Finanz und Versicherungsmathematik 001

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Bergische Universität Wuppertal Fachbereich C, Abteilung Mathematik

Vorlesung Finanz- und Versicherungsmathematik

gehalten im

Sommersemester 2004 von Prof. Dr. Ernst-Peter Beisel

Skript angefertigt in LATEX April 2004

1

Inhaltsverzeichnis I

Finanzmathematik

10

1 Einfu ¨ hrung

11

1.1

Zur Geschichte des Zinserhebung . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2

Mathematische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3

1.2.1

Elementare Abschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.2

Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3

Nullstellen von Polynomen . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2.4

Positive Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2.5 Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.3.1

Abschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.3.2

Praktische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3.3

Theoretische Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.4

Programmierpraxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2 Zinsbegriff 2.1

40

Einmalige Zinszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1

Der kontinuierliche Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2

Der konforme Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.3

Der linear proportionale Jahreszinssatz . . . . . . . . . 46

2

2.2

2.3

Periodisch wiederkehrende Zinszahlungen . . . . . . . . . . . . 49 2.2.1

Verzinsungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.2.2

Unterjährige Zinsverechnungs-Perioden . . . . . . . . . 51

2.2.3 Banken¨ ubliche Praxis der Zinsberechnung . . . . . . . 57 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1


2.3.2


2.3.3


3 Renten 3.1

3.2

3.3

Zinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.1.1

Nachsch¨ ussige Ratenzahlung . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1.2

Vorsch¨ ussige Renten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.3

Aufgeschobene und unterbrochene Renten . . . . . . . 75

Unterzinsperiodische konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.1

Volljährige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.2.2

Unterjährige Zinsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.2.3

Asyncrone konstante Raten . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.2.4

Effektive Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Volljährige veränderliche Raten bei voll-jähriger Verzinsung . . 85 3.3.1

3.4

66

Arithmetisch fortschreitende Raten . . . . . . . . . . . 85

3.3.2 Geometrisch fortschreitende Renten . . . . . . . . . . . 88 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4.1


3.4.2


3.4.3

Progammierpraxis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3

4 Tilgung 4.1

4.2

4.3 4.4

94

Einfache Annuitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.1.1

Einfache konstante Annuitäten . . . . . . . . . . . . . 95

4.1.2

Tilgungsplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.3

Unterjährige Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Varianten der einfachen Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.2.1

Prozentannuität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.2.2

Annuitäten mit Agio oder Disagio . . . . . . . . . . . . 104

4.2.3

Aufgeschobene Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.2.4

Veränderliche Raten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Unterjährige allgemeine Tilgung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.4.1


4.4.2


4.4.3


5 Rentabilit¨ at 120 ¨ 5.1 Das Aquivalenz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.2

5.3

Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms . . . . . . . . . . . . . . 122 5.2.1

Interner Jahreszinssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

5.2.2

Berechnung des internen Zinssatzes . . . . . . . . . . . 125

Sparkonten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5.3.1

5.4

Das Sparkontenprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Vergleich von Investitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4.1

Rentabilität einer Investition . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.4.2

Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte 135

5.4.3

Kritik der klassischen Methoden . . . . . . . . . . . . . 139

5.4.4

Methode der realen Rendite . . . . . . . . . . . . . . . 141

4

5.5

II

¨ Ubungsaufgaben

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.5.1


5.5.2


5.5.3


Versicherungsmathematik

6 Grundlagen 6.1

6.2

6.3

150

Rechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.1.1

Der Zins als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . . 151

6.1.2

Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . 156

6.1.3

Die Kosten als Rechnungsgrundlage . . . . . . . . . . . 159

Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.2.1

Historische Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

6.2.2

Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit . . . . . . 162

6.2.3 Sterbetafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.3.1


6.3.2


6.3.3


7 Versicherungsformen 7.1

149

172

Kapitalversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 7.1.1

Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

7.1.2

Erlebensfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 176

7.1.3

Gemischte Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.1.4

Direkte Auszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.1.5

Veränderliches Kapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5

7.2

7.3

Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 7.2.1

Einfache jährliche Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . 185

7.2.2

Unterjährige Zahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

7.2.3 Allgemeine Leibrenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.3.1


7.3.2


7.3.3


8 Pr¨ amien

196

8.1

8.2

8.3

Nettoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 8.1.1

Todesfallversicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

8.1.2

Erlebensfallversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

8.1.3

Besondere Versicherungen . . . . . . . . . . . . . . . . 200

8.1.4

Unterjährige Prämienzahlung . . . . . . . . . . . . . . 202

Bruttoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8.2.1

Ausreichende Einmalprämien . . . . . . . . . . . . . . 203

8.2.2

Ausreichende Jahresprämien . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.2.3 Brutto-Jahresprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 ¨ Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 8.3.1

Theoretische Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

8.3.2


9 Deckungskapital 9.1

209

Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 9.1.1

Nettoreserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

9.1.2

Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

9.1.3

Ausreichende Reserven . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 ¨ Anderung von Verträgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

9.1.4

6

7

Vorwort Die Vorlesung ”Finanz- und Versicherungsmathematik” ist eine Pflichtvorlesung f¨ ur Studierende des Bachelor-Studiengangs ”Wirtschaftsmathematik”. Sie ist im vierten Semester angesiedelt und setzt elementare Kenntnisse in Linearer Algebra, Analysis und Statistik voraus. Zusammen mit der parallel angebotenen Vorlesung ”Einf¨ uhrung in Operations Research” stellt sie ein Kernangebot im Bereich der Wirtschaftsmathematik dar. In diesen beiden Vorlesungen werden die Grundlagen gelegt f¨ ur Veranstaltungen zur Modellbildung und der Lösung praktischer Probleme der Wirtschaftsmathematik in den folgenden Semestern, insbesondere f¨ ur das Projektseminar, das in gewisser Weise den Höhepunkt des Bachelorstudiums ”Wirtschaftsmathematik” darstellt. Einf¨ uhrende B¨ ucher zur Finanzmathematik oder zur Versicherungsmathematik richten sich häufig an Studierende der Wirtschaftswissenschaften oder an Studierende (der Mathematik) an Fachhochschulen. Diese B¨ ucher zeichnen sich aus durch geringe mathematische Anforderungen und sehr praxisorientierte Aufgabenstellungen. Dies bedeutet, daß in der Finanzmathematik lediglich die Kenntnis der arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen vorausgesetzt wird und die Versicherungsmathematik nur in Form des deterministischen Modells besprochen wird, das keinerlei wahrscheinlichkeitstheoretischen Ansatz ber¨ ucksichtigt. Das vorliegende Skript versucht, die beschriebene Praxisorientierung im Sinne eines angestrebten Praxisbezugs des Bachelorstudiums beizubehalten und die mathematischen Anforderungen f¨ ur Mathematikstudierende interessanter zu gestalten. Letzteres geschieht durch Einbeziehung von Aspekten der Analysis und Numerik in der Finanzmathematik und durch konsequente Verfolgung eines wahrscheinlichkeitstheoretischen Modells in der Versicherungsmathematik. Der Praxisbezug wird durch viele anwendungsorientierte Beispiele ¨ und entsprechende Ubungsaufgaben hergestellt. Während fr¨ uher ausgiebige Tabellen die Grundlage f¨ ur den rechnerischen Umgang mit den Formeln der Finanz- und Versicherungsmathematik waren, ist heute die Verwendung von Computerprogrammen in beiden Disziplinen nicht mehr wegzudenken. Erst durch diese ”Befreiung” von langwierigen Rechnungen kann nun auch in einf¨ uhrenden Vorlesungen das Strukturelle mehr in den Vordergrund r¨ ucken, ohne daß dabei der Praxisbezug verloren

8 geht. Diese Vorlesung versucht, dem Aspekt der programmgest¨ utzten Mathematik durch die einbezogene Entwicklung von ”Excel-VBA-Programmen” (oder äquivalenten Werkzeugen) Rechnung zu tragen. ¨ Die Ubungen zur Vorlesung werden abgeschlossen durch eine zweist¨ undige Klausur, bei deren Bestehen ein Leistungsnachweis ausgestellt wird. M¨ undliche ¨ und schriftliche Leistungen im Rahmen der Ubungen werden bei der Notenfindung entsprechend ber¨ ucksichtigt werden.

im Sommersemester 2004

Peter Beisel

9

Literaturliste Von den im folgenden angegebenen Werken möchte ich besonders die B¨ ucher von Herzberger und Gerber hervorheben. Sie haben die Erstellung dieses Skripts stark beeinflußt. Aber auch die anderen B¨ ucher haben zu der Ausarbeitung dieser Vorlesung in Details hilfreich beigetragen. Insbesondere habe ich viele Beispiele aus diesen Werken u ¨bernommen, was im Skript nicht jedesmal ausdr¨ ucklich vermerkt ist. Dem Leser sei angeraten, alle B¨ ucher ein¨ zusehen und sich damit weitere Ubungsaufgaben (zum Teil mit Lösungen) zu beschaffen. Altrogge, G.: Finanzmathematik, R. OldenburgVerlag M¨ unchen Wien, 1999 Bosch, K.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 5. Auflage 1998 Bosch, K.: Finanzmathematik f¨ ur Banker, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 2001 Caprano,E./Wimmer,K.: Finanzmathematik, Verlag Vahlen M¨ unchen, WiSo Kurzlehrb¨ ucher,6. Auflage, 1999 Gerber, H. U.: Lebensversicherungsmathematik, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1986 Herzberger, J.: Einf¨ uhrung in die Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 1999 Isenbart,Fritz/ Mu ur Pra¨ nzner, Hans: Lebensversicherungsmathematik f¨ xis und Studium, Gabler, 3. Auflage 1994 Ihrig, H./ Pflaumer, P.: Finanzmathematik, R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 6. Auflage 1998 Ko unchen Wien, 4. Auf¨hler, H.: Finanzmathematik, Carl Hanser Verlag M¨ lage 1997 Locarek, H.: Finanzmathematik, R. R. Oldenbourg Verlag M¨ unchen Wien, 3. Auflage 1997 Wolfsdorf, K.: Versicherungsmathematik,Teil 1 Personenversicherung, B. G. Teubner Stuttgart 1986

Teil I Finanzmathematik

10

Kapitel 1 Einfu ¨ hrung 1.1

Zur Geschichte des Zinserhebung

Die Problematik der Erhebung von Zinsen beschäftigt die Menschen seit langer Zeit. Es finden sich viele Textstellen in den heiligen Schriften der großen Religionen, die sich auf die Zinserhebung beziehen. Diese gilt als von Gott verboten. So steht z.B. im 2. Buch Mose 22,24 als Teil der göttlichen Gesetze, die Moses am Berg Sinai verk¨ undete: Wenn du Geld verleihst an einen aus meinem Volke, an einen Armen neben dir, so sollst du an ihm nicht wie ein Wucherer handeln; du sollst keinerlei Zins von ihm nehmen. Während diese Weisung noch die Freiheit läßt, Zinsen von Angehörigen anderer Völker zu erheben, wird an anderer Stelle im Alten Testament die Zinserhebung rigoros verdammt, etwa bei Hesekiel 18,13: Wer ... auf Zinsen gibt und einen Aufschlag nimmt - sollte der am Leben bleiben? Er soll nicht leben, sondern weil er alle diese Greuel getan hat, soll er den Tod sterben,... Auch im Koran finden sich Stellen, die die Zinserhebung als von Gott verboten erklären, z.B. in Sure 3, 130 11

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

12

Ihr Gläubigen! Nehmet nicht Zins, indem ihr in mehrfachen Beträgen wieder nehmt, was ihr ausgeliehen habt. Oder in Sure 2, 275 Diejenigen, die Zins nehmen, werden dereinst nicht anders dastehen als wie einer, der vom Satan erfaßt und geschlagen ist. Dies wird ihre Strafe daf¨ ur sein, daß sie sagen: ’Kaufgeschäft und Zinsgeschäft sind ein und dasselbe.’ Aber Gott hat einmal das Kaufgeschäft erlaubt und die Zinsleihe verboten. Dennoch ist anzunehmen, daß im Alltag der Menschen, zumindest im j¨ udischchristlichen Bereich, Zinsen erhoben wurden. So steht in Matthäus 25, 27: Dann hättest du mein Geld zu den Wechslern bringen sollen, und wenn ich gekommen wäre, hätte ich das meine wiederbekommen mit Zinsen. Bei den Römern galt ab 51 v. Chr. ein Höchstzinssatz von 1% pro Monat. Dagegen soll ein Zinssatz von 6% pro Jahr als regulär angesehen worden sein. Die Christliche Kirche stellte sich allerdings bis weit ins Mittelalter gegen jeglichen Zins. Die Päpste Alexander (1179) und Klemens (1311) postulierten: Jede Gesetzgebung, die Zins erlaubt, ist null und nichtig. Erst 1983 (!) wurde der Zinskanon ersatzlos aus dem Kirchengesetzbuch gestrichen. Die strenge Haltung der (katholischen) Kirche zur Zinserhebung beeinflusste nat¨ urlich auch die weltliche Gesetzgebung. So verf¨ ugte Kaiser Lothar um 825: Wer Zins nimmt, wird mit dem Königsbann belegt, wer wiederholt Zins nimmt, wird aus der Kirche ausgeschlossen und soll vom Grafen gefangen gesetzt werden.


13

Im ausgehenden Mittelalter setzte sich die römische Rechtsempfindung wieder mehr durch, die Kirche nahm eine liberalere Haltung zur Zinserhebung ein und es entwickelte sich eine Geldwirtschaft. In Deutschland wird heute die Zinserhebung prinzipiell durch das B¨ urgerliche Gesetzbuch geregelt. Dort findet sich immerhin im §248 (Zinseszins) (1) noch ein Verbot der Erhebung von Zinseszinsen Eine im voraus getroffene Vereinbarung, daß Zinsen wieder Zinsen tragen sollen, ist nichtig. Dies allerdings gilt nur unter Privatpersonen, denn Absatz (2) sagt: Sparkassen, Kreditanstalten und Inhaber von Bankgeschäften können im voraus vereinbaren, daß nicht erhobene Zinsen von Einlagen als neue Einlagen gelten sollen. ... Auch eine Art Richtzinssatz wird im BGB angegeben. Im § 246 (gesetzlicher Zinssatz) heißt es: Ist eine Schuld nach Gesetz oder Rechtsgeschäft zu verzinsen, so sind vier vom Hundert f¨ ur das Jahr zu entrichten, sofern nicht anders bestimmt ist. Im § 608 (Fälligkeit der Zinsen) wird festgelegt, daß Darlehen in der Regel jährlich verzinst werden: Sind f¨ ur ein Darlehen Zinsen bedungen, so sind sie, sofern nicht anderes bestimmt ist, nach Ablauf je eines Jahres und, wenn das Darlehen vor dem Ablauf eines Jahres zur¨ uckzuerstatten ist, bei der R¨ uckerstattung zu entrichten. Die Alltäglichkeit der Zinserhebung gilt heute in der westlichen Welt allgemein als anerkannt. Gleichwohl bleibt das Nebeneinander von ”realer Arbeit” und der ”Arbeit von Kapital” ein ethisch/philosophisches Problem.


1.2

14

Mathematische Grundlagen

Zentrale Werkzeuge f¨ ur einf¨ uhrende Kapitel zur Finanzmathematik sind voll– ständige Induktion, der Ableitungs- und Integralbegriff sowie Reihen und Verfahren zur Berechnung von Nullstellen von Polynomen. Ferner sind Kenntnisse zu einfachen gewöhnlichen Differentialgleichungen von Vorteil. Wir wiederholen (zur Einstimmung) die wichtigsten Ergebnisse.

1.2.1

Elementare Absch¨ atzungen

Zunächst betrachten wir einige Techniken zur Abschätzung von reellen Ausdr¨ ucken. Bernoulli-Ungleichung Eine grundlegende Abschätzung ist die Bernoulli-Ungleichung (1 + h)n ≥ 1 + nh

f¨ ur h > −1, n ∈ N0

(1.1)

Diese begr¨ undet man leicht durch vollständige Induktion: Der Induktionsanfang f¨ ur n = 0 ist klar. Sei also n ∈ N0 vorgegeben. Dann gilt wegen 1+h ≥ 0 und der Induktionsannahme (1 + h)n+1 = (1 + h)n (1 + h) ≥ (1 + nh) (1 + h) = 1 + (n + 1) h + nh2 ≥ 1 + (n + 1) h Offensichtlich ist die Ungleichung sogar echt , wenn h 6= 0 und n > 1 gelten. (1 + h)n > 1 + nh

f¨ ur h > −1, h 6= 0, n ∈ N, n > 1

(1.2)

Die folgende Abschätzung ist eine unmittelbare Anwendung der BernoulliUngleichung. Lemma 1.1 Es gilt f¨ ur alle x > 0 und m > 1 m+1 x m x x x m < 1+ < lim 1 + = ex 1+ < 1+ m→∞ 1 m m+1 m

(1.3)


15

x m Beweis: Wir zeigen die strenge Monotonie der Folge 1 + m , m ∈ N. Die x m x Identität limm→∞ 1 + m = e setzen wir als bekannt voraus. Zunächst einmal gilt wegen (1.2) f¨ ur x > 0, m > 1 x m x 1+ >1+m =1+x m m Also brauchen wir die Monotonie nur noch f¨ ur m > 2 nachzuweisen. Wir zeigen sie direkt unter Ausnutzung von −1 < x 0 0 0

< < <
0) und der Bernoulli-Ungleichung (1.1) x m 1+ m (m + x)m (m − 1)m−1 m−1 = x mm ((m − 1) + x)m−1 1 + m−1 m−1 m + x (m + x) (m − 1) = m m (m + x − 1) m−1 m + x m (m + x) − m − x = m m (m + x) − m m−1 m+x −x = 1+ m m (m + x − 1) m+x −x (m − 1) ≥ 1+ m m (m + x − 1) 2 m + x m + mx − m − mx + x = m m (m + x − 1) 2 (m + x) (m − m + x) = m2 (m + x − 1) 3 m − m2 + mx + m2 x − mx + x2 = m3 + m2 x − m2 x2 = 1+ 2 >1 m (m − 1 + x)

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG Also gilt 1 +

x m m

> 1+

16

m−1 x m−1

2

auch f¨ ur m > 2

Eine Absch¨ atzung fu ¨ r ln Durch Differenzieren und Integrieren erhält man viele Informationen u ¨ber eine betrachtete Funktion, insbesondere, wenn man an Abschätzungen interessiert ist. Wir demonstrieren dies am Beispiel der folgenden Ungleichungskette Lemma 1.2 Es gilt f¨ ur alle x > 0 x−

x2 x2 x3 ≤ ln (1 + x) ≤ x − + 2 2 3

(1.4)

Beweis: Wir beweisen die rechte Abschätzung, die linke beweist man ähnlich. ¨ (Ubungsaufgabe) Dazu betrachten wir die Hilfsfunktion h (x) := x −

x2 x3 + − ln (1 + x) 2 3

f¨ ur x ≥ 0

F¨ ur diese haben wir zu zeigen, daß sie nicht negativ ist. Beachtet man aber h (0) = 0, so gen¨ ugt es sogar, h0 als nicht negativ nachzuweisen, da dann h monoton ansteigt. Es gilt h0 (x)

1 ≥0 1+x 1 ⇐⇒ 1 − x + x2 ≥ 1+x ⇐⇒ 1 − x2 + x2 (1 + x) ≥ 1 ⇐⇒ x3 ≥ 0 =

1 − x + x2 −

Da x > 0 vorausgesetzt wurde, ist der Beweis gef¨ uhrt.

2


17

Konvexe Funktionen Desweiteren kann bei Abschätzungen oft die (lokale) Konvexität einer Funktion ausgenutzt werden. F¨ ur unsere Zwecke reicht dabei eine sehr eng gefaßte Begriffsfestlegung. Definition 1.3 Eine dreimal stetig differenzierbare Funktion f : (a, b) −→ R heißt konvex, wenn f¨ ur sie f 00 (x) ≥ 0 gilt f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Sie heißt konkav, wenn stattdessen f 00 (x) ≤ 0 gilt. Anschaulich bedeutet diese Festlegung, daß bei konvexen Funktionen die erste Ableitung an jedem Punkt x ∈ (a, b) höchstens ansteigt, daß also die Funktion f durchgehend linksgekr¨ ummt ist. Man beachte, daß f genau dann konvex ist, wenn (−f ) konkav ist. F¨ ur die konvexen Funktionen gilt der sie geometrisch charakterisierende Satz 1.4 Sei f : (a, b) −→ R dreimal stetig differenzierbar. f ist genau dann konvex, wenn f¨ ur beliebig vorgegebenes x0 ∈ (a, b) gilt: f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 )

f¨ ur alle x ∈ (a, b)

(1.5)

Beweis: a) Sei zunächst f als konvex vorausgesetzt und seien x, x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben. Dann lautet die Taylorformel f¨ ur f um die Entwicklungsstelle x0 1 f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) + f 00 (ξ) (x − x0 )2 2 mit einer Zwischenstelle ξ zwischen x und x0 . Da nach Voraussetzung f 00 (ξ) ≥ 0 gilt, gilt die Ungleichung (1.5). b) Sei nun x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben und die G¨ ultigkeit der Ungleichung (1.5) vorausgesetzt. F¨ ur hinreichend kleines λ ∈ R gilt x1 := x0 + λ ∈ (a, b) Dann folgt wegen (1.5) f (x1 ) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 ) λ


18

Da f dreimal stetig differenzierbar ist, gilt f¨ ur die Taylorformel 2. Ordnung f¨ ur f um den Entwicklungspunkt x0 1 f (x1 ) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) λ + f 00 (x0 ) λ2 + λ2 ε (x0 , λ) 2 mit ε (x0 , λ) → 0 f¨ ur λ → 0. Daher folgt 1 00 f (x0 ) λ2 + λ2 ε (x0 , λ) ≥ 0 =⇒ 2 1 00 f (x0 ) + ε (x0 , λ) ≥ 0 =⇒ 2 f 00 (x0 ) ≥ 0. Da x0 ∈ (a, b) beliebig vorgegeben war, ist f als konvex nachgewiesen.

2

Anschaulich besagt der Satz, daß der Graph der Tangente an der Stelle x0 stets unterhalb vom Graph der konvexen Funktion verläuft. Definition 1.5 Gilt in Ungleichung (1.5) immer das > − Zeichen bei x 6= x0 , so nennt man die konvexe Funktion f streng konvex. Beachte: Gemäß dem obigen Beweis ist f streng konvex, wenn durchgehend f 00 (x) > 0 gilt f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Die umgekehrte Aussage gilt nicht! Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : R −→ R, f (x) = x4 . Diese Funktion ist streng konvex, aber es gilt f 00 (0) = 0. Analog zur Aussage von Satz 1.4 kann Konvexität auch mit Hilfe von Sekanten charakterisiert werden. Satz 1.6 Sei f : (a, b) −→ R eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Genau dann ist f konvex, wenn f¨ ur alle x1 , x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1] gilt f (λx1 + (1 − λ) x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) (1.6) Beweis:


19

a) Es gelte die Ungleichung (1.6) f¨ ur alle x1 , x2 ∈ (a, b) und jedes λ ∈ [0, 1] . Wir wollen zeigen, daß Ungleichung (1.5) f¨ ur alle x0 ∈ (a, b) . Seien dazu x0 , x ∈ (a, b) und λ ∈ (0, 1] vorgegeben. Dann gilt f (x0 + λ (x − x0 )) = f (λx + (1 − λ) x0 ) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (x0 ) = f (x0 ) + λ (f (x) − f (x0 )) daher

f (x0 + λ (x − x0 )) − f (x0 ) (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) λ (x − x0 ) Im Grenzprozeß λ → 0 folgt daraus f 0 (x0 ) (x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) b) Sei nun die G¨ ultigkeit von (1.5) f¨ ur alle x0 ∈ (a, b) vorausgesetzt. Seien x1 , x2 ∈ (a, b) und λ ∈ [0, 1] vorgegeben. Dann setzte z := λx1 + (1 − λ) x2 . Es ist z ∈ (a, b) und es gilt f (x1 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (x1 − z) f (x2 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (x2 − z)

und

Damit gilt auch λ (f (x1 ) − f (z))+(1 − λ) (f (x2 ) − f (z)) ≥ f 0 (z) (λ (x1 − z) + (1 − λ) (x2 − z)) also λf (x1 ) + (1 − λ) f (x2 ) − f (z) ≥ f 0 (z) (λx1 + (1 − λ) x2 − z) = 0 Damit ist die G¨ ultigkeit von (1.6) bewiesen.

2

Bemerkung: Im allgemeinen wird die Eigenschaft (1.6) zur Definition der Konvexität herangezogen, da hierbei keinerlei Differenzierbarkeits-Voraussetzungen benötigt werden. Als Anwendung der genannten Theorie erweitern wir die Bernoulli-Ungleichung: Lemma 1.7 Es gilt f¨ ur alle x, α ∈ R, α > 1, x > −1, x 6= 0 (1 + x)α > 1 + αx und f¨ ur alle x, α ∈ R, 0 −1, x 6= 0 (1 + x)α < 1 + αx


20

Beweis: Die G¨ ultigkeit der Ungleichung kann wie folgt eingesehen werden: die Funktion f (x) := (1 + x)α hat als zweite Ableitung 00

f (x) = α (α − 1) (1 + x)α−2 . Diese ist strikt positiv f¨ ur x > −1, α > 1. Daher ist f auf dem angegebenen Bereich streng konvex und die lineare Approximation t1 (x) = 1 + α · x von f an der Stelle x0 = 0 verläuft (bis auf die Stelle x = 0) strikt unterhalb von f. Auf der anderen Seite ist f streng konkav f¨ ur 0 < α < 1, x > −1, daher gilt auch der zweite Teil der Behauptung. 2

1.2.2

Reihen

Elementar ist zunächst einmal die Potenzreihenentwicklung f¨ ur die e−Funktion um die Stelle x0 = 0 ∞ X 1 k 1 1 e = x = 1 + x + x2 + x3 + ... k! 2 6 k=0 x

f¨ ur alle x ∈ R

Man beachte, daß die e−Funktion auf ganz R streng konvex ist und daher (f¨ ur x 6= 0) strikt oberhalb ihrer linearen Approximation t1 (x) = 1 + x um die Stelle x0 = 0 verläuft. Man vergleiche hierzu die Ungleichung (1.3). Desweiteren grundlegend ist die Potenzreihenentwicklung f¨ ur die Logarithmusfunktion um die Stelle x0 = 1 ln x =

∞ X 1 k=1

k

(−1)k−1 (x − 1)k = (x − 1) −

1 1 (x − 1)2 + (x − 1)3 − ... 2 3

f¨ ur |x| < 1, die wegen ihrer strengen Konkavität strikt (f¨ ur x 6= 1) unterhalb ihrer linearen Approximation t1 (x) = x − 1 um die Stelle x = 1 verläuft. Man beachte hierzu die Ungleichungskette (1.4). Wichtige Reihen sind außerdem die arithmetischen, die geometrischen und die Binomial-Reihen.


21

Arithmetische Reihen Arithmetische Folgen sind von der rekursiven Form an+1 = an + d f¨ ur alle n ∈ N0 , a0 , d ∈ R vorgegeben Das allgemeine Glied der Folge lautet an = a0 + nd f¨ ur n ∈ N0

(1.7)

Werden die ersten n + 1 Glieder der Folge aufsummiert, so entsteht das allgemeine Glied sn der arithmetischen Reihe sn =

n X

(a0 + kd) = a0

n X

1+d

= a0 (n + 1) + d

k

k=0

k=0

k=0

n X

(n + 1) n n = (n + 1) a0 + d 2 2

(1.8)

f¨ ur n ∈ N. Man erkennt, daß die Reihe f¨ ur vorgegebene a0 , d ∈ R gegen ∞ strebt, sofern nicht gerade a0 = d = 0 gilt. Geometrische Reihen Diese entstehen durch Aufsummierung aus der geometrischen Folge an+1 = an q f¨ ur alle n ∈ N0 , a0 , q ∈ R vorgegeben (in rekursiver Form). Das allgemeine Glied der Folge lautet an = a0 q n f¨ ur n ∈ N0

(1.9)

Summiert man die ersten n + 1 Glieder der Folge auf, so ergibt sich n X

n X

1 − q n+1 sn := a0 q = a0 q = a0 1−q k=0 k=0 k

k

(1.10)


22

Setzen wir oBdA a0 = 1 voraus. Offensichtlich konvergiert die Reihe genau dann, wenn |q| < 1 gilt. s := lim

n X

n→∞

qk =

k=0

∞ X

qk =

k=0

1 1−q

(1.11)

Die Reihe konvergiert in diesem Fall sogar absolut und gleichmäßig, so daß sie elementweise abgeleitet werden kann. ∞ X

kq k−1 =

k=1

1 = 1 + 2q + 3q 2 + ... (1 − q)2

(1.12)

Dieser Ableitungsprozeß kann auch direkt mit der Summenformel (1.10) durchgef¨ uhrt werden n X

kq k−1 =

k=1

=

− (n + 1) q n (1 − q) + (1 − q n+1 ) (1 − q)2 nq n+1 − (n + 1) q n + 1 (1 − q)2

(1.13)

wobei sich f¨ ur n → ∞ das gleiche Ergebnis ergibt, da lim nq n = 0 gilt f¨ ur |q| < 1

n→∞

(1.14)

Aus (1.12) ergibt sich durch Multiplikation mit q auch ∞ X k=0

1.2.3

kq k =

q (1 − q)2

(1.15)

Nullstellen von Polynomen

Ausgangspunkt f¨ ur das Verständnis und den Umgang mit einem Polynom p : R −→ R vom Grad n der Form p (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn


23

mit Koeffizienten a0 , ..., an ∈ R, an 6= 0, ist das Hornerschema. Darunter versteht man das folgende lineare Gleichungssystem an = c n an−1 = cn−1 − cn b an−2 = cn−2 − cn−1 b ... a0 = c0 − c1 b,

(1.16)

das bei beliebig vorgegebenen b ∈ R bequem rekursiv nach den n + 1 Unbekannten c0 , ..., cn aufgelöst werden kann. Ersetzt man die Koeffizienten a0 , ..., an im Polynom durch die genannten Gleichungen, so erhält man durch Umsortierung die folgende Form des Polynoms p (x) = = = =

a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn (c0 − c1 b) + ... + (cn−1 − cn b) xn−1 + cn xn c0 + c1 x + ... + cn−1 xn−1 + cn xn − b c1 + c2 x + ... + cn xn−1 c0 + (x − b) c1 + c2 x + ... + cn xn−1 (1.17)

Diese Form des Polynoms hat mehrere Konsequenzen 1. Man kann den Wert p (b) des Polynoms p an der Stelle x = b f¨ ur beliebiges b ∈ R berechnen, indem man das GLS (1.16) löst und die Identität p (b) = c0 verwendet. Offensichtlich brauchen bei dieser Berechnung keinerlei Potenzen berechnet zu werden. Das macht die Auswertung des Polynoms an der Stelle x = b numerisch sehr stabil und rechnerisch einfach. Im u ¨brigen kann die Bedeutung der c0 s auch durch folgende Umsortierung des Polynoms p verstanden werden: Löst man das Gleichungssystem (1.16) teilweise nach den c0 s auf c n = an cn−1 = cn b + an−1 cn−2 = cn−1 b + an−2 ... c 0 = c 1 b + a0

(1.18)


24

und schreibt p in der folgenden Form auf p (x) = (... ((an x + an−1 ) x + an−2 ) x + ... + a1 ) x + a0

(1.19)

so sieht man aus dieser Darstellung: setzt man f¨ ur x den Wert b ein, so nehmen die inneren Klammern sukzessive die Werte cn−1 , cn−2 , ..., c1 an. 2. Ist x = b eine Nullstelle von p, so gilt c0 = p (b) = 0 und damit besitzt p die Faktor-Darstellung p (x) = (x − b) c1 + c2 x + ... + cn xn−1 (1.20) 3. Per Induktionsbeweis u ¨ber den Grad n des Polynoms ist damit unmittelbar klar, daß p höchstens n verschiedene (reelle) Nullstellen haben kann. 4. Dies wiederum hat nun zur Folge, daß wenn zwei Polynome p1 und p2 auf einem (noch so kleinen) Intervall (a, b) identisch sind, sie u ¨berhaupt u ussen. Damit ergibt ¨bereinstimmen und gleiche Koeffizienten haben m¨ sich die Möglichkeit des Koeffizientenvergleichs. 5. Wendet man die Faktordarstellung aus (1.20), die u ¨ber das Horner– schema berechnet wird, iterativ an, so ergibt sich schließlich die voll– ständige reelle Faktorzerlegung des Polynoms p zu p (x) = (x − x1 )l1 · (x − x2 )l2 · ... · (x − xs )l2 · p1 (x) ,

(1.21)

in der x1 , ..., xs , s ∈ N, die verschiedenen reellen Nullstellen von p sind, die mit den algebraischen Vielfachheiten l1 , ..., ls auftreten und in der p1 ein nullstellenfreies Polynom darstellt, dessen Grad gerade l = n − l1 − ... − ls ≥ 0 ist. Bisektionsverfahren Reelle Nullstellen von Polynomen können also prinzipiell wie folgt ermittelt werden: kennt man eine Nullstelle des zu untersuchenden Polynoms p, so kann man mit den Hornerschema zu einem im Grad um eins niedrigeren


25

Polynom u ¨bergehen und dessen Nullstellen zu bestimmen versuchen. Nullstellen können also rekursiv bestimmt werden, wenn man weiß, wie eine erste Nullstelle bestimmt wird. Ein Verfahren zur Bestimmung einer ersten Nullstelle ist das Bisektionverfahren. Dieses basiert auf dem Zwischenwertsatz. Voraussetzung f¨ ur seine Anwendung ist, daß man zwei Stellen x1 und x2 kennt, f¨ ur die das Polynom p unterschiedliche Vorzeichen annimmt, d.h. f¨ ur die p (x1 ) · p (x2 ) < 0 gilt. In dieser Situation gilt f¨ ur das arithmetische Mittel der beiden Stellen, 1 x3 = 2 (x1 + x2 ) , entweder

p (x3 ) = 0 oder p (x3 ) > 0 oder p (x3 ) < 0.

Im ersten Fall hat man bereits eine Nullstelle gefunden, im zweiten oder dritten Fall ein um die Hälfte kleineres Intervall, an dessen Eckpunkten das Polynom unterschiedliche Vorzeichen annimmt. Somit hat man erneut die ¨ Ausgangssituation und kann die Uberlegung von vorne beginnen. Es entsteht also eine Folge sich jeweils einschließender Intervalle mit sich halbierendem Durchmesser, von denen jedes nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle enthält. So kann man mit endlich vielen Operationen eine Nullstelle des Polynoms beliebig genau einschachteln. Bleibt die Frage zu klären, wie man an zwei Polynomstellen mit unterschiedlichem Vorzeichen kommt. Garantiert ist deren Existenz nat¨ urlich nicht. Z.B. 2 nimmt das Polynom f (x) = x an allen Stellen x nur nichtnegative Werte an. Dagegen garantiert der Zwischenwertsatz f¨ ur jedes Polynom ungeraden Grades die Existenz einer Nullstelle, da diese Polynome f¨ ur x → ∞ und x → −∞ jeweils unterschiedliches Vorzeichen annehmen. Hilfe bei der Suche nach nicht zu weit auseinanderliegenden Stellen mit unterschiedlichem Vorzeichen leisten die beiden folgenden Abschätzungen, die jeweils ein Intervall angeben, in dem alle Nullstellen eines Polynoms liegen. Satz 1.8 F¨ ur ein Polynom der Form p (x) = xn + an−1 xn−1 + ... + a0


26

gilt: Alle Nullstellen x0 des Polynoms erf¨ ullen die Ungleichungen ( n−1 ) X |x0 | ≤ max 1, |ai | und |x0 | ≤ 1 + max {|ai |} 0≤i≤n−1

i=0

Beweis: a) Es gilt xn0 = −an−1 x0n−1 − ... − a1 x0 − a0 also nach der Dreiecksungleichung |x0 |n ≤ |an−1 | |x0 |n−1 + ... + |a0 | . Nun gilt f¨ ur x0 entweder |x0 | ≤ 1 oder |x0 | > 1. Im zweiten Fall hat man n

n−1

|x0 | ≤ |x0 |

n−1 X

|ai | =⇒ |x0 | ≤

i=0

n−1 X

|ai |

i=0

Somit gilt die erste Abschätzung. b) Gilt |x0 | ≤ 1, so ist die zu zeigende zweite Ungleichung sicher erf¨ ullt. Setzen wir also insbesondere x0 = 6 0 voraus. Dann gilt 1 = −an−1

1 1 1 − an−2 2 − ... − a0 n x0 x0 x0

sodaß unter Anwendung der Dreiecksungleichung und der Teilsummenformel der geometrischen Reihe gilt 1 1 1 1 ≤ |an−1 | + |an−2 | 2 + ... + |a0 | n x0 x0 x0 1 1 − |x01|n 1 1 − |x0 |n ≤ max {|ai |} = max {|a |} i 0≤i≤n−1 0≤i≤n−1 |x0 | 1 − |x10 | |x0 | − 1 F¨ ur |x0 | > 1 folgt also

1 |x0 | − 1 ≤ max {|ai |} · 1 − 0≤i≤n−1 |x0 |n

Damit ist auch die zweite Ungleichung bewiesen.

≤ max {|ai |} 0≤i≤n−1

2


27

Newtonverfahren Das oben angegebene Bisektionsverfahren konvergiert sehr langsam. Im Prinzip verbessert man nur in jedem vierten Schritt eine Dezimale der Annäherung an die Nullstelle. Hat man ein gen¨ ugend kleines Intervall gefunden, in dem eine Nullstelle liegt, so wendet man besser das Newtonverfahren an. Dieses konvergiert wesentlich schneller und benötigt meist nur sehr wenige Schritte, um die Nullstelle mit hoher Präzision zu bestimmen. Sei p ein gegebenes Polynom und x0 eine Stelle, in deren Nähe eine Nullstelle des Polynoms liegt. Dann wendet man bekanntermaßen iteriert die Formel xk+1 = xk −

p (xk ) p0 (xk )

f¨ ur k = 0, 1, 2, ...

(1.22)

an. Ohne Beweis sei angegeben: Satz 1.9 Ist x0 nahe genug bei einer Nullstelle x∗ des Polynoms p und gilt p0 (x∗ ) 6= 0, so konvergiert das Newtonverfahren gegen x∗ und es gibt ein γ > 0, so daß f¨ ur alle k ∈ N gilt |xk+1 − x∗ | ≤ γ |xk − x∗ |2 2 Der Satz bescheinigt dem Verfahren also quadratische Konvergenz, wenn der Startpunkt des Verfahrens bereits nahe genug an der zu berechnenden Nullstelle liegt. In der Praxis versucht man, ein kleines Intervall zu finden, in dem eine Nullstelle liegt (etwa mit dem Bisektionsverfahren) und wendet dann das Newtonverfahren an, wobei man z.B vom Intervallmittelpunkt startet. Zuweilen kann allerdings das Newtonverfahren auch von einer Stelle gestartet werden, die nicht notwendig nahe bei der zu berechnenden Nullstelle liegt. Dies zeigt das folgende Lemma 1.10 Die zweimal differenzierbare Funktion p : R −→ R habe im Intervall (a, b) eine Nullstelle x∗ . Es gelte p0 (x) > 0 und p00 (x) > 0 f¨ ur ∗ ∗ alle x ∈ (x , b) . Startet dann das Newtonverfahren bei x0 ∈ (x , b) , so konvergiert das Verfahren streng monoton abfallend gegen x∗ .


28

Beweis: Nach Voraussetzung ist p streng montoton ansteigend auf [x∗ , b]. Daher gilt p (x0 ) > p (x∗ ) = 0 und p0 (x0 ) > 0. Also folgt x1 = x0 −

p (x0 ) < x0 p0 (x0 )

Ferner gilt p (x0 ) p (x∗ ) ∗ − x + p0 (x0 ) p0 (x0 ) 1 (p (x0 ) − p (x∗ )) = x0 − x∗ − 0 p (x ) 0 0 p (ξ) ∗ = (x0 − x ) 1 − 0 f¨ ur ein ξ ∈ (x∗ , x0 ) p (x0 )

x1 − x∗ = x0 −

letzteres nach dem Mittelwertsatz. Da aber p0 nach Voraussetzung auf [x∗ , b] streng monoton ansteigend ist, folgt 0 ≤ p0 (x∗ ) < p0 (ξ) < p0 (x0 ) , also 0 0 wegen der strengen Monotonie von p und p (xi ) ≥ p (¯ x) f¨ ur jeden Iterationspunkt xi des Verfahrens, i ∈ N. Gleichzeitig ist p0 auf [x∗ , x0 ] nach oben durch ein δ > 0 beschränkt. Daher gilt xi − xi+1 =

p (¯ x) p (xi ) ≥ >0 0 p (xi ) δ

f¨ ur jedes i ∈ N. Dies widerspricht der Konvergenz des Verfahrens.

2

Bemerkung: Gilt in Lemma 1.10 sogar p0 (x) > 0, p00 (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) und startet das Newtonverfahren bei x0 ∈ (a, x∗ ) , so gilt f¨ ur den ∗ ersten Iterationspunkt x1 des Newtonverfahrens x1 ≥ x , so daß im Falle x1 ∈ (x∗ , b) die Vorausetzungen des Lemmas auf x1 zutreffen und die weiteren Iterationspunkte eine streng monoton abfallende Folge bilden. (Beweis: ¨ Ubungsaufgabe)


29

Newton-Fourier-Verfahren Interessanterweise kann unter den gleichen Vorausssetzungen wie in Bemerkung 1.2.3 auch eine monotone Annäherung von links an die Nullstelle erreicht werden, und zwar simultan zur Annäherung von rechts. So entsteht das Newton-Fourier-Verfahren. Dieses verwendet bei vorgegebenen y0 < x∗ < x0 die Rekursionsformeln p (xk ) f¨ ur k = 0, 1, 2, ... p0 (xk ) p (yk ) = yk − 0 f¨ ur k = 0, 1, 2, ... p (xk )

xk+1 = xk − yk+1

(1.23)

Es gilt der Satz 1.11 Die zweimal stetig differenzierbare Funktion p habe im Intervall (a, b) eine Nullstelle x∗ . Es gelte p0 (x) > 0 und p00 (x) > 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b) . Startet dann das Newton-Fourier-Verfahren bei x0 ∈ (x∗ , b) , und y0 ∈ (a, x∗ ) , so konvergiert das Verfahren quadratisch, streng monoton abfallend von x0 und ansteigend von y0 gegen x∗ . Beweis: Die streng monotone Konvergenz der Folge xi , i ∈ N0 , wurde bereits im Lemma bewiesen. Analog zeigen wir die strenge Monotonie der Folge der yi , i ∈ N0 . Es gilt y0 < x∗ und deshalb p (y0 ) < p (x∗ ) = 0. Wegen p0 (x0 ) > 0 folgt daher y1 = y0 −

p (y0 ) > y0 p0 (x0 )

Ferner gilt p (y0 ) p (x∗ ) ∗ − x + p0 (x0 ) p0 (x0 ) 1 = y0 − x∗ − 0 (p (y0 ) − p (x∗ )) p (x0 ) p0 (ξ) ∗ = (y0 − x ) 1 − 0 f¨ ur ein ξ ∈ (y0 , x∗ ) p (x0 )

y1 − x∗ = y0 −

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG Wiederum gilt 0 0 2 Einbeziehung des Horner-Schemas Eine Implementierung des Newtonverfahrens f¨ ur Polynome nach der Formel (1.22) verwendet nat¨ urlich das Hornerschema zur Berechnung der Werte p (xk ) , k ∈ N0 . Erfreulicherweise können dabei die Werte p0 (xk ) , k ∈ N0 , simultan gleich mitberechnet werden. Dies kann wie folgt eingesehen werden:


31

Es sei wie in Formel (1.16) die Stelle x = b ∈ R betrachtet, zu der das Hornerschema den Wert p (b) berechnet. Leitet man die Darstellung (1.17) des Polynoms p ab, so ergibt sich p0 (x) = c1 + c2 x + ... + cn xn−1 + (x − b) c2 + 2c3 x + ... + (n − 1) cn xn−2 Daher gilt p0 (b) = c1 + c2 b + ... + cn bn−1

(1.24)

p0 (b) kann also prinzipiell mit dem Hornerschema berechnet werden, wenn anstelle der Koeffizienten ak , k = 0, ..., n, des Polynoms p die Hornerkoeffi– zienten c1 , ..., cn verwendet werden. Nennen wir die Koeffizienten dieser erneuten Anwendung des Hornerschemas c01 , ..., c0n , so ergibt sich folgendes nun leicht einzusehendes Rechenschema f¨ ur die simultane Berechnung von p (b) und p0 (b) c n = an , cn−1 = cn b + an−1 , cn−2 = cn−1 b + an−2 , ... c1 = c2 b + a1, c 0 = c 1 b + a0 ,

c0n = 0 c0n−1 = c0n b + cn c0n−2 = c0n−1 b + cn−1 ... c01 = c02 b + c2 c00 = c01 b + c1

(1.25)

Es gilt dann p (b) = c0 und p0 (b) = c00 . Diese simultane Berechnung der beiden Werte ist nat¨ urlich numerisch vorteilhafter als deren Einzelberechnung.

1.2.4

Positive Nullstellen

Von den Nullstellen eines Polynoms werden uns vorwiegend die positiven interessieren. Es stellt sich daher die Frage, ob man der Form des Polynoms ansehen kann, wieviele positive Nullstellen es hat. Erfreulicherweise gibt es solche Resultate. Wir beginnen mit einem anschaulich wohlbegr¨ undeten Satz 1.12 Es sei p ein reelles Polynom der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0. Wir betrachten ein Intervall [a, b] mit p (a) · p (b) 6= 0.


32

Hat p an den Eckpunkten des Intervalls gleiches Vorzeichen, so kann es im offenen Intervall (a, b) nur eine gerade Anzahl von Nullstellen haben. Sind die entsprechenden Vorzeichen jedoch verschieden, so hat p eine ungerade Anzahl von Nullstellen in (a, b) . Beweis: Wir bezeichnen mit α1 , α2 , ..., αm die reellen Nullstellen von p innnerhalb (a, b) β1 , β2 , ..., βk die reellen Nullstellen von p außerhalb von [a, b] und mit γj ± iδj (j = 1, ..., h) die echt komplexen Nullstellen von p, wobei alle Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheiten aufgezählt seien. Man beachte, daß dabei die konplexen Nullstellen in Paaren komplex konjugierter Nullstellen auftreten. Dann besitzt p die Faktorisierung p (x) = φ (x)

m Y

(x − αj )

mit

j=1

φ (x) = an

k Y

(x − βj )

j=1

h Y

(x − γj )2 + δj2

j=1

wobei jeweils ein Paar zueinander komplex konjugierter Nullstellen zusammengefaßt wurde. Nun betrachten wir den Quotienten p (a) φ (a) a − α1 a − α2 a − αm = · ... · p (b) φ (b) b − α1 b − α2 b − αm Hierbei gilt zunächst einmal wegen der relativen Lage der Nullstellen a − βj > 0 f¨ ur alle j = 1, ..., k, b − βj so daß φ (a) /φ (b) > 0 gelten muß. Auf der anderen Seite ist mit dem gleichen Argument a − αj < 0 f¨ ur alle j = 1, ..., m, b − αj

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG so daß

33

sign

p (a) p (b)

= (−1)m 2

gelten muß. Also gilt die Behauptung. Der Satz läßt folgende Folgerung zu: Korollar 1.13 Es sei das Polynom p von der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0. Dann gilt: 1. Ist an · a0 > 0, so besitzt p eine gerade Anzahl positiver Nullstellen

2. Ist an · a0 < 0, so besitzt p eine ungerade Anzahl positiver Nullstellen. Beweis: Es ist p (0) = a0 und limx→∞ p (x) = ±∞ je nach Vorzeichen von an . Der Satz macht somit eine Aussage u ¨ber die Nullstellen von p im Intervall (0, ∞) . 2 Im folgenden sagen wir, daß die Koeffizientenfolge a0 , a1 , ..., an von p beim Index k > 0 einen Vorzeichenwechsel hat, wenn ak 6= 0 gilt und der nächst kleinere Index i, f¨ ur den ai 6= 0 gilt, umgekehrtes Vorzeichen hat wie ak . Man beachte, daß bei a0 kein Vorzeichenwechsel vorliegen kann und daß damit insgesamt höchstens n Vorzeichenwechsel vorliegen können. Gilt dabei a0 · an > 0, so liegt eine gerade Anzahl von Vorzeichenwechseln vor, bei a0 · an < 0 eine ungerade. Lemma 1.14 Ist p von der Form p (x) = (x − c) q (x)

mit c > 0,

so ist die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p um eine ungerade nat¨ urliche Zahl höher als die von q. Beweis: Es sei q (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an > 0 vorausgesetzt. Wir betrachten drei Fälle:


34

1. Es sei a0 < 0. Dann ist also die Anzahl v der Vorzeichenwechsel von q ungerade und größer null. q sei von der Form q (x) = an xn +...+bxm+1 −rxm −...−dxl+1 +kxl +...+gxp+1 −hxp −...+a0 Hierin seien b > 0, d > 0, g > 0 und r ≥ 0, k ≥ 0, h ≥ 0 vorausgesetzt. Es liegen also Vorzeichenwechsel bei (m + 1) , (l + 1) , (p + 1) vor und dieses seien der erste, ein beliebiger mittlerer und der letzte Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von q. Wird nun das Polynom p betrachtet, also q mit (x − c) multipliziert, so läßt sich p in folgender Form schreiben p (x) = an xn+1 ± ... − (r + bc) xm+1 ± ... + (k + dc) xl+1 ± ... − (h + gc) xp+1 ± ... − a0 c Da an > 0, (r + bc) > 0, (k + dc) > 0, (h + gc) > 0, −a0 c > 0 gilt, liegt jeweils bei Indizes größer (m + 1) , (l + 1) , (p + 1) , 0 ein Vorzeichenwechsel vor, insgesamt also nach Konstruktion mindestens ein Wechsel mehr als bei q. Außerdem ist die Anzahl vˆ wegen −a0 c > 0 gerade. Damit ist vˆ − v ungerade und positiv und es gilt die Behauptung. 2. Es sei a0 > 0 vorausgesetzt. Dann zeigt man die Behauptung genau entsprechend dem ersten Fall. 3. Ist a0 = 0, so kann eine gewisse Potenz von x ausgeklammert werden, d.h. p ist von der Form p (x) = xs (x − c) qˆ (x) Die Anzahl der Vorzeichenwechsel von p wird aber von dem Faktor xs nicht beeinflußt. Daher folgt auch hier die Behauptung wie im ersten oder zweiten Fall. 2 Mit Hilfe der beiden vorherigen Lemmata kann nun ein klassisches Resultat bewiesen werden. Satz 1.15 (Vorzeichenregel von Descartes) Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel seiner Koeffizientenfolge oder um eine gerade nat¨ urliche Zahl kleiner als diese.


35

Beweis: Das Polynom sei von der Form p (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 mit an 6= 0 und besitze genau die positiven Nullstellen c1 , c2 , ..., cs > 0, wobei mehrfache Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit aufgezählt seien. Dann läßt sich p faktorisieren in p (x) = (x − c1 ) (x − c2 ) · ... · (x − cs ) g (x) wobei g ein Polynom (n − s)-ten Grades ohne positive Nullstellen ist. Somit besitzt die Koeffizientenfolge von p nach dem letzten Lemma mindestens s Vorzeichenwechsel mehr als die von g und die Anzahl v der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge von p ist größer oder gleich der Anzahl s positiver Nullstellen von p. Sei nun zunächst a0 6= 0 vorausgesetzt. Nach Korollar 1.13 ist s genau dann gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Auf der anderen Seite ist, wie schon betont, v auch genau dann gerade, wenn an · a0 > 0 gilt. Also ist v − s immer gerade. Ist dagegen a0 = 0, so kann wieder eine gewisse Potenz von x in p ausgeklammert werden. Da dieser Vorgang weder die Zahl der positiven Nullstellen noch die der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge beeinflußt, ist alles bewiesen. 2

1.2.5

Intensit¨ at

Es sei f : R+ −→ R++ eine st¨ uckweise stetige, rechtsseitig differenzierbare Funktion. Dann nennt man f¨ ur jedes t ∈ R+ f r (t) f (t + 4t) − f (t) 1 = = (ln f (t))r 4t→0+ 4t f (t) f (t)

ϕ (t) := lim

die Intensit¨ at der Funktion f an der Stelle t. f r benennt dabei die rechtsseitige Ableitung von f an der Stelle t. Ist die Intensität ϕ einer Funktion f vorgegeben, so kann f aus ϕ berechnet werden: Lemma 1.16 Es sei ϕ := R+ −→ R eine st¨ uckweise stetige, rechtsseitig stetige Funktion. Dann ist ϕ Intensität der (st¨ uckweise stetigen, rechtsseitig differenzierbaren) Funktion Z t f (t) = f (0) exp ϕ (τ ) dτ 0


36

wobei der Wert f (0) beliebig vorgegeben werden kann. Beweis: Es gilt nach der Kettenregel Z t r Z t r f (t) = f (0) exp ϕ (τ ) dτ = f (0) exp ϕ (τ ) dτ ϕ (t) = f (t)·ϕ (t) 0

0

2 Insbesondere gilt: die konstante Funktion ϕ (t) =: δ ist Intensität der Funktion f (t) = f (0) eδt Man beachte, daß sich f aus ϕ (im Falle von Differenzierbarkeit) durch Lösen einer homogenen linearen DGL erster Ordnung ergibt f 0 = ϕ (t) · f

¨ Ubungsaufgaben

1.3 1.3.1

Abschreibung

Eine schöne Anwendung f¨ ur arithmetische und geometrische Folgen ist die Abschreibung. Bei dieser wird der Wert eines Gutes, das einer Abnutzung oder Alterung unterliegt, zum Zwecke der steuertechnischen oder bilanztechnischen Bewertung rechnerisch vom Anschaffungswert A auf den Restwert RN nach N (Bilanz-) Jahren herabgesetzt. Bei der Beschreibung, wie sich der Wert des Gutes innerhalb der N (Bilanz-) Jahre darstellt, unterscheidet man mehrere Modelle, die unterschiedliche steuerliche Auswirkungen haben. • die lineare Abschreibung, bei der der Wert des Gutes linear abnimmt. Der Restwert Rn nach n Jahren beträgt also Rn = A − n

A − RN N

Die Restwerte R1 , R2 , ... bilden somit eine arithmetische Folge mit den N Parametern a0 = A und d = − A−R . N


37

• die arithmetisch-degressive Abschreibung. Bei dieser sinkt der anfängliche Abschreibungsbetrag a1 =: a von Jahr zu Jahr um den gleichen Betrag d, dem Abschreibungsgefälle, ab. Der Abschreibungsbetrag an im n−ten Jahr beträgt also an = a − (n − 1) d • die digitale Abschreibung als der Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung, bei dem aN = d, gilt. • die geometrisch-degressive Abschreibung, bei der sich jedes Jahr der Restwert um einen festen Prozentsatz p % verringert. Es gilt also R n = A · in wobei i := 1 −

p 100

zur Abk¨ urzung gesetzt wurde.

Zu beachten ist, dass sich bei linearer Abschreibung der rechnerische Wert des Gutes gleichmäßig verringert, während er bei degressiver Abschreibung anfänglich stärker und später schwächer fällt. Im letzteren Fall kann fr¨ uhzeitig ein höherer Betrag steuerlich geltend gemacht werden. Aufgabe 1.17 Zeigen Sie, daß bei der arithmetisch-degressiven Abschreibung 2 [N a − (A − RN )] d= (N − 1) N und A − RN A − RN 0 r

also r > R0 (q − 1) = R0 · i

(3.5)

KAPITEL 3. RENTEN

69

gelten muß. Dies kann so interpretiert werden: Ein vorgegebener Rentenbarwert kann durch die Zahlung der Raten nur erreicht werden, wenn die Raten groß genug sind, mindestens so groß wie die Zinsen, die man aus dem Barwert zahlen m¨ usste. Beispiel 3.1 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden Jahres 1000 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) ein 1.0610 − 1 = 13180.80 [EU R] 0.06 Der Barwert der Rente ergibt sich zu R10 = 1000

R0 = 13180.8 · 1.06−10 = 7360.10 [EU R] 2 Als zweites Beispiel betrachten wir dieselbe Situation noch einmal mit dem Unterschied, daß nun die Zinsperiode ein viertel Jahr betrage und daf¨ ur vierteljährlich nur 250 EU R einbezahlt werden. Beispiel 3.2 Es werden bei vereinbarten nominellen 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des viertel Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10, q = 1 + R10 = 250

i m

= 1.015

1.01540 − 1 = 13566. 97 [EU R] 0.015

und damit nat¨ urlich ein höherer Wert als zuvor. Genauso ergibt sich mit R0 = 13566. 97 · 1.015−40 = 7478. 96 [EU R] ein höherer Barwert als bei volljähriger Zahlung und Verzinsung (warum?). 2

KAPITEL 3. RENTEN

70

Regelm¨ aßige Auszahlungen Bisher haben wir eine einzahlende Rente mit regelmäßigen Einzahlungen auf ein Konto betrachtet. Betrachten wir als nächstes die Situation, dass auf einem Konto mit dem Aufzinsungsfaktor q anfänglich ein Betrag Ka liegt, von dem regelmäßig zum Ende einer Zinsperiode eine Rate r abgehoben werden soll. Die Bewegungen auf dem Konto entwickeln sich bei einer Laufzeit T von n Zinsperioden nach der folgenden Klammerfolge

(... (((Ka q − r) q − r) q − r) q... − r) q − r = KT ⇐⇒ Ka q n − rq n−1 − rq n−2 − ... − rq − r = KT ⇐⇒ Ka q n − r + rq + ...rq n−1 = KT wobei KT der Kontostand am Ende der n − ten Zinsperiode sei. Damit ergibt sich Ka q n − r

qn − 1 = KT q−1

(3.6)

In diesem Fall kann man zur Interpretation der Formel also von folgendem Modell ausgehen: Bei auszahlenden Renten werden die Raten zunächst nicht aus dem Originalkonto ausgezahlt, sondern ersatzweise von einem separaten (vituellen) Schuld-Konto abgehoben, das derselben Verzinsung unterliegt. Am Ende der n Zinsperioden wird das separate Ratenkonto u ¨ber das inzwischen voll geometrisch verzinste Originalkkonto ausgeglichen. In diesem Sinne können wir mit einer auszahlenden Rente genauso umgehen wie mit einer einzahlenden Rente! Beispiel 3.3 Frau T. legt einen Betrag von 10000 EU R auf ein Anlagekonto mit 4% jährlicher Verzinsung an. Wie lang kann sie von diesem Konto jeweils zum Jahresende 1000 EU R abheben, bis das Konto abgeräumt ist?

KAPITEL 3. RENTEN

71

Lo ¨sung: In der obigen Formel (3.6) setzen wir KT = 0. Somit entsprechen die anfänglichen Ka = 10000 EU R gemäß Formel (3.2) dem Barwert einer nachsch¨ ussigen Rente mit Rate r = 1000 EU R und Formel (3.4) kann angewendet werden: − ln 1 − 10000·0.04 1000 n= = 13.024 ln 1.04 Die Tatsache, daß sich n hier als nichtganzzahlig ergibt, kann folgendermaßen ausgewertet werden: Die von Ka abhängige Funktion n mit − ln 1 − Ka (q−1) r n (Ka ) = ln q ist f¨ ur festes q > 1 und r > Ka (q − 1) streng monoton ansteigend wegen 1 1 q−1 dn 0 =− · · − > 0. n (Ka ) = dKa lnq 1 − Ka (q−1) r r Deshalb entspricht eine Laufzeit von n = 13 Jahren einem geringeren Anfangskapital als Ka und eine Laufzeit von n = 14 Jahren einer höheren Anfangskapital als Ka . Bei einer Laufzeit von 13 Jahren wird also das Anfangskapital Ka durch die ausgezahlten Raten nicht völlig aufgebraucht. Die Möglichkeit, 1000 EU R abzuheben, ergibt sich demnach f¨ ur 13 Jahre, nicht aber f¨ ur 14 Jahre. 2 Zinsberechnung Gleichung (3.1) oder (3.2) können (bei n > 2) nicht direkt nach dem Aufzinsungsfaktor q aufgelöst werden, sondern es muß ein Näherungsverfahren angewendet werden. Zu beobachten ist, daß beide Gleichungen nach der Vorzeichenregel von Descartes eine eindeutige positive Lösung besitzen, denn es gilt (r − Rn ) + rq + ... + rq n−1 = 0 mit (r − Rn ) < 0 (3.7) bzw. r + rq + ... + rq n−1 − R0 q n = 0

KAPITEL 3. RENTEN

72

zu lösen. Beide Gleichungen haben genau einen Vorzeichenwechsel. Betrachten wir Gleichung (3.7) genauer. Zu bestimmen ist eine positive Nullstelle des Polynoms g (q) = (r − Rn ) + rq + ... + rq n−1 Es gilt g 0 (q) = r + 2rq + ... + (n − 1) rq n−2 und g 00 (q) = 2r + ... + (n − 1) (n − 2) rq n−3 Beide Ableitungen sind positiv f¨ ur positive q. Nach der Bemerkung zu Lemma 1.10 kann daher das Newton-Verfahren erfolgreich eingesetzt werden, wenn es von einem beliebigen q0 > 0 startet, z.B. bei q0 = 1. Ausgehend von der äquvalenten Umformung von (3.7) q n − 1 Rn − =0 q−1 r kann das Näherungsverfahren aber auch auf ein Polynom mit weniger Koeffizienten angewendet werden. Dazu wird diese Gleichung mit (q − 1) multipliziert Rn Rn n q+ −1 =0 (3.8) g (q) := q − r r Es entsteht ein Polynom mit genau zwei positiven Nullstellen: einmal q = 1 und zum anderen die bereits angesprochene Nullstelle von (3.7). Die erste und die zweite Ableitung von g berechnen sich zu g 0 (q) = nq n−1 − 0

Rn , r

g 00 (q) = n (n − 1) q n−2 00

q

Rn Damit gilt (bei n ≥ 2) g (q) > 0 und g (q) > 0 f¨ ur alle q > . Hierbei nr ist hauptsächlich der Fall Rn > nr interesssant, da genau dann eine positive Verzinsung erfolgt.

F¨ ur das Polynom liegt also folgende Situation vor: g hat eine positive Nullstelle bei q = 1. q g hat ein lokales Minimum bei q = n−1 Rnrn

n−1

KAPITEL 3. RENTEN

73

g hat eine weitere positive Nullstelle bei q > Nullstelle.

q

n−1

Rn . nr

Diese ist die gesuchte

Nach der Bemerkung zu Lemma 1.10 kann daher das Newton-Verfahren bei q einem beliebigen q0 >

n−1

Rn erfolgreich nr

gestartet werden, z.B. bei q0 =

Rn . nr

Ausgehend von Formel (3.2) ergibt sich eine ähnliche Argumentation ¨ (Ubungsaufgabe!) Ewige Renten Ist bei einer Rente das Zahlungsende ungewiss, ist also dar¨ uber keine Vereinbarung getroffen, so wird n als sehr groß angenommen. In diesem Fall betrachtet man gerne den Grenzwert f¨ ur n → ∞ und spricht von einer ewigen Rente. Bei einer ewigen (nachsch¨ ussigen) Rente ist der Rentenbarwert interessant. Bei unbestimmtem Zahlungsende nähert sich der Rentenbarwert dem Wert 1 − q −n r R0 = lim r = . (3.9) n→∞ q−1 q−1 Beachte: Es gilt also r = R0 · (q − 1) . Damit gibt die Rate r gerade die fiktiven Zinsen auf den Barwert an (vgl. dazu (3.5)).

3.1.2

Vorschu ¨ ssige Renten

Es seien nun ohne Beweise die entsprechenden Formeln f¨ ur die vorschu ¨ ssige Rente angegeben. F¨ ur den Rentenendwert ergibt sich Rn = rq n + ... + rq 2 + rq = rq

qn − 1 = rqsn =: rs0n , q−1

(3.10)

und daraus die u ¨brigen Formeln R0 = Rn q −n = rq

r = Rn

1−

1 − q −n = rqan =: ra0n q−1 1 q

qn − 1

= R0

1 q −n q

1− 1−

(3.11)

(3.12)

KAPITEL 3. RENTEN ln n=

74 Rn (q−1) rq

+1

− ln 1 −

R0 (q−1) rq

= ln q ln q wobei wieder rq > R0 (q − 1) vorausgesetzt werden muß.

(3.13)

n

−1 = qsn den vorschu Hierbei nennt man s0n = q qq−1 ¨ ssigen Rentenendwert−n

faktor und a0n = q 1−q = qan den vorschu ¨ ssigen Rentenbarwertfaktor. q−1 F¨ ur die Berechnung von q aus den Formeln (3.10) oder (3.11) gelten ähnliche ¨ Argumente wie im nachsch¨ ussigen Fall (Ubungsaufgabe!). Bei den obigen Aufgaben ergeben sich leicht veränderte Ergebnisse, wenn wir vorsch¨ ussige Ratenzahlungen vorsehen. Beispiel 3.4 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.1. Diesmal mögen allerdings die Raten vorsch¨ ussig gezahlt werden. L¨ osung: Es ergibt sich R10 = 1000 · 1.06

1.0610 − 1 = 13971.63 [EU R] 0.06

R0 = 13971.63 · 1.06−10 = 7801.69 [EU R] , wobei offensichtlich jeweils ein höherer Wert herauskommen muß als bei der nachsch¨ ussigen Rechnung, da die Raten jeweils ein Jahr länger verzinst werden. 2 Beispiel 3.5 Gegeben sei die Aufgabenstellung von Beispiel 3.3. Diesmal mögen allerdings die Raten vorsch¨ ussig gezahlt werden. L¨ osung: Man findet − ln 1 − 10000·0.04 1000·1.04 n= = 12.379 [Jahre] ln 1.04 Hier wiederum muß eine k¨ urzere Laufzeit herauskommen, weil die Raten fr¨ uher entnommen werden. 2 Man beachte, daß Probleme mit vorsch¨ ussiger Zahlweise in der Regel auch nachsch¨ ussig gerechnet werden können. Bei der letzten Aufgabe z.B. könnte man nach Zahlung der ersten Rate von einem anfänglichen Kontostand von nur 9000 EU R ausgehen und nachsch¨ ussig rechnen.

KAPITEL 3. RENTEN

75

Ewige Renten Bei der ewigen (vorsch¨ ussigen) Rente nähert sich der Rentenbarwert dem Wert 1 − q −n rq = (3.14) R0 = lim rq n→∞ q−1 q−1

3.1.3

Aufgeschobene und unterbrochene Renten

Kurz angesprochen werden sollen die Situationen der aufgeschobenen oder unterbrochenen Renten. Hier setzen Ratenzahlungen erst später ein oder werden zwischenzeitlich f¨ ur eine Weile unterbrochen. Zur Erläuterung dieser Fälle seien zwei Beispiele angegeben. Beispiel 3.6 Eine Rente von jährlich 2000 EU R soll erst nach Ablauf von 6 Jahren beginnen und dann 8 mal hintereinander ausgezahlt werden. Wie hoch ist der Barwert der Rente bei einem angenommenen Jahreszinsfuß von 5%? Lo ussig oder vorsch¨ ussig rechnen. Wir rechnen ¨sung: Man kann nachsch¨ nachsch¨ ussig. Die Rente hat zu Beginn des 6. Jahres einen Wert von 2000

1 1.058 − 1 = 12926.43 [EU R] 1.058 1.05 − 1

Dieser Wert muß noch weitere 5 Jahre abgezinst werden, um den gesuchten Barwert zu erhalten R0 = 1.05−5 · 12926.43 = 10128.20 [EU R] 2 Beispiel 3.7 Der Holzbestand einer Gemeinde wirft am Ende des 14. bis zum Ende des 17. Jahres einen Ertrag von jeweils 6000 EU R ab; desgleichen nach Wiederaufforstung am Ende des 28. bis zum Ende des 31. Jahres und am Ende des 42. Jahres bis zum Ende des 45. Jahres. Wie hoch ist der Barwert aller Beträge bei angenommener jährlicher Verzinsung von 5%?

KAPITEL 3. RENTEN

76

Lo ussige Renten auf ¨sung: Man faßt die drei Ertragsperioden als nachsch¨ und zinst sie anschließend auf den Barwert ab. Es ergibt sich als Wert der Rente f¨ ur 4 Jahre ab dem 14. Jahr zu Beginn des 14. Jahres: 6000 1.054 − 1 R14 = = 21275.70 [EU R] 1.054 1.05 − 1 Da die Ertragsperioden jeweils 4 Jahre betragen, ergibt sich der gleiche Betrag auch als Wert R28 der Rente zu Beginn des 28. Jahres und als Wert R42 zu Beginn des 42. Jahres. Dadurch ergibt sich insgesamt als Barwert des gesamten Ertrages R0 = 21275.70 1.05−13 + 1.05−27 + 1.05−41 = 19859.83 [EU R] Der Barwert des gesamten Ertrages beläuft sich also auf 19859, 83 EU R. 2 Periodisch unterbrochene Ratenzahlungen Ist die Unterbrechung der Ratenzahlungen nach jeweils einer Zahlung regelmäßig, d.h. unterbleibt nach einer laufenden Ratenzahlung die weitere Ratenzahlung f¨ ur s Perioden, wird also erst nach s Perioden die nächste Rate gezahlt, so können die jeweils s Perioden ohne Ratenzahlung zu einer Ersatz-Periode zusammengefasst werden, f¨ ur die dann der Aufzinsungsfaktor s q gilt, denn genau dieser beschreibt das Anwachsen durch den Zinseszinseffekt während der Zeit ohne Ratenzahlung. In den obigen Formeln ist also nur q durch q s zu ersetzen. Bei dem folgenden Beispiel wird Beispiel 3.1 leicht verändert und so ein Vergleich ermöglicht. Beispiel 3.8 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden Jahres 1000 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende jedes halben Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? 2 Lo ¨sung: Wir setzen in die Rentenformel (3.1) mit q = 1 + 21 0.06 = 1. 0609 ein 1.060910 − 1 R10 = 1000 = 13236. 64 [EU R] 0.0609

KAPITEL 3. RENTEN

77

Der Barwert der Rente ergibt sich zu R0 = 13236. 64 · 1.0609−10 = 7328. 81 [EU R] 2

3.2

Unterzinsperiodische konstante Raten

Wir besprechen nun den Fall, dass die Ratenzahlungen einer Rente nicht nur zu den Zinsterminen, sondern unterzinsperiodisch erfolgen. Unabhängig davon kann die Zinsverrechnung volljährig oder unterjährig erfolgen, wobei die Ratenzahlungen teilweise mit Zinsterminen u ¨bereinstimmen können oder nicht.

3.2.1

Vollj¨ ahrige Zinsperioden

Der häufigste Fall ist der, daß die Ratenzahlung unterjährig und die Verzinsung volljährig erfolgt, also die Periode der Verzinsung nicht mit der Periode der Ratenzahlung u ¨bereinstimmt. Betrachten wir m feste Zahlungen pro Jahr, die in gleichlangen Zeitabständen erfolgen mögen, eine davon zum Zinstermin. Die Zahlungsperiode beträgt also m1 -tel Jahr, der nominelle Jahreszinssatz sei i. In Deutschland verwendet man zur Bearbeitung dieser Situation das folgende Prinzip der Ersatzrate : Alle im Laufe einer Zinsperiode gezahlten Raten werden auf ein (virtuelles) Ersatzkonto mit gleichem nominellen Jahreszinssatz i eingezahlt und dort der einfachen Verzinsung unterworfen. Das sich am Ende der Zinsperiode aus den eingezahlten Raten ergebene Kapital wird dem Ersatzkonto entnommen und nachsch¨ ussig als Ersatzrate rE zum Zinstermin in die Rente eingebracht.

KAPITEL 3. RENTEN

78

Nachschu ¨ ssige Renten Bei nachsch¨ ussigen Renten erfolgen die Zahlungen jeweils am Ende einer Zahlungsperiode. F¨ ur die Ermittlung der Ersatzrate ergibt sich daher die folgende Formel 2 (q − 1) (m − 1) (q − 1) q−1 +r 1+ + ... + r 1 + rE = r + r 1 + m m m q−1 = rm + r (1 + 2 + ... + (m − 1)) m Nach Anwendung der arithmetischen Summenformel ergibt sich daraus q−1 rE = r m + (m − 1) (3.15) 2 Diese festen jährlichen Ersatzraten können wir in die Formeln der nachsch¨ ussigen volljährigen Rente des letzten Abschnitt einsetzen. Dadurch erhalten wir n q −1 (q − 1) (m − 1) (3.16) Rn = r m + 2 q−1 bzw.

(q − 1) 1 − q −n R0 = r m + (m − 1) 2 q−1

(3.17)

sowie −1 q−1 (q − 1) r = Rn m + (m − 1) 2 qn − 1 −1 q−1 (q − 1) (m − 1) = R0 m + 2 1 − q −n

(3.18)

und ln n=

Rn (q−1) (q−1) r (m+ 2 (m−1))

ln q

+1

− ln 1 − =

R0 (q−1) (q−1) r(m+ 2 (m−1))

ln q

(3.19)

Zum Vergleich mit der jährlichen Ratenzahlung rechnen wir noch einmal Beispiel 3.1 bei entsprechender unterjähriger Ratenzahlung.

KAPITEL 3. RENTEN

79

Beispiel 3.9 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils am Ende des Jahres verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? L¨ osung: Es ist mit m = 4, r = 250, i = 0.06, n = 10 0.06 1.0610 − 1 R10 = 250 4 + 3 = 13477.40 [EU R] 2 0.06 und R0 = 13477.40 · 1.06−10 = 7525.70 [EU R] mithin höhere Werte als bei der jährlichen Zahlungsweise, was verständlich ist, da zwischenzeitliche, wenn auch einfache unterjährige Verzinsung der Raten erfolgt. 2 Bemerkung: Bei der ewigen (nachsch¨ ussigen) Rente ergibt sich als Rentenbarwert (q − 1) 1 − q −n R0 = lim r m + (m − 1) n→∞ 2 q−1 1 r m + (m − 1) (q − 1) (3.20) = q−1 2 Vorschu ¨ ssige Renten Bei vorsch¨ ussigen Renten erfolgen die Zahlungen f¨ ur die Zahlungsperiode bereits am Anfang der Zahlungsperiode. Entsprechend dem Prinzip der Ersatzrate werden die einzelnen vorsch¨ ussigen Raten, die innerhalb eines Jahres gezahlt werden, zu einer jährlich nachsch¨ ussig zu zahlenden Ersatzrate rE zusammengefasst, wobei diese Raten einfach verzinst werden. Es ergibt sich q−1 2 (q − 1) m (q − 1) +r 1+ + ... + r 1 + rE = r 1 + m m m q−1 = rm + r (1 + 2 + ... + m) m q−1 = r m+ (m + 1) 2

KAPITEL 3. RENTEN

80

Diese Ersatzrate wird am Ende der Zinsperiode in die Rente eingebracht. Daraus leiten sich f¨ ur Rentenendwert und Rentenbarwert die folgenden Beziehungen her: n (q − 1) q −1 Rn = r m + (m + 1) (3.21) 2 q−1 bzw.

(q − 1) R0 = r m + (m + 1) 2

1 − q −n q−1

(3.22)

sowie −1 q−1 (q − 1) r = Rn m + (m + 1) 2 qn − 1 −1 q−1 (q − 1) = R0 m + (m + 1) 2 1 − q −n

(3.23)

und ln n=

Rn (q−1) (q−1) r (m+ 2 (m+1))

ln q

+1

− ln 1 − =

R0 (q−1) (q−1) r(m+ 2 (m+1))

ln q

(3.24)

F¨ ur die ewige (vorsch¨ ussige) Rente ermitteln wir diesmal r (q − 1) R0 = m+ (m + 1) q−1 2

3.2.2

Unterj¨ ahrige Zinsperioden

Sind pro Jahr s Zinsverrechnungsperioden vereinbart und pro Zins-periode noch einmal m Zahlungsperioden, so sind alle obigen Formeln unverändert zu i benutzen, wenn anstelle des Jahreszinses i der relative Zinssatz s verwendet i wird. F¨ ur q ist also 1 + s einzusetzen. Die Laufzeit wird dabei weiterhin u ¨ber die Zinsperioden abgezählt, d.h. n gibt die Anzahl der Zinsperioden u ¨ber die gesamte Laufzeit an. Zur Illustration greifen wir noch einmal unser letztes Beispiel auf:

KAPITEL 3. RENTEN

81

Beispiel 3.10 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr am Ende eines jeden viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Zinsen werden jeweils halbjährlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? Lo ¨sung: Es ist mit s = 2, m = 2, r = 250, i = 0.06, si = 0.03, n = 20 0.03 1.0320 − 1 R20 = 250 2 + 1 = 13535.95 [EU R] 2 0.03 und R0 = 13535.95/ (1.03)20 = 7494.50 [EU R] Man beachte, daß sich hierbei f¨ ur den Rentenendwert ein höherer und f¨ ur den Rentenbarwert ein niedrigerer Wert ergibt. 2

3.2.3

Asyncrone konstante Raten

In manchen Fällen der Praxis erfolgen Ratenzahlungen zwar periodisch, aber nicht syncron mit den Zinsverrechnungsterminen. In diesen Fällen muß wie oben beschrieben f¨ ur jede Zinsperiode eine Ersatzrate berechnet werden. Sinnvollerweise erfolgt dies unter Verwendung von Tageszinsen auf dem Ersatzkonto. Beispiel 3.11 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge 10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbjährlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung jeweils zum 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, während die Zinsverechnung zum 31. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.) Welcher Betrag hat sich nach 10 Jahren auf dem Konto angesammelt? Welchen Barwert hat dieser Betrag? Lo ¨sung: Es ist eine halbjährige Ersatzrate rE zu berechnen. Dies geschieht wie folgt: 0.06 0.06 +250 1 + [20 + 2 · 30] = 510. 41667 rE = 250 1 + [20 + 5 · 30] 360 360

KAPITEL 3. RENTEN

82

Damit ergibt sich als Rentenendwert R20 = 510. 41667

1.0320 − 1 = 13715. 09 [EU R] 0.03

Dieser liegt nat¨ urlich höher als der entsprechende Wert bei nachsch¨ ussiger vierteljährlicher Ratenzahlung wie sie im letzen Beispiel erfolgte. Ferner ergibt sich als Rentenbarwert R0 = 13715. 09/ (1.03)20 = 7593. 71 [EU R] ein höherer Wert als bei der nachsch¨ ussigen vierteljährlichen Ratenzahlung. 2

3.2.4

Effektive Verzinsung

Die bisherigen Formeln zur Rentenberechnung kranken aus Sicht der wirklichen Verzinsung im Sinne des exponentiellen Modells wieder an der zwischenzeitlichen Verwendung von relativen Zinssätzen und einfacher Verzinsung. Die wirkliche Verzinsung der eingezahlten Raten r erhielte man, wenn man jede Rate mit dem Faktor q t multiplizierte, wobei t die Restlaufzeit der Rate (in Jahren) sei, also die Zeitspanne, die von der Einzahlung der Rate bis zum Ende der Laufzeit der Rente vergeht. Dies entspricht der konformen (tagesgenauen) Verzinsung einer jeden Rate mit anschließlicher Aufsummierung der Endwerte. Ist der Rentenendwert Ke einer gegebenen Rente u ¨ber gewisse Zins- oder Sonderzahlungen ermittelt worden, so bezeichnet man den Jahreszinssatz ief f als effektiven Jahreszinssatz, f¨ ur den die konforme Verzinsung aller Raten in der Aussummierung genau den berechneten Rentenendwert ergibt. Einzahlende Rente Dies bedeutet laut PAngV bei einer einzahlenden Rente, bei der s Raten r1 , ..., rs zu den Zeitpunkten t1 , ..., ts (Tage nach Rentenbeginn) gezahlt werden und die eine Laufzeit von T Jahren hat: Zu lösen ist mit qef f = 1 + ief f

KAPITEL 3. RENTEN

83

die Gleichung Ke =

s X

T −Tk rk qef f

(3.25)

k=1

wobei Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn der Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind. Alle Exponenten dieser Gleichung haben als rationale Zahlen einen gemeinsamen Hauptnenner, sagen wir m ∈ N. m1 gibt den größten Bruchteil eines Jahres, die Elementar-Zinsperiode an, bzgl. derer die Zahlungen eine Rente darstellen, bei der alle Zahlungen zu einem (fiktiven) Zinstermin erfolgen. 1 m Mit der Abk¨ urzung x := qef f ergibt sich daraus die Aufgabe, eine positive Nullstelle des Polynoms

f (x) =

s X

rk xnk − Ke

k=1

mit gewissen nat¨ urlichen Exponenten nk zu berechnen. x gibt den Aufzinsungsfaktor der Elementarperiode an. Im Gegensatz zur bisherigen Berechnung von effektiven Jahreszinssätzen kann die polynomiale Gleichung s X

rk xnk − Ke = 0

(3.26)

k=1

in der Regel nicht analytisch nach x aufgelöst werden. Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt die Gleichung aber genau eine positive Lösung x∗ , da nat¨ urlich Ke , r1 , ..., rs > 0 vorausgesetzt werden können. P Wegen f (0) = −Ke < 0 und f (1) = −Ke + sk=1 rk < 0 muß sogar x∗ > 1 gelten. Damit gilt auch qef f > 1, also ief f > 0. Zu beachten ist, dass f 0 (x) > 0 und f 00 (x) > 0 gelten f¨ ur alle x ∈ R++ , so dass das Newton- Verfahren zur Lösung von (3.26) von jeder beliebigen Stelle x0 ∈ R++ mit Erfolg gestartet werden kann! Ist die Elementar-Zinsperiode sehr klein, so empfliehlt es sich allerdings, mit dem Newton-Verfahren die (3.26) entsprechende Gleichung in der Variablen q zu lösen. Diese besitzt ebenso genau eine positive Nullstelle und kann von jedem beliebigen positiven q0 gestartet werden.

KAPITEL 3. RENTEN

84

Die bisherige Betrachtung ber¨ ucksichtigt noch in keiner Weise die Periodizität der Ratenzahlungen. Alle Aussagen gelten f¨ ur eine beliebige Folge von positiven Zahlungen aus einem anfänglich leeren Konto. Verwendet man die doppelte Teilbarkeitseigenschaft der konformen Verzinsung, so kann auf die Konstruktion einer Ersatzrate rE zur¨ uckgegriffen werden, um mit der normalen Rentenendwertformel (3.1) zu arbeiten. Zur Berechnung der Ersatzreate werden alle Ratenzahlungen innerhalb eines Jahres auf ein Ersatzkonto eingezahlt, das mit dem effektiven Jahreszinssatz konform verzinst wird. Zum Ende des Jahres wird der Kapitalendwert des Ersatzkontos als Ersatzrate rE auf das Originalkonto eingezahlt. Wir pr¨ ufen diese zweite Vorgehensweise am Beispiel 3.11. Beispiel 3.12 Es werden bei vereinbarten 6% Zinsen pro Jahr einmal pro viertel Jahres 250 EU R auf ein Ansparkonto eingezahlt. Die Einzahlung erfolge 10 Tage nach Beginn des viertel Jahres, Zinsen werden jeweils halbjährlich verrechnet und dem Konto gutgeschrieben. (Z.B. erfolge die Ratenzahlung jeweils zm 10.Januar, 10.April, 10. Juli, 10. Oktober, während die Zinsverechnung zum 30. Juni und zum 31. Dezember erfolgt.) Welchen effektiven Jahreszinsfuß hat die Anlage? Lösung: Der berechnete Rentenendwert lautete: Ke = 13715. 09. Die Ersatzrate rE berechnet sich u ¨ber den effektiven Aufzinsungsfaktor qef f = (1 + ief f ) zu 1− 3 − 10 1− 6 − 10 1− 9 − 10 1− 10 rE = 250 qef f365 + qef f12 365 + qef f12 365 + qef f12 365 so dass die zu lösende Gleichung lautet q 10 − 1 1− 10 1− 3 − 10 1− 6 − 10 1− 9 − 10 ef f 13715. 09 = 250 qef f365 + qef f12 365 + qef f12 365 + qef f12 365 qef f − 1 1 Die Elementar-Zinsperiode ist hier 4380 Jahre. Dies entspricht zwei Stunden. Daher löst man am besten die Gleichung 10 3 10 6 10 9 10 1− 365 1− 12 − 365 1− 12 − 365 1− 12 − 365 10 13715. 09 (qef f − 1) = 250 qef f + qef f + qef f + qef f qef f −1

mit dem Newton-Verfahren, da die entsprechende polynomiale Gleichung 1 4380 f¨ ur x := qef atte. f eine Ordnung von 43800 · 4255 h¨

KAPITEL 3. RENTEN

85

Wir wissen bereits, dass diese Gleichung außer x = 1 noch genau eine positive Lösung besitzt. Als eindeutige Lösung q > 1 ergibt sich schließlich qef f = 1. 06090 81. Der effektive Jahreszinsfuß liegt also bei pef f = 6.09%. 2 Auszahlende Rente Bei einer auszahlenden Rente, bei der aus einem Anfangskapital Ka fortlaufende Zahlungen r1 , ..., rs zu den Zeitpunkten t1 , ..., ts nach Rentenbeginn u ¨ber eine Laufzeit T erfolgen, berechnet sich der effektive Jahreszinssatz ief f nach analog nach folgender Formel (vgl. (3.6)) T Ka qef f

=

s X

T −Tk rk qef + KT f

k=1

wobei wieder Tk ∈ Q die Bruchteile eines Jahres angeben, die vom Beginn der Rentenzahlung bis zum Zeitpunkt tk verstrichen sind und qef f = 1 + ief f ¨ gesetzt wurde. Alle obigen Uberlegungen sind weiterhin g¨ ultig, solange dabei T Ke = Ka qef f Verwendung finden kann.

3.3

Vollj¨ ahrige ver¨ anderliche Raten bei vollj¨ ahriger Verzinsung

Zuweilen wird bei Renten eine additive oder prozentuale Veränderung der laufenden Raten vereinbart. So kann z.B. vereinbart sein, zur schnelleren Tilgung eines Kredits die Zahlungen laufend um 2% zu erhöhen. Wir wollen solche Fälle exemplarisch f¨ ur volljährige Raten mit volljähriger Verzinsung besprechen. Bei unterjähriger Verzinsung ist mit den entsprechenden Ersatzraten zu arbeiten.

3.3.1

Arithmetisch fortschreitende Raten

Zunächst betrachten wir den Fall, daß die Ratenzahlungen laufend um einen festen Betrag d steigen. rs = r + (s − 1) d,

s∈N

KAPITEL 3. RENTEN

86

F¨ ur den Endwert der nachsch¨ ussigen Rente ergibt sich dann (vgl. 3.1) Rn = rq n−1 + (r + d) q n−2 + ... + (r + (n − 1) d) n n−1 X X n−j = r q +d jq n−j−1 j=1

(3.27)

j=0

Aus der folgenden Zwischen¨ uberlegung ergibt sich eine Zusammenfassung d bezeichnet die Ableitung nach q) dieser Formel ( dq ! n−1 n−1 n−1 X X d −j d X −j −j−1 (−j) q = q q = dq dq j=0 j=1 j=1 d q −n − 1 −n q −n − 1 = = − dq q −1 − 1 (q −1 − 1) q n+1 (q − 1)2 also n−1 X j=0

jq

n−j−1

−n q −n − 1 = −q − (q −1 − 1) q n+1 (q − 1)2 n 1 1 q −1 −n = [sn − n] = q−1 q−1 q−1 n

(3.28)

schließlich also qn − 1 d Rn = r + q−1 q−1

qn − 1 −n q−1

= rsn +

d (sn − n) q−1

(3.29)

Daher gilt f¨ ur den Barwert: 1 − q −n d Rn R0 = n = r + q q−1 q−1

n 1 − q −n − n q−1 q

(3.30)

Die entsprechenden Formeln f¨ ur die vorsch¨ ussige Rente lauten n qn − 1 dq q −1 d Rn = rq + − n = rs0n + (s0 − nq) q−1 q−1 q−1 q−1 n

(3.31)

und 1 − q −n dq R0 = rq + q−1 q−1

1 − q −n n − n q−1 q

=

ra0n

d + q−1

a0n

−

n

q n−1 (3.32)

KAPITEL 3. RENTEN

87

Beispiel 3.13 Ein Betrag von 10000 EU R wird auf ein Konto eingezahlt und zu 6% verzinst. Mit welchem Auszahlungs-Betrag kann eine jeweils zum Jahresende auszuzahlende Rente aus diesem Konto beginnen, wenn die Zahlungen u ¨ber 10 Jahre laufen und jährlich um 50 EU R steigen sollen und das Konto am Ende leergeräumt sein soll? Wie groß ist die letzte Rate? Lo ¨sung: Mit R0 = 10000, q = 1.06, d = 50 und n = 10 wird in die Formel f¨ ur die nachsch¨ ussige Rente eingesetzt und nach r aufgelöst q−1 R0 (q − 1) d 1−n n r = − 1 − q −n q−1 q −1 10000 · 0.06 50 0.06 = − 1 − 10 = 1157.60 1 − 1.06−10 0.06 1.0610 − 1 Die anfängliche Rate beträgt also 1157.60 EU R und die letzte 1157.60 + 9 · 50.00 = 1607.60 EU R. 2 F¨ ur die ewige Rente gilt im nachsch¨ ussigen Fall 1 − q −n d 1 − q −n n d r + − n = + R0 = lim r n→∞ q−1 q−1 q−1 q q − 1 (q − 1)2

(3.33)

und im vorsch¨ ussigen Fall dq 1 − q −n + R0 = lim rq n→∞ q−1 q−1

n 1 − q −n − n q−1 q

=r

q q +d (3.34) q−1 (q − 1)2

Allgemeine arithmetisch fortschreitende Rente Nun seien ohne Beweis noch Formeln f¨ ur die folgende allgemeine arithmetisch fortschreitende Rente genannt. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin die laufende Rate um den Betrag d erhöht, sondern nach jeweils w Zinsperioden. Dabei d¨ urfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein ganzzahliges Vielfache von w sein muß. Gilt (k − 1) w < n ≤ kw f¨ ur ein k ∈ N, so erhält man f¨ ur den nachsch¨ ussigen Fall die folgende Identität n 1 q − q n−(k−1)w n Rn = r (q − 1) + d − (k − 1) (3.35) q−1 qw − 1

KAPITEL 3. RENTEN

88

und f¨ ur den vorsch¨ ussigen Fall n q q − q n−(k−1)w n Rn = r (q − 1) + d − (k − 1) q−1 qw − 1

(3.36)

Man beachte, daß sich f¨ ur w = 1 und k − 1 = n gerade die alten Formeln ergeben.

3.3.2

Geometrisch fortschreitende Renten

Wir vergrößern nun die zu zahlende Rate nach jeder Zahlungsperiode u ¨ber einen Vergrößerungsfaktor c > 1 rs = rcs−1 ,

s∈N

Dadurch ergibt sich f¨ ur den Rentenendwert f¨ ur die nachsch¨ ussige Rente Rn = rq n−1 + crq n−2 + ... + cn−1 r " n−1 # 2 c c c n−1 = rq 1+ + + ... + q q q n−1 j X c n−1 = rq q j=0

(3.37)

Bei Anwendung der geometrischen Teilsummenformel m¨ ussen wir die Fälle q = c und q 6= c unterscheiden cn −qn r c−q , f¨ ur c 6= q Rn = (3.38) n−1 rnq , f¨ ur c = q Daraus ergibt sich dann eine Formel f¨ ur den Rentenbarwert ( n ( qc ) −1 r , f¨ ur c 6= q c−q R0 = n rq, f¨ ur c = q

(3.39)

Entsprechende Formeln können auch f¨ ur die vorsch¨ ussige Rente ermittelt werden cn −qn rq c−q , f¨ ur c 6= q Rn = (3.40) n rnq , f¨ ur c = q

KAPITEL 3. RENTEN

89

und

( R0 =

n

( c ) −1 ur c 6= q rq qc−q , f¨ rn, f¨ ur c = q

(3.41)

Beispiel 3.14 Wir rechnen noch einmal das letzte Beispiel, diesmal aber mit einer 5% tigen Steigerung der Rate. L¨ osung: Es gilt nun mit R0 = 10000, c = 1.05, q = 1.06, n = 10 r =

=

R0 (c − q) n c −1 q 10000 · (1.05 − 1.06) = 1105.80 1.05 10 − 1 1.06

Die anfängliche Rate beträgt also 1105.80 EU R und die letzte 1105.80 ∗ 1.059 = 1715. 5 EU R. 2 Im Falle einer ewigen Rente ergibt sich ein endlicher Rentenbarwert nur, wenn c < q gilt, wenn also die Steigerung der Zahlungen unterhalb der Verzinsung liegt. Es gilt dann im nachsch¨ ussigen Fall n c −1 q r = (3.42) R0 = lim r n→∞ c−q q−c und im vorsch¨ ussigen Fall n R0 = lim rq n→∞

c q

−1

c−q

=

rq q−c

(3.43)

Allgemeine geometrisch fortschreitende Rente Ohne Beweis seien wieder die Formeln f¨ ur die allgemeine geometrisch fortschreitende Rente angegeben. Bei dieser wird nicht bei jedem Zinsverrechnungstermin die laufende Rate um den Faktor c erhöht, sondern nach jeweils w Zinsperioden. Dabei d¨ urfen wir n > w > 1 annehmen, da sich sonst die Situation nicht von den bisherigen unterscheidet. Zu beachten ist, daß n kein ganzzahliges Vielfache von w sein muß.

KAPITEL 3. RENTEN

90

Gilt (k − 1) w < n ≤ kw f¨ ur ein k ∈ N, so erhält man f¨ ur den nachsch¨ ussigen Fall die folgende Identität ( r(qw −1) kq (k−1)w f¨ ur c = q w q−1 Rkw = und (3.44) w kw k r(q −1) q −c f¨ ur c 6= q w q−1 q w −c r k−1 n−(k−1)w q −1 (3.45) c Rn = R(k−1)w q n−(k−1)w + q−1 und f¨ ur den vorsch¨ ussigen Fall ( rq(qw −1)

f¨ ur c = q w und f¨ ur c 6= q w rq k−1 n−(k−1)w c q −1 = R(k−1)w q n−(k−1)w + q−1

Rkw = Rn

kq (k−1)w q−1 w rq(q −1) q kw −ck q−1 q w −c

(3.46) (3.47)

Man beachte, daß sich f¨ ur w = 1 und k − 1 = n die alten Formeln ergeben.

3.4 3.4.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgaben

Aufgabe 3.15 Diskutieren Sie die (numerische) Auflösung der Formeln (3.2), (3.10) und (3.11) nach q u ur Polynome ¨ber das Newtonverfahren f¨ Aufgabe 3.16 Beweisen Sie die Formeln f¨ ur die allgemeine arithmetisch fortschreitende und die allgemeine geometrisch fortschreitende Rente.

3.4.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 3.17 Frau Z. zahlte am 1.1.1988 80000 DM auf einer Bank ein. Zu Beginn eines jeden weiteren Jahres wurden jährlich 4000 DM angespart, und zwar letzmalig am 1.1.1997. Ab 1.1.1998 wurden jährlich am Jahresanfang 6000 DM abgehoben. Welchen Kontostand weist das Konto am 31.12. 2001 auf, wenn durchgehend ein Jahreszinsfuß von 5.5% g¨ ultig ist? Welche ewige nachsch¨ ussige jährliche Rente (in EU R) könnte dem Konto ab dem 31.12.2002 entnommen werden, wenn der Jahreszinsfuß unverändert bleibt?

KAPITEL 3. RENTEN

91

Aufgabe 3.18 Ein Unternehmer möchte drei Maschinen zum Preis von jeweils 30000 EU R anschaffen. die erste Maschine soll Anfang 2006, die zweite Anfang 2008 und die dritte Anfang 2011 installiert werden. Wie hoch ist bei einem Zinsfuß von 5% die jährliche R¨ ucklage des Unternehmers, wenn die erste jährliche R¨ ucklage Anfang 1999 erfolgte und die letzte Anfang 2003 erfolgen soll? Aufgabe 3.19 Herr P. zahlt jeweils zum 1. und zum 15. eines jeden Monats 200 EU R auf ein Konto ein. Die Verzinsung erfolgt vierteljährlich mit 1.25%. 1. Berechnen Sie den Kontostand nach 10 Jahren. 2. Welcher Betrag m¨ usste jeweils zu Jahresbeginn alternativ eingezahlt werden, damit nach 10 Jahren der gleiche Kontostand erreicht w¨ urde? 3. Wie lange könnten dem Konto (nach 10 Jahren) bei gleicher Verzinsung monatlich vorsch¨ ussig 500 EU R entnommen werden? Aufgabe 3.20 Jemand zahlt 15 Jahre lang jeweils jährlich vorsch¨ ussig 6000 EU R auf ein Konto ein und erhält am Ende 150000 EU R ausbezahlt. a) Berechnen Sie den effektiven Jahreszinssatz. Wie hoch ist der effektive Jahreszinssatz, falls bei gleicher Auszahlung monatlich b) vorsch¨ ussig c) nachsch¨ ussig jeweils 500 EU R eingezahlt werden? Aufgabe 3.21 Herr K. verkauft sein Haus um 300000 EU R. Der Käufer zahlt jedoch nicht sofort, sondern in Form einer zwanzigjährigen monatlich vorsch¨ ussig zu zahlenden Rente. Gesucht wird bei einem vereinbarten Jahreszinsfuß von 7% der monatliche Rentenbetrag?

KAPITEL 3. RENTEN

92

Aufgabe 3.22 Ein Bausparer schließt einen Bausparvertrag u ¨ber 180000 EU R ab. Bis zur Zuteilung in 8 Jahren sollen einschließlich anfallender Zinsen 40% der Bausparsumme eingezahlt sein. 1. Welcher konstante Betrag muß vierteljährlich vorsch¨ ussig 8 Jahre lang eingezahlt werden bei einem (jährlichen) Guthabenzins von 2.5%? 2. Nach der Zuteilung wird ein Bauspardarlehen von 108000 EU R ausgezahlt. Die Verzinsung erfolgt vierteljährlich zu einem nominellen Jahreszins von 4.5%. Welcher nachsch¨ ussige monatliche Betrag muß gezahlt werden, damit das Darlehen nach genau 10 Jahren zur¨ uckgezahlt ist? Aufgabe 3.23 Ein Handwerker möchte von seinem 60. Geburtstag an 20 Jahre lang eine monatliche vorsch¨ ussige Rente von 1500 EU R ausgezahlt bekommen, die jährlich um 2% steigen soll. Welchen Betrag muß er daf¨ ur 30 Jahre lang bis zu seinem 60. Geburtstag vierteljährlich nachsch¨ ussig ansparen, wenn der Jahreszinssatz sowohl während der Anspar- als auch während der Auszahlungszeit 5.5% beträgt? Aufgabe 3.24 Eine vorsch¨ ussige Jahresrente von 15000 EU R soll jedes Jahr um 300 EU R (bzw. 2%) erhöht werden. Welcher Betrag muß bei einem Jahreszinsfuß von 6.5% daf¨ ur angelegt werden, damit die Rente vorsch¨ ussig 15 Jahre lang gezahlt werden kann? Welcher Betrag muß angelegt werden, damit die Rente bei gleichen Konditionen sogar ewig gezahlt werden kann? Aufgabe 3.25 Eine Firma macht einem Angestellten bzw. dessen Hinterbliebenen folgende Pensionszusage f¨ ur 20 Jahre. Monatlich werden vorsch¨ ussig 1200 EU R gezahlt. Die Rente wird alle zwei Jahre um 3% erhöht. 1. Gesucht ist der Rentenendwert nach 20 Jahren bei einem Jahreszinssatz von 5%. 2. Welchen Betrag muß die Firma bei gleichem Kapitalzinssatz zu Beginn der Laufzeit f¨ ur die Pensionsr¨ uckstellungen einsetzen?

KAPITEL 3. RENTEN

3.4.3

93

Progammierpraxis

Aufgabe 3.26 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das auf der Basis der Formeln (3.16) und (3.17) fehlende Daten zu einer Rente mit unterjährigen Raten und volljähriger Verzinsung berechnet. Verwenden Sie dabei die Berechnung von q auch zur Effektivzinsberechnung. Aufgabe 3.27 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm zur Rentenrechnung, das folgendes leistet: Zu allgemeiner geometrisch fortschreitender oder allgemeiner arithmetisch fortschreitender vorsch¨ ussiger oder nachsch¨ ussiger Rentenzahlung werden Rentenendwert, Rentenbarwert und Laufzeit berechnet, je nachdem welche Daten gegeben sind. Außerdem sollen bei gegebener Anfangsrate, dem Barwert und der Laufzeit die jeweils (maximale) arithmetische oder geometrische Steigerungsrate der Rente berechnet werden können.

Kapitel 4 Ausgleich negativer Kontost¨ ande - Tilgung In diesem Abschnitt betrachten wir regelmäßige Einzahlungen auf ein Kreditkonto, die dazu dienen sollen, einen bestehenden negativen Kontostand sowie die darauf anfallenden Schuldzinsen in einem vorgesehenen Zeitrahmen, der Laufzeit, auszugleichen. Die in der Regel in gleichen Zeitabständen in gleicher Höhe fließenden Zahlungen nennt man Annuit¨ aten. Die Annuitäten m¨ ussen so bemessen sein, daß das Schuldkonto am Ende der Laufzeit ausgeglichen ist. Sie enthalten also einen Tilgungsanteil, der einen Teil der verbleibenden Restschuld zur¨ uckzahlt und einen Zinsanteil, der die auf die Restschuld fälligen Zinsen beinhaltet. Sind die Annuitäten konstant, so nimmt der Tilgungsanteil im Laufe der Zeit immer weiter zu, da der Zinsanteil wegen fallender Restschuld immer weiter abnimmt. Ein Darlehen, das u uckgezahlt wird, ¨ber (zumeist konstante) Annuitäten zur¨ nennen wir Annuit¨ atendarlehen. Des weiteren sind Tilgungen gebräuchlich, bei denen die Annuitäten im Laufe der Zeit in vorher festgelegtem Maße zuoder abnehmen. Annuitätendarlehen, bei denen die Zahlungsintervalle und die Zinsverrechnungsintervalle u ¨bereinstimmen, wollen wir einfach nennen. Daneben sind auch Ratenkredite u ¨blich, bei denen die Schuld in festen Tilgungsraten getilgt wird. Da wiederum die Zinsen im Laufe der Zeit abnehmen und diese den Raten zugeschlagen werden, sind bei Ratenkrediten die An¨ nuitäten nicht konstant. Ratenkredite werden wir in den Ubungsaufgaben betrachten. 94

KAPITEL 4. TILGUNG

95

Annuitätenzahlungen sind von ihrer Struktur her Renten. Wir können daher weitgehend die Formeln und Bezeichnungen des letzten Kapitel verwenden. Dabei betrachten wir nur den f¨ ur die Praxis relevanten Fall der nachsch¨ ussigen Annuitäten. F¨ ur die Raten der Rente, die Annuitäten, wollen wir die einprägsame Abk¨ urzung As verwenden und f¨ ur die (positiv angesetzte) Restschuld Ss (hierbei zählt s ∈ N,1 ≤ s ≤ n, die Zahlungsperioden ab). Den Zinsanteil in As bezeichnen wir mit Zs und mit Ts den Tilgungsanteil. Es gilt also immer As = Zs + Ts

4.1

(4.1)

Einfache Annuit¨ aten

Zunächst besprechen wir den klassischen Fall des Annuitätendarlehens, bei dem periodisch konstante Zahlungen erfolgen und bei dem die Restschuld jeweils zum Zeitpunkt der Ratenzahlung verzinst wird.

4.1.1

Einfache konstante Annuit¨ aten

Zur Berechnung der Raten eines Annuitätendarlehens verwenden wir die Formeln aus Abschnitt 3.1.1. Ist (−S) der Kontostand des betrachteten Kontos zum Zeitpunkt s = 0, so beträgt dieser bei periodischen Ratenzahlungen der Höhe r und einem Aufzinsungsfaktor von q nach n Perioden gemäß (3.6) n

−Sn = Rn = −Sq +

n−1 X j=0

rq j = −Sq n + r

qn − 1 q−1

(4.2)

Wir betrachten jetzt den Fall, daß die periodischen Zahlungen der Höhe r = A nach n Jahren zu einem ausgeglichenen Kontostand f¨ uhren. Es gilt dann Rn = 0 und damit qn − 1 S = Aq −n (4.3) q−1 Aus dieser Formel kann die Annuität bei gegebenen Daten S, q, n berechnet werden: q−1 q−1 A = Sq n n =S (4.4) q −1 1 − q −n

KAPITEL 4. TILGUNG Man nennt κ :=

q−1 1−q −n

96

den Annuit¨ atenfaktor.

Bemerkung: 1. Formel (4.3) schreibt sich auch als S = Aq

n

n−1

n

− 1 X j−n X −l = Aq = Aq = Aq −1 + ... + Aq −n (4.5) q−1 j=0 l=1

−n q

die so interpretiert wird, daß die Schuld S0 = S durch die Summe aller diskontierten Annuitäten getilgt wird. 2. Im Falle des zeitlich unbegrenzten (ewigen) Annuitätendarlehens gilt A = lim S n→∞

q−1 = S (q − 1) = S · i 1 − q −n

(4.6)

d.h. die Annuität hat in diesem Fall genau die Höhe der zu zahlenden Zinsen. 2 Aus (4.4) folgt f¨ ur die Laufzeit des Annuitätendarlehens (vgl. (3.4)) − ln 1 − S(q−1) A ln A − ln (A − S · i) = n= ln q ln q

(4.7)

Man beachte, daß hierin A > S · i angenommen werden muß, die Annuität muß also echt größer als der Jahreszinsbetrag sein, damit das Darlehen eine endliche Laufzeit hat (vgl. (4.6)). Beispiel 4.1 F¨ ur eine Schuld von 50000 EU R wird bei einem nominellen Zinsfuß von 4% eine jährliche Annuität von 5704, 45 EU R gezahlt. Nach wieviel Jahren ist die Schuld getilgt? L¨ osung: ln 5704.45 − ln (5704.45 − 2000) = 11 ln 1.04 Die Schuld ist nach 11 Jahren vollständig getilgt. n=

2

KAPITEL 4. TILGUNG

97

Restschuld Zu der Annuität (4.4) wollen wir den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil Ts sowie die Restschuld Ss , s ∈ N, berechnen. Die Restschuld ergibt sich als Kontostand zum Beginn der Periode s, nach Zahlung der Anniuität A = As , also (als positive Größe) nach Formel (4.2) aus der verzinsten Anfangsschuld Sq s abz¨ uglich der auf diesen Zeitpunkt aufgezinsten bereits gezahlten Annuitäten: qs − 1 (4.8) Ss = Sq s − A q−1 Setzt man (4.4) in (4.8) ein, so ergibt sich q − 1 qs − 1 Ss = Sq s − Sq n n q −1 q−1 n q (q s − 1) s = S q − qn − 1 qn − qs q n−s − 1 = S n = Sq s n q −1 q −1

(4.9)

Auf der anderen Seite wird die Restschuld Ss durch die noch ausstehenden (n − s) Annuitäten getilgt. Daher gilt analog (4.5) Ss = Aq

−(n−s) q

n−s X −1 =A q −j = Aq −(n−s) + ... + Aq −2 + Aq −1 (4.10) q−1 j=1

n−s

Bemerkung: • Durch Verkn¨ upfung von (4.6) und (4.8) zeigt sich, daß bei einem ewigen Annuitätendarlehen die Restschuld unverändert gleich der Anfangsschuld bleibt. • Löst man Formel (4.10) nach A auf, A = Ss

q−1 1 − q −(n−s)

(4.11)

und vergleicht diese Gleichung mit Formel (4.4), so sieht man, daß man die Annuität auch auf der Basis der Restschuld zu Beginn einer jeden Periode berechnen kann, wenn dabei nur die Restlaufzeit ber¨ ucksichtigt wird.

KAPITEL 4. TILGUNG

98

Zins- und Tilgungsanteil Mit Hilfe der Formeln f¨ ur die Restschuld lassen sich nun bequem der Zinsanteil und der Tilgungsanteil der Annuität berechnen. Offensichtlich gilt mit (4.9) und (4.3) (Ss−1 ist die Restschuld am Ende der Periode s) Zs = Ss−1 · i = S

q n − q s−1 −n n s−1 −(n+1−s) (q − 1) = Aq q − q = A 1 − q qn − 1 (4.12)

und damit Ts = A − Zs = Aq −(n+1−s) = Aq −(n+1) q s = Ts−1 q = T1 q s−1

(4.13)

Daher bilden die Tilgungen eine geometrische Folge, der Tilgungsanteil nimmt progressiv zu. Mit (4.4) gilt auch Ts = S

q s − q s−1 q − 1 s−1 q = S qn − 1 qn − 1

(4.14)

Man kann Ts auch u ¨ber die Restschuld Ss−1 zu Beginn der Periode s berechnen. Mit (4.14) und (4.9) ergibt sich Ts = Ss−1

q s − q s−1 q−1 q n − 1 q s − q s−1 = S = Ss−1 n+1−s s−1 n s−1 n n s−1 q −q q −1 q −q q −1

(4.15)

Insbesondere ergibt sich f¨ ur T1 T1 = A − Z1 = A − S (q − 1) = Aq −n = S

q−1 qn − 1

(4.16)

Bemerkungen: 1. Nat¨ urlich unterscheidet sich die Restschuld zu Beginn der Periode s von der zum Ende der Periode s gerade um die Tilgungsrate in der Periode s: Ss−1 − Ss = S

q n − q s−1 qn − qs q s − q s−1 − S = S = Ts qn − 1 qn − 1 qn − 1

(4.17)

Da die Tilgungsrate geometrisch anwächst, fällt die Restschuld entsprechend progressiv ab.

KAPITEL 4. TILGUNG

99

2. Nach 1. ist die Schuld S gerade die Summe aller Tilgungsraten. Mit (4.13) gilt S = T1 + ... + Tn = T1 1 + q + ... + q

n−1

qn − 1 = T1 q−1

(4.18)

was Formel (4.16) bestätigt. Entsprechend gilt f¨ ur die Restschuld Ss = S − (T1 + ... + Ts ) qs − 1 = S − T1 q−1

(4.19)

und Ss = Ts+1 + ... + Tn = T1 q s + ... + q n−1 = T1 q s 1 + q + ... + q n−s−1 n−s qn − qs −1 sq = T1 = T1 q q−1 q−1 3. Zu beobachten ist aber, daß der Barwert T aller Tilgungraten zum Zeitpunkt s = 0 konstant gleich T = Ts q −s = Aq −(n+1−s) q −s = Aq −(n+1) = T1 q −1

(4.20)

ist. Es gilt also A = T q n+1 = T1 q n . Beachte: Im Sinne von Formel (4.5) wird die Schuld aber nicht alleine durch die diskontierten Tilgungsraten getilgt, es gilt nicht T = Sn . Beispiel 4.2 Ein Darlehen von 100000 EU R soll in 15 jährlich gleichen Annuitäten getilgt werden. Der vereinbarte Zinsfuß betrage 6%. Man bestimme: 1. die Annuität 2. die erste Tilgungsrate 3. die 8. Tilgungsrate

KAPITEL 4. TILGUNG

100

4. die Restschuld nach 10 Jahren 5. die 12. Zinsrate Lo ¨sung: Es gilt S = 100000, n = 15, q = 1.06. Damit ergibt sich nach den obigen Formeln 1. A = 100000

1.06 − 1 1.0615 = 10296.28 1.0615 − 1

2. T1 = A − Z1 = 10296.28 − 6000 = 4296.28 3. T8 = 4296.28 · 1.067 = 6460.02 4. S10 = 100000 − 4296.28

1.0610 − 1 = 43371.66 1.06 − 1

Z12 = A − T12 = 10296.28 − 4296.28 · 1.0611 = 2140.66 Ergebnis: Die Annuität beträgt 10296, 28 EU R, die erste Tilgungsrate 4296, 28 EU R, die achte Tilgungsrate 6460, 02 EU R, die Restschuld nach zehn Jahren 43371, 61 EU R und die Zinsen am Ende des zwölften Jahres 2140, 66 EU R. 2

4.1.2

Tilgungsplan

In dem Beispiel wurden willk¨ urlich einige interessante Größen zur Tilgung ¨ konkret ausgerechnet. Möchte man einen vollständigen Uberblick u ¨ber den Verlauf der Tilgung erhalten, so empfiehlt sich die Erstellung eines Tilgungsplanes. Bei diesem werden zu jeder Zahlungs- und Zinsverrechnungsperiode die Zinszahlung, die Tilgungsleistung und die Restschuld tabellarisch aufgeschrieben. Dies kann fortlaufend mit Hilfe der Formeln (4.12) bis (4.17) geschehen.

KAPITEL 4. TILGUNG

101

Beispiel 4.3 Eine Schuld von 500000 EU R soll durch einfache Annuitätentilgung in 6 Jahren bei einem Zinsfuß von 8% getilgt werden. Man stelle einen Tilgungsplan auf. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, n = 6, q = 1.08. Daraus berechnet sich zunächst eine Annuität von A = 500000 · 1.086

1.08 − 1 = 108157.69 1.086 − 1

Die ersten Zinsen betragen Z1 = 500000 · 1.08 = 40000 und die erste Tilgungsrate T1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69 woraus sich eine Restschuld am Ende des ersten Jahres von S1 = 500000 − 68157.69 = 431842.31 ergibt. F¨ uhrt man diese Rechnung fort, so ergibt sich der folgende Tilgungsplan: Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss 1 500000 40000 68157.69 431842.31 2 431842.31 34547.38 73610.31 358232.87 358232.00 28658.56 79499.13 278732.87 3 278732.87 22298.63 85859.06 192873.81 4 5 192873.81 15429.90 92727.79 100146.02 6 100146.02 8011.68 100146.01 0.01 Aus dieser Tabelle läßt sich der Verlauf der Tilgung verfolgen.

4.1.3

2

Unterj¨ ahrige Perioden

Alle bislang hergeleiteten Formeln gelten f¨ ur einfache Annuitätendarlehen, auch etwa f¨ ur solche mit unterjährigen Zahlungen und unterjähriger Verzinsung. Findet beides mit der Periode m1 −tel Jahr statt, so ist nur i durch i und q durch 1 + mi zu ersetzen. (n bezeichnet weiterhin die Anzahl der m Zahlungsperioden).

KAPITEL 4. TILGUNG

102

Beispiel 4.4 Ein Darlehen von 50000 EU R soll bei einem nominellen Zinsfuß von 5% durch vierteljährliche gleiche Raten in zwei Jahren getilgt werden. Es findet vierteljährliche Zinsverrechnung statt. Lo ¨sung: Zu rechnen ist mit S = 50000, n = 8, p = 5/4 = 1.25, q = 1.0125. Mit diesen Daten ergibt sich eine vierteljährliche Annuität von A=S

i 0.0125 = 50000 = 6606.66 −n 1−q 1 − 1.0125−8

Es ergibt sich folgender Tilgungsplan: Periode s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Restschuld Ss 1 50000, 00 625, 00 5981, 66 44018, 34 2 44018, 34 550, 23 6056, 43 37961, 92 37961, 92 474, 52 6132, 13 31829, 78 3 31829, 78 397, 87 6208, 78 25621, 00 4 5 25621, 00 320, 26 6286, 39 19334, 60 6 19334, 60 241, 68 6364, 97 12969, 09 12969, 63 162, 12 6444, 54 6525, 09 7 8 6525, 09 81, 56 6525, 09 0, 00 2

4.2

Varianten der einfachen Tilgung

Im folgenden besprechen wir einige Abarten der einfachen Annuitäten-Tilgung.

4.2.1

Prozentannuit¨ at

Tilgungen im Bausparwesen oder bei Hypothekendarlehen werden häufig durch eine Prozentangabe festgelegt. Heißt es etwa: ”Das Darlehen wird zu 6% verzinst und mit 2% getilgt”, so ist folgende Regelung gemeint: Der Tilgungsanteil der Annuität beträgt im ersten Jahr 2% der geschuldeten Summe. In diesem Fall hat das Darlehen keine feste Laufzeit, aus der eine Annuität berechnet werden könnte. Stattdessen wird die Annuität dadurch festgelegt, daß sie die Summe aus der Zinsrate und der Tilgungsrate des ersten Jahres

KAPITEL 4. TILGUNG

103

darstellt. Diese Zahlungsrate gilt dann durchgehend f¨ ur alle Zahlungsperioden, bis die Schuld getilgt ist. Nachträglich läßt sich damit aus Formel (4.7) die Laufzeit des Darlehens ermitteln. Beispiel 4.5 Ein Darlehen von 50000 EU R wird mit 6% verzinst und mit 2% getilgt. Wann ist die Schuld zur Hälfte getilgt, wann vollständig? Wie hoch ist die letzte Rate? Lo ¨sung: Es ist S = 50000 und q = 1.06. Die Zinsen des ersten Jahres betragen Z1 = 50000 · 0.06 = 3000 Die Tilgung des ersten Jahres beträgt T1 = 50000 · 0.02 = 1000 Damit beläuft sich die Annuität auf A = 4000 EU R. Die Antwort auf die erste Frage kann nun am einfachsten mit Formel (4.8) gegeben werden 1.06s − 1 qs − 1 s = 50000 · 1.06 − 4000 25000 = Ss = Sq − A q−1 0.06 s

Dies wird nach 1.06s aufgelöst: 25000 · 0.06 = (50000 · 0.06 − 4000) 1.06s + 4000 =⇒ 25000 · 0.06 − 4000 1.06s = =⇒ 50000 · 0.06 − 4000 ln (4000 − 25000 · 0.06) − ln (4000 − 50000 · 0.06) = 15.725 s = ln 1.06 Das Darlehen ist also nach 16 Jahren zu mehr als der Hälfte getilgt. Zur Berechnung der (gesamten) Tilgungsdauer verwenden wir Formel (4.7) n=

ln A − ln (A − S · i) ln 4000 − ln (4000 − 50000 · 0.06) = = 23.791 ln q ln 1.06

Das Darlehen ist also nach 23, 791 Jahren vollständig getilgt. Es stellt sich die Frage, wie mit dieser gebrochenen Zahl umzugehen ist. Vereinbart sind volljährige Tilgung und Verzinsung. Daher ist die Laufzeit

KAPITEL 4. TILGUNG

104

des Darlehens volle 24 Jahre. Die letzte Rate muß dann aber nur so hoch sein, daß das Darlehen gerade getilgt und die letzten Zinsen gezahlt werden. Zur praktischen Abwicklung berechnet man die Restschuld nach 23 Jahren wiederum nach Formel (4.8) Ss = Sq s − A

qs − 1 1.0623 − 1 = 50000 · 1.0623 − 4000 = 3004.20 q−1 1.06 − 1

Auf diese Schuld muß im letzten Jahr Zinsen gezahlt werden und zwar: Z24 = 3004.20 · 0.06 = 180.25 Die letzte Rate beträgt daher 3004, 20 EU R+180, 25 EU R = 3184, 45 EU R. 2

4.2.2

Annuit¨ aten mit Agio oder Disagio

Je nach Marktlage werden Annuitätendarlehen mit einem Aufgeld (Agio) ¨ versehen, um die Ubernahme des Darlehens f¨ ur den Gläubiger attraktiver zu machen oder mit einem Abschlag (Disagio), um die Zinsen nominell attraktiver zu gestalten und so den Schuldner f¨ ur das Darlehen zu gewinnen. Ein Aufgeld kann periodisch als Zuschlag zu den Zinszahlungen oder einmalig zu Beginn der Laufzeit gezahlt werden. Ein Abschlag wird in der Regel nur zu Beginn der Laufzeit erhoben. Aufgelder entstehen f¨ ur den Schuldner auch, wenn zusätzliche Geb¨ uhren erhoben werden. Wir betrachten zunächst den Fall, daß ein periodisches Aufgeld erhoben wird, das sich in seiner Höhe aus der Tilgung berechnet (Tilgungsaufgeld ). Ein ¨ entsprechendes Restschuldaufgeld wird in den Ubungen angesprochen. Ferner betrachten wir den Fall des einmalig zu Beginn der Laufzeit erhobenen Agio oder Disagio. Periodisches Tilgungs-Aufgeld Wird ein Aufgeld vereinbart, so wird dieses in jeder Zahlungsperiode zusätzlich zu Tilgung und Zinsen gezahlt und (in der Regel) als Prozentanteil α der Tilgungsrate angegeben. Ist Ts die Tilgungsrate der s -ten Periode, so ist as =

Ts · α 100

(4.21)

KAPITEL 4. TILGUNG

105

das zu zahlende Aufgeld. Die s -te Annuität As beträgt daher As = Ts + Zs + as

(4.22)

Zu beachten ist, daß das Tilgungsaufgeld eine periodische Sonderzahlung ist, die zusätzlich zur normalen Annuität zu zahlen ist. Die periodisch zu leistenden Zahlungen sind also nicht mehr konstant, sondern erhöhen sich wegen der steigenden Tilgungsraten in jeder Periode. Da die Tilgungsraten unverändert sind gegen¨ uber einem entsprechenden Darlehen ohne Aufgeld, kann das Aufgeld als nicht ausgewiesene,zusätzliche, steigende Zinszahlung interpretiert werden. Beispiel 4.6 Eine Schuld von 500000 EU R soll in 6 Jahren bei einem Zinsfuß von 8% durch Annuitätentilgung zur¨ uckgezahlt werden. Dabei soll noch ein zusätzliches Aufgeld von 10% gezahlt werden. Man erstelle einen Tilgungsplan. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Damit berechnet sich die Annuität ohne Aufgeld zu A=S

0.08 q−1 = 500000 = 108157.69 1 − q −n 1 − 1.08−6

Der Tilgungsanteil im ersten Jahr beträgt T1 = A − Z1 = 108157.69 − 40000 = 68157.69 Tatsächlich zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres α A1 = A + T1 = 108157.69 + 0.1 · 68157.69 = 114973.46 100 Analog berechnet sich der vollständige Tilgungsplan: Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts Aufgeld as Annuität As 1 500000.00 40000.00 68157.69 6815.77 114973.46 431842.31 34547.38 73610.31 7361.03 115518.72 2 3 358232.00 28658.56 79499.13 7949.91 116107.60 4 278732.87 22298.63 85859.06 8585.91 116743.60 5 192873.81 15429.90 92727.79 9272.78 117430.49 6 100146.02 8011.68 100146.01 10014.60 118172.29 2

KAPITEL 4. TILGUNG

106

Periodisches eingeschlossenes Tilgungs-Aufgeld Man kann auch das periodische Aufgeld so in die Annuität einbeziehen, dass pro Periode ein konstanter Betrag zu zahlen ist. In diesem Fall erhält das Aufgeld noch deutlicher den Charakter einer zusätzlichen Zinszahlung (siehe Beispiel). Wir berechnen diese konstante Annuität durch folgenden ”Trick ”: Wir gehen aus von einer fiktiven Anfangsschuld von α S¯ = S 1 + 100 Zu zahlen sind am Ende des ersten Jahres die Zinsen Z1 = S · i. Wir dr¨ ucken ¯ diesen Betrag durch S aus S·i=

S¯ i ¯ ¯ ı α i = α S =: S · ¯ 1 + 100 1 + 100

und nennen ¯ı = 1+i α den fiktiven Zinssatz. Berechnet man zu diesem Zins100 satz und der fiktiven Schuld die Annuität, so ergibt sich mit q¯ := 1 + ¯ı A = S¯

q¯ − 1 1 − q¯−n

(4.23)

Benutzt man diese Größe als am Ende der ersten Periode zu zahlenden Betrag und zieht die Zinsen S¯ ·¯ı davon ab, so bleibt eine fiktive Tilgungsrate T¯1 u ¨brig, die das zu zahlende Aufgeld und die wirkliche Tilgungsrate T1 enthält. Nun muß gelten α α T1 =⇒ T¯1 − T1 = T1 (4.24) T¯1 = 1 + 100 100 Die fiktive Restschuld zu Beginn des nächsten Jahres ist dann α α α S¯1 = S¯ − T¯1 = S 1 + − 1+ T1 = (S − T1 ) 1 + 100 100 100 wobei S1 = (S − T1 ) die wirkliche Restschuld angibt. Es gilt also wieder α ¯ S1 = S1 1 + . (4.25) 100 Faßt man im Sinne von (4.11) die wirkliche Restschuld S1 als geschuldete Summe eines Darlehens mit um eine Periode reduzierter Laufzeit auf und

KAPITEL 4. TILGUNG

107

berechnet die fiktive Annuität auf dieser Basis, so erhält man genau die gleiche filtive Annuität wie eine Periode zuvor. Folgerung: die fiktiven Tilgungsraten summieren sich u ¨ber die gesamte ¯ Laufzeit zu S, die wirklichen Tilgungsraten damit genau zu S. Die fiktiven und die wirkliche Tilgungsraten unterscheiden sich dabei genau um das vereinbarte Aufgeld. Beispiel 4.7 Eine Schuld von 500000 EU R, die mit 8% verzinst werden soll, soll einschließlich eines Aufgeldes von 10% durch gleiche Annuitäten in 6 Jahren getilgt werden. Man berechne einen Tilgungsplan. Lo ¨sung: Es ist S = 500000, q = 1.08, n = 6, α = 10. Man berechnet einen filtiven Zinssatz zu 8 0.08 ¯ı = 10 = 110 1 + 100 und eine fiktive Schuld von 10 S¯ = 1 + · 500000 = 550000 100 Somit erhält man als Annuität A = 550000

8 110

1− 1+

8 −6 110

= 116360.95

Da die Zinsen im ersten Jahr 40000 EU R betragen, ergibt sich als fiktive Tilgungsrate T¯1 des ersten Jahres T¯1 = 116360.95 − 40000 = 76360.95 und als wirkliche Tilgungsrate T1 =

T¯1 = 69419.05. 1.1

Die wirkliche Restschuld zu Beginn des zweiten Jahres beträgt also S1 = 500000 − 69419.05 = 430580.95. Aus diesem Wert berechnet man erneut Zinsen, berechnet mit der Annuität die fiktive und die wirkliche Tilgungsrate usw.

KAPITEL 4. TILGUNG

108

Schließlich ergibt sich folgender Tilgungsplan Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs fikt. Tilgung T¯s wirk. Tilgung Ts 1 500000.00 40000.00 76360.95 69419.05 2 430580.95 34446.48 81914.47 74467.70 356113.25 28489.06 87871.89 79883.54 3 4 276229.71 22098.92 94262.57 85693.25 5 190536.46 15242.92 101118.03 91925.48 98610.98 7888.88 108472.07 98610.97 6 Zu beachten ist, daß sich die Zinsen und die fiktiven Tilgungsraten in jeder Periode zur konstanten Annuität A = 116360.95 summieren. Man kann diesen Tilgungsplan mit dem eines einfachen Annuitätendarlehens vergleichen, bei dem der nominelle Zinssatz so gesetzt ist, dass sich bei einer Laufzeit von 6 Jahren eine jährliche Annuität von A = 116360.95 ergibt. Der Zinssatz berechnet sich aus (4.3) 500000 = 116360.95q −6

q6 − 1 q−1

d.h. 500000q 6 (q − 1) = 116360.95 q 6 − 1 Dieses Polynom hat als eindeutige positive Lösung größer 1, q = 1. 10461 59. Damit entspricht dem o.a. Darlehen ein einfaches Annuitätendarlehen (ohne Aufgeld) zu nominellen Jahreszinsfuß von p = 10.46%. Der zugehörige Tilgungsplan sieht wie folgt aus (gerechnet mit i = 0. 10461 59) Jahr s Restschuld Ss−1 Zinsen Zs Tilgung Ts 1 500000.00 52307.95 64053.00 2 435947.00 45606.99 70753.96 3 365193.04 38205.00 78155.95 4 287037.09 30028.64 86332.31 5 200704.78 20996.91 95364.04 6 105340.74 11020.82 105340.63 Auffallender Unterschied ist, dass im zweiten Fall die Restschuld weniger schnell abfällt. 2

KAPITEL 4. TILGUNG

109

Einmaliges Agio/Disagio Ist bei einem Darlehen ein einmaliges Agio von α% vorgesehen, so wird bei Auszahlung des Darlehens die volleDarlehenssumme S ausbezahlt, aber als α fache der Darlehenssumme festgesetzt, zu tilgende Summe S¯ das 1 + 100 α ¯ S = 1 + 100 S. Wird bei einem Darlehen ein (einmaliges) Disagio von α% vorgesehen, so α wird nur das 1 − 100 fache der Darlehenssumme S ausbezahlt, nämlich der α Betrag S¯ = 1 − 100 S. In beiden Fällen handelt es sich um Vorabzinsen, die es dem Gläubiger gestatten, die nominell zu zahlenden Zinsen optisch attraktiver zu gestalten. Zu beachten ist, daß der Schuldner im Falle des Disagios die Darlehenssumme von vorneherein höher ansetzen muß, wenn er auf die Auszahlung eines bestimmten Betrages angewiesen ist. Bei der Finanzierung im Mietwohnungsbau wird von dieser Möglichkeit der Vorabzinsen gerne Gebrauch gemacht, da u.U. diese Finanzierungskosten fr¨ uhzeitig steuerlich ber¨ ucksichtigt werden können. Beispiel 4.8 Ein Kreditnehmer benötigt 100000 EU R. Er kann zur Finanzierung jährlich 12000 EU R aufbringen. Ihm werden drei Darlehensangebote unterbreitet: 1. Ein Darlehen mit Disagio von 5% und einem nominellen Zinssatz von 6%. 2. Ein Darlehen mit 100% Auszahlung und einem nominellen Zinssatz von 6.8%. 3. Ein Darlehen mit einem Agio von 5% und einem nominellen Zinssatz von 6%. Man berechne die Laufzeiten der Darlehen, wenn die Annuität in allen Fällen A = 12000 EU R beträgt. L¨ osung:

KAPITEL 4. TILGUNG

110

1. Das Darlehen muß nominell u = 105263.16 EU R abge¨ber S = 100000 0.95 schlossen werden, damit 100000 EU R ausbezahlt werden. Die Laufzeit beträgt dann gemäß Formel (4.7) n=

ln A − ln (A − S · i) ln 12000 − ln (12000 − 105263.16 · 0.06) = = 12.824 ln q ln 1.06

2. Die Laufzeit des zweiten Darlehens kann unmittelbar nach Formel (4.7) berechnet werden n=

ln A − ln (A − S · i) ln 12000 − ln (12000 − 100000 · 0.068) = = 12.711 ln q ln 1.068

3. Im dritten Fall wird der geschuldeten Summe einmalig ein Aufgeld von 5% der Darlehenssumme, also 5000 EU R zugeschlagen, das mit getilgt werden muß. Die anfängliche Restschuld beträgt also S = 105000 EU R. Dementsprechend ergibt sich f¨ ur die Laufzeit n=

ln 12000 − ln (12000 − 105000 · 0.06) ln A − ln (A − S · i) = = 12.776 ln q ln 1.06

Die Laufzeit beträgt also in allen drei Fällen 13 Jahre, wobei die letzte Rate allerdings leicht unterschiedlich ausfällt. Hat man die Möglichkeit, ein Agio oder Disagio steuerlich geltend zu machen, so empfiehlt sich dies bei diesem Beispiel. 2

4.2.3

Aufgeschobene Tilgung

Oft wird eine Aussetzung der ersten Tilgungsraten vereinbart, um dem Schuldner (etwa dem Bauherrn) u ¨ber die ersten finanziellen Engpässe hinwegzuhelfen. In diesem Fall zahlt der Kreditnehmer entweder u ¨ber die ersten t < n Perioden nur die Zinsen auf seine Schuld. Die Restschuld Ss bleibt dann f¨ ur die ersten t Perioden unverändert gleich der Anfangsschuld S. Es gilt also St = S. oder die ersten t < n Perioden bleiben zahlungsfrei. Dann wächst die Restschuld an und beläuft sich nach t Perioden auf St = Sq t .

KAPITEL 4. TILGUNG

111

Es können alle hergeleiteten Formel f¨ ur das einfache Annuitätendarlehen verwendet werden, wenn anstelle von S die Restschuld St und anstelle der Laufzeit von n Perioden nur n − t Perioden verwendet werden. Beispiel 4.9 Ein Kreditnehmer leiht 1000 EU R zu einem Zinsfuß von 7% und verpflichtet sich, die geliehene Summe in 4 konstanten jährlichen Annuitäten zur¨ uckzuzahlen. Dabei wird vereinbart, daß das erste Jahr zahlungsfrei bleibt. Lo ¨sung: Es ist S = 1000, n = 5, t = 1, i = 0.07. Die Annuität berechnet sich nach der Formel Sq n = A

q−1 q n−t − 1 =⇒ A = Sq n n−t q−1 q −1

also A = 1000 · 1.075

0.07 = 315.89 1.074 − 1

(4.26)

Nach dem ersten Jahr beträgt die geschuldete Summe S1 = 1000·1.07 = 1070 EU R. Diese Summe wird in 4 gleichen Raten zu 315, 89 EU R abbezahlt. 2

4.2.4

Ver¨ anderliche Raten.

Zuweilen w¨ unscht der Schuldner eine schrittweise Erhöhung der pro Periode zu zahlenden Rate, weil er mit steigenden Eink¨ unften rechnet oder um seine Schuld möglichst schnell zu tilgen. Wir besprechen die beiden Fälle, daß die Annuität jeweils um einen festen Betrag steigt oder daß sie pro Periode prozentual ansteigt. Arithmetisch steigende Annuit¨ aten Wir betrachten zunächst den Fall der arithmetisch um einen festen Betrag d ansteigenden Annuitäten As = A + (s − 1) d,

s∈N

(4.27)

KAPITEL 4. TILGUNG

112

Dann lautet der Ansatz f¨ ur die Berechnung der Annuität Sq n = Aq n−1 + (A + d) q n−2 + ... + (A + (n − 1) d) n X = [A + (s − 1) d] q n−s s=1

Vergleichen wir dies mit Formel (3.29), so ergibt sich n qn − 1 d q −1 n Sq = A + −n q−1 q−1 q−1 oder

q−1 A= n q −1

d Sq − q−1 n

qn − 1 −n q−1

(4.28)

Beispiel 4.10 Mit S = 1000, i = 0.07, d = 10 und n = 5 ergibt sich als anfängliche Annuität 0.07 10 1.075 − 1 5 A= 1000 · 1.07 − −5 = 225.24 1.075 − 1 0.07 0.07 Die weiteren Annuitäten sind: 235.24, 245.24, 255, 24, 265, 24 .

2

F¨ ur die Restschuld am Ende der s−ten Periode findet man Ss q n−s =

n−s X

As+j q n−s−j =⇒

j=1

Ss =

n−s X

As+j q

−j

=

n−s X

j=1

=

n−s X

(A + (s + j − 1) d) q −j

j=1

Aq

−j

j=1

+

n−s X

(s − 1) dq

−j

+

n−s X

j=1

= (A + (s − 1) d)

jdq −j

j=1 n−s X

q −j + d

j=1

n−s X

jq −j

j=1

Benutzt man hierin die Identitäten (f¨ ur m ∈ N) m X j=1

q

−j

=q

−m

m X j=1

q

m−j

=q

−m

m−1 X j=0

q j = q −m

qm − 1 q−1

(4.29)

KAPITEL 4. TILGUNG

113

und die aus (3.28) hergeleitete Beziehung m m−1 m−1 X X 1 q −1 jq −j −m = jq m−j−1 = q m−1 q−1 q−1 j=1 j=0

(4.30)

so ergibt sich nach einiger Umformung n−s n−s − (n − 1) q n−s − 1 −1 −(n−s) q −(n−s−1) (s − 1) q Ss = Aq + dq + q−1 q (q − 1) (q − 1)2 (4.31) Daraus ergibt sich f¨ ur Zinsrate und Tilgungsrate in der s ten Periode Ts = As − Zs

Zs = Ss−1 i und Geometrisch steigende Annuit¨ aten

Nun nehmen wir an, daß die zu zahlende Rate sich nach jeder Zahlungsperiode u ¨ber einen Faktor c > 1 vergrößert As = Acs−1 ,

s∈N

Dadurch ergibt sich gemäß der Formel (3.37) aus der nachsch¨ ussigen Rentenrechnung n−1 j X c n n−1 Sq = Aq q j=0 Betrachten wir hier nur den Fall c 6= q, so ergibt sich (vgl. (3.40)) Sq n = A

cn − q n c−q

A = Sq n

c−q cn − q n

also

(4.32)

In ähnlicher Weise wie oben erhält man f¨ ur die Restschuld am Ende der Periode s q n−s − cn−s Ss = S (cq)s , (4.33) q n − cn

KAPITEL 4. TILGUNG

114

f¨ ur die Tilgungsrate der Periode s Ts = S

(cq)s−1 n−s+1 q (1 − c) + cn−s+1 (q − 1) n n q −c

(4.34)

und f¨ ur die Zinsrate der Periode s Zs = S (cq)s−1

q n−s+1 − cn−s+1 (q − 1) q n − cn

(4.35)

¨ Beweise: Ubungsaufgabe! Diese Formeln sollen an einem Zahlenbeispiel erläutert werden. Beispiel 4.11 Als Daten seien vorgegeben: S = 1000, n = 5, q = 1.07, c = 1.05. (vgl. oben) L¨ osung: Damit ergibt sich als anfängliche Annuität A = 1000 · 1.075

1.05 − 1.07 = 222.15 1.055 − 1.075

und als Tilgungsplan u ¨ber die 5 Perioden Jahr s Restschuld Ss−1 Annuität As Tilgung Ts Restschuld Ss 1 1000 222.15 152.15 847.85 2 847.85 233.26 173.91 673.94 3 673.94 244.92 197.75 476.19 476.19 257.17 223.83 252.36 4 252.36 270.03 252.83 0 5 2

4.3

Unterj¨ ahrige allgemeine Tilgung

In der Praxis erfolgen oft unterjährige Zahlungen zur Tilgung einer Schuld bei volljähriger Verzinsung. Wir betrachten wieder die in Deutschland u ¨bliche Praxis. Danach werden die unterjährig gezahlten Annuitäten nicht unmittelbar tilgungswirksam. Stattdessen werden die innerhalb eines Jahres gezahlten Raten A nur zum relativen Zinssatz gemischt verzinst akkumuliert und

KAPITEL 4. TILGUNG

115

bilden eine volljährige Ersatzannuität AE , die am Jahresende die anstehenden Schuldzinsen begleicht und den Ratenrest zur Tilgung verwendet. Wir können daher die Formeln der nachsch¨ ussigen Rentenrechnung verwenden. Dies werde am Beispiel eines n jährigen Darlehens mit m1 jährigen nachsch¨ ussigen Annuitäten gezeigt. Der nominelle Jahreszinssatz betrage i. Mit Hilfe der nachsch¨ ussigen Ersatzrate können die unterjährige Annuität aus Formel (3.16) berechnen (q = 1 + i) n (q − 1) q −1 n Sq = A m + (m − 1) 2 q−1 mithin −1 (q − 1) q−1 (m − 1) m+ A = Sq n q −1 2 q−1 2 = S −n 1 − q (m + 1) + (m − 1) q n

Daraus ergibt sich f¨ ur die Laufzeit des Annuitätendarlehens 2 ln A − ln A − S 2m+i(m−1) i n= ln (1 + i)

(4.36)

(4.37)

Bei anderer unterjähriger Annuitätenzahlung (vorsch¨ ussig oder asyncron) ist hier lediglich eine andere Ersatzrate zu verwenden. Effektive Verzinsung Von ihrer Struktur her sind Annuitätendarlehen Renten. Ein Effektivzins kann also grundsätzlich mit den Formeln des letzten Kapitels ermittelt werden. Darauf soll an dieser Stelle nicht näher eingegangen werden, zumal wir uns im nächsten Kapitel ausf¨ uhrlich mit der Effektivzinsberechnung beschäftigen wollen.

KAPITEL 4. TILGUNG

116

¨ Ubungsaufgaben

4.4 4.4.1

Theoretische Aufgaben

Aufgabe 4.12 Begr¨ unden Sie die folgenden Formeln f¨ ur Ratenkredite. uckgezahlt. Bei diesen wird die Schuld S in n gleichen Tilgungsraten Ts = Sn zur¨ Dabei m¨ ussen auf die jeweilige Restschuld Ss Zinsen in Höhe von Zs = S · i gezahlt werden, wenn i den vereinbarten nominellen Zinssatz darstellt. Tilgungsrate und Zinsen addieren sich zu einer zu zahlenden Annuität As (s = 1, ..., n). 1. F¨ ur den Fall, daß die Zahlungen genau zu den Zinsterminen erfolgen gilt 1 Zs = 1 − (s − 1) S · i n und S As = [1 + (n − s + 1) i] n 2. Erfolgen die Zinsverrechnung volljährig und die Zahlungen unterjährig in Zahlungspreioden zu jeweils m1 Jahr, so gilt 1 m+1 Zt = 1 − t− S·i n1 2m wobei n = m · n1 gilt, also n1 die Anzahl der Jahre angibt, die hier mit t = 1, ..., n1 abgezählt werden. Hinweis: Die Restschuld ist zu den einzelnen Zahlungsterminen innerhalb der Zinsperiode jeweils einfach zu verzinsen und diese Zinsen sind zu akkumulieren. Aufgabe 4.13 Bei der Annuitätentilgung mit Restschuldaufgeld unterscheidet man wieder die Fälle des zusätzlichen oder des eingeschlossenen Aufgelds. Zu zahlen seien beim s−ten Zahlungstermin β% der Restschuld Ss−1 als Agio. Begr¨ unden Sie die folgenden Formeln (bei vereinbartem Zinsfuß von p%) 1. Beim zusätzlichen Aufgeld beträgt die zu zahlende Annuität A¯s s−1 q β 1− n , A¯s = A 1 + p q wenn A die ohne Aufgeld zu zahlende Annuität wäre.

KAPITEL 4. TILGUNG

117

2. Beim eingeschlossenen Aufgeld berechnet sich die zu zahlende Annuität u ¨ber q¯ − 1 A¯s = S , 1 − q¯−n wobei der Aufzinsungsfaktor q¯ = 1 +

p+β 100

Verwendung findet.

Aufgabe 4.14 Man beweise die Formeln (4.33) bis (4.35).

4.4.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 4.15 F¨ ur einen Ratenkredit u ¨ber 60000 EU R muß monatlich nachsch¨ ussig 500 EU R f¨ ur die reine Tilgung aufgebracht werden. Zusätzlich zu der monatlichen Tilgungsrate m¨ ussen nachsch¨ ussig 0, 6% Zinsen f¨ ur die zu Monatsbeginn vorhandene Restschuld gezahlt werden. 1. Wieviel Zinsen m¨ ussen insgesamt im ersten Jahr, wieviel im letzten Jahr gezahlt werden, wenn Zinsen monatlich verrechnet werden? 2. Wie lautet die Antwort auf diese Fragen, wenn Zinsen nur jährlich verrechnet werden? Aufgabe 4.16 Eine Schuld von 20000 EU R wird jährlich mit 5% verzinst. 1. Der Schuldner w¨ urde die Schuld gerne mit gleichbleibenden, jährlich nachsch¨ ussigen Annuitäten in 10 Jahren zur¨ uckzahlen. Wie hoch wäre die Annuität? 2. Auf der anderen Seite wird er nicht mehr als jährlich 2100 EU R aufbringen können. Wie lange dauert dann die R¨ uckzahlung? Berechnen Sie konstante Annuitäten, die diese Bedingung erf¨ ullen und berechnen Sie gleichfalls eine R¨ uckzahlung mit Annuitäten von genau 2100 EU R und einer letzten kleineren Rate. Aufgabe 4.17 Zur R¨ uckzahlung eines Kredits mit einem Jahreszins von 5, 5% kann jemand jährlich nachsch¨ ussig höchstens 8000 EU R auf 20 Jahre aufbringen. Wie hoch kann der Kreditbetrag höchstens sein?

KAPITEL 4. TILGUNG

118

Aufgabe 4.18 Ein Kredit u ¨ber 350000 EU R mit einer Laufzeit von 10 Jahren ist jeweils vierteljährlich mit 1, 75% zu verzinsen. Bestimmen sie die konstante Annuität, falls die nachsch¨ ussige Annuitätenzahlung 1. jährlich 2. halbjährlich 3. vierteljährlich 4. monatlich erfolgt. Aufgabe 4.19 Ein Annuitätendarlehen u ¨ber 50000 EU R ist jährlich mit 5, 5% zu verzinsen und einschließlich eines Tilgungsaufschlags von 8% in 6 gleichen nachsch¨ ussigen Jahresraten zur¨ uckzuzahlen. Die konstante Jahresrate enthalte also Tilgung, Zinsen und Aufgeld. Stellen Sie einen Tilgungsplan auf. Aufgabe 4.20 Ein Darlehen der Höhe 55000 EU R soll in 5 Jahren getilgt sein. Berechnen Sie den effektiven Jahreszins f¨ ur folgende Annuitätenzahlungen 1. jährlich nachsch¨ ussig jeweils 13200 EU R 2. vierteljährlich nachsch¨ ussig 3300 EU R 3. vierteljährlich vorsch¨ ussig 3300 EU R 4. monatlich nachsch¨ ussig 1100 EU R Aufgabe 4.21 Ein Hypothekendarlehen u ¨ber 120000 EU R werde auf 12 Jahre mit folgenden Konditionen festgeschrieben: Auszahlung: 95% nomineller Jahreszins: 6, 2% (anfängliche) Tilgung jährlich: 2% Berechnen sie die Annuität und die Restschuld nach 12 Jahren bei monatlich konstanten Annuitätenzahlungen und bestimmen Sie die Effektivverzinsung. Wie ändert sich die Situation, wenn dem Schuldner zwei Jahre Tilgungsaufschub gewährt werden?

KAPITEL 4. TILGUNG

119

Aufgabe 4.22 F¨ ur eine Annuitätenschuld von 80000 EU R werden 10 Jahre lang nachsch¨ ussig jeweils 8000 EU R zur¨ uckbezahlt. F¨ ur diese 10 Jahre ist ein Jahreszins von 7% vereinbart. Nach 10 Jahren beträgt der neue Zinssatz 8%. Wie hoch muß die neue Annuität sein, damit die Schuld nach weiteren 10 Jahren getilgt ist?

4.4.3

Programmierpraxis

Aufgabe 4.23 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das zu vorgegebener Restschuld S und zu vorgegebenem Zinsfuß p bei gegebener Laufzeit n in Perioden sowie gegebenem periodeschem in die Annuität einzubeziehenden Tilgungsaufgeld von α% die Annuität A berechnet bzw. bei gegebener Annuität die Laufzeit. Das Programm soll dabei auch in der Lage sein, die Annuität und die Laufzeit aus einer prozentual angegebenen Tilgung zu berechnen. Ferner soll ein anfängliches Disagio mitber¨ ucksichtigt werden. Anschließend soll das Programm einen Tilgungsplan generieren, der f¨ ur jede Periode s die Restschuld Ss , den Zinsanteil Zs und den Tilgungsanteil Ts auswirft, wobei zusätzlich zu zahlende periodische Geb¨ uhren in Höhe von β% der (wirklichen) Tilgungsrate zu ber¨ ucksichtigen sind. Aufgabe 4.24 Man schreibe ein (Excel-) VBA-Programm, das unterjährige Tilgungsraten bei ganzjähriger Verzinsung zum Jahreszinsfuß p und dabei arithmetisch oder geometrisch fortschreitenden Annuitäten vorsieht. Ansonsten soll das Programm wie das vorherige zunächst fehlende Daten aus gegebenen Daten berechnen. Aufgabe 4.25 Schreiben Sie ein möglichst anwenderfreundliches (Excel-) VBA-Programm zur Erfassung eines Hypothekendarlehens mit Tilgungsaussetzung und einer Zinsanpassung nach der festgeschriebenen Laufzeit.

Kapitel 5 Bewertung von Investitionen Rentabilit¨ at Thema dieses Kapitels ist die Bewertung und der Vergleich von Kapitalanlagen, von Krediten oder ganz allgemein von Investitionen und Finanzierungen. Wir haben bereits gesehen, dass Kredite in ganz unterschiedlichen Raten und unterschiedlichen Laufzeiten zur¨ uckgezahlt werden können. Annuitäten können z.B. volljährig oder unterjährig gezahlt werden, eine anfängliche Tilgung kann niedrig oder hoch angesetzt sein, Zahlungen können ausgesetzt werden, etc. Außerdem erscheint die Berechnung anfallender Zinsen zuweilen recht willk¨ urlich. In dieser Situation stellt sich f¨ ur den Kreditnehmer, aber auch f¨ ur den Kreditgeber die Frage, welche von mehreren in Betracht gezogenen DarlehensMöglichkeiten f¨ ur ihn persönlich die vorteilhafteste ist, - wobei geklärt werden muss, was sich hinter dem Begriff ”vorteilhaft” verbirgt: eine in der Höhe begrenzte Annuität, eine kurze Laufzeit, ein geringer Jahreszinssatz, oder... Häufig treten bei Krediten auch Sonderzahlungen auf, die mit einem vereinbarten Nominalzinssatz in keiner direkten Beziehung stehen. So können Bearbeitungsgeb¨ uhren, Darlehensgeb¨ uhren, Kontof¨ uhrungsgeb¨ uhren, Aufgelder etc., wenn sie als zusätzliche Zahlungen auftreten, die letztliche Bewertung eines Kredits erschweren.

120

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT

5.1

121

¨ Das Aquivalenz-Prinzip

Kapitalanlagen in einfacher Form ebenso wie Kredite werden beschrieben durch Zahlungsfolgen auf einem (fiktiven) Konto: einem Anlagekonto oder einem Kreditkonto. Beiden gemeinsam ist, dass zu verschiedenen Zeitpunkten Zahlungen auf oder Zahlungen von dem Konto vorgenommen werden. Wie wir aus den bisherigen Betrachtungen zur Finanzmathematik entnehmen können, ist die Wirkung von Zahlungen immer fest mit dem Zeitpunkt ihrer Ausf¨ uhrung verbunden: Ein und derselbe Betrag, zu unterschiedliche Zeitpunkten auf ein Konto eingezahlt, hat unterschiedliche Auswirkung auf den Konto-Endstand, unterschiedliche Einzahlungen zu verschiedenen Zeiten können den gleichen Beitrag zum Kontoendstand bewirken. Legt man das Modell der Verzinsung mit Zinseszins (konforme Verzinsung) mit dem Aufzinsungsfaktor q zugrunde, so kann leicht bestimmt werden, wann zwei Einzahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 und K2 zum Zeitpunkt T2 (nach Beginn der Anlage) am Ende der Laufzeit T der Anlage den gleichen Betrag ergeben: K1 q T −T1 = K2 q T −T2 (5.1) Nennen wir f¨ ur die Zahlung K zum Zeitpunkt t ≥ 0 nach Beginn der Anlage die Größe Ke := Kq T −t den Kapitalendwert der Zahlung, so legt diese Gleichung die Gleichheit der Kapitalendwerte K1 q T −T1 und K2 q T −T2 fest. K¨ urzen wir in (5.1) durch q T , so ergibt sich auch die Gleichheit der Kapitalbarwerte K1 K2 = T2 T 1 q q Nach Multiplikation mit q t ergibt sich sogar die Gleichheit der Kapitalzeitwerte zu einem (beliebigen) Zeitpunkt t nach Beginn der Anlage K1 q t−T1 = K2 q t−T2 Diese Betrachtung beschreibt das ¨ Aquivalenzprinzip der Finanzmathematik: Wir nennen zwei Zahlungen K1 zum Zeitpunkt T1 > 0 und K2 zum Zeitpunkt T2 > 0 (nach Beginn der Anlage) ¨ aquivalent,


122

wenn ihre Barwerte u ¨bereinatimmen K1 K2 = q T1 q T2

5.2

(5.2)

Interner Zinsfuß eines Zahlungsstroms

Als ein erstes Hilfsmittel zur Bewertung einer Kapitalanlage betrachten wir die Berechnung des (unbekannten) Aufzinsungsfaktor eines Kontos, auf dem das Kapital konform verzinst wird.

5.2.1

Interner Jahreszinssatz

Wir betrachten ein Konto u ¨ber ein Zeitintervall [0, T ] , auf dem zu gewissen Zeiten T0 , ..., Tn ∈ [0, T ] gewisse Zahlungen C0 , ..., Cn ∈ R, n ∈ N, erfolgen. Wir nennen die Zahlungfolge zusammen mit der Folge der Zahlungszeiten einen Zahlungsstrom. Die Zeitangaben seien in Jahren gegeben. F¨ ur die Berechnung der Zeiten T0 , ..., Tn aus Kalenderdaten mögen die Vorschriften der PAngV gelten. Einzahlungen sollen dabei mit positivem Vorzeichen und Auszahlungen mit negativem Vorzeichen notiert sein. Ferner sei festgelegt, dass T0 = 0 gilt, dass also C0 eine Zahlung sei, die unmittelbar zu Beginn der Anlage erfolge. Entsprechend vereinbaren wir, dass die letzte Zahlung Cn zum Zeitpunkt T stattfindet, dass also Tn = T gilt. Der dem Zahlungsstrom zugeordnete Kontoendstand, d.h. der Kapitalendwert VT aller Zahlungen zum Zeitpunkt T bei konformer Verzinsung mit dem (Jahres-) Aufzinsungsfaktor q ist dann VT =

n X

Ck q T −Tk

(5.3)

k=0

Bezeichnungen: Betrachtet werde ein nichttrivialer Zahlungsstrom, wie oben beschrieben, mit zugeordnetem konform verzinsten Konto. Ist die erste nichttriviale Zahlung eine Einzahlung ist, so sprechen wir von einer Finanzierung, das zugehörige Konto heißt Kreditkonto. Ist dagegen die erste


123

nicht triviale Zahlung eine Auszahlung, so sprechen wir von einer Investition, das zugehörige Konto heißt Anlagekonto. Soll nicht zwischen einer Investition und einer Finanzierung unterschieden werden, sprechen wir von einem Investitionsprojekt. Ein Investitionsprojekt, bei dem der Kontoendstand null ist, nennen wir geschlossen, andernfalls heißt es offen. Ein Zahlungsstrom, bei dem die erste Zahlung nichttrivial und alle weiteren nichttrivialen Zahlungen gegenteiliges Vorzeichen haben, nennen wir normal. Einen nichttrivialen Zahlungsstrom, bei dem nur ein Vorzeichenwechsel stattfindet, nennen wir quasinormal. Ein Investitionsprojekt mit quasinormalem (normalen) Zahlungsstrom nennen wir quasinormal (normal). Ein offenes Investitionsprojekt, zu dem der Kontoendstand bekannt ist, kann leicht geschlossen werden, indem die letzte Zahlung des Zahlungsstroms u ¨ber den Kontoendstand korrigiert wird. Diesen Vorgang nennen wir Abschließen. Man beachte: Ein normaler Zahlungsstrom ist quasinormal. Beim Abschließen eines offenen Investitionsprojekts kann ein quasinormaler Zahlungsstrom diese Eigenschaft verlieren. Wir betrachten nun ein geschlossenes Investitionsprojekt, d.h. wir unterstellen, dass die letzte Zahlung Cn darin bestand, den Kontostand abzuschließen. Sind alle Zahlungen C0 , ..., Cn bekannt, nicht aber der Aufzinsungsfaktor q des Anlagekontos, so kann dieser aus der Gleichung n X Ck q T −Tk (5.4) 0= k=0

bestimmt werden. Diese Situation tritt z.B. ein, wenn auf ein Anlagekonto Zinszahlungen fließen, die sich an einem nominellen Zinssatz richten, die aber nicht unbedingt die wirkliche Verzinsung der erfolgten Auszahlung wiedergeben (vgl. linear proportionale Verzinsung). Da oBdA angenommen werden kann, dass T − T0 , ..., T − Tn nichtnegative rationale Zahlen sind, kann q wie folgt bestimmt werden: Sei oBdA m ∈ N 1 der Hauptnenner all dieser rationalen Zahlen, dann setze x := q m . x ist der Aufzinsungsfaktor bezogen auf m1 − Jahr. Dann bestimmt sich x als eine positive Nullstelle des Polynoms n X g (x) = Ck xnk k=0

(5.5)


124

wobei nk ∈ N die Zähler dieser rationalen Zahlen in der Hauptnennerdarstellung sind. Nach Konstruktion gibt g den Kontoendstand des Kontos in Abhängigkeit von x und damit vom Aufzinsungsfaktor q an. Wir nennen g Kontoendstandfunktion. Definition 5.1 Wir nennen einen Jahreszinssatz i, der sich als i = xm − 1 aus einer positiven Nullstelle des Polynoms g berechnet, interen Jahreszinssatz oder effektiven Jahreszinssatz des geschlossenen Investitionsprojekts. Merke: Bzgl. eines effektiven Jahreszinssatzes sind die Summe aller Auszahlungen und die Summe aller Einzahlungen a¨quivalent, denn eine äquivalente Formulierung von (5.4) lautet 0=

n X

Ck q −Tk

k=0

¨ Interpretiert wird dies auch als Aquivalenz der Gl¨ aubiger und Schuldnerleistungen. Beispiele Beispiele f¨ ur die betrachtete Situation ergeben sich wie folgt: • Betrachten wir ein Sparkonto vom Zeitpunkt der ersten Einzahlung an bis zur Auflösung des Kontos. Auf dieses Konto werden innerhalb der Laufzeit verschiedene positive oder negative Zahlungen vorgenommen. Dies kann einerseits durch den Kontobesitzer geschehen, der Einzahlungen und Abhebungen vornimmt, andererseits werden dem Konto durch die Bank Zinsen (berechnet nach der gemischten Verzinsung) gutgeschrieben oder Geb¨ uhren abgebucht. Ein interer Jahreszinsfuß gibt an, welche Rendite die Anlage auf dem Sparkonto dem Sparer letztlich gebracht hat. • Betrachten wir einen Kredit aus der Sicht des Kreditnehmers. Interpretieren wir die Kreditzahlungen als Einzahlungen auf ein Kreditkonto


125

und die Tilgungs-, Zins-, und Geb¨ uhrenzahlungen (oder sonstige Sonderzahlungen wie Aufgeld) als Auszahlungen aus den Kreditkonto, so stellt sich die Frage nach dem effektiven Jahreszinssatz. Wir haben ihn in einfachen Fällen in den letzten Kapiteln schon berechnet. • Ein weiteres Beispiel der Praxis ist die Verrentung von Kapital. Hierbei wird zuerst in einer Ansparphase u ¨ber einen gewissen Zeitraum Kapital angespart. Dieses soll in der Auszahlungsphase als Rente wieder ausbezahlt werden. Auch hier gibt der effektiver Jahreszinsfuß die wirkliche Verzinsung des gesamten Zahlungsstroms auf einem fiktiven Anlagekonto an.

5.2.2

Berechnung des internen Zinssatzes

Im folgende betrachten wir zunächst eine geschlossene quasinormale Investition. Nach der Vorzeichenregel von Descartes besitzt das Polynom f aus (5.5) dann genau eine positive Nullstelle x∗ . Ist das Deckungskriterium fu ¨ r Investitionen g (1) =

n X

Ck > 0

(5.6)

k=0

erf¨ ullt, ist also die Summe aller Einzahlungen größer als die Summe der Auszahlungen, so muß sogar x∗ > 1 gelten. Denn nach Konstruktion gilt immer lim g (x) = −∞ (5.7) x→∞

da die erste nichttriviale Zahlung als negativ vorausgesetzt wurde. Beachte: Bei Finanzierungen ist genau umgekehrt zu argumentieren. Nach diesen Voraussetzungen kann der interne Zinssatz nun leicht mit einer Kombination aus Bisektionsverfahren und Newton-Verfahren (f¨ ur Polynome) berechnet werden. Beispiel 5.2 Ein Mann zahlt ab seinem 36. Lebensjahr bis zu seinem 65. Geburtstag vorsch¨ ussig jährlich 1200 EU R in eine Rentenversicherung ein. Diese verspricht, ab dem 66. Lebensjahr vorsch¨ ussig eine jährliche Rente von 6000 EU R zu zahlen. Man berechne den internen Zinsfuß


126

1. wenn der Mann 75 Jahre alt wird 2. wenn der Mann erst mit 85 Jahren ablebt 3. wenn der Mann sogar die 100 Jahre erreicht. Bei der Lösung werde die Geldentwertung nicht mit ber¨ ucksichtigt. Lo ¨sung: Die relevante Rechenzeit-Einheit ist das Jahr. 1. Bei 75 Jahre alten Mann ist die Gleichung −

30 X

1.2q

40−k

+

40 X

6q 40−k = 0

k=31

k=1

zu lösen. Hier berechnet sich der interne Zinsfuß zu 2, 48%. 2. Wird der Mann 85 Jahre, so ist die Gleichung −

30 X

1.2q

50−k

+

k=1

50 X

6q 50−k = 0

k=31

zu lösen. Nun beträgt der interne Zinsfuß 4, 75%. 3. F¨ ur den 100 jährigen Mann ist die Gleichung −

30 X k=1

1.2q

65−k

+

65 X

6q 65−k = 0

k=31

zu lösen. Damit beträgt der interne Zinsfuß 5, 71%.

2

Beispiel 5.3 Ein Kredit u ¨ber 3000 DM habe eine Laufzeit von 20 Monaten. Die R¨ uckflußrate beträgt monatlich nachsch¨ ussig 180 EU R. Zu Beginn ist eine Bearbeitungsgeb¨ uhr von 60 EU R zu entrichten, die von der Auszahlungssumme abgezogen wird. Wie groß ist der effektive Jahreszinssatz?


127

Lösung: Die relevante Zeit-Recheneinheit ist der Monat. Die zu lösende Gleichung lautet 20

(3000 − 60) q 12 −

20 X

180q

20−k 12

=0

k=1 1

Setzen wir darin x = q 12 , so ergibt sich 20

2940x − 180

20 X

x20−k = 0 ⇐⇒

k=1 20

x −1 = 0 ⇐⇒ x−1 2940x21 − (2940 + 180) x20 + 180 = 0 2940x20 − 180

Eindeutige positive Lösung größer 1 der Gleichung ist x = 1. 02011 48. Dies bedeutet q = x12 = 1. 02011 4812 = 1. 26995 57. Der effektive Jahreszinssatz beträgt also ief f = 0. 26995 57. 2 Bemerkung: Die Berechnung des effektiven Zinssatzes verlangt die Verwendung der genauen Verzinsungszeiten f¨ ur alle Zahlungen. Dies ist durch die Vorschriften der PAngV nicht wirklich gegeben, da z.B. Schaltjahre nicht ber¨ ucksichtigt werde, die Monate in ihrer Länge angeglichen werden, etc.. In diesem Sinne ergeben die genannten Berechnungsmethoden nur eine Schätzung f¨ ur den wirklichen Zinssatz. Die PAngV setzt die international u ¨bliche Methode zur Effektivzinsberechnung der International Security Market Association (ISMA) f¨ ur Deutschland um. In den USA, wo generell die R¨ uckzahlungszeitpunkte mit den Zinsverechnungszeitpunkten u ¨bereinstimmen, verwendet man den relativen Zinssatz f¨ ur die Effektivzinsberechnung. Darauf wird hier nicht näher eingegangen.

5.3

Sparkonten

Wir betrachten nun eine geschlossene Finanzierung, die u ¨ber ein (fiktives) Kreditkonto (mit unbekanntem Zinsfuß) abgewickelt wird, auf dem jeweils


128

zum Ende einer Zinsperiode eine Kapitalbewegung der Höhe Ck ∈ R, k = 0, 1, ..., n stattfindet. Dabei beschreibt C0 den Kontostand zu Beginn der Finanzierung, die Zinsperiode sei m1 Jahr und die Laufzeit dementsprechend n . T =m Die Bestimmungsgleichung f¨ ur den aus dem internen Zinssatz ief f festzule1 genden Aufzinsungsfaktor q = (1 + ief f ) m (vgl. Formeln (5.4),(5.5)) lautet n X

Ck q n−k = 0

(5.8)

k=0

F¨ ur die Lösbarkeit der Gleichung (5.8) kann etwa wieder das Deckungskriterium f¨ ur Finanzierungen oder eine ähnliche Bedingung vorausgesetzt werden. Nicht notwendig ist dann allerdings die Eindeutigkeit des internen Zinssatzes u ¨ber die Vorzeichenregel von Descartes sichergestellt. Im allgemeinen ist die Eindeutigkeit sogar gar nicht gegeben, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 5.4 Auf einem Konto mit unbekanntem Zinssatz erfolgen an aufeinander folgenden Jahren jeweils am Jahresende die folgenden Kontobewegungen (in EU R): C0 = 1000, C1 = −3020, C2 = 2040 Der Kontostand nach der letzten Kontobewegung sei null. Gesucht ist der interne Zinsfuß. Lo ¨sung: Wir lösen die interne Zinsfußgleichung 1000q 2 − 3020q + 2040 = 0 Diese Gleichung hat zwei Lösungen, die beide positiv sind: q1 = 1.02 und q = 2.0 Dies entspricht einem internen Zinsfuß von entweder p = 2% oder p = 100%. (Man beachte dazu, dass das Polynom zwei Vorzeichenwechsel hat.) 2 Interpretieren wir das Konto des Beispiels als Sparkonto (aus der Sicht der Bank, der der Sparer einen Kredit gibt), so liegt die Besonderheit des Beispiels darin, daß das Konto zwischenzeitlich u ¨berzogen wurde. Die Zahlung ¨ am Ende des letzten Jahres wurde so bemessen, daß die Uberziehung ausgeglichen wurde. In der Tat wäre ohne diesen Umstand die Doppeldeutigkeit des internen Zinsfusses nicht eingetreten. Dies soll im Folgenden gezeigt werden.


5.3.1

129

Das Sparkontenprinzip

Dazu betrachten wir die j−te Vermögenswertfunktion gj der Finanzierung zum Ende der Zinsperiode j im Betrachtungszeitraum: gj (q) :=

j X

Ck q j−k ,

f¨ ur j = 0, 1, ..., n

(5.9)

k=0

(Beachte: gn ist die Kontoendstandfunktion mit q = x). Diese gibt, abhängig vom verwendeten (variablen) Aufzinsungsfaktor q, den Kontostand zum Ende der j−ten Periode an. An die Finanzierung stellen wir nun folgende Forderung: (Sparkontenprinzip) Bzgl. eines internen Zinssatzes i∗ := ief f gelte mit q ∗ = 1 + i∗ gj (q ∗ ) ≥ 0 f¨ ur j = 0, 1, ..., n

(5.10)

Unsere Forderung ist also, daß das Konto bzgl. eines internen Zinssatzes zu keinem Zeitpunkt einen negativen Kontostand aufweist . Wir nennen die Finanzierung halbnormal. (Entsprechend ist eine halbnormale Investition definiert.) Es gilt dann insbesondere C0 ≥ 0 und Cn ≤ 0, da das Konto zum Ende des Betrachtungszeitraums ausgeglichen sein soll. Wir setzen oBdA voraus, daß Ck > 0 f¨ ur mindestens ein k und Cn < 0 sowie n ≥ 2 gilt, so daß gn , gn0 , gn00 keine Nullpolynome sind.. Die folgende Beweisf¨ uhrung beruht nun wesentlich auf der Beobachtung, daß die Werte gj (q) , j = 0, ..., n bei der Berechnung des Funktionswertes gn (q) u ugen die Funktio¨ber das Hornerschema auftreten. Nach Konstruktion gen¨ nen gj f¨ ur jedes q dem Rekursionsschema g0 (q) = C0 gj (q) = Cj + q · gj−1 (q) ,

(5.11) f¨ ur j = 1, ..., n,

so daß sich die Funktion gn auch folgendermaßen schreibt: gn (q) = ((... (g0 (q) q + C1 ) q + C2 ) q + ... + Cn−1 ) q + Cn

(5.12)


130

Also stimmen die Werte gj (q) mit den Hornerkoeffizienten bei der Berechnung von gn (q) u ¨berein. Damit beweisen wir Lemma 5.5 (moore) Das Polynom gn besitzt f¨ ur den Fall, daß eine positive Nullstelle q ∗ existiert, keine weitere positive Nullstelle mehr. Beweis: gn besitze die positive Nullstelle q ∗ . Dann schreibt sich gn als gn (q) = (q − q ∗ ) h (q)

(5.13)

wobei sich h u ¨ber das Hornerschema zu einem Polynom (n − 1) − ten Grades berechnet, dessen Koeffizienten gemäß (5.11) die Zahlen cn := g0 (q ∗ ) , cn−1 := g1 (q ∗ ) , ..., c1 := gn−1 (q ∗ ) sind. Da diese nach Voraussetzung alle nicht negativ sind, besitzt h keine positive Nullstelle. Damit besitzt auch gn keine weitere positive Nullstelle. 2 Zu beachten ist, daß unter der Forderung des Sparkontenprinzips auch die Voraussetzung f¨ ur Lemma 1.10 gegeben ist, das die Monotonie des NewtonVerfahrens regelt, wenn dieses rechts von der zu bestimmenden Nullstelle gestartet wird. Dies kann wie folgt eingesehen werden: Zu zeigen ist: gn0 (q) > 0, gn00 (q) > 0 f¨ ur alle q > q ∗ , wobei q ∗ wieder die einzige positive Nullstelle des Polynoms gn sei. Zunächst einmal sind nach Voraussetzung die Funktion h aus (5.13 ) und sämtliche ihrer Ableitungen Funktionen mit nichtnegativen Koeffizienten. Diese Funktionen nehmen also f¨ ur positive q nur positive Werte an, sofern mindestens ein Koeffizient positiv ist. Auf der anderen Seite folgt durch Ableiten von gn in der Form (5.13) gn0 (q) = h (q) + (q − q ∗ ) h0 (q) und gn00 (q) = 2h0 (q) + (q − q ∗ ) h00 (q) Damit gilt auch gn0 (q) ≥ 0 und gn00 (q) ≥ 0 f¨ ur alle q ≥ q ∗ und es sind die Voraussetzungen von Lemma 1.10 bei Anwendung auf die Funktion gn erf¨ ullt. Das Newton-Verfahren konvergiert gegen die Nullstelle q ∗ , sobald es von einem beliebigen q rechts von q ∗ gestartet wird. Bzgl. der Existenz des internen Zinssatzes können (bei unterstelltem Spar¨ kontenprinzip) folgende Uberlegungen angestellt werden:


131

• Gilt gn (1) = C0 + ... + Cn > 0, u ¨bersteigt also die Summe der (unverzinsten) Einzahlungen die der (unverzinsten) Entnahmen, so muß wegen Cn < 0 die Ungleichung gn (0) < 0 gelten. In diesem Fall besitzt gn nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 0 < q ∗ < 1. Da q ∗ = 1+i∗ gilt, hat die Finanzierung demnach eine negative Verzinsung. • Gilt dagegen gn (1) = C0 + ... + Cn < 0, u ¨bersteigen also die (unverzinsten) Entnahmen die (unverzinsten) Einzahlungen, so besitzt gn nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle q ∗ mit 1 < q ∗ , also mit positivem i∗ , denn es gilt nach Voraussetzung limq→∞ gn (q) = ∞. Dazu gen¨ ugt es zu wissen, daß das erste nichtverschwindende Ck positiv ist, was wegen des Sparkontenprinzips automatisch gegeben ist. Dann ist dieses Ck der höchste Koeffizient in gn und bestimmt dessen Verhalten f¨ ur q → ∞. • Wir zeigen nun, daß die Bedingung gn (1) = C0 + ... + Cn < 0 auch notwendig ist f¨ ur die Existenz einer Nullstelle q ∗ > 1. Sei dazu vorausgesetzt, daß q ∗ > 1 eine Nullstelle von gn ist. Dann gilt 0 = gn (q ∗ ) = Cn + q ∗ gn−1 (q ∗ ) Damit gilt auch 0 ≤ gn−1 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−1 (q ∗ ) = −Cn Ebenso folgt aus 0 ≤ gn−1 (q ∗ ) = Cn−1 + q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn sofort 0 ≤ gn−2 (q ∗ ) ≤ q ∗ gn−2 (q ∗ ) ≤ −Cn−1 − Cn ¨ F¨ uhrt man diese Uberlegungen weiter fort, so ergibt sich schließlich 0 ≤ g0 (q ∗ ) ≤ −C1 − ... − Cn Wegen g0 (q ∗ ) = C0 folgt daraus C0 + C1 + ... + Cn ≤ 0

(5.14)

Zu beachten ist, daß bei den obigen Abschätzungen ein < - Zeichen gesetzt werden darf, sobald irgendwann gj (q ∗ ) 6= 0 gilt, j = n, ..., 1. Damit gilt nach unseren generellen Voraussetzungen in (5.14) sogar das < −Zeichen


5.4

132

Vergleich von Investitionen

In diesem Abschnitt soll geklärt werden, wann eine Investition als lohnenswert angesehen wird. Die Frage, wann eine Finanzierung lohnenswert ist , klärt man analog. Beispiel 5.6 Eine typische Investition. Ein Investor besorgt sich zu Beginn des Projektes einen Kapitalbetrag Ka , indem er diesen von einem Investitionskonto abhebt. Auf dem Konto entsteht ein negativer Kontostand, der u ¨ber die Laufzeit der Investition Schuldzinsen erzeugt. Er investiert den geliehenen Betrag (Kapitalbindung), um Erlöse zu erwirtschaften. Die Erträge des Kapitals zahlt er jeweils zum Ende einer Periode auf das Konto ein. Am Ende der ersten Perioden möge ggf. der Kapitalbedarf noch den Erlös u ¨berwiegen, so daß anfänglich weitere Auszahlungen vom Konto notwendig (Phase der Anschaffung und Ingangsetzung). Schließlich mögen die Erlöse die laufenden Kosten u ¨berwiegen, es kommt nur noch zu Einzahlungen auf dem Anlagekonto (Phase der produktiven Nutzung). Am Ende der letzten Periode kommt es zur Kapitalfreisetzung durch Liqudation. Dieser Liquidationserlös wird ebenfalls dem Anlagekonto gutgeschieben. Skizze:

2


5.4.1

133

Rentabilit¨ at einer Investition

Was immer wir unter dem Begriff ”lohnenswert” verstehen wollen, eines ist klar: Eine Investition kann nur lohnenswert sein, wenn ihre (unverzinsten) Einnahmen die (unverzinsten) Ausgaben u ¨bersteigen, wenn also das Deckungskriterium f¨ ur Inverstitionen erf¨ ullt ist. Dies setzen wir im folgenden voraus. Wir betrachten wieder einen Zahlungsstrom aus Zahlungen Ck , k = 0, ..., n, k die zu den Zeitpunkten Tk = m auf einem Konto erfolgen mögen. Der 1 jährliche Aufzinsungsfaktor sei q. Setzen wir x := q m , so ergibt sich der Kontoendstand nach der letzten Zahlung zu Vn =

n X

Ck xn−k

(5.15)

k=0

wenn vereinbarungsgemäß der Kontostand vor der ersten Zahlung null war. Vn heißt der Verm¨ ogenswert der Investition. (vgl. (5.3)) Wir nennen eine Investition rentabel, wenn der Vermögenswert Vn positiv ist. Man beachte: Ist die Investition geschlossen, so ist sie nicht rentabel. Kapitalwertmethode Der Vermögenswert gibt eine Möglichkeit, die Rentabilität einer Investition zu bewerten. Auf der anderen Seite kann die Bewertung von der Laufzeit unabhängiger gemacht werden, wenn man den Kapitalwert (Kapitalbarwert) der Investition n X V0 = Ck x−k k=0

betrachtet, der den Barwert aller Zahlungen zum Zeitpunkt T = 0 zusammenfaßt. Der Kapitalwert ist genau dann positiv, wenn der Vermögenswert positiv ist. Ist der Kapitalwert positiv und damit die Investition rentabel, so wird sie als lohnenswert angesehen.


134

Ist der den Zahlungen zugeordneten Aufzinsungsfaktor bekannt, so kann der Kapitalwert einer Investition u ¨ber (5.15) leicht berechnet und somit die Rentabilität der Investition bewertet und ggf. mit der von anderen Projekten verglichen werden. Die Rentabilität der Investition wird um so höher eingeschätzt, je höher der Kapitalwert liegt. Ist der Aufzinsungsfaktor nicht bekannt, so wird er durch einen fiktiven Kalkulationszinssatz ersetzt, der die durchschnittliche Wiederanlageverzinsung bzw. die durchschnittliche Schuldzinsenbelastung des Investors beschreibt. Methode des internen Zinssatzes Eine alternative Möglichkeit der vergleichenden Bewertung von Investitionsmaßnahmen ergibt sich aus der Effektivverzinsung. Bei dieser Methode wird das Investitionsprojekt als geschlossen unterstellt und sein kleinster interner Zinssatz i∗ berechnet. Da das Deckungskriterium erf¨ ullt ist, gilt i∗ > 1 und da dann ferner f¨ ur die Kontoendsstandfunktion g gilt: g (1) > 0, ist g (x) > 0 1 ur die Kapitalwertfunktion f¨ ur alle 1 ≤ x < x∗ := (1 + i∗ ) m . Damit ist auch f¨ V0 (x) =

n X

Ck x−k

k=0

positiv f¨ ur 1 ≤ x < x∗ , die Investition also rentabel f¨ ur alle (positiven) Jahreszinssätze, die kleiner als der berechnete interne Zinssatz sind. Eine offene Investition wird als lohnenswert angesehen, wenn sein interner Zinssatz i∗ höher als ein vom Investor benannter Kalkulationszinssatz ist. Die Investition wird als umso lohnender angesehen, je höher ihre Rendite, d.h. der interne Zinssatz ist. Dabei ist der Kalkulationszinssatz als Jahreszinssatz anzusehen, zu dem der Investor sein Kapital alternativ (mit der gleichen Zahlungsfolge) anlegen könnte.


5.4.2

135

Vergleichende Bewertung mehrerer Investitionsprojekte

Oft stellt sich nicht nur die Frage, ob eine Investition oder eine Finanzierung lohnenswert ist, sondern es stehen mehrere Möglichkeiten zur Auswahl und der Investor möchte herausfinden, welche f¨ ur ihn die vorteilhaftigste ist. Beispiel 5.7 Herr A. braucht ein neues Auto. Um an sein Traumauto zu kommen hat er mehrere Möglichkeiten, z.B. 1. er handelt beim Neuwagenhändler einen Rabatt f¨ ur Barzahlung aus, leiht sich das am vorhandenen Eigenkapital fehlende Restkapital bei seiner Bank und kauft den Neuwagen. 2. er verzichtet auf einen Rabatt und nimmt ein g¨ unstiges Ratenfinanzierungsangebot des Neuwagenhändlers in Anspruch, wobei er sein Eigenkapital als Anzahlung verwendet. 3. er entscheidet sich, den Wagen zu leasen. Sein Eigenkapital verwendet er dabei als einmalige Barzahlung. Ein Vergleich der obigen Finanzierungsmaßnahmen ist problematisch. Klar, ist, was auch immer Herr A. wählt, • er hat ab sofort sein Traumauto zur Verf¨ ugung • er ist sein Eigenkapital los • er zahlt mehr oder weniger lange monatliche Raten unterschiedlicher Höhe. Von daher hat ein Vergleich der Finanzierungsmaßnahmen gleiche Ausgangsbasis. Verglichen werden könnten die obigen Maßnahmen aber nur dann sinnvoll, wenn sämtliche Ein- und Auszahlungen vollständig bekannt sind. So spielen sicher auch steuerliche Aspekte eine Rolle, die bei der bisherigen Problemformulierung noch gar nicht einbezogen wurden. Auch können unterschiedliche, geldwerte Sonderleistungen ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen, wie sie z.B. bei Leasing-Verträgen auftreten können.


136

Im folgenden beschreiben wir zunächst die o.g. zwei ”klassischen” Methoden zum Vergleich von Investitionen. Anschließend wollen wir die angesprochenen Methoden diskutieren.. Beispiel 5.8 Ein Anleger habe die Möglichkeit, auf verschiedene Weisen 6000 EU R zu investieren. Investiert er, so erhält jährlich nachsch¨ ussig R¨ uckflußraten. Folgende mögliche R¨ uckzahlungsfl¨ usse werden ihm geboten: 1. 6 gleichgroße jährliche Raten zu je 1600 EU R 2. 3 gleiche Raten zu 2850 EU R in den ersten drei Jahren 3. 6 Raten in folgenden Höhen: 3000 EU R, 2200 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R, 1000 EU R 4. Hier werden 6 Jahre lang Zinsen in Höhe von je 750 EU R (nomineller Zinssatz 12, 5%) gezahlt. Zum Schluß erhält er das investierte Kapital von 6000 EU R zur¨ uck. Der Investor hat nun grundsätzlich die Möglichkeit, die erforderlichen 6000 EU R von seinem Tagesgeldkonto, das ihm eine Effektivverzinsung von 5% bringt, abzuziehen und diese zu investieren. Zum anderen hat er die Möglichkeit, sich das erforderliche Kapital selbst zu effektiven 8% zu leihen. Es stellt sich die Frage, ob eine der Anlageformen lohnenswert und welche f¨ ur ihn ggf. an g¨ unstigsten ist. Anwendung der Kapitalwertmethode Bei dieser Methode gilt diejenige Anlagen-Variante als g¨ unstigste, die den höchsten Kapitalwert hat. Beispiel 5.9 Wir berechnen den Kapitalwert der im letzten Beispiel genannten Investitionen, zunächst mit dem Wiederanlage-Zinsfuß von 5% bei Verwendung von Eigenkapital. Vom Anlagekonto werden zunächst die erforderlichen 6000 EU R abgehoben und investiert. Die R¨ uckfl¨ usse werden wieder auf das Konto eingezahlt.

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT 1. −6000 +

137

6 X

1600 · 1.05−k = 2121.1

k=1

2. −6000 + 2850 · 1.05−1 + 2850 · 1.05−2 + 2850 · 1.05−3 = 1761.3 3. −6000 + 3000 · 1.05−1 + 2200 · 1.05−2 +

6 X

1000 · 1.05−k = 2068.9

k=3

4. −6000 +

5 X

750 · 1.05−k + 6750 · 1.056 = 2284.1

k=1

Man erkennt, daß alle vier Investitionen rentabel und die vierte Investitionsvariante die lohnendste ist. Es folgen die erste, die dritte und die zweite Variante auf den Plätzen. Das Willk¨ urliche an der Kapitalwertmethode ist der vorgegebene Kalkulationszinssatz. Dass dieser im obigen Beispiel die Reihenfolge der Bewertung verschiedener Investitionen erheblich beeinflussen kann, zeigt sich, wenn nun mit einem Kalkulationszinsfuß von 8% gerechnet wird. Dies entspricht dem Zinssatz einer Kreditaufnahme u ¨ber das Fremdfinanzierungskonto, es wird also unterstellt, dass die Investition nun fremdfinanziert wird. Die Kapitalwerte berechnen sich entsprechend zu 1396.60, 1344.70, 1503.50, 1248.20. Auch mit Kreditaufnahme sind alle Investitionen rentabel. Die dritte Investition ist nun die lohnendste, gefolgt von der ersten, der zweiten und der vierten. 2


138

Anwendung der Methode des internen Zinssatzes Die Variante mit der höchsten Rendite wird als g¨ unstigste Variante angesehen. Beispiel 5.10 Mit den obigen Daten ergibt sich als interner Zinssatz f¨ ur die einzelnen Varianten: 1. 6

−6000 · q +

6 X

1600 · q 6−k = 0

k=1

Als Lösung ergibt sich q = 1. 1534, also ist 15, 34 der interne Zinsfuß. 2. −6000 · q 6 + 2850 · q 5 + 2850 · q 4 + 2850 · q 3 = 0 Lösung ist q = 1. 2004, also lautet der interne Zinsfuß 20, 04%. 3. 6

5

4

−6000 · q + 3000 · q + 2200 · q +

6 X

1000 · q 6−k = 0

k=3

Es ergibt sich q = 1. 1846, also 18, 46% als interner Zinsfuß. 4. −6000 · q 6 +

5 X

750 · q 6−k + 6750 = 0

k=1

Hier gilt q = 1. 125, damit liegt der interne Zinsfuß bei 12, 50%. Bei dieser Berechnungsmethode zeigt sich also die zweite Anlagevariante als Sieger, gefolgt von der dritten, der ersten und der vierten Variante. Die Reihenfolge ist also verschieden von dem Ergebnis der Kapitalwertmethode. Da in allen vier Investitionen der interne Zinssatz u ¨ber den angegebenen Kalkulationszinssätzen liegt, werden alle als lohnenswert eingestuft. 2


5.4.3

139

Kritik der klassischen Methoden

Wie wir gesehen haben, hängt die Bewertung einer Investition von angenommenen (fiktiven) oder berechneten Kalkulationszinssatz ab, mit dem r¨ uckfließendes Kapital wieder angelegt wird. Während der Kalkulationszinssatz bei der ersten Methode individuell nach Erfahrungswerten der Wiederanlage festgelegt werden kann, wird er bei der zweiten Methode quasi als interner Zinssatz berechnet. Fisher Rate Interessante Einsichten zum Kalkulationszinssatz ergeben sich, wenn der Kapitalwert zweier zu vergleichender Investitionen im funktionalen Zusammenhang mit dem Kalkulationszinssatz betrachtet wird: Betrachten wir die erste und die vierte Investitionsvariante und bei diesen den Kapitalwert in Abhängigkeit von q, so sind die zwei Funktionen f1 (q) = −6000 + f4 (q) = −6000 +

6 X k=1 5 X

1600 · q −k

und

750 · q −k + 6750q −6

k=1

zu vergleichen. In der Tat zeigen beide insofern einen unterschiedlichen Verlauf, als die zweite f¨ ur q = 1 einen höheren Wert annimmt und dann viel steiler abfällt. Dadurch schneiden sich beide Kurven bei q = 1.0647. Diesen Zinsfuß von 6, 47% nennt man Fisher rate. Die Beobachtung ist wie folgt zu interpretieren: F¨ ur Kalkulationszinsf¨ usse unter 6, 47% ist der Kapitalwert der vierten Anlage g¨ unstiger, ab 6, 47% ist dies genau umgekehrt. Dies spiegelt die oben berechneten Ergebnisse der Kapitalwertmethode mit den Kalkulationszinssätzen 5% und 8% richtig wider. Problematik des Kalkulationszinssatzes Bei der Anwendung der Kapitalwertmethode auf das Beispiel sind wir von zwei verschiedenen Kalkulationszinssätzen ausgegangen. Während der erste


140

Zinssatz von 5% die Wiederanlage von Einzahlungen zum Zinssatz des Tagesgeldkontos realistisch bewertet, denn diese Möglichkeit steht dem Investor bei ihm zufließendem Kapital zu Verf¨ ugung, bewertet der zweite Kalkulationszinssatz zur¨ uckfließendes Kapital zum Fremdfinanzierungszins von 8%. Dies unterstellt implizit, dass zufließende Gelder unmittelbar und in voller Höhe zur Reduzierung der Fremdfinanzierungsschuld herangezogen werden können. Das ist unrealistisch, da in der Regel derartige Sondertilgungen ausgeschlossen oder zumindest in der Höhe begrenzt sind. Selbst wenn diese Sondertilgungen möglich wären, so wäre doch bei allen angesprochenen Investitionen eine Tilgung des Fremdfinanzierungschuld vor dem Ende der Investition erreicht. Weitere Kapitalr¨ uckfl¨ usse könnten dann kaum noch mit dem Fremdfinazierungszinssatz bewertet werden. Personenbezogenheit des Kalkulationszinssatzes Welcher Kalkulationszinssatz sinnvoll ist, hängt sicher auch von der Frage ab, ob die Betrachtung von Gläubigerseite oder von Schuldnerseite her angestellt wird . F¨ ur einen Kreditnehmer macht es wenig Sinn, einen Kalkulationszinssatz anzusetzen, der geringer ist als der effektive Zinssatz, weil sein Schuldkonto eben mit dem (hohen) effektiven Zinssatz verzinst wird. F¨ ur ihn ist die Bewertung der Finanzierungen mit der Methode des internen Zinssatzes sinnvoll. F¨ ur den Kreditgeber hingegen ist es völlig offen, ob er zur¨ uckbezahlte Gelder zu einem ähnlich guten Zinssatz wie dem Effektivzinssatz anlegen kann. Er wird also den Kalkulationszinsfuß der Investition eher niedriger ansetzen und so möglicherweise beim Vergleich zweier R¨ uckzahlungsvarianten zu einem anderen Ergebnis kommen als der Kreditnehmer. Der Kreditgeber wird also die Kapitalwertmethode bei relativ geringem Kalkulationszinssatz wegen des Risikos der Wiederanlage bevorzugen. Bemerkung: Generell bleiben bei den bisherigen Betrachtungen Aspekte des Risikos (der zuk¨ unftigen Zinsentwicklung oder der Bonität) unber¨ ucksichtigt. Auch wurden Fragen der Liquidität bzw. der Unsicherheit von prognostizierten Zahlungen nicht angesprochen.


5.4.4

141

Methode der realen Rendite

Die Schwierigkeiten bei den klassischen Vergleichsmethoden f¨ ur Investitionsprojekte entstehen, weil Ungleiches verglichen wird. Wirklich vergleichbar sind Investitionen nur, wenn sie von folgender einfacher Gestalt: Betrachtet wird ein Referenzkonto mit verschiedenen zugeordneten Anlagekonten zu möglicherweise unterschiedlichen Zinssätzen, in die Kapital aus dem Referenzkonto während der betrachteten Laufzeit investiert wird. • Aus dem Referenzkonto steht anfänglich ein fester Eigenkapitalbetrag S zur Verf¨ ugung. • Das Referenzkonto wird u ¨ber einen festen Zeitraum T, der die Laufzeit der Investition darstellt, betrachtet. Aus ihm fließen (jeweils zum Ende einer Periode) Gelder als interne Auszahlungen zu zugeordneten Anlagekonten ab. Genauso fließen Erlöse der Anlagekonten als interne Einzahlungen dem Referenzkonto zu. • Der Kontostand des Referenzkontos am Ende der Laufzeit T gibt den Vermögenswert VT der Investition an. Dabei wird unterstellt, das alle zugeordneten Anlagekonten auf null gestellt sind. Im Falle einer solchen einfachen Investition ist das Vergleichskriterium klar: je höher der Vermögenswert, desto lohnender die Investition! Dabei nennen wir die Investition einfach, weil Kapitalfl¨ usse aus oder zum Referenzkonto, seien es Teilauszahlungen des Anlegebetrags oder R¨ uckfl¨ usse, als interne Angelegenheit der Investition angesehen werden. Aus dem Vermögenswert kann abschließend die reale Rendite der Investitionen berechnet werden. Im Sinne des Begriffs der geschlossenen Investition berechnet man dazu einfach den internen Zinsfuß p des Zahlungsstroms, bei dem zum Zeitpunkt t = 0 die Einzahlung S und am Ende der Laufzeit T die Auszahlung VT erfolgt. Beispiel 5.11 Wir betrachten noch einmal das obige Beispiel. 1. Fall: Der Investor verwendet das Eigenkapital. Referenzkonto ist das Tagesgeldkonto mit seiner Verzinsung von 5%. Aus ihm fließen zum Zeitunkt T = 0 die 6000 EU R ab und werden investiert.


142

Es ergeben sich f¨ ur die einzelnen Varianten die folgenden Vermögenswerte VT und realen Renditen p bei S = 6000 EU R und einem Kalkulationszinsfuß von 5% (Achtung: wir verwenden der einfachheit halber die Rechenergebnisse der Kapitalwertmethode) 1. VT =

6 X

1600 · 1.056−k = (6000 + 2121.10) · 1.056 = 10883.05

k=1

q=

p 6

10883.05/6000 = 1.10433

Die Anlage rentiert sich also real zu 10, 43% 2. VT = (6000 + 1761.3) · 1.056 = 10400.88 p q = 6 10400.88/6000 = 1.0960 Die Anlage rentiert sich real zu 9, 60%. 3. VT = (6000 + 2068.9) · 1.056 = 10813.1 p q = 6 10813.1/6000 = 1.10315 Damit ergibt sich eine reale Rendite von p = 10, 13% 4. VT = (6000 + 2284.1) · 1.056 = 11101.49 p q = 6 11101.49/6000 = 1.1080 Als reale Rendite ergibt sich p = 10, 80%. Der Vergleich mit der Kapitalwertmethode zeigt, dass die Rangreihenfolge der Investitionen die gleiche ist wie bei der Kapitalwertmethode bei einem Kalkulationzins von 5% (warum?) 2. Fall: Die Investition wird fremdfinanziert. In diesem Fall verbleiben die vorhandenen 6000 EU R aus dem Tageskonto als Referenzkonto und werden dort u ¨ber die gesamte Laufzeit mit 5% verzinst.


143

Zusätzlich nimmt der Investor einen Kredit von 6000 EU R zu einem Effektivzins von 8% auf. Diesen zahlt er in 6 nachsch¨ ussigen Annuitäten A von je 1.08 − 1 A = 6000 · 1.086 = 1297. 89 1.086 − 1 aus dem Referenzkonto zur¨ uck. Gleichzeitig fließen die R¨ uckfl¨ usse aus der Investition aus das Referenzkonto. 1. 6

VT = 6000 · 1.05 +

6 X

(1600 − 1297. 89) 1.056−k = 10095. 50

k=1

p q = 6 10095. 50/6000 = 1. 09059 31 Die reale Rendite ergibt sich zu p = 9, 06%. 2. 6

VT = 6000 · 1.05 +

3 X

6−k

2850 · 1.05

−

k=1

q=

p 6

6 X

1297. 89 · 1.056−k = 9613. 27

k=1

9613. 27/6000 = 1. 08173 28

Es ergibt sich eine reale Rendite von p = 8.17%. 3. VT = 6000 · 1.056 + 5

4

3000 · 1.05 + 2200 · 1.05 +

6 X

6−k

1000 · 1.05

k=3

−

6 X

1297. 89 · 1.056−k

k=1

= 10025. 52 q=

p 6 10025. 52/6000 = 1. 08932 95

Hier stellt sich die Rendite real zu p = 8.93%. 4. 6 6 X X 6−k VT = 6000·1.05 + 750·1.05 − 1297. 89·1.056−k +6000 = 10313. 88 6

k=1

k=1

¨ KAPITEL 5. RENTABILITAT q=

144

p 6

10313. 88/6000 = 1. 09449

Die Investition rentiert sich real zu p = 9.45%. Insgesamt zeigt sich in unserem Beispiel die vierte Investition bei Einbringung des Eigenkapitals als diejenige mit der höchsten realen Rendite. Sie ist unter diesem Aspekt die lohnenste Investition! 2

5.5 5.5.1


Festverzinsliche Wertpapiere Festverzinsliche Wertpapiere (Zinsanleihen) sind Kapitalanlagen, bei denen am Anfang die Investition einer bestimmten Summe steht, mit der das Recht auf Einnahme periodischer Zinsen (Kupons) erworben wird und bei denen nach einer festen Laufzeit ein Betrag, der nicht notwendig mit dem investierten Betrag u uckzahlung des investierten Kapitals ¨bereinstimmen muß, zur R¨ auf ein Investitionskonto eingezahlt wird. In Deutschland ist es u ¨blich, daß die Zinsen volljährig bezahlt werden. Das macht die zinstechnische Bearbeitung einfach, da in diesem Fall die US-Methode mit der Berechnungsmethode nach PAngV u ¨bereinstimmt. Wir gehen im folgenden von dem praxisnahen Fall aus, daß die St¨ uckelung des betrachteten festverzinslichen Papiers 100 EU R beträgt und betrachten auch nur den Erwerb eines Papiers im Nominalwert dieses Betrages. Dadurch gibt der investierte Betrag den Kurs des Wertpapieres an. Dieser Kurs kann erheblich vom Nominalwert abweichen, nämlich dann, wenn die mit dem Papier verbundenen Nominalzinsen von den Marktzinsen abweichen. Es ist klar, daß ein veränderter Auszahlungsbetrag bei gleichen Zinserträgen und gleicher R¨ uckzahlung die Rendite der Investition verändert: je niedriger der Kurs des Wertpapiers, desto höher seine Rendite. Im Einzelnen vereinbaren wir folgende Bezeichnungen n = Laufzeit des Papiers in vollen Jahren (n ≥ 2)


145

A = (Ausgabe-)Kurs in EU R B = jährlicher konstanter Zinsertrag C = R¨ uckzahlung, bestehend aus den letzten Zinsen plus dem Einlösekurs Die Rendite des Wertpapiers berechnet sich dann als interner Zinsfuß aus der Gleichung gn (q) = −Aq n + Bq n−1 + ... + Bq + C = 0 (5.16) Dabei wollen wir praxisnah A > 0,

B > 0,

C>0

(5.17)

voraussetzen. Hinweis: Der Kurs eines Wertpapiers mit gebrochener Laufzeit von zunächst t(> 0) Tagen und dann n Jahren wird festgesetzt zu 360 − t 0 0 K =K 1+ (q − 1) 360 wobei K den (fiktiven) Kurs bei einer Laufzeit von (n + 1) Jahren und q 0 den Aufzinsungsfaktor des Marktzinses bezeichne. Da dieser Kurs zu den Zinszahlungstagen ”springt”, bezeichnet man mit 360 − t (q − 1) · 100 360 ¨ den börsennotierten Kurs. Beachte: Ublicherweise werden die Kurse als Prozentangaben notiert! K 00 = K 0 −

Aufgabe 5.12 Zeigen Sie , daß im Falle C = A + B die Gleichung (5.16) die eindeutige positive Lösung q = 1 + B hat. A Aufgabe 5.13 Substituieren Sie in Gleichung (5.16) q durch x := 1q . Zeigen Sie, daß die so entstehende Gleichung h (x) = q −n gn (q) = −A + B

n−1 X

xj + Cxn = 0

j=1

mit dem Newtonverfahren f¨ ur Polynome sicher gelöst werden kann, wenn bei beliebigen x0 > 0 gestartet wird.


146

Aufgabe 5.14 Betrachtet werde die Funktion h aus der letzten Aufgabe. Zeigen Sie: 1. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C > 0, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ > 0. 2. Gilt h (1) = −A + (n − 1) B + C < 0, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ < 0. 3. Gilt A < C − B, so gilt f¨ ur die Rendite i∗
C − B, so gilt f¨ ur die Rendite i∗ >

B A

Wie interpretieren Sie diese Bedingungen und Ergebnisse?

5.5.2

Programmierpraxis

Aufgabe 5.15 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das f¨ ur eine geschlossene halbnormale Finanzierung den Effektivzins berechnet. Gehen sie dabei von m1 −jährlichen, in der Höhe unregelmäßigen Zahlungen aus. Das Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung halbnormal ist. Aufgabe 5.16 Schreiben Sie ein (Excel-) VBA-Programm, das f¨ ur eine offene quasinormale Investition mit bekanntem (Jahres-) Kalkulationszinssatz den Effektivzins berechnet. Gehen sie dabei von m1 −jährlichen, in der Höhe unregelmäßigen Zahlungen aus. Das Programm soll zuvor testen, ob die Finanzierung quasinormal ist. Aufgabe 5.17 Schreiben sie ein (Excel-) VBA-Programm, das mehrere Investitionen mit unterschiedlichen Zahlungsströmen nach der Methode der realen Rendite vergleicht. Unterscheiden Sie dabei zwischen Eigen- und Fremdfinanzierung.

5.5.3

Praktische Aufgaben

Aufgabe 5.18 Berechnen sie die Rendite eines festverzinslichen Wertpapiers, das zu einem Kurs von 93, 24 bei einer Restlaufzeit von 3 Jahren und 211 Tagen und einer Nominalverzinsung von 4, 75% erstanden wurde. (Es wurde zu 100% zur¨ uckbezahlt)


147

Aufgabe 5.19 Welches ist der Kurs und der börsennotierte Kurs eines festverzinslichen Wertpapiers, das mit nominellen Zinsen von 7% ausgestattet ist und eine Laufzeit von 5 Jahren und 2 Monaten hat, wenn der aktuelle Marktzins f¨ ur 3-jährige Papiere bei 6% liegt? (R¨ uckzahlung zu 100%). Aufgabe 5.20 Berechnen Sie den internen Zinsfuß des Fondskontos, bei dem folgende Bewegungen stattfinden: Zu Beginn des ersten Jahres werden 10000 EU R investiert und nach einem halben Jahr noch einmal f¨ ur 5000 EU R nachgekauft. Genau f¨ unf Jahre nach Beginn der Investition werden im monatlichen Rhythmus jeweils Anteile f¨ ur 5000 EU R verkauft. Dies geschieht vier mal so. Schließlich wird letztmalig einen Monat später das Konto leergeräumt. Dabei werden noch einmal 6781, 23 EU R erzielt. Aufgabe 5.21 Berechnen Sie den effektiven Jahreszins f¨ ur folgenden Kredit: Geliehen werden 50000 EU R f¨ ur 8 Jahre. Vereinbart ist eine anfänglich zu zahlende Darlehensgeb¨ uhr von 3%, die der Darlehensumme zugeschlagen wird, ein Zahlungsaufschub von einem halben Jahr, anschließende nachsch¨ ussige monatliche Zahlungen von 750 EU R und eine abschließende Restzahlung von 8000 EU R (einschließlich der letzten Annuität). Aufgabe 5.22 Vergleichen Sie die folgenden Kapitalanlagen nach der Methode der realen Rendite bei jeweils gleichem Kalkulationszinsfuß von 7%, wenn das Kapital fremdfinanziert wird und von 4%, wenn Eigenkapital genutzt wird. Investiert werden sollen 10000 EU R. Es stehen drei Anlagen zur Auswahl: 1. Investiert werden sofort 6000 EU R und ein halbes Jahr später die restlichen 4000 EU R. R¨ uckfl¨ usse ergeben sich wie folgt: • nach viereinhalb Jahren 3000 EU R • nach f¨ unf Jahren 5000 EU R • und nach sechs Jahren 10000 EU R 2. Investiert werden sofort 10000 EU R. Zur¨ uckgezahlt werden 20000 EU R nach sieben Jahren.


148

3. Investiert werden sofort beginnend jeweils 2000 EU R in Abständen von einem viertel Jahr. Zur¨ uckgezahlt werden jeweils 2000 EU R beginnend genau drei Jahre nach der ersten Auszahlung 8 mal viertel jährlich nachsch¨ ussig.

Teil II Versicherungsmathematik

149

Kapitel 6 Grundlagen der Lebensversicherung Zu Beginn des 20. Jahrhunderts hat man unter Versicherungsmathematik nur die Lebensversicherungsmathematik verstanden. Sachversicherungen wurden im wesentlichen ohne Verwendung von Mathematik abgewickelt, Prämien alleine aus der Schadenserfahrung festgesetzt. Heute haben die Erfahrung und die Modelle, die man mit der Lebensversicherungsmathematik gesammelt hat, Einzug auch in andere Versicherungsarten genommen, wie etwa der Krankenversicherung, der Pensionsversicherung und nat¨ urlich der Sachversicherungen wie der KFZ-Versicherung, der Feuerversicherung und der Gebäudeversicherung. Dieser grundlegenden Bedeutung der Lebensversicherungsmathematik tragen wir Rechnung, wenn wir diese als alleinigen Gegenstand unserer Betrachtungen auswählen. Lebensversicherungsmathematik fr¨ uher war hauptsächlich Lebensversicherungstechnik, d.h. die routinemäßige Handhabung von Formelapparaten und Tabellen, bei der die Mathematik zwar das Verständnis des Werkzeugs lieferte, aber soweit in den Hintergrund ger¨ uckt war, daß sie f¨ ur die Praxis nicht mehr nötig war. Grund daf¨ ur war die Notwendigkeit intensiver, langwieriger Rechnungen mit Tabellendaten, so daß f¨ ur individuelle Problemlösungen wenig Zeit blieb. Im Zeitalter der Computer ist das Rechnen derart einfach geworden, daß das ”Wie” der Rechnung gegen¨ uber dem ”Weshalb” in den Hintergrund tritt. Außerdem sind die Grundkenntnisse in Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung heute weiter verbreitet, was eine anspruchsvol-

150

KAPITEL 6. GRUNDLAGEN

151

lere, u ¨ber die reinen Erwartungswerte hinausgehende Versicherungsmathematik auch f¨ ur die Praxis erlaubt. Dies schlägt sich nieder in einer alle Versicherungsprobleme umfassenden Risikotheorie, in der anhand der Verteilung des Gesamtrisikos Zusammenhänge zwischen Sicherheitszuschlägen, Sicherheitsreserven und Ruinwahrscheinlichkeit untersucht werden. Im folgenden betrachten wir zunächst die Rechnungsgrundlagen der Lebens¨ versicherungsmathematik. Anschließend wird das Aquivalenzprinzip, das Prinzip der Gleichheit zwischen Leistung und Gegenleistung in der Versicherung erläutert und erste grundlegende Versicherungsmodelle besprochen

6.1

Rechnungsgrundlagen

Als Rechnungsgrundlagen der Lebensversicherungsmathematik faßt man heute die drei folgenden Bereiche auf: • die Zinsrechnung, hier insbesondere die Rentenrechnung • die Sterbewahrscheinlichkeit, d.h. die statistisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch erfaßte Sterblichkeit bestimmter Bevölkerungsgruppen • die Kosten, also die Kalkulation ausreichender Prämien, die unter ¨ Ber¨ ucksichtigung des Aquivalenzprinzips die Entlöhnung f¨ ur die von den Versicherungsgesellschaften geleistete Arbeit sicherstellen. Wir wollen alle drei Rechnungsgrundlagen näher betrachten.

6.1.1

Der Zins als Rechnungsgrundlage

Lebensversicherungsverträge haben in der Regel eine Laufzeit von vielen Jahren. Deshalb spielt die zinsmäßige Erfassung des gebundenen Kapitals eine große Rolle. Da fortwährende Prämienzahlungen oder Leibrenten periodische Zahlungen darstellen, spielen insbesondere Renten und Annuitäten eine wichtige Rolle. Grundsätzlich können wir dabei die von uns aufgestellten Formeln verwenden, allerdings ist z.B. die Dauer der Zahlungen meist eine rein zufällige Größe.


152

Rechnungsgrundlage bei Lebensversicherungen ist kein zuvor zwischen dem Versicherungsnehmer und der Gesellschaft ausgehandelter individueller Zins, sondern ein allgemeiner Kalkulationszinssatz, der den berechneten Tarifen zugrunde liegt, der im Versicherungsvertragsgesetz vorgeschrieben wird und der gemäß dem Versicherungsaufsichtsgesetz vom Bundesaufsichtsamt f¨ ur das Versicherungswesen (BAV) beaufsichtigt wird. Der Kalkulationszinssatz (der Rechnungszins) darf nicht zu optimistisch angesetzt sein, da Lebensversicherungsvertäge oft Laufzeiten von Jahrzehnten haben und während all dieser Zeit die Erf¨ ullbarkeit der Verträge sichergestellt sein muß. Zum Ausgleich eines niedrig angesetzten Rechnungszinses ¨ kann im Nachhinein durch Uberschußbeteiligung ein gewisser Ausgleich f¨ ur den Versicherungsnehmer geschaffen werden. Im Gebrauch war in der Vergangenheit ein Rechnungszins von 3%; bei Pensionskassen und Sterbekassen von 3, 5%. Im Rahmen der betrieblichen Altersversorgung bilden die Unternehmen R¨ uckstellungen, von denen allgemein angenommen wird, daß sie sich mit 6% verzinsen. Seit 1994 beträgt der Rechnungszins durch die innereuropäische Angleichung mindestens 4%. Bezeichnungen In der Versicherungsmathematik sind gewisse feste Symbole als Bezeichnungen international u ¨blich und anerkannt, die teilweise von den von uns verwendeten Bezeichnungen abweichen. Deswegen sei an dieser Stelle eine Liste dieser Bezeichnungen aufgef¨ uhrt. • p bezeichnet den Zinsfuß • i=

p 100

bezeichnet den Zinssatz

• B gibt den Barwert eines Kapitals an • S gibt den Endwert eines Kapitals wieder • r = 1 + i bezeichnet den Aufzinsungsfaktor (zuvor q) • v=

1 1+i

= r−1 benennt den Abzinsungsfaktor

• d = 1 − v = iv bezeichnet die Diskontrate


153

• n gibt die Anzahl der Jahre an •

1 m

mit m = 2, 4, 12, 360 bezeichnet den Jahresteil

• h nennt die Anzahl der Jahresteile der Länge

1 m

Man beachte die Analogie der Gleichungen r = 1 + i und v = 1 − d. Die folgenden Formeln vereinfachen das Rechnen mit Renten. n

n

= 1−v gibt den Barwert der • a ¨n¯ = 1 + v + v 2 + ... + v n−1 = 1−v 1−v d vorsch¨ ussigen volljährigen Rente der Höhe 1 an n

n

• an¯ = v+v 2 +...+v n = v 1−v = 1−v gibt den Barwert der nachsch¨ ussigen 1−v i volljährigen Rente der Höhe 1 an n

n

−1 = r d−1 gibt den Endwert der • s¨n¯ = rn a ¨n¯ = rn + rn−1 + ... + r = r rr−1 vorsch¨ ussigen volljährigen Rente der Höhe 1 an n

n

−1 = r i−1 gibt den Endwert der • sn¯ = rn an¯ = rn−1 + rn−2 + ... + 1 = rr−1 nachsch¨ ussigen volljährigen Rente der Höhe 1 an

¨ Im Ubrigen gelten die folgenden Identitäten a ¨n¯ = 1 + an−1 sn¯ = 1 + s¨n−1

(6.1) (6.2)

Zur Berechnung der Barwerte bzw. der Endwerte einer volljährigen Rente der Höhe R benutzt man einfach die Formeln B = R¨ an¯ , B = Ran¯

und

S = R¨ sn¯ , S = Rsn¯

(6.3)

Unterj¨ ahrige Renten Bei unterjährigen Renten wird in der Versicherungsmathematik i.a. unterstellt, daß die Zinsverrechnungsintervalle mit den Zahlungsintervallen u ¨ber(m) 1 einstimmen. Daher ergibt sich f¨ ur den Barwert an¯ einer auf m tel des Jahres


154

bezogenen nachsch¨ ussigen Rente u ¨ber n Jahre mit der Rate (m) an¯

1 m

n·m n·m−1 1 X k 1 1 X k m m = v = v vm m k=1 m k=0 n·m

1 1 1−v m 1 1 − vn = vm = 1 m m r m1 − 1 1 − vm i i 1 1 − vn m = 1 = an¯ m r m1 − 1 i rm − 1 (m)

Es ist u ¨blich, an¯

auch mit Hilfe der unterj¨ ahrigen Zinsrate i h 1 (m) m i := m r − 1

(6.4) (6.5)

(6.6)

auszudr¨ ucken. Es gilt nämlich (m)

an¯

1 − vn i(m)

=

(6.7)

(m)

damit ist an¯ durch einen analogen Term beschrieben wie an¯ . Man beachte, daß aus der Beziehung m i(m) r =1+i= 1+ (6.8) m folgt, daß i(m) den linear proportionalen Jahreszins darstellt, der bei m1 −tel jähriger Verzinsung die gleiche Jahresverzinsung liefert wie i und den wir fr¨ uher mit im bezeichnet haben. Es gilt also i(m) < i. Formel (6.7) kann daher als Barwert einer Jahresrente mit dem geringeren Zinssatz i(m) interpretiert werden. Beachte: es ist limm→∞ i(m) = i(∞) die Zinsintensität. Entsprechend ergibt sich f¨ ur die vorsch¨ ussige unterjährige Rente mit der unterj¨ ahrigen Diskontrate i h 1 i h 1 1 (m) m m m =v m r −1 (6.9) d = m 1−v =

i(m) 1

rm

der Barwert (m)

a ¨n¯

=

=

i(m) 1+ d m 1

1 − vm

(6.10)

i(m) m

a ¨n¯ =

1 − vn d(m)

(6.11)


155

und f¨ ur die Endwerte von vorsch¨ ussiger bzw. nachsch¨ ussiger unterjähriger Rente d rn − 1 (m) m s¨n¯ = ¨n¯ = (m) (6.12) 1 s d 1 − vm bzw. (m)

sn¯

=

i m 1

rm − 1

sn¯ =

rn − 1 i(m)

(6.13)

Bemerkung: In der Praxis verwendet man oft eine lineare Näherung f¨ ur diese Formeln. Betrachten wir z.B. den Barwert der vorsch¨ ussigen unterjährigen Rente. Dann gilt zunächst mit v = 1 − d 1 m d 1 − vm 1 (m) m ¨n¯ = a ¨n¯ a ¨n¯ = 1 a 1 m 1 − vm 1 − vm m−1 1 X 1 k = a ¨n¯ vm m k=0 m−1

k 1 X ¨n¯ (1 − d) m = a m k=0

(m)

Bilden wir zu dieser von d abhängigen Funktion a ¨n¯ die lineare Approximation um die Stelle d = 0, so ergibt sich die Näherungsformel m−1 1 X k ≈ a ¨n¯ 1− d m k=0 m 1 m−1 m−1 = a ¨n¯ m − d =a ¨n¯ 1 − d m 2 2m (m) a ¨n¯

(6.14)

Man kann nachweisen, daß die rechte Seite genau der Formel f¨ ur den Bar1 wert der vorsch¨ ussigen unterjährigen Rente mit Rate m entspricht, wenn eine volljährige Zinsverrechnung unterstellt wird und unterjährig einfach verzinst wird (vgl. (3.17)). Entsprechende Näherungsformeln und Interpretationen (m) (m) (m) ¨ können f¨ ur an¯ , s¨n¯ , sn¯ hergeleitet werden.(Ubungsaufgabe) 2


6.1.2

156

Die Sterblichkeit als Rechnungsgrundlage

Leibrenten sind Rentenzahlungen an eine Person, die solange gezahlt werden, wie die Person lebt. Mit dem Tod erlicht der Anspruch auf die Zahlungen. Die Dauer der Rentenzahlung ist also von der Lebensdauer der Person abhängig und diese ist eine zufällige Größe. Von daher spielt die Zufallsvariable T, die die zuk¨ unftige Lebensdauer der Person vom Alter x angibt, in der Versicherungsmathematik eine wesentliche Rolle. Im folgenden wird die Zufallsvariable T zunächst als stetig und bekannt vorausgesetzt. Mit ihrer Ermittlung bzw. Schätzung werden wir uns im nächsten Abschnitt auseinandersetzen. Ihre Verteilung sei G (t) := P (T < t) ,

t ≥ 0,

sie gibt f¨ ur festes t die Wahrscheinlichkeit an, daß die x-jährige Person innerhalb von t Jahren sterben wird. Man beachte: Es gilt G (0) = 0 und G (t) = 1 f¨ ur gen¨ ugend großes t > 0. Die Dichtefunktion zu T schreiben wir g (t) := G0 (t) . Bezeichnungen In der Versicherungsmathematik hat sich nun eine international respektierte feste Symbolik eingeb¨ urgert, an die wir uns im wesentlichen auch halten wollen. So schreibt man f¨ ur die t−jährige Sterbewahrscheinlichkeit des x−Jährigen (6.15) t qx := P (T < t) = G (t) und analog t px

:= P (T ≥ t) = 1 − G (t) = 1 − t qx

(6.16)

¨ f¨ ur die t−jährige Uberlebenswahrscheinlichkeit des x−Jährigen. Man beachte: 0 qx = 0, 0 px = 1. Ferner beschreibt s|t qx

: = P (s ≤ T < s + t) = G (s + t) − G (s) = s+t qx − s qx

(6.17)


157

die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß der x−Jährige die nächsten s Jahre u ¨berlebt und dann innerhalb von t Jahren sterben wird. Es ist nat¨ urlich = P (s ≤ T < s + 0) = P (s ≤ T < s) = P (∅) = 0

s|0 qx

und f¨ ur t ≥ 0 0|t qx

= P (0 ≤ T < 0 + t) = P (T < t) = t qx

Des weiteren schreiben wir f¨ ur den x-Jährigen die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß er weitere t Jahre u unftig) bereits s Jahre ¨berlebt, wenn er (zuk¨ u ¨berlebt hat, mit :

= P (T ≥ s + t |T ≥ s ) =

=

1 − G (s + t) = 1 − G (s)

t px,s

P (T ≥ s ∧ T ≥ s + t) P (T ≥ s)

s+t px

(6.18)

s px

Es gilt 0 px,s = 1. Entsprechend ist t qx,s

:

= P (T < s + t |T ≥ s ) =

=

G (s + t) − G (s) s|t qx = 1 − G (s) s px

P (s ≤ T < s + t) P (T ≥ s) (6.19)

die bedingte Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß der x-Jährige innerhalb der nächsten t Jahre stirbt, wenn er bereits s weitere Jahre u ¨berlebt hat. Es gilt q = 0. Man beachte, daß hierbei wieder 0 x,s t qx,s

= 1 − t px,s

(6.20)

gilt. Produktformeln Weitere n¨ utzliche Identitäten in diesem Zusammenhang sind die folgenden Produktformeln, die sich unmittelbar aus (6.18) und (6.19) ergeben s+t px s|t qx

= =

· t px,s s px · t qx,s s px

(6.21) (6.22)

wobei wir auf 0 px,s = 1 und 0 qx,s = 0 hinweisen, so daß diese Formeln f¨ ur s, t ≥ 0 gelten.


158

Lebenserwartung und Sterbeintensit¨ at Schließlich nennen wir den Erwartungswert E (T ) der Zufallsvariablen T die Lebenserwartung des x-Jährigen und bezeichnen sie mit e◦x . Es gilt also Z ∞ ◦ tg (t) dt. (6.23) ex = 0

¨ uckt werden. Uber e◦x kann auch durch die Verteilungsfunktion von T ausgedr¨ partielle Interation erhält man leicht Z ∞ Z ∞ ◦ ex = (1 − G (t)) dt = (6.24) t px dt 0

0

(Beachte dazu, daß G (t) = 1 f¨ ur gen¨ ugend großes t > 0.) Wir vereinbaren noch, daß der Präfix t in den Symbolen t px , t qx , s|t qx etc. nicht geschrieben wird, wenn er den Wert t = 1 hat. Man schreibt also z.B. s| qx anstelle von s|1 qx f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, daß der x-Jährige die nächsten s Jahre u ¨berleben wird, um dann innerhalb eines Jahres zu sterben. Ein weiterer wichtiger Begriff ist der der Sterbeintensität. Unter der Sterbeintensit¨ at eines x-Jährigen im Alter von x + t verstehen wir den Quotienten g (t) d d 1 µx+t := = − ln (1 − G (t)) = ln (6.25) 1 − G (t) dt dt 1 − G (t) Es gilt also g (t) = t px · µx+t

(6.26)

µx+t verwendet man z.B. um die Wahrscheinlichkeit auszudr¨ ucken, daß der x-Jährige zwischen den Zeitpunkten t und t + 4t sterben wird P (t ≤ T < t + 4t) = G (t + 4t) − G (t) ≈ g (t) 4t = t px · µx+t 4t (6.27) F¨ ur kleine Werte von 4t =: s > 0 hat man damit die Näherungsformel (vgl. (6.22)) t px · s qx,t = G (t + s) − G (t) ≈ t px · µx+t · s so daß auch s qx,t

≈ µx+t · s

(6.28)


159

f¨ ur kleine s > 0 erf¨ ullt ist. Die Lebenserwartung des x-Jährigen kann nun in der Form Z ∞ ◦ t · t px · µx+t dt ex =

(6.29)

0

geschrieben werden. Da wir nach Definition µx+t auch in der Form µx+t = −

d ln (t px ) dt

(6.30)

schreiben können, erhalten wir durch Integration einen alternativen Ausdruck f¨ ur t px R − 0t µx+s ds (6.31) t px = e

6.1.3

Die Kosten als Rechnungsgrundlage

Bei der Prämienkalkulation m¨ ussen die Kosten des Versicherers gesondert ber¨ ucksichtigt werden. Man unterscheidet in der Regel drei Kostenarten. a) Die einmaligen Kosten Diese Kosten enthalten Ausgaben f¨ ur Werbung, zu zahlende Provisionen, Kosten f¨ ur ärztliche Untersuchungen, die Ausstellung der Policen, etc. Man nennt sie die α−Kosten. Sie werden einmalig erhoben und zwar als Bruchteil (etwa α = 0, 035) der Versicherungssumme oder des Kapitalwertes einer Rente oder eines Vielfachen der Jahresrente etc., zuweilen auch abhängig vom Eintrittsalter oder der Beitragszahlungsdauer. b) Die Inkassokosten Zu diesen gehören alle Kosten, die durch die Erhebung der Prämien entstehen. Sie werden β−Kosten genannt und während der gesamten Prämienzahlungsdauer erhoben. Zumeist werden sie als Bruchteil (etwa β = 0, 03) der Bruttojahresprämie angesetzt. c) Die laufenden Verwaltungskosten Diese beinhalten alle inneren Verwaltungskosten des Versicherers, soweit sie nicht zu den bereits genannten Kosten gehören. Eingezogen werden sie wieder als Bruchteil (etwa


160

γ = 0, 0031) der Versicherungssumme, des Rentenbarwertes oder des Rentenjahresbetrags und werden jährlich während der gesamten Versicherungsdauer in Rechnung gestellt. Sie werden γ−Kosten genannt. Einige Versicherer erheben die laufenden Kosten auch als ”St¨ uckkosten”, unabhängig von der Versicherungssumme, dem Eintrittsalter und der Versicherungsdauer f¨ ur jeden Vertrag jährlich in gleicher Höhe (etwa 12 EU R pro Vertrag). Zuweilen werden auf Grund von Erfahrungen begr¨ undete Voraussagen u ¨ber das zu erwartende Storno als vierte Rechnungsgrundlage bezeichnet.

6.2

Sterbewahrscheinlichkeit

Im letzten Abschnitt haben wir die Sterbewahrscheinlichkeit eines x-Jährigen als bekannt vorausgesetzt. Dies ist nat¨ urlich in der Praxis nicht der Fall und man muß sich Gedanken machen, wie man an die Verteilung der Zufallsvariablen T eines beliebigen x-Jährigen kommt. Hilfsmittel dazu liefert die Statistik. Beobachtet man gen¨ ugend viele x-Jährige in ihrem weiteren Lebensverlauf, so kann T empirisch bestimmt werden. Generell setzt diese Vorgehensweise nat¨ urlich gen¨ ugend viel Beobachtungszeit voraus, ist also unpraktikabel und verliert aus sich heraus ihre Aktualität. Einfacher ist es, die Sterblichkeit einer Gesamtheit von Lebenden u ¨ber einen festen kurzen Zeitraum zu beobachten (etwa im Zusammenhang mit Volkszählungen) und diese Daten mit statistischen Methoden gegenzurechnen.

6.2.1

Historische Bemerkungen

¨ Systematische Datenerhebungen u und ”Gestorbene” fin¨ber ”Uberlebende” den wir bereits in der fr¨ uhen Neuzeit. Schon zu Beginn des siebzehnten Jahrhunderts wurden regelmäßig wöchentlich die in London und Umgebung Verstorbenen registriert. Allerdings waren diese Zahlen f¨ ur die Ermittlung einer Sterbewahrscheinlichkeit nur begrenzt brauchbar, da sie die Zu- und Abwanderung der Bevölkerung nicht ber¨ ucksichtigten und auch keine Bezugszahlen f¨ ur den Bevölkerungsstand boten.


161

Seit dem letzten Drittel des vorvorigen Jahrhunderts wurden dann aber systematisch Daten u ¨ber Lebende und Verstorbene in geschlossenen Gemeinschaften erhoben und daraus allgemeine Sterbetafeln entwickelt. Schon fr¨ uhzeitig versuchte man auch, Sterblichkeit analytisch zu erfassen und mittels Sterbegesetzen zu beschreiben. Das erste uns bekannte Sterbegesetz stammt von de Moivre (1724). Dieser postulierte ein oberstes Alter ω (etwa ω = 86) f¨ ur das menschliche Leben und daß T gleichverteilt sei zwischen 0 und ω − x. Dadurch ergab sich g (t) =

1 ω−x

f¨ ur 0 < t < ω − x

als Dichtefunktion f¨ ur T, woraus sich eine Sterblichkeitsintensität von µx+t =

g (t) 1/ (ω − x) 1 = = t 1 − G (t) ω−x−t 1 − ω−x

ableitet. Gompertz (1824) postulierte ein exponentielles Wachstum der Sterblichkeitsintensität µx+t = Bcx+t f¨ ur t > 0 mit Parametern B > 0, c > 1, ein Ansatz, der von Makeham (1860) noch zu µx+t = A + Bcx+t f¨ ur t > 0 mit A > 0 verbessert wurde. Dieser Ansatz kommt ohne das Postulat eines obersten Alters ω aus und gibt das menschliche Altern (zumindest im Bereich zwischen 25 und 80) besser wieder. Aus ihm berechnet man (vgl. (6.31)) t px

x t = e−At−mc (c −1)

mit der Abk¨ urzung m = B/ ln c. Weibull (1939) postulierte, daß die Sterblichkeitsintensität nicht exponentiell, sondern mit fester Potenz anwachse µx+t = k (x + t)n (n > 0, k > 0 Parameter), woraus sich (vgl. (6.31)) t px

k

= e− n+1 ((x+t)

n+1

−xn+1 )


162

ergibt. Heute verwendet man solche analytischen Ansätze höchstens zum ”Glätten von Rohdaten” bei der Erstellung von Sterbetafeln. Der Erstellung dieser Sterbetafeln liegt eine wahrscheinlichkeitstheoretische Modellbildung zugrunde, die wir im folgenden erörtern wollen.

6.2.2

Modellbildung zur Sterbewahrscheinlichkeit

Zunächst einmal zerlegen wir die Zufallsvariable T , damit diese praktisch leichter zu handhaben ist. Indem wir T := [T ] + (T − [T ]) =: K + S bilden, wird T zunächst u ¨ber die diskrete Zufallsvariable K ”ganzzahlig gestutzt” in dem Sinne, daß bei der Lebensdauer eines x-Jährigen nur ganze Jahre gezählt werden. Die stetige Zufallsvariable S nimmt dann Werte zwischen 0 und 1 an. Es gilt f¨ ur t = k + u, k = [t] P (T < t) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u) = P (T < k) + P (K = k ∧ S < u)

(6.32)

Dabei gilt P (K = k) = P (k ≤ T < k + 1) = k px · qx,k =

k| qx

(6.33)

f¨ ur k = 0, 1, .... Modellannahmen Um das Modell einfach zu halten, nehmen wir an, daß S von K unabhängig verteilt ist. Wegen der Unabhängigkeit gilt dann P (K = k ∧ S < u) P (K = k) P (k ≤ T < k + u) k px · u qx,k u qx,k = = = P (k ≤ T < k + 1) qx,k k px · qx,k

P (S < u) = P (S < u |K = k ) =

(6.34)

Ferner nehmen wir an, daß die Zufallsvariable S gleichverteilt ist zwischen 0 und 1.


163

Linearisierung In diesem Fall ist H (u) := P (S < u) = u f¨ ur 0 ≤ u ≤ 1

(6.35)

die Verteilungsfunktion f¨ ur S, sodaß u qx,k

= u · qx,k

(6.36)

gilt f¨ ur alle k ∈ N0 , insbesondere also u qx

= u · qx .

(6.37)

Es gilt dann wegen P (T < k + u) = P (T < k) + P (k ≤ T < k + u) G (t) = t qx =

k+u qx

= k qx + k px · u qx,k = k qx + u · k px · qx,k

(6.38)

insbesondere wegen (6.19) k+1 qx

= k qx + k px · qx,k = k qx +

k| qx

(6.39)

Wir interpretieren dies so, daß die Verteilungsfunktion G (t) zwischen t = k und t = k + 1 durch unsere Forderungen linearisiert wurde! Ferner berechnet man f¨ ur die Sterblichkeitsintensität wegen u px = 1 − u qx = 1 − u · qx zu µx+u = −

d 1 qx ln (u px ) = − (−qx ) = du 1 − u · qx 1 − u · qx

(6.40)

Der Erwartungswert E (K) von K heißt die gestutzte Lebenserwartung ex des x-Jährigen. Es gilt ex =

∞ X

kP (K = k) =

k=1

∞ X

k · k px · qx,k

(6.41)

k=1

bzw. ex =

∞ X

kP (K = k) =

k=1

=

∞ X k=1

∞ X ∞ X

P (K = j)

k=1 j=k

P (K ≥ k) =

∞ X k=1

[1 − P (T < k)] =

∞ X k=1

k px

(6.42)


164

Der Erwartungswert von S ist E (S) = 21 , es gilt also e◦x = E (T ) = E (K) + E (S) = ex +

1 2

(6.43)

F¨ ur die Varianzen gilt entsprechend wegen der vorausgesetzten stochastischen Unabhängigkeit von K und S V ar (T ) = V ar (K) + V ar (S) = V ar (K) +

1 12

(6.44)

Reduktion der Daten Wegen unserer vereinfachenden Modellbildung gen¨ ugt es nun, die Wahrscheinlichkeiten qx,k zu kennen f¨ ur alle k ∈ N0 , um einen vollständigen ¨ Uberblick u ¨ber t qx = G (t) zu haben, was wie folgt eingesehen werden kann: Zunächst gen¨ ugt es auf Grund der Produktformel (6.21), die einjährigen ¨ Uberlebenswahrscheinlichkeiten px,k zu kennen, um die k px und die k qx zur Verf¨ ugung zu haben, denn es gilt k qx = 1 − k px und k px

= px · px,1 · ... · px,k−1

(6.45)

Schließlich gen¨ ugt es, anstelle der px,k die qx,k zu kennen, da gemäß (6.20) px,k = 1 − qx,k gilt. Damit kann man gemäß Formel (6.38) alle t qx berechnen.

6.2.3

Sterbetafeln

Wie können nun die einjährigen bedingten Sterbewahrscheinlichkeiten qx,k f¨ ur x ≥ 0, k ∈ N0 geschätzt werden? Nun, man unterstellt, daß die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines beliebigen x-Jährigen, qx , und die bedingte einjährige Sterbewahrscheinlichkeit qx−k,k eines beliebigen (x − k) −jährigen unter der Bedingung, daß er zunächst k weitere Jahre u ¨berlebt, sich nur unwesentlich unterscheiden.


165

Periodentafeln F¨ ur den praktischen Normalfall werden beide Größen durch dieselben Wert q¯x geschätzt. Das Ergebnis sind Sterbetafeln, die bezogen auf die Gesamtbevölkerung oder eine interessierende Teilgruppe (etwa ”Männer” oder ”Frauen”) f¨ ur jedes Alter x den Wert q¯x angeben. Zu ihrer Ermittlung geht man im Prinzip wie folgt vor: Man beobachtet einen Zeitraum weniger Jahre (etwa 1 bis 3), f¨ ur den man die Fluktation kennt (etwa ”gleich viel Abwanderung wie Zuwanderung”), die Gesamtheit aller Personen der Teilgruppe oder eine Stichprobe und stellt die Anzahl der Lebenden ˆlx im Alter von x Jahren und die Anzahl der dann innerhalb eines Jahres Gestorbenen, dˆx , fest. Eine erste rohe Schätzung f¨ ur die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines x-Jährigen ist dann qˆx =

dˆx ˆlx

(6.46)

Diese Rohdaten, die zumeist noch einen sehr ”gezackten” Graphen ergeben, unterwirft man allerlei ”Glättungsprozessen” (etwa ”Ausgleichung im Sinne des mittleren quadratischen Fehlers, Vergleich mit theoretischen Ansätzen wie dem Sterbegesetz von Gompertz-Makeham, Ausgleichung durch Splines, etc.), bevor man diese geglätteten Werte q¯x in Tabellen, den so genannten Periodentafeln auflistet. Gleichzeitig listet man Lebende lx und Tote dx der Sterbetafel auf, indem man diese aus mit einem fiktiven Anfangsbestand l0 = 100000 von Lebenden u ¨ber die Rekursionsformeln dx = lx · q¯x lx+1 = lx − dx

(6.47)

f¨ ur x = 0, 1, 2, ... berechnet. Zu beachten ist, daß mit den Schätzwerten q¯x weitere wichtige Größen der Verteilung G geschätzt werden können. Z.B. schätzt man zunächst px zu p¯x = 1 − q¯x = 1 −

lx+1 dx = . lx lx

(6.48)

Nach unserer Voraussetzung und (6.20) ist dann auch p¯x,k = p¯x+k =

lx+k+1 lx+k

(6.49)


166

eine Schätzung f¨ ur px,k . Ferner ergibt sich nach der Produktformel (6.21) eine Schätzung f¨ ur k px durch ¯x kp

= p¯x · p¯x,1 · ... · p¯x,k−1 =

lx+1 lx+2 lx+k lx+k · · ... · = . lx lx+1 lx+k−1 lx

(6.50)

Daraus ergibt sich auch eine Schätzung f¨ ur k qx zu ¯x kq

= 1 − k p¯x =

lx − lx+k lx

(6.51)

und schließlich als Schätzung f¨ ur k| qx nach (6.22) ¯x k| q

= k p¯x · q¯x,k = k p¯x · q¯x+k =

lx+k dx+k dx+k · = . lx lx+k lx

(6.52)

Ferner erhält man eine Schätzung f¨ ur die Lebenserwartung e◦x eines x-Jährigen u ¨ber (6.42) und (6.43) zu e◦x

∞ ∞ ∞ 1 X 1 X lx+k 1X 1 ¯x = + lx+k . = + = + kp 2 k=1 2 k=1 lx 2 lx k=1

(6.53)

Selektionstafeln Unter Umständen steht es den Interessen eines Versicherungsunternehmens entgegen, die Größen qx , qx−1,1 , qx−2,2 , ... alle durch ein und denselben Wert q¯x zu schätzen. Da die Versicherer in der Regel Versicherungsverträge erst nach einer Gesundheits¨ uberpr¨ ufung abschließen, ist die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit eines frisch u uften geringer als die eines bereits vor ¨berpr¨ Jahren Versicherten. Daher gilt f¨ ur die Klientel der Versicherer in der Regel qx < qx−1,1 < qx−2,2 < ... F¨ uhrt man Schätzungen f¨ ur diese Größen differenzierter aus und schätzt sie durch Werte q¯x , q¯x−1,1 , q¯x−2,2 , ... (international auch q[x] , q[x−1]+1 , q[x−2]+2 , ... geschrieben), so entstehen so genannte Selektionstafeln, die allerdings auf Grund der Differenzierung wesentlich umfangreicher sind als Periodentafeln. Man beobachtet, daß die Differenzierung nach einer gewissen Anzahl r von Jahren (etwa r = 10) vernachlässigbar wird und dann q¯x−r,r = q¯x−r−1,r+1 = ...


167

gilt. In diesem Fall spricht man von einer Schlußtafel. In der Praxis verwenden die Versicherer nur die einfacheren Periodentafeln, die auch Aggregattafeln heißen. Diese entstehen u.U. auch als gewichtetes Mittel aus Selektionstafeln und Schlußtafeln. Kommutationswerte ¨ Ublicherweise enthalten Sterbetafeln neben den Schätzwerten q¯x f¨ ur die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten und den (fiktiven) Lebendenanzahlen lx und Totenanzahlen dx noch weitere Werte, die f¨ ur die Arbeit mit den genannten Daten rechentechnische Hilfe bieten. Es handelt sich um die so genannten Kommutationswerte Dx , Nx , Cx und Mx . Diese entstehen aus den zuerst genannten Werten durch formale Einbeziehung des Abzinsungsfaktors v. Zu betonen ist, daß es sich um Hilfsgrößen handelt, die keine direkte Interpretation erlauben. Man legt folgendes fest: • Dx := lx · v x als ”diskontierte Lebende des Alters x” P • Nx := ∞ k=0 Dx+k als ”aufsummierte diskontierte Lebende” • Cx := dx · v x+1 als ”diskontierte Tote des Alters x” P • Mx := ∞ k=0 Cx+k als ”aufsummierte diskontierte Tote” Gelegentlich betrachtet man auch P∞ P • Sx := ∞ k=0 Nx+k = k=0 (k + 1) Dx+k als doppelt aufsummierte diskontierte Lebende P P∞ • Rx := ∞ M = x+k k=0 k=0 (k + 1) Cx+k als doppelt aufsummierte diskontierte Tote Es gelten dann die folgenden leicht zu beweisenden Beziehungen zwischen den Kommutationswerten: Cx = vDx − Dx+1 Mx = vNx − Nx+1 = Dx − dNx Rx = Nx − dSx

(6.54)


168

Die Kommutationswerte haben ihren Ursprung in der deterministischen Auffassung der Versicherungsmathematik und sind in einem stochastischen Modell entbehrlich. Sie haben auch deswegen heute an Bedeutung verloren, weil Rechnungen nicht mehr von Hand u uhrt werden ¨ber die Sterbetafeln durchgef¨ m¨ ussen. Wir haben sie trotzdem eingef¨ uhrt, weil sie immer noch in der Literatur der Versicherungsmathematik auftauchen. Außerdem sind sie durchaus brauchbar bei der programmtechnischen Abwicklung der Rechnungen und bei kleineren Rechnungen per Hand.

6.3 6.3.1


Aufgabe 6.1 Zeigen Sie, daß Formel (6.14) äquivalent ist zur Formel (3.22), daß sich also die Berechnung des Barwertes einer vorsch¨ ussigen unterjährigen Rente nach PAngV interpretieren läßt als Ergebnis einer linearen Approximation bei der Berechnung nach der Internationalen Methode. Aufgabe 6.2 Berechnen Sie eine zu (6.14) analoge Formel f¨ ur den Barwert (m) der nachsch¨ ussigen unterjährigen Rente an und zeigen Sie, daß sich diese entsprechend der vorigen Aufgabe interpretieren läßt. Aufgabe 6.3 Bestätigen Sie f¨ ur die ewigen Renten die folgenden Formeln (m ∈ N) 1. vorsch¨ ussige volljährige ewige Rente mit Rate 1 : a ¨∞ ¯ =

1 d

2. nachsch¨ ussige volljährige ewige Rente mit Rate 1 : a∞ ¯ = 3. vorsch¨ ussige unterjährige ewige Rente mit Rate

1 m

4. nachsch¨ ussige unterjährige ewige Rente mit Rate

1 i

(m)

:a ¨∞ ¯ = 1 m

(m)

1 d(m)

: a∞ ¯ =

1 i(m)


169

Zeigen sie ferner die Identitäten 1 d(m) und

=

1 i(m)

1 1 + (m) m i 1

= vm

1 d(m)

und interpretieren sie diese im Zusammenhang mit den o.a. ewigen unterjährigen Renten. Aufgabe 6.4 Man betrachtet auch ewige unterjährige Renten mit steigenden Raten in folgender standardisierter Form mit zwei Parametern m, q ∈ N: Gezahlt wird in Perioden von m1 −tel Jahr, q mal im Jahr wird die Zahlung erhöht, q ein Teiler von m. Begonnen wird die Zahlung mit einer Rate in 1 1 , bei jeder Erhöhung kommt mq hinzu. (Die letze Zahlung im Höhe von mq k k−ten Jahr beträgt also m ). (m) Der Barwert einer solchen vorsch¨ ussigen Rente wird mit I (q) a ¨ ∞ und der ¯ (m) der nachsch¨ ussigen Rente mit I (q) a ∞ bezeichnet. ¯ (m) Man stelle I (q) a ¨ ∞ als (unendliche) Summe ewiger unterjähriger Renten ¯ dar und zeige (m) 1 1 I (q) a ¨ ∞ = (m) (q) ¯ d d und zeige anschließend (m) 1 1 I (q) a ∞ = (m) (q) ¯ i d Aufgabe 6.5 Werden die ewigen steigenden Renten der letzten Aufgabe nach n Jahren abgebrochen (n ganzzahliges Vielfaches von 1q ), so entstehen gewöhnliche Renten, die ”standard increasing annuities”. Ihre Barwerte werden im vorsch¨ ussigen (m) (m) (q) (q) Fall mit I a ¨ n¯ bzw. im nachsch¨ ussigen Fall mit I a n¯ bezeichnet. Diese Renten können u ber Differenzen entsprechender ewiger Renten berech¨ net werden. Man zeige: I

(q)

I

(q)

a ¨

(m)

a

(m)

n ¯

∞ ¯

(q)

a ¨ − nv n = n¯ (m) d (q)

a ¨n¯ − nv n = i(m)


6.3.2

170

Praktische Aufgaben

Bei den folgenden Aufgaben zur Rentenrechnung soll die Zinsbehandlung unterstellt werden, die in der Versicherungsmathematik u ¨blich ist. Es sollen die (auch in den obigen theoretischen Aufgaben) erarbeiteten Rentenbarwerte und Rentenendwerte verwendet werden. Aufgabe 6.6 In welche monatlichen vorsch¨ ussigen Ratenzahlungen kann eine vorsch¨ ussige jährliche Rente von 3000 EU R aufgelöst werden, wenn 5% Verzinsung unterstellt wird? Aufgabe 6.7 Mit welcher nachsch¨ ussigen vierteljährlichen Rate soll eine Schuld von 25000 EU R zur¨ uckgezahlt werden, wenn die Schuld nach 5 Jahren getilgt sein soll und ein Jahreszins von 8% zugrunde gelegt wird? Aufgabe 6.8 Welchen Endwert hat eine vorsch¨ ussige jährliche Rente, welche mit 6000 EU R beginnt, jährlich um 300 EU R steigt und u ¨ber 12 Jahre läuft? Als Zinsfuß soll bei der Rechnung 6, 5% verwendet werden. Aufgabe 6.9 Wie muß man eine nachsch¨ ussige monatliche Ersparnis von anfänglich 150 EU R jährlich steigern, um nach 8 Jahren 20000 EU R gespart zu haben, wenn die Bank eine Jahreszins von 6% gewährt? Aufgabe 6.10 Ein Vater w¨ unscht sich f¨ ur das nach 15 Jahren beginnende Studium seiner Tochter eine 7 Jahren laufende vorsch¨ ussige jährliche Rente von 6000 EU R. Dazu möchte er 15 Jahre lang nachsch¨ ussig monatlich einen festen Betrag sparen, der mit 5% verzinst wird. Wieviel muß er monatlich sparen, wenn der Zins von 5% auch f¨ ur die Auszahlungsphase unterstellt wird?

6.3.3

Programmierpraxis

Aufgabe 6.11 Geben Sie die Ihnen vorliegenden Daten qx der Sterbetafeln ”1981/83” f¨ ur Männer und Frauen in eine Excel-Tabelle ein und ergänzen Sie diese um die Spalten lx , dx , eox , Dx , Nx , Sx , Cx , Mx , Rx . Stellen Sie dabei die Rubriken qx und eox f¨ ur Männer und Frauen als Diagramme einander gegen¨ uber.


171

Aufgabe 6.12 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das f¨ ur eine ”Durchschnittsperson” mit vorgewähltem Alter x die Verteilungsfunktion G und die Dichtefunktion g der Zufallsvariablen T (zuk¨ unftige Lebensdauer) f¨ ur t ≥ 0 tabelliert und in einem Diagramm plottet. Sehen Sie dabei auch vor, daß jeweils zwei verschiedene Verteilungs- oder Dichtefunktionen gegeneinander geplottet werden (z.B. Mann/Frau oder zwei verschiedene Alter)

Kapitel 7 Die gebr¨ auchlichen Versicherungsformen Grundlegendes Prinzip bei der Erstellung von Tarifen einer Versicherung ist ¨ das Prinzip der Gleichheit von Leistung und Gegenleistung (Aquivalenzprinzip). Dieses Prinzip bedeutet nicht, daß im Einzelfall die Leistungen des Versicherten (die gezahlten Prämien) mit der Leistung des Versicherten (der ausgezahlten Versicherungssumme) u ¨bereinstimmen muß. Es bedeutet lediglich, daß der Barwert der zu erwartenden Leistungen mit dem Barwert der zu erwartenden Gegenleistungen u ¨bereinstimmt. Die Leistung des Versicherers besteht in der Regel aus der Auszahlung der Versicherungssumme, dem Kapital. Wir bezeichnen den Barwert des Kapitals (zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses) mit Z. Z ist eine Zufallsvariable, da sein Wert von der Lebensdauer des Versicherten abhängt. Der zu erwartende Barwert der Leistung, E (Z) , wird auch als Nettoeinmalpr¨ amie (NEP) ¨ bezeichnet. Diese stellt nach dem Aquivalenzprinzip den Barbetrag dar, den der Versicherte zum Zeitpunkt des Versicherungsabschlusses als Leistung zu erbringen hat. Zunächst geht es uns darum, die NEP f¨ ur verschiedene Versicherungsformen auszurechnen. Auf ihrer Basis kann der Tarif einer Versicherung (die Staffelung der zu zahlenden Prämien) berechnet werden. Die NEP spiegelt 172

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN

173

allerdings in keiner Weise das vom Versicherer getragene Risiko wieder. Man interssiert sich daher auch f¨ ur die Verteilung der Zufallsvariablen Z, zumindest f¨ ur ihre Varianz.

7.1

Kapitalversicherungen

Wir besprechen drei verschiedene grundlegende Versicherungsformen: die Todesfallversicherungen, die Erlebensfallversicherungen und die gemischten Versicherungen. Bei diesen legen wir immer ein Kapital von 1 (EU R) zugrunde. Dies kann deswegen geschehen, weil die berechneten NEP jeweils nur mit S multipliziert werden m¨ ussen, wenn ein Kapital von S (EU R) zugrundegelegt wird. Dies ist in allen Fällen leicht einzusehen. Dort, wo wir die Berechnung der entsprechenden Varianz ansprechen, ist diese dann immer mit S 2 zu multiplizieren.

7.1.1

Todesfallversicherungen

Bei einer Todesfallversicherung (life insurance) versichtert der x−jährige Versicherungsnehmer sein Leben zugunsten anderer Personen f¨ ur den Fall seines Ablebens innerhalb der Versicherungsdauer. Wir betrachten Versicherungen mit dem Kapital 1 (EU R), welches zum Ende des Jahres zahlbar sei, in dem ¨ der Versicherte stirbt. Uberlebt der Versicherte eine vereinbarte feste Laufzeit der Versicherung, so ist keine Leistung von Seiten des Versicherers fällig. Lebensl¨ angliche Deckung Betrachten wir zunächst eine Todesfallversicherung, deren Laufzeit das gesamte restliche Leben des Versicherten ist (whole life). Der Zeitpunkt der Auszahlung der Versicherungssumme wird durch die Zufallsvariable K beschrieben, er lautet K + 1. Der Barwert der Leistung beträgt also Z = v K+1

(7.1)


174

Z ist eine diskret verteilte Zufallsvariable mit dem Wertebereich Bild (Z) = {v, v 2 , v 3 , ...} . Diese Werte werden mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angenommen (vgl. (6.33)): (7.2) P Z = v k+1 = P (K = k) = k px · qx,k = k| qx f¨ ur k ∈ N0 . Die NEP berechnet sich daher zu Ax := EZ = Ev

K+1

=

∞ X

v

k+1

· k px · qx,k =

k=0

∞ X

v k+1 ·

k| qx

(7.3)

k=0

wobei Ax die international u ur diese NEP ist. ¨bliche Bezeichnung f¨ Geschätzt aus der Sterbetafel ergibt sich A¯x =

∞ X

v

k+1 dx+k

k=0

lx

∞ ∞ v −x X 1 1 X k+1 Mx v dx+k = Cx+k = x Mx = = lx k=0 lx k=0 v lx Dx (7.4)

Die Varianz von Z wird an einfachsten u ¨ber die Formel V ar (Z) = EZ 2 − (EZ)2 berechnet. Da EZ 2 = E

(7.5)

K+1 v2

(7.6)

gilt, läßt sich EZ 2 nach der Formel f¨ ur EZ, wobei man v durch v 2 substituiert, berechnen. Tempor¨ are Deckung Bei dieser ”kurzen” Variante der Todesfallversicherung (term insurance) wird das Kapital genau dann ausbezahlt, wenn der Versicherte während der vereinbarten Laufzeit von n Jahren stirbt und zwar zum Ende des Jahres, in dem der Tod eintritt. Jetzt lautet die Zufallvariable Z K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= (7.7) 0, f¨ ur K = n, n + 1, ... Die NEP wird nun mit |n Ax bezeichnet. Sie ergibt sich zu |n Ax

= E (Z) =

n−1 X k=0

v

k+1

· k px · qx,k =

n−1 X k=0

v k+1 ·

k| qx

(7.8)

KAPITEL 7. VERSICHERUNGSFORMEN und wird u ¨ber

175

n−1 v −x X Mx − Mx+n ¯ Cx+k = |n Ax = lx k=0 Dx

(7.9)

geschätzt. Zu beachten ist, daß ¯ = v · 0| qx = v · qx

|1 Ax

die NEP der einjährigen Todesfallversicherung darstellt. Die Varianz dieser Zufallsvariablen kann wieder berechnet werden u ¨ber Formel (7.5), wobei der Erwartungswert der Variablen K+1 [v 2 ] , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 2 Z = 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... berechnet werden muß, was keine neuen Probleme aufwirft. Aufgeschobene lebenslange Deckung Diese Todesfallversicherung gilt wie die erste lebenslang, die Deckung beginnt aber erst nach einer Karenzzeit von m Jahren. Die diese Variante beschreibende Zufallvariable lautet 0, f¨ ur K = 0, 1, ..., m − 1 Z= K+1 v , f¨ ur K = m, m + 1, m + 2, ... sodaß der Erwartungwert m| Ax =

m| Ax

∞ X

von Z sich zu

v k+1 · k px · qx,k =

k=m

berechnet und zu

∞ X

v k+1 ·

k| qx

(7.10)

k=m

¯ = Mx+m Dx

m| Ax

geschätzt wird. Beachte dazu u ¨ber (7.8) m| Ax

= Ax −|m Ax

Die Varianz berechnet sich wieder u ¨ber Formel (7.5).

(7.11)


176

Aufgeschobene tempor¨ are Deckung Bei diesem Typ beginnt die u ¨ber n Jahren dauernde Deckung erst m Jahre nach Vertragsabschluß. Die NEP wird in diesem Fall mit m|n Ax bezeichnet und es gilt m+n−1 X v k+1 · k| qx . (7.12) m|n Ax = k=m

Der Schätzwert hierzu lautet ¯ = Mx+m − Mx+m+n Dx

(7.13)

m|n Ax

Die Varianz von Z läßt sich genauso einfach berechnen wie in den u ¨brigen Fällen. Man beachte: Offensichtlich gilt Ax =

7.1.2

|m Ax

+

m|n Ax

+

m+n| Ax

(7.14)

Erlebensfallversicherungen

Die Erlebensfallvesicherung (pure endowment) besteht darin, daß der Versicherungsnehmer im Alter von x Jahren die Versicherung f¨ ur eine feste Dauer von n Jahren abschließt. Die Gegenleistung des Versicherers besteht darin, daß der Versicherte nach Ablauf der n Jahren die vereinbarte Summe von 1 (EU R) ausgezahlt erhält, sofern er die vereinbarte Laufzeit u ¨berlebt. Stirbt er vor dem vereinbarten Ende der Versicherung, so hat der Versicherer keine Leistung zu erbringen. Diese Form der Versicherung wird durch die Zufallsvariable 0, f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= n v , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... beschrieben. Die NEP wird mit |n Ex bezeichnet. Sie berechnet sich zu |n Ex

=

∞ X

n

v · k px · qx,k = v

k=n

= v

n

∞ X k=n

n

∞ X k=n

k px

· qx,k = v

n

∞ X

k| qx

k=n

[G (k + 1) − G (k)] = v n [1 − G (n)] = v n n px (7.15)


177

Mit dieser einfachen Formel f¨ ur den Erwartungswert von Z läßt sich dieser auch leicht mit Kommutationswerten schätzen lx+n v x+n Dx+n n lx+n ¯ = = |n Ex = v x lx lx v Dx

(7.16)

Ohne Beweis sei angegeben: V ar (Z) = v 2n · n px · n qx

7.1.3

(7.17)

Gemischte Versicherungen

Die gebräuchlichste Form der Lebensversicherung ist die gemischte Versicherung (endowment), die aus einer temporären Todesfallversicherung und einer gleichzeitigen Erlebensfallversicherung mit jeweils einer Laufzeit von n Jahren besteht. F¨ ur den Versicherten hat dies den Vorteil, daß er innnerhalb von n Jahren sein Todesrisiko abdeckt und trotzdem, sofern er die vereinbarten n Jahre u ¨berlebt, anschließend die volle Versicherungssumme ausgezahlt bekommt. Das Kapital wird zum Ende des Todesjahres ausbezahlt oder aber nach Ablauf von n Jahren. Die Zufallsvariable, die den Barwert dieser Versicherung beschreibt, ist also offensichtlich K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= v n , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Die NEP wird mit Ax,¯n bezeichnet. Sie ist einfach zu berechnen, wenn man beachtet, daß Z = Z1 + Z 2 gilt, wobei wir mit Z1 den Barwert der temporären Todesfallversicherung und mit Z2 den Barwert der Erlebensfallversicherung bezeichnen. Damit ergibt sich sofort Ax,¯n = |n Ax + |n Ex (7.18) und V ar (Z) = V ar (Z1 ) + V ar (Z2 ) + 2Cov (Z1 , Z2 ) Da das Produkt aus Z1 und Z2 immer null ist, gilt Cov (Z1 , Z2 ) = E (Z1 Z2 ) − E (Z1 ) E (Z2 ) = − |n Ax ·

|n Ex


178

woraus sich V ar (Z) = V ar (Z1 ) + V ar (Z2 ) − 2 · |n Ax ·

|n Ex

(7.19)

ergibt. Dieses Ergebnis hat eine interessante Interpretation. Sieht man die Varianz der Zufallsvariablen Z als Maß f¨ ur das Risiko der Versicherungsgesellschaft an, so ist das Risiko des Versicherers bei der gemischten Versicherung kleiner als bei entsprechenden getrennten Versicherungen (mit verschiedenen Personen). Der Schätzwert f¨ ur die NEP ergibt sich f¨ ur die gemischte Versicherung zu A¯x,¯n =

7.1.4

¯ +

|n Ax

¯ = Mx − Mx+n + Dx+n Dx Dx

|n Ex

(7.20)

Direkte Auszahlung

Bei den bisherigen Formen der Todesfallversicherung haben wir der Einfachheit halber angenommen, daß die Auszahlung des Kapitals am Ende des Jahres erfolgt, in dem der Versicherte gestorben ist. Diese Annahme entspricht nicht der Praxis, deshalb wollen wir nun den Fall diskutieren, daß das Kapital unmittelbar zum Zeitpunkt des Todes ausgezahlt wird. Der Todeszeitpunkt des im Alter von x Jahren Versicherten ist x+T, wobei T wieder die (zufällige) Lebensdauer des Versicherten bezeichnet. Lebenslange Deckung Beträgt die Höhe der Kapitals wieder 1 (EU R), so lautet der Barwert des Kapitals zum Zeitpunkt des Vertragsabschlusses Z = vT Da es sich bei T nun um eine stetige Variable handelt, berechnet sich die NEP allgemein nach der Formel Z ∞ Z ∞ t ˜ Ax = v · g (t) dt = v t · t px · µx+t dt (7.21) 0

9


179

wobei wir (6.27) verwendet haben. Diese Größe können wir wegen der Annahme der st¨ uckweisen Linearität der Verteilungsfunktion G konkret ausrechnen. Dazu schreiben wir T = (K + 1) − (1 − S) Wegen der Unabhängigkeit von K und S, und damit auch von (K + 1) und (1 − S) gilt A˜x = E v K+1 · E v −(1−S) = E v K+1 · E r(1−S) Nun gilt E r

(1−S)

Z

1

r

=

1−s

u

· 1ds = −

Z

r du =

1

ru du =

0

1

0

so daß sich

0

Z

1 (r − 1) Ax A˜x = ln r (∞)

ergibt. Beachtet man r = 1 + i = ei

A˜x =

1 (r − 1) , ln r (7.22)

, so ergibt sich auch i

i(∞)

Ax

(7.23)

Wegen i(∞) < i liegt damit Ax leicht unter A˜x , was sehr wohl der Anschauung entspricht, da der Zeitpnkt der Auszahlung des Kapitals bei direkter Auszahlung potentiell fr¨ uher liegt als bei Auszahlung am Jahresende. √ i Bemerkung: Der Term i(∞) wird in der Praxis oft durch 1 + i angenähert. ¨ (mit welcher Berechtigung? Ubungsaufgabe!)

Unterj¨ ahrige Auszahlung Alternativ zu der stetigen Zufallsvariable S kann man approximativ auch die diskrete Zufallsvariable S (m) betrachten mit S (m) = [mS + 1] /m

(7.24)

(f¨ ur vorgegebenes m ∈ N, vorzugsweise m = 2, 4, 12), deren Werte durch Aufrunden der Werte von S auf das nächsthöhere nat¨ urliche Vielfache von


180

1 m

erhalten werden. Die Zufallsvariable T (m) = K + S (m) gibt dann den Zeitpunkt an, der durch Aufrundung des durch x + T angegebenen Todestages auf den nächsten m−ten Teil des Todesjahres entsteht. Da S eine von K unabhängige Gleichverteilung hat, ist auch S (m) von K unabhängige (diskrete) Verteilung. Soll nun also das Kapital einer Todesfallversicherung am Ende des m−ten Teils des Todesjahres ausbezahlt werden, in dem der Tod eingetreten ist (z.B. des Todesmonats), wird also der Barwert Z = v K+S

(m)

betrachtet, so zerlegt man zur Berechnung des Erwartungswertes E (Z) =: (m) Ax wieder K + S (m) = (K + 1) − 1 − S (m) so daß A(m) x

=E v

K+1

·E r

1−S (m)

Man findet analog zum obigen stetigen Fall (ohne Beweis) A(m) = x

i i(m)

Ax

(7.25)

wodurch sich f¨ ur m → ∞ Formel (7.23) bestätigt. Gemischte Versicherung Wir können das Ergebnis der Ber¨ ucksichtigung direkter Auszahlung bei der lebenslangen Todesfallversicherung unmittelbar auf die temporäre Todesfallversicherung u ¨bertragen. Wiederum können wir Z als Produkt zweier voneinander unabhängigen Variablen darstellen T v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= = Z1 · Z2 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... mit

Z1 =

v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ...

und Z2 = r1−S


181

Damit ergibt sich wieder f¨ ur die NEP |n A˜x der temporären Todesfallversicherung bei direkter Auszahlung (vgl. (7.23)) ˜ = E (Z) = E (Z1 ) · E (Z2 ) =

|n Ax

|n Ax

·

i i∞

(7.26)

Da die gemischte Versicherung sich additiv aus der temporäre Todesfallversicherung und der Erlebensfallversicherung zusammensetzt und eine direkte Auszahlung nur die erste Komponente betrifft, ist die NEP hier schnell ermittelt: (vgl. (7.20)) i i ˜ · |n Ax + |n Ex = Ax,¯n + − 1 · |n Ax (7.27) Ax,¯n = i∞ i∞

7.1.5

Ver¨ anderliches Kapital

Bei einigen Versicherungen wird vereinbart, daß das auszuzahlende Kapital in seiner Höhe vom Todeszeitunkt abhängt. So kann z.B. eine Todesfallversicherung abgeschlossen werden, die f¨ ur den Versicherten das Risiko der R¨ uckzahlung eines Darlehens abdecken soll. Wird das Darlehen durch regelmäßige Zahlungen getilgt, so verringert sich die Restschuld von Jahr zu Jahr. Dementsprechend kann die vom Versicherer im Todesfall zu zahlende Versicherungssumme von Jahr zu Jahr abnehmen. Allgemeine Todesfallversicherung Wir betrachten eine lebenslange Todesfallversicherung, bei der zum Ende des j−ten Jahres das Kapital cj , j = 1, 2, ... , ausbezahlt wird, falls der Versicherte in diesem Jahr stirbt. Der Barwert der Versicherungssumme beträgt also Z = cK+1 v K+1 Offensichtlich gilt dann f¨ ur alle h ∈ N E Z

h

=

∞ X k=0

chk+1 · v h(k+1) · k px · qx,k

(7.28)


182

so daß die Berechnung der NEP und der Varianz keine Schwierigkeiten bereitet. Insbesondere gilt also E (Z) =

∞ X

ck+1 · v k+1 · k px · qx,k

(7.29)

k=0

Zu beachten ist, daß die Einzelwahrscheinlichkeiten k px · qx,k nur f¨ ur endlich viele k ∈ N von null verschieden sind. Also können Reihen mit diesen Einzelwahrscheinlichkeiten beliebig umsortiert und linearkombiniert werden. Dadurch kann man E (Z) als Linearkombination von Erwartungswerten von aufgeschobenen lebenslangen Todesfallversicherungen mit jeweils konstantem Kapital darstellen: E (Z) = c1 Ax + (c2 − c1 ) 1| Ax + (c3 − c2 ) 2| Ax + ...

(7.30)

Man beachte, daß der Fall der temporären, auf n Jahre begrenzten Todesfallversicherung aus der lebenslangen hervorgeht, wenn cn+1 = cn+2 = ... = 0 gesetzt wird. In diesem Fall kann man E (Z) = c1 Ax +(c2 − c1 ) 1| Ax +(c3 − c2 ) 2| Ax +...+(cn − cn−1 )

n−1| Ax −cn n| Ax

(7.31) schreiben. In der Praxis kann nat¨ urlich diese Darstellung immer angewendet werden, da n nur gen¨ ugend groß angesetzt werden muß. Genauso gut kann man E (Z) auch als Linearkombination von temporären Todesfallversicherung mit jeweils konstantem Kapital darstellen E (Z) = cn |n Ax + (cn−1 − cn )

|n−1 Ax

+ ... + (c1 − c2 ) |1 Ax

(7.32)

Standardformen Beläuft sich das Kapital im j−ten Jahr auf cj = j, so spricht man vom ”standard increasing” Typ der lebenslangen Todesfallversicherung. Es gilt also, die Variable Z = (K + 1) v K+1 zu betrachten. Die NEP wird in diesem Fall mit (IA)x bezeichnet und hat den Wert ∞ X (IA)x = (k + 1) · v k+1 · k px · qx,k (7.33) k=0


183

Geschätzt werden kann (IA)x u ¨ber die aus (7.30) abgeleitete Beziehung I A¯ x = A¯x + 1| A¯x + 2| A¯x + ... (7.34) Dabei gilt f¨ ur eine entsprechende, auf n Jahre befristete Versicherung (K + 1) v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Deren NEP

|n

(IA)x |n (IA)x =

n−1 X

(k + 1) · v k+1 · k px · qx,k

k=0

wird nach (7.31) zu ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ |n I A x = Ax + 1| Ax + 2| Ax + ... + n−1| Ax − n n| Ax

(7.35)

geschätzt. Im u ¨brigen erhält man aus (7.32) auch die Schätzung ¯ ¯ ¯ ¯ |n I A x = n |n Ax − |n−1 Ax − ... − |1 Ax

(7.36)

Analog spricht man bei einer temporären Todesfallversicherung, bei der das Kapital pro Jahr um eine Einheit abnimmt, von einer Versicherung von ”standard decreasing” Typ. Hier gelten mit (n − K) v K+1 , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= 0, f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... die Beziehungen

|n

(DA)x =

n−1 X

(n − k) · v k+1 · k px · qx,k ,

(7.37)

k=0

wobei

|n

(DA)x die NEP bezeichne und f¨ ur deren Schätzung ¯ ¯ ¯ ¯ |n D A x = |n Ax + |n−1 Ax + ... + |1 Ax

(7.38)


184

Direkte Auszahlung Wir besprechen nun eine Versicherung, bei der das versicherte Kapital eine st¨ uckweise stetige Funktion c (t) , t ≥ 0, der Zeit ist. Dabei soll das Kapital unmittelbar zum Todeszeitpunkt T ausgezahlt werden. Der betrachtete Barwert des Kapitals ist Z = c (T ) v T und die NEP beläuft sich in diesem allgemeinen Fall auf Z ∞ EZ = c (t) · v t · t px · µx+t dt

(7.39)

0

Nutzen wir den st¨ uckweise linearen Verlauf der Verteilung G von T , so ergibt sich folgende Betrachtung EZ = =

∞ X k=0 ∞ X

E (Z |K = k ) P (K = k) E c (k + S) v k+S |K = k P (K = k)

k=0

=

∞ X

E c (k + S) r1−S |K = k v k+1 P (K = k)

k=0

=

∞ X

ck+1 · v k+1 · k px · qx+k

(7.40)

k=0

wobei wir zur Abk¨ urzung ck+1 := E c (k + S) r1−S |K = k

(7.41)

gesetzt haben. Wegen der Unabhängigkeit von K und S können die ck+1 dabei u ¨ber Z 1 ck+1 = c (k + u) r1−u du (7.42) 0

berechnet werden. Konkret betrachten wir den Fall, wo c (t) = [t + 1] , wo also das auszuzahlende Kapital jährlich um eine Einheit anwächst. Bei der lebenslangen Todesfallversicherung gilt dann f¨ ur den Barwert Z = (K + 1) v T = (K + 1) v K+1 r1−S


185

In diesem Fall gilt wieder

i ˜ IA = (IA)x i∞ x

(7.43)

wobei Z ck+1 =

1

[k + 1 + u] r 0

1−u

Z du =

1

(k + 1) r1−u du = (k + 1)

0

und daher

∞ i X ˜ (k + 1) · v k+1 · k px · qx+k IA = i∞ k=0 x

i i∞

(7.44)

gilt.

7.2

Leibrenten

Unter einer Leibrente f¨ ur eine bestimmte Person verstehen wir periodische Zahlungen an die Person, beginnend zu einem vereinbarten Zeitpunkt und endend mit dem Tode der Person oder spätestens nach einer vereinbarten Laufzeit. Der Barwert der Leibrente ist daher eine Zufallsvariable, die wir im folgenden mit Y bezeichnen wollen. Wir interessieren uns f¨ ur das zufällige Verhalten dieser Variablen, insbesondere f¨ ur ihren Erwartungswert E (Y ) , den wir wieder Nettoeinmalprämie (NEP) nennen wollen.

7.2.1

Einfache j¨ ahrliche Leibrenten

Wir besprechen verschiedene Typen einer jährlich gezahlten Leibrente. Vorschu ¨ ssige lebenslange Leibrente Die Höhe der Leibrente betrage jährlich 1 (EU R), die Zahlungen finden vorsch¨ ussig zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K statt. Der Barwert der Rente ist also (7.45) Y = 1 + v + v 2 + ... + v K = a ¨K+1


186

Diese diskrete Zufallvariable hat die Einzelwahrscheinlichkeiten P Y =a ¨k+1 = P (K = k) = k px · qx,k Bezeichnet man die NEP dieser Rente mit a ¨x , so gilt also a ¨x =

∞ X

a ¨k+1 · k px · qx,k

(7.46)

k=0

Auf der anderen Seite können wir Y auch als Linearkombination anderer Zufallsvariablen beschreiben Y =

∞ X

v k · Ik (K)

(7.47)

k=0

wobei wir unter Ik die von K abhängige Zufallsvariable 0, falls K < k Ik (K) = 1, falls K ≥ k

(7.48)

verstehen. Man beachte, daß die Summe in (7.47) in Wirklichkeit endlich ist, da P (K ≥ k) = 0 f¨ ur gen¨ ugend großes k. Der Erwartungswert von Ik ist EIk (K) = 0·P (Ik (K) = 0)+1·P (Ik (K) = 1) = P (Ik (K) = 1) = P (K ≥ k) (7.49) ¨ Uber (7.47) berechnet sich die NEP von Y nun alternativ zu a ¨x =

∞ X

k

v · E (Ik (K)) =

k=0

∞ X

k

v · P (K ≥ k) =

∞ X

k=0

v k · k px

(7.50)

k=0

Vergleicht man (7.50) mit (7.15), so sieht man, daß sich die NEP der betrachteten Leibrente als NEP einer Summe von Erlebensfallversicherungen darstellt! Auf der andereren Seite besteht auch ein Zusammenhang der Leibrente mit der lebenslangen Todesfallversicherung. Ist Z deren Barwert, so gilt Y =a ¨K+1

1 − v K+1 1−Z = = d d

(7.51)


187

¨ Uber diese Darstellung ergibt sich die NEP zu a ¨x =

1 − E (Z) 1 − Ax = d d

(7.52)

Mit dieser Formel läßt sich a ¨x leicht schätzen: (vgl. (7.4)) (¨ a)x =

1−

Mx Dx

d

=

Dx − Mx dNx Nx = = dDx dDx Dx

(7.53)

Im u ¨brigen gilt auch nach (7.50) (vgl. (7.16)) (¨ a)x =

∞ X Dx+k k=0

Dx

∞ Nx 1 X Dx+k = = Dx k=1 Dx

Mit Hilfe von (7.51) läßt sich auch die Varianz von Y bestimmen V ar (Y ) =

V ar (Z) d2

(7.54)

Nachschu ¨ ssige lebenslange Leibrente Erfolgen die Zahlungen bei einer lebenslangen Leibrente nachsch¨ ussig, so erfolgen sie zu den Zeitpunkten 1, 2, ..., K und der Barwert der Rente wird durch die Zufallsvariable Y = v + v 2 + ... + v K = aK¯

(7.55)

Die Zufallsvariablen der vorsch¨ ussigen und der nachsch¨ ussigen Rente unterscheiden sich also nur um die additive Konstante 1. Dementsprechend gilt f¨ ur die NEP ax im vorliegenden Fall ax = a ¨x − 1 woraus sich a ¯x =

Nx − Dx Nx+1 Nx −1= = Dx Dx Dx

(7.56)

(7.57)

als Schätzung ergibt. Ferner gilt wegen Y = aK¯ =

1 − (1 + i) v K+1 1 − vK = i i

(7.58)


188

¨ beim Ubergang zum Erwartungswert ax =

1 − (1 + i) Ax i

(7.59)

woraus wegen Ynachschüssig = Yvorschüssig − 1unmittelbar folgt, dass auch hier Formel (7.54) gilt in der Form (1 + i)2 V ar (Y ) = V ar (Z) i2

(7.60)

Tempor¨ are Leibrenten Wird nun eine Leibrente betrachtet, die auf eine Dauer von n Jahren begrenzt ist, so ändert sich Y gegen¨ uber der bisherigen Version wie folgt ur K = 0, 1, ..., n − 1 a ¨K+1 , f¨ (7.61) Y = a ¨n¯ , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ... Aus (7.46) bzw.(7.47) erhält man sofort f¨ ur den Erwartungswert ¨x |n a

=

n−1 X

a ¨k+1 · k px · qx,k + a ¨n¯

=

k px

von Y

· qx,k

k=n

k=0 n−1 X

∞ X

¨x |n a

a ¨k+1 · k px · qx,k + a ¨n¯ · n px

(7.62)

k=0

(vgl. (7.15)) sowie ¨x |n a

=

n−1 X

v k · k px

k=0

Ferner ergibt sich analog zu (7.51) Y =

1−Z d

wobei Z diesmal allerdings u ¨ber K+1 v , f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 Z= v n , f¨ ur K = n, n + 1, n + 2, ...

(7.63)


189

wie bei der gemischten Versicherung definiert ist. Dadurch folgt ¨x |n a

=

1 − Ax,¯n d

(7.64)

Daraus ergibt sich wieder elegant die Schätzung f¨ ur |n a ¨x Mx −Mx+n Dx+n 1− + Dx Dx Dx − Mx + Mx+n − Dx+n a)x = = |n (¨ d dDx dNx − dNx+n Nx − Nx+n = = (7.65) dDx Dx Bei nachsch¨ ussiger Zahlweise fällt die erste Zahlung weg, daf¨ ur kommt im Falle des Erlebens im Alter von x + n eine weitere Rentenzahlung hinzu. Dementsprechend ergibt sich die NEP in diesem Falle zu |n ax =

n X

v k · k px

k=1

Schätzen können wir diesen Wert durch n X

n

n

lx+k X v x+k lx+k X Dx+k Nx+1 − Nx+n+1 v · = = = (7.66) |n (a)x = x lx v lx Dx Dx k=1 k=1 k=1 k

Aufgeschobene Leibrenten Der Barwert einer um m Jahre aufgeschobenen vorsch¨ ussigen Leibrente ist 0, f¨ ur K = 0, 1, ..., m − 1 Y = (7.67) m m+1 K v +v + ... + v , f¨ ur K = m, m + 1, ... Die NEP

¨x m| a

berechnet sich daraus offensichtlich zu ¨x m| a

=a ¨x −

¨x |m a

(7.68)

Dementsprechend lautet die Schätzung f¨ ur diesen Wert a)x m| (¨

=

Nx Nx − Nx+m Nx+m − = Dx Dx Dx

(7.69)


190

Im nachsch¨ ussigen Fall erfolgt die erste Zahlung ein Jahr später und die letzte im Erlebensfall ebenfalls. dementsprechend lautet die NEP m| ax

= ax −

|m ax

(7.70)

und ihre Schätzung ¯x m| a

7.2.2

Nx+m+1 Dx

=

(7.71)

Unterj¨ ahrige Zahlung

Betrachten wir nun den Fall der vorsch¨ ussigen unterjährigen Zahlungen. Dabei fassen wir zunächst die jeweils zum m−ten Teil eines Jahres ausbezahlte Rente zum Zinssatz i auf als jährlich ausbezahlte Rente zum Zinssatz i(m) . (m) F¨ ur die NEP a ¨x dieser Rente gilt dann nach (7.52) a ¨(m) = x (m)

Nun gilt Ax

=

i A i(m) x

1 d(m)

−

1 d(m)

A(m) x

(7.72)

wegen (7.25) und Ax = 1 − d¨ ax nach (7.52), so daß

a ¨(m) = x

1

−

1

i

(1 − d¨ ax ) d(m) d(m) i(m) i − i(m) d·i ¨x − (m) (m) = (m) (m) a d ·i d ·i = : α (m) a ¨x − β (m)

(7.73)

Bemerkung: In der Praxis rechnet man oft mit Näherungswerten f¨ ur α (m) und β (m) , nämlich α (m) ≈ 1 und β (m) ≈

m−1 2m

(7.74)

(mit welche Berechtigung?)

F¨ ur die vorsch¨ ussige temporäre, auf n Jahre begrenzte unterjährige Leibrente findet man (ohne Beweis) die NEP ¨(m) |n a x

= α (m)

¨x |n a

− β (m) [1 − n px · v n ]

(7.75)


191

und f¨ ur die vorsch¨ ussige um n Jahre aufgeschobene lebenslange unterjährige Leibrente ¨(m) n| a x

7.2.3

= α (m) = α (m)

− β (m) · n px · v n ¨x − β (m) · n Ex n| a ¨x n| a

(7.76)

Allgemeine Leibrenten

Zum Schluß dieses Abschnitts betrachten wir noch allgemeine jährliche Leibrenten, bei denen zu den Zeitpunkten 0, 1, ..., K die Zahlungen R0 , R1 , ..., RK erfolgen. Der Barwert dieser Zahlungen ist Y =

∞ X

v k · Rk · Ik (K)

(7.77)

k=0

(vgl. (7.48)) mit dem Erwartungswert E (Y ) =

∞ X

v k · Rk · k px

(7.78)

k=0

welcher u ¨ber ∞ X

∞

∞

lx+k X v x+k lx+k X Dx+k E (Y ) = v · Rk · = Rk · = Rk · x lx v lx Dx k=0 k=0 k=0 k

(7.79)

(vgl. (7.16)) geschätzt werden kann. In dieser Formel sind alle bisher behandelten volljährigen Leibrenten als Spezialfälle enthalten. Aber auch weitere Falle können behandelt werden: Betrachten wir z.B. eine volljährige vorsch¨ ussige Leibrente mit steigenden Zahlungen R0 = 1, R1 = 2, R2 = 3, ..., so lautet die NEP (I¨ a)x =

∞ X

(k + 1) · v k · k px

(7.80)

k=0

mit der Schätzung (I¨ a)x =

∞ X k=0

(k + 1) ·

Dx+k Sx = Dx Dx

(7.81)


192

Eine entsprechende temporäre Leibrente u ¨ber n Jahre hat die NEP |n

(I¨ a)x =

n−1 X

(k + 1) · v k · k px

(7.82)

k=0

mit der Schätzung a)x = |n (I¨

n−1 X k=0

(k + 1) ·

Sx − Sx+n − nNx+n Dx+k = . Dx Dx

(7.83)

¨ Ubungsaufgaben

7.3 7.3.1

Theoretische Aufgaben

Aufgabe 7.1 Beweisen Sie die folgenden Behauptungen aus der Vorlesung: 1. Der Quotient

i i(∞)

läßt sich u ¨ber

√

1 + i gut annähern.

2. Die Varianz der Erlebensfallversicherung lautet V ar (Z) = v 2n · n px · n qx . 3. Die bei unterjährigen Leibrenten u urzungen lassen sich u ¨blichen Abk¨ ¨ber α (m) ≈ 1 und

β (m) ≈

m−1 2m

gut annähern. Aufgabe 7.2 Berechnen Sie die NEP f¨ ur eine vorsch¨ ussige oder nachsch¨ ussige jährliche Rente mit n-jähriger Rentengarantie. Darunter versteht man eine lebenslange Leibrente, bei der u ¨ber n Jahre die Rentenzahlungen (ggf. an eine andere beg¨ unstigte Person) garantiert werden, auch wenn der Versicherte innerhalb dieser n Jahre stirbt. Nach Ablauf der n Jahre erlicht die Rentenzahlung beim Tode des Versicherten. Geben Sie auch eine Schätzung dieser NEP u ¨ber Sterbetafeln an.


7.3.2

193

Praktische Aufgaben

Bei den folgenden Aufgaben aus der Versicherungspraxis legen Sie bitte die Ihnen bekannten Sterbetafeln ”81/83” zugrunde sowie einen Rechnungszins von 4%. Sofern nicht anders gesagt, berechnen Sie Versicherungen, deren Kapital am Ende des Todesjahres ausgezahlt wird. Ferner werden in der Regel noch keine Kosten ber¨ ucksichtigt. Aufgabe 7.3 Ermitteln Sie die Nettoeinmalprämie der folgenden Nachfragen: 1. Herr A. (40 Jahre) w¨ unscht eine 30-jährige Risikolebensversicherung (temporäre Todesfallversicherung) u ¨ber 1000000 EU R. 2. Frau B. (32 Jahre) möchte eine Kapitallebensversicherung (gemischte Versicherung) auf das Endalter 85 u ¨ber 500000 EU R. 3. Herr C. (48 Jahre) fragt nach einer lebenslangen Todesfallversicherung u ¨ber 200000 EU R mit direkter Auszahlung Aufgabe 7.4 Beantworten Sie die folgenden Fragen: 1. Frau D. (52 Jahre) hat 16000 EU R. Welche Summe einer Risikolebensversicherung u ¨ber 23 Jahre kann sie damit erzielen? 2. Herr E. (35 Jahre) möchte f¨ ur ihm zur Verf¨ ugung stehende 40000 EU R eine Kapitallebensversicherung auf das Endalter 65 Jahre abschließen. Welche Versicherungssumme kann er damit erhalten? 3. Frau F. (46 Jahre) möchte 5000 EU R f¨ ur den Todesfall anlegen, um ihren Erben die Begräbniskosten zu ersparen. Welche Versicherungssumme ist möglich? (lebenslange Todesfallversicherung mit direkter Auszahlung). Aufgabe 7.5 Herr G. (51 Jahre) trifft mit seiner Bank, die auch Versicherungsgeschäfte betreibt, folgende Vereinbarung. Er spart monatlich 200 EU R u ¨ber einen auf 20 Jahre abgeschlossenen Sparvertrag mit 6% Verzinsung. Die Sparverpflichtung erlicht, wenn der Sparer stirbt.


194

Gleichzeitig schließt er eine Risikolebensversicherung ab, die im Falle seines Ablebens sicherstellt, daß das Sparziel f¨ ur seine Erben erreicht wird. Dies soll wie folgt geschehen: das Kapital der Risikoversicherung soll jährlich fallen so, daß die bisher gesparte Summe und die Versicherungssumme zusammen zum Zeitpunkt der Auszahlung der Versicherungssumme das Sparziel (Vermögenswert des Sparvertrages nach 20 Jahren) abdecken. Berechnen Sie die Nettoeinmalprämie der Versicherung und die Rendite der Kombination aus Sparvertrag und Versicherung, wenn der Versicherte 1. nach 10 Jahren stirbt 2. die 20 Jahre u ¨berlebt. Unterstellen Sie dabei, daß die Nettoeinmalprämie sofort mit einem Kostenaufschlag von 4% der anfänglichen Versicherungssumme gezahlt wird. Aufgabe 7.6 Manche Bausparkassen verpflichten den Bausparer zum Abschluß einer Risikolebensversicherung, sobald sie ein Darlehen gewähren. Frau H. (38 Jahre) hat von ihrer Bausparkasse ein Darlehen von 150000 EU R erhalten, das mit einer Risikolebensversicherung abgesichert werden soll. Dies soll folgendermaßen geschehen: Die Versicherungssumme soll jährlich fallen und zwar auf die Höhe der auf volle EURO gerundeten Restschuld aus dem Darlehen zum Anfang des jeweiligen Jahres. Das Darlehen werde mit monatliche Annuitäten von 1400 EU R getilgt bei jährlichen Schuldzinsen von 4, 5%. Berechnen Sie die Höhe der Nettoeinmalprämie der Risikoversicherung. Berechnen Sie auch den Kapitalwert der zu zahlenden Nettoeinmalprämie f¨ ur den Fall, daß die Risikoversicherung als (konstante) Deckungssumme die geschuldeten 150000 EU R und eine Laufzeit hat, die der auf volle Jahre abgerundeten Tilgungszeit des Darlehens entspricht. Aufgabe 7.7 Erstellen Sie ein Angebot zu folgenden Anfragen, indem Sie jeweils die Nettoeinmalprämien berechnen: 1. Herr I. (62 Jahre) w¨ unscht eine jährliche Leibrente von 30000 EU R, die sofort beginnt und jährlich um 3% der Anfangsrente steigt.


195

2. Herr J. (64 Jahre) w¨ unscht die gleiche Rente wie Herr K., allerdings mit mit 5-jähriger Rentengarantie. 3. Frau K. (73 Jahre) w¨ unscht eine sofort beginnende monatliche Leibrente u ¨ber 2000 EU R. Diese Rente soll in jedem Jahr um 100 EU R steigen. Aufgabe 7.8 Frau L. (53 Jahre) hat 600000 EU R geerbt. Sie ist alleinstehend und möchte diese Erbschaft in eine zu Ihrem 60. Geburtstag beginnende jährliche Leibrente umwandeln. Welche Rente kann sie erwarten? Vergleichen Sie diese Leibrente mit einem Auszahlungsplan aus einem Rentenfonds, der sich jährlich zu 5, 8% verzinst, wenn die 600000 EU R sofort in den Fonds eingezahlt und die gleichen Rentenleistungen wie bei der Leibrente erbracht werden, solange noch Geld zur Verf¨ ugung steht. Aufgabe 7.9 Welche Rente erhält Frau M. (36 Jahre) , wenn sie heute 250000 EU R in eine Rentenversicherung einbezahlt und mit dem 61-ten Lebensjahr eine jährliche Leibrente mit Rentengarantie u ¨ber 10 Jahre und gleichzeitig eine Todesfallversicherung u ¨ber 250000 EU R bis zu ihrem 60. Geburtstag w¨ unscht.?

7.3.3

Programmierpraxis

Aufgabe 7.10 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das zu vorgegebener Laufzeit (n = 100 bei lebenslang) f¨ ur jedes Startalter x (spaltenweise) die ¯ ¯ ¯ a)x , |n (a)x auswirft und in einem Diagramm darWerte |n Ax , |n Ex , Ax,n , |n (¨ stellt. Aufgabe 7.11 Schreiben Sie ein (Excel-) Programm, das Todesfallversicherungen mit prozentualer jährlicher Steigerung der Versicherungssumme bzw. Leibrenten mit jährlich prozentual steigenden Raten rechnet.

Kapitel 8 Periodisch zu zahlende Pr¨ amien In der Praxis besteht die Leistung des Versicherten in der Regel nicht in der Zahlung einer Einmalprämie, sondern in der Zahlung von mehreren gleichbleibenden Prämien, ggf. bis zu seinem Tode oder begrenzt auf höchstens t Prämien, t ∈ N. Dabei soll der Erwartungswert des Barwertes der insgesamt gezahlten Prämien mit dem Erwartungswert der berechneten Einmalprämie u ¨bereinstimmen. Wir definieren den totalen Verlust L des Versicherers als die Differenz zwischen dem Barwert der Leistungen des Versicherers und dem Barwert der gezahlten Prämien. L ist eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert null sein sollte, wenn die Leistung des Versicherers und die des Versicherten äquivalent sein sollen. Wir sprechen also von Nettoprämien, wenn E (L) = 0

(8.1)

gilt. Diese werden grundsätzlich als vorsch¨ ussige Zahlungen angenommen. Nat¨ urlich erwartet niemand vom Versicherer, Versicherungen zu Nettoprämien und damit ohne Ber¨ ucksichtigung von Erstellungs- und Bearbeitungskosten abzuschließen. Daher werden Nettoprämien mit einem Aufschlag versehen, der die beim Versicherer entstehenden Kosten abdecken soll. Die so entehenden Prämien nennt man ausreichende Prämien. Ggf. kommen zu diesen Prämien noch Risikoaufschläge hinzu, wobei wir dann von Bruttoprämien sprechen.

196

¨ KAPITEL 8. PRAMIEN

8.1

197

Nettopr¨ amien

Im folgenden betrachten wir wieder verschiedene Versicherungen und berechnen volljährige oder unterjährige Nettoprämien. Dabei können wir bei der Erfassung der Zufallsvariablen, die die Prämienzahlungen beschreiben, welche in Ihrer Dauer durch die Lebensdauer des Versicherten bestimmt sind, auf die ¨ Uberlegungen zu Leibrenten zur¨ uckgreifen, denn die Prämienzahlungen sind in ihrer Struktur Rentenzahlungen an den Versicherer. Durch Kombination der verschiedenen Versicherungsarten mit den verschiedenen Rentenarten entstehen nat¨ urlich sehr viele Versicherungstypen, die wir hier nur exemplarisch behandeln können.

8.1.1

Todesfallversicherungen

Lebenslange Deckung Wir betrachten zunächst wieder die die Todesfallversicherung des x−Jährigen mit lebenslanger Deckung, bei der das versicherte Kapital von 1 (EU R) am Ende des Todesjahres auszuzahlen ist. Die Finanzierung dieser Auszahlung geschehe u ¨ber volljährige lebenslange Nettoprämien (P T )x . Der Verlust des Versicherers beträgt daher L = v K+1 − (P T )x · a ¨K+1

(8.2)

Setzen wir E (L) = 0, so ergibt sich f¨ ur die vom Versicherten jährlich vorsch¨ ussig zu zahlende Nettoprämie Ax (P T )x = (8.3) a ¨x Diese Prämie wird geschätzt zu (P T )x =

Mx Nx

(8.4)

Im u ¨x die Identität ¨brigen ergibt sich aus (7.52) bei Teilung durch a (P T )x =

1 −d a ¨x

(8.5)


198

Zur Berechnung der Varianz von L stellen wir a ¨K+1 dar u ¨ber die geometrische Summenformel 1 − v K+1 P Tx P Tx K+1 = 1+ v K+1 − L=v − (P T )x d d d Gehen wir jetzt zur Varianz u ¨ber, so ergibt sich wegen der Konstanz von (P T )x d

V ar (L) =

P Tx 1+ d

2

V ar v K+1 .

(8.6)

Dagegen beträgt der Verlust des Versicherers bei einer Nettoeinmalprämie von Ax L = v K+1 − Ax so daß sich die Varianz zu V ar (L) = V ar v K+1

Interpretieren wir wieder die Varianz des Verlustes als Verlustrisiko f¨ ur den Versicherer, so liegt also das Risiko bei jährlicher Prämienzahlung deutlich höher als bei einer Einmalprämie, was nat¨ urlich unmittelbar einsichtig ist. Begrenzte Pr¨ amienzahlung Wird bei unverändert lebenslanger Deckung die Zahlungsdauer der Prämien auf n Jahre begrenzt, so sieht die Berechnung der Nettoprämie (P T )x|n wie folgt aus: K+1 − (P T )x|n · a ¨K+1 v f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 L= (8.7) K+1 v − (P T )x|n · a ¨n f¨ ur K = n, n + 1, ... so daß

Ax ¨x |n a

(8.8)

Mx Nx − Nx+n

(8.9)

(P T )x|n = welches zu (P T )x|n = geschätzt wird.


199

Tempor¨ are Deckung Alternativ zur lebenslangen Deckung betrachten wir die temporäre Deckung, bei der die Todesfallversicherung und auch die Prämienzahlung |n (P T )x auf n Jahre begrenzt ist. In diesem Fall ist der Verlust des Versicherers K+1 v − |n (P T )x · a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 L= (8.10) f¨ ur K = n, n + 1, ... 0 − |n (P T )x · a ¨n (vgl. (7.7) und (7.61)). Offensichtlich ergibt sich dann |n

(P T )x =

welches zu |n (P T )x

=

|n Ax

¨x |n a

Mx − Mx+n Nx − Nx+n

(8.11)

(8.12)

geschätzt werden kann.

8.1.2

Erlebensfallversicherung

Wir betrachten die reine Erlebensfallversicherung und die gemischte Versicherung. Reiner Erlebensfall Eine Erlebensfallversicherung mit Kapital 1 (EU R) und einer Deckungs- und Prämienzahldauer von n Jahren verursacht dem Versicherer einen Verlust von 0 − |n (P E)x · a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 . (8.13) L= f¨ ur K = n, n + 1, ... v n − |n (P E)x · a ¨n wobei |n (P E)x die zu zahlende Prämie bezeichne. Daraus berechnet sich die Prämie zu |n Ex . (8.14) |n (P E)x = ¨x |n a Geschätzt werden kann sie aus der Sterbetafel zu |n (P E)x

=

Dx+n Nx − Nx+n

(8.15)


200

Gemischte Versicherung Wird diese Versicherung mit einer Todesfallversicherung verbunden, liegt also eine gemischte Versicherung vor, bei der die Zahlungsdauer auf n Jahre begrenzt ist, so ergibt sich eine Nettoprämie von |n

Ax,n ¨x |n a

(8.16)

Mx − Mx+n + Dx+n Nx − Nx+n

(8.17)

(P G)x =

mit der Schätzung |n (P G)x

=

Im u ¨brigen gelten hier die Formeln 1 =d+ ¨x |n a

|n

(P G)x

(8.18)

die sich ergibt, wenn (7.64) durch |n a ¨x geteilt wird und |n

(P G)x =

|n

(P T )x +

|n

(P E)x

(8.19)

wie u ¨ber (7.18) eingesehen werden kann.

8.1.3

Besondere Versicherungen

Es seien nun noch drei (willk¨ urlich ausgewählte) spezielle Versicherungen genannt, um die Spannbreite der Möglichkeiten zu illustrieren. Altersrente Eine um n Jahre aufgeschobene Leibrente mit auf n Jahre zu zahlender Prämie n| (P L)x und jährlicher Rate 1 (EU R) wird auch als Altersrente bezeichnet. F¨ ur sie berechnet man nach dem bekannten Muster die jährliche Nettoprämie (vgl. (7.68)) ¨x n| a (8.20) n| (P L)x = ¨x |n a geschätzt zu n| (P L)x

=

Nx+n Nx − Nx+n

(8.21)


201

Ausbildungsversicherung Wird ein Vertrag abgeschlossen, der eine Auszahlung der Summe nach n Jahren vorsieht, unabhängig davon ob der Versicherungsnehmer innerhalb der n Jahre stirbt oder nicht, so liegt in der Regel eine Ausbildungs- oder Aussteuerversicherung vor. Erst durch die Prämienzahlung wird allerdings der Vertrag zu einem Versicherungsvertrag, da die Prämienleistungen des Versicherten aufhören, falls er vorzeitig stirbt (und dennoch das Kapital nach n Jahren ausbezahlt werden muß). Der Verlust der Versicherung bei einem Kapital von 1 beläuft sich auf n f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 v − |n (P A)x · a ¨K+1 (8.22) L= n f¨ ur K = n, n + 1, ... v − |n (P A)x · a ¨n woraus sich eine jährliche Prämie |n

|n

(P A)x von vn ¨x |n a

(8.23)

v n Dx Nx − Nx+n

(8.24)

(P A)x =

berechnet. Diese wird geschätzt durch |n (P A)x

=

Pr¨ amienru ahr ¨ ckgew¨ Eine n jährige Erlebensfallversicherung auf das Kapital 1 sehe vor, daß die bezahlten Prämien unverzinst zur¨ uckerstattet werden, wenn der Versicherte vor Ablauf der Versicherung stirbt. Dabei mögen sich die effektiv zu zahlenden Brutto-Prämien (siehe nächster Abschnitt) auf das 1.4-fache der Nettoprämien belaufen. Der Verlust des Versicherers beträgt, wenn wir die Jahresnettoprämie diesmal einfach mit P bezeichnen 1.4 (K + 1) P v K+1 − P a ¨K+1 f¨ ur K = 0, 1, ..., n − 1 (8.25) L= n v − Pa ¨n f¨ ur K = n, n + 1, ... Daraus berechnet man den Erwartungswert E (L) zu E (L) = 1.4P ·

|n

(IA)x +

|n Ex

−P ·

¨x |n a


202

Setzt man diesen gleich null, so kann die Nettoprämie P ermittelt werden: P =

8.1.4

|n Ex

¨x |n a

− 1.4 ·

|n

(IA)x

(8.26)

Unterj¨ ahrige Pr¨ amienzahlung

Falls die Nettoprämien nicht volljährig, sondern unterjährig in m gleichen Raten gezahlt werden sollen, so bezeichnet man die insgesamt pro Jahr zu zahlenden Prämien zum Kapital 1 mit den gleichen Bezeichnern wie die volljährigen, nur mit einem Superskript (m) versehen. Man erhält dann völlig analoge Formeln f¨ ur die Prämien. Ohne Beweis seien einige davon angegeben. • Todesfallversicherung 1. lebenslange Deckung = (P T )(m) x

Ax (m)

(8.27)

a ¨x

2. temporäre Deckung |n

= (P T )(m) x

|n Ax (m) ¨x |n a

(8.28)

|n

(P E)(m) = x

|n Ex (m) ¨x |n a

(8.29)

• Erlebensfall 1. reiner Erlebensfall

2. gemischte Versicherung |n

(P G)(m) = x

Ax,n (m) ¨x |n a

(8.30)

Beachte: Die pro Periode ” m1 Jahr” zu zahlende Prämie (z.B. die Monatsprämie bei m = 12) ist der m−te Teil der oben angegebenen Prämien mit dem oberen Indes (m) .


8.2

203

Bruttopr¨ amien

Die vom Versicherten praktisch zu zahlenden Prämien setzen sich zusammen aus den Nettoprämien, Kostenzuschlägen und Risikozuschlägen. Kommen zu den Nettoprämien nur die Kostenaufschläge zum Ausgleich der dem Versicherer entstehenden Vertriebs- und Verwaltungskosten hinzu, so spricht man von ausreichenden Prämien. Werden noch besondere Risikozuschläge ber¨ ucksichtigt, so spricht man von Bruttoprämien. Wir besprechen diese Zuschläge f¨ ur einige ausgesuchte Versicherungstypen.

8.2.1

Ausreichende Einmalpr¨ amien

Zunächst betrachten wir Zuschläge zu den Nettoeinmalprämien. Die Kostenaufschläge werden hier je nach Kostenart bzw. Versicherungstyp unterschiedlich angesetzt. Altersrente Bei der um n Jahre aufgeschobenen Leibrente mit Jahresrate 1 setzt man f¨ ur die ausreichende NEP n| a äx an: äx n| a

=

¨x n| a

+α·

äx n| a

+β·

äx n| a

+γ·a ¨x

(8.31)

d.h. man setzt die α− und β−Kosten proportional zur ausreichenden NEP und die γ−Kosten proportional zu Kosten 1 während der gesamten Laufzeit, so daß diese den Barwert der gesamt anfallenden Verwaltungskosten darstellen. Daraus ermittelt man äx n| a

=

+γ·a ¨x 1−α−β

¨x n| a

(8.32)

Gemischte Versicherung F¨ ur diesen Versicherungstyp (Kapital 1, Dauer n Jahre) berechnet man eine ausreichende NEP Aax,n aus dem Ansatz Aax,n = Ax,n + α + β · Aax,n + γ ·

¨x |n a

(8.33)


204

wobei die α−Kosten jetzt proportional der Versicherungssumme 1 angesetzt werden und die γ−Kosten nur f¨ ur n Jahre ber¨ ucksichtigt werden. Damit gilt Ax,n + α + γ · |n a ¨x Aax,n = (8.34) 1−β Ersetzt man im u ¨brigen hierin (nach (7.64)) 1 − Ax,n ¨x = (8.35) |n a d so erhält man d−γ αd + γ Aax,n = Ax,n + (8.36) d (1 − β) d (1 − β) als vereinfachende Formel f¨ ur die Berechnung der ausreichenden Einmalprämie. Tempor¨ are Todesfallversicherung Bei der n Jahre dauernden Todesfallversicherung mit Kapital 1 ermittelt man die ausreichende NEP n| Aax aus dem Ansatz a a ¨x (8.37) n| Ax = n| Ax + α · 1 − |n Ex + β · n| Ax + γ · |n a Hier werden also die α−Kosten proportional zu der um die NEP der n−jährigen Erlebensfallversicherung reduzierten Versicherungssumme 1 angesetzt. Dies liefert A + α · 1 − E + γ · |n a ¨x x x n| |n a (8.38) n| Ax = 1−β

8.2.2

Ausreichende Jahrespr¨ amien

So wie die Nettojahresprämien aus den NEP einfach hervorgehen, indem man diese durch |n a ¨x dividiert (bei n jähriger Prämienzahlung), so erhält man auch die auseichenden Jahresprämien aus den ausreichenden Einmalprämien durch Division durch |n a ¨x . Dem liegt im Prinzip der Ansatz zugrunde, daß so zu den Nettojahresprämien Aufschläge aus allen drei Kostenarten hinzukommen Pa = P + P α + P β + P γ

(8.39)

Dies ergibt sich einfach, wenn man die obigen Ansätze f¨ ur die ausreichenden Einmalprämien durch |n a ¨x teilt. Im einzelnen erhält man:


205

Altersrente Die ausreichende Jahresprämie P a bei der oben besprochenen Altersrente erhalten wir aus Formel (8.32) n|

(P L)ax =

+γ·a ¨x (1 − α − β) · |n a ¨x ¨x n| a

(8.40)

Gemischte Versicherung Zur Berechnung einer ausreichenden Jahresprämie bei der gemischten Versicherung orientieren wir uns an Formel (8.34) |n

(P G)ax =

Ax,n + α + γ · |n a ¨x (1 − β) · |n a ¨x

(8.41)

Eine einfachere Berechnungsformel direkt aus der Nettojahresprämie erhalten wir unter Ausnutzung von (7.64) in der Form 1 = Ax,n + d ·

¨x . |n a

Dies multiplizieren wir an den Summenden α a |n P Gx

Ax,n + α Ax,n + d · |n a ¨x + γ · |n a ¨x = (1 − β) · |n a ¨x (1 + α) Ax,n + αd · |n a ¨x + γ · |n a ¨x = (1 − β) · |n a ¨x dα + γ 1+α = |n (P G)x + 1−β 1−β

(8.42)

Tempor¨ are Todesfallversicherung Grundlage zur Berechnung der ausreichenden Jahresprämie bei der temporären Todesfallversicherung ist (8.38) ¨x n| Ax + α · 1 − |n Ex + γ · |n a a (8.43) |n (P T )x = (1 − β) · |n a ¨x


8.2.3

206

Brutto-Jahrespr¨ amien

Mögliche Zuschläge zu den ausreichenden Jahresprämien ergeben sich durch besondere Risiken, z.B. wenn eine Todesfallversicherung abgeschlossen werden soll und durch ein chronisches Leiden die Lebensaussichten negativ beeinflußt werden. Weitere Zuschläge werden erhoben, wenn der Tarif einer Versicherung auf Jahresprämien ausgelegt ist, der Kunde aber eine monatliche Zahlung w¨ unscht. Dazu wird nicht etwa der ganze Tarif neu berechnet, sondern es werden pauschale Zuschläge zu den sich durch Division ergebenden Raten erhoben, etwa 2% bei halbjähriger Zahlweise, 3% bei vierteljähriger und 5% bei monatlicher Zahlweise. Umgekehrt werden Rabatte gewährt, wenn der Tarif auf Monatsbasis berechnet wurde, der Kunde aber halbjährige oder volljährige Zahlweise w¨ unscht. Schließlich werden bei kleinen Versicherungssummen Zuschläge auf die Prämien erhoben (Kleinsummenzuschläge) bzw. Rabatte bei größeren Versicherungssummen gewährt (Summenrabatte), um die pauschal berechneten Kosten der Versicherung gerechter zu verteilen.

8.3 8.3.1

¨ Ubungsaufgaben Theoretische Aufgabe

Aufgabe 8.1 1. Berechnen Sie eine Formel f¨ ur die Nettojahresprämie einer um m Jahre aufgeschobenen temporären Leibrente u ¨ber n Jahre. 2. Berechnen Sie die Nettojahresprämie einer sofort beginnenden Leibrente mit n Jahren Zahlungsgarantie.

8.3.2

Praktische Aufgaben

Aufgabe 8.2 Berechnen Sie zu der Aufgabe 7.3 jährliche Nettoprämien.


207

Aufgabe 8.3 Stellen Sie bei der Aufgabe 7.4 den Nettoeinmalprämien jeweils jährliche Nettoprämienzahlungen u ¨ber die gesamte Laufzeit der angesprochenen Versicherungen gegen¨ uber (bei gleichen Versicherungssummen) und berechnen Sie den (theoretischen) Gewinn f¨ ur den Versicherungsnehmer, wenn er die zur Verf¨ ugung stehenden Gelder zu 5, 5% anlegt und die vorsch¨ ussigen Jahresprämien u ¨ber einen Auszahlungsplan aus dem angelegten Geld finanziert.Beim dritten Teil der Aufgabe 7.4 lassen Sie den Auszahlungsplan u ¨ber 10, 20 oder 30 Jahre laufen. Aufgabe 8.4 Berechnen Sie zu den Aufgaben 7.8 und 7.9 monatliche Nettoprämien u ¨ber die jeweilige Aufschubzeit der angesprochenen Leibrenten, die die Nettoeinmalprämien ersetzen könnten. Aufgabe 8.5 Ein 35 jähriger Mann plant f¨ ur seine private Altersvorsorge eine Altersrente bei einer Versicherungsgesellschaft u ¨ber jährlich 9000 EU R ein. Diese soll ab seinem 65. Geburtstag gezahlt werden. Mit welchen Bruttomonatsprämien muß er rechnen, wenn Kostenfaktoren von α = 0.035, β = 0.01 und γ = 0.015 und ein Aufschlag von 5% f¨ ur monatliche Zahlweise einkalkuliert werden m¨ ussen. Aufgabe 8.6 Eine 43 jährige Frau möchte eine Erlebensfallversicherung u uckgewähr f¨ ur 12 Jahre abschließen. Berech¨ber 25000 EU R mit Prämienr¨ nen Sie die Jahresbruttoprämie P, wenn diese das 1, 3 fache der Jahresnettoprämie beträgt. Aufgabe 8.7 In Aufgabe 6.10 sparte ein Vater (30 Jahre alt) f¨ ur das in 15 Jahren beginnende Studium seiner Tochter, das auf 7 Jahre angesetzt war, allerdings ohne Risikoabsicherung u ¨ber einen Versicherungsvertrag. Rechnen Sie nun die u ber 15 Jahre zu zahlende Nettomonatsprämie f¨ ur eine Ausbil¨ dungsversicherung aus, die das nötige Kapital f¨ ur eine 7 jährige Jahresrente von 6000 EU R f¨ ur die Tochter bereitstellt, wenn während der 7 Jahre ein Rechnungszins von 5% unterstellt wird. Aufgabe 8.8 Berechnen Sie ausreichende Vierteljahresprämien f¨ ur folgende Risikolebensversicherung: Versicherungsnehmer ist eine 51 jährige Frau, die Versicherungssumme betrage 100000 EU R und die Dauer der Versicherung 10 Jahre. Die Kostenfaktoren seien α = 0.035, β = 0.01 und γ = 0.00125.


208

Aufgabe 8.9 Berechnen Sie Nettojahresprämien und Bruttojahresprämien f¨ ur einen 49 jährigen Mann, der eine gemischte Versicherung u ¨ber 15 Jahre und einen Betrag von 50000 EU R abschließt, wenn dessen Gesundheitspr¨ ufung einen Risikoaufschlag von 10% ergeben hat. Rechnen Sie mit den Kostenfaktoren α = 0.035, β = 0.03 und γ = 0.0031.

Kapitel 9 Das Deckungskapital des Versicherers ¨ Nach dem Aquivalenzprinzip besteht zum Zeitpunkt des Abschlusses einer ¨ prämienfinanzierten Versicherung eine Aquivalenz zwischen der zu erwartenden Versicherungsleistung und den zu erwartenden Prämien. Zu einem ¨ späteren Zeitpunkt besteht diese Aquivalenz in der Regel nicht mehr. Wurde z.B. eine Einmalprämie vereinbart, so hat der Versicherte unmittelbar nach Beginn der Versicherung seine Leistungen bereits erbracht, während die des Versicherers noch aussteht. In diesem Fall hat der Versicherer durch die Einnahme der Einmalprämie eine Reserve gebildet, u ¨ber die er später seine Leistung abdecken will. Wurden jährliche Prämien vereinbart und eine Versicherung f¨ ur n Jahre abgeschlossen, so hat der Versicherte nach 0 < t < n Jahren bereits einen Teil seiner Leistungen erbracht, ein anderer Teil steht noch aus. Auch f¨ ur den Versicherer hat sich nach t Jahren die Situation geändert. Vorausgesetzt, der Versicherte lebt noch, so hat sich die Sterbewahrscheinlichkeit des Versicherten und damit der Erwartungswert des Barwertes der vom Versicherer zu erbringenden Leistung geändert. Auf der anderen Seite hat der Versicherer durch Einnahme der bisher gezahlten Prämien bereits eine gewisse Teilreserve gebildet.

209

KAPITEL 9. DECKUNGSKAPITAL

9.1

210

Deckungskapital

Zur Analyse der beschriebenen Situationen definieren wir als Zufallsvariable den Verlust t L des Versicherers zum Zeitpunkt x + t. Er wird zum Zeitpunkt t nach Abschluß des Versicherungsvertrages - unter der Voraussetzung, daß der Versicherte noch lebt - als die Differenz zwischen dem Barwert der zuk¨ unftigen Leistungen des Versicherers und dem Barwert der zuk¨ unftigen Prämien festgelegt. Diese Größe wird in der Regel positive Werte annehmen und stellt den Barwert des Finanzbedarfs des Versicherers aus dem laufenden Vertrag dar. Lassen wir zunächst wieder die Vertriebs- und Verwaltungskosten des Versicherers außer acht, so nennen wir den Erwartungswert t V = E (t L) das Nettodeckungskapital. Diese Größe wird auch Nettoreserve genannt, da sie zum Zeitpunkt t in gewisser Weise zu der aus den bereits gezahlten Prämien gebildeten Reserve äquivalent ist.

9.1.1

Nettoreserven

Wir ermitteln die Nettoreserven f¨ ur einige spezielle Versicherungsarten. Erlebensfallversicherung Betrachten wir zunächst eine Erlebensfallversicherung auf n Jahre mit Versicherungssumme 1. Nach unserem Sterblichkeits-Modell sind die Sterbewahrscheinlichkeiten des nun x + t−Jährigen durch s qx+t gegeben. Der aktuelle Barwert der zum Zeitpunkt x vereinbarten Versicherungsleistungen f¨ ur den Versicherten ergibt sich demnach zu n−t Ex+t . Damit berechnet sich das Nettodeckungskapital |n−t V Ex+t am Ende des Jahres t nach Versicherungsbeginn nach der Formel |n−t V

Ex+t =

n−t Ex+t

−

|n

(P E)x ·

¨x+t |n−t a

f¨ ur t = 0, 1, ..., n − 1 (9.1)

Diese Größe wird geschätzt zu |n−t (V

Dx+n Dx+n Nx+t − Nx+n − Dx+t Nx − Nx+n Dx+t Dx+n (Nx − Nx+t ) = Dx+t (Nx − Nx+n )

E)x+t =

(9.2)


211

Man beachte, daß sich f¨ ur t = 0 hieraus Wert |n−t (V E)x+t = 1 ergibt.

|n−t (V

E)x+t = 0 und f¨ ur t = n der

Tempor¨ are Todesfallversicherung Bei der temporären Todesfallversicherung ergibt sich f¨ ur das Nettodeckungskapital |n−t V Tx+t zum Zeitpunkt x + t |n−t V

Tx+t =

|n−t Ax+t

−

|n P Tx

·

¨x+t |n−t a

(9.3)

mit der Schätzung |n−t (V

T )x+t Mx+t − Mx+n Mx − Mx+n Nx+t − Nx+n − = Dx+t Nx − Nx+n Dx+t (Mx+t − Mx+n ) (Nx − Nx+n ) − (Mx − Mx+n ) (Nx+t − Nx+n ) (9.4) = Dx+t (Nx − Nx+n ) Daraus ergibt sich insbesondere f¨ ur t = 0 die Schätzung |n−t (V T )x+t = 0 und f¨ ur t = n der Wert |n−t (V T )x+t = 0. Dazwischen verläuft |n−t (V T )x+t ¨ zunächst leicht ansteigend und dann wieder abfallend (siehe Ubungsaufgabe) Gemischte Versicherung Entsprechend ergibt sich f¨ ur das Nettodeckungskapital |n−t V Gx+t zum Zeitpunkt x + t bei der gemischten Versicherung auf n Jahre |n−t V

Gx+t = Ax+t,n−t −

|n P Gx

·

¨x+t |n−t a

(9.5)

Diese kann man schätzen zu |n−t (V

G)x+t (9.6) Mx+t − Mx+n Dx+n Mx − Mx+n + Dx+n Nx+t − Nx+n = + − Dx+t Dx+t Nx − Nx+n Dx+t (Mx+t − Mx+n + Dx+n ) (Nx − Nx+n ) − (Mx − Mx+n + Dx+n ) (Nx+t − Nx+n ) = Dx+t (Nx − Nx+n )


212

Die Berechnungsformel f¨ ur |n−t V Gx+t läßt sich umschreiben, wenn man (7.64) und (8.18) ber¨ ucksichtigt. Danach gilt 1 − d |n−t a ¨x+t − |n P Gx · |n−t a ¨x+t |n−t V Gx+t = = 1 − |n P Gx + d |n−t a ¨x+t (9.7) ¨x+t |n−t a = 1− (9.8) ¨x |n a woraus sich die einfachere Schätzung |n−t (V

G)x+t = 1 −

Dx (Nx+t − Nx+n ) Dx+t (Nx − Nx+n )

(9.9)

ergibt. Ber¨ ucksichtigt man ferner (8.16), um Ax+t,n−t auszudr¨ ucken, so findet man die so genannte Pr¨ amiendifferenzformel ¨x+t (9.10) |n−t V Gx+t = |n−t P Gx+t − |n P Gx · |n−t a ur t = n Im u ur t = 0 die Schätzung |n−t (V G)x+t = 0 und f¨ ¨brigen ergibt sich f¨ die Schätzung |n−t (V G)x+t = 1. Lebenslange Todesfallversicherung Am einfachsten leiten sich die Formeln f¨ ur das Nettodeckungskapital V Tx+t der lebenslangen Todesfallversicherung aus denen der gemischten Versicherung her, wenn hierin n → ∞ betrachtet wird. Es gilt V Tx+t = Ax+t − P Tx · a ¨x+t = 1 − (P Tx + d) a ¨x+t a ¨x+t = 1− a ¨x = ( P Tx+t − P Tx ) · a ¨x+t mit der Schätzung (V T )x+t = 1 −

Dx Nx+t Dx+t Nx

F¨ ur t = 0 ergibt sich die Schätzung (V T )x+t = 0.

(9.11) (9.12)


9.1.2

213

Strukturen

Im folgenden versuchen wir, nat¨ urliche Strukturen im Deckungskapital und in den Prämien zu entdecken. Rekursionsformeln Wir betrachten eine allgemeine Todesfallversicherung, bei der cj das im j−ten Jahr versicherte Kapital ist und Pk die zu Beginn des j−ten Jahres zu zahlende Jahresnettoprämie. Der totale Verlust des Versicherers beträgt L = cK+1 v

K+1

−

K X

Pj v j

j=0

Daraus findet man die die Nettoprämien charakterisierende Gleichung (vgl. Kapitel 7) 0 = E (L) =

∞ X

cj+1· v

j+1

· j px · qx+j −

j=0

∞ X

Pj · v j · j p x

(9.13)

j=0

Zu beachten ist, daß das Modell allgemeiner ist, als dies auf den ersten Blick den Anschein hat. Läßt man negative Prämien zu, so werden auch Erlebensfallversicherungen und Leibrenten beschrieben. Eine gewöhnliche gemischte Versicherung erhält man beispielsweise, wenn man c1 = c2 = ... = cn = 1, cn+1 = cn+2 = ... = 0 und P0 = P1 = ... = Pn−1 = |n (P G)x , Pn = −1, Pn+1 = Pn+2 = ... = 0 setzt. Das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres k ∈ N ist kV

=

∞ X j=0

ck+j+1· v

j+1

· j px+k · qx+k+j −

∞ X

Pk+j · v j · j px+k

(9.14)

j=0

Zur Ermittlung einer Rekursionsformel ziehen wir nun jeweils den ersten Term aus den beiden Summen und substituieren u ¨ber die Produktformel (6.21) j px+k = px+k · j−1 px+k+1


214

Dies ergibt kV

+ Pk = ck+1 · v · qx+k + px+k

∞ X

ck+j+1· v j+1 ·

j−1 px+k+1

· qx+k+j (9.15)

j=1

−px+k

∞ X

Pk+j · v j ·

j−1 px+k+1

(9.16)

j=1

Fassen wir nun noch j − 1 als neuen Summationsindex zusammen, so gilt die Rekursionsformel kV

+ Pk = v (ck+1 · qx+k +

k+1 V

· px+k )

(9.17)

Diese Formel hat die Interpretation, daß das Nettodeckungskapital zum Zeitpunkt k zusammen mit der zu diesem Zeitpunkt fälligen Prämie gerade der auf diesen Zeitpunkt abgezinste Barwert des zum Zeitpunkt k + 1 benötigten Kapitals, nämlich ck+1 im Todesfall, bzw. k+1 V im Erlebensfall, ist. Formel (9.17) kann nach

k+1 V

k+1 V

=

aufgelöst werden

(k V + Pk ) r − ck+1 · qx+k . px+k

(9.18)

Beachte: Mit dieser Formel kann dann leicht, beginnend mit 0 V = 0, das Nettodeckungskapital rekursiv berechnet werden. Pr¨ amienstruktur Eine leichte Umschreibung der Rekursionsformel u ¨ber px+k = 1 − qx+k ergibt kV

+ Pk =

k+1 V

· v + (ck+1 −

k+1 V

) · v · qx+k

(9.19)

In der rechten Seite ist nur der Betrag (ck+1 − k+1 V ) explizit vom potentiellen Tod des Versicherten im laufenden Jahr abhängig, dieser Beitrag zum Deckungskapital ist mit explizitem Risiko f¨ ur den Versicherer behaftet und wird deshalb Risikosumme genannt. Aus (9.19) folgt auch eine Zerlegung der Prämie Pk in zwei Komponenten, Pk = Pks + Pkr = ( k+1 V · v − k V ) + (ck+1 −

k+1 V

) · v · qx+k .

(9.20)


215

Dabei nennt man Pks = ( k+1 V · v − k V ) die Sparprämie, weil sie zusammen mit dem alten Deckungskapital das (abgezinsten) neue Deckungskapital ergibt und Pkr = (ck+1 − k+1 V ) · v · qx+k die Risikoprämie. Somit setzt sich die Prämie zusammen aus einer Sparquote und einer Prämie f¨ ur eine einjährige Todesfallversicherung. Eine weitere interessante Beobachtung ist die: Summiert man die auf das Ende des Jahres j aufgezinsten Sparprämien der Jahre 1 bis j Jahre auf, so erhält man jV

=

j−1 X

(1 + i)j−k Pjs .

(9.21)

k=0

Damit erweist sich das Nettodeckungskapital zum Ende des Jahres j als der aufgezinste Wert der Sparprämien der vorangegangenen Versicherungsjahre. Bemerkung: Die Sparprämie kann durchaus auch negative Werte annehmen.

9.1.3

Ausreichende Reserven

(Noch nicht ausgearbeitet)

9.1.4

¨ Anderung von Vertr¨ agen

(Noch nicht ausgearbeitet)

Finanz und Versicherungsmathematik 001

Finanz- und Versicherungsmathematik

Versicherungsmathematik 001.ps.gz

Finanz- und Liquiditatsplanung

Versicherungsmathematik 002

Einführung in die finanz- und kapitalmarktorientierte Personalwirtschaft

Graphen und Netzwerkalgorithmen 001

Kategorien und Topostheorie 001

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Algebra und Geometrie 001

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Modellierung und Programmierung 001

Atome und Licht 001

Kodierung und Sicherheit 001

Logik und Regelverarbeitung 001

Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

Finanz-Management

Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

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Differenzen und Differentialgleichungen 001

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Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 001

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Automatentheorie und Logik 001

Atom und Molekuelphysik 001

Analysis und Zahlentheorie 001

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Versicherungsmathematik, Tl.1, Personenversicherung

Thermodynamik und statistische Physik 001

Finanz und Versicherungsmathematik 001