Ziya
~ana l
Mathematik fU r Ingenieure
Meinen Kind em l iilide Fehime und Tarik Ulvi
Ziya Sana t
Mathematik fur Ingenieure Grundlagen, Anwendungen in Map le und C++ 2., aktua lisierte und erweiterte Auf lage
STUD IUM
II VIEWEG + TEUBNER
Biblicgratische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Natic nalbiblio thek verzeichnet diese Publikation in der Deutscnen National bibliogralie; oetaunerte bibliografische Daten sind im Internet uber abrulbar.
Prof. Dr.-Ing . Ziya Sanallehrt Mathema tik, FEM, Baudynam ik, Bauinformatik und Behalterbau an der Fakultat Bauingenieurwesen der Hochschul e Miinchen. Email:
[email protected] Intern et: www.stahlbaustu dium .de/02Isanaa .htm
1. Auflage 2004 2.,aktualisierte und erweiterte Auflage 2009 Aile Rechte vorbehalten
© Vieweg+Teubner I GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat : DipL-lng. Rail Harms
I Sabine Koch
Vieweg+Teubner rst Teil der Fachverlagsgrup pe Springer Science-Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschl ieBlich aller seiner rene lst urhe berrechtlich geschiitzt. lede Verwertun g auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzufassig und strafbae. Das gilt insbesondere liir v ervieltattigungen, Dbersetrungen, Mi kroverfilmungen uno die Emspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen , Hendelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass sclche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Mar kenschutz-Gesetzgebung ats frei zu betrachlen waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umscblaggestaltung: Kii nkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck uno buchbindensche verarbeitung: STRAUSS GMBH, M6rl enbach Gedruckt auf sauretreiern und chlorfrei gebleichlem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0748-9
Vorwort Gegcn ubcr der 1. Aufl agc hal das S uch suhstanzicl lc Andcrungen crfahrcn. Ocr bishcrigc lnhalt wurdc vollstandig ubcrarbcitet und hinsichtlich seiner Eignu ng zum Sclbst studium noch weber verbesse n. Zum eincn hat die Anzahl der durchgercchnc ten Beispiele und dcr Aufgabcn mit Lcsungcn ganz stark zuge nommen , ebcnso die Anzah l der Bilder und Skizzen. die Studierendcn hel fen sollen, Aufga bcnslel1ungen und ihrc Losun gcn auch visuell zu verarbeitc n - ganz nach der a1tbekannte n Weishei t »ein Bild sagt mehr als tau send w orte« (hier eher: tau send Formeln!), Z UlU anderen sind neue Themen aufgcnom men worden. lim den Bed Urfnissen der Master Studicngang e Rcchnung zu tragcn. Auch Anrcgungc n und konstrukuve Kritik zur J. Au llagc aus Kollc gcnkrciscn und aus den Rei hcn der Studicrcndcn wurdcn sowc it wie mogli ch bcrilcksichtigt und cingcarbcitct. Nicht zulc tzt sind bcka nnt gcwordc nc Tipp - und Rechcnfehlcr korrigi ert worde n. Dcr Kcrngcda nkc dcr Abhundlu ngsmcthodik hat sich nicht gcsndcrt. Nac h wie vor stcht im Vord ergrund die Zielse tzung. den Stoff mcg tichst nnschaulich und vcrstandlic h zu venn itteln und wo cs nur gcht auf Bcweisfuhrun gen zu vcrzichtcn - cs sci denn. der Bewei s bcsitzt einen hohcn didaktischcn Nutzen fur die Studierenden. Die blsbcrigcn sehr positivcn Reaktionen seitens dcr Studiercnd cn bestiitigen diesen Ansatz. Die Reihen folge der behandelten Th emen ist so aufgebaur. dass jedes Kapitcl-i m Rahmen des Mogfichen- das n6tige Riistzeug fur das nnchste darauf fclgcnd c Kapitel bcreit stellt. lnsofcrn kann von ci ncrn gm sichtbaren roten Faden gcs prochcn werde n. Fo igende Kapitel sollien den Math cmuti kbcdarf ci nes Ilache lor-Stud iums decken: Grund wissen - Eleme ntare Funkt ionen - Matrizen und linea re Gleiehun gssysteme - ve ktorrechnung - Elementare analyti sche Geometric - Differe ntialreehnun g - Differeruialrechnu ng fbr multivariable Funktionen - Integralrcchnung - Gcwohnlichc Ditfcrcntialg lcic hungcn ~ Stochastik . Filr cin M aster-Studiu m sind folgcndc Kapitcl vorgeschcn: Eigenwenaufgab en - Losun g von nichtlincaren Glcichungcn - Losu ngsvcrfuhrcn fur linear e Glci ch ungssystcmc - Numerisch e Losun g von Differentialgleichun gen - Fouricr-Rcihcn - Pani elle Diffe rent ialgleichu ngen - Kornple xc Zahl en - Math ematik mit Map le. Mil dcm nunmch r vorliege nden Inhalt sollte d ieses Buch d ie Matbem ank -A usblldun g in Ingenteurstudie ngangen der Fac hhoch schulen sowohl im BacheJor-Studi eng ang als auch im MusterStudi engang wei tgchcnd abdc cke n. Zweifelsohne sind verschledene Verbcsserungen und weitere Ergan zun gcn ntoglich und wohl auch wu nschcn swcrt . FUrj edc Anre gun g und Kritik . die einen Beitrag dazu leistct.fuhu sich der Autor zu Dank vcrprlic btct. Mu nchen. April 2009
Ziya $mwl
Inhaltsverzeichnis 1
2
3
Grundwissen 1.1 Absolutwen 1.2 Potenzen und wurzet n . 1.3 Summation . Produkt und Fakultar 1.4 Miuelwert einer Zahlcnreihc . 1.5 Logari th mus . 1.6 Absolutcr und Rc lativcr Fchlcr . 1.7 WinkclmaBc: Grad lind Rad iant 1.8 Zu satzlich c Bcispiclc 1.9 Aufgabcn . Eleme nta re Funktione n 2.1 Polynomfunkt ionen . 2.2 Potenz - und Wurzelfunktionen 2.3 Exponcntialfu nktion . 2.4 Logari th rnus-Funktionc n . 2.5 Trigouornctr ische Funktionen . 2.6 Hyperbclfunktionen . 2.7 Arku sfunkt ioncn .. 2.8 Kegclschnill-Funktionen 2.9 Explizitc und implizitc Funktionen 2.10 Funkti onen in Pararnet erdarstel1ung 2. 11 Wcitcrc Funktionen . 2.12 Symmetric und Srct igkcit vo n Funktio ncn 2.13 Zusatzlichc Bcispiclc 2.14 Aufgabcn . l\Ia trizen und Iinea re Gtekhungssyste me 3.1 EinlUhrun g . 3.2 Definit ionen fur Matrizcn . 3.3 Addition und Subtraktion von Mat rizen 3.4 Transposition von Matriz en . 3.5 Matrix-M ultiplikat ion .. . 3.6 Lincarc Gleichungssyteme 3.7 Lincarc Abhangigkcit . 3.8 Dctcrmi nanrcn . 3.9 Invcrucrung von Matrizcn 3.10 Zusatzlichc Bcispiclc 3.11 Aufgabcn . . .
I I I 3 8
9 II 12 13 IS
23 23 26 27
29 35 39
40 42 45 46
48 49 51
52 55 55 57
62 63 65 72 83 85
95
10(J
1119
VIII
4
lnhahsverzeic hnis
Vektorrechnung 4. 1 4 .2 4.3 4.4 4.5 4.6 4 .7 4.8 4.9 4. JO 4 . 11
Einfuhrung . Lincarc Oper ationcn von Vektoren . Lineare Ab hangi gkcit von Vektore n 3D- Vektor in Matrixsch rcib wcis c . 3D- Vektor in dcr Schreibweise mit Basisvektc ren Skalarprodu kt . Kreuzprodukt .. A nwcndungcn in dcr Mecha nik . Anwendu ngcn dcr Vcktorrcchnung in dcr analytischcn Geometric Zu satzfic hc Beis picle Au fgabcn .
5
Etem entare ane tyttsch e Oeo metrle 5. 1 Koordinatensystcmc . 5.2 Koo rdiuatemransformauon in der xy-Ebene 5.3 Abstand zwischen zwei Punkten 5.4 Gerade n in der .rj-Ebcne 5.5 Zusatzlichc Bcispiclc 5.6 Au fgahcn . . . . .
6
I>ifTerentia lrechnllng 6. 1 Definition de r Ablcitung 6.2 Ableitungsregeln . 6.3 Hoherc Ableit ungen . 6.4 Ablcitung im pliz itc r Funktionen 6.5 Ablcitung lc gurithmischcr Funktioncn 6.6 Ablcitung von Parumctcrfunk tioncn . 6.7 Entw icklung von Funktio ncn in Potenzreihcn 6.8 Li nearisicrung einer Funktio n 6.9 Regel von I' Hospital 6.10 Krumm ungsradiu s eincr Kurvc 6.1 1 Lokale Ext rcrnwcrtc eincr Funktion 6.12 Newton-Ve rfuhren fur Nutls retle nbe stimmung 6. 13 Z usatzlichc Bcispielc 6. 14 Tcch nische Anwe ndu nge n 6.15 Aufgabcn .
7
Ditferentiatrechnung fiir mu h ivariable Funktlonen 7. 1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6
Einleitung . Panielle Abtcitung einer Funktio n von zwei Variablen . Part icllc Ablc uung ciner Funktion von II unab ha ngigc n Variablcn Das totalc Differen tial . lmp lizite Ablei tung . Ska larfelder , Skala rfunk tioncn
II "
119 121 123 124 127 129 133 137 140 152 171
175 175 180 185 186 198 203
20S .205
209 2 16 2 16 2 17 2 18 2 19 222 224
225 227 230
235 245 256
263 263 266 27 1 274
281
285
lnhultsverzeich nis
7.7 G rad ient 7.8 Richtungsab leitu ng 7.9 7. 10 7. 11 7. 12 7. 13
8
Nivcuuli nien und Nivc uuflachc n Extrcmwcrtc vo n Funktion cn mchrcrcr Variablcn Z usatzlichc Bcispiclc . Techn ischc An wendungsbci spiele Aufgabcn . . .. ..
. 286 .29 1 . 294
. 300 · 305 . 324 . 329
Int cgra trechn ung 8. 1
8.2 8.3 8,4 8.5 8.6
8.7 9
. .
IX
Unbcs tim mtes Integral Bcsummtcs Integra l . Numer ische Integration Geometrische Auwen duuge n der Intcgralrechnung Techn ische Anwc nd unge n de r Integra lrccbnung Zusatzlichc Bcispiclc Aufgabc n .
335
. 336 · 342 · 347
.356 . 369 · 378
· 398
Oe wohntlche Dtn er ennatgfetchungen 9. 1 9.2 9.3 9,4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9. 10 9. 11 9 . 12
Einfuhru ng . Definitio nen fur Differentialgleich ungen Lc sung cincr Di lTerent ialglcich ung . Allgeme ine. spcz icllc und parnkularc Losung Losungsstrarcg ie flir ein ph ysik alis chc s Problem . Diffcrcnnalgfcichungcn I. Ord nung . Z usatzlichc Bcis piclc fur lineare DGLn I. Ord nung Lineare Dtfferenrlalgleichungen 2. Ordnung . . . . Z usatzlichc Bcispicl c fur lincarc DG Ln 2. Ord nung Anwcnd ungsbeispielc aus dcr Stru kturdyna mik weitere technisch e Auwendun gsbeis piele Aufgabc n .
10 Stucha stik 10. 1 Deskriptive Statistik . 10.2 Ele menrare Wahrschcinlich keirsthcoric . 10.3 ZufaJlsvar iabJc . . . 10,4 Verteilungsfu nktion F (x) 10.5 Dic htcfunktion J (x ) . 10.6 Mabzahlc n eincr stctig vertetltcn Zufallsvariab le . 10.7 Normalvcrtcilung . . 10.8 Weitere Verteilungen 10.9 Zu sarzliche Beispicl c 10.10 Au fgabc n .
II Elgenwer ta ufgaben I J.I EinfLihrun g
403
. 403 . 406 . . · .
409 41 I 413 41 4
· 433 . . . · .
453 466 47 0 482 489
49 3 . 49 4 . 504 · 5 13
· 5 15 .5 16 · 5 18 .520 · 525 . 527 · 53 1 533
· 533
X
lnhahsverzeic hnis
1.2 Spe zicllc und allgeme ine Eigc nwcrtaufgabc 1.3 Los ung dcr spcz icllc n Eigcnwc rtaufgubc . . 1.4 Los ung dcr allg cmci ncn Eigc nwcrtaufgabc 1.5 Z usiitzliche Bcispielc 1.6 Au fgabcn . 1.7 Ken ngrouen eincr Matri x und Eigenwert e . 1.8 Nu merische Methoden fiir Eigenwert au fgabc n . 1.9 M ises-lt eration sverfa hren (Power-Methode ) . . 1.10 Inverse Iteratio n (Modifizien es Mises-Iteration sverfahren] 1.11 Inverse Iter ation bei Schw ing ungspro ble men 1. 12 Inverse Iteration bci Sta bilitat saufga bcu 1.13 Zusat zlich c Bci spic !c . 1.14 A ufgabcn .
· · . · · · · · . .
· 57 1 · 573 · 576
12 Losun g von nic htlinearen Gleichungen 12.1 12.2 12.3 12.4
Regu la Fal si Fixpunkt-lteratio u . . Z usatzfiche Beispiele Aufgabc n .
13 Losungsverta hren fU r ttnea re Gl d chungssyst eme 13. 1 Ltl -Paktonsieru ng . 13.2 13.3 13.4 13.5
C ho lesky-Verfahren . Ga uss-Scidcl-vcrfahrcn . Z usatzlic hc Beis piclc Aufgabcn .
14 Numeri sche Los u ng von Dtnerent tat glei chungen 14.1 Diffcrent ialgleich ungen 1. Ord nung 14.2 Z usatzfic he Beispiefe 14.3 Au fgaben .
579 . 579 · 583 · 58 7
.590 59 1 · 59 1 · 597
. 599 . 603 . 604
605 .605 .609 . 6 12
15 Fourier-Reihen 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5
EinfLi hrun g Fo urier-Rei hcn . Fou rier-Rci hen gerade r und ungcrudc r Funktioncn . Fouri er-Rei he einer bcrc ichsweisc dc finicrtc n Funktion Au fgabcn .
16 Pa rfielle DiITerentialgleichungen 16.1 Einfuhrung . 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6
Bicgcschwi ngungcn c ines Balkens Axialschwi ngungen eincs Sta bs . Sch wi ngu ngcn cines Seils od cr ciner Su ite Plune nbicgu ng Au fgabcn .
534 53 6 540 543 545 547 55 2 553 560 564-
· · · · ·
6 13 6 13 6 15 625 628 632
635 · 635 · 635 .644 . 649 · 65 3 .654
lnhultsverzeichnis
XI
17 Kom plexe Za hlen 17.1 Einfll hrung 17.2 Algebraische Oper attonen mit komplexen Zah len: . 17.3 Aufgabcn .
657 . 657 . 66 1 . 663
18 Ma thematik mit Mapl e 18.1 EinlUhrung in Maple 18.2 Elemcmar-Mathc matik . 18.3 Lincarc Algebra . . 18.4 Vcktorrech nung . . . . . 18.5 Differe ntiulrechnu ng . . 18.6 DifTerentialrcchnung fur multivariable Funktionen 18.7 Intcgrulrcchnung . 18.8 Gcwohnlic hc Diffcrcntiulglci ch ungen 18.9 Eigenwerte . . . . . . . 18.10 Nichtlinearc Glc ichungen . 18.1 1 Linearc G fcichun gssystcrnc 18.12 0 ifTerentialglcichungen . . 18.13 Four ier-Reih en . . . . . . . 18.14 Pani elle Differcntialglcichungen .
. . . . . . . . . . . . . .
665 666 673 676 679 68 1 685 688 690 692 699 700 702 704 705
19 Ma the matik mit C++ 19.1 EinlUhrung . . . . 19.2 Dcr C++ Co mpiler 19.3 Ableitung ei ner Funktion 19.4 Newto n-Verfahrcn . 19.5 Lincare Algebra . . 19.6 lmcgrelrcchnung . 19.7 Fuute-Elc rnen te-M cthodc - FEM
. . . . . . .
707 707 708 709 710 710 7 12 712
Anha ng
717
A Ausgewahlte Fnrm eln und Beziehungen A. I Trigono metrische Funktio ncn . A.2 Arkusfunktio ncn A.3 Hypcrbclfunktionen . AA Ablcitu ngcn clc mentarcr Funkt ioncn A.5 Unbestimmte Integrale . . A.6 Einigc bcstimmte Integrale . A.7 vcrschtcdcnc Ausdruc ke A.S Vcrtcilungsfunktion dcr Normalvertcilung A.9 Verschicdc ne Kc nstanren und Syrnbole .
Literatu rverzeichnis
. . . . . . . . .
719 7 19 721 721 722 723 731 732 733 738 739
XII
Inhall ~\'t'rzt'ichn i s
Stfchwortverzeicbnis
I
Grundwissen
In dic scm Kapitcl werdcn cinigc Th cmcn dcr Schulrnathcm atik aufgcfrischt sowic c inigc Gru ndformcln dcr Algebra , d ie in clef Ingcnic urpruxis haufig bcnotig t wcrdcn, zusam mcn gcstcllt .
1.1
Absolutwert
Ocr Absolur wen Ixl eincr reel/ell Zahl .r is! ihr Be/rag. d.h . ihr pos iuver Wert ohne Rllcksicht auf das Vorzeichcn (der Betrag ciner kornplexen Zahl wird enders bcrechncn .
Ixl ~
X
{
-x
fUr x 2:0
( I. I )
fur r c O
lJeispiel 1.1:
151 ~ 5 Tabelle 1.1 : Regeln fur Absolutwert
Ixl
~
[x- .1'1
I;I
~
Ixl + 1."1 2: Ix ±yl ~
1.2
0
I-xl
[r ]
1·, 1· 1,.1 Ixl
1,.1 I·t ± yl
11.gu
+ .. .+ 10&, x"
10&, .r - log" y
y
lu&, x
10. II .
10g I0 10 =lg lO = I Ig 102.5 = 2.5 Ig 101< = 3x Ig In, io 2x = sin 2x
.r
log" (.\' l · -Q · · - x,,)
8.
1.6
o
Y 10&, .t g(.\') log" f (x) (log" _tV log" x + 10&, Y 10gb f (x ) log" b
IOlgx = x
bz w .
e3
Inx
=.r'
Ig .r' = 3 Igx Ig (.J
+ I )" = x
Ig (.J
+ l}
Ig 2" #- (lg 2).1 Ig(2 + 3) #- lg 2+ lg 3 Ig 8 = In 8 lg e = 0 .903 '-v-' '-v-' 2.079oW OAJ4 :N
Absoluter und Relat iver Fehler
Jedes mathematische Naherungsver fahren bringt unvermeidlic herweise einen gewissc n Fehler mit sich. Diescr Fehle r kann fll r ingeneu rtechnische Auwendungen vollig unbedeut end scin. ode r uber auch so gmB. dass d ie ganze Losung in Fruge gestellt worde n muss. Dcshalb wird in die sem S uch bci viclc n Aufgabenlosungcn auch der relative Fehler angege ben. wclchcr infolge ciner Nahcrungsmcthod c enstcht. Natilrlich kann dcr Fehlcr nur dann crrcchnct wcrden, wcnn die cxakte Losung bckannt ist (cs gibt zwar auch furtgcschriucnc Peht crubschmzungsmcthod cn. die oh ne Kcnr ur us dcr exakren Losung uuskom mcn: sic worden bier jcdoc h nich t bchandch) . Ocr absolute Fehler- E"I,_ , (E fur »crror«) einc r Nnhcrungs tosung entspric ht dem Betrag dcr Differ enz zwischen dcr exa kten und dcr Naherungs- Los ung.
E",. = If - 1,,1
f : exaktcr Losungswcrt
[" : Nahcru ngslosung
Dcr relative Feh ler E ,-t'i dcr Nahcrungslosung ergibt sich aus folgender Bcziehung:
( 1.27)
12
I Grundwis sen
Hd spid 1.14: D ie Que rschnitts ftikhe d e s Sta hl. Walx p ro tils IP E 200 bc tragt exu kt A = 2&,5 c",2 . Ei,
ne von Hand durchgcfuhrtc vcrcinfachtc Flachenbcrcchnung umcr Vcmachlassigung dcr Ausrundungsradic n licfcrt den Nahcrungswe rt A " = 27.3 c/II2 . Wie gro13 ist dcr relative Feh ler dcr Handreeh nung ?
E~ rel
1.7
~
28 IA-A, - 27.3 1= 0 ,042=: 4 ,2% A II~ 1 .528,5
\Vin kelmaBe: Grad und Radiant
In dcr Geometric wird als Winkelma13 in dcr Regel des Gradll/ap (Sym bol 0) verwcndct: L B. sagt man »90 Grad isl ein rcchter Winkel" usw. In physikalisehen Anwendu ngcn (Stati k. Dynamik. Elektrotechnik usw.] wird dagcgcn IUr Winkel das Bogenmaj.J verwendcr. Die MaBeinheil fur Bogenma13 ist der Radium (Symbol: tad ). s
,
a ~l
r
s=r
r
rad
a: Definition von I Rad i-
"
b: Belie bige Bogenlfinge s
ant
Bill! 1.1: Beziehung zwischen BogcnmaB und Bogcnumgc
Wie in Bild 1.1 a dargcs reltt. cntspric bt I Radiant dcmjenigen Winkel a . dcr au f der Umfangslinic cines Kreiscs vom Radius r eincn Bogen von der Lange s = r definiert (Bogenlange s gleich dem Radius r) . Zw ischen der Bogcn tange s, dem Rad ius r und dem elngcschlosse ncn Winkel a des Kreisbogens in Bild 1.1 b besteht folgende Beziehung (s. auch Kapitel 8 uber Integrulrechnung]: (a in Bogcnma13)
( 1.28)
Dcr Vollwinkel cines Krciscs bctragt 3600 in Gradma13 bzw. 211" rad in Bogenmau. woraus folgr: I rad = 3600 = 180° = 57.295779513082309° ~ 57.3° 2
•
•
Fur Ingenieuranwendungen ist die Wahl des Winkclmalles von groBer Bedeutung. Sorgfoscr Umgang kann schr tclc ht. insbesondere in der Mcchanik (Statik und Dynamik). zu falschcn Ergebnis-
I.R Zusarzfiche Bcispicle
13
sen fuhrcn . Bcispic lsweisc liefern Form cl sammlungcn der Stati k den Dreh wi nkel cines bcidsctig gclc nkig gelagcrtc n Balk cns imrn cr in Bog cnrnab . Auf dcr and cren Sc itc will man sic h moistens in gcw ohntcr Weis e, d.h. in G rad mug, vors tcllc n kon ncn . wie stark xich dcr Balk cn verdreht: in sotche n Fallen muss dcr Drehwinkcl vom BogenmaB in Ora dmaB umgcrechncr werde n. Fanstregel: Falls cine tcchnischc Form er mil Zeit. Gcschwindigkcit od cr Beschlcu nigung zu tun hat ode r cl n rnathcmatischer Ausdru ck di fferen zien wi rd (s . Absc hnitl6) muss in der Regel mit BogenmaB gearbeitet werde n. In anderen EHlen ist d ie Ent sch cidung tibe r d ie Verwendu ng von G radm au ode r Bogenma13 an ha nd der Aufgaben art zu treffen . Es wird em pfohlen. Grad nur dort zu verwen den. wo es urn rein geomctrische Gr c aen ge ht: in alle n anderen Fallen so llte dem Boge nma13 de r Vorz ug gegebc n werden. Au f Taschenrechnern wird das G rad ma13 i.a. mit der Kurzfo nn deg (e ngL degree ) kenntlich ge mach t. das Bogcnma13 mit rad (Rad iant). Die Umr echnung zwische n de n heid en Winkelmubeu erfolg t mit folgend en Formeln: Um rechnu ng vom Bogen maB in Orad:
( 1.29 )
Umrechnung vom Orad in Bogcnmab: Einige haufig verw en de te wiukel wene in Or ad - und BogenmaB sind :
1.8
Or admaB:
00
BogenmaB:
0
10
:mo
45"
60 0
90 0
120
135
180
•
x
•4
n 3
x
2•
3.
2
3
4
•
180
6
0
0
0
270
0
3600
3.
2.
2
Zusa tzliche Beispiele
Heispiel 1,15: Es so li der Ausdru ck ( 1.5) auf Seite 5 fllr die gco mctrischc Summe hergcleitet worde n. Wir schrcibcn fur dell A usdr uc k I + x+ x2+ ).3 + .. · +.e' abkti rzen d s (Summe ):
1 +x +r + x' + .. . + .r' = s
(a)
Die Mu ltiplik ation des ob igen Au sdru ck s mit x auf he iden Seite nliefe rt:
x + .~ +x3 +x'* + ·· · + .e' +1 = xs
(bl
Die Subtraktio n dcr 0 1. (a) von dcr 0 1. (b) lic fcrt :
x',+1 - I = s(x- I )
s=
x',+1 - 1
-t-r-rx
d.h .
" .e'+1 - I L X' ~
;= (J
x
/
Die obigc Fonncl licfcrt allcrdings I'til' .r = 1 in ( 1.5 ) cincn unbcsumnucn Ausdruck. nam lich n/o. was nich t bcsondcrs ntitzlich ist. Dfcses Unbcs timmrheitsproblem kann
14
I Grundwis sen
mit Hilfe dcr Regel von L'Hospital (s. Scire 224 und die Aufgabc aufSei te 262), gclost wcrdc n.
nei spi el 1.16: Ahsolut wert Die Regeln in Tabclle 1. 1 auf Seite I sind fur .r = 4 und y = - 6 zu uberprufe n.
a!
14[ ~ 4
Ixl~l- xl
1- 41
~
4
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141~ 1- 41 /
14 · ( -6 ) 1 ~ 1 -24 1 ~24 1 4 1 ·1- 6 1~ 4 · 6~ 24 / Ix·yl ~ Ixl ·ly[ Ixl -6 1 ~ 1 _ 2[ ~ 2 1- 61 ~ ~ ~ 2 / c) x - I- ~ 3 ~I 3 Iy - Iyl 141 + 1 - 6 1 ~4+6 ~ 10 1 4+ ( - 6 ) 1 ~ 1 - 2 1 ~2 / d ) [x] + I.\"I ?: Ix+yl 141+ 1- 61~ 4 + 6~ 10 14 - (- 6)1~ I I OI~ 10 / e) Ixl + Iyl?: [r - yl n Ixl- I.\"I ": 1 Ixl- I.\"I 1 h)
1
- 2 2 /
Beispiel 1,17: Einige Log arithmcnregcln in Tab. 1.3 fllr den dck adis chcn Logarithmus, d.h . Basis (/ = 10, worden zahlcnmallig vcritlzicn. a)
Regel: Ig xy = Ig x + lg y
Beispiel : Ig(5 · 8) J: Ig 5 + Ig 8
Ig(5 · 8) ~ Ig40 ~ 1.60206
Ig 5 + lg 8 = 0.69897 + 0,90309 = 1.60206 16 Beispiel : Ig = lg I6 -lg 5
/
IgI 6 - lg 5 = 1,204 12 - 0,69897 = 05 05 15
/
.r b) Regel: Ig - = Igx - Igy Y
'J
5
16 = lg 3.2= 0,505 15 5
Ig ~
Beispiel : lg 53 J: 3 Ig 5
c) Regel: lgc'' = y Ig x lg 5" = Ig 125 = 2.0969 1
d ) Regel: Ig(x + y) f-l g x + lg y Ig(80 + 40) = lg 120 = 2.079
3 Ig 5 = 3· 0.69897 = 2.0969 1
/
Beispiel: Ig(80 + 40) f- Ig 80 + lg 40 abcr: Ig 80 +lg 40 = 1,903 + 1,602 = 35 05
neispiel 1.18: Die angcgebcnen Ausdrticke sollen sowcit wie mogltch vereinfacht werden. a)
I g x l h' +l g [ I I.~'
I I LI'g: Ig x l /y + Ig x- 1/." = - lgr - - lg.r = 0
Y
Y
/
I.R Zusarzfiche Bcispicle b)
10' IgJ 10" Ig J = 3'
Lsg: Mit Hilfe dcr Regel (fr 10£,, ' · = c' auf Scite I I erhalt man:
lleisp id 1.19: Losen Sic folgende Gle ichungcn nach .r. a)
,
Ig r + 3Ig x + 2Ig V20 =lgr - lg x
,
2 Igx+3 Igx +2 '2 Ig20 = 5 Igx - lgx Ig x =lg 20 - 1
lg .e = - lg 20
,
5 Igx + lg 20 =4 Ig x
x =20 - 1 = 20 = 0.05
b) 8 lg ,JTO + I gx -I g '~ + "3 Igx J = I gx~ , 3 8 ' "2 lg 1O + lg x - 2Ig x + 3" Ig x = 4lg x
"*
Ig lO = lgx
"*
4lg lO=4 lg x
x = 10
c) 2 In .~ - lnx6 + ln x = l n I 0
4In x -6 Inx + lnx = lnlO [ 1 = 10
=>
,
Inx- 1 = In 10
- lnx= ln IO
~ = IO
x = IO =O. 1
x
Beispiel 1.20: Vereinfachcn Sic folgcndcn Ausdruck sovie t wic moglich (und sinn vcll).
,
,
,
Ig r llY -tlg x l /." + In x - 2 Umcr Bcachu m g der Potcn z- und Logaru hmen rcgctn crban man:
-
lee .cl - ' /)' - + 'g -xl/.' '-· -l- In -x-'-2 = Ig x 1Jy + lg x- 1Jy + In .~ = I"e
, ,
(x .x1h
I Jy
)
= Ig {r ,,- .', ) + 2 ln r = Ig I + 2 Inx = 2 Inx
~ =1
=0
lIeispiel 1.21: Vcreinfnc hcn Sie folgenden Ausdruck soviel wie mogflch (und sinnvoll).
In
«(.~ _ y2)2 _ ~ ln(x _ .r)
Dcr crste Term laBt sich wic folgt umformen:
+ 2 ln r
15
J6
I Grundwis sen
~
2 , , 10 [(x+ y) (x - y)J~ } [In(x + y) + h,(x - y)J
-
-
Dcr gcsam tc Ausdruc k licfc rt:
2 2 2 2 3" ln(x+ y) + 3" ln(x - y ) - 3" In(x - y ) = 3" In{x + y)
-
-
-
-
neispiel 1.22: Loscn Sic fclgcndc Glcic hung. e1n (.r H -I )
= .~_ x + l n e3
x ='?
Gernuf Logari thmenrege ln ge lten folgendc Beziehungen: e 1n (.r +x - l )
::::}
= .~ + x- I
.~+x - I =~ -x +3 ::::}
2r =4
::::}
x =2
Beispiel 1.23: Lc sen Sie folgc ndc Gleichung.
x =?
(c : Konstanre)
Die Ausdriicke links und rechts vom Glcichheitszeichen ergeben:
::::} IJeispiel 1.24:
Bcstirnmen Sic den Well der Variablen x und y. wobci d ie Bcdingung y = ..,!X gcltc n sell.
Inx + 2 Iny = 1.5.
lnx + 21n ..,!X = 1.5 In(x · x) = 1,5 ::::}
x = 2. 1170
Inx + ln(..,!X)2 = 1.5
Inx2 = 1,5
In x + [n x = 1.5
.~ = e l.5 = 4 ,48 1689
y = ) 2. 1170 = 1.4550
Kon trollc:
In 2. 11 70 + 2 In 1.4550 = O.75{X)+ 0.750 = 1,5
/
x=o
I.R Zusarzfiche Bcispicle
17
Heispi d 1.25: Einige lcgurithmischc Regel n der Tabellc 1.3 werde n naehfolgend hcrgelc itel.
,
a)
log"xy == log" x +log"y Die Multipli kation dcr Beziehungen x = ergibt :
xY
=0
=0
Y
=0
(s.Tabelle 1.3)
a lng,. J'
a lug,. x . a lo&, ... =0 alug" x + lug" Y
Aufgrund dcr Regel
xy
(l lol:" .t,
(lIng" J (x )
=0
(aJ
j (x ) in Tabcllc 1.3 gilt auacrdcm:
alng" .no
(bJ
Die linkcn Sciten in (a) und (b) sind glcich. so daB daraus folgt: (01
Die Ex pon enten auf beid en Seit cn in (c) mn ssen gle ich sein. wei l die Ausdriicke auf der linken und rechten Seite die gleiche Basis (I habc n: log" x + log" Y =0 log" xy x ,
h ) log" - == log" x -log"
y
./
y
Aus den Regeln .r =0 al"&, x und J
=0
a log" .I"
crhalt man:
II- .' x - ·l n+ J
bl c)
LI'g:
2 . (52 )3 . 8 2 4 3 . 55 2 2- . (62)() ·42 4 - 4 . 43
X lII
Lsg: 10
tsg: 16
dl
(1,,-1 (cd +!'e )// +2 {('(ld+ eac)n r
e)
b :- 2y- \ P x 2y 5(/ ' xl'
LW c3(d +e )3 Lsg:
2a 2y2
~
16. Zeigen Sie die Rich tigkcit fclgender w urzelbe ziehungcn. inde nt Sic sic als Potenzausdrucke forrnulle ren und die Potcnzregcln anwendcn . KontrolJicren Sic d ie Beziehungen zusatzlich mil eincm Tasche nrechn cr fur die Zah lcnwcrtc .r = 2.8 . y = 1.6 . r = 2.5 und p = 1,2 . bj
\Ix= ~ ' -c yry
y
e) q':jxq ' l' =
(/Xii
f) :j.r" . Y = x
IY
17. Bcsummcn Sic d ir Wurzel .r folgcndcr Glcichungc n. a) e2'
- e' - e' +1 = 0
LIR: x = ln(e + l )
18. Uberprttfcn Sic mil einem Taschenrechner fur a = e = 2.7 1828. .r = 10. Y = 15 die Loga rithmc nregeln der Tabc llc 1.3 . 19. Bcrec hncn bzw. vcreinfuchen Sic folgc ndc A usdrilckc (ohnc Taschcnr echner). a) 19 10.1 L\'K: 3 h) In e 2 LTg: 2 4 c) ln x LW 4 1nx d ) Ig xy Lsg: Ig x + [gy xJ x\.4 e) Ig x2 Lsg: Ig x f) In ---j-- Lsg: 3 Inx+ 4 In y - 2 In : g) lg (/10" i ) In
jx7+ y
"
Lsg: 11 +lg(/ Lsg :
2:I ln(x + y) -
h) IgJ(Yl ln z
Lsg: - 11+ lg (/
1.9 A ufgaben
21
20. Bcrcchncn S ie .r mit Hilfc von Logarithmusrcgeln (ohnc Taschcnrcchncr). I
L I'g: x = 1
a) x = Z lg 25 + 1g-/4
LW: x = 2
b ) x = 2([g 50 - lg 5) c)
I
x = lg v'80 - Z 1g 8
LW x = O.5
d ) Ig(3x + 5) -[g(x - 3 ) = 1 e) I06x 10- 1< - WOO = 0
n Ig x = (I/ +l ) [g a g ) ln v'!=X h)
Lsg: x = 5 L sg : .r = 1
lg (l"
Lsg: x = a
I ( l + x ) = ln IO Zln
Ls g: x = - 99/ 101
ln x = ~ [n ((I - h) +ln -/1I + h - ~ [n ({/~ - b2 )
LW
x = ~u2 _ h2
21. Bestimmen Sle d ie Wurzel .r (Nullslellc) folgender Glcichu ngen. a)
[g(ln x) = Il. I
L I'g: x = 3.52 16
h ) [n(lg x) = 0 ,1
oj
d)
In(2\' +2 ) ~ In S
LI'g: .r = 12.74 Lsg: x = 2047
4
In(x + 3) + II1 (x - 3)
LI'g: x = 5
~ 2
tn4
2 . ) In - + 2 In x = 0
LI'g: x= 0.5
.r
0
In(x + 2) In(x - 2) + = 2 In4 In 4
LI'g: .r = 4.472
22. Bcstimmen Sic die Wurzeln (Nullstellcn) folgcnder Gleichungen von Hand (bei den trigonometrischen Glcichungen ist BogenmaB zu verwendc n). a) x4 - I6.r = O LI'g: XI = X2 = 0 x3 = +4 x3 = - 4 h) 102< . 10- 5< = 1000
L sg; .r = - I
c) nr1 - x +2 = 8x2 +x - 2 d) x~ 6 =J8 - x
Lsg: x l =4
\l' J 4x - 3 - x - .;x=T
g) sin3x - 1 = 0 h) sin2x - cos x = O
i) l - tan2 x = 1
x2 = -2
x2 =7
LI'g: x I = - 4
e) v'X+8 = (X+ 20 )1/4
n
Lsg: xl = 1
x2 = - 11
L I'g: x = I
L I-g: x = 1r/ 6
LIg: x = 1r/ 6 Lsg: Xl = O
X2 = 1r
j) cos 2 x - sin2 .r = sin2 .r cos' x + cos4 X
n = 0. 1.2" ..
22
I Grundwissen
23. Gebc n Sic folgende Winkel -ohnc Benutzung cines Taschcnrcchncrs- im Bogcnmuf an. a)
1 8{)~
d ) 45°
b ) 270"
LW · 3,,/2
13SO
Lsg: 3" / 4
e)
Lsg: 7 Jr / 4 Lsg: 5Jt/4
24. Einc Kugel. cin Krciszyli ndcr und cin Kegel habcn den gleichcn Radius r, Bcsummcn Sie die Hohe h ~ von Zylinder und Ilk von Kegel so. dass d ie drci Ke rper das glcichc Volumen V habcn.
Lsg:
Vkug
4
,
4 3
h, = - r
= :3 Jrr
.
25. Wclche Masse bcsitzt cine Bctonkonstruktion . d ie sich uus cincm hohlcn zyli ndrischcn Tcil und cincr darauf aufgcsetzrcn. ebcnfalls hohlc n Halbkugel zusammcnsctzt.
Aufcurudius des Zylinders : r« = 3 m Aulknradius der Kugel : rk" = 3 m Lange de s Zyli ndcrs :L = 6 m Los ung:
/Ill
= 25650 kg
lnnenradius de s Zyli ndcrs : r; = 2.7 m lr mcnradiu s dcr Kugel : rn = 2.85 m Bctondich te : p = 25no kg/ m3
/Ilk = 20 163 kg
/11M
= 458 13 kg
2
Elementare Funkt ionen
In dicsem Abschnitt worden die wic htigs tcn muthcrnat ischcn Funktioncn fllr die Ingcn icurpraxis vorgcs tel lt und ihrc Eigcns chaftcn sowic Darstctlu ngstormcn bchandclt.
2.1
Polynomfunktionen
Ein Po tynom u-tcn Grades ist cine ganz e rationale Flink/ion von dcr Gestalt
y = f (x ) = ao +
U IX + 1l2x2
+ "3x3 + ...+ a"x" ,
(2. 1)
wobci ao. al , .. . . all ko nstantc Koeffuienten sind und all ¥- 0 seiu muss (wenn (/" = 0 und =t 0 warcn. wtlrde cs sic h urn ein Polynom vom Gra d 11 - J handcln ), D ie hoch stc in dc r Polynom funktion vorkornmende Pote nz bcstim mt den Polvnomgrad . Hilder 2. 1 bis 2. 1d zcigcn beispiel haft d ie Schaubi ldcr vcrschicd encr Polynomc .
a'I_1
Konstante Funktion Ein Polynom ve rn O-Ien Grad isl cine konstnntc Funkt ion: )' = ao
Bild 2. 1a zeigt bei spie lhaft die kon stan le Funktion y
=:
1.
Lineare Funktion
Ein Polynom I . G rades wird linearc Funktion genan nt: (2.2) Die Gerad c schneider d ie v-Achse bci a o. die x-Achse bci - a o/ a l und bcsit zr die Sreigung {I I. Die in Bild 2. 1 b dargesrclltc Ger ade wird durch die lineare Funktion y =: x+ I ausgcdruckt. Quadratische Funktlon (Pa rahel] Einc q uadratische Funktion (Parubelj ist ein Polynom 2. G rades: (2.3) In S ild 2. 1 c iSI di e Polynornfunktion r
=: r
+ 2r -
I dargeste tu.
Polynome hoheren Grades In Bild 2. 1d ist exe mplarisc h das Scha ubild ci ner Polynornfunktion 5 . Cru des dargestellt.
24
2 Elcmenta re Funktionen
,
a
,
, -3
-2
~
,
_1
-, -, -,
, ,
o
x
-,
a: y = I
,
r
b:.I' = x + I
;0'
' 00
,, c:y = _?+ 2r- l
,
4 X
,
d: y = :r-~ _ x4 - 27r1 + 4 1'? + 106x - 120
Bild 2.1: Beispielc filr Polynomfunktionen
Betsplel z.t :
'Iemp eratu rvertetluna im Stab
Dcr dargcstclltc Kupfcrstab wird tiber seine Lange vollko mmcn so iso liert. dass durch die Manteul uchc scitlich kein Warmctrunsfer mbglich ist: lediglich an den he iden Srirnflachcn ist cin w armczu- und ab lluB moglich. Die vordcrc Stirnfl achc wird bci konstantcr Tem peratur Tt = I CK) C (kochendes Wasser ). d ie himcrc Sttrnrtachc bci T2 = 5 C (flieliendes Kaltwasser) gehalten. Die Ven eilung der Temperntur tiber die Stablange ist c ine Iincare Funktion der .r-Koordina te (s. auch des Beispiel au f Seite 373),
T2 - TJ 5 - 100 x = 100 + - x
T (x) = T1+ -
L
T (x ~ 0 ) ~ lOO°C
L
T (x ~ L) ~ SoC
,.
L
, ~
JI
2. 1 Polyn ornfunknon en
Heispid 2.2:
25
Freier Fall nhne Luftreibung
Einc Stahl kugcl win! von 100 m 1J6hc -a us Ruhc hcr aus- Iallengclassen. Dcr Ei nfluu des Luftwidcrstandcs wird vcm uchlassigt (fur cine Stahlk ugel und Pallhohc 100 m ist dic sc Vcreinfuchung sic hcrl tch zulassig). D ie augcnblicklichc Hebe h dcr Kugel ubcr dcrn Erdboden wird dUTCh folgcndc quadratischc Glcichung (Polynom 2. Grades) bcsch riebcn :
I , " (t ) = 100- 2: 9. 8 11-
G -,j
hit)
r t Zeitin s
Die Hohc betriigt z.B. nach t = 3 sec Falldaucr:
" (t = 3) = 100 uetspiel 2.3:
I
,
2 9,81· 3+= 55,855 III
Durchbiegung etnes Kragbalkens unter Elnzellast
Die Bicgclinic y(x) des durch die Einzcllas t F bclustctcn Kragbalkcns isl cin Polynom 3. Grades. (0)
r: I ~t--~
I
E : Elastizitatsrnod ul
EI
L
·iyi'l
I
~F
'
I : Traghci tsmom cnt des Qucrschnitts
A ls konkrctes Bei spie l bctrachtcn w ir cin co cin seitig cingcsp anntcn Holz balkcn (Krag balkcn) mit Rcchtcckq ucrsch nitt (Breitc h. Hohc h ) aus Nadc1 holz dcr G utcklassc II.
F = 3 kN
L = 400 crn
bxh = IO x 20 crn
E = I IOOkN/ cm2
Das Tnt ghcits morncn t I bctragt nach Regel n dcr Statik (s. Beispiel 8.29 auf Sc ire 37 1):
Dic gro13le Durchbicgu ng {, an der Balkcnspitzc crgtbt sich nach Au swen ung dcr Durchbicgungsfonnel (a ) fur .r = L :
{, = Y(L) = _ ~~3 ( 2~2 -6L:3 ) = _F~3 ( ~ _~ ) = _ ;~; = -
3 . 400 3 = - 8 73cm 3· 1100 · 6666.7 .
26
2 Elcmentare Funktionen
Hd spi d 2.4:
Kragbalken unt er Stre ckenlast
Die Biegeli nie )I(.l.) des durch die konstantc Sue ckeula st 'I belasteten Kragbalkcn s ist ei n Polynorn 4 . Grade s. y'
~. , ~--,
E : Elasrizitatsrnodul I : Traghciumomcnt des Qucrschnitts
Hd spi el 2.5:
~ ~q~
EI
I
L
y(x)
S pa nnungs-Dehnungsllnle von Beton
Ein Beto nbautei l wird gest auc ht. wenn er einer Druckspannung ausgcsct zt ist. d. h. er verkurzr sich. Die Beziehu ng zwischen der Stauchung e und der Druckspannung a (in N/ mm1) fllr dic Betonsorte C25130 z.B. wird durch folgcndc Bezichung bcsc hricbcn . as
a = 25 _3".',£,,-,,4,7c7-c;£c-' OJl0 23 + e
000'
2.2
~1
Pct enz- und Wurzelfunktionen
Eine I'otenzfu nk ti on mil der Basis .r und dem Expon enten a isl ci ne Funkt ion der Form
y = .>1'
(Ftlr .r
< 0, muss a cine ganze Zahl scin .]
(2.4)
Eincn Sondcrfall der Potcnzfunktion stcllt die Wurzelfunktion dar (s. auch Scitc I): (Fiir a ungeradc, darf .r auch negativ sein.)
(2.5)
Eine Potcnzfunktion karin also als Wurzcl funktion - und natiirlich auc h umgckchn - ausgedru ckt worden. Bild 2.2 zcig t bcispiclhaft ei nige Sc haubilder von Potcnz- und Wurzclfunktio ncn .
Betspi el 2.6 :
O ptimale Wa hl des zuschlaggemtsches be l Betcnherstellung
Fiir die Hcrstcllung von qualitativ hochwcrtig cm Beto n wird vo m Zusch laggemi sch getordc rt. dass dcsscn Komdurchm esscrubstufung einer besttrmnt cn sog. Sieblinte entsprechcn muss. Eine in der Bctonpraxls gcbrauchlic hc ldenlsicbli nic ist z.B.:
2.3 Exponentialfunktion
27
3
e
,
e a :)
n:2
-
a:2 a=l
o a: Potcnzfunktion
,
y == x"
b: w urzclfu nktion y ==
\Ix
Bild 2.2: Beis piclc Iur Potcnz- und wu rvelrunkrinncn ' 00
so
A = j (x) =I00 (
i
"5 )
Ix
== 1 {)() V ~
-c
eo
eo o '-- ~--;·
"
20
_ _ ·30
.r : Bclic biger Komdurchmcsser zwi schen 0 und [) J) : Gril!3tkomdu rch messer de s Z uschlaggem ischcs. z.B. J) == 3 1,5 m m A : A ntel l dcr Kom gruppc mil Durch mcsscr zw ischen 0 und .r (in Prozcnr)
2.3
Exponentialfunktion
Einc Funktion Va ll der Art y = J.:ilX, wobci k; und a konstante Skafure ' sind, hciflt Expone ntialfunktion . In viclen Gcbictcn dcr Physik und runurwis scnschaftlichcn v orgungcn spic lt die in Bild 2.3 dargcstclltc spcztettc Expun en tialfunktion mit de r Basis e (e-Funktion)
cine schr grundlcgc ndc Rolle. Die Zahl e (auch Eul ers che Zahl gc nannt) ist dcfinicn uls
,,_00
e == lim
(1+ -1)" n
= 2.7 1828 182845904523536 :::: 2.7 183
Viele Phanom enc und vorgan ge in dcr Natur linden in Form der e- Funktion stau. z.B.: • Schwingu ngsamplitudc cines hohen Turm s in e m, L B.: lI(t ) = 15 e- O.05/ Be~ jjgti l' h
wird.
der
Vllr~eithen
vun k und (1 exi, tiercn ei n i ~e
E insch riinkun~cn.
auf die hier nichl niih"f cin~ O. dcfiniert . Bild 2.4 zeig r die Schauhilder von 19 x und lnr. Die allgemeine Logadtbrnu sfunkticn Y = log"x dcr Basis a ist die inverse Funk/ion (auch Umkehrfunktion gcnannt) zur Exponemialfunktion y = ttl. Zwci Funktionc n f (x ) und g (x) ncnnt mall invers. wenn sic spicgclbild lich um d ic Winkelhalbicronde de s crsten Quad rantcn ir n.ry-Koordinutcnsystcm vertaufcn . Bild 2.5 zcig j die zucin undcr invcrscn Funktioncn In' und Ig x sowic e< und lnr. Reispiel 2.11I: Schallpegel Der Schall cnsteht. wenn 1011.8 101.5' 6 - - . -
£7
Ein Erdbcbc n von dcr Magn itude M = R wurde gcgenubcr einem Enlbcben mil M = 5 ga r die I<XXJ-fache Energie freisetzen (3 1.627 2 = I(X}()!
3J
32
2 Elcm entare Funktionen
so
so
• • > ,
•r • > ,
, ,
, ,
•
•
' ':-- - 5-" ,iY3:;-- - o E {ergJ
a : linenre Durstellung
I " lei"
+-+-
'/
.~
.+-~ T'
'1~{uVHh 10"
10' 5
lO"
'o'~
Iff'
E{erg]
b: halb-logurirh r nische Darstellung
Bild 2.6; Bezjehung zwischen Energie E und Magnitud e M cines Erdbe bcns
Logarithmlsche Ac hsen fur Fun ktlonsgraph en Die in Bild 2.6 a dargestelltc Kurve besitzt etne n entscheidendcn Nachteil: FUr geringere Erdbebcncnc rglen. z.B. fur E = JO l U, ist es kau rn mogfic h. die Magn itude M zuvertassig abzu lesen - die Energie E = IOlu c ntspricht imm crhi n e iner nieht vernachlilssigbarcn Magnitude von M = 2/ 3 · (lg 1020 - l 1,8) :::::: 5 .5! Einc solchc Funktion mil eincm sc hr breucm Definition sinter val l E = [i OD; ION] kann in dcr linea ren Eintrag ungswei se nicht graphisch vemu nftig dargestellt werden. Die Auftragun g technischer Funktioncn in ei nem 2-d ime nsionalen Aehse nkre uz in liuea rer Skalierung flihrt in der Pra xis nicht selten zu schwer ablcsbaren . fehleranftilligen G raphen. Deutlich besscrc Resultarc fll r derurtige Funktionenl iefern d ie uachfclgcnd beschriebenen Darstellu ngstechniken mit Hilfe von logurithmis ch unterte ilten Achscn. FUr die Darstellun g mit logurithmischcn Achscn karin man im Handel crhahlichc logu rithmischc Funk uo nspap ierc verwenden. odcr auch spcxicllc Computcrsoftwarc. z.B. das publicdomain Plntprogram m GIlIlPlo/ l . a) Hal b loga r ithmische Da rs tettu ng In der halh -logarittunlsche n Oarstellung wird ei ne Achse (x- ode r y-Achse ) logarithmisch skaliert und die andere Achse in llnea rer Skalierung bela sscn . FUr das obige Bei spiel dcr Erdbe benmagnitude heil3t dies, duss der Abstand des Wertes £ = lol° vom Koordinatenursp rung nicht proportional 7.U die scr Za hl sclbst ist. sondcrn proportional zu ihrern Logarithrnus, d.h. proportional 7.U 19 ]0 2U= 20. So lassen sich auch zwei stark diffcric rendc w crtc. z.B. £1 = ]0 13 und £ 1 = ]0 24 tiber ihrc Logar ithmcn problem los cimrugcn : Dcr Abstand yon EI = ]0 13 vom Koordin utcnursprung ist dann pro port ional zum Wert Ig ]Ol3 = 13 und dcr Abstand Iiir £ 1 = 10 24 ist proporti onal zu 19 1024 = 24. also Zahlen, die au f dcr .r-Achsc bcqucm cing ctragcn werdcn ke nnen. Das Rcsultut zcigt Bild 2.6 b: es handclt sich j ctzt um cine Gerade im .rv-Koordimuc nsystc m. auf dcr auch tur et ne klcin c Erdbcbenenergie d ie zugc hongc Magnitude M prazisc abgelescn werden kann. Anmerkullg : In der beschricbcnen logarithmischcn Darsrctlu ngsan kann die x-Achse nalUrlich nieht bci 0 bcglnncn. wei! Logarithrnus yon 0 nicht dcli niert ist. Stattdcsscn konnte .r 2 Gnul'Iot fllr windows oder Linux kann linter h t t p : / /s our c e f orge . net hcruntc rgcladen worden.
2.4 Lugurithmus-Funk tionen
w'
.: ~
"i'
"y
I
---+--/~
I I
a: Iineare Durstcllu ng
~
33
"I w' w' w'
/
,", w ,r!'
w· , /0 -2
7
0, 1
0.5 I
,
5 10
50 100
"'''''
b: dop pclt logarirhrnische Darstcllun g
Bild 2.7 : Funktinn y = r 1 in linearer und logari thmischer Darstellun g
z.B. bci I bcgtnnen (lg I = 0) : diose Position die m als cine An Refercnzposilion. Danach wirdjcdcr in Fruge kom mcndc .r- w ert tiber seinen Logar ithmus emgctragcn. ebhnn gig VOIll Vorzeichc n des logurithmischcn wcn cs. cntwcder rcchts OUCT links von dcr Position x = 1 ein . Sclbstvcrstlindlich kann auch jcdc andere Zah l aug er I cbcnfalls uls Refcrcnzposition ver wend ct worden. di e zwcckm aatgc Wahl hangt von dcr Proble mstcllung abo
h) Doppelt logartthmlsc he Darstellung Ein ahnlic hes Ableseproblem ist in BHd 2.7 zu sehcn . 1m linken 'Icilbild 2.7a ist die Funktion y = .r3 in Iinearer Darste l1 ung dargestcl lt. Fur kleine .e-w erte ist es unmoglich, die zugehori gcn v-wcrte Ubcrhaupt -geschweig e den n prazise- abzutesen. Zur Ldsun g des Problems wird die Funktion logarithrnie rt:
y = ......'
lseoJv = Ig ••...1 = •1 ["eoX
Die Darstel1 ung dcr Funktion Ig y = 3 1g x unrer Verwendung von zwei loga rithm ischen Ach sen (doppdl Ioga rithmische DarsrellulIX) fuhrt auf eine se hr leich t able sbare Gcrade in Bild 2.7 b.
c) Logar tthmtscbe Da rstellun g der na turll chcn Exponentialfunktlon e
. 0.5
:>.
'"'
- ,",
\j
-s
o.~
, , 4
-,
a: sin .r
:>.
-.
~
",oov
-r
~
" [degJ
,
e
-, (x in 0 )
b: sin .r
(x in radl
o.~
, • • " [tad]
-,
,
-.
,
-a
/C [rad]
,
•
V ,
c: sin Zr
(w
='"
"
2)
~ [radj
•
. -.
,
sin 3x
:>.
(w
='"
3)
o.~
-
,
~,,,,j (
-, c: sin(x + H/ 3)
f: sin(x - H/ 3)
Bil d 2.10: v erschlcdcn c Sinusfunktioncn
37
38
2 Elc menta re Funktionen
>
,
.~
>
,
ro
., (.t in 0)
b: cosr
s
>
-,/ -r /-,r )
•
,x [fad]
., a: cos .r
,
r
~
iC(deg)
rc
(x
in fl lll )
,
,/ /. f' x {fad]
,
-,
-,
-"
-"
c: tan r
d: co t .\"
• •
d}
Bild 2.1 1: Kovinus-. Tangcns- und Kotung cnsfun ktion
Sekans und Koseku ns Die Scka ns- bzw, Kosckansfunktion erhlilt man als reziprokc Ausdruckc von Kosinus bzw. Sinus: Sekans:
I
sec x = - cos ..
Kosekans:
UcispicI 2. 14: Die Bcsch rcibung von Schwingungcn realer Baukonstruktionen crfolgt mittcls cincr multiplikativen Kombination dcr Exponentialfunktion mit eincr trigoncmctrischcn Punktton. Wird L B. eine Feder. an dcren Ende einc Masse befestigt ist (s. Bild 9.5 b auf Scite 470). ausgelen kt und dann plotzhch losgelassen. entsteht ein Schw ingungsvorgang, der ullmahlich abklingt. Die rnathcmatischc Besch reibung dieser Schwingungsfunktion besitzt folgende Form: y = f {t) =
e -
Bild 2. 13 ze igt diverse Arkusfu nktionc n. Ei nige wichtigc Bezie hun gen zwi schen Arkus-Fu nktioncn sind au f Sci re 721 zusammcn gcs tcllt. A llmerkllllX: In dcr Litcrutur bcgcgnct man aueh fclgcndcn Schreibwciscn flj r Arkusfunktioncn : asm. aco s. ala n, sin -I, cos: ", ren" . Die lctztcrc Schreibweisc mit hochgcstclltcm - I, die man vor alt ern auf Taschen rcchncm find er, isl nieht unproblc rnarisch, wcil sic zur Miudcuru ngcn tuhren kann: z.8 . ware es vollkommen falsch, Arkussinus folgcndcrm abcn bcreehn en zu wo llen:
Arku ssin us vo n y :
1
sin - I j- = siny
falsch !
Das Symbol sin - 1.r auf einc m 'Iaschcnrechn cr bcdcutct A rkussinus und hat nich ts mil dem A us-
1_ zu IU n! dru ck _._ s tnj-
42
2 Elcmenta re Funktionen
2.8
Kegelschni tt-Funktionen
Kcgclschnittfunktionen sind Gleich ungen 2. Grades. d.h. quadrat ische Funktlonen. und beschreiben die Sehnittk urven einer 3D-Ehe nl' mit einem 3D-Korper. der aus lwei Kreiskegein besteht (Bild 2. 14). Kegelschnittfunktio nen haben folgenden allgemeinen Aufbau:
a: Kreis
b: Ellipse
d : Hyperbcl
c: Pnrabcl
Bild 2. 14 : Kcgelschmu-Punknon en
F (x . y ) = Ax 2 + B/ +Cx + Dy + E = 0
(2. 14)
Die Konstanten A , B. C, D . E entscheiden tiber die Art der Schnittkurve:
Schn ittkurve =
Kreis,
wenn A = B
Slttpse.
wcnn AB > 0
Hvoeri et,
wenn AB < 0
Pumbel,
wenn cruwc dcr A = 0 , B of; 0
1
odc r
A
oF 0 , B =
0
Anme rkung : In Wirklichkeit ist die Schnitrkurvc naturtich eine raumlichc Kurve, die allerdings in der Schnittebcne licgt. Wen n man nun ein ncucs kartesischcs Koordinatensystcrn definiert, dessen xy-Achsen in der Schnittebcnc liegen , kann die Sch nitrkurve auch als 2D- Kurve der Form F (x. y ) = 0 interpretiert werdc n.
Wcnn man sich die Kegelschnittcbcnc in Bild 2.14 als d ie .rj'-Ebcne vorstelu. ergeben sich d ie nach folgcnd bctrachtcten Kurvcntypcn.
Kreis Die Gleic hung eiues Kreises (Bild 2.15) mil Mittel punkt im Koordinatenursprung lautet: r : Krcisradiu s
2.R Kcgelschniu-Punknonen
43
Falls der Krcismittclpunkt vom Koordi na tcnu rsprun g vcrs ctzt ist (in .r-Richtung urn .ro. in yRichtung urn )'0). lautct die Krcisglcichung:
>
,
,
,
, ,,
-, -,
,,
a: Kreis mit .to = O. Yo = 0
b: Kreis mit Xo = 2. Yo = 1
Bild2. IS: Kreis
E llipse Die Gleich ung einer Ellipse (BUd 2. 16) mit Mittelpunkt im Koo rdin aten ursprung lautet:
II :
grouc Halbachsc
b : k1cine Halbachse
Fall s der Ellipsenrniuelpun kt vom Koo rdinatenur spru ng versetzt ist, gi lt:
, ,
,
a: Ellipse mil .eo = O. Yo = 0
,,
•
h: Ellipse miuo = 2. Yo = 1 Bild 2.16: Ellipse
44
2 Elc me ntare Funktionen
Die Glcic hung cin cr Hyperbc l (Bild 2. J 7) mit Mittclpunkt im Koordi natenurspru ng lautct:
a. b ; Achsc upam mcter Falls dcr Hypcr bclmiuelp unkt vo m Koo rdin atcnursprung vcrsctzt iSI, gilt;
, ,
\
,
a: Hypcrbcl mit x () = O. Yo = ()
\ b : Hyperbcl mil X() = 2. Yo = I
Bild 2.17: Hypcrbc l
Pe rabel Die Gleichung ci ncr Par abcl (Bild 2. 18) mit Schei tcl punkt im Koordinatenurs prung tauter:
1/
= 2px l
y = ±j2px
p : Parameter
Fulls dcr Schcuclpunkt ve r n Koordimuc nursprun g vcrsctzt ist , gilt:
I(y - YO)2 = 2p(x - xo) I Eine andere Form der Parabel ist die urn die y-Achse sy mmctrische Parabel:
y = ax2 + yo
2.9 Explizite und irnpliz.itc Funktionen
,
,
a
,
,
,
o
-.
a
•
•
45
, , •
-.
x
-z
b: Parahcl (y _ I)2 = .t _ 2
a: Parabcl y1 = .t Bild 2. 18: Hypcrbcl
2.9
Explizite und implizite Funktionen
Einc expliiite Funktion besitzt die Form y = f (x ). d.h. y ist cine Funktion dcr unabha ngigc n Variable .r. Die Funktionsvariublc y ist die ahlui ngige Variable. weiI sic esplinte von .r abhangt {ecxplizi te« I'll. ausdrUcklich).
1,-/(x)1
(2. 15)
expltztre Funktion
Aber nich t lmmer liegt einc Funktion in der expli ziten Fonn y ;;;: f (x ) VOL Bel der Losung einer mathema tischen oder physikalischen Aufgabe kann es vcrko mmcn. dass das Ergebn is als sag . itnplizite Funktion F(x, y ) ;;;: 0 vorliegt. Z war hnngt die Variable y prinzipiell auch hier von der Variable x 'lb. abcr dic se Abhnngig keit ist nur implizite (vimpllz itc« lat. inbcgriffen) Eine implizitc Funktion kann jc nach Fall in die explizit e Form gebrucht werde n. odcr auch nicht.
IF(x. y ) - 0 I
bzw.
F(x, y) ;;;: c
impli zite Funkticn
(2. 16)
ReispieI2.18: Nachfolge nd sind Bclsplcle fur explizite und implizi te Funkt ioncn gege ben. a) ...-2 +
i ; ;: 25
b) y ;;;: "'25 _ x 2 c) d)
implizite Funktion (Gleich ung emcs Krcises mit Radiu s 5) explizite Funktion (Gleichung cines Kreises mit Radius 5)
3 ...-2 + 5 x+ 9 = () implizite Punktlon Sic lliBt sich in cxplizite Form rransformicrcn: y ;;;: \Y3x 2
},4 _
5 0l
9
l - y3 + xl + x + I = ()
implizite Funktion Sic lliBt sich nicht in explizite Form transformic rcn.
e) x -siny ;;;: 0 implizite Funkt ion Sic laBt sich in explizite Form tran sformic rcn : y ;;;: arcsin x I') y +siny -ol = 0
implizite Funktion (lassl sich nicht in expllzite Form rransfc rrnie ren)
46
2 Elcm entare Funktione n
Hdspid 2.19:
Ellipse
Durch Umfonnun g lass! sic h die imp lizite Ellipsengleich ung in die exptlzue For m bringen: (implizil)
2.10
v=
Umformung
.
± a~ ';(/2 _ x 2
(explizn )
Funktionen in Parameterdarstellun g
In einer Parameterfunlaion werde n beide Variablen x und y als Funktion einer dritten Variable des sogcnu nnte n Parameters, ausgedruckt :
1.
x = 1'(/ )
y = q(t )
(2.17)
t : Para meter
Die Bedeutung des Parameters t hnngt von der j eweiligen Aufgabe aboz.B. Zei t. Winkel usw. Als Parametersymbol kcn nen auch andere Symbole uls 1 verwendet werden. z.B. qJ usw.
e,
Heispiel 2.20:
Krejsgleichun g in Param eterform
Ocr in B ild 2. 19 dar gcsrel ltc Kreis mit dcm Rad ius r wird in dcr imp lizucn Standardform durch die Glcichung
beschrieben . In der Parameterform lautct d ie Krcis glcichung (Bild 2. 19): x = rcos t
y =r sin l
t ; Paramet er (Winkel)
Anmerkung; Die Aqu ivalcnz dcr bciden Darstcllu ngsformcn wird sofo n crsichtlich, y
y
r
"" rcos t
.Frsin I
Bild 2.19: Kreis uls Param cterfunknnn
wenn die bcid cn Ten ne der Parameterform quadriert und dann addiert werden:
.~
+i
=?
(eos 2 r + sin 2 r) =
=, ---------------
r
l ,I O Funktinncn in Parumetcrdarstellung
Heispi d 2.21:
47
Ellipse in Pa r am eterform
FUrdie Beschreibung einer Ellips e (8ild 2. 16 ) sind folgende Darsteltu ngsartcn moglich:
l - J -x(/ 2 +b2 2
implizite Form:
"
~,
expli zite Fonn:
}' = ± -V (l~ -X-
Pa ram eterfo rm :
.r = a cost
a
y =b siu r
0 :S: t :S:2Jr
Der Parameter t entsprieht dcm von der x-Aehse aus gemesse nen Umfangswin keJ im Gege nuhrzeigersinn. Fur jede n bcliebig en Wen von I aus dem Dclinitionsbcre ieh ergibt sich ein xy- wertepaar, das einem Punkt auf der Ellipse entspricht. Au f~a be :
Wenen Sic die Paramcterform dcr Ellipse fur a = 5; b = 3 und fiir
n 2lt" 3 lt"
t = 20 ' 20 ' 20 ' . . .
Heispi eJ 2.22:
. n aus und stollen Sic Ihre Ergebnisse grafisch dar.
w aagerechter Wun in Para meterfur m
Die Flughah n bcim waagercehten Wurf mit der Anfang sgeschwindigkeit 1'0 kann mit Hilfe ciner Parameterfunktion fur Positio nskoo rdinaten .r und y beschriebcn werden (s. auch Seite 2 18):
y =y(t ) =YO -
X = X(I ) = 1'01
Be jspl el 2.23:
I
,
2gr
(g : Erdbcschlcunigung, t : Zeit)
Schraube ngewinde
Die Ganglinie eines Sehraubcngewindes lassl sieh auf clegante Art in Parameterfonn angebcn. Wenn .r und y die zur Schraubcnuchsc scnkrechren Koordinatcnachscn bedcutcn und z der Schraubc nmiuclachsc cotspric ht. Jassr sich die Funktion der aul3cren Gewindckurvc in folgender Form ausdruckc n:
.r e v cos c r :
y =rsin q>
Gewinderadius
"
z = - q>
2K
II : Ganghch c
q> : Parameter (=Umfangswinkcl), q> 2: 0
.
"
, ," -,
~,
y
,""'''---:o.~ ns
, ,
-, ~.
0
x
Der Parameter q> hat hicr die Bedeutung des rnomcntanen Umfungswinkcls. bczogen auf cine festgelcgte Ausgangsposition mit q> = O.
4'
2 Elcmenta re Funktionen
2.11
\Veitere Fun ktionen
2.11.1
Ge unsc he Glockenkurve 0.4
Die Fu nktio n dcr Gau ftsche n Gtockenkurve iSI dcfinicrt uls :
.3
:::';' 0,2
Fur die spczicllen w erte a = J/ .,f[ii und b = 1/ v'2 wird sic uls wahrschetnu chkeltsdlchtcfunktion ctncr normal-vcrtcincn statistischcn
0.1
Variable bczeic hnct: ~,
,
2
~2
X
I e- r ' J'r = __
. 2.11.2
(2. 18)
v'2ii
Klot hoide
Ocr Krummungsradius ctncr Klothoid c linden sich auf .He/iKe Weise. d.h. ohnc Sprt mgc. Aufgrund dicscr gunsrigcn Eigcnschaft wird sic bci Trussicrunguufgabcn im vcrkchrswcscn verwcndct. Die K/or/w ide (a uch Spinnk urve gcnannt) is! cine kunstlich dcfi nicrtc Para mctcrfun ktion gc maB folgendcr G lci ch ung.
,
X=A.j1i
Jo
K ul
Jo
1W2
cos Tdll
,
y = A.jii
- 00 < 1< 00
sin T
du
" "
,.
" Q.l
0.'
05
05
Ocr Krummungsradius r dcr Klothoidc ist in jcdcm bclicbigcn Kurvcnpunkt P umgckchrt proportional zur Lange s des Kurvcn bogcns zwischen dem Koordinurcnursprung und P:
".,
r = -
A ist dcr Proponionalitiusfoktor und hat die Dimension ctncr Lange. Dcr Krummungsradius r wird also mit zunchmcnder Bogenlnngc kleiner, dcshalb vcrlauft die Klorhoidc wic cine zusammcnlaufendc Spirale. Die dimcnsionslose Intcgrauonsgreoze I und die Bcgcnlange .~ sind uber
2.12 Symmetric und Stctigkeit Yo n Punktionen
49
folgende Bczieh ung miteinander verknupft : I
s = A"fii
Die .ej-Koordin atcn des Punktcs P werdcn mit Hilfe dcr obi gcn Integrate (sog . Fre.me/-Inlegra lc) numcnsch bcrechncr. Einc gcsc htosscne Integration ist nicht mog lich. Mathcmanschc Tabellensamrnlungen cmba ltcn zahtcnmautge Auswe rtungen der Fresnel-Integrate.
2.12
Symmetrie und Stetigkeit von Funktionen
Symmet rte und Antimetrie Die Symmetric eincr Funktion y = f (x ) wird mit Bczug auf d ie y-Achse dcfinicrt . Einc symme trisch e Funktion (auch gerad e Funktion gcnannt j ist bczuglich der y-Achsc spicgclsymrnctrisch (Bild 2.20). Mathemati sch wi rd die Symmetric cine r Funktion durch folgcndc Bcdingung uusgcdruckt:
f e-x ) ~ f(x)
(2.19)
Eine antimelri...r he Funktion (auch ungerade Funktion bzw. punktsymmet rlsch e gcmmnt) ist
'"
, x {rad/
~ .
-, a: y = x2 (xymmetrisch j
-,
,,
-. c:.r = .\3 (antimctrisch)
b: .r = cos.r [syr umetrisch)
,
,
x [nV1J
-, d: .r = vin.r (anrimetrischj
Bild 2.20: Bcispiclc fur symmetrischc und untimctrischc Funktinncn
50
2 Elcmentare Funktionen
bzgl. der y-Ac hse schiefsymmetrisch (Bild 2.20) . Die A ntimetrie wird mat hematisch du rch folgende Bcd ingung ausgcdnjc kt: (2.20)
f( -x ) ~ -f(x)
Stetlgkeit und Glattheit Urn den Stct igke itsbcgriffi ngenie urrna llig korrckt zu vers tcbcn. braucht man keine mathematisc h strcnge FonnuJierung. Unter Stetigkeit e iner Funkti on verste ht man. dass ci ne cxtrcm kleinc (d.h. infinitc simale) Posirions anderung auf dcr .r-Achsc c ine endliche Andcrun g des Funktion swcrtcs in j-Richtung zur Folgc hal. Man kan n sich die Stct igkcit auch so vors tcttcn. dass das Scha ubild emcr stctigc n Funk tion nicht ll b.WJIIIt parallel zur y-Ac hse ist und auf Papier gczcichnct wcrdcn karin. ohnc den Stift abzusctzcn . Eine andere dem Alltag entlehnte vo rsteltungsmoghchkcn ist. dass man bci e iner ntcht-stertgcn Funktion irgend wann »springcn« m uss, wenn man entlang dcr Funktionskurve von einem Endc zum anderen Ende wenden. Hilder 2.20 und 2,20 zeige n stetige und glatte Funktio nen . Eine nicht-stetige Funktion ist automatisch nicht-g latt. Umge kehrt gilt es nicht! Eine nic ht-gla tte Funkt ion kann durchaus stctig sein. Die Funktion in Bild 2,21 a ist nicht-stetig (und demit auromatisch auch nicht-glatt), hingegen ist d ie Funktion in Bild 2.2 1 b zwar nicht-glutt aber trotzdcrn stetig. Eine an der Ste lle Xo unstetige
,
"
"
----.t--_J ,
,
a: nicht stcrige Funktion
,
, b: nicht glattc Funkt ion
BilJ 2.2 1: Beispieje fur nicht-stetige und nicht-glutre Punktione n
Funktion besitzt unrerschied lichc Gren zwcn e an dcr Stelle xo, je nac hdcm ob man sich ocr Stelle xo von links odcr von rec tus nahcn. Tangens- und Kotangens-Funktionen (s. Bild 2. 11 auf Sci tc 38) z.B. sind unste tigc Funkt ionen . Die Unstetigkeitsslelle der Tangcns-Funkt ion liegt Z.B. bel 90" und d ie der Kotangens-P unktlo n bei 180",
2. 13 Zusarzfiche Bcispicle
2.13
Zusatzl iche Beispiele
lJeispie l 2,24:
Windprofil
Die Windwirkung auf hohe und schla nke Bauwerke ist ein wichtiger Lastfall . Die Wlnd gescbwindigkeit ist in Bod enn ahe ge ringer, mil zunehme nder Hohe tiber dem Boden wird sic grcaer. Die Ursache dieser ung le ichmaBigen veneilung de r Strom ungsgeschwindigkeit ist die mak roskopische Boden rauhig keit (W alder, Srruucher. Buume. Woh nhuuscr, Hoc hhauser. Industrieanlagen ctc.). Des dabci cnststchend c -mittlcrcWindgesch windigkcirsprofil IliBt sic h nab cru ngswcisc mil folgc ndcr Potcnzfunkt ion bcschrcibcn: z.B. II g :
Gradic ntwind gcschwindigkcit
U = 90 ( 4~ )()· 1~ HI! : Gradic mhohc
a : Prortlc xponcm
100 ',.
" n
:00 " .
... · 0. 2 1
" "
lJeispiel 2.25:
Hyperbelfunktion
Es sol! d ie Rich tig kcit dcr Bczich ung sinh Zr = 2 smbr cos h.c gczcig t werden. Ldsung: Wir sctzcn folgcndc Dcfinitionen fur Hypcrbclfun ktioncn. s. Gl. (2. 12) auf Scitc 39. in die rcchtc Scire dcr zu bcwetscndcn Bczichung cin und crhaltc n: I sinhr ee 2 ( e\
- e -~ )
/
51
52
2 Elcmentare Funktionen
2.14
Aufgaben
I . Stollen Sie (aus dem Gcdachtnis) folgende Funktioncn grafisch fiir x 2: 0 qualitativ korrekt dar (ohne Tasc hcnrec hncrbe nutzung) . Wo schneide r die Funktlo nskurve d ie .e-Achse ?
a ) sin x
b ) cos r
e) e' i)
y = e- x cos x
c) sinh .r
d ) cos hx
~) -
h ) ln x
1
k)
.r
y =e' cos r
J)
y =e< sin.r
2. Ersrctlcn Sic die Scbaubildc r folgender Funktioncn ohnc Tascbenrcchner,
aj ) ~ "o (, + ~) c) ve sm
(2r+ ~)
3. Berechnen Sic die griiBte Durchbiegung des Kragba tkens in Beispiel 2.4 au f Scire 26 fiir die Streckcnlast q = 0,75 kN/m, d ie ubngcn Grb Bcn (L. E, /) sind idcntisch mit dcncn des Beispiel - 2.3 auf Scire 25. LIX: Yma~ = 3.27 em 4. Srelle n Sie die ideale Sicb linie fur das Berc nzuschlaggemisch grafisc h dar (s. Beispiel 2.6
auf Seitc 26) . Bestimm en Sie auae rdem den maximal zulasslgeu Anteil A von Kcrn ern mit Durchmcsscrn von 0 bis 8 mm am Gesamtgemisc h mil Grout korndu rchmcsser von 3 1,5 mm . L sg: A = 50.4% S. Ubcrprilfen Sic mil Hilfe cines Taschcn rcchncrs d ie Beziehun gen I bis 3 fur Sinus- und Kosinusfunkti on in Abschnitt A. I auf Seite 7 19 fur den Winkel x = x / 6 rad = 30° und flir /I = 1,2.3. 6. Ubcrprufc n Sie mit Hilfc cines Taschenrechners die ubd gcn Reche nregcl n fur die trigon e metrische Funktioncn im Absc hnitt A. I fur x = lC/ 3, Y = lC/6 . A = 3, 8 = 2. 7. Ubcrprufcn Sic folgendc Bcispicl c fur Arkus- Funktioncn mil Hilfc cines Taschcnrcch ncrs tvergcssen Sie niche Jhren Taschcnrechncr in den jewei ls richrigcn Grad -lRadiant -MoJus umzuschalten! ).
aj
sin 30° = 0.5
hi cos 6W = 0 .5
cl tan 45° = 1,0 dl sin x/6 = 0.5 e] cos lC 13 = 0.5 n Ian x /4 = 1.0
...
.... .. ..
arcsin 0.5 = 30° arccos 0.5 = 60° arctan 1.0 = 45 ° arcs in 0.5 = x /6 arccos 0.5 = x / 3 arctan 1.0 = lC/4
2. 14 Aufgaben
53
8. Ubcrprufcn Sic mit Hilfe cines Taschcnrcchucrs die Rcchenregeln fur fol gende Funktionen Illr den Wert x = lC/ 4. a) Rechenregeln fu r die Arkus- Funktione n auf Scite 72 1. b) Rechenregeln fur die Hyperbel -F unktionen auf Seitc 72 1.
9. Transfonn iercn Sic folgcndc Funktioncn in cine cinfachcrc Fonn . a) v e cosh .e-l- sinb.r
ts g: y =e-'
b) y
Lsg: y =e -·t
ccs h.e -c sinh .r c) y =cosh 2x -sinh 2x e
d) cosx -
r ' (sir r' x +sinx
e) y =sec 2x +csc 2x
Lsg: y = I
cos 2.r] = 0
L I'g:
j- w
tan .r
I
Lsg: y = -,.-"':'---"2si n- .r cos x
10. Zeigen Sic die Richtigkeit folg ender Beziehungen. a) sin2 x + cos2 .r = 1 7i/P: Rechtwinkligcs Drcicck und Pyt ugoras-Bczichung. h ) sin3x =3sinx - 4sin3 x
c) sinh(x +y) = sinhx coshv-r-cosh.e sinhy Tipp; Beginnen Sie mit dem rechten Ausdruck. d)
sin2~ =~ ( I -COSX)
Tipp: Beziehungen l8und l9 auf Seite 7 19.
II. Versuchen Sie c ine mathematische Erk li irung dufur zu findcn . warum das Schaubild von tanh (Tangc ns hypcrbolicus. s. Abschnitt 2.6) Illr ± oo usy mp tonsch gegc n ± 1 strcbt.
12. Bestimmen Sie die erste von Null verschiedenc positive Wurzel. folge nder Gleichungen. a ) sin r c-cosr ee D b ) tanx - 2 sinr ee I) c ) 1 - sin2 x + cos 3 .r = 0
X = lC/ 4 L I'g: .r = lC/ 3
LW LW
x = lC/2
13. Einc Hypcrbel mit dcm hyperbelmittelpunkt im Kcordi natenursprung hat ihrcn Scheitelpunkt in (2; 0) und geht durch den Punkt P = (3; 5). Stellen Sie die Hypergleichung auf. x2
y2
Lsg : - - - = I 4 20
3
Matrizen und Iineare Gleichungssysteme
3.1
Einflihr ung
Die Gru ndlage dcr linearen Algebra is! dcr BegriiT einer Matrix (Mehrzah l: M at r iZt>Il ). Unter eincr !\latrix versteht man ein Sys tem von Gr6Bcll. die in eincm rechteckige n Sch ema ungeordnet sind. In dic sem Schema worde n d ie horizon talen Reihen uls Zeilen, und d ie vertik ulen Reihen als Spa/ tell Je T Matrix bczeic hnet. Bci den als Matrix angcordncte n Gri.ilkn kann es sich um Zahlcn. Variablcn od cr auch Funk tionc n handcl n. Jcdcr Eintrag in JeT Matrix is! cin Matrixetemel/' , wobci das cine Element cine Zahl, wuhre nd cin andcrcs Element cine Var iable. soga r cin Funktionsausdruck. scin kann. Die rechtcckformigc Anordnung JeT Elemc nte (l ij ( i = I . . . 111 , j = I . . . 11) in cin cr 111 x n Matrix crfolgj nach folgcndcm Schema:
Sp. I
1 Zcile I Zeile 2 Zci lem
- [ all --.>
a 21
--.>
al:'1
Sp. 2 j
Sp. II
I
all
a" odcr
(121
( a,:11
",,,
(l ZII
)
a':/11
In d iescm Buch wird die Schreibweisc mit eckigen Klammern verwc ndc t. Die Nummerieru ng dcr Zcilen erfolgt von obc n nach untcn (bcgin ncnd mit I), d ie dcr Spaltcn von links nach rcc hts (cbcnfulls mit I bcginncnd). Die Gcsanuzahl von Elcmcntcn c incr Matrix ergibt sich aus A nmhl der Elemente = A II:;ahl der Zeilen x A Il::.ah/ der Spa /tell
Eine Matrix mit III Zeilen und /I Spalte n hat also III x " Ele menre. Man spricht des halb auch von e iner 111 x a -Mat rix. Mit dcm Symbol ail wird dasjenige Matrixele ment bczeic hnct. das sich in dcr i-ten Zeil e und der j-ten Spane der Matri x befindet. Die Zah lvariablcu i und j worde n als lndes variablen des Elcmc ntcs bczcichnct. Der crstc Index i gibt die Zeilennummcr und der zwcite Index j d ie Spaltcnnummcr des Ele mentos innerhalb dcr Matrix an. Matrizen worde n sy mbolisc h mit fetten Groabuchstabcn gckennze ichnct. z.B. A. R, X usw. Anstelle cines feucn Buchstabcns kann auch ein untcrstrichcncr Buch stabc verwendct wcrdcn. z.B. d. Ii. K . Nicht scltcn ist aueh die Schreibwcisc [A]. [R]. [X] . Ebcnfall s sicht man in der math cmau scbcn Literatur folgcndc Schrcibweis cn fur cine III x n Matrix :
[u')J·,= ,... m. J.= ,...11
(a IJ j1=· , ...m. J.= , ... /1
56
3 Matr izen und lineare (Ileich ungssystemc
Hdspid 3.1: Nach folgon d "inti c inigl.' Re ispi t'le fiir- Mnrri ve n geg(' hl' n.
]~ [; ~ ] ]~ [ - 2 b22
~ d~ [
(Ill
(1 12
a ll
{ll 2
B ~ li ~ [
b"
bl2
A
b 21
c"
[
Czl
cu en
C31
e32
D = !.2 =
[
3 -x
x 6
E =~=
[
C ~ (>
sin c
-2 -x
4
b" bn
] [-; ~
5
X 5
] 8
I 6
n
3 5
]
X
z-M ardx
2 x 3-Matrix
3 x 2-Malrix
2 x 3-Malrix
x cos .\:
2
Y]
cos ~
3 x 3- Malrix
Bedeutung der l\Ia tr izen in de r Physik Matriz en crlaubc n cine au Berordentlich ko mpaktc symbolischc Darstctl ungswcis c und ges talte n auf diesc Weise . ko mpl izicrtc Bezieh ungen zw ische n rnchrc rcn grilBcn (m ituntcr soga r zw ischen
mehrcrcn Millioncn Griilk n) in symboliscbcr Schrcibwcisc auszudnjckcn. Sclbst verwickclte Zusa mmc nhangc lind Opera tioncn lassen sic h mil Hilfe dcr Matrixrcch nung ubcrsic htlich darstcllc n. Einc Matrix bcstcht zwar aus vielcn (sogar schr viclcn) Elcrncntcn. dcnnoc b liisst sic sich in rnuthcrnat ischcn Bcrcch nu ngcn trutzdc rn als cine eigenstiindige Binhcit bchandc ln . Matrizen bcsitzen auch bcsondcrc Kenngroaen und Mc rkm ale (z.B . Dcrcrmtnar uc, Spur, Eigc nwe rt und Eig envektor). welchc wic htig sind bel der Aufslellu ng und Losung technisch wisse nschaftliche r Problem e. Ohne Matrizen ware n d ie rnod ernen , heute als selbs tvers tan dllc h betrachreren . Berechn ungsmethod en der Physik und Mech anik {Sta tik. Dynarnik, Stu bilit at. Strcm ungsrncchanik. Warm elcit ung, etektrisc he und magn erisch e Felder usw) ga r nicht mogfich ge wese n. Matrjzen bilden das Kernsruck dcr Finite Elemente M ethode FEJ\.1. Die FEM ist cine universelIe Method e fiir die Com puter-basic rtc numerische Losu ng von ph ysik alis cbcn Problcmcn und ist auc h im Buuwcscn das alltaglichc Rccb cnwcrkzcug des Bcrcchn ungsingenicu rs.
3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen
3.2
57
Definitionen Illr l\latrizen
Dimen sion eine r Matrix Bci einer Matrix mit m Zeilen und II Spalten ist III die Zeil en dimen sion und 11 die Spaltendim en ston dcr Matrix. Das Merkmal 11/ x /I ka nn deshalb als Dimen sion d er M atri x angcsehc n werdcu. Die Re ihenfo lge in 111 x II ist wicbtig: Eine //I x /I Matri x undeinc II x 111 Mat rix bcsitzen nicln d ie gleic hc Dimen sion ! Q uadra tische !\-lat ri x Einc Matrix wird quadratisch genanr u, wenn sic die gleic hc An zahl von Zei len und Spalten ha t, d .h. die Dimen sion 1/ x /I besitzt.
A=
[ a" a 21 .
a ln a2/1
a l2
an
a,,1 a,,2
a""
]
Zetle nve ktor Eine Matrix mit der Dimension I x Spahcn. X = [ XI
Hlp:
II
- 1 5 4 1 2 3
]
heiBt Zeilenvektor, den n sic bcsteht nus I Zeilc und
H.lP:
x" ]
X2
A ~[
2 - 1 1
x~ [ 2
II
I x 4-Matrix
-3 5 4 ]
Oft worde n Vcktorcn in tenon Klcinhuchstabcn angcgcben. z.B. x odcr y . Ansreuc des Fet tbuchstabcns kann auch cin Buch stabc m it Untcrstrich vcrwendct worde n. L B. .r, v. ~
S pa ltenve klor Ei nc Matrix mit der Dimen sion
II
x I heiBt Spaltenvektor, sic bestc ht au s
11
Zcilen und I Spulte .
y, Y2 .
y=
4 x I-Matri x
8 .1"1':
[ )'"
Hauptdia gonale einer l\latrix Die Blem cr ue a l l , ti n , ' .. • ti m' (d .h. a U m il i = I . . . 1/ ) einer quad nuisch cn /I x 11 Ma trix A bild cn die Hauptdiagonale von A. Die Hauptdia gon alc bcgi nnt m il dcm crstc n Eleme nt obe n links und verlauft diagon al zu m lctzrcn Elem ent umen reclus. Die Elem eme der Haup tdiagonale konncn auch als ein Vektor (entwe dcr als Sp alte nvektoroder als Zeilenvektor ) darge ste llt werden. BW
A
~ [rp ciJ ~ ] 6
2
[II
dl'g A
~[~] 3
bzw, diag A
~[2
4
3 ]
58
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
Dta gon a lma t rl x Einc Diagonalmatri x ist cine Matrix mit dor Dimension /I x 11. wobci ihrc Btcmcmc auBerhalh dcr Hauptdi ugonulcn aile glcieh Nu ll sind (ein zel ne Elcmc ntc auf dcr Hauptdia gon ulc d urfcn abcr nattlrlich chenfalls Null sein).
a~ , A ~
[
o
.
o
Ssp:
o
~ ~:: ~ ] B~ [ (~
[o
0 00
8 0
0 -4
0 0
o - I
o o
Anme rkung : Diagonalmatrix und »Dt agon alc einer Matrix« sind verschiedene Bcgriffc ! Eine Diagonalmatrix bcsitzt die Dimensio n /I x II, wnhrend die Diago nalc einer Matrix ein Vek tor ist. d .h. die Dimension 11 x I (bzw. I x n] hat. Ei nheitsmat rfx 1 Eine spezielle Dia gonalmat rix ist die Einhei tsmat rix I . Sie hat die Dimension II x n. ihre Hauptdi ago nalelemente haben den Zahlenwert I. alle andere n Elemcntc sind Null (aii = I fur i = j und aii = 0 fur i t j). Fur di e Ei nheitsmatrix werden anstetle von 1 au ch die Sy mbo le E oder
I verwcndct.
Nu llm a trix 0 In einer m x II Nultmat rix 0 sind aile Elem entc gleic h Null.
o ~
o o
0 0
o
0
Ssp:
Das Ergebn is der Ma tri xopcration
B- B
ist die Nullrnatrix 0 : B -B ~ O
Symmet r tsche J\.latrix Eine Matrix lst dann symm errisch, wenn sie die Dimension n x II fu r alle Matrixele mente d ie Beziehung "ii = aii gilt. Bei e iner d ie Hauptdiagonale eine Sy mmetr ielinie dar, Als Merkregel ka nn sich die Hauptd iagonale wie cine Spiegelfldche vor und pru n. oh ide ntisch sind.
svmmet riscn
hat (also quadratisch ist) IIIIlI sy m metrtschcn Matrix ste llt folgc nde s d iene n: Man ste llt Originalbild und Spiegelhild
unsvmmetnsch 3
5 - I
-!J
3 5 [
-!J
3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen
59
Antlmetr tsche l\.latrix Eine quadru tischc Matrix wird amimetrisch bzw. schiefsymme trisch gcrum rn. wenn fur ihrc Elcmente g ilt: tlii = 0 (d.h. Hauptdiagonate ist Null) und tli) = - a ji fur i -::j:. j .
o -3
s
3
-8 ]
o
- I
o
I
Nega tive Matrix Die negative Matri x - A cntstcht aus dcr Matrix A , indcm otle Elc mcmc von A mit - I multipliziert werdcn.
A~ [
a"
(1 12
a lII
(/ 11
«n
tl l lI
a mi
a-a
(I" ",
] -A~ [
- ti l l
- (112
- a I"
- (/21
- a 12
- a l II
- {/ m l
- ova
- a.""
]
S pur elner Ma tri x Die Spur emer 11 x Il Matrix A , bczeic hnct als tr A « (Englisch tra ce ), ist die algeb raische Sum me dcr Hauptdiagonalclcmente von A. Die Spur ste ht mit de ll Eigcnwertcn einer Ma trix in ei nem bestimmten Zusammcnhang. s. Formel ( 11. 14) auf Seite 550.
a"
{/21
A ~
a" I
«ra
(I I"
ti n
{/2"
A~ [
2 - I 6
5
tI""
1I"2
5 7 3 4 9
8 1 2
-q - I
Ir A = 2 + 3+ 8 - 1 = 12
tr A = a ll + 1I22 + . . . + alll,
Obere I>reiecksm at ri x Ei nc quadranschc Matrix w ird obere Dreiccksrnatrix gcnannt. wenn aile Elcmcntc untcr halb dcrcn Hauptdia gon ufc Nu t! sind ( a ij = 0 fljr allc i > j).
A
~ [ a~, o o
au a22 0 0
a l3 al ~
(/33
0
(11"\
aa"" ] (/ 4..\
A ~[ o~
3
o
5 ()
- I 6
()
()
60
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc
Untere Dreiecksmatrix Einc quadratis che Mat rix wird untere Dreieck sm atrix ge nanut. wcnn ail e Elcmcnte oberhalb dcrcn Hauptdiagonale Null sind ( " U = 0 fllr allc ; < j) .
0 A =
[ " II a21 a 31
(141
Einheit svektor
tl 22
0 0
tin tI·u
(143
0 0 0
a 3.l
a"
e;
In ci ncm Ein hcitsvcktor e , sind aile Etemcnrc glcich Nu ll bis auf das gleich 1 iSI (e j = 1 fur j = i. ej e Ofur j of. i ).
i~te
Element, welch es
Spalteneinhei I.B -e ktor:
Zeileneinhei(.1'\-et aor:
8 .1'1':
Ssp :
t! 1 =
I 0 0 0 0
0 I 0 0 0
e2 =
0
e3 =
0
0 0 I 0 0
" ~[
0
" ~ [ ()
' 3~ [ 0
0
0
0
0
0
()
0
0
0
0
0
0
0
Gleichheit vun Matrizen Zwei Matrizen A = [aij] und B = [bij ] sind gleich, d.h. A = B , wc nn sic heide vo n der gleichc n Dimension /1/ x n sind (d. h. ihrc Ze ilcnunzahl /1/ und Spaltenanza hl 11 jcwcils ubcrein stirnm cn) und d ie korrespondicrcndcn M atrixclcr ncntc glcich sind.
A =B
wenn
tli }
=
bi}
I1ir ; = 1,2 . . . . , /1/
und
j = 1.2. . . .. n
Heis p iel 3.2: a) Folgcndc M atrizcn sind gle ich.
A =B b) Folgendc Ma trizen sind nictu gleich, we il ihrc Dim en sion nicht gleic h is!.
B~
[ 2 3
3
5
weil A : (3 x 2)
B , (2 x 3)
c) Eine Zc ilenma rrix und cine Spalten matrix sind grundsmzllc b ungtclche Matrizcn ,
3.2 Dcfinitinncn fur Matrizen
6J
sclbst wcnn ihre Elem ente identi schc Za hlenwe rte en thaltcn. Grund : lh rc Dim onsio nc n stim men nich t ubc rcin (Zcilcnmutrix: I X " , Spa ltcnmatrix: " X I ).
Zerl egung von Matrlzen in Zeilen· und Spelte nvektore n Eine 111 x II Matri x kann in III Ze ilenvektore n bz w. in II Spalte nvckroren zerlegt werde n {welche Ze rleg ungsvariante gewahlt wi rd. hnngr von der An wendun g ab): Ze rlegung in Spoltenvektoren: Zerle gun g in Zeitenvektoren: all al 2 lIl ; li l t! :Z: l A = [ Sl s2 s, S" a 21 A ~
lI 2;
lI 22
"
a:!t! ~
(1;1
(1;2
(Iii
a i"
amI
{1m2
a mi
(I", ,,
a I; au
z; Si =
:z:; = [
ail
«n
(Iii
Z"
an (lmi
"i"
Bets pt el 3.3 : Die Mat rix A so li in Zei lenvcktoren und Spaltenvcktoren zerleg t we rden .
A ~
[:; ] ZJ
zs
A~ [ "
"
z: ~ [ 2 3 8
za >
4
5
- I ]
z-' ~ [ 9
,, ~ [ 7
2
15 ]
'J ]
3
Sl
=
6
[n
s2
[
=
[n
s3
=
[~;]
62
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
3.3
Addition und Subtraktion von l\latrizen
Addition Die Addition von zwe i III x II Matri zen liefert cine neue Matri x von glcieher Dimension:
B ~ [I>;il Die Elemc nre den Elemente
Cjj " ij
c~
[eiil
i = 1.2. ...
, Ill
j = I ,2..... 11
der Matrix C ergebcn sieh dureh algebraisehe Addit ion dcr korrespondierenund bi j : i = 1.2, .. . . m
(3. 1)
j = 1,2. . . .. 11
Z wei Matrizen A und B konncn dann und nurdann addicrt worden . wenn sic g lcichc Dimension besitzen. Wenn also A cine III x /I Matri x ist, rnuf aueh B cin e III x II Matrix scin. Folg lieh kann z.B. cine III x II Matri x kann nictn mit einer /I x III Matrix addiert worden! Regeln der Matrixaddition sind in Tabelle 3.1 zusammen ges tellt.
Suht rak tion Die Subtraktion der Matri x B von der Matrix A erfo lgt analog zur Add ition:
C =A - B
mit
Cjj
=
(lij -
(3.2)
bij
lIt'isp id 3.4: Einige Bcispic lc fur die Addition und Subtruktion vo n Matrizcn sind nachfolgend gegcbcn. a) A
~
[
-4 6
o
- I
B ~
I
1
~]
A +B = [ I 3
5 2
B ~
A + B ist nieht definiert , weil umcrschicdliche Dtmensionen! c)
x=
[
2; ]
2 ]
x +y ist nicht detinien. we il unterschicd lichc Dimcnsioucn ! 6 1
~]
B= [
~
- I
1
~]
A -B ~
[
-9 7 -3
o
3.4 Transposition vnn Matrizen
63
Tabelle 3.1: Regeln fiir Addition und Subuuktinn von Matrizcn =
A -A
=
o
A +B
=
B +A
A -B
=
- B+ A
(A+ B} + C
=
A + (B + C )
(A+ B} - C
=
A + (B - C )
A +B
=
o A +A
A -B
3.4
A
A +" H (- A ) A - (-A )
o o
-:?
A= -B
-:?
A=B
Transposition von Matrizen
Transposition eines Vekters Falls cin Zeile nvekt or als Spaltcnvektor (und umgckehrt) gcschriebcn wird, rcdct man von Tra nsposition. Die Tran sponicrtc des Vektors x wird mit dcm Symbol x T gckcrmzcichnct. Trunsposition macht aus cinc m Zcilcnvektor cinen Spattc nvcktor. und m x m Ma trix mo gflch. wel l (t) X !fl)( pl x p) -> I' x I' Matrix nic ht mogfich. we i! (111 x 1')(1/ X p ) nicht mogtich. wei! (p x 11I )(11 X p) mogfich. weil (11 x jJ){ P X Ill ) II X 111 Matrix mogfich. wcil (n x pl )( pI Xp ) II x p Ma trix nicht mogl ich . we i! (p x 11 )(1' x III) mo glich. weil ((m x p )( ft xm )) (III X II) (IIIX pl){ pI Xll ) m x n Matrix mogfich. wcilI ferx ti Hti xp)) (p X Ill ) (m x p )(jJ XIII) lII xm Ma trix nich t mogli ch. wei ! ((mx ti )(ti x p )) (Ill X 1') ........ (III x p HIII X p )
Ska larprodukt von zwel Vekto ren
Ei n Ze ilc nvektor x mit II Elemcntcn ist gleic hbc deute nd mit eincr I x Jl Matrix. Ei n Spaltenvekto r y m it 11 Ele mcn tcn ist glcic hbcde ute nd mil ci net Jl x I Matrix. Die Multiplikat ion des Zeiienvektars x m it dc m Spaltenvetaor y licfc rt als Ergeb nis ein Skalar und wi rd dahe r als SkaIarprodukt vo n zwc i Vck to rcn bczcichnct. Fiir zwe i Vek tore n
Zeilenvek tor
.r =
[ XI
X2
x" ]
Spalte nve kto r
y =
YI Y2
y"
3.5 Matrix-Multiplikation
67
ist das Ska tarprod ukt xy defin iert als
xy =
[Xl
X~
(3.7)
Dimcnsionskompatibilitat: ( I x ,Ii)(,Ii x I ) -. I x I Matrix (das ist cin Skalar !).
Heispid 3.9:
x ~ [ x,
3.5.4
X,
x, ]
~ [ 2
3
I ]
Matrlxprodukt von zwei Vektore n
Die Mu ltiplikation eincs Spaltenvektors y m il n-E lcmcntc n (11 x I Matrix) und cin es Zeilcnvektors x mit u-Ele mcnt cn ( I x /l Matrix) licfcrt als crgcbnis kein Skalar sond cr n ei nc Matrix! Die se Mult iplikat ion wird als Mcurixprod uir bczc ichoct und ist definicrt als :
yx =
v' ] [ y,
' .~
( XI X,
.\"
[ y,x, x"
]
=
Y2
Xl
.
.,
)"IX2
Y1 X n
Y2 X2
Y2 X n
Y "X2
y"x"
(3.8)
Mit dem Dlmenslonscheck sle ht man sofon . dass das Ergebn ts cine Matrix ist: y : (n x l )
x : ( l x lI)
=> y x : (IIX ,l )() x II) -. (II XII )
Beispiel 3. 10:
2 4 -6
4 ]
3.5.5
I 2
-3
-In
Multiplikation einer I\latrix mit einem Spa ltenvektor
Die Mu ltiplikat ion eioer III x " Matrix A m il eincm Vek tor y vo n der Dimensio n III x I :
y = Ax
Dimensionskompatibilit1it : ( /fi X
II
x 1 Vckt or x liefcrt als Ergc bnis cinen
t!)(t! x
I) -.
(III X
I)
68
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc
{I l l
x,
a,,, ]
{I21
A ~
x,
t/ 2"
x.\
.:
[
am'
y ~
[
.\, )'2
.
]
Y",
x"
Das i-te Element von y ist gcgcbcn durch Skalurprod ukt des /-ten Zcilcnvcktors von A mit dcm Spaltcnvcktor .r:
Yi = J
{I II
{I~ " ' lli" J,
;-le zc ne von A
7
X, ]
[
= ai l x ,+ lli2 X2 + - · · + a i" X"
( 3.9)
x"
Ocr Multiplikationsvorgang kann durch Zerlegung der Matrix A in Ze ile nvekto ren bcsondcrs ubcrslchtllch dargestel1t werde n: .\,
Zl
[
mit
:::
Zi = [ lli l
••.
Zl X ] Z2 X (IiI! ]
.vm
(3. 10 )
,,,:X
Zuniichsl wird al so dcr erste Zc ilenvektor Z I dcr Matrix m it dem Spahc nvckror x muhlpllzlcrt . das Ergebn is ist ein Skala r, Danach win! die zweite Zeile Z2 dcr Matrix mit .r m ultip liziert usw. Ueispiel 3. 11: a)
[ I 3 ] [ x] y =
] ' x + 3 -" = x+ 3,, -
Dimensionskompatibilitlit: ( I x
J )(J x
I)
-- x" = - ,«;
Bestl mm ung d er Unbe ka nn ten X,, _I Jc1Z1 kann ma n die Variable X,,_I leicht aus dcr vorterzren Gleichung in (3.16 ) ermiuctn . wei! XII ja inzwi schen bekannt ist und in die vorlctzre Gleichung ci ngesctzt werden kann.
1
a'
X,,_ I =
( b,,, l-
,
a (tI _ l)n
' X"
)
(,, - 1j{ ,,- 1)
Auf ahnliche Weise werden die iibrigc n Unbcka nmcn X,, _ 2 . X,, _ 3 . · ' · , XI usw. bcrec hnct . Die allgemeine Besrlmm ungsformel fur die Ruc kwnrt ssubstttutlo n lautct:
0 .17) 1m lctzten Substitutio nsschritt zur Bestimrnung vo n XI gilt naturltch a'1j = Zei lc (j = 1,2.. .. , II ).
{/ l j
in der erstcn
Beispiel 3,14: Das to tgende Glclchungssystem isl nach dem Gauss-Verfahren zu losen.
2, 4x
- 2,
+ + +
y y 2)'
+ z= 1 + (I ~ - 2 + z= 7
Zunachst w ird die 1. Glcic hung m il - a 21/ a l l = - 4/ 2 = - 2 multipliz iert und zu dcr 2. Glcic hung uddie rt: dann wird die 1. Glcic hung m il - (/ .' 1/ (111 = I multiplizic rt und zur 3. Glcic hun g addi ert:
2, (I (I
+
y
+
+
Y 3)'
+
1 2;: = - 4 2: = 8 z ~
78
3 Matr izen und Iincare (Ileichungssystemc
Jetzt muss J aus dcr 3. Glcichung climinicrt werdcn. Deshalb w ird die 2. G le ichung mit - aW /a~~) - - 3/ {- 1) - 3 mu ltipliz iert und xur 3. Gleichung addicrt:
2x 0 0
+
)'
+
)'
+
0
:: = I 2:: = - 4 4:: = - 4
Dam it ist die Dreiecks zerlegung beendet.
Riickwdnssuhstitution. Die lct zte G leichung lautet - 4;: = - 4 . Daraus fa lgt unmittelbar z = J. Nac h Einsctzc n (Substitution) von z = I in die 2. G leic hung des reduzierte n Syste ms cr halt man y = 2. Die 1. G leichu ng licfc rt schhealich .r = - I . Gauss-Elimination in Matrtxscbretbwelse Das linearc Gleichun gssystem (3. 13) kann in Matrixschrcibw eisc wie folg t angegebcn werden:
Ax =b
(3 . 1S)
Dcr im Ahschnitt 3.6 .1 bcs r hricbcnc Gauss-Al gor ithmus kann sinnge ma13 auf Glcichung (3. 18) angewandt worden. Durch Zcttcnopcruuon cn wird d ie Matrix A in die ohe re Oretecksfonn transformicrt (Drelecks zerlegun g). Glcichzeitig wird der Vektor b de n gle iche n Opcra noncn untcrworfen. Das lineare Glc ichungssystem sich r am Endc des Dretcckszcrtcgungsprozesscs schematisch wie Iolg t aus:
I A' X ~ b'l
,
(/ I I
1I12
lI l(n- I )
a l"
0
a~2
(/ 2(11 - 1)
a~"
0
0
(/ 3(11 - 1)
a3"
0
0
{/(1I - 1)(tl- l )
a i " _ I )II
0
,
0
0
,
(/;",
x,
h,
X2
b~ b')'
X3
(3. 19)
X,, _I
b ;l _ l
x"
b;,
'-v--' )'
A'
'-v--'
"
Ans chl icBend wird mittcl s Riick'tl'i i r/.l'.l'IIhsl i tutio /l ouch (3.17) de r Unhcka nntenvektor x erm utclt: X,, - 2
= ..
usw.
3.6 Lincere Glcichungssytemc
79
Er wetter te Matri x Wie ohc n crwahnt. werdcn d ie zur Dreieckszerlcgung notwcndigen Oper utioncn nicht nur auf d ie Kocffi zicntcnm urrix A sclbst angcwandt, sondcrn auch auf d ie rcchtc Scitc b . Bei Handrcchnunge n kann es dahcr crwas ubcrsichtlichcr scm. wenn A und b in ciner crweitencn Matrix zusa rnmengerasst werden. Aile Eliminaticnsoperario ncn worde n jctzt unmittelbar auf d ie crweitcrte Matrix angcwandt (die erwetrertc Matrix ist nur eine c puschc Erlcichterung. inhaltlich andert sich nlchts).
"" (/22
a l"
b,
(/21
" 2(,, _ 1)
" 2"
1>2
"JI
(/J 2
" J (,, - I )
" J"
b.~
a ll
a l (" ~ I J
tl n(" _ l )
all"
b"
(I
II
(1 12
,
(/ I ( " ~I )
(I
III
b,
22
(/2(11 - 1)
(/2" b2
0
0
(I .~ ( ,, ~ I )
a~II
0
0
0
0
tl
,
,
b')
(/;", b;,
Trtv laler Losungsvekt or Fur jc dcs lineare homogene Glcieh ungssystem ist dcr Nullvektor 0 ein sog. trivialcr Losungsvektor (in rechnis chen Anwcndunge n ist cln trivialer Losnngsvektor narurlich nicht bcsondcrs nutzhch l).
Ueisp ieI 3.1S: Das Glcichungssystcm des Beis piel» 3.14 auf Scitc 77 lautct in Matrixschrcibweisc (die Richtigkcit dieser Matrixgleichung lasst sich lc icht llbcrpr llfen . indem die Matrixmultiplikation Ax auf der linken Seite ausgefuhrt wird j:
symbollsch: A x = b
RO
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
Hd spid 3.16: Z l1 1ils('n ist da s
[ :~ - I
1
rnl g{'n cl~~
-~6 ]
lineare G lei e h llng ss ys telTI .
[;;]~ [ :~ ] 7.4
X;
Die Gauss-Elimination (Dreieck szctlcgungj Iiefert in der Schreib weise der erweiterten Matrix:
,
[l, , 6 7"2,4] J > 2 4
-
- 2
[~, 5, 2
1.0
,
4 6
12] 7,4
8.4
IS
2 I 120] 2 I "20] 4 5 4 5 8,40 J -1;' - [g 0 5,1 25 8.40 [g 1.25 6.'25 7.55 5.45 +
Das Glcic hungssystem in Drciccksform lautct somit:
[~
2 5 4I][ X' 0 5.125 {;
{2
]=
[120] S.40 5.45
Die Unbekann tcn werden durch Ruckwartssubsthuuo n nach (3. 17) enuiuclt:
_ 5.45 _
1
x; - 5.125 - 1.06. 4 X2
= 8.40 - 4 · 1.0634 = 0 8291
Xl =
5
.
.
1.20 - 2 · 0.8293 - 1·1 ,0634 8
0' 1
= -. I ~O.
X, ] [ x2 '3
3.6 Lincere Glc ichun gssytemc
Heispid 3.17:
1:1 I
Stabkra rte in emern Fachwerk
Des abgcbildcte Fach werk wird durch die Horizon tnlkraft H und die Vcrtlknlkra fr V belaster. Die Berechnung der Stabkraft c karin nach de rn Gtelchgcwichrsprt nzip der Statik erfolge n. wei! das Fachwerk statisch hestimmt lsr. Zu diesem Zweck werden die Stabe lund 2 unmitt el bar am Kraftangr iffspunkl -gedanklic h- dur chtrennt und an den Schnitten werden die Stabkrti fte NI und N2 angcbracht (rcc htes Teilb ild).
Y L,
V
: NI~
H
~r/ -1.
'"'a = 450
~ ~ 70o H = 20 kN V =lOkN Das Glcichgewicht des Kraftangriffsp unktcs verlang t. dass d ie Summc alte r Kra fte in horizon talc r und vcrti kalcr Richtung jcwcils Null scin muss. Dic se Ford crung lic fert zwc i Glci chun gen:
L. F1,= - V - N I sin a - N2 sin {3 = O
In Mat rixschrci bwcise konncn diesc belden Glei chungen gesc hrtcben werde n als
- c~ s a [ - Sill a
cos S - sin {3
] [
N'N2 ] = [ -H] V
(0)
Die Gau ss-Elimination des obigcn Glcic hungssysrcms licfert: cos {3
- H
sin-a J -+ cos a
_
[ - cos a
V ]
- sin {3
0
cos{3 - sin {3- lan a cos{3
A us dcr zwe itcn Zeilc dcr rcduzicrtcn Matri x crhalt ma n die Stnbkraft N2:
V + Ht ana
sin f3
Ian a cos {3
Die crstc Zcilc licfcrt dann die Stabkraft N I: - H- N 2 cos{3 N . = ---='-:;-'~ cos a
Mit de n angegebcncn Zahlenwen cn ergeben sic h die Stubkrafte zu:
. 10+20 tan 45°
Sill 70°
ta1145° cos
70~
= - 23.406 kN ,
(Druckkraft)
- H
V +Htana
]
&2
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc Q
Nl = - 20- (- 23 ,406) cos 70 = 16 .963 kN tZugkraft) eos 45° All/II .: Oil' Gauss-Elimi nation wurde naturflch wese nrlich schncllcr erfolgen , wenn wir die Za hlenwerte schon fru hzeitig in d ie Beziehu ng (a ) ein gesct zt hanen. Anmerkungen zur G
Folgende Matrix hat den Rang 2. wetl d ie I. Zeile slch aus der 2. und 3. Ze ile durch Linearkom bination zusa mmcnse tzc n fusst. Die 3 x 3 Matrix A hat also nicht drei, sondcm nur zwei unabhnnglgc Zeile n, ist deshalb linear abhnnglg. I
- 32 ] -3 7 2
3.8
=0>
rg A = 2
Deter minanten
Die Dctcrminanre einer quadratiscnen Matrix ist cine Zahl, die nach cincr exakt vorgcgcbcncn Rcchcnvorschrif aus dicscr Matrix bcrcchnct wird. Die Determinante der Matrix A wird cruwcdcr durch das Symbol lAi oder du rch ••dct A « gckc nnzcichnct. AnmerkllllK: Dus Zcic hcn I von IAI darf nicht mit dem Absolu twertzcichcn I vcrwcc hsclt werdcn. Gclegc ntlich wird das Detcrminantcnsym bol nic ht au f das Matrixsym bol sondcm unmitte tbar auf die Matrix sclhsr angcwandt. Somit ergcbcn sich insgcsamt vier Darstellu ngsmogfichkci tcn fur die Detcrminuntc ciner Matri x A : (/ 12
IA I == detA == de t
3.8.1
[ "21 " II
" 22
a,,1
(/112
:
"I" tl2"
a"'l
]
-
"II
" 12
(/ I"
(/21
a 22
(/2"
(/'11
a.a
(/""
Determfnante etner II x " Matrix
Fur d ie Bcrcchnung dcr Detenninantc e incr bclicbigcn (/1 1
(112
{I21
(/22
(/1 11 ]
(/ 211
.:
11
x
II
Matrix A
R6
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
w ird der Entwicklungssatz "on La place verwcnde t. der in zwei Forrncn vorlicgt:
" I ~ ["
(- 1)'+) aU "
i=1
ul
" I ~ [ " (-I Y+) a,) " ,)1
Etuwlcklung nacn tier i-ten Ze ile
(3.23)
Emwick lung nach der j-te n Spalte
(3.24 )
i", 1
Die Un terdeter m ina n te lAijl ist die Dctcr minantc dc rjc nigcn (11 - I) X (/1 - I ) Matrix A ij , we lchc nus A durch Streic hung dcr a-ten Zelle und j -ten Spalte hervor gcht. Ocr Term (- I )I+i licfert das jewcils korrc kte Vorzcichen der ci nze lncn Summa tionsglicdcr. Ocr Term (- I )I+i in (3 .23) bzw. (3.24) liefen das korre kte Vorzeichen fur d ie cinzelncn Unterde ter minanten lAul und ka nn in einem Sc hachbrettmuste r wie folg t visu allsl ert werde n:
+
A= + 3.8,2
+ +
+
+
+
+
+
+
Determinante einer 2 x 2 Matrtx
Die Dctcrminar ne einer 2 x 2 Matrix ist gcge bcn durch
IdctA = lA l = ti l l ·
A ~ [ lI l l
tl21
tl 22
- a 12 ' a21
I
(3.25)
Die obige Formettasst sich unmittclba r aus (3.23) ublcitc n: mit
A I I = {/22
A1 2 =
1I21
neispiel 3,20:
A=[ ~ ~ ] 3.83
deIA =IA I = 1
~ ~
1 = 4. 8 - 2 . 1 = 30
Determinante einer 3 x 3 Matrix
Die Anwen du ng der Lapla ce-En twicklu ng nach der I. Zc ilc gemii B (3.23) auf die Dctcrtn inantc ei ner 3 x 3 Matri x A Iiefen :
A=
[
a"
(/21 (/31
a" ]
(/13 (/ 3.'
A us (3.23) fclgt ftir i = I:
" - I) I+i IA I = 1> i"' l
{IIi
IAli l
3.8 Dctcrm manren
1:1 7
IAI = ( _ 1)1 + 1 (/11 IAl l 1+ ( - I ) I+ 2 (/12 1.4 121 + ( - 1)1 +3 (/ u 1.4 131 ~ ", I
~ ",- I
Mil den Untcrrruurizcn A II
an, A l2, A u
an ]
tI 22
= [ tI 23
~ ", I
an ]
A l2 = [
(l JJ
AI3. = [ "21 aJ I
erhalt man aus obige r Beziehu ng:
[ "'I tI .'I Das ist die Form cl fur die Bcrcchnung der Dercrmt name ei ncr 3 x 3 Matrix. wi r wiirde n cine andere Beziehung erhaltcn, wenn die Lapla ee-Ent wick lung nach dcr I. Spalte erfo lgt ware. Die verschledene n -z uein ander natiirlich uquivalenten- Detcnn inantenformeln sind nachfolgend angegcbcn.
Entwickt ung na ch der I. Zelle: IAI = a ll
I
«n (l J2
trn a.u
I I - a 12
I I
(/23 +au "21 tI .U (/31
(3.26a )
oder (nach Vert auschung der beiden Spaite n in der mitt leren Determ inante)
1A 1 =" 11
I
(02
-
un
aD a)J
l+
a 121
(/23 " 21 (/ ) )
")1
I I'''I + "13
a 22
w
(lJ I
a '\2
" 12 {/22
" 23
I
(3.26b)
I
(3.27a)
Entwicklung na ch der I. Spatter 1A 1 =" 11
I"" --
an
(/2)
a 3.'
l-
a 2l1
(/12
aU
an
( 3)
I I + " 31
aU
oder (nach Vert auschung der bcidcn Zeilen in der mittleren Detenni nante )
1A1 =" 11
I
(02
-
U)2
a 2J
a)3
I I + a2 1
" 32
(/12
au
aU
I I + " 31
(3.27 b)
a l2 (/22
Die Aus wcrtung der obigen Beziehungen ergibt die nachfolgende Form cl. die jedoc h nicht so ganz lcicht zu mcrkcn ist. 1.4 I -
(I
II (/22 (133
+(/ 12 (/23 (/31 + tlu tl 21 tl32 ~ (/ II (/ 2) (/)2 -
" 22 a u a 31 -
tI ) )
tlI 2 tl 21
(3.28)
Einc we it verbrene res Hilfs mitrc l fiir d ie Berechnun g dcr Derermtnantc ein cr 3 x 3 Matrix ist
RR
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
die sog. Sarrus- Regel, d ie zurn SchluB auf d ie in Gl. (3.28) nngegcbcnc Bczichung fllhrt. Die Sarrus-Rcgcl gilt nur fur cine 3 x 3 Matrix.
Ueispi eI 3.21:
A~ [ ; ~ 4
;]
14
Mit Hilfe der Gl. (3.26a) crhaltc n wir:
Dic Vcrwcndung von (3.26b) lic fcrt naturlich das gleichc Ergcbnis:
3.8.4
Regeln ftir Derermlnanten
FUr Dcternun anten geltcn bcstimmte Rcgcln und Eigcnschaftcn, die z.B. bei dcr Klassifikation von Mutrizen und der Losung von Hnearen Gleichungssystcmcn bzw, Eigenwertaufgabcn (s. Kapitcl I I ) nnuhch sind:
I. Determinanten sind nur fur quadratische Matrizcu dcfiniert. 2. Die Detcrminantc etner Matrix A und diejenige ihrer Transpo nicrtcn AT sind idcntisch. (}.29 )
Beispiel 3.22: ~I ~
1 3 0 2 6 4 - I
~T I ~
I 2 3 6 o 4
0
~ 1 ( 6 · 2- 4 · 0 )- 3 ( 2 · 2 + 4 · 1 ) + O ( 2 · 0 +6 · I )~- 1 2
2
- I 0 2
~ 1(6· 2 - 4· 0) - 2(3 · 2 - 0· 0) - 1 ( 3 · 4 - 6 · 0) ~ - 1 2
3. Wcnn zwei belicbige Zeilen (oder zwei Spaltcn) einer Matrix miteinandcr vertausc tn werden. andert die Determinante ihr vor zeichen (der Betrag dcr Dctcrminunte bleibt unverundcrt).
3.8 Dctcrmmanren
1:19
Belsple l 3.23 : ;1. Matri x R emsteht durr-h Vertausc hung der I . lind 2 . Zeile von A
264
1 3 0 2 - I
~I ~
6 0
4 2
~
- 12
IBI ~
1 3 0 - I 0 2
~
12
b. Matrix C cntstcht durch vc rtauschong dcr I. und 2. Spaltc von A . 1 3 2 6
~I ~
- I
0 4 2
0
~
- 12
ICI ~
3 6
o
1 0 2 4 - I 2
~
12
4. Die Determinante blcibr unvcrandcn. wenn cine Zc ile (Spalte) mit einem beliebigen Ska lar multiplizien und dann zu c iner andcrcn Ze lle (Spalte ) addic rt wird. Beispiel 3.24 : a. Die Matrix B en tsteht aus der Matr ix A . indent die l . Zeile von A mit 2 multipliziert und zur 3. Zc ile add iert wird.
A ~
[
21 63 04] - I
0
6
3 12
2
1~
]
b. Die Matrix C entsteht aus der Matrix A , inde m d ie 2. Spalte von A mit - 2 multiplizi ert und zur 3. Spalte uddiert wird.
A
4] c ~ [ ~ 3 0 ~[ ~ 6 - 1
o
2
- 1
6-8] 3
o
-6 2
5, Die Dctcrrninantc cincr Diago nalmatrix ist das Produkt ihrcr Hauprdiagonalcle mcnte . a ll
0
0
(/22
A ~
0 0 !A ! =OI I '0 22 "
0
0
'(/1/1I
(3.30)
{II/II
Es folg t daruus. dass die Determinantc dcr Einhcitsmatrix J stcts l ist: (3.31)
9(}
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
Beispiel 3.25:
A~ [ ~ ~ ~ ]
B ~ [ ~ ~ ~: ] o o
004
Die Matrix 8 wird sing ular genannt. wei l
181=
4
0 ist.
6. Die Deter minante eincr obcrcn (unte ren) Dreiccksmatrix ist das Produkt ihrer Hauptdiagonaletemente.
onere Oreiecksmamx 0 0
a 12 an 0
0
0
al l A ~
I~ I = a ll
Imlen' D reiecksnuurix
a I"
bll
0
a 3.l
a2" a.,,,
h ZI
bn b .12
b.n
0 0 0
0
a""
b,,1 b.a
b".l
bill,
' {/ n
~~
' {/.1 , .• . a
.
B ~
"" I
h,' l
1181=
0 0
b l l · b22 · h.13 · ·· h""
I
(3.321
AII/IIerkll/lX: Durch Ko mbination dicscr und dcr Regel Nr. 4 kann die Dercrminantc cincr 11 x /I Matrix recht elegant auf die Weise berec hnet worden. dass man sie zunnchst mit Hilfe der Ga uss-Elimination (s. Abschnitt 3.6. 1 auf Scire 78) in die Dreiecksform transformien und dan n (3.32) anwcndct. Insbesondere fur Matr izen mit /l > 3 ist diescr Weg schncllcr als die Laplacc-Br nwickluug. In Beispiel 3.38 auf Seitc 100 wird dicse r Wcg bcschriuen.
Beispi el 3.26 :
A ~
[~
3
5 0 0
0 - I 6 0
;]
"' I ~ 2 · 5 + 4~ 240
B ~
[~
IBI ~ 2 +
0 4
-9 0
0 0 7 1
~]
7 · 6 ~ 336
7. Die Dctcr minantc elner linear ahhiingigen (sillgllliirell ) Matrix ist = O. Die Dctcrmmante einer linear unab hdng igen (re!{lIliiml ) Matrix lst i- () (s. uuch Abschnitt 3.7). Beispiel 3.27:
3
a. A =
6 1 - I 6 12
-4 3
-8
Z3 = 2z l , d.h. A ist linear abha ng ig.
3.8 Dctcrmmanren
91
Nach (3.26b) crhalr ma n d ie Detcrminantc ~ I :
"'I
~ 3 (8 - 36) + 6 (18+ 8) - 4 ( 12+ 6) ~ 0
b. B =
23 54 - 3] I
[1
3
2:.1 = 2z 1 - Z2, d.h . B ist linea r abhnng jg.
7
Nach (3.26b) crhdlt ma n die Dctcrrninante
IBI:
18 1~ 2 (35+ 3) +4 (- I - 21) + 3 (9 - 5) ~ 0 c. C
~ [;
5
; 8
-~ ] 6
C ist linear unab hang lg, wei! - I" 0
ICI =
2 (30 + 8) +3 (~ 5 - 18) + 8 (24 - 25) =
8. Die Dcrcrmin antc cines Matri xproduk tcs ist g leich dcm Produk t dcr Dctcr minantcn dcr ct nzct ncn Matrizcn.
(3.33) Beispid 3.28 : A= [
~
"'I ~ 2 1 - 20~ 1 9.
8 ~
[
-2
~1
6
AB = [ 18 15 ]
=>
32
"' 8 1 ~468 -480 ~ - 12
1 8 1 ~ - 6 - 6 ~ - 12
wcnn cine Zelle (Spalte) ei ncr Matrix A cin Nuttve ktor isr. gilt ~ I =
26
"' 1 '1 8 1 ~ - 1 2
O. Einc solchc Matrix
wird singuliir genennt.
Beispiel 3.29 :
"' I ~
0 0 0 1 - I 3 6 12 - 8
18 1~
~ O
0 0 0
-4 3 8 12 6
- I
~ O
10. Die Dctcr minante ci nes Matrixprod uktes von zwe i quadratischen Matrizen A und B lst unabhnnglg davo n, ob die Matrizen von rectus oder von links multipliziert werdcn.
(A und B sind
11
x
II
Matrizen]
(3.34 )
Beispie l 3.30:
A~ [ ; ; ]
8~ [
-2 6
AB = [ 18 32
15 ] 26
- I
33
- I ]
45
92
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
,,8 1~ 46 8- 4 80~ - 12
II. Die Multiplikation cin cr /I Faktor r,
(/21
«u an
(lnl
tI"2
(/11 A ~
X"
(HA l ~
- 45+ 3J~
- 12
Matrix A mit dcr nSkalar k ltndcrt die Dctcrminantc um den
(/ I"
ka l l
(/211
ka zi
ka l2 ka Z2
kal" ka zlI
ka" l
ka"2
ka ll "
kA =
a""
IllAl~ ,,, "II
(3.35)
Beispiel 3.31: A
~[ ~ ~ ~] - I
,, 1 ~1 2
k= 2
kA = 2A = [
() 2
~ I~ ~ ]
--2
12A 1~ 4(24- 0) + 1 2 (0- 8 )+ 8(0+ 1 2 )~ 8
() 4
. 12 ~ " "I
"' 2.1
"' JA I
12. Multip likation cincr Zeilc (bzw, Spaltc ) cin er Matrix A mit cin cm Skala r k. ,
A ~
18 1~ ,
a ll
tll 2
(l In
ka ll
(121
(/ 2 11
(121
ka l2 (/22
ka l ll
(121
(/11 1
l/1I2
(/ 111'
(/,, 1
(/" Z
{/""
8 ~
(12"
"I
Beispiel 3.32: Die letzte Zeilc von A wird mit k: = 2 multipliz icrt und erglbr die Matrix B:
A
4] 3 0 ~[ ~ 6 - I
o
2
B=
2I 63 4] 0
[- 2
0 4
(8 1~ 2( 12-0) +6(0 - 4) + 4(0 +6) ~ 24 ~ 2 · 12 ~ ' ''I
3.8 Dctcrmmanren
3.8.5
93
C remer-Regel
u n so il in der Praxis ein kJeines lmcare s tnefcnungssystem von Hand geto st werden. In so lchen Hillen ist die Cmmer-Regel vorteilhaft. Bet rachtct wird das folgendc lineare Gleic hungssystem: {/ 12
[ "a 21 II
A ·x =b
a ,d
a III
a lj
-,
uv.
{/22
{/" 2
{/ 2"
lI""
a"j v
A
""
] '"
[ 1>b2, ~
,
'~
h"
~
b
Ein bclicbigcs Eleme nt xi des Losungsvckrors x crgibt sich aus folgcndcr Cromer-Regel: mil
lAd=
IAI =
dCIA ;
dCIA
i = 1,2. · · ·
(3 .36 )
. 11
Die Matrix Ai cnrsteht aus der Matrix A . wcnn die i-te Spalte von A durch den Vcktor b dcr rcchten Seite ersetzt wird. z.B.:
A I
=
Aj =
,,'
1>, 1>,
{/ 12
(Il j
(I I"
"II
a Ij
a 1"
{/22
a 2j
{/ 2"
{/ 21
b,
a 2j
{/ 2"
hll
a.a
(IIIj
{/ II I1
(I"
I
b"
a ll j
(1 " 11
{/ I"
"II
a ll
{/ lj
{/ 21
{l 22
'".,
1> , 1>2
{/" I
a.a
a" j
lJ"
[ {l " 21 II
"" {/ 22
1> , 1>2
a :' 1
{/,,2
b"
{/ 2"
{/""
A2 =
]
A ,, =
[
]
Cre mer- Regel fllr ein 2 x 2 G fetchungssystem Die Anwcnd ung dcr Cram er-Regel auf das 2 x 2 Glcic hungssystem filhrt zu folgcndc n Bcstimrnungsfor mcln :
[
"II
x=
" 21
a l l a 22 -
«ra a 21
a l l b2 - a 2l b l l' = . a l la22 - a l 2 a11
Beispiel 3.33 : Polg cndcs Glcichungssystem soil mil Hilfc der Cra mer-Regel getost worden.
-6
s
(3.37)
94
3 Matr izen und lineare (Ileic hungssystemc
~I ~ I .r
4
-2
-~
1=20 ~ d ~ 1
~ ~ 1 1 ~ ~~ 5 4 ~I
20
.
6
10
~, I
-~ 1=108 ~'I ~ 1
4
6
-2
10
I~ 52
52
W ~ 20 ~ 2 . 6
y~
A lll/lerkuIl X: Die Cre mer-Rege l ist nur fur klei ne G leichungssystcme mil hoch stcns 3 Unbe kann-
ten zu empfehlen . we i! der Rechcnaufwand mil der A nzah l von Unbek unntcn rapide ans tcigt. FUr grcaere G leichungssysteme ist der Ga uss-Algorith mus geeigneter.
3.8.6
Losba rkel tsbedtngun gen fur un eare Glelchungssysteme
Ein lincarcs Glcichungssys tcm bcsitzt our in folgc ndcn Fallen c ine Losu ng: 1. Das ln ho mo gene Oleich u ngssyste m A x = b (mit b -I- 0 ) kann nur dann ci ndcutig gelos t werde n. wenn die Dcterminante IAI -I- 0 ist. Fur den Fall lAl = 0 exis tiert entwcdcr iiberhaupt kein e odcr zumind est keinc eindeutige Losung. 2. Das homogene Gleic hu ngssyste m Ax = 0 bcsitz t nur dann ei ne nicht-triviale Losung. wenn die Determinante IAI = 0 ist (wenn x = 0 ist, spricht man von einer trivialcn Losung. s. Se ite 79). Fur den Fall IAI 1:- 0 ist dcr Nullvcktcr 0 der einzige Losungsvektor «las G leichungssyste m hat also nur eine Triviallosung).
lIeispiel 3.34 :
3 5 ] [Xy ] ~ [15 ] [ 610 60 Die Ga uss-E limination wird auf die crweitcrtc Matr ix angcwan dt:
[~
5 10
15] J -2 •
60
'*
3 5 [0 0
15]
30
Aus der zwe iten Zci le der crwcitc rte n Matri x fol gt:
0 ' x + 0 ' y =30
0 =30 7
Das G lcichungssystem fiihn also zu einem Widcrspruch und ist somit nicht losbar. Die Matrix A ist linear abhang ig. weil die 2. Zei le ci n Vielfac hes der I. Zeile ist: Z2 = 2zl . Foiglich muss auch d ie Determinante IAI gleich Nu ll sciu:
3.9 lnvertierung von Matrizen
3.9
95
Invertierung von Matrizen
Einc quadrarischc Matrix B wird die inverse Matrix (auch Kehnnatrix genannt) zur quadrati schcn Matrix A gc nannt. wenn zwischen A und B folgcndc Bezichung cxisticrt:
AB =BA = 1 Die Inve rse der Matrix A wird mit A- 1 bezeichnet und ergibt slch aus folgender Definition : (3.38) Die Inverse ist nur fur quadratischc Matrizen definiert . Aber nicht jc dc quadrauschc Matrix besitzt unbcdingt cine Inverse . Wenn die Inverse einer Matri x A exisricrt. wird A als reg utare Matrix bczcichnct. andcrcn falls ist A cine singutare (d.h. linear ahhiingige ) Matrix, s. aueh Tabellc 3.6 auf Sene 83. Berechnung der Inverse mit Hilfe der Gauss-Elimina tion Die Inverse e iner Matrix kann mit Hilfc des Gauss -Algori thmus bcreehnet werdcn . Hicrzu werden folgende II lincarc Glcic hungs systcmc bctrachtct: {Ill
{l12
a 21
{l22
,
x,I"
a I" a 2"
' x (I 2
Axl = e t
~
a" I
{I""
(/,,2 A
"-
'" -"..--'
,
(2)
(11"
x,
(121
""
a :!J1
~{ 2 l
Ax2 = e 2
-,
w enn A singu lar
I
del A
positiv und ganzzuhfig
+ B-I
B- IA - 1
(AB) - I
del (A - I ) =
d.h.
aber : (AB) -I i- A - IB - I
.. . C- 1B- 1A - 1
A - I exisriert nicht!
Bedingung: d; ; ::j:. 0 llei spid 3.35: A
~[
2
-2 8
-4
]
" 1 ~ 16 - 8 ~ 8
A-I = ~ [ :
2 2
]~ [
1,0 0,5
0.25 0 ,25
]
Beispi el 3.36:
D~ [
4,6 0 {I
0
0 12 0 0
0 0 5, 8 0
0 0 {I
24,3
]
D-1=
[
02 1~
0
0
O,n83
{I
0 {I
{I
{I
{I
0
0
0 , 172 0
{),04 1
]
Inver tler ung von Hand Fur dte Inver tierun g von Hand sc hreibt man die zu invert ierende Matrix A und d ie Einheitsmat rix I in erwei terter Form ncbcnel nander auf: (II I
(112
(/ I"
(/21
(122
(/ 211
I 0
°I
anI
o.a
a""
0
0
A
°0
I''''~ ;".I
Durch gee ignete Zeilenumfonn unge n (d .h. durch wiederholtes Hinzufiigen cines gccignetcn Vielfache n etner Zcilc zu eincr andcren Zeile) wird die Matrix A in ci ne Einheitsmat rix I trans-
98
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
forrnicrt . Die Tra nsformat io nsopc rutioncn, di e man auf d ie links stchc ndc Mat rix A anwendct . werden gleichieitig auf die rec hts stehcnde Ei nhcitsmatrix I " ril' inal ungcwcndc t. Am Endc dcr Tra nsfor mutio nsproz cdur, wenn nnmhch uus A d ie Einhcitsmatrix I hcrvorgcgangcn isr. steht auf dcr rccb tcn Scire anstcllc dcr urspru ng jtchcn Ei nhcitsmamx I"ri~; nal d ie Inverse A - I von A:
[ a" a 21
a lZ
a,"
a 22
a ZII
0
I 0
0 0
I
I 0
0 I
0
0
a,;
0 0
(l~ 2
a;"
(/2 1
(/2Z
a~ 1
(/;,2
a;/It
I
(/2"
~
1I:'1 a.a
0
lim'
•
0 J.>ti ~;rul
. -1
r,>ti~ i ".I ~A - '
(3.4 I )
UeispieI 3.37: Ge sucht ist die Inver se folgender Matri x.
A
~ [ - :I - 6i =~3 ]
Nec h dem vo rgc hcnsschema der G I. (3.4 1) crgibt sic h folgende Prozedur:
[
1 3
- I
2 - I -2 -6 3
1 0 0 I 0 0
8
•
~ ] a ;k"opeml;o",". [ ~ I
0
'~
0 I 0
0 0 I
dll
~'
(/; 2
, a• ll 1I22 , o,• I "a
.-.
1
I,ori~ ;".,
]
dl "
•
a,,,,,
(/2"
Additi on von (- 3) x ( I. Zeile) zur 2. Zeile sowie der I. Zeile zur 3. Zeile:
[;
2 8
- I
- 6
- I
~] ~.
0 I 0
I
- 2 0 3 0
[~
2 2 - 4
- I I
2
0
I
- 3 I I
0
0
~]
~]
Add ition von 2x (2. Zeile) ::.ur 3. Zeile:
2 2 - 4
[~
- I I
2
I
~] J~
0
- 3 I I
0
[~
2 2 0
- I I
- 3 I
I
4
- 5 2
Addit ion von - I j 4 x (3. Zeile) znr 2. Zeile sowic von 1j 4 x(3. 7..eile) zur I. 7..eile:
[~
2 2 0
- I I
4
I
0
- 3 I - 5 2
~] J:
I/4 f/4
[~
2 0 2 0 0 4
- 1/ 4 - 7/ 4
- 5
1/ 2 1/ 2 2
1/4 ] - :/4
3.9 lnvertierung von Matrizen
99
Add ition von ( - l ) x (2. Zeife) zur I . Zeife:
[~
2 0 2 0 0 4
- 1/ 4 - 7/ 4 - 5
1/ 2 1/ 2 2
1/ 4 ] - :/ 4
.r.
[~
0
0
2 0 0 4
3/ 2 - 7/ 4 - 5
0
1/ 2 ] - :/4
1/2 2
Division dcr 2. Zcilc dureh 2 und dcr 3. Zcilc durch 4 :
3/2 - 7/ 4
- 5
o 1/ 2 2
o
1/ 2 ] 1/4 - 1/ 8 1/ 4 1/ 2
1/ 2 ] - 1/ 4 1· 1/ 2 I 1 · 1/ 4
Die inverse Matrix A - I lautet:
A- ' ~
3/ 2 - 7/ 8 [ - 5/ 4
o 1/ 2 ] 1/ 4 - 1/ 8 1/ 2 1/ 4
Aufgabe: [Iberprii fen Sse. ob die errni uehe inverse Matri x A- I im obige n Beispiel die Beziehung AA - I = J crnnn. indcrn Sic die Matrixmultiplikation AA - I zahlcnmabig durchfuhrcn.
3.9.2
Bedeut ung der Inverse in der Statik
In der Theone dcr Computer orientiertcn Stan k (z.B . FEM - Finite Bteme nte Methode) werde n die mccbanischcn Grundglcichungen haufig in symboltschcr Matrixform autgestefu. Bcispicl sweisc wird das Gleichgewicht cine s Tragwerks nach der tlneare n Stank durc h folgendes Iineares Gleic hungssystem formuliert: Kx ~ f
K : Stcifigkcitsmatrix .
x : Vcrschicbungsvcktor. f : Lastvektor
(3.42)
Dicses Glcichu ngssystcm wird symbc lisch dadu reh gelost. indcm bcidc Seitcn mit K-I muftiplizicn worden:
Anmerkung: Die obi gc Losungsmeth od c fur den Vcrschicbu ngsvcktor x bcsitzt nur thcoretischc Bedeutung. In kom mcrziellen FEM-System en worden ander e Losunsgmcthodcn vcrwcndct , die viel effizic nter sind . Dcnnocb ist diesc symbolischc Schrcibwcisc aus Siehl dcr hohcrcn Mechanik schr wertvoll, wcil sic ertaubr. mcchunischc Zusam mcn hangc in iiuBcrst kompaktcr Fonn darzustellcn.
J [Kl
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
3.10
Zusatzliche Beispiele
IJeispieI3.38:
Bestimmung der Determinant e mit Hilfe von Gauss-E limination
In dicscm Beispiel wird die Dctcrmi naute dcr Matrix A mit tcls Tra nsformat ion in die Drciccksrorm bcrcchnct ,
A
~
[
:
o
o
-4
5
I 6 9
2
-4 8
Die Rcgel 4 au f Sene 89 bcsagt, dass d ie Dctcrrninantc ciner Matrix unvcrnndcn blc ibt, wenn cine beliebigc Zelle dcr Matrix mit einem bclic bigcn Skalnr multiplizicrt und zu einer andc ren Zcilc hinzu add icrt wird. wl r kormcn von die ser Eigenschaft Gcbrauch mechen . lndem die Matrix A mittels sukzess iver Zcilcn operat lonen in cine obcre Dreic ksnunri x Ao trunsformie rt wird . Zunlichst wird das Element all = 4 al s Pivotelemcnt verw ende t und die rcstlichcn Elcm cmc dcr 1. Spa hc werde n elirnin icrt. Hicrzu wird d ie 1. Zc ilc zunachst mit - 2 mu ltipliziert und dann zur 2. Zcile hinzu addiert . Pur die 3. Zeile ist kein c O peration notwendig, weil dort ja ohnehin bere its 0 stcht. Zum schluB wird die I. Zelle (mit 1 mullipliziert und dann ) zur 4 . Zeile hinz u addiert .
[L
0 5 2
- 4
~,] ~.
I
6 9
8
[~
'*
0 5 2
- 4 9 6 5
8
_6,,] - I 8
Weitere Zeilcnoperationen sind nachfo lgend angegcben.
[ [~
0 5 2 8
0 5 0 0
- 4 9 6 5
_6,,] - I 8
J ~2/'
- 4 9
12/ 5 - 47/ 5
- 612 ] 19/ 5 136/ 5
C'
J:
7 12 /
'* '*
0 5 0 0 0
[~ Ao =
[~
- 4 9 " /5 - 47/ 5 0 5 0 0
- 612 ] 19/ 5 136/ 5
- 4 - 612 ] 9 12/ 5 19/ 5 0 2525/ 60
Die Determinunte dcr zuletzt aufgestel1ten Drciecksmarri x A" ist dUTCh das Produkt ihrer Hauptdiagonalelc mente gege ben (vgl. Regel 6) und liefert so nut die Detenui nante von A :
3. 10 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 3.39:
Linea res Glelchungssyste m
Folgendes Gle ichungssystem ist zu loscn . .r
3x x Ldsung :
.r
0 0
+ +
+
y 3y
+
)'
- 2 :.: = 6 2, ~- I , ~
Die ersten beiden Elimi nutionssch ritte fur d ie 2. und 3. Zeile fuhren auf
+ +
y 0
+
2y
+
z= - 2 4::= 12 z= I
Das Pivote lement in der 2. Zei le ist Null! Du rch v ertau schung der 2. und 3. Zeile kan n das Problem umgangcn werden : x
o
+
o +
y 2}
0
+ +
z» - 2 I
z ~
4:.: = 12
Die Ruck wnrrssubstluulon flefert die Unbe kannten: z = - 3, y = - 2. x = 3
Heispid 3.40: 3 [ 9
Lineares G leichungssyste m - nicht eindeutlge U isun g 5 ] [ .r ] 15 y
~
[ 15 ]
45
Die Gau ss-Elimination liefert
[~
5 15
I I
15] 45
J-J +
'*
3 5 [0 0
Aus der zwe iten Ze ile folgt jctzt
Diese Glcichung ist fur bclie bigc werte von x und y er fullt. Man kan n deshal b fur x (ode r y ) einen beliebigen Wen wlihlen und die andere Unbeka nnte y (ode r x ) aus der I. Glci chung bcst immcn. Auf dic se Weise ergebcn sich unendlich vielc Losungen. d.h. das Glcichungssystcm ist nicht cindcutig losbar.
wahlt ma n z.B. .r = 3 - 1+ 5y = 15
I. ergibt sich aus der erstc n Zei le: =?
y =2,4
FUr andere gewahlrc Wene von .r crhnh man ebenfalls andere v-wene. Die Dcterm i-
101
J 02
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
nante von A ist. wie zu crwa rtcn. gleic h Null:
5 1= 45 _ 45 = 0
15
'* A lsr Hncar abhnngtg: Z2 = 3z 1
lIeispieI3.41: Stngulare J\.latrix lind Ga uss-Elimina tion Mit Hilfc dcr Guub-Elim inarion soli gczcig t werdcn. dass fclgcndc lineare Glcichungssys tcmc nicht bzw, nieht cind cntig losbar sind. 6 - I 12 U j.mllg:
A
.r:. 8
3
.q
Die Dreieckszerlegung fllhrt auf
~[~
o
6
- 13
o
Die lctztc Zeile fuhrt zur nich t crfullharcn Glcichung O ·x.~ = I , d.h. das Glcichungs systcm iSI nicht losbar. Die Dctcrminantc A ist aufgrund dcr Singularitat glcich Null:
U j.mng :
A isl c ine singul urc Matrix, wcil sic linear abhangigc Spa ltcn cnthilh:
SJ =S t - 3 S1
Die Detcrrnin ante A ist aufgrund der Si ngula ritat gleich Null: ~ I ~ 4 ( 8 - 8) + 2 ( - 8 + 8)
Beispiel 3.42:
- 2(2- 2) ~ O
Llneares Otetchungssystem
Loscn Sic folgcn dc Glcichungssystemc nach dem GauB-Verfuhrc n. Wenn ein NullPivot auftritt, vcrsuchcn Sic durch Zcilcnvcrtauschung das Problem zu umgchcn.
a1 2
4 · BI -6 · ( -00) +2 · (-00} =0
112 = - 00/ 3 = - 00
=>
112 = -400/4 = -00
Das verschiebungsm uster des Balkens ist im Bild gcs trichelt dargestetlt: ein solc hcs Must er wird auch als Starrkorpe rve rschiebung bezeichnct . Die Stngutartun von K kann man auch tiber ihrc Dctcrmtnamc zcige n. Aus (3.26a ) erhal ten wir: IK I = 4 (48 - 36 ) - ( - 6) (- 24 + 12 ) + 2 (36 - 24) = 48 - 72 + 24 = 0
=> K singular.
Die Erkcnn mis aus dicscm Bcispicllasst sich vcrullgc mc incm :
Die Stciti gkcitsmatrix K cines Trugwcrks. das instabil ist bzw. cine Starrkorpcrbcwegun g erfahren kann , ist singular: ihre Determinante ist gleich Null, [K [ = O.
Determtnante nach Laplace-Forme!
Beispiel 3.44:
I 2
-2
-5
I
Die Dctcrm inunte dcr Matri x A ist mit Hilfc von LaplaceEntwicklung sowoh l nach der I. Zeile als auch nac h dcr I. Spufte zu bcrcchncn.
4
Entwickl ung nach dcr J. Zeile gemiiB (3.23): 3
IA I ~ [ ( - I )I+i " li lAli l ) "d
= {_ 1) I+l llll lAl tl+ ( _1)1 +2 ll12 IA i2I + (- I) I+3 1113 1A1 31 = a l l !A It!- a I2 1A 12I + a u !A u l All =
[~ ~ ]
1A 11 1 ~ 1 2 - 6 ~ 6
1.4 1~
AI2 =
[ _~ ~ ]
A l3 =
1A 12 1 ~ 6 - ( - 3 0) ~ 3 6
1 ·6 - ( -2 ) · 36 + ( - 3 ) ·2 2 ~
12
[ _~ ~ ] 1A 13 1 ~2 - ( -20 ) ~22
3. 10 Zusarzfiche Bcispicle
105
Entw ickl ung nach der I. Spalte ge mii13 (3.24):
IAI =
,
[ ( _ 1);+ 1 a il ;", 1
~ 1 ·1 4
I
~
lAill = a ll
]A 11 1- ll21 1A2i1 + a.~ 1 1A .~ d
2 6 1_ 2 . 1 - 31 + (_ 5) .1-2 - 3 1 3 I 3 4 6
( 12 - 6) - 2(- 6+ 3) - 5(- 12 + 12) ~ 6 + 6 - 0~ 12
Determlnante
Betsplel 3.45:
Bereehnen Sic die Dcterrniuant e der angegebenen Matri ze n.
6 12 5 -7 1 13 4 5 3 6 -
a) A =
2 4 2 5 -5 9 2 3 -4 8 1 3 1 2 1
IAI = O. weil die I. und 5. Zcile linear abhangig sind : au = 2a5;
b) H =
[
2 0
-4
0
- 12 6] 2.4 3.8 0 47.2 5
o o
5
0 0
(i = 1.2... . .5)
9
Die Detcrrnin ante einer Dreiecksmatrix ist gleich dent Produkt der Dia gonalelemcnre :
L jjSlI llg :
[8 1~
c)
c =
2
·5 · 2.4- 47,25 = 1134
4 1 1 2 -2 1 3 -4 -5 1
Ldsung:
2 3
3 -5 9 2 1 6 4 - 1
Die Dcterm inuntc
ICI
ist nicht dcfiniert , weil C cin e 6 x 5 Matrix isl
(Dc termi nantcn sind nur fur quadrauscbe Marrizcn definic rt},
J 06
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssystemc
Hd spid 3.46:
Determlnante
Bcrcchnen Sic mit den gcgc benen Mutrizc n A und v d ie ge fordc rtcn Opcr ationen.
1 - I 1
-2 a) A v T
c)
IAI
Ldsnng: a ) A vT ist nict ude finiert, wei! inkompatible Dimensionen.
b ) AT = [ - : 2 1
-
~
1
1
2
3
:
Iv = v
c) Nac h Transfor mat ion der Matrix in die oberc Dreiecksfonn er halten wir die Deter minante als Produk t dcr Hauptdingc nalcle me nte, wei l die Addi tion cines vietfachen ciner Zcile 7.U cin cr andcre n Zc ile die Dctenninan te nich t verandc rt.
1
- I
o 2 o o o o
Beispiel 3.47:
2
7 - 4
0
-j]
Invernerung efner Matrix
Gcsucht ist die Inver se dcr folg cnd cn Matrix.
1 2]
- I A ~
[
3
- I
1
3 4
- I
Mit Hilfe dcr erweiterten Matrix liiuf d ie lnverticrung folg cndcrmabc n abo
[
- I
1 2
-I
3
-I
•
3
o1 o
0 0 ] 1 0 4 0 I " - --.----' 1
I
"
[
~I
- I
1
- I 3
2
I 4
I 0 0
~ ~] ~-1
o
1
•
-
[ - 1
0 0
1 2 7
2 2
2
1 3
- I
0 1 0
~]
3. 10 Zusarzfiche Bcispicle
~I
[
2 7 2
I
2 2
I
o
3
I
~]
J~'
~]
I I I
o
- I
-
[
~I
2 7 - 5
I
2
o
I
0
3
I - I
- 4
107
~]
Nun werden die Zcilcn mit gee igneten Skalaren multiplizien, um die Hauptdiagonalclemen te der links stehenden Matrix (dus ist die ursprUngliche Matrix A) g leich I zu machen :
[
~I
2 7
I
2 0
- 5
I
0
3 - 4
I - I
(- I)
(0.5) ( - 0.2)
- [~
- I I
- 2 3.5
0
I
- I
0 0.5 0.2
1.5 0.8
-u
Es folgen noch ei nigc wcitcrc Zeilenopcrationen und d ie ursprunglic he Matrix A verwandelt sich in die Einheitsrnatrix:
[~
- 2 3.5 I
- I I
0
[:,o
- I I
o
- I
0 0 ,5 0.2
1.5 0.8
0
0.6
I
- 1,3 0.8
o
-u
0 ,4 - 0.2 0.2
T ,; 1: - [~ J> - [~
- I I
0 0
0
I
0
- 0.4] 0.7 ~ 0 ,2
I
0 0
\}
I
0.6 - 1,3 0.8
0.4 - 0.2 0.2
- 0 ,7 - 1.3 0.8
0.2 - 0 ,2 0.2
- 0.4] 0.7 - 0.2 0.3 ] 0.7 - 0, 2
Die linke Halne der er welterte n Matrix ist je tzt volls tandig in die Einheitsmatrix I transforrniert. Die rechre Hulfte enrspricht sornit der ges uchten Inverse von A :
~
A- I
- 0,7
0.2 - 0 ,2 0 ,2
[ - 1,3
0.8
Hdspid 3,48:
03 ] 0.7 - 0 ,2
lnvertlerung ejner- I\lat r ix
Gcsucht ist die Inverse A - 1 folgender Matrix A .
A
[
~2
[~
2 4 0
4 2 [ 2
~
6
2 3
- I
I
4 6 2 I
I
-!J
I
0
0 0
I
2 3
0
I
0
0.5 - 0.5
I
0
IO .5
~] '" [~ ~] J >, L '" [~ ? ~.5
6
2 4 0
2 I
2 0 0
4 0
I
I 0 0.5 I - 0.5 0
4 0 I 1.5 - 0.5 o
~]
-6 - 2] I
3 Matr izen und Iincare (Ileic hungssystemc
][)I!
[~ [~
2 0 4 0 0 1
4 0 I 1.5 - 0.5 0
0 0 4 0 0 1
3,25 1.5 - 0.5
-6] J~O.5 [~ - 2 1
- 0,5 I
0
=>
1( 1/ 4) -- 5] 2 1( 1/ 4) 1
0 0 4 0 0 1
~[~
3.25 1.5 - 0.5
- 0.5 1 0
0,8125 0 0 1 0 0.3750 0 1 - 0.5000
-- 5] 2 1 - 0. 125 0.250 0
- 1.25 ] - 0.50
Nac h dicse n Ze ilc ncpcrutioncn cntspric ht d ie linke Halftc dcr crwe iterte n Matri x dcr Einhcitsmatrix / . Die rce hte Halltc erg ibt som n d ie gcsuc hte Inverse von A .
0.8 125 - 0. 125 - 1.25 ] 0.3750 0.250 - 0,50 [ - O.5()(X) o 1
A- I =
Ucispiel 3.49;
Symbollsche Mat r txalgebra
Es so il die Richtigkcit de r Bezich ung (AB) - I = B - 1 A ~ I auf Set te 97 bewic sen werden. Ldsung:
-
W ir gehen von de r Idcn titat (All) (AU)- I = I au s und mu ltiplizieren Sic auf bc idc n Scitcn mil A - I vo n links und formc n das Ergeb nis urn :
'*
-
/B (AB)- ' ~ A - '
=>
A - I AB (AB) - I =A - I/
~ f
A. - 1
B (AB)- ' ~ A - '
B
Der lct zte Ausdruc k wird jc tzt mit B- 1 vo n links muhipliziert .
B - IB (AB) - I = B- IA- 1 ~
=>
J (AB) -l = B - I A- I ~
I
(A.B) - I
Damit ware die Bczichung (AB) - l = B - IA- l bcwicsen. llcisp iel 3.50:
Zwei dimensionaler Spa nnungszusta nd
1m 2-dime nsio nale n ebencn Spannu ngsz ustand dcr Elasti zitat sthcorie existieren zw iund de n S pan nungcn a . f ,y folgende Zusarnsc he n den Dehn ungcn cx, E " menhnngc. mit deren Hilfc man bei bekunnten Spannungc n die un bekan nten Dchnunge n bercc hnc n ka nn:
y. r,y
Ex
=
I
E (0:, -
P 0:,')
E : Elastiz itatsmodul.
1 E,,. = -E (a'" - P 0:, ) G : Sc hubmod ul
a,.
Y
~
- 0.2
])
", I ~W I ~ 1 · 5 · ( - ]) . 2 ) · 4 ~ - 4
13. Ubcr prttfcn Sic mil den angegcbcncn Matrizcn die nac hfolgcude n Determin untenrege ln.
al IA"I'" IAI·I" I bl IA"I
,
e,
I" AI 4
A~ [ - I
2 1
1 - I
]
"~ [
- I - I -I 1 - I - I 1 - I - I
]
J 14
3 Matrizen und Iincare (Ileichungssystemc
Losung:
[
a) A U =
-7 -3 -5 - 1 1 1 - 1 -3 1
]
IAIlI ~ - 48
-2 -3 - 6 0 - 1 -2 -4 - 1
]
IIlAI ~ - 48
[ -4
b) HA =
I AI ~
12
14. Bcrcchnen Sic die Dctc rmina ntc des Matrixprodukts AB. a)
A= [ -
~ ~ -~ ]
3 4
n = [ ~ -~ ~ ]
2
6
3
4
Wir bcrechncn d ie Dctcmuname unrcr Bcachtung dcr Regel
lii slIlI g :
"' I ~ 2(4 +
!ABI =
!Al iB I.
16) + 1(-1 2 + 2) +3 (- 4- 6) ~ 40 - 10 - 30 ~ 0
WeillA l = 0, eriibrigt cs sich IB I zu bcrcchncn und wir haben : ", BI ~ O ' I B I ~ 0
~ ~ ~
0] o 3 2 3 o - 2 - I 0 - 1
b) A = [ -
B = [ 010 4 0 0
0 0
-94-6 12] 2 2
0
L sg: IAB j = 4 8
- I
IS. Ubcrprttfe n Sie d ie Regeln 11 und 12 auf Seitc 92 fur folgcnde Werte .
16. Fur wclchc wenc von (I ist das nachfolgcndc Glcichungssystem nicht oder nicht cin dcutig losbar? Loscn S ic Glcichungssystcm fllr (I = I.
[ -~ ~~ -~ ] [ ;; ] ~ [ -;] o
-5
1
x~
4
L~K :
(I
=
±4
x=
0,2 ]
[
- 0,6
1,0
17. A sci eine Il x Il Matrix. wobci cine Ze ilc. sagen wir die r-tc Zeile, cine Nullzeile iSI (aile Elem ente in diescr Zcilc sind Null). Zcigen Sie mit Hilfe ocr Defi nition (3.22a) auf Scire 84. dass A ci ne linear abhangigc Matrix ist.
3.11 Aufgaben
115
18. Bcsti rnmc n Sie mit Hilfe von Dctcrrni nantcn. oh folgendc Matrizc n linear abhangig oder unabhlingig sind.
a)
A
h) B
c)
d)
C
3
~[~
5 8
-;] II]
~ ~
3 5
~[~
3 5 12 8 20
[
8
3 5
D~ [ ~
8
LI'g: Linear unab ha nglg . wei! IAI f- 0
-!J
LW Linear abhiingig. wcil IBj = 0
LW Linear unab hang ig, wei!
ICl f- 0
Lsg: Linear abha nglg. wei! IDI = 0
11 ] 12 23
19. Loscn Sic Iclgcndc Hncare Gleichungssystcmc mit Hilfc dcr GauB-Elimination.
a)
[ -
~
;
1 - 1
9. 1 3.4 [
4.8
2.5
2.2
1.3
9. 1 LW [
c)
[ - :
- I I
~
]
[
]
1
tl
LW [ ~ I~ h)
[ ~; ~ -~
: ]
1
'2~ ][;i] ~ [ - I~~ ] 0.8 ]
- 1.3 II 3.4
=> x =
[
0.75]
- 0,75 - 0.50
[ :: ] ~ [ ;~ ] 50
X3
0.8 ]
0.7 1 - 1,72 o 2.07
[ X2 X' ] = [ ~ 0 .04 38 ] X3
=> x=
4 0 .8 4
- 15.49 ] 47 .99 [ 19 .72
-~ =: : ] [ :; ] -[ -~]
- I - I
1 1 - I 2
1 2
.t)
x -\
-: =~ ~ ] [:; ]~ [.:] o o
-4 0
6
X3
0
1
X-\
1
=>
x ~ I~] [
1.5
1
J 16
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc
20. Loscn Sie das folgcndc linearc Gleichu ngssystem mit Hilfe dcr Cra mer-Rege l.
[ :~ - I
-~6 ]
1
[;;]~ [~ ] XJ
x=
LW:
[ -~,~~ ] 0 ,37
3
21. Kormcn Sic die Glcic hung (3.37) au f Seitc 93 aus dcr Crumcr-Reget hcrlcitc n?
22. Berechnen Sie die Transpomerte und Inverse der Matrix A. A
~[
1 2] 1
- ;
- I 3
- I - I
L~?,: AT =
~
[
4 - 0.70
3 - I
- 1.30
1
0. 80
0. 20 - 0.20 0. 20
0.30 ]
0.70 - 0.20
23. Gegeben sind die Matrizen
A=
4
[
- I
o
- I 8 - I
0 ] - 1 4
U=
0.258 0.033 0.008 ] 0.033 0,1 33 0.033 [ 0.008 0.033 0.258
a ) Zc igen Sic. dass n die Inverse von A ist. indem Sic des Matrixprodukt A n bildcn. b) Welches Resultat Iiefert die Matrixmultiplikation B A ?
24. Inveru crcn Sic fblgcndc Marnzcn mit Hilfc dcr GauB-Eliminat ion. L I'g: A - I =
L \'?':
n- I =
0.667
- 3,333 [ 2,333
[
0.676 - 0.206
0. 147
0.333 0,333 - 0.333 - 0.206 0.324 - 0.088
- 0.500 ] 1.000
- 0.500 0. 147 ] - 0.088 0.206
3. 11 Aufgabe n
117
25. Ubcrprufcn Sic d ic Rcgcln dcr Tabc1Jc 3.7 auf Sene 97 mit folgcndcn Wertcn.
A= [
-2]
_~
8
B
~
[
2-2]
- I
k =3
4
LiislIllg :
kA =
[ 6-6] - 12
6
- 16
24
- 12 ]
40
26. Bcrcchncn Sic die Inverse der angegcbencn Matri x A. Kontrollic rcn Sic Ihr Brgcbms .
A ~
[r
1 0 0
n
Koutrolle: AA ~ I
L sg: A ~ I =
1 0 0
[r ~ ]
1 0 0
[r ~ ][ r
J. I
1 0 0
n n ~
[~
0 1 0
/
27. Ze igen Sic. dass die angegebcncn Matrizen orthogonal sind.
aJ
A~ [ ~
hi 11 =
0
o - sinx sinx cosx sinx - s i n ~ cosx 0 cos r
[ "'"
]
n
01 C
28. Ermiutel n das Ergebnis folgcndcr Matrix-Au sdriickc . a] AA - 1A - 1(A - 1j - 1 = ?
L I'!:: I
b) ( B B I B ~I B - I B) - 1 = '!
LI'g:
B~ l
~
[
- I
13
2
2
13
1
2
2
j
J l!l
3 M atrizen und Ii ncare (Ileichungssy stemc
29. Loscn Sic folgcnde Gleichungcn zunuchst in symbolischcr Schrcibweisc nach A auf. Berechncn Sic unschlicgcnd die Matrix A mit den angegcbencn Zahlcnmatrizc n: und tiberprufcn Sic dann d ie Richti gkcit lhrcr Bcrccbnung. indcm Sic die Zahlcnmarrizcn in die jcweiligc Gle iehung e tnsctzcn (das Ergebnis muss immcr d ie Nullmatrix 0 sein). a)
Lsg: A = C
A +AB - CB -C =O
B~
[
2 51]
- I
c~ [
1 3]
-2 4
Einsetzcn von A , B . C in d ie obigc Glc ichung licfert die Nullmatrix O. / h) (A + AB )T - J _ B T = 0 L\"K: A = I
B ~ [ 21 ] - I
5
,* A~ /~ [ I O ] 0
I
Binsetzen von A , B in d ie obige Gle ichung licfert die Nullmarrix O. / c) (A - 1)T B _ CT = O Lsg: A = C -IBT
B~ [
2 5I]
- I
C~ [ i ~l ] ,* A~ [ _~ ~ ]
Einsctzcn von A , B . C in d ie obige Glcichu ng licfert d ie Nullmatrix O. /
4
Vektorrechnung
4.1
Einfiihrung
Ei nc Gro Be. die durch cine rccllc Zahl ausgcdruckt worden kann. hci sst Skalar. Zahlrcichc physikalischc Groucn sind nur durch ihrcn skoiaren Wen dc fi niert, d.h. sic bcstrzen kcinc Richtung. Bclsptcls wctse sind Ze it, Masse, Lange. Flllcheni nhalt , Tcmpcratur, Encrgic aile ei ndc utig beschriebcn, so fem ihr Zahlcnwert bckannt ist, cine Richtungsinformat ion ist nicht er fordc rlich. Ein Vektor bestcht aus einer skala ren GroGe II l1d ciner Rich tungsinfor mation; oder andcr s ausgedruckt. ei n Vck tor ist d o ge rades Llnlensegmenr mit fe stgelegter Lange und Rlc hrung. Ein Vektor lst erst dUTCh Angabe ihrer Lange und ihrer Richtuog vollsta ndig dcfinicrt. 1m Buch werdcn nur Vcktorcn im 2-d imensionalen bzw. 3-d imc nsionalen Rau m (2D- bzw. 31J-Raum) bchandclt (es gibt aueh Vektorcn im u-dim cnsionulcn Raum. di csc kan n ma n sich allc rdin gs nich t raumlich vorstclfc n). Zur Kcnn zcichnung cines Vck tors wird Ijblichcrwci sc cines folg ender rnathcrnarischcr Sym bolc vcrwcudct. Fcub uchstubc, z.B. a , v . x - Buchstabc mit Pfeil. Z.B. "j7 , - Buchstabc mit untcrc r Tild e. Z.B. ~, l.' .~-
a, x
In dtesem Buch werdcn v cktoren mit Fcnbuchstabcn angegebe n. Mci stens werdcn flir Vektoren Klci nbuchstabcn verwcndct. des ist jcdoc h nicht zwingcnd . In Bild 4. 1 ist dcr Vckto r a vom (dcr Pfeil gibt die Riehtun g des Vekto rs an, niimlic h Punkt P zum Punkt Q defin iert als a = vom Startpunkt P zurn Endpunkt Q ). Die La nge cines v cktors a entspricht der Lange I des
PO
-
Q
a=PQ /r Bild 4. 1: Vcktor a als Liuienscgmcm mit Richrung
znge horigcn Liniensegment s und wird dureh das Symbol ma n o ft auch vom Bet rag cines Vektors):
lal
ausgcd ruckr (srnu Lange sprtcht
I- I ~ IPQI ~ I ~
Frele, gleitende und gebundene vektoren Ein rreter Vektor darf in jcdc gew unschte Rieh tung bclic big pa rallel vcrschobcn werden. und zwar ohnc Vcrfal sehung des mit dcm v cktor verbunde nen physikalischen Prob lems. Die Par-
J 20
4 Vektorrechnung
)'
p 'Q
F -
-
Q
-
-,·.r
Bild 4.2: On svektoreu fur Punktc P und Q
allelverschiebuug wird aueh Translation genannt. Ei n Beispiel fur einen frcicn Vektor ist der momc utan e Rictuungsvektor c ines sich im Raum bewegend en Korpcrs. we il ein solcher Vektor nur die Bcwcgu ngsrichtung bcschreibt , anso nstcn abc r kcin c weit ere physikalisch c Bedeutung bcsitzt. Ein gteue nder vektor ist cine Art freier Vektor, der emlang se iner Wirkung sli nie vcrsc hobcu werden da rf aber ohne Scitwurtsbcwegun g. In der Meeh anik starte r Korpe r diirfen Kraftvektorcn entlang ihrer Wir kungslinic bclic big vcrschobcn we rdcn. Aueh d ie sog , Stabstatik im Bau inge nicurwcscn rnacht von g lcitcndc n Vcktorcn imc nsiven Gcbrauch. wci l da s Glcichgcwicht des sog. statise h bestimmten Sys tems sich nic ht and ert , wenn ein Kraftvektor cntlang seiner Wirkungslinie verschobe n wird . Ein geh un de ner Vektor ist vollko mmen fixicrt und darf ube rhaupt nicb t vcr schob cn werden . Die Fruge. ob ein Vcktor als Freier od cr al s gcbundc nc r Vektor angcsc hc n werden soli. ist cigcmlic h kcinc rnathcmutischc Fra gc im cngc rcn Sin nc. son dc rn hangt von dcr physik alischcn Aufgabe nstcllung ab. lleis piel 4. 1: Beispiele fur ge bundene Vektore n: Or tsvek tor (d.h. Position svektor) ci nes raumlichcn Punktcs in Bczug auf den Urspru ng des Koordi narensysrcm s. vg l. Bild 4.2. Kr a ftv ekt or, dcr au f einen elastisch de for mierbarcn Festkorper (elastisch es Kon tinuum) einwirkt. Der auf eiucn deformierbare n Kerper einwirkcnde Kraft vektor darf nicht ohne weite res ver schobcn worden. weiI so nst die Span nungsve rteilung im Kerpe r sic h under n wurdc. Bc ispicl sweis c ist es von erhehliche r Bedeutung. ob cine hohc Einzcllast (=Kraftvektor) von oben oder von untcn her in eine Dcckcn platt c cin gcle itet wi rd. Es ist cin groBcr Untcrsct ncd. ob cin schwcrcr Panz crschrunk einfuch au f der Dcck c aufgcstcllt od cr von untcn m tuels Ankcrdu bcl an dcr Dcckc hangcnd bcfcsug t wird. 1m lctztcrcn Fa ll warcn sich crlich Detailu bc rlcgun gcn ubcr d ie kcnstruktivc Ausbildun g dcr Verankerun g notwen dig. 1m crs terc n Fall braucht man i.d.R. nicht s wcitcr zu tun.
4.2 Lineare Opcrarioncu von vekroren
121
Nullvekter O. Jeder Vektor m it dcr La nge 0 ist em Nullvektor. Die Rich tung cines N ullvck tors kan n willklirlic h gcwa hlt wcrdc n. G lcich heit von ve ktoren. Wen n zwei Vektoren a und b be ide die gleic hc Lange und Rich tung haben (be i gcbu ndenen Vektoren musscn zusatzlic h die A nfangs - bzw . Endpunkte bc idcr Vektorc n ideruisch scin). dan n sind sie g leich. Die Glcichhci t wi rd forma l durch die Bezichung a = b uusged rtlckt. Einheitsvektor e. Ei n Vektor m it der Lunge l ist eiu Einheitsve ktor (naturlich handel t cs sic h be i lwei Einhe itsvc ktoren e r und e: mit glcichcr Lange aber urucrschicdlichcr Rich tung urn zwei vcrschiedc nc Vektorc n). Die Rolle von Vektoren in de r M echan ik Die klussischc Newtonsche Mechanik: ist ci ne vektorieile Mechanik, d.h. einwirkcndc Krane auf eine n Kerper und dessert Bcwegungsgrobcn (verschicbung. Gcschwin di gkc u. Beschlcunigu ng) sind allc samt vc krcrcn. Man spricht dcsbalb vom Kraftvektor, vcrsc hicb ungsvc ktor. Gcschwind igkeitsvektor usw. Ocr Vektorrec hnung kom mt dahcr in dcr Mechan ik cine bcdcutendc Roll e zu. Ei ncs der drc i Ncwtonschcn Gesctze pos rutic rt. dass zwischen dc tn einwi rkcndcn Kraf'tvektor F und und dem resuhierendc n Bescbleunlgungsvektor a cines Korpers folgendc Beziehung bestcht:
F a= -
m
bzw.
F = ma
m : Masse des K orpers (S kalar)
Anmerkung: Die se New tonsche Bezieh ung kann mit mathcm atischen Mct hod en oder m it Logik alleine nicht hergeleitet werden. Wir ko rmcn als o nicht wissenschaftlic h luckenlos »e rkllircn« warum di e New tonschcn Gcsctze gilltig sind. Langzeit erfahrun g und sorg faltig d urchgefuhrtc versuc hc bcstatigcn abe r ihre Gultigkcit: Mit Hilfe dieser »Gcsctzc- ktin ncn w ir (rnakrojmccha nisc hc Vorgange quulitat iv und quuntituuv widcrspruch sfrci und im Einklang m it Mcssungc n bcschreihcn.
4.2
Linea re Ope rationen von Vektoren
l\1ultiplikation cines Vektors mit einem Skalar vc rschiedc nc Bcispicl c fur die Skalar-Vektor-Mu ltiplikatio n sind in Bi ld 4.3 gcze igt. Die Mulliplikation ci nes Vektors a mit dem Skalar c dehn t (oder staucht) den Vektor a um den Faktor c. Ocr Vektor dehnt sich . wenn r- > l ist; flir c < I wi rd er ges tauc ht. Dus vorzetchcn von c bcsnmnu die Ric htung des ncucn Vcktors: Ftlr c > 0 wird d ie aile Rich rung bc ibe halte n. fur c < 0 kch rt sic h die Zc ige rich tung des Vcktors urn. Fur c = - I nndert sich die Lange vo n a zwa r nicht. dcr neue vc ktor zeig t aber ge nau in die entgegengesetzte Rich tung (Ric htungsurnkehr). Durch M ulti plik atio n c ines gc bu ndcnc n Vcktor s (z .B. des O rtsvcktor s r mit Anfangspunkt P, Endpunk t Q und der La nge L) mil dcr n Ska lar c cntstcht etn ncu cr vcktor cr. dcr den gre tche n Anfangsp unkt P wie dcr Vektor r abc r cinc n andc ren Endpunkt tL bcs itzt. weil sic h sei ne Lange auf den Wert cL gea nclen hal.
J 22
4 Vektorrechnung
II_ I b:. 2 a
a: 2a
c: - a
Bild 4 .3: MultipJikatiun ci nes Vekrors mit em ern S kalar
Addition un d Subtraktion \'0 11 Vektoren Die Addition von zwe i Vektorcn a und b licfcrt als Ergcbnis cincn neucn Vcktor c , dcr • gcomc trisch bctruchtct- dcm Diagonulcn des Parallclogramms cntspricht. welch es von den Vekrorcn a und b aufgespan nt wird.
c
-e a
-s b
Anschaulicher uls d ie Parallelo grammkonstruktiou ist das sequentiette Aneinanderfugen der zu addierenden v ckroren. vgl. Bild 4.4 a. FUr die Addition a + b wird hierbei der Anfangspunkt Ph de s zwciten Vektors b auf den Endp unkt Q" des ers ren v ekto rs a gesetzt. Dcr sich vom Punkt P" zurn Punkt QI) erstreckende Vektor ist der resuhiercnde Vektor c. Auf die se Weise kunn man sehr leicht auch rnehr als zwei v ckroren addiere n. Die Re ihenfo lge der Addition spielt hierbei keine Rolle, d .h. es ist gleichgtiltig. ob man den Vektor b zum Vektor a hinzu addiert ( = a + b), oder den Vektor 0 xum Vektor b (= b + 0 ). vgl. Bild 4.4 b. Die Subtraktlon vo n zwci Vektoren kann als ci ne Addit ion mit Richlungsumkehr aufgefasst werden. Beispiclswcise lasst sich die Subtruktion 0 - b als Add ition de s Vektors 0 mit dcm Vektor - b interp reueren. vgl. Bild 4.4 c:
c = a - b = a + (- b )
Q"~Q" V
b +O
P,
a: c = a + b
b:c =b + a Hild 4.4 : A ddition und Subteuktion
c: c = a - b VO Il
Vck tnrcn
43 Lincare Abhangigkeit von vekroren
Linearkombinatam
H ill
123
Vektoren
Die Linearkombination von mehreren Vek toren a I, a r. as. . . . .a; ist wicderurn ei n Vek tor und du rch folgcndc Addition dcfinic rt: ( C I ' C 2 , C) •.• . :
skalare Koeffizient en )
(4. 1)
FUr lineare Vektorope rationc n gelten die Rechenregeln der Tabelle 4 .1. Tabcllc 4. J: Regeln fur d ie Lincarkomhinano n von vcktorcn
a+b (a + b)+ c (q + ('2) a
(' (a + b) CI
(C2 a)
a +" (- I) ' a a + (-a )
4.3
= = = = = = =
b +a a + (b +c ) cl a +C2a c a +c b (C I
'(2)a
a -a
o
Lineare Ahha ngigkeit von Vektoren
Die Hncare Abhnng lgkeit von Vektorc n kann analog zu de n Ausflihru ngen in Absc hnitt 3.7 auf Seite 83 beh andelt werde n. Die Vek torcn al , a2. · ' , an heiacn linear ebha n glg. wenn irgend ein belieb iger Vektor a; unter Ihnen aus de n rcstlichen (n - I ) Vektore n du rch c ine beheblge Li ncarkornhlnat ion mit den skala rcn Koeffizien ten c, zusammengesetzt werden kann: d.h . a; = qa l + c2 a 2+ " ' + Cj_1Q;_I + Ci+la;+I + " , + c"a"
(4 .2)
Falls kci n cin ziger untcr den /I v ckrorcn durch cine Lincarkom bination aus den iibrigen zusam mcngesctzt werden kunn. heisson di e vc krore n al . a2, · · ·a" linea r un a bh a ngig . Eine andere -g tcic hwertige- Definition der linearen Unabhangi gkeit ist folgende: Die v ektorcn a l .a2. · · ' a" hcibcn dan n, und nur dann. linea r una bh angig. wenn zur ErfLi llung dcr G lcic hung
aile Koe ffizicntcn cr , C2, . . . ,C" zwan gslauf ig glcicb Null scin miissen. Wird dagcgcn dicsc Glci chung crfullr. obwo hl nich t aile Koe f fi zicnt cn c; Nu ll sind, werdcn die Vcktorc n a l . a2. . . . all als lin ea r a bhangig bczeichn cr. Aus dic scr Definition folgt . dass wcnn in der Menge der Vektoren a t ,a2. ·· ·a" der Nu llvcktor o cnrha ucn ist. diose Vektoren zwa ngslau fig linear abhangig se in musscn. Man stcht das deutlieh
J 24
4 Vektorrechnung
an folge ndcr Lincurkom bin ation:
Cl a l + q a2+·· ·+ Ci O+ · · ·+ c" an = 0
(0 )
Dam it die G lcichung (a) crfullt ist. mussc n alle Koeffizicnten (mit Aus nahme von t'; ) glcich Null sci n. FUr Ci = k i- 0 ware abcr d ie G leic hung im mer noc h crfullt. weiI c, mit dem Nullvektor 0 multipliziert wird:
Da zur ErfLi llung diese r G leich ung nicht aile Koeffizienten gleich Null sein musscn . ist die Vck rormenge al ,a2,' .. . 0 · . . ,an linear abhnnglg . FUr d ie Iineare Abba ngigkeit vo n Vektore n ge lte n fo lgen dc Sonderfalle: Zwei parattete Vcktoren im 2D- bz w. 3D- Ra um sind stcts linear abhang ig . Drei Vcktoren in ei ner Ebeue sind immcr da nn li near abhnng ig, wen n sic aile drei durch de n selbe n Punkt gehen . wei! sich ein er von ihnen stcts als Li nearkom bination der beiden ande ren Vektore n ausdrucken lasst, z.B. 0 3 = ('I 0 1 + C2 0 2.
4.4
0, OJ
3D-Vekto r in Matrixschreibweise
In Bild 4 .5 ist c in Vcktor a irn 3 0~ Ra um dargestel lt, dcr ve rn A nfangs pun kt P = (x p; y p; zp) zu m End punkt Q = (x Q: YQ;zQ) vcrlauft. Die zu r .r-Achsc parallele Komp oncntc des Vektors a so li mit a t . die zur y-Ac hse parullclc Kom poncntc mil ll y und d ie zur z-Achsc paralle1c Kom poncnte mit u~ bczeichnet werdcn . )
Q
a
Bild 4.5: Kc mponenten c ines 3D-Vcktors
4.4 JD-Vektnr in Matrixschreibweisc
125
In M arrixsch rcib weis c lautet der Vektor a :
a,, = xQ -Xp
Qy =YQ - YP
(4.3 )
a : = ZQ - Zp
lJeis pi el 4.2: Ge geben sind im 3D- Ra um d ie beiden Punkte P = (4: - 3: - 2) und Q = (6 : 2: I ). Gesucht ist der Vektor a vom Pu nkt P zum Punkt Q in Matri xschreibweis e .
6- 4 2 - (-3 ) 1- (- 2) Anmerkungen: 1. Bs ist nieht zwi ngcnd. eine n Vektor unbcdingt in Spaltc nform. d .h. uls Spaltc nvektor, anzugcbcn. Man kann aue h eine n Zei lenvektor verwe nden . Prinzipiell spiel t es ketne Roll e, ob die v ekrorkom pon emen in Spaltcn- odcr Zeilenfor m angcgcbcn sind . Dcr obigc Vektor a kann dah er aueh als Zeilenvektor deli nien werden:
a= [ (/x (/." {/: ] =
[ (X2- XI) (Y2- Yl)
(Z2-Z I) ]
2. Nac h den Regeln der Matrixrechnung ware cine solche grouzugige Betrachtungsweise an sic h nieht mi.igli ch gewcscn. Die vcktorrechn ung crla ubt dies, weil Vcktorproduktc (Skala rprod ukt, Krcu zprod ukt usw.] nach eigc ne n Rcgcln definiert wer dcn. Ei nc strcngc Oricnticru ng nac h dcr Regcln dcr Matri xrcchn ung ist dcshalb nicht zw ingc nd.
Sond erfall: vektor in der .ev-Ebene A ile Beziehun gen Iiir 3D-Vektorcn ge lte n sirmgcmnt; auc h fur Vek toren in dcr .rv-Ebe nc. wenn d ie z-Kompo ncmc gleich Null gcsc tzt wi rd. d.h.
4.4, I
Lan~e
Q:
= O.
does Vektors
Die Lange a cines Vektors a (auc h Betrag des Vcktor s gcnannt) im 3D-Raum lasst sic h m il Hilfe des Pythagor as-Satzcs bc rcchncn: (4.4)
Falls der vc ktor in dcr .rj-Ebe ne liegt {lm 2D- Ra um ist (/: = 0), ergibt sic h die Lange zu: (4.5)
J 26
4 Vektorrechnung
Hd spi d 4.3: Ein vcktor a vc r tau n vo m Sranpunk t P = ( - I; 1; 4 ) LU IIl End punkr Q = ( I; 5; 3 ). Gcsucht ist der Vektor in Matrixschrcib wcisc und se ine Lange a,
Reispiel 4.4 : Von cincm in dcr .rj-Ebcnc licgcndcn Vcktor a sci seine Lange a und der Winkel a zwisc hen dcr .r-Achsc und a bckannt : {/ = 3. a = 30". Gesucht ist d ie Matri xsch reibweise von a. Die Kompone nten des Vektors a ergeben sich uus elcmcmercr Trigo nom etric :
y
a.I = a - cos 30 = 2.6
a
(/" = a ' sin30 = 1,5 :=';>
a-
[(I,.a,- ]-
[2,6]
a = 30
1,5
'"
.r
.I\I ulti plikat ion eines vektors mit eine m Ska la" Ein Vcktor in Matri xsch reibweise gema13 (4 .3) wird mit cinem Skalar c wic folgt multiplizien:
a ~ [ :: ] ll~
,'a ~ c [:: ] ~ [ : :: ] u:
c ":
Rd spiel 4.5: Dcr Vektor a des Beispiels 4 .3 wird mit c = 2 muhipliziert. Gcsucht ist die Lange des neuen v ckto rs b = 2a.
Ibl ~ 4.58
Ibl ~ / 4' +8' + (- 2)' ~ 9 , 1 6
(4,6 )
4.5 3D-Vektor in dcr Schreibweise mit Basisvektoren
127
G leic h heit von zwei Vekfuren Zwei vekrorcn a und b sind gleich, wc nn aile ihre Kompo nent en gleich sind:
Add it ion Win zwei v ektoren Zwei Vek toren werden addic rt, indcm ihre Kompo ncntcn alge braisc h add iert werde n.
(4 .7 )
Heisp ieJ 4,6: Mit den Vektor en a = [
~
] und b
~[~]
crhalt ma n fclgc ndc Opemtioncn
n -a ~ [ ~n 7a ~ [2 a+b ~ 4.5
[n
3 D ~ Vektor
2(a - b )
~ 2 =~ ] [ -~~ ] [
in de r Schreibweise mit Bas isvekto ren
Bei der Bchandlu ng mcchanischcr Aufgabe n crweist sic h die in diesem Abschniu vorgcs tel lte Darstcllungsart cines Vektors mit Hilfc dcr Baxisvektoren des kartcsischcn 31J-Koord inatcnsyste ms als sc hr vortcilhaft. weiI sic es ges tattct. mit den Vck tor kcmponcmcn so umzugehcn als warc n sic gcwoh nlichc mathcrnatischc Sy mbole . Ba stsv ek to ren i, j , k Das rechtshamligc kartcsischc Koordi natc nsystcm im 3D-Raum bcstefu aus drc i zueinundc r or tbogonalcn (scnkrccht srchcndcn) Basisve ktoren i , j , k: (s. Bild 4.6). Dcr Basisvcktor i licgt auf dcr .r-Ac hsc und zcigt in positive .r-Richtu ng, j und k: licgcn j cwc ils auf dcr y- bzw. z-Achsc und zc igcn in dcrcn po sitive Richtungen. Jcdcr dic scr Basisvektorcn ist ein Ein hcits vektor, d .h. bcsitzt die Lange I. In Ma trix schrcib wcisc lauren d ie Basisvcktorcn:
(4 .8 )
J 2M
4 Vektorrechnung
)'
Ii i = a
Ij l ~ I
Ikl =
j
I
I
.r
k
Bild 4.6: Basisvektoren t, i .k
Zeilenfor m:
i= [ I
0
0
oI
1
vektordarstellung mit den Bastsvektoren i, i , k Ein Vektor
0
kann auc h als Linearkombinauo n von Basisvckto ren dargcstcllt wer dcn: (4 .9 )
o = aJ;i + a\,j + a~k
Ueispie I4.7: Gege ben sind zwci vektcrc n in Matri xschreib weise:
Die Darstellung dieser Vektoren mit Busisvektorcn i, i - k lautct:
a = 4i + Oj +lk = 4i +k
b = 2 i + 5 j + 3k
Einige exemplarischc Lincarkombinationcn von 0 und b sind :
- 0 = - (4 i + k ) = - 4i- k 70 = 7 · (4 i + k) = 28 i + 7k a +b = (4 i + k) + (2 i+ 5 j + 3 k) = 6 i +5 j +4 k ~
'--------v-----
"
b
2(a - b ) = 2[(4 1+ k ) - (21+ S j+ 3kl j = 2(21- Sj - 21) = 4 1- IOj - 4 k
4.6 Skulurprodukt
4.6
129
Skalarpred ukt
Das Stularprodula von zwci Vektoren 0 und b wird durch » 0' b« gekcnnzcichnct: wic dcr Name bcrcits Z UlU Ausdruck bringt. ist es cin Skalar (d.h . cinc Zahl) und dcfinicrt als:
z-dt mensloneler Fall o = a~i + a).j
bzw.
b = b,i + h.l,j
10' b = a~ h. + a)' by I
Skatorproduk t flir 2D· Vektoren a und b
1
(4.10)
3-dimensiunaler Fall
a, ] a = [ ~~.
b=
b., ]
[
a = axi + a_,.j + a~k
bzw,
by
b = b.,i + b).j + b;:;k
b~
Ska/arpmdukl flir 3D-Vektoren a und b
(4. 11)
In Tabellc 4.2 sind einigc Rechcnegeln fur das Skalarprodukt angegebcn, Tabelle 4.2; Regel" fur Skalarprodukr von l wei Vcktoren =
b.a
a · (b + c )
=
a -b s:a .c
(a + b) ·c
=
o ·c + b·c
(I.: o s-b
=
I.:(a ·bj
a- b
(k a}·(b+ c)
(Disrriburivitatj
I.:(o ·b )+k(a ·c ) (k l 0 ) ·c+ (k2b)· C = k l (0 .c) +k2 (b ' c )
(kl a + k2 b) ·C (a + b)·(c+ d) (a + b + c ) · (d + e + f)
(Komnunarivirarj
o ·c + o ·d +b ·c +b ·d
=
Schreibwelse ohne Sk alarpu nkt
o ·d + o· e + 0' / + b ·d + b· e + b -j + c· d + c ' e+ c -j
».'l
O
a
a
b; o ·b = O
c;o· b < O
•
Bild 4.8: Skalarprodu kt
>0 a -b =
{
: die Projcktion von b au f a zcig t in die gleiche Richt ung wic a
= 0 : b sreht senkrecln zu a (a .l b )
y)
. . = sm JJ eosy -smy cos
ax by - a,,·1Jx = a b sin a
d.h .
f
hI' ax a\, h x (lX1J\· - a\.hx = --'--- - - ---'--- - = . . b a a b ah
ax " ." - (/." b,( = lal lb l sin a
Dcr Ausdru ek a , by - ay b< kann m il Hilfe folgen der Oetenn inante aueh als die Lange eines in Rich tung des Bastsvekrors k geriehteten Vektors c aufgefass t werden :
j c=
(1 ,
a = 68,65°
sin a = 0 ,93 14
Dcr Flachcn inhalt A crgibr sich damit zu:
b) Berechnung nach 01. (4.22)
a 'a = 29 A~
4.7. 1
la x bl ~
j(a · a)( b · b) - (a · b)'
~
/ 29. 250
31'
~ 79.30
Kreuzprodukt und Line-a re- A b ha ngi ~kdt von Vektoren
Zw ei v ckrcrcn a und b sind linear aMal/gig . wcnn ibr Krcuzprodukt dcr Nullvcktor 0 ist:
axb= 0
{;}
a und b linear abhnngig
(4.23)
Aus dic scr Definitio n folgt, clas s zwei parallele Vekroren linea r abhiil/gig sind. we iI ihr Kreu zprod ukt wegen a = 0" glcich Null ist.
4.8 Anwendungen in dcr Mcchanik
137
Heispid 4.16: Es ist zu bcstimmcn, ob die folg endc n zwoi Vck toren a und b lin ear abh ilngig sind.
Zwe i Vekto ren sind nur dannlincar abhan gig. wenn ihr Krcuzprodukt gleich dem Nullvekt or 0 ist. Das Kreuzprod ukt von a und b lautet:
a xb =
j k a, a... a z b, by h:
~
i j k 2 3 4 4 6 8
~ ( 24- 24 ) i + ( 1 6- 1 6 ) j + ( 1 2- 1 2 ) k~ O
::} a und b sind linear abhangig.
4.8
Anwendungen in der l\lechanik
In dicscm Abschnitt worden zwe i A nwc ndungsbcispielc des Krcuzproduktcs in dcr tcchnischcn Mcchanik vorgcstcllt.
4.8.1
Moment eln er Kraft
Bild 4.10 zcig t ci ncn Kraftvcktor F . dcr in dcr Blattcbcnc licgt und irn Punkt A angrc ift (dc r Bctrag von F . d.h. die Kraftintenxitllt, ist F ). Das vom Kraftvektor F im Punkt P crze ugte Moment M ist nach Cesctzcn dcr Stan k Moment = Kraf t
x Hebela rm
::} M =F · d
Wcn n dcr Kraftvektor F nicht in der Blattebene licgt. sondcm im 3D-Raum in cine bclicbigc Rich tung zcig t, ist d ie Ermitt lung des Hcbclann s d schon etwas aufwandigcr. In solc hcn Fallen. insbesondere in Cc mpurcrprogrammcn. bictct sich die Bcrcchnung des Moment s mit Hilfe des Krcuzprodu ktcs an. Dcr von eincrn im 3D-Raum licgcndcn Kruftvcktor F in Bczug auf einen
F L r
A
d
Bild 4. 10: Moment der Kraft F urn de n Punkt P
J 31l
4 Vektorrechnung
-
bc licb igen Punkt P erzeugte Mom cntc nvek ror M entspricht dem Kreuzp rodukt de s Streckenve ktors , = PA mit dcm Kraft vektor F • wobc i A dc r Angr iffspunkt von F ist: (4.24)
In der Dcternu nantenschreib weixc des Kreuzp rod ukts ergibt sich :
j M ~
t-
F,
' .\-
k r
F.I"
F;
M=
mit
[,, ]
M.,]
" l:
[ ~:
F=
[
F, ] ~
(4.25)
Fiir die Definition de s Streckcnvektors r ka nn an stel le des Punkts A uuch jedcr andere beliebigc Punkt. dcr auf de r Wirkungslinie vo n F liegt . gewahlt werden. Der Strecken vektor r erstrec kt sich vom Pu nkt P zum Punkt A und hat die La nge L. Dcr Betra g de s Momcnten vektors M entspricht dcm ges uchte n Momcnt M dcr Kraft F in Bezug auf den Pun kt P. IJcispiel 4. 17: Fu r das Moment von F im Punkt P (s. Bi ld 4. 10) crhnh man aus (4.24) und (4.21):
M = IM I = lr xF I =
-- --Irl IFI L
sin a = F Lsin a = Fd
F
d
IJcispiel 4. 18: Das in Bild 4. 10 skizzie rtc Sys tem sc i in de r .ry-E bc nc ci nes rechrsha ndigc n kart esisc hen x)' z-KS gegeben. M it Hilfe des Kreuzprod uktes soli das Moment im Punkt P fiir folge nde Zah lenwcrt e bcrechnet worde n.
707. I N ] F ~ [ 707 .~ ~
A ~ (3.2; 0; 0)
p~
(2; 0; 0)
(Koord inaten in m)
Dcr Srreckcnvektor r erg ibt slch ge maB (4.3 ) au s den Punktkoordinaten :
[
, ~ [3 ~ = ~ ] ~ l.~] 0 -0
F
()
Der Momentenvcktnr crgibt sic h lIUS (4 .24 ): j
M =r xF =
1.2 o 707, 1 707 . 1
z
~p ,·f
k
o
o
~ i ( O- O ) + j
(0 - 0) + k( 1.2 · 707,1 - 0)
x'
4.8 Anwendungen in dcr Mcchanik
M = 848,5 k
(M zeigt aux dcr Blattcbenc bcr aus. wcil in posiuv cr k-Richtung)
Der Betrag des Mom ents ist:
4.8.2
139
M = IMI = 848,5 Nm
Oeschwt nd lgkeusvektor a uf elner rotierenden Scheibe
Das Bild 4. 11 zcig t cine rot icrendc Scheibe. d ie um cine bclicbigc Acb sc im 3 0 ~ Ra u m m il dcr Winkclgcschwin dig kci t to rot icn. Ocr vektor Winkcl gesehwindigk eit se i mi t co bczcic hnct. Mi t r wird de r Strcckenvek tor vo n eine m bclicbigcn Punkt A auf der Linie des Rotarionsvcktor s eo zum Pun kt P bcz eichucr. Der Geschwindi gkeitsvektor v des Punkts P ist tangent ial, d.h. er stcht senkrec ht auf der vo n den Vcktorcn ll) und r au fgespa nnren Ebcne. Es so il bcstimrnt werdcn . wel chc Beziehu ng zw isc he n dem tran slctortsch en Geschwlndigk e trsvektor v eines bcllebigcn Punktes P auf der Scheibe und dem Win kelge schwindigkeitsvektor ll) exis tie rt. Aus der Sch uly
v A
x
z Bild 4. 11 : Bahngcschwindigkcit cines roticrcndcn Punktcs physik ist bcka nnt. class di e Bahngeschwind igkcit cines um cine Drcbachsc ro tic rcnde n Punktcs P glcich ist dem Prod ukt der Winkelgeschwindigkeit to und des Abs tands zwischen de m Punkt P und der Drehachse:
Die Substitution dcr Beziehungen
d = Ir ls in a in die ob ige Bezieh ung licfcrt unrcr Bcrucksic hrigung von (4 .2 1):
lv] = lcol lr l sin a = leo x r l
=> v =co x r
Der tmn slatori schc Geschwin digkeit svektor v cines bclicbigcn Punktes P auf der Sc he ibe entspric ht also de m Kreuzprod ukt von ll) und r :
J40
4 Vektorrechnung
Hd spi d 4.19: Gesuchr ist d ie Buhngcschwindig kcjt \. des Punktes P - (20 ; 50 ; 20 ) em in e inem Kerper. dcr mit der Winkelgeschwindigk eit w = 3 1.42 rud]s um die y-Achse rot iert. Ocr Rotationsgcschwindigk eitsvcktor und der Ortsvekt or lauren:
Ocr Geschwindigkeitsvektor des Punkts P ergibt sich nach (4.26):
i v =lI) xr =
0 20
j k 3 1,42 0 50 20
= 628.4 ;+ Oj - 628.4 k= 628.4 (i - k)
Die Bahngeschwind igkcit v entspricht dem Berrag von v :
\' = [v] = J 628.42 + ( - 628.4)2 = 888,7 em/ see == 8.887 m/ see 4.9
Anwendunge n de r Vektor rech nung in de r ana lytischen Geometrie
Die v ektoralgebra bietet ei nen eleganten w eg. Aufgaben aus dcr analytischen Geometric wesentlic h kompakter und ubersichtlicher zu behande1n als d ies in der klassischcn analytische n Geometric mogllch ist. Nachfolgend werden einige Mcgllchkeiten vorgestellt .
4.9.1
Normfer ung eines Vektors
In tcchnischcn Anwendungen muss immcr wieder cine Norm terung cin es Vektors vorgcnommen worden (man rcdct auc h vorn Normalisierem. Ein Vekto r a wird normicrt. indcm seine Kom ponenten du rch sei ne Lange lal geteilt werden: a,
a' ~ [ a :~' 1~
lal (1.1'
lal a~
lal Der nonnierte Vektor c " ist cin Einhe itsvektor, d.h. seine Lange ist gleich Eins:
(4.27)
4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric
141
Heispi d 4.20: Der Vcktor a
=
[ I: I: 01 so il norm iert wer den.
Lange von a :
(1
=
lal =
Dcr norrniertc Vcktor a' lautet:
I 1.4 14 I 1.4 14
CI,
laol ~
I
Die H ache A de s von den Vektoren a * und c aufg espa rmtc n Paraltet ograrnms karin mit Hilfe
146
4 Vektorrechnung
de s Krcuzprod ukts bcstinur uwcrdcn:
(, ) Die Fliichc A cines Parallclograrruns ist rem er nach den Regcln der ete mcntarcn Geo metric
glcich dcm Produkr dcr Scitcnlangc 10*1 mit dcr Hohc d des Parallc logramms:
A = lo' ld = I ' li =d
(b)
Gleic hsetzen der heiden Fluchcnfc rmeln (a) und (h) ergibt den gesuchten Abstand d : (4.3 1)
Heispiel 4.25: Gc sucht ist dcr Abstand des Punktes Q = (5; 3: - 2) von dcr Gcradcn G. die durch folgendc Punkrichtungsfon n gcgcben lst.
G
' ~" +Aa ~ [ ~ ]+A [n
'Q ~ U] " ~ [~ ] a ~ [n a x (rQ-r il =
la x (' Q- ' ,)1~
i j 2 5 4 3
J(
k 2 -3
_ 2 1)2 + 14' + ( - 14 )2 ~ 28.86
10 1= / 22 + 52 + 22 = 5 .745
4.9.3.4
= - 2 li + 14 j - 14 k
28.86 ::::} d =5 .745 = 5 .02
Schnitt pnnkl und Schntttwlnkel zweier- Gerade n
Bctrachtet worden lwe i Gcrudcn G l und Gz in dc r Punktrichtungsform W ild 4.15):
4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric
G,
a, s
z
'I
0
a
147
r
P,
" .r
'G,
a, G,
Bild 4.15: Schnittpunkt zweier Geradcn
Dcr Sc hnittpunkt S lasst sich durch Glcichsctzcn dcr Ortsvektorcn
TG I
und
TG 2
bcs tinunc n:
Wenn die O rtsve ktore n r l. r : sowie die Ric htungsve ktoren a l . a : als Spa ltenvektore n versta nde n wer dcn, lusst sich diesc Bestim mungsgleichung uuch in folgender Matrixfonn schreibcn: (4.32 )
oder in ausfuhrlichcr Sc hrc ibweise: (4 .33)
Dicscs lincarc Gleichungsvystc m bcstcht aus 3 Glcic hungcn und 2 Unbekar mtcn. Es worden daraus zwe i Glcichungcn uusgcwahn und mil cincrn vertahrcn. L B. Cremer-Regel. nach AI und Al gclost (zur Hervorhebung des Schniltp unktes S werde n sic als All' und A2\ bczeichnct). A nsch liellend muss noc h gep rutt werdc n. ob die bcrcchncte n Parameter AI., und A1.,- die nod nicht verar beucre drittc Zei le in (4.33) crfuttcn. wird diesc dritte Glcic hung auc h erfullt. licgt tatsachlich ein Schnl up unkt vor, ansons te n schnei den sich die Geredcn G 1 und Gl nichl. DUTCh Einsetzen des Par ameters All' in die G leichung fur G 1 (ode r des Parameters A1.\' in die Glcic hung fLi r Gl ) worden d ie .eyz-Koordina ten des Sc hnin punktes S berechnet . (4 .34)
Der Sctmiuwinkel a zwischen den Gcred cn G I und Gl liisst sich aus dcm Skalarprndukt dcr Rich rungsvckt orcn a l und a 1 bcsu mmcn: a l ' al
cos c e ladlall
a = arccos
,) lall (lada,.a
(4.3 5)
J4!l
4 Vektorrechnung
Hd spid 4,26:
Schnlttpunkt, Schnittwmkel
G e sur-ht ist dc r Sc hn iu pllnkl nnd Sch niu winkel der nachfnlg('nd lmgpgd w llI' n l.prl1-
den.
[:J
C,
rG, ~r, + A,a, ~ [l] + A,
C,
rGFr, + A,a2 ~ [~] +A2 [ - ; ]
FUr den Schniupunkt gilt die Bedi ngung
r CI
=
r C 2'
Daraus ergibt sich nach Umfor-
mung folgen de Beslimmungsgle ichung :
2 - 1] 1 1 [ 1 -2
[ ~: ] ~
[ 2- 1 ] 0- 1 2- 0
(a)
Zur Bcsu mmu ng von AI und ).2 wcrdc n die heiden crstc n Zcilen vcrwendct :
Daraus folgt mit Hilfe dcr Cre mer-Rege l (oJer Gnuti-Elimination):
Korurollc mit Hilfc dcr 3. Gl. in (a ): I . O- 2(- I) J: 2 / Die Kco rdi natcn des Schntupunkres ergebcn sich zu:
Au, C,
rs
~[
Au, C2
rs
~[
l] :J ~ [!J n ~ l] +0 [
- 1 [ - ;]
Sc hnittwinkcl a dcr Ge ruden GI und G2: Q , 'Q 2
= 2 , ] + 1· (- 1)+ 1· 2 = 3
[
s~
(1; 1; 0 )
s~
(1; 1;0)
4.9 Anwendungen der Vektorrcchnung in dcr analytischen Geometric
4.9.3.5
149
Vektorgleichuog emer- Ebe ne
Di e v ckt oratg cbra bietct ci ne schr clegante und kompaktc M oghchkcu. ci ne Ebc nc im 3D -Raum
zu dc finicr en (Bild 4. 16). Zur Defi nition dcr Ebcnc E worde n lcdig lich zwc i Groacn bcnotigr : ci n bclicbigcr Punkt PI = (XI :)"1: zd in dc r Ebcnc E - ctn belicbigcr Normalenvektor n zur Ebcn c E (n ste ht senkrecht auf E )
"
p = (x. y.:;)
P, Ebelle E
'I
P' -----; Bild 4. 16: vektorgjeichung cincr Ebene Der Nonnalenvektor n m uss nicht un bed ingt im Punkt PI dcfinicrt sciru jcdcr andere zur Ebene E senkreeht stchcndc Vektor ist als Normalcnvck ror auch gce tgnc r. Die Ebene E iSI ein deutig besnmmt. wenn dcr Orts vektor r ein es bcliebigen Punktes P, ocr in der Eben e Iiegt. angegcbcn werden kann. Der Vektor P;P = r ri fiegt in de r Ebene E , folgfic h er ist orthogonal zorn No rmalenvektor n . Ihr Skalarprodukt ist dah cr gleich Null : r
n· (r - r d = O
od cr nach Umforrnung: n· T = n· r l
Dicsc G leichung reprnsen tiert di e Veklor/:leidlllll/: cia Ehene :
n · (r -rd = O oder n ·r =n ·r]
(4.36 )
Man crhalt die kla ssische Form emer Ebenen gleichung durch Einsetzen dcr Vektoren
in (4 .36 ) und A usfuhrung der Ska larprod uktc : II x X +Il,. Y
+ II : Z -
I1x X I + 11, _Yl + 11: ZI
(4.37)
150
4 Vektorrechnung
Hd spi d 4.27: Ges ucht ist die Glc ich ung dcr Ebcnc. d ie den Punkt PI = (2; - 5; 3) enthiilt und de n Normatcnvcktor n = [ 4 2 5 ) bcsitzt.
Die Glcichung dcr Ellene erhalt man aus (4.36):
n ·r =4x + 2y + 5Z
'* £: 4.9.3.6
n 'n = 4 · 2+ 2 · (- 5)+ 5·3= 13
Gleichung der Ebenc £
4x + 2y +5z = 13
Abstand cines Punktes "o n eln er Ebene
Eine Ebene sci durch den Punkt PI = (X I; .\'1; zr) und den Normatenvcuor n gcgcben (Bild 4. 17). Dcr Abstand des Punkts Q = (Xu· YO' ZU) von dcr Ebcnc entspricht der Lange ,1 der Lotgera den QQ' vom Punkt Q zur Ebene E. Dns Skala rprodukt zwisc hen a und n ist gegebe n durch
Q b
._----------_.
n
a
"P,
d
Q' ,
,
£I>t-/lf?E
Bild 4. 17: Vektorgle ichung ciner Ebcne
a ·n = lal lnl cos a , wobei a den Winkel zw ischen a und n bczcichnct. Durch UmsteJlung crhalt man aus diescr Beziehung den Ausdruc k
a ,n
IRI = ~ ~J
a ·n ,, =[nf '
4.9 Anwendungen der Vektorrcc hnung in dcr analytischen Geometric
151
we il la l cos a gc miill ete memarcr Trigono metric nichts ande res ist als dcr ges uchtc Abstand d (Lillie d ist parallel zu 11). Aus r l + a = rQ folgt a = rQ - ' 1. Ein sct zen dic scs Ausdr ucks in die Bezich ung (a) licfe rt:
In A bhangig kcit von der relativen Orient ieru ng dcr Vektoren a und 11 zucina ndcr kann dcr bcrcc hnctc Absta nd ncgntiv sc tn: dcshalb sol ltc das Ergebnis imm er al s Abso lutwe rt bcrechnct werde n:
lIeispiel 4.28: Gcsucht ist dcr Absland d des Punktes Q von dcr Ebcnc. die du rch den Punkt PI und den Normatcnvekt or 11 dcfinicrt ist.
[
Q = ( ~2 ; 1 ; 3 )
rQ =
11 '
~n
(rQ- r Jl =
P, = ( 1;0;9)
rl =
[i]
U] 'Q ~" ~
[i] [~n
In· (' Q ~ 'Jl I = I ~ 301 = 30 Abstand d nach G I. (4 .38):
4.9.4
n=
[
~ 2~
1
' ~O
3 -9
[
] ~n ~
= - 3 + 3- 30= - 30
Inl = v' 12+ 32 + 52 = J3s = 5.9 16
d = 30/5 ,9 16 = 5.07
vek torglelchun gen einer Ku rv e
Die Paramctcrdarstc llung e iner Kurvc K im 2D- odcr 3D- Raum erfo lgt mil Hilfc cines gccignctcn Param eter s t wie folgt (s. auch Se ite 46): • 2D-Rau m: .r = x(t ) y = y(t ) • 3D-Raum: x =x(t ) y =y(t ) : =:(1) .r.y.z sind die Koo rdinutcn cines zum Parameter f korr cspondi crcndcn Punk tcs auf dcr Kur vc K. vc rschicdcncn w crtcn von t cntsp rcchcn vcr schicdcnc Pos uion cn auf dcr Kurvc. Einc Kurvc im 2D· bzw. 3D-Raum ist volls tandig bcschricbcn. wcnn d ie raurnlic hc Position j cdcs cinern bcliebigcn Parameter t zugcc rdnctc n Kurvcn punktes P angcgcbcn worden kann. Die Positicnsanga bc erfo lgt zwcc kmauigcrweisc durch die Aufstellung ciner Funkti on fur de n Ortsvekt or r (t ). Die Vekt(l~ /e idlUrI!< eincr Kurve ist daher du reh folgc ndc O n svektor funktion
J 52
4 Vektorrechnung
gegcbcn:
I, ~ ' (I) ~ X(I ) i + y(t ) j +Z( I) k I
(4.39)
lleispi el 4.29: Nachfolgcnd sind d ie v cktorgfeichungcn fur zwci Kurvcn angcgcbcn.
---
a) Kreis in dcr .ry-Ebcnc (s. auch
Sene 46).
r (a ) = r cos c i + r sin e j '-. x -'
y
r : Kreisradi us, a : Umfangs winkel, bczog en auf die x-Ach se.
h) Schraubcnlinic im .ryz-Raum [s. auch Seitc 47). .
ti o: k
F( a ) = 'r -cos . -a' i+ r stn a j+ - K y
.~
2
~
r : Sc hrau bcnrud ius. a : Umtaufwinkcl, II : Ganghohc.
4.10
Zusa tzliche Beispiele
lIeispiel 4.30: Gc suclu sind die Koordinaten des Endpunktes Q = (X2: )'2 ;Z2) und die Lange a de s Vcktors a = [a'Ta" (/~ I T = [2 3 OIT mit dcm Anfangsp unkt P = (XI;)'1;Zl) = (4; 9; 0). Losung: a ,< =X2 -XI
X2 =Xl+ (/,< = 4+2 =6
(/." = )'2 - YI
n =)'I+ (/), = 9 +3 = 12
a~ = Z2 - ZI
Z2 =Z I+ tI~ = O + O = O
Betsple l 4.3 1:
Es soli dcr Vekt or a mit dcm Anfang spunkt P = (- I: - 4 ; 2) und dcrn End punkt Q = (5; 3; 7) in der Glcichu ugsform mit Basisvektorcn i.] . k bestirn mt werdcn. Ldsung:
= 5 - (- 1)= 6 } (/)' = )'2 - .1'1 = 3 -( - 4) = 7 (/~ = Z2 - Z I = 7- 2= 5
(/,< = X2 - X I
-:=}
a = (/xi + ayj + a~ k = 6 i + 7 j + 5 k
4. 10 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 4.32:
Skata rprod ukt
G e such t s inlt die Koordinate n de.. Rnd pnn kte.. Q = ( 1'2;Y2;Z2) lind d ie l .iing e (/ lit·.. Vcktors a = [ax (I " ad T = [2 3 0IT mit dc rn An fangspunkt P = (XI;.Vi ;ZI) = (4: 9; 0 ). UjSIIlI /? :
x2 = x,+ (1.< = 4 + 2 = 6 )'2=)'1+ (1,·= 9+3= 12 Z2=Z I+ ":= 0+ 0= 0
a. = X2 ~ XI
(/... =)'2 -Y I a: = Z2 - ZI
Beispiel 4.33:
Skala rprod ukt
Gcgcbcn sind im kartcsischen Koord inatcn systcm lwei Punkte P und Q :
r . (- 2. 4. 8)
Q ' (6. - 2. 4)
Gesuc ht sind die Winkel zwischen de m Vektor v =PQ und de n Koordmatenachsen x,Y. z. Ui,\'Wl/?: ' ~ [6 - ( - 2 ) ,
- 2- 4:
4 -8] ~ 8i - 6j -4k
v -i 8 cos a,- = -Ivi -11-1= 10,77 · 1 = 0.743
cos a.,. =
v -]
Ivl lil =
- 6 10.77 . I = - 0,557
v -k -4 cos a -- = 1'kl I= v i 10,77 · I = - 0.37 1
=}
ax = 42 ~
=}
lX:>. = 123 .8°
=}
a: = 111 .80
Vekto rp roduk l Die Regel a x (bx c ) -I- (ax b) x c in Tabelle4.3aufSeite 135 soil fur a =i. b v- i , c = i uberpruft werden.
Betspiel 4.34 :
Nach Subst itution de r v ektorcn i. j und k: anstcllc von a. b und c in die angcgc bcne Regel crhan man:
Uj.\·WI/?:
i x (i x j ) =i xk = -j
•
'---,.--'
abc r
-
(ix i) x j = Ox j = O
o
=}
-j
-1- 0
,f
153
J 54
4 Vektorrechnung
Hd spi d 4.35:
Vektorprodukt
Res tim rne n S ie da s F rge hn is fn lg('nde r A uxdr i c ke ti , I .Ie sind die Rasi sve ktorcn II('s
-
3D kartcsischcn Koordinutcnsystcms).
a ) (i x j ) x j =?
tsg: (i x j ) x j = k x j = - i
b ) i x (j xj) = ?
L~R :
c) i x j x i x j = ?
•
i x (j xj) = i xO =O
o ------
(Opcrutioncn von Jinks nach rcchts)
tsg: i xj xi xj =k xi xj =j xj =O '-.-'
'-.-'
•
j
d ) ((i x j ) . k ) j x k = ? (Opcrationc n von links nach rcchts) LW ((i x j ) ·k ) j x k = (k· k ) j x k = j x k = i (vonlinks nach r.) '-.-' I
•
lJeispi eI4.36: Vektorprodukt steht senkrecht a uf der a ufgespan nten Ebe ne Es ist zu zcigen. dass das nach (4.19) auf Sette 134 bcrechnetc Kreuzprodukt c tatsachlich senkrccht auf dcr Ebene steht. die vo n dcn Vcktorcn a und b aufgcspannt wird. Lii.\·/Il1g:
Wenn dcr Vektor c senkrecht auf dcr aufgespan nten Ebcne stcht. dann muss er senkrccht sein sowohl zu a als auch zu b. d.h. die Skalarproduktc musscn verschwind en:
,
,
c ·a = 0 c :a = [(a" b: -
c· b = O
U:
= a , (a" b: -
by) i + (a: b. U:
Ux
bJ j
+ (a r b,. -
a,. b r ) k] . (a, i +a" j + a: k)
hy ) + {/y (a: b t - a , b: l + a: (at by - a... b x )
= ~ ~ ~- ~ ~ ~+ ~ ~ ~- ~ ~ ~ + ~ ~ ~- ~ ~ ~ = 0/
c -b = [(u." h: - u: b.,.)i + (u: bc -: a, bJ j
+ (ar hy -
u,. b., ) k] . (b, i + b... j + b: k )
= b , (a" b: - (/: hy) + b,. (a: b , - a t b: l + b: (a, h, - a), b , ) = ~ ~ ~- ~ ~ ~+ ~ ~ ~- ~ ~ ~ + ~ ~ ~- ~ ~ ~
= 0/
4. 10 Zusarzfiche Bcispicle
Ueispid 4.37: Winkd zwischen zwe! Vektoren OhPr 7w" i Vektoren a lind h isr nut hek nnnt , ,la ss s ip eli" R"l lin gllllg la x h i = a . h crfhllcn. Es is! zu bcstimmcn. welchcn Winkel a die Vcktorcn a und h cinschlieg cn. U jSIIlI/? :
[ax hi = lallbl sin a =>
lallbl sin a
=> tan c
e
=
lallhl cos a
=> sin c e cos «
l
Ueispiel 4.38: Hertenung der a nerna ttven Kreuzprodukttorruel Die Krcuzproduktformel (4.22) auf Scire 135 ist schr rulrzfich, wenn cs nur um die Berechnung des Bet rags des Vektorprodukts gcht und nicht urn das Vcktorprodukt (also urn die Kc mponcnren des vektors c ) selbsl. Die Herleitung von (4.22) ist relntiv einfach. Ausgangspunkr ist die Gleichung (4.2 1):
Quadricrcn bcidcr Seiten licfcrt:
Das Einsetzen folgcndcr Beziehungen. die aus (4.14) auf Scire 13 1 sowie (4. 16) auf Scire 131 folgen. in den obigen Ausdruck liefert die gcsuchre Fonncl (4.22):
Ibl' lei'
~ (a · a) (b ·b ) - (a ·b )'
lei ~
~b·b
J (a ·a ) (b · b ) - (a -b )'
Ueisp id 4.39: Ska ter- und Vektorprodukt Dcr Ausdruek (a- b )2 + {la x bl)2 soil so wei! wic moglich vcrcinfacht worden. U j slllI/?:
Skalarprodukr:
a · b = la llh[cos a
lallbl sin a (Ial lbl cos a )2 + (Ial lbl sin a )2 = (lallbl)2 (cos2a
Vektorprodukt:
[a x h] =
+ sin2a ) =
=,
~
{lal lbl)2
155
156
4 Vektorrechnung
Hd spi d 4.40:
Vektu ren pa ra llel od er orthogo na l? Es soli untcrsuc ht werden . o b die vekto ren a lind b pa rall e l odcr o rthogo na l si nd.
Die Fruge, ob die Vektoren parallel sind. kan n mit Hilfe des Kreuzprodukts odcr dcs Ska larprodukts bean twort et worden . Wenn zwci Vektore n parall e l, d.h . linear abhan gig, sind, muss ihr Krcuzprod ukt gleieh Null sein.
Losung:
a x b = a, h,
::::}
i
j
k
a.l , h)'
ll Z
k:
j
1 2 - 1 0
~
hz
~ 2 i + 2 j- 2k " 0
a und b sind nicht parallel.
Ein e Aussage tiber die Onhogon alitat ist tiber das Skalarprod ukt mogflch . Wenn
zwei Vektoren ortho go nal sind. ist der Winkel a zw ischen ihnen gleich 90 cos a = O = a · b = 1· 1 + 1· ( - 1) + 2 · 0 = 0
-4~2]
3 b ~ - 28 [
8 14
0
•
::::} Sic sind ort hogo nal.
- ~] 10
Sic sind para llel . wcil a x b = O. Altcm utiv laBt sic h die A ufgabc auch tiber die Bcsumm ung des Win kels a zwischen den vcktorc n a und b m il Hilfe des Skalarprodukts loscn:
Lij SlIl1g:
101=
Ibl ~
9.33394
a -b
cos a =
c) a
[al ibi =
~ [ ~;~; ]
1.33342
a ·b = - 12.44607
- 12.44607 9 .33394 . 1.3334 2 = - I.OI.XI()(J
b=
4,2
a · h = -1 57.78 # O
::::}
a = 180 0
[ -28] 11.2 - 33.6
::::}
a und b sind nicht orth ogonul
Wenn zwei v ekto rcn parallel, d.h . linear abha ngig . sind, muss ihr Krcuzproduk t gleic b Null sein.
axh=
a"
j
k
(/)'
{/z
~
b, b,. h,
= Oi + Oj + Ok= O
0 ,35 - 2.8
'*
j - 1,4 11.2
k 4.2 - 33.6
a und b sind parallel
4. 10 Zusarzfiche Bcispicle
157
lIeispieI4.41: Flachenlnhalt eines Dreiecks Ein Drcieck ist dcfiniert durch seine Eckpunktc A = ( I; 0; 0), B = (0: I; 0). C = (0: 0: 1). Die Drcicckstlachc A soil mil Hilfe des K rcuzprod ukts bcrcchnet worden. Ldsung:
Die Dretecksftncbc A entspricht der halben Flachc des zugehortgen Parallelogramms, welches von den ve kroren a = AS und b = AC gcbildcr wird.
a=
-1] [-I]~ [0 ~=~
axb=
=
j
k
(/,
0, ausgedrtickt. Ei n negativer Drehw inkel rp < 0 bcde utet Rotation nn Uhrzeigc rslnn.
y
y
9 ~
:\ x
x
x
Hild 5.7: Drchung des Koordmaicnsystems
5.2 Koordinarenrransformanon in der .rj--Ebcne
183
Die Beziehun gen fllr die Rotat ion des Koordinatcnsystem s laure n: ..1' = x · eos cp +y' sin cp
.r = - x '
x =..1'· eos cp - y· sin cp
)' =..1'. sin cp + y · eos cp
sin cp +y · eos cp
(5.9)
In dcr Mutrix schr cibw cisc gemaB Ab schnitt 3 lassen sich d iesc Tra nsforrnationbczichungcn bese nders kompu kt angcbcn. Mit dcr Rotanonsmatrtx R und den Orrsvckt orc n r, r
R~ [
cos e - sm cp
,;n ~ ]
cos cp
r=
[ x]
r=
y
[I]y
(5. 10)
crhalt man folgendc Transformat ion zwischen dem glob alcn und lokulc n Koor dinarcnsystcrn: (5.11)
Die Rotatio nsrnatrix R ist cine sog . orthogonale Matrix. Die Inverse und die Transponierte e incr orthogonalcn Matri x sind g leich. d.h. es g ilt stets R - J = RT . (5. 12)
Die Transforma tion zwischen dem globalcn und lokalcn Koordi natensystem lautet somit:
Ueispi eI5.5:
Punktkoordinat en im gedrehten System Ge sueht sind d ie Koordinaten des Punkts P(x. y ) = (3; 2 ) im .ey-Koordi narensystem , das gege niiber dem xy-KS um tp = 135 0 gcdrcht wird. x = x ' eos cp +y ' sin tp = 3 · cos 135 + 2 · sin 135" = - 0.707 0
.r = - x · sin tp+ y '
cos cp = - 3 · sin 135 0 + 2 · cos 135" = - 3.535
P(I . y) ~ (- 0.7071: - 3.5355) Bercchnun g in Matrix schreibweise:
r =Rr
r~
[
R~ [
- 0,707 1 - 3,5355
]
- 0.707 1 0.707 1 ] - 0.707 1 - 0.707 1 0=}
,
~
[;]
P(i .Y) = (- 0.707 1; - 3 .5355)
184
5 Elcmenta re analytische Geometric
Hd spi d 5.6: Gerace im gedrehten System 1m ry-K()(mli n 1.5x - y - I =O => 4x + y + 12 = {)
5.4 Geradcn in der .rj--Ebcne
197
Daraus erhuh man folgcndc Gcradcngleichungcn in Hesse-Norrnalto rm: - I .1.:1 - -~~co=~'" = 0 ,555 - ) 1.5' + ( I )'
.1.: 2 = -
G2 :
1
- I
/ 4' + 1'
v'T7
=?
=?
OJl33x - 0.555y - 0.555 = 0
- 0.970.'1'- 0.243)'- 2.9 10 = 0
Die Gleich ungen der Winkelhalbierenden lauten nach Gl. (5.37):
504.7
HI :
- O. 137x- 0.798y- 3A65= 0
H2:
1.803x - 0 ,3 12y + 2.355 = 0
odcr ), = - 0.172\ - 4.3 4 odcr y =5.779x +7 .548
Rlchtungsvektor eine r Ge ra den
Der Rlchtungsvekror v einer Gcradcn in der xy-Ebene zeigt die Bewegungsrichtung auf der Oeraden. wenn slch d ie .r-Koordinate um einen posltiven Berrag anden. FUr cine Gemde mit dcr Stcig ung '" (vgl. Bild 5.15) ergibt slch ihr Richtungsveklor zu:
15.38) Ocr Winkel qJ zwisc hen den Geradcn Gl und G2 mit den Steigungen "' I und 11/2 in Bild 5. 15 lassl sich auch ubcr ihrc Richtungsvcktorcn V I und 1'2 bcxtirnmcn. Aus dcm Skala rprod ukt dcr bcidcn Rich tungsvcktorcn erhlllt man den Winkel tp zwischen V I und V2 : V I ' V2
cos rp = [vI I [1'21
rp = arccos
( v,.v, ) [1'1 111'21
(5.39)
Heispi eI5. 16: Gcsucht ist dcr Winkel zwischen den Richrungswinkcln dcr Gcradcn GI und G2 (s. auch Bcispiel 5.l 4 ). GI :
y = 1.5x - 1
G2 :
y = - 4x - 12
Mit den Steigungcn JIll = 1.5 und 11/2 = - 4 crhalt man aus (5.38) d ie Richtungsvektorc n:
Ocr Winkel rp zwischen 1'1 '1'2
vI
und
1'2
ergibt sich aus (5.39 ):
= 1 ·1 + 1.5 - (- 4 ) = - 5
J91l
5 Elcmentare analytische Geometric
cos ({' =
VI 'V2
~~-
Iv,lIv, l
- 5 = - 0 .6727 } 3.25 · 17
=
({' = arccos ]- 0 .6727)
({' =
132Y
A nme rk ung : Ocr Wen 132,30 entspricht dcm Winkel zw ischen VI und v2: der Wen
47.70 in Beispiel 5.14 entspricht dcm Winkel zw ischen G l und G2. der von der .rAchsc aus im Gegenuhrzeigersinn posittv dcfinicrt wurde .
5.5
Zusa tzliche Reispiele
Heispi eI 5.17: Die Koordinaten des Punktes P sind im kartcsischcm Koordtnatcnsystcm gcge bcn. Ge sucht sind seine zylindrischen Koordinaten.
P(x.)'. z) ~ (- 1;- 1; I )
P(r, ({' . ::) = ?
U)SUIlX :
r=Vx2 + y2 =
z= 1 ({',-= arccos ({', = arcs in
x
- I
v x2+ l
v2
~ = arccos
b
V X2 +y2
sign ({',- -I- sign cp,
=>
} (- 1)2 + (- 1)2 = 1,4 14
.;=}
M
= arccos] - 0 .707 1) = 135
0
= arcsin - ~ = arcs in( - 0 ,707 1) = _ 45 0 v2 ({'
= 360 - ({'C = 360 - 135 = 225 0
PV, ~ . , ) ~ (1,4 14; 225' ;
I)
Heispi d 5.18 : lm .ej- System ist ein Kreis durch die Glcic hung .~ + y2 = 16 bcschriebcn . Wie lautet dic sc Krcisg lcic hung im j y·S ystc m, das gcgcnubcr dcm .ev-Systcm urn v = [2: - 31 vcrschobcn wurde?
Zunachst worden die .ry-Koo rdinatcn als Funktio n dcr j y-Koord inaten ausgcdruc kt: (/ = 2
1> = -3
.;=}
x = j +2
y = .r - 3
Die Subst itution dcr ob igen Ausdrtlcke in die gcgc bcnc Glcichung des gcs uchte Ergcbnis:
(: r ~
[6] 4
4. Geg eben sind zwei Punkte P = (5; 9 ) und Q = ( 12; 18) im xy-Koordinatensy stem. Ze igen Sic, dass sich der Ab sta nd L zwischen den Punkten P und Q nicht andcrt . we nn P und Q im x y· KS ausgcdruckt werdcn . a) Das x y. KS wird gcgcnubcr dcm .rj-Koordinutcnsystem urn v = (- 5; 41 vcrschohcn. h ) Das j
y.KS wird gegcnubcr dcm .ry- Koordinatcnsystem ur n qJ = 45° gcdrcht.
2U4
5 Elcmentare analytische Geometric
5. Ein kartcsisches xy z-Koo rd inatensystem sci gcge niibcr dem xyz-KS urn v = [I; - 2;41 parallel verschobc n. Ferner sind im .rvz-Systcrn zwe i Punkt e P = (- 2: I : 2) und Q = (2: 3: 6 ) dcfin icrt. Zcigcn Sic, dass sich dcr Abstand L zw ischen I' und Q nicht andcrt. wcnn die Koordin atcn dcr Punkre I' und Q im xy z-KS uusgcdruckt worden.
Lasung: Lxyz =6
P(x . y) = (- 3: 3: - 2)
Q(x..n = ( 1: 5: 2)
Lxyz =6
6. 1m xy-Koo rdinaten system iSI die Gleichung .rv = 2 gegebcn. Welche Form nimrnt die sc Gleichung im xy-Sys tem an. das gegenu ber dem .ry-System um _ 90 0 gedreht wird? L sg: i )' = - 2
7. Wic lautet die Gleichung dcr Gcradc n, die durch den Punkt I' = (2: - I) geht und mit dcr .r-Achsc ei ncn Winkel von r.p = 150 0 bildct?
Lsg:
//I
= tan cp = tan 150 0 = - 0 .577
y = - 0.577(x- 2) - I = - 0 .577x + 0 . 154
8. Gcgebcn ist cine Gerade in dcr allgemeinen Linearform 3x - 2y + 2 = O. Gcsucht ist die Gcrad cnglcich ung in folgendcn Formen: a ) Nonn alform
h ) Achsenubschnins form c) Hesseschc Ncrmalforrn [iisung: a)
Norma lform :y = 1.5x + I
x h) Achscnabschntustorm ( 0 .667 )
Y
+1 =
I
c) Hcsscschc Norm ulform - 0.832x + 0,554y - 0 .554 = 0
9. Stollen Sic die Gleichung der Gerad en G] auf. die durch den Punkt P = (- 2; I) gchr und parallel zur Geraden G2 : 2x - 3y - 5 -= 0 verlauft.
Lsg: Stcigung
III
von G2:
11/ =
2
'3
Punktstcig ungsfonn von GI : Y =
2
7
'3 .r + :3
10. Bercchnen Sic umc r Verwe nd ung der Hcssc-Normalfc rm den Abstand des Punktes P = ( I ; - I ) von derGera den G .die durchdic Punkte PI = (- 2: I ) und f1 = (2; 3) geht.
Lsg: Allgemeine Lincarfonn: n.5x - y + 2 = 0 Hcsscschc Nonnalfonn G : - 0.447x + 0 .894y - 1.789 = O. Abstand : d
= 1- 0 .447 · I + 0,894· ( -
I) - 1.789] = )- 3, 131
= 3. 13.
11. Berec hncn Sie fllr das Bcispiel 5. 15 den Winkel zw ischen G I und G2. 12. Bcrcchncn Sic fur das Beispiel 5. 14 die Winkclhalbicrcmlcn von G I und G2. 13. Berechnen Sie fur das Beispie l 5. 13 den Winkel sowie die Winkelhalbierenden von G t und G2.
6
Differentialrechnung
Die Diffcrentialrcchnung gehort eincm Gebler der Mathematik. das als Inftnltestmetrechnung ' bekanm isl. w ortltch besuz t »infinitesirnal« die Bedeutung »ins unendlich Kleine gehend«. In der Inftniteslmalrechnung stellt man die Gcsetzmnuigkencu zwischen den betcilig jen GrOl3ell c ines mathernatische n Problems also in eiucm unendlich kle inen lutervall her (sozusage n unter e incr star k vergroacmd cn Lupc) und ubcrtragr sic da nn zu m rcalen Delinition sraum. In dic seru Absc hnitt wi rd d ie Diffcrcntialrechnung n UT fur Funktioncn mit einer unabh nngigen Variable bcha nde lt (fur Funktioncn mit meh reren unabhiingigcn Variab len sie hc Absc hnitt 7).
6.1
Definition der Ableitung
Gcgcbcn sci cine in ihrcm gcsarrucn Den nino nsbercich stetig verlaufende Funktion y = [ (x ) de r unabhangigen Variable x . Eine solchc Funktion ist in ihrem gcsarmcn Dcfinitionsbereich d ifferenzierbar , d.h . ableitbar. Aus einer sehr grolkn Zahl von Funktio nen . d ie stetig sind, scion beispielhaft genannt:
y =X
j-ee
sinr
y = cos r
y = sinhx
Wen n im fo tgcndcn von eine r Funkt ion gcsprochcn wird. ist imrncr cine stctigc Fun ktion gcmcint. wcnn nieht ausdrucklich ctwas andcrcs gcsagt wird. 6. 1.1
Dnreren zenquotien t
Bifd 6 ,1 zcigr eiuen Ausschnitt eine r stetigen Funktio n y = [ (xl. welche an dcr Stelle .rn den Funktio nswert Yo = [ (xo) und an einer benachbarten Positio n XI den Wert YI = [ (XI ) haben soil. Die zugchongcn Punktc auf dcr Funktio nskurvc sind fb = (xo,Yo) und PI = (XI. YI) , Aus Bild 6. 1 lassen sich folge ude Dlfferen zen definieren: Al" = XI - XO
ilY = Yl - YO
Anmerkung: Die Differenzen ax und L\y sind endliche, d.h. nicht infinitesima1c. Grouen. Sic werden auch als ln k rem ente bezeichnet. Die Steigung der Sekante fbPI in Bezug auf d ie xAchse isl gegeben durch die folgende, aus der elemcntaren Trigono metric bekannte. Beziehung: il1'erenliation. Den Vorgang des Ablcitens ncnnt man Oifferenrieren. In der Auffa ssung der rnodcmcn Mathe matik laBt sich die Differentiation auch bcsondc rs e infach formulieren : Differentiation hedeutet Linearisie rung. Unter Bcruckstchtt gung dcr Beziehung y = f (x ) kc nnen fur die erstc Ableitung y' auch andere Bezeichnungen verwendet werden . Folgende Ausdrticke sind aile aquivaleu t:
y' = / (x ) = df (x ) = lim ~f{x) dr AT- 'O ~X Die Ablcitunge n der wichtigsten e leme ntaren Funktionen sind im Anhang A.4 zusamme ngcs rellt.
Beziehung zwischen Ableitung und Stelgung. Die ersrc Ablcitu ng cin er Funkt ion y = f (x ) cntspricht dcr Steigung der Tangentc an die Funktionskurv e.
Steig uug
Itan a = y' = / (x )1
(6.5)
Ueisp iel 6.3: Gegcbcu sci die Funktio n y = 3,yr. Berechnen Sic den Steigungswt nkcl a der Kurventangentc am Punkt P mit Xp = 0,4 . Den Steigungswinkel a der Tangente am Punkt P erhalt man aus der I. Ableitung der Funktion:
!
,f-,.., , ,.----, s
y' = (3 .y.t)' '. = 1 . 3 [ 2/3 = -x2f3 , I arctan a = y (0 .4) = - /'3 = 1.8420 O.4 ~ .
::::} a = 61.5
0
Ptu nktionszu wa chs auf de r Tangente Das Differential dy ist die Andcrun g dcr Funktion y = f (x ) bc i cincr infinitc simalc n Anderung dr dcr Variable x . Es lasst sich daher auch als die Anderun g dcr Tangcnrenordi nate (also als
6.2 Ableitungxregcln
209
diffcnticllcr v-Zuwac hs au f dcr Tangent c) deu tcn und crgibt sich uus G l. (6.4): dy = ldt:
(6.6 )
Falls in der letzren Beziehu ng unstcllc von dr dcr Inkremc nt Ax vcrwe ndet wird, erhalt man den endlic hen Zuwachs Ay, (ln krement) auf der Tangentengera de: Ay,
=/
Ar
(6.7 )
Flir klein c w ertc von Ax, d .h. fur .6..r :::: d r , gill Ay :::: dy . Mil wac hsendcm .6..t: wi rd d ie Abweichung zwische n Ay und dy auc h groae r (Ausnahme: y = ex, we i! sic cine Gcradc iSI).
Dttteren tfulopera tor Die Ablcitu ngsdctiniuo n (6.4) kann auc h untcr Vcr wcndung des sog . Differenttotoperotors dj dx ausgcdruckt werdcn : dv
d
r' = dx ---'. . = -v dr '
.
d
-
bzw.
d,
=: Differenti alopcrator (6 .8)
Ocr Differentialoperator d/dr ist keine neue mathem atische Grone. sondem leJi glich cine andere -in manchen Fallen allerdin gs sehr zwec kmnulge- Darstcllu ngsan flir den Ab leitungsvorgang.
6.2
Ableitu ngsregeln
6.2,1
Faktorregel
Ein konstanter Faktor c blcibt bel der Ableitung unverundert und bcei nflusst den Ablei tungsvorgang nicht. (6.9 )
Iy = e / (x ) Ueisp iel 6,4:
l
a) y =5x~
6.2.2
= ( 5 x~)' = 5 (xl)' = 5 (3.r2) = 15 x 2
h) y = - 3 ln x
l
c) y =Jr sinx
. X)' = Jr {sinx}' .'' = (Jr S1l1 S1l1X
I
3
.r
.r
= (-3 ln x)' = - 3 (In x)' = - 3 · - = - se
x cosr
Sum menregel
Die Ab leitu ng cin er Funktion I (x ), die uls cine Lincarkornbination von bclicbigcn Funktioncn II (x), h (x) usw. zusammcngcsc tzt ist, crgibt sich als d ie Summc dcr Ablcitungc n dcr ci nzclncn Funk tioncn:
y = I (x ) = ctll {x] + c2f2(x)
y' = I (x ) =
+ + c"j,, (x )
CI"" (x) +(' 2/2(X) +
+ cnt, (x )
(6. 10)
210
6 Diffcremialrechnung
Hd spi d 6.5: :1) y:= 5.r~ - Rr2
b ) y:= 2 sinx - 5 cos x
l c)
:= (h inx - 5 cos x )' := (2 sin x )' - (5 cos .e)' := 2 cosx + 5 sin .c
y:= 3e".t - 4 Inx + 6 tanhx l := (3e".t)' - (4 Inx)' + (6 umh.c}' := 3ae 0 )''' < 0
{;} {;}
Link skriim mu ng Rechtskrumm ung
(6.30 )
FUr y" > 0 licgt ci ne Ltnkskrummung vor, d .h. die Kur vc kriimm t sieh im Gcgenuhr zcigcrsi nn (Bitd 6.3). Bci cincr links gc kru mmten Kurvo wird die Stcigung dcr Tangcn tc mi t zunchmc ndc m x -ulgebruisch- im mer groucr (bis zum Hoc hsu tcigungswinkel a = 90°) . Wenn .'i " < () isr, wird von einer Rechtskrummung gcs proc hen. wei l sich die Fu nktion skurve im Uhrzei gers inn krlimrnt. Die S teigung der Tangente ei ner reeh ts gekrumrruen Kurve wi rd mi t zu nehrnende m .r -alge braisch- im mer kleiner (z. B. is! die Steigung 1//2 = - t .O ulgebralsch kleiner als die Steigung 111 1 = - 0.5).
Ht'ispiel 6.25:
Krummungsradlus
Bercchncn Sic die Krummun g und dcr Krurnmungsrudiu s der Funktion y = xe- x an der Ste lle .r = O.
y' = ( I - x)e- x y'{O) = I
y" (O) = - 2
-2
1( = [1+ 12] 3/ 2 = - 0.707 P~
1
I
N ~ 1- 0.7071 ~ 1.4 14 1
1
-1
x -1
2
6. 11 Lo kalc Extremwene ciner Funktion
6.11
227
Loka le Extremwerte einer Funktion
Bild 6 .4 zcigt mchrcrc H oc hpunktc und Ticfpunk tc cincr Funktions kurvc. Sok-he Hoc h- und Tic fpunktc werdc n {oka/e E xtrema gc nanm. Ein lokalc s Extremum (au ch relatives Extrem um ge nannn ist cntwcdcr ein tokate s Max im um t Hoc hpun kn odc r ein lokalcs Minimum (Tic fpunkt) . Eine Funktion y = f (x) kann (muss abcr nicht zwangsliiufig) eincn oder mch rerc lokalc Extrem punkte (Hoc h- bzw. Tiefpunk te) in eine m lntcrval l a :::; .r ::; b aufweisen. D ie Gesamtheit d ieser Extre mpunkte wird unter de m SammelbegrilT lok ale Extrema zus amme n gefasst. A1/l11erkuIlK: Die hier bcha ndclte lokale Extremwertbcrcchnung erfassr nictu di e Rand punkte ein cr Kurve . Der Punkt H in Bild 6.4 z.B. kann mit de n Mitteln dcr hicr vorgestclltcn Extremwert bcrcc hnung nich t idcn tifixiert wcrden. ob wohl er e indeut ig eincn Maximu lwcrt darstellt - er liegt sogar hoher als aile undcrcn lokulcn Maximalpun ktc und ist somit cin g lobules Maximum . Deshalb rn usscn die Rundpunk tc eincr Funktin n zusatzlich zur nonnalen Extr emwertbcrcchnung daraufh in ubcrp run worde n. ob dort evtl. ein globales Maximu m bzw. Minimum vorliegt.
D
,
"
B,OY: lob i"" M a~ i mum C, E.G; lokab Mill;mum
c e
G
e Bild 6 .4: Lokalc Extrcmwcn c eincr Puuktion y = f (x )
Man spricht von cincm lokalcn M aximum an dcr Stelle Xo, wenn in dcr cngcre n Umge bung von Xo der Funktionswert srcts kleincr isl als dcrj enigc bc i xo. 1st dagcgcn in dcr Umgebung von Xu dcr Punktionswcn stcts groucr als derjen ige bei xo, dann licgt ein lokalcs Mi nimum an dcr Ste lle Xo vcr, d.h.
, I { tokales Maximum. Loka es E xtremum = lokules Minimum.
we nn f (x ) < f (xo )
IUr aile .r "I- Xo
wenn [ (x ) > [ (xu)
fur aile .r
"I- Xo
Die notwendige Beding nng fur ei n Extre mum an de r Stelle Xu ist cine waagerechte Tangeme , d.h . es muss gelten :
( (xo) = 0
notwendige Beding ung f iir loka/es E xtremum
(6.3 1)
Wen n cine Funkuon die norwcndigc Bcdi ngung (6 .31 ) nich t er fllllt, bcsitzt sic kcin lokalcs Extrem um. Auf der andcrcn Scitc ist die ErfU llung von (6.3 1) abc r auch keinc Ga ranue fur die Existcnz cines lokalen Extrcmurns. Damit cine Fun ktion tatsnchlich em Extremum hal, muss stc auch noch d ie hinreichenden Bed ingu ngcn erfulle n.
22M
6 Diffcremialrechn ung
Not we ndlge und hln re ichende Hed inJ=:un gen fur ein Extre mum Die Art des lokules Extrcrnums an dcr Stelle Xo hhngt vom vorzctchcn dcr Funktionkriimmung aboEin Maximum licgt VOf, wenn die Funktionskur ve in dcr Umgebung von Xo rectus gckrummr ist. Fiir cin e links gc krumm te Kurve Hegt da rt ein Minimum vor. Notwendige lind hinreichende Beding ungenfur lokale Extrema:
Extremum =
{
Maximum,
wenn I' (xo) = 0 und I"(xo) < 0
Minimum ,
wenn f' (xo) = 0 IIl1d f" (xo) > 0
(6.32)
kein Extremum , wenn !'(xo) =I- 0
Wend epu nk t und Sattelpunkt Man spricht von einem Wendepu nkt an der Stelle xo, wenn die Krumm ung links und rechts von .rn untersehiedliches Vorzeichen besltzt . d.h . wen n d ie Kurve z.B. von Rechts- auf Lin kskrilrn mun g wechse lt odc r umgckehrt. Weil des vorzeichcn der Krummung von f" ubhnngt. bedeutet der Vorzeichcnwechscl, dass I"(xo) = 0 scin muss. An eincrn Wendepllllkt licgt kein loka1cs Extrem um vor. Von einem Sauetpunkt wird ges prochen. wenn die Tangente im Wend epunkt waagerccht vcrlaun . Notwendige und hinreichende Bedingungenfiir Went/e- lind Sattelpunkte:
Wcnn
j"(XO) = 0 und fll/ (xo) =I- 0 { j"(xo) = 0 und fll/ (xo ) =I- 0
wendepunkt. wenn f' (xo ) =I- 0
Sauetpunta.
In'fIIl
(6.33)
/' (xo) = ()
S pez ialfa ll Es kann gelegentlich vorkommcn. dass sowohl die 2. wic auch 3. Ableitung g lcich Null sind, d.h . f" (xo ) = 0 als auch f"' (xo) = O. Wie lasst sich dann bcstimmcn, ob c in Extremalpunkt odc r cin Wcndcp unkt vorhcgt? Wen n dcr Fall mit j" (xo) = 0 und fll/(xo) = 0 eint rin, differenziert man d ie Funktion f (x) so lange welter, bis die momentane Ablcitung an der Stelle Xo ci nen von Null versc hiedene n Wert annimmt (naHirlich vorausges etzt. dass die Funktio n so oft dilTeren zierbar ist). Wenn die erste von Null verschiedc ne Ablei tung allgemei n mit j (n j bezeic hnet wird. kann eine Aussage iiber lokale Extrema wie folgt gctroffe n werdc n: n ist
Art des Extrem ums
; + a r ar at dy = lim .1.y = dr 'l..t_ O a r
lim [3x2 + 3x at + (at)2] = 3.~ + O +O = 3.~
Ar_ O
Ueispiel 6.32: I. Ablettung Fur vcrs chiedcnc Funkt ionc n soli d ie I. Ablcitung a) y = 2 sin2 (Sx + 3)
l
bcrcchnct werden.
l = 2 .2sin(5x + 3) cos(5x + 3) · 5 =20 sin(5x +3 ) cos(5x + 3 y' = 10 sin( IOx + 6) b)
.v =
(, - 4x
y' = c)
sinx ~ 4 (, - 4x
sinx+e- 4., cose e
(,- 4.\ (-
4 sinx+ cosx)
y =s.-2ln x Anweudun g dcr Kettcnregel mit dcr Substitution 11 = x2 10 x liefert:
y= S"
dr
""":'- = S" InS
d"
du 1 -I = 2t l n x + .~ - = x ( 2 1 n x + [) as
.r
, dy du > v = - - = 5" InS ·x (2 10 x + 1) = 5 r lnx InS· x (2 10x + I) . du dx d) y = .r lnr - In(5.r-' ) , 1 15x 2 3 )" = 1· Inx +x - - - -3 = I + lnx- ~ . .r 5x x
6 .~ COI(X' )
235
236
6 Diffcremialrechnung
Hd spid 6.33:
3. A b ld t u n ~
Bcsummcn Si c die 3. Ab lcitun g folgc ndc r F unktion cn.
a) y = 5 In( I + ..,3 ) }/ =
v" = 30x - 1 5x~
15.>?
I + x3
.
3 0( 1 - 7.r~ + x6 )
In
(I +x-')3
Y =
( I + x-')2
b) y = tanh .r
}/ = (tanh x)' = I - tanh2 x (s. Able itungstabclle auf S. 722) }I' = ( I _ tanh2 x )' = - 2 tanh.r (tanh.e)' = - 2 tanh .r ( I _ tanh2 x) y l/l = - 2[ (tanh x)' ( I - lanh 2x )
+ tanhr ( I -
tanh2 x)'j
= - 2( I - tanh 2x)( 1 - 3 tanh2 x) c)
y = .r' yJl = x' (In x+ 1)2 + X, -I
}/ = x' (ln x + I)
l Jl = x' (In x+ 1)-' + 3x, - 1 (l n x + I ) _ .t"'- 2
Betsptel 6.34:
Logaru bm fsche Abteu ung
.r' = ?
y = x,in,T
Nach Lo garithmieren bcide r Seite n der Gleichung erhalt man: Iny = Inx,;nx = sin r In x
(vgl. ( 1.26) aufS . 10)
Analogcs Vorgchcn wie in Beispiel 6.19 auf Scitc 2 17 licfert: d (ln y) =
dr ~
l y
d (sin x In x) _ . I sinx - co"x nx + - dt X
, inx sin x ) y' =y ( cos x In.\'+ - =x .r
Betsplel 6.35:
X cosr
In x + sin x .r
sint-l (
=x '
.\' cos x ln.c -j-sinx
waagerec hte 'Iangen te
In welchem Punkt P = {r . y ) besitzt d ie Funktion y = ( I - e - x+ 2) 2 cine waagcrcchtc Tangentc? / = 2 ( I - e - x+2 ) ( -( - I ) · e - x+2 ) = 2e - .r+2( I _ e - x +2 )
/ = 0
~ ( I_ e - x+ 2 )= O ,
y ~( I _ , - 2+ 2) 2 ~ 1 _ I ~ O
l = e - · p ,(Z,O)
0 = - x +2,
x= 2
)
6. 13 Zusarzfiche Bcispicle
Heisp id 6.36:
237
Al:tleitu nJ.: etner Pa ra meter fun kt jon
Gcgcbcn ist ein Kreis mit dem Radius r = 5 in Parametcrform (s . Scite 46 ): x = rcosl
y =rsinl
Ge sucht sind fur den Para meter t = 13SO die Steigung m und dcr Steig ungswinkel a der Krelsrangente. Lasung: Mit Hilfe dcr Ableitungsfor me11Ur Parameterfunk tionen (6.20 ) erhtilt ma n:
)' = 5 cos t
I \; Scos r \' = :. = - - - = - cot t . x - 5 sin t
.i: = - 5 sin l
w egcn m = tan a = y' ergibt sich fur / = 135° : III
= tan a = - cot( 135° ) =
+I
=}
a = arctan I = 45°
Au/ gahe: Loscn Sic d icse A ufgabc auch umcr Vcrw cndung dcr klassischcn Krcis gleichung x 2 + y2 = ,-2 . HeispieI 6.37:
Besch leu nlgung (alterna tive Ableitungs forme l, Leil:tniz-Kalki.il)
Ein K erper bcwcgt sich gcrudli nig . Die zuruckgclegte Strcckc sc i durch die Bezichung = OA / 3 gcgc bcn. Die Bcschleunigung (I des Kcrpc rs zum Ze itpunkt / = 5 s ist scwoh l klassisch mind s zweiter Zcitnblen ung von s(t ) als auch nach Fonnel (6. 18) auf Seite 2 15 zu bcrcchncn. .1'
a ) Klassischc Ermittlung der Besehleunigung tiber zweimalige Ableitung von .1'(1) nach I :
a =2 ,4 ·5 = 12m/ s 2 b) Berechnung nach OJ. (6. 18):
ds ~ .i = d1 = 1.2r
(a)
Dcr Term t ~ im lctzt cn Ausdruck in (a) konntc, analog zur v orgchcnswetse in Bcispic16 .16 auf Scitc 2 15. als Funktion von s aufgcstcl} t und dann nach s di ffcrc nzicrt worde n (fLi hrc n Sie dies als Hausaufgahe d urchl ). Es soil hier j edoch ein andcrer Weg cingeschlagen worden . d d dl . Gemuu Keuenregel gilt d ie Beziehung - = - - . Daraus ensteht durch algcbratds d1 ds se he Umfo rmung folgende Beziehung :
0 ~
0'
0 ill ds 0/
~
d I 0/ i
(b )
231l
6 Diffcremialrechn ung
Die Beschleunigung if Hisst sich jet zt aus (a) . unter Bcrucksichrigung von (b). wie folgt crmittcln :
.f=! d ( 1.44(4) ! =! . 5.76(3 ! =! · 5 .76(3 - 21 2 =2.4( 2
dr
s
2
s
2
1. 1
a =2.4 ·5 = 12 m/ s2
UeispieI 6.38:
Norma le a n eine Kurve Gegeben se i die Funktion )' = 3 .yx. Es wird am Punkt P der Kurve, der zur Koordiuatc .r = 0.4 korrespondiert . die Normale an d ie Kurve gebildet. Gesucht ist der
Sc hnittpun kt S der Normalgera den mit der .r-Ac hsc.
/
,
TanIJente
2
,
,
s
,
U i.l"lI/lg :
Die Koordinaten des Punktes P sind:
)'p=30lA = 2.2104
xp = 0 .4
Die Srcigung III dcr Tangcntc am Punkt P ergibt sich L U:
, 1 \' = . x 2/3
111
1 =)', (0.4) = 0,4 '/ 3 = 1,8420 .
Die Steigung m" dcr Nc rmalc am Punkt P ist (s. Seite 195): III
"
1 1 = - - = - - - = - 0 5429 111 1,8420 .
Punkrsrcig ungsfcrm der Nonnalgerade n (s. Seite 187):
y,,(x) =
111"
(x - Xl' ) + YI' = - 0,5429 (x - 0.4) + 2.2104
Ocr Schnittpunkt P, mit dcr .r-Achsc ergibt sich aus dcr Bcdin gung y,,(xs) = 0:
- 0,5429 (xs - 0.4) + 2 ,2 104 = 0
:;.
Xs = 4.47
s~
(4 ,47; 0)
Aufgabe: Bestimmen Sic den Sc hnittpuukt Q dCTTangcnte mit der .r-Achse.
6. 13 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 6.39:
NOTmaie an eine Kurve l,£'gdlf'n sci d ie Funktinn y = r~ . Am Punkr P = (2; R) der Funk tinn skurve w ird die Normate dcr Kurv c gc bildct. Gcsuch t wird dcr Schniupunkt P, dcr Normalgeradcn mit dcr .r-Ac hsc.
Die Tangcmcnsteigung am Punkt P crgibt sich zu: l r"' Y, = ..
Die Steigung
/ (2 ) =3 . 22 = 12 111'1
=}
III
= 12
der Normale am Punkt P ist (s. Seite 195):
1
I
= -- = - 11/ 12
111"
Punkt steigu ngsform dcr Nor matgcradc n (s. Seite 187):
)'lI (X ) =
III"
(x - xo) + )' 0 = -
I
T2
(x - 2) + }\
Ocr Schruupunkt p., mit der .r-Achsc ergibt sich aus dcr Bedingung YII (X) = 0: I 12
- -
(x - 2) +8~ O
=}
x" = 98
Heispiel 6.411: Lokales Extremum und Norma fe an eine Kurve Geg ebc n ist die Kurvc y = Jr2 + lC 11l (lC - x) + 1.
a) Berechnen Sic de n Extrcmwert der Funktion im Interval! 0 :5 .r S 1. b) An dcr Position Xl) = 1 winl die Nonnale n-Geradc an die Kurvc y gc bildct. Ermittcln Sic den Schniupunk t dicscr Gerace mit dcr .r-Achsc. U j,\'W1K :
a) )" = 6x _
0.176
~
lC - X
=
6.r2 -
;r
6lCX + ;r x
~0
=}
6.r2 -6lCX+lC =0
=}
Xo =
Extrcmwcrt: y(xo) = 4.51 )'" = 6 - (;r -K x)2
bl y(l ) = 6.39
K y " ( Xo) = 6 - (;r - O.l 76)2 = 564 . >0
~ M,' "",' m"m -."
.\' ( 1) = 4.53
Steigung dcr Normalen: /1/ " = - 1/ ),' = - 1/ 4.53 = - 0.22 Glcichu ng dcr Norrnalcn ( PlIl1kweigll l1gS!Ol"III): )' = - 0.22 (x - I) + 6.39 Schnittpuukt mit der .r-Achsc ergibt sich aus )' = 0:
=}
X,I =
30.0
239
240
6 Diffcremialrechnung
Hdspid 6,41:
Taylor-Reihe
Die Funkt ion Y = e" CO~A sol! a ll dcr Stelle .\0 = 0 ill c ine Taylor -Rc ihc mit /1 = 3 entwickelt und der relative Pchlcr dcr Taylor-Reihe an der Stelle x = 0.2 berechnet
worden.
Ldsnng:
r = - e-X(cos x + sin x)
(x) = e - x cos x
1"
= 2e - x sinx
f3 ) = 2l' -'\ (CO~ x - sinx) Die Taylorreihc fur II = 3 ergibt sich zu:
- I 0 2 2 1 .~ f, ,(x ) = 1+ - , (x - O) + I(X- 0) + I(X- O)' = 1 - x+ -
I.
2.
3.
3
0,2 3 f, ,(O,2 ) = 1- 0,2 + - 3- = 0.8027
I II
Exakter Funktionswert: 1 (0.2) = e ~O, 2 cos(0.2) = 0.8024 Rclutivcr Fehler: E re! =
HeispieI 6.42:
In;
= 0 ,0004 == 0.04 %
Taylor-Reine
Gesucht ist die Entwick lung der Funktion y = In( 1 + x) in eine Taylor-Reihe an dcr Stelle x = 0 mil 1/ = 2. Wie groa ist der relative Fehler der Taylor-Reihe an der Stelle x = 0.2 ?
f (x) ~ 10( 1 + x) xo = {)
1' (x) = 1
~x
I
"; ) - I x = ( l+ x)2
=}1(O)= ln( I+ O)= O
Die Taylor-Reihc ergibt sich zu:
NiiherungsweJ1 der Funktion: f, ,(0.2 ) ~ 0.2 -
() 22 T ~ O. I8000
Exaktcr Funk tionswcrt: 1 (0.2 ) = In( 1+ 0.2) = 0 ,18232 Rclat ivcr Fch ler: Erd =
II ~In I
= 0 .0 127 == 1.27%
6. 13 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 6,43: 'Iayler-Rethe Entwickcln Sie die Funktion j (x ) = e t - xl an dcr Stelle .r = 0 in ci ne TayJo r-Re ihe 3. Ord nung (Il = 3) und bcsummcn Sic den rclarivcn Fchlc r d icscr Rcihc an dcr Stelle x =0.7.
!",(x ) ~ [- 6( \ - 2, ) + {I - 2x ).'V - ,'
1 (0) ~ \
1' (0) ~ \ 1"(0) ~ - \
.
u ly!or-Relhe:
!",(O) ~
-5
\ 5 f,,(x) = 1 + x - 2 '~ - 6 x3
Fu nktio nswcrtc an dcr Stelle .r = 0 ,7:
j (0 ,7) = 1.2337
Exak t:
u ly!o r-Reih e:
1,,(0 .7 ) = 1, 1692
Rclativer Feh lcr:
E
rei
~
If-f
Heispiel 6,44:
1,' 1 ~ 11.2337 - 1.1 1.2337
692
1 = 0 .OS -' =5 .2%
Regel "on I' Hospital
Bercchncn Sie den Grenzwcrt des fclgc ndc n Au sdrucks .
v ee Iim .r _--,\-.:+-.:c:":-"-,x · x_ (J x +sinx c-
Lasung: \' =
·
li x - l + cosx 0 -1 +1 1m = x_ (J x +sinx 0 +0
~
o
o
un bcsu mmtcr Ausdru ck !
Regel von r Hos pital licfe rt:
.
v = \1m
•
X_ U
(x - l + cosx)' \' I - slnx 1- 0 . = 1m = -(x+ Slnx)' x_ o I -e cos.c I+ I
~
05 .
241
242
6 Diffcremialrechnung
Hdspid 6.45:
Krummungsradlus
,
Gcsucht ist dcr Krtlmm ungsradiu s p dcr sng . Ga/ljJ-FII/l kti o/l Y = e - ·r an dcr Stelle
x =O.
I~
--""=---~O
-2
2
x
Losung:
:::> y'(0) = 0
1( =
- 2
y"(O) =- 2
-2
[I +0' 1' /2
Heispi el 6.46:
Krummungsrad tus Bercchncn Sie die Krummung und der Krttrnmungsrudius dcr Funktion y = sin2.r an dcr Stelle .r = n12.
•
,
-. y' = 2 sin x cosr 1( =
' x -csm. ,.x ) y" = 2 ( cos-
y"(rr/2 ) ~
-2
-2 = - 2 [1+ 0'1'/2
Hdsp id 6.47: Lokales Extrem um Gcsuclu ist dcr Extremwert der Funktion y = (7x - 1je- 1•. Position des Bxtrcmums: y' = (9 ~ 1 4x ) e - 1t = 0
:::> xo = 0.6429
Art des Extrcmums: )' 1/
,.,
= (- 32+ 2&x) e- z..-
)'I/(xo ) = - 3.87
< U :::> Maximum
Extrcmalcr Punkuo nswcn: )''''", = 0.9676
c 1+-
-.
,,
-.,------02
6. 13 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 6.48: Lnkales Extrem um Restirnmcn Si,. ein Inkale" Extrem um fn1e cJl(lcr Funktirmen . a)
y = 4(x -2 )2+3 y' = 8(x - 2) = 0
x" =
8
=> xo =2
'* Minimum
y" (xo) = 8 > 0
Punkrio nswert : Ymin = 3
b) y = (x - 2)3 / =3 (x -2 )2 = 0
=> xo = 2
y" = 6(x - 2) )''' (2 ) = y'" = 6 '# 0 c) Y =(L'~
°'*
keine Aussage tiber Extre ma mogfich!
=> Sartclpunkt bc i .r = 2
mit C/ ,#O
)" =5C/x4 = 0
,* xo = O
y" =20C/.,3 )""(0) = 0 y(4) = 120(lx
y"' = 6011r
yt//(O) = O
.",(5) = 120(/ ,# 0
y(4)(0) = 0
Es is! II = 5. d.h. ungerade; dcshalb licgt bc i x = 0 c in Sauclpu nkt vor und zwar unabhangig vern vorzcichcn von a. d ) Y= (X _2 )4 _3
y' = 4(x - 2)3 = O y" = 12(x _ 2)2 )'(4 )
=> xo = 2
y"( 2 ) = 0
y"' =24(x -2 )
)'''' (2) = 0
= 24 > 0
II = 4 ( II ge rcde v und 1 (4) > 0, licgt bci .r = 2 cin Minimum Funktiunswcrt: Ymin =- 3
Weil
VOL
e) y = x e- x
v" =
_ (,- X( I_ x ) _ e- x =
e - X (x ~2 )
y"( J) = e- l ( I - 2 ) = - e - I = - 0.3678 < 0 Funktionswcn :
Ym~ ~
= 0 .368
=> M axi mum
243
244
6 Diffcremialrechnung
Hd spid 6.49:
Newton-Verfahre n
Ausgehcod von dc r Sty = ~~-T 2
Die Schniupunktkoordinatc .r, crgibt sich aus dcr Bcdingung y = 0 : O ~ X2 v'o - 5x - 4 = 0
=}
0 +0 ( 0.8)2
Sch nittpunkt: x" = - 0.8
o
Die Kurve besitzt also an der Stelle x" = - 0,8 cine waagcrcchte Tangcnte.
6. 14 Technische Anwendungen
6.14
Technische Anwendungen
lJeispieI 6.52: Balken unt er Einzellast Ein bcidseitig gelenkig gelagerter Biegebalken von der Lange L wird in dcr Mitte durch eine senkrecht stehende Einzella st F auf Biegung belastet. Die Durchbiegungskurvc y des Balkens unter dieser Belastung ist durch folgcnde Gleichung gegcben
(KOO,d;:": ~:r(It:~~"I;~r"d' ""~ :'~:';::
a) An welcher .r-Pc sition des Balkens tri ll die grourc Durchbiegung auf? b) w etchcn Wert besuzt die gr()fite Durchbicgung y",,,x? c ) Wie groB ist da s Bicgemoment M an dcr .r-Position von Y"'''T? Lii.\'II/1K:
a) Die Position der groarcn Durchbiegung ergibt sich aus y' = 0:
=> xo = L/ 2
x)
b) Y" = FL' EI ( - 20
FL r"(L/2 ) = - 4EI
Maximu m
FL J
Maximale Durchbicgung: V"u" = r (L/2 ) ~ - - ~ . . 48E I c) Bicgcmomcnt in Balkcnmitte: Das Bicgcmo ment M und die Bicgclinic cines Balkcns sind mircinundcr durch die Beziehung M = - EI )'" vcrknupft (wg. Einzelheiten dicscr Bcziehung kann ein Bueh dcr Pcstigkcitslehrc konsutue n werden). II
FL
Y (L/ 2) ~ - 4£1
/I
=> M(L/ 2) ~ - £ 1-)'
FL
~ -.
245
246
6 Diffcremialrechnung
Hd spid 6.53:
Balken unter Streckenfast
Fin e infel(lrige r Riegeh;t lkell aus dem SlHhlpro lil IPF. 200 ist a n se inem lin ken Fnde gclc nkig gclagcrt und am rcch tcn End c ein gespunnt. Die Bclasrung ist di e kon stantc Strcckcntast q . Der Verla uf dcr Durchbiegun g II' ubcr die Balkcnlangc ist durch folgcndc Glcichung gcgcbcn:
qi' w(x) = 48EI
(xf - r3.r' +f4 2,')
wobei E : Ela stizitatsmodu l. 1 : Traghcit smcm em des Batkcnqucr sch nltts. 1 die Balkcnlange sind. Das Biegerno ment M(x) und die Durchbiegung w(x) hnngcn tiber die Momcntcn-Krtlmrnu ng-Beziehun g miteinander zusammen :
M = -EI ·"
o
Gc suclu ist dcr Kriimmungsrad ius
0.3751 fur folgcnde Wcrtc:
1 = 600 elll
q = 0,05 kN / em
und das Biegemoment M an de r Stelle Xo =
E = 2 1000 kN / cm 2
1 = 1940 n
J.ji ol"lIl1g :
ql3 w/(x) = - 48£1 .II H
_
qf
3
(xl - 48£1
I
(_ ~
2 24X )
fl + J3
w/(xo ) = 8.63 . 10- 4 I((XO) =
ql3
w (xo) = 37.4634EI
I/' (XO ) = - 3.107 . 10- 5 cm- 1
- 3. 107 . 10- 5
1('
[1+ (8.63 . 10-' )2]' I
2 II qf w (XO) = - 14.2222£ 1
P = fKf = 1 3. 107 . 10- 51
= - 3. 107 · 10- 5 em"
1
3 2 185clII ~322m
M(xo) = - EI· I((XO) = - 2 1000 · 1940 · (- 3. 107 · 1O ~ 5 ) = 1265.8 kNelll
il
4
6. 14 Technische Anwe ndungen
Heispid 6,54:
247
Balken un ter Dreieckslast
F.in hl.'illsl' ilig gdl' n kig gd agl' rt/' r Ralk en wi rd dum h nin e Iinear ve rfindcrfic-he SIr/,.
ckenlast q(x ) = qo (xI L) hclastct. Ocr Verlauf dcr Durchbiegung w(x) libcr die Balkcnlan gc ist durch folgcndc Glcichung gcgcbcn : \I' X
_
.s: (7.1: _ lOx' + 3.r') I~
( ) - 360£ 1
/
{-I
wobei £ : Elastizitdtsmodul. I : Traghensmomenr des Balkenquerschnitts. / d ie Balkentange sind. Es soli die maximalc Durchbiegung des Balkens besrimmt worden .
( =2 m
q = 100kN/ m
Ldsung: Die Position dcr maximalen Durchbicgu ng wird ubcr die crstc Ablcitung bcs timm t. \1"
_
~
(x) - 360£ 1
4
2
( 7 _ 30x (2
+
15X )
4
3o.r2 15X ) ::::;. I (x ) = ( 7 - [ 2 + 7 = 0
_
- 0
(4
Die Nullstellc x/I der Funktio n I (x) wird mit dem Newton- Verfahren bestirnmt. Als Startposition winl gcwa hlr: x ]! = 0,5
i 0 I I
xi/I 0,5000 0,5194 0,5195
Ii
0,4375 0,00 16
-
If
-22,500/1 -22,757/1
=> Nullstelle:
x
7 ~ O , 5 1 95
-
Die maximulc Durchbicgung ergibt sich dann zu: ~4
~
max w> 360£ 1 (7. 0,5 195 - lO. 0.5 195·' + 3. 0,5 1955 ) = 0,00652 £ 1 Mit den vorlicgendcn Za hlenwerten crhalt man: max w = OJ Xl652
100 . 2,04 H
2,1· lO ·1 ,71·10 -
()
= 0.029 m :::: 2,9 em
24!l
6 Diffcremialrechnung
Hd spid 6.55: Die theoretisch erz ielbare dcr fclg enden Fonne l.
Lei.\·IIIIl~
einer
Willde/l(' rxie -Allla~e
(WEA) ergibt sic h aus
(1- '~) (1 +.:.) 1'0
P
p D V I)
V
1'0
Nm
,
Lcistung dcr WEA in = Walt 3 Luftdichte in k/:/m ~ 1,25 k/:/m 3) Rorordurcbm esscr in III Unges torte Windgeschwindigkeit in m/.\" (vor dem Rotor) Gesch windigkeit dcr austrctendcn Luft in mj.f (hinter dcrn Rotor)
co
Die Grob cn p, 1'1), D sind fur den gcwa hnc n Standort und das lnvcstitic nsvolumen fest stehendc wcrte. d.h. Konstante n. Die Luftsrro mungsgeschwlndtgkeit I' hinter dem Rotor hingegen ist cine durch Rotorblatt-Anstellwinkel steue rbare GroGe. d .h. eine Variable. Die Lcistung P der WE A ist daher ci ne Funktion der Variable I '. Es soli bestimmt werden. wic groG d ie maximalc Encrgicuusbcutc dcr WEA aus dem Wind ist. Ldsung :
Die muxirnale Leisu mg stellt sich fur die Bed ingung dP/ d l' = 0 ei n. wei! P = i (v)
isr:
~ O
- 31,2-
21'1'0
Die U isungen diescr quadrauschcn Gleichung sind
+ 1'5 = 0
1'1
=
I~l
und
\' 2
=
- 1'0 ,
Die zwe itc
Losung macht physikalisch keine n Sinn, we il die Luft nieht gcgc n den Wind (wcgcn des ncgarivcn v orzcich cns) zurnc k stromc n kann! Die ric htigc Losung tauter also \' = \'0/3 , d.h. wenn die ungesto rtc Windgeschwindigkeit auf ein Driucl reduziert wird,
6. 14 Technische A nwendungen
249
crrcicht die WEA ihrc maximale Leistung P,,,,,••
(\' O/~3)2)
' z
P,mu = fl (I _
3
( I + 1'0/ ) = 0 .592
1'6
fl.)
1'0
fl.) entspricht physikalis ch dcr im Wind insgesam t vorhandc ncn kincti schc n Encrgie. Man kann also mil eine r idealc n reib ungsfreic n WEA (d.h. m il einem tra umhaft hohcn Wirkungsgrad 11 = I !) bestcnfalls 59% der im Wind vorha nde nen Energ ie nutzbar meche n.
Anmerkung: Aufgrund unverrncidha rcr Reibungsverluste und ande rer Ursac hen erre ichcn moderne Windkraftan lagen in Wirklichkcit ca. 40 - 50% Energ jeausbcute.
Baumtran sport im Wasserkana l
HeispieJ 6.56:
Ein Porstbct ricb transporticrt Baum smmm e zum Urnschlagplatz durch eiu en Wasserkanal von dcr Breitc b. Diesel' Kanal m iindct in ein cn undc rcn scnkrecht zu ihm oricntiertcn Kanul von del' Brcite c (Flic bnc hnmg in Kanalc n durch gestrich chc Pfeilc angcdc utct). Die Baurnstarnmc dtlrfcn cine bcsu mnu c Lange nicht ubc rschreitcn. da mit sic nich t an del' Eck e E fcstsitzcn. Bcsum mcn Sic die zulussigc Lange L des Baurnsta mrus (E inlluB des Baumstammdu rchmcsscr s wird vcrnac hlasvigt. d.h . del' Baumstamm wird marhematisch wie ci ne Lin ie behan den). Tipp: Drucken Sie d ie Bau mstammln nge als Funk rion des Winke ls a . Die kritische Uin ge ergibr sich als Extremum diesel' e -Funktlon.
e c= 6m
b =3 m
, L =LI +L2 =
dL
aa
b
C
-. - +-sm c ccs c
- b cos a ., sm- a
c sin a cos- a
+ --,-~
- b cos 3 a + c sin 3 a
,
sin-
a cos 2 a ,
aL ~ O
aa
Ian a =
b c
ta n a =
tan' a = -
if[
=> a =
38.43 9"
L=
3
6
+ = sin 38.43 9" co s 38 .439"
_IrE
V~
12.48m
250
6 Diffcremialrechnung
Hd spi d 6.57:
Auto in der KUI"\'e Rin AllIn (M ;l ""~ 1/1) fiihrt mil kon xta ntc r G c"e hw indi gk e jt \' in ei ne Slra""cn ku rve . d ie durch die Funktion y = 100 In x (x in Mctcrn und x > 0 ) beschric bcn wird. Die auf das Auto wirkendc Zcntrifu galkraft kann nach der Formc1 F = m v2/ p bcrcchncr worde n. Diose Kraft F ist rucht konstaru. weir der Kri.i mmunsradius p der Kurve vo n dcr momenrantcn Position des Wagens abhangt . Dcr Reibungsbciwen zwischen den Reifen und der Strasse bctragt u. Die Reibungskraft FR zwischen den Autorcifc n und dem Asphalt (Ri.ickhaltekraft l liissl sich nach der Pormcl FR P G P mg berechnen (g : Erdbcschleunigung).
=
m = 1500 kg
1' = 162 km/ h
p =O.7
=
g = 9.8 I m/s 2
Bleibt des Auto auf dcr Suussc oder kom mt es ins Schlcudem ?
Ldsung: Der Krumm ungsradtus p wird bcrcchncr OlUS
[I + l,.')2) ' / 2 p ~
- bJlf-
100
I
.r = - x
2] '-' [I+ (1.~Xl) , 100
~
(x2 + 1002) l.5 IOOx
\' = [62 kill /it = 45 m/s
Die groOte Zcntrifugalkraft F,,,,,t c rusteht fur F' = dF / d J; = 0:
F' = 3.0375· lOX(r + 1002) 1.5 - 3.0375 · lOX.r - 1.5 (x2 + 100 2)0.5 . 2x = 0 (x' + 100' 1' , 3.0375 · lOX(r + J( xY )O.5 (r + J()()Z - 3r ) F = (x2 + 1()()2)3 = 0
,
F -
-
3.0375 · IO" (x' + loo' j" ' (HXl' - 2" ) --- 0 (x2 + 1002)3 -
6. 14 Technische A nwendungen
Dcr Ausdruck C r + 100 2)0.5 in dcr lctztc n Glcichung ist stcts t 0, weil gc miiB aufgubc nstc ltung .r ~ gilt. Daher muss fo tge ndc Bedingun g gc lte n. da r nit F' = 0 er fllllt isr:
°
ICHi - 2 r = O
o:=> xl/I =J5(XXI = 70, 7 1 m
Die groBte Ze ntr ifuga lkraft tritt also an der Stelle x", = 70 .7 1 III auf. Nach Einsctzen dic ses Wert es in die G lcich ung flir F ergibt sich die Zcn trifuga lkra ft F,"'l< zu:
Die au f des Auto wirk en dc RUckha ltekraft aufgru nd dcr Reibung zwi schen Rcifen und Strate bctragt : FR=0.7 · 1500 ·9,81 = 10300 N
Das Auto kom mt in dcr Kurvc ins Schlcudcm . weiI F,"'l
FR.
lIeispieI6.58: Arbeit elnes Moments Die Biegehnie y des ei nseitig eingespanmcn Balken s unter der Ei nwi rkun g des auaere n Btcgemomcntes Mist gegcbcn durch M 2£ 1
\' ~f(x) ~- x'
.
y: verti kale Durchbiegung des Balken s
cp : Vcrd rchu ng des Balk cncndcs (rud] £ = 2, I . 1011 N /m2 (Elustizitlltsmodul]
1 = 1 ' 10 - 7 mot (Trngheitsmome nt) L = 6 m (Balkcnldngc )
Des iiulkre Bicgcrnomcnt lcistct wah rend dcr Vcrformu ng die Arbcit W = 1Mcp. Wic groGmuG das Mom ent M sein. damit die gcleistete Arbcit gc na u W = 3600N m bc tragt? Losung:
,
M
, i .ro». 10- 7 =
36(Xl
Drchwinkel cp am Bulkenen de:
I
W = 2M rp = 2 ,2
6M 2
.r = £1 .r
, 6M tn - r (x -- L ) -- 2, 1 . 1011 , 10'1' - . 7
o:=> M= 5020 Nm
251
252
6 Diffcremialrechn ung
Hd spi d 6.59:
Balken auf elastfscber Bettung Rin ela..tlsc h W' hl"ft l"h' r Iblk('o i..t ein sr-hlanke r Ralk pn auf eln ..tier-he r tlnlerl;lge (z.B . cin Strcifenfundarncnt auf Erdrcich. cine Bi..cnbahnschicnc auf Travcrsen). Wir bcuuc htcn cmcn solchcn lungcn Balken, dcr in dcr Mitte dutch ein Einzcl mom cnt Mu bctasrct wird, Nach den Gcscrzmsuigkchc n dcr tcchni schcn Mccbanik ist die Bicgclinie w(x) des Balkens durch folgcndc Beziehun g gegcbc n:
A2MO
w(x) = - k- e- AX sin Ax
L , "
W O Ll'I:l I\.
=
.IT V ill
E und 1 sind dcr Elastizu dtsrnod ul sowie das Traghe trsmomerudes Batkens: k ist die ela stische Bettungskonstanre. Ge sucht ist d ie maximale Durchb iegung des Balkens IUr die WertcMo = 3 · 106 Nrnrn. £ 1 = 1 . 10 11 Nm m", k = O.2 N/ mm 2 • Mit den Za hlcnwerten ergeben sich: A = OJXlO84 I und w(x) = 10.61 e- AX sin Ax (wege n Ubcrsichtlichkeit wird der Wert von A teilwcisc erst zum SchluB cin gcsctzr). Die maximale Durchbicgung crhah man wic fclgt: w' = 10.61 A e- A( (cos Ax- sin AX) = 0
,
::=> cos
,
(Position ucr maxirnalcn Durchbicgungj
Xo = 4A = 4 .0,(10084 1 = 933,9 mm \I '",,,x
= 10.6 1 e -
.\.X(l
Ax = sin AX
sin AX(J = 10 ,61 · 0.4559 · 0.707 1 = 3.42 mm
,
o
2000
4000 - 6600
x
8000
f 0000
6. 14 Technische Anwendungen
Heispi d 6.60:
253
Sch wlng ungen
Gcsucht is! die mcmenrune Gcschwindigkeit cines Einmasscnschwingcrs. desscn Schwingweg durch folgende Funktion gegebe n lst. .r = f(t ) = A sin(wl + ¢ )
momcntaner Sch wingweg Amplitude dcr Schwingung (Skalar) Eigenschwingungsfreque nz des Schwingers (Skalar) Phasenvcrsch tcbung der Schwingu ng (Skalar) Zeit
.r
A W
¢
Die rnomcntanc Geschwindigkeit wegcs f(t ) nach dcr Zeit I :
I'
cntspncht dcr crs ren Ableitung des Schwing-
. dr I' = X= -
dl
Substitution:
II
=
WI
+¢
::::}
x = f (u) =
A
sin II
dr d (A sin u) du d(wl + ¢ ) - = = A cos lI - = = W du dll dt dt dr dr du I' = :i" = - = - - e x cos« . W = A w cos(Wt + ¢ ) dt dll dl Heispi eI 6.61:
Sch wlng unge n
Die Schwingung cines Fcmschturms ist durch die Glcic hung .r = 0.2 e- 0 .11 sin 21 bcschric ben (x ist der momcntanc Sch wingwcg der Turmspitzc in Mctcrn und t die Ze it in Sck undcn) . Zu welchem Ze itpunkt to wird die Gcschwiudigk eit der Turmspitze zum ers ten Mal nach Eiusetzen der Schwingung gleich Null? Ldsung :
Die Geschwindigkcit entsprict udcr erst rn Able itung des Schwingweges nach der Zeit: .i' = _ 0.02e - O.11 sin 2t + 0.4e - O.11 cos 2t
:i" =
1' -0.11(-
0.02 sin 2t + 0.4 cos 2t )
Die Gcschwindigkcit ist Null, wenn
----"
e-O,I I (- 0. 02 sin 21 + O.4 cos 21 ) = 0
::::} tan 2t = 20
::::} 2t = arctan 20
::::} - 0.02 sin 21 + 0.4 cos 21 = 0
2t = I ,52
to = 0,76 s
254
6 Diffcremialrechnung
Hd spid 6,62:
Balken - ~d enk ig gelag ert bzw, elngespannt
Fi n e infd d rige r Riege halk pn i...l lin ...eiu e m linken F nlle gelp nkig gd llgpl1 lind a m rech -
ten Endc cingespannt. Die Bela...tung ist die konstantc Streckcnlast q . Ocr Verlauf des Bic gcm omcntcs M und dcr Durchbiegung II' uhcr d ie Balkenlangc ist durch folgcndc Glcieh ungen gcgcbcn. Gcsucht ist dcr Grearwcn des Bicgcmomcms und dcr Durchbiegung.
f.ji.I'UIlK:
Die Position .1.'M des greaten Moments M","-, lasst sich aus der I. Ableitung bestimme n:
, 912(3 - - 2,) f2
M (x ) ~ -
2
4{
=> .1.'M = 0,375 1
~ O
Das maximalc Bicgcmomcm bctragt dann:
_ £1/2 ( 3 '0 ,3751 2 4/
M
",,,r -
(0.3751)' ) _ -"- 12 f2 - 12S Q
Die Position der groute n Durchbiegung lassr sich aus folgender Bcdinguug bcrechuen:
,
ql' (1- f2 9.-' 8X' ) + J3 = 0
11' (.1.' ) = 48£ 1
Die Nullstelle diese r Funktion so li hier nicht analytisch, sondcrn numerisch bestimm r werdc n. Hierfur soil des Newton-Verfahren bcnutzt werdcn. Die Funktiou, dcren Nullstelle gesucht wird. lautet:
/ = (9. .-' + J38X') = 0 1- f2
I (x ) = "' (x)
r(x) = w"(x) = (1& , -24.,-,2) - - ,-+ I-
Die Newton-Iteration wird tabellarisch durchgeflihrt: i
0
1 2 3
.1.'; /1 0.200 0,467 0,420 0,422
1;-11'; If - w;' 0.704 -0. 147 0.005
-
-2.640 -3.173 -3.333
-
::::} Nullstcllc: x , = 0,422 /
I-
6. 14 Technische A nwendungen
Die groGle Durch bicgu ng des Balkens bctragt:
. _ . _ ",~ (0 ,4221 3(0,422 )3 2 (0,422 l)~) 2 ",~ u"uu - u (x,) - 48£/ - 1- /3 + I~ = 369 £ /
lJeispieI 6.63: Llnea rfsler ung in der Mechanlk In vielen Gcbic tcn der Physik, z.B. in der Meehanik (niehtlineures Tragverhalten, Optimierung), Steuerungs- und Regelungstechnik. Flugmechanik spielt die Linearisierung einer Funktion eine wichrigc Rolle. Of! iSI die Losung des Problems in geschlossener Form nicht erreichbar. Eine Nnhcrungs losung lasst sich ober meistens iterativ erreichcn. indem die unabhnngjge Variable, z.B. die statischc Belastung F, in kleinc Tc ilbctragc tlnkremente ] unterteilt und die endguhige Tragwerksaruwort (abhiingige Variable y ) als Summe von entsprcchcnd vielen Verformungsinkremelllen bercchnet wi rd:
Y = 6.YI + 6.Y2 + . . - + 6..\'"
255
256
6 Diffcremialrechnung
6.15
Aufgaben
I. Gesucht is! die I. Ablcitungv' folgender Funktioncn (u isl cine Konsrante). a)
~ 1 4 2 sin .r Lsg: y' = 4 · 5x - 2 Ianx - - = 20x - - cos! .r cos! X
y = 4.r'i _ 1an2x
/ _ 5 - 10x 2 Lsg: -' - (2x2 + 1)2
5x h ) y =2\,2+ 1
LI'g: y' =2 cos (5x + 3) · 5 = lOcos (5x+ 3)
c) y = 2s in (5x +3 ) d)
2 .If'! 41'l v = - - 3 +3vx 2 + 4vx3 . x
e) y = ln2 x
g)
y = In(lunx)
h)
Y~ . -
.
Lsg: y' =2 1nx
n y = In(cos x)
6
2
.0
"iYX
L I'g: \,' = -+ -
LI-g: y' =
1
2 1nx
x
x
_-:,:'"in",(x) =- Ianx cos(x)f 1
----=
cos .r SHU :
bzw.
k)
y = ';sinx
I)
y= e'u2
---'-dt
23. Best im men Sic die Geradenglelchung dc r Tangente dcr Funk tion .v = e- :?
I + 3.v 2y - 4 x · I + 0 + 1- 0 =r +6xy - 4x + 1
z,« = 2 · I 'J + O- 0 + 0 = 2y
z..,).= O+ 6x · 1-
0 + 0 = fir
z.ifTerentia l \ '011 Fu nk tionen mit zwei unabba ngige n Variablen
Zunachst wird einc Punkrion z = [ (x ,y) mit zwei unab hnngtgen Variab1cn betrachtct. Wie bcre its auf Sci tc 263 ertautert . reprnsenttcrt dle se Funktion cine FHiche im 3D-Raum. Ferner wird angeno mmcn. dass diesc Flacbe gek rtirnrnt sc i - also wie die Oberttache etnes LufthalIons. Ferner wird ciu -will kurlich gewdhlte r- Punkt P auf die ser Flache mit den Koordinaten P = (xo. Yo. zo) bctrachtct. vgl. Bild 7.5. Es soil bcrechn ct werdcn, wie sich die z-Koordinate andcrt. wcnn sich die aktuclle Position auf dcr gckrtl mrntcn Flllchc vom Punkt P 7U einern infinitesimal bcnach bnrte n Punkt Q bewegt. Die .ej-Kocrdi natcn des Punktes Q unterscheiden sich VOIl dcnen des Punktes P nur um differenzielle. d.h . infinitesimal kleine , Bet rage dv und dy. Es gilt also xQ = Xo + dt und YQ = yo + dy. Hinweis: Die infinitesimale Nac hba rschaft von P und Q ist nur in der .ry-Ebene definie rt. In Richtung dcr z-Achsc brauchen sic nicht infinitesimal henachbnrt zu set n. Die z-Koo rdinatc des Punktes P erg ibt sich aus ze = [ (xo .Yo ) . Wegen der infinitesimale n Nachbarscha ft zwischen P und Q befind ct sich dcr Punkt Q auf dcr Tangcntialcbcne des Punktcs P. Mit Hilfc dcr GI. (7. J I) kann d ie ::-K(xlrdin::1, .>::2, · · · •.>::,, )
crg ibt sich des totalc Differential fU r den Absta ndsvektor dr aus dem folgenden Skularprodu kt:
ds e grad u . dx =
(7.26)
ode r m il Hilfe des Nab/a·Ope rators:
(7.27)
Richtungsableitung
7.8
Wen n die Ableitung eine r Funktio n mi t mindcsten s zwe i unab ha ngigc n Varia blen in ci ner ga nz be lieb igen Ra umrichtu ng bcrec hne t werden so li, leistet der G radient schr nutzlich c Dic nste. In Bild 7.7 isl beis piclsweis e im Punkt P die Steig ung dcr Plnchentangent e in Richtung des vekrors m ges ucht. Es ist also erforderlich, die ers te Ableitu ng der Fu nktio n z = / (x,y) in Rich tung von m zu berechne n. Dieser vorgang w ird Richumgsahleitung gcuannt:
iJl
-
dill
(A bleitung vo n / in Richtung von m )
Die Richtungsableitung ist also ein Mall fllr d ie Anderungs rate ei ncr Fu nktion in ci ncr vorgcgcbcne n Richtung.
a) Rlchtun gsab leitun g fur den Fall lm i = I Die Richtung, in der w ir d ie Ablchu ng dcr Skalarfunkuon bcrechncn wolle n, sci durch den Ei nhcitsvcktor m, d.h. Lange Iml = I, gcgebcn:
m ~ [ m, ] Ill,
lm l ~
m, m
(7.28)
b) Rlchtungsablelt ung fur den Fa ll jml -:f:. I Es kann mituntcr vorkommcn, dass dcr Rich tungsvckto r m kcin Einhcitsvcktor isr. d.h. Iml =f. I. In die scm Fall muss m zunachst norm icrt (odcr »normalisic rt«) worden (vgl. Abs. 4.9.1. Scitc 140 ). Der nornuc rtc Vek tor m* ergibt sich aus:
• m m ~ Iml
mit
Im' l =
I
Die Richtungsablcitu ng im Richtung von m* (und folglich m ) wi rd dann bcrcchnct aus: -Jj = grad j ·m' = gradf · -m
am
1m!
of
om
gradJ · m ~
fur Iml =f. 1
Iml
Z- f(K.y)
-- I
, Bild 7.7: Zur Ablcitung in Richtung des vektors m
(7.29 )
7.R Richtungsahlcitung
Heisp id 7.31: Fiirdie darg(,sl('l1te Phir-he Z = j ( x, y ) =
a
? + y2
293
[Parahnlnid) sn ll de r Sl l.'ig u ngswinkd
dcr Tangcntc am Punkt P = (1: I: 2). dcrcn Projcktion in der .ry-Flllche para llel zum Vektor m = i + j ver lduft, bcrcchnct worden.
z
y
p,
'I
y
x
m=i+j
m=i+j
x Dcr Gradi ent dcr Funktion tauter (vgl. Beispiel 7.29 ):
Eine Normierung des Richtung svektors mist erford erlic h, weil Im [ i- I.
m = i +j
J , ~g"d, . m ~ _ ' Iml .,fi
a",
[2,]. (i + j)~ _.,fil [ Ix] 2y
2)
[ ] ~ v'2(x +y)
Am Punkt P = ( I ; I; 2) ergibt sich der Ste igungswinkel a der Flache in Richtung von m zu:
tan a =
a=
aIII'i/'
-a""
= v'2 (xp +yp ) = h ( I + I) =2,8284
arcta n 2 ,8284 = 70,5 0
Rtchtungsableltung im IID-Ra u m Es muss sich nicht zwangslaufig immer urn ei nen 3D-Raum handcln. d ie Richtungsab leitung lasst sich auch in cincm bclicbigen IID-Raum fur die Skalarfunktio n /I = j {XI ,X2, . . . , x,,) definicrcn . In dic scm Fall ist cine raumlichc Vorste llung dcr Ablcitungsrichnmg allcrding-, nicht rnchr rnoglich , man muss sich dan n die Funktion im Sir mc cincr Hypcrfl achc vorstcllcn. s. Scire 263 . m = [1111,1112" , . •"'II ]
Iml =
"'i +III~ + .. . + III~ = 1
294
7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuoncn
Das wc itcre Vorgehcn crfolgt ge mab Glcichung 0 .28).
Nivcaulinicn und Nivea uffac hen
7.9
Nivea ulinicn und Niveuuflac hcn c iner Ska larfunk tion gcbcn di e Gesamthcit dcr Pun kte wicdc r. an dencn die sc Skalarfunkt ion ctncn kon stant cn Wen annimmr.
7.9.1
Nivea ul tnle n
Die Funktion z = f (x,y) beschrcibt cine bclicbig gekrunur ue H ache irn 3D-Raum. Bild 7.8 zeigt als einfachcs Beis piel cin e solc he Fllichc in Form eincs Paraboloids. Die sc Flfichc soli nun du rch ei ne zweite zur xy-Ebene parallcle ebe ne Flflche ::: = c geschniucn sein (c ist ein skatarcr Wert). Entlang der Vcrsch ncidungslinic ble ibt die Hohcnordinate dcr gekr iimmten Flachc konstant. Die vcr sch ncidu ugskurvc wird durch die Glci ch ung f(x,y ) = c bcschricbcn und wird als Niveaulillie {auch Hohcnlinic bzw. lso linic gc nannt) bczcichnct. Niveaul inic n im 3/J -Raum sind auf
o
-z
o
,
Hild 7.S: Sc hniuk urvc cines Paraboloids als Niveaulin ic
Skalarfunk tionen mil 2 unabhan gigcn Variablcn bcsch rankt. Sie sind Linicn . auf der aile Punk te mit dcm g leiehen Wert de r Skalarfunktion liegen. Es ist zwec kmul lig, sic h die Niveaulinic dc r Funkt ion z = f (x .y) auf die xy- Ebcne proj cziert vorzustcllc n. Die Bcsch reibung d iescr Linic kan n ex pliz it odcr implizi t erfolgen:
If (x ,y) - c I
bzw,
IF(x ,y) -
f (x ,y) - c - ()
I
Niveoulinie
(7.30 )
Niveaulinien kennt man im Alha g z.B. in Form von Hohenlinien in tcpografi schen Landkarten lsob urcn in w enerkarten (Linic n g leichcn Drucks) lsoth crmcn in dcr Buuphysik (Li nien gleicher Tempcratur) Ueispiel 7.32 : In Bild 7.9 ist ein elliptisches Paraboloid da rgestellt , das math cmatisch durch die G leichung z =.~ + y2 gege bcn ist. Dic ses Parabo loid cnrsteht durch 360 "- Drchung der
7.9 Nivcuulinicn und Niveaufl uchen
Kurvc z = .,..1 urn die z-Acbse und wird aJlgemein auch als mtationssymmetriscne Fluchc bczcic hnct. Die Nivcaulinicn dicscs Paraboloids ergcbc n sich aus dcr Bedin gung, dass dcr Funktionswcrt konstant blcibt:
f (x. y ) = .r +y2 = c Der Wert der Konstunte c hdngt vom aktuelle n Problem aboDie ob ige Gleichung der Niveaulinie n bcsitzt die Form einer Kreisgleichu ng. d.h. jede Nivcaulinic e ntspricht einem in dcr .rj- Ebcne liegenden Kreis vom Radi us r = .jC. r
,
" c
-,
"
,
-,
~~~ 0 = _ e - 4 . gJ .O.l + 3e - 4 . g2 .1y
d::: = O
=> .1y = 0 .2667
Wenn d ie aktuelle Position slch um den Betrag .1x = 0 .1 in .r-Richtung ande rt. muss man glelchzeitlg eine Posltto nsanderu ng in y-Richtung um den Betrag .1y = 0 .266 7 vomc hmc n. darnit d ie Hohc nord inutc z unverandert bleibt. Die cxaktcn Hohcnordinatcn an beidcn Postnonen sind :p ~ f (4; 8) ~ 9.3 776
' Q ~ f (4 . 1; 8.2667) ~ 9 .3624
Dcr relative Fehler der lincurisiertcn Bcrcch nung bctragt :
Erel =
lIeispi eI 7..a6:
9.3776 ~ 9 .3624 1 ·:\ = 0 .00 16= 0. 16% 9 .• 776 1 Totales DilTeren tial ( vol ume nanderung)
Ein zyli ndrischer Behlilter bcsitz r den Radius r = 3 m und die Hohc 11 = 8 m . Bercc hncn S ic mit Hilfc des totalcn Differentials die v otumenanderung des Bchaltc rs, wenn man d ie Hohc O.IOm vcrringcrt und glcic hzcitig den Radius urn 0. 3 m crhoht. Bcrcchnen Sic den rc lativen Fchlc r Ihrcr Losung gcgc nubcr dcm oxakten Wert dcr Vofu memtndcru ng.
Ldsung: Dus Volumen cines krcis zylindrischcn Bchahc rs bctragt V = 1Trli . Das totnlc Different ial des Volumens lautct:
av
av
dV = Jr dr + 7ih dh =21rrll dr + 1r?dh Mit den gcgcbcncn Za hJcnwcrten ergibt sich die lincarisic rtc Volu mcn andcrung zu:
,
,
dV = 21r ' 3 ·8 · 0.3 0 + x - 3- . (-0. 10) = 42.4 12 '11"
Die exuktc Volumcnandcrung crgibt sich aus dcr Diffcrcnz dcr Volumina vor und nach dcr Andcrung der gcomct rischcn Abmcssungcn: Volumen vor Andcrung dcr MaBe
VI = 1r(r +dr)2(h + dll) = 1r{3 + 0 .3)2(8 - 0 . 1) = 270.274 rrr' .6.V = VI - Y{) = 270 .274 - 226. 195 = 44 .079 rrr'
Relativcr Fehler:
£
r
~
Id V - 6 V 6V
I~
Vol. na ch Mullanderu ng
vclumcnandcrung
142.4 12 - 44 .0791 = 0 0378 = 3 78% 44 .079 . .
30!!
7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n
Hdspid 7.47: 'Ietales Differentia! (Bewegung) Einc raumlich gc kriirnrn te Ftacbc im 3 D kart cvischen Koo rd inutc nsycte rn ist du rch d ie Glcichung :(x , y) = 5 In{2.t.2+ l ) gcgcbc n. Am Punkt P = (5; 6; 22.27) auf dicscr Flachc bcfindet sich cin Kerpe r. Nun bcwegt sich dcr Kerper urn 0.7 Langcneinhcitcn in x-Richtung (d.h . dr = 0,7). Bcrecbncn S ic mit Hilfe des totulcn Differentials. um wicvic l Einhciten sic h dcr Ke rper in y- Richt ung bcwcgcn m ussrc (dj- = ?). damit seine Hohc z unvcrandcrt blcib t. Losung:
=> dz= 2 ~
5
~(4x d\' + 2.\' dy )
\'~ + y ~
20
d: =O = 2 5~
. - + 6~. (4 . 5 .0 . 7 + 2 . 6 . dy)
=> 4· 5· 0.7 +2 · 6 ·dy = O
dy = -l,l 7
Beispiel 7.48:
In var iant. des hydrostatt scher Druckes Hvdrostanscner D ruck. In cincm kreiszylindnschcn Schaller bcfindct sich cine Flussig kcu. Die bydrostatischc Druck vcrtcihmg kann im kartcsischcn .eyz-Kooordinatcnsystem odcr im zylindrischen r tp: -Koord inatcnsystclll bcscbricbcn werdcn: p = g(r. tp. z),
p ~ f(x, J, ' )
Mcssungen zeigen. dass dcr hydrostaus che Druck an eincr bclicbigen Behalterposinon nur von dcr Ftusslgkeirshohc abhangt und nicht von dcm verwcndctcn Koordinatcnsystem. Deshalb liefem die beiden Gle ichungen obc n stcts den gleichen Druck. Oil.' hydrostatische Druckfunktion p ste1 lt also ein Skularfeld dar. das invariant gege nuber einer KS-Transformation bleibt.
Hdspid 7.49: Invarianz des Ahsta nds zwischen zwei Punkten Es werde n zwei Punkte P = ( X l . )' l. zr) und Q = (.\'2 •.\'2 , .:':2 ) im karteslschcn Koordinatcns ystcm bctruchtct. z
, Q
t,
,
,
, Der Abstand L zwischen ihnen wird durch folgende Skalarfunktion bes tirnrnt.
7. 11 Zusarzfiche Bcispicle
}09
Ocr Abstand L musstc nach Erfahrungcn des Alltags vollig unabhangig davon sein. in welchcm Koordina tcnsystcm die Punktc P und Q dcfinicrt sind. Es soil in dicse m Beispiel ubcrprtlft worden. ob L tatsachlic h invariant gcgcnuber cmcr Koordinatcntra nslation. d.h. Parullelvcrschicbung des Koordtmucnsystcms. ist. In einern neuen kartesischen .t y I- Koordina tensystcru. des gegenubcr dem .evz-System um die Betrnge d . b und c parallel verschoben ist (jcweils in positiver Richtung der Achsen .r. y und z), besitzen die Punkte P und Q folgende Koo rd inaten:
Ocr Abstand L im .t YZ- Koordinatensystcm crgibt sich zu (s. Scitc 185):
L = V (X2 - XI )2+ (Y2 - YI)2 + (Z2 - zd 2
= / [(X2 ~ ,,) = V (X2 -
~ IXI ~,, )J' + IIY, ~ b) ~ (YI ~ b)J' + [I" ~c) ~ III ~ c)J'
xil 2 + (n - yd 2 + (Z2 - zd 2
Ocr Abstand L im .ty ::-KS ist also identisch mit de m Abstand cr ist invariant gegcniiber Koo rdinatcntranslation .
Bejspl el 7.50:
L im .rj'z-Sys tem. d.h .
Gesc hw indigkeitsfdd ist kein Ska la rfeld
In dicscm Beispi el wird gczcig t. dass d ie Geschwindigkeit c ines sich bcwcgcndcn Korpcrs kein Skalarfeld durstellt (s. Bild 7.( 4 ), Es wird cine kreisfc rmige Scheibe vom
z
,
y
Bild 7.14: Gexchwindigkeit einer rorierenden Scheibe
Radius (/ betrachtet, deren Mittelp unkt auf der z-Achse liegt tz-Achse steht senkrecht zur Scheibe), Die Scheibe rotiert mit konstcnuer Winkelgeschwindigkeit w urn d ie zAchse (in positiver z-Riclu ung gcse hcn erfolgt d ie Rotation irn Uhrzeigersinn), Es soli untcrsucht worden. ob die Geschwin digkcit eines Masscnpunktcs P am Scheibc nrand invariant gcgcnubcr dcr Wahl des Kcordinatensystcms ist. Die Umfangspos ition von P isl d urch den Winkel f/l. der von der .r-Achsc aus gemessen wird. eindeutig bestimnu. Der Winkel f/l ergibt sich aus dem Prod ukt der
3 10
7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuon cn
Winkclgcschwindigkcit
W
und dcr verstrichenen Zeit t:
cp = W I 1m zylindrischen r cpz-Koo rdinatensystem ist die tangentlale Bahngcschwindigkc it de s Punktes P in Umfangsrichtu ng unabhan gig vo m zurilckgelegten Winkcl cp und ergibt sich aus folgender Formcl: 1'/ =a W
(\'/ : tangcntialc Bahngeschw indigkcit in e -Ric bum g)
1m kartcsischcn .rj-z-Koordinatcnsystcm sind die Gcschwi ndigkenskomponcn ren \'.. und \'y durch folgendc Beziehungen gegeben: I'.T = - 1'/
\'.1'
=
1'/
sin cp =
cos cp =
- (/ 00
(/00
sin cp = - aw sin Wt
cos cp =
(/00
cos Wt
(Gcschwi ndigkcit in x-Richtung) (Geschwindigkeit in y-Richtung)
Aufgrund dcr Ausdru cke sin Wt und cos Wt boxitzcn die Gcschwind igkcitcn I'.T und l'y zu vcrschicdcncn Zcitpunktcn vcrschiedcn c Zahlenwcnc. d.h. die Geschwindigkcit des Punktes P stcllr kcin Skalarfeld dar. Auch aus dcr Kinematik (ein Tcilgcbiet der Meehanik) ist wohl bekann t, dass Geschwindigkeit kein Skalar sondcrn ein Vektor ist (man spricht vom Geschwindigk eitsvektor s, folglich kann auch kcin Skalarfeld vorliegen.
Heispi eI 7.51:
Ort hogo nau tat zwischen G ra dient und Nina ulinie
Die Funktion .~ + )'2 = e stell!einen Kreis in der xy-Ebcne dar. Es sel l gczeigt werden, dass dcr Gradient d iescr Funktion stets orthogonal. d.h. senkrecht. zum Kreis gerichtet ist (vgl. auch Beispiel 7.34). Ocr Gradie nt dcr Funktion f (x.y ) = x 2 + l
lautct:
g"df ~ [ ~ ] Ocr Tangcntcnvektor 1 dcs Krcises lautet
. /
~x
. = c~~ ";e _ x2
nut \'
Oer Gradi ent steht nur und nur dann orthogonal Win Kre is. wenn dus Skularproduk t des Gradientcn und des Tangentenvektors an den Kreis fur jcdcn bclicbigen Punkt des Krcises glcich Null ist. gradf · ' = 2r · I + 2),' ( - x/ V e - x 2 ) = 2 r · I + 2),' (- x/)') = 2x -2r = 0 /
7. 1J Zusarzfiche Bcispicle
Heisp id 7.52:
31 J
Rlcht ung sab leit ung
=.r
=
FUr das dargestellte H ache z + i (Paraboloid) soil am Punkt P ( I; I ; 2) die Steigung der Flache in Richtung des Vektors m = i - j berech net wcrden. Der Gradient dcr Funktion z = f (x.y) = .?
+/
lamer (vgl. Beispiel 7.29 ):
z
J
y p
grud z ee
,
[::, ] ~ [ ~] y
, Eine Norm ierung des Riehtungsvektors
m isl crfordcrlich. weil Iml -#
I.
Die Ric htungsableitung von z in Richtung vo n m ergibt sich zu:
a, _gmdImlz,m -_ _'J2 am -
[2x2y ] , (i - j') -_ _'J2 [2 ,], [- 'I ]~ J22 (.< - )') 2)'
Am Punkt P bcrrngt die Steig ung in Richtung von m :
a = arctan 0 = 0" a = 0 0 besagt. dass am Punkt P die Fluche in Richtung des Vektors m Null Stcigu ng besitzt.
uetsplel 7.53:
Richtun gsa bleit u ng
Die Funktion z = [ (x . y ) = IOOO e - (·r +.,.1 l/ 20000 soil das Hchenprofll cin es Berges beschreiben. wobci .r die Koordinate in w cst-Ost-Ric htung und y die Koordinate in SUdNord-Richtung und z d ie Hohcnordi nate bedeuten sollen. Die r noruentane Position sci P = (x, y ) = (50,50 ) . die Hohcnord inatc am P helragt also z = 1 ()(X) e -( 5(~ + 5()2 )/2(Km = 778 .8//1 .
Gcsuch t ist die Stcigung des Bergs am Punkt P in zwc i vcrschicdcncn Hirn mclsrichtungcn :
3 12
7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n
, a) Ric htung We.f t-Os/ hj Richtu ng Siidwest-Nordast
Zur Bcrcchnung des Gradicntcn worden die partiellen Ableitungen gcbildct:
Daraus ergibt sich dcr Gradient zu: grud z = Z.x i + z.).j = - 0,1 e- (r +.l,2 l/ 2(KIW(x, i + v' j )
Am Punkt P = (50; 50) lautct dcr Gradient: l
grad f (P) = - 0.1 e - (5(j2+50 l /2IKKKl (50 , i + 50· j ) = - 0,0778 (50 · i + 50 , j ) = - 3.894 (i + j )
a ) Richtung West-OH: Dicser Himmcls richtung entspricht folgendcr Richtungsvektor m :
m = l · i + O· j = i Die Steigun g und der Sieigungswinkcl am Punkt P in w est-Ost-Rich tung ergeben sich zu:
~f
0 111
(P) = gradf (P) , m = - 3.894 (j +
n-! =
- 3.894 + 0 = - 3.894
::::} a = arctan( - 3,894) = _ 75.6° h ) Richtung Siidwest-Nord ost:
Dcr dic scr Himmc lsrichtung cntsprcchcndc Richtun gsvcktor lautct :
m = l ·i + l ·j =i +j Der Vcktor m ist kein Binheitsve ktor, so dass eine Normier ung erforderlich ist:
m'
~ 1: 1~
::z ~ 0,707 (i +j )
Die Steigung und der Steigu ngswinkel am Punkt P in Sudwest-Nordost-Rlchumg
7. 1J Zusarzfiche Bcispicle
sind da nn:
J
amJ (P) ~ gmdJ (P) ·m' ~ - 3.894 (I + j l ·0.707 (I + j l ~ =}
- 3.894 ·0.707 (i + j ) . (I + j ) ~ - 3.894 ·0.707 · 2 ~ - 5.51
a =arctan (-5.5 1) = -79,T'
Allmerklmg: Die Sudwcst-Nordost- Richtung ist also mit cincr gcringfUg ig groBcren Stcigung vcrbundcn als d ie w cst-Ost-Richumg . Die ncgativcn Vorzciche n dcr Stcigu ngen ruhre n aus dcr Tatsac he, dass dcr Richtun gsvektor m j ewcils in positive Koordinatcnric htun gcn zcig t und bci Bewcgung in dicscn Richtun gen die Hohcnc rdinatc des Berges abni mm r. Heispi d 7,54:
Rlch tungsableltung
1m 3D-Raum ist cine Flilche durch d ie Glci ch ung z = [ (.r.y) = x 3 - .~y +xi + xy gcgcb cn. Wir bcfindcn uns auf dcr Flachc am Punkt P = (2: 3: 20 ). I. Berechnen Sle den Steigungswink el dcr Flachc z = [ (x. y ) in R ichtung des vektors m = - 3i + 4/ Lasung:
grad[· m
(J[ ~
(Jm
Iml
,
!.,. = - x-+ 2ry+x
f.r =3~ -2ry +y2 +y
f ,x{P) = 3 ·4 - 2 · 2· 3 + 9 +3 = 12
gradf =
f.y(P ) = - 4 + 2 · 2 · 3 +29 = 10
2 [f'] ~ [ 3X - 2\"y+ i +y] h - .r+ 2ry+ x 1
gradf (p ) =[J,, ]
t,
p
~ [ 12 ]
I ml~ V/( _3)2 +42~ 5
gradf. m = 12. (-3 }+ 1O .4 = 4
10
aJJ ~ 4/5~ 0.8 11/
Ste igun gswink el der H ache in Richtung von P :
Heispi el 7.55:
a = arctan 0 .8 = 38.66°
Rich tungsableitung
1m 3/J- Raum ist cin e Fliiche durch d ie Glci chung z = f (x.y) geg chcn. Ermittcln Sic am Punkt P den Stci gungswi nkel a dcr Flachc in Richt ung des Vcktors m.
z= f( x. y)= x sin(2r+2y)
p = (xu:Yo: :'0) = ( 1C / 2: 1C / 2: 0)
m = 3i + 4j
313
3 14
7 Diffcrentiulrechnung fur multivariuble Punkuonc n
Losung:
af
alii
gradf · m ~
gradf = f .1i +/.\.j
1m]
/. ,. = 2x cos (2 \" + 2y)
/.[ = sin(2\' + 2)') + 2 \" cos (2\"+ 2y )
f ., lp = sin(1t+
Jr)
+
Jr
cos(1t+ 1t) = 0 +
gradf lp = Jr i +1t j
1t
/.yIp = 1t cos(7t+
= Jr
Jr)
= n
gradf · m = Jr · 3 +1t ·4 = 71t
af
ex = arctan 4.39823 = 77. 19
0
.,~ 7 " / 5~ 4 .3982 3
am
IJeispieI7.56: Nermalenvektor zur Ntveaulinle bzw, Nivea utta che Mit Hilfe des Gradienten soli der nonnierte Normatenveuor n am Punkt P zur je weiligen Niveuulinie in dcr xy-Ebcne bzw. Nivcuuflllchc im .ryz-Raum bcstim mt worden . a) ...-2 +y1 = 25
P = (3;4) Gesucht: Normalcnvcktor auf dcr Niveaulinie am Punkt P. f (x . y ) = .\1
+i - 25 = 0 grad f {P) = 6 i+ 8 i
gradf =2x i +2y j
Igmd f (P)I ~ } 6' +8' ~ 10
Ncrmulc nvcktor am Punkt P: grad f
6i+ 8j
Igmd fl
10
n ~ -- =
O.6 i +O.8 j
b) ...-2 +)'1 +:::2 =32 P = (4;4 ;O) Gcsuch t: Normalcnvektor auf dcr Nivcauflttchc am Punkt P.
gradf = 2x i + 2)' j + 2;:: k
gradf(P) = 8 i + 8 j + O·k = 8 i + 8 j
Igmd f (P)1 ~ } 8' + 8' ~ Vl2S
:::} n =
8i+ 8 . ..jli8J = O.707i + O.707 j 128
IJeispieI7.57: Normalenvektor Bereehncn Sie mil Hilfe des Oradtcntcn den normierten Normalc nvcktor. dcr scnkrccht sreht zur Kurve y = f (x ) in dcr xy-Ebene bzw. zur Flachc z = f (x, y ) an dem angegebe nen Punkt P. a] Y ~f(x) ~ Jx'
f (x,y) = H
P ~ (l ; I )
- y=o
gradf =
~0 i - j
gradf (P) = l,5i - j
7. 1J Zusarzfiche Bcispicle
1.5 i - j
Normalenvektor: n =
0.832 i - 0.555 j
.,13 ,25
h ) z =[(x ,y ) = x 2 +y2
P = ( 1: 2:5 )
[ (x.y) =.~ +y2 _ Z = O
Normalcnvektor: n =
grad[ = 2d + 2y j - k
2 i +4 j - k "" v 21
grad[(P) = 2 i + 4 j - k
0,4 36 i + 0,873 j - 0.2 18 k
Extremum Beispiel 7.58: Zcigcn S ic. dass d ie Funktion z = [ (x. v) = _r' + )'3 - 6.Ty ein Extremum an dcr Position P = (xo.Yo) = (2,2) bcsuzr. Um wclc hc Art von Extremum handclt cs sich dabei? Ldsung: Wenn die Funktion em Extremum an dcr Stelle P bcsuzcn soli. dann muB sic d ie dafur notwcndigcn Bedingungen (7.32) crfullcn:
I., ~ 3..-' -
6,.
[.x(P) = 3.~ - 6yo = 3.2 2 - 6 .2 = 12 - 12 = 0./
h =3/ - 6x
f ,·(P) = 3Yl - 6.To = 3 . 22 - 6 · 2 = 12 - 12 = 0./
Es Iiegt also am Punkt P tatsdchlich ein Extremum vor. Die Art des Extremums laBt sich mit Hilfe des Entscheid ungs krite riums (7.34) bestirnme n: I n = 6x
[oX)' = - 6
1-1'.'" = 6y " 12 = [ ....,·11') =-6
12 - 6
- 6 1= 108 12
/) > 0.
hl l
>0
I
=> Minimum bei
pi
IJeisp ieI7.59: Extremum Bestimmen Sic d ie Extrcmwcrtc der Funktion z = [ (x ,y ) = .f~ + )'4 - 4xy an allen in Frage kommenden Stcllc n. Lii.\·/IIl X:
I» =
4r - 4y
/..,. = 4l -4x
I o:y =-4
[.A,( = 1 2~
Die ErfU llung dcr notw cndigcn Bedingungcn (7.32) fllr cin Extremum licfcrt: Ir = 4x~ - 4y = O
=}
y= x3
Substitution diescs Ausdrucks in I.,. licfcn:
1.,-= 4y3 - 4x = 4{x 1)3 - 4x = 4x\l- 4x = 4x(x H Aus x a = I folgen: Substitution vo n XI ,
X2
= I
X2 , X3
X3
= - I
I) = 0
=> XI = O und x H = I
(d ie anderen Wurzcln sind nicht rccll)
in y = ).3 liefert : )'1 = {)
Y2 = 1
Y3
= - I
315
3 16
7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuoncn
Als mog hc hc Position en fur Extrcm wertc kommen also 3 Stellen in Frage:
P., =
(X3,Y3) = ( - I ; - I )
An die sen Stellen worden die Entscheidu ngskdterten nach (7.34) uberp run. Position PI : f..u (O;O) = 12 · 0 = 0
f. )y{O;O) = 12 · 0 = 0
D = I _~ -~ 1= - 16 Position
Sci PI liegt ein Sauelpunkt vor :
y(PI) = 0
~:
f.,,( L I ) ~ 12 ·1' ~ 12
D = I ~; ~~
Bei ~ liegt cin Minimum vor :
1= 128
Y(I'2 ) = - 2
p:,:
Position
1....\"( 1; I ) =-4
f".( - I ; - I ) ~ 1 2 . ( -1 ) ' ~ 12
D ~ 11- 42 Bdspiel 7.60:
- 4 1= 128
y(P., ) =-2
Bei P:; licgt cin Minimum vor :
[2
Extremu m
Bcsumm cn Sic das Extrem um dcr Fu nktion z = f (x,y) = 21;2 - xy - 2)' + )'2 . U JSlIllg :
Die Extremu mpositio n erhalt man mit Hilfe von (7.32) wic fclgt:
z.y= - x - 2+ 2)' z...... = 4
: ...y
z., = 0 = 4x - )'
=-1 =}
z..1'." = 2 y = 4x
o
Z.y = O= - x - 2+2y =}
- x- 2 + 2 ·4x = O
,
2
xo =:;
8 Die Substitution von Xl) = 2/7 in .,, = 4x licfert : .1'0 = -7 Es liegt also an dcr Position i ll =
(~ , ~) ein Extremum
vcr,
'
,
7. 1J Zusarzfiche Bcispicle
Die Art des Extremu m» wird nach (7.34) bcsrim r nt:
D=
4
I- I
- I
2
I= 7 > 0
z...... = 4 > 0
und
::::}
Es licg t etn Minimum vor.
Das Funktionsminimum Zmin bctragt: Zmin = [ (xo. )'o) = 2rij - XoYo - 2)'0 + )'ij = 2 ·
~ ~ _ 2 . ~ + ( 8 ) 2 = - 1 143 ( 72 ) 2 _ 77 7 7 '
lleispi eI 7.61 : Extre m u m Bcsum mcn Sic die Lege (xo. ,ro). de n Wert zo und die Art des Extremums dcr Funktion
Z= xl _ xy+ )'2 + 9x - 6)'+ 20 U j SlIlIg :
z_, = 2 r - y + 9 = 0
z.'" = ~x+ 2y- 6= O
::::} Xo =-4
zo = (_ 4)2 - ( - 4). I + 12 + 9 · (- 4) - 6 · I + 20 = - I Hesse-Matrix:
o
H ~ I _2,
-2'
I
Yo = 1
{Extremalwert]
D = 2 ·2 - (- I )( -I } = 3
::::} Minimum am Punkt P = (xo. ,ro) = ( - 4; I)
Zmin
li ll = 2 >
=- 1
Ueispid 7.62: La grangesche Multiplikatermethode Das Volumen V und die Obcr tlache 0 ci nes O uaders mit de n Kamc nlangeo u, h und c sind dUTCh folgende Formcln gege ben.
V = (/b c
0 = 2(ab + llc+ bc)
~: ,
Unte r der voraussetzu ng. dass b = (I ist. sollc n die Kantcnlangen a und c mil Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatorrnethod e so erm ittelt werden. dass bel vorgegebenc r Obertlnche 0 = 100 cm 2 das Volumen des Q uaders zum Maximum wird. wie groG ist Vmax'! Ldsung: A us b = (I folgt:
0 = 2(aa + ac + ac ) = 2a2 + 4(1(' Die Funkt ion
f . dercn Extremu m gesuc ht w ird. und di e Nebe nbc ndingung cp cp((I . c) =
211 2 + 4(/(' - 100 = 0
lauren:
317
3 1!l
7 Diffcrentiulrechn ung fur multivariuble Punkuonc n
Die Anwendu ng dcr Lo sun gsformcln in G I, 0.37) licfcn :
I"
=
me
rp, lr == - - -
-A
Lh = ~ +( 2 - cos a) = A + 2 -cos a = O . b- sin a cos a . - - - sm a sin) a
- sin2 a + 2 - cos a = O cos a
=>
=> sin 2 a+ cos 2 a= 2 cos a
=,
'--.---'
=> != 2 cos a
Durch Einsctzc n von a = 60" erhalt man: h=
JA
cos a . ~ = sm- a
A cos 60 r: 3 = 0 .87738 v A sin 6{)
=> a =60"
7,13 A ufgaben
a=
329
_ 0,87738 VA . cos 60 = 0,87738 VA
A
0,87738 vA · sin 60
Fur II = b ist der Kanalum fang L also Extremum. Die A rt des Extremums wird wie folgt bcstimmt:
A sina (l + cos2 a )
L.aa =
.
o
L.aa (a = 60 ) =
L,hh =
4
bs m a
1
2A .
/J- stn c
L,al> = L,l> a =
+ !J cos a
A sin60 ( I + cos260) (7 ,4 + b cos 60 = 2,632 15 v A b sm 60 3.4 1929 L.1,I> (b = 0,87738 VA) = . vA A
.
A cos a ~ ,., b ~ sm- a
+ Sill a
L,ah(a = 60° , b = 0,87738 VA) = 1,73206 Dctcrminantc dcr Hcsscschcn Matrix : 2 (7 3,4 1929 2 D =L,aa , L.bh - I.ah = 2,632 15 v A vA - 1,73206 = 6
::::;.. List Minimum
D > 0 uno t-oo > 0
Die Bcnctzungsrtachc ist also am klcins tcn. wenn a = 60° und a = h.
7.13 I,
Aufgaben Bcstimmcn Sic die particllen Ablcitungcn erster uno »ve ner Ordnung fur fotgcndc Funktioncn . Die Losungcn sind jcwcils darunt cr angcgcbc n. x a) ... _ y
1
• '
z={ 2t-+ 2)')2
z., =
8(x + y)
8(x + .\" )
ZI'. =
Z.xy = z.yx = 8 Z.y.l" = 8 2).2 )3 z., = 48(x 2 - i f .r z, = _ 48(x 2 _ /)2 Y Z..U' = 192(.\2 - y2 l .~ + 48(x 2 _ y2 )2 8
Z..l:.T =
o Z = (2r2-
Z..I :I' = Z.y,:"y2 sin::! xy
13. Ubcrprufcn Sic Ihre Losung dcr Aufgabe 12 mit Hilfe der numcrischcn Ableitung an dcr Position P = (x, y) = ( I: I ) fur diffcrentiellc Abstundc d r = dv = 10 - 3 . I ii.I'IIIl K: ::::} Z =
arccos(x 2y sin xy)
Infinitesimal benachbane Punktc: QI ZP
~
( I + dx ; I )
= 0 ,57080
~
( 1.00 1; I)
:::01 = 0 ,56667
z O!
• ( ) _ 0 ,56667 - 0 ,57080 _ 10 3 - - 4. 1300
........ p -
Exukte Ablcitungswenc:
Z,,(P) ~ - 4 ,1148
z.,·(P) ~ - 2.5574
= 0 ,56823 ~ ( ) " .J P
_ 0.56823 - 0 ,57080 _ 1O ~ 3 - - 2.5700
8
Inte gral rechn ung
Die lnteg ralrechnung is! F' (x) =
n x
'*
(
s
i
n
x ) '
=
c o s
./ ./ r
I F' (x ) ~ (In.e)' ~ - ~ [ (x )
x
= / (x)
./
,;
336
8 lntegralrechnung
8.1
Unbestimmtes Integr al
Durch Hinzufu gcn cin cr beliehigen Kc nstamc C zur Stammfunktion F(x) kann die Menge der Stammfunktionen unbcgrcnzr erweuc rt worden, weil die Ablcit ung von C stets Null ist:
[F ix ) +CJ' ~ F'(x ) + (e)' ~ F'(x ) + 0 ~ F' lx ) ~ f ix ) Sowo hl F(x) als auch F(x ) + C sind also Stam mfunktionen von [ (x ). Weil C bclie big ist, crgibt sich cine uncndl ich grebe Schar von Stamm funktioncn. Die Addition von C zu F (x ) kann man sich bild lich auch so vorsrctlc n. daf die Funktionskurve y = F(x) im .ey-Koo rdinatcnsys rcm in y-Richtung urn den Betrag C parallel verschobcn wird. Die in Bild 8.1 dargestclltcn Sinusfunktionen F (x) = sin (x) + e mit vcrschicdc ncn Werten fur C sind aile gleichwcrt tgc Stamm funktionen von [ (x ) = cos r , weil C sich auf die Ablcitu ng von F(x ) nicht ausw irkt.
Bild R.l: Schar von Stammfunktionen
.r =
sinx +C
Das unbesti mnue Integral ist die Gcsamtm cnge 'Iller Starnrnfunktionen dcr Fun ktion [ (x ):
If
f (X)d, = FIX)+c l
(8.2 )
Ocr Ausdruck [ (x ) i nncrhalb des j-Symbols wird Integrand gcnannt. Die fur die Ingcntcurpraxts wichtigsten lntegrale sind auf Sci re 723 zusammenges tellt. IJcispiel 8,2: Einige Beispiele fur das unbcstimmtc Integral der Funktion [ (x) sind nachfolgend angegeben (man kann die Richtigke it der Ergebnisse leicht kontrolllc ren . indcm die angcgc bcnc n Integrale einmal differenzjert werden) , a ) [ (x ) = 4x 3
b)
[ (x) = - sin .r
c)
[ (x ) = _ e- x
I f lx ) d, ~ I 4x3 d , ~ x' + c
I [ (x ) ill =
.r(- sinx) d r = cos x + C
I f ix ) dr = I (- , - ' ) d r = e-
~ [(x )
d,
dF = f (x) dr
Integration bcider Scitcn dicscr Bezieh ung im Intervall [ll. hI liefcrt :
J[ (x) d' b
----
~
"
=F(b )- F (a )
J[ (x)d' b
F(b ) - F(a) ~
"
"
Nach Einfiihrung des Ausdr ucks F (x) I~; als Abkurzung fur die A nderung F (h ) - F {a) der Stammfunktion crhalt man die wohlbckannte Bczichung fur das bcsttmmtc Integral:
J b
[(x ) d r
"
~ F(b ) -
F(a ) ~ F(X)!:
(8. 11 )
344
8 lntegralrechnung
Hd spi d 8,9; Nach folg ond worden rneb rere hestimmte Inll'g nlle ber echnet .
a df = [ 4x~ ' ] '0 ="4 16 - 0 = 4 a) l",..J b)
, j et dx =
- I
c) .rsin.r d r
o
,
[_' ] - = e2 _ e- 1 = 7.02 - I
e,
[_ cosx]1I: =
(- COS.1t') -( - cos O) = 1- ( - 1) = 2
0
d) rSinXdX = [- cos xJ : 1I: =( - cos 2.1t') -( - cos O)= - I -( - I)= 0 e ) lCOSXdf = [sin x] : =(sin .1t') -(sin O)= O- O= O I) Jl!co"Xdx = [sin n
g)
311:/2
J
11:/2
[
x]211: =
(sin 2.1t') -( sin O) = O- O= 0
0
COS Xd f = sin x
] 311: / 2 11:/2
= sin(3JI'j 2 ) - sin(JI'j 2 ) = - I - I =- 2
Besn mmtes Integr al = Fliichen inha lt? Das bcstirnmtc Integral L~ f (x )dr wird oft mil dent Fltichcninhalt unterhalb dcr Kurve gleich gese tzt. Des ist nur in Sonderftillen richtig. Das Integral J;~ f (x) dx entsprichr der Sum me von uncndlich viclcn infinitcsimalcn Tcilflachcn im Intcgrationsbcrcich [o, hI. Dicsc Tcilflachcn sind allcrdings mit Vorzeich cn behuftct, wcil dcr Funktions wcn f {x ) positiv odcr ncgariv scin kunn. Das heiGt. dass posit ive und negative Tcilflachcn zu addicrcn sind. 1m Extrcm fall konncn sich d iesc Tcilflachcn vollstundig ausloschcn und das bcsu mrmc Integral wird zu Null. Daher darf das bcstmume Integral nicht generell als Plachcn inha lt zwischen dcr Funktion f (x) und der xAchsc interpretiert worde n. Die Gleichsetzun g des bcst immten Integrals als Flachcninhalt ist nur in solch en Hillen korrekt. in denen die Kurve f (x) im Integrationsintervall [a. hI die x -Ac hse nicht kreuzt. Die Berechnu ng von Flachcn mit Hilfe des besttm mten Integrals wird lm Abschnitt 8.4. 1 bchundelt .
8.2 Bestimmtcs Integ...al
8.2.2
345
EiJ.:enschaften des hest imm ten Integ rals
Fur das bcsum nu c Integral gc ucn prin zipicll die glcichcn Regctn wic IUr J us unbcsum mtc lntcgra l (vgl. Abschniu 8. 1. 1) und dartjbcr binaus cinigc zusatzlichc:
I. Fa ktorregel
I k ' f(x) d, ~k I b
b
"
(8.12)
f (x ) d ,
"
Belsptel 8.10: rrl2
rrj 2
2 ! 4sinx dr =4! sinx dx = 4(- COsx) l: j = 4 (- 0- (- 1)) = 4
,
"
2. Summenregel b
b
b
! (Cd l(X ) + c2h {x ) + . . . ) dr = Cl ! f l(X ) dr +c2 ! h (x) d t+ · · ·
"
"
(8.13)
"
Beisp iel 8.11: I
I
I
()
()
a· I (3e ' - 2x)df = I3e'dx - I2fdf ()
~ 3 [e'I&- [xl] ; ~ 3(, - I ) - ( I - 0) ~ 4 , 15
2
b. f (x - 2t2 +.r1 ) d t =
o
[rl
2r~
f4] 2= 0.667 -
~ --+~
2
3
4 ()
0= 0.667
3. Ver ta uschen von Int egr ati onsgrenzen. Das Venauschen der oberen und unrercn lntegrationsgre nze bewirkt eine n vorzeichenwecnsel des Integrals.
I f(x) d, ~ I "
b
-
I,
f (x ) d'
"
,
Beispiel 8.12:
!,
sinr dr J:
,
-
!,
sinr dr
o ! sinr d r e ,
,
( -
cosx] : = (- cos O-i- cos 1l' ) = ( - 1 - I) =- 2
(8, 14)
346
8 lntegralrechnung
,
-Jo
sinx d\' = - (
-COSXI:) = cos !r- cos O= - 1- 1 =- 2
4. ldentische ln tegrationsgren zen. Bei identischen Intcgrauonsgrenzen lsr das bcstlmmte Integral gleich Null.
1l(x) dl ~ O bzw. .! dr 0 b
"
"
(8.15)
=
f (x )
b
BeispiellU3:
l'
.r d r
[I_2x 2]' = -2I (32_ 32)= 0
e,
J
.1
5. Unter teifung des Integratinnsinter valls. Das lntcgrationsintcrvall (I S .r S h darf in zwei (odcr auch bcliebig viclc) Tcilin tervallc umc rtcih werdcn. ,
b
b
11(x) d r ~ 11(x) dr + 1 1(x) d r
"
fur (l S c S h
(8. 16)
c
"
Beispiel 8. 14:
12x 2
o
.!
dx ~ x21 :
I
.! 2
Zr d r -].
o
,
~ (2'
_ 0' ) ~ 4
2... d... = ....zl~ +x2 1~ = (12 - 0) + (22 - I) = 1+ 3 = 4
6. Partielle Integra tion b
.!
lr»: b
f (x ) dt =
a
b
[l/ V]: -
a
.!1I'v dt
mit f (x ) = l/(x ) . v'(x )
a
Beispiel 8.15:
.! ~~ d ~/2
r = - x cosxl:/
(}
u
"
2
.!
~/2
+
cosrd...
,/2 1'/2 (J
= - x cos x
o
1
+sinx
0
=[- 0 + 0]+ [1 - 0] = 1
(8.17)
8.3 Numerische Integration
347
Die Integrationsgrenzen konnten auch ganz zum SchluBausgewertet werden:
,"
I o
.
8.3
.r sin.'O d,, = [-.'Ocos.'O +sin.'O]1f/2 = I- O+ I + O- OJ = I
........................
"
0
,J
Numerische Integration
Falls die Stammfunktio n F(.'O ) des Integranden 1 (.'0) ge funden werde n kann, wird von gesctuosseller Integration gesprochcn. Existiert dagegcn kcinc Stammfunktion, muss das bcstimmte In-
tegral minds numeriscner lntegratiun bestim mt werde n. Numerische Integration liefert immer cin skalares Einzclc rgcbnis . welches nur fur das geradc untcrsuchtc Problem gbltig ist. Dagcgen licfcrt d ie gcsc hlossc nc Integration cin generisches Resultar. d .h. das Ergcbnis bcsitzt allgemeine Outrigk eu.
Bcls piclc fur bcsummt e Imegratc. die nicht in gcschlosscncr Form ausgewcrtcr werdcn ke nnen, weil fur die lntcgranden keinc Stamrnfunktionen existtcrc n. sind in nachfclgendcn Bildcrn angcgebcn.
,
f! lx ) d, ~ ?
2
J f ix ) d r ee?
f (.'O ) = e- '.-2 In x
o
I
o.
"
~ 0 02
o
OA
0.'
J(
o.
o
J f ix ) d,· ~ ?
----------- -2 1.2 lA 16 '.8
flx) ~
2
" "
r
J(
2
I
(f Ix) d, ~?
- ..'OSln.'O
I
s:
~ 14
",
I
3
e' f (.'O ) = In x
"
0.6
~ 0.8
"
x 2,6
"
s
,
" Numerische Integration ist naturlich nur fur das bcstim mtc Integral dcfinicrt . Unbcsu mmrc Intc2A
"
IA
J(
1.6
grate lassen sich nicht numcrtsch ermitteln. Das Ergebnis dcr numcrischcn Integration ist (von Einzclfallc n abgcsehenj ein Nnhcrungswert. dessert GUte vom verwendetcn lntegrationsverfahren abha ngt. Nachfolgend werden einige Sta ndardverfahre n fur numerisc he Integration erortert.
34!l
8 lntegralrechnung
8.3.1
Tra pez-Verfahren
Das Trapcz-Verfahrc n (a uch Trapez-Regel genannt) ist ci ne bcso nders ein fache Meth ode und lasst sich schr gut anschaulich herleitc n. Die gekrummte Funktionskurve zw ischen zwei Stutzstclle u wird durc h ein Trapcz nnheru ngsweise erse tzt (B ild 8.5). Der Intcgrationsbereich [a, bI wird in /I Telfiutervallc gleicher Brei te untcrtci lt (iicillidiswllle lntervalle], was insgesamt 11 + I Sunmetten ergibt: Intcgrationsbcreich
a :5x :5b
Anzahl dcr Tcilin tcrvallc
n
Sttitzstcllcn
.vo. .rr,
Schrittwe ite
!I = -
X2 , . • •
,x"
b -a n
y
Y,,/"
Y,
Y~ l
~) 11
Yol
1''-'"
II,
I,
I,
,
Bild 8.5: Trapc z-Ver fahrcn
Die x- und v-Koordin uten der i-ten Stiitzste lle erglben sich dann aus:
Xj =a +; ·11
Yj = f (x;)
i = 0.1.2. ... . /I
In tabe llarischcr Form erhan man: Stiitzstelle i
0
X;
u
a +1I
Yo
)' 1
.v,,
2 a +211 Y2
n
b
Die Trapczflachc 1; des i-ten Teifintcrvalls Hisst sich auf clc men tare Weise bercch ncn:
I, =
+ Yi 2 II
Y; - I
i = 1,2.3. · · ·
, /I
Hinweis: Die Trapczfl achc I; besitzt vorzclchc n. d .h. kann posiriv oder ncgauv sein!
8.3 Numerische Integration Das bcsum rnre Integral 1 ergibt sic h aus de r Summe der
,
1=
Il
349
Trape zflachen :
J
f (x) dx::::: /l +h + · · · + I"
"
j" f (x ) dl" ::::: )'O+ )'1 h + )'I +)'2 h + Y2 + J J h + . . . +)'n-l+Jn h
"
-..2-- -..2-- -..2-II
~ In
1.\
/1
Nach dem Z usumm cnfasscn gleicher Tenne ergibt sich die Trapez-Reget zu:
,
""+' j f (x) d r ::::: h · (T
+.n + n + )'3 + " ' + )'n - l
)
(8.18)
"
Die Genauigkci t des Trapc z-Vcrfuhrens isr, wie bci allen numerischcn Method en, umso bcsscr . jc mchr Teilimcrvullc bcnurzt werdcn.
Sond erfall :
11
,
= 2
j f (x ) dl" ::::: 11 · (2"OH' + )'1)
"
HeispieI8.16: Bs so il das bcsumnuc Integr al J = be rechnc t werden.
I
I
°
,
e- ·r dr nach de m Trapc z-Vcrfuhrcn mit
II
= 2
Anmerkung : Dicses Integral ist nich t gcsc hlosscn bcs tirnmbur. dahcr bcs itzt cs auch kcin cxuktcs Ergebn is. Als qu asi-c xuktcs Brgcbnis soil hic r dcr mi t Maple bcrc chnctc Wen J = 0,7468 zu Gru nde geleg t werden .
11 - 2
,
)' = f (x)e- ·r
11 = b : a = 1; 0 = 0.5
° I 2
l::
0 ,0 0,5 1,0
)'i
i.oooo
)'i
0,7788 0.3679 1,3679
0,7788
Y2+Y 1) = 0.5 · ( -1,3679 22- + 0.7788) = 0.73 14 j e _'·r d l" = h · (''''- + I
J=
Xi
u
350
8 lntegralrechnung
Relat ivcr Fehlcr des numcrischcn Integrals gcg cnube r dcm »cxa kte n« Wert:
0,73 14 - 0 ,7468 0 ,7468 = 0,02 1 = 2, 1% 1
£ ,t" = 1
8.3,2
Simpson-Verfa hren
Das Simpson- Vcrfahrcn nutzt den Sachverhuh aus, dass drei Punktc in dcr .ej-Ebc nc mit cm cr allgc mcincn quadratischen Purabc l y = Co + CI.'O + C2X2 vcrbundcn worden konuc n. Bcispic lswcis c vcrllluft durch die folg cndcn d rci Punk tc j cwcils cin e quadratisc hc Parabcl (Bild 8.6): Parubct I : Parabcl i :
Ib = [(xo,Yo) I'n-a = [ (.'02i-2,)'2i .-2 )
PI = [(x t . .n ) P2i - 1=[(X2i -I ,Y2i-tl
F1 = P2i
=
(X2 ,Y2 ) (X2i,)"2;)
Dcr ln tcgrationsbcrcic h wird d icsmal in 2/1 aquidistante Tcilint crvallc umcneilt. Dcr Gru nd fu r d ie Wahl von 2/1 Intervallen Iicgt durin. dass die Stmpson-Rcgct c ine gerade A nzahl von 'Icilin tcr vallcn bcnotigt (21/ isl imrncr cine gcradc Zahl).
Die quadratische Par abel, die sich jeweils tiber drei Sttuzstellen erstreckt. karin el nen bellebig gekrummtc n Kurvenverlauf natiirlich nur nahcrun gsweise decken. Dcr Feh ler dieser Nnherung ist abcr dcutlich gcr inge r als d ie geradl inige Nuhcru ng des Trapezver ta hrens. Daher da rf man bcim Simpsonvcrfahren im allgc mc inen cine spurbar hohere Gcnauigkcit crwartcn als bcim Trapezvcrfehren.
lmcgrationsbcrci ch
a :=:; .e S b
Anzuhl dcr Tci lintcr vallc
2"
Stlitzstel len
XO·
Schrittwei te
.rr , X2 , ' " , .'02" _ 1• .'02,,
It =h -a
2"
8.3 Numerische Integration
351
Die .r- und y-Koo rd inaten de r f-ten Sturzstcllc crgibcn sic h dan n 'I US: Xi
= a+ i · 1I
i = 0. 1.2, . . . ,211
vt = f (x;)
In tabellu rischer For m erhalt man: Stutzstelle ;
()
I
2
2"
Xi
a
a +1I
(/ +211
Yo
)',
vz
b )"2n
.v,, Der Fllicheni nhalt
!J dcr
erst I' ll DOI'p eiteiljfi iche
zw ischen den Stutzs tclle n Xo und X2 betragt:
Anmerkung: Die obige Forrnel zur Berechnung des Flacheninhalts ei nes O uasi-Rechtecks. de sse n vierte Randli nic durch eine quad ratische Par abcl bcsch rtebcn wird (sc hra tliertc Fltiche in Bild 8.6). kan n ublic hcn Form clsammlu ngcn cmnommcn werdcn und so li hier nieht im Detail hcrgcleitct wcrdcn. Der Flacheninhult h der eweitcn Doppelteilflachc zwischen den Sunzsrellen X2 und sich in analoge r Weise zu:
FUr di e f-re Doppelteilflache
"
X.,J
ergibt
t, zw ischen den Sunzstetlcn X21- 2 und X2i gi lt:
l ,, = -3 (1' ' 1-,'_2 + 4\,1'_, - -, + " 2') ,
i = 1.2.3. ···
. 11
Die Gesarrutt acbe unterhalb de r Funktionskurve crgibt sich aus dcr Summe aller tlachcn :
II
Doppclte il-
b
1= /
,
f(x) d\" ~ /I + J2 + · · · + Jn
Nach dem Zus ammcnfassen gleichcr Tennc ergibt sich di e Simpson-Regel zu:
J" b
" f(x ) d, ~
3
[YO+ n Il + 4(YI + Y3 + .. . + ),2,,- 1) + 2(Y2 + )'4+ . . . + n ,,-2) ]
(8.19)
352
8 lntegralrechnung
Scnderfall : 211 = 2 (cine Tcilfl ache) h
f"
f {x) dr:::::
"3 lv
o + Y2 + 4n l
(8.20)
Sonder fa ll : 211 = 4 (z wei Tcilflachcn ) (,
f"
"
(8.2 1)
f{x ) dr :::::3 l\'o +y~ + 4 ln +Y3 ) + 2Y2 1
Die Simpson-Regel bcsitzt eine deurlich schncllc re Kon vergen z als die Trape zregel. d.h. ci ne Erhohung der Intervallanzahl verbessert die Genauigkeit der Si mpson regel in vie I starkerem Mark als diejcnige der Tr apc zrcgel. lIe ispieI8.17: Das bestlrn mte Integral 1 =
,
f e- r
o
,
d r de s Belspicls 8.16 soil jetzt nach dem Simpson -
Verfah ren mit 2/1 = 2 und 2n = 4 bcrcchnct wc rdcn (exuktcs Ergcbnis: I = 0,7468). Snn pson- Regel mit 2/1 = 2
211 _ 2 h = b -a = 1- 0 = 0.5 2n 2
I
~
n
0.0 0,5
1,0000
I
2
1,0
0.3679 1.3679
l:
,
f e-~
°
1
0,7472 - 0,7468 1 0.7468 = 0.0005 = 0,05%
,.
.'
0,7788
dr = 0,5 (1.3679 + 4 ·0.7788) = 0.7472 3
Relutivcr Fehlcr de s num eri schen Integrals: Erel =
.V·,
Xi
0,7788
8.3 Numerische Integration
8.3.3
353
Ga uss-Quadratur
Die numerische Integration nach Ga uss wird Oauss-Quaaratur ge nannt. Ihrc Herleitung ist rclativ aufwandig und soli hier nicht wiederholt werdc n. Nac hfolgend werden nur d ie wese ntlichen Teile des Verfahrens vorgestellt. Bci dcr Guuss-Quadr atur wird die Funktion f(x ) an ci nigc n genau fcstgclc gtcn Stollen innerhalb des lntcgrutic nsintcr valls [a . h] uusgcwcrtct und mit tubc llicrtcn Gcwic htungsfaktorcn \V; muluplizicrt. An sehliellcnd worde n die e inze lnen Tenne addic rt. Man crhan dadu reh folgc ndc numeri sche Inregrauo nsformc t:
Jf(x) d, ~ b
"
"
[ f; lV, ;=1
Die Rcchcnp rozedur der Gauss-Qu adratur ist nachfolg cnd zusa nuucngcfass t:
Gouss-Quodratur
.I b
f ix) d r
"
~ ,~ f; lV,
n
Anzahl der Stiilzstellen (iiblicherweise 1 bis 4)
/;
Funktion swcrt an der Stelle Xi
.
f; =f(x;)
nut
a +b
(8.22)
b -a
Xi = 2 - + ~i 2-
\Vi : Gewicht ungsfaktor
b -a
\V; = a ; - 2-
Die Kocffizicmcn ~i und
ai
sind der Tabellc 8.1 zu crunchmcn.
Die Gauss-Quadratur ist die in dcr hohcren numerischen Mechan ik wohl am hauflgsten verwcndctc numerische Integrationsmethode. Ocr G rund fur se ine Beliebthci t liegt in der hohcn Cenauigkcit bei dcr Integration vo n Pol ynomfunkticn en . d ie schon mit sc hr wenigcn Srutzstellen errcic hbar ist. Ein Pol ynom (211 - I j-rcn Grad es liisst sich bcrc us mil 11 Srutzstcllcn exakt, d.h . ohnc Nahcrungsfc hlcr. integrieren.
Ueispic18.18: Oas bestim mte Integral 1=
,
.r e- x"l d r des Beispiel s 8.16 soil nach dcr Gauss-Ouadrarur
o
mit 2 Stuzstellcn berechnet werdc n (exaktes Ergebnis: 1 = 0.7468), a +b
- 2- = 0.5
b- a
- 2- = 0.5
354
8 lntegralrechnung
Tabclle H. I: Koetfizieruen der Gauss-Quadratur n
o 2
- 0.5773502692 + 0.577). .)02692
I
2 I
3
2 3
4
2 3
2
I
4
- 0.7745966692 0 + 0.7745966692
0.5555555556 O.888R888889 0.5555555556
- 0.86 11]63116 - 0.3399810436 + 0.3399810436 + 0.86 11]63 116
0.347854845 1 0.6521451549 0.6521451549 0.3478548451
11 _ 2
1 2
~,
Xi
j,
·0,57735 +0,57735
0,2 113
0,9563 0,5368
0,78 87
a,
Wi
0,5 0,5
J I
1=
{,- xl dr = 0,5 · 0.9563 + 0,5 ·0.5368 = 0.7466
n
Rclutivcr Fchlcr: Erel
=
I
0.746 6 - 0.7468 [ . 0.7468 = 0,0003 = 0.03%
Ilie Bedeutung des Koeffizieuten
~
in der Ga uss-Ouadra tur
Die Bedeutung des Koeflizienten ~; wird dcuutc h, wenn d ie dirnc nsio nsbcha fterc On skoordin atc .r m it Hilfe folgender Iinearer Transform ation du rch d ie dtm ensionstose Variable ~ ausgedruckt wird: ' )
x = g(~
o -s-b
J:
h- u
= - 2- + ' - 2-
Die Richtigkcit dic scr Tran sform ation sicht man sofort, wcnn d ie End punkte dcr ncucn Variab le ~ cin gcsctzt worden: x = a + b + (- 1) b -a = a
2
2
8.3 Numerische Integration
a-s-Ir
(
) h - ll
x = -2- + + 1 Die Stlitzstelle n Xi =
Xi
355
2- ~ h
lassen sich also aus den dim cnsionslosen Stutzstellc n ~; bcsu mrnen:
a + /J J: h -a - 2- + "'; '-
Das urspru nglichc Integral karin als Funktion von ~ gcsc hricbcn worden :
jf(x)d, ~
" ;"
"
J'f(g(~)) d~ - I
Das Integral f~i J(g {~ )) d~ ergibt sich mit Hilfe tier Gauss-Quadratur zu:
,
"
j f( ~ )d~ ~ L adi
_I
1= 1
Das gcs uchtc Integral ./: J (x) d r lautet somit: h
j f (x) dr ~ - , -
"
,
h -aj - 1
n b >.«
"
f(g(~ )) d~ ~ L - , - a;[(x;) ~ L Wd i I= l " - v - '
1= 1
W,
Anmer kll l1gel/
FUr Po lynomfunktionen liefem die Simpson- und Gau ss-Regel La. gena uere Ergeb nisse als die Trapc zregcl . FUr Exponential- odcr Transzendcntalfunktionen gilt dies nicht unbcdin gt. In der Finite-Eleme nt-Methode (FEM). die einen Zweig der computcrges tutzten Mechanik (compuunionalmectumicsi bildct, wird die Guuss-Quadrutur in dcr dimcnsionsloscn Form mit dcr Variable ~ durchgcfu hrt.
356
8 lntegralrechnung
8.4
Geometr ische Anwendungen der In tegral rechnung
In dic scm Abschnitt werden ci nigc gco mctrischc An wendungsbcisp iclc dcr Integralrechnu ng vorgcs tcllr.
8.4.1
Ftachenberec hn ung
Das bcsum nuc Integral I cntspricht dcm Plnchcninhalt A zwischen der Punkricnskurvc y = f (x) und der x-Achse im Intervall .r = [a , hJ. sofcm die Funktio nskurvc d ie x-Achse 11 ;("111 schneider. Das bestlm mte Integral I wird negativ, wenn die Kurve dcr Funktio n f (x) unterhalb der x-Ac hse verlauft. Da aber nur ein positives Fltichenrnaf geome trisch Sinn macht, sollie genere ll als Hache A der Absoiutwert des Integrals I verwendct worde n. d.h . A = III;
A
~ 1/1 ~
,
If ! (X)d, 1
(8.23 )
" Heispi el 8.19: Gcsucht ist die von dcr Si nusfunktion y = sinx im Interval! 0 sene Flache A .
~
x :S x ci ngcsch lc s-
YO:~ a
1
•
2
3
J x
A=
sln .ed e e - cos xl: = - cos tt- ( - cos O) = I + I = 2
"
vorzeichenwechel der Funktionswer te Wenn d ie Funktio nswerte von f (x) im lntegrutionsintervall [a,h) ihr Vorzcichen wechscln . muss die Fluchcnbcrcchnung mit Hilfe des bcstimmtcn Integrals ctwas modifiziert worden. In d icscm Fall wird das Interval! [(I , h) in II Teilintcrvallc untcrtcilt. Die Anzahl dcr Teilintervalle /I ist so zu wahlcn. dass das Vorzeichen vo n f (x) sich innerhalb cines Imcrvatls nicht undcrt . Die Gcsamrnucb c A ergibt sich dann aus der Additio n dcr einze lnen Fluchcn Ai : A~
/I
/I
j=
v r2 _ x 2
, , U=4J V I+yl.!dt =4J n
,
-x
o
'
vr2 _ x 2
l + yr.2 = ~ r- - x·
dr
= 41' [arcsin ~ ]: = 41' (arcsin I - arcs in 0) = 4r( ~ - 0) = 21t"r
Dic scr Rechengang isl zwar nich t bcsondcrs schwic rig, aber au ch nicht ge radc sehreinfach. Dcurlich ein facher w ird er untcr Verwendu ng vo n Polarkoordi nuten. wie nac hfolge nd gezcig r wird. Die Lange dr cines inlinitesimalen Kurven stuckes auf dcrn Kreisum fan g crgibr sich zu: d.\· = r· d a Integration ubcr 360 in Um fangsrichtung l icf ert : 211
211
U = ! ds = ! r da = ra l: 11 = r(2Jr- 0 ) = 21t"r
"
,
Dic scs Bei spiel zcigt eindrucksvoll. das s es sich sehr lohnen ka nn, darubcr nach zudenken. ob ein gegebenes mathemu tisches Pro blem durch Transformati on in ci nen andcr en Variablenraum (hier: vom kartc sischc n xy-Raurn in de n polaren r a- Raum) mogfic herweise ei nfacher gclos r werden kan n.
8.4.6
:\l3 ntclniiche cines Rotatlon skc rper s
Es Rccuionskorpcr entsteht, wenn cine in der xy-Ebene liegende K urvc um ci ne der beiden Koordinarcnuchscn um 360 gecrct u wird. Bild 8. 12 a zcigt cinc n Rotntionskdrpcr bei Drehung um d ie x- Achse. Die Mantelftiiche cntspricht der ge kriimmten Obcrflachc, die unrniuclbar dcr Kurvc y = f (x) zugeordnet ist (s ie eruhalt also niclu die beiden krei sformigen Snm rluchen).
8.4.6. 1
Rota tlons flac he urn di e .r-Achse
Wen n d ie Kurve y = f (x) cinmal vollstandig urn die .r-Achsc gcdrc ht wird. cntsrcht cine Rota rionsflachc. dcren Lan gsach-,c d ie x-Achse ist. Pur d ie Bcrcchn ung dcr Memc lnnch e wird der dijferentielle Kegelstump] in Bild 8. 12b mit folg cndcn gco mctrischc K cnngroucn bctrachtet:
364
8 lntegralrechnung
., \
y= f()()
y
, )(=a
)(=b
U: Rounionskbrpcr
b: Kegelstumpf
Bild 8.12: Rotationskdrper bei Drehung von f (x ) urn die .r-Achse
II = dr L = dr Radius am linken Ende ' 1= Y Radius am rcchte n Ende ' 2 = y + dy Die Manrelfluche des Kcgclstumpfs crgibt sic h nus elcmcruarcr Geomet ric: Hohc
Mantettange
-- ---
Nach Ei nsctzcn ohi gc r diffcrc nticllcr Gr(jBen in dies c Forme ! crhalt man: d4. M = 1C ( Y + y+ dy) ds = 21C y ds+ 1C dy d.f FI
'1
~
Die Groucn ds und dv sind infinucsim al: daruus folgt. das s (ds · dy)« dx . Polglicb kann in obigcr Bezichung dcr zwcitc Term vcrnachlass igt worden. Sctzt man noch die Bczichu ng ds = J l +y12 d r ge mna (8 .26 ) ci n. crgibt sich die Man rclflachc des diffcr ent icllcn Kcgcl stumpfs zu:
d4.M = 21C y ds= 21C y J I + yf2 dr
Die gcs amtc Mantcltfachc Aw des Rorat ionskorpers crgibt sich schlic gfich durch Integration von dAM im Interval! {/ S.r S b :
! h
AM =
"
h
d4.M
AM = 211" ! y ) l + yf2dr
"
(8.28)
X.4 Geomerrisc hc Anwcndungcn der Intcgralrech nung
365
y
»> y=f(x)
-" ="==t::1
,., ,• -
~
I
~l::>":>
{:
a xi
b
x
x+dx
Bild X.13: Rotationskurper be i Drehun g von f (.1;} urn die y-Achse
Beispiel 8.25: Es soli die Maruclflache des Rotationskc rpers berechnet werden. der durch volls tandigc Drehung der Kurve y = coshx um die x-Achse entsreht (0 :5 x :5 2).
y' = sinhr
y = cosh .r
z
AM =2Jr
J
cosh x
o
~ dx = Cllshx
a
2Jr
J
cosh 2x d r
0
I'
= 2Jr -I (x + sinhx cosh x ) = 49.15 2 o
8.4.6.2
RotationsfHiehe um di e j-Achse
Wen n die Kurve y = / (x ) um die y-Achse gedreht wird. entstcht der in Bild 8.13 dargestctne Rouuion skorpcr. Seine Mamel flachc wird durch ahnlich c Betrachumgen wie im Falle der Rotation urn die x-Achse bercchnet. Die belden Radien des Kegelstumpfes sind d iesmal rl = .r und ri = x + dr. Die Mantelflache des diffcrentiellen Kegelstumpfes ergibt sich aus: dA.\1 = Jr (x+ x + dr] ds = 2Jr X de+ Jrdr dr
'---v---'
."
Die Mantelftiic he AM erglbr sich durch Integration von dAM im Intervall e :5 .r :5 b : b
A M = 2Jr Jx V I + y f.! dt
"
(8.29)
3M
8 lntegralrechnung
Hd spi d 8.26: Gesueht ist die Mamcl ff ttchc des Rotartonskorpcrs, der durch Drehung dcr Kurvc y cosh r um die y-Aehse cntstehr (0 :::::; x : : :; 2).
y' = sinh x
y = cosh x
I ~ d~ = 2Jr Ix ,
AM = 2Jr
=
2
.r
o
c,,,h..
cosh.r d r
0
= 2Jr (x sinhx - coshxll: = 28.22
8.4.7
Volumen cines Rota uo nskorpe rs
Die Berech nung des Volumcns eines Rotation sk6rpcrs basiert prinzipiell auf der g1eichen Gr undl uge wie die Berechn ung dcr Mamel tlachc. Zunnchsr wird das Volumen eines differentiellcn Kegelstumpfcs ermittclt und darau s wird das Gesamtvolum en du rch Integration berechnet.
8.4.7. 1
Rora tionskbrper um di e .r-Achse
Ocr bci der Drcbung um die x-Achsc cnrsrehcndc Rorauo nskropcr ist in Bild 8.12 a dargcsrctlt. Das Volumen cines Kegelstumpfes mit dcr Hohc h bctragt nach clc mentarer Mathematik:
Mil den gcomctrischcn Grosen des diffcrcmicllc n Kcgclstumpfcs erhalt man: dV = Jrt
~
=
.
--
[/+ y . (y+ dy )+ (y+ dy)2] [3/ d r + 3Y dr dY+d~ (dy)2] ",,0
:=
Jr/ d r
~
In dcr obigen Oleichung sind Terme. in dencn Prod uktc von dr und dv vorkommcn, vemachIasstgbar klein gcgc nuber dem ersten Glicd mit d r, so dass sic weggelassen werdcn kcnn cn. Das Volumcnt V crgibt sich aus der Integration von dV im Integrationsintcrvall a :::::; x ::; b :
I
b
V=
"
b
dV
V =Jr I .\). d r
"
(8.30)
X.4 Geomerrischc Anwcndungcn der Intcgralrech nung
367
x Bild X.14: vctum cn bci bci Drchung vo n I (x) um die j-Achsc
UeispieI8.27: Es soli das Volurnen des Rc tat tonskorpc rs bcrcchn ct werdcn. der durch Drehung dcr Kurve y = sinh x urn die .r-Acbse entstcht ( 0 .:5 x .:5 2).
V= n
J 2
2 sinh .r d r =
I
2
n 2 (sinh cos h .r - x)lo = 18.29
o
8.4.7.2
Roratton skorper um d ie y-Achse
Fur die Besdm mung des Volumens. welches durch Drehung dcr Kurvc y = f (x) urn die v-Achsc entst eht (Bild 8.14), stchen zwe i Moglich keiren zur VerlUgun g. Bei bcidcn Altcmativen is! dcr Ausgang spu nkt das infinitesimale Volumen dV des Kegel stumpfes mit dcr Hohe dy :
.? dy
dV =
l! .
Meth od e A Sci dieser Methode wird die Funk tion y = f (x) zunuch st nach .r au fgelos t, d .h. ma n berechnct die Umkehrfunktion .r = g(y ). A nschliefcnd wird dV in Richt ung der v-Acbsc intcgricrt.
V
=,.1 "
J
Yb
I·h
\'~
dV = n
,.•
i (y ) dy
V =
1rJx2(y) dy
(8.3 1)
\'~
Hinwe is: Es ist zu bcacht en. dass die Var iable .r im obi gen Integral cin e Funktion von )' ist. d.h. cs isl .r = g(y ). Die Funktion x = g(y ) wird gewonnen. indcm die Funk tion y = f (x) nach x aufgclosr wird.
3till
8 lntegralrechnung
Methode B Bci dicser Methode wird das Integral in (8.3 1) so umgcformt. dass die Integration vo n dV In Richtung dcr .r-Achsc crfolgt. Aus dcr allgcmcincn Ablcitu ngsdcfinition y' = dy/d~ folg t dj-= )" dx. Das infinitesimale Volurnen dV crgibt sich dadurch zu:
dV = Jl" .~ dy = 1C .\.2 l d~ JeW kann die Integration ubcr die unabhiing ige Variable x erfolgen, vgl. Bild 8. 14:
,
V=
,
J
V = Jl" J x2 l d~
dV
"
(8.32 )
"
Anme rkungen: Falls das Volumen gemaB OJ. (8.32) negau v wird, ist einfach dcr Absolutwert zu neh men. Es ist keine allgemcin gUltige Aussage mogfich. welche Methode d ie schnellere bzw. ubcrslchtlichere ist: cs kommt auf den Einzelfull an. uetsplel 8.28:
•
Es soli das Volumen des Rotationskorpcrs berechnct werdcn. dcr durch Drehung der Kurve y = sinhx um die y-Achse cntstcht (0 S x S 2).
"" "
...'
•
• __ -2
.,---.
...---::,
'---", -',--;--- _,...--,
a) Losung mit Hilfe der G1cich ung (8.3 1):
y = sinh x .1'1>
x = g(y) = arcsinh y
=}
V = Jl" J -~
.'"1>
dY = 1C J
.'"a
2y
arcsinh
dy
.l"a
Die lntcgrationsgrenzcn in j-Richtung sind:
y" = f (x = 0 ) = sinh O= 0
Yb = f( x = 2) = sinh 2 = 3.63
J
J.6J =}
V = Jr
arcsin h2y dy = 2 1,13
o
Anme rkung: FUr den Integranden existiert keinc Stam mfunktion. Das obige Integral wurde numerisch uusgewcrtct. b) Losung mit Hilfe dcr Gle ichung (8.32): ,
y = sinh x
=}
yl =cosh x
V =1C Jx2 ld~ = "
2
1C Jrcos h x d~ 0
&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrechnung
v=
Jr
369
(x2 sinh x - 2t cos hx + 2 Sinh X) I: = 2 1,(}9
Technische Anwendungen der Integralrechnun g
8.5
In Tech nik und Wisscnschaft cxisticn fur lntcgralrcch nung cin brcitcs Spc ktrum von Einsatzmnglichkeitcn. In nachfolg cndcn Ahsch nittcn sollc n cxcmplarisch nur cinig c wenigc A nwcndung«bcispielc vorgestellt worden .
8.5.1
Biegelinie eines eingespannten Balkens
Ein an sci ncm li nkcn Endc fest eingespannter Halken w ird an scinc m rcchtcn Endc durch die Ein zcll ust F bcla stct. Gcsucht ist die grimte Durchbicgung des Balkcns. Das Bicgeproblem des Balkens wird durch die folgenden Beziehu ngen der Fcstigkcits lchrc
bcschriebcn: Biegemo ment M als Funktion der Position : M = - F (L - x) Kri.i mm ung der Biegeli nie il ls Funktio n des Blegemomcnts :
v" =
M / EI
E ist dcr Elust izitatsmodul, I das Tragheitsmomcnt des Bulke nquersch nitts. y'
I
@
1_-----=--__
Aus den gegc bcncn Beziehun gen erhalt man durch Einset zen:
F (L - x ) Y" = - EI Mil Hilfc der grundlcgende n d iffcrentiellen Beziehungen /I
dl
.r = -d r
=>
,
dy' = ylf d r
dy
.r = -dr
=>
dy = y'dt
er hdlt man die Biege1inie durch zweima1ige Integration : d.)." = y" d t :
dy = y'dt
-l»:" Jy' dx
J dy' ~JY"d'
,.
'*
I Y' ~ JY" dx l
'* I ' ~ Ji d' ~ J(j y" dxH
370
8 lntegralrechnung
Fur das vorlic gcnde Beispiel crhuh man :
'J"
FJ
v dx = - . EI
y =
)
F
( L - x dr = - -
EI
Die unbckanntcn Konstunrcn C I und Cz wcrden aus den Randbcdingungen am linkcn Rand. d.h. fur x = O. bcstimmt:
0 / (0) = 0 y(O)
~
Durchbiegung am linkcn Rand ist gleich Null. Drchwinkel q> am linkcn Rand ist gleich Null.
O+ O+Cz = 0
Die Bicgcl inic als Funktion der Ortskoo rdinate .r lautet somit:
F(L, - 2- X -') 2 6
r (x ) ~ - -
.
EI
Die gro13te D urch biegung
8.5.2
»'
tritt am rcchte n Ende des Bulkcn s fur .r = L auf:
Tragheitsmo ment eines Que rscbnttts
Die Durchbicgung des Balke ns im Abschnitt 8.5.1 ha ngr unter anderem auch vom Tn igheltsmal ab. Das Tragheit smomen t ist d ie relevante Kermgro ae ci nes Balkenquerschnittes hinsichtlich dcr Biegebeanspruchung und bczieht sich um ein e in dcr Q uerschnitssebcne Iicgende Bezugsachse (B ild 8.15). Man unterschc idet zwischen zwei Traghcitsmomcntcn eines Q ucrschnitts:
lI1e lll
I:>;
1.1'
Tntghcits morncnt um die .r-Achse Traghcitsmom cnt um die v-Achsc
Bild 8.15 zeig t ei nen beliebige n Qu erschnitt, in dcssen Schwerpu nkt S das xy-Koo rdinate nsystem platziert ist. Be i Querschnitten nus hamag enem Werksto ff fallt dcr Schwe rpun kt mit dc m sog . Neutralpunkt des Qu crschnitts zusammcn. Dcr Neutralpunkt ist de rjenige Punkr. an dcm Biegespannunge n glcich Null sind. Die Trughci tsmomentc If und 1.1' crgeben sich gema13 Regel n der Technischcn Mechanik aus
&.5 Tec hnischc Anwcndungcn der Intcgralre ch nung
37 1
, A
Bild 8.15: Traghcitsmomem cines bclicbigcn Qucrschntns
y
I
i
--. I
h(x}
I
A
,
"1mn Ym'n
Bild 8. 16: Querschnin ohne Hohlflac hen
den nachfolgc ndcn bcstimmtcn Integralcn:
A : gesa rnre Qucrschnittsfl achc
(8.33)
Fur Vollquersc hnitte nach Bild 8. 161asst sich die lntcgrutionsfonn cl (8.33) wcitcr vcrcinfachcn:
,-
.I'm...
r.=.f /
d4 y
dA,.
.1'""...
t, =
.f/ b(y)dj-
I.,. =
~ b (y ) d.l'
.f ~ d4 ,.
.f ~ h(x) d r
d4 x = h{x) d r
X"""
t, =
(8.34)
Heispid 8.29 : Gcsucht sind die auf den Schwcrpun kt S bezogenen Traghcusmcm cnrc l , und l.\, cine s Rccheeckqucrschnitts mit der Hohc h und Brcite b .
372
8 lntegralrechnung
y
.
, A,
,I
I
,
s
,
,
'- ,- -
Aus Gleichung (8.34) crbult man mit h(y ) = h und I,(x ) = ,, : h/2
J
1= ,r
)" 1,,/2
"[(")' 2
( --h)' ] ~ 1010'
1'/2 = -103 [(")' 2
( -- ") '] ~ 10' " -
v2 b dv= b = . 3 - "/ 2 3
.
2
12
- h/ 2
11/2
f
J..= '
.
- bj 2
.r-3 " dr = h .0' 3
- bj 2
2
12
Ueisp id 8.30: Die Traghcitsmc menre Ix lind ~,. cines Kreisri ngs sind identisch. d.h. I , = I" = I . Gcsuclu ist das Triighcitsmomcnt I fllr eiuen dtinncn Kreisring mit der Wanddicke t und mittlerem Radius r
Die lntcgrution wird in dicscm Fall zweckrnaliigerweise im ebc ncn Polarkoord inatcnsystem durchgcfllhrt. Aus Glcichung (8.33) crhiilt man: I = I, =
J
i dA
y = r sin a
dA = t · ds= t · (r da ) = (t r) da
A
2Jr
1 = j (r sin a )2 (I r) da = r' t
o
J
[¥- ~
2Jr
sin2 a da =r3 t
0
'
Jr
sin 2a J: , = lC?1 ....
&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrech nung
373
Heispi d 8.31: Gesucht ist des auf den Sch werp unkt S bezoge ne Tragheitsmoment I ,. ein es gleichschenkligen Dreieckquerschnins mit Kantenlnngc (/ und Hohc h. y
x
Der Schwerpun kt S is! glcic hzeitig der Ne utralp unkt des Drcleckqucrschntus und besitzt von der umeren Gru ndkante den Abstand y" = h13. Die verandcrlichc Breitc b ist cine Funktion dcr j-Koordinate :
b(y ) = (/ (
y)
'32 - 'h
Des Trugheitsm om cnr um die .r-Achse erhult man ge maBGl. (8.34) wie folgt:
I
.,
~
J
-,"""",
) ,2 b(,-) d v =
"m in
8.5.3
J
2h/3
..
\'2 (/
.
(~3 - h~)
211/3
[~9 (/)'3 - ~)-,] ' 411 - h/
d )' =
.
-h/3
l
.
Tempe rat urfeld in einem Stab
Gcsucht isl die 'Iem pcraiurven cilung T (x ) in cincm Warmc lcitcndcn Stab dcr Lange L. wobc i ubcr d ie Tcm pcrutur d ie nachfolgcndcn Informationen bckannt sind: T (x = 0 ) = T] Tempc rat ur am linken Srabcnde hal den konstan ten Wert T1 T (x = L) = T2 Temp eratur am rechten Stabc ndc hat den konsramen w ert T2 T" (x ) = 0 die 2. Ableit ung von T versc hwindet uberall enllang des Stabcs T, • L
Einma lige Integration von T" (x ) liefert T' (x } :
T' (x ) =
!
T"(x) dx = ! Odr = C 1
I
1i
x
374
8 lntegralrechnung
t-or
------- ~es
5(1)
Bild 8.17: Gcradlinigc Bcwegung
Erneutc Integr ation VOn T' (x) liefcrt T (x ):
T (x ) =
J
T' (x) d r =
J
CI dr = C,X+C2
Die unbekan nrcn Konstan ten C 1 und C2 werden aus de n Randbeding ungen bestimmt: T (O ) ~ T,
T (L ) ~ T, Mit den nunmchr bckanntcn Konstumcn Cl und C2 crgibt sic h die ges uchtc Funkt ion der Temperaturvcrtcilu ng als cine lincarc Funktion dcr Lan gskoordi nate .r:
8.5.4
Geradllntge Bewegung
Entlag eincr ge radlinigen Bahn im 3D-Raum bcwcgc sich eine Masse (8i ld 8. 17). Die von dcr Masse mil Bezug auf einen Ausga ngsp unkt zuruckgctcgtc Wegstrecke s sci als Funktions der Zeit I bckannt. d.h. .I" = ,\·(t). Die mOllle1llal/(' Geschwindigk eu \'(1) cntspricht dcr crsten Ab lei tung der Wegstrccke s(r ) nach der Zeit t . Die IIIm l1 ellt(ll1e Beschleunigung a(l ) wiederu rn ist du rch die erste Ableitung dcr Geschwindigkei t nach der Zeit definicrt:
dol' \'(1) = ~ = ,\' ill
1.1 1' = 1'= 1.11
a(I ) = -
d 2s 2 = f.' dt
(8.35 )
Die Fragestcll ung kann auch ur ngckchrt scin : Bei bcku nntcr Bcschlcu nigun g a = a(t ) sotlc n Gcschwindigkcit \' = \'(1) und w egstrccke s = s(t ) bcrechn ct werden. A us G I. (8.35) Iolgcn d ie Beziehun gen: d ~' =
(1 (1) dr
dl =I'{t) dr
Integration dicscr Bezie hun gen licfcn di e Gcschwindigkcit und Wegstrcckc : 1'(1 )
=.! =.! 1.11'
a(t ) 1.11
(8.36)
&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrech nung
Heispi d 8.32:
Beschleunlgte Hewegun g
Ein Korper befind er slch vum Zeitpunkt I = 0 an dcr Position .~ = 0 II n(1 be xitz t die Gcschwindigkcit 1'0 (Anfungsbcdingun gcn ). Fur t ~ 0 crfahn er die konstante Bcschlcunigung a . Ges ucht isl se ine Gcschwindigkcit \' und Wcgstrcckc s zu j cdcm bclicbigcn Zcitpunkt t > O.
_
~n",",.
- ",
s(l)
Die Geschwindigkcit lasst sich aus (8.36) bcrcchncn :
I'(t ) =
.!
Die Kc nstanre
(l dl = (I( + CI wird aus der An fangsbed ingung bestirn mt:
Cl
I'(t = 0 ) = I'D
Die w cgstrcckc
.~
CI = 1'0
=>
1'( r ) =I'o +(//
crgibt sic h aus dcr lntegrutio n von I':
s(r) = [ I.(t ) dl = [ . .
(1'0
+(/() dt =
1'01 + .!.
2
al 2 + C2
Zur Bestimmung dcr Kon stan tc C2 dienl di e Anfangsbcdingu ng s(O) = O: O+O +C2 ={)
Beispi el 8.33:
=>
C2 =0
=>
I
,
* ) = 1'0 1+ 2" (1(-
Mecha ntsche Ar beit
Ein Kerper mil dcr Masse 111 = 200 kg, dcr sic h auf ci ncr rcib ungsfreicn Umcrlagc hcfindct . wird aus dcrn Ruh cstand herau s du rch die Einwi rku ng dcr Kraft F = 1000 N bcschlcun igt. Bercchncn Sie die in ]() Sck undcn gclc istctc Arbon W . Die allge meine Bezich ung fur die gclcistctc Arbcit W lau tct nach den Gcsctzcn dcr Physik:
W=
J
Fds
(Int egral dcr Kra ft cntlang dcr zuriickgclegte n Strccke )
Umer Bcr uckstch ttgung der Bezieh ungen dv = I'dl und I' = ru + at crhan man m il = () (Kerper beti ndet sich fur ( = () im Ruhezustaud] aus dcr obige n Beziehung:
l in
W = .! Fd.\' = .! FI' dt =.! Faldt Das Einsetze n der bckan ntcn Newto nschen Bezieh ung a = F / m fUTcine konstante
375
376
8 lntegralrechnung
Kraft in das letzte Integral liefcrt in eincm bclicbigcn Zeitintervall [to, II!:
Mit den vorlicgc ndcn Za hlcnwc rtcn crgibt sich die gclc istetc Arbeit zu
w = lOOO~ ,{ ~~ -O)
Ucispicl 8.34:
= 250000Nm = 250{X)01 = 250 kl
Flughohe
Einc Rakctc bcfindct sich auf dcr Erdobc rflachc und sctzt sich vom Ruhczustund aus in vcrtikalc Bewegung, d.h. ihrc Anfungsgcschwindigkci t isl Null: \'0 = O. Die Bcschtcunigung dcr Rakctc in Bezug auf die Erdobc rflachc ist durch die Funktion a(t ) = 10( I _ l,- O.II) (in m/ s2) gege bcn. Gesucht sind die Geschwind igkeit und Flughohe nach 20 s Flugzeit . Die Ge schwindigkeit
v(r ) =
J
I'
ergibt sich aus Gl. (8.36):
a(/ ) dr = / IO (I _ e - O. II ) dl = 10 / + HX)e - O,11 + c l
---
Aus dcr Anfangsbed ingung 1'(0) = 0 folg t: O+IOO e- O,I ' () +C I = 0
CI = - 100
I
\'(r ) = JO t + lOO e - O,11- 100
::::}
1'{20) = 113,5 IIIl s
Auch die Flughohe s ldsst sich mit Hilfe von Gl. (8.36) berechnen: s(r ) = / I'{t ) dt = / ( 10 / + HX) e - 1U I - 100 ) dt = 5/ 2 - looo e - O. l l - 1001 + C2
Da sich d ie Rakctc zur nZcitpunkt
I
= 0 auf dcm Boden bcfund . crgibt sich: ::::}
::::}
C2 = 1000
s{20 ) = 864,7111
Das folgende Schaubil d zeig t die Hohc der Rakctc als Funkt iun dcr Zeit.
&.5 Technischc Anwcndungcn dcr Intcgralrechnung
377
eoo ~
i 400
"" o
8.5.5
so t
Lamin are Rehrstromung
Wen n ein Kreisrohr von einer Flusslgkeit mit geringer bis mnalgc r Geschwindigkeit du rchstromt wird. sprcchcn wir von e iner laminarer Strii lllll J1K (Schichrcnstromungj. Einc solche Srromung hesitzt ein parabc lformiges Gcschwind igkcitsprofi l tiber dcm Rohrqucrschnitt:
" (r ) Strom ungsgeschwlndigkeit an der momcntancn Radialpositio n r, Jif'/ti s Druckgrad ie nt (d.h. Druckabfall Jif' uber dcr Lange ti s), ,., dynamlsche Zahigkeit. R RohrraJ ius. Dicsc Beziehung ist als das Gese tz von Hagen-Poiseullle bekannt. Das Geschwindigkeitsprofil besitzt die Fonn cines Rotationsparaholoids (bzw. Parubcl, wenn nur d ie Bbcnc bctrachtct wird).
Die maximoie Striinmngsgeschwindigkeit \'",,,, trtu in der Rohrrruuc (d.h. r = 0 ) auf:
Ocr \,hll/mells/rom (das Flussigkcit svolumcn. welches pro Zcitcinhcit durch das Rohr nicGt) erg ibt sic h aus dcr Integration dcr Gcschwindigkcit ubcr dcm Stromungsqucrschnitt A :
v ~ J \'( r) dA = .(I'(r ) "-v-" 21tr dr = A
Ji .f
Ji fl ~- -
-J
1 Ji 1 f' -4 (R - r ) 21tr dr Jis ,.,
1 1 s. (\R r _ r ' ) tl r = _ ti fl s. (R,-2 _ r )I' 211 . ti.\· 211 2 4 A
= _ Ji fl
,
0
4
o
1tW
--
Ji.\' 811
II
371l
8 lntegralrechnung
Anmerkung: Da die Druckandcrung in Strdrnun gsrichtung stcts ncgativ ist. d.h. ,11'/ fIlS < 0, crgibt sich dcr Volumcnstrom V mit posiuv cm Wert (V > 0). Die mill/ere Stntmungsgeschwindigkeit \'m im Kreisrohr kann wie folgt bcrechnct werdcn:
V
I
\'", = - = - - -, A lrR·
,11' R2 ,1s 811
,11' lr~ ,1 .1' 811
--- ~
\ '",ut
--- ~
2
Beispiel 8.35: In cincm Krcisrohr mit 10 em Durch mcsser l1ieBt Wasser bet Raunuc mpcrarur inlaminarcr Stromung. Die dynarnische Viskosirat des w asscrs bctragt 11 = 1,79 · 10- 3 Ns / m 2. Der gcmesse nc Druckabfall ist ,1p = - 15.0 N /1I1 2/ m. Gcsucht sind die maximaic und mittlere Strornungsgeschwindigkeit sowie dcr Volumenstrom pro Sckunde.
R =O, IO/ 2 = O,05m l'I1I...,
= I·(r = O) = - ·
- 15
4 ·1 ,
2
'
7910 - 1 (0.05 - O- )= 5 , 24 m f.~ . .
lr·0,054 1 V = - (- 15) 8 . 1,79 . 10 3 = Ot 0206 "'-/.I'= 2 0. 6 It f.~ I'm
8.6
=
V
A=
0,0206 7.85 .10
J
= 2.62 II/ f.\'
Zusatzliehe Beispiele
uetspl el 8.36:
Pa r tielle Int egration
j e' cosx dr= j
_____ '-v-'
e' cosx dr =?sinx - j e' _____ sin r d r u
= i{
stn .r -.
I
~
[ e' (- cosx) - j
h'
e' ( - cos x) "
----- --....-.... ----- -....-.--I
II
I'
II
= e' (sinx + cosx)- / e'cos x dr Dcr lctztc Ausdruck auf der rechten Se ite wird nach links gebrachr:
2/
e' cos .r d e e e' {sin r -t-cos.e)
=>
fe
.
T
cosx dr =
~(sin x + cos x) 2
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 8.37:
Pa rt ielle Integration
1
e - w l cos rot dt = '!
f
.
379
ta : Konsrantc
. rot e" WI cos rot dl = e : WI -I sm 00
'-..-' "-v-'"
"
,J
JI .,)
sin m r ",
- roe-
- OJ
OJ e - wl sin rot+ Je_ _ = ..!.. - wI sin rot dJ II
h'
. rot -(' - WI -I cos Wt = -I e - WI sm OJ
=
OJ
~ e - Io/
(sin w/ -cosw t ) -
l-:
JI "") ( - we
- -I cos er r ) dt OJ
cos er r dt
2Je- W l cos wt dt = ~e-WI (si n Wt -cos W/ )
=}
2~
J e - WI cos rot dt =
=}
Heispid 8.38:
('- WI (sin W t - cos W I )
Purt ielle Int egration
J
sin2.r d r =
f~~ "
dr = sinx ( - cos x) -
J
cosr ( - cos x) d r
,J
= - sinx cos x + !
~ ~ dr ,
h'
= - sinr cos .r -r-cose sinx - ! ( - sin x) sin.r ill
.I
sin2.r d r = - sin.r cos r -r- cosv
-r-!
sin2.r d r
Die rcsufncrcndc trivialc Gleichung 0 = 0 ist nurztos! Sctzt man dagcgcn nach dcr ersten partiellen Integration unstellc des Ausdrucks cos:! .r den gleichwertigen Ausdruck I - sin:! .c ein, gelingt die partielle Integration problcmlos:
f
sin2.r d r = - sinr cos x +
f
cos:! .r dr = - sinx cosx +
1(1-
sin2.r] d r
= - sinx cos x+ x - ISin2x dr Jetzt wird das Integral
.r sin:! x ill auf der rcchten Scitc nach links gcbracht und man
crhatt dann:
21
sin2.r d r >
-c
sin.r cos .r t- .r
=}
1
sin:! x dr =
~
(x - sin x cos x)
3XO
8 lntegralrechnung
Hd spid 8.39: Oa s Inleg rlll
f
I
Partielle Integration ('x
s ill r d r so li mil Hi lfe dr-r parriellen In[('grlllinn besfim m t wo rde n.
e'sillx dr =e'si nx -
f
e'cosxdr =e<sinx -e'cosx -
f
e'si nx dr
Jetzt wird dcr letzte Term auf der rechten Seite auf die linke Sc itc gcbracht:
2
I J l"
=>
sinx ill = t! sinx -e' cosx
e' sillx dr =
~e«si nx -cosx) +c
Hcispiel 8.40: Partielle Integration Das Integral I .r Sill2 .r d r soil mil Hilfe der partiel1en Integration bestimmt werden.
Ix
sin2x dr =
I~~dr = x si ll X ( - COS X) " -x I Ix
j (SillX+X cos.e) (- cos x) dr
\~
=
sin .r cos.r -i-
cos2.r d r
sin r cos .c dr -l-
= - x sin.r cosx +
~
sin2 x +
= - x sinx cosx +
~
sin2 x +
. X cos x + 2 I Sill . -' x + = - x Sill
I I
x ( l - sin2 x) d r x de -.
x' 2"
j .r sin2.r d r
J .a
.r Sill .r d r
Jetzt wird der tetzre Tcrm auf dcr rcchtcn Sette auf die linke Scitc gcbracht:
I
.r
sin2.r dr q-
Ix
sin2.r d r ee
-x
sinx cosx +
2I x sin2 x dr = -x sin x cosx + ~ sin2x + "~
j x sin2.r dr = ~ ( - 2r sin x cosx +sin2x + ~ )
~
2
2"
" 2 X SIl1 x +
R.6 Zusarzfiche Bcispicle
Heisp id 8,41:
3RJ
Tra pez-Rege!
Bercchnen Sie das Integral 1 =
2
,
J f , - A"
o
dr numerisch nach dcr Trapczregel mit
f1
= 2
und n = 5. Wie groB ist dcr relative Fchlcr gcgc nubcr dcm mit MAPLE bcrcchnctcn Ergcbnis 1 = 0,882 ? 2 -0 11 = - 2- = 1,0
a) Trapczrcgel mil II = 2 11 -2
Yi 1,0000
Xi
0 1 2
0,0
0,3679
I,D
2,0
1:
Yi
0,0 183 1,0183
1 = 1.0 .0,3679 +
\,0
2
. 1.0183 =0.877
0,3679
Re lativer Fchlcr E gcgcnttbcr dcm mil MAPLE bcrechnctcn Ergebnis: E
~
1
0.877 - 0.882 2 = 0,0057 = 0.57% 0,88
1
2 -0 11 = - 5- = 0.4
b) Trapczregel mit II = 5 1I ~ 5
Xi
o
0,0
I
0,4
2
0,8 1,2 1,6 2,0
3 4
5
Yi 1,0000
Yi 0,8521 0,5273 0,2369 0,0773
0,0 183 1,0183
Rclat iver Fehlcr:
0,4 1 = 0.4 · 1,6936 + 2 1.0 183 = 0.88 1
1,69 36 E=
1 0.H8~.;8~,8821 = 0.001 1 = 0,11%
382
8 lntegralrechnung
Hd spi d 8.42 :
Trapez-Verfahren
Das bestimmte Integral 1 =
1
f e- r
,
d ... ist nach dem Trape z-Regel mit n = 4
n
7.U
be-
rechnen. wie groa ist der relative Fehler gegc nuber dem mit MAP LE bcrcch ncten Ergebnis 1 = 0 ,746 8 '?
11 _4
o 1- 0 h = - 4- = 0.25
Jr 1
1=
e-
d r = 0 ,25 (
o
1 2 3 4
,
Xi
,v,
0,0 0.25 0.50 0.75 1.00
I.OO()()
1 ,3~79 + 2.2880)
Ji 0 ,9394 0.7788 0,569 8
0.3679 1,3679
2,2880
= 0.7430
Rclativcr Fchlcr des numcrt schcn Integral s:
£
rei
~
74681 1°. 7430 - 0. = 0 005= 0 5% 0.7468 . ,
Hcispi el 8.43 :
Sfm pso n-ve r fubre n 1
f (, - r
,
d r ist nach Simpson- Verfahren mit 211 = 4 7.U n bcrechnen. Wie groa is! der relative Feh ler gcgc nubcr dem mil MAPLE bercch nctcn Ergebni s 1= 0 ,7468 '?
Des bestirmnte Integral 1 =
211 - 4 Xi
h -ll h = -2/1
1
1=
J o
'
~
e- r d r =
1- 0 - - = 0.25 4
0 1 2 3 4
1:
0,0 0,25 0 ,50 0.75 1,00
»
)"i
)"i
I ,{XX)()
0.9394 0.7788 0.5698 0,3679 1.3679
1,5092
0 25 T ( L3679 + 4· 1,509 2 + 2 · 0,7788) = 0 ,7469
0.7788
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
3&3
Relat iver Fehler de s num erischcn Integrals: E rel
==
0,7469 ~ 0,7468 1 0,7468 = 0,000 I = 0,0 I % 1
lIeispieI8,44:
Trupez-Regel, Simpson -Verfahren und Oauss-Quadratur
Es so li das besnmmte Integra l 1 ==
.r.\ e - ~ d~
o
nach folge nde n Vcrfuhren bcrechncr we r-
den . Wic groB ist dcr relative Fehl cr gcgcnubc r dcm mit MAPL E bercchn ctcn Brgcbnis 1 = 0,8862? a ) Tr ape z-Ver fahren ( n == 2 und n == 4) b) Simp son-Verfa hren (2n == 2, 2/1 == 4 ) c) Gau ss-Quadrat ur (/1 == 3)
a) Tr apez-verfahren mit /1 == 2
3- 0
f3 e- xl dr e. -1,5 · 1,000 1 + 1.5 ·0,J054
11 == - 2- == 1,5
o
11 -2
° 1 2
XI
}'i
0.0 1,5 3,0
I.()()()()
}'i
0,0001 1.0001
N
IC
0,1 054 1/
== 4
3,
3- 0
o
0.0 0,75 1,50 2,25 3,0
)'i I ,{)()()()
)'i
0,5698 0, I054 0,0063 O,{)()() I 1,000 1
2
~
11 - 4 Xi
0,75
J e- xl dr == - - , 1,0001 + 0,75 · 0,68 15
11 == -4- == 0 .75
l:
_1 ° ,9082- 0,8862 1_ 0 0 2 - 2 0,8862 -, 5 - S
E rel -
b) Trapez-verfabren mit
2 3 4
Rcl ativer Feh ler :
0,1054
l:
°1
2 == 0,9082
0,6815
1 = tan r
cosx = sin r
J
J
•
0
~/4
A= ~
h:
=> x., = 71:/ 4
~/4
(II - h ) ill =
(cosx -. sinx) dr = (sin x+ cos x] ; /4
[(0,7071 + 0,7071) - (0+ I)] ~ 0,4142
Beisp iel 8.49: Flac heninha lt Es soli die zwisc hen den Kurven II (x) und h (x) Hegende Flache A berechncr wcrden, wobei dcr Integrationsbereich durch die beidcn Sch nittp unktc der heiden Kurven bestimm t wird. a)
II (.r) = .\.1 + 2
h (x) = -x2 +2r + 2
Die Schnittp unktc der heiden Kurven erg ibt sich aus dcr Bedingung II =
=>
A
~
b ) 11 (x) =
2r (x - l ) = 0
=>
XI
= 0
X2
Iii ~ 0 ,333
- x+6
h (x) = x 2
Die Schnittpu nkte der he iden Kurven ergibt stch aus der Bedin gung II =
-x + 6= .~ => K+ x - 6 = O
J
J
-3
-3
2
1=
12:
(/1- h ) dr =
=> .r1=-3
.1:2
= 2
2
(- X+ 6- K) dr = 20,83
A = 20.83
h.
= I
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 8.50: Flacheninhalt Gesucht i"t die zwische n den Funktirmen f( r) = r-oc h r 11m] g( r) = 2r einge"ch]n". sene Flllchc im lntcr vall 0 ~ x ::; .r,. wobc i .r" die noch zu bcstim mcndc .r-Koordin utc des Schn ittpunktcs dcr Kurvcn f (.r ) und g(x ) ist.
" ,
.,
..,
c.s
•
o. z
i'
••
Ldsung: Der Sehn ittpunkt .v. dcr heiden Kurven ergibt sic h aus dc r Bedingung f( x) = g(x):
cosh .r = 2r
I
Los ung nac h dcrn Newron-vcrtahrcn : .r, = 0 .58939
1(/ 4
A=
I {cosh .r _ 2x) dr=(sin h x + .r ) I ~·5X939 = (),27673 1(/4
(J - g) d r=
()
()
Beispiel 8.51: Bogentange Bercchncn Sic die Bogenlangc dcr Kurvc y = cos h r im lmcrvall () ~ .r
~ If.
Ldsung: y = cosb .c
::0}
y' = sinhx
.1'" =
l" ~ dr = sinhx lo" = ()
11,549
('t" h ..
Beispiel 8.52: Selltange Wenn cin bicgcwcic hcs Scil odcr Kcttc zwischen zwc i sich auf tier glcic hcn Hohc befindlic hcn Punkten schtaff aufgehagt wird. hangt sich das SciI durch. Dcr Vcrlauf des Seils crgibt sich aus dcr folgcndcn Beztchung. dcren Herlei tung auf dte Fcstigkcits lchre zuruckgctu.
AL - Ax) - cosh y = II [cosh (T
~L]
A ist cine von den Gegcbc nhc itcn des uktuelle n Problems abhungigc Konstamc. Gcsucht ist die Lange des Seils fur A = 0 .3, L = 10 m. )" = - sinh ( AL - Ax)
2
3&9
390
8 lntegralrechnung
l
L
- r
L
j
/ 1+ yl2 d r -=
u
j l +Sinh 2 ( AL _ AX) 2
() ,
-= ~ ± sinh ( A L - Ax) l ~
2
"
'
-±
c,,,h (ALj 2-.h} =0
[sinh ( - A ) - sinh ( AL )] =
2
2L
~
sinh A
2L
Die Scillangc crgibt sic h schliclilic h zu:
2 . h 0.3 " 10 14 19\ 2- = , ./11 s =O.3 Sin - -
Beispiel 8.53:
Boge nlange
Gc suchr is! die Bogenlnnge dcr Kurve y = cos h x irn Interval! 0 ::; x :::; 2, wobei des Integral numcrisch nac h der Ga uss -Q ua dra tur mit /I = 2 zu bercchncn ist.
fo
f ~ d\"
1
y' = sinh .r
a -s- h
2
2
2
s=
1
2
/ 1+ y' d \" =
0
/J - a 2 -- = - = 1
- - =- = 1
2
f (.t )
Xi =
2
I + ri
I¥," = ai
11 -2 1 2
2
.\"=
';
Xi
-0,57735 +0,577 35
0,4227 1.5773
Ii
1,0906 2,5242
a;
Wi
1 1
1
j f(x) dr ~ L w. i» 1- 1.0906 + [ · 2,5242 = 3.6 15 ,"' )
()
Anmerkung: MAPLE licfcrt die Bogcnlan gc
Beispiel 8.54:
.I"
= 3.627.
Bo~e nlii nJ.:e
Bcrcchnen Sic die BogenHlnge der Kurve J = cosx im Inter vall () :::; x :5 11:/ 2 . wobei als Integrationsrnethodc die Gauss-O ua d ratu r mit II = 2 verwendet werdcn soll . Lij·\" /IIlX :
f
Jr. / 2
y = cos .c
=>
y' =o - sin x
.1' =
n
/ 1+sin2 x dr
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
391
GauB-Qu adratur:
,
s=
.
fV+ I
o
+ W2 ·12
f( x )
u=O
b-s a
b =lt/2
b -sa Xl = - 2X2
sin2 x d r ~ W I . fl
~
h -u
+ SI-2-
=
b s- o b - (/ = - 2- + ~22- =
I I ~ I (x') ~ 1.0518
It
4-
b -: «
It
2
4
0.57735
It
= 4
4=
0.3320
It
It
4 + 05 7735 4 = h
~
It
2
W, = lt/ 4
1.2388
I (x, ) ~ 1.376 1
rr S = WI · fl + W2 ·h = 4 ( 1.05 18 + 1.376 1) = 1,9068 Das mit MAPLE bcrcchn ctc Ergcbnis ist s = 1,9 101. Dcr relati ve Fchlc r dcr GauBIntegration mit 2 Srurzsrcllcn bctragt £ "" 1 = I( I ,9 10 1 - 1,9068)/ 1,9 10 11= OJ)()I7 = 0. 17%.
Beispiel 8.55: Bogentange Die Bogenlange der Kurve y = sinx im lntervall 0 ::; x ::;
,
-isszo
ist zu bereeh nen .
'O: ~
.r' = cosr
y = sinx
It
o
1
f (x }
x
2
3
Dicscs Integral lasst sich in gcsc hlossc ncr Form nieht bcrec hncn (cs cxisticrt keine Stammfunktion des Imcgrandcn f (x) und soli desbalb numen sch mit Hilfe dcr Simpson-Regel mit 2" = 4 bercehnet werde n. 2/1 _ 4 Xi
f (x) =
Vi + eos2 x
b -u h= -2n
~
11" - 0 - - = 11"/4 4
0 1 2 3 4
I:
0 rr/ 4 rr/ 2 3rr/4 rr
II 1,4 1421
f;
f;
1,22474 1•()()()()()
1,22474 1,41421 2.82842
2,44948
r.ooooo
x
.~ = 4 . 3 (2, 82842 + 4 · 2.44948 + 2· 1.00000) = 3.83
Das mit MAPLE bercehnete Ergebnis ist s = 3,82. Der relative Fehler der Si mpson-
392
8 lntegralrechnung
Integration bctragt Ert'l = (3,83 - 3,82)j3,82 = 0.0026 :::::: 0.3%.
Ucispi el 8.56:
Bo~e nlan~e
Bcrechncn Sic d ie Bogen tange dcr Kurve im Beispiel 8.55 mit Hilfe der Gauss-Q uad rat u r mit 2 Stt uzstelle n.
,
11 =2
s=
J~ o
h +l/
f (x )
!J -(/
z
2
,
z
b-s a
h -(/ n XI = - , - + ;1 - ,- = "2 b + l/
dr ::::::WI · f l + W2·h
1t
- 0.57735 2 =
n
0.6639
n
.\'2 = - , - +
h -(/ ';2 ,-
= "2 + 0.57735 2 = 2,4777
I I ~ I (x')
1,' 729
Jz ~ I (x, ) ~ t ,' 729
~
.~ = WI ' II + W2 · h =
n
2 ( 1.2729 + 1.2729) = 3.99
Der relative Fch lcr der GauB-lntegrat ion betrtlgt Ert'l = (3,99 - 3,82)/ 3.82 = 0 .044 = 4,4%. Eine deutliche ve rbesserung dcr Gcnau igkeit wurde die GauB-Qua dratur mit 3 SHitzstellen bringen. Beispiel 8.57:
l\l asse cin es Seils
Ein Scil ist mit scincn beide n Endpunktcn jewcils an den Pun ktcn PI = (0 ; 0 ) und Pz = (50 ; 117.85) aufgchangt (a ile Angaben in In). Der Scilvcrlauf ist durch die Kurvc y = X .;xj3 gegcbcn. Die Masse des Seils bctragt pro laufcnden Meter Sc illangc 111 = 30 kRl m . Gcsucht ist die Gcsamtma ssc M des Seils.
J
J
-'I
0
50
~
L=
/ 1+.\ J2 d r =
'O M
~f . o
/ 1 + .\J2 dr
X 2 x 50 1+ _ ctx = _ .4 [1 + _ )J/2] = 129,6 /11 4 3 4 ()
Die Gesamtmassc des Sei ls ergjbt sich zu:
M = m ·L = 30 · 129,6 = 3888 kg
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
Heispid 8.58:
H(I~enlan~e
Da s = 22 + 1 = 5
."b 5 2 2 V = 11" jx (y ) dY =11" j (y - I ) dy = 11" [.; v,
2
b ) Losung nach Gl. (8.32) :
l = 2t
,
,
2
V =1r j x y' dr = 11"
"
-yL 5
= 11" ( 12.5 - 5 - 2+ 2)= 23.56
lr>»: ,
, ~x4 1 : =
23.56
Heispi eI8.65: Volume n elnes Rota tionskorpers Die Kurve y = 2e - xl/ 2 im Intervall 0 ::; .e S 1 wird urn die v-Achsc cinmal vo llstlindig rot ictt . Berechnen Sic das Volumen des Roratlonskorpcrs.
&.6 Zusarzfiche Bcispicle
397
a) Losung nach GL (8.3 1) :
x2 =
Umste tlung licfcrt : Imegratlonsgrcnze n:
Ya = 1.2 13
.l' b
"* V = lC !
2 1n 2 - 2 1n)' = In 4 - 2 1n )'
Yh = 2
J ( I n 4 - 2 I n y) dY= lC [l n 4 . y - 2y( l n y - i) 1 ~-2 13= 1 , 1 34 2
:? (y)dy = lC
1.21 3
Yd
b) Losung nach G1. (8.32 ) :
,
,
V =lC! x2y'dr = - 2lC! x3 e- x2 /2 dx "
0
Die ses Integr al wird mil Hilfe dcr Gauss-Qu adratur Integ riert.
0 -2 1 2
~; -05 7735 +0 ,577 35
Xj
j;
0, 2 113 0 ,7887
0,00919 0.35947
1= - 2lC(0.5 · 0 ,fX)9 19+0.5 · 0 .35947) = - 1. 158
lJeispiel 8.66 :
U;
Wi 0 .5 0 .5
V ~ I - 1. 1 5 8 1 ~1 , 1 5 8
Volumen (ro t ierte «' Iache)
Die schraffierte Flache zw ischen dcr Kurve y = 2e- x2 / 2 (im Interva11 11 5 .r 5 I ) und doc .r- Achsc wird urn die j-Achsc einmul vo11sutndtg rotiert. Bcrcchnen Sic das Volumen de s Rotationskorpc rs.
-I') 1
Ldsnng: Das Volumen des Rotation skorpcrs bcstcht aus dcr Su mme des Teil volumens Vi . welches von dcr gc krum rr ucn Kurvc crzcugt wird. und des Tcilvo lumcns V~ des umeren Krci szylindcr s.
Volumen V:: 11 = )' ( 1) = 1.213 Das du rch die Drc hung dcr gc kru mmtcn Kurvc ur nd ie j-Achse cnstchcndc Vol umen VI wird aus Beispiel 8.65 ubcmommcn: Vi = 1,134 Ge samtvolumen:
V = Vk + V: = 3.8 10 + 1.134 = 4 .944
,
391l
8 lntegralrechnung
Hd spi d 8.67:
Volumen
Zw isc he n zwei glcic h ho he n Pun klen PI und flJ. hdngr ei n Sell. dessen Verlauf d urch die Funktion y = cos h .r irn Intervall - I :::; x :::; I beschrieben wird. Wenn man das Seil _ . ~ ::: ~ _ . -" wie ein Sprungseil schte udcrt (die Aufha ngepunk te blciben dab ei fest), urn schreibt cs einen Rouni onskorpcr. Bercchncn Sic das Volumcn. -1 1 Ldsung: Die Volumen for mel (8.30) auf Scite 366 gilt nur fur dcn Fall, dass die Kurve um die x-Ac hse rotiert wird. Das ist hier aber nicht der Fall (dus Seil wird urn ci ne zur .r-Achse zwar parallele aber versctzte Achse roticrt: dcshulb muss die Scilk urve parallel zur v-Achsc so vcrsc hobcn worden. dass die Kurve let ztendlich urn die .r- Achsc rotic n . Erfordcrliche vcrtikale Vcrschicbun g bctragt: y{ I ) = cosh I = 1.54 3 Die zur x-Ac hse vcrscho bene Scilk urve ergibt sich somit zu : y' = cos b.r - 1.54 3 Vol umen des Rotatio nskorpc rs bei Drchung der Seilkurve y' um die .r-Achse :
,.
•
+1
V=
If /
+1
b ··)2 d r =
- I
If /
(cosb.r -, 1,543 )2 d r
- I
+1
=
If /
= Jt"
=
8.7
(cosh- x - 3.086 cos h x + 2.38 08 ) dr
-, [2[(s inhxcoshx + x) -3 .086sillh x +2,3808x]+' _I
n . 2( I ,4067 - 3,6267 + 2.38(8 ) = 1.0 1
Aufga ben
I. Bestimmen Sie folgende Integrale mit Hilfe von lrucgrultabcllcn (bci den Losungcn wurde die Integrattonskonstante weggel assen ).
J 5a d r
b)
J _ 3e2 .4 dr
c) J 2T d r
d)
I 2T2 dr
a)
Lsg: - 3eH x 2 Lsg : 3.,1
tsg: 2
~ ) J 3 d\'
h)
X
i)
J{ _ 2r+ 5)·1 dr
- t_ 2T+ 5)4
LW - -8-·· L IR: ln x -
x' 2
.2 J x-5 dr
r
j)
8 dr . x
I)
J - 5e' d e
Lsg:
_ x- O.6 0 .6
x' 3
Lsg: 8 1nx
t.sg: - 5e'
8.7 A ufgaben
01)
f
e- 3.2r d r Lsg: - x (ln 5x- l )
0 ) f - In 5x dx
4 - cos 3x
q ) f - 4sin3x dr s)
f cos ( -
u ) J sin2 (2r) d r w)
f
I
- a stn- x ,
sin2r 2 .r sin 4x
"l
'2 -
LW:
p)
/ 2.5' d r
t)
Lsg: LW
2,6x - I 2 n e. , 6, 76
2,5-' 0 ,9 163
J sin 5x
cos 5x d r .r
sin 4x
-+-2 8
- S-
cot .r
dr
( xe 2.n" dx
r) J - 4sin3 , x d r
3
2x ) dx
n)
399
x)
L I'g.' -4-
J tanh 5x d r
LI'1~ :
In (cosh 5x )
2. Bcsumm cn Sic folgende Integrate. ggf. untcr Verei nfachung dcr Intcgrandcn und Vcrw endung von Intcgraltabellen. -c
b) f ( - cosx -3sinx) dr
L \'g : 3cosx +sin3x +c
d ) J (sin2 4x +cos 2(- 4x )) d r
Lsg: x + c
IVsin2x +3 +cosx .cosx d r
o I (2sinh x -3coshx) dt oj
cos .r
LI'g: - sin x + 3 cos x + c
c) J ( -3sinx +3cos3x) dx
e)
cos Sv
----'ii'''+10 2 +c
a) J sin 2x cos 3x d r
/(2+,-,,) de cos 2 .r
Lsg : = 2 t+ c
LI'g: 2coshx -3sinhx +c
L sg: - 2 tan .t
e- 2f
-
-2- +c·
3. Bcsnmmen Sic folgcndc Integrale . a) fVcosh2x -sinh2xdx LW : sinh x 4. Bcrcc hnen Sic fol gcndc Integrale mit Hilfe dcr partiellc n Integration (lntcgratlo nskonsrante c wurdc weggelassen ). _ 1'- 2,
aj
Ixe-2r dr
L I'g: ~(x + 0 .5)
hi
f .r 1'- "" dr
Lsg:
d J -~ e - 'U d r dj
.r .r cos r d r
e)
Ix
sin e.r d r
n Jcos2x d r
( ~ ~ _ ~ ) e -
A us ocr Losu ngsrunkrton crnan man: (y)' = (ex:!)' Einsctzcn in die DGL licfert:
2 _ _-_ _ ) .r (2ex) 2 (ex .n J
d)
l -y = O
=
)" = 2ex
'2cx - .20 -' = - 2c.~
2.1J
0
/
", 0
,
tsg: y e, ce'
Aus dcr Losungsfunktlon erhalt man: (y)' = (toe' )' Einsetzen in die DGL liefert : cr' - cr" = 0
=> l = ce'
/
'----v---'
o
e) Ii I =
- k 11/
Aus der Losungsfunktion erhalt ma n:
~ III = ~ (a
dl h Einsctzcn in die DGL liefe rt: - kce - =
O n J + .'1'= 0
dl
-s
- h)
k . ce: "
/
LW " ' + Y"", +(' =' O
Die in der implizi ten Form angcgebcne Losungsfunktio n x2 + y2 + c = 0 wire! zunnchst nach y aufgelost und nach x d iffcre nziert :
(y )'= {V- x 2- e )'=
y = V -x2 - e
- 2r
-x
2J .r2 c ~ -.;r""x'j'2~c
Einsctze n der Losungsfunktion und ihrer Able itun g in die DGL erg ibt:
-x
v - x 2 - c --,=~~ +x = O 2
,
J
x
c,
=}
- x+ x= o ./
Alternatives Vorgel,en: Es iSI nicht zwingend notwendig, die Losung in die cxpliznc Form zu rransformicren . Man kann direkt auch mit dcr impli ziten Losungsfunktion arbeitcn. Sci der impliziten Ablcitung (vgl. auch Abschnitt 6.4 ) ist zu beachten. dass y von .r abhangig is! und die Ketlenregel angewendet werden muss:
d v"' ) --'-dv +d e=O => -d .r, + ( -t-t de dv' d r dr =}
2r +2y./ + 0 = 0
--
yy' =-x
Binsctzen in die DG L liefert : - x+ x = 0 ' I'
/
9.4 Allgemeine. speziel!c und partikulare Losung
9.4
4 1J
Allgemeine, spezielle und partikula re Losung
Allgemeine Liisung etner DGL Wen n d ie Losung einer DOL noch unbekann te Konstanten cnthalt. nennt man sic d ie allgemeine tosung dicscr DOL. Aile Losungcn in Beispiel 9.9 sind z.B. allgemeine Ldsungen. wei! sic die unbekannrc Kon stuntc c enthalte n. Aufgrund dcr Konsta nte c bcsteht die allge meine Losung y = f (x ) e iner DOL aus eincr unendlichcn Schar von gleichartigcn Losungen. von dcncn jcdc sich gcgc nuber andcrcn Losungcn d urch cine Parallel verschiehuug in Riehtung del' j -Achsc untcrschcidct. Anmerkllng : Die Anzahl del' Kon stuntcn dcr allgcmcincn Losung crgibt sich aus dcr Ordnung del' DOL. Die allgemeine Losung ctncr DGL I. Ordnung z.B . cruhalt nul' cine Konstantc cr . d icjcnigc cincr DOL 2. Ordnung cmhan zwci Konsmnrcn CI und cr , Anfangsbedingungen un d Ra nd bedlngungen Wen n die Losung f (x ) del' DOL die zusatzlichcn Bedingungen nur an eine r Stelle. z.B. x = u, erfLillen muB. spricht man von Anfangsbedlngungen. Die DOL wird in diesem Fall auch Anfa ngsw ertaufgabe ge nannt. Wenn die zusmzllchen Bedingungen an mindestens zwei Stellcn. z.B. X I = u und .rz = b. vorgegebcn sind. handelt es sich um Ra nd bedt ngungen und d ie DOL ist eine Ra nd wer ta ufuebe. Bei diese n zwei Stellen kann es sich uuch um zwe i Zeitpunktc tl und t 2 handeln (z.B. bei dynami schcn Vorgungen). Hinweis: Zur Bestirnrnung von II Kon stamen eincr DOL II-ter Ordnung werden II Zusatzbed ingungcn (Anfungs- bzw. Randbcdingun gcn t bcnongt . Eruhalt die allgemeine Losung L B. die Konstanten Cl und C2, sind zu dcrcn Bcstimmung zwci Zusatzbcdingungcn erfordcrlich. Anfangsbcdi ngungcn kornmcn in dcr Regel bci Aufgaben dcr Starrkorpcrdynamik vor. Randbcdingungcn trcten chcr in del' Statik von Stab cn und Ftachcntr agwcrkcn auf. Anfangs- und Randbcdingungcn kormcn abel' auch glcichzcitig auftrctcn, wic L B. in del' Dynamik dcformierbarer Kerper (Stabc und Flnchcntragwcrkc).
Spezielle Liisung etner DG L Falls d ie allgemeine Losung dcr DOL neben der DOL selbst noch bestirnmte vorgegebene Zusatzbedingungen erfullen muss. ergibt sich die spenette Lij.wllg dcr DOL. Bei dcr spczicllcn Losung handelt cs sich also um cine ganz bcstirr untc Losung aus eincr uncndlichcn Schar von dcnkbarcn Losungcn. In der spcz icllcn Losung kommcn deshalh kcinc unbcstimmtcn Kcn stantcn rnchr vor, sondc rn diose Konstantcn crhaltc n ganz koukrct e Zahlc nwerte . Die spczicllc Losun g wird aus del' allgcmcincn Losung durch EriUllung von Anfallg.~hedillgullgell bzw. Randheding ungen gcwcnncn.
UeispieI 9. 1O: Fur das Beispiel 9.9a soli die spcztctlc Losung fUr die Anfangsbed ingung y(2 ) = 6 besrimmt werden . Die allgemeine Losung y = ex bcstcht aus eincr unendlic hcn grouc n Schar von Gcradcn. die durch den Ursprung des .o- Koordtnatc nsystcm gchcn (die Steigung del' Geradcn wird dUTCh d ie Konstanle c bcstim mt). Aber nur cine einzige von ihncn geht
41 2
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen
auch durch den Punkt P = (2; 6) . Dic sc wird w ic folgt bcst im mt : 6
c= - = 3 2 Einsctzen von c = 3 in die allge meine L e-ung licfert die spezielle L osung:
y = 3x Dicsc Losung crfullt sowohl die DOL wic auch die A nfangsbcd ingung (ubc rzeugc n Sic sichtj. lleispieI 9. 11: Fur die in Abschnitt 9 vorges tellte n Beisp ic le ge lte n folgen de A nfangs- bzw, Randbcdingunge n (ihre Her lcitung lst Ccgen srand dcr Mechanlk . cs so li hier nich t naher da rauf eingegangen werdcn): Problem
Knicken eincs Kragbal kcn s
Anfangsbcd ingu nge n Randb edingungen 1'(0) - 0 y'( 0) ~ 0 y"( L) 0 l l/(L) = 0 y( O) _ 0
(Randwertproblem)
y'( O) ~ O
Bicgung c ines Kragb alken s unter Strcckc nlast (Randwertproblem )
= =
y"( L) 0 Ely''' (L ) ~ - NJ' (L ) Wasserpe gel (A nfangsw ertproblem) Freier Fall (Anfangswertproblem)
h(O } - 110
s(O) - So .i(O) = 1'0
Erlautcru ng Du rchb iegu ng Verdreh ung
«Blegemoment « Oucrkran D urchbicgung Verdrehu ng ex Biegemcment
Que rkraft An fungshohc
Stan position A nfangsgcschw ind igkc it
Par tlkulare Losun g einer DG L Fa lls bel der Ermiulung dcr allge mein en Losun g die Integrationskonstante (" nicht berucks lchrigr w ird. liegt ci ne partikuldre Liislfllg vor. Sci der partikularen Losu ng ha ndelt es sic h also um einc heliebige Losu ng au s eincr uncn dlic hcn Anza hl von moglic hen Losun gen . Zur AufstclJun g der partikula rcn Losun g werden ke ine Anf angsbedingunge n bzw. Randhedingungen beuotigt . Alllllerkllng: Meisten s werdc n in dcr Litcrutur spcz icllc und partikutarc Losungcn als sy nony· me Bcgriffe vcrwe ndc t. Zur besscren begri fflichcn Trcnn ung und Vcnncidung von Migvcrstand nissen wurdc hier die obigc Diffcrcn zierun g vorgcnom rncn. Aurtinde n der Lnsu ng Z ur Los ung eine r DOL sind irn allg cmcincn spcz icllc Mcthodcn erfor de rlich, wei! die DGLja sowohl die unbek anm e Fu nkt ion y als auc h ihre Ablciru ngcn y', }'' '",. in bc liebiger Kombina tion
9.5 Lusungsstratcgie IUr cin physiknlischcs Problem
413
enthalt . In Ausnah mcflillc n kann cs jcdoch mog lich scin. cine DilTerentialgleichung au f e infachc Weise zu ldscn. Bci m Bicgungsproblcm des glc ichmaBig bclastctcn Bulkens auf Sc itc 403 z.B. lasst sich die DG L (9. 1) am einfu chs ten dad urch loscn . indem man die DOL 4~mal himcrein undcr nach ljblichcr Integralrech nung nu egnen und d ie unbck unntcn Kostamcn CI. Q , C) , C4 aus den Randbcdingu ngen bcstimnu. Hinweise I. Nicht j cdc DO L besitzt ci ne Losung. D ie DOL yr2 + I =: O z.B. bcsltz r keine reelle Losung, weil fu r jeden beliebigen reellcn Wert von y' der Ausdruc k l 2+ I positiv lst. d.h. es gilt stets yl1. + I > 0, und folglich kan n die DOL nicht erfullt werden. 2. Eine DOL kann mehr als cine Losung habcn. Die DOL }/2 - xl + y =: O bcispiclsweise besitzt ncbcn dcr al lgeme inen Losu ng v =: ex > c 2 noch die sog. singuldre Lcsuug y =: .~ / 4 .
9.5
Ltisungs strategie Itlr ein physikalisches Problem
Die Behandlung cines physikalischcn Problem s crfolg t i.a. in lwei Arbeitssc hrittcn:
I. Fermulieru ng des physikalis chcn Problem s mit Hilfe cmc r Diffcrentialgleichung. Die A ufstcltu ng dcr zugehortgcn DOL erfolgt untcr Bcachumg physikalischer Gcscrzm abigkcitcn und Zuhilfenahmc speziellc n Fachwissens. Die O rdnung der cntstehc nde n DOL hang r vom aktue llen physikalischen Problem abo Des von der DOL besch ricbcne Problem wird -jc nac h Ordnung dcr DOL - Anfang swertau f gabe oder Randwe nauf gahe ge nan nt. 2. Los u ng der An fungswert - bzw. Randwertaufgabe a. Ermi ttlung dcr an gememen Liisung dcr DOL. b. Oewinnung einer spezlellen Los ung aus der allge meinen Losuug durch ErfUlIung von Anfangs- bzw. Randbedi ngungen . lIeispieI9.1 2: Die Masse des radioaktivcn Elem ents Radi um ist ci ne Funktion dcr Zei t; sic wird mit zuneh me nder Zeit weniger. weil Rad ium aufgrun d seiner radioakriven Strah lung zerfallt. Dicscr Zusa mmenhang wird durch folgende DilTere ntialgleichung beschriebcn (dus ist d ie Pormu ticru ng des physlkalischen Prob lems): Iii =: - 11.1/1
odcr:
dill =: - k ill 01
-
II. =: 1,4 . 10- 11
(Zc rfullsc xponcnt)
Es ist zu bestimrnen, nach wieviel Jahren vo n ursprUnglich 1110 =: 5 g Radi um noch 2 g iibrig bleibt. Man kan n slch durch Einset zcn uberzeugen. dass die DOL Iii = - km folge nde allgemein e Uj.I'IIIlK besitzt: 11/
=: lII (t ) =: ce - kl
Kontrolle: m =: - eke- kl
-
Iii =: - kill ./
Die speelette Uj.l'Ifllg wird aus der Anfang sbedi ngung m(t ge der radiouktiven Substa nz) bcstimnu : 111 (0 ) =: mo =: 5 =: ce- k ' () =: C eO =: C
.,
= 0) = 5
=> c =: 5
(an fangfic he Men-
414
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen
Jetzt wi rd die Ze it to bestimmt. nach dercn Ab lau f einc Restrncngc von 2 g Rad ium ubr ig blci bt: ::0}
In(e- 1 10 ) = InO.4 '-v-'
- klo = - 0 ,9 162907 32
- k lO
10 32 = 6 ,-544933 · 24 ·3600) = 2075 Jah re ! Io = 0 ,9 1,4162907 . 10 - 11 - - · 10 .s = - 6 ,544933 · 101()/ (365 -
9.6
DitTerentialgleichu ngen l. Ordn ung
In die sem Absc hnitt werden einige grundlegcndc Losungsvcrfuh ren fllr Diffcrcntiulgleichungcn I. Ordnung vorgestellt.
9.6.1
Trennung der Variablen
Falls cine Differen tialgleichung I . Ord nung in der Form
Ig(y) y' ~ f (' ) I
(9.10)
vc rlicg t bzw. stch mincl s algc bra ischcr Um for mun gen in dicsc Fonn tran sform icren lasst, crgibt sich cine ei nfachc Losungsm crhodc. Untcr Verw endu ng der Beziehung l = dy/dr ka nn man d ie DGL wic folg t utnformcn: dr
g(y ) ~ d,
~
f (x)
Auf bcidcn Sc iten des Glcichhcit szc ich cns licgt j etzt j ew cils cine Funk tion mit a ngteichen Variabien vor. d.h. auf dcr l inkcn Scite cine Funktion von nur y und au f dcr rcchtcn Scitccinc Funktion von nur .r. Dicscr Vorgang wi rd als Trennung der variabten beze ichn et, wei I die .r-Tcr mc und y-Tenne voncina ndcr vollko mme n gctrcnnt sind . Deshalb konncn bcidc Sci tcn vone inande r unabhangig int cgri crt werdc n. Diesc Method e wird Trennung cia variabien ge nannt: DilTerent ialgleich ung : Losung :
.I
g(y ) dj- =
g(y ) l = f (x)
.I
f (x) d r + c
Nach DurchfU hrung dcr lmcgrunon ist dcr Ausdruck nach y aufzuloscn.
(9. 11 )
9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnu ng
Heispid 9.13: )/ _),2= 0
Trennung der Vartablen A nfa ngsbcdfngu ng: y( I ) = I 1
,
-v v =
r
............. g(y )
'
4 15
y=? - I
'* -y
1
............. f (·T}
= x+c
- I Umformung des lctzrcn Ausdrucks liefert die allgem ei ne Losung: y = - -
x+c
Kont rolle durch Einsetzcn dcr allgemein en Losung in die DGL: - I ) '
y' = ( x + c
1 (x +cI)' ,
1 = (x+ c)2
::::} (.\"+ c )2 -
0=0
=0
./
~~
, .1
.1'
Spczielle Losung ergibt sic h aus dcr Erfiillung dcr Anfangsbed ingung: - I I +c
I + c = -I
,' ( I ) ~ I ~
.
"-
c= - 2
• $ -
- I x -2
Kont rollc dcr spczicllcn Lo sung:
1
(.v.)' ~ ( x-_ I2 )' ~ '(x--'-,C; 2)'
o ~o
.(
HeispieI9.14: Trennung der Variablen Die DGL 2))" - 4x = 0 ist unter ErlUlIung der Anfangsbedingung y(O) = 0 zu losen. Die allgemeine L osung erhun man dUTCh Tren nung dcr va riab lcn :
-' 2," v' = 4x
/( )")
\' =
::::} j2Yd.r = j4xdr + c
f (x }
±/ 2x2 + c
Kontrolle dcr allgemeinen Lo sung (Einfuchhcit hulbcr nur die positive Wurzel uberpruft):
Diffcrcnziercn dcr allgemeinen Losung: Einsctzcn in die DGL :
~
"
(y), ~ (V~ " " +c) , ~ ~;;=='= J 2x2 + c
2r
2 V 2x2 + c J'2Xf+C - 4x
--....--.'"
--........--2r~ + c
;'
.,
=0
416
9 Gewohnlich c Diffcrent ialgleichun gen
,
4x ~ 4x =0
0= 0
/
Die spczicllc Losung y" ergibt sich aus der atlg cmct ncn Losung durch Einarbc itung der Anfangsbcdingung:
y{O) = 0 =
"*
± V2 . 0 2 + c ~ ±JC
"*
c= O
y., = ± @
= ± V2x
Kontrolle dcr spcziellc n Losu ng (nur die Losung mit positivcm vcrzeichcn wird uberpruft) :
(y,)' ~ (v'2x)' ~
v'2
--
2 v'2 x
, .'
v'2
- 4x :!, 0
,
4x -4x =0
0 =0
/
Hinw eise: 1. Es ist wichtig. die unbcstim mte Integrationskonstante unm iuelbar nach dcr Integration des Ausdru cks [ (x ) einzufuhren. Eine spntere HinzufU gung kann zu falscher allgcmeincr Losung fuhre n. 1m obigen Beispiel 9 .14 ware z.B. folgende Vorgehenswei se [ufsch gewesen:
2)'y ' - 4x = 0
! 2ydy = !4xd,"
Dass diose Los ung falsch isr. erkennt man beim Einsctzcn in die DGL 2yy' - 4x = 0 :
y' = (V2x+ c)' =
V2 "* 2· (v'2x +c) · V2 -
4x = 4x +2V2 c - 4x =
2V2 c :f o !
Das Brgcb nts isl :f O. d.h . die DGL wird nicht erfllllt. Zwar konntc die Erfullung der DGL erz wungen wcrdcn. wenn (' = 0 ei ngesetzt wird: dann harte ma n aber nicht die allgemei ne Le-ung so ndem nur cine beliebigc Losung gewonnen. 2. Es wird allge mei n emp fohlen. nach Bestimmung dcr speziellen Losuug einer DGL dere n Richt igkeit mtuels Substitution in die urspriingliche DGL und Obcrprufung der Zusatz bediu gungen (Anfangs-/Randbcdingungen) zu kont rollie ren . Die Losung ist richtig, wen n die Substitut ion zu keinem Wider spruch in der urspriinglichen DGL fuhrt und gleichz eitig die Zusatzbedin gungcn erfilllt.
9.6.2
Transformation der Varia bien
Es kann vorkomm en. das s sich cine Differc nrialglcich ung I. Ordnung nicht unmit uc lbar. sondem erst nac h ei ner variubtentransfonnatiou in die Form mit getrennten Variablen bringen Iasst. Beispiclsweise ist cs mit algebraischen Umfo rmungen nicht mogl ich. folgende DGL in die Fonn g(y ) )" = j {x ) zu bringen :
y' = x +y
lasst sich nicht in d ie Form glv ) y' = j (x ) bringen!
Die in Abs. 9.6 .1 bcschricbcnc Met hode Trennung der variabten ist also auf d tcsc DGL nicht unmittclbar anwendbar. In bes tim mte n Fallen lassen sich solc hc Differenti algleichungen jcdoc h mit
9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung
4 17
Hilfc eincr Variablentra nsformat ion in die Fonn mit getre nnten Variablen bringe n. Nachfolgc nd worden cinigc ausgewahlte Typcn von DGLn bctra chtct. die mittel s Variablc ntrans formation gclost w erdcn kon nen. DGLn vom TJp .\/ =
9.6.2. 1
f (Ax + By + C)
Die rcchtc Sei tc etncr solc hcn DGL bcsteht aus cincr bclicbigcn Funktion des Ausdrucks Ax + By + C, wobci A.B. C skalare Koefftzicnteu sind. Eine DGL dle ses Typs liisst sich mittels dcr varteblensubstit ut ion II
= Ax + 8y + C
in cine neue DGL ubcrfuhrcn: wird
"/ = f{ Ax+ By + C)
lr~n,f"nnien
in die !'<mn
y' = f( l1)
Naeh dcr Ubcrfuhrung dcr DGL in die Form y' = f (lI) wird noch dcr Ter m l aus dcr DGL climi nicrt. Hier zu wcrdcn bcidc Scitcn des Subsututionsausdrucks 11 = Ax + 8y + C nach .r d if· fcrenzicrt {untcr Bcachtung der Tatsuchc. dass sowoh l y als auch II von x abha ngigc Variahlen sind und dcsbalb nach dcr Keue nrcgcl d ifferenziert werd cn mlissen):
d dr
/I
d = - (Ax+ By+ C) dr
/I
, = -d (Ax ) + -d (By ) +d C= A+ By , + 0 dr
dr
dr
=> "/ = u' - A B
Einsctzcn des letztcn Ausd rucks fur y' in d ie urs prunglichc DG L licfcrt die transformic rtc DGL : II' -A - = f (II ) B
=>
1I' = B f (u)+ A
c-,""",Ic..",..., ,
A +B f (lI) 11 = 1
'-.--' g( u )
Es handelt sich bcim letzten Ausdruck o tfensichtlich urn eine DGL mit getrennten Variablen, welc hc dire kt integricrt werde n kunn: I -;-ci"7CC'C dll = dr A +B f (u )
Die Integration der linke n Scire ist von der Funktion f (u ) abhangtg. das Integral der rcchten Scire kann hlngegen allgeruein gu ltig angegeben werde n:
J
I ( ) dll = x +c A + B f ll
(9 . 12)
Nach dcr Bcsnm mu ng von /I uus (9 .12) muss anschheucnd noch dcr A usdruck (Ax+ By+ C) anstelle von II zuruck subst ituticrt worde n. Die Auflos ung des cns tcbcndcn Ausdrucks nac h y
41!l
9 Gewohnlic hc Diffcrent ialgleic hungen
licfc rt schlic blich die ges uchtc Losun g y = p(x ). Ucispi eI 9. 1S: Nachfolgend sind einig e DGL n vom Typ l = [ (Ax + By + C) vor und nach der EinlUhrung der Substitutionsvariable II = Ax + By + C angegeben:
DGL
Substitutio nsvariable
l -2t -3y + 4 y' =v x + 2y
11 _ 2x _ 3y + 4 II = - x + 2)'- I
y' =sin (x +y)
II = X+ Y
Tra nsformicrtc DGL y' - II
u
y' = .,fii y' =sin ll
sin II
f lu)
;U
Ueispi eI9.16:
y' _y = X
.1'(0) ~ 0
y =?
Liisungsweg J:
Bci dic scm Losungswcg wird (9.12) direk t angewan dt. Zu nachst wird die DGL in die Fonn y' = x + y gc bracht. Aus dcm Verglcich von (Ax + By + C) mit dcr rcchtcn Seite (x + y) erkennt man. class A = B = 1 und C = 0 sind. Mit der Sub stitutio n lI = x + y cr nstchr dte Dqt. y' = II.
y' =
'* [ (11) =11
II
nun kann (9.12) unm itte lbar angewand t wer den:
J
I
A + B [ (II )
:::}
J
dll = x + c
In( 1 + /1) = X+ C
1
1+ 1' 11
I' )
dll = X+ C T
= e- +"
e
'* 1+ 1I = e-'
l +u
Nach Rtlcksu bstitution von I +(x+ y) = Cl eT
11 =
~ = Cl e< //=X
y x
=> - = In.r + c
1 dll = -dr
x
y = .r (ln x +c)
al lgemeine Losung
Die Einarbc itung dcr Randbed ingung y( I) = I licfert die speziclle Lcsung: 1 = 1· (lnl + c)
=> ('= 1
.\"
y, = .r (In .r + I)
9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung
9.6.3
425
Lineare Djfferentlulglelchungen I. O rdnung
Eine Differcmial glcichung I . Ordnung wird als linear bczcichnct. wenn sic fclgcndc Ges talt bcs itzt:
IY'+ q( x) y = r(x ) I
Uneare inhomogene Differmtialgleichung /. Ordnung
(9. 16)
Die Bezeichnung linear kommt da her, dass y und .'/ in linearer Form vorliege n. Hingegen sind q (x ) und r(x l beiiebige Funk tionen von .r. d.h. sic kc nnen z.B. Po lyno me, trigonometrische bzw. exponentielle Funktionen sein . Die Funkt ion r(x ) auf der rechten Seite wird Slijrfimklioll gena llnL Eine Iineare DOL ist ent weder homogen oder inhmnogen, jc nac hdem ob auf der rechtcn Scire ci ne Null oder die Storfunk tion r(x l steh r:
y' + q (x ) Y = 0
linearc homogene DOL
(9 .17a)
y' + q (x ) Y = r (x )
lincare Inhomogene DOL
(9. l7 b)
Die allgemeine Los ung der hom ogcnen DOL (9.17a) wird mit Hilfe von »Trcnn ung dcr Variablcn« bcsrimrnt (s. Abs. 9 .6.3.1). Die allgemeine Lc sung der inho mogenen DOL (9. 17b) ergibt sich als Summe von zwe i Teillosungen: Allgemei lle Liisung einer tineare n inhomogenen DGL / . Ordnung:
DO L: Losung : Y y" y"
y' + q (x ) y = r(x l y = YII + y" Aligemeine Losun g dcr inhomogenen DO L Allgemeine Losun g der homogeneu DO L Ponikuta re Losung der inhomogenen DOL
19. 18)
y' + q (x ) y = r(x ) J' + q (x ) y = O J' + q (x ) y = r(x )
Hinweise: I. Von den Iur die Bestimmung der panikuidren Uisung y" dcr inhomoge nen DOL zur VerfUgung stc hcndc n Vcrfahrcn werden hier folgcndc zwe i bchandclt: a. Fur cine lincarc inhom ogcnc DOL mit knnstontem KOl!jJi:.il!nt q (x ) = k wird die par· tikularc Losu ng mit Losungsansatzcn bcsumnu . sofe m die Storfu nktion r(x ) cinen bcstirnmrcn Aufbau hal (Abschnill 9.6.3.2) . b. Fur cine lincarc inhomoge ne DOL mit heliebigem Koeffn ient q (x ) wird die partik ula re Losun g mit Hilfe von " Variation der Konstantc« crm tuct t (Abschnin 9.6.3.3) . 2. Die spe zielle lii.nmg Y., der Inhomogencn DOL (9.17b) wird d urch Erfullung der Anfangsbcding ung y(xol = Yo aus der allgemeinen Losung (9. 18) der inhomoge nen DO L bestimnu .
426
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
9.6.3 . 1
Lineare homogen e Differ ential gleiehung I. Ordnu ng
Ute Iineare homo gene UUL ("). 17a) (9 .17a)
Hissl sich beso nders ein fach loscn , wei l cs sich dabci cigcmlich urn c ine DGL mit gct rcnrucn Variablen handclt. Die Division bcidcr Seiten durch y licfcrt:
y'
-+ q (x) ~ O
y
i
~ ~
y
oy
- q(x)
~ ~
y
- q(xl ox
/
~ dj- =
- / 4(X) dr
Nach Integration der lctzten G leichung auf beiden Seite n (unter Einbezie hung der Integratio nskonstunte c) erhalt man die allgemeine Lnsung dcr lincaren homogenen DG L I . Ord nung :
ln y = -
J
=}
'1(x ) d r +c l
elnl'
= e:
f q(.\ ) d T+ CI
= e:
f q(.\ ) d.t
y
eel c
Allgemeine Liisung einer tinearen hamogenen DG L J. Ordnung:
DGL,
y/+ q{x)y = O
Losu ng :
y = c e-" J q( .o:) d '
(9.19)
Hinweise:
I. Falls cine An fangsbedi ngung fur die homogene DOL vorgege ben ist. lasst sich aus der allgemeinen Losung (9. 19) die speziclle Losung dcr hom ogenen DG L gew innen. 2. Falls es sich bci der zu losendcn Anfangswe rtau fgabe um cine lnhomogene DGL nac h (9.17b ) handelt und GI. (9. 19) led iglich d ie zugehor tge homogene DGL darsrcllt. gilt folgendes: a. Die allge meine Los ung der zugehi.irigen homoge nen DGL wird zur Vermeidu ng von Verwech slu ng mit dcr allgcmeincn Los ung der inhcmogcncn DOL mil Yh bezcichnet. b. Die allgeme ine L osung (9 . 19) der homogencn DOL stellt nur die Teillosung Yh dar. In dic sem Fall muss die Anfungsbcdingu ng von dcr allgc rncincn Los ung dcr inhc mogcncn DOL crfu llt worden. Es ware falsch. zur Erftillung dcr An fangsbcding ung die Tcillo sung Yh allci ne hcranzuziehcn. Ueispi eI 9.22: Gcsucht ist die Losung dcr Anfa ngswertuufgabc l + (3.~ - 2r)y = O. y(O) = 1. Da cs sich von Haus nux urn cine homogenc DGL handelt. braucht man kcine partikularc Ldsung. Mit Hilfc von (9. 19 ) crhalt man die allgeme ine Los ung dcr homo genen DOL: =}
=}
J
'1(x)dr = 1
y = ce- I q(.\ jdt = ce- (.\"- r
,
)
J'
"
(3x~ - 2x) dr = X" - x~ ,
= ce- ·r-+r
'
9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung
427
Die Einarbeitung dcr Anfangsbe dingung licfcrt die spczicllc Losung:
,
,
, (0) = I = c e ~o- + (Y = c
,
'-.-'
,
9.6.3.2
Line are Dlfferentlelgletchun g 1. Ordnung mit konsta ntem Koeffizlenten
Ein Sondcrfal l der DOL (9. 16) ist die lincarc DOL mit konstantcm Koc ffizicnt. In dicsc m Fall ist dcr Koeffiziem q(x) cinfac h ein skalarcr Koc ffizie nt k , d.h. es ist q(x) = k :
Il+ k y - r(x)1
(9.20 )
Die allge meine Losung dicser lnh omogen en DGL setzt sich entsprechend GI. (9. 18) aus zwei Teiltosungcn zusamrne n:
Y =Yh +Yp
+ ky = r(x ) l + ky = 0 Partikuliire Losung der inhomogenen DOL y' + ky = r(x )
Y : Allgemeine Losung der inhomogencn DOL l Yh : Allg emeine Losung dcr homogenen DOL )",, :
Die a llgemeine Losung Yh der homogen en DOL ergibt sich geman (9. 19) zu:
IYII= y = c e
y =YII + YI'
_
1
2'+ 4"
( 1+ 2 r)
Bestinun ung dcr unbekannten Konstante durch ErfU llung der Anfangsbed ingu ng: I
ao
2
-.....--
)' ( O ) =~ = c e ~
01
[
I
4
4
+ - (1+ 2· 0) =c + -
1 2
Die spezielle Losung dcr Anfangswe rtaufgabe lautet schlieBlich: I
~,
I
I
y" = 4" e- -' + 4" ( I + 2x) = 4" (e-
2x
+ 1+ 2x)
1 4
1 4
c =- - - = -
429
430
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
Hd spid 9.24 : Nach folg on d s ind noch e inige Rei "piel e fiir Ilie Wahl vo n A nsatzfunk tione n ge mim Tabellc 9.1 zur Bcstirnmung dcr part ikularcn Los ung fur lincarc DGLn mit kon stantcn Kocffizicntcn gcgcbcn. Differcntialg lcich ung
Ansatzfunktion )'" gc maBTab. 9. 1
}/ -2)'=5 l + 2)'= 5 - 3x
Ao
l -y =."J l -y = I -.0
l + 2y =( 1 - 4x) e- l r y' + 2y = ( 1 _ 4x+."J) e l r l - 2y =sin 2\' y' - 2)' = s in ax l +y = e- 4 , sin2.\:
Ao + A I X Ao + A Ix + A2.r2 + A3r1 Ao + A Ix + A2.r2 + A.,r' + A 4X-l x (Ao + At x)e - l' (Au + A Ix + A2.r2 + A3X3) el ' Ao sin 2 r + Bo co s 2 r Ao sin ax + Bo cos ax
Aoe - -1 r sin2x + Boe- -1.\ cos Zr
Regetn filr die Anwendung der Tabe lle 9.1:
1. Wenn die Storfunktiou die »r-tc Potenz von .r cnthdlt (111 :5: II). d .h. .r'", mu ss dcr L6s ungsansatz hickenios allc Tcrrnc mit dcr Ord nung :5: m cnthaltc n (d. h. allc Termc m it Ao, A I• . .. , A", und gg f. na turlich auch mil Bo, B I , . . . , Bm ). Dies gilt auch fur den Fall, dass e inzcl ne Zwi schcnkoe ffizicrucn aiJ (i < m) in der Storfunktion fehlen suilien (vgl. Beispiel 9.24),
2. Fall s die Storfunkuo n r(x ) dureh cine Summe dcr in der linken Tabellenspalte angegebcnen Funktionen dargestcllr werde n kan n. dann bcstcht der Losu ngsansarz y,,(x) au s dcr Su mme dcr korrespon die rc ndcn Ansat zfunkt ionen der rechten Spa lte.
9.6..3.3
Variation d er Konstante n
Die Losungsmcthodc »Van atio n der Konstanrcn « wird ungcwend ct, um die partikulnrc Losu ng der mhcm ogcnen Iinearen Di t fcrcnrialgl cichung 1. Ordn ung (9. 16) mil var iabl em Koeffii iente n q(x ) zu bcstimmcn: (9.22)
Die allge meine Losung dcr inhom ogcnen DO L sc tzt sic h aus zwci Tcillosu ngcn zu sam mcn. vg l. (9. 18)'
Y = )'ir +)'" Die allgeme ine ljj.mng YII der mgetiarigen homogenen DC L y' + q(x )Y = 0 lautct nach O l. (9. 19) ,
9.6 Differentiulgleichungen I. Ordnung
431
Die Methode Va riation der Konstanten wird angcwaudt . um die partlkulare U isung Yp dcr inhomogcncn DGL mit variohlem Kocffizicutcn q(x ) zu bcstimmcn. Sic basicrt au f dcr Idee. Iiir d ie Bcstimmung der partikulurcn Losung )"1' dcr inhomogcncn DGL die allgemeine Losung )"I! dcr homogcncn DGL als Ausgangspun kt (als Ansatzfunkrion) zu verwe nden. Hicrbci wird allerd ings die Kc nstantc c in YI! durch d ie -zunachst unbckann tc- Funktion C(x ) ersetzt (d.h . die Konstantc c bckommr die Freiheit zu varicren. dahcr komrnt dcr Name" Variation der Konstantcn«). Dadurch crgibt sich fur die Bestimrnung der pani kularen Losung der inhornogenen DGL fol gender Losungse nsa tz: Y"
= C(x ) e- [ q(x) d,
(9.23)
.v"
Die crste Ablcitu ng d ieser Ansatzfunktion I ll r .\~,
= c' (x ) e- [ q{x) d < _ C(x ) q(x ) e- f q(· 1 = ce
c = I/e
y , = -I e3...' = r "·r - I e
Trenn ung d er vart eblen
IJcispiel 9.28:
l =xy
Lesen Sie die Anfang swertau fgabe Ldsung :
y(O)
I
Umfo rmung der DGL liefert:
4
l ='-....-' .r
\'
f(·~)
--:..,.....g()' )
Allgem eine Losu ng:
~
-
,
.r-
;2 +" eIn .,' = eT
=> In .\' = -2 + c
y = e rl / 2 e"
: .1'
Kontrolle dcr altgemei nen Losung :
l
= ( e rl / 2
e'y
=
(.~ /2)'
er:'! / 2
e C
+ er:'! / 2
tX
= X e .(1 / 2 eC
=0
.,
/ =x-,"
x e ' 12 e'. =" x,e'.21'· e'· /
-- --
Die spezielle Losung wird durch ErlU llung der An fangsbedingung bcstim nu :
y(O) = 4 =
r» e" =
eO e" =
e"
=> In 4 = ln e" = (' ln e =c
(4 e r'I'• ) ' =
1.38629
=.
Kon trollc dcr spcz teucn Losung:
(Ys)' =
C=
'I'
4x e r •
4x e r:'! / 2 ~ x 4 er:'! / 2 .1"
Alternative Definit ion der Konstante: Durch Einfiihrung eincr neue n Konstantc
CI
/
)'
= e" lasst sich die allgemein e Losu ng
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung
auch wic folgt angcbcn: )' =Cl ~j2
Aus dcr Anfangsbcdi ngung folgt dan n die spezicllc Losung:
'"I'- = Cl ('" = CI
y(O) = 4 = CI e
CI = 4
=}
y ,, = 4 e.,2 j2
=}
lIeispieI9.29: Tre nnung der v arfablen Loscn Sic die angcgcbc ncn Diffcrcnual gleichungcn nach Abschnitt 9.6.1 . 3) / + 2\)' =0 [);,n lllg:
r'
-
:.... = - 2 \
y 2 In)' = _ x + c
el ny
b ) y' - ay = O
y' y Iny = ax + c c)
rI
-
I
..
-y d .r= a d t
Ldsung: - = a e lny
y'y - J'? = O [);,nmg: y'y = 3x 2
=
-
I
.
- dy = - 2t d t , -y d\' . = - J Zr d r y = e- x2 +c v = (,- ..,2 eC = C l e- ·,1
e«H"
eln(2y -
2
t)
-
= e .-2+2q = e2q e.-2 2,
2y - 1 = 2c e
tZ
Anme rkung : Das Integral
=>y =C lT
,
J- dy 2\'- 1
l
+ -2
,
,
2
2
kann auch uls - In(y - -) angesc hrie-
hen worden . Die allgemeine Losung sicht dann ctwas andcrs aus al s dcr obige Ausdruc k. Die spczic llc Losung fur gegc bcne Anfangsbedingung wurde j edoch in bcidc n Fallen iden tisch sein .
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I, Drdnung
Spcz ielle Losung:
=> b) -
y'
cos x
=>
c =1
y',= e.,l+ ~
= l- y
U;SlIl1g:
i
_ . - ee
I- y
I
cosr
f - - dy =f cos x d r I- y
- In( l- y)= sinx + c
=>
In{l - y} = - sillX- C
y = l _ e ~,;n '<e - c
odcr : y = I _ Ce ~ 'in ,
c = e
y{l ) = 4.2834
U ;.t/lIIg:
Allgemeine Losung:
l =y( l - tanh2x )
y'
- = l -tanh2 x y
lnv = tan h.r -r-C
Spcziellc Losun g:
y( I ) = 4,2834 = c e{~ nh 1 = c- 2. 14 17
=>
(' =2
=>
Y. = 2 e{~nh.,
437
431l
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
Hd spi d 9.31:
Transformation der Varta blen
Loscn Sic die ungcgcbencn Difforenualgl eich ungun nach Ah schnitt 9.6 .2. a)
")/ - y =x - I
(Beispiel zu Abs chnitt 9.6.2. 1)
Die Umfo rmu ng der DOL liefert : Das ist c ine DOL in dcr Fonn y' = [ (Ax + By +C )
y' = x + y- I
lij,mflg,\'\reg J: Anwendu ng der 01. (9. 12).
[ (u ) = 11
u =x + y - l
-1+ 1
I
1 ' 11
e1n (u+ l j
A = B = I,
'*
dlf = X+ Cl
= r+c1 =
eC!
et
C= - I
In(II+I ) = x + Cl
u + 1 = ce t
'-.-' C
u+ l
'* ~ x + \, - I + I =ce
t
'* y = _ x + ce
t
"
Nach Erfiillung der Anfa ngshedingung crhalt man die spe zielle Losung:
'* c = 1
y(O) = I = - O+ceo =c
y, = _ x + e t
l ijsllflg.m·eg 2: Schrittweis c Bercch nung.
Die Able itun g der Sub stitution u = x + y - 1 liefcrt:
'* /
(u)' = (x+ y - I)' = 1 +/
= 11' - 1
Nach dcm Einsetzcn dcr Substitution und des lct ztcn Ausdrucks in die DO L erhtilt man:
'*
u' - I =II
,
,
-- u = 1 1+ 11
u' = I +u
Die Integration liefert die allgemei ne Losung:
1_, d,, ~ 1+ /1
b)
f ( l)d' .
)/ = 2\'-y + 1 Die Substitution
2 -1/'
=
//
'*
In (II + I) = X+ CI
Ocr Rest vcrlauft wie obc n.
(Beispiel zu Abschnitt 9 .6.2. 1) /I
= 2x - y + 1 liefert:
11' =2 - 11
- In(2- u) = x + CI
,
II'
= 2 - y'
- - dll = d t
2 - 11
y' = 2 - u'
1_, d" ~ l dx 2 - 1/
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung
1I =2 -c e- x
=> 2\"- y+ 1 = 2- c e- x
Allgemein e Losung: y = c e Aus y{O) = I folgt c = 2
+ 2r -
x
(Bcis piclzu Absc bnin v.o.z. I)
Substitution : lI = x + y + 1 Allgemeine Losuug:
f
I,
=> spcz icllc Losung: y. = 2 e" + 2\" - 1
y(O) = 0
c ) y' = (x +y + 1)2
y =ce - x + 2x - 1
A = I , B = I, C = I , ! (II) =//2
A +B
I ( ) ,/II = X+ C, II
I
j' - - 2 du = x + c 1+ 11
=> tan (arctan II) = tan(x + c)
arctan u = x +c
x + y + l =tan (x+ c)
II = tan(x + c )
y = tan(x +e) -x - I
Spez ielle Lcsung:
y(O) = 0 = tan(O+ c ) - 0 - I
tan c =1
,
=> c= Jr/4
y = tan{x +'4) - x - 1 d) y'{x + )' ) 2 - I = 0
(Beispiel zu Absc hnitt 9.6 .2.1)
Die Umfonnung dcr DGL liefcrt: Substitution : II = x + Y , I 11 - 1 = 2 u /I -
=>
=> U
,
/I '
= (
= 1+ l
1+ 11 2 = -,u-
arc tan II = x + C
I
)2
x + )'
=> y' = II' - 1
'*
~2 du = J,lx +C 1+ 11
J
x + y - arclan{x+ y ) = x + C
=>x + y= tan(y- C) e)
l
arcta n(x + y ) = y - C
=> y= tan(y- C)- x
y' = 2 \" + y + 3 y(O) = - 4 (Beisp iel zu Abschnitt 9.6 .2.1) U isullX: Subst itution: 11 = 2x+ y + 3 Allgemeine Lc sung: )' = c (~' - 2r - 5
I) y'x2 = .r2 + xy + y2
Speziel le L osung: }'.. = c' - 2r - 5
(Beispie l zu Abschnitt 9.6.2. 1)
y'..? =~ + xy +/
=> y'= I+ y/x + (y/x )2 [ (u) = I + u + //2
y' =[(II ) mit dcr Substitution lI = y/ x
J!
du () /I
II
= In x+ ln c
arc tan II = In ex x +r
g,) y' = - - '
x- y
1/
'*
J + u-
= tan(ln ce }
du
--~
1
= In cx
y/ x = tan(ln ex)
(Beispiel zu Absc hniu 9.6.2.2)
y = .r tan(ln ex )
439
440
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
Division des Zahlers und Nenncrs dcr rechtcn Scire dcr DGL durch .r und anschlic llende Subst itutio n u = y jx licfcrt :
1+~ _ _x
y'
II + XII
y I- x
1-
1/
,
-~ u
I + u-
J
1 =I
'2
1+ /1 = - I -u
::=} X II
I - --~ " } d ll = ( --,
.r
arc tanu ~
,
I + u-
I + u~
,
,
1 + u· = - 1 - /1
J
I dr .r -c
, In( 1+ /1.) = In x + c
Daruus crgibt sich die allge me ine Los ung in implizjt cr For m (cxplizi tc Angabc von y ist nicht mogfich):
" 1 .~ +\.2 arct an :"" =f - In - -2-·- = Inx + c .r 2 .r
(Beispiel zu Abschniu 9 .6.2.2) Division des Zahlcrs und Nenners auf der rechten Sette durc h x 2 licfcrt cine DGL vo n dcr Gestalt y' = J (y jx):
y
I- x
Mit Hilfe der Substitu tion II = yJx erhan man : 1+ 11 _ 2,,2
u +X II = - '.,---I " J
,,'
J
+ 11
X
1_ 1/2 I -II
,
::=} xu = - - =
f _lI +_11 d" ~ J ~ d'
.
X
(J + u)( 1 - u)
1
/I
= I+ u
In( 1+ 11) = InX+ Cl
Die Rucksub sntuuon von II = y j x licfer t die allgemei ne Losung :
,
y = cr - x Die spezicllc Losu ng wird aus der A nfungsbcdingung y( I) = 1 bcstim nu: ::=} c= 2
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung (Be ispiel zu Abschnitt 9.6 .2.2)
i) xy' = 4x +y
Umformung dcr DG L: Division bcider Se iten
-
.r liefert : y' = 4 + ~
d UTCh
.r
Uj,nmgs\\'eg J: D icscr Wcg basicrt auf d CT unnuuclbarcn Anwcndung von (9. 14): /I
=y/x
r' = 4 + u
::=}
.
[(II) -
U
= 4 + u -1l = 4
[ ( If )
Aus (9 . 14 ) erhalt man :
! ~ du = ln x + c
u 4
- = Inx + c
Nach dcr Riicksub stit uion vo n allgeme ine Lcsung:
,.
:... = 4 In x +4c x
1/ = 4 In x + 4c
= y/x in den let zten Ausdr uck erhnlt ma n die
/I
y =x (4 1n x + 4(')
Die BerUcksichtigu ng dcr Anfangs bcdi ngung licfen die spcxiclle Losun g:
y ( I ) = O= 1 · (4 Inl + 4(') = 4 · 0 + 4('
(' = 0
::=}
::=}
yo' = 4x In .r
Uh/II/g.nreg 2: Sc hrittwe iscs vo rgehen . undv' = II + x u' in d ie DGL licfen :
Su bst itution von y/x = 1/
lI+ x u' =4 + 1/ 1I =4 1nx +('
::=}
,
4
1/ = -
::=}
X
v :...= 4 In x + ('
::=}
::=}
.r
)' =x (4 1n x +(' )
D ie Bcruckstchngu ng der Anfangsbed ingu ng licfert die spezfelle Losung :
y( I) = O= 1 (4 In l + c) = 0 + c
j) )" =
x~ + 2r ' .2'
y( 1) = I
X}
::=}
c= o
::=}
Y.• = 4x ln x
(Beispiel zu Abschniu 9.6 .2.2)
Mit Hilfe de r Sub stit ution y =
X II
erhalt man:
1 + 2/1"'
X I/
,
1+ 2113 = - -, II
-
II
1+ 1/3 = --,II ~
J- ,""~ J 11 2
.r
1+ /1"
1
.r dr -c
I
,
- In( I+ /f) = lnx+ c l 3
44 1
44 2
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen
Die Riicksub stitution von
/I
= y/ x liefert die allge meine Losung :
y = X( CX' - I ) l j 3
Aus dcr crfullu ng dcr Anfangsbcdin gung folg t die spcz icllc Losun g:
c= 2 k] _ 2\.4 sin .r2 - xn / + y2 = 0 y( ,ji) = 0 (Beispiel zu Absc hnitt 9.6.2.3) Division der G leichu ng durch xy und Umform ung liefert:
. (') . ( ') y, = -)' - x,., - L\- sm r = -)' - - ' 2 rl smcx y x y .r
Das ist eine DGL von der Gestalt
l
= f(x .y/ x ). Mit dcr Subs titutio n
1/
= y/x
erhnlt man:
u + u'x =
II -
1
~ 2~ sin (.~ )
"
=} 111/' = - 2t sin xl
,
1
u du = -
2\' sinxZdx
u2 = cos.~+ c
Die Riicksub stitution von 1/ = y/ x liefert d ie allgeme ine Ldsung :
Die speztetle Losung wird O = 2;rr (cosJt + c)
I)
l
, = y-
~ xy x·
A = 3B
- 6A- 2B= 1
=> - 18B- 2B= I
JJ = - -
I
20
3 A= - -
20
Allgemein e LOsung der inhomogenen DGL: Y =YI, +y/, =ce
(u
3 1 - 20 sin 2x- 20 cos 2\"
Aus dcr Anfangsbcding ung crhatt man : I ,-(O) = c - O- - = O . 20
I =>c=-
20
I Spczielle Losung: r, = 20 (eM - 3 sin 2\" - cos 2\") c) y' _2y + l +x2 = 0,
y ( I) =7/ 4.
Umformung dcr DGL licfert: y' - 2y = - 1 _ x 2 Allgemeine Los ung dcr homogcnen DGL )/ - 2y = 0 : YI, = ce 2x
- 2) Parti kulare Losun g dcr inhomogcncn DGL:
Ansatzfunktion nach Tabclle 9. I: )'/' = Ao+A ]x + A2r
(gcmiil3 (9.2 1) mil k =
446
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen
Nac h Einsetzcn dcr Ansatzfunktion und ihrer Ableitung in die DGL cr hiilt ma n:
A l + 2A.2-\: - 2{A n + A Ix +A 2.~ ) = - I _ x 2 "--v-"
'
.' -;'
,
IIp
Zusa rnmcnfassc n dcr konstanten. lincuren und quadnuischcn Tcrmc in Gruppcn:
Der Koeffiz ienteuvergleich auf beiden Sc iten licfert: A I -2A. n = -1 Ao = 3/ 4
Mit den nunmchr bckanntcn Kocffizicntcn An, AI, A 2 crgibt sich die Partikulartosung zu:
Allgemeine Losun g dcr inhomogenen DGL:
3 + _1 => y =c e2t+ _ 4
1 ~
r + - x~
2'
2
Die spczic lle Losu ng Hisst sich mit Hilfc dcr Anfangsbedin gung bestim mcn:
,
7
7
("('- = - - - = 0 4 4
=>
c= o
d) }/ + y = sin x.
y(O) = 3/2.
Allgemei ne Losu ng dcr homogcncn DGL y' +)' = 0 :
)'1,
= ce"
Partikulare Losung der inhom ogenen DGL : Ansatzfunktion nach Tabelle 9.1:
y{' = A sin x + lJ cos r
=> y;, = A cosx - B sin r
Das Bmsctzcn der A nsatzfunktion und ihrer Ablcitung in die DGL licfcrt: A cosr - B sin .r + A sin x + B cosr = sin r Nac h G ruppicrung dcr Sinus- und Kosinusterm e erhdlt man mit Hilfe des Koeffiaien tenver gfeichs bcidcr Scitcn : : (A - B) sin x+ (A + B) cosr = sinr -r- n - cosx
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung
=> A- B= \ Yp =
A +B =O
[j ~ - 1 / 2
. '21 [sinr c-cos.e}
A llgemeine Losu ng der inhomogenen DOL :
1
Y =Y" +Yp =e e ~x+ '2 (sin x - cos x)
D ie Einarbcitu ng dcr A nfungsbc ding ung liefc rt die unbekanntc Konstantc :
y(O) =
~ = c e- o + ~ (sin O-
cos O) = c -
~
4
=> e = - = 2 2
Spezielle Lcsung der inhomogenen DOL (Losung der Anfangswenau fgabc) : Y., = 2 e - x +
~
(sin x - cos .r }
,.(0) ~ 0
e) y' -y =xsin h
Allgemeine Losun g der ho mogenen DOL: YI> = e el Part ikularer Losungsansatz: yp = (Ao + A IX) sin 2 {+ (Bo + Blx ) cos h Allgemeine Losung der inhomogenen DOL:
2 1 Y = c e ' - 25 (2+ 5x) cos2t + 25 (3 - 5x ) si n Zr Spezielle Losung: )'~
·
4 = _ et
25
2 _
_
25
1
(2+ 5x) cos2r + - (3 - 5x ) sinh 25
.' (0)
~
I
Allge meine Losun g dcr ho mogcnen DOL : y" = ee 2' Partikula rer Losungsansatz : yp = Ax 1'2
c= - 1
Spczielle U isung der Anfangswe rtaufgabc: .r
,
.r" = -2 + 2- -x c) xy' +y = .r2 ,
y(3) = 4.
,
Die Division bcidcr Scircn dcr DGL durch
v l + '- = x
=> q(x) = -
X
r(x) = x
X
X
liefen:
h(x) =!q(x )d t =! ;dt =l n x
Gleich ung (9.24) liefert d ie allgemeine Losung dcr inhomoge nen DGL:
Einarbeitung dcr Anfangsbedingung: 32
c
c
3
3
3
, ( 3 ) ~ 4 ~ - + - ~3+
.
=}
Spcziellc Losung dcr inhomogcncn DGL :
x'
3
r = -3 + -.r
.
c=3
449
450
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleichungen
Hdspid 9.36:
Vartahlentrennung, Ansatzfunktion
Die Difforemialglcichung .~J +x2 y = .~ ist xu los en a ) nac h Methode dcr Trennung tier var iab ten und b) Methode der AI1.WI1::.fllllktiollen. U jSlIlll!,: a) Tre1l/1I/IIl!, der variablen
Umformung dcr DGL crgrbt: l = .~ ( I - )' )
y' - y
~ ! _I_dy=
-I _ ~ x2
.
I- y
K'
- K'
e
\" =
h)
. = e - -,--'0
dx
-
- X'
In( 1- y) = - - 3
- In( I - )') = 3" + CI '" ( 1- \"
f..?
.
1 _ \' = e ~ '"I
.
xl
,.
CI
e - x' j3
l j3
l _ c e- / 3 (oder auch y = I + c e- x·
Spezietle Ansattfunlaion A llgemei ne Losung dcr homogcncn DG L
)
l +.r y =
Partikularcr Losungsansatz: y" = Au + A Ix + A 2x2
0 : Yh = ('e~..-\j3
=> Y;, =
A I + 24 2X
Nach Einsetzen vonv» in die DG L erhalt ma n:
Dcr Koeffizlente nverglelc h auf bcidcn Se itcn liefert: Ao = I
Al = 0
=>YI' = I
Allgcmei ne Losung de r inhomogenen DGL: y = y,,+ YI' = I + c e- xl j.l
HeispieI9.37:
va rlablentre r mung, Variation der Kenstante und Ansalzfunktion
Die Differc ntialgl cic hung y' - 2 t)' = .r ist zu loscn a ) nac h Methode der Trennung der variabl en, b) Methode de r Variation der Konstanten, und c) Methode der A I/.m t:.-
[unk uonen, a)
Trennung <JeI' variabieu y' ~ x ( 1 + 2y)
1 I + 2)'
,
- - y= --........--g(\')
x ""--' [(xl
f
_ 1_
d,· ~
1+ 2), .
f..
In( I + 2Y) = X-, + C 2" = '" + Cl
dr
9.7 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn I. Drdnung
h ) Losung mit Hil fe dcr Variatio/l cia Konstanten
r(x) = x
q(x) = - 2 r
c) Losung mit Hi lfe der AIlS(llifu llktiollen
A llgemeine Los ung dcr homogcncn DGL y' - 2 ry = 0: Yll = c('.-2 Partikulllrcr Losungsan satz : Y" = A o + A IX
~ Y~ = A l
Einsctzcn in die DGL Iicfcrt: AI - 2 r (Ao + A lx) = x Der Kaeffizientenverglelch beidcr Sci ten liefert: - 2An = I
~ YI' = - 1/ 2
A llgemeine Losung der inhomogenen DGL : .2
I
_,,=rh . +" " = ce - -2 8eispieI 9.38:
Varia blentransf., Variat ion der Konstant e und Ansat zfunkfion
Die Diffcrcntialgl eic hung xl = 4.r2 + y iSI zu Iosen a) nach Method e dcr v ariablentransformation, b) Method e der V"r;m ;ol1 de r Konstunten, und c) Method e dcr All.l'tltz[unktionen, a) v ariabtentransfonnouon
Nac h Division der Gleieh ung durc h x und Umformung crhdlt ma n:
y
,,' = 4x + -
-
DGL dcr Forrn
x
Die Su bstitut ion von II +XI/' = 4x + 1I
11 =
y/x liefert: :::} II'
= 4
Die Ruck substitution von y/x fur
,-
:" = 4x + c
.r
y' = [ (x. y/x )
:::} y =4x 2+cx
/I
:::} 1l =4x +c liefert :
(s. Abs. 9.6.2.3)
451
452
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
III v ariation der Konstanten Nach Division dcr Gle ichu ng durch x und Um fo rm ung ergib t sich
,.
)" - :. :::: 4x x
h (x ) "'" -
1
d .h.
q(x ) ~ - x
J~ dx "", x
)' "'" e" u ( [ 4x ·
C
- ln r
dx + c ) ""' x
r (x ) "'" 4x
(14
dx + c) "", 4~ + cx
'I' c) Ansatifunktion
D ie Methode dcr spcz icllcn A nsatzfu nktioncn nach Abs. 9.6.3.2 gilt nur Ilir linearc DO Ln m it konstaruc m Koc ffizicr uen. d. h. Ilir q(x ) = canst, Zwar fu nktio nicrt sic gclcgentlic h auc h fur q(x ) i- COII.\·I , abcr nicht immcr. Fiir des vorl icgendc Beisp iel allerd ings vcrsagt sic, wie nac hfolgend geze lgr wird.
1 - 'r = 4x .\" - .r Allge meine Losung dcr homogen cn DGL y' - .. .[x = 0: Die Umfor mu ng dcr DGL liefert:
Partikularcr Losungsansatz: )"" = An + A lx Nach Einsetzen in die DGL erhalt man:
=> )~, =
.v" = ex Al
1
d.h. (A I - Ad - - Au ""' 4x "-.-' x
o
Multipl ikation beidcr Seiten mit x in der lctzten O leichung licfert :
==:- Ao = - 4.-.-2 Es g ibt kcinc Mogficbkeit. den Koc ffi zicrncn A I zu bcsum mcn. d.h . die A nsatzmethod e vcrsagt in diesc m Fall .
9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung
9.8
453
Linea re Dlfferentialgleichu ngen 2. Ord nung
In diesem Absc hniu werden aussc hlicBtich linearc DilTerentialgleichungen 2. Ordnung mit konstan te n Ke effizienten bchandelt. Diese DGLn komm en in technischen A nwendunge n, insbesondere in dcr Mcchanik und Elektrotec hnik (mcchan ischc und elcktro magnetische Sc hwingu ngen ), sehr hauflg vor. Man untersc heidct zwische n homogener und inliamagener DG L: (/ z )'''
+ (1 1)" + (10 )' = 0
lincarc homogene DGL in allgemei ner Form
(9 .25a)
Hneare innomogene DGL in allgemeiner Form
(9.25b)
Die Funktio n r{x) auf dcr rec htcn Sc itc dcr inhomogcncn DG L win! al s Storfuntaion bczeichn ct. Dicsc DG I 2. O rdnung dcr sog . allgemeinen Fo rm lass! sich in cine DGL in dc r Norma!Jorm ubcrtuhrcn. mdcm ihrc linke und rcchtc Scire durch az div id icrt werden: 1/
y
---(I I
+ a:
,
Y
au
+ - y=O a:
'>
yl/+
,
", y' + az "0
"2
,
p
, (xl
.v = - -
Mil den Abkurz ungc n p = dcr Normalform zu:
"2
d·' )
(li / (I Z
Iyl/+ p y'+ q y = ol Iyl/+ I' /+ q y = r(x)
I
und 4 = au/az und r(x) = r{x )/ az erg ibt sich d ie DG L in
linearc homogene DGL in Norma!Jorm
(9 .26a)
lincarc inhomogene DGL in Nonnalfonu
(9.26b)
Die Bcstimmung dcr ullgc mcmcn L osung )'" dcr hc mogencn DGL (9.26a) mit Hilfc cines Exponcntialansatzcs wird im Absc hnill 9.8. 1 crtaurcrt . Die allgeme ine Losung y dcr inhom ogcn cn DGL (9.26b) ergibt slch. wic bcrc its schon im Absc hnin 9 .6.3 fur Differcnt inlgleichungcn I. O rdnung crfuutert. als Summe von zwei Tcillosungcn: Allgemeine
£ijS/lllg
einer Iineuren inhumagenen DGL 2. Ordnung:
Y" +l' y' +q y =r(x ) DGL: Losung : y = Yh +Y" Y YII YI'
Allgemeine Losung der inhonutgenen DGL Allgemei ne Losung der hcnnogenen DGL Partlkuldre Losuug der intmmagenen DGL
(9.27)
l' +l'y' +q =r(x) )/' +I'/ +q y =O y" + I'Y' + 4 Y = r(x)
Fur d ie Ermin lung dcr partik ulnrcn Losung dcr inhomogcnen DGL werden Ansatzfunktionen verwendc t, vgl. Absschnitt 9 .8.2.
454
9 Gewohnlichc Diffcrentialgleich ungen
Allmerkung: Falls die zu losendc Anfangs- bzw. Randwcrtuufgabc keinc Stor funktion r(x ) bcsitzt. d.h . wcnn d ie das Proble m bcschreihendc DGL von Haus aus homogcn ist. kann die Untcrschcidung zwischen y und .vii entfallcn. wei! sic in dicscm So ndc rfull idcntisch sind. In nachfo lgcnden Abschmu cn wird daher auf die Angabc des Index Ii verzichrct. wenn es keine Verwcehslungsgefahr zwischen y und YI! bcstcht.
9.8. 1
An gemetn e
Liisu n~
der hom ogenen Differ entialgfeichung 2. Ordn ung
Fur die Bcsrimmung dcr allgemeine u U i.fllllg dcr lincaren homogcncn DOL 2. Ordnung mit konstanten Koc ffizicntcn p und q
1/ ' +P.r'+ qy= O)
(9.28)
wird folgender t.osungsansac: ge macht: A : Parameter (zunachst unbckanntj Die Losungsnnsatzfunktion sowie ihre I. und 2. Ableitung werden in d ie DOL eingcsetzt:
::::} (.l2+p.l+ q)
-
eh = 0
'"
Es gilt stcts i- O. so class der eingeklammcrte Ausdruck zwingend gleich Null sein muss, darnit die Gleichung crfullt ist. Diese Bcstimmungsgle ichung wird charuktcristisc he Gleic hung dcr homogcncn DGL genaont:
eh
tcharak teris tische Gleichung]
(9.29)
Die LOSUllg dieser quadratischen Gle ichung licfert zwei Wurzeln fur de n Parameter A : P± A, ~ = - ~
.•
2
~ ,2 o -r 4 r
(9.30)
Der Parameter .l ka nn in Abhiingigkeit von der I>isk riminante
r::-7I
~
reell oder komplex sei n. Das Vorzeichen von D enrscheidct wesen tlich daruber, wit' die Losung der DGL aussieht. Iosgesanu lassen sich d rei Fa ile unrerschcidcn:
9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung
.'
455
1. D = 4' -q >O In diese m Fall sind beide Wurzeln AI und A2 reel! und verschieden:
A~· = - !!.2 _ J,,24 - q Die homo gene DG L besitzt also zwei EiJl :.ellii.l'un gen (panikulure Lc sun gen):
Die Lincarkombination der Einzetlo sungen .n und Y2 Iiefert die allgemeine U j.mn g der homagenen DGL: Y = Cl ')"1 +C2' )'2
2.
(9.31)
.'
D= -
4
-q =O
In dicscm Fall sind beide Wurzcln Al und A2 ree l! und identisch: A, = A~ = A =_ !!.
•
2
Man bekommt desha lb zunach st zwei ident ischc Teilt csungen:
Es Hiss! sich jcdoc h zcigc n. dass mil dcrn Losungsansatz Y =C(X )l, - /lf!2
und Anwendung dcr »Variation der Konstame n« (vgl. Abschniu 9.6.3.3) die allgem eine Losung der homogenenDili, wic fo lgt lautct:
(9 .32)
3.
.'
D = - - q 0
Wenn
p2
4" - q < 0
ist (Fall 3). muss zwangslaufig D = q -
~
4" > 0
sein. Jew wird - I im
letzten Ausdruck durch ;2 crsc tzt (i ist die imaginarc Einheit und ;2 = - 1. vgl. Scitc 658) und man crhan den Para meter A. schlieBlich in kornplcxcr Form:
Zwec ks abkurzender Schreibweise werden zwei neue Symbole eingefuhrt:
Die bciden komplexcn Wurzeln lassen sich jcrzt in folgender kompakter Form anschre ibcn:
A2 = - 1J - iW Die bciden Ein zcllo su ngcn dcr homogcncn DGL lautcn so mit :
Die allgemeine Losung der homc gencn DG L (9. 28) ergibt sic h als Linearkombination dcr Einzcllo sungen Yl und Y2 : Y
= CI ' )' 1 + C2')'2 = CI =
e - tj-l
(cl
e
iCtl ' + C2
e ( -Ij + ;Ctlj ,t
e- i Ctl'
)
+ "2 e ( -Ij -iW ).t = Cl
e -lj .TeiCtl,l
+ "2 e -lj·le - i Ctl'
9.8 Lineare Diffcrentiulgleichungen 2. Ordnung
457
Mit Hil le der Eulerschen Formeln fur kom plc xc Zahlcn (s. aueh Se ite 660)
Ie
ito .,
= cos wx +isin lOx
I
Ie;to' =cos lOx - isin wx l
(9..15 )
crhalt ma n als allg emeine Losung folg endcn komplexwertigcn Ausdruck:
y = e: '1-' [c l (cos wx + isin £ox) + C2 (cos eir - i sin £ox )] = e- Ij" [(c l +q ) cos wx +i (c l - q ) sin rur ] '-v-'
'-v-'
CI
C2
= CI ~ + i C2 ~ IId -!') sin as
+ (Ro +HI X +H1.~2 + .. . + B".\ Jl) cos a x AIIIIl",kulIg: au. at- a2. · . . sowie .~ und a sind vorgcgebene Skalare: p und q gema B (9.28).
Ueispi el 9A3: A nsatzfu nk tio ne n Nachfolgend sind cinigc Bcisptctc fllr d ie Wahl von Ansatzfu nktioncn fur die partiku larc Losu ng angegeb en.
Stor funktion r (x )
1 + 2r 1- 4x + 2.5.r2 ~ 9.".J
A nsatzfu nkuo n )',, (x) Ao +A lx
4xJ
Ao + A Ix + A2.r2 + Al.\.J 3 Ao + A Ix + A2.r2+ Al X
2e5x _ 2e- 7
ez = 2
+ lx )e
4t
y" + 6y' + IOy = 0 Zweckmallig ist d ie Losu ng mit Hilfe tier unmtuelbarcn Anw endu ng von (9 .33). Hicr wird jedoch 'IU S didakt ischcn Grunden der -um stdndlic here- dcraillierte Weg gezeigt.
-
Der Losungsansatz y = e"-·t licfcn:
AI 2 = - 3 ~ R .
=> Al = - 3+ i
Mit Hilfe der Euler-Beziehun gen e- it = cos x -i sinx e'-t =eos x + i sinx crhalt man die allgemeine Losung:
y = ClY I +
QY2
= e- J ,' (CI cos.r + it'l sinx+ Q cos r - ic2 sinx )
y = e- 3t[(cl +C2) cos x + i (ci - CZ ) sinx) = e- 3.t (Cl COSX +C2 sinx) '---' --.".-...-
c,
C2
Inhomogene DG Ln 2. Ordnung Lescn Sic die angeg cbencn inhcnuogenen Differentiulgleic hungcn 2. O rdnung .
Rdspiel 9,49: a)
}/' - 8y' + 25y =x Iii,mllK: Allgcmeine Losung der homogenen DOL:
Partikulurc Los ung dcr inhom ogcncn DGL :
y/, = A+ Bx
.,\-/ = B
\-,1/= 0
.
"
9.9 Zusarzhchc Bcispiclc fur lineare DGLn 2. Drdnung
0 - 88 +25(A + /lx) = x ==>
B = 1/ 25
(- 8/l + 25A) + 25/lx = x
A = 8( 625
Allgemeine Losung: Y
=
YII
+y" =
Cl
4
R
4r
1
e < sin3x + cl e cos3x + 625 + 25 .r
UeispieJ 9.50: Anfan~swe ... taufaaben 2. O ...dnung Loscn Sie fo lgende Anfangswenaufgaben 2. Ordn ung. a ) y" - y = 5 eos 2x
y(O) = - I .
y'(O) = -2
Lb.n Ill N:
Allgemei ne Losung dcr homogcnen DGL y" - y = 0 :
Ein scrzcn des Ansat zes j-, = A si n 2x + B cos 2x fur die Paru kufurtosung in die inhomogene DGL liefert:
- 5A sin 2 r - 58 cos 2x = 5 cos 2r
==>
A= O 8= - 1
==> y" = - cos 2 r Allgemei ne Lo sung dcr inhcmogcncn DGL :
Erfiillung dcr Anfungsbcdi ngungcn:
- 2 =- 2c2 ==>
c2 = 1
t'l = - 1
Spcz ielle Losun g dcr Anfangswc rtaufgube :
)'., =
-e I haben ab o nur theoretische Bedeutung). Die Knicklast N k fur II = I wird kri tische Knick/list des Stebes ge nannt (ElIlersche Knickiust )
und bctrngr:
2 E/I
IN- 1t k -
L2
tEulersdie Knicklast des beid seitig gelc nkigcu Stabes)
484
9 Gewohnlichc Diffcrent ialgleichungen
9. 11.2
Abkbhlung ejner- Sta hlk ugel
Eine kleine Stahlk ugel (Radius r, Kugelvolu mcn V , Kugelob crflache A, Materialdichtc p, spczifische w armekapaztun c) wird auf die Tem pcratur To erhitzt und zurn Zei tpunkt t = 0 in cine srrom cnde Flussigkeit. dere n Ternpcratur T" betragt. eingetaucht. Die in der Kugel gespcic hene wnrmee ncrglc wird bel die sem Vorgang mittcls Kanvelaion an d ie Fli.issigkeit abgeg eben (Konvektionsbeiw crt h). Oesucht ist d ie Zcitfunktion der mittler en Kugeltempcratur. Die Diffcrcnzia lg tcichung fur dic scs sog. instationdre (d.h. zcitabhungigc) Warmclcitungsproblem ist cine inhc mogcnc DOL I. Ordn ung und lamer gcmau Wnrmcgesctze dcr Physik:
cPV
uT =
df
T : momentane Tem pcrat ur, d.h. T = I (r)
- hA(T- T,J
Die DOL wird zunachst umgcformt:
uT
=>
cp V - + hAT = hAT" dr dT dl
=> - + AT = A T"
dT
hA
hA
dr
cp V
cp V
-+-- T ~-- T"
oder :
t +A T = AT"
. IrA mit A = - -
cp V
Die allgemeine Los ung 1j, dcr zugchong cn homogcncn DOL
(9.2 11 ' Kontro lle :
.
7j,
, + A7j, e, 0
'* O+AAo = AT"
crhalt man nach
0 =0 /
Fur die Bestirnmung der parti kula ren Losung von Seite 462 der Losungsansatz TI' = An gcwahlt:
T' = 0
r + AT = 0
r + AT = ATu
wird ge miiB Tabclle 9.3 auf
Ao = T"
" Die allgemeine Losu ng dcr inhc mogcncn DOL crgibt sich als Surnmc von T
h und TI,:
T = 1j, + 7" = ce - A/ + T" Die spczielle Losung der inhomogenen DO L erh alt man durc h ErfLillung dcr Anfa ngsbc dingung :
T (O ) = To = ce - A'() + T" =
'*
('+ T"
'* c = To -
T"
T (t ) = ( 7() - T,, ) e- A/ + T"
Zahlcnbc ispiel: r = I
('III
= 0.01 III
(' = 460 J j kg
'C
9 .11 w eitere rech nisc hc Anw endungsbeispicle
=> A = hA = cpV
10· 1,2566 · 10 -
3
460 .7800 .4,19 . 10 n
4l:15
8.359 . 10- 4
=> T (I ) = 280 e - 8.359 ' 10- 4 I + 20 300
Miu lcre Kugclte mpcrutur nach I Srundc:
T ( l lI) = T (360(h ) = (300 -
' 00 ~
20) e- 8 .359 ·
4
1O ' ' 3noo +20
100
= 33,8 "C
o
9.11.3
1000
I
2000
lsj
3000
Ahsinken d oes Korpers im Meer
Von eincm Schiff auf hobcm O zca n wird eine Mcs ssn nde ins Wasser gcla sscn. Die So nde bcgi nnt ihren Sinkvorgang bei m Eintauchen ins Wasser mil der Anfang sgesc hwin digk eil 1'(( = 0 ) = OI/I/ s, d.h. aus dem Ruhezusland hera us. Auf den Kerper wirkt als treibendc Kraft die nach unten gerichrcre Gra vilationsk raft F = /Ilg (wobci m die Masse der So nde und g = 9.8 1 1/1/52 die Erdbeschleunigung sind ). Die Re ibungskraft R, die vom Wasser auf die Son de uusgcu bt wird und entgegen der Gru vitut ions kra ft wirkt, soli propomonal der Sinkgeschwindigkeit angenommen werd cn. d.h. R = h (k : Widcrstandsbeiwcrt). Gcsucbr ist d ie die Sinkgcschwindigkcit dcr Sond e I ' = f (t) uls Funktion dcr Zeit .
C; --(IE x(t)
- P
a: Angrcifc ndc Kran e
,I
,
Ifsj
b: Absin kgeschwindigkcn
Bild 9 .10: Absinken cines Korpers irn Meer
Das Absinken der Sonde wird mit Hilfe des sog. dyncunisctien Kriiftegleichgewichts durch
486
9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleichun gen
folgcndc inhomoge ne Oiffcrcntialglcich ung 2. Ordnung besc bricbcn: d.h.
m i =F -R
mi ex mg s- k v
.r : Abstand von der wasseroberttnche.
v: Sinkgesc hwindigkeit k : Widerstandsbeiwert
Die Stnkgeschwindigkcit v = / (t ) iSI cine Funktion dcr Zei t l und entspricht dcr erstcn Ab1citung dcr w cgsrrccke .r. Mil den Beziehungen
d,
1' = -
ill
liisst sich die obige OGL 2. Ordnun g auf eine OGL I. Ordnung zurlickfllhre n:
mv
'-.--'
= /IIg - kv
It.,'
Die Umformung dieser DGL Iiefert eine neue DG L mit getren r ue n Variablcn :
/118
Nach Integratio n bcider Seitc n er halt man: I
~-
k
In(lIIg - kl') =
t
- + CI
In(lII!; -h) =
III
kt
--~ k q
m
kt e1n(mll -h j
= e- m ~kCJ = e- kl / m e ~ k'"l
----
mg _ h' =ce- kl / m
x..+ -m
x~
0
Bci dieser Betraehtun g wurde Einfachhcit halbcr der Effekt der Flussigkeitsreibung (Viskositat) nicht bcrucksichngt. Naeh der Einfiihrung der Abkiirzung ro2 = rrR 2p lm tauter die DGLder Vcrt ikalschwingung: to : Eigen kreisfrequen z der Sehwin gung [m d lsl
und ihrc Losun g ist gemiiBGI. (9.40)
x =Acos ro t +B sin rot
(9 .54)
4XX
9 Gewohnlic hc Diffcrentialgleichun gen
Die Konstantcn A und B sind aus Anfangsbedingungen zu emuucl n.
Schwhnmender Kerper
Ueispi cI 9.54:
Ein kreiszylindrischer Kerper schwirmm im Wasser, wobci ein Teil aus dcrn Wasser hinau sragt (Bird 9. ( 1). Wir drucken mil eincr Hand von eben gege n den Kerper. so dass seine Oberselte sich gerade noch auf der Hohc des w assersptegels bcftndcr. Plotzlich wird der Ke rper losgelassen. so dass er zu schwi ngen anfangt. Gesucht ist der Sehwingungszeit verlauf fur folgende Zahlcnwerte:
Pk = 800 kg/m ~ (Dichtc des Zyli ndcrs )
H =0,2 m
R = 0.2 /11
Masse des Zylindcrs: 111
= Jt R2 H Pk = Jt · 0.22 · 0 ,2· 800 = 20. 1 kg
Fur den Ruhczustand (statischcn Glcic hgewicht szustand ) crhfllt man: 11/ 20. 1 h= - - = JtR2P n . 0 ,22 . 10m
O,I6m
s = 0 ,2 - 0. 16 = 0 ,04 III
Die Eigenkreisfrcquenz der vertikale n freien Sch wingung berragt:
Jt R2p Jt ·0,2 2 ·1000 - = 2 = 6.25 (rtulls )2 III 0. 1
~
or = -
ro = / 6 ,25 = 2.5 n ull s
Die Prcqucnz f und Periode T der freien Sehwingung sind:
f
=
~
2Jt
= 2.5 = 0 4 H ' . ~ 2Jt
Der Zylinder wird von Hand 0.04 11I ins Wasser gedrnckt. ruhig gc haltcn und plotzlich losgelasscn. Dcshalb lauren die Anfa ngsbedingungcn wie folgt:
x(O) =
S
= 0.04 11/
.\'( 0) =
nIIl/S
Das Einsctzcn dicscr Anfangsbcdingungc n in (9.54) licfcrt: x = Ac os rot + B sin rot
.\' = - roA sin rot +ro B cos Wt
O,04 =Acos(ro ·O) +B sin(ro · {))
=> A = 0.04
O= -w A sin(w ' O}+wB cos(ro ·O)
=> B = O
Die Schwin gungsfunkno n des Zylinders lautet: .r = 0.04 cos(2,5r)
9. 12 A ufgaben
4l:19
f\
,f+-i,-t-'+---1. -0.02
9.12
Aufgaben
1. Zeigen Sic, daxs d ie nngcgcbcncn Losungsfunktlcn cn auch tatsuchlich Losungcn dcr angege bcncn Differen ual glcichungen sind. L osung: x =ce - 2t
a) .t= - 2r
.r = _ 2ee- 21
=}
b) y" + 9y = 0
_ 2("(,- 21
= _ 2("(,- 21
Lcsung: y = A sin3x + 8 cos3x
/1 =
)" = 3A cos 3x - 38 sin 3x =}
/
- 9A sin 3x - 98 cos 3x
- 9A sin3x - 98cos3x + 9 (A sin3x + 8cos3x) = 0
/
2. Lcscn Sic folgcnde Anfangswertaufgabcn I. Ordn ung.
b) y' - AY = O
e)
y' = y e
:::; x (2) :::; X(J )
US W .
2 Bei einer Stichprobe handelt e' vich nicht immer um eine 7..rhlenmenge. til anderen Statistikberelc hen. l .B. Merktf"Tlic hu llg. o 27 N/ mm 2. Fur- die gcsumtc Snchprobc crgebcn sic h die in folgc ndc r Tabcllc zusammcn gcs telltcn Summcnhaufi gkeit cn:
Xi H(Xi) 10, 1.2
25.0 0,05
25,5 0, 15
26.0 0,35
26,5 0 ,70
27,0 0,85
27.5 0,95
28.0 1.00
Stat tsttsche Ma nzahfen
Ma azahlcn einer Datcnrcthc dienen dazu. ci ne umtangsrcic he Datcnsammlu ng m it Hilfc von wenig cn Kcnngro fe n in extre m kompakter Form sta ustisch zu bcschreibc n. Sie sind we rtvotle Kennwerte eincr Stichprobe, d ie vcrhind cm , dass man » VOT lauter Baurncn den Wald nich t meh r sicht«
Mittelwert Ocr Miuclwcne ci ncr Stiehprobc (Datcnrc ihe) XI , x2 , . . . , x" vom Umfang sche Mittcl dcr Stichprob enwerte :
.f = XI +X2+ " '+ X" = ! E Xi n
Mittelwe rt einer Stichprobe
II
ist das arithmc ti-
(10.6)
11 i= l
Der Mit rclw crt g ibt die durchschniultchc Gri'lGe dcr Stich probenwerte an . Er iSI e in sog . LagemujJ, weil durch den Mittel wert die Positionierung dc r Stichprobe auf der Zahlengeraden angcgcben wird. Oer Stichprobenm ittelwert i is! eine -in viclen Fallen schr gute- Nnheru ng fb r de n Mlttelwert
1J der Gr undgesamt heit: (10.7)
to. 1 Deskriptiv e Srarisrik
499
Berechnung des Miue lwertes mit Hifje der Hdu figkeitsfunktion: Fa lls d ie rdal ive Hiillfiekeil r-inc r Sl ic hprnhc hck ann t icr, kann d ie Rc rc chnllnr, til'S Mi nd wl' r1 l's
auch in andc rcr Wei se gesc hehcn. Ocr A usgan gspunkt ist die Forme! (10 .1). woraus fulgr:
". ~ II ; = h(x;) " Wir bctrachtcn cine Sttchprobc vom Umfa ng h(x;) = ....!.
(10.8)
1/
11 mit k vcrschicdc ncn wcnen (k :$; /I ). Die Formel zur Berechnung des Miuelwcrtcs laBt stch nun durch Tra nsformati on del' Porme l (10.6) uuch in folgcndc Form bringen:
k II i k 1I(Xi ) II k I " I k j ' = - L Xi = - L Xi II i = E Xi - = L Xi - - - = L Xi h(Xi) 11 ; = 1
.i ~
,
"
;= 1
L X'''(x,)
i= 1
II
;= 1
II
;= 1
Mine twertherechnung ails der Hiillfigkeit:'ifimkrioll
(10 .9)
;= 1
Moda lwert Unter Modalw ert X""", wird del' elIll hiiuJigstell auftretende Wert del' Stie hprobe versta nden . FUr die Stichprobe del' Tabcl1e 10.2 betrilgt del' Mod alwert 26 (komrn t 7-ma l vor).
Media n (Zentralwert} In del' O rigi nalform eincr Stichprobe sind d ie Werte nieht geordnet. ihrc Platzterung folg t ei nfuch del' Versuchschro nologie. Ord net ma n d ie Stic hpro bcnwerte XI,X2, ' " . X" ihrer GroBe nach neu , entstcht daraus die neue Datcnreih e x (I ) ,x(2)"" . x( lt ) tgeord nete Sttchprobe). flir wclch c strikt die Relation x U) :$; x (;+ I ) gi lt. Wenn del' Stichpro bcnumfang 1/ cine ungcr adc Zahl ist. stcht cin Suchprobcnwcrt gc nau an del' mittleren Position diesel' ncucn Datcnrcihc. Dicscn Wert bezcichnct ma n als Median (uuch Zentra lwert genannt). Die links vom Median i licgcndc Halftc del' Stichprob e ist also kleiner als i ; und d ie rectus davon licgcndc Half'tc groucr ats .r. Falls II cine gcradc Zahl iSI, wird del' Median ublic hcrwcisc dcfinic n als um hmctiscbcs Mittel del' belden am wet rcsren in del' Mine liegenden Stichprobc nwerte . Ocr Median .i ist. wie del' Mittclwert , ein Lagem aB und dctin icrt dureh die Forme!
falls 11 uugerade Median
( 10.10)
falls II ge rade
Anmerkung: Von den drci Lagem aBen Min clw crt. Modul wert und Median wird del' Minelw ert in del' Praxis am haufigstcn verw cndct. Sei n Nac htei l bcstcht darin. dass cr cmpfindlic h gcgcn ubcr Ausrciu crn in del' Srichprob c ist. Ein AusreiBer ist ein von den ubrigcn w cncn stark abwcich cndel' Wert und cnstcht mc tsrcns d urch MeBfehler. Ocr Modalwcrt wird von AusreiBcrn Uberhaupt nicht und del' Median nul' gcring fug'ig bccin fl ubt ts. auch Aufgabe 2 auf Scire 53 1).
5(Kl
10 Sr ochasnk
Quantil und Perzentll Wie eben erlnurcrt. unterteih der Med ian eine Sttchorobe we rtemhllig in zwei Halften. Mi t Hilfe des Quantils kann dies e Unterte ilung noch feiner differe nziert werden . Fu r c ine geordnete Stichpro be vom Umfa ng II kcnnzeichnct da s p -Q ua ntil e inc n Wert 4p aus der Sticbprobc . der dicse in zwe i Teilc untcneilt: ein Teil cnthalt d ie /I '!' wertc, die klcincr od er glcich ql' sind; dcr andere Tcil cmhatr die ubrigcn /I ' ( I - 1') Werre. d ie groBcr als 4" sind. Dcr Qu antil paramcter I' ist cine rccnc Zah l zwischen 0 und I. Dns p- Quantilteilt die Srichprobc also im Vcrhaltnis I' : ( 1 - 1') auf. lsi L B . /I = 100 und I' = 0 .25. entspricht das O,25-Quantil 40.25 demjcnigen Za hlenwert, dcr die Stic hprobc dcrart in zwe i Tcilc untcrtei lt, dass 25 Werte kle incr odcr gleic h dem Wert 40.25 und die rcstlichcn 75 wcrte gro ac r als 40.25 si nd. Das Quantil ci ncr geordneten Stichprobe ist dc finicr t durch: falls Il l' ga nzza hlig sonst
110.11)
Quantil
(Il l' + 0 ,5 auf ganzc Za hl rundcn)
Das p -Q uant il und da s (I" ]{X»)-Pl.'rzentil driieken die glciche sunistischc groBe aus. d.h . be im 0 ,3-Quantil und 30- Perzentil handelt es sich um d ie sclbc Gro se. Das Quantil qU.5 entspric ht dcm Median i . weil 40.5 die Stichprobe in zwei g lciche Teilc unrencilt. Va rianz Die Lagem aBc einer Stichprobc. also der M ittelw ert und Mcdiunwert, habcn insofe m ci ne begrc nxrc Aussagck raft als sic keinerlei lnformationcn da riiber preis gcbcn . ob die St ichprobcnwcr tc sic h vonci nande r wen ig ode r viel unte rscheiden. Beispicl sweise haben folge nde Stichproben zwar de n selbcn Mittelwert (= 4) ; die w erte der zweiten Reihe liegen aber vic! weiter uuseinander als di e Werte der crs ten Re ihe.
3.8
4.0
3,9
4.1
4.2
2
3
4
5
6
Man erkennt sc forr. das s di e ers te Stic hp robe statistisc h »zuvertassigcr« ist. wei! weni ger schwankend. wahren d bei der zweiten Reihe starke Ausschfuge um de n Miuelwert auftreten. Es wird also ci ne wei tere MaBzah l benotigt. d ie die ser Bcso nderhcit der Stichprobe Rechnung tragt. Die benetigte MaBzah l wird Stre o u ngs ma f genan ru. weil sic die Streuung der Suchprobcnwerte um den Miuelwcn quantitativ beschreibt. Das in der Praxis am hdufigstcn verwe ndcte Streuungsmaa' ist di e tem plrlsche ) Va ria n l .~2 . welche durch fo lgende Forme! definicrt ist 5; .\.2= _I_
,
[(x, - . 27 N/ mm 2?
P(j;.> 27) ~ I - P(!< ,; 27)
~
I - 0,85 ~ 0,15 = 15%
b) Wie grou ist die wahrscheinlichkeit. beim Werfen ei nes w urfels ent wcdcr eine 3 oder eine 4 zu er hulten? Wenn A das Ercignis »eine 3« und B das Ere ignis »eiue 4 « bcdeuten. wird des Ereign is »eine 3 odereine 4 « dur ch die Vereiuigun g von A und B wiede rgege ben. Ereignis »cine 3 odcr eine 4« = A u S
A nB =O
Die Wahrschcinlichkeit de s Ercignisses A US wird bcrcchn et nach ( 10.2 1):
P(A UB ) ~ P(A )+P(B) ~
I
I
I
-+ - ~ - = 33.3% 6 6 3
c ) Wie groB iSI d ie Wahrschcinlichkeit. bcim Werfen cines w urfcls gleichze itig c ine 3 und eine 4 zu erhalten ?
10.2 Elementere w ahrschcinfichkcitstheoric
51 J
Die Wahrsch einlichkcit muss au s nahelie gen dcn Grunden zwa ngsla ufig Null scin. wcil es unrnogli ch ist, bci m Wurf cines Wtlrfcls cine 3 und cine 4 glc ichzcitig zu crhaltcn. ~
P(3 n 4 ) ~ 0
d) Bcim Wurf einer Milnze sci das Ercig nis A = « Kopf« dcfinicrt . Das zu A ko rnplcmc ntarc Ercignis ist da nn A eo-Z ahl«. Ubc r die scs Exper imen t sind dan n folgende Au ssagcn mogl ich: wahrschciulichke it. da ss »Kopf« ei ntritr: P(A) = 0 .5 wahrschcinlichkcit dass »Zahl« eintritt: P(A) = I - P(A) = 1 - 0 .5 = 0 .5
P(A UA) = I
(Es ist siche r, da ss cntwedcr Kopf ode r Za hl eintritt.)
P(A nA) = () (Kopf und Zah l konncn nicht glcichzeit ig cimrctcn.) e) Wie gro f ist die Wah rscheinliehkeit, beirn Wurf cines wurfcls nictu cine 3 zu crziclc n? Wenn wi r mit A das Ercignis »ctnc 3 zu crzic lcn« bczcic t mcn. bcdeute t A das Ercignis »einc 3 nicht zu crziclcn«.
PtA ) ~
10.2.4
_
~
I
5
P (A ) ~ l - P (A ) ~ 1 - 6 ~ 6 = 8 3 . 3 %
Add itions- un d Muul pllka tfonssatze de.. w ahrsc helnttchkett
Der Ausga ng cines Z ufallsexperimc nts kan n zwa r nich t vo rhergcsagt worden . doch cxis tic rcn gew isse Gesct zm ab igkeitcn zwisc he n den vcrschicd cncn Ereignisscn: l\I ult iplikationssa tz ru r zwei unabhimgige Er eignisse . Zwci Ercignissc A und B worden als vone inander unabhiingig bczcic hnc t. wenn da s Ei ntrcten von A vcllig unabbangig vom Eintrctcn (ode r Nic htcintrctcn] von B ist. d .h. da ss cs auf das EreignisA kcin crlci EinlluBhat. oh B bcrc its cin getretcn ist od cr nicht (und naturlich umgek ehrt) . Bcls ptcle: Bcim zwei malige n w erfen eincr Mu nze ist, wic ma n stch das leicht plausibc l mechen kann . da s Ergeb nis de s zweitc n wurfs vom Ergebni s des ers ten Wurfs unab ha ngig - und umgekehrt. Bcim gleichzeitige n Wurf von zwci Mun zcn ist das Ergebni s dcr ers te n Mttnzen vo llig unabhangig vom Ergebnis de r zweitc n Mu nzc - und umgck ehrt. An eincr Verkeh rsampcl dcr Inncn stadt worde n vorb ei fahrcnd e Autos beobaehtet. Die Marko des f-tcn Wagen s ist unabhangig von dcr Marke des (i - I Hen Wagon s. Die Wahrs chcinlichkeit fur das Kfeiclizei/iKe Eimretcn von zwci unabhang igen Ercignissc A und B ist gcgc bc n du rch folgende M ultiplikat ion sformcl :
IPtA n B) -
P(A) · P(B)
I
(10 .25)
5 12
10 Srochasnk
Multlpllkationssatz
Hd spid 10.9:
Wie groB ist d ie Wahrscheinlichkeit , beim g lcichzci tigcn w crfcn vo n l wei w urfctn eine 3 beim ersten wurfet und einc 4 bei m zweite n w urfel zu erhalte n? Die Wahrschcinlichkci t bc im crstcn Wa rfel cine 3 zu crz iclcn (Ercignis A) bc trag t 1/ 6. Die Wahrschcinlichkcit bci rn zw citcn Wiirfcl cine 4 zu crzic len (Ercig nis 8) he-
tragt cbc nfalls 1/ 6. Die Ercignissc A und B sind vonci nandc r unabhangig (die wurtcl wissc n nich ts vo neinande r !). Sci belden W ur fcln cine 3 zu erzielcn. cr uspricbt dcm Ereignis A n B und wi re rhalte n 'I US ( 10 .25 ):
PIA
n B )~ PIA ) · P ( B ) ~
I
I
I
_ . -~ 6 6 36
Al1merkullg: Die ses Experiment lasst sich auc h mit ei ncm W arfe l realisieren. inde m dieser zwe imal ge worfe n wi rd. Die sc beiden W iirfe sind voneina ndcr unabhung lg, wei l dcr W urfel »nicht weill«, was bc im crsten Wurf herausgekom men ist !
Addit ionssatz fur l wei beliebige Ereignisse. Fu r lwei Ereignissc, die sic h gcgcnsc itig nicht ausschlictcn. gi lt:
IPIA UBI -
PIA) + P(B) - PIA nB)
I
(10.26)
Add itionssat l flir lwei sich gegenseitig ausschiiefiende Erelgnisse. Ftlr zwe i sic h au sschlie bcn dc. d.h. un vereinbarc. Ereignissc ist P(A n B ) = 0, we il A und B per Definition ja niemals glcic bzc uig eintretcn kcnncn . Nuch dcm 3. Kolmogorow-Ax iom ( 10.2 1) gi lt dcr Add ition ssatz
IPIA UBI -
PIA) + P(B)
Multlpttkatl onssatz Illr
/I
I
( 10.27)
una bhii ngige Ereignisse.
Ereignisse A I, A2' . .. , All werden als unabhiingig voncinundc r bcz cic hnct. wenn das Eintre ten von Ai (i bc liebig ) vollig unabhangtg vom Wert aller andc rc n Ercignissc Aj (j = 1,2 .· · · , 11 abcr j :f:. i) ist. Fu r" voncinandcr unabhangig e Ercignissc gilt die Bczic hung (10.28)
Heispiel 10.10:
Wiirfeln
wle groB ist die Wah rschci nlichk eit. bei zweimalige m w urfeln mi nde stens ci ne Drei zu erzielen? Mit den Ereignissen
A : Drei beim I. Wurj
B : Drei heim 2. Will!
cnrspricht da s Ergcbnis »min dcs tc ns cine Drci zu crbaue n« dcr Vereinigung dcr Ereig nissc A und B, d.h. A U B, die sich nicht gcgcnsc itig aussehl iclkn. Die gcsu chtc
10.3 Zufallsvariable
513
Wah rschcinlichkcit bctriigt dc shalb :
PIA U Bi
~
P(A) +P(B) - PIA n B)
A n H : Drei sowohl heim J. als uucn beun 2. Wltr!
1 1 6 6
PIA) ~ 1/6 PtA UB) =
10.3
1 36
P IA nB) ~ - · - ~
I
I
I
II
-6 + -::;-= ::;- = 0.306 = 6 .,6 .,6
30.6%
Zufa llsvariable
Wcn n alle mogfichcn (dcn kharen] Ereigni ssc cines Zufallscxpcrimcntcs durch Zahlenwerte ausgcdruc kt wcrdc n. kan n man den da raus resuhie rc ndc n w crrcbcrcic h emcr Variublc n X zuord nen. Dicsc Variable X wird als Zufallsvar table (od cr Zufalls~rone ) dieses Expc rtmcnt cs bczcichnct. Man untcrschcidct zwischen disk ret und ste tig vcrt ciltcn Zufalls variablcn . Ei nc Zu fulls variabte ist diskret vertellt, wcnn cs sich um ein Zu fallsex periment handclr. bci dem das Ergcbnis ge:iihl t w ird: das Rcsuluu des Experiment s gc hort also ei ner (Jh~iihlh(/rell Menge von Werten an. Hingcgen wird bcim Zufallscxperimcnt einer stetig vcrteiltcn Z ufall svariable gemesse/!: dcr Meawert kann jeden heiiebigen reellen Wim auf der Zahlenaehse armehme n. 1m Ingenicurwesen tme rcssicr en meist cns srctig verande rlichc Grc acn tSpannung, vcrtcrmung. ci nwirkendc Bc lastungsintcnsitut. zulassigc Lastamplit udc usw.] . Ur nden Thcmcnumfang kom pakt zu haltcn . werdcn im Folgcndcn nur stctig vcrtcihe Zufallsvariublcn bctrachtct,
Ucispiel 10.1 I: Zufall.war iabl e/ZufallsgrOBe a) Beim Wer fen cines wnrfels kann die die Anzahl dcr Augen ( 1.2, . .. .6 ) der Zufa l1svariable X zuge ordncr werden . Wenn die beobacht ete Augen zah l beim Wurf z.B. 5 ist. so sagt man. dass X dell Wert 5 an gcnommcn hat. Bci diescm Experiment ist X cine disk rete Variable. weiI sie nur ganz ahligc WcJ1c aus dcr Zahtcnmcngc I bis 6 annchmcn kann. b ) Beim wcrfen von fu nf Miinzen interessicren wir uns fur die Anzahl dcr Kopfe. Die diskrete Zufal1svariable X nimrnt also einen dcr Werle 0 bis 5 an. Welchen Wert X unnim mt. hangt vom Zufall abo Auch in dics e m Expe riment ist X c ine d iskrete Variab le. c) Die Quu luat skcmrollc cines A uroherstettc rs macht Suc hprobenkonrrollcn und sort icrt diejcn igc n Schraubcn nus. dcr cn Schaftdurc hmesser die vorgegebcne sirenge To leran z nich t ei nhalten . Die A nzahl aussonierter Schrau ben in ei nem Los wird der Zufallsva riable X zugeo rdnel. X kunn nur die Werle 0, I, 2, . . . armehmen, sic ist also ci ne diskrete Z ufallsvariable. d) Bet cincr Priifung wcrdc n die Noten 1.0: 1,3: 1,7 :· · · : 3,7: 4.0; 5.0 vergebcn. Die Anzahl dcr Studierenden fur j cdc dics cr Nore n wird ermtuch und dcr diskrele n Zufullsvariable X zuge ordnet.
5 14
10 Srochasnk
e) Die Druckfestig keit e ine r Betonprobe ka nn -inn crhalb cines zu erwartcndcs Bereic hcsjcdcn bclic bigcn reellen Wert au fdcr recllc n Zahlc nachsc unnchmcn . z.B. 25 .86 N/m m2 odcr 25,87 N/m m2 (die Zahl dcr Nac hkommustcltc n hangt lediglich von dcr Messgenauigkeit ab). Dcshalb ist X in d iese m Experimen t ci ne stetige Variab le. I) Die Dauerf estigkeit cincr .....echselnd bcanspruchtcn Sch rauhc wird als dicj enigc
Spannungsamplitudc in dcr Schrau bc dcfinicrt . hoi dcr di e Schrauhc mind cstcn s 2· 10 6 Lastwcchscl n crtrag t o hne ubzubrcchcn . Die Zu fullsvariable X ist cin e stetige Grollc, weiI sic -inncrhalb cines zu crwa rte ndcs Bcrcich cs- jedcn bclic bigcn Spannungsw ert unnc hmc n kan n. Trim bei cmcm Zufallscxpcrimcnt ein bcsumrrues Ercignis ci n. da s ci ncm Zah lcnwcrt u cutspricht. so rcd cn wi r davon , da ss di e Zufallsvariablc X den Wert a an gel/oil/m e" hat . Die Wahrsche inlichkeit, da ss die Zufallsvari able X ge nau den Wert a annlmrm. wird durch fclg cnd cn Au sdruck definicrt:
P(X = a) In dcr Praxis kom mt cs oft vor, dass man sich nicht fur die A ufuetcnswa hrscheinlic hkcit cincs ci nzctnc n w cnes. sondc rn fur die cines Wer lehereiche.i intcrcssicrt . L B. fur die wahrschcinlichkcit. dass die Bctc ndruckfcstig kcir zwisch en 26 N/ m m 2 und 27 N/ m m 2 liegt. D ie w ahrschcinhc hkeit. dass die Zufall svunahlc X einen bcs timmten Wert od cr w crt ebcretch an nlmmt bzw. untcrhalb od cr obc rhalb cines bcsttmmrcn wertes licgt. wird wie folgt ausgcdruckt : Die Wahrscheiulichkeit . da ss die Zufallsvariable X cxakt den Wert a annimmt irgcndeincn Wert im Interval! [a.h] annimmt ei ncnwcrt enn tmnu. dcr hoch sten s glcic h a ist clncnwcn anni mrnt , der mmdestcn s gleich a ist
wird ausge d rUckt du rch P(X ~ a j P(a 5,X 5,b ) P(X ::; a) P(X ;?: a)
Das Erci gni s - 00 5, X 5, 00 ist e in sic hcrcs Ereignis. weil die Z ufallsvariable X ja irgcnd eincn Wert au f dcr (zu bciden Sciten unc ndlichem rccucn Zahlcnac hsc an nehmc n muss:
P(- oo ::;X ::; oo ) = 1 FUr einen beli ebigen reell en Wert (/ gilt:
P(X 5, a)+ P(X> a) = P( _ oo 5, X 5, 00) = I Daraus folgt folgende Bczich ung :
I P(X> a) = I - P(X5, a) 1
(10.29)
Die mathemat ische Bcschrci bung dcr Verteilu ng cin cr Zufallsvariab lcn crfolg t durch ihrc Vcrtei lungsfunktion (s. Absch niu 10.4) od er ibrc wahrschcinlichkcirsdichtcfunknon (s. AbschniH 10.5).
10.4 ve rtcilungsfunktion F (x)
5 [5
I,D FiX)••••••••••·••••••••
....
./
"
.,/
"
•.........
. . . .. ..r. . 1 ....
e
fix)
P(u <X
o
d'; = a dll
Die Integration sgrenzen _ 00 bis x fur .; in ( 10.44 ) andcm sich durch die Variablentransformation in _ 00 his (x - p )/ a fur II. Das Wahrscheinlichkeitsintegral ( 10 .44) lautet somit :
F (x) ~
I
= a v 21t"
(x- jJl/ G
-.J
e ~"
,
I
12 a du = - -
J21i
J -.
(x- jJl/ G
e~ ,,2/2 dll
Jetzt wird d ie obcrc lmcgrationsgrenzc d urch ein ncucs Symbol crscrzt : ( 10.45) Die Vene ilungsfunktion F(x ) bckom mt dadurch folgcndc Form:
522
10 Srochasnk
Es hat sich e ingc bilrgcrt, die rechte Sei te mit dcm Symbol c) = 5% P(- c <X S O) = 20%
P(X S; c) = 3% P(0 < X :O=:; c) = 35% f) P(- c < X S; c) = 99% h)
d)
Ldsung : a) ~ 1,28
d)
~
1,04
b ) '"
- 1.88
e)
0 .52
~
c) ~ 1.64
n '" 2,58
6. X ist ci ne narmulveneilte Zufallsvar iable mit dem Mittelwert 11 = 2 und der Stan da rdabweic hung a = 0 .5. wic graB muss die Konstant e c seiu . damit folgend e Wahrscheinlichkcitcu gcge bcn sind. a)
P(X > c) = 30%
11) P(2 - c < X S; 2 +c ) = 90%
U i.I·III/K: a ) ~ 2.26
b)
~
0 .825
11
Eigenwertaufgaben
11.1
Einftihrung
In JeT Ingcnicurpraxis kornrncn Eigcnwcrt aufgabcn haufig vor: 7.. 8. die klci nstc Knick/as, cincr Stutzc in ci ncm Hoc hhuus. cines Druckstabes in cincr Pachwcrkkonstruktion. J eT kritischc Beuldruck: cines lj-Boots. die Eigell! requell:; cmcr Hangcbrnckc odcr cines Funkm astes sind A ufgabc nstcllungcn. dcren Losung auf cine Eigenwe noufgabe fubrt. Fo lgcndc Mutrixglcich ung wird als Etgen wertgfelchu ng und das dUTCh dic sc Glci chung beschricbcnc mathcm arischc Problem als spez ielte Elgen werta ufga be bczcic bnct. ( 11.1)
Das Skalar A is! dcr Ejgenwert und x is! J eT Eigenvektor J eT quadratischen Matrix A . Die Matrix A is! vorgcgc bcn. A und x sind unbckanru. Die Eigcnwcrtaufgabc gilt uls gclost. wenn es gclingt. cin (A,x) -Paar zu linden. das die Glcic hung (1 1.1 ) erfllllt. Auf wclchcm Wcgc ). und x gc fundcn werdcn (durc h Au sprobiercn odcr durch ein rrunhemauschcs Verfah ren ). spiclt im Prinzip keine Rolle. Berens schon fur einfac he Eigenwen prob leme wird cs abcr ziemlich muhsam sci n. durch A usprobicrcn zum Z iel zu komm cn.
Elgenwer ta utga be
Heispi el 11.1:
Es kann lcic ht iiberpriift werdcn . dass die untcn angcbcncn Wcrtc fbr A und x tatsachlich dem Eigenwen und Eigenvektor dcr Matri x A enrsprcchcn.
A ~ [ ~ -~ - : ] ()
0
4
A und x sind nur dann ein Eigenwe rt bzw, Eigenvektor von A. wenn sie die Eigcnwertglcichung Ax = AX idcntisch crfulle n. Dus Einsetz cn vo n A und x in diese Gleic hung liefert:
Ax ~ [ ~
o
- I 3
o
O ffensichrli ch ist das gebebe ne ). -x-Paar eine Losung de s Eigenwcrtproblems. weil die Eigen wertgleich ung identis ch crfllllt wird.
534
I I Eigenwerta ufguben
Hd spi d 11.2: Elge nwert Gcgebcn ist e ine Matrix A und ihr Eigenvektor x . Berechnen Sic den zugc horigc n Eigenw ert A.
A
~ [ -~ -~ =~ ] - 2
- 2
2
- 0.707 1 ] x=
[
- 0.707 :
Der Eigcnwert karin aus dcr grundlcgcndcn Definition AI" = AX besti mmt werdcn .
-2
Ax ~ [ -~
4
-2 -2
- 2 2
- 0,707 1 1,0
- 3,4142 ]
AI" = AX
11.2
- 2 ] [ -0.7071]
=
[ - 3,4142 ] - 3.4 142 4,8284
- 0,7071 ]
- 3.4 142 [ 4,8284
[
- 0,707 1
Ie
~ 4.828
\,0
Spezielle und allgemeine Eigenwer ta ufga be
Die Eigcnwertglcichung ( 11 I) liisst sich auch in folgender Form schrc ibcn. AX - A X =O
Aufg rund der Beztehung I x = x crhalt man darau s d ie spezlelle Elgenwe rte ufg abe :
A X - A lx = O
spetielle Eigenwertaufgube
( 11.2)
In dcr Ingenieurpraxis fu hrcn die Losungsvcrfahren in aller Regel auf einen etwas enders au fgeb.unc n Ausdruck als derjenige in ( 11.2). Dieser als a llgemeine Btge nwert a utgebe bczeichnct c Ausd ruck lautet: allgemeine Eigenwertaufgabe
( 11 .3)
Transformat ion d er allgemei nen Elgenwert e ufga be in cine speielle Elge nwe r ta utga be Die allgemei ne Eigenwcrtuufgabc (11.3) kann in cine spezicllc Eigc nwcnaufgahc ubcrfuhrt werden. Htcrrur cxls ncrcn lwei Moghc hkc trcn . 1. Falls d ie Matrix B invcnicrbar ist, wird die Gleichung (1 1.3) auf belden Sci tcn mit B - 1 1inksmuIIipli lien :
-- --
(B- 1A - A B - 1B )x = B - 10 C
I
*
I (C - le I) x - OI
( 11.4 )
11.2 Speziclle und allgemeine Eigcnwertaufgube
535
2. Falls d ie Matr ix A invertic rba r ist. wird die G lc ichung ( 11.3) auf bcidcn Se iten mit A Iinksmu hipli zic rt:
(Q -?. D )x=A-10 '* ,
(1 - )' D) x= O
'*
l
( D - I- 1) X = O
D
Durch Einfiihru ng cines neuen Sy mbols be in der ubllchcn Sc hreibwe ise: mit
I?. =
I
~
= I I ). erhau man d ie spczielle Eigenwen au fga-
l und
D =A - 1B
( 11 .5)
Es ist nicht immer gleichgUltig, we lche n dcr obigcn beiden Transform utions wege wir einschlagen. Folgcnd c Fa ile sind dcn kbar : 1. Die Losu ngsm ethod e fUrd ie Eigenwenau fga bc liefcrt aile Eigenwerte, In dl esem Fall ke nnen wir zwische n de n Tran sforma tionsvari an tcn ( 11.4) und ( 11.5) - falls kelne besond crcn GrUnde fur cine bestim mte Wah l vo rliege n- frei wnhlen. Ein bcsonderer Grund, der unsere Wahl unmltt elbar beein flusscn wurde. lnge z.B. vor. we nn di e Inver se B - 1 bzw. A - I nicht existieren wUrde. 2. Die Losungsntethode IUr die Eigcnwerta ufgabc licfert nur {len kleinsten Eigenwe rt (di e Iterutionsve rfa hrc n in Absch nitt I 1.8 licfcm z.B. nur cincn einzigen Eigenwcrt). Nehmcn wir an , da ss wir uns fur den kleinstcn Eigenwcrt An,in int cressicrc n (w as in der Ingcnleurpraxls meis ten s auch der Fa ll ist). Ferner nehm en wir an. dass da s ge wa hlte lterutions verfah ren den kleinsten Eigenwert Amin liefert. In diesem Fall wa re die Transfor mation ge ma13 (1 1.4 ) ge nau die rich tige Wahl. Fall s das gcwahltc ltcration svcrfahrcn jcdoc h den griij//ell Eigenwcrt A,ll.~ liefcrt, wa re die Transform ation gc ma13 ( 11.4) ungccignct. In dic scm Fa ll kunn die Transformation nach ( I 1.5) du rchgcfuhrt worde n. so dass al s Ergcbnis Ima~ hcr aus komm t. Den gcs uchtcn klci nstcn Eigenwert Amin erhaltc n w ir dann ge maB (1 1.5) aus dcr Beziehu ng A,llin = I IIma ~ .
Ueispiel 11.3: Bci Sc hwing ungs- od cr Stabilitatproblcmc n von Tragwcrkcn hat man cs mit der allgcmeincn Ei gcnwcrt aufgabc zu tun. Die Bcrcchnung dcr Eig cnfrcqucnz Oller K nicklast cines Tragwcrks flihrt L.B. auf folgcndc allgemeine Eigenwertau j gc ben: Eige nfr eq ucnze n
Kn ick- ode r Heullast en
I (K - w2 M )x = O I Die Matrix K wi rd uls St cili gke itsmat rix des Tragwerks bc zeichnet. M ist die Massen matrix. W die Eigenkr eisfrequenz. Rei dcr Knicklastuufgabc bcdc utcn ). die kritischc Lasrimensitar. KG die geome lr ise he Steifigke its m at r ix des Tragwerks.
536
I I Eigenwertaufguben
11.3
Ltlsung der speziellen Eigenwerta ufgahe
Die spczicllc Eigcnw crtaufgabc nach (1 1.2) AX - A lx =O
lautet in zunachst uusgcsc hricbcnc r und dunn wiedcr zusamrnen gefLi hrter Form: all -A
a 12
a21
a22 -A
o o
( 11.6)
o
a"" - A
~
o
A - ,u
Besnmmung der Eigenwer te
(1 1.6) ist e in 1101II()gelle,~ lincarcs Oteich ungssystcm. weil die rcchtc Se ite aus dem Nullve ktcr bcstc ht. Es besitzt nur dann cine nichuriviale Losung, wcnn die Dctcrrninantc dcr Kocffi xicn tenmatrix (A - AI) gleich Null ist (vgl. die Losbarkeitsbcdingung 2 fur homogcnc Glcic hungssysteme im Absehniu 3.8.6. Set te 94 ). Diesc Dctcrminantc wird uls Elgenwer tdete r mma nte bczeichncr:
o
Eigenwertdeterminatue
( 11 .7)
oder in uusfuhrlicher Schrcibweisc:
A
a 21
tl22 - A
a 1" a2"
a,,1
0,,2
a,m - A
a ll -
a l2
~ O
( 11.8)
Die Eigcnw crtdcterminantc fllhrt auf die sog . charakterlst ische Olelchung, welche ein Polynom n-tcn Grades in A ist:
IA" A"+ A"_I A" 1+ . .. + AI A1+Ao = ol
( 11 .9)
Die Losung von (1 1.9) licfert d ie Eigenwerte AI , A2' .. . A". d.h. sic sind die Nullstellcn der charakteristischen G teichung. Einc ree lle und symmcrrische II x II Matri x A besitzt genau II reellc Eigenw erte ( Ai . i = 1.2.. . . , 11 ). Zwe i oder mchr Eigenwcrtc konncn allc rdings g leich sein.
Hestimmung der Etgenvektoren Nach dcr Bcstimm ung dcr Eigcnwc rtc worden die zugchorigcn Eigenvekto ren bcstimmt. Zu jcdcm Eigcnwcrt korrcspondicrt cin Eigcnvektor. Wenn z.B. der i-u: Eigenvcktor X i gcsucht ist. wird der Eigcnwcrt Ai in das Glcic hungssysre m ( 11.2) etngcscta und das daraus rcsulucrendc homogcne lineare Gleichungssytc m gelos t. z.B. mit Hilfe des Gaull-Verfahrens.
I J.3 Losung dcr speziellc n Eigcnwertaufgube
537
Dcr Eige nvektor Xi ist allc rdi ngs kein eindcutiger Losungsvekror. so ndcrn nur ein rclutivcr. d.h. se ine Elcm cn te sind nur in relativcm Vcrhalmis zucinundc r aussagcnihig und nicht ctwa in ubsolu tcm Sinne. Vorausscrzun gsgemati ist d ie Dctcrrnin antc dcr Eigcnwertglcich ung gc maB ( 11.7) glc ich Nu ll. d .h. IA - A II = O. Ein Glcic hun gssysrern mit Null- Detcrmin ame isl abcr nicht ci ndeurig losbar, Am Ende dcr Gau13-El iminat ion stellt sic h die Situation ein. dass ein Element des Losu ngsvck rors willkurlich gewahlt wcrdc n kann und di e ubngen Elemcn te ein Vielfaches dleses gewahltc n w ertcs sind. Wah rcnd des GauB-Algorithm us entstc ht cine Oleichung dcr Form » 0 ' Xi = 0«. Daraus folg t. dass Xi einen bclic bigcn Skalarwcrt annchmc n durf d.h . X i = k. Es ergibt sich also ein Eige nvektor, in dcm cin Elem ent den Wert k hat. D ie rcstlic hcn Elcmcnt c des Eigcnvcktors sind dann Viclfuchc odcr Bruchtcilc des Skalars k:
(/i_1k Xi =
k
+-
Zc ile i
tl j
:
Skalarfakto ren
j = 1,2. · · · . i - I. i + I , .. .• 11
(/i+lk
(I"k Anmerkung: Die Wahl des Sk ulurs k ist gru ndsatz lich bclic big . man kan n also stc rs k = I wahlen. In dcr Ingcnicurpraxis wird in der Regel der Eigenvcktor W ill Schluf so moditi v-icn . dass de s berrags mnaig grtiBle Element des Eigenvekt ors + 1 wird. wei! dadurch praktische Sc hlussfolge rungen aus dem Eigcn vekt or leic hter mogllch sind.
Heispiel 11.4: Die Eig enwerte und Eigenvckt ore n der nachfolgc nden Matrix A aus Beisp iel 11.1 sollcu mit H ilfe der Eige nwert dctcrrni nante nach 01. ( 11.7) bes rirr um werde n.
- I
3
o
-l]
A=?
x =?
(oj
(A - AI) X ~ O
Die Eigcnwcrtdetcrmi nante und charuktcristisc hc Glei chung lautcn:
I- A
o o
- I
I
3-1
- I
o
4- A
0> ( I - A)( 3 - A)( 4 - A)~ O
~ O
53!!
I I Eigenwertaufguben
Das Polynom der charaktcristischen Gleichung liegt als Produkt von drei Linearfuktore n vor, so dass sich dic gcs uchtcn Eige nwerte unmittelb ar crgcbcn :
E rs ter Eigenw ktol" X I . Nach Einsctzen des ewen Eige nwertes AI = I in die Eigenwertaufgabe (a) erhlilt man ein lineures homogenes G leichungssystcm : - I
2
o
u
Die Matrix A liegt -zufallig - bcrcus in dcr obcre n Dreiccksform vor. d.h. c ine Gault- Elimination ist nicht notwc ndig. Sic ist linear abhungtg. d .h. singular, wei! cine Nullspa lte vorhandcn ist . Die Dctcrrnin ante ist folglich Nu ll OA - H I = 0) . Trotzdcm ist eine, we nn auch nicht eindeu rige. Losung des Iincarcn Gleichungssystems moghch, weil cs sich um ei n homogenes G leich ungssys tern handel t {rechte Seite ist der Nullvektor). Aus dcr J . Zei le ergibt sich: J 'XJ = 0 ~ XJ = 0 Die Substitut ion von
X3
= 0 in die 2. Ze ilc liefert: ~
2 ·X2 - 1 · 0 = 0
Die 1. Ze ile erg ibtjetzt: ~
O· x l - I ·() +I · {) =O
Der I . Eigenvekto r luutct also (k kann bcliebig gewtthlt werde n):
Die Richtigkci r dcr Losung lassr slch leicht ubcrprufen: - I
3
o d.h .
Ax l
=
Al X I /
I J.3 Losung der speziellc n Eigcnwertaufgube
Zwetter Ejgenvektor X2 . Das Einsctzcn von ergibt: - I
3 -3
o
- : ] [ :; ]
4- 3
f3
~ [ 0~ ]
A~
= 3 in die Eigcn wcrtgleic hung (a)
=> [
-~0
- I
o o
Wieder liegt die Matrix A - Al in der obcre n Dreiccksform vor, d.h. die Ruckwanssubstitution kann unmittclbar beginnen :
Zcile3 :
I ' X3 = 0
=> X3 = 0
Zeile2 : O· _Q -I ·.\'3 = O Zcilc I :
- 2 ,x l- l · I.: + I · 0= 0
- 2 , x I- I · x~ + [ · .\')= 0
=> xI = - 1.:/2
Dcr 2. Eigcnvekto r lautet:
] [T] Kontml/e:
Drill er E igenvektor x) . Anulogcs Vorgchcn mit AJ = 4 liefcrt folgcndc Resultate:
[
l -~ 3 ::~ o
_ : ] [ :; ] 0 4 -4 Xl
Aus3 .Zcile: O,x3 = O
~ [ ~] 0
=> [
-3 - I
o o
- I
o
=> X3 =1.:
Aus2 .Zeile: - 1· X2- 1·.f.; = 0 Aus I. Zcilc : - 3 ' XI- 1' X2+ I ' X3= 0
- I ' .\'"2 - 1. k = 0
=> X2 = - k
- 3 ,x l- I · (- k) + 1·1.:=0 ::::} XI = 2k/ 3
539
540
I I Eigenwertaufguben
Dcr 3. Eigcnvektor lautct somit:
Kantrolle:
-i -~ ][ 06~n ~ [ 2~:n
Ax, ~ [~ O
(i = 1,2, · · · . 1I )
2. Aile Haupt -Unterdetermin anten von A sind positiv:
" II
> 0,
I
" 11 {/ 21
a l2
" 22
I> O.
" II
(/ 12
ti D
tl 21
a 22
tin
(/31
(/32
tI .13
>0
usw.
3. Aile Hauptdiagonalc lcmcnte nach dc r Drcieckszerlegung von A sind positiv (A kann mittcls Zc ilcnopcra ncncn. z.B. rniucls Guug-Elim ination, in die obcrc odcr umcrc Dreiccksform trunsform icrt werdcn].
Ueispi eJ 11.7: Die positive Dcfinitheit dcr Matrix K in Beispiel 11.5 soli ilbcrp riift werde n.
K~ [
12000 - 2000
- 2000 ] 2(XX)
Al = 1614 .83
A2 = 12385. 16
I . K lst positiv dc finit, we i! bcide Eigc nwerte poshiv sind. 2. K ist posuiv dc finit. weiI bcidc Hauptu nrcrdcterm tnanrcn positiv sind: k i t = 12000 > 0
k" k 22
I~ I
12{X)() - 2{X)()
54!!
I I Eigenwertaufguben
3. K ist positiv dc finit. wc il nach der Dreicckszcrlcgu ng (GauB-Elimi nation) alle Hauptdia gonalelcrncntc positiv sind.
-~:
12000 [ - 2000
]
Drcic, 0
1667 > 0
I'ositiv se m idefinite Metrtx Fiir c ine posi tiv semidefinite Matri x A geltc n folgend e Regehr (die Er ftillun g ei nes Kriterium s ist aus reic bend und stel lt sic hcr, da ss d ie an deren auch erfullt sind ); I. Kein Eigenwert von (A - Al) x = 0 ist ncgnuv, d.h. es ist A; =?: O. 2. Kcinc (Ha upt-Il.Intcrdc tcrminuntc vo n A ist ncgat iv, 3. Kcin Hauptdiugon alclcment nach dcr Drcicck szcrlcgu ng von A ist ncgutiv. Betsplel 11.8 : Die positive Dcfinithe it der Matrix K in Beispie l 11.6 kan n w ie folg t bestimmt werden:
1 - I - I 2 o -I
-:]
I . K iSI positiv semfdetln u. wei! ein Eig en wert Null und die beid en ande ren posil iv sind. 2. Kist positiv se midc finit. wei! zwa r d ie erste n zwci Hau pruntcrdctcrnun antc n positiv, abc r die drittc glcich Null sind .
1
kll = I > 0 1 - I
- I
o
2 - I
- I
- 2 I
I=2 -
1= 1 > 0
o - I 1
~ 1 ( 2- 1 )- I ( O + I )+ O ( I- O )~ O
3. K ist positiv se midcfinit. wcil nacb dcr Drcic ckvzcrlc gung ein Hauprdiugc naletcmcm g tctch Nu ll und die anderen posutv sind.
[-l
- I
2 - I
- I Drcieckszerl egung,
[ 7,
1
o
11.7 Kenngruben einer Matrix und Eigenwcrte
549
Nega ttv d efinite J\lat..Ix Einc symmctrischc 1/ x II Matrix A ist ncgativ dc fi nit, wcnn folgcndc Krircricn crfullt sind (die Erfullung eines Kritcri ums ist ausrcichcnd und stcllt sichcr. dass d ie undcren auch crfllllt sind) : I. Aile Eigenwenc von (A - Al) X = 0 sind negativ:
Ai >O (i = I, 2. ·· ·. II) 2. Allc (Haupt-)Unterdetcrminantcn von A sind negat iv:
ti ll
< O.
I
a II "21
(J12
an
I< O.
"II
(/ 12
" 21
(/22
" 31
(1.~2
aD an a33
trA= L A; ,/ dct A
~ 6 ( 8- 4 ) + 2 (- 4+ 0 ) + 0~
3
16
n J., ~ (0.5359)-(4.0) · (7,464 1) ~ 16
;=1
=> dct A ~
nJ.,
/
551
552
I I Eigenwertaufguben
11 .8
Numerische Methoden ftir Eigenwerta ufgaben
In die sem Kap itel werden nur svuunetrische Matrizen mit reellen Elcment en bctruchtet . Aile Eigcnwerte eincr rcell-sy mmctrisehe n Matrix sind reell. Sowohl die speuette als aueh die allgemeine Eigcnwert au fgabc nac h Abs . 11.2 wcrden anwendungsbe-ogen bc hundclt:
Ax = Ax
bzw.
Ax = ABx
bzw.
(A - AI) X = 0
(A - AB )x = 0
sper ielle Eigenwert aufgabc
allgemeine Eigenwert au fgabc
Fur die numerische Losung von Eigcnwertuufgab cn steht c ine schr groBc Bandbrcite an cffizic nten und stabilen Losungsver tahren zur v crtugung. Ncbcn zahlre iche n kommcrzicll erhaltlic hc n So ftwarc- Pakete n (z .B. IMSL und NAG ) existiercn aueh kostenlose pab lic domain Bibliothcken O.d.R. in Programm ierspraehen FOR TRAN, C, C++) , wie z.B. das Software paket EISPAC K.2 1m folgenden solle n nur solc he Verfa hre n bcsproc hen werden , die cine gcwlsse Anschaulichkeit bieten und so als Einfiihru ng in die Thematik gee ignet sind. FUr eftizientere v erfa hren sol1 te im Bcdarfsfall die Speziulliterutur kon su ltiert werden .
11,8.1
Vekl ornorm
Einc Veklornorm driiekt die vcrultgemci nertc Lange cines Vektors (sic ist nicht zwinge nd mit dem geo metrise he n Langenbcgriff glcic hzusctze n tj. Die am meis ten gc brauc hlic hen Vektomo rmen sind nachfolgcnd det mten .
IIxll1
~
IIx ll2 =
Ixd +lx21+ ---+lx"1 (.tT +x§+ ... +.t7, )1(2
l!xll"" = max , Ix;! Ht.'ispid 11.10:
II· Nor m 12-Norm (Eu k/id -Norm ) I~ - Norm
vektornormen
Nac hfolgc nd sind d ie versc hiodcncn Vcktom ormcn des Vcktor s a angcgebcu.
I xll,
~lx d+ lx21+l x,I~ 5+ 2+ 3~
10
I xll2~ J5' + ( -2)2+3 ' ~ 6_ 1 64 Ilx ll ~ = .lIIax
1=] ···3
Ilxll,
Ix;l = max{5; 2:3} = 5
~l x d + l x21+l xJI~ 5+ 2+ 3~
IIxll2 ~
J(- 5)' + 2'+3' ~ 6,164
Ilx ll ~ = .lIIax
1= ] -·-3
IXi l = max{5: 2;3} =5
2 crhahlich l ,B, bei http : I /'.r.lw . ne t li b. o rg/eispack
10
(1 1.16)
JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn [Power-Methode]
11.9
553
Mises- Iteratiensve rfa hren (Power-Methode)
Oas lterationsverfuhren nach VO/l Miscs ist ei ne einfache Siandardmethode fur d ie Bcsrtmmung des griij3/en Eigenwen cs und des zugehorige n Eigenvektors e incr qu adratische n n x 11 Matrix A. Es handel! also um die Losung der spcziel1en Eigenwertaufgabe
(1 1.17)
Ilie Ide e hinter der Mlses-lteratfon Die Eigenwerte der Matrix A scicn bezcichnct als A, . ).2• . . . ,A" (die Eigenwerte seien so geordnet. dass AI < A2 < .. . < A,,_ I < A,,») und ihre Eigenvektoren als XI.X2. · .. •X". Jeder beliebige vektor u(O) mil n Ele menten (egal wie dieser Vektor aussehen mag) kann als Unearkombination der n Elgenvektorc n der Matri x A ausgcdruckr werden ":
( 11 .18) Wen n nun die ob ige Beziehung auf beiden Sellen mil der Matrix A multiplizicrt wird. cntstcht ein neuer v cktor u ( I ) . Unter Bcrucksichtigung von ( 11.17) erhan man: U( I )
= Au(O)
-- -
= A (CIXI + C2X2 + = CI Ax l + c2 Axl AI~I
.l.!~!
+ c,,x,, )
+
+ c" Ax" ;.,...."
Die nochm alige Multipli kation der letzten Zeile in der obige n Beziehung mit A liefert einen neuen Vektor u (2 ) . Unter cmeuter Berticksichtigung von ( 11.17) ergibt slch: U (2 )
= Au(l)
+ C2 A2X2 + + c"A,,x,,) CI AI AxI + C2A2Ax 2 + + c"A,,Ax,, ClAfxl + C2Afx 2 + + c"A';x"
=A = =
(CI A IX I
3 Der Einfachht'il halbcr nchmcn wir an. das~ A posiliv . Die Norm alisieru ng wird ljblichcrweisc mit dcr [",-Norm dic scs Schrtucs. also mit I~} , vorgenommen. d .h. wir erhalten den norm ierten Vektor x (i ) wic folgt:
II II"UIII _
(i ) = _"_ '_
x
(1 1.19)
1m I. Iterationsschritt erhalt ma n nach die ser Vorschrift folgendes Ergebnis: (1) _
x
-
U( l )
1 ""'11 _
5 Die Konvcrgenl de r Miscs· 1teration ist umsc schnelfe r, je almhchcr dcr Stan vcktor u fO) dem Eigenvektor r., E : Wam mcki ung, dass Kurrvergcn z nic ht erreicht wird .
JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn (Power-Methode)
557
AlIl11erkungell: 1. Die Mi scs-ltcrationsmcthodc liefcrt den betra gsmaBig xrijfltell Eigenwert (domi nantcr Eigcnwc rt) eincr Mat rix. In lngcnicuranwendungcn ist in dcr Regel jc doch dcr niedrigstc Eigenwert von Interesse. wie L B. d ie ntcdngstc Eigcn frcqucnz bzw. die klcin ste Knicklast ei ncr Konstruktion. Die Mises-Itcruno nsmethcdc in ihrer hicr vorgestcttrcn Standardform ist ill solchen Fallen nict u besonders nutzfic h. Durch cine Modifi kation dcr Eigcnw crt uufgabc kann man die Methode abcr auch fur solche Aufgabenstellungen ei nsc rzen. 2. Mit Hilfe des Ravie igli-Quotienten kan n nach Beend igung der Iteration der Eigenwert ncchmals verbesse rt werden. s. den Algorn hm us in Tobclle 11.1. 3. Bei der Mises-Iteration konvergiert der Eigenwe rt wescntllch sc hneller als der Eigenvektor. Bere its nach wenigen ltcrarionsschritten kann oft eine schr g ute Nahcrung IUr den Eigenwert erre icht worde n. obwoh l d ie Nahcrungsgfnc des Eigc nvcktors noc h nicht besondcrs gut ist. Soli dcr Eige nvcktor mil hohe r Gcnau igkeit bcsrimrnt werdcn , musscn mchr Itcrationcn durchgcfuhrt worden.
4. Die Mises-Iter ation konvergiert sehr langsum. wenn dcrdom inante Eigenwert 1" dcr Matrix A und dcr nachst kleincr c Eigcn wcrt 1,' - 1 annahcrnd glcich sind, d .h. wenn ?." :::::< ;"'-1. In solchen Fallen sollie ei nem andere n Verfahren der vorzug gcgc bcn werden. 5. Die Mises-Iteration ist selbst-kcnrigierend, d.h. ein Rechenfehler bel der Ertuiulung des verbcsse rten Eigenvektors wurde zwa r die Konvergenz verzc gcr n. sie abcr nicht unmogllch mechen (dic se gutmutige Eigenscha ft ist leicht r mchvollziehbar, wenn man den fehlerhaft bcrechncte n Vektor cinfuch als Startvektor der Iteration betruchtet]. 6. Bei dcr Wahl des Startvck tors u (O) isl darauf 7.U achten. dass dcr Koeffizient CII in ( 11.18 ) nic ht cxakt g lcic h Null ist, d.h. dcr groute Eigcnvektor XII in u (O) -zumindcst tcil wei se- emhalte n ist. c" = 0 wurdc bedeuten. dass dcr Eigenvektor X II lm Stanvektor u (O) llberhaup t nicht enthalte n lst. fo lg lich kann die Iter ation auch nicht gege n den grob ten Eigenwert ?." konvergieren. Fur c" f- 0 ruckr die Power-Iteration den Eintluss des gr6 13ten Eigenvektors X" vo n Iteration 7.U Iteration irnr ncr starker in Vord ergr und (dubei hel fen auch d ie Rundungsfchlcr dcr G lcitk ommaopc ration em und konvergicrt so gege n dell grobtc n Eigen wert A." . In Com putcrprog rummcn wird hau fig em Zufullsvcktor gc nc riert. dessen Elcmcnte irn Intervall [- I : +1] licgc n und dic scr uls u !O) vcrwc ndcr (in der Ingen icurpraxis funktio nicrt dic sc Vorgehensweise mcisrcns ganz gut).
55!!
I I Eigenwertaufguben
Hdspid 11.11 :
Gro llter Eigenwert
Mil H ilfe de r Power-Methode ist der g r;iflTP Fi genwe rt A",u, und de r 711gehiirige Ri, gcnvcktor dcr folgcndcn Matrix A zu bcstimmcn (Maple· u)sung auf Sc ire 693).
A ~[ ~~ ~~ -~ ]
Ax = AX
-8
1
8
Die I",-Norm des Srartve ktors is! Ilu (O) II"" = 2.
Ao ~ IlulOIIl_ ~ 2 I. Itcrationsschriu: u ( l ) = Ax(O) =
[
10 - I - I 0.4 - 8
I
.r 2. ltcrationsschriu: u 121
x
~Ax"l ~ [
(2) _
U 121
- -II (2) 11 u ""
_
-
12.8 ] - 1.3867 - 10.8
[
I ]
- O. I OS)
- 0.8437
3. Itcrationsschrin:
16.8583 ] - 1.8871 - 14.8583
x
(3) _
131 - -11 13111 U
u
_
..
[
I ] - 0. 1119 - 0 ,88 14
I]
111_ ull l _ [ - Ilulll ll_ - 0.1333 - 0.3333
Ilu13l l1 _ ~ .\ 131 ~ 16 .8583
JJ.9 Mises-Iteratiunsverfahrcn (Power-Methode)
559
4. Iter ation ssch riu: u (4 ) = Ax( 3)
=
[
17"629]
- 1.926 1 - 15, 1629
x
(4) _
-
U
_
141 -141 I 11 I-
[
'"
u
1 ] - 0 , 1122
- 0,8835
5. Itcrutionsschritt: u (5) = Ax( 4)
=
[
17,1800 ]
- 1.9284 - 15, 1800
x
(5) _
_
U (51
_
II 1" 11 U
00
[
1 ]
- 0 , 1122
- 0,8836
Die Kc nvcrgcnz nac h dem 5. ltcrationsschritt ist ingenicurmauig uusrcichcnd (die bciden lctztcn Bigcnwertc ). (4 ) = 17,1629 und ). (5) = 17, 18 untcrschcidcu sich nur unwesentl ich voneinandcr). Die relat ive Differenz zwischen ihnen isl vcrnachlusstgbar klein: ). (5) _ ). (4 )
£=
). (5 )
=
17.18 - 17,1629 17, 18 = o,exlI = 0.1%
Einc zusatzlichc Vcr bcsscru ng lal3t sich hbcr den Rayleigh-Quotienten nach dcr 5. iterat ion crrc ichcn: 0=}
), = 30.8 11/1.793 = 17, 18 1
Dcr ges uchtc rnaxirnalc Eigenw ert bctragt som it
An,ux =
17,181
Auch wenn der Vcrbcsscru ngsc ffckt des Raylcigh-Quc ricmcn in dicscm Beisp iel nach dcr 5. Iteration aul3ersl ge ring uusfallt (wci l die crreic hte Gc nau igkcit fur k = 5 schon sc hr hoch ist], solltc cr trotz dcm nich t umcrschm zt worde n. Sc hon nach wenigen Irerutioncn karin cr erheblic hc v crbc sserungcn nach sich zie hcn. Foigende Tabclle zeig r die Eigcnwert-vo rhersage n in j edem Iteration sschhritt, wenn dcr Rayleigh-Quot ient in jeweiligen Schritt berechnet werden wurde: Iteration k 1 2
3 4 5
x (k)TA x (k)
x l k )Tx l k )
Ie
16.585 29.600 30.742 30.807 30.8 11
1,129 1,724 1,789 1,793 1,793
14.69 1 17, 172 17. 181 17, 18 1 17, 18 1
560
I I Eigenwertaufguben
11.to
Inverse Iteration (Modifizier tes l\1ises-lterationsverfahre n)
Die im Absc hn itt 11.9 vorgestellte Stunda rd-Mises- lte ration konve rgiert geg en den g riijJtell Eige nwert, s. auc h d ie Anmerku nge n auf Sei te 557. In Ingen ieu ranw endungen ist abc r normale rwcise nicht dcr grbBte, sondcrn dcr tdeinste Eigcnwcrt von praktischcr Bedeut ung, 1.. B. die klcin stc Knicklu st ein er Rah mcnkonstru ktio n. die nicdrigste Eigenfrcq uc nz cincr Bruck e usw. DUTCh cine Moditikation dcr Eigcnwertaufgabe kann die Miscs-ltcration auch zur Bcrcchn ung des klci nstcn Eigcnwcrt cs hcr angezogcn worde n. Die in ( 11. 17) gcgcbcnc spcziclle Eige nwe rta ufgabc Hisst sich durch Muhiplikation der gcsamten Gleichung mit der Inverse A - I von A und durch Division mit dcm Eigc nwert A in folgc ndc Form bringe n:
Die ursprunglic hc Eigenwcrt aufga bc w urdc also in cine neu e Eigc nwcrtaufgabc transformicrt : (\ 1.22 ) DUTCh Einfb hrung cines ncucn Symbo ls
I
E: Wam meldun g. dnss Konvergen z nicht crreichr wi rd.
563
564
I I Eigenwertaufguben
11.11
Inverse Iteration bel Schwingungsproblemen
Bet Bauwerken uno sc nsngcn Konstrukuc nen trill die Eigenwertaufgabc besonders hautig flir die Untersuc hung ihrer Eigenschwingungen (Eigenfrequen zen und Schwingungsfor men). In solchen Fallen ist folge nde allgem eine Eigenwenaufgabe zu losen : (1 1.28)
K : Stcitig keitsmatrix. M : Masscnmatrtx. ro2 : Eigcnkreisfrequcnz. Ole Umformung von (1 1.28) liefe rt die fur Iteration gccig nctc For m:
(1 1.29)
11.11.1 Bestlmmung de r kleinsten Eigenrrequenz In dcr lngcnie urpraxis iSI normatc rweis c d ie kleinste Eigcn frcqucnz von Bedeutung. Daher soli zunachst untcrsucht werdcn. ob die Iteration tatsuchlich gcgcn den klcm stcn Eigenwert konvergicrt. Ole Gleich ung ( 11.29) wird auf beiden Scitc n mil K - 1 mulripliz icrt und durch ro2 dividicrt: I ' _ K - 1Kx= ro~ K - IMx w2
002
=>
I -~ Ix =K- IMx
w·
(11.30)
Durch Einfllhrun g des ncucn Symbo ls A = l /ro 2 erhnh man daraus das Eigen wertproblem in dcr ublichcn Schrcibwcisc : (l U I)
Wenn wir das Matri xprodukt K - IM als eine neue Matrix A bctrachtcn. schcn wir, dass es sich bei dcr obigcn Beziehung urn d ie spczic1 lc Eigenwertaufgabc von ( 11.17) in dcr Form Ax = AX handel! und die Iteration nach Absehnitt 11.9 de n grol3ten Eigenwert A,n a~ liefert. Aufgrund dcr reziproken Beziehung A = 1l ro 2 kann man sofort ersehcn. dass die Iteration in wirklichkeit den kleinsten Eigenwert oo;lin liefe rt.
Die SchluBfolgerung aus den obigen Bctrucluu ngcn ist. dass d ie Anwcnd ung dcr Itcrationsmethode au f die Bczichung (1 1.29) den klcinstcn Eigenwert licfert. Es ist hicrbe i darauf zu ucbtcn . dass dcr ZUlclZI bckanntc Schatzvcktor x (k- l ) auf dcr rccht cn Selle einzusctzcn ist. d .h. zunachsr wird das Produkt Mx(t - t ) gebildct. das Ergeb nis dicn t dann OIls bcka nnrc rcc htc Scitc Z(k) bel dcr Losung des Gfeic hungssystems Kx(k) = Z(k). Die Anwendu ng der Mises-Iteration auf d ie Eige nwertaufgabc Kx = (J)2M x liefert den klein sten Eigenwe rt ro'~'in '
11. 11 Inverse Iteration bei Sc hwing ungxproblc men
Tabcllc 11.3: h ll'erse-ll eration
rur Eigcnfrequcnz- Bercc hnung
Uist d ie allge mei ne Eigenwertaufgabc Kx = w~ Mx.
EINGA BE (IN PUT): Miuri zen K . M . Stanvektor u(uJ. Tole ranz I: (Genauig kcitsschranke). rnaximalc Anzahl N dcr ltenuionen . AUSGA BE (OUT PUT): Die klefn ste Eigenkrcisfrequenz w und de r zugch orige Eigc nvektor .r: ggf. c ine rncldung . we nn Konvcrgcnz nicht crrcichr wird. A LGORIT HM US:
(0'
x (Oj = _ " _ _
Ilu(Oll l..
K =W for
tNormieru ng des Suntv cktorsj
(W -Ze rlcgung von K )
k =1.2.·· · .N do Z(A) = M x (A- l )
K u (AI = z(l l x l' ) =
(ull) berech nem
u (l )
(normiertcr Eigenvektcr)
ltu(A) II..
(Eigcnwen )
(Rcla tivcr Fch ler) Wenn ERR ::;
I: :
Iteration abbrcchcn.
e nd do
). =
T XI" J Kx l" ) T
x ln) Mu (n)
(Rayleigh-Quotient)
11 =
mi n(k.N)
Ausgabc von). und x (Bildschirm . Dru cker ctc.) Wen n E RR > 1: : w arn meld un g. duss Konvergen z nic ht erre icht wird.
warn-
565
566
I I Eigenwertaufguben
Das Vor gehen so li fu r ei ncn belicbigcn c-ren Iterationsschntt erklart worden. Au sgungspunkt ist d ie Bczich ung Kx = w2Mx in ( 11.29). Zunachst w ird das Produkt dcr Matrix M m it dcm norrnicrtcn Eigcnvcktor X(k- Ij des letzten Itcrationssch rittes gc brldct und cincm ternporiircn Vcktor Z(k ) zugewicsc n:
gebil det. A nschlieBend wird das G leicb ungssystcm
nach u lkj gclos r". Fur di e Errmulung von u 1k) brauch t man nicht unbcdingt die rechc nlnten slve Errnittlung der Inverse n Matrix K -l . Mit Hilfe der LU-Faktorisieru ng der Matri x K ist es maglich , u 1k ) uuch ohne Kenrnnis von K - l zu berechnen - vgl. Absch nitte 13. 1 und 11.10 sowie Gl. ( 11.26 ) und (1 1.27): K = W
=>
-
L U u 1k } = Z(kj
=>
L y (k j
=
Zl k}
=>
y (k j = L - 1z (kj
y lk l
U u (k} = y (k)
=>
u (kj
=
cmstc E'rgcnwcrt Dor -gcsuc htc- klci Norm von u (k ) :
U - 1y (k j
or~Ik )
. d im Jc . dem Itcrancnssc . hn.it k bcrcchnet aus dcr 100 wrr
Dcr RayleiKh-Quot icnt kann nach Endc dcr Iterat ion das Ergcb nis noch r nals vcrbcsscrn:
IIdspid 11.1 3:
Kleinste Eige nfreq uenz
Fiir cin 3-geschossige s Tragwcrk (Stahlbe to nruhmenkonstruktio n mit srarrcn Gcs ch obdcckc n und flex iblen Stiitzcn ) ist cin dyna mtschcr Nachweis gege n Erdbebcnlasten gcForden. wes halb die kleinste Eige nkrei sfreq ucn z £On,in und der zugehorige Eige nvek tor ber ec tmct werde n sollen. Die Steifig keits- und die Massenmatrix des Bauw erk s sind unten angegebcn, ebcnso der Stan vektor fur die Itera tio n. Die Anzahl der maximalen Iterutionsschritte betrdgt N = 4. die Toleranz £ = 0 ,0 1. Die Mapl e-Lasung ist aufSei te 694 . - 0 ,4 15 0.8 10' [ ] M = IO" [ 0 - 0 ,4 0,4 o
K~
-o ~
-o ~
I~ 7 ~ ]
l': Di
iS j
U ~
0 a 12 0 0 0
U
= {~ij
a l II
a2"
0
0 fU r fU r
]
.: ) n= J
ao =
L
L
J LI I " , 2~
r+2L
/ (x ) ill
r+2L
(I"
=
( 15.4)
II1U d r j (.>.: ) cOS T
1
r+2L
h" = -I
L
,
lI1Cx / (x) sin - dr L
2L: Pcriod c I' der Funktion / (x )
r : Startpositlon fur Integration. meistens r = - L oder r = 0
(p = 2L)
Mil
15 Fouricr-Rcihcn
Hd spid 15.1: Fur die in Bild J 5.4 oargestente pcnodrscne Funktion mil der Periode p = 21r
{O smx
I (x) ~
- lC :5 x:5 0
fur
Iur 0 :5.r :5 x
isl die Fourier-Reihe zu bcsnmmcn (Mapfe-Lih ung auf Seile 7(4).
"
""" 0.5
Bild 15.4: Funktion zu Bcispicl l5. J (Periode fJ =
2m
Fur die Bcsummung der Pouricr-Kocffizicntcn nach (15.4) wird r = - L gcwa hu. Mit P = 21- = 2lC erhaltcn wir: u " . !J(X)dt=-2lCI JOdx+ Jsm xdt)
I t. llO= 2L .
(
- L - lC
I a" = L
(}
J' J{x)cos "XX . .r cos ue dr) L dt = iI (J"c. cosuc d c-l- J" sm ----.-----... . 0
- L
2
o~ = - -
-
3x t.
h"
I I I = - (- cos x) IIT=-( I+ I)=21r 21r n
~ -L .!
-,
- lC
(/ 4
fur
,, = 2.4,6,8 , . . .
fur
,, = L3.5,7 .. . . 2 15x
= - - -
"XXd r
I (x) sin L
(/6
es
iI
2 35x
= - - -
0
(s. Integral Nr. 25 auf Scilc 732)
usw.
(/ 1
= ll.'l =
Os
(JO0 , vi n nr drq- J"sinx sin e.r d r )
-------
- lC
= ()
()
= . . . = ()
15.2 Fouricr-Rcihen
fur
n= 1
fur
II
~
(s. Integra l Nr. 18 auf Scire 73 1)
2
I h I =2 Die Fouricr-R cih c fur d ie angcgcbcnc Funk tio n luutct:
I 2 (C OS2t cos 4x cos ce ) f (x ) = - - - - - + - - +--+ ...
n
lC
3
15
35
+-I S.ln X 2
FUr die vis ucllc Unrcrsuchun g dcr Konvergen z dcr Fo uricr-Rcihc ist cs stnnvoll. die
Partialsurnmen mit zunchmcndcr G Jieder zah l zu bilden : I
I
5 1 = - + -sinx K 2
2 ('"' '' ) 5l =n:I -n: - 3-
I 2 (COS2\: COS4X) 54 =- - - - -+ - n n 3 15
+ '2I sin x
I . +-SIOX
2
I 2 (COS2\" cos 4x cos 6x cos Sr coslftr cos t2\" ) 5 1" = - - - - - + - - + - - + - - + - - - + - - lC n 3 15 35 63 99 143
I .
+-2 SIO X
In Bild 15.5 sind die Fun ktio nskurven der Partiulsummc n darges tellt. Wie intuiuv zu erwartcn, stcigt die Gut c dcr Fou rier-Approximation fur die vorgcgcbc nc Punktion [ (x ) mit zunc hmcndcr Anzab l der 'Ienne in der Part ial-Sum me. Heispid 15.2: FUr d ie in Bild 15.6 dargestclltc pc riodi schc sagezahnformige Funktion mit der Peri ode p = 2L =2lr
f (x) = X+ lr
- lrS xS lr
fur
Pcriodizitat : f (x + 2lr) = f (x )
ist die Fouri cr-Rcih c zu bcstirnmc n (Map le· Lilsung auf Scitc 704 ). I (/0 = 2L
J
J
-L
- l{
L
J L
U,, = -I
L
-L
I f (x) dr = 2Jr
"
I (x + Jr) d r = 2Jr
J K
f {x) cos -IIlrX d\"= -1
L
"
(x + Jr) cos nr d r
- l{
= -!. (C Os IIX + IlX sinllx +Jr sinllx) ll{ = 0 x III " _l{
6 19
620
15 Fouricr-Rcihcn
,I
-, -,
-s
a: Panta tsummc 51
b: Pan ials umme 52
. 1 Q '----"- 1 ,- ,- ,
-- -,- -,
~,
d : P an iulsumme Sl2
c : Partialsummc 54
Bild 15.5 : Paniuls umrncn fur die Funktion in Hild 15.4 Inur cine Pcriod c da rgcstellt]
Bild 15 .6 : Funktion
III
Beis piel 15.2 (Pen odc p = 21t)
L
,
- L
- ](
f J(x ) sJn- -"nx )sin nr d r b,, = - dt = -1 f ( L L n -1
=.!. n
=
X +1r
(Sin llx - nx cosnx
n2
211 ft
COS 11ft 1m 2
=
_ 1t
2 cos nft
COS IIX) I' 11
_](
11
2
- = -3
h~
2
h4 =--
4
2 - = 5-
h~
2
h", =--
6
15.2 Fouricr-Rcihen
62 1
Die Fourier-Reihc fur d ie angegcbcnc Funktion lautct:
I (.r) = 11"+
2( .
sin Zr sin3x sin 4x sin 5x sin 6x ) SlllX- -- + - - - - - + - - - - - + · · · 2 3 4 5 6
Bild 15.7 zcig t fclgendc Partials um mcn mit 3, 4, 5 und 100 Termen dcr obigcn FourierReihc (d ie Partiulsu mmc mit 100 Term on ist aus Platzgrundcn nicht ausgcschricbcn ):
S, = 11" + ·
2( .
sin2x sin3X) S1l1 X- - - + - -
S~ =11" + 2
.
2
3
S-t = 11" +
2( .
sin Zr sin3x SiI14X ) S1l1X - - - + - - - - 2 3 4
. sin 2\" sin 3x sin 4x sin 5X) ( s1l1X - - 2- + - 3- - - 4- + - 5-
Anmerkung: Die Funktion in BUd 15.6 ist o tfensichtlich ei n schwieriger FaJl fur die Fou rier-Entwic klung. Bild 15.7 d ze igt. dass die sc harfen Ecken sogar mit 100 Fouri erTermon nic ht ei nwand frci dargestcJlt werde n konncn .
.,y, a
! a"
/
~
I
;,.
~
~
../
~
a: Partialsumrnc S3
b: Pantatwmmc S-t
, c: Partialsummc S~
e
e
d: Purtialsumme 5 lm
Bild 15.7: Partialsurnmcn fllr die Funktion in Bild 15.6
Heispiel 15.3: Die in Bild 15.8 dargcstcllt c pcriod ischc cagcz uhnform igc Funkuo n mit der Periodc
p = 2L = 2Jr -x I (x ) ~ { x
tnr - Jr :S" X :S" 0 fii r
O$ x $ 11"
ist in cine Fo uricr-Reihe z u e ntwickcln .
622
15 Fouricr-Rcihcn
" Bild 15.&: Punktion zu Bcispicl l5.3 (Penode p =
(/0 =
2~ .IL f(x) d~ = 2~ - L
(
1 ' ) .I0 (-x) d~ + .I(x)d~ = 4 lr
( -·~ I~)f +·rl~) = ~
0
- Jr
2 1t)
L ll lrX ll,, = ': r [ (xl cos d r =..!. ( rO(- X COSllX) d.r + r1r X COSllx dr) L.
L
- L
= a" =
It
.
.
- Jr
()
~ [- (COSIlX+ IIX sin /IX)e)f + [(cos/IX + nx sin IIx)l~ = - 2~ ( I lr ll lt n-4
-~
lCW
fbr
11
= 1,3.5, · · ·
a" = 0
b,, =~J [ (xl sin l ~x d~ = i ( ]
II
= 2,4.6. .
(- XSin nX) d r + j x sinllXdr)
- 1r
~L
filr
COS li lt)
(I
1 ~ --~ [- (sin IIX - /IX cos/IX)e 1r + [(sin nx - /IX cos ILtl l~ lCW
~ O
Die Four icr-Rcihc fur d ie angcgcbcnc Funktion lautct:
'() , 4( cos 3x cos 5x cos 7x cos 9x ) J .~ = -2 - -lr cos..r + - 3-2 + - 5-2 + - P- + - ~- + '" Bild 15.9 zcigt zwei Purtialsu mrncn: gut zu crkcnncn isr. dass sogar die bcsondcrs cinfuchc Parti alsummc 5 1 mit ctncm cinzigcn Kosinus-Term e in ingcnicurm ftuig brauchbares Rcsulun licfctt . Heispi el 15.4: FUrdie in Bild 15.10 dargestellte pcriod ische rechtcckformige Funktion mit der Periode P = 2L =2;rr
f (x) ~
- I { +1
fU r
- lr $ X$ O
fUr
O ::=; X ::=;lC
15.2 Fouricr-Rcihen
( _1'
_'"
--11
0 -
.
'0
,.
a: Punialsummc 51
b: Partiulsumm c 59
Bild 15.9: Partialsummcn fu r die Funktion in Bild 15.8
is! di e Fourier- Rcih c zu bc stimrnc n.
e
,
rs
Hild 15.10: Punktion lU Beispiel 15.4 (Periode 1' -
(/() =
(I"
=
(
2~l f (x) dr = 2~ L (- I) dr+ ! (+l ) dr t.
0
J
1 11K.\" 1 L z. f (x ) cos T d r = i (
-
)
.f
0 ( - COS IlX)
dr }
- 11
-L ~
,
' ( - sm. llxI"_11 + sm. llXO I' ) = 0
K"
b,, =~ J f (x) sin l ~x dr = ~ ( ]
- 11
- L
2K )
=
2~ ( -XI~I1 +xIJ) = 0
.f
cosue d e)
'
0
fur
/l
= 1.2.3.4. · .
(- Sin nX) dx + j Sinlndr) ()
~ -Jr'-II (cosllxl~l1 - cosllxl~) = ~ ( I -cos mr) Jr II 4 h,, = K"
fur 11 = 1,3.5,7"
h,, = O filr
11 = 2.4.6.8, ·
623
624
15 Fouricr-Rcihcn Die Fo uricr-Rcihc fur die angegebe ne Fu nktion lau tct (Bild 15 . 11 zcig t einige Partialsum men): 4 ( . SlOX + -sin3x -+ -sin5x -+ -sin7x It 3 5 7
f (x ) = -
+ -sin9-9x +'"
)
o
s
a: Panials ummc 55
'-I
/f-;
-,
'-I
1 ~1
s
->
I--
b: Partialsummc 59
V 0 sollen auf den Balkcn keine auBeren Lastcn mohr e inwirkcn. In all die scn Fallen fuhrt dcr Bulkcn filt' t > 0 freie Scnwing unge n aus. Die frcic Schwin gun g crfolgt scnk rcchr zur Balkcna chsc und wird durch folgcndc homo gcnc particllc DitTerentialg1cichung beschrieben: (16 .2) von lat. stauo: Sullsrehe n; .1'(' I/IOI I FI/(O) = FI/(L) = 0 Aus (16.6) erhalt man durch zwe imalige Differe ntiat ion:
F"(x ) = _ Ak2 cos kx - Bk2 sin kx + Ck 2 cos h kx + Dk 2 sinh kx Einsctzen dcr Koordin ate n x = 0 und x = L in F(x ) und F I/(x ) licfert untcr Ber iicksichtigun g dcr vc rgcge bcnen Ran dbe din gun gcn:
-..=1
--...-=0
-....--
F (O ) = A cos O+ B sin O+ C cos h 0 + [) sinh O = A + C = 0 =1
'-..,..--'
= ()
F(L) = A cos kL + B sin kL + C cosh kL + D sinhkL = 0 F " (Oj = _ Ak2 cos O- Bk 2 sin 0 + Ck 2 cos h 0 + Dk 2 sinh O = _ Ak 2 + Ck 2 = 0 F"(L ) = _ Ak 2 coskL - Bk 2 sin kL +Ck 2 cosh kL + Dk 2 sinh kL = 0
16.2 Bicgeschwingungcn cines Balkens
639
Diose vie r Bcstimrn ungsgleich ungcn worden zwec kmatlig in Matrizenform gesc hricben:
° ° u.
c", I L [
I'
_ k 2 cos u.
sin kL
°u. ] [ A] [ 0]
cos h kL
sinh
k2
_ k 2 sin
k 2 cos hkL
s]~ hkL
k2
B
0
~
~
(1 6.7)
Das obige nomogene lineare Gleichungssystem bcsim nur und nur dann c ine nichttriviulc L6sung. wenn d ie Detcrmi nante der Kocffizicntenrn atrix gleich Null ist (s. die Losbarkeitsbcdin gunge n auf Scitc 94 ). Die Dctcrmin anrc JaBt sich cruweder mit Hilfe des Lapluceschcn Entwicklungssatzes auf Scitc 86 odor mittels Transformation in die Drciccksform (s. Scire 100) ermit tcln: Detenninante = 4k 4 sin kl, sinh kl. = 0
,,, ------
Wegen L -I- 0 und k -I- 0 kann dlese Bcdin gung nur erfu llt worden, wcr m sin kL = () ist. Daraus folgt die unbekannte Kcn stantc k: kL =
EIJ" k= -
11ft
/I
L
(16.8)
= 1.2 .3.. . .
Jetzt kc nnen d ie Kc nstanten A . B. C, 0 aus (16 .7) bcs timm t werden. Mit k =
--()
COS 11ft
_k2 _ k2 cos 11 ft
~O
sinh 11ft
k2
()
~
L erhalten wir:
()
cos h 11 ft
si ll 11 ft
_ k2 sin fl ft
IIft /
k2
()
cos h nn
2
k sinh nzr
= (}
Aus dcr I. und 3. Zelle folg t:
A + C =O
und
- A+C = O
0:=}
A = C =O
Aus dcr 2. Zeilc crh alt man (untcr Berticksichtigun g, dass A = C = 0 ):
,,,
D sinh rm = 0 '-----.--'
Einsetzen von A = C = [) = 0 in dcr 4 . Zcile liefen die Bedi ngung B · O = 0 , d.h. B isr beliebig frci wtihlbar. Mit der Wahl B = I licfert 06.6) d ie gesuchte Funktion F(x) J: F (X ) =
.
".,
0,(x ) = Sll1 T
/I
= 1.2,3•.. .
(1 6.9 )
3 Mil rin/ ipietl lann B aUl·h jcder bcliebigcr Zahlenwert zugcordnct werden .
MO
16 Panielle Diff erentiulgleic hungen
Die Funk tion F,,(x) wird als Eigensch wing ungs for m des Bulkcns bczcicbn ct. Ocr Balken bcsirzt uncndlich viclc si nusformigc Eigcnschwi ngungsforrncn. wcil n = 1. 1.2.3 . . . .. In Bild 16.1 sind die crstcn drci Eigcnschwingungsformcn des Balkens dargcstcllt.
Bestunmung Hill G(I ):
Die zu losende gewoh uliche DGL G + c 2k 4 G = 0 in ( 16.4) wird zunachst durch EinfLi hrung c ines ncucn Sy mbo ls 00" in leich t modifizicrter Form gcsc hdcbcn: f)~f· I ' 00" = c ··
11
(16.10)
= 1.2.3 . . . .
Die Auswertung des Terms ck2 mit de n aktuellen Werten des beid seitig gele nklgen Balkens liefert: 00" = ck 2 =
(Ei (U K) ' V-;;; L
Mil dem Losungsansatz G(I ) =
s. (16.2) und (16. 8) {'(31
crhalt man aus (16.10):
(/32+ 0),;) ~ = O
,0
Durch analoge s Vorgchcn wie obcn bc i der Bestimmung von F (x) erhlllt man:
GI,,(I) = ei1o)" , = cos 00,,1+ ; sin 00,,1
G2" (1) -_ e -
i lA, l _
• . . .' - cos 00,,1- I S1l1 0),,1
Die Lincarkom binanon dcr cinzctncn Losungstcilc (Sinus- und Kosin us-Terme) liefcrt:
IG,,(t ) -
H" cos W,,1+ K" sin 00,,1
I
/I
(16.11)
= 1.2.3. · · .
Die noc h unbckanmcn Kon stuntcn H" und KII worden aus den AllfilllxshedillKlIl1Kell des Bulkcns zum Zcitpunkt I = O besu mmr. vgl. Beispiel 16.1. Elgenpertode und Eige nfre q ue nz Ocr volle Schwingungszyklus des Balkens win! volle ndet. wcnn in (16. 11) 0),,1 = 2Jr erre icht wird. In d iescm Augenblick wird I = T", wobci T" die Pcriod c dcr Si nus- bzw. Kosinusschwingung bcdcutct. Die Eigenschwingungsperiode TTl des heidseitig KelellkiK gelageneu Balkens in dcr n-tcn Eigensch wingungsform crgibt sich som it zu:
oo" T" = 2Jr
=>
- Jr /f!;1(U K) ' T" -2 III
Die Eixenj requel1Z[, und die Eigenkreisfrequesr;
f,, ,--
..!.. -T"
2
n Jr 2 2L
/f!;1 11/
11 =
L
1/
= 1,2.3, . ..
(I)"
1.2.3. . . . ( 16.12)
dcr u-tcn Eigcnfonn crge bcn sich zu: ( 16.13)
16.2 Bicgeschwingungcn eines Balkens
fI
= 1.2.3....
64 1
(16 . 14)
Allgemeine Los ung y(x ./ ) Wie aus den Lz sungen (16 .9) und ( 16. 14 ) crsic htlic h. bcsitz t dcr Balkcn unendlich vicle Eige nschwing ungs formcn und Eigcn frequ cnzcn (wcgcn n :::: 1.2,3. . . .). Die allgeme ine Schwingungslosung y(x,t ) des beidseitig getenkig gelagenen Balkens crgibt sich dahcr nach dcm Supcrpositio nsprinzip durch lincarc Komb ination dcr Btnzctlosungcn ge maB dcm Prod uktunsatz (16.3 ) umcr Ver wend ung von ( 16.9) und ( 16.1 1):
y(x. t)::::
f: F,,(x )C,,(J ) = E
sin
,, "']
" ", I
I/~X (H" cos
OJ"/+K,, sin OJ"/ )
1/ = 1.2,3 .... (16 .15)
Bcr uckslch n gung der Anfangs bedi ng ung en Die Balkcn schwingun g fur t > 0 ha ngt von dcr Anfangsauslc nkung y(x,O) und dcr Aufangsgcschw indig ke it .\·(x,O) des Balkcns zurn Zeitpu nkt t = 0 aboWenn di e Anfungsa uslc nkung du rch di e Funkt ion fo (x) und die Anfangsgcschwi ndigkc it durch d ie Fun ktion \'o(.r) gcgcbc n sind, lautcn die An rangsbed tngungen
Iy(x .O) -
l o(x )
.\'(.r ,O) - \'o{x )
I
(16. 16)
Fur die Erfullun g der Anfa ngsbc dingu ng \'o(x ) wird noch :~·(x. t) bcnotigt. Die Different iation von (16. 15) nach t licferr: . • y(x, /) = 'L" F,,(x )G,,(t ) = 'L"
,,: 1
Nach Einsctzcn von
y(x,O) =
L
. UKX S1l1
(- H" ro"
. ro, ,1 Sill
+ K"OJ"
cos ro" l )
(16 . 17)
" "' I I :::: 0
in (16.1 5) und (16 .17) und Bcrucksichtigung von (16. 16) er hiilt man:
L"" H" sin LIInx :::: ji)(x)
(16. 18)
L K"ro" sin -
(16 .19)
" ", I
);(x.O) =
""
Il1tX
" ", I
L
= \'o{x)
Noch sind die Konstantcn H" . K" nich t bck ann t. Zu ihrer Bestim mung wird Gebrauch von Fou rier-Rcihcn gc macht. Ocr Vcrglcich dcr Glcichung ( 16. 18) mit 0 5.6) zcigt. dass d ie A nfungsuuslcnkung ji)(x.O) offensichtli ch dcr Founer-Rci hc ci ner ungcradcn Funktion cntspnchr (wcgcn dcr Sinusfunkt ion). A uf gleic hc Weise stcllt man aus (16 . 19) fest, da ss die Anfangsgcschwind igkeit V{) (x.O) durch die Fourier-Reihe einer cbcnfa lls ungcr adcn Fu nktion bcsch rtcbcn wi rd . M it Hi lfe von ( 15.6), ( 16. 18) und ( 16. 19) erhalt man Iclgcnd c Besnmmungsgfcich ungcn
64 2
16 Panielle Diff erentiulgleichungen
fur H", K,,:
H" =
,
.f
~
t.
K" = _ 2_
fo (x ) sin nzx d r
L ro"
o
j I'O (X) sur L ,
IIICX
d
116.20)
r
o
Nach Bcsrimmung dcr Konstantcn HI! und Kif mi t Hilfc dcr obigcn Bezieh ungen karin die dynumischc Antwort des Balk cns, d .h. die spczicllc Losung dcr part icllcn DGL . aus (16. 15 ) cm uucn worden.
Heispid 16.1:
Schwmg unge n efnes gelenklg getagerten Balkens
Es so il d ie freie Sc hwing ung eines beid sehig ge lenkig gelagerte n Balkens unter such t werde n, der wie in Bild 16.2 dargestel lt, ausge lenkt und dann losgelasscu wird. Das rechte Ende des Balken s trifft zum Ze itpunkt 1 = 0 am rechtcn Aullage r mi t de r Gcsc hwin dig keit I'e auf (eme utes Abbe bc n vern Aullage r wird urucrdrtlckt ).
,
................................................................
~ . !
E.I.A
t:
;;;"' J
Bild 16.2: Ausgelc nkrcr Balken in Beispie l 16. 1
Die Anfangsbedingu ngen zum Ze itpunkt 1= 0 (wcnn dcr ausgclc nktc Bulkcn nach dem Loslusscn gcradc das Auflagcr bcruhrt) lauren (das Vorzeichen von VI) ist ncgauv, wei l die A nfangsgeschwi ndig keit in ncgauver j- Richtung cr folg t):
.r I'o(.r) = - L I'e
Jo(.
A= O
=0
F (Lt ) =A cos kL +B sinkL =O
B sillk L = O
=0
Die letz te Glcichung in der zweiten Zeilc kann sowohl du rch B = 0 als auch du rch sin kL = 0 erfU llt worden . Ocr Fall B = 0 ist allerdin gs physikalisch nicht re levant. weil da nn das Seil wegen F(x) =: 0 ubcrh uupt nicht schwingcn kon nte (vgl. auch Scire 645): folglich muB sink L = 0 gchcn: sin kL = O
~
kL =//1C
// =
1.2.3. . . .
(16.43)
J 6.4 Schwingungcn eines Seils od er einer Saite
65 J
Die mit B = 1 nonnierte Eigenschwin gungsform des Seils ergibt sich aus ( 16.42): n try;
F (x) = 0 ,(X) = sin L
(16 .44)
n = I,2.3,.
In Bild 16.6 b sind die crstcn drci Eigcnschwingungsformcn des Seils dargcstcllt. Bcst tm mung von C(t ): Die zu loscnde gewc hnliche DOL Symbols 00" neu aufgestel1 t.
ck: =
fI nLtr = 00 V;;
G+c2k 2C
= 0 in ( 16.38 ) wird du rch Einflihrung cines neuen
s. ( 16.38) und ( 16.43)
11
( a)
Die daraus resultiercnde DOL und dere n Losung sind (vg l. ( 16.30) auf Seite 646 ): /I
IC,,(t ) -
= 1.2.3, . ..
H" cos
0),,1+ K" sin 0),,/ 1
(16.45)
Die Konstanten H" und K" werde n aus den Anfangsbed ingungen (Se ilauslenkung und Seilgeschwintigkei t ZUIll Zeitpunkt 1 = 0 ) bcstimmt.
Elgenper fode un d Eigenfreq ue nz Filr cinen komplcucn Schwingungszyklus gilt 00,,1 = 2n . Die Pcriodc 7;, und d ie Eigcnfrcqucnzen III sowic 00" crgebcn sich urner Bcrucksich tigung dcr Definition (a) zu: 00,,7;, = 2tr
~ ''"
0.
7;, = 2L n
- - 7;, = 2tr m L
Vs
Die Eigenfrequenc f" und die Eigenkreisfrequenz 00" in der II-ten Eigcnform lauren: £0" = -2tr = 2nl ll = -IItr
T"
L
~ 111
II = 1,2.3 , .
(16.46)
Allgemeine U isu ng y{ x . /) Die allgem eine Sch wmgungstosung y( x. 1} des Seils crgibt sich. wie auf Seite 646 fur axiale Stabschwingunge n bcschrieben. zu:
y (X, 1) =
", . ,.. x (
J.., S1l1
L
H II cos 00,,1 + K"
.
Sin
00,,'
)
11
= 1,2.3. . ..
( 16.47)
11= 1
Bernckslchttgun g d er Anfangsbedi ng u nge n Die Scilschwingung fljr t > 0 hnngt von dcr Anfangsaus1cnkung y( x .O) und dcr Anfa ngsgcschwindig kcit .''(.t .O) zorn Zcit punkt t = 0 aboWenn die Anfangsauslcnkung durch die Funktion lo (x) und die Anfangsgeschwindig keu durch die Funkt ion l'o(X) gege ben sind. lauren d ie
652
16 Panielle Diff erentiulgleichungen
Antangsbedlngungen
IY(X,O) = .lilt")
)"(x,O) = I'() (X)
I
(16.4 8)
Die Erfullung der Anfangsbcdi ngungcn crfolgt wie auf Scitc 647 crlautert und man crhalt die fo lgenden Bcsnm mun gsgfcicbungen f ur die Konsrarnen H" und K,,: I.
2 ·l11rx dr H, =T. !ftO(X) sm .
K" = -2-
L
o
Betsplel 16.3:
L ~,
J . I.
I'o(.r) Sin -I11rx dr
o
( 16.49 )
L
Schwmgungen elnes vorges pa nnte n Seils
Die Schwing ungc n des an bcidcn Endc n fcsrgchaltcncn Se ils in Bild 16.6 sind zu untcrsuchcn. Das Sci l wi rd mil dcr Kraft S vorgcs par mt. Als Anfangsbed ingung ist cine sin usformigc Auslcn kung vorgcgc ben. Die Mapfe-L6su ng ist auf Scire 705 . Anfa ngsbcdingungen zum Zcitpunkt
f o(.r) = a sin
~
I
= 0;
'I
I'o{x) = 0
,;:;;
.
. ................"."." ...... .) ;';;:
x
Die Konstante HI! erhult man aus ( 16.49) fbr Il = I mit Hilfe des Integra ls 72 auf Scitc 727 und fur 11 -I- I m it der Integral formel 82 auf Se tte 727 :
lllJ ' t.
II
H 1 ="L
= I:
II> I :
o
, J' H"="L Slll T lil
. JrX
2(1
JrX sln "L d r = L SIn "L
It"X
•
I1lt"X
sln T
[x'2 - 4lt"L slllT . 2JrX] ' 0= 0
aL d t = 2lt"
o
KII =O
. Sin
rr(n +
L----,.'C
I)X ]'
11 +1
~ 1\
o
fur 11 = 1.2,3, · · .
Das Bmscrzcn der Konstenrcn H" . K" in ( 16 .47) liefert die Seh wingungsglc ichu ng des Seils; If
( .r,) I =
. rrx
1I Sill
L
cos
( 16.50 )
Wl i
Za hlenbeispiel: FUr folgcndc Kennwcrtc wird (1 6.50 ) zahtcnmauig ausgcwcrtct. L = 10m
m = pA = 7 .85
0 = 0.0 1 III ~,
,. If
= -
L
p = 785 0 kg/m-'
5 = IOOOON
- = 3.569 m r m
w l = 3 .569JT
ro:: = 7, 138JT
W:l = 1O,707 JT
16.5 Pluttcnhicgung
653
",'
r+--+...-+-+.-t, 1---+-, - ist unbcstirnmrl )
Konjugfert kom ptexe Zahl Die zu eincr komplexen Za hl Z konjugiert komplexe Zahl Vorzcic hen ihres lrnagin artcils . Konju gien kom plexe lahl in Komponentenfo n n:
z = x + iy
z = x - iy
z untcrschcidct sich
von z nur rm
( 17.7)
Konj ugien komplexe Za hl in Pola rforrn: z = r (cos q> + i sin q» 2 Leonhard Eu1cr. 1707-17K3
( 17.8)
17.2 Algc hraisc he Opcrarionen mil komplc xen Zahlen:
ti6J
Die komplcxe Zahl z und ihrc konjugicrt ko mple xc Zahl Z licgcn spiegc lsymrnetrisch zur reellc n Achse. Bild 17.2 zeigt die kom plcxc Zahl : = .r + iy und ihre konj ugicrt Ko mple xc l = .r - iy,
Beispiel:
: = 4 + 2i
1m
:: = 4 ~ 2 i
p
2
2
z 1m
,
R, 2
2
P
-2
R,
-2 a: Zeigcrda rxtellung
b: Punk rdarsrellun g
Bild 17.2: Korn plexe und kunjug iert komp texe Zahlen r , ;:.
17.2
Aigeb raische Op erationen mit komplexen Za hlen:
Potenzen von
j:
j2 = - 1 j3 = j _i 2 = - i
r = i 2 ·i2 = (- 1)·( - 1) = + 1 j5 =j . ,4 =i
usw ,
Addition und Subtraktion:
+ Z2 = zr - Z2 = Zl
(X l (X l
( 17.9)
+ x2)+ i(XI -eyz} - X2) + iCn - )'2 )
(17.10)
Beeplel 17.2: zl = IO+ 20j
z2 = 3 + 7;
ZI +Z2 =
13 + 27i
662
17 Kornplexe Zahlcn
'\l l1ltipfikatioll :
Zl . ZZ = (XI + i:Y1 )(xz + in )
ZI •
za =
X 1XZ +
.
.
.,
1Xl)'z + 'YI XZ +rYI}'z = ( X 1X2 - YIn ) + i ( X l n + XZYI) =
' 1 (cos qll +
(17 .11)
; sin qll ) . rz(cns f/)z + i sin f/)z )
= ' IrZ[cost CJ'I + f/)z ) + i sin(qll + f/)z )] = ' I'Z e;('PI +'I'l
(17.12)
)
Multiplikation eincr komp lexen Zah l Z mit dcr imaginnre n Einheit i emspricht in der Gauaschen Zah lenebene der Dreh ung des Zahlen vektors urn 900 im Gegc nuhrzet gerslnn: die Muhiplikation mit ;2 bedeu tet ei nc Drehung um 180" im Gegenuhrzeigersinn.
Ueispi eI1 7.3: ZI= 4 + 5;
zz = 6 + 7;
ZI -zz = - I I + 58;
Division:
(17 .13)
ZI za
~
' 1(cos qll + ; Sill qld ' 2(COSf/)z + ; Si ll(,02 )
=
~ [cost CJ'I - (,02 ) + i sin(CJ'1 - (,02 )]
(17.14)
'2
= ~ ei('PI - 'f>! ) '2
IJeispi el 17.4:
ZI = 4- 4; zz = 4 + 3;
Satz \'on Moine (cos cp + ; sin cp )'1- cos nql + i sin nql
I
"Z2
- = 0,16 - 1.1 21.
fl E IQ I
(17.15)
17.3 Aufgaben
titi3
Potenz einer kom plexen Za hl Mit Hilfe des Satzcs von Moivrc Jiisst sich schr lcicht zcigcn. dasx die n-te ganrzuhlige Potenz eincr komple xcn Zahl z = r (cos cp + j sin cp ) gcgc bcn ist durch
Iz"= ,J' (cos IIlp + i sin IIlp) = ,J'
ei"'f'
1/
lleispiel 17.5: z = 3(cos lp+ i sin lp)
Z2
(17. 16)
EZ1
= 9 {cos 2lp+isin 2lp)
Quadrat wurz el d oer komplexen Za hl
z = x ~ jy lIeispie1 l U i:
. ( j x2 +y2_ x ~I 2
V
2
/Z =
z = 2+ 4i
17.3
j.oJ+y2+ x
/Z =
1,799 + 1, I I Ii
Aufgahen
I. Zeigcn Sic, doss (/) ;3 =
- r. b);1 =
-si, c) I"" = i.
2. Zeigcn Sic, dass (/) I/ i = - i, b) 1/ ;2 = - I , c) l / i3 = i, d ) 1/ 1-4 = 1. 3. Gcgebcn sind die komptcxen Zahlcn Zl = 3 + 3i, Z2 = 3 - 3;. Z3 = - 3 + 3i.
u
= - 3 - 3;.
a) Stellcn Sic die Zahlcn ZI, ' .. , Z4 in dcr GauBschen Zahlcn ebcnc grufisc h dar. b) Bercchncn Sic jcwcils den Betrag und das Argument. e) Berechnen Sic i - ::1. i2 . ZI , i3 ' ::1, i~ · ZI und tragcn Sic d ie Rcsultatc in die bereits erzeugte Gauaschen Zahlenebenc ein. d ) Berechnen Sic die jewcils konjugiert komplexe Zahl Zi . e) Stcllen Sic ":1,'"
. 4 in der Polarform dar.
4. Fuhren Sic die Operation Zl +22 mil den angegebcn komplcxen Zahlen 21 und 22 durch. a)
21 = 4- 4i
22 = - 11+6i
b)
21 = 10 + 20i
c)
21 = - 9+ 17i
Lsg: - 7 + 2;
22 = - 10 - 8; Z2
lsg: 12i
LW 34;
= 9 + 17;
5. Fiihrcn Sic die Operat ion ZI - ":2 mil den angcgcben komplc xcn Zahlcn 21 und :::2 durch.
I.
ZI
= - 1O + 3 Ii
Z2 =
10 - 28;
Lsg : - 20 + 59i
6. Puhrcn Sic die Operatio n :::1''':2 mil den angcgcbcn ko mplcxen Zahlcn :::1 und Z2 durch. a) zl = I3 - 4; b ) ::1 = 7+ 2i
z2 = 12+ 11; ::2 = 8 + 3i
b g: 200 +95; L I'g: 50 + 37i
664
17 Kornplexe Zahlcn
c) 21 = 1+ 4i
22 = 1 - 2 Ii
LW85 - 17i
7. Hlhreu Sic die ge fordertcn Opcratio ncn durch. a) ( 100 + 7i)2=?
Lsg: 995 1+ 14{Xl
h) ( IOO - 7i)2 = ?
LW995 1 - 1400
8. Fuhrcn Sic die Operation 21 / 22 mit den angcgcben komplcxcn Zahlc n 21 und 22 durc h.
a) : 1 = 3 +IOi h) 21 = 4 + 2i c) 21 = 4 - i
d ) 21 = 3 + 4i
LW - OA23 + 1.385i
Z2 =6 - 4i 22 = 2- 2i
L~K :
22 = 2 + i
0.5 + 1.5i
isg: 1,4 -1.2i
22 = 4 - 3i
Ls X:
O+ i = ;
9. Stollen S ic folgcndc komplc xcn Zuhlcn in dcr Gaufjschcn Zah lcncbcnc in Zcigcrform dar tHinweis: Eutcrsche Forme!').
al 2 = bl
e i311 / 2
:::: = e
tsg: 2 = i
L\OK: 2 = - 1
2 = e ;11
cl 2 = d)
e ill / 2
i211
tsg: 2 = - i
L sg;
z~
I
10. Schrcibcn Sie folgcndc komp texe Zah lcn in Komponcmenform und stellen Sic sic in dcr
Gauusche n Zahlenebcne grafisch dar,
LW 7.07 +7 .07i
a) 2 = lO ( coos ~ + i osi/l ~ )
b)
z=
8 e - ;l1 /2
Lsg: - 8i
I I. Gcgcbcn sind die kom plexcn Za hlcn 21 = 1+ i und 22 = 2 + 2i. Berechnen Sie folgenden Ausdruck. 12 12 :::: 1 Z2
z= - °
Zl
+ Z2
L\og: z = -+ i 18
18
12. Wielauret 1/ 2 , wenn z = r eifP lsrt Stelle n Sle Z und I/ z fur r = I , q:J =60° inder I . Gauuschen Zahlencbcnc grufisch dar. L,;, g: 1/ ::: = - e-'
.,
Bedell lllllK
Anweisu ngsende tErge bnis wird auf dem Bildschirm angczeig t) Anweisungsende (Erge bnis wird auf dem Bildschirm nicht ungezeigt) Kom mema rzeic hen (alles was rechrs von # steht wird ignorierr ) Platzhaltc r fiir den zuletz r bercc hneren Wen rufr Map le-Hilfc auf. z.B. ? s i n zelgt Infonn arioncn iiber Si nus -Fu nktion
Tabellc 18.2: Maplc-Kon stante n Kanstantc
Pi e xp(k} I
H
"
(, ~ 2.7 18 .. . )
i (irnuginare Einhci l)
in f ini t y
18.1
Einftlhrung in Ma ple
Einc vollstnndigc Ein fiihrung in Maple ist im bcgrcnztcn Rahmen c ines Buchahschnittc s nicht moglich. Es gibt abcr zahlrcichc und umfungreichc Literatur, die den Leser sc hr fundicrt in Maple cinwcisen. Das Z iel dicscs Abscbniucs ist cs, die Maple-Syntax anhan d dcr Beispielc deutlich zu machen und die Einsatzmogl ichkcitcn von Maple anhand vo n Anwendungshe ispielen zu demo nsrrierc n. Das Semikolon ; (s. Tabellc 18.1) bcend et die Bcu urzereingabc (End c der A nweisung) und vcra ntasst Maple die gefordc rte Bcrechnung sofort durchzufuh ren. Der Doppclp unkt : ist cbcnfalls cin Anwcisu ngscndczcichcn und mit dem Scmik olon verwandt. Dcr Umcrschicd zwisc hen den heiden Zeic hcn isl, dass beim Scmik o lon die Anweis ung von Maple ausgcfuhrt. d.h. bcrcchnct. und das Ergcbnis so fort ausgcdru ckt wird, Bcim Doppclpunkt wird die Anwcis ung zwar ausgc fuhn. das Ergebnis wird aber nich t ausgcdruckr. d.h. blcibt im Htnrergrund : das ist o ft fur Zw ische nrechnungen ein durc haus gewunschter Etfekr . 2 Maple ken nt zahlreic he Konstanten aus der Mathem at ik und Naturwissenschafte n. Die fur Ingenieure wlc htigs ten Konsumten sind in Tabelle 18.2 zusammenges telft . Die Einga be des Bcnutzcrs wurde im Bueh dUTCh Verwendu ng des Zeic hcnsa tzcs »Couricr« kenntlic h gcm aclu. Das Maplc-Brgcbnis ist in Rom an-Schri ftart zu scherr. Das Zcic hcn > ist das Bcrcit schuftszcichc n (prompt) von Maple (das Ze ichcn > wird nicht ve rn Benutzcr ci ngcgcbcn). 2 Bci den mcistcn Muple-Beis piclcn in dicsem Buch wird ein Maple-Befehl aus Grunden der Platzerxparnis mil dem D oppelpunkt beendet. Dem Leser wird jeooc h empfohle n. bei oc r Ausftrhrung der Bebptele mil Maple anstclle oes D" pP
2;
>
2+3 ;
>
2+3 *4 ;
>
%;
>
(2+3 ) _4;
> >
12/4 : es wird zwar gerechnet , aber nicht ausgegeben) 'II; j das letz te Rechenergebnis wi r d a us ge geben
,
%-3 ;
,
%+4 ;
,
2 .5 :
j
Ma p l e gibt den Eingabe wert einfaCh wieder eus
2
* entspricht
, 2 +(3 _4 ) 14
, ,
j
gibt das Le t z t.e Maple -E rge bnis a us
*
" 2/3 ;
• • •
* z une ch.s
14 t;
wi r d 2+3 berechnet
20
3 subtra hiert 3 vom letzten Wert 0
a ddiert 4 zum letzten Wert 4
Er geb nis ist 10 . wird .. ber nic ht a ng eze i g t I d as letz te Ergebn is wird a ngezei gt
•
10 e xa kte Berechnung , Ausgabe
.1.
Bruch zahl
I II Mathematik mit MOI pk
Mil
2 3
* exakt e
>
e va k f (2/3) ;
>
2 ./3 ; f EICzwingen e i ner GleltkommabeICechnung ohne eve i r
>
2+3/4 ;
BeICechnung, Ausgabe OIls Gleitkommazahl 0.66667
* aunacns
O.f>M67
wird 3/4 be r ecnne t
t
II >
* eunacnst.
(2+3) 14 ;
4
wiICd 2+3 cerecnnet
s
>
3"'2 ; I Quadrat von 3
>
( -3) "'2 ;
f
>
3"' (-2) ;
*3
4
9
Quadrat von - 3
9 hoch (-2)
I 9 >
3"'1 .5 ; I
3 hoch 1 ,5
>
sqtct (9) ;
* Quadr-atwuICzel
>
2+3"'2 ;
>
sqrt(3"'Z) ; I
II z une ch.s t; 3 zum Quadrat , dann QuadratwuICzel
>
(sqrt (3)) "'Z ;
* aunacbs
>
sqr
5.1%15
3 f zunachst 3 z um Quadrat , dann 2 dazu addieren
3 t
Quadtcatwurzel von 3 , dann Quadrat
3 (3) ;
Maple k e n nt
I
ke i n e Funktion mit namen sq r
Heispiel 18.2: Dale;: Map1e !Grundwissen!element ares-rechnen- 2 ",ws
>
sqr-t (4) ;
>
Pi ;
>
eva lf(Pi) ;
>
e s n (Pi) ;
>
sin (Pi/Z);
>
ar-csin(l/sqtct(Z}} ;
a X
•
3.14159
Sinus
•
V09
180 GeOId 0
Sinus von
so GICad
* Ar ku s s Lnu s X
4
von 0 .7071 (in 6ogemass)
lIt! Einfuhrung in Maple ;. ;.
con v el't { > >
with (plots) , spacecurve( [cos(tl ,sin(t) ,t J, t -O .. 6 *Pi , a xes labels " [ x , y , t) , c ol o r - b l a c k ) ;
,,""
, -,o
~ ,
r
o
as
r
r
a,s
o
x
~
FRAME ,
lIt! Einfuhrung in Maple
Heispid 18.6:
Halbkugel
D,.. e i: M apl "/P lo~~"n/halb-J"'g"l . mws
Mit dcm Befehl p lot3d lassen sich 3D-A achen plcne n. >
with (p l o t s ) :
>
setoptions3d (style ·
>
plot 3d (1 , 0 .. 2 *P i, O.. P i/2 , ccords-e pner rce r r ;
Fhic he im 31>· Raum
HeispieI18.7: D,,{ ~i :
patch ,shading -ZGRAYSCALE ,sca l ing -const~ained} :
Maple / P l ot t en /3d-f laeche . mW5
>
with (plots) :
>
z : ·x _y _ s in (x } _s i n( y) : f zu plottende fu n ktion
> >
setoptions3d(sty le - patch , shading-NONE ,scaling-constrained l : plot 3d (z , x·-P i . . Pi , y--P i .. P t , label fo nt - [ HELVETICA , OBLIQUE, 121 , a xes -NO RMAL, labels · (x , y , ' z' ] , a xes -F RAME , o rientat ion- [ 4 5, 3 0 ] ) ;
>
Heispid 18.8: Pa ra meterkur ven 1. Geradc in dcr .rj-Ebcne. (h id : Maple/P lo tt e n/ g e ra d e-l . mW$
>
wi t h( p l o t s ) :
>
p1ot( [4 _t , t -2 , t -O .. 5].
1abe1s_[ Mx " , "y "]) ;
. f-- -7'..,, -- - ,
-,
67 1
672
IR Mathematik mit MOI pk
2. Ellipsc: x(t ) =2si n/ . D~ ICi ,
y(t ) = 3 eost ,
O:::;r :::;21t"
Mapl"/P l ot t .. n/ellip.....- l .m",...
;>
",i th( p l o t s) :
;>
f :-[2 *si n ( t ) , S wcos It.t , t-O . . 2 *Pi) :
;>
plot
ct,
s c a l i ng - c o n s t r a i n e d) ;
2
2
-2
-2
3, Sehrnetterlingflgur: x(t ) = sin 2r. O~ ~; ' Ma p J e / P l o t t e n / ... chmette rl ing
;>
y(t ) = sin 4r,
0 :::; t :::; 21t"
.mw...
wi th( p l o t s):
;>
f : -[si n (2 .t ) , s in (4 *t l , t -O .. 2 *Pi) ;
;>
plot(f , sca l ing - constrai ned ) ;
., 18.1.5
Funkt innen und Hefehle vnn Map le
Maplc vcrftigt fi ber cine ricsige Funktionsbibliothck mit Tausenden von Funktionen, die praktisch jcdcs Gcbict dcr Mathematik abdccken. lngenieurc brauchcn -glucklichcrweisc- nur einen klcincn Teil dicscr Bjbliothck. Einc Funktion uus dcr Maplc-Funktionsbibliorhck ist ein Programmcodc. dcr cine gunz klar dcfinicrtc Aufgabc crtcdigt. Dabci urbcitct die Funktion wie cine blackhox: man funcrt sic mit Eingabcdatcn und erhalt cin fcrtiges Brgcb nis: wic das im Einzelncn gcsehicht und aile Zwtsc henergcbmssc blcibcn dcm Benurzer vcrborgcn (interessie ren ihn in dcr Regel elge nuich aueh nieht). Die Tabcllc 18.3 zeigr einigc ausgewa hlte Maple-Funktionen. Hinweis: Das Argument .r fur trigonometrlsche Funktic nen der Tabelle 18.3 ist stets in Bogenrnau (nul) einzugeben!
18.2 Elc men tar-Mathematik Ta be lle 18.3: Map le-Funknonen (schr klein er Auszugj Funuionsname
Bedeutung
abs (x) arcs in { x ) a rccos {x l arctan (x l convert (x ,fraction ,n) cos (x) cosh (x ) cot (x ) D (f l dif f (f ,x l e xp (x ) e valf( xl fsolve{f ,v ) imp1 icitdiff (f ,y , x ) 1n (x) 10g10( x) restart signum {x l sin (x) sinh (x) solve (f ,v )
Absnlutw ert (Beuug j vo n .r
sqr
t;
(x )
tanh (x)
18.2
A rkussinus A rkus kosi nus A rkustungens Konvertien die G leitkommazahl .r in c ine Bruchzahl
Kosinus Kosinush ypcr bo licu s Kotangcns differcn zic rt den A usd ruc k f dif f cren ziert den A usd ruc k f nach x Eulcrsche Zahl e in dcr .r-tcn Porenz liefert den Gleukommawert von .r lost die G lei ch un g f nach der Variable v numerisch a uf di fferen ziert y nuch x irnplizite ab ( f isl der Ausdruck) narurttcher Logarithm us von .r dekudischcr Logarithmus vo n x initialisien Ma ple vollsta ndig vorzclchcu vo n .r S inus S inus hypcrbolicus lost die Gleich un g f nuch der Variable v auf Q uad ratw urzel von .r
Tangcnshypcrbolicus
Elemen tar-l\lathemat ik
In dic scm Abschniu worden ausgcwahltc Bcis pie!c aus dcm Abschniu I mit Maple ge tost. 18.2.1
we rzeln, Summa tion
Beispiel 1.3 aufSeite 3. WII!7.e lb e rechllllllg. > 1 6 - (1/ 2 . 5 ) ;
3.03 143 3.03143 > 27" ( - 113 . ) ;
n.33333
673
674
IR Mathematik mit MOI pk
l\f'i Sllil'11.4 :m f S l'ifl' 4.
SWllllln / i o ,, _
> s um{ ' i ' ,
' i' - 1.. 5 );
> s um {' i ' ,
' i ' - O.. 5 ) ;
IS IS
> s um ( 'i"2-1 ' ,
' i' - 1. . ) ); II
> e v alf (su m ( 'sq l't (i ) ' ,
' i ' - I . . 5} ) ;
R.3R233 > $ um{'s in ( i .P i ) ' ,
· i' - Q. . ) ;
o I\dspiel 1,10 a uf Seite 9. Mille/wen esner Zahtenmenge, D~c i: M a p l e I G r u n dw i s s e n / mi t t e l we r t . mw s
>
wi t h ( s t a t s) :
>
l'eihe : - {3 ,S ,7 ,9] :
>
ceecr roe [mea n ] ( r e m ej :
>
ev a l f (de s Cl' ibe [geomet ricmea n] (l'e i h e) ) ; t geometdsc hes Mi t te l
>
evalf (d e s c r ibe [quadr a t icmean] ( l'e i he) ) ;
>
e val f (de s cJ:ibe ( h a l'monicmea n] ( l'e ihe ) ) ;
j
liidt Ma p l e ' s Sta tisti k-Paket
• a r Lt hmet a scne s Mittel 6
5.54444 j
quadrat isches Mi t te l
fi.403 12
t hal'mon is che s Mi tte l
5.0ll065
lJeispiel 21 auf Sene 21. Lagarittunische Gleichung. Dolci: MapleIGrundwissen/log -gleichung -l . mw$
>
f : -l n (2 ' x+2 )/ln(8 ) - 4 ;
tv>
solve(f , x ) ;
>
f : - ( ln ( x +3 )+ln (x-3» )lln {4 } -2 ;
In(2 .t + 2 ) In(8 ) = 4 21}4.7
.= In(x+ 3)+ln (x - 3) = 2
t:
In(4 )
>
solve (f , x ) ;
>
f : -l n ( x +2 )lln (4 )+ln( x-2}lln ( 4) -2 ;
5 ._I n(x +2 )
In(x -2) _2
f .- In(4) + In(4) >
fso l ve ( !, x ) ; 4.4 72 14
18.2 Elcmentar-Mathematik
18.2.2
675
Los ung von Gle lchungen
Maple stcllt zur Losung
vo n
lincurcn und nichthncarcn Gtcschungcn und Gtcichungssystcmcn
di e Bcfehlc s ol ve und f s o l ve z u r Vcrfligung .
lJeispiel 18.9: Datei: Maple!Grundwissen /gle ichungs - loesung -l . mws >
f : -4 ~ x~2 -12 ~ x -20 -0 ;
>
fsolve (f, x } ;
* Definition
der Gleichung
f :;; 4.r - lh - 2() ; O
* Numerische
Lceunq von f
- 1.l 92511. 4,192511 >
t Alt ernati v e L6sun g
fsol ve{4 ~ x ~2 - 12 * x -20 -0 ) ;
- 1.l 92511. 4.192511 >
f
:-
x~5
-
2 ~ x~ 4
+ 4 0 *x
A
)
1 0 2~ x~ 2
-
f :;; x'i - 2 f + 40 ., 1 - 102.r >
f s o lve ( f , xl ;
>
f : - t (ln (c o s(x) } ;
>
solve ( ta n (cos( x)) -l. , x ) ;
>
f : - 5- (1 n ( x+
>
fsolve (f, x } ;
+
12 ~ x
+ 12.{-
6.939911
t
> tan(cos(x))
0.66746 (x ~ 2 ~ 1) ~
(1 12) )
- In
f :;; 5 - In(x +
(2+a~
(1/2 }} } ;
.;;r-=1)+ In(2 + )8)
358.30 176
t >
» I - .r = 0
.
I
+ x~
solve(f} ;
- 1. 1
- 20000 ;
201J(J()
676
IR Mathem atik mi t Maple
18.3
Lin eare Algebra
nd spid 3.19 a uf Seite 85. Rang eine r Matrix. Date; , Maple!LinAlgebra/ matr i x -r anq -l .
wit h ( Li n e a r Al g e b r a ) :
>
A: EMatr i x ( I 11, 2 , 1] , [3 , 4 , 2 ] , [6 ,8 ,4 ] , [9 , 12 ,6 1 1 ) ;
>
Ran k ( A ) ;
2
lleispiel 3.6 a ufSeite 64. Matrix -Transposition. Datei: Maple /LinAl gebra/ matr i x- t ransp - l . mws >
with (LinearAlgebra ) :
>
A: mMatri x (!(2 ,3 ,8 1, [3 ,5 , -l J J I ;
,,
~
A := [
:]
~
A T := [
- I
neispid 3.4 a uf Seite 62. Matrix-Addition. Dalei: Maple /LinAl gebra/ marr ix - addlt 10n -l . ".W5 >
wi t h( Li ne a r Al g e br a) :
A: BMa t r i x ( [ [ -4 , 6 , 3 1. [0 , 1 , 2 1 1) ;
A ,~
[
-4
u
6 1
3 2
- I 1
u
B: EMatri x ( { [5 , - 1 , 01 . [3 , 1 , 0 1 J ) ;
H ,~
[
5 3
C : -Add (A ,B j ;
C ,~
[ 1
3
{]
]
, ;] 2
neispid 3.7 a ufSeite 65. Multiplikation einer Matrix mit eine m Skaiar: Date;: Mapl e JLinA lg"bra / matr ix - s ka l ar - mul t -l . "''' S >
wi t h( Li n e a r Al g e br al :
>
A : BMat ri x (l!2 .7 , - 1.6J, IO.9 ,3 .6 ]J ) ;
A ~[ >
k : - 2;
>
C : BMultip ly (A ,k ) ;
:!..700(X)
- 1.8I XXX)
O.'X XXX)
J. 6l XXXl
k := 2
lIU Lincarc Algebra
C: = [ 5A(KK)()
I.I:«KKKI
- 3.6lKKKI 7.2lKKlO
Beispiel 4.32 auf Set te 153. Skulurpmdukt. Dale!: M ap 1 e /L in!'Ilge b n / s k a la ~ - p~odukt - 1 . ...wS
>
wi th( Line3lCAlgeblC3) :
>
v ; ~Vect o);(!2 , 3 ,l )) ;
>
w : ~Vecto );([l , - 1 , 6 )) ;
>
s kalar-p); odu k t : ~Do tP);Oduct(v ,w) ;
" ~[ -;] .,{ ala r.../'mdllkl := 5
Beispiel 3.11 auf Sette 68. Matrix -Vektor-Mu ltiplikal ioll. Dale;: Map 1 e / L i n A lge b ~ a / m a t r ix - v e k t o ~ - m u l t -1 . mws
>
with( Line3rA lgeb ra) :
>
A :~M3tI:i x( {[2 ,4 , 5),
[ 2 , 6 , 8 ), [1 , 0 , 9 ) ]) ;
A := [~~f ] >
v : ~VectoI:([ 3 , 1 ,O )
>
w : ~Mu ltiply( A ,vl ;
;
11" := [
:~ ]
Aufgabe 10 auf Sette l B . Determinante einer Matrix. Dale;: Map 1e / LinA lgebr a /d e t ermi n ant.e - l .mws
>
with( Line3 rA lgeb r3 ) :
>
A: FMat rix ([ [1 , 2 , 3 , 4 ) , [ 2 , - 4 , 2 , 3} , [3 ,2 , - 1 , -5) , [ 4 , 2 , - 5 , 4 ) )) ;
a
-4
,z
>
]
z
-5
-5
4
det ; - De terminant (Al ; dt l: = 10'}6
Aufga be 9 auf Sette 112. Determinante einer Matrix. Dald: Map1 e / LinAlge br a /de te rmi n ant e - 2. mw s >
with(LinearAlgeblCal :
>
A ; ~Matri x
:]
- I
(I (- 3 , 0 , OJ , [ 6 , 4 , OJ , [ - 1 , 2 , 5 ) ) ) ;
677
671l
III Mathematik mit MOI pk >
oe t.e rmi nent
(A ) ; - (,(J
>
B: '"Matl::i x (! (-I , 1,2J , [3 ,-1 , IJ , [-1 ,3 ,4]] ) :
>
oet.ereunene.
>
C :"'Ma tl::i x([!2 ,0 , -4 ,6J , [4 ,5 ,1 ,OJ , [0 ,2 ,6 , -IJ , [-3 ,8 ,9 ,IJJ) :
>
Detel::minant (C ) ;
( B) ;
III
1134 Auf~ah e 18 auf Seite 115. Uneare Abhiillgigkeit eine r Matrix. Dal"i: M"ple /LinA1g.. b~a/"'at~ i,, - l inea~e -"bhaenqiqkeit - l .mw"
Eine Matrix ist linear abhanglg. falls ihre Dercrmtnante gleich Null ist. ansonsten is! sie linear unabhangig. >
wi t h( Li ne a l:: Al g e b r a) :
>
A: '"Ma t l:: i " ( [ ( 2 , 3 , 8J , [3 , 5 , - IJ , [5 ,8 ,6 ] ] ) :
>
Dete ~minant ( A ) ;
• A ist
unabhangig , we i! d et (A} - -I
Ii nea~
- I >
B: "MatI:i x ( [ (2 , 3 , 8J , [3 , 5 , - I J , [5 ,8 ,7]] ) :
>
Detel::minant(B ) ; • B ist
>
C :"Ma.tr i x t I [ 5 , 3 , llJ , [2 , 5 , I2 J , [7 ,8 ,20] ] ) :
>
Detel::minant (C ) ; • C ist li neal:: unabhang ig, we i! det(C} --57
r rneer
abhangig , wei! det(B} -O
o
- 57
Aufgabe 19 auf Seit e 115. l.ineares Gteichungssystem. Dal";: Maple/LinAlgebr a/ 1 i n e a ~ e s - q1 - s y s t em - l . ",ws >
with (LinearAlgebra l :
>
A: "Matri x t r (4 , 2 , IJ , [ -1 , 1 , IJ , [ 1 , - 1 , 1 ] ]) :
>
b : -V ecto r ( [I , -2 ,lJl :
>
x : "'e v a l f ( Li n e a r So l v e (A, b ) }i of:=
O.75IX~ ]
[
- O.750C10 - () . j O(X)()
Aufgabe 3.41 a uf Sett e 1lI2. Nic tn losbares tinea res Gleichungssystem. Dawi, Maple /LinAIgebra / I i ne a r e s - qI - s y s t em- 2 . mws
Das folgcndc lincurc Glcic hungssystem isl nicht losbur. wcil d ie Matrix A singular isr. >
wi t h( Li ne a r Al g e b r al :
>
A:"Matri x (! [3 , 6 , - 4 J . [6 , -1 , 3 J , [6 ,12 , - 8 ] J ) :
>
b : -Vector ( [1 ,2 ,31 ) :
>
x: '"Li ne ar So l v e (A, b }i
Erro r ,
( i n Linea rAl gebra : -LA_ Ma i n: - Li ne a r So l ve l inconsi st en t sys tem
IRA vektorrcchnuug
679
Aufgabe 24 auf Sette 116. Inverse einer Matrix. D. tc':
Maple /LinAlgeb~a /mat ri ,, -inve~se-l
>
. mws
wit h( Li nea rA l geb r a) :
>
A: KMat r i x ( !(l ,2 ,31 ,[ 4 ,5 ,61 ,[2 ,6 ,8 l1 ) :
>
eva lf (Ma t r ixl n v e r s e (A» ;
1l.M667 1l.33333 - 0,500IKl ] 1.()(K)()() - 3.33333 0.33333 [ 2.33333 - 0.33333 - 0.5WIXl B:KMatri x ([ [2 , 1 , -11 , [1 , 4 , ii . [ -1 , 1 , 6 1 l ) : eva lf (Matri xlnverse( B» ;
[
1l.67tH7
- U,2U51111
- U.2U51111
0.32353
0.14706
- 0.011.1\24
0.I ·H Il6
- 0,U8824 0.20588
]
Vektorrechnung
18.4
Ueispid 4.20 a uf Sett e 141. Normierung eines Vek/Ors. Datei: Map1 e /ve kto rRechnllng / normierllng -e in es -ve kto rs -1 . mws
Die zur Normierung cines Vektors bcnorigte Vektorltinge wird mit dem Map le-Be fehl VectorNorm und dcm optionalc n Parameter Euc lidean bcrechnct. >
wi t h( Li ne a r Al gebl:a) :
>
a : "Ve",tol: ( [ l. ,l ,Ol l :
>
L : - Ve "'t o r NOl:m (a , Eu c li de an) ;
>
a : -a / L; t NOl:miel: un g
f be re chnet d ie Ve kto rl a n ge
L := l.4 142]
(, := >
Vec to r No rm (a , Eucli dean) ;
[
0 707 11 ] 0 .70711 U.ot)()(XJ
t La nge des normierten
ve xt o r s
1.( )(K)( )()
Belsplel 4.11 a uf Seite 132. Winke f zwischen ZlI'e i Vekto ren. D. tci: Mapl e /vektorRechnllng / wi nke 1- zwi schen - 2 -vek t oren- I . mws
In dicscm Beispiel so il der Winkel zw ischen zwei vcktorcn bcrcchnct werde n. Die kann er nweder direk t nach Gl. (4. 13) oder mit Hilfe des Maple -Befeh ls Vecto rAngle durchgcfuhrt werdc n. Der Maple-Befe hl conve rt mit dem Para meter degrees wande lt cinen Winkel vom Bogcnmal; in Gra d urn. >
wit h( Li near Al geb l:a} :
>
a : »vect cr ( [1 , 2 , 5J ) : b : -vect o r ([3 , - 2 , Ill :
>
p :-OotProdu",t (a ,b ) ;
>
f
>
La : KVector Norm(a , Euclidea n l :
t S k ala rp rodu kt von a und b
p: =4 Al t e r na t i v e 1 zur Wink e l b ere c h nu ng
>
Lb : KVe c t o r No r m (b , Eu c l i d e an ] :
>
a lpha : -e va lf (con vert (ar c c o s( p /( La _Lbl l ,de gr e e s)) ;
6XO
IX Mathematik mit MOI pk
a := 78.74476
wi th(LineaI'Algebl:al :
>
a : -VectOI'([2 ,3 ,4]) :b : -Vector«(4 .6 .8] ) :
>
c : -CrossProduct(a ,b) ;
* (a
x b)
ist Null
Reisp id 4.64 auf Sette 170. Zusammemreffen
\ '0 11
zwei Fahrzeugen.
D~c; : M a p l e / Ve k t o r R e c h n u ng / z u s a mm e n t r e f fe n - Y on - f a h r z e ug e n . m w s
>
wi th(Linel"
".
y : - x A 2 / s in ( x l ;
r
y :=: sin(.t } ".
diU
cv. x l ;
t Ableitun g vo n y nach x
zc .r' co, r.t ) , in(x) - ,in (xf ".
fac to r ( %l ; t Fa ktorisieru ng des letzten Ausdruc ks .t
(- 2 ,io (.\ ) + xc o' (x)) , in(x)2
Heispiel 6.14 a u f Se ite 214 . Keuenre gel. Dale;: Mapl,,/Di ffR"ch / ket ten -reg"l -l . m>l"
".
y : - s i n(l n(x A 2 - 3 *x) ;
".
d iU ( y , x l ; t Ableit u n g vo n y n a c h x
y :=: ,in (ln{xl - 3 _t )) co, (ln(xl ~ 3x )) (2 x ~ 3) x2 J x
u etspiel 7.22 a u f Sette 282. Impli zite Abie itung. Dale;: Mapl"/Di f fR"ch/implizi te -ab l"itung -l .mws
".
f : -e xp(Yl+y - x ~ O ;
".
a b l : - i mp l i c i t d iff ( f , y ,x l ;
1 :=: ('-"+ y- x =: O f
implizite Abl eitung von y na c h x
I
e x p (x l :
18.5 Differer nialrechnung
>
taylor (f ( x ) , x - O,
4);
* Taylor-Reihe I
.
I
fUr x - O ,
4
l +x +:i A+ ;:; .r + O(x ) >
fT :-unapply (con vert(% ,polynom) , x ) ; fUmwandlun g i n ein Polynom
>
e xa k t : "'f (0 .2 ) ;
>
naehe rung : "'fT (O .2 ) ;
>
E( rel ) : "'abs ( (e xakt - nae h e ru ng)/e xa kt ) ' lOO ; f r e L . oehle r i n %
jT:= x ~ I + .r+ ~.rl + ~ .r' e.mkt := 1.22 140 "IWhl,'rllllg := 1.22 133
E...1 := OJJ0568
e
2
__, _
,,
" L - _---;-_ _,
2
Ueispiel 6.24 auf Sette 225. Unbestinuner Ausdruct: Dald : Maple / Oi f fRech /unbest immte.- - au sd .-uc k - J . mwS
>
l imi t ( s i n (x) l x , X- O) ;
* G.-en zwe rt
v o n 0/0 besti mmen
lleispid 6.25 auf Seite 226. Krununung eine r Kurve, Dale; : Maple/Di ffRech/krue mmunq -einer- kurve- l . mws >
y : - x e e xp
>
abl_l : "'d iff (y , x ) ;
>
abl_2 : "diff(y , x$2 ) ;
>
ka p p a : _u na p p l y (a b l _ 2 / ( 1+a b l _ l A2 ) Al . 5 , x) ;
Lxjj
y := x ".'
t 1. Able itung
* 2.
uhC/ := e' + x e' Ableitung
ahC2 := 2".' + .re' +x e' "-,-i'2;".'--:-"'",,,,,
I( ..- .r --> {I + (e'+ Xl")~} I S
t KrUmmu n g
>
k a p p a : - ka p p a( O) ;
>
rho : " l/abs(ka p p a ) ;
1(; =
0.7071 067812
t Kr limmungsra dius
p := 1.414213562
683
684
IR Mathematik mit MOI pk
Hdspid 5 auf Sette 243. Exuemwertbestimmung . Dalei, Map le/Di ffRech/e xt r e mwe r t - b e s t i rr.mUrlg - l . mw s >
wi t h( St ude nt [ Ca l c u l u s l ] l: f das not Lqe Maple -Paket laden
>
Y :R X~>
>
Ex tremePoints (y (x » ;
>
evalf (y ( %(lj » ; f y-Wert an der Extremwertpo sitio n
>
plot (y ( x l , x--O .2 .. 3 ,
x' e xp ( - x );
y :=.\·---> xe l - . I x- Po s it i o n e n de r Extremwerte
f
ill O.J 6788 labels - [ " x " , "y " ] , vie w-[ -O .2 .. 3 , -0 .3 .. 0 .5 ] ) ;
"
,
Ht'ispiel 6.29 auf Seite 234. Nutstetlenoes timmung mit Newton- verfuhren. Dale;: Maple / Di ffRe ch!newt on-verfahren-l . .. W5
>
wi t h( St ude nt [ Ca l c u l u s l ]) y : _x xp ( x ) :
>
Newto ns Metho d(y , x ~O) ;
>
f Pa ket la den
A2_e
f
x - O g ib t d i e St
y : - lOO . ln ( x ) : f Fun ktion de r
>
m: -1500 : v : -162000!3600 , mu : -0 .7 : g : -9 .81 :
>
rho : -abs ( (1 +di f f(y , x ) ~2}~l .5!diff (y , x$2 »
>
F : mm . v~2/ rho :
f
:
f
KrUrnroun g s r a d i u s
Ze nt ri g ual kraft au f d a s Auto
>
wi t h( St u d e nt [ Ca l c u l u s l ]} : f benotigt fUr Extremwertbestirnroung
>
x_ FJll
F_ma x : Reva l f (subs( x~ x_F_ma x[2) ,
-z xc e enes o tn t e ( F}
;
f
x - Po s i t i o n de r Extremwerte
xJ-,tUu := [- 70 .7 1068. 70.71068J F » ; f max . Zent rifu galk ra ft
f '_ttlnc = 116'11..142'15 >
> > > >
>
F_R : Rmu·m .g ; f RUck h
w :_q '1A4/(48 *E *J ) *l x/ 1 _3 * x~3 /1~3+2 .xA4 / 1A4 ) :
:>
dw : -di ff(w , x ) : t 1 . Ableitung de r Du r c h b i e g u n g
:>
x_w_ma x : -eva 1f(so1ve (dw , xl) ;
f
Du r c hb i e g u ng
Position der ma x . Du r c hb ieg u ng
X_"'-''''Lt := I. 0.421541. - 0.29654 / :>
subs (x -x_ w_ ma x [ 2] ,
:>
w_ma x : -convert (\ ,
w) :
t Be",t immung der maxima1en Du rc hb i e g u ng f Konvertierung in e ine Br uchz a h1
fract ion , 41 ;
~
369£1
18.6
DilTerential rechnung ftlr multivaria ble Fu nktionen
Reispiel 7.42 a uf Sette 305. Par/ielle Ahteuuug 2. OnIIllIl1K. DOICi: Map1e/ Di f f Re chMu1t i Var/pa rti e11e -ab1eitung - l . rnws
f
Fu n kti on
:>
z : - x .e xp( - x~2 -y~2) ;
:>
z_x : -co11ect(di ff(z , x) ,exp) ;
:>
z_y : -collect(d iff(z ,yl ,exp) ;
:>
z_x x : -co11ect(diff(z , xS21 ,expl ; 2 . Ableitung nach x
z := xt'I - x' - J.2 ) f
1 . Abl eitung nach x
L
:= O.lI77J!l JA
' L' , .,.,w . l f ( s u b s (" l p h " . " l p h ,, _ O [ l j,
1. ) ) ;
L: =2.6J2 ISJA >
f Berechnung der Hesse- Determinante
> > >
L_alfa_2_xO : ~evalf{subs(alpha -a1pha_O{1] ,
L_b_2_ xO : "eval f (subs{alpha"alpha_O [1] , L_b_2 ) ) :
>
Hesse_Det : - evalf(L_alfa_2_xO • L_b_2_xO -
L_alfa_b_ xO : -evalf (subs(alpha ~alpha_O [l ] ,
L_a1fa_2 }} : L_alfa_b}} : (L_alfa_b_xO)"'2) ;
ff" ,I.•ejh'I: = 6 ,00000
Heisp id 7.3 1 auf Sette 293. Richtung sableitung. Datei: Mapl" ID1 f fR"chMu l t i Var l r ichtunqsab lei tung -l . mw.'l
> >
f Ri c h t u ng s a b l e i t u n g ei ner Skalarfun ktion res tart : with ( LinearAlgebra) ewi t h Iv e c t.o r Ce Lcu l us L: f : - x "'2 +y "'2 ;
> >
m: ·Vector ( [l ,l ] ) ; Di ff ( ' f ' , x ) - d i f f ( f, x } ; f_x : -op (2 , t) : Di f f ( ' f ' , y ) - d i f f ( f , y l ; f_y : - op (2 , t ) : gradient : - Gr > >
> > > >
> > >
x O : ~ l ; y O: ~ l ;
! :=r +\"Z .It) := I
yO := I
m: =n +,'y fJ = 2x
Jy f
= 2s
grudie/II:= 2 x e?x + 2ye ?y ,~rudiem_I> : =
.
III jJOmlwrt : =
2 -~ _t In(x) d x = 2:-r 1n(-t ) -4"
IJeispi el 8.36 a uf Seite 378. Unbestimmtes Integral. DOlei, Ma p l ell nt eg Fech I u " be s t. immt es - i nt. e gt .. 1-2 •mw s >
f :~e x p ( x ) 'cos ( x l :
>
I n t ( f, x ) "'int ( f , x ) ;
Jr
I
I
cos (x) dx = 2: f"' c"'(x ) + '2
f"'
sin(x)
IJeispi el 8.11 a uf Seite 345. b estinuntes Integral. DOlci: Ma p le / l n teg Fe c h / be s t i rnm t e s- i n t e gr a l - 1 . mWS >
f : -3 . e xp (x )- 2 * x :
>
Int ( f , x-O .. l) -eva l f( in t( f , x - O.. l)) ;
,
J
3 f"'
-
2.t dx == 4 . 1548.5
"
>
f :"'x_ 2 . x A 2 +x A3 :
>
Int ( f, x -O .. l ) -evalf(in t{f, x -O . . 2 ) ) ;
,
j.l -2i! +x-' dx = 0.06667 n
Betspl el 8.16 a uf Seite 349. Traper-Regel. DO'ci, Maple/lnteg Fech/ttap ez - [ ege l -1 . mWS >
wit h (S t uden t [ Ca lcu lu s l ]l :
>
f : _e xp ( _ x 2 ) :
>
r ot. r r , x - O. . l )·e v a.l f {App t o x i ma t e l nt ( f , x " O.. 1, me th o d " tta.pez oid ) ) ;
A
,
j r l - r l dx = 0.74621 "
Belsplel 8.17 a uf Sette 352. Simpson-Regel. D01Ci: Ma p l e / l n teg Fe c h / s im p s o n- r e ge l - 1 . mWS >
wit h ( S t uden t [Ca l cu l us l ]l :
>
f :~e x p (- x A2 ) :
>
Int (f , x - O.. l l - e valf {App r o xi ma t e l n t ( f ,
,
lr" "
dx == 0.74682
Beispiel 8.18 a uf Sette 353. GauJJ.Qlladnllll r. DOlei: Ma pl e / l n teg Re c h / g a u s s - q ua dta t. ur - l . mws >
f : "'e xp (- x~2 1 :
x- O.. l , meth od - simpson ) ) ;
18.7 Intcgralrech nung
>
rn t
rr ,
x - O.. Lle e va Lf Lf n t Lf , x - O.. l , metho d - _G q u ad } ) ;
,
J
e1- .-l) J ,( = 0 .74682
o
lleispiel 8.55 auf Seite 391. Bogenldnge. Dalei: Maple/lnt egRech!bogen-la enge -l . mws wit h(S t ude nt [ Ca lc u l us l !} :
> >
f :-s in ( x ) :
>
Boge nlae nge: " eva l f( Ar cLengt h( f , x- O.. Pi ) ) ; nOX,"II/tI",/X,": = 3,H2020
lIeispiel 8.58 auf Sette 393. Bogenliing e be; Herg wande ruug. Dalei: Maple/lntegRech/bogen-laenge -2 . mws
>
wi t h(S t ude n t [ Ca l c u l u s l j } :
>
f : - 5 0 0 * si n(x / 1 0 0 0)~ 2 :
f
Fu n k t ion des Be rgp ro fil s
>
x_ 0 : -fs olve(f- 5 0 0 ,x) ;
f
x_ O pos i t ion b es t irnmen
>
Boge n l ae nge r - e v e i r (Ar cLen g t h ( f , x - O.. x_ Oj ) ;
x_O:= 1570 .7'J633 n"I:""I",',,!:,, := 10fH.7'J 181
Betspl el 8.25 auf Sette 365. Manteljfiiche bei Rotation [)"'~; :
11111
die s-Achse.
Ma ple/lntegRech/mantel - flaeche - x - l . m" s
>
wit h( St ude n t [ Ca l c u lus l j } :
>
i :-cosh ( x ) :
>
A_M: - eve i r (S u r f a c eOfR e vo l ut i o n ( f , x- O.. 2 ) ) ; A_M: =4'J.15()(l')
lleispiel 8.26 auf Selte 366. Mantelj/dd le hei Rota tion
11111
die y-Achse.
Dalei; Maple/ lntegRech/mantel - flaeche -y-l . mws >
.. l t h ( St u d e n t [ Ca l c u l u s l ! } :
>
f : -cosh (x ) :
>
A_M : - e v a l f (S u r f a c eO fRe v o l ut i on ( f , x- O.. 2 , a xis-vertical ) ) ;
llcispiel 8.27 auf Sette 367. v olumcn cines Rotatlonskdrpers bei Dretiung 11m die x -Achse. Dalei: Maple/lntegR",ch!volumen- rotati ons koerpe r - x -l . mws
>
.. it h( St ude nt [ Ca l cu lu s l ! } :
>
f : -s i nh ( x ) :
>
v : - e v a l f (Volu me OfRe v o l ut i o n ( f , x - O.. 2 ) ) ;
V := 18.29186
lleispiel 8.29 auf Sett e 37 1. Trdgheitsmomente eines Rechteckquerschnius. Dalei: Mapl", /Int",gR",ch/tra",gh"'its -mom",nt -1 .mws >
!_x : - int (b .y~2 ,
y - -h / 2 .. h/ 2 ) ;
f T ragh .-Moment urn die x -Acnse
hil I
t:x:» I f >
! _y : - i nt (h . x~2 ,
x - - b / 2 .. b/2 ) ;
f
T r agh .-Mo rnent urn d i e y- Achse
689
690
IR Mathem atik mit MOI pk
18.8
Gewohnliche Different ialgleiehungen
Gewohnliche Differentialgleichungen lassen sich mit dcm Maple-Befehl dso l ve losen. Belspiel 9.13 auf Sette 415. DeL I. Ordnung. DaIC;; Maple/Di f fGl /di f f-g L-l - ord- l . mws
,.
dgl : Kdi ff( y(x) ,x) - y(xl ~ 2 - 0 ;
".
ds olve({dgl, y( l) - l l ,y{x}} ;
I1K/ := (9; y(x) - y(x}2 = () t Lose n del" DGL mi t Anfangsbed ingung
I y(x) =- x- 2
lIt'ispiel 9.17 a uf Scite 419. DeL I. Ord nung . Dalci: Maple / Di ffG I /d i ff - g l- 1- o r d- 2 . mws
".
dg l : -diff(y( x) , x) -(x +y{x}
".
dsolve( {dgl , y (O ) -OI , y {x } } ;
} ~2 ;
IIK! :=
1; y(x) =
(x + y(x))2
t t.o e e n de l" DGL mi t Anf a n g s b e d i ngun g
y(x) = - _t+ l3n(x)
IJcispiel 9.32 auf Se lte 443. DCL I . Ordnung. Dald ' M..p le/DiffGl/diff -g l - l -ord -3 . mwS
,.
dgl : - d i ff (y (x) , x ) - y (x) I x . (1 +1 n cv ( x) Ix) ) :
,.
ds olve({dgl, y(l) - l l ,y{x}} ;
y(x) = x
lIt'isp iel 9.22 auf Scite 426. DCL I. Ord nung . Dalei: Mapl e / Di ffG lld i ff -gl-l-ord-4 . mws
tv (x) , x ) + (3 .x~2~2.x)
,.
dgl : - d i f f
,.
ds olve({dgl , y(O) - lI ,y{x}} ;
. y (x) :
y(x) =
,,(x" l - H l ))
IJt'ispid 9.34 auf Sette +48. /JCL I. Ordnung. D-.1Ie ;'
Ma p l .. /Dif fG lldif f -g l -l -ord -~ . mws
,.
dg l : -di ff( y( x) , x)~ 2 .y(x) -exp( - 2 . x) :
>
ds olve({dgl , y(O) - l l ,y{x}} ;
y(x) = ( _ ~ ,, ( A 4
., )
+ ~ ) " Ih) 4
IJcispiel 9.46 auf Se lte 465. DeL 2. Ordnung. Dale;: Map l e / Di f fGl/d i f f -g l -2 - ord - l . mW $
,.
dg l : -diff( y(x ) ,xS2) +4 .y(x} - 1 6 .x~2 :
,.
ds olve ({dgl , y( O) - l , D{y l< O) - Ol , y ( x ) ) ;
y(x) = - 2 + J cos(2x )+ 4.r2
IS.!l Gewohnliche Differentialgleichungen
69 1
8ei spie l 9.52 auf Seite 474. Freie geddmpfte Schwingung . DOle,: Map le /Di f fG l/ f ~ ei e-ge d a e m pft e - s chwi n gun g-l ,mws
>
dgl : ~m *diff( x(t) ,tS2}+c _diff( x(t)
>
k : - 3 0 0 0 0: m: -70 : c : -120 :
>
anfangsbed : - x(01 -0 .02 , D( x ) (0) -0 : t Anfangsbedin g u ngen
>
lsg : -evalf (dsolve( {dgl ,anfangsbed ) , x (t ) ) ) ;
, t )+ k *x (t ) - O:
I.,x :== X(/ ) == O.()(lOl():1l 7893f>6g e ( _ O. ~51 1 41~ ~7 1 r) ~ i n (2{). 61142 1 462 1 )
+ OJ12()()()()()(XXXle l _O M57 H!K'71, ) c-, (20.6842 146 21 ) >
p1ot_funktion : -op(2 , lsgl : t Extraktion der rechte n Seite
>
plot(plot_funktion ,t -0 . ,2) ;
t Schwingung in den e r at.en 2 sec
COl
--C,01
--C.Ol
Heisp iel 18.11: D,lt';: Maple I 01 f fGll s c h lOingung - I'e sonan z - 1 , mlOS
In dicscm Beispiel wird das harmonisch crrcgte Schwingungsproblc m des Abschntns
9. 10.4. 1 [s. Scire 476) untcrsucfu. Die Kenngrouen des Sehwingers sind idcruisch mil dcncn des Bcispicls 9.52 {s. Seilc474). Die Zcitfunktion dcr Erregerkraft lautct F (t ) = 3000 sin 20.7/ . Der Schwinger kormnt also in Resonanz mit dcr Errcgung. wei! die Erregerfrequenz und die Eigenfrequenz zusammenfallen. >
dgl : - 70_ d if f( x( t ) , t$2) + 12 0 _d if f Ix t t } , t ) +30000 _x ( t ) - 3 0 0 0* s i n (2 0. 7 _t) :
>
a.n fa.ng sbed : - x(O) -O . O, D (x ) ( 0) - 0 : t Ruhezusta.nd am Anfang
>
l s g : - ev a l f {d s o l v e ( {d g l, a n f a n g s b e d ),x( t } } ) ; I"i:
:= x{t) = OJl4 7273tJ4 327 /,1_ ll M5714!K'71' ) sin (20 .6 842 1462/ )
+ 1.2U7 723 1(Jt} /,1 -()'571 41 ~511 ,) cus{2U.61l4214(2 / ) - 1.207723 1(l'j c" s(20. 7()(X)(XXlO/ )
+ O.002 771 34529tJ ~i n ( au7l)()()()()()(ll ) >
p l ot_funktio n : -op(2 , 1sg ) :
>
pl o t lp lot_fun ktion ,t-O .,5) ;
j
Extraktion der rechten Seite t Schwingung in der ers ten 5 sec
692
IR Math em atik mi t Maple
18.9
Eigenwerte
Aufgu be 2 auf Sette 545. Eigenwerte lI11d Eigenvektoren einer Matrix. Dale;, Ma ple / LinA1gebr a/ei genwert - 1 . mws
Mit dcrn Muplc-Bcfch l Eigenvectors kon nen die Eigenwert c und Eigcnvektorcn cincr Matrix konncn bcrcchnct werdc n. Ocr Bcfchl Eigenvecto rs gibt auf dcm Bildschirm einen Spaltenvektor und cine Matrix aus. Ocr Vektor v a l emhalr die Eigenwerte. In dcr ausgcgcbcucn Matrix vee sind die Eigenvektoren in Form von Spaltenvektoren angeordnct . Ocr crsrc Spaltcnvcktor cntspricht dem crstcn Eigcnvcktor. dcr zwcite Spaltcnvcktor dcm zwcircn Ei ~c n vcklOr usw. Durch Division cines Eigcnvektors durch c ines seiner Elcmcntc kann der Eigenvektor norm iert werden . :>
r e sta r t :
:>
>
wi t h( Li ne ar Al g ebra) : A: " Ma t r i :« { {l , 3 1, [ 2 , 1 1 1} ;
>
(v a l, ve e) t we va Lf (Ei genv e c t o rs (A)) ;
A :=
",I, >
"'''~ [
[~ ~]
344949
- 1.449..\9
]
[
'
1.(lOOOO
LOO(X)O
0 .81650
- 0.8 1650
l3 : "Miltri :< ( [ [ - 2 , 0 1, [ 1, 4 1 I ) ;
n:= [ -~ >
tv e L ve ct t - e v e i r (E igenvectors (6)) ; mi.
I·t',.: =
- 2.lXXXX) ] 4JKJOIKI
[
[ - 6.(XKXX}
•
I, O(KIOO
> >
J No rm ie r ung des 1 . Ei g e nve k tors vee[1 .. - 1 , 1] : " v e e [ l . . -1 , 11/v e e! 1 .. - 1 , 1] [ 1 ] :
>
ve e ; f Ausgabe der no rmiert en Eigenve ktoren I, ()()(KX) [ - 0. 16667
>
O.OIXXlO 1.f1lK)()()
ueocec ] I.fKXIl.)()
C : " Ma t r i :« [ [ 6 ,-2] ,[-3 , 4]l l ;
c~ [ -3o >
(v al , vee ) : ..eva1f (Ei g en v e ct ors
ml > > >
> >
•
l"t'( . ' =
.
[
( C )) ;
7.lH575] 2.35425
'
[ - 1,2 1525 I Jll:K)()()
J Norm ie rung d e s 1 . Ei ge nve kto rs vee[l .. - 1, 1 ] o- v e c j t .. -1 , l]/ v e e[ l .. - 1 , 1 ] [1 ] : f Normier ung des 2 . Eigenve ktor s vec j i .. - 1 , 2 ] r- v e c t i . . -1 , 2]/ v e e[ 1. .- 1. 2] [1 1 : ve e ; f Ausgabe de r norm ierten Eigenve kt oren
1JX)()(XJ [ - O.822811
1.()(XllJO
t.snsa
l
O,S411S8 I ,(J()(X)( )
8ei spiel 11.11 auf Seite 558. Eigenwertaufgabe nach Powe r-Iteration. DOle,: Map le!Eigenwerte !NumEigenWerte !Be isp /b - Ol . mws >
> > > > >
> > >
t MISES -It.erat.ion (Power -Met.hode) : t Spezielle Eigenwert.aufgabe A x -l.x
restart :with( LinearA lgebra) : NITER : -4 : t Anzahl max I t e r a t i o ne n eps : -1E -3 : i Toleranz A : - Matrix( [[lO , - 1 , - 8 ),[- l , O. 4 , l ], [- 8 , 1 , 81I l : uO: "Vector( {2,-2 ,2 1) : nrm : RNorm(uO) : l a mbd a : - n r m; x I IO: RNo r ma l i z e (u O) : ( 'A ' -A , ' u' A[ OI _ u O, ' I l ui I ' [ i n ti n i t.y ] - n r m, ' x' A[ OI _x I IO);
-,
OAOOO
I > > >
> >
> >
>
> > >
> > >
>
>
>
>
Iterationsalgorithmus mit Normalisierunng f or k fr om 1 to NITER do ullk: -A.xll (k - l) : nrm : "'Norm(ul lk): x l Ik: -Norma l ize(u l I k) : lambda_L: -lambda : Wert der letzten Iteration l a mbd a : - n r m: err : - a b s ( (lambda - lambda_Ll!lambda) : print ( ' k ' -k , ' u' A[ kl - ull k , ' x " A[k] -x l I k) ; pr int ( • I I u I I ' [ i n ti ni t y] -nrm , " La rnb d e "-la.mbd a., ' ERR' » e r r) ; if ( e rr< - eps) then break end if : end do : t Verbesserung mit. Ray leigh-Quotient if k >NIr ER then k : "k- l end i f : zaehler : " Transpose(x l lk} . A. x l l k: nenner : - Tr a n s p o s e (x I I k) . x I I k : l a mbd a :-z a e h l e r / n e n n e r : t Rayl eigh Quotien t. printf( "Rayleigh-Quotient fuer k =%2d : Zaehler=%g Nenner= \g Lambda - \f " ,k ,zaeh ler ,nenner , lambda) ; lambd3 : -lambda. ; t
*
k = 1. IIII! = [ ='0,'.;
] . x[11= [
~O~~~3 ]
- 0.3333
, n ~ n'
1111 11.. = ).lXll)O. ), = 3.(llXlll. ERR = 0 .33 33
k = 2.
III~ I = [ ~~'.~::~
] . x!21 = [
- 1O.8(Xll)
Ilull.. = k
12.11000. ), = 12.11(XIO. ERR =
= J. IP I = [
~~' .~~~~
] .. (1.1 1= [
- 14.8583
Ilull.. =
]
O.76~6
~~)(,~ ~~)9
]
-0,8814
16.11583. ), = 16.11583. ERR = 0.2-«17
k = 4. 11141= [
~~'.~~~~
] .. (!41 = [
- 15.1629
Ilull.. =
~(')~~3
- O.!W37
~~)~~~2
]
- 0.8835
17.1629. ), = 17.1629. ERR = (Wi n
Rayleigh- Quotient f ue r k= 4 : Zaehler=30 .8074 Lambda:17 .180983 .l. := 17. J810
Nenner=1 .79311
> > > >
t E x~ kte Be eechnung s amt l i chee £ i g e nwe e t e / - v e k t o e e n DI M: a Ro wDi me n s i o n (A) : (v a I , v e e) : Re v a l f (Ei qenveetors (A) ) : I ~ mbd a : - v e i , seq (v [ i I - n c r me i t ee (vee [1 .. - 1 , i I ) , i -I " DI M) ; 17. 11110 +0 J)()(lO/ ]
O.'J4'J2 + O,()()()()f O.16'Jll + O,(X)()()/ 0 .024 1 + O.tXXXl {
1' 1
=
[
, "I =
[ - O.'Xl B + OJ)()(X)/ ] 1.()(XlO+O J)()(lO/ ] - O, I I 22+ (l.()()()(} 1 . "2 = - 0 . 1760 +O,()(X X)/ , - 1.(J()(XI + O,tXXXl/ - O,1l1l36 + uoooc I
[
]
- lJ)()()(J + 0.00001
u 1543 + (l.()()(X)/
Ueispiel 11.12 auf Seite 561. Eigenwe rtau f gube n(/c!l Power-tterotion. D.'c;' Mapl e /E igenwe r t e /Num EigenW e rte /Be i sp / b - 0 2, mws >
>
>
> > > >
> >
t t
Inve ese Iteration (I nve rse Powee-lteeatioN) Spezielle Eigenwertaufgabe A x - I.x
restart :wit h( L inearA Igebr~l :
NI TER : -ID : t Anzah l m~ x Lt e r a t.Lonen eps : a lE-2 : t Toleranz 1'. : - Matrix ([ flO , -1 , - 8 ], [-1 , 0 . 4 , 1 ], ( - 8 , 1 , 8 1 1) : uO : -V e c t or({ 2 , -2 ,2 1) : nrm :-Noem (u O) : l a mbd a : - n r m:x I IO: a No r mal i z e (u Ol : ( ' A' a A, ' u ' A[ OI - u O, ' 1l ui I ' [ i n fi ni t y ] - n e m, , x , A[ Ol a x I IO) ; - I OA()() (J
I >
> >
L : -LUDe c o mpos iti o n (A, o u t p u t R' L') : U:"LUDe c o mpos i ti o n {A, o u t p u t .. ' U' ) : ( ' L' -L , ' U' - U ) : 1.(XX)()
L= > >
>
>
>
>
> >
>
>
> > > >
> > > >
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>
[
- 0.1000 - O.Il(X)()
O.\XXX} 1JXX)() 0.6667
0."'" ] O.l)(XlO I .I)(X )()
,
u=[
1ll.(X)(X} O,{XXXl n.()(XX)
- 1.lXXXI 0.30tX) OJ X)()()
- 1l.tXXX) ] O.20IX) 1,4067
t Itera tionsalgori thmus mit Normalisier unn g DI M: - ncvm me n s r o n (A) : for k from 1 to NI TER d o y I I k : - Li ne a r Solve (L, x I I ( k - l) ) : U I j k : - Li n e a r So l v e (0 , y I I k ) : nrm : -N o rm( u l lk) : x l I k : - No r ma li z e (u l I k ) : l a mbd a _L :- l a mb d a : Wert der letzten I te ra t ion
*
k ~ppa: an em:l a mbda: " l /k app a :
er r : - a b s ( (lambda -lambda_L} /lambda) : print( 'k ' _k , 'u ' A[k l _u l lk , 'x ' A[ kJ _x llk) ; p r int ( , I Iu I I ' ( i n fi ni t y I - n r m, ' k a p p a ' « n r rn , ' l a mbd a' - l a mbd a , ' ERR' - e r r ) : if ( e r r c e eps) then brea k end if : end do : t Verbe sserung mit Rayle ig h - Quotient i f k>NITER t h e n k : -k -l end if : zaeh l er : -Tra n s p o s e (x I I k} . (A . x I I (k) ) : nenner : -Transpose(x l l kj . x l l k : l a rnbd a : - z a e hl e r/ n e n n e r : f Rayl eigh Quo tien t print f ( "Rayle igh -Quo t ient : ZHLR- \g NNR- \ g La mbd a-\ f " , z.aeh I e r , nenne r , l a mbd a ) ; l a mbd a :-l a mbd a ; k =l . ulll =
11/111.. = 4 .0'J0'),
[
I."'" ] ,. l lll = [ -02444 ] I JX)(X)
- 4.(l'Xl'ol 1,6364
J( '"
O.41X)(}
4 .0'J0'). }. = 0 ,2444. ERR '" 7. 111 111
k =2.rP J =
U.1222 ] [ 0.0'" ] - 3.8182 ,x121= - I JX)lIO 0.8495 0.2225
[
lIull.. = 3.8 ],'12. ... = 3.1\111 2. it k =J.ull! =
Ilull.. = 3.7375. k =4.f,!41=
Ilull.. =
3.7152.
= U.261 9. ERR = D.OM7
0.1534 ] [ 0'" " ] - 3.7375 ..ll.1] = - I.WOO
[
O.M84
0 . 1735
= 3.7375. it = 0.2676 . ERR = D.U2 1!
I
> > >
> > > >
> > > >
Inve~se Ite~ation fli~ Eigenschwingungen : K x* w ~2 Mx " ls Al lgeme ine Eigen we~t"ufg"be restart : with(LinearAlgebra) : K : * Matri x( [ [le7 , - 4e 6 , OJ , [- 4e 6 , 8e 6 ,- 4e 6] , [ 0 ,- 4e 6 , 4 e 6JJ ) : M : ~Matri x ( [ [ 1 5000 , 0 , a ] , [ 0 ,1 5 0 0 0 , OJ , [0 ,0 ,750 0 ] ]) : uO : -Vector( [1 ,1, 2 . ]) : f sc a r t v ex t.o r NIT£R : - 3 : f Anzahl de ~ Ite rationen eps : - 1£ - 2 : xI I O: ~No r ma li z e ( u O) : n ~m: ~ N o rm( u O ) : o mg 2: - 1 ! n r m: ( ' K' - K, ' H' - H); ( 'u ' ~[OJ - uO , ' I l ui I ' [ i n f i n i t y ] - n r m, ' omq2' - omq 2 , ' x' ~ [ O J -x I I O, ' e p s i l o n ' - e p s );
f f
- O.-\(X)O 10 7
0, WOO I O~
K=
- 0 .4000 107 [ II
,,[01
~[
: 2.lXlIlI)
0 .8000 107 _ 0.4000 107
] , Ilull_ =
U
- 0 .4000 107 7
O.4(XIO 10
]
,
M=
[ IS""0 0
0.50l x) 2.lXXX). "m/l2 = O.50lXI. xlOj = [ 0.500l) I.lXlIX)
U
15000
o
] ,e=
II ]
75(X~
(U )I(X)
IR Mathem atik mi t Maple
696 > > > > > > > >
>
> > > >
,
> > > > >
t Iterationsalgorit hmus mi t Norm >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
f Mises-Iteration fur Stabilitaet : f Min Knick.last
Kx~lambda
restart :with(LinearA lgebra) : K : " Matr i x( [ [l,O ,0 ].l0 , 12 ,-6 ],[ 0 ,-6 ,4 IJ) : Kg :~Matri x (I [ 0 , 0 , 0 1, [ 0 , 1.2 , - 0 . 1) , [ 0 , - 0 .1 , 0 .13 333 1 1} : uO : -Vector( [l ,l ,l ll : • Startvek.tor NITER : -3 : II Anz.a h I del' Iterati onen eps : - l£ -3 : interface (displayprecisi on -4) : xIIO : -evalf(Normaliz e{uO)) : n rm : ~ No r m ( u O ) : l a mbd a : - l/ n r m: 6 : "'K: C :-Kg : ( 'K ' rK , ' Kg ' RKg ) ; interface (displayprecision-3) : ( 'u ' ''[OJ ~uO , ' I l ull ' [ i n f i n i t y j - n r m, ' l a mb d a' " [ Ol- l a mbd a , ' x ' ''[OJ - x l 10, ' eps i lon' - eps );
o
o
12 -6
] .2 (X)
- 0. 100
1I 1(~ = [ : ] , Ilull_ = I. ;. IOi = I. xlO] = [ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > >
Kg x
-O~IlX) ] 0,1 33
I .rKX} ] U KX) • £ = 0.00] 1.000XI
f Bestimmung des k l e Lns t en £ igenwel'tes interface (displayprecisi on -4) : DI M: - Ro wDi me n si o n (B) : l a mbda_L :~ l ambda :
for k. from 1 t o NITER do z ll k. : "C . x l l (k - l) : u ll k : - Linea l'So lve(B ,z l l k) : nrm : -Norm(u l lkl : x l I k :"No r ma li z e (u lI k ) : kappa : -nrm :lambda : -l /kappa : err : - e b e ( (lambda - lambda_L) / l a mbd a ) : print( 'k ' ''k , 'z '~ [k ] -z l l k , ' u' ~[ kJ "u l lk , ' x' ~ [ k ] - x l lk l; pl'int( ' I]ull ' [infinity l -n l'm, 'k a p p a' - n l' m, ' l a mbd a' - l a mbd a, if ( err NIT ER then k : -k-l end if : zaehler : - Tr a n s p o s e Lx I I k} • (B . x I I (k) ) : nenner : · Tr a n s p o s e (x I I k} • (C . x I I k I : l > > >
t
Oi ~ekte
Maple -ae~ec hnung
der Ei ge n we r t e / - ve k t o r e n
interface (d i s p l a y p r e c i s i on - 3 ) : DI M: g Ro wDl me n s io n (B ) :
>
(v a l , v e e ) : ge v a l f (Ei g e n v e c t o r s( B, C) ): l a mbd a : -ve i , seq (v [ i J -Norma lize (vee [1 .. -1. Ll l , Floal (oo) + (){)(Xl/ ] 32 HH + O O()O/ 24S6 + 0 coo I
{WOO + O.()( KII
- 0 .638 + a .QOO I - 1,OOIl + O.OOO/
11 =
[ 1(0)O + O{)(Xl ! O {)()()+ () O()()f 0 (100 + 0 (OJ{
> >
> > > >
>
].
1'0/1
Eigenvektoren.
mws
*
O.J(I0lXXl [0" [ - 0 .400000 J07 0
M~ [ > > >
~:(I~~~ :~::::::
- 1,OO() + ()'()OOf
. Mx restart :with(LinearA lgebra) : K : - Mat r i x ( [ [ le7 , - 4e 6 , 0 ) , [ -4e6 ,8e6 , -4e6 ) , [0 , -4e6 ,4e6 J )) : M: - Matr ix ( 1 11 5 0 0 0 , 0 , 0 ) , [0 ,15000 ,0] , [0 ,0 ,7500 ) )) : uO : -Vector ( {1 , 1 ,2 . )) : Startvektor interface (d i s p l a y p r e e i s i on - l ) : ( ' K' - K, ' M' - M):
K~ >
= [
*f Orthobonalitaet von Eigenve kto ren Allgemeine Eigenwertaufgabe K x - La mb d a
Ma p le/E: igenwert " /NumE:igen~e rte /Beis p /b - 0 1 .
> >
].\"2
]
Heispiel 11.18 auf Seite 575. Onhogonalitatsbeding ung D"wi:
i-I .. DI M} ;
15lKXl 0 0
0 [5IXX) 0
- O.4UlXX IO 107 0.8(X)OlK ) [()1 - O.4tKKKKI J()7
75(~
0 - O.4tKKKKlJ07 OAlKKKX) lO1
]
]
f Oi r e kt e Maple -Berechnung del' Eigenwerte/ -vek toren
in terface (disp laypr-ee isio n -2) : DI M: - Ro wDi me n s i o n (K) : (v a l , v e e ) r - e v e i r (Eigenvectors (K,M) ) : l a mbd a : - ve i , seq (v [ i I - No r mal i z e (vee 11 . . - 1 , i I ) ,
i -l . . DI M) ;
[023. 159704 +0.00lXX)O/ ] [ O.687(XI7 + 0 .lXXXXX) / ] • \'1 = - O.9 JS424+ 0.lXXXJOO I . 620.57780 1+ O,lXXKXXl / IN.59511211 + O.IXJ(J(lOl l I l .lXJ(XXJ(I + (J.lJ(J( XJ(J(I/ - O.94M lH + O.OlJ(XXJO I ] [ - O.3844 74+ 0.()(KXXXlf ] - 0. 163583 + (l,(X XXXXI t , \'.1 = - O.832(Kl8 + O.(XX XXXI f I.lXX)()(XI + O.lJ(JlXXXl/ - 1.lXlOlXXl+ IUXX)(lOll I > > >
> > >
f Or-thogonalitateskontr olle interface (d i s p l a y p r e e i s i o n - 6 ) : ' x' [1 ] " T . ' K' . ' x" [ 31 - {Tr a n s p o s e (No r ma l i z e (vee [l . . -1 , 11 } ) . K) .N o r ma l i z e tv e clI . . - 1 , 3 ] ) : ' x' [l J "T . ' M'. ' x ' [ 31 " {Tr-a n s p o s e (No r ma l i z e (vec [ l . . - 1, 11 } ) . M) .N o r ma liz e (v ee [1 .. - 1 , 3 ] ) :
18. 10 Nichtlincare Gfeichungen (XI T) . K . (x.J) = - 0 .000 820 + (U)OO()()O/
(" 11') . M . (".J) = - 0 .7694 75 10 -" + o .()O()(X)O/
Nichtlineare Gletchungen
18.10
IJeispiel 12.1 auf Selte 58 1. Niclulineare Gleichung Ill/eli Regula Falsi. Dalei, Mapl e /N umMe t h o d /N i c h t L inG l / Be i s p / b- Ol . mws
> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
> > > > >
>
> > > > >
> >
t Nul ls tellenbest immung mit REGULA FALS I rest art ; interface ( latexw idth , s cr eenw i dt b e t 0 0) : RegulaFalsi ; »p r o c (a I , bl , N, EPSY) lo c a l a , b , f a , f b , fc , d c ,c , k , ko nv ; R6
a ; _al ;b ; mbl:konv : _~N I CH T M :
printf( "\nNu llste llensuche im Intervall [ a , b l- [ %f, %fl \ n " , a , b ) ; printf( "N m'd EPSY -'8 . 5g \n M,N ,EPSY) ; f Werte zeige f a : -f ( a ) : f b : - f (b ) : printf( M%3s %8 5 %85 %9s %9s aa s %9s \ n M, Mk M• Ma M, -e-. - re-. - re-. MCM, Mf c M) ; f or k fr om 0 t o N do c : - b - (b - a ) * f b/ ( f b - f a ) : fc : -f (c ) : p r i ntf ( M%3d %8 . 3 f %8. 3f %9 .3g %9 .3g %8. 3g %9 . 3g \ n M, k , a , b , f a , f b , c , f c ) : if (abs(f c) l -l O*x *e xp( - x) *sin( x) ; t niChtlin . Gleich ung N: -6 :EPSY : -IE - 3 : • a :-O. O:b : -1. 0 : j f n t e r va I I [a ,b) mi t Nulls te l le RegulaFal si(a ,b,N ,EPS Y) ; •
a : - 2.0:b : - S. O: j I nt er v all Regu la Falsi(a ,b,N ,EPS Y) ; •
[ a , b ) mit Nu lls te lle
! := .f ..... I - IO x" I- t CHOLESKY-Verfahren flir ein linea res Gleichungssystem
,. ,. ,.
restart :with(LinearAlgebra) : : ~ Matri x (( (2 , -0 .2 , 0 .2) ,[-0 .2 , I , 0 .4], [0 .2 , 0 .4 , 2 1 )) : I 'A - A, ' b ' - b ) ; b ae v e c t.o rtld , 2 , 6]) :
A
A= >
> > > > > > > > > > > > > > >
[
2
- O.20ll0
- U.20()(J
I
0.2(00
> >
> > > > > > > > > >
2
f Aufstellen der Dreiecksmatrix L
DIM: ~Row D i m e n s i o n (A) : L : a Ma t r i x IDIM , DIM I • U: aMatri x DIM,DIM : fo r i from 1 to DI M do f SChleife ueber Zeilen f Bestimmung der Ausser-Diagonal -Elemente in der Zeile i for j f rom 1 to i -I do summe : - 0 . : for k from 1 to j -l do summe : - summe + L [i ,k ] L(j , k ] end do : L[i ,j] : a (A[i ,j] - summe)/L[j ,j ] : end do : f Bestimmung des Diagonalelements L[i ,i] summe : ~ 0 . : for k from 1 to i -I do summe : - summe + L[i,k ]A2 end do : L[i ,i) :- sql't((A (Li] - summe)) : end do : 'L ' -L;
L e=
> >
0 .4000
O.21100 0.4000
1...\ 142
[
- 0 , 14 14 O.14t4
on ]
0 ,911'}9 () 0.4 243 1.3416 [LT] {xl -(y}
f Loesung von [ L ] {y l - { b } und y : - v e c t or (DIM) : x : - Ye c t o l' (DHl) : f Bestimmung des Vektors !y} for i from 1 to DIM do f Schleife ueber summe : - 0. : for k f rom 1 to i -I do summe : - summe + y[ij :- (b!il - su mme)/L[Li j : end do: f Bestimmung des Vektors {x l for i from DIM to 1 by - 1 do f Schleife summe : - 0 . : for k f rom i+l to DI M do summe : - summe x[i) : - (y [il - summel/L[i ,i l : end do : 'y ' ·y , ' x' - x;
Zeilen L [i ,k]
• y[k] : end do :
uebel' Zeilen + L[k ,i ] • x l k ] : end do :
18.11 Lincure Glcichungssystcmc
y=
2.8284 1.88215 ] 2.4244 ] , .1"= [ 1.360 [ 304073 2.,5397
Heispiel 13.4 auf Seite 601 . Gaus s-Seidel-Iteration.
Da'e;, Map1e /NumM.. t hod I Li nGl Sys 16.. i s p/ bs p - se ide 1- 1 , mws
> > >
>
>
> >
> > >
> > > >
> > >
f Gauss - Seidel -Iteratio n restart : wi t h ( Li n e a r Al g e b r al : A : - Matri x ( [[2 , - 0 , 2 , 0 ,2 1, [- 0 , 2 , 1 , 0 ,41, [ 0 , 2 , 0 . 4 , b :-vector l j4 , 2 6J ) : f r ecn t.e se r t. e x: - Ve c t o r 0 tO ,b l 1 : Sta r t ve kto r NITER : ~4 : Anzan l der Iterationen ( ' A' ~ A , ' b ' ~b , ' x_ O' - x ) ;
*
f G1eichungssy5te m 50 normalisieren , dass A[i ,i J - l wird DI M: ~ RowD i me n s i o n (A) : for i from 1 to DI M do ad iag : ~ A[ i,i ] ; fo r j from I to DI M do A[ i , j ] : ~ A[i ,j ] /adiag ; end do : b[ i] : - b [ i ] / a d i a g ; end do : ' A ' ~ A,
' b ' ~b;
I
A = [ - U.2000 O. HXIO >
> >
> >
> >
- U. IOOO I O.2lX)()
f Aufst ell en der un tere n Dr e i e c k s ma t r i x L
L :~Mat r i x (DIM , DI M ) :
f or i from 1 to DI M do fo r j f r o m 1 to i -I do L[ i , j] : - A{ i , j ] ; end d o e nd do : 'L ' ~L ;
o
L = [ - O.20()(1
nmn
> >
>
> >
>
>
0.2000
U : ~Matri x (D IM ,DI M ) :
fo r i f r o m 1 to DI M do f or j fr om i+1 to DI M do U[ i , j ] : ~ A[i , j ] ; end d o end do : 'U ' ~U ;
o ()
> > >
>
o o
t Au fste ll en o be re Dr eieC ksma t r i x U
- 0. rooc
> > > > > >
arn .
f Gauss -Seidel -Ite ratio n (1 , , DI M, 1 . , NI TER) : f for m from to NI TER- l do for j from I to DI M do
X : ~M a t r ix
°
0. 1000 ] 0.4000 ()
fur Zwichenspeicher un g
x [ j] : ~ b[ j l - a dd( A [ j ,k ]*x [k ] ,k -l. , j - ll ;
x [ j] : · x [ j] - add (A [ j , k ] * x [ k] , k - j +l. . DI M) ; X t j , m+l] : - x [ j l ; end do : end d o : pr int t seqt' x " [ k] ~ X[l .. -1 , k J , k -l , ,NI TER » :
jI
Iterat ionsergebnisse
XI=[ 2.53% : : ~ ~2~ ] ' X2 = [ 2.5397 : : ~~2~ ] , .t) = [ 2.5397 ::~~2~ ] ' X4 = [ 2.5397 : :~~~~ ] >
x_ ex ak t : - Li n e a r S o l v e{ A, b } ;
t Exa kte Losung des Gleichungssystems
.(j.m kl :=
1.8821 ] 1.3605 [ 2.5397
70 1
702
III Mathematik mit Maple
18.12
Ditferentialgleichungen
Beispiel 14.1 a uf Seite 606. Lb ,m llg
\'(1/1
Kuna.
DGLII
t, Ordnung
Ill/ell Euler. Heun
uud Rung e-
Date;, Mapl e / NumMe t hod/ OGLI Be i s p / b- 0 1- komp1et t • mwS
". > ". ". > > >
* * *
r e s t art ; pathname : - ~ . \ \ ~ : wi th (S tringTools ) : wi th (p l o t s ) f ; - ( x ,y )-"' x -l +y ; r ec nt e sei te der OGL y '-f( x ,yl a ; -0 .0 :b : -3 .0 :N : -S : Integrationsintervall [a ,bl und Anzahl der Schritte x I IO: - a : y I I O: - l. : Anfangsbedingung y ( xO) -yO h :"evalf « (b-a )!N ) : ( ' a ' - a , ' b ' - b , ' x [ OI ' -x I IO. ' y [ Oj ' - y I IO, ' h' - h ); we cte zeigen
*
Wa rn i n g , the a ssi g n ed n a me Grou p n o w h as a global bi n d ing Warn i n g , the na me cha n g e coords h a s been re de f ined f: = (x.y } ---> x - I + y >
> >
> >
> > > >
>
> >
>
Runge - Kutta -Verfah r en print ( 'i ' -O , ' x' [OJ - xIIO , ' K' [ 1) "'0 . , ' K' [ 2J - 0 . , ' y' rO] - y ll a ) ; for i fr om 1 to 1'1 do xl l i : -xll ( i - 1) +h ; Kl : -f ( xl l ( i -1 ) , yll (i-1 } ) ; K2 :·f ( x l l ( i- 1) +h ! 2 , yll ( i - 1 l +h l2 .K l ) ; K3 : - f(xll (i -1)+h !2 , yll l i - 1l+ h ! 2 .K2 ) ; K4 : -f ( xl l ( i - 1) +h , y l l (i - 1 )+h .K 3 l ; yl l i : ·y l l ( i - 1) +h ! 6* ( K1+2* K2 +2 *K3 +K4) ; p rint ( 'i ' - i , ' x' [i) - xlli , ' K' ui - x i . ' K' [ 2 J - K2, ' y' [ i ] - Yl l i ) ; end d o : se
r e start. :
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f : "'p i e c e wi s e (x -0 , sin(x)) ;
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L : "'Pi ;
2L i st d ie Per iod..
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x $:()
{~in{X)
o "::; .t
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N: -6 : NMAX: '"SO:
i An z a hl del' rou r re e -c re r n e I n t ( ' f ' , x ) - i nt ( f , x ) ;
j f J -t = {O- co, (x)
;>
(min-max}
.( ::; 0
0 < .r l n t ( ' f ' e c o s (o *P i *x / L) , xj e f nt; (f *c o s ( n . .. i . ;.;/L ) , x );
J
f cos(ll x) dx =
{~ ! (;0' ((11+ l )x ) +! (;0' ((11 -
x :5 0 I)x )
2 ,,+ I 2 "I (,,+ 1) (11 l o t t ' f ' <s i.n (o · pi *x/ L) , xl -iot (f'sin (o *Pi* ,, / L) , x l ;
J
> > > >
{1
sin((n- I) x) _! , in(t" + [l x) 2 "I 2 I a : - unapply(l / L. in t( f oc o s(n .P i *x ! L) , x- - L. . L) , 0) ; f sin(n,t )J .t =
,, +
I)
u<x
x ::; o 00
a (O ) : - l i mit (a (n j , n - Oj /2 seq (a [mj -li mi t (a (nj , m- l .. N) ; a t : -seq ( l im it (a (n ) , n - m} , m-l .. NMAX) :
n. ml ,
l + cos(lI:n) a :=" ..... - 11: (,,2 I } a(O}:=
2
" I = 0. (12 = - 3 11: ' > > >
(I .,
=
2
n, " 4 = - fu ' ".\
) . ~11
b, = >
I
2' b2 =
2
= 0, (I~ = - 3SIi:
b : - una p pl y(l / Loi n t(f *s i n{n * P i_ x / L) ,x _ _ L "L ) , s e q (b (m] -li mi t (b (n) , n - m) , m- l .. N) ; b t : - s e q ( l i mit (b (n j, n -m} , m- l. .NMAX) :
1 '-
>
I
1i n) ;
sill(lI:n} 1)
- 11: (,,2
0, h I = 0. 1>4 = 0 , bs = 0,
h~
=0
f : - a (O ) +a d d l at(nl * co s (n *Pi * x/L ) +b t [ n ] , s i n (n ' P i * x / L}1 n - l .. N) ; fg : - a (D) +add (a t ( n I - c o s In _P i _x / L ) +b t [n] _sin (n oP i *x / L , n -l .. NMA X) :
t: » --'- +! sin (x ) _
~ cus(2x ) _ ~ c"s (4 ,t ) _ 2 cus(6x) Ii: 2 3 II: IS n: 35 II: t p lo t ((f , g] , x - - 4 op i . . 4*P i) ; t be i Bedarf ak t i v ier en
Ueispi el 15.2 auf Se lte 619. Fourier -Reihe.
IJalc;; Map le l . I fo u r i e r IBeisp / bsp - f ourier -reihe - l l . mots > r estar t : > f : - x +P i ; - P i >
*
N: "6 : NMAX: - SO: Anzahl del' rcur i e r -cr e rne (min - max) ln t ( f, x ) -int( f, x ) ;
I ,
j x+ lf dx = 2" :r+ lf.l >
Int (f ~cos(n *Pi * x/L ) , x ) -int (f *cos (n ~Pi , x/L ) , x ) ;
j (X+ lf ) C\" (II X) dX= ~
'='C'"(':'·:'c':+;:'='"C(:"C""'C"C.'...':"", + If 'm(tI . ""~ x)
>
11
"
Int (f ~sin(n *Pi * x/L ) , x) -int (f ~sin (n ~Pi ~ x/L ) , x ) ;
,i n(Il x) - co, (,t x) 1/ x ! (X+ lf) Sin{ll.t)dx = > >
>
>
Cl"(IlX}lf
11"
a :-unapply (l /L*int ( f* c o s( n * P i~x/ L ) , x - - L .. L) , a(O) : - limit(a(n ) , n -OI!2 ' seq (a [mj -limit(a(n ) , n " ml, m·l .. N) ; a t : -seq(limit(a(n) , n ·ml , m-l . . 50 ) : (/ := 11 .....
n) ;
hi n(It ' t} n
a{ll) :=
If
" I = 0. ''2 = 0 . " J = O. ,,~ = O. ,,~ = 0. ,,~ = () > >
>
b : ·unapply (l/L*int (f *sin (n ~Pi ~ x/L ) , x- - L .. L) , n ) ; seq (b [mj - l imit(b (n) , n -m) , m_ l .. N) ; bt : '"seq ( limit (b(n) , n '"ml , m-l . . 50 ) : h:=I1 .....
2 (- sinOr II) + COS{lf III 11 Jr)
,,,,
hi = 2. b2 = -I ,b.1 =
> >
101
I"I
2
- I
2
- I
3,b4 = T· h~ = 5' b~ = 3"
I"I'
f : >
f_O : ..a 'sin (Pi ' x/L) ; v_O : .. O; f Anfangsbed . phi : - ( x , n ) ->sin (n *Pi *x/L) ; t Ei g e n form H
f _O:= n sin(T ) 1'_O:= () 11 If .f
r;J := (.t . II) ..... ' in( T
> >
)
H_integ ran d : - f_O *apply (phi , x ,n) ; K_integrand : "v_O *apply(phi , x ,n) ;
H, Sin . ( IIJrx . (T ' ,-itt/,'grumI := 1Jsm L ,
706
III Mathematik mit Maple
>
>
K_illl /'x mJ"I :;; 0 In t ( ' f~O ' . a p p l y (ph i , x, n) , x - O. . L) - i n t ( H_ i n t e gr a n d , x - O.. L) ; I n t ( 'v_U "app ly l p hl , x , n) , x -U .. L) -in t (K_integr a nd , x -U .. L) ;
,
J o
J/fr.x )
jO sin( - I.
,1.< = -
,
LB sin(fr.1J) ') fr. { l +n-
Jo .
I/fr. ·t ) ,Ix =O 1'_OSln I T
>
L : - 10 ; B: - 0 . 0 1 ; S : - l OOOO; A: - 0 . 0 0 1 ; rho : - 7 8 5 0 ;
L := 10 B :=
n.oroo
s := IOIXX)
A := O.(XIIO >
p := 7850 N: -5 : NMAX: - 2 0 : m: - r h o *A; omeg a _n : - n *P i / L*s q r t( S / m) ;
m := 7.8500 >
> > >
"m"/lIJ-'J := 3.5692 x n s e q( H( n j - 2 / L. i n t( H_ i n t egr an d , x - O.. L) , n -l .. N) ; H_ seq : « s e q ( 2 / Loi n t (H_ in t eg r and , x - O. . L) , n -l . . NMAX) : s e q( K[ nj - 2 / ( L*o me g a _ n } * in t ( K_ i n t e g r a nd ,x- 0 . . L) , n-l . . N}; K_ s eq : - s e q ( 2 / (L *omega_n ) oint ( K_i n t e g r a nd , x - O. . L) , n -l .. NMA X) : II I = 1l.O I01l. If! = O,W(X). H1 =
>
> > > > > > > >
u.oooo. III = O.lJO(XI. II~ ;; O,(XXIO
K I = () . K2 = (). K l = O. Kl = (). K~ = O tKontro l le d er Ric hti g keit der Koe f f izienten H un d K HI : -add (H_seq[n] *phi t x , n ) , n -l .. NMAX) : Kl : «a dd ( K_ seq [ n ] *ome g a _ n* p h i ( x , n ) , n '"'l .. NMAX) : p : »p Lot; ( [ HI ] , x - O• • L, labels - [ " " , "" l , vie w- [ 0 • • L, 0 • • O. 02) , labe ld irect ions - [HORI ZONTAL , VERTICALj , font - [HELVETI CA, OBLIQUE , 14] , label font - [ HELVETI CA, OBLIQUE , 14 J , color-blac k , seal in g -unconstrained , nump oi nt s -l 0 0 , thick ness -2 , t ic kmarks - f 6, 3] ) : d i s p l a y ( [p I ) ; y : - ( x ,t ) ->add(phi (x ,n)* (H_ s e q [ n ] *c o s (o me g a _ n *t ) +K_seq[n ] *s i n (o me g a _ n * t )) , n- l .. NMAX) : y(x , t ) ;
)
O.O IOOsin( ~ot cos (3.5692 fr.1 } > >
> > > > >
> > > > > > > > > > > > >
I'
p_seq : » s e q (p l o t (y (x , O. 05 *k) , x"' O. . L, l a b e l s - [ " t " , ~ y (x , t) " ] , view- Io .. L~ - L!1 000 . . L/IOOO labeldirect ions-jHORI ZONTAL ~ VERTICAL ] , fon t- HELVeTICA,OBLI QUE, 10 , l a b e lf o nt - {HELVE tCA ,OBLIQUt., 10] , color-blac k , scali ng- u nco ns t ra ined , numpoints -500 , thic k ness -2 , ti ck ma r k s - [ 4, 3 \ ) k - O.. 6 } : tl : - t ex t p l o t( { , b . OI OO, ' t - O. OO' ] ) : t2 : -te xtplot ( 15, 0 . 0 07 5, ' t - 0 . 0 5 t 3 : - te xt p l o t ( 5 ,0 .0050 , ' t - O. l O' ) : t4 : -te xtplot 7 , -0 .0018 , ' t - 0. 15 t5 : - t e xt plot ( 5 , - 0 . 00 5 5 , ' t - O. 20 ' ) : t6 : -te xtp lot( 7 , -0 .0095 , ' t - 0 . 2 S' ) : t7 :-te xtp lot ( {5 0. OOB5 , ' t - O. 30 ' J\ ' display (p_s eq,t 1, t 2 , t 3, t 4 , t 5, t 6, t ) ; p2 : -plot (y (0 .S *L ,t ) ,t -O .. 2 , labe ls - ( "t " , " y (L/2 , t) ~] , v iew-IO .. 2 1.- 0. 0 1 .. 0 .01/ , labeldirect ions -/HORlZONTAL VERTICAL] , font - HELVeTICA,OBLI QU , 10 ], l a b e l f o n t - {H LVETIC A,OB LI QUE, lO j , color -black , scaling-unconstrained , numpoints-SOO , thic kness -2 , t ic kmarks - !4 , 31 ) : t2 : -ee xe.plot ( {O. 0115 , 0 . 0 0 8 , ' x - L/ 2 ' J ) : display ( [p 2, t2 ] ) ;
(1
'I"
'I"
19
Ma thematik mit C++
19.1
Einflihr ung
c++ is! cine Programmiersprache ncucrcr Generation und hat cine weite Ver brei tung in JeT Ind ustrie gefunden. C++ ist international genor mt (A NSI/ISO C++ 1998). Dank d icscr Standard isicrung sind in C++ gesch riebc ne Programme portierbar, d.h. ein Ce-e-O uetlp rog rarnm Iassr sich ohne Ander ungcn auf'u nrerschiedlicher Computer-Hardware (PC , Workstation, Mainframe ) und unter verschicdcnen Betriebssystemcn (Windows, Lin ux. Unix) zum Lauren bringcn. C++ emhalt als Untcrmcngc den allergrOBtcn Tel l dcr wcit vcrb rcitc tcn Pr ogram mic rsprachc C (z.B. ist das populurc Bctricb ssystcm Linux im Wcscmlic hcn in C gcschricbcn). Aufgru nd ihres groBcn Sprach umfang s b on C++ in dic scm Buch nicht im Detail bchundclt worde n. lntcrcssicrtc Leser se ton ur ucr zahlrcichcn hcrvorrugcndcn BUcher ubcr C++ L B. auf [8J,[12J, sowic auf [14 J vcrwlcscn. C++ ist cine allge meine Programmi ersprachc (genera l purpose programming lang uuge) und hat insofe rn mit der Mathemat ik an sich wenig zu tun. Es existiert in C++ kc in Befchl. um z.B . ein lineares G leichu ngssystem zu loscn odcr cine Ma trix zu invcnicrcn. C++ unterschcidct sich also grund tcgcnd vom Mathcmatikprogramm Maple, welches in Abschnitt 18 beha ndc1t wird (Maple sclbst ist zum groac n Teil in C und C++ gcsc hricbcnt) . Alles was C++ dcrn Anw cndcr fur die Losung ei nes Prob lems ZUf Verfllgung stelu sind d ie folgende n prinzipiellen Moglicbkehen: Anwcisungen Variable n Fel der (urrays ) Ze iger (po ;mer ) Klassen (Obj cktor icutieru ng) Benutzc rdcfinicrtc Datentypcn Co nratncr (Listen. Vcktorcn)
Schle ifen Verzweigungen Funktioncn (Unterprogramm e ) Bedin gtc A usfuhrung von Anweisunge n Eingabe und Ausgabe von Daten Mathematische Gru ndfu nktionen Funkrionsbibibliothck fur verschicdcnc Zwcc ke (7o.B. Spcic hermanagemem etc.) Es sotne hcr vorgchobcn werden. dass es -von einfach cn Palle n abgcsc hen- kein c simple Aufgabe ist. ei n C++ -Prog ramm fur Ingenieuranwendungen zu schreiben (d iese Aussage gill aber auch fur jede andere Program mlcr sprache. wic z.B. visualbaslc. C#, Java. Pascal, Fortran). Mil C++ lassen sich mil vcrtrctharcm A ufwand nur solc hc Progra mme schreibe n. die IIIllIIe rische Losungen licfcrn (im Gcgcnsatz zu symbolischen Losungcn ). Eine numerische Losu ng bestch t ein fach aus einer belieb igen Menge von Za hlen {im cin fuchstcn Fall cine ein zigc Zahl)
701l
19 Mathematik mit C++
und gi lt nur fur de n untersuchten Fall. Eine symbo lische Lo sung hingegcn bcstelu aus mathcmatischcn Symbolc n und ist allgemein gultig. Ein Cs-s-Progrun un . das vom Mcnsc hcn gclcs cn worden kan n, wird Quellprogromm (odo r Que/lcode) gcnar mt. Auf dcr CD sind aile Programme sowoh l als ausfllhrbarcs Progr am m (Duteicn dung . e x e ) als auch im Qu cllcod c (Date iendung . c p p ) cruhaltcn. llei spid 19. 1: Die Losung dcr quadrat ischcn Gleichung llX
2
+ bx+ c = 0
lautet bekan ntlich: - b ± vb!
4{/ c
20 Die obige Losung ist ci ne symbolische Losung, wei! slc fur aile Werte von a, b und c gultig ist (Ausnahme: a = 0). Die sym boliscbe Losu ng Hisst sic h m it Hilfc von Maple mit eincrn c inzigen Befehl folgcn dcrmabcn bestimmen: >
so l ve
( a.x ~ 2 + b*x + c - O ,
xl ;
- b +~
'"
- b-~
'"
In C++ cxisuc n kein vergleichbarcr Bcfcbl. der die Losu ng sy mbolisch licfem kon ruc. Man kann j cdoc h die obigc Los ungsforrncl in C++ pro grummio rcn (soz usagcn cincn gan z cpczicllcn Taschcnrechn cr zur Losung von quad ratischcn G lcic hungcn schaffen] und fur bcl icbige Werte von a. b. c ein numerische... Rcsulun crziclc n. In nachfolgend en Absch nitte n werdcn Moglicbkeitcn aufgezeigt, wie man mit Hilfe von C++Program mcn Routineaufgaben dcr Ma them atik auf numcr ischcm Weg loscn konnte . Aile verg esrctltcn Program me sind auf dcr Bueh-C D cmhultcn. Anha nd des mu gclic fcrtcn Q uellcodcs (m it Datc icndung . cpp) kan n sich dcr Leser cincn Eindruck ubcr d ie Losungsstrarcgicn verschuffcn.
19.2
Der C++ Compiler
Fur die Obersctzung dcr cpp-Q ucllprogramme in laufflthigc e x e- Prog rammc cnthlllt d ie BuchCD auc h ctncn Cs -c-Co mpilc r, dcr als jreelra re unrcr GNU Gel/emf Publ ic Licellse ! kostcnlos crhnhlich ist. Dieser C++-Compiler ist dtc sog . ming w-Port ieru ng 2 dcr schr leistungsfahigcn GNU -Compiler gee und g++ auf der Windows-P lan fonn . GNU Genera l Pulllic Licen' e. ahgekijr/.l G PL. Die G PL gC'lalle l llie k"'lcnl" , e NUl/ ung. Wei lergalle, Weilerentwicklu ng und Mudili kalion cinc, unrcr G PL frcigcgebcnclI PrtlgTanllnc" und schreiht d ie O ITcnlcgung dc" QuctlcolIc" eines solchcn Pro grammes vor. Dic GP L wurde IW I von Rid w nJ Slullmmlllll,lIcm Grunder dcr Fff'l' So/MUff' f{mmJali,," (FSF). in" Leben gerufen. Unux lst das bekannteae Beis piel von G PL·S"nware. 2 Mi" g\\" i"l ci nc Ahkiir/ ung fUr Mi"i ",,,lj\l GNU fl,r Wi,,31 (h t tp : / /www .m ingw , 01:g ). Die GN U-C" mpi1er gl '(" und g ++ sind im Bctric bssystcm U/II(( Sl dateinume Der Parameter dateiname ist dcr Name der Datei. welchc das Bcrcchn ungsergehn is eruhaltc n soil und wird vom A nwende r bclicbig gewahlt. Falls duteiname Lccrraumc tblankss hat, muss sic in Ga nscfu gchc n ci ngcsc hloss cn werd en, L B. : li n al g > a usgabe .txt odor li n al g > " a u s g a be d a t e i I . t xt " IJeispiel 19.2: Bei der Losung des linca ren G feichungssystem s Ax = b mit der Bcis pictd atei bsp - l . dat lautet die Ein- und Ausgabc des Programm a wie folgt: Lineares Gleichungssystem & Matri xinvertierung Welche Berechnung sol len Sie durchfuehren ? Li nee r e s Gleichungssystem (A] l xlelb l Matri x lnvertierung Ende lhre Eingabe
1
1 2 0
19.5 Linc ar c A lgebra
Na me der Eingabedatei Matri x A 1 .0000e+000 4 .0000e +000 2 . 0000",+000
7 1I
bsp-l .dat
2 .0000e+000 5 .0000e+000 6 .0000e+00 0
3 .0000e+000 6. 0 0 0 0e + 0 0 0 8 .0000",+000
Pechte Seite [b l : 1 . 0 0 0 0e +0 0 0
O.OOOOe+OOO O.OOOOe+OOO
Loesungs vekto r 6 .6667e -001 - 3 . 3 3 3 3e +0 0 0 2 .3333",+000
[ xl :
Betsplel 19.3: Die lnverticrung der Matrix A des Beispiel» 19.2 licfert: Wel c h e Be r e c h n u n g so11en 5 ie durchfuehren? Li nee r e s Gl eic h u n gssys t em (Al [ x l -f b I Matr i x Invertierung Ende Ih re Einga be : 2 Na me der Eingabedat ei
- 1 - 2 - 0
bsp~ l .dat
Matri x A 1 .0000e+000 4 . 0 0 0 0",+0 0 0 2 .0000e+000
2 .0000 e+000 5 .0000e+00 0 6 .0000e+000
3 .0000e+000 6 .0 000 e+000 8 .0000e+000
Inve rs e Matri x 6 .6667e -001 - 3 . 3 3 3 3e +0 0 0 2 .3333e+000 -
v on A : 3 .3333e-00 1 3 .3333e-001 3 . 3 33 3e - 0 0 1
- 5 . 0 0 0 0e- 0 0 1 1 . 0 0 0 0e +0 0 0 -5 .0000e -001
Fur aile Be ispielc im Programm verzeichnis sind auch die enrsprcchcndcn Dateicn vorhandcn.
7 12
19 Mathematik mit C++
19.6
Integralrechnung
,
, IJeispiel 8.18 auf Se ite 353. Berechnung des integrals I = f e - x- d r miuets GaujJ-Quadral/lr.
o
Dalei: \c+ +\p rog ramrne! i nt eg rat ion!'lauaa . exe .
Numer isc he Integra t ion nach Ga uss-Quadrat ur I n t e g r at io n s i nt e r val l [ a , b] : a = 0 b = 1 Anzahl de r Stuetzs tel len (1 . _ . 5) Integral = 0 . 77 8 8 0 1
: 1
Ocr Einflut; del' Anzahl von Stu tzsrellen auf des Intcgratlon scrgebnis ist wic fol gt:
An zahl de r Stuetzs t e ll en (1 . _ . 5) Integral = 0 . 746 59 5
2
Anz ah 1 der Stuetzs t el l en I n t e g r a l = 0 .7 4 68 15
(1. _ .
5)
3
Anz ah l d er Stuetzs t el l en I n t e g r a l = 0 . 746824
(1. _ .
5)
4
Anza hl de r Stuetzs t e l l en Integral = 0 .7 4 6 8 2 4
(1. _ .
5)
5
19.7
Ftntte-Elemente-Met hode - FEM
Die Finite-Elcrnentc-Methodc ( FEM) isr eine Computer gestut zte Bercchnungsmcth ode fur die Losung von Aufgaben del' Mathemat ik und Physik . 1m Bauingen ieurwesen und im Maschin enbau hat sich d ie FEM zu cincm uncntbc hrlichcn Werkzeug des Ingenieurs cntwic kelt. Das wichtigstc Ein sat zgcbict fur die FEM im lngcnic urwescn ist die Strukturmec hanik, d.h. die Bcur tcilun g del' Trag flthigkcit und dcr Lcbcnsdau cr von Tragw erkcn und Bauteilcn . Abcr auch in undcrcn wichtigcn Gcbictcn dcr Physik, L B. Stromu ngsmccha nik. Elckt roma gncusmus. Fcldproblcmc. ist die FEM em uuucro rdcnutch lcistu ngsfllhiges und cxtrcm wichtiges Bcrcchnungvverfuhrcn. Es tasst sich nlcht messerscharf angeben . wann und von wem gena u die FEM erfunde n wurde. Zahl reiehe Wissensehaftler haben schon fruhzeitlg wichtige Bei trt tgc zur Entwickh mg del' Me thode geleistct. In del' FEM -Faeh welt worden im allge me inen die folgend en Meile nstcine in del' Geschichte del' FEM als zut reffend angcschen :
1908 : Rit: veroffemlicht die nuch ihm benannte Methode mit Ansatzfunktionen libel' dem gcsumren LOsungsgeb iet.
o
o
1943 : CO/lrtml 16st auf numcr ischem Wege die S t Ve n a n t~Tors i on . indent er das Losungsgcbie r in Drcicckc urucrtcilt und in jcdcm Drcicck lntcrpolutio nspoly nc mc verw cnd ct. 1956 : Tumer/Ctough/Manin/Iopp sctzcn cbcnc Drciccksclcrnent e fur die Bcrcchnung von Flugzeugstrukturcn cin . 1960 : Cloug h vcrwc ndet zurn crstc n Mal die Bczeichnung Finite -Element-Method fur die neue Bcrech nungsmethcde.
19.7 Finue-Elemcn re-Methodc - FEM
a: FE-Netz
7 13
b: Sp unn ung cn a m
verformtcn Slab Bill! 19. 1: Flachsrab m it Lo c h
unter Zugkraft (Vierte l-Mode ll)
Die Grundidcc dcr FEM ist die Untcrtcilung dcr zu untersuchcndcn Stru ktur (Tragwc rk, Bauteil, Strom ungstcld uxw.) in finite (d.h. endlichev Elcmcnte . Dunn wird mit Hilfc cines geeig neten Mechanikprinzips. z.B. Minimicrung des Gcsamtpo tentials des Tragwerkes, cln Glcfchungssysrem erzeugr, deren Losung die unbekannten Knorcn-Verschiebungen des FE-Netzes liefert. Schlie jllich werde n aus de n Knotenverschiebungcn die Spannungen und Schnlug roseu bcrechnct. Die FEM macht Inrenslven Gcbrauch von folgendcn mathematischen Teilgebieten: Matrixrcchnung Eigen wcrtc und Eigenvektorcn numerische Losung von linearen und nichtlincarcn Glcich ungssystcmcn numerische Differentiation numerische Integratio n DifTerentialgleichungcn Ueispi eI 19.4: In Bild 19.1a ist der Elem enrncrz cines Plachstabs mil cincm krcisformigcn Loc h dargesrctn (nur ein Viertel des Plachstabs gezcigt). Dcr Stab wird in seiner Langsrichtung durch cine Zugkran bclas ter (nicht dargestellt ). FUr die Berechnun g dcr Verformungcn und Spannungen des Zugstabs wurde das kommc rziclle FEM-Programtn A di"d~ . Bild 19.1 b zeigt die vo n-Miscs- Vergleichsspannungen am verformten Stab.
4 ADINA - Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis. ADINA R&D Inc.
714
19 Mathematik mit C++
I Pr""""4 "'<j I "" o ----''----~II j ","l/" I ••••, I I---=":= mw :::::: '"' -:::::::'.I __ f.""0"'"F,I.. I I I R o"d 0 " ,,, Eil..
1
Po "
S .. loel Po," ""
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1.l. .. , Cmd CmdLisl
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e.....to.
C \. ,,\nS_
_
ISA' coSX dt = e,inx 112. I ax" -l sinr- d r e c- cos.r "
113. ( ".t' -l cose' d r e stn.r" 114. jtan ax dt = I IS.
' J ta n-
-~
lnfcos c.r]
a
Ian ax ax d r = - - - x
,"
.
116. Icot axdx = - In(sln ax) a . , cot ax 11 7. J cot- ax d r = - - - - x a 118. .{ arcsin ax d r = ~a (ax arcsin ax + 119.
J arccos
ax dr =
~ (ax
u
.;",- ::r.:;
arccos ax - ';",- ::;:' I
, ,
120. Jarctan ar d r eer arctan (Lt - - In ( I + (r r ) 2a 12 1.
.. , J sinh ax d e = -a
cosh ax
l . 122. { cosh ax dr = - smh ax .
"
123.
I tanh ax d r =
124. j corb ax dt =
125.
I dt = J -.Sin h (H
126.
I
,
- In (cosh ax ) a
~
a
In (sinh ax )
I ax - ln(tanh - ) a 2
1 2 d r = - arc tan cosh ax a
e'L
tc m. - Cremer-Rege l, 93 - Drcicch/ crtq ; ung. 78 - er.....euene Matrix. 78 - G au, , ·EJiminalion. 73, 78 - "'~enC'lO. 73 - in~ellC'>. n - M..tri,,-'Ch~ib .. ebe. 711 - pj' OI. 75 - Rockwan' ",uo-litulilln. 76 - VlIn>. art.'oI;'lim inalion . 76 Linc" ri, icn mlo! . 22 2 Linh krtimmung, 226 Logaritbmi'Cbe Dal'leltung. 32 Logarithmu.... 9
n
- de~i'Cher. I O
- natiirlidler. 10 Logarilhmus· Funktion . :N LU- Fa~lori sie ru n g. 591
"
Mac Laurin-Reibel].,219 Map le. 665 - Bd eh lsende :. 666 - lkfehf-e nde:. 666 - Di rrerentialg leichu n~..., n . 690. 7112 - DilTercnti" lrcchnun g. tiKI . tlII5 - Eige n.....ene. tl92 - founer-Reiben. 7W - Fun~tiontn. 672
- lmegralrecbnuag, 6AA
- Ktltl-unlen. 666 - li rtC'a~ Algebra. 676 - Lineare G le ich ungs, ysleme. 700 - Lihu ng von GJcichunge n. 675 - Nichtlincarc Gleictmngen. 69'J - paIlie lie DGLn. 705 - P1l1ll el1. 670 - Ve~lllfJtthnu ng. 679 Malri" - Add ilion..62 - anumctnscbe. 59 - Dcttnithcit. 547
- Dctcrminamc.By
- Diai!-"nal mal ri" . 57 - Dime nsion... 57 - D imen...ionsLom palil'lililiit. 65 - Dre iechmoltri" . 59 - Eigen \ eLtUf, 533 - Eigen.... en. 533 - Einh e jtxmatri a, 58 - Ein hcitweLttlr, {>o - Haupldiagllna le. 57 - in\el'oe . 95 - In\1:n il"fUng IIal,'"h Gau.....95 - lirtC'art' Abh3ngigLeit. 83 - Malri " pmdu ~l. 67 - MullipliLat illtl. 65, 67, ffl - p" , iliv delini l. 547 - po , iliv wnudc finit. 541\ - '1uad ralische. 57 - Rang. 85 - rq:u la~. 113 - sdlief,)mmetrische, 59 - ,i ngu la~. 83 - SLa larprodu~ l . ()6 - Spa he n ve~ l"r, 57
- Spur. 59 - sp n mctri'C be. 511 - T r.m'P''''inte. (')3 - Unlcrde tc rmi nante. 547 . 549 - 7.... iler"' c ~lor, 57 Malri/ en. 55 Ma"i mulll.227 Median. 499 Minimum. 227 Millelwen. 1I MlIdar.... en . 499 "'".11'10. 7 M u l l i ~ari able Fu n~l i"n. 2M - techrusche Bei, piel e. 2M
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Na Na-Operall"', 290 NCI'o lon -Verfah re n. 230 ~ i\uufliicbe. 298 - f-la..-n.:noormale,:N1I - nlj- Raum . 30(J Ni ~ eau lin ie. 294 - Orthog onalirat vum Gradie men. 2% l""Imah 'enei lllng,5:!(1 l"u l1"" lIe - l"CI'o ton -Vnfahre n. 23O l"umcriscbe I nl~raI Kltl. 347 - G au,,...Quad ralur, 353 - Simp,on-Rege l, J5 1 - TrapeH erfahre n..149 Nunx:ri!iChc Meth oden. 552 . 59 1, 60S - Einl!ahefungwerfahren. 579 . - Fi"punLHlrnllion , 583
p Paraholoid . 21J4 P-J rarnclerdiLNlellung einer Fun ~ l ioll . ,j.f> Partielle Ahleilung. 203, 266 - DclinililNt. 266 - hOO'-....r omnung . 267 - nu mcri-ebe. 269 Pan ielJe DilTeren lialgJeichulIg, 635 P".mielle lnteg ratioe . 339 P".I--eal"dx:, Dreieck, 1 Periode. 3'.1 Pcriodizimr \'tln Funklion en 3'.1 Plalienhiegung, 26Y . P"larloonli nal~. J 62 PoIynom funkti
