Hyperbolische und parabolische Probleme 001

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Höhere Numerische Mathematik II Evolutionsgleichungen: Hyperbolische und parabolische Probleme Prof. Dr. P. Spellucci Sommersemester 2006

2

Inhaltsverzeichnis 1 Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen

5

1.1

Charakteristiken hyperbolischer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . .

1.2

Numerische Charakteristikenverfahren

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.3

Differenzenapproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.1

Hyperbolische DGLen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.3.2

Numerische Verfahren f¨ ur hyperbolische Systeme erster Ordnung . .

39

Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . .

47

1.4.1

Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

1.4.2

Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

1.4.3

Numerische Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

1.4

2 Parabolische Rand-Anfangswertprobleme

5

65

2.1

Theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.2

Differenzenapproximationen f¨ ur parabolische Gleichungen . . . . . . . . . .

70

2.2.1

Der räumlich eindimensionale Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2.2

Räumlich mehrdimensionale Probleme und damit verbundene Schwierigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

Ein nichtlineares parabolisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . .

83

2.3

Galerkin–Verfahren f¨ ur Randanfangswertaufgaben . . . . . . . . . . . . . .

86

2.4

Die Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung mit dem Galerkinansatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

Die Rothe-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

98

2.2.3

2.5

3

4

INHALTSVERZEICHNIS

3 Die Stabilit¨ atstheorie von Lax und Richtmyer

99

3.1

Einige funktionalanalytische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2

Abstrakte Differenzenverfahren, Lax-Richtmyer-Theorie . . . . . . . . . . . 110

3.3

Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

3.4

Ergänzungen zur Lax-Richtmyer-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.5

Kriterien f¨ ur die Stabilität von Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . 134

Kapitel 1 Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen 1.1

Charakteristiken hyperbolischer Differentialgleichungen

Wir beschäftigen wir uns hier mit folgenden speziellen Differentialgleichungstypen:

• Quasilinearen (haupts¨ achlich semilinearen) Differentialgleichungen zweiter Ordnung fu ¨ r eine skalare Funktion u : G ⊂ Rn (n = 2, 3) → R P n 2 a ˜ (x, p(x))∂ i,k u(x) + f (x, p(x)) = 0 x ∈ G i,k=1 i,k (˜ ai,k = a ˜k,i ) mit

x ∈ G,

(1.1)

def

p(x) = (u, ∂1 u, . . . , ∂n u)(x) ∈ Rn+1

• Quasilinearen Systemen erster Ordnung fu ¨ r eine vektorwertige Funktion u : G ⊂ R2 → Rn ∂2 u(x, y) − A(x, y, u(x, y))∂1 u(x, y) + h(x, y, u(x, y)) = 0 (x, y) ∈ G ⊂ R2 (1.2)

In beiden Fällen kommen zu der Differentialgleichung noch die angemessenen Rand- bzw. Anfangswerte hinzu, die die Aufgabe zu einer wohlgestellten machen. 5

6

1. Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen

Definition 1.1 Die Differentialgleichung zweiter Ordnung (1.1) heißt bez¨ uglich einer festen Funktion u ∈ C 2 (G) in x ∈ G hyperbolisch, wenn alle Eigenwerte von A˜ sind von null verschieden sind und n − 1 von ihnen das gleiche Vorzeichen haben Wir werden nur solche Fälle diskutieren, in denen der Typ sich f¨ ur x ∈ G, nicht ¨ andert.

u ∈ C 2 (G)

Definition 1.2 Das quasilineare System (1.2) heißt bez¨ uglich einer festen Funktion u ∈ C 1 (G) → Rn in (x, y) ∈ G hyperbolisch, falls A n reelle linear unabh¨ angige Eigenvektoren besitzt.

Bemerkung 1.1 Man kann nat¨ urlich eine partielle DGL zweiter Ordnung (1.1) durch Substitution in ein System erster Ordnung u uhren: Setzt man ¨berf¨ def

v1

=

def

vi+1

=

u ∂i u

i = 1, . . . , n

def

so ergibt sich aus (1.1) mit v = (v1 , . . . , vn+1 ) ∈ Rn+1 n X n X

aik ∂k vi+1 + f (·, v) = 0

i=1 k=1

und

vi+1 − ∂i v1 = 0 ∂i vk+1 = ∂k vi+1

i = 1, . . . , n i, k = 1, . . . , n

F¨ ur n = 2 heißt dies ausgeschrieben a11 ∂1 v2 +a12 ∂2 v2 +a21 ∂1 v3 +a22 ∂2 v3 = −f ∂1 v1 = v2 ∂2 v1 = v3 Ferner muß gelten ∂1 v3 − ∂2 v2 = 0 Addieren wir dies etwa  0  1 0

zur dritten Gleichung, so ergibt sich      a11 a21 0 a12 a22 −f 0 0  ∂1 v +  0 0 0  ∂2 v =  v2  0 1 1 −1 0 v3

7

1.1. Charakteristiken hyperbolischer Differentialgleichungen

oder (f¨ ur a11 6= 0) 

    0 1 0 0 a12 a22 v2 −1   0 0 0 −a21 · a−1 0  ∂2 v +  −a−1 ∂1 v = −  a−1 11 11 11 f − a21 a11 v3 0 0 1 1 −1 0 v3 (1.3) 

∂1 v = −







0 0 0 v2 1   −a21 a12 + a21 a22  ∂2 v +  −a−1 f − a21 a−1 11 11 v3 a11 a11 −a11 0 v3 | {z }

(1.4)

A

Ist also die Gleichung zweiter Ordnung hyperbolisch im Sinne der Definition 1.1, dann ist das System erster Ordnung (1.3) auch hyperbolisch im Sinne der Definition 1.2. Die Eigenwerte der Matrix A sind bis auf den Faktor 1/a11 λ = 0 und die Wurzeln von λ2 − (a12 + a21 ) λ + a11 a22 = 0 also | {z } 2a12

λ2,3

q = a12 ± a212 − a11 a22 = a12 ±

s

−det

a11 a12 a21 a22

.

Im Folgenden werden wir uns ausf¨ uhrlich beschäftigen mit hyperbolischen Systemen erster Ordnung und hyperbolischen Einzeldifferentialgleichungen zweiter Ordnung. Grundlegend auch f¨ ur das Verständnis der zugehörigen numerischen Verfahren ist in diesem Zusammenhang der Begriff der Charakteristik. Wir betrachten zunächst als ein einfaches, jedoch nicht völlig triviales Beispiel Beispiel 1.1 ut =

∂ (ϕ(u)), ∂x

ϕ ∈ C ∞ (R),

0 < ϕ0 ≤ −ϕ0 (z) ≤ ϕ1

Abbildung 1.1

∀z ∈ R

8


Γ sei eine beliebige glatte C ∞ –Kurve der (x, t)–Ebene und g eine auf einer Umgebung von Γ definierte, beliebig oft differenzierbare Funktion. Wir fragen nun nach der Möglichkeit, durch die DGL und die Anfangsvorgabe u(x(s), t(s)) ≡ g(x(s), t(s)) mit Γ:

x x(s) = t t(s)

die Funktion u eindeutig (zumindest lokal) zu bestimmen. Differentiation nach s liefert längs Γ d ˙ u(x(s), t(s)) = ux x˙ + ut t˙ = gx x˙ + gt t. ds Nach Voraussetzung u ¨ber Γ ist xt˙˙ 6= 00 (“glatte Kurve”). Aus der DGL haben wir ut − ϕ0 (u)ux = 0 d.h.

1 −ϕ0 (u) ˙ t(s) x(s) ˙

ut ux

=

0 gx x˙ + gt t˙

.

Falls g(x(s),t(s))

z }| { 0 ˙ x(s) ˙ + t(s)ϕ (u(x(s), t(s))) 6= 0 zumindest f¨ ur alle s in einer Umgebung von s0 , kann man auflösen: 1 x x(s) x˙ ϕ0 (g) 0 ut = = ˙ 0 (g) −t˙ ux 1 gx x˙ + gt t˙ t t(s) x˙ + tϕ und die höheren Ableitungen utt , utx , uxx usw. lassen sich (an der Stelle (x(s), t(s)) ) daraus durch weitere Differentiationen erhalten. Mit allen erhaltenen Ableitungen kann man dann 0) die formale Taylorreihe von u in einer Umgebung von x(s angeben (deren Konvergenz t(s0 ) bliebe nat¨ urlich noch zu untersuchen). Ist jedoch 0 ˙ x(s) ˙ + t(s)ϕ (g(x(s), y(s))) = 0,

dann ist die eindeutige Aufl¨ osbarkeit nicht gegeben. ˙ 6= (0, 0) Da wegen ϕ0 6= 0 und (x, ˙ t) t˙ nie null sein kann, kann man t˙ auf 1 normieren (d.h. t wird Parameter der Kurve). Die durch ˙ t(s) = 1 x(s) ˙ = −ϕ0 u(x(s), t(s)) t(s0 ) = t0 x(s0 ) = x0

(1.5)

9


eindeutig bestimmte Kurve nennt man eine Charakteristik der DGL (zur Funktion u). Offensichtlich können sich bei gegebenem u zwei Charakteristiken der DGL nicht schneiden. Bei gegebenem u gibt es eine Charakteristiken–Schar (Lösungsschar der gew. DGL (1.5)). Die durch xt˙˙ (s) im Punkte xt (s) gegebene Richtung der Charakteristik nennt man charakteristische Richtung der DGL in diesem Punkt (bei gegebenem u). ¨ Entsprechend lassen sich die Uberlegungen anstellen bei Einzeldifferentialgleichungen zweiter Ordnung und bei quasilinearen Systemen erster Ordnung. Es ergibt sich, daß f¨ ur Einzeldifferentialgleichungen zweiter Ordnung (bei hinreichenden Regularitätsvoraussetzungen an die Koeffizienten) im Falle zweier unabhängiger Veränderlicher (n = 2) im hyperbolischen Fall zwei Scharen von Charakteristiken existieren. Bei drei unabhängigen Veränderlichen treten dann an die Stelle der charakteristischen Kurven charakteristische Flächen und zwar 3 Scharen im hyperbolischen Fall. Bei einem hyperbolischen System der Ordnung 1 f¨ ur n gesuchte Funktionen gibt es unter einschränkenden Voraussetzungen ebenfalls stets n Charakteristiken. Genauer gilt Satz 1.1 Gegeben sei das quasilineare System mit A ∈ Rn×n ∂2 u(x, y) = A(x, y, u(x, y))∂1 u(x, y) + g(x, y, u(x, y))

(x, y) ∈ G ⊂ R2

G sei einfach zusammenhängend, offen. Ferner gelte A ∈ C 1 (G × Rn ),

g ∈ C 1 (G × Rn ),

F¨ ur alle (x, y, z) ∈ G × Rn habe A n verschiedene reelle Eigenwerte. Dann laufen durch jeden Punkt von G genau n Charakteristiken. Es gibt n Scharen von Charakteristiken, die den n reellen Eigenwerten von A eineindeutig zugeordnet sind. Zwei Charakteristiken der gleichen Schar schneiden sich nie. Keine Charakteristik ber¨ uhrt die x–Achse. Jede Charakteristik schneidet die x–Achse höchstens einmal.

10

1. Numerik hyperbolischer Differentialgleichungen Abbildung 1.2

Zur Bedeutung der Charakteristiken betrachten wir folgendes Beispiel: Beispiel 1.2 u1 u1 g1 a11 a12 ∂2 = ∂1 + a a u2 u2 g2 21 22 wobei wir annehmen wollen, daß gi = gi (x, y) und die feste Matrix A = diagonalisierbar ist mit Eigenwerten λ1 < λ2 ,

a11 a12 a21 a22

reell

λi 6= 0.

Mittels einer regulären Transformationsmatrix T ∈ R2×2 wird also λ1 0 −1 T AT = 0 λ2 und mit

v1 T u =: v = v2

T g =: r

∂2 v1 = λ1 ∂1 v1 + r1 (x, y) ∂2 v2 = λ2 ∂1 v2 + r2 (x, y) Wir haben somit ein zerfallendes System von 2 Gleichungen der Ordnung 1, auf das die ¨ Uberlegungen aus Beispiel 1.1 entsprechend anzuwenden sind. Die beiden Charakteristikenscharen sind also x + λ1 y = const x + λ2 y = const oder in Parameterdarstellung (c1 − λ1 t, t) c1 erste t ∈ R, = Scharparameter Charakteristikenschar (c2 − λ2 t, t) c2 zweite Nun betrachten wir zur DGL die Anfangsvorgaben vi (x, y) = ϕi (x, y) i = 1, 2,

(x, y) ∈ Γ,

Γ = {(x, y) : αx + βy = 0}

(entsprechend einer Anfangsvorgabe f¨ ur die Vektorfunktion u auf Γ). Der Einfachheit halber sei α 6= 0, β 6= 0. Aufgrund der DGL gilt längs der Charakteristiken d v (c − λ t, t) = ∂ v − λ ∂ v = r (c − λ t, t) i 2 i i 1 i i i i dt i i

11


d.h.

t

Z vi (ci − λi t, t) = ηi +

ri (ci − λi τ, τ )dτ

i = 1, 2

0

ηi beliebige Integrationskonstante. Wir beru ¨ cksichtigen nun die Anfangsbedingungen und schreiben Γ parametrisiert in der Form x (−β/α)t Γ: = t∈R y t Längs Γ gilt: d v ((−β/α)t, t) = ∂ v − β ∂ v = d ϕ (−(β/α)t, t) 2 i α 1 i dt i dt i Wir haben nun folgende Fälle zu unterscheiden: 1. Die Geraden (ci − λi t, t) und ((−β/α)t, t) schneiden sich in genau einem Punkt, d.h. λi 6= αβ j 6x 1 −βt/α Γ ≡ t

ci − λ i t

ci

y 2j

|

-

t∗i

t

Abbildung 1.3

Dies ergibt ci − λi t∗i = −(β/α)t∗i ⇒ t∗i = ⇒ vi (ci −

λi t∗i , t∗i )

t∗i

Z = ηi + 0

⇒ ηi =

ϕi (− αβ t∗i , t∗i )

Z −

αci αλi − β

ri (ci − λi τ, τ )dτ = ϕi (− αβ t∗i , t∗i )

t∗i

ri (ci − λi τ, τ )dτ = ηi (ci ). 0

Die Integrationskonstante ηi ist somit eine eindeutige Funktion von ci geworden und vi eindeutig gegeben durch Ry vi (x, y) = ηi (x + λi y) + 0 ri (x + λi y − λi τ, τ )dτ def

(y = t

def

x = c − λi y ⇒ c = x + λi y)

12


2. Die Geraden (ci − λi t, t), ((−β/α)t, t) haben keinen Schnittpunkt. D.h. ci 6= 0,

λi = β/α

Dann hat die ite Gleichung des entkoppelten Systems unendlich viele Lösungen, wenn man die DGL nur f¨ ur das Gebiet oberhalb oder unterhalb Γ fordert. Soll die DGL auch auf Γ gelten, muß noch d ϕ (−(β/α)t, t) = r ((−β/α)t, t) i dt i

Vertr¨ aglichkeitsbedingung

gelten. Im Falle der G¨ ultigkeit dieser Verträglichkeitsbedingung gibt es unendlich viele Lösungen vi (x, y; µ) = µ (αx + βy) +ϕi (x, y) | {z } ≡ 0 auf Γ mit µ ∈ R beliebig (Flächenschar). 3. ci = 0,

λi = β/α, d.h. die Geraden fallen zusammen.

Die ite Gleichung hat keine oder unendlich viele Lösungen, je nachdem, ob die Verträglichkeitsbedingung gilt oder nicht. Unser hyperbolisches System hat also genau dann eine eindeutige Lösung, wenn Γ mit keiner der Charakteristiken zusammenf¨ allt. Entsprechendes gilt auch im allgemeinen Fall, wie er durch Satz 1.1 beschrieben ist. Bei dem in diesem Beispiel vorliegenden einfachen Fall gelangen wir zu einer geschlossenen Lösungsformel f¨ ur u: u = T −1 v,

v = (v1 , v2 ) Z y vi (x, y) = ηi (x + λi y) + ri (x + λi y − λi τ, τ )dτ 0 Z t∗i β ∗ ∗ ri (x + λi y − λi τ, τ )dτ ηi (x + λi y) = ϕi (− α ti , ti ) − 0

wobei t∗i der Schnittpunktparameter der Geraden (x + λi y − λi t, t) ist: d.h. vi (x, y) =

ϕi (− αβ t∗i , t∗i )

Z

und

Γ

y

ri (x + λi y − λi τ, τ )dτ

+ t∗i

d.h. vi (x, y) ist die Summe aus dem Anfangswert auf dem Schnittpunkt der iten Charakteristik durch (x, y) mit Γ und dem Wegintegral u ¨ber die Inhomogenität ri von diesem


13

Schnittpunkt längs der iten Charakteristik bis zum Punkt (x, y). Dies bedeutet z.B., daß eine Unstetigkeit von ϕi (längs Γ) längs der iten Charakteristik weitertransportiert wird. Im vorliegenden Beispielfall ist jedes uj eine Linearkombination der vi und die vi bestimmen sich aus Information längs der iten Charakteristik durch (x, y). Dies bedeutet, daß die Lösung der DGL im Punkt (x, y) konstruiert wird aus der Information längs der Charakteristiken durch (x, y) bis zur Kurve Γ, die die Anfangswerte ϕ trägt. Dies erklärt die folgenden Begriffsbildungen:

Abbildung 1.4

Definition 1.3 : (n = 2): Seien R = (x, y) ein Punkt in G und P, Q die beiden Punkte auf Γ (Kurve mit Vorgabe der Anfangswerte, die mit keiner Charakteristik zusammenfällt), die durch den Schnitt der beiden Charakteristiken durch (x, y) mit Γ gebildet werden. Dann heißt die Strecke (P, Q) auf Γ der Abhängigkeitsbereich des Punktes R und der Bereich, der aus R, P, Q mit den Charakteristikenst¨ ucken (R, P ), (R, Q) und dem St¨ uck (P, Q) von Γ als Rand gebildet wird, der Bestimmtheitsbereich der Strecke (P, Q) von Γ. Als Einflußbereich eines Punktes P auf Γ bezeichnet man die Menge aller Punkte, deren Abhängigkeitsbereich den Punkt P enthält.

Abbildung 1.7 Charakteristiken bei variablen Koeffizienten

14


Bei der numerischen Lösung von hyperbolischen Gleichungen muß man die Bestimmtheitsbereiche der Strecken, die die jeweiligen Anfangswerte tragen, ganz wesentlich ber¨ ucksichtigen, wie wir noch sehen werden. Bei drei unabhängigen Veränderlichen treten an die Stelle der charakteristischen Kurven und der Kurve der Anfangswerte entsprechend charakteristische Flächen und eine Fläche mit Anfangsvorgaben. Hat man zwei unabhängige Veränderliche und ein hyperbolisches System f¨ ur n Funktionen, muß man entsprechend alle n Charakteristiken ber¨ ucksichtigen:

Abbildung 1.6 n=4 Dimension des hyperbolischen Systems

15

1.2. Numerische Charakteristikenverfahren ERG

1.2

Numerische Charakteristikenverfahren ERG

¨ In den folgenden Uberlegungen wird von einem hyperbolischen System erster Ordnung f¨ ur zwei gesuchte Funktionen u1 , u2 ausgegangen: ∂2 u = A(x, y, u)∂1 u + g(x, y, u)

(x, y) ∈ G

A ∈ R2×2 habe f¨ ur alle (x, y, z) ∈ G × R2 stets zwei reelle verschiedene Eigenwerte. Weil die Eigenwerte einer Matrix stetige Funktionen der Matrixelemente sind und im Fall eines einfachen Eigenwerts sogar differenzierbar von ihnen abhängen, wie auch ein geeignet normierter Eigenvektor, gibt es dann eine differenzierbare invertierbare Matrix T sodaß (mit T = T (x, y, z)) def

T −1 A(x, y, z) T = diag (λ1 (x, y, z) , λ2 (x, y, z)) = Λ und T

−1

∂2 u =

λ1 0 0 λ2

Die Charakteristiken des Systems

1

T −1 ∂1 u + g˜,

z=u

def

T −1 g = g˜.

lassen sich in Parameterdarstellung schreiben als

x = ϕµ (t), y=t 0 ϕµ (t) + λµ (ϕµ (t), t, u(ϕµ (t), t)) = 0 µ = 1, 2. Der Einfachheit halber setzen wir voraus: Γ (Kurve mit Vorgabe der Anfangswerte) ist ein nichtleeres offenes Intervall auf der x– Achse) Γ = {(x, y) : a < x < b, y = 0} ¯ = Bestimmtheitsbereich von Γ. ¯ G Dies bedeutet, daß jede Charakteristik durch einen Punkt von G Γ schneidet. Man kann somit die Abszisse des Schnittpunktes (s, 0) als Scharparameter der Charakteristiken einf¨ uhren: ϕ0µ (t; s) + λµ (ϕµ (t; s), t, u(ϕµ (t; s), t)) = 0 ϕµ (0; s) = s a < s < b, µ = 1, 2 Die Lösungen dieser Differentialgleichungen hängen differenzierbar vom Scharparameter s ab. Durch jeden Punkt (x, y) von G laufen zwei Charakteristiken, mit den zugehörigen Scharparametern 2 def def s1 = p1 (x, y), s2 = p2 (x, y) def

Falls A unabh. von u ist, kann man mit v = T −1 u noch weiter vereinfachen zu ∂2 v = Λ∂1 v − (∂2 T −1 − Λ∂1 T −1 )T v + g˜. 2 Die angegebene feste Numerierung bezieht sich auf die feste Numerierung λ1 < λ2 1

16


Es ist nach Definition s = pµ (ϕµ (t; s), t)

µ = 1, 2

a<s 0 |ac| ≥ α > 0

w

= def

g(x, y, w)

=

(u, ux , uy )

∀

(x, y, w) ∈ G × R3

Längs einer Charakteristik mit dem Tangentenvektor (k10 , k20 ) muß dann gelten:   a b c det  k10 k20 0  = 0 0 k10 k20 k10 k20

d.h.

6=

0 0

a(k20 )2 − bk10 k20 + c(k10 )2 = 0, k10 k20

6=

0 0

und aufgrund der obigen Voraussetzung kann man z.B. k10 ≡ 1

o.B.d.A.

verlangen. Man erhält damit als charakteristische Richtungen im Punkt (x, y) ∈ G die beiden Lösungen 1 −1 , λ1 −λ2

Abbildung 1.9

wobei λ1 , λ2 die Wurzeln von aλ2 − bλ + c = 0

20


sind, d.h.

√ 1 (b ± b2 − 4ac ) 2a G enthalte die nichtcharakteristische Anfangskurve def Γ = {(x, y) : α < x < β, y = 0}. 3 λ1,2 =

Zu gegebener Funktion u besitzen die Charakteristiken die Darstellung t α 0 konstant u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x) x ∈ R. Wir lösen zunächst die Gleichung analytisch. Dazu beachten wir, daß die homogene Gleichung mit konstanten Koeffizienten sich auf eine noch einfachere Form transformieren läßt: Mit def def ξ = x + ct, η = x − ct wird

1 (ξ + η) x 2 = 1 . t (ξ − η) 2c

Setzt man 1 ϕ(ξ, η) = u( 21 (ξ + η), 2c (ξ − η)) = u(x, t),

dann wird ∂ 1 1 ϕ(ξ, η) = (ux · 12 + 2c · ut )( 12 (ξ + η), 2c (ξ − η)) ∂ξ ∂2 1 1 1 ϕ(ξ, η) = ( 14 uxx − 4c uxt + 4c utx − 4c12 utt )( 12 (ξ + η), 2c (ξ − η)) ∂ξ∂η | {z } 0

≡ 0 d.h. ϕ(ξ, η) = P (ξ) + Q(η)

24


mit zunächst beliebigen stetig differenzierbaren Funktionen P und Q. Aufgrund der Anfangsbedingungen wird P (x) + Q(x) = f (x) cP (x) − cQ0 (x) = ut (x, 0) = g(x) 0

d.h. P (x) − Q(x) =

1 c

Z

x

g(ξ)dξ + 2K x0

also P (x) =

1 f (x) 2

+

Q(x) = 12 f (x) −

1 2c 1 2c

Z

x

g(ξ)dξ + K Zx0x g(ξ)dξ − K x0

und u(x, t) = P (x + ct) + Q(x − ct) =

1 (f (x 2

+ ct) + f (x − ct)) +

1 2c

Z

x+ct

g(ξ)dξ. x−ct

Dies ist die d’Alembertsche Lösungsdarstellung der Wellengleichung. Die Charakteristiken der Gleichung in der Parametrisierung τ yj (τ ) bestimmen sich aus y˙ j (τ ) = (0 ±

p

1 0 − (−4c2 ) /(−2c2 ) = ± , c

yj (t0 ) = 0 .

( Man beachte: −c2 uxx + utt = 0 entspricht a = −c2 , b = 0, c = 1 in unserem Modell der Gleichung zweiter Ordnung.) Sie haben also die Form

τ τ und , 1 τ +d − 1c τ + d c

d.h. durch den Punkt (x∗ , t∗ ) gehen die beiden Charakteristiken

τ τ und 1 (τ + ct∗ − x∗ ) − 1c (τ − ct∗ − x∗ ) c

τ ∈R

25

1.3. Differenzenapproximationen

6 y t∗ −

TT T TTT TT TT TT TT TT ∗ ∗ ∗ x − ct x TT | | T|

Γ:

x y

≡

τ 0

∗

∗

x + ct

Abbildung 1.11

Aus der Darstellungsformel f¨ ur u erkennt man, daß u(x∗ , t∗ ) genau durch die Anfangswerte auf dem zu (x∗ , t∗ ) gehörenden Abhängigkeitsintervall auf Γ (x–Achse) bestimmt ist. Zur Konstruktion einer Differenzenapproximation u ¨berziehen wir die obere Halbebene mit einem Recheckgitter (xj , tn ) = (j∆x, n∆t)

j ∈ Z,

n ∈ N0

∆x, ∆t > 0 fest

F¨ ur alle auftretenden Funktionen f etc. bedeute stets def

fjn = f (xj , tn ). Wir beginnen nun mit einer Taylorentwicklung der exakten Lösung: (wobei eine gen¨ ugend hohe Differenzierbarkeitsordnung der Lösung u unterstellt wird) uj,n±1 = uj,n ± ∆t(ut )j,n + 21 (∆t)2 (utt )j,n ± 16 (∆t)3 (uttt )j,n + O((∆t)4 ) also uj,n+1 = 2uj,n + (∆t)2 (utt )j,n − uj,n−1 + O((∆t)4 ) Andererseits ist aufgrund der DGL (utt )j,n = c2 (uxx )j,n = c2 ·

1 (uj+1,n − 2uj,n + uj−1,n ) + O((∆x)2 ) (∆x)2

def ∆t ∆x

also mit λ =

uj,n+1 = 2(1 − (cλ)2 )uj,n + (cλ)2 (uj+1,n + uj−1,n ) − uj,n−1 + O((∆t)2 + (∆x)2 )(∆t)2 Die Vernachlässigung des O–Terms ergibt die Rechenvorschrift f¨ ur Näherungen uhj,n f¨ ur uj,n : uhj,n+1 = 2(1 − (cλ)2 )uhj,n + (cλ)2 (uhj+1,n + uhj−1,n ) − uhj,n−1

j ∈ Z, n ≥ 1.

Diese Rechenvorschrift verbindet rekursiv 5 Punkte des Gitters in expliziter Weise, sodaß die Zeitschicht n + 1 berechenbar ist, wenn die Werte auf den Zeitschichten n und n − 1 bekannt sind.

26


Zum Start des Verfahrens benötigt man noch die Werte auf der Zeitschicht 1. Benutzen wir Taylorentwicklung bzgl. t und die Differentialgleichung sowie die Anfangswerte, dann erhalten wir uj,1 = uj,0 + ∆t(ut )j,0 + 12 (∆t)2 (utt )j,0 + 16 (∆t)3 (uttt )j,0 + O((∆t)4 ) = uj,0 + ∆tgj + 21 (∆t)2 c2 (uxx )j,0 + 16 (∆t)3 c2 (utxx )j,0 + O((∆t)4 ) = fj + ∆tgj + 12 (cλ)2 (uj+1,0 − 2uj,0 + uj−1,0 ) + 16 ∆t(cλ)2 (gj+1 − 2gj + gj−1 ) + O((∆t)2 + (∆x)2 )(∆t)2 = (1 − (cλ)2 )fj + 12 (cλ)2 (fj+1 + fj−1 ) + 2 2 1 1 ∆t (1 − 3 (cλ) )gj + 6 (cλ) (gj+1 + gj−1 ) + (∆t)2 O((∆t)2 + (∆x)2 ) . Also wählen wir uhj,1 = (1 − (cλ)2 )fj + 12 (cλ)2 (fj+1 + fj−1 ) + ∆t (1 − 13 (cλ)2 )gj + 16 (cλ)2 (gj+1 + gj−1 ) Unter geeigneten Voraussetzungen fu ¨r cλ gilt dann |ujn − uhjn | ≤ K(∆t)2 ,

j ∈ Z,

0 ≤ n ≤ n0 (fest).

(s.h.) c ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen, λ das Verhältnis von Zeit- zu Raumschrittweite. Aus der Rekursionsformel folgt, daß def

def

uhjn ≈ ujn = u(j∆x, n∆t) = u(x, t)

(uh (x, t; ∆x, ∆t) = uhjn )

abhängt von den Werten uhj−n,0 , . . . , uhj+n,0 entsprechend den Anfangswerten u((j − n)∆x, 0), . . . , u((j + n)∆x, 0),

1 1 d.h. u(x − t · , 0), . . . , u(x + t · , 0) λ λ

weil n∆x = n∆t ·

∆x ∆t

. . . . . . . . . . = t/λ.

. Steigung . . . λ . .SSS.Steigung . . −λ . S

S

. . . . . . .SS. . . Abbildung 1.12

Man nennt [xj − tn /λ, xj + tn /λ] das numerische Abhängigkeitsintervall von uhjn . Andererseits hängt u(x, t) von allen Werten u(x−ct, 0), . . . , u(x+ct, 0) ab, d.h. [x−ct, x+ct] ist das Abhängigkeitsintervall von u(x, t).

27


Fall 1/λ < c. Das numerische Abhängigkeitsintervall ist im Abhängigkeitsintervall echt enthalten. Mit ∆x → 0, ∆t → 0, ∆t/∆x = λ fest kann dann das Verfahren nicht konvergieren, weil in uh (x, t; ∆x, ∆t) f¨ ur ∆t, ∆x → 0 nicht alle Werte u(x − ct, 0), . . . , u(x + ct, 0) eingehen und Abänderungen der Anfangswerte auch u(x, t) in der Regel a¨ndern.

Satz 1.2 Notwendig f¨ ur die Konvergenz uh (x, t; ∆x, ∆t)

−→ u(x, t) ∆x → 0 ∆t → 0 λ = ∆t/∆x = const.

ist die Erf¨ ullung der Courant–Friedrichs–Lewy–Bedingung λ = ∆t/∆x ≤

1 c

(d.h. die t-Schritte ist im Verhältnis zur x-Schrittweite geeignet begrenzt.)

Bemerkung 1.2 Man kann zeigen, daß die Erf¨ ullung der CFL-Bedingung ⊇

Numerisches Abh¨ angigkeitsintervall

Abh¨ angigkeitsintervall

ganz allgemein notwendig f¨ ur die Konvergenz bei Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Anfangswertaufgaben ist. Als reines Anfangswertproblem ist die Wellengleichung wenig praxisrelevant. Häufiger tritt sie in Verbindung mit einem Anfangs-Randwertproblem auf, z.B. utt (x, t) = c2 (x)uxx (x, t) + r(x, t) u(x, 0) = f (x), ut (x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ 1 u(0, t) = ϕ0 (t), u(1, t) = ϕ1 (t) t ≥ 0 f (0) = ϕ0 (0), f (1) = ϕ1 (0) Verträglichkeitsbedingungen

(1.6)

(u bedeutet hier die Auslenkung einer gespannten Saite mit orts- und zeitabhängiger Anregung r, vorgegebener Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit und vorgegebener Randbefestigung, die mit der Zeit veränderlich ist.) Es treten auch Periodizitätsbedingungen auf, z.B. u(x + L, t) = u(x, t)

∀(x, t) ∈ R × R+

28


wobei dann nat¨ urlich auch die Anfangsvorgaben f und g L-periodisch sein m¨ ussen. Auch in diesem Fall kann man sich auf einen Streifen der Breite L beschränken, weil man beim numerischen Rechnen die “fehlenden” uhjn -Werte durch die Ausnutzung der Periodizität gewinnen kann: z.B. uh−1,j = uhN −1,j und uhN +1,j = uh1,j Im Zusammenhang mit einem solchen Anfangsrandwertproblem wollen wir nun sogleich einen neuen Zugang zur Gewinnung von Diskretisierungen auf Rechteckgittern kennenlernen, die sogenannte vertikale Linienmethode oder Semidiskretisierungsmethode. (Das Problem wird bez¨ uglich der räumlichen Variablen diskretisiert, bleibt aber kontinuierlich in der Zeit.) Wir betrachten weiter die obenstehende RAWA der Wellengleichung und setzen zunächst f¨ ur ein Gitter in der Raumvariablen x x = i∆x

0 ≤ i ≤ N,

∆x =

def

1 N

(N ≥ 3)

v˜i (t) = u(xi , t) Nun gilt f¨ ur u ∈ C 4

([0, 1] × R+ )

u(xi+1 , t) − 2u(xi , t) + u(xi−1 , t) + O(∆x2 ) 2 (∆x) v˜i+1 (t) − 2˜ vi (t) + v˜i−1 (t) = + O(∆x2 ) 2 (∆x) ¨ utt (xi , t) = v˜i (t)

uxx (xi , t) =

Vernachlässigung der O((∆x)2 )-Terme f¨ uhrt dann auf das folgende Anfangswertproblem zweiter Ordnung f¨ ur die gesuchten Funktionen v1 (t), . . . , vN −1 (t) : (als Näherung f¨ ur v˜i (t)) c2i vï (t) = (∆x)2 (vi+1 (t) − 2vi (t) + vi−1 (t)) + r(xi , t) 1 ≤ i ≤ N − 1 v0 (t) = ϕ0 (t) vN (t) = ϕ1 (t) vi (0) = f (i∆x) 1≤i≤N −1 v˙ i (0) = g(i∆x) Dies ist also ein Anfangswertproblem f¨ ur ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung, in das die Randbedingungen schon eingearbeitet sind. Im Falle c(x) = c konstant, wird das DGL-System besonders einfach: v¨ = Av + b(t)

r≡0

29


   v(0) = 

f1 .. .





 

 v(0) ˙ =



g1 .. .

 

gN −1

fN −1

c2 b(t) = (∆x)2

     

ϕ0 (t) 0 .. . 0 ϕ1 (t)

     N −3  

c2 A = − 0, . . . , 0, −1, 2, −1, 0 . . . 0 (tridiagonal ∈ RN −1,N −1 ) 2 (∆x) Nach der Substitution

def

w = v˙ wird daraus das System erster Ordnung f¨ ur 2N − 2 gesuchte Funktionen 

v˙ w˙

=

0 I A 0

v w

+

0 b(t)

,

t > 0,

v(0) w(0)

f1 .. .

    f =  N −1  g1  .  .. gN −1

        

Dieses System gewöhnlicher Differentialgleichungen kann nun im Prinzip mit den numerischen Methoden f¨ ur gewöhnliche Differentialgleichungen behandelt werden. Auch im oben angedeuteten allgemeineren Fall mit variablen Koeffizienten und variabler Inhomogenität der Form r(x, t, u, ux , ut ) hat man dabei keinerlei formale Probleme. Lediglich wird dann die rechte Seite der DGL nichtlinear vom Typ F (t, v, w). Die Diskretisierungsmethoden f¨ ur gewöhnliche DGLen erzeugen nun ihrerseits ein t-Gitter, sodaß letztendlich wieder eine Näherungslösung uh f¨ ur u auf einem Rechteckgitter der (x, t)–Ebene erzeugt wird. Wir erinnern nun an das schon bei gewöhnlichen DGLen diskutierte Stabilit¨ atsproblem: Die Eigenwerte der Matrix A sind die Werte −ωj2 mit c 2 jπ 2 1 − cos 1≤j ≤N −1 ωj = 2 ∆x N 0 I und somit die Eigenwerte λj von A 0 λj = ±iωj

i2 = −1

Im Falle ϕ0 (t) ≡ ϕ1 (t) ≡ 0, d.h. b(t) ≡ 0 lautet die Lösung dieser gewöhnlichen DGL N −1 X j=1

(+) (−) αj zj eiωj t + βj zj e−iωj t

30


0 I Dabei sind Eigenvektoren von zu ±iωj und αj , βj bestimmen sich aus A 0 den Anfangswerten. Die Lösung enthält also f¨ ur N 1 sehr hoch oszillierende Anteile. Die Lösung der DGL beschreibt eine unged¨ ampfte Schwingung. Man vergleiche dies mit der Lösung der partiellen Randanfangswertaufgabe durch Fourirerreihenansatz: Mit (+) (−) zj , zj

utt = c2 uxx , 0 ≤ x ≤ 1 , u(x, 0) = f (x) , ut (x, 0) = g(x) ist

∞ X

u(x, t) =

ak (t) sin(kπx)

k=1

mit ak (t) = ck cos(kπct) + dk sin(kπct) wo Z ck = 2

1

f (x) sin(kπx)dx , dk = 0

2 kπc

Z

1

g(x) sin(kπx)dx . 0

Als Integrationsmethode f¨ ur das gewöhnliche DGL–System kommen nur solche Methoden in Frage, deren Bereich der absoluten Stabilität ein Intervall um 0 auf der imaginären Achse als Randst¨ uck aufweist, d.h. die Schwingungsamplituden werden weder verstärkt noch gedämpft. Im vorliegenden Fall heisst dies, daß die Schrittweite ∆t so gewählt werden muß, daß c q ∆t ∆ti · · 2(1 + cos( Nπ )) ≈ i(2c) ∆x ∆x im Bereich der absoluten Stabilität des Verfahrens liegen muß. Geeignet sind die explizite Mittelpunktregel (die kein reelles Intervall der absoluten Stabilität besitzt (!)) und die Trapezregel. Im Folgenden bezeichnet v (i) , w(i) den Vektor der Näherungswerte f¨ ur die Lösung v(t), w(t) der semidiskretisierten Gleichung. In der fr¨ uheren Notation ist also (i)

vj

= uhj,i

F¨ ur die explizite Mittelpunktregel wird (n+1) (n−1) (n) v v 0 I v 0 = + 2∆t + 2∆t A 0 b(tn ) w(n+1) w(n−1) w(n) Das Stabilitätspolynom der Mittelpunktregel lautet π(ζ; q) = (ζ − 1)(ζ + 1) − 2qζ mit den Nullstellen ζ1,2 (q) = q ±

p

q2 + 1

(q =∆tλ ˆ j)

31


und f¨ ur q rein imaginär und π(ζ; q) = 0 ist also |ζ| = 1 falls |∆tλj | ≤ 1 d.h. es liegt eine Einschränkung an das Schrittweitenverhältnis ∆t/∆x vor, nämlich 2c∆t/∆x ≤ 1 also eine schärfere Einschränkung als die CFL-Bedingung. (Andererseits muß man aus Gr¨ unden des Phasenfehlers letztlich doch c∆t/∆x 1 sein. Noch g¨ unstiger liegen die Verhältnisse bei der Trapezregel: Diese f¨ uhrt, angewandt auf das obige System erster Ordnung, auf das lineare Gleichungssystem (n+1) (n) ∆t 0 I ∆t 0 I ∆t 0 v v = I+ + I− A 0 A 0 b(tn ) + b(tn+1 ) w(n+1) w(n) 2 2 2 Ausgeschrieben lautet dies ∆t (n+1) ∆t (n) w = v (n) + w 2 2 ∆t (n+1) ∆t (n) ∆t w(n+1) − Av = w(n) + Av + (b(tn ) + b(tn+1 )) 2 2 2 v (n+1) −

Multiplikation der ersten Gleichung mit (I −

∆t A 2

und Addition zur zweiten ergibt

∆t2 ∆t2 ∆t A)w(n+1) = (I + A)w(n) + ∆tAv (n) + (b(tn ) + b(tn+1 )) 4 4 2

oder (I −

∆t2 ∆t2 ∆t A)∆w(n+1) = Aw(n) + ∆tAv (n) + (b(tn ) + b(tn+1 )) 4 2 2

mit ∆w(n+1) = w(n+1) − w(n) . Dies ergibt die Rechenvorschrift f¨ ur einen Zeitschritt z (n)

def

=

def

∆t (n) w 2 ∆t(Az (n) + 21 (b(tn ) (n+1) (n)

v (n) +

y (n) = 2 (I − ∆t4 A)∆w

∆t )) t = 2 (=c ˆ 2 uxx (·, t + ∆t )) 2 l¨ osen

(=u(·, ˆ t+

+ b(tn+1 )))

=y

n∆t

tridiag. Gleichungssystem

w(n+1)

def

(n+1)

def

v

=

=

mit symm. pos. def. Matrix ∆t 2 2 Eigenwerte ∈ [1, 1 + ( )c] ∆x

w(n) + ∆w(n+1) v

(n)

+

∆t (w(n+1) 2

(=u ˆ t (·, t + ∆t)) +w

(n)

)

(=u(·, ˆ t + ∆t))

32


F¨ ur die Wahl des Zeitschrittes ∆t ist maßgeblich, wie gut 1 + iω∆t/2 = exp(2i arctan(ω∆t/2)) den Wert exp(iω∆t) 1 − iω∆t/2 approximiert. Offenbar ist das Verfahren amplitudentreu f¨ ur jedes ω und ∆t. Aber die numerische Phase nimmt langsamer zu als die exakte, weil 2 arctan((ω∆t)/2) < ω∆t. Der Fehler ist um so größer, je größer ω wird. Wegen 2 arctan(

ω∆t ω 3 ∆t3 ω 5 ∆t5 ) = ω∆t − + ··· 2 12 80

und |ω| ≤

2c ∆x

gen¨ ugt es

∆x √ 3 12ε 2c zu wählen, damit ein einzelner Integrationsschritt in der k · k2 –Norm einen Fehler von höchstens ε (zwischen v (n) und v(tn )(!)) erzeugt. ∆t sollte also nicht zu groß gewählt werden, um die numerische Phasenverschiebung (die sogenannte numerische Dispersion) kleinzuhalten. Dies gilt erst recht bei nichtlinearen Problemen, wo die Stabilität des Verfahrens nicht so leicht zu entscheiden ist. Der Gesamtfehler des Verfahrens ist dann von der Form   u(x , t ) 1 n

1

  .. √ v (n) − 

≤ K(tn )((∆t)2 + (∆x)2 )  . 2 N u(xN −1 , tn ) ∆t ≤

(f¨ ur klassische Lösungen). Man beachte, daß die beiden bisher geschilderten Verfahren nicht als Verfahren zu einer direkten Erzeugung einer Gitterfunktion uh (x, t; ∆x, ∆t) f¨ ur u(x, t) gedeutet werden können, da hier u und ut simultan approximiert werden. Es gibt jedoch auch direkte Integrationsverfahren f¨ ur gewöhnliche Differentialgleichungssysteme zweiter Ordnung der speziellen Gestalt y¨ = f (t, y)

f

nichtlinear

und lineare Differentialgleichungssysteme der Form M y¨ + C y˙ + Ky = F (t) (M, C, K symm. pos. def. Matrizen), bei denen nur y approximiert wird. In unserem obigen speziellen Fall hat das DGL–System bereits die spezielle Form v¨ = F (t, v),

(1.7)

33


sodaß wir uns zunächst mit diesem Fall beschäftigen wollen. Ein allgemeines k–Schritt– Verfahren f¨ ur (1.7) hat die Form

(M SV2 )

k X i=0

αi uhm+i = h2

k X

βi F (tm+i , uhm+i ),

k≥2

i=0

mit αk 6= 0, |α0 | + |β0 | 6= 0. Die Konvergenztheorie f¨ ur diesen Verfahrenstyp läßt sich analog der f¨ ur MSV zu v˙ = F (t, v) entwickeln.

Man kennt folgende Aussagen (zum Beweis vgl. bei Grigorieff Bd. 2)

34


Satz 1.3 (i) Das lineare Mehrschrittverfahren MSV2 ist asymptotisch stabil, falls f¨ ur die Nullstellen des Polynoms k X ρ(ζ) = αi ζ i i=0

gilt: ⇒

ρ(ζ) = 0

ρ00 (ζ) 6= 0 falls

|ζ| ≤ 1,

(ii) Das Verfahren (MSV2 ) ist konsistent, falls ρ(1) = 0, ρ00 (1) = 2σ(1) mit k X σ(ζ) = βi ζ i

|ζ| = 1.

ρ0 (1) = 0,

i=0

(iii) Die maximal erreichbare Ordnung p eines stabilen Verfahrens (MSV2 ) ist k + 2 k gerade p= k + 1 k ungerade Verfahren der Ordnung k + 2, k gerade erhält man, wenn man alle Nullstellen von ρ auf dem Einheitskreis wählt und σ(ζ) =

k X

(f (i) (1)/i!)(ζ − 1)i

i=0

mit

f (ζ) = ρ(ζ)/(ln ζ)2

Die Ordnung p des (MSV2 ) ist dabei definiert durch Pk

i=0

αi y(x + ih) − h2

Pk

i=0

βi f (x + ih, y(x + ih)) = Cp+2 hp+2 y (p+2) (x) + O(hp+3 ) y 00 = f (x, y)

(iv) (MSV2 ) ist konvergent genau dann, wenn es konsistent (p ≥ 1) und stabil ist (v) Es gibt kein auf der ganzen imaginären Achse stabiles (neutral stabiles) Verfahren vom Typ MSV2 der Ordnung p > 2. Typische Beispiele sind: Das Verfahren von Sto ¨rmer: uhn+1 − 2uhn + uhn−1 = h2 fn ,

Ordnung 2

35


Dieses Verfahren f¨ uhrt, angewandt auf unsere aus der Semidiskretisierung erhaltenen DGL v¨ = Av + b(t) zuru ¨ ck zu unserem expliziten Differenzenverfahren. Das Verfahren von Cowell: uhn+1 − 2uhn + uhn−1 =

1 2 h (fn+1 12

+ 10fn + fn−1 ),

Ordnung 4

Angewandt auf die Semidiskretisierung ergibt dies folgende Verkn¨ upfung der Gitterfunktionswerte: n+1 • • • •

•

•

n

•

•

•

n−1

Abbildung 1.13

F¨ ur jede Zeitschicht hat man somit ein tridiagonales Gleichungssystem zu lösen. Andere mögliche implizite Verfahren sind uhn+1 − 2uhn + uhn−1 = 21 h2 (fn+1 + fn−1 ),

Ordnung 2

mit der Gitterverkn¨ upfung •

•

•

n

• • und

•

n+1

•

n−1

Abbildung 1.14

uhn+1 − 2uhn + uhn−1 = 14 h2 (fn+1 + 2fn + fn−1 ),

Ordnung 2

ebenfalls mit einer Gitterverkn¨ upfung wie beim Cowell–Verfahren. (Es gibt selbstverständlich Verfahren beliebig hoher Ordnung von diesem Typ, aber ihre Anwendung in diesem Zusammenhang (Semidiskretisierung einer hyperbolischen RAWA) wäre nur interessant, wenn auch die Raumableitung uxx durch genauere Differenzenformeln approximiert w¨ urde. Man braucht dann zusätzliche Startschichten und spezielle Formeln an den Rändern um z.B. uxx (∆x, t) zu approximieren. Hierdurch können die Eigenwerte des semidiskretisierten Systems ung¨ unstig beeinflusst werden. Die Bandbreite der zu lösenden Gleichungssysteme vergrößert sich ebenfalls, was alles diesen Zugang nicht sehr attraktiv erscheinen lässt. Wir werden aber noch eine andere Form der Semidiskretisierung, nämlich mit finiten Elementen, behandeln, bei denen eine Erhöhung der Ordnung

36


der Raumdiskretisierung vergleichsweise unproblematisch ist . F¨ ur die praktische Brauchbarkeit der Verfahren ist wiederum ihre absolute Stabilität maßgeblich, die nun durch das Stabilitätspolynom 1

π(ζ; q) = ρ(ζ) − q 2 σ(ζ),

q =∆tλ, ˆ

λ = λi2 (A),

wobei λi (A) = ein Eigenwert von A ist, beschrieben wird. F¨ ur die Formel von Störmer erhalten wir π(ζ; q) = (ζ − 1)2 − q 2 ζ π(ζ; q) = 0

⇒

q q2 ± q 1 + ( 2q )2 . ζ = −1 − 2

Beim betrachteten Anwendungsfall sind die λi (A) reell negativ, also interessiert der Bereich auf der imaginären Achse mit |ζ(q)| ≤ 1. Dies ist [−i, i] entsprechend der Bedingung ∆t c≤1 ∆x die wir schon fr¨ uher erhalten haben und die genau der CFL-Bedingung entspricht. F¨ ur drei impliziten Verfahren haben wir (1) (2) (3)

1 2 2 q (ζ + 10ζ + 1) π(ζ; q) = (ζ − 1)2 − 12 2 1 2 2 π(ζ; q) = (ζ − 1) − 2 q (ζ + 1) π(ζ; q) = (ζ − 1)2 − 14 q 2 (ζ 2 + 2ζ + 1)

F¨ ur rein imaginäres q = iω∆t haben wir somit die Wurzeln (1) 1− ζ(iω∆t) =

5 2 ω (∆t)2 12

±

q

1+

−ω 2 (∆t2 ) + 61 ω 4 (∆t)4

1 2 ω (∆t)2 12 2 2

(1.8)

d.h. f¨ ur ω 2 (∆t)2 ≤ 6 ist |ζ(iω)| = 1 und f¨ ur ω (∆t) > 6 q 5 2 ω − 1 + 16 ω 2 (ω 2 − 6) 12 max |ζ(iω)| = >1 1 2 ω +1 12 das Verfahren ist somit nur bedingt absolut stabil mit der Bedingung √ ∆t c ≤ 6 ∆x In unserem Anwendungsfall ist dies wegen der CFL Bedingung ausreichend. Die implizite Struktur des Verfahrens zahlt sich hier offensichtlich nicht aus, weshalb es in der Praxis nicht sehr häufig angewendet wird. Daß die Zeitintegration von vierterOrdnung ist, ist aber ein Vorteil.

37


(2)

ζ(iω∆t) =

2±

p

ω 2 (∆t)2 /2)2

4 − 4(1 + 2(1 + 12 ω 2 (∆t)2 )

1±

q

−ω 2 (∆t)2 − ( ω

=

2 (∆t)2

2

)2

1 + 12 ω 2 (∆t)2

;

|ζ| = 1

f¨ ur alle ω∆t ∈ R, d.h. das Verfahren ist auf der gesamten imagin¨ aren Achsen absolut (und neutral) stabil. 4 Die numerische Dispersion hängt davon ab, wie gut ζ(iω∆t) Es ist

e±iω∆t

approximiert.

q 1 ± iω∆t 1 + ζ(iω∆t) =

1+

ω 2 (∆t)2 4 1 2 2 ω (∆t) 2

Weil arctan(ω

q

1+

√ 2 2 = e±i arctan(ω∆t 1+ω (∆t) /4 )

ω2 4

) 2 f¨ ur y 00 = f (y). Diese sind jedoch implizit und nichtlinear in f . Ein Beispiel ist uhn+2 − 2uhn+1 + uhn =

(∆t)2 (fn+2 + 10f (uhn+1 − α(∆t)2 (fn+2 − 2fn+1 + fn )) + fn ) 12

mit α > 1/120 und der Ordnung p = 4 (Chawla 1983). Man muss jedoch bedenken, daß im Zusammenhang mit der Semidiskretisierung der Wellengleichung oder verwandter Gleichungen ohnehin die CFL-Bedingung der Verwendung grosser Zeitschrittweiten entgegensteht. Bemerkung 1.4 In neuerer Zeit werden auch Ansätze des sogenannten “exponential fittings” benutzt, um die numerische Dispersion besser zu kontrollieren. Hierbei werden freie Parameter des Verfahrens so angepaßt, daß f¨ ur bestimmte (f¨ ur die Problemstellung relevante) Frequenzen die numerische Dispersion zu null (oder doch sehr klein) gemacht wird. (vgl. z.B. van der Houwen & Sommeier, J. Comp. Appl. Math. 1985, S. 145-161) Bemerkung 1.5 F¨ ur die in den Ingenieuranwendungen wichtige DGL M y¨ + C y˙ + Ky = f (t)

M, C, K symm. n × n Matrizen, M, K pos.def.

(die man u.a. bei der Semidiskretisierung einer linearen hyperbolischen DGL 2. Ordnung mit einem Term ut erhält), benutzt man gerne die Methode von Newmark von der Ordnung p = 2. (M + γ∆tC + β∆t2 K)uhn+1 + (−2M + (1 − 2γ)∆tC + ( 12 + γ − 2β)(∆t)2 K)uhn +(M + (γ − 1)∆C + ( 21 − γ + β)(∆t)2 K)uhn−1 = (∆t)2 ( 12 − γ + β)f (tn−1 ) + ( 12 + γ − 2β)f (tn ) + βf (tn+1 )

Im Fall C = 0 und 2β ≥ γ ≥ 21 ist die Methode uneingeschränkt neutral stabil. (F¨ ur M = I, C = 0, K = (c2 /(∆x)2 )A γ = 12 , β = 12 ergibt sich die obige Formel (2))

39


1.3.2

Numerische Verfahren fu ¨ r hyperbolische Systeme erster Ordnung

Da man hyperbolische Einzeldifferentialgleichungen stets in ein hyperbolisches System erster Ordnung u uhren kann, wie wir bereits in der Einleitung gesehen haben, stellen ¨berf¨ letztere den allgemeineren Fall dar. Systeme erster Ordnung haben den Vorteil, daß man sie mit Einschrittverfahren behandeln kann. Speziell f¨ ur das reine AWP der Wellengleichung utt − c2 uxx = 0 x ∈R, t > 0 u(x, 0) = f (x) x∈R ut (x, 0) = g(x) erhält man durch die Substitution v(x, t) w(x, t) vt (x, t)

def

=

u(x, t) Z x z g(ξ) Z t }| { 1 ut (ξ, 0) dξ + c ux (x, τ )dτ c 0 0 Z t ut (x, t) = utt (x, τ )dτ + g(x) 0 Z t 1 c c uxx (x, τ )dτ + c g(x) = c wx (x, t)

def

=

= =

0

wt (x, t) v(x, 0)

= =

w(x, 0)

=

c ux (x, t) = c vx (x, t) u(x, 0) = f (x) Z x 1 g(ξ)dξ =: G(x) c 0

d.h.

v w

=c t

0 1 1 0

v w

t > 0, x ∈ R, x

v w

(x, 0) =

f (x) G(x)

Allgemein werden wir zunächst lineare Systeme der Dimension 2 vt = Avx

x ∈ R, t > 0 ,

v(x, 0) = g(x) g : R → R2

(1.9)

betrachten, wobei wir voraussetzen, daß gilt: A reell diagonalisierbar mit zwei verschiedenen Eigenwerten Dies ist insbesondere erf¨ ullt f¨ ur a b A= b c

(a − c)2 + b2 ≥ γ > 0,

|ac − b2 | ≥ δ > 0

6=

0

40


(a, b, c d¨ urfen von x abhängen). Die charakteristischen Richtungen dieses Systems im Punkt (x, t) sind dann (1, 1/λ1 ) und (1, 1/λ2 ), λ1 , λ2 Eigenwerte von A. Ein erstes naives Verfahren zur numerischen Lösung von (1.9) entsteht, indem man die t–Ableitung durch den Vorwärtsdifferenzenquotienten und die x–Ableitung durch den zentralen Differenzenquotienten ersetzt: vj,n+1 vj,n vj+1,n − vj−1,n vj,0 fj ∆t = + 2∆x A , = wj,n+1 wj,n wj+1,n − wj−1,n wj,0 Gj • •

•

∆t •

Dieses “naive“ Verfahren erweist sich aber als unbrauchbar, da instabil f¨ ur alle Verhältnisse ∆t : ∆x. Die Instabilität verschwindet, wenn man die Werte vj,n , wj,n durch die Mittelwerte aus den Nachbarpunkten ersetzt: Friedrichs–Verfahren vj,n+1 vj+1,n + vj−1,n vj+1,n − vj−1,n vj,0 fj 1 ∆t =2 + 2∆x A , = wj,n+1 wj+1,n + wj−1,n wj+1,n − wj−1,n wj,0 Gj •

•

•

@ @ • @•

• ∆t

Bei ARWA sind n Vorgaben f¨ ur die Funktionen v und w an den Rändern des x–Intervalls gegeben, z.B. v(0, t) = ϕ0 (t), v(1, t) = ϕ1 (t), sodaß man bei der Wellengleichung die obige Approximation f¨ ur w an den Randnachbarpunkten nicht verwenden kann. In Abhängigkeit von den Randvorgaben muß man dann anders vorgehen. Bei einer Randanfangswertaufgabe f¨ ur die Wellengleichung v 0 1 v = c t > 0, 0 ≤ x ≤ 1, w t 1 0 w x v(0, t) = ϕ0 (t), v(1, t) = ϕ1 (t)

v w

(x, 0) =

kann man z.B. diskretisieren wie folgt (Courant, Friedrichs, Lewy 1928) ∆t vj,n+1 = vj,n + c (w 1 − wj− 1 ,n ) j = 1, . . . , m ∆x = ∆x j+ 2 ,n 2 v0,n+1 = ϕ0 (tn+1 ), vm+1,n+1 = ϕ1 (tn+1 ) ∆t wj− 1 ,n+1 = wj− 1 ,n + c (vj,n+1 − vj−1,n+1 ) j = 1, . . . , m + 1 ∆x 2 2

f (x) G(x)

1 m+1

41


Das Friedrichs–Verfahren konvergiert nur von erster Ordnung in ∆t. Das folgende Verfahren f¨ ur ein allgemeines hyperbolisches System mit konstanten Koeffizienten konvergiert von zweiter Ordnung in ∆t und ∆x: uhi,n+1 = uhi,n +

∆t 2 ∆t A(uhi+1,n − uhi−1,n ) + 12 A2 (uhi+1,n − 2uhi,n + uhi−1,n ) 2∆x 2∆x

uhi,n steht hier als Näherung f¨ ur den Vektor u(xi , tn ), DGL ut = Aux . Dies ist das Lax–Wendroff–Verfahren Dieses Verfahren ist stabil f¨ ur ∆t ρ(A) ≤ 1 ∆x Man kann es auf folgende Art herleiten: Die rechte Seite Aux wird mit dem zentralen Differenzenquotienten diskretisiert, d.h. von zweiter Ordnung in ∆x. F¨ ur die linke Seite ut benutzt man die Diskretisierung u(x, tn+1 ) = u(x, tn ) + ut (x, tn )∆t + 12 utt (x, tn )(∆t)2 + O((∆t)3 ) und sodann utt = A uxt = A utx = A

∂ (A ux ) = A2 uxx ∂x

und f¨ ur uxx nun den symmetrischen Differenzenquotienten zweiter Ordnung. Im Spezialfall n = 1 heißt die DGL ut = a(x)ux

|a0 (x)| ≤ K

die Konvektionsgleichung. Häufig verwendete Diskretisierungen dieser Gleichung sind: Friedrichs–Verfahren: uhi,n+1 =

1 (uhi−1,n 2

+ uhi+1,n ) +

∆t a(xi )(uhi+1,n − uhi−1,n ) 2∆x

∆t ≤ 1/ sup |a(x)| ∆x Verfahren von Courant–Isaacson und Rees: uhi,n+1 = uhi,n +

∆t + a (xi )(uhi+1,n − uhi,n ) + a− (xi )(uhi,n − uhi−1,n ) ∆x

∆t ≤ 1/ sup |a(x)| ∆x a+ (x) = max(a(x), 0) a− (x) = min(a(x), 0)

42


(Man beachte, daß hier die x–Diskretisierung von Verlauf der Charakteristiken abhängt!) Lax–Wendroff–Verfahren: uhi,n+1 = uhi,n +

∆t 2 ∆t a(xi )(uhi+1,n − uhi−1,n ) + 12 a(xi ) · 2∆x ∆x · a(xi+ 1 )(uhi+1,n − uhi,n ) − a(xi− 1 )(uhi,n − uhi−1,n ) 2

2

∆t ≤ 1/ sup |a(x)| ∆x

Die Konvergenzuntersuchungen f¨ ur alle diese Verfahren werden wir im Rahmen der allgemeinen Theorie in Kapitel 3 behandeln. Diese allgemeine Theorie behandelt in erster Linie Probleme mit konstanten Koeffizienten und variable Koeffizienten erfordern zusätzliche Betrachtungen. Oft ist es aber möglich, mit Methoden, die auf den speziellen Fall zugeschnitten sind, einfacher zum Ziel zu gelangen. Dies sei hier an einem Beispiel vorgef¨ uhrt.

Beispiel 1.3

ut = −a(x, t)ux

0 ≤ x ≤ L,

u(x, 0) = f (x), u(0, t) = g(t),

0≤t≤T 0≤x≤L 0 ≤ t ≤ T.

Es gelte: f (0) = g(0) f, g stetig a ∈ C 2 (R+ × R+ ) 0 < a0 ≤ a(x, t) ≤ a1 λ := ∆t/∆x fest, ∆x = M1 , ∆t = Gitterwerte xj = j∆x, tn = n∆t.

1 , N

(x, t) ∈ [0, L] × [0, T ]

T = N ∆t,

L = M ∆x,

Wir benutzen folgende Differenzenapproximation: uhj,n+1 = uhj,n − 21 λ aj− 1 ,n (uhj,n − uhj−1,n ) + aj− 1 ,n+1 (uhj,n+1 − uhj−1,n+1 ) uh0,n = g(tn ) uh0,n+1 = g(tn+1 ) uhj,0 = f (xj )

2

2

•

•

•

•

43


Bestimmung der Konsistenzordnung: 2

+ O((∆t)3 ) uj,n+1 − uj,n = (utt )j,n+ 1 (∆t) 8 2 2 4 aj− 1 ,n (uj,n − uj−1,n ) = aj− 1 ,n (uxx )j− 1 ,n (∆x) + O((∆x) ) 8 2 2 2 2 4 aj− 1 ,n+1 (uj,n+1 − uj−1,n+1 ) = aj− 1 ,n+1 (uxx )j− 1 ,n+1 (∆x) + O((∆x) ) 8 2 2 2 1 aj− 1 ,n (uj,n − uj−1,n ) + aj− 1 ,n+1 (uj,n+1 − uj−1,n+1 ) = 2 2 2 (∆x)2 2 2 aj− 1 ,n+ 1 (uxx )j− 1 ,n+ 1 8 + O (∆t) (∆x) + O((∆x)4 ) 2

2

(utt )j,n+ 1 (∆t) 8

2

2

2

2

= (utt )j− 1 ,n+ 1 (∆t) + O(∆x(∆t)2 ). 8

2

2

2

Es ist aber aufgrund der DGL utt = − a(x, t)ux = −at (x, t)ux − a(x, t)uxt t = −at (x, t)ux + a(x, t) a(x, t)ux

x

= −at (x, t)ux + a(x, t)ax (x, t)ux + a2 (x, t)uxx . Somit ist im Falle a(x, t) ≡ 1 = λ das Verfahren von zweiter Ordnung und in allen anderen Fällen von erster Ordnung konsistent ( h=∆t ˆ = O(∆x) ). Sei εj,n = uj,n − uhj,n . Dann gilt die Rekursion εj,n+1

j = 1, . . . , N = εj,n − 12 γj,n (εj,n − εj−1,n ) + γj,n+1 (εj,n+1 − εj−1,n+1 ) + ∆t τj,n+1

τj,n+1 = O(∆t) und γj,k := λaj− 1 ,k > λa0 > 0 2

ε0,k εj,0

= 0 = 0

Setzt man also

∀k, ∀j.

εn := (ε1,n , . . . , εM,n )T , dann wird

(I + Γn+1 )εn+1 = (I − Γn )εn + ∆t τn+1 , wo

    Γk =    

n = 0, 1, . . . , N − 1

0 ··· ··· 0 .. .. . −γ2,k γ2,k . .. .. .. .. . . . 0 . .. . . . . . .. . . . 0 0 ··· 0 −γM,k γM,k γ1,k

       

44


bzw. mit εñ := (I + Γn )εn εñ+1 = (I − Γn )(I + Γn )−1 εñ + ∆t τn+1 ,

n = 0, 1, . . . , N − 1.

Wir wollen wieder eine Abschätzung in der Norm 1 k · k = √ k · k2 M anstreben. Jedenfalls ist sup kτn+1 k ≤ τ = O(∆t). n∈N n∆t=T ∆t→0

Wenn k(I − Γn )(I + Γn )−1 k ≤ 1 + K∆t,

(1.10)

K unabhängig von n und ∆t, dann wird schließlich kεÑ k ≤ ∆t τ

N −1 X

(1 + K∆t)ν

ν=0 T N ≤ ∆t τ N (1 + K N ) ≤ τ T eKT ,

womit die Konvergenz in k · k bewiesen wäre. Dabei tritt keine Einschränkung an λ auf. Da das Gleichungssystem f¨ ur εn+1 eine untere Dreiecksmatrix als Koeffizientenmatrix hat, ist das Verfahren quasi explizit. Es bleibt die Abschätzung (1.10) zu zeigen. Dazu beachtet man zuerst k(I − Γn )(I + Γn )−1 k = k(I − Γn )(I + Γn )−1 k2 . 1

Ferner nach Definition kAk2 = % 2 (AAT ), also k(I − Γn )(I + Γn )−1 k22 = % (I − Γn )(I + Γn )−1 (I + ΓTn )−1 (I − ΓTn ) = % (I + Γn )−1 (I + ΓTn )−1 (I − ΓTn )(I − Γn ) T −1 T = % ((I + Γn )(I + Γn )) (I − Γn )(I − Γn ) Sei µ ein Eigenwert von ((I + ΓTn )(I + Γn ))−1 (I − ΓTn )(I − Γn ). Dann gilt mit geeignetem x und xH x = 1 ((I − ΓTn )(I − Γn )x = µ(I + ΓTn )(I + Γn )x

45


d.h. xT (I − ΓTn )(I − Γn )x xT (I + ΓTn )(I + Γn )x 1 − xT (ΓTn + Γn )x + xT ΓTn Γn x = 1 + xT (ΓTn + Γn )x + xT ΓTn Γn x xT (ΓTn + Γn )x = 1−2 . 1 + xT ΓTn Γn x + xT (ΓTn + Γn )x

µ =

Wenn also gezeigt ist, daß ˜ xT (ΓTn + Γn )x ≥ −K∆t, dann

˜ 2K∆t ˜ ≤ 1 + 4K∆t ˜ 1 − K∆t

µ≤1+ falls

(1.11)

˜ K∆t ≤ 12 , also ∆t hinreichend klein.

Damit wird dann k(I − Γn )(I + Γn )−1 k ≤

p

˜ ˜ 1 + 4K∆t ≤ 1 + 2K∆t =: 1 + K∆t.

Somit bleibt (1.11) zu zeigen. Aber



2γ1,k −γ2,k

  −γ2,k  T Γk + Γk =  0   ..  . 0

··· .. . ... ...

0

2γ2,k −γ3,k ... ... ... ... ···

0 −γM,k

 0 ..  .   0    −γM,k  2γM,k

und nach dem Kreisesatz von Gerschgorin und der Minimax-Eigenschaft des Rayleighquotienten xH (Γk + ΓTk )x ≥ − sup |γi+1,k − γi,k | k,i

= −λ sup |ai+ 1 ,k − ai− 1 ,k | k,i

2

2

≥ −λβ∆x = −β∆t, wo

∂ β = max(x,t)∈[0,L]×[0,T ] | ∂x a(x, t)|

Schließlich bleibt zu zeigen, daß kεn k ≤ K ∗ k˜ εn k.

(K ∗ unabh. von n, ∆t)

Aber εn = (I + Γn )−1 εñ

46


d.h. kεn k ≤ %1/2 ((I + Γn )(I + ΓTn ))−1 kεñ k = d.h. f¨ ur β∆t ≤

1 2

1 1/2 λmin ((I

+ Γn )(I + ΓTn ))

kεñ k ≤

1 kεñ k 1 − β∆t

(z.B.) kann man K ∗ = 2 wählen, womit alles bewiesen ist.

47

1.4. Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen

1.4

Nichtlineare hyperbolische Erhaltungsgleichungen

Quelle f¨ ur diesen Abschnitt: [7], [10]. Weiterf¨ uhrende Literatur ist [17], [18]

1.4.1

Beispiele

Eine eindimensionale Strömung wird im einfachsten Fall beschrieben durch die raum- und zeitabhängige Dichte und Geschwindigkeit. Bei fester Zeit t trägt ein Intervall [x1 , x2 ] die Masse Z x2 %(x, t)dx . x1

Den Punkt x durchfliesst im Zeitintervall [t1 , t2 ] die Masse Z t2 %(x, t)v(x, t)dt . t1

Nach dem Gesetz von der Erhaltung der Masse muss gelten: ¨ Die Anderung der Masse eines Raumintervalls zwischen zwei Zeitpunkten ist gleich der Differenz der Massenfl¨ usse an den Intervallenden genommen u ¨ber dieses Zeitintervall D.h. Z

x2

Z

x2

%(x, t2 )dx −

Z

x1

Z

x2

x1

Z

t2

t1

Z

t2

%(x1 , t)v(x1 , t)dt −

%(x, t1 )dx =

x1

also

t2

t1

∂ %(x, t)dtdx = − ∂t

%(x2 , t)v(x2 , t)dt t1

Z

t2

t1

Z

x2

x1

∂ (%(x, t)v(x, t))dxdt ∂x

In differentieller Form lautet dies ∂ ∂ % = − (%v) . ∂t ∂x Man benötigt eine Beziehung zwischen v und %, um daraus eine abgeschlossene Gleichung f¨ ur % zu erhalten. Ein vern¨ unftiges Modell im Bereich der Verkehrsfl¨ usse ist z.B. v = v(%) = vmax (1 −

% %max

Damit wird die Differentialgleichung zu ∂ ∂ %+ (f (%)) = 0 ∂t ∂x

)

48


mit der Flussfunktion f (%) = %vmax (1 −

%

). %max Dies ist die Standardform einer skalaren Erhaltungsgleichung. In der Praxis spielen vor allem Systeme solcher Gleichungen eine wichtige Rolle, z.B. die Eulergleichungen der Gasdynamik       % %v 0 ∂  ∂  %v  + p + %v 2  =  0  ∂t ∂x E v(E + p) 0 p − (γ − 1)(E − 12 %v 2 )

=

0

Hierbei bedeuten %, v, p, E die Dichte, Geschwindigkeit, Druck und die totale Energie und γ ist eine Materialkonstante.

1.4.2

Theorie

Im allgemeinen Fall hat ein System von Erhaltungsgleichungen folgende Form: = u(x, t) : Rd × R → Rn = Fi (u) : Rn → Rn

u Fi ut +

d X

(Fi (u))xi

=

0.

(1.12)

i=1

Definition 1.4 Das System (1.12) heißt hyperbolisch, falls folgendes erf¨ ullt ist: Sei ∂(F ) def i j Ai (u) = JFi (u) = ∂uk 1≤j,k≤n Dann hat die Matrix d X def B(u, w) = wi Ai (u) i=1 n

f¨ ur alle w 6= 0 und alle u ∈ R ein vollständiges reelles Eigensystem. Sind alle Eigenwerte stets paarweise verschieden, heißt das System strikt hyperbolisch. Wir betachten nun den skalaren Fall n = d = 1. Das reine Anfangswertproblem hat die Form ∂ ∂ u+ (f (u)) ∂t ∂x u(x, 0)

=

0

=

u0 (x) , x ∈ R


49

Den linearen Fall f (u) = au mit festem a haben wir bereits in Abschnitt 1.1 behandelt. Hier interessiert uns der nichtlineare Fall. Es können ganz neue Phänomene auftreten, insbesondere muss der Lösungsbegriff neu im Sinne einer schwachen Lösung verallgemeinert werden. Während im linearen Fall bei glatten Daten und Kompatibilität in den AnfangsRandbedingungen eine klassische differenzierbare Lösung vorliegt, wovon wir in den vorausgegangenen Abschnitten auch immer ausgegangen sind, ist dies nun nicht mehr notwendig der Fall. Wir betrachten als Beispiel die Burgers Gleichung 2

ut + ( u2 )x = 0 . Eine charakteristische Kurve in der Parametrisierung (x(t), t) ist hier gegeben durch das Anfangswertproblem x(t) ˙ = u(x(t), t) x(0) = x0 und u(x(t), t) ist längs der Charakteristik konstant, also u(x(t), t) = u(x(0), 0) = u0 (x0 ) Also wird x(t) = x0 + u0 (x0 )t d.h. die Charakteristiken sind Geraden. Ist nun u00 (x) > 0 ∀ x dann können sich zwei Charakteristiken niemals schneiden und f¨ ur glatte Anfangsfunktion u0 erhält man eine eindeutige klassische Lösung der Aufgabe. Ist aber u00 < 0, dann gibt es immer eine Lösung von x0 + u0 (x0 )t∗ = x1 + u0 (x1 )t∗ , t∗ > 0, x1 > x0 und dies bedeutet, daß in (x(t∗ ), t∗ ) die Lösung unstetig wird. Physikalisch bedeutet dies ¨ einen Schock. Die gleichen Uberlegungen gelten ganz allgemein f¨ ur eine skalare Erhaltungsgleichung ut + (f (u))x = 0 , u(x, 0) = u0 (x) und wir haben Satz 1.4 Sei f 00 > 0 und u00 > 0 auf R. Dann hat die Anfangswertaufgabe der Erhaltungsgleichung f¨ ur alle Zeiten eine eindeutige klassische Lösung. Wir untersuchen weiter den Fall nichtklassischer Lösungen. Es ist eine naheliegende Idee, schwache Lösungen durch Multiplikation der DGL mit einer Testfunktion und Integration zu charakterisieren: Ist u eine klassische Lösung, dann gilt Z Z ∞ (φ(x, t)ut (x, t) + φ(x, t)(f (u))x )dtdx = 0 ∀ φ ∈ C01 (R × R+ ) R

0

50


Der erste Summand wird nun bez¨ uglich t, der zweite bez¨ uglich x partiell integriert Z Z ∞ Z t=∞ − (φt (x, t)u(x, t)dtdx + (φ · u)(x, t) dx t=0 R ZR Z0 ∞ Z ∞ x=∞ − (φx (x, t)f (u(x, t))dtdx + (φ · f (u))(x, t) dt = 0 R

0

0

x=−∞

Ber¨ ucksichtigt man nun, daß φ kompakten Träger hat, gelangt man zu Definition 1.5 u = u(x, t) heißt schwache Lösung von ut + (f (u))x = 0 , u(x, 0) = u0 (x) , x ∈ R, t ≥ 0

(1.13)

falls Z Z

∞

Z

u0 (x)φ(x, 0)dx = 0 ∀ φ ∈ C01 (R × R+ ) .

(uφt + f (u)φx )dtdx + R

0

R

Ein Beispiel f¨ ur das Auftreten einer solchen schwachen Lösung ist ein “Riemannproblem“ mit den Anfangswerten ut + (f (u))x

=

u(x, 0) = u0 (x)

=

0

ul falls x < 0 , ur falls x > 0

.

Man rechnet mit Hilfe der Definition nach, daß f¨ ur ul > ur die Schockwelle ul falls x < st u(x, t) = ur falls x > st eine schwache Lösung dieses Problems ist, wobei die Schockgeschwindigkeit s die sogenannte Rankine-Hugoniot Bedingung f (ul ) − f (ur ) s = u l − ur erf¨ ullt. Es gilt ganz allgemein Satz 1.5 Sei u eine schwache Lösung des Anfangswertproblems (1.13). u sei unstetig längs der Kurve (x(t), t) und s(t) = x(t). ˙ Ist ul (t) ur (t)

def

=

def

=

lim u(x(t) − ε, t)

ε&0

lim u(x(t) + ε, t)

ε&0

dann gilt s(t) =

f (ur (t)) − f (ul (t)) . ur (t) − ul (t)


51

Die Charakterisierung einer schwachen Lösung legt diese jedoch nicht eindeutig fest und es gibt in der Tat Probleme des Typs (1.13) mit nichteindeutigen Lösungen: Beispiel 1.1 ut + uux

=

u(x, 0)

=

0

0, x < 0, 1, x > 0

Die Charakteristiken durch den Punkt (x0 , 0) sind hier (x0 , t) f¨ ur x0 < 0 und (x(t) = t, t)f¨ ur x0 > 0 . F¨ ur jedes α ∈ ]0, 1[ ist  ur x < αt/2 ,  0 , f¨ α , f¨ ur αt/2 < x < (1 + α)t/2 u(x, t) =  1 , f¨ ur x > (1 + α)t/2 eine schwache Lösung, wie man durch Einsetzen und explizites Ausintegrieren in der Definition bestätigt. Jede dieser unendlich vielen unstetigen Lösungen erf¨ ullt auch die RankineHugoniot-Bedingung. Man muß also nach zusätzlichen Charakterisierungen suchen, die eine physikalisch sinnvolle Lösung eindeutig festlegen (die Dichte eines Gases kann z.B. nicht mehrdeutig sein). Um eine solche Bedingung zu finden, gehen wir zunächst von einer klassischen Lösung aus. Ist H eine konvexe differenzierbare Funktion, dann ist (H(u(x, t)))t = H 0 (u(x, t))ut = −(H 0 f 0 )(u(x, t))ux . F heisst Entropie-Fluß und H Entropie, falls F 0 = H 0f 0 (z.B. mit H(w) = 12 w2 : F (w) = gilt also

Rw 0

vf 0 (v)dv). F¨ ur eine solches Entropie-Entropieflußpaar

(H(u))t + (F (u))x = 0 . Wir definieren uε als die eindeutige Lösung von (H(uε ))t + (F (uε ))x = εuεxx H 0 (uε ) = ε(H(uε ))xx − εH 00 (uε )(uεx )2 , uε (x, 0) = u0 (x) . Multiplikation mit einer nichtnegativen Testfunktion φ aus C01 (R × R+ ) und partielle Integration ergibt Z Z ∞ Z ε ε (H(u (x, t))φt (x, t) + (F (u (x, t)))φx (x, t)dtdx + H(u0 (x, 0))φ(x, 0)dx R 0 R Z Z ∞ = ε (H(uε (x, t))x φx (x, t) + H 00 (uε )(uεx )2 φ(x, t))dtdx R

0

52


Wegen H 00 ≥ 0 und φ ≥ 0 ist der zweite Summand auf der rechten Seite nichtnegativ. Man kann nun zeigen, daß in L∞ (R × R) die Funktion uε f¨ ur ε → 0 einen Grenzwert u hat und f¨ ur diesen gilt dann Z Z ∞ Z (H(u(x, t))φt (x, t)+(F (u(x, t)))φx (x, t)dtdx+ H(u0 (x, 0))φ(x, 0)dx ≥ 0∀φ ≥ 0 . R

0

R

(1.14) Man bezeichnet eine schwache Lösung der Erhaltungsgleichung als Entropielösung , wenn sie die Bedingung (1.14) f¨ ur jedes Entropie-Entropieflußpaar erf¨ ullt. F¨ ur die Entropielösung kann man Eindeutigkeit zeigen. Dazu gilt Satz 1.6 (Kruskov) Das skalare Anfangswertproblem ut + (f (u))x = 0 , u(x, 0) = u0 (x) mit f ∈ C 1 (R) und u0 ∈ L∞ (R) hat eine eindeutige Entropielösung u ∈ L∞ (R × R+ ) mit folgenden Eigenschaften: 1. ||u(., t)||L∞ ≤ ||u0 ||L∞ (L∞ -Stabilität) 2. u0 ≥ v0 ⇒ u(., t) ≥ v(., t) (Monotonie bez¨ uglich des Anfangswertes) 3. u0 ∈ BV (R) ⇒ u(., t) ∈ BV (R) und T V (u(., t)) ≤ T V (u0 ) (TV-Stabilität) R R 4. u0 ∈ L1 (R) ⇒ R u(x, t)dx = R u0 (x)dx ∀ t ≥ 0. (Konservativität) In diesem Satz werden zwei hier noch nicht definierte Begriffe benutzt: BV der Raum der Funktionen von beschränkter Variation und T V die Totalvariation Definition 1.6 Sei u ∈ L∞ (Ω), Ω ⊂ R offen. Dann heißt Z |u(x + ε) − u(x)| def T V (u) = lim sup dx ε ε→0 Ω die Totalvariation (oder totale Variation) von u. Der Raum der Funktionen von beschränkter Variation ist BV (Ω) = {u : u ∈ L∞ (Ω), T V (u) < ∞} Bemerkung 1.6 Der Satz gilt auch f¨ ur skalare Gleichungen mit mehreren Dimensionen im Raum. Er gilt aber nicht f¨ ur Systeme, f¨ ur die es keine vergleichbaren Aussagen gibt. Bemerkung 1.7 F¨ ur st¨ uckweise stetige Lösungen skalarer Erhaltungsgleichungen gilt auch noch eine L1 -Stabilität ||u(., t + τ )||L1 ≤ ||u(., t)||L1

53


wie Lax 1972 gezeigt hat.

1.4.3

Numerische Verfahren

Bereits in Abschnitt 1.3 haben wir Differenzenverfahren f¨ ur hyperbolische Gleichungen 1. Ordnung beschrieben. Diese sollen hier weiter untersucht werden. Eine allgemeine Theorie der Konvergenz solcher Verfahren wird in einem späteren Kapitel dargestellt. Hier ist es jedoch zweckmässig, eine spezielle Darstellung zu wählen. Im Folgenden ist uhi,j Näherung f¨ ur u(xi , tj ) und h bedeutet den Diskretierungsparameter, unter dem man sich z.B. ∆t vorstellen kann, da wegen der CFL-Bedingung ohnehin eine Kopplung zwischen ∆t und ∆x besteht. Wir betrachten hier explizite Einschrittverfahren (d.h. Verfahren, die nur zwei aufeinanderfolgende Zeitschichten verkoppeln) der allgemeinen Gestalt uhi,j+1 = Ψ(uhi−m,j , . . . , uhi+m,j ) mit einer stetigen Funktion Ψ : R2m+1 → R . In den Beispielen von Abschnitt 1.3 war stets m = 1 Wir nehmen weiter an, ∆t = h sei fest und ebenfalls ∆t fest . λ = ∆x Oft ist es zweckmässig, die Struktur der Funktion Ψ als Integrator in einem Einschrittverfahren (wie im Fall gewöhnlicher Differentialgleichungen) genauer zu beschreiben: Definition 1.7 Ein Differenzenverfahren besitzt die Erhaltungsform, wenn es eine Funktion F : R2m → R , die sogenannte “numerische Flußfunktion“ gibt, mit Ψ(u−m , . . . , um ) = u0 − λ(F (u−m+1 , . . . , um ) − F (u−m , . . . , um−1 )) . Das Verfahren heißt dann auch konservativ. Der Grund f¨ ur diese Bezeichnung ist offensichtlich: es gilt dann X i ∈ Z

uhi,j =

X i ∈ Z

uhi,0

∀j ∈N.

54


Wegen der entsprechenden Eigenschaft der wahren Lösung (der Erhaltungseigenschaft) wird man nur solche Verfahren in die Betrachtung einbeziehen. Subtrahieren wir die Verfahrensvorschrift eines konservativen Verfahrens von der Differentialgleichung, dann erhalten wir uhi,j+1 − uhi,j ut (xi , tj ) − = ∆t 2m X uhi−m+k,j − uhi−m+k−1 0 (f (u)ux )(xi , tj ) − ∂k F (uhi−m,j , . . . , uhi+m−1,j ) + O((∆x )2 ) ∆x k=1

.

und wenn wir vern¨ unftigerweise annehmen, daß die Differenzenquotienten gegen die wahren Ableitungen konvergieren, wenn ∆t und ∆x gegen null gehen, dann sehen wir, daß 2m X

∂k F (u, . . . , u) = f 0 (u)

k=1

gelten sollte. Hinreichend daf¨ ur ist die Konsistenzbedingung: Definition 1.8 Die numerische Flußfunktion F heißt konsistent mit der kontinuierlichen Flußfunktion f wenn gilt F (u, . . . , u) = f (u) .

Bemerkung 1.8 Konsistenz impliziert also f¨ ur Ψ Ψ(u, . . . , u) = u .

Beispiel 1.2 F¨ ur das Friedrichs-Verfahren ist uhi,j+1 = uhi,j − λ2 (f (uhi+1,j ) − f (uhi−1,j )) +

h h h uh i+1,j −ui,j −(ui,j −ui−1,j ) 2

und daher F (u, v) =

1 (u 2λ

− v) + 12 (f (u) + f (v))

und somit nat¨ urlich F (u, u) = f (u) . Die Konsistenzordnung eines Verfahrens wird wie u ¨blich definiert mithilfe des “Einsetzfehlers“ einer glatten Lösung in die Verfahrensfunktion:


55

Definition 1.9 Sei u eine hinreichend glatte Lösung von ut + (f (u))x = 0. p ∈ N heißt die Konsistenzordnung des Verfahrens Ψ, falls u(x, t + ∆t) − Ψ(u(x − m∆x, t), . . . , u(x + m∆x, t)) = O((∆t)p+1 ) f¨ ur ∆t → 0 und ∆t/∆x fest. F¨ ur p ≥ 1 heißt das Verfahren konsistent. Die Grösse τ (u, ∆t, ∆x)

u(x, t + ∆t) − u(x, t) ∆t 1 + ∆x (F (u(x − (m − 1)∆x, t), . . . , u(x + m∆x, t)) − F (u(x − m∆x, t), . . . , u(x + (m − 1)∆x, t)))

def

=

heißt der lokale Abschneidefehler eines Verfahrens in Erhaltungsform.

Bemerkung 1.9 Ein Verfahren hat also die Konsistenzordnung p genau dann, wenn |τ (u, ∆t, ∆x)| = O((∆t)p ) . Es soll nun die Struktur von τ näher untersucht werden. Dazu benutzen wir Taylorentwicklung höherer Ordnung. Wir setzen dabei voraus: 1. F ∈ C 2 (R2m ) 2.

∂2 F (v1 , . . . , v2m ) ∂ui ∂uj

= 0 falls i 6= j .

Zur Abk¨ urzung benutzen wir die Notation ui = u(x + ih, t), u = u0 = u(x, t), h = ∆x, k = ∆t . Wir benötigen u.a. eine Darstellung von utt mittels der Differentialgleichung: utt

= = = = = =

∂ 0 (f (u)ux )) ∂t −f 00 (u)ut ux − f 0 (u)uxt f 00 (u)f 0 (u)(ux )2 − f 0 (u)utx f 00 (u)f 0 (u)(ux )2 − f 0 (u)(−f 00 (u)(ux )2 − f 0 (u)uxx ) 2f 00 (u)f 0 (u)(ux )2 + (f 0 (u))2 uxx ∂ ((f 0 (u))2 ux ) . ∂x −

56


Dann ist τ (u, k, h)

=

ut + 12 kutt + O(k 2 )

+ h1 (F (u−m+1 , . . . , um ) − F (u0 , . . . , u0 ) − (F (u−m , . . . , um−1 ) − F (u0 , . . . , u0 ))) ∂ = ut + 21 k ((f 0 (u))2 ux ) + O(k 2 ) ∂x 2m X + h1 ∂i F (u, . . . , u)(ui−m − u0 − (ui−m−1 − u0 )) i=1 1 + 2h

2m X

∂i2 F (u, . . . , u)((ui−m − u0 )2 − (ui−m−1 − u0 )2 ) + O(h2 )

i=1

=

ut + 21 k + h1

2m X

∂ ((f 0 (u))2 ux ) + O(k 2 ) ∂x 2 ∂i F (u, . . . , u)((i − m − (i − m − 1))hux + ((i − m)2 − (i − m − 1)2 ) h2 uxx )

i=1

+ h1

2m X

∂i2 F (u, . . . , u)((i − m)2 − (i − m − 1)2 )h2 (ux )2 + O(h2 )

i=1

=

∂ ((f 0 (u))2 ux ) + O(k 2 ) ∂x 2m X 2 0 1 +f (u)ux + h ∂i F (u, . . . , u)(2i − 2m − 1) h2 uxx ut + 21 k

i=1 1 + 2h

2m X

∂i2 F (u, . . . , u)(2i − 2m − 1)h2 (ux )2 + O(h2 )

i=1

=

k 2

2m X ∂ 0 2 1 (f (u)) + λ ∂i F (u, . . . , u)(2i − 2m − 1) ux + O(k 2 ) ∂x i=1

Mit der Definition def

B(u, λ) =

− 12 ((f 0 (u))2

+

1 λ

2m X

∂i F (u, . . . , u)(2i − 2m − 1))

i=1

können wir dann schreiben τ (u, k, h) = −k

∂ (B(u, λ)ux ) + O(k 2 ) . ∂x

Wenn wir annehmen, daß uhi,j = ui,j = u(xi , tj ) gilt, dann ist nach Definition von τ ui,j+1 − uhi,j+1 = kτ (ui,j , k, h)

57


umd damit ist uhi,j+1 eine O(k 2 )-Approximation der Lösung der Differentialgleichung vt + (f (v))x − k

∂ (B(v, λ)vx ) = 0 ∂x

(1.15)

mit den Anfangswerten v(xi , tj ) = u(xi , tj ). Die Gleichung (1.15) heißt die dem Verfahren zugeordnete modifizierte Gleichung. Dies ist eine parabolische Gleichung, der Term ∂ k ∂x (B(v, λ)vx ) ist der Diffusionsterm. F¨ ur B > 0 hat diese Gleichung ein Glättungs- und Dämpfungsverhalten, während f¨ ur B < 0 (dies entspricht dem Lösen einer Gleichung mit B > 0 r¨ uckwärts in der Zeit) Instabilität vorliegt. Dementsprechend wird man nach Verfahren suchen, f¨ ur die B ≥ 0 gilt. Definition 1.10 Der Term

∂ (B(u, λ)ux ) ∂x heißt die numerische Viskosität des Verfahrens. k

Ist diese numerische Viskosität negativ, dann ist zugeordnete modifizierte Gleichung instabil, das Verfahren also sicher unbrauchbar. Beispiel 1.3 F¨ ur das naive Verfahren uhi,j+1 = uhi,j − λ2 (uhi+1,j − uhi−1,j ) ist F (u, v) =

1 (f (u) 2

+ f (v))

und f¨ ur die Konvektionsgleichung ut + aux = 0 ergibt sich somit B(u, λ) = − 21 (a2 + λ1 (−a + a)) = −a2 /2 und dies zeigt bereits die Instabilität, die wir später mit funktionalanalytischen Methoden noch einmal beweisen werden. F¨ ur das Friedrichsverfahren ist 1 − B(u, λ) = − 12 (a2 + λ1 (− 2λ

1 )) 2λ

=

1 1 ( 2 λ2

− a2 )

und dies ist genau unter der CFL-Bedingung nichtnegativ. F¨ ur das Lax-Wendroff-Verfahren ist B(u, λ) = 0, es ist das einzige Verfahren mit m = 1 von der Ordnung 2. Es hat aber den Nachteil, daß bei Schocklösungen starke Oszillationen in der numerischen Näherung auftreten. Das upwind-Verfahren h ui,j − λa(uhi,j − uhi,j−1 ) wenn a > 0 h ui,j+1 = uhi,j − λa(uhi+1,j − uhi,j ) wenn a < 0

58


das man in kompakter Form als uhi,j+1

=

uhi,j

uhi+1,j − uhi−1,j |λa| h + (ui+1,j − 2uhi,j + uhi−1,j ) − λa 2 2

schreiben kann, ergibt sich B(u, λ) =

|a| (1 2λ

− |λa|)

und dies ist unter der CFL-Bedingung wieder positiv. Es gibt weitere Verfahren, die in diesem Zusammenhang häufig benutzt werden. Das Godunov-Verfahren u ¨berträgt die upwind-Idee auf den nichtlinearen Fall. Die Lösung wird auf einer Gitterlinie t = const st¨ uckweise konstant approximiert durch die Integralmittel u ¨ber eine Gitterweite, sogenannte Zellmittel. Die Anfangswerte sind dabei Z xi+1/2 h 1 ui,0 = h u0 (x)dx . xi−1/2

Dann wird f¨ ur jeden Gitterpunkt ein Riemannproblem (mit einer Sprungstelle in den Gittermittelpunkten) exakt gelöst . Dies ist einfach im linearen Fall. Das Riemannproblem lautet   ul = ui,0 f¨ ur x ≤ xi+ 1 2 ut + (f (u))x = 0, u0 (x) = ur x > xi+ 1  ur = ui+1,0 f¨ 2

F¨ ur konvexes f sind die Lösungen entweder Schocks mit der Geschwindigkeit s =

f (ur ) − f (ul ) ur − ul

oder Verd¨ unnungswellen mit Ausbreitungsgeschwindigkeiten f 0 (ul ) und f 0 (ur ). Die Schocks können nicht interagieren, wenn k sup |f 0 (w)| ≤ h/2 , w

also symbolisch unter der Bedingung “CFL/2“. Im allgemeinen Schritt tritt die Zeitschicht t = tj an die Stelle der Zeitschicht t = 0. Nun integriert man die Differentialgleichung u ¨ber dem Rechteck [xi− 1 , xi+ 1 [×[tj , tj+1 [: 2

1 h

Z

xi+1/2

xi−1/2

u(x, tj+1 )dx− h1

2

Z

xi+1/2

u(x, tj )dx = xi−1/2

− h1

Z

tj+1

Z f (u(xi+ 1 , t))dt− 2

tj

tj+1

tj

f (u(xi− 1 , t))dt 2

und nimmt neue Zellmittel auf der nächsten Zeitschicht, also Z tj+1 Z tj+1 h h 1 ui,j+1 = ui,j − h f (u(xi+ 1 , t)dt − f (u(xi− 1 , t)dt . tj

2

tj

2

Man muß also die Lösung der Riemannprobleme kennen, um die Integrale ausf¨ uhren zu können. Wir setzen weiter strikt konvexes f voraus, und untersuchen Fallnterscheidungen. Man beachte im Folgenden, daß der Fall ul = ur trivial ist (die Lösung ist die Konstante ul ).

59


1. f 0 (ul ) ≥ 0 und f 0 (ur ) ≥ 0. (a) f 0 (ul ) < f 0 (ur ). Wegen der Konvexität von f und ul < ur ist dann die Lösung eine nach rechts laufende Verd¨ unnungswelle. Dies ist die Entropielösung. (b) f 0 (ul ) > f 0 (ur ). Die Lösung ist ein nach rechts laufender Schock mit der Geschwindigkeit f (ur ) − f (ul ) s = . ur − ul Also ist in beiden Fällen u(xi+ 1 , t) = ul . 2

2. f 0 (ul ) ≥ 0 , f 0 (ur ) < 0. Wegen der Konvexität ist nun ul > ur . Also liegt eine nach rechts oder links laufende Schockwelle vor, d.h. ul f¨ ur s ≥ 0 u(xi+ 1 , t) = . u f¨ r ur s ≤ 0 2 3. f 0 (ul ) < 0, f 0 (ur ) ≤ 0. (a) f 0 (ul ) < f 0 (ur ), also wegen der Konvexität ul < ur , d.h. Verd¨ unnungswelle nach links. (b) f 0 (ul ) > f 0 (ur ), also ul > ur , also eine Schockwelle nach links, also ist u(xi+ 1 , t) = ur 2

4. f 0 (ul ) < 0, f 0 (ur ) > 0, also ur > ul , also eine Ved¨ unnungswelle, wobei linker Punkt nach links und rechter Punkt nach rechts läuft, also ist u(xi+ 1 , t) = us , mit f 0 (us ) = 0 . 2

Dies ergibt folgende Verfahrensvorschrift uhi,j+1 = uhi,j − λ(F (uhi,j , uhi+1,j ) − F (uhi−1,j , uhi,j )) mit dem numerischen Fluß  f (v)      f (w) f (v) F (v, w) =   f (w)    f ((f 0 )−1 (0))

, , , , ,

falls falls falls falls sonst

v v v v

≥ ≥ ≤ ≤

w w w w

und und und und

f (v) ≥ f (w) f (v) ≤ f (w) f 0 (v) ≥ 0 f 0 (w) ≤ 0 .

60


Das Enquist-Osher-Schema schliesslich lautet uhi,j+1 = uhi,j − λ(F (uhi,j , uhi+1,j ) − F (uhi−1,j , uhi,j )) mit F (v, w) =

1 (f (v) 2

Z

w

|f 0 (s)|ds) .

+ f (w) − v

Anders formuliert

uhi,j+1

=

uhi,j

Z − λ(

uh i,j

0

Z

uh i+1,j

(f )+ (s)ds +

uh i−1,j

(f 0 )− (s)ds)

uh i,j

wo wie u ¨blich a+ = max{a, 0}, a− = min{a, 0}. ¨ Neben der Erhaltungseigenschaft interessieren in der Praxis auch die Ubertragung der Eigenschaften “TV-Stabilität“ und “L1 -Stabilität“. Die zugehörigen diskreten Grössen sind def

||uh.,j ||L1 =

X

|uhi,j | diskrete L1 -Norm

i∈Z

und def

||uh.,j ||T V =

X

|uhi+1,j − uhi,j |

diskrete Totalvariation

i∈Z

TVD steht dabei f¨ ur “total variation diminishing“. Eine gewisse Klasse von Verfahren hat in der Tat alle diesen w¨ unschenswerten Eigenschaften:

Definition 1.11 Ein Einschrittverfahren uhi,j+1 = Ψ(uhi−m,j , . . . , uhi+m,j ) heißt monoton, wenn Ψ in allen Argumenten eine nichtfallende Funktion ist.

61


Satz 1.7 F¨ ur ein monotones Schema in Erhaltungsform mit m = 1 gilt 1. min{uhi−1,k , uhi,k , uhi+1,k } ≤ uhi,k+1 ≤ max{uhi−1,k , uhi,k , uhi+1,k } also L∞ -Stabilität, 2. h h ||uh.,k+1 − v.,k+1 ||L1 ≤ ||uh.,k − v.,k ||L1 h falls ||uh.,k ||L1 , ||v.,k ||L1 < ∞, also diskrete L1 -Stabilität und

3. ||uh.,k+1 ||T V ≤ ||uh.,k ||T V

falls ||uh.,k ||L1 < ∞

also die TVD-Eigenschaft. Zum Beweis siehe bei Crandall und Madja: Monotone difference approximations for scalar conservation laws. Math. Comp. 34, (1980), 1-21.

Satz 1.8 Gegeben sei ein monotones Schema in Erhaltungsform mit m = 1 und einem stetigen, konsistenten numerischen Fluß F . Dann konvergiert die numerische Lösung gegen die Entropielösung der Erhaltungsgleichung und die Konvergenzordnung ist maximal eins Beweis bei Hyman, Harten und Lax: On finite difference approximations and entropy conditions for shocks. Comm Pure Appl. Math. 19, (1976),297–332. Bemerkung 1.10 Das Friedrichsverfahren ist monoton f¨ ur λ max{|f 0 (u)|} ≤ 1 , u

das Lax-Wendroff-Verfahren mit F (u, v) =

1 (f (u) 2

(v) 2 + f (v)) − λ2 ( f (u)−f ) (v − u) u−v

dagegen nicht. Das Lax-Wendroff-Verfahren hat den grossen Vorteil, f¨ ur glatte Funktionen von zweiter Ordnung konsistent zu sein und unter der CFL-Bedingung auch zu konvergieren. In Schocks

62


entstehen aber starke Oszillationen der numerischen Lösung. Man will nun Verfahren konstruieren, die ebenfalls glatte Lösungen von zweiter Ordnung approximieren, Schocks aber gut reproduzieren, d.h. weder ausglätten, wie es ein Verfahren mit hoher Viskosität (wie Lax-Friedrich) tut, noch Oszillationen erzeugen. Dies gelingt durch Hinzunahme weiterer Gitterpunkte (also m > 1.) Ein möglicher Ansatz sei hier kurz beschrieben. Dies sind die sogenannten “flux-limiter“-Verfahren. Der Ansatz besteht darin, den numerischen Fluß des Verfahrens zu modifizieren durch den Ansatz F (u, v) = F L (u, v) + φ(F H (u, v) − F L (u, v)) . Dabei ist F L z.B. die Flußfunktion eines gen¨ ugend viskosen Verfahrens der Ordnung eins H und F z.B. die Flußfunktion des Lax-Wendroff-Verfahrens. φ ist eine lösungsabhängige Funktion, die in einem Schock null, aber f¨ ur glatte Lösungen eins wird. Zum Messen von Unstetigkeiten benutzt man den Vergleich numerischer Steigungen: θi+ 1 ,j,+ 2

uhi,j − uhi−1,j = h ui−1,j − uhi−2,j

bzw. θi+ 1 ,j,− = 2

uhi+2,j − uhi+1,j uhi+1,j − uhi,j uh

+uh

Das Vorzeichen richtet sich dabei nach dem Vorzeichen von a bzw. f 0 ( i+1,j2 i,j ). In Bereichen, in denen die numerische Lösung die wahre Lösung von zweiter Ordung approximiert und glatt ist, ist θ dann von der Grössenordnung 1 + ∆x, weicht aber nahe einem Schock von 1 stark ab. F¨ ur φ macht man nun einen geeigneten Funktionsansatz, und es ergibt sich folgender Satz: Satz 1.9 Das durch F L gegebene Verfahren sei monoton, konservativ und konsistent von erster Ordnung, das durch F H gegebene Verfahren sei von zweiter Ordnung konsistent f¨ ur glatte Lösungen. Die CFL-Bedingung sei erf¨ ullt. Die Funktion φ erf¨ ulle folgende Eigenschaften: 1. φ ∈ C 1 (U(1)) mit einer geeigneten Umgebung U . 2. φ(1) = 1 . 3. 0 ≤ φ(θ) ≤ 2 , 0 ≤

φ(θ) θ

≤ 2, ∀θ ∈ R.

Dann ist das Verfahren konsistent, konsistent von zweiter Ordnung f¨ ur glatte Lösungen und hat die TVD-Eigenschaft. Folgende Ansätze f¨ ur den flux-limiter φ erf¨ ullen diese Bedingung: 1. φα (θ) = max{0, min{1, αθ}, min{α, θ}} . Dieser Ansatz ist als “superbee“ bekannt. Hier ist α ∈ ]1, 2] fest gewählt.


63

θ+|θ| 2. φ(θ) = 1+|θ| . Dieser Ansatz stammt von van Leer.

Es gibt weitere Verfahren dieser Art, auch f¨ ur Systeme von Erhaltungsgleichungen. Siehe dazu [17], [18].

64


Kapitel 2 Parabolische Rand-Anfangswertprobleme 2.1

Theoretische Grundlagen

Quelle f¨ ur diesen Abschnitt ist [7] und [3]. Bei parabolischen DGLen in zwei freien Veränderlichen ist in jedem Punkt (x, t) des betrachteten Gebietes nur eine charakteristische Richtung vorhanden. Es gibt also f¨ ur solche Gleichungen kein charakteristisches Netz und dementsprechend auch kein Charakteristiken–Verfahren. Wir beginnen die Diskussion mit dem einfachsten Beispiel, der Wärmeleitungsgleichung x ∈ R, t > 0 |g(x)e−|x| | ≤ K Eine Charakteristik mit der Parameterdarstellung kk12 (t) erf¨ ullt hier die DGL (t) ut = uxx u(x, 0) = g(x),

(k20 )2 ≡ 0, d.h. die Charakteristikenschar ist ct c = Scharparameter. Die Anfangswertaufgabe gibt hier die Anfangswerte auf einer charakteristischen Kurve vor! Wenn man sich auf die Lösung mit |u(x, t)e−|x| | ≤ C beschränkt, ist die Anfangswertaufgabe wohlgestellt und ihre Lösung wird gegeben durch ( R∞ (x−τ )2 √1 g(τ )dτ exp − 4t 4πt −∞ u(x, t) = g(x) t=0 65

66

2. Parabolische Rand-Anfangswertprobleme

(vgl. z.B. bei Hellwig, Partielle DGLen, Teubner 1960, Kap. I.4) Aus der Lösungsformel geht hervor, daß f¨ ur jeden noch so kleinen Wert t > 0 das Abhängigkeitsintervall von (x, t) die gesamte x–Achse ist. Man erkennt ferner, daß mit wachsendem t die Lösung u(x, t) zunehmend glatter wird. Das reine Anfangswertproblem der Wärmeleitungsgleichung ist praktisch uninteressant. Diese Gleichung tritt immer im Zusammenhang mit Randanfangswertaufgaben auf, z.B. ut = uxx , u(x, 0) = f (x) u(0, t) = ϕ0 (t),

0 ≤ x ≤ L, 0 0 in der Regel beschränkt. Z.B. gilt Satz 2.3 Die eindeutige schwache Lösung u der parabolischen Randanfangswertaufgabe ∂ u − ∆u ∂t u u(., 0)

=

0 auf Ω×]0, T [

= =

0 auf ∂Ω×]0, T [ u0 mit u0 ∈ L2 (Ω)

erf¨ ullt die Wachstumsbedingung 1

||u(., t)||H k (Ω) ≤ Ct− 2 k ||u0 ||L2 f¨ ur t ≥ δ > 0 mit C = C(δ) .

70


2.2

2.2.1

Differenzenapproximationen fu ¨ r parabolische Gleichungen Der r¨ aumlich eindimensionale Fall

Differenzenverfahren f¨ ur die RAWA der Wärmeleitungsgleichung oder auch f¨ ur die allgemeinere Gleichung ∂ (a(x)ux ) + f (x, t, u) ut = ∂x erhält man durch die Methode der Semidiskretisierung: Wir besprechen hier zunächst die Semidiskretisierung im Raum, die dem Ansatz auch die Bezeichnung “vertikale Linienmethode“ gegeben hat. Man setze

def

v˜i (t) = u(xi , t) und ersetze die räumliche Ableitung durch einen Differenzenquotienten, z.B. u(xi−1 , t) − 2u(xi , t) + u(xi+1 , t) + O((∆x)2 ) (∆x)2 1 ∂ (a(x)ux )(xi , t) = a (u(x , t) − u(x , t)) − a (u(x , t) − u(x , t)) 1 1 i+1 i i i−1 i− ∂x (∆x)2 i+ 2 2 + O((∆x)2 ) uxx (xi , t) =

(oder auch bessere Approximationen) und erhält dann ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung der Form v˙ =

1 Av + F (t, v) (∆x)2

(2.2)

(vi steht f¨ ur die Approximation an v˜i , die durch die Vernachlässigung der O–Terme entsteht) Im Falle ut = uxx mit den Dirichletdaten ϕ0 bzw. ϕ1 bei x = 0 bzw. x = 1 und der Verwendung des symmetrischen Differenzenquotienten wird  A = 0, . . . , 0, 1, −2, 1, 0, . . . , 0 ,

 1   F (t, v) =  (∆x)2  

ϕ0 (t) 0 .. . 0 ϕ1 (t)

      

← Randvorgabe f¨ ur u bei x = 0 und x = 1 ←

Auch in den allgemeineren Fällen entsteht F aus dem Vektor (f (x1 , t, v1 ), . . . , f (xm , t, vm ))T und den Termen, die aus v0 = v˜0 = ϕ0 und vm+1 = v˜m+1 = ϕ1 stammen. m ist dabei die

2.2. Differenzenapproximationen f¨ ur parabolische Gleichungen

71

Anzahl der inneren x–Knoten, auf [0, 1] und ∆x = 1/(m + 1). Die Vektorfunktion F ist ∂ (entsprechend f ) eine in v “glatte” Funktion, d.h. k ∂v F (t, v)k ist nicht sehr groß. Dagegen ist der lineare homogene Teil der DGL v˙ =

1 Av (∆x)2

sehr steif, wenn ∆x klein ist. Die Eigenwerte von 2·

1 A (∆x)2

iπ 1 cos( ) − 1 (∆x)2 m+1

sind

i = 1, . . . , m

4

4 π 1 2 ur x ∈ [0, 1], d.h. ∆x = m+1 ). Im Prinzip kann liegen also in [− (∆x) 2 , −π + 12(m+1)2 · · ·] (f¨ man jedes f¨ ur gewöhnliche DGLen erster Ordnung konvergente Diskretisierungsverfahren auf die gewöhnliche DGL (2.2) anwenden, hat dann aber wegen deren Steifheit mit den u ¨blichen Schwierigkeiten zu rechnen. Wir diskutieren nun einige in diesem Zusammenhang gebräuchliche Verfahren. Wir betrachten folgendes Einschrittverfahren f¨ ur eine DGL y 0 = f (t, y): uhn+1 − uhn = h(αfn+1 + (1 − α)fn )

also in der Notation der MSV ρ(ζ) = ζ − 1 und σ(ζ) = αζ + 1 − α. Dieses Verfahren ist f¨ ur alle α konsistent von der Ordnung 1 und asymptotisch stabil sowie von der Ordnung 2 f¨ ur α = 12 . Wir erhalten f¨ ur α = 0: α = 21 : α = 1:

Euler vorwärts Trapezregel Euler r¨ uckwärts

(A–stabil) (A–stabil)

In diesem Zusammenhang tragen diese Verfahren die Bezeichnung • explizites Differenzenverfahren • Crank–Nicholson–Verfahren • voll implizites Differenzenverfahren Es ergibt sich bei diesem Verfahren folgende Verkn¨ upfung der Gitterfunktionswerte: 1 •

-2 •

1 •

1 − α •1

-2 •

1 •

α

Zeitschicht n + 1 Zeitschicht n

Setzt man 

   uh1,n v1 (tn )    ..  .. uhn =  = .  . vm (tn ) uhm,n

uhi,j = Näherung f¨ ur u(xi , tj )

72


dann erhält man f¨ ur ut = uxx , u(0, t) = u(1, t) = 0 folgendes Gleichungssystem f¨ ur uhn+1 : (I − α mit

∆t ∆t A)uhn+1 = (I + (1 − α) A)uhn 2 (∆x) (∆x)2

A = tridiag 0, . . . , 0, 1, −2, 1, 0, . . . , 0 .

Die Matrix auf der linken Seite ist f¨ ur α > 0 irreduzibel diagonaldominant und im Falle h α = 0 die Identität, d.h. un+1 ist f¨ ur α ≥ 0 wohldefiniert. Aufgrund der Herleitung ist klar, daß das Verfahren konsistent ist von der Ordnung ∆t + (∆x)2 f¨ ur α ≥ 0, α 6= 21 und (∆t)2 + (∆x)2 f¨ ur α = 12 . F¨ ur die praktische Brauchbarkeit ist aber nicht nur die Ordnungsaussage wichtig, sondern auch die G¨ ute der Approximation ∆t 1 + (1 − α) (∆x) 2 λj

1−

∆t α (∆x) 2 λj

∆t

f¨ ur e (∆x)2

λj

wobei λj f¨ ur einen beliebigen Eigenwert von A steht, d.h. h 4∆t i ∆t λj ∈≈ − , −π∆t (∆x)2 (∆x)2 Damit ist bereits klar, daß das explizite Verfahren nur f¨ ur ∆t/(∆x)2 1 und auch das 2 Crank–Nicholson–Verfahren nur f¨ ur ∆t/(∆x) / 1 brauchbar sein kann, während das vollimplizite Verfahren keine solche Schrittweiteneinschränkung aufweist. Speziell f¨ ur den einfachen Fall ut = uxx kann man f¨ ur die hergeleiteten Verfahren direkt einen Konvergenzbeweis erhalten. Zu diesem Zweck untersuchen wir zunächst den lokalen Diskretisierungsfehler: Es ist (∆t)2 uj,n+1 − uj,n = ∆t · (ut )j,n + (utt )j,n + O((∆t)3 ) 2 Andererseits gilt aufgrund der DGL ut = uxx ⇒ utt = uxxt = utxx = uxxxx d.h.

∆t2 (uxxxx )j,n + O((∆t)3 ). 2 Ebenso erhält man, wenn man die Entwicklung f¨ ur den Punkt (xj , tn ) an der Stelle (xj , tn+1 ) ausf¨ uhrt ∆t2 uj,n+1 − uj,n = ∆t(uxx )j,n+1 − (uxxxx )j,n+1 + O((∆t)3 ). 2 F¨ ur die Diskretisierung der räumlichen Ableitung gilt uj,n+1 − uj,n = ∆t(uxx )j,n +

(uxx )j,m =

uj+1,m − 2uj,m + uj−1,m (∆x)2 − (uxxxx )j,m + O((∆x)4 ) (∆x)2 12

73


f¨ ur m ∈ N. (Hierbei ist allerdings vorausgesetzt, daß u ∈ C 6 ) Einsetzen in die obige Gleichung ergibt mit ρ uj,n+1 − uj,n

def

=

=

=

∆t (∆x)2 ∆t (∆x)2 ρ(uj+1,n − 2uj,n + uj−1,n ) + ∆t( − )(uxxxx )j,n 2 12 +∆t(O(∆x4 ) + O(∆t2 )) ∆t (∆x)2 ρ(uj+1,n+1 − 2uj,n+1 + uj−1,n+1 ) − ∆t( + )(uxxxx )j,n+1 2 12 +∆t(O(∆x4 ) + O(∆t2 ))

Multiplikation der ersten Gleichung mit 1 − α, der zweite mit α und Addition ergibt uj,n+1 − uj,n = ρ (1 − α)(uj+1,n − 2uj,n + uj−1,n ) + α(uj+1,n+1 − 2uj,n+1 + uj−1,n+1 )  (∆t)2  + 2 (1 − α)(uxxxx )j,n − α(uxxxx )j,n+1    2 def (∆x) −∆t 12 (1 − α)(uxxxx )j,n + α(uxxxx )j,n+1 = ∆t τj,n+1     +∆t O((∆t2 )) + O((∆x)4 ) Man erkennt, daß f¨ ur α = 21 und f¨ ur α = 0, ρ = 16 der lokale Diskretisierungsfehler eine spezielle Form annimmt, nämlich   O((∆t)2 ) + O((∆x)2 ) α = 21 , ρ beliebig O((∆t)2 ) + O((∆x)4 ) α = 0, ρ = 16 τj,n+1 =  O(∆t) + O((∆x)2 ) sonst Setzen wir def

εj,n = uhj,n − uj,n ,

def

εn = (ε1,n , . . . , εm,n )T ,

def

τn = (τ1,n , . . . , τm,n )

so ergibt sich schließlich die Rekursionsformel f¨ ur den globalen Diskretisierungsfehler (I − αρA)εn+1 = (I + (1 − α)ρA)εn + ∆t · τn+1 ε0 = 0 Die Matrix I −αρA ist f¨ ur α > 0 irreduzibel diagonaldominant und f¨ ur α = 0 die Identität. Wir erhalten εn+1 = (I − αρA)−1 (I + (1 − α)ρA)εn + ∆t · (I − αρA)−1 τn+1 Sei A=V ΛVT

mit reell orthogonalem V und den Eigenwerten Λ = diag (λ1 , . . . , λm ) von A iπ λi = 2 cos( m+1 ) − 1 ∈] − 4, 0[

74


Dann wird V T εn+1 = (I − αρΛ)−1 (I + (1 − α)ρΛ)(V T εn ) + ∆t(I − αρΛ)−1 V T τn+1 F¨ ur die Normabschätzung erweist sich eine skalierte k · k2 -Norm als zweckmäßig, weil f¨ ur m → ∞ (d.h. ∆x → 0) in der Regel auch kτn k2 → ∞. Sei also im Folgenden 1 def kxk = √ kxk2 m (Wenn xi = x(ti ) und ti − ti+1 = kxk =

m X

x2i m1

1 2

=

i=1

f¨ ur x ∈ Rm

1 , m+1

m X

“diskrete L2 –Norm”

x0 = xm+1 = 0, t0 = 0, dann ist

1 x2i ( m+1

+

1

1 ) m(m+1)

2

=

i=0

Z

1 2

x (t)dt +

0

1

O( m1 )

2

d.h. dies ist in der vorliegenden Anwendung ein vern¨ unftiges Größenmaß f¨ ur die Länge von x). Damit ergibt sich 1 + (1 − α)ρλ ∆t i kεn+1 k ≤ max kτn+1 k kεn k + i 1 − αρλi 1 − αρλ1 Wegen der Wahl von k · k ist f¨ ur ∆x → 0 f¨ ur u ∈ C 6 (G)   O((∆t)2 ) + O((∆x)2 ) α = 12 , O((∆t)2 ) + O((∆x)4 ) α = 0, τn+1 =  O(∆t) + O((∆x)2 ) sonst

ρ beliebig ρ = 16

Zunächst ist immer 1 − αρλ1 > 1. Wir wissen bereits aus der Diskussion der Konvergenz von Einschrittverfahren f¨ ur gewöhnliche DGLen, daß der Vorfaktor von kεn k die Form 1 + O(∆t) haben muß, weil anders f¨ ur ∆t → 0, n∆t → T keine Konvergenz eintreten kann. Wir diskutieren deshalb nun diesen Vorfaktor. Es gilt f¨ ur −4 < x < 0 (x entspricht λi ) α=0 0 1

≥0

Widerspruch!

Ferner ist k(I + (1 − α)ρA)k∞ = 2(1 − α)ρ + |1 − 2(1 − α)ρ| = 1 falls ρ≤

1 2(1 − α)

0 ≤ α < 1,

sonst ρ beliebig.

Dies ergibt: Satz 2.5 Die Aussage von Satz 2.4 gilt auch in der Norm k · k∞ , falls die Bedingung an die Schrittweitenkopplung ersetzt wird durch ρ=

∆t 1 ≤ 2 (∆x) 2(1 − α)

f¨ ur 0 ≤ α < 1

Bemerkung 2.1 Unter den Bedingungen des Satzes 2.5 erf¨ ullt die Gitterfunktion uhij das diskrete Maximum–Minimum–Prinzip, das dem kontinuierlichen Maximum–Minimum– Prinzip von Satz 2.1 entspricht min max (uhi,j ) =

0≤i≤m 0≤j≤n

min max {uh0,j , uhm+1,j , uhi,0 }

0≤i≤m 0≤j≤n

(Den Beweis kann man induktiv u uhren.) ¨ber die Zeitschichten f¨

77


Man kann auch f¨ ur variable Koeffizienten einen direkten Konvergenzbeweis f¨ ur die Standarddiskretisierung durchf¨ uhren, ein Beispiel einer solchen Vorgehensweise sei hier angef¨ ugt: Beispiel 2.2 ut u(x, 0) u(0, t) u(L, t)

= = = =

a(x, t)uxx 0 ≤ x ≤ L, f (x) ϕ0 (t) mit f (0) = ϕ0 (0), ϕ1 (t) mit f (L) = ϕ1 (0)

Voraussetzungen: 0 < a∗ ≤ a(x, t) ≤ a∗∗ und ¯ = [0, L] × [0, T ]. (x, t) ∈ G

0≤t≤T

k∇a(x, t)k ≤ β f¨ ur alle

Wir betrachten wieder das u urzung δ 2 vi = (vi+1 − ¨bliche Einschrittverfahren (mit der Abk¨ 2 2vi + vi−1 )/(∆x) )     ϕ0 (tn+1 ) ϕ0 (tn )   0   0         . . h h 2 h 2 h +(1−α)  ) uj,n+1 −uj,n = αρaj,n+1 δ uj,n+1 +(1−α)ρaj,n δ uj,n +ρ(α      . .        0 0  ϕ1 (tn+1 ) ϕ1 (tn ) mit

1≤j≤N 0≤n≤M −1 def

wo ρ = ∆t/(∆x)2 ,

0 ≤ α ≤ 1,

∆x =

L , N +1

∆t =

T . M

Mit γj,n An

def

=

ρaj,n

def

tridiag (−γj,n , 2γj,n , −γj,n )

=

j

εj,n τn

def

=

uj,n − uhj,n

def

(τ1,n , . . . , τN,n )T

=

∈ RN ×N

ergibt sich nun (I + αAn+1 )εn+1 = (I − (1 − α)An )εn + ∆t τ.,n+1 . F¨ ur τn gilt dabei die gleiche Abschätzung wie im Fall ut = uxx (s.o.). Verlangt man nun ρ≤

1 2a∗∗ (1

− α)

,

78


so beweist man wörtlich wie zuvor die Konvergenz in k · k∞ . Zum Beweis der Konvergenz in √1N k · k2 benutzt man, daß An ähnlich ist zu der symmetrischen Matrix √ √ def tridiag (− γj−1,n γj,n , 2γj,n , − γj,n γj+1,n ) = Bn j

¨ mittels der diagonalen Ahnlichkeitstransformation Bn = Dn An Dn−1 q q Dn = diag(1, γ2,n /γ1,n , . . . , γN,n /γ1,n ). Mit Cn Γn εñ

def

= =

def

=

(I − (1 − α)Bn )(I + αBn )−1 −1 − I)/∆t (Dn Dn+1 Dn (I + αAn )εn

wird dann εñ+1 = (I + ∆tΓn )−1 Cn εñ + ∆t(I + ∆tΓn )−1 Dn τ.,n+1 1 kCn k ≤ 1, kΓn k ≤ K f¨ ur ρ ≤ 2a1 (1−α) wenn 0 ≤ α < 1/2, ρ beliebig f¨ ur α ≥ 1/2, womit man wiederum die Konvergenz direkt gezeigt hat.

Bisher haben wir nur die allereinfachsten Diskretisierungen f¨ ur die semidiskretisierte DGL v˙ =

1 Av + F (t, v) (∆x)2

besprochen. Selbstverständlich ist jedes (Zeit-)Diskretisierungsverfahren, das auf der negativen reellen Achse absolut stabil (also A0 –stabil) ist, im Prinzip geeignet. Besonders das Verfahren der r¨ uckwärtsgenommenen Differenzenquotienten (BDF, Gear–Formeln) bietet sich an. Da die betrachtete Raumdiskretisierung nur von 2. Ordnung konsistent ist, ist in diesem Zusammenhang nur das 2–Schritt–Verfahren 2. Ordnung interessant: 3 (uhj,n+1 2

− uhj,n ) − 12 (uhj,n − uhj,n−1 ) = ρ(uhj+1,n+1 − 2uhj,n+1 + uhj−1,n+1 ) • •

uh0,n+1 = ϕ0 (tn+1 ), uhi,0 = f (xi ) ∆t ρ = (∆x) 2

uhm+1,n+1 = ϕ1 (tn+1 )

•

•n+1 n

n−1 • Dieses Verfahren ist konsistent und konvergent in der diskreten L2 –Norm mit einem Fehler O((∆x)2 ) + O((∆t)2 ) ohne Einschränkung an ρ. Sein Nachteil besteht darin, daß man die erste Zeitschicht n = 1 separat berechnen muß (wie bei jedem 2–Schritt–Verfahren). Man könnte nat¨ urlich daran denken, die durch Semidiskretisierung entstandene DGL durch ein

79


explizites Mehrschrittverfahren der Ordnung 2 (in ∆t) zu integrieren, weil man sich dadurch die Auflösung linearer Gleichungssysteme spart. Eine naheliegende Methode wäre die Anwendung der Mittelpunktregel: uhn+1 = uhn−1 + 2∆t f (tn , uhn ), in der hier vorliegenden Notation uhj,n+1 = uhj,n−1 + 2ρ(uhj+1,n − 2uhj,n + uhj−1,n )

1≤j≤m n = 1, 2, . . .

Wir wissen aber bereits, daß die explizite Mittelpunktregel kein Intervall absoluter Stabilität der Form [−α, 0[ besitzt. Dies wirkt sich so aus, daß f¨ ur diese Anwendung mit 2 ∆x → 0, ∆t → 0 f¨ ur keinen Wert von ρ = ∆t/(∆x) Konvergenz eintritt. (Dies ist kein Widerspruch zur asymptotischen Stabilität (D–Stabilität) der Mittelpunktregel. Bei festem ∆x > 0 konvergiert das Verfahren mit ∆t → 0 gegen die Lösung der semidiskretisierten DGL). Durch eine scheinbar geringf¨ ugige Modifikation des Verfahrens gelangt man zu einemdurch-

aus brauchbaren 2–Schrittverfahren der Ordnung O Verfahren von Du Fort und Frankel.

∆t ∆x

2

+ O (∆t)2 + (∆x)2 , dem

Man ersetze uhj,n durch den Mittelwert 12 (uhj,n+1 + uhj,n−1 ): uhj,n+1 = uhj,n−1 + 2ρ(uhj+1,n − uhj,n+1 − uhj,n−1 + uhj−1,n ) j = 1, . . . , m, n = 1, 2, . . . Dieses Verfahren ist allerdings nur f¨ ur lim ∆t→0 ∆x→0

∆t ∆x

def

= 0 konsistent zu ut = uxx :

Es ist nämlich 1 (∆t)2 (uj,n+1 − uj,n−1 ) = (ut )j,n + (uttt )j,n + O((∆t)4 ) 2∆t 6 1 (∆x)2 (u − 2u + u ) = (u ) + (uxxxx )j,n + O((∆x)4 ) j+1,n j,n j−1,n xx j,n 2 (∆x) 12 2 2uj,n − (uj,n+1 + uj,n−1 ) = −(∆t) (utt )j,n + O((∆t)4 ) d.h. 1 (uj,n+1 2∆t

− uj,n−1 ) −

d.h. f¨ ur lim ∆t→0 ∆x→0

1 (uj+1,n (∆x)2

− uj,n+1 − uj,n−1 + uj−1,n ) = 2 ∆t = (ut )j,n − (uxx )j,n + ∆x (utt )j,n + O((∆t)2 + (∆x)2 +

∆t ∆x

= β 6= 0 ist das Verfahren konsistent zu ut − uxx + β 2 utt = 0

(hyperbolische Gleichung)

(∆t)4 ) (∆x)2

80


und zwar in (∆t)2 + (∆x)2 . Zum Stabilitätsnachweis vgl. Kapitel 3.

∆x

z • 2ρ

}|

o •−1−2ρ ∆t {

•

2ρ

(j,n)

•1−2ρ

Abbildung 2.2

Bemerkung 2.2 Bei der Diskretisierung von von Neumann oder Robin-Randbedingungen benutzt man gerne die Methode der versetzten Gitter: Es ist dann xj = (j + 21 )h,

−1 ≤ j ≤ N

und die Richtungsableitungen werden durch den symmetrischen Differenzenquotienten der Werte auf den beiden äusseren Gitterlinien und die Funktionswerte durch die Mittelwerte der Werte auf den beiden äusseren Gitterlinien angenähert. Man hat dann auch in diesen Werten Konsistenz der Ordnung 2. Oder man benutzt zwei zuätzliche äussere Gitterlinien und dazu die Differentialgleichung auch auf den Rändern x = x0 und x = xN .

2.2.2

R¨ aumlich mehrdimensionale Probleme und damit verbundene Schwierigkeiten

Die gleiche Vorgehensweise ist wörtlich u ¨bertragbar auf den räumlich mehrdimensionalen Fall. Da man in der Regel mit einem impliziten Verfahren arbeiten wird, ist dann pro Zeitschritt ein sehr grosses lineares (oder im Fall einer nichtlinearen Aufgabe sogar nichtlineares) Gleichungssystem zu lösen, das nun nicht mehr die angenehme Struktur einer tridiagonalen oder doch zumindest sehr schmalen Bandmatrix hat. Wenn keine gemischten partiellen Ableitungen vorliegen, kann man dann vorteilhaft die Technik der sogenannten “Operator-Faktorisierung“ anwenden. Im Zusammenhang mit parabolischen Problemen ist dies als sogenannte ADI-Methode bekannt. Wir beschreiben kurz den zweidimensionalen Fall mit dem Crank-Nicholson-Verfahren: Wir gehen aus von ut = uxx + uyy u(t, x, y) = 0 u(0, x, y) = u0

(x, y) ∈ ]0, 1[×]0, 1[, falls x ∈ {0, 1} oder y ∈ {0, 1} x, y ∈ [0, 1] × [0, 1]

(2.3)

81


und benutzen die gleiche Vorgehensweise wie im eindimensionalen Fall, und ersetzen ∆u auf der rechten Seite von (2.3) durch den F¨ unfpunkteoperator. Wir gelangen zu folgendem linearen Gleichungssystem (mit ∆x = ∆y und ρ = ∆t/(∆x)2 ) (I − ρ2 A)u(n+1) = (I + ρ2 A)u(n) Dabei ist u(n) der Vektor der inneren räumlichen Gitterwerte, also von der Länge m2 mit 1 ∆x = ∆y = m+1 . A ist die bekannte Block–Tridiagonalmatrix 

A11 A12

0

···

0 .. .

  A21 A22 A23 0  . . . .. .. .. A= 0  0  . . . . .. .. ..  .. Am−1,m 0 · · · 0 Am,m−1 Am,m

       

Aij = +Im i 6= j Aii = tridiag (+1, −4, +1) Pro Zeitschritt hätte man also einen ganz beträchtlichen Rechenaufwand zu leisten. Die Idee des Verfahrens der alternierenden Richtungen ist die folgende: Obiges Gleichungssystem ist die Zusammenfassung der m2 Gleichungen 1 ≤ i, j ≤ m (uhij )(n+1) − (uhij )(n) = ∆t o 1 n h (n+1) h (n+1) h (n+1) h (n) h (n) h (n) (u ) − 2(u ) + (u ) + (u ) − 2(u ) + (u ) + i−1,j i,j i+1,j i−1,j i,j i+1,j 2(∆x)2 o 1 n h (n+1) h (n+1) h (n+1) h (n) h (n) h (n) (u ) − 2(u ) + (u ) + (u ) − 2(u ) + (u ) i,j−1 i,j i,j+1 i,j−1 i,j i,j+1 2(∆y)2

Wenn wir die Differenzenoperatoren zweiter Ordnung in der Richtung x mit δxx und in y−Richtung entsprechend δyy schreiben, dann heißt dies (uhij )(n+1) = (uhij )(n) + ρ2 (δxx (uhij )(n+1) + δxx (uhij )(n) ) + ρ2 (δyy (uhij )(n+1) + δyy (uhij )(n) ) . Da diese Approximation von zweiter Ordnung in ∆t und ∆x, ∆y konsistent ist, stört es die Konsistenzordnung nicht, wenn wir diese Formel abändern zu (uhij )(n+1) = (uhij )(n) + ρ2 (δxx (uhij )(n+1) + δxx (uhij )(n) ) + ρ2 (δyy (uhij )(n+1) + δyy (uhij )(n) ) 2

+ ρ4 δxx δyy ((uhij )(n) − (uhij )(n+1) ) Die Operatoren δxx und δyy sind linear und vertauschbar. Deshalb erhält man (1 − %2 δxx ) (1 − %2 δyy )(uhij )(n+1) = (1 + %2 δyy ) (1 + %2 δxx )((uhij )(n)

(2.4)

Die Idee, dieses Gleichungssystem (das explizit ausgeschrieben eher komplizierter ist als das urspr¨ ungliche) ökonomisch zu lösen, besteht nun in der Einf¨ uhrung von Zwischengrößen.

82


Wenn wir die inneren Gitterpunkte zeilenweise numerieren, ist das lineare Gleichungssystem y 6 1

(1 − %2 δxx )(uhij )(n+ 2 ) = (1 + %2 δxx )(uhij )(n)

1 ≤ i, j ≤ m • • •

δxx -x

tridiagonal. Danach numerieren wir die Variablen nun spaltenweise und das Gleichungssystem (1 − %2 δyy )(uhij )(n+1) = (1 +

1 % h (n+ 2 ) δ )(u ) yy ij 2

y 6 • δyy 1 ≤ i, j ≤ m • •

-x

ist erneut tridiagonal. Damit ist aber die Lösung von (2.4) bestimmt. Dieses Verfahren ist konsistent von zweiter Ordnung in ∆t, ∆x, ∆y. Eine genauere mathematische Analyse der Konvergenzbedingungen erfolgt in Kapitel 3. Solche (approximativen) FaktorisierungsMethoden sind auch f¨ ur andere Problemstellungen bekannt und ein wesentliches Hilfsmittel, um räumlich mehrdimensionale Probleme praktisch behandelbar zu machen. Die Faktorisierung ist jedoch unmöglich, wenn gemischte partielle Ableitungen vorliegen. Einen elliptischen Differentialoperator zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man zwar stets auf die Normalform −∆u transformieren, bei variablen Koeffizienten ist dies jedoch nicht möglich. Um den hohen Aufwand durch die Lösung der extrem grossen Gleichungssysteme im allgemeinen mehrdimensionalen Fall zu vermeiden, muß man sich auf explizite Verfahren beschränken. Es ist deshalb von Interesse, daß es explizite Integrationsverfahren f¨ ur gewöhnliche Differentialgleichungen gibt, die ein sehr grosses Gebiet der absoluten Stabilität besitzen, sodaß man auf eine Zeitschrittweitenrestriktion ∆t ≤ C (∆x)2 mit einer grossen Konstanten C gef¨ uhrt wird. Solche Verfahren wurden von Sommeijer und van der Houwen angegeben. (P.J. van der Houwen and B.P. Sommeijer: On the internal stability of explicit, m-stage Runge-Kutta methods for large m-values. Z. Angew. Math. Mech. 60 (1980), pp.479-485. J.G. Verwer, W.H. Hundsdorfer und B.P. Sommeijer: Convergence properties of the Runge-Kutta-Chebyshev method. Numer. Math. 57 (1990), pp.157-178.) Es sind explizite Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung mit einer hohen Stufenzahl m, die auf der Quadratur mit den Tschebyscheff-Knoten aufbauen. Hier wächst C quadratisch mit der Stufenzahl. Bemerkung 2.3 Einerseits stellt die vertikale Linienmethode eine einfache und wirksame Lösungsmöglichkeit f¨ ur parabolische Randanfangswertprobleme dar, da sie die hoch entwickelten Techniken zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen f¨ ur den Bereich der

83


partiellen Differentialgleichungen nutzbar macht. Andererseits besizt sie auch einen wesentlichen Nachteil: In der Praxis wird man kaum mit äquidistanten Gittern arbeiten können und die Bereiche, in denen zur gen¨ ugend genauen Beschreibung der Lösung ein verfeinertes Gitter notwendig ist, werden in der Regel zeitabhängig sein. Dem steht aber die zeitunabhängige Vorwahl der “senkrechten“ Linien entgegen, und man muss bei einer Verschiebung der Gitterverfeinerung zu Interpolationsmethoden greifen, um das neue Gitter zu generieren. Die Interpolationsfehler können aber ung¨ unstige Auswirkungen auf die numerische Stabilität und Fehlerdämpfung der Methode haben

2.2.3

Ein nichtlineares parabolisches Problem ERG

In den vorausgegangenen Abschnitten und auch in der allgemeinen Theorie von Kapitel 3 werden nur lineare Probleme behandelt. Hier soll an einem speziellen Fall gezeigt werden, wie auch nichtlineare Probleme analysiert und numerisch gelöst werden können. Wir gehen aus von folgender Aufgabenstellung ut u(x, 0) u(0, t) u(L, t) Es gelte f¨ ur

= = = =

0 ≤ x ≤ L, 0≤x≤L

ψ(x, t, u, ux , uxx ), f (x) ϕ0 (t) ϕ1 (t)

0≤t≤T

t ≥ 0.

ψ : [0, L] × [0, T ] × R3 → R 0 < γ0 ≤ ∂5 ψ(· · ·) ≤ γ1 ,

|∂3 ψ(· · ·)|, |∂4 ψ(· · ·)| ≤ K.

Es sei xj tn %

= = def

=

j∆x j = 0, . . . , M + 1, M + 1 = T n∆t, n = 0, . . . , N, N = ∆t ∆t >0 fest. (∆x)2

L ∆x

Semidiskretisierung und Anwendung eines linearen Einschrittverfahren auf die entstehende steife nichtlineare gewöhnliche DGL (f¨ ur M Funktionen) f¨ uhrt auf uhj,n+1 = uhj,n + ∆t(αψj,N +1 + (1 − α)ψj,n ), mit ψj,k = ψ(xj , tk , uhj,k ,

1 ≤ j ≤ M,

n = 0, . . . , N − 1

uhj+1,k − uhj−1,k uhj+1,k − 2uhj,k + uhj−1,k , ). 2∆x (∆x)2

Der Abschneidefehler ergibt sich wie im linearen Fall zu O(∆t + (∆x)2 ) f¨ ur τj,n+1 = 2 2 O((∆t) + (∆x) ) f¨ ur

α 6= α=

1 2 1 2

84


(Taylorentwicklung von ψ). Somit f¨ ur εj,k

def

=

εj,n+1

=

εj,0 ε0,n

= =

uj,k − uhj,k εj+1,n+1 − εj−1,n+1 εj,n + ∆t α ∂3 ψ(· · ·)εj,n+1 + ∂4 ψ(· · ·) 2∆x εj+1,n+1 − 2εj,n+1 + εj−1,n+1 +∂5 ψ(· · ·) (∆x)2 εj+1,n − εj−1,n +(1 − α) ∂3 ψ(· · ·)εj,n + ∂4 ψ(· · ·) 2∆x εj+1,n − 2εj,n + εj−1,n + ∆t τj,n+1 +∂5 ψ(· · ·) (∆x)2 0, εM +1,n = 0.

Die partiellen Abbleitungen von ψ sind dabei an geeigneten Zwischenstellen zu nehmen. In Vektor-Matrix-Schreibweise ergibt dies An+1 εn+1 = Bn εn + ∆t τn Dabei ist An+1 = tridiag +α%(∆x/2)∂4 ψ(· · ·) − α%∂5 ψ(· · ·), 1 − α(∆x)2 %∂3 ψ(· · ·) + 2α%∂5 ψ(· · ·), − α%(∆x/2)∂4 ψ(· · ·) − α%∂5 ψ(· · ·) Bn = tridiag −(1 − α)%(∆x/2)∂4 ψ(· · ·) + (1 − α)%∂5 ψ(· · ·), 1 + (1 − α)(∆x)2 %∂3 ψ(· · ·) − 2%∂5 ψ(· · ·)(1 − α), (1 − α)%(∆x/2)∂4 ψ(· · ·) + (1 − α)%∂5 ψ(· · ·) . Die Argumente in den partiellen Ableitungen von ψ stimmen dabei jeweils in einer Zeile u ¨berein. Es gelte ∆x < min{1, 2γ0 /K}, ∆t < 1/K. Dann ist An+1 eine irreduzibel diagonaldominante L–Matrix, also eine M –Matrix. ⇒

An+1 e ≥ (1 − α%(∆x)2 K)e, e = (1, . . . , 1)T e ≥ (1 − α%(∆x)2 K)A−1 n+1 e

d.h. kA−1 n+1 k∞ ≤

1 1 − α∆tK

und kBn k∞ ≤ 1 + (1 − α)∆tK.

85


Die letzte Abschätzung setzt voraus, daß 1 − %(1 − α)(2γ1 + (∆x)2 K) ≥ 0 d.h. %≤ d.h. ∆t ≤

1 2(1 − α)(γ1 + (∆x)2 K/2) (∆x)2 . 2(1 − α)(γ1 + (∆x)2 K/2)

Diese Bedingung ist nicht wesentlich stärker als im linearen Fall. Im ganzen hat man damit kεn+1 k∞ ≤

1 + (1 − α)K∆t 1 kεn k∞ + ∆t kτn k∞ 1 − α∆tK 1 − α∆tK

d.h. Konvergenz in k · k∞ von der Ordnung von τn . Man beachte, daß f¨ ur K γ0 schon ∆x sehr klein gewählt werden muß. Die Forderung an ∆t ist dann außer im “vollimpliziten” Fall (Euler r¨ uckwärts) extrem restriktiv. Man bezeichnet die Gleichung in diesem Fall als Konvektions- Diffusionsgleichung (vom praktischen Standpunkt aus verhält sich die Gleichung wie eine hyperbolische). F¨ ur diesen Gleichungstyp gibt es speziell angepaßte Verfahren, die die ung¨ unstige Schrittweitenforderung vermeiden. Man benutzt dabei f¨ ur die Diskretisierung von ux nicht den symmetrischen Differenzenquotienten zweiter Ordnung, sondern eine Linearkombination (1 − ϑj )

uj − uj−1 uj+1 − uj + ϑj ∆x ∆x

Ein g¨ unstiger Wert f¨ ur ϑj ist max{ 21 , 1 − ∂5 ψj,n /(∆x∂4 ψj,n )} ϑj = min{ 21 , ∂5 ψj,n /(∆x|∂4 ψj,n |)}

f¨ ur f¨ ur

∂4 ψj,n ≥ 0 ∂4 ψj,n < 0.

86

2.3


Galerkin–Verfahren fu ¨ r Randanfangswertaufgaben

Das Konzept der Semidiskretisierung gilt heute allgemein als bestes Mittel zur Lösung von Randanfangswertaufgaben partieller Differentialgleichungen, bei denen eine Veränderliche die Rolle der Zeit spielt (d.h. die Lösungen verhalten sich als Funktionen dieser Veränderlichen “stabil”). Die in Abschnitt 2.2 betrachtete Form der Methode (Diskretisierung und Differenzenquotienten) erfordert aber letztlich, daß das Gebiet in den Raumvariablen von einfacher Gestalt ist (Vereinigung von Rechtecksgebieten), weil man sonst die gleichen Probleme wie bei der Lösung elliptischer RWA mit Differenzenformeln auf Nichtrechtecksgebieten bekommt. Diese Schwierigkeit wird umgangen bei der Galerkinmethode, bei der die partielle DGL bzgl. der Raumvariablen mittels der Methode der finiten Elemente diskretisiert wird. Ausgangspunkt ist eine parabolische oder hyperbolische RAWA −ut (x, t) = Lu(x, t) + f (x, t) (x, t) ∈ B×]0, T ] (−utt ((x, t)) u(x, 0) = u0 (x) x∈B (ut (x, 0) = u1 (x)) x∈B u(x, t) = ψ(x, t) x ∈ ∂B, t ∈]0, T ]. Dabei ist B ein wegzusammenhängendes Lipschitzgebiet in Rd (d = 1, 2, 3), nicht notwendig einfach zusammenhängend, mit st¨ uckweise glattem Rand ∂B und L ein linearer, gleichmäßig elliptischer Differentialoperator (bzgl. x), d.h. (Lu, v) = [u, v],

[., .] Skalarprodukt

f¨ ur u, v ∈ DL , wobei DL eine dichte Teilmenge eines geeigneten Hilbertraumes H ⊂ L2 (B) und (., .) das L2 -Skalarprodukt auf B ist. (Auch semilineare Probleme lassen sich leicht behandeln, wie in HNMI beschrieben.) F¨ ur unsere Anwendungen ist H stets ein Sobolev-Raum, also etwa H01 (B). Inhomogene Randwerte werden dann in die Ansatzfunktionen eingearbeitet. Wir betrachten im Folgenden den Fall ψ ≡ 0. Man wählt nun wieder eine Schar endlich-dimensionaler Teilräume Sh ⊂ H mit Scharparameter 0 < h ≤ h0 und betrachtet die schwache Form der DGL und ihre Semidiskretisierung: −(ut , v) = (Lu, v) + (f, v) 0 ≤ t ≤ T,

∀v ∈ H

bzw. mit def Pn uh = αi (t)ϕi (x), n = dim Sh , {ϕ1 , ..., ϕn } Basis von Sh Pi=1 P n −( i=1 α˙ i ϕi , ϕj ) = [ ni=1 αi ϕi , ϕj ] + (f, ϕj ), j = 1, ..., n.

87

2.3. Galerkin–Verfahren f¨ ur Randanfangswertaufgaben

(Im hyperbolischen Fall erhält man entsprechend eine DGL 2. Ordnung n n X X −( α ¨ i ϕ i , ϕj ) = [ αi ϕi , ϕj ] + (f, ϕj ). i=1

i=1

Aus den Anfangsvorgaben f¨ ur t = 0 erhält man die Anfangswerte f¨ ur αi (0) (und α˙ i (0) im hyperbolischen Fall). Man erhält damit eine Anfangswertaufgabe f¨ ur ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster (oder zweiter) Ordnung

(bzw.

−M a(t) ˙ = Ka(t) + F (t), − Ma ¨(t) = Ka(t) + F (t),

a(0) = a0 a(0) = a0 ,

a(0) ˙ = a1 ).

Wenn die Koeffizienten des Differentialoperators L nicht von t abhängen, sind M und K konstante Matrizen und F der Vektor F (t) = ((f (., t), ϕj ))nj=1 . M ist die sogenannte Massenmatrix und K die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Element–Ansatzes: Mij = (ϕi , ϕj ), Kij = [ϕi , ϕj ].

Finite–

M und K sind beide symmetrisch und positiv definit und bei Verwendung eines FiniteElement-Ansatzes d¨ unn besetzt (bandförmig). Die Lösungen der gewöhnlichen DGL −M a(t) ˙ = Ka(t),

a(0) = a0 ,

können dargestellt werden in der Form a(t) =

n X

zj eλj t

j=1

wobei z1 , ..., zn geeignete konstante Vektoren und λj die Eigenwerte des verallgemeinerten Eigenwertproblems −λM x = Kx sind. Diese Eigenwerte sind sämtlich reell und negativ und der betragsgrößte hat die Größenordnung np wobei p die Ordnung des Differentialoperators ist, d.h. die Differentialgleichung ist f¨ ur größeres n sehr steif. Entsprechendes gilt f¨ ur die Lösung von −M a ¨ = Ka (zugehörige Eigenwerte

− λ2 M x = Kx)

vgl. dazu die Ausf¨ uhrungen in Kapitel 1. Die Ordnung der Zeitdiskretisierung der gewöhnlichen DGL paßt man der Ordnung der Raumdiskretisierung an.

88


Z.B. bei d = 1 (ut = uxx z.B) und kubischen Splines als Ansatzfunktionen (mit einem Approximationsfehler O(∆x4 ) in der L2 -Norm) wird man die DGL −M a(t) ˙ = Ka(t) + F (t) etwa mit dem A–stabilen Rosenbrock–Wanner–Verfahren der Ordnung 4 integrieren und erhält dann einen Gesamtfehler O(∆t4 +∆x4 ) in der L2 –Norm. Bei d = 2 und quadratischen finiten Elementen auf einer regulären Triangulierung wird man entsprechend mit einem A– stabilen Verfahren dritter Ordnung rechnen. Im hyperbolischen Fall muß man mit einem der speziellen Verfahren f¨ ur Differentialgleichungen zweiter Ordnung arbeiten, die in Kapitel 1 angegeben sind.

2.4

Die L¨ osung der eindimensionalen W¨ armeleitungsgleichung mit dem Galerkinansatz.

Das oben beschriebene Konzept soll nun f¨ ur die spezielle RAWA ∂ ∂ (a(x) ∂x u) + c(x)u − f (x, t) −ut = − ∂x u(a, t) = u(b, t) = 0 t≥0 u(x, 0) = g(x) a ≤ x ≤ b,

g(a) = g(b) = 0

näher untersucht werden. Als Hilbertraum benutzen wir def

H = K01 [a, b] d.h. die homogenen Randbedingungen werden in die Ansatzfunktionen eingearbeitet. Unter den Voraussetzungen a ∈ C 1 [a, b], c ∈ C[a, b], erf¨ ullt dann def

Lu = −

a(x) ≥ α > 0 c(x) ≥ 0

∂ ∂ (a(x) u) + c(x)u ∂x ∂x

die Voraussetzungen Z (Lu, v) = [u, v] =

b

{a(x)u0 (x)v 0 (x) + c(x)u(x)v(x)}dx

a

f¨ ur alle u, v ∈ C02 [a, b] und [u, v] ≥

α ||u||22,1 1 + (b − a)2

∀u ∈ K01 [a, b].

2.4. Die Lösung der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung mit dem Galerkinansatz.

89

Sei nun Sh ein endlichdimensionaler Teilraum von H und {ϕ1 , ..., ϕn } Basis von Sh .

Wir setzen

M = ((ϕi , ϕj ))1≤i,j≤n , (·, ·) L2 –Skalarprodukt K = ([ϕi , ϕj ])1≤i,j≤n , [·, ·] obiges “Energie”–Skalarprodukt −M a(t) ˙ = Ka(t) + F (t) t ≥ 0

mit

F (t) = ((ϕi , f (., t)))ni=1 M a(0) = c = ((ϕi , g))ni=1

und mit der Lösung a(t) = (α1 (t), ..., αn (t))T des obigen Anfangswertproblems

h

def

u (x, t) =

n X

αi (t)ϕi (x).

i=1

Wir bezeichnen uh als Galerkin–Approximation f¨ ur u. Man beachte, daß uh automatisch als kontinuierliche Funktion von x und t definiert ist und daß uh von der gleichen Ordnung bzgl. x differenzierbar ist wie die Ansatzfunktionen, nach t jedoch einmal mehr als die Inhomogenität f des Ausgangsproblems.

Wir zeigen nun

90


Satz 2.6 F¨ ur t ∈ [0, T ] sei die Projektion P u von u auf Sh dargestellt als (P u)(x, t) =

n X

βi (t)ϕi (x)

i=1

mit [u − P u, ϕj ] = 0 j = 1, ..., n n ([u, ϕj ])j=1 = K(β1 , . . . , βn )T

d.h.

(Damit sind also die Koeffizienten βj differenzierbare Funktionen von t. Sie sind aber von den Koeffizienten αj (t), die Lösung der obigen AWA sind, verschieden). Ferner sei def

ε(x, t) = u(x, t) − uh (x, t; h), Dann gilt mit def

λ =

s(x, t) = u(x, t) − (P u)(x, t).

α 1 + (b − a)2

kε(., t)k2,0 ≤ ks(., t)k2,0 + e−λt kP u(., 0) − uh (., 0; h)k2,0 Z t eλ(τ −t) k d s(., t)|t=τ k2,0 dτ + dt 0 Beweis: Es gilt (uht , Somit f¨ ur

P

v=

(ut , v)P + [u, v] = (f, v) P h γj ϕj ) + [u , γj ϕj ] = (f, γj ϕj )

P

γj ϕj = P u − uh d.h. γj = βj − αj : X X (ut − uht , γj ϕj ) + [u − uh , γj ϕj ] = 0

∀v ∈ H f¨ ur beliebige γ1 , . . . , γn .

∀t ∈ [0, T ].

Aber [u − uh ,

X

X γj ϕj ] = [u − P u + P u − uh , γj ϕj ] X = [u − P u, γj ϕj ] + [P u − uh , P u − uh ] = [P u − uh , P u − uh ]

d.h. ( d ε, P u − uh ) + [P u − uh , P u − uh ] = 0 dt d (s − ε), P u − uh ( d s, P u − uh ) + [P u − uh , P u − uh ] = dt dt d (uh − P u), P u − uh . = dt


91

Nun gilt

d (uh − P u), P u − uh dt

Z

b

X X −d γi (t)ϕi (x) · γj (t)ϕj (x) dx dt a = − 12 d kP u − uh k22,0 dt = −kP u − uh k2,0 d kP u − uh k2,0 . dt =

Somit kP u − uh k2,0 d kP u − uh k2,0 + λkP u − uh k22,0 ≤ k d sk2,0 kP u − uh k2,0 dt dt d.h. d kP u − uh k + λkP u − uh k ≤ k d sk . 2,0 2,0 dt dt 2,0 Multiplikation mit eλτ und Integration von 0 bis t ergibt Z 0

Z 0

t

t

eλτ d k(P u − uh )(., τ )k2,0 dτ dτ

d λτ e k(P u − uh )(., τ )k2,0 dτ dτ

eλt k(P u − uh )(., t)k2,0 − k(P u − uh )(., 0)k2,0 k(P u − uh )(., t)k2,0 ≤ e−λt k(P u − uh )(., 0)k2,0

t

Z + λ Z

eλτ k(P u − uh )(., τ )k2,0 dτ ≤

0 t

d s(., τ )k2,0 dτ dτ 0 Z t d eλτ k s(., τ )k2,0 dτ ≤ dτ 0 Z t d e+λτ k s(., τ )k2,0 dτ ≤ dτ 0 Z t d eλ(τ −t) k s(., τ )k2,0 dτ. + dτ 0 eλτ k

Aber ε(x, t) = u(x, t) − uh (x, t; h) = (u − P u)(x, t) + P u(x, t) − uh (x, t; h) d.h. kε(., t)k2,0 ≤ k(u − P u)(., t)k2,0 + e−λt k(P u − uh )(., 0)k2,0 + Z t d eλ(τ −t) k (u − P u)(., τ )k2,0 dτ. dτ 0

Bemerkung 2.4 Dieser Beweis funktioniert auch im räumlich höherdimensionalen Fall wörtlich, unter Beachtung von [., .] ≥ λ||.||22,0 . Aus Aussagen u ute des Unterraumes Sh f¨ ur H (d.h. ¨ber die Approximationsg¨ (u − P u)(x, t)) und dem Anfangsfehler (P u − uh )(x, 0) gelangt man so unmittelbar zu Fehlerabschätzungen f¨ ur die Galerkin-Approximation.

92


Man kann nun wiederum die Theorie der finite Element-Approximation benutzen, um zu konkreten Fehlerabschätzungen bei gegebener Form von Sh zu gelangen: Im Folgenden sei Sh der Raum der stetigen, st¨ uckweise linearen Funktionen v auf einer Zerlegung a = x0 < x0 + h < x0 + 2h · · · < b = a + (n + 1)h mit v(a) = v(b) = 0.

Satz 2.7 F¨ ur u (Lösung der RAWA) gelte u ∈ K03 ([a, b] × [0, T ]). Dann ergibt sich kε(., t)k2,0 ≤ Kh2 wobei ε der globale Diskretisierungsfehler der Galerkinapproximation mit st¨ uckweise linearen Ansatzfunktionen auf einer äquidistanten Zerlegung von [a, b] und K eine geeignete Konstante ist. Beweis: Wir zeigen zunächst ku(., t) − P u(., t)k2,0 ≤ h2 K1 k

∂2 u(., t)k2,0 . (∂x)2

Sei dazu z die Lösung von Lz = u − P u,

z(a) = z(b) = 0.

Dann gilt: z ist schwache Lösung, somit [z, v] = (u − P u, v)

∀v ∈ H.

def

Mit v = u − P u und v h ∈ Sh bel. gilt (weil [v h , u − P u] = 0) [z, u − P u] = ku − P uk22,0 = [z − v h , u − P u]. Sei nun uI die st¨ uckweise linear Interpolierende zu u. Dann wird [u − uI , u − uI ]1/2 ≤ hK2 kuxx (., t)k2,0 . Dies ergibt sich wegen der Stetigkeit von uxx (., .) (aufgrund der Voraussetzungen aus der Absch¨ atzung des Interpolationsfehlers unmittelbar). Andererseits ist ∈Sh

z }| { [u − uI , u − uI ] = [u − P u + P u − uI , u − P u + P u − uI ] = [u − P u, u − P u] + [P u − uI , P u − uI ], def

weil [u − P u, v h ] = 0 f¨ ur v h ∈ Sh und v h = P u − uI ∈ Sh .


93

Also ist [u − P u, u − P u] ≤ [u − uI , u − uI ] d.h. [u − P u, u − P u]1/2 ≤ hK2 kuxx (., t)k2,0 . Ebenso gilt nat¨ urlich f¨ ur die oben definierte Hilfsfunktion z [z − P z, z − P z]1/2 ≤ hK2 kzxx (., t)k2,0 . def

Aber (man setze oben v h = P z) wegen der Cauchy–Schwarzschen Ungleichung ku − P uk22,0 = [z − P z, u − P u] ≤ [z − P z, z − P z]1/2 [u − P u, u − P u]1/2 ≤ h2 K22 kuxx (., t)k2,0 kzxx (., t)k2,0 ≤ h2 K22 kuxx (., t)k2,0 · Ck(u − P u)(., t)k2,0 . Die letzte Abschätzung ergibt sich folgendermassen: Zunächst ist aufgrund des Lax-Milgram Lemmas z ∈ K01 ([a, b]) und ||z||2,1 leq ||u − P u||2,0 /λ Damit ist dann auch noch z 00 in L2 [a, b] und ||z 00 ||L2 ≤

1 c∗ +a∗∗ α( λ

+ 1)||u − P u||2,0

wo c∗ = max{c(x) : x ∈ [a, b]} und a∗∗ = max{a0 (x) : x ∈ [a, b]} . Damit ist die erste Teilbehauptung gezeigt. P Die Projektion P u = nj=1 βj (t)ϕj (x) ist definiert durch das lineare Gleichungssystem

n [u, ϕj ]

j=1

  β1 (t)   = [ϕi , ϕj ]  ...  . βn (t)

Nach Voraussetzung existiert uxt = utx , d.h. man kann die βj differenzieren und auf der linken Seite die t–Ableitung in das Skalarprodukt hineinziehen: ∂ ∂ (P u) = P ( u) ∂t ∂t d.h. mit einer Wiederholung der obigen Abschätzung f¨ ur ut − P ut haben wir k

∂ (u − P u)(., t)k ≤ h2 K22 Ckuxxt (., t)k2,0 . ∂t

Nach Konstruktion von a(0) ist uh (x, 0) die Projektion von u(x, 0) auf Sh im L2 -Skalarprodukt. Somit gilt mit geeignetem K3 ku(., 0) − uh (., 0)k2,0 ≤ ku(., 0) − uI (., 0)k2,0 ≤ h2 K3 kuxx (., 0)k2,0 .

94


F¨ ur (P u)(x, 0) − uh (x, 0) ergibt sich somit kP u(., 0) − uh (., 0)k2,0 ≤ kP u(., 0) − u(., 0)k2,0 + ku(., 0) − uh (., 0)k2,0 ≤ kP u(., 0) − u(., 0)k2,0 + ku(., 0) − uI (., 0)k2,0 ≤ h2 (K3 + CK22 )kuxx (., 0)k2,0 . Somit folgt aus der Abschätzung in Satz 2.6 kε(., t)k2,0 ≤ k(u − P u)(., t)k2,0 + e−λt k(P u − uh )(., 0)k2,0 Z t d eλ(τ −t) k (u − P u)(., τ )k2,0 d τ + dτ 0 2 2 ≤ h K2 Ckuxx (., t)k2,0 + e−λt h2 (K3 + CK22 )kuxx (., t)k2,0 Z t 2 2 eλ(τ −t) kuxx (., t)k2,0 d τ +h K2 C 0

= O(h2 ). Aus der Darstellung des Fehlers erkennt man u ¨berdies, daß die Anfangsfehler weggedämpft werden. Normalerweise nimmt auch kuxx (., t)k2,0 und kutxx (., t)k2,0 mit wachsendem t ab.

Bemerkung 2.5 F¨ ur einen kubischen Spline–Ansatz mit Gitterweite h erhält man entsprechend eine Fehlerabschätzung O(h4 ). Bemerkung 2.6 Auch obiger Beweis lässt sich auf den räumlich mehrdimensionalen Fall u ¨bertragen, allerdings benötigt man wegen der Sobolevschen Einbettungssätze im dreidimensionalen Fall die höhere Regularitätsannahme u ∈ H04 (Ω). Es entsteht so ein gewöhnliches DGL–System −M a(t) ˙ = Ka(t) + F (t) M a(0) = c mit großen Bandmatrizen M und K. Es ist selbstverständlich nicht sinnvoll, dieses DGL– System in die explizite Gestalt a(t) ˙ = M −1 K(a) + M −1 F (t) zu u uhren, da M −1 K voll ¨berf¨ besetzt wäre. Weil das DGL-System steif ist, kommen nur Einschritt- oder Mehrschrittverfahren in Frage, die auf der negativen reellen Achse absolut stabil sind. Im Zusammenhang mit linearen finiten Elementen bietet sich das 2-Schritt BDF-Verfahren (Gear) an. Das Crank-Nicholson-Verfahren, das hier −(M +

∆t K)an+1 2

= (−M +

∆t K)an 2

+

∆t (F (tn+1 ) 2

+ F (tn ))

lautet, ist nicht so beliebt wegen des schwach oszillierenden Verhaltens der diskretisierten Lösung.


95

Es gibt jedoch auch Einschrittverfahren, die von höherer als erster Ordnung konsistent und auf der negativen reellen Achse absolut stabil sind, und auch die zu den höheren Eigenwerten von M −1 K gehörenden Lösungsanteile schnell dämpfen. Diese Verfahren leiten sich aus rationalen Approximationen der Exponentialfunktion her mit Nennergrad > Zählergrad. Es sind dies einmal die sogenannten Padé–Approximationen, die definiert sind durch e−x =

Pn (x) + O(xm+n+1 ), Qm (x) x→0

P n ∈ Πn ,

Qm ∈ Πm

mit m > n, z.B. 1 1 + x + x2 /2

1 − x/3 1 + 23 x + 16 x2

und

(das Crank–Nicholson–Verfahren gehört zur Padé–Approximation mit n = m = 1 x/2)/(1 + x/2)) und die zuerst von Norsett benutzte Approximation e−x = z.B. mit n = 2 :

β =1+

1 2

√

Pn−1 (x) + O(xn+1 ), (1 + βx)n x→0

2,

P1 (x) = 1 + (1 +

√

(1 −

β>0

2)x.

Auch die Rosenbrock–Wanner–Formeln (siehe Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik II) beruhen auf einer Norsett–Approximation. Der Ansatz von Norsett hat den Vorteil, daß man pro Zeitschritt mehrere lineare Gleichungssysteme mit der gleichen Matrix lösen muß, statt mehrerer verschiedener Matrizen bei den Padé–Approximationen (wenn man den Nenner in Linearfaktoren zerlegt hat). Die Approximation e

−x

√ 1 + (1 + 2)x √ + O(x3 ) = 1 2 (1 + (1 + 2 2)x)

wird benutzt zur Approximation von e−tM a(t) = e

−tM −1 K

M

−1

−1 K

in der Lösungsdarstellung

Z c−

t

eτ M

−1 K

M −1 F (τ )d τ

0

mit den Entsprechungen 0=t ˆ i,

t=h, ˆ

a(h)=a ˆ i+1 ,

M −1 c=a ˆ i.

Anwendung der Trapezregel auf das Integral und Einsetzen der Approximationen liefert die Näherungsformel √ √ a ˜i+1 = (I + h(1 + 1/ 2)M −1 K)−2 (I + h(1 + 2)M −1 K)(˜ ai − h2 M −1 F (ti )) − h2 M −1 F (ti+1 )

96


mit der Konsistenzordnung h2 . a ˜i+1 ist Näherung f¨ ur a(ti+1 ). Gerechnet wird dies zweckmäßig in den Schritten: i = 0, 1, 2, . . . M wi = Fi+1 √ M + (1 + 1/ 2)h K ui = M a ˜i − h2 Fi √ √ √ M + (1 + 1/ 2)h K a ˜i+1 = M + (1 + 2)h K ui − h2 (M + (1 + 1/ 2)h K wi

mit M a ˜0 = c, √d.h. man hat ausschließlich Gleichungssysteme mit der Koeffizientenmatrix M + (1 + 1/ 2)h K (symm. pos. def.) bzw. M zu lösen. Bemerkung 2.7 Die gewöhnliche Differentialgleichung, die wir hier erhalten haben, ist nicht in der expliziten Standardform a˙ = G(t, a) wegen des Auftretens der Massenmatrix M auf der linken Seite. Dies ist kein Problem, wenn man implizite Integratoren benutzt, weil man in diesem Fall ohnehin pro Zeitschritt lineare Gleichungssysteme mit d¨ unn besetzten (in der Regel Band-)Matrizen zu lösen hat. Wenn man sich mit linearen stetigen finiten Elementen begn¨ ugt, kann man das Auftreten von M durch die sogenannte “lumping“-Technik umgehen. Hierbei wird die Massenmatrix M durch eine Diagonalmatrix X ˜ def M = diag( Mj,i ) i

ersetzt. Dies entspricht der Auswertung der Integrale (ϕi , ϕj ) durch eine Quadraturformel der Ordnung zwei, die die asymptotische Konvergenzordnung nicht verschlechtert. Diese Quadraturformel ist im räumlich eindimensionalen Fall Z

b

f (x)dx = h a

n X

f (xj )

j=1

also wegen f (a) = f (b) = 0 f¨ ur Funktionen aus K01 ([a, b]) gerade die Trapezregel. Es gilt nämlich offensichtlich ϕi (xj )ϕk (xj ) = 0 ∀j falls i 6= k ¨ Bemerkung 2.8 Alle Uberlegungen und Aussagen dieses Abschnittes lassen sich problemlos auf den räumlich mehrdimensionalen Fall u ¨bertragen. Man vergleiche die Entsprechungen im statischen elliptischen Fall, wie sie in HNMI dargestellt wurden. Solange man nur lineare Elemente benutzt, kann man auch hier (wörtlich) die Lumping-Technik anwenden.


97

Bemerkung 2.9 Mit wachsender Feinheit der räumlichen Diskretisierung wächst auch die Steifheit der gewöhnlichen DGL u ¨ber alle Grenzen. Es ist deshalb nicht klar, wie die Ordnungaussage f¨ ur den Zeitintegrator zu bewerten ist und tatsächlich kennt man das Phänomen der sogenannten Ordnungsreduktion bei den Zeitintegratoren. Massgeblich ist hier nicht die asymptotische Konsistenzordnung, sodern die sogenannte B-Konvergenzordung. Diese beträgt z.B. bei den auf der Gaussquadratur beruhenden impliziten Runge-KuttaVerfahren mit m Stufen nicht 2m, sondern nur m. Untersuchungen dieser Art sind Gegenstand aktueller Forschung Bemerkung 2.10 Es ist nicht zwingend notwendig, zur Lösung des Zeitintegrationsproblems einen stetigen Zeitintegrator anzuwenden. Man kann auch daran denken, die schwache Gleichung selbst auch in der Zeit im schwachen Sinne zu lösen. Hierbei ist es nicht einmal notwendig, stetige Ansatzfunktionen zu benutzen (oben haben wir ja sogar glatte Koeffizientenfunktionen a(t) eingef¨ uhrt.) Man gelangt dann zur sogenannten diskontinuierlichen Galerkinmethode. Hierbei wird die Lösung u auf jedem Zeitintervall durch ein Polynom eines festen Grades q mit Werten im Sobolevraum H dargestellt, es wird aber keine Stetigkeit in t an den Gitterpunkten des Zeitgitters verlangt. Sei Wh,t = {w : w|]ti ,ti+1 [ (x, t) =

q X

tj vi,j (x) mit vi,j ∈ Sh ∀ i, j}

j=0

Dann lautet das Problem nun : Gesucht uh ∈ Wh,t mit Z T Z T h h d ( u , w) + a(u , w) dt = hf (., t), widt ∀ w ∈ Wh,t . dt 0 0 Die Ableitung nach t ist hier nat¨ urlich eine schwache Ableitung und das Integral entsprechend auszuwerten. Da die Darstellungen von w auf den einzelnen Zeitintervallen voneinander unabhängig sind, kann man wieder zu einer schrittweisen Integration in der Zeit gelangen. Setzt man def U 0 (t0 ) = u0 (.) und

def

U m = uh|]tm−1 ,tm ] , m = 1, . . . , dann erhält man Z tm Z tm n o m m m m−1 d (tm−1 ), v) = hf, vi d ( U , v) + a(U , v) dt + (U (tm−1 + 0) − U dt dt tm−1 tm−1 Mit einem Basisansatz f¨ ur Wh,t gelangt man dann schliesslich zum einem Blockgleichungssystem f¨ ur die Koeffizienten vi,0 , . . . , vi,q des Ansatzes. Wegen der schwierigeren Zeitadaption bietet dieser Ansatz jedoch keine entscheidenden Vorteile. Details siehe in der Spezialliteratur.

98

2.5


Die Rothe-Methode

Wir gehen wieder aus von der schwachen Form der Gleichung d (u(., t), v) + a(u(., t), v) = hf (., t), vi ∀ v ∈ V . dt Als Funktionenraum V werden wir z.B. wieder V = H01 (Ω) haben. Bei der Rothe-Methode wird diese parabolische Randanfangswertaufgabe mittels Zeitdiskretisierung durch eine Schar elliptischer Randwertaufgaben ersetzt und die Lösung dadurch approximiert. Es wird ein Zeitgitter t0 = 0 < t1 < . . . < T erzeugt. F¨ ur t = t0 ist die Lösung aus dem Anfangswert bekannt. Sei nun die Lösung u(x, t) zum Zeitpunkt t = tj bereits approximiert durch eine Funktion uhj (x) mit x ∈ Ω. Nun wird die Näherung uhj+1 (x) f¨ ur u(x, tj+1 ) definiert als Lösung der elliptischen Randwertaufgabe uh

− uhj , v + a(uhj+1 , v) = hf (tj+1 ), vi ∀ v ∈ V . tj+1 − tj j+1

Diese Diskretisierung entspricht dem impliziten Euler-Verfahren. Nat¨ urlich kann man auch bessere Formeln f¨ ur die Approximation der Zeitableitung benutzen. Man beachte, daß die Randbedingungen in die Definition von V eingearbeitet sind. Dies ist nun eine elliptische Randwertaufgabe zur Berechnung von uhj+1 , die mit den bereits besprochenen Methoden behandelbar ist. Die Vorgehensweise heißt in Analogie zur “vertikalen Linienmethode“ auch “horizontale Linienmethode“. Es ist zu beachten, daß hier uhj die Rolle einer Inhomogenität spielt und bei der Umschreibung in ein elliptisches Problem in Standardform der (kleine) Faktor tj+1 − tj als Multiplikator bei der Bilinearform a(., .) auftritt, was zu weiteren numerischen Problemen f¨ uhren kann. Wegen der vorausgesetzten Koerzivität von a ist klar, daß das Verfahren wohldefiniert ist. Mit Hilfe der Funktionen uhj (x) kann man dann leicht eine auf ganz G definierte Approximation an u erhalten durch lineare Interpolation in der Zeit: M X def uh (x, t) = ϕi (t)uhi (x) i=0

wobei ϕi die Basisfunktion der stetigen st¨ uckweise linearen Interpolation zum Knoten ti auf dem Zeitgitter ist. Bei der Lösung des elliptischen Randwertproblems f¨ ur eine Zeitschicht hat man nun freie Hand in der Wahl eines geeigneten Raumgitters bzw. räumlicher Adaption, was ein technischer Vorteil ist. Auf der Basis der bereits bekannten Abschätzungen kann man dann leicht eine Gesamtfehlerabschätzung f¨ ur die Lösung der diskretisierten Randwertaufgabe erhalten, wenn man eine Aussage f¨ ur ||u − uh || mit der oben definierten kontinuierlichen Näherungslösung hat. Dazu erhält man f¨ ur die obige Diskretisierung der Zeit nach “Euler implizit“ zunächst ||u − uh ||W21 (0,T ;V,H) = O(sup|tj+1 − tj |) Ein Beweis kann auf der apriori Abschätzung aus Abschnitt 2.1 aufgebaut werden.

Kapitel 3

Die Stabilit¨ atstheorie von Lax und Richtmyer ERG

Quelle f¨ ur das Folgende ist [12], [4] und [15]. Im folgenden Kapitel beschäftigen wir uns mit einer allgemeinen Konvergenztheorie f¨ ur Diskretisierungen von Anfangs- und Randanfangswertaufgaben, die in ihrer wesentlichen Struktur ganz der Dahlquist’schen Theorie f¨ ur gewöhnliche DGLen entspricht. Während wir aber dort allgemeine nichtlineare DGLen behandeln konnten, beschränken wir uns hier auf lineare DGLen mit konstanten Koeffizienten. Auch f¨ ur partielle DGLen mit speziellen Nichtlinearitäten und mit variablen Koeffizienten sind viele Resultate bekannt (vgl. etwa bei Ansorge 1978 [1] und Ansorge & Hass 1970 [2]). Wir werden darauf aber nur an Hand spezieller Beispiele eingehen.

Im Gegensatz zur Theorie von Dahlquist, bei der punktweise Fehlerabschätzungen f¨ ur die diskrete Lösung (ηi ) das Ziel sind, werden in dieser Theorie die diskreten Näherungen als Funktionen im gleichen Funktionenraum (einem Banachraum) eingebettet, in dem auch die wahre Lösung der DGL gesucht wird. Deshalb m¨ ussen wir hier zunächst einige der Hilfsmittel aus der Funktionalanalysis bereitstellen, die wir f¨ ur die Theorie benötigen. 99

100

3.1

3. Die Stabilitätstheorie von Lax und Richtmyer ERG

Einige funktionalanalytische Grundlagen

Definition 3.1 Es sei B ein Vektorraum u ¨ber dem Körper K (R bzw. C). Auf B sei eine Norm definiert, d.h.   (i) kak = 0 ⇔ a = 0, (ii) kλak = |λ| kak (λ ∈ K, a ∈ B), k · k : B → R+ mit  (iii) ka + bk ≤ kak + kbk (B, k · k) heißt Banachraum, falls der Häufungswert jeder Cauchyfolge aus B selbst in B liegt, d.h. der lineare Raum B in der durch k · k induzierten Topologie vollständig ist. Ob ein linearer Raum ein Banachraum ist, hängt wesentlich von der gewählten Norm ab. So ist z.B. mit I = [a, b] C 0 (I, R), k · k∞ ein Banachraum aber

0

C (I, R),

k · k2

kein Banachraum.

(Betrachte dazu etwa das Beispiel I = [0, 1], (2x)ν 0 ≤ x ≤ 12 fν (x) = 1 1 ≤x≤1 2 {fν } ist eine Cauchy–Folge in k · k2 , aber die Grenzfunktion ist nicht stetig bei x = 12 ) Definition 3.2 Es sei (B, k · k) ein Banachraum. D1 , D2 seien Teilmengen von B. D1 ⊂ D2 . D1 heißt dicht in D2 , wenn ∀ ε > 0 ∀ d2 ∈ D2 ¯ 1 = D2 ) (m.a.W. D

∃d1 ∈ D1 :

kd1 − d2 k < ε

In den weiteren Betrachtungen spielen dichte Untervektorräume eines Banachraumes eine wichtige Rolle. Es sollen deshalb hier einige Beispiele solcher Räume folgen. Als Banachraum B betrachten wir B = C 0 (K, C), k · k∞ , K ⊂ Rm kompakt (F¨ ur b ∈ B ist kbk∞ = maxx∈K |b(x)|)

101

3.1. Einige funktionalanalytische Grundlagen

1.

S

ν∈N0

Πν (K) liegt dicht in B (Approximationssatz von Weierstrass)

2. C k (K, C) k ∈ N liegt dicht in B 3. C ∞ (K, C) liegt dicht in B 4. V = {f ∈ C ∞ ([a, b], C) : K = [a, b]

f (ν) (a) = f (ν) (b) = 0,

ν ∈ N} liegt dicht in B f¨ ur

5. C ∞ (R, C) liegt dicht in C 0 (R, C) mit k · k∞ als Norm.

Jetzt sei B = L2 (G, Cn ),

G ein Gebiet des Rm

Dabei bezeichnet L2 den Banachraum der u ¨ber G quadratintegrablen Funktionen: kbk2 =

Z

H

b(x) b(x)dx

1

2

G

wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden, falls Z

(b1 (x) − b2 (x))H (b1 (x) − b2 (x))dx = 0

G

(d.h. L2 (G, Cn ) ist ein Quotientenraum). Daf¨ ur gilt: 1. C0∞ (G, C) dicht in L2 (G, C) 2.

S

ν∈N0

Πν (Cm ) dicht in L2 (G, C) falls G beschränkt.

In den f¨ ur uns wichtigen Banachräumen kann man also Elemente (Funktionen) durch unendlich oft differenzierbare Funktionen beliebig genau approximieren. Dies wird f¨ ur uns wesentlich sein, wenn wir die Lösung einer AWA oder RAWA durch die Lösungen entsprechender Aufgaben mit beliebig glatten Anfangs– und Randwerten annähern wollen. F¨ ur die Lösung der Probleme mit “glatten Daten” können wir dann die entsprechenden Existenz– Eindeutigkeits– und Regularitätsaussagen benutzen.

102


Definition 3.3 Es seien B1 , B2 Banachräume und D ein Untervektorraum von B1 . Eine Abbildung A : D → B2 heißt linearer Operator, falls f¨ ur alle a, b, ∈ D und alle λ, µ ∈ K gilt A(λa + µb) = λAa + µAb Ein linearer Operator heißt beschr¨ ankt, falls ∃ α>0:

kA(a)k(2) ≤α kak(1) def

∀ a ∈ D.

kA(a)k(2) kak(1) a∈D

kAk = sup

heißt die Norm von A (durch die Normen k · k(i) auf Bi induzierte Operatornorm). Im folgenden sei def L(D, B2 ) = {A : D → B2 linear und beschränkt}

Satz 3.1 Es seien B1 , B2 Banachräume, D dicht in B1 und A ∈ L(D, B2 ). Dann gibt es ˆ = kAk. (Fortsetzungssatz) genau ein Aˆ ∈ L(B1 , B2 ) mit Aˆ|D ≡ A. Es gilt kAk

Diesen Satz werden wir so benutzen, daß wir die Zuordnung

DGL + Anfangs- und Randwerte

−→ Lösung

als linearen Operator auffassen. D spielt dabei die Rolle des Unterraums “ DGL + “glatte” Anfangs-/Randwerte”, f¨ ur die Existenz– Eindeutigkeits– und Regularitätsaussagen vorliegen, B1 den entsprechenden Raum mit allen in Frage kommenden Anfangs– und Randwerten (z.B. ut = uxx mit L2 –Anfangswerten) Definition 3.4 B1 , B2 seien Banachräume und M ⊂ L(B1 , B2 ). M heißt gleichm¨ aßig beschr¨ ankt, wenn die Menge {kAk : A ∈ M } beschränkt ist.

103


Satz 3.2 (Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit): B1 , B2 seien Banachräume, M ⊂ L(B1 , B2 ). Es gelte sup kA(b)k < ∞

∀b ∈ B1 .

A ∈ M

Dann ist M gleichmäßig beschränkt.

Wir werden die Differenzenapproximationen ebenfalls als Funktionen im gleichen Banachraum wie die Lösung u betrachten. Den Differenzenapproximationen sind dann also auch “Lösungsoperatoren” zugeordnet, die aber noch von einem Parameter abhängen, nämlich der Diskretisierungsschrittweite ∆t (∆t/∆x bzw. ∆t/(∆x)2 konstant).

Wir haben also damit eine Menge von Lösungsoperatoren vor uns, auf die wir das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit anwenden werden.

Die Bedeutung dieses Prinzips f¨ ur unsere Anwendung macht folgender Satz deutlich Satz 3.3 B1 , B2 seien Banachräume, A, Ai (i ∈ N) ∈ L(B1 , B2 ). Ferner ∃ A−1 , ∀i : ∃ A−1 ∈ L(B2 , B1 ). Die Folge der Ai approximiere A punktweise, i d.h. kAx − Ai xk −→ 0 (∀x ∈ B1 ) i→∞

Sei Ax = f und xi definiert durch Ai x i = f Dann gilt

∀f ∈ B2 :

xi −→i→∞ x

⇔

{Ai : i ∈ N} gleichmäßig beschränkt.

Die Approximationseigenschaft in diesem Satz entspricht der Konsistenz der Differenzenapproximationen.

104


Definition 3.5 B sei ein Banachraum und [T1 , T2 ] ein reelles Intervall. u : [T1 , T2 ] → B heißt Frechèt–differenzierbar in t0 ∈ [T1 , T2 ] falls gilt: ∃a∈B:

lim

h→0 t0 +h∈[T1 ,T2 ]

ku(t0 + h) − u(t0 ) − hak/|h| = 0 def

a heißt dann die Ableitung von u in t0 : a = u0 (t0 ). u heißt differenzierbar auf [T1 , T2 ], falls es f¨ ur jedes t ∈ [T1 , T2 ] differenzierbar ist. u heißt gleichmäßig differenzierbar, falls ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 :

|h| ≤ δ(ε) und t ∈ [T1 , T2 ] ⇒ ku(t + h) − u(t) − hu0 (t)k < ε|h|

u heißt stetig differenzierbar, falls u0 (t) stetig ist.

Satz 3.4 Eine stetig differenzierbare Funktion (auf einem kompakten Intervall) ist gleichmäßig differenzierbar. Ferner benötigen wir zur Behandlung inhomogener Anfangswertaufgaben den Begriff des Integrals stetiger Abbildungen eines Intervalls in einen Banachraum: Definition 3.6 I = [T1 , T2 ] sei ein reelles Intervall und B ein Banachraum. v ∈ C 0 (I, B), u : I → B heißt Stammfunktion zu v auf I, falls u differenzierbar auf I ist und u0 (t) = v(t) ∀t ∈ I. F¨ ur die Konstruktion und das Rechnen mit diesen Stammfunktionen gelten wörtlich die bekannten Regeln aus der reellen Analysis, z.B. d w(x) = dx

Z

T2

Z ∂2 f (t, x)dt

T2

f (t, x)dt x ∈ [T3 , T4 ]

falls w(x) =

T1

T1

und f, ∂2 f stetig auf [T1 , T2 ] × [T3 , T4 ] Z

T2

Z

T2

C(v(t))dt = C T1

usw.

v(t)dt T1

falls v ∈ B, C ∈ L(B, B)

105


Bei der Behandlung von Differentialgleichungen mit impliziten Differenzenverfahren treten in diesem Zusammenhang lineare Gleichungen in einem Banachraum auf: R(y) = S(x)

mit R, S ∈ L(B, B).

Die Lösbarkeit eines solchen Systems wird gewöhnlich mittels folgenden Satzes bewiesen: Satz 3.5 a) Es sei D ∈ L(B, B), kDk < 1 und R = I + D. Dann existiert R−1 ∈ L(B, B) mit R ◦ R−1 = R−1 ◦ R = I. b) Ist R ∈ C 0 ([0, 1], L(B, B)) (d.h. R hängt stetig von einem Parameter t ∈ [0, 1] ab) und R(0) = I und ist {kR−1 (t)k :

t ∈ [0, 1] und ∃R−1 (t)} beschränkt,

dann existiert R−1 (t) f¨ ur jedes t ∈ [0, 1].

Wir kommen nunmehr zur Definition “sachgemäß gestellter Anfangswertaufgaben” und behandeln dann die Begriffe Konsistenz, Stabilität und Konvergenz. Dabei gehen wir von einer abstrakten Formulierung unserer partiellen hyperbolischen oder parabolischen Gleichung als gewöhnliche Differentialgleichung in einem Banachraum aus, wobei der lineare Operator A die Ableitung bez¨ uglich der räumlichen Veränderlichen darstellt. Bei einer Randanfangswertaufgabe werden die Randwerte in der Definition des Raumes (B) bzw. in die Inhomogenität eingearbeitet. Selbstverständlich können wir mit dieser Theorie nur lineare DGLen mit zeitunabhängigen Koeffizienten behandeln. Definition 3.7 Es seien B ein Banachraum, DA ein Untervektorraum von B, T > 0 und A : DA → B ein linearer Operator. Mit P (B, T, A) bezeichnen wir folgendes Problem: Gegeben ist c ∈ DA . Gesucht ist eine differenzierbare Abbildung u : [0, T ] → DA (Lösung) mit u0 (t) = A(u(t)) u(0) = c

t ∈ [0, T ]

(“klassische Lösung”,“eigentliche Lösung”)

Die Menge aller Anfangswerte c, f¨ ur die die Aufgabe lösbar ist, bildet einen Untervektorraum von DA . Wir gehen von einer eindeutigen Lösbarkeit aus und haben dann eine Zuordnung c → uc (t0 ) f¨ ur jedes t0 ∈ [0, T ].

106


Dies ist nun ebenfalls ein (t–abhängiger) linearer Operator. Dieser “Lösungsoperator” wird zur Definition einer sachgemäß gestellten Aufgabe herangezogen: Definition 3.8 P (B, T, A) heißt sachgemäß gestellt (engl.: well posed), wenn es DE0 ⊂ DA gibt und eine Schar von linearen Operatoren M0 = {E0 (t) :

t ∈ [0, T ]}

E0 (t) :

DE0 → DA

mit (i) (ii) (iii)

¯ E0 = B D ∀ c ∈ DE0 ∃1 uc (t) Lösung von P (B, T, A), M0 ist gleichmäßig beschränkt

def

uc (t) =

E0 (t) (c)

Folgerung: Ist P (B, T, A) sachgemäß gestellt, dann hängt die Lösung uc von P (B, T, A) lipschitzstetig von c ab. E0 (t) kann auf B in eindeutiger Weise fortgesetzt werden. Die Fortsetzung heiße E(t). Die zu beliebigen Anfangswerten c ∈ B gehörenden “Lösungen” E(t)c bezeichnet man als “verallgemeinerte Lösungen” der zugrundeliegenden DGL. Definition 3.9 Sei E(t) die Fortsetzung von E0 (t) auf B und M = {E(t) :

t ∈ [0, T ]}

Die Abbildung c → E(t)c

mit

E(·)(c) :

[0, T ] → B

heißt verallgemeinerte Lösung von P (B, T, A) zum Anfangswert c.

107


Satz 3.6 Sei P (B, T, A) sachgemäß gestellt. Dann gilt (i) ∀c ∈ B,

∀ε > 0 ∃˜ c ∈ DE0 : kE(t)(c) − E0 (t)(˜ c)k < ε

(ii) E(·)(c) ∈ C 0 ([0, T ], B)

∀c ∈ B

(iii) E(r + s) = E(r)E(s)

∀r, s :

(∀t ∈ [0, T ])

r, s, r + s ∈ [0, T ]

(iv) E(t) · (A(c)) = A(E(t)(c)) ∀c ∈ DE0 (Differentiation nach der Raumvariablen und Integration bzgl. t vertauschbar) (v) Zu c ∈ DE0 ist E0 (t)(c) sogar stetig differenzierbar. Beweis: (i) Sei ε > 0 und kE(t)k < L ∀E(t) ∈ M, ∀t ∈ [0, T ] Wähle c˜ ∈ DE0 mit k˜ c − ck < ε/L. Dann kE(t)(c) − E0 (t)(˜ c)k = kE(t)(c) − E(t)(˜ c)k ≤ Lkc − c˜k < ε (ii) Sei t0 ∈ [0, T ] bel. und ε > 0 vorgegeben. Ferner sei c˜ ∈ DE0 gewählt mit kE(t)(c) − E0 (t)(˜ c)k < ε/3

∀t ∈ [0, T ]

E0 (t)˜ c ist differenzierbar und deshalb stetig, d.h. ∃ δ(t0 , ε) > 0 :

k(E0 (s) − E0 (t0 ))(˜ c)k < ε/3 falls |s − t0 | < δ,

k(E(s) − E(t0 ))(c)k

≤

s ∈ [0, T ]

kE(s)(c) − E0 (s)(˜ c)k + kE0 (s)(˜ c) − E0 (t0 )(˜ c)k +kE0 (t0 )(˜ c) − E(t0 )(c)k < ε

(iii) o.B.d.A. 0 < r ≤ s. Neben P (B, T, A) betrachten wir noch P (B, r, A), und s bezieht sich auf P (B, r, A) bzw. P (B, s, A))

P (B, s, A). Offenbar gilt (der Index r

DE0 ⊂ DE0 ,s ⊂ DE0 ,r ⊂ DA ⊂ B und P (B, r, A),

P (B, s, A) sind sachgemäß gestellt. t ∈ [0, r], t ∈ [0, r],

c ∈ DE0 : c∈B:

E0 (s)(c) ∈ DE0 ,r

E0,r (t)(c) = E0 (t)(c) Er (t)(c) = E(t)(c) (weil s + r ≤ T )

108

3. Die Stabilitätstheorie von Lax und Richtmyer ERG Sei c ∈ DE0 : Dann ist E(r)(E(s)(c)) = E(r)(E0 (s)(c)) = E0,r (r)(E0 (s)(c)) = E0 (r + s)(c) = E(r + s)(c) F¨ ur c ∈ B beliebig, benutze c˜ ∈ DE0 mit kc − c˜k < ε,

ε bel. klein.

(iv) kE(t)(A(c)) − A(E(t)(c))k ≤ kE(t)(A(c)) − h1 E(t)(E(h)(c) − c)k + k h1 E(t)(E(h)(c) − c) − A(E(t)(c))k 1 |h| kE(t)k kE(h)(c) − c − hA(c)k + 1 + |h| kE(h)(E(t)(c)) − E(t)(c) − hA(E(t)(c))k 1 1 = |h| kE(t)k ku(h) − u(0) − hu0 (0)k + |h| ku(t +

≤

h) − u(t) − hu0 (t)k

(f¨ ur c ∈ DE0 ) und h → 0 liefert die Behauptung. (v) f¨ ur c ∈ DE0 ist

u0 (t) = A(u(t)) = A(E(t)(c)) = E(t)(A(c))

Aber E(t)(A(c)) ist verallgemeinerte Lösung und somit u0 ∈ C 0 ([0, T ], B).

Bemerkung 3.1 Aus (iii) und (iv) folgt E(h) − I u(t + h) − u(t) − Au(t) = E(t) − A u0 h h f¨ ur u0 ∈ DE0 .

Beispiel 3.1 Hyperbolische Gleichung ut = ux 0≤t≤T u(x, 0) = c(x),

x ∈ R c ∈ C2π (R)

mit der Lösung u(x, t) = c(x + t). Differenzierbarkeit ist nat¨ urlich nur f¨ ur differenzierbares c gegeben, d.h. wir haben ∂ ∂x B = (C2π (R), k · k∞ ) DA = B ∩ C 1 (R) A =

offensichtlich ist kE0 (t)k = kE(t)k = 1 ∀t ∈ [0, T ] (∀T ) somit P (B, T, A) sachgemäß gestellt. F¨ ur jedes c ∈ B ist u(x, t) = c(x + t) somit verallgemeinerte Lösung der AWA.

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Beispiel 3.2 Parabolische Gleichung, RAWA ut = uxx u(0, t) = u(1, t) = 0 u(x, 0) = c(x) Nun ist A =

∂2 . ∂x2

Als Banachraum B wollen wir jedoch B = {u :

u ∈ L2 [0, 1] mit

u(0) = u(1) = 0}

wählen, d.h. die Randbedingungen sind in B eingearbeitet. Nat¨ urlich muß dann c(0) = c(1) = 0 sein. Dagegen ist DA = C02 [0, 1]. Die Anfangsvorgabe c kann dargestellt werden als c(x) =

∞ X

γk sin(kπx)

k=1

P 2 2 2 Falls c ∈ C02 [0, 1] dann ist γk = O( k12 ) und wenn ∞ k=1 k γk < ∞ ist umgekehrt c ∈ C0 [0, 1]. Die Lösungen von ut = uxx sind dann klassische Lösungen: E0 (t)c(x) = u(x, t) =

∞ X

e−k

2 π2 t

γk sin(kπx)

k=1

Somit gilt kE0 (t)k = sup (γ1 ,...)

X ∞ k=1

−k2 π 2 t

e

∞ 2 12 X 1 2 2 γk ≤ 1 f¨ ur t ∈ [0, T ] / γk k=1

d.h. die Aufgabe ist sachgemäß gestellt. Verallgemeinerte Lösungen existieren somit f¨ ur jedePauf [0, 1] quadratintegrable Anfangsvorgabe c mit c(0) = c(1) = 0. Die unendliche Rei−k2 π 2 t he ∞ γk sin(kπx) braucht aber f¨ ur solche verallgemeinerten Lösungen gar nicht k=1 e punktweise zu konvergieren! Beispiel 3.3 Wie Beispiel 3.2, jedoch mit ut = −uxx , d.h. Umkehr der Zeitrichtung: “parabolisch r¨ uckwärts in der Zeit”. An der Darstellung von E0 (t) sieht man, daß das Problem nicht korrekt gestellt ist (man 2 2 betrachte t < 0) e−k π t → ∞!

110

3.2


Abstrakte Differenzenverfahren, Lax-RichtmyerTheorie

Wir kommen nunmehr zur Definition eines Differenzenverfahrens in einem Banachraum und den Begriffen Konsistenz, Stabilit¨ at, Konvergenz: Definition 3.10 Es seien P (B, T, A) eine sachgemäß gestellte Anfangswertaufgabe und M = {E(t) : t ∈ [0, T ]} die Schar der zugehörigen verallgemeinerten Lösungsoperatoren und 0 < h0 ≤ T . (i) Eine Schar von linearen, beschränkten Operatoren C(h) : B → B MD = {C(h) :

h ∈]0, h0 ]}

heißt Differenzenverfahren zu P (B, T, A), falls kC(·)k beschränkt ist auf [h1 , h0 ] f¨ ur alle h1 ∈]0, h0 ]. (ii) MD heißt konsistent, wenn ∃ DC ⊂ B,

¯C = B D

1 k(C(h) − E(h))(E(t)(c))k −→ 0 h→0 |h|

gleichm¨ aßig auf

[0, T ]

f¨ ur alle c ∈ DC . (iii) MD heißt stabil, falls {C(h)n :

h ∈]0, h0 ],

n ∈ N,

nh ≤ T }

gleichmäßig beschränkt ist. (iv) MD heißt konvergent, wenn lim kC(hj )nj (c) − E(t)(c)k = 0 j→∞

(∀c ∈ B,

∀t ∈ [0, T ])

nj hj →t hj →0

Der obige Begriff Differenzenverfahren ist sehr abstrakt und erfaßt praktisch jede (noch so unsinnige) Konstruktion. Konkreter hat man sich C(h) vorzustellen wie folgt: Der Operator A in u0 (t) = A(u(t))

u = (u1 , . . . , un )T

ist ein Differentialoperator bez¨ uglich einer oder mehreren Raumvariablen: X A= Pα (x)Dα m = Ordnung von A |α|≤m

111

3.2. Abstrakte Differenzenverfahren, Lax-Richtmyer-Theorie

mit d α = (α1 , . . . , α d ) ∈N0 α

D =

∂ ∂x1

α1

···

|α| = ∂ ∂xd

Pd

αα

i=1

αi

Pα (x) ∈ Cn×n (A hängt nicht von t ab, sonst gilt die sogenannte Halbgruppeneigenschaft E(r)E(s) = E(r + s) in der Regel nicht.) A wird nun durch Differenzenquotienten bez¨ uglich der Raumvariablen approximiert. Eine solche Differenzenapproximation baut auf auf Linearkombinationen von Translationsoperatoren bez¨ uglich der Raumvariablen: X D(x, h) = dj T j j = (j1 , . . . , jd ) ∈ Zd j∈J

mit dj Tj Tkjk u(x1 , . . . , xd ) ∆xk

= = = =

dj (x, h) ∈ Cn×n T1j1 · . . . · Tdjd u(x1 , . . . , xk−1 , xk + jk ∆xk , . . . , xk+1 , . . . , xd ) gk (h)

(d.h. man hat eine feste Kopplung zwischen der Schrittweite h in t–Richtung und den Diskretisierungsschrittweiten ∆xk in den Raumrichtungen.) Mit dieser Definition von D hat man nun Differenzenoperationen nicht nur auf einem Gitter, wie wir sie fr¨ uher betrachtet haben, sondern f¨ ur beliebige Elemente von B. F¨ ur ν = 0, 1, . . . , [ Th ] betrachtet man nun die Approximation D1 (x, h)uν+1 = D0 (x, h)uν (f¨ ur D1 6= I also ein implizites Differenzenverfahren) mit invertierbarem D1 , also letztlich mit uν als Näherung f¨ ur u(νh) uν+1 = (D1 (x, h))−1 (D0 (x, h)uν ), während u((ν + 1)h) = E(h)(u(νh)) Der Zusammenhang mit A wird hergestellt durch u(νh + h) − u(hν) − Au(νh) = h1 (E(h) − I − hA)(u(hν)) h uν+1 − uν D1−1 ◦ D0 − I ν = u h h

112


Wir werden also erwarten, daß 1 (D1−1 ◦ D0 − (E(h)))(c) → 0 f¨ ur h → 0 |h|

(c ∈ B)

Der lineare Operator C(h) wird somit C(h) = D1−1 ◦ D0 Die Abhängigkeit von x, d.h. von B, tritt dabei formal nicht in Erscheinung, weil bez¨ uglich der Integration in t–Richtung x wie ein “Parameter” wirkt. Der folgende Satz lautet nun wörtlich wie in der Dahlquist-Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen: ¨ Satz 3.7 (Aquivalenzsatz von Lax) P (B, T, A) sei korrekt gestellt und MD sei konsistent. Dann ist MD genau dann konvergent, wenn es stabil ist. Beweis: Aus Konvergenz folgt Stabilit¨ at: Annahme: MD konvergent, aber nicht stabil. Mit Hilfe des Prinzips der gleichmäßigen Beschränktheit soll ein Widerspruch konstruiert werden. Nach Annahme gibt es eine Folge hj und eine zugehörige Folge nat¨ urlicher Zahlen nj mit nj hj → t ∈ [0, T ], {kC(hj )nj k nicht beschränkt. o.B.d.A. sei auch hj → h konvergent. 1. Fall: h > 0 ⇒ nj = n (j ≥ j0 ) ⇒ hj ∈ [h/2, h0 ] j ≥ j0 . Aber kC(τ )k beschränkt f¨ ur τ ∈ [h/2, h0 ]. Also f¨ ur j ≥ j0 kC(hj )nj k = kC(hj )n k ≤ kC(hj )kn ≤ K n Widerspruch! 2. Fall: h = 0 Nun gilt wegen der Konvergenz kC(hj )nj (u0 ) − E(t)(u0 )k −→ 0 j→∞

∀u0 ∈ B

Somit ∃j0 (u0 ): kC(hj )nj (u0 ) − E(t)(u0 )k < 1

∀j ≥ j0 (u0 )

d.h. kC(hj )nj (u0 )k < 1 + kE(t)(u0 )k Setze

def

β(u0 ) =

max {1 + kE(t)(u0 )k,

j≤j0 (u0 )

kC(hj )nj (u0 )k}

Somit gilt ∀u0 ∈ B,

∀j ∈ N

kC(hj )nj (u0 )k ≤ β(u0 )

113

3.2. Abstrakte Differenzenverfahren, Lax-Richtmyer-Theorie Nach dem Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit gilt somit kC(hj )nj k ≤ K

mit K geeignet. Widerspruch!

Aus Stabilität und Konsistenz folgt Konvergenz: Sei c ∈ DC , {hj } eine Nullfolge und nj eine Folge nat¨ urlicher Zahlen mit hj nj → t ∈ [0, T ], Setze

0 ≤ hj nj ≤ T.

def

ψj (c) = (C(hj )nj − E(t))(c)

j ∈ N.

Zu zeigen ist ψj (c) → 0 j → ∞, zunächst f¨ ur c ∈ Dc , später f¨ ur c ∈ B. F¨ ur ψj (c) gilt wegen der Halbgruppeneigenschaft folgende Darstellung nj −1

ψj (c) =

X

C(hj )k (C(hj ) − E(hj ))E((nj − 1 − k)hj )(c) + E(δj )(E(nj hj − δj ) − E(t − δj ))(c)

k=0

mit δj = min{t, nj hj } Sei ε > 0 beliebig vorgegeben und ∀j : kC(hj )nj k ≤ KC mit 0 ≤ nj hj ≤ T . Wegen der vorausgesetzten Konsistenz gilt ∃j1 (ε, c) :

k(C(hj ) − E(hj )) E((nj − 1 − k)hj )(c) k ≤ εhj | {z }

f¨ ur j ≥ j1 (ε, c)

=E(t ˆ j,k )(c) mit c∈DC

Da P (B, T, A) sachgemäß gestellt ist, gilt kE(τ )k ≤ KE

∀τ ∈ [0, T ]

Wegen Satz 3.6 (ii) gilt ∃j2 (ε, c) :

k(E(nj hj − δj ) − E(t − δj ))(c)k < ε f¨ ur j ≥ j2 (ε, c)

Damit gilt f¨ ur j ≥ max{j1 (ε, c), j2 (ε, c)k und c ∈ DC kψj (c)k ≤ nj KC εhj + KE ε ≤ (KC T + KE )ε Sei nun c˜ ∈ B beliebig. Dann wird mit c ∈ DC :

kc − c˜k < ε

ψj (˜ c) = C(hj )nj (˜ c) − E(t)(˜ c) = C(hj )nj (c) − E(t)(c) + C(hj )nj (˜ c − c) + E(t)(c − c˜) d.h. kψj (˜ c)k ≤ (KC T + KE )ε + KC ε + KE ε Da ε > 0 beliebig war, folgt die Behauptung.

f¨ ur j ≥ max{j1 (ε, c), j2 (ε, c)}

114


Bemerkung 3.2 In obigen Betrachtungen ist nirgends von einer Konvergenzordnung die Rede. Geht man obigen Beweis einmal durch, so sieht man, daß dies auch nicht möglich ist f¨ ur nj hj 6≡ t wegen des zweiten Termes in der Darstellung von ψj (c). Falls jedoch nj hj = t und

j ≥ j0

1 k(C(h) − E(h))E(t)u0 k = O(hp ) ∀u0 ∈ DC , |h|

dann konvergiert das Verfahren f¨ ur u0 ∈ DC von der Ordnung hp . Man beachte, daß eine Genauigkeitsforderung an die Diskretisierung in den Raumvariablen hierin implizit enthalten ist. Die Kopplungsbedingungen an das Verhältnis t–Schrittweite / xi –Schrittweite sind implizit enthalten in der Stabilitätsbedingung. Bemerkung 3.3 Im ersten Teil des Beweises von Satz 3.7 wird die Konsistenz nicht benutzt. Tatsächlich gibt es inkonsistente und dennoch konvergente Differenzenverfahren, die aber nat¨ urlich keinerlei praktische Bedeutung haben. Ein Beispiel stammt von Spijker (1967) und ist in Ansorge–Hass Seite 75ff. beschrieben. ¨ Bemerkung 3.4 Der Aquivalenzsatz läßt sich auch ohne die Halbgruppeneigenschaft beweisen (wichtig f¨ ur Fälle, in denen A (d.h. die Koeffizienten der partiellen DGL) von t abhängt). Der Beweis wird dann komplizierter, vgl. bei Ansorge–Hass Seite 63ff. Bemerkung 3.5 Eine der wesentlichen Voraussetzungen im Beweis von Satz 3.7 war die gleichmäßige Beschränktheit von E(t). In der Literatur u ¨ber partielle DGLen findet man Existenz– Eindeutigkeits– und Regularitätsaussagen f¨ ur die Lösung u, in der Regel aber keine Abschätzungen f¨ ur kE(t)k. Dann kann der folgende Satz weiterhelfen:

115


Satz 3.8 Die Aufgabe P (B, T, A) erf¨ ulle die Voraussetzungen (i) und (ii) von Definition 3.8 (eindeutige klassische Lösbarkeit auf einem dichten Teilraum DE0 von B). Ferner gebe es eine Schar von Operatoren C(h) ∈ L(B, B) MD = {C(h) :

h ∈]0, h0 ]}

mit 1 kC(h)(E0 (t)(u0 )) − E0 (t + h)(u0 )k → 0 (i) limh→0 |h| gleichmäßig auf [0, T ] f¨ ur u0 ∈ DE0

(ii) {kC(h)n k : h ∈]0, h0 ], nh ≤ T } ist beschränkt. Dann ist P (B, T, A) sachgemäß gestellt, d.h. kE0 (τ )k ≤ KE (und damit kE(τ )k ≤ KE

∀τ ∈ [0, T ]

∀τ ∈ [0, T ]).

Beweis: Sei kC(h)n k ≤ KC ∀h ∈]0, h0 ], nh ≤ T . Setze h = t/m mit m ∈ N f¨ ur t ∈ [0, T ], d.h. δ = 0 im Beweis des vorausgegangenen Satzes. F¨ ur u0 ∈ DE0 , u0 6= 0 gilt dann (vgl. Darstellung von ψj (c) oben) kE0 (mh)(u0 )k ≤ kC(h)m (u0 )k + | {z }

m−1 X

t

kC(h)k kk(C(h) − E0 (h))

k=0

·E0 ((m − 1 − k)h)(u0 )k ≤ KC ku0 k + mKC kC(h)(E0 ((m − 1 − k) h)(u0 )) | {z } def

=τ

−E0 (τ + h)(u0 )k ≤ KC ku0 k + mKC ku0 kh = (1 + T )KC ku0 k falls h so klein ist, daß wegen (i) k(C(h)E(τ ) − E(τ + h))(u0 )k ≤ hku0 k

∀τ, τ + h ∈ [0, T ]

Damit ist kE0 (τ )k ≤ (1 + T )KC

∀τ ∈ [0, T ]

Beispiel 3.4 B = {u ∈ C2π (R), k · k∞ } ∂2 A = ∂x2

116


ut = uxx u(x, 0) = u0 (x)

t ∈ [0, T ] x∈R

2 P (B, T, A) ist korrekt gestellt, denn DA = C2π (R) ist dicht in C2π (R) und mit DE0 = DA kann man schreiben ∞ α0 X + αk cos(kx) + βk sin(kx) u0 (x) = 2 k=1 ∞ α0 X −k2 t u(x, t) = + e αk cos(kx) + βk sin(kx) 2 k=1

und ersichtlich ist ku(·, t)k∞ ≤

∞ |α | |α0 | X π 2 def 0 + |αk | + |βk | ≤ + 2C = β(u0 ) 2 2 6 k=1

wobei C eine von ku000 (x)k∞ abhängende Konstante ist mit |αk |, |βk | ≤

C k2

k = 1, 2, . . .

Also ist {E0 (t)} gleichmäßig beschränkt. Wir betrachten nun folgende Differenzenapproximation (das explizite Differenzenverfahren) mit ρ = ∆t/(∆x)2 uν+1 (x) = uν (x) + ρ(uν (x − ∆x) − 2uν (x) + uν (x + ∆x)) d.h. (h=∆t) ˆ C(h)u(x) = u(x) + ρ(u(x − ∆x) − 2u(x) + u(x + ∆x)) def

Wie bereits fr¨ uher nachgerechnet wurde, ist mit ρ =const f¨ ur u ∈ C 4 (R) ∩ B = DC 1 E(h)u −C(h)u = O(h) |h| | {z } u(x,t+h)

d.h. die Konsistenzbedingung gilt auf DC . Nun ist die Stabilität zu pr¨ ufen. Sei zunächst ρ ≤ 1/2 Dann ist |C(h)u(x)| ≤ (1 − 2ρ)|u(x)| + ρ|u(x + ∆x)| + ρ|u(x − ∆x)| ≤ kuk∞ d.h. kC(h)k∞ ≤ 1 und somit ist das Verfahren stabil. Sei jetzt ρ > 1/2. Wir konstruieren ein spezielles Beispiel, mit dessen Hilfe wir beweisen, daß kC n (h)k nicht beschränkt sein kann.

117


Als u0 (x) wählen wir die st¨ uckweise linear stetige Interpolierende (Streckenzug) zu den π i+1 Daten (i∆x, (−1) ) i ∈ Z mit ∆x = m und m ∈ N. Es gilt u0 ∈ B, ku0 k∞ = 1. (u0 besitzt sogar eine konvergente Fourierreihe) Es gilt u0 (x) = −u0 (x − ∆x) = −u0 (x + ∆x) Somit uν (x) = uν−1 (x) + ρ(uν−1 (x − ∆x) − 2uν−1 (x) + uν−1 (x + ∆x)) = (1 − 4ρ)uν−1 (x) = (1 − 4ρ)ν u0 (x) und f¨ ur ρ >

1 2

def

(u0 = u0 )

somit kC n (h)k∞ ≥ kC n (h)u0 k∞ = kun k∞ = |1 − 4ρ|n

⇒ MD ist nicht stabil ⇒ Verfahren konvergiert nicht.

Beispiel 3.5 Beispiel 3.4 mit B = {C2π (Rd ), k · k∞ } ut =

d X

uxk xk

k=1

u(x, 0) = u0 (x)

(x ∈ Rd )

Bei der entsprechend u ¨bertragenen expliziten Differenzenapproximation ergibt sich jetzt Stabilität f¨ ur ρ = ∆t/(∆xk )2 k = 1, . . . , d bei ρ ≤

1 , 2d

Instabilität f¨ ur ρ >

1 . 2d

Beispiel 3.6 ADI f¨ ur ut = ∆u (d = 2). Wir greifen das in Abschnitt 2.2 beschriebene Verfahren auf (2.3) und wollen uns nun im folgenden Beispiel damit beschäftigen, dieses Verfahren in die vorliegende Theorie einzupassen. Als Grundraum wählen wir B = {u ∈ C00 ([0, 1] × [0, 1]), k · k∞ } DA = {C02 ([0, 1] × [0, 1]), k · k∞ } DA ist dicht in B. Als DC ergibt sich DC = {C06 ([0, 1] × [0, 1]), k · k∞ } (bei der Herleitung der Konsistenzordnung wurde die 6. partielle Ableitung in x (bzw. y-) Richtung benutzt.)

118


Die Konsistenz ergibt sich unmittelbar aus den bereits fr¨ uher hergeleiteten Beziehungen. Nun zur Stabilität! Wenn man x, y als kontinuierliche Variable interpretiert (Einschränkung auf das (∆x, ∆y)Gitter in [0, 1] × [0, 1] erfolgt erst beim Rechnen) hat man 1 1 1 1 un+ 2 (x, y) = un (x, y) + ρ2 un+ 2 (x − ∆x, y) − 2un+ 2 (x, y) + un+ 2 (x + ∆x, y) ρ n n n + 2 u (x − ∆x, y) − 2u (x, y) + u (x + ∆x, y) 1 1 1 1 un+1 (x, y) = un+ 2 (x, y) + ρ2 un+ 2 (x, y − ∆y) − 2un+ 2 (x, y) + un+ 2 (x, y + ∆y) ρ n+1 n+1 n+1 + 2 u (x, y − ∆y) − 2u (x, y) + u (x, y + ∆y) und damit f¨ ur ρ ≤ 1 1

1

(1 + ρ)kun+ 2 k∞ ≤ (1 − ρ)kun k∞ + ρkun+ 2 k∞ + ρkun k∞ d.h. 1

kun+ 2 k∞ ≤ kun k∞ und entsprechend 1

kun+1 k∞ ≤ kun+ 2 k∞ d.h.

kC(∆t)k∞ ≤ 1

und damit Stabilität und Konvergenz in k · k∞ .

F¨ ur d ≥ 2 erhält man bei dieser Vorgehensweise im allgemeinen Fall die Stabilitätsbedind gung ρ ≤ 2(d−1) Beispiel 3.7 Vollimplizites Verfahren f¨ ur das reine Anfangswertproblem einer parabolischen DGL ∂2 u(x, t) = ∂1 (a(x)∂1 u(x, t)) u(x, 0) = u0 (x) x∈R mit a ∈ C ∞ (R, R), a0 ∈ C0∞ (R, R) def a(x) > 0 x ∈ R. B = L2 (R, C), Vollimplizites Verfahren:

(d.h. kompakter Träger) DA = C02 (R, C), DC = C04 (R, C) •

•

•

•

119


Definiere mit T∆x = Shiftoperator in der Raumvariablen x um ∆x: H(∆x) ρ C(h) uν+1

∆x −1 ∆x ∆x ∆x )T∆x − (a(x + ) + a(x − ))I + a(x + )T∆x 2 2 2 2

def

=

a(x −

def

h (∆x)2

def

(I − ρH(∆x))−1 C(h)uν u0 = u0

=

= =

(h entspricht ∆t)

(Dies entspricht der Differenzengleichung uν+1 − uν − uν+1 − uν+1 ∆x uν+1 ∆x uν+1 1 i i−1 i a(xi + ) i+1 − a(xi − ) i = i ∆x 2 ∆x 2 ∆x ∆t i ∈ Z, ν = 0, 1, 2, . . . .) Behauptung: Das Verfahren ist f¨ ur alle ρ ∈ R+ stabil und von erster Ordnung konsistent. Wir zeigen zunächst die Stabilität, indem wir beweisen, daß kC(h)k ≤ 1. Wir beweisen f¨ ur f ∈ C 0 (R, C) ∩ L2 (R, C), daß kC(h)f k ≤ kf k. Da C 0 (R, C) ∩ L2 (R, C) dicht in L2 (R, C) folgt dann die erste Teilbehauptung aus dem Fortsetzungssatz. def

Mit g = C(h)f ist f (x) = g(x) − ρ a(x + |

∆x )(g(x 2

∆x )(g(x) 2

+ ∆x) − g(x)) − a(x − {z def

− g(x − ∆x)) }

= s(x)

Somit Z

∞ 2

2

Z

2

∞

g(x)s(x)dx = −∞

benötigte Stetigkeit

−→

R∞ −∞

a(x + |

g(x)s(x)dx + ρ2 ksk2

−∞

−∞

Es ist aber R∞

∞

g(x)s(x)dx − ρ

|f (x)| dx = kf k = kgk − ρ −∞

Z

∆x )g(x)(g(x 2

{z def

+ ∆x) − g(x)) − }

Subst. y = x + ∆x/2

120


−a(x − |

∆x )g(x)(g(x) 2

{z

− g(x − ∆x)) dx }

def

Subst. y = x − ∆x/2 =

R∞ −∞

a(x)g(x −

∆x )(g(x 2

+

∆x ) 2

− g(x −

∆x ))− 2

∆x )(g(x + ∆x ) 2 2 2 g(x − ∆x ) dx = 2

− a(x)g(x + =−

R∞

g(x + a(x) −∞

∆x ) 2

−

− g(x − ∆x )) dx 2 R∞ g(x)s(x)dx, −∞

d.h. kf k2 = kgk2 + 2ρ

R∞

g(x + a(x) −∞ |{z}

∆x ) 2

− g(x −

∆x 2 ) 2

dx + ρ2 ksk2

> 0, beschränkt, da a0 kompakten Träger hat ⇒ kf k ≥ kgk,

d.h.

kC(h)k ≤ 1

⇒

Stabilität.

Nun zur Konsistenz! Dazu wählen wir v ∈ C04 (R, C). Wir wollen zeigen, daß 1 kE(t h

+ h)(v) − C(h)E(t)(v)k ≤ Kh f¨ ur K = K(v) und 0 ≤ t ≤ T.

Es ist mit

C

−1

v(·, t + h) − C(h)v(·, t) = g(·) (h)g(·) = (I − ρH(∆x))v(·, t + h) − v(·, t)

d.h. kgk ≤ k(I − ρH(∆x))v(·, t + h) − v(·, t)k Aber mit s1 (x + ∆x, t + h) = a(x + ∆x )(v(x + ∆x, t + h) − v(x, t + h)) 2 s(x + ∆x, t + h) = s (x + ∆x, t+ h) − s1 (x 1 − ∆x, t + h) 1 h

v(x, t + h) − ρ s(x + ∆x, t + h) − v(x, t) = = vt (x, t + h) − vtt (x, t + θ1 h)h/2 −

1 s(x (∆x)2

+ ∆x, t + h).

Ferner ist nach dem Taylor’schen Satz (Entwicklung bzgl. der Variablen θ) mit ϕ(θ) ϕ(1)

def

= =

s(x + θ∆x, t + h) : ˜ ϕ(0) + ϕ0 (0) + ϕ00 (0)/2 + ϕ000 (0)/6 + ϕ(4) (θ)/24 mit θ˜ ∈]0, 1[

121


Ferner gilt mit den Abk¨ urzungen ( 0 bedeutet Differentiation bez¨ uglich x) a± v± a v ϕ(θ) ϕ0 (θ) ϕ00 (θ) ϕ000 (θ) ϕ(4) (θ)

def

=

a(x ± θ ∆x , t + h), 2

def

v(x ± θ∆x, t + h),

=

def

=

a(x),

def

= = = = =

v(x, t + h) a− v− − (a+ + a− )v + a+ v+ 0 0 ∆x(− 12 a0− v− − a− v− − 12 (a0+ − a0− )v + 12 a0+ v+ + a+ v+ ) 2 1 00 0 0 00 00 0 00 1 00 1 00 (∆x) ( 4 a− v− + a− v− + a− v− − 4 (a+ + a− )v + 4 a+ v+ + a0+ v+ + a+ v + ) 3 000 000 1 000 3 00 0 3 0 00 1 000 (∆x) (− 8 a− v− − 4 a− v− − 2 a− v− − a− v− − 8 (a+ − a− )v 000 3 00 0 3 0 00 + 18 a000 + v+ + 4 a+ v+ + 2 a+ v+ + a+ v+ ) (4) 0 0 000 1 (4) 3 00 00 (∆x)4 16 a− v− + 12 a000 − v− + 2 a− v− + 2a− v− + a− v− (4) (4) (4) 0 0 000 1 1 (4) 3 00 00 − 16 (a+ + a− )v + 16 a+ v+ + 12 a000 v + a v + 2a v + a v + + + + + + 2 + +

=

d.h. ϕ(0) = 0,

ϕ0 (0) = 0,

1 00 ϕ (0) 2

= (∆x)2 (a0 v 0 + av 00 ),

ϕ000 (0) = 0.

Somit wird −

1 s(x + ∆x, t + h) = −(a0 v 0 + av 00 )(x, t + h) − 2 (∆x)

1 (∆x)2 χ(x 24

+ θ∆x, t + h)

Aufgrund der Voraussetzungen an a und v kann man zeigen, daß χ betragsmäßig abschätzbar ist durch eine bez¨ uglich x quadratintegrierbare Funktion, d.h. ∃K :

|χ(x + θx ∆x, t + h)| ≤ K(x)

mit

Z

∀ 0 ≤ t + h ≤ T,

∞

K 2 (x)dx < ∞.

−∞

Ferner ist auch

Z

∞

vtt2 (x, ·)dx < K1 < ∞

−∞

und somit 1 kE(t h

+ h)(v) − C(h)E(t)(v)k ≤ hK1 + (∆x)2 kKk/24 = h(K1 + kKk/24 · ρ1 )

d.h. es ist Konsistenz bewiesen und f¨ ur ηj hj = t ∈ [0, T ] und u0 ∈ DC konvergiert das ∆t Verfahren von erster Ordnung in h, falls ρ = (∆x) 2 > 0 fest, sonst aber beliebig.

122


Bemerkung 3.6 Das vollimplizite Verfahren f¨ ur das reine Anfangswertproblem der parabolischen DGL ist nat¨ urlich nur von theoretisch-modellhaften Charakter, da es praktisch nicht durchf¨ uhrbar ist. Hier hängen ja die Werte auf der ersten Zeitschicht auch bei festem endlichen ∆x von allen u0 -Werten auf dem Anfangsgitter ab, d.h. man hätte ein unendliches Gleichungssystem pro Zeitschicht. Als weiteres Beispiel soll nun noch eine einfache hyperbolische Gleichung dienen, nämlich die Konvektionsgleichung mit variablen Koeffizienten: a ∈ C ∞ (R, R),

∂2 u(x, t) = a(x)∂1 u(x, t),

0 < |a(x)| ≤ K

∀x ∈ R.

Beispiel 3.8 Friedrichs-Verfahren: 1 h

u(x, t + h) −

1 (u(x 2

a(x) u(x + ∆x, t) − u(x − ∆x, t) + ∆x, t) + u(x − ∆x, t)) ≈ 2∆x

Also

h 1 − ρa(x) −1 1 + ρa(x) T∆x + T∆x mit ρ = 2 2 ∆x Als Banachraum legen wir wieder B = L2 (R, R) zugrunde. DA = C 1 (R, R) ∩ L2 (R, R) Behauptung: Das Friedrichs-Verfahren ist konsistent von der Ordnung 1 und stabil f¨ ur 1 2 ¨ ρ ≤ K . Wir beweisen zunächst die Konsistenz. Dazu wählen wir DC = C0 (R, R). Ahnlich wie in Beispiel 3.7 setzen wir (mit v ∈ DC ) def 1 ϕ(θ) = 2 v(x + θ∆x, t) + v(x − θ∆x, t) + ρa(x)(v(x + θ∆x, t) − v(x − θ∆x, t)) C(h) =

mit ϕ(1) = C(h)v(x, t), ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ0 (0) + ϕ00 (θ)/2, θ ∈]0, 1[, ϕ(0) = v(x, t), 0 1 ϕ (0) = 2 ∆x ∂1 v(x, t) − ∂1 v(x, t) + 2ρa(x)∂1 v(x, t) = ha(x)∂1 v(x, t). Mit v ∈ C02 (R, R) ist auch E(t)v ∈ C02 (R, R), (∆x ≤ 1)

1

d.h. f¨ ur t ∈ [0, T ] kann man abschätzen

1 |ϕ00 (θ)| ≤ L(x) mit L ∈ L2 (R, R) (∆x)2 L(x) = ( sup |vxx (x + y, t)|) · (1 + ρK) y∈[−1,1] t∈[0,T ]

1

Rx u(x, t) = w( 0

1 a(ξ) dξ

Z x 1 def + t) mit w ( dξ) = u0 (x) d.h. w(x) = u0 (ϕ−1 (x)). 0 a(ξ) | {z } ϕ(x)

123


Somit wird h2 2 ∂ v(x, t + θ1 h) 2 2 −v(x, t) − ha(x)∂1 v(x, t) − ϕ00 (θ)/2| ≤ h2 |∂22 v(x, t + θ1 h)| + h1 (∆x)2 L(x)/2 ≤ h2 |∂22 v(x, t + θ1 h)| + h L(x)/(2ρ2 ) 1 |v(x, t h

+ h) − C(h)v(x, t)| = h1 |v(x, t) + h∂2 v(x, t) +

und da auch ∂22 v(x, t + θ1 h) quadratintegrabel ist (bzgl. x), folgt die erste Teilbehauptung. Zum Beweis der Stabilität sei f ∈ L2 (R, R). Es ist C(h)(f )(x) = kC(h)f k2 =

≤

1 (f (x + ∆x) + f (x − ∆x)) + ρ2 a(x)(f (x + ∆x) − f (x 2 Z ∞ 1 |f (x + ∆x) + f (x − ∆x)|2 dx 4 −∞ Z ∞ ρ2 +4 a2 (x)|f (x + ∆x) − f (x − ∆x)|2 dx Z −∞ ∞ ρ 2 2 +2 a(x) |f (x + ∆x)| − |f (x − ∆x)| dx −∞ Z ∞ 2 2 1 |f (x + ∆x)| + |f (x − ∆x)| dx 2 −∞ Z ∞ ρ 2 2 +2 a(x − ∆x)|f (x)| − a(x + ∆x)| f (x)| dx −∞

− ∆x))

(wegen |ρa(x)| ≤ 1 und |α + β|2 + |α − β|2 = 2 |α|2 + |β|2 und der Argumentverschiebung im 2. Integral) ˜ k2 ≤ kf k2 + ρ∆xKkf ˜ Also wegen (wegen |a(x − ∆x) − a(x + ∆x)| = |2∆xa0 (x + θ∆x)| ≤ 2∆xK). ρ∆x = ∆t = h ˜ kC(h)f k2 ≤ (1 + hK)kf k2 Dies ergibt kC(h)k ≤

p

˜ ≤ exp(hK/2) ˜ 1 + hK

und somit

def

˜ kC(h)n k ≤ kC(h)kn ≤ exp(T K/2) = K∗ Damit ist die Stabilität des Verfahrens bewiesen.

f¨ ur nh ≤ T.

Ein anderes bewährtes Verfahren f¨ ur die Konvektionsgleichung ist das Verfahren von CourantIsaacson-Rees: (CIR) 1 1 (u(x, t + h) − u(x, t)) ≈ (a(x))+ (u(x + ∆x, t) − u(x, t)) + (a(x))− h ∆x ·(u(x, t) − u(x − ∆x, t))

124


Dieses Verfahren hat die gleichen Stabilitätseigenschaften wie das Friedrichs-Verfahren und ist ebenfalls konsistent von der Ordnung 1. y f¨ ur y ≥ 0 0 f¨ ur y ≥ 0 (y)+ = und entsprechend (y)− = 0 sonst y sonst. Das “naive” Verfahren u(x, t + h) − u(x, t) = 12 ρa(x)(u(x + ∆x, t) − u(x − ∆x, t)) 1 n• h −1 •

• −ρ/2

• ρ/2

ist dagegen instabil. Das Friedrichs-Verfahren und das CIR-Verfahren kann man auch so schreiben: u(x, t + h) − u(x, t) = 12 ρa(x) u(x + ∆x, t) − u(x − ∆x, t) + 12 u(x + ∆x, t) − 2u(x, t) + u(x − ∆x, t) bzw.:

u(x, t + h) − u(x, t) = u(x + ∆x, t) − u(x − ∆x, t) + 12 ρ|a(x)| u(x + ∆x, t) − 2u(x, t) + u(x − ∆x, t) 1 ρa(x) 2

¨ (Ubg.) Man erkennt, daß gegen¨ uber dem instabilen naiven Verfahren ein Term 12 (∆x)2 ∂12 u(x+ 1 2 2 θ∆x, t) bzw. 2 ρ|a(x)|(∆x) ∂1 u(x + θ∆x, t) hinzukommt, den man als Diskretisierung von ε(x, h)∂12 u(x, t) mit ε → 0 auffassen kann, also eine Diskretisierung eines parabolischen (und damit glättenden) Anteils. Man nennt solche Terme numerische Viskosit¨ at. Sie beeinträchtigen die Konsistenzordnung nicht und wirken gen¨ ugend glättend, um das naive Verfahren zu stabilisieren. Bei Verfahren höherer Ordnung ist die Bestimmung geeigneter Terme f¨ ur numerische Viskosität schwierig.

125

3.3. Mehrschrittverfahren

3.3

Mehrschrittverfahren

Die Theorie in Abschnitt 3.1 wurde nur f¨ ur Einschrittverfahren formuliert. Mehrschrittverfahren, von denen ja bereits einige Beispiele gebracht wurden, paßt man in diese Theorie ein, indem man sie in der von gewöhnlichen DGLen her schon bekannten Weise als Einschrittverfahren f¨ ur eine Funktion in einem Produktraum umschreibt. Sei die Anfangswertaufgabe 0≤t≤T u0 ∈ B

ut = Au u(t, 0) = u0 ,

DA ⊂ B

dicht in B

vorgegeben und das Mehrschrittdifferenzenverfahren habe die Form Dq uq+ν + Dq−1 uq−1+ν + · · · + D0 uν = 0,

ν = 0, 1, . . .

(3.1)

Dabei sind die Di lineare und beschränkte Operatoren auf B und Dq sei umkehrbar. (Die Di bauen sich wieder aus Linearkombinationen von Potenzen des Shiftoperators T∆x auf. Bei gegebener fester Beziehung zwischen h = ∆t und den ∆xj sind die Di dann noch vom Parameter h abhängig.) Mit

def

Cj = −Dq−1 · Dj

j = 0, . . . , q − 1 Cj = Cj (∆t)

erhält man u

q+ν

=

q X

Cq−i uq+ν−i

i=1 q

Nun betrachten wir den Produktraum B mit der Norm w ∈ B q : def

k |w| k2 =

q X

kwi k2

k · k Norm in B

i=1

Setzen wir



wν+1

 uq+ν def   =  ...  uν+1

(∈ B q )

dann ist das Mehrschrittverfahren in B äquivalent zum Einschrittverfahren wν+1 = C(∆t)wν mit

   C(∆t) =   

Cq−1 Cq−2 · · · C0 I 0 0 0 I 0 .................... 0 0 ··· I

     

126


C(∆t) ist nach Definition und nach Konstruktion von ||| · ||| ein beschränkter linearer Operator von B q in B q . Um das Verfahren zu starten, benötigt man den Anfangsvektor w0 . Wir stellen uns zunächst vor, die exakte Lösung sei auf ersten q Zeitschichten bekannt, d.h. 

 u0   w0 = S  ...  u0



 E((q − 1)h) · · · 0 def   ... mit S =   0 · · · E(h)I

Dann wird 

 u0   wν = C(h)ν S  ...  u0 während die entsprechend gebildete Größe aus den wahren Werten geschrieben werden kann als     E(h) · · · 0 u0     .. Eq (h) =  w(νh) = Eq (h)ν S  ...   . 0 0 · · · E(h) u Es ist also offensichtlich das Verhalten von C(h)ν − Eq (h)ν entscheidend f¨ ur das Verfahren. Berechnet man die ersten q Zeitschichten mit einem anderen Verfahren, dann hat man in der Formel f¨ ur wν noch einen zusätzlichen Term C(h)ν ∆w0 . Wir sehen voraus, daß |||∆w0 ||| −→ 0. h→0

Dann beeinflußt dieser Fehler Stabilität und Konvergenz des Verfahrens nicht, allenfalls die Konvergenzordnung. Definition 3.11 Das Verfahren (3.1) heißt konsistent zur AWA, wenn es eine Menge ¯ C = B gibt mit E(t)u0 klassische Lösung f¨ DC ⊂ B, D ur jedes u0 ∈ DC und 1 |||(C(h) − Eq (h))S u˜(t)||| = 0 gleichmäßig in t ∈ [0, T ] h→∞ |h|   u0 def   wobei u˜(t) = Eq (t)  ...  ∈ B q . u0 lim

127

3.3. Mehrschrittverfahren

Definition 3.12 Das Verfahren (3.1) heißt konvergent, wenn f¨ ur jede Nullfolge {hj } und {nj } ⊂ N mit nj hj → t ∈ [0, T ] gilt     u0 u0     lim |||C(hj )nj (S  ...  + ∆w0 ) − Eq (t)  ...  ||| = 0 j→∞ ∆w0 →0 u0 u0

Definition 3.13 Die Schar von Differenzenoperatoren MD = {C(h) :

0 < h ≤ h0 }

heißt stabil, falls |||C(h)n ||| ≤ K f¨ ur 0 < h ≤ h0 und 0 ≤ nh ≤ T mit einer von h und n unabhängigen Konstanten K.

Satz 3.9 Die AWA sei sachgemäß gestellt und das Mehrschrittverfahren sei konsistent. Dann ist das Verfahren genau dann konvergent, wenn MD stabil ist. Beweis: analog zum Beweis in Satz 3.1.1 . Die zusätzlichen Betrachtungen sind analog zu denen bei MSV f¨ ur gewöhnliche DGLen. Der Beweis kann z.B. im Buch von Richtmyer und Morton (Abschnitt 7.3) nachgelesen werden.

Wir betrachten jetzt einige Beispiele von MSV. Zunächst formen wir MSV f¨ ur die Aufgabe ut = uxx u(x, 0) = u0

x ∈ R,

0 0 fest. P (B, T, A) sei sachgemäß gestellt. (i) Die Folge MD = {(Bν , rν , Cν ) ν ∈ N0 } heißt streng endliches Differenzenverfahren, wenn gilt Bν ist ein endlich-dimensionaler Banachraum mit der Norm k · k(ν) rν ist eine lineare Abbildung (Restriktion) von B in Bν und limν→∞ krν (c)k(ν) = kck (∀c ∈ B) Cν : Bν → Bν linear, Cν = Cν (hν ) und hν+1 = hν /kν , kν ∈ N\{1} (Konkret ist Cν definiert mit Hilfe von Zeitschrittweiten hν und Shiftoperatoren T(∆xk ),ν . Die Gitter {jhν } sind kohärent.) (ii) MD heißt konsistent, wenn es einen in B dichten Teilraum DC gibt mit DC ⊂ DE0 , so daß f¨ ur c ∈ DC gilt lim

ν→∞

1 kCν ◦ rν E0 (t)(c) − rν ◦ E0 (t + hν )(c)k(ν) = 0 hν

glm. in [0, T ]

(iii) MD heißt stabil, wenn die Menge {kCνn k(ν) :

ν ∈ N0 ,

n ∈ N,

nhν ≤ T }

beschränkt ist. (iv) MD heißt konvergent, wenn f¨ ur alle t ∈ [0, T ] mit t = nν hν f¨ ur ein nν ∈ N0 und ein ν ∈ N0 gilt: lim kCµnµ ◦ rµ (c) − rµ ◦ E0 (t)(c)k(µ) = 0

µ→∞

nµ hµ = nν hν

131

3.4. Ergänzungen zur Lax-Richtmyer-Theorie

Es gilt: Satz 3.11 Ist ein streng endliches Differenzenverfahren konsistent und stabil, dann ist es auch konvergent. (Beweis siehe bei Meis-Marcowitz) Wir betrachten nun noch inhomogene lineare Anfangswertaufgaben u0 (t) = A(u(t)) + g(t) u(0) = u0

t ∈ [0, T ]

(3.2)

Es ergibt sich, daß die Konsistenz und Stabilität f¨ ur das homogene Problem ( g ≡ 0 ) ausreicht, um die Konvergenz auch f¨ ur die inhomogene Aufgabe sicherzustellen. P (B, T, A) sei im folgenden eine sachgemäß gestellte Anfangswertaufgabe (3.2). Von der Inhomogenität g:

[0, T ] → B

setzen wir Stetigkeit voraus und benutzen als Norm k|g|k = max kg(t)k, t∈[0,T ]

wobei k · k die Norm in B ist. Bemerkung 3.7 In den Anwendungen tritt zunächst in der Regel ein Anfangsrandwertproblem auf, das geschrieben werden kann als u(t) ˙ = A(u(t)) + g(t) t ∈ [0, T ] A1 u(t) = h(t) (Randwerte) u(0) = u0 u0 ∈ B (Anfangswerte) Dabei ist A1 ein linearer Operator, der die Projektion von B auf die Randwerte (in den Raumkoordinaten) darstellt. Die Randvorgaben sind hier also inhomogen. Sei nun eine hinreichend glatte Funktion w bekannt mit A1 w(t) = h(t) t ∈ [0, T ] und

def

v = u − w. Dann bekommt man v(t) ˙ = Av(t) + g˜(t) A1 v(t) = 0 v(0) = u0 − w(0)

t ∈ [0, T ]

132


mit g˜(t) = g(t) + Aw(t) − w(t) ˙ (d.h. w muß in DA liegen). Definiert man nun ˜ A def D = DA ∩ {v ∈ B :

A1 v = 0}

Ã : dann kann man schreiben: Gesucht v˜ ∈ D ˜˙ v(t) = A˜ v (t) + g˜(t) v˜(0) = u0 − w(0) d.h. man hat jetzt ein reines Anfangsproblem in einem modifizierten Funktionenraum, allerdings mit inhomogener DGL auch f¨ ur g ≡ 0. Wir betrachten also weiter unser inhomogenes Anfangswertproblem (3.2). Wir erinnern zunächst an die Lösungsformel f¨ ur eine skalare lineare inhomogene Differentialgleichung y(t) ˙ = λy(t) + g(t), y(0) = y0 Z t e(t−s)λ g(s) ds y(t) = eλt y0 + 0

Dem Term eλt entspricht in unserem Fall hier der Operator E(t) und man nennt def

Z

t

E(t − s)g(s) ds

u(t) = E(t)(u0 ) +

(3.3)

0

die verallgemeinerte L¨ osung der AWA (3.2). Diese verallgemeinerte Lösung ist (im Sinne der Differenzierbarkeit in B) bei beliebigem g ∈ C([0, T ], B) nicht differenzierbar. Nur wenn g “gen¨ ugend glatt” ist, kann man tatsächlich differenzieren: Definition 3.15 Es sei def

DA˜ = A˜ :

{c ∈ B : u(t) = E(t)(c) ist differenzierbar f¨ ur t = 0} 0 A|DA˜ → B und c 7→ u (0)

Bemerkung 3.8 F¨ ur c ∈ DA˜ ist u u ¨berall in [0, T ] differenzierbar wegen 1 (u(t1 h

+ h) − u(t1 )) = E(t1 ) h1 (E(h)(c) − c)

133

3.4. Ergänzungen zur Lax-Richtmyer-Theorie

Mit beliebigem g ∈ C([0, T ], B) definieren wir Z ∞ def g˜(t) = ϕ(r)E(r)(g(t)) dr 0

Dabei sei T r(ϕ) ⊂]0, T [ und ϕ ∈ C ∞ (R, R). Man nennt g˜ eine Regularisierung von g. Man kann ϕ so konstruieren, daß bei gegebenem ε > 0 k˜ g (t) − g(t)k < ε ∀t ∈ [0, T ]. Benutzt man g˜ als Inhomogenität anstelle von g, dann hat man Differenzierbarkeit der verallgemeinerten Lösung (3.3), d.h. auf DA˜ d dt

Z

t

Z t ˜ E(t − s)(˜ g (s))ds = g˜(t) + A E(t − s)(˜ g (s))ds

0

d.h. letztendlich f¨ ur u0 ∈ DA˜

0

˜ u(t) ˙ = Au(t) + g˜(t)

Den Beweis dieser Beziehung und des nachfolgenden Satzes kann man bei Meis-Marcowitz nachlesen. Satz 3.12 Gegeben sei u0 ∈ B, g ∈ C([0, T ], B) und ein konsistentes und stabiles Differenzenverfahren MD = {C(h) : 0 < h ≤ h0 } f¨ ur die sachgemäß gestellte Anfangswertaufgabe P (B, T, A). Ferner gelte lim hj →0 hj nj = t ∈ [0, T ], und Θ ∈ [0, 1] fest. Dann konvergiert die Lösung nj →∞

u(nj ) der Differenzengleichung u(0) = u0 (ν) u = C(hj )(u(ν−1) ) + hj g(νhj − Θhj ),

ν = 1, . . . , nj

f¨ ur j → ∞ gegen die verallgemeinerte Lösung (3.3) der AWA (3.2).

134

3.5


Kriterien fu at von Differenzenverfah¨ r die Stabilit¨ ren

Aus der bisher dargestellten Theorie folgt, daß es gen¨ ugt, Konsistenz und Stabilität eines Differenzenverfahrens zu beweisen, um die Konvergenz sicherzustellen. Die Konsistenz folgt in einfachster Weise aus der Verfahrenskonstruktion (mittels des Taylor’schen Satzes). Es bleibt somit “nur” noch die Aufgabe, nach einfachen hinreichenden bzw. notwendigen Kriterien f¨ ur die Stabilität, d.h. f¨ ur die gleichmäßige Beschränktheit der Operatorenfamilie {C(h)n :

0 < h ≤ h0

nh ≤ T }

zu suchen. Im Spezialfall einer DGL mit konstanten Koeffizienten gelingt dies mittels der Methode der Fouriertransformation, die wir im Folgenden besprechen werden. Auch f¨ ur nichtkonstante Koeffizienten und sogar f¨ ur nichtlineare Probleme gibt es einzelne Resultate, in diesen Fällen läßt sich aber oft die Stabilität im Einzelfall direkt einfacher zeigen, als das Vefahren erst in die allgemeine Theorie einzupassen. Wir beginnen unsere Darstellung mit einigen Ergebnissen aus der Theorie der Fouriertransformation. Die gesamte Darstellung kann ganz analog auf mehrere räumliche Veränderliche u ¨bertragen werden. Im folgenden ist B einer der Räume L2 (R, Cn ),

L2 ((0, 2π), Cn ),

L2 ((0, π), Cn ).

Damit, der allgemeinen Theorie entsprechend, der Translationsoperator T∆x auch im Falle L2 ((0, 2π), Cn ) und L2 ((0, π), Cn ) beliebig angewendet werden kann, denken wir uns die Funktionen entsprechend fortgesetzt: f (x + 2π) = f (x) f (x + 2π) = f (x) f (x) = −f (−x)

(∀x ∈ R)

f¨ ur

f ∈ L2 ((0, 2π), Cn )

(∀x ∈ R)

f¨ ur

f ∈ L2 ((0, π), Cn )

Durch diese Fortsetzung wird der Raum L2 ((0, π), Cn ) zu einem abgeschlossenen Teilraum von L2 ((0, 2π), Cn ). Funktionen f aus L2 ((0, 2π), Cn ) und L2 ((0, π), Cn ) sollen entsprechend dieser Einbettung k-mal stetig differenzierbar heißen, wenn ihre Fortsetzungen auf R k-mal stetig differenzierbar sind, d.h. also insbesondere auch periodisch. F¨ ur L2 ((0, π), Cn ) ergeben sich dann auch automatisch Nullrandbedingungen f¨ ur die geradzahligen Ableitungen: f (2ν) (0) = f (2ν) (π) = 0 ν = 0, . . . , (k/2) f ∈ C k (R, Cn ) ∩ L2 ((0, π), Cn )

135

3.5. Kriterien f¨ ur die Stabilität von Differenzenverfahren

Satz 3.13 Die Abbildung (Fourierentwicklung) L2 ((0, 2π), Cn ) → l2 (Cn ) n l2 (Cn ) = {a(ν)}ν∈Z , a(ν) ∈ Cn F2π,n

:

∞ X

|a(ν)|2 < ∞, i = 1, . . . , n

o

ν=−∞

definiert durch f 7→ {a(ν) : ν ∈ Z} Z 2π 1 def a(ν) = √ f (x) exp(−iνx) dx 2π 0

i=

√

−1

ist ein normtreuer Isomorphismus des L2 ((0, 2π), Cn ) auf den l2 (Cn ) (d.h. F2π,n ist linear, surjektiv, injektiv und erf¨ ullt kF2π,n (f )k = kf k) n Ist a ∈ l2 (C ) gegeben und setzt man µ 1 X fµ (x) = √ a(ν) exp(iνx) 2π ν=−µ

µ = 0, 1, . . .

dann ist die Folge {fµ } eine Cauchyfolge in L2 ((0, 2π), Cn ). Sei f der Grenzwert von {fµ }. Die Zuordnung a 7→ f wird als inverse Fourierentwicklung bezeichnet (F−1 2π,n ). Wenn f stetig und von beschränkter Variation ist auf [0, 2π], dann konvergiert fµ → f sogar gleichmäßig. Falls f ∈ L2 ((0, π), Cn ), dann gilt a(ν) = −a(−ν) ∀ν ∈ Z. F¨ ur periodische Funktionen bzw. periodische Fortsetzungen von auf einem Intervall definierten quadratintegrablen Funktionen hat man somit in der Fourierentwicklung ein einfaches formales Hilfsmittel zur Beschreibung. Dieses Hilfsmittel werden wir dann auf Funktionen (C(h))k (u0 ) mit u0 ∈ B anwenden. Sind die Funktionen nicht periodisch, dann tritt an die Stelle der Fourierentwicklung die Fouriertransformation. Rein formal ist die Fouriertransformation einer quadratintegrablen Funktion f definiert durch Z ∞ 1 def def g(u) = √ exp(−iux)f (x) dx ( = Fn (f )(u)) f : R → Rn 2π −∞ F¨ ur jede Stelle x, an der f endlich ist, gilt dann Z ∞ 1 def def f (x) = √ exp(ixu)g(u) du ( = F−1 n (g)(x)) 2π −∞

136


Genauer: Satz 3.14 (Fouriertransformation) Es sei f ∈ L2 (R, Cn ) und gµ (y)

def

=

√1 2π

Rµ

def

√1 2π

Rµ

−µ

f (x) exp(−iyx) dx µ ∈ N,

fµ (y)

=

−µ

y∈R

g(x) exp(iyx) dx

Dann sind die Folgen gµ und fµ Cauchyfolgen in L2 (R, Cn ) mit Grenzwerten g und f . Die Zuordnung f 7→ g und g 7→ f sind normtreue Automorphismen von L2 (R, Cn ) auf sich. Die zweite Abbildung ist die Umkehrung der ersten. Wenn f bzw. g kompakten Träger haben, konvergieren die Folgen auch punktweise, sonst im allgemeinen nur im Mittel. F¨ ur die Fourierentwicklung und die Fouriertransformation gelten einige n¨ utzliche Rechenregeln: def

Satz 3.15 F¨ ur ∆x ∈ R+ sei ε∆x : R → C erklärt durch ε∆x (x) = exp(ix∆x). Dann gilt: F2π,n (T∆x (f ))(ν) = ε∆x (ν)F2π,n (f )(ν) Fn (T∆x (f ))(u) = ε∆x (u)Fn (f )(u)

(ν ∈ Z), f ∈ L2 ((0, 2π), Cn ) (f ∈ L2 (R, Cn ))

Bemerkung 3.9 Man kann völlig analog auch Fourierentwicklungen und -Transformationen f¨ ur mehrere Raumvariablen betrachten, doch werden wir dies hier nicht benutzen. Wir betrachten nun zu einer linearen Anfangswertaufgabe eine (implizite) Differenzenapproximation der Form C(h) =

k X

ν Bν (x, h)T∆x

ν=−k

k −1 X ν · Aν (x, h)T∆x ν=−k

Dabei sind Bν , Aν reelle n × n-Matrizen und mit λ ∈ R+ fest. ∆x = ∆x =

h λ q

(hyperbolischer Fall) h λ

(parabolischer Fall)

Bei der Anwendung der Fouriertransformation denken wir uns die Variable x in den Koeffizienten “eingefroren“. Die Rechtfertigung daf¨ ur liefert der später angef¨ uhrte Satz von Lax-Nirenberg.

137


Definition 3.16 Die durch die Vorschrift G(h, y, x) :=

k X

k −1 X exp(iνy∆x)Bν (x, h) · exp(iνy∆x)Aν (x, h)

ν=−k

ν=−k

definierte n × n-Matrix heißt die dem Differenzenverfahren MD = {C(h) :

0 < h ≤ h0 }

zugeordnete Amplifikationsmatrix. Dabei ist x ∈ I = R oder (0, 2π) oder (0, π)  ur I = R  R f¨ Z f¨ ur I = (0, 2π) y∈F =  N f¨ ur I = (0, π) Sind die Koeffizientenmatrizen des Differenzenverfahren alle x-unabhängig, so schreibt man auch kurz G(h, y) statt G(h, y, x).

Satz 3.16 Ein Differenzenverfahren mit ortsunabhängigen Koeffizienten ist genau dann stabil, wenn es eine Konstante K ∈ R+ gibt mit kG(h, y)ν k2 ≤ K

0 < νh ≤ T,

ν ∈ N,

h ≤ h0 ,

y ∈ F.

Beweis: 1.Fall B = L2 (R, Cn ), I = R, F = R. (Anfangswertproblem auf der reellen Achse) a. (3.4) ist hinreichend. def

Sei g = (C(h))(f ) mit f ∈ B. Dann folgt wegen der Ortsunabhängigkeit Fn

X k

ν Bν (h)T∆x

g(.) =

ν=−k

k X

Bν (h)εν∆x (.)Fn (g)(.)

ν=−k

= Fn

X k

ν Aν (h)T∆x

f (.)

ν=−k

=

k X

Aν (h)

ν=−k

also Fn (g) = G(h, .)Fn (f )

εν∆x (.) Fn (f )(.) | {z } exp(i(·)ν∆x)

(3.4)

138

3. Die Stabilitätstheorie von Lax und Richtmyer ERG und entsprechend Fn (C(h))ν (f ) = Gν (h, .)Fn (f ) Da Fn normtreu ist, folgt k(C(h))ν (f )k = kFn (C(h))ν (f ) k = kGν (h, .)Fn (f )k ≤ sup kGν (h, y)k · kFn (f )k ≤ Kkf k y∈R

und da f beliebig war, folgt die Behauptung. b. (3.4) ist notwendig. Indirekter Beweis: Es existiere f¨ ur beliebiges K ∈ R+ ein w ∈ R, ein h1 ∈]0, h0 [, ein l ∈ N mit h1 l ≤ T , so daß kG(h1 , w)l k2 > K. Sei

def

S(y) = G(h1 , y)l , und

d.h. S(w) = G(h1 , w)l

def

λ = kS(w)k2 > K Nun gilt: (a) ∃ v ∈ Cn mit v H S H (w)S(w)v = λ2 v H v (b) ∃ fˆ ∈ L2 (R, Cn ),

fˆ stetig mit fˆ(w) = v

d.h. fˆ(w)H S H (w)S(w)fˆ(w) > K 2 fˆ(w)H fˆ(w) Da fˆ stetig sein soll ∃ [w0 , w1 ] mit w0 < w < w1 und fˆ(u)H S H (u)S(u)fˆ(u) > K 2 fˆ(u)H fˆ(u)

∀u ∈ [w0 , w1 ]

Sei f (y) g

fˆ(y) y ∈ [w0 , w1 ] 0 sonst

def

def

F−1 n (f )

= =

Nach Konstruktion ist kS(·)f k2L2 > K 2 kf k2L2 Somit Kkgk = Kkf k < kS(·)f k = kG(h1 , .)l Fn (g)k = kFn (C(h1 )l g)k = k(C(h1 ))l gk Das Differenzenverfahren kann also nicht stabil sein.

139

3.5. Kriterien f¨ ur die Stabilität von Differenzenverfahren 2. Fall: B = L2 ((0, 2π), Cn ), Dann ist

F=Z

B = L2 ((0, π), Cn ),

bzw.

F = N.

j F2π,n (T∆x (f ))(ν) = exp(iνj∆x)F2π,n (f )(ν) k X

j Bj (h)F2π,n (T∆x (f ))(ν)

= F2π,n (

j=−k

k X

j Bj (h)T∆x (f ))(ν)

j=−k k X

=

Bj (h) exp(iνj∆x)F2π,n (f )(ν)

j=−k

Analog F2π,n (

k X

j Aj (h)T∆x (g))(ν) =

j=−k

k X

Aj (h) exp(iνj∆x)F2π,n (g)(ν)

j=−k

Definiert man also f durch def

f = (C(h))(g) dann ist F2π,n (f )(ν) =

k X

k −1 X Bj (h) exp(iνj∆x) Aj (h) exp(iνj∆x) F2π,n (g)(ν)

j=−k

j=−k

= G(h, ν)F2π,n (g)(ν) und entsprechend f¨ ur f F2π,n (f )(ν)

def

=

(C(h))m (g)

=

G(h, ν)m F2π,n (g)(ν)

Somit

kf k2 =

X

kF2π,n (f )(ν)k2 =

ν∈F

X

kG(h, ν)m F2π,n (g)(ν)k2

ν∈F

≤ sup kG(h, ν)m k2 ν∈F

≤

X

kF2π,n (g)(ν)k2

ν∈F m

sup kG(h, ν) k

2

kgk2

ν∈F

d.h. aus der gleichmäßigen Beschränktheit von kG(h, ν)m k folgt die Stabilität. Umgekehrt existiert zu jedem ν und m mit hm ≤ T ein gν,m ∈ Cn mit kG(h, ν)m gν,m k = kG(h, ν)m k, Sei

kgν,m k = 1

1 def g(x) = √ gν,m exp(iνx) 2π

140


Dann wird kgk = kgν,m k = 1 und kC(h)m k ≥ kC(h)m (g)k = kf k = F2π,n (f )(ν)k = kG(h, ν)m F2π,n (g)(ν)k = kG(h, ν)m gν,m k = kG(h, ν)m k d.h. aus der Unbeschränktheit von kG(h, ν)m k folgt die Instabilität des Verfahrens MD .

Bemerkung 3.10 Aufgrund der Einbettung durch periodische Fortsetzung ist ein Verfahren, das in L2 (R, Cn ) stabil ist, auch in L2 ((0, 2π), Cn ) bzw. L2 ((0, π), Cn ) stabil. (Die Umkehrung gilt nicht, doch sind diese pathologischen Fälle ohne praktisches Interesse). Man untersucht deshalb die Stabilität der Verfahren stets anhand der Matrizen G(h, y) mit y ∈ R. Die Frage der Stabilität von Differenzenverfahren ist damit zur¨ uckgef¨ uhrt auf die Frage der Beschränktheit von Matrizenpotenzen in der euklidischen Norm, die immer noch schwierig genug zu behandeln ist. Zunächst ein einfaches notwendiges Kriterium: Satz 3.17 (von Neumann-Bedingung) Es sei MD ein Differenzenverfahren mit ortsunabhängigen Koeffizienten. Es seien λj (h, y) die Eigenwerte von G(h, y) %(h, y) = maxj=1(1)n |λj (h, y)| der Spektralradius von G(h, y). Notwendig f¨ ur die Stabilität des Differenzenverfahrens ist %(h, y) ≤ 1 + Kh,

(∀y,

0 < h ≤ h0 )

Beweis: MD sei stabil und somit nach Satz 3.16 ˜ %m (h, y) ≤ kG(h, y)m k ≤ K

∀y, ∀m, h :

mh ≤ T

Somit ˜ 1/m %(h, y) ≤ K ˜ ≥ 1 angenommen werden. Da m maximal gewählt werden kann mit mh ≤ T , o.B.d.A. kann K d.h. mh > T − h, kann man weiter abschätzen h

h

˜ mh ≤ K ˜ T −h def = f (h) %(h, y) ≤ K Es ist f (0) = 1,

f konvex auf ]0, T [, wie man durch direkten Nachweis von f 00 ≥ 0 sieht, somit f (h) ≤ 1 +

f (h0 ) − 1 h h0 | {z } K

f¨ ur 0 < h ≤ h0

141


In speziellen Fällen ist die von Neumann-Bedingung auch hinreichend, nämlich immer dann, wenn der Spektralradius selbst eine Norm ist: Satz 3.18 Es sei MD ein konsistentes Differenzenverfahren mit ortsunabhängigen Koeffizienten. Es seien G(h, y) die Amplifikationsmatrix zu MD und λj (h, y) die Eigenwerte von G(h, y) %(h, y) der Spektralradius von G(h, y). und %(h, y) ≤ 1 + Kh f¨ ur alle

y ∈ F und 0 < h ≤ h0

Ferner gelte: 1. kG(h, y)k∞ ≤ K ∗ |λj (h, y)| ≤ µ < 1

∀y ∈ F,

0 < h ≤ h0 ,

j = 2, . . . , n

oder 2. GGH = GH G

(∀y ∈ F,

0 < h ≤ h0 )

oder 3. Die Matrizen Aν (h), Bν (h) sind simultan diagonalisierbar, die Transformationsmatrizen T (h) und T −1 (h) seien gleichmäßig beschränkt in ]0, h0 ]. Dann ist MD stabil in L2 (R). Beweis: Zu (1): Zunächst wird G(h, y) auf Schur–Normalform transformiert. Ist G eine m × m–Matrix, dann existiert U ∈ Cm×m unitär mit U H (h, y) G(h, y) U (h, y) = R(h, y) R(h, y) obere Dreiecksmatrix. Auf der Diagonalen von R treten also die Eigenwerte von G auf, o.B.d.A. mit der Numerierung λ1 = R11 = 1 + O(h) λj

= Rjj ,

Es sei h0 so klein, daß λ1 > (1 + µ)/2.

j = 2, . . . , m.

142


Der nächste Transformationsschritt besteht nun in der Herstellung einer Block–Dreiecksmatrix.        

 λ1 0 · · · · · · 0  0   .. . .  ..   . 0

Setze dazu R=

λ1 r H ˆ 0 R

ˆ = −rH , λ1 xH − xH R d.h. ˆ −1 . xH = −rH (λ1 I − R) Definiere T =

1 xH 0 Im−1

.

Es ist T

−1

=

1 −xH 0 Im−1

(alle Matrizenkoeffizienten hängen von h und y ab!) Dann wird T

−1

ˆ λ1 λ1 xH + rH 1 −xH λ1 λ1 xH + rH − xH R = = ˆ ˆ 0 Im−1 0 R 0 R λ1 0 = ˆ . 0 R

RT

Im ganzen haben wir dann T

−1

H

(h, y) U (h, y) G(h, y) U (h, y) T (h, y) =

λ1 0 ˆ 0 R

.

Weil die Elemente unitärer Matrizen betragsmässig kleinergleich 1 sind, gilt f¨ ur die Außerdiagoˆ die Abschätzung nalelemente von R def

ˆ ij (h, y)| ≤ m2 max |(G(h, y))i,j | ≤ m2 K ∗ = K ∗∗ , |R i,j

∀h ∈]0, h0 ], von rH .

i = 2, . . . , m,

j = i + 1, . . . , m. Die gleiche Abschätzung gilt auch f¨ ur die Elemente

143

3.5. Kriterien f¨ ur die Stabilität von Differenzenverfahren F¨ ur die Elemente von x gilt wegen der rekursiven Berechnung (mit x = (ξ2 , . . . , ξm )T ) ¯1 − R ˆ H )x = −r (λ |ξ2 | ≤ K ∗∗ / 1+µ − µ = 2K ∗∗ /(1 − µ) 2 j−1 X |ξj | ≤ K ∗∗ 1 + |ξi | / 1+µ − µ 2

j = 3, . . . , m

i=2

und wegen µ < 1 die universelle Abschätzung def

|ξj | ≤ m! 2m−1 /(1 − µ)m−1 K ∗∗ = K ∗∗∗ ,

j = 2, . . . , m.

Somit gilt def

kT (h, y)k1 kT −1 (h, y)k1 , def

Sei schließlich mit δ =

kT (h, y)k∞ , kT −1 (h, y)k∞ ≤ K (4) = K ∗∗∗ + 1.

1−µ 2(m−1)(K ∗∗ +1)

0 liegt somit Stabilität genau f¨ ur λ2 = O(h) vor, d.h. wir haben eine extreme, dem Problem nicht angepaßte, Schrittweitenbegrenzung. Beispiel 3.16

A 6= 0

ut = Aux ,

reell symmetrisch

λ = h/∆x

fest.

Friedrichs-Verfahren: λ −1 −1 + T∆x ) + A(T∆x − T∆x ) un (x) 2 G(h, y) = cos α · I + iλ sin α · A, α = y∆x

un+1 (x) =

1 (T∆x 2

G ist normal. Ferner gilt %2 (G) = cos2 α + λ2 sin2 α%2 (A). Stabilität liegt also vor f¨ ur λ ≤ 1/%(A), ein sehr viel besseres Resultat als in Beispiel 3.15 . Beispiel 3.17

ut = Aux

A

n × n reell diagonalisierbar. def

λ = h/∆x

fest.

147


Lax–Wendroff–Verfahren: −1 −1 C(h) = I + 21 λA(T∆x − T∆x ) + 21 λ2 A2 (T∆x − 2I + T∆x )

Amplifikationsmatrix G(h, y): G(h, y) = I + iλ sin α · A − λ2 A2 (1 − cos α),

α = y∆x

Eigenwerte von G(h, y): λj = 1 − λ2 µ2j (1 − cos α) + iλ(sin α)µj ,

µj = Eigenwerte von A

Wegen Satz 3.18 (3) liefert die von Neumann-Bedingung eine hinreichende und notwendige Stabilit¨ atsbedingung: |λj |2 = λ2 sin2 αµ2j + (1 − λ2 µ2j (1 − cos α))2 2 = 4λ2 sin2 ( α2 ) cos2 ( α2 )µ2j + 1 − λ2 µ2j cos2 ( α2 ) + sin( α2 ) − (cos2 ( α2 ) − sin2 ( α2 )) = 4λ2 sin2 ( α2 )µ2j − 4λ2 sin4 ( α2 )µ2j + 1 − 4λ2 sin2 ( α2 )µ2j + 4λ4 µ4j sin4 ( α2 )µ2j = 1 − 4λ2 µ2j sin4 ( α2 )(1 − λ2 µ2j ) ≤ 1 f¨ ur λ≤

1 %(A)

In Satz 3.18 geht man davon aus, daß eine Abschätzung %(G(h, y)) ≤ 1 + Kh unmittelbar möglich ist. Selbst wenn dies erf¨ ullt ist, kann der direkte Nachweis doch sehr schwierig sein. Es ist deshalb n¨ utzlich, auch andere hinreichende Kriterien f¨ ur die Beschränktheit von kGn (h, y)k zu besitzen. Eines liefert der folgende Satz von Lax und Wendroff: (Comm. on pure and applied Math. 17, (1964), 381-398) Satz 3.19 Es sei A ∈ Cn×n und mit xH Ax xH x |R(x; A)| ≤ 1 x ∈ Cn , R(x; A)

def

=

x 6= 0

Dann existiert eine Konstante K(n) mit kAm k2 ≤ K(n)

∀m ∈ N.

(Der Beweis wird u ur ¨ber die Schursche Transformation auf Dreiecksgestalt und zunächst f¨ n = 2 gef¨ uhrt. Dann Induktion u ¨ber die Dimension n.)

148


Satz 3.20 Lax–Wendroff–Bedingung: Hinreichend f¨ ur die Stabilität eines Differenzenverfahrens (f¨ ur eine AWA mit konstanten Koeffizienten) ist |R(x; G(h, y))| ≤ 1 + Kh

∀x ∈ Cn ,

x 6= 0

def

Beweis: Man setze A = e−Kh G(h, y) und wende Satz 3.19 an: R(x; A) ≤ e−Kh (1 + Kh) ≤ 1 . Damit ||Am ||2 ≤ K ∗ (n) ∀ m ∈ N und deshalb ||G(h, y)m ||2 ≤ eKhm K ∗ (n) ≤ eKT K ∗ (n)

Eine Anwendung dieses Satzes liefert Beispiel 3.18 Hyperbolisches System in zwei Ortsvariablen: ut = Aux + Buy u = u(x, y, t) G ⊂ R2 × [0, T ] → Rn A, B reell symmetrisch Differenzenverfahren: un+1 (x, y) =

1 (T∆x 4

−1 −1 + T∆x + T∆y + T∆y )

−1 −1 + 12 (λ1 A(T∆x − T∆x ) + λ2 B(T∆y − T∆y ) un (x, y) ¨ (dies ist die unmittelbare Ubertragung des Friedrich-Verfahrens auf 2 räumliche Variablen) und h h λ1 = , λ2 = , h=∆t ˆ ∆x ∆y Die Amplifikationsmatrix G hängt nun von zwei Parametern r, s ab und α1 = r∆x, G(h, r, s) =

cos α1 +cos α2 I 2

α2 = s∆y + i(λ1 sin α1 A + λ2 sin α2 B).

Da A und B reell symmetrisch sind, ist G normal und uH Au, uH Bu ∈ R. Also |R(u; G(h, r, s))|2 ≤

1 (cos2 α1 + 2| cos α1 cos α2 | + cos2 α2 ) 4 +λ21 sin2 α1 %2 (A) + 2λ1 λ2 | sin α1 sin α2 |%(A)%(B)

+ λ22 sin2 α2 %2 (B).

149


F¨ ur λ1 ≤

1 , 2%(A)

λ2 ≤

1 2%(B)

folgt |R(u; G(h, r, s))|2 ≤ 12 (cos2 α1 + cos2 α2 + sin2 α1 + sin2 α2 ) = 1 (weil 2| cos α1 cos α2 | ≤ cos2 α1 + cos2 α2 und 2| sin α1 sin α2 | ≤ sin2 α1 + sin2 α2 ). Somit liefern die Sätze 3.18, 3.19 und 3.20 die Stabilität des Verfahrens.

Die bisherigen Resultate gelten nur f¨ ur DGLen mit konstanten Koeffizienten, während die allgemeine Theorie auch raumabhängige Koeffizienten zuließ. Tatsächlich kann man auch f¨ ur x-abhängige Koeffizienten Stabilitätskriterien mittels der (x-abhängigen) Amplifikationsmatrix G(h, y, x) erhalten. Ein entsprechender Satz stammt von Lax und Nirenberg und lautet Satz 3.21 Es sei MD = {C(h) :

h > 0} mit C(h) =

k X

µ Bµ (x)T∆x

µ=−k

und ∆x = h/λ, λ fest, ein Differenzenverfahren zu einer sachgemäß gestellten Aufgabe P (L2 (R, Rn ), T, A). Ferner gelte: (1) (2) (3)

Bµ ∈ C 2 (R) µ = −k, . . . , k (ν) kBµ (x)k∞ ≤ K ν = 0, 1, 2, µ = −k, . . . , k, kG(h, y, x)k2 ≤ 1 (h > 0, y ∈ R, x ∈ R)

x∈R

Dann ist MD stabil. (Beweis z.B. bei Meis-Marcowitz)

Bemerkung 3.11 Bei mehreren Raumveränderlichen wird die Amplifikationsmatrix völlig analog definiert. Ist etwa mit x ∈ Rd , ∆x ∈ Rd X s C(x, h) = Bs (x, h)T∆x , s ∈ Zd s s T∆x

sd s1 = T∆x · · · T∆x , 1 d

dann wird G(h, y, x) =

X

Bs (x, h) exp(i

s

d X

sj yj ∆xj ),

j=1

wobei wiederum λj = h/∆xj

bzw.

λj = h/∆x2j

konstant, j = 1, . . . , d

angenommen ist. Die Sätze u ¨bertragen sich auf diesen Fall entsprechend.

150


Beispiel 3.19 Friedrichs-Verfahren f¨ ur ein regulär hyperbolisches symmetrisches System (x, y) ∈ R2 ,

ut = A(x, y)ux + B(x, y)uy

t ∈ [0, T ]

A(x, y), B(x, y) seien reell symmetrisch und erf¨ ullen die Voraussetzungen von Satz 3.21 (1) und (2) entsprechend. Ferner seien die Eigenwerte von P (x, y, k1 , k2 ) = k1 A(x, y) + k2 B(x, y) f¨ ur |k1 | + |k2 | = 6 0 paarweise verschieden. Dann ist das gestellte Problem regulär hyperbolisch. ¨ Die Wiederholung der Uberlegungen zu Beispiel 3.18 f¨ uhrt nun unter der Voraussetzung λ1 ≤

1 , 2 sup %(A(x, y))

λ2 ≤

1 2 sup %(B(x, y))

zur Stabilitätsaussage.

In Satz 3.21 sind h-abhängige Koeffizienten Bµ (x, h) nicht zugelassen, wie man sie bei der Anwendung des Lax–Wendroff–Verfahrens auf Systeme mit variablen Koeffizienten erhält. Hier hilft jedoch Satz 3.10 (Satz von Kreiss) weiter: Beispiel 3.20 Lax–Wendroff–Verfahren bei variablen Koeffizienten, d = 1: ut = A(x)ux ,

x ∈ R,

0 ≤ t ≤ T.

A(x) reell symmetrisch mit paarweise verschiedenen Eigenwerten 6= 0 und kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk

∀x, y ∈ R.

Differenzenverfahren: 2

−1 un+1 (x) = (I + λ2 A(x)(T∆x − T∆x ) + λ2 A(x)(A(x + −1 )(I − T∆x )))un (x) −A(x − ∆x 2 −1 C(h) = I + λ2 A(x)(T∆x − T∆x )+ −1 h −A(x − 2λ )(I − T∆x ))

λ2 A(x)(A(x 2

+

∆x )(T∆x 2

h )(T∆x 2λ

− I)

− I)

2

−1 −1 = I + λ2 A(x)(T∆x − T∆x ) + λ2 A2 (x)(T∆x − 2I + T∆x ) +O(h) | {z } ˜ C(h)

˜ Stabilitätsnachweis f¨ ur C(h): Zugeordnete Amplifikationsmatrix α α cos2 ( )−sin2 ( ) 2 2

z }| { cos α −1) G(h, y, x) = I + iλA(x) sin α + λ2 A2 (x)( 2 α 2 2 α = I − 2 sin ( 2 )λ A (x) + 2iλA(x) sin( 2 ) cos( α2 ).

151


Seien µj (x) die Eigenwerte von A(x). Dann sind die Eigenwerte λj (h, y, x) von G(h, y, x) λj (h, y, x) = 1 − 2 sin2 ( α2 )λ2 µ2j (x) + 2iλµj (x) sin( α2 ) cos( α2 ). G ist normal und deshalb kG(h, y, x)k2 ≤ 1 falls |λj (h, y, x)| ≤ 1 d.h. λ≤

∀j

1 supx %(A(x))

(vgl. die entsprechende Rechnung in Beispiel 3.17)

152


Literaturverzeichnis [1] Ansorge, R.: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben, Teubner, Stuttgart (1978) [2] Ansorge, R.; Hass, R.: Konvergenz von Differenzenverfahren f¨ ur lineare und nichtlineare Anfangswertaufgaben, Springer: lecture Notes in Mathematics 159, (1970) [3] v. Finckenstein, K: Einf¨ uhrung in die Numerische Mathematik Bd 2, Hanser–Verlag, M¨ unchen (1978) [4] v. Finckenstein, K: Numerische Behandlung von Anfangs–Randwertproblemen partieller Differentialgleichungen, Skriptum zur Vorlesung WS 1982/83, THD, FB4. [5] Gladwell, I; Wait, R.(eds.): A survey of Numerical methods for Partial Differential Equations, Clarendon Press, Oxford (1979) [6] Grigorieff, R. D. : Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Bd. 2 Teubner, Stuttgart , (1977) [7] Großmann, Ch.; Roos, H.G.: Numerik partieller Differentialgleichungen. Teubner (Studienb¨ ucher) (1992). [8] Hellwig: Partielle Differentialgleichungen. Stuttgart: Teubner (1960). [9] Houwen & Sommeier: J. Comp. Appl. Math. (1985), S. 145–161. [10] Klar, A.: Skriptum zur Vorlesung “Höhere Numerische Mathematik II“, TUD, SS 2002. [11] Noye, J.(ed): Computational Techniques for Differential Equations, North Holland (Math. Studies 83), (1984) [12] Meis, Th.; Marcowitz, U: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen, Springer (1978). [13] Petrovsky, I.G.: Lectures on partial differential equations. New York-London: Intesicence Publishers (1954). 153

154

LITERATURVERZEICHNIS

[14] Quarteroni, A.;Valli, A.: Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer (1994). [15] Richtmyer, R.D.; Morton, K.W.: Difference Methods for Initial Value Problems, Wiley, New York, (1967). [16] Toernig, W.; Spellucci, P.: Numerische Mathematik f¨ ur Ingenieure und Physiker ,Bd 2, 2. Aufl. Springer (1990) [17] Le Vegue, R.J.: Finite volume methods for hyperbolic problems. Cambridge Univ. Press (2002). [18] Le Vegue, R.J.: Numerical methods for conservation laws. 2nd ed. Birkhäuser (1992).

Index Flussfunktion, 48 flux limiter, 63 Flußfunktion, numerische, 53 Fortsetzungsatz, 102 Fourierentwicklung, 135 Fouriertransformation, 136 Friedrichsverfahren, 40, 41

Abhängigkeitsbreich, 13 Abschneidefehler, 55 ADI, 80 Amplifikationsmatrix, 137, 147–150 Anfangs-Randwertproblem, 27 BDF2, 78, 94 Bestimmtheitsbereich, 13 Burgers-Gleichung, 49

Galerkin-Approximation, 89 Galerkinmethode, diskontinuierliche, 97 Gesamtsteifigkeitsmatrix, 87 Godunov, 58

CFL, 27 Charakteristik, 7 Charakteristikenverfahren, 16 Courant-Friedrichs-Lewy, 27, 40 Courant-Isaacson-Rees, 41 Cowell, 35 Crank-Nicholson, 71, 80, 94

hochoszillatorisch, 30 hyperbolisch, 6 konservativ, 53 konsistent, 54 Konsistenzordnung, 55 Koordinatensystem, charakteristisches, 16

d’Alembert, 24 Differentialgleichung, quasilineare, zweiter Ordnung, 5 Differentialgleichung, steife, 87 Differenzenverfahren, explizites, 71 Differenzenverfahren, vollimplizites, 71 Diskretisierung, naive, 40 Dispersion, numerische, 32 Du Fort und Frankel, 79

Lax-Wendroff, 41, 42 Linienmethode, horizontale, 98 Linienmethode, vertikale, 28, 70 lumping, 96 Massenmatrix, 87 Mittelpunktregel, 30 monoton, 60

Einflussbereich, 13 Einschrittverfahren, 53 Enquist-Osher, 60 Entropie, 51 Entropiefluß, 51 Entropielösung, 52 Erhaltungsgleichung, 48

neutral stabil, 34 Norsett, 95 Operator-Splitting, 80 Ordnungsreduktion, 97 Padé-Approximation, 95

finite Elemente, 86

Rankine-Hugoniot Bedingung, 50 155

156 Riemannproblem, 58 Rosenbrock-Wanner, 95 Rothe-Methode, 98 Saite, schwingende, 23 Semidiskretisierung, 28, 70 Störmer, 34 Stabilitätsproblem, 29 superbee, 63 Systeme, quasilineare, 5 TDV, 60 Totalvariation, 52 Trapezregel, 31 upwind, 57 van Leer, 63 Variation, beschränkte, 52 Verfahren, konservatives, 53 Verfahren, monotones, 60 von Neumann, 140 Weierstrass, 101 Wellengleichung, 23 Zellmittel, 58

INDEX

Hyperbolische und parabolische Probleme 001

Hyperbolische Probleme 001

Nichtlineare hyperbolische Gleichungen 001

Inverse Probleme PDG 001.ps.gz

Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

Graphen und Netzwerkalgorithmen 001

Kategorien und Topostheorie 001

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Algebra und Geometrie 001

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Modellierung und Programmierung 001

Atome und Licht 001

Kodierung und Sicherheit 001

Logik und Regelverarbeitung 001

Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

Finanz und Versicherungsmathematik 001

Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten 001

Differenzen und Differentialgleichungen 001

Hydrodynamik und Anwendungen 001

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 001

Algorithmen und Datenstrukturen 001

Automatentheorie und Logik 001

Atom und Molekuelphysik 001

Analysis und Zahlentheorie 001

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 001

Probleme vitale

Thermodynamik und statistische Physik 001

Graphen und Algorithmen II 001

Hyperbolische und parabolische Probleme 001

Hyperbolische Probleme 001

Nichtlineare hyperbolische Gleichungen 001

Inverse Probleme PDG 001.ps.gz

Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

Graphen und Netzwerkalgorithmen 001

Kategorien und Topostheorie 001

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Algebra und Geometrie 001

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Modellierung und Programmierung 001

Atome und Licht 001

Kodierung und Sicherheit 001

Logik und Regelverarbeitung 001

Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

Finanz und Versicherungsmathematik 001

Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten 001

Differenzen und Differentialgleichungen 001

Hydrodynamik und Anwendungen 001

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 001

Algorithmen und Datenstrukturen 001

Automatentheorie und Logik 001

Atom und Molekuelphysik 001

Analysis und Zahlentheorie 001

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 001

Probleme vitale

Thermodynamik und statistische Physik 001

Graphen und Algorithmen II 001

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