Franz Josef Gruber | Rainer Joeckel Formelsammlung für das Vermessungswesen
Franz Josef Gruber | Rainer Joeckel
Formelsammlung für das Vermessungswesen 15., überarbeitete und aktualisierte Auflage STUDIUM
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
Dipl.-Ing. Franz Josef Gruber ist in Baden-Württemberg in der Vermessungsverwaltung beschäftigt. Prof. Dr.-Ing. Rainer Joeckel lehrt an der Hochschule für Technik Stuttgart im Studiengang Vermessung und Geoinformatik.
1. Auflage 1986 10. Auflage 2001 (Das Werk erschien zuletzt in 10. Auflage beim Konrad Wittwer Verlag in Stuttgart.) 11. Auflage 2004 12. Auflage 2005 13. Auflage 2007 14. Auflage 2009 15., überarbeitete und aktualisierte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms | Sabine Koch Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1366-4
Vorwort Diese Formelsammlung wendet sich sowohl an Techniker und Ingenieure in der Ausbildung als auch an Vermessungstechniker, Vermessungsingenieure, Bauingenieure und Architekten in der Praxis. Die kompakten und übersichtlich gestalteten Themen sollen dem Benutzer in der Ausbildung und in der Berufspraxis eine Hilfe sein. In der vorliegenden 15. Auflage haben wir die zahlreichen Ergänzungs- und Verbesserungsvorschläge weitgehend mit eingearbeitet. Für diese Anregungen sind wir sehr dankbar und hoffen, dass wir auch weiterhin durch Vorschläge unserer Leser unterstützt werden.
September 2010
Franz Josef Gruber Rainer Joeckel
[email protected] [email protected] Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Grundlagen
1
1.1 Griechisches Alphabet
1
1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen
1
1.3 DIN Papierformate
1
1.3.1 DIN Blattgrößen
1
1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 )
2
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse
4
1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen
4
1.4.2 Maßverhältnisse
7
2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe
8 8
2.1.1 Grundgesetze
8
2.1.2 Gesetze der Anordnung
8
2.1.3 Absoluter Betrag - Signum
8
2.1.4 Bruchrechnen
8
2.1.5 Lineare Gleichungssysteme
9
2.1.6 Quadratische Gleichungen
9
2.1.7 Potenzen - Wurzeln
9
2.1.8 Logarithmen
10
2.1.9 Folgen - Reihen
10
2.1.10 Binomischer Satz
11
2.1.11 n - Fakultät
11
2.1.12 Verschiedene Mittelwerte
11
2.2 Differentialrechnung
12
2.2.1 Ableitung
12
2.2.2 Potenzreihenentwicklung
13
2.3 Matrizenrechnung
14
2.3.1 Definitionen
14
2.3.2 Rechnen mit Matrizen
14
VIII
2.4 Ebene Geometrie
16
2.4.1 Arten von Winkel
16
2.4.2 Kongruenzsätze
16
2.4.3 Ähnlichkeitssätze
16
2.4.4 Strahlensätze
17
2.4.5 Teilung einer Strecke
17
2.4.6 Dreieck
18
2.4.7 Viereck
20
2.4.8 Vielecke
21
2.4.9 Kreis
22
2.4.10 Ellipse
24
2.5 Trigonometrie
25
2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
25
2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck
27
2.5.3 Additionstheoreme
29
2.5.4 Sphärische Trigonometrie
30
3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen
31 31
3.1.1 Räumliches Bezugssystem
31
3.1.2 Lagebezugssystem
31
3.1.3 Höhenbezugssystem
31
3.1.4 Bezugsfläche
32
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
33
3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem
33
3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem
33
3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem
33
3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem
34
3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem
34
3.2.6 Polarkoordinaten
34
3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System)
35
3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System)
36
3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen
37
IX
4 Vermessungstechnische Grundaufgaben
39
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
39
4.1.1 Richtungswinkel und Strecke
39
4.1.2 Polarpunktberechnung
41
4.1.3 Kleinpunktberechnung
42
4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt
44
4.1.5 Schnitt mit Gitterlinie
44
4.1.6 Geradenschnitt
45
4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis
46
4.2 Flächenberechnung
47
4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen
47
4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten
48
4.2.3 Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System
48
4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen
48
4.3 Flächenteilungen
49
4.3.1 Dreieck
49
4.3.2 Viereck
50
5 Winkelmessung
51
5.1 Instrumentenfehler am Theodolit
51
5.2 Horizontalwinkelmessung
54
5.2.1 Begriffsbestimmung
54
5.2.2 Satzweise Richtungsmessung
54
5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss
55
5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen
56
5.3 Vertikalwinkelmessung
57
5.4 Winkelmessung mit der Bussole
58
5.5 Winkelmessung mit dem Vermessungskreisel
58
6 Strecken- und Distanzmessung
59
6.1 Streckenmessung mit Messbändern - Korrektionen und Reduktionen
59
6.2 Optische Streckenmessung
60
6.2.1 Basislattenmessung
60
X 6.2.2 Parallaktische Streckenmessung
61
6.2.3 Strichentfernungsmessung (Reichenbach)
62
6.3 Elektronische Distanzmessung
63
6.3.1 Elektromagnetische Wellen
63
6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung
63
6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre
64
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
65
6.4.1 Frequenzkorrektion
65
6.4.2 Zyklische Korrektion
65
6.4.3 Nullpunktkorrektion
66
6.4.4 Meteorologische Korrektion ( 1. Geschwindigkeitskorrektion)
69
6.4.5 Geometrische Reduktionen
69
6.4.6 Abbildungsreduktion
71
6.5 Vertikale Exzentrität
72
6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken
73
7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen
74 74
7.1.1 Abriss
74
7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung
75
7.1.3 Exzentrische Streckenmessung
79
7.1.4 Gebrochener Strahl
80
7.2 Einzelpunktbestimmung
81
7.2.1 Polare Punktbestimmung
81
7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung
82
7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab
83
7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung
84
7.2.5 Bogenschnitt
86
7.2.6 Vorwärtseinschnitt
87
7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach Cassini
89
7.3 Freie Standpunktwahl mittels Helmert-Transformation
90
XI
7.4 Polygonierung
92
7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen
92
7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall
93
7.4.3 Freier Polygonzug
94
7.4.4 Ringpolygon
95
7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge
96
7.4.6 Fehlertheorie
97
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung - Statistische Überprüfung
98
7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte
99
8 Transformationen 8.1 Ebene Transformation
100 100
8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung
100
8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten
101
8.1.3 Helmert-Transformation (4 Parameter)
102
8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter)
105
8.1.5 Ausgleichende Gerade
107
8.2 Räumliche Transformation
109
8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter)
109
8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt
111
8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt
113
8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER
115
8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger - bzw. UTM - Koordinaten
117
9 Höhenmessung
120
9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
120
9.2 Höhen
122
9.3 Geometrisches Nivellement
124
9.3.1 Definitionen
124
9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise
124
9.3.3 Grundformel eines Nivellements
125
XII 9.3.4 Feinnivellement
125
9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke- /linie oder - /schleife
126
9.3.6 Höhenknotenpunkt
127
9.3.7 Ziellinienüberprüfung
128
9.3.8 Genauigkeit des Nivellement
130
9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement
131
9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung
132
9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m)
132
9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen
133
9.4.3 Trigonometrisches Nivellement
135
9.4.4 Turmhöhenbestimmung
136
10 Ingenieurvermessung
138
10.1 Absteckung von Geraden - Zwischenpunkt in einer Geraden
138
10.2 Kreisbogenabsteckung
139
10.2.1 Allgemeine Formeln
139
10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ
140
10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P
141
10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten
142
10.2.5 Näherungsverfahren
144
10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung
145
10.2.7 Korbbogen
146
10.3 Klotoide
147
10.3.1 Definition
147
10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide
149
10.4 Gradiente
150
10.4.1 Längsneigung
150
10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten
150
10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung
151
10.5 Erdmengenberechnung
152
10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen
152
10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien
153
10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen
154
10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe
155
10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren
155
XIII
11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Allgemein
157 157
11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen
157
11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten
158
11.1.3 Genauigkeit
158
11.1.4 Statistische Überprüfung
159
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen
160
11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen
163
12 Grundlagen der Statistik
164
12.1 Grundbegriffe der Statistik
164
12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen
166
12.3 Vertrauensbereiche Konfidenzbereiche)
167
12.4 Testverfahren
168
12.5 Messunsicherheit u
169
12.6 Toleranzen
170
12.7 Varianz
171
12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen
171
12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz
172
12.8 Standardabweichung
173
12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen
173
12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung)
174
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke
175
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
176
Literaturhinweise
179
Internetportale
179
Stichwortverzeichnis
180
1 Allgemeine Grundlagen 1.1 Griechisches Alphabet Α,α
Alpha
Η,η
Eta
Β,β Γ, γ
Beta
Θ, ϑ Ι,ι
Theta
Gamma
Δ,δ
Delta
Κ,κ
Kappa
Ε,ε Ζ,ζ
Epsilon
Λ,λ Μ,μ
Lambda
Zeta
Jota
My
Ν,ν Ξ,ξ Ο,ο
Ny
Τ ,τ
Tau
Xi
Υ,υ
Ypsilon
Π,π Ρ,ρ Σ ,σ
Omikron Φ, ϕ
Phi
Pi
Χ,χ
Chi
Rho
Ψ,ψ Ω,ω
Psi
Sigma
Omega
1.2 Mathematische Zeichen - Zahlen = gleich
...
und so weiter
ungleich L ähnlich O angenähert
X Z
daraus folgt
n entspricht < kleiner als > größer als > kleiner oder gleich P größer oder gleich
, [ ] Summe von Wurzel aus
Aussagen sind gleichwertig
n
n -te Wurzel aus
AB
Strecke AB
unendlich
Dreieck
lim
Grenzwert
^
kongruent
eO O % ppm
2,718281828
sgn x signum x ( 1, 0, -1)
a n!
Betrag von a n Fakultät ; n! = 1 2 n
3,141592654 Prozent parts per million
1.3 DIN Papierformate 1.3.1 DIN Blattgrößen Grundsätze des Formataufbaus
DIN Blattgrößen
Fläche F 0 des Ausgangsformats A0
Format
F0 = x y = 1 m x:y=1: 2 H y=x 2 2
mm
A0
841 x 1189
A1
594 x 841
A2
420 x 594
A3
297 x 420
A4
210 x 297
A5
148 x 210
Die Flächen zweier aufeinanderfolgender A6 105 x 148 Formate verhalten sich wie 2 : 1 F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_1, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
2
1 Allgemeine Grundlagen
1.3.2 DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 1. mit ausgefaltetem, gelochten Heftrand für Ablage mit Heftung
A0 841x1189
A1 594x841
A2 420x594
A3 297x420
1.3 DIN Papierformate DIN Faltungen auf Ablageformat (nach DIN 476 ) 2. zur Ablage ohne Heftung z. B. in Fächern oder Taschen
A0 841x1189
A1 594x841
A2 420x594
A3 297x420
3
4
1 Allgemeine Grundlagen
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse 1.4.1 Definition der Maßeinheiten und ihre Ableitungen Vielfache und Teile von Einheiten
Vorsatz Tera Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano Piko
Vorsatzzeichen T G M k h da d c m μ n p
Zehnerpotenz = 1012 = 109 = 106 = 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6 = 10-9 = 10-12
Für das Vermessungswesen wichtige Basiseinheiten Basisgröße Zeit
Einheit Sekunde
Symbol s
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
Definition 1 Sekunde ist das 9 192 631 770 fache der Periodendauer der Stahlung, die dem Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustands von Atomen des Nuklids 133-Cäsium entspricht. 1 Meter ist auf der 17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht 1983 definiert worden als die Länge einer Strecke, die Licht im Vakuum während des Intervalls von 1/299 792 458 Sekunden durchläuft. 1 Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse Wichtige abgeleitete Einheiten Größe
Einheit
Kurzzeichen der Einheit
Fläche
Quadratmeter
m²
Volumen
Kubikmeter
m³
Winkel
Radiant
rad (= m m)
Geschwindigkeit
Meter pro Sekunde
m ; 1 m = 3, 6 km s s h
Frequenz
Hertz
Kraft
Newton
Druck
Pascal
Arbeit, Energie
Joule
Leistung
Watt
Hz (= s1 ) ) N (= kg m2 ) s N Pa (= 2 ) m 2 J (= kg m2 ) s 2 W (= kg m3 ) s
Längenmaße Aus der Längeneinheit Meter abgeleitete Längenmaße: 1 000 m 100 m 10 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m 0,000 001 m
= 10³ = 10² = 101 = 10-1 = 10-2 = 10-3 = 10-6
m m m m m m m
= 1 km = 1 hm = 1 dam = 1 dm = 1 cm = 1 mm = 1 μm
= 1 Kilometer = 1 Hektometer = 1 Dekameter = 1 Dezimeter = 1 Zentimeter = 1 Millimeter = 1 Mikrometer
Flächenmaße Aus der Flächeneinheit Quadratmeter abgeleitete Flächenmaße: 1 000 000 m² = 106m² 10 000 m²= 104 m² 100 m²= 10² m² 0,01 m²= 10-2 m² 0,000 1 m²= 10-4 m² 0,000 001 m²= 10-6 m²
= 1 km² = 1 ha =1a = 1 dm² = 1 cm² = 1 mm²
= 1 Quadratkilometer = 1 Hektar = 1 Ar = 1 Quadratdezimeter = 1 Quadratzentimeter = 1 Quadratmillimeter
Raummaße Aus der Volumeneinheit Kubikmeter abgeleitete Raummaße: 0,001 m³ = 10-3 m³ 0,000 001 m³ = 10-6 m³
= 1 dm³ = 1 cm³
= 1 Kubikdezimeter = 1 Liter = 1 Kubikzentimeter
5
6
1 Allgemeine Grundlagen
Zeitmaße Aus der Sekunde abgeleitete Zeitmaße: 60 s 3600 s 86400 s
= 1 min =1h =1d
= 1 Minute = 1 Stunde = 1 Tag
Winkelmaße Einheit des Winkels ist der Radiant ( rad )
Definition
Bogenla¨nge = br = Radius (1 rad = Winkel α für b = r = 1 )
1 Vollwinkel = 2 rad 1 rad
200 gon = 180 =
O 3, 141592654
Sexagesimalteilung:
Zentesimalteilung:
1 Vollwinkel = 360° ( Grad ) = 60 ' ( Minuten ) 1° = 60 '' ( Sekunden ) 1'
1 Vollwinkel = 400 gon ( Gon) = 100 cgon ( Zentigon ) 1 gon = 10 mgon ( Milligon ) 1 cgon
Bezeichnung bei Taschenrechnern: degree ( DEG ) = Grad
grad ( GRAD ) = Gon
RAD = rad
Umwandlung Grad - Gon - Radiant : 1 n 10 gon n rad 9 180
1gon n 0, 9 n
rad 200
Vermessungstechnisches Sonderzeichen ρ: ! = 180 = 57, 295779
! (gon) =
200 gon = 63, 661977
200 gon 1rad n 180 n
1.4 Maßeinheiten und Maßverhältnisse
1.4.2 Maßverhältnisse Maßstab M M=
s Kartenstrecke 1 = s NK = m Strecke in der Natur
m = Maßstabszahl Strecke in der Natur
sN = sK m
Maßstabsumrechnung bei Längen
s N = s K1 m1 = s K2 m2 s K1 m2 s K2 = m1
Maßstab und Flächen Fläche in der Natur
FN = aN bN
Fläche in der Karte
FK = aK bK
FN = aN bN = aK m bK m FN = FK m2 m = Maßstabszahl
Maßstabsumrechnung bei Flächen
F N = F K 1 m 21 = F K 2 m 22 F K 1 m 22 = F K 2 m 21
7
2 Mathematische Grundlagen 2.1 Mathematische Grundbegriffe 2.1.1 Grundgesetze Kommutativgesetze
a+b= b+a
ab = ba
Assoziativgesetze
(a + b ) + c = a + (b + c )
(a b ) c = a (b c )
Distributivgesetz
a (b + c ) = a b + a c
2.1.2 Gesetze der Anordnung a < b J b > a J (b − a ) > 0 Aus a < b folgt:
a+c < b+c
ac < bc
wenn c > 0
Aus a < b folgt:
−a > −b
1> 1 a b
wenn a > 0
2.1.3 Absoluter Betrag - Signum Definitionen Betrag a
Gesetze Signum a
a=0
a =a a =0
a0
sgn a = 1 sgn a = 0
a+b > a + b a−b P a − b a1 + a2 + + an > a1 + a2 + + an
2.1.4 Bruchrechnen Erweitern Addition Multiplikation
a = az b bz a b a b
+ c = ad+bc d bd c a c = d bd
Kürzen Subtraktion Division
az = az: z = a bz bz: z b a − c = ad−cb b d bd a : c = ad b d bc
Nenner stets ungleich Null
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_2, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
2.1 Mathematische Grundbegriffe
2.1.5 Lineare Gleichungssysteme a1x + b1y = c1
D = a1b2 − a2b1 0
eindeutige Lösung , wenn :
a2x + b2y = c2
x=
c1b2 − c2 b1 a1b2 − a2b1
y=
a1c2 − a2 c1 a1b2 − a2 b1
2.1.6 Quadratische Gleichungen Allgemeine Form:
x 1,2 =
ax 2 + bx + c = 0
−b b 2 − 4ac 2a D = b2 − 4ac
Normalform:
x 1,2 = −
x 2 + px + q = 0
p 2
D= D > 0 : 2 Lösungen
D = 0 : 1 Lösung
p 2 p 2
2
2
−q
−q
D < 0 : keine reelle Lösung
2.1.7 Potenzen - Wurzeln Definitionen
an = a a a a n
a1 = a
a 0 = 1 (a 0 )
a = x J xn = a
Rechenregeln:
a m a n = a m+n
n
a n b = n ab
a m : a n = a m−n
n
a : nb =
(a m ) n = a mn a n b n = (a b ) n a n : b n = (a : b ) n
n
a b
( n a )m = n am m n
a =
a −n = a1n 1
an = n a m
a n = n am m
mn
a
a− n =
n
1 am
9
10
2 Mathematische Grundlagen
2.1.8 Logarithmen x = log b a J b x = a
Definition
H
a, b > 0 und b 1
log b b = 1 ; log b 1 = 0
Rechengesetze
Sonderfälle
log a u v = log a u + log a v
log 10 x = lg x
log a u v = log a u − log a v
log e x = ln x
log a u n = n log a u
log 2 x = lb x
log a n u = 1 n log a u
Umrechnung von Basis g auf Basis b
log b x = log b g log g x
log b g log g b = 1
lg x = lg e ln x = 0, 434294 ln x ln x = ln 10 lg x = 2, 302585 lg x
2.1.9 Folgen - Reihen Folge a 1 , a 2 , , a n
Reihe a 1 + a 2 + + a n =
Arithmetische Folge
Arithmetische Reihe
a n = a 1 + (n − 1 )d
n
ak = sn k =1
s n = n (a 1 + a n ) 2
d = a n − a n −1 = konstant Geometrische Folge
a n = a q n −1
Geometrische Reihe
sn = a
qn − 1 1 − qn = a q−1 1−q
q1
a q = a n n−1 = konstant Unendliche geometrische Reihe s=
lim s n = a 1−q nG
q 1 10 99
2.1.12 Verschiedene Mittelwerte MH > MG > MA a1 p1 + a2 p2 + + an pn [p i ]
Allgemeines Arithmetisches Mittel
M AA =
Arithmetisches Mittel
MA =
Geometrisches Mittel
M G = n a1 a 2 a n
Harmonisches Mittel
1 1 1 MH = 1 n a1 + a2 + + an
a1 + a2 + + an n
p = Gewicht
12
2 Mathematische Grundlagen
2.2 Differentialrechnung 2.2.1 Ableitung df(x ) Erste Ableitung: f (x ) oder dx
Funktion f(x) : Ableitungsregeln Potenzregel
y = a xn
y = n a x n −1
Produktregel
y=uv
y = u v +u v
Quotientenregel
y= u v
Kettenregel
y = f (g(x ))
y = v u −2 v u v
y = f (g(x )) g (x )
Tabelle von Ableitungen f(x)
c
f (x ) 0
sin x
f (x ) cos x
xn
n x n −1
cos x
− sin x
x
1 2 x
tan x
1 cos 2 x
x
1 n n x n −1
cot x
−
ex
ex
arcsin x
ax
a x ln a
arccos x
−
ln x
1 x
arctan x
1 1 + x2
log a x
1 x ln a
arccot x
−
f(x)
n
1 sin 2 x
1 1 − x2 1 1 − x2
1 1 + x2
2.2 Differentialrechnung
2.2.2 Potenzreihenentwicklung TAYLORsche Formel MACLAURINsche Form
f (x ) = f (0 ) + Restglied:
f (0 ) f (0 ) 2 f (n ) (0 ) n x+ x ++ x + R n (x ) 1! 2! n! n +1 R n (x ) = x f n +1 (x ) wobei 0 < ϑ < 1 (n + 1 )!
Allgemeine Form
f (x 0 + h ) = f (x 0 ) +
Restglied:
f (x 0 ) 2 f (n ) (x 0 ) n f (x o ) h+ h ++ h + R n (h ) 1! 2! n!
R n (h ) = 1 n!
(1 + x ) m = 1 +
m x+ 1
x 0 +h
(x 0 + h − x ) n f (n +1) (x )dx
x0
m 2 x + 2
m 3 x + 3
1 = 1 − x + x2 − x3 + − 1+x
x 1
13
14
2 Mathematische Grundlagen
2.3 Matrizenrechnung 2.3.1 Definitionen Matrix :
System von Elementen a ik mit i = 1m und k = 1n in m Zeilen und n Spalten angeordnet
A
=
(m,n )
a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a m1 a m2 a m3 a mn
Rechteckige Matrix:
mn
Quadratische Matrix:
m=n
Skalar:
m = n =1
Vektor:
einzeilige Matrix = Zeilenvektor
einspaltige Matrix = Spaltenvektor
a1 a2
an
a1 a2 am
Nullmatrix:
alle Elemente a ik = 0
Diagonalmatrix:
quadratische Matrix bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen = 0 a ik = 0 fu¨r alle i k
Einheitsmatrix:
Diagonalmatrix mit a ii = 1 fu¨r alle i
Symmetrische Matrix:
quadratische Matrix mit a ik = a ki für alle i, k
Gleichheit von Matrizen: A = B wenn a ik = b ik fu¨r alle i, k
2.3.2 Rechnen mit Matrizen Addition und Subtraktion
AB=C
a ik b ik = c ik
i = 1m ; k = 1n
Die Addition von Matrizen ist - kommutativ:
A+B=B+A=C
- assoziativ:
A + (B + C) = (A+ B) + C
Zwischen Addition und Subtraktion besteht in der Gesetzmäßigkeit kein Unterschied
2.3 Matrizenrechnung Transponieren einer Matrix Eine Matrix wird transponiert, indem man ihre Zeilen und Spalten vertauscht
aik H aki
A H AT :
i = 1m ; k = 1n
Für Symmetrische Matrizen gilt: A T = A (A T ) T = A
Regeln:
( A B)T = BT AT ( A B C)T = CT BT AT Matrizenmultiplikation
A
B = C
(m,n )
(n,p )
c ik =
(m,p )
B = (n,p )
A = (m,n)
a 11
a 1n a i1
a in a m1
a m n
n
j =1
a ij b jk
i = 1m ; k = 1p
b 11
b 1k
b 1p b n1
b nk
b np c 11 c 1k
c i1
c ik
cm 1
cm k
c 1p ci p cm p
= C (m,p )
Für die Multiplikation müssen die Matrizen A und B verkettbar sein. Dies ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt. Die Matrizenmultiplikation ist in der Regel nicht kommutativ: A B B A
A (B + C ) = A B + A C A B C = A (B C ) = (A B ) C
aber distributiv: und assoziativ: Matrizeninversion
Existiert eine Matrix B mit A B = B A = E (Einheitsmatrix), dann ist B die zu A inverse Matrix und wird mit A −1 bezeichnet, also A A −1 = A −1 A = E (A quadratisch) KRAMERsche Regel für symmetrische Matrizen a 22 −a 12 −a 12 a 11
A=
a 11 a 12 a 12 a 22
A=
a 11 a 12 a 13 a 12 a 22 a 23 a 13 a 23 a 33
mit
D = a11 b 11 − a 12 b21 + a13 b 31
b 11 = a 22 a 33 − a 223 b 22 = a 11 a 33 − a 213 b 33 = a 11 a 22 − a 212
H A −1 = 1 D
H A −1 = 1 D
mit D = a 11 a 22 − a 212
b 11 −b 21 b 31 −b 21 b 22 −b 32 b 31 −b 32 b 33
b 21 = a 12 a 33 − a 13 a 23 b 31 = a 12 a 23 − a 13 a 22 b 32 = a 11 a 23 − a 13 a 12
15
16
2 Mathematische Grundlagen
2.4 Ebene Geometrie 2.4.1 Arten von Winkel Nebenwinkel
betragen zusammen 200 gon
+ = 200 gon
Scheitelwinkel
sind gleich groß
=
Stufenwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
" = "
Wechselwinkel
an geschnittenen Parallelen sind gleich groß
* = *
Winkel
deren Schenkel paarweise aufeinander senkrecht stehen, sind entweder gleich groß oder ergänzen einander zu 200 gon
Außenwinkel
Im Dreieck ist ein Außenwinkel gleich der Summe der beiden = + nicht anliegenden Innenwinkel
Winkelsummen
Im Dreieck ist die Summe der Innenwinkel 200 gon Im Viereck ist die Summe der Innenwinkel 400 gon Im n Eck ist die Summe der Innenwinkel (n - 2) 200 gon
2.4.2 Kongruenzsätze Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie übereinstimmen in: a) drei Seiten SSS b) zwei Seiten und dem von diesen eingeschlossenen Winkel SWS c) zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite SSW d) einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln WSW einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WWS
2.4.3 Ähnlichkeitssätze Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn: a) drei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben b) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die von diesen Seiten eingeschlossenen Winkel übereinstimmen c) zwei Paare entsprechender Seiten dasselbe Verhältnis haben und die Gegenwinkel der längeren Seiten übereinstimmen d) zwei Winkel übereinstimmen
2.4 Ebene Geometrie
17
2.4.4 Strahlensätze 1. Strahlensatz SA : SA = SB : SB
2. Strahlensatz AB : A B = SA : SA
2.4.5 Teilung einer Strecke Teilungsverhältnis
Innere Teilung
Äußere Teilung
AT i : T i B = a : b
AT a : T a B = a : b
T i = innerer Teilpunkt T a = äußerer Teilpunkt Harmonische Teilung Eine harmonische Teilung liegt vor, wenn eine Strecke außen und innen im gleichen Verhältnis geteilt wird AT i : T i B = AT a : T a B = a : b Stetige Teilung (Goldener Schnitt)
a : x = x : (a − x ) x = a ( 5 − 1) 2
a = AB
18
2 Mathematische Grundlagen
2.4.6 Dreieck Allgemeines Dreieck Bezeichnungen im Dreieck
a: b: c:
Gegenseite der Ecke A Gegenseite der Ecke B Gegenseite der Ecke C
h a: hb : hc:
Höhe zur Seite a Höhe zur Seite b Höhe zur Seite c
Winkelsumme im Dreieck (Innenwinkel) + + = 200 gon Winkelsumme am Dreieck (Außenwinkel) + + = 400 gon Beziehungen im Dreieck Seitenhalbierende s , Schwerpunkt S Schwerpunkt S = Schnittpunkt der Seitenhalbierenden Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2 : 1
Winkelhalbierende w, Inkreis Inkreismittelpunkt O = Schnittpunkt der Winkelhalbierenden Inkreisradius != F s =
(s − a )(s − b )(s − c ) s
s = a+b+c 2
F = Fläche des Dreiecks
Mittelsenkrechte, Umkreis Umkreismittelpunkt U = Schnittpunkt der Mittelsenkrechten Umkreisradius
r = abc 4F
F = Fläche des Dreiecks
2.4 Ebene Geometrie Rechtwinkliges Dreieck
Satz des PYTHAGORAS
c2 = a2 + b2
Kathetensatz
Höhensatz
h2 = p q
a2 = c p b2 = c q
Fläche
F= ab 2
Gleichschenkliges Dreieck
a=b;=
Höhe
hc = a2 − c 2
Fläche
F=
2
a 2 sin 2
Gleichseitiges Dreieck
= = = 60
Höhe
h= a 3 2
Fläche
2 F= a 3 4
Umkreisradius
r= a 3 3
Inkreisradius
!= a 3 6
19
20
2 Mathematische Grundlagen
2.4.7 Viereck Quadrat Die Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und sind gleich lang Diagonale
d= a 2
Umfang
U=4a
Fläche
F = a2
Diagonale
d = a2 + b2
Umfang
U = 2(a + b )
Fläche
F=ab
Rechteck Die Diagonalen sind gleich lang
Raute Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
e 2 + f 2 = 4a 2 Umfang
U=4a
Fläche
F= 1 ef 2
Parallelogramm Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig Umfang
U = 2(a + b )
Fläche
F = a ha = b h b
Trapez m = 1 (a + c ) 2
a parallel c Umfang
U= a+b+c+d
Fläche
F = 1 (a + c ) h 2
2.4 Ebene Geometrie
21
2.4.8 Vielecke Allgemeines Vieleck
Summe der Innenwinkel
(n − 2 ) 200 gon
Summe der Außenwinkel
(n + 2 ) 200 gon
Anzahl der Diagonalen
n(n − 3 ) 1 2
Anzahl der Diagonalen in einer Ecke n = Anzahl der Ecken
Regelmäßiges Vieleck 1. Jedes regelmäßige Vieleck kann in n gleichschenklige, kongruente Dreiecke zerlegt werden 2. Der Zentriwinkel eines Dreiecks beträgt: = 1 n 400 gon
3. Jeder Außenwinkel beträgt: = 200 gon + 1 n 400 gon
n = Anzahl der Ecken
4. Jedes regelmäßige Vieleck hat gleichgroße Seiten und Winkel 5. Jedes regelmäßige Vieleck hat einen In- und einen Umkreis 6. Der Mittelpunkt des regelmäßigen Vielecks hat von den Ecken die gleiche Entfernung
n−3
22
2 Mathematische Grundlagen
2.4.9 Kreis Bezeichnungen am Kreis Umfang
= in sich geschlossene Kreislinie
Bogen
= Teil des Umfanges
Radius
= Verbindungsstrecke Kreispunkt - Mittelpunkt
Sekante
= Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet
Sehne
= Strecke, deren Endpunkte auf dem Kreis liegen
Tangente
= Gerade, die den Kreis in einem Punkt berührt
Kreisbogen
b = r [rad ]
Kreisumfang
U = 2 r = d
Kreisfläche
F = r2 = d2 4
Kreisabschnitt Sehne
s = 2r sin 2
Pfeilhöhe
h = r 1 − cos = 2r sin 2 2 4
Radius
2 r= s + h 8h 2
Fläche
2 F = r ( [rad] − sin ) 2
2.4 Ebene Geometrie
23
Kreis und Sehne Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht immer durch den Mittelpunkt des Kreises und halbiert den Mittelpunktswinkel Ähnlichkeit am Kreis Sehnensatz
AE EB = CE ED
Sekantensatz
SE SF = SC SD
Tangentensatz
2
ST = SE SC
24
2 Mathematische Grundlagen
Winkel am Kreis
= Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) = Umfangswinkel (Peripheriewinkel) = = ; 2 Umfangswinkel über demselben Bogen sind gleich groß
= Sehnentangentenwinkel
Satz des THALES: Jeder Umfangswinkel über dem Halbkreis = 100 gon
2.4.10 Ellipse
a = große Halbachse b = kleine Halbachse F 1,2 = Brennpunkte
Ortslinie für die Punkte P mit F 1 P + F 2 P = konstant = 2a Umfang - Näherungsformel U O 3 (a + b ) − ab 2 Fläche
F= ab
1 für b a> 5 Lineare Exzentrizität
e = a2 − b2
U > (a + b )
2.5 Trigonometrie
25
2.5 Trigonometrie 2.5.1 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck Definition der Winkelfunktionen Sinusfunktion sin =
Gegenkathete a = c Hypotenuse
Kosinusfunktion cos = Ankathete = b c Hypotenuse Tangensfunktion tan =
Gegenkathete a = Ankathete b
Kotangensfunktion cot =
Ankathete = b a Gegenkathete
Beziehungen zwischen den Funktionen des gleichen Winkels
sin 2 + cos 2 = 1 sin α
cos α
1 − sin 2
sin cos
1 − cos 2
tan
tan 1 + tan 2
cot
1 1 + cot 2
Das Vorzeichen der Wurzel hängt vom Quadranten ab
cot = cos sin
sin tan = cos
1 1 + tan 2 cot 1 + cot 2
tan α sin 1 − sin 2
cot α
1 − sin 2 sin
1 − cos 2 cos
cos 1 − cos 2 1 tan
1 cot Quadrant I II
sin + +
cos + -
tan/cot + -
III IV
-
+
+ -
26
2 Mathematische Grundlagen
Besondere Werte, Grenzwerte 0° (0 gon)
30°
45° (50 gon)
60°
90° (100 gon)
sin
0
1 2
1 2 2
1 3 2
1
cos
1
1 3 2
1 2 2
1 2
0
tan
0
3 3
1
3
cot
3
1
3 3
0
Funktionswerte kleiner Winkel
sin O tan O
Umwandlungen
100 gon
200 gon
300 gon
400 gon
sin
+ cos α
-/+ sin α
- cos α
- sin α
cos
-/+ sin α
- cos α
+/- sin α
+ cos α
tan
-/+ cot α
+/- tan α
-/+ cot α
- tan α
cot
-/+ tan α
+/- cot α
-/+ tan α
- cot α
Arcusfunktionen
arcsin arccos
Hauptwert −100 gon > > +100 gon
0 gon > > +200 gon
arctan
−100 gon< < +100 gon
arccot
0 gon< < +200 gon
Nebenwerte = n 400 gon = 200 gon− n 400 gon = + n 400 gon = − n 400 gon = + n 200 gon
= + n 200 gon
n = 1,2.. n = 0,1.. n = 1,2.. n = 1,2.. n = 1,2.. n = 1,2..
2.5 Trigonometrie
2.5.2 Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck
Sinussatz
a = b = c = 2r sin sin sin r = Umkreisradius Gegenwinkel der größeren Seite: Gegenwinkel der kleineren Seite:
1 Lösung 2 Lösungen 1 Lösung keine Lösung
sin γ < 1 sin γ = 1 sin γ > 1
Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke a
s 2a = a c sc
2
+ c cos s [rad ] sin
2
a s [rad ] + tan
2
s c = Standardabweichung der Strecke c s , s = Standardabweichung der Winkel , [rad ] Kosinussatz 2 2 2 cos = b + c − a 2bc 2 2 2 cos = a + c − b 2ac 2 2 2 cos = a + b − c 2ab
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke c
s 2c =
a − b cos c
2
sa
+
b − a cos sb c
2
+
ab sin s [rad ] c
s a , s b = Standardabweichung der Strecken a, b s = Standardabweichung des Winkels [rad ]
2
27
28
2 Mathematische Grundlagen
Projektionssatz
a = b cos + c cos b = a cos + c cos c = b cos + a cos
Tangenssatz
a+b = a−b
+ 2 − tan 2
tan
b+c = b−c
+ 2 − tan 2
tan
c+a c−a =
+ 2 − tan 2
tan
Halbwinkelsätze
sin = 2
(s − b )(s − c ) bc
cos = 2
s( s − a ) bc
sin
= 2
(s − a )(s − c ) ac
cos
= 2
s( s − b ) ac
sin
= 2
(s − b )(s − a ) ab
cos
= 2
s( s − c ) ab
tan = 2
! (s − b )(s − c ) = s−a s(s − a )
! = 2 s−b ! tan = s − c 2 tan
s = 1 (a + b + c ) 2 !2 =
(s − a )(s − b )(s − c ) s
! = Inkreisradius
2.5 Trigonometrie
2.5.3 Additionstheoreme Trigonometrische Funktionen von Winkelsummen
sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos − sin sin sin( − ) = sin cos − cos sin cos( − ) = cos cos + sin sin tan( + ) =
tan + tan 1 − tan tan
cot( + ) =
cot cot − 1 cot + cot
tan( − ) =
tan − tan 1 + tan tan
cot( − ) =
cot cot + 1 cot − cot
Trigonometrische Funktionen des doppelten und des halben Winkels sin = 2 sin 2 cos 2 2 cos = cos 2 2 − sin 2 2 cos = 1 − 2 sin 2 cos = 2 cos 2 2 − 1 1 + cos = 2 cos 2 2 2 1 − cos = 2 sin 2
sin 2 = 2 sin cos cos 2 = cos 2 − sin 2 cos 2 = 1 − 2 sin 2 cos 2 = 2 cos 2 − 1 1 + cos 2 = 2 cos 2 1 − cos 2 = 2 sin 2 sin =
1 − cos 2 2
cos =
1 + cos 2 2
tan =
1 − cos 2 1 + cos 2
cot =
1 + cos 2 1 − cos 2
+ − cos 2 2 + − sin − sin = 2 cos sin 2 2 + − cos + cos = 2 cos cos 2 2 + − cos − cos = 2 sin sin 2 2 sin + sin = 2 sin
29
30
2 Mathematische Grundlagen
2.5.4 Sphärische Trigonometrie Rechtwinkliges Kugeldreieck a sin = sin sin c
sin = sin b sin c
b cos = tan tan c = cos a sin
a cos = tan tan c = cos b sin
tan a tan = sin b
tan = tan b sin a
cos c = cos a cos b = cot cot NEPERsche Regel: cos eines Stückes = Produkt der cot der benachbarten Stücke Produkt der sin der nicht benachbarten Stücke wobei a durch (90°- a) und b durch (90°- b) ersetzt und Winkel γ = 90° nicht beachtet wird. Schiefwinkliges Kugeldreieck
Sinussatz
sin a = sin b = sin c sin sin sin
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos Seitenkosinussatz
cos b = cos c cos a + sin c sin a cos cos c = cos a cos b + sin a sin b cos cos = − cos cos + sin sin cos a
Winkelkosinus
cos = − cos cos + sin sin cos b cos = − cos cos + sin sin cos c
Fläche
F = r 2 [rad ]
r = Radius
= + + − 180 (sphärischer Exzess)
3 Geodätische Grundlagen 3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen 3.1.1 Räumliches Bezugssystem Dreidimensionales rechtwinkliges Koordinatensystem mit gegebener Orientierung zur Bestimmung der Raumkoordinaten von Punkten. WGS 84 = World Geodetic System 1984
Z
Bezugsfläche: WGS 84 - Ellipsoid P
Koordinatenursprung im Massenmittelpunkt der Erde ZP XP
YP
X Meridian von Greenwich
X-Achse durch den Meridian von Y Greenwich Y-Achse rechtwinklig nach Osten auf der X-Achse Z-Achse mittlere Umdrehungsachse der Erde Seit 1989 realisiert durch das Europäische Referenznetz ETRS 89 (European Terrestrial Reference System 1989)
3.1.2 Lagebezugssystem Auf einer Bezugsfläche, meist einem Rotationsellipsoid, festgelegtes System von Lagekoordinaten. Im amtlichen Vermessungswesen der Bundesrepublik Deutschland benutztes Lagebezugssystem: DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz Bezugsfläche: Bessel-Ellipsoid Zentralpunkt: TP Rauenberg L 0 , B 0 Orientierung: Dreieckseite Rauenberg - Berlin, Marienkirche Abbildung: Gauß-Krüger-Projektion für Folgenetze
3.1.3 Höhenbezugssystem In der Regel ein System, dass durch eine Höhenbezugsfläche und ihren Abstand zu einem Zentralpunkt definiert ist. F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_3, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
3.1 Geodätische Bezugssysteme und Bezugsflächen
32
3.1.4 Bezugsfläche Mathematisch, physikalisch oder mittels vorhandener Festpunktfelder definierte Fläche, auf die sich Lagekoordinaten, Höhen oder Schwerepotenziale von Vermessungspunkten beziehen.
Bezugsflächen für Lagevermessungen oder räumliche Vermessungen Rotationsellipsoid Mittleres Erdellipsoid:
Ersatzfläche für das gesamte Geoid Ellipsoidisches geodätisches Referenzsystem (GRS 80)
Lokal bestanschließendes Erdellipsoid:
Ersatzfläche für einen Teil des Geoids
Referenzellipsoid:
Rotationsellipsoid, das als Bezugsfläche für eine Landesvermessung dient (z. B. Bessel-Ellipsoid) Parameter des Erdellipsoids: Ellipsoid Bessel GRS80 Krassowski große Halbachse a 6 377 397,155 m 6 378 137,00 m 6 378 245 m 6 356 863,019 m kleine Halbachse b 6 356 078,963 m 6 356 752,314 m Abplattung Abplattung
f=
(a − b) a
f
1: 299,1528153
1: 298,257 223 563
Erste numerische Exzentrizität
1:298,3
Zweite numerische Exzentrizität 2 2 e 2 = a −2b b
2 2 e 2 = a −2b a
Meridiankrümmungshalbmesser
M=
a2 b2 (a 2 cos 2 B + b 2 sin 2 B ) 3
=
a(1 − e 2 ) (1 − e 2 sin 2 B ) 3
Querkrümmungshalbmesser
N=
a2 = a 2 cos 2 B + b 2 sin 2 B
a (1 − e 2 sin 2 B )
Kugel als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid, für Vermessungen in kleineren Ländern Erdkugel
Radius R
Bildkugel
Radius der Soldnerschen Bildkugel Radius der Gaußschen Schmiegungskugel
RS = N RG = M N
Ebene als Lagebezugsfläche Bezugsfläche der Lagevermessung als Ersatz für ein Referenzellipsoid oder für eine Bildkugel, für Vermessungen in einem Gebiet bis zu 10 x10 km²
Höhenbezugsfläche
siehe 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
33
3.2 Geodätische Koordinatensysteme 3.2.1 Sphärisches geographisches Koordinatensystem
ϕ = Geographische Breite λ = Geographische Länge
3.2.2 Ellipsoidisches geographisches Koordinatensystem B = Ellipsoidische Breite Winkel, den der in der Meridianebene liegende Normalkrümmungshalbmesser N mit der Äquatorebene bildet L = Ellipsoidische Länge Winkel, den die elliposidische Merdianebene eines Punktes mit der geodätischen Nullmeridianebene bildet H E = Ellipsoidische Höhe Punkthöhe über dem Ellipsoid
3.2.3 Ellipsoidisches kartesisches Globalsystem X = (N + H E ) cos B cos L Y = (N + H E ) cos B sin L 2 Z = N sin B b 2 + H E sin B a
a = große Halbachse b = kleine Halbachse N = Normalkrümmungshalbmesser
34
3 Geodätische Grundlagen
3.2.4 Rechtwinklig-sphärisches Koordinatensystem
Die Abszissenachse ist ein Meridian durch den Koordinatenanfangspunkt P0 . Die Ordinate Y eines Punktes Pi ist das sphärische Lot von Pi auf die Abszissenachse, die Abszisse X von Pi ist der Meridianbogen vom Koordinatenanfangspunkt P0 bis zum Ordinatenlotfußpunkt.
T = Sphärischer Richtungswinkel
3.2.5 Rechtwinklig-ebenes Koordinatensystem
I,II,... Quadranten t = ebener Richtungswinkel s = Strecke
3.2.6 Polarkoordinaten
Φ = Polarwinkel Anmerkung: Ist die Nullrichtung = Abszissenachse, so ist der Polarwinkel = Richtungswinkel
s = Strecke
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
35
3.2.7 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem (GK-System) Das GK-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten auf dem Ellipsoid in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 3° breiten Meridianstreifen.
Meridianstreifen Jeder Meridianstreifen hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 1° 40' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 6°, 9°, 12° und 15° östlich von Greenwich. Die Meridianstreifen werden in östlicher Richtung durchnummeriert und mit einer Kennzahl bezeichnet. Kennzahl K z = L 0 /3
L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) R = Rechtswert = Ordinate = R 0 + y
R 0 = Ordinatenwert des Hauptmeridians = K z 10 6 + 500 000 m y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: 3 5 y=Y+ Y 2 + Y 4 +
6R 24R
R = Erdradius 6380 km
H = Hochwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) eines 3° breiten Meridianstreifens. Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Die Abszisse wird längentreu abgebildet:
x= X
36
3 Geodätische Grundlagen
3.2.8 Universales Transversales Mercator- Koordinatensystem (UTM-System) Das UTM-System ist eine winkeltreue Abbildung von Punkten in ein ebenes rechtwinkliges Koordinatensystem für den Bereich von 60 Zonen von je 6° breiter Ost-West-Ausdehnung.
Zonen Jede Zone hat eine tatsächliche Ost-West-Ausdehnung von +/- 3° 30' beiderseits des Bezugsmeridians. Bezugsmeridiane für das Gebiet der Bundesrepublik Deutschland sind die Meridiane L 0 = 3°, 9° und 15° östlich von Greenwich. Die Zonen werden in östlicher Richtung von 1 bis 60 durchnummeriert. Zonennummer Z =
L0 + 3 + 30 6
L 0 = Bezugsmeridian (Hauptmeridian) E = Ostwert = Ordinate = E 0 + y
E 0 = (Z + 0, 5 ) 10 6 m y = Länge des elliptischen Lotes auf den Hauptmeridian Die Ordinate wird mit vorgegebenem Maßstab abgebildet: 3 5 y= Y+ Y 2 + Y 4 +
6R 24R
R = Erdradius 6380 km N = Nordwert = Abszisse Abstand des Ordinatenfußpunktes vom Äquator aus auf dem Hauptmeridian. Die Abszissenachse ist jeweils der Bezugsmeridian (Hauptmeridian) Abszissenanfangspunkt P 0 ist der Schnitt der Abszissenachse mit dem Äquator. Abbildungsmaßstab des Bezugsmeridians
m 0 = 0, 9996
3.2 Geodätische Koordinatensysteme
37
3.2.9 Horizontale Bezugsrichtungen Zur Zeit gelten in Deutschland für die als horizontale Bezugsrichtungen verwendeten Nordrichtungen folgende Anordnungen
Standpunkt westl. des Bezugsmeridians
Standpunkt im Bezugsmeridian
Standpunkt östl. des Bezugsmeridians
L < L0
L = L0
L > L0
Nordrichtungen GgN = Geographisch-Nord (Nördliche Richtung des durch den Standpunkt verlaufenden Meridians) GiN = Gitter-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden Parallelen zum Bild des Bezugsmeridians) MN = Magnetisch-Nord (Nördliche Richtung der durch den Standpunkt verlaufenden horizontalen Projektion der magnetischen Feldlinien) Magnetisch-Nord ändert sich zeitlich auf Grund der Wanderung des magnetischen Nordpols. Damit sind auch die Deklination D und die Nadelabweichung d zeitlich veränderlich.
38
3 Geodätische Grundlagen
Deklination D
= Winkel zwischen GgN und MN, von GgN nach Osten +, nach Westen -
Nadelabweichung d
= Winkel zwischen GiN und MN, von GiN nach Osten +, nach Westen -
Meridiankonvergenz c
= Winkel zwischen GiN und GgN von GgN nach Osten +, nach Westen (im Bezugsmeridian GiN = GgN ; c = 0)
Näherungsformel für c:
c O (L − L 0 ) sin ' O
y ! tan ' N
L − L0 = geogr. Längenunterschied zwischen Standpunkt und Bezugsmeridian ' = Geographische Breite N = Querkrümmungshalbmesser ( siehe 3.1.4) y = Abstand vom Bezugsmeridian !=
200gon bzw. 180
4 Vermessungstechnische Grundaufgaben 4.1 Einfache Koordinatenberechnungen 4.1.1 Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )
y = y 2 − y 1
x = x 2 − x 1 Richtungswinkel t 1,2 = arctan
y x
Quadrant I II III IV
t t t + 200 gon t + 200 gon t + 400 gon
y x Funktion auf Taschenrechner: arctan = tan-1 + + -
+ +
+ + -
arctan arctan arctan arctan
Formel für quadrantengerechten Richtungswinkel nach JOECKEL y = y 2 − y 1 + 1 10 −a x = x 2 − x 1 + 1 10 −a a entspricht der Stellenzahl, mit der gerechnet wird. (z.B. a = 8 bei achtstelliger Genauigkeit) t [rad ] = arctan
y + − (1 + sgnx ) sgny x 2
y t [gon ] = 200 arctan x + 200 − (1 + sgnx ) sgny 100 Für Taschenrechner mit voreingestellter Einheit ”Gon”
t [gon ] = arctan
y + 200 − (1 + sgnx ) sgny 100 x
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_4, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
40
4 Vermessungstechnische Grundlagen
Richtungswinkel und Strecke Gegeben: Koordinaten der Punkte P1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 )
y = y 2 − y 1
x = x 2 − x 1
Strecke
s 1,2 = y 2 + x 2 Probe:
y + x = (y 2 + x 2 ) − (y 1 + x 1 ) = s 2 sin(t 1,2 + 50 gon )
Genauigkeit: Standardabweichung eines Richtungswinkels
s t [rad ] =
sP s
s P = Standardabweichung eines Punktes s = Strecke Standardabweichung einer Strecke nach PYTHAGORAS
ss =
y s
2
s 2y 1 + s 2y 2 + x s
2
s 2x 1 + s 2x 2
s s = s 21 + s 22 fu¨r s 1 = s y 1 = s x 1 und s 2 = s y2 = s x2 s xi , s yi = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes Die Berechnung von Richtungswinkel und Strecke ist auch mit der Tastenfunktion R - P eines Taschenrechners möglich. Die Rechenfolge ist aus der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen.
Näherungsformel für Spannmaßberechnung
c = a+d
2 dO b 2a
a O c ; b klein
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
41
4.1.2 Polarpunktberechnung Gegeben: Koordinaten des Punktes P1 (y1 , x 1 ) Richtungswinkel t Strecke s
Koordinatenunterschiede
x = s cos t
y = s sin t
Probe: s 2 = y 2 + x 2
Koordinaten des Punktes P i
y i = y 1 + y
x i = x 1 + x
Die Polarpunktberechnung kann auch mit der Tastenfunktion P - R eines Taschenrechners erfolgen. Die Rechenfolge ist der Gebrauchsanweisung des Taschenrechners zu entnehmen. Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sy =
y s ss
2
+ (x s [rad ]) 2
sx =
x s s s
2
+ (y s [rad ]) 2
Standardabweichung eines Punktes
s P = s 2x + s 2y
s P = s 2s + (s s [rad ])
2
Standardabweichung der Querabweichung
s q = s s [rad ]
s t = s = Standardabweichung des Richtungswinkels s s = Standardabweichung einer Strecke s y , s x = Standardabweichung der Koordinaten eines Punktes
42
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.3 Kleinpunktberechnung Kleinpunkt in der Geraden
Gegeben: Koordinaten der Punkte PA (Y A , XA ) und PE (Y E , XE ) Abszissen im örtlichen Koordinatensystem x A , x i , x E s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter
o=
YE − YA s
a=
XE − XA s
Probe:
a2 + o2 O 1 YE = YA + o s
XE = XA + a s
Maßstabsfaktor
m= S s Koordinaten der Punkte P i
Y i = Y A + o (x i − x A ) Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] − n x A )
X i = X A + a (x i − x A )
[X i ] = n X A + a ([x i ] − n x A )
n = Anzahl der Punkte Pi oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen Seitwärts gelegener Punkt
Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (Y A , X A ) und P E (Y E , XE ) Örtliche Koordinaten der Punkte Pi (yi , xi ) s = x E − x A = gemessene Strecke S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2 = gerechnete Strecke Parameter
o=
YE − YA s
a=
XE − XA s
Probe:
a2 + o2 O 1 YE = YA + o s
XE = XA + a s
Maßstabsfaktor
m= S s
Koordinaten der Punkte P i
Y i = Y A + o (x i − x A ) + a y i Probe: [Y i ] = n Y A + o ( [x i ] − n x A ) + a [y i ]
n = Anzahl der Punkte Pi oder Berechnung von Y E , X E von P A über P i
X i = X A + a (x i − x A ) − o y i
[X i ] = n X A + a ( [x i ] − n x A ) − o [y i ]
43
44
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.4 Höhe und Höhenfußpunkt Gegeben: Seiten a, b, c
2 2 2 p= b +c −a 2c
h = a 2 − q2
2 2 2 q= a +c −b 2c
h = b 2 − p2
p+q= c Genauigkeit: Standardabweichung der Seite p
sp =
b s c b
2
+ 1 sc 2
2
+ a c sa
2
Standardabweichung der Höhe h
sh =
b 2 s 2b + p 2 s 2p h2
s a , s b , s c = Standardabweichung der Seiten a,b,c
4.1.5 Schnitt mit Gitterlinie
Yi = YA +
Y E − Y A (X i − X A ) (X E − X A )
Xi = XA +
(X E − X A )(Y i − Y A ) (Y E − Y A )
4.1 Einfache Koordinatenberechnungen
4.1.6 Geradenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ), P 2 (y 2 , x 2 ), P 3 (y 3 , x 3 )und P 4 (y 4 , x 4 )
1. Möglichkeit
y2 − y1 tan t 1,2 = x 2 − x 1
y4 − y3 tan t 3,4 = x 4 − x 3
Koordinaten des Schnittpunktes P S
xS = x3 +
y S = y 1 + (x S − x 1 ) tan t 1,2
(y 3 − y 1 ) − (x 3 − x 1 ) tan t 1,2 tan t 1,2 − tan t 3,4
oder
y S = y 3 + (x S − x 3 ) tan t 3,4 Probe: y2 − yS tan t 1,2 = x 2 − x S
oder
y4 − yS tan t 3,4 = x 4 − x S
2. Möglichkeit: Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 3,1 , t 3,4 und der Strecke s 1,3 aus Koordinaten siehe Abschnitt 4.1.1
s 1,S = s 1,3
sin(t 3,1 − t 3,4 ) sin(t 3,4 − t 1,2 )
Koordinaten des Schnittpunktes P S
y S = y 1 + s 1,S sin t 1,2 Probe:
t 1,2 = t 1,S
x S = x 1 + s 1,S cos t 1,2
45
46
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.1.7 Schnitt Gerade - Kreis
Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (y A , x A ), P B (y B , x B ) und des Kreismittelpunktes P M (y M , x M ) Radius r Berechnung der Richtungswinkel t A,B , t A,M und der Strecken AB, AM aus Koordinaten
(siehe Abschnitt 4.1.1)
= t A,M − t A,B h = AM sin
h > r : keine Lösung h = r : eine Lösung h < r : 2 Lösungen
HS = r 2 − h 2 2
AH = AM − h 2 AS 1 = AH − HS
AS 2 = AH + HS
Koordinaten der Schnittpunkte
y S 1 = y A + AS 1 sin t A,B
y S 2 = y A + AS 2 sin t A,B
x S 1 = x A + AS 1 cos t A,B
x S 2 = x A + AS 2 cos t A,B
Probe:
SM = r
und
t A,B = t A,S
4.2 Flächenberechnung
47
4.2 Flächenberechnung 4.2.1 Flächenberechnung aus Maßzahlen Dreieck Allgemein
2F = Grundseite Ho¨he 2F = a b sin = a c sin = b c sin 2F = 4 r 2 (sin sin sin ) 2F =
2
r = Umkreisradius
2
b c a2 = = cot + cot cot + cot cot + cot
2F = 2 s(s − a )(s − b )(s − c ) ; s = a + b + c 2 Rechtwinkliges Dreieck
2F = a b
Gleichschenkliges Dreieck
2F = a 2 sin
Gleichseitiges Dreieck
2F = 1 a 2 3 2
Trapez Allgemein
Verschränktes Trapez
2 c2 2F = cota − + cot
2F = (xE − x A )(y E + y A )
2F = (a + c) h
Kreis Kreisfläche
F = r2
Kreisausschnitt (Sektor)
F = [rad ] r 2 2
Kreisabschnitt (Segment)
2 F = r ([rad] − sin ) 2
48
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.2.2 Flächenberechnung aus Koordinaten Gaußsche Flächenformel Trapezformel
Dreiecksformel
n
2F =
(y i + y i +1 )(x i − x i +1 ) i =1
2F =
(x i + x i +1 )(y i +1 − y i ) i =1
n
n
2F =
y i (x i −1 − x i +1 ) i =1
2F =
x i (y i +1 − y i −1 ) i =1
n
Flächenberechnung im Uhrzeigersinn X Fläche positiv Flächenberechnung gegen den Uhrzeigersinn X Fläche negativ
Fläche aus Polarkoordinaten
Nullrichtung
2 3
1
r i = gemessene Richtung
s1
s i = gemessene Strecke
r1
5
4
Standpunkt
Grundformel: F = 1 a b sin 2
2F =
n
s i s i +1 sin(r i +1 − r i ) i =1
4.2.3 Flächenreduktion im Gauß-Krüger-System r F [m 2 ] =
Y 2 [km 2 ] F [m 2 ] R 2 [km 2 ]
R = Erdradius 6380 km Y = Abstand vom Mittelmeridian
4.2.4 Zulässige Abweichungen für Flächenberechnungen Baden-Württemberg:
Z F bedeutet die größte zulässige Abweichung in Quadratmetern zwischen einer aus Landeskoordinaten berechneten Fläche F und der im Liegenschaftskataster nachgewiesen Flurstücksfläche Z F = 0, 2 F Genauigkeitsstufe 1, 2
4.3 Flächenteilungen
49
4.3 Flächenteilungen 4.3.1 Dreieck Nach der Ermittlung der Strecken si werden die Koordinaten der Neupunkte Pi mit diesen Strecken si über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen
Von einem Eckpunkt
s=
F 1 AB 2F 1 = F h
F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche
Durch gegebenen Punkt P
s=
F 1 AC AB 2F 1 AC = F AP h AP
F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche Parallel zur Grundlinie
s 1 = AC
F1 F
s 2 = BC
F1 F
F = ΔABC ; F1 = Teilungsfläche
Parallel zur Höhe
Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt
s 1 = AC
F1 F2
F 1 =Teilungsfläche
s 2 = AE F 2 = AE h 2
F1 F2
50
4 Vermessungstechnische Grundlagen
4.3.2 Viereck Nach der Ermittlung der Strecken si werden die Koordinaten der Neupunkte Pi mit diesen Strecken si über die Kleinpunktberechnung ermittelt. Probe: F1 aus Koordinaten berechnen
Von einem Eckpunkt
s=
2F 1 F 1 AB = F ABD h1
F1 = Teilungsfläche
Durch gegebenen Punkt P
F 1 = F 1 − F APD
F1 = Teilungsfläche
s=
F 1 AB F ABP
Parallelteilung
x = a2 − 2F1 (cot + cot ) 2F h 1 = a + 1x s1 =
h1 sin
s2 =
h1 sin
F1 = Teilungsfläche Senkrechtteilung Berechnung von h , AE mit Höhe und Höhenfußpunkt F 1 = F 1 − F AED F1 = Teilungsfläche
x = h 2 − 2F 1 cot
s1 =
s2 =
s 1 = AE + s 1
s1 sin
Sonderfall s = F 1 cot
2
F1 = Teilungsfläche
F y = s1
2F 1 h+x
5 Winkelmessung 5.1 Instrumentenfehler am Theodolit Zielachsenfehler c c ist der Winkel, um den die Zielachse des Theodolits vom rechten Winkel zur Kippachse abweicht.
k c ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Zielachsenfehlers. Bestimmung: Anzielen eines etwa in Kippachsenhöhe liegenden Punktes in zwei Fernrohrlagen
c=
(A II − A I ) − 200 gon 2
A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II Auswirkungen auf die Horizontalrichtung
kc =
c sin z
z = Zenitwinkel Minimum z = 100 gon ; k c = c Maximum z = 0 gon Auswirkungen auf den Horizontalwinkel
kc = c
1 − 1 sinz 2 sinz 1
Der Zielachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.
Kippachsenfehler k k
ist der Winkel, um den die Kippachse vom rechten Winkel zur Stehachse abweicht.
k k ist die Korrektion einer Richtung in einer Fernrohrlage wegen eines Kippachsenfehlers.
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_5, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
52
5 Winkelmessung
Kippachsenfehler Bestimmung: a) Anzielen eines hochgelegenen Punktes in zwei Fernrohrlagen
k=
(A II − A I ) − 200 gon − c tan z 2 sin z
AI = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel b) Abloten eines hohen Punktes in zwei Fernrohrlagen, nachdem Steh- und Zielachsenfehler beseitigt sind.
k = arctan l tan z 2s l = Abstand A 1 A 2 am Maßstab s = Abstand Theodolit-Maßstab z = Zenitwinkel Auswirkung auf die Horizontalrichtung
k k = k cot z z = Zenitwinkel Minimum z =100 gon ; k = 0 Maximum z = 0 gon Auswirkung auf den Horizontalwinkel
k k = k (cot z 2 − cot z 1 ) Der Kippachsenfehler kann durch Beobachten der Horizontalrichtung in zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Messwerte eliminiert werden.
Gemeinsame Bestimmung von Zielachsen- und Kippachsenfehler Messung einer Horizontalrichtung zu zwei Punkten in zwei Fernrohrlagen
R i = (A II − A I − 200 gon ) = 2k c + 2k k A I = Ablesung Horizontalrichtung Lage I A II = Ablesung Horizontalrichtung Lage II z = Zenitwinkel Kippachsenfehler
k=
R 1 sin z 1 − R 2 sin z 2 2(cos z 1 − cos z 2 )
Zielachsenfehler
c=
R 1 sin z 1 − 2k cos z 1 2
5.1 Instrumentenfehler am Theodolit
53
Höhenindexkorrektion k z Korrektion eines in einer Fernrohrlage gemessenen Zenitwinkels wegen fehlerhafter Stellung des Höhenindex. Bestimmung: Anzielen eines Punktes in beiden Fernrohrlagen und Ablesen der Zenitwinkel
kz =
400 gon − (z I + z II ) 2
z I = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II = Ablesung Zenitwinkel Lage II Verbesserung
vz = kz Die Höhenindexkorrektion wird durch Beobachten des Zenitwinkels in zwei Fernrohrlagen und Abgleichung der Ablesungen auf 400gon eliminiert .
Stehachsenfehler v Winkel, den die Stehachse des Theodolits mit der Lotrichtung bildet. Kein Instrumentenfehler, deshalb nicht durch Messung in zwei Fernrohrlagen zu eliminieren. Bestimmung: Ablesung des Zenitwinkels z bei Horizontalrichtungen von R = 0, 100, 200 und 300 gon (z 0 , z 1 , z 2 , z 3 )
v 1 = 1 (z 2 − z 0 ) 2
v 2 = 1 (z 3 − z 1 ) 2
Auswirkung auf die Horizontalrichtung R i
k v = (v 1 sin R i − v 2 cos R i ) cot z i
54
5 Winkelmessung
5.2 Horizontalwinkelmessung 5.2.1 Begriffsbestimmung Beobachten in Halbsätzen:
Beobachten in Lage I (A I ) Teilkreisverstellung um wenige gon Beobachten in Lage II (A II )
Beobachten in Vollsätzen:
Beobachten in Lage I (A I ) und Lage II (A II ) Teilkreisverstellung um 200/n weitere (n - 1) Beobachtungen in Lage I und Lage II
n = Anzahl der Sätze
5.2.2 Satzweise Richtungsmessung Berechnung: Reduzierung der Ablesungen in jedem Satz auf die erste Richtung R 1
Ri =
A I + (A II 200 gon ) − R 1 [Lage I ] 2
A I = Ablesung Lage I A II = Ablesung Lage II Mittel aus allen Sätzen [R ] R iM = ni
n = Anzahl der Sätze
s = Anzahl der Richtungen
Summenprobe
[A I ] + [A II ] = 2n [R iM ] + s (R 1 [Lage I ] + R 1 [Lage II ]) Genauigkeit:
d i = R iM − R i
v i = d i − [d ] / s
[v i ] = 0
Standardabweichung einer in einem Satz beobachteten Richtung
sR =
[vv ] (n − 1 )(s − 1 )
n = Anzahl der Sätze
s = Anzahl der Richtungen
Standardabweichung einer in n-Sätzen beobachteten Richtung
sR = sR 1 n Standardabweichung eines Winkels
s = sR 2
5.2 Horizontalwinkelmessung
5.2.3 Winkelmessung mit Horizontschluss Alle Winkel zwischen zwei Richtungen werden einzeln beobachtet.
Berechnung: ausgeglichener Winkel
i = i + v v = −w / s
Widerspruch
w = [ i ] − 400 gon s = Anzahl der Richtungen
Genauigkeit: Standardabweichung eines in n-Sätzen beobachteten Winkels
s n = w s s = Anzahl der Richtungen Standardabweichung eines ausgeglichenen Winkels
s = s n 1 − 1 s s = Anzahl der Richtungen Standardabweichung eines in einem Satz beobachteten Winkels
s = s n n n = Anzahl der Sätze
55
56
5 Winkelmessung
5.2.4 Satzvereinigung von zwei unvollständigen Teilsätzen Es sind mindestens zwei gemeinsame Ziele notwendig
1. Reduzieren
o i = R 1i − R 2i R 1i = Richtung 1. Teilsatz R 2i = Richtung 2. Teilsatz 2. Orientierungsunbekannte [o ] o = ni
n = Anzahl der gemeinsamen Ziele 3. orientierte Richtung
R oi = R 2i + o 4. endgültige Richtung
Ri =
R 1i + Roi 2
Summenprobe
[R2i ] + s o = [Roi ] s = Anzahl der Richtungen
Verbesserung
v 1i = R i − R 1i v 2i = R i − R oi vi =
(v 1i + v 2i ) 2
Probe:
[v i ] = [v 1i ] = [v 2i ] = 0
5.3 Vertikalwinkelmessung
5.3 Vertikalwinkelmessung Höhenindexkorrektion kz =
400 gon − (z I + z II ) 2
korrigierter Winkel zI =
(z I − z II ) + 400 gon 2
oder
zI = zI + kz
;
z II = z II + k z
z I = Ablesung Zenitwinkel Lage I z II = Ablesung Zenitwinkel Lage II Summenprobe pro Standpunkt
[z I ] + n k z = n z n = Anzahl der Sätze Genauigkeit: Standardabweichung für die einmal bestimmte Höhenindexkorrektion
s kz =
[k z k z ] sn−1
s = Anzahl der Richtungen n = Anzahl der Sätze Standardabweichung des Mittels aller n s Höhenindexkorrektionen
s kz =
s kz ns
Standardabweichung eines in n-Sätzen beobachteten Zenitwinkels
sz =
s kz n
also s z > s k z
57
58
5 Winkelmessung
5.4 Winkelmessung mit der Bussole
d' = Missweisung der Sicht W' = gemessenes magnetisches Azimut t = Richtungswinkel c = Meridiankonvergenz D = Deklination Bestimmung der Missweisung der Sicht d': Messung des magnetischen Azimuts W' auf einem koordinierten Punkt P1 nach einem koordinierten Punkt P2
d =t−W Die Missweisung der Sicht enthält außer der Deklination D und der Meridiankonvergenz c auch noch etwaige Instrumentenfehler.
5.5 Winkelmessung mit dem Vermessungskreisel
U = Kreiselanzeige E = Gerätekonstante N = Nordlage des Kreisels Z = Zielung c = Meridiankonvergenz W = Weisung
Geodätisches Azimut
= Z−N = W+E Richtungswinkel
t = A−c
Astronomisches Azimut
A = − tan B = ( a − L ) cos B B = Ellipsoidische Breite L = Ellipsoidische Länge a = Astronomische Länge
6 Strecken- und Distanzmessung 6.1 Streckenmessung mit Messbändern - Korrektionen und Reduktionen Temperaturkorrektion
k t = (t − t 0 ) D A
D A = abgelesene Bandlänge
α = Ausdehnungskoeffizient : α Stahl = 0,0000115 m/m °C α Invar = 0,000001 m/m °C t = Bandtemperatur
t0 = Bezugstemperatur, t0 = 20°C
Kalibrierkorrektion
kk =
D Ist DA D0
D A = abgelesene Bandlänge
D Ist = Ist-Wert eines Messbandes Bestimmung auf einer Vergleichsstrecke oder auf einem Komparator D 0 = Solllänge des Messbandes unter Normalbedingungen (Nennmaß)
Länge eines freihängenden Bandes
D = DA + k k + k t
Alignementreduktion wegen Messbandneigung sowie seitlicher Auslage 2
ra = − h 2D Durchhangreduktion bei gleichen Höhen der Bandenden
rd = −
D3 p2 24F 2
F = Spannkraft gemessen in N p = Eigengewicht des Messbandes pro Längeneinheit in N/m
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_6, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
60
6 Strecken- und Distanzmessung
6.2 Optische Streckenmessung 6.2.1 Basislattenmessung s = b cot 2 2
Gegeben:
Basis b
Gemessen:
Parallaktische Winkel
Genauigkeit: Standardabweichung der berechneten Strecke s
ss =
2
s s b b
2 + s s [rad] b
2
b fehlerfrei:
s b = Standardabweichung der Latte b s = Standardabweichung des Winkels γ Messanordnungen: Basis am Ende (s < 75 m)
s = b cot 2 2 Genauigkeit:
s s [cm] O 8, 0 s [mgon ] s 2 [hm] Basis in der Mitte (75 m < s < 150 m) 1 2 s = b cot + cot 2 2 2 Genauigkeit:
s s [cm] O 2, 8 s [mgon ] s 2 [hm]
Hilfsbasis am Ende (150 m < s < 400 m) Forderung:
be O b
b b e = b cot 2 2
be O b s
s = be
sin + b e sin b e
Genauigkeit:
s s [scm ] O 1, 6 s [mgon ] s 3 [hm ]
2 s s = s s[rad ] b
6.2 Optische Streckenmessung
6.2.2 Parallaktische Streckenmessung
Lo L z2
Lu
z1 s
Gemessen:
Zenitwinkel z 1 , z 2 Lattenablesung oben L o Lattenablesung unten L u
L − Lu s = cot z o − cot z2 1 Genauigkeit: Standardabweichung der Ablesung an der Latte oben/unten
s Lo = s Lu = s s z [rad] Standardabweichung der Lattenablesung
sL = sLo 2 = s 2 s z [rad] Standardabweichung der Strecke
ss =
s2 2 s z [rad ] L
s z = Standardabweichung des Zenitwinkels L = Lo − Lu
61
62
6 Strecken- und Distanzmessung
6.2.3 Strichentfernungsmessung (REICHENBACH)
Gemessen:
Bekannt:
Zenitwinkel z Lattenablesung oben L o oder Lattenablesung unten L u Instrumentenhöhe i = arctan 1 2k
Lattenablesung oben L o Lattenablesung Mitte L m
k = 100
ε = 0,3183 gon
Ablesung: Ober- und Unterstrich
D=
Lo − Lu cot(z − ) − cot(z + )
H = D cot(z + ) − L u + i
Ablesung: Ober- und Mittelstrich
D=
Lo − Lm cot(z − ) − cot z
H = D cot z − L m + i
Näherungsformel:
D = 100 L cos 2 = 100 L sin 2 z h = 100 L sin cos = 100 L sin z cos z
H = h − L m + i L = Lo − Lu
6.3 Elektronische Distanzmessung
63
6.3 Elektronische Distanzmessung 6.3.1 Elektromagnetische Wellen Signalgeschwindigkeit Lichtgeschwindigkeit Brechzahl n der Atmosphäre
c c = n0 c 0 = 299 792 458 m/s
c n = c0
N = (n − 1) 10 6
n = n (p,t,e,λ )
p = Luftdruck t = Temperatur e = Feuchte
λ = Trägerwellenlänge Frequenz
c f=
6.3.2 Messprinzipien der elektronischen Distanzmessung Impulsverfahren Der Sender sendet nur während sehr kurzer Zeit und das ausgesandte Wellenpaket (Puls) dient als Messsignal
D=
c0 t 2n
t = Impulslaufzeit c 0 = Lichtgeschwindigkeit n = Brechzahl der Atmosphäre Phasenvergleichsverfahren Der vom Sender kontinuierlich abgestrahlten Welle wird ein periodisches Messsignal aufmoduliert
D = n
M ' M + 2 2 2
M = Modulationswellenlänge n = Anzahl der M ' = Phasendifferenz
64
6 Strecken- und Distanzmessung
6.3.3 Einflüsse der Atmosphäre Brechzahl N bei Licht als Trägerwelle für Normatmosphäre nach DIN ISO 2533 (Luft trocken; 0,03% CO2; T = 273 K
p = 1023,25 hPa)
Gruppenbrechungsindex n Gr nach BARRELL und SEARS
(nGr − 1) 106 = 287, 604 + 3
1, 6288 0, 0136 +5 2T 4T
T = Trägerwellenlänge für tatsächliche Verhältnisse Brechungsindex n L nach KOHLRAUSCH
N L = (n L − 1 ) = 987 10 −6
(n Gr − 1 ) 4, 1 10 −8 p− e (1 + t ) (1 + t )
t = Trockentemperatur in °C ; tf = Feuchttemperatur in °C p = Luftdruck in hPa e = Partialdampfdruck des Wasserdampfs in hPa α = Ausdehnungskoeffizient der Luft = 0,003661 Einfluss von e vernachlässigbar klein ! Genauigkeit:
dN L = dn L 10 6 = 0, 29dp − 0, 98dt − 0, 06dt f Standardabweichung der Distanz D
Einfluss von p,t,t f
s D = 0, 09s 2p + 0, 96s 2t + 0, 004s 2t f 10 −6 D Repräsentative Brechzahl Bestimmung der Brechzahl n m Messung von p 1 , t 1 , t f1 auf Station 1 Messung von p 2 , t 2 , t f2 auf Station 2
n 1 = n 1 (p 1 , t 1 , t f 1 ) n 2 = n 2 (p 2 , t 2 , t f 2 )
nm =
n1 + n2 2
Brechzahl nur repräsentativ, wenn günstige Witterungsbedingungen vorliegen d. h. bedeckt, leichter Wind
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen 6.4.1 Frequenzkorrektion kf = Da
f0 − f f
c0 = Bezugsfrequenz no f = gemessene Frequenz D a = abgelesene Distanz
f0 =
λ = Trägerwellenlänge c 0 = Lichtgeschwindigkeit n o = Bezugsbrechzahl
6.4.2 Zyklische Korrektion Bestimmung: Messanordnung im Labor
Auswertung:
d i = (L i − L 0 ) − (D i − D 0 )
Graphische Bestimmung der Sinusfunktion - Auftragen der Differenz d i im oben dargestellten Diagramm - Konstruktion der Sinuskurve, Abgreifen der erforderlichen Werte
k zi = A sin 2 (D i − C ) U
mit
C = DC − n U
A = Amplitude der zyklischen Verbesserung U = λ /2 = Länge des Feinmaßstabes λ = Modulationswellenlänge n = Anzahl der ganzen Wellen D i = Distanz
65
66
6 Strecken- und Distanzmessung
6.4.3 Nullpunktkorrektion Nullpunktkorrektion und Maßstabskorrektion aus Vergleich mit Sollstrecken Einteilung: Alle Teilstrecken an der gleichen Stelle des Feinmaßstabes gleichmäßig über die Gesamtstrecke verteilen, Bestimmung mit Schräg- oder Horizontalstrecken
D = D Soll − D
Ausgleichende Gerade:
D = Da + kn + kf + kz
D a = gemessene Distanz k n = meteor. Korrektion k f = Frequenzkorrektion k z = zyklische Korrektion
D = k 0 + k M D
Ausgleichung: Verbesserungsgleichung: v i = k 0 + k M D i − D i
Nullpunktkorrektion k 0(mm) =
D in km; ΔD in mm
Maßstabskorrektion für 1 km
[DD ] [D ] − [D ] [D D ] n [DD ] − [D ] 2
k M(mm) =
−[D ] [D ] + n [D D ] n [DD ] − [D ] 2
Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit (einer gemessenen Strecke)
s0 = sD =
[v i v i ] n−2
n = Anzahl der Messungen
Standardabweichung der Nullpunktkorrektion
s k0 = s 0 Q k0k0
Q k 0 k0 =
[DD ] [ n DD ] − [D ] 2
Standardabweichung der Maßstabskorrektion
s kM = s 0 Q kMkM
Q kMk M =
n n [DD ] − [D ] 2
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
67
Nullpunktkorrektion Bestimmung der Nullpunktkorrektion durch Streckenmessung in allen Kombinationen Einteilung: Geradlinige Raumstrecke unterteilt in t Teilstrecken Anzahl der möglichen Strecken: n =
t ( t + 1) 2
Lageskizze für t = 4 Teilstrecken:
Direkte Berechnung : Allgemein
k0 =
t t −j +1
6 t (t 2 − 1 ) j =1
(2i − t − 1 ) D 0,5(−j
i =1
2 +(2t
+3 )j )+i −t −1
Geschlossene Formel für 3 Teilstrecken
k 0 = 1 (−2D 12 + 2D 14 − 2D 23 − 2D 34 ) 4 Geschlossene Formel für 4 Teilstrecken
k 0 = 1 (−3D 12 − D 13 + D 14 + 3D 15 − 3D 23 − D 24 + D 25 − 3D 34 − D 35 − 3D 45 ) 10 Geschlossene Formel für 5 Teilstrecken
k 0 = 1 (−2D 12 − D 13 + D 15 + 2D 16 − 2D 23 − D 24 + D 26 − 2D 34 − D 35 − 2D 45 − D 46 − 2D 56 ) 10
68
6 Strecken- und Distanzmessung
Nullpunktkorrektion Berechnung der Nullpunktkorrektion und der Teilstrecken über Ausgleichungsrechnung( Matrizenschreibweise):
p = t + 1 Unbekannte (t Teilstrecken, 1 Nullpunktkorrektion) Verbesserungsgleichungen
v ij =
v=AX-l
k =j −1
k =i
x k − k 0 − Dij
für i = 1(p − 1 )
und j = (i + 1 )p
Normalgleichungen
NX-r=0 Unbekannte
X = N −1 r = Q xx r v = Vektor der Verbesserungen X = Vektor der Unbekannten l = Vektor der Beobachtungen (Strecken D) r = Vektor der Absolutglieder (r = A T l) A = Koeffizientenmatrix der Unbekannten N = Normalgleichungsmatrix Q xx = Kofaktorenmatrix der Unbekannten (Inverse N −1 der Normalgleichungsmatrix) Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 = sD =
[v T v ] n−p
n − p = 1 (t + 1 )(t − 2 ) 2
n = Anzahl der Messungen Standardabweichung der Nullpunktkorrektion s k0 = s 0
6 = s 0 Q k0k0 t( t − 1 )
t = Anzahl der Teilstrecken Standardabweichung der unbekannten Teilstrecken
s xi = s 0
2(d + 1 ) = s 0 Q xix i t+1
t = Anzahl der Teilstrecken
d=
12 t (t 2 − 1 )
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen
69
6.4.4 Meteorologische Korrektion ( 1. Geschwindigkeitskorrektion) kn = Da
(n o − n ) n
D = Da + k n
D a = gemessene Distanz n 0 = Bezugsbrechzahl n = tatsächliche Brechzahl der Atmosphäre
6.4.5 Geometrische Reduktionen Neigungs- und Höhenreduktion
r N,H = r N + r H
r N = Neigungsreduktion r H = Höhenreduktion
Höhenunterschied gegeben: für Strecken < 10 km: S R = D und S = S0
r N,H = D
H2 − H 1 2 D H H 1 + R1 1 + R2 1−
−1
S = D + r N,H
D = gemessene Distanz einschließlich der meteorolog.Korrektionen S R = Schrägstrecke S = Strecke auf Bezugsfläche S 0 = Sehne R = Erdradius 6380 km H 1 , H 2 = Höhe über dem Ellipsoid
70
6 Strecken- und Distanzmessung
Geometrische Reduktion Neigungs- und Höhenreduktion Näherungsformel für kurze Strecken und kleine Höhenunterschiede
S R = D und S = S 0
Reduktion wegen der Neigung
r N O − H 2D
Reduktion wegen Höhe 2 H r H O − D − H m R 2D
2
H = H 2 − H 1
Hm =
H1 + H2 2
S = D + rH + rN D = gemessene Distanz einschließlich der meteorolog.Korrektionen S R = Schrägstrecke S = Strecke auf Bezugsfläche S 0 = Sehne R = Erdradius 6380 km H 1 , H 2 = Höhe über dem Ellipsoid Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S Einfluss von ΔH
sS =
H s H D
Einfluss von H m
s H = Standardabweichung des Höhenunterschieds s H m = Standardabweichung der Höhe H m
sS =
S s Hm R
6.4 Streckenkorrektionen und -reduktionen Geometrische Reduktion Höhenreduktion ( ohne Neigungsreduktion ) für Strecken < 10 km :
SH = S= S0 = R= Hm =
H r H = −S H R + m Hm
Strecke im Horizont H m Strecke im Bezugshorizont Sehne Erdradius 6380 km mittlere Höhe
S = SH + r H
Näherungsformel
H r H O −S H Rm
6.4.6 Abbildungsreduktion Gauß-Krüger-System
r AGK = (Y 21 + Y 1 Y 2 + Y 22 ) S 2 6R
Strecke im ebenen Abbild
s = S + r A GK
Näherungsformel
rA O
Y 2m S 2R 2
Ym =
Y1 + Y2 2
Y 1 , Y 2 = Abstände vom Bezugsmeridian UTM-System
r AUTM = 0, 9996 1 +
Strecke im ebenen Abbild
Y2m −1 S 2R2
s = S + r A UTM
Näherungsformel für: Abbildungsreduktion und Höhenreduktion im GK-System s = S −
Y2 Hm + m2 R 2R
Y m = mittlerer Abstand zum Bezugsmeridian
S = S0
71
72
6 Strecken- und Distanzmessung
6.5 Vertikale Exzentrität Distanzmesser ohne eigene Kippachse
D
ΔD
zT
e
D = −e cot z T
DT
D T = D − e cot z T
6.6 Zulässige Abweichungen
6.6 Zulässige Abweichungen für Strecken Baden-Württemberg:
Definition Genauigkeitsstufe 1: Die Genauigkeitsstufe 1 gilt für Gebiete, in denen hohe Grundstückswerte vorkommen. Ein Gebiet kann eine Gemarkung oder einen Teil derselben ( z. B. den Innenbereich) umfassen. Genauigkeitsstufe 2: Die Genauigkeitsstufe 2 gilt für die übrigen Gebiete
Zulässige Streckenabweichung Z SG
Z SG
bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke unmittelbar nacheinander ermittelten Längen
Genauigkeitsstufe 1
Z SG = 1 (0, 0001 s + 0, 03 ) 2
Genauigkeitsstufe 2
Z SG = 0, 0001 s + 0, 03
Zulässige Streckenabweichung Z SV
Z SV
bedeutet die größte zulässige Abweichung in Metern zwischen zwei für dieselbe Strecke zu verschiedenen Zeiten oder mit verschiedenen Messgeräten ermittelten Längen sowie zwischen gemessenen und berechneten Strecken
Genauigkeitsstufe 1
Z SV = 1 (0, 008 s + 0, 0003 s + 0, 05 ) 2
Genauigkeitsstufe 2
Z SV = 0, 008 s + 0, 0003 s + 0, 05
s = Länge der Strecke
73
7 Verfahren zur Punktbestimmung 7.1 Indirekte Messungen
x t i,k t i,ok
oi
Ri,k
Pi
Nu de l s T lrich tu eil n kr eis g es
7.1.1 Abriss
v i,k
Pk y
Gegeben: Koordinaten der Festpunkte P i (y i , x i ), P1 (y 1 , x 1 )Pk (y k , x k ) Gemessen: Richtungen R i,1 R i,k Richtungswinkel t i,1 t i,k aus Koordinaten berechnen Orientierungsunbekannte
oi =
[o i,k ] [t i,k − R i,k ] n = n
für k = 1n
n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten orientierter Richtungswinkel
t i,ok = R i,k + o i Verbesserung
v i,k = t i,k − t i,ok
[v i,k ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Orientierungsunbekannten
s oi =
[v i,k v i,k ] n(n − 1 )
n = Anzahl der Richtungen zu bekannten Festpunkten Standardabweichung des orientierten Richtungswinkels
s t = s 2o i + s 2R
s R = Standardabweichung der Richtung F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_7, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
7.1 Indirekte Messungen
75
7.1.2 Exzentrische Richtungsmessung Standpunktzentrierung Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecke e 1 Richtungen r EXZ,S , r EXZ,ZP
1 = r EXZ,ZP − r EXZ,S Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 1 sin 1 S
R1 = 1 +
Zielpunktzentrierung
Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecke e 2 Richtungen: Standpunkt S r S,EXZ Standpunkt EXZ r EXZ,S , r EXZ,ZP
2 = r EXZ,S − r EXZ,ZP Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 2 sin 2 S
r S,ZP = r S,EXZ +
76
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Genauigkeit: Standpunkt - Zielpunktzentrierung Standardabweichung des Winkels δ Einfluss von S
s [rad] = e2 sin sS S
Einfluss von e
s [rad ] = sin s e S
max. Auswirkung: ε = 100 (300) gon
Einfluss von ε
s [rad ] = e cos s [rad ] S
max. Auswirkung: e = 0 (200) gon
e auf mm messen und ε auf cgon
s S = Standardabweichung der Strecke S s e = Standardabweichung der Strecke e s = Standardabweichung des Winkels ε Doppelzentrierung
Gegeben:
Koordinaten oder Näherungskoordinaten der Punkte S, ZP
Gemessen: Strecken e 1 , e 2 Richtungen r EXZ 1,EXZ 2 , r EXZ 1,S r EXZ2 ,EXZ 1 , r EXZ 2 ,ZP
1 = r EXZ 1 ,EXZ 2 − r EXZ 1 ,S 2 = r EXZ 2 ,EXZ 1 − r EXZ 2 ,ZP Strecke S aus Koordinaten berechnen
= arcsin
e 1 sin 1 + e 2 sin 2 S
R1 = 1 +
R2 = 2 +
Genauigkeit: sin 1 s e 1 2 e 1 cos 1 s 1 [rad ] sin 2 s e 2 2 + + S S S e 2 cos 2 s 2 [rad ] 2 [rad ] s S 2 + + S S
s 2 [rad ] =
2
7.1 Indirekte Messungen Exzentrische Richtungsmessung Indirekte Bestimmung der Zentrierungselemente Gemessen:
Winkel S , Z , S , Z Richtung r S,A , r S,B Basis g
= r S,B − r S,A Winkelsumme: S + S + = 200 gon Winkel auf Winkelsumme abgleichen
Berechnung der örtlichen Koordinaten von S(y S , x S ) und Z(y Z , x Z )
yi =
g cot i + cot i
x i = y i cot i
Berechnung von e, t S,Z aus örtlichen Koordinaten
e = (y Z − y S ) 2 + (x Z − x S ) 2
yZ − yS t S,Z = x Z − x S
= S + t S,Z
r S,Z = r S,B + = r S,A + +
77
78
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Exzentrische Richtungsmessung Anschluss an Hochpunkt (Herablegung) Gegeben: Koordinaten der Punkte T, F Gemessen: Richtungen r A,T , r A,F , r A,B r B,T , r B,A Basis b
Strecke S und Richtungswinkel t T,F aus Koordinaten berechnen
= r A,T − r A,B e=b
= r B,A − r B,T
= r A,F − r A,T
sin sin( + )
= arcsin e sin S
R=+ Polygonzuganschluss:
Polygonzugabschluss:
T = 200 gon −R
T = 200 gon +R
A = r A,1 − r A,T
A = r A,T − r A,1
t T,A = t T,F + T y A = y T + e sin t T,A
x A = x T + e cos t T,A
Zwei Lösungsprinzipien: 1. Bestimmung der Koordinaten von A und Anschluss an A 2. Bestimmung der Polygonzugelemente e und ßT und Anschluss an T
Die Herablegung kann auch umgekehrt werden ( „Herauflegung“), indem vom bekannten Bodenpunkt A aus der Hochpunkt T bestimmt wird. t A,T = t A,F −
y T = y A + e sin t A,T
x T = x A + e cos t A,T
7.1 Indirekte Messungen
7.1.3 Exzentrische Streckenmessung Ein Punkt exzentrisch Gemessen: Winkel Strecken e, S E
S = S 2E + e 2 − 2 S E e cos
Genauigkeit: Standardabweichung der Strecke S
SE e − cos S S E S S
Einfluss von S E
sS =
Einfluss von e
S s S = e − E cos s e S S
Einfluss von ε
s S = e sin s [rad ]
s S E = Standardabweichung der Strecke S E s e = Standardabweichung der Strecke e s = Standardabweichung des Winkels ε Zwei Punkte exzentrisch Gemessen: Winkel 1 , 2 Strecken e 1 , e 2 , S E
S1 = S2E + e21 − 2 SE e1 cos 1 S = S21 + e22 − 2 S1 e2 cos( 2 + 2 )
2 = arcsin
e 1 sin 1 S1
79
80
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.1.4 Gebrochener Strahl
Gemessen: Strecken a, b Winkel
= arctan
q=
sin b + cos a
a b sin S
sin = arctan a + cos b
Probe: = +
S = a 2 + b 2 + 2 ab cos
Genauigkeit: Standardabweichung der Winkel α,β
s [rad] = 1 S γ klein:
q2 2 q2 2 s + s + (a2 − q2 ) s 2 [rad] a2 a b2 b s O a s S
s = Standardabweichung des Winkels γ
s wie s berechnen, jedoch muss a gegen b ausgetauscht werden
Standardabweichung der Strecke S
sS = γ klein:
a2 − q 2 2 b2 − q2 2 sa + s b + q 2 s 2 [rad ] a2 b2 s S O s 2a + s 2b
s a , s b = Standardabweichung der Strecken a und b
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2 Einzelpunktbestimmung 7.2.1 Polare Punktbestimmung
Gegeben:
Koordinaten des Standpunktes P S (y S , x S ) Koordinaten des Anschlusspunktes P A (y A , x A )
Gemessen: Horizontalrichtungen r S,A , r S,i bzw. s A , s i bzw. Horizontalstrecken
r S,A , r S,Ex s A , s Ex , e
Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S Horizontalwinkel
i = r S,i − r S,A
i = r S,EX − r S,A −
= arctan seEX s i = e 2 + s 2EX
Richtungswinkel
t S,i = t S,A + i Maßstab
s A gemessen:
s m = s AA
s A nicht gemessen:
Strecke s A aus Koordinaten berechnen m=1
Koordinaten des Neupunkts
y i = y S + s i m sin t S,i
x i = x S + si m cos t S,i
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten und Standardabweichung eines Punktes Pi siehe 4.1.3 Polarpunktberechnung
81
82
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.2 Dreidimensionale polare Punktbestimmung
Gegeben:
Koordinaten der Punkte P S (y S , x S ) , P A (y A , x A )
Gemessen: Schrägstrecke s i Horizontalwinkel i Zenitwinkel i Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen yA − yS t S,A = arctan x A − x S
Richtungswinkel
t S,i = t S,A + i
Koordinaten des Neupunkts
y i = s i sin i sin t S,i
y i = y S + y i
xi = s i sini cos t S,i
x i = x S + x i
z i = s i cos i
zi = z S + z i
7.2 Einzelpunktbestimmung
83
7.2.3 Polare Punktbestimmung mit Kanalstab
Gegeben:
Koordinaten der Punkte P S (y S , x S ) , P A (y A , x A ) Höhe H S , Instrumentenhöhe i
Gemessen: Schrägstrecken s 1 , s 2 Horizontalwinkel 1 , 2 Zenitwinkel z 1 , z 2 Strecken am Kanalstab P 1 P und P 2 P sowie P 1 P 2 sind bekannt yA − yS Anschlussrichtungswinkel t S,A aus Koordinaten berechnen t S,A = arctan x A − x S Richtungswinkel
t S,1 = t S,A + 1
t S,2 = t S,A + 2
Koordinaten und Höhe von Punkt P 1 und P 2
y 1 = y S + s 1 sin z 1 sin t S,1
x 1 = x S + s 1 sin z 1 cos t S,1
H 1 = H S + s 1 cos z 1 + i
y 2 = y S + s 2 sin z 2 sin t S,2
x 2 = x S + s 2 sin z 2 cos t S,2
H 2 = H S + s 2 cos z 2 + i
Kontrolle:
(y 2 − y 1 ) 2 + (x 2 − x 1 ) 2 + (H 2 − H 1 ) 2 = P 1 P − P 2 P = P 1 P 2 Koordinaten und Höhe von Punkt P
y P = y 1 + (y 2 − y 1 )
P1P P1 P2
x P = x 1 + (x 2 − x 1 )
P1P P1P2
H P = H 1 + (H 2 − H 1 )
P1P P1P2
84
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.4 Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung
y
Räumliche reflektorlose Polaraufnahme von drei Wandpunkten P 1 , P 2 und P 3 von A (0;0;0) aus, damit Wandebene E festgelegt. In der Praxis wird die Ebene mit mehr als drei aufgenommenen Punkten überbestimmt ermittelt.
y
Anzielung des Gebäudeeckpunktes P von A(0;0;0) aus mit Horizontalrichtung α und Zenitwinkel β, damit Gerade g festgelegt.
y
Bestimmung des Gebäudeeckpunktes P als Schnitt der Geraden g mit der Ebene E (Durchstoßpunkt).
Ebene E in vektorieller Darstellung mit einem Ebenenpunkt P 1 und Normalenvektor n:
(r − r 1 ) n = 0 oder
r n = r 1 n (I)
mit Vektor
r1 =
y1 x1 z1
und Normalenvektor
n=
(x 3 − x 1 )(z 2 − z 1 ) − (z 3 − z 1 )(x 2 − x 1 ) (z 3 − z 1 )(y 2 − y 1 ) − (y 3 − y 1 )(z 2 − z 1 ) (y 3 − y 1 )(x 2 − x 1 ) − (x 3 − x 1 )(y 2 − y 1 )
=
aE bE cE
7.2 Einzelpunktbestimmung Gebäudeaufnahme mit reflektorloser Entfernungsmessung Gerade g in vektorieller Darstellung mit einem Geradenpunkt A und Richtungsvektor R:
r = rA + t R
Da A der Koordinatenursprung ist, gilt hier r A = 0 und damit
r = t R (II)
mit Richtungsvektor R =
sin sin cos sin cos
=
aG bG cG
Parameter t Gemeinsamer Punkt P von Gerade g und Ebene E, dazu (II) in (I) eingesetzt:
t R n = r1 n damit Parameter
r n t = R1 n
oder
t=
y1 aE + x1 bE + z1 cE aG aE + bG bE + cG cE
Skalares Produkt r 1 n in Matrizenschreibweise
y1 x1 z1
T
aE bE cE
= y1 aE + x1 bE + z1 cE
Skalares Produkt R n in Matrizenschreibweise
aG bG cG
T
aE bE cE
= aG aE + bG bE + cG cE
Koordinaten für Punkt P
yP xP zP
=t
aG bG cG
mit r = t R
oder
y P = t sin sin x P = t cos sin z P = t cos
85
86
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.2.5 Bogenschnitt Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 ) Gemessen: Strecken s 1 , s 2 Bedingung: s 1 + s 2 = s : eine Lösung (schlechter Schnitt) < s : keine Lösung > s : zwei Lösungen
PN rechts von P1,P2 : + h PN links von P1,P2 : -h 1. Möglichkeit:
Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen
= arccos
s 21 + s 2 − s 22 2s s 1
t 1,N = t 1,2
Probe: = arccos
s 22 + s 2 − s 21 2s s 2
Probe: t 2,N = t 1,2 200 gon
Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + s 1 sin t 1,N
Probe: y N = y 2 + s 2 sin t 2,N
x N = x 1 + s 1 cos t 1,N
Probe: x N = x 2 + s 2 cos t 2,N
2. Möglichkeit:
p=
s 2 + s 21 − s 22 2s
h = s21 − p2 o=
Probe: q =
s 2 + s 22 − s 21 2s
p+q=s
Probe: h = s22 − q2
y2 − y1 s
a=
x2 − x1 s
Koordinaten des Punktes P N
yN = y1 + o p + a h
Probe: s 1 , s 2 aus Koordinaten berechnen
xN = x1 + a p − o h Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN
sP =
1 2 s s sin
günstig O 100gon
s s = Standardabweichung der Strecken
= 200 gon − ( + )
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2.6 Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel
Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) und P 2 (y 2 , x 2 ) Gemessen:
Richtungen r 1,N , r 1,2 r 2,N , r 2,1
Richtungswinkel t 1,2 und Strecke s aus Koordinaten berechnen Dreieckswinkel aus Differenzen der gemessenen Richtungen r ermitteln
= r 1,N − r 1,2
= r 2,1 − r 2,N
t 1,N = t 1,2 +
t 2,N = t 1,2 200 gon −
1. Möglichkeit:
s1 =
s sin sin( + )
s2 =
s sin sin( + )
Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + s 1 sin t 1,N
x N = x 1 + s 1 cos t 1,N
Probe:
y N = y 2 + s 2 sin t 2,N
x N = x 2 + s 2 cos t 2,N
2. Möglichkeit: Koordinaten des Punktes P N
y N = y 1 + (x N − x 1 ) tan t 1,N
xN = x1 +
(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 ) tan t 2,N tan t 1,N − tan t 2,N
xN = x2 +
(y 2 − y 1 ) − (x 2 − x 1 ) tan t 1,N tan t 1,N − tan t 2,N
Probe:
y N = y 2 + (x N − x 2 ) tan t 2,N
87
88
7 Verfahren zur Punktbestimmung
Vorwärtseinschnitt über Richtungswinkel
Gegeben: Koordinaten der Punkte P 1 (y 1 , x 1 ) , P 2 (y 2 , x 2 ) , P 3 (y 3 , x 3 ) , P 4 (y 4 , x 4 ) Gemessen: Richtungen r 1,N , r 1,3
r 2,N , r 2,4 Berechnung der Richtungswinkel t 1,2 , t 1,3 , t 2,4 und der Strecken s 1 , s 2 aus Koordinaten
t 1,N = t 1,3 + (r 1,N − r 1,3 ) t 2,N = t 2,4 + (r 2,N − r 2,4 )
= t 1,N − t 1,2
= t 2,1 − t 2,N
Weitere Berechnung siehe Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel Genauigkeit: Genauigkeit stark abhängig vom Schnittwinkel γ Standardabweichung des Punktes PN
sP =
1 s 2 + s 2 s [rad ] t 1 2 sin
günstig O 121 gon (bei symmetrischer Anordnung)
s t = Standardabweichung der Winkel α, β Seitwärtseinschnitt gemessen wird α und γ = 200gon − ( + )
Weitere Berechnung siehe Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel
7.2 Einzelpunktbestimmung
7.2.7 Rückwärtseinschnitt nach CASSINI
Gegeben: Koordinaten der Punkte P A (YA , X A ) , PM (Y M , X M ) , P B (Y B , X B ) Gemessen: Winkel ,
Y C = Y A + (X M − X A ) cot
Y D = Y B + (X B − X M ) cot
X C = X A − (Y M − Y A ) cot
X D = X B − (Y B − Y M ) cot
Berechnung des Richtungswinkels t C,D aus Koordinaten Koordinaten des Punktes P N
XN = XC +
Y M − Y C + (X M − X C ) cot t C,D tan t C,D + cot t C,D
Y N = Y C + (X N − X C ) tan t C,D
tan t C,D < cot t C,D
Y N = Y M − (X N − X M ) cot t C,D
cot t C,D < tan t C,D
Probe: = t N,M − t N,A
= t N,B − t N,M
Die Lösung ist unbestimmt, wenn alle vier Punkte auf einem Kreis, dem sogenannten gefährlichen Kreis liegen: Die beiden Kreise fallen ineinander es gibt keinen Schnittpunkt der Kreise
PC = PD = PN
89
90
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.3 Freie Standpunktwahl mittels Helmert-Transformation
Gegeben: Koordinaten der Anschlusspunkte P 1 (Y 1 , X 1 ), P 2 (Y 2 , X 2 ) P n (Y n , X n ) Gemessen: Polarkoordinaten der Anschlusspunkte Richtungen r 1 , r 2 , r n , Horizontalstrecken s 1 , s 2 , s n rN, sN Polarkoordinaten für die Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten (r i , s i ) in ein örtliches rechtwinkliges Koordinatensystem (y , x) mit Koordinatenursprung im Standpunkt
x i = s i cos r i
y i = s i sin r i
Berechnung der Koordinaten des Standpunktes Transformation der Koordinaten des örtlichen yx-Systems in die Koordinaten eines übergeordneten YX-Systems mittels einer Helmert-Transformation (siehe 8.1.3) Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
[Y ] Y i = Y i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
o=
xi Yi − yi Xi x 2i
+ y 2i
a=
xi Xi + yi Yi x 2i + y 2i
[X ] X i = X i − ni
7.3 Freie Standpunktwahl Koordinaten des Standpunktes
Y0 = YS − a yS − o xS
vorgegebener Maßstabsfaktor m = 1: o Transformationsparameter o= m
Maßstabsfaktor
m= a +o 2
X0 = XS − a xS + o yS
2
a a= m
Abweichungen
WXi = −X 0 − a x i + o y i + X i
W Y i = −Y 0 − a y i − o x i + Y i Probe: [WYi ] = 0
[WXi ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [ W Y i W Y i ] 2n − 4 2
2
Probe: [W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i
2
2
− (a 2 + o 2 ) x i + y i
Berechnung der Koordinaten der Neupunkte Umrechnung der gemessenen Polarkoordinaten in das yx-System
x N = s N cos r N
y N = s N sin r N Koordinaten der Neupunkte
YN = Y0 + a yN + o xN
XN = X0 + a xN − o yN
Verbesserung der Koordinaten - Nachbarschaftstreue Einpassung Koordinatenverbesserungen für jeden Neupunkt, in denen die Fehlervektoren aller Anschlusspunkte entsprechend ihrer Punktlage Berücksichtigung finden
YN = YN + vy
vy =
[p i v Y i ] [p i ]
p i = s1i
XN = XN + vx
vx =
[p i v X i ] [p i ]
s i = (Y N − Y i ) 2 + (X N − X i ) 2
Absteckwerte für ein im Koordinatensystem YX vorgegebene Punkte
a a2 + o2 x 0 = −X 0 a T + Y 0 o T
oT = −
yA = y0 + aT YA + oT XA
xA = x0 + aT XA − oT YA
aT =
o a2 + o2
y 0 = −X 0 o T − Y 0 a T
Berechnung der Polarkoordinaten im örtlichen System über Richtungswinkel und Strecke (siehe 4.1.1)
91
92
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4 Polygonierung 7.4.1 Anlage und Form von Polygonzügen a) Zug mit beidseitigem Richtungs- und Koordinatenabschluss (Normalfall) Anzahl β : n Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 3 Winkelabschlussverbesserung Koordinatenabschlussverbesserung
b) Zug ohne Richtungsabschluss Anzahl β : n-1 Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 2 Koordinatenabschlussverbesserung
c) Zug ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss Anzahl β : n-1 Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 1 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen
d) eingehängter Zug ohne Richtungsanschlüsse - im örtlichen Koordinatensystem rechnen und ins Landeskoordinatensystem transformieren
n-2 Anzahl β : Anzahl s : n-1 Neupunkte: n - 2 Redundanz: 1 eine Maßstabskontrolle e) freier Zug - im örtlichen Koordinatensystem rechnen Anzahl β : n - 2 Anzahl s : n - 1 Neupunkte: n - 1 und x 2 Redundanz: 0 keine Abschlussverbesserungen
f) geschlossener Polygonzug (Ringpolygon)
siehe 7.4.4 Ringpolygon
7.4 Polygonierung
7.4.2 Polygonzugberechnung - Normalfall Koordinaten der Anschlusspunkte P 0 (y 0 , x 0 ), P 1 (y 1 , x 1 ) Koordinaten der Anschlusspunkte P n (y n , x n ), P n+1 (y n+1 , x n+1 ) Gemessen: Brechungswinkel i Strecken s i,i +1 Gegeben:
1. Berechnung von Anschluss- und Abschlussrichtungswinkel t 0,1 , t n,n +1 siehe 4.1.1 Richtungswinkel und Strecke 2. Winkelabweichung / Winkelabschlussverbesserung
W W W = nW
W W = t n,n +1 − (t 0,1 + [ ] − n 200 gon ) n = Anzahl der Brechungspunkte β = Brechungswinkel 3. Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon +WW (400 gon) 4. Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
Probe für Koordinatenunterschiede
y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1 2 sin(t i,i +1 + 50 gon ) 5. Koordinatenabweichungen
Wy = (y n − y 1 ) − [y ]
W x = (x n − x 1 ) − [x ]
6. Koordinatenverbesserungen
v y i,i +1 =
s i,i +1 Wy [s ]
v x i,i +1 =
s i,i +1 Wx [s ]
7. Endgültige Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 + v y i,i +1
x i +1 = x i + x i,i +1 + v x i,i +1
8. Abweichungen Lineare Abweichung
WS = W2y + W2x
Längsabweichung
WL =
Lineare Querabweichung
v y [y ] + v x [x ] 2
[y ] + [x ]
[x ] = [x i,i +1 ]
2
WQ =
v y [x ] − v x [y ] [y ] 2 + [x ] 2
[y ] = [y i,i +1 ]
93
94
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4.3 Freier Polygonzug örtliches Koordinatensystem y, x mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0
Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon
t 1,2 = 0 gon
Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
y 1,2 = 0
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
x 1,2 = s 1,2
Probe für Koordinatenunterschiede
y i,i +1 + x i,i +1 = s i,i +1 2 sin(t i,i +1 + 50 gon )
örtliche Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 x i +1 = x i + x i,i +1
Sind von Anfangs- und Endpunkt Landeskoordinaten bekannt, so können die örtlichen Koordinaten der Polygonpunkte in Landeskoordinaten transformiert werden. Siehe 8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten!
7.4 Polygonierung
7.4.4 Ringpolygon
örtliches Koordinatensystem y, x z. B.: mit y 1 = x 1 = 0 und y 2 = 0
Winkelabweichung W W bzw. Winkelabschlussverbesserung W W
n = Anzahl der Ecken
[ i ] = gemessene Brechungswinkel
Sollwerte:
[ i ] = (n + 2 )200 gon [ i ] = (n − 2 )200 gon
für Außenwinkel für Innenwinkel
W W W = nW
W W = (n 2 )200 gon −[ i ] Richtungswinkel
t i,i +1 = t i −1,i + i + 200 gon +WW (400 gon)
t 1,2 = 0 gon
Koordinatenunterschiede
y i,i +1 = s i,i +1 sin t i,i +1
y 1,2 = 0
x i,i +1 = s i,i +1 cos t i,i +1
x 1,2 = s 1,2
Koordinatenabweichungen
Wy = 0 − [y ]
W x = 0 − [x ]
Koordinatenverbesserungen
v y i,i +1 =
s i,i +1 Wy [s ]
v x i,i +1 =
s i,i +1 Wx [s ]
Endgültige Koordinaten
y i +1 = y i + y i,i +1 + v y i,i +1
x i +1 = x i + x i,i +1 + v x i,i +1
95
96
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.4.5 Zulässige Abweichungen für Polygonzüge Baden-Württemberg: Zahl der Brechungspunkte
n > 0, 01 [s ] + 3 Zulässige Streckenabweichung der Polygonseite [m]
Z E 1 = 1 (0, 006 s + 0, 02 ) 2 Z E 2 = 0, 006 s + 0, 02
Zulässige Winkelabweichung [mgon]
ZW 1 = 2 3 ZW 2 =
600 2 (n − 1 ) 2 n + 10 2 [s ] 2 600 2 (n − 1 ) 2 n + 10 2 [s ] 2
Zulässige Längsabweichung [m]
Z L 1 = 2 0, 03 2 (n − 1 ) + 0, 06 2 3
Z L 2 = 0, 03 2 (n − 1) + 0, 06 2 Zulässige Querabweichung [m]
Z Q 1 = 2 0, 003 2 n 3 + 0, 00005 2 S 2 + 0, 06 2 3
Z Q 2 = 0, 003 2 n 3 + 0, 00005 2 S 2 + 0, 06 2 [s ]= Summe der Seiten eines Polgonzuges in Metern S = Strecke zwischen Anfangspunkt- und Endpunkt n = Anzahl der Brechungspunkte einschließlich Anfangs- und Endpunkt
7.4 Polygonierung
7.4.6 Fehlertheorie Querabweichung beim gestreckten Zug Querabweichung des freien Zuges: am Zugende
Q Ende =
n(2n − 1 ) [ ] s s [rad ] O 6(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 3
in der Zugmitte
Q Mitte =
n( n + 1 ) [ ] s s [rad ] O 24(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 24
Querabweichung bei beidseitigem Richtungsanschluss: am Zugende
Q Ende =
n(n + 1 ) [ ] s s [rad ] O 12(n − 1 )
in der Zugmitte
Q Mitte =
(n + 1 )(n + 3 ) [s ] s [rad ] O 96(n − 1 )
n [s ] s [rad ] 12 n [s ] s [rad ] 96
Querabweichung bei beidseitig richtungs- und lagemäßig angeschlossenem Zug (Normalfall): in der Zugmitte
Q Mitte =
n 4 + 2n 2 − 3 [s ] s [rad ] O 192n(n − 1 ) 2
n [s ] s [rad ] 192
Bei lagemäßig beidseitig angeschlossenen Zügen ist die Querabweichung am Zugende stets Null.
n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s = Standardabweichung des Brechungswinkels Längsabweichung beim gestreckten Zug Längsabweichung beim freien Zug am Zugende
L Ende = (n − 1 ) s s =
[s ] s ss
Längsabweichung beim lagemäßig angeschlossenen Zug (Normalfall) in der Zugmitte
L Mitte = 1 (n − 1 ) s s = 1 2 2
n = Anzahl der Brechpunkte [s ] = Summe aller Polygonseiten s s = Standardabweichung Polygonseite
[s ] s ss
97
98
7 Verfahren zur Punktbestimmung
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung - Statistische Überprüfung Redundanz Gesamtredundanz
r = n−u n = Anzahl der Beobachtungen u = Anzahl der Unbekannten Redundanzanteil
sl r i = 1 − ql il i pi = 1 − sl i i
2
= qv iv i pi
q l il i = Gewichtsreziproke der ausgeglichenen Beobachtung
p i = Gewicht q v i v i = Gewichtsreziproke der Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s l i = Standardabweichung einer Beobachtung nach der Ausgleichung (a posteriori) Einfluss auf die Verbesserung Redundanzanteil in Prozent Auswirkung einer Änderung einer Beobachtung auf deren Verbesserung
EV i = r i 100% EV > 40% 10% > EV > 40% EV < 10%
gut kontrolliert kontrolliert schlecht kontrolliert
Normierte Verbesserung
v vi vi NVi = s vi i = = s 0 q vi v i sl i ri v i = Verbesserung s v i = Standardabweichung einer Verbesserung s l i = Standardabweichung einer Beobachtung vor der Ausgleichung (a priori) s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit a priori r i = Redundanzanteil 2,5 < NV < 4 NV } 4
Grober Fehler möglich Grober Fehler sehr wahrscheinlich
7.5 Punktbestimmung mittels Netzausgleichung
99
Grober Fehler v GF i = − r ii
Einfluss auf die Punktlage Einfluss eines etwaigen Groben Fehlers auf den die Beobachtung berührenden Punkt
EP i = −v i
1 − ri r i = GF i (1 − r i )
EP i = −v i [rad ]
1 − ri r i S i = GF i [rad ](1 − r i ) S i
für Strecken
für Richtungen
S i = Strecke zwischen den verknüpften Punkten
7.6 Zulässige Abweichungen für Lagepunkte Baden-Württemberg: Zulässige lineare Abweichung bei der Doppelaufnahme oder bei der Verprobung der Aufmessung eines Punktes zur Bestimmung von Landeskoordinaten Genauigkeitsstufe 1, 2
Z P = 0, 03 m
Zulässige lineare Abweichung bei der Überprüfung eines durch Landeskoordinaten festgelegten Punktes Genauigkeitsstufe 1
Z P = 0, 06 m
Genauigkeitsstufe 2
Z P = 0, 08 m
8 Transformationen 8.1 Ebene Transformation 8.1.1 Drehung um den Koordinatenursprung
Gegeben: Koordinaten des identischen Punktes im Quellsystem: Koordinaten des identischen Punktes im Zielsystem: oder Verdrehungswinkel
P E (y E , x E ) P E (Y E , X E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )
Berechnung der Richtungswinkel
T A,E = arctan
YE XE
yE t = arctan x E
Verdrehungswinkel
= T−t Transformationsgleichung
Y = x sin + y cos
X = x cos − y sin
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_8, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
8.1 Ebene Transformation
101
8.1.2 Koordinatentransformation mit zwei identischen Punkten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P A (y A , x A ) , P E (y E , x E ) im Zielsystem: P A (Y A , X A ) , P E (Y E , X E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem: P(y, x )
y = y E − y A
x = x E − x A
Y = Y E − Y A
X = XE − X A
Berechnung der Richtungswinkel
t A,E (Y, X ) = arctan
(Y E − Y A ) (X E − X A )
t A,E (y, x ) = arctan
(y E − y A ) (x E − x A )
Berechnung der Strecken
S = (Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2
s = (y E − y A ) 2 + (x E − x A ) 2
Verdrehungswinkel
= t A,E (Y, X ) − t A,E (y, x ) Transformationsparameter
o=
Y x − X y S = s sin s2
Y0 = Y A − o x A − a y A
Probe:
a=
X x + Y y S = s cos o 2 + a 2 O 1 s2
X0 = X A − a x A + o y A
Maßstabsfaktor
m= S s Transformationsgleichungen
Y = Y0 + o x + a y Probe: [Y] = k Y0 + o [x ] + a [y ]
X = X0 + a x − o y
[X] = k X 0 + a [x ] − o [y ]
k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 o x+ a y a x− o y Y = Y0 + m X = X0 + m m m
102
8 Transformationen
Sonderfall: X Koordinatensystem (y, x) Koordinatensystem (Y, X) (Landessystem = Quellsystem) (Messungslinie = Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem:
P A (Y A , X A ) , P E (Y E , X A ) P A (0, x A ) , P E (0, x E )
Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(Y, X )
s = x E − x A = gemessene Strecke Berechnung des Richtungswinkels
t A,E (Y, X ) = arctan
(Y E − Y A ) (X E − X A )
Berechnung der Strecke
(Y E − Y A ) 2 + (X E − X A ) 2
S=
Verdrehungswinkel
= t A,E (y, x) − t A,E (Y, X) = −t A,E (Y, X)
yA = yE = 0
Transformationsparameter
) ( o = − Y E − Y2 A s = − s sin S S y 0 = − o XA − a YA
Probe:
( ) a = X E − X2 A s = s cos S S
x0 = xA − a XA + o YA
Maßstabsfaktor
m= S s Transformationsgleichungen
y = y0 + o X + a Y
x = x0 + a X − o Y
Probe:
[y ] = k y 0 + o [X ] + a [Y ]
[x ] = k x 0 + a [X] − o [Y]
k = Anzahl der transformierten Punkte Sonderfall: Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 o X+ a Y a X− o Y y = y0 + m x = x0 + m m m
o2 + a2 O 1
8.1 Ebene Transformation
8.1.3 Helmert-Transformation (4 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystem (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 2 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(y, x )
Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
[Y ] Y i = Y i − ni
[X ] X i = X i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
Transformationsparameter
o=
xi Yi − yi Xi 2
2
xi + yi
Y0 = Y S − a y S − o x S
a=
xi Xi + yi Yi 2
2
xi + yi
X0 = X S − a x S + o y S
Maßstabsfaktor
m = a2 + o2 Abweichungen
W Y i = −Y 0 − a y i − o x i + Y i
WXi = −X0 − a x i + o y i + Xi
Probe:
[WYi ] = 0
[WXi ] = 0
103
104
8 Transformationen
Helmert-Transformation Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [ W Y i W Y i ] 2n − 4
Probe: 2
2
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 ) x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte
Transformationsgleichungen
Y = Y0 + a y + o x
X = X0 + a x − o y
Probe nach der Transformation weiterer Punkte:
[Y] = k Y0 + a [y ] + o [x ] [X] = k X0 + a [x ] − o [y ] k = Anzahl der transformierten Punkte Transformationsgleichungen mit Maßstabsfaktor m = 1 a y+ o x a x− o y Y = Y0 + m X = X0 + m m m
Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter
aT =
a a2 + o2
y 0 = −X 0 o T − Y 0 a T
oT =
o a2 + o2
x 0 = −X 0 a T + Y 0 o T
Transformationsgleichungen
y = y0 + aT Y − oT X
x = x 0 + aT X + oT Y
8.1 Ebene Transformation
8.1.4 Affin-Transformation (6 Parameter) Transformation der Koordinaten Koordinatensystems (y, x) X Koordinatensystem (Y, X) (Quellsystem) (Zielsystem) Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im Quellsystem: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Zielsystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 3 Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Quellsystem:
P(y, x )
Schwerpunktskoordinaten [y ] y S = ni
[x ] x S = ni
[Y ] Y S = ni
[X ] X S = ni
[Y ] Y i = Y i − ni
[X ] X i = X i − ni
Reduktion auf den Schwerpunkt
[y ] y i = y i − ni
[x ] x i = x i − ni
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter 2
a1 =
xiX i y i − yiXi xiy i = m 1 cos N
a2 =
xiX i x iy i − yiXi xi N
a3 =
yiY i xi − xiYi x iy i = m 2 cos N
a4 =
xiYi yi − yiYi xiyi = m 1 sin N
2
= m 2 sin
2
2
2
2
N = xi yi − xiy i
2
Y0 = YS − a3 yS − a4 xS
X0 = XS − a1 xS + a2 yS
Drehwinkel für Abszisse und Ordinate Abszisse
a = arctan a 41
a
2 Ordinate = arctan a 3
Maßstabsfaktor für Abszisse und Ordinate Abszisse
m1 = a21 + a24
2 2 Ordinate m 2 = a 2 + a 3
105
106
8 Transformationen
Affin-Transformation Abweichungen
WYi = −Y 0 − a 3 y i − a 4 x i + Y i WXi = −X 0 − a 1 x i + a 2 y i + X i Probe:
[WYi ] = 0
[WXi ] = 0
Genauigkeit: Standardabweichung der Koordinaten
sx = sy =
[W X i W X i ] + [ W Y i W Y i ] 2n − 6
Probe: 2
2
[W X i W X i ] + [W Y i W Y i ] = X i + Y i − (a 2 + o 2 ) x 2i + y 2i n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsgleichungen
Y = Y0 + a3 y + a4 x
X = X0 + a1 x − a2 y
Rücktransformation der Koordinaten Koordinatensystem (Y, X) X Koordinatensystem (y, x) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter
a a T1 = a 1 a 3 +3a 2 a 4
−a2 a T2 = a1 a3 + a 2 a ,4
a a T3 = a 1 a 3 +1a 2 a 4
−a a T4 = a 1 a 3 + 4a 2 a 4
y 0 = −a T4 X 0 − a T3 Y 0
x 0 = −a T1 X 0 + a T2 Y 0
Transformationsgleichungen
y = y 0 + a T3 Y + a T4 X
x = x 0 + a T1 X − a T2 Y
8.1 Ebene Transformation
107
8.1.5 Ausgleichende Gerade Transformation der Koordinaten Landessystem (Y, X) X örtliches System (y, x) (Quellsystem) (Zielsystem) Transformation der Ordinaten unabhängig von den Abszissen Gegeben: Koordinaten der identischen Punkte im örtlichen System: P i (y i , x i ) P i (Y i , X i ) Koordinaten der identischen Punkte im Landessystem: Anzahl der identischen Punkte n ~ 2 P(Y, X ) Koordinaten der zu transformierenden Punkte im Landessystem:
Ordinatenausgleichung Vorläufige Transformation der Ordinaten Y
T = arctan
yE − y A t = arctan x E − x A
YE − YA XE − XA
vorläufige Parameter a = cos
= t−T
o = sin
y0 = yA − a YA − o XA
vorläufige Ordinaten
yi = y0 + a Yi + o Xi Endgültige Transformation der Ordinaten Y Verbesserungsgleichung
v Y i = −x i m − b + y i m =
[x i y i ] n − [x i ] [y i ] [x 2i ] n − [x i ] 2
b =
[y i ] [x i ] n − n m
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
a = cos( + ) o = sin( + ) y 0 = y A − a Y A − o X A + x A m + b Transformationsgleichung - Ordinaten
y = y0 + a Y + o X
= arctan m
y i = y i − y i
108
8 Transformationen
Ausgleichende Gerade Abszissenausgleichung Vorläufige Transformation der Abszissen X vorläufige Parameter
x0 = xA + a XA + o YA
a und o aus Ordinatenausgleichung
vorläufige Abszissen
xi = x0 + a Xi − o Yi
Endgültige Transformation der Abszissen X Verbesserungsgleichung
v x i = −x i m A − x 0 + x i m A =
[x i x i ] n − [x i ] [x i ] [x 2i ] n − [x i ] 2
x 0 =
[x i ] [x i ] n − n m A
n = Anzahl der identischen Punkte Transformationsparameter
Maßstabsfaktor
x 0 = m x 0 + x 0
m = 1 + m A
Transformationsgleichung - Abzissen
x = x0 + m a X − m o Y
Rücktransformation der Koordinaten Örtliche System (y, x) X Landessystem (Y, X) (Neues Quellsystem) (Neues Zielsystem) Transformationsparameter
aT = a
o T = −o
1 x + oT y X0 = − m 0 0
1 x − aT y Y0 = − m 0 0
Transformationsgleichungen 1 aT x − oT y X = X0 + m
1 oT x + aT y Y = Y0 + m
x i = x i − x i
8.2 Räumliche Transformation
8.2 Räumliche Transformation 8.2.1 Räumliche Ähnlichkeitstransformation (7 Parameter) Der konforme Übergang von einem kartesischen Quellsystem (A) zu einem kartesischen Zielsystem (Z) kann mit Hilfe der räumlichen Ähnlichkeitstransformation erfolgen.
Für die Transformation müssen 7 Parameter gegeben oder bestimmbar sein:
X, Y, Z 1 , 2 , 3 *) m
3 Translationen: 3 Rotationen: 1 Maßstabsfaktor:
*)Das Vorzeichen der Rotationen ist positiv, wenn vom Ursprung aus und entlang der Achsen gesehen im Uhrzeigersinn gedreht wird!
Allgemeine Form der Transformationsgleichungen
XZ = + m R XA mit X Z =
XZ YZ ZZ
=
X Y Z
XA =
XA YA ZA
und R = R 3 R 2 R 1
109
110
R1 =
R=
8 Transformationen
1 0 0 0 cos 1 sin 1 0 − sin 1 cos 1
R2 =
cos 2 0 − sin 2 0 1 0 sin 2 0 cos 2
R3 =
cos 3 sin 3 0 − sin 3 cos 3 0 0 0 1
cos 2 cos 3 cos 1 sin 3 + sin 1 sin 2 cos 3 sin 1 sin 3 − cos 1 sin 2 cos 3 − cos 2 sin 3 cos 1 cos 3 − sin 1 sin 2 sin 3 sin 1 cos 3 + cos 1 sin 2 sin 3 sin 2 − sin 1 cos 2 cos 1 cos 2
Für kleine Drehwinkel folgt mit sin O , cos O 1 und sini sinj O 0:
R=
1 3 − 2 − 3 1 1 2 − 1 1
Transformationsformeln für kleine Drehwinkel
X Z = X + m (X A + 3 Y A − 2 Z A ) Y Z = Y + m (− 3 X A + Y A + 1 Z A ) Z Z = Z + m ( 2 X A − 1 Y A + Z A )
8.2 Räumliche Transformation
111
8.2.2 Umrechnung ellipsoidischer geographischer Koordinaten in ellipsoidische kartesische Koordinaten und umgekehrt
Geographische Koordinaten L, B, H E X Kartesische Koordinaten X, Y, Z
X = (N + HE ) cos B cos L Y = (N + H E ) cos B sin L 2 Z = N sinB b2 + HE sinB = ((1 − e2 ) N + HE ) sinB a
mit:
N=
a 1 − e 2 sin 2 B
2 2 e 2 = a −2b a
Bessel-Ellipsoid
Internationales Ellipsoid
Krassowsky Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 377 397,155 m
6 378 388,000 m
6 378 245 m
6 378 137,00 m
b
6 356 078,963 m
6 356 911,946 m
6 356 863,019 m
6 356 752,314 m
a = große Halbachse b = kleine Halbachse
112
8 Transformationen
Kartesische Koordinaten Y, X, Z X Geographische Koordinaten L, B, H E
L = arctan Y X 3 2 B = arctan Z + e2 b sin 3 p − e a cos
p H E = cos B − N
mit:
N=
a 1 − e 2 sin 2 B
2 2 e 2 = a −2b a
2 2 2 e = a −2b b
Za = arctan p b p=
X2 + Y2
Bessel-Ellipsoid
Internationales Ellipsoid
Krassowsky Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 377 397,155 m
6 378 388,000 m
6 378 245 m
6 378 137,00 m
b
6 356 078,963 m
6 356 911,946 m
6 356 863,019 m
6 356 752,314 m
a= große Halbachse b= kleine Halbachse
8.2 Räumliche Transformation
113
8.2.3 Umrechnung geographischer Koordinaten in Gauß-Krüger-Koordinaten und umgekehrt optimierte Formeln nach GERSTBACH
Geographische Koordinaten B, L X Gauß-Krüger-Koordinaten R, H
R=
L0 + 0, 5 106 + y 3
c 1 + l 2 V2 − t 2 + l 2 (0, 3 − t 2 ) y=l V 6
mit L 0 = 6°, 9°, 12° oder 15° für Deutschland 5, 03 − t 2 H = xB + l2 c t 1 + l2 V 24 2 mit:
x B = E 0 B + E 2 sin 2B + E 4 sin 4B + E 6 sin 6B
wobei gilt: Bessel-Ellipsoid
Krassowsky-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
E0
111 120,619607 m/°
111 134,861087 m/°
111 132,952547 m/°
E2
-15 988,6383 m
-16 036,4801 m
-16 038,5088 m
E4
16,7300 m
16,8281 m
16,8326 m
E6
-0,0218 m
-0,0220 m
-0,0220 m
Bessel-Ellipsoid
Krassowsky-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 377 397,155 m
6 378 245 m
6 378 137,00 m
b
6 356 078,963 m
6 356 863,019 m
6 356 752,314 m
l=
L − L0 ! cos B
2 c= a b
V=
1 + e 2 cos 2 B
t = tan B ! = 180
2 2 2 e = a −2b b
114
8 Transformationen
Gauß-Krüger-Koordinaten R, H X Geographische Koordinaten B, L
4, 97 + 3t 2 B = Bx − y2 ! t V2 1 − y2 2 24 L − L0 = y
mit:
y 2 ! 2 1− (V 2 + 2t 2 − y 2 (0, 6 + 1, 1t 2 ) ) cos B x 6
B x = " + F 2 sin 2" + F 4 sin 4" + F 6 sin 6" H "= E 0
wobei gilt: Bessel-Ellipsoid
Krassowsky-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
E0
111 120,619607 m/°
111 134,861087 m/°
111 132,952547 m/°
F2
0,143 885 364°
0,144 297 408°
0,144 318 142°
F4
0,000 210 771°
0,000 211 980°
0,000 212 041°
F6
0,000 000 427°
0,000 000 431°
0,000 000 431°
y =
yV c
! = 180
V=
y = R−
L0 + 0, 5 10 6 3
2 c= a b 2 2 2 e = a −2b b
1 + e 2 cos 2 Bx
t = tan B x Bessel-Ellipsoid
Krassowsky-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 377 397,155 m
6 378 245 m
6 378 137,00 m
b
6 356 078,963 m
6 356 863,019 m
6 356 752,314 m
Hiermit auch Umrechnung von einem Gauß-Krüger-Merdianstreifensystem in das benachbarte Merdianstreifensystem möglich (R, H ) L 0 H
L, B H
( R, H ) L 0
mit L 0 = 3 o , 6 o , 9 o , 12 o oder 15 o
3o
8.2 Räumliche Transformation
8.2.4 Umrechnung geographischer Koordinaten in UTM-Koordinaten und umgekehrt nach SCHÖDLBAUER Geographische Koordinaten B, L X UTM-Koordinaten E, N
E = E 0 + [1 ] L + [3 ] L 3 + [5 ] L 5 N = m G + [2 ] L 2 + [4 ] L 4 + [6 ] L6 mit:
L = L − L 0 E0 =
mit L 0 = 3°, 9°, oder 15° für Deutschland
L0 + 3 + 30, 5 10 6 6
m = 0,9996
G = G 0 B + G 2 sin 2B + G 4 sin 4B + G 6 sin 6B wobei gilt: Internationales Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
G0
111 136,536655 m/°
111 132,952547 m/°
G2
-16 107,0347 m
-16 038,5088 m
G4
16,9762 m
16,8326 m
G6
-0,0223 m
-0,0220 m
[1] = m ! N cos B
m [3] = 6! 3 N cos 3 B (1 − t 2 + 2 ) m [5] = 120! 5 N cos 5 B (5 − 18t 2 + t 4 + 2 (14 − 58t 2 ))
m [2] = 2!2 N cos 2 B t m [4] = 24! 4 N cos 4 B t (5 − t 2 + 9 2 )
m [6] = 720! 6 N cos 6 B t (61 − 58t 2 + t 4 ) ! = 180
t = tan B 2 2 = a −2b cos 2 B b 2
N=
c 1 + 2
2 c= a b
Internationales-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 378 388,000 m
6 378 137,00 m
b
6 356 911,946 m
6 356 752,314 m
115
116
8 Transformationen
UTM-Koordinaten E, N X Geographische Koordinaten B, L
B = B F + (2 ) y 2 + (4 ) y 4 + (6 ) y 6 L = L 0 + (1 ) y + (3 ) y 3 + (5 ) y 5 y = E − E0
mit:
E0 =
L0 + 3 + 30, 5 10 6 6
oder
E 0 = (Zone + 0, 5 ) 10 6
L 0 = (Zone − 30 ) 6 − 3 B F = " + F 2 sin 2" + F 4 sin 4" + F 6 sin 6" "=
N m G0
m = 0,9996
wobei gilt: Internationales Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
G0
111 136,536655 m/°
111 132,952547 m/°
F2
0,144 930 079°
0,144 318 142°
F4
0,000 213 843°
0,000 212 041°
F6
0,000 000 437°
0,000 000 431°
(2 ) = − (4 ) = (6 ) = (1 ) = (3 ) = (5 ) = 2F =
! 2 m2
NF
2
t F (1 + 2F )
!=
!
2 2 ( 2 )) ( 4 t F 5 + 3t F + 6 F 1 − t F 24 m 4 N F ! 2 4) ( − 6 t F 61 + 90t F + 45t F 720 m6 N F ! m N F cos B F ! − (1 + 2t 2F + 2F ) 3 6 m3 N F cos B F ! (5 + 28t 2F + 24t 4F ) 5 120 m 5 N F cos B F
NF =
a 2 − b 2 cos 2 B F b2 Internationales-Ellipsoid
GRS80-Ellipsoid
a
6 378 388,000 m
6 378 137,00 m
b
6 356 911,946 m
6 356 752,314 m
180
c 1 + 2F
t F = tan B F c=
a2 b
8.2 Räumliche Transformation
117
8.2.5 Überführung der WGS 84 - Koordinaten in Gauß-Krüger - bzw. UTM - Koordinaten 8.2.5.1 Dreidimensionale Überführung 1. Schritt: Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit mindestens drei identischen Punkten
Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten der identischen Punkte X, Y, Z
Bestimmung der 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation mit identischen Punkten durch Ausgleichung
Berechnung von Kartesischen Koordinaten bezogen auf das Bessel- bzw. das Internationale Ellipsoid (siehe Abschnitt 8.2.2)
W X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4)
W B, L und H E = H N + N oder näherungsweise HE O HN
Ausgangsdaten: GK- oder UTM- Koordinaten Amtliche Höhen H N (Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen N )
Ergebnis: X, Y, Z, 1 , 2 , 3 , m (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“)
118
8 Transformationen
2. Schritt: Mit den im 1. Schritt bestimmten Parametern werden die WGS- 84Koordinaten der identischen Punkte und der Neupunkte in das Landessystem ( GK oder UTM) überführt.
WGS 84 Koordinaten
X,Y,Z
7-Parameter Transformation (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für Kleine Drehwinkel“)
W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2)
W B, L, H E
Umrechnung in Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4)
W GK- oder UTM - Koordinaten und falls Geoidundulationen bzw. Quasigeoidundulationen bekannt: H N = H E − N
8.2 Räumliche Transformation
119
8.2.5.2 Zweidimensionale Überführung Die zweidimensionale Überführung ist dann zweckmäßig, wenn nur GK- oder UTMKoordinaten und keine Höhen benötigt werden. Hierbei werden die 7 Parameter der räumlichen Ähnlichkeitstransformation nicht über identische Punkte bestimmt, sondern die schon für ein größeres Gebiet bekannten Parameter (globale Parameter) übernommen (näherungsweise Vortransformation).
Aus Satellitenmessung: Kartesische WGS 84 - Koordinaten aller Punkte X, Y, Z
Räumliche Ähnlichkeitstransformation mit globalen Parameter ( Vortransformation) (siehe Abschnitt 8.2.1 „Formel für kleine Drehwinkel“) W Kartesische Koordinaten bezogen auf das Bessel- oder das Internationale Ellipsoid X B , Y B , Z B bzw. X I , Y I , Z I
Umrechnung in geographische Koordinaten (siehe Abschnitt 8.2.2) W B, L, (H E )
Umrechnung in vorläufige Landeskoordinaten (siehe Abschnitt 8.2.3 bzw. 8.2.4) W GK- bzw. UTM - Koordinaten
Bestimmung der 4 Parameter (lokale Parameter) einer ebenen Ähnlichkeitstransformation über identische Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W Y 0 , X 0 , a, o
Ebene Ähnlichkeitstransformation aller Punkte (siehe Abschnitt 8.1.3) W lokal best eingepasste Landeskoordinaten (GK bzw. UTM)
Landeskoordinaten (GK- bzw. UTM-Koordinaten) der identischen Punkte
9 Höhenmessung 9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen Schwerebeschleunigung g → → → g = b+ z
→ g = Schwerebeschleunigung → b = Gravitation → z = Zentrifugalbeschleunigung g Pol = b O 9, 833
m s2
g A¨qu O
m s2
9, 780
(z = 0 )
Schwerepotential W Schwerepotential W =
Lageenergie = gh Masse
m2 s2
Lageenergie = Potentielle Energie = m g h
g = Schwerebeschleunigung m = Masse h = Bezugshöhe Niveauflächen Die Niveaufläche (Äquipotentialfläche) ist eine Fläche konstanten Schwerepotentials W.
dW = − g dh
H
dh = − dW g
Zwei Niveauflächen, die sich um die Potentialdifferenz dW unterscheiden, sind in der Regel nicht parallel. Daraus folgt auch, dass die Lotlinien gekrümmt sind.
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_9, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
9.1 Niveauflächen und Bezugsflächen
121
Geoid Das Geoid ist eine Niveaufläche im Schwerefeld der Erde mit W = W0 = konstant, die den mittleren Meeresspiegel bestmöglich approximiert.
Quasigeoid Das Quasigeoid ist die Bezugsfläche für die Normalhöhen ( siehe 9.2). Diese Bezugsfläche entsteht, wenn man die Normalhöhen der Oberflächenpunkte entlang der Lotlinie nach unten abträgt. Das Quasigeoid ist keine reine Äquipotentialfläche, weicht aber vom Geoid nur wenig ab.
Normalhöhennull In Deutschland wurde nach der Wiedervereinigung das Deutsche Haupthöhennetz 1992 ( DHHN 92) geschaffen. Als Höhenbezugsfläche gilt in Deutschland die Normalhöhennullfläche (NHN). Diese entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid. Datumspunkt ( Lagerungspunkt) ist der NivP “Kirche Wallenhorst“ bei Osnabrück.
122
9 Höhenmessung
9.2 Höhen Geopotentielle Kote Die geopotentielle Kote C P eines Punktes P ist die Potentialdifferenz zwischen dem Potential WP des Punktes und dem Potential der Referenzfläche ( Geoid) mit W = W0 ,
CP = W = W0 − WP = CP − C0 mit C0 = 0 C P O h niv (g 0 + g P )/2
m2 s2
h niv = nivellierter Höhenunterschied g 0 ; g P = gemessene Schwerebeschleunigung am Punkt P0 und Punkt P oder streng: P
CP =
g h
P0
h = differentiell kleine Höhenunterschiede g = zu h gehörige Schwerebeschleunigung 2
Die geopotentiellen Koten C mit der Maßeinheit ms 2 können bei Division durch g sm2 wieder in metrische Einheiten zurückgeführt werden.
H= C g Das Problem hierbei ist die Bestimmung bzw. Festlegung der repräsentativen Schwerebeschleunigung g.
9.2 Höhen
123
Normalhöhen Die Normalhöhe H N ist der metrische Abstand eines Punktes P von der als Normalhöhennullfläche bezeichneten Höhenbezugsfläche. Die Normalhöhenbezugsfläche entspricht dem durch den Nullpunkt des Amsterdamer Pegels verlaufenden Quasigeoid. Kurze Darstellung der Ableitung der Normalhöhen: y Ausgangswert: Geopotentielle Kote C P des Punktes P = Potentialdifferenz zum Geoid
y
Ein gedachter Punkt T weise gegenüber einem Niveauellipsoid ebenfalls die Potentialdifferenz C P auf.
y
Metrischer Abstand des Punktes T vom Niveauellipsoid
HN =
CP P
P = nach VIGNAL berechenbarer Mittelwert der Normalschwere zwischen Punkt T und dem Niveauellipsoid y
Die Höhe HN wird vom Punkt P aus längs der Lotlinie (näherungsweise Ellipsoidnormale) nach unten abgetragen und man erhält den Punkt Q
Führt man dies für beliebig viele Punkte P durch, so bilden die Punkte T das Telluroid und die Punkte Q das Quasigeoid
124
9 Höhenmessung
Ellipsoidische Höhen und Normalhöhen Die Ellipsoidische Höhe H E ist der metrische Abstand eines Punktes P zur Ellipsoidoberfläche gemessen entlang der Ellipsoidnormalen.
HE = HN + N N = Quasigeoidundulation Bei bekannten Quasigeoidundulationen N können ellipsoidische Höhen H E ( z.B. aus satellitengestützten Messungen) in Normalhöhen H N umgerechnet werden und umgekehrt. Berechnung der Ellipsoidischen Höhen aus kartesischen Koordinaten siehe 8.2.2
9.3 Geometrisches Nivellement 9.3.1 Definitionen Nivellementstrecke (Niv - Strecke)
Nivellementlinie (Niv - Linie)
Nivellitische Verbindung zweier Zusammenfassung von benachbarter Höhenfestpunkte, die in aufeinanderfolgenden Niv-Strecken der Regel durch Wechselpunkte unterteilt ist
Nivellementschleife (Niv - Schleife) In sich geschlossene Folge von NivLinien oder Niv-Strecken
Höhenknotenpunkt Höhenpunkt, zu dem mindestens drei Niv-Linien führen
9.3.2 Allgemeine Beobachtungshinweise 1. Größte Zielweiten: 30 - 50 m bei Feinnivellement: 25 - 35 m (Zielweiten abschreiten oder abmessen) 2. Gleiche Zielweiten für den Rück- und Vorblick eines Standpunktes Zielweite Vorblick = Zielweite Rückblick; wenn dies nicht möglich ist, muss der Einfluss von Erdkrümmung und Refraktion berücksichtigt werden. 3. Zielhöhe nicht unter 0,3 m über Boden (Refraktionseinflüsse) 4. Hin- und Rücknivellement oder Anschluss an zwei höhenbekannten Festpunkten 5. Gerade Anzahl von Standpunkten (2 Niv - Latten verwenden) 6. Anwendung des Verfahrens "Rote Hose", um den Kompensationsrestfehler und den Höhenversatz unwirksam zu machen
9.3 Geometrisches Nivellement
125
9.3.3 Grundformel eines Nivellements Höhenunterschied Höhenunterschied = Rückblick - Vorblick
Δh
=
r
-
Höhenunterschied zwischen zwei Höhenfestpunkten Sollhöhenunterschied (Differenz zwischen zwei vorgegebenen Höhen)
H = H E − H A H A = Höhe des Anfangpunktes H E = Höhe des Endpunktes Isthöhenunterschied (beobachteter Höhenunterschied zwischen zwei Höhenpunkten)
h =
n
n
r i − i =1 v i i =1
n = Anzahl der Niv-Standpunkte
9.3.4 Feinnivellement Beobachtungsverfahren Lattenablesung an Zweiskalenlatten:
rl G vl G vr G rr
rl rr vl vr
= Rückblick / linke Lattenskala = Rückblick / rechte Lattenskala = Vorblick / linke Lattenskala = Vorblick / rechte Lattenskala
Auswertung der Beobachtung sofortige Standpunktskontrolle
k I = r l − v l − (r r − v r )
sofortige Vor- und Rückblickkontrolle
k r = r r − r l −Teilungskonstante k v = v r − v l −Teilungskonstante
kl = kv − kr Zulässige Abweichung
k I > 0, 2 mm
k r , k v > 0, 15 mm
Höhenunterschied
h =
h l + h r 2
h l = r l − v l
;
h r = r r − v r
v
126
9 Höhenmessung
9.3.5 Ausgleichung einer Nivellementstrecke- /linie oder - /schleife Bestimmung eines Höhenneupunktes zwischen zwei Höhenfestpunkten A, E mit den Höhen H A und H E
Nivellementstrecke/-linie
Nivellementschleife
AE
A=E X
Sollhöhenunterschied
Sollhöhenunterschied
H = H E − H A Isthöhenunterschied
h = h i = r i − v i Streckenwiderspruch
w S = H − h
HA = HE
H = 0 Isthöhenunterschied
h = h i = r i − v i Schleifenwiderspruch
w U = −h
Verteilung des Strecken- bzw. Schleifenwiderspruchs w S , w U
wichtiger Hinweis: Die Verbesserung v i darf nicht mit dem Vorblick v i verwechselt werden. 1. Verbesserung der einzelnen Rückblickablesungen a) nach der Anzahl der Standpunkte (wenn alle Zielweiten etwa gleich lang)
vi = w n
n = Anzahl der Niv-Standpunkte b) nach den Zielweiten
v i = w 2z S
z = z R = zV = Zielweite S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Rückwärtsablesung
ri = ri + vi
2. Verbesserung der Höhe des Neupunktes
vN = w SN S
S N = Niv-Strecke vom Höhenfestpunkt bis zum Neupunkt S = Länge einer Niv-Strecke/Linie oder U = Länge einer Niv-Schleife H Verbesserte Höhe des Neupunktes
HN = HN + vN
9.3 Geometrisches Nivellement
9.3.6 Höhenknotenpunkt Bestimmung eines Höhenneupunktes von mehreren Höhenfestpunkten aus
Gewogenes Mittel der Höhe des Neupunktes
HN =
[H N i p i ] [p i ]
pi = 1
Si S i = Länge einer Niv-Strecke H N i = H i + h i h i = beobachteter Höhenunterschied H i = Höhenfestpunkte
Genauigkeit: Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 =
[p i v i v i ] n −1
vi = H Ni − H Ni n = Anzahl der beobachteten Höhenunterschiede Standardabweichung des Höhenneupunktes
s HN =
s0 [p i ]
127
128
9 Höhenmessung
9.3.7 Ziellinienüberprüfung Verfahren aus der Mitte
wenig empfehlenswertes Verfahren
h = a 1 − b 1 fehlerfrei
a 2 Soll O b 2 + (a 1 − b 1 )
Verfahren nach KUKKAMÄKI
z O 15 m
I1 :
h = a 1 − b 1
I2 :
h = a 2 − b 2 − d a 2 Soll = a 2 − 2d b 2 Soll = b 2 − d
fehlerfrei
d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 )
9.3 Geometrisches Nivellement Verfahren nach NÄBAUER
sehr zu empfehlen
z O 20 m
I1 :
h = (a 1 − d ) − (b 1 − 2d ) = (a 1 − b 1 ) + d
I2 :
h = (a 2 − 2d ) − (b 2 − d ) = (a 2 − b 2 ) − d 2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b2 − d
Verfahren nach FÖRSTNER
sehr zu empfehlen
z O 20 m
I1 :
a 1 − b 1 = h − d
I2 :
a 2 − b 2 = h + d 2d = (a 2 − b 2 ) − (a 1 − b 1 ) a 2 Soll = a 2 − 2d = (a 1 − b 1 ) + b 2 b 2 Soll = b2 − d
129
130
9 Höhenmessung
9.3.8 Genauigkeit des Nivellement Gewichtsansatz
p=
1 S[km ]
S = Länge einer Niv-Strecke [km]
Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Strecken-bzw. Linienwidersprüchen Einfachmessung
s0 =
1 wS wS S 2n
Doppelmessung
sD =
s0 2
w S = Streckenwiderspruch: Summe der Höhenunterschiede aus Hin- und Rückmessung n = Anzahl der Widersprüche S = Länge einer Niv-Strecke/Linie [km] Standardabweichung für 1 km Niv-Strecke aus Schleifenwidersprüchen Einfachmessung / Doppelmessung
s0 = sD =
1 wUwU n U
w U = Schleifenwiderspruch: Abweichung der Summe der Höhenunterschiede von Null n = Anzahl der Widersprüche U = Länge einer Niv-Schleife = Σ S Schleifenwiderspruch aus Einzelmessung: Standardabweichung s 0 Schleifenwiderspruch aus Doppelmessung: Standardabweichung s D Standardabweichung einer Niv-Strecke von der Länge S i
si = s0 Si
bzw. s iD = s D S i
9.3 Geometrisches Nivellement Genauigkeit des Nivellement Standardabweichung einer Niv-Strecke der Länge S aus Einzelhöhenunterschieden s S = s h
S 2Z
Z = Zielweiten S = Länge einer Niv-Strecke Standardabweichung des Einzelhöhenunterschiedes
s h = s A 2 s A = Ablesegenauigkeit an der Nivellierskala
9.3.9 Zulässige Abweichungen für geometrisches Nivellement 1. Ordnung : ADV Nivellement Feldanweisung 2006-2011: 2. Ordnung: VwV FP Baden-Würrtemberg
Zulässiger Streckenwiderspruch aus Hin- und Rückmessung I.Ordnung II.Ordnung
Z S [mm] = 0, 5 S + 1, 5 S Z S [mm] = 0, 5 S + 2, 25 S
S = Länge einer Niv-Strecke in km Zulässiger Schleifenwiderspruch I.Ordnung
Z U [mm] = 2 U
II.Ordnung
Z U [mm] = 3 U
U = Schleifenumfang in km Zulässige Abweichung aus gemessenem Höhenunterschied und vorgegebenem Höhenunterschied I.Ordnung
Z H [mm] = 2 + 2 S
II.Ordnung
Z H [mm] = 2 + 3 S
S = Länge einer Niv-Strecke in km
131
132
9 Höhenmessung
9.4 Trigonometrische Höhenbestimmung 9.4.1 Höhenbestimmung über kurze Distanzen (< 250m)
Gemessen:
Zenitwinkel z Distanz D oder Strecke S Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t
Höhenbestimmung mit Distanz D
H = D cos z + i − t Höhenbestimmung mit Strecke S
H = S cot z + i − t Höhenbestimmung des Standpunktes
H S = H Z − H
Höhenbestimmung des Zielpunktes
H Z = H S + H
Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ΔH 2 s H = (cot z s S ) +
S s [rad ] z sin 2 z
2
+ s 2i + s 2t
s S = Standardabweichung der Strecke S s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
133
9.4.2 Höhenbestimmung über große Distanzen Einseitige Zenitwinkelmessung für Strecken < 10 km: D = S R und S = S 0 Gemessen: Zenitwinkel z Distanz D Instrumentenhöhe i Zieltafelhöhe t Einfluss der Erdkrümmung
[rad ] = S 2 2R
2 kE O S 2R
Einfluss der Refraktion
kR O − k S 2R
2
[rad ] = k S 2 2R
R = Erdradius 6380 km k = Refraktionskoeffizient k O 0,13
Höhenbestimmung mit Distanz D 2 sin 2 z (1 − k) + i − t H = D cos z + D 2R
Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont
H = 1 +
HA S2 S cot z + (1 − k ) + i − t R 2R sin 2 z
Genauigkeit: Standardabweichung des Höhenunterschiedes ΔH 2 2 2 s H = (cos z s D ) + (D sin z s z[rad ]) + D s k 2R
2
+ s 2i + s 2t
s D = Standardabweichung der Distanz D s z = Standardabweichung des Zenitwinkels s i = Standardabweichung der Instrumentenhöhe s t = Standardabweichung der Zieltafelhöhe s k = Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten
134
9 Höhenmessung
Höhenbestimmung über große Distanzen Gegenseitig gleichzeitige Zenitwinkelmessung Bestimmung von ΔH ohne Kenntnis der Refraktion
Gemessen: Zenitwinkel z A , z B Distanz D Instrumentenhöhen i A , i B
Hinweise für die Beobachtung der Zenitwinkel: - gleichzeitig beobachten - bei stabilen Refraktionsverhältnissen - bei gleichmäßig durchmischter Luft
Höhenbestimmung mit Distanz D
H = D sin
zB − zA + iA − iB 2
Höhenbestimmung mit Strecke S im Bezugshorizont
H H = 1 + RA S (cot z A − cot z B ) + i A − i B 2 Ermittlung des Refraktionskoeffizienten k k = 1 − (z A + z B − 200 gon ) R 200 S R = Erdradius 6380 km S = Strecke Diese Art der Bestimmung des Refraktionskoeffizienten k ist sehr unsicher, da die Messfehler in den Zenitwinkeln z den Refraktionskoeffizienten sehr stark beeinflussen. Genauigkeit: Standardabweichung des Refraktionskoeffizienten
sk =
R 2 s z [rad ] S
s z = Standardabweichung des Zenitwinkels
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
9.4.3 Trigonometrisches Nivellement s r O s v > 250 m
Höhenunterschied
h Trig = Vorblick - Ru¨ckblick
h = s v cot z v − s r cot z r + (t r − t v ) oder mit t r = t v :
h = s v cot z v − s r cot z r
Höhenbestimmung einer trigonometrischen Niv-Strecke
H = h i
Genauigkeit: Standardabweichung des Einzelhöhenunterschieds
s h i = 2((cot z s s ) 2 + zr O zv
s s [rad ] z sin 2 z
2
+ s 2t )
sr O sv
s s = s s r = s s v = Standardabweichung der Strecken s s z = s zr = s zv = Standardabweichung der Zenitwinkel s t = s t r = s t v = Standardabweichung der Zieltafelhöhe Standardabweichung einer trigonometrischen Niv-Strecke
s H = n s 2h
s h = s h 1 = s h2 = .... n = Anzahl der Einzelhöhenunterschiede
135
136
9 Höhenmessung
9.4.4 Turmhöhenbestimmung Horizontales Hilfsdreieck Aufriss
Grundriss
Gegeben: Höhen der Kippachsen H K A , H KB Gemessen: Horizontalwinkel , Basis b
Zenitwinkel z A .z B sA = b
sin sin( + )
Forderung: b = 2h = 2s s=h Forderung: z O 50 gon
sB = b
: b auf Millimeter messen : z doppelt so genau wie α, β
sin sin( + )
h A = s A cot z A
h B = s B cot z B
H TA = H KA + h A
H TB = H KB + h B
HT =
H TA + H T B 2
Genauigkeit: Standardabweichung der gemittelten Höhe H T , wenn:
sA O sB , s HT =
O ,
hA sb b
2
zA O zB , +
h A O h B und H K A , H KB fehlerfrei
hA tan s [rad ] 2
2
+
2 hA s z [rad ] sin 2 z A
s b = Standardabweichung der Strecke b s = s = Standardabweichung der Horizontalwinkel s z = Standardabweichung der Zenitwinkel
2
9.4 Trigonometrische Höhenmessung
137
Turmhöhenbestimmung Vertikales Hilfsdreieck
Gegeben: Gemessen: Höhen der Kippachsen H KA , H KB Basis b Zenitwinkel z A , z B Günstige Anordnung: H K A O H KB b O 2h H z A O 80 gon s b O h H z B O 50 gon wobei h O H T − H K A O H T − H K B
sb =
b cot z A + H K A − H K B cot z B − cot z A
Forderung: b auf Millimeter messen z A doppelt so genau wie z B messen
H TA = H K A + (b + s b ) cot z A
HT =
H T A + H TB 2
H TB = H KB + s b cot z B Die schleifenden Schnitte der Zielstrahlen lassen sich vermeiden, wenn der Turm zwischen den Theodolitstandpunkten liegt. Die Strecke b kann indirekt ermittelt werden oder direkt gemessen werden, wenn im Turm eine Durchfahrt existiert.
sa =
H K B − H K A + b cot z B cot z A + cot z B
sb = b − sa
H T A = H K A + s a cot z A H T B = H K B + s b cot z B
HT =
H TA + H T B 2
10 Ingenieurvermessung 10.1 Absteckung von Geraden - Zwischenpunkt in einer Geraden Mit unzugänglichen oder gegenseitig nicht sichtbaren Endpunkten
= − 200 gon
Gemessen: Winkel
a und b Näherungswerte
e O a b sin O a b [rad ] a+b a+b Bei unbekanntem a und b
Gemessen: Winkel , Strecke e
= −200 gon ;
= − 200 gon
e Oe
+
e = e−e
e Oe
−
e = e+e
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_10, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
10.2 Kreisbogenabsteckung
10.2 Kreisbogenabsteckung 10.2.1 Allgemeine Formeln
Hauptpunkte: Bogenanfang A Bogenende E Bogenscheitel S
Rechenproben: Bogenlänge
b = r [rad ]
Tangente
t = r tan 2
Scheiteltangente
t 1 = r tan 4
Pfeilhöhe
h = r 1 − cos 2
(c + r ) sin = t 2
Scheitelabstand
tan c = r tan 2 4
h + r cos = r 2
Sehne
s = 2r sin 2
Zentriwinkel
= 200 gon −
Radius
r=
Tangentenfläche (Δ ATE - Kreisabschnitt)
s2 + h 8h 2 F T = r 2 tan 2 − 2 [rad ]
Kreisausschnitt (Sektor)
[rad ] r 2 F= 2
Kreisabschnitt (Segment)
2 F = r ([rad] − sin) 2
139
140
10 Ingenieurvermessung
10.2.2 Bestimmung des Tangentenschnittwinkels γ Richtungen der Tangenten und Radius sind bekannt
Tangentenschnitt T zugänglich Winkel γ mit dem Theodolit messen oder Winkel γ über das Δ PQT ermitteln sin
= c 2 2a
Tangentenschnitt T nicht zugänglich 1. Bestimmung der Winkel ψ,ϕ :
a) Hilfsgerade b direkt messen und Winkel ψ,ϕ mit dem Theodolit messen
b) Polygonzug von P nach Q messen:
- Brechungswinkel i und Strecken s i messen - Berechnung des Polygonzuges im örtlichen Koordinatensystem ohne Richtungsanund -abschluss - Strecke b und die Winkel δ und ε aus den Koordinaten der Punkte P,1,2,Q berechnen
' = 400 gon − P −
) = 200 gon − Q −
2. Berechnung mit Sinussatz
= ' + ) − 200 gon PT = sin ) AP = t − PT
b sin
QT = sin ' EQ = t − QT
b sin t = Tangentenlänge
10.2 Kreisbogenabsteckung
10.2.3 Kreisbogen durch einen Zwangspunkt P
1. Beide Tangentenrichtungen bekannt
x 1/2 = y tan
2
y tan
2
2
+ 2p y tan
− y2 2
Zwei Lösungen möglich
Ordinate y und Abszisse p gemessen Tangente
Radius
t 1/2 = p + x 1/2 Probe:
r 1/2 = t 1/2 tan
2
x 2 + y 2 = 2ry
2. Eine Tangentenrichtung und der Radius bekannt
x 1/2 = r 2 − (r − y )
2
Zwei Lösungen möglich
Tangente
t 1/2 = p + x 1/2 Ordinate y und Abszisse p gemessen
141
142
10 Ingenieurvermessung
10.2.4 Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Orthogonale Absteckung von der Tangente 1. mit gleichen Abszissenunterschieden Δx
xi = i x
i = 1n n = Anzahl der x
y i = r − r 2 − x 2i Näherungsformel
yi O
x 2i 2r
2. mit gleichen Bogenlängen Δb
*[rad ] = b r
200 ; *[gon ] = b r
*i = i *
i = 1n n = Anzahl der b
x i = r sin * i y i = r − r cos * i
Orthogonale Absteckung von der Sehne 1. bei Vorgabe von Abszissen x i
xi = x i − s 2 2 h = r − r2 − s 4
2 y i = r 2 − x 2i − r 2 − s 4
2. bei Vorgabe der Bogenlänge b i
b *i [rad] = ri
b
200 ; *i [gon] = ri
y i = r cos * i − − cos 2 2 x i = r sin * i − + sin 2 2
10.2 Kreisbogenabsteckung
143
Absteckung von Kreisbogenkleinpunkten Absteckung nach der Sehnen-Tangenten-Methode Polare Kreisbogenabsteckung durch Angabe der Richtungen ri vom Standpunkt E und Messen der aufeinanderfolgenden Sehnen. Es soll immer von A nach E abgesteckt werden.
Pi
Δb
s r
s
i
ri = i * 2
s
Δb
r1
s
P1
b 200 *[rad ] = b r ; *[gon ] = r s = 2r sin * 2
Δb
r
ω
α
r
M
sR
ω/2
rA
A
rA = 0
i = Anzahl der Sehnen
E Probe: *r = − i *
s r = 2r sin * r
Absteckung mit Hilfe eines Sehnenpolygons Fortlaufende Kreisbogenabsteckung im Trassenverlauf mit polaren Absteckelementen
Die größte absteckbare Sehnenlänge:
s max = 2 r 2 − (r − d ) 2
d = Stollenbreite
* = 2 arcsin s 2r A = 200 gon + * 2
i = 200 gon+ *
Wegen der fortgesetzten Verlängerung des Polygonzuges ohne Richtungs- und Koordinatenabschluss ergibt sich mit wachsender Punktzahl eine schnell anwachsende Lageunsicherheit.
144
10 Ingenieurvermessung
10.2.5 Näherungsverfahren Genähertes Absetzen von der Tangente
2 yO x 2r
wenn: xr < 1 10
r = Radius Genähertes Absetzen von der Sekante
sin * = s 2 2r
x = s cos *
y = s sin *
r = Radius Viertelmethode
Streng:
2 h = r − r2 − s 4
Genähert:
h O 1 h 4 r = Radius
falls:
s< 1 5r
10.2 Kreisbogenabsteckung Näherungsverfahren Einrückmethode für Zwischenpunkte zwischen zwei Bogenpunkten bei flachen Bögen x O b
yO
x(s − x ) 2r
r = Radius
10.2.6 Kontrollen der Kreisbogenabsteckung Pfeilhöhenmessung am Bogenanfang bzw. - ende
h=
a b2 2r (a + b )
r = Radius
im Kreisabschnitt für flache Bögen für gleiche Bogenlängen / bei gleichen Sehnen
2 hO s 8r
r = Radius
hO ab 2r
r = Radius
für ungleiche Bogenlängen
145
146
10 Ingenieurvermessung
10.2.7 Korbbogen Dreiteiliger Korbbogen Der dreiteilige Korbbogen wird bei Straßeneinmündungen angewendet. Nach den "Richtlinien für die Anlage von Landstraßen, Teil III: Knotenpunkte (RAS-K1)" verhalten sich die Radien wie folgt: r 1 : r 2 : r 3 = 2 : 1 : 3 Die Zentriwinkel der Kreisbögen sind 1 = 17, 5 gon , 3 = 22, 5 gon
y 1 = r 1 (1 − cos 1 )
x1 = r 1 sin 1
y 2 = r 3 (1 − cos 3 )
x2 = r 3 sin 3
r 1 = y 1 − r 2 (1 − cos 1 )
r 2 = y 2 − r 2 (1 − cos 3 )
a1 = x 1 − r 2 sin 1
a 2 = x 2 − r 2 sin 3
c1 = (r 2 + r 2 ) + (r 2 + r 1 ) cos
c2 = (r 2 + r 1 ) + (r 2 + r 2 ) cos
t1 = a 1 +
c1 sin
t2 = a 2 +
c2 sin
10.3 Klotoide
147
10.3 Klotoide 10.3.1 Definition Die Klotoide ist eine Kurve, deren Krümmung k stetig mit der Bogenlänge L wächst.
Krümmung
1 = L k= R A2
Grundformel
A2 = L R
Grundgleichungen zwischen den Bestimmungsstücken L = R 2$ 2$
Parameter A
A= LR =
Radius
2 R = AL = L = 2$
Bogenlänge
2 L = AR = 2$ R = A 2$
Tangentenwinkel
2 2 $= L = L 2 = A 2 2R 2A 2R
A 2$
Einheitsklotoide Alle Klotoiden sind einander ähnlich. Aus der Einheitsklotoide mit dem Parameter a = 1 lassen sich die Elemente anderer Klotoiden mit dem Parameter A als Vergrößerungsfaktor berechnen:
R=rA
L=lA
148
10 Ingenieurvermessung
Bestimmungsstücke der Einheitsklotoide Koordinaten eines Klotoidenpunktes
2n −1
2n −2
2$
(−1 ) n +1 (4n − $1 )(2n − 1 )! n =1
x = 2$
(−1)n +1 (4n − $3)(2n − 2)! n =1
y=
Näherungsformeln für 0 > l > 1 und sechsstellige Genauigkeit:
y = [(42410 −1 l 4 − 336 −1 ) l 4 + 6 −1 ] l 3
l= L A
x = [(3474, 1 −1 l 4 − 40 −1 ) l 4 + 1 ] l Koordinaten des Krümmungsmittelpunktes
y M = y + r cos $
x M = x − r sin $
Tangentenabrückung
r = y M − r = y + r cos $ − r
lange Tangente
t l = x − y cot $
Tl = t l A
kurze Tangente
tk =
y sin $
Tk = t k A
Klotoidensehne
s = x2 + y2
S= sA
Richtungswinkel
y " = arctan x
R = r A
Längenunterschied zwischen Klotoidenbogen und Klotoidensehne 3 B−SO B 2 24R
B = Klotoidenbogenlänge S = Klotoidensehne R = Radius
10.3 Klotoide
10.3.2 Verbundkurve Klotoide - Kreisbogen - Klotoide Symmetrisch
= − 2$ t = (R + R ) tan 2
T = t + XM b = R [rad ] Gesamtbogenlänge:
B = b + 2L Unsymmetrisch
d=
R 2 − R 1 sin
= − ($ 1 + $ 2 ) t 1 = tan 2 (R + R 1 )
T1 = X M 1 + t 1 + d t 2 = tan 2 (R + R 2 )
T2 = X M 2 + t 2 − d b = R [rad ] Gesamtbogenlänge:
B = L 1 + b + L2
149
150
10 Ingenieurvermessung
10.4 Gradiente 10.4.1 Längsneigung
s[% ] = h 100 = 100 tan l s h tan = 1 n = l = 100
h > 0 Steigung h < 0 Gefälle
10.4.2 Schnittpunktberechnung zweier Gradienten
x TS =
(x 2 − x 1 ) s 2 − (h 2 − h 1 ) 100 + x1 s 2 − s1 100
h TS = h 1 +
s1 ( x TS − x 1 ) 100
s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung: Steigung, positiv Gefälle, negativ
10.4 Gradiente
10.4.3 Kuppen- und Wannenausrundung
TS = Tangentenschnittpunkt A = Ausrundungsanfang E = Ausrundungsende S = Scheitelpunkt HW = Halbmesser Wanne, positiv HK = Halbmesser Kuppe, negativ s 1 , s 2 [% ] = Längsneigung: Steigung, positiv Gefälle, negativ auf die Horizontale reduzierte Tangentenlänge
T=
H W,K s − s1 2 100 2
Ausrundungsanfang A
x A = x TS − T
h A = h TS − T
s1 100
Ausrundungsende E
x E = x TS + T
h E = h TS + T
s2 100
Bogenstich
f=
Scheitelpunkt
xS = xA −
T2 2H W,K s 1 H W,K 100
hS = hA −
Scheitelpunkt vorhanden, Ordinate y an der Stelle x i
y=
(x i − x A ) 2 2H W,K
Höhe der Gradientenkleinpunkte xi
hi = hS +
(x S − x i ) 2 (x − x A ) 2 s = h A + 1 (x i − x A ) + i 2H W,K 100 2H W,K
(x S − x A ) 2 2H W,K
s
2 wenn: s 1 < 0
151
152
10 Ingenieurvermessung
10.5 Erdmengenberechnung 10.5.1 Mengenberechnung aus Querprofilen
l = Profilabstand
F i = Fläche der Querprofile
V = 1 (F i + 4F m + F i +1 ) l 6
Prismatoidenformel
F m nicht bekannt: F m =
F i + Fi +1 2
Pyramidenstumpfformel
V = 1 F i + F i F i +1 + F i +1 l 3
Näherungsformel
V O 1 (F i + F i +1 ) l 2
2
Mit der Näherungsformel wird das Volumen stets zu groß erhalten.
GULDINsche Regel V = Querschnittsfläche * Weg des Schwerpunktes V = 1 (F i + F i +1 ) l k m 2
l = Profilabstand in der Achse
Verbesserungsfaktor
k m = 1 (k i + k i +1 ) 2
ki =
R − ysi R
k i +1 =
R − y s i +1 R
R = Radius, wobei: R > 0 Rechtskurve; R < 0 Linkskurve Schwerpunktsabstand von der Achse
yS = 1 6F
n
(y 2i + y i y i +1 + y 2i +1 ) (z i − z i +1 ) i =1
F = Querschnittsfläche
10.5 Erdmengenberechnung Mengenberechnung aus Querprofilen Komplexe Berechnung von Mengen aus Querprofilen
V = 1 S n (F n −1 + F n ) + 1 2 2
n −1
S i (Fi −1 − F i +1 )
i =1
S i = Stationierung,wobei S 0 = 0 F i = Fläche der Querprofile n = Anzahl der Querprofile
10.5.2 Mengenberechnung aus Höhenlinien
V = h (F 1 + F n + 4(F 2 + F 4 + ) + 2(F 3 + F 5 + )) 3 ungerade Flächenanzahl notwendig;
2
F1 + Fn sind nur zwei Flächen vorhanden: F 2 = 2 h = Abstand zwischen zwei Höhenlinien ( Schichthöhe ) F i = Schichtfläche Näherungsformel
V = h (F 1 + F n + 2(F 2 + F 3 + + F n −1 )) 2 Dreiachtel - Regel für 4 Flächen
V = 3 h (F 1 + 3F 2 + 3F 3 + F 4 ) 8 Regel für 7 Flächen nach Weddle
V = 3 h (F 1 + 5F 2 + F 3 + 6F 4 + F 5 + 5F 6 + F 7 ) 10
153
154
10 Ingenieurvermessung
10.5.3 Mengenberechnung aus Prismen Mengenberechnung aus Dreiecksprismen
hi =
h i1 + h i2 + h i3 3
V=
n
Fi hi i =1
F i = Fläche der Dreiecke n = Anzahl der Dreiecke Mengenberechnung aus Viereckprismen Rostrechtecke oder Rostquadrate
j
hm =
(g i h i ) i =1 4n
h i = Rostpunkthöhen g i = Rostpunktgewichte Gewicht 1 Eckpunkte Gewicht 2 Randpunkte Gewicht 3 Randinneneckpunkte Gewicht 4 Innenpunkte F = Fläche der Rostrechtecke oder -quadrate n = Anzahl der Quadrate oder Rechtecke j = Anzahl der Rostpunkte
V = F hm
10.5 Erdmengenberechnung
10.5.4 Mengenberechnung einer Rampe n = Böschungssteigung h = Böschungshöhe
b = Rampenbreite m = Rampenneigung n1 = Rampenböschungssteigung
2 n + 3b V 1 = h (m − n ) 2h n 1 1 − m 6
2 n + 3b V 2 = h m 2h n 1 1 − m 6
10.5.5 Mengenberechnung sonstiger Figuren Dreiseitprisma
V = a b 1 (h 1 + h 2 + h 3 ) 3 2
Vierseitprisma
V O a b 1 (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) 4
155
156
10 Ingenieurvermessung
Mengenberechnung sonstiger Figuren Pyramide
V = 1Fh 3 Kegel
V = 1 F h = r2 h 3 3 Zylinder
V = r2 h
Pyramidenstumpf
V = h F1 + F2 + F1 F2 3 Kegelstumpf
V = h(r 21 + r 22 + r 1 r 2 ) 3 Obelisk
V = h [(2a 1 + a )b 1 + (2a + a 1 )b ] 6 Grund- und Deckfläche sind im Abstand h parallel zueinander
Keil
V = h (2 a 1 + a ) b 1 6
11 Ausgleichungsrechnung 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein 11.1.1 Aufstellen von Verbesserungsgleichungen ursprüngliche Verbesserungsgleichung Beobachtung + Verbesserung = Funktion der Unbekannten; Gewicht
li
+
vi
f i (x1 , x2 , , xu )
=
p
i = 1, 2, ....., n mit n = Anzahl der Beobachtungen k = 1, 2, ....., u mit u = Anzahl der Unbekannten umgestellte Verbesserungsgleichung
v i = f i (x 1 , x 2 , , x u ) − l i = a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a iu x u − l
i
bei linearen Funktionen Absolutglied l i = l i bei nicht linearen Funktionen wird mit Hilfe der TAYLORschen Reihe die Gleichung linearisiert dazu werden Näherungswerte x0k eingeführt xk = x 0k + x k wobei x k durch eine differenzielle Größe dx k ersetzt werden kann xk = x0k + dx k
f i (x k ) = f i (x 0k + dx k ) = f i (x 0k ) +
f i (x 0k ) dx k + ...... x 0k
Koeffizienten (partielle Ableitungen) Absolutglied
a ik =
f i (x 0k ) x 0k
l i = l i − f i (x 01 , x 02 , , x 0u ) = l i − l 0 i
Matrizenschreibweise
v=Ax−l;P v = A= x= l= P= l= l0 =
mit l = l − l 0
Verbesserungsvektor Koeffizientenmatrix Vektor der Unbekannten Absolutgliedvektor Gewichtsmatrix Messwertvektor Vektor der Näherungswerte der Messwerte
v i = Verbesserung a ik = Koeffizienten xk = Unbekannte l i = Absolutglied p i = Gewicht l i = Messwert l 0 i = Näherungswert des Messwerts
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_11, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
158
11 Ausgleichungsrechnung
11.1.2 Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten aus dem Minimum der Quadratsumme der Verbesserungen folgt: ( vTPv = Minimum ) Normalgleichungsmatrix
N = AT P A
Gewichtsreziprokenmatrix
Q = N −1 = Q xx
h- Vektor
h = AT P l
Vektor der Unbekannten
x = N−1 h = (AT P A ) −1 AT P l
Direkte Berechnung vTPv
v T P v = l T P l - h T x
v= Ax-l
Verbesserungsvektor Ausgleichungsprobe
AT P v = 0
Vektor der Ausgeglichenenen Messwerte
l = l + v = A x + l0
Kofaktorenmatrix der ausgeglichenen Beobachtungen
Q l l = A N −1 A T = A Q A T
Kofaktorenmatrix der Verbesserungen
Q vv = P −1 − A N −1 A T R = Q vv P = E − A N −1 A T P
Redundanzmatrix
11.1.3 Genauigkeit Standardabweichung der Gewichtseinheit
s0 =
vT P v n−u
n = Anzahl der Messungen u = Anzahl der Unbekannten
Standardabweichung der Unbekannten x i
s xi = s 0 q xi q xi
q x i x i = Diagonalglieder von Q xx = Q xx
ii
11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - allgemein Genauigkeit
Standardabweichung der Messungen vor der Ausgleichung (a priori)
s li =
s0 pi
p i = Gewicht der Messung s 0 = Standardabweichung a priori
Standardabweichung der Messung nach der Ausgleichung (a posteriori)
s li = s 0 q lili
q l i l i = Diagonalglieder von Q l l = Q l l
ii
11.1.4 Statistische Überprüfung Redundanzanteil einer Beobachtung
r i = (R) ii (R ) ii = Diagonalglieder der Redundanzmatrix R Kontrolle:
ri = r = n − u EV-Wert einer Beobachtung
EV i [% ] = r i 100
Normierte Verbesserung einer Beobachtung
NV i =
vi vi = s 0 q vivi s li r i
q v i v i = Diagonalglieder von Q vv = Q vv
ii
159
160
11 Ausgleichungsrechnung
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen und Strecken nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichungen für Strecken und Richtungen ausgeglichene Strecke
s ik = s ik + v s ik
nicht lineare Verbesserungsgleichung
v sik = (x k − x i ) 2 + (y k − y i ) 2 − s ik linearisierte Verbesserungsgleichung
v s ik = −a 1 ik x i − b 1 ik y i + a 1 ik x k + b 1 ik y k − l Streckenkoeffizienten
a 1 ik = cos t 0ik
Absolutglied
l
s ik
s ik
b 1 ik = sin t 0ik
= s ik − s 0ik
ausgeglichener Richtungswinkel [gon]
t ik = r ik + o i + v r ik
nicht lineare Verbesserungsgleichung
yk − yi v r ik [gon ] = 200 arctan x k − x i − r ik − o i linearisierte Verbesserungsgleichung
v r ik [gon ] = −* i − a 2 ik x i − b 2 ik y i + a 2 ik x k + b 2 ik y k − l
Richtungskoeffizient
sint a2ik = − s0ik0ik 200
Absolutglied
l r ik = o 0i − (t 0ik − r ik )
r ik
cos t b 2 ik = + s 0ik0ik 200
Näherungswert der Orientierungsunbekannten y i = y i − y 0i y k = y k − y 0k
x i = x i − x 0i x k = x k − x 0k
o 0i =
[t 0ik − r ik ] n
; wenn Pi = Festpunkt: H x i = y i = 0 ; wenn Pk = Festpunkt: H x k = y k = 0
y i , x i = Koordinaten des Standpunkts y k , x k = Koordinaten des Zielpunkts y 0i , x 0i = Näherungskoordinaten y 0k , x 0k = Näherungskoordinaten s ik = gemessene Strecke s 0ik = Strecke aus Näherungskoordinaten r ik = gemessene Richtung o i = Orientierungsunbekannte in Pi o i = o i − o 0i t 0ik = Richtungswinkel zum Näherungspunkt n = Anzahl der Messungen
11.2 Punktbestimmung mit Richtungen/Strecken
161
Gewichtung von Strecken- und Richtungsbeobachtungen Genauigkeitsansatz bei der Streckenmessung
s 2S = a 2 + b 2 S 2 a = entfernungsunabhängiger Anteil b = entfernungsabhängiger Anteil S = Streckenlänge Genauigkeitsansatz bei der Richtungsmessung
s 2R = s 2r + c 200 S
2
+ d 200 S
2
s r = Standardabweichung einer aus mehreren Sätzen gemittelten Richtung ohne Einfluss der Exzentrizitäten c, d = Exzentrizitäten (Aufstellfehler) in den Endpunkten Gewichtsansatz
s 20 = s 2S ( für 1 km -Strecke) p 0S = 1
p Si =
s 20 s 2S i
p Ri =
oder
s 20 s 2R i
s 20 = s 2R ( für 1 km lange Visur ) p 0R = 1 p Ri =
s 20 s 2R i
pSi =
s 20 s 2Si
s 0 = Standardabweichung der Gewichtseinheit s R i = Standardabweichungen der Richtungen s S i = Standardabweichungen der Strecken
Berechnung der Normalgleichungen, der Gewichtsreziproken und der Unbekannten Δx, Δy, Δο siehe 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein Koordinaten von Pi bzw. Pk , Orientierungsunbekannte o
y i = y 0i + y i
x i = x 0i + x i
o i = o 0i + o i
y k = y 0k + y k
y k = y 0k + y k
o k = o 0k + o k
Berechnung der Verbesserungen a) aus linearen Verbesserungsgleichungen b) aus nicht linearen Verbesserungsgleichungen Vergleich beider Verbesserungen (Schlussprobe)
162
11 Ausgleichungsrechnung
Genauigkeit a)
s 0 , s xi , s li , s l i siehe Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein
b)
Fehlerellipse Richtung der extremen Abweichung Richtungswinkel der großen Halbachse der Fehlerellipse
2Q xy
= 1 arctan 2 Q xx − Q yy Gewichtstreziproke Q xx , Q yy , Q xy aus der Gewichtsreziprokenmatrix Q = N−1 Größe der extremen Abweichung
s 2max,min =
s 20 2 Q xx + Q yy (Q xx − Q yy ) + 4Q 2xy 2
Standardabweichung der Punkte
s P = s 2max + s 2min = s 0 (Q xx + Q yy ) = s 2x + s 2y
Abweichung in einer beliebigen Richtung t der Fehlerellipse
s t = s 2max cos2 (t − ) + s2min sin 2 (t − )
11.3 Höhennetzausgleichung
163
11.3 Höhennetzausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen Verbesserungsgleichung Für Höhenunterschied zwischen zwei Neupunkten Pi und P k
v ik = x k − x i − l
ik
mit l
ik
= l ik
Ist einer der zwei Punkte ein bekannter Höhenfestpunkt, so gilt entweder v ik = H k − x i − l ik und damit
v ik =
− x i − l ik
oder v ik = x k − H i − l ik
v ik = x k
mit l
= l ik − H k
und damit
− l ik
ik
mit l
ik
= l ik + Hi
v = Verbesserung x = Höhe des Neupunktes H = Höhe des Festpunktes l = Beobachtung/gemessener Höhenunterschied l' = Absolutglied Matrizenschreibweise
v=Ax-l ;P v = Verbesserungsvektor x = Vektor der Unbekannten l = Beobachtungsvektor l = Absolutgliedvektor P = Gewichtsmatrix Gewichtsansätze beim geometrischen Nivellement
p= 1 s s = Entfernung
bei trigonometrischer Höhenmessung (kurze Distanzen)
p = 12 s
Berechnung der Normalgleichungen, der Unbekannten, der Verbesserungen und der Genauigkeit siehe 11.1 Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen - Allgemein
12 Grundlagen der Statistik 12.1 Grundbegriffe der Statistik Messabweichungen Fehler falsche Ablesungen, Zielverwechslungen etc., die durch sorgfältige Arbeit vermieden werden und durch Kontrollmessungen aufgedeckt werden können systematische Abweichung - bekannte systematische Abweichungen (z. B. unzureichende Kalibrierung, Temperatureinflüsse) sollen durch Korrektionen beseitigt werden - unbekannte systematische Abweichungen sind nur sehr schwer zu bestimmen zufällige Abweichungen nicht beherrschbare, nicht einseitig gerichtete Einflüsse während mehrerer Messungen am selben Messobjekt innerhalb einer Messreihe
Zufallsgrößen X = Zufallsgröße
x i = Beobachtungswert; Einzelwert für eine Zufallsgröße L = Messgröße; Zufallsgröße, deren Wert durch Messung ermittelt wurde
l i = Messwert; Einzelwert für eine Messgröße Parameter der Wahrscheinlichkeitsverteilung Erwartungswert x = E(x ) Schätzwert für x = arithmetischer Mittelwert x
Varianz Varianz σ² ist ein Streuungsmaß für die zufällige Abweichung eines einzelnen Messwertes vom Erwartungswert der Messgröße
Standardabweichung Standardabweichung σ ist die positive Wurzel der Varianz Schätzwert für " = empirische Standardabweichung s
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5_12, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
12.1 Grundbegriffe der Statistik Standardabweichung σ Erwartungswert x bekannt
zufällige Abweichung
i = xi − x
Varianz
" 2x =
Standardabweichung
"x =
[ i i ] n
nG
[ i i ] n
nG
x = Erwartungswert x i = Beobachtungswert; Messwert n = Anzahl der Beobachtungswerte
Standardabweichung s Schätzwert für x = arithmetischer Mittelwert x bekannt arithmetischer Mittelwert
[x ] x = ni
Verbesserung
vi = x − xi
(empirische) Varianz
s 2x =
(empirische) Standardabweichung
sx =
[v i v i ] n−1 [v i v i ] n−1
(empirische) Standardabweichung des Mittelwertes
Freiheitsgrad (Redundanz)
x i = Beobachtungswerte n = Anzahl der Beobachtungswerte u = Anzahl der Unbekannten; hier u = 1
[ ]2 [v i v i ] = [x 2i ] − xni
f = n−u
sx =
sx n
165
166
12 Grundlagen der Statistik
12.2 Wahrscheinlichkeitsfunktionen Standardisierte Normalverteilung N (0,1) Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X mit Erwartungswert x = 0 und Varianz " 2x = 1
u=
standardisierte normalverteilte Zufallsvariable
x − x "x
1 exp − u 2 2 2
Wahrscheinlichkeitsdichte
' (u ) =
Verteilungsfunktion
(u ) = P(X < u ) =
u
' (x)dx
−
(u p ) = p
p-Quantil der standardisierten Normalverteilung
u p = Wert, für den die Verteilungsfunktion Φ(u) einer nach N (0,1) verteilten Zufallsgröße einen vorgegebenen Wert p annimmt
Einseitig begrenztes Intervall
(up) = P (− < u < up ) Zweiseitig begrenztes Intervall
P (−up1 < u < up2 ) = (up1 ) − (1 − (up2 ) ) Symmetrisches Intervall
P (−up < u < up ) = 2 (up) − 1 (u p ) = P + 1 2
u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung, kann rückwärts aus der Tabelle 1 entnommen werden Zweiseitige Quantilen der standardisierten Normalverteilung p% (u p )
50,00
68,30
90,00
95,00
98,00
99,00
99,73
99,90
0,75
0,84
0,95
0,98
0,99
1,00
1,00
1,00
up
0,68
1,00
1,64
1,96
2,33
2,58
3,00
3,03
12.3 Vertrauensbereiche
12.3 Vertrauensbereiche Konfidenzbereiche) Vertrauensniveau
P = 1− Wenn nichts anders vereinbart ist, soll 1 - α = 0,95 benutzt werden.
Anmerkung:
Vertrauensintervall für den Erwartungswert μ
P ( C ,u > x > C ,o ) = 1 − Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " x bekannt standardisierte Normalverteilung untere Vertrauensgrenze
C ,u = x − u p
"x n
obere Vertrauensgrenze
C ,o = x + u p
Vertrauensgrenzen - Standardabweichung " t-Verteilung untere Vertrauensgrenze
C ,u = x − s x t f;1−/2
x
"x n
unbekannt
obere Vertrauensgrenze
C ,o = x + s x t f;1−/2
x = Mittelwert der Messwerte n = Anzahl der Messwerte u p = Quantil der standardisierten Normalverteilung t f;p = Quantil der t-Verteilung (Tabelle 2) s sx = x s x = empirische Standardabweichung n Vertrauensintervall für die Standardabweichung
P ( C ",u > " x > C ",o ) = 1 − Vertrauensgrenzen ( 2 − Verteilung untere Vertrauensgrenze
C ",u = s x
f ( 2f;1−/2
obere Vertrauensgrenze
C ",o = s x
f ( 2f;/2
( 2f;1−/2 , ( 2f,/2 = Quantile der ( 2 − Verteilung (Tabelle 3) f = n - 1 = Freiheitsgrade
167
168
12 Grundlagen der Statistik
12.4 Testverfahren Testniveau:
P = 1−
5% Signifikanz:
α = Irrtumswahrscheinlichkeit
α = 0,05
1% Hochsignifikanz: α = 0,01
Signifikanzbeweise sind in 5% aller Fälle Fehlschlüsse Hochsignifikanzbeweise sind in 1% aller Fälle Fehlschlüsse
Signifikanztest für den Mittelwert t-Verteilung Gegenüberstellung
Testgro¨be t f =
Nullhypothese
x = x
x − x s x J Quantil der t-Verteilung t f;p
x < x : einseitige Fragestellung ( 1 - α ) x >< x : zweiseitige Fragestellung ( 1 - α/2 ) Nullhypothese verwerfen
t f > t f;p
d.h. x ist signifikant > bzw < x
x = Mittelwert x = Erwartungswert s x = empirische Standardabweichung des Mittelwertes f = Freiheitsgrade t f;p = Quantil der t-Verteilung ( Tabelle 2 ) Beim Vergleich zweier Mittelwerte gilt: x − x = x1 − x2
f = f1 + f2
s 2x = s 2x 1 + s 2x 2
Signifkanztest für Varianzen
s1 > s2
F-Verteilung s 21 J Quantil der F-Verteilung F f 1f 2 ;p s 22
Gegenüberstellung
Testgro¨be
Nullhypothese
s 21 =1 s 22
einseitige Fragestellung
Nullhypothese verwerfen
s 21 > F f 1 ,f 2 ;p > 1 s 22
d.h. s 21 ist signifikant > s 22
s 21 = Varianz mit f 1 Freiheitsgraden s 22 = Varianz mit f 2 Freiheitsgraden F f 1 ,f 2 ;p = Quantil der F-Verteilung (Tabelle 4)
12.5 Messunsicherheit
169
12.5 Messunsicherheit u Das Messergebnis aus einer Messreihe ist der um die bekannte systematische Abweichung berichtigte Mittelwert x E verbunden mit einem Intervall, in dem vermutlich der wahre Wert der Messgröße liegt.
y = xE u Die Differenz zwischen der oberen Grenze dieses Intervalls und dem berichtigten Mittelwert bzw. der unteren Grenze dieses Intervalls wird als Messunsicherheit u bezeichnet. Die Messunsicherheit setzt sich aus einer Zufallskomponenten u z und einer systematischen Komponenten u s zusammen.
Zufallskomponente u z Messreihe unter Wiederholungsbedingungen bei unbekannter Wiederholstandardabweichung " r
uz =
t s n
Messreihe unter Wiederholbedingungen mit wenigen Einzelwerten bei bekannter Wiederholstandardabweichung " r
uz =
t "r n
t = Quantil der t-Verteilung n = Anzahl der Beobachtungswerte Systematische Komponente u s kann im allgemeinen nur anhand ausreichender experimenteller Erfahrung abgeschätzt werden
Zusammensetzung der Komponenten zur Messunsicherheit u Lineare Addition
u = uz + us
u z >> u s
Quadratische Addition
u = u 2z + u2s
uz O us
Besteht die Messunsicherheit u nur aus der Zufallskomponenten, entspricht die Messunsicherheit dem halben Vertrauensbereich.
170
12 Grundlagen der Statistik
12.6 Toleranzen Toleranzbegriffe
Nennmaß Istabmaß
Istmaß
Kleinstmaß
Grenzabmaß -
Grenzabmaß +
Maßtoleranz Größtmaß
Nennmaß (Sollmaß):
Maß, das zur Kennzeichnung von Größe, Gestalt und Lage eines Bauteils oder Bauwerks angegeben und in Zeichnungen eingetragen wird
Istmaß:
Durch Messung festgestelltes Maß
Istabmaß:
Differenz zwischen Istmaß und Nennmaß
Größtmaß:
Das größte zulässige Maß
Kleinstmaß:
Das kleinste zulässige Maß
Grenzabmaß:
Differenz zwischen Größtmaß und Nennmaß oder Kleinstmaß und Nennmaß
Maßtoleranz:
Differenz zwischen Größtmaß und Kleinstmaß
12.7 Varianz
12.7 Varianz 12.7.1 Varianz aus Funktionen unabhängiger Beobachtungen - Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz FFG)
Lineare Funktionen a)
x = a1l1 + a2l2 + + anln
s 2x = a 21 s 21 + a 22 s 22 + + a 2n s 2n b)
x = l1 + l2 + + ln
s 2x = s 21 + s 22 + + s 2n c)
x = l 1 + l 2 + + l n und s 1 = s 2 = s n = s s 2x = n s 2
l i = Messwert a i = Koeffizienten s i = Standardabweichung einer Messung n = Anzahl der Messungen Nichtlineare Funktionen
x = f (l 1 , l 2 ., l n ) Linearisierung durch das totale Differential
dx = f dl 1 + f dl 2 + + f dl n l 1 l 2 l n Varianzfortpflanzungsgesetz (Gaußsches Fehlerfortpflanzungsgesetz)
s 2x =
f l 1
2
s 21 + f l 2
2
s 22 + + f l n
2
l i = Messwert n = Anzahl der Messungen s i = Standardabweichung einer Messung
s 2n
171
172
12 Grundlagen der Statistik
12.7.2 Varianz aus Funktionen gegenseitig abhängiger (korrelierter) Beobachtungen - Kovarianzfortpflanzungsgesetz (Allgemeines Fehlerfortpflanzungsgesetz) y = f (x 1 , x 2 , , x n )
Funktion
Linearisierung durch das totale Differential
dy = f dx 1 + f dx 2 + + f dx n x 1 x 2 x n Varianz der Funktion y
f x 1
s 2y =
2
s 21 +
f x 2
Kovarianzfortpflanzungsgesetz 2
s 22 + +
f x n
2
s 2n
+2 f f s 12 + f f s 13 + + f f s n−1,n x 1 x 3 x n−1 n x 1 x 2 s 2y = s 20 q yy q yy = Gewichtsreziproke der Funktion y s i = Standardabweichungen s 12 s n−1,n = Kovarianzen zwischen voneinander abhängigen Variablen x i Matrizenschreibweise m-dimensionaler Vektor y = Funktion des n-dimensionalen Vektors x
Funktion
y = f(x) =
f 1 (x 1, x 2,
, x n ) f 2 (x 1, x 2,
, x n ) f m (x 1 , x 2 ,
, x n )
Kovarianzmatrix der Funktion y
yy = F xx F T
Die partiellen Ableitungen der Operators f(x) werden zusammengefasst in der
Funktionsmatrix
F =
f 1 x 1 f 2 x 1 f m x 1
Kovarianzmatrix von x
xx =
s 20
Q xx =
s 21 s 12 s 1n s 21 s 22 s 2n s n1 s n2
s 2n
f 1 f 1 x 2 x n f 2 f 2 x 2 x n f f m m x 2 x n Kofaktorenmatrix
Q xx =
q 11 q 12 q 1n q 21 q 22 q 2n q n1 q n2 q nn
12.8 Standardabweichung
12.8 Standardabweichung 12.8.1 Standardabweichung aus direkten Beobachtungen mit gleicher Genauigkeit Einfaches arithmetisches Mittel [l ] l = ni Standardabweichung des arithmetischen Mittels
sl = s n Standardabweichung einer Beobachtung [v i v i ] n−1
s=
[ i ]2 [v i v i ] = [l 2i ] − ln
mit verschiedener Genauigkeit Allgemeines arithmetisches Mittel
l =
[l i p i ] [p i ]
Standardabweichung des arithmetischen Mittels
sl =
s0 [p i ]
Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewicht 1
s0 =
[p i v i v i ] n−1
[ ]2 [p i v i v i ] = [p i l 2i ] − p i l i [p i ]
Standardabweichung einer Beobachtung vom Gewichtp i
si =
s0 pi
l i = Messwert n = Anzahl der Messungen p i = Gewicht vi = l − l i Probe: [v i ] = 0 bzw.
[v i p i ] = 0
173
174
12 Grundlagen der Statistik
12.8.2 Standardabweichung aus Beobachtungsdifferenzen (Doppelmessung) mit gleicher Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung
s=
[d i d i ] 2n
Standardabweichung der Doppelmessung
sM =
[d i d i ] = s 4n 2
mit verschiedener Genauigkeit Standardabweichung der Einzelmessung vom Gewicht 1
s0 =
[d i d i p i ] 2n
Standardabweichung der Doppelmessung
sM =
[d i d i p i ] s = 0 4n 2
d i = Differenz zwischen 1. und 2. Messung n = Anzahl der Differenzen
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke
12.9 Gewichte - Gewichtsreziproke Gewichte
p 1 : p 2 : : p n : 1 = 12 : 12 : : 12 : 12 s1 s2 sn s0 pi =
Gewicht p i
s 20 s 2i
p1 s2 H p 2 = 22 s1
s2 s 2i = p0i
Gewichtsfortpflanzungsgesetz Funktion
x = a1l1 + a2l2 + + anln
Gewicht der Funktion
s 2x a 21 a 22 a 2n 1 px = s2 = p1 + p2 + + pn 0
s i = Standardabweichung s 0 = Standardabweichung vom Gewicht 1, Gewichtseinheitsfehler a i = Koeffizienten l i = Messwerte Gewichtsreziproke q1 s2 H q 2 = 12 s2
q 1 : q 2 : : q n : 1 = s 21 : s 22 : : s 2n : s 20
Gewichtsreziproke q i
qi =
s 2i s 20
s 2i = s 20 q i
Kofaktorenfortpflanzungsgesetz Funktion
x = a1l1 + a2l2 + + anln
Gewichtsreziproke der Funktion
q xx =
s 2x = a 21 q 1 + a 22 q 2 + + a 2n q n s 20
s i = Standardabweichung s 0 = Standardabweichung vom Gewicht 1 a i = Koeffizienten l i = Messwerte
175
0,694974 0,729069 0,761148 0,791030 0,818589
0,843752 0,866500 0,886861 0,904902 0,920730
0,934478 0,946301 0,956367 0,964852 0,971933
0,977784 0,982571 0,986447 0,989556 0,992024
0,993963 0,995473 0,996636 0,997523 0,998193 0,1 0,99903
0,691462 0,725747 0,758036 0,788145 0,815940
0,841345 0,864334 0,884930 0,903200 0,919243
0,933193 0,945201 0,955434 0,964070 0,971283
0,977250 0,982136 0,986097 0,989276 0,991802
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
1,5 1,6 1,7 1,8 1,9
2,0 2,1 2,2 2,3 2,4
0,993790 0,995339 0,996533 0,997445 0,998134 0,0 3,0 0,99865
2,5 2,6 2,7 2,8 2,9
0,01
0,503989 0,543795 0,583166 0,621720 0,659097
0,00
0,500000 0,539828 0,579260 0,617911 0,655422
up
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
0,02
0,994132 0,995604 0,996786 0,997599 0,998250 0,2 0,99931
0,978308 0,982997 0,986791 0,989830 0,992240
0,935744 0,947384 0,957284 0,965620 0,972571
0,846136 0,868643 0,888768 0,906582 0,922196
0,698468 0,732371 0,764238 0,793892 0,821214
0,507978 0,547758 0,587064 0,625616 0,662757
0,03
0,994297 0,995731 0,996833 0,997673 0,998305 0,3 0,99952
0,978822 0,983414 0,987126 0,990097 0,992451
0,936992 0,948449 0,958185 0,966375 0,973197
0,848495 0,870762 0,890651 0,908241 0,923642
0,702944 0,735653 0,767305 0,796731 0,823814
0,511966 0,551717 0,590954 0,629300 0,666402
0,04
0,994457 0,995855 0,996928 0,997744 0,998359 0,4 0,99966
0,979325 0,983823 0,987454 0,990358 0,992656
0,938220 0,949497 0,959070 0,967116 0,973810
0,850830 0,872857 0,892512 0,909877 0,925066
0,705402 0,738914 0,770350 0,799546 0,826391
0,515953 0,555670 0,594835 0,633072 0,670031
0,05
0,994614 0,995975 0,997020 0,997814 0,998411 0,5 0,99977
0,979818 0,984222 0,987776 0,990613 0,992857
0,939429 0,950528 0,959941 0,967843 0,974412
0,853141 0,874928 0,894350 0,911492 0,926471
0,708840 0,742154 0,773373 0,802238 0,828944
0,519938 0,559618 0,598706 0,636831 0,673645
0,06
0,994766 0,996093 0,997110 0,997882 0,998462 0,6 0,99984
0,980301 0,984614 0,988089 0,990862 0,993053
0,940620 0,951543 0,960796 0,968557 0,975002
0,855428 0,876976 0,896165 0,913085 0,927855
0,712260 0,745373 0,776373 0,805106 0,831472
0,523922 0,563560 0,602568 0,640576 0,677242
0,07
0,994915 0,996207 0,997197 0,997948 0,998511 0,7 0,99892
0,980774 0,984997 0,988369 0,991106 0,993244
0,941792 0,952540 0,961636 0,969258 0,975581
0,857690 0,879000 0,897958 0,914656 0,929219
0,715661 0,748571 0,779350 0,807850 0,833977
0,527903 0,567495 0,606420 0,644309 0,680822
0,08
0,995060 0,996319 0,997282 0,998012 0,998559 0,8 0,99993
0,981237 0,985371 0,988696 0,991344 0,991344
0,942947 0,953521 0,962462 0,969946 0,976148
0,859929 0,881000 0,899727 0,916207 0,930563
0,719043 0,751748 0,782305 0,810570 0,836457
0,531881 0,571424 0,610261 0,648027 0,684386
0,09
0,995201 0,996427 0,997365 0,998074 0,998605 0,9 0,99995
0,981691 0,985738 0,988989 0,991576 0,993613
0,944083 0,954486 0,963273 0,970621 0,976704
0,862143 0,882977 0,901475 0,917736 0,931889
0,722405 0,754903 0,785236 0,813267 0,838913
0,535856 0,575345 0,614092 0,651732 0,587933
176 12 Grundlagen der Statistik
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Tabelle 1
Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung
12.10 Tabelle von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
177
Tabelle 2 t f;p
Quantile der t-Verteilung nach „Student”
p=1− f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30 40
0,841
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995
0,9995
1,84 1,32 1,2 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 1,03 1,02 1,02 1,02 1,01 1
3,08 1,89 1,64 1,53 1,48 1,44 1,41 1,4 1,38 1,37 1,34 1,33 1,32 1,31 1,3 1,28
6,31 2,92 2,35 2,13 2,02 1,94 1,89 1,86 1,83 1,81 1,75 1,72 1,71 1,7 1,68 1,64
12,71 4,3 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,13 2,09 2,06 2,04 2,02 1,96
31,8 6,96 4,54 3,74 3,36 3,14 3 2,9 2,82 2,76 2,6 2,53 2,49 2,46 2,42 2,33
63,66 9,92 5,84 4,6 4,03 3,71 3,5 3,36 3,25 3,17 2,95 2,85 2,79 2,75 2,7 2,58
636,62 31,6 12,94 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,58 4,07 3,85 3,72 3,65 3,5 3,29
Tabelle 3 Quantile der ( 2 -Verteilung
= 0,05 p f 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 100
/2 0,025 0,001 0,015 0,216 0,484 0,831 1,24 2,17 2,18 2,7 3,25 9,69 16,79 24,43 32,36 74,22
1 − /2 0,975 5,02 7,38 9,35 11,14 12,8 14,45 16 17,54 19,00 20,84 23,17 46,98 59,34 71,42 129,56
( 2f,/2 , ( 2f,1− /2 = 0,01 /2 0,005 0 0,010 0,072 0,207 0,412 0,676 0,989 1,34 1,73 2,16 7,34 13,79 20,71 27,99 67,33
1 − /2 0,995 7,88 10,60 12,84 14,86 16,7 18,55 20,3 21,96 23,6 25,19 40 53,67 66,77 79,49 140,17
178
12 Grundlagen der Statistik
Tabelle 4 Quantile der F-Verteilung F f 1 ,f 2 ;p
1-α
f1
3
4
5
6
8
10
15
20
50
100
f2 0,95 0,99
3
9,3 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 8,7 8,7 8,6 8,6 8,5 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,9 26,7 26,4 26,2 26,1
0,95 0,99
4
6,6 6,4 6,3 6,2 6,0 6,0 5,9 5,8 5,7 5,7 5,6 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 14,0 13,7 13,6 13,5
0,95 0,99
5
5,4 5,2 5,0 5,0 4,8 4,7 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1
0,95 0,99
6
4,8 9,8
4,5 9,2
4,4 8,8
4,3 8,5
4,2 8,1
0,95 0,99
8
4,1 7,6
3,8 7,0
3,7 6,6
3,6 6,4
0,95 0,99
10
3,7 6,6
3,5 6,0
3,3 5,6
0,95 0,99
15
3,3 5,4
3,1 4,9
0,95 0,99
20
3,1 4,9
0,95 100 0,99 0,95 0,99
4,6 9,7
4,6 9,6
4,4 9,2
4,4 9,1
4,4 9,0
4,1 7,9
3,9 7,6
3,9 7,4
3,8 7,1
3,7 7,0
3,7 6,9
3,4 6,0
3,4 5,8
3,2 5,5
3,2 5,4
3,0 5,1
3,0 5,0
2,9 4,9
3,2 5,4
3,1 5,1
3,0 4,8
2,8 4,6
2,8 4,4
2,6 4,1
2,6 4,0
2,5 3,9
2,9 4,6
2,8 4,3
2,6 4,0
2,5 3,8
2,4 3,5
2,3 3,4
2,2 3,1
2,1 3,0
2,1 2,9
2,9 4,4
2,7 4,1
2,6 3,9
2,4 3,6
2,4 3,4
2,2 3,1
2,1 3,0
2,0 2,6
1,9 2,5
1,8 2,4
2,7 4,0
2,5 3,5
2,3 3,2
2,2 3,0
2,0 2,7
1,9 2,5
1,8 2,2
1,7 2,1
1,5 1,7
1,4 1,6
1,3 1,4
2,6 3,8
2,4 3,3
2,2 3,0
2,1 2,8
1,9 2,5
1,8 2,3
1,7 2,0
1,6 1,9
1,4 1,5
1,2 1,4
1,0 1,0
Literaturhinweise Baumann, Eberhard: Vermessungskunde: Lehr- und Übungsbuch für Ingenieure Band 1: Einfache Lagemessung und Nivellement, 5. Auflage 1999 Band 2: Punktbestimmung nach Lage und Höhe, 6. Auflage 1998 Bonn: Ferd. Dümmler Fröhlich, Hans : Vermessungstechnische Handgriffe, 4. Auflage 1995 Bonn: Ferd. Dümmler Gerstbach, Gottfried: Zur Lösung ellipsoidischer Aufgaben mit elektronischen Taschenrechnern ZfV 1974 S. 207 Heck, Bernhard: Rechenverfahren und Auswertemodelle der Landesvermessung 3. Auflage 2003, Heidelberg: Wichmann Joeckel, Rainer; Stober, Manfred; Huep,Wolfgang: Elektronische Entfernungs- und Richtungsmessung und ihre Integration in aktuelle Positionierungsverfahren 5. Auflage 2008, Heidelberg: Wichmann Kahmen, Heribert: Vermessungskunde 20. überarbeitete Auflage 2006 20. überarbeitete Auflage 2006, Berlin: W. de Gruyter Matthews, Volker: Vermessungskunde Teil 1: 29. Auflage 2003; Teil 2: 17. Auflage 1997, Stuttgart: Teubner Resnik Boris; Bill, Ralf Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich 2. Auflage 2003, Heidelberg: Wichmann Schödlbauer, Albert: Rechenformeln und Rechenbeispiele zur Landesvermessung Wichmann- Skripten Heft 2 Teil 1-3 1982, Karlsruhe: Wichmann Vermessungswesen: Normen ( DIN Taschenbuch 111 ) 6. Auflage 1998; Berlin: Beuth Witte, Bertold und Schmidt, Hubert: Vermessungskunde und Grundlagen der Statistik für das Bauwesen 6. Auflage 2006, Heidelberg: Wichmann
Internetportale Arbeitsgemeinschaft der Vermessungsverwaltungen Satellitenreferenzdienst der AXIO-NET GmbH Bundesamt für Kartographie und Geodäsie Satellitenpositionierungsdienst der dt. Landesvermessung www.terramapserver.de Luftbilder und Geodaten-Internetportal www.ubka.uni-karlsruhe.de Internationaler Buchkatalog earth.google.de Satellitenbilder www.adv-online.de www.ascos.de www.bkg.bund.de www.sapos.de
F. J. Gruber, R. Joeckel, Formelsammlung für das Vermessungswesen, DOI 10.1007/ 978-3-8348-9842-5, © Vieweg+Teubner Verlag |Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011,
Stichwortverzeichnis A Abbildungsreduktion, 71 Ableitungen, 12 Abriss, 74 Absteckung, 138 von Kreisbogen, 139 Abszissenausgleichung, 108 Additionstheoreme, 29 Affin - Transformation, 105 Ähnlichkeitssätze, 16 Alignementreduktion, 59 Arcusfunktionen, 26 Arithmetische Folge, 10 Reihe, 10 Assoziativgesetze, 8 Atmosphäre, 64 Ausgleichende Gerade, 107 Ausgleichungsrechnung, 157
DIN Blattgrößen, 1 DIN Faltungen, 2, 3 Distributivgesetz, 8 Doppelzentrierung, 76 Dreieck Gleichschenkliges, 19 Gleichseitiges, 19 Durchhangreduktion, 59
E Einheitsklotoide, 147 Ellipse, 24 Ellipsoidische Höhen, 124 Ellipsoidische Koordinaten, 33 Entfernungsmessung reflekterlose, 84 Erdellipsoid, 32 Erwartungswert, 164 Exzentrische Richtungsmessung, 75 Streckenmessung, 79
B Barrell, 64 Basislattenmessung, 60 Bezugsflächen, 32 Bezugsrichtungen, 37 Bezugssysteme, 31 Binomialkoeffizient, 11 Binomische Formeln, 11 Binomischer Satz, 11 Bogenschnitt, 86 Brechzahl, 64 repräsentative, 64 Bruchrechnen, 8
D Deklination, 38 DHDN = Deutsches Hauptdreiecksnetz, 31 Differentialrechnung, 12
F Fakultät, 11 Fehlerfortpflanzungsgesetz, 171 Fehlertheorie, 97 Feinnivellement, 125 Flächenberechnung aus Koordinaten, 48 aus Maßzahlen, 47 aus Polarkoordinaten, 48 eine Kreisfläche, 47 eines Kreisabschnitts, 47 eines Kreisausschnitts, 47 eines Dreiecks, 47 eines Trapez, 47 Flächenmaße, 5 Flächenreduktion, 48 Flächenteilungen, 49 Dreieck, 49 Viereck, 50
Stichwortverzeichnis Folge, 10 Arithmetische, 10 Geometrische, 10 Freie Standpunktwahl, 90 Frequenz, 63 Frequenzkorrektion, 65
181
Höhenmessung Geometrische, 124 Geometrisches Nivellement, 124 Trigonometrische, 132 Höhennetzausgleichung, 163 Höhenreduktion, 71 Höhensatz, 19
G Gauß-Krüger-Koordinaten, 35, 113 Gauß-Krüger-Meridianstreifensystem, 35 Gaußsche Flächenformel, 48 Gebäudeaufnahme mit reflekterloser Entfernungsmessung, 84 Gebrochener Strahl, 80 Gefälle, 150 Genauigkeit, 130 des Nivellement, 130 Geographische Koordinaten, 33, 111 Geoid, 121 Geometrische Folge, 10 Reihe, 10 Geometrisches Nivellement, 124 Geopotenielle Kote, 122 Geradenschnitt, 45 Geschwindigkeitskorrektion, 69 Gewichte, 175 Gleichung, 9 Lineare, 9 Quadratische, 9 Goldener Schnitt, 17 Gon, 6 Gradiente, 150 Griechisches Alphabet, 1 Guldinsche Regel, 152
H Halbwinkelsätze, 28 Helmert - Transformation, 103 Herablegung, 78 Höhe und Höhenfußpunkt, 44 Höhenindexkorrektion, 53 Höhenknotenpunkt, 127
I Impulsverfahren, 63 Inkreisradius, 18
K Kalibrierkorrektion, 59 Kanalstab, 83 Kathetensatz, 19 Kegel, 156 Kegelstumpf, 156 Keil, 156 Kettenregel, 12 Kippachsenfehler, 51 Kleinpunktberechnung, 42 Klotoide, 147 Kohlrausch, 64 Kommutativgesetze, 8 Kongruenzsätze, 16 Koordinaten, 111 Gauß-Krüger, 111 UTM-, 116 WGS 84, 117 Koordinatensystem Ellipsoidisches geographisches, 33 Ellipsoidisches kartesisches, 33 Gauß - Krüger, 35 Rechtwinkig-spärisches, 33 Sphärisches geographisches, 33 Koordinatentransformation, 101 Korbbogen, 146 Korrektion, 59 Frequenz-, 65 Kalibrier-, 59 Maßstabs-, 66 Meteorologische, 69 Nullpunkt-, 66
182
Stichwortverzeichnis
Temperatur-, 59 Zyklische, 65 Kosinusfunktion, 25 Kosinussatz, 27 Kotangesfunktion, 25 Kovarianzfortpflanzungsgesetz, 172 KRAMERsche Regel, 15 Kreis, 22 -abschnitt, 22 -bogen, 22 -fläche, 22 -umfang, 22 Kreisbogenabsteckung, 139 Kugeldreieck, 30 Rechtwinkliges, 30 Schiefwinkliges, 30 Kuppenausrundung, 151
L Längenmaße, 5 Längsabweichung, 93 Längsneigung, 150 Lichtgeschwindigkeit, 63 Lineare Gleichung, 9 Lineare Querabweichung, 93 Logarithmen, 10
M MACLAURINsche Form, 13 Maßeinheiten, 4 Maßstab, 7 Maßstabskorrektion, 66 Maßverhältnisse, 7 Matrizenrechnung, 14 Mengenberechnung aus Höhenlinien, 153 aus Prismen, 154 aus Querprofilen, 152 einer Rampe, 155 Meridiankonvergenz, 38 Messabweichungen, 164 Messunsicherheit, 169 Meteorologische Korrektionen, 69 Mittelsenkrechte, 18
Mittelwert, 10, 11 Allgemeiner artihmetischer, 11 Arithmetischer, 11 Geometrischer, 11 Harmonische, 11
N Nadelabweichung, 38 Neigungsreduktion, 69 Nepersche Regel, 30 Niveauflächen, 120 Nivellement, 124 Geometrisches, 124 Trigonometrisches, 135 Nivellementstrecke, 126 Nordrichtung Geographisch-Nord, 37 Gitter-Nord, 37 Magnetisch-Nord, 37 Normalhöhen, 123 Normalhöhennull, 121 Normalverteilung, 166 Nullhypothese, 168 Nullpunktkorrektion, 66
O Obelisk, 156 Ordinatenausgleichung, 107 Orientierungsunbekannte, 74
P Parallelogramm, 20 Phasenvergleichsverfahren, 63 Polarkoordinaten, 34 Polarpunktberechnung, 41 Polygonzug -berechnung, 93 Potenzen, 9 Potenzreihenentwicklung, 13 Produktregel, 12 Projektionssatz, 28
Stichwortverzeichnis Punktbestimmung Bogenschnitt, 86 dreidimensional polare, 82 Freie Standpunktwahl, 90 mit Kanalstab, 83 polare, 81 Polarverfahren, 81 Polygonzug, 92 Vorwärtseinschnitt, 87 Pyramide, 156 Pyramidenstumpf, 156 Pythagoras, 19
Q Quadrat, 20 Quadratische Gleichungen, 9 Quasigeoid, 121 Quasigeoidundulation, 124 Quotientenregel, 12
R Radiant, 6 Raummaße, 5 Raute, 20 Rechteck, 20 Rechtwinkliges Dreieck, 19 Reduktion Abbildungs-, 71 Alignement-, 59 Durchhang-, 59 Geometrische, 69 Höhen-, 71 Neigungs-, 69, 70 Refernzellipsoid, 32 Refraktionskoeffizient, 134 Reichenbach, 62 Reihe, 10 Arithmetische, 10 Geometrische, 10 Richtungsmessung, 54, 75 Exzentrische, 75 Satzweise, 54 Richtungswinkel, 39, 40
Ringpolygon, 95 Rückwärtseinschnitt nach Cassini, 89
S Satz des Thales, 24 Satz von Pythagoras, 19 Satzvereinigung, 56 Schnitt - Gerade - Kreis, 46 Schwerebeschleunigung, 120 Schwerepotential, 120 Sears, 64 Sehnensatz, 23 Seitenhalbierende, 18 Seitwärtseinschnitt, 88 Sekantensatz, 23 Signalgeschwindigkeit, 63 Signifikanztest für den Mittelwert, 168 für Varianzen, 168 Signum, 8 Sinusfunktion, 25 Sinussatz, 27 Spannmaßberechnung, 40 Standardabweichung, 165 Standpunktzentrierung, 75 Statistik, 164 Stehachsenfehler, 53 Steigung, 150 Strahlensätze, 17 Strecke, 40 Streckenmessung, 59, 79 Elektronische, 63 Exzentrische, 79 mit Messbändern, 59 Optische, 60 Parallaktische, 61 Strichentfernungsmessung, 62
T Tangensfunktion, 25 Tangenssatz, 28 Tangentensatz, 23 Tangentenschnittwinkel, 140 TAYLORsche Formel, 13
183
184
Stichwortverzeichnis
Teilung, 17 einer Strecke, 17 Harmonische, 17 Stetige, 17 Temperaturkorrektion, 59 Thales, Satz des, 24 Toleranzen, 169, 170 Trägerwelle, 64 Transformation, 100 Affin -, 105 Ebene, 100 Helmert -, 103 Räumliche -, 109 zwei identischen Punkten, 101 Trapez, 20 Trigonometrisches Nivellement, 135 Turmhöhenbestimmung, 136 Horizontales Hilfsdreieck, 136 Vertikales Hilfsdreieck, 137
U Umkreisradius, 18 Universales Transversales Mercator-Koordinatensystem (UTM-System), 36 UTM-Koordinaten, 36, 115
V Varianz, 164 Varianzfortpflanzungsgesetz, 171 Verbundkurve, 149 Vertikalwinkelmessung, 57 Vertrauensbereiche, 167 Vertrauensintervall, 167 für die Standardabweichung, 167 Vertrauensniveau, 167 Vieleck, 21 Allgemeines, 21 Regelmäßiges, 21 Viereck, 20 Viertelmethode, 144 Vorwärtseinschnitt über Dreieckswinkel, 87 über Richtungswinkel, 88
W Wahrscheinlichkeitsfunktion, 166 Wahrscheinlichkeitsverteilung, 166 Wannenausrundung, 150 Winkel -maße, 6 Winkelarten, 16 Außenwinkel im Dreieck, 16 Nebenwinkel, 16 Scheitelwinkel, 16 Stufenwinkel, 16 Wechselwinkel, 16 Winkelfunktionen, 25 Winkelhalbierende, 18 Winkelmessung, 51 mit dem Vermessungskreisel, 58 mit der Bussole, 58 mit Horizontschluss, 55 Satzvereinigung, 56 Winkelsummen, 16 Wurzeln, 9
Z Zenitwinkelmessung, 133 einseitige, 133 Zentrierung, 75 Zielachsenfehler, 51 Ziellinienüberprüfung, 128, 129 aus der Mitte, 128 nach Förstner, 129 nach Kukkamäki, 128 nach Näbauer, 129 Zielpunktzentrierung, 75 Zufallsgrößen, 164 Zufallskomponente, 169 Zulässige Abweichungen, 131 für Flächenberechnung, 48 für Nivellement, 131 für Polygonzüge, 96 für Strecken, 73 Zyklische Korrektion, 65 Zylinder, 156
