Analysis und Zahlentheorie 001

Fakultät f¨ ur Mathematik Universität Bielefeld Harmonische Analysis und analytische Zahlentheorie Prof. F. Götze WS...

92 downloads 798 Views 723KB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Fakultät f¨ ur Mathematik Universität Bielefeld

Harmonische Analysis und analytische Zahlentheorie Prof. F. Götze WS 2005/2006 Version: 29. Mai 2006

Dieses Skript ist eine studentische Ausarbeitung zur Vorlesung Harmonische Analysis und Ana” lytische Zahlentheorie“, die im Wintersemester 2005/06 von Prof. F. Götze an der Universität Bielefeld gehalten wurde. Die Kapitel 1 und Kapitel 3-7 wurden von Matthias Stephan verfasst, während das zweite Kapitel dankenswerter Weise von Dr. H K¨ osters zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Manuela Heuer und Wiebke Klein haben sich freundlicherweise als Korrekturleserinnen zur Verf¨ ugung gestellt. Hier sei noch einmal explizit darauf hingewiesen, dass dieses Skript keinesfalls den Anspruch erhebt fehlerlos zu sein. Korrekturen werden gerne entgegengenommen: [email protected].

Inhaltsverzeichnis 1 Die 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Fouriertransformation Sätze zu Integration und Limes von Funktionenfolgen . Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Fouriertransformierte von Verteilungen in R . . . . . . . Fouriertransformierte von Inhalten . . . . . . . . . . . . Glättungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich von Inhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich unendlicher Inhalte . . . . . . . . . . . . . . . Glättungsungleichungen f¨ ur unbeschränkte Inhalte . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

1 1 2 11 13 16 18 23 26

2 Der 2.1 2.2 2.3 2.4

Primzahlsatz Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) . . . . . . . . Glättungsungleichungen f¨ ur Mellin-Transformierte Der Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Riemann’sche Vermutung . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

29 31 34 35 38

3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen 3.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Konvergenz der Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die Poisson’sche Summenformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 43 49

4 Hardy-Littlewood Kreismethode 4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 51

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten 5.1 Farey-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung . . . . . . . . . 5.3 Gauß’sche Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Die Kreis-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Berechnung des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Vereinfachung des Integranden . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Erweiterung des Integrationsbereichs . . . . . . . . . . . 5.5.3 Erweiterung des Summationsbereichs . . . . . . . . . . . 5.6 Absch¨ atzen von S(s, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Berechnung von S(s, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

59 59 61 63 68 70 70 74 75 76 80

6 Diophantische Gleichungen in Zpn 6.1 Quadratische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87 90

7 P-adische Zahlen 7.1 p-adische Distanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 97

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

i

Inhaltsverzeichnis

ii

1 Die Fouriertransformation 1.1 S¨ atze zu Integration und Limes von Funktionenfolgen Die folgenden S¨ atze sind klassische Aussagen aus der Maßtheorie und werden hier nicht bewiesen (Vergleiche zum Beispiel [Bau01]), werden dennoch im folgenden benutzt. Satz 1.1 (Dominierte Konvergenz von Lebesgue). Sei (fn )n∈N eine Folge messbarer Funktionen, die fast u ¨berall gegen eine messbare Funktion f konvergiert. Es existiere eine bzgl. des LebesgueMaßes integrierbare Funktion g mit |fn | ≤ g (fast u ur alle n ≥ n0 . Dann sind alle fn und auch f integrierbar und es gilt ¨berall) f¨ Z Z n lim fn (x)d x = f (x)dn x. n→∞ Rn

Rn

Satz 1.2 (Monotone Konvergenz von B. Levi). Es sei (fn )n∈N eine monoton wachsende Folge nicht-negativer messbarer Funktionen, also 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤ f3 (x) ≤ . . . Dann ist auch f := lim fn messbar und es gilt n→∞ Z Z Z fn (x)dn x = lim fn (x)dn x = lim n→∞ Rn

Rn

n→∞

f (x)dn x.

Rn

Bemerkung: Alle st¨ uckweise stetigen Funktionen sind Lebesgue-messbar und Riemann- und Lebesgue-Integral stimmen hier u ¨berein. Satz 1.3. Sei f ≥ 0 und Z

f (x)dn x = 0.

Dann ist f (x) = 0 f¨ ur alle x bis auf abz¨ ahlbar viele Punkte, falls f Riemann-integrierbar, also insbesondere falls f st¨ uckweise stetig ist. Falls f Lebesgue-integrierbar ist, hat die Menge {x ∈ Rn : f (x) 6= 0} das Lebesgue-Maß Null. R Satz 1.4. Die Abbildung f 7→ f (x)dn x ist C-linear und monoton, also ist f¨ ur f1 ≥ f2 Z Z f1 (x)dn x ≥ f2 (x)dn x. Satz 1.5 (Fubini). Es sei f : Rn+m → R eine messbare und λn+m -integrierbare Funktion. Dann ist Rm → R, y 7→ f (x,Ry) f¨ ur alle x ∈ Rn messbar und f¨ ur λ-fast alle x ∈ Rn λ-integrierbar. Die Integralfunktion x 7→ f (x, y)dλ(y) ist messbar und λ-integrierbar und es gilt Z ZZ n+m f (x, y)dλ (x, y) = f (x, y)dλ(y)dλ(x). Satz 1.6 (Transformationssatz). Es sei Φ : U → V ein C1 -Diffeomorphismus (d.h. U, V ⊂ Rn offen, Φ bijektiv und Φ, Φ−1 stetig differenzierbar) und es sei f : V → R messbar. Dann ist auch (f ◦ Φ) · | det DΦ| : U → R messbar und es gilt (falls die Integrale existieren) Z Z f (y)dλ(y) = f (Φ(x)) · | det DΦ(s)|dλ(x). V

U

1

1 Die Fouriertransformation

1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Definition 1.7. Sei C ∞ (Rn ) der Vektorraum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen auf Rn . Dann ist der Schwartzraum definiert durch β α n ∞ n S(R ) := f ∈ C (R ) : sup |x D f (x)| < ∞, ∀α, β ≥ 0 Multiindizes . x∈Rn

Hierbei seien x = (x1 , . . . , xn ) und β = (β1 , . . . , βn )

βj ∈ N0 ,

xβ := xβ1 1 · . . . · xβnn und Dα :=

∂ α1 ∂ αn , α1 · . . . · ∂x1 ∂xαnn

α = (α1 , . . . , αn ), αj ∈ N0

Bemerkung 1.8. i. f ∈ S(Rn ) wird auch Schwartz-Klasse der rapide abfallenden C ∞ -Funktionen genannt. ii. Ist f ∈ S(Rn ), so impliziert dies |P (x)f (x)| < ∞, f¨ ur alle Polynome P : Rn → C. F¨ ur gerade m betrachten wir das Polynom P (x) = (x21 + . . . + x2n )m/2 . p ur ungerade m ist mit o.E. Somit ist auch kxkm |f (x)| < ∞ mit kxk = x21 + . . . + x2n . (F¨ x ≥ 1 auch kxkm |f (x)| ≤ kxkm+1 < ∞.) ur alle l ≥ 0 und alle x ∈ Rn iii. F¨ ur ein f ∈ S(Rn ) gilt sicherlich f¨ |Dα f (x)| ≤ cα,f,l (1 + kxkl )−1 . iv. f ∈ S(Rn ) ist ¨ aquivalent zu x→∞

kxkl |Dα f (x)| −→ 0, denn kxkl |Dα f (x)| =

∀ l, α

(kxkl + kxkl+1 )|Dβ f (x)| c x→∞ ≤ −→ 0. 1 + kxk 1 + kxk

Proposition 1.9. i. Die Schwartz-Klasse S(Rn ) ist ein Vektorraum u ¨ber R. ii. Die Abbildungen Dα : S(Rn ) → S(Rn ), f 7→ Dα f und xβ : S(Rn ) → S(Rn ), f 7→ xβ · f sind wohldefiniert und linear. ¨ Beweis: Ubung 1.1.a).

2

1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation

Definition 1.10. i. Die Fouriertransformation von f ∈ S(Rn ) ist gegeben durch Z −n/2 ˆ f (t) := (2π) exp(iht, xi)f (x)dn x, wobei x, t Vektoren im Rn , ht, xi das Standardskalarprodukt und i die imagin¨ are Einheit beschreiben. ii. Die inverse Fouriertransformierte ist gegeben durch Z −n/2 ˜ f (x) := (2π) exp(−iht, xi)f (x)dn t. Bemerkung 1.11. i. F¨ ur Rechnungen wird h¨ aufig die Tatsache | exp(ix)| = 1, x ∈ R, verwendet: exp(ix) = cos(x) + i sin(x) ⇒ | exp(ix)| = (cos2 (x) + sin2 (x))1/2 = 1. ii. Außerdem ist f¨ ur f ∈ L1 n |fˆ(t)| ≤ (2π)− 2

Z

1|f (x)|dn x < ∞.

Proposition 1.12. Die durch F : S(Rn ) → S(Rn ) gegebene Abbildung F(f ) := fˆ ist C-linear und eine Bijektion, d.h. f¨ ur f ∈ S(Rn ) gilt Z ˜ −n ˆ e−ihx,ti fˆ(t)dn t = f (x) ∀x ∈ Rn f (x) = (2π) 2 und ebenso

ˆ f˜(t) = f (t),

d.h. f → f˜ ist die inverse Transformation zu F. Beweis: Die C-Linearit¨ at ist offensichtlich. Die Bijektivität gestaltet sich hingegen etwas aufwändiger: i. F(f ) ∈ S(Rn ): Wir betrachten zun¨ achst den Fall n = 1. Da f ∈ S(R) ist, gilt mittels partieller Integration Z a

b

b exp(itx)f 0 (x)dx = exp(itx)f (x) a − it

b

Z

exp(itx)f (x)dx, a

F¨ ur f ∈ S(R) verschwindet der Randterm f¨ ur a → ∞, b → −∞, so dass folgt 1 lim √ a→∞ 2π b→−∞

Z a

b

1 exp(itx)f (x)dx = √ 2π 0

Z

∞

exp(itx)f 0 (x)dx

−∞

1 = (−it) √ 2π

Z

∞

exp(itx)f (x)dx, −∞

3


also 0 (t) = (−it)fˆ(t). fd

(1.1)

¨ Mittels der majorisieren Konvergenz und Induktion ergibt sich hieraus (Ubung 1.2) Z n α f )(t), exp(iht, xi)(ix)α f (x)dn x = i|α| (xd Dα fˆ(t) = (2π)− 2

(?)

Rn

Q wobei α = (α1 , . . . , αn ), αj ∈ N und exp(iht, xi) = nj=1 exp(itj xj ) ist. Weiterhin ist Z n d βf (−it)β fˆ(t) = (2π)− 2 exp(iht, xi)Dβ f (x)dn x = D (??) Rn

mit β = (β1 , . . . , βn ), β ∈ N. Durch Kombination von (?) und (??) ergibt sich ∧ (−i)|β|+|α| tβ Dα fˆ(t) = Dβ (xα f ) (t).

(? ? ?)

Da allgemein f¨ ur ein h ∈ L1 die Fouriertransformierte beschränkt ist, Z n ˆ |h(t)| ≤ (2π)− 2 |h(x)|dn x < ∞ folgt aus (? ? ?) schließlich β α β αˆ β α ∧ h=D (x f ) sup t D f (t) = sup D (x f ) (t) < ∞, t∈Rn

t∈Rn

also F(f ) ∈ S(Rn ). ii. F : S(Rn ) → S(Rn ) ist eine Bijektion: F¨ ur f, g ∈ S(Rn ) gilt allgemein Z Z −ihx,zi n ˆ g(z)f (z)e d z = gˆ(y)f (x + y)dn y, denn Z

(1.2)

Z n g(z)(2π)− 2 exp(ihv, zi)f (v)dn v exp(−ihx, zi)dn z Z Z 1.5 n −n g(z) exp(ihv − x, zi)d z f (v)dn v = (2π) 2 Z Z y=v−x = gˆ(v − x)f (v)dn v = gˆ(y)f (y + x)dn y.

g(z)fˆ(z)e−ihx,zi dn z =

Z

Der Satz von Fubini konnte hier angewandt werden, da

R

|g(z) · f (v)|dn vdn z < ∞ ist.

F¨ ur g(z) setzen wir gε (z) := g(εz), ε > 0. Dann berechnet sich die Fouriertransformierte zu gˆε (v) = gˆ(ε−1 v)ε−n (Variablenwechsel in der Transformation). Nach Substitution y 0 := ε−1 y ist Z Z −ihx,zi n ˆ g(εz)f (z)e d z = gˆ(y 0 )f (x + εy 0 )dn y 0 . 2 Wir wählen g(x) = exp −kxk und wenden den Lebesgue’schen Konvergenzsatz f¨ ur ε → 0 2 an. Dies ist m¨ oglich, da sich sowohl |fˆ(z)||g(εz)| ≤ |fˆ(z)| ∀z ∈ Rn

4

1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation wegen g(z) ∈ [0, 1] ∀z ∈ Rn mit

R

|fˆ(z)|dn z < ∞, als auch |ˆ g (y)f (x + εy)| ≤ h(y)

R mit h(y)dn y < ∞ ∀ε > 0 majorisieren lassen. Somit folgt Z Z g(0) fˆ(z) exp(−ihz, xi)dn z = f (x) gˆ(y)dn y |{z}

(1.3)

=1

Durch Ableiten des Terms −n 2

kxk2 exp(ihx, ti) exp − 2

Z

gˆ(t) = (2π)

! dn x

und partieller Integration ist n ∂ gˆ(t) = (2π)− 2 ∂t

x2 i exp(ixt) x exp − 2 {z |

Z

∂ =− ∂x exp(−x2 /2)

part. Int.

=

−n 2

Z

(2π)

i

dx } (1.4)

∂ ixt − x2 e e 2 dx ∂x

= −tˆ g (t). F¨ ur gˆ(t) 6= 0 ist also ∂ ˆ(t) ∂t g

gˆ(t)

= −t,

nach Integration beider Seiten Z log gˆ(s) − log gˆ(0) = | {z } =0

s

Z

0

0

s

−tdt = −

(log gˆ(t)) dt = 0

s2 2

folgt also schließlich s2 gˆ(s) = exp − 2

.

(1.5)

¨ Weiter gilt (Ubung 1.4) −n 2

(2π)

Z

kxk2 exp − 2

! dn x = 1.

(1.6)

Durch Einsetzen der Resultate (1.5) und (1.6) in (1.3) ergibt sich insgesamt Z −n (2π) 2 fˆ(z) exp(−ihz, xi)dn z = f (x). ¨ Dass (1.4) nur eine L¨ osung besitzt, ist Ubung.

Definition 1.13 (Faltung). Seien f, g ∈ S(Rn ), x ∈ Rn . Die Faltung von f und g ist gegeben durch Z (f ∗ g)(x) := f (x − y)g(y)dn y.

5


Bemerkung: i. Durch eine einfache lineare Variablentransformation zeigt sich die Symmetrie der Faltung Z Z v=x−y (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dn y = f (v)g(x − v)dn v = (g ∗ f )(x). ii. Wir betrachten die Integralnorm Z kf k1 :=

|f (t)|dn t,

die Normeigenschaften kf + gk1 ≤ kf k1 + kgk1 und kλf k1 = |λ| kf k1

λ ∈ C, R

ergeben sich durch direktes Einsetzen. Dar¨ uber hinaus gilt kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 , denn Z Z

n

|f (x − y)||g(y)|d y dn x Z Z 1.5 n = |f (x − y)|d x |g(y)|dn y Z Z v=x−y n n = |f (v)|d v |g(y)|d y

kf ∗ gk1 ≤

= kf k1 kgk1 . Korollar 1.14 (Eigenschaften der Fouriertransformation). Seien f, g ∈ S(Rn ). Dann gilt i. Z

fˆ(t)g(t)dn t =

Z

f (t)ˆ g (t)dn t,

Z

f˜(t)g(t)dn t =

Z

f (t)˜ g (t)dn t,

ii. Z

f (x)g(x)dn x =

Z

fˆ(t)ˆ g (t)dn t,

iii. n (f[ ∗ g)(t) = (2π) 2 fˆ(t)ˆ g (t), n (2π) 2 (fd · g)(t) = fˆ(t) ∗ gˆ(t). n

(f] ∗ g)(t) = (2π) 2 f˜(t) · g˜(t). Beweis: i. Die erste Gleichung folgt unmittelbar aus (1.2) mit x = 0. F¨ ur die zweite Gleichung ˜ ersetzen wir in der ersten f durch f und g durch g˜.

6

1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation ii. Es gilt g˜ ¯ = g¯ ˆ, denn −n 2

g˜ ¯(t) = (2π) Somit folgt Z

n

Z

−ihx,ti

e

Z

f (x)¯ g (x)d x =

−n 2

n

Z

g(x)d x = (2π)

(i) ˜ fˆ(x)¯ g (x)dn x =

Z

eihx,ti g(x)dn x = g¯ˆ(t).

fˆ(x)g˜¯(x)dn x =

Z

fˆ(x)g¯ˆ(x)dn x

iii. −n 2

Z

(f ∗ g)(x)eihx,ti dn x ZZ n = (2π)− 2 f (x − y)g(y)dn y eihx,ti dn x Z Z 1.5 −n ihy,ti ihx−y,ti n 2 = (2π) g(y)e f (x − y)e d x dn y

f[ ∗ g(t) = (2π)

F¨ ur das innere Integral folgt mittels Variablentransformation Z Z ihx−y,ti n z=x−y f (x − y)e d x = f (z)eihz,ti dn z. Dieser Term ist nun unabh¨ angig von y, so dass die beiden Integrale faktorisieren, also Z Z n ihz,ti n ihy,ti n −n [ 2 f (z)e d z = (2π) 2 gˆ(t)fˆ(t). g(y)e d y f ∗ g(t) = (2π) n Analog l¨ asst sich die Gleichung f] ∗ g = (2π) 2 f˜ · g˜ zeigen. Hieraus folgt auch direkt n [ d (2π)− 2 f ∗ g = f] ∗ g = f˜ · g˜,

¨ und nach Ubergang f → fˆ, g → gˆ folgt die letzte zu zeigende Gleichung n fˆ ∗ gˆ = (2π) 2 fd · g.

n g Mit f, g ∈ S(Rn ) sind fˆ, gˆ ∈ S(Rn ), fˆ · gˆ ∈ S(Rn ) und (2π)− 2 f ∗ g = fˆ · gˆ ∈ S(Rn ). In diesem Fall gilt

Lemma 1.15. i. S(Rn ) ist eine kommutative C-Algebra mit Produkten (f, g) 7→ f · g und (f, g) 7→ f ∗ g, d.h. ein C-Vektorraum mit Ringstruktur. ii. F : S(Rn ) → S(Rn ) ist ein Isomorphismus und zwar eine unit¨ are Abbildung bez¨ uglich hFf, Fgi = hf, gi wobei

Z hf, gi :=

∀f, g ∈ S(Rn ),

f (x)¯ g (x)dn x

eine hermitesche Sesquilinearform ist. Es ist Z Z 2 n kf k2 = hf, f i = f (x)f (x)d x = |f (x)|2 dn x, insbesondere gilt die Formel von Plancherel kFf k2 = kf k2 .

(1.7)

7

1 Die Fouriertransformation n

iii. F f¨ uhrt die Produkte ∗ und · bis auf den Normierungsfaktor (2π)− 2 ineinander u ¨ber. iv. Der Differentialoperator ist f¨ ur α = (α1 , . . . , αn ) ≥ 0 gegeben durch Dα = F −1 (−it)α F.

(1.8)

v. Eine Operatormultiplikation ist gegeben durch xα = F −1 (−iD)α F. Beispiel: Wir betrachen den Laplace-Operator, gegeben durch ∆=

∂2 ∂2 + . . . . ∂x2n ∂x21

Dieser lässt sich darstellen durch ∆ = F −1 −(t21 + t22 + . . . + t2n ) F = F −1 (− ktk2 )F. Durch diese Anschauung ist es auch m¨ oglich, sogenannte Pseudodifferentialoperatoren zu definieren, wie zum Beispiel √ −∆ := F −1 ktk F. Inspektion von Korollar 1.14 und Proposition 1.12 liefert Proposition 1.16.

i. Falls f : Rn → C integrierbar ist, so existiert Z ihx,ti n −n ˆ 2 e f (x)d x . f (t) = (2π)

ii. Falls fˆ : Rn → C integrierbar ist, so gilt ˜ fˆ(x) = f (x)

∀x ∈ Rn .

Bemerkung: Die Funktion t 7→ fˆ(t) ist gleichmäßig stetig. R iii. Falls |f (x)||xβ |dn x < ∞ ist, so ist t 7→ fˆ(t) < ∞ und Z β ˆ −n |β| 2 D f (t) = (2π) i xβ · eiht,xi f (x)dn x iv. Falls Dβ f (x) existiert und integrierbar ist, so gilt sup |fˆ(t)tβ | < ∞. t∈Rn

Die L2 -Norm von f ist gegeben durch Z kf k2 :=

1/2 |f (x)| d x , 2 n

wobei hier das Lebesgue-Integral verwendet wird. Falls die Menge {x ∈ Rn : f (x) 6= g(x)} das ¨ Lebesgue-Maß Null hat, so heißen f und g fast sicher gleich. Dies beschreibt eine Aquivalenzrelation. Man definiert nun ¨ L2 (Rn ) := {f : Rn → C| kf k2 < ∞}/{f.¨ u.-Aquivalenz}.

8

1.2 Definition und Eigenschaften der Fouriertransformation Satz 1.17. (L2 (Rn ), k·k2 ) ist ein Banachraum, also ein normierter vollst¨ andiger Vektorraum, stattet man diesen mit dem Standardskalarprodukt aus, so ist er sogar ein Hilbertraum (RiezFischer). Beweis: Siehe [Yos66].

Satz 1.18. S(Rn ) ⊂ L2 (Rn ) liegt dicht bzgl. der k·k2 -Norm. Satz 1.19. Es gibt eine eindeutige Fortsetzung von F von S(Rn ) nach L2 (Rn ), die unit¨ ar und bijektiv ist. Satz 1.20 (Heisenberg’sche Ungleichung). Sei f : R1 → C, f ∈ S(R1 ) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Teilchens, also Z |f (x)|2 dx = 1. Der ¨ ortliche Mittelwert sei durch

Z µf :=

x|f (x)|2 dx

und die Varianz, die mittlere quadratische Abweichung, durch Z 2 σf = (x − µf )2 |f (x)|2 dx gegeben. Dann gilt stets 1 σf σfˆ ≥ . 2 Beweis: Wir definieren uns g(x) := f (x + µf )eixµf . Dann ist Z Z Z y=x+µf µg = x|f (x + µf )eixµf |2 dx = (y − µf )|f (y)|2 dy = µf − µf |f (y)|2 dy = 0. | {z } =1

¨ Die Fouriertransformation von g ist (Ubung 2.1) gˆ(t) = fˆ(t + µfˆ) exp(−iµf (t + µfˆ)). ¨ Hieraus folgt wie vorher µgˆ = 0. Weiter gilt (Ubung 2.2) σf2 = σg2 und σf2ˆ = σgˆ2 . Zur Cauchy-Schwartz’schen Ungleichung |ha, bi| ≤ kak · kbk

a, b ∈ Rn bzw. a, b ∈ Cn

forumlieren wir hier das Analogon zur L2 -Norm: F¨ ur f, h : R → C sei das hermitesche Skalarprodukt gegeben durch Z hf, hi := f (x)h(x)dx. Hier gilt ebenso Z Z 1/2 Z 1/2 2 2 f (x)h(x)dx ≤ |f (x)| dx · |h(x)| dx ,

9


also |hf, hi| ≤ kf k2 · khk2 . Damit ist Z Re

0

Z

1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx ,

Z

1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx ,

≤

(−x)¯ g (x)g (x)dx

2

2

und auch Z Re

0

≤

(−x)g(x)¯ g (x)dx

2

2

also zusammenfassend mittels Kettenregel Z Re

∂ g(x)g(x) dx (−x) ∂x | {z }

1/2 Z 1/2 0 2 x |g(x)| dx · |g (x)| dx

Z

2

≤2

2

=|g(x)|2

Andererseits liefert partielle Integration, da die Randterme wegen g ∈ S(Rn ) verschwinden, Z Z Z Z y=x+µf ∂ |f (y)|2 dy = 1. (−x) |g(x)|2 dx = (−1)2 |g(x)|2 dx = |f (x + µf )|2 dx = ∂x Außerdem ist Z

2

Z

2

x |g(x)| dx = und

Z

0

2

2

x |f (x + µf )| dx

(1.7)

2

Z

|g (x)| dx =

0

2

y=x+µf

Z

=

(1.1)

Z

|ˆ g (x)| dx =

(y − µf )2 |f (y)|2 dy = σf2

t2 |ˆ g (t)|2 dt = σf2ˆ

Zusammenfassend folgt also 1 ≤ σf σfˆ. 2 r Beispiel 1.21. Sei f (x) =

√1 2πσ

exp

x2 −2σ 2

¨ , σ > 0. Dann ist (Ubung 2.2)

1, σf2 = σ 2 und µf = 0. Wir betrachten die Fouriertransformierte von f 2 1 t 2σ 4 ˆ f (t) = exp − (2σ) . 2 π Dann ist σf2ˆ = also

1 1 , σfˆ = , 2 4σ 2σ 1 σf σfˆ = . 2

In diesem Fall ist die Heissenberg’sche Unsch¨ arferelation scharf.

10

R

f 2 (x)dx =

1.3 Fouriertransformierte von Verteilungen in R

1.3 Fouriertransformierte von Verteilungen in R Definition 1.22. i. Eine Verteilungsfunktion F : R → R ist eine monotone, rechtsstetige Funktion mit lim F (x) = 0,

x→−∞

d.h. a) F (x) ≤ F (y) f¨ ur alle x ≤ y, b) limh&0 F (x + h) = F (x) f¨ ur alle x ∈ R, c) limx→−∞ F (x) = 0. F¨ ur eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist limx→∞ F (x) = 1. ii. Die Funktion µ([a, b]) := F (b) − F (a) ≥ 0 f¨ ur a < b heißt Inhalt auf (a, b]. Sei J die Menge der halboffenen Intervalle der Form (a, b], a < b, a, b ∈ R. Wir definieren uns n [ o R= Ij : Ij ∈ J, M 6= ∅ endliche Indexmenge ∪ {∅}. j∈M

Dann ist f¨ ur R ∈ R µ(R) =

X

(µ(Il )),

l

S wobei R = l Il mit Il ∈ J und Il ∩ Il0 = ∅ f¨ ur l 6= l0 ist, d.h. der Inhalt µ ist wohldefiniert, also unabhängig von der Zerlegung R. Weiter gilt A, B ∈ R ⇒ A ∪ B ∈ R, A\B ∈ R. Somit ist R ein Ring von Mengen. Beispiel 1.23. i. Die Verteilungsfunktion F (x) :=

x ≥ 0, x 0, xj ∈ R, j ∈ N und F (x) :=

X

pj < ∞

∀x ∈ R.

{j∈N:xj ≤x}

Behauptung: F ist eine Verteilungsfunktion und X µ((a, b]) =

pj .

{j∈N:a<xj ≤b}

11


Beweis: Die Monotonie ist klar. Rechtsstetigkeit von F : Wir betrachten Sn := F (x + h) − F (x) =

X

pj , h > 0

{j:x<xj ≤x+h}

und A0 := {j : x < xj ≤ x + h0 }. Dann ist X

pj < ∞.

j∈A0

F¨ ur ε > 0 gibt es eine endliche Menge Aε ⊂ A0 mit X pj < ε. j∈A0 \Aε

F¨ ur 0 < h < (minj∈Aε xj ) − x ist Sh < ε f¨ ur alle 0 < h < h0 .

Definition 1.24. Wir nennen die Inhalte in Definition (1.22).ii) einfache Inhalte, wenn sie wie in Beispiel 1.23 erzeugt werden. Sei µ ein einfacher Inhalt, g : R → R mit entweder α) (uneigentlicher) Riemann-Integrierbarkeit, d.h. Z |g(x)|p(x)dx < ∞, oder β) Summierbarkeit, d.h. ∞ X

|g(xj )|pj < ∞,

j=1

so heißt g µ-integrierbar und R Z g(x)p(x)dx g(x)µ(dx) := P∞ j=1 g(xj )pj

im Fall α im Fall β,

heißt µ-Integral von g. Bemerkung 1.25. i. Die formale Einf¨ uhrung erfolgt mittels Ober- und Untersumme wie bei dem Riemannintegral: F¨ ur eine geeignete, feiner werdende Unterteilung (n)

a1

(n)

< a2 (n)

betrachten wir Zwischenpunkte zj Z

(n)

(n)

< . . . aj < aj+1 < . . . i (n) (n) ∈ aj , aj+1 , so dass gilt

∞ i X (n) (n) (n) µ aj , aj+1 . gdµ = lim g zj n→∞

j=1

ii. Das µ-Integral ist wohldefiniert, da µ((a, b]) f¨ ur alle a < b und p(x), x ∈ R im Fall (α) bzw. p(xj ), j ∈ N im Fall (β) bis auf endlich viele Punkte in endlichen Intervallen eindeutig beR x ∂ stimmt sind. (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: ∂x −∞ p(y)dy = p(x), falls p in x stetig ist.)

12

1.4 Fouriertransformierte von Inhalten

1.4 Fouriertransformierte von Inhalten Unser Ziel wird es sein, Inhalte oder Verteilungsfunktionen mittels Integraltransformationen der Verteilungen zu approximieren. Ein Schema f¨ ur eine solche Integraltransformation ist folgendes: Die Integraltransformationen sind gegeben durch eine Familie von ”Kernen”g(x, t), x ∈ R, t ∈ R. Wir bilden Z t 7→ c(µ)(t) = g(x, t)µ(dx) (Charakteristische Funktion von µ). Diese soll µ festlegen, d.h. wir wollen daraus F (x) := µ((−∞, x]) bestimmen. Ferner möchte man f¨ ur Inhalte µ1 , µ2 die Gr¨ oße von µ1 ((−∞, x]) − µ2 ((−∞, x]) aus c(µ1 )(t) − c(µ2 )(t), t ∈ R bestimmen. Definition 1.26. i. F¨ ur t ∈ R ist die charakteristische Funktion oder auch Fouriertransformation des Inhalts µ gegeben durch R itx Z f¨ ur Fall α e p(x)dx µ ˆ(t) := exp(itx)µ(dx) = P∞ itxj e p f¨ ur Fall β. j j=1 ii. Die Laplace-Transformierte von µ ist, falls definiert, Z Lµ (λ) := e−λx µ(dx), λ ∈ R, λ > 0. Diese ist immer definiert, falls µ((−∞, 0)) = 0. iii. Die Fourier-Laplace-Transformierte ist, sofern definiert, kombiniert i. und ii. zu Z L(z) := ezx µ(dx). iv. Die Resolvententransformation von µ ist schließlich gegeben durch Z 1 Rz (µ) := µ(dx), z ∈ C\R. x−z Lemma 1.27 (Riemann-Lebesgue). Sei f : R → R Riemann-integrierbar mit Z ∞ |f (x)|dx < ∞ −∞

und die Menge Mf der Unstetigkeitsstellen von f habe keinen H¨ aufungspunkt in R. Dann gilt lim fˆ(t) = 0.

|t|→∞

Dies gilt auch, wenn f nur Lebesgue-integrierbar ist, d.h. Z |f |dλ < ∞.

13


Beweis: i. Zu einem beliebigen ε > 0 gibt es wegen der Konvergenz des Riemannintegrals ein a > 0 mit Z Z ε itx |f (x)|dx ≤ e f (x)dx ≤ ∀t ∈ R. [−a,a]c 3 c [−a,a] ii. Seien −a ≤ u1 < u2 < . . . < uk ≤ a die endlich vielen Unstetigkeitsstellen Mf ∩ [−a, a] von f in [−a, a], (unendlich viele sind unmöglich, da [−a, a] kompakt ist). Wir ersetzen f durch g := f · 1[−a,a] , so dass eventuell −a und a Unstetigkeitsstellen von g sind. Sei o.B.d.A. t ≥ 1. Dann ist Z Z Z ∞ π π itx itx itx dx = e g(x)dx − e g x + dx e g(x) − g x + t t −∞ Z Z y:=x+ πt π = eitx g(x)dx − eit(y− t ) g (y) dx Z (∗) = 2 eitx g(x)dx, π

wobei wir f¨ ur (∗) benutzt haben, dass e−it t = cos(−π) + i sin(−π) = −1 ist. iii. Somit folgt aus (i) und (ii) Z itx e f (x)dx ≤ ε + 3 ε ≤ + 3

Z 1 itx e g(x) − g x+ 2 Z 1 itx g(x) − g x + e 2

π dx t π dx t

Sei M := maxx∈[−a,a] |g(x)| < ∞. Dies existiert, da wir nach Voraussetzung nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben. Dann w¨ ahle t0 so groß, dass i.

π t0

0. 2

15


1.5 Gl¨ attungsverteilungen Definition 1.31. F¨ ur a > 0 sei U[−a,a] die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Dichte 1 f¨ ur |x| ≤ a, 2a U[−a,a] := . 0 f¨ ur |x| > a. In diesem Fall heißt U[−a,a] Gleichverteilung auf [−a, a], und es gilt d

Z U[−a,a] ([c, d]) =

U[−a,a] (x)dx

∀c < d.

c

Die Fouriertransformierte f¨ ur t ≥ 1 l¨ asst sich abschätzen u ¨ber Z Z a 1 Uˆ[−a,a] (t) = eitx U[−a,a] dx = eitx dx 2a −a Z a Z a a 1 sin(ta) 1 sin(tx) −a = , = cos(tx)dx + i sin(tx)dx = 2a −a 2at at −a | {z }

(1.9)

=0, da sin punktsym.

insbesondere ist

1 ˆ . U[−a,a] (t) ≤ a|t|

(1.10)

Ta := U[− a2 , a2 ] ∗ U[− a2 , a2 ]

(1.11)

Die Verteilung, gegeben durch heißt Dreiecksverteilung auf [−a, a] mit Dichte ( |x| 1 1 − a a ta (x) = 0

f¨ ur

|x| ≤ a

f¨ ur

|x| > a.

(1.12)

Mittels (1.9) und (1.11) ergibt sich Tâ (t) =

sin at 2

2

at 2

.

(1.13)

Wieder lässt sich die Fouriertransformierte abschätzen zu |Tâ (t)| ≤

4

f¨ ur

a2 t2

|t| ≥ 1.

Einen noch schnelleren Abfall erh¨ alt man durch m-maliges Falten (m ≥ 2, m gerade) ∗m Hm,a := U[− ma , ma ] .

(1.14)

Hm,a hat den Tr¨ ager [−a, a], d.h. Hm,a ([−a, a]c ) = 0. Wieder ist !m at sin m ˆ m,a (t) = H ≥ 0 f¨ ur gerade m. at

(1.15)

m

Die Dichte von Hm,a , bezeichnet mit hm,a (x), ist m-mal differenzierbar und es gilt ˆ m,a (t)| ≤ |H

16

1

, a m |t|m m

|t| ≥ 1.

(1.16)

1.5 Glättungsverteilungen

R¨ ucktransformation Sei

−1 sin(x) m dx < ∞, m ≥ 2. x −∞

Z cm =

∞

F¨ ur a > 0 und m ∈ N, m ≥ 2, m gerade sei Ga,m der Wahrscheinlichkeitsinhalt mit der Dichte ga,m (x) = cm · a ·

sin(ax) ax

m ≥ 0, x ∈ R.

(1.17)

Dann ist Z

∞

Z

∞

ga,m (x)dx = cm a −∞

−∞

sin(ax) ax

m

y=ax

Z

∞

dx = cm −∞

sin(y) y

m dy = 1.

Die Fourierinversion ist 2πacm hm·a,m (t) = gâ,m (−t) = gâ,m (t), d.h. gâ,m (t) = 0

f¨ ur

|t| ≥ m · a.

Satz 1.32. Sei u eine reellwertige, nichtnegative, nicht steigende Funktion auf [1, ∞[, so dass Z ∞ u(t) dt < ∞. t 1 Dann existiert f¨ ur jedes l > 0 ein Wahrscheinlichkeitsinhalt K auf R mit Dichte k, so dass gilt: i.

Z K(x)dx = 1

k(x) ≥ 0,

ii. k(x) = 0, iii.

|x| > l,

√ ˆ ˆ K(t) = |k(t) 2π| = O (exp(−|t|u(|t|)) f¨ ur alle |t| ≥ 1.

Beweis: Siehe Handout.

Bemerkung 1.33. Dieses Ergebnis ist auch gleich die bestm¨ ogliche Wachstumsrate f¨ ur die charakeristische Funktion des Wahrscheinlichkeitsinhalts. Genauer: Es ist gezeigt, dass f¨ ur eine reellwertige, nichtnegative, nicht steigende Funktion u auf [1, ∞) mit Z ∞ u(t) dt = ∞ t 1 kein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit den Eigenschaften aus Satz 1.32 existiert. Der Beweis benutzt das Resultat von Paley-Wiener: R F¨ ur f ∈ L2 (R), d.h. |f (x)|dx < ∞ ist Z

∞

−∞

| log |fˆ(t)|| dt < ∞. 1 + t2

17


1.6 Vergleich von Inhalten Bemerkung 1.34. Alle Regeln (z.B. Proposition 1.29) f¨ ur Faltungen und Fouriertransformationen gelten auch f¨ ur Summen von einfachen Inhalten. Diese Summen seien im Folgenden kurz Inhalte genannt. Proposition 1.35. Es gilt f¨ ur alle Kombinationen von endlichen einfachen Inhalten µ und ν vom Typ (α) und Typ (β): i. Die Faltung µ ∗ ν ist wieder ein einfacher Inhalt mit den Regeln a) ”(β) ∗ (β) = (β)” b) ”(β) ∗ (α) = (α)” c) ”(α) ∗ (α) = (α)” ii. Sei f bez¨ uglich µ, ν integrierbar. Dann ist Z Z ∞ Z ∞ Z f dµ ∗ ν = f (x + y)µ(dy) ν(dx) = f dν ∗ µ. −∞

−∞

¨ Beweis: Ubung.

Definition 1.36. Sei f : R → R st¨ uckweise stetig. Dann ist f+ε :=

sup

f (y),

y∈[x−ε,x+ε]

f−ε :=

inf

f (y)

y∈[x−ε,x+ε]

und fδε (x) := f+ε (x) − f−ε (x). Lemma 1.37. Sei ε > 0 und Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit Kε ([−ε, ε]) = 1, Kε (R) = 1. Ferner seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte und ν := ν+ − ν− der signierte Inhalt. Weiterhin sei f st¨ uckweise stetig und bez¨ uglich µ, ν+ , ν− integrierbar. Wir definieren Z Z Z f d(µ − ν) := f dµ − f dν. Dann ist Z Z Z ε ε f d(µ − ν) ≤ max f+ d(µ − ν) ∗ Kε , − f− d(µ − ν) ∗ Kε | {z } =:γ(f,ε)

Z + max | wobei

Z

f+ε d(µ

f+2ε

Z

− f d(ν+ ), {z

(f −

f−2ε )d(ν+ )

f+ε dµ

Z ∗ Kε −

, }

=:τ (f,2ε)

Z − ν) ∗ Kε :=

f+ε dν ∗ Kε

ist. Hier sind die f±ε wieder µ, ν± -integrierbar und (µ − ν) ∗ Kε ist eine Linearkombination von einfachen Inhalten vom Typ (α).

18

1.6 Vergleich von Inhalten

Beweis: i. Wir betrachten zun¨ achst Z γ(f, ε) ≥ f+ε d(µ − ν) ∗ Kε Z ε Z ∞ = f+ε (y + x) (µ − ν)(dy) Kε (dx) −ε −∞ Z ε Z ∞ Z ∞ Z ∞ ε ε = f+ (y + x) µ(dy) − f (y)ν(dy) − (f+ (y + x) − f (y))νd(y) Kε (dx) −ε −∞ −∞ −∞ | {z } | {z } =:I1

=:I2

F¨ ur |x| ≤ ε gilt per Definition von f+ε f+2ε (y) ≥ f+ε (x + y) ≥ f (y).

(1.18)

Da das ¨ außere Integral nur u ¨ber Werte |x| < ε läuft, lässt sich I1 also nach unten abschätzen durch Z ∞ I1 ≥

f (y)µ(dy). −∞

Weiter gilt I2 = −

Z

∞

Z

∞

f+ε (y + x) − f (y) (ν+ − ν− )(dy) {z } | −∞ ≥0

≥− −∞ (1.18)

≥ −

Z

f+ε (y + x) − f (y)ν+ (dy) (f 2ε (y) − f (y)) ν+ dy, } | + {z ≥0

also insgesamt Z

ε

Z

γ(f, ε) ≥ Kε [−ε,ε]=1

Z−ε ∞

=

−∞

∞

Z

∞

(f+2ε (y)

f (y) (µ − ν)(dy) − −∞ Z ∞ 2ε f d(µ − ν) − (f+ − f )dν+ −∞

− f (y))ν+ (dy) Kε (dx) (?)

−∞

Z ≥

f d(µ − ν) − τ (f, 2ε).

ii. Analog gilt Z

∞

f−ε d(µ − ν) ∗ Kε − γ(f, ε) ≤ −∞ Z ε Z ∞ Z Z ∞ ε ε = f− (y + x) µ(dy) − f (y)ν(dy) + (f (y) − f− (y + x)) ν(dy) Kε (dx) {z } {z } −ε −∞ | −∞ | Z ≤

≤f (y) Z ∞

f d(µ − ν) + −∞

≥0

(f − f−2ε )dν+ , (??)

19

1 Die Fouriertransformation da f¨ ur |x| ≤ ε auch f−2ε ≤ f−ε (y + x) ≤ f (y) ist. Insgesamt ergibt sich also Z −γ(f, ε) − τ (f, 2ε) ≤ −γ(f, ε) − (f − f−2ε )dν+ Z (??) ≤ f d(µ − ν) (?)

≤ γ(f, ε) + τ (f, 2ε), woraus sich unmittelbar die Behauptung ergibt. Korollar 1.38. Es gilt Z Z f d(µ − ν) ≤ γ(f, ε) + f 2ε dν+ δ

(1.19)

ur a, b ≥ 0 Beweis: Per Definition ist fδ2ε = f+2ε − f−2ε . Also folgt mit max(a, b) ≤ a + b f¨ Z Z Z 2ε 2ε f d(µ − ν) ≤ γ(f, ε) + max f − f dν , f − f dν + + + − Z Z Z 2ε 2ε ≤ γ(f, ε) + (f+ − f )dν+ + (f − f− )dν+ = γ(f, ε) + fδ2ε dν+ Korollar 1.39. F¨ ur f (x) := I(−∞,a] (x) gilt |µ((−∞, a]) − ν((−∞, a])| ≤ max |((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a ± ε])| + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) +,−

(1.20)

Beweis: In diesem Fall f+ε (x) = I(∞,a+ε] (x), f−ε (x) = I(−∞,a−ε] (x) und I[a−ε,a+ε] (x). Somit ist

R

fδ2ε dν+ = ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) und Z

a+ε

Z

a−ε

1 d(µ − ν) ∗ Kε , −

γ(f, ε) = max −∞

1 d(µ − ν) ∗ Kε

−∞

= max |(µ−ν)∗Kε ((−∞, a±ε])|. +,−

Seien nun µ, ν endliche Inhalte auf R. Wir setzen Kε := Hε,m , m gerade, m ≥ 4. Dann ist wegen Kε ([−ε, ε])c = 0 Kε (R) = 1 = Kε ([−ε, ε]). (µ − ν) ∗ Kε hat eine Dichte vom (Typ (α)), denn Hε,m hat die Dichte (vgl. (1.14)) ∗m hε,m (x) = U[− mε , mε ] (x).

20

1.6 Vergleich von Inhalten Die Dichte von (µ − ν) ∗ Kε ist definiert durch Z ∞ pµ,ν,ε (x) := hε,m (x − y) (µ − ν)(dy) −∞

und es gilt

√

(1.15) ˆ ε (t). 2π pˆµ,ν,ε (t) = [(µ − ν) ∗ Kε (t)]∧ (t) = (ˆ µ(t) − νˆ(t))K

Um nun den Satz u ¨ber die Fourierinversion von Funktionen (vgl. Proposition 1.12) anwenden zu können, m¨ ussen wir noch zeigen, dass kˆ pµ,ν,ε (t)k1 < ∞. Wir wissen

Dar¨ uber hinaus ist

Z

Z |ˆ µ(t)| =

ˆ ε (t)|dt < ∞. t2 |K

∞ itx

e

Z µ(dx) ≤

∞

µ(dx) < ∞

∀t,

−∞

−∞

also sind supt |ˆ µ(t)| < ∞ und analog supt |ˆ ν (t)| < ∞. Somit folgt Z ∞ 1 ˆ ε (t)dt. pµ,ν,ε (x) = e−itx (ˆ µ − νˆ)(t)K 2π −∞ Korollar 1.40. Seien µ, ν endliche Inhalte, ν = ν+ − ν− , µ(R) = ν(R) und Z Z |x|µ(dx) + |x|(ν+ − ν− )(dx) < ∞. Dann gilt f¨ ur alle a ∈ R ∞

µ ˆ (t) − ν ˆ (t) ˆ ε (t) dt + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]). K t −∞ R ˆ ε (t)| < ∞. Dabei ist Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit Kε ([−ε, ε]) = 1 und |K 1 |µ((−∞, a]) − ν((−∞, a])| ≤ 2π

Z

∗m , m ≥ 2. Bemerkung: Kε ist frei w¨ ahlbar, z.B. Kε = Hε,m

Beweis: Sei t ∈ R\{0} beliebig. Dann ist Z itx µ ˆ(t) − νˆ(t) = e (µ − ν)(dx) t t Z itx e − 1 µ(R)=ν(R) = (µ − ν)(dx) t Z itx e − 1 (µ − ν+ + ν− )(dx). ≤ t itx F¨ ur alle t ∈ R\{0} l¨ asst sich e t−1 durch |x| majorisieren, so dass u ¨ber Messbarkeit und integrierbarer Majorante die Integrabilität des Ausdrucks folgt. Aus diesem Grund ist Z ∞ i ˆ(t) − νˆ(t) ˆ ε (t) µ Pµ,ν,ε (a) := e−ita K dt (1.21) 2π −∞ t wohldefiniert und 0 Pµ,ν,ε (a) =

1 2π

Z

∞

−∞

ˆ ε (t) e−ita K

µ ˆ(t) − νˆ(t) dt = pµ,ν,ε (a), t

21

1 Die Fouriertransformation wobei pµ,ν,ε (a) die Dichte von ((µ − ν) ∗ Kε ) ist. Um Integration und Differentiation mittels Lebesgue vertauschen zu k¨ onnen, m¨ ussen wir eine integrierbare Majorante finden, was leicht möglich ist. Es folgt Z a

Pµ,ν,ε (a) =

C ∈ R.

pµ,ν,ε (t)dt + C, −∞

Da nach dem Riemann-Lebesgue-Lemma (vgl. 1.27) lima→±∞ Pµ,ν,ε (a) = 0 gilt, folgt C = 0. Also ist Z a ((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a]) = pµ,ν,ε (t)dt = Pµ,ν,ε (a). −∞

und somit 1 max |((µ − ν) ∗ Kε )((−∞, a ± ε])| ≤ sup |Pµ,ν,ε (a)| ≤ +,− 2π a Die Behauptung folgt nun aus Korollar 1.39.

∞

µ ˆ(t) − νˆ(t) ˆ |Kε (t)| · dt < ∞. t −∞ (1.22)

Z

Bisher haben wir ein Wahrscheinlichkeitsinhalt Kε mit Kε ([−ε, ε]) = 1 betrachtet. Jetzt wollen wir einen Wahrscheinlichkeitsinhalt Kε mit α := Kε ([−ε, ε]) > 12 genauer untersuchen. Das folgende Lemma entspricht dem Lemma 1.37. Lemma 1.41. Seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte, ν := ν+ − ν− und f eine µ, ν+ , ν− -integrierbare, beschr¨ ankte Funktion. Ferner sei Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt mit 1 α := Kε ([−ε, ε]) > . 2 Dann gilt Z 1 ∗ ∗ ∗ f d(µ − ν) ≤ 2α − 1 (γ (f, ε) + ατ (f, 2ε) + (1 − α)τ (f, ε)) . Hierbei sind γ ∗ (f, ε) := sup{γ(fy , ε)|y ∈ R} und τ ∗ (f, ε) := sup{τ (fy , ε)|y ∈ R}, wobei fy die zu f verschobene Funktion sei, d.h. fy := f (x + y), x, y ∈ R. Beweis: Siehe Handout.

Sei nun f : R → R st¨ uckweise stetig, beschränkt, ε > 0 und µ ein endlicher Inhalt. Dann ist das mittlere Schwingungsmodul (”average modules of oscillation”) gegeben durch Z ω(f, ε, µ) := fδε µ(dx) mit fδε := f+ε − f−ε und

ω ∗ (f, ε, µ) := sup{w(fy , ε, µ)|y ∈ R}.

Korollar 1.42. Unter den Voraussetzung von Lemma 1.41 gilt: Z f d(µ − ν) ≤ (2α − 1)−1 (γ ∗ (f, ε) + αω ∗ (f, 2ε, ν + ) + (1 − α)ω ∗ (f, ε, ν + )) ≤ (2α − 1)−1 (γ ∗ (f, ε) + ω ∗ (f, 2ε, ν + ))

22

1.7 Vergleich unendlicher Inhalte

Beweis: Im Beweis zu Korollar 1.38 hatten wir Z Z Z Z ε + ε + ε ε + τ (f, ε) = max (f+ − f )dν , (f − f− )dν ≤ (f+ − f− )dν = fdε dν + = ω(f, ε, ν + ). Supremumsbildung liefert τ ∗ (f, ε) ≤∗ (f, ε) ≤ ω ∗ (f, ε, ν + ) ≤ ω ∗ (f, 2ε, ν + ). Anwendung: F¨ ur f = I]−∞,a] , a ∈ R folgt daraus 1 |µ((−∞, a]) − ν(−∞, a])| ≤ 2α − 1

sup((µ − ν) ∗ Kε ) ((−∞, x]) + sup ν ((x − 2ε, x + 2ε]) . +

x∈R

x∈R

Das folgende Korollar entspricht Korollar 1.40. Korollar 1.43. Seien µ, ν+ , ν− endliche Inhalte, ν = ν+ − ν− , µ(R) = ν(R) und Z Z |x|µ(dx) + |x|(ν− + ν− )(dx) < ∞. Weiter sei Kε ein Wahrscheinlichkeitsinhalt, α := Kε ([−ε, ε]) > Z ˆ ε (t)|dt < ∞. |K

1 2

mit

Dann ist Z ∞ µ 1 1 ˆ(t) − νˆ(t) ˆ |Kε (t)| · sup |µ((−∞, x]) − ν((−∞, x])| ≤ dt 2α − 1 2π −∞ t x∈R + sup ν+ ((x − 2ε, x + 2ε]) x∈R

1.7 Vergleich unendlicher Inhalte Beispiel 1.44. Sei a < b, a, b ≥ 0. Das Z¨ ahlmaß (im Primzahlsatz) ist gegeben durch µ((a, b]) := #{n ∈ N| log n ∈ (a, b]}. Eine erste Approximation dieser Summation geschieht durch Integration: Z ν((a, b]) := 1 dx. {x∈R| log x∈(a,b]}

Der Z¨ ahlinhalt korrespondiert mit dem L¨ angeninhalt und Summen mit Gewichten 1 entsprechen dem Riemannintegral. Wir wollen nun den Fehler absch¨ atzen: i. F¨ ur (µ − ν)([0, n]) divergiert die Differenz f¨ ur n → ∞. Der optimale Fehler ist hier also einfach zu bestimmen: µ((0, n]) = #{k ∈ N| log k ∈ [0, n]} = #{1, . . . , [en ]} = [en ]

23

1 Die Fouriertransformation Z ν((0, n]) =

1 dx {log x∈[0,n]}

Z =

I[0,n] (log x)dx Z

=

I[0,n] (log ey )ey dy = en − 1

Also ist der Fehler maximal 1. ii. Betrachten wir jedoch (µ ∗ µ − ν ∗ ν)([0, n]), so ist die Errechnung des optimalen Fehlers sehr schwierig. Wir ziehen hierzu eine exponentielle Transformation von µ und ν heran, falls µ(R− ) = ν(R− ) = 0 ist. Sei also f¨ ur σ > 0 zu µ µσ der folgende Inhalt Z b µσ ((a, b]) := e−σx µ(dx), 0 ≤ a ≤ b. a

Oftmals ist dann µσ ein endlicher Inhalt vom Typ (α) oder (β) (d.h. Summe oder Integral) f¨ ur alle σ ≥ σ0 > 0. Falls jedoch µ((−∞, 0)) > 0 ist, so wird manchmal µσ nur in einem Intervall [σ1 , σ2 ], σ2 ≥ σ1 > 0 ein endlicher Inhalt. ur σ > 0 und µ(R− ) = ν(R− ) = 0. Proposition 1.45. Seien µ, ν Inhalte mit endlichen µσ , νσ f¨ Dann gilt f¨ ur t ∈ R und σ > 0 i. µσ ∗ νσ = (µ ∗ ν)σ

(1.23)

ii. F¨ ur die Laplace-Transformierte µσ = µσ (R) ist µ ˆσ (t) = µ ˆ(t + iσ), µ ˆσ wird Fourier-Laplace-Transformierte genannt. iii. µ[ ∗ ν(t + iσ) = µ ˆ(t + iσ) · νˆ(t + iσ). Beweis: i. Es ist Z (µ ∗ ν)((a, b]) =

I(a,b] (z)µ ∗ ν(dz) Z Z = I(a,b] (x + y)µ(dx) ν(dy). Z = µ((a, b] − y)ν(dy).

Wir wissen, dass µ((a, b] − y) = 0 f¨ ur y > b und ν(y) = 0 f¨ ur y < 0. Also ist Z (µ ∗ ν)((a, b]) = 0

b

µ((a, b] − y) ν(dz) < ∞, | {z }

≤µ((−∞,b]) 0 und f (x) = 0 f¨ ur x ≤ 0, wobei f k-mal stetig differenzierbar, k ≥ 1, ist mit Z b |f (k) (x)|dx < ∞ a

f¨ ur alle 0 ≤ a < b < ∞ und f¨ ur σ ≥ σ0 Z ∞

|f (k) (x)|e−σx dx < ∞.

0

Dann gilt (k) (t + iσ) = ((−i)(t + iσ))k fˆ(t + iσ), fd

σ ≥ σ0 .

(1.25)

Falls f (k) die Dichte des zugeh¨ origen signierten Inhalts µ(k) ist, gilt (k) (t + iσ) = (−it + σ)k µ µd ˆ(t + iσ).

Beweis: Sei o.B.d.A. k = 1. Der Rest ist Induktion. Dann gilt Z ∞ Z T 0 −σx itx f (x)e e dx = lim f 0 (x)e(it−σ)x dx T →∞ 0

0

Partielle Integration liefert Z T Z 0 (it−σ)x (it−σ)x T f (x)e dx = f (x)e − 0 0

T

(it − σ)e(it−σ)x f (x)dx.

(1.26)

0

Aus f (0) = 0 folgt mittels Hauptsatz der Integal- und Differentialrechnung Z x f (x) = f 0 (y)dy, 0

also

Z |f (x)| ≤

x

|f 0 (y)|dy.

0

25


Somit ist Z

T

−σx

|f (x)|e

T

Z

x

Z

dx ≤

0

−σx

|f (y)|dy e

0

0

T

Z

Z

T

dx ≤

0

0

0

|f (y)|dy e−σx dx,

y

da der Integrand stets positiv ist und 0 ≤ y ≤ x ≤ T gilt. Wir wenden nun den Satz von Fubini (vgl. 1.5) an (Integrierbarkeit nach x bzw. y gegeben), so dass folgt T

Z

−σx

|f (x)|e

Z y T

Z

−σx

|f (x)|e 0

T

−σx

e 0

Mit

T

Z

dx ≤

0

ist nun

T

Z

dx |f 0 (y)|dy.

y

T 1 1 e−σx dx = − e−σx y ≤ e−σy σ σ

1 dx ≤ σ

T

Z

e−σy |f 0 (y)|dy < ∞,

f¨ ur

σ ≥ σ0 > 0.

0

Somit existiert Z lim

T →∞ 0

T

e(it−σ)x f (x)dx =

Z

∞

e(it−σ)x f (x)dx = fˆ(t + iσ).

0

F¨ ur den Randterm in (1.26) gilt Z

T

lim

T →∞ 0

−σx

|f (x)|e

1 dx ≤ σ

Z

∞

e−σy |f 0 (y)|dy < ∞,

0

d.h., da f stetig ist, gibt es eine geeignete Teilfolge Tn , so dass gilt lim |f (Tn )|e−σTn = 0

n→∞

Also gilt zusammenfassend Z ∞ Z 0 (it−σ)x f (x)e dx = (−i(t + iσ)) 0

∞

e(it−σ)x f (x)dx.

0

1.8 Gl¨ attungsungleichungen f¨ ur unbeschr¨ ankte Inhalte Seien ν± , µ Inhalte ν = ν+ − ν− , (ν+ + ν− + µ)(iσ) < ∞ und (µ + ν+ + ν− )(R− ) = 0.

∗m

Ferner sei Kε := U[− mε , mε ] eine Gl¨ attungsverteilung wie in (1.16) mit m ≥ 4 und Kε (R\[−ε, ε]) = ˆ ε (t + iσ) f¨ 0. Dann existiert K ur σ > 0 und es gilt f¨ ur a ≥ 0 Z ∞ (ˆ 1 µ − νˆ)(t + iσ) ˆ |(µ − ν)((−∞, a])| ≤ eσ(a+ε) Kε (t + iσ) dt + ν+ ([a − 2ε, a + 2ε]) (1.27) 2π −∞ t + iσ

26

1.8 Glättungsungleichungen f¨ ur unbeschränkte Inhalte

und

Z

1 (µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a]) = 2π

∞

eσa−iat

−∞

(ˆ µ − νˆ)(t + iσ) ˆ Kε (t + iσ)dt. (−i)(t + iσ)

(1.28)

Beweis: Wir benutzen die Fourierinversion, um (1.28) zu zeigen. Sei fε die Dichte von Fε (a) := (µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a]), d.h. Fε0 (a) = fε (a). Dann ist −σa

e

∞

1.12

Z

1.46

−∞ Z ∞

1 Fε (a) = 2π =

1 2π

e−ita Fˆε (t + iσ)dt e−ita

−∞

fˆε (t + iσ) dt −it + σ

Also folgt durch Multiplikation mit eσa Z ∞ 1 (ˆ µ − νˆ)(t + iσ) ˆ Fε (a) = e−i(t+iσ)a K(t + iσ)dt. 2π −∞ −it + σ Es bleibt also nur noch die Existenz des Integrals zu u ufen. Nach Voraussetzung ist ¨berpr¨ µ ˆ(iσ) + νˆ+ (iσ) + νˆ− (iσ) ≤ c(µ, ν), also gilt fˆ (t + iσ) c(µ, ν) ε ˆ ε (t + iσ)|. ˆ ε (t + iσ) ≤ K |K 2 (t + σ 2 )1/2 t + iσ Weiter ist

sin ε (t + iσ) m m ˆ |Kε (t + iσ)| = . (t + iσ) ε m m

Da sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) ist, folgt ε ε ε ε ε ε t + cosh σ sin t . iσ + t = sinh σ cos sin m m {zm } | {zm } {zm } | {zm } | | ε

|·|≤|e m σ |

Somit ist

ε

|·|≤1

ˆ ε (t + iσ)| ≤ ce( m σ)m · |K

m m ε

ε

|·|≤|e m σ |

|·|≤1

(σ 2 + t2 )1/2 .

Mit Satz 1.35 und Korollar 1.39 gilt also (1.28). |(µ − ν)((−∞, a])| ≤ max |(µ − ν) ∗ Kε ((−∞, a ± ε]| + ν+ [a − 2ε, a + 2ε], +,−

woraus die Ungleichung folgt.

27


28

2 Der Primzahlsatz Sofern nichts anderes angegeben ist, sei im Folgenden stets s = σ + it (s ∈ C, σ ∈ R, t ∈ R). Vergleich von Summe und Integral Lemma 2.1 (Euler-MacLaurin). Seien a < b und f : [a, b] −→ R stetig differenzierbar. Sei [x] := max{n ∈ Z : n ≤ x}. Dann gilt mit ξ(x) := x − [x] − 12 X

b

Z f (n) =

a 1 (statt f¨ ur σ < 0) erkl¨ art sind. Es sei µ der Z¨ ahlinhalt“ auf Z und λ der Längeninhalt“ auf R. Betrachten wir nun ” ” µ+ := µ|[1,∞) und λ+ := λ|[1,∞) und ihre Mellin-Transformierten f¨ ur σ > 1, Z µ e+ (σ + it) =

∞

−σ−it

x 0

µ+ (dx) =

∞ X n=1

n

−σ−it

=

∞ X

n−s =: ζ(s)

(2.7)

n=1

29

2 Der Primzahlsatz

(dies ist die sogenannte ζ-Funktion) und Z ∞ Z −σ−it e λ+ (σ + it) = x λ+ (dx) = 0

∞

−σ−it

x

∞

Z dx =

1

x−s dx =

1

1 . s−1

(2.8)

... Es gilt Y

ζ(s) =

(1 − p−s )−1 ,

Re(s) > 1 ,

(2.13)

p prim

die Euler’sche Formel. Die Dirichlet-Reihe µ e+ (s) =

P∞

n=1 n

Z e+ (s) = µ e+ (s) − λ

−s

∞

konvergiert absolut f¨ ur Re(s) > 1. Betrachtet man nun

x−s (µ+ − λ+ )(dx) =

0

∞ X

n−s −

n=1

1 , s−1

so gilt nach Euler-MacLaurin (Lemma 2.1) b X n=a+1

n

−s

b Z b x1−s b −(1+s) −s − =− ξ(x)x s dx − ξ(x)x . 1−s a a a

Setze a = 1, lasse b → ∞ und addiere 1. Dann folgt aus (2.14) f¨ ur Re(s) > 1 Z ∞ 1 1 ζ(s) − =− ξ(x)x−(1+s) s dx + , s−1 2 1

(2.14)

(2.15)

denn (1) es gilt 1−s 1−σ b = lim b lim =0 b→∞ |1 − s| b→∞ 1 − s f¨ ur σ > 1, (2) die Folge der Integrale konvergiert wegen Z Z ∞ 1 ∞ −(1+σ) 1 −(1+σ) |ξ(x)|x dx ≤ x dx ≤ 2 1 2σ 1 f¨ ur σ > 0, (3) es gilt lim |ξ(b)b−s | ≤ lim b−σ = 0

b→∞

b→∞

f¨ ur σ > 0. 1 Nun gilt: ζ(s) ist durch die Dirichletreihe (2.7) f¨ ist bis auf ur Re(s) > 1 definiert, s−1 R∞ −(1+s) den Pol bei s = 1 u dx ist f¨ ur Re(s) > 0 wohl¨berall definiert, und s 7−→ s 1 ξ(x)x definiert und endlich!

Folgerung: ζ(s) ist f¨ ur alle Re(s) > 0 u ¨ber (2.15) definiert und hat einen Pol bei s = 1. In der Funktionentheorie heißt dies analytische Fortsetzung von ζ(s), Re(s) > 1.

30

2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) Lemma 2.3. Die komplexwertige Funktion ζ(s) ist f¨ ur alle s0 mit Re(s0 ) > 0, s0 6= 1 in eine konvergente Potenzreihe um s0 entwickelbar. Man nennt eine solche Funktion analytisch oder regul¨ ar in Re(s) > 0, s 6= 1. Beweis. (1) Es gilt 1 1 1 1 = = 0 s−1 (s − s0 ) + (s0 − 1) s0 − 1 1 + ss−s 0 −1 k ∞ X 1 k s − s0 (−1) , = s0 − 1 s0 − 1 k=0

0 falls | ss−s | < 1, d. h. |s − s0 | < |s0 − 1|. Also ist 0 −1 (2) Im Integral in (2.15) ist

1 s−1

analytisch.

x−(1+s) = x−(s−s0 )−(1+s0 ) = exp(−(s − s0 ) log x)x−(1+s0 ) ∞ X (− log x)k (s − s0 )k x−(1+s0 ) . = k! k=0

Mit dem Satz u ¨ber dominierte Konvergenz kann man Integral und Summe vertauschen, d. h. es gilt Z Z ∞ ∞ X 1 ∞ k dx −(1+s) ξ(x)(− log x) 1+s0 (s − s0 )k . u(s) := ξ(x)x ds = k! 1 x 1 k=0

Es gilt nämlich ∞ ∞ X k X (− log x) | log x|k (s − s0 )k x−(1+s0 ) ≤ |s − s0 |k x−(1+σ0 ) ξ(x) k! k! k=0

k=0

= exp(|s − s0 | log x)x−(1+σ0 ) = x|s−s0 |−1−σ0 =: h(x) R∞ und 0 h(x) dx < ∞, falls |s−s0 | < σ0 . (Statt dominierter Konvergenz reicht auch gleichmäßige R Konvergenz auf {| log x| ≤ N } und Abschätzung von · · · 1 {| log x|>N } dx.)

2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s) F¨ ur festes σ > 1 hat ζ0 (t) :=

∞ ∞ X ζ(σ + it) X −σ = n exp(−it log n) / n−σ ζ(σ) n=1

(2.16)

n=1

Maximumbetrag 1, n¨ amlich f¨ ur t = 0, aber nicht f¨ ur t 6= 0. Sonst m¨ ussten nämlich alle ur exp(−it log n) gleich sein, d. h. es m¨ ussten α ∈ R, kn ∈ Z existieren mit log n = (α + 2πkn )/t f¨ alle n ∈ N, was offenbar nicht m¨ oglich ist. Wir benutzen jetzt die Ungleichung 3 + 4 cos ϕ + cos 2ϕ = 3 + 4 cos ϕ + 2 cos2 ϕ − 1 = 2(1 + cos ϕ)2 ≥ 0 .

(2.17)

31

2 Der Primzahlsatz

Die Euler-Produktdarstellung (2.13) ist f¨ ur Re(s) > 1 (absolut) konvergent. Logarithmieren liefert die f¨ ur Re(s) > 1 (absolut) konvergente Reihe X

log ζ(s) = −

log(1 − p−s ) = +

∞ X X 1 −ms p . m

(2.18)

p prim m=1

p prim

(Da komplexe Logarithmen nicht eindeutig bestimmt sind, sollte man dies wie folgt verstehen: F¨ ur z ∈ C mit Re(z) > 0 sei log z so gewählt, dass Im(log z) ∈ (−π/2, +π/2). Damit ist die rechte Seite in (2.18) wohldefiniert, da Re(1 − p−s ) > 0, und es gilt auch die verwendete Reihenentwicklung f¨ ur den Logarithmus. Nun definiere man log ζ(s) durch die rechte Seite in (2.18). Dann gilt Y Y exp(log ζ(s)) = exp(− log(1 − p−s )) = (1 − p−s )−1 = ζ(s), p prim

p prim

d. h. die Bezeichnung log ζ ist (im Sinne der Funktionentheorie) gerechtfertigt.) Aus (2.18) folgt   ∞ X X 1 −mσ itm log p  ζ(s) = exp  p e m p prim m=1

und

 ∞ X X 1 −mσ |ζ(s)| = exp  p cos(tm log p) . m 

p prim m=1

ur σ > 1 das Produkt Um (2.17) zu benutzen, bilde f¨ ζ 3 (σ)|ζ(σ + it)|4 |ζ(σ + 2it)| = exp

! ∞ X X 1 −mσ p (3 + 4 cos(tm log p) + cos(2tm log p)) ≥ 1. {z } | m

p prim m=1

(2.19)

≥0 nach (2.17)

Insbesondere gilt also ζ(s) 6= 0 f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) > 1. Dar¨ uber hinaus gilt: Satz 2.4. Es gilt ζ(s) 6= 0 f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1. Beweis. Nach der Bemerkung zu (2.16) bzw. nach (2.15) gilt f¨ ur s = σ + it, σ > 1 Z 1 1 ∞ −(1+σ) 1 1 |ζ(s)| ≤ ζ(σ) ≤ + x σ dx + = + 1. σ−1 2 1 2 σ−1

(2.20)

Angenommen, ζ(1 + it) = 0. Da ζ(s) in 1 + it, 1 + 2it analytisch ist (Lemma 2.3), gilt dann |ζ(σ + it)| ≤ |σ − 1|c1 sowie |ζ(σ + 2it)| ≤ c2 (mit c1 , c2 > 0) f¨ ur alle |σ − 1| hinreichend klein. Also folgt aus (2.19) und (2.20) 1 ≤ ζ 3 (σ)|ζ(σ + it)|4 |ζ(σ + 2it)| ≤

2 |σ − 1|

f¨ ur alle |σ − 1| hinreichend klein; Widerspruch! Also ist ζ(1 + it) 6= 0 f¨ ur alle t.

3

(c1 |σ − 1|)4 c2 ≤ 8c41 c2 |σ − 1|

Die Gleichmäßigkeit“ in den nachfolgenden Sätzen besagt, dass die in der O-Notation ver” steckten Konstanten unabh¨ angig von σ ∈ [1, 2] gewählt werden können.

32

2.1 Obere und Untere Schranken f¨ ur ζ(s)

Satz 2.5. Es gilt ζ(s) = O(log t)

(t → ∞)

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. ¨ Beweis. Ahnlich ur Re(s) > 0 und beliebiges N ∈ N wie (2.15) ergibt sich f¨ ζ(s) −

N X

n−s = −s

Z

∞

n=1

N

Z N X −s n + s |ζ(s)| ≤

∞

ξ(x)x−(s+1) dx +

N 1−s 1 −s − N s−1 2

(2.22)

und somit

≤

≤

n=1 N X n=1

n

ξ(x)x

N

n=1

N X

−(s+1)

−σ

1 + |s| 2

Z

∞

1−s N 1 −s + N dx + s − 1 2

x−(σ+1) dx +

N

N 1−σ 1 + N −σ |s − 1| 2

1 N −σ N 1−σ 1 n−σ + |s| + + N −σ . 2 σ |s − 1| 2

F¨ ur σ ≥ 1, t ≥ 1 gilt daher mit N := [t] |ζ(s)| ≤

N X n=1

1 1 1 n−1 + (1 + t)N −1 + + N −1 = O(log N ) = O(log t) , 2 t 2

gleichmäßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2.

Satz 2.6. Es gilt ζ 0 (s) = O(log2 t)

(t → ∞)

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Differenziation nach s in (2.22) liefert eine ähnliche Formel f¨ ur ζ 0 (s), allerdings mit einem zusätzlichen Faktor log N in einigen Termen. Eine ähnliche Abschätzung wie im Beweis zu Satz 2.5 liefert die Behauptung. Satz 2.7. Es gilt 1 = O(log7 t) ζ(s)

(t → ∞)

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Nach (2.19), (2.20) und Satz 2.5 gilt f¨ ur σ ∈ ]1, 2] und t >> 0 1 (log t)1/4 ≤ ζ(σ)3/4 |ζ(σ + 2it)|1/4 ≤ c1 · |ζ(σ + it)| (σ − 1)3/4

(2.23)

mit einer Konstanten c1 > 0, die nicht von σ ∈ ]1, 2] abhängt. Nach Satz 2.6 gilt f¨ ur σ, σ 0 ∈ [1, 2] und t > >0 0

Z

|ζ(σ + it) − ζ(σ + it)| ≤

σ0

|ζ 0 (u + it)| du ≤ c2 |σ 0 − σ| log2 t

(2.24)

σ

33

2 Der Primzahlsatz mit einer Konstanten c2 > 0, die nicht von σ ∈ [1, 2] abhängt. Sei nun A > 0. F¨ ur σ ≥ 1 + (A/ log9 t), t > > 0 gilt dann wegen (2.23) c1 1 ≤ 3/4 log7 t. |ζ(σ + it)| A F¨ ur σ ≤ 1 + (A/ log9 t), t > > 0 folgt dann wegen (2.24) mit σ 0 := 1 + (A/ log9 t) 3/4 |ζ(σ + it)| ≥ |ζ(σ 0 + it)| − c2 (σ 0 − σ) log2 t ≥ c−1 A − c A log−7 t. 2 1 W¨ ahlt man daher A hinreichend klein, so folgt die Behauptung. Korollar 2.8. Es gilt

ζ 0 (s) = O(log9 t) ζ(s)

(t → ∞)

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Dies folgt unmittelbar aus den S¨ atzen 2.6 und 2.7.

F¨ ur das nächste Ergebnis sei angemerkt, dass sich die Funktion log ζ(s), die in (2.18) auf Re(s) > 1 definiert worden ist, auf Re(s) ≥ 1 fortsetzen lässt. (Dies ist möglich, weil ζ(s) auf Re(s) ≥ 1 analytisch und nullstellenfrei ist.) log ζ(s) ist dann auf Re(s) ≥ 1 analytisch, und es gilt exp(log ζ(s)) = ζ(s)

(log ζ)0 (s) = ζ 0 (s)/ζ(s)

sowie

f¨ ur alle s ∈ C mit Re(s) ≥ 1, s 6= 1. Korollar 2.9. Es gilt log ζ(s) = O(log9 t)

(t → ∞)

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Es gilt 2

Z log ζ(σ + it) = − σ

ζ 0 (u + it) du + log ζ(2 + it) = O(log9 t) + O(1) ζ(u + it)

(t → ∞),

wobei die Absch¨ atzung des Integrals aus Satz 2.8 folgt und die Abschätzung von log ζ(2 + it) (2.18) verwendet: | log ζ(2 + it)| ≤

∞ X X p prim m=1

p−2m /m = −

X p prim

log(1 − p−2 ) ≤ c

X

p−2 < ∞.

p prim

2.2 Gl¨ attungsungleichungen f¨ ur Mellin-Transformierte Satz 2.10. Seien µ, ν + , ν − Inhalte auf R+ , so dass (µ + ν + + µ− )((0, δ]) = 0 f¨ ur ein δ > 0, und sei Kε , ε > 0, der Inhalt auf R+ mit Z b dx (∗)m , Kε ((a, b]) := U[−ε/m,+ε/m] (log x) x a (∗)m

wobei 0 ≤ a < b < ∞ und U[−ε/m,+ε/m] in (1.30) definiert ist. Bezeichne mit ⊗ die multiplikative Konvolution von Inhalten. Dann gilt f¨ ur alle a > 0:

34

2.3 Der Primzahlsatz

(a) |(µ − ν)((0, a])| ≤ max ((µ − ν) ⊗ Kε )((0, ae±ε ]) + ν+ ([ae−2ε , ae+2ε ]) , ±

(b) Z µ − νe)(s) e 1 (e ±ε s + ν+ ([ae−2ε , ae+2ε ]) , |(µ − ν)((0, a])| ≤ max K (s)(ae ) dt ε ± 2π s R∞ wobei s = σ + it, σ > 0, und f¨ ur Inhalte µ auf R+ µ e(s) := 0 x−s µ(dx) gesetzt werde. ...

2.3 Der Primzahlsatz Die Primzahldichte wird im Intervall [x, x + l] als l / log l vermutet (l 1 gilt π e(s) =

X

p−s = log ζ(s) + ϕ(s) ,

p

νe(s) = − log(s − 1) + ψ(s) , wobei ϕ, ψ f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 beschr¨ ankte analytische Funktionen sind. Insbesondere ist damit (e π − νe)(s) f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 eine beschr¨ ankte analytische Funktion. Ferner gilt (e π − νe)(s) = O(log9 t) (t → ∞) , ∂ (e π − νe)(s) = O(log9 t) ∂t

(t → ∞) ,

gleichm¨ aßig f¨ ur 1 ≤ σ ≤ 2. Beweis. Wegen (2.18) gilt f¨ ur Re(s) > 1 log ζ(s) =

X

p−s − ϕ(s) ,

p prim

wobei ϕ(s) := −

∞ X X

p−ks /k .

k=2 p prim

Diese Definition ist sogar f¨ ur Re(s) > 1/2 sinnvoll, denn dann gilt |ϕ(s)| ≤

∞ X ∞ X k=2 n=2

n

−kσ

≤

∞ X ∞ X n=2 k=2

n

−kσ

∞ X n−2σ ≤ ≤ c ζ(2σ) 1 − n−σ n=2

35

2 Der Primzahlsatz mit einer (von s unabh¨ angigen) Konstanten c > 0. Damit ist ϕ auf Re(s) ≥ eine beschränkte analytische Funktion. (Auf ähnliche Weise sieht man, dass auch auf Re(s) ≥ 1 eine beschr¨ ankte analytische Funktion ist.) Da Z ∞

x−s (log x)−1 =

x−(κ+it) dκ

1 ∂ϕ ∂t

(x > 1)

σ

und ∞

Z

x−s dx =

2

2−(s−1) (s − 1)

(σ > 1) ,

folgt mit Vertauschung der Integrationsreihenfolge Z νe(s) =

∞

−s

x

−1

(log x)

Z

∞

dx =

2

σ

2−((κ+it)−1) dκ . ((κ + it) − 1)

Mit Hilfe des letzten Integrals sieht man leicht, dass νe (und auch eine beschränkte analytische Funktion ist. Ferner gilt Z νe(s) =

2

∞

2−((κ+it)−1) dκ + ((κ + it) − 1)

2

Z σ

2−((κ+it)−1) − 1 dκ + ((κ + it) − 1)

∂e ν ∂t )

Z

auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≥ 1

2

1 dκ σ ((κ + it) − 1) {z } | = log(1+it) − log(s−1)

Der Term unter dem mittleren Integral l¨ asst sich in 1 analytisch fortsetzen. Damit sieht man leicht, dass die auftretenden Terme mit Ausnahme von log(s − 1) auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 beschränkte analytische Funktionen darstellen. (e π − νe)(s) ist auf Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 eine beschränkte analytische Funktion, da die Funktion log ζ(s) + log(s − 1) an der Stelle s = 1 analytisch [fortsetzbar] ist. Letzteres ergibt sich daraus, dass die Funktion (s − 1) · ζ(s) nach (2.15) an der Stelle 1 analytisch [fortsetzbar] ist, und zwar mit dem Funktionswert 1. ν Wie bereits angemerkt, sind ϕ(s), ∂ϕ e(s), ∂e ur |t| ≥ 1 beschränkt. Damit gelten ∂t (s), ν ∂t (s) f¨ ∂ die oberen Schranken f¨ ur (e π − νe)(s) bzw. ∂t (e π − νe)(s) nach den Sätzen 2.8 und 2.9. Nach diesen Vorbereitungen zeigen wir: Satz 2.12 (Primzahlsatz). Es gilt Z π(x) −

2

x

dy x ≤ ε(x) , log y log x

wo lim ε(x) = 0 ,

x→∞

d. h. lim

x→∞

denn Z 2

36

x

Z π(x) / 2

x

dy log y

x−2 dy ≥ , log y log x

= 1,

x > 2.

2.3 Der Primzahlsatz

Beweis. Wir wenden die Gl¨ attungsungleichung 2.10 (b) auf die Inhalte π und ν an. Dabei sei a > 2 und σ = 1 gew¨ ahlt. Der Gl¨ attungskern sei K1/T mit m = 4 und einer Konstanten T > 4, die später noch gew¨ ahlt wird. Dann gilt |π((0, a]) − ν((0, a])| ≤ max{|IT (ae1/T )|, |IT (ae−1/T )|} + JT , wo IT (b) :=

1 2πi

Z

+∞

−∞

e 1/T (s)bs (e π (s) − νe(s))K

und Z JT =

[ae−2/T ,ae2/T ]

dt , s

s = 1 + it

dy a(e2/T − e−2/T ) 1 a ≤ ≤ c0 log y (log a) − 2/T T log a

(2.27)

f¨ ur eine Konstante c0 > 0 und T > 4. Nach Proposition 2.11 sind (e π − νe)(s)

∂ (e π − νe)(s) ∂t

und somit

beschränkte analytische Funktionen f¨ ur Re(s) ≥ 1, |s − 1| ≤ 1 mit |(e π − νe)(s)| ≤ c1 (log |t|)9 ,

|t| ≥ 1, s = 1 + it ,

(2.28)

∂ (e π − νe)(s)| ≤ c2 (log |t|)9 , |t| ≥ 1, s = 1 + it , (2.29) ∂t f¨ ur absolute Konstanten c1 , c2 > 0. 1 ∂ it ( i log Im Integral IT (b) schreiben wir bit als ∂t b b ) und wenden partielle Integration an. Die Integrale existieren wegen ( −1 , |t| ≤ T e 1/T (s)s−1 | ≤ c3 |σ + it| |K (2.30) 4 −1 c3 (T /t) |σ + it| , |t| > T ( c4 |σ + it|−2 , |t| ≤ T ∂ e −1 | K1/T (s)s | ≤ (2.31) −1 4 −1 ∂t c4 T (T /t) |σ + it| , |t| > T |

f¨ ur absolute Konstanten c3 , c4 > 0 und wegen (2.28) – (2.29). Da die Randterme in ±∞ verschwinden, erhalten wir IT (b) = I1 + I2 , wo b = ae±1/T und Z e 1/T (s) bs K ∂ 1 (e π − νe)(s) dt I1 = − 2π ∂t s i log b Z Z = . . . dt + . . . dt =: I10 + I1∞ [−T 2 ,T 2 ]

[−T 2 ,T 2 ]C

und 1 I2 = − 2π Z =

Z

∂ (e π − νe)(s) ∂t Z . . . dt +

[−T 2 ,T 2 ]

e 1/T (s) K s

!

bs dt i log b

. . . dt =: I20 + I2∞ .

[−T 2 ,T 2 ]C

Die Integrale Ij,∞ (j = 1, 2) k¨ onnen wir absolut abschätzen mittels (2.28) – (2.31): Z ∞ 2 b dt |I1,∞ | ≤ c2 c3 (log t)9 (T /t)4 |σ + it|−1 2π T 2 log b a ≤ c5 T 4 (T 2 )−3 , log a

(2.32)

37

2 Der Primzahlsatz 2 |I2,∞ | ≤ 2π ≤ c6

Z

∞

c1 c4 (log t)9 T −1 (T /t)4 |σ + it|−1

T2

b dt log b

a T 3 (T 2 )−3 , log a

(2.33)

denn (log t)9 /t ist beschr¨ ankt f¨ ur |t| ≥ T . F¨ ur die Integrale Ij,0 (j = 1, 2) gilt Z +T 2 1 b Ij,0 = ei(log b)t wj (σ + it) dt · , 2π −T 2 log b wo b = ae±1/T und wj (j = 1, 2) analytisch ist mit |w1 (σ + it)| ≤ c7 log(1 + |t|)9 |σ + it|−1 , |w2 (σ + it)| ≤ c8 log(1 + |t|)9 |σ + it|−1 . Anwendung von Riemann-Lebesgue (Satz 1.20) liefert f¨ ur beliebiges ε > 0 und T := max{c0 , c5 , c6 }), dass f¨ ur a ≥ a(ε) gilt a ε (j = 1, 2) , |Ij,0 (a)| ≤ log a 4

6C ε

(C :=

so dass wegen (2.27), (2.32) und (2.33) folgt, dass f¨ ur a ≥ a(ε) gilt ε ε a a |π((0, a]) − ν((0, a])| ≤ c0 T −1 + c5 T −2 + c6 T −3 + + ≤ ε. log a 4 4 log a

2.4 Die Riemann’sche Vermutung Die Konvergenzrate im Primzahlsatz kann verbessert werden, aber bis heute ist nicht bekannt, ob Z x dy 1−ε ∆(x) := π(x) − (2.34) ≤ cε x 2 log y f¨ ur ein ε > 0. Dies ist ¨ aquivalent zu ζ(s) 6= 0, Re(s) ≥ 1 − ε. Die ber¨ uhmte Riemann’sche Vermutung (Riemann 1859) besagt, dass ζ(s) 6= 0, Re(s) > 21 . Wegen der Funktionalgleichung (→ Seminar) ist dann ζ(s) 6= 0, 0 ≤ Re(s) < 12 . Dies ist äquivalent zur Vermutung ∆(x) = Oε (x1/2+ε )

(x → ∞)

f¨ ur alle ε > 0. ¨ Aus den Ubungen ist bekannt, dass −1

ζ(s)

=

∞ X

µ(n)n−s

(Re(s) > 1)

n=1

gilt. Inversion dieser Mellin-Transformation des signierten Inhalts X m((a, b]) := µ(n) n∈(a,b]

liefert, da ζ(s)−1 6= 0 und ζ(s)−1 analytisch auf Re(s) ≥ 1, ähnlich wie im Primzahlsatz |m(x)| ≤ c(x)x , wo lim c(x) = 0 .

x→∞

Weiter gilt:

38

(2.35)

2.4 Die Riemann’sche Vermutung Satz 2.13. Aus m(x) = Oε (x1/2+ε ) (x → ∞) f¨ ur alle ε > 0 folgt: P∞ −s existiert f¨ ur Re(s) > 12 . (i) n=1 n P∞ −s (ii) ist analytisch auf Re(s) > 12 . n=1 n (iii) Die so definierte Funktion ist gleich ζ(s)−1 f¨ ur Re(s) > 1 Re(s) > 2 .

1 2,

und damit gilt ζ(s) 6= 0 f¨ ur

(iv) m(x) = Oε (x1/2+ε ) ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung.

39

2 Der Primzahlsatz

40

3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen 3.1 Definition und Eigenschaften Definition 3.1. Eine Funktion f : R → C heißt periodisch mit Periode L > 0, falls f (x + L) = f (x)

∀x ∈ R

ist. Dann ist x 7→ f (xL) periodisch mit Periode 1. Beispiel 3.2. i. f (x) = sin(2πx), ii. f (x) = cos(2πx), iii. f (x) = e2πix , iv. F¨ ur f : [0, 1] → R k¨ onnen wir uns mit g(x) := f (x − [x]) eine periodische Funktion konstruieren. Bemerkung 3.3. P = {f : R → C|f periodisch (mit Periode 1)} ist ein C-Vektorraum. Definition 3.4. i. C(R/Z) ⊂ P heißt der C-Vektorraum der stetigen, periodischen Funktionen. ii. C ∞ (R/Z) ⊂ P heißt der C-Vektorraum der unendlich oft stetig differenzierbaren, periodischen Funktionen. Hier entspricht R/Z der additiven Gruppe R modulo der additiven Untergruppe Z. Dies ist die ¨ ¨ Gruppe der Aquivalenzklasse bzgl. x ∼ y, wenn x − y ∈ Z. x ∈ R hat somit die Aquivalenzklasse x + Z. Ein Repr¨ asentantensystem von R/Z ist z.B. [0, 1). Ein anderes ist S 1 mit der Bijektion exp : [0, 1) → S 1 ⊂ C, x 7→ exp(2πix). In gleichem Maße wird (R × R)/(Z × Z) mit (R/Z) × (R/Z) = S 1 × S 1 , also mit einem Torus, identifiziert. Bemerkung 3.5. Ein Skalarprodukt auf C(R/Z) wird f¨ ur zwei Riemann-integrierbare Funktionen f, g definiert durch Z 1 hf, gi := f (x)g(x)dx. 0

Wegen der Stetigkeit von f gilt hf, f i = 0 ⇔ f ≡ 0.

41

3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen

Notation: ek (x) := exp(2πikx) = (exp(2πix))k , Proposition 3.6.

i. Falls k, l ∈ Z sind, ist 1 hek , el i = 0

f¨ ur f¨ ur

k ∈ Z.

k=l k 6= l.

ii. {ek |k ∈ Z} sind linear unabh¨ angig in C(R/Z). iii. Falls sich eine Funktion f u ¨ber f (x) =

n X

ck ek (x)

k=−n

darstellen l¨ asst, so ist ck = hf, ek i. ¨ Beweis: Ubung.

Der k-te Fourierkoeffizient ist gegeben durch 1

Z ck (f ) := hf, ek i =

f (x) exp(−2πikx)dx. 0

Die Folge n X

Sn (f ) =

ck (f )ek , n ∈ N

(3.1)

k=−n

heißt Fourier-Reihe. Diese musspnicht notwendigerweise konvergent sein. ullt, das bedeutet F¨ ur f ∈ C(R/Z) sei kf k2 := hf, f i. Dann sind die Normeigenschaften erf¨ f¨ ur λ ∈ C gilt i. kλf k2 = |λ| kf k2 , ii. 0 ≤ kf k2 ,

kf k2 = 0 ⇔ f ≡ 0,

iii. kf1 + f2 k2 ≤ kf1 k2 + kf2 k2

f¨ ur

f1 , f2 ∈ C(R/Z).

Sei R(R/Z) der Vektorraum der komplexwertigen Riemann-integrierbaren Funktionen auf [0, 1), die periodisch sind. Proposition 3.7. Sei f ∈ R(R/Z), ck = hf, ek i. Dann ist

2 n n

X X

|ck |2 . ck ek = kf k22 −

f −

k=−n

k=−n

2

Beweis: Mit g :=

n X

ck ek

k=−n

ist hf, gi =

n X k=−n

42

ck hf, ek i =

n X k=−n

ck ck .

3.2 Konvergenz der Fourierreihe

Außerdem gilt n X

hg, gi =

ck hg, ek i =

k=−n

n X

ck ck .

k=−n

Somit folgt kf −

gk22

kf k22

= hf − g, f − gi =

−2

n X

2

|ck | +

kgk22

=

kf k22

k=−n

−

n X

|ck |2 .

k=−n

Korollar 3.8 (Bessel-Ungleichung). F¨ ur f ∈ R(R/Z) seien ck die Fourierkoeffizienten von f . Dann ist Z 1 n X |ck |2 ≤ |f (x)|2 dx ∀n. 0

k=−n

Beweis: Mit kf k22 =

R1 0

|f (x)|2 dx folgt dies direkt aus Proposition 3.7.

3.2 Konvergenz der Fourierreihe k·k

Definition 3.9. Seien fn , f ∈ R(R/Z). Dann konvergiert fn gegen f in der L2 -Norm (fn →2 f ), wenn lim kfn − f k2 = 0 n→∞

ist. Bemerkung: L2 -Konvergenz impliziert nicht punktweise Konvergenz. Definition 3.10. Eine Riemann’sche Treppenfunktion ist eine Funktion der Form f (x) =

n X

αj IIj (x),

j=1

wobei αj ∈ R und Ij ⊂ [0, 1) geschlossene, halboffene Intervalle sind. Dann gilt Z

1

f (x)dx := 0

m X

αj · L¨ ange (Ij ).

j=1

¨ Ahnlich definiert man Integrale u ¨ber eine komplexwertige Funktion als Integral u ¨ber Real-und Imagin¨ arteil. Erinnerung: f heißt Riemann-integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 Riemann-Treppenfunktionen ϕε , ψε gibt mit ϕε ≤ f ≤ ψε und Z 1 (ψε − ϕε )(x)dx < ε. 0

Ferner benötigen wir folgenden Hilfssatz.

43

3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen Proposition 3.11. F¨ ur x ∈ (0, 1] gilt π

2

1 x −x+ 6 2

=

∞ X cos(2πkx)

k2

k=1

=: f (x).

(3.2)

Insbesondere ist f (x) eine stetige, periodische Funktion. Beweis: Sei α < a < b < β und f : [α, β] → R stetig differenzierbar. F¨ ur k ∈ R sei b

Z F (k) :=

Z f (x) sin(kx)dx =

f (x)I[a,b] (x) sin(kx)dx.

a

Behauptung: lim F (k) = 0

|k|→∞

gleichmäßig in a, b ∈ [α, β]: Partielle Integration liefert: Z cos(kx) b 1 b 0 + f (x) cos(kx)dx. F (k) = −f (x) k a k a Da die Funktionen f, f 0 in [α, β] stetig sind, gibt es ein C > 0, so dass |f (x)| ≤ C und |f 0 (x)| ≤ C f¨ ur alle x ∈ [α, β]. Somit folgt 2C C(b − a) (2 + (b − a))C |k|→∞ + ≤ −→ 0. |k| |k| |k|

F (k) ≤

Somit ist die Behauptung gezeigt. Sei nun x ∈ (0, 1). Dann folgt aus (x ≥ 21 ) x

Z 2π

cos(2πkt)dt = 1 2

sin(2πkx) sin (πk) − k k } | {z

=0 f¨ ur k∈N

und aus (geometrischer Reihe) n X

cos(2πkx) =

k=1

sin((2n + 1)πx) 1 − 2 sin(πx) 2

zusammenfassend n X sin(2πkx)

k

k=1

x

Z = 2π 1 2

| Aus der Behauptung folgt mit a = (2n + 1) → ∞ konvergiert. Also gilt f¨ ur x ∈ (0, 1) ∞ X sin(2πkx) k=1

44

k

=π

1 2

x − 21 sin((2n + 1)πt) dt −2π . 2 sin(πt) 2 {z } =:I

und b = x, dass I gleichmäßig in (0, 1] gegen 0 f¨ ur

1 −x 2

gleichmäßig in [δ, 1 − δ], δ > 0.

(3.3)

3.2 Konvergenz der Fourierreihe F¨ ur die Reihe der Ableitungen von − cos(2πkx) nach x gilt Konvergenz gegen π( 21 − x) in (3.3) 2πk2 und die Konvergenz ist lokal gleichm¨ aßig in [δ, 1 − δ]. Also darf man Reihe und Differentiation vertauschen und es gilt f 0 (x) = −π 2 (1 − 2x) = π 2 (2x − 1), d.h. nach Integration gilt f (x) = π 2 (x2 − x) + c. Da die Reihe f¨ ur f gleichm¨ aßig konvergent in [0, 1] ist und 1

Z

cos(2πkx)dx = 0, k ∈ N, 0

ist, folgt Z 0=

∞ 1X

0 k=1

cos(2πkx) dx = k2

d.h. c=

Z

1

f (x)dx = 0

π2 π2 − + c, 3 2

π2 π2 π2 − = . 2 3 6

Korollar 3.12. Insbesondere ist f (0) =

∞ X 1 π2 = ζ(2) = . k2 6 k=1

Lemma 3.13. Sei f : R → R periodisch und f [0,1] eine Riemann-Treppenfunktion. Dann gilt (vgl. (3.1)) lim kSn (f ) − f k2 = 0. n→∞

Hierbei sind

n X

Sn (f )(x) =

ck (f )ek (x),

k=−n

ek (x) = exp(2πikx) und

1

Z ck (f ) = hf, ek i =

f (x) exp(−2πikx)dx. 0

Beweis: Nach Proposition 3.7 ist kSn (f ) −

f k22

=

kf k22

−

kSn (f )k22

=

kf k22

−

n X

|ck (f )|2 .

k=−n

Also reicht es kf k22 =

∞ X

|ck (f )|2

k=−∞

zu zeigen. Betrachte zun¨ achst f [0,1] = I[0,a] ,

a ∈ [0, 1].

45


Dann ist

Z c0 = a, ck =

a

e−2πikx dx =

0

i −2πika e −1 , 2πk

k 6= 0.

Somit gilt |ck |2 =

1 − cos(2πka) 1 −2πika 2πika e − 1 e − 1 = 4π 2 k 2 2π 2 k 2

Wegen Proposition 3.11 erhalten wir X

2

2

|ck | = a + 2

k∈Z

∞ X 1 − cos(2πka) k=1

2π 2 k 2

1 1 2 =a + − a −a+ = a = kf k22 . 6 6 2

Die Indikatorfunktionen zu (halboffenen) Intervallen (a, b), (a, b], [a, b] haben alle die gleichen Fourierreihen. Seien ck (f ) die Fourierkoeffizienten von f und sei f y (x) := f (x + y), y ∈ R. Dann ist f y wieder periodisch und Riemann-integrierbar, falls f Riemann-integrierbar ist. Es gilt ck (f y ) =

1

Z

f (x + y)e−2πikx dx

0 z=x+y

1+y

Z

=

f (z)e−2πik(z−y) dz

y 2πiky

Z

=e

1

f (z)e−2πikz dz

0

=e2πiky ck (f ), R 1+y R1 denn f (z)e−2πikz ist periodisch und das Integral u ist gleich 0 . Die letzte Bemerkung ¨ber y liefert auch Z 1 Z 1+y Z 1 y 2 y 2 2 kf k2 = |f (x)| dx = |f (z)| dz = |f (z)|2 dz = kf k22 . 0

y

0

ur beliebige Da kck (f y )k22 = kck (f )k22 f¨ ur alle k ∈ Z ist, folgt die Behauptung von Lemma 3.13 f¨ Intervalle [a, b] ⊂ [0, 1]. Da f¨ ur beliebige I, J ⊂ [0, 1] mit I ∩ J = ∅ und α, β ∈ R gilt kαII + βIJ k22 = |α|2 kII k22 + |β|2 kIJ k22 . Mit I1 :=

X

|ck (αII )|2 = |α|2 kII k22 ,

k∈Z

I2 :=

X

|ck (βIJ )|2 = |α|2 kIJ k22

k∈Z

ist wegen der Besselungleichung einerseits X |ck (αII + βIJ )|2 ≤ kαII + βIJ k22 = I1 + I2 , k∈Z

46

3.2 Konvergenz der Fourierreihe

andererseits gilt aber auch X X |ck (αII + βIJ |2 = I1 + I2 + (αck (II ))(ck (IJ )β + α(ck II )β(ck IJ ), k∈Z

k∈Z

{z

|

=:K∈R

}

also I1 + I2 + K ≤ I1 + I2 , d.h. K = 0. Daraus folgt die Behauptung von Lemma 3.13 f¨ ur Riemann-Treppenfunktionen mit Induktion u ber die Anzahl der Intervalle. ¨ Satz 3.14. Sei f : R → C eine periodische, Riemann-integrierbare Funktion in [0, 1]. Dann gilt k·k

Sn (f ) −→2 f,

n → ∞,

f¨ ur

n→∞

d.h. kf − Sn (f )k2 −→ 0 und kf k22

Z

1

=

|f (x)|2 dx =

0

X

|ck |2 .

k∈Z

Bemerkung 3.15. Wenn f Riemann-integrierbar ist, ist auch |f |2 Riemann-integrierbar. (Dies ist bei der Lebesgue-Integrierbarkeit nicht gegeben!) Somit ist |ck | → 0, k → ∞. Beweis: Sei f = u + iv, mit u, v : R → R. Dann ist auch f¨ ur die Partialsummen Sn (f ) = Sn (u) + iSn (v) gegeben. O.B.d.A. sei also f reellwertig und Riemann-integrierbar. Sei O.B.d.A. |f (x)| ≤ 1 f¨ ur alle x ∈ [0, 1] und f¨ ur beliebiges ε > 0 seien ϕ, ψ Treppenfunktionen mit −1 ≤ ϕ ≤ f ≤ ψ ≤ 1 und Z 1 ε2 (ψ(x) − ϕ(x))dx ≤ . 8 0 F¨ ur g := f − ϕ ≥ 0 gilt |g|2 ≤ |ψ − ϕ|2 ≤ 2 · (ψ − ϕ). Wegen Lemma 3.13 gibt es ein n0 ≥ 1 mit kSn (ϕ) − ϕk2 ≤

ε 2

∀n ≥ n0 .

Wegen Proposition 3.7 ist kg − Sn (g)k22 ≤ kgk22 ≤

ε2 , 4

woraus f¨ ur n ≥ n0 schießlich folgt ε ε kf − Sn (f )k2 ≤ kϕ − Sn (ϕ)k2 + k(f − Sn (f )) − (ϕ − Sn (ϕ))k2 ≤ + = ε. | {z } 2 2 kg−Sn (g)k2

Eine periodische Funktion f : R → C heißt st¨ uckweise, stetig differenzierbar, falls es eine Folge 0 = t0 < t1 < . . . tr = 1 gibt, so dass f [t ,t ] , r ≥ j ≥ 1, stetig differenzierbar ist. j−1 j

47

3 Fourier-Reihen und Periodische Funktionen Satz 3.16. Sei f : R → C stetig und st¨ uckweise, stetig differenzierbar. Dann gilt die gleichm¨ aßige Konvergenz lim (Sn (f ))(x) = f (x), x ∈ [0, 1]. n→∞

Beweis: Seien ck die Fourierkoeffizienten von f und ϕj : [tj−1 , tj ] → C die stetigen Ableitungen von f , sowie ϕ : R → C die periodische Funktion, die auf [tj−1 , tj ] mit ϕj u ¨bereinstimmt. Seien γk die Fourierkoeffizienten von ϕ. Dann gilt die Besselungleichung X |γk |2 ≤ kϕk22 < ∞ k

und partielle Integration liefert auf [tj−1 , tj ] f¨ ur die Riemann-integrierbaren Funktionen f, ϕj Z tj Z tj 1 −2πikx −2πikx tj dx. + ϕj (x)e−2πikx f (x)e dx = −2πikf (x)e tj−1 2πik tj−1 tj−1 Summation der Integrale u ¨ber j = 2, . . . , r liefert, da f stetig ist, 1 Z 1 Z 1 e−2πikx −2πikx −2πikx + ϕ(x) ck = f (x)e dx = −2πikf (x)e dx 2πik 0 0 0 Wegen der Periodizit¨ at von f verschwindet jedoch der Randterm, so dass folgt Z 1 e−2πikx γk ck = ϕ(x) dx = . 2πik 2πik 0 Ferner gilt X

(Sn (f ))(x) =

ck ek (x) =

|k|≤n

und somit Sn (f )0 (x) =

X

γk

|k|≤n

X |k|≤n

1 γk ek (x) 2πik

X e0k (x) = γk ek (x) = Sn (ϕ). 2πik

(3.4)

|k|≤n

F¨ ur x ∈ [0, 1] folgt wegen der Stetigkeit von f und Sn (f ) x Z 1 ((Sn (f ))(y) − f (y)) = I[0,x] (y)(Sn (f )0 (y) − ϕ(y))dy, (Wichtiger Trick!) 0

0

d.h es gilt mit an := (Sn (f ))(0) − f (0) durch Betragsbildung (3.3)

1

Z

|(Sn (f ))(x) − f (x) − an | ≤

|Sn (ϕ)(y) − ϕ(y)|dy

Cauchy

≤

0

kIk2 kSn (ϕ) − ϕk2

kan Ik2 ≤ kSn (f ) − f − an k2 + kSn (f ) − f k2 , | {z } | {z } n→∞

→ 0, 3.14

n→∞

→ 0, 3.14

d.h. lim kan Ik2 = lim |an | = 0.

n→∞

Damit gilt schließlich

n→∞

n→∞

sup ((Sn (f ))(x) − f (x)) −→ 0. x∈[0,1]

48

3.3 Die Poisson’sche Summenformel

3.3 Die Poisson’sche Summenformel Sei f : R → C stetig, integrierbar und es konvergiere f¨ ur x ∈ R die Summe g(x) = absolut. Dann ist g(x) = g(x + 1)∀x ∈ R und f¨ ur x = 0 gilt unter den Annahmen

P

l∈Z f (x + l)

i. punktweise Konvergenz der Fourierreihe von g ii. gleichm¨ aßiger Konvergenz von g (Integral und Summe vertauschbar)

X

(i)

f (l) = g(0) =

l∈Z

X

ck (g)ek (0)

k∈Z

=

X

ck (g)

k∈Z

=

1

XZ

g(y)e−2πiky dy

k∈Z 0

=

1

XZ k∈Z 0

! X l∈Z 1

Z (ii) X X = k∈Z l∈Z

=

k∈Z l∈Z ∞

=

XZ

=1

f (y + l)e−2πi(y+l)k dy

0

XXZ

z=y+l

f (y + l) e−2πik(y+l) e|2πikl {z } dy

l+1

f (z)e−2πizk dz

l

f (z)e−2πikz dz

k∈Z −∞

=

X

fˇ(k)

k∈Z

√ mit fˇ(k) := fˆ(−2πk) 2π. Die Gleichung X

f (l) =

l∈Z

X

fˇ(k)

k∈Z

heißt Poisson’sche Summenformel. Satz 3.17. Sei f : R → R beschr¨ ankt, stetig und integrierbar, also Z |f (x)|dx < ∞. Außerdem sei f st¨ uckweise, stetig differenzierbar mit endlich vielen Ausnahmen. Sei 0 f (x) falls existent, ϕ(x) := . 0 sonst. Ferner gelte sup |x2 f (x)| + sup |x2 ϕ(x)| < ∞. x∈R

x∈R

Dann gilt X k∈Z

f (k) =

X

fˇ(k).

k∈Z

49


Beweis: Wegen supx∈R |x2 f (x)| < ∞ ist g(x) :=

X

f (x + k) = f (x) + 2

∞ X

f (x + n)

n=1

k∈Z

k2 π2 =c· 0 also X

exp(−n2 πs) = √

n∈Z

π 1 X exp − k 2 . s 2πs k∈Z

Wenn s sehr klein ist, also s ≈ 0, bleibt nur noch der Term k = 0 stehen, also π 1 P S := √ 1 + O e− s c 2πs Interpretation: fˇ(0) =

Z

∞

f (t)dt. −∞

X n∈Z

Z

∞

f (n) −

f (t)dt = −∞

X

fˇ(k)

k6=0

Dies ist gleich dem Fehler bei der Approximation der Summe durch das Integral.

50

4 Hardy-Littlewood Kreismethode 1927 forumlierte van der Waerden folgendes zahlentheoretisches Problem: F¨ ur l, r ∈ N existiert ein n0 (l, r), so dass f¨ ur alle n ≥ n0 (l, r) gilt: Jede Zerlegung der Zahlen {1, . . . , n} in r Mengen enthält eine Menge, in der mindestens l Zahlen in einer arithmetischen Progression a, a + d, a + 2d, . . . , a + (l − 1)d f¨ ur geeignete a, d ∈ N vorkommen. Erd¨ os stellte folgende Behauptung auf: Sei f¨ ur A ⊂ N A(n) := A ∩ {1, . . . , n}. Falls lim sup n

|A(n)| >0 n

ist, dann gibt es in A arithmetische Progressionen beliebiger Länge (l ≥ 3). 1951 bewies Roth diese Behauptung f¨ ur l = 3, in den sechziger Jahren wurde diese f¨ ur l = 4 und in den siebziger Jahren f¨ ur beliebige l ≥ 3 bewiesen (mittels Ergodentheorie 1970/1980).

4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth Es sei M (l) (n) die maximale Gr¨ oße einer Teilmenge in {1, 2, . . . , n} ohne l-Progression. Wir definieren M (l) (n) µ(l) (n) := . n Szemeridi: M (l) (n) = 0, lim n→∞ n d.h. lim sup µ(l) (n) = 0. n

Bemerkung 4.1 (Illustration zur 3-Progression). Sei M ⊂ {1, . . . , n} eine Menge ohne 3Progression mit |M | = µ(3) (n) · n =: µ(n) · n. Wir k¨ onnen uns mit dem folgenden gierigen“ Verfahren eine solche Menge M ohne 3-Progression ” maximaler Dichte konstruieren: i. 1 ∈ M ii. 2 ∈ M ⇒ 3 6∈ M (sonst 3-Progression) iii. 4 ∈ M ⇒ 6 6∈ M, 7 6∈ M iv. 5 ∈ M ⇒ 6 6∈ M, 8 6∈ M, 9 6∈ M v. 10 ∈ M, . . .. Lemma 4.2. i. F¨ ur alle l ≥ 3 existiert lim µ(l) (n). n→∞

51

4 Hardy-Littlewood Kreismethode ii. F¨ ur n ≥ m ist µ(l) (n) ≤ 2µ(l) (m). Beweis: i. Es gilt M (l) (m + n) ≤ M (l) (m) + M (l) (n)

(Subadditivität),

(4.1)

denn sei A eine Teilmenge von {1, . . . , m, m + 1, . . . , m + n} mit |A| = M (l) (m + n) ohne l-Progression. Dann haben A ∩ {1, . . . , m}, A ∩ {m + 1, . . . , m + n} ebenfalls keine l-Progression. Wegen der Shiftinvarianz der Eigenschaft, eine l-Progression zu sein, gilt also M (l) (m + n) = |A ∩ {1, . . . , m + n}| = |A ∩ {1, . . . , m}| + |A ∩ {1, . . . , n}| ≤ M (l) (m) + M (l) n. Sei n > m. Dann ergibt sich mit (4.1) hni n M (l) (m) + M (l) (r) ≤ M (l) (m) + m, M (l) (n) ≤ m m n mit n = m m + r, 0 ≤ r < m. Division durch n liefert µ(l) (n) ≤ µ(l) (m) +

(4.2)

m . n

Wir lassen n gegen ∞ laufen und erhalten f¨ ur alle m lim sup µ(l) ≤ µ(l) (m) + 0, n→0

so dass f¨ ur m → ∞ folgt lim sup µ(l) (n) ≤ lim inf µ(l) (m). m→∞

n→∞

Die andere Richtung lim sup µ(l) (n) ≥ lim inf µ(l) (m). m→∞

n→∞

ist trivial und somit ist die Existenz des Limes gezeigt. ii. F¨ ur n ≥ m folgt aus (4.2) M (l) (n) ≤

n

n +1 M (l) (m) ≤ 2 M (l) (m), m | m{z } n m n = m (1+ n )≤2 m

also µ(l) (n) ≤ 2µ(l) (m). Satz 4.3 (von Roth). F¨ ur n ≥ 3 gibt es eine absolute Konstante C > 0, so dass µ(l) (n) ≤ ist.

52

C log log n

4.1 Einf¨ uhrung in l=3 und der Satz von Roth P Sei f (α) = x∈M e(αx) mit e(x) := exp(2πix). Dann ist mit M wie in Bemerkung 4.1 und M (n) := |M (n)| Z 1 f (α)f (−2α)f (α)dα = M (n). (4.3) 0

Beweis: Es ist X

f (α)f (−2α)f (α) =

e(αm1 )e(−α2m2 )e(αm3 )

m1 ,m2 ,m3 ∈M (n)

X

=

e(α(m1 − 2m2 + m3 ))

m1 ,m2 ,m3 ∈M (n)

Falls m1 , m2 , m3 eine 3-Progression ist, gilt m := m1 − 2m2 + m3 = 0. Die Behauptung folgt dann aus der Tatsache, dass f¨ ur m ∈ Z Z 1 1 f¨ ur m = 0 e(αm)dα = 0 f¨ ur m 6= 0 0 ist. Dies ist nur m¨ oglich f¨ ur m1 = m2 = m3 ! Sei

IM =

1 0

und f¨ ur m < n seien ϑ(α) :=

f¨ ur f¨ ur n X

x∈M x 6∈ M

µ(m)e(αx)

(4.4)

x=1

E(α) := ϑ(α) − f (α) =

n X

c(x)e(αx)

(4.5)

x=1

c(x) = µ(m) − IM (x).

(4.6)

F¨ ur die Approximation ϑ(−2α) von f (−2α) w¨ urde man aber M (n)2 µ(m) als Integral (4.3) erwarten. Aus (4.3) folgt Z 1 Z 1 2 2 M (n) − f (α) ϑ(−2α)dα = f (α) E(−2α)dα 0 0 Z 1 ≤ max |E(−2α)| |f (α)|2 dα α } | 0 {z =M (n)

Hier gilt Z 0

1 2

Z

|f (α)| dα = Z 1

1

f (α)f (−α)dα 0

X

e(α(m1 − m2 ))dα = M (n)

0 m ,m ∈M (n) 1 2

Um |E(α)| absch¨ atzen zu k¨ onnen, benötigen wir das folgende Lemma:

53

4 Hardy-Littlewood Kreismethode Lemma 4.4 (Dirichlet, Schubfach-Prinzip). Seien α, Q ∈ R, Q > 1. Dann gibt es a, q ∈ Z mit 1 ≤ q ≤ Q und (a, q) = 1, so dass gilt α −

a 1 < q qQ

oder |αq − a|
0. y 3 = 23y3 = 23 = m3

λ(y)λ(y + 1) ≤ 4(λ(y) − λ(y + 1)) + 34 · 2−3 und 2 23

y

2

y

= 21+2·3 < 23

y+1

y

= n.

Division durch λ(y)λ(y + 1) liefert y 34 · 2−3 1 1 + − . 1≤4 λ(y + 1) λ(y) λ(y)λ(y + 1) Summation u ¨ber y = x, x + 1, . . . , 2x − 1 x ≤ 4λ(2x)−1 + 34 · 4 · 2−3

x

1 λ(2x)2

denn wegen Lemma 4.2 ist µ(n) ≤ 2µ(m). Sei n ≥ m. Dann folgt λ(2x) ≤ 2λ(y + 1),

y + 1 ≤ 2x.

Der Fall λ(2x) ≤ x1 ist bereits klar. Wir wollen jedoch λ(2x) < x1 zeigen und nehmen hierzu λ(2x) ≥ x1 an: x x −3x x · x2 < x f¨ Wir schätzen 34 · 4 · 2−3 λ(2x) 2 < 136 · 2 2 ur hinreichend große x ab. Also ist x< äquivalent zu

4 x + λ(2x) 2

x 4 8 < ⇒ λ(2x) < . 2 λ(2x) x

E ⇒ λ(2x)
0.

X

1−

d|n, d≡3(4)

F¨ ur k = 4 besagt der Satz von Lagrange, dass sich jedes n ∈ N als Summe von 4 Quadraten darstellen l¨ asst (vgl. EZT). Die Frage nach der Existenz der Darstellung f¨ ur k = 2 ist bereits 2000 Jahre alt. Gauß und Jakobi leiteten eine Formel f¨ ur k = 3 her, in der Divisoranzahlen und Jacobisymbole eingehen. Behandelbare F¨ alle sind k = 2, 4, 6, 8, . . .. ...

5.1 Farey-Reihen Definition 5.1. Sei n ∈ N. Dann heißt die Menge der rationalen Zahlen (h, k) = 1

und

0≤

h k

mit

h ≤ 1, k

wobei 0 ≤ h ≤ k ≤ n der Gr¨ oße nach geordnet sind, Farey-Reihe der Ordnung n, im Zeichen Fn . Beispiel: F¨ ur n = 4 enth¨ alt die Farey-Reihe folgende Terme: 0 1 1 1 2 3 1 < < < < < < . 1 4 3 2 3 4 1 Es ist schwierig, #Fn exakt zu bestimmen. Klar ist n(n + 1) #Fn 2 Definition 5.2. Seien

=

n X

! k .

k=1

h h0 < 0 k k

zwei aufeinander folgende Terme aus Fn . Die Zahl

h0 +h k0 +k

heißt dann Mediant von

h0 k0

und

h k.

59

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten

Satz 5.3. Seien

h h00 h0 < < . k0 k k 00 drei aufeinander folgende Terme aus Fn . Dann gilt i.

det

ii.

h k

=

h0 +h00 k0 +k00

ist der Mediant von

h0 k0

k0 k h0 h

und

= k 0 h − kh0 = 1.

h00 k00 .

iii. n < k + k 0 < 2n und n < k + k 00 < 2n. iv. k 0 6= k 6= k 00 und falls k 6= 2 ist, dann ist sogar k 00 6= k 0 . v.

h0 h0 + h h h + h00 h00 < < < < k0 k0 + k k k + k 00 k 00

Beweis: i. Zu h0 und k 0 bestimmen wir x, y ∈ Z mit k 0 x − h0 y = 1 = (k 0 , −h0 )

und

n − k 0 < y ≤ n,

(−h0 )y ≡ 1(k 0 )

(?)

Ferner ist x ≥ 0 und (x, y) = 1. Dann ist h0 1 h0 x = 0 + 0 > 0, y k yk k 1 h0 + n−k x h0 0 > , 1 > . k0 y k0 uche aus Fn . Also ist xy einer der Farey-Br¨ x h Es reicht y = k zu zeigen, denn in diesem Fall ist kx = hy, woraus mit k|y und y|k folgt, k = y und h = x, also mittels (?)

k 0 h − h0 k = 1,

k + k 0 > n.

Dies impliziert dann (i) und (iii). Wir nehmen also folgt aus xy > hk

x y

6=

h k

an. Dann ist

h k

rechter Nachbar von

h0 k0

in Fn und

x y

∈ Fn . Also

x h xk − hy 1 − = ≥ , y k yk yk und ebenso aus

h k

>

h0 k0

h h0 hk 0 − h0 k 1 − 0 = ≥ 0, 0 k k kk kk Addition beider Ungleichungen liefert x h0 x h h h0 1 (?) k 0 x − h0 y = − 0 = = − + − yk 0 y k y k k k0 yk 0 1 1 k0 + y n 1 + 0 = > > 0 ≥ yk kk ykk 0 ykk 0 yk

E Damit sind (i) und (iii) gezeigt. ¨ (ii), (iv) und (v) sind Ubung.

60

5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung

Wir identifizieren die Punkte [0, 1) und R/Z mit dem Einheitskreis mittels R 3 α 7→ exp(2πiα) ∈ S 1 . Mit

0 0

=

1 1

ist dann Fn ⊂ S 1 . Wir teilen den Einheitskreis in Mediantenbögen auf: h h0 + h 1 − 0 = 0 k k +k k (k + k 0 )

und

1 h + h00 h − = . 00 k+k k k(k + k 00 )

Aus Satz 5.3(iii) folgt Satz 5.4. Der Abstand, sagen wir d, von S 1 , in dem hk liegt, erf¨ ullt

h k

∈ Fn zu einem Endpunkt des Mediatenbogens auf

1 1 1 1 < ≤d≤ < . 2kn k(2n − 1) k(n + 1) kn

5.2 Farey-Br¨ uche und die Riemann’sche Vermutung Bemerkung: Die Farey-Br¨ uche und ihre Verteilung sind nicht trivial. Sei AN = #FN die Anzahl der Farey-Br¨ uche der Ordnung N . Wir vergleichen die Unterteilung 0 = r1 < r2 < . . . < rA = 1 gegeben durch FN mit 0=

0 1 2 A < < < ... < = 1. A A A A

Es gilt A < N 2 . Satz 5.5 (Franel/Landau). Die Aussage A X ν ur alle ε > 0 rν − = Oε N 1/2+ε f¨ A ν=1

ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung. Wir definieren die M¨ obiusfunktion µ(n) durch  f¨ ur  (−1)r , 0, f¨ ur µ(n) :=  1, f¨ ur

n = p1 · . . . · pr , d2 |n, d 6= 1, n = 1.

und die Mertens-Funktion durch m(x) :=

X

µ(n).

1≤n≤x

Proposition 5.6 (Littlewood). |m(N )| = Oε N 1/2+ε

f¨ ur

ε>0

ist ¨ aquivalent zur Riemann’schen Vermutung.

61


Beweis:[von 5.5] ¨ ist bekannt: ⇒“: Aus den Ubungen ” µ(q) =

X 1≤a≤q,(a,q)=1

a exp 2πi q

(Ramanujan).

(5.1)

Somit ist m(N ) =

X a ∈FN q

a exp 2πi q

(5.2)

Wir betrachten die Euler’sche ϕ-Funktion ϕ mit ϕ(q) = #{a ∈ N|1 ≤ a < q, (a, q) = 1}. Dann ist A = #FN =

N X

ϕ(q)

(5.3)

q=1

¨ Aus den Ubungen: m(N ) =

X a ∈FN q

Wir definieren δr := rν −

m(N ) = +0

=

A X

ν , A

a cos 2π q

(5.4)

r ν ∈ FN .

ν exp(2πiδr ) exp 2πi A

ν=1 A X ν=1

A ν X ν exp 2πi + exp 2πi (exp(2πiδr ) − 1). A A ν=1

Es ist |m(N )| ≤ 2

A X

| sin(πδr )| ≤ 2π

ν=1

A X

|δr |,

ν=1

denn exp(πiδr − exp(−iπδr ) | exp(2πiδr ) − 1| = 2 | exp(πiδr )| · | {z } 1 | {z } =1 =| sin(πδr )|

und | sin(πx)| ≤ |πx| f¨ ur kleine x. ⇐“: (vgl. [Lan53]) ” A=

N X n=1

62

ϕ(n) ≤

N X n=1

N = N 2.

5.3 Gauß’sche Summen

Mit der Cauchy-Schwartz’schen Ungleichung gilt A X

A X

|δr | · 1 ≤

! 12

A X

12

|

δr2

.

ν=1

ν=1

ν=1

! 21

{z

}

≤N

Es bleibt also zu zeigen: RV ⇒

A X

δr2 = Oε N −1+ε

ε > 0.

ν=1

Sei

1 ψ(x) = x − [x] − . 2

Dann ist f¨ ur a, b ∈ N a) Z

1

ψ(ax)ψ(bx)dx = 0

(a, b)2 12ab

b) X

g(x) :=

1=

0≤rν ≤x

N X

(dx)m

d=1

N d

c) A=

N X

dm

d=1

N d

1 2

∆(x) = g(x) − Ax +

Z I := 0

1

N

N

1 XX m ∆(x) dx = 12 2

a=1 b=1

A X ν=1

δr2

1 = A

N a

1 I− 12

m

N b

(a, b)2 ab

.

5.3 Gauß’sche Summen Definition 5.7. Seien h ∈ Z, k ∈ N, (h, k) = 1. Dann heißt die Summe G(h, k) :=

k−1 X m=0

h exp 2πi m2 k

(5.5)

Gauß’sche Summe.

63


Bemerkung: Die Summe wird erstreckt u ¨ber ein vollständiges Restklassensystem mod k. Falls (k1 , k2 ) = 1 ist, durchl¨ auft k1 m2 + k2 m1 ein vollständiges Restesystem mod (k1 k2 ), wenn m2 ein vollständiges Restklassensystem mod k2 und m1 ein vollständiges Restklassensystem mod k1 durchläuft, denn: k1 m2 + k2 m1 ≡ k1 m02 + k2 m01 mod (k1 k2 ) {z } | ⇔ k1 m2 ≡

k1 m02

mod k2 ,

⇔ m2 ≡ m02 mod

mod k1 , mod k2 k2 m1 ≡ k2 m01 mod k1 k2 , m1 ≡ m01 mod k1

Satz 5.8. F¨ ur (h, k) = 1 gilt mit k > 0: i. Mit k1 , k2 > 0, (k1 , k2 ) = 1, gilt G(h, k1 k2 ) = G(hk1 , k2 )G(hk2 , k1 ).

(5.6)

ii. G(h, 1) = 1, G(h, 2) = 0 ( a

G(h, 2 ) =

(1 + ih )2a/2 , a+1 eπih/4 2 2 ,

f¨ ur f¨ ur

a > 0 gerade a ungerade

iii. Sei k ungerade, und das Legendre-Symbol gegeben durch a 1, a quadratischer Rest mod p, := −1, sonst. p Dann ist

h G(h, k) = G(1, k). k

iv. Mit εk =

(1 + i)(1 + i−k ) (= 1 + i, 1, 0, i 2

ist

f¨ ur

k ≡ 0, 1, 2, 3 mod 4)

√ G(1, k) = εk k √ |G(1, k)| = k, k ungerade √ |G(1, k)| ≤ 2k

v. Falls k quadratfrei ist, gilt G(h, k) =

X m h e m . k k

m mod k

Beweis: i. Nach obiger Bemerkung ist G(h, k1 k2 ) =

X

e

m1 mod k1 m2 mod k2

=

X m1 mod k1

64

h (k1 m2 + k2 m1 )2 k1 k2

e

h 2 m k2 2

X m2 mod k2

e

h 2 m . k1 1

5.3 Gauß’sche Summen ii. a ≥ 2, und p eine ungerade Primzahl wenden wir auf G(h, pa ) (5.6) an. Dabei zerlegen wir m = upa−1 + v, wobei v = 0, . . . , q, und q := pa−1 − 1, u = 0, . . . , p − 1 ist. Also ist p−1 X q X h 2 2a−2 a−1 2 u p + 2uvp +v G(h, p ) = e pa u=0 v=0 X ! q p−1 h 2 2uv 2a−2≥a X v . = e e pa p v=0 u=0 {z } | a

=:S

Hier ist S = 0, wenn p 6 |2v, andernfalls ist S = p. Da jedoch p ungerade ist, muss in diesem Fall p|v gelten, so dass X h 2 a (wp) · p = p · G(h, pa−2 ) G(h, p ) = e pa 0≤wp 0, (k1 , k2 ) = 1, gilt Γ(h, k1 k2 ) = Γ(hk1 , k2 )Γ(hk2 , k1 ).

(5.9)

Daraus folgt f¨ ur quadratfreie Zahlen k, d.h. k = p1 · p2 · · · pr (verschieden), die Behauptung ¨ (iv). Der allgemeine Fall ist Ubung. Benutze daf¨ ur

m1 k2 + m2 k1 k1 k2

=

m1 k1

m2 k2

.

Aber f¨ ur eine Primzahl p ist Γ(h, p2 ) = 0, G(h, p2 ) = p. iv. F¨ ur (iii) ist zu zeigen, k ungerade, √

|G(1, k)| =

k.

Zunächst betrachten wir G(−1, k) =

−1 k

G(1, k)

und 2

G(1, k) =

66

−1 k

G(1, k)G(−1, k) =

−1 k

X m mod k

e

m2 k

X n mod k

n2 e − k

.

5.3 Gauß’sche Summen

Wenn m mod k ein vollst¨ andiges Restesystem durchläuft, so auch m + n f¨ ur festes n. Also ist X (m + n)2 n2 −1 2 e − G(1, k) = k k} | k {z m mod k n mod k

=

−1 k

(m2 +2mn)/k

X

e

m mod k

m2 k

X k−1 2m e kn n=0 |8 {z } < k, k|2m = : 0, k 6 |2m

Da aber k ungerade ist, gilt k|m, also

2

G(1, k) =

−1 k

k

Aus der EZT-Vorlesung ist bekannt, dass k−1 −1 = (−1) 2 k ist. Somit folgt G(1, k) = ±i

k−1 2

√ k.

(5.10)

Behauptung: + ist richtig. Wir wollen f¨ ur ungerade k zeigen: i

k−1 2

1+i 1 + ik

=

und G(1, k) =

1+i √ k. 1 + ik

Beweis: Es (vgl. Handout) ist (1 + i)R :=

=

2k−1 X

n=0 k−1 X

e

r=0

e

n2 4k

(2r)2 4k

k−1 X (2r + 1)2 + e 4k r=0

k−1 2

X

= G(1, k) +

(2

e

k−1 2

t=− k−1 2

! + t + 1)2 4k

k−1

k

= G(1, k) + i

2 X

t=− k−1 2

Also ist R =

1+ik 1+i G(1, k)

e

t2 k

= (1 + ik )G(1, k).

√ = ± k ∈ R.

Der Fall p = 2: k = 2a . F¨ ur a = 0, 1 ist dies klar. Betrachte a gerade ≥ 4 und a ungerade ≥ 3. Wir zerlegen m = 2a/2 u + v, u = 0, 1, . . . , 2a/2 − 1 =: q, 0 ≤ v ≤ 2a/2 .

67


Dann ist a

G(h, 2 ) =

2a/2 X−1

e

v=0

a h 2 X v e 2a

2a/2+1 uv h 2a

k=0

!

=

h 1+e 2a/2 . 4

¨ Bleibt G(1, 2a k), k ungerade mittels (5.6) zu berechnen Der Fall ungerade a ist Ubung. ¨ (Ubung).

5.4 Die Kreis-Methode Sei die Modulfunktion definiert durch ∞ X

θ(z) :=

2

zn = 1 + 2

n=−∞

∞ X

2

zn ,

z ∈ C.

(5.11)

n=1

Wir betrachten wieder f¨ ur s ∈ N, s ≥ 2 rs (n) := #{(m1 , . . . , ms ) ∈ Z : n = m21 + . . . m2s }. Wir verallgemeinern (5.11) zu θ(z)s = 1 +

∞ X

rs (n)z n

|z| < 1.

mit

(5.12)

n=1

Die Potenzreihen in (5.11) und (5.12) konvergieren absolut und gleichmäßig in |z| ≤ 1 − δ, δ > 0, denn wegen √ rs (n) ≤ (2 n + 1)s−1 ur n → ∞, z n fällt jedoch exponentiell f¨ ur besitzt rs (n) höchstens polynomielles Wachstum f¨ |z| < 1, so dass die Reihe f¨ ur |z| < 1 konvergiert. Setze f¨ ur δ > 0 zϕ = exp(−2πδ + 2πiϕ), 0 ≤ ϕ ≤ 1. Dann gilt Z rs (n) =

1

θ(zϕ )s zϕ−n dϕ

0

1 = 2πi

Z Cδ

θ(z)s dz z n+1

(5.13)

Beweis: θ(zϕ)s konvergiert absolut und gleichmäßig f¨ ur ϕ ∈ [0, 1]. Deshalb darf man Summe und Integral vertauschen: Z 1 Z 1 ∞ X θ(zϕ )s zϕ−n dϕ = rs (m) zϕm−n dϕ, 0

m=0

da rs (0) := 1 ist. Weiter ist Z 1 Z zϕm−n dϕ = exp(−2πδ(m − n)) · 0

0

1

exp(2πiϕ(m − n))dϕ =

0

Also folgt Z 0

68

1

θ(zϕ )s zϕ−n dϕ = rs (n).

1 0

f¨ ur f¨ ur

m = n, m 6= n.

5.4 Die Kreis-Methode

F¨ ur die Berechnung des Integrals verfolgen wir folgende Idee: Wir stellen fest, dass offensichtlich θ(z)s f¨ ur z → 1 divergiert. Dies trifft auch f¨ ur z → h h ur ϕ = k gilt exp 2πi k , (k, h) = 1, k ungerade, zu, denn f¨ θ(zϕ ) =

∞ X

2

zϕn

n=jk+l, j∈Z 0≤l≤k1

=

n=−∞

=

∞ k−1 X X

zϕ(jk+l)

2

l=0 j=−∞

k−1 X ∞ X

h exp(−2πδ(jk + l) ) · exp 2πi (jk + l)2 | {z } k 2

l=0 j=−∞

→∞ f¨ ur δ→0

Falls k klein ist, so ist die Konvergenz gegen ∞ besonders schnell. Wir teilen daher 0 ≤ ϕ ≤ 1 in mehrere B¨ ogen“ auf, die die Farey-Br¨ uche hk , k ≤ N enthalten, wo |θ(zϕ )| große“ lokale ” ” Maxima besitzt. Wir benutzen dazu die Mediantenb¨ ogen“ (ψ1 , ψ2 ) zu drei aufeinanderfolgenden Farey-Br¨ uchen ” h h00 h0 < < k0 k k 00 mit ψ1 = ψ1 (h, k) :=

h0 + h k0 + k

und

h + h00 . k + k 00 Hiermit zerlegen wir das Integral (5.13) in folgende Bögen“ ” ψ2 = ψ2 (h, k) :=

ψh,k := (ψ1 (h, k), ψ2 (h, k)) Z

1

θ(zψ )s zψ−n dψ 0 X Z θ(zψ )s zψ−n dψ =

rs (n) =

h ∈FN k

ψ=φ+ h k

=

ψh,k

X Z h ∈FN k

φh,k

−n θ(zφ+ h )s zφ+ h dφ, k

k

wobei φh,k = (φ1 (h, k), φ2 (h, k)) h φ1 (h, k) = ψ1 (h, k) − k h φ2 (h, k) = ψ2 (h, k) − k Dann gilt nach Satz 5.3 −

1 h0 + h h h + h00 h 1 = − ≤ φ ≤ − = . h,k 0 0 00 k(k + k ) k +k k k+k k k(k + k 00 ) | {z } | {z } =φ1 (h,k)

(5.14)

=φ2 (h,k)

69


und 1 ≤ |φ1 (h, k)| ≤ 2kN 1 ≤ |φ2 (h, k)| ≤ 2kN

1 kN 1 kN

(5.15)

5.5 Berechnung des Integrals ¨ Uberblick: i. Vereinfachung des Integranden: rs (n) =

−2πin h k

X

Z

e

φh,k

h ∈Fn k

G(h, k) √ 2zk

s

e2πnz dφ + E1 ,

z = δ − iφ.

ii. Erweiterung des Integrationsbereichs f¨ ur s > 2: Z ∞ X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ e e rs (n) = dφ + E1 + E2 . 2zk −∞ h k

∈Fn

Hier sind E1 und E2 Fehlerterme der Ordnung O(ns/4 ) f¨ ur n → ∞. iii. Erweiterung des Summationsbereichs f¨ ur s > 4: Z ∞ X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ e dφ + E1 + E2 + E3 . rs (n) = e 2zk −∞ h S∞ k

∈

FN

N =1

Falls s > 4 ist, sind die Fehlerterme E1 , E2 und E3 von der Ordnung O(ns/4 ) f¨ ur n → ∞.

5.5.1 Vereinfachung des Integranden Einsetzen liefert X Z rs (n) = h ∈Fn k

=

h ∈Fn k

=

h exp −2πδ + 2πiφ + 2πi k

X

z=δ−iφ

θ

φh,k

s

h exp −2πin k

X h ∈Fn k

Z θ

s

φh,k

h exp −2πin k

θ

h exp −n −2πδ + 2πiφ + 2πi k

h exp −2πδ + 2πiφ + 2πi k

Z θ

s

φh,k

h exp 2πi − 2πz k

Es ist s

=

h exp −2πz + 2πi k

k−1 X ∞ X r=0 q=−∞

e(qk+r)

2

70

q∈Z

dφ

exp ((2πnδ − 2πinφ)) dφ

exp (2πnz) dφ

(−2πz) (qk+r)2 (2πi h k)

e|

{z

2πi h r 2 k =e

Auf die innere Summe wenden wir nun die Poisson’sche Summenformel X X fˇ(q) f (q) = q∈Z

}

5.5 Berechnung des Integrals

an, wobei

2

f (x) := e−π(x+α) t , und

α ∈ C, Re(t) > 0,

1 iαy−y2 /4πt e fˆ(y) = √ 2πt

und erhalten

∞ X

1 X 2πiαq−πq2 /t 2 e−π(q+α) t = √ e . t q∈Z q=−∞ Dabei sei

√

t := exp

1 log t , 2

wobei log(t) der Hauptwert des komplexen Logarithmus ist. Mit r , t := 2k 2 z k

α := folgt θ

s

2πi h −2πz k

e

∞ X πq 2 rq 1 r2 2πi h k √ = e2πi k − 2k2 z e 2zk q=−∞ r=0   k−1 X 2πi rq − πq2 1 X 2πi h r2  =√ e k 1+ e k 2k2 z  2zk r=0 q6=0 k−1 X

=√

1 2zk

X k−1

h 2

e2πi k r +

|r=0 {z

X

e−πq

k−1 X

2 (2k 2 z)

|r=0

q6=0

=G(h,k)

} |

Behauptung: |Tk (h, m)| ≤

h 2 +q h k

e2πi( k r {z

=:Tk (h,q)

{z

=:H(h,k,z)

)

} }

√ 2k.

(5.16)

Beweis: |Tk (h, m)|2 = Tk (h, m) · Tk (h, m) =

k−1 X

„ « “ ” 2 k−1 2πi hj k+mj X 2πi hr2 +mr k

e

e

r=0

j=0

X

=

e

2πi (hj 2 −hr 2 +mj−mr) k

e

2πi (h(j−r)(j+r)+m(j−r) k

j,r mod k

X

=

j,r mod k d=j−r

X

=

e

2πi d(h(d+2r)+m) k

d,r mod k

=

X d mod k

e

2πi (hd2 +dm) k

X

e

4πi dhr k

r mod k

71

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten Die zweite Reihe hat die Form xr , wobei nur u ¨ber endlich vielen Termen summiert wird, also erhalten wir eine endliche geometrische Reihe. Da (h, k) = 1 ist, verschwindet die innere Summe (¨ uber r mod k), außer im Fall k|2dh, also k|2d, wo sie den Wert k besitzt. Fallunterscheidung: i. k gerade: Da 0 ≤ d < k ist, liefert nur d = 0 einen Beitrag, nämlich k, so dass folgt |Tk (h, m)|2 = k. ii. k gerade: Da 0 ≤ d < k ist, liefern nur d = 0 und d = ke

“ ” 2 2πi h( h +m( h k k) 2)

k 2

einen Beitrag, nämlich k nd k

= keπih 2 +πim = ±k.

Damit folgt |Tk |2 = 2k

oder |Tk |2 = 0.

In allen Fällen gilt jedoch (5.16). Wenden wir nun (5.16) an, so folgt |H(h, k, z)| ≤

X 2 2 √ e−πm /2k z 2k m6=0

∞ X ∞ √ X 2 2 e− Re(πm /2k z) = 2 2k m=1 m=1

√ =

8ke−πσ/2k

2

∞ X

2 −1) σ 2k2

e−π(m

,

m=1

wobei

1 1 δ + iφ = Re = Re 2 σ := Re z δ − iφ δ + φ2

ist. Wegen (5.15) gilt nun f¨ ur φ ∈ φh,k |φ| ≤ max{|φ1 |, |φ2 |} ≤

1 , kN

also |φk| ≤ N −1 , und somit

k≤N σ δ δ 1 = 2 2 ≥ = . 2 2 2 2 2 −2 2 k k d +k φ N δ +N δN − (δN 2 )−1

(?)

δ > 0 war bisher beliebig. Wir w¨ ahlen nun δ := N −2 . F¨ ur diesen Wert wird der erhaltene Ausdruck (?) maximal. Es folgt δ 1 ≥ k2 2 und somit ∞ X √ 2 2 |H(h, k, z)| ≤ 8ke−(πδ/2k ) e−π(m −1)/4 ≤

√

8ke−(πδ/2k

2)

m=1 ∞ X m=1

72

e−

3π (m−1) 4

,

5.5 Berechnung des Integrals

wobei wir im letzten Schritt ausgenutzt haben, dass m2 − 1 = (m − 1)(m + 1) ≥ 3(m − 1), falls m ≥ 1 und ganzzahlig ist. Die Summe ist eine unendliche, geometrische Reihe, wobei −3π e 4 < 1 ist, so dass folgt √ √ 1 2 −(πδ/2k2 ) |H(h, k, z)| ≤ 8ke−(πδ/2k ) k, 3π ≤ C · e 1 − e− 4 wobei C eine geeignete, positive Konstante ist. Zusammenfassung: h 1 (G(h, k) + H(h, k, z)) (5.17) θ e2π k −2πz = √ 2zk √ 2 |H(h, k, z)| ≤ C ke−πδ/2k (5.18) √ |G(h, k)| ≤ 2k (Satz 5.8(ii)). Folgerungen: θs = √

s 1 X s H r Gs−r r 2zk r=0

F¨ ur 1 ≤ r ≤ s gilt |Gs−r H r | ≤ C1 k

s−r 2

r

2

k 2 |e−πδ/2k {z }

r

s

≤ C1 k 2 e−πδ/2k

2

(5.19)

≤1

Die rechte Seite von (5.19) ist unabh¨ angig von r, so dass wir ganz θs auf diese Weise abschätzen können. Es folgt 2 −πδ/2k2 s/2 s s e−πδ/2k ≤ C2 e √ k θ − √G (5.20) ≤ C3 s/2 s/2 . |z| k ( 2zk)s | 2zk|s Hierbei sind C1 , C2 und C3 geeignete positive Konstanten, die nur von s abhängen. Schließlich ist Z X G(h, k) s 2πnz −2πin h k √ rs (n) = e e dφ 2kk φh,k h ∈FN k Z X h G(h, k) s 2πnz (5.21) −2πin h s k e + − √ θ exp −2πδ + 2πiφ + 2πi e dφ k 2kk φh,k h ∈FN k | {z } =:E1

Absch¨ atzen von E1 (5.20)

|E1 | ≤

X Z h ∈FN k

z=δ−iφ

=

δ=N −2

≤

φh,k

C

e−πδ/2k e2πnδ dφ (δ 2 + φ2 )s/4 k s/2

2

2

2

2

e−(πδ/2k )(δ/(δ +φ )) 2πn/N 2 e dφ C (δ 2 + φ2 )s/4 k s/2 φh,k | {z }

X Z h ∈FN k

e−πδ/2k 2πn Re(z) e dφ |z|s/2 k s/2

φh,k

X Z h ∈FN k

2

C

=:A

73


Dabei ist A ≤ δ −δ/4

πδ 2k 2 (δ 2 + φ2 )

s/4

exp −

πδ 2k 2 (δ 2 + φ2

von der Form y 7→ y s/4 e−y . Diese Funktion verschwindet f¨ ur y → 0 bzw. y → ∞, hat das s s/4 s Maximum 4e , angenommen an der Stelle y = 4 , und ist nicht negativ. Demnach ist das ankt durch Integral zu hk ∈ FN beschr¨ Z Z s 2/4 2 2 C1 δ −s/4 e2πn/N dφ = C2 δ −s/4 e2πn/N 1dφ. 4e φh,k φh,k Also ist der Fehlerterm betragsm¨ aßig nach oben beschränkt durch X Z 2πn/N 2 s/4 |E1 | ≤ C2 e δ 1dφ . h

|k

∈FN

φh,k

{z

}

=1

√ W¨ ahlen wir nun N := [ n], so folgt |E1 |

δ=N −2

≤

C3 e2π ns/4 = O ns/4 .

Hierbei ist C3 eine nur von s abh¨ angige Konstante.

5.5.2 Erweiterung des Integrationsbereichs Wir wollen nun das Integral Z Z G(h, k) s e2πnz G(h, k) s 2πnz √ √ √ s dφ e dφ = 2zk 2k φh,k ( z) φh,k berechnen. Im folgenden sei s > 2 vorausgesetzt. Da z = δ − iφ ist, gilt 2πnz e e2πnδ e2πnδ = f¨ ur |φ| → ∞. ≈ |z|s/2 (δ 2 + φ2 )s/4 φs/2 R R∞ Wir können daher φh,k durch −∞ ersetzen. Der damit verbundene Fehler ist beschränkt durch Z

φ1

−∞

Z e2πnz ∞ e2πnz dφ + dφ . |z|s/2 φ2 |z|s/2

Wir schätzen beispielhaft den zweiten Term ab. Die erste lässt sich analog behandeln. Z ∞ 2πnz Z ∞ e e2πnδ ≤ dφ dφ s/2 2 2 s/4 φ2 |z| φ2 (δ + φ ) Z ∞ (5.15) 1 ≤ e2πnδ dφ s/2 (1 + (φ/δ)2 )s/4 1 δ 2kN Z ∞ 1 ψ=φ/δ 2πnδ 1−s/2 = e δ dψ 2 )s/4 1 (1 + (ψ/δ) 2kN δ | {z } ≤

δ=N −2

≤

2

Ce2πn/N n(s/2)−1 n−(s−2)/4 k (s−2)/2

= Cn(s−2)/4 k (s−2)/2

74

1 ψ s/2

5.5 Berechnung des Integrals R

Nimmt man diese Ersetzung E2 beschränkt durch

→

φh,k

R∞ −∞

f¨ ur jedes Integral in (5.21) vor, so ist der Gesamtfehler

X G(h, k) s s−2 s−2 |E2 | ≤ √2k 2Cn 4 k 2 h k

5.8

∈FN

X

≤

2Cn(s−2)/4 k −1

h ∈FN k

X

X

0N

≤

G(h, k) s √ 2k | {z }

X X h mod k (h,k)=1

(2π)s/2 s/2−1 n Γ(s/2)

5.6(iii) √ ( 2k)s √ ≤ =k−s/2 ( 2k)s

X (2π)s/2 X ns/2−1 k −s/2 1 Γ(s/2) h mod k

k>N

(h,k)=1

| {z } ≤k

≤

(2π)s/2 Γ(s/2)

ns/2−1

√ N =[ n]

≤

C ·n

X

k 1−s/2

k>N s/n−1

= C · ns/n−1

Z

∞

√

u1−s/2 du

n √ 2−s/2 ( n)

(s/2) − 2

(denn s > 4!)

= C 0 ns/4 = O(ns/4 ).

Wir fassen zusammen:

75

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten Theorem 5.9. F¨ ur s ≥ 5 gilt rs (n) = %s (n) + O(ns/4 ) wobei %s (n) :=

(n → ∞),

(2π)s/2 s/2−1 n S(s, n) Γ(s/2)

und S(s, n) :=

∞ X

Ak

k=1

mit Ak := Ak (s, n) = k −s

X

h

G(h, k)s e−2πin k

h mod k (h,k)=1

ist. P∞

k=1 Ak

Die unendliche Reihe

wir auch singul¨ are Reihe genannt.

5.6 Absch¨ atzen von S(s, n) Lemma 5.10. Ak ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Beweis: Wir m¨ ussen hierzu zeigen, dass f¨ ur (k1 , k2 ) = 1 folgt: Ak1 k2 = Ak1 · Ak2 . Es ist −s

Ak1 Ak2 = (k1 k2 )

X

X

s

(G(h1 , k1 )G(h2 , k2 )) exp −2πin

h1 mod k1 h2 mod k2 (h1 ,k1 )=1 (h2 ,k2 )=1

h1 h2 + k1 k2

.

Setze nun h := h(h1 , h2 ) := h1 k2 + h2 k1 . Dann gilt • (h, k1 k2 ) = 1, falls (h1 , k1 ) = 1 und (h2 , k2 ) = 1 sind, •

h1 h2 h + = , k1 k2 k1 k2

• G(h1 , k1 )G(h2 , k2 ) = G(h, k1 k2 ).

(?)

Ferner durchläuft h ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k1 k2 , wenn h1 ein vollständiges Restsystem modulo k1 , uhd h2 ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k2 durchläuft. Dabei ist (h, k1 k2 ) = 1 ⇔ (h1 , k1 ) = 1 ∧ (h2 , k2 ) = 1. Somit folgt −s

Ak1 Ak2 = (k1 k2 )

= (k1 k2 )−s

h G(h, k1 k2 ) exp −2πin k1 k2 h1 h2 X h s G(h, k1 k2 ) exp −2πin = Ak1 k2 k1 k2 h mod (h k )

XX

1 2 (h,k1 k2 )=1

76

s

5.6 Abschätzen von S(s, n)

Die Gleichung (?) gilt, da: G(h, k1 k2 ) = G(h1 k1 k2 + h2 k12 , k2 )G(h1 h22 + h2 k1 k2 , k1 ) = G(h2 k12 , k2 )G(h1 k2 , k1 ) G(h±k,k)=G(h,k)

=

G(h2 , k2 )G(h1 , k2 ),

denn f¨ ur alle h, l ∈ Z, k ∈ N, (h, k) = 1, (l, k) = 1 gilt 2 2 X X hm2 hl m 2 e G(hl , k) = = e = G(h, k), k k m mod k

m mod k

weil (lm) genau dann ein vollst¨ andiges Restsystem modulo k durchläuft, wenn m dies tut.

Lemma 5.11. Es gilt S=

∞ X

Ak =

Y Y (1 + Ap + Ap2 + . . .) = Sp . p

k=1

p

Beweis: Nach dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gilt Y

(1 + Ap + Ap2 + . . .) =

X

5.10

Apa1 · Apa2 · . . . · Apag g = 1

2

g≥0

p prim

X

Apa−1 pa2 ...pag g = 1

p1 ...pg prim a1,...,ag ≥1

∞ X

2

An ,

n=1

wobei das jetzt Gleichheitszeichen wegen P∞ des Hauptsatzes der elementaren Zahlentheorie gilt. Wir beachten hierbei, dass die Reihe k=1 Ak absolut konvergent ist, denn es gilt ∞ X

|Ak | ≤

k=1

∞ X X |G(h, k)|s ks h mod k k=1

(h,k)=1

∞ 5.8(iii) X

≤

≤

∞ X

X

k=1

h mod k (h,k)=1

s

s

s

s

2 2 k− 2

2 2 k 1− 2 < ∞

f¨ ur

s > 4.

k=1

Daraus folgt die absolute Konvergenz der obigen Reihen und Produkte. P Bemerkung: i. Die Reihen 1+ a=1 Apa sind sogar endlich, wie wir in K¨ urze sehen werden. ii. Mit den vorherigen Hilfss¨ atzen haben wir das Problem der Berechung von Ak auf das Problem der Berechnung von Apa p prim, a ≥ 1, zur¨ uckgef¨ uhrt. Wir unterscheiden jetzt eine Reihe von Fällen Lemma 5.12 (p = 2). F¨ ur p = 2 gilt i. A2 = 0 ii. Ist a gerade, a ≥ 2 so gilt ( A2 a = wobei n1 :=

n 2a−2

cos( π4 )(2n1 −s) 2(s/2−1)(a−1)

0

f¨ ur f¨ ur

2a−2 |n 2a−2 6 |n,

ist.

77

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten iii. Ist a ungerade a ≥ 3, so ist  f¨ ur  (−1)(n2 −s)/4 2(1−s/2)(a−1) , A2 a =  0 sonst

2a−3 |n, n2 ≡ s mod 4

Beweis: i. a = 1, d.h. k = 2, k := 2a . Dann gilt nach Satz 5.8(i) G(h, 2) = 0 f¨ ur alle n, also auch Ak = 0. ii. F¨ ur gerade a folgt nach Satz 5.8 (iii) G(h, 2a ) = (1 + ih )2a/2 , also A2a =

1 · 2as 2 as

= 2− 2

X

(1 + ih )s e−

2πinh 2a

h mod 2a 26|h

X

(1 + ih )s e−

2πinh 2a

as

X

+ 2− 2

h mod ka h≡1 mod 4

(1 + ih )s e−

2πinh 2a

,

h mod ka h≡3 mod 4

as

wobei h ∈ {3, . . . , 2a − 1, 2a + 1} ist. Mit h = 4j + 1 + 2− 2 j ∈ {1, . . . , 2a−2 } ist − as 2

A2a = 2

s

(1 + i)

a−s 2X

−2πin(4j+1)/2a

e

− as 2

+2

(1 − i)

j=1

Weiter ist

a−2 X j=1

Falls

2a−2

a−s 2X

e−2πin(4j−1)/2

a

j=1

−2πijn/2a−2

e

s

=

2a−2 0

f¨ ur f¨ ur

2a−2 |n 2a−2 6 |n

6 |n, sind wir fertig. F¨ ur 2a−s |n schreiben wir n = 2a−2 n1 , so dass folgt sa

a

sa

a

A2a = 2− 2 (1 + i)s 2a−2 e−2πin/2 + 2− 2 (1 − i)s 2a−2 e−2πin/2 . √ πi Mit (1 + i) = 2e 4 ist schließlich A2a = 2s/2(1−a) 2a−1 2−1 eπis/4−2πin1 /4 + 2s/2(1−a) 2a−1 2−1 e−πis/4+2πin1 /4 πs 2πn1 (s/2−1)/(1−a) − =2 cos 4 4 | {z } = π4 (s+2n1 )

Lemma 5.13 (p ungerade). Sei p eine ungerade Primzahl. Falls sa gerade ist, so gilt  a 2 f¨ ur pa |n  (p − 1)p−((s/2−1)a−1 i((p −1)/2) s , a 2 Apa = −p((s/2−1)a−1 i((p −1)/2) s , f¨ ur pa−1 |n ∧ pa 6 |n  0, f¨ ur pa−1 6 |n

78

5.6 Abschätzen von S(s, n)

Falls sa ungerade ist, so gilt ( 0 “ ” n Apa = p) −(as/2)+a−(1/2) p1 p ((pa − 1)/2)2 s (1−i)(1+i , 2

f¨ ur

pa |n oder pa−1 6 |n,

f¨ ur

pa−1 |n.

Beweis: i. Sei sa ungerade. Satz 5.8 liefert h ((pa −1)/2)2 a/2 h a (iii) a (ii) G(1, p ) = i p G(h, p ) = a p p

1√+k i i k

G(1, k) =

k ≡ 1 mod 4 k ≡ 3 mod 4

f¨ ur f¨ ur

= i((k−1)/2)

2

Es folgt ((pa −1)/2)2 s −as/2

Apa = i

p

X

h −2πihn/pa e . p a

h mod p

Dabei haben wir die Bedingung p 6 |h fallen lassen können, denn f¨ ur p|n gilt ja

h p

= 0.

Um die Summe zu berechnen, schreiben wir h = vp+j (h = 0, . . . , pa −1, v = 0, . . . , pa−1 − 1, j = 0, . . . , p − 1) X h − 2πih X X j a−1 a e pa = e−2πinv/p e−2πinj/p . p p a v j

h mod p

Falls pa−16|n ist, verschwindet die Summe u ¨ber v. Falls pa−1 |n, also n = pa−1n1 mit n1 ∈ N, Pp−1 so ist die Summe u ¨ber v gleich pa−1 und die Summe u ¨ber j wird zu j=0 p1 e−2πjin1 /p . P j a−1 ||n) ist, ergibt sich Falls p|n1 (⇔ pa |n) ist, ist dies p−1 j=0 p = 0. Falls p 6 |n1 (⇔ p p−1 X

e−2πijn1 /p

5.8(iv)

=

G(n1 , p)

j=0

n1 = G(1, p) p n1 (1 + i)(1 + i−p ) √ 5.8(iii) = p p 2 n1 (1 − i)(1 + ip ) √ = p p 2 5.8(ii)

Aus Lemma 5.12 folgt |A2 a| ≤ 21−s/2(a−1) , P ¨ so dass | a A2a | < ∞ f¨ ur s ≥ 3 ist. Ahnlich folgt aus Lemma 5.13 f¨ ur p prim p ≥ 3 ∞ ∞ ∞ X X p−1X p−1 p−1 1 1 = 1 + s/2 = 1 + s/2 . Apn ≤ 1 + 1 + as/2−a+1 (s/2−1)(a−1) p p p p 1 − p1−s/2 n=1

a=1

a=1

79


Also ist

∞ X p−1 1 Apa ≤ s/2 ≤ s/2−1 . |Sp − 1| ≤ p −p p − 1 a=1

Mit A2 = 0 folgt ∞ ∞ X X −1 −1 2(1−s/2)(a−1) = 21−s/2 1 − 21−s/2 = 2s/2−1 − 1 , A2a ≤ |S2 − 1| = a=2

a=2

also 1−

1 ps/2−1

−1

≤ Sp ≤ 1 +

1 ps/2−1

−1

,

p = 2, 3, 5, 7, . . . −

F¨ ur s = 5 (”magische Dimension”) wegen ps/2 − 1 ≥ p3/2 folgt Die Produkte Y 1 1 ± s/2−1 p −1 p konvergieren, denn f¨ ur die zugeh¨ orige Summe gilt: X X p−(s/2−1) ≤ n−(s/2−1) < ∞

f¨ ur

s ≥ 5.

n

p

P1 (Beachte, dass f¨ ur s = 4 die Summe p divergent ist.) Damit folgt das Hauptergebnis: Y Y 1 1 c− (s) := 1 − s/2−1 ≤ S(n, s) ≤ 1 + s/2−1 =: c+ (s) p −1 p −1 p p und

rs (n) = s(n, s)ns/2−1 + O ns/4 ,

(5.22)

(5.23)

wobei f¨ ur s ≥ 5 ns/2−1 ns/4 ist. Das obige Produkt konvergiert auch f¨ ur s = 4, da es nur endlich viele pa−1 |n gibt. F¨ ur alle ∼ anderen p 6 |n gilt Ap (n, 4) = p − 2 und X |S| ≤ c · p−2 < ∞. p

5.7 Berechnung von S(s, n) Definition 5.14. Die Bernoulli-Zahlen Bm , m ≥ 1 sind durch die Entwicklung ∞ X t Bm m =1+ t et − 1 m! m=1

definiert. Es gilt

Behauptung: B2m+1 Beweis:

1 B0 := 1, B1 = − , B3 = B5 = B7 = B9 = 0, . . . . 2 = 0 f¨ ur m ≥ 1. ∞ X Bm m t t t et + 1 1+ t = t + = , m! e −1 2 2 et − 1 m=2

80

5.7 Berechnung von S(s, n)

wobei der letzte Term symmetrisch ist (g(−t) = g(t)). Somit liefert Differenzieren an der Stelle t = 0 die Aussage B2m+1 = 0. Also ist 1+

∞ X t et + 1 B2m 2m t = . 2m! 2 et − 1

m=1

Aus der Analysis (oder mittels Poisson’sche Summenformel angewendet auf g(z) = ist ! ∞ X 1 1 X 2z 1 = cot z = + = , tan z z z 2 − (πn)2 z − πn n=1

y z 2 +y 2

¨ (U))

n∈Z

wegen Partialbruchzerlegung: 1 2z 1 + = 2 . z − πn z + πn z − (πn)2 Da cot z = i

2i eiz + e−iz = i + 2iz iz −iz e −e e −1

ist, folgt

∞

X t t t2 = 1 − + 2 et − 1 2 t2 + (2πn)2 n=1

und falls

1 | 2πn |

b + 1.

f¨ ur f¨ ur f¨ ur

(5.31)

Insbesondere gilt f¨ ur s ≡ 0 mod 4 p−1 pb − pb−1 p2 − p 1 + + . . . + − pb (b+1)(s/2) 2 s/2 b(s/2) p (s/2) p p p s/2 (1−s/2) b(1−s/2) = (1 − p ) 1 + p + ... + p

Sp = 1 +

(5.32)

(b = 0 ⇒ Sp = 1 − p−s/2 f¨ ur p 6 |n) ur p ≡ 1 mod 4. F¨ ur s ≡ 2 mod 4 und p ≡ 3 mod 4 Falls s 6= 2 mod 4 gilt (5.32) ebenfalls f¨ ist Sp = (1 + p−s/2 ) 1 − p1−s/2 + . . . + (−1)b pb(1−s/2) . (5.33) iii. Der Fall s ≡ 0 mod 4: Hier gilt Y Y S= Sp = S2 Sp p

= S2

p>2

Y

(1 − ps/2 ) 1 + p(1−s/2) + . . . + pb(1−s/2) = S2 P1 P2 ,

p>2

wobei P1 := S(s/2)−1 (1 − 2−s/2) )−1 ,

P2 :=

X

d1−s/2

d|n, d ungerade

ist. Mit k−1

S(2k) = (−1)

B2k 2

(2π)2k /(2k)!

gilt zusammenfassend X 2s/2 2(−1)−1+s/4 2s ! S = S2 s/2 d1−s/2 Bs/2 2 −1 (2π)s/2 d|n d ungerade   X 2 (s/2)! S 2 = d1−s/2  , |Bs/2 | π s/2 (2s/2 − 1) d|n d ungerade

so dass f¨ ur die Approximation von rs (n) gilt:   X (2π)s/2 ns/2−1 (s/2)! S 2 rs (n) = d1−s/2  Γ(s/2) |Bs/2 | π s/2 (2s/2 − 1) d|n d ungerade   s/2−1 X sn S2 = d1−s/2  |Bs/2 |(2s/2 − 1)

(5.34)

d|n d ungerade

iv. F¨ ur b = 0 ist n = 2b n1 = n1 , n1 ungerade und s ≡ 0 mod (3 + 1), dann S2 = 1.

83

5 Darstellungen von nat¨ urlichen Zahlen als Summe von Quadraten v. F¨ ur b > 0 ist n = 2b n1 , n ungerade b(1−s/2) S2 = 1 + (−1)s/4 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2 , so dass ns/2−1 S2 auf Summanden f¨ ur d = 2b , d|n f¨ uhrt. Setze δ :=

n d

n s/2−1 d

f¨ ur d = 2c , 0 ≤ c ≤ b, d|n, bzw. auf −

n s/2−1 d

∈ N, d = 2c , s ≡ 0 mod 0 ⇒ s/4 gerade. S2 = 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2

und

b(1−s/2)

b(1−s/2) S20 = S2 + 2 · 21−s/2 + . . . + 2(b−1)(1−s/2)−2 .

Dann ist X

S20 =

d1−s/2 =

d|n d ungerade

X

t1−s/2 .

t|n

Also ist X

In := S2

d1−s/2

d|n d ungerade

zu erhalten mittels Substitution aller Teiler t = 2b d, d ungerade von n (mit höchstens Potenz b). Falls n gerade ist, ist X In = (−1)n/t t1−s/2 t|n

n

, t = 2b π ⇒

t Falls n ungerade ist, ist

n ungerade, t In = −

n n , t = 2c π, c < b ⇒ ungerade t t

X

(−1)n/t t1−s/2

t|n

f¨ ur s ≡ 0 mod 8 Zusammenfassend In =

X

(−1)n+n/t t1−s/2 .

t|n

Dies ist korrekt, falls s ≡ 0 mod 8, d.h. S2 (n) =

X 2 (−1)δ+n δ s/2−1 (2s/2−1 − 1)(Bs/2 ) δ|n

δ=

n . d

Falls s ≡ 4 mod 8 ist, gilt S2 = 1 − 21−s/2 . . . − 2(b−1)(1−s/2) + 2b(1−s/2) und wie oben X In = (−1)n/t+n+1+t t1−s/2 . t|n

Es ergibt sich also f¨ ur s ≡ 0 mod (3 + 1) Ss (n) =

X s (−1)n+δ+s/4(n/δ+1) δ s/2−1 . s/2 2 − 1|Bs/2 | δ|n

84

5.7 Berechnung von S(s, n)

Beispiel:

i. s = 4: Mit Bs/2 = B2 = S4 (n) =

1 6

ist

X n 4 EZT (−1)n+d+ d +1 d = 8 1 − 1) 6

22

d|n

ii. s = 8: S8 (n) =

X

d = r4 (n)

d|n d6≡0 mod 4

240 X (−1)n+d d3 15 d|n

Dies ist relativ schwierig zu zeigen. Man benutzt Modulfuntionen aus der elemntaren Zahlentheorie. F¨ ur s ≡ 2 mod 4, s ungerade siehe Handout.

Alternative Darstellung von S(s, n) Seien (h, k) = 1, G(h, k) die Gaußsumme und e(x) = exp(−2πix). Dann ist X s h e msj . k mod k

X

s

G(h, k) =

j=0

mj 1≤j≤s

F¨ ur k = pa gilt: Apa = p

X

−as

h mod pa (h,p)=1

h G(h, p ) e − a n p a s

  s X h m2j − n e a  p 

X

= p−as

X

h mod pa mj mod pa (h,p)=1 1≤j≤s

 X

= p−as

a

p X

 mj mod pa 1≤j≤s

n=1

(n)

j=1

    a −1 pX s s X X ¯ hp h m2j − n) − e a  m2j − n e a p p ¯ 

j=1

(n)

h=1

j=1

= p−as Npa pa − Npa−1 pa+1−s , wobei Npt := #{(m1 , . . . , ms )|0 ≤ mj ≤ pt , 1 ≤ j ≤ s, m21 + . . . + m2s ≡ n mod pt } ist. 1. Summe: P Pa i. F¨ ur sj=1 m2j ≡ 0 mod pa ist pk=1 1 = pa ii. F¨ ur

Ps

2 j=1 mj

− n 6≡ 0 mod pa ist

Ppa

k=1 e (·)

= 0.

2. Summe: P a −1 P 1 = pa−1 , wobei 0 ≤ mj ≤ pa − 1 ist. i. F¨ ur sj=1 m2j ≡ 0 mod pa−1 ist pk=1 ii. F¨ ur

Ps

2 j=1 mj

6≡ 0 mod pa−1 ist wieder

Ppa

k=1 e (·)

= 0.

Also ist Sp,N =

N X a=1

Apa 1 +

N X a=1

(p−a(s−1) Npa (n) − p(a−1)(s−1) Npa−1 (n) =

NpN (n) , pN (s−1)

85


d.h. Sp = limN →∞ Sp,N = limN →∞

NpN (n) pN (s−1)

. Die zugehörige Norm bildet von {0, 1, . . . , pN − 1}s

(Anzahl ist pN s ) auf {0, . . . , pN − 1} (Anzahl ist pN ) ab, d.h. bei gleichmäßiger Verteilung von sN k(m1 , . . . , ms )k2 mod p sollte die Dichte der Lösungen ppN = p(s−1)N sein. F¨ ur s ≥ 5 wissen wir, dass die lokale Dichte (in der Primzahl p) c− ≤

Anzahl Lösungen modpN ≤ c+ Mittlere Dichte mod pN

f¨ ur N → ∞Qgilt. S(s, n) = p Sp ist die globale Dichte in den Primzahlen. Was ist aber Sp , p = ∞? vol{(x1 . . . xs )| n − 1 ≤ kxk2 ≤ n} ≈

π s/2 s/2−1 n =: S∞ . Γ(s/2)

Dies entspricht der Oberfl¨ ache der Sph¨ are mit einer Schale von der Dicke

86

√1 . n

6 Diophantische Gleichungen in Zpn Sei f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ein Polynom in x1 , . . . , xn mit Koeffizienten in Z. Unser Ziel wird es sein, die Existenz der L¨ osungen von f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 mod m,

m≥2

(6.1)

in Restklassen x1 , . . . , xn mod m zu zeigen und deren Anzahl zu bestimmen. Die Existenz folgt nat¨ urlich aus der Existenz einer Lösung f (x1 , . . . , xn ) = 0 mit x1 . . . xn ∈ Z. n Sei Om (Zm ) die Zm -Algebra der Abbildungen g : Znm → Zm

(6.2)

und sei R : Z[x1 , . . . , xn ] → Om (Znm ) f 7→ f ∗ , wobei f ∗ (m1 , . . . , mn ) := f (m1 , . . . , mn ) mod (m) ist. Definition 6.1. f, g ∈ Z[x1 , . . . , xn ] heißen äquivalent (f ∼ g) mod m, falls R(f ) = R(g). ¨ ¨ Dies definiert eine Aquivalenzrelation. Ein Repräsentant der Aquivalenzklasse von f sei das ∗ reduzierte Polynom f mit Koeffizienten αi1 ,...,in ∈ {0, . . . , m − 1} und X βi β f ∗ (x1 , . . . , xn ) := αi1 ,...,in xi1 1 · . . . · xinin , i

wobei βij ≤ ϕ(m),

j = 1, . . . , n,

(6.3)

d.h. es gilt f (e1 , . . . , en ) = f ∗ (e1 , . . . , en ) mod m

∀(e1 , . . . , en ) ∈ {0, . . . , m − 1}n .

Dies folgt aus ϕ(m)+1

R(xj

) = R(xj ),

denn nach dem kleinen Fermat gilt xϕ(m)+1 ≡ x mod m

∀x mod m.

Sei f ∗ das so reduzierte Polynom zu f . Dann gilt Proposition 6.2. Jedes f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ist ¨ aquivalent zu einem reduzierten Polynom f ∗ mit deg f ∗ ≤ deg f.

87

6 Diophantische Gleichungen in Zpn Sei im folgenden m = p. aquivalent, so Proposition 6.3. Sind zwei reduzierte Polynome im Sinne von Definition 6.1 ¨ sind sie gleich (f¨ ur m = p). Beweis: Es ist zu zeigen, dass aus f ∼ 0 folgt f ≡ 0 in Zm [x1 , . . . , xn ]. Induktion nach n: n = 1: Sei deg f < p, d.h. deg f ≤ ϕ(p) = p − 1. Falls f ∼ 0, so gilt f (c) ≡ 0 mod p ∀c mod p, d.h. f hat mehr Nullstellen als sein Grad. Da Zp nullteilerfrei ist, gilt (nach Satz 8.33 EZT) f ≡ 0 in Zp [x], also sind alle Koeffizienten ≡ 0 mod p. (n − 1) → n: f (x1 , . . . , xn ) = A0 (x1 , . . . , xn−1 )x0n + A1 (x1 , . . . , xn−1 )x1n .. . + Ap−1 (x1 , . . . , xn−1 )xp−1 n Wir setzen x − j = ej , j = 1, . . . , n − 1, ej ∈ {0, . . . , p − 1} und f (e1 , . . . , en−1 , xn ) =: a0 x0n + a1 x1n + . . . + ap−1 xp−1 n mit aj = Aj (e1 , . . . , en−1 ) ∈ Z. Aus f ∼ 0 folgt f (e1 , . . . , en−1 , xn ) ≡ 0 mod p

∀x ∈ {0, . . . , p − 1}.

Also folgt aus dem Fall n = 1 aj = Aj (e1 , . . . , en−1 ) ≡ 0 mod p, j = 0, . . . , p − 1. Da die Aj auch reduziert und die e1 , . . . , en−1 beliebig sind, folgt aus der Induktionsvoraussetzung A0 ≡ A1 ≡ . . . ≡ Ap−1 ≡ 0 mod p. Damit folgt die Behauptung f¨ ur n.

Lemma 6.4. Habe f (x1 , . . . , xn ) ≡ 0 mod p

(6.4)

eine nichttriviale L¨ osung und sei deg f < n. Dann gibt es eine weitere L¨ osung. Beweis: Angenommen xj ≡ aj mod p, j = 1, . . . , n sind die Komponenten eines Lösungsvektors a = (a1 , . . . , an ) und sei dies die einzige Lösung. Setze h : 1 − f p−1 .

88

Der kleine Fermat besagt h(x1 , . . . , xn ) =

1, 0,

xj ≡ aj mod p, j = 1, . . . , n sonst.

f¨ ur

mod p.

Sei h∗ das zu h ¨ aquivalente reduzierte Polynom mit R(h) = R(h∗ ) Dann ist h0 :=

n Y j=1

auf Znp .

(1 − (xj − aj )p−1 ) mod p {z } |

≡0 mod p, xj 6≡aj mod p

ein weiteres reduziertes Polynom mit R(h0 ) = R(h) auf Zpn . Aus Lemma 6.4 folgt damit h∗ ≡ h0 mod p in Zp [x1 , . . . , xn ].

(?)

Aus Proposition 6.2 folgt deg h∗ ≤ deg h = (p − 1)(deg f ). Da aber deg h0 = n(p − 1) ist, folgt aus deg h∗ = deg h0 n(p − 1) ≤ (deg f )(p − 1) ⇒ n ≤ deg f

E Satz 6.5 (Warning). Die Anzahl der L¨ osungen von (6.4) ist durch p teilbar, falls deg f < n ist. Beweis: (6.4) habe s L¨ osungen (i)

Li = (e1 , . . . , e(i) n ), i = 1, . . . , s, s ≥ 1. Setze h := 1 − f p−1 und sei x := (x1 , . . . , xn ). Dann ist 1, f¨ ur h(x) = 0, Setze DL (x) :=

n Y

x ≡ Li mod p, i = 1, . . . , s mod p sonst.

1 − (xj − ej )p−1

x ≡ L mod p, sonst.

mod p,

mod p

L = (e1 , . . . , en ).

(6.5)

(6.6)

j=1

Dann ist DL (x) ≡

1, 0,

f¨ ur

und h∗ (x) :=

s X

DLi (x) mod p.

mod p

(6.7)

i=1

Aus (6.5) folgt R(h∗ ) = R(h) auf Znp ,

89

6 Diophantische Gleichungen in Zpn d.h. h∗ ∼ h. Da die DLj reduziert sind, ist auch h∗ reduziert. Aus Proposition 6.2 und Lemma 6.4 folgt deg h∗ ≤ deg h < n(p − 1). Die Terme höchsten Grades in h∗ sind n Y

xp−1 (−1)n j

j=1

in jedem DLj , d.h. wir erhalten als h¨ ochsten Termin in h∗ n

s(−1)

n Y

xp−1 . j

j=1

also muss s(−1)n ≡ 0 mod p sein.

Korollar 6.6 (Cheralley). Sei f ein homogenes Polynom mit deg f < n. Dann gibt es eine von Null verschiedene L¨ osung von (6.4). Beweis: Folgt aus Satz 6.5 mit s ≥ 1, p ≥ 2, s ≡ 0 mod p.

6.1 Quadratische Formen Korollar 6.7. Sei f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] ganzzahlige quadratische Form, d.h. f (x1 , . . . , xn ) =

n X

aij xi xj ,

aij ∈ Z.

i,j=1

Falls n ≥ 3 ist, so existiert außer x = (0, . . . , 0) (triviale Nullstelle) noch eine weitere (nichttriviale) Nullstelle mod p. Beweis: n = 1: ax2 ≡ 0 mod p ⇒ x ≡ 0 mod p. n = 2: ax2 + 2bxy + cy 2 ≡ ax + cy mod p

∀x, y ∈ {0, . . . , p − 1}.

Es existieren p L¨ osungen {(x, y)|x ≡ c(a−1 )y mod p}.

Satz 6.8. Sei f (x, y) = ax2 + 2xy + cy 2 . f (x, y) ≡ 0 mod p, p > 2 hat genau dann eine (nichttriviale) L¨ osung, wenn d ≡ 0 mod p oder −d quadratischer Rest mod p ist. Hierbei ist d = ac − b2 die Diskriminante. ˇ Beweis: Siehe [BS66].

Proposition 6.9. Sei k ≥ 2, k ∈ N und Nn die Anzahl der L¨ osungen in (m1 , . . . , mn ) ∈ Znk von f ∈ Z[x1 , . . . , xn ] mit f (m1 , . . . , mn ) ≡ 0 mod k. (6.8) Dann ist Nk = k n−1 + Rk mit

k−1 1X X h Rk := e f (m) . k k h=0 m∈Zk

90

(6.9)

6.1 Quadratische Formen

¨ Beweis: Ubung: k−1 h 1X 1, f (m) ≡ 0 mod k e f (m) = 0, sonst k k n=0

P Satz 6.10. Sei f (x) = hAx, xi = 1i,j=1 aij xi xj mit x := (x1 , . . . , xn ), A = (aij , i, j = 1, . . . , n) symmetrisch, h·, ·i euklidischen Skalarprodukt, aij ∈ Z und det A 6= 0 (nicht entartet). Dann ist f¨ ur k ≥ 2, k ∈ N k−1 X n n (h(det A), k) 2 . |Rk | < k 2 k −1 n=1

Beweis: Da Rk =

1 k

Pk−1

k=1 Rn,k

ist mit Rn,k :=

P

m∈Zn k

e

h k hAm, mi

, reicht es zu zeigen, dass

|Rn,k |2 ≤ k n (h det A, k)n/2

(6.10)

gilt. X X h h h hAm, mi − hAm, ¯ mi ¯ hA(m + m), ¯ m − mi ¯ . |Rn,k | = e = e k k k m,m ¯ m,m ¯ 2

Sei m ¯ fest. Summiere in m und setze δ := m − m. ¯ m ∈ Zm auft alle Restklassen n-Tupel k durchl¨ n in Zk . Also gilt X X ! X h h 2h 2 hA(m + 2δ, δ)i = e hAn, δi ·e hAδ, δi |Rn,k | e k k k m δ

δ,m

Weiter ist  Y m X h  hAm, δi = e k m j=1

X

e

mj mod Zk

 n 1 k , f¨ ur hAδ ≡ 0 mod k (hAδ)j mj  = 0, sonst. k

Also ist |Rn,k |2 ≤

X

k n · 1 · I{δ∈Zkm :hAδ≡0 mod k} .

δ

Sei

A∗

die adjungierte Matrix ∈

2 Zn .

A∗ A = (det A)Id. Dann

hAδ ≡ 0 mod k ⇒ hA∗ Aδ ≡ 0 mod k ⇒ (h(det A)δ ≡ 0 mod k. Sei k = kn,A ·(n det A, k). Dann ist kn,A |δ oder δ = (l−1kn,A , . . . , ln kn,A ) mit 0 ≤ lj < (n det A, k) ⇒ |Rn,k |2 ≤ k n (h det A, k)n F¨ ur i. k = p prim ii. det A 6≡ 0 mod p gilt insbesondere n

|Np − pn−1 | ≤ p 2

p−1 . p

(6.11)

(F¨ ur allgemeine Formen vgl. Deligne, Grothendieck)

91

6 Diophantische Gleichungen in Zpn

92

7 P-adische Zahlen Beispiel 7.1. Wir betrachten Kongruenzen x2 ≡ 2 mod 7n ,

n = 1, 2, . . .

(7.1)

, x0 = +3

(7.2)

n = 1: x0 ≡ ±3 mod 7, n = 2: x2 ≡ 2 mod 72

(7.3)

Mit x = x0 + t1 7 folgt (3 + 7t1 )2 ≡ 2 mod 72 ⇒ 9 + 6 · 7t1 + 72 t21 ≡ 2 mod 72 . 7(1 + 6t1 ) = 7 + 6 · 7 · t1 ≡ 0 mod 72 . 1 + 6t1 ≡ 0 mod 7 ⇒ t1 ≡ 1 mod 7 x1 = 3 + 1 · 7 mod 72 . n = 3: x2 = x1 + t2 72 ⇒ t2 ≡ 2 mod 7 x21 + 272 t2 + 74 t22 ≡ 2 mod 73 x21 − 2 ≡ 0 mod 72 und 2t2 72 ≡ 0 mod 73 Man erh¨ alt also eine Folge x0 , x1 , x2 , . . . mit x0 ≡ +3 mod 7 und xn ≡ xn−1 mod 7n , x2n ≡ 2 mod 7n+1 . Definition 7.2. Eine ganze p-adische Zahl ist eine Folge ganzer Zahlen α = (x0 , x1 , x2 , . . .) ∈ ZN0

(7.4)

mit xn − xn−1 ≡ 0 mod pn , n > 1. Sei α0 = (x00 , x01 , . . .) eine weitere p-adische Zahl. Dann sei i. α = α0 ⇔ xn ≡ x0n mod pn+1 , n = 0, 1, 2, . . .

(7.5)

ii. α ± α0 := {xn ± x0n , n ≥ 0}. iii. α · α0 := {xn x0n , n ≥ 0}. ¨ Proposition 7.3. ±, · sind wohldefiniert f¨ ur die Aquivalenzklassen von ≡. Die ganzen p-adischen Zahlen bilden einen kommutativen Ring Op mit 1 := (1, 1, . . .) und 0 := (0, 0, . . .).

93

7 P-adische Zahlen Definition 7.4. Seien α, β ∈ Op . Dann ist α|β genau dann, wenn ein γ ∈ Op existiert mit β = αγ. Bemerkung 7.5. Die Abbildung Z → Op , a 7→ (a, a, . . .) ist eine Einbettung (injektiv). Lemma 7.6.

i. α ∈ Op hat eine kanonische Representation α = (x0 , x1 , . . .) mit 0 ≤ xn < pn+1 , n = 0, 1, 2, . . .

ii. α = (x0 , x1 , . . .) ∈ Op Einheit ⇔ x0 6≡ 0 mod p iii. F¨ ur α 6≡ 0, α ∈ Op ist α = pn ε,

(7.6)

wobei ε Einheit in Op ist. Diese Darstellung ist eindeutig. iv. Op ist nullteilerfrei. Beweis: i. klar. ii. ⇒“: Sei α eine Einheit. Dann existiert ein γ ∈ Op mit αγ = 1. Sei α durch yn , n ≥ 0 ” definiert und γ durch xn , n ≥ 0. Dann ist x0 y0 ≡ 1 mod p ⇒ y0 6≡ 0 mod p. ⇐“: Sei x0 6≡ 0 mod p. Aus (7.4) folgt ” xn ≡ xn−1 ≡ . . . ≡ x0 mod p ⇒ xn 6≡ 0 mod p. Somit existiert ein Inverses in Zpn+1 , d.h. yn mit xn yn ≡ 1 mod pn+1 . Da xn ≡ xn−1 mod pn ist, folgt 1 ≡ xn−1 yn−1 mod pn ≡ xn yn mod pn . ⇒ xn−1 yn−1 − xn yn ≡ 0 mod pn ⇒ yn ≡ yn−1 mod pn , d.h. γ = (y0 , y1 , . . .) ∈ Op mit αγ = 1. iii. Ist α Einheit, so ist (7.6) mit n = 0 richtig. Sei α = (x0 , x1 , . . .) keine Einheit. Da α 6= 0 ist, existiert ein kleinstes m, m > 0 mit xm 6≡ 0 mod pm+1 , d.h. xm + s ≡ xm−1 ≡ 0 mod pm , Setze yn :=

s ≥ 0.

xn+1 ∈ Z. pn

Aus pm ys − pm ys−1 ≡ xm+s − xm+s−1 ≡ 0 mod pm+s folgt ys − ys−1 ≡ 0 mod ps , s ≥ 0, d.h. ε = (y0 , y1 , . . .) ∈ Op mit y0 =

94

xm pm

6≡ 0 mod p. Also ist ε eine Einheit.

Aus pm ys ≡ xm+s ≡ xs mod ps+1 folgt pm ε = α, also (7.6) ist gezeigt. Eindeutigkeit: Sei eine weitere Darstellung gegeben durch α = pn η, η Einheit, h ≥ 0. η = (z0 , z1 , . . .). Dann ist pm ys = pn zs mod ps+1 ,

s ≥ 0,

(?)

wobei alle as , zs 6≡ 0 mod p, da η, ε Einheiten sind. Setze s = m in (?) ein: pm ym ≡ pn zm 6≡ 0 mod pm+1 ,

(??)

also k ≤ m. Symmetrie liefert m ≤ k, also insgesamt k = m. Wir k¨ urzen in (?), setzen s+1 s → s + m, ym+s ≡ zm+s mod p . Aus (7.4) folgt ym+s ≡ ys mod ps+1 und zm+s ≡ zs mod ps+1 , also ys ≡ zs mod ps+1 ,

s ≥ 0 ⇒ ε = η.

Bemerkung 7.7. a ∈ Z ist eine Einheit in Op , falls a 6≡ 0 mod p. ab , b 6≡ 0 mod p ist ein Element in Op , d.h. diese rationalen Zahlen k¨ onnen in Op eingebettet werden: Z → Op , a 7→ (a, a, . . .). Definition 7.8. Diese Elemente in Op heißen p-ganze Zahlen in Op . Sie bilden einen Unterring von Op . Korollar 7.9. Jede p-ganze Zahl α = (x0 , x1 , . . .) ist durch pk teilbar genau dann, wenn xn ≡ 0 mod pn+1 , n = 0, . . . , k − 1 ¨ Beweis: Ubung.

Definition 7.10. Die Darstellung (7.6) von α ∈ Op (α = pn ε, ε Einheit) definiert einen Exponenten von α: νp (α)(= n). Setze νp (0) := ∞. Dann gilt νp (αβ) = νp (α)νp (β)

νp (α + β) ≥ min(νp (α), νp (β)).

(7.7)

Korollar 7.11. Seien α, β ∈ Op . Dann ist β|α ⇔ νp (α) ≥ νp (β). Arithmetik von Op : Bis auf assoziierte Elemente ist nur p die einzige Primzahl. Kongruenzen: α ≡ β mod γ ⇔ γ|(α − β) γ = pn ε, ε Einheit, ⇔ pn |(α − β).

95

7 P-adische Zahlen Satz 7.12. Sei n ∈ N, α ∈ Op . Dann existieren a, q ∈ Z, q 6≡ 0 mod p, so dass α≡

a mod pn q

(p-ganze Zahl)

und a a0 ≡ 0 mod pn q q

∀n

genau dann, wenn a a0 ≡ 0 mod pn in Z. q q ¨ Beweis: Ubung: Zeige α ≡ xn−1 mod pn .

Korollar 7.13. Die Anzahl der Restklassen mod pn in Op ist pn . Quotientenbildung: pn ε : pn η = pn−m ε : η = pn−m

ε η |{z} ∈Op

Definition 7.14. relation

α ,α pk

¨ ∈ Op , k ≥ 0 definiert eine gebrochen p-adische Zahl mit der Aquivalenzβ α = m ⇔ αpm = βpk ∈ Op . k p p

¨ Die Menge der Aquivalenzklassen p-adischer Br¨ uche sei Rp und Op → Rp , α 7→

α p0

α β αpm + βpk + := pm pk pk+m αβ α β · := k+m pk pm p ¨ sind wohldefiniert auf den Aquivalenzklassen. Rp ist ein K¨ orper ristik 0! und enth¨ alt Q ,→ Rp .

pn ε pm

·

pm ε−1 pn

= 1 der Chrakte-

Satz 7.15. Jede p-adische Zahl ξ ∈ Rp \{0} l¨ asst sich eindeutig als ξ = pn ε,

ε ∈ Op Einheit , m ∈ Z

(7.8)

schreiben. Beweis: Lem 7.6 (ii) und Eindeutigkeit wie in Lem 7.6 (iii).

96

7.1 p-adische Distanz

7.1 p-adische Distanz Definition 7.16. ξn ∈ Rp , n ∈ N konvergiert genau dann gegen ξ ∈ Rp , wenn lim νp (ξn − ξ) = ∞ oder lim |ξ − ξn |p = 0,

n→∞

n→∞

wobei |ξ|p :=

p−νp (ξ) , 0,

f¨ ur f¨ ur

ξ 6= 0, ξ = 0.

ist. (p−1 kann man ersetzen durch 0 < p < 1.) Es gilt |ξ1 ξ2 |p = |ξ1 |p |ξ2 |p und |ξ1 + ξ2 |p ≤ max{|ξ1 |p , |ξ2 |p } ≤ |ξ1 |p + |ξ2 |

(7.9)

Satz 7.17. Falls an ∈ Rp , n ∈ N beschr¨ ankt ist, d.h. supn |αn |p < ∞ oder falls αn ∈ Op , n ∈ N, so enth¨ alt αn eine | · |p -konvergente Teilfolge gegen ein Element in Rp (bzw. Op ). Beweis: Sei zuerst αn ∈ Op , n ∈ N. Da in Op die Zahl der Restklassen mod p endlich ist, gibt (1) es eine unendliche Teilfolge αn von αn mit a(1) n ≡ x0 mod p. (2)

Aus dieser Teilfolge w¨ ahle eine weitere Teilfolge αn aus mit 2 a(2) n ≡ x1 mod p . (k)

Dies fortgesetzt, liefert Teilfolgen αn mit k a(k) n ≡ xk−1 mod p

xk ≡ xk−1 mod pk , k ≥ 1. (n)

Sei α = (x0 , x1 , . . .) ∈ Op . Die Diagonalfolge αn konvergiert gegen α. α ≡ xn−1 mod p αn(n) ≡ xn−1 mod pn αn(n) ≡ α mod pn (n)

|αn(n) − α|p = p−ν−p(αn

−α) n→∞

−→ 0

Allgemeiner Fall: Ist ξn beschr¨ ankt in | · |p , so gilt |ξn |p = p−νp (ξn ) < ∞ ⇒ νp (ξn ) ≥ −k, 0 ≤ k < ∞. F¨ ur αn = ξn pk , νp (ξn ) ≥ 0. Somit ist αn ∈ Op und hat eine konvergente Teilfolge.

Lemma 7.18. Der K¨ orper Rp ist vollst¨ andig bez¨ uglich | · |p

97

7 P-adische Zahlen

Beweis: Sei α1 , . . . , αn ∈ Rp . Dann existiert α ∈ Rp mit |α − αn |p → 0 ⇔

lim |αn − αm |p = 0 :

n,m→∞

⇒“: klar. ” ⇐“: Wir m¨ ussen zeigen, dass eine Cauchyfolge beschränkt ist, d.h. ” sup |αn |p < ∞ n

oder inf νp (αn ) ≥ −k > −∞. n

Sei also αn eine Cauchyfolge. Dann existiert ein n0 ∈ N, so dass |αm − αn0 |p ≤ 1 ∀m ≥ n0 . Dann ist |αm |p ≤ |αm − αn0 + αn0 |p ≤ max(1, |αn0 |p ) < ∞

∀m ≥ n0 .

Nach Satz 7.17 existiert eine konvergente Teilfolge αn0 von αn mit Grenzwert α ∈ Rp . Sei ε > 0 beliebig. Dann ist f¨ ur ein N = N (ε) ∈ N |αn − αm |p < ε ∀m, n ≥ N. |αm − α|p ≤ max{|αm − αn0 |p , |αn0 − α|p < ε, | {z } | {z }

Analysis und Zahlentheorie 001

Elementare Algebra und Zahlentheorie 001

Zahlentheorie 001.ps.gz

Elementare Zahlentheorie 001.ps.gz

Analytische Zahlentheorie 001

Elementare und algebraische Zahlentheorie

Elementare Algebra und Zahlentheorie

Elementare Algebra und Zahlentheorie

Einfuehrung in die Zahlentheorie 001.ps.gz

Elementare und algebraische Zahlentheorie

Analysis 001

Einführung in Algebra und Zahlentheorie

Zahlentheorie

Einfuehrung in Algebra und Zahlentheorie

Einfuehrung in Algebra und Zahlentheorie

Analysis 1 4 001

Analysis I III 001

Nichtkommutative harmonische Analysis 001

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 001

Functional Analysis 001

Harmonic Analysis 001

Nonstandard Analysis 001

Survival Analysis 001

Nichlineare Analysis 001

Treatise on Analysis: 001

Analysis II 001

Analysis I 001

Convex Analysis 001.ps.gz

Stochastische Analysis 001

Functional Analysis 001.ps.gz

Stochastic Analysis 001

Analysis und Zahlentheorie 001

Elementare Algebra und Zahlentheorie 001

Zahlentheorie 001.ps.gz

Elementare Zahlentheorie 001.ps.gz

Analytische Zahlentheorie 001

Elementare und algebraische Zahlentheorie

Elementare Algebra und Zahlentheorie

Elementare Algebra und Zahlentheorie

Einfuehrung in die Zahlentheorie 001.ps.gz

Elementare und algebraische Zahlentheorie

Analysis 001

Einführung in Algebra und Zahlentheorie

Zahlentheorie

Einfuehrung in Algebra und Zahlentheorie

Einfuehrung in Algebra und Zahlentheorie

Analysis 1 4 001

Analysis I III 001

Nichtkommutative harmonische Analysis 001

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 001

Functional Analysis 001

Harmonic Analysis 001

Nonstandard Analysis 001

Survival Analysis 001

Nichlineare Analysis 001

Treatise on Analysis: 001

Analysis II 001

Analysis I 001

Convex Analysis 001.ps.gz

Stochastische Analysis 001

Functional Analysis 001.ps.gz

Stochastic Analysis 001

Recommend Documents