Automatentheorie und Logik
Vorlesungsskript
von Eike Best Oktober 2004 – September 2005
Oldenburg, Oktober 2004
E. Best
Das Skript wird st¨andig gepflegt. Wenn Ihnen beim Lesen Fehler auffallen, schicken Sie bitte eine Mail an
[email protected]. oder geben Sie sie schriftlich im Sekretariat der Theoretischen Informatik bekannt. ¨ Stand der Anderungen (Version): 19. September 2005.
Haupts¨ achlich verwendete Literatur:
• A. Arnold: Transition Systems. Prentice Hall (1994). • E. Best: Semantik. Theorie sequentieller und paralleler Programmierung. Verlag Vieweg (1995), ISBN 3-528-05431-X. ¨ Englische Ubersetzung: Semantics of Sequential and Parallel Programs. Prentice Hall International Series in Computer Science (1996) ISBN 0-13-460643-4. • E. Best: Automatentheorie und Logik. Vorlesungsskriptum (1999-2001). Dieses Skriptum steht weiterhin auf http://parsys.informatik.uni-oldenburg.de/persons/eike.best/skript.html, aber Achtung: es ist geplant, das Skriptum zur gleichnamigen Vorlesung im Wintersemester 2004/05 substanziell zu u ¨berarbeiten. • H. D. Ebbinghaus & J. Flum: Finite Model Theory. Springer-Verlag (1995). • Z. Manna & A. Pnueli: The Temporal Logic of Reactive and Concurrent Programs. Springer-Verlag (1992). • St. Melzer: Verifikation verteilter Systeme mittels linearer und Constraint-Programmierung. Dissertation, TU M¨ unchen (1998). • H. Straubing: Finite Automata, Formal Logic, and Circuit Complexity. Birkh¨auser Verlag (1994). • W. Thomas: Languages, Automata and Logic. Im Handbook on Formal Languages, Seiten 389-455. • W. Thomas: Automatentheorie, Logik und Modelchecking. Skriptum der Vorlesung im Sommersemester 1998. • M. Vardi: Automata-theoretic Approaches to Design Verification. Lecture Notes, Technion (1998/99).
2
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung
1
1.1
Der Satz von B¨ uchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Zur Struktur der Vorlesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2 Zwei Logiken: FO und MSO
5
2.1
Alphabete, W¨orter und Sprachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Graphen und B¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Modelle f¨ ur W¨orter, B¨aume und Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.1
Modelle f¨ ur endliche W¨orter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.2
Modelle f¨ ur unendliche W¨orter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.3
Modelle f¨ ur B¨aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3.4
Modelle f¨ ur Graphen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
2.5
2.6
Pr¨adikatenlogik erster Stufe (mit Gleichheit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1
Syntax von FO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2
Semantik von FO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Monadische Logik zweiter Stufe (MSO-Logik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5.1
Syntax von MSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5.2
Semantik von MSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Der Satz von B¨ uchi und verwandte Themen
19
3.1
MSO-Logik auf endlichen W¨ortern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2
Ehrenfeucht-Fraiss´e-Spiele (EF-Spiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3
Regul¨are Sprachen und Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.1
Endliche Halbgruppen und Monoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.2
Das syntaktische Monoid einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.3
Das Transitionsmonoid eines Automaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.4
Charakterisierung der FO-Definierbarkeit einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3.5
Die Sternh¨ohe einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4
FO-Logik mit Nachfolgerelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 i
ii
Vorlesungsskript von E. Best / Stand: 19. September 2005
4 Omega-Automaten 4.1 Automaten auf unendlichen W¨ortern . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 B¨ uchi-, Muller-, Rabin- und Streett-Automaten . . . . . . 4.1.2 Charakterisierung B¨ uchi-akzeptierbarer Sprachen . . . . . 4.1.3 Entscheidbarkeitsfragen bei B¨ uchi-Automaten . . . . . . . 4.1.4 Determinierung und Komplementierung von ω-Automaten 4.2 Regul¨are numerische Pr¨adikate, Arithmetik . . . . . . . . . . . . 4.3 MSO-Logik auf unendlichen B¨aumen . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43 43 43 50 52 54 61 64 68
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
5 Temporale Logiken und Transitionssysteme 5.1 Pr¨apositionale linear-time Logik LTL . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Definition der Syntax von LTL . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Definition der Semantik von LTL . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Zur Ausdrucksf¨ahigkeit des Until-Operators . . . . . . . . . 5.1.4 LTL-Logik und FO[0 und v0 = vm . Ein Graph heißt azyklisch, wenn es in ihm keine Zyklen gibt. Eine unendliche Folge v0 e1 v1 e2 v2 . . . mit ej = (vj−1 , vj ) f¨ ur alle 0 < j heißt ein (unendlicher) Weg (ausgehend von v0 ). Ein Baum ist ein azyklischer Graph (V, E) mit genau einem Element v0 ∈ V , das den Eingangsgrad 0 hat (dieses Element heißt seine Wurzel), so dass es zu jedem Knoten v∈V genau einen Weg von v 0 nach v gibt. Als Folge dieser Definition hat jeder Knoten v eines Baumes entweder den Eingangsgrad 0 (falls v = v 0 ) oder den Eingangsgrad 1 (falls v 6= v0 ). Falls (v, v 0 ) ∈ E, nennt man v 0 auch Kind (oder unmittelbaren Nachfolger) von v und v Vater (oder unmittelbaren Vorg¨ anger) von v 0 . Falls (v, v 0 ) ∈ E ∗ , nennt man v 0 0 Nachfolger von v und v Vorg¨ anger von v . Ein Knoten mit Ausgangsgrad 0 heißt Blatt des Baumes. Lemma 2.2.1 Lemma von K¨ onig Ein unendlicher Baum, dessen Knoten endlichen Ausgangsgrad haben, hat einen unendlichen Weg. Beweis: Sei (V, E) ein Baum mit Wurzel v0 . Da v0 endlichen Ausgangsgrad hat, gibt es wegen der Unendlichkeit des Baumes unter den endlich vielen Kindern von v0 mindestens eines, das unendlich viele Nachfolger hat. W¨ahle ein solches Kind als v1 und setze e1 = (v0 , v1 ). Da v1 wieder endlichen Ausgangsgrad, aber unendlich viele Nachfolger hat, kann das Verfahren wiederholt werden und wir gewinnen ein Kind v 2 von v1 mit unendlich vielen Nachfolgern; setze e2 = (v1 , v2 ). So fortfahrend, erhalten wir einen unendlichen Weg 2.2.1 v0 e 1 v1 e 2 v2 . . .
2.3
Modelle fu orter, B¨ aume und Graphen ¨ r W¨ ... worin W¨orter, B¨aume und Graphen vereinheitlicht werden ...
Automatentheorie und Logik - Wintersemester 2004/05
2.3.1
7
Modelle fu orter ¨ r endliche W¨
Sei A ein gegebenes, festes Alphabet. Sei w = a0 · · · am−1 ein Wort in A∗ . Wir wollen die Idee formalisieren, dass w als Funktion von Positionen nach A beschrieben wird, gleichzeitig aber auch den Begriff der Positionen“ so allgemein fassen, dass sp¨ater ” auch B¨aume und Graphen ¨ahnlich aufgefasst werden k¨onnen. Betrachten wir daher die folgende Struktur (die auch Wortmodell oder Wortstruktur genannt wird): w
=
( dom(w) , | {z } {0,...,m−1} Positionen“ ”
Sw |{z}
07→1,17→2, etc. Successor“ ”
,
<w |{z}
0
