Formelsammlung Finanzmathematik

Formelsammlung Finanzmathematik Normalform: x2+ px+ q = 0

Quadratische Gleichung:

Arithmetische Folge und Reihe Definition: ai+1 – ai = d Summenformel:

Bildungsregel:

n

n

i =1

i =1

Summenformel:

n

n

i =1

i =1

Zinsrechnung

2

p p ±   − q 2 2

ai = a1 + (i-1) d

Bildungsregel:

S n = ∑ a i = ∑ a1 q i− 1 = a1

Lösung: x1,2 = −

n(a1 + a n ) n(2a1 + (n − 1)d) = 2 2

S n=∑ a i = ∑ (a1+ (i-1) d ) =

Geometrische Folge und Reihe Definition: ai+1 / ai = q

S. 1

ai = a1 q i - 1

qn − 1 1 − qn =a1 q− 1 1− q

K0 – Anfangskapital, Barwert p – Zinssatz p. a., Nominalzinssatz Z – (jährlicher) Zinsbetrag n – Laufzeit (in Jahren) Kn – Endkapital nach n Jahren, Endwert

5 % = 5 / 100 = 0,05 Z=Kp

Jährliche Zinsen: Einfacher Zins: Kn = K0 (1+ n p) Kn = K0 (1+ p)n

Zinseszins: Unterjährige Zinsen (bei m Perioden pro Jahr): p pr = m – relativer Zinssatz (pro Periode)

Kn = K0 (1+ mp )n m Kn = K0 e p n

Stetige Verzinsung: Effektiver Jahreszins:

peff = (1+ mp )m – 1

Rentenrechnung K0 bzw.

K 0* – Barwert einer nachschüssigen bzw. vorschüssigen Rente,

Kn bzw. K n* – Endwert einer nachschüssigen bzw. vorschüssigen Rente, p – Zinssatz p.a.; ggf.

p m

– relativer Zinssatz (bei unterjähriger Zahlung),

n – Laufzeit (in Jahren); ggf. m Perioden pro Jahr, R – regelmäßiger (jährlicher) Zahlbetrag, Rate, Rente; bzw. ggf. r – Rente je Periode Nachschüssige Rente Jährliche Rentenzahlung, jährliche Zinsen (1 + p) n − 1 p

Rentenendwert:

Kn = R

Ewige Rente:

R = p K0

FH Stralsund, FB Wirtschaft

Rentenbarwert:

K0 = K n

1 (1+ p)n

Prof. Dr. Petra Scheffler

Formelsammlung Finanzmathematik Nachschüssige Rente Unterjährige Rentenzahlung, Zinsperiode = Zahlungsperiode p (1 + m ) n⋅m − 1 Rentenendwert: Rentenbarwert: Kn = r p

S. 2

K0 = K n

m

1 (1+ m )n⋅m p

Unterjährige Rentenzahlung, jährliche Zinszahlung Jährliche Ersatzrente: R = r (m + p

m− 1 ) 2

Rentenendwert:

Kn = R

(1 + p) n − 1 p

Vorschüssige Rente Jährliche Rentenzahlung, jährliche Zinsen Rentenendwert:

K n* = R(1 + p)

Ewige Rente:

R = K 0*

(1 + p) n − 1 p

Rentenbarwert: K 0* = K n*

1 (1+ p)n

p p+ 1

Unterjährige Rentenzahlung, Zinsperiode = Zahlungsperiode p

Rentenendwert:

K n*

nm p (1 + m ) − 1 = r (1 + ) p m

Rentenbarwert: K 0* = K n*

m

1 (1+ m )n⋅m p

Unterjährige Rentenzahlung, jährliche Zinszahlung Jährliche Ersatzrente: R = r (m + p

Tilgungsrechnung

m+ 1 ) 2

Rentenendwert:

K n* = R

(1 + p) n − 1 p

K0 – Schuldsumme, Anfangsschuld, p – Zinssatz, n – Kreditlaufzeit (in Jahren), Kt – Restschuld nach t Jahren, d. h. nach t Zahlungen, Tt – Tilgung im Jahre t (nachschüssige Tilgungsrate), Zt – Zinsbetrag im Jahre t, At = Tt + Z t – Zahlbetrag im Jahre t, Annuität Ratentilgung T = Tt =

Gleichbleibende Tilgungsraten:

K0 n

K t = K 0 − tT

Z t = pK t − 1

Annuitätentilgung A = At = K 0 (1 + p) n

Gleichbleibende Annuität: Tilgungsrate:

p (1 + p) n − 1 Tt = T1 (1 + p) t − 1

T1 = A − K 0 p K t = K0

Restschuld:

(1 + p) n − (1 + p) t (1 + p) n − 1

Unterjährige Annuität bei m Tilgungsperioden jährlich und jährlicher Zinszahlung Annuität pro Periode:

FH Stralsund, FB Wirtschaft

a=

A m+

p 2

( m − 1) Prof. Dr. Petra Scheffler