Elektrotechnik Formelsammlung

Elektrotechnik Formelsammlung

Andreas Zimmer SS 98

Inhaltsverzeichnis 1.

Gleichstrom

1.1

Stromstärke und elektr. Ladung ................................................................................................... 5

1.2

Spannung ..................................................................................................................................... 5

1.3

Ohmsches Gesetz ........................................................................................................................ 5

1.4

Energie, Arbeit und Leistung ........................................................................................................ 5

1.5

Wirkungsgrad................................................................................................................................ 5

1.6

Stromdichte................................................................................................................................... 6

1.7

Widerstand und Leitwert............................................................................................................... 6

1.8

Einheitswiderstand und Einheitsleitwert ....................................................................................... 6

1.9

Leiterwiderstand ........................................................................................................................... 6

1.10 Temperaturabhängigkeit von Widerständen ................................................................................. 6 1.11 Reihenschaltungen von Widerständen.......................................................................................... 7 1.12 Parallelschaltungen von Widerständen ......................................................................................... 7 1.13 Knotenregel ( 1. Kirchhoffsches Gesetz )...................................................................................... 7 1.14 Maschenregel ( 2. Kirchhoffsches Gesetz ) .................................................................................. 7 1.15 Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern ....................................................................... 7 1.16 Meßbereichserweiterung von Strommessern................................................................................ 7 1.17 Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen........................................................................ 8 1.18 Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen ....................................................................... 8 1.19 Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises ................................................ 8 1.20 Spannungsabfall und Spannungsverlust....................................................................................... 8 1.21 Innerer Spannungsabfall in Spannungsquellen............................................................................. 8 1.22 Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri .............................................................................. 9 1.23 Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle......................... 9 1.24 Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers ...................................................................................... 9 1.25 Spannungsteiler............................................................................................................................. 9 1.26 Wheatstonesche Meßbrücke......................................................................................................... 9

2.

Elektrisches Feld, Kondensatoren

2.1

Coulomb’sches Gesetz............................................................................................................... 10

2.2

Elektrische Feldstärke ................................................................................................................ 10

2.3

Elektrische Verschiebungsdichte................................................................................................ 10

2.4

Ladung des Kondensators.......................................................................................................... 10

2.5

Kapazität des Kondensators....................................................................................................... 10

2.6

Reihenschaltung von Kondensatoren......................................................................................... 11

2.7

Parallelschaltung von Kondensatoren ........................................................................................ 11

2.8

Energieinhalt von Kondensatoren .............................................................................................. 11

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2

3.

Magnetisches Feld

3.1

Magnetischer Fluß (Magnetischer Strom) .................................................................................. 12

3.2

Magnetische Induktion / Flußdichte............................................................................................ 12

3.3

Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung) ................................................................ 12

3.4

Magnetische Feldstärke ............................................................................................................. 12

3.5

Magnetischer Widerstand........................................................................................................... 12

3.6

Magnetischer Leitwert................................................................................................................. 13

3.7

Eisen im Magnetfeld ................................................................................................................... 13

3.8

Der magnetische Kreis mit Eisenkern und Luftspalt................................................................... 13

3.9

Allgemeines Induktionsgesetz .................................................................................................... 14

3.10 Anwendung Induktionsgesetz – Bewegung eines Leiters im Magnetfeld ................................... 14 3.11 Selbstinduktion ............................................................................................................................ 14 3.12 Reihenschaltung von Spulen....................................................................................................... 14 3.13 Parallelschaltung von Spulen ...................................................................................................... 14 3.14 Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule .................................................................. 14

4.

Wechselstrom

4.1

Funktionsgleichungen des Wechselstroms ................................................................................ 15

4.2

Frequenz..................................................................................................................................... 15

4.3

Drehzahl ..................................................................................................................................... 15

4.4

Kreisfrequenz.............................................................................................................................. 15

4.5

Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke...................................................................... 15

4.6

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis ........................................................................... 16

4.7

Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis ............................................................................. 16

4.8

Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis .......................................................................... 16

4.9

Reihenschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) - Drossel ....................... 16

4.10 Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C )..................................... 17 4.11 Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) ....................................... 17 4.12 Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C ) .................................... 17 4.13 Reihenschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) ................................................................................... 18 4.14 Parallelschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) .................................................................................. 19 4.15 Energieinhalt von Schwingkreisen............................................................................................... 19 4.16 Leistung bei Phasengleichheit..................................................................................................... 20 4.17 Leistung bei Phasenverschiebung............................................................................................... 20 4.18 Leistungsfaktor ............................................................................................................................ 20 4.19 Verbesserung des Leistungsfaktor ............................................................................................. 20

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3

5.

Drehstrom

5.1

Sternschaltung............................................................................................................................ 21

5.2

Dreieckschaltung ........................................................................................................................ 21

5.3

Leistung des Dreiphasen Stromes .............................................................................................. 21

6.

Transformator

6.1

Transformator Wechselstrom ..................................................................................................... 22

6.2

Unbelasteter Fall, Leerlauf - Transformator Wechselstrom ....................................................... 22

6.3

Belasteter Fall, ideal - Transformator Wechselstrom ................................................................. 22

6.4

Leistung - Transformator Wechselstrom .................................................................................... 23

6.5

Wirkungsgrad - Transformator Wechselstrom............................................................................ 23

6.6

Kurzschlußspannung - Transformator Wechselstrom ................................................................ 23

6.7

Transformator Drehstrom ............................................................................................................ 23

7.

Sonstiges

7.1

Wärmeenergie, -arbeit ................................................................................................................ 24

7.2

Winkelfunktionen ........................................................................................................................ 24

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4

1.

Gleichstrom

1.1

Stromstärke und elektr. Ladung I=

Q I:

t

Q = I⋅ t

1.2

1.3

Stromstärke

[A]

A : Ampere

Q : Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge

[A∙s=C]

C : Coulomb

t:

[s]

s : Sekunde

Zeit

Spannung

U=

W Q

U=

W I⋅ t

U : Klemmspannung

[ V = W / A ] V : Volt

Q : Ladungsmenge / Elektrizitätsmenge

[ A∙s = C ]

C : Coulomb

W : elektr. Arbeit / Stromarbeit

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

P : elektr. Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

R : Widerstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Ohmsches Gesetz R=

U I

U I= R

Stromstärke

U : Spannung

U = I⋅R 1.4

Energie, Arbeit und Leistung W = U⋅I⋅ t W = P⋅t W = U⋅ Q P = U⋅I =

W t

P = I2 ⋅ R =

1.5

U : Klemmspannung

[ V = W / A ] V : Volt

I:

Stromstärke

[A]

A : Ampere

t:

Zeit

[s]

s : Sekunde

W : elektr. Arbeit / Stromarbeit

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

P : elektr. Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

U2 R

Wirkungsgrad η=

Pab Pzu

PV = Pzu − Pab

ηges = η1 ⋅ n2 P R a ⋅ I2 η= = = Pges (R i + R a )⋅ I2

Pab : abgegebene Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

Pzu : zugeführte Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

PV : Verlustleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

η : Wirkungsgrad

Ra Ri = Ra  R  Ri ⋅  1 + a  1 + Ri Ri   Ra

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5

1.6

Stromdichte

S=

I A

S : Stromdichte

[ A / mm² ]

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

[mm2]

A = d2 ∙ π /4

R : Widerstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

G : Leitwert

[S=1/Ω]

S : Siemens

Stromstärke

A : Querschnitt des Drahtes

1.7

1.8

1.9

Widerstand und Leitwert G=

1 R

R=

1 G

Einheitswiderstand und Einheitsleitwert

ρ=

1 κ

κ=

1 ρ

Einheitsleitwert

Temperaturkoeff.

ρ ∙ 10 -6 [ Ω∙m ]

κ ∙ 10 6

α20

[ S / m]

Silber

0,016

62,5

0,0041

Kupfer

0,01786

56

0,0039

Aluminium

0,02857

35

0,004

[1/K]

Leiterwiderstand

R = ρ⋅ R=

1.10

Einheitswiderstand

l A

l κ⋅A

R : Leiterwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

l:

[m]

m : Meter

Länge des Drahtes

A : Querschnitt des Drahtes

2

[mm ]

A = d2 ∙ π /4

Temperaturabhängigkeit von Widerständen ∆R = α 20 ⋅ ∆ϑ ⋅ R 20

∆R : Widerstandsänderung

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R ϑ = R 20 + ∆R

Rυ : Warmwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R ϑ = R 20 ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ) R − R 20 ∆ϑ = ϑ α 20 ⋅ R 20 A=

R20 : Kaltwiderstand bei 20 °C

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

α20 : Temperaturkoeffizient

[1/K]

K : Kelvin

∆υ : Temperaturdifferenz

[K]

A : Querschnitt bei gleichem Widerstand, aber bei anderer Temperatur l:

Länge des Drahtes

[m]

m : Meter

ρ ⋅l ⋅ (1 + α 20 ⋅ ∆ϑ ) R 20

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6

1.11

Reihenschaltungen von Widerständen R ers = R 1 + R 2 + R 3

Rers : I:

I = I1 = I2 = I3

Ersatzwiderstand

Stromstärke

U : Spannung

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

U = U1 + U 2 + U 3 1.12

Parallelschaltungen von Widerständen 1 1 1 1 = + + R ers R1 R2 R3 R ers =

Rers : I:

Ersatzwiderstand

Stromstärke

U : Spannung

R1 ⋅ R2 R1 + R2

I = I1 + I 2 + I 3 U = U1 = U 2 = U 3

1.13

Knotenregel ( 1. Kirchhoffsches Gesetz )

∑ I zu = ∑ I ab

1.14

Σ Iab:

Summe der abfließenden Ströme

ΣUerz :

Summe der Erzeugerspannungen

ΣUverb :

Summe der Verbraucherspannungen

Meßbereichserweiterung von Spannungsmessern R V = R M ⋅ (n − 1)

1.16

Summe der zufließenden Ströme

Maschenregel ( 2. Kirchhoffsches Gesetz )

∑ Uerz = ∑ Uverb 1.15

Σ Izu:

RV : Vorschaltwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Rm : Meßwerkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

n:

z.B. n = 250 V / 10 V = 25

Erweiterungszahl des Meßbereichs

Meßbereichserweiterung von Strommessern Rm n−1

Rn = n=

I Im

I n = I − Im

Rn : Nebenwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Rm : Meßwerkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

n:

Faktor Meßbereichserweiterung

I:

zu messende Stromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

Im : Meßwerkstrom

[A=V/Ω]

A : Ampere

In : Strom im Nebenwiderstand

[A=V/Ω]

A : Ampere

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1.17

Reihenschaltung von gleichen Spannungsquellen

I=

1.18

n⋅E R a + n ⋅ Ri

E : Urspannung n:

Anzahl gleicher Spannungsquellen

I:

Stromstärke im Stromkreis

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

[A=V/Ω]

A : Ampere

Parallelschaltung von gleichen Spannungsquellen

R = Ra + I=

Ri n

E R Ra + i n

Ri : innere Widerstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Ra : äußere Widerstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

E : Urspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

n:

Anzahl der gleichen Spannungsquellen

I:

Gesamtstrom

[A=V/Ω]

A : Ampere

Ersatzschaltung für Spannungsquellen besteht aus E und Ri

1.19

Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes für Teile eines Stromkreises U = U1 + U 2 + U 3

U : Gesamtspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

UV : Spannungsverlust

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

= IR 1 + IR 2 + IR 3 = IR ers 1.20

Spannungsabfall und Spannungsverlust UV = I ⋅ R L UV = I ⋅ ρ ⋅

2⋅L A

Un = U − U V

1.21

Un : Nutzspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

U : Klemmspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

I:

Stromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

L:

Länge der Leitung

[m]

m : Meter

RL : Leitungswiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

ρ:

[Ω∙m ]

Einheitswiderstand

Innerer Spannungsabfall in Spannungsquellen U = E − I ⋅ Ri I=

E Ra + Ri

E = I ⋅ Ra + I ⋅ Ri

UV : Spannungsverlust

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Un : Nutzspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

U : Klemmspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

I:

Stromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

L:

Länge der Leitung

[m]

m : Meter

RL : Leitungswiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

ρ:

[Ω∙m ]

Einheitswiderstand

Leerlauf der Spannungsquelle Ra → ∞ ; I = 0 Kurzschluß der Spannungsquelle RA = 0 ; P = 0

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1.22

Leistungsanpassung, Maximum wenn Ra = Ri

P = U ⋅ I = U0 2 ⋅

1.23

(R a

Ra

U0 : Urspannung

+ Ri )

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

2

Berechnung der Urspannung und des inneren Widerstandes einer Stromquelle E = I ⋅ Ra + I ⋅ Ri

E : Urspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

E = I'⋅R' a +I'⋅R i Ri =

1.24

Vorschaltwiderstand eines Verbrauchers

RV =

1.25

I'⋅R' a −I ⋅ R a I − I'

U − Un I

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Un : Nennspannung des Verbrauchers

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Spannungsteiler R 1 = (1 − k )⋅ R

R1 : oberer Teil des Spannungsteilers

R2 = k ⋅ R

R3 : Verbraucherwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Schiebewiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

U : Gesamtspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

U3 k = R U 1+ ⋅ k ⋅ (1 − k ) R3

1.26

RV : Vorschaltwiderstand U : verfügbare Netzspannung

R2 : unterer Teil des Spannungsteilers

k:

k = 0 ⇒ keine Spannung, k = 1 ⇒ volle Spannung

Wheatstonesche Meßbrücke R X R 1 L1 = = R N R 2 L2

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

RN : Normalwiderstand, Vergleichswiderstand [ Ω = V / A ]

Ω : Ohm

RX : unbekannter Widerstand

R1 : erster Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler R2 : zweiter Teil des Widerstandes vom Spannungsteiler L1 : erster Teil des Drahtes vom Spannungsteiler L2 : zweiter Teil des Drahtes vom Spannungsteiler

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2.

Elektrisches Feld, Kondensatoren

2.1

Coulomb’sches Gesetz F=

Q1 ⋅ Q 2 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ r 2

F:

Anziehungs- bzw. Abstoßkraft

[N]

Q1, Q2 : Punktladungen

[As=C]

r:

Abstand zwischen den Ladungen

[m]

Influenzkonstante des Vakuums

[ A s / Vm ]

ε0 :

C : Coulomb

ε0 = 8,854 ∙ 10-12

2.2

Elektrische Feldstärke E= E=

2.3

F Q U d

F:

Anziehungs- bzw. Abstoßkraft

[N]

Q:

elektr. Ladung

[As=C]

E:

elektr. Feldstärke

[N/As=V/m]

U:

Spannung

[V]

d:

Feldlinienlänge / Abstand zwischen Kondensatorplatten

C : Coulomb

[ m]

Elektrische Verschiebungsdichte D=

Q A

D = ε ⋅E ε = ε 0 − εr

D:

Verschiebungsdichte

[ As / m² ]

Q:

elektr. Ladung

[As=C]

A:

Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten

C : Coulomb [ m² ]

E:

elektr. Feldstärke

[N/As=V/m]

ε:

Dielektrizitätskonstante

[ As / Vm ]

ε0 :

Influenzkonstante des Vakuums

[ A s / Vm ]

-12

ε0 = 8,854 ∙ 10 εr :

2.4

( Luft = 1, Hartpapier = 3, Glimmer = 7 )

Ladung des Kondensators Q = D⋅ A

D:

Verschiebungsdichte

[ As / m² ]

Q = ε ⋅E ⋅ A

Q:

elektr. Ladung

[As=C]

A:

Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten

ε⋅A Q= ⋅U d

Q = C⋅U

2.5

relative Dielektrizitätskonstante

C : Coulomb [ m² ]

E:

elektr. Feldstärke

[N/As=V/m]

ε:

Dielektrizitätskonstante

[ As / Vm ]

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

Kapazität des Kondensators C= C=

Q U

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

Q:

elektr. Ladung

[As=C]

ε ⋅ A ε 0 ⋅ εr ⋅ A = d d

U:

Spannung

[V]

C : Coulomb

A:

Feldquerschnitt / Fläche Kondensatorplatten

ε:

Dielektrizitätskonstante

d:

Feldlinienlänge / Abstand zwischen Kondensatorplatten

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[ m² ]

[ As / Vm ] [ m]

10

2.6

Reihenschaltung von Kondensatoren 1 1 1 1 + = + Cers C1 C2 C3 Cers =

2.7

Ersatzkapazität

[ F = As / V ] F : Farad

C1 ⋅ C2 C1 + C2

Parallelschaltung von Kondensatoren Cers = C1 + C2 + C3

2.8

Cers:

Cers:

Ersatzkapazität

[ F = As / V ] F : Farad

Energieinhalt von Kondensatoren Welektr . =

1 ⋅ C ⋅ U0 2 2

Welektr. :

Energieinhalt von Kondensatoren

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

U:

Urspannung

[V]

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11

3.

Magnetisches Feld

Indifferenzzone

⇒

magnetisch unwirksame Stelle in der Mitte zwischen den beiden Polen

magnetische Influenz

⇒

Weicheisen wird in der Nähe eines Magnets selbst magnetisch

Permeabilität

⇒

Durchlässigkeit von Feldlinie durch einen Stoff

Uhrzeigerregel

⇒

Für einen in Richtung des Stromes blickender Beobachter verlaufen die Feldlinie im Uhrzeigersinn.

⇒

Ein auf eine Spulenöffnung blickender Beobachter steht vor einem Südpol, wenn der Strom die Spule im Uhrzeigersinn umfließt.

3.1

Magnetischer Fluß (Magnetischer Strom) Φ = B⋅A Φ=

I⋅N Rm

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

B : magnetische Induktion / Flußdichte

[ T = Wb / m² ]

T : Tesla

A : Querschnittsfläche

[ m² ]

Rm : Magnetischer Widerstand

[ A / Wb ]

I:

[A=V/Ω]

Stromstärke

A : Ampere

N : Windungszahl

3.2

Magnetische Induktion / Flußdichte B=

Φ A

B = µ ⋅H

B : Magnetische Induktion / Flußdichte

[ T = Wb / m² ]

T : Tesla

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

A : Querschnittsfläche

[ m² ]

µ:

[ Vs / Am = Wb / Am ]

Permeabilität

H : Magnetische Feldstärke

3.3

[A/m]

Magnetische Durchflutung (Magnetische Spannung)

Θ = I⋅N

Θ : Magnetische Durchflutung

[A]

AW: Amperewindungen

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

Stromstärke

N : Windungszahl

3.4

Magnetische Feldstärke

H=

3.5

Θ s

H : Magnetische Feldstärke

[A/m]

Θ : Magnetische Durchflutung

[A]

s:

[m]

mittlere Feldlinienlänge

AW: Amperewindungen

Magnetischer Widerstand Rm = Rm =

I⋅N Φ 1 s ⋅ µ A

µ = µ 0 ⋅ µr

Rm : Magnetischer Widerstand

[ A / Wb ]

I:

[A=V/Ω]

Stromstärke

A : Ampere

N : Windungszahl Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

s:

Länge des Leiters

[m]

µ:

Permeabilität

[ Vs / Am = Wb / Am ]

µ0 : Induktionskonstante µr : relative Permeabilität vom Skript-Server der FH-Köln: http://skript.vt.fh-koeln.de/

[ Wb / Am ]

Wb: Weber

µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7

Luft = 1

12

3.6

Magnetischer Leitwert 1 Φ = Rm I ⋅ N

Λ=

Λ = µ⋅

3.7

A s

[ H = Wb / A ]

Rm : Magnetischer Widerstand

[ A / Wb ]

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

s:

[m]

Stromstärke

H:

Henry

N : Windungszahl Länge des Leiters

A : Querschnittsfläche

[ m² ]

µ:

[ Vs / Am = Wb / Am ]

Permeabilität

Eisen im Magnetfeld µ 0 = tan ϕ = µr =

3.8

Λ : Magnetischer Leitwert

B H

B µ0 ⋅ H

µ0 : Induktionskonstante

[ Wb / Am ]

µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7

µr : relative Permeabilität

Luft = 1

B : Magnetische Induktion / Flußdichte

[ T = Wb / m² ]

H : Magnetische Feldstärke

[A/m]

T : Tesla

Der magnetische Kreis mit Eisenkern und Luftspalt Θ = HE ⋅ sE + HL ⋅ sL B = µ 0 ⋅ µr ⋅ H = =

BE ⋅ sE BL ⋅ sL + µ0 µ 0 ⋅ µr B µ0

 s  ⋅  sL + E  µ0  

µ0 : Induktionskonstante

[ Wb / Am ]

µr : relative Permeabilität

Luft = 1

µ0 = 1,257 ⋅ 10-6 = 4π ⋅10-7

B : Magnetische Induktion / Flußdichte

[ T = Wb / m² ]

H : Magnetische Feldstärke

[A/m]

HE : Feldstärke im Eisen

[A/m]

HL : Feldstärke im Luftspalt

[A/m]

sE : mittlere Feldlinienlänge im Eisen

[m]

sL : mittlere Feldlinienlänge im Luftspalt

[m]

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T : Tesla

13

3.9

Allgemeines Induktionsgesetz E=−

∆Φ ⋅N ∆t

E : Urspannung

[V]

∆Φ : Flußänderung

[ Wb = Vs ]

∆t : Zeit der Flußänderung

[s]

Wb: Weber

N : Windungszahl ∆Φ / ∆t : Änderungsgeschwindigkeit des Magnetflusses

3.10

Anwendung Induktionsgesetz – Bewegung eines Leiters im Magnetfeld E = B⋅ s ⋅ v ⋅N

∆Φ = B⋅ s⋅ v ∆t

E : Urspannung

[V]

B : Magnetische Induktion / Flußdichte

[ T = Wb / m² ]

s:

[m]

wirksame Leiterlänge

T : Tesla

V : Geschwindigkeit der Bewegung N : Windungszahl

3.11

Selbstinduktion Selbstinduktion

⇒

In den Windungen der Spule tritt eine Induktionsspannung durch Öffnen oder Schließen des Stromkreises oder durch Verstärken oder Schwächen des Stromes hervor.

L = N2 ⋅ Λ L = N2 ⋅ µ ⋅

A s

N⋅ Φ L= I ∆I E = −L ⋅ ∆t

3.12

[H = Vs / A]

H:

Henry

Λ : Magnetischer Leitwert

[ H = Wb / A ]

H:

Henry

µ:

[ Vs / Am = Wb / Am ]

Induktivität der Spule

N : Windungszahl Permeabilität

A : Querschnittsfläche

[ m² ]

s:

[m]

wirksame Leiterlänge

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

Stromstärke

∆I : Stromänderung

[A]

∆t : Zeitdauer der Änderung

[s]

Lers:

Ersatzinduktivität der Spule

[H = Vs / A]

H:

Henry

Ersatzinduktivität der Spule

[H = Vs / A]

H:

Henry

Parallelschaltung von Spulen 1 1 1 1 = + + L ers L1 L2 L3 L ers =

3.14

[V]

L:

Reihenschaltung von Spulen L ers = L1 + L2 + L3

3.13

E : Selbstinduktionsspannung

Lers:

L1 ⋅ L 2 L1 + L 2

Energieinhalt des magnetischen Feldes einer Spule Wmagn. =

1 ⋅ L ⋅ I2 2

Wmagn. : Energie

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

L:

[ Vs / A = H ]

Induktivität der Spule

I: Stromstärke vom Skript-Server der FH-Köln: http://skript.vt.fh-koeln.de/

[A=V/Ω]

A : Ampere

14

4.

Wechselstrom ⇒

Wechselstrom

4.1

Wird durch Drehen einer Spule im ruhenden Magnetfeld erzeugt.

Funktionsgleichungen des Wechselstroms u = uˆ ⋅ sin ωt

u:

i = ˆi ⋅ sin ωt

i:

Augenblickswert der Stromstärke

[A]

û:

Scheitelwert der Wechselspannung

[ m² ]

u= û

î:

Scheitelwert der Stromstärke

α : Drehwinkel

[°]

RAD

ω : Winkelgeschwindigkeit

[1/s]

t:

Zeit

[s]

f:

Frequenz

[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz

( 50 Hz )

[s]

(1 / 50 s )

α = ωt

4.2

1 T

T : Periode

60 ⋅ f p

n:

Drehzahl pro Minute

[ 1 / min ]

f:

Frequenz

[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz

p:

Anzahl der Polpaare

Kreisfrequenz ω = 2⋅π⋅f ω=

4.5

bei α = 90°

Drehzahl n=

4.4

[V]

Frequenz f=

4.3

Augenblickswert der Spannung

2⋅π T

ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.

[1/s]

f:

[ Hz = 1 / s ]

Frequenz

T : Periode

[s]

Effektivwerte der Spannung und der Stromstärke Die Stromstärke und Spannung des Gleichstromes, der die gleiche Wirkung wie der Wechselstrom hat, nennt man die effektive Stromstärke ( I ) bzw. effektive Spannung ( U ) des Wechselstromes.

I= U=

ˆi

I:

2

U : Effektivwert der Spannung

uˆ 2

Effektivwert der Stromstärke

î:

Scheitelwert der Stromstärke

û:

Scheitelwert der Wechselspannung

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[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

[ m² ]

15

4.6

Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis Z=R=

4.7

U I

I:

Effektivwert der Stromstärke

U : Effektivwert der Spannung

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Z : Scheinwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Induktiver Widerstand im Wechselstromkreis Die Selbstinduktion ist die Ursache der Phasenverschiebung ( ϕ = 90° ) zwischen Stromstärke und Spannung. Die Spannung eilt der Stromstärke voraus.

XL = ω ⋅ L BL =

1 ω⋅L

XL : induktiver Blindwiderstand BL : induktiver Blindleitwert

[ S = 1 / Ω = As / Wb ] S : Siemens

L:

[ Vs / A = H ]

Induktivität der Spule

ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.

4.8

[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm

[1/s]

Kapazitiver Widerstand im Wechselstromkreis Bei rein kapazitiver Belastung des Wechselstromkreises ist die Phasenverschiebung ϕ = 90° zwischen Strom- und Spannungswelle, wobei der Strom der Spannung vorauseilt.

BC = ω ⋅ C

XC =

4.9

1 ω⋅C

XC : kapazitiver Blindwiderstand

[ Ω = Vs / As = V / A ]

Ω : Ohm

BC : kapazitiver Blindleitwert

[ S = 1 / Ω = As / Vs ]

S : Siemens

C:

[ F = As / V ] F : Farad

Kapazität des Kondensators

ω : Kreisfrequenz / Winkelgeschw.

[1/s]

Reihenschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) - Drossel U = I ⋅ R 2 + X L2 Z = R 2 + X L2 R U cos ϕ = = R Z U tan ϕ =

I:

Stromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

U : Spannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Z : Scheinwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XL : induktiver Blindwiderstand

[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

XL UL = R UR

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16

4.10

Reihenschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C ) U = I ⋅ R 2 + X 2C

I:

Stromstärke

U : Spannung

Z= R + 2

X 2C

R U = R − Z −U

cos ϕ =

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Z : Scheinwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XC : kapazitiver Blindwiderstand

[ Ω = Vs / As = V / A ]

Ω : Ohm

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

− X C −UC tan ϕ = = R UR

4.11

Parallelschaltung Wirkwiderstand, induktiver Blindwiderstand ( R, L ) I = IR 2 + IL2

I:

Gesamtstromstärke

Z : Scheinwiderstand

Y= G

IR Z = I R

cos ϕ = sin ϕ = Y=

IL Z = I XL

A : Ampere

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Y : Scheinleitwert

[S=1/Ω]

S : Siemens

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XL : induktiver Blindwiderstand

[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

IR : Wirkstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

IL : induktive Blindstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

1 Z 1

Z=

1 R

4.12

+ BL2

2

[A=V/Ω]

2

+

1 XL2

Parallelschaltung Wirkwiderstand, kapazitiver Blindwiderstand ( R, C ) I = IR 2 + I2C

I:

Y = G2 + B2C cos ϕ =

IR Z = I R

sin ϕ =

IC Z = I XC

Y= Z=

Gesamtstromstärke

Z : Scheinwiderstand

[A=V/Ω]

A : Ampere

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

Y : Scheinleitwert

[S=1/Ω]

S : Siemens

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XC : kapazitiver Blindwiderstand

[ Ω = Vs / As = V / A ]

Ω : Ohm

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

IR : Wirkstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

IC : kapazitive Blindstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

1 Z 1 1 R

2

+

1 X 2C

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17

4.13

Reihenschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) U = I ⋅ R 2 + (X L − X C )2

I:

Stromstärke

U : Spannung

Z = R + (XL − X C )

2

2

U

I=

R + (X L − X C )2 2

cos ϕ =

R Z

tan ϕ =

XL − X C R

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Z : Scheinwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XL : induktiver Blindwiderstand

[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm

XC : kapazitiver Blindwiderstand

[ Ω = Vs / As = V / A ]

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

XL > XC

⇒

indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L

XC > XL

⇒

kapazitiven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C

XL = XC

⇒

Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel ϕ = 0°, X = XL + XC = 0, Z = R

f0 =

1 2⋅π⋅ L⋅C 1

ω0 =

L⋅C

Ω : Ohm

f0 : Resonanzfrequenz

[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz

ω0 : Resonanzwinkelgeschwindigkeit

[1/s]

L:

Induktivität der Spule

[ Vs / A = H ] H : Henry

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

Güte: Q=

UL XL ⋅ I = U R ⋅I

Q=

L ω0 ⋅ L 1 = ⋅ R R C

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18

4.14

Parallelschaltung Schwingkreis ( R, L, C ) I = IR2 + (IL − IC )2

I:

Stromstärke

U : Spannung

Y = G + (BL − BC )

2

2

1

Z=

 1 1   +  −  X X R C  L 1

2

2

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

Z : Scheinwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

R : Wirkwiderstand

[Ω=V/A]

Ω : Ohm

XL : induktiver Blindwiderstand

[ Ω = Wb / As = V / A ] Ω : Ohm

XC : kapazitiver Blindwiderstand

[ Ω = Vs / As = V / A ]

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

I

U=

 1 1   +  − 2  R  XL X C  1

sin ϕ =

2

IR G = I Y

cos ϕ =

IL − IC BL − BC = I Y

XL > XC

⇒

kapazitiven Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und C

XC > XL

⇒

indukativen Charakter, Ersatzschaltbild besteht aus R und L

XL = XC

⇒

Resonanzfall, Phasenverschiebungswinkel ϕ = 0°, X = XL + XC = 0, Z = R

f0 =

Ω : Ohm

1 2⋅π⋅ L⋅C

ω0 =

1 L⋅C

f0 : Resonanzfrequenz

[ Hz = 1 / s ] Hz : Hertz

ω0 : Resonanzwinkelgeschwindigkeit

[1/s]

L:

Induktivität der Spule

[ Vs / A = H ] H : Henry

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

Güte: Q=

4.15

IL 1 L = ⋅ I R C

Energieinhalt von Schwingkreisen E el =

1 ⋅ C ⋅ U2 2

Emagn =

1 ⋅ L ⋅ I2 2

Emagn = E el

[A=V/Ω]

A : Ampere

U : Spannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

L:

Induktivität der Spule

[ Vs / A = H ] H : Henry

C:

Kapazität des Kondensators

[ F = As / V ] F : Farad

Eel:

elektrische Energie

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

Emagn:

magnetische Energie

[ V∙A∙s = N∙m = J = W∙s]

I:

Stromstärke

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19

4.16

Leistung bei Phasengleichheit Phasengleichheit ist gegeben, wenn der Wechselstromkreis nur mit einem Wirkwiderstand belastet ist.

4.17

V : Volt

P : Wirkleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

P = U ⋅ I ⋅ cos ϕ

I:

Q = U ⋅ I ⋅ sin ϕ

U : Effektivspannung

S2 = P2 + Q 2

Effektivstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

P : Wirkleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

S : Scheinleistung

[ V∙A ]

VA : Voltampere

Q : Blindleistung

[ var ]

var : Voltampere reaktiv

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

cos ϕ :

Leistungsfaktor

[°]

P:

Wirkleistung

[W]

W : Watt

S:

Scheinleistung

[ V∙A ]

VA : Voltampere

Leistungsfaktor P S

cos ϕ =

4.19

A : Ampere

[ V = A∙Ω ]

Effektivstromstärke

Leistung bei Phasenverschiebung

S = U⋅I

4.18

[A=V/Ω]

U : Effektivspannung

I:

P = U⋅I

cos ϕ = 1

ϕ = 0°

P=S

cos ϕ < 1

0° < ϕ < 90°

P<S

cos ϕ = 0

ϕ = 90°

P=0

Verbesserung des Leistungsfaktor Zur Verbesserung des Leistungsfaktors wird parallel (Reihe ) zum Verbraucher ein Kondensator als Phasenschieber geschaltet.

Q C = P ⋅ (tan ϕ1 − tan ϕ2 ) U2 Q C = U ⋅ IC = = I2C ⋅ X C XC CPara =

QC 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ U2

CRe ihe =

QC :

Blindleistung Kondensator

[ var ]

var : Voltampere reaktiv

P:

Wirkleistung

[W]

W : Watt

ϕ1 :

Phasenverschiebungswinkel vor der Kompensation

[°]

ϕ2 :

Phasenverschiebungswinkel nach der Kompensation

[°]

CPara :

Kapazität Parallelkompensation [ F = As / V ] F : Farad

CReihe :

Kapazität Reihenkompensation

[ F = As / V ] F : Farad

I2C 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ QC

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5.

Drehstrom

Drehstrom

⇒

Dreiphasiger Wechselstrom entsteht, wenn man je um 120° gegeneinander versetzte Spulen in einem homogenen Magnetfeld dreht. Dadurch entstehen drei gleich große sinusförmige Spannungen ( u, v, w ). Die Summe der drei Augenblicksspannungen ist zu jedem Zeitpunkt gleich Null, daher kann man die drei Induktionsspulen zusammenschließen, ohne daß ein Kurzschluß entsteht.

5.1

Sternschaltung

U = USt ⋅ 3 I = ISt U : Leiterspannung

[V]

( 380 V )

USt : Strangspannung

[V]

( 220 V )

I:

[A]

Leiterstrom

ISt : Strangstrom

5.2

[A]

Dreieckschaltung

I = ISt ⋅ 3 U = USt U : Leiterspannung

[V]

USt : Strangspannung

[V]

I:

[A]

Leiterstrom

ISt : Strangstrom

5.3

[A]

Leistung des Dreiphasen Stromes

P = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ cos ϕ

S = 3 ⋅U⋅I

Q = 3 ⋅ U ⋅ I ⋅ sin ϕ

P = 3 ⋅ PSt S = 3 ⋅ SSt

Q = 3 ⋅ Q St

PSt = USt ⋅ ISt ⋅ cos ϕ SSt = USt ⋅ ISt

Q St = USt ⋅ ISt ⋅ sin ϕ

PSt = SSt =

Q St =

U ⋅ I ⋅ cos ϕ 3 U⋅I 3 U ⋅ I ⋅ sin ϕ 3

S2 = P2 + Q 2

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6.

Transformator

Indizes

6.1

p:

primär Seite des Transformators

S:

sekundär Seite des Transformators

1:

niedrigere Spannung (Unterspannung), weniger Windungen

2:

höhere Spannung (Oberspannung), mehr Windungen

ges :

Gesamt

Transformator Wechselstrom Θ ges

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

Θ : Magnetische Durchflutung

[A]

AW: Amperewindungen

Φ ges = Φ p − Φ s

Rm : Magnetischer Widerstand

[ A / Wb ]

Θ ges = Θ p − Θ s

U : Spannung

Φ ges =

Rm

Θ p = Np − I p

I:

Stromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = ΩA ]

V : Volt

N : Windungszahl ü:

Übersetzungsverhältnis

Θ s = Ns − Is Up

=

Us ü=

6.2

Np Ns

U2 N2 I1 = = U1 N1 I2

Unbelasteter Fall, Leerlauf - Transformator Wechselstrom Sekundärkreis des Transformators offen, d.h. nicht durch einen Widerstand belastet

6.3

Is = 0

I0 : Leerlaufstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

Ip = I0 = Imagn + IFe + ICu

IFe : Eisenverluststromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

ICu : Kupferverluststromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

Imagn :Magnetisierungsstromstärke

[A=V/Ω]

A : Ampere

Φ : Magnetfluß

[ Wb = Vs ]

Wb: Weber

Θ : Magnetische Durchflutung

[A]

I:

[A=V/Ω]

A : Ampere

[ V = ΩA ]

V : Volt

Belasteter Fall, ideal - Transformator Wechselstrom

Θp = Θ s Ip Is

=

ü=

Ns Us = Np Up

Z 2 U2 ⋅ I2 N22 = = Z 1 U1 ⋅ I1 N12

Stromstärke

U : Spannung

AW: Amperewindungen

N : Windungszahl ü:

Übersetzungsverhältnis

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6.4

Leistung - Transformator Wechselstrom P = Up ⋅ Ip ⋅ cos ϕp = Us ⋅ Is ⋅ cos ϕ s + PV Q = Up ⋅ Ip ⋅ sin ϕp = Us ⋅ Is ⋅ sin ϕ s + PV

S = Up ⋅ Ip = Us ⋅ Is + PV I:

Effektivstromstärke

U : Effektivspannung

6.5

6.6

A : Ampere V : Volt

P : Wirkleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

S : Scheinleistung

[ V∙A ]

VA : Voltampere

Q : Blindleistung

[ var ]

var : Voltampere reaktiv

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

Wirkungsgrad - Transformator Wechselstrom η=

Ps Ps = Pp Ps + PV

η=

Ps Ps + PCu + PFe

Ps : abgegebene Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

Pp : zugeführte Leistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

PV : Verlustleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

η : Wirkungsgrad

Kurzschlußspannung - Transformator Wechselstrom uK =

6.7

[A=V/Ω] [ V = A∙Ω ]

UK ⋅ 100 % UN

uK : relative Kurzschlußspannung

[%]

UK : gemessene Kurzschlußspannung

[V]

UN : Nennspannung

[V]

Transformator Drehstrom Übersetzungsverhältnisse wie Transformator Wechselstrom, jedoch Leistung:

P = 3 ⋅ Up ⋅ Ip ⋅ cos ϕp = 3 ⋅ Us ⋅ Is ⋅ cos ϕ s + PV

Q = 3 ⋅ Up ⋅ Ip ⋅ sin ϕp = 3 ⋅ Us ⋅ Is ⋅ sin ϕs + PV S = 3 ⋅ Up ⋅ Ip = 3 ⋅ Us ⋅ Is + PV [A=V/Ω]

A : Ampere

U : Effektivspannung

[ V = A∙Ω ]

V : Volt

P : Wirkleistung

[ V∙A = W = J / s = N∙m / s] W : Watt

I:

Effektivstromstärke

S : Scheinleistung

[ V∙A ]

VA : Voltampere

Q : Blindleistung

[ var ]

var : Voltampere reaktiv

ϕ : Phasenverschiebungswinkel

[°]

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7.

Sonstiges

7.1

Wärmeenergie, -arbeit Q = m ⋅ c ⋅ (t 2 − t1 ) Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ

Q : Wärmeemergie

[J]

m : Masse

[m]

c:

spezifische Wärmekapazität

∆ϑ : Temperaturdifferenz

7.2

[ kJ / kgK ] [ ° oder K ]

Winkelfunktionen sin α =

GK Hyp

cos α =

AK Hyp

tan ∂ =

GK :

Gegenkathete

AK :

Ankathete

Hyp :

Hypotenuse

GK AK

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