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6 34 18 18 > 18 1 p 6 5 : ¼ 2 34 2 2
8 Dezimalzahlen und Dualzahlen Es gibt verschiedene Mo¨glichkeiten zur Darstellung von Zahlen. Die einzelnen Zeichen zur Darstellung von Zahlen sind die Zahlzeichen oder Ziffern. Grundsa¨tzlich unterscheidet man zwischen sogenannten Positions- oder Stellenwertsystemen und Additionssystemen. Bei einem Positionssystem ist der Wert einer Ziffer abha¨ngig von der Position dieser Ziffer innerhalb der Zahl. Bei Additionssystemen wird der Wert aller Zahlzeichen einfach addiert, um den Wert der Zahl festzulegen. Ein Beispiel fu¨r ein Positionssystem ist unser Dezimalsystem, ein Beispiel fu¨r ein Additionssystem ist das ro¨mische Zahlensystem.
8.1 Dezimalsystem Die heute u¨bliche Schreibweise der Zahlen ist die Dezimalschreibweise, das heißt, es gibt 10 verschiedene Ziffern (0, 1, 2, . . ., 9) zur Darstellung der Zahlen. Jede Ziffer hat den zehnfachen Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziffer. Im Dezimalsystem dargestellte Zahlen nennt man Dezimalzahlen. &
Beispiel: 3607 ¼ 3 103 þ 6 102 þ 0 101 þ7 100 ¼ 3000 þ 600 þ 0 þ 7
Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich also folgendermaßen: Die Einerstelle bleibt unvera¨ndert (Multiplikation mit 100 ¼ 1), die Zehnerstelle wird mit 101 ¼ 10, die Hunderterstelle wird mit 102 ¼ 100, die Tausenderstelle wird mit 103 ¼ 1000, . . ., die n-te Stelle wird mit 10n 1 multipliziert.
Das Dezimalsystem (auch Zehnersystem genannt) ist also ein Positionssystem zur Basis 10. Eine solche Schreibweise wurde erst mo¨glich nach Einfu¨hrung der Null (fu¨r „nichts“). Unser Zahlensystem wurde im ersten Jahrtausend nach der Zeitenwende in Indien entwickelt. Es gelangte u¨ber den arabischen Raum zuna¨chst nach Spanien und dann nach Mitteleuropa, wo noch bis zum 16. Jahrhundert mit dem ro¨mischen Zahlensystem gerechnet wurde. Wegen dieses Ursprungs nennt man unsere Ziffern auch indisch–arabische Ziffern. Im Dezimalsystem lassen sich auch rationale und reelle Zahlen darstellen. Die Darstellung einer reellen (rationalen oder irrationalen) Zahl als Dezimalzahl nennt man auch Dezimalbruch (vgl. auch Abschnitt I.3). &
Beispiel: 486;2545 ¼ 4 102 þ 8 101 þ 6 100 þ 2 101 þ 5 102 þ 4 103 þ 5 104 ¼ 400 þ 80 þ 6 þ 0;2 þ 0;05 þ 0;004 þ 0;0005
Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, daß die n-te Stelle vor dem Komma mit 10n 1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 10m multipliziert wird. Ist a ¼ an an 1 . . . a2 a1 a0 ; a1 a2 . . . am eine Zahl mit den Ziffern an ; an1 ; . . . ; a2 ; a1 ; a0 vor dem Komma und den Ziffern a1 ; a2 ; . . . ; am nach dem Komma, dann gilt also a¼
n P i ¼ m
ai 10i
ð Þ
Die Stellen mit i 0 bilden den ganzen Teil, die mit i < 0 den gebrochenen Teil der Zahl. Fu¨r andere Zahlensysteme, na¨mlich Positionssysteme zur Basis B, gilt ð Þ ganz analog, wenn man 10 durch die entsprechende Basis B ersetzt (zum Beispiel B ¼ 2 fu¨r das Dualsystem).
8.2 Dualsystem Das Dualsystem ist ein System zur Darstellung der Zahlen, in dem es nur zwei Ziffern (0 und 1) gibt. Das Dualsystem wird deshalb manchmal auch Bina¨rsystem oder Zweiersystem genannt. Es ist ein Positionssystem zur Basis 2. Der Wert einer Ziffer ist also abha¨ngig von der Position innerhalb der Zahl. Jede Ziffer hat den doppelten Stellenwert der ihr rechts folgenden Ziffer. Im Dualsystem dargestellte Zahlen nennt man Dualzahlen. &
Beispiel: Der Dualzahl 1 001 101 entspricht die Dezimalzahl 1 26 þ 0 25 þ 0 24 þ 1 23 þ 1 22 þ 0 21 þ 1 20 ¼ 64 þ 0 þ 0 þ 8 þ 4 þ 0 þ 1 ¼ 77.
Die Umrechnung von einem Zahlensystem in ein anderes wird als Konvertierung bezeichnet. Werden mehrere Zahlensysteme gleichzeitig benutzt, so ist
I Arithmetik es zur Vermeidung von Irrtu¨mern u¨blich, die Basis als Index anzuha¨ngen.
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9 Logarithmen 9.1 Definition des Logarithmus
&
Beispiel: 1 001 1012 ¼ 7710
Die Darstellung reeller Zahlen im Dualsystem ist analog der Darstellung im Dezimalsystem. Der Wert einer Ziffer innerhalb der Zahl ergibt sich dadurch, daß die n-te Stelle vor dem Komma mit 2n 1 und die m-te Stelle nach dem Komma mit 2m multipliziert wird. &
Beispiel: 101 100 011;10112 ¼ 1 28 þ 1 26 þ 1 25 þ 1 2 þ 1 1 þ 1 21 þ 1 23 þ 1 24 1 1 1 11 ¼ 256 þ 64 þ 32 þ 2 þ 1 þ þ þ ¼ 355 ¼ 355;687510 2 8 16 16
Dualsysteme sind sehr bedeutend in Elektrotechnik und Datenverarbeitung. Computer sind zeichenverarbeitende Maschinen. Die externen Zeichen (Buchstaben, Ziffern, Sonderzeichen) werden intern im Bina¨rcode in Form von Bitfolgen dargestellt. Ein Bit (Abku¨rzung von Binary Digit) ist die kleinste darstellbare Informationseinheit mit den Werten 0 und 1. Acht Bit werden zur na¨chstho¨heren Einheit, dem Byte, zusammengefaßt. Zahlen werden in Computern in mehreren aufeinanderfolgenden Bytes dargestellt. Die interne Durchfu¨hrung arithmetischer Operationen erfolgt im Computer also im Dualsystem. Andere Zahlensysteme, die im Zusammenhang mit der Nutzung von Computern eine Rolle spielen, sind das Oktalsystem (Positionssystem zur Basis 8) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 und das Hexadezimalsystem (Positionssystem zur Basis 16) mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F (die Buchstaben A, . . ., F stehen fu¨r die Werte 10, . . ., 15).
8.3 Runden Als Dezimalstellen einer Dezimalzahl bezeichnet man die Stellen nach dem Komma. Runden ist das Verku¨rzen einer Dezimalzahl, also die Darstellung einer Dezimalzahl mit einer vorgegebenen Anzahl von Dezimalstellen. Rundungsregel Ist die erste weggelassene Ziffer 0, 1, 2, 3, 4, dann bleibt die letzte geschriebene Ziffer unvera¨ndert. Ist die erste weggelassene Ziffer 5, 6, 7, 8, 9, dann erho¨ht sich die letzte geschriebene Ziffer um 1. Ist die gerundete Zahl kleiner als die urspru¨ngliche Zahl (die erste weggelassene Ziffer ist dann 0, 1, 2, 3 oder 4), spricht man von Abrunden. Ist die gerundete Zahl jedoch gro¨ßer als die urspru¨ngliche Zahl (die erste weggelassene Ziffer ist dann 5, 6, 7, 8 oder 9), so spricht man von Aufrunden. &
Beispiele: 3;456 3;46 (aufgerundet); 23;699 23;70 (aufgerundet); 14;3449 14;34 (abgerundet); 17;249 638 9 17;2496 (auf 4 Dezimalstellen gerundet)
Eine Zahl der Form loga b (gesprochen: Logarithmus b zur Basis a) heißt Logarithmus. Dabei heißt b Numerus des Logarithmus und ist eine reelle Zahl gro¨ßer als 0, und a heißt Basis des Logarithmus und ist eine positive reelle Zahl ungleich 1. loga b b>0 a > 0; a 6¼ 1
Logarithmus b zur Basis a Numerus Basis
Der Logarithmus loga b ist definiert als die eindeutige Lo¨sung x der Gleichung ax ¼ b. loga b ¼ x , ax ¼ b Der Logarithmus x ¼ loga b ist also der Exponent zu der Basis a, fu¨r den die Potenz ax gleich dem Numerus b ist. Aus der Definition folgt (denn a1 ¼ a und a0 ¼ 1) loga a ¼ 1 &
Beispiele: 1. log2 8 ¼ x 2. log4 16 ¼ x 3. log4 4 ¼ x 4. log5 1 ¼ x 5. log3 81 ¼ x 6. log5 57 ¼ x 7. log10 1000 ¼ x 8. log2 0;5 ¼ x
loga 1 ¼ 0
)x¼3 )x¼2 )x¼1 )x¼0 )x¼4 )x¼7 )x¼3
denn denn denn denn denn denn denn
) x ¼ 1
denn
9. loga 8 ¼ 1 )a¼8 1 ¼ 3 ) a ¼ 5 10. loga 125 3 5 ¼ 1 ) a ¼ 11. loga 5 3 12. log10 b ¼ 1 5 13. log4 b ¼ 2
denn denn denn
) b ¼ 0;1
denn
) b ¼ 32
denn
23 ¼ 8 42 ¼ 16 41 ¼ 4 50 ¼ 1 34 ¼ 81 57 ¼ 57 103 ¼ 1000 1 ¼ 0;5 21 ¼ 2 1 8 ¼8 1 53 ¼ 125 1 5 3 ¼ 3 5 1 ¼ 0;1 101 ¼ 10 pffiffiffiffiffi 5 42 ¼ 45 ¼ 25 ¼ 32
9.2 Spezielle Basen Logarithmen zur Basis a ¼ 10 heißen Zehnerlogarithmen oder dekadische Logarithmen oder Briggssche Logarithmen (nach dem englischen Mathematiker Henry Briggs, 1556––1630). Man schreibt statt log10 b auch einfach lg b. log10 b ¼ lg b Logarithmen mit der Eulerschen Zahl e ¼ 2;718 281 82 . . . als Basis werden natu¨rliche Logarithmen oder Nepersche Logarithmen (nach dem schottischen Mathematiker John Neper (Napier), 1550 bis 1617) genannt. Man schreibt ln b fu¨r loge b. loge b ¼ ln b
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Mathematik
Die Eulersche Zahl e ist der Grenzwert der Folge 1 n (vgl. Abschnitt VIII.1.5): 1þ n 1 n ¼ 2;718 281 828 4 . . . e ¼ lim 1 þ n !1 n Sie hat ihren Namen nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler (1707––1783). Die Eulersche Zahl ist eine irrationale Zahl. Logarithmen zur Basis a ¼ 2 heißen Zweierlogarithmen oder bina¨re Logarithmen oder duale Logarithmen. Man schreibt statt log2 b manchmal auch ld b. log2 b ¼ ld b &
loga ður Þ ¼ r loga u Beweis: Setze loga u ¼ x ) ax ¼ u ) ur ¼ ðax Þr ¼ arx ) rx ¼ loga ður Þ ¼ r loga u &
Beispiele: 1. log2 32 ¼ ld 32 ¼ x pffiffiffi 2. ld 2 ¼ x
denn 25 ¼ 32 pffiffiffi 1 denn 22 ¼ 2
3. 4. 5.
denn 104 ¼ 10 000 denn 102 ¼ 0;01 denn e1;6094 ... ¼ 5
) x ¼ 35 1 )x¼ 2 log10 10 000 ¼ lg 10 000 ¼ x ) x ¼ 4 lg 0;01 ¼ x ) x ¼ 2 ) x ¼ 1;6094 . . . loge 5 ¼ ln 5 ¼ x
3. Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem mit dem Exponenten multiplizierten Logarithmus der Basis. Oder: Multipliziert man den Logarithmus einer Zahl u mit einer Zahl r, dann erha¨lt man den Logarithmus der Potenz ur .
4. Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem durch den Wurzelexponenten dividierten Logarithmus des Radikanden. Oder: Dividiert man den Logarithmus einer Zahl u durch eine Zahl n, pffiffiffi dann erha¨lt man den Logarithmus der Wurzel n u.
9.3 Regeln der Logarithmenrechnung 1. Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren. Oder: Addiert man zum Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erha¨lt man als Summe den Logarithmus des Produkts uv. loga ðu vÞ ¼ loga u þ loga v Beweis: Setze loga u ¼ x; loga v ¼ y ) loga u þ loga v¼ x þ y ax ¼ u; ay ¼ v ) u v ¼ ax ay ¼ ax þ y ) loga ðu vÞ ¼ x þ y &
Beispiel: log2 256 ¼ ld 256 ¼ ld ð4 64Þ ¼ ld 4 þ ld 64 ¼ 2 þ 6 ¼ 8
2. Der Logarithmus eines Bruches (Quotienten) ist gleich der Differenz der Logarithmen von Za¨hler (Dividend) und Nenner (Divisor). Oder: Subtrahiert man vom Logarithmus einer Zahl u den Logarithmus einer Zahl v, dann erha¨lt man als Differenz den Logarithmus des Bruches (Quou tienten) . v u loga ¼ loga u loga v v Beweis: Setze loga u ¼ x; loga v ¼ y ) loga uloga v ¼ x y u ax ax ¼ u; ay ¼ v ) ¼ y ¼ ax y v a u ¼xy ) loga v &
9 ¼ log3 9 log3 243 ¼ 2 5 ¼ 3 Beispiel: log3 243
Beispiele: 1. log2 83 ¼ 3 log2 8 ¼ 3 log2 23 ¼ 3 3 ¼ 9 2. lg 10 000 ¼ lg 104 ¼ 4 lg 10 ¼ 4
loga
p ffiffiffi 1 n u ¼ loga u n
Beweis: pffiffiffi 1 Wegen n u ¼ un folgt p ffiffiffi 1 1 loga n u ¼ loga un ¼ loga u n aus der Potenzregel. &
Beispiele: pffiffiffi 1 1 log5 5 ¼ 1. log5 3 5 ¼ 3 3 p ffiffiffiffiffi 1 1 1 2. log2 3 64 ¼ log2 64 ¼ log2 26 ¼ 6 ¼ 2 3 3 3
5. Aus den Regeln ergeben sich die folgenden Spe1 zialfa¨lle (denn ar ¼ ar und loga ¼ loga 1 loga v v ¼ 0 loga v). loga ðar Þ ¼ r und loga
1 ¼ loga v v
9.4 Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen Fu¨r Logarithmen mit verschiedenen Basen a und c gilt folgende Umrechnungsregel loga u ¼
logc u logc a
Beweis: Setze loga u ¼ x. Es folgt ax ¼ u; also auch logc ax ¼ logc u. Nach der Potenzregel ergibt sich
I Arithmetik
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logc u . Welogc a logc u gen x ¼ loga u folgt die Behauptung: loga u ¼ . logc a Logarithmen zu verschiedenen Basen (a und c) unterscheiden sich also nur durch einen konstanten 1 . Faktor logc a Fu¨r c ¼ u ¼ b ergibt sich der Spezialfall x logc a ¼ logc u und nach x aufgelo¨st x ¼
loga b ¼
&
2. 3. 4.
x ¼
1 1 lg u ¼ lg u lg e 0;4342 . . . 1 1 lg u ¼ ln u ¼ ln u ln 10 2;3025 . . . 1 1 lg u ¼ lg u log5 u ¼ lg 5 0;6989 . . . 1 1 lg 1000
3 6;907 755 279 ln 1000 ¼ lg e 0;434 294 481 9
Die dekadischen Logarithmen (auch Briggssche Logarithmen oder Zehnerlogarithmen genannt) haben den Vorteil, daß man mit den Logarithmen der Dezimalzahlen zwischen 1 und 10 u¨ber die Logarithmen aller positiven reellen Zahlen verfu¨gt. Begru¨ndung: Jede reelle Zahl x la¨ßt sich durch Abspalten einer Zehnerpotenz 10k mit ganzzahligem k in der Form x ¼ 10k x mit 1 x < 10 schreiben. Dabei ist x durch die Ziffernfolge von x bestimmt, wa¨hrend 10k die Gro¨ßenordnung von x angibt. Logarithmieren ergibt lg x ¼ lg ð10k xÞ ¼ lg ð10k Þ þ lg x ¼ k þ lg x mit 0 lg x < 1 (also lg x ¼ 0; . . .). Man nennt k die Kennzahl und die Ziffernfolge hinter dem Komma von lg x die Mantisse des Logarithmus von x. Von einer vor dem Komma n-stelligen Zahl ist die Kennzahl n 1 (also um 1 kleiner). Fu¨r Zahlen kleiner als 1 sind die Kennzahlen negativ. Logarithmentafeln enthalten in der Regel nur die Mantisse. Alle Zahlen, die sich nur durch Zehnerpotenzen unterscheiden, haben die gleiche Mantisse, aber unterschiedliche Kennzahlen. Beispiele: 1. lg 2250 ¼ lg ð1000 2;25Þ ¼ lg ð103 2;25Þ ¼ lg 103 þ lg 2;25
3 þ 0;3522 ¼ 3;3522 1 2. lg 0;0315 ¼ lg 3;15 ¼ lg ð3;15 102 Þ 100 2 ¼ lg 3;15 þ lg 10 0;4983 2 3. lg 2000 ¼ lg ð103 2Þ ¼ lg 103 þ lg 2 3 þ 0;3010 ¼ 3;3010; lg 200 2;3010; lg 20 1;3010; lg 2 0;3010; lg 0;2 0;3010 1; lg 0;02 0;3010 2; lg 0;002 0;3010 3
aþb 2
Das arithmetische Mittel xa ¼ x von n reellen Zahlen a1 ; a2 ; . . . ; an ist x ¼
&
a1 þ a2 þ . . . þ an n
Beispiele: 1.
ln u ¼
9.5 Dekadische Logarithmen
&
Das arithmetische Mittel xa ¼ x zweier reeller Zahlen a und b ist die Ha¨lfte ihrer Summe.
1 logb a
Beispiele: 1.
10 Mittelwerte 10.1 Arithmetisches Mittel
2.
3 þ 17 ¼ 10. 2 Das arithmetische Mittel von 6; 4; 3; 12; 5; 2 ist 6 4 þ 3 þ 12 þ 5 þ 2 ¼ 4. 6 Das arithmetische Mittel von 3 und 17 ist
10.2 Geometrisches Mittel Das geometrische Mittel xg zweier positiver reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel aus ihrem Produkt. xg ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ab
Das geometrische Mittel xg von n positiven reellen Zahlen a1 ; a2 ; . . . ; an ist xg ¼ &
p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n a a ... a 1 2 n
Beispiele: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1. Das geometrische Mittel von 3 und 12 ist 3 12p¼ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 6. ffi 2. Das geometrische Mittel von 3, 5, 9, 15 ist 4 3 5 9 15 p p ffiffiffiffiffi ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 4 ¼ 2025 ¼ 3 25:
10.3 Harmonisches Mittel Das harmonische Mittel xh zweier von Null verschiedener reeller Zahlen a und b ist Zwei geteilt durch die Summe ihrer Kehrwerte. xh ¼
2 1 1 þ a b
Das harmonische Mittel xh von n von Null verschiedenen reellen Zahlen a1 ; a2 ; . . . ; an ist xh ¼
&
n 1 1 1 þ þ ... þ a1 a2 an
Beispiele: 1. 2.
2 2 ¼ ¼ 4. 1 1 1 þ 3 6 2 Das harmonische Mittel von 3, 4, 6, 12 ist 4 4 24 ¼ 4;8. ¼ ¼ 1 1 1 1 10 5 þ þ þ 3 4 6 12 12
Das harmonische Mittel von 3 und 6 ist
18
Mathematik
10.4 Quadratisches Mittel
Eigenschaften von Ungleichungen:
Das quadratische Mittel xq zweier reeller Zahlen a und b ist die Quadratwurzel der halben Summe ihrer Quadrate.
1. a a (Reflexivita¨t) 2. a b und b c ) a c (Transitivita¨t) 3. a b und b a ) a ¼ b (Antisymmetrie)
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 xq ¼ 2 Das quadratische Mittel xq von n reellen Zahlen a1 ; a2 ; . . . ; an ist sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a21 þ a22 þ . . . þ a2n xq ¼ n &
Beispiele: 1. 2.
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 12 þ 72 Das quadratische Mittel von 1 und 7 ist ¼ 25 ¼ 5: 2 Das quadratische Mittel von 2, 6, 10, 16 ist rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 22 þ 62 þ 102 þ 162 396 ¼ ¼ 99: 4 4
Rechenregeln fu¨r Ungleichungen: Eine Ungleichung kann von beiden Seiten gelesen werden: a < b , b > a fu¨r alle a; b 2 R Auf beiden Seiten einer Ungleichung darf dieselbe Zahl addiert werden: a b ) a þ c b þ c fu¨r alle a; b; c 2 R Zwei gleichgerichtete Ungleichungen du¨rfen addiert werden: a b und c d ) a þ c b þ d fu¨r alle a; b; c; d 2 R, a < b und c d ) a þ c < b þ d fu¨r alle a; b; c; d 2 R Eine Ungleichung darf mit einer nichtnegativen Zahl multipliziert werden:
11 Ungleichungen
a b und c 0 ) ac bc fu¨r alle a; b 2 R
11.1 Definitionen und Rechenregeln
Wird eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um:
Zwischen zwei reellen Zahlen a und b besteht genau eine der drei Beziehungen: a ¼ b (a ist gleich b), a < b (a ist kleiner als b), a > b (a ist gro¨ßer als b). Der Winkelhaken ist dabei immer nach der gro¨ßeren Seite hin geo¨ffnet. a; b 2 R : a ¼ b oder a < b oder a > b Wegen dieser Eigenschaft nennt man die Menge R der reellen Zahlen geordnet. Im Falle a 6¼ b (a ungleich b) gilt genau eine der beiden Ungleichungen a < b oder a > b. a 6¼ b ) a < b oder a > b Die Ungleichung a b bedeutet, daß a kleiner oder gleich b ist (a ist also nicht gro¨ßer als b), und die Ungleichung a b bedeutet entsprechend, daß a gro¨ßer oder gleich b ist (b ist also nicht gro¨ßer als a). Ist a < b und b < c, dann kann man die beiden Ungleichungen fortlaufend schreiben: a < b < c. Man nennt dies fortlaufende Ungleichung oder Ungleichungskette. a < b < c , a < b und b < c Entsprechend schreibt man zum Beispiel a < x und x b zusammenfassend als a < x b. Fortlaufende Ungleichungen werden oft benutzt, um einen Bereich oder ein Intervall anzugeben, aus dem eine Gro¨ße x gewa¨hlt werden darf oder gewa¨hlt werden soll.
a b und c 0 ) ac bc fu¨r alle a; b 2 R Bildet man auf beiden Seiten einer Ungleichung den Kehrwert, so dreht sich das Ungleichheitszeichen um: 1 1 ab) fu¨r alle a; b 2 R* a b Aus der Multiplikationsregel folgt im besonderen (Multiplikation mit 1), daß das Vertauschen der Vorzeichen auf beiden Seiten einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen umdreht: a < b ) a > b &
Beispiele: 1. 3 3; 5 5; 12;2 12;2 2. 3 5; 5 6 ) 3 6; 4 5; 5 7;1 ) 4 7;1 3. 3 3; 3 3 ) 3 ¼ 3 4. 3 < 5 , 5 > 3; 1 > 2 , 2 < 1 5. 5 7 ) 5 þ 2 7 þ 2; 4 > 1 ) 4 3 > 1 3 6. 3 < 4; 7 < 9 ) 3 þ 7 < 4 þ 9; 4 3; 2 5 )42 35 7. 5 7 ) 5 3 7 3; 3 > 4 ) 3 2 > 4 2 8. 4 > 2 ) 4 ð2Þ < 2 ð2Þ; 6 7 ) 6 ð1Þ 7 ð1Þ ) 6 7 1 1 1 1 9. 2 < 3 ) > ; 5 > 6 ) < 2 3 5 6
11.2 Absolutbetrag Der Betrag oder Absolutbetrag jaj einer Zahl a stellt auf der Zahlengeraden den Abstand der Zahl a vom Nullpunkt dar. Da Absta¨nde nicht negativ sind, gilt jaj ¼ a fu¨r a 0 und jaj ¼ a fu¨r a < 0. jaj ¼
a a
fur € a0 fur € a ag (offenes Intervall, .. nach rechts unbeschrankt) ð1; a ¼ fx j x 2 R und x ag (halboffenes Intervall, .. nach links unbeschrankt) ð1; aÞ ¼ fx j x 2 R und x < ag (offenes Intervall, .. nach links unbeschrankt) ð1; 1Þ ¼ fxjx 2 Rg (offenes Intervall, nach links und nach rechts .. unbeschrankt)
Beispiele: 1. j4; 3j ¼ 4; 3; j 2j ¼ 2; j pj ¼ p; j0j ¼ 0 2. 3. 4. 5.
j3 4j ¼ j3j j4j ¼ 3 4 ¼ 12; jð3Þ 4j ¼ j3j j4j ¼ 3 4 ¼ 12 2 j2j 2 1 1 1 3 ¼ j3j ¼ 3 ; 4 ¼ j4j ¼ 4 1 1 1 jð3Þ5 j ¼ j3j5 ¼ 35 ; ¼ ¼ ð2Þ3 j2j3 23 j4 þ 2j j4j þ j2j ) 6 4 þ 2 ¼ 6; j5 3j j5j þ j3j ) 2 5 þ 3 ¼ 8
11.3 Intervalle Es seien a und b zwei reelle Zahlen mit a < b. Die Menge aller reellen Zahlen x, die die fortlaufende Ungleichung a < x < b erfu¨llen, heißt Intervall oder Zahlenintervall mit den Endpunkten oder Randpunkten a und b (genauer: offenes und beschra¨nktes Intervall). Geho¨rt der Randpunkt nicht selbst zum Intervall, so spricht man von einem offenen Intervallende, im entgegengesetzten Fall von einem abgeschlossenen Intervallende. Die Angabe eines Intervalls erfolgt durch seine Randpunkte a und b, indem diese in Klammern gesetzt werden. Eine eckige Klammer steht fu¨r ein abgeschlossenes Intervallende, eine runde fu¨r ein offenes Intervallende. Geho¨ren beide Randpunkte zu dem Intervall, so heißt es abgeschlossen. Geho¨rt nur einer der Randpunkte (also entweder a oder b) zum Intervall, so heißt es halboffen. Geho¨rt keiner der Randpunkte zum Intervall, so heißt es offen. Intervalle dienen der Beschreibung von Zahlenmengen. Man unterscheidet beschra¨nkte und nicht beschra¨nkte Intervalle. Bei einem beschra¨nkten Intervall sind die Intervallgrenzen a und b reelle Zahlen. Es besteht aus allen reellen Zahlen x, die zwischen diesen beiden Grenzen liegen. Beschra¨nkte Intervalle ½a; b ¼ fx j x 2 R und a x bg ða; bÞ ¼ fx j x 2 R und a < x < bg ½a; bÞ ¼ fx j x 2 R und a x < bg ða; b ¼ fx j x 2 R und a < x bg
(abgeschlossenes Intervall) (offenes Intervall) (halboffenes Intervall) (halboffenes Intervall)
Das Symbol mit der Schreibweise 1 heißt unendlich und steht fu¨r „beliebig groß“. Das Symbol 1 heißt entsprechend minus unendlich und steht fu¨r „beliebig klein“. Die Symbole 1 und 1 sind keine reellen Zahlen; 1 ist kleiner als jede reelle Zahl, 1 ist gro¨ßer als jede reelle Zahl.
&
Beispiele: 1. ½3; 4 ¼ fx j x 2 R und 3 x 4 < 4g Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; sowohl 3 als auch 4 geho¨ren zum Intervall. 2. ½3; 4Þ ¼ fx j x 2 R und 3 x < 4g Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geho¨rt zum Intervall, 4 jedoch nicht. 3. ð3; 4 ¼ fx j x 2 R und 3 < x 4g Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; 3 geho¨rt nicht zum Intervall, aber 4. 4. ð3; 4Þ ¼ fx j x 2 R und 3 < x < 4g Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 4; weder 3 noch 4 geho¨ren zum Intervall. 5. ½3; 1Þ ¼ fx j x 2 R und x 3g Alle reellen Zahlen gro¨ßer oder gleich 3 geho¨ren zum Intervall (3 geho¨rt dazu). 6. ð3; 1Þ ¼ fx j x 2 R und x > 3g Alle reellen Zahlen gro¨ßer als 3 geho¨ren zum Intervall (3 geho¨rt nicht dazu). 7. ð1; 4 ¼ fx j x 2 R und x 4g Alle reellen Zahlen kleiner oder gleich 4 geho¨ren zum Intervall (4 geho¨rt dazu). 8. ð1; 4Þ ¼ fx j x 2 R und x < 4g Alle reellen Zahlen kleiner als 4 geho¨ren zum Intervall (4 geho¨rt nicht dazu). 9. ð1; 1Þ ¼ fx j x 2 Rg Alle reellen Zahlen geho¨ren zum Intervall.
12 Komplexe Zahlen 12.1 Algebraische Form Im Bereich der reellen Zahlen besitzt die p Gleichung ffiffiffiffiffiffiffi xp2 ffiffiffiffiffiffi þ ffi1 ¼ 0 keine Lo¨sung. Ebenso stellen 3 oder 4 6 keine reellen Zahlen dar. Falls eine quadratische Gleichung keine reelle Lo¨sung besitzt, ist es trotzdem mo¨glich, Lo¨sungen anzugeben und zwar komplexe Zahlen als Lo¨sungen. Zur Darstellung dieser komplexen Zahlen wird eine Erweiterung des Bereichs der reellen Zahlen vorgenommen. Ausgangspunkt ist die imagina¨re Einheit j, deren Quadrat gleich 1 ist: j 2 ¼ 1. 2 Þ Imagina¨re Einheit j
j 2 ¼ 1
2 Þ In der Mathematik wird fu¨r die imagina¨re Einheit der Buchstabe i verwendet, in der Elektrotechnik nimmt man statt dessen jedoch den Buchstaben j, um Verwechslungen mit der Stromsta¨rke i zu vermeiden.
20
Mathematik
Fu¨r die imagina¨re Einheit gilt j 2 ¼ 1; j 3 ¼ j; j 4 ¼ 1 j 4n 3 ¼ j; j 4n 2 ¼ 1; j 4n 1 ¼ j; j 4n ¼ 1 ðn 2 N*Þ Die Zahlen j und j sind Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x2 þ 1 ¼ 0. Mit dieser imagina¨ren Einheit j und zwei reellen Zahlen a und b stellt z ¼ a þ bj eine komplexe Zahl dar. z ¼ a þ bj; a; b 2 R
Dabei wird in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene (siehe Abschnitt VII.1.1) der Realteil a von z auf der Abszissenachse und der Imagina¨rteil b von z auf der Ordinatenachse abgetragen. Jeder komplexen Zahl entspricht ein Punkt der Ebene und umgekehrt. Die Zuordnung von Zahl und Punkt ist eineindeutig. Die reellen Zahlen liegen auf der Abszissenachse, die imagina¨ren Zahlen liegen auf der Ordinatenachse. Deshalb nennt man die Abszissenachse auch reelle Achse und die Ordinatenachse imagina¨re Achse. imaginäre Achse
Eine komplexe Zahl z besteht also aus einem reellen Teil a (Realteil) und einem imagina¨ren Teil b (Imagina¨rteil). Wenn a und b alle mo¨glichen reellen Werte durchlaufen, dann werden alle mo¨glichen komplexen Zahlen z erzeugt. Alle komplexen Zahlen bilden zusammen die Menge C der komplexen Zahlen.
z = a+bj
bj
j –1 0 –j
1
a
reelle Achse
C ¼ fz ¼ a þ bj j a; b 2 Rg –bj
Komplexe Zahlen z mit Realteil gleich 0 (also a ¼ 0) heißen imagina¨re Zahlen, die komplexen Zahlen z mit Imagina¨rteil gleich 0 (also b ¼ 0) sind die reellen Zahlen. Die komplexen Zahlen umfassen also die imagina¨ren Zahlen und die reellen Zahlen. z ¼ a þ bj z ¼ bj ða ¼ 0Þ z ¼ a ðb ¼ 0Þ
komplexe Zahlen .. imaginare Zahlen reelle Zahlen
Komplexe Zahlen z ¼ a þ bj und z ¼ a bj, also mit gleichem Realteil und entgegengesetzt gleichem Imagina¨rteil, heißen konjugiert komplex. Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden, sondern nur noch in einer Zahlenebene, der sogenannten Gaußschen Zahlenebene, darstellbar (Name nach dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß, 1777––1855). imaginäre Achse z1 = a1 + b1j
b1j
z = a–bj
Bild I-2 Konjugiert komplexe Zahlen z und z in algebraischer Form Die Darstellung einer komplexen Zahl in der Form z ¼ a þ bj; bei der kartesische Koordinaten verwendet werden, heißt algebraische Form. Daneben gibt es fu¨r die Darstellung der komplexen Zahlen die trigonometrische Form und die Exponentialform.
12.2 Trigonometrische Form Neben der Darstellung der komplexen Zahlen in algebraischer Form gibt es die Darstellung in trigonometrischer Form (vgl. Kapitel VI): z ¼ rðcos j þ j sin jÞ: Dabei heißt r Modul oder Absolutbetrag (also r ¼ jzj) und j Argument der komplexen Zahl z. Der (orientierte) Winkel j wird im Bogenmaß (vgl. Abschnitt III.10.9) gemessen und ist nur bis auf Vielfache von 2p bestimmt. Deshalb wa¨hlt man meist fu¨r j das halboffene Intervall ½0; 2pÞ, also 0 j < 2p. z ¼ rðcos j þ j sin jÞ; r 2 R; r 0; 0 j < 2p
j a2 –1 0 1 –j
z2 = a2 + b2j
a1 reelle Achse
b2 j
Bild I-1 Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Fu¨r j ¼ 0 ergeben sich die positiven reellen Zahlen, p fu¨r j ¼ p die negativen reellen Zahlen, fu¨r j ¼ 3 2 die positiven imagina¨ren Zahlen und fu¨r j ¼ p 2 die negativen imagina¨ren Zahlen. Statt trigonometrischer Form sagt man mitunter auch goniometrische Form der komplexen Zahlen. Fu¨r die Darstellung der komplexen Zahlen in der Ebene werden fu¨r die trigonometrische Form Polarkoordinaten (siehe Abschnitt VII.1.2) verwendet, wo-
I Arithmetik
21
hingegen fu¨r die algebraische Form kartesische Koordinaten (siehe Abschnitt VII.1.1) benutzt werden.
Die Summe konjugiert komplexer Zahlen z ¼ a þ bj und z ¼ a bj ist reell, die Differenz konjugiert komplexer Zahlen ist imagina¨r.
imaginäre Achse
z þ z ¼ ða þ bjÞ þ ða bjÞ ¼ 2a z z ¼ ða þ bjÞ ða bjÞ ¼ 2bj
r (M
0
od
f (Argument) a (Realteil)
b (Imaginärteil)
z
ul)
&
reelle Achse
Bild I-3 Algebraische und trigonometrische Form einer komplexen Zahl z Fu¨r den Zusammenhang zwischen algebraischer und trigonometrischer Form gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b a2 þ b2 ; tan j ¼ a a ¼ r cos j; b ¼ r sin j r¼
Derselbe Zusammenhang gilt fu¨r die kartesischen Koordinaten und die Polarkoordinaten eines Punktes in der Ebene. Multiplizieren, Dividieren, Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen lassen sich in der trigonometrischen Form einfacher durchfu¨hren.
Beispiele: 1. z1 þ z2 ¼ ð2;66 þ 0;89jÞ þ ð0;81 þ 1;49jÞ ¼ 1;85 þ 2;38j 2. z1 z2 ¼ ð2;66 þ 0;89jÞ ð0;81 þ 1;49jÞ ¼ 3;47 0;60j 3. z þ z ¼ ð2;4 þ 0;9jÞ þ ð2;4 0;9jÞ ¼ 4;8 4. z z ¼ ð2;4 þ 0;9jÞ ð2;4 0;9jÞ ¼ 1;8j
12.4 Multiplizieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 ¼ a1 þ b1 j und z2 ¼ a2 þ b2 j in algebraischer Form werden wie algebraische Summen multipliziert (denn z1 z2 ¼ ða1 þ b1 jÞ ða2 þ b2 jÞ ¼ a1 a2 þ a1 b2 j þ b1 a2 j þ b1 b2 j2 ¼ ða1 a2 b1 b2 Þ þ ða1 b2 þ a2 b1 Þ j wegen j2 ¼ 1). z1 z2 ¼ ða1 þ b1 jÞ ða2 þ b2 jÞ ¼ ða1 a2 b1 b2 Þ þ ða1 b2 þ a2 b1 Þ j Das Produkt konjugiert komplexer Zahlen ist reell. z z ¼ ða þ bjÞ ða bjÞ ¼ a2 þ b2
12.3 Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 ¼ a1 þ b1 j und z2 ¼ a2 þ b2 j werden addiert, indem man die Realteile addiert und die Imagina¨rteile addiert. z1 þ z2 ¼ ða1 þ b1 jÞ þ ða2 þ b2 jÞ ¼ ða1 þ a2 Þ þ ðb1 þ b2 Þ j Komplexe Zahlen z1 ¼ a1 þ b1 j und z2 ¼ a2 þ b2 j werden voneinander subtrahiert, indem man die Realteile subtrahiert und die Imagina¨rteile subtrahiert.
&
Beispiele: 1. z1 z2 ¼ ð3 þ 4jÞ ð5 2jÞ ¼ ð3 5 4 ð2ÞÞ þ ð3 ð2Þ þ 5 4Þ j ¼ 23 þ 14j 2. z z ¼ ð2;4 þ 0;9jÞ ð2;4 0;9jÞ ¼ ð2;4Þ2 þ ð0;9Þ2 ¼ 5;76 þ 0;81 ¼ 6;57
Komplexe Zahlen z1 ¼ r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ und z2 ¼ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ in trigonometrischer Form werden multipliziert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) multipliziert und die Argumente (j1 und j2 ) addiert. z1 z2 ¼ r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ
z1 z2 ¼ ða1 þ b1 jÞ ða2 þ b2 jÞ
¼ r1 r2 ½cos ðj1 þ j2 Þ þ j sin ðj1 þ j2 Þ
¼ ða1 a2 Þ þ ðb1 b2 Þ j Beweis:
imaginäre Achse
z1 z2 ¼ r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ ¼ r1 r2 ½ðcos j1 cos j2 sin j1 sin j2 Þ
z1 + z2
þ ðcos j1 sin j2 þ sin j1 cos j2 Þ j
#
z2
z1
#
# 0
reelle Achse z1 – z2
Bild I-4 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen z1 und z2 (die mit # gekennzeichneten Strecken sind parallel und gleichlang)
¼ r1 r2 ½cos ðj1 þ j2 Þ þ j sin ðj1 þ j2 Þ; denn cos j1 cos j2 sin j1 sin j2 ¼ cos ðj1 þ j2 Þ und cos j1 sin j2 þ sin j1 cos j2 ¼ sin ðj1 þ j2 Þ (siehe Abschnitt VI.6). &
Beispiele: 3. z1 ¼ 3ðcos 20 þ j sin 20 Þ; z2 ¼ 7ðcos 65 þ j sin 65 Þ ) z1 z2 ¼ 3ðcos 20 þ j sin 20 Þ 7ðcos 65 þ j sin 65 Þ ¼ 21ðcos 85 þ j sin 85 Þ
22
Mathematik 4.
5 pffiffiffi 5 3 þ j; 2 2 13 13 pffiffiffi z2 ¼ 13ðcos 60 þ j sin 60 Þ ¼ þ 3j 2 2 1 1 pffiffiffi 3 . denn sin 30 ¼ cos 60 ¼ und sin 60 ¼ cos 30 ¼ 2 2 Es folgt z1 z2 ¼ 5ðcos 30 þ j sin 30 Þ 13ðcos 60 þ j sin 60 Þ ¼ 65ðcos 90 þ j sin 90 Þ ¼ 65j oder 5 pffiffiffi 5 13 13 pffiffiffi 65 pffiffiffi 65 pffiffiffi 3þ j þ 3j ¼ 3 3 z1 z2 ¼ 2 2 2 2 4 4 65 3 65 þ j ¼ 65j þ 4 4 z1 ¼ 5ðcos 30 þ j sin 30 Þ ¼
12.5 Dividieren komplexer Zahlen Komplexe Zahlen z1 ¼ a1 þ b1 j und z2 ¼ a2 þ b2 j in algebraischer Form werden dividiert, indem man mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners (Divisors) erweitert.
Beweis: z1 r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ ¼ z2 r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ ðcos j2 j sin j2 Þ ¼ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ ðcos j2 j sin j2 Þ h i r1 cos j1 cos j2 þ sin j1 sin j2 ¼ þ ðsin j1 cos j2 cos j1 sin j2 Þ j r2 sin2 j2 þ cos 2 j2 r1 ¼ ½cos ðj1 j2 Þ þ j sin ðj1 j2 Þ r2 denn cos j1 cos j2 þ sin j1 sin j2 ¼ cosðj1 j2 Þ; sin j1 cos j2 cos j1 sin j2 ¼ sin ðj1 j2 Þ und sin2 j þ cos 2 j ¼ 1 (siehe Abschnitt VI.6). &
z1 a1 þ b1 j a1 a2 þ b1 b2 b1 a2 a1 b2 ¼ þ j ¼ z2 a2 þ b2 j a22 þ b22 a22 þ b22
z2 7ðcos 65 þ j sin 65 Þ 7 ðcos 45 þ j sin 45 Þ ¼ ¼ 3ðcos 20 þ j sin 20 Þ 3 z1 pffiffiffi 5 5 3 þ j; z1 ¼ 5ðcos 30 þ j sin 30 Þ ¼ 2 2 13 13 pffiffiffi z2 ¼ 13ðcos 60 þ j sin 60 Þ ¼ þ 3j 2 2 Es folgt z1 5ðcos 30 þ j sin 30 Þ 5 ¼ ðcos ð30 Þ þ j sin ð30 ÞÞ ¼ 13ðcos 60 þ j sin 60 Þ 13 z2 5 5 1 pffiffiffi 1 ðcos 30 j sin 30 Þ ¼ 3 j ¼ 13 13 2 2 5 pffiffiffi 5 ¼ 3 j 26 26 oder 5 pffiffiffi 5 13 13 pffiffiffi 5 pffiffiffi 5 3þ j 3j 3þ j z1 2 2 2 2 2 2 ¼ ¼ 13 13 pffiffiffi 13 13 pffiffiffi 13 13 pffiffiffi z2 þ 3j þ 3j 3j 2 2 2 2 2 2 65 pffiffiffi 65 65 65 pffiffiffi 3 3j þ jþ 3 5 pffiffiffi 5 4 4 4 3 j ¼ 4 ¼ 26 26 169 )
5.
ðz2 6¼ 0Þ Beweis: z1 a1 þ b1 j ða1 þ b1 jÞ ða2 b2 jÞ ¼ ¼ z2 a2 þ b2 j ða2 þ b2 jÞ ða2 b2 jÞ a1 a2 þ b1 b2 þ ðb1 a2 a1 b2 Þ j ¼ a22 þ b22 a1 a2 þ b1 b2 b1 a2 a1 b2 ¼ þ j a22 þ b22 a22 þ b22 Der Quotient konjugiert komplexer Zahlen ist wieder eine komplexe Zahl. z a þ bj a2 b2 2ab þ 2 j ¼ ¼ 2 a bj a þ b2 a þ b2 z
Beispiele: 4. z1 ¼ 3ðcos 20 þ j sin 20 Þ; z2 ¼ 7ðcos 65 þ j sin 65 Þ
ðz 6¼ 0Þ
12.6 Potenzieren komplexer Zahlen &
Beispiele: z1 3 þ 4j 3 5 þ 4 ð2Þ 4 5 3 ð2Þ 1. ¼ þ j ¼ z2 5 2j 52 þ ð2Þ2 52 þ ð2Þ2 15 8 20 þ 6 7 26 ¼ þ j¼ þ j 25 þ 4 25 þ 4 29 29 2.
3.
z 2;4 þ 0;9j ð2;4Þ2 ð0;9Þ2 2 2;4 0;9 ¼ ¼ þ j z 2;4 0;9j ð2;4Þ2 þ ð0;9Þ2 ð2;4Þ2 þ ð0;9Þ2 5;76 0;81 4;32 4;95 4;32 ¼ þ j¼ þ j 5;76 þ 0;81 5;76 þ 0;81 6;57 6;57 1 1 ðjÞ ¼ ¼ j j j ðjÞ
Komplexe Zahlen z1 ¼ r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ und z2 ¼ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ in trigonometrischer Form werden dividiert, indem man die Moduln (r1 und r2 ) dividiert und die Argumente (j1 und j2 ) subtrahiert. z1 r1 ðcos j1 þ j sin j1 Þ ¼ r2 ðcos j2 þ j sin j2 Þ z2 r1 ¼ ½cos ðj1 j2 Þ þ j sin ðj1 j2 Þ r2
Ist n eine natu¨rliche Zahl, so wird die n-te Potenz zn von z wie u¨blich durch z0 ¼ 1; zn ¼ zn 1 z definiert. &
Beispiele: 1. z3 ¼ ða þ bjÞ2 ða þ bjÞ ¼ a3 3ab2 þ ð3a2 b b3 Þ j 2. z4 ¼ ða þ bjÞ3 ða þ bjÞ ¼ ½a3 3ab2 þ ð3a2 b b3 Þ j ða þ bjÞ ¼ a4 6a2 b2 þ b4 þ ð4a3 b 4ab3 Þ j
Einfacher la¨ßt sich das Potenzieren komplexer Zahlen in der trigonometrischen Form durchfu¨hren. Mit Hilfe derAdditionstheoreme fu¨r die trigonometrischen Funktionen (vgl. Abschnitt VI.6) erha¨lt man die Formel von Moivre. zn ¼ ½rðcos j þ j sin jÞn ¼ rn ðcos nj þ j sin njÞ ðn 2 N Þ Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird also in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul (r) in die entsprechende Potenz rn erhebt
I Arithmetik
23
und das Argument (j) mit dem Exponenten n multipliziert. &
Beispiel: 5 pffiffiffi 5 3þ j 3. z ¼ 5ðcos 30 þ j sin 30 Þ ¼ 2 2 h 5 pffiffiffi 5 i4 3þ j z4 ¼ 2 2 4 5 pffiffiffi 4 5 pffiffiffi 2 5 2 5 3 6 3 ¼ þ 2 2 2 2 " # 5 pffiffiffi 3 5 5 pffiffiffi 5 3 3 4 3 þ 4 j 2 2 2 2
die Eckpunkte eines regelma¨ßigen n-Ecks mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Die Punkte pffiffi liegen auf einem Kreis mit dem Radius r ¼ n r. Der j Hauptwert w1 besitzt das Argument . Durch wie2p n derholte Drehung um den Winkel erha¨lt man die n weiteren Lo¨sungen. &
625 9 6 25 3 25 625 þ 16 44 16 " # pffiffiffi pffiffiffi 4 125 3 3 5 4 5 3 125 þ j 82 28 pffiffiffi 625 625 3 þ ¼ j 2 2
¼
Beispiel: z ¼ 2;985 984ðcos 60 þ j sin 60 Þ ¼ ð1;2Þ6 ðcos 60 þ j sin 60 Þ; n¼6 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffi j 60 6 ¼ ¼ 10 lauten die sechWegen n r ¼ ð1;2Þ6 ¼ 1;2 und n 6 sten Wurzeln aus z: w1 ¼ 1;2ðcos 10 þ j sin 10 Þ; w2 ¼ 1;2ðcos 70 þ j sin 70 Þ w3 ¼ 1;2ðcos 130 þ j sin 130 Þ; w4 ¼ 1;2ðcos 190 þ j sin 190 Þ w5 ¼ 1;2ðcos 250 þ j sin 250 Þ; w6 ¼ 1;2ðcos 310 þ j sin 310 Þ
imaginäre Achse z
z4 ¼ ½5ðcos 30 þ j sin 30 Þ4 ¼ 54 ðcos 120 þ j sin 120 Þ 1 1 pffiffiffi 3j ¼ 54 ðsin 30 þ j cos 30 Þ ¼ 54 þ 2 2 pffiffiffi 625 625 3 ¼ j þ 2 2
Die Moivresche Formel la¨ßt sich durch vollsta¨ndige Induktion beweisen. Ihre Gu¨ltigkeit la¨ßt sich schrittweise bis auf reelle Exponenten ausdehnen.
r w2 fk wk
12.7 Radizieren komplexer Zahlen
pffiffiffi Die n-te Wurzel n z einer komplexen Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine Lo¨sung der Gleichung wn ¼ z. Setzt man z ¼ rðcos j þ j sin jÞ und w¼ rðcos w þ j sin wÞ, dann folgt mit der Formel von Moivre wn ¼ rn ðcos nw þ j sin nwÞ und wegen wn ¼ z ¼ rðcos j þ j sin jÞ weiter rn ¼ r; cos nw ¼ cos j; sin nw ¼ sin j. Aus rn ¼ r ergibt sich pffiffi r ¼ n r, wa¨hrend es fu¨r cos nw ¼ cos j; sin nw ¼ sin j wegen cos j ¼ cos ðj þ 2kpÞ; sin j ¼ sin ðjþ2kpÞ gej þ 2ðk 1Þp nau n verschiedene Lo¨sungen wk ¼ ; n k ¼ 1; 2; 3; . . . ; n, gibt. Somit gilt: Fu¨r n 2 N* besitzt die Gleichung wn ¼ z ¼ rðcos j þ j sin jÞ genau n verschiedene Lo¨sungen w1 ; w2 ; . . . ; wn (die n-ten Wurzeln aus z). wk ¼ ffiffi p j þ 2ðk 1Þ p j þ 2ðk 1Þ p n r cos þ j sin ; n n k ¼ 1; 2; . . . ; n Die n-te Wurzel aus z ist also nicht eindeutig. Fu¨r k ¼ 1 ergibt sich der sogenannte Hauptwert w1 der n-ten Wurzel. Hauptwert
w1 ¼
p ffiffi j j n þ j sin r cos n n
Stellt man die n-ten Wurzeln wk ; k ¼ 1; 2; 3; . . . ; n in der Gaußschen Zahlenebene dar, so ergeben sich
fn
f f2 n
w1 f1
r
reelle Achse
wn
Bild I-5 Die n-ten Wurzeln w1 ; w2 ; . . . ; wk ; . . . ; wn einer komplexen Zahl z Die n-ten Wurzeln aus z ¼ 1 sind die sogenannten n-ten Einheitswurzeln. n-te Einheitswurzeln &
.. Losungen von wn ¼ z ¼ 1
Beispiele: 1. n ¼ 2 : z ¼ w2 ¼ 1 w1 ¼ 1ðcos 0 þ j sin 0 Þ ¼ 1; w2 ¼ 1ðcos 180 þ j sin 180 Þ ¼ 1 2. n ¼ 3 : z ¼ w3 ¼ 1 w1 ¼ 1ðcos 0 þ j sin 0 Þ ¼ 1 w2 ¼ 1ðcos 120 þ j sin 120 Þ ¼ 1ðcos 60 þ j sin 60 Þ 1 1 pffiffiffi 3j ¼ þ 2 2 w3 ¼ 1ðcos 240 þ j sin 240 Þ ¼ 1ðcos 60 j sin 60 Þ 1 1 pffiffiffi 3j ¼ 2 2 3. n ¼ 4 : z ¼ w4 ¼ 1 w1 ¼ 1ðcos 0 þ j sin 0 Þ ¼ 1 w2 ¼ 1ðcos 90 þ j sin 90 Þ ¼ j w3 ¼ 1ðcos 180 þ j sin 180 Þ ¼ 1 w4 ¼ 1ðcos 270 þ j sin 270 Þ ¼ j
12.8 Eulersche Formel Die Eulersche Formel fu¨r komplexe Zahlen z verknu¨pft die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen miteinander (nach dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler, 1707––1783). Dabei ist e die Eulersche Zahl (vgl. Abschnitt I.8). ejz ¼ cos z þ j sin z ;
z2C
24
Mathematik Setzt man x ¼ j, dann erha¨lt man die sogenannte Exponentialform der komplexen Zahlen.
j w2 –1
w1 1
0 2
w =1
w2
z ¼ rðcos j þ j sin jÞ ¼ rejj j w1 0 w3 = 1
w2 j
w1
w3 –1
0
w4 = 1
1
w3
Dabei ist r der Modul und j das Argument der komplexen Zahl z. Fu¨r das Produkt und den Quotienten zweier komplexer Zahlen z1 ¼ r1 e jj1 und z2 ¼ r2 e jj2 ergibt sich z1 z2 ¼ r1 e jj1 r2 e jj2 ¼ r1 r2 e jðj1 þ j2 Þ
1
z1 r1 e jj1 r1 jðj1 j2 Þ ¼ ¼ e z2 r2 e jj2 r2
w4 –j
Bild I-6 Die n-ten Einheitswurzeln fu¨r n ¼ 2, n ¼ 3 und n ¼ 4
&
Fu¨r reelle Zahlen x (die reellen Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen) gilt ejx ¼ cos x þ j sin x.
ðz2 6¼ 0Þ
Beispiel fu¨r eine komplexe Zahl in verschiedenen Formen: pffiffiffi ! pffiffiffi 3 1 j ¼ 1 þ 3 j (algebraische Form) þ z¼2 2 2 p p þ j sin (trigonometrische Form) ¼ 2 cos 3 3 p ¼ 2e j 3 (Exponentialform)
II Gleichungen 1 Gleichungsarten Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen (mathematischen Operationen) und mo¨glicherweise noch anderen mathematischen Symbolen (zum Beispiel Funktionswerten) besteht. Will man ausdru¨cken, daß ein Term T1 zu einem anderen Term T2 a¨quivalent (gleichwertig) ist, so schreibt man Gleichung
T1 ¼ T2
Eine solche Darstellung heißt Gleichung. Die linke Seite der Gleichung ist T1 , die rechte Seite der Gleichung ist T2 . Mit Hilfe von Gleichungen lassen sich quantitative Beziehungen in Natur und Technik beschreiben. Meist liegen jedoch in der Praxis auftretende Aufgaben nicht in Form von Gleichungen zwischen Termen vor, sondern sie werden als Textgleichungen mit Worten beschrieben. Daraus muß dann durch eine bersetzung in die formale Sprache der Mathematik eine mathematische Beziehung hergestellt werden. Die berlegenheit der mathematischen Symbolik zeigt folgendes Beispiel:
Textgleichung: Den Umfang eines Kreises berechnet man, indem man das Produkt aus dem Verha¨ltnis von Umfang eines beliebigen Kreises zu seinem U Durchmesser ¼ p und dem Kreisradius ðrÞ mit d 2 multipliziert (vgl. Abschnitt III.10). Termgleichung : UKreis ¼ 2pr Man unterscheidet drei verschiedene Arten von Gleichungen: 1. Identische Gleichungen 2. Bestimmungsgleichungen 3. Funktionsgleichungen Eine identische Gleichung oder Identita¨t ist eine Gleichung zwischen zwei algebraischen Ausdru¨cken, die bei Einsetzen beliebiger Zahlenwerte anstelle der darin aufgefu¨hrten Buchstabensymbole erhalten bleibt. &
Beispiele fu¨r identische Gleichungen (Identita¨ten): 1. aðb þ cÞ ¼ ab þ ac 2. ða þ bÞ ðc þ dÞ ¼ ac þ ad þ bc þ bd 3. ða þ bÞ2 ¼ a2 þ 2ab þ b2 a c ad þ bc þ ¼ 4. b d bd nþm 5. an am p ffiffiffiffiffi ffiffiffi¼ a p p ffiffi ffi n n 6. n c d ¼ cd 7. loga ðxyÞ ¼ loga x þ loga y 8. ejx ¼ cos x þ j sin x
II Gleichungen
25
Eine Bestimmungsgleichung ist eine Gleichung, in der Variable (Unbekannte) auftreten, die durch eine Rechnung bestimmt werden sollen. Mit Hilfe zula¨ssiger Rechenoperationen sollen alle Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich bestimmt werden, fu¨r die die Gleichung erfu¨llt ist. Man nennt diese Werte Lo¨sungen oder auch Wurzeln der Gleichung. Alle Lo¨sungen zusammen bilden die Lo¨sungsmenge L der Bestimmungsgleichung. Eine Gleichung hat keine, eine oder mehrere Lo¨sungen. Eine Bestimmungsgleichung ist also nur fu¨r einige spezielle Werte der Variablen erfu¨llt. &
Beispiele fu¨r Bestimmungsgleichungen : 1. x þ 2 ¼ 3 Lo¨sung: x ¼ 1 Lo¨sungsmenge: L ¼ f1g 2. x þ 2 ¼ x þ 3 Keine Lo¨sung Lo¨sungsmenge: L ¼ fg ¼ ; 2 Lo¨sungen: x ¼ 3 und x ¼ 1 3. 2x þ 1 ¼ x 2 Lo¨sungsmenge: L ¼ f1; 3g 2 3 4. 5x 5 ¼ x x Lo¨sungen: x ¼ 5; x ¼ 1 und x ¼ 1 Lo¨sungsmenge: L ¼ f1; 1; 5g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5. 11 x þ 3 ¼ 6 Lo¨sung: x ¼ 22 Lo¨sungsmenge: L ¼ f22g x x2 x 2 Lo¨sung: 6. 3 ¼ 4 4 log 2
2;826 780 x¼ 3 log 2 log 3 4 log 2 Lo¨sungsmenge: L ¼ 3 log 2 log3 7. 8.
lg ð6x þ 10Þ lg ðx 3Þ ¼ 1 sin 2 x 1 ¼ 0;5
Lo¨sung: x ¼ 10 Lo¨sungsmenge: L ¼ f10g Lo¨sung: x ¼ 45 þ k 180 ; k 2 Z Lo¨sungsmenge: L ¼ fx j x ¼ 45 þ k 180 ; k 2 Zg
Die Bestimmungsgleichungen werden unterteilt in die algebraischen Gleichungen und in die transzendenten Gleichungen. In einer algebraischen Gleichung werden mit der oder den Variablen nur algebraische Rechenoperationen vorgenommen; sie werden addiert, subtrahiert, multipliziert, dividiert, potenziert oder radiziert. Sowohl die auftretenden Zahlen (Koeffizienten genannt) als auch die Lo¨sungen ko¨nnen aber transzendente Zahlen sein. Jede algebraische Gleichung mit genau einer Variablen x la¨ßt sich in der allgemeinen Form an xn þ an 1 xn 1 þ an 2 xn2 þ ::: þ a1 x þ a0 ¼ 0 schreiben. Die Zahlen an ; an 1 ; an 2 ; . . . ; a1 ; a0 heißen Koeffizienten (Beizahlen) der Gleichung. Sie stehen fu¨r beliebige reelle oder komplexe Zahlen. Ist xn die ho¨chste auftretende Potenz der Variablen x, so heißt die Gleichung vom Grad n. Algebraische Gleichungen vom Grad 1 heißen auch lineare Gleichungen, Gleichungen vom Grad 2 quadratische Gleichungen und Gleichungen vom Grad 3 kubische Gleichungen. Der sogenannte Fundamentalsatz der Algebra sagt aus, daß jede algebraische Gleichung n-ten Grades genau n (reelle oder komplexe) Lo¨sungen (Wurzeln) besitzt.
Alle Bestimmungsgleichungen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent (deutsch: u¨bersteigend). Sie haben ihren Namen daher, daß sie im allgemeinen schwieriger aufzulo¨sen sind als die algebraischen Gleichungen. Sie erfordern Auflo¨sungsmethoden, die die Mittel der Algebra u¨bersteigen. Beispiele fu¨r transzendente Gleichungen sind Exponentialgleichungen, logarithmische Gleichungen und trigonometrische Gleichungen. Bei den ersten fu¨nf Beispielen handelt es sich um algebraische Bestimmungsgleichungen, bei den letzten drei Beispielen um transzendente Gleichungen. Eine Funktionsgleichung dient dazu, eine Funktion zu definieren. Eine Funktion beschreibt den Zusammenhang zwischen verschiedenen vera¨nderlichen Gro¨ßen. Eine Funktionsgleichung entha¨lt in der Regel zwei oder mehr Variable, die durch die Gleichung einander zugeordnet werden. Funktionen werden ausfu¨hrlich im Abschnitt V behandelt. &
Beispiele fu¨r Funktionsgleichungen: 1. y ¼ 2x þ 1 2. y ¼ x2 þ x 5 pffiffiffi 3. y ¼ 2x2 x 3 x þ 4 4. y ¼ sin x 5. y ¼ 2x 5x þ 1
2 quivalente Umformungen Oft ist es mo¨glich, eine gegebene Gleichung durch zula¨ssige Rechenoperationen in eine Gleichung zu u¨berfu¨hren, die die gleiche Lo¨sungsmenge wie die Ausgangsgleichung besitzt, aber einfacher zu lo¨sen ist. Eine solche Umformung heißt a¨quivalent. Man nennt auch die beiden Gleichungen a¨quivalent (gleichwertig). Bei den zula¨ssigen Rechenoperationen ist darauf zu achten, daß sie gleichzeitig auf beiden Seiten einer Gleichung durchgefu¨hrt werden, zum Beispiel die Addition einer Konstanten oder die Multiplikation mit einer Konstanten. Grundregeln fu¨r a¨quivalente Umformungen: Addition einer Zahl (hier a) auf beiden Seiten einer Gleichung xa¼b jþa x¼ bþa Subtraktion einer Zahl (hier a) von beiden Seiten einer Gleichung xþa¼b ja x¼ ba Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl (hier mit a); Bedingung: a 6¼ 0 x ¼b ja a x ¼ba
26
Mathematik
Division beider Seiten einer Gleichung durch die gleiche Zahl (hier durch a); Bedingung: a 6¼ 0 ax ¼ b j : a b x¼ a &
xþ
Beispiele: 1. 5x 6 ¼ 29 j þ 6 (Addition auf beiden Seiten) 5x ¼ 35 j : 5 (Division auf beiden Seiten) x¼7 Alle Gleichungen sind a¨quivalent mit der Lo¨sungsmenge L ¼ f7g. 2.
3.
4.
5.
man die sogenannte Normalform der linearen Gleichung.
5x 20 ¼ 60 11x j þ 11x (Addition auf beiden Seiten) 16x 20 ¼ 60 j þ 20 (Addition auf beiden Seiten) 16x ¼ 80 j : 16 (Division auf beiden Seiten) x¼5 Alle vier Gleichungen sind a¨quivalent mit der Lo¨sungsmenge L ¼ f5g. 2 1 1 ¼ ðx 6¼ 0; 1; 2Þ j xðx 1Þ ðx þ 2Þ x x1 xþ2 2ðx 1Þ ðx þ 2Þ xðx þ 2Þ ¼ xðx 1Þ (Hauptnenner) 2ðx2 þ x 2Þ ðx2 þ 2xÞ ¼ x2 x x2 4 ¼ x2 x j x2 þ x x4¼ 0 jþ4 x¼4 Alle Gleichungen sind a¨quivalent mit der Lo¨sungsmenge L ¼ f4g. j ð4x2 x þ 3Þ 4x2 x þ 3 ¼ 6x2 þ x 1 0 ¼ 6x2 þ x 1 4x2 þ x 3 0 ¼ 2x2 þ 2x 4 j:2 j Vertauschen der Seiten 0 ¼ x2 þ x 2 2 x þx2¼0 Berechnen der Lo¨sungen der quadratischen Gleichung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 3 x1; 2 ¼ þ 2 ¼ ) x1 ¼ 1; x2 ¼ 2 2 4 2 2 Alle Gleichungen sind a¨quivalent mit der Lo¨sungsmenge L ¼ f1; 2g. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi xþ8¼ xþ2 | Quadrieren | Klammer „beseitigen“ x þ 8 ¼ ðx þ 2Þ2 2 x þ 8 ¼ x þ 4x þ 4 j ðx þ 8Þ 2 0 ¼ x þ 3x 4 | Vertauschen der Seiten x2 þ 3x 4 ¼ 0 Berechnen der Lo¨sungen der quadratischen Gleichung: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 9 3 5 x1; 2 ¼ þ 4 ¼ ) x1 ¼ 1; x2 ¼ 4 2 4 2 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x1 ¼ 1 erfu¨llt die Ausgangsgleichung wegen 1 þ 8 ¼ 1 þ 2, dagegen ist x2 ¼ 4 keine Lo¨sung der Ausgangsgleichung, pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi denn es ist 4 þ 8 6¼ 4 þ 2: Somit: Das Quadrieren ist keine a¨quivalente Umformung!
3 Lineare Gleichungen Eine lineare Gleichung oder Gleichung ersten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner ho¨heren als der ersten Potenz vorkommt. Jede lineare Gleichung la¨ßt sich durch a¨quivalente Umformungen u¨berfu¨hren in die a¨quivalente Gleichung
b ¼ x þ c ¼ 0; a
c¼
b a
Die Lo¨sung der linearen Gleichung ist x ¼ c b ¼ . Fu¨r die Lo¨sungsmenge gilt also: L ¼ fcg a b ¼ . a Allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Lo¨sung: Man „beseitigt“ zuna¨chst alle Klammern und Bru¨che und ordnet dann die Glieder so, daß alle Glieder mit der Variablen x links vom Gleichheitszeichen und alle anderen rechts davon stehen: aðbx þ cÞ ¼ dðex þ f Þ abx þ ac ¼ dex þ df abx dex ¼ df ac xðab deÞ ¼ df ac df ac x¼ ab de (ab 6¼ de ist Bedingung, denn durch 0 darf nicht dividiert werden.) &
Beispiel: 3ðx þ 2Þ ¼ 5ð2x þ 9Þ 3x þ 6 ¼ 10x þ 45 3x þ 10x ¼ 45 6 13x ¼ 39 x¼3 Probe: 3ð3 þ 2Þ ¼ 5ð6 þ 9Þ 35 ¼53 15 ¼ 15
Grundsa¨tzlich sollte eine Probe durchgefu¨hrt werden. Dabei ist jede Seite der Gleichung einzeln auszurechnen. Der berechnete Wert fu¨r x sollte stets in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden. Fehlerwarnung: Nach Einsetzen der Lo¨sung sollen nicht die gleichen Umformungen wie bei der Hauptrechnung vorgenommen werden, da sonst leicht ein mo¨glicher Fehler wiederholt werden kann.
4 Proportionen Eine Sonderstellung unter den linearen Gleichungen mit einer Variablen nehmen die Proportionen wegen ihrer vielseitigen Anwendbarkeit ein. Eine Proportion ist eine Verha¨ltnisgleichung a:b¼c:x oder mit x ¼ d a:b¼c:d und in Bruchschreibweise
ax þ b ¼ 0 ;
a 6¼ 0
Diese Gleichung heißt allgemeine Form der linearen Gleichung. Durch Division durch a 6¼ 0 erha¨lt
a c ¼ b d (gesprochen: a verha¨lt sich zu b wie c zu d).
II Gleichungen
27 4.
Treten in einer Proportion gleiche Innenglieder oder gleiche Außenglieder auf, so heißt die Proportion stetig. Im Fall gleicher Innenglieder, also a : b ¼ b : c; nennt man b mittlere Proportionale. Sind von den Gliedern einer Proportion drei bekannt, dann la¨ßt sich die vierte Proportionale berechnen. Sind zum Beispiel a; b; c bekannt und d bc gesucht, so gilt d ¼ : a &
Beispiele: 1. Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt? Ansatz (Hookesches Gesetz): F : 4 cm ¼ 3 N : 2 cm 4 cm 3 N ¼ 6N Auflo¨sung nach F : F ¼ 2 cm Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm. 1 2. Wie weit kommt ein Flugzeug in 2 Stunden, wenn es 2 10 km in 45 s zuru¨cklegt? Ansatz (Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit): x : 9000 s ¼ 10 km : 45 s 9000 s 10 km Auflo¨sung nach x: x ¼ ¼ 2000 km 45 s Antwort: Das Flugzeug fliegt 2000 km weit.
Die Proportion a : b ¼ c : d la¨ßt sich verschieden umformen. quivalente Formen sind d:c ¼b:a a:c ¼b:d d:b¼c:a b:a¼d:c ad ¼bc
a c ¼ aþb cþd a c ¼ ab cd
Dies sind Sonderfa¨lle des allgemeinen Gesetzes der korrespondierenden Addition und Subtraktion. Aus a : b ¼ c : d folgt fu¨r beliebige reelle Zahlen p; q; r; s (r und s du¨rfen nicht gleichzeitig 0 sein) pa þ qb pc þ qd ¼ ra þ sb rc þ sd &
Beispiele: 3.
5 5þx ¼ 4 x 54 5þxx ¼ 4 x 1 5 ¼ 4 x
Nenner vom Za¨hler subtrahieren (korrespondierende Subtraktion):
In Bruchschreibweise: 1 des Za¨hlers zum Nen5 ner (korrespondierende Addition) :
Addition von
5x
30 ¼ Vereinfachen: 30 5x 9þ 5 5 5x 30 4 ¼ ð¼ 2Þ Multiplikation mit : 4 15 5 8 x¼ 5 8 Die Lo¨sung ist x ¼ . 5 Probe: 8 5 5 ¼ 30 , 8 ¼ 10 , 8 5 ¼ 10 , 10 ¼ 10 8 2 9 3 12 3 3 3 4 2 5 5
4xþ
5 Quadratische Gleichungen 5.1 Definitionen Eine quadratische Gleichung oder Gleichung zweiten Grades ist eine algebraische Gleichung, in der die Variable x in keiner ho¨heren als der zweiten Potenz vorkommt. Jede quadratische Gleichung la¨ßt sich durch a¨quivalente Umformungen u¨berfu¨hren in die Gleichung Allgemeine Form
Aus der Proportion a : b ¼ c : d lassen sich weitere Proportionen ableiten, etwa durch Addition oder Subtraktion von 1 auf beiden Seiten. Man nennt ein solches Umformen der Proportion korrespondierende Addition oder korrespondierende Subtraktion (Bedingung in allen Fa¨llen: Nenner ungleich 0). aþb cþd ¼ b d ab cd ¼ b d
5x : ð4 xÞ ¼ 30 : 9 5x 30 ¼ 4x 9
ax2 þ bx þ c ¼ 0 ;
a 6¼ 0
Diese Gleichung heißt allgemeine Form der quadratischen Gleichung. Durch Division durch a 6¼ 0 erha¨lt man die sogenannte Normalform der quadratischen Gleichung b c . mit p ¼ ; q ¼ a a Normalform
x2 þ px þ q ¼ 0
5.2 Lo¨sungsverfahren 5.2.1 Sonderfa¨lle Ist q ¼ 0, also x2 þ px ¼ 0, dann erha¨lt man durch Ausklammern von x die Produktform xðx þ pÞ ¼ 0. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich daraus die Lo¨sungen x1 ¼ 0; x2 ¼ p. Sonderfall q ¼ 0
Gleichung: :: Losungen :
x2 þ px ¼ 0 x1 ¼ 0; x2 ¼ p
Fehlerwarnung: Man darf nicht durch x dividieren. Division durch 0 ist verboten. Die Lo¨sung x ¼ 0 ginge sonst verloren. &
Beispiel:
.. x2 5x ¼ 0 ) Losungen: x1 ¼ 0; x2 ¼ 5
Vereinfachen: Nach x auflo¨sen (Multiplikation der Gleichung mit 4x):
x ¼ 20 Die Lo¨sung ist x ¼ 20, wie die Probe besta¨tigt.
Ist p ¼ 0, also x2 þ q ¼ 0, dann liegt eine sogenannte rein quadratische Gleichung vor. Durch Subtraktion von q auf beiden Seiten der Gleichung, also x2 ¼ q, und anschließendes Radizieren erha¨lt man
28
Mathematik
pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi die Lo¨sungen x1 ¼ þ q; x2 ¼ q. Gleichung: :: Losungen :
Sonderfall p ¼ 0
Daraus ergibt sich rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p2 p p2 x1 ¼ þ q; x2 ¼ q 2 2 4 4
x2 þ q ¼ 0 pffiffiffiffiffiffiffi x1 ¼ þ q; pffiffiffiffiffiffiffi x2 ¼ q
Fu¨r q < 0 ergeben sich zwei reelle Lo¨sungen, fu¨r q ¼ 0 die (doppelt zu za¨hlende) Lo¨sung x ¼ 0, fu¨r q > 0 pffiffiffi zwei rein imagina¨re Lo¨sungen, und zwar x1 ¼ j q; pffiffiffi x2 ¼ j q (x1 und x2 sind konjugiert komplex). &
Beispiele: 1. x2 9 ¼ 0 q ¼ 9 < 0 ) zwei reelle Lo¨sungen: x1 ¼ 3; x2 ¼ 3 2. x2 þ 16 ¼ 0 q ¼ 16 > 0 ) zwei imagina¨re Lo¨sungen: x1 ¼ 4j; x2 ¼ 4j
Fu¨r die Sonderfa¨lle c ¼ 0 und b ¼ 0 der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung ergeben sich die Lo¨sungen ganz analog. Gleichung: :: Losungen :
Sonderfall c ¼ 0
Gleichung: :: Losungen :
Sonderfall b ¼ 0
b a
ax2 þ c ¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c x1 ¼ þ ; a rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c x2 ¼ a
5.2.2 Normalform Die Lo¨sungen der Normalform x2 þ px þ q ¼ 0 der quadratischen Gleichung bestimmt man mit der Methode der „quadratischen Erga¨nzung“. Zuna¨chst bringt man q auf die rechte Seite der Gleichung, das heißt, von beiden Seiten der Gleichung wird q subtrahiert. Auf beiden Seiten p 2addiert man dann die quadrades Terms x2 þ px. Damit tische Erga¨nzung 2 wird die linke Seite der Gleichung zu einem „vollsta¨ndigen Quadrat“ (binomische Formel). Durch Rap dizieren und anschließender Subtraktion von erge2 ben sich dann die Lo¨sungen x1 und x2 der Gleichung. Bestimmung der Lo¨sungen: x2 þ px þ q x2 þ px p 2 x2 þ px þ 2 p 2 xþ 2 p 2 xþ 2 p xþ 2
¼0 ¼ q p 2 ¼ q 2 p 2 ¼ q 2 2 p q ¼ 4rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 ¼ q 4 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
x ¼
p 2
p2 q 4
Normalform
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p2 q fu¨r die Lo¨2 4 sungen nennt man auch ðp; qÞ-Formel. Die Gleichung x1; 2 ¼
ðp; qÞ-Formel
&
ax2 þ bx ¼ 0 x1 ¼ 0; x2 ¼
x2 þ px þ q ¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p2 .. q; Losungen: x1 ¼ þ 2 4 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p p2 x2 ¼ q 4 2
Gleichung:
x1; 2 ¼
p 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p2 q 4
Beispiele: 1. (ausfu¨hrlich)
2.
x2 þ 12x þ 35 ¼ 0 x2 þ 12x ¼ 35 x2 þ 12x þ 62 ¼ 35 þ 62 ðx þ 6Þ2 ¼ 1 x þ 6 ¼ 1 x ¼ 6 1 Lo¨sungen: x1 ¼ 6 þ 1 ¼ 5; x2 ¼ 6 1 ¼ 7 Es sind zwei Proben durchzufu¨hren! (mit ðp; qÞ-Formel) 25x2 þ 13 ¼ 70x Sortieren und Dividieren durch 25 zum Beschaffen der Normalform: 14 13 14 13 xþ ¼0)p¼ und q ¼ . x2 5 25 5 25 Einsetzen in die ðp; qÞ-Formel ergibt die Lo¨sungen: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffi 2 7 7 13 7 36 7 6 13 ¼ þ ¼ , x1 ¼ þ ¼ þ 5 5 25 5 25 5 5 5 7 6 1 ¼ 5 5 5 Es sind zwei Proben durchzufu¨hren!
x2 ¼
Den Radikanden in der ðp; qÞ-Formel nennt man die Diskriminante D der Normalform der quadratischen Gleichung. Diskriminante der Normalform
D¼
p2 q 4
Die Lo¨sungen der Normalform lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben.
Normalform
Gleichung: x2 þ px þ q ¼ 0 p pffiffiffiffi .. Losungen: x1; 2 ¼ D; 2 p2 D¼ q 4
Der Wert der Diskriminante D bestimmt die Anzahl der reellen Lo¨sungen der quadratischen Gleichung. Fu¨r D > 0 existieren zwei reelle Lo¨sungen x1 und x2 , fu¨r D ¼ 0 gibt es eine reelle Lo¨sung (Doppel-
II Gleichungen lo¨sung x1 ¼ x2 ), fu¨r D < 0 hat die quadratische Gleichung keine reelle Lo¨sung, es existieren zwei komplexe Lo¨sungen x1 und x2 (x1 und x2 sind konjugiert komplex zueinander). &
Beispiele: 3. 2x2 10x þ 12 ¼ 0 ðallgemeineFormÞ x2 5x þ 6 ¼ 0 ðNormalformÞ p2 25 1 6¼ p ¼ 5; q ¼ 6 ) D ¼ q ¼ 4 4 4 D > 0 ) zwei reelle Lo¨sungen Lo¨sungen: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffi pffiffiffiffi p p2 p 5 1 x1; 2 ¼ q ¼ D¼ 4 2 2 2 4 5 1 5 1 5 1 ) x1 ¼ þ ¼ 3; x2 ¼ ¼ 2 ¼ 2 2 2 2 2 2 4.
5.
9x2 þ 18x 9 ¼ 0 ðallgemeine FormÞ x2 2x þ 1 ¼ 0 ðNormalformÞ p2 4 q ¼ 1¼ 0 p ¼ 2; q ¼ 1 ) D ¼ 4 4 D ¼ 0 ) Doppello¨sung x1 ¼ x2 2 ¼1 Lo¨sung: x1 ¼ x2 ¼ 2 3x2 36x þ 120 ¼ 0 (allgemeine Form) x2 12x þ 40 ¼ 0 (Normalform) p2 ð12Þ2 p ¼ 12; q ¼ 40 ) D ¼ q¼ 40 4 4 144 16 40 ¼ ¼ 4 ¼ 4 4 D < 0 ) zwei konjugiert komplexe Lo¨sungen pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi 12 Lo¨sungen: x1; 2 ¼ 4 ¼ 6 4 2 pffiffiffiffiffiffiffi ¼ 6 2 1 ¼ 6 2j ) x1 ¼ 6 þ 2j; x2 ¼ 6 2j
5.2.3 Allgemeine Form Die Lo¨sungen der allgemeinen Form ax2 þ bx þ c b c ¼ 0 erha¨lt man durch Setzen von p ¼ ; q ¼ in a a der ðp; qÞ-Formel. Allgemeine Form: Gleichung: ax2 þ bx þ c ¼ 0; a 6¼ 0 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 .. Losungen: x1 ¼ ðb þ b2 4acÞ; 2a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2 ¼ ðb b2 4acÞ 2a &
Beispiel: 1. 2x2 10x þ 12 ¼ 0 a ¼ 2; b ¼ 10; c ¼ 12 Lo¨sungen: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x1 ¼ ð10Þ þ ð10Þ2 4 2 12 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 ¼ ð10 þ 100 96 Þ ¼ ð10 þ 2Þ ¼ 3; 4 4 1 x2 ¼ ð10 2Þ ¼ 2 4
Den Radikanden in der Lo¨sungsformel nennt man der allgemeinen Form der quadie Diskriminante D dratischen Gleichung. Diskriminante der allgemeinen Form ¼ b2 4ac D Die Lo¨sungen der allgemeinen Form lassen sich auch mit Hilfe der Diskriminante schreiben.
29 Allgemeine Form: Gleichung: ax2 þ bx þ c ¼ 0; a 6¼ 0 pffiffiffiffi 1 .. ; Losungen: x1; 2 ¼ b D 2a 2 D ¼ b 4ac Auch hier bestimmt der Wert der Diskriminante D die Anzahl der reellen Lo¨sungen der quadratischen Gleichung. > 0 gibt es zwei reelle Lo¨sungen x1 und Fu¨r D ¼ 0 gibt es eine reelle Doppello¨sung x2 , fu¨r D < 0 gibt es keine reelle Lo¨sung, (x1 ¼ x2 ), und fu¨r D sondern zwei konjugiert komplexe Lo¨sungen x1 und x2 . &
Beispiel: 2. 3x2 18x þ 42 ¼ 0 ¼ ð18Þ2 4 3 42 a ¼ 3; b ¼ 18; c ¼ 42 ) D ¼ 324 504 ¼ 180 < 0 < 0 ) zwei konjugiert komplexe Lo¨sungen D Lo¨sungen: pffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 ð18 180 Þ ¼ ð18 36 ð5Þ Þ ¼ 3 5 6 6 pffiffiffi pffiffiffi ) x1 ¼ 3 þ 5 j; x2 ¼ 3 5 j
x1; 2 ¼
5.2.4 Zerlegung in Linearfaktoren Sind x1 und x2 die (nicht unbedingt verschiedenen) Lo¨sungen der quadratischen Gleichung ax2 þ bx þ c ¼ 0; a 6¼ 0, dann kann der quadratische Ausdruck in Linearfaktoren zerlegt werden. ax2 þ bx þ c ¼ aðx x1 Þ ðx x2 Þ ¼ 0 Die Faktoren x x1 und x x2 heißen linear, weil die Variable x nur in erster Potenz, also linear auftritt. Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, ergeben sich auch hieraus wieder die Lo¨sungen x1 und x2 . Man nennt aðx x1 Þ ðx x2 Þ ¼ 0 auch Produktform der quadratischen Gleichung. &
Beispiele: 1. 2x2 6x ¼ 0 Zerlegung in Linearfaktoren: 2x2 6x ¼ 2xðx 3Þ ¼ 0 Lo¨sungen: x1 ¼ 0; x2 ¼ 3 2. x2 x 6 ¼ 0 Zerlegung in Linearfaktoren: x2 x 6 ¼ ðx 3Þ ðx þ 2Þ ¼ 0 Lo¨sungen: x1 ¼ 3 (denn x 3 ¼ 0 fu¨r x ¼ 3), x2 ¼ 2 (denn x þ 2 ¼ 0 fu¨r x ¼ 2)
.. 5.3 Satz von Vieta fu¨r quadratische Gleichungen Die Produktform der quadratischen Gleichung x2 þ px þ q ¼ 0 in Normalform lautet ðx x1 Þ ðx x2 Þ ¼ 0. Ausmultiplizieren und Vergleich ergibt ðx x1 Þ ðx x2 Þ ¼ 0 x2 xx2 x1 x þ x1 x2 ¼ 0 x2 ðx1 þ x2 Þ x þ x1 x2 ¼ 0 x2 þ px þ q ¼ 0
30
Mathematik
also die Beziehungen p ¼ ðx1 þ x2 Þ; q ¼ x1 x2 . Der Koeffizient p von x ist somit gleich der negativen Summe der beiden Lo¨sungen, das Absolutglied q der quadratischen Gleichung ist gleich dem Produkt der Lo¨sungen. Diese Beziehungen nennt man den Satz von Vie€ta fu¨r quadratische Gleichungen (nach dem franzo¨sischen Mathematiker Franc¸ois Vie€ta, 1540––1603). Satz von Vie€ta
p ¼ ðx1 þ x2 Þ ;
q ¼ x1 x2
Man nennt dies Produktform der kubischen Gleichung oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist t ¼ 0 in der Normalform (fu¨r die allgemeine Form ist die Methode ganz analog), also x3 þ rx2 þ sx ¼ 0, dann erha¨lt man durch Ausklammern von x die Gleichung xðx2 þ rx þ sÞ ¼ 0. Neben der reellen Lo¨sung x1 ¼ 0 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x2 þ rx þ s ¼ 0 die weiteren Lo¨sungen. Sonderfall t ¼ 0:
&
Beispiele: 1. Die quadratische Gleichung x2 5x þ 6 ¼ 0 mit p ¼ 5; q ¼ 6 hat die Lo¨sungen x1 ¼ 3; x2 ¼ 2. Es gilt: p ¼ 5 ¼ ð3 þ 2Þ ¼ ðx1 þ x2 Þ; q ¼ 6 ¼ 3 2 ¼ x1 x2 2. Die quadratische Gleichung x2 12x þ 40 ¼ 0 mit p ¼ 12; q ¼ 40 hat die Lo¨sungen x1 ¼ 6 þ 2j; x2 ¼ 6 2j (siehe oben). Es gilt: p ¼ 12 ¼ ð6 þ 2j þ 6 2jÞ ¼ ðx1 þ x2 Þ; q ¼ 40 ¼ 36 þ 4 ¼ 36 4j2 ¼ ð6 þ 2jÞ ð6 2jÞ ¼ x1 x2 3. Welche quadratische Gleichung hat die Lo¨sungen x1 ¼ 5 und x2 ¼ 3? Nach dem Satz von Vi€eta folgt: p ¼ ðx1 þ x2 Þ ¼ ð5 3Þ ¼ 2; q ¼ x1 x2 ¼ 5 ð3Þ ¼ 15 Antwort: Die Normalform der gesuchten quadratischen Gleichung ist x2 2x 15 ¼ 0
Hinweis: Der Satz von Vie€ta la¨ßt sich auch fu¨r die Probe anwenden!
6 Algebraische Gleichungen ho¨heren Grades 6.1 Kubische Gleichungen Die allgemeine Form einer kubischen Gleichung lautet Allgemeine Form
ax þ bx þ cx þ d ¼ 0 ; a 6¼ 0 3
2
Die Normalform erha¨lt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a 6¼ 0 und Setzen von b c d ¼ r; ¼ s; ¼ t. a a a Normalform
x3 þ rx2 þ sx þ t ¼ 0
Dabei sind a; b; c; d und somit auch r; s; t reelle (oder komplexe) Koeffizienten. „Kubisch“ bedeutet, daß die Variable x in keiner ho¨heren als der dritten Potenz vorkommt. Deshalb nennt man kubische Gleichungen auch Gleichungen dritten Grades. Mit Hilfe der sogenannten Cardanischen Formel lassen sich die Lo¨sungen exakt berechnen. Es gibt entweder drei reelle Lo¨sungen oder eine reelle Lo¨sung und zwei konjugiert komplexe Lo¨sungen. In Spezialfa¨llen fu¨hren oftmals einfachere Methoden zum Ziel. Sind x1 ; x2 ; x3 die Lo¨sungen der kubischen Gleichung ax3 þ bx2 þ cx þ d ¼ 0, dann gilt ax3 þ bx2 þ cxþ d ¼ aðx x1 Þ ðx x2 Þðx x3 Þ ¼ 0
Gleichung: x3 þ rx2 þ sx ¼ 0 .. Losungen:
r x1 ¼ 0; x2 ¼ þ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r r2 s x3 ¼ 2 4
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r2 s; 4
Fehlerwarnung: Durch Division durch x geht die Lo¨sung x ¼ 0 verloren! &
Beispiel: 1. x3 x2 2x ¼ 0 Ausklammern von x: xðx2 x 2Þ ¼ 0 Erste Lo¨sung: x1 ¼ 0 Die quadratische Gleichung x2 x 2 ¼ 0 hat die Lo¨sungen rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 3 ð2Þ ¼ ; x2; 3 ¼ 2 4 2 2 also x2 ¼ 2; x3 ¼ 1 Lo¨sungen der kubischen Gleichung x3 x2 2x ¼ 0 somit: x1 ¼ 0; x2 ¼ 2; x3 ¼ 1
Ist eine Lo¨sung x1 von x3 þ rx2 þ sx þ t ¼ 0 bekannt, dann la¨ßt sich die kubische Gleichung durch Abspalten des Faktors x x1 reduzieren (auch diese Methode la¨ßt sich fu¨r die allgemeine Form anwenden). x3 þ rx2 þ sx þ t ¼ ðx x1 Þ ðx2 þ ux þ vÞ ¼ 0 Dividiert man die linke Seite x3 þ rx2 þ sx þ t der kubischen Gleichung durch x x1 , so erha¨lt man einen quadratischen Term x2 þ ux þ v. Die Wurzeln von x2 þ ux þ v ¼ 0 sind auch Lo¨sungen der kubischen Gleichung. Diese Methode heißt Reduktionsmethode, und die dabei durchgefu¨hrte Division nennt man Polynomdivision (vgl. auch na¨chsten Abschnitt). Lo¨sung x1 bekannt: Gleichung: x3 þ rx2 þ sx þ t ¼ ðx x1 Þ ðx2 þ ux þ vÞ ¼ 0 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u u2 .. Losungen: x1 ; x2 ¼ þ v; 2 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u u2 v x3 ¼ 2 4
II Gleichungen &
Beispiele: 2. x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 Eine Lo¨sung dieser kubischen Gleichung ist x1 ¼ 1 (erha¨lt man durch Probieren). Division von x3 6x2 x þ 6 durch x 1: ðx3 6x2 x þ 6Þ : ðx 1Þ ¼ x2 5x 6 ðx3 x2 Þ 5x2 x ð 5x2 þ 5xÞ 6x þ 6 ð 6x þ 6Þ 0
3.
Die Lo¨sungen der quadratischen Gleichung x2 5x 6 ¼ 0 sind x2 ¼ 6; x3 ¼ 1. Lo¨sungen der kubischen Gleichung x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 somit: x1 ¼ 1; x2 ¼ 6; x3 ¼ 1 4x3 12x2 þ 11x 3 ¼ 0 Eine Lo¨sung dieser Gleichung ist x1 ¼ 1 (Probieren!). Division von 4x3 12x2 þ 11x 3 durch x 1: ð4x3 12x2 þ 11x 3Þ : ðx 1Þ ¼ 4x2 8x þ 3 ð4x3 4x2 Þ 8x2 þ 11x ð 8x2 þ 8xÞ 3x 3 ð 3x 3Þ 0 Die Lo¨sungen der quadratischen Gleichung 4x2 8x þ 3 ¼ 0 3 1 sind x2 ¼ ; x3 ¼ . 2 2 Lo¨sungen der kubischen Gleichung x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 somit: 3 1 x1 ¼ 1; x2 ¼ ; x3 ¼ 2 2
31 dieren von Dezimalzahlen. Dabei wird zuerst die ho¨chste Potenz von x des Dividenden durch die ho¨chste Potenz von x des Divisors geteilt. Ist der Quotient der Polynomdivision wieder ein PoPn ðxÞ lynom, gilt also ¼ Pk ðxÞ mit einem Polynom Pm ðxÞ Pk ðxÞ, dann heißt Pm ðxÞ Faktor des Polynoms Pn ðxÞ oder genauer Faktor m-ten Grades (und Pk ðxÞ ist ein Faktor k-ten Grades von Pn ðxÞ). Fu¨r m ¼ 1 heißt Pm ðxÞ linearer Faktor, fu¨r m ¼ 2 quadratischer Faktor und fu¨r m ¼ 3 kubischer Faktor von Pn ðxÞ. &
Beispiele zur Polynomdivision: 1. P3 ðxÞ ¼ x3 6x2 x þ 6 ¼ 0; P1 ðxÞ ¼ x 1 ðx3 6x2 x þ 6Þ : ðx 1Þ ¼ x2 5x 6 ðx3 x2 Þ 5x2 x ð 5x2 þ 5xÞ 6x þ 6 ð 6x þ 6Þ 0 Es gilt somit: P3 ðxÞ x3 6x2 x þ 6 ¼ x2 5x 6 ¼ P2 ðxÞ ¼ P1 ðxÞ x1
2.
P1 ðxÞ ¼ x 1 ist also ein linearer Faktor und P2 ðxÞ ¼ x2 5x 6 ein quadratischer Faktor von P3 ðxÞ ¼ x3 6x2 x þ 6. P3 ðxÞ ¼ 4x3 12x2 þ 11x 3; P1 ðxÞ ¼ x 1
3.
ð4x3 12x2 þ 11x 3Þ : ðx 1Þ ¼ 4x2 8x þ 3 ð4x3 4x2 Þ 8x2 þ 11x ð 8x2 þ 8xÞ 3x 3 ð 3x 3Þ 0 Es gilt P3 ðxÞ ¼ 4x3 12x2 þ 11x 3 ¼ ðx 1Þ ð4x2 8x þ 3Þ ¼ P1 ðxÞ P2 ðxÞ. P1 ðxÞ ¼ x 1 ist ein linearer Faktor, P2 ðxÞ ¼ 4x2 8x þ 3 ist ein quadratischer Faktor von P3 ðxÞ ¼ 4x3 12x2 þ 11x 3. P4 ðxÞ ¼ 3x4 10x3 þ 22x2 24x þ 10; P2 ðxÞ ¼ x2 2x þ 3
6.2 Polynomdivision Ein Ausdruck der folgenden Form mit a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an 1 ; an 2 R; an 6¼ 0; n 2 N* heißt Polynom in x. Polynom Pn ðxÞ ¼ an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 n P ¼ ak xk k¼0
Das x in Klammern hinter Pn weist darauf hin, daß x die Variable ist. Die Koeffizienten a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an 1 ; an du¨rfen dabei beliebige reelle (oder auch komplexe) Zahlen sein. Ein Polynom ist also die linke Seite der allgemeinen Form einer algebraischen Gleichung. Ist dabei xn die ho¨chste auftretende Potenz der Variablen x, so hat das Polynom den Grad n. Zwei Polynome sind gleich, wenn sie vom gleichen Grad sind und die entsprechenden Koeffizienten u¨bereinstimmen. &
Beispiele fu¨r Polynome: 1. x3 6x2 x þ 6 (Polynom vom Grad 3) 2. x 1 (Polynom vom Grad 1) 1 4 x þ 2x 3 (Polynom vom Grad 5) 3. x5 3 1 4. 0;34x9 24;3x6 þ 22x5 x4 þ 11 (Polynom vom Grad 9) 3 5. x27 þ 3 (Polynom vom Grad 27)
Die Division zweier Polynome Pn ðxÞ und Pm ðxÞ mit n m verla¨uft ganz analog dem schriftlichen Divi-
ð3x4 10x3 þ 22x2 24x þ 10Þ : ðx2 2x þ 3Þ ¼ 3x2 4x þ 5 ð3x4 6x3 þ 9x2 Þ 4x3 þ 13x2 24x ð 4x3 þ 8x2 12xÞ 5x2 12x þ 10 ð 5x2 10x þ 15Þ 2x 5 Es gilt somit: 4 3 2 ð3x 10x þ 22x 24x þ 10Þ : ðx2 2x þ 3Þ 2x 5 ¼ 3x2 4x þ 5 þ 2 x 2x þ 3 Also ist P2 ðxÞ ¼ x2 2x þ 3 kein Faktor von P4 ðxÞ ¼ 3x4 10x3 þ 22x2 24x þ 10:
Eine Zahl x0 heißt Nullstelle des Polynoms Pn ðxÞ, wenn Pn ðx0 Þ ¼ 0 gilt. Das Polynom Pn ðxÞ la¨ßt sich dann durch x x0 dividieren, x x0 ist also ein linearer Faktor von Pn ðxÞ. Es gibt dann ein Polynom ðn 1Þten Grades Pn 1 ðxÞ mit Pn ðxÞ ¼ ðx x0 Þ Pn 1 ðxÞ. Findet man eine Zerlegung Pn ðxÞ ¼ ðx x0 Þm Pk ðxÞ; 6 0 ist, dann wobei Pk ðxÞ ein Polynom mit Pk ðx0 Þ ¼ heißt x0 eine m-fache Nullstelle von Pn ðxÞ, oder m heißt Vielfachheit der Nullstelle x0. Pn ðxÞ ¼ ðx x0 Þm Pk ðxÞ Ist x0 eine reelle Zahl, dann nennt man x0 eine reelle Nullstelle des Polynoms.
32 &
Mathematik Beispiele: 1. P3 ðxÞ ¼ x3 3x2 þ x 3 ¼ ðx 3Þ ðx2 þ 1Þ ¼ ðx 3Þ P2 ðxÞ 6 0 ist x0 ¼ 3 eine einfache Nullstelle des PolyWegen P2 ð3Þ ¼ noms P3 ðxÞ ¼ x3 3x2 þ x 3: 3 2. P3 ðxÞ ¼ x 3x2 þ 3x 1 ¼ ðx 1Þ3 Somit ist x0 ¼ 1 eine dreifache Nullstelle des Polynoms P3 ðxÞ ¼ x3 3x2 þ 3x 1: 3. P3 ðxÞ ¼ x3 3x þ 2 ¼ ðx 1Þ2 ðx þ 2Þ Es ist also x0 ¼ 1 eine doppelte Nullstelle und x1 ¼ 2 eine einfache Nullstelle von P3 ðxÞ ¼ x3 3x þ 2:
Ist eine Lo¨sung x1 von x4 þ rx3 þ sx2 þ tx þ u ¼ 0 bekannt, dann la¨ßt sich die Gleichung durch Abspalten des Faktors x x1 durch Polynomdivision reduzieren (diese sogenannte Reduktionsmethode la¨ßt sich auch wieder fu¨r die allgemeine Form anwenden): x4 þ rx3 þ sx2 þ tx þ u ¼ ðx x1 Þ ðx3 þ kx2 þ lx þ mÞ ¼ 0
6.3 Gleichungen vierten Grades Die allgemeine Form einer Gleichung vierten Grades lautet Allgemeine Form
ax4 þ bx3 þ cx2 þ dx þ e ¼ 0 ; a 6¼ 0
Die Normalform erha¨lt man aus der allgemeinen Form durch Division durch a 6¼ 0 und Setzen von b c d e ¼ r; ¼ s; ¼ t; ¼ u. a a a a Normalform
&
Beispiele: 2. x4 7x3 þ 5x2 þ 7x 6 ¼ 0 Durch Probieren findet man die Lo¨sung x1 ¼ 1. Polynomdivision ergibt: ðx4 7x3 þ 5x2 þ 7x 6Þ : ðx 1Þ ¼ x3 6x2 x þ 6 ðx4 x3 Þ 6x3 þ 5x2 ð 6x3 þ 6x2 Þ x2 þ 7x ð x2 þ xÞ 6x 6 ð 6x 6Þ 0
x4 þ rx3 þ sx2 þ tx þ u ¼ 0
Dabei sind a; b; c; d; e und somit auch r; s; t; u reelle (oder komplexe) Koeffizienten. Auch fu¨r die Gleichungen vierten Grades existiert eine allgemeine Lo¨sungsformel. Diese ist aber noch wesentlich komplizierter als die fu¨r die kubischen Gleichungen und wird deshalb hier weggelassen. Eine Gleichung vierten Grades muß nicht unbedingt eine reelle Lo¨sung besitzen. Im Bereich der komplexen Zahlen gibt es jedoch vier Lo¨sungen. Dabei ko¨nnen Doppello¨sungen vorkommen. Komplexe Lo¨sungen treten paarweise als konjugiert komplexe Zahlen auf. In Spezialfa¨llen fu¨hren manchmal einfachere Methoden zum Ziel. Sind x1 ; x2 ; x3 ; x4 die Lo¨sungen der Gleichung vierten Grades ax4 þ bx3 þ cx2 þ dx þ e ¼ 0, dann gilt ax4 þ bx3 þ cx2 þ dx þ e ¼ aðx x1 Þ ðx x2 Þ ðx x3 Þ ðx x4 Þ ¼ 0 Man nennt dies wieder Produktform oder Zerlegung in Linearfaktoren. Ist u ¼ 0 in der Normalform (fu¨r die allgemeine Form ist die Methode analog), also x4 þ rx3 þ sx2 þ tx ¼ 0, dann erha¨lt man durch Ausklammern von x die Gleichung xðx3 þ rx2 þ sx þ tÞ ¼ 0. Eine Lo¨sung ist x1 ¼ 0, die weiteren Lo¨sungen sind die Wurzeln der kubischen Gleichung x3 þ rx2 þ sx þ t ¼ 0. &
Die Wurzeln der kubischen Gleichung x3 þ kx2 þ lx þ m ¼ 0 sind auch Lo¨sungen der Gleichung vierten Grades x4 þ rx3 þ sx2 þ tx þ u ¼ 0.
Beispiel: 1. x4 6x3 x2 þ 6x ¼ 0 Ausklammern von x: xðx3 6x2 x þ 6Þ ¼ 0 Erste Lo¨sung: x1 ¼ 0 Die kubische Gleichung x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 hat die Lo¨sungen x2 ¼ 1; x3 ¼ 6; x4 ¼ 1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt II.6.1). Lo¨sungen der Gleichung vierten Grades x4 6x3 x2 þ 6x ¼ 0 somit: x1 ¼ 0; x2 ¼ 1; x3 ¼ 6; x4 ¼ 1
3.
Die kubische Gleichung x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 hat die Lo¨sungen x2 ¼ 1; x3 ¼ 6; x4 ¼ 1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt II.6.1). Lo¨sungen der Gleichung vierten Grades x4 7x3 þ 5x2 þ 7x 6 ¼ 0 somit: x1 ¼ x2 ¼ 1; x3 ¼ 6; x4 ¼ 1 4x4 8x3 x2 þ 8x 3 ¼ 0 Durch Probieren erha¨lt man die Lo¨sung x1 ¼ 1. Polynomdivision von 4x4 8x3 x2 þ 8x 3 durch x þ 1 ergibt: ð4x4 8x3 x2 þ 8x 3Þ : ðx þ1Þ ¼ 4x3 12x2 þ 11x3 ð4x4 þ 4x3 Þ 12x3 x2 ð12x3 12x2 Þ 11x2 þ 8x ð11x2 þ 11xÞ 3x 3 ð 3x 3Þ 0 Die kubische Gleichung 4x3 12x2 þ 11x 3 ¼ 0 hat die Lo¨3 1 sungen x2 ¼ 1; x3 ¼ ; x4 ¼ (vgl. Beispiel 3 im Abschnitt 2 2 II.6.1). Lo¨sungen der Gleichung vierten Grades 4x4 8x3 x2 þ 8x 3 1 3 ¼ 0 somit: x1 ¼ 1; x2 ¼ 1; x3 ¼ ; x4 ¼ 2 2
Sind in einer Gleichung vierten Grades die Koeffizienten von x3 und x gleich Null, dann heißt sie biquadratische Gleichung: ax4 þ cx2 þ e ¼ 0; a 6¼ 0 (allgemeine Form) oder x4 þ sx2 þ u ¼ 0 (Normalform). Eine Substitution ist die Ersetzung eines algebraischen Ausdrucks durch einen anderen. Bei komplizierten Gleichungen ko¨nnen oftmals mit Hilfe einer geeigneten Substitution Lo¨sungen gefunden werden. Mit Hilfe der Substitution x2 ¼ z wird aus einer biquadratischen Gleichung eine quadratische Gleichung mit der Variablen z: az2 þ cz þ e ¼ 0 oder z2 þ sz þ u ¼ 0. Aus deren Lo¨sungen z1 ; z2 erha¨lt man die Lo¨sungen der biquadratischen Gleichung
II Gleichungen
33
pffiffiffiffiffi durch Radizieren (Wurzelziehen): x1; 2 ¼ z1 ; x3; 4 pffiffiffiffiffi ¼ z2 . Biquadratische Gleichung Gleichung (Normalform): x4 þ sx2 þ u ¼ 0 Substitution x2 ¼ z : z2 þ r sz ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þu¼0 s s2 .. u Losungen: z1; 2 ¼ 2 4 .. Losungen der biquadratischen Gleichung: pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x1; 2 ¼ z1 ; x3; 4 ¼ z2 &
Beispiele: 4. 2x4 6x2 þ 4 ¼ 0 Division durch 2 ergibt die Normalform: x4 3x2 þ 2 ¼ 0 Substitution x2 ¼ z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z2 3z þ 2 ¼ 0 Lo¨sungen der quadratischen Gleichung: z1 ¼ 1; z2 ¼ 2 Lo¨sungen der biquadratischen Gleichung durch Radizieren: pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi x1 ¼ z1 ¼ 1 p ¼ ffiffi1; ffi x2 ¼ z1 ¼ 1; x3 ¼ z2 ¼ 2; pffiffiffiffiffi x4 ¼ z2 ¼ 2 5. x4 þ 2x2 15 ¼ 0 Substitution x2 ¼ z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z2 þ 2z 15 ¼ 0 Lo¨sungen der quadratischen Gleichung: z1 ¼ 3; z2 ¼ 5 Lo¨sungen der biquadratischen Gleichung durch Radizieren: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi ¼ x1 ¼ z1 ¼ 3; pxffiffiffiffiffiffi 2 ¼ 1 ffiffi ffi zp ffi 3; x3 ¼ z2 ¼ 5 ¼ j 5; pffiffiffiffiffi x4 ¼ z2 ¼ 5 ¼ j 5 6. x4 4x2 1 ¼ 0 Substitution x2 ¼ z ergibt eine quadratische Gleichung in z: z2 4z 1 ¼ 0 pffiffiffi Lo¨sungenpder Gleichung: z1 ¼ 2 þ 5; ffiffiffi quadratischen pffiffiffi z2 ¼ 2 5 ¼ ð 5 2Þ Lo¨sungen der biquadratischen Gleichung durch Radizieren: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi x1 ¼ z1 ¼ 2 þ 5 ; x2 ¼ z1 ¼ 2 þ 5 ; qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 5 2; x4 ¼ z2 x3 ¼ z2 ¼ ð 5 2Þ ¼ j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pp ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ffiffiffi ¼ ð 5 2Þ ¼ j 52
6.4 Gleichungen n-ten Grades Die allgemeine Form einer Gleichung n-ten Grades lautet an xn þ an 1 xn 1 þ an 2 xn 2 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ¼ 0 ;
an 6¼ 0
Die Normalform erha¨lt man aus der allgemeinen Form durch Division durch an 6¼ 0 und Setzen von ai ¼ bi ; i ¼ 0; 1; 2; . . . ; n 1. an Normalform
xn þ bn 1 xn 1 þ bn 2 xn 2 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 ¼ 0
Dabei sind an ; an 1 ; an 2 ; . . . ; a2 ; a1 ; a0 und bn 1 ; bn 2 ; . . . ; b2 ; b1 ; b0 reelle (oder komplexe) Koeffizienten, und n ist eine von Null verschiedene natu¨rliche Zahl. Nur fu¨r n 4 (Gleichungen ho¨chstens vierten Grades) gibt es allgemeine Lo¨sungsformeln, in denen nur ineinander geschachtelte Wurzeln stehen. Fu¨r Gleichungen fu¨nften und ho¨heren Grades existieren solche Lo¨sungsformeln nicht. In der Regel lassen
sich dann die Lo¨sungen außer in Spezialfa¨llen nicht mehr exakt berechnen, man muß sich mit sogenannten Na¨herungslo¨sungen begnu¨gen. Besonders bei der Behandlung praktischer Probleme werden verschiedene Na¨herungsverfahren verwendet (wie zum Beispiel Regula falsi oder Newtonsches Verfahren, vgl. Abschnitt VIII.4.12). In Spezialfa¨llen fu¨hren die fu¨r Gleichungen dritten und vierten Grades vorgefu¨hrten Methoden wie zum Beispiel die Reduktionsmethode jedoch zu Lo¨sungen. Ist x1 eine Lo¨sung der Gleichung an xn þ an 1 xn 1 þ an 2 xn 2 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ¼ 0, dann gilt an xn þ an 1 xn 1 þ an 2 xn 2 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ¼ ðx x1 Þ ðcn 1 xn 1 þ cn 2 xn 2 þ . . . þ c2 x2 þ c1 x þ c0 Þ ¼ 0 mit cn 1 ¼ an . Die weiteren Lo¨sungen der Gleichung n-ten Grades an xn þ an 1 xn 1 þ an 2 xn 2 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ¼ 0 sind die Lo¨sungen der Gleichung ðn 1Þ-ten Grades cn 1 xn 1 þ cn 2 xn 2 þ . . . þ c2 x2 þ c1 x þ c0 ¼ 0. Der Grad der zu lo¨senden Gleichung wird also um 1 reduziert. &
Beispiel: x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ 0 Sofort zu erkennen: x1 ¼ 0; x2 ¼ 0 Es folgt: x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ x2 ðx4 6x3 þ 14x2 14x þ 5Þ ¼ 0 Durch Probieren: x3 ¼ 1 ist Lo¨sung von x4 6x3 þ 14x2 14x þ 5 ¼ 0 Polynomdivision: ðx4 6x3 þ 14x2 14x þ 5Þ : ðx 1Þ ¼ x3 5x2 þ 9x 5 Es folgt: x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ x2 ðx 1Þ ðx3 5x2 þ 9x 5Þ ¼ 0 Durch Probieren: x4 ¼ 1 ist Lo¨sung von x3 5x2 þ 9x 5 ¼ 0 Polynomdivision: ðx3 5x2 þ 9x 5Þ : ðx 1Þ ¼ x2 4x þ 5 Es folgt: x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ x2 ðx 1Þ2 ðx2 4x þ 5Þ ¼ 0 Die quadratische Gleichung x2 4x þ 5 ¼ 0 hat die Lo¨sungen x5 ¼ 2 þ j; x6 ¼ 2 j Es folgt: x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ x2 ðx 1Þ2 ðx 2 jÞ ðx 2 þ jÞ ¼ 0 Alle Lo¨sungen von x6 6x5 þ 14x4 14x3 þ 5x2 ¼ 0 somit: x1 ¼ x2 ¼ 0; x3 ¼ x4 ¼ 1; x5 ¼ 2 þ j; x6 ¼ 2 j
6.5 Satz von Vie€ta fu¨r Gleichungen n-ten Grades Wie fu¨r quadratische Gleichungen, so erha¨lt man auch fu¨r beliebige Gleichungen n-ten Grades durch Vergleich der Normalform und der Produktform Beziehungen zwischen den Lo¨sungen und den Koeffizienten der Potenzen von x in der Normalform. Ausmultiplizieren der Produktform, Gleichsetzen mit der Normalform und Koeffizientenvergleich (das heißt, Vergleich der Koeffizienten von xn 1 ; xn 2 ; . . . ; x2 ; x1 ¼ x; x0 ¼ 1 auf beiden Seiten der Gleichung) ergibt die folgenden Beziehungen, die als Satz von Vie€ta bezeichnet werden. Kubische Gleichungen: Normalform: x3 þ b2 x2 þ b1 x þ b0 ¼ 0, Lo¨sungen: x1 ; x2 ; x3
34
Mathematik
Satz von Vie€ta: b2 ¼ ðx1 þ x2 þ x3 Þ; b1 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ x2 x3 ; b0 ¼ x1 x2 x3
7 Auf algebraische Gleichungen zuru¨ckfu¨hrbare Gleichungen
Gleichungen vierten Grades: Normalform: x4 þ b3 x3 þ b2 x2 þ b1 x þ b0 ¼ 0, Lo¨sungen x1 ; x2 ; x3 ; x4 Satz von Vie€ta: b3 ¼ ðx1 þ x2 þ x3 þ x4 Þ b2 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ x1 x4 þ x2 x3 þ x2 x4 þ x3 x4 b1 ¼ ðx1 x2 x3 þ x1 x2 x4 þ x1 x3 x4 þ x2 x3 x4 Þ b0 ¼ x1 x2 x3 x4
7.1 Bruchgleichungen
Gleichungen n-ten Grades: Normalform: xn þ bn 1 xn 1 þ bn 2 xn 2 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 ¼ 0 Lo¨sungen: x1 ; x2 ; x3 ; . . . ; xn Satz von Vie€ta: bn 1 ¼ ðx1 þ x2 þ . . . þ xn Þ; bn 2 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ . . . þ x1 xn þ x2 x3 þ x2 x4 þ . . . þ x2 xn þ . . . þ xn 1 xn ; bn 3 ¼ ðx1 x2 x3 þ x1 x2 x4 þ . . . þ x1 x2 xn þ x1 x3 x4 þ x1 x3 x5 þ . . . þ x1 x3 xn þ . . . þ x2 x3 x4 þ x2 x3 x5 þ . . . þ x2 x3 xn þ x2 x4 x5 þ . . . þ xn 2 xn 1 xn Þ; ...................................................:: b1 ¼ ð1Þn 1 ðx1 x2 x3 . . . xn 1 þ x1 x2 . . . xn 2 xn þ x1 x2 . . . xn 3 xn 1 xn þ . . . þ x1 x3 x4 . . . xn þ x2 x3 . . . xn Þ; b0 ¼ ð1Þn x1 x2 x3 . . . xn
Bestimmungsgleichungen mit Bruchtermen, bei denen die Variable (auch) im Nenner auftritt, heißen Bruchgleichungen. PðxÞ , wo Alle diese Bruchterme sind Quotienten QðxÞ PðxÞ und QðxÞ Polynome mit der gleichen Variablen x sind, also PðxÞ ¼ an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 und QðxÞ ¼ bm xm þ bm 1 xm 1 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 mit n 0; m 1 (vgl. Abschnitt II.6.2). Multipliziert man eine solche Gleichung mit dem Hauptnenner aller auf beiden Seiten der Gleichung auftretenden Nenner durch, dann entsteht eine algebraische Gleichung (oder eine identische Gleichung). Durch die Multiplikation mit dem Hauptnenner ko¨nnen Lo¨sungen hinzukommen, es gehen aber keine Lo¨sungen verloren. Deshalb ist es unbedingt erforderlich, die Lo¨sungen der erhaltenen algebraischen Gleichung in die Ausgangsgleichung einzusetzen. Dadurch werden hinzugekommene Lo¨sungen, die nicht Lo¨sungen der Ausgangsgleichung sind, ausgesondert, insbesondere solche Werte, fu¨r die ein Nenner der Ausgangsgleichung Null ist. &
Beispiele: xþ2 4x 1 ¼ 2x 1 x Multiplikation mit dem Hauptnenner xð2x 1Þ : ðx þ 2Þ x ¼ ð4x 1Þ ð2x 1Þ Auflo¨sen der Klammern: x2 þ 2x ¼ 8x2 4x 2x þ 1 Sortieren nach Potenzen von x : 7x2 8x þ 1 ¼ 0 Quadratische Gleichung in allgemeiner Form mit a ¼ 7; b ¼ 8; c ¼ 1 (vgl. Abschnitt II.5.2.3)
1. &
Beispiele: 1. Die kubische Gleichung x3 6x2 x þ 6 ¼ 0 (also b2 ¼ 6; b1 ¼ 1; b0 ¼ 6Þ hat die Lo¨sungen x1 ¼ 1; x2 ¼ 6; x3 ¼ 1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt II.6.1). Es gilt nach dem Satz von Vie€ta: b2 ¼ ðx1 þ x2 þ x3 Þ ¼ ð1 þ 6 1Þ ¼ 6; b1 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ x2 x3 ¼ 1 6 þ 1 ð1Þ þ 6 ð1Þ ¼ 6 1 6 ¼ 1; b0 ¼ x1 x2 x3 ¼ 1 6 ð1Þ ¼ ð6Þ ¼ 6 2. Fu¨r die Gleichung vierten Grades x4 7x3 þ 5x2 þ 7x 6 ¼ 0 gilt: b3 ¼ 7; b2 ¼ 5; b1 ¼ 7; b0 ¼ 6. Die Gleichung hat die Lo¨sungen x1 ¼ x2 ¼ 1; x3 ¼ 6; x4 ¼ 1 (vgl. Beispiel 2 im Abschnitt II.6.3). Nach dem Satz von Vie €ta gilt: b3 ¼ ðx1 þ x2 þ x3 þ x4 Þ ¼ ð1 þ 1 þ 6 1Þ ¼ 7 b2 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ x1 x4 þ x2 x3 þ x2 x4 þ x3 x4 ¼ 1 1 þ 1 6 þ 1 ð1Þ þ 1 6 þ 1 ð1Þ þ 6 ð1Þ ¼1þ61þ616¼5 b1 ¼ ðx1 x2 x3 þ x1 x2 x4 þ x1 x3 x4 þ x2 x3 x4 Þ ¼ ð1 1 6 þ 1 1 ð1Þ þ 1 6 ð1Þ þ 1 6 ð1ÞÞ ¼ ð6 1 6 6Þ ¼ 7 b0 ¼ x1 x2 x3 x4 ¼ 1 1 6 ð1Þ ¼ 6 3. Welche Normalform hat die kubische Gleichung mit den Lo¨1 1 sungen x1 ¼ 2; x2 ¼ ; x3 ¼ ? 2 2 3 2 Normalform: x þ b2 x þ b1 x þ b0 ¼ 0 Nach dem Satz von Vie €tagilt: 1 1 ¼2 b2 ¼ ðx1 þ x2 þ x3 Þ ¼ 2 þ 2 2 1 1 1 1 þ ð2Þ þ b1 ¼ x1 x2 þ x1 x3 þ x2 x3 ¼ ð2Þ 2 2 2 2 1 1 ¼11 ¼ 4 4 1 1 1 ¼ b0 ¼ x1 x2 x3 ¼ ð2Þ 2 2 2 Die Normalform der kubischen Gleichung lautet somit 1 1 x3 þ 2x2 x ¼ 0. 4 2
Lo¨sungen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 1 ð8 64 4 7 1Þ ¼ ð8 6Þ ) x1 ¼ 1; x2 ¼ x1; 2 ¼ 14 14 7 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: 1þ2 411 ¼ )3¼3 211 1 Einsetzen von x2 in die Ausgangsgleichung: 1 1 15 3 4 1 þ2 7 7 7 ) 3 ¼ 3 ¼ ) 7 ¼ 1 1 1 5 2 1 7 7 7 7
2.
Beide Werte sind also auch Lo¨sungen der Ausgangsglei chung. 1 ; 1 Lo¨sungsmenge: L ¼ 7 2x þ 1 3x 5 2x2 þ 2x þ 18 þ ¼ x3 xþ3 x2 9 Multiplikation mit dem Hauptnenner ðx 3Þðx þ 3Þ ¼ x2 9: ð2x þ 1Þ ðx þ 3Þ þ ð3x 5Þ ðx 3Þ ¼ 2x2 þ 2x þ 18 Auflo¨sen der Klammern: 2x2 þ 6x þ x þ 3 þ 3x2 9x 5x þ 15 ¼ 2x2 þ 2x þ 18 Sortieren nach Potenzen von x : 3x2 9x ¼ 0 Durch 3 dividieren und x ausklammern: xðx 3Þ ¼ 0 Die Lo¨sungen dieser quadratischen Gleichung sind x1 ¼ 0; x2 ¼ 3 Einsetzen von x1 in die Ausgangsgleichung: 1 5 18 þ ¼ ) 2 ¼ 2 3 3 9 x2 ¼ 3 ist keine Lo¨sung der Ausgangsgleichung, da fu¨r x ¼ 3 zwei der Nenner gleich 0 sind. Lo¨sungsmenge: L ¼ f0g
II Gleichungen 3.
2x þ 3 4x þ 5 6x2 þ 6x 2 þ ¼ x1 xþ1 x2 1 Multiplikation mit dem Hauptnenner ðx 1Þ ðx þ 1Þ ¼ x2 1: ð2x þ 3Þ ðx þ 1Þ þ ð4x þ 5Þ ðx 1Þ ¼ 6x2 þ 6x 2 Auflo¨sen der Klammern: 2x2 þ 2x þ 3x þ 3 þ 4x2 4x þ 5x 5 ¼ 6x2 þ 6x 2 Zusammenfassen: 6x2 þ 6x 2 ¼ 6x2 þ 6x 2 Dies ist eine identische Gleichung, die fu¨r alle reellen x erfu¨llt ist. Fu¨r x ¼ 1 und x ¼ 1 ist die Ausgangsgleichung nicht erkla¨rt, da Nenner gleich 0 sind. Lo¨sungsmenge: L ¼ fx j x 2 R und x 6¼ 1; x 6¼ 1g
4.
35 3.
4.
3 2 2x þ 1 ¼ 2 x1 x3 x 4x þ 3 Multiplikation mit dem Hauptnenner ðx 1Þ ðx 3Þ ¼ x2 4x þ 3: 3ðx 3Þ 2ðx 1Þ ¼ ð2x þ 1Þ Auflo¨sen der Klammern: 3x 9 2x þ 2 ¼ 2x 1 Sortieren nach Potenzen von x : 3x 6 ¼ 0 Die Lo¨sung dieser linearen Gleichung ist x ¼ 2. Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 3 2 5 ¼ )5¼5 1 1 1 Lo¨sungsmenge: L ¼ f2g
5.
7.2 Wurzelgleichungen Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) unter einer Wurzel vorkommt, heißen Wurzelgleichungen. ber die Existenz und die Anzahl von Lo¨sungen bei Wurzelgleichungen lassen sich allgemein keine Aussagen machen. Ziel fu¨r die Bestimmung der Lo¨sungen ist es, die in der Gleichung auftretenden Wurzeln zu beseitigen und die Gleichung in eine algebraische Gleichung zu u¨berfu¨hren. Oftmals gelingt es, die Wurzeln zu isolieren (das heißt, die Gleichung so umzuformen, daß die Wurzel allein auf einer Seite der Gleichung steht) und dann beide Seiten der Gleichung in die entsprechende Potenz zu erheben. Viele Wurzelgleichungen ko¨nnen auch schon durch ein- oder mehrmaliges Quadrieren in eine algebraische Gleichung u¨berfu¨hrt werden. Durch das Quadrieren oder allgemeiner durch das Potenzieren ko¨nnen Lo¨sungen hinzukommen, es gehen aber keine Lo¨sungen verloren (Potenzieren ist keine a¨quivalente Umformung!). Durch die Probe mit Einsetzen der gefundenen Lo¨sungen in die Ausgangsgleichung lassen sich diese zusa¨tzlichen Werte aber leicht feststellen und aussortieren. &
Beispiele: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1. 11 x þ 3 ¼ 6 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Isolieren der Wurzel ergibt x þ 3 ¼ 11 6, also x þ 3 ¼ 5; woraus man durch Quadrieren der Gleichung x þ 3 ¼ 25; also x ¼ 22 erha¨lt. Einsetzen in die Ausgangsgleichung besta¨tigt x ¼ 22 als Lo¨pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sung: 11 22 þ 3 ¼ 6 Lo¨sungsmenge: L ¼ f22g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2. 5 þ 9x2 65 ¼ 3x Isolieren der Wurzel und Quadrieren der Gleichung ergibt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2 65 ¼ 3x 5 ) 9x2 65 ¼ ð3x 5Þ2 ¼ 9x2 30x þ 25 ) 30x ¼ 90 ) x ¼ 3 Einsetzen in die Ausgangsgleichung ergibt x ¼ 3 als Lo¨sung. Lo¨sungsmenge: L ¼ f3g
6.
7.
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 11 x ¼ x þ 1 Quadrieren ergibt 11 x ¼ x2 þ 2x þ 1, also die quadratische 3 2 Gleichung rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 3x 10 ¼ 0, die die Lo¨sungen x1; 2 ¼ 2 9 þ 10, also x1 ¼ 2 und x2 ¼ 5 hat. 4 Die Probe zeigt, daß x1 die Wurzelgleichung erfu¨llt, x2 jedoch nicht. Lo¨sungsmenge: L ¼ f2g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 5 ¼ 2x þ 3 þ 1 Quadrieren der Gleichung ergibt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 5 ¼ 2x þ 3 þ 2 2x þ 3 þ 1: Durch Zusammenfassen und Isolieren der Wurzel erha¨lt man pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 1 ¼ 2 2x þ 3. Erneutes Quadrieren ergibt x2 2x þ 1 ¼ 4ð2x þ 3Þ und somit die quadratische Gleichung x2 10x 11 ¼ 0. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Diese Gleichung hat die Lo¨sungen x1; 2 ¼ 5 25 þ 11, also x1 ¼ 11 und x2 ¼ 1: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Einsetzen in die Ausgangsgleichung x þ 5 ¼ 2x þ 3 þ 1 zeigt, daß x2 eine Lo¨sung ist, x1 aber nicht. Lo¨sungsmenge: L ¼ f1g pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x þ 2 þ 2x þ 7 ¼ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Quadrieren: x þ 2 þ 2x þ 7 ¼ 16 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Wurzel isolieren: 2x þ 7 ¼ 14 x Quadrieren: 2x þ 7 ¼ 196 28x þ x2 Sortieren nach Potenzen von x: x2 30x þ 189 ¼ 0 Lo¨sungen dieser quadratischen Gleichung: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi x1; 2 ¼ 15 225 189 ¼ 15 6 ) x1 p ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 21; x2 ¼ 9 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Einsetzen pffiffiffiffiffivon x1 in Ausgangsgleichung: 21 þ 2 þ 2 21 þ 7 ¼ 4 ) 30 ¼ 4: unwahr! Somit ist x1 keine Lo¨sung der Ausgangsgleichung. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Einsetzen von x2 in Ausgangsgleichung: 9 þ 2 þ 2 9 þ 7 ¼ 4 ) 4 ¼ 4: wahr, x2 ¼ 9 ist also Lo¨sung. Lo¨sungsmenge: L ¼ f9g ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p 3 xþ2¼3 In die 3. Potenz erheben: x þ 2 ¼ 33 ¼ 27 ) x ¼ 25 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Einsetzen in die Ausgangsgleichung: 3 25 þ 2 ¼ 3 ) 3 ¼ 3 Lo¨sungsmenge: L ¼ f25g p ffiffiffiffiffi pffiffiffi 3 x þ 5 x2 22 3 x þ 16 ¼ 0 2 1 Umformung der Wurzelexponenten: x þ 5x3 22x3 þ 16 ¼ 0 Durch Potenzieren lassen sich die Wurzeln nicht beseitigen, pffiffiffi 1 statt dessen Substitution: z ¼ 3 x ¼ x 3 Es folgt: z3 þ 5z2 22z þ 16 ¼ 0 Durch Probieren erha¨lt man die Lo¨sung z ¼ 1 dieser kubischen Gleichung. Polynomdivision: ðz3 þ 5z2 22z þ 16Þ : ðz 1Þ ¼ z2 þ 6z 16 Lo¨sungen der quadratischen Gleichung z2 þ 6z 16 ¼ 0: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi z2; 3 ¼ 3 9 þ 16 ¼ 3 5 ) z2 ¼ 2; z3 ¼ 8 Substitutionsgleichung in die dritte Potenz erheben: x ¼ z3 Einsetzen der Lo¨sungen: x1 ¼ z31 ¼ 13 ¼ 1; x2 ¼ z32 ¼ 23 ¼ 8; x3 ¼ z33 ¼ ð8Þ3 ¼ 512 Einsetzen x1ffiffiffi in Ausgangsgleichung: ffiffiffiffiffi von p p 3 1 þ 5 12 22 3 1 þ 16 ¼ 0 ) 1 þ 5 22 þ 16 ¼ 0 ) 0 ¼ 0 Einsetzen ffiffiffiffiffi von xp2 ffiffiin p ffi Ausgangsgleichung: 3 8 þ 5 82 22 3 8 þ 16 ¼ 0 ) 8 þ 20 44 þ 16 ¼ 0 ) 0 ¼ 0 Einsetzen von x3 in Ausgangsgleichung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 512 þ 5 ð512Þ2 22 3 512 þ 16 ¼ 0 ) 512 þ 5 64 22 ð8Þ þ 16 ¼ 0 ) 512 þ 320 þ176 þ 16 ¼ 0 ) 0 ¼ 0 Lo¨sungsmenge: L ¼ f512; 1; 8g
8 Transzendente Gleichungen 8.1 Exponentialgleichungen Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Exponenten einer Potenz steht, heißen Exponentialgleichungen. Im allgemeinen lassen sich in Exponentialgleichungen die Lo¨sungen nur durch Na¨herungsverfahren (siehe Abschnitt VIII.4.12) bestimmen. Tritt in einer
36
Mathematik
Exponentialgleichung die Variable jedoch nur in den Exponenten auf, so kann man sie oftmals lo¨sen, und zwar durch Umformung mit Hilfe der Potenzgesetze und anschließendes Logarithmieren zu einer beliebigen Basis oder durch berfu¨hrung in eine algebraische Gleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution und anschließendem Logarithmieren. Die Exponentialgleichung a bx ¼ c geht durch Logarithmieren u¨ber in log a þ x log b ¼ log c; woraus log c log a ergibt. sich fu¨r b 6¼ 1 die Lo¨sung x ¼ log b Die Exponentialgleichung an bnx þ an 1 bðn 1Þ x þ . . . þ a2 b2x þ a1 bx þ a0 ¼ 0 geht mit Hilfe der Substitution z ¼ bx u¨ber in die algebraische Gleichung an zn þ an 1 zn 1 þ . . . þ a2 z2 þ a1 zþ a0 ¼ 0: Ist z > 0 log z eine reelle Lo¨sung dieser Gleichung, so ist x ¼ log b eine Lo¨sung der Exponentialgleichung. &
Beispiele: 1. 3x ¼ 4x 2 2x Logarithmieren zu einer beliebigen Basis ergibt x log 3 ¼ ðx 2Þ log 4 þ x log 2. Auflo¨sen nach x gibt die Lo¨sung x¼
2 log 4 4 log 2 ¼
2;826 780 log 4 log 3 þ log 2 3 log 2 log 3
Bei der letzten Umformung wurde log 4 ¼ 2 log 2 gesetzt. Lo¨sungsmenge: L ¼ f2;826 780 . . .g 2.
5 6x ¼ 2x 7x
x 2 x 1 ¼ ¼ 5; 76 21 woraus man durch Logarithmieren die Lo¨sung erha¨lt:
Durch Umformung ergibt sich
x¼
log 5 log 5 ¼
0; 528 634 1 log 21 21
log
Lo¨sungsmenge: L ¼ f0; 528 633 . . .g 3.
4.
5.
e2x þ 3 ¼ ex 4 Logarithmieren zur Basis e ergibt die Gleichheit der Exponenten: 2x þ 3 ¼ x 4, woraus sich unmittelbar die Lo¨sung x ¼ 7 ergibt. Lo¨sungsmenge: L ¼ f7g 5 xþ1 2 þ6¼0 2 Durch Umformung erha¨lt man ð2x Þ2 5 2x þ 6 ¼ 0, und mit der Substitution z ¼ 2x ergibt sich die quadratische Glei5 chung in z: z2 5z þ 6 ¼ 0, die die Lo¨sungen z1; 2 ¼ rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 25 6; also z1 ¼ 2 und z2 ¼ 3 hat. 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die Lo¨sungen x1 und x2 der Exponentialgleichung: log 3
1;584 963 2x1 ¼ z1 ¼ 2 ) x1 ¼ 1; 2x2 ¼ z2 ¼ 3 ) x2 ¼ log 2 Lo¨sungsmenge: L ¼ f1; 1;584 962 . . .g 3x ¼ x þ 4 In dieser Gleichung steht x nicht nur im Exponenten, die Gleichung la¨ßt sich deshalb nur mit einem Na¨herungsverfahren lo¨sen. Man setzt y ¼ 3x x 4 und wendet etwa Regula falsi oder das Newtonsche Verfahren an (vgl. Abschnitt VIII.4.12). Mit den Startwerten x1 ¼ 1;55; x2 ¼ 1;57 () y1 ¼ 0;0604 . . . ; y2 ¼ 0;0415 . . .) erha¨lt man zum Beispiel mit Regula falsi (Sekantenverfahren) in zwei Schritten die Na¨herungslo¨sung: x 1;561 919. Lo¨sungsmenge: L ¼ f1;561 918 . . .g 22x
8.2 Logarithmische Gleichungen Bestimmungsgleichungen, bei denen die Variable (auch) im Argument eines Logarithmus vorkommt, heißen logarithmische Gleichungen. Einige dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Logarithmenrechnung auf die lo¨sbare Form log a x ¼ b bringen. Die Lo¨sung lautet dann x ¼ ab . Spezielle logarithmische Gleichungen ko¨nnen mit Hilfe einer geeigneten Substitution in eine algebraische Gleichung umgewandelt werden. Tritt die Variable nicht nur im Argument von Logarithmen auf, dann lassen sich die Lo¨sungen von logarithmischen Gleichungen im allgemeinen nur durch Na¨herungsverfahren bestimmen (siehe Abschnitt VIII.4.12). &
Beispiele: 1. log7 ðx2 þ 19Þ ¼ 3 Durch Potenzieren ergibt sich 73 ¼ x2 þ 19, also x2 ¼ 324. Daraus erha¨lt man die Lo¨sungen x1 ¼ 18 und x2 ¼ 18. Lo¨sungsmenge: L ¼ f18; 18g 2. lg ð6x þ 10Þ lg ðx 3Þ ¼ 1 6x þ 10 6x þ 10 ¼ 1 und durch Potenzieren Es folgt lg x3 x3 1 ¼ 10 ¼ 10 und somit 6x þ 10 ¼ 10x 30; also 4x ¼ 40: Daraus ergibt sich x ¼ 10 als Lo¨sung der logarithmischen Gleichung. Lo¨sungsmenge: L ¼ f10g 3. lg ð11x 10Þ þ ½lg ð11x 10Þ2 ¼ 6 Durch die Substitution z ¼ lg ð11x 10Þ erha¨lt man die quadratische Gleichung z2 þ z 6 ¼ 0 mit den Lo¨sungen rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 1 þ 6; also z1 ¼ 3 und z2 ¼ 2. z1; 2 ¼ 2 4 Durch Einsetzen dieser Werte in die Substitutionsgleichung ergeben sich die Lo¨sungen x1 und x2 der logarithmischen Ausgangsgleichung: 10z þ 10 z ¼ lg ð11x 10Þ ) 10z ¼ 11x 10 ) x ¼ 11 3 10 þ 10 z1 ¼ 3 ) x1 ¼ ¼ 0;909 18 11 102 þ 10 z2 ¼ 2 ) x2 ¼ ¼ 10 11 Lo¨sungsmenge: L ¼ f0;909 18; 10g
8.3 Trigonometrische Gleichungen Bestimmungsgleichungen, in denen die Variable (auch) im Argument einer trigonometrischen Funktion auftritt, heißen trigonometrische Gleichungen oder goniometrische Gleichungen (siehe Kapitel VI). Trigonometrische Gleichungen sind ebenfalls transzendente Gleichungen. Sie lassen sich nur in Spezialfa¨llen rechnerisch exakt lo¨sen. Es existieren jedoch stets Na¨herungsverfahren, mit deren Hilfe sich die Lo¨sungen mit beliebiger Genauigkeit angeben lassen (zum Beispiel Newtonsches Verfahren oder Regula falsi, vgl. Abschnitt VIII.4.12). Tritt in der Gleichung nur eine trigonometrische Funktion auf, so erha¨lt man mit den Arkusfunktionen die Lo¨sungen (vgl. Abschnitt VI.9). Auch fu¨r solche Gleichungen, in denen verschiedene trigonometrische Funktionen auftreten, die das gleiche Argument haben, kann man oft mit Hilfe der Arkusfunktionen die Lo¨sungen berechnen. Die Lo¨sungen ko¨nnen im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben werden.
II Gleichungen Die Probe durch Einsetzen der gefundenen Werte ist wichtig, weil beim Lo¨sen in der Regel auch nichta¨quivalente Umformungen vorgenommen werden. Im allgemeinen sind trigonometrische Gleichungen nicht eindeutig lo¨sbar. &
Beispiele: 1. sin 2 x 1 ¼ 0;5 Man berechnet: rffiffiffiffiffi 1 1 1 pffiffiffi ¼ 2 sin 2 x ¼ ) sin x ¼ 2 2 2 1 pffiffiffi 2 ¼ 45 ) x ¼ arcsin 2 Wegen sin x ¼ sin ð180 xÞ und sin x ¼ sin ðx þ k 360 Þ ergibt sich als Lo¨sungsmenge der trigonometrischen Gleichung (im Gradmaß): L ¼ fx j x ¼ 45 þ k 180 ; k 2 Zg. Die Probe in der Ausgangsgleichung besta¨tigt diese Werte. 2. sin 2 x þ 2 cos x ¼ 1;5 Wegen sin 2 x þ cos2 x ¼ 1 ergibt sich 1 cos2 x þ 2 cos x ¼ 1;5 ) cos2 x 2 cos x þ 0;5 ¼ 0. Dies ist eine quadratische Gleichung in cos x. Mit der Substitution z ¼ cos x ergibt sich die quadratische Gleichung 1 pffiffiffi 2: z2 2z þ 0;5 ¼ 0 mit den Lo¨sungen z ¼ cos x ¼ 1 2 1 pffiffiffi Wegen cos x 1 kommt cos x ¼ 1 þ 2 fu¨r eine Lo¨sung 2 nicht in Betracht. Somit folgt 1 pffiffiffi 1 pffiffiffi cos x ¼ 1 2 ) x ¼ arccos 1 2 1;2735. 2 2 Wegen cos x ¼ cos ðxÞ und cos x ¼ cos ðx þ 2kpÞ ergibt sich als Lo¨sungsmenge der Ausgangsgleichung (im Bogenmaß): L ¼ fx j x 1;2735 þ 2kp; k 2 Zg. Die Probe in der Ausgangsgleichung besta¨tigt diese Werte. 3. sin x þ cos x 0;9x ¼ 0 Diese Gleichung ist nicht geschlossen lo¨sbar. Eine Na¨herungslo¨sung erha¨lt man zum Beispiel mit Regula falsi (vgl. Abschnitt VIII.4.12). Man setzt y ¼ sin x þ cos x 0;9x und erha¨lt mit den Startwerten x1 ¼ 77 ; x2 ¼ 76;5 ð) y1 ¼ 0;0101 . . . ; y2 ¼ 0;0041. . .) im ersten Schritt die Na¨herungslo¨sung x 1;3378.
9 Lineare Gleichungssysteme 9.1 Definitionen Die Schwierigkeiten beim Bestimmen der Lo¨sungen von Gleichungen werden noch gro¨ßer, wenn nicht nur eine Variable aus einer Bestimmungsgleichung errechnet werden soll, sondern wenn mehrere Variable mehrere Gleichungen gleichzeitig erfu¨llen sollen. Zum Beispiel sollen in den Gleichungen x 2y ¼ 4 und 2x þ 5y ¼ 35 die Variablen x und y so berechnet werden, daß deren Werte beide Gleichungen erfu¨llen. Sollen m Gleichungen von n Variablen gleichzeitig erfu¨llt sein, so spricht man von einem System von m Gleichungen mit n Variablen. Ein solches Gleichungssystem zu lo¨sen, heißt, die Werte der Variablen zu bestimmen, die alle Gleichungen dieses Systems erfu¨llen. Eine Lo¨sung eines Gleichungssystems mit m Gleichungen und n Variablen besteht also aus n Werten, einem sogenannten n-Tupel (fu¨r jede Variable ein Wert). So besteht eine Lo¨sung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen aus einem Paar (2-Tupel) von Werten, ein Gleichungssystem mit drei Variablen hat ein Lo¨sungstripel (3-Tupel). In dem Beispiel ist das Paar x ¼ 10; y ¼ 3 Lo¨sung. Man schreibt auch ðx; yÞ ¼ ð10; 3Þ, oder die Lo¨-
37 sungsmenge L der beiden Gleichungen ist L ¼ fð10; 3Þg (die Reihenfolge ist zu beachten!). Eine Gleichung in mehreren Variablen heißt linear, wenn alle Variablen ho¨chstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Die beiden Gleichungen des Beispiels sind lineare Gleichungen. Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn alle Gleichungen des Systems lineare Gleichungen sind. Im allgemeinen ist die Bestimmung von Lo¨sungen oder sogar aller Lo¨sungen eines Gleichungssystems sehr schwierig oder auch nicht mo¨glich. Fu¨r lineare Gleichungssysteme ist jedoch eine Methode entwikkelt worden, die alle Lo¨sungen des Systems liefert. Ein lineares Gleichungssystem ist durch die Koeffizienten der Variablen und durch die Absolutglieder (die Terme, die die Variablen nicht enthalten) bestimmt.
9.2 Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen x; y lautet: a1 x þ b1 y ¼ c1 a2 x þ b2 y ¼ c2 a1 ; a2 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y sind b1 ; b2 , und c1 ; c2 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. Es gibt verschiedene Methoden, solche linearen Gleichungssysteme zu lo¨sen. bliche Verfahren sind das Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren), das Additionsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen aufgelo¨st, und der entsprechende Term wird in die andere Gleichung eingesetzt. Man erha¨lt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gelo¨st werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. Fu¨hrt man das Verfahren mit der allgemeinen Form des Gleichungssystems durch, so ergibt sich x¼
b2 c1 b1 c2 ; a1 b2 a2 b1
y¼
a1 c2 a2 c1 a1 b2 a2 b1
Fallunterscheidung: 1. Ist der Nenner a1 b2 a2 b1 6¼ 0, so erha¨lt man genau eine Lo¨sung, und zwar das Zahlenpaar b2 c 1 b1 c 2 a1 c2 a2 c1 ; ðx; yÞ ¼ : a1 b2 a2 b1 a1 b2 a2 b1
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Mathematik
2. Ist der Nenner a1 b2 a2 b1 ¼ 0, aber (mindestens) einer der Za¨hler b2 c1 b1 c2 oder a1 c2 a2 c1 ungleich 0, so gibt es keine Lo¨sung. 3. Ist der Nenner gleich 0, und sind außerdem beide Za¨hler gleich 0, so gibt es unendlich viele Lo¨sungen, und zwar jedes Paar ðx; yÞ, das die erste gegebene Gleichung a1 x þ b1 y ¼ c1 und damit dann zugleich die zweite gegebene Gleichung a2 x þ b2 y ¼ c2 erfu¨llt. Der Graph (das Schaubild) zu jeder einzelnen gegebenen Gleichung ist eine Gerade (vgl. Abschnitt V.4.2). Im ersten Fall ist das die Lo¨sung bildende Zahlenpaar das Koordinatenpaar des eindeutigen Schnittpunktes der beiden Geraden. Im zweiten Fall gibt es keine Lo¨sung, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Geraden (Parallelen haben keinen Schnittpunkt). Im dritten Fall gibt es unendlich viele Lo¨sungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind gleich, es handelt sich um ein und dieselbe Gerade. Wichtiger Hinweis: Man sollte stets die Probe in den noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchfu¨hren! &
Beispiele: 1. (I) x þ y ¼ 1, (II) 2x þ y ¼ 4 (I) ) y ¼ 1 þ x; Einsetzen in (II): 2x þ 1 þ x ¼ 4 ) 3x ¼ 3 )x¼1 Einsetzen in (I) ) y ¼ 2 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð1; 2Þg) Berechnung der Lo¨sung durch Einsetzen von a1 ¼ 1; b1 ¼ 1; c1 ¼ 1; a2 ¼ 2; b2 ¼ 1; c2 ¼ 4 in die Lo¨sungsformel: x¼
2.
1114 3 ¼ ¼ 1; ð1Þ 1 2 1 3
y¼
2 9 1 8 10 y¼ ¼ ¼2 2413 5
Probe: (I) 2 1 þ 3 2 ¼ 8 ) 8 ¼ 8, (II) 1 þ 4 2 ¼ 9 ) 9 ¼ 9
y 3
2x + 3y = 8 x + 4y = 9
2 1 –1 0 x1 1 –1
y1 2
3
4
5
&
Beispiele: 3. (I) x þ y ¼ 1, (II) 2x þ y ¼ 4 Multiplikation von (I) mit 2: (I0 ) 2x þ 2y ¼ 2 Addition von (I0 ) und (II): y þ 2y ¼ 4 þ 2 ) 3y ¼ 6 ) y ¼ 2 Einsetzen in (I) ) x ¼ 1 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð1; 2Þg) 4. (I) 2x þ 3y ¼ 8, (II) x þ 4y ¼ 9 Multiplikation von (II) mit 2: (II0 ) 2x 8y ¼ 18 Addition von (I) und (II0 ): 3y 8y ¼ 8 18 ) 5y ¼ 10 )y¼2 Einsetzen in (I) ) x ¼ 1 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ
Gleichsetzungsverfahren Beim Gleichsetzungsverfahren lo¨st man beide Gleichungen nach derselben Variablen (oder dem gleichen Vielfachen einer Variablen) auf und setzt die entsprechenden Terme gleich. Man erha¨lt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gelo¨st werden kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann. &
Beispiele: 5. (I) x þ y ¼ 1, (II) 2x þ y ¼ 4 (I) ) y ¼ 1 þ x, (II) ) y ¼ 4 2x Gleichsetzen ) 1 þ x ¼ 4 2x ) 3x ¼ 3 ) x ¼ 1 Einsetzen in (I) ) y ¼ 2 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð1; 2Þg) 6. (I) 2x þ 3y ¼ 8, (II) x þ 4y ¼ 9 (I) ) (I0 ) 2x ¼ 8 3y Multiplikation von (II) mit 2: (II0 ) 2x þ 8y ¼ 18 ) (II00 ) 2x ¼ 18 8y Gleichsetzen von (I0 ) und (II00 ) ) 8 3y ¼ 18 8y ) 5y ¼ 10 ) y ¼ 2 Einsetzen in (I0 ): 2x ¼ 2 ) x ¼ 1 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ
&
Weitere Beispiele: 7. (I) 2x þ 3y ¼ 8, (II) 4x þ 6y ¼ 13 Nach der Lo¨sungsformel ist der Nenner a1 b2 a2 b1 ¼ 2 6 4 3 ¼ 0. Der Za¨hler des x-Terms ist b2 c1 b1 c2 ¼ 6 8 3 13 ¼ 9 6¼ 0 (der Za¨hler des y-Terms ist a1 c2 a2 c1 ¼ 2 13 4 8 ¼ 6 6¼ 0). Es gibt also keine Lo¨sung, die Graphen zu beiden gegebenen Gleichungen sind parallele Gleichungen. Anderer Nachweis, daß es keine Lo¨sung gibt: Multiplikation von (I) mit 2: (I0 ) 4x 6y ¼ 16 Addition von (I0 ) und (II): 0 ¼ 3 Dies ist ein Widerspruch, also kann das Gleichungssystem keine Lo¨sung haben.
ð1Þ 4 2 1 6 ¼ ¼2 ð1Þ 1 2 1 3
Probe: (I) 1 þ 2 ¼ 1 ) 1 ¼ 1, (II) 2 1 þ 2 ¼ 4 ) 4 ¼ 4 (I) 2x þ 3y ¼ 8, (II) x þ 4y ¼ 9 (II) ) x ¼ 9 4y; Einsetzen in (I): 2ð9 4yÞ þ 3y ¼ 8 ) 18 5y ¼ 8 ) 5y ¼ 10 ) y ¼ 2 Einsetzen in (II) ) x ¼ 9 4 2 ¼ 1 Lo¨sung: ðx; yÞ ¼ ð1; 2Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð1; 2Þg) Berechnung der Lo¨sung durch Einsetzen von a1 ¼ 2; b1 ¼ 3; c1 ¼ 8; a2 ¼ 1; b2 ¼ 4; c2 ¼ 9 in die Lo¨sungsformel: 4839 5 ¼ ¼ 1; x¼ 2413 5
kann. Durch Einsetzen dieses Wertes in eine der beiden Ausgangsgleichungen ergibt sich eine lineare Gleichung mit der anderen Variablen, die daraus dann auch berechnet werden kann.
6 x y
Bild II-1 Geraden von Beispiel 2
3
2x + 3y = 8
2
Additionsverfahren Beim Additionsverfahren werden beide Gleichungen jeweils so mit einem Faktor multipliziert, daß bei anschließender Addition der Gleichungen eine der Variablen wegfa¨llt. Man erha¨lt so eine lineare Gleichung mit einer Variablen, die gelo¨st werden
4x + 6y = 13
1 –1 0 –1
1
2
3
4
5
6 x
Bild II-2 Geraden von Beispiel 7
II Gleichungen 8.
39
(I) 2x þ 3y ¼ 8, (II) 6x þ 9y ¼ 24 Nach der Lo¨sungsformel ist der Nenner a1 b2 a2 b1 ¼ 2 9 6 3 ¼ 0. Der Za¨hler des x-Terms ist b2 c1 b1 c2 ¼ 9 8 3 24 ¼ 0, der Za¨hler des y-Terms ist a1 c2 a2 c1 ¼ 2 24 6 8 ¼ 0. Es gibt also unendlich viele Lo¨sungen, die Graphen der beiden gegebenen Gleichungen sind dieselbe Gerade. Anderer Nachweis, daß es unendlich viele Lo¨sungen gibt: Multiplikation von (I) mit 3 ergibt (II). Es handelt sich also um dieselbe Geradengleichung. Zu jedem x-Wert la¨ßt sich ein y-Wert eindeutig berechnen.
3
y 2x + 3y = 8 6x + 9y = 24
2
1
2
3
4
5
6
x
Bild II-3 Geraden von Beispiel 8
9.3 Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen Die allgemeine Form eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen x; y; z lautet: a1 x þ b1 y þ c1 z ¼ d1 a2 x þ b2 y þ c2 z ¼ d2 a3 x þ b3 y þ c3 z ¼ d3 a1 ; a2 ; a3 sind die Koeffizienten von x, die Koeffizienten von y sind b1 ; b2 ; b3 , die Koeffizienten von z sind c1 ; c2 ; c3 , und d1 ; d2 ; d3 sind die Absolutglieder des Gleichungssystems. Auch hier gibt es unterschiedliche Mo¨glichkeiten, die Lo¨sung oder die Lo¨sungen eines solchen linearen Gleichungssystems zu bestimmen. Einsetzungsverfahren Beim Einsetzungsverfahren wird eine der drei Gleichungen nach einer Variablen aufgelo¨st und dann in die beiden anderen Gleichungen eingesetzt. Man erha¨lt so ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen, das man entsprechend Abschnitt II.9.2 lo¨st. &
Wichtiger Hinweis: Die Probe stets in allen noch nicht umgeformten Ausgangsgleichungen durchfu¨hren! Additionsverfahren Beim Additionsverfahren wird eine der Gleichungen jeweils so a¨quivalent umgeformt, daß bei Addition dieser umgeformten Gleichung mit einer der beiden anderen Gleichungen jeweils die gleiche Variable herausfa¨llt. Auch dadurch erha¨lt man wieder zwei Gleichungen mit zwei Variablen. &
1 –1 0 –1
Probe: (I) 3 8 9 2 1 ¼ 5 ) 24 18 1 ¼ 5 ) 5 ¼ 5 (II) 4 8 þ 10 2 9 1 ¼ 43 ) 32 þ 20 9 ¼ 43 ) 43 ¼ 43 (III) 5 8 2 2 1 ¼ 36 ) 40 2 2 ¼ 36 ) 36 ¼ 36
Beispiel: 1. (I) 3x 9y z ¼ 5 (II) 4x þ 10y 9z ¼ 43 (III) 5x y 2z ¼ 36 Gleichung (I) nach z auflo¨sen: z ¼ 3x 9y 5 Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen (II) und (III): (II) 4x þ 10y 9ð3x 9y 5Þ ¼ 43 (III) 5x y 2ð3x 9y 5Þ ¼ 36 Klammern auflo¨sen und zusammenfassen: (II) 23x þ 91y ¼ 2 (III) x þ 17y ¼ 26 Gleichung (III) nach x auflo¨sen: x ¼ 17y 26 Einsetzen in (II): 23ð17y 26Þ þ 91y ¼ 2 ) 300y ¼ 600 ) y ¼ 2 Einsetzen in (III): x ¼ 8 Einsetzen von x ¼ 8 und y ¼ 2 in (I): z ¼ 3 8 9 2 5 ¼ 1 Lo¨sung: ðx; y; zÞ ¼ ð8; 2; 1Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð8; 2; 1Þg)
Beispiel: 2. (I) x 2y 3z ¼ 5 (II) 3x þ 3y þ z ¼ 6 (III) 2x þ y z ¼ 0 Multiplikation von (II) mit 3: (II0 ) 9x þ 9y þ 3z ¼ 18 Addition von (I) und (II0 ): (IV) 10x þ 7y ¼ 13 Addition von (II) und (III): (V) 5x þ 4y ¼ 6 Multiplikation von (V) mit 2: (V0 ) 10x 8y ¼ 12 Addition von (IV) und (V0 ): y ¼ 1 ) y ¼ 1 Einsetzen in (V): 5x 4 ¼ 6 ) x ¼ 2 Einsetzen von x ¼ 2 und y ¼ 1 in (III): z ¼ 2x þ y ¼ 2 2 1 ¼ 3 Lo¨sung: ðx; y; zÞ ¼ ð2; 1; 3Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð2; 1; 3Þg)
Weitere Lo¨sungsverfahren wie die Cramersche Regel werden mit Hilfe der Determinantenrechnung im Abschnitt II.9.4 formuliert.
9.4 Matrizen und Determinanten Eine Matrix (Plural Matrizen) ist ein System von m n Gro¨ßen, die in einem rechteckigen Schema von m (waagerechten) Zeilen und n (senkrechten) Spalten angeordnet sind. Die m n Gro¨ßen nennt man die Elemente der Matrix, es sind beliebige reelle (oder komplexe) Zahlen. Die Stellung eines Elementes, etwa aij , im Schema wird durch einen Doppelindex gekennzeichnet. Dabei gibt der erste Index i die Zeile und der zweite Index j die Spalte an, in der das Element steht. Die Numerierungen der Zeilen verlaufen von oben nach unten, die der Spalten von links nach rechts. Das Element aij befindet sich also im Kreuzungspunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten nennt man ðm; nÞ-Matrix. Meist ku¨rzt man Matrizen durch große lateinische Buchstaben A; B; . . . ab. Man schreibt eine Matrix, indem man das Schema in eckige Klammern (oder auch in runde Klammern) setzt: Matrix 2
3 a11 a12 . . . a1n 6 a21 a22 . . . a2n 7 A ¼ 4.................... 5 am2 . . . amn 1 a11 a12 . . . a1n B C A ¼ @ a21 a22 . . . a2n A .................... am1 am2 . . . amn 0
am1
Abku¨rzend schreibt man dafu¨r auch A ¼ ðaij Þ:
40 &
Mathematik Beispiel: 2 3 5 2 0 5 A ¼ 4 14 0 6 1 5 1 0 2 5 Dies ist eine (3, 4)-Matrix, also eine Matrix mit 3 Zeilen und 4 Spalten. Zum Beispiel ist a12 ¼ 2 das Element, das in der ersten Zeile und zweiten Spalte steht.
Achtung: Die Doppelindizes sind einzeln zu lesen, zum Beispiel wird a12 gesprochen: a eins zwei. Quadratische Matrizen: Gilt m ¼ n, also Zeilenanzahl gleich Spaltenanzahl, dann heißt A eine n-reihige quadratische Matrix oder eine quadratische Matrix der Ordnung n. Die Elemente einer quadratischen Matrix, fu¨r die i ¼ j gilt, bilden die sogenannte Hauptdiagonale der Matrix. &
Beispiel: 2 3 4 5 0 7 6 27 6 5 A¼6 17 6 1 1 7 4 45 1 10 3 A ist eine quadratische 3reihige Matrix. Die Hauptdiagonalele4 4 mente sind a11 ¼ ; a22 ¼ 1; a33 ¼ . Alle Elemente der zwei5 3 ten Zeile sind gleich 1: a21 ¼ a22 ¼ a23 ¼ 1.
&
Beispiel: 2 3 2 0 0 6 7 A ¼ 4 0 3 0 5 0 0 7
Obere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der fu¨r alle i > j die Elemente aij gleich Null sind, heißt obere Dreiecksmatrix. &
Beispiel:
2
1 6 6 A¼4 0 4 0 0
3 0 7 15 7
Untere Dreiecksmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der fu¨r alle i < j die Elemente aij gleich Null sind, heißt untere Dreiecksmatrix. Matrizen vom gleichen Typ: Zwei Matrizen heißen vom gleichen Typ, wenn sie die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben, wenn also beide ðm; nÞ-Matrizen sind mit dem gleichen m und dem gleichen n.
2 2 0 ; 0 6 1
C¼
1 6 0 4
Gleichheit von Matrizen: Zwei Matrizen A und B heißen gleich, wenn beide vom gleichen Typ sind und wenn die entsprechenden Elemente u¨bereinstimmem, wenn also aij ¼ bij fu¨r alle i ¼ 1; . . . ; m und j ¼ 1; . . . ; n gilt. &
Beispiel:
1 2 3 A¼ ; 1 24 0
B¼
1 2 3 : A¼B 1 24 0
Transponierte Matrix: Die transponierte oder gespiegelte Matrix AT der Matrix A ist die Matrix, die durch Vertauschung von Zeilen und Spalten von A gebildet wird: 2
3 a11 a12 . . . a1n 6a 7 6 21 a22 . . . a2n 7 A¼6 7 4.................... 5 am1 am2 . . . amn 2 3 a11 a21 . . . am1 6a 7 6 12 a22 . . . am2 7 AT ¼ 6 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . : 4 5 a1n &
Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, bei der fu¨r alle i 6¼ j die Elemente aij gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. &
B¼
A und B sind vom gleichen Typ, C ist jedoch nicht vom gleichen Typ wie A und B.
Nullmatrix 0: Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, also aij ¼ 0 fu¨r i ¼ 1; . . . ; m und j ¼ 1; . . . ; n, heißt eine Nullmatrix. Einheitsmatrix E: Eine quadratische Matrix heißt Einheitsmatrix, falls .. 1 fur i ¼ j ; aij ¼ .. 0 fur i 6¼ j :
Beispiel:
1 2 3 ; 1 24 0
A¼
...
a2n
Beispiel: " # 2 3 1 A¼ ; 5 0 4
amn
2
3 2 5 6 7 05 A ¼4 3 1 4 T
Symmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt symmetrisch, wenn A ¼ AT ist, wenn also aij ¼ aji fu¨r alle i und j gilt. &
Beispiel: 2 3 1 2 3 6 7 A ¼ 4 2 6 0 5 ¼ AT 3 0 5
Antisymmetrische Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt antisymmetrisch oder schiefsymmetrisch, wenn AT ¼ A ist. Addition und Subtraktion von Matrizen: Matrizen ko¨nnen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie vom gleichen Typ sind. Zwei Matrizen vom gleichen Typ werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre korrespondierenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: A þ B ¼ ðaij Þ þ ðbij Þ ¼ ðaij þ bij Þ A B ¼ ðaij Þ ðbij Þ ¼ ðaij bij Þ
II Gleichungen
41 &
Eigenschaften der Addition: 1. A þ B ¼ B þ A (Kommutativgesetz) 2. ðA þ BÞ þ C ¼ A þ ðB þ CÞ ¼ A þ B þ C (Assoziativgesetz) 3. ðA þ BÞT ¼ AT þ BT &
Beispiel:
A¼
Beispiel:
2 2 0 4 1 3 ; B¼ 1 3 2 1 0 2
6 1 3 AþB¼ 0 3 0
2 3 3 2 3 3 AB¼ ; BA ¼ 2 3 4 2 3 4
A¼
Eigenschaften: Sind k und l zwei reelle Zahlen und A und B zwei Matrizen, so gilt: kðlAÞ ¼ lðkAÞ ¼ ðklÞ A ðk þ lÞ A ¼ kA þ lA k ðA þ BÞ ¼ kA þ kB ðkAÞT ¼ kAT Beispiel:
2 2 0 6 6 0 ¼ 1 3 2 3 9 6
Multiplikation von Matrizen: Das Produkt AB zweier Matrizen A und B kann nur dann gebildet werden, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Ist A ¼ ðaij Þ eine ðm; nÞ-Matrix und B ¼ ðbjk Þ eine ðn; rÞ-Matrix (Anzahl der Spalten von A = Anzahl der Zeilen von B), so ist die Produktmatrix C ¼ AB eine ðm; rÞ-Matrix mit den Elementen n P cik ¼ aij bjk . Das Element cik von C ¼ AB fu¨r j¼1
ein festes i und ein festes k erha¨lt man also, indem man das j-te Element der i-ten Zeile von A mit dem j-ten Element der k-ten Spalte von B multipliziert fu¨r j ¼ 1; . . . ; n und alle diese Produkte addiert. A ¼ ðaij Þ ;
B ¼ ðbjk Þ ) C ¼ AB ¼ ðcik Þ n P mit cik ¼ aij bjk
2
a11 6 a21 6 A¼6 6 ai1 4
a12 a22
... ...
ai2
...
am1
am2
...
3 a1n a2n 7 7 7 ain 7 5 amn
2
b11 6 b21 4 bn1 2 ... 6 ... 6 ... 6 6 ... 4 ... ...
10 3 6 5
Eigenschaften der Matrizenmultiplikation: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
AðBCÞ ¼ ðABÞ C (Assoziativgesetz) AðB þ CÞ ¼ AB þ AC (Distributivgesetz) AB 6¼ BA (Kommutativgesetz gilt nicht) AE ¼ EA ¼ A (E Einheitsmatrix) AN ¼ NA ¼ N (N Nullmatrix) ðABÞT ¼ BT AT (Reihenfolge a¨ndert sich)
Orthogonale Matrix: Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn AAT ¼ AT A ¼ E (E Einheitsmatrix) ist. Inverse Matrix: Eine Matrix B heißt Inverse der quadratischen Matrix A, wenn AB ¼ E (E Einheitsmatrix) gilt. Man schreibt dann B ¼ A1 . Existiert die Inverse einer Matrix, dann ist sie eindeutig. Eine Matrix A, fu¨r die die Inverse A1 existiert, heißt regula¨r, andernfalls heißt sie singula¨r. &
Beispiel:
Man berechne die Inverse der Matrix A ¼
a b ¼ A1 c d
A¼
2 3 1 2
2 3 . 1 2
1 0 ¼E 0 1
Es ergibt sich das lineare Gleichungssystem 2a þ 3c ¼ 1, 2b þ 3d ¼ 0; a 2c ¼ 0; b 2d ¼ 1. Die Lo¨sung des Gleichungssystems ist a ¼ 2; b ¼ 3; c ¼ 1; d ¼ 2.
Es folgt: Inverse A1 ¼
2 3 1 2
Eine Determinante D ist ein algebraischer Ausdruck, der jeder n-reihigen quadratischen Matrix A mit reellen (oder komplexen) Elementen aij eindeutig zugeordnet wird. Dieser algebraische Ausdruck
j¼1
Schematische Darstellung:
6 5 1 5
BA existiert nicht.
k A ¼ kðaij Þ ¼ ðkaij Þ
3A ¼ 3
2 3 1 4
3 1 1 2 1 7 6 1 2 1 5 ¼ B 40 1 1 0 1 # " 6 5 10 3 4 ¼ AB 0 1 5 6 5
AB ¼
Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl: Man multipliziert eine Matrix A mit einer reellen Zahl k, indem man jedes Element der Matrix mit k multipliziert:
&
4 ; 0 2
A¼
1. 2. 3. 4.
2 3 1 1 2 1 6 7 B ¼ 40 1 2 1 5 1 1 0 1
2 3 1 4
b12 b22
... ...
bn2 ... ... ... ... ... ...
. . . bnk ... ... ... ... ... ... . . . cik ... ... ... ...
b1k b2k
3 b1r b2r 7 ¼ B 5 . . . bnr 3 ... ... ... ... 7 ... ... 7 7 . . . . . . 7 ¼ AB 5 ... ... ... ... ... ...
42
Mathematik
ist eine reelle (oder komplexe) Zahl. Die Determinante einer n-reihigen quadratischen Matrix nennt man n-reihige Determinante. Man schreibt eine Determinante, indem man das quadratische Schema der Matrix zwischen senkrechte Striche setzt, oder in Kurzform D ¼ det ðAÞ ¼ jAj:
&
1 4 2 35 1 35 4 2 35 8 27 ¼ ¼ ¼ ¼3 y ¼ 1 5 ð2Þ 2 5þ4 9 1 2 2 5
Determinante a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n D ¼ det ðAÞ ¼ jAj ¼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann
Definition fu¨r dreireihige Determinanten (n ¼ 3): a11 a12 a13 D ¼ a21 a22 a23 a31 a32 a33 a22 a23 a21 a12 a13 þ a31 a12 a13 ¼ a11 a a a32 a33 a a 32 33 22 23
Definition fu¨r zweireihige Determinanten (n ¼ 2): a D ¼ 11 a21
a12 ¼ a11 a22 a12 a21 a22
¼ a11 ða22 a33 a23 a32 Þ a21 ða12 a33 a13 a32 Þ þ a31 ða12 a23 a13 a22 Þ
Die Elemente a11 ; a22 bilden die Hauptdiagonale, die Elemente a12 ; a21 die sogenannte Nebendiagonale. Merkregel zur Berechnung: Produkt der Hauptdiagonalelemente minus Produkt der Nebendiagonalelemente. &
Beispiel: 1 1 ¼ ð1Þ 1 1 2 ¼ 3 D ¼ 2 1
b2 c1 b1 c2 allgemeine Lo¨sungsformel x ¼ ; a1 b2 a2 b1 a1 c2 a2 c1 fu¨r ein lineares Gleichungssystem y¼ a1 b2 a2 b1 a1 x þ b1 y ¼ c1 ; a2 x þ b2 y ¼ c2 (vgl. Abschnitt II.9.2) la¨ßt sich auch mit Hilfe von zweireihigen Determinanten schreiben:
Beispiel: (I) x 2y ¼ 4, (II) 2x þ 5y ¼ 35 Einsetzen von a1 ¼ 1; a2 ¼ 2; b1 ¼ 2; b2 ¼ 5; c1 ¼ 4; c2 ¼ 35 in die Determinantengleichungen fu¨r x und y ergibt: 4 2 35 5 4 5 ð2Þ 35 20 þ 70 90 ¼ ¼ ¼ ¼ 10 ; x ¼ 1 5 ð2Þ 2 5þ4 9 1 2 2 5
¼ a11 a22 a33 a11 a23 a32 þ a13 a21 a32 a12 a21 a33 þ a12 a23 a31 a13 a22 a31 &
Beispiel: 3 7 2 0 6 4 7 2 þ ð2Þ 7 2 D¼ 4 0 6 ¼ 3 4 0 4 1 1 6 2 4 1 ¼ 3ð0 1 6ð4ÞÞ 4ð7 1 ð2Þ ð4ÞÞ 2ð7 6 ð2Þ 0Þ ¼ 3 24 4ð1Þ 2 42 ¼ 8
Die
c1 c2 x ¼ a1 a2
b1 b2 ; b1 b2
a1 a2 y ¼ a1 a2
c1 c2 b1 b2
Die gemeinsame Nennerdeterminante wird aus den Koeffizienten von x und y der beiden Gleichungen in der gegebenen Anordnung gebildet. Die Nennerdeterminante heißt deshalb auch Koeffizientendeterminante. Man erha¨lt die Za¨hlerdeterminante von x, indem man die Koeffizienten von x durch die Absolutglieder ersetzt, und die Za¨hlerdeterminante von y entsprechend durch Ersetzung der Koeffizienten von y durch die Absolutglieder (immer in der gleichen Reihenfolge, also Ersetzung von b1 durch c1 usw.). Man nennt diese Methode Cramersche Regel zur Berechnung der Lo¨sung eines linearen Gleichungssystems (nach dem schweizerischen Mathematiker Gabriel Cramer, 1704––1752).
Man nennt dies „Entwickeln“ der dreireihigen Determinante nach der ersten Spalte. Dabei wird nacheinander jedes Element der ersten Spalte mit derjenigen zweireihigen Determinante multipliziert, die man erha¨lt, wenn man in der dreireihigen Determinante die Zeile und die Spalte streicht, in der das Element steht. Die so gebildeten Produkte werden mit alternierenden (wechselnden) Vorzeichen versehen, angefangen mit einem þ, und anschließend addiert. Bezeichnet man die Determinante, die man durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Determinante D erha¨lt, mit Dij , so kann man das obige Entwickeln auch darstellen als D ¼ a11 D11 a21 D21 þ a31 D31 Die mit dem Faktor ð1Þ i þ j (dieser Faktor ist þ1 oder 1) multiplizierte Determinante Dij heißt Adjunkte oder algebraisches Komplement Aij des Elements aij. Somit kann man fu¨r das obige Entwickeln auch schreiben D ¼ a11 A11 þ a21 A21 þ a31 A31 Zur Berechnung kann man die Determinante nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln.
II Gleichungen
43 &
Entwicklung nach einer beliebigen Zeile: D ¼ ai1 Ai1 þ ai2 Ai2 þ ai3 Ai3 ¼
3 P
aij Aij ;
Beispiel: 3 7 0 4 2 4
2 6 ¼ 3 0 1 þ 7 6 ð2Þ þ ð2Þ 4 ð4Þ 1 ð2Þ 0 ð2Þ 3 6 ð4Þ 7 4 1
j¼1
¼ 0 84 þ 32 0 þ 72 28 ¼ 8
1i3 Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i ¼ 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i ¼ 2, und bei Entwicklung nach der dritten Zeile ist i ¼ 3. Entwicklung nach einer beliebigen Spalte: D ¼ a1j A1j þ a2j A2j þ a3j A3j ¼
3 P
aij Aij ;
Fehlerwarnung: Die Regel von Sarrus gilt nur fu¨r dreireihige Determinanten! Definition fu¨r n-reihige Determinanten (n 4): Auch fu¨r beliebige n-reihige Determinanten la¨ßt sich der Wert mit Hilfe des Entwicklungssatzes definieren. Entwicklung nach einer beliebigen Zeile:
i¼1
D ¼ ai1 Ai1 þ ai2 Ai2 þ . . . þ ain Ain ¼
1j3 Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j ¼ 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j ¼ 2, und bei Entwicklung nach der dritten Spalte ist j ¼ 3. &
Beispiel: 3 7 2 D ¼ 4 0 6 2 4 1
n P j¼1
aij Aij ;
1in
Bei Entwicklung nach der ersten Zeile ist i ¼ 1, bei Entwicklung nach der zweiten Zeile ist i ¼ 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Zeile ist i ¼ n: Entwicklung nach einer beliebigen Spalte:
Entwicklung nach der zweiten Zeile: D ¼ a21 A21 þ a22 A22 þ a23 A23 7 2 7 þ 0 A22 þ 6 ð1Þ2 þ 3 3 ¼ 4 ð1Þ2 þ 1 4 1 2 4 ¼ 4½7 1 ð2Þ ð4Þ þ 0 6½3 ð4Þ 7 ð2Þ ¼ 4 ð1Þ 6 2 ¼ 4 12 ¼ 8
Dreireihige Determinanten ko¨nnen auch mit der Regel von Sarrus berechnet werden (nach dem franzo¨sischen Mathematiker Pierre F. Sarrus, 1798 bis 1861). Man fu¨gt bei der Regel von Sarrus die ersten beiden Spalten der Determinante nochmals als 4. und 5. Spalte hinzu. Dann multipliziert man je drei diagonal aufeinanderfolgende Elemente und addiert (Hauptdiagonalen) bzw. subtrahiert (Nebendiagonalen) die so entstehenden sechs Produkte.
D ¼ a1j A1j þ a2j A2j þ . . . þ anj Anj ¼
n P i¼1
aij Aij ;
1jn
Bei Entwicklung nach der ersten Spalte ist j ¼ 1, bei Entwicklung nach der zweiten Spalte ist j ¼ 2, usw., und bei Entwicklung nach der n-ten Spalte ist j ¼ n: Die Cramersche Regel zur Berechnung der Lo¨sung eines linearen Gleichungssystems ist immer dann anwendbar, wenn bei dem betrachteten linearen Gleichungssystem die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Variablen u¨bereinstimmen (und die Koeffizientendeterminante von Null verschieden ist). Die Koeffizientendeterminante eines allgemeinen linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Variablen lautet a1 D ¼ a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Ersetzt man die erste Spalte von D, also die Koeffizienten von x, durch die Absolutglieder des linearen Gleichungssystems, so ergibt sich die Determinante
Die Regel ausgefu¨hrt ergibt a11 det ðAÞ ¼ a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
¼ a11 a22 a33 þ a12 a23 a31 þ a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
d1 Dx ¼ d2 d3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
Durch Ersetzen der Koeffizienten von y und z erha¨lt man analog die Matrizen a1 Dy ¼ a2 a3
d1 d2 d3
c1 c2 ; c3
a1 Dz ¼ a2 a3
b1 b2 b3
d1 d2 d3
44
Mathematik
Fu¨r D 6¼ 0 ergibt sich dann als eindeutige Lo¨sung des linearen Gleichungssystems d1 d2 Dx d3 ¼ x¼ D a1 a2 a3 a1 a2 Dy a3 y¼ ¼ D a1 a2 a3 a1 a2 Dz a3 ¼ z¼ D a1 a2 a3
c1 c2 c3 ; c1 c2 c3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
c1 c2 c3 ; c1 c2 c3
d1 d2 d3 b1 b2 b3
d1 d2 d3 c1 c2 c3
b1 b2 b3 b1 b2 b3
Ist jedoch D ¼ 0, dann gibt es entweder keine oder unendlich viele Lo¨sungen des linearen Gleichungssystems. In diesem Fall ist die Cramersche Regel nicht anwendbar. &
Beispiel: Lineares Gleichungssystem: 3x þ 15y þ 8z ¼ 10 5x þ 10y þ 12z ¼ 1 2x þ 7y þ z ¼ 1 Nennerdeterminante (Determinante der Koeffizientenmatrix): 3 15 8 D ¼ 5 10 12 ¼ 30 þ 360 280 160 252 þ 75 ¼ 227 2 7 1 Za¨hlerdeterminanten: 10 15 8 Dx ¼ 1 10 12 ¼ 100 þ 180 56 80 840 þ 15 ¼ 681 1 7 1 3 10 8 Dy ¼ 5 1 12 ¼ 3 þ 240 40 þ 16 36 þ 50 ¼ 227 2 1 1 3 15 10 Dz ¼ 5 10 1 ¼ 30 30 350 200 þ 21 þ 75 ¼ 454 2 7 1 Somit ergibt sich als Lo¨sung des linearen Gleichungssystems: x¼
Dx 681 ¼ ¼ 3; D 227
z¼
Dz 454 ¼ ¼2 D 227
y¼
Dy 227 ¼ ¼ 1 ; D 227
Die Lo¨sung des Gleichungssystems ist also das (geordnete) Zahlentripel ðx; y; zÞ ¼ ð3; 1; 2Þ (oder Lo¨sungsmenge: L ¼ fð3; 1; 2ÞgÞ:
10 Lineare Ungleichungen 10.1 Definitionen Eine Ungleichung zwischen Termen, in der eine oder mehrere Variable vorkommen, heißt linear, wenn alle Variablen ho¨chstens in der ersten Potenz auftreten und nicht miteinander multipliziert werden. Eine Ungleichung zu lo¨sen bedeutet, alle Werte der Variablen aus dem zugrunde liegenden Zahlenbereich zu bestimmen, fu¨r die die Ungleichung erfu¨llt ist. Alle diese Werte heißen Lo¨sungen der Ungleichung, und alle Lo¨sungen zusammen bilden die Lo¨sungsmenge der Ungleichung. Ein System aus mehreren Ungleichungen heißt linear, wenn alle Ungleichungen des Systems lineare Ungleichungen sind. Die Lo¨sungen eines Ungleichungssystems sind die Werte der Variablen, die alle Ungleichungen des Systems erfu¨llen. &
Beispiele: 1. Lineare Ungleichung mit einer Variablen: 7x þ 4 < 2ð3x 4Þ 1 2. Lineare Ungleichung mit zwei Variablen: 2x y þ 4 < 5ð4 xÞ þ 3 3. System linearer Ungleichungen: x þ 2y < 3; 3x y 5
Zum Lo¨sen linearer Ungleichungen ist es oftmals sinnvoll, a¨quivalente Umformungen durchzufu¨hren (vgl. Abschnitt II.2). Dabei sind aber die Rechenregeln fu¨r Ungleichungen zu beachten (siehe Abschnitt I.11).
10.2 Lineare Ungleichungen mit einer Variablen Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen la¨ßt sich durch a¨quivalente Umformungen stets in eine der folgenden Ungleichungen u¨berfu¨hren. (1) (2) (3) (4)
ax þ b < 0 ; ax þ b 0 ; ax þ b > 0 ; ax þ b 0 ;
a>0 a>0 a>0 a>0
b Durch Division durch a > 0 und Subtraktion von a erha¨lt man als Lo¨sungen die Intervalle b 1; a b ð2Þ L ¼ 1; a b ð3Þ L ¼ ; 1 a
b ð4Þ L ¼ ; 1 a
ð1Þ L ¼
Eine lineare Ungleichung mit einer Variablen hat also als Lo¨sung immer ein nicht beschra¨nktes Intervall.
II Gleichungen &
Beispiele: 1. 7x þ 4 < 2ð3x 4Þ 1 Auflo¨sung der Klammer: 7x þ 4 < 6x 8 1 Zusammenfassen: x þ 13 < 0 Auflo¨sen nach x: x < 13 Lo¨sungsmenge: L ¼ ð1; 13Þ 2. 5ðx 4Þ 2ð5 4xÞ 6 þ x Auflo¨sung der Klammern: 5x 20 10 8x 6 þ x Zusammenfassen: 5x 20 7x þ 4 ) 12x 24 0 Auflo¨sen nach x: 12x 24 ) x 2 Lo¨sungsmenge: L ¼ ½2; 1Þ 3. 9ð2 xÞ < 2ðx þ 4Þ ðx þ 2Þ 3 Auflo¨sung der Klammern: 18 9x < 2x þ 8 3x 6 Zusammenfassen: 18 9x < x þ 2 ) 8x þ 16 < 0 Auflo¨sen nach x: 8x < 16 ) x > 2 Achtung: Bei Division durch 8 dreht sich das Ungleichheitszeichen um! Lo¨sungsmenge: L ¼ ð2; 1Þ
45 eine echte Ungleichung handelt (das heißt, das Gleichheitszeichen ist nicht zugelassen), geho¨ren die Punkte der Geraden selbst nicht dazu. &
Beispiele: 1. x y < 1 Auflo¨sung nach y: y > x þ 1 Geradengleichung: y ¼ x þ 1
y y=x+1 y>x+1 11 x
–1 –1
10.3 Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Eine lineare Ungleichung mit zwei Variablen x und y la¨ßt sich immer so a¨quivalent umformen, daß eine der Variablen, etwa y, isoliert auf einer Seite der Ungleichung steht. So la¨ßt sich zum Beispiel die Ungleichung ax þ by þ c < 0 fu¨r b > 0 umformen in a c y < x . Eine Lo¨sung der Ungleichung ist b b dann ein Paar ðx; yÞ, wo x eine beliebige reelle Zahl a c ist und y die Ungleichung y < x erfu¨llt. Als b b Lo¨sungsmenge von ax þ byaþ c < c0oergibt sich dann n L ¼ ðx; yÞ x 2 R; y < x . b b Ungleichung: ax þ by þ c < 0 ðb > 0Þ .. Losungsmenge: n a co L ¼ ðx; yÞ x 2 R; y < x b b &
Beispiele: 1. x y < 1 Auflo¨sung nach y: y > x þ 1 Es ist zum Beispiel x ¼ 2; y ¼ 4 ein Lo¨sungspaar oder x ¼ 1, y ¼ 0;1. Alle Lo¨sungen ergeben die Lo¨sungsmenge: L ¼ fðx; yÞ j x 2 R; y > x þ 1g. 2. 2x þ 4y þ 4 0 1 Auflo¨sung nach y: y x 1 2 1 Lo¨sungsmenge: L ¼ ðx; yÞ x 2 R; y x 1 2
Fu¨r manche Anwendungen ist es sinnvoll, die Lo¨sungsmenge einer solchen Ungleichung graphisch darzustellen. Ersetzt man in einer Ungleichung das Ungleichheitszeichen durch ein Gleichheitszeichen, dann entsteht eine Gleichung. So entsteht zum Beispiel aus der linearen Ungleichung x y < 1 die lineare Gleichung y ¼ x þ 1. Der Graph einer solchen linearen Gleichung ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine Gerade (vgl. Abschnitt V.4.2). Alle Lo¨sungen ðx; yÞ, die die Ungleichung y > x þ 1 erfu¨llen, sind in dem kartesischen Koordinatensystem die Koordinaten der Punkte, die oberhalb der sogenannten Begrenzungsgeraden y ¼ x þ 1 liegen. Da es sich um
Bild II-4 Ungleichung y > x þ 1
2.
Die Koordinaten der Punkte im schraffierten Bereich bilden die Lo¨sungsmenge. Die Koordinaten der Punkte der Begrenzungsgeraden geho¨ren nicht zur Lo¨sungsmenge, deshalb ist die Begrenzungsgerade gestrichelt gezeichnet. 2x þ 4y þ 4 0 1 Auflo¨sung nach y: y x 1 2 1 Geradengleichung: y ¼ x 1 2 y
1 –1 y 0;5x 0;5. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erfu¨llen, liegen unterhalb der Geraden y ¼ 0;5x þ 2;5, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleihung (II) erfu¨llen, liegen oberhalb der Geraden y ¼ 0;5x 0;5.
2.
(I) y x < 1; (II) x 2 < 0, (III) 2y þ x þ 4 0 Aus (I) folgt y < x þ 1, aus (II) x < 2 und aus (III) 1 y x 2. 2 Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (I) erfu¨llen, liegen unterhalb der Geraden y ¼ x þ 1. Die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (II) erfu¨llen, liegen links der Geraden x ¼ 2, und die Punkte, deren Koordinaten die Ungleichung (III) erfu¨llen, liegen oberhalb der Geraden 1 y ¼ x 2. 2
y x=2 x 0,5x – 0,5
11 –1
1 –1
x y ≥ –0,5x – 2
y<x+1 1
x
–1
y=x+1
y = –0,5x – 2
y < –0,5x + 2,5 y = 0,5x – 0,5
Bild II-6 Ungleichungssystem y < 0;5x þ 2;5; y > 0;5x 0;5 Die Punkte, deren Koordinaten die Lo¨sungsmenge bilden, liegen im doppelt gestrichelten Bereich. Die Koordinaten der Punkte beider Begrenzungsgeraden geho¨ren nicht zur Lo¨sungsmenge.
Bild II-7 Ungleichungssystem y < x þ 1; x < 2, 1 y x2 2 Die Punkte, deren Koordinaten die Lo¨sungsmenge bilden, liegen im dreifach markierten Bereich. Nur die Koordinaten der 1 Punkte der Begrenzungsgeraden y ¼ x 2, die auf dem 2 Rand dieses dreifach markierten Bereiches liegen, geho¨ren zur Lo¨sungsmenge.
III Planimetrie Die Planimetrie (griech., Fla¨chenmessung) ist ein Teilgebiet der Geometrie (griech., Erdmessung) und befaßt sich mit ho¨chstens zweidimensionalen Objekten. Dabei interessieren zum Beispiel Form, Gro¨ße und gegenseitige Lage solcher Objekte. Die Grundelemente dieser Geometrie der Ebene sind Punkte und Geraden.
1 Geraden und Strecken Eine Gerade ist eine beidseitig unbegrenzte gerade Linie. Ein Punkt ist die Schnittstelle zweier Geraden. Eine Gerade ist durch zwei voneinander verschiedene Punkte eindeutig bestimmt. Die ku¨rzeste Verbindung zweier Punkte P1 und P2 liegt auf der Geraden durch P1 und P2 . Zwei verschiedene Geraden in der Ebene sind parallel zueinander oder haben
einen Punkt, ihren Schnittpunkt, gemeinsam. Die Gerade durch die Punkte P1 und P2 schreibt man P1 P2 (gesprochen: Gerade P1 P2 ) oder P2 P1 . Geraden ku¨rzt man oft mit g ab, also g ¼ P1 P2 ¼ P2 P1. A 2 g ist eine abku¨rzende Schreibweise dafu¨r, daß der Punkt A ein Punkt der Geraden g ist, also auf der Geraden g liegt, und B 62 g bedeutet, daß B außerhalb von g liegt. AB k CD oder g k h (gesprochen: g parallel h) bedeutet, daß AB und CD zwei parallele Geraden sind, also keinen Schnittpunkt haben. g a
h
a
Bild III-1 Parallele Geraden g und h
III Planimetrie
47
Ein Strahl oder eine Halbgerade ist ein Teil einer Geraden, der von einem Punkt S einer Geraden aus in einer Richtung la¨uft. Der Punkt S heißt Anfangspunkt des Strahls. Jeder Punkt einer Geraden bestimmt zwei verschiedene Strahlen. S A s
Bild III-2 Strahl s (A ist ein beliebiger Punkt von s) Eine Strecke ist ein Abschnitt einer Geraden zwischen zwei Punkten. Eine Strecke ist also eine beidseitig begrenzte gerade Linie. Die Strecke zwischen den Punkten A und B schreibt man AB (gesprochen: Strecke AB). Die Punkte A und B heißen die Endpunkte der Strecke, alle anderen Punkte der Strecke bilden das Innere. Die La¨nge der Strecke wird mit jABj bezeichnet (gesprochen: La¨nge oder Betrag der Strecke AB).
C
D
2 Winkel Zwei Strahlen, die von demselben Punkt S ausgehen, ko¨nnen durch eine Drehung um S ineinander u¨berfu¨hrt werden, durch die der Winkel zwischen ihnen bestimmt wird. Die Strahlen heißen die Schenkel des Winkels, der Punkt S heißt Scheitelpunkt. Sind g und h die beiden Strahlen und A ein Punkt von g und B ein Punkt von h, so bezeichnet man den Winkel mit |ðg; hÞ (gesprochen: Winkel zwischen g und h) oder mit |ASB (gesprochen: Winkel ASB).
B
In der Geoda¨sie wird eine Zentesimaleinteilung verwendet. Dabei wird der Vollwinkel in 400 gleiche Teile eingeteilt. Die Einheit ist gon (Gon). 1 gon 1 entspricht also des Vollwinkels. ltere, heute 400 nicht mehr gebra¨uchliche Einheit ist Neugrad. 1 Vollwinkel ¼ 360 ¼ 400 gon
a
Bild III-3 Strecken AB und CD mit derselben La¨nge a
h
1 ð1 GradÞ ¼ 600 ð60 MinutenÞ; 10 ð1 MinuteÞ ¼ 6000 ð60 SekundenÞ 0 1 1 10 ¼ ; 100 ¼ 60 60
B
a A
Zur Winkelmessung unterscheidet man zwei verschiedene Winkelmaße: das Gradma und das Bogenmaß (Bogenmaß siehe Abschnitt III.10.9). Beide beruhen auf Kreisteilungen. Beim Gradmaß wird ein Vollwinkel in 360 gleiche Teile eingeteilt (Sexagesimaleinteilung). Die Einheit 1 des Gradmaßes ist Grad ( ). 1 entspricht des 360 Vollwinkels. Untereinheiten des Grads sind Minuten und Sekunden.
Bild III-4 Winkel a ¼ | ðg; hÞ ¼ | ASB
Fu¨r bestimmte Winkel gibt es besondere Bezeichnungen: Ein Winkel a mit a ¼ 0 heißt Nullwinkel. Ein Winkel a mit a ¼ 90 heißt rechter Winkel. Ein Winkel a mit a ¼ 180 heißt gestreckter Winkel. Ein Winkel a mit a ¼ 360 heißt Vollwinkel. Ein Winkel a, der gro¨ßer als 0 und kleiner als ein rechter Winkel ist, heißt spitzer Winkel: 0 < a < 90 : Ein Winkel a, der gro¨ßer als ein rechter Winkel ist, heißt stumpfer Winkel: a > 90 : Ein Winkel a, der gro¨ßer als ein gestreckter Winkel ist, heißt u¨berstumpfer Winkel: a > 180 : In einer Figur kennzeichnet man einen rechten Winkel mit einem Punkt zwischen seinen Schenkeln und einem Winkelbogen.
S spitzer Winkel
S rechter Winkel
S stumpfer Winkel
a S
A
g S
Winkel werden meist mit kleinen griechischen Buchstaben bezeichnet: a; b; g; d; . . . ; j; . . . Man unterscheidet in der Regel nicht zwischen Winkel und Gro¨ße (Maß, Betrag) eines Winkels.
gestreckter Winkel
S
überstumpfer Winkel
Bild III.5 Winkelbezeichnungen
S
Vollwinkel
48
Mathematik
Einige Paare von Winkeln haben bestimmte Namen: 1. Komplementwinkel Winkel, die sich zu 90 erga¨nzen. Der Komplementwinkel zu einem Winkel a ist der Winkel b ¼ 90 a. &
6. Wechselwinkel Entgegengesetzt liegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Wechselwinkel sind gleich groß.
Beispiel: a ¼ 32 und b ¼ 58 sind Komplementwinkel.
90° – a a
A′
A
a B = B′ C
b
D = D′
S′ a
S C′
Bild III-11 Wechselwinkel (|ASB und |C0 S0 D0 ) Bild III-6 Komplementwinkel 2. Supplementwinkel Winkel, die sich zu 180 erga¨nzen. Der Supplementwinkel zu einem Winkel a ist der Winkel b ¼ 180 a. &
Beispiel: a ¼ 62 und b ¼ 118 sind Supplementwinkel.
7. Halbgleichliegende Winkel Winkelpaare an von einer Geraden geschnittenen Parallelen, die weder Stufenwinkel noch Wechselwinkel sind. Halbgleichliegende Winkel sind Supplementwinkel, sie erga¨nzen sich also zu 180 : A′
A 180° – a a
180° – a
a B = B′ S
S′
D = D′
Bild III-7 Supplementwinkel C
3. Scheitelwinkel Gegenu¨berliegende Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Scheitelwinkel sind gleich groß. C
B a
S
a
C′
Bild III-12 Halbgleichliegende Winkel (|ASB und |D0 S0 A0 )
3 Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal
A
D
Bild III-8 Scheitelwinkel (|ASB und |CSD) 4. Nebenwinkel Benachbarte Winkel an zwei sich schneidenden Geraden. Nebenwinkel sind Supplementwinkel, sie erga¨nzen sich also zu 180 :
Eine Senkrechte ist eine Gerade, die eine gegebene Gerade (oder eine Ebene) mit einem Winkel von 90 schneidet. Das Lot ist eine Gerade, die durch einen Punkt einer anderen Geraden (oder einer Ebene) geht und auf dieser Geraden (Ebene) senkrecht steht.
l
180° – a B
g
a S
C
A
P
Bild III-9 Nebenwinkel (|ASB und |BSC) Bild III-13 Lot l auf Gerade g durch Punkt P
5. Stufenwinkel Gleichliegende Winkel an von einer Geraden geschnittenen Parallelen. Stufenwinkel sind gleich groß. A′
A
B = B′
a
a
S
S′
l
D = D′ P
C
C′
Bild III-10 Stufenwinkel (|ASB und |A0 S0 B0 )
E
Bild III-14 Lot l auf Ebene E durch Punkt P
III Planimetrie
49
Einige wichtige Grundkonstruktionen lassen sich ausschließlich mit Benutzung von Zirkel und Lineal durchfu¨hren. Strecke halbieren Kreisbo¨gen mit gleichem Radius um die Endpunkte A und B einer Strecke AB schlagen. Die Schnittpunkte sind C und C0 . Die Gerade CC0 halbiert AB in E.
Parallele durch gegebenen Punkt Ein Kreisbogen um P 62 g mit Radius r schneidet die gegebene Gerade g in C. Ein Kreisbogen um C mit dem gleichen Radius r schneidet g in B, ein Kreisbogen um B mit dem Radius r schneidet den ersten Kreisbogen um P (mit dem Radius r) in A. Die Gerade PA ist die Parallele zu g durch P (Konstruktion eines Rhombus & ðPCBAÞ). P r
A C
p
s 2
A
g
s 2
B
E
r
Bild III-15 Strecke AB halbieren
C′
C
B
Bild III-19 Parallele zu g durch P
Winkel halbieren Ein Kreisbogen um den Scheitelpunkt S des Winkels schneidet die Schenkel in A und in B. Kreisbo¨gen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade SC halbiert |BSA. A
C
g
a 2 a 2
a
Bild III-16 Winkel a halbieren
B
S
Parallele in gegebenem Abstand In beliebigen Punkten A 2 g und B 2 g (aber A 6¼ B) einer gegebenen Geraden g werden die Senkrechten errichtet, und auf diesen wird der gegebene Abstand a abgetragen: jADj ¼ a und jBCj ¼ a. Die Gerade CD ist eine der beiden Parallelen zu g im Abstand a (Konstruktion eines Rechtecks & ðABCDÞ). Bild III-20 Parallele zu g im Abstand a
D
A a a
Senkrechte errichten Ein Halbkreis um P 2 g (Punkt P liegt auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisbo¨gen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in C. Die Gerade PC ist die Senkrechte auf g im Punkte P. Bild III-17 Senkrechte auf g errichten
C
A
P
B
g
Lot fa¨llen Ein Kreisbogen um P 62 g (Punkt P liegt nicht auf der Geraden g) schneidet g in A und B. Kreisbo¨gen mit gleichem Radius um A und B schneiden sich in P0 . Die Gerade PP0 ist das Lot von P auf g.
B
p
4 Projektion Man unterscheidet Parallelprojektion und Zentralprojektion. Eine Parallelprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines ra¨umlichen Gegenstandes durch parallele Strahlen auf eine Ebene). Bei senkrechter Parallelprojektion stehen die projizierenden Strahlen senkrecht auf der Geraden (Stereometrie: auf der Ebene), bei schiefer Parallelprojektion nicht. B
A
Bild III-18 Lot von P auf g fa¨llen
C
A′ s1
B′ s2
Bild III-21 Senkrechte Parallelprojektion einer Strecke AB
50
Mathematik
Eine Zentralprojektion ist die Abbildung eines ebenen Gegenstandes durch Strahlen, die alle durch einen festen Punkt Z gehen (durch das Zentrum oder Projektionszentrum), auf eine Gerade (in der Stereometrie die Abbildung eines ra¨umlichen Gegenstandes auf eine Ebene).
A, der Winkel b den Scheitelpunkt B und der Winkel g den Scheitelpunkt C hat. C
Bild III-23 Bezeichnungen im Dreieck
g b
Bild III-22 Zentralprojektion von Z einer Strecke AB
Z
A
a
b
a
B
c
B
Abku¨rzend verwendet man fu¨r ein Dreieck den großen griechischen Buchstaben D, und fu¨r ein Dreieck mit den Eckpunkten A; B; C schreibt man DðABCÞ. Die Winkelsumme in jedem Dreieck betra¨gt 180 .
A
A′
B′
s1
s2
a þ b þ g ¼ 180 C a g b
5 Geometrische rter Ein geometrischer Ort ist eine Punktmenge, die alle Elemente mit einer bestimmten geometrischen Eigenschaft (oder mit mehreren Eigenschaften) entha¨lt. In der Planimetrie sind die geometrischen rter Linien, daher werden sie auch geometrische Ortslinien genannt. In der Stereometrie sind die geometrischen rter Fla¨chen. &
Beispiele fu¨r geometrische Ortslinien: 1. Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem festen Punkt M die feste Entfernung r haben, ist der Kreis um M mit dem Radius r. 2. Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer gegebenen Geraden g den festen Abstand d haben, ist eine Parallele zu g im Abstand d. 3. Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen Punkten A und B gleich weit entfernt sind, ist die Mittelsenkrechte auf der Strecke AB. 4. Geometrischer Ort aller Punkte, die von zwei festen nicht parallelen Geraden g und h den gleichen Abstand haben, sind die beiden (zueinander senkrechten) Winkelhalbierenden zwischen g und h.
b
A
AB
a
a
b c
B
Bild III-24 Winkelsumme gleich 180 Im Dreieck ist die Summe zweier Seitenla¨ngen stets gro¨ßer als die dritte. a þ b > c;
a þ c > b;
bþc>a
Diese drei Ungleichungen zusammen heißen Dreiecksungleichungen. Die Supplementwinkel der Dreieckswinkel nennt man Außenwinkel des Dreiecks. Die Summe der Außenwinkel a0 ; b0 ; g0 in jedem Dreieck betra¨gt 360 . a0 þ b0 þ g0 ¼ 360
6 Dreiecke
g′
6.1 Allgemeine Dreiecke Ein Dreieck besteht aus drei nicht auf einer Geraden liegenden Punkten A; B; C und den Strecken AB; AC; BC: Die Punkte A; B; C sind die Eckpunkte des Dreiecks, die Strecken AB; AC; BC sind die Seiten des Dreiecks, und ihre La¨ngen jABj; jACj; jBCj sind die Seitenla¨ngen des Dreiecks. Meistens werden die Seitenla¨ngen mit a; b; c und die Innenwinkel des Dreiecks mit a; b; g bezeichnet, und zwar in der Weise, daß der Punkt A der Seite mit der La¨nge a, der Punkt B der Seite mit der La¨nge b, der Punkt C der Seite mit der La¨nge c gegenu¨berliegt und daß der Winkel a den Scheitelpunkt
g
Bild III-25 Außenwinkelsumme gleich 360
C g
A
a a′
b
b′ B
In einem Dreieck liegt der gro¨ßeren Seite stets der gro¨ßere Winkel gegenu¨ber. a>b>c,a>b>g In einem spitzwinkligen Dreieck sind alle drei Innenwinkel kleiner als 90 , in einem rechtwinkligen
III Planimetrie
51
Dreieck ist ein Winkel gleich 90 , in einem stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel gro¨ßer als 90 . Der Umfang u eines Dreiecks ist die Summe der Seitenla¨ngen.
In einem gleichseitigen Dreieck sind auch alle Winkel gleich groß, jeder Winkel betra¨gt also 60 . Das gleichseitige Dreieck hat drei Symmetrieachsen.
u¼aþbþc a
Der Fla¨cheninhalt A eines Dreiecks berechnet sich nach der Grundformel
a
60°
1 :: A ¼ Grundseite Ho he 2 Daraus ergeben sich folgende Formeln fu¨r den Fla¨cheninhalt A (vgl. Kapitel VI) 1 1 1 a ha ¼ b hb ¼ c hc 2 2 2 1 1 ¼ a b sin g ¼ a c sin b 2 2 1 ¼ b c sin a 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ¼ sðs aÞ ðs bÞ ðs cÞ ; 1 s ¼ ða þ b þ cÞ 2
A¼
Die letzte Formel ist die sogenannte Heronische Fla¨chenformel (nach dem griechischen Mathematiker Heron von Alexandria, 1. Jahrhundert u. Z.), damit ist die Berechnung des Fla¨cheninhalts eines Dreiecks allein mit den Seitenla¨ngen mo¨glich.
Die Ho¨hen, Winkelhalbierenden, Seitenhalbierenden und Mittelsenkrechten fallen beim gleichseitigen Dreieck zusammen (vgl. Abschnitt III.6.5). Folglich fallen auch die Mittelpunkte des Inkreises und des Umkreises mit dem Schwerpunkt des Dreiecks zusammen. Ein gleichseitiges Dreieck heißt auch regula¨res oder regelma¨ßiges Dreieck.
6.4 Rechtwinklige Dreiecke Ein Dreieck mit einem rechten Winkel, also mit einem Winkel von 90 , heißt rechtwinklig. Die Summe der beiden anderen (spitzen) Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck ist ebenfalls 90 . Die dem rechten Winkel gegenu¨berliegende Dreiecksseite ist die Hypotenuse, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks.
Spitze
a
te the
Ka
the
A
a
te
b Hypotenuse
B
Bild III-28 Rechtwinkliges Dreieck (a þ b ¼ 90 ) Fu¨r das rechtwinklige Dreieck gelten einige interessante Fla¨chensa¨tze (vgl. Abschnitt III.6.6).
el
Sc
he
nk he
nk
el
Sc
A
Bild III-26 Gleichschenkliges Dreieck
C
Ka
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten heißt gleichschenklig. Die gleich langen Seiten heißen Schenkel und die dritte Seite Basis des Dreiecks. Die Winkel an der Basis sind die Basiswinkel. Der der Basis gegenu¨berliegende Punkt heißt Spitze.
60° a
6.2 Gleichschenklige Dreiecke
C
Bild III-27 Gleichseitiges Dreieck
60°
Basiswinkel Basis
a
B
Symmetrieachse
Die Basiswinkel sind gleich groß. Ho¨he, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende der Basis sind identisch (vgl. Abschnitt III.6.5). Sind umgekehrt in einem Dreieck je zwei dieser Strecken gleich, dann ist das Dreieck gleichschenklig.
6.3 Gleichseitige Dreiecke Ein Dreieck mit drei gleich langen Dreiecksseiten heißt gleichseitig.
6.5 Besondere Geraden, Strecken und Kreise Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis durch die drei Eckpunkte des Dreiecks, der dem Dreieck umbeschriebene Kreis. Der Inkreis eines Dreiecks beru¨hrt die drei Dreiecksseiten von innen, er hat die Dreiecksseiten also als Tangenten. Der Inkreis ist der dem Dreieck einbeschriebene Kreis. Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist die Senkrechte durch den Mittelpunkt der Strecke. Beim Dreieck schneiden sich die drei Mittelsenkrechten in einem Punkt M, dem Mittelpunkt des Umkreises. Bei spitz-
52
Mathematik
winkligen Dreiecken liegt M innerhalb des Dreiecks, bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb und bei rechtwinkligen Dreiecken auf dem Rand (Mittelpunkt der Hypotenuse) des Dreiecks.
H
C
C ha b
M
ma
a
A
mb
r mc A
hb a
b
Bild III-32 In einem stumpfwinkligen Dreieck liegt H außerhalb des Dreiecks
B
c
B
c
Sind a; b; c die Dreiecksseiten und a; b; g die Winkel des Dreiecks, so gilt (vgl. Kapitel VI)
Bild III-29 Dreieck mit Umkreis Eine Ho¨he in einem Dreieck ist der Teil des Lotes von einem Eckpunkt auf die gegenu¨berliegende Seite, der von dem Eckpunkt und dieser Seite (bzw. ihrer Verla¨ngerung) begrenzt wird. C
ha ¼ c sin b ¼ b sin g ; hc ¼ a sin b ¼ b sin a
Die La¨ngen der Ho¨hen verhalten sich umgekehrt proportional wie die zugeho¨rigen Seitenla¨ngen.
g
a ha
H
hb
a
b
c
A
1 1 1 : : a b c
ha : hb : hc ¼
hc
b
B
Bild III-30 Die Ho¨hen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt H Die drei Ho¨hen eines Dreiecks (bzw. ihre Verla¨ngerungen) schneiden sich in einem Punkt H. Der Ho¨henschnittpunkt des Dreiecks heißt Orthozentrum des Dreiecks. Bei spitzwinkligen Dreiecken liegt der Ho¨henschnittpunkt H im Innern des Dreiecks, bei einem rechtwinkligen Dreieck fa¨llt H mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen (zwei Ho¨hen fallen mit den Katheten zusammen), bei stumpfwinkligen Dreiecken liegt der Ho¨henschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks. Die La¨ngen der Ho¨hen im Dreieck werden mit ha ; hb ; hc bezeichnet.
hb ¼ c sin a ¼ a sin g ;
Eine Winkelhalbierende ist eine Gerade durch den Scheitelpunkt eines Winkels, so daß die beiden Winkel zwischen Gerade und je einem Schenkel gleich sind. Im Dreieck sind die drei Winkelhalbierenden Strekken PQ, wobei P ein Eckpunkt (Scheitelpunkt des entsprechenden Winkels) und Q der Schnittpunkt mit der gegenu¨berliegenden Seite ist. Die drei Winkelhalbierenden im Dreieck schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises. Die La¨ngen der Winkelhalbierenden im Dreieck werden mit wa ; wb ; wg bezeichnet. C g 2
b a 2 a 2
A
r
g 2
wg
wa
r
a wb
r
b b 2 2
c
B
C=H Bild III-33 Dreieck mit Inkreis
a = hb
b = ha
Fu¨r die Winkelhalbierenden gilt (vgl. Kapitel VI)
hc A
c
B
Bild III-31 In einem rechtwinkligen Dreieck fa¨llt H mit dem Scheitelpunkt des rechten Winkels zusammen
wa ¼
2bc cos bþc
a 2 ;
g 2ab cos 2 wg ¼ aþb
wb ¼
2ac cos aþc
b 2 ;
III Planimetrie
53
Eine Winkelhalbierende teilt die gegenu¨berliegende Seite im Verha¨ltnis der La¨ngen der anliegenden Seiten. g 2
b
g 2
a
wg v
Radius r des Umkreises a b c ¼ ¼ 2 sin a 2 sin b 2 sin g bc ac ab ¼ ¼ ¼ 2ha 2hb 2hc abc ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 sðs aÞ ðs bÞ ðs cÞ
r¼
u
Bild III-34 Winkelhalbierende im Dreieck (u : v ¼ a : b) Eine Seitenhalbierende (auch Median genannt) in einem Dreieck ist die Verbindungsstrecke einer Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenu¨berliegenden Seite. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt S, dem Schwerpunkt des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden vom Eckpunkt aus im Verha¨ltnis 2 : 1. Die La¨ngen der Seitenhalbierenden im Dreieck werden mit sa ; sb ; sc bezeichnet.
6.6 Fla¨chensa¨tze im rechtwinkligen Dreieck 1. Kathetensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u¨ber einer Kathete gleich dem Rechteck aus Hypotenuse und zugeho¨rigem Hypotenusenabschnitt. Der Hypotenusenabschnitt ist die Projektion (Parallelprojektion) der entsprechenden Kathete auf die Hypotenuse. Sind a; b die Kathetenla¨ngen, c die Hypotenusenla¨nge und p; q die zugeho¨rigen Hypotenusenabschnitte des Dreiecks, so gilt a2 ¼ pc ;
b2 ¼ qc
C
sc
C D
E
b
S sb
sa A
F
a
h D
A
B
p
q
B
c
c
Bild III-35 Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich im Schwerpunkt S ðjASj : jSDj ¼ jBSj : jSEj ¼ jCSj : jSFj ¼ 2 : 1Þ Fu¨r die Seitenhalbierenden gilt (vgl. Kapitel VI) ffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b2 þ c2 þ 2bc cos a 2 ffi 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ c2 þ 2ac cos b sb ¼ 2 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 þ 2ab cos g sc ¼ 2 sa ¼
Mit Hilfe unterschiedlicher Gro¨ßen des Dreiecks lassen sich die Radien des Inkreises und des Umkreises berechnen. Dabei ist s der halbe Umfang 1 des Dreiecks, s ¼ ða þ b þ cÞ. 2
Der Kathetensatz heißt auch erster Satz des Euklid (nach dem hellenistischen Mathematiker Euklid von Alexandria, 365300 v. u. Z.). 2. Satz des Pythagoras In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate u¨ber den Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse. Sind a und b die Kathetenla¨ngen und c die Hypotenusenla¨nge, so gilt a2 þ b2 ¼ c2
C
b2
b
Radius r des Inkreises ðs aÞ ð s bÞ ðs cÞ s a b g tan tan ¼ s tan 2 2 2
Bild III-36 Kathetensatz
c
A
a c
r¼
c2
a2 B
Bild III-37 Satz des Pythagoras: a2 þ b2 ¼ c2
54
Mathematik Einfacher Beweis des Satzes von Pythagoras: In ein Quadrat Q1 der Seitenla¨nge a þ b wird ein Quadrat Q2 der Seitenla¨nge c so gelegt, daß die Eckpunkte von Q2 die Seiten von Q1 im Verha¨ltnis a : b teilen. Dann haben die vier innerhalb von Q1 entstandenen Dreiecke alle den Fla¨chen1 inhalt ab, und deshalb gilt: 2 1 ða þ bÞ2 ¼ c2 þ 4 ab ) a2 þ 2ab þ b2 2
u¨berein, alle Bestimmungsstu¨cke wie La¨ngen, Winkel, Fla¨che und so weiter sind gleich. Kongruente Figuren unterscheiden sich nur durch ihre Lage in der Ebene. So sind zum Beispiel zwei Quadrate mit gleicher Seitenla¨nge kongruent oder zwei Kreise mit gleichem Radius (und unterschiedlichen Mittelpunkten).
¼ c2 þ 2ab ) a2 þ b2 ¼ c2 b
a b
c a
c c
Bild III-38 Zum Beweis des Satzes von Pythagoras
a
c
b a
b
3. Ho¨hensatz In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat u¨ber der Ho¨he auf der Hypotenuse gleich dem Rechteck aus den beiden durch die Ho¨he gebildeten Hypotenusenabschnitten. Bezeichnet man die Ho¨he mit h und die Hypotenusenabschnitte mit p und q, so gilt h2 ¼ pq Beweis des Ho¨hensatzes: Nach dem Satz des Pythagoras gilt a2 ¼ h2 þ p2 und nach dem Kathetensatz a2 ¼ pc ¼ pðp þ qÞ.
Bild III-40 Kongruente Quadrate Kongruente Figuren lassen sich durch Parallelverschiebung, Spiegelung oder Drehung oder mehrere dieser drei Bewegungen zur Deckung bringen. Fu¨r Dreiecke gibt es vier Kongruenzsa¨tze, die Bedingungen fu¨r die Kongruenz angeben. In der folgenden Aufza¨hlung steht W fu¨r Winkel und S fu¨r Seite bzw. Seitenla¨nge. 1. Kongruenzsatz WSW und SWW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln u¨bereinstimmen (WSW). Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und einem anliegenden sowie dem gegenu¨berliegenden Winkel u¨bereinstimmen (SWW). c
a h
C h
A
q
b
b
a c
a a
D p
B p
c
g a
a
g
c q p
Bild III-39 Ho¨hensatz
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt 0 ¼ h2 þ p2 ðp2 þ pqÞ ¼ h2 pq, woraus h2 ¼ pq folgt. Der Ho¨hensatz heißt auch zweiter Satz des Euklid.
6.7 Kongruenz von Dreiecken Zwei geometrische Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Kongruente geometrische Figuren stimmen also in Gro¨ße und Gestalt vo¨llig
Bild III-41 Kongruenzsatz WSW und SWW 2. Kongruenzsatz SSW Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der la¨ngeren Seite gegenu¨berliegenden Winkel u¨bereinstimmen.
b
a b
a
b
b
Bild III-42 Kongruenzsatz SSW
III Planimetrie
55
3. Kongruenzsatz SWS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel u¨bereinstimmen.
a
C
c
g
C′ a
g
g
a
b
a
b
c
g
b =180°– (a+g)
c
4. Kongruenzsatz SSS Dreiecke sind kongruent, wenn sie in den drei Seiten u¨bereinstimmen. c a a
c
b
c
Bild III-44 Kongruenzsatz SSS
6.8 Grundkonstruktionen des Dreiecks Entsprechend den vier Kongruenzsa¨tzen fu¨r das Dreieck gibt es vier Grundkonstruktionen fu¨r das Dreieck. In der folgenden Aufza¨hlung steht W fu¨r Winkel und S fu¨r Seite bzw. Seitenla¨nge. 1. Grundkonstruktion WSW und SWW a) Gegeben: a; c; b (Winkel, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c ¼ jABj und tra¨gt an AB in A den Winkel a und in B den Winkel b an. Die freien Schenkel von a und b schneiden sich im Eckpunkt C. Bedingung: a þ b < 180
2. Grundkonstruktion SSW Gegeben: b; c; b < 90 (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Man zeichnet c ¼ jABj und tra¨gt an AB in B den Winkel b an. Dann zeichnet man um A einen Kreisbogen mit dem Radius b. Die Lo¨sung der Konstruktionsaufgabe ist abha¨ngig von der Anzahl der Schnittpunkte des Kreisbogens mit dem freien Schenkel von b: a) Der Kreis schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels b nicht; keine Lo¨sung. b) Der Kreis beru¨hrt den freien Schenkel; ein rechtwinkliges Dreieck als Lo¨sung (g ¼ 90 ). c) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und fu¨r den Radius b ¼ bc gilt bc < c; zwei verschiedene Lo¨sungen DðABC1 Þ und DðABC2 Þ. d) Der Kreis schneidet den freien Schenkel zweimal, und fu¨r den Radius b ¼ bc gilt bc ¼ c (der Kreis geht durch den Scheitelpunkt B des gegebenen Winkels b); ein gleichschenkliges Dreieck als Lo¨sung (b ¼ bd ¼ c; Spitze A). e) Der Kreis schneidet den freien Schenkel einmal; ein Dreieck als Lo¨sung (b ¼ be > c). Der Kongruenzsatz SSW gilt fu¨r die Fa¨lle b), d) und e).
C
ba
c
a
c
bb bc
b
A
a
b
c
B
Bild III-46 Grundkonstruktion SWW
Bild III-43 Kongruenzsatz SWS
b
180° – (a+g)
a
A
be
Bild III-45 Grundkonstruktion WSW b) Gegeben: c; a; g (Seite, Winkel, Winkel) Erste Konstruktion: Man konstruiert b als Nebenwinkel von a þ g und verfa¨hrt wie oben. Zweite Konstruktion: Man zeichnet c ¼ jABj und tra¨gt an AB in A den Winkel a an. In einem beliebigen Punkt C0 des freien Schenkels von a tra¨gt man an diesen den Winkel g an. Die Parallele zu dem freien Schenkel von g durch B schneidet den freien Schenkel von a im Eckpunkt C. Bedingung: a þ b < 180
b
bd
B C C
be
bd = c C1 bc bb ba
A
c
C bc
C2 b B
Bild III-47 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b; c; b < 90 )
56
Mathematik Gegeben: b; c; b 90 (Seite, Seite, Winkel) Konstruktion: Nach Konstruktion von AB und Antragen von b wie oben sind hier folgende Fa¨lle mo¨glich: f) Der Kreis um A mit dem Radius bf schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels b nicht; keine Lo¨sung. g) Der Kreis um A mit dem Radius bg geht durch den Punkt B; „Lo¨sung‘‘ ist ein zur Strecke (AB) entartetes Dreieck. h) Der Kreis um A mit dem Radius bh schneidet den freien Schenkel des gegebenen Winkels b in C; eine Lo¨sung. Der Kongruenzsatz SSW gilt hier nur fu¨r den Fall h).
C b a
b
c A
a B
c a
b C′
Bild III-50 Grundkonstruktion SSS Anmerkung: Wenn sich, wie bei der letzten Konstruktion, zwei spiegelbildlich gleiche Lo¨sungen ergeben (denn die Kreise schneiden sich zweimal, in C und C0 , falls die Dreiecksungleichungen erfu¨llt sind), wa¨hlt man diejenige aus, bei der die Punkte A; B; C entgegen dem Uhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn, aufeinander folgen.
c
7 Vierecke
bf bg
7.1 Allgemeine Vierecke
b
bh C
bh
bf
b A
c = bg
B
Bild III-48 Grundkonstruktion SSW (gegeben: b; c; b 90 ) 3. Grundkonstruktion SWS Gegeben: b; a; c (Seite, Winkel, Seite) Konstruktion: Den Schenkeln des Winkels a gibt man die La¨ngen b ¼ jACj und c ¼ jABj. Man verbindet B und C. Bedingung: a < 180
Ein Viereck besteht aus vier Punkten A; B; C; D, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, und den Strecken AB; BC; CD; DA: Die Punkte A; B; C; D sind die Eckpunkte des Vierecks, die Strecken AB; BC; CD; DA sind die Seiten des Vierecks, und ihre La¨ngen jABj; jBCj; jCDj; jDAj sind die Seitenla¨ngen des Vierecks. Meistens werden die Seitenla¨ngen mit a; b; c; d und die Innenwinkel des Vierecks mit a; b; g; d bezeichnet, und zwar so, daß a ¼ jABj; b ¼ jBCj; c ¼ jCDj; d ¼ jDAj und daß der Winkel a den Scheitelpunkt A, der Winkel b den Scheitelpunkt B, der Winkel g den Scheitelpunkt C und der Winkel d den Scheitelpunkt D hat. C g
c D d d a A
C b
c
a
b A
a
c
B
f
e
b
f b
a
B
Bild III-51 Bezeichnungen im Viereck
Bild III-49 Grundkonstruktion SWS 4. Grundkonstruktion SSS Gegeben: a; b; c (Seite, Seite, Seite). Konstruktion: Man zeichnet c ¼ jABj und schla¨gt um A einen Kreisbogen mit dem Radius b und um B einen Kreisbogen mit dem Radius a. Der Eckpunkt C ist der Schnittpunkt der Kreisbo¨gen, der „oberhalb‘‘ von AB liegt (A; B; C folgen im mathematisch positiven Drehsinn, also entgegen dem Uhrzeigersinn aufeinander). Anschließend wird noch C mit den Eckpunkten A und B verbunden. Bedingungen: a < b þ c; b < a þ c; c < a þ b (Dreiecksungleichungen)
Die Strecken AC und BD heißen Diagonalen des Vierecks, ihre La¨ngen werden meist mit e und f bezeichnet: e ¼ jACj; f ¼ jBDj. Abku¨rzend verwendet man fu¨r ein Viereck das Symbol &, und fu¨r ein Viereck mit den Eckpunkten A; B; C; D schreibt man &(ABCD). Die Winkelsumme in einem beliebigen Viereck betra¨gt 360 . a þ b þ g þ d ¼ 360 Fu¨r die La¨ngen der Seiten und der Diagonalen in einem Viereck gilt folgender Zusammenhang: In einem Viereck ist das Produkt der Diagonalenla¨ngen kleiner oder gleich der Summe der Pro-
III Planimetrie
57
dukte der La¨ngen je zwei gegenu¨berliegender Seiten. ef ac þ bd Die Gleichheit gilt genau dann, wenn das Viereck ein Sehnenviereck ist (bei einem Sehnenviereck liegen alle vier Punkte auf einem Kreis). Diese Aussage ist der verallgemeinerte Satz des Ptolema¨us (vgl. Abschnitt III.7.8). Der Umfang u eines Vierecks ist die Summe der Seitenla¨ngen. u¼aþbþcþd Fu¨r den Fla¨cheninhalt A eines Vierecks gilt (vgl. Kapitel VI): 1 1 ðad sin a þ bc sin gÞ ¼ ðab sin b þ cd sin dÞ 2 2 1 ¼ ef sin j 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi aþg ¼ ðs aÞ ðs bÞ ðs cÞ ðs dÞ abcd cos2 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b þ d ¼ ðs aÞ ðs bÞ ðs cÞ ðs dÞ abcd cos2 2
A¼
Das Trapez mit den Grundlinienla¨ngen a und c und der Ho¨he h ist fla¨chengleich einem Rechteck mit den Seitenla¨ngen m und h. Fu¨r den Fla¨cheninhalt A des Trapezes gilt A ¼ mh ¼
7.3 Parallelogramme Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die beiden jeweils einander gegenu¨berliegenden Seiten parallel sind. Einander gegenu¨berliegende Seiten im Parallelogramm sind gleich lang; einander gegenu¨berliegende Winkel sind gleich groß; benachbarte Winkel erga¨nzen sich zu 180 ; die Diagonalen halbieren sich in ihrem Schnittpunkt. Das Parallelogramm mit den Seitenla¨ngen a und b ist fla¨chengleich einem Rechteck mit den Seitenla¨ngen a und ha (oder b und hb ). a
D
C a
180° – a b
e
ha
b f 180° – a
a A
Dabei ist j der Winkel zwischen den Diagonalen und s der halbe Umfang des Vierecks, also 1 s ¼ ða þ b þ c þ dÞ. 2 Die beiden letzten Formeln sind Verallgemeinerungen der Heronischen Fla¨chenformel fu¨r Dreiecke.
aþc h 2
a
B
Bild III-53 Parallelogramm Fu¨r den Umfang u und den Fla¨cheninhalt A eines Parallelogramms mit den Seitenla¨ngen a und b gilt Umfang u ¼ 2a þ 2b :: Flacheninhalt A ¼ aha ¼ bhb ¼ ab sin a
7.2 Trapeze Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten zueinander parallel sind. Die parallelen Seiten heißen Grundlinien und die anderen beiden Seiten Schenkel des Trapezes. Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte der Schenkel heißt Mittellinie, sie ist parallel zu den Grundlinien. Die Ho¨he eines Trapezes ist der Abstand der parallelen Grundlinien. Sind die Schenkel gleich lang, so heißt das Trapez gleichschenklig. aþc Ist m die La¨nge der Mittellinie, so gilt m ¼ . 2 C g
c
D d
Fu¨r die La¨ngen der Seiten und der Diagonalen in einem Parallelogramm gilt folgender Zusammenhang: In einem Parallelogramm ist die Summe der Quadrate der Seitenla¨ngen gleich der Summe der Quadrate der Diagonalenla¨ngen, also 2a2 þ 2b2 ¼ e2 þ f 2 Diese Aussage ist der Satz von Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, 262190 v. u. Z.).
7.4 Rhomben m d
h
b b
a A
a
Bild III-52 Trapez
B
Ein Rhombus ist ein Parallelogramm mit gleich langen Seiten. Damit gelten fu¨r Rhomben alle Eigenschaften von Parallelogrammen. Daru¨ber hinaus gilt: Die Diagonalen eines Rhombus halbieren sich in ihrem Schnittpunkt, sie halbieren alle Winkel, und sie ste-
58
Mathematik
hen senkrecht aufeinander. Statt Rhombus sagt man auch Raute.
Fu¨r den Umfang u und den Fla¨cheninhalt A eines Quadrats der Seitenla¨nge a gilt Umfang u ¼ 4a 1 :: Flacheninhalt A ¼ a2 ¼ e2 2
a f a
a e
Bild III-54 Rhombus
a
Ein Quadrat heißt auch regula¨res oder regelma¨ßiges Viereck.
7.7 Drachen
Fu¨r den Umfang u und den Fla¨cheninhalt A eines Rhombus der Seitenla¨nge a gilt (e und f sind die La¨ngen der Diagonalen) Umfang u ¼ 4a 1 :: Flacheninhalt A ¼ a2 sin a ¼ ef 2
Ein Drachen ist ein Viereck mit zwei Paaren gleich langer benachbarter Seiten. Statt Drachen sagt man auch Drachenviereck. Die Diagonalen eines Drachens stehen senkrecht aufeinander. D c
d
7.5 Rechtecke
e
A
Ein Rechteck ist ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln. Die Diagonalen eines Rechtecks halbieren sich in ihrem Schnittpunkt und sind gleich lang, es gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e ¼ f ¼ a2 þ b2 .
C
f
a
b
Bild III-57 Drachen B
a
Ein Drachen mit vier gleich langen Seiten ist ein Rhombus (eine Raute). Sind e und f die La¨ngen der Diagonalen, dann gilt fu¨r den Fla¨cheninhalt A des Drachens
e b
b e
Bild III-55 Rechteck
a
Fu¨r den Umfang u und den Fla¨cheninhalt A eines Rechtecks mit den Seitenla¨ngen a und b gilt Umfang u ¼ 2a þ 2b :: Flacheninhalt A ¼ ab
A¼
1 ef 2
7.8 Sehnenvierecke Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Eckpunkte auf einem Kreis liegen. C c
7.6 Quadrate Ein Quadrat ist ein Rechteck mit gleich langen Seiten. Die Diagonalen eines Quadrats sind gleich lang und pstehen senkrecht aufeinander. Es gilt e ¼ f ffiffiffi ¼ a 2. a e a
a e a
Bild III-56 Quadrat
Ein Quadrat ist auch ein Rhombus (eine Raute) mit vier rechten Winkeln.
D d A
e b f a B
Bild III-58 Sehnenviereck
Der Kreis heißt Umkreis des Vierecks, die Seiten sind Sehnen dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Sehnenviereck, wenn gegenu¨berliegende Winkel Supplementwinkel sind, sich also zu 180 erga¨nzen. a þ g ¼ b þ d ¼ 180 In einem Sehnenviereck ist das Produkt der Diagonalenla¨ngen gleich der Summe der Produkte der
III Planimetrie
59
La¨ngen je zwei gegenu¨berliegender Seiten (Satz von Ptolema¨us). ef ¼ ac þ bd Die Formel wurde hergeleitet und bewiesen von dem hellenistischen Geometer und Astronom Ptolemaios von Alexandria ( 83161 u. Z.). In einem Sehnenviereck verhalten sich die La¨ngen der Diagonalen wie die Summen der Produkte der La¨ngen jener Seitenpaare, die sich in den Endpunkten der Diagonalen treffen (Satz von Brahmagupta). e ab þ cd ¼ f ad þ bc
7.9 Tangentenvierecke Ein Tangentenviereck ist ein Viereck, bei dem alle vier Seiten denselben Kreis beru¨hren. D
r bn
Ein regula¨res Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, ein regula¨res Viereck ist ein Quadrat. Die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ist ðn 2Þ 180 : Da alle n Innenwinkel gn gleich groß sind, gilt Innenwinkel gn ¼
n2 180 n
Durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt des Umkreises wird das regula¨re n-Eck in n kongruente Dreiecke zerlegt. Fu¨r die Basiswinkel bn und die Zentriwinkel an gilt 1 n2 g ¼ 90 2 n n 360 Zentriwinkel an ¼ n
c
Basiswinkel
C
d b
Bild III-59 Tangentenviereck
Der Kreis heißt Inkreis des Vierecks, die Seiten sind Tangenten dieses Kreises. Ein Viereck ist genau dann ein Tangentenviereck, wenn die Summe der La¨ngen zweier gegenu¨berliegender Seiten gleich der Summe der La¨ngen der beiden anderen Seiten ist. aþc¼bþd
an
Bild III-60 Bezeichnungen im regula¨ren n-Eck
Fu¨r den Fla¨cheninhalt A des Sehnenvierecks gilt, wenn s der halbe Umfang des Sehnenvierecks ist, 1 also s ¼ ða þ b þ c þ dÞ, 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi A ¼ ðs aÞ ðs bÞ ðs cÞ ðs dÞ
B
rn
an
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðab þ cdÞ ðac þ bdÞ ; e¼ ad þ bc rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðad þ bcÞ ðac þ bdÞ f ¼ ab þ cd
a
Ein n-Eck besteht aus n Punkten, den Eckpunkten des n-Ecks, und n Seiten, den Strecken zwischen den Eckpunkten. Haben alle Seiten die gleiche La¨nge und sind alle Innenwinkel gleich groß, dann heißt das n-Eck regula¨r oder regelma¨ßig. Bei einem regula¨ren n-Eck liegen alle Eckpunkte auf einem Kreis, dem Umkreis des n-Ecks, und alle Seiten sind Tangenten eines einbeschriebenen Kreises, dem Inkreis des n-Ecks. Die Seiten sind Sehnen des Umkreises. gn
Die Formel wurde von dem Inder Brahmagupta (6./ 7. Jahrhundert u. Z.) entdeckt, der erste Beweis stammt von dem deutschen Mathematiker Johannes Mu¨ller, genannt Regiomontanus (1436––1476). Durch Multiplikation bzw. Division dieser beiden Formeln erha¨lt man Ausdru¨cke fu¨r die La¨ngen der beiden Diagonalen.
A
8 Regula¨re n-Ecke
bn ¼
Fu¨r die Seitenla¨nge an, den Umkreisradius r und den Inkreisradius rn des regula¨ren n-Ecks gilt (vgl. Kapitel VI): pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi an r2 r2n ¼ 2r sin 2 an ¼ 2rn tan 2 an Umkreisradius r ¼ an 2 sin 2 an an cot Inkreisradius rn ¼ 2 2 :: Seitenlange
an ¼ 2
60
Mathematik
Fu¨r den Umfang un und den Fla¨cheninhalt An des regula¨ren n-Ecks ergibt sich dann Umfang un ¼ nan 1 1 :: Flacheninhalt An ¼ nan rn ¼ nr2 sin an 2 2 1 2 an ¼ nan cot 4 2
In einem konvexen Polygon liegen alle Diagonalen im Innern des Polygons, und alle Innenwinkel sind kleiner als 180 . Da man das Innere eines n-Ecks durch n 2 sich nicht u¨berschneidende Diagonalen in n 2 Dreiecke zerlegen kann und die Winkelsumme im Dreieck 180 ist, betra¨gt die Summe der Innenwinkel in einem beliebigen n-Eck ðn 2Þ 180 .
bersicht u¨ber die regula¨ren n-Ecke fu¨r kleine n (r ¼ Umkreisradius) n
Innenwinkel gn
Zentriwinkel an
Seitenla¨nge an
Umfang un
Fla¨cheninhalt An
3
60
120
r
pffiffiffi 3
2r 2;5980 . . .
3 pffiffiffi 2 3r 4
4
90
90
r
pffiffiffi 2
2r 2;8284 . . .
2r2
5
108
72
r 2
2r 2;9389 . . .
5 8
6
120
60
r
8
135
45
r
10
144
36
12
150
30
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 10 2 5
2r 3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 2 2
r pffiffiffi ð 5 1Þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi r 2 3
Mit wachsendem n na¨hert der Umfang un sich dem Umfang 2r p ¼ 2r 3;1415 . . . und der Fla¨cheninhalt An sich dem Fla¨cheninhalt pr2 des Kreises mit dem Radius r an.
2r 3;0614 . . .
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffi 10 þ 2 5 r2
3 pffiffiffi 2 3r 2 pffiffiffi 2 2 r2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi 10 2 5 r2
2r 3;0901 . . .
5 4
2r 3;1058 . . .
3r2
In einem regula¨ren (regelma¨ßigen) Polygon haben alle Seiten die gleiche La¨nge, und alle Innenwinkel sind gleich groß.
9 Polygone Ein Polygon ist ein geschlossener Streckenzug der Ebene. Ein Polygon oder Vieleck mit n Eckpunkten ist ein n-Eck. Die Strecken zwischen den Eckpunkten sind die Seiten des Polygons. Ein einfaches Polygon teilt die Ebene in zwei Gebiete, das Innere und das ußere, die durch die Seiten des Polygons getrennt werden. Die La¨nge des geschlossenen Streckenzugs ist der Umfang des Polygons, und die Fla¨che des Inneren ist der Fla¨cheninhalt des Polygons. Eine Verbindungsstrecke zweier nicht benachbarter Eckpunkte ist eine Diagonale des Polygons. (Zwei Eckpunkte heißen benachbart, wenn es zwischen ihnen eine Seite gibt.) Jeder Eckpunkt kann also mit n 3 anderen Eckpunkten durch eine Diagonale verbunden werden (denn jeder der n Eckpunkte hat n 3 andere Eckpunkte nicht als Nachbarn). Die Innenwinkel des Polygons haben als Scheitelpunkte die Eckpunkte des Polygons.
Bild III-61 Einfaches Polygon
Bild III-62 Konvexes Polygon
Bild III-63 Regula¨res Polygon
III Planimetrie
61 Fu¨r den Umfang u und die Fla¨che A eines Kreises mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt
10 Kreise 10.1 Definitionen Ein Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius des Kreises. Zur Unterscheidung von der durch einen Kreis in der Ebene abgegrenzten Fla¨che, der Kreisfla¨che, wird der Kreis selbst auch als Kreisperipherie oder Kreisrand bezeichnet. Einen Kreis mit dem Radius r ¼ 0 nennt man entartet. Ein Kreis mit dem Radius r ¼ 1 heißt Einheitskreis. Kreise ku¨rzt man oft mit k ab, und fu¨r die Peripherie des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt M schreibt man kðM; rÞ. Jede Gerade durch zwei Punkte der Kreisperipherie nennt man Sekante. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser des Kreises. Durchmesser sind die gro¨ßten Sehnen des Kreises. Fu¨r die La¨nge d eines Durchmessers gilt d ¼ 2r.
s1
Kreisumfang u ¼ 2pr ¼ pd p :: Kreisflache A ¼ pr2 ¼ d2 4 Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer Geraden liegen). Kreise, die den gleichen Mittelpunkt haben, heißen konzentrische Kreise. Zwei Kreise mit verschiedenen Mittelpunkten nennt man exzentrisch. Die von zwei konzentrischen Kreisen begrenzte Fla¨che heißt Kreisring. Ist R der Radius des a¨ußeren Kreises und r der Radius des inneren Kreises, dann gilt fu¨r den Fla¨cheninhalt A des Kreisrings A ¼ pðR2 r2 Þ
10.2 Kreissektoren Ein Kreissektor oder Kreisausschnitt ist der Teil der Fla¨che eines Kreises, der von den Schenkeln eines Zentriwinkels und dem zugeho¨rigen Kreisbogen begrenzt wird.
s2
Bild III-64 Sehnen eines Kreises (Sehne s2 ist auch Durchmesser)
s3
Winkel, deren Scheitelpunkt ein Punkt der Kreisperipherie ist und deren Schenkel Sekanten des Kreises sind, heißen Peripherie- oder Umfangswinkel. Winkel, deren Scheitelpunkt der Kreismittelpunkt ist, nennt man Zentri- oder Mittelpunktswinkel. Der durch einen Peripherie- oder Zentriwinkel ausgeschnittene Teil der Kreisperipherie heißt Kreisbogen.
Kreissegment Sehne
Kreissektor
Bild III-66 Kreissektor und Kreissegment Ist a ein Zentriwinkel und hat der Kreis den Radius r, dann ergibt sich fu¨r die La¨nge la des Kreisbogens
Peripheriewinkel M
la ¼
a pr 180
Radius r
Fu¨r die Fla¨che Aa des Kreissektors gilt Durchmesser d
Aa ¼
Zentriwinkel
r a
la
r
Bild III-65 Bezeichnungen am Kreis
a 1 pr2 ¼ rla 360 2
Bild III-67 Bezeichnungen Kreissektor
62
Mathematik
10.3 Kreissegmente
10.5 Winkelsa¨tze am Kreis
Ein Kreissegment oder Kreisabschnitt ist der Teil der Fla¨che eines Kreises, der von einer Sehne AB _ _ und einem der zugeho¨rigen Kreisbo¨gen AB oder BA begrenzt wird. Ein Kreissegment ist also der Teil eines Kreissektors, der zwischen dem Kreisbogen und der zugeho¨rigen Sehne liegt. Ein Kreis wird von einer Sehne in zwei Segmente zerlegt. Ist r der Radius eines Kreises, a ein Zentriwinkel, s die La¨nge der zugeho¨rigen Sehne und h die Ho¨he a des Kreissegments, dann berechnet man s ¼ 2r sin 2 a und h ¼ 2r sin2 , woraus sich fu¨r die La¨nge la des 4 Kreisbogens ergibt
Die Winkelsa¨tze enthalten Eigenschaften von Peripherie- und Zentriwinkeln von Kreisen: Alle Peripheriewinkel u¨ber der gleichen Sehne sind gleich groß. Jeder Peripheriewinkel u¨ber dem Durchmesser ist ein rechter Winkel (Satz von Thales). Jeder Peripheriewinkel ist halb so groß wie der Zentriwinkel u¨ber dem gleichen Kreisbogen (u¨ber der gleichen Sehne). Jeder Peripheriewinkel ist genauso groß wie der Sehnentangentenwinkel (Winkel zwischen Sehne und Tangente an den Kreis durch einen der Endpunkte der Sehne).
la ¼
C1
a pr 180
C3
g
Fu¨r die Fla¨che Aa des Kreissegments gilt Aa ¼
1 ½rla sðr hÞ 2
Bild III-70 Spitzer Peripheriewinkel
g
M 2g
C2
g
A
g
B
b T r
s 2
C g
h la
r–h
a
Kreissegment
s 2
r
A
Ein Kreis und eine Gerade ko¨nnen drei grundsa¨tzlich verschiedene Lagen zueinander haben: Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau einen Punkt, den Beru¨hrungspunkt P, gemeinsam. Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punkte, die Schnittpunkte P1 und P2 , gemeinsam.
g
B
T
b
Bild III-68 Bezeichnungen Kreissegment
10.4 Kreise und Geraden
M 2g
Bild III-71 Stumpfer Peripheriewinkel
Zeichnet man einen Kreis um den Mittelpunkt M einer Strecke AB mit dem Durchmesser jABj, dann ist jeder Peripheriewinkel u¨ber der Strecke AB ein rechter Winkel. Ein solcher Kreis heißt Thaleskreis (nach dem griechischen Philosophen und Mathematiker Thales von Milet, 624546 v. u. Z.). Der Thaleskreis ist also der geometrische Ort der Scheitelpunkte aller rechten Winkel, deren Schenkel durch die Punkte A und B gehen.
p t s P
P2
A P1
M
M
k
r
Bild III-69 Sekante s, Tangente t, Passante p
Bild III-72 Thaleskreis
B
III Planimetrie
63
10.6 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen Haben zwei Sekanten den gleichen Abstand a vom Mittelpunkt M eines Kreises, dann ist die La¨nge der Sehnen, die der Kreis aus jeder Sekante ausschneidet, gleich. Umkehrung: Gleich lange Sehnen ein und desselben Kreises haben den gleichen Abstand vom Mittelpunkt: jM1 Mj ¼ jM2 Mj ¼ a. Die Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen ein und desselben Kreises schneiden sich im Mittelpunkt.
M1
M3
e 2a e 2
M a
e 2
e 2
Bild III-73 Eigenschaften von Sekanten und Sehnen
M2
Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise An zwei Kreise k1 und k2 mit den Radien r1 und r2 sowie den Mittelpunkten M1 und M2 sollen gemeinsame Tangenten konstruiert werden. Ohne Einschra¨nkung der Allgemeinheit sei r1 r2 . Gemeinsame Tangenten gibt es nur dann, wenn ein Kreis nicht ganz innerhalb des anderen liegt. 1. ußere Tangenten Im Fall r1 ¼ r2 verbindet man die Mittelpunkte M1 und M2 miteinander. Die Parallelen zu M1 M2 im Abstand r1 ¼ r2 sind die gemeinsamen a¨ußeren Tangenten von k1 und k2 . Im Fall r2 > r1 schla¨gt man um M2 einen Hilfskreis mit dem Radius r2 r1. An diesen Kreis werden von M1 aus die Tangenten mit Hilfe des Thaleskreises u¨ber M1 M2 konstruiert. Die (a¨ußeren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen a¨ußeren Tangenten der Kreise k1 und k2 .
Anwendung: Ist von einem Kreis nur die Peripherie oder auch nur ein Bogen bekannt, der Mittelpunkt dagegen unbekannt, dann findet man diesen Mittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von zwei beliebigen Sehnen. k1
10.7 Tangentenkonstruktionen Tangenten an einen Kreis Von jedem Punkt P0 außerhalb eines Kreises (Mittelpunkt M) gibt es zwei Tangenten an den Kreis. In den Beru¨hrungspunkten P1 und P2 stehen die Tangenten senkrecht auf den Geraden P1 M und P2 M. Somit erha¨lt man die Beru¨hrungspunkte als Schnittpunkte des Kreises mit dem Thaleskreis u¨ber der Strecke jMP0 j. Beispiele: 1. Gesucht ist die Tangente an den Kreis kðM; rÞ im Kreispunkt P1 . Konstruktion: Auf P1 M wird in P1 die Senkrechte t1 errichtet. 2. Gesucht sind die Tangenten von P0 mit jP0 Mj > r an den Kreis kðM; rÞ. Konstruktion: ber P0 M als Durchmesser wird der Thales1 kreis k0 ðM0 ; jM0 P0 j ¼ jP0 MjÞ gezeichnet. Der Thaleskreis 2 schneidet den Kreis kðM; rÞ in den Punkten P1 und P2 . Die Geraden P0 P1 und P0 P2 sind die gesuchten Tangenten.
M2
M1 r1
k2
r2
Bild III-75 Gemeinsame a¨ußere Tangenten 2. Innere Tangenten Die gegebenen Kreise k1 und k2 sollen keinen Punkt gemeinsam haben. Um den einen Mittelpunkt M2 schla¨gt man einen Hilfskreis mit dem Radius r1 þ r2. An diesen Kreis werden von dem anderen Mittelpunkt M1 aus die Tangenten konstruiert. Die (inneren) Parallelen hierzu im Abstand r1 sind die gesuchten gemeinsamen inneren Tangenten der beiden gegebenen Kreise k1 und k2 . Thaleskreis
Hilfskreis
k1 r1
r2
k2 M2
M1 P1
Thaleskreis k0
t1
r
M
+r
2
k
r1
&
Thaleskreis Hilfsr2–r1 kreis
Bild III-76 Gemeinsame innere Tangenten
M0 d/2 d/2
r
t2 P2
Bild III-74 Tangenten an einen Kreis
P0
10.8 Sa¨tze u¨ber Sehnen, Sekanten, Tangenten Sehnensatz Schneiden sich in einem Kreis zwei Sehnen, so ist das Produkt der La¨ngen der Abschnitte der einen
64
Mathematik
Sehne gleich dem Produkt der La¨ngen der Abschnitte der anderen Sehne. jSAj jSBj ¼ jSCj jSDj D B A
10.9 Bogenmaß Neben dem Gradmaß gibt es das Bogenmaß zur Winkelmessung. Beim Bogenmaß wird die Gro¨ße eines Zentriwinkels a in einem beliebigen Kreis durch das Verha¨ltnis des zugeho¨rigen Kreisbogens b zum Radius r b heißt Bodes Kreises angegeben. Der Quotient r genmaß des Winkels a.
S
Bild III-77 Sehnensatz
C
b
Einheitskreis
Sekantensatz Schneiden sich zwei Sekanten eines Kreises außerhalb des Kreises, so ist das Produkt der La¨ngen der Abschnitte vom Sekantenschnittpunkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante fu¨r beide Sekanten gleich.
1 a
x = arca r
Bild III-80 Zusammenhang zwischen Gradmaß (a) und Bogenmaß (x ¼ arc a) eines Winkels Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad), also der Zentriwinkel, dessen Bogen gleich dem Radius ist. Mitunter schreibt man arc a (Arcus a) fu¨r das Bogenmaß des Winkels a.
jSAj jSBj ¼ jSCj jSDj B
Bogenma
arc a ¼
A
C
D
S
Da der Einheitskreis, also der Kreis mit dem Radius r ¼ 1, den Umfang 2p hat, ist das Bogenmaß des Vollwinkels 2p. 2p rad ¼ 360
Bild III-78 Sekantensatz Sekantentangentensatz Geht eine Sekante eines Kreises durch einen festen Punkt außerhalb des Kreises, und legt man durch diesen Punkt die Tangente an den Kreis, dann ist das Produkt der La¨ngen der Abschnitte von diesem Punkt bis zu den Schnittpunkten von Kreis und Sekante gleich dem Quadrat der La¨nge des Abschnitts der Tangente von diesem Punkt bis zu dem Beru¨hrpunkt von Kreis und Tangente.
oder 1 rad ¼
B
360
57;2958 2p
Bezeichnet a den in Grad und x ¼ arc a den in Radiant gemessenen Winkel, so gilt fu¨r die Umrechnung von Gradmaß und Bogenmaß eines Winkels x¼
&
p a; 180
a¼
180 x p
Beispiele zur Umrechnung:
p rad ¼ 0; 0174 . . . rad 180 p 30 ¼ rad 6 57;2957 . . . ¼ 1 rad
1 ¼
jSAj jSBj ¼ jSCj2
b r
0;5 rad ¼
0;5 180 ¼ 28; 6478 . . . p
10p p rad ¼ rad 180 18 ¼ 0;1745 . . . rad p 45 ¼ rad 4 p 90 ¼ rad 2 p p 180 rad ¼ ¼ 60 3 3 p
10 ¼
A
11 Symmetrie 11.1 Punktsymmetrie
S C
Bild III-79 Sekantentangentensatz
Eine ebene Figur F heißt punkt- oder zentralsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene ein Punkt P angeben la¨ßt, so daß F durch eine Spiegelung an P in
III Planimetrie
65
sich u¨bergefu¨hrt wird. Der Punkt P heißt dann Symmetriezentrum. &
Beispiele: Folgende Figuren sind punktsymmetrisch: 1. Strecke mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum 2. Rechteck mit seinem Mittelpunkt als Symmetriezentrum 3. Ellipse mit ihrem Mittelpunkt als Symmetriezentrum (vgl. Abschnitt VII.5.1)
11.2 Achsensymmetrie Eine ebene Figur F heißt achsen- oder axialsymmetrisch, wenn sich in ihrer Ebene eine Gerade g angeben la¨ßt, so daß F durch eine Spiegelung an g in sich u¨bergefu¨hrt wird. Die Gerade g heißt dann Symmetrieachse. &
Beispiele: Folgende Figuren sind achsensymmetrisch: 1. Gleichseitiges Dreieck mit einer der Winkelhalbierenden als Symmetrieachse 2. Rechteck mit einer Mittellinie als Symmetrieachse 3. Kreis mit einer beliebigen Geraden durch den Mittelpunkt als Symmetrieachse
12 hnlichkeit 12.1 Zentrische Streckung Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, bei der fu¨r jedes Element Bild Q und Urbild P auf einem Strahl durch einen festen Punkt Z, dem Zentrum, liegen und fu¨r jedes Element das Verha¨ltnis der La¨nge der Strecke vom Bild zum Zentrum zu der La¨nge der Strecke vom Urbild zum Zentrum konstant ist.
12.2 Strahlensa¨tze Unmittelbare Anwendungen der zentrischen Strekkung sind die Strahlensa¨tze. Erster Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt (Zentrum) von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die La¨ngen der Abschnitte eines Strahls wie die La¨ngen entsprechender Abschnitte des anderen Strahls. a1 : a2 ¼ b1 : b2
a1 b1 b2
Bild III-82 Erster Strahlensatz: a1 : a2 ¼ b1 : b2 Zweiter Strahlensatz Werden zwei Strahlen mit gleichem Anfangspunkt von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die La¨ngen der zwischen den Strahlen liegenden Abschnitte wie die La¨ngen der zugeho¨rigen vom Anfangspunkt aus gemessenen Abschnitte auf den Strahlen. c1 : c3 ¼ a1 : a3
jZQj ¼ k ðk konstantÞ jZPj a1 c1 D1 k1 = 1,5
A1
D
A
C1
C
A2 k2 = –0,5
c3
Bild III-83 Zweiter Strahlensatz: c1 : c3 ¼ a1 : a3
B
Z
C2 D2
a3
B1
&
B2
a2
Bild III-81 Zentrische Streckung
Eigenschaften: Die Bilder von Strecke, Strahl, Gerade sind wieder Strecke, Strahl, Gerade. Bild und Urbild von Strekke, Strahl, Gerade sind zueinander parallel. Entsprechende Winkel von Bild und Urbild sind gleich. Die La¨ngen entsprechender Strecken von Bild und Urbild haben das gleiche Verha¨ltnis, und zwar den Betrag des Streckungsfaktors k, also jkj.
Beispiel: Welche La¨nge B ergibt sich fu¨r das Bild eines Gegenstands der La¨nge G bei einer Bildweite b und einer Gegenstandsweite g? Nach dem zweiten Strahlensatz gilt g G b ¼ ) B¼G b B g Anmerkung: Ist g b (g sehr groß gegenu¨ber b), dann kann man b f (f Brennweite) setzen und damit die zu erwartende Bildgro¨ße abscha¨tzen.
G B g
b
Bild III-84 Anwendung des zweiten Strahlensatzes
66
Mathematik
12.3 hnliche Figuren Geometrische Figuren heißen a¨hnlich, wenn sie nach geeigneter Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung durch zentrische Streckung zur Deckung gebracht werden ko¨nnen. So sind zum Beispiel zwei Quadrate a¨hnlich (mit beliebigen Seitenla¨ngen) oder zwei Kreise (mit beliebigen Radien und beliebigen Mittelpunkten) oder zwei gleichseitige Dreiecke (mit beliebigen Seitenla¨ngen). C1
B2
D1
A2 D2
C
D
A1
B
A
Bild III-85 hnliche Figuren Entsprechend den vier Kongruenzsa¨tzen fu¨r Dreiecke (siehe Abschnitt III.6.7) gelten die folgenden Bedingungen fu¨r die hnlichkeit von Dreiecken: 1. Dreiecke sind a¨hnlich, wenn sie in zwei Winkeln u¨bereinstimmen. Da im Dreieck die Winkelsumme gleich 180 ist, folgt, daß dann auch die jeweils dritten Winkel u¨bereinstimmen. a′
b′ b
a
a = a′ b = b′
Bild III-86 hnliche Dreiecke 2. Dreiecke sind a¨hnlich, wenn sie in dem La¨ngenverha¨ltnis eines Seitenpaares und dem Gegenwinkel der la¨ngeren Seite u¨bereinstimmen.
a b
b
c′ a
b
a′ c
b′ b′
a′
Bemerkungen: 1. Die Strahlensa¨tze sind Anwendungen der Eigenschaften a¨hnlicher Dreiecke. 2. Nur bei Dreiecken folgt aus der Gleichheit der Winkel die hnlichkeit. Zum Beispiel haben ein Rechteck mit den Seitenla¨ngen a und b 6¼ a und ein Quadrat gleich große Winkel, sind aber nicht a¨hnlich, denn ihre Seitenverha¨ltnisse sind verschieden. 3. Da ein rechtwinkliges Dreieck durch seine Ho¨he in zwei untereinander und dem ganzen Dreieck a¨hnliche Teildreiecke geteilt wird (gleiche Winkel), folgen aus der Proportionalita¨t der La¨ngen entsprechender Seiten der Kathetensatz und der Ho¨hensatz.
12.4 Streckenteilungen Liegt zwischen zwei Punkten A und B ein Punkt T, so teilt er die Strecke AB im Verha¨ltnis jATj : jTBj ¼ k: Das Teilungsverha¨ltnis k ist eine positive reelle Zahl, wenn T echt zwischen A und B liegt. Halbiert T die Strecke AB, dann gilt k ¼ 1. Dagegen ist k < 0, wenn T außerhalb der Strecke AB liegt. Mit Hilfe der hnlichkeitsbedingungen fu¨r Dreiecke ist es mo¨glich, jede gegebene Strecke in einem beliebigen rationalen Verha¨ltnis zu teilen. Man unterscheidet verschiedene Arten von Strekkenteilungen:
Bild III-87 hnliche Dreiecke 3. Dreiecke sind a¨hnlich, wenn sie in dem La¨ngenverha¨ltnis eines Seitenpaares und dem eingeschlossenen Winkel u¨bereinstimmen.
g
a a′ a : b = a′: b′ g = g′
a : b = a′: b′ b : c = b′: c′
Innere Teilung Der Teilungspunkt T ¼ Ti liegt auf der Strecke AB.
a : b = a′: b′ b = b′
b
b′
Bild III-89 hnliche Dreiecke
C2 B1
4. Dreiecke sind a¨hnlich, wenn sie in den La¨ngenverha¨ltnissen zweier Seitenpaare u¨bereinstimmen.
b′
ki ¼
jATi j pi ¼ jTi Bj qi
ußere Teilung Der Teilungspunkt T ¼ Ta liegt auf der Geraden AB, aber außerhalb der Strecke AB. In diesem Fall ist das Teilungsverha¨ltnis k ¼ ka negativ.
g′
Bild III-88 hnliche Dreiecke
ka ¼
jATa j pa ¼ qa jTa Bj
III Planimetrie
67 qi
pi Ta
A
pa
B
Ti qa
Bild III-90 Innere und a¨ußere Teilung Harmonische Teilung Eine Strecke AB heißt durch die Punkte Ti und Ta harmonisch geteilt, wenn die Betra¨ge der Teilungsverha¨ltnisse der inneren Teilung durch Ti und der a¨ußeren Teilung durch Ta gleich sind. k ¼ jki j ¼ jka j ¼
jATi j jATa j p ¼ ¼ q jTi Bj jTa Bj
Es gilt: Teilen Ti und Ta die Strecke AB harmonisch, dann teilen auch umgekehrt A und B die Strecke Ti Ta harmonisch. Sind Ti und Ta die Punkte, die eine Strecke AB harmonisch im Verha¨ltnis p : q teilen, dann ist der Kreis mit dem Durchmesser Ti Ta der geometrische D q=
7
C p= 2 2 Ta
A
p=
Ti 2 C1
B
Stetige Teilung (goldener Schnitt) Eine Strecke heißt stetig oder nach dem goldenen Schnitt geteilt, wenn sich ihre La¨nge zur La¨nge des gro¨ßeren Teilstu¨cks verha¨lt wie die La¨nge des gro¨ßeren Teilstu¨cks zur La¨nge des kleineren Teilstu¨cks. Ein Punkt T teilt die Strecke AB also nach dem goldenen Schnitt, wenn gilt jABj jATj ¼ jATj jTBj r s ¼ : Setzt man r ¼ jABj; s ¼ jATj; so gilt s rs r Mit x ¼ folgt s r s þ ðr sÞ rs 1 ¼1þ ¼1þ s x¼ ¼ s s s rs 1 1 ¼1þ r ¼1þ : x s Multiplikation mit x ergibt x2 ¼ x þ 1 , x2 x 1 ¼ 0. Die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind pffiffiffi pffiffiffi 1 1 x1 ¼ ð1 þ 5Þ und x2 ¼ ð1 5Þ. 2 2 Wegen x1 > 0 und x2 < 0 kommt nur die positive Wurzel fu¨r das Teilungsverha¨ltnis in Frage: pffiffiffi r s 1 ¼ ¼ ð1 þ 5Þ. s rs 2 pffiffiffi 1 ð1 þ 5Þ ¼ 1;618 033 988 7 . . . nennt Die Zahl 2 man goldene Zahl. Das Bild verdeutlicht eine Konstruktionsmo¨glichkeit des goldenen Schnitts einer Strecke. r 2
Bild III-91 Harmonische Teilung Ort aller Punkte (C), deren Verbindungsstrecken mit A und B das La¨ngenverha¨ltnis p : q haben: jATi j : jTi Bj ¼ jATa j : jTa Bj ¼ jACj : jCBj ¼ p : q. Dieser Kreis heißt Kreis des Apollonios (nach dem hellenistischen Geometer und Astronom Apollonios von Perge, 262190 v. u. Z.).
C
A
Ti
B
Bild III-92 Kreis des Apollonios
Ta
r 2
s A
T r–s
s
B
r
Bild III-93 Stetige Teilung (goldener Schnitt)
68
Mathematik
IV Stereometrie Das Wort Stereometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Ko¨rpermessung. Man bescha¨ftigt sich in dieser Teildisziplin der Geometrie mit Form, gegenseitiger Lage, Gro¨ße und anderen Beziehungen geometrischer Objekte im Raum.
AG (denn Grund- und Deckfla¨che sind kongruent, und damit ist ihr Fla¨cheninhalt gleich). AO ¼ AM þ 2AG
Oberfla¨che Prisma
1.2 Parallelepiped und Wu¨rfel
1 Prismen 1.1 Allgemeine Prismen Gleitet eine Gerade, ohne ihre Richtung zu a¨ndern, im Raum an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n ¼ 3; 4; . . .) entlang, so beschreibt sie eine prismatische Fla¨che. Schneiden zwei parallele Ebenen die prismatische Fla¨che, dann schließen sie zusammen mit dem zwischen ihnen liegenden Abschnitt der prismatischen Fla¨che einen Teil des Raums vollsta¨ndig ein. Ein solcher Ko¨rper heißt Prisma (griech., das Gesa¨gte) oder genauer n-seitiges Prisma. Die Schnitte der Ebenen mit der prismatischen Fla¨che sind kongruente n-Ecke. Diese n-Ecke heißen Grundfla¨che und Deckfla¨che des Prismas. Die Seitenfla¨chen des Prismas heißen Mantelfla¨chen. Die Kanten der Seitenfla¨chen heißen Mantellinien. Die Mantelfla¨chen sind Parallelogramme. Bei einem Prisma sind alle Schnitte parallel zu Grund- und Deckfla¨che kongruent zu diesen Fla¨chen. Ein Prisma ist also ein Ko¨rper mit einem gleichbleibenden Querschnitt. Gleitet die Gerade senkrecht zur Ebene der Grundfla¨che, dann heißt das Prisma gerade. Bei einem geraden Prisma stehen die Mantellinien senkrecht auf der Grund- und Deckfla¨che, und die Mantelfla¨chen sind Rechtecke. Ein nicht gerades Prisma nennt man auch schiefes Prisma. Ein physikalisches Prisma ist mathematisch ein gerades dreiseitiges Prisma.
Ein Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfla¨che heißt Parallelepiped oder Parallelflach oder Spat. Ein gerades Prisma mit einem Rechteck als Grundfla¨che heißt Quader.
c b a
Bild IV-2 Quader
Sind a und b die Seitenla¨ngen des Rechtecks und c die Ho¨he des Quaders, so gilt: Quader Volumen V ¼ abc .. Oberflache AO ¼ 2ðab þ ac þ bcÞ .. Gesamtkantenlange l ¼ 4ða þ b þ cÞ Ein Quader mit einem Quadrat als Grundfla¨che heißt quadratische Sa¨ule.
h
Bild IV-3 Quadratische Sa¨ule
a a
Ist a die Seitenla¨nge des Quadrats und h die Ho¨he der quadratischen Sa¨ule, dann gilt: AG
Quadratische Sa¨ule h
Bild IV-1 Prisma
AG
Das Volumen V eines Prismas ist der Inhalt AG der Grundfla¨che multipliziert mit der Ho¨he h. Volumen Prisma
Volumen V ¼ a2 h .. Oberflache AO ¼ 2a2 þ 4ah .. Gesamtkantenlange l ¼ 8a þ 4h Ein Quader mit lauter gleich langen Kanten heißt Wu¨rfel.
V ¼ AG h
Die Oberfla¨che AO eines Prismas ist die Summe der Mantelfla¨che AM und der doppelten Grundfla¨che
a
a
a
Bild IV-4 Wu¨rfel
69 Ist a die Kantenla¨nge des Wu¨rfels, so gilt:
2.2 Gerade Kreiszylinder
Wu¨rfel
Ein Zylinder mit senkrecht auf Grund- und Deckfla¨che stehenden Mantellinien und mit einer Kreisfla¨che als Grundfla¨che heißt gerader Kreiszylinder oder Walze. Die Mantelfla¨che eines geraden Kreiszylinders kann in ein Rechteck mit den Seitenla¨ngen h und 2pr (Kreisumfang) abgewickelt werden, wobei h die Ho¨he des geraden Kreiszylinders ist und r der Radius des Kreises. Dies kann man sich dadurch veranschaulichen, daß man eine Dose ohne Deckel und Boden la¨ngs einer Mantellinie aufschneidet und in eine Ebene abwickelt.
Volumen V ¼ a3 .. Oberflache AO ¼ 6a2 .. Gesamtkantenlange l ¼ 12a Der Wu¨rfel ist einer der platonischen Ko¨rper (siehe Abschnitt IV.7). Er wird von sechs Quadraten begrenzt.
2 Zylinder 2.1 Allgemeine Zylinder
r
Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum la¨ngs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) parallel verschoben (also ohne ihre Richtung zu vera¨ndern), so entsteht eine Zylinderfla¨che. Ein Zylinder ist ein Ko¨rper, der von einer Zylinderfla¨che und zwei parallelen ebenen Fla¨chenstu¨cken begrenzt wird. Die ebenen Begrenzungsfla¨chenstu¨cke mu¨ssen nicht senkrecht auf der erzeugenden Gerade stehen.
h
pr 2 h
Der Kreis als Grund- und Deckfla¨che (Grund- und Deckfla¨che sind kongruent) hat den Fla¨cheninhalt pr2 . Somit gilt fu¨r die Oberfla¨che insgesamt AO ¼ 2pr2 þ 2prh ¼ 2prðr þ hÞ.
90° l
Bild IV-5 Zylinder (l ¼ Mantellinie) Ein Zylinder ist ein Ko¨rper mit gleichbleibendem Querschnitt. Der Teil der Zylinderfla¨che zwischen den parallelen Begrenzungsfla¨chenstu¨cken heißt Mantelfla¨che des Zylinders, die parallelen Fla¨chenstu¨cke sind Grundund Deckfla¨che des Zylinders. Grundfla¨che und Deckfla¨che sind zueinander kongruent. Die zwischen den Fla¨chenstu¨cken liegenden Strecken der Erzeugenden heißen Mantellinien, sie sind alle parallel und gleich lang. Der senkrechte Abstand zwischen Grund- und Deckfla¨che ist die Ho¨he des Zylinders. Prismen sind spezielle Zylinder, na¨mlich solche mit n-Ecken als Grundfla¨che. Ein Zylinder heißt gerade, wenn die Mantellinien senkrecht auf Grund- und Deckfla¨che stehen. Ein nicht gerader Zylinder heißt schiefer Zylinder. Ein Zylinder mit einer Kreisfla¨che als Grundfla¨che heißt Kreiszylinder. Das Volumen V eines Zylinders ist der Inhalt AG der Grundfla¨che multipliziert mit der Ho¨he h. Die Oberfla¨che AO eines Zylinders ist die Summe der Mantelfla¨che AM und der doppelten Grundfla¨che AG . Volumen .. Oberflache
Bild IV-6 Gerader Kreiszylinder
pr 2
V ¼ AG h AO ¼ AM þ 2AG
V ¼ pr2 h AO ¼ 2prðr þ hÞ
Volumen .. Oberflache
2.3 Hohlzylinder Ein Hohlzylinder ist ein gerader Kreiszylinder (Kreis mit Radius R), aus dem ein kleinerer gerader Kreiszylinder (konzentrischer Kreis mit Radius r; r < R) ausgeschnitten ist.
R
h
r
Bild IV-7 Hohlzylinder
Die Grundfla¨chen der beiden Zylinder sind also konzentrische Kreise, das heißt, sie haben den gleichen Mittelpunkt. Das Volumen des Hohlzylinders ist die Differenz der Volumina der beiden geraden Kreiszylinder. Die Oberfla¨che setzt sich aus der a¨ußeren Mantelfla¨che AMa ¼ 2pRh (h ist die Ho¨he des Hohlzylinders), aus der inneren Mantelfla¨che AMi ¼ 2prh, aus der Grund-
70
Mathematik
fla¨che und aus der Deckfla¨che zusammen. Grundfla¨che AG und Deckfla¨che AD sind gleich, sie ergeben sich aus der Differenz zweier Kreisfla¨chen: AG ¼ AD ¼ pðR2 r2 Þ: Fu¨r das Volumen und die Oberfla¨che des Hohlzylinders gilt somit Volumen .. Oberflache
V ¼ phðR2 r2 Þ AO ¼ 2phðR þ rÞ þ 2pðR2 r2 Þ ¼ 2pðR þ rÞ ðR r þ hÞ
3 Pyramiden 3.1 Allgemeine Pyramiden Gleitet ein von einem festen Punkt S des Raums ausgehender Strahl an den Begrenzungslinien eines ebenen n-Ecks (n ¼ 3; 4; . . .) entlang, in dessen Ebene der Anfangspunkt S des Strahls nicht liegt, so beschreibt der gleitende Strahl eine Pyramidenfla¨che. Das n-Eck schließt zusammen mit dem zwischen ihm und dem Punkt S liegenden Abschnitt der Pyramidenfla¨che einen Teil des Raums vollsta¨ndig ein. Ein solcher Ko¨rper heißt Pyramide. S
schief. Die Ho¨he einer geraden Pyramide ist gleichzeitig ihre Achse. Die Seitenfla¨chen von regula¨ren geraden Pyramiden sind kongruente gleichschenklige Dreiecke. Fu¨r das Volumen V und die Oberfla¨che AO einer beliebigen Pyramide gilt
Volumen .. Oberflache
1 AG h 3 AO ¼ AM þ AG
V¼
AG ist der Fla¨cheninhalt des n-Ecks, AM der Inhalt der Mantelfla¨che, also die Summe der Fla¨cheninhalte der Seitendreiecke, und h ist die Ho¨he der Pyramide. Eine gerade regula¨re dreiseitige Pyramide, bei der die Seitendreiecke kongruent zum Grunddreieck sind, heißt Tetraeder. Ein Tetraeder wird also von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Tetraeder ist einer der platonischen Ko¨rper (siehe Abschnitt IV.7).
3.2 Gerade quadratische Pyramiden Eine gerade quadratische Pyramide hat ein Quadrat als Grundfla¨che, und die Spitze der Pyramide steht senkrecht u¨ber dem Mittelpunkt des Quadrats, dem Diagonalenschnittpunkt. Die Mantelfla¨che besteht aus vier kongruenten gleichschenkligen Dreiecken.
h AG
H
hs
Bild IV-8 Pyramide
Das n-Eck heißt Grundfla¨che, der Punkt S Spitze, der zum Ko¨rper geho¨rende Teil der Pyramidenfla¨che ist die Mantelfla¨che der Pyramide. Die Kanten der Grundfla¨che heißen Grundkanten, die Kanten der Mantelfla¨che Seitenkanten, und die ebenen Fla¨chen der Mantelfla¨che sind die Seitenfla¨chen. Alle Seitenfla¨chen einer Pyramide sind Dreiecke. Es gibt bei einem n-Eck als Grundfla¨che genau n Dreiecke als Seitenfla¨chen. Deshalb nennt man solch eine Pyramide auch genauer n-seitige Pyramide. Ist das n-Eck ein regula¨res n-Eck, dann heißt die Pyramide regula¨re (n-seitige) Pyramide. Der Abstand der Spitze S von der Ebene der Grundfla¨che ist die Ho¨he der Pyramide. Man erha¨lt die Ho¨he, indem man von S das Lot auf die Ebene der Grundfla¨che fa¨llt. Das Lot durchsto¨ßt die Ebene der Grundfla¨che im Ho¨henfußpunkt H. Dieser kann auch außerhalb der Grundfla¨che liegen, dann liegt die Ho¨he außerhalb der Pyramide. Fa¨llt der Ho¨henfußpunkt mit dem Mittelpunkt der Grundfla¨che zusammen, so heißt die Pyramide gerade. Alle anderen Pyramidenformen nennt man
h
a a
Bild IV-9 Gerade quadratische Pyramide
Ist a die Kantenla¨nge des Quadrats der Grundfla¨che, h die Ho¨he der Pyramide und s die Kantenla¨nge der Seitenkanten, so folgt aus dem Satz des Py1 thagoras s2 ¼ h2 þ a2 : 2 Bezeichnet man mit hs die Ho¨he des gleichschenkligen Seitenfla¨chendreiecks Ds, dann folgt ebenfalls 1 mit dem Satz von Pythagoras s2 ¼ h2s þ a2 ; denn 4 die Basis dieses Dreiecks hat die La¨nge a. Lo¨st man 1 ersetzt s2ffi durch h2 þ a2 , so ernach hs auf und rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 gibt sich hs ¼ h2 þ a2 : Daraus berechnet man 4 1 den Fla ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ADs von Ds zu ADs ¼ 2 a hs r¨ cheninhalt 1 1 ¼ a h2 þ a2 und den Inhalt der Mantelfla¨che 2 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 zu AM ¼ 4 ADs ¼ 2a h2 þ a2 . 4
IV Stereometrie
71
Fu¨r Volumen und Oberfla¨che einer geraden quadratischen Pyramide gilt somit Volumen .. Oberflache
1 2 a h 3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 AO ¼ 2a h2 þ a2 þ a2 4 V¼
Die Grabsta¨tten alta¨gyptischer Pharaone waren wa¨hrend des Alten und des Mittleren Reichs ha¨ufig gerade quadratische Pyramiden. Besonders beeindrukkend sind die Pyramiden der Pharaonen Cheops, Chephren und Mykerinos in Gizeh am su¨dlichen Rand von Kairo. Sie stammen aus dem Alten Reich und wurden in der Zeit zwischen 2600 und 2480 v. u. Z. erbaut, sie sind also rund 4500 Jahre alt. Die gro¨ßte Pyramide ist die Cheopspyramide: Das Quadrat der Grundfla¨che hat eine Kantenla¨nge von 227,5 m (urspru¨nglich 230,38 m), und die Ho¨he ist 137 m (urspru¨nglich 146,6 m). Nimmt man die urspru¨nglichen Werte, so berechnet man fu¨r das Volumen: 1 V ¼ ð230;38Þ2 146;6 ¼ 2 593 595;61 . . . ; 3 also mehr als 2; 5 Millionen Kubikmeter! Fu¨r die Oberfla¨che ergibt sich: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 AO ¼ 2 230;38 ð146;6Þ2 þ ð230;38Þ2 þ ð230;38Þ2 4 ¼ 138 979;56 . . . Der Bau der Pyramiden war eine großartige ingenieurtechnische und logistische Leistung der Alta¨gypter!
zwischen Grundfla¨che und Spitze liegenden Strekken der Erzeugenden heißen Mantellinien. Der senkrechte Abstand der Spitze zur Ebene der Grundfla¨che ist die Ho¨he des Kegels. Pyramiden sind spezielle Kegel, na¨mlich Kegel mit n-Ecken als Grundfla¨che. Hat die Grundfla¨che einen Mittelpunkt (wie Kreis oder Ellipse), und liegt die Spitze senkrecht u¨ber diesem Mittelpunkt, so heißt der Kegel gerade, andernfalls schief. Ein Kegel mit einer Kreisfla¨che als Grundfla¨che heißt Kreiskegel. Das Volumen V eines Kegels ist ein Drittel des Inhalts AG der Grundfla¨che multipliziert mit der Ho¨he h. Die Oberfla¨che AO eines Kegels ist die Summe der Mantelfla¨che AM und der Grundfla¨che AG. Volumen .. Oberflache
1 AG h 3 AO ¼ AM þ AG
V¼
4.2 Gerade Kreiskegel Ein Kegel mit einer Kreisfla¨che als Grundfla¨che und der Spitze S senkrecht u¨ber dem Kreismittelpunkt heißt gerader Kreiskegel.
s h
4 Kegel d = 2r
Bild IV-11 Gerader Kreiskegel
4.1 Allgemeine Kegel
Mantelfläche
h
Wird eine Gerade (Erzeugende) im Raum la¨ngs einer ebenen geschlossenen Kurve (Leitkurve) so bewegt, daß sie durch einen festen Punkt, die Spitze S, geht, so entsteht eine Kegelfla¨che. Ein Kegel ist ein Ko¨rper, der von einer Kegelfla¨che und einem nicht durch deren Spitze gehenden ebenen Fla¨chenstu¨ck begrenzt wird.
Mantellinie
Grundfläche
Bild IV-10 Kegel
Der Teil der Kegelfla¨che zwischen dem ebenen Fla¨chenstu¨ck und der Spitze heißt Mantelfla¨che, das ebene Fla¨chenstu¨ck Grundfla¨che des Kegels. Die
Alle Mantellinien eines geraden Kreiskegels sind ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gleich lang. Ihre La¨nge ist s ¼ r2 þ h2 , wobei r der Radius des Kreises und h die Ho¨he des geraden Kreiskegels sind. Die Mantelfla¨che kann in die Ebene abgewickelt werden. Dabei entsteht ein Kreissektor mit dem Radius s (La¨nge der Mantellinien) und der Kreisbogenla¨nge 2pr (Umfang des Kreises der Grundfla¨che). Der Fla¨cheninhalt AM dieses Kreissektors (¼ Mantelfla¨che) verha¨lt sich zur gesamten Kreisfla¨che ps2 wie die Kreisbogenla¨nge 2pr zum Gesamtkreisumfang 2ps, woraus sich fu¨r die Mantelfla¨che AM ¼ prs ergibt. Der Kreis der Grundfla¨che, der Grundkreis, hat den Fla¨cheninhalt pr2 . 2 Daraus folgt fu¨r die Oberfla pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi ¨ che AO ¼ prs þ pr 2 2 ¼ prðr þ sÞ ¼ prðr þ r þ h Þ: Somit gilt fu¨r den geraden Kreiskegel Volumen .. Oberflache .. Lange der Mantellinie
1 pr2 h 3 AO ¼ prðr þ sÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi s ¼ r2 þ h2 V¼
72
Mathematik in dieVolumengleichung ergibt:
5 Cavalierisches Prinzip Wesentlich zur Berechnung des Volumens von Prismen, Zylindern, Pyramiden und Kegeln ist das Cavalierische Prinzip (nach dem italienischen Mathematiker Bonaventura Cavalieri, 1591/98––1647, ein Schu¨ler Galileis): Ko¨rper mit inhaltsgleichem Querschnitt in gleichen Ho¨hen haben gleiches Volumen. Speziell gilt also: Prismen, Zylinder, Pyramiden und Kegel mit gleicher Grundfla¨che und gleicher Ho¨he haben gleiches Volumen.
6 Pyramidenstu¨mpfe und Kegelstu¨mpfe 6.1 Pyramidenstu¨mpfe Schneidet man von einer Pyramide durch einen Schnitt parallel zur Grundfla¨che den oberen Teil ab, so ist der Restko¨rper ein Pyramidenstumpf. Der abgeschnittene Teil heißt Erga¨nzungspyramide, sie ist zur ganzen Pyramide a¨hnlich. A1
Bild IV-12 Pyramidenstumpf
h
V¼
1 3
¼
h 3
¼
h 3
h 3 h ¼ 3
¼
pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi
h A1 h A1 A2 h þ pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A1 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 A1 A2 A1 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 A2 A2 A1 þ A2 A1 A1 A1 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 A1 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 A2 A1 A1 pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 A1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 A2 A1 A2 A1 þ A2 A2 A1 A21 A2 A1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðA2 þ A2 A1 þ A1 Þ
Bei letzten beiden Umformungen wurde mit pffiffiffiffiffiffi denpffiffiffiffiffiffi A2 þ A1 erweitert beziehungsweise Polynomdivision durchgefu¨hrt.
6.2 Kegelstu¨mpfe Eine Ebene, die einen Kegel parallel zur Grundfla¨che schneidet, zerlegt den Kegel in einen kleineren Kegel, den Erga¨nzungskegel, und in einen Kegelstumpf. Die zur Grundfla¨che parallele Fla¨che der Oberfla¨che eines Kegelstumpfes ist seine Deckfla¨che. Der Abstand von Grundfla¨che und Deckfla¨che ist die Ho¨he des Kegelstumpfes. Grundfla¨che und Deckfla¨che sind zueinander a¨hnlich.
A2
Die Schnittfla¨che heißt Deckfla¨che des Pyramidenstumpfes. Der Abstand von Grundfla¨che und Deckfla¨che ist die Ho¨he des Pyramidenstumpfes. Grundfla¨che und Deckfla¨che sind zueinander a¨hnlich. Die Seitenfla¨chen eines Pyramidenstumpfes sind Trapeze. Ist A2 der Fla¨cheninhalt der Grundfla¨che, A1 der Fla¨cheninhalt der Deckfla¨che und h die Ho¨he, so gilt fu¨r das Volumen V des Pyramidenstumpfes
s2
s1 h1 r1
h2
s h
r2
Bild IV-13 Kreiskegelstumpf
Volumen Pyramidenstumpf pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi h V ¼ ðA2 þ A2 A1 þ A1 Þ 3 Herleitung: Ist h2 die Ho¨he der Pyramide und h1 die Ho¨he der Erga¨nzungspyramide, dann gilt fu¨r das Volumen V 1 des Pyramidenstumpfes V ¼ ðA2 h2 A1 h1 Þ. 3 1 Wegen h ¼ h2 h1 folgt V ¼ ½A2 ðh þ h1 Þ A1 h1 : 3 Die Inhalte paralleler Schnittfla¨chen verhalten sich wie die Quadrate ihrer Absta¨nde von der Spitze: pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi A2 : A1 ¼ h22 : h21 . Daraus folgt A2 : A1 ¼ ðhþh1 Þ : h1 pffiffiffiffiffiffi h A1 und nach h1 aufgelo¨st h1 ¼ pffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffi : Einsetzen A2 A1
Ist r2 der Radius des Kreises der Grundfla¨che und r1 der Radius des Kreises der Deckfla¨che sowie h die Ho¨he eines Kreiskegelstumpfes, dann gilt fu¨r das Volumen V des Kreiskegelstumpfes: Volumen Kreiskegelstumpf V¼
ph 2 ðr þ r2 r1 þ r12 Þ 3 2
Herleitung: Ist h2 die Ho¨he des Kreiskegels und h1 die Ho¨he des Erga¨nzungskegels, dann gilt fu¨r das Volumen V 1 des Kreiskegelstumpfes V ¼ pðr22 h2 r12 h1 Þ. 3 Wegen h ¼ h2 h1 und r2 : r1 ¼ h2 : h1 folgt durch korrespondierende Subtraktion ðr2 r1 Þ : r1 ¼ h : h1
IV Stereometrie hr1 und nach h1 aufgelo¨st h1 ¼ : Einsetzen in die r2 r1 Volumengleichung ergibt: 1 V ¼ p½r22 ðh þ h1 Þ r12 h1 3 1 hr1 hr1 r12 ¼ p r22 h þ 3 r2 r1 r2 r1 ph r23 r22 r1 þ r22 r1 r13 ph r23 r13 ¼ 3 3 r2 r1 r2 r1 ph 2 2 ðr þ r2 r1 þ r1 Þ ¼ 3 2 Bei der letzten Umformung wurde Polynomdivision durchgefu¨hrt. Sind s2 und s1 die La¨ngen der Mantellinien eines geraden Kreiskegels und seines Erga¨nzungskegels, dann gilt fu¨r den Kreiskegelstumpf s ¼ s2 s1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼
¼ ðr2 r1 Þ2 þ h2 . Ist A2 der Fla¨cheninhalt der Grundfla¨che, A1 der Fla¨cheninhalt der Deckfla¨che und AM der Fla¨cheninhalt der Mantelfla¨che, so folgt fu¨r die Oberfla¨che AO eines geraden Kreiskegelstumpfes:
73 der Kanten und f die Anzahl der Fla¨chen des konvexen Polyeders sind. Eulerscher Polyedersatz
eþf ¼kþ2
Konvexe Polyeder, bei denen in jeder Ecke gleich viele Fla¨chen zusammenstoßen und alle Fla¨chen kongruente regula¨re n-Ecke sind, heißen platonische Ko¨rper (nach dem griechischen Philosophen Platon, 427––347 v. u. Z.) oder konvexe regula¨re Polyeder. Es gibt insgesamt genau fu¨nf verschiedene Arten platonischer Ko¨rper: Tetraeder, Wu¨rfel (anderer Name: Hexaeder), Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder.
Bild IV-14 Tetraeder
AO ¼ A2 þ A1 þ AM ¼ pr22 þ pr12 þ psðr2 þ r1 Þ ¼ pr2 ðr2 þ sÞ þ pr1 ðr1 þ sÞ Oberfla¨che gerader Kreiskegelstumpf
Bild IV-15 Wu¨rfel (Hexaeder)
AO ¼ pr2 ðr2 þ sÞ þ pr1 ðr1 þ sÞ Herleitung der Formel fu¨r die Mantelfla¨che AM : Es gilt s2 : s1 ¼ r2 : r1 und s ¼ s2 s1 ; woraus durch korrespondierende Subtraktion s : s1 ¼ ðr2 r1 Þ : r1 r1 s folgt und nach s1 aufgelo¨st s1 ¼ : Damit ergibt r2 r1 sich:
Bild IV-16 Oktaeder
AM ¼ pr2 s2 pr1 s1 ¼ pr2 ðs þ s1 Þ pr1 s1 r1 s r1 s ¼ pr2 s þ pr1 r2 r1 r2 r1 r22 s r2 r1 s þ r2 r1 s r12 s r2 r12 ¼ ps 2 r2 r1 r2 r1 ¼ ps ðr2 þ r1 Þ ¼p
Bild IV-17 Dodekaeder
7 Platonische Ko¨rper Ein Ko¨rper, der von lauter Ebenen begrenzt wird, heißt Polyeder. Die Begrenzungsebenen sind die Fla¨chen des Polyeders. Schnittlinien von Fla¨chen heißen Kanten des Polyeders. Die Kanten schneiden sich in den Ecken des Polyeders. Polyeder sind die dreidimensionale Verallgemeinerung von Polygonen: Ein Polygon wird von lauter Geraden begrenzt. Ein Polyeder heißt konvex, wenn mit zwei Punkten die gesamte Verbindungsstrecke der Punkte zum Polyeder geho¨rt. Beispiele fu¨r konvexe Polyeder sind Prismen und Pyramiden, deren Grundfla¨che konvex ist. Fu¨r konvexe Polyeder gilt der Eulersche Polyedersatz, wobei e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl
Bild IV-18 Ikosaeder Die Namen stammen aus dem Griechischen und geben die Anzahl der Fla¨chen der Ko¨rper an. Das Tetraeder („Vierfla¨chner“) hat vier gleichseitige Dreiecke als Begrenzungsfla¨chen, der Wu¨rfel oder das Hexaeder („Sechsfla¨chner“) wird von sechs Quadraten begrenzt, das Oktaeder („Achtfla¨chner“) von acht gleichseitigen Dreiecken, das Dodekaeder („Zwo¨lffla¨chner“) von zwo¨lf regula¨ren Fu¨nfecken
74
Mathematik sind die gro¨ßten Sehnen der Kugel, fu¨r ihre La¨nge d gilt d ¼ 2r. Eine Tangente t beru¨hrt die Kugel in einem Punkt. Im Beru¨hrungspunkt sind beliebig viele Tangenten mo¨glich: alle Tangenten zusammen spannen die Tangentialebene auf.
und das Ikosaeder („Zwanzigfla¨chner“) von zwanzig gleichseitigen Dreiecken. Weitere konvexe regula¨re Polyeder gibt es nicht. In der Tabelle sind die wichtigsten Eigenschaften der platonischen Ko¨rper zusammengestellt (mit Kantenla¨nge a). Platonischer Ko¨rper
Begrenzungsfla¨chen
Anzahl Fla¨chen in jeder Ecke
Anzahl Ecken
Anzahl Kanten
Tetraeder
4 gleichseitige Dreiecke
3
4
6
Wu¨rfel
6 Quadrate
3
8
12
Oktaeder
8 gleichseitige Dreiecke
4
6
12
Dodekaeder
12 regula¨re Fu¨nfecke
3
20
30
Ikosaeder
20 gleichseitige Dreiecke
5
12
30
Volumen
Oberfla¨che
pffiffiffi 2 3 a 12
pffiffiffi 2 3a
a3
6a2 pffiffiffi 2 3 a2
pffiffiffi 2 3 a 3 pffiffiffi 15 þ 7 5 3 a 4 pffiffiffi 5ð3 þ 5Þ 3 a 12
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ffi 3 5ð5 þ 2 5Þ a2 pffiffiffi 5 3 a2
Eine Passante p hat mit der Kugel keinen Punkt gemeinsam.
8 Kugeln 8.1 Definitionen Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M einen konstanten Abstand r haben. Der Punkt M ist der Mittelpunkt und r der Radius der Kugel. Zur Unterscheidung von dem durch eine Kugel abgegrenzten Raum nennt man die Kugel selbst auch Kugelfla¨che. Eine Kugel mit dem Radius r ¼ 1 heißt Einheitskugel. Fu¨r das Volumen V und die Oberfla¨che AO einer Kugel mit dem Radius r und dem Durchmesser d gilt
Volumen .. Oberflache
4 p pr3 ¼ d3 3 6 2 AO ¼ 4pr ¼ pd2
V¼
Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). Kugeln mit gleichem Mittelpunkt heißen konzentrisch. Jede die Kugel schneidende Ebene schneidet sie in einem Kreis. Geraden haben mit einer Kugelfla¨che entweder zwei Punkte, einen Punkt oder keinen Punkt gemeinsam. Eine Sekante s schneidet die Kugelfla¨che in zwei Punkten. Der zwischen den Punkten gelegene Teil der Sekante heißt Sehne. Eine Sehne durch den Mittelpunkt heißt Durchmesser der Kugel. Durchmesser
Tangente Passante
Sekante
Durchmesser Radius
Sehne
Bild IV-19 Bezeichnungen an der Kugel
8.2 Kugelsegmente Ein Kugelsegment oder Kugelabschnitt ist ein durch eine Ebene abgeschnittener Teil einer Kugel.
2r r
h
M
Kugelkappe
Bild IV-20 Kugelsegment
IV Stereometrie
75
Die Mantelfla¨che des Kugelsegments heißt Kugelkappe. Ist r der Radius der Kugel, r der Radius des von der Ebene ausgeschnittenen Kreises und h die Ho¨he des Kugelsegments, dann gilt pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hð2r hÞ 1 Volumen Kugelsegment V ¼ phð3r2 þ h2 Þ 6 1 ¼ ph2 ð3r hÞ 3 .. Flacheninhalt Kugelkappe A ¼ 2prh .. Oberflache Kugelsegment AO ¼ 2prh þ pr2 ¼ pð2rh þ r2 Þ Radius Schnittkreis
r¼
Die Oberfla¨che AO des Kugelsektors ist die Summe der Fla¨cheninhalte von Kugelkappe und Kegelmantel: AO ¼ 2prh þ prr ¼ prð2h þ rÞ. 2 Volumen Kugelsektor V ¼ pr2 h 3 .. Oberflache Kugelsektor AO ¼ prð2h þ rÞ
8.4 Kugelschichten Eine Kugelschicht ist der durch zwei zueinander parallelen Ebenen ausgeschnittene Teil einer Kugel. Die durch die beiden Ebenen ausgeschnittene Kugeloberfla¨che, also die Mantelfla¨che der Kugelschicht, heißt Kugelzone.
8.3 Kugelsektoren Einem Kugelsegment (Kugelabschnitt) ist ein Kegel zugeordnet, dessen Grundfla¨che der Schnittkreis des Kugelsegments und dessen Spitze der Kugelmittelpunkt ist. Der Gesamtko¨rper aus Kugelsegment und zugeordnetem Kegel heißt Kugelsektor oder Kugelausschnitt. Bild IV-22 Kugelschicht
M
C
r
r–h h
Bild IV-21 Kugelsektor
Das Volumen V des Kugelsektors setzt sich aus dem Volumen des Kugelabschnitts und dem des h2 ð3r hÞ zugeordneten Kegels zusammen: V ¼ p 3 r2 þp ðr hÞ. 3 Dabei ist r der Radius der Kugel, r der Radius des Schnittkreises und h die Ho¨he des Kugelsegments. Durch Einsetzen von r2 ¼ hð2r hÞ erha¨lt man 2 V ¼ pr2 h: 3
Ist r der Radius der Kugel, r1 und r2 die Radien der von den parallelen Ebenen ausgeschnittenen Kreise und h die Dicke der Kugelschicht, dann gilt Radien Schnittkreise pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r1 ¼ h1 ð2r h1 Þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r2 ¼ ðh þ h1 Þ ð2r h h1 Þ Volumen Kugelschicht 1 V ¼ phð3r21 þ 3r22 þ h2 Þ 6 .. Flacheninhalt Kugelzone A ¼ 2prh .. Oberflache Kugelschicht AO ¼ pð2rh þ r21 þ r22 Þ
76
Mathematik
V Funktionen 1 Definition und Darstellungen von Funktionen 1.1 Definitionen Eine Abbildung oder Funktion f ist eine Zuordnung, die jeder Zahl x einer gegebenen Zahlenmenge D eine Zahl y einer Zahlenmenge W zuordnet. Die Zuordnung ist eindeutig, das heißt, jeder Zahl x wird genau eine Zahl y zugeordnet. Man schreibt dafu¨r y ¼ f ðxÞ oder manchmal auch x 7! f ðxÞ. Man nennt f ðxÞ das Bild von x und umgekehrt x das Urbild von f ðxÞ. Die Menge D heißt Urbildmenge, Definitionsmenge oder Definitionsbereich. Die Menge W, aus der die Bilder stammen, heißt Wertemenge oder Wertebereich. Die Menge der Bilder (also alle y-Werte zusammen) heißt Bildmenge, bezeichnet mit f ðDÞ. D Definitionsbereich W Wertebereich f ðDÞ Bildmenge Die Elemente der Bildmenge nennt man Funktionswerte. Die Bildmenge f ðDÞ ist eine Teilmenge des Wertebereichs W, und W ist eine Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen.
1.2 Funktionsgleichung Explizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Zuordnungsvorschrift fu¨r eine Funktion ist im Regelfall eine Gleichung, die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ (gesprochen: y gleich f von x). Dabei heißt x unabha¨ngige Variable und y abha¨ngige Variable. Man nennt x auch das Argument der Funktion. Die Form y ¼ f ðxÞ heißt explizite Darstellung der Funktionsgleichung. Daru¨ber hinaus gibt es die implizite Darstellung und die Parameterdarstellung der Funktionsgleichung (siehe unten). Funktionen ko¨nnen aber zum Beispiel auch durch Tabellen, Schaubilder (Graphen), Pfeildiagramme oder geordnete Wertepaare (Wertetabelle) dargestellt werden. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Definitionsbereichs, so gilt D ¼ R. Fehlt bei einer Funktion die Angabe des Wertebereichs, so gilt ebenfalls W ¼ R. Die Schreibweise y ¼ f ðxÞ; f : D ! W fu¨r eine Funktion bedeutet, daß y ¼ f ðxÞ die Funktionsgleichung ist, daß die Funktion den Definitionsbereich D und den Wertebereich W hat. y ¼ f ðxÞ ; &
f ðDÞ W R Eine Funktion besteht aus drei Teilen: der Zuordnungsvorschrift f , dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W. Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sowohl die Zuordnungsvorschriften als auch die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche u¨bereinstimmen. &
&
2.
D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; . . . ; 24; 25g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 4; f ð3Þ ¼ 9; f ð4Þ ¼ 16; f ð5Þ ¼ 25
3.
D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 2; f ð3Þ ¼ 3; f ð4Þ ¼ 4; f ð5Þ ¼ 5 y ¼ f ðxÞ ¼ x þ 2; D ¼ R; W ¼ R
4.
Bemerkung: Man kann Abbildungen (Funktionen) auch allgemeiner als eine Zuordnung zwischen beliebigen Mengen (also nicht eingeschra¨nkt auf Zahlenmengen) definieren.
Beispiele: 1. y ¼ f ðxÞ ¼ x3 4x2 x þ 4; f : R ! R 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x2 1; f : R ! R x3 3. y ¼ f ðxÞ ¼ 2 ; f : ½1; 1 ! R (also D ¼ ½1; 1; W ¼ R) x ffiffiffi 2 p 4. y ¼ f ðxÞ ¼ x; f : N ! R 8 < 1 falls x < 0 5. y ¼ f ðxÞ ¼ 0 falls x ¼ 0; f : R ! R : þ1 falls x > 0
Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ, deren Definitions- und Wertemenge nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen.
Beispiele: 1. y ¼ f ðxÞ ¼ 5x; D ¼ N; W ¼ N Die Zuordnungsvorschrift ist hier „5 mal“, das heißt, man muß jeden x-Wert mit 5 multiplizieren, um den zugeho¨rigen Funktionswert y zu erhalten. Fu¨r x ¼ 3 erha¨lt man zum Beispiel y ¼ f ð3Þ ¼ 5 3 ¼ 15. Sowohl der Definitionsbereich als auch der Wertebereich sind die natu¨rlichen Zahlen. Fu¨r die Bildmenge ergibt sich f ðDÞ ¼ f0; 5; 10; 15; 20; . . .g.
f :D!W
Beispiele: 6. y ¼ x2 ; D ¼ ð1; 1Þ; W ¼ ½0; 1Þ pffiffiffi 7. y ¼ x; D ¼ ½0; 1Þ; W ¼ ½0; 1Þ
Implizite Darstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form Fðx; yÞ ¼ 0 heißt implizit, falls sich diese Gleichung eindeutig nach y auflo¨sen la¨ßt. Statt impliziter Darstellung der Funktion sagt man auch einfach nur implizite Funktion. &
Beispiel: 8. Fðx; yÞ ¼ x2 þ y2 1 ¼ 0; D ¼ ½1; 1; y 0 Es handelt sich hierbei um die obere Ha¨lfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung (vgl. Abschnitt VII.3.1). Man beachte, daß mit x2 þ y2 1 ¼ 0 keine reelle Funktion definiert wird, denn die Zuordnung ist nicht eindeutig, da jedem Element des Definitionsbereichs zwei Werte zugeordnet werden (einer auf dem oberen Halbkreis und einer auf dem unteren Halbkreis).
77 Parameterdarstellung der Funktionsgleichung Die Darstellung einer Funktion in der Form x ¼ jðtÞ; y ¼ wðtÞ heißt Parameterdarstellung. Die Werte von x und y werden dabei jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, die Parameter genannt wird. Die Funktionen jðtÞ und wðtÞ mu¨ssen denselben Definitionsbereich haben. &
Beispiele: 9. x ¼ 2t þ 5; y ¼ 8t þ 4; t 2 R Durch Elimination von t erha¨lt man 4x 20 ¼ y 4 ) y ¼ 4x 16, also eine Geradengleichung (in expliziter Form) (vgl. Abschnitt VII.2.1). 10. x ¼ jðtÞ; y ¼ wðtÞ mit x ¼ cos t; y ¼ sin t und 0 t p Hierbei handelt es sich um die obere Ha¨lfte des Einheitskreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung, denn Quadrieren und Addieren ergibt
1.4 Wertetabelle einer Funktion Auch mittels einer Wertetabelle kann eine Funktion dargestellt werden. In einer Wertetabelle werden fu¨r einige ausgewa¨hlte Argumente x die geordneten Zahlenpaare ðx; yÞ ¼ ðx; f ðxÞÞ fu¨r eine Funktion y ¼ f ðxÞ eingetragen. Dabei mu¨ssen die ausgewa¨hlten Werte fu¨r x Elemente des Definitionsbereichs D der Funktion sein. Man stellt oftmals eine Wertetabelle auf, um den Graph einer Funktion zeichnen zu ko¨nnen. &
x2 þ y2 ¼ cos2 t þ sin2 t ¼ 1;
Beispiel: Wertetabelle fu¨r die Funktion y ¼ x2 4x þ 3; D ¼ R: x
5
4
3
2
1
0
1
2
y
2
3
6
7
6
3
2
9
und t durchla¨uft den ersten und den zweiten Quadranten (vgl. Abschnitt VI).
1.3 Graph einer Funktion
2 Verhalten von Funktionen
Eine Mo¨glichkeit der Funktionsdarstellung ist, den Graph der Funktion zu zeichnen. Der Graph einer Funktion f mit dem Definitionsbereich D ist das Bild, das man erha¨lt, wenn man die geordneten Zahlenpaare ðx; yÞ ¼ ðx; f ðxÞÞ mit x 2 D in ein Koordinatenkreuz eintra¨gt. Geordnet bedeutet, daß in ðx; yÞ die Reihenfolge von x und y wichtig ist: ðx; yÞ ist verschieden von ðy; xÞ (außer mo¨glicherweise in Sonderfa¨llen). In einem kartesischen Koordinatensystem (siehe Abschnitt VII.1) ist die waagerechte Achse die xAchse oder Abszissenachse, die senkrechte Achse ist die y-Achse oder Ordinatenachse. Die Zahl x ist die Abszisse und y die Ordinate eines Punktes ðx j yÞ mit den Koordinaten x und y. Statt Graph einer Funktion sagt man auch Schaubild oder Kurve der Funktion.
2.1 Monotone Funktionen
Bemerkung: Bei einem Zahlenpaar setzt man ein Komma oder ein Semikolon zwischen die beiden Komponenten: ðx; yÞ oder ðx; yÞ. Bei der Darstellung eines Punktes setzt man einen senkrechten Strich zwischen die beiden Koordinaten: ðx j yÞ. &
Beispiel: Graph der Funktion mit der Funktionsgleichung 2x þ 1 und dem Definitionsbereich D ¼ R:
y ¼ f ðxÞ ¼
y 4 2 1 1
2 x
–2 –3 –4 –5
monoton wachsend, wenn aus x1 < x2 f ðx1 Þ f ðx2 Þ folgt, streng monoton wachsend, wenn aus x1 stets f ðx1 Þ < f ðx2 Þ folgt, monoton fallend, wenn aus x1 < x2 f ðx1 Þ f ðx2 Þ folgt, streng monoton fallend, wenn aus x1 < x2 f ðx1 Þ > f ðx2 Þ folgt.
Bild V-1 Graph der Funktion mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ ¼ 2x þ 1
stets < x2 stets stets
Dabei sind x1 ; x2 beliebige Punkte aus diesem Bereich B. &
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ 3x; D ¼ R ist streng monoton wachsend in D.
y 8 7 6 5 4 3 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
3
–3 –2 –1 0 –1
Eine Funktion mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ heißt in einem bestimmten Bereich B (B ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs D)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8
Bild V-2 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ 3x
78
Mathematik 2.
f ðxÞ ¼ 3; D ¼ R ist in D monoton wachsend (und monoton fallend).
y 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
y 7 6 5 4 2 1 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 –3
x
1 –3 –2 –1 0 1 2
Bild V-3 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ 3 3.
Bild V-5 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ 2x4 þ 1
f ðxÞ ¼ x2 ; D ¼ R ist in B1 ¼ fx j x 2 D und x 0g streng monoton fallend und in B2 ¼ fx j x 2 D und x 0g streng monoton wachsend.
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2
y 5 4 3
1
2 1
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1
Bild V-4 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ x2
2.2 Symmetrische Funktionen
–3 –2 –1 0 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8 –9 –10
2
y
6 5 4 3
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ 2x4 þ 1
2.
Wegen f ðxÞ ¼ 2ðxÞ4 þ 1 ¼ 2x4 þ 1 ¼ f ðxÞ ist y ¼ f ðxÞ symmetrisch zur y-Achse, also eine gerade Funktion. f ðxÞ ¼ 2x3 3x
3.
Wegen f ðxÞ ¼ 2ðxÞ3 3ðxÞ ¼ 2x3 þ 3x ¼ f ðxÞ ist y ¼ f ðxÞ symmetrisch zum Koordinatenursprung, also eine ungerade Funktion. f ðxÞ ¼ x2 x Wegen f ðxÞ ¼ ðxÞ2 ðxÞ ¼ x2 þ x; also f ðxÞ 6¼ f ðxÞ und f ðxÞ 6¼ f ðxÞ, ist y ¼ f ðxÞ weder eine gerade noch eine ungerade Funktion.
x
Bild V-6 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ 2x3 3x
Der Graph einer Funktion mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ ist symmetrisch zur y-Achse, wenn f ðxÞ ¼ f ðxÞ fu¨r alle x 2 D gilt. Eine solche Funktion heißt eine gerade Funktion. Der Graph einer Funktion y ¼ f ðxÞ ist symmetrisch zum Koordinatenursprung, wenn f ðxÞ ¼ f ðxÞ fu¨r alle x 2 D gilt. Eine solche Funktion heißt eine ungerade Funktion. &
x
2 1
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–1
Bild V-7 Graph der Funktion mit der Gleichung f ðxÞ ¼ x2 x
V Funktionen
79
2.3 Beschra¨nkte Funktionen
2.6 Bijektive Funktionen
Eine Funktion heißt nach oben beschra¨nkt, wenn ihre Funktionswerte eine bestimmte Zahl nicht u¨bertreffen, und nach unten beschra¨nkt, wenn ihre Funktionswerte nicht kleiner als eine bestimmte Zahl sind. Eine Funktion, die sowohl nach oben als auch nach unten beschra¨nkt ist, heißt beschra¨nkt. Bei einer beschra¨nkten Funktion y ¼ f ðxÞ existieren also reelle Zahlen a und b mit a < b, so daß gilt:
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Funktion ist also die Bildmenge gleich dem Wertebereich, und jedes Bild besitzt genau ein Urbild. Ist y ¼ f ðxÞ; f : D ! W eine bijektive Funktion, so sind die Mengen D und W gleich ma¨chtig, das heißt, sie besitzen gleich viele Elemente. Die bijektiven Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion.
.. a f ðxÞ b fur alle x 2 D &
Beispiele: 1. y ¼ 1 x2 ist nach oben beschra¨nkt, denn y 1. 2. y ¼ ex ist nach unten beschra¨nkt, denn y > 0. 4 3. y ¼ ist beschra¨nkt, denn 0 < y 4. 1 þ x2
2.4 Injektive Funktionen Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Bild genau ein Urbild besitzt. Bei einer injektiven Funktion geho¨ren zu verschiedenen Argumenten also stets verschiedene Bilder. x1 6¼ x2 ) f ðx1 Þ ¼ 6 f ðx2 Þ &
Beispiele: Folgende Funktionen sind injektiv: 1. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; . . . ; 24; 25g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 4; f ð3Þ ¼ 9; f ð4Þ ¼ 16; f ð5Þ ¼ 25 2. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 2; f ð3Þ ¼ 3; f ð4Þ ¼ 4; f ð5Þ ¼ 5 3. y ¼ f ðxÞ ¼ x þ 2; f : R ! R (also D ¼ W ¼ R) pffiffiffi 4. y ¼ f ðxÞ ¼ x; f : N ! R Folgende Funktionen sind nicht injektiv: 1. y ¼ f ðxÞ ¼ x3 4x2 x þ 4; f : R ! R 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x2 1; f : R ! R x3 ; f : ½1; 1 ! R (also D ¼ ½1; 1; W ¼ R) 3. y ¼ f ðxÞ ¼ 2 x 2 8 < 1 falls x < 0 4. y ¼ f ðxÞ ¼ 0 falls x ¼ 0; f : R ! R : þ1 falls x > 0
2.5 Surjektive Funktionen Eine Funktion heißt surjektiv, wenn ihre Bildmenge gleich dem Wertebereich ist. f ðDÞ ¼ W &
Beispiele: Folgende Funktionen sind surjektiv: 1. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 2; f ð3Þ ¼ 3; f ð4Þ ¼ 4; f ð5Þ ¼ 5 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x þ 2; f : R ! R 3. y ¼ f ðxÞ ¼ x3 4x2 x þ 4; f : R ! R Folgende Funktionen sind nicht surjektiv: 1. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; . . . ; 24; 25g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 4; f ð3Þ ¼ 9; f ð4Þ ¼ 16; f ð5Þ ¼ 25 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x2 1; f : R ! R x3 ; f : ½1; 1 ! R 3. y ¼ f ðxÞ ¼ 2 x ffiffiffi 2 p 4. y ¼ f ðxÞ ¼ x; f : N ! R 8 < 1 falls x < 0 5. y ¼ f ðxÞ ¼ 0 falls x ¼ 0; f : R ! R : þ1 falls x > 0
&
Beispiele: Folgende Funktionen sind bijektiv: 1. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 2; f ð3Þ ¼ 3; f ð4Þ ¼ 4; f ð5Þ ¼ 5 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x þ 2; f : R ! R Folgende Funktionen sind nicht bijektiv: 1. D ¼ f1; 2; 3; 4; 5g; W ¼ f1; 2; 3; 4; . . . ; 24; 25g; f ð1Þ ¼ 1; f ð2Þ ¼ 4; f ð3Þ ¼ 9; f ð4Þ ¼ 16; f ð5Þ ¼ 25 2. y ¼ f ðxÞ ¼ x3 4x2 x þ 4; f : R ! R 3. y ¼ f ðxÞ ¼ x2 1; f : R ! R x3 4. y ¼ f ðxÞ ¼ 2 ; f : ½1; 1 ! R xpffiffiffi 2 5. y ¼ f ðxÞ ¼ x; f : N ! R 8 < 1 falls x < 0 6. y ¼ f ðxÞ ¼ 0 falls x ¼ 0; f : R ! R : þ1 falls x > 0
2.7 Periodische Funktionen Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f ðx þ TÞ ¼ f ðxÞ erfu¨llt, wobei T eine Konstante (feste reelle Zahl) ist, heißt periodische Funktion. Die Gleichung f ðx þ TÞ ¼ f ðxÞ gilt fu¨r alle x aus dem Definitionsbereich. f ðx þ TÞ ¼ f ðxÞ Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt die Periode der Funktion. Den absolut gro¨ßten Funktionswert nennt man Amplitude der periodischen Funktion. Beispiele fu¨r periodische Funktionen sind die trigonometrischen Funktionen (vgl. Kapitel VI).
2.8 Umkehrfunktionen Die Funktion, die durch Vertauschen von x und y aus einer bijektiven Funktion y ¼ f ðxÞ entsteht, heißt Umkehrfunktion oder inverse Funktion von y ¼ f ðxÞ. Bei einer bijektiven Funktion y ¼ f ðxÞ; f : D ! W ist jedes Element y 2 W Bild von genau einem Element x 2 D. Man kann eine neue Funktion definieren, die jedem y 2 W als Bild gerade das x 2 D zuordnet, das Urbild von y ist. Diese Funktion leistet das Umgekehrte wie f , ihr Definitionsbereich ist W, und ihr Wertebereich ist D. Man nennt diese Funktion daher die Umkehrfunktion von f und bezeichnet sie mit f 1 . y¼f
1
ðxÞ ;
f
1
:W!D
80
Mathematik
Versteht man unter der Schreibweise gðf ðxÞÞ, daß man auf x die Zuordnungsvorschrift f und dann auf f ðxÞ die Vorschrift g anwendet, so gilt f 1 ðf ðxÞÞ ¼ x und f ðf 1 ðxÞÞ ¼ x. Zu einer streng monoton wachsenden oder streng monoton fallenden Funktion existiert die Umkehrfunktion.
Beispiele: 1. y ¼ f ðxÞ ¼ 4x 1; D ¼ W ¼ R 1 1 Umkehrfunktion: y ¼ f 1 ðxÞ ¼ x þ ; D ¼ W ¼ R 4 4
y
–7 –6 –5 –4 –3 –2
y = 4x – 1
6 5 4 3 2 1
–2 –3 –4 –5 –6 –7
y ¼ f ðxÞ ¼ x2 ; D ¼ W ¼ fx j x 2 R; x 0g Umkehrfunktion: pffiffiffi y ¼ f 1 ðxÞ ¼ x; D ¼ W ¼ fx j x 2 R; x 0g
y= 2 x
y 4 3
y=
2
x
y=+
x
1 –2 –1
1 0
2
–2 –1
3
4 x
–1 –2
4.
2
3
4
5
6
7
x
Bild V-10 Graphen der Funktionen von Beispiel 3 und Beispiel 4
2.9 Reelle und komplexe Funktionen Eine Funktion mit der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ, deren Definitions- und Wertebereich nur reelle Zahlen enthalten, nennt man eine reelle Funktion einer reellen Variablen. Beispiele: 1. y ¼ x2 ; D ¼ ð1; 1Þ; W ¼ ½0; 1Þ pffiffiffi 2. y ¼ x; D ¼ ½0; 1Þ; W ¼ ½0; 1Þ
Ist dagegen die unabha¨ngige Variable einer Funktionsgleichung eine komplexe Zahl z, dann wird durch w ¼ f ðzÞ eine komplexe Funktion einer komplexen Variablen beschrieben. Komplexe Funktionen werden in dem mathematischen Gebiet Funktionentheorie behandelt.
Eine elementare Funktion ist eine Funktion, deren Funktionsgleichung durch einen geschlossenen analytischen Ausdruck dargestellt werden kann. Elementare Funktionen sind durch Formeln definiert, die nur endlich viele mathematische Operationen mit der unabha¨ngigen Variablen x und den Koeffizienten enthalten. Man teilt die elementaren Funktionen in algebraische Funktionen und transzendente Funktionen ein. Bei elementaren Funktionen lassen sich die Verknu¨pfung der unabha¨ngigen Variablen x und der abha¨ngigen Variablen y in einer algebraischen Gleichung folgender Form darstellen, wobei p0 ; p1 ; . . . ; pn Polynome in x beliebigen Grades sind. p0 ðxÞ þ p1 ðxÞ y þ p2 ðxÞ y2 þ . . . þ pn ðxÞ yn ¼ 0
Bild V-9 Graphen der Funktionen von Beispiel 2 3.
1
3 Einteilung der elementaren Funktionen
Bild V-8 Graphen der Funktionen von Beispiel 1 2.
y = lnx
1 0
y = 0,25x + 0,25
x
y=
2
&
1 2 3 4 5 6
x y = log 2
3
1. Auflo¨sen von y ¼ f ðxÞ nach x: x ¼ f 1 ðyÞ 2. Vertauschen von x und y: y ¼ f 1 ðxÞ
&
y = 2x
4
Bestimmung der Umkehrfunktion:
Diesen Operationen entspricht die Spiegelung des Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden y ¼ x.
y = e2
5
x
y 6
y ¼ f ðxÞ ¼ ex ; D ¼ R; W ¼ Rþ Umkehrfunktion: y ¼ f 1 ðxÞ ¼ ln x; D ¼ Rþ ; W ¼ R y ¼ f ðxÞ ¼ 2x ; D ¼ R; W ¼ Rþ Umkehrfunktion: y ¼ f 1 ðxÞ ¼ log2 x; D ¼ Rþ ; W ¼ R
Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. &
Beispiele fu¨r algebraische Funktionen: 1. 2. 3. 4.
y ¼ 3x2 þ 4 2x y¼ 3 x þ 2x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ 2x þ 3 3xy3 4xy þ x3 1 ¼ 0 (hier also p0 ðxÞ ¼ x3 1; p1 ðxÞ ¼ 4x; p2 ðxÞ ¼ 0; p3 ðxÞ ¼ 3x)
V Funktionen
81
Zu den transzendenten Funktionen geho¨ren zum Beispiel die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen und die trigonometrischen Funktionen. &
Beispiele fu¨r transzendente Funktionen: 1. 2. 3 4.
y ¼ ex y ¼ sin x y ¼ ln x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ln x þ sin x y¼ x2 þ 5
Die algebraischen Funktionen untergliedern sich in die rationalen Funktionen und in die irrationalen Funktionen. Eine rationale Funktion ist eine algebraische Funktion, fu¨r die die Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ als eine explizite Formel angegeben werden kann, in der auf die unabha¨ngige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt werden. Eine algebraische Funktion, die nicht rational ist, heißt irrational. &
Konstante Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Kubische Funktionen
&
Beispiele fu¨r ganze rationale Funktionen: 1. y ¼ 23x4 12x þ 4 11 23 12 x 11x17 12x9 px6 pffiffiffi x 2 2. y ¼ 12 5 3. y ¼ 1 3x þ x6 2x2 4. y ¼ 7 (konstante Funktion) 5. y ¼ 3x 4p (lineare Funktion) 6. y ¼ x2 x þ 1 (quadratische Funktion) 7. y ¼ 4x3 2x þ 5 (kubische Funktion)
Gebrochene rationale Funktionen sind Funktionen mit einer Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ, bei der f ðxÞ als Quotient zweier Polynome darstellbar ist. Sie besitzen also eine Darstellung folgender Form mit a0 ; a1 ; . . . ; an ; b0 ; b1 ; . . . ; bm 2 R; an ; bm 6¼ 0; m 6¼ 0. y¼
Beispiele fu¨r rationale Funktionen: 1 y ¼ 3x3 4 2x2 3x þ 5 2. y ¼ 3 x þ 3x2 2
&
Beispiele fu¨r irrationale Funktionen: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1. y ¼ 3x2 þ 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ffi 2. y ¼ 3 ðx2 þ 1Þ x
Fu¨r rationale Funktionen ist f ðxÞ ein Polynom (dann ist y ¼ f ðxÞ eine ganze rationale Funktion) oder ein Quotient aus Polynomen (dann heißt y ¼ f ðxÞ eine gebrochene rationale Funktion). Ganze rationale Funktionen lassen sich also darstellen in folgender Form mit a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an 1 ; an 2 R; an 6¼ 0; n 2 N. y ¼ an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 n P ¼ ak xk k¼0
Ist n der Grad des Polynoms, so nennt man die Funktion ganze rationale Funktion n-ten Grades. Bei ganzen rationalen Funktionen werden auf die unabha¨ngige Variable x nur die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation angewandt. Ganze rationale Funktionen vom Grad 0 (y ¼ a0 ) nennt man konstante Funktionen, vom Grad 1 (y ¼ a1 x þ a0 ) lineare Funktionen, vom Grad 2 (y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 ) quadratische Funktionen und vom Grad 3 (y ¼ a3 x3 þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ) kubische Funktionen.
an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 bm xm þ bm 1 xm 1 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 n P
1.
Bei irrationalen Funktionen tritt die unabha¨ngige Variable auch unter einem Wurzelzeichen auf.
y ¼ a0 y ¼ a1 x þ a0 y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 y ¼ a3 x3 þ a2 x2 þ a1 x þ a0
¼
i ¼0 m P k¼0
ai xi bk xk
Eine gebrochene rationale Funktion kann also immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden. Bei gebrochenen rationalen Funktionen werden auf die unabha¨ngige Variable x nur die Grundrechenarten (also die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Die Definitionsmenge einer gebrochenen rationalen Funktion besteht aus denjenigen reellen Zahlen, fu¨r die der Nenner nicht Null wird. Fu¨r n < m heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, fu¨r n m heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. Gebrochene rationale Funktionen mit n ¼ 1 und a1 x þ a0 , heißen gebrochene lineare m ¼ 1, also y ¼ b1 x þ b0 Funktionen. &
Beispiele fu¨r gebrochene rationale Funktionen: 2 y¼ x 1 x4 22x3 þ x2 12 3 2. y ¼ x5 11x3 þ x þ 1 2x 3. y ¼ 3 x 5x2 2x þ 1 2x þ 4 (gebrochene lineare Funktion) 4. y ¼ x3 x5 2 5. y ¼ 2 x þ1 1 x3 þ x2 þ 1 ¼ 6. y ¼ x2 þ x þ x x 1.
Bei den ersten drei Beispielen handelt es sich um echt gebrochene rationale Funktionen, bei den letzten drei Beispielen um unecht gebrochene rationale Funktionen.
82
Mathematik
Zusammenfassende bersicht u¨ber die elementaren Funktionen
4.2 Lineare Funktionen Funktionen mit einer Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ ¼ mx þ n ðm; n 2 R; m 6¼ 0Þ Eine lineare Funktion ist eine ganze rationale Funktion 1. Grades. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade (daher der Name lineare Funktion), und zwar die Gerade mit der Steigung m und dem Achsenabschnitt n auf der y-Achse (vgl. Abschnitt VII.2.1). Die Steigung m einer Geraden ist der „Ho¨henzuwachs“ (die Differenz der y-Werte) bei einem Schritt um 1 nach rechts. Der Achsenabschnitt n ist der y-Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet. Fu¨r m > 0 ist die Funktion streng monoton wachsend, fu¨r m < 0 ist sie streng monoton fallend. Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der ! n 0 , Schnittpunkt mit der y -Achse: x-Achse: Sx m Sy ð0 j nÞ.
4 Ganze rationale Funktionen 4.1 Konstante Funktionen
&
Funktionen mit einer Funktionsgleichung
Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse, und zwar im Abstand n. Im Fall n ¼ 0 ist die Gerade die x-Achse selbst. Die Geradengleichung der x-Achse ist also y ¼ 0. Um den Graph einer Funktion zu zeichnen, ist es sinnvoll, sich die Koordinaten von Punkten des Graphen in einer Wertetabelle aufzuschreiben. Da eine Gerade durch zwei auf ihr liegende Punkte festgelegt ist, reicht es im Prinzip, bei Geraden die Koordinaten von zwei Punkten zu berechnen.
0
1
y
2
2
2
0
2
4
1
2
3
4
y= 1 m= 2
1 x+2 2
1 1 n=2
–4 –3
–2
–1
0
1
2
x
3
Bild V-12 Graph der linearen Funktion 1 y¼ xþ2 2 Ist n ¼ 0, so nennt man die lineare Funktion y ¼ mx ðm 2 R; m 6¼ 0Þ auch Proportionalfunktion. Der Graph einer Proportionalfunktion ist eine Gerade durch den Koordinatenursprung, und zwar mit der Steigung m. Man nennt m auch den Proportionalita¨tsfaktor der y Gleichung, denn es gilt m ¼ : x
y=2 1 2
2
0
2
3 2
1
4
1
3
y
–3 –2 –1 0 –1
6
y
4
Wertetabelle: 1
x
y
Beispiel: Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ 2
x
1 xþ2 2
Wertetabelle:
y ¼ f ðxÞ ¼ n ðn 2 RÞ
&
Beispiel: Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼
3
x
&
Bild V-11 Graph der konstanten Funktion y ¼ 2
Beispiel: 1 Funktionsgleichung: y ¼ f ðxÞ ¼ x 2 Wertetabelle:
x
3
y
3 ¼ 1;5 2
2
1
1
1 ¼ 0;5 2
0
1
0
1 ¼ 0;5 2
2
3
1
3 ¼ 1;5 2
V Funktionen
83 Δs in km 2400
y 3 1 y= x 2
1 0,5
0 –3
–2
–1
1
2
3
4
1600 1200 800
x
400 0
–1 –2
Anwendungsbeispiele: 1. Hookesches Gesetz Funktionsgleichung: F ¼ c Dl (statt y ¼ mx) Dabei bedeuten: F Federkraft, c Federkonstante (Federrate, Federsteifigkeit), Dl La¨ngenvera¨nderung der Feder &
Beispiel (vgl. Abschnitt II.4): Welche Kraft F dehnt eine Feder um 4 cm, wenn die Kraft 3 N (Newton) eine Dehnung um 2 cm bewirkt? c¼
3N N ¼ 1;5 ; 2 cm cm
F in N 6
Bild V-15 Geschwindigkeit im Weg-ZeitDiagramm 3.
Gay-Lussacsches Gesetz Funktionsgleichung: V ¼ V0 ð1 þ gdÞ oder V ¼ V0 gd þ V0 (statt y ¼ mx þ n) Dabei bedeuten: V variables Gasvolumen, V0 Volumen derselben Gasmenge 1 konstanter Volumenausdehnungskoeffibei 0 C, g ¼ 273 zient, d Maßzahl der in C gemessenen variablen Temperatur Ein Vergleich mit der linearen Funktion ergibt: V ¼ y; V0 g ¼
&
Beispiel: Im Winderhitzer eines Hochofens werden stu¨ndlich 42 000 m3 Luft von 17 C auf 800 C erwa¨rmt. Wie groß ist das Volumen der vom Winderhitzer pro Stunde gelieferten erhitzten Luft?
1 1 ¼ 42 000 m3 1 1 þ gd1 17 1þ 273 ¼ 39 537;9310 . . . m3
V0 ¼ V1
4 3
Anschließend Berechnung des gesuchten V2 : 1 800 V2 ¼ V0 ð1 þ gd2 Þ ¼ 39 537; 9310 . . . m3 1 þ 273 ¼ 155 400 m3
2 1 0
c 1
2
–1
3
4
5
Antwort: Das Volumen betra¨gt 155 400 m3 .
Δl in cm
Wertetabelle:
Bild V-14 Hookesches Gesetz
u –273
Anmerkung: Es muß sichergestellt sein, daß sich die Werte im materialbedingten Gu¨ltigkeitsbereich des Hookeschen Gesetzes bewegen. Geschwindigkeit im Weg-Zeit-Diagramm Funktionsgleichung: Ds ¼ v Dt (statt y ¼ mx) Dabei bedeuten: Ds zuru¨ckgelegter Weg, v Geschwindigkeit, Dt abgelaufene Zeit &
V0 ¼ m; d ¼ x; V0 ¼ b 273
Lo¨sung: Die Gleichung V ¼ V0 ð1 þ gdÞ wird zweimal benutzt. Zuerst Berechnung von V0 :
F = cΔl
5
2.
Δt in 1000 s
Der Definitionsbereich ist gegeben durch die Bedingung 273 d < 1.
Dl ¼ 4 cm
Einsetzen in die Funktionsgleichung: N F ¼ 1;5 4 cm ¼ 6 N cm Antwort: Die Kraft 6 N bewirkt die Dehnung um 4 cm.
–1
v 1 2 3 4 5 6 7 8 910
Bild V-13 Graph der Proportionalfunktion 1 y¼ x 2 &
Δs = vΔt
2000
2
0 100 200 273
V
0
V0 373 V 273 0 473 V 273 0
V in m3 100V0g = 100 V0 273
2 V0 100
Beispiel (vgl. Abschnitt II.4): 1 Stunden, wenn es Wie weit kommt ein Flugzeug in 2 2 10 km in 45 s zuru¨cklegt? v¼
10 000 m m ¼ 222;2 ; 45 s s
Dt ¼ 2;5 h
3600 s ¼ 9000 s h
Einsetzen in die Funktionsgleichung: Ds ¼
V0 V= V0(1 + gu)
10 000 m 9000 s ¼ 2000 km 45 s
Antwort: Das Flugzeug fliegt 2000 km weit.
–273
0
100
Bild V-16 Gay-Lussacsches Gesetz
200 u in °C
84
Mathematik
4.3 Quadratische Funktionen Funktionen mit einer Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 ða2 ; a1 ; a0 2 R; a2 6¼ 0Þ Eine quadratische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 2. Grades. Der Graph jeder quadratischen Funktion ist eine Parabel (vgl. auch Abschnitt VII.5.3). Fu¨r spezielle Koeffizienten a2 ; a1 ; a0 in der Funktionsgleichung erha¨lt man spezielle Parabeln. Normalparabel Mit den Koeffizienten a2 ¼ 1; a1 ¼ 0; a0 ¼ 0 in der Gleichung y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 der quadratischen Funktion erha¨lt man die Gleichung y ¼ x2 der Normalparabel. y ¼ x2
Normalparabel
Der Punkt ð0 j 0Þ, also der Koordinatenursprung, ist der Scheitelpunkt der Normalparabel. Die Normalparabel ist symmetrisch zur y-Achse und nach oben geo¨ffnet. Der Definitionsbereich ist D ¼ R, der Wertebereich ist W ¼ R, und die Bildmenge f ðDÞ ist die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: f ðDÞ ¼ Rþ 0 ¼ Rþ [ f0g. y 9
Durch quadratische Erga¨nzung erha¨lt man y a0 a 2 a 2 a21 1 1 2 ¼ þ ¼ x þ a1 x þ , woraus y a0 2 4 2a 2 1 folgt. xþ 2 Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist 0. Der kleinste y-Wert ergibt sich, wenn beide a2 Gleichungsseiten gleich 0 sind, also fu¨r y ¼ a0 1 . 4 Dies ist der Wert der Ordinate des Scheitelpunkts. a1 gleich Die rechte Gleichungsseite wird fu¨r x ¼ 2 0, dem Wert der Abszisse des Scheitelpunkts. Man erha¨lt somit als Scheitelpunkt der verschobenen Normalparabel SðxS j yS Þ ¼ S
! a1 a2 a0 1 2 4
Berechnung des Schnittpunkts Sy der verschobenen Normalparabel mit der y-Achse: Die Ordinate des Schnittpunkts mit der y-Achse ergibt sich, wenn man in der Funktionsgleichung x ¼ 0 setzt: y ¼ 0 þ 0 þ a0 ¼ a0 . Somit ist Sy ¼ Sy ð0 j a0 Þ. Berechnung der Schnittpunkte Sx1 und Sx2 der verschobenen Normalparabel mit der x-Achse: Die Abszissen der Schnittpunkte mit der x-Achse erha¨lt man, wenn man in der Funktionsgleichung y ¼ 0 setzt: 0 ¼ x2 þ a1 x þ a0 . Dies ist eine quadratische Gleichung in x, deren Nullstellen bestimmt werden mu¨ssen: x1; 2 ¼
a1 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi a 2 1 a0 : 2
8
Die Schnittpunkte mit der x-Achse lauten also:
7 6
0
y = x2
5
a1 Sx1 ¼ Sx1 @ þ 2
4 3
0
2 1 –3 –2 –1
0 1
2
3
x
Bild V-17 Normalparabel
Verschobene Normalparabel Mit a2 ¼ 1 und beliebigen Werten fu¨r a1 und a0 (aber nicht beide gleich 0) in y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 ergibt sich die Gleichung y ¼ x2 þ a1 x þ a0 einer verschobenen Normalparabel. Verschobene Normalparabel
y ¼ x2 þ a1 x þ a0
Eine verschobene Normalparabel hat dieselbe Form wie die Normalparabel, der Scheitelpunkt liegt jedoch nicht im Koordinatenursprung. Berechnung des Scheitelpunkts S der verschobenen Normalparabel mit der Gleichung y ¼ x2 þ a1 x þ a0 : Subtraktion von a0 ergibt y a0 ¼ x2 þ a1 x.
a1 Sx2 ¼ Sx2 @ 2
&
sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a21 a0 0A; 4 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a21 a0 0A 4
Beispiele: 1.
y ¼ x2 x 1 (also a1 ¼ 1 und a0 ¼ 1) a21 ð1Þ2 1 ¼ ¼ ergibt sich 4 4 4 ! 1 1 ¼S Scheitelpunkt: S ¼ S 1 2 4
Wegen
1 2
! 5 4
Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy ¼ Sy ð0 j 1Þ Schnittpunkte mit der x-Achse: rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! 1 1 Sx1 ¼ Sx1 þ þ 1 0 ¼ Sx1 2 4
! pffiffiffi 1 ð1 þ 5Þ 0 2
¼ Sx1 ð1;6180 . . . j 0Þ ; Sx2 ¼ Sx2
1 2
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! 1 þ 1 0 ¼ Sx2 4
¼ Sx2 ð0; 6180 . . . j 0Þ
! pffiffiffi 1 ð1 5Þ 0 2
V Funktionen
85
y 8
–3
–2
–1
0
1
2
3 x
7
–1
6
–2
5 –3
4
y = x2 – x – 1
3
–4
2
–5
1 S x2
–6
S x1
–3 –2 –1 0 S 1 y –1 S –2
y = –x2
2
4 x
3
–7 –8 y
Bild V-18 Verschobene Normalparabel 2.
y ¼ x2 4x (also a1 ¼ 4 und a0 ¼ 0) a2 ð4Þ2 Es ergibt sich 1 ¼ ¼ 4. Damit berechnet man den 4 4 Scheitelpunkt: ! 4 S¼S 4 ¼ Sð2 j 4Þ 2 Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy ¼ Sy ð0 j 0Þ Schnittpunktep mit der x-Achse: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Sx1 ¼ Sx1 ð2 þ 4 0 j 0Þ ¼ Sx1 ð4 j 0Þ; Sx2 ¼ Sx2 ð2 2 j 0Þ ¼ Sx2 ð0 j 0Þ Die Parabel geht durch den Koordinatenursprung, deshalb fa¨llt der Schnittpunkt mit der y-Achse mit dem einen Schnittpunkt mit der x-Achse zusammen.
y 6 5 4 3
y = x2 – 4 x
2 1
S x2 = S y –2 –1 0 –1
1
S x1 2
3
4
5
6
x
–2 –3 –4
Bild V-19 Verschobene Normalparabel Gespiegelte Normalparabel Mit den Koeffizienten a2 ¼ 1; a1 ¼ 0; a0 ¼ 0 in y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 ergibt sich die Gleichung y ¼ x2 der gespiegelten Normalparabel. Gespiegelte Normalparabel
y ¼ x2
Die gespiegelte Normalparabel entsteht aus der Normalparabel durch Spiegelung an der x-Achse. Der Punkt ð0 j 0Þ ist der Scheitelpunkt der gespiegelten Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse und nach unten geo¨ffnet.
Bild V-20 Gespiegelte Normalparabel Gespiegelte verschobene Normalparabel Mit a2 ¼ 1 und beliebigen Werten fu¨r a1 und a0 (aber nicht beide gleich 0) ergibt sich die Gleichung y ¼ x2 þ a1 x þ a0 einer gespiegelten verschobenen Normalparabel. Gespiegelte verschobene Normalparabel y ¼ x2 þ a1 x þ a0 Berechnung des Scheitelpunkts S: Subtraktion von a0 : y a0 ¼ x2 þ a1 x a 2 1 : Subtraktion von 2 a 2 a 2 1 1 ¼ x2 þ a1 x y a0 2 2 Zusammenfassen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und Ausklammern von 1 auf der rechten Seite: a 2 a 2 1 1 ¼ x2 a1 x þ y a0 þ 2 2 Anwenden der zweiten binomischen Formel auf der rechten Seite: a2 a1 2 y a0 þ 1 ¼ x 4 2 Die rechte Gleichungsseite und damit auch die linke ist 0. Der gro¨ßte y-Wert ergibt sich, wenn beide a2 Gleichungsseiten gleich 0 sind, also fu¨r y ¼ a0 þ 1 . 4 Dies ist der Wert der Ordinate des Scheitelpunkts. a1 gleich 0, Die rechte Gleichungsseite wird fu¨r x ¼ 2 dem Wert der Abszisse des Scheitelpunkts. Somit ergibt sich fu¨r den Scheitelpunkt der gespiegelten verschobenen Normalparabel ! a2 a1 SðxS j yS Þ ¼ S a0 þ 1 2 4 Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse: Durch Einsetzen von x ¼ 0 in die Funktionsgleichung erha¨lt man y ¼ a0 als Ordinate des Schnittpunkts und als Schnittpunkt somit Sy ¼ Sy ð0 j a0 Þ.
86
Mathematik
Berechnung der Schnittpunkte Sx1 und Sx2 mit der x-Achse: Durch Einsetzen von y ¼ 0 in die Funktionsgleichung ergibt sich 0 ¼ x2 þ a1 x þ a0 und nach Multiplikation der Gleichung mit 1 die quadra2 tische Gleichungrxffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a1 x ffi a0 ¼ 0, die die Lo¨suna 2 a1 1 þa0 hat. Die Schnittpunkte gen x1; 2 ¼ 2 2 mit der x-Achse lauten somit: 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a21 a 1 þ a0 0A ; Sx1 ¼ Sx1 @ þ 2 4 0 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a21 a 1 Sx2 ¼ Sx2 @ þ a0 0A 2 4 &
Beispiel: 3. y ¼ x2 4x þ 3 (also a1 ¼ 4 und a0 ¼ 3) a2 ð4Þ2 ¼4 Man berechnet 1 ¼ 4 4 Scheitelpunkt: S ¼ Sð2 j 3 þ 4Þ ¼ Sð2 j 7Þ Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy ¼ Sy ð0 j 3Þ Schnittpunkte mit der x-Achse: pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Sx1 ¼ Sx1ð2 þ 4 þ 3 j 0Þ ¼ Sx1ð2 þ 7 j 0Þ ¼ Sx1ð0;6457p. ffiffi.ffi. j 0Þ, Sx2 ¼ Sx2ð2 7 j 0Þ ¼ Sx2ð4;6457 . . . j 0Þ
y S
7 6
Ausklammern auf der rechten Seite: von a2 a1 2 y a0 ¼ a2 x þ x a2 Quadratische Erga¨nzung in der Klammer auf der a2 rechten Seite, also Addition von 1 auf beiden Sei4a2 ten der Gleichung: ! a21 a1 a1 2 2 y a0 þ ¼ a2 x þ x þ 4a2 a2 2a2 Anwenden der ersten binomischen Formel auf der rechten Seite: a2 a1 2 y a0 1 ¼ a2 x þ 4a2 2a2 Hieraus liest man die Koordinaten des Scheitelpunkts ab, na¨mlich diejenigen Werte fu¨r x und y, fu¨r die beide Seiten der Gleichung gleich 0 werden: a1 a2 ; yS ¼ a0 1 2a2 4a2 Scheitelpunkt S der Parabel: ! a1 a21 SðxS j yS Þ ¼ S a0 2a2 4a2 xS ¼
Man nennt die Gleichung y yS ¼ a2 ðx xS Þ2 Scheitelform der quadratischen Funktion, wohingegen y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 Normalform der quadratischen Funktion heißt. Scheitelform der quadratischen Funktion
5 4
y yS ¼ a2 ðx xS Þ2
3 Sy
y= –x2–4x + 3 2
1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 S x1 S x2 –1
2 x
–2
Bild V-21 Gespiegelte verschobene Normalparabel Allgemeiner Fall Parabel
y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0
Fu¨r a2 > 0 ist die Parabel nach oben, fu¨r a2 < 0 nach unten geo¨ffnet. Fu¨r ja2 j > 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt und fu¨r ja2 j < 1 gestaucht. Man nennt ja2 j deshalb den Streckungsfaktor der Parabel. Eine nderung des Koeffizienten a1 bewirkt eine Verschiebung der Parabel in x-Richtung, eine nderung von a0 bewirkt eine Verschiebung in y-Richtung. Berechnung des Scheitelpunkts S: Subtraktion von a0 : y a0 ¼ a2 x2 þ a1 x
Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse: Setzt man in der Funktionsgleichung x ¼ 0 ein, so erha¨lt man y ¼ a0 als Ordinate des Schnittpunkts Sy und als Schnittpunkt somit Sy ¼ Sy ð0 j a0 Þ. Der Wert D ¼ a21 4a2 a0 heißt Diskriminante der quadratischen Funktion y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 . Gilt D > 0, so hat die zugeho¨rige Parabel zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Fu¨r D ¼ 0 gibt es einen Schnittpunkt (der Schnittpunkt ist dann ein Beru¨hrpunkt). Fu¨r D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse. Berechnung des Schnittpunkts (fu¨r D ¼ 0) bzw. der Schnittpunkte (fu¨r D > 0) der Parabel mit der x-Achse: Durch Einsetzen von y ¼ 0 in die Funktionsgleichung y ¼ a2 x2 þ a1 x þ a0 erha¨lt man die quadratische Gleichung a2 x2 þ a1 x þ a0 ¼ 0, die die Lo¨sun qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a1 a21 4a2 a0 hat. Daraus gen x1; 2 ¼ 2a2 ergeben sich die Schnittpunkte mit der x-Achse: ! qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 a1 þ a1 4a2 a0 0 ; Sx1 2a2 ! qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 a1 a21 4a2 a0 0 : Sx2 2a2
V Funktionen &
87
Beispiele: 4. y ¼ 4x2 (also a2 ¼ 4; a1 ¼ a0 ¼ 0) Wegen ja2 j ¼ j4j ¼ 4 > 1 ist die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt, und wegen a2 ¼ 4 > 0 ist die Parabel nach oben geo¨ffnet. Aus a1 ¼ a0 ¼ 0 folgt S ¼ Sð0 j 0Þ und S ¼ Sx ¼ Sy .
4.4 Kubische Funktionen Funktionen mit einer Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ ¼ a3 x3 þ a2 x2 þ a1 x þ a0 ða3 ; a2 ; a1 ; a0 2 R; a3 6¼ 0Þ
y
8 7 6 y =4x2
5 4 3 2 1
–2
0
–1
1
2
x
Bild V-22 Parabel 5.
y ¼ 3x2 þ 1;2x 1;5 (also a2 ¼ 3; a1 ¼ 1;2; a0 ¼ 1;5) Aus ja2 j ¼ j3j ¼ 3 > 1 folgt, daß die Parabel im Vergleich zur Normalparabel gestreckt ist. Wegen a2 ¼ 3 < 0 ist die Parabel nach unten geo¨ffnet. Berechnung des Scheitelpunkts S: ! 1;2 ð1;2Þ2 SðxS j yS Þ ¼ S 1;5 2 ð3Þ 4 ð3Þ ! 1;2 1;44 ¼S 1;5 þ 6 12 ¼ Sð0;2 j 1;5 þ 0;12Þ ¼ Sð0;2 j 1;38Þ Scheitelform der Parabelgleichung: y þ 1;38 ¼ 3ðx 0;2Þ2 Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse: Sy ¼ Sy ð0 j 1;5Þ
Eine kubische Funktion ist eine ganze rationale Funktion 3. Grades. Der Graph einer kubischen Funktion ist eine kubische Parabel. Das Verhalten der Funktion ha¨ngt wesentlich von dem Koeffizienten a3 und der Diskriminante D ¼ 3a3 a1 a22 ab. Wenn D 0 ist, dann ist die Funktion fu¨r a3 > 0 monoton wachsend und fu¨r a3 < 0 monoton fallend (vgl. Abschnitt V.2.1). Fu¨r D < 0 besitzt die Funktion ein Maximum und ein Minimum (siehe Abschnitt VIII.4.10). Fu¨r a3 > 0 ist die Funktion dann von 1 bis zum Maximum monoton wachsend, monoton fallend vom Maximum bis zum Minimum und danach bis þ1 wieder monoton wachsend. Fu¨r a3 < 0 (und D < 0) ist die Funktion von 1 bis zum Minimum monoton fallend, vom Minimum bis zum Maximum monoton wachsend und danach bis þ1 wieder monoton fallend. Es gibt ein, zwei (dann ist ein Schnittpunkt ein Beru¨hrpunkt) oder drei Schnittpunkte mit der x-Achse (abha¨ngig von den Koeffizienten a3 ; a2 ; a1 ; a0 ). Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist Sy ð0 j a0 Þ. Spezialfa¨lle: Kubische Normalparabel Mit den Koeffizienten a3 ¼ 1; a2 ¼ 0; a1 ¼ 0; a0 ¼ 0 ergibt sich die kubische Normalparabel y ¼ x3 . Sie schneidet sowohl die x- als auch die y-Achse im Ursprung. Kubische Normalparabel
y ¼ x3
Berechnung der Diskriminante D: D ¼ a21 4a2 a0 ¼ ð1;2Þ2 4 ð3Þ ð1;5Þ ¼ 16;56. Wegen D < 0 gibt es keinen Schnittpunkt mit der x-Achse.
y 1 –2
–1 Sy
0
1 –1 S
2
3
x
–2
Gespiegelte kubische Normalparabel Mit den Koeffizienten a3 ¼ 1; a2 ¼ 0; a1 ¼ 0; a0 ¼ 0 erha¨lt man die gespiegelte kubische Normalparabel y ¼ x3 . Gespiegelte kubische Normalparabel &
Beispiele: 1.
y ¼ x3
–4
2.
y¼
–5
3.
y¼
–3
–6
Bild V-23 Parabel
y = –3x 2 + 1,2x – 1,5
1 3 x 2
1 3 x x 4
y ¼ x3
88
Mathematik Dabei bedeutet zum Beispiel x ! 1, daß x sich 1 na¨hert. Ist von den Koeffizienten in der Funktionsgleichung nur an 6¼ 0, gilt also a0 ¼ a1 ¼ a2 ¼ . . . ¼ an 2 ¼ an 1 ¼ 0, dann nennt man die Funktion Potenzfunktion.
y
y = x3
1
Potenzfunktionen –1
–2
0
2 x
1
ðn 2 N*; an 2 R; an 6¼ 0Þ
y ¼ an xn –1 1
–1
–2
0
1
–1 1
2 x y = – 1 x3 2
S x3
S x2
–1
–2
0
1
2 x y = 1 x3 – x 4
–1
Bild V-24 Graphen der kubischen Funktionen 1 1 y ¼ x3 , y ¼ x3 und y ¼ x3 x 2 4
4.5 Ganze rationale Funktionen n-ten Grades
Die Graphen der Potenzfunktionen heißen fu¨r n 2 Parabeln n-ter Ordnung. Der Definitionsbereich der Potenzfunktionen ist D ¼ R. Fu¨r die Bildmenge gilt f ðDÞ ¼ fz j z 2 R; z 0g fu¨r gerade n 2 und an > 0, f ðDÞ ¼ fz j z 2 R; z 0g fu¨r gerade n 2 und an < 0 und f ðDÞ ¼ R fu¨r ungerade n. Die Kurve der Funktion y ¼ axn ist im Vergleich zur Kurve der Funktion y ¼ xn fu¨r jaj < 1 gestaucht, fu¨r jaj > 1 gestreckt und fu¨r a < 0 an der x-Achse gespiegelt. &
Beispiele: 1. y ¼ x2 und y ¼ x4 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 2. bzw. 4. Ordnung.
y 6
Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0 ; a1 ; a2 ; . . . ; an 1 ; an 2 R; an 6¼ 0; n 2 N. y ¼ an x þ an 1 x n P ¼ ak xk n
n1
y = x4 y = x2
5
þ . . . þ a2 x þ a1 x þ a0
4
2
3 2
k¼0
1
Die rechte Seite der Gleichung heißt auch Polynom n-ten Grades. Der Graph einer ganzen rationalen Funktion n-ten Grades ist eine zusammenha¨ngende Kurve, die von links aus dem Unendlichen kommt und nach rechts im Unendlichen verschwindet. Dabei ha¨ngt der Kurvenverlauf ganz wesentlich vom Grad n der Funktion und vom Vorzeichen von an ab. Es gilt:
0 1
–3 –2 –1
Bild V-25 Parabeln 2. und 4. Ordnung 2.
y ¼ x3 und y ¼ x5 Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln 3. bzw. 5. Ordnung.
n gerade ðn ¼ 2; 4; 6; . . .Þ und an > 0 : x ! 1 ) y ! þ1 x ! þ1 ) y ! þ1
y 4
n gerade ðn ¼ 2; 4; 6; . . .Þ und an < 0 : x ! 1 ) y ! 1 x ! þ1 ) y ! 1
2
n ungerade ðn ¼ 1; 3; 5; . . .Þ und an > 0 : x ! 1 ) y ! 1 x ! þ1 ) y ! þ1 n ungerade ðn ¼ 1; 3; 5; . . .Þ und an < 0 : x ! 1 ) y ! þ1 x ! þ1 ) y ! 1
3 x
2
y = x5
3
y = x3
1 –2
–1
0 –1
1
2
x
–2 –3 –4
Bild V-26 Parabeln 3. und 5. Ordnung
V Funktionen 3.
89
1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x þ x x x þ x þ x 100 100 100 20 25 25 25 Das Polynom der rechten Seite la¨ßt sich umformen: 1 6 1 5 17 4 1 3 16 2 1 12 x þ x x x þ x þ x 100 100 100 20 25 25 25 1 2 2 2 ¼ ðx 1Þ ðx 4Þ ðx þ x 12Þ 100 Da ein Produkt genau dann gleich 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich 0 ist, erha¨lt man als Nullstellen der gegebenen Funktion die Lo¨sungen der drei quadratischen Gleichungen x2 1 ¼ 0, x2 4 ¼ 0 und x2 þ x 12 ¼ 0: x1 ¼ 1; x2 ¼ 1; x3 ¼ 2; x4 ¼ 2; x5 ¼ 3; x6 ¼ 4 Die Nullstellen sind die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse. Weil eine algebraische Gleichung n-ten Grades ho¨chstens n reelle Wurzeln besitzt, hat die Kurve fu¨r den gegebenen Grad die Ho¨chstzahl an Schnittpunkten mit der x-Achse, na¨mlich n ¼ 6. 1 > 0 und n ¼ 6 geradzahlig ist, kommt die Kurve Da an ¼ 100 von links aus dem Positiv-Unendlichen und geht nach rechts ins Positiv-Unendliche. Zur Berechnung des Schnittpunkts Sy mit der y-Achse setzt 12 man in der Funktionsgleichung x ¼ 0 ein und erha¨lt y ¼ 25 als Ordinate des Schnittpunkts und damit als Schnittpunkt mit der y-Achse: ! 12 Sy ¼ Sy 0 25 y¼
y
1
S x2 S x1 S x3 –2 –1 0 1 2 –1
S x4 –3
S x5 3
x
–2
Bild V-27 Graph der Funktion zu der Gleichung aus Beispiel 3
Das Horner-Schema ist ein Verfahren zur Berechnung von Funktionswerten ganzer rationaler Funktionen. Ist eine Funktion f ðxÞ ¼ an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 n P þ a1 x þ a0 ¼ ak xk gegeben und der Funktionsk¼0
wert an der Stelle x0 gesucht, so dividiert man das n P Polynom ak xk durch ðx x0 Þ: k¼0
n1
ðan x þ an 1 x
an 1 an x0
an 2 c1 x0
... ...
a1 cn 2 x0
a0 cn 1 x0
an
c1
c2
...
cn 1
cn
Beispiel: f ðxÞ ¼ 2x4 8x3 þ 2x2 þ 28x 48 Gesucht ist f ð3Þ, also der Funktionswert an der Stelle x0 ¼ 3. Horner-Schema: 2
þ
8 2 6 42 ð¼ 2 ð3ÞÞ ð¼ ð14Þ ð3ÞÞ 14
2
28 48 132 312 ð¼ 44 ð3ÞÞ ð¼ ð104Þ ð3ÞÞ
44
104
264
Es gilt also f ð3Þ ¼ 264.
Funktionen mit einer Funktionsgleichung folgender Art, wobei a0 ; a1 ; . . . ; an ; b0 ; b1 ; . . . ; bm 2 R; an ; bm 6¼ 0; m 6¼ 0, heißen gebrochene rationale Funktionen. y¼
¼
4.6 Horner-Schema
þ . . . þ a2 x þ a1 x þ a0 Þ : ðx x0 Þ cn . x x0 Fu¨r die Koeffizienten ci gilt c1 ¼ an x0 þ an 1 und ci ¼ ci 1 x0 þ an i fu¨r i ¼ 2; 3; . . . ; n. Damit kann die Funktion f ðxÞ auch durch die Gleichung f ðxÞ ¼ ðan xn 1 þ c1 xn 2 þ . . . þ cn 2 x þ cn 1 Þ ðx x0 Þ þ cn beschrieben werden. Fu¨r x ¼ x0 ergibt sich dann f ðx0 Þ ¼ cn . Die Berechnung des Funktionswertes f ðx0 Þ ist somit auf die Berechnung der Konstante cn zuru¨ckgefu¨hrt worden, die man in n Schritten durch einander folgende Berechnung von c1 ; c2 ; . . . ; cn ern
&
an
5.1 Nullstellen, Pole, Asymptoten
2
S x6
þ
5 Gebrochene rationale Funktionen
3
–4
mittelt. Man berechnet zuerst c1 aus c1 ¼ an x0 þ an 1 , dann c2 aus c2 ¼ c1 x0 þ an 2 und so weiter und schließlich cn aus cn ¼ cn 1 x0 þ a0. Dieses Verfahren nennt man Horner-Schema (nach dem englischen Mathematiker William George Horner, 1786––1837). Es la¨ßt sich folgendermaßen schematisch darstellen:
2
¼ an xn 1 þ c1 xn 2 þ . . . þ cn 2 x þ cn 1 þ
an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 bm xm þ bm 1 xm 1 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 n P ai xi i¼0
m P
k¼0
bk xk
Eine gebrochene rationale Funktion y ¼ f ðxÞ kann immer als Quotient zweier ganzer rationaler Funktionen dargestellt werden (sowohl Za¨hler als auch Nenner sind Polynome in x). Gebrochene rationale Funktionen
y¼
Pn ðxÞ Pm ðxÞ
Eine gebrochene rationale Funktion ist nicht fu¨r alle x definiert. Die Nullstellen des Nenners geho¨ren nicht zum Definitionsbereich der Funktion. Ist der Grad des Nennerpolynoms gro¨ßer als der Grad des Za¨hlerpolynoms (n < m), dann heißt die Funktion echt gebrochene rationale Funktion, andernfalls (also fu¨r n m) heißt sie unecht gebrochene rationale Funktion. Gebrochene rationale Funktionen, bei denen sowohl das Za¨hlerpolynom als auch das Nennerpolynom
90
Mathematik
den Grad 1 haben (also n ¼ 1 und m ¼ 1), heißen gebrochene lineare Funktionen. Gebrochene lineare Funktionen
y¼
a1 x þ a0 b1 x þ b0
Die Graphen der gebrochenen rationalen Funktioa nen y ¼ n ; n 2 N; n 1; a 2 R; a 6¼ 0 heißen Hyx perbeln n-ter Ordnung (zu Hyperbeln vgl. auch Abschnitt VII.5.2). Durch Polynomdivision la¨ßt sich jede unecht gebrochene rationale Funktion y ¼ f ðxÞ darstellen als Summe einer ganzen rationalen Funktion gðxÞ und einer echt gebrochenen rationalen Funktion hðxÞ: y ¼ f ðxÞ ¼ gðxÞ þ hðxÞ. &
Beispiel: 1.
2x4 þ 3x3 þ 5x2 4x þ 1 77x 29 ¼ 2x2 þ 9x þ 30 þ 2 x2 3x þ 1 x 3x þ 1
Pn ðxÞ PðxÞ , ¼ Pm ðxÞ QðxÞ wenn an der Stelle x ¼ x0 der Za¨hler Null ist und der Nenner von Null verschieden, also Pðx0 Þ ¼ 0; Qðx0 Þ ¼ 6 0. x0 ist eine Nullstelle von y ¼ f ðxÞ ¼
Eine Stelle x ¼ xp heißt ein Pol der Funktion PðxÞ , wenn xp eine Nullstelle des Nenners QðxÞ y¼ QðxÞ ist und der Za¨hler PðxÞ an der Stelle xp von Null 6 0. Ist x ¼ xp verschieden ist, also Qðxp Þ ¼ 0; Pðxp Þ ¼ eine k-fache Nullstelle des Nenners QðxÞ und gilt 6 0, dann heißt xp ein Pol k-ter Ordnung von Pðxp Þ ¼ PðxÞ . y¼ QðxÞ Zwei Polynome PðxÞ und QðxÞ heißen teilerfremd, wenn alle ihre Nullstellen verschieden sind. Gilt also fu¨r eine Stelle x ¼ x1, daß Pðx1 Þ ¼ 0, so folgt Qðx1 Þ ¼ 6 0, und gilt umgekehrt fu¨r eine Stelle x ¼ x2, daß Qðx2 Þ ¼ 0, so folgt Pðx2 Þ ¼ 6 0. Jede gebrochene rationale Funktion la¨ßt sich als Quotient zweier teilerfremder Polynome darstellen. y¼
PðxÞ ; QðxÞ
y
x
Bild V-28 Funktionsverlauf bei Polen ungerader Ordnung
y
x
PðxÞ und QðxÞ teilerfremd
Eine solche Darstellung heißt Normalform der gebrochenen rationalen Funktion. Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion in Normalform sind die Nullstellen des Za¨hlerpolynoms PðxÞ. Ist x ¼ xp ein Pol k-ter Ordnung der Funktion PðxÞ mit teilerfremden PðxÞ und QðxÞ, dann y¼ QðxÞ la¨ßt sich die Funktion in der Na¨he des Pols darstellen durch y¼
Dabei haben weder PðxÞ noch Q1 ðxÞ in der Na¨he von x ¼ xp eine Nullstelle, sie a¨ndern also ihr Vorzeichen nicht. Ihr Quotient hat deshalb einen von Null verschiedenen, beschra¨nkten positiven oder ne1 gativen Wert. Die Funktion wa¨chst aber, ðx xp Þk wenn sich x dem Pol xp na¨hert, u¨ber alle Grenzen. Na¨hert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), so ist x xp negativ. Fu¨r ungerade k 1 (k ¼ 1; 3; 5; . . .) geht dann gegen 1, fu¨r ðx xp Þk gerade k (k ¼ 2; 4; 6; . . .) dagegen gegen þ1. Na¨hert man sich dem Pol mit abnehmenden x-Wer1 geht ten (also x > xp ), so ist x xp positiv, ðx xp Þk dann also stets gegen þ1. PðxÞ Fu¨r negative Werte des Faktors dreht sich das Q1 ðxÞ Vorzeichen der Funktion y ¼ f ðxÞ um.
PðxÞ 1 PðxÞ ¼ : QðxÞ ðx xp Þk Q1 ðxÞ
Bild V-29 Funktionsverlauf bei Polen gerader Ordnung Die Gerade x ¼ xp heißt Asymptote der gebrochenen rationalen Funktion y ¼ f ðxÞ. Asymptoten einer Funktion sind Geraden, denen sich der Graph der Funktion unbeschra¨nkt na¨hert, ohne sie je zu erreichen (Asymptote ¼ Nichtzusammenlaufende). Das Verhalten einer gebrochenen rationalen FunkPn ðxÞ im Unendlichen: tion y ¼ f ðxÞ ¼ Pm ðxÞ Ist y ¼ f ðxÞ eine echt gebrochene rationale Funktion, gilt also n < m, dann ist die x-Achse (Gerade mit der Gleichung y ¼ 0) eine Asymptote.
V Funktionen
91 Die Stelle x ¼ 0 ist ein Pol zweiter Ordnung. Na¨hert man sich dem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < 0) oder mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), dann geht y gegen þ1. Die Geraden x ¼ 0 (y-Achse) und y ¼ 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion.
Im Falle n ¼ m ist die zur x-Achse parallele Gerade an eine Asymptote. bm Ist n > m, so gilt y ¼ f ðxÞ ¼ gðxÞ þ hðxÞ, wobei gðxÞ eine ganze rationale Funktion und hðxÞ eine echt
mit der Gleichung y ¼
Wertetabelle:
x
4
3
2
1
0,5
y
0,06
0,11
0,25
1
4
0,25
1
0,1
16
100
2
1
3
0,25
4
0,11
0,06
Die y -Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
gebrochene rationale Funktion sind. Die Funktion y ¼ f ðxÞ verha¨lt sich dann im Unendlichen wie die rationale Funktion y ¼ gðxÞ.
y &
Beispiele: 1 2. y ¼ x Zum Definitionsbereich geho¨ren alle x außer x ¼ 0. 1 1 Wegen f ðxÞ ¼ ¼ ¼ f ðxÞ ist die Funktion ungerax x de, der Graph der Funktion ist also symmetrisch zum Nullpunkt (Koordinatenursprung). Die Funktion hat keine Nullstelle, denn der Za¨hler ist stets von Null verschieden (PðxÞ ¼ 1). Die Stelle x ¼ 0 ist ein Pol erster Ordnung der Funktion. Na¨hert man sich diesem Pol mit wachsenden x-Werten (also x < 0), dann geht y gegen 1. Na¨hert man sich dem Pol dagegen mit abnehmenden x-Werten (also x > 0), so geht y gegen þ1. Die Geraden x ¼ 0 (y-Achse) und y ¼ 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel.
4 3 2 1
–4
4
3
2
y
0;25 0;33 0;50
4.
0;1
0;01
1
2
3
4
1
2
4
10
100
1
0;50
0;33
0,25
1 –2
–1 0
1
2
3
4
x
–1 –2 –3
Bild V-30 Graph der Funktion mit der Gleichung 1 y¼ x 3.
1 y¼ 2 x Die Funktion ist definiert fu¨r alle x 6¼ 0. 1 1 ¼ ¼ f ðxÞ; die Funktion ist also geðxÞ2 x2 rade, ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.
Es gilt f ðxÞ ¼
Da der Za¨hler konstant gleich 1 ist, besitzt die Funktion keine Nullstellen.
1
2
3
4
x
1 x2 1 Die Funktion ist definiert fu¨r alle x, fu¨r die der Nenner ungleich 0 ist.
0;25
2
0
y¼
0;5
3
–3
–1
1
y
–4
–2
Bild V-31 Graph der Funktion mit der Gleichung 1 y¼ 2 x
Wertetabelle (y-Werte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet):
x
–3
Die Nullstellen des Nenners berechnet man, indem man den Nenner (das Nennerpolynom) gleich Null setzt: x2 1 ¼ 0: Diese quadratische Gleichung hat die Lo¨sungen x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1. 1 1 ¼ ¼ f ðxÞ ist die Funktion Wegen f ðxÞ ¼ ðxÞ2 1 x2 1 gerade, der Graph der Funktion ist also symmetrisch zur y-Achse. Die Funktion hat keine Nullstellen (Schnittpunkte mit der x-Achse), denn der Za¨hler ist fu¨r alle x des Definitionsbereiches von Null verschieden. Die Stellen x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1 sind Pole erster Ordnung der Funktion. Na¨hert man sich dem Pol x2 mit wachsenden x-Werten (also PðxÞ 1 in der Zerlegung ¼ x < 1), dann ist der Faktor Q1 ðxÞ x1 der Funktion y¼
PðxÞ 1 PðxÞ 1 1 ¼ ¼ QðxÞ x x2 Q1ðxÞ x ð1Þ x 1
negativ, das heißt, y geht gegen þ1. Na¨hert man sich entsprechend dem Pol x2 mit abnehmenden x-Werten (also x > 1) oder dem Pol x1 mit wachsenden x-Werten (also x < 1), so geht y gegen 1. Na¨hert man sich dagegen x1 mit abnehmenden x-Werten (also x > 1), so geht y gegen þ1. Die Geraden x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1 sowie y ¼ 0 (x-Achse) sind Asymptoten der Funktion. Funktionswerte fu¨r 1 < y 0 gibt es nicht, da der Nenner nicht kleiner als 1 werden kann.
92
Mathematik Wertetabelle (y-Werte auf drei Stellen nach dem Komma gerundet): x
3
y
2
0,125
1,5
0,333
1,1
0,800
4,762
0,9
0,5
5,263
1,333
0 1
y
y 1 –3
–2
–1
0 –1
1
2
3
x 1 –1 –1
Bild V-32 Graph der Funktion mit der Gleichung 1 y¼ 2 x 1 5.
x
1
Bild V-34 Graph der Funktion mit der Gleichung x2 x 2 y¼ 2x 6
x2 1 y¼ 2 x þ1 Die Funktion ist definiert fu¨r alle reellen x, denn es gibt keine Nullstellen des Nenners und damit keine Pole. Die Nullstellen der Funktion sind x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1. Die zur x-Achse parallele Gerade mit der Gleichung an 1 ¼ ¼ 1 ist Asymptote. y¼ 1 bm Der Graph der Funktion verla¨uft u¨berall unterhalb der Asymptote. Wertetabelle: x y
4
3
0,87
2
0,80
0,60
1,5 0,38
1 0
0,5
0,3
0,1
0,60
0,84
0,98
0 1
Die y-Werte in der Wertetabelle sind auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
y
5.2 Partialbruchzerlegung
1
Eine Partialbruchzerlegung ist die Zerlegung einer gebrochenen rationalen Funktion y ¼ f ðxÞ mit an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 in f ðxÞ ¼ bm xm þ bm 1 xm 1 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0 eine Summe von Bru¨chen. Durch eine Partialbruchzerlegung von f ðxÞ wird oftmals die Integration der Funktion einfacher oder u¨berhaupt erst mo¨glich (vgl. Abschnitt VIII.5.2). Jede echt gebrochene rationale Funktion (also n < m) kann eindeutig in eine Summe von Partialbru¨chen zerlegt werden.
0
–1
1
x
–1
Bild V-33 Graph der Funktion mit der Gleichung x2 1 y¼ 2 x þ1 6.
x2 x 2 2x 6 Die Funktion hat die Nullstellen x1 ¼ 1 und x2 ¼ 2 und einen Pol bei x ¼ 3. Die Funktion ist also definiert fu¨r alle x 6¼ 3. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, eine Symmetrie des Graphen bezu¨glich des Nullpunktes oder der y-Achse liegt also nicht vor. Durch Polynomdivision erha¨lt man die Darstellung x2 x 2 1 4 ¼ xþ1þ y¼ 2x 6 2 2x 6 der Funktion als Summe einer ganzen rationalen Funktion und einer echt gebrochenen rationalen Funktion. Es ist also 1 y ¼ x þ 1 eine Asymptote der Funktion. Die Anna¨herung 2 an die Asymptote erfolgt fu¨r x ! 1 von unten und fu¨r x ! 1 von oben. y¼
Praktische Durchfu¨hrung der Partialbruchzerlegung: 1. Im Falle n m Abspalten des ganzen rationalen Anteils mit Polynomdivision. 2. Ku¨rzen des Bruches (also Division des Za¨hlers und des Nenners) durch bm , den Koeffizienten der ho¨chsten Potenz des Nenners: f ðxÞ ¼
cn xn þ cn 1 xn 1 þ . . . þ c2 x2 þ c1 x þ c0 xm þ dm 1 xm 1 þ . . . þ d2 x2 þ d1 x þ d0
Wertetabelle (y-Werte auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet): x
5
3
2
y
1,75
0,83
0,40
1 0
0
1
1,5
2
2;5
0,33
0,50
0,42
0
1,75
2,9 17,55
3,1
3,5
4
5
7
22,55
6,75
5
4,50
5
V Funktionen
93
bj ai Es gilt also ¼ ci ð1 i nÞ und ¼ dj bm bm ð1 j < mÞ:
&
Beispiele: 1.
3x2 2 x3 þ 2x2 þ 2x þ 1 Nullstelle des Nennerpolynoms: x1 ¼ 1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 þ 2x2 þ 2x þ 1 ¼ ðx þ 1Þ ðx2 þ x þ 1Þ Zerlegung von f ðxÞ in eine Summe von Partialbru¨chen:
3. Bestimmung der Nullstellen x1 ; x2 ; . . . ; xr ðr mÞ des Nennerpolynoms. 4. Zerlegung des Nennerpolynoms in die Form xm þ dm 1 xm 1 þ . . . þ d2 x2 þ d1 x þ d0
f ðxÞ ¼
¼ ðx x1 Þk1 ðx x2 Þk2 . . . ðx xr Þkr . . . ðx2 þ ps x þ qs Þls Eine solche Zerlegung ist immer mo¨glich. Dabei sind x1 ; x2 ; . . . ; xr alle reellen Nullstellen mit den Vielfachheiten k1 ; k2 ; . . . ; kr . Die restlichen quadratischen Faktoren ergeben die konjugierten Paare komplexer Nullstellen (also p2i 4qi < 0).
) 3x2 2 ¼ Aðx2 þ x þ 1Þ þ ðBx þ CÞ ðx þ 1Þ ¼ ðA þ BÞ x2 þ ðA þ B þ CÞ x þ ðA þ CÞ Vergleich der Koeffizienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A þ B ¼ 3; A þ B þ C ¼ 0; A þ C ¼ 2 ) A ¼ 1; B ¼ 2; C ¼ 3 Lo¨sung somit:
5. Zerlegung von f ðxÞ in eine Summe von Bru¨chen: A11 A12 A1k1 þ þ ... þ x x1 ðx x1 Þ2 ðx x1 Þk1 þ
2.
A21 A22 A2k2 þ þ ... þ x x2 ðx x2 Þ2 ðx x2 Þk2
f ðxÞ ¼
B1l1 þ C1l1 x B21 þ C21 x þ ðx2 þ p1 x þ q1 Þl1 x2 þ p2 x þ q2 B22 þ C22 x B2l2 þ C2l2 x þ þ ... þ ðx2 þ p2 x þ q2 Þ2 ðx2 þ p2 x þ q2 Þl2 þ ... þ
þ ... þ
Bsls þ Csls x ðx2 þ ps x þ qs Þls
Dabei sind die Koeffizienten Aij ; Bij ; Cij reelle Zahlen. 6. Bestimmung der Koeffizienten der Partialbru¨che zum Beispiel mit der Methode des Koeffizientenvergleichs. Die Bru¨che im Schritt 5 nennt man die Partialbru¨che der gebrochenen rationalen Funktion f ðxÞ. Spezialfa¨lle: Wenn das Nennerpolynom nur reelle Nullstellen besitzt, dann fallen die Partialbru¨che mit den nicht zerlegbaren quadratischen Funktionen im Nenner weg. Besitzt das Nennerpolynom nur die einfachen reellen Nullstellen x1 ; x2 ; . . . ; xm , dann lautet die Partialbruchzerlegung A1 A2 Am þ þ ... þ f ðxÞ ¼ x x1 x x2 x xm
3x2 x þ 1 A B C ¼ þ þ x3 2x2 þ x x x 1 ðx 1Þ2
Bestimmung der Koeffizienten A; B; C durch Koeffizientenvergleich: 3x2 x þ 1 Aðx 1Þ2 þ Bxðx 1Þ þ Cx ¼ f ðxÞ ¼ xðx 1Þ2 xðx 1Þ2 ) 3x2 x þ 1 ¼ Aðx2 2x þ 1Þ þ Bðx2 xÞ þ Cx ¼ ðA þ BÞ x2 þ ðC 2A BÞ x þ A
B11 þ C11 x B12 þ C12 x þ þ p1 x þ q1 ðx2 þ p1 x þ q1 Þ2
x2
þ .......................................: Bs1 þ Cs1 x Bs2 þ Cs2 x þ 2 þ x þ ps x þ qs ðx2 þ ps x þ qs Þ2
6x2 4 1 2x 3 þ ¼ 2x3 þ 4x2 þ 4x þ 2 x þ 1 x2 þ x þ 1 3x2 x þ 1 f ðxÞ ¼ 3 x 2x2 þ x Nullstellen des Nennerpolynoms: x1 ¼ 0; x2 ¼ 1 (x2 ist doppelte Nullstelle) Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 2x2 þ x ¼ xðx 1Þ2 Zerlegung von f ðxÞ in Partialbru¨che:
f ðxÞ ¼
þ .................................... Ar1 Ar2 Arkr þ þ ... þ þ x xr ðx xr Þ2 ðx xr Þkr þ
3x2 2 A Bx þ C þ ¼ x3 þ 2x2 þ 2x þ 1 x þ 1 x2 þ x þ 1
Bestimmung der Koeffizienten A; B; C durch Koffizientenvergleich: 3x2 2 Aðx2 þ x þ 1Þ þ ðBx þ CÞ ðx þ 1Þ f ðxÞ ¼ ¼ ðx þ 1Þ ðx2 þ x þ 1Þ ðx þ 1Þðx2 þ x þ 1Þ
ðx2 þ p1 x þ q1 Þl1 ðx2 þ p2 x þ q2 Þl2
f ðxÞ ¼
6x2 4 2x3 þ 4x2 þ 4x þ 2 Division durch b3 ¼ 2: f ðxÞ ¼ f ðxÞ ¼
Vergleich der Koeffizienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A þ B ¼ 3; C 2A B ¼ 1; A ¼ 1 ) A ¼ 1; B ¼ 2; C ¼ 3 Lo¨sung somit: 3x2 x þ 1 1 2 3 þ ¼ þ f ðxÞ ¼ 3 x 2x2 þ x x x 1 ðx 1Þ2 3.
6x2 x þ 1 x3 x Nullstellen des Nennerpolynoms: x1 ¼ 0; x2 ¼ 1; x3 ¼ 1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x3 x ¼ xðx 1Þ ðx þ 1Þ Zerlegung von f ðxÞ in Partialbru¨che: f ðxÞ ¼
f ðxÞ ¼
6x2 x þ 1 A B C ¼ þ þ x3 x x x1 xþ1
Bestimmung der Koeffizienten A; B; C durch Koeffizientenvergleich: 6x2 x þ 1 Aðx 1Þ ðx þ 1Þ þ Bxðx þ 1Þ þ Cxðx 1Þ ¼ xðx 1Þ ðx þ 1Þ xðx 1Þ ðx þ 1Þ 2 ) 6x x þ 1 ¼ Aðx 1Þ þ Bðx2 þ xÞ þ Cðx2 xÞ 2 ¼ ðA þ B þ CÞ x þ ðB CÞ x A Vergleich der Koeffizienten von x2 , von x und der Absolutglieder links und rechts vom Gleichheitszeichen ergibt: A þ B þ C ¼ 6; B C ¼ 1; A ¼ 1 ) A ¼ 1; B ¼ 3; C ¼ 4 Lo¨sung somit: f ðxÞ ¼ 2
f ðxÞ ¼
6x2 x þ 1 1 3 4 þ ¼ þ x3 x x x1 xþ1
6 Irrationale Funktionen Irrationale Funktionen sind algebraische Funktionen, die nicht rational sind. In der Funktionsgleichung y ¼ f ðxÞ einer rationalen Funktion werden
94
Mathematik de Umkehrfunktionen ist der Definitionsbereich 0 x < þ1 (entspricht 0 y < þ1 der Funktion y ¼ x2 ), die Bildmenge ist 0 y < þ1 bzw. 1 < y 0. Die Graphen der Umkehrfunktionen ergeben sich aus der Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y ¼ x. Die (posipffiffiffi tive) Quadratwurzelfunktion y ¼ x zum Beispiel ist also die Umkehrfunktion der Funktion des rechten Normalparabelastes.
auf die unabha¨ngige Variable x nur endlich viele rationale Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) angewandt. Bei irrationalen Funktionen tritt die unabha¨ngige Variable x auch unter einem Wurzelzeichen auf. Beispiele: pffiffiffi 1. y ¼ xp2ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ x þffi x 3 2 2. y ¼ q5x ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 7 3. y ¼ ðx2 1Þ 3 5x þ 1
Eine besonders wichtige Klasse von irrationalen Funktionen sind die sogenannten Wurzelfunktionen. Wurzelfunktionen
y =x 2
4
x
pffiffiffi y¼ nx
y
y=
&
3
ðn 2 N; n 2Þ
y = +√
2
Der Definitionsbereich der Wurzelfunktionen ist D ¼ fx j x 2 R; x 0g fu¨r gerade n und D ¼ R fu¨r ungerade n, die Bildmenge ist gleich dem Definitionsbereich, also f ðDÞ ¼ D. Die Wurzelfunktionen sind im ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend. pffiffiffi Fu¨r ungerade n ist y ¼ n x eine ungerade Funktion, der Graph der Funktion ist also punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Die Graphen der Wurzelfunktionen gehen durch den Koordinatenursprung und durch den Punkt Pð1 j 1Þ. Fu¨r das Verhalten der Wurzelfunktionen im Unendlichen gilt:
1 –2 –1 –1 –2
y
y =4√ x
0
1
2
3
4
5
6
7
x
8
Bild V-35 Graph der Wurzelfunktionen y ¼ pffiffiffi y¼ 4x
3 4 y=– √x
x
Allgemein gilt: Fu¨r ungerade n ist die Wurzelfunktion y ¼ f ðxÞ pffiffiffi ¼ n x; f : R ! R die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y ¼ f ðxÞ ¼ xn ; f : R ! R. pffiffiffi Fu¨r gerade n ist die Wurzelfunktion y ¼ f ðxÞ ¼ n x; f : ½0; 1Þ ! ½0; 1Þ die Umkehrfunktion der Potenzfunktion y ¼ f ðxÞ ¼ xn ; f : ½0; 1Þ ! ½0; 1Þ. Man bezeichnet allgemeiner auch Funktionen pffiffiffi y ¼ a n x; a 2 R; a 6¼ 0 als Wurzelfunktionen. Die pffiffiffi Kurve der Funktion y ¼ a n x ist im Vergleich zur ffiffiffi p n Kurve der Funktion y ¼ x fu¨r jaj < 1 gestaucht, fu¨r jaj > 1 gestreckt und fu¨r a < 0 an der x-Achse gespiegelt.
y = √x
1
2
Die kubische Funktion y ¼ x3 ist in ihrem ganzen Definitionsbereich D ¼ ð1; 1Þ monoton steigend. Ihpffiffiffi re Umkehrfunktion ist y ¼ 3 x. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist 1 < x < 1, die Bildmenge 1 < y < 1. Der Graph der Umkehrfunktion ergibt sich aus der kubischen Normalparabel durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y ¼ x.
gerade n
2
1
Bild V-37 Graphen von Funktionen und ihren Umkehrfunktionen
n 2 N; n 2 : x ! þ1 ) y ! þ1 n ungerade ðn ¼ 3; 5; 7; . . .Þ : x ! 1 ) y ! 1
3
x
pffiffiffi x und
y 3
y = √x
2 ungerade n
5
1 –6
–5
–4 –3
–2
y = √x
–1 0 1 –1
2
3
Bild V-36 Graph der Wurzelfunktionen y ¼ pffiffiffi y¼ 5x
4
5
6
p ffiffiffi 3 x und
Die quadratische Funktion y ¼ x2 ist in den zwei getrennten Intervallen 0 x < þ1 und 1 < x 0 jeweils monoton. Sie hat deshalb zwei Umkehrfunkpffiffiffi pffiffiffi tionen, und zwar y ¼ þ x und y ¼ x. Fu¨r bei-
x
7
&
Beispiele: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4. y ¼ b þ r2 ðx aÞ2 ; D ¼ fx j jx aj rg; W ¼ R Der Graph dieser Funktion ist der obere Halbkreis des Kreises mit dem Mittelpunkt Mða j bÞ und dem Radius r. Fehlerwarnung: Die Gleichung ðx aÞ2 þ ðy bÞ2 ¼ r2 des Kreises mit dem Mittelpunkt Mða j bÞ und dem Radius r (vgl. Abschnitt VII.3.1) ist keine (implizite) Funktion, denn die Zuordnung einer Zahl y zu einer Zahl x ist nicht eindeutig,
V Funktionen
95
4
P(x|y) y–b
r
b=3
x–a
2 1 –1 0 –1
1
y = b – r2–(x–a)2 3 4 5 6 x =a
2
Bild V-38 Graphenqder Funktionen ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx aÞ2 y¼bþ r q ffi und y ¼ b
r2 ðx aÞ2
mit a ¼ 4 und b ¼ 3 5.
2
2
2
Aus der Gleichung der Astroide x3 þ y3 ¼ a3 ða > 0Þ erha¨lt man durch Auflo¨sen nach y die Funktionen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 y ¼ þ ða3 x3 Þ3 ; D ¼ fx j jxj ag; W ¼ R
a 2 Rþ
Dabei ist die Basis a eine beliebige positive reelle Zahl. Alle Exponentialfunktionen y ¼ ax ; a 2 Rþ haben als Definitionsbereich D ¼ R und, falls a 6¼ 1, als Bildmenge W ¼ f ðDÞ ¼ Rþ. Alle Funktionswerte sind also positiv. Wegen a0 ¼ 1 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt Pð0 j 1Þ. Fu¨r a > 1 ist die Funktion y ¼ ax streng monoton wachsend mit y ! 0 fu¨r x ! 1 und y ! 1 fu¨r x ! 1. Die (negative) x-Achse ist also Asymptote. Fu¨r 0 < a < 1 ist die Funktion y ¼ ax streng monoton fallend mit y ! 1 fu¨r x ! 1 und y ! 0 fu¨r x ! 1. Die (positive) x-Achse ist somit Asymptote. Der Graph der Funktion na¨hert sich um so schneller der x-Achse, je gro¨ßer jln aj ist, fu¨r a > 1 also je gro¨ßer a ist und fu¨r a < 1 je kleiner a ist.
bzw.
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 y ¼ ða3 x3 Þ3 ; D ¼ f xj jxj ag; W ¼ R. Die Graphen dieser Funktionen sind der obere Teil (y 0) bzw. der untere Teil (y 0) der Astroide.
y
1,5 x
y = b + r2–(x–a)2
y ¼ ax ;
y=
y 5
Bei einer Exponentialfunktion steht die unabha¨ngige Variable x im Exponenten.
y = 3x y = 2x
tere Ha¨lfte des Kreises mit dem Mittelpunkt Mða j bÞ und dem Radius r.
7.1 Exponentialfunktionen
x = 1x 2 y = 0,5
wie in der Definition einer Funktion gefordert (zu jedem x mit jx aj < r gibt es zwei y)! Analog zu oben ist der Graph der Funktion qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ b r2 ðx aÞ2 ; D ¼ fx j jx aj rg; W ¼ R die un-
5 4 3 2
y 3 2
y = + (a
2/3
–x
)
–5 –4 –3 –2 –1 0
1 –3
–2 –1 0 –1 –2
1 2
y = 1x =1
2/3 3
3 x =a
y = – (a2/3–x2/3)3
–3
Bild V-39 Graphen der Funktionen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 y ¼ þ ða3 x3 Þ3 und qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 2 y ¼ ða3 x3 Þ3 mit a ¼ 3
7 Transzendente Funktionen Elementare Funktionen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. Wichtige Klassen von transzendenten Funktionen sind die Exponentialfunktionen, die Logarithmusfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen, die Arkusfunktionen. Die trigonometrischen Funktionen und die Arkusfunktionen werden in Kapitel VI behandelt.
1
2 3
4 5
x
Bild V-40 Graphen von Exponentialfunktionen Fu¨r a ¼ 1 gilt y ¼ 1, der Graph der Funktion ist also eine Parallele zur x-Achse. Die Exponentialfunktionen y ¼ ax ; a > 0 ko¨nnen wegen der Regeln der Logarithmen- und der Potenzrechnung auch in der Form y ¼ ax ¼ eln ða Þ ¼ ex ln a x
dargestellt werden. Dabei ist e ¼ 2;718 281 828 4 . . . die Eulersche Zahl (vgl. Abschnitt VIII.4.5). Die Funktion y ¼ ex ; D ¼ R; W ¼ f ðDÞ ¼ Rþ , also die Exponentialfunktion mit der Basis a ¼ e, heißt natu¨rliche Exponentialfunktion oder e-Funktion. y ¼ ex ;
D ¼ R;
W ¼ f ðDÞ ¼ Rþ
Es handelt sich um eine spezielle Exponentialfunktion, die ha¨ufig als die Exponentialfunktion bezeichnet wird. Diese Funktion spielt bei vielen Wachstumsprozessen eine wichtige Rolle.
96
Mathematik
Noch allgemeiner bezeichnet man manchmal auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x im Exponenten haben, als Expo2 nentialfunktionen, zum Beispiel y ¼ 23x 7x . Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen y ¼ ax sind fu¨r a 6¼ 1 die Logarithmusfunktionen y ¼ loga x. Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist die natu¨rliche Logarithmusfunktion y ¼ ln x.
7.2 Logarithmusfunktionen Logarithmusfunktionen sind Funktionen der Form
y ¼ loga x ¼
1 ln x ; ln a
a 6¼ 1
dargestellt werden. Dabei heißt die Logarithmusfunktion mit der Basis a ¼ e ¼ 2;718 2 . . . natu¨rliche Logarithmusfunktion. D ¼ Rþ ; W ¼ f ðDÞ ¼ R
y ¼ ln x ;
þ
a 2 R ; a 6¼ 1 Allgemeiner noch bezeichnet man auch solche Funktionen, die eine algebraische Funktion des Arguments x als Numerus haben, als Logarithmusfunktion, zum Beispiel y ¼ log2 ð5x2 4xÞ. Die Logarithmusfunktion y ¼ loga x ist fu¨r a 6¼ 1 die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion y ¼ ax und umgekehrt. Die natu¨rliche Logarithmusfunktion y ¼ ln x ist die Umkehrfunktion der e-Funktion y ¼ ex und umgekehrt.
x
y 6
y = 2x
5
y=
Alle Logarithmusfunktionen y ¼ loga x; a 2 Rþ ; a 6¼ 1 haben als Definitionsbereich D ¼ Rþ und als Bildmenge W ¼ f ðDÞ ¼ R. Wegen loga 1 ¼ 0 gehen die Graphen aller Funktionen durch den Punkt Pð1 j 0Þ. Fu¨r a > 1 ist die Funktion y ¼ loga x streng monoton wachsend mit y ! 1 fu¨r x ! 1 und y ! 1 fu¨r x ! 0; x > 0. Die (negative) y-Achse ist also Asymptote. Fu¨r x > 1 gilt loga x > 0, fu¨r x ¼ 1 gilt loga 1 ¼ 0; und fu¨r x mit 0 < x < 1 gilt loga x < 0. Fu¨r 0 < a < 1 ist die Funktion y ¼ loga x streng monoton fallend mit y ! 1 fu¨r x ! 1 und y ! 1 fu¨r x ! 0; x > 0. Die (positive) y-Achse ist somit Asymptote. Fu¨r x > 1 gilt loga x < 0, fu¨r x ¼ 1 gilt loga 1 ¼ 0; und fu¨r x mit 0 < x < 1 gilt loga x > 0. Der Graph der Funktion na¨hert sich fu¨r alle a um so schneller der y-Achse, je gro¨ßer jln aj ist, fu¨r a > 1 also je gro¨ßer a ist und fu¨r a < 1 je kleiner a ist.
y = ex
y ¼ loga x ;
Die Logarithmusfunktionen y ¼ loga x; a > 0; a 6¼ 1 ko¨nnen wegen der Regeln der Logarithmenrechnung auch in der Form
4 g 2x
3
y = lo
2 y = lnx
1 0 –2 –1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Bild V-42 Graphen der logarithmischen Funktionen y ¼ ln x und y ¼ log2 x und ihrer Umkehrfunktionen y ¼ ex und y ¼ 2x
1 y = lg x
0
1 y = log
x 1 10
x
Bild V-41 Graphen der logarithmischen Funktionen y ¼ lg x und y ¼ log 1 x 10
VI Trigonometrie
97
VI Trigonometrie Das Wort Trigonometrie kommt aus dem Griechischen und bedeutet Dreiecksmessung. Die Trigonometrie ist die Lehre von der Dreiecksberechnung mit Hilfe von Winkelfunktionen (trigonometrischen Funktionen).
Andere, weniger gebra¨uchliche Namen fu¨r trigonometrische Funktionen sind Winkelfunktionen oder Kreisfunktionen oder goniometrische Funktionen. In der folgenden Tabelle sind einige spezielle Werte der trigonometrischen Funktionen angegeben:
1 Definition der trigonometrischen Funktionen In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die dem rechten Winkel gegenu¨berliegende Dreiecksseite, die beiden anderen Seiten (also die Schenkel des rechten Winkels) sind die Katheten (vgl. Abschnitt III.6.4). In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln a; b und g ¼ 90 gilt a þ b ¼ 90 . Die Ankathete eines Winkels a in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Kathete, die auf einem Schenkel von a liegt. Die andere Kathete heißt Gegenkathete von a. Das Verha¨ltnis zweier beliebiger Seiten im rechtwinkligen Dreieck ist abha¨ngig von dem Winkel a (und wegen b ¼ 90 a natu¨rlich auch vom Winkel b), das heißt, das Verha¨ltnis zweier Seiten ist eine Funktion des Winkels a (bzw. des Winkels b). Die trigonometrischen Funktionen sind definiert als das Verha¨ltnis zweier Seiten im rechtwinkligen Dreieck. In einem rechtwinkligen Dreieck ist sin a, der Sinus des Winkels a, das Verha¨ltnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, cos a, der Kosinus des Winkels a, das Verha¨ltnis von Ankathete zu Hypotenuse, tan a, der Tangens des Winkels a, das Verha¨ltnis von Gegenkathete zu Ankathete, cot a, der Kotangens des Winkels a, das Verha¨ltnis von Ankathete zu Gegenkathete.
Gradmaß j
0
30
45
60
90
Bogenmaß b
0
p 6
0
p 3 pffiffiffi 3 2
p 2
sin cos
1
p 4 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2
tan
0
cot
1 2 pffiffiffi 3 2 pffiffiffi 3 3 pffiffiffi 3
1 1
1
1 2
0
pffiffiffi 3
pffiffiffi 3 3
0
Merkregel: Gradmaß j 0 1 pffiffiffi 0 2
sin j
30 1 pffiffiffi 1 2
45 1 pffiffiffi 2 2
60 1 pffiffiffi 3 2
90 1 pffiffiffi 4 2
Die meisten dieser Werte lassen sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen. Dies soll am Beispiel des Sinus vorgefu¨hrt werden. Fu¨r die Ho¨he h in einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenla¨nge a gilt nach dem Satz des Py a 2 a pffiffiffi thagoras h2 ¼ a2 3. Es folgt , also h ¼ 2 2 a p 1 h 1 ffiffiffi und sin 60 ¼ ¼ 3. sin 30 ¼ 2 ¼ a 2 a 2
C 30° b a
B
c
Kotangens:
Bild VI-2 Zur Berechnung von sin 30 und sin 60
a 2
Fu¨r den Durchmesser d in einem Quadrat der Seitenla¨nge a gilt nach pdem Satz des Pythagoras ffiffiffi d2 ¼ a2 þ a2 , also pffiffiffid ¼ a 2. Es folgt a a 2 1 1 pffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ 2. sin 45 ¼ ¼ d a 2 2 a 2
a Gegenkathete ¼ c Hypotenuse b Ankathete cos a ¼ ¼ c Hypotenuse a Gegenkathete tan a ¼ ¼ b Ankathete b Ankathete cot a ¼ ¼ a Gegenkathete
sin a ¼
a 2
a√
Tangens:
b ; c b a
a
=
a ; cos a ¼ c a tan a ¼ ; cot a ¼ b
Kosinus:
a
60°
Bild VI-1 sin a ¼
Sinus :
h= a 2 √3
a
d
A
a
a
45° a
Bild VI-3 Zur Berechnung von sin 45
98
Mathematik
Die beiden spitzen Winkel a und b in einem rechtwinkligen Dreieck sind Komplementwinkel, es gilt also b ¼ 90 a. Aus der Definition der trigonometrischen Funktionen folgt b b sin b ¼ und cos a ¼ ) sin b ¼ cos a c c a a und sin a ¼ ) cos b ¼ sin a cos b ¼ c c b b tan b ¼ und cot a ¼ ) tan b ¼ cot a a a a a cot b ¼ und tan a ¼ ) cot b ¼ tan a b b C b A
a b= 90°– a
a
Bild VI-4 Komplementwinkel
B
sin ð90 aÞ ¼ cos a cos ð90 aÞ ¼ sin a tan ð90 aÞ ¼ cot a cot ð90 aÞ ¼ tan a
Komplementwinkel
2 Trigonometrische Funktionen fu¨r beliebige Winkel Die Definition der trigonometrischen Funktionen eines Winkels a im rechtwinkligen Dreieck ist nur fu¨r spitze Winkel mo¨glich (also 0 < a < 90 ). Am Einheitskreis (Kreis mit dem Radius r ¼ 1) lassen sich die trigonometrischen Funktionen fu¨r beliebige Winkel definieren: Der Mittelpunkt des Einheitskreises sei der Koordinatenursprung O eines kartesischen Koordinatensystems (vgl. Abschnitt VII.1.1). Ein beliebiger Punkt P ¼ Pðx j yÞ auf dem Einheitskreis legt einen Winkel a fest, na¨mlich den Winkel zwischen der x-Achse und der Geraden durch O und P. Dabei wird a in mathematisch positiver Richtung, also gegen den Uhrzeigersinn, gemessen.
Mit den vorzeichenbehafteten Koordinaten x und y des Punktes P werden die trigonometrischen Funktionen dann definiert durch Sinus : Kosinus: Tangens: Kotangens:
Der Abschnitt des Einheitskreises zwischen der x -Achse und dem Punkt P ist das Bogenmaß b des Winkels a. Durchla¨uft P den Einheitskreis im mathematisch positiven Drehsinn, dann sind a und b positiv. Durchla¨uft P den Einheitskreis jedoch im mathematisch negativen Drehsinn, dann sind a und b negativ. Im Einheitskreis sind damit die trigonometrischen Funktionen fu¨r beliebige Winkel a im Gradmaß oder fu¨r beliebige reelle Zahlen b (Bogenmaß von a) definiert, fu¨r die die entsprechenden Nenner nicht verschwinden. Bei der Berechnung von Funktionswerten muß beachtet werden, ob das Argument im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben ist. Durch die beiden orientierten Achsen eines kartesischen Koordinatensystems wird die Ebene in vier Teile eingeteilt, die Quadranten. Die Punkte des ersten Quadranten haben sowohl positive x- als auch positive y-Koordinaten, die Punkte des zweiten Quadranten haben negative xund positive y-Koordinaten, die Punkte des dritten Quadranten haben negative x- und negative y-Koordinaten und die Punkte des vierten Quadranten haben positive x- und negative y-Koordinaten.
II
y 4
I
3 2 1
–4 –3 –2 –1 0 1 –1
y
2
4 x
3
–2 cota
III
1
tana
r=
IV
Bild VI-6 Quadranten
Fu¨r die Vorzeichen der trigonometrischen Funktionen in den einzelnen Quadranten gilt:
a x = cosa
–3 –4
P
y = sina
0
sin a ¼ y cos a ¼ x y tan a ¼ x x cot a ¼ y
x
Bild VI-5 Definition der trigonometrischen Funktionen fu¨r beliebige Winkel
Quadrant
sin
cos
tan
cot
I
þ
þ
þ
þ
II
þ
III
þ
þ
IV
þ
VI Trigonometrie
99
3 Beziehungen fu¨r den gleichen Winkel Fu¨r beliebige Winkel a gelten folgende Umrechnungsformeln: 1 Þ sin a 1 ¼ cos a cot a sin2 a þ cos2 a ¼ 1 1 1 þ tan2 a ¼ cos2 a tan a ¼
cos a 1 ¼ sin a tan a tan a cot a ¼ 1 1 1 þ cot2 a ¼ 2 sin a cot a ¼
Diese Beziehungen lassen sich im rechtwinkligen Dreieck leicht nachrechnen. &
Beispiel:
a 2 b 2 a2 þ b2 þ ¼ ¼ 1, denn nach dem c2 c c Satz des Pythagoras gilt im rechtwinkligen Dreieck a2 þ b2 ¼ c2 .
sin2 a þ cos2 a ¼
Alle Beziehungen gelten auch allgemein, das heißt, fu¨r beliebige Winkel a. Nach diesen Beziehungen la¨ßt sich jede trigonometrische Funktion durch jede andere desselben Winkels ausdru¨cken. Will man zum Beispiel sin a durch cos a ausdru¨cken, pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi so folgt sin a ¼ 1 cos2 a aus sin2 a þ cos2 a ¼ 1. Fu¨r Winkel im ersten Quadranten, also fu¨r Winkel a mit 0 < a < 90 gilt: cos a
tan a
cot a
sin a ¼
sin a
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos2 a
tan a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan2 a
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ cot2 a
cos a ¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sin2 a
cos a
1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ tan2 a
cot a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 þ cot2 a
tan a
1 cot a
1 tan a
cot a
cot a ¼
sin a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sin2 a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 sin2 a sin a
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos2 a cos a cos a pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 cos2 a
In den u¨brigen Quadranten sind die Vorzeichen der Wurzeln nach der Vorzeichentabelle (vgl. Abschnitt VI.2) oder am Einheitskreis zu bestimmen. Beispiel: Im dritten Quadranten sind sowohl sin a als auch cos a negativ. < a < 270 zum Beispiel Deswegen gilt fu¨r Winkel a mit 180 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin a ¼ 1 cos2 a und cos a ¼ 1 sin2 a.
4 Graphen der trigonometrischen Funktionen Ein anschauliches Bild von Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen erha¨lt man, wenn in einem kartesischen Koordinatensystem (vgl. Abschnitt 1
1. Sinusfunktion Die Funktion y ¼ sin x mit dem Definitionsbereich D ¼ R und dem Wertebereich W ¼ ½1; 1. Die Sinusfunktion hat die Periode 2p, es gilt also sin ðx þ 2kpÞ ¼ sin x fu¨r k ¼ 0; 1; 2; . . . Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt p jsin xj 1 und sin ¼ 1. 2 Die Sinusfunktion ist wegen sin ðxÞ ¼ sin x fu¨r alle x eine ungerade Funktion. Die Sinuskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. 2. Kosinusfunktion Die Funktion y ¼ cos x mit dem Definitionsbereich D ¼ R und dem Wertebereich W ¼ ½1; 1.
sin a
tan a ¼
&
VII.1.1) als Abszissen (x-Werte) die Winkel (im Gradmaß oder im Bogenmaß) und als Ordinaten (yWerte) die Werte der betreffenden trigonometrischen Funktionen eingetragen werden. Die Funktionswerte ergeben sich als vorzeichenbehaftete La¨ngen der entsprechenden Strecken am Einheitskreis (Bilder VI-7 und VI-8 siehe S. 100). Die Graphen der trigonometrischen Funktionen nennt man auch Kurven. So ist zum Beispiel die Sinuskurve der Graph der Sinusfunktion. In der folgenden Aufza¨hlung sind alle Winkel im Bogenmaß angegeben.
Þ Fu¨r Potenzen ðf ðxÞÞk von Funktionswerten ist die Schreibweise f k ðxÞ u¨blich, etwa sin2 a (gesprochen: Sinus Quadrat Alpha) fu¨r (sin aÞ2 .
Die Kosinusfunktion hat ebenfalls die Periode 2p, es gilt cos ðx þ 2kpÞ ¼ cos x fu¨r k ¼ 0; 1; 2; . . . Die Amplitude der Funktion ist 1, denn es gilt jcos xj 1 und cos 0 ¼ 1. Die Kosinusfunktion ist wegen cos ðxÞ ¼ cos x fu¨r alle x eine gerade Funktion. Die Kosinuskurve ist also symmetrisch zur y-Achse. 3. Tangensfunktion Die Funktion y ¼ tan x mit dem Definitionsbep reich D ¼ R; x 6¼ þ kp; k 2 Z und dem Werte2 bereich W ¼ R. p Die Stellen x ¼ þ kp; k 2 Z sind Pole der 2 Funktion. Na¨hert man sich einem Pol x ¼ xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), dann geht tan x gegen þ1. Na¨hert man sich dagegen einem Pol x ¼ xp mit abnehmenden x-Werten (also
100
Mathematik cosa sina cosa
sina
Einheitskreis
b 90°
tana cota
a
180°
270°
Bild VI-7 Sinuskurve und Kosinuskurve
360°
b
a 360°
180°
Bild VI-8 Tangenskurve und Kotangenskurve
Tangente
0
tana
tana
a
r=1
tanb (–)
b M
cot a
Kotangente
tanb (–) cot b(–)
cota
cotb (–)
a
cosb (–)
a
Asymptote zur Tangenskurve
tana cota
0
sina
cosa
sina
sinb
1 r= ba M P′ –90° P′ cosb cosa (–)
sinb
P
P
x > xp ), so geht tan x gegen 1. Die Geraden p x ¼ þ kp sind Asymptoten der Funktion. 2 Die Tangensfunktion hat die Periode p, es gilt also tan ðx þ kpÞ ¼ tan x fu¨r k ¼ 0; 1; 2; . . . Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Tangensfunktion ist wegen tan ðxÞ ¼ tan x fu¨r alle x eine ungerade Funktion. Die Tangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung. 4. Kotangensfunktion Die Funktion y ¼ cot x mit dem Definitionsbereich D ¼ R; x 6¼ kp; k 2 Z und dem Wertebereich W ¼ R. Die Stellen x ¼ kp; k 2 Z sind Pole der Funktion. Na¨hert man sich einem Pol x ¼ xp mit wachsenden x-Werten (also x < xp ), dann geht cot x gegen 1. Na¨hert man sich dagegen einem Pol x ¼ xp mit abnehmenden x-Werten (also x > xp ), so geht cot x gegen þ1. Die Geraden x ¼ kp sind Asymptoten der Funktion. Die Kotangensfunktion hat die Periode p, es gilt also cot ðx þ kpÞ ¼ cot x fu¨r k ¼ 0; 1; 2; . . . Eine Amplitude besitzt die Funktion nicht (Pole!). Die Kotangensfunktion ist ungerade, denn es gilt cot ðxÞ ¼ cot x. Die Kotangenskurve ist also symmetrisch zum Koordinatenursprung.
5 Reduktionsformeln Wegen der Periodizita¨t ko¨nnen die trigonometrischen Funktionen fu¨r beliebige Winkel beim Sinus und Kosinus auf solche zwischen 0 und 360 und
1 –1
y 0
π Periode
2π
x
π
2π
x
1 0 –1
1 0 –1
π
x
π
x
Periode
1 0 –1
Bild VI-9 Die Graphen der trigonometrischen Funktionen y ¼ sin x; y ¼ cos x; y ¼ tan x; y ¼ cot x (von oben nach unten) beim Tangens und Kotangens auf solche zwischen 0 und 180 zuru¨ckgefu¨hrt werden. Fu¨r beliebige ganze Zahlen k gilt: sin ð360 k þ aÞ ¼ sin a cos ð360 k þ aÞ ¼ cos a tan ð180 k þ aÞ ¼ tan a cot ð180 k þ aÞ ¼ cot a
VI Trigonometrie
101
Wegen der Symmetrie der trigonometrischen Funktionen gilt fu¨r negative Winkel:
sin 2a ¼ 2 sin a cos a ¼
sin ðaÞ ¼ sin a cos ðaÞ ¼ cos a tan ðaÞ ¼ tan a cot ðaÞ ¼ cot a
sin 4a ¼ 8 sin a cos3 a 4 sin a cos a cos 2a ¼ cos2 a sin2 a ¼ 1 2 sin2 a ¼ 2 cos2 a 1
b¼ 90 a
b¼ 180 a
b¼ 270 a
b¼ 360 a
sin b
þcos a
sin a
cos a
sin a
cos b
sin a
cos a
sin a
þcos a
tan b
cot a
tan a
cot a
tan a
cot b
tan a
cot a
tan a
cot a
6 Additionstheoreme Die Additionstheoreme sind Formeln fu¨r die trigonometrischen Funktionen von Winkelsummen und Winkeldifferenzen. Die meisten dieser Gleichungen lassen sich mit Hilfe der Eulerschen Formel ejz ¼ cos z þ j sin z fu¨r komplexe Zahlen (vgl. Abschnitt I.12.8) zusammen mit den Potenzgesetzen herleiten. &
2 tan a 1 þ tan2 a
sin 3a ¼ 3 sin a 4 sin3 a
Jeder so reduzierte Winkel kann durch eine der folgenden Beziehungen auf einen Winkel zwischen 0 und 90 zuru¨ckgefu¨hrt werden: Funktion
Trigonometrische Funktionen fu¨r Winkelvielfache
Beispiel: cos ða þ bÞ þ j sin ða þ bÞ ¼ ejða þ bÞ ¼ eja ejb ¼ ðcos a þ j sin aÞ ðcos b þ j sin bÞ ¼ ðcos a cos b sin a sin bÞ þ jðsin a cos b þ cos a sin bÞ Vergleich von Real- und Imagina¨rteil ergibt cos ða þ bÞ ¼ cos a cos b sin a sin b und sin ða þ bÞ ¼ sin a cos b þ cos a sin b.
Trigonometrische Funktionen der Summe und der Differenz zweier Winkel sin ða þ bÞ ¼ sin a cos b þ cos a sin b sin ða bÞ ¼ sin a cos b cos a sin b cos ða þ bÞ ¼ cos a cos b sin a sin b cos ða bÞ ¼ cos a cos b þ sin a sin b tan a þ tan b tan ða þ bÞ ¼ 1 tan a tan b tan a tan b tan ða bÞ ¼ 1 þ tan a tan b cot a cot b 1 cot ða þ bÞ ¼ cot a þ cot b cot a cot b þ 1 cot ða bÞ ¼ cot a cot b
cos 3a ¼ 4 cos3 a 3 cos a cos 4a ¼ 8 cos4 a 8 cos2 a þ 1 2 tan a 2 tan 2a ¼ ¼ 1 tan2 a cot a tan a tan 3a ¼
3 tan a tan3 a 1 3 tan2 a
tan 4a ¼
4 tan a 4 tan3 a 1 6 tan2 a þ tan4 a
cot 2a ¼
cot2 a 1 cot a tan a 1 ¼ ¼ 2 cot a 2 tan 2a
cot 3a ¼
cot3 a 3 cot a 3 cot 2 a 1
cot 4a ¼
cot4 a 6 cot2 a þ 1 4 cot3 a 4 cot a
Fu¨r allgemeine Winkelvielfache erha¨lt man aus der Entwicklung der Formel von Moivre (vgl. Abschnitt I.12.6) durch Vergleich des Real- und Imagina¨rteils entsprechende Formeln: cos na þ j sin na ¼ ðcos a þ j sin aÞn n n P ¼ jk cosnk a sink a k k¼0 Summen und Differenzen zweier trigonometrischer Funktionen aþb ab cos 2 2 aþb ab sin a sin b ¼ 2 cos sin 2 2
sin a þ sin b ¼ 2 sin
aþb ab cos 2 2 aþb ab sin cos a cos b ¼ 2 sin 2 2 sin ða þ bÞ tan a þ tan b ¼ cos a cos b cos a þ cos b ¼ 2 cos
tan a tan b ¼
sin ða bÞ cos a cos b
cot a þ cot b ¼
sin ða þ bÞ sin a sin b
cot a cot b ¼
sin ða þ bÞ sin a sin b
102
Mathematik
Produkte trigonometrischer Funktionen 1 ½cos ða bÞ cos ða þ bÞ 2 1 cos a cos b ¼ ½cos ða bÞ þ cos ða þ bÞ 2 1 sin a cos b ¼ ½sin ða þ bÞ þ sin ða bÞ 2 1 cos a sin b ¼ ½sin ða þ bÞ sin ða bÞ 2 tan a þ tan b tan a tan b ¼ tan a tan b ¼ cot a þ cot b cot a cot b cot a þ cot b cot a cot b cot a cot b ¼ ¼ tan a þ tan b tan a tan b tan a þ cot b tan a cot b ¼ tan a cot b ¼ cot a þ tan b cot a tan b
b
a
sin a sin b ¼
Potenzen trigonometrischer Funktionen
h b
a
Die anderen Proportionen lassen sich analog herleiten. Kosinussatz In einem beliebigen Dreieck ist das Quadrat einer Seitenla¨nge gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seitenla¨ngen minus dem doppelten Produkt der La¨ngen dieser beiden anderen Seiten und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels. a2 ¼ b2 þ c2 2bc cos a b2 ¼ a2 þ c2 2ac cos b c2 ¼ a2 þ b2 2ab cos g
Kosinussatz
1 ð1 cos 2aÞ 2 1 sin3 a ¼ ð3 sin a sin 3aÞ 4 1 sin4 a ¼ ðcos 4a 4 cos 2a þ 3Þ 8 1 cos2 a ¼ ð1 þ cos 2aÞ 2 1 3 cos a ¼ ð3 cos a þ cos 3aÞ 4 1 4 cos a ¼ ðcos 4a þ 4 cos 2a þ 3Þ 8
Bild VI-10 Zur Herleitung des Sinussatzes
sin2 a ¼
oder
Die Formeln fu¨r sinn a und cosn a erha¨lt man, indem man die Formeln fu¨r cos na und sin na nacheinander anwendet.
7 Sinussatz und Kosinussatz Sinussatz In einem beliebigen Dreieck verhalten sich die La¨ngen der Seiten wie die Sinuswerte der gegenu¨berliegenden Winkel. Sinussatz
sin a sin b sin g ¼ ¼ a b c
oder
sin a : sin b : sin g ¼ a : b : c
Der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras, der fu¨r rechtwinklige Dreiecke gilt, auf beliebige Dreiecke. Gilt etwa g ¼ 90 , dann folgt c2 ¼ a2 þ b2 wegen cos g ¼ cos 90 ¼ 0. Der Kosinussatz la¨ßt sich durch Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke und Anwendung des Satzes von Pythagoras herleiten: q cos a ¼ ; q ¼ c p b cp ) cos a ¼ ) p ¼ c b cos a b h sin a ¼ ) h ¼ b sin a b Durch Einsetzen der Ausdru¨cke fu¨r p und fu¨r h ergibt sich: a2 ¼ p2 þ h2 ) a2 ¼ ðc b cos aÞ2 þ ðb sin aÞ2 ) a2 ¼ c2 2bc cos a þ b2 cos2 a þ b2 sin2 a ) a2 ¼ c2 2bc cos a þ b2 ðcos2 a þ sin2 aÞ ) a2 ¼ b2 þ c2 2bc cos a ðdenn sin2 a þ cos2 a ¼ 1Þ
Der Sinussatz la¨ßt sich mit Hilfe der Ho¨hen, also durch Zerlegung des Dreiecks in zwei rechtwinklige Dreiecke herleiten: h ) h ¼ b sin a; b h sin b ¼ ) h ¼ a sin b a Es folgt b sin a ¼ a sin b ¼ sin a : sin b.
b2 þ c2 a2 2bc a2 þ c2 b2 cos b ¼ 2ac a2 þ b2 c2 cos g ¼ 2ab
cos a ¼
sin a ¼
b
a h
a
b p
q c
und
daraus
a:b
Bild VI-11 Zur Herleitung des Kosinussatzes
Die anderen Gleichungen lassen sich ganz entsprechend herleiten.
VI Trigonometrie
8 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung
103 &
Beispiele: 1. Gegeben: a ¼ 55 ; c ¼ 7;34; b ¼ 48 (WSW)
C
Entsprechend den vier Grundkonstruktionen des Dreiecks (vgl. Abschnitt VII.6.8) gibt es vier Grundaufgaben der Dreiecksberechnung. 1. Grundaufgabe WSW und SWW Gegeben a; c; b (Winkel, Seite, Winkel) oder c; b; g (Seite, Winkel, Winkel). Berechnung der fehlenden Winkel: g ¼ 180 ða þ bÞ oder a ¼ 180 ðb þ gÞ. Berechnung der fehlenden Seiten (durch Anwendung des Sinussatzes): c c a¼ sin a und b ¼ sin b. sin g sin g
g b
A
4. Grundaufgabe SSS Gegeben a; b; c (Seite, Seite, Seite). Berechnung der Winkel mit Hilfe des Kosinusund des Sinussatzes. Am besten wird zuerst der der gro¨ßten Seite gegenu¨berliegende Winkel berechnet. Die beiden anderen Winkel sind dann spitze Winkel und ko¨nnen deshalb mit dem Sinussatz eindeutig berechnet werden. Liegt etwa g der gro¨ßten Seite gegenu¨ber, dann Berechnung mit a2 þ b2 c2 sin a sin b sin g ; ¼ ¼ : cos g ¼ 2ab a b c Eine Kontrolle la¨ßt sich mit der Winkelsumme im Dreieck durchfu¨hren: Die Summe der drei berechneten Winkel muß 180 betragen.
a
Bild VI-12 Zu Beispiel 1 (WSW)
b B
c
Berechnung von g: g ¼ 180 ð55 þ 48 Þ ¼ 77 Berechnung der fehlenden Seiten (mit Hilfe des Sinussatzes): sin 55 sin 48 a¼ 7;34 6;17; b ¼ 7;34 5; 60 sin 77 sin 77 Ergebnisse: g ¼ 77 ; a 6;17; b 5;60 2.
Gegeben: a ¼ 8;45; b ¼ 6;38; a ¼ 68;5 (SSW)
Bild VI-13 Zu Beispiel 2 (SSW)
C g
2. Grundaufgabe SSW Gegeben a; b; a (Seite, Seite, Winkel). sin a b Anwendung des Sinussatzes: sin b ¼ a Der Winkel b la¨ßt sich fu¨r b < a ð) b < aÞ eindeutig bestimmen. Fu¨r b > a ist b nicht in allen Fa¨llen eindeutig. Die Aufgabe kann zwei Lo¨sungen, b1 und b2 , haben mit sin b1 ¼ sin b2 und b1 þ b2 ¼ 180 . Berechnung des dritten Winkels g aus der Winkelsumme im Dreieck. Berechnung der dritten Seite c oder c1 und c2 durch Anwendung des Sinussatzes. 3. Grundaufgabe SWS Gegeben a; g; b (Seite, Winkel, Seite). Berechnung von c mit dem Kosinussatz: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c ¼ a2 þ b2 2ab cos g: Bestimmung des Winkels a (oder b) mit dem Kosinussatz (eindeutig, aber umsta¨ndlicher) oder mit dem Sinussatz (Entscheidung zwischen den beiden mo¨glichen Winkeln a1 und a2 mit a1 þ a2 ¼ 180 u¨ber die Bedingung a > c ð, a > gÞ oder a < c ð, a < gÞ. Berechnung von b (oder a) dann aus der Winkelsumme im Dreieck. Eine Kontrolle ist mit dem Sinussatz mo¨glich.
a
a
b a A
b B
c
Da a der gro¨ßeren der gegebenen Seiten gegenu¨berliegt, ist die Aufgabe eindeutig. Berechnung von b (mit dem Sinussatz): sin 68;5 sin b 6;38 ) sin b ¼ sin 68;5 0;7025 ¼ 6;38 8;45 8;45 ) b 44;6 Berechnung von g: g 180 ð68;5 þ 44;6 Þ ¼ 66;9 Berechnung von c (mit dem Sinussatz): sin 66;9 c
8;45 8;35 sin 68;5 Ergebnisse: b 44;6 ; g 66;9 ; c 8;35 3.
Gegeben: a ¼ 9;35; b ¼ 14;25; a ¼ 39;2 (SSW)
C
Bild VI-14 Zu Beispiel 3 (SSW)
g2 g1 b
A
a b2
a c2
a b1
B2
B1 c1
Berechnung von b (mit dem Sinussatz): sin 39;2 sin b 14;25 ) sin b ¼ sin 39;2 0;9633 ¼ 14;25 9;35 9;35 ) b1 74;4 und b2 ¼ 180 b1 105;6 Beide Winkel erfu¨llen die Bedingung b > a, die aus b > a folgt. Berechnung von g1 und g2 mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck: g1 180 ð39;2 þ 74;4 Þ ¼ 66;4 ; g2 180 ð39;2 þ 105;6 Þ ¼ 35;2 Berechnung von c1 und c2 mit dem Sinussatz: c1
sin 66;4 sin 35;2 9;35 13;56; c2
9;35 8;53 sin 39;2 sin 39;2
Ergebnisse: (1) b1 74;4 ; g1 66;4 ; c1 13;56; (2) b2 105;6 ; g2 35;2 ; c2 8;53
104
Mathematik
4.
Gegeben: a ¼ 5;62; g ¼ 115 ; b ¼ 8;50 (SWS)
C g
b
a b
a
A
B
c
Bild VI-15 Zu Beispiel 4 (SWS) Berechnung von c mit dem Kosinussatz: c2 ¼ 5;622 þ 8;502 2 5;62 8;50 cos 115 ¼ 5;622 þ 8;502 2 5;62 8;50 cos 65
144;2113 ) c 12;01 Berechnung von a mit dem Sinussatz: 5;62 5;62 sin 115 ¼ sin 65 0;4241 ) a 25;1 sin a
12;01 12;01 Berechnung von b (mit der Winkelsumme im Dreieck): b 180 ð115 þ 25;1 Þ ¼ 39;9 Ergebnisse: c 12;01; a 25;1 ; b 39;9 5.
Gegeben: a ¼ 3;43; b ¼ 5;26; c ¼ 7;95 (SSS)
C g
b
b
a
A
a
c
B
Die Arkusfunktionen sind also die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Die Arkusfunktionen werden auch zyklometrische Funktionen oder inverse trigonometrische Funktionen genannt. Zu ihrer eindeutigen Definition wird der Definitionsbereich der trigonometrischen Funktionen in Monotonieintervalle zerlegt, so daß fu¨r jedes Monotonieintervall eine Umkehrfunktion erhalten wird (vgl. Abschnitt V.2.8: Streng monotone Funktionen besitzen Umkehrfunktionen). Diese wird entsprechend dem zugeho¨rigen Monotonieintervall mit dem Index k gekennzeichnet. Die Vorgehensweise wird am Beispiel des Arkussinus gezeigt. Der Definitionsbereich von y ¼ sin x wird in p p die Monotonieintervalle kp x kp þ mit 2 2 k ¼ 0; 1; 2; . . . zerlegt. Durch Spiegelung von y ¼ sin x an der Winkelhalbierenden y ¼ x erha¨lt man die Umkehrfunktionen y ¼ arck sin x mit den Definitionsbereichen Dk ¼ ½1; 1 und den Wertebereichen h p pi Wk ¼ kp ; kp þ , wobei k ¼ 0; 1; 2; . . . 2 2 Die Schreibweise y ¼ arck sin x ist gleichbedeutend mit x ¼ sin y.
Bild VI-16 Zu Beispiel 5 (SSS)
y ¼ arck sin x , x ¼ sin y
Berechnung von g (liegt der gro¨ßten Seite gegenu¨ber) mit dem Kosinussatz: 3;432 þ 5;262 7;952
0;6587 ) g 131;2 2 3;43 5;26
cos g ¼
Berechnung von a mit dem Sinussatz: sin a
3;43 sin 131;2 0;3246 ) a 18;9 7;95
Die u¨brigen Arkusfunktionen ergeben sich analog. In der Tabelle sind die Definitions- und Wertebereiche aller Arkusfunktionen zusammengestellt, die Bilder VI.17––VI.20 zeigen die Graphen der Arkusfunktionen.
Berechnung von b (mit der Winkelsumme im Dreieck): b 180 ð131;2 þ 18;9 Þ ¼ 29;9 Ergebnisse: a 18;9 ; b 29;9 ; g 131;2
y
p 2
9 Arkusfunktionen Kennt man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion, etwa y ¼ sin x, und will man daraus den zugeho¨rigen Winkel bestimmen, so muß man die Gleichung nach dem Winkel x auflo¨sen, was mit Hilfe der Arkusfunktionen mo¨glich ist: x ¼ arcsin y.
–1
0 1 x –p 2
Bild VI-17 Graph der Arkussinusfunktion
Arkusfunktionen Name
Schreibweise
Definitionsbereich
Wertebereich
Arkussinus
y ¼ arck sin x
1 x 1
kp
Arkuskosinus
y ¼ arck cos x
1 x 1
kp y ðk þ 1Þ p
Arkustangens
y ¼ arck tan x
1 < x < 1
kp
Arkuskotangens
y ¼ arck cot x
1 < x < 1
kp < y < ðk þ 1Þ p
p p y kp þ 2 2
p p < y < kp þ 2 2
Gleichbedeutende trigonometrische Funktion x ¼ sin y x ¼ cos y x ¼ tan y x ¼ cot y
VI Trigonometrie
105 Die Zuru¨ckfu¨hrung von Nebenwerten auf die Hauptwerte der Arkusfunktionen erfolgt mit Hilfe der folgenden Formeln:
y p
p 2
–1
arck sin x ¼ kp þ ð1Þk arcsin x ðk þ 1Þ p arccos x falls k ungerade arck cos x ¼ kp þ arccos x falls k gerade
0 1 x –p 2
Bild VI-18 Graph der Arkuskosinusfunktion y
arck tan x ¼ kp þ arctan x arck cot x ¼ kp þ arccot x Taschenrechner geben immer die Hauptwerte der Arkusfunktionen an.
p
Beziehungen zwischen den Hauptwerten x
0
p x arccos x ¼ arctan pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 x2 p x arccos x ¼ arcsin x ¼ arccot pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 x2 p x arctan x ¼ arccot x ¼ arcsin pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ x2 p x arccot x ¼ arctan x ¼ arccos pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ x2
arcsin x ¼
Bild VI-19 Graph der Arkustangensfunktion
–p
y
p
Formeln fu¨r negative Argumente x
0
Bild VI-20 Graph der Arkuskotangensfunktion
Setzt man k ¼ 0, dann erha¨lt man jeweils den sogenannten Hauptwert der Arkusfunktion. Den Hauptwert schreibt man ohne den Index k, also zum Beispiel arcsin x ¼ arc0 sin x. Fu¨r andere Werte von k erha¨lt man Nebenwerte der entsprechenden Arkusfunktion. Den Hauptwert der Arkusfunktionen zeigt Bild VI-21.
arcsin ðxÞ ¼ arcsin x arccos ðxÞ ¼ p arccos x arctan ðxÞ ¼ arctan x arccot ðxÞ ¼ p arccot x &
Beispiele: 1.
arcsin 0 ¼ 0; arck sin 0 ¼ kp
2.
arccos
arctan arccot
sin
0
arc
–1
s
p 2
arctan
3.
co
arccot
arc
y p
–p 2
1
x
Bild VI-21 Hauptwerte der Arkusfunktionen
1 p ¼ ; 2 3 8 p > þ ðk þ 1Þ p 1 < 3 arck cos ¼ p 2 > : þ kp 3
arccot 1 ¼
falls k ungerade falls k gerade
p p ; arck cot 1 ¼ þ kp 4 4
106
Mathematik
VII Analytische Geometrie Der Grundgedanke der Analytischen Geometrie besteht darin, daß geometrische Untersuchungen mit rechnerischen Mitteln gefu¨hrt werden. Geometrische Objekte werden dabei durch Gleichungen beschrieben und mit algebraischen Methoden untersucht.
1 Koordinatensysteme Die Verbindung von Geometrie und Algebra wird dadurch erreicht, daß man die geometrischen Objekte als Punktmengen auffaßt und jedem Punkt Zahlenwerte zuordnet, durch die er sich von anderen unterscheidet. Eine Kurve oder eine Gerade ist dann eine Menge von Punkten, fu¨r deren Zahlenwerte bestimmte Bedingungen gelten, die man Gleichungen dieser Objekte nennt, zum Beispiel Gleichung eines Kreises oder einer Geraden. Das geometrische Bild einer linearen Gleichung in zwei Variablen ist immer eine Gerade, das einer quadratischen Gleichung in zwei Variablen immer ein Kegelschnitt. Die Grundlage fu¨r eine solche analytische Darstellung der Geometrie ist die Zuordnung zwischen Punkt und Zahl, die eindeutig sein muß. Auf einer Geraden oder allgemeiner auf einer Kurve genu¨gt eine Zahl, auf einer Ebene oder einer Fla¨che ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel (drei Zahlen), um einen Punkt eindeutig festzulegen. Umgekehrt bestimmt ein Punkt auf einer Kurve eindeutig eine Zahl, auf einer Fla¨che ein Zahlenpaar und im Raum ein Zahlentripel. Diese Zahlen werden Koordinaten des entsprechenden Punktes genannt. Die Koordinaten sind abha¨ngig von dem zugrunde liegenden Koordinatensystem. Es gibt verschiedene Mo¨glichkeiten fu¨r Koordinatensysteme, von denen hier drei wichtige beschrieben werden. Allgemein kann man ein Koordinatensystem als ein System von geometrischen Objekten, mit deren Hilfe die Lage anderer geometrischer Objekte durch Zahlenwerte (Koordinaten) umkehrbar eindeutig beschrieben werden kann, bezeichnen. Legt man auf einer Geraden g einen Anfangspunkt 0 (Nullpunkt), eine positive Richtung (Orientierung) und eine La¨ngeneinheit l (Maßstab) fest, dann entspricht jeder reellen Zahl x ein bestimmter Punkt dieser Geraden, und umgekehrt entspricht jedem Punkt der Geraden eine reelle Zahl. Die Gerade g wird Zahlengerade genannt.
1.1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Um die Lage eines Punktes in der Ebene eindeutig festzulegen, sind zwei Zahlengeraden notwendig. Man ordnet die Zahlengeraden stets so an, daß ihre Nullpunkte zusammenfallen. Die Zahlengeraden
werden Achsen des Koordinatensystems oder Koordinatenachsen genannt und als x- oder Abszissenachse und als y- oder Ordinatenachse bezeichnet. Der gemeinsame Nullpunkt, also der Schnittpunkt der beiden Geraden, heißt Koordinatenursprung oder Nullpunkt. Auf jeder der beiden Geraden wird vom Koordinatenursprung aus eine positive und eine negative Orientierung sowie ein Maßstab festgelegt. In einem kartesischen (rechtwinkligen) Koordinatensystem stehen die Koordinatenachsen senkrecht aufeinander, die Achsen haben den gleichen Maßstab und bilden ein sogenanntes Rechtssystem: Die x-Achse geht durch Drehung um einen rechten Winkel im mathematisch positiven Sinne (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) in die y-Achse u¨ber. Ein beliebiger Punkt P der Ebene kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: Pðx j yÞ mit x als Abszisse und y als Ordinate. Dieses Koordinatensystem ist benannt nach dem franzo¨sischen Mathematiker Rene´ Descartes, genannt Cartesius (1596––1650). y-Achse (Ordinatenachse)
y1
P 1 ( x1 y1 )
1 x2
–1 P 2 ( x2 y2 )
0 –1 y 2
1
x1
x-Achse (Abszissenachse)
Bild VII-1 Kartesisches Koordinatensystem der Ebene
1.2 Polarkoordinatensystem der Ebene Ein Polarkoordinatensystem der Ebene ist bestimmt durch einen festen Punkt, den Pol O, und einer von ihm ausgehenden fest gewa¨hlten Achse, der Polarachse, auf der wie bei einem Zahlenstrahl eine Orientierung und ein Maßstab festgelegt sind. Ein beliebiger Punkt P der Ebene la¨ßt sich dann durch seine Polarkoordinaten beschreiben: Pðr j jÞ, wobei r der Abstand des Punktes P vom Pol O ist und j der Winkel, den der Strahl vom Pol O durch den Punkt P mit der Polarachse bildet.
107 Dabei wird der Winkel j in mathematisch positiver Richtung (linksdrehend, entgegen dem Uhrzeigersinn) gemessen. Dieser Winkel j ist nur bis auf ganzzahlige Vielfache von 2p bestimmt. Man nennt j auch Polarwinkel des Punktes P.
&
Beispiele: 1.
Eine rechteckige Metallplatte soll zwei Bohrungen erhalten. Fu¨r die Mitten der Bohrungen soll gelten: Die erste Bohrung ist von einer Ecke der Platte 120 mm entfernt. Die Verbindungsstrecke zwischen dieser Ecke und der Bohrung soll mit der la¨ngeren Seite der Platte einen Winkel von 30 bilden. Die zweite Bohrung soll dreiviertel so weit von derselben Ecke entfernt sein: Die Verbindungsstrecke zwischen dieser Ecke und der zweiten Bohrung soll mit der ersten Verbindungsstrecke einen Winkel von 45 einschließen. Die Bohrungsmitten sind anzureißen. Mathematisch umgesetzt bedeutet die Aufgabe: Die Polarkoordinaten r1 ¼ 120 mm; j1 ¼ 30 und r2 ¼ 90 mm; j2 ¼ 75 zweier Punkte P1 ðr1 j j1 Þ und P2 ðr2 j j2 Þ sind in kartesische Koordinaten umzurechnen (j2 ¼ j1 45 kommt nicht in Frage, da P2 dann außerhalb der Platte la¨ge). Man berechnet: x1 ¼ r1 cos j1 ¼ 120 mm cos 30 103;92 mm y1 ¼ r1 sin j1 ¼ 120 mm sin 30 ¼ 60;00 mm x2 ¼ r2 cos j2 ¼ 90 mm cos 75 23;29 mm y2 ¼ r2 sin j2 ¼ 90 mm sin 75 86;93 mm Ergebnis: x1 130;92 mm; y1 ¼ 60;00 mm; x2 23;29 mm; y2 86;93 mm
Bild VII-2 Polarkoordinatensystem der Ebene
1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Ein beliebiges geometrisches Objekt kann in verschiedenen Koordinatensystemen beschrieben werden, zum Beispiel in einem kartesischen und in einem Polarkoordinatensystem. Fu¨r dieselben geometrischen Eigenschaften findet man dann zwei Gleichungen f1 ðx; yÞ ¼ 0 und f2 ðr; jÞ ¼ 0. Durch Transformation (berfu¨hrung) des einen Koordinatensystems in das andere geht die eine Gleichung des geometrischen Objekts in die andere u¨ber. Die Transformationsgleichungen fu¨r den bergang von Polarkoordinaten zu kartesischen Koordinaten und umgekehrt ergeben sich mit Hilfe der trigonometrischen und Arkusfunktionen. Zur Vereinfachung wird dabei vorausgesetzt, daß der Pol des Polarkoordinatensystems mit dem Koordinatenursprung des kartesischen Koordinatensystems und die Polarachse mit der x-Achse (Abszisse) zusammenfallen. Transformationsgleichungen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x ¼ r cos j r ¼ x2 þ y2 x y y ¼ r sin j cos j ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ; sin j ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 þ y2 x2 þ y2
y P(x|y) = P(r | f)
y
1
f2 0
P1 y2
r1 y1 f1
x2 x1 längere Rechteckseite
Bild VII-4 Zu Beispiel 1 2.
Welche Polarkoordinaten haben die Ecken A; B; C des Dreiecks Að2;9 j 2;3Þ; Bð3;0 j 0;7Þ; Cð1;8 j 2;7Þ? Man berechnet: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rA ¼ ð2;9Þ2 þ ð2;3Þ2 3;7 2;9 cos jA ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0;7835 ) jA 38;4 ð2;9Þ2 þ ð2;3Þ2 rB ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð3;0Þ2 þ ð0;7Þ2 3;1
cos jB < 0 und sin jB < 0 ) 180 < jB < 270 (vgl. Vorzeichentabelle in Abschnitt VI.2) 3;0 cos a ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0;9738; ð3;0Þ2 þ ð0;7Þ2 cos b ¼ 0;9738 ) b 13;1 Wegen cos ð180 þ aÞ ¼ cos a (vgl. Abschnitt VI.5) folgt jB 180 þ 13;1 ¼ 193;1 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rC ¼ ð1;8Þ2 þ ð2;7Þ2 3;2
1;8 cos a ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0;5547 ) a 56;3 ð1;8Þ2 þ ð2;7Þ2
f 0
r2
cos jC > 0 und sin jC < 0 ) 270 < jC < 360 (vgl. Vorzeichentabelle in Abschnitt VI.2)
r
1
P2
x
x
Bild VII-3 Kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten
Wegen cos ð360 aÞ ¼ cos a (vgl. Abschnitt VI.5) folgt jC 360 56;3 ¼ 303;7 . Ergebnis: Að3;7 j 38;4 Þ; Bð3;1 j 193;1 Þ; Cð3;2 j 303;7 Þ die drei Punkte in Polarkoordinaten.
sind
108
Mathematik
rA xB
fB
yB B
rB
1. Die Gleichung ax þ by þ c ¼ 0 ist die allgemeine Geradengleichung, wobei die Koeffizienten a und b nicht gleichzeitig Null sein du¨rfen.
A
y
fA
0
yA
xC
Allgemeine Geradengleichung xA
fC
x
yC
ax þ by þ c ¼ 0
rC C
Bild VII-5 Zu Beispiel 2
1.4 Kartesisches Koordinatensystem des Raums Ein kartesisches Koordinatensystem des Raums besteht aus drei paarweise aufeinander senkrecht stehenden Geraden (Koordinatenachsen), die sich in einem Punkt, dem Koordinatenursprung, schneiden. Die drei Koordinatenachsen bilden ein Rechtssystem: Winkelt man Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand so ab, daß sie aufeinander senkrecht stehen, dann ko¨nnen diese Finger als positive Richtungen eines Rechtssystems aufgefaßt werden. Man bezeichnet die Achsen in dieser Reihenfolge meist als x-Achse, y-Achse und z-Achse. Auf allen drei Achsen sind die Maßsta¨be gleich. Ein beliebiger Punkt P des Raums kann dann durch seine kartesischen Koordinaten beschrieben werden: Pðx j y j zÞ, wobei x, y und z die senkrechten Projektionen des Punktes auf die drei Koordinatenachsen sind.
Die Variablen x und y sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Geraden. Ein Punkt P0 ¼ Pðx0 j y0 Þ der Ebene liegt also genau dann auf der Geraden, wenn seine Koordinaten x0 und y0 die Gleichung erfu¨llen, wenn also ax0 þ by0 þ c ¼ 0 gilt. Die Koeffizienten a; b; c legen die Gerade eindeutig fest. Fu¨r a ¼ 0 ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse, fu¨r b ¼ 0 eine Parallele zur y-Achse, und fu¨r c ¼ 0 verla¨uft die Gerade durch den Koordinatenursprung (Nullpunkt). 2. Dividiert man die allgemeine Geradengleichung durch b 6¼ 0 (die Gerade ist also nicht parallel a zur y-Achse), dann ergibt sich mit m ¼ und b c n¼ die Hauptform oder Normalform der b Geradengleichung. Hauptform oder Normalform y ¼ mx þ n Geraden, die Parallelen zur y-Achse sind, besitzen also keine Hauptform (Normalform). y
P(x|y )
z
m y=
z0
x+
n
mx y
1 m P0(x0 y0 z 0)
n
1
0 1
x
n
a 1
y0
y
x0 x
Bild VII-6 Kartesisches Koordinatensystem des Raums
2 Geraden 2.1 Geradengleichungen Eine Gerade ist die ku¨rzeste Verbindung zweier Punkte. Eine Gerade ist durch zwei beliebige auf ihr liegende Punkte eindeutig bestimmt (vgl. Abschnitt III.1). Fu¨r eine Gerade gibt es verschiedene Gleichungsformen.
x
0
Bild VII-7 Hauptform der Geradengleichung Die Gro¨ße m wird Richtungskoeffizient oder Steigung der Geraden genannt. Die Steigung ist gleich dem Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven Richtung der x-Achse einschließt. Die Strecke n wird von der Geraden auf der y-Achse abgeschnitten, deshalb heißt n auch Achsenabschnitt oder genauer y-Achsenabschnitt. Er kann ebenso wie der Tangens je nach Lage unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Sonderfa¨lle: 2.1 n ¼ 0 : Die Gerade verla¨uft durch den Nullpunkt. Gerade durch Nullpunkt
y ¼ mx
VII Analytische Geometrie
109 P(x|y)
y y
x =m
y
m 1
0
x
x
Bild VII-8 Gerade mit der Gleichung y ¼ mx 2.2 m ¼ 0 : Die Gerade ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n. y¼n
Parallele zur x-Achse
den Katheten m, 1 gilt die Proportion y y1 ðy y1 Þ : ðx x1 Þ ¼ m : 1 oder ¼ m: x x1 Auflo¨sung nach y ergibt die Punktsteigungsform. 4. Die Gleichung einer Geraden durch zwei Punkte P1 ¼ Pðx1 j y1 Þ und P2 ¼ Pðx2 j y2 Þ mit x1 6¼ x2 ergibt die Zweipunkteform der Geradengleichung. Zweipunkteform y¼
y2 y1 ðx x1 Þ þ y1 x2 x1
oder y y1 y2 y1 ¼ x x1 x2 x1
y y=n n
y
0
P
x P2
Bild VII-9 Gerade mit der Gleichung y ¼ n P1
2.3 Entsprechend ist x ¼ k die Gleichung einer Parallele zur y-Achse im Abstand k.
y y2 1 m x1
0
y
x2
x
x
Bild VII-12 Zweipunkteform der Geradengleichung
x=k 0
y1
x¼k
Parallele zur y-Achse
x
k
Bild VII-10 Gerade mit der Gleichung x ¼ k 3. Sind von einer Geraden ein Punkt P1 ¼ Pðx1 j y1 Þ und die Steigung m bekannt, dann lautet die Gleichung der Geraden y ¼ mðx x1 Þ þ y1 . Dies ist die Punktsteigungsform der Geradengleichung. y ¼ mðx x1 Þ þ y1
Punktsteigungsform y
Die Proportion ergibt sich aus der hnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Hypotenusen P1 P und P1 P2 . 5. Hat eine Gerade den Achsenabschnitt x0 auf der x-Achse und den Achsenabschnitt y0 auf der y Achse, das heißt, die Gerade geht durch die Punkte P1 ðx0 j 0Þ und P2 ð0 j y0 Þ, und gilt x0 6¼ 0 und y0 6¼ 0, dann lautet die Gleichung der Gex y þ ¼ 1. Dies ist die Achsenabschnittsrade x0 y0 form der Geradengleichung.
P
Achsenabschnittsform
x y þ ¼1 x0 y0
y – y1 P1
1 m x – x1
mx1 x1 n
y1
y
Bild VII.13 Achsenabschnittsform der Geradengleichung
y
y1
x1
a 0
x
x
Bild VII-11 Punktsteigungsform der Geradengleichung
y0
P y
Wegen der hnlichkeit der rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten y y1 , x x1 und mit
x 0
x0
x
110
Mathematik
Aus der allgemeinen Geradengleichung ax þ by þ c ¼ 0 ergibt sich die Achsenabschnittsform durch Division durch c 6¼ 0. 6. Die Hesse-Form oder Hessesche Normalform der Geradengleichung (nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse, 1811––1874) lautet x cos j þ y sin j d ¼ 0. Dabei ist d 0 der Abstand des Koordinatenursprungs O von der Geraden g, also die La¨nge des Lotes von O auf die Gerade g (Fußpunkt F), und j mit 0 j < 2p der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Lot OF.
Man findet die Achsenabschnittsform auch direkt, indem man in der Hauptform durch Division durch -4 das Absolutglied zu 1 macht. Hessesche Normalform : Durch Umstellung der Hauptform ergibt sich 1;5x y 4 ¼ 0: Durch Vergleich mit der allgemeinen Geradengleichung ax þ by þ c ¼ 0 erha¨lt man a ¼ 1;5; b ¼ 1; c ¼ 4. Man erha¨lt die Hessesche Normalform, indem man die Gleichung qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1; 5x y 4 ¼ 0 durch þ a2 þ b2 ¼ þ ð1;5Þ2 þ ð1Þ2 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffi þ 3;25 dividiert: 1;5 1 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffi x pffiffiffiffiffiffiffiffiffi y pffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 0 3;25 3;25 3;25
y
Hessesche Normalform 4
P1
x cos j þ y sin j d ¼ 0
2
Bild VII-14 Hessesche Normalform der Geradengleichung
y
–4
a –2 d
f 0
2
x
–2 F –4
f = a – 90° 0
inf ys
xc
os f
d
P(x|y ) f
–6
y
P2
a
x
x
Man kann die Hessesche Normalform aus der allgemeinen Geradengleichung ax þ by þ c ¼ 0 durch Multiplikation mit dem Normierungsfak1 tor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi herleiten. Das Vorzeichen des a2 þ b2 Normierungsfaktors muß entgegengesetzt zu dem von c gewa¨hlt werden. &
–8
g
Beispiel: Gesucht ist die Gerade durch die Punkte P1 ð5 j 3;5Þ und P2 ð2 j 7Þ. Zweipunkteform: y 3;5 7 3;5 ¼ xþ5 2þ5 Punktsteigungsform : Da die rechte Seite der Zweipunkteform die Steigung m angibt, 7 3;5 also m ¼ ¼ 1;5 folgt 2þ5 y ¼ 1;5ðx þ 5Þ þ 3;5 Hauptform: Aus der Punktsteigungsform ergibt sich y ¼ 1;5x 7;5 þ 3;5 und somit y ¼ 1;5x 4 Achsenabschnittsform : Aus der Hauptform folgt y ¼ 4 fu¨r x ¼ 0, der y-Achsenabschnitt ist also y0 ¼ 4. Setzt man in die Hauptform y ¼ 0 ein, so ergibt 8 sich 1;5x ¼ 4, also x ¼ , der x-Achsenabschnitt ist somit 3 8 x0 ¼ . Die Achsenabschnittsform lautet daher 3 x y ¼1 þ 8 4 3
g
Bild VII-15 Gerade durch die Punkte P1 ð5 j 3;5Þ und P2 ð2 j 7Þ
2.2 Absta¨nde Mit Hilfe der Hesseschen Normalform der Geradengleichung la¨ßt sich der Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwischen zwei parallelen Geraden berechnen. Zuna¨chst werden jedoch Formeln zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei Punkten hergeleitet. 1. Punkt –– Punkt Der Abstand zweier Punkte P1 und P2 ist die La¨nge jP1 P2 j der Verbindungsstrecke P1 P2. Sind die Punkte im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, also P1 ¼ P1 ðx1 j y1 Þ; P2 ¼ P2 ðx2 j y2 Þ, dann gilt fu¨r den Abstand dðP1 ; P2 Þ von P1 und P2 nach dem Satz des Pythagoras qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dðP1 ; P2 Þ ¼ jP1 P2 j ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 Sind die Punkte in Polarkoordinaten dargestellt, also P1 ¼ P1 ðr1 j j1 Þ; P2 ¼ P2 ðr2 j j2 Þ, dann folgt aus dem Kosinussatz dðP1 ; P2 Þ ¼ jP1 P2 j qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ r12 þ r22 2r1 r2 cos ðj1 j2 Þ 2. Gerade –– Gerade Sind g1 : y ¼ mx þ n1 und g2 : y ¼ mx þ n2 zwei parallele Geraden (parallele Geraden haben glei-
VII Analytische Geometrie che Steigung), so ermittelt man die Hessesche Normalform der Geraden: g1 : x cos j þ y sin j d1 ¼ 0; g2 : x cos j þ y sin j d2 ¼ 0 Fu¨r den Abstand l der parallelen Geraden g1 und g2 voneinander gilt dann l ¼ jd1 d2 j, wenn die Geraden auf der gleichen Seite des Koordinatenursprungs liegen, l ¼ d1 þ d2 , wenn die Geraden auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs liegen. 3. Punkt –– Gerade Ist P1 ðx1 j y1 Þ ein Punkt und g1 : y ¼ mx þ n eine Gerade, dann ermittelt man zuna¨chst die Hessesche Normalform von g1 : g1 : x cos j þ y sin j d1 ¼ 0 Durch den Punkt P1 legt man eine zu g1 parallele Gerade g2 : g2 : x cos j þ y sin j d2 ¼ 0 Ist l der Abstand zwischen P1 und g1 , so ist l auch der Abstand zwischen den Geraden g1 und g2 , und es gilt g2 : x cos j þ y sin j ðd1 lÞ ¼ 0
111 Durch Einsetzen der Koordinaten von P1 erha¨lt man den gesuchten Abstand: 3 4 l ¼ 5 þ 10 2 ¼ j 3 þ 8 2 j ¼ 3 5 5
3 Kreise 3.1 Kreisgleichungen Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt des Kreises) einen konstanten Abstand r (Radius des Kreises) haben (vgl. Abschnitt III.10). Fu¨r einen Kreis gibt es verschiedene Gleichungsformen. 1. Liegt der Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius r im Koordinatenursprung, dann lautet die Gleichung des Kreises in kartesischen Koordinaten x2 þ y2 ¼ r2 . Dabei sind x und y die Koordinaten eines beliebigen Punktes Pðx j yÞ des Kreises. Die Gleichung ergibt sich nach dem Satz des Pythagoras. Mittelpunkt im Ursprung y
Da P1 auf g2 liegt, erfu¨llen seine Koordinaten die Geradengleichung x1 cos j þ y1 sin j ðd1 lÞ ¼ 0 ;
P r
woraus sich fu¨r den Abstand l ergibt l ¼ jx1 cos j þ y1 sin j d1 j &
Beispiele: 1. Gegeben: Die Punkte P1 ð3 j 4Þ und P2 ð2 j 6Þ Gesucht: Der Abstand dðP1 ; P2 Þ von P1 und P2 Es gilt qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 ¼ ð2 3Þ2 þ ð6 4Þ2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ¼ 52 þ 22 ¼ 29 ¼ 5;3851 . . .
dðP1 ; P2 Þ ¼
2.
Gegeben: Die beiden parallelen Geraden g1 : 2x 4y þ 7 ¼ 0; g2 : 3x þ 6y þ 30 ¼ 0 Gesucht: Der Abstand l der beiden Geraden 2 4 7 Hessesche Normalform von g1 : pffiffiffiffiffi x þ pffiffiffiffiffi y pffiffiffiffiffi ¼ 0 20 20 20 durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung 1 1 mit dem Normierungsfaktor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 1 22 þ ð4Þ2 ¼ pffiffiffiffiffi 20 2 4 20 Hessesche Normalform von g2 : pffiffiffiffiffi x pffiffiffiffiffi y pffiffiffiffiffi ¼ 0 20 20 20 Entgegengesetzte Vorzeichen der x- und y-Glieder ) die Geraden liegen auf verschiedenen Seiten des Koordinatenursprungs Somit gilt fu¨r den Abstand l von g1 und g2 : pffiffiffi 7 20 27 27 27 5 l ¼ d1 þ d2 ¼ pffiffiffiffiffi þ pffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffi ¼ 10 20 20 20 2c 5
3.
Gegeben: Punkt P1 ð5 j 10Þ und Gerade g1 : 3x 4y þ 10 ¼ 0 Gesucht: Der Abstand l des Punktes P1 von der Geraden g1 3 4 Hessesche Normalform von g1 : x þ y 2 ¼ 0 5 5 durch Multiplikation der allgemeinen Geradengleichung mit 1 1 1 dem Normierungsfaktor pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 5 2 a2 þ b2 2 3 þ ð4Þ
x2 þ y2 ¼ r2
y x
0
x
Bild VII-16 Kreisgleichung x2 þ y2 ¼ r2 2. Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm und ym , also M ¼ Mðxm j ym Þ, dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kreisgleichung. Mittelpunktsform oder Hauptform ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ r2 y P r M y ym
0
xm
x
x
Bild VII-17 Kreisgleichung ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ r2
112
Mathematik
3. Lo¨st man in der Mittelpunktsform die Klammern auf, dann ergibt sich die allgemeine Form der Kreisgleichung. Allgemeine Form x2 þ y2 þ 2ax þ 2by þ c ¼ 0 Hierin bedeuten a ¼ xm ; b ¼ ym ; c ¼ x2m þ y2m r2 : Aus der letzten Gleichung folgt a2 þ b2 c ¼ r2 > 0 als Bedingung dafu¨r, daß es sich bei einer Gleichung der allgemeinen Form wirklich um eine Kreisgleichung handelt (fu¨r c > a2 þ b2 liefert die Gleichung keine reelle Kurve, fu¨r c ¼ a2 þ b2 ergibt sich ein einziger Punkt Mðxm j ym Þ). 4. Werden die beiden Koordinaten x und y jeweils als Funktion einer Hilfsvariablen t angegeben, so erha¨lt man die Parameterdarstellung des Kreises mit dem Radius r und dem Mittelpunkt Mðxm j ym Þ (vgl. Abschnitt V.1.2). Parameterdarstellung x ¼ xm þ r cos t ; y ¼ ym þ r sin t ; 0 t < 2p
3.
Lo¨sung: Die entsprechenden Rechnungen wie bei Beispiel 1 ergeben ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ¼ 1. Dies ist eine unerfu¨llbare Gleichung, denn der Term auf der linken Seite des Gleichheitszeichens ist als Summe zweier Quadrate nicht negativ (ein Quadrat ist nicht negativ, also ist auch eine Summe von Quadraten nicht negativ), wa¨hrend die rechte Seite gleich 1, also negativ ist. Man besta¨tigt, daß die Bedingung a2 þ b2 c > 0 nicht erfu¨llt ist. Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1;5x2 þ 1;5y2 þ 3x 6y þ 7;5 ¼ 0? Lo¨sung: Man berechnet a2 þ b2 c ¼ 1 þ 4 5 ¼ 0 in der durch 1,5 dividierten Gleichung und somit ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ¼ 0. Dies ist die Gleichung eines entarteten Kreises, also eines Kreises mit dem Radius r ¼ 0. Die Gleichung wird nur von einem Koordinatenpaar, den Koordinaten des Mittelpunktes Mð1 j 2Þ, erfu¨llt.
3.2 Berechnung von Kreisen Ein Kreis ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch drei Punkte (die nicht alle auf einer Geraden liegen). Die Gleichung eines Kreises kann also berechnet werden, wenn drei Punkte der Kreisperipherie gegeben sind oder der Mittelpunkt und ein Punkt der Peripherie. Berechnung von Kreisen:
&
Beispiele: 1. Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1;5x2 þ 1;5y2 þ 3x 6y þ 4;5 ¼ 0? Lo¨sung: Division durch 1,5 ergibt x2 þ y2 þ 2x 4y þ 3 ¼ 0, eine Kreisgleichung in allgemeiner Form. Dabei ist a ¼ xm ¼ 1; b ¼ ym ¼ 2; c ¼ 3. Die Bedingung a2 þ b2 c > 0 ist erfu¨llt, denn 1 þ 4 3 ¼ 2 > 0. Die Koordinaten des Kreismittelpunktes sind xm ¼ 1; pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ym ¼ 2, der Radius ist r ¼ a2 þ b2 c ¼ 2. Die Mittelpunktsform
(Hauptform)
dieses
Kreises
lautet
somit
1. Gegeben: Mittelpunkt Mðxm j ym Þ, Punkt P1 ðx1 j y1 Þ Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 Der Radius r des gesuchten Kreises ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P1 in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ¼ ðx1 xm Þ2 þ ðy1 ym Þ2 Kreisgleichung somit:
ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ¼ 2.
ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ ðx1 xm Þ2 þ ðy1 ym Þ2 2. Gegeben: Punkte P1 ðx1 j y1 Þ; P2 ðx2 j y2 Þ; P3 ðx3 j y3 Þ Gesucht: Kreis durch die Punkte P1 ; P2 ; P3 Bestimmung der Koordinaten xm ; ym des Mittelpunktes: Einsetzen der Koordinaten der Punkte in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung :
y 3 M
2 1
–1
x
0
Bild VII-18 Kreis mit der Gleichung ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ¼ 2 Die aus der gegebenen Gleichung abgeleitete Gleichung x2 þ y2 þ 2x 4y þ 3 ¼ 0 la¨ßt sich auch ohne Benutzung der Formeln fu¨r die Mittelpunktskoordinaten und den Radius auf die Mittelpunktsform bringen, und zwar mit Hilfe von quadratischen Erga¨nzungen: x2 þ y2 þ 2x 4y þ 3 ðx2 þ 2xÞ þ ðy2 4yÞ ðx2 þ 2x þ 1Þ þ ðy2 4y þ 4Þ ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 2.
¼0 ¼ 3 ¼ 1þ43 ¼2
Welches geometrische Objekt beschreibt die Gleichung 1;5x2 þ 1;5y2 þ 3x 6y þ 9 ¼ 0?
ðx1 xm Þ2 þ ðy1 ym Þ2 ¼ ðx2 xm Þ2 þ ðy2 ym Þ2 ¼ ðx3 xm Þ2 þ ðy3 ym Þ2 ¼ r2 Daraus erha¨lt man ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung von xm und ym : 2ðx2 x1 Þ xm þ 2ðy2 y1 Þ ym ¼ x22 x21 þ y22 y21 2ðx3 x1 Þ xm þ 2ðy3 y1 Þ ym ¼ x23 x21 þ y23 y21
Bestimmung des Radius r : Einsetzen von xm ; ym und der Koordinaten eines Punktes in qdie Mittelpunktsform der Kreisgleiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
chung: r ¼ ðx1 xm Þ2 þ ðy1 ym Þ2 Einsetzen von xm ; ym und r in die Mittelpunktsform der Kreisgleichung ergibt die Gleichung des gesuchten Kreises.
VII Analytische Geometrie &
Beispiele: 1. Gegeben: Mittelpunkt Mð2 j 1Þ, Punkt P1 ð4 j 3Þ Gesucht: Kreis mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 Berechnung des Radius: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi r ¼ ð4 ð2ÞÞ2 þ ð3 ð1ÞÞ2 ¼ 52
2.
Der gesuchte Kreis hat die Gleichung ðx þ 2Þ2 þ ðy þ 1Þ2 ¼ 52. Gegeben: Punkte P1 ð6j7Þ; P2 ð2j9Þ; P3 ð1j0Þ Gesucht: Kreis durch die Punkte P1 ; P2 ; P3 Bestimmung der Koordinaten xm ; ym des Mittelpunktes: 2ð2 6Þ xm þ 2ð9 7Þ ym ¼ 22 62 þ 92 72 2ð1 6Þ xm þ 2ð0 7Þ ym ¼ ð1Þ2 62 þ 02 72 2xm þ ym ¼ 0 8xm þ 4ym ¼ 0 ) ) 14xm 14ym ¼ 84 2xm þ 2ym ¼ 12 ) ym ¼ 4 ) xm ¼ 2 Bestimmung des Radius r : qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi r ¼ ð6 2Þ2 þ ð7 4Þ2 ¼ 25 ¼ 5 Der gesuchte Kreis hat somit die Gleichung ðx 2Þ2 þ ðy 4Þ2 ¼ 52 .
3.3 Kreis und Gerade Ein Kreis und eine Gerade ko¨nnen drei grundsa¨tzlich verschiedene Lagen zueinander haben (vgl. Abschnitt III.10.4): 1. Die Gerade ist eine Passante p, sie hat mit dem Kreis keinen Punkt gemeinsam. 2. Die Gerade ist eine Tangente t, sie hat mit dem Kreis genau einen Punkt, den Beru¨hrungspunkt P, gemeinsam. 3. Die Gerade ist eine Sekante s, sie hat mit dem Kreis zwei Punkte, die Schnittpunkte P1 und P2 , gemeinsam. Haben ein Kreis und eine Gerade Punkte gemeinsam (also in den Fa¨llen, daß die Gerade Tangente oder Sekante des Kreises ist), dann erfu¨llen die gemeinsamen Punkte sowohl die Gleichung des Kreises als auch die Gleichung der Geraden, also das (nichtlineare) Gleichungssystem (1) ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ r2 (2) ax þ by þ c ¼ 0 Ist die Gerade eine Passante, dann hat dieses Gleichungssystem keine Lo¨sung, ist die Gerade eine Tangente, dann gibt es genau eine Lo¨sung, und ist die Gerade eine Sekante, dann existieren zwei verschiedene Lo¨sungen. Man lo¨st dieses Gleichungssystem, indem man in der Geradengleichung (2) eine Variable durch die andere eliminiert (also Auflo¨sen nach x oder y) und in (1) einsetzt. Dadurch entsteht eine quadratische Gleichung, die in Abha¨ngigkeit von der Diskriminante keine, eine oder zwei reelle Lo¨sungen hat. Hat zum Beispiel der gegebene Kreis seinen Mittelpunkt im Koordinatenursprung, und ist die Geradengleichung in Normalform gegeben, so folgt :
113 x2 þ ðmx þ nÞ2 ¼ r2 x2 þ m2 x2 þ 2mxn þ n2 ¼ r2 x2 ð1 þ m2 Þ þ 2mnx þ n2 r2 ¼ 0 mnx n2 r2 þ ¼0 x2 þ 2 2 1 þ m2 1 þ sm ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mn 2 n2 r2 mn x1; 2 ¼ 1 þ m2 1 þ m2 1 þ m2 mn 1 ¼ 1 þ m2 1 þ m2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi m2 n2 n2 þ r2 m2 n2 þ m2 r2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi mn 1 ¼ ð1 þ m2 Þ r2 n2 2 2 1þm 1þm Der Wert der Diskriminante (Radikand der Gleichung) bestimmt die Anzahl der reellen Lo¨sungen dieser Gleichung : 1. ð1 þ m2 Þ r2 < n2 ) keine reelle Lo¨sung ) Gerade ist Passante 2. ð1 þ m2 Þ r2 ¼ n2 ) eine reelle Lo¨sung ) Gerade ist Tangente 3. ð1 þ m2 Þ r2 > n2 ) zwei reelle Lo¨sungen ) Gerade ist Sekante &
Beispiele: 1. Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung ð1Þ ðx 2Þ2 þ ðy þ 3Þ2 ¼ 52 und der Geraden mit der Gleichung ð2Þ 2x y 9 ¼ 0. Aus (2) folgt y ¼ 2x 9, was in (1) eingesetzt wird: ðx 2Þ2 þ ð2x 6Þ2 ¼ 25 ) x2 4x þ 4 þ 4x2 24x þ 36 ¼ 25 ) 5x2 28x þ 15 ¼ 0 28 xþ3¼0 Division durch 5 ergibt die Normalform x2 5 der quadratischen Gleichung, woraus sich mit quadratischer Erga¨nzung 2 2 14 14 121 x ¼ 3 þ ¼ 5 5 25 14 11 3 die Lo¨sungen x1; 2 ¼ ; also x1 ¼ 5; x2 ¼ ergeben. 5 5 5 Aus (2) errechnet man die zugeho¨rigen y-Werte: 39 y1 ¼ 1; y2 ¼ . 5 Schnittpunkte von Kreis und Gerade somit: 3 39 P1 ð5 j 1Þ; P2 5 5 Die Gerade ist eine Sekante. 2.
Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung ð1Þ ðx þ 2Þ2 þ ðy þ 3Þ2 ¼ 13 und der Geraden mit der Gleichung ð2Þ 3x þ 2y 1 ¼ 0. 3 1 3 7 ) yþ3¼ xþ . Aus (2) folgt y ¼ x þ 2 2 2 2 In (1) eingesetzt ergibt: 2 3 7 ðx þ 2Þ2 þ x þ ¼ 13 2 2 9 21 49 2 2 ) x þ 4x þ 4 þ x x þ ¼ 13 4 2 4 13 2 13 13 x xþ ¼0 ) 4 2 4 4 Durch Multiplikation mit erha¨lt man x2 2x þ 1 ¼ 13 ðx 1Þ2 ¼ 0, woraus sich die Lo¨sungen x1 ¼ x2 ¼ 1 ergeben. In (2) eingesetzt ergibt den zugeho¨rigen y-Wert: y1 ¼ y2 ¼ 1. Die Gerade ist eine Tangente, sie beru¨hrt den Kreis im Punkt Pð1 j 1Þ.
3.
Berechnung der Schnittpunkte des Kreises mit der Gleichung ð1Þ ðx 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ¼ 42
(1) x2 þ y2 ¼ r2 (2) y ¼ mx þ n Einsetzen von (2) in (1) ergibt eine quadratische Gleichung in x, die aufzulo¨sen ist:
114
Mathematik und der Geraden mit der Gleichung ð2Þ x y þ 10 ¼ 0. Gleichung (2) nach y aufgelo¨st: y ¼ x þ 10 ) y 2 ¼ x þ 8 In (1) eingesetzt: ðx 1Þ2 þ ðx þ 8Þ2 ¼ 16 ) x2 2x þ 1 þ x2 þ 16x þ 64 ¼ 16 ) 2x2 þ 14x þ 49 ¼ 0 49 ¼0 ) x2 þ 7x þ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffi 7 49 49 7 49 7 ¼ ¼ ð1 1Þ ) x1; 2 ¼ 2 4 2 2 4 2 Die Diskriminante ist negativ, die quadratische Gleichung hat also keine reelle Lo¨sung, das heißt, Kreis und Gerade schneiden sich nicht. Die Gerade ist eine Passante.
oder y y1 y1 ym ¼ x x1 x1 xm Dies sind Gleichungen der Normale durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ des Kreises. y1 ym . Die Steigung der Normale ist daher m2 ¼ x1 xm Wegen m1 m2 ¼ 1 folgt fu¨r die Steigung m1 der x1 xm Tangente m1 ¼ . Die Gleichung der Tany1 ym gente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ la¨ßt sich dann mit der Punktsteigungsform berechnen y ¼ m1 ðx x1 Þ þ y1 ¼
x1 xm ðx x1 Þ þ y1 y1 ym
ym
M(xm|ym)
e nt
y1 ym ðx x1 Þ þ y1 x1 xm
P1(x1|y1) r
ge
y¼
r No
n Ta
Eine Tangente ist ganz allgemein eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y ¼ f ðxÞ, in einem Punkt Pða j f ðaÞÞ beru¨hrt, aber nicht schneidet (Tangente = Beru¨hrende). Tangenten gibt es also nicht nur beim Kreis, sondern fu¨r beliebige Kurven. Eine Normale ist eine Gerade durch den Punkt Pða j f ðaÞÞ einer Funktion y ¼ f ðxÞ, die senkrecht auf der Tangente an die Kurve der Funktion in diesem Punkt P steht. Zu jeder Tangente geho¨rt also eine Normale. Ist m1 ¼ tan a die Steigung der Tangente, dann ist also m2 ¼ tan ða 90 Þ die Steigung der zugeho¨1 (vgl. rigen Normale. Wegen tan ða 90 Þ ¼ tan a Abschnitte VI.3 und VI.5) folgt daraus m1 m2 ¼ 1 fu¨r das Produkt von Tangenten- und Normalensteigung. Beim Kreis geht jede Normale durch den Kreismittelpunkt. Will man die Gleichung der Normale des Kreises mit der Gleichung ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ r2 (also Mittelpunktsform) durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ des Kreises berechnen, so setzt man die Koordinaten der Punkte Mðxm j ym Þ und P1 ðx1 j y1 Þ, die auch auf der Normale liegen und diese damit eindeutig festlegen, in die Zweipunkteform der Geradengleichung ein.
ale
m
y
P(x|y)
0
xm
x
Bild VII-19 Eine Tangente und eine Normale des Kreises Durch Subtraktion von y und Multiplikation der Gleichung mit ðy1 ym Þ erha¨lt man folgende a¨quivalente Form als Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an den Kreis mit der Gleichung ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 ¼ r2 . ðx1 xm Þ ðx x1 Þ þ ðy1 ym Þ ðy y1 Þ ¼ 0 Durch elementare Umformungen ergibt sich ðx1 xm Þ ðx x1 Þ þ ðy1 ym Þ ðy y1 Þ ¼ 0 ðx1 xm Þ x þ ðy1 ym Þ y ¼ x1 ðx1 xm Þ þ y1 ðy1 ym Þ ðx1 xm Þ ðx xm Þ þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ ¼ ðx1 xm Þ2 þ ðy1 ym Þ2 ðx1 xm Þ ðx xm Þ þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ ¼ r2 Die letzte Gleichung folgt, weil P1 ðx1 j y1 Þ ein Punkt des Kreises ist und damit die Kreisgleichung erfu¨llt. Als weitere a¨quivalente Tangentengleichung erha¨lt man also ðx1 xm Þ ðx xm Þ þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ ¼ r2 &
Beispiele: 4. Bestimmung der Gleichungen von Tangente und Normale an den Kreis mit der Gleichung ðx 2Þ2 þ ðy þ 3Þ2 ¼ 10 im Punkt P1 ð1 j 0Þ des Kreises. Tangente: 1 1 x ð1 2Þ ðx 1Þ þ ð0 þ 3Þ ðy 0Þ ¼ 0 ) y ¼ 3 3 Normale: 0þ 3 y¼ ðx 1Þ þ 0 ) y ¼ 3x þ 3 12 3 5. Welche Geraden mit der Steigung m ¼ beru¨hren den 2 Kreis mit der Gleichung x2 þ y2 ¼ 9? Lo¨sung: Fu¨r den y-Achsenabschnitt n einer Tangente an einen Kreis, dessen Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, gilt nach dem Satz des Pythagoras n2 ¼ r2 þ z2 ¼ r2 þ r2 m21 ¼ z und tan ð180 aÞ ¼ ð1 þ m21 Þ r2 , denn tan ð180 aÞ ¼ r tan a ¼ m1 (siehe Bild VII-20). 3 Einsetzen von m ¼ und r ¼ 3 ergibt 2 9 13 117 1 pffiffiffiffiffiffiffiffi n2 ¼ 1 þ 9¼ 9¼ )n¼ 117 5;4083. 4 4 4 2 Die gesuchten Tangentengleichungen sind 3 1 pffiffiffiffiffiffiffiffi 3 1 pffiffiffiffiffiffiffiffi y¼ þ 117 und y ¼ 117. 2 2 2 2 Die erste der beiden Tangenten ist in Bild VII-20 eingezeichnet.
VII Analytische Geometrie
115
y 2.
n z ale
rm
No
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi Berechnung des Radius: r ¼ 42 þ 32 þ 12 ¼ 26 Die gesuchte Kugel hat die Gleichung x2 þ y2 þ z2 ¼ 26. Gegeben: Mittelpunkt Mð2 j 1 j 1Þ, Punkt P1 ð0 j 4 j 3Þ Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1 Berechnung des Radius: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi r ¼ ð0 2Þ2 þ ð4 ð1ÞÞ2 þ ð3 1Þ2 ¼ 45 Die gesuchte Kugel hat die Gleichung ðx 2Þ2 þ ðy þ 1Þ2 þ ðz 1Þ2 ¼ 45.
P1 1
r
M
a–90°
=0 1
y1
5 Kegelschnitte
Tangente a
x1
x
Bild VII-20 Tangente und Normale des Kreises mit der Gleichung x2 þ y2 ¼ 9
4 Kugeln Eine Kugel ist der geometrische Ort aller Punkte des Raumes, die von einem festen Punkt M (Mittelpunkt der Kugel) einen konstanten Abstand r (Radius der Kugel) haben (vgl. Abschnitt IV.8). Fu¨r eine Kugel gibt es verschiedene Gleichungsformen. Liegt der Mittelpunkt einer Kugel mit dem Radius r im Ursprung eines (dreidimensionalen) kartesischen Koordinatensystems, dann lautet die Gleichung der Kugel x2 þ y2 þ z2 ¼ r2 . Dabei sind x, y und z die Koordinaten eines beliebigen Punktes Pðx j y j zÞ der Kugel (Kugeloberfla¨che). Mittelpunkt im Ursprung
x2 þ y2 þ z2 ¼ r2
z
Ein Kegelschnitt ist die Schnittfigur einer Ebene und des Mantels eines geraden Doppelkreiskegels. Ein gerader Kreiskegel entsteht durch Rotation einer Geraden (die Erzeugende oder Mantellinie) in einem festen Punkt (der Spitze) um eine vertikale Achse, wobei sich die rotierende Gerade entlang eines Kreises bewegt (also mit einem Kreis als Leitkurve), der in einer Ebene senkrecht zur Rotationsachse liegt (vgl. Abschnitt IV.4). Ein gerader Doppelkreiskegel besteht aus zwei geraden Kreiskegeln, die Spitze auf Spitze stehen und die gleiche Rotationsachse haben. Schneidet man einen geraden Doppelkreiskegel mit einer nicht durch die (gemeinsame) Spitze S gehenden Ebene E, dann entsteht als Kurve ein Kegelschnitt. Abha¨ngig von der Lage der Ebene E zum Doppelkegel erha¨lt man verschiedene Kurven. Kreis Liegt die Ebene senkrecht zur Kegelachse (Rotationsachse), so schneidet sie aus der Mantelfla¨che des Kegels einen Kreis heraus. Ellipse Ist die Neigung der Ebene so, daß sie nur eine Ha¨lfte des Doppelkegels schneidet und daß sie nicht parallel zu einer Mantellinie verla¨uft, so wird eine Ellipse ausgeschnitten.
r 0 x
y
Bild VII-21 Kugel mit der Gleichung x2 þ y2 þ z2 ¼ r2
Hat der Mittelpunkt allgemeiner die Koordinaten xm , ym und zm , also M ¼ ðxm j ym j zm Þ, dann ergibt sich die Mittelpunktsform oder Hauptform der Kugelgleichung. Mittelpunktsform oder Hauptform
Parabel Verla¨uft die Ebene parallel zu einer Mantellinie, so schneidet sie aus der Mantelfla¨che eine Parabel heraus. Hyperbel Trifft die Ebene beide Ha¨lften des Doppelkegels (zum Beispiel wenn sie parallel zur Kegelachse steht), dann ist die Schnittfigur eine Hyperbel (es werden zwei Kurven ausgeschnitten, die beiden ste einer Hyperbel).
ðx xm Þ2 þ ðy ym Þ2 þ ðz zm Þ2 ¼ r2 Eine Kugel ist festgelegt durch den Mittelpunkt und einen weiteren Punkt oder durch vier Punkte (die nicht alle in einer Ebene liegen). &
Beispiele: 1. Gegeben: Mittelpunkt im Koordinatenursprung, also M ¼ Mð0 j 0 j 0Þ, Punkt P1 ð4 j 3 j 1Þ Gesucht: Kugel mit dem Mittelpunkt M durch den Punkt P1
Bild VII-22 Kegelschnitt Ellipse
116
Mathematik chung eine Gleichung zweiten Grades in x und y hat. In einer solchen Gleichung kommen x und y nur linear und quadratisch vor. Die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts lautet Ax2 þ 2Bxy þ Cy2 þ Dx þ Ey þ F ¼ 0 Bild VII-23 Kegelschnitt Hyperbel
Die Kegelschnitte lassen sich bezu¨glich der Lage der Ebene E zu den Mantellinien des Doppelkegels charakterisieren: Beim Kreis und bei der Ellipse ist die Ebene zu keiner der Mantellinien parallel, bei der Parabel ist die Ebene zu einer Mantellinie parallel, und bei der Hyperbel ist die Ebene zu zwei Mantellinien des Doppelkegels parallel. Die Kegelschnitte lassen sich auch durch die Beziehung des ffnungswinkels a des Kegels zum Neigungswinkel b der Schnittebene E zur Rotationsachse beschreiben: b ¼ 90 a Ellipse: < b < 90 2 a Parabel: b¼ 2 a Hyperbel: 0 b < 2
Diese Gleichung entha¨lt als Sonderfa¨lle auch Gleichungen von Punkten, Geraden, Geradenpaaren und imagina¨ren Kurven. &
Kreis:
5.1 Ellipsen
Kreis
Ellipse
Hyperbel Parabel a b
b
Beispiele: 1. A ¼ 1; B ¼ C ¼ D ¼ 0; E ¼ 1; F ¼ 0 ) y ¼ x2 Gleichung der Normalparabel 2. A ¼ 1; B ¼ 0; C ¼ 1; D ¼ E ¼ 0; F ¼ r2 ) x2 þ y2 ¼ r2 Mittelpunktsform der Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung 1 1 x2 y2 3. A ¼ 2 ; B ¼ 0; C ¼ 2 ; D ¼ E ¼ 0; F ¼ 1 ) 2 þ 2 ¼ 1 a b a b Mittelpunktsform der Gleichung einer Ellipse mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung 1 1 x2 y2 4. A ¼ 2 ; B ¼ 0; C ¼ 2 ; D ¼ E ¼ 0; F ¼ 1 ) 2 2 ¼ 1 a b a b Mittelpunktsform der Gleichung einer Hyperbel mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung 5. A ¼ B ¼ C ¼ 0; D ¼ 1; E ¼ 1; F ¼ 0 ) y ¼ x Gleichung der Winkelhalbierenden (Gerade)
b b= 90°
Rotationsachse
Eine Ellipse ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, fu¨r die die Summe der Absta¨nde von zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. Die Punkte F1 und F2 heißen Brennpunkte der Ellypse. Bezeichnet man den Abstand eines beliebigen Punktes P1 der Ellipse zu F1 mit r1 und den Abstand von P1 zu F2 mit r2 , also jP1 F1 j ¼ r1 ; jP1 F2 j ¼ r2, dann gilt r1 þ r2 ¼ 2a mit einer Konstanten a. y S1′
P1 a y1
a
Bild VII-24 Beziehung des ffnungswinkels a des Kegels zum Neigungswinkel b der Schnittebene zur Rotationsachse
S2
F2 p
Der Kreis ist bezu¨glich der verschiedenen Lagen von Ebene und Doppelkegel ein Spezialfall der Ellipse. Kreis und Ellipse sind beschra¨nkt, nicht jedoch Parabel und Hyperbel. Die Parabel besteht aus einem einzigen Ast (sie ist also zusammenha¨ngend), wa¨hrend die Hyperbel zwei getrennte symmetrische ste besitzt. Falls die Ebene E durch die Kegelspitze S geht, dann besteht die Schnittmenge entweder nur aus einem Punkt (dem Punkt S) oder aus einer oder zwei durch S gehende Geraden (Mantellinien). Solche Schnittmengen heißen entartete Kegelschnitte. Die nahe Verwandtschaft der Kegelschnitte zeigt sich auch in ihren Gleichungen. Jeder Kegelschnitt ist der Graph einer Funktion, die als Funktionsglei-
r2
p
r1
p
b 0=M
F1 S 1 x1
e a
e a
x p
b S2′
Bild VII-25 Bezeichnungen fu¨r die Ellipse Bezeichnungen Mð0 j 0Þ F1 ðe j 0Þ; F2 ðe j 0Þ S1 ða j 0Þ; S2 ða j 0Þ S01 ð0 j bÞ; S02 ð0 j bÞ
Mittelpunkt Brennpunkte Hauptscheitelpunkte Nebenscheitelpunkte
S1 S2
Hauptachse
S01 S02
Nebenachse
jS1 S2 j ¼ 2a
La¨nge der Hauptachse
jS01 S02 j ¼ 2b
La¨nge der Nebenachse (b < a)
VII Analytische Geometrie jMF1 j ¼ jMF2 j ¼ e p¼
117
Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt
b2 a
P1 ðx1 j y1 Þ jP1 F1 j ¼ r1 ; jP1 F2 j ¼ r2
Halbparameter (die halbe La¨nge einer parallel zur Nebenachse gezogenen Sehne durch einen Brennpunkt) beliebiger Punkt der Ellipse Abstand von P1 zu den Brennpunkten
Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an die ðx xm Þ2 ðy ym Þ2 Ellipse mit der Gleichung þ ¼ 1: a2 b2 y¼
x1 xm b2 ðx x1 Þ þ y1 y1 ym a2
oder ðx1 xm Þ ðx xm Þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ þ ¼1 a2 b2
Eigenschaften r1 þ r2 ¼ 2a
Summe der Absta¨nde ist konstant gilt nach dem Satz des Pythagoras heißt lineare Exzentrizita¨t der Ellipse heißt numerische Exzentrizita¨t der Ellipse
e2 þ b2 ¼ a2 e¼
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 b2 > 0
e¼
e 0
e¼
e >1 a
Betragsdifferenz der Absta¨nde ist konstant gilt nach dem Satz des Pythagoras heißt lineare Exzentrizita¨t der Hyperbel heißt numerische Exzentrizita¨t der Hyperbel
Bemerkung Eine der drei Gro¨ßen a; b; e kann wegen a2 þ b2 ¼ e2 aus den beiden anderen berechnet werden. Hyperbelgleichungen 1. Scheitelpunkte auf der x-Achse, Mittelpunkt im Koordinatenursprung: Normalform
x2 y2 ¼1 a2 b2
VII Analytische Geometrie
119
Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel. Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geo¨ffnet. Diese Gleichung nennt man auch die Normalform der Hyperbelgleichung. b Gleichungen der Asymptoten y ¼ x a Nur im Falle a ¼ b stehen die Asymptoten senkrecht aufeinander. Solche Hyperbeln heißen gleichseitige Hyperbeln. 2. Hauptachse parallel zur x-Achse, Mittelpunkt Mðxm j ym Þ: Mittelpunktsform
ðx xm Þ2 ðy ym Þ2 ¼1 a2 b2
Die Hyperbel ist nach rechts und nach links geo¨ffnet. Diese Gleichung heißt auch Mittelpunktsform der Hyperbelgleichung. Gleichungen der Asymptoten b y ¼ ðx xm Þ þ ym a 3. Scheitelpunkte auf der y-Achse, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:
y¼
ðx1 xm Þ ðx xm Þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ ¼1 a2 b2 Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ der Hyperbel mit der Gleichung ðx xm Þ2 ðy ym Þ2 ¼ 1: a2 b2 y¼
xy¼c
oder
y¼
c x
ðc 6¼ 0Þ
Fu¨r c > 0 ist die Winkelhalbierende y ¼ x die Hauptachse, die Hyperbela¨ste liegen im ersten und im dritten Quadranten. Im Falle c < 0 ist die Winkelhalbierende y ¼ x die Hauptachse, die Hyperbela¨ste liegen im zweiten und im vierten Quadranten. Gleichungen der Asymptoten x ¼ 0; y ¼ 0 Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an die Hyperbel mit der Gleichung
x1 xm b2 ðx x1 Þ þ y1 y1 ym a2
oder ðy1 ym Þ ðy ym Þ ðx1 xm Þ ðx xm Þ ¼1 b2 a2 Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ der Hyperbel mit der Gleichung ðy ym Þ2 ðx xm Þ2 ¼ 1: b2 a2
Die Hyperbel ist nach oben und nach unten geo¨ffnet. Die La¨nge der Hauptachse ist 2b. Gleichungen der Asymptoten b y ¼ ðx xm Þ þ ym a 5. Koordinatenachsen als Asymptoten, Mittelpunkt im Koordinatenursprung:
y1 ym a2 ðx x1 Þ þ y1 x1 xm b2
Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an die Hyperbel mit der Gleichung ðy ym Þ2 ðx xm Þ2 ¼ 1: b2 a2 y¼
ðx xm Þ2 ðy ym Þ2 þ ¼1 a2 b2
x1 xm b2 ðx x1 Þ þ y1 y1 ym a2
oder
x2 y2 þ ¼1 a2 b2
Beide Koordinatenachsen sind Symmetrieachsen der Hyperbel. Die Hyperbel ist nach oben und nach unten geo¨ffnet. b Gleichungen der Asymptoten y ¼ x a 4. Hauptachse parallel zur y-Achse, Mittelpunkt Mðxm j ym Þ:
ðx xm Þ2 ðy ym Þ2 ¼ 1: a2 b2
y¼ &
y1 ym a2 ðx x1 Þ þ y1 x1 xm b2
Beispiele: x2 y2 ¼1 1. Gegeben: Hyperbelgleichung 16 20 Gesucht: Brennpunkte, numerische Exzentrizita¨t Berechnung der Brennpunkte: e2 ¼ a2 þ b2 ¼ 16 þ 20 ¼ 36 ¼ 62 ) F1 ð6 j 0Þ; F2 ð6 j 0Þ e 6 Numerische Exzentrizita¨t: e ¼ ¼ ¼ 1;5 a 4 2. Gegeben: Brennpunkte F1 ð5 j 0Þ; F2 ð5 j 0Þ, halbe La¨nge der Hauptachse a ¼ 4 Gesucht: Hyperbelgleichung, numerische Exzentrizita¨t, Gleichungen der Asymptoten Berechnung von b2 : b2 ¼ e2 a2 ¼ 25 16 ¼ 9 x2 y2 ¼1 Hyperbelgleichung: 16 9 e 5 Numerische Exzentrizita¨t: e ¼ ¼ ¼ 1;25 a 4 b 3 Gleichungen der Asymptoten: y ¼ x ¼ x a 4 3. Gegeben: Punkte P1 ð2 j 1Þ; P2 ð3 j 2Þ einer Hyperbel Gesucht: Normalform der Hyperbelgleichung durch P1 und P2
120
Mathematik
4 1 ¼ 1 ) 4b2 a2 ¼ a2 b2 a2 b2 Kooordinaten von P2 in die Normalform einsetzen: 9 4 ¼ 1 ) 9b2 4a2 ¼ a2 b2 a2 b2 Gleichsetzen der Gleichungen ergibt 4b2 a2 ¼ 9b2 4a2 ) 3a2 ¼ 5b2 ) a2 ¼
4.
5 2 b 3
Durch Einsetzen errechnet man 5 5 7 5 7 4b2 b2 ¼ b4 ) b2 ¼ b4 ) b2 ¼ 3 3 3 3 5 5 7 7 Daraus ergibt sich schließlich a2 ¼ ¼ 3 5 3 2 2 x y Die Hyperbelgleichung lautet ¼1 7 7 3 5 Im Punkt P1 ð5;6 j 3;4Þ einer Hyperbel in Normalform mit der halben La¨nge der Hauptachse a ¼ 2;8 ist die Tangente gesucht. Wie groß ist die lineare Exzentrizita¨t e? Lo¨sung: Koordinaten von P1 und a ¼ 2;8 in die Normalform x2 y2 ¼ 1 der Hyperbelgleichung einsetzen, um b zu bea2 b2 rechnen: ð5;6Þ2 ð3;4Þ2 ¼1 b2 ð2;8Þ2 ) b2 ¼
ð2;8Þ2 ð3;4Þ2 ð5;6Þ2 ð2;8Þ2
Es gibt verschiedene Konstruktionsmo¨glichkeiten fu¨r eine Hyperbel. Eine davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion: In einem der beiden Brennpunkte wird ein Stab der La¨nge l > 2a drehbar befestigt. Die Enden eines Fadens der La¨nge l 2a werden am freien Stabende und am anderen Brennpunkt befestigt. Mit einem Stift wird der Faden am Stab gestrafft. Wird der Stab um den Brennpunkt gedreht, dann beschreibt der Stift einen Teil eines Hyperbelastes.
l
a
P
d
d p 2 S
p 2 F
Parabelachse
Bild VII-29 Parabel mit Brennpunkt F und Scheitelpunkt S Der Brennpunkt hat die Eigenschaft, alle innen an der Parabel reflektierten achsenparallelen Strahlen in sich zu vereinigen (Anwendung: Parabolspiegel). Parabelgleichungen 1. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach rechts geo¨ffnet: Normalform
y2 ¼ 2px ;
p>0
p Der Brennpunkt ist F 0 , die Gleichung der p 2 Leitlinie ist x ¼ . Diese Gleichung nennt 2 man auch die Normalform der Parabelgleichung. 2. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ, Parabel nach rechts geo¨ffnet: Scheitelpunktsform
Stab
F2
Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte einer Ebene, die von einem festen Punkt F (Brennpunkt) und einer festen Geraden l (Leitlinie) den gleichen Abstand besitzen. Der Punkt, der in der Mitte zwischen dem Brennpunkt F und der Leitlinie l liegt, ist der Scheitelpunkt S. Die Gerade durch die Punkte F und S heißt Parabelachse. Sie ist Symmetrieachse fu¨r die Parabel und steht senkrecht auf der Leitlinie l. Der Abstand p des Brennpunkts F von der Leitlinie l heißt Parameter der Parabel.
¼ 3;8533 . . . ) ¼ 1;9629 . . .
Einsetzen der Koordinaten von P1 , von a und b sowie von xm ¼ ym ¼ 0 in die Tangentengleichung ðx1 xm Þ ðx xm Þ ðy1 ym Þ ðy ym Þ ¼ 1: a2 b2 5;6 x 3;4 y ¼1 7;84 3;8533 . . . Die Normalform der Tangentengleichung erha¨lt man durch Auflo¨sen nach y: y ¼ 0;8095 . . . x 1;1333 . . . Berechnung von e: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi e ¼ a2 þ b2 ¼ 7;84 þ 3;8533 . . . ¼ 3;4195 . . .
l–2
5.3 Parabeln
Leitlinie l
Berechnung von a und b: x2 y2 Koordinaten von P1 in die Normalform 2 2 ¼ 1 der Hya b perbelgleichung einsetzen:
a
ðy ys Þ2 ¼ 2pðx xs Þ ; M
a
F1
Bild VII-28 Fadenkonstruktion einer Hyperbel
p>0
þ xs j ys , die Glei2 p chung der Leitlinie ist x ¼ xs . Diese Glei2 chung heißt auch Scheitelpunktsform der Parabelgleichung. Der Brennpunkt ist F
p
VII Analytische Geometrie
121 p Der Brennpunkt ist F xs þ ys , die Glei2 p chung der Leitlinie ist y ¼ ys þ . 2 Eine Parabel in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion.
3. x-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach links geo¨ffnet: y2 ¼ 2px ;
p>0
p Der Brennpunkt ist F 0 , die Gleichung 2 p der Leitlinie ist x ¼ . 2 4. Parabelachse parallel zur x-Achse, Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ, Parabel nach links geo¨ffnet: 2
ðy ys Þ ¼ 2pðx xs Þ ;
p>0
p Der Brennpunkt ist F þ xs j ys , die Glei2 p chung der Leitlinie ist x ¼ xs þ . 2 5. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach oben geo¨ffnet: 1 2 x ðp > 0Þ 2p p Der Brennpunkt ist F 0 , die Gleichung 2 p der Leitlinie ist y ¼ . Eine Parabel in dieser 2 Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion (vgl. Abschnitt V.4.3). 6. Parabelachse parallel zur y-Achse, Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ, Parabel nach oben geo¨ffnet:
Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an die Parabel mit der Gleichung ðy ys Þ2 ¼ 2pðx xs Þ: ðy1 ys Þ ðy y1 Þ ¼ pðx x1 Þ oder ðy1 ys Þ ðy ys Þ ¼ pðx þ x1 2xs Þ Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ der Parabel mit der Gleichung ðy ys Þ2 ¼ 2pðx xs Þ:
x2 ¼ 2py oder y ¼
y¼
Gleichung der Tangente im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ an die Parabel mit der Gleichung ðx xs Þ2 ¼ 2pðy ys Þ: pðy y1 Þ ¼ ðx1 xs Þ ðx x1 Þ oder
ðx xs Þ2 þ ys ðx xs Þ ¼ 2pðy ys Þ oder y ¼ 2p ðp > 0Þ 2
p Der Brennpunkt ist F xs þ ys , die Glei2 p chung der Leitlinie ist y ¼ ys . Eine Parabel 2 in dieser Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion. 7. y-Achse ist Parabelachse, Scheitelpunkt im Koordinatenursprung, Parabel nach unten geo¨ffnet: 1 2 x2 ¼ 2py oder y ¼ x ðp > 0Þ 2p p Der Brennpunkt ist F 0 , die Gleichung 2 p der Leitlinie ist y ¼ . Eine Parabel in dieser 2 Lage ist der Graph einer quadratischen Funktion. 8. Parabelachse parallel zur y-Achse, Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ, Parabel nach unten geo¨ffnet: ðx xs Þ2 ¼ 2pðy ys Þ
ðp > 0Þ
oder y¼
ðx xs Þ2 þ ys 2p
ðp > 0Þ
y1 ys ðx x1 Þ þ y1 p
ðx1 xs Þ ðx xs Þ ¼ pðy þ y1 2ys Þ Gleichung der Normale (die Normale steht senkrecht auf der Tangente) durch den Punkt P1 ðx1 j y1 Þ der Parabel mit der Gleichung ðx xs Þ2 ¼ 2pðy ys Þ: y¼
&
p ðx x1 Þ þ y1 x1 xs
Beispiele: 1. Gegeben: Parabelgleichung y2 ¼ 6x Gesucht: Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie Parameter: p ¼ 3 p 3 Brennpunkt: F 0 ¼F 0 2 2 p 3 ¼ 2 2 Gegeben: Scheitelpunkt Sð0 j 0Þ, x-Achse gleich Parabelachse, pffiffiffi Punkt Pð1 j 3Þ der Parabel Gesucht: Gleichung der Parabel, Brennpunkt, Gleichung der Leitlinie Berechnung des Parameters p der Parabel durch Einsetzen der Koordinaten von P in die Normalform der Parabelgleichung: 3 y2 ¼ 2px ) 3 ¼ 2p ) p ¼ 2 Die Parabelgleichung lautet y2 ¼ 3x: p 3 0 ¼F 0 Brennpunkt: F 2 4
Gleichung der Leitlinie: x ¼ 2.
Gleichung der Leitlinie: x ¼
p 3 ¼ 2 4
122
Mathematik Eine nach rechts offene Parabel hat die Gerade x ¼ 2 als Tangente im Scheitelpunkt, geht durch den Punkt P1 ð2 j 7Þ 1 und hat in diesem Punkt die Tangentensteigung m1 ¼ . Wie 2 lautet die Gleichung der Parabel? Lo¨sung: Berechnung der Tangentengleichung durch Einsetzen in die Punktsteigungsform und Umrechnung auf Normalform: y7 1 1 ¼ )y¼ xþ6 x2 2 2 Eine nach rechts geo¨ffnete Parabel mit Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ erfu¨llt die Gleichung ðy ys Þ2 ¼ 2pðx xs Þ und eine Tangente an diese Parabel auch die Gleichung ðy1 ys Þ ðy ys Þ ¼ pðx þ x1 2xs Þ. Setzt man die Koordinaten des Punktes P1 ein und bringt auch diese Tangentengleichung auf Normalform, so ergibt sich ð7 ys Þ ðy ys Þ ¼ pðx þ 2 2 ð2ÞÞ p 6p ) y¼ xþ þ ys 7 ys 7 ys Vergleich dieser Gleichung mit der obigen Normalform der Gleichung fu¨r dieselbe Tangente ergibt mit der Methode des Koeffizientenvergleichs die folgenden Bedingungen fu¨r die Koeffizienten: p 1 6p und n ¼ ¼ þ ys ¼ 6 m1 ¼ 7 ys 2 7 ys Dies ist ein System aus zwei Gleichungen zur Bestimmung der beiden Unbekannten p und ys . Setzt man zur Lo¨sung des Systems zum Beispiel die Bedinp 1 in die Gleichung fu¨r n ein, so folgt ¼ gung 7 ys 2 1 6 þ ys ¼ 6 ) ys ¼ 3 2 Durch Einsetzen von ys ¼ 3 in die Gleichung fu¨r m1 folgt p 1 ¼ )p¼2 73 2 Die gesuchte Parabelgleichung lautet ðy 3Þ2 ¼ 4ðx þ 2Þ.
3.
4.
Eine nach unten offene Parabel hat die y-Achse als Parabelachse, den Koordinatenursprung O als Brennpunkt und den Punkt Sð0 j 2;5Þ als Scheitelpunkt. Welche Gleichung hat die Parabel? Wo schneidet die Parabel die x-Achse? Lo¨sung: Die Gleichung einer nach unten geo¨ffneten Parabel mit Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ ist ðx xs Þ2 ¼ 2pðy ys Þ. p ¼ 2;5. Aus den Bedingungen folgt xs ¼ 0; ys ¼ 2;5 und 2 Die Gleichung der Parabel lautet x2 ¼ 10ðy 2;5Þ ) x2 ¼ 10 y þ 25 Durch Setzen von y ¼ 0 erha¨lt man die Schnittpunkte mit der x-Achse: x2 ¼ 25 ) x1;2 ¼ 5 ) Schnittpunkte S1 ð5 j 0Þ; S2 ð5 j 0Þ
Es gibt einige Konstruktionsmo¨glichkeiten fu¨r eine Parabel. Eine davon ist die sogenannte Fadenkonstruktion: Ein rechtwinkliges Dreieck wird entlang der Leitlinie verschoben. Ein Faden mit der La¨nge der Ka-
Leitlinie
B
C
P
A
F
Bild VII-30 Fadenkonstruktion einer Parabel
thete AC wird mit den Enden in A und dem Brennpunkt F befestigt. Mit einem Stift wird der Faden an der Kathete AC gestrafft. Gleitet das Dreieck entlang der Leitlinie, dann beschreibt der Stift ein Parabelstu¨ck.
5.4 Anwendungen In diesem Abschnitt werden in einigen Beispielen verschiedene Anwendungen der Kegelschnitte aus Technik und Mathematik angegeben. &
Beispiel 1 : Ein parabelfo¨rmiger Bru¨ckenbogen (Achse vertikal und Parabel nach unten geo¨ffnet) hat zwischen den in gleicher Ho¨he liegenden Lagern (Enden) des Bogens L und L0 die Spannweite 2a ¼ jLL0 j ¼ 32 m. Die Scheitelho¨he (Ho¨he des Scheitelpunktes S u¨ber LL0 ) betra¨gt b ¼ 10 m. Die horizontal verlaufende Straße liegt h ¼ 4 m u¨ber LL0 und schneidet den Bru¨ckenbogen in P1 und P01 , den Befestigungspunkten des Straßenko¨rpers. Der Straßenko¨rper wird außer von einem Vertikalstab im Scheitelpunkt S (La¨nge b h ¼ 6 m) noch von zwei weiteren Vertikalsta¨ben gehalten, die in der Mitte des horizontalen Abstandes von S und P1 sowie von S und P01 in den Punkten P2 und P02 am Bru¨ckenbogen angebracht sind. Wie groß ist die La¨nge l dieser Vertikalsta¨be? Wie groß sind jP1 P01 j und jP2 P02 j?
y
S P2
P2 ′
x
l b
P1 ′
P1
Straße
h
L′
a
L
Bild VII-31 Zu Beispiel 1 Die Skizze veranschaulicht nur eine Ha¨lfte der symmetrischen Straßenbru¨cke. Zur Lo¨sung der Aufgabe denkt man sich ein Koordinatenkreuz gelegt, so daß die Parabel des Bru¨ckenbogens die Gleichung y ¼ px2 hat. Setzt man die Koordinaten des Lagerpunktes L ein, so ergibt sich b b ¼ pa2 ) p ¼ 2 a Der Befestigungspunkt P1 hat nach Aufgabenstellung die Ordinate y1 ¼ ðb hÞ. Mit Hilfe der Parabelgleichung y1 ¼ px21 erha¨lt man seine Abszisse x1 durch Auflo¨sen nach x1 und Einsetzen von y1 und p: ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffi v u uðb hÞ y1 bh x1 ¼ ¼a ¼u t b b p 2 a 1 Der Befestigungspunkt P2 soll die Abszisse x2 ¼ x1 ¼ 2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a bh haben, also ist seine Ordinate y2 ¼ px22 ¼ 2 b rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi!2 b a bh bh . ¼ 2 a 2 b 4 3 Die gesuchte Vertikalstabla¨nge l ist l ¼ y2 y1 ¼ ðb hÞ. 4 0 0 Die Strecken jP1 P1 j und jP2 P2 j haben die La¨ngen rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi bh bh und 2x2 ¼ a . 2x1 ¼ 2a b b
VII Analytische Geometrie
123
Mit den gegebenen Abmessungen ergibt sich fu¨r die gesuchten La¨ngen 3 l ¼ ð10 4Þ ¼ 4;50 m, rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 10 4 2x1 ¼ 2 16 ¼ 24;78 . . . m; 4 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 10 4 2x2 ¼ 16 ¼ 12;39 . . . m: 4 &
Lo¨sung: Die Gleichung der nach oben geo¨ffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt Sðxs j ys Þ lautet ðx xs Þ2 ¼ 2pðy ys Þ: Einsetzen der Koordinaten des gegebenen Scheitelpunktes ergibt ðx þ 4Þ2 ¼ 2pðy þ 1Þ. Die zugeho¨rige Tangentengleichung im Punkt P1 ðx1 j y1 Þ der Parabel ist ðx1 xs Þ ðx xs Þ ¼ pðy þ y1 2ys Þ ) ðx1 þ 4Þ ðx þ 4Þ ¼ pðy þ 1Þ þ pðy1 þ 1Þ
Beispiel 2 : Ein Stab mit den Drehlagern O und M und der La¨nge jOMj ¼ r ist um O drehbar. Um M dreht sich ein zweiter Stab der La¨nge jMPj ¼ s. In der Ausgangsstellung liegen M und P als M0 und rechts davon P0 auf der Grundrichtungsachse OP0 . Wa¨hrend sich nun OM um den Winkel j nach links dreht, dreht sich MP relativ zu OM um 2j nach rechts. Auf welcher Kurve bewegt sich P bei fortgesetzter Drehung?
Die Gleichung der Tangente ist aber auch y ¼ x. Mit der Methode des Koeffizientenvergleichs ergeben sich die folgenden Bedingungen fu¨r die Koeffizienten (aus y ¼ x folgt, daß die Koeffizienten von x und von y gleich sind, etwa gleich k; k 6¼ 0): (1) Koeffizienten von x: x1 þ 4 ¼ k (2) Koeffizienten von y: p ¼ k (3) Absolutglieder: ðx1 þ 4Þ 4 pð1 þ y1 þ 1Þ ¼ 0 Aus (2) folgt k ¼ p. In (1) eingesetzt ergibt x1 þ 4 ¼ p. Setzt man dieses in (3) ein, so folgt 4p ð2 þ y1 Þ p ¼ ð2 y1 Þ p ¼ 0, also y1 ¼ 2 wegen p 6¼ 0. Wegen y1 ¼ x1 fu¨r den Beru¨hrungspunkt gilt auch x1 ¼ 2. Setzt man dies in (1) ein, so folgt schließlich p ¼ 6. Ergebnisse: Die gesuchte Parabel hat die Gleichung ðx þ 4Þ2 ¼ 12ðy þ 1Þ, der Beru¨hrungspunkt mit der Geraden y ¼ x ist P1 ð2 j 2Þ.
A
y s M 2f
s s R–f
f
B
P &
y
y M0
0 f
P0
b = r–s
x
Lo¨sung: Aus Symmetriegru¨nden liegen die Ecken des gesuchten Quadrates auf den Winkelhalbierenden der vier Quadranten des Koordinatensystems. Die Winkelhalbierenden sind die Geraden mit den Gleichungen y ¼ x und y ¼ x. Fu¨r die Eckpunkte Eðxe j ye Þ gilt also ye ¼ xe . Da die Eckpunkte auch die Ellipsengleichung erfu¨llen (denn sie liegen auf der Ellipse), setzt man diese Beziehung in die Gleichung der Ellipse ein:
r x a = r+s
Bild VII-32 Zu Beispiel 2 Die Lo¨sung der Aufgabe erfolgt mit Hilfe der Parameterdarstellung der Ellipse: x ¼ a cos j; y ¼ b sin j x y und sin j ¼ folgt durch QuaMan besta¨tigt: Aus cos j ¼ a b 2 2 drieren und Addieren wegen sin j þ cos j ¼ 1 die Normalform x2 y2 þ ¼ 1 der Ellipsengleichung. a2 b2 In der vorliegenden Aufgabe ist a ¼ r þ s (halbe La¨nge der Hauptachse) und b ¼ r s (halbe La¨nge der Nebenachse). Der Punkt P bildet mit A und B, den Schnittpunkten der Geraden OM mit dem Haupt– und dem Nebenscheitelkreis (Kreise um O mit den Radien a und b), ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb folgt x ¼ ðr þ sÞ cos j; y ¼ ðr sÞ sin j; die Parameterdarstellung der Ellipse, die als Bahnkurve von P gesucht ist. Ihre Normalform x2 y2 þ ¼ 1. lautet ðr þ sÞ2 ðr sÞ2 &
Beispiel 3 : Welche nach oben geo¨ffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt Sð4 j 1Þ beru¨hrt die Gerade y ¼ x? Welche Koordinaten hat der Beru¨hrungspunkt?
y
2
P1
–4 0 –1
S
y=
x
Bild VII-33 Zu Beispiel 3
2
x
Beispiel 4 : x2 y2 þ ¼1 Man bestimme von der Ellipse mit der Gleichung 36 18 die Ecken des gro¨ßten einbeschriebenen Quadrates! Welches Verha¨ltnis haben die Fla¨cheninhalte dieses Quadrates und der Ellipse?
pffiffiffi x2e ðxe Þ2 x2 x2 þ ¼ 1 ) e þ e ¼ 1 ) x2e ¼ 12 ) xe ¼ 2 3 36 18 36 18 pffiffiffi Wegen ye ¼ xe folgt ebenfalls ye ¼ 2 3. Somit sind die vier Ecken des gesuchten Quadrates: pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi E1 ð2 p 3 jffiffiffi2 3Þ;pE ffiffiffi 2 ð2 3pjffiffi2ffi 3Þ;pffiffiffi E3 ð2 3 j 2 3Þ; E4 ð2 3 j 2 3Þ pffiffiffi Die Seitenla¨p nge ffiffiffi dieses Quadrates ist 4 3 ¼ 6;9282 . . ., sein Umfang also 16 3 ¼ 27;7128 . . ., und seine Fla¨chepist ffiffiffi A2 ¼ 48. Die Ellipse hat den Fla¨cheninhalt AEll ¼ pab ¼ 6 3 2 p ¼ 79;9718 . . . Fu¨r das gesuchte Verha¨ltnis der Fla¨cheninhalte gilt A2 48 pffiffiffi ¼ ¼ 0;6002 . . . AEll 6 3 2 p &
Beispiel 5 : Man bestimme die Schnittpunkte der Geraden mit der Gleichung 1 y ¼ x þ 4 und der Hyperbel mit der Gleichung 4y2 9x2 ¼ 36! 2 Gibt es zu der Gerade parallele Tangenten an die Hyperbel? Lo¨sung: y2 x2 Umformung der Hyperbelgleichung ergibt 2 2 ¼ 1. 3 2 Die y-Achse ist also Hauptachse der Hyperbel, der Mittelpunkt liegt im Koordinatenursprung. Ersetzt man in dieser Gleichung das y mit Hilfe der Geradengleichung, so folgt 2 1 xþ4 x2 2 4 7 2 ¼ 1 ) x2 þ x þ ¼ 0 9 9 9 9 4 7 ) x2 2x ¼ 0 2 Diese quadratische Gleichung hat die Lo¨sungen rffiffiffiffiffiffi 9 3 pffiffiffi 3 pffiffiffi x1; 2 ¼ 1 ¼1 2, also x1 ¼ 1 þ 2 ¼ 3;1213 . . . ; 2 2 2 3 pffiffiffi 2 ¼ 1;1213 . . . x2 ¼ 1 2
124
Mathematik y
P1 P2 Pt1
0
Bemerkungen: Tangenten gibt es bei dieser Hyperbel nur fu¨r Steigungen b 3 jmj < ¼ (Asymptotensteigung). So gibt es zum Beispiel para 2 allel zur Geraden mit der Gleichung y ¼ 2x keine Tangente. x2 y2 Fu¨r Hyperbeln mit der Gleichung 2 2 ¼ 1 gibt es Tangenten a b b mit Steigungen jmj nicht, dagegen gibt es zwei parallele Tana b genten fu¨r jedes jmj > . a
x
6 Graphisches Lo¨sen von Gleichungen Pt2
Bild VII-34 Zu Beispiel 5 Setzt man diese Werte in die Geradengleichung ein, so ergeben sich die Ordinaten der Schnittpunkte: 1 3 pffiffiffi 9 3 pffiffiffi 2 þ 4, also y1 ¼ þ 2 ¼ 5;5606 . . . ; y1; 2 ¼ 2 4 2 4 9 3 pffiffiffi y2 ¼ 2 ¼ 3;4393 . . . 2 4 Schnittpunkte der Geraden mit der Hyperbel sind 3 pffiffiffi 9 3 pffiffiffi 2 þ 2 ¼ S1 ð3;1213 . . . j 5;5606 . . .Þ , S1 1 þ 2 2 4 3 pffiffiffi 9 3 pffiffiffi 2 2 ¼ S2 ð1;1213 . . . j 3;4393 . . .Þ . S2 1 2 2 4 Die Gleichung der Tangente an die gegebene Hyperbel lautet 9 xt 9 xt 9 x2t ðx xt Þ þ yt ¼ x þ yt 4 yt 4 yt 4 yt 9 xt 9 y2t x2t 9 xt 9 ¼ ¼ xþ xþ 4 yt yt 9 4 yt yt 4 y¼
mit dem noch unbekannten Beru¨hrungspunkt Pt ðxt j yt Þ. Der y2 x2 letzte Schritt der Umformung folgt wegen t þ t ¼ 1, denn Pt ist 9 4 ein Punkt der Hyperbel. Die gesuchte Tangente soll parallel zur gegebenen Geraden sein, 1 hat also die Steigung . Somit muß gelten: 2 9 xt 1 9 ) yt ¼ xt ¼ 4 yt 2 2 Setzt man diese Bedingung in die Hyperbelgleichung ein, so ergibt sich 9 2 xt x2 9 2 1 2 1 2 t2 ¼ 1 ) x xt ¼ 1 ) x2t ¼ 32 2 4 t 4 2 und daraus 1 pffiffiffi 1 pffiffiffi x t1 ¼ 2 und xt2 ¼ 2: 2 2 9 9 pffiffiffi 2 Wegen yt ¼ xt sind die dazugeho¨rigen Ordinaten yt1 ¼ 2 4 9 pffiffiffi 2. und yt2 ¼ 4 Es gibt also zwei zu der gegebenen Geraden parallele Tangenten mit den Beru¨hrungspunkten 1 pffiffiffi 9 pffiffiffi 2 2 ¼ Pt1 ð0;7071 . . . j 3;1819 . . .Þ , Pt1 2 4 1 pffiffiffi 9 pffiffiffi 2 2 ¼ Pt2 ð0;7071 . . . j 3;1819 . . .Þ . Pt2 2 4 Die zugeho¨rigen Tangentengleichungen lauten pffiffiffi 1 y1 ¼ x þ 2 2 ¼ 0;5x þ 2;8284 . . . ; 2 pffiffiffi 1 y2 ¼ x 2 2 ¼ 0;5x 2;8284 . . . 2
In Abschnitt II wurden Methoden zur rechnerischen Bestimmung der Lo¨sungen von Gleichungen und von linearen Gleichungssystemen angegeben. Fu¨r eine Reihe von praktischen Anwendungen reicht es aus, nicht die exakten Lo¨sungen zu kennen, sondern sogenannte Na¨herungslo¨sungen (Lo¨sungen „in der Na¨he‘‘ der exakten Lo¨sungen). Eine Mo¨glichkeit, solche Na¨herungslo¨sungen zu finden, ist das graphische Lo¨sen von Gleichungen (zu Na¨herungslo¨sungen vgl. auch Abschnitt VIII.4.12). Beim graphischen Lo¨sen von Gleichungen bringt man eine Bestimmungsgleichung mit der Variablen x auf die Form f ðxÞ ¼ 0: Die reellen Lo¨sungen der Gleichung sind dann die Nullstellen der Funktion mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ: Das Aufsuchen der Lo¨sungen der Bestimmungsgleichung f ðxÞ ¼ 0 ist also gleichbedeutend mit der Bestimmung der Nullstellen der Funktion y ¼ f ðxÞ: Zeichnet man den Graph der Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem, dann sind die Nullstellen der Funktion die Schnittpunkte der Kurve mit der x-Achse. Man beachte, daß die in der Zeichnung abgelesenen Werte meist nur Na¨herungswerte fu¨r die Nullstellen sind. Mit Hilfe von Na¨herungsverfahren wie dem Newtonschen Verfahren oder Regula falsi (vgl. Abschnitt VIII.4.12) lassen sich diese Werte verbessern. Man erzielt oft genauere Ergebnisse, wenn man die gegebene Gleichung f ðxÞ ¼ 0 auf die Form fI ðxÞ ¼ fII ðxÞ bringt und dabei versucht, fu¨r yI ¼ fI ðxÞ und yII ¼ fII ðxÞ Funktionen mit einfach zu zeichnenden Graphen zu erhalten. Fu¨r jeden Schnittpunkt Sðxs j ys Þ der Kurven gilt fI ðxs Þ ¼ fII ðxs Þ und deshalb f ðxs Þ ¼ fI ðxs Þ fII ðxs Þ ¼ 0: Seine Abszisse xs ist also eine Lo¨sung der Gleichung f ðxÞ ¼ 0: Spezielle Bestimmungsgleichungen: 1. Die Lo¨sung einer linearen Gleichung ax þ b ¼ 0, a 6¼ 0; erha¨lt man als Nullstelle der linearen Funktion y ¼ ax þ b. Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem ist eine Gerade mit der Steigung a und dem y-Achsenabschnitt b.
VII Analytische Geometrie &
125 5 13 . Wegen Der Scheitelpunkt der Parabel ist S 2 4 13 > 0 hat die Parabel zwei Schnittpunkte mit der xD¼ 4 Achse und damit die Gleichung zwei reelle Lo¨sungen. Aus dem Bild liest man die Lo¨sungen x1 4;3 und x2 0;7 ab.
Beispiel: 5x þ 7 ¼ 0
y 8
y = 5x + 7
7 6
3. Reelle Lo¨sungen einer quadratischen Gleichung x2 þ px þ q ¼ 0 erha¨lt man auch aus den Schnittpunkten der Graphen der Funktionen yI ¼ x2 (Normalparabel) und yII ¼ px q (Gerade).
4 3 2 1 –3 –2 –1 0 –1
&
1
2
3
Beispiel: x2 2x þ
1 ¼0 2
x yI yII
y
Bild VII-35 Graphisches Lo¨sen von 5x þ 7 ¼ 0 3 Man setzt y ¼ 5x þ 7; zeichnet die dadurch gegebene Gerade und liest am Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse das Ergebnis ab: x 1;4:
2. Die Lo¨sung oder die Lo¨sungen einer quadratischen Gleichung x2 þ px þ q ¼ 0 erha¨lt man als Nullstelle der quadratischen Funktion y ¼ x2 þ px þ q. Ihr Graph ist in einem kartesischen Koordinatensystem eine verschobene Normalparabel. Durch quadratische ergibt sich 2Erga¨nzung p 2 p p 2 y¼ xþ D q ¼ xþ 2 2 4 2 p q: Der Scheitelpunkt der Parabel mit D ¼ 4 p p2 ist S q . Die Anzahl der Schnitt2 4 punkte der Parabel mit der x-Achse (also die Anzahl der Nullstellen der Funktion) und damit die Anzahl der Lo¨sungen der quadratischen Gleichung ist abha¨ngig vom Vorzeichen der Diskriminante D : Fu¨r D > 0 gibt es zwei Schnittpunkte, fu¨r D < 0 keinen Schnittpunkt und fu¨r D ¼ 0 einen Beru¨hrpunkt (bedeutet eine doppelte reelle Lo¨sung der quadratischen Gleichung). Beispiel: x2 5x þ 3 ¼ 0
&
y 1
0
x2
1
2
3
4 x1 x
–1 –2
y = x 2 – 5x + 3
–3 (2,5 –3,25)
Bild VII-36 Graphisches Lo¨sen von x2 5x þ 3 ¼ 0
y1
2 1 y2 –1
0 x2
1
x1 2
x
–1
Bild VII-37 Graphisches Lo¨sen von 1 x2 2x þ ¼ 0 2 Gleichung der Normalparabel: yI ¼ x2 , 1 Geradengleichung: yII ¼ 2x 2 Fu¨r die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab: x1 1;7; x2 0;3: Dies sind Na¨herungslo¨sungen der quadratischen Gleichung.
4. Na¨herungen fu¨r die reellen Lo¨sungen einer kubischen Gleichung in Normalform x3 þ ax2 þ bx þ c ¼ 0 erha¨lt man aus den Schnittpunkten des Graphen der Funktion y ¼ x3 þ ax2 þ bx þ c mit der x-Achse. Eine andere Mo¨glichkeit ergibt sich mit Hilfe einer Reduktion der kubischen Gleichung. Mit a der Substitution x ¼ z wird das quadra3 tische Glied beseitigt. Durch Einsetzen und Ordnen erha¨lt man a2 2 3 ab a þc zþ z3 þ b 27 3 3 ¼ z3 þ pz þ q ¼ 0 Reelle Lo¨sungen dieser kubischen Gleichung erha¨lt man dann aus den Schnittpunkten der Graphen der Funktionen yI ¼ z3 (kubische Normalparabel) und yII ¼ pz q (Gerade). Ist zs die Abszisse eines solchen Schnittpunktes, dann a ist xs ¼ zs eine Lo¨sung der Ausgangsglei3 chung.
126
Mathematik Beispiel: x3 þ 3x2 2;11x þ 0;18 ¼ 0
&
8
y 10 z1 –3
y
yI yII
6
–1 0
–2
1
z2 z3 z
4
–10
2 y1
–20 x
1 –2 –4 y = 3x + 8
Bild VII-38 Graphisches Lo¨sen von x3 þ 3x2 2;11x þ 0;18 ¼ 0 Die Substitution x ¼ z 1 ergibt p ¼ 2;11 3 ¼ 5;11 und q ¼ 2 þ 2;11 þ 0;18 ¼ 4;29: Die reduzierte Gleichung lautet also z3 5;11z þ 4;29 ¼ 0: Gleichung der kubischen Normalparabel: yI ¼ z3 , Geradengleichung: yII ¼ 5;11z 4;29 Fu¨r die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab: z1 2;6; z2 1;1; z3 1;5: Daraus ergeben sich x1 3;6; x2 0;1; x3 0;5 als Na¨herungslo¨sungen der kubischen Gleichung x3 þ 3x2 2;11x þ 0;18 ¼ 0:
5. Auch fu¨r transzendente Gleichungen lassen sich mit der Zerlegungsmethode mitunter Na¨herungslo¨sungen angeben. &
2
0
x y=– 2 x+ 3 10 5
Bild VII-40 Graphisches Lo¨sen von y 8 4 3 x ¼ ; x þ 2y ¼ 3 3 5 5 Auflo¨sen der beiden Gleichungen nach y: y ¼ 3x þ 8; 2 3 xþ 5 10 Im Bild sind die durch diese Gleichungen bestimmten Geraden gezeichnet, und man liest als Koordinaten des Schnittpunkts Sðx j yÞ die Na¨herungslo¨sung ðx; yÞ ¼ ð2;2; 1;2Þ des linearen Gleichungssystems ab. y¼
7 Vektoren 7.1 Definitionen Eine gerichtete und orientierte Strecke bezeichnet man als Vektor. Ein Vektor ist durch drei Gro¨ßen bestimmt: Richtung, Orientierung und La¨nge. Vektoren, die in diesen drei Gro¨ßen u¨bereinstimmen, sind gleich, unabha¨ngig von ihrer Lage in der Ebene oder im Raum (vgl. Bild VII-41).
Beispiel: ex x ¼ 3
y 5 4 3 yII = x + 3
2 1
–3 –2
–1 0
yI = e x
1
Bild VII-41 Gleiche Vektoren 2
x
Bild VII-39 Graphisches Lo¨sen von ex x ¼ 3 Zerlegt man die Funktion mit der Gleichung y ¼ f ðxÞ ¼ ex x 3 in die Funktionen yI ¼ fI ðxÞ ¼ ex und yII ¼ fII ðxÞ ¼ x þ 3; dann gilt f ðxÞ ¼ fI ðxÞ fII ðxÞ und somit f ðxs Þ ¼ fI ðxs Þ fII ðxs Þ ¼ 0 fu¨r die Abszisse xs eines Schnittpunkts S der Kurven der Funktionen yI ¼ fI ðxÞ ¼ ex und yII ¼ fII ðxÞ ¼ x þ 3: Fu¨r die Abszissen der Schnittpunkte liest man ab: x1 2;95; x2 1;51:
6. Fu¨r Gleichungssysteme lassen sich ebenfalls graphisch Na¨herungslo¨sungen finden. Die Lo¨sung eines Systems a1 x þ b1 y ¼ c1 ; a2 x þ b2 y ¼ c2 von zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen ergibt sich aus den Koordinaten des Schnittpunkts der zugeho¨rigen Geraden. &
Beispiel: x
y 8 4 3 ¼ ; x þ 2y ¼ 3 3 5 5
Eine Gro¨ße, die durch einen einzigen reellen Zahlenwert charakterisiert wird, heißt Skalar. Beispiele fu¨r Skalare sind Temperatur, Arbeit, Masse, Energie. Vektoren dagegen sind Gro¨ßen, zu deren vollsta¨ndiger Beschreibung neben einem Zahlenwert, ihrem Betrag (La¨nge des Vektors), noch die Angabe ihrer Richtung und Orientierung erforderlich sind. Beispiele fu¨r Vektoren sind Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, magnetische Feldsta¨rke. Vektoren werden meist mit kleinen lateinischen Buchstaben, die mit einem Pfeil versehen sind, be ! zeichnet: ~ a ¼ PQ (gesprochen: Vektor a, Vektor PQ). Der Punkt P ist der Anfangspunkt und der Punkt Q der Endpunkt des Vektors. Der Betrag ! j~ aj ¼ jPQj eines Vektors ist die La¨nge des Vektors, also die La¨nge der Verbindungsstrecke PQ. Der Betrag ist eine nichtnegative reelle Zahl. ~ sind gleich, in Zeichen Zwei Vektoren ~ a und b ~, wenn sie den gleichen Betrag und gleiche ~ a¼b
VII Analytische Geometrie
127
Richtung und gleiche Orientierung haben. Vektoren du¨rfen daher parallel verschoben werden. Gleiche Vektoren gehen durch Parallelverschiebung ineinander u¨ber. Im Unterschied zu diesen sogenannten freien Vek ! toren haben Ortsvektoren OP einen festen Anfangspunkt O. Ortsvektoren ko¨nnen also nicht verschoben werden.
~ ist defiDie Subtraktion zweier Vektoren ~ a und b ~: niert als Addition von ~ a und b ~¼ ~ ~Þ ~ ab a þ ðb ~ u¨bereinLegt man die Anfangspunkte von ~ a und b ~ der Vektor vom ander, dann ist der Vektor ~ ab ~ zum Endpunkt von ~ Endpunkt von b a.
Spezielle Vektoren Der Nullvektor ~ 0 hat den Betrag 0 und unbestimmte Richtung. Ein Vektor ~ e mit dem Betrag j~ ej ¼ 1 heißt Einheitsvektor. Man bezeichnet Einheitsvektoren auch als normierte Vektoren.
7.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Multipliziert man einen Vektor ~ a mit einem Skalar (also einer reellen Zahl) l 2 R, dann erha¨lt man einen Vektor l~ a mit dem Betrag jl~ aj ¼ jlj j~ aj (jljfacher Betrag des Vektors ~ a). Fu¨r l > 0 haben l~ a und ~ a gleiche Richtung und Orientierung, fu¨r l < 0 haben l~ a und ~ a gleiche Richtung und entgegengesetzte Orientierung.
a
a
a–b b b
Bild VII-44 Vektorsubtraktion Zeichnet man ein Parallelogramm mit den Seiten ~ a ~, so kann man die Diagonale als ~ ~ oder als und b aþb ~þ ~ b a auffassen. Die Addition von Vektoren ist also kommutativ.
a
Kommutativgesetz 2a
Bild VII-42 Vektoren ~ a und 2~ a
~¼ b ~þ ~ ~ aþb a
Auch das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz sind erfu¨llt. Assoziativgesetz
Multiplikation mit l ¼ 1 ergibt den Vektor ~ a. Dieser Vektor hat den gleichen Betrag und die gleiche Richtung wie der Vektor ~ a, jedoch die entgegengesetzte Orientierung.
7.3 Addition und Subtraktion zweier Vektoren
~þ ~ ~Þ þ ~ ~þ ~ ~ a þ ðb cÞ ¼ ð~ aþb c¼~ aþb c Distributivgesetz ~Þ ¼ l ~ l ð~ aþb a þ l b~ ðl 2 RÞ
~ addiert werden, so Sollen zwei Vektoren ~ a und b bringt man durch Parallelverschiebung den Anfangs~ in den Endpunkt des Vektors ~ punkt des Vektors b a. ~ ist dann derjenige Vektor, der Die Summe ~ aþb ~ vom Anfangspunkt von ~ a zum Endpunkt von b fu¨hrt (siehe Bild VII-43).
a b a+b
7.4 Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene Wa¨hlt man in einem kartesischen Koordinatensystem der Ebene einen Einheitsvektor e~1 mit Richtung und Orientierung wie die positive x-Achse und einen Einheitsvektor e~2 mit Richtung und Orientierung wie die positive y-Achse, dann la¨ßt sich jeder Vektor ~ a in der Ebene in eindeutiger Weise als Linearkombination der beiden sogenannten Basisvektoren e~1 und e~2 darstellen (siehe Bild VII-45). ~ a ¼ a1 e~1 þ a2 e~2 ;
b
a
Bild VII-43 Vektoraddition
a1 ; a2 2 R
Die beiden Vektoren a1 e~1 und a2 e~2 werden durch Parallelen zu den Basisvektoren e~1 und e~2 konstruiert.
128
Mathematik Basisvektoren e~1 ; e~2 und e~3 darstellen (siehe Bild VII-46).
y
a2
~ a ¼ a1 e~1 þ a2 e~2 þ a3 e~3 ;
Die drei Vektoren a1 e~1 ; a2 e~2 und a3 e~3 werden durch Parallelen zu den Basisvektoren e~1 ; e~2 und e~3 konstruiert.
a 1
e2 e1
a1 ; a2 ; a3 2 R
a1 x
1
z a3
Bild VII-45 Komponentendarstellung eines Vektors in der Ebene
y a
1
Der Vektor ~ a ¼ a1 e~1 þ a2 e~2 wird identifiziert mit dem sogenannten Spaltenvektor
e3 e1
e2
1 a2
1
a1
~ a¼
a1 a2
x
Bild VII-46 Komponentendarstellung eines Vektors im Raum
Dabei heißen a1 und a2 die beiden Komponenten oder die kartesischen Koordinaten des Vektors ~ a. Mit Hilfe der Komponenten lassen sich Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar folgendermaßen darstellen: ~¼ ~ aþb
~¼ ~ ab
a1 a2
a1 a2
l~ a¼l
þ
a1 a2
b1 b2
b1 b2
¼
¼
la1 la2
¼
a1 þ b1 a2 þ b2
a1 b1 a2 b2
! Der Betrag j~ aj ¼ jPQj, also die La¨nge des Vektors ! ~ a ¼ PQ, ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: j~ aj ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a21 þ a22
7.5 Komponentendarstellung von Vektoren im Raum Ganz analog wa¨hlt man in einem kartesischen Koordinatensystem des Raums drei Einheitsvektoren e~1 ; e~2 ; e~3 mit Richtung und Orientierung wie die positive x-Achse, die positive y-Achse und die positive z-Achse. Dann la¨ßt sich jeder Vektor ~ a im Raum in eindeutiger Weise als Linearkombination der drei
Der Vektor ~ a ¼ a1 e~1 þ a2 e~2 þ a3 e~3 wird identifiziert mit dem Spaltenvektor 0
1 a1 @ ~ a ¼ a2 A a3 Dabei heißen a1 ; a2 ; a3 die Komponenten oder die kartesischen Koordinaten des Vektors ~ a. Mit Hilfe der Komponenten lassen sich auch im Raum Addition und Subtraktion von Vektoren sowie die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar darstellen: 0 1 0 1 0 1 b1 a1 þ b1 a1 ~ @ A @ A @ ~ a þ b ¼ a2 þ b2 ¼ a2 þ b2 A a3 b3 a3 þ b3 0 1 0 1 0 1 a1 b1 a1 b1 ~ ¼ @ a2 A @ b2 A ¼ @ a2 b2 A ~ ab a3 b3 a3 b3 0
1 0 1 a1 la1 l~ a ¼ l @ a2 A ¼ @ la2 A a3 la3 ! Der Betrag j~ aj ¼ jPQj, also die La¨nge des Vektors ! ~ a ¼ PQ, ist die Entfernung zwischen den Punkten P und Q. Durch zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras errechnet man: j~ aj ¼
qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a21 þ a22 þ a23
VII Analytische Geometrie
7.6 Skalarprodukt
129 &
0
1
0
1
b1 a1 ~ ¼ @ b2 A Fu¨r die beiden Vektoren ~ a ¼ @ a2 A und b a3 b3 heißt 1 0 1 b1 a1 ~ ¼ @ a2 A @ b2 A ¼ a1 b1 þ a2 b2 þ a3 b3 ~ ab a3 b3
Beispiele: 1.
0
Skalarprodukt oder inneres Produkt. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist kein Vektor, sondern eine reelle Zahl, also ein Skalar. Geometrisch ist das Skalarprodukt das Produkt der La¨nge des Vektors ~ a und der La¨nge der senkrechten Projektion des Vek~ auf ~ ~Þ den Winkel zwitors b a, also, falls j ¼ |ð~ a; b ~ bezeichnet, schen ~ a und b ~ ¼ j~ ~j cos j ~ ab aj jb
0 1 0 1 2 4 ~ ¼ @5 A Das Skalarprodukt der Vektoren ~ a ¼ @ 3 A und b 1 2 ist 0 1 0 1 2 4 ~ @ A @ A ~ ab¼ 3 5 ¼ 2 4 þ 3 ð5Þ þ ð1Þ 2 1 2 ¼ 8 15 2 ¼ 9.
2.
Gesucht ist der Winkel j, den die beiden Vektoren 0 1 0 1 1 0 ~ ¼ @ 1 A miteinander einschließen. ~ a ¼ @ 1 A und b 0 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ~ ¼ 1 0 þ 1 1 þ 0 1 ¼ 1 und j~ ~j ¼ 1 þ 1 Es gilt ~ ab aj ¼ j b ~ pffiffiffi ~ ab 1 1 ¼ 2: Somit folgt cos j ¼ ¼ pffiffiffi pffiffiffi ¼ ) j ¼ 60 . ~j 2 2 2 j~ aj jb
3.
Fu¨r welchen Wert von c sind die beiden Vektoren 0 1 0 1 2 1 ~ a ¼ @ 3 A und b~ ¼ @ 2 A orthogonal? 4 c Fu¨r das Skalarprodukt gilt 0 1 0 1 2 1 ~ ¼ @ 3 A @ 2 A ¼ 2 þ 6 4c ¼ 8 4c ¼ 0 ) c ¼ 2. ~ ab 4 c ~ also senkrecht aufeinFu¨r c ¼ 2 stehen die Vektoren ~ a und b ander.
b
7.7 Vektorprodukt a |b| cos¢(a,b) |a|
~ ¼ j~ ~j cos j Bild VII-47 Skalarprodukt: ~ ab aj jb ~Þ gilt somit: Fu¨r den Winkel j ¼ |ð~ a; b
cos j ¼
~ ~ a1 b1 þ a2 b2 þ a3 b3 ab ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ~ 2 j~ aj jbj a1 þ a22 þ a23 b21 þ b22 þ b23
Die folgenden Rechenregeln lassen sich aus der Definition ableiten: ~¼ b ~ ~ ~ ab a ~¼ ~ ~Þ ¼ l ð~ ~Þ ðl ~ aÞ b a ðl b ab ~Þ ~ ~ ~ ð~ aþb c¼~ a ~ cþb c ~ stehen senkrecht auf~¼ 0 , ~ ~ (~ ~ ab a?b a und b einander) pffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5. j~ aj ¼ ~ a~ a
1. 2. 3. 4.
~¼ 0 So folgt zum Beispiel aus 4., na¨mlich daß ~ ab genau fu¨r zwei senkrecht aufeinanderstehende (man ~ gilt, daß sagt auch orthogonale) Vektoren ~ a und b genau dann der Winkel j gleich 90 ist () cos j ¼ 0). Das Skalarprodukt la¨ßt sich entsprechend auch in der Ebene, also fu¨r Vektoren mit zwei Komponenten, definieren.
0 1 0 1 b1 a1 ~ @ A ~ und b ¼ @ b2 A zwei Vektoren im Sind a ¼ a2 a3 b3 Raum, so heißt der Vektor 0 1 0 1 0 1 b1 a2 b3 a3 b2 a1 ~ @ A @ A @ ~ a b ¼ a2 b2 ¼ a3 b1 a1 b3 A a3 b3 a1 b2 a2 b1 Vektorprodukt oder Kreuzprodukt oder a¨ußeres ~. Das Vektorprodukt Produkt der Vektoren ~ a und b ist im Unterschied zum Skalarprodukt nur im Raum definiert. Das Vektorprodukt besitzt folgende Eigenschaften: ~ ~ ~ 1. b a ¼ ~ ab ~ ~¼ ~ ~ 2. ~ a b ¼ 0, falls ~ a ¼~ 0 oder b 0 oder ~ a parallel ~ zu b ~¼ ~ ~Þ ¼ lð~ ~Þ 3. ðl~ aÞ b a ðlb ab ~ ~ c¼~ a ~ c þ b ~ c 4. ð~ a þ bÞ ~ ~ steht senkrecht auf den Vektoren ~ ~ 5. ~ ab a und b ~j ¼ j~ ~j sin j ¼ j~ ~j sin |ð~ ~Þ 6. j~ ab aj jb aj jb a; b ~, ~ ~ bilden in dieser Reihenfolge ein 7. ~ a, b ab Rechtssystem ~ steht also senkrecht auf ~ Der Vektor ~ ab a und auf ~. Sein Betrag (seine La¨nge) ist gleich dem Fla¨chenb ~ aufgeinhalt des von den beiden Vektoren ~ a und b spannten Parallelogramms. Falls ~ a auf dem ku¨rze~ gedreht wird, zeigt ~ ~ in sten Weg nach b ab Richtung der Bewegung einer Schraube mit Rechtsgewinde.
130
Mathematik a×b
a×b
c b b
f
a a
~ der Vektoren ~ Bild VII-48 Vektorprodukt ~ ab a ~ und b &
Beispiel: 0 1 0 1 1 2 ~ ¼ @ 1 A ergibt sich fu¨r Fu¨r die Vektoren ~ a ¼ @ 2 A und b 3 2 0 1 1 das Vektorprodukt ~ a b~ ¼ @ 8 A. 5 Zur Probe kann man etwa Eigenschaft 5. benutzen: Es muß ~Þ ~ ~Þ b ~ ¼ 0) gelten: ð~ ab a ¼ 0 (und auch ð~ ab 1 0 1 0 1 1 ~Þ ~ ð~ ab a ¼ @ 8 A @ 2 A ¼ 1 16 þ 15 ¼ 0. 3 5
7.8 Spatprodukt ~ und ~ Sind ~ a, b c drei Vektoren im Raum, so heißt der Skalar ~Þ ~ ð~ ab c Spatprodukt. Aus der geometrischen Interpretation des Skalarprodukts folgt, daß ð~ a b~Þ ~ c gleich dem ~ und der La¨nge Produkt aus der La¨nge von ~ ab ~ ist. Da j~ ~j gleich der Projektion von ~ c auf ~ ab ab ~ aufgespannten dem Fla¨cheninhalt des von ~ a und b ~Þ ~ Parallelogramms ist, stellt ð~ ab c das Volumen ~ ~ ~ des von denVektoren a; b; c aufgespannten Spates dar, falls die Vektoren eine Lage wie in Bild VII-49 haben. Spat ist ein anderer Name fu¨r Parallelepiped oder Parallelflach. Zeigt ~ c nach unten, so ist das Spatprodukt negativ, und es ist dem Betrage nach das Volumen des Spates.
Bild VII-49 Geometrische Veranschaulichung des Spatprodukts Mit der abku¨rzenden Schreibweise ~; ~ ~Þ ~ ½~ a; b c ¼ ð~ ab c fu¨r das Spatprodukt ko¨nnen einige Eigenschaften des Spatprodukts formuliert 0 werden: 1 0 1 a2 b3 a3 b2 c1 ~;~ ~Þ ~ 1. ½~ a; b c ¼ ð~ ab c ¼ @ a3 b1 a1 b3 A @ c2 A a1 b2 b1 a2 c3 ¼ c1 ða2 b3 a3 b2 Þ c2 ða3 b1 a1 b3 Þ þ c3 ða1 b2 b1 a2 Þ 2. Eine zyklische (kreisfo¨rmige) Vertauschung der Vektoren a¨ndert das Spatprodukt nicht: ~;~ ~;~ ~ ½~ a; b c ¼ ½b c; ~ a ¼ ½~ c; ~ a; b 3. Das Spatprodukt a¨ndert das Vorzeichen (bei gleichem Betrag), falls zwei Vektoren miteinander vertauscht werden: ~; ~ ~; ~ ~ ¼ ½~ ~; ~ ½b a; ~ c ¼ ½~ c; b a ¼ ½~ a;~ c; b a; b c ~; ~ ~; ~ c ¼ 0 , ~ a; b c liegen in einer Ebene 4. ½~ a; b ~; ~ (man sagt dann: : ~ a; b c sind linear abha¨ngig) ~; ~ ~; ~ 5. ½~ a; b c > 0 , ~ a; b c bilden ein Rechtssystem ~; ~ 6. Das Volumen V des von den Vektoren ~ a; b c gebildeten Tetraeders ist 1 ~; ~ a; b c V ¼ ½~ 6 &
0 1 0 1 Beispiel: 1 2 ~ ¼ @ 1 A; Das Volumen V des von den Vektoren ~ a ¼ @ 0 A; b 0 1 1 1 1 ~ c ¼ @ 1 A aufgespannten Tetraeders betra¨gt 2 0 1 0 1 1 1 1 1 1 @ ~ ~ ~ V ¼ j½~ a; b;~ c j ¼ jð~ a b Þ c j ¼ 3 A @ 1 A 6 6 6 1 2 1 1 ¼ j 6j ¼ 6 ¼ 1: 6 6
VIII Differential- und Integralrechnung
131
VIII Differential- und Integralrechnung 1 Folgen 1.1 Grundbegriffe
monoton fallend, wenn a1 a2 a3 . . . an . . . gilt, streng monoton fallend, wenn a1 > a2 > a3 > . . . > an > . . . gilt.
Eine Folge besteht aus Zahlen einer Menge, die in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind: a1 ; a2 ; a3 ; . . . ; an ; . . . Sind alle diese Zahlen reelle Zahlen, dann nennt man die Folge auch reelle Zahlenfolge. Die Zahlen der Folge heißen Glieder der Folge. Handelt es sich um endlich viele Zahlen, so heißt die Folge endlich, andernfalls unendliche Folge. Eine unendliche Folge la¨ßt sich auch als Funktion (Abbildung) definieren: f : N* ! R ;
n 7! f ðnÞ ¼ an
Die Folgen der Beispiele 1 bis 4 und 7 sind streng monoton wachsend, die Folge aus Beispiel 6 ist streng monoton fallend. Alternierende Folgen Eine alternierende Folge ist eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedliche Vorzeichen haben. Von zwei aufeinander folgenden Gliedern ak und ak þ 1 einer solchen Folge ðan Þ ist also genau ein Glied positiv und eins negativ. Die Folge aus Beispiel 5 ist alternierend. Beschra¨nkte Folgen Eine Folge ðan Þ heißt nach oben beschra¨nkt, wenn es eine konstante Zahl Ko gibt, so daß fu¨r alle Glieder an Ko gilt, nach unten beschra¨nkt, wenn es eine konstante Zahl Ku gibt, so daß fu¨r alle Glieder an Ku gilt, beschra¨nkt, wenn die Folge sowohl nach oben als auch nach unten beschra¨nkt ist, wenn es also zwei Zahlen Ku ; Ko gibt mit Ku an Ko fu¨r alle n 2 N*. Gleichwertig damit ist, daß es eine Konstante K > 0 mit jan j K fu¨r alle n gibt.
Unter den Gliedern einer Folge ko¨nnen auch gleiche Zahlen auftreten. Eine Folge kann durch direkte Angabe ihrer Glieder oder auch durch einen arithmetischen Ausdruck gegeben sein. Ein solcher arithmetischer Ausdruck kann entweder eine explizite Formel fu¨r das Folgenglied an oder eine rekursive Definition sein. Bei einer Rekursion wird an durch Folgenglieder mit kleineren Indizes definiert. Schreibweise von Folgen: ðan Þ ¼ ða1 ; a2 ; a3 ; . . .Þ Eine konstante Folge ðan Þ ist eine Folge mit ðan Þ ¼ ða; a; a; . . .Þ: &
Beispiele: 1. ðan Þ ¼ ð1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10Þ 2. ðan Þ ¼ ðnÞ ¼ ð1; 2; 3; 4; . . .Þ 1 5 11 23 ; ... 3. ðan Þ ¼ 3 n 2 ¼ 1; 2; ; ; 2 2 4 8 4. ðan Þ ¼ ð4 þ 3ðn 1ÞÞ ¼ ð4; 7; 10; 13; . . .Þ 5. ðan Þ ¼ ðð1Þn þ 1 Þ ¼ ð1; 1; 1; 1; 1; . . .Þ 1 1 1 1 ¼ 1; ; ; ; 6. ðan Þ ¼ n 2 3 4 1 7. ðan Þ mit a1 ¼ 0; an þ 1 ¼ ð1 þ an Þ fu¨r n 2 N*, also 2 1 3 7 15 ; ... ðan Þ ¼ 0; ; ; ; 2 4 8 16
Die erste Folge ist endlich, alle anderen sind unendlich. Die erste Folge ist durch Angabe ihrer Glieder definiert, die letzte Folge ist rekursiv definiert und alle anderen durch eine explizite Formel. Monotone Folgen Eine Folge ðan Þ heißt monoton wachsend, wenn a1 a2 a3 . . . an . . . gilt, streng monoton wachsend, wenn a1 < a2 < a3 < . . . < an < . . . gilt,
Monoton wachsende und streng monoton wachsende Folgen sind nach unten beschra¨nkt, monoton fallende und streng monoton fallende Folgen sind nach oben beschra¨nkt. Die Folgen der Beispiele 1, 3, 5, 6 und 7 sind beschra¨nkt, die Folgen der Beispiele 2 und 4 sind nach unten beschra¨nkt.
1.2 Arithmetische Folgen Bei einer arithmetischen Folge ist die Differenz je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 ¼ a und diese Differenz d ist die Folge dann eindeutig bestimmt. ðan Þ ¼ ða; a þ d; a þ 2d; a þ 3d; . . . ; a þ ðn 1Þ d; . . .Þ Das n-te Glied einer arithmetischen Folge lautet an ¼ a þ ðn 1Þ d; n 2 N*. Das Glied a1 ¼ a nennt man Anfangsglied der Folge und d ¼ an þ 1 an (fu¨r n ¼ 1; 2; 3; . . .Þ die (konstante) Differenz der Folge. &
Beispiele: 1. ðan Þ ¼ ðnÞ ¼ ð1; 2; 3; 4; . . .Þ (arithmetische Folge mit a ¼ 1 und d ¼ 1) 2. ðan Þ ¼ ð4 þ 3ðn 1ÞÞ ¼ ð4; 7; 10; 13; . . .Þ (arithmetische Folge mit a ¼ 4 und d ¼ 3)
132
Mathematik
1.3 Geometrische Folgen Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient je zweier aufeinanderfolgender Glieder konstant. Durch das Anfangsglied a1 ¼ a und diesen Quotienten q ist die Folge dann eindeutig bestimmt. ðan Þ ¼ ða; aq; aq2 ; aq3 ; . . . ; aqn 1 ; . . .Þ
Konvergente Folgen sind beschra¨nkt. Eine beliebige Folge kann also nur konvergent sein, wenn sie beschra¨nkt ist. Es gilt folgendes Konvergenzkriterium: Eine monotone und beschra¨nkte Folge ist stets konvergent. Fu¨r konvergente Folgen gelten verschiedene Rechenregeln:
Das n-te Glied einer geometrischen Folge lautet an ¼ aqn 1 ; n 2 N*: Das Glied a1 ¼ a nennt an þ 1 (fu¨r man Anfangsglied der Folge und q ¼ an n ¼ 1; 2; 3; . . .Þ den (konstanten) Quotienten der Folge. &
Beispiele: 1. ðan Þ ¼ ð3 2n 1 Þ ¼ ð3; 6; 12; 24; . . .Þ (geometrische Folge mit a ¼ 3 und q ¼ 2) 1 1 1 1 ; ; ; ; ... 2. ðan Þ ¼ ð2n Þ ¼ 2 4 8 16 1 1 geometrische Folge mit a ¼ und q ¼ 2 2
lim ðan þ bn Þ ¼ lim an þ lim bn
n!1
n!1
lim an ¼ a
oder ðan Þ ! a
Exakte Definition: Die Folge ðan Þ besitzt den Grenzwert lim an ¼ a, n!1
wenn sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl e ein n0 2 N so finden la¨ßt, daß fu¨r alle n n0 gilt
n!1
&
Beispiele: 2.
5.
&
Beispiel: 1.
1 Die Folge ðan Þ mit an ¼ n hat den Grenzwert a ¼ 0, denn 10 1 1 die Differenz ja an j ¼ 0 n ¼ n wird fu¨r große n be10 10 1 liebig klein. Wa¨hlt man etwa e ¼ 10 , so gilt ja an j < e fu¨r 10 1 ¼ 0. n 11. Es gilt also lim an ¼ lim n!1 n ! 1 10n Die Folge ðan Þ ist somit eine Nullfolge.
n!1
1.5 Tabelle einiger Grenzwerte Fu¨r einige wichtige konvergente Zahlenfolgen sind in der folgenden Tabelle ihre Grenzwerte angegeben. pffiffiffi lim n q ¼ 1 ðq > 0Þ lim
n!1
Das n0 ha¨ngt offensichtlich von der Wahl von e ab, also n0 ¼ n0 ðeÞ. Besitzt ðan Þ den Grenzwert a, so sagt man, daß ðan Þ gegen a konvergiert. Eine Folge, die einen Grenzwert besitzt, heißt konvergent. Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt dagegen divergent. Eine Folge besitzt ho¨chstens einen Grenzwert. Eine Nullfolge ist eine Folge, die den Grenzwert 0 besitzt.
1 ¼0 n n lim an ¼ lim ¼1 n!1 n!1 n þ 1 1 lim an ¼ lim 3 n 2 ¼ 3 n!1 n!1 2 n 1 lim an ¼ lim ¼0 n!1 n!1 2 lim an ¼ lim
n!1
Die Folge aus Beispiel 5 ist eine geometrische Folge. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an ¼ aqn 1 konvergiert gegen Null, wenn jqj, der Betrag von q, kleiner als 1 ist.
n!1
ja an j < e
n!1
n!1
4.
n!1
n!1
falls bn 6¼ 0 und lim bn 6¼ 0
Man sagt, die Folge ðan Þ besitzt den Grenzwert (oder auch Limes genannt) lim an ¼ a oder
Grenzwert (Limes)
n!1
an an nlim lim ¼ !1 ; n ! 1 bn lim bn
3.
n!1
n!1
n!1
lim ðan bn Þ ¼ lim an lim bn
1.4 Grenzwert einer Folge
ðan Þ ! a (gesprochen: Limes an gleich a), wenn die Abweichung ja an j der Folgenglieder an von diesem Wert a fu¨r genu¨gend große n beliebig klein wird.
n!1
lim ðan bn Þ ¼ lim an lim bn
n!1
p ffiffiffi n n¼1
cr nr þ cr 1 nr 1 þ . . . þ c1 n þ c0 lim ds ns þ ds 1 ns 1 þ . . . þ d1 n þ d0 8c .. < r fu rr¼s ¼ dr : .. 0 fur r < s
n!1
ðc0 ; c1 ; . . . ; cr ; d0 ; d1 ; . . . ; ds 2 R; cr 6¼ 0; ds 6¼ 0Þ lim
n!1
loga n ¼0 n
lim qn ¼ 0
n!1
ða > 0; a 6¼ 1Þ
ðjqj < 1Þ
lim nq ¼ 0 ðjqj < 1Þ n
n!1
an ¼ 0 ða 2 RÞ n! 1 n lim 1 þ ¼ e ¼ 2;718 281 828 4 . . . n!1 n lim
n!1
VIII Differential- und Integralrechnung
1.6 Divergente Folgen Eine Folge, die keinen Grenzwert besitzt, heißt divergent. Bei divergenten Folgen unterscheidet man zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz. Eine Folge ðan Þ heißt bestimmt divergent gegen þ1, wenn zu jeder beliebig großen vorgegebenen Zahl K ein Index n0 existiert, so daß an > K fu¨r alle Indizes n n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge wa¨chst fu¨r n ! 1 u¨ber alle Grenzen. Man schreibt dann lim an ¼ 1
133
2 Reihen 2.1 Definitionen Eine Reihe ist die Summe der Glieder einer Folge (Zahlenfolge) ðan Þ. a1 þ a2 þ . . . þ an þ . . . Ist die Folge endlich, so nennt man auch die Reihe endlich. Fu¨r unendliche Folgen ergeben sich unendliche Reihen.
n!1
Eine Folge ðan Þ heißt dagegen bestimmt divergent gegen 1, wenn zu jeder noch so kleinen vorgegebenen Zahl K ðK > 0Þ ein Index n0 existiert, so daß an < K fu¨r alle Indizes n n0 gilt. Eine solche bestimmt divergente Folge fa¨llt fu¨r n ! 1 unter alle Grenzen. Man schreibt dann lim an ¼ 1
n!1
a1 þ a2 þ . . . þ an þ . . . ¼
1 P k¼1
ak
Das Zeichen 1 bedeutet dabei, daß die Reihe nicht abbricht. Sie besteht aus unendlich vielen Summanden. Die Zahlen an , also die Summanden, heißen auch Glieder der Reihe. &
Beispiele: 10 P 2k ¼ 21 þ 22 þ 23 þ . . . þ 210 ¼ 2 þ 4 þ 8 þ . . . þ 1024
1.
k¼1
Eine Folge, die nicht konvergent und nicht bestimmt divergent ist, heißt unbestimmt divergent. Monoton (streng monoton) wachsende und nicht beschra¨nkte Folgen ðan Þ sind bestimmt divergent mit lim an ¼ 1. n!1
Monoton (streng monoton) fallende und nicht beschra¨nkte Folgen ðan Þ sind bestimmt divergent mit lim an ¼ 1. n!1 &
(endliche Reihe) 2.
1 3k P 32 33 3n ¼ 3 þ þ þ . . . þ þ . . . (unendliche Reihe) k 2 3 n
k¼1
Folgende Summen heißen Teilsummen oder Partialsummen der Reihe: s1 ¼ a1 ;
s2 ¼ a1 þ a2 ; . . . ;
sn ¼ a1 þ a2 þ a3 þ . . . þ an ¼
Beispiele: 1. lim n ¼ 1 n!1
2.
(denn ðan Þ ¼ ðnÞ ist streng monoton wachsend und nicht beschra¨nkt) lim ðn3 Þ ¼ 1
3.
(denn ðan Þ ¼ ðn3 Þ ist streng monoton fallend und nicht beschra¨nkt) lim 2n þ 2 ¼ 1
4.
(denn ðan Þ ¼ ð2n þ 2 Þ ist streng monoton wachsend und nicht beschra¨nkt) ðan Þ ¼ ðð3Þn Þ ¼ ðð1Þn 3n Þ ist unbestimmt divergent
n!1
n!1
Die Folge aus Beispiel 1 ist eine arithmetische Folge. Es gilt: Jede arithmetische Folge ist divergent, denn die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder ist stets d. Fu¨r positive Werte von d werden die Glieder an der Folge ab einer Stelle gro¨ßer als jede beliebig große Zahl. Fu¨r negative Werte von d werden die Glieder an dagegen ab einer Stelle kleiner als jede vorgegebene beliebig kleine Zahl. Jede arithmetische Folge ist also bestimmt divergent. Die Folgen aus den Beispielen 3 und 4 sind geometrische Folgen. Es gilt: Jede geometrische Folge mit an ¼ aqn 1 ist divergent, wenn der Betrag jqj gro¨ßer als 1 ist, und zwar fu¨r q > 1 bestimmt divergent und fu¨r q < 1 unbestimmt divergent.
n P k¼1
ak
Man spricht von einer konvergenten unendlichen Reihe, wenn die Folge ðsn Þ der Partialsummen konvergiert, also einen Grenzwert s besitzt. s ¼ lim sn ¼ n!1
1 P k¼1
ak
Dieser Grenzwert s heißt die Summe der Reihe. Eine unendliche Reihe ist also genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Besitzt die Folge der Partialsummen keinen Grenzwert, dann heißt die unendliche Reihe divergent. In diesem Fall ko¨nnen die Partialsummen unbegrenzt wachsen oder oszillieren (die Folge der Partialsummen ist alternierend). Die unendliche Reihe heißt bestimmt divergent, wenn die Folge ðsn Þ der Partialsummen bestimmt divergent ist. Ist die Folge der Partialsummen unbestimmt divergent, so heißt auch die unendliche Reihe unbestimmt divergent. Die Frage nach der Konvergenz einer unendlichen Reihe wird somit auf die Frage nach der Existenz eines Grenzwertes der Folge ðsn Þ der Partialsummen zuru¨ckgefu¨hrt.
134
Mathematik 1 1 ¼ 1 lim ¼ 1 ist n!1 n þ 1 nþ1 die gegebene Reihe konvergent mit dem Grenzwert 1: 1 P 1 ¼1 k ¼ 1 kðk þ 1Þ
Die Folge der Glieder ðan Þ einer konvergenten Reihe muß gegen Null konvergieren, also eine Nullfolge sein. Diese Bedingung ist notwendig, sie reicht jedoch fu¨r die Konvergenz einer unendlichen Reihe nicht aus (vgl. Abschnitt VIII.2.4). Fu¨r konvergente Reihen gelten verschiedene Rechenregeln: 1 1 P P ak und bk ; so Konvergieren die Reihen k¼1 k ¼1 1 P ðak þ bk Þ und konvergieren auch die Reihen 1 P k¼1 c ak ; c 2 R; und es gilt k¼1
1 P k¼1 1 P
ðak þ bk Þ ¼
k¼1 &
c ak ¼ c
1 P
k¼1 1 P
k¼1
ak þ
1 P k¼1
bk
ak
Beispiele: 6 P k 2k ¼ 2 þ 2 22 þ 3 23 þ 4 24 þ 5 25 þ 6 26
3.
k¼1
4.
¼ 2 þ 8 þ 24 þ 64 þ 160 þ 384 ¼ 642 k 1 P 1 1 1 1 1 ¼ þ þ þ þ ... ¼ 1 2 2 4 8 16 k¼1 Daß diese unendliche Reihe die Summe 1 hat, kann man sich dadurch klarmachen, daß man ein Quadrat mit der Fla¨che 1 fortgesetzt halbiert (s. Bild VIII-1). Die entstehenden 1 1 1 1 Rechtecke haben die Fla¨cheninhalte ; ; ; . . . ; n ; . . ., 2 4 8 2 und ihre Summe ist offensichtlich 1, der Fla¨cheninhalt des Quadrats (vgl. auch Abschnitt VIII.2.3).
Wegen lim sn ¼ lim n!1
8.
n!1
1
1 kþ1 P ist nicht konvergent, denn die Glieder 3k þ 2 kþ1 nþ1 1 ak ¼ bilden wegen lim an ¼ lim ¼ keine n!1 n ! 1 3n þ 2 3k þ 2 3 Nullfolge.
k¼1
2.2 Arithmetische Reihen Eine arithmetische Reihe entsteht aus den Gliedern einer arithmetischen Folge. Da schon jede unendliche arithmetische Folge divergiert, ist auch jede unendliche arithmetische Reihe divergent. Da unendliche arithmetische Folgen bestimmt divergent sind (vgl. Abschnitt VIII.1.6), sind auch unendliche arithmetische Reihen bestimmt divergent. Die Summe sn einer endlichen arithmetischen Reihe n P ða þ ðk 1Þ dÞ la¨ßt sich jedoch allgemein bek¼1
rechnen. Wegen a1 ¼ a folgt sn ¼ a1 þ ða1 þ dÞ þ ða1 þ 2dÞ þ . . . þ ða1 þ ðn 1Þ dÞ. Dreht man die Reihenfolge der Summanden um und beachtet, daß die Differenz zweier aufeinanderfolgender Glieder gleich d ist, so folgt andererseits sn ¼ an þ ðan dÞ þ ðan 2dÞ þ . . . þ ðan ðn 1Þ dÞ. Schreibt man diese beiden Ausdru¨cke fu¨r sn untereinander und addiert jeweils die beiden u¨bereinanderstehenden Terme, so folgt sn ¼ a1 þ ða1 þ dÞ þ ða1 þ 2dÞ þ . . . þ ða1 þ ðn 1Þ dÞ sn ¼ an þ ðan dÞ þ ðan 2dÞ þ . . . þ ðan ðn 1Þ dÞ
1 2
1 4
1 8
und daraus 2sn ¼ nða1 þ an Þ, denn jede dieser Summen ist a1 þ an , und es gibt insgesamt n solcher Summen. Es folgt: sn ¼
Bild VIII-1 Zur Konvergenz der Reihe 1 1 1 2 þ 4 þ 8 þ ... 5.
1 P k¼1
6.
k ¼ 1 þ 2 þ 3 þ ... þ n þ ...
Diese unendliche Reihe ist bestimmt divergent, denn die Folge ðan Þ ¼ ðnÞ ist bestimmt divergent (vgl. Abschnitt VIII.1.6). 1 P ð1Þk ¼ 1 þ 1 1 þ 1 1 þ 1 . . . k¼1
Fu¨r die Partialsummen gilt 0 falls n gerade ist sn ¼ 1 falls n ungerade ist
7.
Die unendliche Reihe ist unbestimmt divergent. 1 P 1 1 1 1 1 ¼ þ þ þ þ ... 12 23 34 45 k ¼ 1 kðk þ 1Þ 1 1 1 Aus ak ¼ ¼ folgt kðk þ 1Þ k k þ 1 n P 1 1 1 ak ¼ 1 sn ¼ þ 2 2 3 k¼1 1 1 1 1 1 þ ... þ ¼1 þ 3 4 n nþ1 nþ1
n P k¼1
ða þ ðk 1Þ dÞ ¼
n ða1 þ an Þ 2
Die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe mit n Summanden ist also die Summe des ersten und des letzten Glieds multipliziert mit der halben Anzahl der Summanden. &
Beispiele: 10 P 10 ð3 þ 48Þ ¼ 255 ð3 þ ðk 1Þ 5Þ ¼ 2 k¼1 1P 00 2. k ¼ 50ð1 þ 100Þ ¼ 5050
1.
k¼1
3.
1P 00 k¼1
ð3 þ 4kÞ ¼
100 ð7 þ 403Þ ¼ 50 410 ¼ 20 500 2
Die Summe der ersten n natu¨rlichen Zahlen zum Beispiel la¨ßt sich hiermit fu¨r beliebiges (beliebig großes) n sehr einfach ausrechnen (vgl. Beispiel 2).
2.3 Geometrische Reihen Eine geometrische Reihe entsteht aus den Gliedern einer geometrischen Folge. Die Summe sn einer end-
VIII Differential- und Integralrechnung n P
lichen geometrischen Reihe
135
aqk 1 ergibt sich
k¼1
fu¨r q 6¼ 1 aus folgender Rechnung: sn ¼ a þ aq þ aq2 þ . . . þ aqn 1 qsn ¼ aq þ aq2 þ . . . þ aqn 1 þ aqn Zieht man die zweite Gleichung von der ersten ab, so folgt sn qsn ¼ a aqn und somit fu¨r die Summe sn einer endlichen geometrischen Reihe mit q 6¼ 1: sn ¼
n P k¼1
aqk 1 ¼ a
1 qn 1q
ðq 6¼ 1Þ
Fu¨r q ¼ 1 gilt sn ¼ n a. &
Beispiele: 5 P 1 25 2k 1 ¼ ¼ 31 12 k¼1
1. 2.
10 P
1 510 9 765 624 ¼ 7 324 218 ¼3 4 15 100 100
P 13 3 100 3 1 ¼ 3k ¼ 3 2 13 k¼1 k¼1
3.
3 5k 1 ¼ 3
1 qn ist fu¨r q 6¼ 1 das n-te 1q Glied der Folge der Partialsummen. Die Gro¨ßen a und q sind Konstanten, die Konvergenz der Folge ha¨ngt nur von der Gro¨ße 1 qn ab. Fu¨r q > 1 und q 1 divergiert die Folge ðqn Þ, die geometrische Reihe ist dann also ebenfalls divergent. Fu¨r q 1 ist die unendliche geometrische Reihe bestimmt divergent, fu¨r q 1 ist sie unbestimmt divergent. Fu¨r jqj < 1 wird jqjn ¼ jqn j beliebig klein, wenn n nur groß genug gewa¨hlt wird, das heißt, es gilt lim qn ¼ 0. Fu¨r jqj < 1 konvergiert deshalb die FolDie Summe sn ¼ a
n!1
ge ðqn Þ, es gilt dann
lim ð1 qn Þ ¼ 1 lim qn
n!1
n!1
¼ 1. In diesem Fall konvergiert die unendliche geometrische Reihe und hat den Grenzwert s ¼ lim sn ¼ n!1
¼ lim a n!1
1 P
1 , dann heißt die Reihe alterð1Þn þ 1 n nierende harmonische Reihe. Die unendliche harmonische Reihe ist bestimmt divergent, wie folgende Rechnung zeigt: 1 1 P k¼1 k 1 1 1 1 1 1 1 ¼1þ þ þ þ þ þ þ 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ ... 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 1 1 1 1 1 1 ¼ 1þ þ þ þ þ þ þ 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ þ þ 9 10 11 12 13 14 15 16 1 þ þ ... 17 1 1 1 1 1 1 1 > þ þ þ þ þ þ 2 4 4 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ þ þ þ þ... 16 16 16 16 16 16 16 16 32 1 1 1 1 1 ¼ þ þ þ þ þ ... 2 2 2 2 2
Ist ðan Þ ¼
1 1 P ist eine arithmetische 2 Reihe (mit d ¼ 0) und deshalb bestimmt divergent. Somit folgt
Die unendliche Reihe
k¼1
1 1 P ¼ þ1 k¼1 k
Die harmonische Reihe ist bestimmt divergent, obwohl die Glieder der Reihe eine Nullfolge bilden. Die unendliche alternierende harmonische Reihe ist dagegen konvergent. &
aqk 1
1.
k¼1
qn 1 a ¼ q1 1q
Beispiele: 6 P 1 1 1 1 1 1 ¼1þ þ þ þ þ k 2 3 4 5 6 (endliche harmonische Reihe)
k¼1
ðjqj < 1Þ 2.
1 P k¼1
&
Beispiele: 4.
5.
6.
5 60 11 ¼ ¼ a ¼ 5; q ¼ 11 23 12 k¼1 1þ 12 1 k 1 P 1 1 a¼q¼ ¼ 2 ¼1 1 2 2 k¼1 1 k 1 2 1 P 4 3 4 ¼ 15 a ¼ 3; q ¼ 3 ¼ 4 5 5 k¼1 1 5 1 P
11 5 12
n n P P 1 1 Ist ðan Þ ¼ ak ¼ , so nennt man endn k¼1 k¼1 k 1 1 P P 1 unendliche harmonische Reihe und ak ¼ k ¼ 1 k ¼1 k liche harmonische Reihe.
1 1 1 1 1 ¼ 1 þ þ . . . þ ð1Þn þ 1 þ . . . k 2 3 4 n ¼ ln 2
(unendliche alternierende harmonische Reihe)
k 1
2.4 Harmonische Reihen
ð1Þk þ 1
2.5 Alternierende Reihen Ist ðan Þ eine alternierende Folge, also eine Folge, deren Glieder abwechselnd unterschiedliches Vorzein P chen haben, dann nennt man ak eine endliche 1 P k¼1 ak eine unendliche alteralternierende Reihe und k¼1 nierende Reihe. &
Beispiele: 1. 2. 3.
10 P k¼1 1 P k¼1 n P k¼1
ð1Þk k ¼ 1 þ 2 3 þ 4 5 þ 6 7 þ 8 9 þ 10 ð1Þk þ 1 k ð1Þk ¼
.. 0 fur gerades n .. 1 fur ungerades n
136
Mathematik
Fu¨r alternierende Reihen gibt es ein einfaches Kriterium, mit dem sich die Konvergenz der Reihe untersuchen la¨ßt: 1 P Eine alternierende Reihe ak, bei der ðjan jÞ; also k¼1
die Folge der Betra¨ge der Glieder, eine monoton fallende Nullfolge bildet, ist stets konvergent (Leibnizsches Konvergenzkriterium). &
Besitzt die Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ a den Grenzwert lim f ðxÞ ¼ A, so sagt man auch, der x!a
Grenzwert lim f ðxÞ existiert und ist gleich A. x!a
&
Beispiele: 1. Die Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ x3 hat fu¨r x ! 0 den Grenzwert A ¼ 0: lim x3 ¼ 0. Soll etwa jx3 0j, der Unterschied zwix!0
Beispiel: 1 P 1 1 1 1 1 ð1Þk þ 1 ¼ 1 þ þ . . . þ ð1Þn þ 1 þ . . . k 2 3 4 n k¼1
4.
2.
Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium, denn die Folge der 1 1 ; ist monoBetra¨ge der Glieder, also ð1Þn þ 1 ¼ n n ton fallend und eine Nullfolge.
3 Grenzwerte von Funktionen
Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ 0 den Grenz5 . 3
wert
3.1 Grenzwert an einer endlichen Stelle Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a den Grenzwert lim f ðxÞ ¼ A oder f ðxÞ ! A fu¨r x!a
x ! a (gesprochen: Limes f ðxÞ gleich A fu¨r x gegen a), wenn sich die Funktion f ðxÞ bei unbegrenzter Anna¨herung von x an a unbegrenzt an A na¨hert. Die Variable x na¨hert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x 6¼ a. Die Funktion f ðxÞ muß an der Stelle x ¼ a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert zu sein. Grenzwert :: lim f ðxÞ ¼ A oder f ðxÞ ! A fur x ! a
x!a
Exakte Definition: Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a den Grenzwert lim f ðxÞ ¼ A, wenn
3.2 Einseitige Grenzwerte Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a den linksseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f ðxÞ bei unbegrenzter Anna¨herung von x von links an a unbegrenzt an A na¨hert. Linksseitiger Grenzwert lim f ðxÞ ¼ lim
x!a xa
x!aþ0
Beispiel: f ðxÞ ¼
a–d a a+d x
Bild VIII-2 Veranschaulichung des Grenzwertbegriffes
f ðxÞ ¼ A
Die Variable x na¨hert sich a unbegrenzt an, es gilt jedoch stets x 6¼ a. Die Funktion f ðxÞ muß an der Stelle x ¼ a den Wert A nicht annehmen und braucht an dieser Stelle auch nicht definiert zu sein. Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a den Grenzwert A, wenn an dieser Stelle sowohl der linksseitige als auch der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind.
&
f(x)
f ðxÞ ¼ A
Rechtsseitiger Grenzwert
Grenzwert
y
0
x!a0
Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a den rechtsseitigen Grenzwert A, wenn sich die Funktion f ðxÞ bei unbegrenzter Anna¨herung von x von rechts an a unbegrenzt an A na¨hert.
x!a
sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl e eine zweite positive Zahl d ¼ dðeÞ so finden la¨ßt, daß fu¨r alle x mit jx aj < dðeÞ gilt jf ðxÞ Aj < e eventuell mit Ausnahme der Stelle a. Der Unterschied j f ðxÞ Aj zwischen den Funktionswerten und dem Grenzwert wird kleiner als jede beliebig vorgegebene positive Zahl e, wenn die x-Werte sich um weniger als eine passend gewa¨hlte, von e abha¨ngige Zahl d ¼ dðeÞ vom Wert a unterscheiden, wenn also 0 < jx aj < dðeÞ gilt.
schen y ¼ x3 und A ¼ 0, kleiner als e ¼ 0; 000 001 sein, so ist dies erfu¨llt, wenn man fu¨r d ¼ dðeÞ < 0; 01 wa¨hlt, denn ð102 Þ3 ¼ 106 . pffiffiffi Fu¨r ein beliebiges positives e erfu¨llt dðeÞ < 3 e die geforderte Bedingung. 2x2 þ 5x ist an der Stelle x ¼ 0 Die Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ 3x nicht definiert, da fu¨r x ¼ 0 der Nenner Null ist. Es gilt 2x2 þ 5x 2x þ 5 ¼ lim lim f ðxÞ ¼ lim x!0 x!0 x!0 3x 3 (Ku¨rzen durch x 6¼ 0) und weiter wegen der Rechenregeln fu¨r Grenzwerte (siehe Abschnitt VIII.3.4) 2 5 5 lim x þ ¼ . lim f ðxÞ ¼ x!0 3 x!0 3 3
lim f ðxÞ ¼ A
x!a
.. 1 fur x > 0 .. 0 fur x < 0
Linksseitiger Grenzwert:
lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ 0
x!0 x0
x!0þ0
Rechtsseitiger Grenzwert: lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ 1 Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ 0 sowohl den linksseitigen als auch den rechtsseitigen Grenzwert. Da diese jedoch verschieden sind, existiert der Grenzwert an der Stelle x ¼ 0 nicht.
VIII Differential- und Integralrechnung
137
3.3 Grenzwert im Unendlichen Die Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt fu¨r x ! 1 den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen e > 0 ein hinreichend großes w ¼ wðeÞ gibt, so daß j f ðxÞ Aj < e fu¨r alle x > wðeÞ gilt. Man schreibt dafu¨r
Diese Regeln sagen aus, daß man die Operation der Grenzwertbildung mit der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division (falls G 6¼ 0) vertauschen darf. Die Regeln wurden schon bei den Beispielen der vorangegangenen Abschnitte angewandt.
lim f ðxÞ ¼ A
x!1
3.5 Unbestimmte Ausdru¨cke
Analog besitzt die Funktion y ¼ f ðxÞ fu¨r x ! 1 den Grenzwert A, wenn es zu jedem beliebigen e > 0 ein hinreichend großes w ¼ wðeÞ gibt, so daß j f ðxÞ Aj < e fu¨r alle x < wðeÞ gilt. Man schreibt dann lim
x ! 1
x!1
x ! 1
tion y ¼ f ðxÞ beschreiben, falls sie existieren, den Verlauf der Funktion im Unendlichen, das heißt, das Verhalten der Funktion fu¨r sehr großes positives und fu¨r sehr kleines negatives Argument x. Beispiele: 1.
2.
3.
0 1 ; ; 0 1; 1 0; 1 1; 1 þ 1; 0 1 0 0 ; 10 ; 11
f ðxÞ ¼ A
Die Grenzwerte lim f ðxÞ und lim f ðxÞ der Funk-
&
Unbestimmte Ausdru¨cke sind symbolische Ausdru¨kke der Form
1 1 1 ¼ 0, denn es gilt 0 ¼ < e fu¨r alle x, x x x 1 die der Bedingung x > wðeÞ ¼ genu¨gen. Ebenso gilt e 1 lim ¼ 0. x ! 1 x 5x þ 3 hat fu¨r x ! 1 den GrenzDie Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ 2x þ 7 5 5x þ 3 5x þ 3 5 ¼ lim ¼ ; wie folgende wert , also lim x ! 1 2x þ 7 x ! 1 2x þ 7 2 2 Rechnung unter Anwendung der Rechenregeln fu¨r Grenzwerte (siehe Abschnitt VIII.3.4) zeigt: 1 3 5 þ 3 lim 5þ 5x þ 3 5 x!1 x x ¼ ¼ lim lim ¼ 7 x ! 1 2x þ 7 x!1 1 2 2þ 2 þ 7 lim x!1 x x 5x þ 3 5 ¼ verla¨uft ganz analog. Die Rechnung fu¨r lim x ! 1 2x þ 7 2 Der Grenzwert lim sin x existiert nicht. Wie groß man x x!1 auch wa¨hlt, es lassen sich wegen der Periodizita¨t der Sinusfunktion unendlich viele gro¨ßere x-Werte angeben, fu¨r die die Funktion einen vorgegebenen Wert zwischen 1 und 1 hat. Es ist lim
x!1
Solche Ausdru¨cke ergeben sich bei bestimmten Grenzwertaufgaben. Sind zum Beispiel f ðxÞ und gðxÞ zwei Funktionen mit f ðaÞ ¼ gðaÞ ¼ 0; so ist ihr f ðxÞ an der Stelle x ¼ a nicht definiert. Quotient gðxÞ Formales Einsetzen von x ¼ a fu¨hrt auf den unbe0 stimmten Ausdruck „ “. Damit soll ausgedru¨ckt 0 f ðxÞ zu ermitteln werden, daß der Grenzwert lim x ! a gðxÞ ist, der das Verhalten des Quotienten in der Na¨he der kritischen Stelle a beschreibt, falls er existiert. &
Beispiele: 1.
3x2 x 1 ¼? 4x2 þ 3 1 Unbestimmter Ausdruck der Form „ “. 1 Durch Ku¨rzen des Bruches durch x2 ðx 6¼ 0Þ ergibt sich lim
x!1
1 1 3 2 3x2 x 1 x x ¼ 3 ¼ lim 3 x!1 4x2 þ 3 4 4þ 2 x 3 Der Grenzwert existiert also und ist gleich . 4 2 lim ðx xÞ ¼ ? lim
x!1
2.
x!1
Unbestimmter Ausdruck der Form „1 1“. Durch Umformen ergibt sich lim ðx2 xÞ ¼ lim xðx 1Þ ¼ 1 1 ¼ 1 x!1
3.4 Rechenregeln fu¨r Grenzwerte Die fu¨r Folgen aufgestellten Regeln fu¨r das Rechnen mit Grenzwerten (vgl. Abschnitt VIII.1.4) lassen sich auf das Rechnen mit Grenzwerten von Funktionen u¨bertragen. Gilt lim f ðxÞ ¼ F und lim gðxÞ ¼ G fu¨r zwei Funkx!a
x!a
tionen f ðxÞ und gðxÞ, so existieren auch die folgenden Grenzwerte: lim ½ f ðxÞ þ gðxÞ ¼ lim f ðxÞ þ lim gðxÞ ¼ F þ G
x!a
x!a
x!a
lim ½ f ðxÞ gðxÞ¼ lim f ðxÞ lim gðxÞ ¼ F G
x!a
x!a
lim ½c f ðxÞ
x!a
x!a
¼ c lim f ðxÞ ¼ c F x!a
ðc 2 RÞ
lim ½ f ðxÞ gðxÞ ¼ lim f ðxÞ lim gðxÞ ¼ F G
x!a
lim
x!a
3.
x!a
f ðxÞ gðxÞ
¼
lim f ðxÞ
x!a
lim gðxÞ
x!a
4.
x!1
Es existiert kein Grenzwert. x2 2 lim ¼? x!1 x3 1 Unbestimmter Ausdruck der Form „ “. 1 3 Durch Ku¨rzen des Bruches durch x ðx 6¼ 0Þ erha¨lt man 1 2 3 x2 2 00 lim ¼ lim x x ¼ ¼0 x!1 x!1 1 x3 1 Der Grenzwert existiert und ist gleich 0. x3 ¼? lim x ! 1 x2 2 1 Unbestimmter Ausdruck der Form „ “. 1 2 Durch Ku¨rzen des Bruches durch x ðx 6¼ 0Þ ergibt sich 1 ¼1 ¼ 2 10 x2 Es existiert kein Grenzwert. lim
x!1
x3 ¼ lim x2 2 x ! 1
x
1
x!a
¼
F G
ðgðxÞ ¼ 6 0; G 6¼ 0Þ
3.6 Stetigkeit einer Funktion Die Stetigkeit einer Funktion y ¼ f ðxÞ an einer Stelle x ¼ a wird mit Hilfe des Grenzwertes der Funktion an dieser Stelle definiert.
138
Mathematik
Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x ¼ a stetig, wenn f ðxÞ an der Stelle a definiert ist und der Grenzwert lim f ðxÞ existiert und gleich f ðaÞ ist. x!a
Das ist genau dann der Fall, wenn es zu jedem vorgegebenen e > 0 ein d ¼ dðeÞ > 0 gibt, so daß j f ðxÞ f ðaÞj < e fu¨r alle x mit jx aj < d gilt. Ist eine Funktion y ¼ f ðxÞ stetig, dann a¨ndert sich bei kleinen nderungen der Variablen x auch der Funktionswert f ðxÞ nur geringfu¨gig. Die meisten Funktionen, die in den Anwendungen vorkommen, sind stetig. Der Graph einer stetigen Funktion ist eine zusammenha¨ngende Kurve. Ist dagegen die Kurve an verschiedenen Stellen (mindestens an einer) unterbrochen, dann heißt die zugeho¨rige Funktion unstetig, und die Werte der unabha¨ngigen Variablen x, an denen die Unterbrechung auftritt, heißen Unstetigkeitsstellen. Eine an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs stetige Funktion y ¼ f ðxÞ heißt stetig. Sind f ðxÞ und gðxÞ zwei Funktionen mit dem Definitionsbereich D und dem Wertebereich W ¼ R, und ist c eine reelle Zahl, so gilt: Sind f ðxÞ und gðxÞ stetig an der Stelle x ¼ a des Definitionsbereichs D, so sind auch f ðxÞ þ gðxÞ, c f ðxÞ, f ðxÞ f ðxÞ gðxÞ, (falls gðxÞ ¼ 6 0 fu¨r x 2 D) und j f ðxÞj gðxÞ stetig an der Stelle x ¼ a. Da die Sinusfunktion y ¼ sin x eine stetige Funktion ist, folgt hieraus zum Beispiel, daß eine so kompliziert gebaute Funktion x sin ðx2 þ 1Þ ebenfalls wie etwa f : R ! R; f ðxÞ ¼ 1 þ jsin xj stetig ist. &
Beispiele: 1. Die Funktion f ðxÞ ¼ 5x þ 2 ist an jeder Stelle x ¼ a des Definitionsbereichs stetig, denn es gilt lim ð5x þ 2Þ ¼ 5a þ 2
Ein Pol oder eine Unendlichkeitsstelle x ¼ a einer gðxÞ Funktion y ¼ f ðxÞ ¼ ist eine Stelle, fu¨r die der hðxÞ Nenner von f ðxÞ den Wert 0 hat und der Za¨hler von 0 verschieden ist, also hðaÞ ¼ 0 und gðaÞ ¼ 6 0 (vgl. Abschnitt V.5). An einer solchen Stelle ist die Funktion also nicht definiert. Die Funktion strebt bei Anna¨herung an einen Pol nach (plus oder minus) Unendlich. Die Kurve der Funktion la¨uft an einer solchen Stelle ins Unendliche. &
Beispiele: .. 1 fu ur x > 0 f ðxÞ ¼ .. 0 fu ur x < 0 Linksseitiger Grenzwert:
1.
3.
x!00
x!0 x>0
x!0þ0
Rechtsseitiger Grenzwert: lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ 1 Der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert der Funktion y ¼ f ðxÞ sind verschieden, also besitzt die Funktion bei x ¼ 0 eine Sprungstelle. Die Funktion springt beim Durchlaufen des Punktes x ¼ 0 von 0 auf 1.
y 1
0
–1
x
1
Bild VIII-3 Graph der Funktion von Beispiel 1 2.
1 ; D ¼ R; x 6¼ 0 x 1 1 ¼ 1; lim ¼ þ1 Einseitige Grenzwerte: lim x!0 x x!0 x x0 1 Die Funktion y ¼ besitzt bei x ¼ 0 einen Pol. Bei Anna¨hex rung von links an den Pol strebt die Funktion nach minus Unendlich, bei Anna¨herung von rechts nach plus Unendlich.
f ðxÞ ¼
y
x!a
2.
lim f ðxÞ ¼ lim f ðxÞ ¼ 0
x!0 x 0 ist f 0 ðx0 Þ ¼ 1, fu¨r x0 < 0 ist dagegen f 0 ðx0 Þ ¼ 1. Fu¨r x0 ¼ 0 gilt wegen f ð0Þ ¼ 0 lim jxj ¼ lim
x!0 x>0
x!0 x>0
und lim jxj ¼ lim
x!0 x 0Þ y ¼ ln x ) y0 ¼ x 1 1 1 y ¼ loga x ) y0 ¼ loga e ¼ x ln a x ða 2 R; a > 0; a 6¼ 1 konstant; x > 0Þ
4.6 Sekanten und Tangenten Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve, also den Graph einer Funktion y ¼ f ðxÞ, in (mindestens) zwei Punkten schneidet (Sekante ¼ Schneidende). Der Teil zwischen den Schnittpunkten heißt Sehne. Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 ðx1 j f ðx1 ÞÞ und P2 ðx2 j f ðx2 ÞÞ lautet
Fu¨r die natu¨rliche Logarithmusfunktion mit der Basis a ¼ e folgt y ¼ ln x ) y0 ¼
1 x
4.5.3 Exponentialfunktionen Die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der natu¨rlichen Logarithmusfunktion. Nach der Regel zur Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion
y¼ &
f ðx2 Þ f ðx1 Þ ðx x1 Þ þ f ðx1 Þ x2 x1
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ x2 ; P1 ð0 j 0Þ; P2 ð1 j 1Þ Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 10 ðx 0Þ þ 0, also y ¼ x. y¼ 10 2.
f ðxÞ ¼ x3 2x þ 1; P1 ð1 j 2Þ; P2 ð2 j 5Þ Die Gleichung der Sekante durch die Punkte P1 und P2 lautet 52 y¼ ðx ð1ÞÞ þ 2 ¼ x þ 3: 2 ð1Þ
144
Mathematik
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Graph einer Funktion y ¼ f ðxÞ in einem Punkt beru¨hrt, aber nicht schneidet (Tangente = Beru¨hrende) (vgl. auch Abschnitt VII.3.3). Die Funktion f ðxÞ hat in dem Punkt Pða j f ðaÞÞ genau dann eine Tangente, wenn die Funktion in a differenzierbar ist. Die Ableitung der Funktion an der Stelle, also f 0 ðaÞ, ist die Steigung der Tangente. Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt Pða j f ðaÞÞ lautet y ¼ f 0 ðaÞ ðx aÞ þ f ðaÞ &
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ x2 ; Pð1 j 1Þ f 0 ðxÞ ¼ 2x ) f 0 ð1Þ ¼ 2 Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt Pð1 j 1Þ lautet somit y ¼ 2ðx 1Þ þ 1 ¼ 2x 1: 2. f ðxÞ ¼ x3 2x þ 1; Pð1 j 0Þ f 0 ðxÞ ¼ 3x2 2 ) f 0 ð1Þ ¼ 1 Die Gleichung der Tangente an die Kurve im Punkt Pð1 j 0Þ lautet somit y ¼ 1 ðx 1Þ þ 0 ¼ x 1:
4.7 Extremwerte von Funktionen Eine Funktion y ¼ f ðxÞ besitzt an der Stelle x ¼ a ein relatives Maximum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte kleiner als an der Stelle x ¼ a sind. Dieser Funktionswert f ðaÞ heißt relatives Maximum. Es gilt dann f ðxÞ < f ðaÞ fu¨r alle x 6¼ a aus einer passenden Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also kleiner als f ðaÞ. Relatives Maximum f ðaÞ
f ðxÞ < f ðaÞ
.. fu ur x 6¼ a
Entsprechend besitzt eine Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ a ein relatives Minimum, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der alle Funktionswerte gro¨ßer als an der Stelle x ¼ a sind. Der Funktionswert f ðaÞ heißt dann relatives Minimum. Fu¨r ein relatives Minimum gilt analog f ðxÞ > f ðaÞ fu¨r alle x 6¼ a aus einer geeigneten Umgebung von a. Alle benachbarten Funktionswerte sind also gro¨ßer als f ðaÞ. Relatives Minimum f ðaÞ
f ðxÞ > f ðaÞ
.. fu ur x 6¼ a
Es handelt sich bei einem relativen Maximum oder einem relativen Minimum um eine lokale Eigenschaft, denn es wird nur eine Umgebung von x ¼ a betrachtet. Das absolute oder globale Maximum einer Funktion y ¼ f ðxÞ, die in einem abgeschlossenen Intervall ½c; d differenzierbar ist, ist entweder ein relatives Maximum, oder es wird am Rand, also fu¨r x ¼ c oder x ¼ d, angenommen. Entsprechend ist das absolute oder globale Minimum ein relatives Minimum, oder es wird an einem der Intervallra¨nder x ¼ c oder x ¼ d angenommen. Ein Extremwert einer Funktion ist ein Funktionswert f ðaÞ, der ein relatives Minimum oder ein relati-
ves Maximum ist. Statt Extremwert sagt man auch Extremum oder relatives Extremum. Eine notwendige Bedingung dafu¨r, daß die Funktion y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ a ein relatives Extremum besitzt, ist das Verschwinden der Ableitung an dieser Stelle, also f 0 ðaÞ ¼ 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der relativen Extrema mu¨ssen alle x berechnet werden, die die Gleichung f 0 ðxÞ ¼ 0 erfu¨llen. Eine hinreichende Bedingung fu¨r ein relatives Extremum (das heißt, ist die Bedingung erfu¨llt, dann liegt ein relatives Extremum vor) ist, daß die zweite 6 0. Ableitung von Null verschieden ist, also f 00 ðaÞ ¼ Gilt jedoch auch f 00 ðaÞ ¼ 0, so ist f ðaÞ ein relatives Extremum, wenn es ein gerades n gibt, so daß f 0 ðaÞ ¼ f 00 ðaÞ ¼ . . . ¼ f ðn 1Þ ðaÞ ¼ 0; f ðnÞ ðaÞ ¼ 6 0 (n gerade). Ein Extremum liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von gerader Ordnung ist. Dieses relative Extremum ist ein relatives Minimum, wenn im ersten Fall f 00 ðaÞ > 0 und im zweiten Fall f ðnÞ ðaÞ > 0 gilt. Das relative Extremum ist ein relatives Maximum, wenn im ersten Fall f 00 ðaÞ < 0 und im zweiten Fall f ðnÞ ðaÞ < 0 gilt. Geometrisch bedeutet f 0 ðaÞ ¼ 0, daß die Tangente an die Kurve der Funktion im Punkt Pða j f ðaÞÞ waagerecht, also parallel zur x-Achse, verla¨uft. &
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ x2 f 0 ðxÞ ¼ 2x; f 00 ðxÞ ¼ 2 f 0 ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 0 f 00 ð0Þ ¼ 2 > 0 ) f ð0Þ ¼ 0 ist ein relatives Minimum von y ¼ f ðxÞ 2. f ðxÞ ¼ x4 þ 1 f 0 ðxÞ ¼ 4x3 ; f 00 ðxÞ ¼ 12x2 ; f 000 ðxÞ ¼ 24x; f ð4Þ ðxÞ ¼ 24 f 0 ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 0 f 00 ð0Þ ¼ f 000 ð0Þ ¼ 0; f ð4Þ ð0Þ ¼ 24 < 0 ) f ð0Þ ¼ 0 ist ein relatives Maximum von y ¼ f ðxÞ 3. f ðxÞ ¼ x3 4x2 þ 4x ¼ xðx 2Þ2 f 0 ðxÞ ¼ 3x2 8x þ 4; f 00 ðxÞ ¼ 6x 8 2 f 0 ðxÞ ¼ 0 ) 3x2 8x þ 4 ¼ 0 ) x1 ¼ 2; x2 ¼ 3 00 00 2 ¼ 4 < 0 ) f ðx1 Þ ¼ f ð2Þ ¼ 0 ist ein ref ð2Þ ¼ 4 > 0; f 3 2 32 ¼ ist ein relatives latives Minimum und f ðx2 Þ ¼ f 3 27 Maximum von y ¼ f ðxÞ 3 2 4. f ðxÞ ¼ x 3x þ 3x f 0 ðxÞ ¼ 3x2 6x þ 3 ¼ 3ðx 1Þ2 ; f 00 ðxÞ ¼ 6x 6; f 000 ðxÞ ¼ 6 f 0 ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 1 f 00 ð1Þ ¼ 0; f 000 ð1Þ ¼ 6 ) f ðxÞ besitzt kein relatives Extremum, bei x ¼ 1 liegt der Sattelpunkt P ¼ ð1 j 1Þ, also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente (vgl. Abschnitt VIII.4.8).
4.8 Kru¨mmungsverhalten von Funktionen Das Kru¨mmungsverhalten einer Funktion ist die Verteilung von konvexen und konkaven Bereichen der Kurve der Funktion. Eine Funktion y ¼ f ðxÞ heißt an der Stelle x ¼ a von unten konvex, wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a oberhalb der Tangente im Punkt Pða j f ðaÞÞ liegen. In einem von unten konvexen Bereich ist die Ableitungsfunktion y0 ¼ f 0 ðxÞ monoton wachsend. Die Funktion y ¼ f ðxÞ hat dort eine Linkskru¨m-
VIII Differential- und Integralrechnung
145
mung (der Graph macht in x-Richtung eine Linkskurve). Entsprechend heißt die Funktion an der Stelle x ¼ a von unten konkav (oder von oben konvex), wenn alle Punkte der Kurve der Funktion in einer Umgebung von a unterhalb der Tangente im Punkt Pða j f ðaÞÞ liegen. In einem von unten konkaven Bereich ist die Ableitungsfunktion y0 ¼ f 0 ðxÞ monoton fallend. Die Funktion y ¼ f ðxÞ hat dort eine Rechtskru¨mmung (der Graph macht in x-Richtung eine Rechtskurve).
y
Δa
y = f(x)
y1 Δs
a1 P1
y a
P x
x1
x
Bild VIII-9: Zur Definition der Kru¨mmung einer Kurve
y konvex (f ′′ > 0)
4.9 Wendepunkte von Funktionen
konvex (f ′′ > 0) konkav (f ′′ < 0) 0
y = f (x) x
Bild VIII-8 Konkave und konvexe Bereiche der Funktion y ¼ f ðxÞ Die Kru¨mmung einer Funktion ist die Abweichung der Kurve der Funktion von der Geraden. Die Kru¨mmung der Kurve der Funktion y ¼ f ðxÞ im Punkt Pðx j yÞ ist definiert als der Grenzwert j des Quotienten aus der Differenz der Steigungswinkel a1 ; a der Tangenten durch einen Punkt P1 und durch P an die Kurve und der La¨nge Ds des Kurvenbogens zwischen den Punkten (falls der Grenzwert existiert): j ¼ lim
P1 ! P
a1 a Da da ¼ lim ¼ P1 ! P Ds Ds ds
Die Kru¨mmung einer Funktion ist in einem konvexen Bereich (Linkskurve) positiv, in einem konkaven Bereich (Rechtskurve) negativ. Fu¨r eine Gerade gilt j ¼ 0. Mit Hilfe der Kettenregel berechnet man fu¨r die Kru¨mmung in einen Punkt Pðx j yÞ der Funktion y ¼ f ðxÞ: j¼
f 00 ðxÞ ½1 þ
3 f 02 ðxÞ2
f 00 ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 ½ 1 þ f 02 ðxÞ
1 Kru¨mmungsradius und der jjj Kreis mit diesem Radius Kru¨mmungskreis der Kurve im Punkt Pðx j yÞ.
Ein Wendepunkt einer Funktion y ¼ f ðxÞ ist ein Punkt Pða j f ðaÞÞ, in dem sich das Kru¨mmungsverhalten der Kurve a¨ndert. In einem Wendepunkt findet der bergang von einem konvexen zu einem konkaven Bereich oder umgekehrt statt. Die Kurve liegt in der unmittelbaren Na¨he eines Wendepunktes nicht auf einer Seite der Tangente, sondern wird von dieser durchsetzt. Eine notwendige Bedingung fu¨r die Existenz eines Wendepunktes Pða j f ðaÞÞ einer Funktion y ¼ f ðxÞ ist das Verschwinden der zweiten Ableitung im Wendepunkt, also f 00 ðaÞ ¼ 0 (falls sie existiert). Zur Bestimmung der Wendepunkte mu¨ssen alle x berechnet werden, die die Gleichung f 00 ðxÞ ¼ 0 erfu¨llen. Eine hinreichende Bedingung fu¨r einen Wendepunkt ist, daß die dritte Ableitung von Null verschieden ist, also f 000 ðaÞ ¼ 6 0. Gilt jedoch auch f 000 ðaÞ ¼ 0, so hat f ðxÞ an der Stelle a einen Wendepunkt, wenn es ein ungerades n gibt, so daß f 00 ðaÞ ¼ f 000 ðaÞ ¼ . . . ¼ f ðn 1Þ ðaÞ ¼ 0; f ðnÞ ðaÞ ¼ 6 0 (n ungerade). Ein Wendepunkt liegt vor, wenn die erste an der Stelle a nicht verschwindende Ableitung von ungerader Ordnung ist. Falls in einem Wendepunkt Pða j f ðaÞÞ auch noch die erste Ableitung verschwindet, wenn also zusa¨tzlich f 0 ðaÞ ¼ 0 gilt, dann ist dort die Tangente waagerecht. Ein solcher Wendepunkt heißt Sattelpunkt. &
Beispiele: 1. f ðxÞ ¼ x3 4x2 þ 4x ¼ xðx 2Þ2 f 0 ðxÞ ¼ 3x2 8x þ 4; f 00 ðxÞ ¼ 6x 8; f 000 ðxÞ ¼ 6 4 f 00 ðxÞ ¼ 0 ) 6x 8 ¼ 0 ) x ¼ 3 4 4 ¼ 6 6¼ 0 ) bei x ¼ liegt der Wendepunkt f 000 3 3 ! ! 4 4 4 16 ¼ P¼ f 3 3 3 27 2.
Fu¨r j 6¼ 0 heißt r ¼
&
3. Beispiel: f ðxÞ ¼ 3x3 1 f 0 ðxÞ ¼ 9x2 ; f 00 ðxÞ ¼ 18x 18x Es folgt: j ¼ . 3 ð1 þ 81x4 Þ2 18 Kru¨mmung im Punkt Pð1 j 2Þ zum Beispiel: j ¼ 3 0;0242 822
f ðxÞ ¼ x3 3x2 þ 3x f 0 ðxÞ ¼ 3x2 6x þ 3 ¼ 3ðx 1Þ2 ; f 00 ðxÞ ¼ 6x 6; f 000 ðxÞ ¼ 6 f 00 ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 1 f 000 ð1Þ ¼ 6 6¼ 0 ) f ðxÞ besitzt bei x ¼ 1 einen Wendepunkt Da auch f 0 ð1Þ ¼ 0 gilt, ist dort die Tangente waagerecht, und somit ist P ¼ ð1 j 1Þ ein Sattelpunkt. f ðxÞ ¼ x5 f 0 ðxÞ ¼ 5x4 ; f 00 ðxÞ ¼ 20x3 ; f 000 ðxÞ ¼ 60x2 ; f ð4Þ ðxÞ ¼ 120x; f ð5Þ ðxÞ ¼ 120 f 00 ðxÞ ¼ 0 ) x ¼ 0 f 000 ð0Þ ¼ f ð4Þ ð0Þ ¼ 0; f ð5Þ ð0Þ ¼ 120 6¼ 0 ) f ðxÞ besitzt bei x ¼ 0 einen Wendepunkt Da auch f 0 ð0Þ ¼ 0 gilt, ist dort die Tangente waagerecht, und somit ist P ¼ ð0 j 0Þ ein Sattelpunkt.
146
Mathematik
4.10 Kurvendiskussion
4.11 Anwendungsbeispiele
Eine Kurvendiskussion ist die Untersuchung einer Funktion y ¼ f ðxÞ bzw. des Graphen der Funktion auf typische Eigenschaften. Dazu geho¨ren die Untersuchung auf Symmetrie und Monotonie sowie die Bestimmung von Definitionsbereich, Nullstellen, relativen Extrema, Wendepunkten, Unstetigkeitsstellen und Asymptoten.
1. Ein halbrunder Balken soll so besa¨umt werden, daß ein rechtwinkliger Balken mit maximalem Widerstandsmoment W entsteht.
&
Beispiel: 1 xðx 2Þ3 2 Ableitungen: 1 3 f 0 ðxÞ ¼ ðx 2Þ3 þ xðx 2Þ2 2 2 1 ¼ ðx 2Þ2 ðx 2 þ 3xÞ ¼ ðx 2Þ2 ð2x 1Þ 2 f 00 ðxÞ ¼ 2ðx 2Þ ð2x 1Þ þ 2ðx 2Þ2 ¼ ðx 2Þ ð4x 2 þ 2x 4Þ ¼ 6ðx 1Þ ðx 2Þ f ðxÞ ¼
f 000 ðxÞ ¼ 6ðx 1Þ þ 6ðx 2Þ ¼ 6ð2x 3Þ Definitionsbereich: D¼R Nullstellen: 1 f ðxÞ ¼ xðx 2Þ3 ¼ 0 ) x1 ¼ 0; x2 ¼ 2 2 Relative Extremwerte: f 0 ðxÞ ¼ ðx 2Þ2 ð2x 1Þ ¼ 0 ) x3 ¼ 2; x4 ¼
1 2
f 00 ðx3 Þ ¼ f 00 ð2Þ ¼ 0; f 000 ð2Þ ¼ 6 > 0 (n ungerade) ) bei x3 ¼ 2 Wendepunkt; wegen f 0 ð2Þ ¼ 0 ist Pð2 j 0Þ ein Sattelpunkt 1 1 3 ¼6 >0 f 00 ðx4 Þ ¼ f 00 2 2 2 1 ) Minimum bei x4 ¼ 2 Wendepunkte: f 00 ðxÞ ¼ 6ðx 1Þ ðx 2Þ ¼ 0 ) x5 ¼ 1; x6 ¼ x3 ¼ 2 f 000 ðx5 Þ ¼ f 000 ð1Þ ¼ 6 0 ) Wendepunkt bei x5 ¼ 1 Sattelpunkt bei x6 ¼ x3 ¼ 2 (siehe oben) Zusammenfassung: 1 xðx 2Þ3 hat die Nullstellen x1 ¼ 0 und 2 1 1 1 3 3 27 ¼ x2 ¼ 2, das relative Minimum f ¼ , 2 2 2 2 32 1 1 1 den Wendepunkt P 1 denn f ð1Þ ¼ 1 ð1Þ3 ¼ 2 2 2 und den Sattelpunkt Pð2 j 0Þ. Die Funktion besitzt keine Unstetigkeitsstellen und Asymptoten, sie ist weder zur y-Achse noch zum Koordinatenursprung symmetrisch. Die Funktion ist streng mono 1 und streng monoton wachsend ton fallend im Intervall 1; 2
1 im Intervall ;1 . 2
Die Funktion f ðxÞ ¼
y
b r
h
Bild VIII-11 Zu Anwendungsbeispiel 1 Die Gleichung fu¨r das Widerstandsmoment lautet: hb2 (1) W ¼ 6 Nach dem Satz des Pythagoras gilt fu¨r die Beziehung zwischen b und h: 2 b þ h2 ¼ r 2 (2) 2 Auflo¨sen von Gleichung (2) nach b2 : b2 ¼ 4ðr2 h2 Þ Einsetzen in (1): h 2 W ¼ 4ðr2 h2 Þ ¼ ðr2 h h3 Þ 6 3 Da r eine feste Gro¨ße ist, ha¨ngt W nur von h ab, das heißt, W ist eine Funktion von h: W ¼ WðhÞ. Notwendige Voraussetzung fu¨r ein Maximum von W ist das Verschwinden der Ableitung: W 0 ¼ 0. 2 Berechnung der Ableitung: W 0 ðhÞ ¼ ðr2 3h2 Þ 3 2 W 0 ðhÞ ¼ 0 ) ðr2 3h2 Þ ¼ 0 ) r2 3h2 ¼ 0 3 p ffiffi ffi 1 )h¼ r 3 3 (Da die Ho¨he h nicht negativ sein kann, kommt fu¨r das Maximum nur das positive Vorzeichen in 1 pffiffiffi Frage.) Wegen W 00 ðhÞ ¼ 4h ist fu¨r h ¼ r 3 3 die zweite Ableitung negativ, es liegt also ein Maximum vor. Ergebnis: 1 pffiffiffi 2 pffiffiffi h ¼ r 3 und b ¼ r 6 sind die Abmessun3 3 gen fu¨r das maximale es Widerstandsmoment, p ffiffi ffi 2 1 4 3 pffiffiffi betra¨gt W ¼ r 3 r2 r2 ¼ r 3. 9 3 27 2. Aus einem kreiskegelfo¨rmigen Stu¨ck Holz soll ein Zylinder gro¨ßtmo¨glichen Rauminhalts (Gewichts) gedreht werden. Welchen Radius x und welche Ho¨he y hat dieser Zylinder, wenn r der Radius und h die Ho¨he des Kegels sind? Bild VIII-12 Zu Anwendungsbeispiel 2
1 h 0
1
2
h–y
x
x
y
Bild VIII-10 Graph der Funktion 1 f ðxÞ ¼ xðx 2Þ3 2
x r
VIII Differential- und Integralrechnung (1) V ¼ px2 y Zylindervolumen hy h ¼ Beziehung zwischen x und y ð2Þ x r Die Beziehung zwischen x und y folgt aus der hnlichkeit der schraffierten Dreiecke. x Auflo¨sen von (2) nach y: y ¼ h 1 r Einsetzen in (1): x 1 ¼ ph x2 x3 V ¼ px2 h 1 r r
147 x2 x3 f ðx2 Þ , was sich mit ¼ x2 x1 f ðx2 Þ f ðx1 Þ dem zweiten Strahlensatz ergibt. Das folgt aus
y
x1 x0 x3
h ist eine feste Gro¨ße, V ist also eine Funktion der Variablen x: V ¼ VðxÞ. Berechnung der Ableitung: 3 V 0 ðxÞ ¼ ph 2x x2 r 3 3 0 V ðxÞ ¼ 0 ) ph 2x x2 ¼ phx 2 x ¼ 0 r r 2 ) x1 ¼ 0 und x2 ¼ r 3 6 gilt V 00 ðx1 Þ > 0 Wegen V 00 ðxÞ ¼ ph 2 x r und V 00 ðx2 Þ < 0, das heißt, bei x1 liegt ein Minimum und bei x2 ein Maximum vor. Ergebnis: 2 1 x ¼ r und y ¼ h sind Radius und Ho¨he des 3 3 gesuchten Zylinders, das maximale Zylindervolu4 men betra¨gt V ¼ pr2 h. 27
x2
x
Bild VIII-13 Regula falsi Dieses Verfahren la¨ßt sich zur Bestimmung immer besserer Na¨herungslo¨sungen fu¨r die Nullstelle x0 beliebig oft wiederholen. Im na¨chsten Schritt wendet man das Verfahren auf x3 und den Wert x1 oder x2 an, dessen Funktionswert ein von f ðx3 Þ verschiedenes Vorzeichen hat. Diese Methode zur Bestimmung von Na¨herungswerten einer Nullstelle einer stetigen Funktion heißt auch Sekantenverfahren. &
Beispiel: f ðxÞ ¼ x3 þ 2x2 þ 10x 20 Fu¨r x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1;5 gilt f ðx1 Þ ¼ f ð1Þ ¼ 7 und f ðx2 Þ ¼ f ð1;5Þ ¼ 2;875. Eine bessere Na¨herungslo¨sung fu¨r die Nullstelle von f ðxÞ, die zwischen 1 und 1,5 liegt, erha¨lt man mit Regula falsi: 1;5 1 2;875 2;875 ð7Þ 0;5 ¼ 1;5 2;875 ¼ 1;3544 . . . 9;875
x3 ¼ 1;5
4.12 Na¨herungsverfahren zur Nullstellenbestimmung In vielen Fa¨llen ist es nicht mo¨glich oder nicht notwendig, die Nullstellen von Funktionen exakt zu berechnen. Gerade in vielen praktischen Anwendungen genu¨gen oftmals angena¨herte Werte. Zur Bestimmung solcher sogenannten Na¨herungslo¨sungen gibt es eine Reihe von Na¨herungsverfahren. 4.12.1 Regula falsi Regula falsi ist ein Verfahren zur na¨herungsweisen Bestimmung einer Nullstelle einer stetigen Funktion. Fu¨r eine stetige Funktion y ¼ f ðxÞ wird eine Nullstelle, also eine Stelle x0 mit f ðx0 Þ ¼ 0, gesucht. Sind x1 und x2 zwei Stellen in der Na¨he der Nullstelle x0, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben (also f ðx1 Þ f ðx2 Þ < 0), dann erha¨lt man eine bessere Na¨herung, indem man durch die Punkte P1 ðx1 j f ðx1 ÞÞ und P2 ðx2 j f ðx2 ÞÞ die Verbindungsgerade (Sekante) legt. Der Schnittpunkt x3 der Verbindungsgeraden mit der x-Achse liefert einen verbesserten Na¨herungswert fu¨r die Nullstelle x0. x3 ¼ x2
x2 x1 f ðx2 Þ f ðx2 Þ f ðx1 Þ
Wegen f ðx3 Þ ¼ 0;3020 . . . < 0 la¨ßt sich im na¨chsten Schritt das Verfahren auf x3 und x2 anwenden: x3 x2 f ðx3 Þ x4 ¼ x3 f ðx3 Þ f ðx2 Þ 1;3544 . . . 1;5 ð0;3020 . . .Þ ¼ 1;3544 . . . 0;3020 . . . 2;875 ¼ 1;3682 . . . Es gilt f ðx4 Þ ¼ 0;0113 . . ., das heißt, x4 ist schon eine gute Na¨herung fu¨r die Nullstelle x0 . Will man die Na¨herung weiter verbessern, so wendet man Regula falsi im na¨chsten Schritt auf x4 und x2 an ( f ðx4 Þ und f ðx3 Þ haben dasselbe Vorzeichen, deshalb kann das Verfahren nicht auf x4 und x3 angewandt werden).
4.12.2 Newtonsches Verfahren Das Newtonsche Verfahren ist eine Methode zur na¨herungsweisen Bestimmung einer Nullstelle einer stetig differenzierbaren Funktion. Bei diesem Verfahren wird die Funktion in der Na¨he einer Nullstelle nicht durch eine Sekante wie bei Regula falsi, sondern durch eine Tangente ersetzt. Fu¨r eine stetig differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ wird eine Nullstelle, also eine Stelle x0 mit f ðx0 Þ ¼ 0 gesucht. Ist x1 eine Stelle in der Na¨he der Nullstelle x0 , dann ersetzt man die Funktion durch die Tangente in dem Punkt Pðx1 j f ðx1 ÞÞ. Der Schnittpunkt
148
Mathematik
x2 dieser Tangente mit der x-Achse ergibt einen neuen Na¨herungswert fu¨r die Nullstelle x0. x2 ¼ x1
tionsbereich eine Stammfunktion von f ðxÞ, wenn fu¨r alle x 2 I gilt F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ
f ðx1 Þ f 0 ðx1 Þ
Damit x2 tatsa¨chlich ein besserer Na¨herungswert als x1 fu¨r die Nullstelle x0 ist, muß in der Umgebung f ðxÞ f 00 ðxÞ von x0 die Bedingung < 1 erfu¨llt sein. ½ f 0 ðxÞ2 y
Die Funktion f ðxÞ heißt dann integrierbar. Ist FðxÞ eine Stammfunktion von f ðxÞ, so ist auch FðxÞ þ c fu¨r eine beliebige Konstante c eine Stammfunktion, denn eine additive Konstante verschwindet bei der Differentiation. Somit ist fFðxÞ þ C j C 2 Rg die Menge aller Stammfunktionen von f ðxÞ. Stammfunktionen sind also bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. &
x0 x1
x
x2 x3
Beispiele: 1. Funktion: f ðxÞ ¼ x2 2x 3 1 Stammfunktion: FðxÞ ¼ x3 x2 3x, aber zum Beispiel 3 1 3 2 auch F1 ðxÞ ¼ x x 3x þ 5 3 2. Funktion: f ðxÞ ¼ sin x Stammfunktion: FðxÞ ¼ cos x oder etwa F1 ðxÞ ¼ cos x þ 3 Funktionen: f ðxÞ ¼ xk ðk 2 R; k 6¼ 1Þ xk þ 1 Stammfunktionen: FðxÞ ¼ þ C ðC 2 RÞ kþ1 1 Funktion: f ðxÞ ¼ x1 ¼ x Stammfunktionen: FðxÞ ¼ ln x þ C ðC 2 RÞ
3.
Bild VIII-14 Newtonsches Verfahren Dasselbe Verfahren la¨ßt sich auch auf x2 anwenden. Man erha¨lt als weitere Verbesserung den Wert f ðx2 Þ : Allgemein findet man durch folgenx3 ¼ x2 0 f ðx2 Þ de Iterationsvorschrift aus x1 eine Folge von verbesserten Na¨herungswerten x2 ; x3 ; x4 ; . . . fu¨r die Nullstelle x0. xk þ 1 ¼ xk
f ðxk Þ ; f 0 ðxk Þ
Beispiel: f ðxÞ ¼ x3 þ 2x2 þ 10x 20 Wegen f 0 ðxÞ ¼ 3x2 þ 4x þ 10 erha¨lt man die Iterationsvorschrift xk þ 1 ¼ xk
x3k þ 2x2k þ 10xk 20 3x2k þ 4xk þ 10
Fu¨r die Anfangsna¨herung x1 ¼ 1 gilt f ðx1 Þ ¼ f ð1Þ ¼ 7, und man berechnet x2 ¼ 1;4117 . . . mit f ðx2 Þ ¼ 0;9175 . . . ; x3 ¼ 1;3693 . . . mit f ðx3 Þ ¼ 0;0111 . . . ; x4 ¼ 1;3688 . . . mit f ðx4 Þ ¼ 0;000 001 . . . Die Zahl x4 ist also schon eine sehr gute Na¨herung fu¨r die Nullstelle x0 .
5 Integralrechnung 5.1 Unbestimmtes Integral Ist y ¼ f ðxÞ eine Funktion mit einem Intervall I als Definitionsbereich, dann heißt eine differenzierbare Funktion FðxÞ mit demselben Intervall I als Defini-
Funktion: f ðxÞ ¼ ex Stammfunktionen: f ðxÞ ¼ ex þ C
5.
ðk 2 RÞ
Die Gesamtheit aller Stammfunktionen FðxÞ þ C heißt unbestimmtes Integral der Funktion y ¼ f ðxÞ, gesprochen: Integral u¨ber f ðxÞ dx und geschrieben Ð
k ¼ 1; 2; 3; . . .
Diese Methode zur Bestimmung von Na¨herungswerten einer Nullstelle einer stetig differenzierbaren Funktion heißt Newtonsches Verfahren (nach dem englischen Mathematiker Isaac Newton, 1642––1727) oder auch Tangentenverfahren. &
4.
f ðxÞ dx ¼ FðxÞ þ C
Ð Das Zeichen heißt Integralzeichen, und f ðxÞ heißt Integrand. Die Variable x nennt man Integrationsvariable und C Integrationskonstante. Die Konstante C soll andeuten, daß FðxÞ durch die Funktion f ðxÞ bis auf eine additive Konstante bestimmt ist. &
Beispiele: ð 1 x3 dx ¼ x4 þ C 4 Ð 7. cos x dx ¼ sin x þ C ð 1 1 3 x þxþC 8. ðx4 3x2 þ 1Þ dx ¼ x5 3 5 3 1 5 3 ¼ x x þxþC 5 6.
5.2 Integrationsregeln Die folgenden Integrationsregeln zur Berechnung der unbestimmten Integrale von Funktionen lassen sich durch Differentiation der entsprechenden Gleichung beweisen. 1. Faktorregel Ein konstanter Faktor im Integranden kann vor das Integralzeichen gezogen werden. Ð
cf ðxÞ dx ¼ c
Ð
f ðxÞ dx ðc 2 RÞ
VIII Differential- und Integralrechnung &
Beispiel: ð ð 1 2 3 x þ C ¼ x2 þ C 1. 3x dx ¼ 3 x dx ¼ 3 2 2
2. Potenzregel ð xn dx ¼
1 xn þ 1 þ C nþ1
149 woraus mit der Summenregel der Integralrechnung die Behauptung folgt. Mit dieser Methode wird ein Integral der Form Ð uðxÞ v0 ðxÞ Ð dx auf das oft leichter berechenbare Integral u0 ðxÞ vðxÞ dx zuru¨ckgefu¨hrt. &
Beispiele: Ð 5. ln x dx 1 Setzt man uðxÞ ¼ ln x und v0 ðxÞ ¼ 1, dann ist u0 ðxÞ ¼ x und vðxÞ ¼ x, und es ergibt sich ð ð ð 1 ln x dx ¼ 1 ln x dx ¼ x ln x x dx x ð ¼ x ln x dx ¼ x ln x x þ C Ð x 6. xe dx Setzt man uðxÞ ¼ x und v0 ðxÞ ¼ ex , dann ist u0 ðxÞ ¼ 1 und vðxÞ ¼ ex , und es folgt Ð x Ð xe dx ¼ xex 1 ex dx ¼ xex ex þ C ¼ ðx 1Þ ex þC Ð 7. x cos x dx Setzt man uðxÞ ¼ x und v0 ðxÞ ¼ cos x, dann ist u0 ðxÞ ¼ 1 und vðxÞ ¼ sin x, und es ergibt sich Ð Ð x cos x dx ¼ x sin x 1 sin x dx ¼ x sin x þ cos x þ C Ð n 8. x ln x dx ðn 2 NÞ 1 Setzt man uðxÞ ¼ ln x und v0 ðxÞ ¼ xn , dann ist u0 ðxÞ ¼ x xnþ1 und vðxÞ ¼ , und es ergibt sich nþ1 ð ð xn þ 1 1 xn þ 1 xn ln x dx ¼ ln x dx x nþ1 nþ1 ð xn þ 1 1 n x dx ln x ¼ nþ1 nþ1 xn þ 1 1 xn þ 1 þ C ¼ ln x nþ1 ðn þ 1Þ2
Beweis: d 1 xn þ 1 þ C ¼ xn dx n þ 1 &
Beispiel: ð 1 2. x5 dx ¼ x6 þ C 6
3. Summenregel Das unbestimmte Integral einer Summe ist gleich der Summe der unbestimmten Integrale (falls Stammfunktionen existieren). Ð
&
ð f ðxÞ þ gðxÞÞ dx ¼
Ð
f ðxÞ dx þ
Ð
gðxÞ dx
Beispiel: ð ð ð ð 3: ð4x3 3x2 þ 5Þ dx ¼ 4x3 dx 3x2 dx þ 5 dx ð ð ð ¼ 4 x3 dx 3 x2 dx þ 5 dx 1 4 1 3 x 3 x þ 5x þ C 4 3 3 ¼ x x þ 5x þ C
¼4 4
4. Ist der Integrand ein Bruch, in dem der Za¨hler die Ableitung des Nenners ist, dann ist das unbestimmte Integral gleich dem natu¨rlichen Logarithmus des Nenners. ð
6. Substitutionsmethode Durch Substitution x ¼ jðtÞ der unabha¨ngigen Variablen einer Funktion y ¼ f ðxÞ, also Einfu¨hrung einer neuen Variablen t, ergibt sich fu¨r das unbestimmte Integral Ð
f 0 ðxÞ dx ¼ ln f ðxÞ þ C f ðxÞ
Beweis: Nach der Kettenregel zur Differentiation zusammengesetzter Funktionen gilt: d f 0 ðxÞ ð ln f ðxÞ þ CÞ ¼ dx f ðxÞ Beispiel: ð 2x þ 3 dx ¼ ln ðx2 þ 3x 5Þ þ C 4. x2 þ 3x 5
5. Partielle Integration La¨ßt sich die Funktion f ðxÞ als Produkt zweier Funktionen gðxÞ ¼ uðxÞ und hðxÞ ¼ v0 ðxÞ darstellen, also f ðxÞ ¼ gðxÞ hðxÞ ¼ uðxÞ v0 ðxÞ, dann gilt Ð
uðxÞ v0 ðxÞ dx ¼ uðxÞ vðxÞ
Ð
u0 ðxÞ vðxÞ dx
Beweis: Mit der Produktregel der Differentialrechnung ergibt sich d ðuðxÞ vðxÞÞ ¼ u0 ðxÞ vðxÞ þ uðxÞ v0 ðxÞ; dx
Ð
f ðjðtÞÞ j0 ðtÞ dt
Durch geeignete Substitution kann das Integral auf der rechten Seite der Gleichung einfacher zu Ðberechnen sein als das Ausgangsintegral f ðxÞ dx. Die Substitution muß so gewa¨hlt sein, daß x ¼ jðtÞ nach t differenzierbar ist. &
&
f ðxÞ dx ¼
Beispiele: ð dx 9. ð2 þ 3xÞ2 t2 , dann Substituiert man 2 þ 3x ¼ t; also x ¼ jðtÞ ¼ 3 dx 1 dt ¼ oder dx ¼ , und es ergibt sich ist j0 ðtÞ ¼ dt 3 3 ð ð dx 1 dt 1 1 1 ¼ þC ¼ þC ¼ 2 t 3 3t 3 2 þ 3x ð2 þ 3xÞ2 Ð n 10. ð1 þ xÞ dx ðn 2 NÞ dx ¼ 1, Substituiert man x ¼ jðtÞ ¼ t 1, dann ist j0 ðtÞ ¼ dt also dx ¼ dt, und es ergibt sich ð ð tn þ 1 ðx þ 1Þn þ 1 ð1 þ xÞn dx ¼ t n dt ¼ þC ¼ þC nþ1 nþ1 Ð 2 11. ðx þ 7Þ8 x dx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Substituiert man x2 þ 7 ¼ t, also x ¼ jðtÞ ¼ t 7, dann dx 1 1 ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 oder ist nach der Kettenregel j0 ðtÞ ¼ dt 2 t7
150
Mathematik dt 1 dx ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi , und es ergibt sich 2 t7 ð ð ð pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dt 1 1 t 8 dt ðx2 þ 7Þ8 x dx ¼ t 8 t 7 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ 2 2 t7 1 1 1 2 ¼ t9 þ C ¼ ðx þ 7Þ9 þ C 2 9 18
Das letzte Integral la¨ßt sich noch einfacher berechnen, wenn man die obige Substitutionsgleichung von rechts nach links liest (mit der Substitution u ¼ jðxÞ). Ð
&
f ðjðxÞÞ j0 ðxÞ dx ¼
Ð
f ðuÞ du
Beispiel: ð ð 1 1 9 u8 du ¼ u þC 11: ðx2 þ 7Þ8 x dx ¼ 2 18 1 2 ðx þ 7Þ9 þ C ¼ 18 mit der Substitution u ¼ x2 þ 7, woraus du ¼ 2x dx folgt.
Spezialfall ð
&
½ f ðxÞn f 0 ðxÞ dx ¼
½ f ðxÞn þ 1 þ C ðn 6¼ 1Þ nþ1
Beispiel: ð ð 12: cos5 x sin x dx ¼ cos5 x ðsin xÞ dx ¼
1 cos6 x þ C 6
7. Partialbruchzerlegung Die Integration gebrochener rationaler Funktionen y ¼ f ðxÞ mit f ðxÞ ¼
an xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a2 x2 þ a1 x þ a0 bm xm þ bm 1 xm 1 þ . . . þ b2 x2 þ b1 x þ b0
wird oftmals durch eine Partialbruchzerlegung von f ðxÞ (siehe Abschnitt V.5.2) einfacher oder u¨berhaupt erst mo¨glich. &
Beispiele: ð 2 6x x þ 1 13. dx x3 x Partialbruchzerlegung der Funktion liefert (vgl. Abschnitt V.5.2, Beispiel 3): 6x2 x þ 1 1 3 4 þ ¼ þ x3 x x x1 xþ1 Mit der Summenregel folgt: ð 2 ð ð ð 6x x þ 1 1 3 4 dx ¼ dx þ dx þ dx x3 x x x1 xþ1 ð 14.
¼ ln x þ 3 ln ðx 1Þ þ 4 ln ðx þ 1Þ þ C 3x2 x þ 1 dx x3 2x2 þ x
Durch Partialbruchzerlegung erha¨lt man (vgl. Abschnitt V.5.2, Beispiel 2): 3x2 x þ 1 1 2 3 þ ¼ þ x3 2x2 þ x x x 1 ðx 1Þ2 Daraus errechnet sich das unbestimmte Integral der Funktion: ð ð ð ð 3x2 x þ 1 1 2 3 dx dx ¼ dx þ dx þ x3 2x2 þ x x x1 ðx 1Þ2 3 þC ¼ ln x þ 2 ln ðx 1Þ x1
ð 15.
12x3 27x2 8x þ 37 dx 3x2 3x 6
Polynomdivision ergibt fu¨r den Integranden: 12x3 27x2 8x þ 37 xþ7 ¼ 4x 5 þ 3x2 3x 6 3ðx2 x 2Þ Nullstellen des Nenners: x1 ¼ 2; x2 ¼ 1 Zerlegung des Nennerpolynoms: x2 x 2 ¼ ðx 2Þ ðx þ 1Þ Ansatz zur Zerlegung des Bruches in Partialbru¨che: xþ7 A B þ ¼ 3ðx2 x 2Þ x 2 x þ 1 Multiplikation mit dem Hauptnenner: x þ 7 ¼ 3Aðx þ 1Þ þ 3Bðx 2Þ ¼ ð3A þ 3BÞ x þ ð3A 6BÞ Vergleich der Koeffizienten von x und der Absolutglieder: 1 ¼ 3A þ 3B; 7 ¼ 3A 6B Lo¨sung dieses Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Variablen A und B: 2 A ¼ 1; B ¼ 3 Damit ergibt sich fu¨r das unbestimmte Integral: ð ð ð ð 12x3 27x2 8x þ 37 1 dx ¼ 4x dx 5 dx þ dx 2 3x 6 3x x2 ð 2 2 2 dx ¼ 2x 5x þ ln ðx 2Þ ln ðx þ 1Þ þ C 3ðx þ 1Þ 3
5.3 Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen Mit den Integrationsregeln aus Abschnitt VIII.5.2 lassen sich die unbestimmten Integrale von algebraischen Funktionen berechnen. Rationale Funktionen Ð a dx ¼ ax þ C ð 1 x dx ¼ x2 þ C 2 ð xn þ 1 n þC x dx ¼ n þ1 ð ðan xn þ an 1 xn 1 þ . . . þ a1 x þ a0 Þ dx an an 1 n a1 ¼ xn þ 1 þ x þ . . . þ x2 þ a0 x þ C n 2 ð nþ1 1 dx ¼ ln x þ C ðx > 0Þ ð x 1 1 1 dx ¼ þ C ðn 6¼ 1Þ xn n 1 xn 1 ð m mþ1 x 1 x dx ¼ þ C ðn 6¼ m þ 1Þ m n þ 1 xn xn Irrationale Funktionen ð pffiffiffi 2 3 x dx ¼ x2 þ C 3 ð ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffiffiffi p n p n nþ1 n þC x x dx ¼ nþ1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi ð m m mþ1 x x mn ffiffi ffi ffiffiffi þ C p p dx ¼ n n n m þ mn x x
5.4 Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen Auch fu¨r einige transzendente Funktionen lassen sich die unbestimmten Integrale mit den Integrationsregeln aus Abschnitt VIII.5.2 berechnen.
VIII Differential- und Integralrechnung
151
Trigonometrische Funktionen Ð sin x dx ¼ cos x þ C Ð cos x dx ¼ sin x þ C Ð tan x dx ¼ ln jcos xj þ C Ð cot x dx ¼ ln jsin xj þ C ð 1 p dx ¼ tan x þ C x 6¼ ð2k þ 1Þ ; k 2 Z 2 cos x 2 ð 1 dx ¼ cot x þ C ðx 6¼ kp; k 2 ZÞ sin2 x
Diese Integraldefinition geht auf Bernhard Riemann zuru¨ck (deutscher Mathematiker, 1826––1866). Ðb Gilt f ðxÞ 0 fu¨r alle x 2 ½a; b, dann ist f ðxÞ dx a
gleich dem Inhalt des von der Kurve (Graph der Funktion y ¼ f ðxÞ) und der x-Achse zwischen x ¼ a und x ¼ b berandeten Fla¨che. Fu¨r f ðxÞ 0 fu¨r alle Ðb f ðxÞ dx der negative Fla¨cheninhalt. x 2 ½a; b ist a Ðb Besitzt y ¼ f ðxÞ in ½a; b Nullstellen, so ist f ðxÞ dx a
die Differenz der Fla¨cheninhalte oberhalb („þ“) und unterhalb („“) der x-Achse.
Exponentialfunktionen Ð x e dx ¼ ex þ C ð 1 ax dx ¼ ax þ C ln a
ða 2 R; a > 0 konstantÞ
y
Logarithmusfunktionen Ð ln x dx ¼ x ðln x 1Þ þ C ðx > 0Þ ð 1 x ðln x 1Þ þ C loga x dx ¼ ln a ða 2 R; a > 0 konstant; x > 0Þ
5.5 Bestimmtes Integral
n!1 k¼1
falls dieser Grenzwert existiert und unabha¨ngig von der Wahl der Zahlen xk und xk ist (gesprochen: Integral von a bis b u¨ber f ðxÞ dx). Dabei ist a ¼ x0 < x1 < . . . < xn ¼ b eine Einteilung (Zerlegung) des Intervalls ½a; b mit Dxk ¼ xk xk 1 und xk ; k ¼ 1; 2; . . . ; n, ein beliebiger Zwischenpunkt mit xk 1 xk xk .
b
a
0
–
f ðxÞ dx ¼ lim
n P
n!1 k¼1
a
–
x
Existenz des bestimmten Integrals: Jede in einem Intervall ½a; b stetige Funktion ist dort auch integrierbar. Auch jede im Intervall ½a; b beschra¨nkte Funktion, die in ½a; b nur endlich viele Unstetigkeitsstellen besitzt, ist in diesem Intervall integrierbar. &
Beispiele: 1. Fu¨r die Funktion f ðxÞ ¼ c; c 2 R; D ¼ ½a; b und eine beliebige Einteilung a ¼ x0 < x1 < . . . < xn ¼ b des Intervalls ½a; b gilt lim
ðb
+
Bild VIII-16 Bestimmtes Integral
Ist y ¼ f ðxÞ eine beschra¨nkte Funktion mit einem abgeschlossenen Intervall als Definitionsbereich, also D ¼ ½a; b, dann ist das bestimmte Integral von n Ðb P f ðxÞ definiert durch f ðxÞ dx ¼ lim f ðxk Þ Dxk , a
+ y = f(x)
n P
n!1 k¼1
f ðxk Þ Dxk ¼ lim
n P
n!1 k¼1
c Dxk ¼ lim c n!1
n P k¼1
ðxk xk 1 Þ
¼ lim c ðb aÞ
f ðxk Þ Dxk
n!1
Also ist die Funktion f ðxÞ im Intervall ½a; b integrierbar, und es gilt Ðb
y
c dx ¼ c ðb aÞ
a
f(x)
0 a = x0 x1 x2 ... xk–1 xk xk xk+1 ... xn–1 xn = b
2.
x
Bild VIII-15 Zur Definition des bestimmten Integrals Die Funktion f ðxÞ heißtÐ dann im Intervall ½a; b integrierbar. Das Zeichen heißt Integralzeichen. Man nennt a die untere Integrationsgrenze, b die obere Integrationsgrenze, f ðxÞ den Integranden und x die Integrationsvariable.
Es sei f ðxÞ ¼ x; D ¼ ½a; b: Da f ðxÞ stetig ist, ist f ðxÞ in ½a; b integrierbar. Wa¨hlt man fu¨r eine Intervalleinteilung xk ¼ ba , also a ¼ x0 < x1 ¼ a þ D < x2 ¼ a þ a þ kD mit D ¼ n 2D < . . . < xn ¼ a þ nD ¼ b, dann folgt Dxk ¼ xk xk 1 ¼ a þ kD ða þ ðk 1Þ DÞ ¼ D. Wa¨hlt man außerdem xk ¼ xk , also xk ¼ a þ kD, dann gilt n P k¼1
f ðxk Þ Dxk ¼ ¼
n P k¼1 n P k¼1
xk D ¼ aDþ
n P k¼1 n P k¼1
ða þ kDÞ D k D2 ¼ a D
2
n P k¼1
1 þ D2
ba ba ðn þ 1Þ n nþ n n 2 ðb aÞ2 1 ¼ aðb aÞ þ 1þ ; 2 n ¼a
n P k¼1
k
152
Mathematik
denn
n P k¼1
1 ¼ n und
n P k¼1
k¼
ðn þ 1Þ n . Fu¨r das bestimmte Inte2
5.7 Eigenschaften des bestimmten Integrals
!
Die folgenden Eigenschaften zur Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion lassen sich mit Hilfe der Definition beweisen.
gral ergibt sich dann
ðb x dx ¼ lim
aðb aÞ þ
n!1
ðb aÞ2 1 1þ n 2
a
¼ aðb aÞ þ
ðb aÞ2 lim n!1 2
1þ
1 n
ðb aÞ2 b2 a2 ¼ ; 2 2 2 1 1 ¼ 1: denn es gilt lim 1 þ ¼ 1 þ lim n!1 n!1 n n
1. Vertauschung der Integrationsgrenzen Ða
¼ aðb aÞ þ
&
Ðb
f ðxÞ dx
a
b
Beispiel: ð2 2 1 1 1 x dx ¼ x2 ¼ 22 62 ¼ 2 18 ¼ 16 2 2 2 6 6 ð6 1 2 6 1 2 1 2 6 2 ¼ ð18 2Þ ¼ 16 x dx ¼ x ¼ 2 2 2 2
5.6 Hauptsatz der Differentialund Integralrechnung Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert den Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral einer Funktion y ¼ f ðxÞ. Ist die Funktion y ¼ f ðxÞ mit D ¼ ½a; b im Intervall ½a; b integrierbar, und besitzt f ðxÞ eine Stammfunktion FðxÞ, so gilt
f ðxÞ dx ¼
2
2. Zusammenfassen der Integrationsintervalle Ðb
f ðxÞ dx þ
a
Ðc
f ðxÞ dx ¼
Ðc
f ðxÞ dx
a
b
f(x)
Ðb
f ðxÞ dx ¼ FðbÞ FðaÞ
a
Das bestimmte Integral ist also Funktionswert von F an der oberen Intervallgrenze minus Funktionswert von F an der unteren Intervallgrenze. Dabei ist FðxÞ eine beliebige Stammfunktion von f ðxÞ.
Bild VIII-17 Zusammenfassen der Integrationsintervalle &
Beispiel: p Ð2 Ðp Ðp cos x dx ¼ cos x dx þ cos x dx
Statt FðbÞ FðaÞ schreibt man auch b x ¼ b ¼ FðxÞ . FðxÞ x¼a
p p 2 cos x dx ¼ sin x ¼ sin sin 0 ¼ 1 0 ¼ 1 2 0 0 p Ðp p cos x dx ¼ sin x p ¼ sin p sin ¼ 0 1 ¼ 1 2 p 2 2
y 1
f(x) = cosx
1 π 2
Beispiele: ðb x dx ¼
1.
1 2 b 1 2 x ¼ b a2 a 2 2
a
ð3 2.
3 dx ¼ ln x ¼ ln 3 1 x
4.
x
Ðp
cos x dx ¼ 0
3. Gleiche untere und obere Integrationsgrenze
5 1 1 1 54 1 ¼ 156 x dx ¼ x4 ¼ 54 14 ¼ 1 4 4 4 4
Ða
1
ðp
π
0
3
3.
–1
–1
Bild VIII-18
1
ð5
0
0 p
Ð2
0 &
p 2
0
0
Einzelberechnung der Integrale: p Ðp cos x dx ¼ sin x ¼ sin p sin 0 ¼ 0 0 ¼ 0
a
Mit diesem Satz wird die Berechnung des bestimmten Integrals einer Funktion auf die Berechnung einer Stammfunktion der Funktion zuru¨ckgefu¨hrt. Der Satz stellt somit den Zusammenhang zwischen dem bestimmten und dem unbestimmten Integral einer Funktion y ¼ f ðxÞ her. Er wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz (deutscher Mathematiker, 1646––1716) und Isaac Newton (englischer Mathematiker, 1642––1727) entdeckt.
x
c
b
a
f ðxÞ dx ¼ 0
a
p sin x dx ¼ cos x ¼ cos p ðcos 0Þ ¼ 1 þ 1 ¼ 2 0
0 2ðp
5.
&
2p cos x dx ¼ sin x ¼ sin 2p sin 0 ¼ 0 0
0
Beispiel: ð3 3 1 1 1 x3 dx ¼ x4 ¼ 34 34 ¼ 0 3 4 4 4 3
VIII Differential- und Integralrechnung
153
Ðb 4. Existieren die bestimmten Integrale f ðxÞ dx b a Ð und gðxÞ dx, so gilt fu¨r beliebige c1 ; c2 2 R a
Ðb
ðc1 f ðxÞ þ c2 gðxÞÞ dx
a
¼ c1
Ðb
f ðxÞ dx þ c2
a
&
Ðb
gðxÞ dx
a
Beispiel: Ð4 Ð4 Ð4 ð2x 4x3 Þ dx ¼ 2 x dx 4 x3 dx 1
1
1
Einzelberechnung der Integrale: 4 Ð4 ð2x 4x3 Þ dx ¼ ðx2 x4 Þ ¼ ð42 44 Þ ð12 14 Þ 1
1
¼ 240 0 ¼ 240 ! ð4 1 2 4 1 2 1 2 1 ¼ 15 2 x dx ¼ 2 x ¼2 4 1 ¼2 8 2 2 2 2 1 1
4 ! 1 4 1 4 1 4 x ¼ 4 4 1 4 4 4 1 1 ¼ 255 ¼ 4 64 4
ð4 4
x3 dx ¼ 4 1
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung sagt aus, daß es fu¨r eine stetig differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ; f : ½a; b ! W mindestens eine Stelle x mit f ðbÞ f ðaÞ a < x < b gibt, so daß ¼ f 0 ðxÞ. Es folgt, ba daß es in allen Intervallen ðxk1 ; xk Þ Zwischenstellen Dyk f ðxk Þ f ðxk 1 Þ xk gibt mit ¼ ¼ f 0 ðxk Þ. Damit xk xk 1 Dxk folgt fu¨r die La¨nge sZ des Streckenzugs Z: n qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi P 1 þ ½ f 0 ðxk Þ2 Dxk sZ ¼ k¼1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Mit f 0 ist auch 1 þ f 02 in ½a; b stetig, und somit folgt fu¨r die Bogenla¨nge s mit der Definition des bestimmten Integrals: n qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ðb qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi P s ¼ lim 1 þ ½ f 0 ðxk Þ2 Dxk ¼ 1 þ ½ f 0 ðxÞ dx n!1 k¼1
5.8 Einige Anwendungen der Integralrechnung
&
Es gibt sehr viele Anwendungen der Integralrechnung in der Technik und in den Ingenieurwissenschaften. Im folgenden sind exemplarisch einige davon genannt. Bogenla¨nge Die La¨nge eines Kurvenstu¨cks bezeichnet man als Bogenla¨nge. La¨ßt sich der Bogen durch eine stetig differenzierbare Funktion y ¼ f ðxÞ; f : ½a; b ! W beschreiben, dann gilt fu¨r die Bogenla¨nge s s¼
Die geradlinige Verbindung dieser Punkte ergibt einen Streckenzug, dessen La¨nge sZ die Summe der La¨ngen der Teilstrecken Dsk ist: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n n P P Dsk ¼ ðxk xk 1 Þ2 þ ðyk yk 1 Þ2 sZ ¼ k¼1 k¼1 sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ffi n qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n P P Dyk 2 2 2 Dxk 1þ Dxk þ Dyk ¼ ¼ Dxk k¼1 k¼1
Ðb qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi2ffi 1 þ ½ f 0 ðxÞ dx
a
Beispiel: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Bogen: y ¼ 1 x2 ; D ¼ ½a; b ¼ ½1; 1 (Halbkreis) Bogenla¨nge: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 2 ð1 ð1 x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ arcsin x ¼ p 1 þ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx ¼ s¼ 1 x2 1 x2 1 1
1
Volumen und Mantelfla¨che von Rotationsko¨rpern Ein Rotationsko¨rper ist ein Ko¨rper, der entsteht, wenn die Kurve einer Funktion y ¼ f ðxÞ mit f ðxÞ 0 um die x-Achse (Rotationsachse) zwischen x ¼ a und x ¼ b rotiert (oder die inverse Funktion um die y-Achse). Rotationsko¨rper sind aus dem Alltag bekannt: Vasen, Gla¨ser oder gedrechselte Figuren zum Beispiel.
a
Beweis: Ist a ¼ x0 < x1 < . . . < xn ¼ b eine Zerlegung Z des Intervalls ½a; b mit Dxk ¼ xk xk 1 ; k ¼ 1; 2; . . . ; n, dann sind Pk ¼ Pk ðxk j yk Þ mit yk ¼ f ðxk Þ Punkte des Kurvenstu¨cks.
y = f(x) f(x) a
x
b
x
Bild VIII-20 Rotationsko¨rper
y
P1
Pn Pk
P0
Pk–1
Δs k
Δyk
Δxk
x0 = a x1
...
xk–1
xk
...
xn = b
Bild VIII-19 Streckenzug zu einer Zerlegung Z
x
Ein Rotationsko¨rper ist durch zwei Schnitte senkrecht zur Rotationsachse begrenzt. Die von der Kurve, der x-Achse und den Geraden x ¼ a und x ¼ b begrenzte Fla¨che heißt die erzeugende Fla¨che des Rotationsko¨rpers. Die Kugel ist zum Beispiel ein Rotationsko¨rper. Sie entsteht durch Rotation eines Kreises mit dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung um eine der beiden Achsen. Auch gerade Kreiskegel und gerade Kreiszylinder sind Rotationsko¨rper.
154
Mathematik
Fu¨r das Volumen V und fu¨r den Inhalt AM der Mantelfla¨che eines Rotationsko¨rpers gilt Volumen
.. Mantelfla ache AM
W¼
a
Der Vergleich mit einer geradlinig bewegten Masse zeigt, daß der Geschwindigkeit v die Winkelgeschwindigkeit w entspricht und der Masse n P m bei der Rotation die Summe rk2 Dmk.
a
&
Beispiel: Die Gleichung des oberen Halbkreises mit dem Radius r lautet (explizite Form in kartesischen Koordinaten) pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi y ¼ r2 x2 ; D ¼ ½r; r: Die Ableitung dieser Funktion ist 1 1 x y0 ðxÞ ¼ ð2xÞ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 r 2 x2 r2 x2 Somit berechnet man nach den obigen Formeln fu¨r das Volumen V und die Oberfla¨che AO (hier: Mantelfla¨che = Oberfla¨che) einer Kugel mit dem Radius r bð ¼r
V¼p a ¼ r
¼ 2p
r 1 ðr2 x2 Þ dx ¼ 2p ðr2 x2 Þ dx ¼ 2p r2 x x3 3 0 ðr 0
k¼1
Diese Summe wird Massentra¨gheitsmoment J genannt: J¼
n P k¼1
rk2 Dmk
2. Massentra¨gheitsmoment eines Vollzylinders Der betrachtete Vollzylinder hat die Ho¨he h und ist homogen, das heißt, er hat konstante Dichte r, und er rotiert um die Zylinderachse.
2 3 4 r ¼ pr3 3 3 bð ¼r
AO ¼ 2p a ¼ r ðr
¼ 4p 0
R
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi x2 dx r2 x2 1 þ 2 r x2
rk
Δrk
rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r ðr pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi r2 dx ¼ 4p r dx ¼ 4p rx ¼ 4pr2 r 2 x2 r 2 x2 0
h
0
Volumen und Mantelfla¨che von Rotationsko¨rpern lassen sich auch mit Hilfe der Guldinschen Regeln berechnen (benannt nach dem Mathematiker Paul Guldin, 1577––1643): 1. Guldinsche Regel Das Volumen eines Rotationsko¨rpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der auf einer Seite der Rotationsachse liegenden erzeugenden Fla¨che und der La¨nge des Weges, den der Fla¨chenschwerpunkt bei der Rotation zuru¨cklegt. 2. Guldinsche Regel Der Inhalt der Mantelfla¨che eines Rotationsko¨rpers ist gleich dem Produkt aus der La¨nge des auf einer Seite der Rotationsachse liegenden erzeugenden Kurvenstu¨cks und der La¨nge des Weges, den der Schwerpunkt des erzeugenden Kurvenstu¨cks bei der Rotation zuru¨cklegt. Massentra¨gheitsmoment von Zylindern 1. Definition des Massentra¨gheitsmoments Dreht sich ein Massenpunkt der Masse m im Abstand r um eine Rotationsachse, so gilt fu¨r die Geschwindigkeit v ¼ wr, wobei w die Winkelgeschwindigkeit ist. Fu¨r die kinetische Energie gilt: W¼
n Dm ðwr Þ2 n P w2 P k k ¼ r2 Dmk 2 2 k¼1 k k¼1
Ðb
f 2 ðxÞ dx qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Ðb ¼ 2p f ðxÞ 1 þ ½ f 0 ðxÞ2 dx
V¼p
eine Achse drehen, so gilt fu¨r die kinetische Energie:
m 2 m v ¼ ðwrÞ2 2 2
Betrachtet man ein System von n Massenpunkten der Massen Dmk ; k ¼ 1; 2; . . . ; n, die sich mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit w um
Bild VIII-21 Zum Massentra¨gheitsmoment eines Vollzylinders Denkt man sich den Zylinder in n Hohlzylinder der Dicke Drk zerlegt, dann gilt fu¨r deren Volumen DVk 2prk Drk h. Ist Drk sehr klein, dann haben alle Massenpunkte eines Hohlzylinders nahezu den gleichen Abstand rk von der Drehachse, und es gilt fu¨r das Massentra¨gheitsmoment JV des Vollzylinders n n P P JV
rk2 Dmk ¼ rk2 r DVk k¼1 n P
r
k¼1
k¼1
rk2 2prk Drk h ¼ 2prh
n P k¼1
rk3 Drk
Wa¨hlt man die Unterteilung immer feiner, also Drk ! 0, so folgt mit der Definition des bestimmten Integrals ðR n P JV ¼ 2prh lim rk3 Drk ¼ 2prh r3 dr n!1 k¼1
0
R4 1 R2 R2 ¼ 2prh ¼ prhR4 ¼ prhR2 ¼ mV 2 4 2 2 2 mV ¼ prhR ist die Masse des Vollzylinders 3. Massentra¨gheitsmoment eines Hohlzylinders Das Massentra¨gheitsmoment JH eines Hohlzylinders mit dem Außendurchmesser Ra , dem Innendurchmesser Ri , der Ho¨he h und der konstanten Dichte r in bezug auf die Zylinderachse erha¨lt
VIII Differential- und Integralrechnung
155
man als Differenz der Tra¨gheitsmomente zweier Vollzylinder. R ða
JH ¼ 2prh 0
¼ 2prh
R ði
r3 dr 2prh
R ða
r3 dr ¼ 2prh 0
R ! r4 a 1 ¼ prhðR4a R4i Þ 2 4 Ri
r3 dr Ri
R2a þ R2i R2 þ R2i prhðR2a R2i Þ ¼ a mH 2 2 mH ¼ prhðR2a R2i Þ ist die Masse des Hohlzylinders ¼
Ra
x 2 E la¨ßt sich nach Vorgabe einer positiven Zahl e ein n0 2 N (im allgemeinen sowohl von x als auch von e abha¨ngig, also n0 ¼ n0 ðe; xÞ) so finden, daß fu¨r alle n n0 gilt j f ðxÞ fn ðxÞj < e. Man nennt dieses punktweise Konvergenz der Funktionenfolge und schreibt dafu¨r .. ur x 2 E lim fn ðxÞ ¼ f ðxÞ fu
n!1
Ha¨ngt dagegen die Gro¨ße von n0 nur von e ab und nicht auch von x, also n0 ¼ n0 ðeÞ, dann heißt die Funktionenfolge gleichma¨ßig konvergent in E. Die Funktion f ðxÞ heißt Grenzfunktion der Funktionenfolge ð fn ðxÞÞ. &
Ri
h
Bild VIII-22 Zum Massentra¨gheitsmoment eines Hohlzylinders
6 Funktionenreihen Zur Untersuchung von Eigenschaften gegebener Funktionen ist es oftmals sinnvoll, eine Funktion na¨herungsweise durch eine unendliche Reihe darzustellen. Eine solche Darstellung heißt Entwicklung der Funktion in eine unendliche Reihe. Ha¨ufig wa¨hlt man, gerade bei praktischen Anwendungen, als Darstellung eine Potenzreihe oder, besonders bei Funktionen, die periodische Vorga¨nge beschreiben, Fourier-Reihen.
6.1 Definitionen Fu¨r jedes n ¼ 1; 2; 3; . . . sei fn ðxÞ eine Funktion mit dem Definitionsbereich D R. Die Folge dieser Funktionen heißt Funktionenfolge. ð fn ðxÞÞ ¼ ð f1 ðxÞ; f2 ðxÞ; f3 ðxÞ; . . .Þ Wa¨hlt man x ¼ x0 2 D fest, so erha¨lt man eine gewo¨hnliche Zahlenfolge ðan Þ mit an ¼ fn ðx0 Þ (vgl. Abschnitt VIII.1). &
Beispiel: fn ðxÞ ¼ xn ) Funktionenfolge : ð fn ðxÞÞ ¼ ðxn Þ ¼ ðx; x2 ; x3 ; x4 ; . . .Þ x ¼ x0 ¼ 2 ) Zahlenfolge : ð2n Þ ¼ ð2; 22 ; 23 ; 24 ; . . .Þ ¼ ð2; 4; 8; 16; . . .Þ
Die Konvergenz von Funktionenfolgen wird analog zur Konvergenz von Zahlenfolgen definiert: Die Funktionenfolge ð fn ðxÞÞ konvergiert in einem Bereich E D R gegen die Funktion f ðxÞ, wenn fu¨r jedes x 2 E die Folge ð fn ðxÞÞ gegen den Funktionswert f ðxÞ konvergiert. Das heißt, zu jedem
Beispiel:
1 fn ðxÞ ¼ xn ; D ¼ 0; 2
1 < e ist. Fu¨r alle 2n0
Fu¨r ein beliebiges e > 0 wa¨hlt man n0 so, daß
n n0 und fu¨r alle x 2 D gilt dann: 1 1 j fn ðxÞ 0j ¼ xn n n < e. 2 20 Die Funktionenfolge ist also gleichma¨ßig konvergent im Definitionsbereich D mit der Grenzfunktion f ðxÞ ¼ 0.
Eine Funktionenreihe ist die Summe der Glieder einer Funktionenfolge ð fn ðxÞÞ. Funktionenreihe f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ þ . . . þ fn ðxÞ þ . . . ¼
1 P k¼1
fk ðxÞ
Die folgenden Summen heißen Partialsummen der Funktionenreihe. F1 ðxÞ ¼ f1 ðxÞ; F2 ðxÞ ¼ f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ; F3 ðxÞ ¼ f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ þ f3 ðxÞ; . . . Fn ðxÞ ¼ f1 ðxÞ þ f2 ðxÞ þ f3 ðxÞ þ . . . þ fn ðxÞ n P fk ðxÞ ¼ k¼1
In Analogie zu den gewo¨hnlichen Reihen heißt eine Funktionenreihe in einem Bereich E D R konvergent, wenn die Folge der Partialsummen n P Fn ðxÞ ¼ fk ðxÞ der Funktionenreihe in E gegen k¼1
eine Funktion FðxÞ konvergiert. Man schreibt dann FðxÞ ¼ lim
n P
n!1 k¼1
fk ðxÞ ¼
1 P k¼1
fk ðxÞ
Ist die Konvergenz der Folge der Partialsummen in E punktweise, dann heißt auch die Funktionenreihe in E punktweise konvergent. Ist dagegen die Konvergenz der Folge der Partialsummen gleichma¨ßig, so heißt auch die Funktionenreihe gleichma¨ßig konvergent. Die Funktion FðxÞ heißt Grenzfunktion der Funktionenreihe in E. Man nennt FðxÞ auch die durch die Funktionenreihe dargestellte Funktion (im Konvergenzbereich E).
156
Mathematik
1 P Die Funktionenreihe fk ðxÞ heißt in E absolut konk¼1 1 P vergent, wenn j fk ðxÞj < 1 fu¨r jedes x 2 E gilt. Bei k¼1
absolut konvergenten Funktionenreihen darf die Summationsreihenfolge der Ausgangsreihe beliebig gea¨ndert werden, ohne daß sich dadurch der Wert der Reihe a¨ndert. &
Beispiel: Funktionenreihe:
1 P
x2
k¼1
ð1 þ x2 Þk
Fu¨r x ¼ 0 gilt fk ðxÞ ¼
2
x
ð1 þ x2 Þk
;
x2R
¼ 0.
1 P festes x 6¼ 0 ist die Reihe fk ðxÞ k¼1 k 1 P 2 1 ¼ x ist also eine konvergente geometrische Reihe 1 þ x2 k¼1
1 < 1, 1 þ x2
Fu¨r
(vgl. Abschnitt VIII.2.3) mit der Grenzfunktion k k 1 1 P P 1 1 FðxÞ ¼ x2 ¼ x2 2 2 1 þ x 1 þ x k¼1 k¼1 1 ¼ 1 þ x2 : 1 x2 1 2 2 1þx 1þx 1 P x2 ist fu¨r alle x 2 R konvergent Die Funktionenreihe k k ¼ 1 ð1 þ x2 Þ .. ur x 6¼ 0 1 þ x2 fu mit der Grenzfunktion FðxÞ ¼ .. 0 fu ur x ¼ 0 ¼ x2
1
¼ x2
6.2 Potenzreihen Funktionenreihen
1 P
k¼0
fk ðxÞ mit fk ðxÞ ¼ ak ðx x0 Þk ,
wobei ak ; k ¼ 0; 1; 2; . . . ; und x0 reelle Zahlen sind, heißen Potenzreihen. Potenzreihe 1 P k¼0
ak ðx x0 Þk ¼ a0 þ a1 ðx x0 Þ þ a2 ðx x0 Þ2 þ a3 ðx x0 Þ3 þ . . .
Die reellen Zahlen a0 ; a1 ; a2 ; . . . heißen Koeffizienten der Potenzreihe, x0 heißt ihr Entwicklungspunkt. Der Konvergenzbereich einer Potenzreihe ist die Menge aller Zahlen, die man fu¨r x einsetzen kann, so daß die entstehende numerische Reihe konvergiert. &
Beispiel: 1 P xk ¼ 1 þ xþx2 Zum Konvergenzbereich der Potenzreihe k¼0 1 , denn die numerische Reihe þ x3 þ . . . geho¨rt die Zahl k 2 1 P 1 konvergiert, die Zahl 2 aber nicht, da die Reihe 2 k¼0 1 P ð2Þk divergiert. k¼0
Fu¨r den Konvergenzbereich einer Potenzreihe gibt es drei Mo¨glichkeiten: 1. Die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt x0 . 2. Die Reihe konvergiert fu¨r alle x 2 R. 3. Die Reihe konvergiert fu¨r alle x aus einem endlichen offenen Intervall ðx0 r; x0 þ rÞ. In den
beiden Randpunkten x0 r und x0 þ r kann die Reihe konvergent oder divergent sein. Die Zahl r heißt Konvergenzradius der Potenzreihe. an oder Sie wird bestimmt durch r ¼ lim n ! 1 an þ 1 1 pffiffiffiffiffiffiffiffi , falls diese Grenzwerte existieren. r¼ lim n jan j n!1
Die erste Mo¨glichkeit fu¨r den Konvergenzbereich pffiffiffiffiffiffiffiffi einer Potenzreihe folgt aus lim n jan j ¼ 1, es ist n!1
dann prffiffiffiffiffiffiffi ¼ ffi0. Die zweite Mo¨glichkeit folgt aus lim n jan j ¼ 0, es ist dann r ¼ 1.
n!1 &
Beispiele: 1 P kk xk k¼1 pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi lim n jan j ¼ lim n nn ¼ lim n ¼ 1
1.
n!1
n!1
n!1
Somit ist r ¼ 0, der Konvergenzbereich besteht also nur aus dem Entwicklungspunkt x0 . 2.
1 2k 1 P xk kk þ 1 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffiffiffi ffi 2n 1 2 n ffiffiffi pffiffiffi ¼ 0, ¼ lim p lim n jan j ¼ lim n!1 n!1 n!1 n 2 n n 2n nn n p ffiffi ffi p ffiffiffi denn lim n 2 ¼ lim n n ¼ 1. k¼0
n!1
3.
n!1
Es ist also r ¼ 1, die Reihe konvergiert fu¨r alle x 2 R. 1 P k2 5k ðx 2Þk k¼0 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi p ffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi n 2 n n n 5 ¼ lim 5 n2 ¼ 5 lim ð n nÞ2 ¼ 5 lim n jan j ¼ lim n!1 n!1 n!1 n!1 1 Der Konvergenzradius ist folglich r ¼ . Um den genauen 5 Konvergenzbereich zu bestimmen, mu¨ssen die Randpunkte 1 9 1 11 x1 ¼ 2 ¼ und x2 ¼ 2 þ ¼ untersucht werden. Fu¨r 5 5 5 5 1 P 1 k k2 5k x1 erha¨lt man die numerische Reihe 5 k¼0 k 1 1 1 P P P 1 ¼ ð1Þk k2 und fu¨r x2 die Reihe k2 5k ¼ k2 : 5 k¼0 k¼0 k¼0 Beide numerischen Reihen divergieren, die Potenzreihe konvergiert somit in keinem der Randpunkte. Der Konvergenz 9 11 . bereich der Potenzreihe ist das offene Intervall ; 5 5
Im Konvergenzbereich der Potenzreihe wird die Grenzfunktion FðxÞ durch die Potenzreihe dargestellt. FðxÞ ¼
1 P k¼0
ak ðx x0 Þk
Eine durch eine Potenzreihe dargestellte Funktion FðxÞ ist im Innern des Konvergenzbereichs stetig. Eine Potenzreihe konvergiert in jedem abgeschlossenen Teilintervall des Konvergenzbereichs gleichma¨ßig. Jede Potenzreihe darf im Innern des Konvergenzbereichs gliedweise differenziert und integriert werden. Die so entstehenden Potenzreihen haben den gleichen Konvergenzradius r wie die Ausgangsreihe. Fu¨r x 2 ðx0 r; x0 þ rÞ gilt somit FðxÞ ¼
1 P k¼0 1 P
ak ðx x0 Þk
F 0 ðxÞ ¼ k ak ðx x0 Þk 1 k¼0 ð 1 P ak FðxÞ dx ¼ ðx x0 Þk þ 1 þ C k¼0 k þ 1
VIII Differential- und Integralrechnung Die Integrationskonstante ist durch Einsetzen (zum Beispiel x ¼ x0 ) zu bestimmen. &
Beispiel:
1 P
1 (vgl. Abschnitt VIII.2.3) xk ¼ 1x an ¼ lim 1 ¼ 1 Konvergenzradius: r ¼ lim n ! 1 an þ 1 n!1 1 Potenzreihe: FðxÞ ¼
k¼0
In den Randpunkten x1 ¼ 1 und x2 ¼ 1 divergiert die numerische Reihe, der Konvergenzbereich der Potenzreihe ist somit das offene Intervall ð1; 1Þ. 1 P d 1 kxk 1 ¼ Differentiation: F 0 ðxÞ ¼ dx 1 x k¼0 1 fu¨r x 2 ð1; 1Þ ¼ ð1 xÞ2 ð 1 P 1 xk þ 1 þ C Integration: FðxÞ dx ¼ k¼0 k þ 1 ð dx ¼ ln ð1 xÞ ¼ 1x Aus x ¼ 0 folgt C ¼ 0, es gilt daher 1 P k¼0
1 xk þ 1 ¼ ln ð1 xÞ kþ1
fu¨r x 2 ð1; 1Þ
1 P Fu¨r zwei Potenzreihen FðxÞ ¼ ak ðx x0 Þk und 1 k¼0 P k GðxÞ ¼ bk ðx x0 Þ mit dem gleichen Entwickk¼0
lungspunkt x0 gelten folgende Rechenregeln (x liegt dabei im Innern des Konvergenzbereichs beider Reihen): Summe 1 P FðxÞ þ GðxÞ ¼ ðak þ bk Þ ðx x0 Þk k¼0
Differenz 1 P ðak bk Þ ðx x0 Þk FðxÞ GðxÞ ¼ k¼0
Produkt FðxÞ GðxÞ ¼ a0 b0 þ ða0 b1 þ a1 b0 Þ ðx x0 Þ þ ða0 b2 þ a1 b1 þ a2 b0 Þ ðx x0 Þ2 þ . . . 1 P ¼ ða0 bk þ a1 bk 1 þ . . . þ ak b0 Þ ðx x0 Þk k¼0
Quotient 1 P FðxÞ ck ðx x0 Þk ¼ GðxÞ k ¼ 0 Die Produktdarstellung nennt man Cauchy-Produkt (nach dem franzo¨sischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy, 1789––1857). Den Quotienten berechnet man durch Multiplikation mit dem Nenner 1 1 1 P P P ak ðx x0 Þk ¼ bk ðx x0 Þk ck ðx x0 Þk k¼0
k¼0
k¼0
und anschließendem Koeffizientenvergleich der Potenzen von ðx x0 Þk auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.
6.3 Fourier-Reihen In der Praxis treten ha¨ufig periodische Vorga¨nge auf (zum Beispiel Schwingungen in der Elektrotechnik, Akustik oder Optik), die sich am besten durch periodische Funktionen beschreiben lassen. Oftmals ist es dann notwendig oder vorteilhaft, eine solche
157 periodische Funktion exakt oder angena¨hert durch eine Funktionenreihe, deren Summanden bestimmte Summen aus trigonometrischen Funktionen sind, darzustellen. Eine Funktion, deren Funktionsgleichung die Bedingung f ðx þ TÞ ¼ f ðxÞ fu¨r alle x aus dem Definitionsbereich D erfu¨llt, wobei T 6¼ 0 eine Konstante ist, heißt periodische Funktion (vgl. Abschnitt V.2.7). Die kleinste positive Zahl T mit dieser Eigenschaft heißt Periode der Funktion, man nennt die Funktion y ¼ f ðxÞ auch T-periodisch. Eine T-periodische Funktion y ¼ f ðxÞ ist eindeutig bestimmt durch ihr Verhalten auf einem beliebigen Intervall der La¨nge T. Diese Tatsache fu¨hrte zur Einfu¨hrung von Fourier-Reihen. 1 P pk Funktionenreihen x fk ðxÞ mit fk ðxÞ ¼ ak cos p k ¼ 0 pk þ bk sin x fu¨r k ¼ 1; 2; 3; . . . (ak und bk sind rep a0 heißen trigonometrische elle Zahlen) und f0 ðxÞ ¼ 2 Reihen. Trigonometrische Reihe 1 P k¼0
fk ðxÞ ¼
1 P a0 pk pk ak cos x þ bk sin x þ p p 2 k¼1
Dabei sind ðak Þ; k ¼ 0; 1; 2; . . . und ðbk Þ; k ¼ 1; 2; 3; . . . Zahlenfolgen. Ist eine trigonometrische Reihe fu¨r alle x 2 R konvergent, so stellt sie in R eine Funktion FðxÞ dar: 1 a0 P pk pk FðxÞ ¼ þ ak cos x þ bk sin x p p 2 k¼1 In diesem Fall ist FðxÞ eine 2p-periodische Funktion, denn es gilt fu¨r alle x 2 R: Fðx þ 2pÞ 1 P a0 pk pk ak cos ðx þ 2pÞ þ bk sin ðx þ 2pÞ ¼ þ p p 2 k¼1 1 a0 P pk pk x þ 2pk þ bk sin x þ 2pk ¼ þ ak cos 2 k¼1 p p 1 P a0 pk pk ¼ þ ak cos x þ bk sin x ¼ FðxÞ p p 2 k¼1 1 1 P P Sind die numerischen Reihen ak und bk absok¼1
k¼1
lut konvergent (vgl. Abschnitt VIII.6.1), dann gilt: 1. Die trigonometrische Reihe 1 P a0 pk pk ak cos x þ bk sin x þ p p 2 k¼1 ist fu¨r alle x 2 R konvergent. 2. Die Funktion FðxÞ mit 1 a0 P pk pk x þ bk sin x ak cos FðxÞ ¼ þ p p 2 k¼1 ist in R stetig. Es sei y ¼ f ðxÞ eine 2p-periodische Funktion, die u¨ber dem Intervall ½p; p integrierbar ist. Dann heißen die Zahlen ak und bk die Fourier-Koeffizienten der Funktion f ðxÞ.
158
Mathematik
Fourier-Koeffizienten von f ðxÞ
ak ¼
bk ¼
1 p 1 p
ðp f ðxÞ cos p
ðp f ðxÞ sin p
pk x dx ðk 2 NÞ p pk x dx ðk 2 N*Þ p
Die mit Hilfe dieser Fourier-Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe 1 P a0 pk pk ak cos x þ bk sin x heißt die zur þ p p 2 k¼1 Funktion f ðxÞ geho¨rende oder die durch f ðxÞ erzeugte oder die f ðxÞ formal zugeordnete FourierReihe (Name nach dem franzo¨sischen Mathematiker Jean-Baptiste-Joseph Fourier, 1768––1830). Man schreibt: f ðxÞ formal zugeordnete Fourier-Reihe f ðxÞ
1 P a0 pk pk ak cos x þ bk sin x ð Þ þ p p 2 k¼1
Das Zeichen soll andeuten, daß die Zuordnung von f ðxÞ zu ihrer Fourier-Reihe eine formale Zuordnung ist. Es ist nichts ausgesagt u¨ber die Konvergenz dieser Fourier-Reihe und nichts daru¨ber, ob im Falle der Konvergenz die Fourier-Reihe die Funktion f ðxÞ auch darstellt, das heißt, ob in ð Þ die Gleichheit gilt. Da die Integranden der Fourier-Koeffizienten 2p-periodisch sind, kann dort jedes Intervall der La¨nge 2p als Integrationsintervall verwendet werden, zum Beispiel ½0; 2p. Ist f ðxÞ eine gerade Funktion, das heißt, gilt f ðxÞ ¼ f ðxÞ (vgl. Abschnitt V.2.2), so folgt f ðxÞ gerade Funktion ðp 2 pk f ðxÞ cos x dx ðk 2 NÞ ak ¼ p p
reichende Bedingungen dafu¨r an, daß eine Funktion f ðxÞ durch ihre (konvergente) Fourier-Reihe dargestellt wird, das heißt dafu¨r, daß in ð Þ Gleichheit fu¨r alle x gilt. Satz von Dirichlet: (1) Die Funktion f ðxÞ mit der Periode 2p ist im Intervall ½p; p bis auf endlich viele Sprungstellen (vgl. Abschnitt VIII.3.7) stetig. (2) Das Intervall ½p; p la¨ßt sich so in endlich viele Teilintervalle zerlegen, daß f ðxÞ in den einzelnen Teilintervallen monoton (monoton fallend oder monoton wachsend) (vgl. Abschnitt V.2.1) ist. Gelten (1) und (2) fu¨r eine Funktion f ðxÞ, so konvergiert die Fourier-Reihe von f ðxÞ und stellt die Funktion auch dar. An den Sprungstellen der Funktion nimmt die Fourier-Reihe den Mittelwert an, das heißt, fu¨r eine Sprungstelle x1 gilt 1 lim f ðxÞ þ lim f ðxÞ f ðx1 Þ ¼ x ! x1 0 2 x ! x1 þ 0 (vgl. Abschnitt VIII.3.2). Ha¨ufig kommt es vor, daß die Funktion f ðxÞ nur in dem Intervall ½p; p definiert, nicht aber periodisch ist. In diesem Fall setzt man die Funktion f ðxÞ einfach nach links und nach rechts periodisch fort und bestimmt dann die Fourier-Reihe zu der fortgesetzten Funktion (siehe Beispiele 2––4). In den folgenden Beispielen werden die Fourier-Reihen von Funktionen berechnet, die ha¨ufig in der Praxis auftreten. &
Beispiele: 1. Rechteckpuls Es sei f ðxÞ die 2p-periodische Funktion mit 8 p .. > A fu ur jxj < > > 2 > > < A .. p f ðxÞ ¼ fu ur jxj ¼ > 2 2 > > > > .. p : 0 fu ur < jxj p 2 (periodisch fortsetzen).
0
bk ¼ 0
ðk 2 N*Þ
f(x)
Fu¨r eine ungerade Funktion f ðxÞ, also f ðxÞ ¼ f ðxÞ, folgt f ðxÞ ungerade Funktion ak ¼ 0 ðk 2 NÞ ðp 2 pk f ðxÞ sin x dx ðk 2 N*Þ bk ¼ p p 0
Die Bestimmung der Fourier-Koeffizienten einer Funktion heißt harmonische Analyse. Der Satz von Dirichlet (nach dem Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805––1859) gibt hin-
A
1 −π
0
π
x
Bild VIII-23 Rechteckpuls Bestimmung der formalen Fourier-Reihe von f ðxÞ: Da f ðxÞ eine gerade Funktion ist, gilt bk ¼ 0 fu¨r die FourierKoeffizienten bk .
VIII Differential- und Integralrechnung
159 Fourier-Reihe von f ðxÞ:
Berechnung der ak :
1 P 1 þ a2n 1 cos pð2n 1Þ x 2 n¼1 1 P 1 4 ¼ þ cos ð2n 1Þ px 2 n ¼ 1 p2 ð2n 1Þ2
k ¼ 0: a0 ¼
2 p
f ðxÞ
p
ðp
2 p
f ðxÞ dx ¼ 0
ð2 A dx ¼ A 0
k 2 N* : ðp 2 2A ak ¼ f ðxÞ cos kx dx ¼ p p 0 8 2A < ð1Þn þ 1 ð2n 1Þ p ¼ : 0
Darstellbarkeit:
p
ð2
(1) Die Funktion f ðxÞ ¼ 1 jxj ist im Intervall ½1; 1 u¨berall stetig. (2) Zerlegt man das Periodenintervall ½1; 1 in die zwei Teilintervalle ½1; 0 und ½0; 1, so ist f ðxÞ in ½1; 0 monoton wachsend und in ½0; 1 monoton fallend.
2A kp sin cos kx dx ¼ kp 2
0
.. fu ur k ungerade, k ¼ 2n 1 .. fu ur k gerade, k ¼ 2n
Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f ðxÞ somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt:
Fourier-Reihe von f ðxÞ: 1 ð1Þn þ 1 A 2A P þ cos ð2n 1Þ x 2 p n ¼ 1 2n 1 A 2A cos 3x cos 5x ¼ þ cos x þ þ... 2 p 3 5
f ðxÞ ¼
f ðxÞ
3.
Darstellbarkeit: p p p , ; Die Funktion ist in den Teilintervallen p; p 2 2 2 und ; p stetig und monoton. An den Sprungstellen ist 2 der Funktionswert gleich dem arithmetischen Mittel der einseitigen Grenzwerte. Nach dem Satz von Dirichlet wird die Funktion f ðxÞ somit durch ihre Fourier-Reihe dargestellt: f ðxÞ ¼ 2.
1 ð1Þn þ 1 A 2A P þ cos ð2n 1Þ x 2 p n ¼ 1 2n 1
Dreieckpuls Man setze die Funktion f ðxÞ ¼ 1 jxj; 1 x 1 periodisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.
f(x)
1
1 P 1 4 cos ð2n 1Þ px þ 2 n ¼ 1 p2 ð2n 1Þ2
Man setze die Funktion y ¼ sin x; 0 x p periodisch fort und entwickle sie in eine Fourier-Reihe.
f(x) 1 −2p
−p
0
p
2p
x
Bild VIII-25 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 3 Die fortgesetzte Funktion ist die Funktion f ðxÞ ¼ jsin xj, sie p hat die Periode p, es folgt also p ¼ . 2 Wegen jsin ðxÞj ¼ j sin xj ¼ jsin xj ist f ðxÞ gerade, es folgt bk ¼ 0 fu¨r alle k. Berechnung der ak :
–3
–1
0
1
3
x
k ¼ 0 : a0 ¼
2 p
ðp sin x dx ¼
p 2 2 4 ðcos xÞ ¼ ð1 þ 1Þ ¼ ; p p p 0
0
Bild VIII-24 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 2
denn im Intervall ½0; p gilt jsin xj ¼ sin x. ðp 2 k 6¼ 0 : ak ¼ sin x cos 2kx dx p 0
Die periodisch fortgesetzte Funktion hat die Periode 2, in den Formeln muß deshalb 2p ¼ 2, also p ¼ 1 gesetzt werden. Da f ðxÞ eine gerade Funktion ist, folgt bk ¼ 0 fu¨r k ¼ 1; 2; 3; . . .
0
¼
0
0 1 p ðp 2 1 1 ¼ @ 2 cos x cos 2kx þ 2 sin x cos 2kx dxA p 4k 4k 0
Berechnung der ak : k ¼ 0 : a0 ¼ 2
Ð1
1 ð1 xÞ dx ¼ ð1 xÞ2 ¼ 1, 0
0
denn im Intervall ½0; 1 gilt 1 jxj ¼ 1 x. ð1 k 6¼ 0 : ak ¼ 2
ð1 xÞ cos pkx dx 0
01 1 ð ð1 ¼ 2 @ cos pkx dx x cos pkx dxA 0
0
! ! 1 1 1 x 1 cos pkx sin pkx sin pkx þ pk pk ðpkÞ2 0 0 ! 1 ¼2 ðcos pk 1Þ ðpkÞ2 2 ð1 ð1Þk Þ ¼ ðpkÞ2 8 .. < 4 fu ur k ungerade, k ¼ 2n 1 ¼ ðpkÞ2 : .. 0 fu ur k gerade, k ¼ 2n ¼2
Das zweite Integral berechnet man mit zweimaliger partieller Integration.
1 p ðp 2 @1 1 sin x sin 2kx cos x sin 2kx dxA p 2k 2k 0
0
Bei beiden Umformungen wurde die Methode der partiellen Integration angewandt. Es folgt p 2 4k2 1 cos x cos 2kx ak ¼ p 4k2 1 4k2 0 ¼
2 4 ð1 1Þ ¼ pð4k2 1Þ pð4k2 1Þ
Fourier-Reihe von f ðxÞ: f ðxÞ
1 cos 2kx 2 4 P p p k ¼ 1 4k2 1
Darstellbarkeit: (1) Die Funktion f ðxÞ ¼ jsin xj ist im Intervall ½0; p stetig. h pi monoton steigend und in (2) Die Funktion f ðxÞ ist in 0; 2 hp i ; p monoton fallend. 2 Nach dem Satz von Dirichlet gilt somit Gleichheit: f ðxÞ ¼
1 cos 2kx 2 4 P p p k ¼ 1 4k2 1
160 4.
Mathematik Man setze die Funktion .. x fu ur 0 < x 1 .. 1 fu ur 1 x < 2
Berechnung der bk : ð2
f ðxÞ ¼
bk ¼
periodisch fort und berechne die zugeho¨rige Fourier-Reihe.
0
–2
0
–1
1
2
3
4
x
Bild VIII-26 Graph der periodisch fortgesetzten Funktion von Beispiel 4 Die fortgesetzte Funktion hat die Periode 2, es folgt p ¼ 1. Die Funktion ist weder gerade noch ungerade, es mu¨ssen also sowohl die Fourier-Koeffizienten ak als auch bk berechnet werden. Berechnung der ak : ð2 k ¼ 0 : a0 ¼
ð1 f ðxÞ dx ¼
0
ð2 x dx þ
0
ð2 k 6¼ 0 : ak ¼
2 1 2 1 3 x þ x ¼ 2 2 0 1
1
ð1 f ðxÞ cos pkx dx ¼
0
1 dx ¼
ð2 x cos pkx dx þ
0
cos pkx dx 1
2 1 cos pkx x sin pkx sin pkx cos pk 1 þ þ kp ¼ k2 p2 k2 p2 k2 p2 kp 0 1 8 .. fu ur k gerade 0g;
Qþ
Menge der positiven ganzen Zahlen m ¼ m; n 2 N* ¼ fx j x 2 Q; x > 0g; n Menge der positiven rationalen Zahlen
Rþ
¼ fx j x 2 R; x > 0g;
P
Menge der positiven reellen Zahlen ¼ f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; . . .g;
Ma¨chtigkeit der Menge M A und B
j
Menge der Primzahlen pffiffiffiffiffiffiffi ¼ 1; imagina¨re Einheit
A_B
A oder B
1
unendlich (gro¨ßer als jede reelle Zahl)
:A
nicht A (Negation von A)
1
A)B
aus A folgt B
minus unendlich (kleiner als jede reelle Zahl)
n! n k
¼ 1 2 3 . . . n; n Fakulta¨t n! ¼ k!ðn kÞ!
2
Element von
62
nicht Element von
Teilmenge
;
leere Menge
[
Vereinigung von Mengen
\
Durchschnitt von Mengen
jMj A^B
A,B
A und B sind a¨quivalent (gleichwertig)
ða; bÞ
geordnetes Paar
ða; b; cÞ
geordnetes Tripel
k
parallel
AB
Strecke AB
jABj ~ a ! PQ
La¨nge (Betrag) der Strecke AB Vektor a
¼
Binomialkoeffizient n u¨ber k jaj
Betrag oder Absolutbetrag einer Zahl a a hoch n, n-te Potenz von a Wurzel aus a Logarithmus b zur Basis a
! j~ a j; jPQj
La¨nge des Vektors
an pffiffiffi a ffiffiffi p na
a¨hnlich
loga b
Vektor PQ
nðn 1Þ ðn 2Þ . . . ðn k þ 1Þ ; 1 2 3 ... k
n-te Wurzel aus a
162
Mathematik
lg b
dekadischer Logarithmus (Zehnerlogarithmus), Logarithmus zur Basis
ln b
natu¨rlicher
ð1; 1Þ ¼ fx j x 2 Rg; offenes Intervall, nach links und nach
a ¼ 10
rechts unbeschra¨nkt Logarithmus,
Logarithmus
zur Basis a ¼ e ¼ 2;718 281 82 . . . ld b
bina¨rer Logarithmus (Zweierlogarith-
½a; b
¼ fx j x 2 R und a x bg;
ða; bÞ
abgeschlossenes beschra¨nktes Intervall ¼ fx j x 2 R und a < x < bg;
mus), Logarithmus zur Basis a ¼ 2
offenes beschra¨nktes Intervall ½a; bÞ
¼ fx j x 2 R und a x < bg; halboffenes beschra¨nktes Intervall
ða; b
¼ fx j x 2 R und a < x bg; halboffenes beschra¨nktes Intervall
½a; 1Þ
¼ fx j x 2 R und x ag; halboffenes Intervall, nach rechts unbeschra¨nkt
ða; 1Þ
¼ fx j x 2 R und x > ag; offenes Intervall, nach rechts unbeschra¨nkt
ð1; a
¼ fx j x 2 R und x ag; halboffenes Intervall, nach links unbeschra¨nkt
ð1; aÞ
¼ fx j x 2 R und x < ag; offenes Intervall, nach links unbeschra¨nkt
ðan Þ
¼ ða1 ; a2 ; a3 ; . . .Þ; Folge, Zahlenfolge
lim an
Limes, Grenzwert der Folge ðan Þ
lim f ðxÞ
Grenzwert (Limes) der Funktion f ðxÞ fu¨r
n!1 x!a
x gegen a lim f ðxÞ linksseitiger Grenzwert der Funktion
x!a0
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ a
lim f ðxÞ rechtsseitiger Grenzwert der Funktion
x!aþ0 0
y ¼ f ðxÞ an der Stelle x ¼ a
f ðx0 Þ
Ableitung von f ðxÞ an der Stelle x ¼ x0
df ðx0 Þ dx
Ableitung von f ðxÞ an der Stelle x ¼ x0
f 0 ðxÞ
Ableitung der Funktion f ðxÞ
00
f ðxÞ
zweite Ableitung der Funktion f ðxÞ
f 000 ðxÞ
dritte Ableitung der Funktion f ðxÞ
f ðnÞ ðxÞ Ð f ðxÞ dx
n-te Ableitung der Funktion f ðxÞ unbestimmtes Integral der Funktion y ¼ f ðxÞ
Ðb
f ðxÞ dx
a
ð fn ðxÞÞ
bestimmtes Integral der Funktion y ¼ f ðxÞ von x ¼ a bis x ¼ b ¼ ð f1 ðxÞ; f2 ðxÞ; f3 ðxÞ; . . .Þ; Funktionenfolge
Anhang
163
B Mathematische Konstanten pffiffiffi 2 ¼ 1;414 213 562 373 095
1 pffiffiffi 2 1 pffiffiffi 3 1 pffiffiffiffiffi 10 1 p 1 p2 1 pffiffiffi p 1 e 1 e2 1 pffiffiffi e
pffiffiffi 3 ¼ 1;732 050 807 568 877 pffiffiffiffiffi 10 ¼ 3;162 277 660 168 379 p ¼ 3;141 592 653 589 793 p2 ¼ 9;869 604 401 089 359 pffiffiffi p ¼ 1;772 453 850 905 516 e ¼ 2;718 281 828 459 045 e2 ¼ 7;389 056 098 930 650 pffiffiffi e ¼ 1;648 721 270 700 128
¼ 0;707 106 781 186 543 ¼ 0;577 350 269 189 626 ¼ 0;316 227 766 016 838 ¼ 0;318 309 886 183 791 ¼ 0;101 321 183 642 338 ¼ 0;564 189 583 547 756 ¼ 0;367 879 441 171 442 ¼ 0;135 335 283 236 613 ¼ 0;606 530 659 712 633
1 ¼ ln 10 ¼ 2;302 585 092 994 046 lg e 1 ¼ log2 10 ¼ 3;321 928 094 887 362 lg 2
lg e ¼ 0;434 294 481 903 252 lg 2 ¼ 0; 301 029 995 663 981
Ist die letzte Ziffer unterstrichen, dann ist die Konstante aufgerundet, im anderen Fall abgerundet.
C Das griechische Alphabet Alpha
A a
Jota
I
i
Beta
B b
Kappa
K k
Rho
P
r
Sigma
S
s
Gamma
G g
Lambda
L l
Tau
T
t
Delta
D d
My
M m
Ypsilon
u
Epsilon
E e
Ny
N n
Phi
F
j
Zeta
Z z
Xi
X x
Chi
X
c
Eta
H h
Omikron
O o
Psi
Y
w
Theta
Q J
Pi
P p
Omega
W
w
164
Mathematik
Literaturverzeichnis [1] Bronstein, I. N., K. A. Semendjajew, G. Musiol und H. Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 6. Aufl. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch, 2005. [2] Kemnitz, A.: Mathematik zum Studienbeginn. 6. Aufl. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg, 2006. [3] Kemnitz, F. und R. Engelhard: Mathematische Formelsammlung. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 1977.
[4] Schäfer, W., K. Georgi und G. Trippler: Mathematik-Vorkurs. 4. Aufl. Stuttgart, Leipzig: Teubner 1999. [5] Scharlau, W.: Schulwissen Mathematik: Ein Überblick. 2. Aufl. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg 1995. [6] Wendeler, J.: Vorkurs der Ingenieurmathematik. Thun und Frankfurt/Main: Harri Deutsch 2002.
165
Physik I Einführung Die Physik ist ein Teilgebiet der Naturwissenschaften und beschäftigt sich mit der leblosen Umwelt. In der Physik wird versucht, die Gesetzmäßigkeiten der unbelebten Materie durch Beobachtungen und Messungen zu erfassen und in einer mathematischen Gleichung darzustellen. Ist diese bekannt, so kann man die physikalischen Gesetze für technische Zwecke ausnutzen. Die Physik wird in folgende Gebiete unterteilt: Mechanik, Thermodynamik (Wärmelehre), Elektrizität und Magnetismus, Wellenlehre, Akustik, Optik, Atom- und Kernphysik, Festkörperphysik, Relativitätstheorie.
1 Physikalische Größen Eine physikalische Größe kennzeichnet Eigenschaften, Zustände oder Größen von meßbaren Objekten. Sie ist das Produkt einer Maßzahl und einer Einheit.
schreibung noch eine Richtung angegeben werden. Zum Beispiel ist es nicht ausreichend zu sagen, ein Auto habe eine Strecke von 100 km zurückgelegt, wenn nicht auch die Richtung der Bewegung mit angegeben wurde. Solche gerichteten Größen werden Vektoren genannt. Zur vollständigen Angabe gehört ein Betrag (Maßzahl, Einheit) und eine Richtung. Beispiele für Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, elektrische und magnetische Feldstärke. Wenn die Vektoreigenschaft einer Größe hervorgehoben werden soll, so wird dies entweder durch einen Pfeil über dem Größenzeichen F oder durch Fettdruck F des Zeichens kenntlich gemacht. Für die mathematische Behandlung von Gleichungen mit Vektoren wird die Vektorrechnung benötigt.
Größe = Maßzahl ⋅ Einheit
2 SI-System
Um Größen und ihre Einheiten deutlich zu unterscheiden, werden für sie unterschiedliche Symbole verwendet.
Die Einheiten der physikalischen Größen sind seit 1960 im „ Système International d'Unités“, kurz SISystem, festgelegt und in der Bundesrepublik Deutschland gesetzlich vorgeschrieben. Das System besteht aus Basisgrößen und abgeleiteten Größen. Die Basisgrößen sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Spannung = 100 ⋅ 1 Volt ; U = 100 ⋅ 1 V ; U = 100 V In Gleichungen werden immer physikalische Größen miteinander verbunden, das heißt, daß sowohl die Maßzahlen, aber auch die Einheiten auf beiden Seiten der Gleichung miteinander übereinstimmen müssen.
1.1 Skalare Viele Größen sind neben ihrer Einheit allein durch ihre Maßzahlen eindeutig bestimmt, dazu gehören z.B. Temperatur, Masse, Energie, Leistung, Widerstand. Solche Größen werden skalare Größen oder Skalare genannt.
Definitionen der Basisgrößen 1 Sekunde ist das 9 192 631 770fache der Periodendauer der dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes von Atomen des Nuklids 133Cs entsprechenden Strahlung. (1967)
1.2 Vektoren
1 Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft. (1983)
Bei anderen Größen reichen diese Angaben alleine nicht aus, sondern es muß zur vollständigen Be-
1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps. (1889)
Tabelle I-1 Basisgrößen und Basiseinheiten Gebiet
Basisgröße
Formelzeichen
Basiseinheit
Einheitenzeichen
Mechanik
Zeit Länge Masse Stromstärke Temperatur Lichtstärke Stoffmenge
t l m I T IL n
Sekunde Meter Kilogramm Ampere Kelvin Candela Mol
s m kg A K cd mol
Elektrotechnik Thermodynamik Optik Chemie
166 1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen Stroms, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1 Meter Leiterlänge die Kraft 2 ⋅ 10–7 Newton hervorruft. (1948) 1 Kelvin ist der 273,16te Teil der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers. (1967) 1 Candela ist die Lichtstärke in einer bestimmten Richtung einer Strahlungsquelle, die monochromatische Strahlung der Frequenz 540 THz aussendet und 1 W deren Strahlstärke in dieser Richtung beträgt. 683 sr 1 Mol ist die Stoffmenge eines Systems bestimmter Zusammensetzung, das aus ebenso vielen Teilchen besteht, wie Atome in (12/1000) kg des Nuklids 12C enthalten sind. (1971) Abgeleitete Größen: Aus den Basisgrößen lassen sich die SI-Einheiten aller anderen Größen ableiten. Eine
Physik Zusammenfassung der wichtigsten Größen finden Sie im Abschnitt VIII. Durch Vorsätze können dezimale Vielfache oder Teile der Maßeinheiten gebildet und damit umständlicher zu benutzende Zehnerpotenzen vermieden werden. In Tabelle I-2 sind die Vorsilben und Kurzzeichen für die Vorsätze zusammengestellt. Doppelvorsätze, wie z.B. nmm sind nicht zulässig. Tabelle I-2 Vorsätze für dezimale Vielfache Wert 18
10 1015 1012 109 106 103 102 101
Vorsatz Zeichen Wert Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka
E P T G M k h da
–1
10 10–2 10–3 10–6 10–9 10–12 10–15 10–18
Vorsatz Zeichen Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko Femto Atto
d c m m n p f a
II Mechanik 1 Kinematik des Massenpunktes Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern im Raum. Ein Punkt im Raum wird durch seine Ortskoordinaten festgelegt. Diese ändern sich während der Bewegung des Körpers mit der Zeit. Bei größeren Systemen können einzelne Teile des Systems völlig unterschiedliche Bewegungen durchführen, so bewegt sich bei einem fahrenden Auto ein Punkt auf der Karosserie anders als ein Punkt auf dem Reifen. Da sich aber jeder Körper aus einzelnen Punkten zusammensetzt, ist die Beschreibung der Bewegung eines einzelnen Massenpunktes von grundlegender Bedeutung.
1.1 Eindimensionale Bewegungen Eine Bewegung wird dann eindimensional genannt, wenn sie nur auf einer vorgeschriebenen Bahn erfolgen kann, wie es z.B. bei Schienenfahrzeugen oder auch Werkzeugschlitten der Fall ist. Zu ihrer Beschreibung ist dann neben der Zeitabhängigkeit nur eine Ortskoordinate ausreichend. 1.1.1 Geschwindigkeit Eine wichtige Grundgröße der Kinematik ist die Geschwindigkeit. Sie gibt an, welcher Weg Δs in der Zeit Δt zurückgelegt wird. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor, denn der Endzustand einer Bewegung hängt von der Richtung der Geschwindigkeit ab.
v=
Δs Δt
v Δs Δt m m s s
(II.1)
Δs = s 2 − s 1 , Differenz der Ortskoordinaten. Δt = t 2 − t 1 , Differenz der entsprechenden Zeiten.
Ist der Betrag der Geschwindigkeit überall gleich, so spricht man von einer gleichförmigen Bewegung. Die Geschwindigkeit ist dann unabhängig von der Größe des Zeitabschnittes. Ändert sich dagegen die Geschwindigkeit während der Beobachtungszeit (Beispiel: anfahrendes Auto), so kann man die Momentangeschwindigkeit oder Augenblicksgeschwindigkeit nur bestimmen, wenn der Zeitabschnitt Δt, in dem der zurückgelegte Weg Δs gemessen wird, beliebig klein gemacht wird, im Grenzfall gegen 0. Ist dies nicht möglich, erhält man die Durchschnittsgeschwindigkeit oder auch mittlere Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Körper geradlinig bewegt, nennt man auch Translationsgeschwindigkeit. Eine Masse m befindet sich zum Zeitpunkt t = 0 an einem Ort mit der Ortskoordinate s0. Sie hat eine konstante Geschwindigkeit v0. Der nach Ablauf einer Zeit t zurückgelegte Weg s errechnet sich nach: s = s0 + v0 ⋅ t
(II.2)
mit s0 und v0 als Anfangswerte der Ortskoordinate und der Geschwindigkeit.
II Mechanik
167
s
a=
s = s0 + v0t s0 t
Δt = t 2 − t 1 , Differenz der entsprechenden Zeiten.
t
Ist die Beschleunigung konstant, so liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor. Hat ein Körper zum Zeitpunkt t = 0 die Anfangsgeschwindigkeit v 0 und befindet er sich am Ort s0, so ändern sich seine Geschwindigkeit v und die Ortskoordinate s mit der Zeit entsprechend der folgenden Gleichungen:
v = v0
v0 Δs = v0 Δt Δt
Bild II-1 s(t) und v(t)-Diagramm einer gleichförmigen Bewegung Beispiel: Ein Auto fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit
von 50 km/h. Um 9 Uhr ist es 30 km von seinem Startpunkt entfernt. a) Welche Zeit braucht es für einen Weg von 20 km? b) Wo befindet es sich um 11 Uhr? Lösung: 20 km Δs Δs a) v = ⇒ Δt = = = 0,4 h = 24 min Δt v 50 km h −1
km b) s = 30 km + 2 h ⋅ 50 = 130 km h
Wenn sich die Geschwindigkeit im Lauf der Zeit ändert, liegt eine beschleunigte Bewegung vor. Die Beschleunigung a ist der Quotient aus der Änderung der Geschwindigkeit Δv in der Zeit Δt. Wie bei der Geschwindigkeit sind auch hier eine Momentanbeschleunigung und eine Durchschnittsbeschleunigung zu unterscheiden. s s = s0 + v0t + 1/2at 2 s0 t
v v = v0 + at
v Δs = vΔt
t
Δt a = const.
(II.4)
1 s = s0 + v0 t + at 2 2
(II.5)
Ist a = 0, so liegt eine gleichförmige Bewegung vor. Mit diesen Gleichungen können auch verzögerte Bewegungen berechnet werden; a ist dann negativ einzusetzen, der Körper wird langsamer und somit abgebremst. Beispiel: Ein Eisenbahnzug, der sich 20 km von seinem Start-
bahnhof befindet, fährt 30 min lang mit konstanter Geschwindigkeit v0 = 60 km/h. Dann wird er mit einer Beschleunigung a = – 0,222 m/s2 abgebremst. Wie lang ist sein Bremsweg, und wie weit ist er dann von seinem Startbahnhof entfernt?
Bremszeit (v = 0): tB = −
v0 a
=
60 000 m 3600 s ⋅ 0,222 m s −2
= 75 s
Entfernung von Bahnhof zu Beginn des Bremsvorganges nach (II.2): km s 0 = 20 km + 60 ⋅ 0,5 h = 50 km h Entfernung von Bahnhof zu Ende des Bremsvorganges nach (II.5): 60 km ⋅ 75 s 0,222 m ⋅ 75 2 s 2 s = 50 km + − 3600 s 2s 2 s = 50,626 km
Trägt man in einer Grafik den zurückgelegten Weg als Funktion der Zeit auf, so erhält man das s(t)Diagramm, bei Auftragung der momentanen Geschwindigkeit als Funktion der Zeit das v(t)-Diagramm. Im s(t)-Diagramm ist die Momentangeschwindigkeit anschaulich als Steigung der WegZeit-Kurve abzulesen, während der in einer Zeit Δt zurückgelegte Weg Δs aus dem v(t)-Diagramm als Fläche unter der Kurve bestimmt werden kann (Δs = v ⋅ Δt ). 1.1.3 Freier Fall
Δv = aΔt Δt
v = v 0 + at
Lösung: Um die Bremszeit zu berechnen, wird in (II.4) die Endgeschwindigkeit v = 0 eingesetzt:
1.1.2 Beschleunigung
a
(II.3)
Δv = v 2 − v 1 , Differenz der Geschwindigkeiten.
v
v0
a Δv Δt m m s s2 s
Δv Δt
t
Bild II-2 s(t)-, v(t)- und a(t)-Diagramm einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung
Ein Beispiel für eine Bewegung unter dem Einfluß einer konstanten Beschleunigung ist die Bewegung an der Erdoberfläche allein unter dem Einfluß der Erdanziehungskraft, d.h. ohne Luftreibung und andere Kräfte. Die Erdbeschleunigung hat für alle Körper
168
Physik
den mittleren Wert von g = 9,81 m/s2. Startet ein Körper aus der Ruhe, so gelten die Gleichungen (II.4) und (II.5) mit v0 = 0 und a = – g. Die Höhe h wird von der Erdoberfläche aus in positiver Richtung nach oben gemessen und entspricht der Anfangskoordinate s0. Die Fallzeit bestimmt sich aus der Bedingung s(tF) = 0.
kehrpunkt die momentane Geschwindigkeit v = 0 und am Ende des Fluges die Höhe h = 0 sein muß. Aus diesen Bedingungen folgen aus den Gleichungen (II.4) und (II.5) die nachfolgenden Formeln. Bei negativen Werten der Geschwindigkeit ist die Bewegung abwärts gerichtet. momentane Geschwindigkeit v ( t ) = v 0 − g t
(II.11)
Fallzeit:
1 momentane Höhe h ( t ) = s 0 + v 0 t − g t 2 2
(II.12)
0= h−
1 2 gtF 2
(II.6)
tF =
2h g
(II.7)
Die Fallgeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt t berechnet sich nach vF (t ) = g ⋅t
(II.8)
daraus folgt für die Aufprallgeschwindigkeit oder Endgeschwindigkeit ve, die ja nach der Fallzeit tF erreicht ist: ve = g ⋅ t F
(II.9)
2h ve = g ⋅ = 2h g g
(II.10)
freien Fall. a) Wann kommt er unten an? b) Wie groß ist dann seine Geschwindigkeit? Lösung:
tF =
2h = g
9,81 m s 2
m s2
m s
1.1.4 Senkrechter Wurf
Beim Wurf nach oben ist v0 positiv, beim Wurf nach unten negativ einzusetzen. Hierbei kann ebenfalls eine Anfangshöhe s0 = h angenommen werden. Die maximale Steighöhe und die Steigzeit beim Wurf nach oben folgen aus der Bedingung, daß am Umh
h = s0
h=0
(II.14)
v ts = 0 g
Steigzeit ( v ( t ) = 0 )
hs = s 0 +
maximale Höhe ( t = t s )
(II.15) v 02 2g
(II.16)
Die Formeln (II.11) – (II.15) gelten auch für den senkrechten Fall nach unten, während die Formel (II.16) hier dann keinen Sinn ergibt. Beispiel: Von einem 10 m hohen Turm wird ein Stein mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 20 m/s senkrecht nach oben geworfen. Wie groß sind die maximale Höhe und die gesamte Flugzeit?
h s = 10 m + tf =
( 20
m s)
2
2 ⋅ 9,81 m s −2
20 m s +
( 20
= 30,39 m
m s ) + 2 ⋅ 10 m ⋅ 9,81 m s −2 2
9,81 m s −2
= 4,528 s
1.2 Zusammengesetzte Bewegungen
= 2,02 s
b) v e = 2 h g = 2 ⋅ 20 m ⋅ 9,81
h = hs
Endgeschwindigkeit v e = − v 02 + 2 s 0 g
(II.13)
2 ⋅ 20 m 9,81 m s 2
40 m
v e = 19, 8
v 0 + v 02 + 2 s 0 g g
Lösung:
Beispiel: Ein Körper fällt von einem Turm der Höhe h = 20 m im
a) t F =
tF =
Flugzeit ( h ( t ) = 0 )
und daraus
Bild II-3 Senkrechter Wurf
Im Gegensatz zu eindimensionalen Bewegungen sind hier bei allen vektoriellen Größen zwei Angaben notwendig. Als Richtungen sollen x- und y-Richtung festgelegt sein, die entsprechenden Größen werden durch die Indizes x und y unterschieden. Führt ein Körper gleichzeitig Bewegungen in x- und y-Richtung aus, sogenannte zusammengesetzte Bewegungen, so überlagern sich diese Bewegungen unabhängig voneinander, und der Endzustand ist derselbe, als wenn die einzelnen Bewegungen nacheinander ausgeführt worden wären. Als Beispiel soll eine Bewegung in einem strömenden Fluß der Breite b betrachtet werden. Der Fluß fließt in x-Richtung mit einer Geschwindigkeit vF. Der Geschwindigkeitsvektor kann dann in eine Komponente parallel zum Ufer und eine senkrecht zum Ufer aufgeteilt werden, dies sollen die x- und yRichtung sein. Eine Schreibweise hierfür ist die Komponentenschreibweise vektorieller Größen: v = (vx , vy ) (II.17) und somit v F = ( v Fx , 0 ) .
II Mechanik
169
In dem Wasser bewegt sich ein Boot mit einer Eigengeschwindigkeit vB relativ zum Wasser. Ist das Wasser in Ruhe, so ist dies auch die Geschwindigkeit relativ zum Grund v G . v B = ( 0 , v By )
vB
y
vG a
x
y
h
v
hmax h0
a
Bild II-5 Schiefer Wurf
vy vx
b
xw
vF
Bild II-4 Geschwindigkeiten im Fluß In einem strömenden Fluß ist nun v B unterschiedlich von v G . Die Geschwindigkeit des Bootes kann nun entweder relativ zum Grund oder relativ zum Wasser angegeben werden. Der Zusammenhang ist: (II.18) v G = v B + v F = ( v Fx , v By )
Es gilt also, daß sich die einzelnen Komponenten unabhängig addieren. Hieraus lassen sich die folgenden Größen berechnen: b Zeit zum Überqueren t = v By
(II.19)
x
Fall eine Parabel (Wurfparabel). Es soll auch zugelassen werden, daß der Stein in einer Höhe h0 abgeworfen wird. Aus den Bedingungen, daß am Ende der Bewegung der Wert für y = 0 sein muß und am höchsten Punkt der Wert für vy = 0 sein muß, folgen die Gleichungen für den schiefen Wurf aus einer Anfangshöhe h0 und mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0: v 0 x = v 0 ⋅ cos a (II.25) v 0 y = v 0 ⋅ sin a
(II.26)
v x ( t ) = v 0 ⋅ cos a = const
(II.27)
v y ( t ) = v 0 ⋅ sin a − gt
(II.28)
1 y ( t ) = h 0 + v 0 ⋅ sin a − g t 2 2 x ( t ) = v 0 ⋅ t ⋅ cos a
(II.29) (II.30)
( v 0 ⋅ sin a ) + 2 g h0
Weg in x-Richtung s Gx = v Fx ⋅ t
(II.20)
Weg in y-Richtung s Gy = v By ⋅ t
(II.21)
Gesamter Weg s G =
(II.22)
Flughöhe h max = h 0 +
(II.23)
Flugweite x w = v 0 ⋅ t F ⋅ cosa
(II.24)
Wenn in den Gleichungen (II.29) bis (II.32) der Wert für h0 auf 0 gesetzt wird, so ergeben sich die Gleichungen für den Fall eines schiefen Wurfes mit Anfangshöhe 0. 2 v ⋅ sina (II.34) Flugzeit t F = 0 g
Geschwindigkeit v G =
2 2 s Gx + s Gy 2 2 v Fx + v By
⎛ v By ⎞ Richtung a = arctan ⎜ ⎟ ⎝ v Fx ⎠
Beispiel: In einem Fluß der Breite 500 m fließt Wasser mit einer
Strömungsgeschwindigkeit von 2 m/s. Senkrecht zum Ufer startet ein Boot mit einer Eigengeschwindigkeit von 10 m/s. Wie lange braucht das Boot für die Überquerung, und wie groß ist die seitliche Abdrift d? Lösung: Zeit
500 m t= = 50 s 10 m s
Abdrift
d=2
m ⋅ 50 s = 100 m s
Flugzeit t F =
g
Flughöhe h max = Flugweite
1.2.1 Schiefer Wurf Ein weiteres Beispiel für eine zusammengesetzte Bewegung ist die Bewegung eines Steines, der unter einem bestimmten Winkel α mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 geworfen wird (schiefer Wurf). In diesem Fall handelt es sich um die Überlagerung einer gleichmäßigen Bewegung in x-Richtung mit einer gleichförmig beschleunigten Bewegung (freier Fall) in y-Richtung. Die Flugbahn unter dem Einfluß einer konstanten Kraft (Erdanziehung) ist in diesem
v 0 ⋅ sin a +
2
v 02 ⋅ sin 2 a 2g
(II.32) (II.33)
v 02 ⋅ sin 2 a 2g
(II.35)
x w = v 0 ⋅ t F ⋅ cos a = xw =
(II.31)
2 ⋅ v 02 ⋅ sin a ⋅ cos a g
v 02 ⋅ sin 2 a g
(II.36)
Beispiel: Ein Stein wird unter einem Winkel von 30° mit einer
Anfangsgeschwindigkeit von 20 m s–1 geworfen. Wie weit fliegt er, und wann trifft er auf den Boden? Lösung:
Flugweite Flugzeit
xw =
tF =
( 20 ms −1 ) 2 ⋅ sin 60 ° 9, 81 m s − 2
2 ⋅ 20 m s −1 ⋅ sin 30 ° 9, 81 m s −2
= 35, 31 m
= 2 , 04 s
170
Physik
1.3 Kreisbewegung
1.3.3 Kreisfrequenz
Bei einer Kreisbewegung bewegt sich eine punktförmige Masse auf einer Kreisbahn mit dem Radius r. Wenn in gleichen Zeiten Δt gleiche Strecken Δs auf dem Umfang zurückgelegt werden, so überstreicht auch die Verbindungslinie zum Zentrum des Kreises in gleichen Zeiten Δt gleiche Winkel Δj.
Oft werden die Drehzahl n oder auch die Frequenz f einer kreisförmigen Bewegung angegeben. Im Gegensatz zur Frequenz f wird die Größe w auch Kreisfrequenz genannt.
vu
w = 2π f
w x n 1 1 Hz s min
2π n w= 60
(II.42)
1.3.4 Winkelbeschleunigung r
Δf Δs
Bild II-6 Kreisbewegung
1.3.1 Bahngeschwindigkeit Unter Bahngeschwindigkeit oder auch Umfangsgeschwindigkeit versteht man die Geschwindigkeit, mit der sich eine Masse m auf dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r bewegt. Wenn sich die Masse in der Zeit Δt um die Strecke Δs weiterbewegt hat, wird von der Verbindungslinie zwischen der Masse und dem Zentrum des Kreises der Winkel Δj überstrichen. Zwischen den Größen r, Δs und Δj gilt die Gleichung: Δj =
Δs r
j s r rad m m
Δs = r ⋅ Δj
Umfangsgeschwindigkeit v u =
Δj Δs =r Δt Δt
oder Bahngeschwindigkeit v u = r ⋅ w
In diesem Fall gelten analoge Gleichungen zu (II.4) und (II.5).
1 j = j0 + w0 t + a t 2 2
(II.45)
(II.38)
Hierbei sind w0 und j0 die Anfangswerte zur Zeit t = 0 der Winkelgeschwindigkeit und des Winkels.
(II.39)
Beispiel: Ein Elektromotor läuft mit einer Drehzahl n = 600 min–1.
(II.40)
Nach dem Abschalten wird er mit konstanter Winkelbeschleunigung a abgebremst, bis er nach 50 Umdrehungen zum Stillstand kommt. a) Wie groß ist die Winkelbeschleunigung? b) Wie lange ist die Bremszeit tB? Lösung: a) Anfangswerte:
j0 = 0,
w0 = 2 π
n −1 s = 62 , 83 s −1 60
50 Umdrehungen ergeben:
1.3.2 Winkelgeschwindigkeit
j = 50 ⋅ 2 π = 314 ,16 rad
Die Winkelgeschwindigkeit w ist durch w Δj Δt 1 rad s s
(II.43)
(II.37)
Δj . Δt
Δj Δt
a Δw Δt 1 1 s s2 s
Δw Δt
(II.44)
Die Größe w wird Winkelgeschwindigkeit genannt.
w=
a=
w = w 0 + at
mit der Abkürzung
w=
Werden in gleichen Zeiten ungleiche Wegstrecken auf dem Umfang zurückgelegt, ändert sich also die Umfangsgeschwindigkeit, muß der Körper eine Tangentialbeschleunigung erfahren. Jetzt werden in gleichen Zeiten ungleiche Winkel überstrichen, daher ändert sich die Winkelgeschwindigkeit ebenfalls. In diesem Fall liegt eine Winkelbeschleunigung vor. Analog zur linearen Beschleunigung wird die Winkelbeschleunigung definiert:
Aus (II.44) folgt:
(II.41)
definiert, wobei Dj der in der Zeiteinheit Dt überstrichene Winkel ist. Bei einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit w (gleichförmige Kreisbewegung) ist die Umfangsgeschwindigkeit vom Betrag her konstant, allerdings ändert sie laufend die Richtung.
a=−
w0 tB
.
Winkelbeschleunigung
a=−
62,83 s = −6,28 s −2 10 s
b) In (II.45) eingesetzt: j = w0 t B −
Bremszeit
w 0 t B2 2t B
tB =
=
1 w0 tB 2
2 j 2 ⋅ 314 ,16 rad = = 10 s w0 62 , 83 s −1
II Mechanik
171
2 Dynamik
Die Einheit der Kraft im SI-System ist 1
In der Kinematik wird die Bewegung von Massen durch geeignete Formeln beschrieben, ohne daß nach der Ursache für eine Bewegung oder eine Änderung eines Bewegungszustandes gefragt wird. In der Dynamik werden diese Ursachen untersucht.
2.1 Newtonsche Axiome I. Newton (1643 bis 1727) hat drei grundlegende Axiome formuliert, die das Verhalten von Körpern unter dem Einfluß äußerer Kräfte und das Zusammenspiel von Kräften untereinander beschreiben. Diese Newtonschen Axiome sind die Grundlagen der klassischen Mechanik und werden in der Tabelle II-1 aufgeführt:
kg m
, s2 hierfür wird die Abkürzung 1 N (1 Newton) verwendet. kg m (II.49) 1N =1 2 s An der Erdoberfläche wirkt auf alle Körper die Gewichtskraft oder Schwerkraft FG = m ⋅ g (II.50) mit der Erdbeschleunigung g m g = 9, 81 2 (II.51) s Eine nicht mehr zulässige Einheit der Kraft ist 1 kp (1 Kilopond). Dies ist die Gewichtskraft auf die Masse von 1 kg. Somit gilt:
Tabelle II-1 Newtonsche Axiome Newtonsche Axiome
Formulierung
1. Axiom: Trägheitsgesetz
Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, solange er nicht durch äußere Kräfte gezwungen wird, diesen Zustand zu ändern.
2. Axiom Aktionsgesetz
Die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße (Impuls) p = mv ist gleich der resultierenden Kraft F.
3. Axiom Wechselwirkungsgesetz actio = reactio
Wirkt ein Körper 1 auf einen Körper 2 mit der Kraft F12, so wirkt der Körper 2 auf den Körper 1 mit einer gleich großen, entgegengesetzten Kraft F21.
Das Aktionsgesetz läßt eine zeitliche Änderung sowohl der Masse als auch der Geschwindigkeit zu. In der allgemeinen Form gilt: Dp D ( m ⋅ v ) Dv Dm (II.46) F= = = m⋅ +v⋅ Dt Dt Dt Dt Ist die Masse konstant, so ist Δm = 0, und es gilt mit Δv = a: Δt (II.47) F = m⋅a Dieses Gesetz wird auch als Newtonsches Grundgesetz bezeichnet, gilt in dieser Form aber nur für konstante Massen.
2.2 Kraft
Nach dem Newtonschen Grundgesetz ist die Kraft F bei konstanter Masse proportional zur Beschleuni gung a. Die Kraft ist eine vektorielle Größe. Kraft und Beschleunigung haben dieselbe Richtung.
F = m⋅a
F m a kg m s −2 kg m s −2
(II.48)
Gleichung
1 kp = 9,81 N
Δp F= Δt F12 = − F21
(II.52)
Hängt eine Masse m an einer Feder, so wird die Feder um eine Strecke x gedehnt und zwar solange, bis die Rückstellkraft der Feder und die Gewichtskraft auf die Masse m entgegengesetzt gleich groß sind. Die Rückstellkraft der Feder wird durch die Federeigenschaften beeinflußt und in der Federkonstanten c festgelegt. Da die Rückstellkraft entgegengesetzt zur Auslenkung gerichtet ist, gilt
Rückstellkraft
Frück = − cx
Federkonstante c = −
Frück x
(II.53) c Frück x (II.54) Nm −1 N m
Zerlegung und Zusammensetzung von Kräften Kräfte sind Vektoren und müssen somit vektoriell addiert werden. Die grafische Lösung für die Addition zweier Kräfte und die sich daraus ergebende resultierende Kraft erfolgt so, daß der Anfangspunkt des zweiten Vektors in den Endpunkt des ersten Vektors verschoben wird. Es entsteht ein Parallelogramm, das
172
Physik
y
eine Komponente senkrecht zur Unterlage, der Normalkraft FN, und eine Komponente parallel zur Unterlage, der Hangabtriebskraft FH, zerlegt werden.
F
F2 b g
m
F1 a
x
FN
Bild II-7 Kräfteparallelogramm
x-Komponente
Fx = F1 cos a + F2 cos b
(II.55)
y-Komponente
Fy = F1 sin a + F2 sin b
(II.56)
daraus folgt für die resultierende Kraft: F=
Fx2 + Fy2
(II.57)
F=
F12 + F22 + 2 F1 F2 cos ( a − b )
(II.58)
Nach Umkehrung dieser Gleichungen lassen sich die Teilkräfte aus der Resultierenden und den Winkeln berechnen: sin ( b − g ) sin ( b − a )
(II.59)
sin ( g − a ) (II.60) sin ( b − a ) Oft ist es notwendig, eine Kraft F in zwei senkrecht zueinanderstehende Komponenten zu zerlegen. In den Gleichungen (II.59) und (II.60) ist dann a = 0° und b = 90° zu setzen F2 = F
y F F2 g F1
a FG
Kräfteparallelogramm Mit Hilfe der trigonometrischen Gleichungen lassen sich die folgenden Beziehungen für die Addition von Kräften ableiten:
F1 = F
Bild II-9 Schiefe Ebene
FH
x
a
Die Beträge dieser Kräfte sind: FH = m g sina
(II.64)
FN = m g cosa
(II.65)
Die Hangabtriebskraft beschleunigt den Körper, während die Normalkraft den Druck auf die Unterlage bewirkt. Durch die Normalkraft wird wegen der immer vorhandenen Reibung eine der Hangabtriebskraft entgegengesetzte Reibungskraft FR verursacht. Reibungskraft
FR = m FN = m m g
(II.66)
Die Größe m wird als Reibungszahl bezeichnet und hängt von der Beschaffenheit der beiden an der Reibung beteiligten Körper ab und von der Art der Bewegung. Sie ist eine dimensionslose Zahl. Bei der Bewegung eines Fahrzeuges ist die Rollreibung zu berücksichtigen. Einige typische Werte für die Reibungszahl sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Hierbei ist zwischen Haftreibung und Gleitreibung zu unterscheiden. Tabelle II-2 Werte für die Reibungszahl m Stoffpaar
Haftreibung
Gleitreibung
Stahl/Stahl Stahl/Holz Stahl/Eis Holz/Holz Gummi/Asphalt Gummi/Beton Gummi/Eis
0,15 0,5 – 0.6 0,027 0,65 0,9 0,65 0,2
0,12 0,2 – 0,5 0,014 0,2 – 0,4 0,85 0,5 0,15
Bild II-8 Zerlegung von Kräften F1 = F cos g
(II.61)
F2 = F sing
(II.62)
Der Winkel der Resultierenden mit der Kraft F1 errechnet sich zu: ⎛F ⎞ g = arctan ⎜ 2 ⎟ ⎝ F1 ⎠
(II.63)
Schiefe Ebene Befindet sich ein Körper auf einer Schiefen Ebene, so wirkt auf ihn die Schwerkraft in der in Bild II-9 angezeigten Richtung. Diese Schwerkraft kann in
Beispiel: Ein Fahrzeug der Masse m = 1000 kg befindet sich auf
einer Schiefen Ebene mit dem Neigungswinkel a = 10°. Die Reibungszahl sei m = 0.1. Wie groß ist die Beschleunigung des Wagens? Lösung: Normalkraft:
FN = m g cos a = 1000 kg ⋅ 9, 81 m s 2 ⋅ 0 , 984 = 9660 N Reibungskraft: FR = m FN = 0 ,1⋅ 9660 N = 966 N
Hangabtriebskraft: FH = m g sin a = 1000 kg ⋅ 9 , 81 m s 2 ⋅ sin10 = 1703 N Resultierende Kraft: F = FH − FR = 1703 N − 966 N = 737 N
Beschleunigung: a =
F 737 N = = 0 , 737 m s 2 m 1000 kg
II Mechanik
173
Kräfte bei Kreisbewegungen Soll sich eine Masse m auf einer Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen, so bleibt zwar der Betrag der Umfangsgeschwindigkeit konstant, nicht aber die Richtung (siehe Bild II-10). Die Masse m hat sich in der Zeit Δt vom Punkt P1 nach P2 bewegt. Dabei hat sich der Vektor der Geschwindigkeit von v1 nach v2 verändert, der Betrag ist aber geblieben. Da sich die Richtung geändert hat, gilt v2
2
v1 P Δf 2
geographischen Breite untersucht werden. Dabei wird angenommen, daß die Erde eine homogene Kugel sei mit dem Radius rE = 6378 km. Die Fallbeschleunigung ist die Resultierende aus Erdbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung. Am Pol ist der Abstand von der Drehachse = 0, somit tritt hier keine Zentrifugalbeschleunigung auf, und für die Fallbeschleunigung gilt aF = g. Am Äquator ist die Zentrifugalbeschleunigung maximal, nämlich aZP = w2rE. Da sich die Erde in 24 Stunden einmal um sich selbst dreht, gilt am Äquator:
Δv v2
Δf
2π ⎛ ⎞ 3 a ZP = ⎜ ⎟ ⋅ 6378 ⋅ 10 m ⎝ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 s ⎠ v1
a ZP = 0 , 034
P1
m . s2
Fallbeschleunigung a F = g + a ZP
und, da Zentrifugalbeschleunigung und Erdbeschleunigung entgegengesetzt wirken
Bild II-10 Zentripetal-Beschleunigung Δv = v 2 − v 1
(II.67)
a F = ( 9, 81 − 0 , 034 )
Die Geschwindigkeitsänderung läßt sich auch durch die Winkeländerung ausdrücken: Δv = v ⋅ Δj
(II.68)
Δv v ⋅ Δj = = v⋅w Δt Δt
m m = 9,776 2 . s2 s
g
Die Richtung von Dv ist zum Zentrum der Kreisbahn gerichtet, die Geschwindigkeit hat sich daher in Richtung auf das Zentrum geändert, somit muß auch eine Beschleunigung in Richtung auf das Zentrum der Kreisbahn erfolgen a Zp =
(II.73)
ar
r
rE
f f
g g
aZP aZP
(II.69)
und mit (II.40) a Zp = w 2 r a Zp = w 2 r
(II.70) a Zp ms
−2
w2 r s −2 m
(II.71)
Diese Beschleunigung ist die Zentripetalbeschleunigung. Wegen des 2. Newtonschen Axioms wirkt daher eine Kraft, die Zentripetalkraft FZp = mw 2 r
(II.72)
Sie muß aufgewendet werden, um eine Masse m auf einer Kreisbahn zu halten. Die entgegengesetzt gerichtete gleich große Kraft ist die Zentrifugalkraft. Die dazugehörende Beschleunigung heißt Zentrifugalbeschleunigung. Diese Kraft tritt bei allen Rotationsbewegungen auf, dabei ist mit dem Radius r in Gleichung (II.72) der Abstand von der Drehachse gemeint. Als Beispiel soll die Abhängigkeit der Fallbeschleunigung auf der Erdoberfläche von der
Bild II-11 Fallbeschleunigung und geographische Breite Für andere geographische Breiten muß entsprechend Bild II-11 der Abstand von der Drehachse r und die Komponente der Zentrifugalbeschleunigung ar in Richtung auf den Erdmittelpunkt bestimmt werden, denn nur diese Komponente wirkt der Erdbeschleunigung, die ja zum Erdmittelpunkt gerichtet ist, entgegen. Es gelten die folgenden Gleichungen: r = r E ⋅ cos j
(II.74)
j a ZP = w 2 ⋅ r = w 2 ⋅ rE ⋅ cos j
(II.75)
ar =
j a ZP
⋅ cos j
a r = w 2 ⋅ r E ⋅ cos 2 j
(II.76) (II.77)
und damit
a F = g − w 2 ⋅ r E ⋅ cos 2 j
(II.78)
174
Physik
2.3 Impuls Im 2. Newtonschen Axiom wird die zeitliche Änderung der Bewegungsgröße p gleich der resultierenden Kraft gesetzt. Die Bewegungsgröße ist der Impuls. Bei konstanter Kraft F gilt: p = mv
p m v N s kg m s −1
Δ p F= ⇒ Δ p = F ⋅ Δt Δt
(II.79)
(II.80)
Die Kraft ist also gleich der zeitlichen Änderung des Impulses. Die Größe t2
∫ F d t = p 2 − p1 = Δ p
(II.81)
t1
wird als Kraftstoß bezeichnet. Ist die Kraft zeitlich konstant, so vereinfacht sich Gleichung (II.81) zu Δ p = F ⋅ Δt = F ( t 2 − t 1 ) (II.82) Die Impulsänderung Δp , die ja auch ein Vektor ist, hat die Richtung der angreifenden resultierenden Kraft. Beispiel: Eine konstante Kraft von 2 kN wirkt 10 s lang auf ein
ruhendes Fahrzeug der Masse m = 800 kg. Wie groß sind a) der Kraftstoß, b) der Impuls, c) die Geschwindigkeit nach 10 s? Lösung:
Lösung: Gesamtimpuls zu Beginn: p g = ( 200 kg + 80 kg ) ⋅ 2 m / s = 560 Ns
Impulsänderung durch Δ p = F Δt = 300 N ⋅ 0,2 s = 60 Ns
den
Impuls des Bootes nach p B′ = 200 kg ⋅ 2 m / s − 60 Ns = 340 Ns
Sprung: dem
340 Ns = 1,7 m / s 200 kg Impuls des Mannes nach dem pM ′ = 80 kg ⋅ 2 m / s + 60 Ns = 220 Ns
Sprung:
Geschwindigkeit des Bootes: v B′ =
Geschwindigkeit des Mannes: v M ′ =
Sprung:
220 Ns = 2,75 m / s 80 kg
Gesamtimpuls am Ende: p g′ = ( 340 + 220 ) Ns = 560 Ns Die positiven Vorzeichen bei beiden Geschwindigkeiten zeigen an, daß sich sowohl der Mann wie auch das Boot weiter in der ursprünglichen Fahrtrichtung des Bootes bewegen, der Gesamtimpuls hat sich nicht verändert. Da der Impuls ein Vektor ist, muß die Impulserhaltung auch für jede Komponente gelten. Beispiel: Der Mann aus dem voranstehenden Beispiel springt
nicht in Fahrtrichtung, sondern senkrecht zur Fahrtrichtung in positiver y-Richtung vom Boot. Wie groß ist die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes direkt nach dem Sprung? Lösung: Die Geschwindigkeit des Bootes und des Mannes in Fahrtrichtung bleiben unverändert.
Δ p = F ⋅ Δt = 300 N ⋅ 0,2 s = 60 Ns
vB =
−60 Ns m = −0 , 3 200 kg s
vM =
60 Ns m = −0 , 75 80 kg s
Das Boot bewegt sich also in entgegengesetzter Richtung zum Mann.
a) F ⋅ Δt = 2000 N ⋅ 10 s = 20 000 Ns
b) Δ p = p 2 − p 1 = F ⋅ Δt ⇒ p = 20 000 Ns c) v =
Δ p 20 000 Ns m km = = 25 = 90 m 800 kg s h
Impulserhaltungssatz Wirkt nun auf ein System keine äußere resultierende Kraft, so ist entsprechend (II.82) die Änderung des Impulses Dp = 0. Daraus folgt, daß in diesem Fall der Impuls konstant sein muß. Dieses gilt für den Gesamtimpuls des betrachteten Systems. Besteht das System aus mehreren Massen mit Einzelimpulsen pi, so gilt der Impulserhaltungssatz für den Gesamtimpuls p ges = p1 + p 2 + p 3 + ... + p n = const (II.83) Dabei können sich die Einzelimpulse durchaus ändern, wenn nur der Gesamtimpuls konstant bleibt. Eine weitergehende Betrachtung wird im Kapitel Stoßprozesse durchgeführt. Beispiel: Aus einem Boot der Masse 200 kg, welches sich in
ruhendem Wasser (äußere Kräfte = 0) mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s bewegt, springt in Fahrtrichtung ein 80 kg schwerer Mann. Dabei stößt er sich 0,2 s lang mit einer Kraft von 300 N ab. Wie groß sind die Geschwindigkeiten des Bootes und des Mannes direkt nach dem Sprung?
2.4 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad und Energie Arbeit Wirkt eine Kraft auf eine Masse m und verschiebt sie dabei die Masse m um den Weg Ds, so hat die Kraft den Zustand des Körpers verändert, es wurde Arbeit verrichtet. Schließt die Kraft einen Winkel a mit der Richtung von Ds ein, so gilt für die Teilarbeit DW auf dieser Wegstrecke: ΔW = F ⋅ Δ s ⋅ cos a
(II.84)
Es wirkt nur die Projektion der Kraft in Richtung des Weges. Die für den gesamten Weg aufzubringende Arbeit ist dann aus der Summe der Teilarbeiten zu berechnen. W = ∑ΔW
(II.85)
Ist die Kraft während des gesamten Vorganges konstant und parallel zum Weg, so folgt aus Gleichung (II.84) und (II.85) für die gesamte Arbeit W = F⋅s
W F s Nm N m
(II.86)
Die Einheit der Arbeit ist 1 Nm, dafür wird die Abkürzung 1 J (Joule) verwendet.
II Mechanik
1 J = 1 Nm = 1
175 kg m 2 s2
Immer dann, wenn eine Masse m gegen eine Kraft F bewegt wird, muß Arbeit verrichtet werden. Wird die Masse in Richtung der Kraft bewegt, wird Arbeit gewonnen. Wird z.B. eine Masse m gegen die Gewichtskraft um eine Höhe Δs = h angehoben, so ist dafür die Hubarbeit Whub = FG ⋅ h = mgh
F
Fr Wspann x
s
Bild II-13 Spannarbeit
Wspann =
1 Fr x 2
(II.91)
Wspann =
1 2 cx 2
(II.92)
Leistung, Wirkungsgrad Die Leistung P gibt an, wieviel Zeit Δt zur Verrichtung einer Arbeit ΔW benötigt wird.
mg W = mgh
m
x
(II.88)
gegen die konstante Gewichtskraft zu verrichten. Die Fläche im F-s-Diagramm ist somit gleich der Arbeit.
h
F
(II.87)
h
s
P=
Bild II-12 Hubarbeit
P ΔW Δ t Nms −1 Nm s
ΔW Δt
(II.93)
Hieraus folgt:
Wird ein Körper beschleunigt, so ist Beschleunigungsarbeit zu verrichten. Nach Gleichung (II.5) gilt, daß für den zusätzlich während der Beschleunigungszeit Δt zurückgelegten Weg Δs gilt: 1 2 Δs = a ( Δ t ) . 2
P=
ΔW F ⋅ Δ s = Δt Δt
(II.94)
P = F⋅v
(II.95)
Die SI-Einheit der Leistung ist das Watt. J Nm 1 W =1 =1 s s
Aus Gleichung (II.3) folgt
(II.96)
Δv a und somit Δt =
2 ( Δv ) v 22 − v12 1 ⎛ Δv ⎞ a⎜ = . ⎟ = ⎝ ⎠ a 2 2a 2a 2
Δs =
Damit gilt mit
a
Wbeschl = m a ⋅ Δ s
Beschleunigungsarbeit Wbeschl =
m2
1 m ( v 22 − v12 ) (II.89) 2
Hierbei ist vorausgesetzt, daß keine weiteren Arbeiten, wie z.B. Reibungsarbeit, zu verrichten sind. Wird ein Körper bei vorhandener Reibungskraft auf horizontalem Weg bewegt, so ist jetzt Reibungsarbeit gegen die Reibungskraft zu verrichten: Reibungsarbeit W R = FR ⋅ ( s 2 − s 1 ) = FN ⋅ m ⋅ g ⋅ ( s 2 − s1 )
m1
Bei allen Maschinen und Antrieben gibt es immer Verluste durch Reibung, Wärme etc. Die von der Maschine geleistete Arbeit ist immer kleiner als die zugeführte Arbeit. Das Verhältnis von abgegebener Arbeit zu zugeführter Arbeit wird Wirkungsgrad h genannt.
(II.90)
Um eine Feder zusammenzudrücken, muß ebenfalls Arbeit gegen die Rückstellkraft der Feder geleistet werden. Wird eine Feder um die Strecke x zusammengedrückt, so ist die Rückstellkraft nicht konstant, sondern gemäß Bild II-13 von der Auslenkung abhängig. Auch hier ist die Spannarbeit gleich der gestrichelten Fläche in Bild II-13. Es gilt
Bild II-14 Antriebsleistung
h=
Wab ≤1 Wzu
(II.97)
Der Wirkungsgrad ist eine dimensionslose Größe. Beispiel: Ein beladener Förderkorb mit der zulässigen Gesamt-
masse m1 = 1000 kg ist über eine Rolle mit dem Gegengewicht m2 = 400 kg verbunden. Der Korb wird zu Beginn mit der Beschleunigung a = 1 ms–2 aufwärts beschleunigt, bis er dann mit
176
Physik
einer konstanten Geschwindigkeit von 5 ms–1 nach oben fährt. Die Reibungskraft FR wird als konstant mit 500 N angenommen. Welche Dauerleistung und welche maximale Leistung muß die Antriebsmaschine bei einem Wirkungsgrad von 0,8 leisten?
Welche Energie geht durch Verformungsarbeit während des Aufpralles verloren? Lösung: Umwandlungsenergie = Differenz der potentiellen Energien.
Lösung: Während der Phase der beschleunigten Bewegung ist die Kraft:
Δ E = m g ( h 0 − h1 )
Fa = m 1 ( g + a ) − m 2 ( g − a ) + FR = 7786 N
Δ E = 0,981 J
Fa v 2 = 48, 67 kW h Während der Phase der gleichförmigen Bewegung gilt: Pa =
2.5 Stoßprozesse
Fv = ( m 1 − m 2 ) g + FR = 6386 N Pv =
Fv v 2 = 39,91 kW h
Energie Wird einem Körper Arbeit zugeführt, so erhöht sich seine Energie E. Energie und Arbeit werden in der gleichen Einheit gemessen (II.87). Δ E = E 2 − E 1 = ΔW
(II.98)
Wird einem Körper Hubarbeit zugeführt, so erhöht sich seine Lageenergie oder auch potentielle Energie Epot. Durch Beschleunigungsarbeit wird die kinetische Energie Ekin erhöht. Es gilt für die potentielle Energie
E pot = m g h
(II.99)
1 m v 2 (II.100) 2 Die unterschiedlichen Energieformen können während des Ablaufes eines Vorganges in andere Energieformen umgewandelt werden. Es gilt jedoch der grundlegende Satz von der Erhaltung der Energie in einem abgeschlossenen System.
und für die kinetische Energie E kin =
Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien, die Gesamtenergie, zu jedem Zeitpunkt konstant. Energie kann sich in verschiedene Formen umwandeln und zwischen verschiedenen Teilen des Systems austauschen. E1 + E 2 + E 3 + ... + E n = const
(II.101)
Beispiel: Eine Stahlkugel (m = 1 kg) fällt aus einer Höhe von 2 m
auf eine Stahlplatte. Wie groß ist ihre Geschwindigkeit kurz vor dem Aufprall? Lösung: Energien in Höhe h:
vor dem Aufprall:
Stoßen zwei Körper zusammen, so berühren sie sich kurzzeitig und ändern ihren Bewegungszustand. Je nach Art der Energieübertragung unterteilt man mechanische Stöße in elastische und inelastische Stöße, nach den geometrischen Verhältnissen in gerade und schiefe Stöße, zentrale und exzentrische Stöße. Im Rahmen diese Buches werden nur gerade, zentrale Stöße behandelt. Die Stoßpartner bewegen sich also auf einer Geraden und treffen sich auf der Verbindungslinie ihrer Mittelpunkte. Elastischer Stoß Beim elastischen Stoß ist die Bewegungsenergie E vor dem Stoß gleich der Bewegungsenergie E' nach dem Stoß. (Größen nach dem Stoß werden durch ′ gekennzeichnet.) Weiterhin gilt der Impulserhal tungssatz (II.83) p = p ′.
Energieerhaltung 1 1 1 1 m v 2 + m v 2 = m v ′ 2 + m 2 v 2′ 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2
Impulserhaltung m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1′ + m 2 v 2′ Geschwindigkeiten ( m1 − m 2 ) v 1 + 2 m 2 v 2 v1′ = m1 + m 2
mgh = Aufprallgeschwindigkeit
1 mv2 2
1 mv2 2 ve =
2 g h siehe auch (II.10)
ve =
2 ⋅ 9, 81
m m ⋅ 2 m = 6,26 s s2
Beispiel: Eine Stahlkugel (m = 1 kg) fällt aus einer Höhe von 2 m
auf eine Stahlplatte und springt dann bis zu einer Höhe von 1,90 m zurück.
(II.103)
(II.104)
(II.105)
nach dem Stoß
( m 2 − m1 ) v 2 + 2 m1 v 1 v 2′ = m1 + m 2
(II.106)
Beispiel: Eine Kugel der Masse m1 = 2 kg, v1 = 3 m s–1 stößt
elastisch mit einer ruhenden Kugel m2 = 1 kg, v2 = 0 m s–1 zusammen. Wie groß sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß? Lösung:
E pot = m g h , E kin = 0 E pot = 0 , E kin =
(II.102)
v 1′ = v 2′ =
( 2 − 1)
kg ⋅ 3 m s + 2 ⋅ 1 kg ⋅ 0 m s 2 kg + 1 kg
( 1− 2)
kg ⋅ 0 m s + 2 ⋅ 2 kg ⋅ 3 m s 2 kg + 1 kg
=1 m s =4 m s
Haben beide Kugeln gleiche Massen, so ergibt sich: v 1′ = v 2 und v 2′ = v 1.
Inelastischer Stoß Beim inelastischen Stoß wird ein Teil der Bewegungsenergie in andere Energiearten, z.B. Verformungsenergie oder Wärmeenergie ΔE, umgewandelt.
E1 + E 2 + ... + E n = E1′ + E 2′ + ... + E n′ + Δ E (II.107)
II Mechanik
177
Um ΔE berechnen zu können, sind weitere Angaben notwendig. Haben nach dem Stoß beide Körper dieselbe Geschwindigkeit, so liegt ein vollkommen inelastischer oder auch unelastischer Stoß vor. (II.108) v 1′ = v 2′ = v ′ m1 v1 + m 2 v 2 = ( m1 + m 2 ) v ′
(II.109)
m v + m2 v2 v′ = 1 1 m1 + m 2
(II.110)
Beispiel: Ein Auto (m1 = 1000 kg, v 1 = 100 kmh–1) stößt frontal
vollkommen inelastisch mit einem zweiten entgegenkommenden Wagen (m2 = 1500 kg, v 2 = – 120 km h–1) zusammen. Die Dauer des Stoßes sei 0,5 s, beide Fahrer wiegen 100 kg. Das Minus zeichen bei v 2 bedeutet, daß v 2 entgegengesetzt zu v 1 gerichtet ist. a) Wie groß ist die Geschwindigkeit beider Fahrzeuge nach dem Aufprall? b) Welche Kräfte haben beide Fahrer auszuhalten?
Mit dieser Formel wird allerdings nur der Betrag des Drehmomentes berechnet, die Richtung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel: Der Daumen der rechten Hand wird in die Richtung von r gehalten, der Zeigefinger in Richtung Fs, der Mittelfinger zeigt die Richtung von M an.
Massenmittelpunkt, Schwerpunkt Greifen an einem starren Körper, also einem System von fest miteinander verbundenen Massenpunkten, beliebige äußere Kräfte an, so wird das System eine Translation und eine Rotation durchführen. Das System ist nur dann im statischen Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußeren Kräfte und die Summe aller äußeren Drehmomente = 0 ist.
∑ Fa = 0
(II.113)
∑ Ma = 0
(II.114)
Dieses Gleichgewicht stellt sich dann ein, wenn der Körper in einem ganz bestimmten Punkt durch eine Stützkraft FS unterstützt wird. Diese muß entgegengesetzt gleich der Gewichtskraft aller Massenpunkte sein.
Lösung: a) nach (II.110)
1100 kg ⋅ 100 km h −1 − 1600 kg ⋅ 120 km h −1 v′ = 1100 + 1600 kg v ′ = −30,37 km h −1
y
b) nach (II.82)
m2
ys
Δ p 1 100 kg ⋅ ( −30,37 − 100 ) km h −1 F1 = = = −2747 N Δt 0,5 s
m1
m3 S m4
Δ p 2 100 kg ⋅ ( −30,37 + 120 ) km h −1 F2 = = = 1792,6 N Δt 0,5 s
xs
x
Bild II-16 Schwerpunkt
N FS + ∑ m i g = 0
2.6 Rotation
(II.115)
i =1
Drehmoment
Dadurch ist (II.113) erfüllt. Weiterhin muß bezüglich einer beliebigen Drehachse das Gesamtdrehmoment gleich der Summe der Einzeldrehmomente sein.
m
r
Fs
a
N M ges + ∑ M i = 0
F
Bild II-15 Drehmoment
Um einen Körper in Drehbewegung oder Rotation zu versetzen, muß auf diesen Körper eine resultierende Kraft wirken, die in einem Abstand r von der Drehachse angreifen muß. Die Richtung der Kraft darf aber nicht auf der Verbindungslinie vom Zentrum der Drehbewegung zum Angriffspunkt der Kraft liegen. Der Winkel a darf also nicht 0° sein. Ist dies der Fall, so bewirkt nur die Komponente der Kraft Fs senkrecht zur Verbindungslinie Angriffspunkt – Drehachse eine Rotation. Die Größe M = r ⋅ Fs = r ⋅ F ⋅sina
(II.116)
i =1
Aus diesen Gleichungen kann die Koordinate dieses Punktes bestimmt werden. Dieser Punkt ist der Schwerpunkt oder Massenmittelpunkt des starren Körpers. Die Lage hängt von der Massenverteilung ab. Gezeichnet sind vier willkürlich angeordnete Massen und ein noch zu bestimmender Schwerpunkt S. Die Schwerpunkt-Koordinaten berechnen sich bei einer räumlichen Anordnung zu N
xs =
∑ mi x i i =1 N
∑ mi i =1
N
ys =
∑ mi yi i =1 N
∑ mi i =1
N
zs =
∑ mi z i i =1 N
(II.117)
∑ mi i =1
(II.111) Beispiel: Berechnung der Schwerpunktkoordinaten folgender An-
heißt Drehmoment.
M = r⋅F
(II.112)
ordnung: m1 = 200 g, m2 = 300 g, m3 = 100 g. Die Massen sitzen auf den Endpunkten eines gleichseitigen Dreiecks. Die Punktkoordinaten sind: P1 = (20, 20), P2 = (20, 80), P3 = (71,962, 50).
178 y
Physik Bild II-17 Beispiel Schwerpunkt
m2·P2
ys
Lösung:
L1 = 2 ⋅ 0,1 kg ⋅ ( 0,3 m ) ⋅ 2 s 2
S
m3·P3
L1 = 0 , 036
m1 ·P1
kg m s
2
b) Da der Drehimpuls konstant bleibt, gilt:
xs
2 ⋅ m r12 ⋅ w 1 = 2 ⋅ m r22 ⋅ w 2
x
r2 =
mit Lösung:
L 1 = 2 ⋅ m r12 ⋅ w 1
a) Drehimpuls:
xs = ys =
200 g ⋅ 20 + 300 g ⋅ 20 + 100 g ⋅ 71,9652 = 28,66 200 g + 300 g + 100 g
r1 2
folgt: w 2 =
200 g ⋅ 20 + 300 g ⋅ 80 + 100 g ⋅ 50 = 55 200 g + 300 g + 100 g
2 m r12 w1 2 m r12 4
= 4 w1
w 2 = 8 s −1
Dieser Punkt ist eingezeichnet.
Drehimpuls Bei Bewegungen auf einer Kreisbahn kann in Analogie zur Berechnung des Drehmomentes auch das Produkt r ⋅ p, mit dem Impuls p, gebildet werden. Die hier vereinfacht wiedergegebene Ableitung gilt allerdings nur für Kreisbewegungen in einer Ebene. Mit den Gleichungen für Kreisbewegungen gilt: r⋅ p = r⋅m v (II.118) r ⋅ p = r ⋅ mwr (II.119) r ⋅ p = m r 2w
(II.120) 2
Die Größe mr ist das Trägheitsmoment J eines Massenpunktes: J m r2 (II.121) kg m 2 kg m 2
J = mr2
Das Produkt r ⋅ p wird Drehimpuls L genannt.
Drehimpuls L L = r⋅ p
(II.122)
L = Jw L = r⋅ p
(II.123) L r p kg m 2 s −1 m kg m s −1
M=
ΔL Δt
(II.128)
oder auch M = Ja
(II.129)
J ist das bereits oben eingeführte Massenträgheitsmoment einer punktförmigen Masse m im Abstand r von der Drehachse. Sind, wie in der nebenstehenden Abbildung, zwei Massen m1 und m2 in unterschiedlichen Abständen r1 und r2 auf einer massenlosen Stange gelagert, und greift an der Masse m1 die Kraft F an, so werden beide Massen wegen des angreifenden Drehmomentes in Rotation versetzt. Das Gesamtträgheitsmoment beider Massen kann durch folgende Überlegung bestimmt werden. Die Drehmomenten-Gleichung lautet: r1
r2 m2
m1 F
(II.125) m2
m1
(II.126) Bild II-18 Rotation zweier Punktmassen
Wirken keine äußeren Drehmomente, so ist DL = 0 und somit L = const, der Gesamtdrehimpuls bleibt also konstant. L ges = L1 + L 2 + L 3 + ... + L n = const
M = m r 2a
(II.124)
Weiterhin gilt für das Drehmoment Δp M = r⋅F = r⋅ Δt
Trägheitsmoment Wird eine Punktmasse m, die sich auf einer Kreisbahn bewegt, durch die Kraft F beschleunigt, so gilt nach (II.3), (II.47) und (II.112): Δv Δw und mit der WinM = r⋅ma = r⋅m = r ⋅m⋅r Δt Δt kelbeschleunigung a (II.43).
(II.127)
Beispiel: Zwei gleiche Massen, m = 100 g, rotieren im Abstand
r = 30 cm von der Drehachse mit einer Winkelgeschwindigkeit w = 2 s–1. a) Wie groß ist der Drehimpuls? b) Wie ändert sich die Winkelgeschwindigkeit, wenn der Abstand der Massen halbiert wird?
M = r1 ⋅ F = r1 m 1 a1 + r2 m 2 a 2
(II.130)
Da die Winkelbeschleunigung α überall gleich ist, gilt a a (II.131) a= 2 = 1 r2 r1 2
M = r1 m 1a + r22 m 2 a
M=
(
2 r1
)
m 1 + r22 m 2 a
(II.132) (II.133)
II Mechanik
179
M = J ges ⋅ a
1 2 2 mr w 2
(II.134)
E kin =
J ges = r1 m 1 + r22 m 2
(II.135)
und mit dem Trägheitsmoment eines Massenpunktes:
J ges = J 1 + J 2
(II.136)
Rotationsenergie E rot =
(II.137)
Diese Rotationsenergie ist eine weitere mögliche Bewegungsenergie. Somit gibt es zwei kinetische oder Bewegungsenergien: Translations- und Rotationsenergie.
mit 2
Für n einzelne Massenpunkte gilt n
J ges = ∑ J i i =1 n
J ges = ∑ ri2 m i
(II.138)
i =1
Bei homogenen Körpern wird diese Summe zum Integral. Das Trägheitsmoment nicht punktförmiger Massen hängt von der Geometrie des Körpers und von der Lage der Drehachse ab J ges = ∫ r 2 d m = ∫ r 2 r d V
(II.139)
Vol
mit der Dichte m r= (II.140) V In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für unterschiedliche Geometrie gegeben, wobei die Drehachse immer parallel zu einer Symmetrieachse liegt und durch den Schwerpunkt des Körpers führt. Tabelle II-3 Trägheitsmomente spezieller Körper Punktmasse
J = mr
Stab Achse durch Stabende, senkrecht zum Stab
1 J = ml 2 3
Stab Achse durch Stabmitte, senkrecht zum Stab
J=
1 ml 2 12
Vollzylinder Drehachse = Längsachse
J=
1 2 mr 2
dünne Scheibe Drehachse senkrecht zur Scheibe
J=
1 2 mr 2
Hohlzylinder Drehachse = Längsachse
J=
1 m ( ra2 + ri2 ) 2
dünner Ring Drehachse senkrecht zum Ring
J = mr 2
Kugel
J=
E rot =
1 J A w2 2
Rotationsenergie Rotiert ein Körper um eine beliebige Drehachse A, so hat jeder Massenpunkt kinetische Energie nach (II.100). Für einen Massenpunkt gilt mit (II.40) und (II.89):
1 J A w2 2
w2 E rot J 2 J kg m s − 2
(II.142)
(II.143)
Beispiel: Eine Kugel mit dem Radius r = 5 cm rollt ohne Reibung
auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel a = 20°) aus einer Höhe h = 2 m. Wie groß ist ihre Translationsgeschwindigkeit am Ende der schiefen Ebene? Lösung: Energien in Höhe h:
E pot = m g h E kin = 0
am Ende der Ebene:
(II.144)
E pot = 0
1 1 mv 2 + Jw 2 (II.145) 2 2 Aus dem Energieerhaltungssatz folgt, daß die Gesamtenergie in Höhe h gleich der Gesamtenergie am Ende der schiefen Ebene sein muß, daher gilt: E kin =
mgh =
2
2 2 mr 5
(II.141)
1 1 2 v2 mv 2 + ⋅ mr 2 2 2 2 5 r
(II.146)
gh =
v2 v2 7 + = v2 2 5 10
(II.147)
v=
10 gh 7
(II.148)
v=
10 m m ⋅ 9,81 2 ⋅ 2 m = 5,3 7 s s
Die im vorigen Kapitel angegebenen Massenträgheitsmomente beziehen sich auf die Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt. Liegt die Drehachse nicht durch den Schwerpunkt, ist aber das Trägheitsmoment JS bezüglich der Schwerpunktachse bekannt, so läßt sich das Trägheitsmoment JA bezüglich der beliebigen Achse durch folgende Überlegung bestimmen: Eine Rotation um eine beliebige Achse kann ersetzt werden durch eine Rotation um die Schwerpunktachse und eine Translation des Schwerpunktes. Die Kugel in Bild II-19, Seite 180 soll um eine Viertelumdrehung von links nach rechts rollen. Der momentane Drehpunkt ist der Auflagepunkt P. Während dieser Drehung hat sich der Punkt A auf dem Umfang des Kreises bewegt. Das Zentrum des Kreises Z (Schwerpunkt der Kugel) hat sich linear um die Strecke P1 P2 weiterbewegt. Den Endzustand kann man auch erreichen, indem die Kugel zunächst in der Stellung 1 eine Viertelumdrehung macht und dann ohne Drehung um die Strecke P1 P2 nach rechts verschoben wird.
180
Physik A A
Z
Z
P1
P2
Die Erdanziehungskraft an der Oberfläche der Erde auf eine Masse m kann ebenfalls durch (II.157) bestimmt werden. Der Abstand r12 ist in diesem Fall gleich dem Erdradius rE = 6378 km. Die Gewichtskraft auf eine Masse m läßt sich ausdrücken durch: g mE m rE2
Bild II-19 Steinerscher Satz Die Rotationsenergie für die Drehung um P ist: 1 (II.149) E rot = J P w 2 2 In der zweiten Betrachtungsweise gilt: 1 1 E kin = m v S2 + J S w 2 (II.150) 2 2 1 E kin = ( m r 2 + J S ) w 2 (II.151) 2 Somit gilt:
JP = mr 2 + JS
(II.152)
Diese letzte Gleichung ist der Steinersche Satz. Die Drehachse durch P hat von der Drehachse durch den Schwerpunkt den Abstand r. Beispiel: Das vorige Beispiel soll mit Hilfe des Steinerschen
Satzes gelöst werden:
2 JP = mr2 + mr2 5
Lösung:
mgh =
(II.153)
1 7 ⋅ m r 2w2 2 5
(II.154)
1 7 mgh = ⋅ mv2 2 5
(II.155)
10 gh 7
(II.156)
v=
mE =
= mg
(II.159)
g rE2 g
(II.160)
m ⋅ ( 6370 ⋅ 10 3 m) 2 s2 Nm 2 6 , 67 ⋅ 10 −11 kg 2
9, 81 mE =
m E = 5, 97 ⋅ 10 24 kg
(II.162)
Auch die Bewegung der Planeten läßt sich durch (II.157) deuten. Sie ist von Johannes Kepler in den drei Keplerschen Gesetzen beschrieben. 1. Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren gemeinsamen Brennpunkt die Sonne steht. 2. Jeder Strahl von der Sonne zu einem Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen um die Sonne.
3 Elastische Verformung fester Körper ΔF
ΔFn
ΔFt
ΔΑ
2.7 Gravitation Zwischen zwei Massen m1 und m2 besteht immer eine Anziehungskraft, die Gravitationskraft FG. Die Richtung dieser Kraft liegt in der Verbindungslinie beider Massen, für den Betrag gilt: F12 r12
m2
m1
FG =
g m1 m 2 r122
(II.157)
g = 6,672 59 ⋅ 10 −11
ΔF ΔA
(II.158)
Der Abstand r12 ist bei einer räumlichen kugelförmigen Ausdehnung der Massen der Abstand der beiden Kugelzentren.
(II.163)
Dabei wird die zur Fläche ΔA senkrechte Komponente von S die Normalspannung s und die zur Fläche parallele Komponente Schubspannung t genannt.
2
Nm kg 2
S ΔF ΔA Nm − 2 N m 2
Normalspannung s =
mit der Gravitationskonstanten
Bild II-21 Spannung
Elastische Verformungen sind reversible Vorgänge unter dem Einfluß einer äußeren Kraft, nach Beendigung der Einwirkung geht die Verformung vollständig zurück. Entscheidend für die Größe der Verformung ist, abgesehen von den Materialeigenschaften des untersuchten Festkörpers, die Spannung. Diese ist definiert: Spannung S =
Bild II-20 Gravitationsgesetz
(II.161)
Schubspannung t =
Δ Fn ΔA
Δ Ft ΔA
(II.164) (II.165)
Unter Einwirkung einer Normalspannung wird sich ein Körper dehnen. Die Dehnung e ist die relative Längenänderung bezogen auf die Ausgangslänge l0.
II Mechanik
Dehnung e =
181 Δl l1 − l 0 = l0 l0
(II.166)
Zwischen Normalspannung und Dehnung gilt im Bereich elastischer Verformung das Hooksche Gesetz s = e⋅ E
(II.167)
E ist eine materialabhängige Größe und heißt: Elastizitätsmodul. E=
s e
E e s Nm − 2 1 Nm − 2
(II.168)
In der Technik ist für den Elastizitätsmodul E die Einheit N/mm2 geläufig. Unter dem Einfluß einer Spannung verändert sich normalerweise auch das Volumen eines Körpers. Es gilt für einen Stab der Dicke d unter einseitiger Belastung: ΔV = e ⋅ (1 − 2 m ) V
(II.169)
mit der Poissonzahl Δd d m=− 0 e
(II.170)
Nur wenn m = 0,5 ist, bleibt das Volumen unverändert.
4 Mechanik der ruhenden Flüssigkeiten und Gase Im Gegensatz zu Festkörpern, bei denen die Atome auf festen Plätzen sitzen, können in Flüssigkeiten und Gasen die Atome bzw. Moleküle leicht gegeneinander verschoben werden. Die Atomabstände in Flüssigkeiten und Festkörpern sind ähnlich, in Gasen wesentlich größer. Festkörper und Flüssigkeiten haben ähnliche Dichten, Gase eine viel geringere Dichte. Für die Dichte r gilt: m r= V
r m V kg m − 3 kg m 3
(II.171)
Wird nun an einer Stelle der Flüssigkeit oder des Gases auf die Oberfläche eine Kraft ausgeübt, so überträgt sich diese auf das ganze Volumen. Das Verhältnis Kraft zu Fläche wird Druck p genannt. Wegen der leichten Verschiebbarkeit der Moleküle ist der Druck überall gleich groß und wirkt senkrecht auf die Oberfläche. ΔF ΔA
1 bar = 10 5 Pa
(II.174)
4.2 Kompressibilität Flüssigkeiten und Gase werden durch äußeren Druck komprimiert, ihr Volumen nimmt ab. V = Va ( 1 − c Δ p)
(II.175)
χ ist die Kompressibilität c=−
1 ΔV ⋅ Va Δ p
(II.176)
Da sich das Volumen verkleinert, muß sich die Dichte vergrößern. r=
ra
(II.177)
(1 − c Δ p )
ra und Va sind die dabei jeweiligen Anfangswerte. Da c von Flüssigkeiten sehr viel kleiner ist als bei Gasen, werden Flüssigkeiten oft als inkompressibel betrachtet. Technische Anwendung: hydraulische Presse.
4.3 Volumenausdehnung Durch Temperaturerhöhung wird normalerweise das Volumen vergrößert. (Ausnahme: Anomalie des Wassers zwischen 0 °C und 4 °C, Wasser hat bei 4 °C sein kleinstes Volumen und damit seine größte Dichte) V = V0 (1 + g ΔJ )
(II.178)
g ist der Volumenausdehnungskoeffizient oder kubische Ausdehnungskoeffizient, V0 ist das Volumen bei 0 °C, ΔJ wird dann ebenfalls auf 0 °C bezogen. Die Dichte wird bei Temperaturerhöhung kleiner (Ausnahme s.o.) r=
r0 1 + g ΔJ
(II.179)
4.4 Hydrostatischer Druck in Flüssigkeiten
4.1 Druck
p=
Eine weiter außerhalb des SI-Systems, aber nach DIN 1301 zulässige Bezeichnung ist
p ΔF ΔA Nm − 2 N m − 2
Die Einheit ist 1 Pascal: 1 Pa = 1
N m2
(II.172)
Auf jedes Flüssigkeitsmolekül wirkt die Schwerkraft. Auf den Boden eines mit Flüssigkeit gefüllten Gefäßes wirkt dann die Gewichtskraft aller in der Flüssigkeit befindlichen Moleküle unter der Annahme, daß sich die Dichte nicht ändert: FG = m g = r V g FG = r Ah g
FG = rg h (II.181) A Dieser durch die Schwerkraft verursachte Druck wird Schweredruck genannt. Herrscht über der Flüssigkeit
Damit wird der Druck
(II.173)
(II.180)
p=
182
Physik
noch ein weiterer äußerer Druck pa, z.B. der Luftdruck, so ist der Gesamtdruck am Boden ph = pa + rg h
(II.182)
Dieser Gesamtdruck ist der hydrostatische Druck. Er ist neben dem äußeren Druck nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule über dem Boden abhängig, nicht aber von der gesamten Masse der Flüssigkeitssäule. Er ist damit unabhängig von der Form des Gefäßes und wirkt auch auf alle Seitenwände.
4.5 Schweredruck in Gasen Der Schweredruck von Gasen errechnet sich ebenfalls durch die Gewichtskraft der über einer Fläche stehenden Gassäule. Im Gegensatz zu Flüssigkeiten ändert sich die Dichte in der Gassäule merklich. Wendet man diese Überlegung auf den Luftdruck an, so läßt sich der Luftdruck in einer bestimmten Höhe über der Erdoberfläche berechnen durch barometrische Höhenformel p = p 0 ⋅ e
−
r0 g h p0
(II.183)
Nach DIN 5450 gilt: Für eine Lufttemperatur von kg 0 °C ist p 0 = 1, 013 25 ⋅ 10 5 Pa und r0 = 1, 293 3 . m Bei der Ableitung von (II.183) ist vorausgesetzt, daß die Temperatur konstant bleibt. Beispiel: In welcher Höhe ist der Luftdruck auf die Hälfte des
Wertes an der Erdoberfläche gesunken? Lösung:
ln
r gh p = ln 0 , 5 = − 0 p0 p0
h=−
p0 r0 g
ln 0 , 5 = 5537 m
F1 h1 h
F3
F4
h2
FA = A ( p 2 − p1 ) = rFl gA ( h 2 − h1 )
FA = g rFl VFl = gm Fl
(II.185)
Die Auftriebskraft ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Flüssigkeit. Sie ist nach oben gerichtet. Der gleiche Sachverhalt gilt auch in Gasen, nur sind dort wegen der geringeren Dichten der Gase auch die Auftriebskräfte wesentlich kleiner.
5 Hydrodynamik In der Hydrodynamik wird das Verhalten von strömenden Flüssigkeiten unter dem Einfluß äußerer Kräfte untersucht.
5.1 Kontinuitätsgleichung Der Massenstrom m gibt an, welche Masse einer Flüssigkeit pro Zeiteinheit durch einen Querschnitt A strömt. Massenstrom m r v A m = r v A (II.186) kg s −1 kg m − 3 m s −1 m 2 Wenn in der betrachteten Flüssigkeit keine Quellen oder Senken vorhanden sind, ist der Massenstrom konstant. r1 v 1 A1 = r2 v 2 A 2 = const
(II.187)
Ist die Flüssigkeit inkompressibel, so ist ihre Dichte r konstant, und es gilt m V = = v A = const r mit dem Volumenstrom V Volumenstrom V A v V = Av m 3 s −1 m 2 m s −1
(II.188)
(II.189)
Gleichung (II.187) oder (II.188) ist die Kontinuitätsgleichung.
FA
5.2 Bernoulli-Gleichung
F2
Bild II-22 Auftrieb
Muß gegen einen Druck p ein Flüssigkeitsvolumen ΔV am Ort 1 in eine Strömung gebracht werden, so ist hierfür die Arbeit
4.6 Auftrieb
W1 = F1 ⋅ Δ s = p1 A1 Δ s = p1 ΔV1
Auf einen Körper wirkt von allen Seiten der hydrostatische Druck nach (II.182). Da der Druck in größeren Tiefen zunimmt, entsteht dadurch eine resultierende Kraft nach oben, die Auftriebskraft FA . FA = ∑ F = F1 + F2 + F3 + F4 (II.184)
aufzubringen. Tritt diese Flüssigkeit am Ort 2 wieder aus, so wird die Arbeit
Da sich die Seitenkräfte paarweise aufheben, verbleibt FA = F1 + F2
ΔW = ( p 2 − p1 ) ΔV
(II.190)
W2 = p 2 ΔV2
frei. Da die Flüssigkeiten inkompressibel sein sollen, gilt ΔV1 = ΔV2 = ΔV. Für die Differenz der Arbeiten gilt somit: (II.191)
Bei einer strömenden Flüssigkeit haben die Teilvolumina auch kinetische Energie, befinden sie sich auf
III Thermodynamik
183
unterschiedlicher Höhe über der Erdoberfläche, so kommt noch potentielle Energie hinzu. Der Energieerhaltungssatz gilt dann in der Form: 1 1 p1 ΔV + m v12 + m g h1 = p 2 ΔV + m v 22 + m g h 2 2 2 (II.192) oder mit m = r ⋅ ΔV 1 1 (II.193) p1 + r v 12 + r g h1 = p 2 + r v 22 + r g h 2 2 2 oder allgemein 1 (II.194) p ges = p + r v 2 + r g h = const 2 Gleichung (II.194) ist die Bernoulli-Gleichung inkompressibler Flüssigkeiten ohne Reibungsverluste. Der Gesamtdruck setzt sich aus dem Betriebsdruck p, 1 dem Staudruck oder dynamischen Druck rv 2 und 2 dem Schweredruck rg h zusammen und ist konstant.
Treten Reibungsverluste auf, wird (II.193) in der Form 1 1 p1 + r v12 + r g h1 = p 2 + r v 22 + r g h 2 + p V 2 2
(II.195)
geschrieben, mit dem Druckverlust pV, der in der Praxis durch eine Verlusthöhe hV =
pV rg
(II.196)
angegeben wird.
5.3 Innere Reibung 2 1 v Δv
Bild II-23 Innere Reibung
Δx
Zwischen den Molekülen einer Flüssigkeit treten Anziehungskräfte auf. Der Einfluß dieser Kräfte auf die Strömung wird innere Reibung genannt. Um eine bewegliche Platte 1 der Fläche A mit konstanter Geschwindigkeit v parallel zu einer festen Wand 2 zu verschieben, ist eine Kraft FR notwendig. In der Flüssigkeit wird sich im Idealfall ein lineares Geschwindigkeitsgefälle Dv/Dx einstellen. Die kennzeichnende Größe dieser Reibung ist die Viskosität, die durch (II.198) definiert ist. FR = h A
Reibungskraft
Δv Δx
(II.197)
mit der dynamischen Viskosität: h=
FR ⋅ Δ x A ⋅ Δv
h FR Δ x A Δ v Ns/m 2 N m m 2 m s −1
(II.198)
III Thermodynamik 1 Grundbegriffe Die Thermodynamik beschreibt das Verhalten auch komplizierter Vielteilchensysteme mit Hilfe einiger wenigen Größen, den Zustandsgrößen. Alle beteiligten Teilchen werden zu einem thermodynamischen System zusammengefaßt. Dieses wird als abgeschlossenes System bezeichnet, wenn weder Energie noch Masse mit der Umgebung ausgetauscht werden. Die Zustandsgrößen werden bei der mathematischen Behandlung des thermodynamischen Systems verwendet. Meßbare Zustandsgrößen sind Druck (siehe Kapitel II, 4.1), Temperatur und Volumen, davon abgeleitet sind z.B. die Entropie und die Innere Energie. Als Bezugsmenge wird oft das Mol (siehe Tabelle I-1) benutzt, in diesem Fall spricht man von molaren Größen.
peratur haben. Im thermodynamischen Gleichgewicht haben alle Stoffe gleiche Temperatur.
2.1 Einheiten Es gibt im praktischen Gebrauch verschiedene Temperaturskalen. Diese werden durch Fixpunkte festgelegt. Dies sind Temperaturen, bei denen ein wohldefinierter physikalischer Vorgang abläuft. Fixpunkte können Gefrierpunkt und Siedepunkt des Wassers sein. Die Temperatureinheiten zwischen den Fixpunkten sind dann willkürlich festgelegt. Im europäischen Raum ist die Celsius-Skala (J), der Abstand zwischen Gefrier- und Siedepunkt des Wassers ist in 100 Teile unterteilt, im angloamerikanischen Raum die Fahrenheit-Skala (JF) gebräuchlich. Die SI-Skala ist die Kelvin-Skala (T).
2 Temperatur Die Temperatur ist ein Maß für die fühlbare Wärme eines Materials. Beim Kontakt zweier Körper mit verschiedenen Temperaturen kann man beobachten, daß sich die Temperaturen ausgleichen, und daß nach einer bestimmten Zeit beide Körper die gleiche Tem-
Skala
Gefrierpunkt
Siedepunkt
Celsius Fahrenheit Kelvin
0 °C 32 °F 273,15 K
100 °C 212 °F 373,15 K
184
Physik
Eine Temperaturerhöhung von ΔJ = 1 °C entspricht auch einer Erhöhung von ΔT = 1 K. Die Umrechnungsformel lautet: T J K °C
T = ( J + 273,15 ) K
(III.1)
Sollen Werte der Celsius-Skala in Fahrenheit umgerechnet werden, so gilt die Beziehung J=
Betrachtet wird ein Stab der Länge l1 bei der Temperatur T1. Wird dieser Stab auf die Temperatur T2 erwärmt, so dehnt er sich um die Strecke Dl = l2 – l1 aus. Für die meisten Festkörper gilt: l 2 = l1 ⋅ ( 1 + a l ( T2 − T1 ) )
(III.3)
oder
J JF °C °F
5 ( dF − 32 ) ° C 9
3.1 Feste Stoffe
(III.2)
Beispiel: Ein Körper hat eine Temperatur von 300 K. Welche
Celsius- und Fahrenheit-Werte ergeben dies? Lösung:
J = T − 273,15 K = 300 K − 273,15 K = 26,85 C
9 9 J F = ⎛⎜ J + 32 ⎞⎟ F = ⎛⎜ ⋅ 26,85 + 32 ⎞⎟ F = 80,33 F ⎝5 ⎠ ⎝5 ⎠
2.2 Temperaturmessung Die Temperaturmessung ist eine indirekte Messung, es werden physikalische Größen gemessen, die temperaturabhängig sind. Aus der gemessenen Größe wird dann die gesuchte Temperatur berechnet. Zu diesen temperaturabhängigen Effekten gehören z.B.: Ausdehnung fester, flüssiger und gasförmiger Körper, Änderung des elektrischen Widerstandes von Metallen und Halbleitern, Thermospannung und Thermoelemente, optische Strahlung.
Δl = a l ⋅ ΔT l
(III.4)
Die Größe a1 heißt linearer Ausdehnungskoeffizient oder Längenausdehnungskoeffizient. Diese Größe ist materialabhängig und kann in bestimmten Temperaturgrenzen als konstant betrachtet werden. Einige typische Zahlenwerte sind in Tabelle III-1 dargestellt. Bei Temperaturerhöhung findet nicht nur eine Verlängerung, sondern auch eine Volumenvergrößerung statt. Für den Volumenausdehnungskoeffizienten av gilt: Tabelle III-1 Linearer Ausdehnungskoeffizient Material
al · 106 in K–1
Aluminium Messing Kupfer V2A-Stahl Glas
23,8 19 16,4 16 9
3 Thermische Ausdehnung a v = 3a l
W
(III.5)
und für die Volumenänderung: ΔV = a v ⋅ ΔT V r1 r2 0
r T2 T1
Bild III-1 Thermische Ausdehnung
Fast alle Stoffe dehnen sich bei Erwärmung aus. Wenn ein Stoff erwärmt wird, so führen die Atome bzw. Moleküle Schwingungen mit größerer Amplitude aus, die Schwingungsmittelpunkte zweier benachbarter Atome rücken auseinander, makroskopisch hat dies eine Ausdehnung des Körpers zur Folge. Aufgetragen ist die potentielle Energie zwischen zwei Atomen als Funktion des Abstandes. Ein Atom ist am Ort r = 0, das andere Atom hat hiervon den Abstand r. Bei der Temperatur T1 ist der mittlere Abstand zwischen beiden Atomen gleich r1, bei der Temperatur T2 > T1 ist dieser Abstand r2. Um die Strecke Dr = r2 – r1 hat sich der mittlere Abstand also vergrößert.
(III.6)
Da die Masse unverändert bleibt, muß sich bei Volumenvergrößerung die Dichte verkleinern. r2 =
r1 1 + a v ΔT
(III.7)
3.2 Flüssigkeiten Bei Flüssigkeiten kann eine Ausdehnung nur in allen Richtungen erfolgen, daher ist hier nur der Volumenausdehnungskoeffizienten av sinnvoll. Im allgemeinen gilt auch hier, daß sich bei Temperaturerhöhung das Volumen vergrößert und somit die Dichte verkleinert. Eine Ausnahme bildet das Wasser, dessen Dichte bei Erwärmung ab 0 °C zunächst zunimmt und bei 4 °C seinen größten Wert hat. Anschließend nimmt die Dichte ab (Anomalie des Wassers). Aufgrund dieses Effektes frieren Seen im Winter von oben her zu, und das Wasser bleibt am Boden flüssig. Einige typische Zahlenwerte sind in Tabelle III-2 angegeben.
III Thermodynamik
185
Tabelle III-2 Volumen-Ausdehnungskoeffizient bei 20 °C
Bei konstanter Temperatur folgt aus (III.10) und (III.12) das Gesetz von Boyle-Mariotte
Material
av · 103/K–1
p V = const T = const
Wasser Quecksilber Dieselkraftstoff
0,208 0,182 1,0
4 Ideale Gase
(III.13)
4.1 Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase
3.3 Gase Bei den tatsächlich vorhandenen realen Gasen haben die Moleküle ein Eigenvolumen und üben untereinander Anziehungskräfte aus. Der Einfluß dieser Größen ist schwer zu erfassen, deshalb geht man zunächst von einer Vereinfachung oder auch Idealisierung aus. Unter solchen idealen Gasen versteht man solche Gase, bei denen gilt: Die Gasmoleküle besitzen kein Eigenvolumen. Anziehungskräfte zwischen den Gasmolekülen sind nicht vorhanden. Es finden nur elastische Stöße statt.
Die Gleichungen (III.10), (III.12) und (III.13) lassen sich zu einer einzigen Gleichung zusammenfassen, sofern die Stoffmenge des betrachteten Gases in der Einheit mol angegeben wird. Für eine Stoffmenge von n Mol kann man diese Gleichungen in der Form p V p 0 V0 = n T T0
(III.14)
zusammenfassen, wobei die Größen, die mit 0 indiziert sind, die Normgrößen eines idealen Gases bei der Temperatur 0 °C sind: p 0 = 101 325 Pa
V0 = 22 , 413 83 dm 3 /mol
Solche Gase können z.B. nicht verflüssigt werden. Für diese idealen Gase gilt bei Erwärmung unter konstantem Druck folgendes Gesetz, welches von Gay-Lussac zu Beginn des 19. Jahrhunderts durch Experimente festgestellt wurde: Vv = V0 ( 1 + a v J ) p = const
(III.8)
Hierbei ist J die Temperatur in °C und V0 das betrachtete Gasvolumen bei J = 0 °C. Gleichung (III.8) ergibt eine Gerade, deren Schnittpunkt mit der Temperaturachse bei – 273,15 °C (= 0 K) liegt. Daraus folgt für den Ausdehnungskoeffizienten idealer Gase: 1 av = = 0 , 003 661 K −1 273,15 K
(III.9)
Aus (III.8) folgt weiter:
V = const p = const T
(III.10)
(III.11)
und analog zu (III.10): p = const V = const T
p 0 V0 T0
R=
(III.16)
folgt pV = n RT
(III.17)
Die Größe R ist die universelle Gaskonstante und hat den Zahlenwert: R=
101 325 Pa ⋅ 22 , 413 83 dm 3 J = 8, 314 41 273,15 K ⋅ mol mol K (III.18)
N A = 6 , 022 045 ⋅ 10 23 mol −1 ,
V0 T0
Wird das Volumen jedoch konstant gehalten und die Temperatur erhöht, so steigt auch der Druck des Gases. Hierfür gilt: p J = p 0 ( 1 + a v J ) V = const
mit der Abkürzung
Da in einem Mol eines Gases stets die gleiche Anzahl von Molekülen vorhanden ist, nämlich die Avogadro-Konstante
1 VT = V0 ⎛⎜ 1 + ( T − 273,15 ) ⎞⎟⎠ ⎝ 273,15
Mit T0 = 273,15 K ergibt dies VT = T
(III.15)
T0 = 273,15 K
(III.12)
(III.19)
kann die universelle Gaskonstante R auch durch molekulare Größen bestimmt werden: R = k⋅NA
(III.20)
mit der Boltzmann-Konstante k = 1, 380 66 ⋅ 10 − 23
J K
(III.21)
Wird die Menge des zu betrachtenden Gases nicht in der Einheit mol, sondern in kg angegeben, so muß für jede Gassorte eine spezielle Gaskonstante Rs angegeben werden. Zur Umrechnung muß die Dichte r0 des
186
Physik
Gases bei 0 °C und die betrachtete Gasmasse m in kg bekannt sein. Es gilt: p (III.22) Rs = 0 r 0 T0 und p V = m Rs T
(III.23)
4.2 Kinetische Gastheorie Die makroskopischen Zustandsgrößen p und T eines Gases hängen mit der Teilchenbewegung, den Stößen der Moleküle mit der Wand und der kinetischen Energie der Moleküle zusammen. Die Moleküle und ihre Bewegung werden durch ihre Masse mM, die Dichte r und ihre mittlere Geschwindigkeit vm definiert. Die Zusammenhänge zwischen diesen Größen werden in der kinetischen Gastheorie abgeleitet. Die Geschwindigkeitsverteilung wird durch die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung beschrieben. Diese Verteilungsfunktion gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß eine Geschwindigkeit im Intervall zwischen v und v + Δv liegt. 3
⎛ mM ⎞ 2 − f ( v ) ⋅ Δv = 4 π v 2 ⎜ ⎟ ⋅e ⎝ 2π k T ⎠
In Bild III-2 T 2 = 3 ⋅ T 1.
mit
f (v)
mM v2 2k T
⋅ Δv
willkürlichen
(III.24)
Einheiten
ist
Bild III-2 Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
T1
oder E kin =
Die Temperatur eines Gases hängt nach (III.30) mit der Bewegungsenergie der Moleküle zusammen. Erhöht man diese Energie z.B. durch Zuführung von Wärmeenergie ΔQ, so muß sich die Temperatur um ΔT erhöhen, solange keine Phasenänderungen ablaufen. ΔQ C ΔT ΔQ = C ⋅ ΔT (III.31) J J/K K Der Faktor C ist die Wärmekapazität. C=
C m C molare Wärmekapazität C m = n
spezifische Wärmekapazität c =
v2 =
3k T mM
(III.25)
1 N ⋅ mM v2 3 V
(III.27)
oder 1 2 rv 3 und für die mittlere kinetische Energie: p=
E kin =
1 mM v2 2
(III.28)
(III.34)
F
Bild III-3 Volumenarbeit
Wird einem System von außen Wärmeenergie ΔQ zugeführt, so wird nicht die gesamte Energie zur Erhöhung der Temperatur aufgebraucht, ein Teil kann in der Regel in Arbeit ΔW umgewandelt und nach außen abgegeben werden. Wird die abgegebene Arbeit negativ gezählt, so gilt ΔQ = ΔU − ΔW
(III.26)
(III.33)
Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt kJ . z.B. 4 ,182 kg K
ds
Für den Druck gilt: p=
(III.32)
Je nach Bezugsmenge wird die spezifische (bezogen auf 1 kg) oder molare (bezogen auf 1 Mol) Wärmekapazität benutzt.
v
3 vw 2 vm ist von der Temperatur T abhängig
vM =
ΔQ ΔT
p,V
Die Verteilungskurve hat das Maximum bei der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit vw, die mittlere Geschwindigkeit vm liegt bei vm =
(III.30)
4.3 Wärmeenergie
T2
0
3 kT 2
(III.35)
Die Größe ΔU ist die innere Energie des Systems und wird durch die innere Bewegung der Teilchen bestimmt. Im folgenden soll als abgegebene Arbeit nur mechanische Arbeit betrachtet werden, die durch Volumenänderung, d.h. Bewegung eines Kolbens, verrichtet werden kann. Dehnt sich ein Gas aus und bewegt dabei einen Kolben um die Strecke Δs, so wird dabei die Arbeit ΔW verrichtet. ΔW = − F ⋅ Δ s = −
F ⋅ A⋅ Δs A
(III.36)
oder
(III.29)
ΔW = − p ⋅ ΔV
(III.37)
III Thermodynamik
187
4.4 Zustandsänderungen idealer Gase Bei der Diskussion von Zustandsänderungen wird eine Zustandsgröße konstant gehalten und dann die Variation der anderen untersucht. Hier sollen nur die Zustandsgrößen T, V und p und deren Variation in den folgenden Prozessen untersucht werden. Die betrachtete Stoffmenge ist 1 Mol. Die Ausgangsgleichung ist das allgemeine Gasgesetz (III.17). Isotherme Zustandsänderungen Isotherme Zustandsänderungen sind solche bei konstanter Temperatur T. Gleichung (III.17) wird dann zu pV = const
(III.38)
Zur grafischen Darstellung wird das p-V-Diagramm benutzt. In dieser Darstellung sind die Isotherme idealer Gase Hyperbeln. Dargestellt sind zwei Isotherme T2 und T1, mit T2 > T1. Ändert ein Gas seinen Zustand von 1 nach 2, so folgt für die Volumenarbeit durch Integration von (III.37) W12 = − R T ln
V2 V1
(III.39)
Isochore Zustandsänderungen
isotherme Änderung T2 isochore Änderung T1
W12 V2
V
Bild III-4 p-V-Diagramm Bei isochoren Zustandsänderungen wird das Volumen konstant gehalten. Diese Änderung wird im p-VDiagramm durch eine senkrechte Strecke zwischen Ausgangs- und Endpunkt dargestellt (gestrichelte Linie in Bild III-4). Bei einer isochoren Änderung muß dem System Wärme zugeführt werden, da sich die Temperatur erhöht. Wegen des konstanten Volumens wird keine Volumenarbeit abgegeben. W12 = 0
(III.41)
und somit ΔU = C mv ΔT
(III.42)
Isobare Zustandsänderungen Bei isobaren Zustandsänderungen wird der Druck konstant gehalten. Diese Änderung wird im p-VDiagramm durch eine waagerechte Strecke zwischen Ausgangs- und Endpunkt dargestellt (Bild III-4). Bei einer isobaren Änderung muß dem System Wärme zugeführt werden, da sich die Temperatur erhöht und außerdem Volumenarbeit, deren Größe dem schraffierten Rechteck entspricht, abgegeben wird. W12 = − p ⋅ ( V2 − V1 )
(III.43)
Da die Volumenarbeit ≠ 0 ist, wird die Temperaturerhöhung bei zugeführter Wärmeenergie anders sein als bei isochoren Prozessen. Auch hier werde 1 Mol betrachtet: ΔQ = C mp ΔT
(III.44)
ΔQ = C mv ΔT + p ΔV
(III.45)
p ΔV = R Δ T
(III.46)
C mp ΔT = C mv ΔT + R ΔT
(III.47)
C mp − C mv = R
(III.48)
Isentrope Zustandsänderung Isentrope oder auch adiabatische Zustandsänderungen laufen ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung ab. Für diese Zustandsänderungen gelten die Poissonschen Gleichungen:
isobare Änderung
V1
ΔQ = C mv ΔT
mit (III.35) und (III.37) gilt:
Ist V2 Ɑ V1, expandiert das Gas also, so ist W12 negativ und wird vom Gas geleistet. Anschaulich entspricht die Volumenarbeit der schraffierten Fläche im p-V-Diagramm.
p
ßerung der inneren Energie ΔU und somit zur Temperaturerhöhung zur Verfügung. Für 1 Mol gilt:
(III.40)
Führt man von außen Wärmeenergie zu, wird nach Gleichung (III.35) die Temperatur erhöht, und die gesamte zugeführte Wärmeenergie steht zur Vergrö-
pV c = const
(III.49)
T V c−1 = const
(III.50)
Tc = const p c−1
(III.51)
Tabelle III-3 Isentropenexponenten Gas
c
Helium Argon Wasserstoff Sauerstoff Luft Kohlendioxid Methan Ammoniak
1,67 1,67 1,41 1,40 1,40 1,30 1,32 1,31
188
Physik
Die Größe c heißt Isentropenexponent, hängt von der Gasart ab, und ist immer >1
c=
C mp
(III.52)
C mv
In der Tabelle III-3 ist für einige Gase der Isentropenexponent aufgeführt. Im p-V-Diagramm verlaufen Isentrope steiler als Isotherme und schneiden daher die Isotherme (siehe Bild III-5).
4.5 Kreisprozesse Unter Kreisprozessen wird eine Abfolge von Zustandsänderungen verstanden, die nach beliebigen Zwischenzuständen wieder zum Ausgangszustand zurückkehrt. Als Beispiel soll hier der Carnot-Prozeß vorgestellt werden.
Die Nutzarbeit des Kreisprozesses für einen Umlauf entspricht der im p-V-Diagramm eingeschlossenen Fläche. Um unterschiedliche Kreisprozesse vergleichen zu können, wird der thermische Wirkungsgrad h verwendet. Dieser ist definiert durch h=
W Q zu
(III.53)
Für den Carnot-Prozeß gilt: hC =
T2 − T1 T2
(III.54)
Es läßt sich zeigen, daß der Carnot-Prozeß den theoretisch höchsten thermischen Wirkungsgrad aller denkbaren Kreisprozesse besitzt. Er ist immer kleiner als 1 und nur abhängig von den Temperaturen T2 und T1. Beispiel: Welchen Wirkungsgrad besitzt eine Maschine, die einen
Carnot-Prozeß zwischen den Temperaturen 100 °C und 0 °C durchführt? Lösung:
p3·V3 Isentrope T2
p4·V4 Isotherme
p2·V2
Bild III-5 Carnot-Prozeß
p1·V1 T1
Carnotscher Kreisprozeß Beim Carnot-Prozeß wird Wärme in mechanische Arbeit umgewandelt. Der Beginn sei im Punkt 1 auf der Isothermen T1 bei V1 und p1. Es werden nacheinander die folgenden Schritte durchgeführt: 1. Schritt isotherme Kompression auf p2, V2 2. Schritt isentrope Kompression auf T2, p3, V3 3. Schritt isotherme Expansion auf p4, V4 4. Schritt isentrope Expansion auf T1, p1, V1, also zum Ausgangspunkt. Bei den einzelnen Schritten werden in unterschiedlicher Weise Wärme zu- oder abgeführt und Arbeit geleistet oder ins System gesteckt. Hier soll nur die gesamte Bilanz angegeben werden:
obere Temperatur
T2 = ( 100 + 273,15 ) K = 373,15 K
untere Temperatur
T1 = ( 0 + 273,15 ) K = 273,15 K
Wirkungsgrad
h=
373,15 − 273,15 ⋅ 100% = 26 , 8% 373,15
5 Wärmeübertragung Wärme kann grundsätzlich nur vom System höherer Temperatur zum System mit niedrigerer Temperatur übertragen werden. Wärme kann durch Wärmeleitung, Wärmeströmung oder Wärmestrahlung transportiert werden.
5.1 Wärmeleitung Wärmeleitung findet durch Energieübertragung ohne Materietransport statt. Damit dieser Energietransport geschehen kann, muß eine Koppelung zwischen benachbarten Atomen vorhanden sein. Beispiel: Wärmetransport durch eine feste Wand. Hier können benachbarte Atome durch Schwingung Energie weitergeben. Als Maß dient die Wärmestromdichte qth q th =
ΔQ A Δt
q th ΔQ A Δ t W/ m 2 Ws m 2 s
(III.55)
Tabelle III-4 Wärmeleitfähigkeit W mK
Material (feste Stoffe)
l in
Aluminium Eisen Kupfer Normalbeton Eis Glas Mineralfaser
221 67 393 2,1 2,2 0,8 0,04
Material (Flüssigkeiten)
l in
Wasser Benzin Transformatorenöl Xylol Glyzerin Quecksilber Aceton
0,6 0,14 0,13 0,13 0,28 9,2 0,17
W mK
Material (Gase)
l in
Luft Kohlendioxid Wasserdampf Argon
0,026 0,015 0,031 0,016
W mK
IV Schwingungen
189
Wenn angenommen wird, daß der Wärmetransport nur in einer Richtung, die als x-Richtung bezeichnet wird, stattfinden kann, so gilt für die Wärmestromdichte: ΔJ q th = − l (III.56) Δx Die Größe l ist die Wärmeleitfähigkeit des Kontaktes W , ΔJ die Temperaturdifferenz. Die in der Einheit mK Wärmeleitfähigkeit ist temperaturabhängig. In der Tabelle III-4 sind einige Werte bei 20 °C angegeben.
5.2 Wärmeströmung Wärmeströmung oder auch Konvektion ist stets mit einem Materietransport verbunden und findet in Flüssigkeiten oder Gasen statt. Beispiel: Zentralheizung. Die mathematische Behandlung ist sehr kompliziert und kann hier nicht behandelt werden.
5.3 Wärmestrahlung Unter Wärmestrahlung wird die Wärmeübertragung durch elektromagnetische Strahlung verstanden. Jeder Körper sendet und empfängt Wärme durch Strahlung, wobei die Absorption und Emission vom Material und der Oberflächenbeschaffenheit abhängt. Dies wird durch den Emissionsgrad e angegeben. e ist eine Zahl < 1. Die gesamte Leistungsbilanz eines Körpers der ebenen Fläche A und der Temperatur T1 in einer Umgebung der Temperatur T2 wird durch das Stefan-Boltzmann-Gesetz beschrieben: S = Ae s ( T24 − T14 )
(III.57)
mit der Konstanten s = 5, 67 ⋅ 10 − 8
W m2 K 4
(III.58)
(siehe auch Abschnitt VII.4).
IV Schwingungen Schwingungen sind periodische Vorgänge sowohl mechanischer (z.B. Masse an einer Feder) als auch elektromagnetischer Systeme (z.B. Schwingkreis). Kennzeichnend ist, daß Energie periodisch umgewandelt wird. Die Zeit für eine Periode wird durch die Schwingungszeit T angegeben. Die Anzahl der Perioden pro Zeiteinheit wird Frequenz f genannt: f =
ist die Kreisfrequenz der ungedämpften Schwingung. Diese wird auch Eigenfrequenz genannt. Bei (IV.4) ist die Auslenkung y zur Zeit t = 0 ebenfalls = 0 v0 y f
1 T
v0 t
(IV.1)
Oft wird auch die Kreisfrequenz w verwendet. Kreisfrequenz
w = 2π f =
2π T
(IV.2)
Wird die Auslenkung eines schwingenden Systems mit y bezeichnet, so gilt, daß sich nach einer Periode ein bestimmter Schwingungszustand wiederholt. Bei einer ungedämpften Schwingung gilt: y(t ) = y(t + T )
(IV.3)
y( 0) = 0
Ist jedoch der Nulldurchgang der Schwingung nicht zur Zeit t = 0, so liegt eine Phasenverschiebung um einen Phasenwinkel ϕ vor, und die Schwingung läßt sich durch y ( t ) = y sin ( w0 t + j )
1 Freie ungedämpfte harmonische Schwingungen Es gibt eine Vielzahl von möglichen Schwingungen, deren Auslenkung sich durch eine Sinus-Funktion beschreiben läßt. Diese Schwingungen werden harmonische Schwingungen genannt. Da eine SinusFunktion sich als Projektion einer gleichmäßigen Kreisbewegung darstellen läßt (siehe Abschnitt Geometrie), kann der Winkel j durch w0 ⋅ t ersetzt werden: y ( t ) = y sin ( w0 t )
Bild IV-1 Harmonische Schwingung
(IV.4)
y(t) ist die momentane Auslenkung oder Augenblickswert, y die Amplitude oder maximale Auslenkung, w0
(IV.5)
darstellen. Der Phasenwinkel kann positiv oder negativ sein. Bei positivem Phasenwinkel wird die Sinuskurve nach links verschoben. Die Schwingungszeit T bzw. die Frequenz f hängt je nach schwingungsfähigem System von den unterschiedlichsten Systemgrößen ab. Wird z.B. eine Masse m an einer Feder mit der Federkonstanten c angehängt, so gilt bei diesem Federpendel für die Schwingungszeit: Federpendel T = 2π
m c
T m c s kg N/m
(IV.6)
Wird eine Masse m an einem Faden der Länge l angehängt und zu Schwingungen mit kleiner Auslen-
190
Physik
kung angeregt, so gilt für dieses Fadenpendel oder auch mathematisches Pendel: Fadenpendel T = 2π
T l g s m m s −2
l g
(IV.7)
g ist dabei die Erdbeschleunigung, die Schwingungszeit ist bei diesem Pendel unabhängig von der Masse m. Beispiel: Eine Pendeluhr geht in 24 Stunden um 1 Stunde nach.
Die Pendellänge ist l1 = 50 cm. Welche Länge l2 muß das Pendel haben, damit die Uhr richtig geht? Das Pendel wird als mathematisches Pendel angenommen. Lösung:
T1 2 π l 1 = = T2 2 π l 2 l 2 = l1
T 22 T12
l1 l2
Wird einem schwingungsfähigen System während der Schwingung Energie entzogen, so verringert sich die Amplitude im Lauf der Zeit. Dieser Energieverlust kann in der Mechanik z.B. durch Reibung, bei elektromagnetischen Schwingungen durch ohmsche Verluste oder Ummagnetisierungsverluste verursacht werden. Wegen dieser Verluste nimmt die Amplitude ab und die Ausschläge werden immer kleiner. Sind die Verluste proportional zur Geschwindigkeit (oder zum elektrischen Strom), so läßt sich die Schwingung durch folgende Gleichung wiedergeben: y = y e
−
t t
sin ( wt + j )
oder
23 h ⎞ = 50 cm ⋅ ⎛⎜ ⎟ ⎝ 24 h ⎠
2
y = y e − d t sin ( wt + j )
= 45,9 cm
Frequenzen elektromagnetischer Schwingungen werden durch L und C festgelegt. So gilt für einen Schwingkreis:
l m m
Bild IV-2 Feder- und Fadenpendel
elektrischer Schwingkreis T = 2π LC
(IV.8)
Allen diesen Beispielen gemeinsam ist aber, daß die mathematische Beschreibung der Schwingung durch (IV.5) gegeben ist. Kennzeichnung jeder ungedämpften Schwingung ist, daß die Amplitude y zeitlich konstant bleibt, dem System wird keine Energie entzogen. Beispiel: Eine Masse m = 500 g hängt an einem Faden der Länge
d=
1 t
(IV.11)
Die für die Abnahme der Amplitude maßgebende e-Funktion enthält eine für die Dämpfung charakteristische Größe t, die auch als Zeitkonstante des Systems bezeichnet wird und angibt, zu welchem Zeit1 punkt die Amplitude auf den Wert = 0,3678 ≈ 37% e der Ausgangsamplitude gefallen ist. Die Frequenz w der gedämpften Schwingung ist kleiner als die Frequenz w0 der freien Schwingung. w=
w02 − d 2
(IV.12)
Diese Abweichungen sind aber für kleine Dämpfungen vernachlässigbar. Beispiel: Ein Federpendel mit einer Federkonstanten c = 30 N/m,
an dem eine Masse m von 2 kg hängt, führt gedämpfte Schwingungen mit einer Anfangsamplitude y = 10 cm aus. Die Zeitkonstante t ist 2 s, der Phasenwinkel j ist 0°. Welche Auslenkung liegt nach einer Zeit von t = 5 s vor? Lösung:
Kreisfrequenz 2m T = 2π = 2,84 s 9,81 m s −2
1 1 f= = = 0,35 Hz T 2,84 s
(IV.10)
mit
l = 2 m. Mit welcher Frequenz f schwingt die Masse? Lösung:
(IV.9)
Auslenkung
w=
c = m
30 N / m = 3,87 s −1 2 kg
y = 5 cm ⋅ e − 5 2 ⋅ sin ( 3, 87 ⋅ 5 ) = 0,169 cm
(IV.13)
(IV.14)
3 Erzwungene Schwingungen 2 Gedämpfte Schwingungen e –t/t
Bild IV-3 Gedämpfte Schwingung
Bei einer erzwungenen Schwingung greift von außen über eine Koppelung eine periodische Kraft mit einer Frequenz W an. Das schwingungsfähige System, welches aufgrund seiner Bauart im ungedämpften Fall mit der Eigenfrequenz w0 schwingen würde, wird dann zu erzwungenen Schwingungen mit der Frequenz der angreifenden Kraft angeregt. Dabei ist auch mit einer Phasenverschiebung zwischen angreifender Kraft und System zu rechnen. Für das System gilt dann:
IV Schwingungen y^
191 Bild IV-4 Resonanzkurve
y
y
y1
10
y2
0 –10 –20
1
Vv / 0
2
y = y sin ( W t + j )
(IV.15)
F m
( w02 − W 2 ) + ( 2d W) 2
(IV.16) 2
und den Phasenwinkel tanj =
2 dw0 w ( 02 − W 2 )
(IV.17)
Die Amplitudenfunktion hat bei kleiner Dämpfung dann ein Maximum, wenn die Erregerfrequenz und die Eigenfrequenz übereinstimmen (W/w0 = 1). Dieses Verhalten wird als Resonanz bezeichnet. Der Kurvenverlauf für verschiedene Dämpfungen ist in Bild IV-4 gezeigt. Aufgetragen ist die Amplitude als Funktion von W/w0. Allerdings verschiebt sich bei größeren Dämpfungen die Lage des Maximums zu kleineren Erregerfrequenzen.
t
y 2 ( t ) = y 2 sin ( wt + j2 )
(IV.19)
beschrieben. Die grafische Darstellung kann entweder im y(t)Diagramm oder im Zeigerdiagramm erfolgen. Letztere wird in der Elektrotechnik oft verwendet. Unter einem Zeiger wird ein zweidimensionaler Pfeil verstanden, dessen Länge der Amplitude und dessen Winkel dem Phasenwinkel entspricht. Dieser Zeiger rotiert mit der Frequenz w um den Koordinatenursprung. Durch die Überlagerung (Addition) zweier Schwingungen entsteht wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz. Die Berechnung der Amplitude und der Phasenlage erfolgt anhand des Zeigerdiagramms. Mit dem Kosinussatz (siehe Mathematik) gilt für die Amplitude: y =
y 12 + 2 y 1 y 2 cos ( j2 − j1 ) + y 22
und für den Phasenwinkel: y sin j1 + y 2 sin j2 tan j = 1 y 1 cos j1 + y 2 cos j2
(IV.20)
(IV.21)
Aus diesen Gleichungen lassen sich einige Spezialfälle ableiten: 1) gleiche Amplitude, Phasendifferenz = π, 3π
4 Überlagerung harmonischer Schwingungen
y =
y 12 − 2 y 1 y 2 + y 22
(IV.22)
y = ( y 1 − y 2 ) = 0 (IV.23) also Auslöschung der resultierenden Schwingung. 2) Phasendifferenz = 0: 2
Werden Schwingungen überlagert, so müssen verschiedene Möglichkeiten betrachtet werden: Die Schwingungen können gleiche oder unterschiedliche Frequenz und gleiche oder senkrecht zueinander liegende Schwingungsrichtungen haben. Diese Fälle sollen für sinusförmige (harmonische) Schwingungen untersucht werden.
y =
y 12 + 2 y 1 y 2 + y 22
(IV.24)
y = ( y 1 + y 2 ) = y 1 + y 2 also Addition der Amplituden. 2
4.1 Schwingungsrichtung parallel zueinander
Bild IV-6 Zeigerdiagramm
Gleiche Frequenz Betrachtet werden zwei Schwingungen, die unterschiedliche Phasenwinkel haben können, aber mit gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung schwingen. Die Schwingungen werden durch die Formeln y1 ( t ) = y 1 sin ( wt + j1 )
6
4
2
Bild IV-5 Addition von Sinusschwingungen
Die Amplitude y und die Phasenverschiebung hängen von der Frequenz der angreifenden Kraft ab. Für ein Federpendel der Masse m, an der eine Kraft F angreift, gilt für die Amplitude:Resonanzkurve y =
0
(IV.18)
y
y2 f2 f1
f
y1
(IV.25)
192
Physik
Geringer Frequenzunterschied Sind die Frequenzen zweier sich überlagernder Schwingungen fast gleich, treten Schwebungen auf. Hierbei verändert sich die Amplitude der resultierenden Schwingung periodisch. Im folgenden wird angenommen, daß beide Ausgangsamplituden gleich sind. y1 ( t ) = yˆ sin (ω1t )
(IV.26)
y2 ( t ) = yˆ sin (ω 2 t )
(IV.27)
y res ( t ) = y1 ( t ) + y 2 ( t )
(IV.28)
4.2 Schwingungsrichtung senkrecht zueinander Werden zwei Schwingungen mit ganzzahligem Frequenzverhältnis, die senkrecht zueinander schwingen, überlagert, so entstehen geschlossene Figuren: 1
1
2
2 3
yres = yˆ ⎡⎣sin (ω1t ) + sin (ω 2 t ) ⎤⎦
3
4
4 1
(IV.29)
2
Mit sin a + sin b = 2 sin
a+ b a− b ⋅ cos 2 2
4
(IV.30)
folgt aus Gleichung (IV.29) ⎛ ω + ω2 ⎞ ⎛ ω − ω2 ⎞ yres ( t ) = 2 yˆ sin ⎜ 1 t ⎟ ⋅ cos ⎜ 1 t⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
(IV.31)
Bei geringen Frequenzdifferenzen können die Argumente der trigonometrischen Funktionen mit Dw = w1 – w2 umgeschrieben werden: Schwebung y
y
0
t
0
w1 + w2 , 2
(IV.32)
(IV.33)
aber die Amplitude ändert sich periodisch zwischen 0 und 2 yˆ. Während einer Periode der Kosinus-Funktion ändert sich die Amplitude zweimal von 0 auf 2 yˆ , somit ist die Schwebungsfrequenz wS = 2
w1 − w2 = Δw 2
Lissajous-Figuren. Die beiden Schwingungsrichtungen seien x- und y-Richtung. Die Schwingungen sind durch x ( t ) = xˆ ⋅ sin (ω x t ) y ( t ) = yˆ ⋅ sin (ω y t + ϕ )
t
Die resultierende Schwingung ist ebenfalls eine harmonische Schwingung mit der Frequenz
wres =
Bild IV-8 Verfahren zur punktweisen Konstruktion von Lissajous-Figuren (j = 90°)
und
Bild IV-7 Schwebung ⎛ Δω ⎞ yres = 2 yˆ sin ω res t ⋅ cos ⎜ t⎟ ⎝ 2 ⎠
3
(IV.34)
Dieses Verhalten ist in Bild IV-7 wiedergegeben, hierbei sind zwei Schwingungen überlagert, deren Frequenzen sich um 15% unterscheiden.
(IV.35)
gegeben. Die Lissajous-Figuren können im Prinzip punktweise konstruiert werden. Für den Fall gleicher Frequenzen und Phasendifferenz j = 90° ist das Verfahren in Bild IV-8 dargestellt. Auf der x- und auf der y-Kurve werden die Auslenkungen zu gleichen Zeitpunkten, hier mit 1 ... 4 bezeichnet, abgemessen und in einem rechtwinkligen Koordinatensystem aufgetragen. Für die vorgegebene Phasendifferenz ergibt sich als Lissajous-Figur ein Kreis. Sind die Amplituden nicht gleich, ist aber die Phasendifferenz 90°, so ergeben sich Ellipsen, deren Hauptachsen parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Ist die Phasendifferenz nicht 90°, so ergeben sich ebenfalls Ellipsen, allerdings liegen deren Hauptachsen nicht mehr parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Lissajous-Figuren lassen sich in der Elektrotechnik mit Hilfe eines Oszilloskops darstellen; sie dienen zur Messung des Phasenwinkels zwischen zwei Spannungen. Werden bei einer gemessenen Ellipse nach Bild IV-9 die beiden Werte y1 und y2, also einmal das Maximum in y-Richtung, zum anderen der Schnittpunkt mit der y-Achse, gemessen, so läßt sich hieraus der Phasenwinkel j bestimmen zu:
V Wellen
193 v x :v y
y1
1:1
f = 0° 0
y2
y2 y1
(IV.36)
In Bild IV-10 sind für die Frequenzverhältnisse 1 : 1, 1 : 2 und 1 : 3 für verschiedene Phasenwinkel die Lissajous-Figuren angegeben.
0 0
0
0
0
0 1:3
0 0
0
Bild IV-9 Bestimmung des Phasenwinkels j = arcsin
0 0
1:2
f = 90°
f = 45°
0
0
0 0
0
0
Bild IV-10 Lissajous-Figuren
V Wellen Wenn schwingungsfähige Systeme miteinander so verbunden sind, daß sich die Schwingung von einem System zum nächsten System übertragen kann, so setzt sich eine an einem System angeregte Schwingung im Raum fort, und man spricht von einer Welle. Dies soll im Bild V-1 veranschaulicht werden. Dabei ist es zur Ausbreitung von Wellen notwendig, daß die einzelnen Systeme durch gegenseitige Rückstellkräfte gekoppelt sind. Dargestellt sind zwei Momentaufnahmen einer Reihe von Massen, die durch Federn verbunden sind. Die Masse m1 wird angestoßen und schwingt mit der Frequenz f um ihre Ruhelage. Wegen der Koppelung durch die Federn setzt sich diese Schwingung fort, und es entsteht eine Welle, die sich hier nach rechts ausbreitet. Die einzelnen Massen schwingen um ihre Ruhelage, bewegen sich also nicht in Ausbreitungsrichtung der Welle. Es findet kein Materietransport, sondern nur Energietransport statt. Wenn die Schwingungsrichtung der Massen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle ist, so wird dieser Wellentyp Transversalwelle genannt. Im Bild V-1 ist mit der Größe l der Abstand zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen eingetragen. Dieser Abstand ist die Wellenlänge l. Ist dagegen die Schwingungsrichtung der einzelnen Massen parallel zur Ausbreitungsrichtung der Welle, so liegt eine Longitudinalwelle vor. Bei einer Longitudinalwelle ändert sich in Ausbreitungsrichtung der Welle die Dichte
der schwingungsfähigen Systeme. In Bild V-1 ist nur eine einzige Reihe von schwingungsfähigen Massen gezeichnet. Werden allerdings viele Reihen gleichzeitig angeregt, liegt eine räumliche Wellenausbreitung vor.
r
x
Bild V-2 Wellentypen Werden gleiche Schwingungszustände in benachbarten Ketten miteinander verbunden, so erhält man eine zusammenhängende Fläche, die Wellenfront genannt wird. Die Form der Wellenfront hängt von der Form des Wellenerregers ab. In Bild V-2 sind zwei verschiedene Wellenfronten gezeichnet, links die Fronten einer Kugelwelle, rechts die Fronten einer ebenen Welle. Da die Wassermoleküle in beiden Typen nur vertikal schwingen, liegt hier in beiden Fällen eine Transversalwelle vor.
1 Harmonische Wellen 1.1 Ausbreitung
m1
l
Bild V-1 Wellenausbreitung in einer linearen Kette
Wie bei den harmonischen Schwingungen werden die Wellen harmonisch genannt, deren mathematische Beschreibung durch eine Sinus-Funktion möglich ist. Im Gegensatz zu den Schwingungen, bei denen ja nur eine zeitliche Änderung der Auslenkung y zu betrachten war, ist bei Wellen auch eine räumliche Abhängigkeit der Auslenkung zu berücksichtigen.
194
Physik
Die Welle in Bild V-1 hat sich nach der Schwin1 gungszeit T = der einzelnen Systeme um die f Wellenlänge l nach rechts fortbewegt. Hiermit läßt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit c definieren: l Ausbreitungsgeschwindigkeit c = (V.1) T c = l⋅ f (V.2) Wird die Masse m1 zu einer Sinusschwingung y = yˆ ⋅ sin (ω t ) angeregt, so werden auch alle anderen
⎡ 2π ⎛ x ⎞ ⎤ y = yˆ ⋅ sin ⎢ ⎜ t − ⎟ ⎥ ⎣ T ⎝ c ⎠⎦ ⎡ ⎛ t x ⎞⎤ y = yˆ ⋅ sin ⎢2π ⎜ − ⎟ ⎥ ⎣ ⎝ T λ ⎠⎦
(V.11)
c=
K r
(V.12)
(V.3)
Longitudinalwellen in Festkörpern
c=
E r
(V.13)
(V.4)
Elektromagnetische Wellen in Materie
c=
(V.5)
Beispiel: Eine harmonische Welle habe eine Phasengeschwindig-
keit c = 300 m/s und eine Frequenz von 100 Hz. Zur Zeit t = 0 wird sie mit einer Amplitude y^ = 10 cm angeregt. a) Wie groß ist die Wellenlänge l? b) Wie groß ist die Auslenkung am Ort x = 9 m nach einer Zeit von 0,15 s? Lösung:
c 300 m s = =3m f 100 s
⎡ ⎛ 0,15 s 9 m ⎞ ⎤ − b) y = 10 cm ⋅ sin ⎢ 2π ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ 0,01 s 3 m ⎠ ⎦
y = 10 cm ⋅ sin [ 2 π ( 15 − 3 ) ] = 10 cm ⋅ sin ( 24 π ) = 0 cm
Phasengeschwindigkeit cp r
In Gleichung (V.5) und (V.7) bedeutet ein negatives Zeichen in der Klammer eine Ausbreitung der Welle in positiver x-Richtung. Bei einer Kugelwelle ändert sich die Amplitude mit dem Abstand vom Erregerort. Dieser Wellentyp wird durch folgende Gleichungen beschrieben. ⎡ ⎛ t x ⎞⎤ yˆ (V.8) y = 1 ⋅ sin ⎢2π ⎜ − ⎟ ⎥ r ⎣ ⎝ T λ ⎠⎦ yˆ (V.9) y = 1 ⋅ sin (ω t − k x ) r yˆ1 ist die Amplitude für den Abstand r = 1.
l=
Wellentyp
c=
Gleichung (V.5) beschreibt die zeitliche und räumliche Ausbreitung einer ebenen harmonischen Welle. Die Amplitude yˆ bleibt konstant. Die Schwingungsgleichung kann durch Einführung der Wellenzahl k umgeschrieben werden: 2π Wellenzahl k = (V.6) l (V.7) y = yˆ ⋅ sin (ω t − k x )
a) nach (V.1)
Tabelle V-1 Phasengeschwindigkeit
Longitudinalwellen in Gasen, Schallwellen in Gasen Longitudinalwellen in Flüssigkeiten
Massen sinusförmig schwingen, allerdings zeitversetzt gegen m1. Eine Masse, die um x von m1 entfernt x ist, wird um die Zeit t 1 = später denselben Schwinc gungszustand erreichen. Es gilt: y = yˆ ⋅ sin ⎣⎡ω ( t − t1 ) ⎦⎤
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c, besser als Phasengeschwindigkeit bezeichnet, da zur Bildung der Wellenfronten Orte gleicher Phase miteinander verbunden werden, hängt vom Wellentyp und vom Medium, in dem sich die Welle bewegt, ab. In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele angegeben.
(V.10)
1 e r e 0 mr m0
(V.14)
c Isentropenexponent, p Druck, r Massendichte, K Kompressionsmodul, E Elastizitätsmodul, e0 Elektrische Feldkonstante, er Permittivitätszahl, m0 Permeabilität, mr relative Permeabilität
1.2 Interferenz Unter Interferenz wird die Überlagerung von Wellen verstanden. Dabei gilt, daß bei nicht zu großen Amplituden der beteiligten Wellen sich jede Welle ungestört ausbreiten kann und die momentanen Auslenkungen addiert werden können. Dies wird das Verfahren der ungestörten Superposition genannt.
Interferenz von Wellen gleicher Frequenz Zwei Wellen gleicher Frequenz, die sich in gleicher Richtung ausbreiten, können sich im allgemeinen durch ihre Amplitude und durch eine Verschiebung gleicher Schwingungszustände unterscheiden. Diese räumliche Verschiebung ist der Gangunterschied D. Die beiden Wellen sind nach Gleichung (V.7) durch y1 = yˆ1 ⋅ sin (ω t − k x )
(V.15)
und 2π Δ ⎞ ⎛ y2 = yˆ 2 ⋅ sin ⎜ ω t − k x + λ ⎟⎠ ⎝
(V.16)
gegeben. Die resultierende Welle läßt sich durch Addition der Teilwellen bestimmen. Sie hat dieselbe Frequenz und dieselbe Wellenlänge, damit auch dieselbe Phasengeschwindigkeit wie die beiden Ursprungswellen, aber eine andere Amplitude. Haben beide Wellen die gleiche Amplitude yˆ1 = yˆ2 = yˆ0, so gilt:
resultierende Welle πΔ ⎞ ⎛ πΔ ⎞ ⎛ yres = 2 yˆ 0 cos ⎜ ⎟ sin ⎜ ω t − k x + λ ⎟ ⎝ λ ⎠ ⎝ ⎠
(V.17)
V Wellen
195
π D⎞ y res = y res sin ⎛⎜ wt − k x + ⎟ ⎝ l ⎠
(V.18)
Amplitude
y res = 2 y sin ( wt ) cos ( k x )
Sonderfälle:
n = 0, 1, 2, …
(V.20)
Die Phasenlage der resultierenden Welle ist gegenüber den Ausgangswellen unverändert, die Amplitude ist doppelt so groß wie die Ausgangsamplituden. Für gerade Werte von n hat die Kosinusfunktion den Wert 1, für ungerade Werte den Wert –1. In diesem Fall πD in wird aber die Welle wegen des Summanden l der Sinusfunktion um l / 2 verschoben, so daß die ursprüngliche Phasenlage beibehalten wird (konstruktive Interferenz). b) D = ( 2 n + 1)
l , mit 2
n = 0, 1, 2, …
(V.21)
In diesen Fällen wird y res = 0, die Wellen löschen sich aus (destruktive Interferenz). Stehende Wellen y
(V.24)
An den Stellen, an denen der Kosinusterm in (V.24) verschwindet, hat auch die resultierende Welle zu allen Zeiten keine Auslenkung. Dies ist der Fall für solche Orte, die um l/2 voneinander entfernt sind. Der erste Nullpunkt hängt von der Art der Reflexion ab, an einem dichteren Medium liegt er in der Grenzfläche, sonst um l/4 vor der Grenzfläche. In den Punkten dazwischen ergibt sich je nach Laufzeit eine Auslenkung, die maximal den doppelten Wert der Ursprungsamplitude haben kann. In Bild V-3 ist oben die Reflexion an einem dichteren Medium, unten an einem dünneren Medium dargestellt. Dabei muß noch berücksichtigt werden, daß bei Reflexion an einem dichteren Medium ein Phasensprung von l/2 eintritt.
2 Huygensches Prinzip
neue Wellenfront
(V.19)
ankommende Welle
π D⎞ y res = 2 y 0 cos ⎛⎜ ⎟ ⎝ l ⎠
a) D = nl, mit
beschrieben werden. Auch hier ergibt sich die resultierende Welle durch Addition der Teilwellen. Unter Anwendung des Additionstheorems folgt:
Bild V-4 Huygenssches Prinzip x y
x
Bild V-3 Stehende Wellen
Laufen die Wellen, die zur Interferenz gelangen, nicht in gleicher Richtung, sondern einander entgegen, so entstehen stehende Wellen. Dies kann z.B. durch Reflexion an einem Spiegel geschehen. Die beiden Wellen können bei gleicher Amplitude nach Gleichung (V.7) durch y1 = y ⋅ sin ( wt − k x )
(V.22)
und y 2 = y ⋅ sin ( wt + k x )
(V.23)
Die Wellenausbreitung kann nach dem Huygensschen Prinzip (nach Christian Huygens) dadurch erklärt werden, daß jeder Punkt, der von einer Wellenfront getroffen wird, wiederum Ausgangspunkt einer sogenannten Elementarwelle wird. Diese ist, da es sich um punktförmige Erreger handelt, eine Kugelwelle (siehe Kap. V.1). Die neue Wellenfront entsteht als Einhüllende aller dieser Teilwellen. Dieses Prinzip gilt nicht nur für eine Wellenausbreitung in Medien, sondern ganz allgemein, auch für elektromagnetische Wellen, wie z.B. Licht. Mit Hilfe dieses Prinzips lassen sich Vorgänge wie Reflexion, Brechung und Beugung erklären.
2.1 Reflexion Eine ebene Wellenfront W, die sich mit der Geschwindigkeit c bewegt, erreicht zu einem bestimmten Zeitpunkt den Punkt A eines Spiegels. Für die Strecke DB braucht die Wellenfront die Zeit t1. Vom Punkt A geht eine Elementarwelle aus, die dann, wenn der Punkt B erreicht ist, den Radius
196
Physik
a1
E
D
A
C
Grenzfläche
B
a2
Bild V-5 Reflexion
Bild V-8 Brechungsgesetz
a
Welle die Geschwindigkeit c1 und laufe unter einem Winkel a1 ein, im Medium 2 sei die Geschwindigkeit c2 und der Winkel a2. Beim Erreichen des Punktes A wird hier eine Elementarwelle ausgesendet, die dann, wenn die Welle im Medium 1 nach der Zeit t1 den
b
Punkt B erreicht hat, den Radius AE hat. Die Einhüllende im Medium 2 ist BD . Im Dreieck ABD gilt:
Spiegel
Bild V-6 Reflexionsgesetz sina1 =
AE = c ⋅ t 1 hat. In der Zeit t1/2 ist der Punkt C in der Mitte zwischen A und B erreicht. Die Elementarwelle, die in C angeregt wird, hat den Radius AE / 2, wenn die Wellenfront nach der Zeit t1 den Punkt B erreicht hat. Die Einhüllende dieser Elementarwellen ist mit W' bezeichnet. Da die Dreiecke AEB und ADB kongruent sind, folgt, daß beide Wellenfronten mit dem Spiegel denselben Winkel bilden. Üblicherweise werden nicht die Wellenfronten, sondern die darauf senkrecht stehenden Wellennormalen gezeichnet, um die Richtung einer Welle darzustellen. Auch werden die Winkel nicht zur Spiegelfläche, sondern zur Senkrechten auf der Spiegelfläche gemessen, wie in Bild V-6 zu ersehen ist. Es gilt das Reflexionsgesetz: Einfallswinkel = Ausfallswinkel
a= b
(V.25)
DB AB
und im Dreieck AEB: sina 2 =
AE . AB
Weiter gilt DB = c 1 ⋅ t 1 ,
AE = c 2 ⋅ t 2 .
Hieraus folgt sin a1 DB c 1 ⋅ t 1 = = sin a 2 AE c 2 ⋅ t 1
das Brechungsgesetz sin a1 c 1 = sin a 2 c 2
(V.26)
Dies Gesetz ist ebenfalls für alle Wellenarten gültig.
2.2 Brechung D c1
a1 A
C E
Bild V-9 Beugung an einer Öffnung
Grenzfläche B
F c2
a2
Bild V-7 Brechung
Wenn sich die Welle in Gebieten mit unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten ausbreitet, so ändert sich beim Durchgang durch die Grenzfläche die Richtung der Wellenfronten. Im Medium 1 habe die
2.3 Beugung Trifft eine Welle auf eine Wand, in der sich eine kleine Öffnung befindet, so breitet sich die Welle hinter der Öffnung nicht geradlinig aus, sondern auch in dem Teil des Raumes, der durch die Wand abgedeckt ist, ist die Welle bemerkbar. Dieses Phänomen wird als Beugung bezeichnet. Die Beugung läßt sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips so verstehen, daß von der Öffnung Elementarwellen ausgehen. Sind mehrere Öffnungen vorhanden, so entsteht das
V Wellen
197
Beugungsfeld durch Interferenz der einzelnen Elementarwellen. Dies ist in Bild V-10 für den Fall eines Doppelspaltes aufgezeigt. Die Kreise stellen die Maxima der Elementarwellen dar. An den Punkten, an denen sich die Elementarwellen schneiden, erfolgt Verstärkung. Die Verbindungslinien dieser Schnittpunkte liegen auf Hyperbeln, deren Asymptoten zur Ausbreitungsrichtung unter den Winkeln a verlaufen. Für diese Winkel gilt mit ganzen Zahlen n die Bedingung n=3 n=2
c c vq = − fb fq fq
n=1 d
Kugelwellen nicht mehr in einem Punkt. Der Beobachter im Punkt B erkennt eine kürzere Wellenlänge. Im Bild V-11 ist links eine ruhende Quelle, die eine Welle der Wellenlänge l aussendet, rechts eine bewegte Quelle dargestellt. Die Quelle bewegt sich nach rechts mit der Geschwindigkeit vq. Der Beobachter sieht nun eine kleinere Wellenlänge lB. In der Zeit Tq = 1 hat sich die Quelle um die Strecke fq v q Tq nach rechts bewegt, somit ist die Wellenlänge l B = l − v q Tq verkleinert, die Frequenz hat sich jedoch c vergrößert: l B = l − v q Tq . Mit l = wird daraus: f
n=0
c c = fb fq
fB =
l
Bild V-10 Beugung am Doppelspalt
(V.28)
vq ⎞ ⎛ ⎜1− ⎟ c ⎠ ⎝
(V.29)
fq c = fQ vq c − vQ 1− c
(V.30)
Quelle
Beobachter
Formel
erfüllt ist.
→
→
f B = fQ
c − vB c − vQ
(V.31)
3 Dopplereffekt
→
←
f B = fQ
c + vB c − vQ
(V.32)
←
→
f B = fQ
c − vB c + vQ
(V.33)
←
←
f B = fQ
c + vB c + vQ
(V.34)
l sin a n = n , d
n = 0, 1, 2, …
(V.27)
vq
vq = 0
l
lB
Bild V-11 Dopplereffekt Wenn sich der Erreger einer Welle, die Quelle, und der Beobachter relativ zum Medium, in dem die Welle übertragen wird, bewegen, so treten Frequenzverschiebungen auf, die Dopplereffekt genannt werden. Dabei ist es für die Berechnung wichtig, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegen. Beobachten kann man den Dopplereffekt beim Herannahen eines hupenden Autos: Bei Annäherung erhöht sich zunächst die Frequenz, der Ton wird höher, beim Entfernen erniedrigt sich die Frequenz und der Ton wird niedriger. Zunächst soll der Fall des ruhenden Beobachters und der sich auf den Beobachter zu bewegenden Quelle untersucht werden. Von einer punktförmigen Quelle werden Kugelwellen ausgesendet. Da sich die Quelle bewegt, liegen die Zentren der zu verschiedenen Zeiten nacheinander ausgesendeten
Zu unterscheiden ist, ob und wie sich Quelle und Beobachter relativ zueinander bewegen. In den Gleichungen V.31 bis V.34 sind die möglichen Fälle angegeben. Wenn Quelle oder Beobachter ruhen, so ist in der entsprechenden Gleichung diese Geschwindigkeit = 0 zu setzen. Beispiel: Eine Schallquelle sendet einen Ton von 440 Hz aus. Die
Quelle bewegt sich mit 100 km/h an einem ruhenden Beobachter vorbei. Frage: Welche Frequenz nimmt der Beobachter a) bei Annäherung b) bei Entfernung der Quelle wahr? Die Schallgeschwindigkeit beträgt 330 m/s. Lösung: Da die Geschwindigkeit vB = 0 ist, folgt: a) v Q = 100
km 100 m m = = 27,78 h 3,6 s s
198
Physik f B = fQ
b) f B = f Q
c 440 ⋅ 330 = = 480,44 Hz c − v Q 330 − 27 , 78
a
P
c 440 ⋅ 330 = = 405,8 Hz c + v Q 330 + 27 , 78
Ein Sonderfall tritt dann ein, wenn sich die Quelle mit derselben Geschwindigkeit bewegt wie die ausgesendete Welle, z.B. eine Schallwelle. Es entsteht das Wellenbild nach Bild V-12 links. Alle Kugelwellen addieren sich im Punkt P, es entsteht die sogenannte Schallmauer, die mit der Quelle mitläuft. Wird die Geschwindigkeit der Quelle größer als die Schallgeschwindigkeit, so sind die Verhältnisse entsprechend Bild V-1 rechts. Für den Öffnungswinkel des entstehenden Machschen Kegels gilt: Öffnungswinkel sina =
c vQ
(V.35)
Auf dem Kegelmantel bildet sich eine einheitliche Wellenfront, die von einem Beobachter als Knall wahrgenommen wird. Diese Wellenfront bewegt sich mit der Quelle. In Vorwärtsrichtung ist die Quelle nicht zu hören. Die Gleichungen (V.31) bis (V.34) gelten nur für den Fall, daß sich die Welle in einem Medium als Träger
vQ
Bild V-12 Schallmauer und Machscher Kegel der Welle ausbreitet. Eine Sonderstellung nehmen hier die elektromagnetischen Wellen ein (z.B. Licht), denn diese benötigen kein Medium, um sich auszubreiten. In diesem Fall gibt es bei bewegten Quellen und Beobachtern auch eine Frequenzverschiebung, diese ist aber nur von der Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter abhängig. Bei Annäherung von Quelle und Beobachter gilt: f B = fQ
c+v c−v
(V.36)
Entfernen sich Quelle und Beobachter, so muß v durch –v ersetzt werden. f B = fQ
c−v c+v
(V.37)
VI Akustik In der Akustik wird die Ausbreitung von Schallwellen in festen, flüssigen und gasförmigen Medien untersucht. In festen Stoffen können diese Wellen Longitudinalwellen und Transversalwellen sein, in Flüssigkeiten und Gasen gibt es nur Longitudinalwellen, weil dort die zur Ausbreitung von Transversalwellen notwendigen rückstellenden Querkräfte fehlen. Im folgenden werden vorzugsweise Schallwellen in Gasen behandelt, weil diese im täglichen Leben eine übergeordnete Rolle spielen.
Schall breitet sich in Gasen und Flüssigkeiten durch Druckänderungen als Longitudinalwelle aus. Hiermit verbunden ist eine Dichteschwankung, eine Druckschwankung und eine Schwankung der Geschwindigkeit der einzelnen Moleküle um die jeweiligen konstanten Mittelwerte (Index 0), die auch ohne Schall vorhanden sind. Dichte r = r0 + rw
(VI.1)
p = p0 + pw
(VI.2)
Geschwindigkeit v = v 0 + v w
(VI.3)
mit den Bezeichnungen: rw : Wechseldichte, pw: Schallwechseldruck Schalldruck, vw: Schallschnelle
p ( x , t ) = p 0 + p sin ( wt − k x )
oder
(VI.4)
und für die Schallschnelle: v w ( x , t ) = v sin ( wt − k x )
(VI.5)
mit v =
1 Schallausbreitung
Druck
Die Lösungsfunktion als Funktion von Ort und Zeit hängt unter anderem vom Erregertyp ab. Für den einfachsten Fall einer eindimensionalen sinusförmigen Erregung lautet sie für den Schalldruck:
p r0 c
(VI.6)
Tabelle VI-1 Schallgeschwindigkeit und Schallkennimpedanz
Luft –20 °C Luft 0 °C Luft 20 °C Eis Holz Glas Beton Stahl
Dichte r/kg m–3
c/ms–1
Z/Ns m–3
1,396 1,293 1,21 920 600 2500 2100 7700
319 331 344 3200 4500 5300 4000 5050
445 427 416 2,94 ⋅ 106 2,7 ⋅ 106 13 ⋅ 106 8,4 ⋅ 106 39 ⋅ 106
VI Akustik
199
Hierbei ist c die Schallgeschwindigkeit. Die Größe r0 ⋅ c wird als Schallkennimpedanz Z, früher auch als Schallwellenwiderstand, bezeichnet. Z r0 c Nm −1 kg/m 3 m/s
Z = r0 ⋅ c
(VI.7)
Die Schallkennimpedanz ist eine charakteristische Größe für das jeweilige Ausbreitungsmedium und ist bei ebenen Wellen konstant. Für die Schallgeschwindigkeit in Gasen gilt (siehe Abschnitt 1): c=
cp r
(VI.8)
c Ri T .
(VI.9)
In Festkörpern gilt: c=
Schallgeschwindigkeit
E r
(VI.10)
2 Reflexion, Transmission, Absorption Jedes Medium wird durch seine Schallkennimpedanz beschrieben. Treffen nun Schallwellen auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlicher Schallkennimpedanz, so wird ein Teil reflektiert, ein Teil tritt ins Medium ein. Der Reflexionsfaktor r ist definiert als das Verhältnis des Schalldruckes pr der reflektierten Welle zu dem Schalldruck pe der einfallenden Welle. Ie
Z1
2
(VI.13)
Ein großer Reflexionsgrad r tritt immer dann auf, wenn die Schallkennimpedanzen der beteiligten Medien sehr unterschiedlich sind. Dabei ist es gleichgültig, welches der beiden Medien die größere Schallkennimpedanz besitzt. Wird die Schallwelle im Medium 2 gedämpft, so wird die Welle bei genügend dickem Medium 2 vollständig absorbiert. Der Schallabsorptionsgrad as wird definiert durch: Schallabsorptionsgrad a s =
oder c=
⎛ Z − Z1 ⎞ rs = ⎜ 2 ⎟ ⎝ Z 2 + Z1 ⎠
Z2
Z1 It
Ir
Bild VI-1 Reflexion und Transmission
Reflexionsfaktor r =
pr pe
(VI.11)
Werden die Intensitäten Ir und Ie ins Verhältnis gesetzt, so erhält man den Reflexionsgrad rs =
Ir p2 = r2 = r 2 Ie pe
(VI.12)
Werden die Schallkennimpedanzen für senkrechten Einfall mit Z1 bzw. Z2 bezeichnet, so gilt für senkrechten Einfall:
Ie − Ir I = 1 − r (VI.14) Ie Ie
a s = 1 − rs = 1 − r 2
(VI.15)
Wird nun der Schall im Medium 2 nicht vollständig absorbiert, weil z.B. die Wand zu dünn ist, so tritt ein Teil It der einfallenden Schallintensität Ie durch das Medium 2 durch. Dieser Anteil wird als Schalltransmissionsgrad ts bezeichnet. Auch an der zweiten Grenzfläche wird dann ein Teil der dort ankommenden Intensität reflektiert. Schalltransmissionsgrad t s =
It Ie
(VI.16)
Der Absorptionsgrad gibt an, welcher Teil der einfallenden Welle nicht reflektiert wurde, der Transmissionsgrad gibt den Anteil an, der durch eine Wand hindurch gelangt ist. Die in der Wand tatsächlich verlorengegangene Schallintensität wird durch den Schalldissipationsgrad ds angegeben. Somit gilt der Zusammenhang: rs + t s + ds = 1
(VI.17)
rs + a s = 1
(VI.18)
3 Ultraschall Unter Ultraschall wird der Schall verstanden, dessen Frequenz jenseits (= ultra) der menschlichen Hörschwelle von ca. 20 kHz liegt. Die obere Grenze liegt bei etwa 1 GHz. Die zugehörigen Wellenlängen liegen in Luft zwischen etwa 2 cm und 0,34 mm. Für den Ultraschall gibt es in der Praxis eine Vielfalt von Einsatzmöglichkeiten. Dazu nachfolgend einige Beispiele: Ultraschall-Echolot, Ultraschall-Blindenleitgerät, Ultraschall-Alarmanlagen, Werkstoffprüfung, Materialprüfverfahren, Medizin.
200
Physik
VII Optik Die Optik ist die Lehre vom Licht, seiner Ausbreitung, dem Aufbau optischer Instrumente und allen den Erscheinungen, die mit dem Auge wahrgenommen werden können. Heute wird zwischen der klassischen Optik und der Quantenoptik unterschieden. In der klassischen Optik wird das Licht als Welle verstanden. Seit Beginn dieses Jahrhunderts sind allerdings viele Experimente durchgeführt worden, deren Deutung nicht im Rahmen der Wellentheorie möglich ist. Zur Erklärung muß angenommen werden, daß das Licht sich wie ein Teilchen, als Korpuskel, dem sogenannten Lichtquant, verhält. Dieses Bild ist immer dann anzuwenden, wenn Licht mit Materie in Wechselwirkung tritt, also zum Beispiel bei der Absorption und Emission, aber auch bei der Streuung von Licht.
0
2
1 e 0 m0
(VII.1)
zusammen. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat den Wert c = 2 , 997 924 58 ⋅ 10 8
m s
(VII.2)
Auch hier gilt, wie bei allen Wellen, der Zusammenhang c = l ⋅ f zwischen der Wellenlänge l und der Frequenz f. Das sichtbare Licht nimmt nur einen kleinen Teil des Spektrums der elektromagnetischen Wellen ein (siehe Bild VII-1). Alle die dort aufgeführten Wellen sind elektromagnetische Wellen und breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit c aus. Die Frequenzen erstrecken sich von 104 bis 1020 s–1.
4
l/m
Bild VII-1 Spektrum der elektromagnetischen Wellen Die Ansichten über die Natur des Lichtes haben sich im Laufe der Jahrhunderte grundlegend gewandelt. Newton stellte im 17. Jahrhundert eine Korpuskulartheorie auf, eine Lichtquelle sendet kleine Korpuskeln aus, die sich geradlinig mit großer Geschwindigkeit fortbewegen, bis sie im menschlichen Auge durch Nervenanregung wahrgenommen werden. Reflexion und Brechung von Licht konnten hiermit erklärt werden, Beugung und Interferenz jedoch nicht. Dies gelang Huygens im Jahr 1678 mit der von ihm entwickelten Wellentheorie, die von Young (1802) durch Experimente untermauert wurde. Nach der Entdeckung der Polarisation durch Malus (1808) hat Fresnel (1815) das Licht als transversale Welle beschrieben, und daß das Licht eine elektromagnetische Transversalwelle ist, wurde von Maxwell (1865) entdeckt. Die physikalischen Größen, die sich bei elektromagnetischen Wellen zeitlich und räumlich periodisch ändern, sind die elektrische Feldstärke und damit verbunden auch die magnetische Feldstärke. Beide stehen senkrecht aufeinander und senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Das Licht breitet sich mit der Naturkonstanten Lichtgeschwindigkeit aus. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hängt mit der
Wird nun die Ausbreitung des Lichtes durch Öffnungen, durch Blenden oder an Gegenständen vorbei betrachtet, und sind diese Gegenstände groß gegenüber der Wellenlänge des Lichtes, so kann die Ausbreitung des Lichtes nach den Gesetzen der geometrischen Optik bestimmt werden, im anderen Fall muß die Wellenoptik herangezogen werden. Die Lichtwellen werden in ihren Ausbreitungsrichtungen durch die Strahlen gekennzeichnet, die senkrecht auf den Wellenfronten stehen (siehe Kapitel V). Bei ebenen Wellen sind die Strahlen parallel. Kreuzen sich zwei Lichtstrahlen, so beeinflussen sie sich gegenseitig nicht.
2.1 Reflexion des Lichtes
Lot
b a
Spiegel
–2
Lichtgeschwindigkeit c =
2 Geometrische Optik Langwellen
–4
–6
Mittelwellen
–8
Ultrakurzwellen
Mikrowellen Radar
–10
Infrarot
–12
Röntgenstrahlung UV-Strahlung sichtbares Licht
g Strahlung
1 Eigenschaften des Lichtes
elektrischen Feldkonstante e0 und der magnetischen Feldkonstante m0 durch die Gleichung
Bild VII-2 Reflexionsgesetz Wird ein einfallender Lichtstrahl an einer ebenen Fläche reflektiert, so gilt das Reflexionsgesetz: Einfallender Strahl, reflektierter Strahl und Einfallslot liegen in einer Ebene. Der Einfallswinkel a und der Reflexionswinkel b sind gleich. Das Einfallslot ist hier das Lot auf der Spiegelfläche. Dies Gesetz wurde bereits in Kapitel V mit der Wellentheorie abgeleitet.
VII Optik
201
L2
zustellen sind, werden für einfache Anwendungen Spiegel genommen, deren Oberfläche aus einer Kugel geschnitten wurde. Diese haben zwar Abbildungsfehler, beschränkt man sich jedoch auf Strahlen, die nahe der optischen Achse einfallen, so können diese Fehler vernachlässigt werden. Der Brennpunkt hat im Rahmen dieser Näherung den Abstand r f = (VII.3) 2 Diese Größe f ist die Brennweite. Zur Bildkonstruktion werden mindestens zwei Strahlen benötigt. Es werden die Strahlen verwendet, deren Verlauf sich einfach konstruieren läßt, nämlich ein achsenparalleler Strahl 1 und ein Brennpunktstrahl 2. Strahl 1 verläuft nach der Reflexion durch den Brennpunkt, Strahl 2 wird achsenparallel reflektiert. Hier können je nach Lage des Gegenstandes G virtuelle oder reelle Bilder entstehen (siehe Bild VII-5). Wird der Abstand des Gegenstandes vom Spiegel mit der Gegenstandsweite g, der Abstand des Bildes mit der Bildweite b bezeichnet, so gilt die Abbildungsgleichung 1 1 1 (VII.4) = + f g b
L1 Auge
Bild VII-3 Bildentstehung Ein Beobachter, der vor einem ebenen Spiegel steht, sieht sein Bild hinter dem Spiegel. Das menschliche Auge in Zusammenarbeit mit dem Gehirn kann keine Richtungsumkehrung oder Abweichungen von der geradlinigen Ausbreitung des Lichtstrahles wahrnehmen. Eine Lichtquelle L1, die vor einem Spiegel steht und deren Licht in das Auge fällt, erscheint dem Beobachter hinter dem Spiegel, dabei wird der tatsächlich vorhandene Strahlenverlauf durch das menschliche Gehirn in den nicht vorhandenen, gestrichelt gezeichneten Verlauf umgedacht. Das Bild L2 der Lichtquelle erscheint dort, wo sich die gedachten Strahlen kreuzen. Bilder, die durch einen nicht wirklich vorhandenen Schnittpunkt, sondern einen gedachten Schnittpunkt entstehen, heißen virtuelle Bilder. Schneiden sich zwei Lichtstrahlen tatsächlich, so entsteht ein reelles Bild.
optische Achse
Die Gegenstandsgröße G und die Bildgröße B lassen sich aus einfachen geometrischen Überlegungen bestimmen, und es gilt: Abbildungsmaßstab B b (VII.5) b= =− G g
F
In diesem System sind die einzelnen Größen mit Vorzeichen behaftet, die positiven Richtungen weisen nach oben und vom Spiegel zum Brennpunkt, in diesem Fall nach links. Ob das Bild reell oder virtuell, verkleinert oder vergrößert wird, hängt von der Gegenstandsweite ab. Es gilt:
Bild VII-4 Parabolspiegel
Im folgenden soll die Reflexion an nicht ebenen Spiegeln untersucht werden. Dabei hat der Spiegel im Querschnitt eine Parabelform; das räumliche Gebilde wird Paraboloid genannt. Diese Parabolspiegel haben die Eigenschaft, alle Strahlen, die parallel zur Symmetrielinie, der optischen Achse, einfallen, so zu reflektieren, daß sie sich in einem Punkt, dem Brennpunkt F, schneiden. Da Parabolspiegel schwer her-
g 2f
reell
höhenverkehrt
verkleinert
2 1 1
1 2
1
M
F 2
M
G
2
1
2
B
B G
1
F
M
2
Bild VII-6 Bildkonstruktion am Hohlspiegel M: Mittelpunkt des Hohlspiegels; F: Brennpunkt; G: Gegenstand; B: Bild
F
G
B
202
Physik
Beispiel: Vor einem Hohlspiegel mit dem Krümmungsradius
r = 10 cm steht in 3 cm Abstand ein 2 cm großer Gegenstand. Wie groß sind Bildweite und Bildgröße?
Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Winkeln in der Abbildung VII-6:
r = 5 cm 2
Reflexionsgesetz
a1 = b
(VII.6)
1 1 1 1 1 = − = − b f g 5 3
Brechungsgesetz
sin a1 c1 = sin a 2 c 2
(VII.7)
Lösung: f =
b = −7,5 cm B = −G
b −7,5 cm = −2 cm ⋅ = 5 cm g 3 cm
Da b negativ ist, ist das Bild ein virtuelles Bild, B ist positiv, somit ist das Bild aufrecht, was dem Bild VII-5 c entspricht.
Jedem Medium wird eine Zahl zugeordnet, die durch das Verhältnis der Lichtgeschwindigkeit im Medium zu der im Vakuum definiert ist. Brechungsindex
n=
2.2 Brechungsgesetz Trifft ein Lichtstrahl schräg auf die Grenzfläche zwischen zwei nicht absorbierenden Stoffen, in denen das Licht unterschiedliche Lichtgeschwindigkeit hat, so wird ein Teil des einfallenden Lichtes reflektiert, ein anderer Teil tritt in das zweite Medium ein. Dabei ändert sich die Ausbreitungsrichtung an der Grenzfläche. Dies wird als Brechung bezeichnet. Medium 1
c Vac c
(VII.8)
Der Brechungsindex des betreffenden Materials hängt allerdings von der Wellenlänge des Lichtes ab. Die Tatsache, daß der Brechungsindex von der Wellenlänge des Lichtes abhängt, heißt Dispersion. Im optischen Bereich ist die Abhängigkeit normalerweise so, daß mit steigender Wellenlänge der Brechungsindex kleiner wird. Mit Hilfe der Brechungsindizes läßt sich das Brechungsgesetz auch schreiben:
Medium 2
Brechungsgesetz
b a1
a2
Bild VII-6 Brechungsgesetz
sin a1 n 2 = sin a 2 n1
(VII.9)
Stoffe mit kleinerem Brechungsindex sind optisch dünner, solche mit größerem Index optisch dichter.
Tabelle VII-1 Brechungsindizes für l = 589 nm, 20 °C und 1013 hPa Feste Stoffe
n
Flüssigkeiten und Gase
n
Eis Flußspat Steinsalz Optische Gläser Borkron BK1 Flint F3 Schwerflint SF4 Quarzglas Plexiglas Diamant
1,31 1,4338 1,5443
Wasser Äthylalkohol Leinöl Benzol
1,333 1,3618 1,486 1,5012
Luft Sauerstoff Stickstoff Kohlendioxid
1,000 292 1,000 271 1,000 298 1,000 449
1,51 1,6128 1,7550 1,4588 1,50 . . . 1,52 2,4173
Tabelle VII-2 Dispersion einiger Stoffe Farbe und Wellenlänge l Brechungsindex Stoff
violett 396,8 nm
blau 430,7 nm
blaugrün 486,1 nm
grün 527 nm
gelb 589 nm
rot 656,2 nm
dunkelrot 760,8 nm
Wasser
1,3435
1,3406
1,3371
1,3352
1,333
1,3312
1,3289
Flint F3
1,6542
1,6355
1,6246
1,6190
1,6128
1,6081
1,6029
VII Optik
203
Totalreflexion 1
2
3
4 5 n2 = 1 6 n1 = 1,5 7
Bild VII-7 Totalreflexion
P
sichtigen Material, normalerweise aus Glas. Die Kante CF ist die brechende Kante K und der Winkel e der brechende Winkel. Die Fläche ABDE heißt die Basis des Prismas. Im Bild VII-9 ist ein symmetrischer Strahlengang gezeichnet, die Winkelhalbierende von e steht senkrecht auf dem Lichtstrahl. In diesem Fall des symmetrischen Strahlengangs gilt für den Ablenkwinkel d, daß dieser minimal wird. Ist das Prisma von Luft umgeben und hat den Brechungsindex n, so gilt die Gleichung: F
K e
K
Das Brechungsgesetz (VII.9) gilt unabhängig davon, ob das Licht aus einem optisch dichteren oder optisch dünnerem Medium austritt. Tritt das Licht aus einem optisch dichteren Medium in ein optisch dünneres Medium, so verläuft der Strahl wie in Bild VII-7 dargestellt, er wird vom Einfallslot weggebrochen. Wenn der Lichtstrahl aus einem optisch dichteren Medium in z.B. Luft tritt, so ist n2 Ɱ n1, und es folgt für den Ausfallswinkel nach (VII.9) Totalreflexion sin a 2 =
n1 ⋅ sin a1 n2
(VII.10)
Da n1 Ɑ n2, kann der Fall eintreten, daß bei einem bestimmten Einfallswinkel a1 der Wert für sin a2 Ɑ 1 wird. Ab diesem Grenzwinkel kann dann der Lichtstrahl nicht mehr ins Medium 2 eintreten, er wird vollständig reflektiert. Dies Phänomen heißt Totalreflexion. In Bild VII-7 sind einige Strahlenverläufe, ausgehend vom Punkt P, gezeichnet. Der Grenzwinkel ergibt sich in diesem Beispiel zu sin a1 =
n2 1 = n1 1, 5
C
D
E
a
d b
A
B
Bild VII-9 Prisma K
rot
a weiß
b blau
Bild VII-10 Spektrale Zerlegung
sin
d+e e = n ⋅ sin 2 2
(VII.11)
Aus einer Messung des Ablenkwinkels d kann, bei bekanntem brechenden Winkel e, der Brechungsindex des Prismas bestimmt werden. d+e 2 n= e sin 2 sin
a1 = 41, 81
und liegt zwischen den Strahlen 6 und 7. Technische Anwendung findet dieses Phänomen bei der Nachrichtenübertragung in Lichtleitern. Ein Lichtleiter ist im Prinzip so aufgebaut, daß ein optisch dichteres Material, der Kern, von einem optisch dünneren Material, dem Mantel, umgeben ist. Auf die Stirnfläche eintretendes Licht wird an der Grenzfläche Kern – Mantel totalreflektiert. Kern n1 Mantel n2 Luft
Bild VII-8 Lichtleiter
Prisma Ein Prisma ist ein von geraden, gegeneinander geneigten Flächen begrenzter Körper aus einem durch-
(VII.12)
Dies Verfahren kann auch bei Flüssigkeiten angewendet werden. Die zu untersuchende Flüssigkeit wird dann in ein Hohlprisma gefüllt und der Ablenkwinkel bestimmt. Da der Brechungsindex von der Wellenlänge abhängt, kann mit einem Prisma Licht spektral zerlegt werden. Einfallendes weißes Licht, in dem alle Wellenlängen bzw. Farben vertreten sind, wird durch ein Prisma nach Farben zerlegt. Für rotes Licht ist der Brechungsindex kleiner als für blaues Licht, daher ist der Ablenkwinkel für rotes Licht kleiner als für blaues Licht (siehe Tabelle VII-2).
Linsen In allen optischen Systemen und Geräten werden Linsen verwendet. Dieses sind Glaskörper, die durch zwei Kugelflächen begrenzt sind. In der technischen Optik (nach DIN 1335) werden für die Brechung an einer Kugelfläche Vorzeichen festgelegt. Es gilt: Die
204
Physik y
Bild VII-11 Vorzeichenkonvention F′
S
z
C
f′ +r
F′ n2
n1
1
+∞
1 S
F –∞
f′
C F′
r 2
2
Bild VII-13 Sammel- und Zerstreuungslinse
f′
f
Bild VII-12 Brennpunkte einer konvexen Kugelfläche Achse durch den Kugelmittelpunkt ist die optische Achse, zugleich z-Achse des Koordinatensystems. Die positive z-Richtung wird durch die Laufrichtung des Lichtes festgelegt. Die y-Achse steht senkrecht auf der z-Achse und weist von unten nach oben. Der Radius der Kugel ist positiv, wenn das Zentrum C der Kugel in positiver z-Richtung vom Scheitelpunkt S liegt, hier also nach rechts. Sämtliche Strecken, die von S in negativer z-Richtung gemessen werden, erhalten ein negatives Vorzeichen. Da durch eine Kugelfläche Medien mit unterschiedlichen Brechungsindizes n1 und n2 getrennt werden, ist der Strahlenverlauf auf beiden Seiten der Fläche unterschiedlich. Die Brennpunkte F und F' sind so definiert, daß Strahlen, die von ihnen ausgehen, so gebrochen werden, daß sie achsenparallel weiter verlaufen. Für die Brennweiten f und f ' gilt: Brennweite
f =
n1 r n 2 − n1
n2 r f′= n 2 − n1
(VII.13)
(VII.14)
Kommen die Strahlen nicht aus dem Brennpunkt, sondern aus einem weiter entfernten Punkt im Abstand g, so schneiden sich alle Strahlen im Abstand b. Für diese Abstände gilt die f′ f Abbildungsgleichung − =1 (VII.15) b g Dabei ist g gemäß der Definition negativ einzusetzen. Der Einfachheit halber soll angenommen werden, daß die Linsendicke vernachlässigbar klein ist, es sich also um dünne Linsen handelt. An beiden Grenzflä-
chen zwischen der Linse und dem umgebenden Medium, im allgemeinen Luft, werden die Lichtstrahlen gebrochen. Bei dünnen Linsen kann man den Strahlengang konstruieren, indem beide Brechungen durch eine Brechung an der Mittellinie ersetzt werden. Es gibt Sammellinsen, oder konvexe Linsen, und Zerstreuungslinsen, oder konkave Linsen. Der Strahlenverlauf ist in Bild VII-13 dargestellt. Die tatsächlichen Strahlen sind durchgezogen gezeichnet, bei der Zerstreuungslinse wird der Brennpunkt durch die gestrichelt gezeichnete gedachte rückwärtige Verlängerung konstruiert. Da der Brennpunkt auf der linken Seite liegt, hat die Zerstreuungslinse eine negative Brennweite. Die Linse sei nun in Luft und besitze den Brechungsindex nL. Es gilt für die Brennweite f ': 1 ⎛1 1⎞ = ( n L − 1) ⎜ − ⎟ ⎝ r1 r2 ⎠ f′
(VII.16)
r1 Radius der linken Kugelfläche, r2 Radius der rechten Fläche. Sind beide Brennweiten gleich, so wird (VII.15) zur 1 1 1 Linsenformel (VII.17) = − f b g Den Kehrwert der Brennweite f nennt man die Brechkraft oder Dioptrie D. D=
1 f
Der Abbildungsmaßstab ist: B b b′ = = G g
D f m −1 m
(VII.18)
(VII.19)
Zur Konstruktion der Abbildung durch Linsen verwendet man zweckmäßigerweise folgende Strahlen: 1. Strahl parallel zur optischen Achse: durch den Brennpunkt, 2. Strahl durch die Linsenmitte: keine Ablenkung, 3. Strahl durch den Brennpunkt: parallel zur optischen Achse.
VII Optik
205
1 2
3 G
F
B
F
F
B
–g
G
F G
Bild VII-14 Abbildung durch eine Sammellinse
+b
F
B
F
GB
–b
Bild VII-15 Abbildung durch Zerstreuungslinsen
–g
In Bild VII-14 sind für zwei Fälle die Bildkonstruktionen durchgeführt. Links: Gegenstand außerhalb der doppelten Brennweite: Es ergibt sich ein reelles, höhenverkehrtes und verkleinertes Bild. Rechts: Gegenstand innerhalb der Brennweite: Es ergibt sich ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild. Beispiel: Ein Gegenstand der Größe 4 cm steht 25 cm entfernt
von einer Sammellinse der Brennweite f = 5 cm. Wie groß sind a) Bildweite, b) Abbildungsmaßstab und c) Bildgröße? Lösung:
1 1 1 1 1 = + = + b f g 5 cm − 25 cm
a) Bildweite
b = 6,25 cm b=
c) Bildgröße
B = b ⋅ G = −0 , 25 ⋅ 4 cm = −1 cm
Da b positiv ist, liegt das Bild rechts von der Linse, B ist negativ, somit ist das Bild höhenverkehrt, dies entspricht dem Bild VII-14 a. Beispiel: Ein Gegenstand der Größe 4 cm steht 3 cm entfernt von
einer Sammellinse der Brennweite f = 5 cm. Wie groß sind a) Bildweite, b) Abbildungsmaßstab und c) Bildgröße? Lösung:
1 1 1 1 1 = + = + b f g 5 cm − 3 cm
a) Bildweite
b=
Bei der Abbildung durch Zerstreuungslinsen werden im Prinzip die gleichen Strahlen verwendet wie bei Sammellinsen, nur entstehen hier grundsätzlich virtuelle Bilder, da sich die Strahlen ja nie schneiden können. Werden zwei Linsen kombiniert, und zwar so, daß sie in einem Abstand e voneinander stehen, so ergibt sich für das System eine Gesamtbrennweite nach folgender Formel: Brennweite einer Linsenkombination
Beispiel: Ein Linsensystem besteht aus einer Sammellinse der
Brennweite f1 = 10 cm und einer Zerstreuungslinse der Brennweite f2 = –6 cm. Beide haben einen Abstand von e = 5 cm. Wie groß ist die Brennweite des Systems? Lösung:
1 1 1 5 cm = + − = 0,0167 cm −1 f ges 10 cm − 6 cm − 6 ⋅ 10 cm 2
f ges = 60 cm
b −7,5 cm = = 2,5 g − 3 cm
Tabelle VII-3 Bauformen von Linsen
bi-konvex
plan-konvex
(VII.20)
In Linsensystemen werden die verschiedensten Formen verwendet, die gängigsten Bauformen von Linsen sind in Tabelle VII-3 aufgeführt.
b = −7,5 cm b) Abbildungsmaßstab
B = b ⋅ G = 2 , 5 ⋅ 4 cm = 10 cm
b ist jetzt < 0, B > 0, somit liegt ein virtuelles, vergrößertes Bild vor.
1 1 1 e = + − f ges f1 f 2 f1 ⋅ f 2
b 6,25 cm = = −0 , 25 g − 25 cm
b) Abbildungsmaßstab
c) Bildgröße
bi-konkav
plan-konkav
Radien
r1 > 0 r2 < 0
r1 = ∞ r2 < 0
r1 < 0 r2 > 0
r1 = ∞ r2 > 0
Brennweite
f >0
f >0
f
