ yÞ C B C 0 1 0 1 B C 00 0 B @ C @ 2 C @ A ¼ @ xy A ~¼B rot F B @z ðx y zÞ  @x ðz Þ C ¼ x y  0 B C 1  xz 1  xz B C @@ A @ ðx þ yÞ  ðx y zÞ @x @y

0

)

&

!

~ ist auch als Vektorprodukt des Nabla-Operators r mit dem Vektor F ~ Der Vektor rot F darstellbar: !

~ ¼ r F ~ rot F Determinantenschreibweise   ~  ex  ~ rot F ¼  @=@x   F x @=@x; @=@y; @=@z:

~ ey @=@y Fy

    @=@z   Fz  ~ ez

Partielle Differentialoperatoren 1. Ordnung (siehe IX.2.1)

Durch Entwicklung der Determinante nach den Elementen der 1. Zeile erha¨lt man die weiter oben stehende Definitionsformel der Rotation. Anmerkungen (1)

Der Operator „rot“ ist ein Differentialoperator 1. Ordnung.

(2)

(3)

Die Bezeichnung „Rotation“ stammt aus der Hydrodynamik und beschreibt dort die Bildung von „Wirbeln“ (geschlossene Feldlinien in den Geschwindigkeitsfeldern stro¨mender Flu¨ssigkeiten). ~ heißt auch „Wirbeldichte“ oder „Wirbelfeld“ zu F ~. Der Vektor rot F

(4)

~, dessen Rotation verschwindet, heißt wirbelfrei. Ein Vektorfeld F

5 Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes

379

Rotation eines ebenen Vektorfeldes (Fz = 0) ~¼ rot F



@Fy @Fx  @x @y

 ~ ez

Die Komponenten in x- und y-Richtung verschwinden! Rechenregeln ~ und B ~ sind Vektorfelder, ~ A a ein konstanter Vektor, f ein skalares Feld und c eine (reelle) Konstante: (1) rot ~ a ¼~ 0     ~ ¼ ðgrad fÞ  A ~ þ f rot A ~ (2) rot f A     ~ ¼ c rot A ~ (3) rot c A   ~þB ~ þ rot B ~ ¼ rot A ~ (4) rot A   ~þ~ ~ (5) rot A a ¼ rot A

5.3 Spezielle Vektorfelder ~= 0 Quellenfreies Vektorfeld: div F ~ la¨sst sich immer als Rotation eines Vektorfeldes E ~, VekEin quellenfreies Vektorfeld F torpotential genannt, darstellen: ~¼ 0 div F

)

~ ¼ rot E ~ F

~ ¼ rot E ~ ist quellenfrei: Auch die Umkehrung gilt: Ein Wirbelfeld F ~ ¼ rot E ~ F

)

~ ¼ div ðrot E ~Þ ¼ 0 div F

Quellenfreie Felder: Elektrisches Feld einer Punktladung, Gravitationsfeld der Erde. ~= 0 Wirbelfreies Vektorfeld: rot F ~ la¨sst sich stets als Gradient eines skalaren Feldes f darEin wirbelfreies Vektorfeld F stellen: ~¼ 0 rot F

)

~ ¼ grad f F

~ ¼ grad f ist wirbelfrei: Auch die Umkehrung gilt: Ein Gradientenfeld F ~ ¼ grad f F

)

~ ¼ rot ðgrad fÞ ¼ ~ rot F 0

Wirbelfreie Felder: Homogenes elektrisches Feld in einem Plattenkondensator, Zentralfelder wie z. B. das Gravitationsfeld der Erde, zylindersymmetrische Felder.

380

XIV Vektoranalysis

~ = 0 und rot F ~= ~ 0 Quellen- und wirbelfreies Vektorfeld: div F ~ ist als Gradient eines skalaren Feldes f Ein quellen- und wirbelfreies Vektorfeld F ~ ¼ grad f, wobei f der Laplaceschen Differentialgleichung darstellbar, d. h. F Df ¼

@2 f @2 f @2 f þ þ ¼ 0 2 2 @x @y @z 2

genu¨gt. Dabei ist D der sog. Laplace-Operator !

!

D ¼ r  r ¼ div ðgradÞ ¼

@2 @2 @2 þ þ 2 2 @x @y @z 2 !

(Differentialoperator 2. Ordnung, Skalarprodukt des Nabla-Operators r mit sich selbst).

6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in speziellen Koordinatensystemen 6.1 Darstellung in Polarkoordinaten Polarkoordinaten Die Polarkoordinaten r; j eines Punktes P der Ebene bestehen aus einer Abstandskoordinate r und einer Winkelkoordinate j (Bild a)): r: j:

Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung O ðr  0Þ ! Winkel zwischen dem Ortsvektor ~ r ¼ OP des Punktes P und der positiven x-Achse (Hauptwert: 0  j < 2p bzw. 0  j < 360 Þ.

y

y f = const. (r-Linie)

P r y

x r = const. (f-Linie)

f 0

a)

x

x

b)

6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

381

Koordinatenlinien (Bild b, siehe Seite 369 unten) Das Polarkoordinatensystem ist ein sog. krummliniges Koordinatensystem mit den folgenden Koordinatenlinien: r = const.:

Konzentrische Kreise um den Koordinatenursprung ðj-LinienÞ

j = const.:

Radial vom Koordinatenursprung nach außen laufende Strahlen ðr-LinienÞ

Die r- und j-Linien schneiden sich in jedem Punkt senkrecht, d. h. die Polarkoordinaten sind (wie die kartesischen Koordinaten) orthogonale ebene Koordinaten. Zusammenhang zwischen den Polarkoordinaten und den kartesischen Koordinaten Polarkoordinaten ! Kartesische Koordinaten x ¼ r  cos j ,

y ¼ r  sin j

Kartesische Koordinaten ! Polarkoordinaten qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y r ¼ x2 þ y2; tan j ¼ x

Vektordarstellung in Polarkoordinaten

y a

~ a ¼ ar ~ er þ aj ~ ej ~ ej : er , ~

ar , aj :

Tangenteneinheitsvektoren an die r- bzw. j-Koordinatenlinie (Basisvektoren)

af

Vektorkoordinaten

ef

er ar P

r f x

Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Polarkoordinaten Skalarfeld in Polarkoordinaten f ¼ f ðr; jÞ Vektorfeld in Polarkoordinaten ~¼ F ~ðr; jÞ ¼ Fr ðr; jÞ~ er þ Fj ðr; jÞ~ ej F Gradient des Skalarfeldes f (r; j) grad f ðr; jÞ ¼

@f 1 @f ~ ~ er þ  ej @r r @j

382

XIV Vektoranalysis

Divergenz des Vektorfeldes F~(r; j) ~ðr; jÞ ¼ 1  @ ðr  Fr Þ þ 1  @Fj div F r @r r @j Rotation des Vektorfeldes F~ (r; j) Es existiert nur eine Komponente senkrecht zur x; y-Ebene (z-Richtung): ~ðr; jÞz ¼ ½ rot F

1 @ 1 @Fr  ðr  Fj Þ   r @r r @j

Laplace-Operator Dfðr; jÞ ¼

@2 f 1 @f 1 @2 f þ   þ @r 2 r @r r 2 @j 2

6.2 Darstellung in Zylinderkoordinaten Zylinderkoordinaten Die Zylinderkoordinaten r, j und z eines Raumpunktes P bestehen aus den Polarkoordinaten r und j des Projektionspunktes P 0 in der x; y-Ebene und der (kartesischen) Ho¨henkoordinate z 1Þ : r  0;

0  j < 2p ;

1 < z < 1

z z

·

r P = (x; y; z)

z 0

y f

y r

x

y

x · P' = (x; y)

x

1Þ

Die Zylinderkoordinate r gibt den senkrechten Abstand des Raumpunktes P von der z-Achse an und ist daher nicht zu verwechseln mit dem Abstand r desselben Punktes vom Koordinatenursprung 0, d. h. mit der La¨nge ! des Ortsvektors ~ r ¼ OP . Sie wird ha¨ufig auch (wenn Verwechslungen auszuschließen sind) mit r bezeichnet.

6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

383

Koordinatenfla¨chen Koordinatenfla¨chen entstehen, wenn jeweils eine der drei Zylinderkoordinaten festgehalten wird: r = const.: j = const.:

Zylindermantel Halbebene durch die z-Achse

z = const.:

Parallelebene zur x; y-Ebene in der „Ho¨he“ z

Die Koordinatenfla¨chen stehen paarweise senkrecht aufeinander. Koordinatenlinien Koordinatenlinien entstehen, wenn jeweils zwei der drei Zylinderkoordinaten festgehalten werden. Sie sind somit Schnittkurven zweier Koordinatenfla¨chen: j, z = const.: r, z = const.:

Gerade durch die z-Achse parallel zur x; y-Ebene (r-Linie) Kreis um die z-Achse parallel zur x; y-Ebene (j-Linie)

r, j = const.:

Mantellinie des Zylinder (z-Linie)

Die Koordinatenlinien stehen in jedem Punkt paarweise senkrecht aufeinander (Ausnahme: Koordinatenursprung). Die Zylinderkoordinaten sind daher (wie die kartesischen Koordinaten) orthogonale ra¨umliche Koordinaten. Zusammenhang zwischen den Zylinderkoordinaten und den kartesischen Koordinaten Zylinderkoordinaten ! Kartesische Koordinaten x ¼ r  cos j ,

y ¼ r  sin j ,

z ¼ z

Kartesische Koordinaten ! Zylinderkoordinaten qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ; z ¼ z tan j ¼ r ¼ x2 þ y2 ; x Die Zylinderkoordinaten stimmen mit den kartesischen Koordinaten in der „Ho¨henkoordinate“ z u¨berein. Linienelement ds Das Linienelement ist der Verbindungsbogen zweier differentiell benachbarter Punkte, die sich in ihren Zylinderkoordinaten um dr, dj, dz voneinander unterscheiden. Es besitzt die La¨nge ds ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðdrÞ 2 þ r 2 ðdjÞ 2 þ ðdzÞ 2

Fla¨chenelement dA auf dem Zylindermantel ( r = const.) Fla¨chenstu¨ck auf dem Zylindermantel, begrenzt durch je zwei benachbarte j- und z-Koordinatenlinien, mit dem Fla¨cheninhalt dA ¼ r dj dz

384

XIV Vektoranalysis

Volumenelement dV Das Volumenelement betra¨gt dV ¼ r dr dj dz Vektordarstellung in Zylinderkoordinaten

z ez

~ er þ aj ~ ej þ az ~ ez a ¼ ar ~ r

~ ej , ~ ez : er , ~

Tangenteneinheitsvektoren an die r-, j- bzw. z-Koordinatenlinie (Basisvektoren) ar , aj , az : Vektorkoordinaten

ef

z

f

r

ep

y

x

Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten Skalarfeld in Zylinderkoordinaten f ¼ f ðr; j; zÞ Vektorfeld in Zylinderkoordinaten ~¼ F ~ðr; j; zÞ ¼ Fr ðr; j; zÞ ~ er þ Fj ðr; j; zÞ ~ ej þ Fz ðr; j; zÞ ~ ez F Gradient des Skalarfeldes f ( r; j; z) grad f ¼

@f 1 @f @f ~ ~ ~ er þ  ej þ ez @r r @j @z

~ ( r; j; z) Divergenz des Vektorfeldes F ~¼ div F

1 @ 1 @Fj @Fz  ðr  Fr Þ þ  þ r @r r @j @z

~ ( r; j; z) Rotation des Vektorfeldes F       @Fr @Fr @Fz 1 @ ~ ¼ 1  @Fz  @Fj ~ ~ ~  er þ ej þ ez ðr  Fj Þ  rot F @z @z @r @j r @j r @r Laplace-Operator   1 @ @f 1 @2 f @2f þ  r þ 2  Df ¼ r @r @r r @j 2 @z 2

6 Darstellung von Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator

385

6.3 Darstellung in Kugelkoordinaten Kugelkoordinaten Die Kugelkoordinaten r, J und j eines Raumpunktes P bestehen aus einer Abstandskoordinate r und zwei Winkelkoordinaten J und j: r:

! La¨nge des Ortsvektors ~ r ¼ OP

J:

Winkel zwischen dem Ortsvektor ~ r und der positiven z-Achse ð0  J  pÞ

j:

Winkel zwischen der Projektion des Ortsvektors ~ r auf die x; y-Ebene und der positiven x-Achse ð0  j < 2 pÞ

ðr  0Þ

z

Bezeichnungen

·

J: Breitenkoordinate j: La¨ngenkoordinate

P

r

r z

u 0

f

y x ·

Koordinatenfla¨chen

x

y

Koordinatenfla¨chen entstehen, wenn jeweils eine der drei Kugelkoordinaten festgehalten wird: r = const.: J = const.:

Kugeloberfla¨che (Kugelschale) Mantelfla¨che eines Kegels (Kegelspitze im Koordinatenursprung)

j = const.:

Halbebene durch die z-Achse

Die Koordinatenfla¨chen stehen in jedem Punkt paarweise senkrecht aufeinander. Koordinatenlinien Koordinatenlinien entstehen, wenn jeweils zwei der drei Zylinderkoordinaten festgehalten werden. Sie sind somit Schnittkurven zweier Koordinatenfla¨chen: J, j = const.: r, J = const.:

Radialer Strahl vom Koordinatenursprung nach außen (r-Linie) Breitenkreis mit dem Radius r  sin J (j-Linie)

r, j = const.:

La¨ngenkreis (J-Linie)

Die Koordinatenlinien stehen in jedem Punkt paarweise senkrecht aufeinander. Die Kugelkoordinaten sind daher (wie die kartesischen Koordinaten und die Zylinderkoordinaten) orthogonale ra¨umliche Koordinaten.

386

XIV Vektoranalysis

Zusammenhang zwischen den Kugelkoordinaten und den kartesischen Koordinaten Kugelkoordinaten ! Kartesische Koordinaten x ¼ r  sin J  cos j ,

y ¼ r  sin J  sin j ,

z ¼ r  cos J

Kartesische Koordinaten ! Kugelkoordinaten 1 0 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z C B r ¼ x2 þ y2 þ z2 ; J ¼ arccos @qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ; x2 þ y2 þ z2

tan j ¼

y x

Linienelement ds Das Linienelement ist der Verbindungsbogen zweier differentiell benachbarter Punkte, die sich in ihren Kugelkoordinaten um dr, dJ, dj voneinander unterscheiden. Es besitzt die La¨nge ds ¼

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðdrÞ 2 þ r 2 ðdJÞ 2 þ r 2  sin 2 J ðdjÞ 2

Fla¨chenelement dA auf der Kugeloberfla¨che (r = const.) Fla¨chenstu¨ck auf der Kugeloberfla¨che, begrenzt durch je zwei benachbarte J- und jKoordinatenlinien, mit dem Fla¨cheninhalt dA ¼ r 2  sin J dJ dj Volumenelement dV dV ¼ dA dr ¼ r 2  sin J dr dJ dj

Vektordarstellung in Kugelkoordinaten

z er

~ er þ aJ ~ eJ þ aj ~ ej a ¼ ar ~ ~ er , ~ eJ , ~ ej :

ar , aJ , aj :

P

Tangenteneinheitsvektoren an die r-, J- bzw. j-Koordinatenlinie (Basisvektoren)

ef r

u f

Vektorkoordinaten

y eu

x

7 Linien- oder Kurvenintegrale

387

Gradient, Divergenz, Rotation und Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Skalarfeld in Kugelkoordinaten f ¼ f ðr; J; jÞ Vektorfeld in Kugelkoordinaten ~¼ F ~ðr; J; jÞ ¼ Fr ðr; J; jÞ~ er þ FJ ðr; J; jÞ~ eJ þ Fj ðr; J; jÞ~ ej F Gradient des Skalarfeldes f (r; J; j) grad f ¼

@f 1 @f 1 @f ~ ~ ~ er þ  eJ þ  ej @r r @J r  sin J @j

Divergenz des Vektorfeldes F~(r; J; j)

1 @ 1 @ @Fj 2 ~ ðr  Fr Þ þ ðsin J  FJ Þ þ div F ¼ 2  r @r r  sin J @J @j ~(r; J; j) Rotation des Vektorfeldes F    1 @ @FJ ~ ~ ðsin J  Fj Þ  er þ rot F ¼ r  sin J @J @j   1 @Fr 1 @ 1 @ 1 @Fr þ   ðr  Fj Þ ~  ðr  FJ Þ   ~  ej eJ þ r  sin J @j r @r r @r r @J Laplace-Operator      1 @ @f 1 @ @f 1 @2f  Df ¼ 2 r2  þ  sin J  þ r @r @r sin J @J @J sin 2 J @j 2

7 Linien- oder Kurvenintegrale 7.1 Linienintegral in der Ebene ~¼ F ~ðx; yÞ sei ein ebenes Vektorfeld, ~ F r ¼~ r ðtÞ der Ortsvektor einer von P1 nach P2 verlaufenden ebenen Kurve C mit t1  t  t2 und ~ r_ ¼ ~ r_ ðtÞ der zugeho¨rige Tangentenvektor der Kurve. y

Dann heißt das Integral ð C

~  d~ F r ¼

ðt2 

 ~~ F r_ dt

t1

P1

P r(t1)

F

r(t) C P2

das Linien- oder Kurvenintegral des Vektor~ la¨ngs der Kurve C. feldes F

r(t2) x

388

XIV Vektoranalysis

In ausfu¨hrlicher Schreibweise: ðt2

ð ðFx ðx; yÞ dx þ Fy ðx; yÞ dyÞ ¼

ðFx x_ þ Fy y_Þ dt t1

C

~ðx; yÞ Fx ; Fy : Skalare Komponenten des ebenen Vektorfeldes F x_ ; y_ : Koordinaten des Tangentenvektors ~ r_ Berechnung eines Linienintegrals Fu¨r die Variablen x und y werden die parameterabha¨ngigen Koordinaten xðtÞ und yðtÞ der Integrationskurve C eingesetzt, fu¨r x_ und y_ deren Ableitungen. Anschließend wird der nur noch vom Parameter t abha¨ngende Integrand in den Grenzen von t1 bis t2 integriert. Sonderfall: Falls die Kurve C in der expliziten Form y ¼ f ðxÞ vorliegt, ersetzt man im Linienintegral die Koordinate y durch f ðxÞ und das Differential dy durch f 0 ðxÞ dx und erha¨lt so ein gewo¨hnliches Integral mit der Variablen x : ð

~  d~ F r ¼

xð2

½Fx ðx; f ðxÞÞ þ Fy ðx; f ðxÞÞ  f 0 ðxÞ dx

x1

C

x1 ; x2 :

Abszissen der beiden Kurvenrandpunkte

Anmerkungen (1)

Man beachte, dass der Wert eines Linien- oder Kurvenintegrals i. Allg. nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg abha¨ngt.

(2)

Wird der Integrationsweg C in der umgekehrten Richtung durchlaufen (symbolische Schreibweise:  C), so tritt im Integral ein Vorzeichenwechsel ein: ð

ð ~  d~ ~  d~ F r ¼  F r

C

(3)

C

Fu¨r ein Kurvenintegral la¨ngs einer geschlossenen Linie C verwenden wir das SymÞ Þ ~  d~ ~  d~ r oder auch F r . Ein solches Kurvenintegral wird in den physikabol F C

~ la¨ngs der lisch-technischen Anwendungen auch als Zirkulation des Vektorfeldes F geschlossenen Kurve C bezeichnet.

7 Linien- oder Kurvenintegrale &

389

Beispiel Wir berechnen das Linien- oder Kurvenintegral yðtÞ ¼ t, 0  t  1: x ¼ 2t; Ð

dx ¼ x_ dt ¼ 2 dt ;

ðx 2 y dx þ x y 2 dyÞ ¼

C

Ð1

y ¼ t;

Ð

ðx 2 y dx þ x y 2 dyÞ la¨ngs des Weges C : xðtÞ ¼ 2 t,

C

dy ¼ y_ dt ¼ 1 dt ¼ dt

ð4 t 2  t  2 dt þ 2 t  t 2 dtÞ ¼

0

Ð1 0

10 t 3 dt ¼

5 4 1 5 5 t 0 ¼ ð1  0Þ ¼ 2 2 2 &

7.2 Linienintegral im Raum ~¼ F ~ðx; y; zÞ la¨ngs Das Linien- oder Kurvenintegral eines ra¨umlichen Vektorfeldes F einer Raumkurve C mit dem Ortsvektor ~ r ¼~ r ðtÞ, t1  t  t2 lautet: ð

~  d~ F r ¼

 ~~ F r_ dt

t1

C

~ r_ :

ðt2 

Tangentenvektor von C

In ausfu¨hrlicher Schreibweise: ðt2

ð

ðFx x_ þ Fy y_ þ Fz z_Þ dt

ðFx ðx; y; zÞ dx þ Fy ðx; y; zÞ dy þ Fz ðx; y; zÞ dzÞ ¼ t1

C

Fx ; Fy ; Fz : x_ ; y_; z_ :

~ðx; y; zÞ Skalare Komponenten des ra¨umlichen Vektorfeldes F _ ~ Koordinaten des Tangentenvektors r

Berechnung eines Linienintegrals Die Berechnung erfolgt wie beim Linienintegral in der Ebene. Alle dort gemachten Bemerkungen gelten sinngema¨ß auch hier.

7.3 Wegunabha¨ngigkeit eines Linien- oder Kurvenintegrals Ein Linien- oder Kurvenintegral

Ð

~  d~ F r ist genau dann wegunabha¨ngig, wenn das Vek-

C

~ in einem einfach-zusammenha¨ngenden Bereich, der den Integrationsweg C enttorfeld F ha¨lt, die folgende Integrabilita¨tsbedingung erfu¨llt: Integrabilita¨tsbedingung fu¨r ein ebenes Vektorfeld @Fx @Fy ¼ @y @x

oder



 ~ z¼ 0 rot F

390

XIV Vektoranalysis

Integrabilita¨tsbedingung fu¨r ein ra¨umliches Vektorfeld @Fx @Fy ¼ ; @y @x

@Fy @Fz ¼ ; @z @y

@Fz @Fx ¼ @x @z

~¼~ 0 rot F

oder

Die Bedingungen sind notwendig und hinreichend. Anmerkungen (1)

Ein Bereich heißt einfachzusammenha¨ngend, wenn sich jede im Bereich gelegene geschlossene Kurve auf einen Punkt „zusammenziehen“ la¨sst. Ein ebener einfachzusammenha¨ngender Bereich wird von einer einzigen geschlossenen Kurve begrenzt. Beispiele: rechteckiger Bereich (siehe Bild a)) bzw. kreisfo¨rmiger Bereich (siehe Bild b)). y

y

a)

b)

x

x

(2)

Im Falle der Wegunabha¨ngigkeit verschwindet das Linienintegral la¨ngs einer geschlossenen Kurve.

&

Beispiel ~ðx; yÞ mit den skalaren Komponenten Fx ¼ 3 x 2 y 2 und Fy ¼ 2 x 3 y erfu¨llt die Das ebene Vektorfeld F Integrabilita¨tsbedingung: @Fx @ ð3x 2 y 2 Þ ¼ 6x 2 y ; ¼ @y @y

@Fy @ @Fx @Fy ð2 x 3 yÞ ¼ 6 x 2 y ) ¼ ¼ ¼ 6x2 y @x @x @y @x Þ Þ Daher verschwindet das Linienintegral ðFx dx þ Fy dyÞ ¼ ð3 x 2 y 2 dx þ 2 x 3 y dyÞ fu¨r jede geschlosC C sene Kurve C. &

7.4 Konservative Vektorfelder ~ heißt konservativ oder Potentialfeld, wenn das Ein (ebenes oder ra¨umliches) ÐVektorfeld F ~ F  d~ r nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom Linien- oder Kurvenintegral C

eingeschlagenen Verbindungsweg C der beiden Punkte abha¨ngt. Eigenschaften eines konservativen Vektorfeldes ~ besitzt in einem einfach-zusammenha¨ngenden Bereich die Ein konservatives Vektorfeld F folgenden gleichwertigen Eigenschaften: Ð ~  d~ F r la¨ngs einer Kurve C, die zwei (beliebige) 1. Das Linien- oder Kurvenintegral C

Punkte P1 und P2 verbindet, ist unabha¨ngig vom eingeschlagenen Verbindungsweg, solange dieser vollsta¨ndig im Bereich liegt.

7 Linien- oder Kurvenintegrale

391

2. Das Linienintegral la¨ngs einer im Bereich liegenden geschlossenen Kurve C hat stets den Wert Null: þ

~  d~ F r ¼ 0

C

~ ist u¨berall im Bereich als Gradient einer Potentialfunktion f dar3. Der Feldvektor F stellbar: ~ ¼ grad f F ~ ist im Bereich wirbelfrei: 4. Das Vektorfeld F ~¼~ rot F 0 ~  d~ 5. Das Skalarprodukt F r ist das totale oder vollsta¨ndige Differential einer Potentialfunktion f: ~  d~ df ¼ F r

&

Beispiel Ein Zentralfeld ist stets konservativ. Das Linienintegral eines solchen Feldes verschwindet daher la¨ngs einer jeden geschlossenen Kurve (diese darf nicht durch den Nullpunkt verlaufen). Beispiele fu¨r Zentralfelder sind das Gravitationsfeld der Erde und das elektrische Feld einer Punktladung. &

7.5 Arbeitsintegral (Arbeit eines Kraftfeldes) ~¼ F ~ðx; y; zÞ verrichtet an einem Massenpunkt beim Verschieben la¨ngs Ein Kraftfeld F einer Kurve C die folgende Arbeit (sog. Arbeitsintegral): ð W ¼

~  d~ F r ¼

C

ðt2

z

ðF ~~ r_ Þ dt

P1

t1

~ r ¼~ r ðtÞ: _ ~ r ¼~ r_ ðtÞ:

Ortsvektor der Kurve C

d~ r:

Differentielles Wegelement

r(t1)

P r(t)

F C P2 r(t2)

Tangentenvektor der Kurve C x

y

392

XIV Vektoranalysis

8 Oberfla¨chenintegrale 8.1 Definition eines Oberfla¨chenintegrals ~¼ F ~ðx; y; zÞ durch eine orientierte Fla¨che A wird Der „Fluss“ eines Vektorfeldes F durch das als Oberfla¨chenintegral bezeichnete Integral ðð

~¼ ~  dA F

ðAÞ

ðð

z

~ N ~ Þ dA ðF

Nk F(xk;yk;zk)

Fläche A

ðAÞ

Pk

beschrieben.

Flächenelement DAk

Bezeichnungen ~: N ~: dA

Fla¨chennormale

~ N ~: F

~ Normalkomponente von F

Orientiertes Fla¨chenelement vom Betrage dA

zk x

xk

y

yk

~ N ~ Þ dA ist der Fluss des Vektorfeldes F ~ durch das Fla¨chenelement dA, anschlieðF ßend werden die Beitra¨ge aller Fla¨chenelemente aufsummiert. Anmerkungen (1)

~ eindeutig festgelegt. Die Orientierung der Fla¨che ist durch die Fla¨chennormale N Bei einer geschlossenen Fla¨che, z. B. der Oberfla¨che einer Kugel, eines Zylinders ~ vereinbarungsgema¨ß nach außen. Bei einer offenen oder eines Quaders, zeigt N Fla¨che wird die Randkurve der Fla¨che so durchlaufen, dass mit der Fla¨chennormale Rechtsschraubung entsteht.

(2)

Auch die folgenden Bezeichnungen fu¨r das Oberfla¨chenintegral sind gebra¨uchlich: ~ oder kurz „Fluss“ des Feldvektors F ~ durch die „Flussintegral“ des Vektorfeldes F ~ Fla¨che A oder auch Fla¨chenintegral des Vektorfeldes F u¨ber die orientierte Fla¨che A.

(3)

Das Oberfla¨chenintegral u¨ber eine geschlossene Fla¨che A wird durch das Symbol ÐÐ ÐÐ ~ oder ðF ~  dA ~ N ~ Þ dA gekennzeichnet. Folgende Bezeichnungen fu¨r ein F



ðAÞ

ðAÞ

solches Integral sind in den Anwendungen u¨blich: „Hu¨llenintegral“ oder „Fluss“ des ~ durch die geschlossene Fla¨che A oder auch „Ergiebigkeit“ des FeldFeldvektors F ~. vektors F

8 Oberfla¨chenintegrale

393

8.2 Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals Ein Oberfla¨chenintegral la¨sst sich stets auf ein Doppelintegral zuru¨ckfu¨hren (siehe IX.3.1). 8.2.1 Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals in symmetriegerechten Koordinaten ÐÐ ÐÐ ~¼ ~  dA ~ N ~ Þ dA erfolgt in vier ðF F Die Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals ðAÞ ðAÞ Schritten: 1. Zuna¨chst werden geeignete Koordinaten ausgewa¨hlt, die sich der Symmetrie des Problems in optimaler Weise anpassen. Zur Auswahl stehen dabei: –– Kartesische Koordinaten x; y; z –– Zylinderkoordinaten r; j; z (Abschnitt XIV.6.2) –– Kugelkoordinaten r; J; j (Abschnitt XIV.6.3) ~, berechnet anschließend das Skalarpro2. Man bestimmt dann die Fla¨chennormale N ~ N ~ und dru¨ckt dieses sowie das Fla¨chenelement dA durch die gewa¨hlten dukt F Koordinaten aus. 3. Festlegung der Integrationsgrenzen im erhaltenen Doppelintegral. 4. Berechnung des Doppelintegrals in der bekannten Weise (siehe IX.3.1). &

Beispiel ~ ¼ ð1=r 2 Þ ~ er durch die (geschlossene) Oberfla¨che A der Wir berechnen den Fluss des Zentralfeldes F ~¼~ konzentrischen Einheitskugel. Auf der Kugeloberfla¨che gilt r ¼ 1 und daher F er , die Fla¨chennormale ~ ist der radiale Einheitsvektor ~ N er. Somit: ÐÐ



ðAÞ

~ N ~ Þ dA ¼ ðF

ÐÐ



ðAÞ

ð~ e ~ e Þ dA ¼ |fflfflfflfflr ffl{zfflfflfflfflrffl} 1

ÐÐ



ðAÞ

1 dA ¼

ÐÐ



ðAÞ

dA ¼ A ¼ 4 p

(Oberfla¨che der Einheitskugel: A ¼ 4 p) &

Sonderfa¨lle (1)

Der Fluss eines homogenen Vektorfeldes durch eine beliebige geschlossene Oberfla¨che ist stets Null.

(2)

~ ¼ f ðrÞ~ Der Fluss eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes F er durch die geschlossene Oberfla¨che eines (zur z-Achse) koaxialen Zylinders betra¨gt: ÐÐ ~ N ~ Þ dA ¼ f ðRÞ  2 p R H ðF ðAÞ

(R: Zylinderradius; H : Zylinderho¨he; Symmetrieachse ¼ z-Achse) (3)

~ ¼ f ðrÞ~ Der Fluss eines Zentralfeldes F er durch die geschlossene Oberfla¨che A einer (konzentrischen) Kugel betra¨gt: ÐÐ ~ N ~ Þ dA ¼ f ðRÞ  4 p R 2 ðF ðAÞ

(R: Kugelradius; Kugelmittelpunkt ¼ Koordinatenursprung)

394

XIV Vektoranalysis

8.2.2 Berechnung eines Oberfla¨chenintegrals unter Verwendung von Fla¨chenparametern ~¼ F ~ðx; y; zÞ „durchflutete“ Fla¨che A sei durch einen von Die von einem Vektorfeld F den beiden Parametern u und v abha¨ngigen Ortsvektor ~ r ¼~ r ðu; vÞ gegeben. Fu¨r den „Fluss“ durch diese Fla¨che gilt dann: ðð 

ðð ðð   ~ N ~ dA ¼ ~  ð~ ~~ tv du dv F F tu  ~ F tu ~ tv Þ du dv ¼

ðAÞ

ðAÞ

ðAÞ

Die Integralberechnung erfolgt in vier Schritten: ~ wird zuna¨chst durch die Fla¨chenparameter u und v ausgedru¨ckt, 1. Das Vektorfeld F indem man die Koordinaten x; y und z durch die parameterabha¨ngigen Koordinaten xðu; vÞ, yðu; v) und zðu; vÞ des Ortsvektors ~ r ðu; vÞ der Fla¨che ersetzt. tv der Fla¨che und mit ihnen das gemischte 2. Man bildet die Tangentenvektoren ~ tu und ~ ~  ð~ tv Þ. Produkt (Spatprodukt) F tu  ~ 3. Festlegung der Integationsgrenzen im erhaltenen Doppelintegral. 4. Berechnung des Doppelintegrals in der bekannten Weise (siehe IX.3.1). &

Beispiel

0

1 0 1 y cos u ~¼ F ~ðx; y; zÞ ¼ @ x A; Fla¨che A: ~ Vektorfeld: F r ¼~ r ðu; vÞ ¼ @ sin u A mit 0  u  p, 0  v  1 z2 v ~ durch die Fla¨che A (halber Mantel eines Zylinders mit dem Radius Wir berechnen den Fluss des Feldes F 0 1 sin u ~ u¨ber in F ~ ¼ @ cos u A : R ¼ 1 und der Ho¨he H ¼ 1). Mit x ¼ cos u, y ¼ sin u und z ¼ v geht F v2 Tangentenvektoren der Fla¨che: 0 1 0 1  sin u 0 @~ r @~ r ~ ~ ¼ @ cos u A ; tv ¼ ¼ @0A tu ¼ @u @v 0 1 Integrand des Flussintegrals: 0 1 0 1 0 1  sin u 0 cos u ~ tu  ~ tv ¼ @ cos u A  @ 0 A ¼ @ sin u A 0 1 0 0 1 0 1 sin u cos u ~  ð~ tv Þ ¼ @ cos u A  @ sin u A ¼ sin u  cos u þ cos u  sin u þ 0 ¼ F tu  ~ v2 0 ¼ 2  sin u  cos u ¼ sin ð2 uÞ Flussintegral:  Ð1 ÐÐ ÐÐ  ~ N ~ dA ¼ ~  ð~ tv Þ du dv ¼ F F tu  ~ ðAÞ

ðAÞ

Ðp

v¼0 u¼0

sin ð2 uÞ du dv

9 Integralsa¨tze von Gauß und Stokes

395

Berechnung des Doppelintegrals (siehe IX.3.1): Ð1

Ðp

v¼0 u¼0

Ergebnis:

ÐÐ  ðAÞ



p

1 1 sin ð2 uÞ du ¼ v v ¼ 0   ¼  cos ð2uÞ 2 v¼0 u¼0 u¼0

 

 1 1 1 1 ¼ 1  0    cos ð2 pÞ þ  cos 0 ¼ 1  1þ 1 ¼ 2 2 2 2   1 1 þ ¼ 10 ¼ 0 ¼1  2 2

sin ð2 uÞ du dv ¼

Ð1

dv 

Ðp

 ~ N ~ dA ¼ 0 F

&

9 Integralsa¨tze von Gauß und Stokes 9.1 Gaußscher Integralsatz Gaußscher Integralsatz im Raum Der Gaußsche Integralsatz im Raum stellt eine Verbindung her zwischen einem Oberfla¨chen- und einem Volumenintegral. Er lautet wie folgt: ~¼ F ~ðx; y; zÞ u¨ber eine ge„Das Oberfla¨chenintegral eines ra¨umlichen Vektorfeldes F ~, erstreckt u¨ber schlossene Fla¨che A ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz von F das von der Fla¨che A eingeschlossene Volumen V “: ðð

~ N ~ Þ dA ¼ ðF

ðAÞ

ðð

~¼ ~  dA F

ðAÞ

ððð

~ dV div F

ðVÞ

~: N

Nach außen gerichtete Fla¨chennormale ~ ist stetig differenzierbar. Voraussetzung: F Anmerkung ~ ¼ 0Þ ist der Gesamtfluss durch eine geschlossene Bei einem quellenfreien Feld ðdiv F Oberfla¨che gleich Null. &

Beispiel ~¼~ Wir berechnen den Fluss des Zentralfeldes F r ¼ r~ er durch die Oberfla¨che A einer konzentrischen Kugel vom Radius R mit Hilfe eines Volumenintegrals. Mit ~ ¼ div ~ div F r ¼ div ðr ~ er Þ ¼

1 @ 1  ðr 3 Þ ¼ 2  3 r 2 ¼ 3 r 2 @r r

(siehe hierzu XIV.6.3) folgt aus dem Gaußschen Integralsatz: ÐÐÐ ÐÐ ÐÐÐ ÐÐÐ 4 ~ N ~ Þ dA ¼ ~ dV ¼ ðF div F 3 dV ¼ 3  dV ¼ 3 V ¼ 3  pR3 ¼ 4p R3 3 ðAÞ ðVÞ ðVÞ ðVÞ (Kugelvolumen: V ¼ 4 p R 3 =3Þ.

&

396

XIV Vektoranalysis

Gaußscher Integralsatz in der Ebene Der Gaußsche Integralsatz gilt sinngema¨ß auch in der Ebene, wobei „Volumen“ durch „Fla¨che“ und „Oberfla¨che“ durch „geschlossene Kurve“ (Randkurve der Fla¨che) zu ersetzen sind. Er verbindet ein Kurven- oder Linienintegral mit einem zweidimensionalen Bereichsintegral (Doppelintegral) und lautet wie folgt: ~¼ F ~ðx; yÞ „Das Kurvenintegral der Normalkomponente eines ebenen Vektorfeldes F la¨ngs einer geschlossenen Kurve C ist gleich dem Bereichsintegral (Doppelintegral) u¨ber ~, erstreckt u¨ber die von der Kurve C eingeschlossene Fla¨che A“: die Divergenz von F ðð  ~ N ~ ds ¼ ~ dA F div F

þ

ðAÞ

C

A N

~: N ds:

Nach außen gerichtete Kurvennormale Linienelement der Randkurve C Randkurve C

~ ist stetig differenzierbar und die Randkurve C wird so durchlaufen, Voraussetzung: F dass die Fla¨che A links liegen bleibt.

9.2 Stokes’scher Integralsatz Der Integralsatz von Stokes ermo¨glicht die Umwandlung eines Oberfla¨chenintegrals in ein Kurven- oder Linienintegral und umgekehrt. Er lautet wie folgt: ~¼ F ~ðx; y; zÞ la¨ngs „Das Kurven- oder Linienintegral eines ra¨umlichen Vektorfeldes F ~ einer geschlossenen Kurve C ist gleich dem Oberfla¨chenintegral der Rotation von F u¨ber eine beliebige Fla¨che A, die durch die Kurve C berandet wird: þ C

~: N

~  d~ F r ¼

ðð 

ðð    ~¼ ~  dA ~  N ~ dA rot F rot F

ðAÞ

ðAÞ

Fla¨chennormale

räumliche Fläche

~ ist stetig differenzierbar Voraussetzung: F und die Randkurve C der Fla¨che A ist orientiert (ein Beobachter, der in die Rich~ blickt, durchla¨uft die Randkurtung von N ve C so, dass die Fla¨che links liegen bleibt).

N

Flächenelement dA Randkurve C

9 Integralsa¨tze von Gauß und Stokes

Anmerkungen

ÐÐ 

397

 ~  N ~ dA wird auch als „Wirbelfluss“ bezeichnet. rot F

(1)

Das Oberfla¨chenintegral

(2)

Der Wirbelfluss durch eine geschlossene Fla¨che ist gleich Null und fu¨r alle Fla¨chen, die von der gleichen Kurve C berandet werden, gleich groß. Der Stokes’sche Satz gilt auch fu¨r Fla¨chen, die von mehreren geschlossenen Kurven berandet werden.

ðAÞ

(3)

&

Beispiel

0

~¼B Wir berechnen den Wirbelfluss des Vektorfeldes F @

x2 þ y2 0

1 C A durch den Mantel A der Halbkugel

z2 x þy þz 2

2

2

¼ 1, z  0 mit Hilfe eines Linienintegrals.

Nach Stokes gilt: ÐÐ  ðAÞ

z



~¼ ~  dA rot F

Þ

1

~  d~ F r

A

C

0

1 y

x

1

C: x 2 + y 2 = 1

Die Randkurve C ist der Einheitskreis mit der Parameterdarstellung x ¼ cos t, y ¼ sin t, z ¼ 0, 0  t  2 p. Mit dx ¼  sin t dt, dy ¼ cos t dt, dz ¼ 0 wird 0 B ~  d~ F r ¼@

x2 þ y2 0 z2

0 1 dx C B C A  @ dy A ¼ ðx 2 þ y 2 Þ dx þ 0 dy þ z 2 dz ¼ ðx 2 þ y 2 Þ dx þ z 2 dz ¼ dz 1

¼ ðcos 2 t þ sin 2 t Þ  ð sin t dtÞ þ 0 2  0 ¼  sin t dt |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Somit ist: ÐÐ  ðAÞ

1 2Ðp 

2p Þ ~¼ F ~  dA ~  d~ rot F r ¼  sin t dt ¼ cos t 0 ¼ cos ð2 pÞ  cos 0 ¼ 1  1 ¼ 0 C

0

&

398

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik

1.1 Permutationen Eine Anordnung von n Kugeln (allgemein: Elementen) in einer bestimmten Reihenfolge heißt Permutation. Fu¨r die Anzahl der mo¨glichen Permutationen gilt dann:

1. Alle n Kugeln sind voneinander verschieden: P ðnÞ ¼ n ! 2. Unter den n Kugeln befinden sich jeweils n1 ; n2 ; . . . ; nk einander gleiche: P ðn; n1 ; n2 ; . . . ; nk Þ ¼ ðn1 þ n2 þ . . . þ nk ¼ n

&

n! n1 ! n 2 ! . . . n k ! und

k  nÞ

Beispiele (1)

Es gibt P ð3Þ ¼ 3 ! ¼ 6 verschiedene Mo¨glichkeiten, 3 verschiedenfarbige Kugeln anzuordnen:

(2)

In einer Urne befinden sich 5 Kugeln, 3 weiße und 2 rote. Sie lassen sich auf P ð5; 3, 2Þ ¼

5! 3!  4  5 45 ¼ ¼ ¼ 2  5 ¼ 10 3! 2! 3!  2 2

verschiedene Arten anordnen. &

1 Hilfsmittel aus der Kombinatorik

399

1.2 Kombinationen Aus einer Urne mit n verschiedenen Kugeln werden nacheinander k Kugeln entnommen und in beliebiger Weise angeordnet (Urnenmodell). Eine solche Anordnung heißt Kombination k-ter Ordnung. Fu¨r die Anzahl der mo¨glichen Kombinationen k-ter Ordnung gilt dann: 1. Die Ziehung der k Kugeln erfolgt ohne Zuru¨cklegen (sog. Kombinationen k-ter Ordnung ohne Wiederholung): n C ðn; kÞ ¼ ðk  nÞ k 2. Die Ziehung der k Kugeln erfolgt mit Zuru¨cklegen (sog. Kombinationen k-ter Ordnung mit Wiederholung):   nþk 1 Cw ðn; kÞ ¼ ðk ¼ 1; 2; 3; . . .Þ k &

Beispiel Einer Warenlieferung von 10 Glu¨hbirnen von jeweils 100 Watt soll zu Kontrollzwecken eine Stichprobe von 3 Glu¨hbirnen entnommen werden. Es gibt dann   10  9  8 10 ¼ 5  3  8 ¼ 120 C ð10; 3Þ ¼ ¼ 123 3 verschiedene Mo¨glichkeiten, aus den 10 Glu¨hbirnen 3 auszuwa¨hlen. &

1.3 Variationen Einer Urne mit n verschiedenen Kugeln werden nacheinander k Kugeln entnommen und in der Reihenfolge ihrer Ziehung angeordnet. Eine solche Anordnung heißt Variation k-ter Ordnung. Fu¨r die Anzahl der mo¨glichen Variationen k-ter Ordnung gilt dann: 1. Die Ziehung der k Kugeln erfolgt ohne Zuru¨cklegen (sog. Variationen k-ter Ordnung ohne Wiederholung): V ðn; kÞ ¼

n! ðn  kÞ !

ðk  nÞ

2. Die Ziehung der k Kugeln erfolgt mit Zuru¨cklegen (sog. Variationen k-ter Ordnung mit Wiederholung): Vw ðn; kÞ ¼ n k &

ðk ¼ 1; 2; 3; . . .Þ

Beispiel Bei einem 100-Meter-Lauf starten 8 La¨ufer. Fu¨r die ersten 3 Pla¨tze gibt es Medaillen (Gold, Silber, Bronze). Wieviel verschiedene Zieleinla¨ufe fu¨r die ersten 3 Pla¨tze sind mo¨glich? Lo¨sung: Von n ¼ 8 La¨ufern werden k ¼ 3 La¨ufer die Pla¨tze 1, 2 und 3 belegen. Es handelt sich somit um Variationen 3. Ordnung und zwar ohne Wiederholung, da jeder La¨ufer nur einen Platz belegen kann. Die Anzahl der mo¨glichen Zieleinla¨ufe ist somit V ð8; 3Þ ¼

8! 8! 5!  6  7  8 ¼ ¼ ¼ 6  7  8 ¼ 336 ð8  3Þ ! 5! 5!

&

400

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

2 Grundbegriffe Zufallsexperiment La¨sst sich ein Experiment unter den gleichen a¨ußeren Bedingungen beliebig oft wiederholen, wobei mehrere sich gegenseitig ausschließende Ergebnisse mo¨glich sind und ist das Ergebnis bei einer konkreten Durchfu¨hrung des Experiments ungewiss, d. h. zufallsbedingt, so spricht man von einem Zufallsexperiment. &

Beispiele Wurf einer Mu¨nze oder eines Wu¨rfels, zufa¨llige Entnahme von Kugeln aus einer Urne, Stichprobenentnahme aus einer laufenden Produktion zwecks Qualita¨tskontrolle. &

Elementarereignisse, Ergebnismenge eines Zufallsexperiments Elementarereignisse heißen die mo¨glichen sich gegenseitig ausschließenden Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Symbolische Schreibweise: w1 ; w2 ; w3 ; . . . Die Menge aller Elementarereignisse heißt Ergebnismenge des Zufallsexperiments. Symbolische Schreibweise: W ¼ fw1 ; w2 ; w3 ; . . .g &

Beispiel Beim „Wurf einer homogenen Mu¨nze“ gibt es die beiden Elementarereignisse Z ¼ Zahl und W ¼ Wappen. Ergebnismenge: W ¼ fZ; Wg &

Ereignisse, Ereignisraum oder Ereignisfeld Alle mo¨glichen Ergebnisse (Versuchsausga¨nge) eines Zufallsexperiments werden als Ereignisse bezeichnet. Ein Ereignis A ist daher immer eine Teilmenge der Ergebnismenge W, die bekanntlich sa¨mtliche Elementarereignisse entha¨lt. Die Menge aller Ereignisse heißt Ereignisraum oder Ereignisfeld. Der Ereignisraum entha¨lt also alle Teilmengen der Ergebnismenge W und somit definitionsgema¨ß auch die leere Menge ; und die Ergebnismenge W selbst. ; beschreibt das sog. unmo¨gliche Ereignis (d. h. ein Ereignis, das nie eintreten kann), W dagegen das sog. sichere Ereignis (d. h. ein Ereignis, das immer eintreten wird). &

Beispiel Beim „Wurf eines homogenen Wu¨rfels“ gibt es 6 Elementarereignisse, na¨mlich das Auftreten einer der 6 Zahlen („Augen“) 1; 2; . . . ; 6. Ergebnismenge: W ¼ f1; 2; 3; 4; 5; 6g Ereignisse sind z. B. die folgenden Teilmengen von W: f2; 4; 6g: Wu¨rfeln einer geraden Zahl f1; 6g: Wu¨rfeln einer „1“ oder einer „6“ W ist das sichere Ereignis, da bei jedem Wurf eine der Zahlen 1; 2; . . . ; 6 oben liegt! &

2 Grundbegriffe

401

Verknu¨pfungen von Ereignissen Ereignisse werden durch Teilmengen der Ergebnismenge W beschrieben und lassen sich daher wie Mengen verknu¨pfen. Dies fu¨hrt zu den folgenden zusammengesetzten Ereignissen (A und B sind dabei beliebige Ereignisse): Verknu¨pfungssymbol mit Euler-Venn-Diagramm

Vereinigung der Ereignisse A und B:

A U B

A

B

Bedeutung des zusammengesetzten Ereignisses

Ω

Entweder tritt A ein oder B oder A und B gleichzeitig Symbolische Schreibweise: A [ B

U

A

B

Durchschnitt der Ereignisse A und B: A und B treten gleichzeitig ein Ω

A

B

Ω

A A

Symbolische Schreibweise: A \ B

Zu A komplementa¨res Ereignis: A tritt nicht ein Symbolische Schreibweise: A

Anmerkungen (1) Das Ereignis A [ B wird auch als Summe aus A und B bezeichnet (symbolische Schreibweise: A þ B). (2)

Das Ereignis A \ B heißt auch Produkt aus A und B (symbolische Schreibweise: A  B oder kurz A B).

(3)

A ist die Restmenge (Differenzmenge) von W und A: A ¼ W n A

(4)

Fu¨r sich gegenseitig ausschließende Ereignisse gilt A \ B ¼ ; (sog. „disjunkte“ Mengen).

&

Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf einer homogenen Mu¨nze“ A ¼ fZg: „Zahl“ liegt oben

)

A ¼ fWg: „Wappen“ liegt oben &

402

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

De Morgansche Regeln A [ B ¼ A \ B;

A \ B ¼ A[B

A; B: beliebige Ereignisse

3 Wahrscheinlichkeit 3.1 Absolute und relative Ha¨ufigkeit Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgefu¨hrt, dabei tritt das Ereignis A genau n ðAÞmal ein. Dann heißt n ðAÞ die absolute und hn ðAÞ ¼ n ðAÞ=n die relative Ha¨ufigkeit des Ereignisses A. Eigenschaften und Regeln fu¨r relative Ha¨ufigkeiten (1)

0  hn ðAÞ  1

(2)

Fu¨r das sichere Ereignis W gilt hn ðWÞ ¼ 1.

(3)

Fu¨r sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B gilt der Additionssatz hn ðA [ BÞ ¼ hn ðAÞ þ hn ðBÞ

(4)

&

ðA \ B ¼ ;Þ

Erfahrungsgema¨ß gilt: Wird die Anzahl n der Versuche laufend vergro¨ßert, so „stabilisiert“ sich i. Allg. die relative Ha¨ufigkeit hn ðAÞ eines Ereignisses A und schwankt somit immer weniger um einen bestimmten (konstanten) Wert h ðAÞ.

Beispiel Das Zufallsexperiment „Wurf eines homogenen Wu¨rfels“ wurde n ¼ 100 Mal durchgefu¨hrt und fu¨hrte zu der folgenden Verteilungstabelle mit dem nebenstehenden Stabdiagramm:

i

1

2

3

4

5

6

ni

15

18

14

17

19

17

hi

0,15

0,18

0,14

0,17

0,19

0,17

hi 0,20 0,15 0,10

ni :

Anzahl der Wu¨rfe mit der Augenzahl i ði ¼ 1; 2; . . . ; 6Þ

0,05

hi ¼ ni =100

1

2

3

4

5

6

i

&

3 Wahrscheinlichkeit

403

3.2 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff Jedem Ereignis A eines Zufallsexperiments mit der Ergebnismenge W wird eine reelle Zahl P ðAÞ, Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A genannt, so zugeordnet, dass die folgenden Axiome erfu¨llt sind: Axiom 1: 0  P ðAÞ  1 P ðWÞ ¼ 1

Axiom 2:

( Wahrscheinlichkeit fu¨r das sichere Ereignis)

Axiom 3: Fu¨r paarweise sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A1 ; A2 ; A3 ; . . . gilt der Additionssatz P ðA1 [ A2 [ A3 [ . . .Þ ¼ P ðA1 Þ þ P ðA2 Þ þ P ðA3 Þ þ . . . In der Praxis gilt: Die meist unbekannte Wahrscheinlichkeit P ðAÞ eines Ereignisses A wird na¨herungsweise durch die in umfangreichen Versuchsreihen beobachtete relative Ha¨ufigkeit hn ðAÞ ersetzt: P ðAÞ  hn ðAÞ (sog. „statistischer“ oder „empirischer“ Wahrscheinlichkeitswert). Rechenregeln fu¨r Wahrscheinlichkeiten Fu¨r das unmo¨gliche Ereignis ; gilt P ð;Þ ¼ 0. Fu¨r das zum Ereignis A komplementa¨re Ereignis A gilt

(1) (2)

P ðAÞ ¼ 1  P ðAÞ (3)

Additionssatz fu¨r zwei beliebige Ereignisse A und B:

(4)

Additionssatz fu¨r zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse A und B:

P ðA [ BÞ ¼ P ðAÞ þ P ðBÞ  P ðA \ BÞ P ðA [ BÞ ¼ P ðAÞ þ P ðBÞ &

ðA \ B ¼ ;Þ

Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf einer homogenen Mu¨nze“ Ergebnismenge: W ¼ fZ; Wg

Z ¼ Zahl, W ¼ Wappen

Festlegung der Wahrscheinlichkeiten: P ðZÞ ¼ P ðWÞ ¼ 0,5 (die Elementarereignisse Z und W sind gleichwahrscheinlich). &

3.3 Laplace-Experimente Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn alle m Elementarereignisse w1 ; w2 ; . . . ; wm die gleiche Wahrscheinlichkeit p ¼ 1=m besitzen. Fu¨r ein beliebiges Ereignis A gilt dann: P ðAÞ ¼ g ðAÞ:

g ðAÞ m

Anzahl der fu¨r das Ereignis A gu¨nstigen Fa¨lle (d. h. derjenigen Fa¨lle, in denen A eintritt)

404 &

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf eines homogenen Wu¨rfels“ Die Wahrscheinlichkeit p ðiÞ fu¨r das Wu¨rfeln der Augenzahl „i“ ist fu¨r alle 6 mo¨glichen Augenzahlen gleich (Laplace-Experiment): p ðiÞ ¼ 1=6 fu¨r i ¼ 1; 2; . . . ; 6. Fu¨r das Ereignis A: „Wu¨rfeln einer geraden Zahl“ gilt dann: 1 1 1 3 1 þ þ ¼ ¼ P ðAÞ ¼ p ð2Þ þ p ð4Þ þ p ð6Þ ¼ 6 6 6 6 2 Denn es gibt unter den 6 Elementarereignissen genau 3 fu¨r das Ereignis A gu¨nstige Fa¨lle (A tritt ein bei der Augenzahl „2“, „4“ oder „6“). &

3.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit P ðB j AÞ fu¨r das Eintreten des Ereignisses B unter der Bedingung oder Voraussetzung, dass das Ereignis A bereits eingetreten ist, betra¨gt P ðB j AÞ ¼

P ðA \ BÞ P ðAÞ

ðP ðAÞ 6¼ 0Þ

(sog. bedingte Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung AÞ &

Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf eines homogenen Wu¨rfels“ A: gerade Augenzahl

)

A ¼ f2; 4; 6g

B: Augenzahl „6“

)

B ¼ f6g

A \ B ¼ f6g: Augenzahl „6“ P ðB j AÞ ¼

mit

mit

P ðAÞ ¼ 1=2

P ðA \ BÞ ¼ 1=6

P ðA \ BÞ 1=6 1 2 2 1 ¼ ¼  ¼ ¼ P ðAÞ 1=2 6 1 6 3

P ðB j AÞ ist dabei die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, die Augenzahl „6“ zu erhalten, wenn bereits bekannt ist, dass die gewu¨rfelte Augenzahl gerade ist. &

3.5 Multiplikationssatz Die Wahrscheinlichkeit fu¨r das gleichzeitige Eintreten der Ereignisse A und B betra¨gt P ðA \ BÞ ¼ P ðAÞ  P ðB j AÞ Entsprechend bei drei gleichzeitig eintretenden Ereignissen A, B und C : P ðA \ B \ CÞ ¼ P ðAÞ  P ðB j AÞ  P ðC j A \ BÞ

3 Wahrscheinlichkeit

405

3.6 Stochastisch unabha¨ngige Ereignisse Ist das Eintreten des Ereignisses B unabha¨ngig davon, ob das Ereignis A bereits eingetreten ist oder nicht und umgekehrt, so heißen die Ereignisse A und B stochastisch unabha¨ngig. Es gilt dann: P ðA \ BÞ ¼ P ðAÞ  P ðBÞ Entsprechend bei drei stochastisch unabha¨ngigen Ereignissen A; B und C : P ðA \ B \ CÞ ¼ P ðAÞ  P ðBÞ  P ðCÞ &

Beispiel Eine homogene Mu¨nze wird zweimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten wir zuna¨chst „Zahl“ und dann „Wappen“? Lo¨sung: )

P ðAÞ ¼ 1=2

B: „Wappen“ beim 2. Wurf )

P ðBÞ ¼ 1=2

A: „Zahl“ beim 1. Wurf

Die beiden Ereignisse sind unabha¨ngig voneinander. Die Wahrscheinlichkeit fu¨r das Ereignis A \ B: Zuna¨chst „Zahl“, dann „Wappen“ betra¨gt dann P ðA \ BÞ ¼ P ðAÞ  P ðBÞ ¼

1 1 1  ¼ 2 2 4 &

3.7 Mehrstufige Zufallsexperimente Ereignisbaum (Baumdiagramm) Ein mehrstufiges Zufallsexperiment besteht aus mehreren nacheinander ablaufenden Zufallsexperimenten. Es la¨sst sich anschaulich durch einen Ereignisbaum, auch Baumdiagramm genannt, darstellen: Pfad mit 2 Zweigen

B5

A1 ; A2 : Verzweigungspunkte (mo¨gliche Ergebnisse der 1. Stufe, d. h. Zwischenergebnisse)

A2 B4 Wurzel Zweig B3

B1 ; . . . ; B5 : Mo¨gliche Endergebnisse

P(A 1 ) A1

B2 B1

Verzweigungspunkt (mögliches Zwischenergebnis)

mögliches Endergebnis

406

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Pfadregeln Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten la¨ngs bestimmter Pfade (die aus mehreren Zweigen bestehen) geschieht mit Hilfe der folgenden Pfadregeln: (1)

Die Wahrscheinlichkeiten la¨ngs eines Pfades werden miteinander multipliziert.

(2)

Fu¨hren mehrere Pfade zum gleichen Endergebnis, so addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten.

Totale Wahrscheinlichkeit

An

Ein Ereignis B trete stets in Verbindung mit genau einem der sich paarweise gegenseitig ausschließenden Ereignisse A1 ; A2 ; . . . ; An auf, d. h. die Ereignisse Ai sind die mo¨glichen „Zwischenstationen“ auf dem Wege zum Ereignis B (siehe Bild).

Aj 0

P(A j )

P(B/A j )

B

A2

A1

Die sog. totale Wahrscheinlichkeit fu¨r das Eintreten des Ereignisses B betra¨gt dann P ðBÞ ¼

P

P ðAi Þ  P ðB j Ai Þ

i

P ðAi Þ  P ðB j Ai ): Wahrscheinlichkeit dafu¨r, das Ereignis B u¨ber die „Zwischenstation“ Ai zu erreichen (Wahrscheinlichkeit la¨ngs des Pfades O Ai BÞ Regel: Die Wahrscheinlichkeiten aller nach B fu¨hrenden Pfade werden addiert.

Bayes’sche Formel Die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass das bereits eingetretene Ereignis B u¨ber die „Zwischenstation“ Aj , d. h. la¨ngs des Pfades O Aj B erreicht wurde, betra¨gt P ðAj j BÞ ¼

P ðO Aj BÞ P ðAj Þ  P ðB j Aj Þ ¼ P P ðBÞ P ðAi Þ P ðB j Ai Þ i

(sog. Bayes’sche Formel). Regel: Die Wahrscheinlichkeit la¨ngs des einzigen „gu¨nstigen“ Pfades O Aj B wird durch die totale Wahrscheinlichkeit P ðBÞ dividiert.

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen &

407

Beispiel Auf zwei Maschinen M1 und M2 werden Glu¨hbirnen vom gleichen Typ hergestellt und zwar mit einem Anteil von 80 % bzw. 20 % an der Gesamtproduktion. Die Ausschussanteile betragen jeweils 2 %. Aus der Gesamtproduktion wird zufa¨llig eine Glu¨hbirne entnommen und auf ihre Funktionstu¨chtigkeit hin u¨berpru¨ft. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man dabei eine defekte Glu¨hbirne? b) Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass diese auf der Maschine M1 produziert wurde? Lo¨sung: Ai : Die entnommene Glu¨hbirne wurde auf der Maschine Mi produziert ði ¼ 1; 2Þ B: Die entnommene Glu¨hbirne ist defekt Zwei Pfade fu¨hren nach B („Zwischenstationen“ sind A1 bzw. A2 ). Aus dem Ereignisbaum lassen sich dann die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln leicht berechnen: P ðO A1 BÞ ¼ P ðA1 Þ  P ðB j A1 Þ ¼

A2

¼ 0,8  0,02 ¼ 0,016 P ðO A2 BÞ ¼ P ðA2 Þ  P ðB j A2 Þ ¼

0,2

0,02 B

O

¼ 0,2  0,02 ¼ 0,004

0,8

A1

0,02

a) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist die totale Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B: P ðBÞ ¼ P ðO A1 BÞ þ P ðO A2 BÞ ¼ 0,016 þ 0,004 ¼ 0,020 ¼ 2 % b) Die gesuchte Wahrscheinlichkeit P ðA1 j BÞ berechnen wir mit Hilfe der Bayes’schen Formel: P ðA1 j BÞ ¼

P ðO A1 BÞ P ðBÞ

¼

0,016 ¼ 0,8 ¼ 80 % 0,020 &

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen 4.1 Zufallsvariable Eine Zufallsvariable oder Zufallsgro¨ße X ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis w aus der Ergebnismenge W genau eine reelle Zahl X ðw) zuordnet. Sie heißt diskret, wenn sie endlich viele oder abza¨hlbar unendlich viele Werte annehmen kann, stetig dagegen, wenn sie jeden Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen kann.

408

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

4.2 Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen Die Verteilungsfunktion FðxÞ einer Zufallsvariablen X ist die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der ho¨chstens gleich einem vorgegebenen Zahlenwert x ist: F ðxÞ ¼ P ðX  xÞ Eigenschaften (1) (2) (3) (4)

F ðxÞ ist monoton wachsend mit 0  F ðxÞ  1. lim

F ðxÞ ¼ 0

(unmo¨gliches Ereignis)

lim

F ðxÞ ¼ 1

(sicheres Ereignis)

x!1 x!þ1

Die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass X einen Wert aus dem Intervall a < X  b annimmt, betra¨gt P ða < X  bÞ ¼ F ðbÞ  F ðaÞ

Diskrete Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsvariablen: Wahrscheinlichkeitsfunktion (Stabdiagramm) ( x ¼ xi pi .. fur f ðxÞ ¼ .. 0 alle ubrigen x

f(x)

x1

Verteilungsfunktion (Treppenfunktion) F ðxÞ ¼ P ðX  xÞ ¼

x2

x3

x4

xn

x

F(x)

P xi  x

1 pn

f ðxi Þ p4 p3 p2 p1 x1

x2

x3 x4

xn

x

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen

409

Eigenschaften (1) (2)

pi ist die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass die Zufallsvariable X den Wert xi annimmt ð pi > 0Þ. P P f ðxi Þ ¼ pi ¼ 1 : f ðxÞ  0 ist normiert, d. h. i

&

i

Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf einer homogenen Mu¨nze“ (Laplace-Experiment) Zufallsvariable: X ¼ Anzahl „Wappen“ X ist diskret, mo¨gliche Werte sind 0 (Zahl) und 1 (Wappen). Verteilungstabelle: xi

0

1

f ðxi Þ

0,5

0,5

Stabdiagramm und Treppenkurve:

F(x)

f(x)

1 0,5 0,5

0

1

0

x

1

x &

Stetige Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen: Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

f(x)

(kurz: Dichtefunktion) f ðxÞ ¼ F 0 ðxÞ

x

Verteilungsfunktion

F(x)

ðx F ðxÞ ¼ P ðX  xÞ ¼

f ðuÞ du

1

1

x

410

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eigenschaften (1)

f ðxÞ  0 ist normiert:

1 Ð 1

f(x)

f ðxÞ dx ¼ 1

P(a ≤ X ≤ b)

(entspricht der Gesamtfla¨che unter der Dichtefunktion). (2)

Ðb

P ða  X  bÞ ¼

f ðxÞ dx

a

a

b

x

(entspricht der im Bild grau unterlegten Fla¨che)

&

Beispiel

f(x)

X sei eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit der Dichtefunktion ( f ðxÞ ¼

e x

.. fur

0

1

x  0 x < 0

x

Die zugeho¨rige Verteilungsfunktion lautet dann fu¨r x  0: F ðxÞ ¼ ¼

Ðx 1

f ðuÞ du ¼

x ½ e  u  0

Ðx

e  u du ¼

F(x) 1

0

¼  ex þ e 0 ¼

¼  e x þ 1 ¼ 1  e x

x

Fu¨r x < 0 ist FðxÞ ¼ 0 .

&

4.3 Kennwerte oder Maßzahlen einer Verteilung Erwartungswert einer Zufallsvariablen X E ðXÞ ¼

P

xi  f ðxi Þ

(diskrete Verteilung)

i 1 ð

x  f ðxÞ dx

E ðXÞ ¼ 1

(stetige Verteilung)

4 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen &

411

Beispiele (1)

Wir berechnen den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit der nebenstehenden Verteilungstabelle:

E ðXÞ ¼

P

0

1

2

3

f ðxi Þ

1/8

3/8

3/8

1/8

1 3 3 1 3 6 3 12 3 þ1 þ2 þ3 ¼ þ þ ¼ ¼ 8 8 8 8 8 8 8 8 2

xi  f ðxi Þ ¼ 0 

i

(2)

xi

Die stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f ðxÞ ¼ e  x fu¨r x  0 (sonst f ðxÞ ¼ 0Þ besitzt den folgenden Erwartungswert: E ðXÞ ¼

1 Ð 1

x  f ðxÞ dx ¼

1 Ð 0

1

x  e  x dx ¼ ½ð x  1Þ  e  x  0 ¼ 0 þ e 0 ¼ 0 þ 1 ¼ 1 &

Erwartungswert einer Funktion Z ¼ g (X) E ðZÞ ¼

P

gðxi Þ  f ðxi Þ

(diskrete Verteilung)

i 1 ð

E ðZÞ ¼

g ðxÞ  f ðxÞ dx

(stetige Verteilung)

1

Rechenregeln fu¨r Erwartungswerte a, b und c sind Konstanten (1)

E ðcÞ ¼ c

(2)

E ða  g1 ðxÞ þ b  g2 ðxÞÞ ¼ a  E ðg1 ðxÞÞ þ b  E ðg2 ðxÞÞ

Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen Mittelwert m, Varianz s 2 und Standardabweichung s sind die drei Maßzahlen oder Kennwerte einer Zufallsvariablen X. Sie sind wie folgt definiert: Kennwerte (Maßzahlen) Mittelwert m ¼ E ðXÞ

diskret P

xi  f ðxi Þ

i

Varianz s 2 ¼ Var ðXÞ

P

ðxi  mÞ 2  f ðxi Þ

i

Standardabweichung s

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Var ðXÞ

stetig 1 Ð 1 1 Ð 1

x  f ðxÞ dx ðx  mÞ 2  f ðxÞ dx

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Var ðXÞ

412

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Anmerkungen (1)

Der Mittelwert m ist der Erwartungswert von X.

(2)

Die Varianz s 2 ist ein Maß fu¨r die mittlere quadratische Abweichung der Einzelwerte vom Mittelwert m („Streuung“ der Einzelwerte um den Mittelwert). s 2 ist der Erwartungswert der Funktion (Zufallsvariablen) Z ¼ ðX  mÞ 2 .

(3)

s 2 ¼ E ðX 2 Þ  m 2 („bequemere“ Rechenformel fu¨r die Varianz)

(4)

m, s 2 und s werden auch als Kennwerte (Maßzahlen) der Verteilung bezeichnet.

Rechenregeln fu¨r lineare Funktionen (1)

E ða  X þ bÞ ¼ a  E ðXÞ þ b

(2)

Var ða  X þ bÞ ¼ a 2  Var ðXÞ

) a, b: Konstanten

5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

5.1 Binomialverteilung Bernoulli-Experiment Ein Zufallsexperiment mit nur zwei sich gegenseitig ausschließenden Ergebnissen (Ereignissen) heißt Bernoulli-Experiment. &

Beispiel Beim Zufallsexperiment „Wurf einer homogenen Mu¨nze“ gibt es nur die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ergebnisse „Zahl“ oder „Wappen“. Es handelt sich also um ein Bernoulli-Experiment. &

Urnenmodell Eine Urne enthalte weiße und schwarze Kugeln. Die zufa¨llige Entnahme einer Kugel ist dann ein Bernoulli-Experiment. Wird dieses Experiment n-mal nacheinander durchgefu¨hrt, wobei die jeweils gezogene Kugel vor der na¨chsten Ziehung in die Urne zuru¨ckgelegt wird („Ziehung mit Zuru¨cklegen“), so ist die diskrete Zufallsvariable X ¼ Anzahl der insgesamt gezogenen weißen Kugeln binomialverteilt (mo¨gliche Werte fu¨r X : 0; 1; 2; . . . ; nÞ.

5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

413

Binomialverteilung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion   n ðx ¼ 0; 1; 2; . . . ; nÞ p x  q nx f ðxÞ ¼ P ðX ¼ xÞ ¼ x und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion   n p k  q nk F ðxÞ ¼ P ðX  xÞ ¼ k

P

kx

heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p ðn ¼ 1; 2; 3; . . . ; 0 < p < 1; q ¼ 1  p). Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m ¼ n p Varianz: s 2 ¼ n p q ¼ n p ð1  pÞ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Standardabweichung: s ¼ npq ¼ n p ð1  pÞ f(x) 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

n = 6 , p = 0,1

Wahrscheinlichkeitsfunktion f ðxÞ einer Binomialverteilung mit den Parametern n ¼ 6 und p ¼ 0,1

0

1

2

3

4

5

6

x

Anmerkungen (1) (2)

(3)

Symbolische Schreibweise fu¨r die Binomialverteilung: B ðn; pÞ Anwendung findet die Binomialverteilung u¨berall dort, wo alternative Entscheidungen zu treffen sind. Beispiele: Mu¨nzwurf (Zahl oder Wappen), Qualita¨tskontrollen (einwandfrei oder Ausschuß). Wird ein Bernoulli-Experiment mit den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen A und A n-mal nacheinander ausgefu¨hrt (sog. mehrstufiges Bernoulli-Experiment vom Umfang n), so ist die diskrete Zufallsvariable X ¼ Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis A eintritt binomialverteilt mit den Parametern n und p. Dabei bedeuten: p : Konstante Wahrscheinlichkeit fu¨r das Eintreten des Ereignisses A beim Einzelversuch ð0 < p < 1Þ q: Konstante Wahrscheinlichkeit fu¨r das Eintreten des zu A komplementa¨ren Ereignisses A beim Einzelversuch ðq ¼ 1  pÞ n: Anzahl der Ausfu¨hrungen des Bernoulli-Experiments (Umfang des mehrstufigen Bernoulli-Experiments)

414

(4)

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

blich sind auch folgende Bezeichnungen: A ¼ Erfolg,

(5)

(7)

p ¼ Erfolgswahrscheinlichkeit

Nu¨tzliche Rekursionsformel fu¨r die Praxis: f ðx þ 1Þ ¼

(6)

A ¼ Mißerfolg,

ðn  xÞ p  f ðxÞ ðx þ 1Þ ð1  pÞ

ðx ¼ 0; 1; 2; . . . ; n  1Þ

Sonderfall n ¼ 1: Die Zufallsvariable X kann nur die Werte 0 und 1 annehmen (sog. „Null-Eins-Verteilung“): X ¼ 0

)

A

ist eingetreten

X ¼ 1

)

A

ist eingetreten

Die Binomialverteilung B ðn; pÞ darf fu¨r großes n und kleines p na¨herungsweise durch die (rechnerisch bequemere) Poisson-Verteilung mit dem Parameter m ¼ n p ersetzt werden (Faustregel: n p < 10 und n > 1500 p).

5.2 Hypergeometrische Verteilung Urnenmodell In einer Urne befinden sich N Kugeln, darunter M weiße und N  M schwarze Kugeln. Entnimmt man der Urne ganz zufa¨llig n Kugeln, wobei die jeweils gezogene Kugel vor der na¨chsten Ziehung nicht in die Urne zuru¨ckgelegt wird („Ziehung ohne Zuru¨cklegen“), so genu¨gt die diskrete Zufallsvariable X ¼ Anzahl der insgesamt gezogenen weißen Kugeln einer hypergeometrischen Verteilung (mo¨gliche Werte fu¨r X : 0; 1; 2; . . . ; n). Hypergeometrische Verteilung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion     M N M  x nx f ðxÞ ¼ P ðX ¼ xÞ ¼ ðx ¼ 0; 1; 2; . . . ; nÞ   N n und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion     M N M  k nk F ðxÞ ¼   N kx n

P

heißt hypergeometrische Verteilung mit den Parametern ðN ¼ 1; 2; 3; . . . ; M ¼ 1; 2; 3; . . . ; N; M  N; n  N).

N,

M

und

n

5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

415

Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m ¼ n Varianz: s 2 ¼

M N

n M ðN  MÞ ðN  nÞ

N 2 ðN  1Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n M ðN  MÞ ðN  nÞ Standardabweichung: s ¼ N 2 ðN  1Þ

f(x) 0,5 N=50,M=10,n=5

0,4 0,3 0,2

Wahrscheinlichkeitsfunktion f ðxÞ einer hypergeometrischen Verteilung mit den Parametern N ¼ 50, M ¼ 10 und n ¼ 5

0,1

0

1

2

3

4

5

x

Anmerkungen (1) (2) (3)

Symbolische Schreibweise fu¨r die hypergeometrische Verteilung: H ðN; M; nÞ. Anwendungen: Qualita¨ts- und Endkontrollen eines Herstellers von Massenartikeln, Abnahmekontrollen des Kunden bei der Warenanlieferung. Zum Urnenmodell: Die Urne repra¨sentiert eine Grundgesamtheit mit N Elementen (Kugeln), die entweder die Eigenschaft A (weiß) oder A (schwarz) besitzen. M : Anzahl der Elemente mit der Eigenschaft A n: Umfang der Stichprobe x : Anzahl der in der Stichprobe enthaltenen Elemente mit der Eigenschaft A

(4)

Nu¨tzliche Rekursionsformel fu¨r die Praxis: f ðx þ 1Þ ¼

ðn  xÞ ðM  xÞ ðx þ 1Þ ðN  M  n þ x þ 1Þ

 f ðxÞ

ðx ¼ 0; 1; 2; . . . ; n  1Þ (5)

Fu¨r N  n la¨sst sich die hypergeometrische Verteilung na¨herungsweise durch eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p ¼ M = N ersetzen (Faustregel: n < 0,05 NÞ.

(6)

Merke: Ziehung mit Zuru¨cklegen ! Binomialverteilung Ziehung ohne Zuru¨cklegen ! hypergeometrische Verteilung

416

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

5.3 Poisson-Verteilung Die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion mx  e m x! und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion f ðxÞ ¼ P ðX ¼ xÞ ¼

F ðxÞ ¼ P ðX  xÞ ¼ e  m 

P

kx

ðx ¼ 0; 1; 2; . . .Þ

mk k!

heißt Poisson-Verteilung mit dem Parameter m > 0. Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m Varianz: s 2 ¼ m pffiffiffiffi Standardabweichung: s ¼ m f(x) 0,4 μ=1

0,3 0,2

Wahrscheinlichkeitsfunktion f ðxÞ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter m ¼ 1

0,1

0

1

2

3

4

x

Anmerkungen (1) (2)

(3)

Symbolische Schreibweise fu¨r die Poisson-Verteilung: Ps ð mÞ Anwendung findet die Poisson-Verteilung bei mehrstufigen Bernoulli-Experimenten, in denen das Ereignis A mit geringer Wahrscheinlichkeit p, d. h. sehr selten eintritt (z. B. radioaktiver Zerfall). Nu¨tzliche Rekursionsformel fu¨r die Praxis: m  f ðxÞ ðx ¼ 0; 1; 2; . . .Þ f ðx þ 1Þ ¼ x þ1

Ps ð m Þ

Poisson-Verteilung

H ðN; M; nÞ

Hypergeometrische Verteilung

B ðn; pÞ

Binomialverteilung

M < 0,9 N

M B n; p ¼ N





n < 0,05 N; n > 10

0,1
30

M  0,1 N

Faustregel:

Ps ð m ¼ n pÞ

n  1500 p

n p  10

Faustregel:

. . . Poisson-Verteilung

N

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n p ð1  pÞ Þ

M < 0,9 N

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi !   M M Nn n 1 N N N1

N ð m; s ¼

pffiffiffi mÞ

m > 10

Faustregel:

M m¼n ; s¼ N

n < 0,05 N; n > 30

0,1
9

Faustregel:

. . . Normalverteilung

5 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 417

5.4 Approximationen diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Tabelle)

418

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

6.1 Gaußsche Normalverteilung 6.1.1 Allgemeine Normalverteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion   1 xm 2  1 f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi ð 1 < x < 1Þ e 2 s 2p  s und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion   ðx 1 tm 2  1  e 2 s dt F ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi 2p  s 1

heißt Gaußsche Normalverteilung mit den Parametern m und s > 0. Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m Varianz: s 2 Standardabweichung: s f(x)

f(x) =

1

2π σ

e

–

1 2

(

x–μ 2 σ

)

Dichtefunktion f ðxÞ der Gaußschen Normalverteilung („Gaußsche Glockenkurve“)

μ−σ

μ

μ+σ

x

Anmerkungen (1) (2)

Symbolische Schreibweise fu¨r die Gaußsche Normalverteilung: N ð m; sÞ Eigenschaften der Dichtefunktion f ðxÞ: a) f ðxÞ ist spiegelsymmetrisch zur Geraden x ¼ m. b) Das (einzige) Maximum liegt bei x1 ¼ m und ist zugleich Symmetriezentrum, die beiden Wendepunkte liegen symmetrisch zum Maximum an den Stellen x2=3 ¼ m s. c) f ðxÞ ist normiert (die Fla¨che unter der Dichtefunktion hat den Wert 1): 1 1   ð ð 1 xm 2  1 s 2 f ðxÞ dx ¼ pffiffiffiffiffiffiffi e dx  2p  s 1

1

6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

(3) (4) (5)

419

Die Dichtefunktion wird ihrer Form wegen auch als Gaußsche Glockenkurve bezeichnet. Der Parameter s (Standardabweichung) bestimmt im Wesentlichen Breite und Ho¨he der Glockenkurve: je kleiner s, umso ho¨her und steiler die Kurve. Anwendung findet die Normalverteilung in der Fehlerrechnung und Statistik.

6.1.2 Standardnormalverteilung Die allgemeine Gaußsche Normalverteilung mit den Parametern m und s la¨sst sich stets auf die sog. Standardnormalverteilung mit den speziellen Parameterwerten m ¼ 0 und s ¼ 1 zuru¨ckfu¨hren. Dies entspricht einem bergang von der normalverteilten Zufallsvariablen X zur sog. standardnormalverteilten Zufallsvariablen U mit Hilfe der linearen Transformation (Substitution) X m s (sog. Standardisierung oder Umrechnung in Standardeinheiten). U ¼

Standardnormalverteilung einer stetigen Zufallsvariablen U Eine Normalverteilung mi den Parametern m ¼ 0 und s ¼ 1 heißt Standardnormalverteilung oder auch standardisierte Normalverteilung. Ihre Dichtefunktion ist 1  u2 1 j ðuÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  e 2 2p

ð 1 < u < 1Þ

und besitzt den im Bild dargestellten typischen Verlauf („Glockenkurve“). Die zugeho¨rige Verteilungsfunktion lautet: 1 f ðuÞ ¼ P ðU  uÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  2p

ðu e

1  t2 2

dt

1

Eine ausfu¨hrliche Tabelle der Verteilungsfunktion f ðuÞ befindet sich im Anhang, Teil B (Tabelle 1). ϕ(u) 0,4

Fläche = 1 Dichtefunktion j ðuÞ der Standardnormalverteilung

–2

–1

1

2

u

420

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Anmerkungen (1)

Symbolische Schreibweise fu¨r die Standardnormalverteilung: N ð0; 1Þ

(2)

Eigenschaften der Dichtefunktion j ðuÞ: a) j ðuÞ ist achsensymmetrisch, d. h. eine gerade Funktion. b) Das Maximum liegt bei u1 ¼ 0 und ist zugleich Symmetriezentrum, die beiden Wendepunkte befinden sich an den Stellen u2=3 ¼ 1: c) j ðuÞ ist normiert, d. h. die Fla¨che unter der Dichtefunktion hat den Wert 1: 1 ð

1

(3)

1 j ðuÞ du ¼ pffiffiffiffiffiffiffi  2p

1 ð

e

 1 u2 2

du ¼ 1

1

Die Verteilungsfunktion f ðuÞ wird auch als Gaußsches Fehlerintegral bezeichnet.

6.1.3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 1. Fall: Die Zufallsvariable ist standardnormalverteilt Die wichtigsten Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei ein- bzw. zweiseitiger Abgrenzung befinden sich aus Gru¨nden der Zweckma¨ßigkeit im Anhang (Teil B) gegenu¨ber der Tabelle 1 (Seite 508 / 509). 2. Fall: Die Zufallsvariable ist normalverteilt mit den Parametern m und s Die normalverteilte Zufallsvariable X wird zuna¨chst durch die Transformation (Substitution) U ¼ ðX  mÞ=s in die standardnormalverteilte Zufallsvariable U u¨bergefu¨hrt (Umrechnung in Standardeinheiten). Bei ein- bzw. zweiseitiger Abgrenzung gelten dann folgende Formeln: Einseitige Abgrenzung Abgrenzung nach oben f(t)

Abgrenzung nach unten f(t)

P(X ≤ x)

P(X ≤ x) P(X ≥ x) = 1 – P(X ≤ x)

x

t

x

P ðX  xÞ ¼ f ðuÞ

P ðX  xÞ ¼ 1  f ðuÞ

mit u ¼ ðx  mÞ=s

mit u ¼ ðx  mÞ=s

t

6 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen

421

Zweiseitige Abgrenzung unsymmetrisches Intervall f(x)

symmetrisches Intervall f(x)

P(a ≤ X≤ b)

a

b

P ða  X  bÞ ¼ f ðb *Þ  f ða *Þ mit a * ¼ ða  mÞ=s und b * ¼ ðb  mÞ=s

&

μ – kσ

x

μ

μ + kσ

x

P ðj X  m j  k sÞ ¼ 2  f ðkÞ  1

Beispiel Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Mittelwert m ¼ 10 und der Standardabweichung s ¼ 2. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit P ð5  X  12Þ: Umrechnung der Grenzen in Standardeinheiten:

83,5% a ¼ 5 ) a* ¼

am 5  10 ¼ ¼  2,5 s 2

b ¼ 12 ) b * ¼

bm 12  10 ¼ ¼ 1 s 2

5

10

12

x

Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Tabelle 1 im Anhang, Teil B: P ð5  X  12Þ ¼ P ð 2,5  U  1Þ ¼ f ð1Þ  f ð 2,5Þ ¼ f ð1Þ  ½1  f ð2,5Þ ¼ ¼ f ð1Þ þ f ð2,5Þ  1 ¼ 0,8413 þ 0,9938  1 ¼ 0,8351 &

6.1.4 Quantile der Standardnormalverteilung Bei einer einseitigen Abgrenzung nach oben beschreibt die Verteilungsfunktion f ðuÞ der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass die standardnormalverteilte Zufallsvariable U einen Wert zwischen  1 und u annimmt ( Fla¨che unter der Dichtefunktion bis hin zur oberen Grenze u): P ðU  uÞ ¼ f ðuÞ. Zu jedem Wert u geho¨rt somit genau ein Wahrscheinlichkeitswert f ðuÞ.

422

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Umgekehrt geho¨rt zu einem vorgegebenen Wahrscheinlichkeitswert p genau eine obere Grenze oder Schranke, die als Quantil up zum Wahrscheinlichkeitswert p bezeichnet wird. Das Quantil up genu¨gt der Gleichung P ðU  up Þ ¼ f ðup Þ ¼ p und la¨sst sich fu¨r die in der Praxis ga¨ngigen Wahrscheinlichkeitswerte aus der Tabelle 2 im Anhang, Teil B bestimmen. Formeln fu¨r die Berechnung der Intervallgrenzen bei einbzw. zweiseitiger Abgrenzung findet der Leser im Anhang, Teil B gegenu¨ber der Tabelle 2 (Seite 510 / 511). &

Beispiel P ðU  cÞ ¼ 0,9

ϕ (u)

P(U ≤ u p ) = p

up

u

ϕ (u) p = 0,9

c ¼ ? P ðU  cÞ ¼ f ðcÞ ¼ 0,9

c = up

u

Aus der Tabelle 2 im Anhang, Teil B entnehmen wir: Zum Wahrscheinlichkeitswert p ¼ 0,9 geho¨rt das Quantil u 0;9 ¼ 1,282. Somit ist c ¼ u 0;9 ¼ 1,282. &

6.2 Exponentialverteilung Die Verteilung einer stetigen Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ( x < 0 0 .. fur f ðxÞ ¼ x  0 l  e lx und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion ( 0 x < 0 .. F ðxÞ ¼ fur 1  e lx x  0 heißt Exponentialverteilung mit dem Parameter l > 0. Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m ¼ 1=l Varianz: s 2 ¼ 1=l 2 Standardabweichung: s ¼ 1=l

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen

423

f(x) λ

Dichtefunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariablen X

x

Anmerkungen (1) (2)

Mittelwert und Standardabweichung stimmen u¨berein: m ¼ s ¼ 1=l Anwendungen: Lebensdauer von Bauelementen und Lebewesen.

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen 7.1 Mehrdimensionale Zufallsvariable 2-dimensionale Zufallsvariable Zufallsexperimente, in denen gleichzeitig zwei Merkmale beobachtet werden, lassen sich durch eine 2-dimensionale Zufallsvariable ðX; YÞ , auch 2-dimensionaler Zufallsvektor genannt, darstellen. Die Verteilung wird dabei vollsta¨ndig durch die Verteilungsfunktion F ðx; yÞ ¼ P ðX  x; Y  yÞ beschrieben ( Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass die Zufallsvariablen X und Y gleichzeitig Werte annehmen, die kleiner oder gleich x bzw. y sind). F ðx; yÞ wird auch als gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen X und Y bezeichnet. Bei einer diskreten Verteilung sind X und Y beide diskret. Die normierte Wahrscheinlichkeitsfunktion f ðx; yÞ ordnet dann jedem mo¨glichen Wertepaar ðxi ; yk Þ einen Wahrscheinlichkeitswert pik > 0 zu. Eine stetige Verteilung (X und Y sind beide stetig) la¨sst sich durch die normierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f ðx; yÞ  0 mit der Verteilungsfunktion ðx

ðy

F ðx; yÞ ¼

f ðu; vÞ dv du u¼1 v¼1

vollsta¨ndig beschreiben.

424 &

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Das Zufallsexperiment „Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Wu¨rfeln“ beschreiben wir durch die 2dimensionale Zufallsvariable ðX; YÞ mit den beiden stochastisch unabha¨ngigen Komponenten X ¼ Augenzahl des 1. Wu¨rfels Y ¼ Augenzahl des 2. Wu¨rfels die unabha¨ngig voneinander die Werte 1, 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen ko¨nnen. Insgesamt gibt es 36 gleichwahrscheinliche Elementarereignisse (Laplace-Experiment): ð1; 1Þ, ð1; 2Þ, ð1; 3Þ, ð1; 4Þ, ð1; 5Þ, ð1; 6Þ, ð2; 1Þ, . . . ; ð6; 6Þ Sie treten jeweils mit der Wahrscheinlichkeit p ¼ 1=36 auf. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet daher: ( 1=36 x; y ¼ 1; 2; . . . ; 6 .. f ðx; yÞ ¼ fur .. alle ubrigen ðx; yÞ 0 &

n-dimensionale Zufallsvariable Zufallsexperimente mit n gleichzeitig beobachteten Merkmalen werden durch eine n-dimensionale Zufallsvariable ðX1 ; X2 ; . . . ; Xn Þ; auch n-dimensionaler Zufallsvektor genannt, beschrieben. Alle bisherigen Begriffe lassen sich sinngema¨ß u¨bertragen. Stochastisch unabha¨ngige Zufallsvariable Zwei Zufallsvariable X und Y heißen stochastisch unabha¨ngig, wenn stets gilt F ðx; yÞ ¼ F1 ðxÞ  F2 ðyÞ F1 ðxÞ, F2 ðyÞ: Verteilungsfunktionen von X bzw. Y Anderenfalls die sind die beiden Zufallsvariablen stochastisch abha¨ngig. Fu¨r die zugeho¨rigen Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktionen gilt (im Falle der Unabha¨ngigkeit) f ðx; yÞ ¼ f1 ðxÞ  f2 ðyÞ f1 ðxÞ; f2 ðyÞ:

Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktionen von X bzw. Y (auch Randverteilungen der 2-dimensionalen Verteilung genannt)

Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend fu¨r die Unabha¨ngigkeit. Analoge Beziehungen gelten fu¨r n stochastisch unabha¨ngige Zufallsvariable.

7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen von mehreren Zufallsvariablen

425

7.2 Summen, Linearkombinationen und Produkte von Zufallsvariablen Summen, Linearkombinationen und Produkte von n Zufallsvariablen X1 ; X2 ; . . . ; Xn sind wiederum Zufallsvariable (alle Xi sind dabei entweder diskret oder stetig). 7.2.1 Additionssa¨tze fu¨r Mittelwerte und Varianzen Fu¨r Summen vom Typ Z ¼ X1 þ X2 þ . . . þ Xn

gelten folgende Sa¨tze:

Additionssatz fu¨r Mittelwerte E ðZÞ ¼ E ðX1 Þ þ E ðX2 Þ þ . . . þ E ðXn Þ oder (in anderer Schreibweise) mz ¼ m1 þ m2 þ . . . þ mn E ðXi Þ ¼ mi :

Mittelwert von Xi

ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; nÞ

Additionssatz fu¨r Varianzen Voraussetzung: X1 ; X2 ; . . . ; Xn sind stochastisch unabha¨ngig Var ðZÞ ¼ Var ðX1 Þ þ Var ðX2 Þ þ . . . þ Var ðXn Þ oder (in anderer Schreibweise) s 2z

¼ s 21 þ s 22 þ . . . þ s 2n

Var ðXi Þ ¼ s 2i :

Varianz von Xi

ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; nÞ

Additionssa¨tze fu¨r Linearkombinationen In allgemeiner Form gelten beide Additionssa¨tze unter den genannten Voraussetzungen auch fu¨r Linearkombinationen vom Typ Z ¼ a1  X1 þ a2  X2 þ . . . þ an  Xn

(ai : Konstanten)

E ðZÞ ¼ a1  E ðX1 Þ þ a2  E ðX2 Þ þ . . . þ an  E ðXn Þ Var ðZÞ ¼ a 21  Var ðX1 Þ þ a 22  Var ðX2 Þ þ . . . þ a 2n  Var ðXn Þ E ðXi Þ ¼ mi :

Mittelwert von Xi

Var ðXi Þ ¼ s 2i : Varianz von Xi

) ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; nÞ

426 &

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel Zufallsexperiment: „Wurf mit zwei unterscheidbaren homogenen Wu¨rfeln“ 2-dimensionaler Zufallsvektor: ðX1 ; X2 Þ mit den beiden Komponenten Xi ¼ Augenzahl des i-ten Wu¨rfels ði ¼ 1; 2Þ X1 und X2 sind stochastisch unabha¨ngig. Sie haben die Mittelwerte m1 ¼ m2 ¼ 3,5 und die Varianzen s 21 ¼ s 22 ¼ 35=12. Dann gilt fu¨r die Summe Z ¼ X1 þ X2 : mz ¼ E ðZÞ ¼ m1 þ m2 ¼ 3,5 þ 3,5 ¼ 7 s 2z ¼ Var ðZÞ ¼ s 21 þ s 22 ¼

35 35 70 35 þ ¼ ¼ 12 12 12 6 &

7.2.2 Multiplikationssatz fu¨r Mittelwerte Fu¨r ein Produkt Z ¼ X1  X2 . . . Xn aus n stochastisch unabha¨ngigen Faktoren gilt der folgende Multiplikationssatz fu¨r Mittelwerte: E ðZÞ ¼ E ðX1 Þ  E ðX2 Þ . . . E ðXn Þ oder (in anderer Schreibweise) mz ¼ m1  m2 . . . mn E ðXi Þ ¼ mi :

Mittelwert von Xi

ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; nÞ

7.2.3 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe Eine Summe Z ¼ X1 þ X2 þ . . . þ Xn von n normalverteilten und stochastisch unabha¨ngigen Zufallsvariablen X1 ; X2 ; . . . ; Xn besitzt folgende Eigenschaften: Z ist normalverteilt mit dem Mittelwert mz ¼ m1 þ m2 þ . . . þ mn und der Varianz s 2z ¼ s 21 þ s 22 þ . . . þ s 2n Sonderfall: mi ¼ m,

s 2i ¼ s 2

)

mz ¼ n m,

s 2z ¼ n s 2

Anmerkung Sind die Summanden Xi zwar stochastisch unabha¨ngig, jedoch beliebig verteilt, so ist die Summe na¨herungsweise normalverteilt, falls die Anzahl n der Summanden hinreichend groß ist ( Faustregel: n > 30Þ und keiner der Summanden dominiert.

8 Pru¨f- oder Testverteilungen

427

8 Pru¨f- oder Testverteilungen Pru¨f- oder Testverteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die im Zusammenhang mit statistischen Pru¨f- oder Testverfahren beno¨tigt werden.

8.1 Chi-Quadrat-Verteilung („ c 2-Verteilung“) X1 ; X2 ; . . . ; Xn seien stochastisch unabha¨ngige Zufallsvariable, die alle der Standardnormalverteilung N ð0; 1Þ genu¨gen. Die aus ihnen gebildete Quadratsumme Z ¼ c 2 ¼ X 21 þ X 22 þ . . . þ X 2n ist dann eine stetige Zufallsvariable mit dem Wertebereich z  0 und genu¨gt einer sog. Chi-Quadrat-Verteilung mit der Dichtefunktion 8   n2 z > >  0 e 2 n .. f ðzÞ ¼ fur > > : z  0 0 und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion   ðz n2 u   e 2 du F ðzÞ ¼ An  u 2

ðz > 0Þ

0

(fu¨r z  0 ist F ðzÞ ¼ 0). Die Verteilung ist durch den Parameter n vollsta¨ndig bestimmt ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ. Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert: m ¼ n Varianz: s 2 ¼ 2 n pffiffiffiffiffiffiffi Standardabweichung: s ¼ 2 n Im Anhang (Teil B) befindet sich eine ausfu¨hrliche Tabelle der Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung in Abha¨ngigkeit vom Freiheitsgrad f ¼ n (Tabelle 3). f(z) 0,5

Dichtefunktionen der Chi-Quadrat-Verteilung fu¨r n ¼ 1; 2 (linkes Bild) bzw. n ¼ 3; 4 (rechtes Bild)

n=1

0,4

f(z)

0,3

0,3

n=2

n=3 0,2

0,2

0,1

0,1

1

2

3

4

5

6

z

n=4

1

2

3

4

5

6

7

8

z

428

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Anmerkungen (1) (2) (3) (4)

Der Parameter n bestimmt die Anzahl f der Freiheitsgrade der Verteilung: f ¼ n ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ. An ist eine noch vom Freiheitsgrad f ¼ n abha¨ngige Normierungskonstante, die mit Hilfe der Gamma-Funktion berechnet werden kann (siehe weiter unten). Eigenschaften der Dichtefunktion f ðzÞ: normiert, fu¨r n  2 streng monoton fallend, Maximum an der Stelle z ¼ n  2 fu¨r n > 2. Die Chi-Quadrat-Verteilung la¨sst sich fu¨r hinreichend großes n ( Faustregel: n > 100Þ durch eine Normalverteilung mit dem Mittelwert m ¼ n und der Varianz s 2 ¼ 2 n anna¨hern.

Berechnung der Normierungskonstante An Die Berechnung der Normierungskonstante An ¼

1

n 22

  n G 2

ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ

erfolgt u¨ber die Gamma-Funktion 1 ð

G ðaÞ ¼

t a  1  e  t dt

ða > 0Þ

0

mit Hilfe der folgenden speziellen Werte und Rekursionsformeln:   pffiffiffi 1 ¼ p; 2

G ð1Þ ¼ 1

(1)

G

(2)

G ða þ 1Þ ¼ a  G ðaÞ

(3)

G ðn þ 1Þ ¼ n ! ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ   1 1  3  5 . . . ð2 n  1Þ pffiffiffi G nþ  p ¼ n 2 2

(4)

ða > 0Þ

ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ

8 Pru¨f- oder Testverteilungen

429

8.2 t-Verteilung von Student X und Y seien zwei stochastisch unabha¨ngige Zufallsvariable mit den Eigenschaften X:

standardnormalverteilt

Y:

Chi-Quadrat-verteilt mit n Freiheitsgraden

Die aus ihnen gebildete Gro¨ße X T ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi Y=n ist dann eine stetige Zufallsvariable, die einer sog. t-Verteilung von Student mit der Dichtefunktion f ðtÞ ¼ An   1þ

Ð

t

1  ðn þ 1Þ=2 2

ð 1 < t < 1Þ

n

und der zugeho¨rigen Verteilungsfunktion t

F ðtÞ ¼ An 

1

du   ðn þ 1Þ=2 u2 1þ n

genu¨gt. Die Verteilung ist dabei durch den Parameter n vollsta¨ndig bestimmt ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ. Die Kennwerte oder Maßzahlen dieser Verteilung sind: Mittelwert 1Þ : m ¼ 0 Varianz 1Þ : s 2 ¼

fu¨r

n  2

2 n2

fu¨r n  3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 Standardabweichung 1Þ : s ¼ fu¨r n  3 n2 Im Anhang (Teil B) befindet sich eine ausfu¨hrliche Tabelle der Quantile der t-Verteilung in Abha¨ngigkeit vom Freiheitsgrad f ¼ n (Tabelle 4). f(t) 0,4

0,2

Dichtefunktion f ðtÞ einer t-Verteilung mit dem Parameter n ¼ 2

0,1

–2 1Þ

–1

1

2

t

Fu¨r n ¼ 1 existiert kein Mittelwert, fu¨r n ¼ 1; 2 keine Varianz.

430

XV Wahrscheinlichkeitsrechnung

Anmerkungen (1) (2) (3) (4)

Der Parameter n bestimmt die Anzahl der Freiheitsgrade der Verteilung: f ¼ n ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ. An ist eine noch vom Freiheitsgrad f ¼ n abha¨ngige Normierungskonstante, die mit Hilfe der Gamma-Funktion berechnet werden kann (siehe weiter unten). Eigenschaften der Dichtefunktion f ðtÞ: normiert, achsensymmetrisch, (absolutes) Maximum bei t ¼ 0, na¨hert sich im Unendlichen asymptotisch der t-Achse. Die t-Verteilung la¨sst sich fu¨r hinreichend großes n ( Faustregel: n > 30Þ durch die Standardnormalverteilung na¨herungsweise ersetzen.

Berechnung der Normierungskonstante An Die Berechnung der Normierungskonstante   nþ1 2 An ¼ n pffiffiffiffiffiffiffi np  G 2 G

ðn ¼ 1; 2; 3; . . .Þ

erfolgt u¨ber die Gamma-Funktion (siehe Tabelle spezieller Werte und Rekursionsformeln auf Seite 428).

431

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

1 Grundbegriffe

1.1 Zufallsstichproben aus einer Grundgesamtheit Eine grundlegende Aufgabe der Statistik besteht darin, Kenntnisse und Informationen u¨ber die Eigenschaften oder Merkmale einer bestimmten Menge von Objekten (Elementen) zu gewinnen, ohne dass dabei alle Objekte in die Untersuchung miteinbezogen werden mu¨ssen. Dies ist aus den folgenden Gru¨nden meist auch nicht mo¨glich: –– Zu hoher Zeit- und Kostenaufwand –– Die Anzahl der Elemente, die untersucht werden mu¨ßten, ist zu groß –– Die Untersuchungsobjekte ko¨nnten unter Umsta¨nden zersto¨rt werden (Beispiel: Zersto¨rung einer Glu¨hbirne beim Testen der Lebensdauer) Grundgesamtheit Unter einer Grundgesamtheit versteht man die Gesamtheit gleichartiger Objekte oder Elemente, die hinsichtlich eines bestimmten Merkmals untersucht werden sollen. Das dabei interessierende Merkmal wird durch eine Zufallsvariable X beschrieben. Die Grundgesamtheit kann aus endlich vielen oder unendlich vielen Elementen bestehen. Zufallsstichprobe (kurz: Stichprobe) Eine aus der Grundgesamtheit nach dem „Zufallsprinzip“ herausgegriffene Teilmenge mit n Elementen wird als Zufallsstichprobe vom Umfang n bezeichnet. Die Auswahl der Elemente muss also wahllos und unabha¨ngig voneinander geschehen; alle Elemente der Grundgesamtheit mu¨ssen dabei grundsa¨tzlich die gleiche Chance haben, ausgewa¨hlt (d. h. gezogen) zu werden. Die beobachteten Merkmalswerte x1 ; x2 ; . . . ; xn der n Elemente sind Realisierungen der Zufallsvariablen X und heißen Stichprobenwerte. Da es in der Praxis aus den weiter oben genannten Gru¨nden nicht mo¨glich ist, alle Elemente einer Grundgesamtheit auf ein bestimmtes Merkmal X hin zu untersuchen, beschra¨nkt man sich auf die Untersuchung einer Stichprobe vom Umfang n, die der Grundgesamtheit nach dem Zufallsprinzip entnommen wurde. Die Aufgabe der mathematischen Statistik besteht dann u. a. darin, aus einer solchen Zufallsstichprobe mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung gewisse Ru¨ckschlu¨sse auf die Grundgesamtheit zu ermo¨glichen.

432

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

1.2 Ha¨ufigkeitsverteilung einer Stichprobe Urliste: Sie entha¨lt die n Stichprobenwerte in der Reihenfolge ihres Auftretens Spannweite der Stichprobe: Abstand zwischen dem kleinsten und dem gro¨ßten Wert Die Stichprobenwerte werden ihrer Gro¨ße nach geordnet, dann wird festgestellt, wie oft jeder Wert vorkommt. Ist der Stichprobenwert xi genau ni -mal in der Stichprobe enthalten, so heißt diese Zahl absolute Ha¨ufigkeit des Stichprobenwertes xi ði ¼ 1; 2; . . . ; k und k < nÞ. Dividiert man die absolute Ha¨ufigkeit ni durch die Anzahl n der Stichprobenwerte, so erha¨lt man die relative Ha¨ufigkeit hi ¼ ni =n, wobei gilt 0 < hi  1

und

k P i¼1

hi ¼ h1 þ h2 þ . . . þ hk ¼ 1

Verteilungstabelle Absolute und relative Ha¨ufigkeit werden in einer Verteilungstabelle dargestellt: Stichprobenwert xi

x1

x2

x3

x4

...

xk

absolute Ha¨ufigkeit ni

n1

n2

n3

n4

...

nk

relative Ha¨ufigkeit hi

h1

h2

h3

h4

...

hk

Ha¨ufigkeitsfunktion f (x) einer Stichprobe Die Verteilung der einzelnen Stichprobenwerte in einer geordneten Stichprobe vom Umfang n mit k verschiedenen Werten x1 ; x2 ; . . . ; xk la¨sst sich durch die folgende Ha¨ufigkeitsfunktion beschreiben: ( f ðxÞ ¼

hi

.. fur

0

Graphische Darstellung: Stabdiagramm

x ¼ xi ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; kÞ .. alle ubrigen x

f (x)

h3 h2

h4

h1 x1

x2

x3

x4

hk xk

x

1 Grundbegriffe

433

Verteilungsfunktion F(x) einer Stichprobe Die Summe der relativen Ha¨ufigkeiten aller Stichprobenwerte, die kleiner oder gleich x sind, heißt Summenha¨ufigkeits- oder Verteilungsfunktion FðxÞ der Stichprobe: FðxÞ ¼

P xi  x

f ðxi Þ

Graphische Darstellung: Treppenfunktion (stu¨ckweise konstante Funktion, an der Stelle xi erfolgt ein Sprung um f ðxi Þ ¼ hi , Endwert ¼ 1)

F(x) 1 f(x k )

f(x 4 ) f(x 3 ) f(x 2 ) f(x 1 ) x1

&

x2

x3

x4

xk

x

Beispiel Der Tagesproduktion von Gewindeschrauben mit dem Solldurchmesser 5,0 mm wurde eine Stichprobe vom Umfang n ¼ 25 mit der folgenden Verteilungstabelle entnommen: xi mm

4,7

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

ni

1

3

6

9

4

2

hi

0,04

0,12

0,24

0,36

0,16

0,08

Ha¨ufigkeitsfunktion f ðxÞ und Verteilungsfunktion FðxÞ haben damit das folgende Aussehen: xi mm

4,7

4,8

4,9

5,0

5,1

5,2

f ðxi Þ

0,04

0,12

0,24

0,36

0,16

0,08

Fðxi Þ

0,04

0,16

0,40

0,76

0,92

1

&

434

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

1.3 Gruppierung der Stichprobenwerte bei umfangreichen Stichproben Bei umfangreichen Stichproben mit vielen verschiedenen Werten gruppiert man die Stichprobenwerte zweckma¨ßigerweise in sog. Klassen. Zuna¨chst wird die Stichprobe geordnet und der kleinste und gro¨ßte Wert bestimmt ðxmin bzw. xmax ). Dann wird das Intervall I festgelegt, in dem sa¨mtliche Stichprobenwerte liegen und dieses schließlich in k Teilintervalle DIi gleicher Breite Dx zerlegt. Die Mitte eines jeden Klassenintervalls DIi heißt Klassenmitte x~i . linker Randpunkt

rechter Randpunkt Δx

x min Klassen-Nr.

1

x max 2

3

x

k

Allgemeine Regeln fu¨r die Gruppierung einer umfangreichen Stichprobe (Einteilung der Stichprobenwerte in Klassen) (1)

Man wa¨hle mo¨glichst Klassen gleicher Breite Dx.

(2)

Die Klasseneinteilung sollte so gewa¨hlt werden, dass die Klassenmitten durch mo¨glichst einfache Zahlen (z. B. ganze Zahlen) charakterisiert werden.

(3)

Fa¨llt ein Stichprobenwert in einen der beiden Randpunkte einer Klasse, so za¨hlt man ihn je zur Ha¨lfte den beiden angrenzenden Klassen zu.

(4)

Bei der Festlegung der Anzahl k der Klassen bei n Stichprobenwerten verwende man die folgende Faustregel: pffiffiffi k  n f u¨ r 50 < n < 500 Bei Stichproben mit einem Umfang n > 500 wa¨hle man ho¨chstens k ¼ 30 Klassen.

Anmerkung Eine weitere ha¨ufig empfohlene Faustregel fu¨r die Klassenanzahl k lautet: k  5  lg n Durch Ausza¨hlen wird festgestellt, welche Stichprobenwerte in welche Klassen fallen. Die Anzahl ni der Stichprobenwerte, die in der i-ten Klasse liegen, heißt absolute Klassenha¨ufigkeit. Dividiert man diese durch die Anzahl n aller Stichprobenwerte, so erha¨lt man die relative Klassenha¨ufigkeit hi ¼ ni =n ði ¼ 1; 2; . . . ; kÞ. Fu¨r die Weiterverarbeitung der Stichprobenwerte wird vereinbart, dass allen Elementen einer Klasse genau die Klassenmitte als Wert zugeordnet wird.

1 Grundbegriffe

435

Verteilungstabelle einer gruppierten Stichprobe Klassenmitte x~i

x~1

x~2

x~3

x~4

...

x~k

relative Klassenha¨ufigkeit hi

h1

h2

h3

h4

...

hk

Ha¨ufigkeitsfunktion einer gruppierten Stichprobe Die Ha¨ufigkeitsfunktion f ðxÞ einer gruppierten Stichprobe beschreibt die relative Klassenha¨ufigkeit hi in Abha¨ngigkeit von der Klassenmitte x~i : ( f ðxÞ ¼

hi f u¨ r 0

x ¼ x~i

ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; kÞ

alle u¨ brigen x

Der Verlauf dieser Funktion la¨sst sich graphisch durch ein Stabdiagramm oder durch ein sog. Histogramm verdeutlichen. Beim Stabdiagramm tra¨gt man dabei u¨ber der Klassenmitte x~i die relative Klassenha¨ufigkeit hi ab (d. h. einen Stab der La¨nge hi ). f (x)

h3 h4

h2

hk

h1

~ x

~ x

1

~

~ x

x3

2

~ x

4

x

k

Ein Histogramm oder Staffelbild entsteht, wenn man u¨ber den Klassen gleicher Breite Dx Rechtecke errichtet, deren Ho¨hen den relativen Klassenha¨ufigkeiten entsprechen. Die Fla¨cheninhalte der Rechtecke sind dabei den relativen Klassenha¨ufigkeiten proportional. f (x)

h3 h4

h2

hk

h1

~ x

1

~ x

2

x~3

~ x

~ x

Δx

Δx

Δx

Δx

Δx

4

k

x

436

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

Verteilungsfunktion einer gruppierten Stichprobe FðxÞ ¼

P x~i  x

F(x)

f ð~ xi Þ

1

f( ~ xk )

FðxÞ heißt auch Summenha¨ufigkeits- oder empirische Verteilungsfunktion. f( ~ x4 )

Graphische Darstellung: Treppenfunktion f( ~ x3 )

f( ~ x1)

~ x

1

&

f( ~ x2 )

~ x

2

~ x

3

~ x

~ x

4

k

x

Beispiel Mit einer automatischen Abfu¨llanlage wird Wein in Literflaschen gefu¨llt. Eine nachtra¨gliche Stichprobenuntersuchung an n ¼ 20 gefu¨llten Flaschen ergab die folgenden Fehlmengen, beschrieben durch die Zufallsvariable X (in cm3 ): Klasse i

Fehlmenge (in cm3 )

Anzahl der Flaschen

1

0  x  10

9

2

10 < x  20

6

3

20 < x  30

4

4

30 < x  40

1

Man erha¨lt die folgende Verteilung (Klassenmitte, Ha¨ufigkeits- und Verteilungsfunktion, Histogramm):

f(x)

i

1

2

3

4

x~i

5

15

25

35

f ð~ xi Þ

0,45

0,30

0,20

0,05

0,35

Fð~ xi Þ

0,45

0,75

0,95

1

0,30

0,45 0,40

0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 5

15

25

35

x/cm 3

&

2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe

437

2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe

2.1 Mittelwert, Varianz und Standardabweichung einer Stichprobe Mittelwert x einer Stichprobe Der Mittelwert x einer (geordneten) Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn vom Umfang n ist das arithmetische Mittel der Stichprobenwerte: x ¼

n x1 þ x2 þ . . . þ xn 1 P  ¼ xi n i¼1 n

kleinster Wert

x1

größter Wert

x2 x3

xn

x

Mittelwert x

Kontrolle:

n P i¼1

ðxi  xÞ ¼ 0

Weitere u¨bliche Bezeichnungen fu¨r x:

Stichprobenmittelwert, empirischer Mittelwert

Varianz s 2 und Standardabweichung s einer Stichprobe Ein geeignetes Maß fu¨r die Streuung der Einzelwerte xi um den Mittelwert x ist die Varianz s2 ¼

n P ðx1  xÞ 2 þ ðx2  xÞ 2 þ . . . þ ðxn  xÞ 2 1  ¼ ðxi  xÞ 2 n  1 i¼1 n1

Die Quadratwurzel aus der Varianz s 2 heißt Standardabweichung s der Stichprobe.

438

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

Anmerkungen (1) (2)

(3) (4)

Weitere u¨bliche Bezeichnungen fu¨r die Varianz s 2 einer Stichprobe sind Stichprobenvarianz oder auch empirische Varianz. Beide Kennwerte, sowohl die Varianz s 2 als auch die Standardabweichung s, sind ein Maß fu¨r die Streuung der Stichprobenwerte x1 ; x2 ; . . . ; xn um ihren Mittelwert x. Die Standardabweichung s hat dabei den Vorteil, dass sie dieselbe Dimension und Einheit besitzt wie die einzelnen Stichprobenwerte und deren Mittelwert x. Die Varianz s 2 ist eine Art mittleres Abweichungsquadrat. Es gilt stets s 2 > 0 und somit auch s > 0. Bequemere Rechenformel fu¨r die Varianz: s

&

2

1 ¼ n1





n P i¼1

x 2i

 n  x

2

Beispiel Aus der Tagesproduktion von Widersta¨nden mit dem Sollwert 10 W wurde eine Stichprobe vom Umfang n ¼ 8 entnommen: 9,8;

10,1;

10,3;

10,2;

10,2;

10,0;

9,9;

10,3

(jeweils in W).

Die Auswertung fu¨hrt zu dem folgenden Ergebnis: i

xi W

x 2i W2

1

9,8

96,04

2

10,1

102,01

3

10,3

106,09

4

10,2

104,04

5

10,2

104,04

6

10,0

100,00

7

9,9

98,01

8

10,3

106,09

S

80,8

816,32

x ¼

8 1 P 1   80;8 W ¼ 10;1 W xi ¼ 8 i¼1 8

" s2 ¼

¼

1 81

8 P i¼1

# x 2i  8  x 2

¼

1 ð816;32 W 2  8  ð10;1 WÞ 2 Þ ¼ 7

1 ð816;32  816;08Þ W 2 ¼ 7 1 ¼  0;24 W 2 ¼ 0;034 W 2 7 ¼

s ¼ 0;19 W

&

2 Kennwerte oder Maßzahlen einer Stichprobe

439

2.2 Berechnung der Kennwerte unter Verwendung der Ha¨ufigkeitsfunktion Voraussetzung: Es liegt eine geordnete Stichprobe vom Umfang n mit k verschiedenen Werten x1 ; x2 ; . . . ; xk und der Ha¨ufigkeitsfunktion f ðxÞ vor Mittelwert x x ¼

k P i¼1

xi  f ðxi Þ

Varianz s 2 s

&

2

k P n n  ¼ ðxi  xÞ 2  f ðxi Þ ¼ n  1 i¼1 n1



k P i¼1

 x 2i

 f ðxi Þ  x

2

Beispiel Bei 10 Wu¨rfen eines homogenen Wu¨rfels erhielt man die folgenden „Augenzahlen“: 2, 1, 6, 4, 3, 4, 4, 6, 3, 5 Die Auswertung dieser Stichprobe fu¨hrt zu dem folgenden Ergebnis (xi ¼ Augenzahl): i

xi

ni

f ðxi Þ

xi  f ðxi Þ

x 2i

x 2i  f ðxi Þ

1

1

1

0,1

0,1

1

0,1

2

2

1

0,1

0,2

4

0,4

3

3

2

0,2

0,6

9

1,8

4

4

3

0,3

1,2

16

4,8

5

5

1

0,1

0,5

25

2,5

6

6

2

0,2

1,2

36

7,2

10

1,0

3,8

S x ¼

6 P i¼1

s2 ¼

16,8

xi  f ðxi Þ ¼ 3;8

10 10  1



6 P i¼1

 x 2i  f ðxi Þ  x 2

¼

10 10 10 ð16;8  3;8 2 Þ ¼ ð16;8  14;44Þ ¼  2;36 ¼ 2;62 9 9 9

s ¼ 1;62 &

440

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

2.3 Berechnung der Kennwerte einer gruppierten Stichprobe Voraussetzung: Es liegt eine in k Klassen aufgeteilte Stichprobe vom Umfang n mit den Klassenmitten x~1 ; x~2 ; . . . ; x~k und der Klassenha¨ufigkeitsfunktion f ðxÞ vor Mittelwert x x ¼

k P i¼1

xi Þ x~i  f ð~

Varianz s 2 s2 ¼

&

k P n n  ð~ xi  xÞ 2  f ð~ xi Þ ¼ n  1 i¼1 n1



k P i¼1

 x~ 2i  f ð~ xi Þ  x 2

Beispiel Wir werten die in Abschnitt 1.3 beschriebene Stichprobe (Fehlmengen bei der automatischen Abfu¨llung von Wein in Literflaschen) aus: i

x~i

ni

f ð~ xi Þ

x~i  f ð~ xi Þ

1

5

9

0,45

2,25

25

11,25

2

15

6

0,30

4,50

225

67,50

3

25

4

0,20

5,00

625

125,00

4

35

1

0,05

1,75

1225

61,25

20

1,00

13,50

S

x ¼

4 P i¼1

s2 ¼ ¼

x~i  f ð~ xi Þ ¼ 13;5

20 20  1



4 P i¼1

x~ 2i  f ð~ xi Þ

265,00

(in cm 3 Þ 

x~ 2i  f ð~ xi Þ  x 2

¼

20 ð265  13;5 2 Þ ¼ 19

20 20 ð265  182;25Þ ¼  82;75 ¼ 87;11 19 19

s ¼ 9;33

x~ 2i

(in cm 6 Þ

(in cm 3 Þ &

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“)

441

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“) 3.1 Aufgaben der Parameterscha¨tzung Die Zufallsvariable X genu¨ge einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der vom Typ her bekannten Verteilungsfunktion FðxÞ, deren Parameter jedoch unbekannt sind. &

Beispiel X ist normalverteilt, die Parameter m und s bzw. s 2 jedoch sind unbekannt. &

Die Parameterscha¨tzung hat dann auf der Basis einer konkreten Stichprobe die folgenden Aufgaben zu lo¨sen: 1. Bestimmung von Scha¨tz- oder Na¨herungswerten fu¨r die unbekannten Parameter (sog. „Punktscha¨tzung“). 2. Konstruktion von Konfidenz- oder Vertrauensintervallen, in denen die unbekannten Parameter mit einer vorgegebenen (großen) Wahrscheinlichkeit vermutet werden (sog. „Intervallscha¨tzung“). Diese Intervalle ermo¨glichen Aussagen u¨ber die Genauigkeit und Zuverla¨ssigkeit der Scha¨tzwerte.

3.2 Scha¨tzfunktionen und Scha¨tzwerte fu¨r unbekannte Parameter („Punktscha¨tzungen“) 3.2.1 Scha¨tz- und Stichprobenfunktionen Stichprobenfunktionen Eine Funktion (Zufallsvariable) Z ¼ gðX1 ; X2 ; . . . ; Xn Þ, die von n stochastisch unabha¨ngigen Zufallsvariablen X1 ; X2 ; . . . ; Xn abha¨ngt, die alle der gleichen Verteilungsfunktion FðxÞ genu¨gen, heißt Stichprobenfunktion. Die Zufallsvariablen X1 ; X2 ; . . . ; Xn ko¨nnen dabei auch als Komponenten einer n-dimensionalen Zufallsvariablen ðX1 ; X2 ; . . . ; Xn Þ, auch n-dimensionaler Zufallsvektor genannt, aufgefaßt werden. Eine konkrete Stichprobe mit den Stichprobenwerten x1 ; x2 ; . . . ; xn ist dann eine Realisierung des Zufallsvektors. Einsetzen dieser Werte in die Stichprobenfunktion Z liefert einen Scha¨tz- oder Na¨herungswert fu¨r diese Zufallsvariable. Scha¨tzfunktionen Scha¨tzfunktionen sind Stichprobenfunktionen fu¨r bestimmte unbekannte Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine Scha¨tzfunktion Q ¼ gðX1 ; X2 ; . . . ; Xn Þ fu¨r den unbekannten Parameter J wird als „optimal“ angesehen, wenn sie die folgenden Eigenschaften besitzt: 1. Die Scha¨tzfunktion Q ist erwartungstreu, d. h. ihr Erwartungswert ist gleich dem zu scha¨tzenden Parameter: EðQÞ ¼ J

442

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

2. Die Scha¨tzfunktion Q ist konsistent (passend), d. h. Q konvergiert mit zunehmendem Stichprobenumfang n gegen den Parameter J. 3. Die Scha¨tzfunktion Q ist effizient (wirksam), d. h. es gibt bei gleichem Stichprobenumfang n keine andere erwartungstreue Scha¨tzfunktion mit einer kleineren Varianz. 3.2.2 Scha¨tzungen fu¨r den Mittelwert m und die Varianz s 2 Voraussetzung: Die Zufallsvariablen X1 ; X2 ; . . . ; Xn genu¨gen alle der gleichen Verteilung mit dem Mitttelwert m und der Varianz s 2 Unbekannter Parameter

Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Parameter

Erwartungsoder Mittelwert

X ¼

EðXÞ ¼ m

Scha¨tzwert fu¨r den unbekannten Parameter

n 1 P  Xi n i¼1

Mittelwert der konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn : n 1 P xi  n i¼1

m^ ¼ x ¼

Varianz

S2 ¼

Var ðXÞ ¼ s 2

n Varianz der konkreten P 1 ðXi  X Þ 2 Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn :  n  1 i¼1 n P 1  ^ ðxi  xÞ 2 s2 ¼ s2 ¼ n  1 i¼1

Anmerkungen (1) (2)

(3)

(4) &

Die Scha¨tzfunktionen X und S 2 sind erwartungstreu und konsistent, X außerdem noch effizient. Sind alle Zufallsvariablen Xi außerdem noch normalverteilt, so ist auch die Scha¨tzfunktion X eine normalverteilte Zufallsgro¨ße mit dem Erwartungs- oder Mittelwert EðXÞ ¼ m und der Varianz Var ðXÞ ¼ s 2 =n. Bei beliebig verteilten Zufallsvariablen Xi mit EðXi Þ ¼ m und Var ðXi Þ ¼ s 2 ist die Scha¨tzfunktion X na¨herungsweise normalverteilt mit dem Mittelwert EðXÞ ¼ m und der Varianz Var ðXÞ ¼ s 2 =n. pffiffiffiffiffiffi Die Stichprobenfunktion S ¼ S 2 ist eine Scha¨tzfunktion fu¨r die Standardabweichung s der Grundgesamtheit. Sie ist jedoch nicht erwartungstreu. Beispiel Mittlere Lebensdauer eines bestimmten elektronischen Bauelements (in Stunden) Stichprobe vom Umfang n ¼ 8: i

1

2

3

4

5

6

7

8

ti =h

950

980

1150

770

1230

1210

990

1120

Mittlere Lebensdauer: t ¼

8 1 P 1 ti ¼  ð950 þ 980 þ . . . þ 1120Þ h ¼ 1050 h 8 i¼1 8 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 8400

&

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“)

443

3.2.3 Scha¨tzungen fu¨r einen Anteilswert p ( Parameter p einer Binomialverteilung) Scha¨tzfunktion fu¨r den Anteilswert p X P^ ¼ n X ¼ Anzahl der „Erfolge“ ( Eintreten des Ereignisses AÞ bei n-maliger Durchfu¨hrung des Bernoulli-Experiments Die binomialverteilte Zufallsvariable P^ ist bei umfangreichen Stichproben na¨herungsweise normalverteilt mit dem Mittelwert EðP^Þ ¼ p und der Varianz Var ðP^Þ ¼ pð1  pÞ=n. Scha¨tzwert fu¨r den Anteilswert p p^ ¼ hðAÞ ¼

k n

k : Anzahl der „Erfolge“ ( Eintreten des Ereignisses A) bei n-maliger Durchfu¨hrung des Bernoulli-Experiments ( Ergebnis einer konkreten Stichprobe vom Umfang n) &

Beispiel Ausschussanteil p einer Serienproduktion von Glu¨hbirnen Eine Stichprobe vom Umfang n ¼ 300 enthielt k ¼ 6 defekte Glu¨hbirnen. Scha¨tzwert fu¨r den Ausschussanteil p: p^ ¼

k 6 2 ¼ ¼ ¼ 0;02 ¼ 2 % n 300 100

&

3.2.4 Scha¨tzwerte fu¨r die Parameter spezieller Wahrscheinlichkeitsverteilungen Verteilung

Scha¨tzwert fu¨r . . .

Bemerkungen

Binomialverteilung n f ðxÞ ¼ p x ð1  pÞ n x x

Parameter p: k p^ ¼ n

k : Anzahl der „Erfolge“ bei einer n-fachen Ausfu¨hrung des BernoulliExperiments

Poisson-Verteilung mx f ðxÞ ¼  e m x!

Mittelwert m:

x: Mittelwert der Stichprobe

m^ ¼ x

Exponentialverteilung

Parameter l:

f ðxÞ ¼ l  e  l x

1 l^ ¼ x

Gaußsche Normalverteilung 1  f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffi 2p  s

xm 2 1 ð Þ e 2 s

a) Mittelwert m: m^ ¼ x b) Varianz s 2 : s^ 2 ¼ s 2

x: Mittelwert der Stichprobe

x: Mittelwert der Stichprobe s 2 : Varianz der Stichprobe

444

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

3.3 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle fu¨r unbekannte Parameter („Intervallscha¨tzungen“) 3.3.1 Vertrauens- oder Konfidenzintervalle Vertrauens- oder Konfidenzintervalle ermo¨glichen Aussagen u¨ber die Genauigkeit und Zuverla¨ssigkeit von Parameterscha¨tzungen auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit einer vorgegebenen (großen) Wahrscheinlichkeit g la¨sst sich aus einer konkreten Stichprobe stets ein sog. Vertrauens- oder Konfidenzintervall bestimmen, in dem der wahre (aber unbekannte) Wert des Parameters vermutet wird. Die Grenzen dieses Intervalls heißen Vertrauens- oder Konfidenzgrenzen, die vorgegebene Wahrscheinlichkeit g wird als statistische Sicherheit oder als Vertrauens- oder Konfidenzniveau bezeichnet. Die Gro¨ße a ¼ 1  g heißt Irrtumswahrscheinlichkeit. Vertrauensgrenzen

cu

co

Zahlengerade

Vertrauensintervall

Verschiedene Stichproben fu¨hren zu verschiedenen Vertrauensintervallen. Vor der Durchfu¨hrung der Stichprobe besteht die Wahrscheinlichkeit g ¼ 1  a, ein Intervall zu erhalten, das den unbekannten Parameter „ u¨berdeckt “. Nach der Durchfu¨hrung der Stichprobe darf man darauf vertrauen, dass bei einer Vielzahl von durchgefu¨hrten Stichproben der wahre Parameterwert in g  100 % aller Fa¨lle innerhalb und nur in a  100 % aller Fa¨lle außerhalb des Vertrauensintervalls liegt. Der wahre Wert des Parameters muss also nicht unbedingt im berechneten Vertrauensintervall liegen, sondern er kann auch (mit der Irrtumswahrscheinlichkeit a ¼ 1  g) außerhalb des Intervalls liegen. In diesem Fall trifft man eine Falschaussage (sog. Fehler 1. Art). In der Praxis u¨bliche Werte fu¨r g sind 0;95 ¼ 95 % oder 0;99 ¼ 99 %. Dabei gilt: Je gro¨ßer g, umso breiter ist das Vertrauensintervall und damit umso unscha¨rfer die Aussage.

Vertrauensintervall für γ = 0,99

Zahlengerade Vertrauensintervall für γ = 0,95

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“)

445

3.3.2 Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei bekannter Varianz s 2 X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem unbekannten Mittelwert m und der als bekannt vorausgesetzten Varianz s 2 . Fu¨r den Mittelwert m la¨sst sich dann unter Verwendung einer konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn schrittweise wie folgt ein Vertrauens- oder Konfidenzintervall bestimmen: 1. Man wa¨hle zuna¨chst ein bestimmtes Vertrauensniveau g (in der Praxis meist g ¼ 0;95 ¼ 95 % oder g ¼ 0;99 ¼ 99 %Þ. 2. Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung Pð c  U  cÞ ¼ g fu¨r die standardnormalverteile Zufallsvariable X m pffiffiffi U ¼ s= n unter Verwendung von Tabelle 2 im Anhang, Teil B. Dabei bedeuten: X : Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) s : Standardabweichung der normalverteilten Grundgesamtheit (als bekannt vorausgesetzt) n: Umfang der verwendeten Stichprobe 3. Berechnung des Mittelwertes x der konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn . 4. Das Vertrauensintervall fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilten Grundgesamtheit lautet dann: s s x  c pffiffiffi  m  x þ c pffiffiffi n n Der wahre Wert des Mittelwertes m liegt dabei mit einem Vertrauen von g  100 % in diesem Intervall (siehe Bild). γ = 1–α α/2

α/2

cu

x

co

x

Vertrauensintervall

Anmerkungen (1) (2)

Ha¨ufig wird die Irrtumswahrscheinlichkeit a vorgegeben (meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %). Das Vertrauensniveau ist dann g ¼ 1  a. pffiffiffi Das Vertrauensintervall besitzt die La¨nge l ¼ 2 c s= n und la¨sst sich stets durch eine Vergro¨ßerung des Stichprobenumfangs n verku¨rzen (fu¨r feste Werte von s und g).

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r die Berechnung eines Vertrauensintervalls ! Abschnitt 3.3.7

446

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

3.3.3 Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz s 2 X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem unbekannten Mittelwert m und der ebenfalls unbekannten Varianz s 2 . Fu¨r den Mittelwert m la¨sst sich dann unter Verwendung einer konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn schrittweise wie folgt ein Vertrauens- oder Konfidenzintervall bestimmen: 1. Man wa¨hle zuna¨chst ein bestimmtes Vertrauensniveau g (in der Praxis meist g ¼ 0;95 ¼ 95 % oder g ¼ 0;99 ¼ 99 %Þ. 2. Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung Pð c  T  cÞ ¼ g fu¨r die einer t-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden genu¨genden Zufallsvariablen T ¼

X m pffiffiffi S= n

unter Verwendung von Tabelle 4 im Anhang, Teil B. Dabei bedeuten: X : Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) S: Scha¨tzfunktion fu¨r die unbekannte Standardabweichung s der normalverteilten Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) n: Umfang der verwendeten Stichprobe 3. Berechnung des Mittelwertes x und der Varianz s 2 bzw. der Standardabweichung s der konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn . 4. Das Vertrauensintervall fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilten Grundgesamtheit lautet dann: s s x  c pffiffiffi  m  x þ c pffiffiffi n n Der wahre Wert des Mittelwertes m liegt dabei mit einem Vertrauen von g  100 % in diesem Intervall (siehe Bild). γ = 1–α α/2

α/2

cu

x Vertrauensintervall

co

x

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“)

447

Anmerkungen (1) (2)

(3)

(4)

Ha¨ufig wird die Irrtumswahrscheinlichkeit a vorgegeben (meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %). Das Vertrauensniveau ist dann g ¼ 1  a. pffiffiffi Das Vertrauensintervall besitzt die La¨nge l ¼ 2 c s= n. Eine Verku¨rzung des Vertrauensintervalls la¨sst sich stets durch eine entsprechende Vergro¨ßerung des Stichprobenumfangs n erreichen. Bei unbekannter Varianz s 2 sind die Vertrauensintervalle fu¨r den Mittelwert m stets breiter als bei bekannter Varianz (bei gleichem Vertrauensniveau g und gleichem Stichprobenumfang n). Bei umfangreichen Stichproben ( Faustregel: n > 30) kann die unbekannte Standardabweichung s der Grundgesamtheit durch die Standardabweichung s der Stichprobe gescha¨tzt werden: s  s. In diesem Sonderfall darf man daher von einer normalverteilten Grundgesamtheit mit der bekannten Varianz s 2  s 2 ausgehen und das bereits im vorangegangenen Abschnitt 3.3.2 besprochene Verfahren anwenden.

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r die Berechnung eines Vertrauensintervalls ! Abschnitt 3.3.7 3.3.4 Vertrauensintervalle fu¨r den unbekannten Mittelwert m bei einer beliebigen Verteilung X sei eine beliebig verteilte Zufallsvariable mit dem unbekannten Mittelwert m und der (bekannten oder unbekannten) Varianz s 2 . Fu¨r die Konstruktion von Vertrauensintervallen fu¨r den Mittelwert m gelten dann bei Verwendung hinreichend großer Stichproben ( Faustregel: n > 30) die bereits in den Abschnitten 3.3.2 und 3.3.3 beschriebenen Methoden. Sie liefern in guter Na¨herung brauchbare Vertrauensintervalle, wobei noch zwei Fa¨lle zu unterscheiden sind: 1. Ist die Varianz s 2 der Grundgesamtheit bekannt, so ist das in Abschnitt 3.3.2 beschriebene Verfahren anzuwenden (Standardnormalverteilung). 2. Bei unbekannter Varianz s 2 ist dagegen die in Abschnitt 3.3.3 dargestellte Methode anzuwenden (t-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden). Die Na¨herung ist umso besser, je gro¨ßer der Umfang n der verwendeten Stichprobe ist. Fu¨r großes n besteht dann kein wesentlicher Unterschied mehr zwischen den beiden Vertrauensintervallen, die man durch die Fallunterscheidung erha¨lt.

448

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

3.3.5 Vertrauensintervalle fu¨r die unbekannte Varianz s 2 einer Normalverteilung X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem ( bekannten oder unbekannten) Mittelwert m und der unbekannten Varianz s 2 . Fu¨r die Varianz s 2 la¨sst sich dann unter Verwendung einer konkreten Zufallsstichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn wie folgt schrittweise ein Vertrauens- oder Konfidenzintervall bestimmen: 1. Man wa¨hle zuna¨chst ein bestimmtes Vertrauensniveau g (in der Praxis meist g ¼ 0;95 ¼ 95 % oder g ¼ 0;99 ¼ 99 %Þ. 2. Berechnung der beiden Konstanten c1 und c2 aus der Bedingung Pðc1  Z  c2 Þ ¼ g fu¨r die einer Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden genu¨genden Zufallsvariablen S2 Z ¼ ðn  1Þ 2 s oder aus den beiden gleichwertigen Bestimmungsgleichungen 1 1 Fðc1 Þ ¼ ð1  gÞ und Fðc2 Þ ¼ ð1 þ gÞ 2 2 unter Verwendung von Tabelle 3 im Anhang, Teil B. Dabei bedeuten: S2:

Scha¨tzfunktion fu¨r die unbekannte Varianz s 2 der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2)

n:

Umfang der verwendeten Stichprobe

FðzÞ: Verteilungsfunktion der Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden (Tabelle 3 im Anhang, Teil B) 3. Berechnung des Varianz s 2 der konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn . 4. Das Vertrauensintervall fu¨r die unbekannte Varianz s 2 Grundgesamtheit lautet dann:

der normalverteilten

ðn  1Þ s 2 ðn  1Þ s 2  s2  c2 c1 Der wahre Wert der Varianz s 2 liegt dabei mit einem Vertrauen von g  100 % in diesem Intervall. Anmerkungen (1)

Ha¨ufig wird die Irrtumswahrscheinlichkeit a vorgegeben (meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %). Das Vertrauensniveau ist dann g ¼ 1  a.

(2)

Das Vertrauensintervall besitzt die La¨nge l ¼

(3)

Aus dem Vertrauensintervall fu¨r die Varianz s 2 erha¨lt man durch Wurzelziehen ein entsprechendes Vertrauensintervall fu¨r die Standardabweichung s.

ðn  1Þ ðc2  c1 Þ s 2 . c1 c2

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r die Berechnung eines Vertrauensintervalls ! Abschnitt 3.3.7

3 Statistische Scha¨tzmethoden fu¨r unbekannte Parameter („Parameterscha¨tzungen“)

449

3.3.6 Vertrauensintervalle fu¨r einen unbekannten Anteilswert p ( Parameter p einer Binomialverteilung) Der Parameter p einer Binomialverteilung sei unbekannt. Der binomialverteilten Grundgesamtheit wird daher eine umfangreiche Stichprobe entnommen, in dem das dieser Verteilung zugrunde liegende Bernoulli-Experiment n-mal nacheinander ausgefu¨hrt und dabei die Anzahl k der erzielten „Erfolge“ festgestellt wird. Als „Erfolg“ wird das Eintreten des Ereignisses A, als „Mißerfolg“ demnach das Eintreten des zu A komplementa¨ren Ereignisses A gewertet. Die beobachtete relative Ha¨ufigkeit fu¨r das Ereignis A („Erfolg“) betra¨gt somit hðAÞ ¼ k=n und ist ein Scha¨tzwert fu¨r den unbekannten Parameter p der Binomialverteilung (Anteilswert p). Unter Verwendung dieser Stichprobe la¨sst sich dann fu¨r den unbekannten Parameter p schrittweise wie folgt ein Vertrauens- oder Konfidenzintervall konstruieren: 1. Man wa¨hle zuna¨chst ein bestimmtes Vertrauensniveau g (in der Praxis meist g ¼ 0;95 ¼ 95 % oder g ¼ 0;99 ¼ 99 %Þ. 2. Berechnung der Konstanten c aus der Bedingung Pð c  U  cÞ ¼ g fu¨r die (na¨herungsweise) standardnormalverteilte Zufallsvariable n P^  n p U ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n pð1  pÞ unter Verwendung von Tabelle 2 im Anhang, Teil B. Dabei bedeuten: P^: Scha¨tzfunktion fu¨r den Parameter p einer binomialverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.3) n: Umfang der verwendeten Stichprobe 3. Berechnung des Scha¨tzwertes p^ ¼ k=n fu¨r den Parameter p aus der konkreten Stichprobe („ k Erfolge bei insgesamt n Ausfu¨hrungen des Bernoulli-Experiments“). 4. Unter der Voraussetzung, dass die Bedingung D ¼ n p^ð1  p^Þ > 9 fu¨r eine umfangreiche Stichprobe erfu¨llt ist, lautet das Vertrauensintervall fu¨r den unbekannten Parameter p der binomialverteilten Grundgesamtheit wie folgt: c pffiffiffiffi c pffiffiffiffi D  p  p^ þ D p^  n n Der wahre Wert des Parameters p liegt dabei mit einem Vertrauen von g  100 % in diesem Intervall (siehe Bild auf der na¨chsten Seite).

450

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik γ = 1–α α/2

α/2

c p– n Δ

p

c p+ n Δ

p

Vertrauensintervall

Anmerkungen Ha¨ufig wird die Irrtumswahrscheinlichkeit a vorgegeben (meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %). Das Vertrauensniveau ist dann g ¼ 1  a. pffiffiffiffi (2) Eine Verku¨rzung des Vertrauensintervalls der La¨nge l ¼ 2 ðc=nÞ D la¨sst sich stets durch eine entsprechende Vergro¨ßerung des Stichprobenumfangs n erreichen. Hinweis: Musterbeispiel fu¨r die Berechnung eines Vertrauensintervalls ! Abschnitt 3.3.7 (1)

3.3.7 Musterbeispiel fu¨r die Bestimmung eines Vertrauensintervalls Qualita¨tskontrolle bei der Serienproduktion eines bestimmten elektronischen Bauteils Eine Stichprobe vom Umfang n ¼ 500 enthielt k ¼ 27 defekte Teile. Fu¨r den unbekannten Ausschussanteil p der binomialverteilten Grundgesamtheit soll ein Vertrauensintervall bestimmt werden. Das Verfahren ist in Abschnitt 3.3.6 ausfu¨hrlich beschrieben. Wahl des Vertrauensniveaus:

g ¼ 0;95 ¼ 95 %

Berechnung der Konstanten c: Pð c  U  cÞ ¼ 2  fðcÞ  1 ¼ 0,95 fðcÞ ¼ 0;975

)

c ¼ u 0;975 ¼ 1;960

(aus Tabelle 2 im Anhang, Teil B)

Scha¨tzwert fu¨r den unbekannten Ausschussanteil p: k 27 54 ¼ ¼ ¼ 0;054 ¼ 5;4 % p^ ¼ n 500 1000 Die Bedingung fu¨r eine umfangreiche Stichprobe ist erfu¨llt: D ¼ n p^ ð1  p^Þ ¼ 500  0;054 ð1  0;054Þ ¼ 25;542 > 9 Vertrauensintervall fu¨r den unbekannten Ausschussanteil p: c pffiffiffiffi 1;960 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ¼ D ¼  25;542 ¼ 0;020 n 500 p^  a  p  p^ þ a ) 0;054  0;020  p  0;054 þ 0;020 0;034  p  0;074

,

3;4 %  p  7;4 %

Mit einem Vertrauen von 95 % ko¨nnen wir davon ausgehen, dass der Ausschussanteil p zwischen 3,4 % und 7,4 % liegt.

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

451

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“) 4.1 Statistische Hypothesen und Parametertests Statistische Hypothese Unter einer statistischen Hypothese ( kurz: Hypothese) versteht man irgendwelche Annahmen, Vermutungen oder Behauptungen u¨ber die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen oder einer Grundgesamtheit und deren Parameter. Parametertest Ein Parametertest ist ein statistisches Pru¨fverfahren fu¨r einen unbekannten Parameter in der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen oder Grundgesamtheit, wobei die Art der Verteilung (d. h. der Verteilungstyp wie z. B. Binomialverteilung oder Gaußsche Normalverteilung) als bekannt vorausgesetzt wird. Ein solcher Test dient der berpru¨fung einer Hypothese u¨ber einen bestimmten Parameter der Verteilung mit Hilfe einer Stichprobenuntersuchung der betreffenden Grundgesamtheit. Die zu u¨berpru¨fende Hypothese wird meist als Nullhypothese H0 bezeichnet. Ihr wird oft eine Alternativhypothese H1 gegenu¨bergestellt. Es ist dann das erkla¨rte Ziel eines Parametertests, eine Entscheidung daru¨ber zu ermo¨glichen, ob man die Nullhypothese H0 beibehalten (d. h. nicht ablehnen) kann, da die Auswertung des verwendeten Stichprobenmaterials in keinem Widerspruch zur Nullhypothese steht oder ob man sie zugunsten der Alternativhypothese H1 ablehnen oder verwerfen muss. Mit einem Parametertest kann also u¨ber Ablehnung oder Beibehaltung ( Nichtablehnung) einer aufgestellten Hypothese („Nullhypothese“) entschieden werden. Allerdings: Wie auch immer die Entscheidung ausfallen sollte, sie kann richtig aber auch falsch sein. &

Beispiel Ein Großha¨ndler bestellt direkt beim Hersteller einen gro¨ßeren Posten eines bestimmten elektronischen Bauelements und vereinbart dabei, dass die Ware einen maximalen Ausschussanteil von p0 ¼ 1 % enthalten darf. Bei der Anlieferung der Ware wird er daher mit einem speziellen statistischen Test pru¨fen, ob die vereinbarte maximale Ausschussquote auch nicht u¨berschritten wurde. Der Großha¨ndler wird daher mit Hilfe einer Stichprobenuntersuchung die Nullhypothese H0 : p  p0 ¼ 1 % gegen die Alternativhypothese H1 : p > p 0 ¼ 1 % testen (sog. einseitiger Parametertest, da hier die Alternativhypothese nur Werte p > p0 zula¨sst). Sollte dabei die Testentscheidung zugunsten der Alternativhypothese H1 ausfallen, so darf er davon ausgehen, dass der Ausschussanteil p gro¨ßer ist als vereinbart, d. h. gro¨ßer als 1 %. Der Großha¨ndler wird in diesem Fall die Annahme der gelieferten Bauelemente verweigern. Trotzdem kann die getroffene Entscheidung falsch sein! Denn sie beruht ausschließlich auf der verwendeten Stichprobe. Eine weitere Stichprobe ko¨nnte durchaus zu einer anderen Entscheidung fu¨hren. &

452

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

4.2 Spezielle Parametertests 4.2.1 Test fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei bekannter Varianz s 2 Zweiseitiger Test X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit der bekannten Varianz s 2 . Es soll gepru¨ft werden, ob der unbekannte Mittelwert m (wie vermutet) den speziellen Wert m0 besitzt. Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn vom Umfang n wird daher die Nullhypothese H0 : m ¼ m0 gegen die Alternativhypothese H1 : m 6¼ m0 getestet. Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt dabei schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die standardnormalverteile Zufallsvariable U ¼

X  m0 pffiffiffi s= n

Dabei bedeuten: X : Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) m0 : Vermuteter Wert des unbekannten Mittelwertes m s : Standardabweichung der normalverteilten Grundgesamtheit (wird hier als bekannt vorausgesetzt) n: Umfang der verwendeten Stichprobe c Die Berechnung des kritischen Wertes c und damit der kritischen Grenzen þ erfolgt aus der Bedingung P ð c  U  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 2 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c  u  c 3. Berechnung des Mittelwertes x der konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn sowie des Test- oder Pru¨fwertes x  m0 pffiffiffi u^ ¼ s= n der Testvariablen U.

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

453

4. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert u^ in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt  c  u^  c so wird die Nullhypothese H0 : m ¼ m0 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : m 6¼ m0 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet dabei lediglich, dass die Nullhypothese H0 aufgrund der verwendeten Stichprobe nicht abgelehnt werden kann. H 0 beibehalten

1–α

H 0 ablehnen

α/2 α/2

–c Ablehnung (kritischer Bereich)

0

^ u

c

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

^ u

u

Ablehnung (kritischer Bereich)

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6 Einseitige Tests Analog verlaufen die einseitigen Tests (Abgrenzung nach oben bzw. nach unten), bei denen es nur eine kritische Grenze gibt. 1–α

Abgrenzung nach oben H 0 : m  m0

α

H1 : m > m0 P ðU  cÞH0 ¼ 1  a

0

Annahmebereich: u  c

c

Annahmebereich

u Ablehnung

kritische Grenze

Abgrenzung nach unten

1–α

H0 : m  m0 H1 : m < m0

α

P ðU < cÞH0 ¼ a c

Annahmebereich: u  c Ablehnung

kritische Grenze

0 Annahmebereich

u

454

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

4.2.2 Test fu¨r den unbekannten Mittelwert m einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz s 2 Zweiseitiger Test X sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit der unbekannten Varianz s 2 . Es soll gepru¨ft werden, ob der ebenfalls unbekannte Mittelwert m (wie vermutet) den speziellen Wert m0 besitzt. Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn vom Umfang n wird daher die Nullhypothese H0 : m ¼ m0 gegen die Alternativhypothese H1 : m 6¼ m0 getestet. Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt dabei schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die Zufallsvariable T ¼

X  m0 pffiffiffi S= n

die der t-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden genu¨gt. Dabei bedeuten: X : Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Mittelwert m der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) m0 : Vermuteter Wert des unbekannten Mittelwertes m S: Scha¨tzfunktion fu¨r die unbekannte Standardabweichung s der normalverteilten Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) n: Umfang der verwendeten Stichprobe c Die Berechnung des kritischen Wertes c und damit der kritischen Grenzen þ erfolgt aus der Bedingung P ð c  T  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 4 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c  t  c 3. Berechnung des Mittelwertes x und der Standardabweichung s der vorgegebenen konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn sowie des Test- oder Pru¨fwertes x  m0 ^t ¼ pffiffiffi s= n der Testvariablen T.

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

455

4. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert ^t in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt  c  ^t  c so wird die Nullhypothese H0 : m ¼ m0 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : m 6¼ m0 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet dabei lediglich, dass die Nullhypothese H0 aufgrund der verwendeten Stichprobe nicht abgelehnt werden kann. 1–α H 0 beibehalten

H 0 ablehnen α/2

^t Ablehnung (kritischer Bereich)

α/2

–c

0

^t

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

c

t Ablehnung (kritischer Bereich)

Anmerkung Bei einer umfangreichen Stichprobe ( Faustregel: n > 30Þ ist die Testvariable T na¨herungsweise standardnormalverteilt und man darf daher das in Abschnitt 4.2.1 besprochene Testverfahren anwenden ðs 2  s 2 Þ. Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6 Einseitige Tests Die einseitigen Tests (Abgrenzung nach oben bzw. nach unten) verlaufen a¨hnlich wie im Fall bekannter Varianz (siehe Abschnitt 4.2.1). Bei der Berechnung der kritischen Grenze ist dabei die t-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden anstelle der Standardnormalverteilung zu verwenden ( Testvariable ist die weiter oben beschriebene Zufallsvariable T).

4.2.3 Tests fu¨r die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte m1 und m2 zweier Normalverteilungen („Differenzentests“) Abha¨ngige und unabha¨ngige Stichproben Zwei Stichproben heißen voneinander abha¨ngig, wenn sie den gleichen Umfang haben und zu jedem Wert der einen Stichprobe genau ein Wert der anderen Stichprobe geho¨rt und umgekehrt. Zwischen abha¨ngigen Stichproben besteht somit eine Kopplung. Man spricht daher in diesem Zusammenhang auch von verbundenen oder korrelierten Stichproben. Zwei Stichproben, die diese beiden Bedingungen nicht zugleich erfu¨llen, heißen dagegen voneinander unabha¨ngig (unabha¨ngige Stichproben). So sind beispielsweise zwei Stichproben von unterschiedlichem Umfang stets voneinander unabha¨ngig.

456

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

4.2.3.1 Differenzentests fu¨r Mittelwerte bei abha¨ngigen Stichproben Bei abha¨ngigen oder verbundenen Stichproben la¨sst sich der Differenzentest auf die in den Abschnitten 4.2.1 und 4.2.2 beschriebenen Parametertests fu¨r den Mittelwert m einer normalverteilten Grundgesamtheit zuru¨ckfu¨hren. X und Y seien zwei normalverteilte Zufallsvariable mit den unbekannten Mittelwerten m1 und m2 . Es soll gepru¨ft werden, ob die beiden Mittelwerte (wie vermutet) u¨bereinstimmen. Auf der Basis zweier abha¨ngiger Stichproben x1 ; x2 ; . . . ; xn

und

y1 ; y2 ; . . . ; yn

vom (gleichen) Umfang n wird daher die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 gegen die Alternativhypothese H1 : m1 6¼ m2 getestet. Diesen zweiseitigen Parametertest fu¨hren wir zweckma¨ßigerweise auf einen entsprechenden Test des Hilfsparameters m ¼ m 1  m2 (Differenz der beiden Mittelwerte m1 und m2 ) zuru¨ck. Getestet wird dann die Nullhypothese H0 : m ¼ 0 gegen die Alternativhypothese H1 : m 6¼ 0 wie folgt: Zuna¨chst bildet man aus den beiden abha¨ngigen Stichproben die entsprechenden Differenzen zi ¼ xi  yi ði ¼ 1; 2; 3; . . . ; nÞ und betrachtet diese Werte als Stichprobenwerte einer neuen (normalverteilten) Stichprobe vom Umfang n: z1 ; z2 ; . . . ; zn Es la¨sst sich dann mit den in den Abschnitten 4.2.1 und 4.2.2 beschriebenen Verfahren pru¨fen, ob der Mittelwert  z ¼ x  y dieser Stichprobe in den Annahmebereich fa¨llt oder nicht. Fa¨llt der Mittelwert  z in den Annahmebereich, so wird die Nullhypothese H0 : m ¼ 0 bzw. H0 : m1 ¼ m2 beibehalten, d. h. nicht abgelehnt und man kann davon ausgehen, dass die Mittelwerte m1 und m2 der beiden normalverteilten Grundgesamtheiten u¨bereinstimmen. Anderenfalls wird die Nullhypothese H0 zugunsten der Alternativhypothese H1 : m 6¼ 0 bzw. H1 : m1 6¼ m2 verworfen. Die Mittelwerte m1 und m2 der beiden normalverteilten Grundgesamtheiten ko¨nnen in diesem Fall als verschieden betrachtet werden. Es wird also getestet, ob die durch Differenzbildung erhaltene Stichprobe z1 ; z2 ; . . . ; zn einer normalverteilten Grundgesamtheit mit dem Mittelwert m ¼ 0 entstammt. Dabei sind noch zwei Fa¨lle zu unterscheiden.

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

457

1. Fall: Die Varianzen s 21 und s 22 der Zufallsvariablen X und Y sind bekannt Dann gilt s 21 s2 s 2 þ s 22 þ 2 ¼ 1 n n n und man darf das in Abschnitt 4.2.1 besprochene Pru¨fverfahren anwenden (die verwendete Testvariable ist in diesem Fall standardnormalverteilt). Diese Aussage gilt na¨herungsweise auch bei unbekannten Varianzen, sofern die verwendeten abha¨ngigen Stichproben hinreichend umfangreich sind ( Faustregel: n > 30). In diesem Fall verwendet man als Scha¨tzwert fu¨r die unbekannte Varianz s 2 die Stichprobenvarianz s 2 (d. h. die Varianz der Stichprobe z1 ; z2 ; . . . ; zn Þ. s2 ¼

2. Fall: Die Varianzen s 21 und s 22 der Zufallsvariablen X und Y sind unbekannt Dann bleibt auch die Varianz s 2 unbekannt und man muss das in Abschnitt 4.2.2 dargestellte Testverfahren verwenden (die Testvariable genu¨gt jetzt einer t-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden). Dieser Fall tritt ein bei kleinen abha¨ngigen Stichproben mit n  30. Anmerkung hnlich verla¨uft der Differenzentest bei einseitigen Fragestellungen. Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6 4.2.3.2 Differenzentests fu¨r Mittelwerte bei unabha¨ngigen Stichproben Zweiseitiger Differenzentest bei bekannten Varianzen X und Y seien zwei unabha¨ngige und normalverteilte Zufallsvariable mit den unbekannten Mittelwerten m1 und m2 , aber bekannten Varianzen s 21 und s 22 . Es soll gepru¨ft werden, ob die beiden Mittelwerte (wie vermutet) u¨bereinstimmen. Auf der Basis zweier unabha¨ngiger Zufallsstichproben x1 ; x 2 ; . . . ; x n 1

und

y1 ; y2 ; . . . ; yn2

mit den Stichprobenumfa¨ngen n1 und n2 wird daher die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 gegen die Alternativhypothese H1 : m1 6¼ m2 getestet.

458

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt dabei schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die standardnormalverteilte Zufallsvariable sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi X Y s 21 s2 mit s ¼ U ¼ þ 2 s n1 n2 Dabei bedeuten: X; Y : Scha¨tzfunktionen fu¨r die unbekannten Mittelwerte m1 und m2 der beiden normalverteilen Grundgesamtheiten (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) s 1 ; s2 : Standardabweichungen der beiden normalverteilten Grundgesamtheiten (hier als bekannt vorausgesetzt) n1 ; n2 : Umfa¨nge der verwendeten unabha¨ngigen Stichproben s: Standardabweichung der Zufallsvariablen X  Y c Die Berechnung des kritischen Wertes c und damit der kritischen Grenzen þ erfolgt aus der Bedingung P ð c  U  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 2 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c  u  c 3. Berechnung der Mittelwerte x und y der beiden vorgegebenen unabha¨ngigen Stichproben sowie des Test- oder Pru¨fwertes x  y u^ ¼ s der Testvariablen U. 4. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert u^ in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt  c  u^  c so wird die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : m1 6¼ m2 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet dabei lediglich, dass man die Nullhypothese H0 aufgrund der verwendeten Stichprobe nicht ablehnen kann. H 0 beibehalten

1–α

H 0 ablehnen

α/2 α/2

–c Ablehnung (kritischer Bereich)

0

^ u

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

c

^ u Ablehnung (kritischer Bereich)

u

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

459

Anmerkungen (1) (2)

Dieser Differenzentest la¨sst sich in a¨hnlicher Weise auch fu¨r einseitige Fragestellungen durchfu¨hren. In diesem Fall gibt es nur eine kritische Grenze. Bei umfangreichen Stichproben ( Faustregel: n1 ; n2 > 30Þ du¨rfen die Varianzen s 21 und s 22 na¨herungsweise durch ihre Scha¨tzwerte s 21 und s 22 , d. h. durch die Stichprobenvarianzen ersetzt werden, falls sie unbekannt sein sollten.

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6 Zweiseitiger Differenzentest bei gleicher (aber unbekannter) Varianz X und Y seien zwei unabha¨ngige und normalverteilte Zufallsvariable mit den unbekannten Mittelwerten m1 und m2 und zwar gleicher, aber unbekannter Varianz ðs 21 ¼ s 22 Þ. Es soll gepru¨ft werden, ob die beiden Mittelwerte (wie vermutet) u¨bereinstimmen. Auf der Basis zweier unabha¨ngiger Zufallsstichproben x1 ; x2 ; . . . ; xn1

und

y1 ; y2 ; . . . ; yn2

mit den Stichprobenumfa¨ngen n1 und n2 wird daher die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 gegen die Alternativhypothese H1 : m1 6¼ m2 getestet. Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt dabei schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die Zufallsvariable sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n1 n2 ðn1 þ n2  2Þ X Y T ¼  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n1 þ n2 2 ðn1  1Þ S 21 þ ðn2  1Þ S 2 die der t-Verteilung von Student mit f ¼ n1 þ n2  2 Freiheitsgraden genu¨gt. Dabei bedeuten: X; Y : Scha¨tzfunktionen fu¨r die unbekannten Mittelwerte m1 und m2 der beiden normalverteilen Grundgesamtheiten (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) S 21 ; S 22 : Scha¨tzfunktionen fu¨r die zwar gleichen, jedoch unbekannten Varianzen s 21 und s 22 der beiden normalverteilten Grundgesamtheiten (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) n1 ; n2 : Umfa¨nge der verwendeten unabha¨ngigen Stichproben c Die Berechnung des kritischen Wertes c und damit der kritischen Grenzen þ erfolgt aus der Bedingung P ð c  T  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 4 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c  t  c

460

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

3. Berechnung der Mittelwerte x und y und der Varianzen s 21 und s 22 der beiden vorgegebenen unabha¨ngigen Stichproben sowie des Hilfsparameters s2 ¼

ðn1  1Þ s 21 þ ðn2  1Þ s 22 n1 þ n2  2

Daraus wird dann der Test- oder Pru¨fwert rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  y n1 n2 ^t ¼  n1 þ n2 s der Testvariablen T bestimmt. 4. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert ^t in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt  c  ^t  c so wird die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : m1 6¼ m2 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich, dass man die Nullhypothese H0 aufgrund der verwendeten Stichprobe nicht ablehnen kann. 1–α H 0 beibehalten

H 0 ablehnen α/2

^ t Ablehnung (kritischer Bereich)

–c

α/2

0

^ t

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

c

t Ablehnung (kritischer Bereich)

Anmerkungen (1)

Bei gleichem Stichprobenumfang ðn1 ¼ n2 ¼ nÞ vereinfacht sich die Formel zur Ermittlung des Test- oder Pru¨fwertes wie folgt: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi x  y n ^t ¼ n  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  ð x  yÞ 2 2 s 1 þ s 22 s 21 þ s 2

(2)

Dieser Differenzentest la¨sst sich in a¨hnlicher Weise auch fu¨r einseitige Fragestellungen durchfu¨hren. In diesem Fall gibt es nur eine kritische Grenze.

(3)

Wird die Nullhypothese H0 : m1 ¼ m2 beibehalten (d. h. nicht abgelehnt), so ist m1 ¼ m2 und s 21 ¼ s 22 . Die beiden unabha¨ngigen Stichproben stammen somit aus der gleichen Grundgesamtheit.

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

461

4.2.4 Tests fu¨r die unbekannte Varianz s 2 einer Normalverteilung Zweiseitiger Test X sei eine normalverteilte Zufallsvariable. Es soll gepru¨ft werden, ob die unbekannte Varianz s 2 (wie vermutet) einen bestimmten Wert s 20 besitzt. Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn vom Umfang n wird daher die Nullhypothese H0 : s2 ¼ s 20 gegen die Alternativhypothese H1 : s 2 6¼ s 20 getestet. Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt dabei schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die Zufallsvariable Z ¼ ðn  1Þ

S2 s 20

Dabei bedeuten: S 2 : Scha¨tzfunktion fu¨r die unbekannte Varianz s 2 der normalverteilen Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.2) 2 s0 : Vermuteter Wert der unbekannten Varianz s 2 n: Umfang der verwendeten Stichprobe Die Testvariable Z genu¨gt der Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden. Die Berechnung der beiden kritischen Grenzen c1 und c2 erfolgt dabei aus der Bedingung P ðc1  Z  c2 ÞH0 ¼ 1  a oder aus den beiden gleichwertigen Bestimmungsgleichungen a a F ðc1 Þ ¼ und F ðc2 Þ ¼ 1  2 2 mit Hilfe der tabellierten Verteilungsfunktion F ðzÞ der Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ n  1 Freiheitsgraden (Tabelle 3 im Anhang, Teil B). Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c1  z  c 2 3. Berechnung der Varianz s 2 der vorgegebenen konkreten Stichprobe und des Testoder Pru¨fwertes ^z ¼ ðn  1Þ

s2 s 20

der Testvariablen Z.

462

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

4. Testentscheidung: Fa¨llt der Pru¨f- oder Testwert ^ z in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt z  c2 c1  ^ so wird die Nullhypothese H0 : s 2 ¼ s 20 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : s 2 6¼ s 20 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich, dass man aufgrund der verwendeten Stichprobe die Nullhypothese H0 nicht ablehnen kann. 1–α

H 0 beibehalten H 0 ablehnen

α/2

α/2

0

c1

Ablehnung (kritischer Bereich)

^ z Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

c2 ^ z

z

Ablehnung (kritischer Bereich)

Anmerkung Der beschriebene Test ist zugleich auch ein Test fu¨r die (ebenfalls unbekannte) Standardabweichung s. Getestet wird dabei die Nullhypothese H0 : s ¼ s 0 gegen die Alternativhypothese H1 : s 6¼ s0 . Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

463

Einseitige Tests Analog verlaufen die einseitigen Tests, bei denen es jeweils nur eine kritische Grenze gibt. Abgrenzung nach oben H0 : s 2  s 20 ;

1–α

H1 : s 2 > s 20

P ðZ  cÞH0 ¼ 1  a

α

Annahmebereich: z  c 0

c

Annahmebereich

z

Ablehnung kritische Grenze

Abgrenzung nach unten H0 : s 2  s 20 ;

1–α

H1 : s 2 < s 20

P ðZ < cÞH0 ¼ a

α

Annahmebereich: z  c 0

c

Ablehnung

z

Annahmebereich

kritische Grenze

4.2.5 Tests fu¨r den unbekannten Anteilswert p ( Parameter p einer Binomialverteilung) Es soll gepru¨ft werden, ob ein unbekannter Anteilswert p ( Parameter p einer Binomialverteilung) einen bestimmten Wert p0 besitzt. Zu diesem Zweck wird der binomialverteilten Grundgesamtheit eine umfangreiche Stichprobe, d. h. eine Stichprobe, deren Umfang n der Bedingung n p0 ð1  p0 Þ > 9 genu¨gt, entnommen. Die Stichprobe selbst besteht dann darin, dass das Bernoulli-Experiment n-mal nacheinander ausgefu¨hrt und dabei die Anzahl k der „Erfolge“ festgestellt wird. Als „Erfolg“ wertet man das Eintreten des Ereignisses A, „Misserfolg“ bedeutet demnach, dass das komplementa¨re Ereignis A eintritt. Die beobachtete relative Ha¨ufigkeit fu¨r das Ereignis A („Erfolg“) betra¨gt somit hðAÞ ¼ k=n. Unter Verwendung dieser Stichprobe wird dann die Nullhypothese H0 : p ¼ p0 gegen die Alternativhypothese H1 : p 6¼ p0 getestet.

464

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt schrittweise wie folgt: 1. Man wa¨hle zuna¨chst eine bestimmte Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %Þ. 2. Test- oder Pru¨fvariable ist die na¨herungsweise standardnormalverteilte Zufallsvariable sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n  ðP^  p0 Þ U ¼ p0 ð1  p0 Þ Dabei bedeuten: P^ : Scha¨tzfunktion fu¨r den unbekannten Parameter p der binomialverteilten Grundgesamtheit (vgl. hierzu Abschnitt 3.2.3) p0 : Vermuteter Wert des unbekannten Parameters p n: Umfang der verwendeten Stichprobe (Anzahl der Ausfu¨hrungen des Bernoulli-Experiments) c Die Berechnung des kritischen Wertes c und damit der kritischen Grenzen þ erfolgt dabei aus der Bedingung P ð c  U  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 2 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: c  u  c 3. Berechnung des Scha¨tzwertes p^ ¼ hðAÞ ¼ k=n fu¨r den Parameter p aus der vorgegebenen konkreten Stichprobe (n-fache Ausfu¨hrung des Bernoulli-Experimentes, dabei k-mal „Erfolg“) sowie des Test- oder Pru¨fwertes sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n u^ ¼  ð^ p  p0 Þ p0 ð1  p0 Þ der Testvariablen U. 4. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert u^ in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt  c  u^  c so wird die Nullhypothese H0 : p ¼ p0 beibehalten, anderenfalls zugunsten der Alternativhypothese H1 : p 6¼ p0 verworfen (siehe Bild). „Beibehalten“ bedeutet in diesem Zusammenhang lediglich, dass man aufgrund der verwendeten Stichprobe die Nullhypothese H0 nicht ablehnen kann. H 0 beibehalten

1–α

H 0 ablehnen α/2

α/2

–c Ablehnung (kritischer Bereich)

0

^ u

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

c

^ u Ablehnung (kritischer Bereich)

u

4 Statistische Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter („Parametertests“)

465

Anmerkungen (1)

(2)

Man beachte, dass dieser Parametertest nur fu¨r umfangreiche Stichproben gilt, d. h. fu¨r solche, die der Bedingung n p0 ð1  p0 Þ > 9 genu¨gen. Bei kleinem Stichprobenumfang ist diese Bedingung jedoch nicht erfu¨llt und das angegebene Pru¨fverfahren daher nicht anwendbar. Wir mu¨ssen in diesem Fall auf die Spezialliteratur verweisen (siehe Literaturverzeichnis). Analog verlaufen die einseitigen Parametertests. In diesen Fa¨llen gibt es jeweils nur eine kritische Grenze c.

Hinweis: Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest ! Abschnitt 4.2.6 4.2.6 Musterbeispiel fu¨r einen Parametertest Serienproduktion von Schrauben mit vorgegebener La¨nge In einem Werk werden Schrauben produziert, deren La¨nge X eine normalverteilte Zufallsgro¨ße mit dem Sollwert (Mittelwert) m0 ¼ 21 mm sei. Eine Stichprobenuntersuchung vom Umfang n ¼ 25 fu¨hrte zu dem folgenden Ergebnis: Mittelwert x ¼ 20,5 mm,

Standardabweichung s ¼ 1,5 mm

Es soll mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von a ¼ 1 % gepru¨ft werden, ob die Abweichung des beobachteten Stichprobenmittelwertes x ¼ 20,5 mm vom Sollwert m0 ¼ 21 mm signifikant oder zufallsbedingt ist. Wir verwenden den in Abschnitt 4.2.2 ausfu¨hrlich beschriebenen Test. Zuna¨chst werden Nullhypothese H0 und Alternativhypothese H1 formuliert: Nullhypothese H0 : m ¼ m0 ¼ 21 mm Alternativhypothese H1 : m 6¼ m0 ¼ 21 mm Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit): a ¼ 1 % ¼ 0,01 Testvariable:

T ¼

X  m0 X  21 mm X  21 mm pffiffiffiffiffi pffiffiffi ¼ ¼ S=5 S= n S= 25

T genu¨gt der t-Verteilung mit f ¼ n  1 ¼ 25  1 ¼ 24 Freiheitsgraden. Bestimmung des kritischen Wertes c: P ð c  T  cÞH0 ¼ 1  a ¼ 1  0;01 ¼ 0;99 P ð c  T  cÞH0 ¼ 2  FðcÞ  1 ¼ 0;99 FðcÞ ¼ 0;995

f ¼ 24

!

)

c ¼ tð0;995; 24Þ ¼ 2;797

(aus Tabelle 4 im Anhang, Teil B entnommen)

FðcÞ ¼ 0;995

466

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

Nicht-kritischer Bereich („Annahmebereich“): c  t  c

)

 2;797  t  2;797

Berechnung des Testwertes ^t : ^t ¼

ð20;5  21Þ mm  0; 5 2; 5 5 x  m0 pffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ ¼  ¼  ¼  1;667 1; 5=5 1; 5 3 s= n 1;5 mm= 25

Testentscheidung: Der Testwert ^t ¼  1;667 fa¨llt in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich). ^ Testwert t = –1,667 H 0 beibehalten 0,99 0,005

–2,797

0,005

0

2,797

t

Die Nullhypothese H0 : m ¼ m0 ¼ 21 mm wird daher beibehalten, d. h. nicht abgelehnt. Die Abweichung des Stichprobenmittelwertes x ¼ 20;5 mm vom Sollwert m0 ¼ 21 mm ist zufallsbedingt, die Stichprobe liefert keinen Anlass, daran zu zweifeln, dass m0 ¼ 21 mm der Mittelwert der normalverteilten Grundgesamtheit ist.

5 Chi-Quadrat-Test Der Chi-Quadrat-Test („ c 2 -Test“) ist ein Anpassungs- oder Verteilungstest und dient der berpru¨fung einer Hypothese u¨ber die Art einer unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Es wird der Versuch unternommen, einer Grundgesamtheit mit der unbekannten Verteilungsfunktion FðxÞ eine bekannte Verteilungsfunktion F0 ðxÞ „anzupassen“. X sei eine Zufallsvariable mit der unbekannten Verteilungsfunktion FðxÞ. Auf der Basis einer Zufallsstichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn soll gepru¨ft werden, ob (wie vermutet) F0 ðxÞ die Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit ist, aus der diese Stichprobe entnommen wurde. Unter der Voraussetzung, dass sa¨mtliche Parameter der als wahr angenommenen Verteilungsfunktion F0 ðxÞ bekannt sind, wird die Nullhypothese H0 : FðxÞ ¼ F0 ðxÞ („die Zufallsvariable X genu¨gt einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Verteilungsfunktion F0 ðxÞ“) gegen die Alternativhypothese H1 : FðxÞ 6¼ F0 ðxÞ („F0 ðxÞ ist nicht die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X “) getestet.

5 Chi-Quadrat-Test

467

Die Durchfu¨hrung des Tests erfolgt schrittweise wie folgt: 1. Unterteilung der n Stichprobenwerte in k Klassen (Intervalle) I1 ; I2 ; . . . ; Ik und Feststellung der absoluten Klassenha¨ufigkeiten (Besetzungszahlen) n1 ; n2 ; . . . ; nk . Erfahrungsgema¨ß sollte dabei jede Klasse mindestens 5 Werte der vorgegebenen konkreten Stichprobe enthalten 1Þ . 2. Fu¨r jede Klasse Ii wird unter Verwendung der als wahr angenommenen Verteilungsfunktion F0 ðxÞ zuna¨chst die Wahrscheinlichkeit pi und daraus die Anzahl n *i ¼ n pi der theoretisch erwarteten Stichprobenwerte berechnet (hypothetische absolute Ha¨ufigkeit; i ¼ 1; 2; . . . ; kÞ. 3. Test- oder Pru¨fvariable ist die Zufallsvariable Z ¼

c2

¼

k P

ðNi  n*i Þ 2 ¼ n*i

i¼1

k P ðNi  n pi Þ 2 i¼1

n pi

die der Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ k  1 Freiheitsgraden genu¨gt. Dabei bedeuten: Ni : Zufallsvariable, die die empirische absolute Ha¨ufigkeit in der i-ten Klasse beschreibt n*i : Theoretisch erwartete absolute Klassenha¨ufigkeit, berechnet unter Verwendung der als wahr angenommenen Verteilungsfunktion F0 ðxÞ der Grundgesamtheit ðn*i ¼ n pi Þ pi : Hypothetische Wahrscheinlichkeit dafu¨r, dass die Zufallsvariable X einen Wert aus der i-ten Klasse annimmt (berechnet mit der als wahr angenommenen Verteilungsfunktion F0 ðxÞÞ n: Umfang der verwendeten Stichprobe Dann wird anhand der vorgegebenen (und in k Klassen unterteilten) konkreten Stichprobe x1 ; x2 ; . . . ; xn der Test- oder Pru¨fwert ^z ¼ c^ 2 ¼

k P i¼1

ðni  n*i Þ 2 ¼ n*i

der Testvariablen Z ¼

c2

k P i¼1

ðni  n pi Þ 2 n pi

berechnet.

4. Jetzt wa¨hle man eine kleine Signifikanzzahl (Irrtumswahrscheinlichkeit) a (in der Praxis meist a ¼ 0;05 ¼ 5 % oder a ¼ 0;01 ¼ 1 %) und bestimme die kritische Grenze c aus der Bedingung P ðZ  cÞH0 ¼ 1  a unter Verwendung von Tabelle 3 im Anhang, Teil B. Der nicht-kritische Bereich (Annahmebereich) lautet dann: z ¼ c2  c 1Þ

Gegebenenfalls mu¨ssen nachtra¨glich Klassen zusammengelegt werden.

468

XVI Grundlagen der mathematischen Statistik

5. Testentscheidung: Fa¨llt der Test- oder Pru¨fwert ^ z ¼ c^ 2 in den nicht-kritischen Bereich (Annahmebereich), d. h. gilt ^z ¼ c^ 2  c so wird die Nullhypothese H0 : FðxÞ ¼ F0 ðxÞ beibehalten, d. h. nicht abgelehnt und wir du¨rfen davon ausgehen, dass die untersuchte Grundgesamtheit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Verteilungsfunktion F0 ðxÞ genu¨gt (die Stichprobe steht in keinem Widerspruch zur Nullhypothese). Anderenfalls muss die Nullhypothese H0 zugunsten der Alternativhypothese H1 : FðxÞ 6¼ F0 ðxÞ abgelehnt werden (siehe Bild). H 0 beibehalten

1–α

H 0 ablehnen α

^ z

0

c

^ z

Annahmebereich (nicht-kritischer Bereich)

z

Ablehnung (kritischer Bereich)

Anmerkungen (1)

(2)

Sind ein oder mehrere Parameter der als wahr angenommenen Verteilungsfunktion F0 ðxÞ unbekannt, so muss man zuna¨chst fu¨r diese Parameter unter Verwendung der vorgegebenen konkreten Stichprobe Na¨herungs- oder Scha¨tzwerte bestimmen. Die Anzahl der Freiheitsgrade vermindert sich dabei um die Anzahl der zu scha¨tzenden Parameter. Bei einer diskreten Zufallsvariablen X sind die Klassen die mo¨glichen Werte selbst.

&

Beispiel Ein Wu¨rfel wurde 300-mal geworfen. Dabei ergab sich die folgende Ha¨ufigkeitsverteilung fu¨r die 6 mo¨glichen Augenzahlen: Augenzahl i

1

2

3

4

5

6

absolute Ha¨ufigkeit ni

35

39

62

56

70

38

Durch einen Chi-Quadrat-Test soll auf dem Signifikanzniveau a ¼ 1 % gepru¨ft werden, ob die Zufallsstichprobe gegen eine Gleichverteilung der Augenzahlen spricht. ) Nullhypothese H0 : pi ¼ 1=6 ði ¼ 1; 2; . . . ; 6Þ Alternativhypothese H1 : pi 6¼ 1=6 1. Schritt: Klasseneinteilung k ¼ 6 Klassen (sie entsprechen den 6 Augenzahlen, Spalte 1 der nachfolgenden Tabelle)

5 Chi-Quadrat-Test

469

2. Schritt: Theoretische Ha¨ufigkeitsverteilung Es wird vorausgesetzt, dass die Nullhypothese H0 zutrifft: n*i ¼ n pi ¼ 300 

1 ¼ 50 6

ðSpalte 4 der nachfolgenden TabelleÞ

Klasse (Augenzahl i)

ni

pi

n*i ¼ n pi

Dni ¼ ni  n*i

ðDni Þ 2 n *i

1

35

1/6

50

15

225/50

2

39

1/6

50

11

121/50

3

62

1/6

50

12

144/50

4

56

1/6

50

6

36/50

5

70

1/6

50

20

400/50

6

38

1/6

50

12

144/50

S

300

1

300

0

1070/50

3. Schritt: Berechnung des Testwertes Spalte 5 entha¨lt die Differenzen D ni ¼ ni  n *i (Abweichungen zwischen den beobachteten und den theoretischen absoluten Ha¨ufigkeiten), Spalte 6 die daraus berechneten „Abweichungsmaße“ ðDni Þ 2 =n *i . Aufsummieren der letzten Spalte ergibt den gesuchten Testwert: ^z ¼ c^ 2 ¼

6 6 X X ðni  n *i Þ 2 ðDni Þ 2 1070 ¼ 21;4 ¼ ¼ * 50 ni n*i i¼1 i¼1

4. Schritt: Berechnung der kritischen Grenze und des nicht-kritischen Bereiches P ðZ  cÞH0 ¼ Pðc 2  cÞH0 ¼ 1  a ¼ 1  0;01 ¼ 0;99 Die Testvariable Z ¼ c 2 genu¨gt der Chi-Quadrat-Verteilung mit f ¼ k  1 ¼ 6  1 ¼ 5 Freiheitsgraden. Aus Tabelle 3 im Anhang, Teil B erha¨lt man: P ðZ  cÞH0 ¼ FðcÞ ¼ 0;99 Nicht-kritischer Bereich: z ¼ c 2  c

f ¼5

!

)

c ¼ zð0;99; 5Þ ¼ 15;09 z ¼ c 2  15;09

5. Schritt: Testentscheidung Der Testwert ^z ¼ c^ 2 ¼ 21,4 fa¨llt in den kritischen Bereich z ¼ c 2 > 15,09. Die Nullhypothese H0 wird daher abgelehnt. Wir du¨rfen davon ausgehen, dass der Wu¨rfel „verfa¨lscht“ ist.

0,99

Testwert ^ z = 21,4 H 0 ablehnen

0,01

0

15,09

z

&

470

Anhang Teil A Integraltafel Diese Integraltafel entha¨lt u¨ber 400 ausgewa¨hlte in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen besonders ha¨ufig auftretende unbestimmte Integrale. Die Integrationskonstante wurde dabei aus Platzgru¨nden stets weggelassen.

bersicht 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale Integrale

mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit mit

ax þ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a x þ b und p x þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2 þ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a2  x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax2 þ bx þ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a3  x3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a4 þ x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a4  x4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x þ b und p x þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x þ b und p x þ q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 þ x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . paffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . paffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  a2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax2 þ bx þ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sin ða xÞ und cos ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tan ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cot ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . einer Arkusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . eax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinh ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cosh ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinh ða xÞ und cosh ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tanh ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . coth ða xÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . einer Areafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

471 472 473 474 476 478 478 478 479 480 481 482 484 486 488 490 492 494 497 497 498 499 500 502 503 504 505 505 506

Integraltafel

471

1 Integrale mit

ax þ b

ða 6¼ 0Þ

Hinweis: Im Sonderfall b ¼ 0 erha¨lt man Integrale von Potenzen, die mit Hilfe der Potenzregel der Integralrechnung elementar lo¨sbar sind. ð ða x þ bÞ n dx ¼

ð1Þ

ða x þ bÞ n þ 1 ðn þ 1Þ a

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (2) ð dx 1 ¼  ln j a x þ b j ð2Þ ax þ b a ð ða x þ bÞ n þ 2 bða x þ bÞ n þ 1  ð3Þ x ða x þ bÞ n dx ¼ 2 ðn þ 2Þ a ðn þ 1Þ a 2

ðn 6¼  1;  2Þ

Fall n ¼  1;  2: siehe Integral (4) bzw. (5) ð x dx x b ¼  2  ln j a x þ b j ð4Þ ax þ b a a ð x dx b 1 ð5Þ þ 2  ln j a x þ b j ¼ 2 ða x þ bÞ 2 a ða x þ bÞ a ð x dx 1 b ¼  þ ð6Þ ða x þ bÞ n ðn  2Þ a 2 ða x þ bÞ n  2 ðn  1Þ a 2 ða x þ bÞ n  1

ðn 6¼ 1; 2Þ

Fall n ¼ 1; 2: siehe Integral (4) bzw. (5) ð x 2 ða x þ bÞ n dx ¼

ð7Þ

ðax þ bÞ n þ 3 2 bðax þ bÞ n þ 2 b 2 ðax þ bÞ n þ 1  þ 3 3 ðn þ 3Þ a ðn þ 2Þ a ðn þ 1Þ a 3

ðn 6¼ 1; 2; 3Þ

Fall n ¼  1;  2; 3: siehe Integral (8), (9) bzw. (10) ð ð8Þ ð ð9Þ ð ð10Þ ð ð11Þ

x 2 dx ða x þ bÞ 2 2 b ða x þ bÞ b2  þ 3  ln j a x þ b j ¼ 3 3 2a a ax þ b a x 2 dx ax þ b b2 2b  3  ln j a x þ b j ¼  3 2 3 a ða x þ bÞ ða x þ bÞ a a x 2 dx 2b b2 1 ¼ 3 þ 3  ln j a x þ b j  3 3 ða x þ bÞ a ða x þ bÞ a 2 a ða x þ bÞ 2 x 2 dx 1 2b b2 ¼ þ  n 3 n  3 3 n  2 3 ðn  1Þ a ðax þ bÞ n  1 ðax þ bÞ ðn  3Þ a ða x þ bÞ ðn  2Þ a ða x þ bÞ

ðn 6¼ 1; 2; 3Þ: Fall n ¼ 1; 2; 3: siehe Integral (8), (9) bzw. (10)   ax þ b dx 1  ð12Þ ¼   ln   x ða x þ bÞ b x   ð ax þ b dx 1 1    2  ln  ¼ ð13Þ  x ða x þ bÞ 2 b ða x þ bÞ b x ð

472

Integraltafel ð

  ax þ b dx a2 x2 2ax 1   ¼   ln    x ða x þ bÞ 3 b 3 ða x þ bÞ b3 x 2 b 3 ða x þ bÞ 2

ð

  ax þ b dx 1 a   ¼  þ 2  ln   x 2 ða x þ bÞ bx b x

ð

  ax þ b dx a 1 2a    þ ¼   ln   x 2 ða x þ bÞ 2 b 2 ða x þ bÞ b2x b3 x

ð

  ax þ b dx ða x þ bÞ 2 2 aða x þ bÞ a2   þ  ln ¼     x 3 ða x þ bÞ b3 x x 2b3 x2 b3

ð

  ax þ b dx ða x þ bÞ 2 3 a ða x þ bÞ a3 x 3a2     ¼  þ  ln   2b4 x2 b4 x 3 ða x þ bÞ 2 b4 x b 4 ða x þ bÞ x

ð14Þ

ð15Þ

ð16Þ

ð17Þ

ð18Þ

ð 8 mþ1 x ðax þ bÞ n nb > > þ  x m ðax þ bÞ n  1 dx ðm þ n 6¼ 1Þ > mþnþ1 > m þ n þ 1 > > > > > > ð ð < x m ðax þ bÞ n þ 1 mb m n   x m  1 ðax þ bÞ n dx ðm þ n 6¼ 1Þ ð19Þ x ða x þ bÞ dx ¼ > ðm þ n þ 1Þ a ðm þ n þ 1Þ a > > > > > ð > > mþ1 > ðax þ bÞ n þ 1 mþnþ2 > : x þ 6 1Þ  x m ðax þ bÞ n þ 1 dx ðn ¼ ðn þ 1Þ b ðn þ 1Þ b

2 Integrale mit Abku¨rzung: Hinweis: ð ð20Þ ð ð21Þ ð ð22Þ ð ð23Þ

ax þ b

und

px þ q

ða; p 6¼ 0Þ

D ¼ bp  aq q Es wird stets D 6¼ 0 vorausgesetzt. Fu¨r D ¼ 0 ist p x þ q ¼ ða x þ bÞ. Die Integrale entsprechen dann dem Integraltyp aus Abschnitt 1. b

ax þ b ax D dx ¼ þ 2  ln j p x þ q j px þ q p p   px þ q dx 1  ¼  ln  ða x þ bÞ ðp x þ qÞ D ax þ b dx 1 ¼ ða x þ bÞ 2 ðp x þ qÞ D



  px þ q 1 p  þ  ln  ax þ b D ax þ b

 dx 1 1 ¼  þ ða x þ bÞ m ðp x þ qÞ n ðn  1Þ D ða x þ bÞ m  1 ðp x þ qÞ n  1  ð dx þ ðm þ n  2Þ a  ða x þ bÞ m ðp x þ qÞ n  1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (24)

ðn 6¼ 1Þ

Integraltafel ð ð24Þ

473

ða x þ bÞ m ða x þ bÞ m D dx ¼ þ  p px þ q mp

ð

ða x þ bÞ m  1 dx px þ q

ðm 6¼ 0Þ

Fall m ¼ 0: siehe Integral (2) ð ð25Þ

  ð ða x þ bÞ m 1 ða x þ bÞ m ða x þ bÞ m  1 dx ¼   ma  dx n n  1 n  1 ðn  1Þ p ð p x þ qÞ ð p x þ qÞ ð p x þ qÞ

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (24) ð ð26Þ ð ð27Þ ð ð28Þ

x dx 1 ¼ ða x þ bÞ ð p x þ qÞ D

x 2 dx b2 1 ¼ 2 þ 2 2 a D ða x þ bÞ ða x þ bÞ ð p x þ qÞ D

ð a2

ða 2 ð

ð31Þ

a2 þ x2



q2 b ðb p  2 a qÞ  ln j p x þ q j þ  ln j a x þ b j p a2

ða > 0Þ

x dx 1  arctan ¼ 2 þx a a

ð ð30Þ



b q  ln j a x þ b j   ln j p x þ q j a p

   ax þ b x dx 1 b q   ¼  þ  ln  ða x þ bÞ 2 ð p x þ qÞ D a ða x þ bÞ D px þ q

3 Integrale mit ð29Þ



x dx x 1 þ ¼  arctan 2 2 2 2 2 3 2 a ða þ x Þ 2a a þx Þ

dx x 2n  3 ¼ þ  ða 2 þ x 2 Þ n 2 ðn  1Þ a 2 2 ðn  1Þ a 2 ða 2 þ x 2 Þ n  1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (29) ð ð32Þ

x dx 1 ¼  ln ða 2 þ x 2 Þ a2 þ x2 2

ð ð33Þ

ða 2 ð

ð34Þ

x dx 1 ¼  2 þ x 2Þ 2 2 ða þ x 2 Þ

x dx 1 ¼  ða 2 þ x 2 Þ n 2 ðn  1Þ ða 2 þ x 2 Þ n  1

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (32) ð ð35Þ ð ð36Þ

x x 2 dx ¼ x  a  arctan 2 þx a

a2

x x 2 dx x 1  arctan ¼  þ 2 2 2 2 2 ða þ x Þ 2a a þx Þ

ða 2

ð

dx ða 2 þ x 2 Þ n  1

ðn 6¼ 1Þ



474

Integraltafel ð

ð37Þ

x 2 dx x 1 ¼  þ  2 ða þ x 2 Þ n 2 ðn  1Þ ðx 2 þ a 2 Þ n  1 2 ðn  1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (35) ð ð38Þ ð ð39Þ ð ð40Þ

dx 1 1  ¼  ln x ða 2 þ x 2 Þ 2 2 a 2 ða 2 þ x 2 Þ 2a4

ð ð ð43Þ ð ð44Þ ð ð45Þ

ðn 6¼ 1Þ

2

a þ x2 x2

x dx 1 1  arctan ¼   x 2 ða 2 þ x 2 Þ a2 x a3 a

x2

ð42Þ

dx ða 2 þ x 2 Þ n  1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (31)

2

dx 1 a þ x2 ¼   ln x2 x ða 2 þ x 2 Þ 2a2

ð ð41Þ

ð

x dx 1 x 3  ¼  4   arctan 4 2 2 5 ða 2 þ x 2 Þ 2 x ða þ x Þ a 2a 2a a

x m dx ¼ ða 2 þ x 2 Þ n

ð

x m  2 dx  a2  ða 2 þ x 2 Þ n  1

dx 1 ¼ 2  x m ða 2 þ x 2 Þ n a

ð

x m  2 dx ða 2 þ x 2 Þ n

dx 1  2  x m ða 2 þ x 2 Þ n  1 a

dx 1 ¼ 2 2 ð p x þ qÞ ða 2 þ x 2 Þ a p þ q2



a2  x2

ð

dx x m  2 ða 2 þ x 2 Þ n



x p ð p x þ qÞ 2 q  ln  arctan þ a2 þ x2 2 a a

x dx 1 ¼ ð p x þ qÞ ða 2 þ x 2 Þ 2 ða 2 p 2 þ q 2 Þ

4 Integrale mit

ð



q  ln

a2 þ x2 ð p x þ qÞ 2

þ 2 a p  arctan

ð p 6¼ 0Þ

x a

ð p 6¼ 0Þ

ða > 0Þ

a þ x   Die in den nachfolgenden Integralformeln auftretende logarithmische Funktion ln   a  x kann auch wie folgt durch Areafunktionen ersetzt werden: 8  x a þ x > fur € jxj < a > a þ x < ln a  x ¼ 2  artanh a   ln   ¼     > ax > : ln x þ a ¼ 2  arcoth x fur € jxj > a x a a 8 x 1 > >  artanh fur € jxj < a > ð a þ x a2  x2 2a ax > > : 1  arcoth x fur € jxj > a a a ð a þ x dx x 1   ð47Þ ¼  ln  þ  2 2 2 2 2 2 3 ða  x Þ 2 a ða  x Þ 4a ax Hinweis:

Integraltafel ð ð48Þ

475

dx x 2n  3 ¼ þ  ða 2  x 2 Þ n 2 ðn  1Þ a 2 ða 2  x 2 Þ n  1 2 ðn  1Þ a 2

ð

dx ða 2  x 2 Þ n  1

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (46) ð ð49Þ ð ð50Þ

x dx 1 ¼   ln j a 2  x 2 j a2  x2 2 x dx 1 ¼ ða 2  x 2 Þ 2 2 ða 2  x 2 Þ

ð ð51Þ

x dx 1 ¼ ða 2  x 2 Þ n 2 ðn  1Þ ða 2  x 2 Þ n  1 Fall n ¼ 1: siehe Integral (49)

ð ð52Þ

a þ x x 2 dx a   ¼  x þ  ln   a2  x2 2 ax

ð ð53Þ

ðn 6¼ 1Þ

a þ x x 2 dx x 1    ¼  ln   2 2 2 2 x Þ 2 ða  x Þ 4a ax

ða 2 ð

ð54Þ

x 2 dx x 1  ¼  2 ða  x 2 Þ n 2 ðn  1Þ ða 2  x 2 Þ n  1 2 ðn  1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (52)

dx ða 2  x 2 Þ n  1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (48)

ð

 2  a  x2  dx 1   ¼   ln  x2  x ða 2  x 2 Þ 2a2

ð

 2  a  x2  dx 1 1    ¼  ln   x2 x ða 2  x 2 Þ 2 2 a 2 ða 2  x 2 Þ 2a4

ð55Þ

ð56Þ ð ð57Þ

ð ð59Þ ð ð60Þ ð ð61Þ ð

ðn 6¼ 1Þ

a þ x dx 1 1    ln  ¼  2 þ  2 3 x Þ a x 2a ax

x2

ða 2

x2

ða 2

ð ð58Þ

ð62Þ

ð

a þ x dx 1 x 3   þ ¼  4 þ  ln   2 2 4 2 2 5 x Þ a x 2 a ða  x Þ 4a ax

x m dx ¼ a2  2 ða  x 2 Þ n

ð

x m  2 dx  ða 2  x 2 Þ n

dx 1 ¼ 2  x m ða 2  x 2 Þ n a

ð

ð

x m  2 dx  x 2Þ n  1

ða 2

dx 1 þ 2  x m ða 2  x 2 Þ n  1 a

dx 1 ¼ 2 2 ð p x þ qÞ ða 2  x 2 Þ a p  q2



ð

dx x m  2 ða 2  x 2 Þ n

     ð p x þ qÞ 2  p   q  ln  a þ x   ln  2 a  x2  2 2a ax

x dx 1 ¼ ð p x þ qÞ ða 2  x 2 Þ 2 ða 2 p 2  q 2 Þ



ðp 6¼ 0Þ

 2  a þ x   a  x2      q  ln  þ a p  ln   ax ð p x þ qÞ 2 

ðp 6¼ 0Þ

476

Integraltafel

5 Integrale mit Abku¨rzung: Hinweis:

ax2 þ bx þ c

D ¼ 4ac  b2



2 b Es wird stets D 6¼ 0 vorausgesetzt. Fu¨r D ¼ 0 ist a x 2 þ b x þ c ¼ a x þ . 2a Die Integrale entsprechen dann dem Integraltyp aus Abschnitt 1.

8 2 2ax þ > > pffiffiffiffi  arctan pffiffiffiffi > > ð < D D dx  ð63Þ ¼ 2ax þ b > ax2 þ bx þ c 1  > >  ln  > : pffiffiffiffiffiffiffiffi 2ax þ b jDj ð ð64Þ

ð ð65Þ

ða 6¼ 0Þ

b pffiffiffiffiffiffiffiffi jDj pffiffiffiffiffiffiffiffi þ jDj 

dx 2ax þ b 2a þ  ¼ ða x 2 þ b x þ cÞ 2 D ða x 2 þ b x þ cÞ D

    

fur €

D > 0

fur €

D < 0

ð

dx ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

dx 2ax þ b 2 ð2 n  3Þ a  ¼ þ ða x 2 þ b x þ cÞ n ðn  1Þ D ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 ðn  1Þ D

ð

dx ðn 6¼ 1Þ ða x 2 þ b x þ cÞ n  1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (63) ð ð66Þ

ð ð67Þ

ð ð68Þ

x dx 1 b ¼  ln j a x 2 þ b x þ c j   ax2 þ bx þ c 2a 2a

x dx bx þ 2c b ¼    ða x 2 þ b x þ cÞ 2 D ða x 2 þ b x þ cÞ D

ð

dx ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

ð

dx þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63) ax2

x dx bx þ 2c ð2 n  3Þ b  ¼  ða x 2 þ b x þ cÞ n ðn  1Þ D ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 ðn  1Þ D

Fall n ¼ 1: siehe Integral (66) ð ð69Þ

ð ð70Þ

px þ q p 2aq  bp  ln j a x 2 þ b x þ c j þ  dx ¼ ax2 þ bx þ c 2a 2a

ð

dx ðn 6¼ 1Þ ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (65)

ð

dx ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

px þ q ð2 a q  b pÞ x þ b q  2 c p dx ¼ þ ða x 2 þ b x þ cÞ n ðn  1Þ D ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (69)

ð2 n  3Þ ð2 a q  b pÞ  ðn  1Þ D

ð

dx ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (65)

ðn 6¼ 1Þ

Integraltafel ð ð71Þ

ð ð72Þ

477

x 2 dx x b b2  2ac  ln j a x 2 þ b x þ c j þ   ¼ 2 2 ax þ bx þ c a 2a 2a2

ð

ðn  2Þ b  ð2 n  3Þ a

ð

x dx ða x 2 þ b x þ cÞ n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (68)

ð

dx  ða x 2 þ b x þ cÞ n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (65)

 2  ð ax þ bx þ c dx 1 dx   b  ¼   ln   x ða x 2 þ b x þ cÞ 2c x2 2c ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

ð ð74Þ

dx ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

x 2 dx x c  ¼ þ 2 ða x þ b x þ cÞ n ð2 n  3Þ a ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 ð2 n  3Þ a 

ð73Þ

ð

x ða x 2

dx 1 b ¼   þ b x þ cÞ n 2 ðn  1Þ c ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 2 c þ

1  c

ð

dx x ða x 2 þ b x þ cÞ n  1

ðc 6¼ 0Þ

ð

dx þ ða x 2 þ b x þ cÞ n |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (65) ðn 6¼ 1; c 6¼ 0Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (73) ð ð75Þ

x m dx x m1 ¼  þ ð2 n  m  1Þ a ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 ða x 2 þ b x þ cÞ n ð ð ðm  1Þ c x m  2 dx ðm  nÞ b x m  1 dx þ   þ 2 n 2 ð2 n  m  1Þ a ða x þ b x þ cÞ ð2 n  m  1Þ a ða x þ b x þ cÞ n

ðm 6¼ 2 n  1Þ

Fall m ¼ 2 n  1: siehe Integral (76) ð ð76Þ

ð ð77Þ

x 2 n  1 dx 1 ¼  þ b x þ cÞ n a

ða x 2

ð

x 2 n  3 dx  þ b x þ cÞ n  1 ð ð c x 2 n  3 dx b x 2 n  2 dx     a ða x 2 þ b x þ cÞ n a ða x 2 þ b x þ cÞ n

ða x 2

dx 1 ¼   x m ða x 2 þ b x þ cÞ n ðm  1Þ c x m  1 ða x 2 þ b x þ cÞ n  1 ð ðm þ 2 n  3Þ a dx    ðm  1Þ c x m  2 ða x 2 þ b x þ cÞ n ð ðm þ n  2Þ b dx   ðm  1Þ c x m  1 ða x 2 þ b x þ cÞ n

ðm 6¼ 1; c 6¼ 0Þ Fall m ¼ 1: siehe Integral (74)

478

Integraltafel ð

ð78Þ

" dx 1 ¼ ð p x þ qÞ ða x 2 þ b x þ cÞ 2 ða q 2  b p q þ c p 2 Þ ð

þ ð2 a q  b pÞ 

6 Integrale mit Hinweis: ð ð79Þ ð ð80Þ ð ð81Þ ð ð82Þ ð ð83Þ

a3  x3

  p  ln 

ð p x þ qÞ 2 ax2 þ bx þ #

dx ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (63)

  þ c

ð p 6¼ 0Þ

ða > 0Þ

Das obere Vorzeichen gilt fu¨r a 3 þ x 3, das untere Vorzeichen fu¨r a 3  x 3.

 

 ða  xÞ 2  dx 1 1 2x  a  þ p ffiffi ffi p ffiffi ffi  arctan ¼   ln a2  ax þ x2  a3  x3 6a2 a2 3 a 3  

2  ða  xÞ  dx x 1 2 2x  a  þ p ffiffi ffi p ffiffi ffi  ¼  ln  arctan   a2  ax þ x2 ða 3  x 3 Þ 2 3 a 3 ða 3  x 3 Þ 9a5 3a5 3 a 3  2 

a  ax þ x2  x dx 1 1 2x  a  pffiffiffi  arctan pffiffiffi ¼  ln   3 3 ða  xÞ 2 a x 6a a2 3 a 3  2 

a  ax þ x2  x dx x2 1 1 2x  a   p ffiffi ffi p ffiffi ffi  arctan þ ¼  ln  ða  xÞ 2  3 a 3 ða 3  x 3 Þ ða 3  x 3 Þ 2 18 a 4 3a4 3 a 3    x3  dx 1  ¼  ln  3 3 3 3 a  x3 x ða  x Þ 3a

7 Integrale mit

a4 þ x4

ða > 0Þ

pffiffiffi  2  pffiffiffi

x þ a 2 x þ a2  dx 1 a 2x    p1ffiffiffi p ffiffi ffi p ffiffi ffi ¼  ln  arctan x2  a 2 x þ a2  a4 þ x4 x2  a2 4 2a3 2 2 a3 2

ð x dx 1 x ð85Þ ¼  arctan a4 þ x4 2a2 a2

ð dx 1 x4 ð86Þ ¼  ln x ða 4 þ x 4 Þ 4a4 a4 þ x4 ð

ð84Þ

8 Integrale mit ð ð87Þ

a4  x4

ða > 0Þ

a þ x x dx 1 1   ¼  ln  arctan þ   a4  x4 4a3 ax 2a3 a

Integraltafel ð

 2  a þ x2  x dx 1   ¼  ln a2  x2  a4  x4 4a2

ð

 4  a  x4  dx 1   ¼   ln   x4 x ða 4  x 4 Þ 4a4

ð88Þ

ð89Þ

9 Integrale mit ð ð ð91Þ

x

ða 6¼ 0Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ð3 a x  2 bÞ a x þ b dx ¼ ða x þ bÞ 3 2 15 a

ð ð92Þ

ð94Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 a x þ b dx ¼ ða x þ bÞ 3 3a

ð90Þ

ð93Þ

479

xn

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x þ b dx ¼

2xn ð2 n þ 3Þ a

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ 3 

2nb  ð2 n þ 3Þ a

ð

x n1

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x þ b dx

ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 2 a x þ b þ b  x x ax þ b |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (99) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ax þ b ax þ b a dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ dx ¼   x2 x 2 x ax þ b |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (99)

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ 3 ax þ b ax þ b ð2 n  5Þ a dx ¼   dx  ð95Þ xn x n1 2 ðn  1Þ b ðn  1Þ b x n  1 Fall n ¼ 1: siehe Integral (93) ð ð96Þ ð ð97Þ ð ð98Þ

dx 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  ax þ b a ax þ b x dx 2 ða x  2 bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  ax þ b 3a2 ax þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð x n dx 2xn ax þ b 2nb x n  1 dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð2 n þ 1Þ a ð2 n þ 1Þ a ax þ b ax þ b

8  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi   ax þ b  b  > 1 > > pffiffiffi  ln  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi  > > ð < ax þ b þ b  b dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ð99Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! > x ax þ b > 2 ax þ b > >  arctan > : pffiffiffiffiffiffiffi jbj jbj

fur €

b > 0

fur €

b < 0

ðn 6¼ 1; b 6¼ 0Þ

480

Integraltafel ð

ð100Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ax þ b dx ð2 n  3Þ a dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   n  1 ðn  1Þ b x 2 ðn  1Þ b xn ax þ b x n1 a x þ b

ðn 6¼ 1; b 6¼ 0Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (99) ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2  ða x þ bÞ 5 ða x þ bÞ 3 dx ¼ 5a qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ða x þ bÞ n þ 2 ð102Þ ða x þ bÞ n dx ¼ ðn þ 2Þ a ð101Þ

ðn 6¼  2Þ

Fall n ¼ 2: siehe Integral (2) ð ð103Þ

x ð

ð104Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ 3 dx ¼

2 35 a 2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 x ða x þ bÞ n dx ¼

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  5 ða x þ bÞ 7  7 b ða x þ bÞ 5

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ n þ 4 ðn þ 4Þ a 2



2b

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ n þ 2 ðn þ 2Þ a 2

ðn 6¼  2;  4Þ

Fall n ¼  2;  4: siehe Integral (4) bzw. (5) ð ð105Þ

ð ð106Þ

sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x þ bÞ 3 2 dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ ða x þ bÞ 3 þ 2 b a x þ b þ b 2  x 3 x ax þ b |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (99) x 2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 2 a 3 ða x þ bÞ

10 Integrale mit Abku¨rzung: Hinweis:



pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b a x þ b þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b



und

¼

2 ða x þ 2 bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 ax þ b

px þ q

D ¼ bp  aq q Es wird stets D 6¼ 0 vorausgesetzt. Fu¨r D ¼ 0 ist p x þ q ¼ ða x þ bÞ. Die Integrale entsprechen dann dem Integraltyp aus Abschnitt 9. b

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 8 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi  pffiffiffiffi  p ða x þ bÞ  pffiffiffi > D  D 2 ax þ b  > > p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p ffiffiffi ffi   ln fur € þ  p ffiffi ffi > >  p ða x þ bÞ þ D  p p p > ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi < ax þ b 0sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 dx ¼ ð107Þ pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > px þ q > 2 j D j 2 a x þ b p ða x þ bÞ A > >  fur € > pffiffiffi  arctan @ > : p p p jDj ð108Þ

p > 0; D > 0

p > 0; D < 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b ax þ b a dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðn 6¼ 1Þ dx ¼  þ  ð p x þ qÞ n ðn  1Þ p ð p x þ qÞ n  1 2 ðn  1Þ p ð p x þ qÞ n  1 a x þ b |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (111) Fall n ¼ 1: siehe Integral (107)

Integraltafel ð ð109Þ

481

px þ q 2 ða p x þ 3 a q  2 b pÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ 3a2 ax þ b

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi  8  p ða x þ bÞ  D  > 1   > > pffiffiffiffi  p ffiffiffiffiffiffiffi ffi fur €  ln  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > >   > p D ð p ða x þ bÞ þ D < dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ð110Þ sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! > ð p x þ qÞ a x þ b > > 2 p ða x þ bÞ > > fur €  arctan > : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi jDj pjDj ð ð111Þ

D > 0; p > 0

D < 0; p > 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax þ b dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼   ðn  1Þ D ð p x þ qÞ n  1 ð p x þ qÞ n a x þ b ð ð2 n  3Þ a dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   2 ðn  1Þ D ð p x þ qÞ n  1 a x þ b

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (110)

11 Integrale mit Abku¨rzung:

ð112Þ

ð113Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x þ b und

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p x þ q ða; p 6¼ 0Þ

D ¼ bp  aq

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½ 2 a ð p x þ qÞ þ D  ða x þ bÞ ð p x þ qÞ  ða x þ bÞ ð p x þ qÞ dx ¼ 4ap ð D2 dx  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  8ap ða x þ bÞ ð p x þ qÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (114) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ða x þ bÞ ð p x þ qÞ px þ q D dx  dx ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a ax þ b 2a ða x þ bÞ ð p x þ qÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (114)

8  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2  > > pffiffiffiffiffiffi  ln  a ð p x þ qÞ þ p ða x þ bÞ  fur € > > ð < ap dx s ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ð114Þ > ða x þ bÞ ð p x þ qÞ 2 p ða x þ bÞ > > p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi fur €  arctan   > : a ð p x þ qÞ japj ð ð115Þ

x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ða x þ bÞ ðp x þ qÞ

ap > 0 ap < 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ða x þ bÞ ð p x þ qÞ aq þ bp dx   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ap 2ap ða x þ bÞ ð p x þ qÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (114)

482

Integraltafel

12 Integrale mit

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ x2

ða > 0Þ

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2 þ x 2 dx ¼ ¼ x a 2 þ x 2 þ a 2  ln x þ a 2 þ x 2 2  x i 1 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x a 2 þ x 2 þ a 2  arsinh ¼ 2 a ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ða 2 þ x 2 Þ 3 ð117Þ x a 2 þ x 2 dx ¼ 3

ð116Þ

ð

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi i 1 a 2 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2 þ x 2 dx ¼ ¼ x a 2 þ x 2 þ a 2  ln x þ a 2 þ x 2 x ða 2 þ x 2 Þ 3  8 4 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x i 1 a 2 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x a 2 þ x 2 þ a 2  arsinh ¼ x ða 2 þ x 2 Þ 3  8 4 a ð ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q q pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 ða 2 þ x 2 Þ 3 ða 2 þ x 2 Þ 5  ð119Þ x 3 a 2 þ x 2 dx ¼ 3 5  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2 þ x2  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ x2   2 2 dx ¼ a þ x  a  ln  ð120Þ    x x ð118Þ

x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a2 þ x2 a2 þ x2 ð121Þ þ ln x þ a 2 þ x 2 ¼ dx ¼  2 x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x 2 a þ x2 þ arsinh ¼  x a  p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð a þ a2 þ x2 1 a2 þ x2 a2 þ x2   ln  ð122Þ dx ¼    2a x3 2x2 x ð

x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ln x þ a 2 þ x 2 ¼ arsinh a a2 þ x2

ð

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ a 2 þ x 2 a2 þ x2

ð

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x 2 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x a2 þ x2   ln x þ a 2 þ x 2 ¼ 2 2 a2 þ x2 x p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 ¼  arsinh x a2 þ x2  2 2 a

ð123Þ ð124Þ

ð125Þ

ð ð126Þ ð ð127Þ

    

x 3 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 a2 þ x2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3  a 2 a 2 þ x 2

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2 þ x2 dx 1  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼   ln   a x x a2 þ x2

    

Integraltafel ð ð128Þ ð ð129Þ

ð130Þ

483

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  2 a2 þ x2 x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ x2 a2x

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  3 x a2 þ x2

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2 þ x2 1 a2 þ x2  þ  ln   2a3 2a2 x2 x

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1 3 3 4 x ða 2 þ x 2 Þ 3 þ a 2 x a 2 þ x 2 þ a  ln x þ a 2 þ x 2 ¼ ða 2 þ x 2 Þ 3 dx ¼ 4 2 2 ¼ ð

ð131Þ

x

1 4

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 3 4 x ða 2 þ x 2 Þ 3 þ a 2 x a 2 þ x 2 þ a  arsinh 2 2 a

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ða 2 þ x 2 Þ 5 ða 2 þ x 2 Þ 3 dx ¼ 5

ð ð132Þ

x2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 a 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3 dx ¼ x ða 2 þ x 2 Þ 3  x a2 þ x2  x ða 2 þ x 2 Þ 5  24 16 6  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a6  ln x þ a 2 þ x 2 ¼ 16

 ¼

ð ð133Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3 x

ð ð134Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3 x2

dx ¼

1 3

dx ¼ 

¼  ð ð135Þ ð ð136Þ ð ð137Þ

    

1 x 6

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 a 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ða 2 þ x 2 Þ 3  x a2 þ x2  ða 2 þ x 2 Þ 5  24 16 x a6  arsinh  16 a

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2 þ x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ða 2 þ x 2 Þ 3 þ a 2 a 2 þ x 2  a 3  ln   x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3 x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2 þ x 2 Þ 3 x

    

þ

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 x a2 þ x2 þ a  ln x þ a 2 þ x 2 ¼ 2 2

þ

x 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 x a2 þ x2 þ a  arsinh 2 2 a

dx x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2 2 a2 þ x2 a ða þ x Þ x dx 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 3 2 2 a þ x2 ða þ x Þ  x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x 2 dx x x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ln x þ a 2 þ x 2 ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ arsinh a a2 þ x2 a2 þ x2 ða 2 þ x 2 Þ 3

484

Integraltafel ð

ð138Þ ð ð139Þ

ð ð140Þ

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2 þ x2 dx 1 1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3  ln   x a a2 a2 þ x2 x ða 2 þ x 2 Þ 3

    

dx 2x2 þ a2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a4 x a2 þ x2 x 2 ða 2 þ x 2 Þ 3  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi     a2 p2 þ q2  a2 þ x2  qx þ a2 p dx 1  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln   px þ q   ð p x þ qÞ a 2 þ x 2 a2 p2 þ q2

ð p 6¼ 0Þ

13 Integrale mit ð141Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  x2

ða > 0; j x j < aÞ

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x i 1 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2  x 2 dx ¼ x a 2  x 2 þ a 2  arcsin 2 a ð

ð142Þ

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ða 2  x 2 Þ 3 a 2  x 2 dx ¼  3

ð ð143Þ

x2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x i pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a 2 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ða 2  x 2 Þ 3 þ x a 2  x 2 þ a 2  arcsin a 2  x 2 dx ¼  4 a 8

x3

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 a 2  x 2 dx ¼ ða 2  x 2 Þ 3 ða 2  x 2 Þ 5  3 5

ð ð144Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2  x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  x2  2 2 ð145Þ dx ¼ a  x  a  ln   x x

    

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x a2  x2 a2  x2  arcsin dx ¼  ð146Þ a x2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2  x2 1 a2  x2 a2  x2  ð147Þ dx ¼  þ  ln   2a x3 2x2 x ð

x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ arcsin a a2  x2

ð

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  a 2  x 2 a2  x2

ð

x x 2 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  x a2  x2 þ  arcsin 2 a 2 a2  x2

ð148Þ

ð149Þ

ð150Þ

    

Integraltafel ð ð151Þ ð ð152Þ ð ð153Þ ð ð154Þ

485

x 3 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 2 2 a x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2  x 2 Þ 3  a 2 a 2  x 2

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2  x2 dx 1  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼   ln   a x x a2  x2

    

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  2 a2  x2 x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  x2 a2x

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  3 x a2  x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a þ a2  x2 1 a2  x2    ln   2a3 2a2 x2 x

    

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x  1 3 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 4 3 3 2 2 2 2 2 2 x ða  x Þ þ a x a x þ a  arcsin ð155Þ ða  x Þ dx ¼ 4 2 2 a ð ð156Þ

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ða 2  x 2 Þ 3 dx ¼  ða 2  x 2 Þ 5 5

ð ð157Þ

x2

ð ð158Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2  x 2 Þ 3 x

ð ð159Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2  x 2 Þ 3 x2

ð ð160Þ ð ð161Þ

1 dx ¼ 3

dx ¼ 

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a þ a2  x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 2 3 2 2 2 2 ða  x Þ þ a a  x  a  ln   x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða 2  x 2 Þ 3 x



x 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 x a2  x2  a  arcsin 2 2 a

dx x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 2 2 a a2  x2 ða  x Þ x dx 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2  x2 ða 2  x 2 Þ 3

ð

x x 2 dx x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  arcsin a a2  x2 ða 2  x 2 Þ 3

ð

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a þ a2  x2 dx 1 1  qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3  ln   a x a2 a2  x2 x ða 2  x 2 Þ 3

ð162Þ

ð163Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 a 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ða 2  x 2 Þ 3 þ x a2  x2 þ x ða 2  x 2 Þ 5 þ ða 2  x 2 Þ 3 dx ¼  24 16 6 x a6  arcsin þ 16 a

    

    

486

Integraltafel ð

ð164Þ

dx 2x2  a2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a4x a2  x2 x 2 ða 2  x 2 Þ 3

14 Integrale mit ð165Þ

ða > 0; j x j > aÞ

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  i 1 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x x 2  a 2  a 2  ln  x þ x 2  a 2  x 2  a 2 dx ¼ 2 ð

ð166Þ

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ðx 2  a 2 Þ 3 x 2  a 2 dx ¼ 3

ð ð167Þ

x2

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  i 1 a 2 h pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   x 2  a 2 dx ¼ x x 2  a 2  a 2  ln  x þ x 2  a 2  x ðx 2  a 2 Þ 3 þ 8 4

x3

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 ðx 2  a 2 Þ 3 x 2  a 2 dx ¼ ðx 2  a 2 Þ 5 þ 3 5

ð ð168Þ

ð169Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  a2

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  a2   dx ¼ x 2  a 2  a  arccos   x x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x2  a2 x2  a2   ð170Þ dx ¼  þ ln  x þ x 2  a 2  2 x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a  1 x2  a2 x2  a2    arccos dx ¼  þ ð171Þ   2a x x3 2x2 ð

 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  dx  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ln  x þ x 2  a 2  ¼ arcosh a x2  a2

ð

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x 2  a 2 2 2 x a

ð

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x 2 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x x2  a2 þ  ln  x þ x 2  a 2  2 2 2 2 x a

ð172Þ

ð173Þ

ð174Þ ð ð175Þ ð ð176Þ

x 3 dx 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 2 2 x a

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx 2  a 2 Þ 3 þ a 2 x 2  a 2

a  dx 1   pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  arccos   a x x x2  a2

Integraltafel ð ð177Þ ð ð178Þ

ð179Þ

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ x2 x2  a2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2  a2 a2 x

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 3 x x2  a2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a  1 x2  a2   þ  arccos   2a3 x 2a2 x2

 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   1 3 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 4   ðx 2  a 2 Þ 3 dx ¼ x ðx 2  a 2 Þ 3  a x x2  a2 þ a  ln  x þ x 2  a 2  4 2 2 ð

ð180Þ

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 ðx 2  a 2 Þ 3 dx ¼ ðx 2  a 2 Þ 5 5

ð ð181Þ

x2

ð ð182Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a2 a 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ðx 2  a 2 Þ 3  x x2  a2 þ ðx 2  a 2 Þ 3 dx ¼ x ðx 2  a 2 Þ 5 þ 6 24 16  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a6    ln  x þ x 2  a 2  þ 16

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx 2  a 2 Þ 3 x

ð ð183Þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx 2  a 2 Þ 3 x2

ð ð184Þ

ð ð185Þ

dx ¼

1 3

dx ¼ 

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   ðx 2  a 2 Þ 3  a 2 x 2  a 2 þ a 3  arccos   x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx 2  a 2 Þ 3 x

þ

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2   x x2  a2  a  ln  x þ x 2  a 2  2 2

dx x qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 x2  a2 a ðx 2  a 2 Þ x dx 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2  a2 2 2 x ðx  a Þ

ð

 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x 2 dx x   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ ln  x þ x 2  a 2  3 2  a2 2 2 x ðx  a Þ

ð

a  dx 1 1   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  3  arccos   a x a2 x2  a2 x ðx 2  a 2 Þ 3

ð186Þ

ð187Þ

ð ð188Þ

487

dx a2  2x2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 4 a x x2  a2 x 2 ðx 2  a 2 Þ

488

Integraltafel

15 Integrale mit Abku¨rzung: Hinweis:

ð189Þ

ða 6¼ 0Þ

D ¼ 4ac  b2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi Es wird stets D 6¼ 0 vorausgesetzt. Fu¨r D ¼ 0 ist a x 2 þ b x þ c ¼ a Die Integrale entsprechen dann dem Integraltyp aus Abschnitt 1.

x þ

b . 2a

ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 a x þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi D dx ax2 þ bx þ c þ  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x 2 þ b x þ c dx ¼ 4a 8a 2 ax þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194) ð

ð190Þ

x

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 b ð2 a x þ bÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ða x 2 þ b x þ cÞ 3  ax2 þ bx þ c  a x 2 þ b x þ c dx ¼ 3a 8a2 ð bD dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   16 a 2 ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194)

ð ð191Þ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ax2 þ bx þ c

x2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x 2 þ b x þ c dx ¼

1 ð6 a x  5 bÞ 24 a 2 þ

qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ða x 2 þ b x þ cÞ 3 þ

5b2  4ac  16 a 2

ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a x 2 þ b x þ c dx |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (189)

ffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b dx dx a x 2 þ bx þ c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð192Þ  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ c  dx ¼ a x 2 þ b x þ c þ 2 x ax2 þ bx þ c x ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194) Integral (197) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ð ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx b dx a x 2 þ bx þ c ax2 þ bx þ c ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼   þ a  ð193Þ þ 2 x2 x 2 2 ax þ bx þ c x ax þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194) Integral (197) 8  pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  1   > > pffiffiffi  ln  2 a a x 2 þ b x þ c þ 2 a x þ b  fur € > > > a > > > >

> ð > < 1 dx 2ax þ b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffi  arsinh pffiffiffiffi fur € ð194Þ a D > ax2 þ bx þ c > > > ! > > > > 1 2ax þ b > > pffiffiffiffiffiffiffiffi fur € >  pffiffiffiffiffiffiffi  arcsin : jaj jDj

a > 0 a > 0; D > 0 a < 0; D < 0

Integraltafel ð ð195Þ

ð ð196Þ

x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2 a x þ bx þ c

489 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ax2 þ bx þ c b dx  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2a a 2 ax þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194)

ð x 2 dx 2 a x  3 b pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3b2  4ac dx 2 þ bx þ c þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  a x 4a2 8a2 a x 2 þ bx þ c ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (194)

8  pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  2 c ax2 þ bx þ c þ bx þ 2c > 1 >   > p ffiffi ffi >  ln   > >   x c > > > > > >

ð < dx 1 bx þ 2c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffi  arsinh ð197Þ pffiffiffiffi > c Dx > x ax2 þ bx þ c > > > ! > > > > 1 b x þ 2 c > > ffi  arcsin pffiffiffiffiffiffiffiffi > : pffiffiffiffiffiffi jcj jDj x ð ð198Þ

ð199Þ

dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  x2 ax2 þ bx þ c

c > 0

fur €

c > 0; D > 0

fur €

c < 0; D < 0

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð ax2 þ bx þ c b dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   2c cx x ax2 þ bx þ c |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (197)

ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ax þ b 3D ða x 2 þ b x þ cÞ 3 dx ¼ ða x 2 þ b x þ cÞ 3 þ  a x 2 þ b x þ c dx 8a 16 a |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (189) ð

ð200Þ

x

ð ð201Þ ð ð202Þ ð ð203Þ

fur €

ð qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 b ða x 2 þ b x þ cÞ 3 dx ¼ ða x 2 þ b x þ cÞ 5   ða x 2 þ b x þ cÞ 3 dx 5a 2a |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (199)

dx 4ax þ 2b qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 D ax2 þ bx þ c ða x 2 þ b x þ cÞ x dx 2bx þ 4c qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 2 D ax2 þ bx þ c ða x þ b x þ cÞ dx 1 1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ  c c ax 2 þ bx þ c x ða x 2 þ bx þ cÞ 3

ðc 6¼ 0Þ

ð

ð dx b dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi   qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 c x a x 2 þ bx þ c ðax 2 þ bx þ cÞ 3 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (197) Integral (201)

490

Integraltafel

16 Integrale mit Hinweis:

sin ða xÞ dx ¼  ð sin 2 ða xÞ dx ¼

ð205Þ

cos ða xÞ a

x sin ð2 a xÞ x sin ða xÞ  cos ða xÞ  ¼  2 4a 2 2a

ð ð206Þ

sin 3 ða xÞ dx ¼ 

cos ða xÞ cos 3 ða xÞ þ a 3a

sin n ða xÞ dx ¼ 

sin n  1 ða xÞ  cos ða xÞ n1 þ  na n

x  sin ða xÞ dx ¼

sin ða xÞ x  cos ða xÞ  a2 a

ð ð207Þ ð ð208Þ ð ð209Þ

x 2  sin ða xÞ dx ¼

ð

sin n  2 ða xÞ dx

x n  sin ða xÞ dx ¼ 

x n  cos ða xÞ n  x n  1  sin ða xÞ nðn  1Þ þ   a a2 a2

ðn  2Þ ð ð211Þ

sin ða xÞ ða xÞ 3 ða xÞ 5 þ  þ ... dx ¼ a x  3  3! 5  5! x

(Potenzreihenentwicklung: Konvergenz fu¨r j x j < 1Þ ð ð212Þ

ð ð213Þ

sin ða xÞ sin ða xÞ dx ¼  þa x2 x

ð

ð

cos ða xÞ dx x |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (235)

sin ða xÞ sin ða xÞ a dx ¼  þ  xn ðn  1Þ x n  1 n1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (211) ð214Þ

ðn 6¼ 0Þ

2 x  sin ða xÞ ða 2 x 2  2Þ  cos ða xÞ  2 a a3

ð ð210Þ

ða 6¼ 0Þ

Integrale mit einer Sinusfunktion und einer –– Kosinusfunktion: siehe Abschnitt 18 –– Exponentialfunktion: siehe Abschnitt 22 –– Hyperbelfunktion: siehe Abschnitt 24 und 25

ð ð204Þ

sin ða xÞ

 ax dx 1   ¼  ln  tan  sin ða xÞ a 2

ð

cos ða xÞ dx x n1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (237)

ðn 6¼ 1Þ

ð

x n  2  sin ða xÞ dx

Integraltafel ð ð215Þ ð ð216Þ

491

dx cot ða xÞ ¼  sin 2 ða xÞ a dx cos ða xÞ n2 ¼  þ  sin n ða xÞ a ðn  1Þ  sin n  1 ða xÞ n1

ð

dx sin n  2 ða xÞ

ðn > 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (214) ð ð217Þ

x  sin 2 ða xÞ dx ¼ ð

ð218Þ

x2 x  sin ð2 a xÞ cos ð2 a xÞ   4 4a 8a2

x dx x  cot ða xÞ 1 ¼  þ 2  ln j sin ða xÞ j 2 ða xÞ sin a a

ð

p dx 1 ax ¼   tan  1  sin ða xÞ a 4 2 8 ! > 2 p  tan ða x=2Þ þ q > > p p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi >  arctan > > ð p þ q  sin ða xÞ  p  tan ða x=2Þ þ q  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > 1 q2  p2  > > p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln  > : 2 2  p  tan ða x=2Þ þ q þ q 2  p 2 a q p ð219Þ

    

fur €

p2 > q2

fur €

p2 < q2

Fall p 2 ¼ q 2 : siehe Integral (219) ð

 p p x dx x ax 2 a x   ¼   tan   þ 2  ln  cos  1 þ sin ða xÞ a 4 2 a 4 2

ð

 p p x dx x ax 2 a x   ¼  cot  þ 2  ln  sin   1  sin ða xÞ a 4 2 a 4 2

ð

p sin ða xÞ dx 1 ax ¼  x þ  tan  1  sin ða xÞ a 4 2

ð221Þ ð222Þ

ð223Þ ð ð224Þ

ð ð225Þ

sin ða xÞ dx x p ¼   p þ q  sin ða xÞ q q

dx p þ q  sin ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (220)

ðq 6¼ 0Þ

 a x  dx 1 q   ¼  ln  tan   sin ða xÞ ½ p þ q  sin ða xÞ  ap 2 p

ð ð226Þ

ð

sin ða xÞ  sin ðb xÞ dx ¼

ð

dx p þ q  sin ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (220)

sin ðða  bÞ xÞ sin ðða þ bÞ xÞ  2 ða  bÞ 2 ða þ bÞ

ða 2 6¼ b 2 Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (205) ð ð227Þ

sin ða xÞ  sin ða x þ bÞ dx ¼ 

1 ðcos bÞ  sin ð2 a x þ bÞ þ x 4a 2

ð p 6¼ 0Þ

492

Integraltafel

17 Integrale mit Hinweis:

cos ða xÞ dx ¼

sin ða xÞ a

ð ð229Þ

cos 2 ða xÞ dx ¼

x sin ð2 a xÞ x sin ða xÞ  cos ða xÞ þ ¼ þ 2 4a 2 2a

cos 3 ða xÞ dx ¼

sin ða xÞ sin 3 ða xÞ  a 3a

cos n ða xÞ dx ¼

cos n  1 ða xÞ  sin ða xÞ n1 þ  na n

ð ð230Þ ð ð231Þ ð ð232Þ

x  cos ða xÞ dx ¼

cos n  2 ða xÞ dx

x 2  cos ða xÞ dx ¼

2 x  cos ða xÞ ða 2 x 2  2Þ  sin ða xÞ þ 2 a a3

x n  cos ða xÞ dx ¼

x n  sin ða xÞ n  x n  1  cos ða xÞ nðn  1Þ þ   a a2 a2

ð ð234Þ

ð

ðn  2Þ ð ð235Þ

cos ða xÞ ða xÞ 2 ða xÞ 4 ða xÞ 6 þ  þ  ... dx ¼ ln j a x j  2  2! 4  4! 6  6! x

(Potenzreihenentwicklung: Konvergenz fu¨r j x j > 0Þ ð ð236Þ

ð ð237Þ

cos ða xÞ cos ða xÞ a dx ¼  x2 x

ð

sin ða xÞ dx x |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (211)

cos ða xÞ cos ða xÞ a dx ¼    xn ðn  1Þ x n  1 n1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (235) ð ð238Þ ð ð239Þ

ðn 6¼ 0Þ

cos ða xÞ x  sin ða xÞ þ a2 a

ð ð233Þ

ða 6¼ 0Þ

Integrale mit einer Kosinusfunktion und einer –– Sinusfunktion: siehe Abschnitt 18 –– Exponentialfunktion: siehe Abschnitt 22 –– Hyperbelfunktion: siehe Abschnitt 24 und 25

ð ð228Þ

cos ða xÞ

 a x dx 1 p   ¼  ln  tan þ  cos ða xÞ a 2 4 dx tan ða xÞ ¼ cos 2 ða xÞ a

ð

sin ða xÞ dx x n1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (213)

ðn 6¼ 1Þ

ð

x n  2  cos ða xÞ dx

Integraltafel ð ð240Þ

493

dx sin ða xÞ n2 ¼ þ  cos n ða xÞ a ðn  1Þ  cos n  1 ða xÞ n1

ð

dx cos n  2 ða xÞ

ðn > 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (238) ð x  cos 2 ða xÞ dx ¼

ð241Þ ð ð242Þ ð

x2 x  sin ð2 a xÞ cos ð2 a xÞ þ þ 4 4a 8a2

x dx x  tan ða xÞ 1 ¼ þ 2  ln j cos ða xÞ j cos 2 ða xÞ a a

a x  dx 1 ¼  tan 1 þ cos ða xÞ a 2 ð a x  dx 1 ¼   cot ð244Þ 1  cos ða xÞ a 2 8 ! > 2 ð p  qÞ  tan ða x=2Þ > > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  arctan > > ð p2  q2  ðq  pÞ  tan ða x=2Þ þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > > 1 q2  p2  > > p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln  > :  ðq  pÞ  tan ða x=2Þ  q 2  p 2 a q2  p2

ð243Þ

    

fur €

p2 > q2

fur €

p2 < q2

Fall p 2 ¼ q 2 : siehe Integral (243) bzw. Integral (244) ð

 a x   a x  x dx x 2   ¼  tan þ 2  ln  cos  1 þ cos ða xÞ a 2 a 2

ð

  a x  ax x dx x 2   ¼   cot þ 2  ln  sin  1  cos ða xÞ a 2 a 2

ð

a x  cos ða xÞ dx 1 ¼ x   tan 1 þ cos ða xÞ a 2

ð246Þ ð247Þ ð248Þ ð

a x  cos ða xÞ dx 1 ¼ x   cot 1  cos ða xÞ a 2 ð ð cos ða xÞ dx x p dx ¼   ðq 6¼ 0Þ ð250Þ p þ q  cos ða xÞ q q p þ q  cos ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (245) ð ð  a x dx 1 p  q dx  ð251Þ ¼  ln  tan þ   cos ða xÞ ½ p þ q  cos ða xÞ ap 2 4 p p þ q  cos ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (245) ð sin ðða  bÞ xÞ sin ðða þ bÞ xÞ ð252Þ cos ða xÞ  cos ðb xÞ dx ¼ þ ða 2 6¼ b 2 Þ 2 ða  bÞ 2 ða þ bÞ ð249Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (229) ð ð253Þ

cos ða xÞ  cos ða x þ bÞ dx ¼

1 ðcos bÞ  sin ð2 a x þ bÞ þ x 4a 2

ð p 6¼ 0Þ

494

Integraltafel

18 Integrale mit

sin ða xÞ

ð ð254Þ

sin ða xÞ  cos ða xÞ dx ¼

cos ða xÞ

ða 6¼ 0Þ

sin 2 ða xÞ 1 ¼   cos ð2 a xÞ 2a 4a

ð sin n ða xÞ  cos ða xÞ dx ¼

ð255Þ

und

sin n þ 1 ða xÞ ðn þ 1Þ a

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (293) ð sin ða xÞ  cos n ða xÞ dx ¼ 

ð256Þ

cos n þ 1 ða xÞ ðn þ 1Þ a

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (286) ð ð257Þ

sin 2 ða xÞ  cos 2 ða xÞ dx ¼

x sin ð4 a xÞ  8 32 a

ð ð258Þ

sin m ða xÞ  cos n ða xÞ dx ¼ 8 ð sin m  1 ða xÞ  cos ðn þ 1Þ ða xÞ m1 > > >  þ  sin m  2 ða xÞ  cos n ða xÞ dx > > ðm þ nÞ a mþn < ¼ > ð > mþ1 > ða xÞ  cos ðn  1Þ ða xÞ n1 > sin > þ  sin m ða xÞ  cos n  2 ða xÞ dx : ðm þ nÞ a mþn Beide Formeln gelten nur fu¨r m 6¼  n. Fall m ¼  n: siehe Integral (289) bzw. (296) ð

ð259Þ ð ð260Þ

dx 1 ¼  ln j tan ða xÞ j sin ða xÞ  cos ða xÞ a dx 1 ¼ sin 2 ða xÞ  cos ða xÞ a

ð ð261Þ

sin m

   ax p  1  ln  tan þ  2 4 sin ða xÞ

dx 1 ¼  þ ðm  1Þ a  sin m  1 ða xÞ ða xÞ  cos ða xÞ

ð

dx sin m  2 ða xÞ  cos ða xÞ

ðm 6¼ 1Þ

Fall m ¼ 1: siehe Integral (259) ð ð262Þ ð ð263Þ

dx 1 ¼ sin ða xÞ  cos 2 ða xÞ a



   a x  1   ln  tan þ 2 cos ða xÞ

dx 1 ¼ þ sin ða xÞ  cos n ða xÞ ðn  1Þ a  cos n  1 ða xÞ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (259)

ð

dx sin ða xÞ  cos n  2 ða xÞ

ðn 6¼ 1Þ

Integraltafel ð ð264Þ

495

dx ¼ sin m ðaxÞ  cos n ða xÞ 8 ð 1 mþn2 dx > > þ  > > < ðn  1Þ a  sin m  1 ða xÞ  cos n  1 ða xÞ n1 sin m ða xÞ  cos n  2 ða xÞ ¼ ð > > 1 mþn2 dx > > þ  : ðm  1Þ a  sin m  1 ða xÞ  cos n  1 ða xÞ m1 sin m  2 ða xÞ  cos n ða xÞ

Obere Formel fu¨r n 6¼ 1, untere Formel fu¨r m 6¼ 1. Fall n ¼ 1: siehe Integral (261); Fall m ¼ 1: siehe Integral (263) ð ð265Þ ð ð266Þ ð ð267Þ

sin ða xÞ dx ¼ cos ða xÞ

ð tan ða xÞ dx ¼ 

1  ln j cos ða xÞ j a

 ax sin 2 ða xÞ sin ða xÞ 1 p   dx ¼  þ  ln  tan þ  cos ða xÞ a a 2 4 sin m ða xÞ sin m  1 ða xÞ dx ¼  þ cos ða xÞ ðm  1Þ a

ð

sin m  2 ða xÞ dx cos ða xÞ

ðm 6¼ 1Þ

Fall m ¼ 1: siehe Integral (265) ð ð268Þ ð ð269Þ

sin ða xÞ 1 dx ¼ cos 2 ða xÞ a  cos ða xÞ sin ða xÞ 1 dx ¼ cos n ða xÞ ðn  1Þ a  cos n  1 ða xÞ

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (265) ð ð270Þ

sin 2 ða xÞ dx ¼ cos 2 ða xÞ

ð tan 2 ða xÞ dx ¼

tan ða xÞ x a

8 ð sin m  1 ða xÞ m1 sin m  2 ða xÞ > >  dx  > > n  1 > ða xÞ ðn  1Þ a  cos n1 cos n  2 ða xÞ > > > > > ð ð < sin m ða xÞ sin m þ 1 ða xÞ mnþ2 sin m ða xÞ ð271Þ dx ¼  dx  n  1 > cos n ða xÞ ða xÞ ðn  1Þ a  cos n1 cos n  2 ða xÞ > > > > > ð > > sin m  1 ða xÞ m1 sin m  2 ða xÞ > >  þ : ðm  nÞ a  cos n  1 ða xÞ mn cos n ða xÞ Fall n ¼ 1: siehe Integral (267); Fall m ¼ n: siehe Integral (289) ð ð272Þ ð ð273Þ

cos ða xÞ dx ¼ sin ða xÞ

ð cot ða xÞ dx ¼

cos ða xÞ 1 dx ¼  sin 2 ða xÞ a  sin ða xÞ

1  ln j sin ða xÞ j a

ðn 6¼ 1Þ ðn 6¼ 1Þ ðm 6¼ nÞ

496

Integraltafel ð

ð274Þ

cos ða xÞ 1 dx ¼  sin n ða xÞ ðn  1Þ a  sin n  1 ða xÞ

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (272) und (293) ð ð275Þ ð ð276Þ

  a x  i cos 2 ða xÞ 1 h   dx ¼ cos ða xÞ þ ln  tan  sin ða xÞ a 2 cos m ða xÞ cos m  1 ða xÞ dx ¼ þ sin ða xÞ ðm  1Þ a

ð

cos m  2 ða xÞ dx sin ða xÞ

ðm 6¼ 1Þ

Fall m ¼ 1: siehe Integral (272) und (293) 8 ð cos m  1 ða xÞ m1 cos m  2 ða xÞ > > >   dx  > n  1 > ðn  1Þ a  sin n1 sin n  2 ða xÞ ða xÞ > > > > > ð ð < cos m ðaxÞ cos m þ 1 ða xÞ mnþ2 cos m ða xÞ dx ¼ ð277Þ  dx   n  1 ða xÞ n  2 ða xÞ > sin n ða xÞ ðn  1Þ a  sin n  1 sin > > > > > ð > > cos m  1 ða xÞ m1 cos m  2 ða xÞ > >  þ : n  1 ðm  nÞ a  sin mn sin n ða xÞ ða xÞ Fall n ¼ 1: siehe Integral (276); Fall m ¼ n: siehe Integral (296) ð ð278Þ ð ð279Þ ð ð280Þ

 ax dx 1 p   ¼ pffiffiffi  ln  tan   sin ða xÞ  cos ða xÞ 2 8 a 2 sin ða xÞ dx x 1 ¼   ln j sin ða xÞ  cos ða xÞ j sin ða xÞ  cos ða xÞ 2 2a cos ða xÞ dx x 1 ¼  þ  ln j sin ða xÞ  cos ða xÞ j sin ða xÞ  cos ða xÞ 2 2a

ð

  a x  dx 1 1   ¼  þ  ln  tan  sin ða xÞ ½1  cos ða xÞ 2 a ½1  cos ða xÞ 2a 2

ð

 ax dx 1 1 p   ¼  þ  ln  tan þ  cos ða xÞ ½1  sin ða xÞ 2 a ½1  sin ða xÞ 2a 2 4

ð

   1  cos ða xÞ  sin ða xÞ dx 1  ¼  ln  cos ða xÞ ½1  cos ða xÞ a cos ða xÞ 

ð

   1  sin ða xÞ  cos ða xÞ dx 1  ¼   ln  sin ða xÞ ½1  sin ða xÞ a sin ða xÞ 

ð281Þ

ð282Þ

ð283Þ

ð284Þ ð ð285Þ

sin ða xÞ  cos ðb xÞ dx ¼ 

cos ðða þ bÞ xÞ cos ðða  bÞ xÞ  2 ða þ bÞ 2 ða  bÞ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (254)

ða 2 6¼ b 2 Þ

ðn 6¼ 1Þ ðn 6¼ 1Þ ðm 6¼ nÞ

Integraltafel

497

19 Integrale mit ð ð286Þ

tan ða xÞ dx ¼  ð

ð287Þ

1  ln j cos ða xÞ j a

tan ða xÞ x a

tan 3 ða xÞ dx ¼

tan 2 ða xÞ 1 þ  ln j cos ða xÞ j 2a a

tan n ða xÞ dx ¼

tan n  1 ða xÞ  ðn  1Þ a

ð ð289Þ

ða 6¼ 0Þ

tan 2 ða xÞ dx ¼ ð

ð288Þ

tan ða xÞ

ð

tan n  2 ða xÞ dx

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (286) ð ð290Þ ð ð291Þ

dx ¼ tan ða xÞ

ð cot ða xÞ dx ¼

1  ln j sin ða xÞ j a

tan n ða xÞ tan n þ 1 ða xÞ dx ¼ 2 cos ða xÞ ðn þ 1Þ a

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (259) ð ð292Þ

dx a p x þ q  ln j q  sin ða xÞ þ p  cos ða xÞ j ¼ p þ q  tan ða xÞ a ð p 2 þ q 2Þ

20 Integrale mit ð ð293Þ

cot ða xÞ dx ¼

cot 2 ða xÞ dx ¼ 

cot ða xÞ x a

cot 3 ða xÞ dx ¼ 

cot 2 ða xÞ 1   ln j sin ða xÞ j 2a a

cot n ða xÞ dx ¼ 

cot n  1 ða xÞ  ðn  1Þ a

ð ð295Þ ð ð296Þ

ða 6¼ 0Þ

1  ln j sin ða xÞ j a

ð ð294Þ

cot ða xÞ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (293)

ð

cot n  2 ða xÞ dx

ðn 6¼ 1Þ

ðq 6¼ 0Þ

498

Integraltafel ð

ð297Þ ð ð298Þ

dx ¼ cot ða xÞ

ð tan ða xÞ dx ¼ 

1  ln j cos ða xÞ j a

cot n ða xÞ cot n þ 1 ða xÞ dx ¼  2 sin ða xÞ ðn þ 1Þ a

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (259) ð ð299Þ

dx a p x  q  ln j p  sin ða xÞ þ q  cos ða xÞ j ¼ p þ q  cot ða xÞ a ð p 2 þ q 2Þ

21 Integrale mit einer Arkusfunktion ð ð300Þ

arcsin

x  arcsin

2

 x  x 2x  a2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  arcsin  a2  x2 dx ¼ þ 4 a a 4

ð x 2  arcsin

ð302Þ ð ð303Þ

arccos ð

ð304Þ

2

 x  x 2x  a2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  arccos  arccos dx ¼   a2  x2 4 a a 4 x 2  arccos

ð ð306Þ

arctan

x  arctan

 x  x 1 ax ðx 2 þ a 2 Þ  arctan dx ¼  a 2 a 2

ð x 2  arctan

ð308Þ ð ð309Þ

arccot

x  arccot

 x  x 1 ax ðx 2 þ a 2 Þ  arccot dx ¼ þ a 2 a 2

ð ð311Þ

 x  x x3 ax2 a3  arctan þ  ln ðx 2 þ a 2 Þ dx ¼  3 6 6 a a

 x  x a  ln ðx 2 þ a 2 Þ dx ¼ x  arccot þ a a 2

ð ð310Þ

2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x  x x3 x þ 2a2 dx ¼   arccos  a2  x2 a a 3 9

 x  x a  ln ðx 2 þ a 2 Þ dx ¼ x  arctan  a a 2

ð ð307Þ

2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  x  x x3 x þ 2a2  arcsin  a2  x2 dx ¼ þ 3 9 a a

 x  x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x  arccos  a2  x2 a a

ð ð305Þ

ða 6¼ 0Þ

 x  x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x  arcsin þ a2  x2 a a

ð ð301Þ

ðq 6¼ 0Þ

x 2  arccot

 x  x x3 ax2 a3 dx ¼ þ  arccot   ln ðx 2 þ a 2 Þ a a 3 6 6

Integraltafel

499

22 Integrale mit ð ð312Þ

e a x dx ¼

1  e ax a

ð ð313Þ

x  e a x dx ¼



ax  1  e ax a2

x 2  e a x dx ¼

2 2

a x  2ax þ 2  e ax a3

x n  e a x dx ¼

x n  e ax n   a a

ð ð314Þ ð ð315Þ ð ð316Þ

ða 6¼ 0Þ

e ax

ð

x n  1  e a x dx

e ax ax ða xÞ 2 ða xÞ 3 þ dx ¼ ln j a x j þ þ þ ... 1  1! x 2  2! 3  3!

(Potenzreihenentwicklung; Konvergenz fu¨r j x j > 0) ð ð317Þ

e ax e ax a  dx ¼  þ n x ðn  1Þ x n  1 n1

ð

e ax dx x n1

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (316) ð ð318Þ ð ð319Þ

ð ð320Þ

dx x 1   ln j p þ q  e a x j ¼ p þ q  e ax p ap e a x dx 1 ¼  ln j p þ q  e a x j p þ q  e ax aq

dx p  e ax þ q  e ax

ð e a x  ln x dx ¼

ð321Þ

e a x  ln j x j 1   a a

e a x  sin ðb xÞ dx ¼

pq > 0

pq < 0

ð

e ax dx x |fflfflfflfflffl{zfflfflfflfflffl} Integral (316)

a2

ð ð323Þ

ðq 6¼ 0Þ

8 rffiffiffiffi

1 p > ax >  arctan  e fur € > p ffiffiffiffiffiffi ffi > > q > 1 j p q j  e a x   > > p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln  €  fur > :  q  j p q j  e ax  2a jpqj

ð ð322Þ

ð p 6¼ 0Þ

e a x  sin n ðb xÞ dx ¼

e ax ½ a  sin ðb xÞ  b  cos ðb xÞ þ b2

e a x  sin n  1 ðb xÞ ½ a  sin ðb xÞ  n b  cos ðb xÞ þ a2 þ n2 b2 ð n ðn  1Þ b 2 þ 2  e a x  sin n  2 ðb xÞ dx a þ n2 b2

500

Integraltafel ð

ð324Þ

e a x  cos ðb xÞ dx ¼

e ax ½ a  cos ðb xÞ þ b  sin ðb xÞ a2 þ b2

ð ð325Þ

e a x  cos n ðb xÞ dx ¼

ð ð326Þ

e a x  sinh ða xÞ dx ¼

e 2ax x  4a 2

e a x  sinh ðb xÞ dx ¼

e ax ½ a  sinh ðb xÞ  b  cosh ðb xÞ a2  b2

ð ð327Þ

e a x  cos n  1 ðb xÞ ½ a  cos ðb xÞ þ n b  sin ðb xÞ þ a2 þ n2 b2 ð n ðn  1Þ b 2 þ 2  e a x  cos n  2 ðb xÞ dx a þ n2 b2

ða 2 6¼ b 2 Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (326) ð e a x  cosh ða xÞ dx ¼

ð328Þ

e 2ax x þ 4a 2

ð e a x  cosh ðb xÞ dx ¼

ð329Þ

a2

e ax ½ a  cosh ð b xÞ  b  sinh ðb xÞ  b2

ða 2 6¼ b 2 Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (328) ð ð330Þ

x  e a x  sin ðb xÞ dx ¼

x  e ax ½ a  sin ðb xÞ  b  cos ðb xÞ  a2 þ b2 

ð x  e a x  cos ðb xÞ dx ¼

ð331Þ

Hinweis:

ða 2 þ b 2 Þ 2

½ða 2  b 2 Þ  sin ðb xÞ  2 a b  cos ðb xÞ

x  e ax ½ a  cos ðb xÞ þ b  sin ðb xÞ  a2 þ b2 

23 Integrale mit

e ax

ln x

e ax ða 2

þ b 2Þ 2

½ða 2  b 2 Þ  cos ðb xÞ þ 2 a b  sin ðb xÞ

ðx > 0Þ

Integrale mit einer Logarithmus- und einer Exponentialfunktion: siehe Abschnitt 22.

ð ð332Þ

ln x dx ¼ x  ln x  x ¼ x ðln x  1Þ ð

ð333Þ

ðln xÞ 2 dx ¼ x ðln xÞ 2  2 x  ln x þ 2 x ¼ x ½ðln xÞ 2  2  ln x þ 2Þ ð

ð334Þ

ðln xÞ 3 dx ¼ x ðln xÞ 3  3 x ðln xÞ 2 þ 6 x  ln x  6 x ¼ x ½ðln xÞ 3  3 ðln xÞ 2 þ 6  ln x  6

Integraltafel

501

ð ð335Þ

ð ðln xÞ n dx ¼ x ðln xÞ n  n 

ðln xÞ n  1 dx

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (336) ð ð336Þ

dx ln x ðln xÞ 2 ðln xÞ 3 þ þ ... ¼ ln j ln x j þ þ 2  2! 3  3! ln x 1  1!

ð ð337Þ

x  ln x dx ¼



1 2 1 ln x  x 2 2

x 2  ln x dx ¼



1 3 1 ln x  x 3 3

x m  ln x dx ¼

x mþ1 mþ1

ð ð338Þ ð ð339Þ

ðx 6¼ 1Þ

ln x 

1 mþ1

ðm 6¼  1Þ

Fall m ¼  1: siehe Integral (340) ð ð340Þ ð ð341Þ

ln x 1 dx ¼ ðln xÞ 2 x 2 ln x ln x 1 dx ¼   xm ðm  1Þ x m  1 ðm  1Þ 2 x m  1

ðm 6¼ 1Þ

Fall m ¼ 1: siehe Integral (340) ð ð342Þ

ðln xÞ n ðln xÞ n þ 1 dx ¼ x nþ1

ðn 6¼  1Þ

Fall n ¼  1: siehe Integral (343) ð ð343Þ ð ð344Þ

dx ¼ ln j ln x j x  ln x

xm ðm þ 1Þ 2 ðm þ 1Þ 3 dx ¼ ln j ln x j þ ðm þ 1Þ ln x þ ðln xÞ 2 þ ðln xÞ 3 þ . . . ln x 2  2! 3  3!

ð ð345Þ

ðx 6¼ 1Þ

x m  ðln xÞ n dx ¼

x m þ 1  ðln xÞ n n   mþ1 mþ1

ð

x m  ðln xÞ n  1 dx

ðm 6¼  1Þ

Fall m ¼  1: siehe Integral (342) ð ð346Þ

xm x mþ1 mþ1  dx ¼  þ n1 ðln xÞ n ðn  1Þ ðln xÞ n  1

ð

xm dx ðln xÞ n  1

ðn 6¼ 1; x 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (344) ð ln ðx 2 þ a 2 Þ dx ¼ x  ln ðx 2 þ a 2 Þ  2 x þ 2 a  arctan

ð347Þ ð ð348Þ

ln ðx 2  a 2 Þ dx ¼ x  ln ðx 2  a 2 Þ  2 x þ a  ln

x a

x þ a x a

ða 6¼ 0Þ ðx 2 > a 2 Þ

ðx 6¼ 1Þ

502

Integraltafel

24 Integrale mit Hinweis:

sinh ða xÞ dx ¼

cosh ða xÞ a

ð ð350Þ

sinh 2 ða xÞ dx ¼

sinh ð2 a xÞ x  4a 2

sinh n ða xÞ dx ¼

sinh n  1 ða xÞ  cosh ða xÞ n1   na n

ð ð351Þ ð ð352Þ

x  sinh ða xÞ dx ¼

x n  sinh ða xÞ dx ¼

ð ð354Þ

ð

sinh n  2 ða xÞ dx

ðn 6¼ 0Þ

x  cosh ða xÞ sinh ða xÞ  a a2

ð ð353Þ

ða 6¼ 0Þ

Integrale mit einer hyperbolischen Sinusfunktion und einer –– hyperbolischen Kosinusfunktion: siehe Abschnitt 26 –– Exponentialfunktion: siehe Abschnitt 22

ð ð349Þ

sinh ða xÞ

x n  cosh ða xÞ n  x n  1  sinh ða xÞ  þ a a2 ð nðn  1Þ  x n  2  sinh ða xÞ dx þ 2 a

ðn  2Þ

sinh ða xÞ ða xÞ 3 ða xÞ 5 þ þ ... dx ¼ a x þ 3  3! 5  5! x

(Potenzreihenentwicklung; Konvergenz fu¨r j x j < 1Þ ð ð355Þ

sinh ða xÞ sinh ða xÞ a dx ¼  þ  xn ðn  1Þ x n  1 n1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (354) ð ð356Þ ð ð357Þ

ð

cosh ða xÞ dx x n1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (369)

ðn 6¼ 1Þ

  a x  dx 1   ¼  ln  tanh  sinh ða xÞ a 2 dx cosh ða xÞ n2 ¼    sinh n ða xÞ ðn  1Þ a  sinh n  1 ða xÞ n1

ð

dx sinh n  2 ða xÞ

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (356) ð ð358Þ ð ð359Þ

  q  e a x þ p  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 1 p2 þ q2  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln   q  e ax þ p þ p 2 þ q 2 p þ q  sinh ða xÞ a p2 þ q2 sinh ða xÞ dx x p ¼   p þ q  sinh ða xÞ q q

ð

dx p þ q  sinh ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (358)

ðq 6¼ 0Þ

    

ðq 6¼ 0Þ

Integraltafel

503

ð ð360Þ

sinh ða xÞ  sinh ðb xÞ dx ¼

sinh ðða þ bÞ xÞ sinh ðða  bÞ xÞ  2 ða þ bÞ 2 ða  bÞ

ða 2 6¼ b 2 Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (350) ð ð361Þ

sinh ða xÞ  sin ðb xÞ dx ¼

a  cosh ða xÞ  sin ðb xÞ  b  sinh ða xÞ  cos ðb xÞ a2 þ b2

sinh ða xÞ  cos ðb xÞ dx ¼

a  cosh ða xÞ  cos ðb xÞ þ b  sinh ða xÞ  sin ðb xÞ a2 þ b2

ð ð362Þ

25 Integrale mit Hinweis:

cosh ða xÞ dx ¼

sinh ða xÞ a

ð ð364Þ

cosh 2 ða xÞ dx ¼

sinh ð2 a xÞ x þ 4a 2

cosh n ða xÞ dx ¼

cosh n  1 ða xÞ  sinh ða xÞ n1 þ  na n

ð ð365Þ ð ð366Þ

x  cosh ða xÞ dx ¼

x n  cosh ða xÞ dx ¼

ð ð368Þ

ð

cosh n  2 ða xÞ dx

x n  sinh ða xÞ n  x n  1  cosh ða xÞ þ  a a2 ð nðn  1Þ  x n  2  cosh ða xÞ dx þ a2

ðn  2Þ

cosh ða xÞ ða xÞ 2 ða xÞ 4 ða xÞ 6 þ þ þ ... dx ¼ ln j a x j þ 2  2! 4  4! 6  6! x

(Potenzreihenentwicklung; Konvergenz fu¨r j x j > 0Þ ð ð369Þ

cosh ða xÞ cosh ða xÞ a dx ¼  þ  xn ðn  1Þ x n  1 n1

Fall n ¼ 1: siehe Integral (368) ð ð370Þ

ðn 6¼ 0Þ

x  sinh ða xÞ cosh ða xÞ  a a2

ð ð367Þ

ða 6¼ 0Þ

Integrale mit einer hyperbolischen Kosinusfunktion und einer –– hyperbolischen Sinusfunktion: siehe Abschnitt 26 –– Exponentialfunktion: siehe Abschnitt 22

ð ð363Þ

cosh ða xÞ

dx 2 ¼  arctan ðe a x Þ cosh ða xÞ a

ð

sinh ða xÞ dx x n1 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (355)

ðn 6¼ 1Þ

504

Integraltafel ð

ð371Þ

dx sinh ða xÞ n2 ¼ þ  cosh n ða xÞ ðn  1Þ a  cosh n  1 ða xÞ n1

ð

dx cosh n  2 ða xÞ

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (370)

ð ð372Þ

ð ð373Þ

8   q  e a x þ p  pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi > 1 p2  q2  > > ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi  ln  > >  q  e ax þ p þ p2  q 2 > a p2  q2 > > > > > < 2

dx ¼ a ð p þ q  e a xÞ p þ q  cosh ða xÞ > > > > > > > > 2 > >  arctan > : pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 a q  p2 cosh ða xÞ dx x p ¼   p þ q  cosh ða xÞ q q

ð ð374Þ

cosh ða xÞ  cosh ðb xÞ dx ¼

p þ q  e ax pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q2  p2

    

fur €

q > 0; p 2 > q 2

fur €

p 2 ¼ q 2 6¼ 0

fur €

p2 < q2

!

ð

dx p þ q  cosh ða xÞ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} Integral (372)

ðq 6¼ 0Þ

sinh ðða þ bÞ xÞ sinh ðða  bÞ xÞ þ 2 ða þ bÞ 2 ða  bÞ

ða 2 6¼ b 2 Þ

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (364) ð ð375Þ

cosh ða xÞ  sin ðb xÞ dx ¼

a  sinh ða xÞ  sin ðb xÞ  b  cosh ða xÞ  cos ðb xÞ a2 þ b2

cosh ða xÞ  cos ðb xÞ dx ¼

a  sinh ða xÞ  cos ðb xÞ þ b  cosh ða xÞ  sin ðb xÞ a2 þ b2

ð ð376Þ

26 Integrale mit

sinh ða xÞ

ð ð377Þ

cosh ða xÞ

sinh ða xÞ  cosh ða xÞ dx ¼

sinh 2 ða xÞ 1 ¼  cosh ð2 a xÞ 2a 4a

sinh ða xÞ  cosh ðb xÞ dx ¼

cosh ðða þ bÞ xÞ cosh ðða  bÞ xÞ þ 2 ða þ bÞ 2 ða  bÞ

ð ð378Þ

und

Fall a 2 ¼ b 2 : siehe Integral (377) ð sinh n þ 1 ða xÞ ð379Þ sinh n ða xÞ  cosh ða xÞ dx ¼ ðn þ 1Þ a Fall n ¼  1: siehe Integral (384) ð cosh n þ 1 ða xÞ ð380Þ sinh ða xÞ  cosh n ða xÞ dx ¼ ðn þ 1Þ a Fall n ¼  1: siehe Integral (382)

ðn 6¼  1Þ

ðn 6¼  1Þ

ða 6¼ 0Þ

ða 2 6¼ b 2 Þ

Integraltafel

505

ð ð381Þ

sinh 2 ða xÞ  cosh 2 ða xÞ dx ¼ ð

ð382Þ ð ð383Þ ð ð384Þ ð ð385Þ ð ð386Þ

sinh ða xÞ dx ¼ cosh ða xÞ

ð tanh ða xÞ dx ¼

cosh ða xÞ dx ¼ sinh ða xÞ

ð coth ða xÞ dx ¼

dx 1 ¼  ln j tanh ða xÞ j sinh ða xÞ  cosh ða xÞ a

tanh ða xÞ dx ¼

tanh ða xÞ

ða 6¼ 0Þ

1  ln ðcosh ða xÞÞ a

ð tanh 2 ða xÞ dx ¼ x  ð tanh n ða xÞ dx ¼ 

ð389Þ

1  ln j sinh ða xÞ j a

  a x  cosh 2 ða xÞ cosh ða xÞ 1   dx ¼ þ  ln  tanh  sinh ða xÞ a a 2

ð

ð388Þ

1  ln ðcosh ða xÞÞ a

sinh 2 ða xÞ sinh ða xÞ 1 dx ¼   arctan ðsinh ða xÞÞ cosh ða xÞ a a

27 Integrale mit ð387Þ

sinh ð4 a xÞ x  32 a 8

tanh ða xÞ a

tanh n  1 ða xÞ þ ðn  1Þ a

ð

tanh n  2 ða xÞ dx

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (387) ð ð390Þ

dx ¼ tanh ða xÞ

ð coth ða xÞ dx ¼

ð ð391Þ

x  tanh 2 ða xÞ dx ¼

x2 x  tanh ða xÞ 1  þ 2  ln ðcosh ða xÞÞ 2 a a

28 Integrale mit ð ð392Þ

coth ða xÞ dx ¼

coth ða xÞ

1  ln j sinh ða xÞ j a

ð ð393Þ

1  ln j sinh ða xÞ j a

coth 2 ða xÞ dx ¼ x 

coth ða xÞ a

ða 6¼ 0Þ

506

Integraltafel ð

ð394Þ

coth n ða xÞ dx ¼ 

coth n  1 ða xÞ þ ðn  1Þ a

ð

coth n  2 ða xÞ dx

ðn 6¼ 1Þ

Fall n ¼ 1: siehe Integral (392) ð ð395Þ

dx ¼ coth ða xÞ

ð tanh ða xÞ dx ¼

ð ð396Þ

x  coth 2 ða xÞ dx ¼

1  ln ðcosh ða xÞÞ a

x2 x  coth ða xÞ 1  þ 2  ln j sinh ða xÞ j 2 a a

29 Integrale mit einer Areafunktion ð ð397Þ

arsinh

x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x  arsinh  x2 þ a2 a a

ð ð398Þ

x  arsinh ð

ð399Þ

arcosh ð

ð400Þ

artanh

x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ x  arcosh  x2  a2 a a

x x a dx ¼ x  artanh þ  ln j a 2  x 2 j a a 2

ð ð402Þ

x  artanh ð

ð403Þ

arcoth

2

x x ax x  a2  artanh þ dx ¼ 2 a 2 a

x x a  ln j x 2  a 2 j dx ¼ x  arcoth þ a a 2

ð ð404Þ

2

x x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2x þ a2 x  arsinh dx ¼   x2 þ a2 4 a a 4

2

x x 2x  a2 x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x  arcosh dx ¼   x2  a2  arcosh a a 4 4

ð ð401Þ

ða 6¼ 0Þ

x  arcoth

2

x x ax x  a2  arcoth dx ¼ þ 2 a 2 a

507

Anhang Teil B

Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik bersicht Tabelle 1:

Verteilungsfunktion fðuÞ der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . .

508

Tabelle 2:

Quantile der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

510

Tabelle 3:

Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

512

Tabelle 4:

Quantile der t-Verteilung von „Student“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

514

508

Anhang B: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Tabelle 1: Verteilungsfunktion fðuÞ der Standardnormalverteilung Schrittweite: Du ¼ 0;01

f(u)

Fu¨r negative Argumente verwende man die Formel

o(u)

fð uÞ ¼ 1  fðuÞ u

ðu > 0Þ

Fu¨r u  4 ist fðuÞ  1.

u

u

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

0,5000 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554

0,5040 0,5438 0,5832 0,6217 0,6591

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736

0,5239 0,5639 0,6026 0,6406 0,6772

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844

0,5359 0,5754 0,6141 0,6517 0,6879

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159

0,6950 0,7291 0,7612 0,7910 0,8186

0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212

0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238

0,7054 0,7389 0,7704 0,7996 0,8264

0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289

0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315

0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340

0,7190 0,7518 0,7823 0,8106 0,8365

0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8398

1,0 1,1 1,2 1,3 1,4

0,8413 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192

0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207

0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222

0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236

0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251

0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265

0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279

0,8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292

0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306

0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319

1,5 1,6 1,7 1,8 1,9

0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713

0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719

0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726

0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732

0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738

0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744

0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750

0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756

0,9429 0,9535 0,9625 0,9699 0,9761

0,9441 0,9545 0,9633 0,9706 0,9767

2,0 2,1 2,2 2,3 2,4

0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918

0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0,9920

0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922

0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925

0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927

0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929

0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931

0,9808 0,9850 0,9884 0,9911 0,9932

0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934

0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936

2,5 2,6 2,7 2,8 2,9

0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981

0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 9,9984

0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0,9987 0,9990 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9993 0,9995 0,9997

0,9987 0,9991 0,9994 0,9995 0,9997

0,9988 0,9991 0,9994 0,9996 0,9997

0,9988 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9994 0,9996 0,9997

0,9989 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9996 0,9997

0,9990 0,9993 0,9995 0,9997 0,9998

3,5 3,6 3,7 3,8 3,9

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 1,0000

Tabelle 1: Verteilungsfunktion fðuÞ der Standardnormalverteilung

509

Zahlenbeispiele (1)

fð1;32Þ ¼ 0;9066

(2)

fð1;855Þ ¼ 0;9682

(3)

fð 2;36Þ ¼ 1  fð2;36Þ ¼ 1  0;9909 ¼ 0;0091

(durch lineare Interpolation)

Formeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (1)

Einseitige Abgrenzung nach oben f(u) P(U ≤ c)

PðU  cÞ ¼ f ðcÞ c

(2)

u

Einseitige Abgrenzung nach unten f(u)

P(U ≥ c)

c

(3)

PðU  cÞ ¼ 1  PðU  cÞ ¼ 1  fðcÞ u

Zweiseitige (unsymmetrische) Abgrenzung f(u) P(a ≤ U ≤ b)

Pða  U  bÞ ¼ fðbÞ  fðaÞ a

(4)

b

u

Zweiseitige (symmetrische) Abgrenzung f(u) P(–c ≤ U ≤ c)

Pð c  U  cÞ ¼ Pðj U j  cÞ ¼ –c

c

u

¼ 2  fðcÞ  1

510

Anhang B: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung f(u)

p: Vorgegebene Wahrscheinlichkeit ð0 < p < 1Þ

o(u p) = p

up : Zur Wahrscheinlichkeit p geho¨riges Quantil (obere Schranke) up

u

Die Tabelle entha¨lt fu¨r spezielle Werte von p das jeweils zugeho¨rige Quantil up (einseitige Abgrenzung nach oben). p

up

p

up

0,90

1,282

0,1

1,282

0,95

1,645

0,05

1,645

0,975

1,960

0,025

1,960

0,99

2,326

0,01

2,326

0,995

2,576

0,005

2,576

0,999

3,090

0,001

3,090

Formeln: u1  p ¼  u p u p ¼  u1  p

Tabelle 2: Quantile der Standardnormalverteilung

511

Formeln zur Berechnung von Quantilen (1)

Einseitige Abgrenzung nach oben f(u) P(U ≤ c) = p

PðU  cÞ ¼ fðcÞ ¼ p fðcÞ ¼ p ! c ¼ u p

c

u

Zahlenbeispiel: PðU  cÞ ¼ fðcÞ ¼ 0;90 ! c ¼ u 0;90 ¼ 1;282

(2)

Einseitige Abgrenzung nach unten f(u)

PðU  cÞ ¼ 1  PðU  cÞ ¼ P(U ≥ c) = p

c

¼ 1  fðcÞ ¼ p fðcÞ ¼ 1  p ! c ¼ u 1  p

u

Zahlenbeispiel: PðU  cÞ ¼ 1  PðU  cÞ ¼ 1  fðcÞ ¼ 0;90 fðcÞ ¼ 1  0;90 ¼ 0;10 ! c ¼ u 0;1 ¼  1;282

(3)

Zweiseitige (symmetrische) Abgrenzung f(u) P(–c ≤ U ≤ c) = p

Pð c  U  cÞ ¼ 2  fðcÞ  1 ¼ p fðcÞ ¼

–c

c

1 ð1 þ pÞ ! c ¼ u ð1 þ pÞ=2 2

u

Zahlenbeispiel: Pð c  U  cÞ ¼ 2  fðcÞ  1 ¼ 0;90 fðcÞ ¼

1 ð1 þ 0;90Þ ¼ 0;95 ! c ¼ u 0;95 ¼ 1;645 2

512

Anhang B: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung f(z)

F(z (p;f) ) = p

z (p;f)

z

p:

Vorgegebene Wahrscheinlichkeit ð0 < p < 1Þ

f:

Anzahl der Freiheitsgrade

zðp; f Þ : Zur Wahrscheinlichkeit p geho¨riges Quantil bei f Freiheitsgraden (obere Schranke)

Die Tabelle entha¨lt fu¨r spezielle Werte von p das jeweils zugeho¨rige Quantil zðp; f Þ in Abha¨ngigkeit vom Freiheitsgrad f (einseitige Abgrenzung nach oben). p f

0,005

0,01

0,025

0,05

0,10

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

1 2 3 4 5

0,000 0,01 0,07 0,21 0,41

0,000 0,020 0,115 0,297 0,554

0,001 0,051 0,216 0,484 0,831

0,004 0,103 0,352 0,711 1,15

0,016 0,211 0,584 1,064 1,16

2,71 4,61 6,25 7,78 9,24

3,84 5,99 7,81 9,49 11,07

5,02 7,38 9,35 11,14 12,83

6,63 9,21 11,35 13,28 15,09

7,88 10,60 12,84 14,86 16,75

6 7 8 9 10

0,68 0,99 1,34 1,73 2,16

0,872 1,24 1,65 2,09 2,56

1,24 1,69 2,18 2,70 3,25

1,64 2,17 2,73 3,33 3,94

2,20 2,83 3,49 4,17 4,87

10,64 12,02 13,36 14,68 15,99

12,59 14,06 15,51 16,92 18,31

14,45 16,01 17,53 19,02 20,48

16,81 18,48 20,09 21,67 23,21

18,55 20,28 21,96 23,59 25,19

11 12 13 14 15

2,60 3,07 3,57 4,07 4,60

3,05 3,57 4,11 4,66 5,23

3,82 4,40 5,01 5,63 6,26

4,57 5,23 5,89 6,57 7,26

5,58 6,30 7,04 7,79 8,55

17,28 18,55 19,81 21,06 22,31

19,67 21,03 22,36 23,68 25,00

21,92 23,34 24,74 26,12 27,49

24,73 26,22 27,69 29,14 30,58

26,76 28,30 29,82 31,32 32,80

16 17 18 19 20

5,14 5,70 6,26 6,84 7,43

5,81 6,41 7,01 7,63 8,26

6,91 7,56 8,23 8,91 9,59

7,96 8,67 9,39 10,12 10,85

9,31 10,09 10,86 11,65 12,44

23,54 24,77 25,99 27,20 28,41

26,30 27,59 28,87 30,14 31,41

28,85 30,19 31,53 32,85 34,17

32,00 33,41 34,81 36,19 37,57

34,27 35,72 37,16 38,58 40,00

22 24 26 28 30

8,6 9,9 11,2 12,5 13,8

9,5 10,9 12,2 13,6 15,0

11,0 12,4 13,8 15,3 16,8

12,3 13,8 15,4 16,9 18,5

14,0 15,7 17,3 18,9 20,6

30,8 33,2 35,6 37,9 40,3

33,9 36,4 38,9 41,3 43,8

36,8 39,4 41,9 44,5 47,0

40,3 43,0 45,6 48,3 50,9

42,8 45,6 48,3 51,0 53,7

40 50 60 70 80

20,7 28,0 35,5 43,3 51,2

22,2 29,7 37,5 45,4 53,5

24,4 32,4 40,5 48,8 57,2

26,5 34,8 43,2 51,7 60,4

29,1 37,7 46,5 55,3 64,3

51,8 63,2 74,4 85,5 96,6

55,8 67,5 79,1 90,5 101,9

59,3 71,4 83,3 95,0 106,6

63,7 76,2 88,4 100,4 112,3

66,8 79,5 92,0 104,2 116,3

90 100

59,2 67,3

61,8 70,1

65,6 74,2

69,1 77,9

73,3 82,4

107,6 118,5

113,1 124,3

118,1 129,6

124,1 135,8

128,3 140,2

Tabelle 3: Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung

513

Formeln zur Berechnung von Quantilen (1)

Einseitige Abgrenzung nach oben f(z)

P(Z ≤ c) = p

PðZ  cÞ ¼ FðcÞ ¼ p FðcÞ ¼ p ! c ¼ zð p; f Þ c

z

Zahlenbeispiel ( bei f ¼ 10 Freiheitsgraden): PðZ  cÞ ¼ FðcÞ ¼ 0;90

(2)

f ¼ 10

! c ¼ z ð0;9; 10Þ ¼ 15;99

Zweiseitige (symmetrische) Abgrenzung f(z)

1 2

(1–p)

P(c 1 ≤ Z ≤ c 2 ) = p 1 2

z

c1

c2

PðZ  c1 Þ ¼ Fðc1 Þ ¼

1 ð1  pÞ 2

Fðc1 Þ ¼

(1–p)

1 ð1  pÞ ! c1 ¼ zðð1  pÞ=2; f Þ 2

PðZ  c2 Þ ¼ 1  PðZ  c2 Þ ¼ 1  Fðc2 Þ ¼ Fðc2 Þ ¼

Pðc1  Z  c2 Þ ¼ p

1 ð1  pÞ 2

1 ð1 þ pÞ ! c2 ¼ zðð1 þ pÞ=2; f Þ 2

Zahlenbeispiel ( bei f ¼ 10 Freiheitsgraden): Pðc1  Z  c2 Þ ¼ 0;90 1 PðZ  c1 Þ ¼ Fðc1 Þ ¼ ð1  0;90Þ ¼ 0;05 2 f ¼ 10 Fðc1 Þ ¼ 0;05 ! c1 ¼ z ð0;05; 10Þ ¼ 3;94 PðZ  c2 Þ ¼ 1  PðZ  c2 Þ ¼ 1  Fðc2 Þ ¼ Fðc2 Þ ¼

1 ð1 þ 0;90Þ ¼ 0;95 2

f ¼ 10

1 ð1  0;90Þ ¼ 0;05 2

! c2 ¼ zð0;95; 10Þ ¼ 18;31

514

Anhang B: Tabellen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Tabelle 4: Quantile der t-Verteilung von „Student“ f(t) F(t (p;f) ) = p

t

t (p;f)

p:

Vorgegebene Wahrscheinlichkeit ð0 < p < 1Þ

f:

Anzahl der Freiheitsgrade

tðp; f Þ : Zur Wahrscheinlichkeit p geho¨riges Quantil bei f Freiheitsgraden (obere Schranke)

Die Tabelle entha¨lt fu¨r spezielle Werte von p das jeweils zugeho¨rige Quantil tðp; f Þ in Abha¨ngigkeit vom Freiheitsgrad f (einseitige Abgrenzung nach oben). p f

0,90

0,95

0,975

0,99

0,995

1 2 3 4 5

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015

12,707 4,303 3,182 2,776 2,571

31,820 6,965 4,541 3,747 3,365

63,654 9,925 5,841 4,604 4,032

6 7 8 9 10

1,440 1,415 1,397 1,383 1,372

1,943 1,895 1,860 1,833 1,812

2,447 2,365 2,306 2,262 2,228

3,143 2,998 2,896 2,821 2,764

3,707 3,499 3,355 3,250 3,169

11 12 13 14 15

1,363 1,356 1,350 1,345 1,341

1,796 1,782 1,771 1,761 1,753

2,201 2,179 2,160 2,145 2,131

2,718 2,681 2,650 2,624 2,602

3,106 3,055 3,012 2,977 2,947

16 17 18 19 20

1,337 1,333 1,330 1,328 1,325

1,746 1,740 1,734 1,729 1,725

2,120 2,110 2,101 2,093 2,086

2,583 2,567 2,552 2,539 2,528

2,921 2,898 2,878 2,861 2,845

22 24 26 28 30

1,321 1,318 1,315 1,313 1,310

1,717 1,711 1,706 1,701 1,697

2,074 2,064 2,056 2,048 2,042

2,508 2,492 2,479 2,467 2,457

2,819 2,797 2,779 2,763 2,750

40 50 60

1,303 1,299 1,296

1,684 1,676 1,671

2,021 2,009 2,000

2,423 2,403 2,390

2,704 2,678 2,660

100 200 500 .

1,290 1,286 1,283 .. . 1,282

1,660 1,653 1,648 .. . 1,645

1,984 1,972 1,965 .. . 1,960

2,364 2,345 2,334 .. . 2,326

2,626 2,601 2,586 .. . 2,576

..

1

Formeln: tð1  p; f Þ ¼  tð p; f Þ tð p; f Þ ¼  tð1  p; f Þ

Tabelle 4: Quantile der t-Verteilung von „Student“

515

Formeln zur Berechnung von Quantilen (1)

Einseitige Abgrenzung nach oben f(t)

PðT  cÞ ¼ FðcÞ ¼ p

P(T ≤ c) = p

FðcÞ ¼ p ! c ¼ tð p; f Þ c

t

Zahlenbeispiel (bei f ¼ 10 Freiheitsgraden): f ¼ 10

PðT  cÞ ¼ FðcÞ ¼ 0;90 (2)

! c ¼ t ð0;90; 10Þ ¼ 1;372

Einseitige Abgrenzung nach unten f(t)

PðT  cÞ ¼ 1  PðT  cÞ ¼ P(T ≥ c) = p

c

¼ 1  FðcÞ ¼ p FðcÞ ¼ 1  p ! c ¼ tð1  p; f Þ

t

Zahlenbeispiel (bei f ¼ 10 Freiheitsgraden): PðT  cÞ ¼ 1  PðT  cÞ ¼ 1  FðcÞ ¼ 0;90 FðcÞ ¼ 1  0;90 ¼ 0;10 (3)

f ¼ 10

! c ¼ t ð0;10; 10Þ ¼  t ð0;90; 10Þ ¼  1;372

Zweiseitige (symmetrische) Abgrenzung f(t) P(–c ≤ T ≤ c) = p

Pð c  T  cÞ ¼ 2  FðcÞ  1 ¼ p FðcÞ ¼

–c

c

1 ð1 þ pÞ ! c ¼ tðð1 þ pÞ=2; f Þ 2

t

Zahlenbeispiel (bei f ¼ 10 Freiheitsgraden): Pð c  T  cÞ ¼ 2  FðcÞ  1 ¼ 0;90 FðcÞ ¼

1 ð1 þ 0;90Þ ¼ 0;95 2

f ¼ 10

! c ¼ t ð0;95; 10Þ ¼ 1;812

516

Sachwortverzeichnis A abgeschlossenes Intervall 8 abha¨ngige Stichproben 455 –– Variable 67, 239 –– Vera¨nderliche 67, 239 Abklingfunktion 104 Abklingkonstante 288, 290f. Ableitung 129 ––, a¨ußere 133 ––, ho¨here 130 ––, implizite 136 ––, innere 133 ––, logarithmische 135 ––, partielle 243 ff. ––, verallgemeinerte 323 Ableitung der elementaren Funktionen (Tabelle) 131 –– der Umkehrfunktion 135 –– einer in der Parameterform dargestellten Funktion (Kurve) 136 –– einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve 137 –– einer Vektorfunktion 364 Ableitungsfunktion 129 Ableitungsregeln 132 ff. –– fu¨r Vektorfunktionen 364 f. Ableitungssa¨tze der Fourier-Transformation 327 f. –– der Laplace-Transformation 343 ff. absolute Ha¨ufigkeit 402 –– –– eines Stichprobenwertes 432 absolut konvergente Reihe 175, 178 Abspaltung eines Linearfaktores 78 Abstand einer Geraden von einer Ebene 63 –– eines Punktes von einer Ebene 62 –– eines Punktes von einer Geraden 58, 76 –– zweier paralleler Ebenen 64 –– zweier paralleler Geraden 58 –– zweier windschiefer Geraden 59 Abszisse eines Punktes 41 Achsenabschnitte 75 f. Achsenabschnittsform einer Geraden 76 Addition komplexer Zahlen 227 –– von Bru¨chen 9

–– von Matrizen 199 –– von Vektoren 50, 194 –– von Zahlen 6 Additionssatz fu¨r beliebige Ereignisse 403 –– fu¨r Mittelwerte 425 f. –– fu¨r sich gegenseitig ausschließende Ereignisse 403 –– fu¨r Varianzen 425 f. Additionssa¨tze fu¨r Linearkombinationen von Zufallsvariablen 425 Additionstheoreme der Areafunktionen 114 –– der Hyperbelfunktionen 235 –– der trigonometrischen Funktionen 94, 235 Adjunkte 202, 207 hnlichkeitssatz der Fourier-Transformation 324 f. –– der Laplace-Transformation 341 hnlichkeitstransformation 324, 341 Algebra, Fundamentalsatz 230 ––, lineare 196 ff. algebraische Form einer komplexen Zahl 224 –– Gleichungen n-ten Grades 17 ff. algebraisches Komplement 202, 207 Algorithmus, Gaußscher 214 f. allgemeine Binomische Reihe 183 –– Exponentialfunktion 103 –– Kosinusfunktion 97 –– Logarithmusfunktion 106 –– Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 270 –– Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung 280f. –– Lo¨sung der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 293 –– Lo¨sung einer Differentialgleichung 266 –– Sinusfunktion 97 allgemeines Kriterium fu¨r einen relativen Extremwert 142 Alternativhypothese 451 Amplitude 98 Amplitudendichte, spektrale 314 analytische Darstellung einer Funktion 67, 239

Sachwortverzeichnis

Anfangsbedingungen 266 Anfangsglied einer Reihe 16 Anfangswerte 266 Anfangswertproblem 266 ––, lineares 355 ff. Anpassungstest 466 antiparallele Vektoren 47 Anwendungen der Differentialrechnung 137 ff. –– der Integralrechnung 165 ff. –– der Vektorrechnung 56 ff. aperiodischer Grenzfall 289 aperiodisches Verhalten 289 a¨quatoriales Fla¨chenmoment 169 quipotentialfla¨chen 373 a¨quivalente Umformungen einer Gleichung 21 –– –– einer Ungleichung 25 –– –– eines linearen Gleichungssystems 214 Arbeit einer konstanten Kraft 56 –– einer ortsabha¨ngigen Kraft 165 –– eines Kraftfeldes 391 Arbeitsintegral 165, 391 Arbeitspunkt 138 Archimedische Spirale 128 Areafunktionen 112 ff. –– mit imagina¨rem Argument 236 Areakosinus hyperbolicus 112 Areakotangens hyperbolicus 112 f. Areasinus hyperbolicus 112 Areatangens hyperbolicus 112 f. arithmetische Reihe 16 arithmetischer Mittelwert 300 arithmetisches Mittel 300 Arkusfunktionen 100 ff. –– mit imagina¨rem Argument 236 Arkuskosinusfunktion 101 Arkuskotangensfunktion 101 Arkussinusfunktion 100 Arkustangensfunktion 101 Astroide 125 Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion 87 –– einer Hyperbel 118, 120 Aufsuchen einer partikula¨ren Lo¨sung 271 Ausblenden einer Funktion 318 ff. Ausgleichsgerade 308 f. Ausgleichskurven 307 ff.

517

Ausgleichsparabel 310 Ausgleichsrechnung 307 ff. a¨ußere Ableitung 133 –– Funktion 133 –– Integration 254 a¨ußeres Integral 254, 256 –– Produkt 53 ff. Auswertung einer Messreihe 300 ff. axiales Fla¨chenmoment 169 axialsymmetrisches Vektorfeld 374 B Basis 10, 12, 195 Basisfunktionen einer Differentialgleichung 280, 292 Basislo¨sungen einer Differentialgleichung 280, 292 Basisvektoren 48, 195 Baumdiagramm 405 Bayes’sche Formel 406 bedingte Wahrscheinlichkeit 404 Beobachtungsfehler 299 Berechnung der Fourier-Koeffizienten 187, 190 –– eines bestimmten Integrals 145 Bereich, einfachzusammenha¨ngender 390 f. Bereichsintegral, 2-dimensionales 253 ––, 3-dimensionales 259 Bernoulli-de l’Hospitalsche Regel 73 Bernoulli-Experiment 412 Beschleunigung einer geradlinigen Bewegung 137 Beschleunigungsvektor 365 bestimmt divergente Reihe 175 bestimmtes Integral 144ff. Betrag einer komplexen Zahl 224 –– einer reellen Zahl 6 –– eines Vektors 49, 195 Beziehungen zwischen den Areafunktionen 113 f. –– zwischen den Arkusfunktionen 102 –– zwischen den Hyperbelfunktionen 108 ff. –– zwischen den trigonometrischen Funktionen 93 ff. Bildbereich 312, 339 Bildfunktion 311, 339 Bildungsgesetz einer Reihe 16

518

bina¨rer Logarithmus 13 bina¨res System 7 Bina¨rlogarithmus 107 Binomialkoeffizient 14 Binomialverteilung 412 ff. binomische Formeln 15 binomischer Lehrsatz 14 f. bi-quadratische Gleichungen 20 Bogenla¨nge einer ebenen Kurve 169 f., 366 –– einer Kurve 366 –– einer Raumkurve 366 Bogenmaß 90 Breitenkoordinate 45, 385 Brennpunkt einer Parabel 121 Brennpunkte einer Ellipse 116 –– einer Hyperbel 118 Brennweite einer Ellipse 116 –– einer Hyperbel 118 –– einer Parabel 121 Briggscher Logarithmus 13, 107 Bruch 8 Bruchrechnung 8 ff. C Cardanische Lo¨sungsformel 19 cartesisches Blatt 127 charakteristische Gleichung einer Differentialgleichung 281, 293 –– –– einer Matrix 222 charakteristische Matrix 221 charakteristisches Polynom einer Matrix 222 Chi-Quadrat-Test 466 ff. Chi-Quadrat-Verteilung 427 f. Cramersche Regel 217 D Da¨mpfungsfaktor 288, 290 f. Da¨mpfungssatz der Fourier-Transformation 326 –– der Laplace-Transformation 343 Darstellung einer Funktion als Fla¨che im Raum 240 Darstellungsformen einer Funktion 67 f., 239 f. –– einer komplexen Zahl 224 ff. Definitionsbereich einer Funktion 67, 239 Definitionslu¨cke 86

Sachwortverzeichnis

dekadischer Logarithmus 13, 107 dekadisches System 7 Deltafunktion 321f. de Morgansche Regeln 402 Determinante, dreireihige 206 ––, gestu¨rzte 208 ––, n-reihige 207 ––, Wronski-Determinante 280, 292 ––, zweireihige 205 Determinante einer komplexen Matrix 219 –– einer reellen Matrix 205, 207 Determinanten 205 ff. ––, elementare Umformungen 210 ––, Multiplikationstheorem 209 ––, Rechenregeln 208 f. Dezimalbruch 4 Dezimalsystem 7 Dezimalzahl 4 d-Funktion 321 f. Diagonalmatrix 198, 223 Dichtefunktion 409 –– der Standardnormalverteilung 419 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer Normalverteilung 418 –– einer t-Verteilung 429 Differential einer Funktion 130 ––, totales 247 f. ––, vollsta¨ndiges 247 f. Differentialgleichung 266 ––, allgemeine Lo¨sung 266 ––, Lo¨sung 266 ––, partikula¨re Lo¨sung 266 ––, singula¨re Lo¨sung 266 ––, spezielle Lo¨sung 266 Differentialgleichung einer elektrischen Schwingung 291 –– einer erzwungenen Schwingung 290 –– einer freien geda¨mpften Schwingung 288 –– einer freien ungeda¨mpften Schwingung 287 Differentialgleichungen 266 ff. –– 1. Ordnung 267 ff. –– 1. Ordnung mit trennbaren Variablen 267 –– 2. Ordnung 279 ff. –– n-ter Ordnung 266, 292 ff. Differentialoperator 130 ––, partieller 244

Sachwortververzeichnis

Differentialquotient 129 f. ––, partieller 244 Differentialrechnung 129 ff. ––, Anwendungen 137 ff. Differentiation, gewo¨hnliche 129 f. ––, implizite 136 ––, logarithmische 135 ––, partielle 243 f. Differentiation einer Vektorfunktion 364 –– eines Vektors nach einem Parameter 364 f. –– nach einem Parameter 246 Differentiationssa¨tze der Fourier-Transformation 327 f. –– der Laplace-Transformation 343 ff. Differenzenquotient 129 Differenzenschema 83 Differenzentest 455 ff. –– bei bekannten Varianzen 457 ff. –– bei gleicher (aber unbekannter) Varianz 459 f. –– fu¨r Mittelwerte bei abha¨ngigen Stichproben 456 f. –– fu¨r Mittelwerte bei unabha¨ngigen Stichproben 457 ff. Differenzierbarkeit einer Funktion 129 f. Differenzmenge 2 Differenzvektor 50 Diracsche Deltafunktion 321 f. Dirac-Stoß 321 f. diskrete Verteilung 408 diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 412 ff. –– ––, Approximationen 417 diskrete Zufallsvariable 407 Diskriminante 18 divergente Folge 71 –– Reihe 175 Divergenz eines Vektorfeldes 377 –– –– ––, Rechenregeln 377 Divergenz in kartesischen Koordinaten 377 –– in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 382 –– in Zylinderkoordinaten 384 Dividend 6 dividierte Differenzen 84 Division komplexer Zahlen 228 f. –– von Bru¨chen 10 –– von Zahlen 6

519

Divisor 6 Doppelbruch 10 Doppelintegral 253 –– in kartesischen Koordinaten 254 f. –– in Polarkoordinaten 256 Doppelintegrale 253 ff. doppelte Nullstelle 68 Drehsinn eines Winkels 91 Drehstreckung 128 f., 228 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems 43 dreidimensionales Bereichsintegral 259 Dreieck 28 ff. ––, gleichschenkliges 29 ––, gleichseitiges 30 ––, Inkreis 29 ––, rechtwinkliges 29 ––, Umkreis 29 Dreiecksimpuls 352 Dreieckskurve 191 f., 351 Dreiecksmatrix 198, 223 Dreiecksungleichung 6 Dreifachintegral 259 –– in kartesischen Koordinaten 260 f. –– in Kugelkoordinaten 262 –– in Zylinderkoordinaten 262 Dreifachintegrale 259 ff. Drei-Punkte-Form einer Ebene 61 dreireihige Determinante 206 dreiseitige Pyramide 35 Dualita¨tsprinzip der Fourier-Transformation 330 Dualsystem 7 Durchschnitt von Ereignissen 401 –– von Mengen 2 E ebene Kurven 363 ff. Ebene 241 ––, Abstand paralleler Ebenen 64 ––, Abstand von einem Punkt 62 ––, Abstand von einer Geraden 63 ––, Determinantenschreibweise 62 ––, Drei-Punkte-Form 61 ––, Koordinatendarstellung 62 ––, Normalenvektor 62 ––, Parameterdarstellung 60 f. ––, Punkt-Richtungs-Form 60 ––, Richtungsvektoren 60

520

––, Schnittgerade zweier Ebenen 66 ––, Schnittpunkt mit einer Geraden 65 ––, Schnittwinkel mit einer Geraden 65 ––, Schnittwinkel zweier Ebenen 66 ––, vektorielle Darstellung 60 ff. Ebene senkrecht zu einem Vektor 62 ebenes Koordinatensystem 41 f. –– Vektorfeld 373 echt gebrochenrationale Funktion 85 e-Funktion 103, 235 Eigenkreisfrequenz 288, 290 f. Eigenvektoren einer quadratischen Matrix 221 f. –– spezieller n-reihiger Matrizen 223 Eigenwerte einer quadratischen Matrix 221 f. –– spezieller n-reihiger Matrizen 223 Eigenwertproblem 221 f. einfachzusammenha¨ngender Bereich 390 Einheitskreis 91 Einheitsmatrix 198 Einheitssprung 318 Einheitsvektor 46, 48, 195 Einheitswurzeln 231 Einschwingphase 290 Einweggleichrichtung 193, 353 elektrische Schwingungen in einem Reihenschwingkreis 291 f. elementare Umformungen einer Matrix 203 –– –– einer n-reihigen Determinante 210 Elementarereignis 400 Elemente einer Determinante 205 –– einer Matrix 196 –– einer Menge 1 Ellipse 33, 116 f. ––, Brennpunkte 116 ––, Gleichung in Polarkoordinaten 117 ––, große Achse 116 ––, Hauptachse 116 ––, Hauptform 116 ––, kleine Achse 116 ––, Mittelpunktsgleichung 116 ––, Nebenachse 116 ––, Parameterdarstellung 117 ––, Ursprungsgleichung 116 Ellipsoid 38, 243 elliptische Kru¨mmung 39 empirische Varianz 438

Sachwortverzeichnis

empirischer Wahrscheinlichkeitswert 403 Endglied einer Reihe 16 endliche Intervalle 8 –– Menge 1 –– Reihe 16 Epizykloide 123 f. Ereignis 400 ––, komplementa¨res 401 ––, sicheres 402 ––, zusammengesetztes 401 Ereignisbaum 405 Ereignisfeld 400 Ereignisraum 400 Ereignisse, Additionssatz 403 ––, Durchschnitt 401 ––, Multplikationssatz 404 ––, Produkt 401 ––, stochastisch unabha¨ngige 405 ––, Summe 401 ––, Vereinigung 401 ––, Verknu¨pfungen 401 Ergebnismenge eines Zufallsexperiments 400 Ergiebigkeit des Feldvektors 392 Erwartungswert 299 –– einer Funktion 411 –– einer Zufallsvariablen 410 Erweitern eines Bruches 9 erweiterte Koeffizientenmatrix 211 erzwungene Schwingung 290 f. Euklid, Satz des Euklid 27 Euler, Streckenzugverfahren 273 f. Eulersche Formeln 226, 235 –– Zahl 103 Euler-Venn-Diagramm 401 Evolute 141 Evolvente 141 exakte Differentialgleichung 1. Ordnung 269 explizite Funktion 67, 239 Exponent 10 Exponentialansatz 293 Exponentialform einer komplexen Zahl 225 Exponentialfunktionen 103 ff., 235 Exponentialverteilung 422 f. exponentielle Fourier-Transformation 312 –– ––, Tabelle 333 f. Extremwertaufgabe 251 f. Extremwerte, relative 141 f., 250 f.

Sachwortververzeichnis

F Faktor 6 ––, integrierender 269 Faktorregel der Differentialrechnung 132 –– der Integralrechnung 146 Falk-Schema 200 Faltung 329, 347 ––, einseitige 347 ––, zweiseitige 329 Faltungsintegral der Fourier-Transformation 329 –– der Laplace-Transformation 347 Faltungsprodukt der Fourier-Transformation 329 –– der Laplace-Transformation 347 Faltungssatz der Fourier-Transformation 329 f. –– der Laplace-Transformation 347 Fass 39 Feder-Masse-Schwinger 287 Federpendel 287 Fehler 1. Art 444 ––, gro¨ßtmo¨glicher 305 ––, maximaler 305 Fehlerintegral, Gaußsches 420 Fehlerfortpflanzungsgesetz, Gaußsches 303 ff. ––, lineares 305 f. Fehlerrechnung 299 ff. Feldlinien 374 Fla¨chen im Raum 369 ff. Fla¨chendifferential 254 Fla¨chenelement 254, 371 ––, orientiertes 392 Fla¨chenelement auf dem Zylindermantel 383 –– auf der Kugeloberfla¨che 386 Fla¨chenfunktion 147 fla¨chenhafter Integrationsbereich 254 Fla¨cheninhalt 166 ff., 256 ff. Fla¨chenintegral eines Vektorfeldes 392 Fla¨chenkurve 370 Fla¨chenmoment, a¨quatoriales 169 ––, axiales 169 ––, polares 169 Fla¨chenmoment 2. Grades 169, 258 f. Fla¨chennormale 370 Fla¨chenparameter 369 Fla¨chentra¨gheitsmomente 169, 258 f.

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Fluss eines Feldvektors 392 –– eines homogenen Vektorfeldes 393 –– eines Vektorfeldes durch eine orientierte Fla¨che 392 –– eines Zentralfeldes 393 –– eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes 393 Flussintegral des Vektorfeldes 392 Folge, divergente 71 ––, Grenzwert 71 ––, konvergente 71 ––, Zahlenfolge 71 Formel von Moivre 111, 230 Formeln fu¨r Mehrfachprodukte von Vektoren 56 Fourier-Integral 311 Fourier-Koeffizienten 187, 189 f. Fourier-Kosinus-Transformation 316 ––, Tabelle 337 f. Fourier-Kosinus-Transformierte 316 Fourier-Reihen 187 ff. ––, Tabelle 191 ff. Fourier-Sinus-Transformation 316 ––, Tabelle 335 f. Fourier-Sinus-Transformierte 316 Fourier-Transformationen 311 ff. ––, exponentielle 312 ––, exponentielle (Tabelle) 333 ff. ––, Fourier-Kosinus-Transformation 316 ––, Fourier-Kosinus-Transformation (Tabelle) 337 f. ––, Fourier-Sinus-Transformation 316 ––, Fourier-Sinus-Transformation (Tabelle) 335 f. ––, inverse 312 ––, spezielle 316 f. ––, Tabellen 333 ff. Fourier-Transformationsoperator 311 Fourier-Transformierte 311 ––, inverse 312 ––, Polardarstellung 314 ––, verallgemeinerte 323 Fourier-Transformierte des Faltungsproduktes 330 –– einer Linearkombination 324 Fourier-Zerlegung einer nichtsinusfo¨rmigen Schwingung 189 freie geda¨mpfte Schwingung 288 f. –– ungeda¨mpfte Schwingung 287

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freier Vektor 46 Freiheitsgrad 427, 429 Frequenz 98 Frequenzgang 290 Frequenzspektrum 314 Frequenzverschiebungssatz der FourierTransformation 326 Fundamentalbasis einer Differentialgleichung 280, 292 Fundamentalsatz der Algebra 230 –– der Differential- und Integralrechnung 147 Funktion 67, 239 ––, Abklingfunktion 104 ––, analytische Darstellung 67, 239 ––, Areafunktionen 112 ff. ––, Areakosinus hyperbolicus 112 ––, Areakotangens hyperbolicus 112 f. ––, Areasinus hyperbolicus 112 ––, Areatangens hyperbolicus 112 f. ––, Arkusfunktionen 100 ff. ––, Arkuskosinusfunktion 101 ––, Arkuskotangensfunktion 101 f. ––, Arkussinusfunktion 100 f. ––, Arkustangensfunktion 101 f. ––, a¨ußere 133 ––, Darstellung als Fla¨che im Raum 240 ––, Darstellungsformen 67 f., 239 f. ––, Definitionsbereich 67, 239 ––, Deltafunktion 321 f. ––, d-Funktion 321 f. ––, differenzierbare 129 f. ––, Diracsche Deltafunktion 321 f. ––, e-Funktion 103 ––, echt gebrochenrationale 85 ––, explizite 67, 239 ––, Exponentialfunktionen 103 ff. ––, Fla¨chenfunktion 147 ––, Gammafunktion 428 ––, ganzrationale 75 ff. ––, Gaußfunktion 105 ––, gebrochenrationale 85 ff. ––, gerade 69 ––, Graph 68 ––, graphische Darstellung 68, 240 ––, Grenzwert 72 ––, Heaviside-Funktion 318 ––, Hyperbelfunktionen 107 ff. ––, implizite 67, 239

Sachwortverzeichnis

––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––, ––,

Impulsfunktion 321 f. innere 133 Integrandfunktion 147 inverse 70 komplexwertige 232 Kosinusfunktion 92 Kosinus hyperbolicus 107 Kotangensfunktion 93 Kotangens hyperbolicus 108 lineare 75 ff. linearisierte 138, 249 f. Linearisierung 138, 249 f. Logarithmusfunktionen 106 f. Mittelwerte 166 monotone 69 Na¨herungspolynome 185 f. Nullstellen 68 Parameterdarstellung 67 periodische 70 Polynomfunktionen 75 ff. Potenzfunktionen 87 ff. punktsymmetrische 69 quadratische 77 ff. Sa¨ttigungsfunktion 104 f. Schaubild 68 Sigmafunktion 318 Sinusfunktion 92 Sinus hyperbolicus 107 s-Funktion 318 spiegelsymmetrische 69 Sprungfunktion 318 Stammfunktion 145, 147 stetig differenzierbare 129 stetige 74 Stetigkeit 74 Symmetrie 69 Tangensfunktion 93 Tangens hyperbolicus 108 trigonometrische 90 ff. Umkehrfunktion 70 unecht gebrochenrationale 85 ungerade 69 verallgemeinerte 321 verkettete 133 Wachstumsfunktion 105 Wertebereich 67, 239 Wertevorrat 67, 239 Wurzelfunktionen 89 zusammengesetzte 133

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Funktionen 67 ff., 239 ff. Funktionsgraph 68 Funktionskurve 68 Funktionswert 67, 239 G Gamma-Funktion 428 ganze Zahlen 4 ganzrationale Funktionen 75 ff. Gauß-Funktion 105 Gauß-Jordan-Verfahren 202 Gaußsche Glockenkurve 105, 418 f. –– Normalverteilung 299 f., 418 ff. –– Zahlenebene 224 Gaußscher Algorithmus 214 f. Gaußscher Integralsatz 395 f. –– –– im Raum 395 –– –– in der Ebene 396 Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz 303 ff. –– Fehlerintegral 420 –– Prinzip der kleinsten Quadrate 307 gebrochenrationale Funktionen 85 ff. –– ––, Asymptote im Unendlichen 87 –– ––, Nullstellen 86 –– ––, Pole 86 –– ––, Unendlichkeitsstellen 86 gebundener Vektor 46 geda¨mpfte Kosinusschwingung 354 –– Sinusschwingung 353 Gegenvektor 47 gekoppelte Differentialgleichungen 295 gemeinsame Verteilung zweier Zufallsvariablen 423 gemischtes Produkt 55 geometrische Reihe 16, 178 gerade Funktion 69 Gerade 75 ––, Abstand paralleler Geraden 58 ––, Abstand von einem Punkt 58, 76 ––, Abstand von einer Ebene 63 ––, Abstand windschiefer Geraden 59 ––, Achsenabschnitte 75 f. ––, Achsenabschnittsform 76 ––, Determinantenschreibweise 57 ––, Hauptform 75 ––, Hessesche Normalform 76 ––, Parameterdarstellung 57

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––, Punkt-Richtungs-Form 57 ––, Punkt-Steigungs-Form 75 ––, Richtungsvektor 57 ––, Schnittpunkt mit einer Ebene 65 ––, Schnittpunkt zweier Geraden 60 ––, Schnittwinkel mit einer Ebene 65 ––, Schnittwinkel zweier Geraden 60, 77 ––, Steigung 75 ––, Steigungswinkel 75 ––, vektorielle Darstellung 57 ff. ––, Zwei-Punkte-Form 57, 76 Geraden 57 ff., 75 ff. ––, parallele 58 ––, windschiefe 59 gerader Kreiskegel 36 –– Kreiskegelstumpf 37 –– Kreiszylinder 36 gerades Prisma 34 Geschwindigkeit einer geradlinigen Bewegung 137 Geschwindigkeitsvektor 365 gestaffeltes lineares Gleichungssystem 214 gewo¨hnliche Zykloide 123 Gleichheit von Mengen 1 –– von Vektoren 47 –– zweier komplexer Zahlen 225 gleichschenkliges Dreieck 29 gleichseitige Hyperbel 120 –– Pyramide 34 gleichseitiges Dreieck 30 Gleichung, algebraische 17 ff. ––, bi-quadratische 20 ––, kubische 18 ff. ––, lineare 18 ––, quadratische 18 ––, trigonometrische 22 ––, Wurzelgleichung 21 Gleichung einer Ellipse in Polarkoordinaten 117 –– einer gedrehten Hyperbel 120 –– einer Hyperbel in Polarkoordinaten 119 –– einer Parabel in Polarkoordinaten 122 –– eines Kegelschnittes 114 –– eines Kreises in Polarkoordinaten 115 Gleichungen mit einer Unbekannten 17 ff. Gleichungssysteme, lineare 211 ff. Glockenkurve, Gaußsche 418 f. Gradient eines Skalarfeldes 375 –– –– ––, Rechenregeln 376

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Gradient in kartesischen Koordinaten 375 –– in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 381 –– in Zylinderkoordinaten 384 Gradientenfeld 379 Gradmaß 90 graphische Darstellung einer Funktion 68, 240 graphisches Lo¨sungsverfahren fu¨r Gleichungen 22 Grenzwert einer Folge 71 Grenzwert einer Funktion 72 –– –– ––, Rechenregeln 72 f. Grenzwertregel von Bernoulli und l’Hospital 73 Grenzwertsa¨tze der Laplace-Transformation 348 große Achse einer Ellipse 116 –– –– einer Hyperbel 118 gro¨ßter gemeinsamer Teiler 3 gro¨ßtmo¨glicher Fehler 305 Grundgesamtheit 431 Grundintegrale (Tabelle) 149 Grundrechenarten 6 –– fu¨r komplexe Zahlen 227 ff. Grundzahl 10 gruppierte Stichprobe 434 –– ––, Ha¨ufigkeitsfunktion 435 –– ––, Histogramm 435 –– ––, Kennwerte 440 –– ––, Stabdiagramm 435 –– ––, Staffelbild 435 –– ––, Treppenfunktion 436 –– ––, Verteilungsfunktion 436 –– ––, Verteilungstabelle 435 Guldinsche Regeln 40 f. H halboffenes Intervall 8 harmonische Schwingung 98 f., 236 Ha¨ufigkeit, absolute 402, 432 ––, relative 402, 432 Ha¨ufigkeitsfunktion einer gruppierten Stichprobe 435 –– einer Stichprobe 432 Ha¨ufigkeitsverteilung einer Stichprobe 432 Hauptachse einer Ellipse 116 Hauptdiagonale einer Determinante 205

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–– einer Matrix 197 Hauptdiagonalprodukt 206 Hauptform einer Ellipse 116 –– einer Geraden 75 –– einer Hyperbel 118 –– einer Parabel 77, 121 –– eines Kreises 115 Hauptnenner 9 Hauptnormaleneinheitsvektor 367 Hauptwert des natu¨rlichen Logarithmus 232 –– eines Winkels 42, 225 Heaviside-Funktion 318 hermitesche Matrix 220, 223 Herzkurve 125 Hessesche Normalform einer Geraden 76 Histogramm 435 Hochpunkt 141 Hochzahl 10 Ho¨henkoordinate 44, 382 Ho¨henliniendiagramm 240 Ho¨hensatz 26 ho¨here Ableitungen 130 –– ––, partielle 245 homogenes lineares Gleichungssystem 211 –– Vektorfeld 374 Horner-Schema 79 Hu¨llenintegral 392 Hyperbel 120 ff. ––, Asymptoten 118, 120 ––, Brennpunkte 118 ––, gedrehte 120 ––, gleichseitige 120 ––, Gleichung in Polarkoordinaten 119 ––, große Achse 118 ––, Hauptform 118 ––, imagina¨re Achse 118 ––, kleine Achse 118 ––, Mittelpunktsgleichung 118 ––, Parameterdarstellung 120 ––, rechtwinklige 120 ––, reelle Achse 118 ––, Scheitelpunkte 118 ––, Ursprungsgleichung 118 Hyperbelfunktionen 107 ff., 229, 234 hyperbolischer Pythagoras 108 hypergeometrische Verteilung 414 f. Hypothese 451 ––, Alternativhypothese 451

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––, Nullhypothese 451 ––, statistische 451 Hypozykloide 124 I imagina¨re Achse 224 –– –– einer Hyperbel 118 imagina¨re Einheit 224 –– Zahl 224 Imagina¨rteil einer komplexen Matrix 218 –– einer komplexen Zahl 224 implizite Differentiation 136 –– –– unter Verwendung der Kettenregel 136 –– –– unter Verwendung partieller Ableitungen 136 implizite Funktion 67, 239 Impulsfunktion 321 f. inhomogenes lineares Gleichungssystem 211 Inkreis eines Dreiecks 29 innere Ableitung 133 –– Funktion 133 –– Integration 254 inneres Integral 254, 256 –– Produkt 51 f. Integrabilita¨tsbedingung 269 –– fu¨r ein ebenes Vektorfeld 389 –– fu¨r ein ra¨umliches Vektorfeld 390 Integral 144 ff. ––, Arbeitsintegral 165, 391 ––, a¨ußeres 254, 256 ––, bestimmtes 144 ff. ––, Doppelintegral 253 ––, Dreifachintegral 259 ––, Fla¨chenintegral 392 ––, Fourier-Integral 311 ––, Hu¨llenintegral 392 ––, inneres 254, 256 ––, Laplace-Integral 339 ––, Mehrfachintegral 253 ff. ––, Oberfla¨chenintegral 392 ––, unbestimmtes 147 ff. ––, uneigentliches 164 f. Integralrechnung 144 ff. Integralsatz, Gaußscher 395 f. ––, Stokes’scher 396 Integrationssa¨tze der Fourier-Transformation 329 –– der Laplace-Transformation 345 f.

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Integraltafel 470 Integrand 145, 254, 260 Integrandfunktion 145, 254, 260 Integration, bestimmte 144 ff. ––, partielle 153 ––, Produktintegration 153 ––, unbestimmte 148 Integration der Bewegungsgleichung 165 –– durch Potenzreihenentwicklung des Integranden 158 –– durch Substitution 150 ff. –– einer gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden 154 ff. –– einer homogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 270 –– einer homogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung 280 f. –– einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 292 f. –– einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung 270 f. –– einer inhomogenen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung 281 f. –– einer inhomogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung 294 Integrationsgrenzen 145 Integrationsmethoden 150 ff. Integrationsregeln 146 Integrationsvariable 145, 254, 260 integrierender Faktor 269 Interpolationsformel von Lagrange 81 f. –– von Newton 83 f. Interpolationspolynome 81 ff. Intervall 8 ––, abgeschlossenes 8 ––, endliches 8 ––, halboffenes 8 ––, offenes 8 ––, unendliches 8 Intervallscha¨tzungen 441, 444 ff. inverse Fourier-Tranformation 312 –– Fourier-Transformierte 312 –– Funktion 70 –– Laplace-Transformation 340 –– Laplace-Transformierte 340 –– Matrix 201 f. inverser Vektor 47 Inversion einer komplexen Zahl 233

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–– einer Ortskurve 233 Inversionsregeln fu¨r Ortskurven 233 irrationale Zahl 4 Irrtumswahrscheinlichkeit 444 K Kalotte 38 Kardioide 125 kartesische Form einer komplexen Zahl 224 –– Koordinaten 41, 44 kartesischer Normalbereich 254, 260 Kathetensatz 27 Kegelschnitte 114 ff. Kehrmatrix 201 Kehrwert einer Zahl 8 Keil 36 Kennkreisfrequenz 288, 291 Kennwerte der Standardnormalverteilung 419 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer hypergeometrischen Verteilung 415 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer Stichprobe 437 f. –– einer t-Verteilung 429 –– einer Verteilung 410 ff. Kettenlinie 105 Kettenregel 133 f. ––, verallgemeinerte 246 Kippschwingung 192, 352 Klasse 434 Klassenha¨ufigkeit 434 Klassenmitte 434 Kleeblatt 127 kleine Achse einer Ellipse 116 –– –– einer Hyperbel 118 kleinstes gemeinsames Vielfaches 3 Koeffizientenmatrix 211, 296 kollineare Vektoren 47, 55 Kombinationen 399 –– mit Wiederholung 399 –– ohne Wiederholung 399 Kombinatorik 398 ff. komplanare Vektoren 56

Sachwortverzeichnis

komplementa¨res Ereignis 401 komplexe Amplitude 236 –– Funktionen 234 ff. komplexe Matrix 218 –– ––, Determinante 219 –– ––, Imagina¨rteil 218 –– ––, Realteil 218 –– ––, Rechenregeln 219 komplexe Zahlen 224 ff. –– ––, algebraische Form 224 –– ––, Betrag 224 –– ––, Darstellungsformen 224 ff. –– ––, Exponentialform 225 –– ––, Grundrechenarten 227 ff. –– ––, Imagina¨rteil 224 –– ––, Inversion 233 –– ––, kartesische Form 224 –– ––, Phase 225 –– ––, Polarformen 225 –– ––, Realteil 224 –– ––, Rechenregeln 227 f. –– ––, trigonometrische Form 225 komplexer Zeiger 236 komplexwertige Funktion 232 Komponentendarstellung eines Vektors 48, 195 Konfidenzgrenzen 444 Konfidenzintervalle 444 ff. Konfidenzniveau 444 Konjugation 219 konjugiert komplexe Matrix 219 –– komplexe Zahl 225 –– transponierte Matrix 220 konkave Kru¨mmung 139 konservatives Vektorfeld 390 f. kontinuierliches Spektrum 313 konvergente Folge 71 –– Reihe 175, 178 Konvergenzbereich einer Potenzreihe 180 Konvergrenzkriterien fu¨r unendliche Reihen 176 ff. Konvergenzradius einer Potenzreihe 180 konvexe Kru¨mmung 139 Koordinaten, kartesische 41, 44 ––, Kugelkoordinaten 45 ––, orthogonale 381, 383, 385 ––, Polarkoordinaten 42 ––, rechtwinklige 41, 44 ––, Zylinderkoordinaten 44

Sachwortververzeichnis

Koordinatendarstellung einer Ebene 62 Koordinatenebenen 241 Koordinatenfla¨chen in Kugelkoordinaten 385 –– in Zylinderkoordinaten 383 Koordinatenlinien einer Fla¨che 369 –– in einem Polarkoordinatensystem 381 –– in Kugelkoordinaten 385 –– in Zylinderkoordinaten 383 Koordinatensysteme 41 ff. ––, ebene 41 f. ––, krummlinige 381 ––, ra¨umliche 44 f. Koordinatentransformationen 42 f. Korrelationskoeffizient 309 korrelierte Stichproben 455 Korrespondenz 311, 339 Kosinus hyperbolicus 107 Kosinusfunktion 92, 354 ––, allgemeine 97 Kosinussatz 28 Kosinusschwingung 98, 354 ––, geda¨mpfte 354 Kotangens hyperbolicus 108 Kotangensfunktion 93 Kreis 32, 114 f. ––, Gleichung in Polarkoordinaten 115 ––, Hauptform 115 ––, Mittelpunktsgleichung 115 ––, Parameterdarstellung 115 ––, Ursprungsgleichung 115 Kreisabschnitt 32 Kreisausschnitt 32 Kreisfrequenz 98 Kreiskegel 242 ––, gerader 36 Kreiskegelstumpf, gerader 37 Kreisring 33 Kreissegment 32 Kreissektor 32 Kreiszylinder 243 ––, gerader 36 Kreuzprodukt 53 Kriechfall 289 krummliniges Koordinatensystem 381 Kru¨mmung, elliptische 39 ––, konkave 139 ––, konvexe 139 ––, Linkskru¨mmung 139 f.

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––, parabolische 39 ––, Rechtskru¨mmung 139 f. ––, spha¨rische 39 Kru¨mmung einer Kurve 139 ff., 367 f. –– einer Raumkurve 367 Kru¨mmungskreis 140 Kru¨mmungsmittelpunkt 140 Kru¨mmungsradius 140, 367 Kubikwurzel 11 kubische Gleichung 18 ff. Kugel 37, 242 Kugelabschnitt 38 Kugelausschnitt 37 Kugelkappe 38 Kugelkoordinaten 45, 385 Kugelschicht 38 Kugelsegment 38 Kugelsektor 37 kugelsymmetrisches Vektorfeld 374 Kugelzone 38 Kurve 67 ff., 363 ff. ––, Bogenla¨nge 169 f. ––, ebene 363 ff. ––, ra¨umliche 363 ff. ––, vektorielle Darstellung 363 Kurvengleichung in Polarkoordinaten 68 Kurvenintegral 387 ff. –– eines ra¨umlichen Vektorfeldes 389 –– la¨ngs einer geschlossenen Linie 388 Kurvenkru¨mmung 139 f. Ku¨rzen eines Bruches 9 L Lagrange, Interpolationsformel 81 f. ––, Koeffizientenfunktionen 81 ––, Restglied 181 Lagrangesche Koeffizientenfunktion 81 Lagrangescher Multiplikator 251 Lagrangesches Multiplikatorverfahren 251 f. La¨ngenkoordinate 45, 385 Laplace-Experiment 403 Laplace-Integral 339 Laplace-Operator 380 –– in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 381 –– in Zylinderkoordinaten 384 Laplacesche Differentialgleichung 380 Laplacescher Entwicklungssatz 208

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Laplace-Transformationen 339 ff. Laplace-Transformationsoperator 339 Laplace-Transformierte 339 –– des Faltungsproduktes 347 –– einer Linearkombination 340 –– einer periodischen Funktion 349 –– spezieller Funktionen (Impulse) 350 ff. leere Menge 1 Leibnizsche Sektorformel 167 Leibnizsches Konvergenzkriterium fu¨r alternierende Reihen 178 Leitlinie einer Parabel 121 Lemniskate 126 Linearkombinationen von Zufallsvariablen 425 linear abha¨ngige Vektoren 217 f. –– unabha¨ngige Vektoren 217 f. lineare Algebra 194 ff. lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 270 ff. –– –– 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 271 f., 331, 356 –– –– 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 280 ff., 332, 357 –– –– n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten 292 ff. lineare Funktionen 75 f. –– Gleichungen 18 –– Gleichungssysteme 211 ff. –– Unabha¨ngigkeit von Vektoren 217 f. linearer Mittelwert einer Funktion 166 lineares Anfangswertproblem 355 ff. –– Fehlerfortpflanzungsgesetz 305 f. lineares Gleichungssystem 211 –– ––, a¨quivalente Umformungen 214 –– ––, homogenes 211 –– ––, inhomogenes 211 –– ––, quadratisches 211 Linearfaktoren 78 f. Linearisierung einer Funktion 138, 249 f. Linearita¨tssatz der Fourier-Transformation 324 –– der Laplace-Transformation 340 Linien gleicher Ho¨he 240 Linienelement in Kugelkoordinaten 386 –– in Zylinderkoordinaten 383 linienflu¨chtiger Vektor 46 Linienintegrale 387 ff. –– im Raum 389 f.

Sachwortverzeichnis

–– in der Ebene 387 f. Linienspektrum 313 Linkskru¨mmung 139 f., 368 Logarithmen 12 f. ––, Rechenregeln 13 logarithmische Ableitung 135 –– Differentiation 135 –– Spirale 128 Logarithmus 12 ––, bina¨rer 13, 107 ––, Briggscher 13, 107 ––, dekadischer 13, 107 ––, natu¨rlicher 13, 106 ––, Zehnerlogarithmus 13, 107 ––, Zweierlogarithmus 13, 107 Logarithmus naturalis 13 Logarithmusfunktionen 106 ff. Lo¨sungen einer Differentialgleichung 266 Lo¨sungsverhalten eines linearen Gleichungssystems 212 –– eines quadratischen linearen Gleichungssystems 213 M Mac Laurinsche Formel 181 –– –– Reihe 182 Mac Laurinsches Polynom 181 Majorante 177 Majorantenkriterium 177 Mantelfla¨che eines Rotationsko¨rpers 171 f. Massentra¨gheitsmoment eines homogenen Ko¨rpers 173 f., 264 f. –– eines Rotationsko¨rper 173 f. Maßzahlen der Standardnormalverteilung 419 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer hypergeometrischen Verteilung 415 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer Stichprobe 437 f. –– einer t-Verteilung 429 –– einer Verteilung 410 ff. Matrix 196 ––, charakteristische 221 ––, Diagonalmatrix 198 ––, Dreiecksmatrix 198

Sachwortververzeichnis

––, Eigenvektoren 221 f. ––, Eigenwerte 221 f. ––, Einheitsmatrix 198 ––, elementare Umformungen 203 ––, Elemente 196 ––, hermitesche 220 ––, inverse 201 f. ––, Kehrmatrix 201 ––, Koeffizientenmatrix 211, 296 ––, komplexe 218 ––, konjugiert komplexe 219 ––, konjugiert transponierte 220 ––, n-reihige 197 ––, Nullmatrix 197 ––, orthogonale 199 ––, quadratische 197 ––, Rang 203 ––, reelle 196 ––, regula¨re 201 ––, schiefhermitesche 220 ––, schiefsymmetrische 198 ––, singula¨re 201 ––, Spaltenmatrix 197 ––, Spur 198 ––, symmetrische 198 ––, transponierte 197 ––, Umkehrmatrix 201 ––, unita¨re 221 ––, Unterdeterminante 203 ––, Zeilenmatrix 197 Matrixelement 196 Matrizen, Addition 199 ––, komplexe 218 ff. ––, Multiplikation 199 f. ––, Rechenregeln 199 f. ––, reelle 196 ff. ––, Subtraktion 199 maximale Messunsicherheit 305 maximaler Fehler 305 Maximum, relatives 141 f., 250 f. mechanische Schwingungen 287 ff. mehrdimensionale Zufallsvariable 423 Mehrfachintegrale 253 ff. mehrstufiges Zufallsexperiment 405 f. Menge 1 f. ––, Differenzmenge 2 ––, Durchschnitt 2 ––, Elemente 1 ––, endliche 1

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––, leere 1 ––, Obermenge 1 ––, Restmenge 2 ––, Schnittmenge 2 ––, Teilmenge 1 ––, unendliche 1 ––, Untermenge 1 ––, Vereinigungsmenge 2 Menge der ganzen Zahlen 4 –– der komplexen Zahlen 224 –– der natu¨rlichen Zahlen 2 –– der positiven ganzen Zahlen 2 –– der rationalen Zahlen 4 –– der reellen Zahlen 4 Mengenoperationen 2 Messergebnis 302 Messfehler 299 Messreihe 300 ––, Auswertung 300 ff. ––, Mittelwert 300 Messunsicherheit 302 ––, maximale 305 Messwert 299 ––, wahrscheinlichster 299 Methode der kleinsten Quadrate 307 Minimum, relatives 141 f., 250 f. Minorante 177 Minorantenkriterium 177 Minuend 6 Mittelpunktsgleichung einer Ellipse 116 –– einer Hyperbel 118 –– eines Kreises 115 Mittelwert 299 ––, arithmetischer 300 Mittelwert der Standardnormalverteilung 419 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer Funktion 166 –– einer hypergeometrischen Verteilung 415 –– einer Messreihe 300 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer Stichprobe 437 –– einer t-Verteilung 429 –– einer Zufallsvariablen 411 mittlerer Fehler der Einzelmessung 301 –– –– des Mittelwertes 301

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Modulation 326 Moivre, Formel von Moivre 111, 230 monoton fallende Funktion 69 –– wachsende Funktion 69 Monotonie 69, 139 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar 199 –– eines Vektors mit einem Skalar 51, 195 –– komplexer Zahlen 227 f. –– von Bru¨chen 10 –– von Matrizen 200 –– von Zahlen 6 Multiplikationssatz fu¨r Ereignisse 404 –– fu¨r Fourier-Transformationen 328 –– fu¨r Mittelwerte 426 Multiplikationstheorem fu¨r Determinanten 209 N n-dimensionale Zufallsvariable 424 n-dimensionaler Raum 195 n-dimensionaler Vektor 194 Nabla-Operator 375 Na¨herungspolynome einer Funktion 185 –– spezieller Funktionen (Tabelle) 185 f. natu¨rliche Zahlen 2 natu¨rlicher Logarithmus 13, 106 –– –– einer komplexen Zahl 231 f. Nebenachse einer Ellipse 116 Nebendiagonale einer Determinante 205 –– einer Matrix 197 Nebendiagonalprodukt 206 n-Eck, regula¨res 32 Newton, Interpolationsformel 83 f. ––, Tangentenverfahren 24 n-Fakulta¨t 14 nichta¨quivalente Umformungen einer Gleichung 21 Niveaufla¨chen 373 Niveaulinien 373 Normalbereich in kartesischen Koordinaten 254, 260 –– in Polarkoordinaten 256 Normale 138 Normalenvektor einer Ebene 62 Normalgleichungen 307, 310 Normalparabel 77 Normalverteilung, Gaußsche 299 f., 418 ff. ––, standardisierte 300, 419 ff. Normierung eines Vektors 51

Sachwortverzeichnis

n-reihige Determinante 207 –– Matrix 197 Nullhypothese 451 Nullmatrix 197 Nullphasenwinkel 98 Nullstelle 68 –– einer gebrochenrationalen Funktion 86 –– einer Polynomfunktion 78 Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion 80 Nullvektor 46, 195 numerische Exzentrita¨t einer Ellipse 116 –– –– einer Hyperbel 118 numerische Integration 158 ff. –– ––, Romberg-Verfahren 161 f. –– ––, Simpsonsche Formel 159 f. –– ––, Trapezformel 158 f. numerische Integration einer Differentialgleichung 1. Ordnung 273 ff. –– –– einer Differentialgleichung 2. Ordnung 284 f. Numerus 12 O obere Dreiecksmatrix 198 –– Integrationsgrenze 145 Oberfla¨chenintegral 392 ff. –– u¨ber eine geschlossene Fla¨che 392 Oberfunktion 339 Obermenge 1 Oberreihe 177 offenes Intervall 8 ffnungsparameter 77, 121 Ordinate 41 orientiertes Fla¨chenelement 392 Originalbereich 312, 339 Originalfunktion 311, 339 orthogonale ebene Koordinaten 381 –– Matrix 199 –– ra¨umliche Koordinaten 383, 385 –– Vektoren 53, 195 orthonormierte Basis 52 Ortskurve 232 ff. –– einer parameterabha¨ngigen komplexen Zahl 232 Ortsvektor 46 –– einer ebenen Kurve 363 –– einer Fla¨che 369 –– einer Raumkurve 363

Sachwortververzeichnis

P p, q-Formel 18 Parabel 77 f., 121 f. ––, Brennpunkt 121 ––, Gleichung in Polarkoordinaten 122 ––, Hauptform 77, 121 ––, Leitlinie 121 ––, Normalparabel 77 ––, ffnungsparameter 77, 121 ––, Parameterdarstellung 122 ––, Produktform 78 ––, Scheitelgleichung 121 ––, Scheitelpunkt 121 ––, Scheitelpunktsform 78 parabolische Kru¨mmung 39 parallele Vektoren 47 Parallelebenen 241 Parallelepiped 34 Parallelogramm 31 Parallelogrammregel fu¨r komplexe Zahlen 227 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems 42 Parameter 67 –– der Standardnormalverteilung 419 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer hypergeometrischen Verteilung 414 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer t-Verteilung 429 parameterabha¨ngiger Ortsvektor 363 Parameterdarstellung einer Ebene 60 f. –– einer Ellipse 117 –– einer Funktion 67 –– einer Geraden 57 –– einer Hyperbel 120 –– einer Parabel 122 –– eines Kreises 115 Parameterlinien einer Fla¨che 369 Parameterscha¨tzungen 441 ff. Parametertest 451 ––, Musterbeispiel 465 f. Parametertests 451 ff. ––, spezielle 452 ff. Parsevalsche Gleichung 329 Partialbruch 154 Partialbruchzerlegung 154 ff.

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Partialsumme 175 Partialsummenfolge 175 partielle Ableitungen 243 ff. –– –– 1. Ordnung 243 f. –– –– ho¨herer Ordnung 245 f. partielle Differentialoperatoren 244 f. –– Differentialquotienten 244 –– Differentiation 243 ff. –– Integration 153 partikula¨re Lo¨sung einer Differentialgleichung 266 Pascalsches Dreieck 15 Periode 70 ––, primitive 70 Periodendauer 98 periodische Funktion 70 –– ––, Laplace-Transformierte 349 Periodizita¨t 70 Permutationen 398 Pfad 405 Pfadregeln 406 Phase 98 –– einer komplexen Zahl 225 Phasendichte, spektrale 314 Phasenspektrum 314 Phasenverschiebung 290 Phasenwinkel 98 Pivotelement 215 Planimetrie 28 ff. Poisson-Verteilung 416 Pol 68, 86 –– k-ter Ordnung 86 Polarachse 68 Polardarstellung der Fourier-Transformierten 314 polares Fla¨chenmoment 169 Polarformen einer komplexen Zahl 225 Polarkoordinaten 42, 380 Polarwinkel 68 Polynom, charakteristisches 222 ––, Interpolationspolynom 81 ff. ––, Mac Laurinsches 181 ––, reduziertes 78 ––, Taylorsches 181 Polynomfunktionen 75 ff. ––, Nullstellen 78 ––, Produktdarstellung 78 f. ––, Reduzierung 80 ––, Zerlegung in Linearfaktoren 79

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Positionssystem 7 Potenzen 10 f. ––, Rechenregeln 11 Potenzfunktionen 87 ff. Potenzieren einer komplexen Zahl 229 f. Potenzregeln 11 Potenzreihen 179 ff. ––, Konvergenzbereich 180 ––, Konvergenzradius 180 ––, Tabelle 183 ff. p-reihige Unterdeterminante 203 Primfaktoren 3 primitive Periode 70 Primzahl 3 Prisma 33 f. ––, gerades 34 ––, regula¨res 34 ––, schiefes 33 Produkt von Ereignissen 401 –– von Zufallsvariablen 426 f. Produktdarstellung einer Polynomfunktion 78 f. Produktform einer Parabel 78 Produktintegration 153 Produktregel der Differentialrechnung 132 –– der Vektoranalysis 365 Projektion eines Vektors 53 Pru¨fverfahren, statistische 451 ff. Pru¨fverteilungen 427 ff. Punktscha¨tzungen 441 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene 60 –– einer Geraden 57 Punkt-Steigungs-Form einer Geraden 75 punktsymmetrische Funktion 69 Punktwolke 309 Pyramide 34 ––, dreiseitige 35 ––, gleichseitige 34 ––, regula¨re 34 Pyramidenstumpf 35 Pythagoras, hyperbolischer 108 ––, Satz des Pythagoras 26 ––, trigonometrischer 94 Q Quader 34 Quadrantenregel fu¨r trigonometrische Funktionen 92

Sachwortverzeichnis

Quadrat 30 quadratische Funktionen 77 f. –– Gleichungen 18 –– Matrix 197 quadratischer Mittelwert einer Funktion 166 quadratisches lineares Gleichungssystem 211 Quadratwurzel 11 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung (Tabelle) 512 –– der Standardnormalverteilung 421 f. –– der Standardnormalverteilung (Tabelle) 510 –– der t-Verteilung (Tabelle) 514 Quelldichte 377 Quelle 377 quellenfreies Vektorfeld 377, 379 Quellsta¨rke pro Volumeneinheit 377 Quotientenkriterium 176 Quotientenregel der Differentialrechnung 133 R radialsymmetrisches Vektorfeld 374 Radikand 11 Radizieren 11 –– einer komplexen Zahl 230 Rampenfunktion 354 Randbedingungen 267 Randverteilungen 424 Randwerte 267 Randwertproblem 267 Rang einer Matrix 203 rationale Zahlen 4 ra¨umliche Kurven 363 ff. ra¨umlicher Integrationsbereich 260 ra¨umliches Koordinatensystem 44 f. –– Vektorfeld 374 Raute 31 Realteil einer komplexen Matrix 218 –– einer komplexen Zahl 224 Rechenregeln fu¨r Betra¨ge 6 –– fu¨r Divergenzen 377 –– fu¨r Erwartungswerte 411 f. –– fu¨r Faltungsprodukte 329, 347 –– fu¨r Gradienten 376 –– fu¨r Grenzwerte 72 f. –– fu¨r komplexe Matrizen 219 –– fu¨r komplexe Zahlen 227 ff. –– fu¨r Logarithmen 13

Sachwortververzeichnis

–– fu¨r Matrizen 199 f. –– fu¨r n-reihige Determinanten 208 f. –– fu¨r Potenzen 11 –– fu¨r relative Ha¨ufigkeiten 402 –– fu¨r Rotationen 379 –– fu¨r Vektoren 50 f., 55 f. –– fu¨r Wahrscheinlichkeiten 403 –– fu¨r Wurzeln 12 Rechteck 30 Rechteckimpuls 191, 320, 351 Rechteckskurve 191, 350 rechtsha¨ndiges System 48 Rechtskru¨mmung 139 f., 368 Rechtssystem 48, 53 rechtwinklige Hyperbel 120 –– Koordinaten 41, 44 rechtwinkliges Dreieck 29 reduziertes Polynom 78 Reduzierung einer Polynomfunktion 80 reelle Achse 224 –– –– einer Hyperbel 118 reelle Matrizen 194 ff. –– Zahlen 2 ff. Regel von Sarrus 206 Regressionsgerade 308 f. Regressionsparabel 310 regula falsi 23 regula¨re Matrix 201 –– Pyramide 34 regula¨res n-Eck 32 –– Prisma 34 –– Tetraeder 35 Reihe 16 ––, absolut konvergente 175, 178 ––, arithmetische 16 ––, bestimmt divergente 175 ––, Bildungsgesetz 16 ––, binomische 183 ––, divergente 175 ––, Eigenschaften 178 ––, endliche 16 ––, Fourier-Reihe 187 ff. ––, geometrische 16, 178 ––, konvergente 175, 178 ––, Konvergenzkriterien 176 ff. ––, Mac Laurinsche 182 ––, Potenzreihe 179 ff. ––, Taylorsche 182 ––, unendliche 175 ff.

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Reihen der Areafunktionen 185 –– der Arkusfunktionen 184 –– der Exponentialfunktionen 183 –– der Hyperbelfunktionen 184 f. –– der logarithmischen Funktionen 184 –– der trigonometrischen Funktionen 184 relative Extremwerte 141 f., 250 f. –– ––, allgemeines Kriterium 142 relative Ha¨ufigkeit 402 –– –– eines Stichprobenwertes 432 relatives Maximum 141 f., 250 f. –– Minimum 141 f., 250 f. Resonanzfall 291 Resonanzkreisfrequenz 291 Restglied 181 –– nach Lagrange 181 Restmenge 2 Rhombus 31 Richtungsableitung 376 Richtungskosinus 49 Richtungsvektor einer Geraden 57 Richtungsvektoren einer Ebene 60 Richtungswinkel eines Vektors 49 Rollkurve 123 Romberg-Verfahren 161 f. Rotation eines Vektorfeldes 378 f. –– –– ––, Determinantenschreibweise 378 –– –– ––, Rechenregeln 379 Rotation in kartesischen Koordinaten 378 –– in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 382 –– in Zylinderkoordinaten 384 Rotationsellipsoid 39 Rotationsfla¨che 171 f., 241 f. Rotationsko¨rper, Mantelfla¨che 171 f. ––, Massentra¨gheitsmoment 173 f., 265 ––, Schwerpunkt 172, 264 ––, Volumen 170 f., 263 Rotationsparaboloid 39 Rotationsvolumen 170 f. rotierender Zeiger 98 Rundungsregeln fu¨r reelle Zahlen 5 Runge-Kutta-Verfahren 2. Ordnung 275 f. –– 4. Ordnung 276 ff., 284 f. S Sa¨gezahnfunktion 352 Sa¨gezahnimpuls 192 Sarrus, Regel von Sarrus 206

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Sattelpunkt 143 Sa¨ttigungsfunktion 104 f. Satz des Euklid 27 –– des Pythagoras 26 –– des Thales 27 –– u¨ber Linearkombinationen 324, 340 –– von Schwarz 245 –– von Steiner 169, 173 Schachbrettregel 207 Scha¨tzfunktion 441 ––, effiziente 442 ––, erwartungstreue 441 ––, konsistente 442 Scha¨tzfunktionen fu¨r unbekannte Parameter 441 ff. Scha¨tzmethoden, statistische 441 ff. Scha¨tzungen fu¨r den Anteilswert 443 –– fu¨r den Erwartungswert 442 –– fu¨r den Mittelwert 442 –– fu¨r die Varianz 442 Scha¨tzwerte fu¨r den Parameter einer Binomialverteilung 443 –– –– –– –– einer Exponentialverteilung 443 –– –– –– –– einer Gaußschen Normalverteilung 443 –– –– –– –– einer Poisson-Verteilung 443 Scha¨tzwerte fu¨r unbekannte Parameter 441 ff. Schaubild 68 Scheitelgleichung einer Parabel 121 Scheitelpunkt einer Parabel 77, 121 Scheitelpunkte einer Hyperbel 118 Scheitelpunktsform einer Parabel 78 schiefes Prisma 33 schiefhermitesche Matrix 220 schiefsymmetrische Matrix 198 Schleifenkurve 126 Schnittgerade zweier Ebenen 66 Schnittkurvendiagramm 240 Schnittmenge 2 Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene 65 –– zweier Geraden 60 Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene 65 –– zweier Ebenen 66 –– zweier Geraden 60, 77 –– zweier Vektoren 52 schwache Da¨mpfung 288

Sachwortverzeichnis

Schwarz, Satz von Schwarz 245 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fla¨che 168, 257 f. –– eines homogenen Ko¨rpers 263 f. –– eines homogenen Rotationsko¨rpers 172 Schwerpunktachse 169, 173 Schwingung, aperiodischer Grenzfall 289 ––, aperiodisches Verhalten 289 ––, erzwungene 290 f. ––, freie geda¨mpfte 288 f. ––, freie ungeda¨mpfte 287 ––, harmonische 98, 236 ––, Kosinusschwingung 98 ––, mechanische 287 ff. ––, Sinusschwingung 98 ––, Superpositionsprinzip 99 Schwingungsamplitude 290 Schwingungsdauer 98 Schwingungsfall 288 Schwingungsgleichung der Mechanik 287 Schwingungslehre 97 ff. sicheres Ereignis 402 Sicherheit, statistische 444 Sigmafunktion 318 Signum einer reellen Zahl 6 Simpsonsche Formel 159 f. singula¨re Lo¨sung einer Differentialgleichung 266 –– Matrix 201 Sinus hyperbolicus 107 Sinusfunktion 92, 352 ––, allgemeine 97 Sinusimpuls 193, 353 Sinussatz 28 Sinusschwingung 98, 352 ––, geda¨mpfte 353 s-Funktion 318 Skalar 46 skalare Vektorkomponente 48 Skalarfeld 373 –– in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 381 –– in Zylinderkoordinaten 384 Skalarprodukt 51 f., 195 Spaltenindex einer Matrix 196 Spaltenmatrix 197 Spaltenvektor 48, 194 –– einer Matrix 196 f. Spannweite einer Stichprobe 432

Sachwortververzeichnis

Spat 34 Spatprodukt 55 f. Spektraldichte 311, 314 spektrale Amplitudendichte 314 –– Phasendichte 314 Spektralfunktion 314 Spektrum 314 spezielle binomische Reihen 183 –– Dreiecke 29 f. –– Exponentialfunktionen 104 –– Fourier-Reihen (Tabelle) 191 ff. –– Fourier-Transformationen (Tabellen) 333 ff. –– Integrale (Integraltafel) 470 ff. –– Integralsubstitutionen (Tabelle) 151 f. –– komplexe Matrizen 220 f. –– konvergente Reihen 178 f. –– Kurven 123 ff. –– Laplace-Transformationen (Tabelle) 350 ff., 358 ff. –– Logarithmusfunktionen 106 f. –– Lo¨sung einer Differentialgleichung 266 –– Potenzreihenentwicklungen (Tabelle) 183 ff. –– quadratische Matrizen 197 ff. –– Vektorfelder 374, 379 f. –– Zahlenreihen 16 f. spha¨rische Kru¨mmung 39 spiegelsymmetrische Funktion 69 Spirale 128 ––, archimedische 128 ––, logarithmische 128 Sprungfunktion 318, 350 Spur einer Matrix 198 Stabdiagramm 408, 432, 435 Staffelbild 435 Stammfunktion 145, 147 Stammintegrale (Tabelle) 149 Standardabweichung 299 –– der Einzelmessung 300 –– der Standardnormalverteilung 419 –– des Mittelwertes 301 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer hypergeometrischen Verteilung 415 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416

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–– einer Stichprobe 437 –– einer t-Verteilung 429 –– einer Zufallsvariablen 411 Standardeinheiten 419 standardisierte Normalverteilung 300, 419 ff. Standardisierung der Gaußschen Normalverteilung 419 Standardnormalverteilung 419 ff. ––, Tabelle 508 ff. stationa¨res Skalarfeld 373 statisches Moment 168 Statistik 431 ff. statistische Hypothese 451 –– Pru¨fverfahren fu¨r unbekannte Parameter 451 ff. –– Scha¨tzmethoden 441 ff. –– Sicherheit 301, 444 statistischer Wahrscheinlichkeitswert 403 Steigung einer Geraden 75 Steigungsschema 83 Steigungswinkel einer Geraden 75 Steiner, Satz von Steiner 169, 173 Stellenwertsystem 7 Stereometrie 33 ff. Sternkurve 125 stetig differenzierbare Funktion 129 stetige Funktion 74 –– Verteilung 409 –– Wahrscheinlichkeitsverteilungen 418 ff. –– Zufallsvariable 407 Stetigkeit einer Funktion 74 Stichprobe 431 ––, geordnete 432, 434 ––, gruppierte 434 ––, Ha¨ufigkeitsfunktion 432, 435 ––, Ha¨ufigkeitsverteilung 432 ––, Kennwerte 437 f. ––, Maßzahlen 437 f. ––, Mittelwert 437 ––, Spannweite 432 ––, Standardabweichung 437 ––, Summenha¨ufigkeitsfunktion 433 ––, umfangreiche 434 ––, Urliste 432 ––, Varianz 437 ––, Verteilungsfunktion 433, 436 ––, Verteilungstabelle 432, 435 Stichproben, abha¨ngige 455 ––, korrelierte 455

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––, unabha¨ngige 455 ––, verbundene 455 Stichprobenfunktion 441 Stichprobenvarianz 438 Stichprobenwerte 441 stochastisch unabha¨ngige Ereignisse 405 –– –– Zufallsvariable 424 Summe von Ereignissen 401 –– von Zufallsvariablen 425 f. Summenha¨ufigkeitsfunktion einer Stichprobe 433 Stokes’scher Integralsatz 396 Sto¨rfunktion 270, 280, 292 Sto¨rglied 270, 280, 292 Sto¨rvektor 296 Strahlensa¨tze 27 Streckenzugverfahren von Euler 273 f. streng monoton fallende Funktion 69 –– –– wachsende Funktion 69 Streuung 300 Strophoide 126 Stu¨rzen einer Determinante 208 Stu¨tzpunkte 81, 160 Stu¨tzstellen 81, 159 Stu¨tzwerte 81, 159 Subtrahend 6 Subtraktion komplexer Zahlen 227 –– von Bru¨chen 9 –– von Matrizen 199 –– von Vektoren 50, 194 –– von Zahlen 6 Summand 6 Summenregel der Differentialrechnung 132 –– der Integralrechnung 146 –– der Vektoranalysis 365 Summenvektor 50 Superposition gleichfrequenter harmonischer Schwingungen 99 Superpositionsprinzip der Physik 99, 237 Symmetrie einer Funktion 69 symmetrische Matrix 198, 223 Systeme linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten 295 ff. T Tangens hyperbolicus 108 Tangensfunktion 93

Sachwortverzeichnis

Tangente 138 Tangenteneinheitsvektor 366 Tangentenvektor 364 –– an eine Fla¨chenkurve 370 –– an eine Koordinatenlinie 369 –– einer ebenen Kurve 364 –– einer Raumkurve 364 Tangentenverfahren von Newton 24 Tangentialebene 247, 371 f. Taylor-Reihen 181 ff. Taylorsche Formel 181 –– Reihe 182 Taylorsches Polynom 181 Teilbarkeitsregeln fu¨r ganze Zahlen 4 Teilmenge 1 Teilschwerpunktsatz 168 Teilsumme 175 Terrassenpunkt 143 Test fu¨r den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung bei bekannter Varianz 452 f. –– fu¨r den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz 454f. –– fu¨r die Gleichheit der unbekannten Mittelwerte zweier Normalverteilungen 455 ff. –– fu¨r die unbekannte Varianz einer Normalverteilung 461 ff. –– fu¨r einen unbekannten Anteilswert 463 ff. Testverteilungen 427 ff. Tetraeder 35 ––, regula¨res 35 Thales, Satz des Thales 27 Tiefpunkt 142 Tonne 39 Torus 40 totales Differential einer Funktion 246 f. totale Wahrscheinlichkeit 406 Transformationssa¨tze der Fourier-Transformation 324 ff. –– der Laplace-Transformation 340 ff. transponierte Matrix 197 Trapez 31 Trapezformel 158 f. Trennung der Variablen 267 Treppenfunktion 354, 408, 433, 436

Sachwortververzeichnis

trigonometrische Form einer komplexen Zahl 225 –– Formeln 94 ff. trigonometrische Funktionen 90 ff., 234 –– ––, Additionstheoreme 94, 235 –– ––, Reihen 184 trigonometrische Gleichung 22 trigonometrischer Pythagoras 94 triviale Lo¨sung 212 t-Verteilung von Student 429 U berlagerung gleichfrequenter harmonischer Schwingungen 237 umfangreiche Stichprobe 434 –– ––, Einteilung in Klassen 434 Umkehrfunktion 70 Umkehrmatrix 201 Umkreis eines Dreiecks 29 Umrechnungen zwischen den Areafunktionen 113 –– zwischen den Hyperbelfunktionen 109 –– zwischen den trigonometrischen Funktionen 94 unabha¨ngige Stichproben 455 –– Variable 67, 239 –– Vera¨nderliche 67, 239 unbestimmte Integration 148 unbestimmtes Integral 147 ff. unecht gebrochenrationale Funktionen 85, 87 uneigentliche Integrale 164 f. unendliche Intervalle 8 –– Mengen 1 –– Reihen 175 ff. Unendlichkeitsstelle 74, 86 ungerade Funktion 69 Ungleichungen mit einer Unbekannten 25 unita¨re Matrix 221 Unterdeterminante 202, 207 –– einer Matrix 203 –– p-ter Ordnung 203 untere Dreiecksmatrix 198 –– Integrationsgrenze 145 Unterfunktion 339 Untermenge 1 Unterreihe 177 Untersumme 144 Urliste 432

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Urnenmodell 412, 414 Ursprungsgleichung einer Ellipse 116 –– einer Hyperbel 118 –– eines Kreises 115 V Variable 67, 239 ––, abha¨ngige 67, 239 ––, unabha¨ngige 67, 239 Varianz 299 ––, empirische 438 Varianz der Standardnormalverteilung 419 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer hypergeometrischen Verteilung 415 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer Stichprobe 437 –– einer t-Verteilung 429 –– einer Zufallsvariablen 411 Variation der Konstanten 270 f. Variationen 399 –– mit Wiederholung 399 –– ohne Wiederholung 399 Vektor 46, 194 ––, Betrag 49, 195 ––, Differenzvektor 50 ––, Einheitsvektor 46, 195 ––, freier 46 ––, gebundener 46 ––, Gegenvektor 47 ––, inverser 47 ––, Komponenten 48, 194 ––, Komponentendarstellung 48, 195 ––, Koordinaten 48, 194 ––, linienflu¨chtiger 46 ––, n-dimensionaler 194 ––, Normierung 51 ––, Nullvektor 46, 195 ––, Ortsvektor 46 ––, Richtungswinkel 49 ––, Spaltenvektor 48, 194 ––, Summenvektor 50 ––, Verschiebungsvektor 56 ––, Zeilenvektor 48, 194 Vektoranalysis 363 ff.

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Vektordarstellung in Kugelkoordinaten 386 –– in Polarkoordinaten 381 –– in Zylinderkoordinaten 384 Vektoren, Addition 50, 194 ––, antiparallele 47 ––, a¨ußeres Produkt 53 ff. ––, Basisvektoren 48, 195 ––, gemischtes Produkt 55 f. ––, inneres Produkt 51 f., 195 ––, kollineare 47 ––, komplanare 56 ––, Kreuzprodukt 53 ––, linear abha¨ngige 217 f. ––, Linearkombination 195 ––, linear unabha¨ngige 217 f. ––, Mehrfachprodukte 56 ––, orthogonale 53, 195 ––, parallele 47 ––, Rechenregeln 50 f., 55 f., 194 f. ––, Skalarprodukt 51 f., 195 ––, Spatprodukt 55 f. ––, Subtraktion 50, 194 ––, Vektorprodukt 53 ff. Vektorfeld 373 f. ––, axialsymmetrisches 374 ––, ebenes 373 ––, homogenes 374 ––, konservatives 390 ––, kugelsymmetrisches 374 ––, quellenfreies 379 ––, radialsymmetrisches 374 ––, ra¨umliches 374 ––, wirbelfreies 379 ––, zylindersymmetrisches 374 Vektorfeld in Kugelkoordinaten 387 –– in Polarkoordinaten 381 –– in Zylinderkoordinaten 384 Vektorfunktion 363 vektorielle Darstellung einer Ebene 60 ff. –– –– einer Fla¨che 369 –– –– einer Geraden 57 ff. –– –– einer Kurve 363 Vektorkomponenten 48 Vektorkoordinaten 48 Vektorpolygon 50 Vektorpotential 379 Vektorprodukt 53 ff. Vektorrechnung 46 ff. Vera¨nderliche 67, 239

Sachwortverzeichnis

––, abha¨ngige 67, 239 ––, unabha¨ngige 67, 239 verallgemeinerte Ableitung 323 –– Fourier-Transformierte 323 –– Funktion 321 –– Kettenregel 246 verbundene Stichproben 455 Vereinigung von Ereignissen 401 –– von Mengen 2 Vereinigungsmenge 2 Vergleichskriterien fu¨r Reihen 177 Vergleichsreihe 177 verkettete Funktion 133 Verschiebungssa¨tze der Fourier-Transformation 325 f. –– –– ––, Frequenzverschiebungssatz 326 –– –– ––, Zeitverschiebungssatz 325 Verschiebungssa¨tze der Laplace-Transformation 342 f. Verschiebungsvektor 56 Vertauschungsregel der Integralrechnung 146 Vertauschungssatz der Fourier-Transformation 330 Verteilung, diskrete 408 ––, stetige 409 Verteilungsdichtefunktion 299 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 419 –– der Standardnormalverteilung (Tabelle) 508 –– einer Binominalverteilung 413 –– einer Chi-Quadrat-Verteilung 427 –– einer diskreten Zufallsvariablen 408 –– einer Exponentialverteilung 422 –– einer gruppierten Stichprobe 436 –– einer hypergeometrischen Verteilung 414 –– einer mehrdimensionalen Zufallsvariablen 423 –– einer Normalverteilung 418 –– einer Poisson-Verteilung 416 –– einer stetigen Zufallsvariablen 409 –– einer Stichprobe 433 –– einer t-Verteilung 429 –– einer Zufallsvariablen 408 f. Verteilungstabelle einer gruppierten Stichprobe 435 –– einer Stichprobe 432

Sachwortververzeichnis

Verteilungstest 466 Vertrauensbereich 301 Vertrauensgrenzen 301, 444 Vertrauensintervall 301 ––, Musterbeispiel 450 Vertrauensintervalle 444 ff. –– fu¨r den unbekannten Mittelwert einer beliebigen Verteilung 447 –– fu¨r den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung bei bekannter Varianz 445 –– fu¨r den unbekannten Mittelwert einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz 446 f. –– fu¨r die unbekannte Varianz einer Normalverteilung 448 –– fu¨r einen unbekannten Anteilswert 449 f. Vertrauensniveau 301, 444 Verzweigungspunkt 405 Vietascher Wurzelsatz 18 f. vollsta¨ndiges Differential einer Funktion 247 f. –– –– einer Potentialfunktion 391 Volumen eines Rotationsko¨rpers 170 f. –– eines zylindrischen Ko¨rpers 263 Volumendifferential 260 Volumenelement 260 –– in Kugelkoordinaten 386 –– in Zylinderkoordinaten 384 W Wachstumsfunktion 105 Wachstumsrate 105 wahrscheinlichster Messwert 299 Wahrscheinlichkeit 402 ff. ––, bedingte 404 ––, Berechnung mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 420 ff. ––, totale 406 Wahrscheinlichkeiten, Rechenregeln 403 Wahrscheinlichkeitsaxiome von Kolmogoroff 403 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 409 Wahrscheinlichkeitsfunktion 408 –– einer Binomialverteilung 413 –– einer hypergeometrischen Verteilung 414 –– einer Poisson-Verteilung 416

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Wahrscheinlichkeitsrechnung 398 ff. Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Summe von Zufallsvariablen 426 –– einer Zufallsvariablen 407 ff. –– von mehreren Zufallsvariablen 423 Wahrscheinlichkeitsverteilungen, diskrete 412 ff. ––, stetige 418 ff. Wahrscheinlichkeitswert, empirischer 403 ––, statistischer 403 Wegunaba¨ngigkeit eines Kurvenintegrals 389 f. –– eines Linienintegrals 389 f. Wendepunkt 143 Wendetangente 143 Wertebereich einer Funktion 67, 239 Wertevorrat einer Funktion 67, 239 windschiefe Geraden 59 Winkelmaße 90 Wirbel 378 Wirbeldichte 378 Wirbelfeld 378 Wirbelfluss 397 wirbelfreies Vektorfeld 378 f. Wronski-Determinante 280, 292 Wu¨rfel 34 Wurzel 11 f. ––, Rechenregeln 12 Wurzelexponent 11 Wurzelfunktionen 89 Wurzelgleichung 21 Wurzelkriterium 177 Wurzelziehen 11 Z Zahl, Eulersche 103 ––, ganze 4 ––, imagina¨re 224 ––, irrationale 4 ––, komplexe 224 ––, natu¨rliche 2 ––, Primzahl 3 ––, rationale 4 ––, reelle 4 Zahlenfolge 71 Zahlengerade 5 Zahlensysteme 7 Zehnerlogarithmus 13, 107

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Zehnersystem 7 Zeiger 98 f. ––, komplexer 236 Zeigerdiagramm 98 f., 236 Zeilenindex einer Matrix 196 Zeilenmatrix 197 Zeilenumformungen einer Matrix 215 Zeilenvektor 48, 194 –– einer Matrix 196 f. Zeitfunktion 236 zeitliche Mittelwerte einer periodischen Funktion 166 Zeitverschiebungssatz der FourierTransformation 325 Zentralfeld 374 Zerlegung einer Polynomfunktion in Linearfaktoren 79 –– in Primfaktoren 3 Zirkulation des Vektorfeldes 388 Zufallsexperiment 400 ––, mehrstufiges 405f. Zufallsgro¨ße 407 Zufallsstichprobe 431 Zufallsvariable 299, 407 ––, Dichtefunktion 409 ––, diskrete 407 ––, Erwartungswert 410 ––, Kennwerte 410 ff. ––, Linearkombinationen 425

Sachwortverzeichnis

––, Maßzahlen 410 ff. ––, mehrdimensionale 423 ––, Mittelwert 411 ––, n-dimensionale 424 ––, Produkte 425 f. ––, Standardabweichung 411 ––, stetige 407 ––, stochastisch unabha¨ngige 424 ––, Summen 425 f. ––, Varianz 411 ––, Verteilung 408 f. ––, Verteilungsfunktion 408 f. ––, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion 409 ––, Wahrscheinlichkeitsfunktion 408 ––, zweidimensionale 423 Zufallsvektor 423 f. zusammengesetzte Funktion 133 zusammengesetztes Ereignis 401 zweidimensionale Zufallsvariable 423 zweidimensionales Bereichsintegral 253 Zweierlogarithmus 13, 107 Zweiersystem 7 Zweig 405 Zwei-Punkte-Form einer Geraden 57, 76 zweireihige Determinante 205 Zweiweggleichrichtung 193, 353 Zykloide, gewo¨hnliche 123 Zylinderkoordinaten 44, 382 zylindersymmetrisches Vektorfeld 374