Elektrotechnik fur Ingenieure - Formelsammlung: Elektrotechnik kompakt, 3. Auflage

Wilfried Weißgerber Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung Elektrotechnik kompakt 3., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 1999 2., korrigierte und erweiterte Auflage 2004 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Reinhard Dapper | Walburga Himmel Vieweg+Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: FROMM MediaDesign, Selters/Ts. Druck und buchbinderische Verarbeitung: Krips b.v., Meppel Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in the Netherlands ISBN 978-3-8348-0301-6

V

Vorwort Viele Studenten kommen mit der ausführlichen Darstellung der elektrotechnischen Zusammenhänge in den drei Bänden der „Elektrotechnik für Ingenieure“ gut zurecht. Geht es dann in die Phase der Prüfungsvorbereitung, wünschen sie sich eine kompakte Darstellung, in der die wichtigsten Zusammenhänge, Lösungsabläufe und Formeln zusammengefasst sind, mit denen Übungs- und Prüfungsaufgaben gelöst werden können. Vor der Prüfung erschlägt sie förmlich die Fülle des Stoffes in einem umfangreichen Lehrbuch, der während des Studiums nur einmal gehört und nur einmal mittels Übungsaufgaben nachbereitet werden konnte. Etwa ein Sechstel des Textes ist leichter zu überschauen und zur Prüfung zu wiederholen. Diese vorliegende Formelsammlung sollte die Studenten allerdings nicht dazu verführen, die Elektrotechnik mit Hilfe dieser Zusammenfassung verstehen zu wollen. Die Formelsammlung kann erst nützlich sein, nachdem die Zusammenhänge im Lehrbuch bearbeitet und verstanden worden sind. Dann erst hilft die Formelsammlung bei der Lösung von Übungs- und Prüfungsaufgaben. Die berufspraktische Tätigkeit eines Diplomingenieurs setzt die Kenntnis von elektrotechnischen Grundlagen voraus. Dafür ist oft ein komprimiertes Buch mit Zusammenfassungen, Formeln und Arbeitsanweisungen ausreichend und sinnvoll, und es findet in jedem Schreibtisch einen Platz. Sollte diese „Formelsammlung und mehr“ für ein zu lösendes Problem nicht ausreichend sein, kann mit dem Seitenbezug zu den Lehrbüchern die jeweilige ausführliche Darstellung gefunden werden. Sie steht hinter den Überschriften jeden Kapitels. Textbild und Zeichnungen sind ganz bewusst aus den Lehrbüchern entnommen, damit das in den Lehrbüchern vertraute Bild wieder erkannt wird. Die 2. Auflage wurde um ein Sachwortverzeichnis und ein Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen ergänzt. Die 3. Auflage wurde vollständig überarbeitet.

Wedemark, im September 2009

Wilfried Weißgerber

VII

Inhaltsverzeichnis Vorwort .........................................................................................................................

V

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten ..............................................................

XI

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik ..............................................

1

2 Gleichstromtechnik ...............................................................................................

4

2.1

Der unverzweigte Stromkreis ......................................................................... 2.1.1 Der Grundstromkreis ......................................................................... 2.1.2 Zählpfeilsysteme ................................................................................ 2.1.3 Die Reihenschaltung von Widerständen ............................................ 2.1.4 Anwendungen der Reihenschaltung von Widerständen .................... 2.1.5 Die Reihenschaltung von Spannungsquellen .................................... Der verzweigte Stromkreis ............................................................................. 2.2.1 Die Maschenregel .............................................................................. 2.2.2 Die Knotenpunktregel ........................................................................ 2.2.3 Die Parallelschaltung von Widerständen ........................................... 2.2.4 Anwendungen der Parallelschaltung von Widerständen ................... 2.2.5 Ersatzspannungsquelle und Ersatzstromquelle .................................. 2.2.6 Die Parallelschaltung von Spannungsquellen .................................... 2.2.7 Messung von Widerständen ............................................................... 2.2.8 Der belastete Spannungsteiler ............................................................ 2.2.9 Kompensationsschaltungen ............................................................... 2.2.10 Umwandlung einer Dreieckschaltung in eine Sternschaltung und umgekehrt ........................................................................................... Verfahren zur Netzwerkberechnung .............................................................. 2.3.1 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Kirchhoffschen Sätze ................ 2.3.2 Netzwerkberechnung mit Hilfe des Überlagerungssatzes ................. 2.3.3 Netzwerkberechnung mit Hilfe der Zweipoltheorie .......................... 2.3.4 Netzwerkberechnung nach dem Maschenstromverfahren ................. 2.3.5 Netzwerkberechnung nach dem Knotenspannungsverfahren ........... Elektrische Energie und elektrische Leistung ................................................ 2.4.1 Energie und Leistung ......................................................................... 2.4.2 Energieumwandlungen ...................................................................... 2.4.3 Messung der elektrischen Energie und Leistung ............................... 2.4.4 Wirkungsgrad in Stromkreisen .......................................................... 2.4.5 Anpassung ..........................................................................................

15 16 16 17 18 21 22 23 23 23 23 25 26

3 Das elektromagnetische Feld ................................................................................

27

2.2

2.3

2.4

3.1 3.2

Der Begriff des Feldes .................................................................................... Das elektrische Strömungsfeld ....................................................................... 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes .......................................... 3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte ...............................

4 4 6 6 6 7 7 7 7 8 8 9 11 12 13 14

27 29 29 29

VIII

Inhaltsverzeichnis 3.2.3

3.3

3.4

Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand .......................................... Das elektrostatische Feld ................................................................................ 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes ................................................... 3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte ........................... 3.3.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, Kapazität und Permittivität (Dielektrizitätskonstante) .............................................. 3.3.4 Verschiebestrom – Strom im Kondensator ........................................ 3.3.5 Energie und Kräfte des elektrostatischen Feldes ............................... 3.3.6 Das Verhalten des elektrostatischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Dielektrizitätskonstanten ............................... Das magnetische Feld ..................................................................................... 3.4.1 Wesen des magnetischen Feldes ........................................................ 3.4.2 Magnetischer Fluss und magnetische Flussdichte ............................. 3.4.3 Durchflutung, magnetische Spannung und magnetische Feldstärke (magnetische Erregung), magnetischer Widerstand und Permeabilität ...................................................................................... 3.4.4 Das Verhalten des magnetischen Feldes an der Grenze zwischen Stoffen verschiedener Permeabilitäten .............................................. 3.4.5 Berechnung magnetischer Kreise ........................................................ 3.4.5.1 Berechnung geschlossener magnetischer Kreise ................. 3.4.5.2 Berechnung des nichteisengeschlossenen magnetischen Kreises einer Doppelleitung und mehrerer paralleler Leiter 3.4.5.3 Berechnung magnetischer Kreise mit Dauermagneten ........ 3.4.6 Elektromagnetische Spannungserzeugung – das Induktionsgesetz ... 3.4.6.1 Bewegte Leiter in einem zeitlich konstanten Magnetfeld – die Bewegungsinduktion ...................................................... 3.4.6.2 Zeitlich veränderliches Magnetfeld und ruhende Leiter – die Ruheinduktion ................................................................ 3.4.7 Selbstinduktion und Gegeninduktion ................................................... 3.4.7.1 Die Selbstinduktion .............................................................. 3.4.7.2 Die Gegeninduktion ............................................................. 3.4.7.3 Haupt- und Streuinduktivitäten, Kopplungs- und Streufaktoren ...................................................................................... 3.4.8 Magnetische Energie und magnetische Kräfte .................................. 3.4.8.1 Magnetische Energie ............................................................ 3.4.8.2 Magnetische Kräfte ..............................................................

4 Wechselstromtechnik ............................................................................................

31 33 33 33 35 41 42 43 44 44 44 47 53 54 54 60 61 63 63 67 70 70 73 81 82 82 83 84

4.1 Wechselgrößen und sinusförmige Wechselgrößen ......................................... 84 4.2 Berechnung von sinusförmigen Wechselgrößen mit Hilfe der komplexen Rechnung .............................................................................. 86 4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte ................................. 91 4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen ......................................... 101 4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten ...................................................................... 102 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz ................................................ 102

Inhaltsverzeichnis 4.5.2

4.6

4.7

Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz ....................................................... Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik ........................................... 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 900 zwischen Strom und Spannung .......................................................................... 4.6.2 Schaltungen zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung ....................................... 4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen ............................................ Die Leistung im Wechselstromkreis .............................................................. 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung ...................................................................... 4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung ........................................... 4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation ..................................................................................... 4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung ...........................................................

IX 107 112 112 113 113 116 116 120 122 123

5 Ortskurven ............................................................................................................. 124 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Begriff der Ortskurve ..................................................................................... Ortskurve „Gerade“ ........................................................................................ Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“ ........................................................ Ortskurve „Kreis in allgemeiner Lage“ .......................................................... Ortskurven höherer Ordnung .........................................................................

124 125 125 126 126

6 Der Transformator ................................................................................................ 127 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Übersicht über Transformatoren .................................................................... Transformatorgleichungen und Zeigerbild .................................................... Ersatzschaltbilder mit galvanischer Kopplung ............................................... Messung der Ersatzschaltbildgrößen des Transformators ............................. Frequenzabhängigkeit der Spannungsübersetzung eines Transformators .....

127 127 130 132 134

7 Mehrphasensysteme .............................................................................................. 135 7.1 7.2 7.3 7.4

Die m-Phasensysteme .................................................................................... Symmetrische verkettete Dreiphasensysteme ................................................ Unsymmetrische verkettete Dreiphasensysteme ............................................ Messung der Leistungen des Dreiphasensystems ..........................................

135 136 138 143

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen ............................................................... 144 8.1 8.2 8.3

Grundlagen für die Behandlung von Ausgleichsvorgängen .......................... Berechnung von Ausgleichsvorgängen durch Lösung von Differentialgleichungen ........................................................................... Berechnung von Ausgleichsvorgängen mit Hilfe der Laplace-Transformation ........................................................................... 8.3.1 Grundlagen für die Behandlung der Ausgleichsvorgänge mittels Laplace-Transformation ......................................................... 8.3.2 Lösungsmethoden für die Berechnung von Ausgleichsvorgängen Zusammenfassung der Laplace-Operationen und der Laplace-Transformierten (Korrespondenzen) ......................

144 145 150 150 153

X

Inhaltsverzeichnis

9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen und nichtperiodischen Größen ............................................................................ 163 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Fourierreihenentwicklung von analytisch gegebenen nichtsinusförmigen periodischen Wechselgrößen ........................................ Reihenentwicklung von in diskreten Punkten vorgegebenen nichtsinusförmigen periodischen Funktionen ................................................ Anwendungen der Fourierreihen .................................................................... Die Darstellung nichtsinusförmiger periodischer Wechselgrößen durch komplexe Reihen ................................................................................. Transformation von nichtsinusförmigen nichtperiodischen Größen durch das Fourierintegral ..............................................................................

163 170 176 178 178

10 Vierpoltheorie ........................................................................................................ 180 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7

Grundlegende Zusammenhänge der Vierpoltheorie ...................................... Vierpolgleichungen, Vierpolparameter und Ersatzschaltungen ..................... Vierpolparameter passiver Vierpole .............................................................. Betriebskenngrößen von Vierpolen ................................................................ Leistungsverstärkung und Dämpfung ............................................................ Spezielle Vierpole .......................................................................................... Zusammenschalten zweier Vierpole .............................................................. 10.7.1 Grundsätzliches über Vierpolzusammenschaltungen ......................... 10.7.2 Die Parallel-Parallel-Schaltung zweier Vierpole ................................ 10.7.3 Die Reihen-Reihen-Schaltung zweier Vierpole .................................. 10.7.4 Die Reihen-Parallel-Schaltung zweier Vierpole ................................. 10.7.5 Die Parallel-Reihen-Schaltung zweier Vierpole ................................. 10.7.6 Die Ketten-Schaltung zweier Vierpole ............................................... 10.8 Die Umrechnung von Vierpolparametern von Dreipolen .............................. 10.9 Die Wellenparameter passiver Vierpole ........................................................

180 180 185 188 190 191 192 192 193 194 195 197 198 199 200

Sachwortverzeichnis ..................................................................................................... 201

XI

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten Schreibweise physikalischer Größen und ihrer Abbildungen u, i U, I û, î u, i û, î U, I Z, Y, z Z*,Y*, z* G G G E, D, r

Augenblicks- oder Momentanwert zeitabhängiger Größen: kleine lateinische Buchstaben Gleichgrößen, Effektivwerte: große lateinische Buchstaben Maximalwert komplexe Zeitfunktion, dargestellt durch rotierende Zeiger komplexe Amplitude komplexer Effektivwert, dargestellt durch ruhende Zeiger komplexe Größen konjugiert komplexe Größen vektorielle Größen

Schreibweise von Zehnerpotenzen

1012 9

10 106 10

3

p Piko n P

Nano Mikro

m Milli

102 1

10

c

Zenti

d

Dezi

1

10 10

2

h

da

103 106

k Kilo M Mega 109

Deka

12

Hekto

10

T

G Giga Tera

Formelzeichen physikalischer Größen

a

bk

Länge Vierpolparameter Wellendämpfungsmaß Fourierkoeffizient Operator des m-Phasensystems Fläche, Querschnittsfläche, komplexe Größe Vierpolparameter Länge, Wellenphasenmaß Fourierkoeffizient

B B

magnetische Flussdichte oder magnetische Induktion, komplexe Größe Blindleitwert (Suszeptanz)

ak a A A b G B, B

c

ck ck C C d

Länge Konstante Lichtgeschwindigkeit c = 2,99792 ·108 m / s spezifische Wärmekapazität (spezifische Wärme) Vierpolparameter komplexer Fourierkoeffizient Amplitudenspektrum elektrische Kapazität Konstante komplexe Größe Vierpolparameter Dicke, Durchmesser Verlustfaktor

XII

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten

G D, D

elektrische Verschiebungsflussdichte oder Erregungsflussdichte D Durchmesser D* Drehfederkonstante e Elementarladung e = 1,602 ·10–19 As zeitlich veränderliche EMK E EMK G elektrische Feldstärke E, E komplexe Größe E f Frequenz Formfaktor f Fe Eisenfüllfaktor f(t) Zeitfunktion G F, F Kraft komplexe Größe F F(s) Laplacetransformierte der Zeitfunktion f(t) F^f(t)` Fouriertransfomierte der Zeitfunktion f(t) F(jZ) Fouriertransfomierte der Zeitfunktion f(t) Amplitudenspektrum F( jZ ) g G Gm G(s)

G(jZ) G h G H, H

H i

î i

Gütefaktor Wellen-Übertragungsmaß elektrischer Leitwert Wirkleitwert (Konduktanz) magnetischer Leitwert Übertragungsfunktion, Netzwerkfunktion Übertragungsfunktion Ortskurve Gerade Höhe, Länge Vierpolparameter magnetische Feldstärke oder magnetische Erregung Vierpolparameter zeitlich veränderlicher Strom (Augenblicks- oder Momentanwert) laufender Index Amplitude, Maximalwert des sinusförmigen Stroms komplexe Zeitfunktion des Stroms

î I I j k

K K G l, l l L L L^f(t)` m M n N G N N O p

pi P P q qi Q

komplexe Amplitude des Stroms Stromstärke (Gleichstrom, Effektivwert) komplexer Effektivwert des Stroms imaginäre Einheit: 1 imaginäre Achse Knotenzahl Kopplungsfaktor Klirrfaktor laufender Index Konstante Ortskurve Kreis Länge Anzahl Induktivität komplexe Größe Laplacetransformierte der Zeitfunktion f(t) Masse Anzahl Gegeninduktivität Drehmoment Anzahl Drehzahl Entmagnetisierungsfaktor Normale komplexe Größe allgemeine Ortskurvengleichung Augenblicksleistung Verhältniszahl Parameter Tastverhältnis Größen der Zipperer-Tafel Leistung (Gleichleistung, Wirkleistung) Ortskurve Parabel zeitlich veränderliche Ladung Größen der Zipperer-Tafel Ladung, Elektrizitätsmenge Blindleistung Kreisgüte, Gütefaktor, Resonanzschärfe

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten r

G r R Rm R s

si sn(t) G


S, S S S t T u

û u û U U ü G


v, v v

vi vi(x)

variabler Radius Betrag einer komplexen Zahl reelle Achse Widerstandsverhältnis Radiusvektor, Ortsvektor elektrischer Widerstand Wirkwiderstand (Resistanz) Radius magnetischer Widerstand komplexe Größe Weg, Länge komplexe Variable der Laplacetransformation Ordinatensprünge Summenfunktion Stromdichte Scheinleistung komplexe Leistung komplexe Größe Zeit Periodendauer (Dauer einer Schwingung) zeitlich veränderliche elektrische Spannung (Augenblicksoder Momentanwert) Realteil einer komplexen Zahl Amplitude, Maximalwert der sinusförmigen Spannung komplexe Zeitfunktion der elektrischen Spannung komplexe Amplitude der elektrischen Spannung elektrische Spannung (Gleichspannung, Effektivwert) komplexer Effektivwert der elektrischen Spannung Übersetzungsverhältnis Geschwindigkeit allgemeine zeitlich veränderliche Größe Imaginärteil einer komplexen Zahl Widerstandsverhältnis abgelesene Ordinatenwerte Geradenstücke einer Ersatzfunktion

XIII

V

w w´ w W x

x(t) X X(s) y

y(t) Y Y(s) Y z

z Z Z

Volumen magnetische Spannung Effektivwert einer allgemeinen Größe v Verstärkung normierte Verstimmung Windungszahl zeitlich veränderliche Energie Energiedichte komplexe Zahl Arbeit, Energie unabhängige Veränderliche laufende Ordinate auf der Abzissenachse Verhältniszahl Realteil einer komplexen Zahl Eingangs-Zeitfunktion Blindwiderstand (Reaktanz) Laplacetransformierte der Eingangs-Zeitfunktion laufende Ordinate auf der Ordinatenachse Imaginärteil einer komplexen Zahl Vierpolparameter Ausgangs-Zeitfunktion Scheinleitwert (Admittanz) Laplacetransformierte der Ausgangs-Zeitfunktion komplexer Leitwert bzw. komplexer Leitwertoperator Vierpolparameter Zweigzahl Ankerumdrehungen laufende Ordinate Vierpolparameter komplexe Zahl Scheinwiderstand (Impedanz) komplexer Widerstand bzw. komplexer Widerstandsoperator Vierpolparameter

XIV D E J G

G(t) ' 'f H

K M

Mi Mu

Schreibweisen, Formelzeichen und Einheiten Winkel Temperaturkoeffizient Zeigerausschlag Winkel Temperaturkoeffizient Winkel Zeigerausschlag Verlustwinkel Abklingkonstante Realteil der komplexen Variablen s Dirac-Impuls oder Dirac’sche Deltafunktion Differenz, Abweichung Bandbreite Dielektrizitätskonstante Dielektrizitätskonstante des Vakuums, Influenzkonstante: As H0 8, 8542 ˜1012 Vm Fehlwinkel Wirkungsgrad elektrisches Potential Phasenverschiebung Argument einer komplexen Zahl Anfangsphasenwinkel des Stroms Anfangsphasenwinkel der Spannung

Mvk M(Z) ) N O P

Q U 4 V V(t) W Z < E@

G
S
Stromdichte S

dI dA

I

G

G

>U @

³ S ˜ dA

>U@

I=G·U I elektrischer Strom

U=R·I

V/m >S@ A / m 2 > N@ m / (: ˜ mm2 )

: ˜ mm 2 / m

V >I@ A 1 G : S > @ >R @ :

2. elektrostatisches Feld: Ursache

Wirkung G


E elektrische Feldstärke

Vektoren

dU dl

E

U

G

G

³ E ˜ dl

D

d< dA

G

elektrische Spannung

< = Q = C·U

V/m

>D@

>H @

As / Vm

V

>< @ >Q@ As As / V F

As / m 2

G

³ D ˜ dA

< E@

G
D
Verschiebungsflussdichte

G
G
D
H˜E

>U@

Verschiebungsfluss Ladung

>C@

3. magnetisches Feld: Wirkung

Ursache

Vektoren

G


H magnetische Feldstärke

G
G
B
P ˜H

magnetische Erregung H

Skalare, Integrale Größen

4 l

4

G

G

³ H ˜ dl

4, V Durchflutung (MMK) magnetische Spannung

G
B
magnetische Flussdichte Induktion B

) = Gm · 4 4 = Rm · )

d) dA

)

G

>H@ A / m >B@ Vs / m 2 T >P@ Vs / Am

G

³ B ˜ dA

) magnetischer Fluss

>4@ > V @ A >) @ >G m @ Vs / A >R m @ A / Vs

Vs Wb H H 1

28

3 Das elektromagnetische Feld

Die Richtungslinien der vektoriellen Feldgrößen in einem Vektorfeld sind die Feldlinien. In einem Quellenfeld (elektrostatisches Feld) beginnen sie in einer Quelle (positiv geladener Körper) und enden in einer Senke (negativ geladener Körper). Befinden sich keine Quellen und Senken im Feld (elektrisches Strömungsfeld und magnetisches Feld), dann sind die Feldlinien in sich geschlossen. Das zugehörige Skalarfeld wird durch Flächen veranschaulicht, den so genannten Äquipotentialflächen (Flächen gleichen Potentials) im elektrischen und magnetischen Feld. Die Feldlinien durchdringen die Äquipotentialflächen senkrecht: die Feldlinien und Feldvektoren sind in Richtung des größten Potentialgefälles gerichtet. Der Zusammenhang zwischen den Feldlinien und den Äquipotentialflächen lässt sich z. B. für das elektrostatische Feld durch die folgende Gleichung mathematisch beschreiben: G


E = – grad M G
mit

E : elektrische Feldstärke und M: elektrisches Potential.

Obwohl die elektrischen und magnetischen Felder auch hier wie in anderer Literatur getrennt dargestellt werden, bilden sie eine Einheit, weil sie über den Durchflutungssatz und das Induktionsgesetz miteinander verbunden sind. Die Maxwellschen Gleichungen stellen die elektromagnetischen Erscheinungen in Differentialform dar: G G
w D G Durchflutungssatz rot

H = S wt G G
wB Induktionsgesetz rot

E = – wt Der Satz von der Quellenfreiheit des magnetischen Flusses lautet in Differentialform G
div

B = 0 und der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verschiebungsflussdichte und der Raumladung im elektrischen Feld, der Gaußsche Satz G
div

D = U ist ebenso in Differentialform angegeben.

Zur Beschreibung der drei Felder und deren Zusammenhänge und zur Behandlung von grundlegenden praktischen Beispielen eignet sich genauso die integrale Form obiger Gleichungen.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

29

3.2 Das elektrische Strömungsfeld 3.2.1 Wesen des elektrischen Strömungsfeldes (Band 1, S.154-156) Die kollektive Bewegung von geladenen Teilchen bildet das elektrische Strömungsfeld. Es kann also nur in elektrischen Leitern existieren – im Gegensatz zum elektrostatischen Feld, das nur im Nichtleiter besteht. Wird die Bewegung der Ladung durch eine Gleichspannung verursacht, dann entsteht ein stationäres Strömungsfeld, das durch einen zeitlich konstanten Strom charakterisiert wird. Beispiel: Bereits im Kapitel 2 behandelte zeitlich konstante elektrische Strömungsfelder in linienhaften Leitern der Gleichstromnetze.

3.2.2 Elektrischer Strom und elektrische Stromdichte (Band 1, S.156-159) Elektrischer Fluss – elektrischer Strom I

Die in dem leitenden Medium sich bewegenden Ladungsträger – vorwiegend Elektronen – bilden den elektrischen Fluss, genannt elektrischer Strom. Die Feldlinien sind die Strömungslinien der beweglichen Ladungsträger. Die Gesamtheit der Feldlinien kennzeichnet also den elektrischen Strom in einem Leiter. Nach der Richtungsdefinition des elektrischen Stroms (positiver Strom entspricht der Bewegungsrichtung positiver Ladungen) haben die Feldlinien die Richtung des größten Potentialgefälles. Die in Metallen sich bewegenden Elektronen wandern also entgegen den gerichteten Feldlinien. Elektrische Flussdichte – Stromdichte

homogene Strömungsfelder S

I A

I

G G S˜ A

S ˜ A ˜ cos Į

inhomogene Strömungsfelder

S

lim

'A o0

'I 'A

dI dA

I

G

G

³ dI ³ S ˜ dA A

und

G G I¨ v S ¸ dA  0 A

30

3 Das elektromagnetische Feld

Für grundlegende Berechnungen ist es nicht notwendig, Ströme durch Flächen zu berechnen, die nicht gleich den Äquipotentialflächen sind. Werden Flächen gewählt, die gleich den Äquipotentialflächen oder gleich Teilen G
vonG
Äquipotentialflächen sind, dann ist der G
NeigungswinG
kel D zwischen den Vektoren S und dA gleich Null und das Skalarprodukt S ˜ dA wird gleich dem Produkt der Skalare S · dA mit cos D = 1.

Sind zusätzlich die Beträge der Stromdichte konstant, dann kann S vor das Integralzeichen gesetzt werden und die Flächenelemente dA können einfach aufsummiert werden. Sie sind gleich der Gesamtfläche A, durch die der Strom I fließt. Auf diese Weise lassen sich Stromdichteverteilungen einfacher inhomogener Strömungsfelder errechnen. Beispiel: Strömungsfeld einer zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h Die Stromdichteverteilung S = f (r) soll ermittelt werden: G G I ³ S ˜ dA ³ S ˜ dA A

A

Für das Flächenintegral sollen die Äquipotentialflächen, die Zylindermantelflächen mit veränderlichem Radius r sind, berücksichtigt werden. Das Skalarprodukt hinter dem Integralzeichen ist dann gleich dem Produkt der Skalare: Auf einer Äquipotentialfläche haben die G Stromdichtevektoren S gleiche Beträge, sind also unabhängig vom Punkt der Äquipotentialfläche mit der Teilfläche dA. Deshalb kann S vor das Integralzeichen gesetzt werden: I

S ˜ ³ dA A

Alle Flächenelemente dA aufsummiert, ergibt die Zylindermantelfläche A =2Srh. I

S˜ A

S˜ 2˜ ʌ ˜ r ˜ h ,

woraus sich die Formel für die Stromdichte in Abhängigkeit vom Radius r errechnen lässt: S

I 1 ˜ 2 ʌh r

Die Stromdichte nimmt hyperbolisch mit dem Radius ab.

3.2 Das elektrische Strömungsfeld

31

3.2.3 Elektrische Spannung und elektrische Feldstärke, elektrischer Widerstand und spezifischer Widerstand (Band 1, S.160-165) Elektrische Spannung

U12 = M1 – M2 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert

U=R·I

bzw. I =

1 ·U=G·U R

homogene Felder R U˜

l A

l N˜A

oder

A U˜l

G

N˜

A l

inhomogene Felder, ermittelt durch „Homogenität im Kleinen“ Beispiel: Elektrischer Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h ohne Randstörungen Der Widerstand R wird als Reihenschaltung von Widerständen der Zylinderschalen der Dicke d r und der Fläche A von Zylindermänteln aufgefasst, wobei in den Zylinderschalen jeweils ein homogenes Feld angenommen werden kann: dr dr U˜ dR U ˜ A 2rSh a

R

³ dR i

U 2Sh

ra

dr ³r r i

U ˜ ln | r | 2 Sh

ra

r U ˜ ln a 2Sh ri

ri

Elektrische Feldstärke

homogene Felder (

I U  U˜ l A

inhomogene Felder

U ˜S

dU dI  U dl dA G
1 G
G
S ˜E N ˜E
U (

G
G


E U ˜ S

oder

U ˜S

Beispiel: Elektrische Feldstärke einer stromdurchflossenen zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h E

U˜S

U˜I 1 ˜ 2S h r

mit

S

I 1 ˜ 2S h r

32

3 Das elektromagnetische Feld

Elektrische Feldstärke und elektrische Spannung P2

³ dU

ij1  ij 2

U12

P1

2

G

G

³ E ˜ dl

und

1

G

G

¨v E ¸ dl  0 l

Bei praktischen Berechnungen wird grundsätzlich längs einer Feldlinie integriert, wodurch das Skalarprodukt gleich dem Produkt der Skalare ist. Allgemeine Formel für den elektrischen Widerstand

G

G

1

G

G

³ E ˜ dl

U I

R

2

³ S ˜ dA

A

Beispiel:

Widerstand der zylindersymmetrischen Anordnung der Höhe h Das Strömungsfeld ist inhomogen, deshalb ergibt sich der Widerstand aus

U

2

ra

1

ri

G G ³ E ˜ dl

³ E ˜ dr

Für die Ermittlung der Spannung U wird längs der radialen Feldlinie mit d l = d r integriert. Die elektrische Feldstärke ist bereits berechnet

E

U˜I 1 ˜ , 2 S˜h r

so dass sich für die Spannung durch Integration ergibt

U

ȡ˜I 2 ʌh

ra

³

ri

dr r

ȡ ˜ I ra ln 2 ʌh ri

Wird die Spannung durch den Strom geteilt, entsteht die Widerstandsformel

R

U I

r U ln a 2 S h ri

3.3 Das elektrostatische Feld

33

3.3 Das elektrostatische Feld 3.3.1 Wesen des elektrostatischen Feldes (Band 1, S.167-169) In der Umgebung geladener Körper sind Kräfte auf andere geladene Körper zu beobachten, die dem elektrostatischen Feld zugeschrieben werden: gleichartige Ladungen stoßen sich ab, ungleichartige Ladungen ziehen sich an.

3.3.2 Verschiebungsfluss und Verschiebungsflussdichte (Band 1, S.170-174) Verschiebungsfluss oder Erregungsfluss

Befindet sich in einem elektrostatischen Feld ein Leiter, dann werden die in ihm befindlichen freien Elektronen aufgrund der Kräfte, die auf Ladungen wirken (Coulombsche Kräfte), innerhalb des Leiters verschoben: die Elektronen wandern an die Oberfläche des Leiters, die der positiven Elektrode zugewandt ist; auf der anderen Seite des Leiters fehlen dann Elektronen. Die Ladungen innerhalb des Leiters werden infolge der Ladungen des Zweielektrodensystems verschoben. Diesen Vorgang nennt man „Influenz“ oder „elektrostatische Induktion“, in Anlehnung an die Ladungsverschiebung infolge eines Magnetfeldes. Um den Vorgang der Influenz zu veranschaulichen, werden Flusslinien oder Feldlinien ähnlich wie die Strömungslinien im elektrischen Strömungsfeld eingeführt, die allerdings bei der positiven Ladung beginnen und bei der negativen Ladung enden. Im elektrischen Strömungsfeld dagegen sind die Flusslinien oder Feldlinien in sich geschlossen. Die Gesamtheit der Flusslinien des elektrostatischen Feldes charakterisieren den angenommenen Fluss, den Verschiebungs- oder Erregungsfluss R r  j ˜ Xr @ ˜ I

R r  j ˜ (X L  X C )

93

Zr ˜ I

§ 1 · R r  j ˜ ¨ ZL r  ¸ ZC r ¹ ©

XL = ZLr

XC



1 ZC r

Die ohmschen Anteile eines komplexen Widerstandes Zr finden sich also grundsätzlich im Realteil, die induktiven Anteile im positiven Imaginärteil und die kapazitiven Anteile im negativen Imaginärteil. Der komplexe Effektivwert der Gesamtspannung U teilt sich in drei Teilspannungen auf: U = UR + UX = UR + UL + UC = Rr · I + jZLr · I +

1 ˜I jZ C r

mit

UR = Rr · I

auch „Wirkspannung“ Uw

und

UX = UL + UC = j (XL + XC) · I = jXr · I

auch „Blindspannung“ Ub

Zr = Zr ˜ e jMr = Zr · cos M + j · Zr · sin M

U U ˜ cos M  j ˜ ˜ sin M I I

Zr · I = U = U · cos M + j · U · sin M, UR = U · cos M

UX = U · sin M

U = UR 2  UX2

Zeigerbilder der Ströme und Spannungen und komplexen Widerstände

94

4 Wechselstromtechnik

Komplexer Leitwert Y

1 Z

Y

Y ˜ e  jM

ˆi uˆ

i (t) u(t)

I U

I  j(M M ) u i e U

Y · cos M – j · Y · sin M= G + j · B Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom:

Betrag von Y: Scheinleitwert oder Admittanz Y

Y

ˆi uˆ

1 Z

I U

G 2  B2

M

Mu  Mi

– arc tan

B G

Realteil von Y: Wirkleitwert oder Konduktanz

Imaginärteil von Y: Blindleitwert oder Suszeptanz

G = Re{Y} = Y · cos M

B = Im{Y} = – Y · sin M

Komplexer Leitwert der Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen

m

I

¦

Ii

i 1

I

mR

¦

IRi 

i 1

1

mC

¦

ICi 

i 1

mL

¦ ILi i 1

mC

mL

i 1

i 1

1

¦ R i U  ¦ jZCi U  ¦ jZLi U i 1

I

mR

mL § m R 1 mC 1 · ¨ ¸˜U  jZCi  ¨ R jZ L i ¸ i 1 ©i 1 i i 1 ¹

¦

¦

1 Rp

¦

mR

1 R 1 i

¦ i

§ 1 1  jZCp  ¨¨ jZ L p © Rp

jZ C p

mC

¦

jZCi

i 1

Cp =

mC

¦ i 1

Ci

· ¸¸ ˜ U ¹

1 j ZL p

mL

1 Lp

mL

1

¦ jZLi i 1

1

¦ Li i 1

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

I

ª 1 § 1  j ˜ ¨ ZC p  « ¨ ZL p «¬ R p ©

I

ª 1 º  j ˜  BC  BL » ˜ U « «¬ R p »¼ 1  j ˜ Bp Rp

mit Yp

und Bp = BC + BL

95

·º ¸¸ » ˜ U ¹ »¼

ª¬G p  j ˜ Bp º¼ ˜ U

Yp ˜ U

§ 1 1 1  j ˜ (BC  BL )  j ˜ ¨ ZCp  ¨ Rp Rp Z Lp © BC = ZCp

BL = 

1 ZL p

· ¸¸ ¹ 1 Gp = Rp

Die ohmschen Anteile eines komplexen Leitwertes Yp finden sich also grundsätzlich im Realteil, die kapazitiven Anteile im positiven Imaginärteil und die induktiven Anteile im negativen Imaginärteil. Der komplexe Effektivwert des Gesamtstroms I teilt sich also in drei Teilströme auf: 1 1 I IR  IB IR  IC  IL U  jZCp ˜ U  ˜U Rp jZ L p mit

IR

1 U Rp

und

IB

IC  IL

Yp

Yp ˜ e jM

Gp ˜ U j ˜ (BC  BL ) ˜ U

Yp ˜ cos M  j ˜ Yp ˜ sin M

auch „Wirkstrom“ Iw j ˜ Bp ˜ U

auch „Blindstrom“ Ib

I I cos M  j ˜ ˜ sin M U U

Yp · U = I = I · cos M + j · I · sin(– M) IR = I · cos M

IB = I · sin(– M) = – I · sin M

I

I R 2  I B2

Zeigerbilder der Spannungen und Ströme und komplexen Leitwerte von Wechselstromleitwerten

96

4 Wechselstromtechnik

Spannungsteilerregel Für zwei in Reihe geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Spannungsteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich: Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Spannungen über zwei vom gleichen sinusförmigen Strom durchflossenen Widerstände verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Widerstände.

U1 U2

Z1 Z2

U1 U

Z1 Z1  Z2

U2 U

Z2 Z1  Z2

Stromteilerregel

Für zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände gilt die Stromteilerregel analog wie in der Gleichstromtechnik nur im komplexen Bereich: Die komplexen Zeitfunktionen oder die komplexen Effektivwerte der Ströme durch zwei parallel geschaltete Wechselstromwiderstände, an denen die gleiche sinusförmige Spannung anliegt, verhalten sich wie die zugehörigen komplexen Leitwerte und sind umgekehrt proportional zu den komplexen Widerständen. Die komplexe Zeitfunktion oder der komplexe Effektivwert des Teilstroms verhält sich zur komplexen Zeitfunktion oder zum komplexen Effektivwert des Gesamtstroms wie der komplexe Widerstand, der nicht vom Teilstrom durchflossen ist, zum komplexen Ringwiderstand.

I1 I2 I1 I

Y1 Y2

Z2 Z1

Z2 Z1  Z2

I2 I

Z1 Z1  Z2

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

97

Dreieck-Stcrn-Transformation:

Z2 ˜ Z3 Z1  Z2  Z3

Z1'

Z3 ˜ Z1 Z1  Z2  Z3

Z'2

Z3'

Z1 ˜ Z2 Z1  Z2  Z3

Merkregel: Sternwiderstand =

Produkt der beiden Dreieckwiderstände Summe aller Dreieckwiderstände

Stern-Dreieck-Transformation:

Z1

Z ' ˜ Z' Z'2  Z'3  2 3 Z1'

Z1' ˜ Z'2  Z'2 ˜ Z3'  Z1' ˜ Z3' Z1'

Z2

Z1'  Z3' 

Z1' ˜ Z3' Z'2

Z1' ˜ Z'2  Z'2 ˜ Z3'  Z1' ˜ Z3' Z'2

Z3

Z1'  Z'2 

Z1' ˜ Z'2 Z3'

Z1' ˜ Z'2  Z'2 ˜ Z3'  Z1' ˜ Z3' Z3'

98

4 Wechselstromtechnik

Parallel geschaltete Reihenschaltungen – äquivalente Schaltungen

YCp

R Cr 1 R Cr 2  2 2 Z Cr R Cr 2 

mit

YLp

R Cp

 j˜

1 ZC r 1 R Cr 2  2 2 Z Cr

1

1

Z2 Cr 2

Z2 C

R Cr

und

R Lr ZL r  j˜ R Lr 2  Z2 L r 2 R Lr 2  Z2 L r 2

mit RLp =

1  jZCp R Cp

R Lr 2  Z2 L r 2 R Lr § 1 1  ¨¨ © R Cp R Lp

Cp

R Cr 2 

r

1 Z2 Cr 2

1 1  j˜ R Lp ZL p

und Lp =

R Lr 2  Z2 L r 2 Z2 L r

· § 1 ¸¸  j ˜ ¨¨ ZCp  ZL p ¹ ©

· ¸¸ ¹

Yp

YCp  YLp

Yp

1 § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ R Cr R Lr ZL r ZC r ¨ ¸  j˜¨ ¸   1 1 R Lr 2  Z2 L r 2 ¸ R Lr 2  Z2 L r 2 ¸ ¨ ¨ 2 2 ¨ R Cr  Z2 C 2 ¸ ¨ R Cr  Z2 C 2 ¸ © ¹ © ¹ r r

4.3 Wechselstromwiderstände und Wechselstromleitwerte

99

In Reihe geschaltete Parallelschaltungen – äquivalente Schaltungen

ZLr

mit

ZCr

mit

1 R Lp 1

1  2 2 2 R Lp Z Lp

R Lr

 j˜

1 ZL p 1

1  2 2 2 R Lp Z Lp

1

1 R Lp

und

1 1  R Lp 2 Z2 L p 2 1 R Cp

1  Z2 Cp 2 R Cp 2

 j˜

ZC p 1  Z2 Cp 2 R Cp 2

1 R Cp

R Cr

1 R Cp

2



R Lr  jZL r

Z2 Cp 2

Lr

Z2 L

1 1  R Lp 2 Z2 L p 2

R Cr  j

1 ZC r

1

und

Cr

p

R Cp 2

 Z2 Cp 2

Z2 Cp

§ 1 · (R Lr  R Cr )  j ˜ ¨ ZL r  ¸ Z Cr ¹ ©

Zr

ZLr  ZCr

Zr

1 1 1 § · § ¨ ¸ ¨ ZL p ZC p R Lp R Cp ¨ ¸  j˜¨   1 1 1 1 1 1 ¨ ¨ 2 2¸ 2 2 ¨ R 2  Z2 L 2 R 2  Z Cp ¸ ¨ R 2  Z2 L 2 R 2  Z Cp p Cp p Cp © Lp ¹ © Lp

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

100

4 Wechselstromtechnik

Komplexer Leitwert einer Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen:

1 Zr

G p  jBp

mit G p

Rr R r  Xr 2

Yp

X r Rr  j˜ 2 2 R r  Xr R r  Xr 2 2

Rr Zr 2

2

R r ˜ Yr 2 und



Bp

Xr R r  Xr 2 2



Xr Zr 2

X r ˜ Yr 2

Beispiel:

Yp

Rp

§ 1 1 ·  j ˜ ¨ ZC p  ¸ ¨ Rp ZL p ¸¹ ©

§ 1 · R r 2  ¨ ZL r  ¸ Z Cr ¹ © Rr

2

1 Z2Cr

Cp Rr

2

§ 1 ·  ¨ ZL r  ¸ Cr ¹ Z ©

§ 1 · R r 2  ¨ ZL r  ¸ Cr ¹ Z © Z2 L r

Lp

2

2

Komplexer Widerstand einer Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen: Gp Bp 1 Zr R r  jX r  j˜ 2 2 2 Yp G p  Bp G p  Bp 2

mit R r

Gp 2

G p  Bp

Gp 2

Yp

2

G p ˜ Zp 2

und X r

 Bp 2

 Bp

G p  Bp

2

Yp 2

 Bp ˜ Z p 2

Beispiel:

Zr

Rr

§ 1 · R r  j ˜ ¨ ZL r  ¸ ZCr ¹ © 1 Rp § 1 1 ·  ¨ ZC p  ¸ ZL p ¸¹ R p 2 ¨©

2

Lr

1 Z2 L p § 1 1 ·  ¨ ZC p  ¸ ZL p ¸¹ R p 2 ¨©

2

Cr

§ 1 1 ·  ¨ ZC p  ¸ ZL p ¸¹ R p 2 ¨© Z2Cp

2

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

101

4.4 Praktische Berechnung von Wechselstromnetzen

(Band 2, S.23-27 und S.64-93)

Das Verfahren 1, die Lösung der Differentialgleichung im Zeitbereich, ist wohl prinzipiell einfach, aber rechnerisch zu aufwendig und findet deshalb in der Praxis keine Anwendung. Die Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe von komplexen Zeitfunktionen, also das Verfahren 2, wird dann bevorzugt, wenn die Differentialgleichung aus anderen Gründen aufgestellt werden muss. Die meist gewählten Verfahren für die Behandlung von Wechselstromnetzen sind das Verfahren 3 „die Lösungsmethode mit Widerstandsoperatoren“ und das Verfahren 4 „die grafische Lösung mit Hilfe von Zeigerbildern“. Beide Verfahren gehen von der Schaltung mit komplexen Operatoren und komplexen Effektivwerten aus. Die Rechenhilfen (Spannungsteilerregel und Stromteilerregel, siehe Abschnitt 4.3, S. 96) und die fünf Netzberechnungsverfahren der Gleichstromtechnik (siehe Abschnitt 2.3, S. 16-22) führen ohne Differentialgleichungen zu Lösungen im Bildbereich, die dann auf die beschriebene Weise rücktransformiert werden können (siehe Abschnitt 4.2, S. 87). Die Zeigerdarstellung ist die grafische Beschreibung des Rechenverfahrens.

102

4 Wechselstromtechnik

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von ohmschen Widerständen, Induktivitäten und Kapazitäten 4.5.1 Die Reihenschaltung von Wechselstromwiderständen – die Reihen- oder Spannungsresonanz (Band 2, S.94-106)

Schaltbild des Reihenschwingkreises im Bildbereich

Reihenschwingkreis mit u

I

mit

und

i

uˆ ˜ sin (Zt  Mu )

U

U U § 1 · R r  j ˜ (X L  X C ) R r  j ˜ X r R r  j ˜ ¨ ZL r  ¸ Cr ¹ Z ©

Zr

Zr

Mr = arc Zr

R r 2  Xr 2

arc tan

u § 1 · R r  j ˜ ¨ ZL r  ¸ ZC r ¹ ©

R r2

arc tan

X L  XC Rr

U Z r ˜ e j Mr

§ 1 · R r 2  ¨ ZL r  ¸ Cr ¹ Z © ZL r 

arc tan

1 ZCr

Rr

uˆ ˜ e j(Zt Mu ) 2

§ 1 · j˜ arc tan (ZLr 1/ ZCr ) / R r R r 2  ¨ ZL r  ¸ ˜e ZC r ¹ ©

1 § ZL r  ¨ ZC r ˜ sin ¨¨ Zt  Mu  arc tan 2 Rr © § 1 ·  ¨ ZL r  ¸ ZC r ¹ © uˆ

i

Xr Rr

R r 2  (X L  X C )2

U Zr

· ¸ ¸¸ ¹

2

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

103

Reihenresonanz, Spannungsresonanz

Zr = Zr = Rr mit X r

X L  XC

Resonanzbedingung: ZL r

1 ZC r

ZL r 

1 ZCr

0

Resonanzkreisfrequenz: Z0 =

1

Resonanzfrequenz: f0

L r Cr

1 2S ˜ L r C r

Zeigerbild des Reihenschwingkreises bei Xr = 0

Induktiver und kapazitiver Widerstand bei Resonanz - Kennwiderstand XL

X C

X kr

Lr Cr

mit

[X kr ]

Frequenzabhängigkeit der Blindwiderstände

mitZ = x · Z0 und

0dxf

1:

104

4 Wechselstromtechnik

relative Verstimmung vr

Xr

1· § X kr ˜ ¨ x  ¸ x¹ ©

X kr ˜ Q r

mit vr = x 

z.B. Z

2Z0 Q r

1 12

1,50

Z

3Z0 Q r

2 23

2, 67

Z

Z

4Z0 Q r

3 34

3, 75

Z

Z

5Z0 Q r

4 54

4,80

Z

1 x 1Z 2 0 1Z 3 0 1Z 4 0 1Z 5 0

z.B. Z

Z Z0  Z0 Z

f f  0 f0 f

Qr

1 12

1,50

Qr

2 32

2, 67

Qr

3 34

3, 75

Qr

4 54

4,80

normierte Verstimmung Vr

Zr Rr

R r  j ˜ Xr Rr

mit Q r

X kr Rr

und Vr

Qr ˜ Q r

1 j˜

Xr Rr

1 j˜

X kr ˜ Qr Rr

Lr Cr Rr

1  j ˜ Qr ˜ Qr

1  j ˜ Vr

als Kreisgüte, Gütefaktor oder Resonanzschärfe des Kreises

1· § Qr ˜ ¨ x  ¸ x¹ ©

§ f f · Qr ˜ ¨  0 ¸ © f0 f ¹

als normierte Verstimmung

Bandbreite Die Bandbreite eines Reihen-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fg1:

'f = fg2 – fg1 mit Vr2 = Qr · vg2 = + 1 Vr1 = Qr · vg1 = – 1

und Zr1

Zr2

Rr

Rr

2

und f02

f g1 ˜ f g2

Die Kreisgüte Qr und die Bandbreite 'f sind also umgekehrt proportional:

Qr =

1 Q rg

f0 'f

Z0 'Z

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

105

Frequenzabhängigkeit des Stroms – Strom-Resonanzkurven

U

I=

U

1· § R r 2  X kr 2 ˜ ¨ x  ¸ x¹ © I U / Rr

2

R r ˜ 1  Qr 2 ˜ Q r 2

1

1

1· § 1  Qr 2 ˜ ¨ x  ¸ x¹ ©

2

2

1  Qr ˜ Q r

1 2

1  Vr 2

Der Strom hat sein Maximum bei Resonanz, also bei x = 1 und beträgt Imax =

Bei 45°-Verstimmung ist Vr = r 1 und I U / Rr

1 2

0, 707

Die Bandbreite 'f ist mit 'Z = 2S · 'f 'x

'Z Z0

Zg2  Zg1 Z0

und die Kreisgüte Qr

f0 'f

Z0 'Z

1 'x

x g2  x g1

U . Rr

106

4 Wechselstromtechnik

Frequenzabhängigkeit der Spannungen

x˜U

UL =

x˜U

1 1· §  ¨x  ¸ 2 x¹ Qr ©

1  Qr 2 Qr 2

2

U

UC = x˜

U

1 1· §  ¨x  ¸ x¹ Qr 2 ©

2

x˜

1  Qr 2 Qr 2

Die Maxima der induktiven und der kapazitiven Spannung liegen bei xL

ZU L max Z0

1 1

1 2Q r 2

!1

und

xC

ZUC max Z0

1

1 1 2Q r 2

und sind gleich: U L max U

U C max U

1 1 § 1 · ˜ ¨1  ¸ 2 Qr © 4Qr 2 ¹

Qr 1

1 4Qr 2

Frequenzabhängigkeit der Phasenverschiebung

Mr

1· § arc tan Q r ¨ x  ¸ x¹ ©

Beispiel: Resonanzkurven I(x), UL(x), UC(x) und Mr(x) bei der Güte Qr =2: (linearer Maßstab)

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

107

4.5.2 Die Parallelschaltung von Wechselstromwiderständen – die Parallel- oder Stromresonanz (Band 2, S.107-120)

Parallelschwingkreis mit i ˆi ˜ sin(Zt  Mi )

U

mit

und

u

u=

I § 1 G p  j ˜ ¨ ZCp  ¨ Lp Z ©

Yp

Schaltbild des Parallelschwingkreises im Bildbereich

· ¸¸ ¹

2

I G p  j ˜ (BC  BL )

G p  Bp

Yp

Mp = arc Yp

arc tan

2

Bp Gp

I G p  j ˜ Bp

2

G p  (BC  BL

arc tan

BC  BL Gp

)2

Gp

I Yp

2

Yp ˜ e j Mp

§ 1  ¨ ZCp  ¨ ZL p ©

ZC p  arc tan

I

1 ZL p

Gp

ˆi ˜ e j(Zt Mi )

i § 1 1  j ˜ ¨ ZC p  ¨ ZL p Rp ©

· ¸¸ ¹

1 R p2

§ 1  ¨ ZC p  ¨ Z Lp ©

2

· j˜ arc tan R p ˜ (ZCp 1/ ZL p ) ¸¸ ˜ e ¹

ª § 1 ˜ sin «Zt  Mi  arc tan R p ¨ ZCp  ¨ 2 Z Lp © ¬« § 1 1 ·  ¨ ZC p  ¸ ZL p ¸¹ R r 2 ¨© ˆi

·º ¸¸ » ¹ ¼»

· ¸¸ ¹

2

108

4 Wechselstromtechnik

Parallelresonanz, Stromresonanz Yp

Yp

Gp

1 Rp

mit

Resonanzbedingung: ZC p

Bp

BC  BL

Resonanzkreisfrequenz:

1 ZL p

Z0

ZC p 

1 Cp L p

Kapazitiver und induktiver Leitwert bei Resonanz - Kennleitwert

 BL

Bkp

Cp Lp

mit [Bkp] = 1:–1 = 1S

Frequenzabhängigkeit der Blindleitwerte

mit Z = x · Z0 und 0 d x  f

0

Resonanzfrequenz:

Zeigerbild des Parallelschwingkreises bei Bp = 0

BC

1 ZL p

f0

1 2S ˜ C p L p

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

109

relative Verstimmung vp

1· § Bp = Bkp ˜ ¨ x  ¸ x¹ ©

Bkp ˜ Q p

z.B. Z

2Z0 Q p

1 12

1,50

Z

3Z0 Q p

2 23

2, 67

Z

Z

4Z0 Q p

3 34

3, 75

Z

Z

5Z0 Q p

4 54

4,80

Z

vp = x 

mit

z.B. Z

Z Z  Z0 Z

1 x 1Z 2 0 1Z 3 0 1Z 4 0 1Z 5 0

f f  0 f0 f

Qp

1 12

1,50

Qp

2 23

2, 67

Qp

3 43

3, 75

Qp

4 54

4,80

normierte Verstimmung Yp

G p  j ˜ Bp

Gp

Gp

1 j˜

Bp

1 j˜

Gp

Bkp Gp

˜ Qp

1  j ˜ Qp ˜ Q p

Cp mit Q p und Vp

Bkp

Lp

Gp

Gp

Qp ˜ Q p

1  j ˜ Vp

als Kreisgüte, Gütefaktor oder Resonanzschärfe des Kreises § f f · Qp ˜ ¨  0 ¸ f ¹ © f0

1· § Qp ˜ ¨ x  ¸ x¹ ©

als normierte Verstimmung

Bandbreite Die Bandbreite eines Parallel-Resonanzkreises ist gleich der Differenz der Grenzfrequenzen fg2 und fg1:

'f = fg2 – fg1 und

mit Vp2 = Qp · vg2 = + 1 Vp1 = Qp · vg1 = – 1

Yp1

Yp2

Gp

Gp

2

und f02

fg1 ˜ f g2

Je größer die Kreisgüte Qp ist, umso kleiner ist die Bandbreite 'f:

Qp =

1 Q pg

f0 'f

Z0 'Z

110

4 Wechselstromtechnik

Frequenzabhängigkeit der Spannung und der Ströme

I

U =

I

1· § G p 2  Bkp 2 ˜ ¨ x  ¸ x¹ © IC =

x˜I

2

G p 2  Bkp 2 ˜ Q p 2 x˜I

1 1· §  ¨x  ¸ x¹ Qp 2 ©

1  Qp2 Qp 2

2

I

IL = x˜

I

1 1· §  ¨x  ¸ x¹ Qp2 ©

2

x˜

1  Qp2 Qp 2

Die Resonanzkurven für U, IC und IL des Parallelschwingkreises entsprechen den Resonanzkurven für I, UL und UC des Reihenschwingkreises. Parallelschaltung verlustbehafteter Blindwiderstände

ª§ 1 · § «¨ ¸ ¨ R Cr R Lr ZL r ZC r ¸  j˜¨ I «¨   R Lr 2  Z2 L r 2 ¸ R Lr 2  Z2 L r 2 «¨ R 2  1 ¨R 2  1 ¸ ¨ Cr «¨ Cr Z2 Cr 2 Z2 Cr 2 ¹ © ¬©

Parallelresonanz oder Stromresonanz Resonanzbedingung:

ZL r 2 R Lr  Z2 L r 2

1 ZC r R Cr 2 

1 2 Z Cr 2

Resonanzkreisfrequenz:

Z0

1 L r Cr

˜

Lr Cr L  r Cr

R Lr 2  R Cr 2

·º ¸» ¸» ˜ U ¸» ¸» ¹¼

4.5 Die Reihenschaltung und Parallelschaltung von R, L und C

111

Praktischer Parallel-Resonanzkreis mit RCr = 0:

komplexer Leitwert: § 1 1  j ˜ ¨ ZCp  ¨ R Lp Z Lp ©

§ · R Lr ZL r  j ˜ ¨ ZCr  2  Z2 L 2 ¸ R Lr 2  Z2 L r 2 R © Lr r ¹

Yp

Resonanzkreisfrequenz: 1

Z0

L r Cr

˜ 1

§R · 1  ¨ Lr ¸ L r Cr © L r ¹

R Lr 2 ˜ Cr Lr

2

Güte: Qp =

Bkp Gp

mit Gp =

R Lp ˜ Z0 Cp 1 Rp

1 R Lp

Lr R Lr 2 Cr und

1 Bkp = Z0 Cp

komplexer Widerstand: 1 j ZC r 1  j ZL r  j ZC r

(R Lr  jZL r ) ˜ Z R Lr Z

R Lr L (1  Z2 L r Cr)  R Lr 2 Cr  jZ ˜ r (1  Z2 L r Cr ) 2  (ZR Lr Cr )2 (1  Z2 L r Cr ) 2  (ZR Lr Cr ) 2

· ¸¸ ¹

112

4 Wechselstromtechnik

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik 4.6.1 Schaltungen für eine Phasenverschiebung von 90° zwischen Strom und Spannung (Band 2, S.123-126) Hummelschaltung

Zwischen dem Spulenstrom i1 und der anliegenden Spannung u besteht die Phasenverschiebung von 90°, wenn

Rp

Z2 ˜ L r1 ˜ L r2  R r1 ˜ R r2 R r1  R r2

Polekschaltung

Cp =

Brückenschaltung für eine 90°-Phasenverschiebung

Zwischen dem Spulenstrom i1 und der anliegenden Spannung u wird eine Phasenverschiebung von 90° erreicht, wenn folgende Bedingung erfüllt wird:

Rr1 + Rr +

(R 2  R r ) ˜ (R r1  R 3 )  Z2 L r L r1 R 2  R3

0

Z2 (L

R r1  R r2 r1 ˜ R r2  L r2 ˜ R r1 )

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

113

4.6.2 Schaltung zur automatischen Konstanthaltung des Wechselstroms – die Boucherot-Schaltung (Band 2, S.126-127) I3

Z2 ˜ U Z1Z2  Z3 ˜ (Z1  Z2 )

Soll I3 unabhängig vom komplexen Widerstand Z3 sein, dann muss Z3 · (Z1 + Z2) Null sein, d. h. Z1 + Z2 = 0: R1 + R2

!

0 und X1 + X2

!

0

Realisierung: Z1  Z2 mit

1 ZC

I3

j˜

§ 1 · j˜¨  ZL ¸ Z C © ¹

Z1  Z2

1 · § j ˜ ¨ ZL  ¸ Z C¹ ©

mit ZL

1 ZC

0

ZL

C ˜U L

I3

j˜

C ˜U L

4.6.3 Wechselstrom-Messbrückenschaltungen (Band 2, S.128-135) Grundsätzlicher Aufbau und Abgleichbedingung

Z1 Z2

Z3 Z4

oder Z1 Z2

Z3 Z4

und M1  M2

M3  M4

Vergleich von Wechselstromwiderständen gleicher Art: verschiedener Art: R1 Z3 R1 Z3 R 2 Z4 Z2 R 4

0

114

4 Wechselstromtechnik

Kapazitäts-Messbrücke:

R1 R2

j ZC 4 jZC3

C4 C3

Cx = C3

C4

R2 R1

Wechselstrombrücke mit verlustbehafteten Kondensatoren:

Z3

R r3

R1 Z4 R2 R rx

R1 R 1 R r4  1 R2 R 2 jZCr4

R r3 

R1 R r4 R2

R2 Cr4 R1

Cr3

Crx

1 jZCr3

Maxwell-Wien-Brücke:

Z3 R r3

R r3  jZL r3 R rx

R1 R 4  jZR1R 4 Cp2 R p2

R1 R4 R p2

L r3

Illiovicibrücke:

R r1

R2 (R 3  R 5 ) R4

L r1

§ R · CR 2 R 3 ˜ ¨1  5 ¸ R4 ¹ ©

Andersonbrücke:

R r1

R2 ˜ R3 R4

L r1

§ R R · CR 2 R 3 ˜ ¨1  5  5 ¸ R 4 R3 ¹ ©

L rx

R1R 4 Cp2

4.6 Spezielle Schaltungen der Wechselstromtechnik

115

Schering-Messbrücke R r2 

1 jZCr2

R r2

R1 ˜

Cp3 1 R ˜ 1  R1 ˜ jZC4 R p3 C4

Cp3

Cr2

C4

C4 ˜

R p3 R1

Tangens des Verlustwinkels: tan Gr

Z ˜ R r2 ˜ Cr2

Z ˜ R p3 ˜ Cp3

Zeigerbilder

Frequenz-Messbrücke nach Wien: R1 R2

R r3 Cp4 1   jZR r3Cp4  R p4 Cr3 jZR p4 Cr3 R r3 Cp4  R p4 Cr3

R1 R2

Z

ZR r3Cp4

1 R r3Cr3 R p4 Cp4

Wien-Robinson-Brücke: R1 = 2 · R2

Z

1 ZR p4 Cr3

Cr3 = Cp4 = C

Rr3 = Rp4 = R

1 R ˜C

Der Messbereich der Frequenz-Messbrücken umfasst Frequenzen f von 30Hz bis 100kHz.

116

4 Wechselstromtechnik

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis 4.7.1 Augenblicksleistung, Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung und komplexe Leistung (Band 2, S.138-160) Wechselstromleistung p=u·i T

P=

1 p(t) ˜ dt T

³ 0

1 2S

2S

³ p(Zt) ˜ d(Zt) 0

Leistung im ohmschen Widerstand

p=u·i p U ˜ I ˜ (1  cos 2Zt) P=U˜I

R ˜ I2

U2 R

Leistung und magnetische Energie im induktiven Widerstand

p = u · i = U · I · sin 2Zt p = ZL · I2 · sin 2Zt P=0 L ˜ i2 wm = 2 L ˜ I2 ˜ (1  cos 2Zt) wm 2 Leistung und elektrische Energie im kapazitiven Widerstand

p = u · i = U · I · sin 2Zt p = ZC · U2 · sin 2Zt P=0 we =

C ˜ u2 2

we =

C ˜ U2 ˜ (1  cos 2Zt) 2

Augenblicksleistung der arithmetische Mittelwert der Augenblicksleistung, Wirkleistung

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

117

Augenblicksleistung eines beliebigen Wechselstromwiderstandes Wirkleistung, Blindleistung, Scheinleistung

Mit u = uˆ · sin Zt mit Mu = 0 und i = ˆi · sin(Zt – M) mit Mi = Mu – M = – M p = u · i = U · I · cos M – U · I · cos(2Zt – M) p = P – S · cos (2Zt – M) p = P · (1 – cos 2Zt) – Q · sin 2Zt Wirkleistung P = U · I · cos M in W

Blindleistung Q = S · sin M in Var

Scheinleistung S=U·I in VA

Leistungsfaktor cos M

P  S

Beispiel:

Strom, Spannung und Augenblicksleistung für einen verlustbehafteten induktiven Wechselstromwiderstand für die Phasenverschiebung M = S/3 bzw. 60° :

Zerlegung der Augenblicksleistung in einen Wirkanteil und einen Blindanteil

118

4 Wechselstromtechnik Reihenschaltung:

Parallelschaltung:

Wirkleistung P = I · (U · cos M) = I · UR

P = U · (I · cos M) = U · IR P = U2 ˜ G p

P = I2 · Rr

U2 Rp

Blindleistung Q = I · (U · sin M) = I · UX

Q = U · (I · sin M) = U · (– IB)

Q = I2 · Xr

Q = – U2 · Bp induktive Blindleistung Q = U2 ·

Q = I2 · ZLr

1 ZL p

kapazitive Blindleistung Q = – I2 ·

1 ZC r

Q = – U2 · ZCp Scheinleistung

S = U · I = I2 · Zr

S = U · I = U2 · Yp

S = I2 ˜ R r 2  X r 2

S = U 2 ˜ G p 2  Bp 2 induktive Scheinleistung

S = I2 ˜ R r 2  Z2 L r 2

S = U2 ˜

1 1  2 2 Rp Z Lp 2

kapazitive Scheinleistung S = I2 ˜ R r 2 

1 Z2 Cr 2

S = U2 ˜

1  Z2 Cp 2 R p2

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

119

Komplexe Leistung

S

U ˜ I* mit U

S

und I *

U ˜ I ˜ e j(Mu Mi ) mit

S

U ˜ e jM u

I ˜ e  jMi

S ˜ e jM

S=U·I

M = Mu – Mi

und

Leistungsdreieck

S · cos M + j · S · sin M = P + j · Q

mit P = Re{S} = S · cos M und Q = Im{S) = S · sin M Q und tan M = und S = | S | = P 2  Q2 P wenn der Strom I gegeben: wenn die Spannung gegeben: S

Z ˜ I2

I2 Y

Gütefaktor

g = tan M

S

U2 Z*

Y* ˜ U 2

Verlustfaktor

Q

d=

P

1 P = tan G = g Q

Reihenschaltung g = tan M = d = tan G =

mit dem Verlustwinkel G = S/2 – | M | Parallelschaltung

Xr

g = tan M =

Rr Rr Xr

d = tan G =

Bp Gp Gp Bp

für Spulen: gL = tan ML =

ZL r R Lr

gL = tan ML =

dL = tan GL =

R Lr ZL r

dL = tan GL =

R Lp ZL p ZL p R Lp

für Kondensatoren: gC = tan MC =

1 ZR Cr Cr

dC = tan GC = ZR Cr Cr

gC = tan MC = ZR Cp Cp dC = tan GC =

1 ZR Cp Cp

120

4 Wechselstromtechnik

4.7.2 Die Messung der Wechselstromleistung (Band 2, S.161-166) Messung der Scheinleistung

Spannungsrichtige Messung

Stromrichtige Messung

Messung der Wirk- und Blindleistung mit elektrodynamischem Leistungsmesser

Spannungsrichtige Messschaltung

Blindleistungsmessung mit der Hummelschaltung

Stromrichtige Messschaltung

Blindleistungsmessung mit der Polekschaltung

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

121

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei-Voltmeter-Methode

Die Innenwiderstände der Spannungsmesser müssen so hochohmig sein, dass die durch sie fließenden Ströme vernachlässigbar klein gegenüber den Strömen durch die Widerstände sind.

P=

U12  (U 22  U32 ) 2 ˜ Rv

cos M =

Q

U12  (U 2 2  U32 ) 2 ˜ U 2 ˜ U3

§ U 2  (U 2 2  U32 ) · U2 ˜ U 32  ¨ 1 ¸ Rv 2 ˜ U2 © ¹

2

Zeigerbild:

Messung der Wirk- und Blindleistung mit der Drei-Amperemeter-Methode

Die Innenwiderstände der Strommesser müssen so niederohmig sein, dass die an ihnen abfallenden Spannungen vernachlässigbar klein gegenüber den Spannungen an den Widerständen sind.

I12  (I2 2  I32 ) 2 2 2 I  (I2  I32 ) cos M = 1 2 ˜ I 2 ˜ I3 P = Rp ˜

§ I 2  (I2 2  I32 ) · Q = I 2 ˜ R p ˜ I 32  ¨ 1 ¸ 2 ˜ I2 © ¹

Zeigerbild: 2

122

4 Wechselstromtechnik

4.7.3 Verbesserung des Leistungsfaktors – Blindleistungskompensation (Band 2, S.167-174)

Reihen-Kompensation

Parallel-Kompensation

Zeigerbild der teilweisen Reihen-Kompensation

Zeigerbild der teilweisen Parallel-Kompensation

Zeigerbild der vollständigen Reihen-Kompensation

Zeigerbild der vollständigen Parallel-Kompensation

Für die vollständige Kompensation ist Cr =

P 2

Z ˜ U Kr ˜ tan M

mit UKr = UR

Cp =

P ˜ tan M Z ˜ U Kp 2

mit UKp = U

Die Spannung U bzw. der Strom I werden vermindert auf UKr = UR = U · cos M

IKp = IR = U/Rp

Wird bei der Reihenkompensation UKr = UR auf die Netzspannung U erhöht, dann vergrößert sich der Strom von IKr = UR/Rr auf I'Kr = U/Rr.

4.7 Die Leistung im Wechselstromkreis

123

4.7.4 Wirkungsgrad und Anpassung (Band 2, S.174-183) Wirkungsgrad

PN Pges

K

mit

PN PN  PV

PN: genutzte Wirkleistung Pges: zugeführte gesamte Wirkleistung Pv: Wirkleistungsverluste

Wirkungsgrad und komplexe Anpassung im Grundstromkreis Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle:

Pa Pa  Pi

K

1 R 1 i Ra

Pa = I2 · Ra=

Uq 2 ˜ R a (R i  R a )2  (Xi  X a ) 2

f (R a , X a )

Anpassungsbedingung:

Za

Z*i

mit Ra + j·Xa = Ri – j·Xi oder Pa max =

Za ˜ e jMa

Zi ˜ e jMi

Uq 2 4 ˜ Ri

Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle: Pa Pa  Pi

K

Pa =

U2 Ra

1 R 1 a Ri

U2 ˜ Ga =

Iq 2 ˜ G a (G i  G a ) 2  (Bi  Ba ) 2

f (G a , Ba )

Anpassungsbedingung: Ya

Yi*

mit Ga + j·Ba = Gi – j·Bi Pa max

Iq 2 4 ˜ Gi

bzw.

Ya · ejMa = Yi · e–jMi

124

5 Ortskurven 5.1 Begriff der Ortskurve (Band 2, S.186-188) Allgemeine Ortskurvengleichung

O

A + p ˜ B  p2 ˜ C  p3 ˜ D  ...

p ein reeller Parameter

A c + p ˜ Bc  p2 ˜ Cc  p3 ˜ Dc  ...

Ermittlung der Ortskurve Jeder Punkt der Ortskurve könnte für ein gewähltes p errechnet und in der Gaußschen Zahlenebene eingetragen werden. Die Punkte verbunden ergeben die Ortskurve. Bei Ortskurven höherer Ordnung bleibt auch nichts anderes übrig, als die Ortskurve auf diese Weise zu ermitteln, weil sie nicht konstruiert werden kann. Sind die Ortskurven einfach wie Geraden, Kreise und Parabeln oder handelt es sich um überlagerte einfache Ortskurven, dann sollten die Ortskurven nach Konstruktionsanleitungen konstruiert werden. Bei der Überlagerung von einfachen Ortskurven werden zunächst die einfachen Ortskurven konstruiert und anschließend die Zeiger für gleiche Parameter p überlagert. Bei der Ermittlung einer Ortskurve sollte nach folgenden Schritten vorgegangen werden: 1. Ermittlung der Gleichung für die Größe, für die die Ortskurve ermittelt werden soll. 2. Einführung des Parameters p in den variablen Teil der Größe, wodurch sich die Ortskurvengleichung ergibt. 3. Konstruktion der Ortskurve, falls es sich um eine einfache Ortskurve oder um überlagerte einfache Ortskurven handelt.

Gerade:

G=A+p·B

Kreis durch den Nullpunkt:

K=

1 G

Kreis in allgemeiner Lage:

K=

A  p˜B C p˜D

Parabel:

P

1 A  p˜B L

1 E p˜F

A  p ˜ B  p2 ˜ C A  p ˜ B  p2 ˜ C D p˜E

1 D E  p˜ F F (Das ist die Überlagerung eines Kreises mit einer Geraden.)

zirkulare Kubik:

O=

R  p˜S 

oder Berechnung der einzelnen Ortskurvenpunkte bei Variation des reellen Parameters p. Hierbei genügen meist einige Ortskurvenpunkte für ganze p, um der Verlauf der Ortskurve zu erkennen. Zwischenwerte der Ortskurve für gebrochene p-Werte lassen sich nachträglich errechnen und in das Ortskurvenbild eintragen.

5.3 Ortskurve „Kreis durch den Nullpunkt“

125

5.2 Ortskurve „Gerade“ (Band 2, S.188-192) G=A+p·B mit –f