Analysis 001

INHALTSVERZEICHNIS I Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen 1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . ...

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INHALTSVERZEICHNIS

I

Inhaltsverzeichnis 1 Reelle und komplexe Zahlen 1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Kommutative Gruppe bzgl. Addition . . . . . 1.1.2 Kommutative Gruppe bzgl. Multiplikation . . 1.1.3 Distributivgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Induktionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Archimedisch geordneter Körper . . . . . . . 1.1.6 Intervallschachtelung (Vollständigkeit von R) 1.2 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Vereinigung, Durchschnitt, Differenz . . . . . 1.3.2 M¨ achtigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Abz¨ ahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

2 Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen 2.1 Der Grenzwert einer Zahlenfolge . . . . . . . . . . 2.2 Sätze u ¨ber konvergente Folgen . . . . . . . . . . . 2.3 Supremum, Infimum, bestimmte Divergenz . . . . 2.3.1 Supremum / Infimum . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Konvergenz monotoner Folgen . . . . . . . 2.3.3 Die Eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Uneigentlich Grenzwerte . . . . . . . . . . . 2.3.5 Limes Superior und Limes Inferior . . . . . 2.4 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Unendliche Reihen und Partialsummen . . 2.4.2 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Anwendung auf Potenreihen . . . . . . . . . 2.5 Eigenschaften konvergenter Reihen . . . . . . . . . 2.5.1 Umordnung konvergenter Reihen . . . . . . 2.5.2 Produkte von Reihen . . . . . . . . . . . . .

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4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7

3 Stetige Funktionen 3.1 Der Grenzwert einer Funktion . . . . . . . . . . 3.1.1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Grenzwert von Funktionen . . . . . . . 3.2 Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . 3.3 Grundlegende Gesetze u ¨ber stetige Funktionen 3.4 Monotone Funktionen . . . . . . . . . . . . . .

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9 9 9 9 10 10 10

4 Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen 4.1 Die Ableitung einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Differentationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Mittelwertsatz der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Der Taylorsche Lehrsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 H¨ ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4 Die Taylorreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung auf Extremwerte 4.5.1 Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

5 Integralrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen 5.1 Riemann-Stieltjes-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung . . . . . . . . . 5.3 Unbestimmte Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Grundintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Integrationsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Integration rationaler Funktionen / Partialbruchzerlegung . . 5.3.4 Einige Klassen elementar integrierbarer Funktionen . . . . . . 5.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Fall 1: Integrale u ¨ber Intervalle [a, +∞), (−∞, +∞), (−∞, a] 5.4.2 Fall 2: f (x) ist in einer Umgebung von c ∈ [a, b] unbeschränkt 5.4.3 Integralkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Funktionenfolgen und Funktionenreihen 6.1 Gleichm¨ aßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Eigenschaften konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Stetigkeit der Grenzfunktion . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Integration glm. konvergenter Folgen . . . . . . . . 6.2.3 Differentation konvergenter Folgen . . . . . . . . . 6.3 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Konvergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen 6.4.4 Konvergenz von Fourierreihen diffbarer Funktionen 6.4.5 Dirichletsches Lokalisationsprinzip . . . . . . . . . 6.4.6 Satz von Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Metrische R¨ aume und normierte Räume . . . . . . . . . . 6.5.1 Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Normierte lineare R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Topologische Grundbegriffe in metrischen Räumen . . . . 6.6.1 Offene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Abgeschlossene Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 Stetigkeit von Abbildungen metrischer Räume . . 6.6.4 Vollst¨ andigkeit eines metrischen Raumes . . . . . . 6.7 Kompakte Mengen in metrischen Räumen . . . . . . . . . ¨ 6.7.1 Der Uberdeckungssatz von Heine-Borel . . . . . . 6.7.2 Kompakte Mengen in metrischen Räumen . . . . . 6.7.3 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen . . . .

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7 Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher 7.1 Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Zwischenwertsatz f¨ ur stetige Funktionen . . . . . . . . . . . 7.1.3 Stetige Funktionen auf Teilmengen M ⊆ Rn . . . . . . . . . 7.2 Die Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Spezialf¨ alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.4 Koordinatendarstellung der Ableitung einer Funktion f : Rn 7.2.5 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Die Norm einer linearen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung und Anwendungen . . . . . 7.4.1 Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Taylorscher Lehrsatz f¨ ur Funktionen von n Veränderlichen . 7.4.3 Extrema f¨ ur Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . . . . 7.4.4 Der Nablakalk¨ ul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Aufl¨ osungss¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.1 Gruppe GL(n, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.2 Satz von der Umkehrabbildung / inversen Funktion . . . . II

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INHALTSVERZEICHNIS

7.6

III

7.5.3 Satz von der impliziten Funktion (Auflösungssatz) Parameterabh¨ angige Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.1 Stetigkeit von I(y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.2 Differenzierbarkeit von I(y) . . . . . . . . . . . . . 7.6.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6.4 Eine Anwendung: Die Gammafunktion . . . . . . .

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8 Riemannintegrale im Rn 8.1 Das Riemannintegral im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 n-dimensionale Quader . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Integration u ¨ber beliebige Mengen . . . . . . . . 8.1.3 Welche Funktionen sind R-integrierbar? . . . . . 8.2 Iterierte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Iterierte Integrale im R2 . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Iterierte Integrale im R3 . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Anwendung auf die Volumenberechnung . . . . . 8.2.4 Anwendung in der Physik: Momente . . . . . . . 8.3 Transformationen f¨ ur n-dimensionale Riemannintegrale . 8.3.1 Transformationsformel . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.4 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Warum Betrag der Funktionaldeterminante? . .

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9 Kurvenintegrale 9.1 Rektifizierbare Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Kurven im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.2 Tangente an eine Kurve . . . . . . . . . . . . 9.1.3 Rektifizierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.4 Formel f¨ ur die L¨ ange einer Kurve . . . . . . . 9.2 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Definition und Berechnung . . . . . . . . . . 9.2.2 Physikalische Deutung . . . . . . . . . . . . . 9.2.3 Orientierung einer Kurve . . . . . . . . . . . 9.3 Wegunabh¨ angigkeit von Kurvenintegralen . . . . . . 9.3.1 Konservative Kraftfelder und Potentialfelder 9.3.2 Integrabilit¨ atsbedingungen . . . . . . . . . . 9.4 Der Satz von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 Differentialformen und Vektoranalysis 10.1 Differentialformen auf dem Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Alternierende Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Geschlossene und exakte Differentialformen . . . . . . . . 10.1.4 Zwei Spezialf¨ alle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Zur¨ uckziehen von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Singul¨ are W¨ urfel und singuläre Ketten . . . . . . . . . . . 10.2.3 Integration v. Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.5 Physikalische Deutung des Satzes von Stokes . . . . . . . 10.3 Flächen- und Oberfl¨ achenintegrale im R3 . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Fl¨ achen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2 Inhalt einer Fl¨ ache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Orientierung von Fl¨ achen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Oberfl¨ achenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.5 Der Satz von Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . 10.3.6 Physikalische Deutung des Satzes von Gauss-Ostrogradski 10.3.7 Greensche Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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III

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IV

INHALTSVERZEICHNIS

11 Einf¨ uhrung in die Lebesguesche Maß- und Integrationstheorie 11.1 Lebesguesche Maßtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Mengenalgebra und σ-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Inhalt, Pr¨ amaß und Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Das Lebesguesche Pr¨ amaß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.4 Das Lebesgue-Stieltjes-Prämaß . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.5 Das Lebesguesche Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Das Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Messbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Integration von Treppenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Integration nichtnegativer Funktionen . . . . . . . . . . . . 11.2.4 Integration komplexwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . 11.2.5 Integration u ¨ber Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Einige S¨ atze zum Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Fast u ¨berall geltende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . 11.3.2 Satz von der monotonen Konvergenz . . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Satz von der dominierenden Konvergenz (Satz v. Lebesgue) 11.3.4 Vergleich von Riemann-Integral und Lebesgue-Integral . . . 11.3.5 Die Lp -R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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52 52 52 52 53 54 54 54 54 55 55 56 56 56 56 57 57 57 58

12 Der Hilbertraum 12.1 Begriff des Hilbertraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Unit¨ arer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz) . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Direkte Summe von Hilberträumen . . . . . . . . . . . . . . 12.2.2 Der Projektionssatz (1. Satz v. Riesz) . . . . . . . . . . . . 12.3 Stetige lineare Funktionale auf dem Hilbertraum (2. Satz v. Riesz) 12.3.1 Lineare Funktionale auf dem Rn . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Lineare Funktionale auf dem Hilbertraum . . . . . . . . . . 12.3.3 Der 2. Satz v. Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Orthonormalsysteme und Fourierentwicklung im Hilbertraum . . . 12.4.1 Orthonormalsysteme im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . 12.4.2 Fourierentwicklung von Elementen des Hilbertraumes . . . 12.4.3 Vollst¨ andige Orthonormalsysteme . . . . . . . . . . . . . . . 12.4.4 Isomorphie separabler Hilberträume zum Hilbertraum l2 . .

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60 60 60 60 60 61 61 61 62 62 62 62 62 63 63

13 Lineare Operatoren im Hilbertraum 13.1 Beschr¨ ankte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.1 Definition, Beschr¨ anktheit, Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . 13.1.2 Die Operatorennorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.1.3 Der adjungierte Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2 Einige Klassen beschr¨ ankter linearer Operatoren . . . . . . . . . . . 13.2.1 Selbstadjungierte und normale Operatoren . . . . . . . . . . 13.2.2 Unit¨ are Operatoren und isometrische Operatoren . . . . . . . 13.2.3 Projektionsoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Konvergenz von Elementen und Operatoren im Hilbertraum . . . . . 13.3.1 Konvergenz von Folgen im Hilbertraum . . . . . . . . . . . . 13.3.2 Konvergenz von Folgen beschränkter Operatoren . . . . . . . 13.4 Spektrum und Resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Spektrum selbstadjungierter Operatoren . . . . . . . . . . . . 13.5 Das Spektraltheorem f¨ ur beschr¨ ankte selbstadjungierte Operatoren . 13.5.1 Spektralscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.2 Integration u ¨ber eine Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . 13.5.3 Funktionalkalk¨ ul beschr¨ ankter selbstadjungierter Operatoren 13.5.4 Spektrum und Spektralschar . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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IV

INHALTSVERZEICHNIS

V

14 Holomorphe Funktionen 14.1 Einige Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.2 Die Riemannsche Zahlenkugel und die erweiterte komplexe Zahlenebene . . . . . . 14.1.3 M¨ obiustransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 Komplex differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.2 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.3 Komplexe Differenzierbarkeit in z0 = ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.4 Holomorphe Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3 Der Cauchysche Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Komplexe Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Cauchyscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Cauchysche Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.4 Integrale vom Cauchyschen Typ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Eigenschaften holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.5 Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.6 Lokal gleichm¨ aßige Konvergenz und normale Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7 Einige Anwendungen von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.1 Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.2 Satz von der Gebietstreue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.3 Lemma von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.7.4 Spiegelungssatz von Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8 Singularit¨ aten, Laurent-Reihen, Residuen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.1 Die Laurent-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.2 Klassifikation von isolierten Singularitäten und Nullstellen holomorpher Funktionen 14.8.3 Residuensatz, Berechnung von Residuen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.4 S¨ atze von Hurwitz und Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.8.5 Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . .

71 71 71 71 71 72 72 73 73 73 73 73 74 74 74 74 75 75 76 76 76 76 77 77 77 78 78 79 79

15 Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung 15.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.1 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1.2 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Variablentransformation und Klassifikation linearer Dgl. 2. Ordnung . . . . . . . . . . . 15.2.1 Variablentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Normalform f¨ ur quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.3 Typ einer Dgl. 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3 Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3.1 Berechnung von Charakteristiken im Falle n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4 Anfangswertprobleme und Spezialfall des Theorems von Kowalewski (Potenzreihensätze)

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80 80 80 80 80 80 81 81 82 83 83

16 Distributionen und Fundamentall¨ osungen 16.1 Der Testfunktionenraum D(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1 Definition von D0 (G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2 Regul¨ are Distributionen und δ-Distribution . . . . . . . . . . 16.2.3 Ableitungen und Produkte mit C ∞ -Funktionen . . . . . . . . 16.2.4 Direktes Produkt und Faltung verallgemeinerter Funktionen . 16.2.5 Lineare Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.6 Begriff der Fundamentall¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3 Temperierte Distributionen und Fouriertransformation . . . . . . . . 16.3.1 Fouriertransformation im Schwarzraum S . . . . . . . . . . . 16.3.2 Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.3 Resolventenformel f¨ ur den Laplaceoperator . . . . . . . . . . 16.4 Anfangswertproblem der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.1 Bestimmung der Fundamentallösung E3 . . . . . . . . . . . . 16.4.2 Faltung von E3 mit Distributionen f (x, t), die ihren Träger in 16.4.3 Distributive Gleichung f¨ ur die klassische Lösung . . . . . . . 16.4.4 L¨ osungsformeln f¨ ur das klassische AWP . . . . . . . . . . . . 16.4.5 Die Dimensionen n = 2 und n = 1, Abstiegsmethode . . . . . 16.4.6 Ausbreitung von Wellen, Huygensches Prinzip . . . . . . . . .

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84 84 85 85 85 85 86 87 87 88 88 89 90 90 91 91 91 92 93 94

V

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VI

INHALTSVERZEICHNIS

16.4.7 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4.8 Korrektheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5 Anfangswertproblem der W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . 16.6 Fundamentall¨ osung f¨ ur den Laplaceschen Differentialausdruck 16.7 Das Poissonintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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94 94 95 95 96

17 Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung 97 17.1 Wiederholung zu VNOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2 Anwendungsf¨ alle von Separationsansätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2.1 W¨ armeleitung in einer Drahtschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 17.2.2 Eigenwertprobleme und inhomogene Gleichung f¨ ur Laplaceschen Differentalausdruck in Rechtecken, Quadern,... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 17.2.3 Ans¨ atze f¨ ur die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 17.3 Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen in der Kreisscheibe . . . . . . . . . . . 100 17.4 Sobolevr¨ aume und Extremaleigenschaft des Dirichletproblems der Laplace-Gleichung . . . 101

VI

Reelle und komplexe Zahlen

1 1.1 1.1.1

1

Reelle und komplexe Zahlen Reelle Zahlen Kommutative Gruppe bzgl. Addition

Def.:  • (a + b) + c = a + (b + c)  • a+0=a=0+a additive Gruppe  • ∀ a ∃ (−a), s.d. a + (−a) = (−a) + a = 0 • a+b=b+a 1.1.2

Kommutative Gruppe bzgl. Multiplikation

Def.:  • (a · b) · c = a · (b · c)  • ∃ 1, s.d. a · 1 = a = 1 · a multiplikative Gruppe  • ∀ a 6= 0 ∃ a−1 , s.d. a · a−1 = a−1 · a = 1 • a·b=b·a 1.1.3

Distributivgesetz

Def.: • (a + b) · c = a · c + b · c • a · (b + c) = a · b + a · c Bemerkung: Wenn 1.1.1 − 1.1.3 gilt → kommutativer K¨ orper 1.1.4

Induktionsaxiom

Satz (Grundgesetz der vollst¨ andigen Induktion): Wenn M eine Teilmenge von N mit 1 ∈ M und aus n ∈ M folgt n + 1 ∈ M , dann ist M = N. 1.1.5

Archimedisch geordneter K¨ orper

Def.:  • a 0 (1. oder 4. Quadrant) • ϕ = ϕ0 + π, falls Re(z) < 0 und Im(z) > 0 (2. Quadrant) • ϕ = ϕ0 − π, falls Re(z) < 0 und Im(z) < 0 (3. Quadrant) • z := a − i b der komplex konjugierte Wert von z. 1

2


Eigenschaften: • |z| = 0 ⇔ z = 0 z |z| |z · w| = |z| · |w|, = (w 6= 0) w |w| • z + w = z + w, z · w = z · w, z = z • z · z = |z|2 • z + z = 2·Re(z) , z − z = 2i·Im(z) •

Satz 4(Dreiecksungleichung): F¨ ur beliebige u, v ∈ C gilt: |u + v| ≤ |u| + |v| Satz 5(Cauchy-Schwarz-Ungleichung): F¨ ur beliebige u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn ∈ C gilt: n 2 ! ! n n X X X |uk |2 |vk |2 uk vk ≤ k=1

k=1

k=1

Darstellungsformen: • z = a + i b (Normalform) • z = |z|(cos ϕ + i cos ϕ) mit cos ϕ = • z = |z|eiϕ

a b und sin ϕ = |z| |z|

(trigonometrische Form)

(Eulerform)

Rechenoperationen:  • z · w = |z||w| [cos(ϕz + ϕw ) + i sin(ϕz + ϕw )] = |z||w|ei(ϕz +ϕw )     z |z| |z| i(ϕz −ϕw ) Moivresche Formeln • = [cos(ϕz − ϕw ) + i sin(ϕz − ϕw )] = e  w |w| |w|    • z n = |z|n [cos(n · ϕ) + i sin(n · ϕ)] = |z|n einϕ n ∈ N p p ϕ+k·2π √ ϕ + k · 2π ϕ + k · 2π • n z = n |z| cos + i sin = n |z|ei( n ) n ∈ N , k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} n n Satz 8(Binomischer Lehrsatz): n X n! n k n−k n n (z + w) = z w mit = k k k! (n − k)! k=0

1.3

Grundbegriffe der Mengenlehre

1.3.1 Vereinigung, Durchschnitt, Differenz [ • Ai = {Menge aller x, die in min. einem Ai liegen} heißt Vereinigung. i∈I

•

\

Ai = {Menge aller x, die in allen Ai liegen} heißt Durchschnitt.

i∈I

• A \ L = {Menge aller x, die in A aber nicht in L liegen} heißt Differenz. 1.3.2

M¨ achtigkeit

Def. 1: Zwei Mengen A und B heißen gleichm¨ achtig, wenn eine eineindeutige Abbildung Φ von A auf B existiert (Φ : A → B). Def. 2: Eine Menge heißt endlich, wenn sie zu einer Menge der Form {1, . . . , n} mit n ∈ N gleichmächtig ∧ ist (n = Anzahl der Elemente). 1.3.3

Abz¨ ahlbarkeit

Def. 1: Eine Menge heißt abz¨ ahlbar, wenn sie zu N gleichmächtig ist.

2


3

Satz 2: Jede unendliche Teilmenge einer abzählbaren Menge ist abzählbar. Satz 3: Die Menge R der reellen Zahlen ist nicht abzählbar. Satz 4: Die Menge Q der rationalen Zahlen ist abzählbar. Folgerung 5: Die Menge R \ Q ist nicht leer, d.h. es ex. min. eine irrationale Zahl.

3

4

2 2.1

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen

Konvergenz von Folgen und unendlichen Reihen Der Grenzwert einer Zahlenfolge

Zahlenfolge: Vorschrift, die jedem n ∈ N eindeutig eine komplexe Zahl an zuordnet. Symbol: {an ; n ∈ N} Bemerkung: Zahlenfolge ist nicht ¨ aquivalent der Menge der Folgenglieder Def.: {an ; n ∈ N} sei Zahlenfolge. Die Folge {an . n ∈ N} heißt konvergent gegen eine Zahl A ∈ C, wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R existiert, s.d. |an − A| < ε ∀ n ≥ n(ε); n ∈ N. A heißt Grenzwert der Folge {an }. Eine Folge, die nicht konvergent ist gegen eine Zahl A, heißt divergent. Symbol: lim an = A n→∞

Eigenschaften: • Jede konvergente Folge besitzt nur einen Grenzwert • an = xn + i yn , xn , yn ∈ R ist konvergent, gdw. {xn }, {yn } konv. und lim an = lim xn + i lim yn n→∞

n→∞

n→∞

• {an } heißt beschr¨ ankt, wenn ein K > 0 existiert mit |an | ≤ K ∀ n ∈ N • Aus {an } konvergent folgt {an } beschränkt.

2.2

S¨ atze u ¨ ber konvergente Folgen

Satz 1: A = lim an ; B = lim bn ; λ ∈ C n→∞

1.)

n→∞

lim λ an = λ · A = λ · lim an

n→∞

n→∞

lim (an · bn ) = A · B = lim an · lim bn

n→∞

2.)

n→∞

n→∞

Sei B = 6 0. an A lim an lim = = n→∞ bn B lim bn

Satz 2(Satz von 2 Polizisten): {an }, {bn }, {cn } seien reelle Zahlenfolgen mit an ≤ cn ≤ bn ∀ n ≥ n0 . {an } und {bn } seien konvergent und es sei lim an = lim bn = A. Dann konvergiert {cn } n→∞ n→∞ und lim cn = A. n→∞

Folgerung 3: {an } sei Nullfolge, also lim an = 0. {xn } sei Folge mit |an | ≥ |xn | ∀ n ≤ n0 . Dann ist n→∞ {xn } auch Nullfolge. Satz 4: Sei {an } konvergente reelle Zahlenfolge mit an ≥ A ; A ∈ R ∀ n ≥ n0 . Dann gilt lim an ≥ A. n→∞

Teilfolge: Sei rn ∈ N f¨ ur n ∈ N mit rn+1 > rn . Dann heißt die Folge {bn := arn } eine Teilfolge von {an }. Satz 5: Jede Teilfolge {bn } einer konvergenten Folge {an } konvergiert ebenfalls. Es ist lim an = lim bn . n→∞

n→∞

Theorem 6(Satz von Bolzano-Weierstrass): Aus jeder beschränkten komplexen Zahlenfolge {an } kann man eine konvergente Teilfolge {bn } auswählen. Theorem 7(Cauchy’sches Konvergenzkriterium): Eine komplexe Zahlenfolge {an } konvergiert, gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ N existiert, s.d. |an − am | < ε ∀ n, m ≥ n(ε). Bemerkungen: • Grenzwert kommt nicht vor • Kriterium notwendig und hinreichend • an heißt Cauchyfolge, gdw. ∀ ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. |an − an+k | < ε ∀ n ≥ n(ε), k ∈ N • jede Cauchyfolge ist beschr¨ ankt 4


2.3

5

Supremum, Infimum, bestimmte Divergenz

2.3.1

Supremum / Infimum

Def. 1: M sei eine nicht leere Menge von reellen Zahlen. • M ist nach oben beschr¨ ankt, wenn ein k ∈ R existiert, s.d. x ≤ k ∀ x ∈ M . k heißt obere Schranke. • M ist nach unten beschr¨ ankt, wenn ein k ∈ R existiert, s.d. x ≥ k ∀ x ∈ M . k heißt untere Schranke. • M heißt beschr¨ ankt, wenn M nach oben und nach unten beschränkt ist, d.h. es existiert m > 0, s.d. |x| ≤ m ∀ x ∈ M. Def. 2: x0 ∈ R heißt Maximum [Minimum] von M , wenn x0 ∈ M mit x ≤ x0 [x ≥ x0 ] ∀ x ∈ M . Def. 3: x0 heißt Supremum [Infimum] von M , wenn • x0 ist obere [untere] Schranke von M • x0 ist kleinste obere [gr¨ oßte untere] Schranke. Eigenschaften: • Falls M ein Maximum (max) oder ein Minimum (min) besitzt, dann ist es eindeutig bestimmt • Falls M ein Infimum (inf) oder ein Supremum (sup) besitzt, dann ist es eindeutig bestimmt • falls ein Maximum existiert → max = sup • falls ein Minimum existiert → min = inf Satz 1: M sei eine nicht leere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen. Dann besitzt M ein Supremum x0 , dies ist eindeutig. Es existiert eine Folge {xn } mit xn ∈ M ∀ n ∈ N und lim xn = x0 = n→∞ sup M .

2.3.2

Konvergenz monotoner Folgen

{an } sei eine Folge reeller Zahlen. Def.: • {an } • {an } • {an } • {an }

heißt heißt heißt heißt

monoton wachsend, wenn an ≤ an+1 ∀ n ∈ N. eigentlich monoton wachsend oder streng monoton wachsend, wenn an < an+1 ∀ n ∈ N. monoton fallend, wenn an ≥ an+1 ∀ n ∈ N. eigentlich monoton fallend oder streng monoton fallend, wenn an > an+1 ∀ n ∈ N.

Satz 2: {an } sei monoton wachsende [fallende] Folge reeller Zahlen. Die Folge konvergiert, gdw. {an } nach oben [unten] beschr¨ ankt ist.

2.3.3

Die Eulersche Zahl e n n+1 und yn = 1 + n1 f¨ ur n ∈ N. Satz 3: Sei xn = 1 + n1 • xn , yn konvergieren und lim xn = lim yn = e. n→∞

n→∞

• xn ist monoton wachsend, yn monoton fallend. 2.3.4

Uneigentlich Grenzwerte

{an } sei eine Folge reeller Zahlen. Def.: {an } heißt bestimmt divergent nach +∞ [−∞] (d.h. +∞ [−∞] ist uneigentlicher Grenzwert der Folge {an }), wenn f¨ ur alle k ∈ R ein n(k) ∈ R existiert, s.d. an ≥ k [an ≤ k] ∀ n ≥ n(k). Symbol: lim an = +∞ bzw. lim an = −∞ n→∞

n→∞

Eigenschaften: Sei lim xn = x ; x ∈ R und lim yn = +∞. n→∞

n→∞

•

lim (xn + yn ) = +∞ n→∞  +∞  −∞ • lim (xn · yn ) = n→∞  keine Aussage •

f¨ ur x > 0 f¨ ur x < 0 f¨ ur x = 0

lim yn = +∞ ⇔ lim (−yn ) = −∞

n→∞

n→∞

5

6


2.3.5

Limes Superior und Limes Inferior

Def.: Die Limesmenge L(an ) der Folge {an } sei die Menge aller Grenzwerte und uneigentlichen Grenzwerte von Teilfolgen der Folge {an }. L(an ) ⊆ {R ∪ +∞ ∪ −∞}. Lemma: L(an ) ist nicht leer. Def.: {an } sei reelle Zahlenfolge. • a∗ := sup L(an ) heißt Limes superior oder oberer Limes • a∗ := inf L(an ) heißt Limes inferior oder unterer Limes Symbol: a∗ = lim sup an = lim an ; a∗ = lim inf an = lim an n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

Eigenschaften: (1) es ex. Teilfolgen {ank } und {ann } von {an } mit a∗ = lim ank und a∗ = lim ann (2) a∗ = a∗ gdw. an konvergent oder bestimmt divergent

n→∞

n→∞

(3) an ≤ bn ∀ n ≥ n0 → lim an ≤ lim bn und lim an ≤ lim bn n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

(4) an = lim an ≤ lim an n→∞

n→∞

2.4

Unendliche Reihen

2.4.1

Unendliche Reihen und Partialsummen

Def. 1: Sei {an }, n ∈ N eine komplexe Zahlenfolge. Das Symbol k P n-tes Reihenglied, sk = an heißt k-te Partialsumme.

∞ P

an heißt unendliche Reihe. an heißt

n=1

n=1

Def. 2: Die Reihe

∞ P

an heißt konvergent, wenn die Folge {sk , k ∈ N} der Partialsummen konvergiert.

n=1

Andernfalls heißt die Reihe divergent. Def. 3: die Reihe

∞ P

an heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

n=1

∞ P

|an | konvergiert. Aus absoluter

n=1

Konvergenz folgt Konvergenz. Eigenschaften: ∞ P (1) Wenn an konvergent, dann gilt: lim an = 0 n→∞ n=1 ∞ P (2) an konvergent, gdw. ∀ ε > 0 ein k(ε) ∈ R ex., s.d. (3)

n=1 ∞ P

an konvergiert, gdw.

an , r ∈ N konvergiert.

n=r

n=1

2.4.2

∞ P

k+p P an < ε ∀ k > k(ε) und p ∈ N n=k

Konvergenzkriterien

Satz 1(Majorantenkriterium): Es existiert ein M > 0 und n0 ∈ N mit |an | ≤ M · bn ∀ n ≥ n0 . ∞ ∞ P P (1) Wenn bn konvergiert, dann konvergiert auch |an | (2) (3)

Wenn

n=1 ∞ P

Wenn

n=1 ∞ P

n=1

∞ P

|an | divergiert, dann divergiert auch

bn

n=1

|an | konvergiert, dann konvergiert auch

n=1 ∞ P

Bemerkung:

bn wird als Majorantenreihe und

n=1

∞ P

∞ P

an

n=1

an als Minorantenreihe bezeichnet.

n=1

Satz 2(Cauchyscher Verd¨ unnungssatz): Sei a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ≥ an+1 ≥ 0 (monoton fallend). ∞ ∞ P P Die Reihe an konvergiert, gdw. die Reihe 2k a2k konvergiert. n=1

Satz • w • w • w

3(Wurzelkriterium): Sei die Reihe < 1 die Reihe absolut konvergent > 1 die Reihe divergent = 1 keine Aussage m¨ oglich.

n=1 ∞ P

an gegeben und w := lim

n→∞

n=1

6

p n |an |. Dann ist f¨ ur:


7

an+1 . Dann ist f¨ ur: Satz 4(Quotientenkriterium): Sein an = 6 0 ∀ n ∈ N und q := lim n→∞ an • q < 1 die Reihe absolut konvergent • q > 1 die Reihe divergent • q = 1 keine Aussage m¨ oglich. Bemerkungen: ∞ an+1 < 1 → P an absolut konvergent (1) q := lim n→∞ n=1 an ∞ an+1 P (2) q := lim >1→ an divergent n→∞ an n=1 ∞ an+1 P ≤ q ∀ n ≥ n0 → (3) es ex. 0 ≤ q < 1, s.d. an absolut konvergent. an n=1 Satz 5(Leibniz-Kriterium): Sei an ∈ R. Sei (1) |an | ≥ |an+1 | ∀ n ∈ N (2)

lim an = 0

n→∞

sign an = −sign an+1 ∀ n ∈ N (Vorzeichenwechsel) ∞ P Dann ist die Reihe an konvergent. (3)

n=1

2.4.3

Anwendung auf Potenreihen ∞ P

an z n mit z ∈ C und z 0 = 1 heißt Potenzreihe. an 1 , R heißt Konvergenzradius. p Satz 6: Sei R := und R := lim n→∞ an+1 lim n |an | n→∞ ∞ P • |z| < R → an z n konvergiert absolut.

Def. 4: Sei an ∈ C. Die Reihe

n=1

•

|z| > R →

n=1 ∞ P

an z n divergiert.

n=1 k P

Bemerkung: Sei sk =

an und s =

n=1

2.5 2.5.1

∞ P

an . Dann folgt aus a1 > 0, dass s2n < s < s2n+1 .

n=1

Eigenschaften konvergenter Reihen Umordnung konvergenter Reihen

Def. 1: r sei bijektive Abbildung N → N. Dann heißt die Reihe ∞ P Umordnung von an .

∞ P

a0n , wobei a0n = arn ist, eine

n=1

n=1 ∞ P an heißt unbedingt konvergent, wenn jede Umordnung a0n der Reihe n=1 n=1 ∞ P ∧ auch konvergiert und die gleiche Summe hat, wie an . Nicht unbedingt konvergent = bedingt konvergent.

Def. 2: Eine konvergente Reihe

∞ P

n=1

Satz 1: Eine Reihe

∞ P

an ist absolut konvergent, gdw. sie unbedingt konvergent ist.

n=1 ∞ P

an sein nicht absolut konvergent, aber konvergent. Sei x ∈ R ∪ ∞ ∞ ∞ P P P x = +∞ ∪ x = −∞. Dann existiert eine Umordnung a0n von an , s.d. a0n = x.

Satz 2(B.Riemann): Die Reihe

n=1

n=1

n=1

n=1

2.5.2

Produkte von Reihen ∞ ∞ ∞ n P P P P Def.: Sei cn = ak bn−k . Die Reihe cn heißt Cauchysche Produktreihe von an und bn . k=0

n=0

n=0

7

n=0

8


∞ ∞ P P Satz 4(Satz v. Mertens): Wenn die Reihe an konvergiert und die Reihe bn absolut konvergiert, ∞ n=0 n=0 P konvergiert cn und es gilt: n=0 ∞ X n=0

cn =

∞ X n=0

! an

∞ X

! bn

n=0

Satz 5(Satz v. Cauchy): Wenn die Reihen ∞ P cn ebenfalls absolut konvergent.

∞ P

an und

n=0

∞ P

bn absolut konvergieren, dann ist die Reihe

n=0

n=0

Anwendung auf Potenzreihen: Die Cauchysche Produktreihe zweier Potenzreihen mit Konvergenzradien R1 und R2 ist wieder eine Potenzreihe, mit dem Konvergenzradius RC = min (R1 , R2 ).

8

Stetige Funktionen

3 3.1 3.1.1

9

Stetige Funktionen Der Grenzwert einer Funktion Funktionen

Sei D ⊆ R. Eine Funktion ist eine Abbildung f : D → C. Dann heißt D(f ) Definitionsbereich und {f (x) ; x ∈ D} = W (f ) Wertebereich. Sei f : D → R (reellwertig). Dann ist G(f ) = {(x, f (x)) ; x ∈ D} , G(f ) ⊆ R2 der Graph von f . Zusammansetzung: • (f ◦ g)(x) = f (g(x)) • D(f ◦ g) = {x ∈ D(g) ; g(x) ∈ D(f )}

3.1.2

Grenzwert von Funktionen

Symbole: • beidseitiger Grenzwert: lim f (x) = A x→x0

• linksseitiger Grenzwert: • rechtseitiger Grenzwert:

lim

f (x) = A

lim

f (x) = A

x→x0 −0 x→x0 +0

Grenzwertdefinition f¨ ur x0 ∈ R, A ∈ C: • Def.(ε-δ-Definition): f (x) hat f¨ ur x → x0 den Grenzwert A ∈ C, wenn zu jedem ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert derart, dass |f (x) − A| < ε ∀ x ∈ D(f ) mit 0 < |x − x0 | < δ(ε). • Def.(Folgendefinition): f (x) hat f¨ ur x → x0 den Grenzwert A ∈ C, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ D(f ) und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = A gilt. n→∞

n→∞

• Symbol: lim f (x) = A x→x0

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 → ±∞, A ∈ C ; D(f ) = (a, +∞): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) hat f¨ ur x → +∞ den Grenzwert A ∈ C, wenn zu jedem ε > 0 ein K(ε) > 0 existiert derart, dass |f (x) − A| < ε ∀ x ≥ K(ε) und x ≥ a. • Def.(Folgendefinition): f (x) hat f¨ ur x → +∞ den Grenzwert A ∈ C, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = +∞, xn ∈ D(f ) und xn ≥ a ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = A gilt. n→∞

• Symbol:

n→∞

lim f (x) = A

x→+∞

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 ∈ R, A → ±∞ (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → x0 gegen +∞, wenn zu jedem K ∈ R ein δ(K) > 0 existiert derart, dass f (x) > K ∀ x ∈ D(f ) und 0 < |x − x0 | < δ(K). • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → x0 gegen den ±∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ D(f ) und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = +∞ gilt. n→∞

n→∞

• Symbol: lim f (x) = +∞ x→x0

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 → ±∞, A → ±∞ ; D(f ) = (a, +∞) (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → +∞ gegen −∞, wenn zu jedem K ∈ R ein M (K) ∈ R existiert derart, dass f (x) < K ∀ x ≥ M (K) und x ≥ a. • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → +∞ gegen −∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = +∞, xn ≥ a und xn 6= x0 ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = −∞ gilt. n→∞

• Symbol:

n→∞

lim f (x) = −∞

x→+∞

Beispiel Grenzwertdef. f¨ ur x0 ∈ R, A → ±∞ (uneigentl. Grenzwerte): • Def.(ε − δ−Definition): f (x) geht f¨ ur x → x0 linksseitig gegen +∞, wenn zu jedem K ∈ R ein δ(K) > 0 existiert derart, dass f (x) > K ∀ x ∈ (a, x0 ) und x0 − δ(k) < x < x0 • Def.(Folgendefinition): f (x) geht f¨ ur x → x0 linksseitig gegen +∞, wenn f¨ ur jede Folge (xn , n ∈ N) mit lim xn = x0 , xn ∈ (a, x0 ) ∀ n ∈ N, auch lim f (xn ) = +∞ gilt. n→∞

• Symbol:

lim

x→x0 −0

n→∞

f (x) = +∞

Eigenschaften: • Beide Definitionen sind ¨ aquivalent • Wenn die Bedingungen von beiden Definitionen erf¨ ullt sind, dann ist A eindeutig bestimmt 9

10

Stetige Funktionen

3.2

Stetigkeit von Funktionen

f (x) sei Funktion auf [a, b], a < b ; a, b ∈ R. Def. 1: f (x) heißt stetig in x0 ∈ (a, b), wenn lim f (x) = f (x0 ) ist. x→x0

Def. 2: f (x) heißt rechtsseitig stetig in a, wenn lim f (x) = f (a) ist. x→a+0

Def. 3: f (x) heißt linksseitig stetig in b, wenn lim f (x) = f (b) ist. x→b−0

Def. 4: f (x) heißt steitig auf [a, b], wenn f (x) stetig in jedem Punkt x0 ∈ (a, b) ist und rechtseitig stetig in a und linksseitig stetig in b. Bemerkungen: • lim f (x) = f (x0 ) bedeutet, dass der Grenzwert existiert und gleich f (x0 ) ist x→x0

•

lim f (x) = f ( lim x) x→x0

x→x0

• Stetigkeit ist eine Punkteigenschaft Satz 1: f (x) und g(x) seien stetig in x0 . Dann ist f + g, f · g, λ · f ; λ ∈ C stetig in x0 . Wenn g(x) 6= 0 ist f /g stetig in x0 . Satz 2: f (x) ist stetig in x0 , gdw. f (x) linkseitig stetig in x0 und rechtsseitig stetig in x0 ist. Satz 3: Sei f (x) stetig in x0 und g(y) stetig in y0 . Sei f (x0 ) = y0 . Dann ist g ◦f (x) = g f (x) stetig in x0 . Eigenschaften: • f (x) stetig in x0 → |f (x)| ist stetig in x0 • f (x) und g(x) seien stetig in x0 . Dann sind h(x) = max f (x), g(x) und k(x) = min f (x), g(x) auch stetig in x0 . Sprungstelle: f (x) sei definiert auf (a, b) und x0 ∈ (a, b).

lim

x→x0 −0

f (x) = f (x0 − 0) und

lim

x→x0 +0

f (x) =

f (x0 + 0) existieren. Dann heißt die Zahl f (x0 + 0) − f (x0 − 0) Sprungh¨ ohe in x0 .

3.3

Grundlegende Gesetze u ¨ ber stetige Funktionen

f (x) sei komplexwertige stetige Funktion auf dem abgeschlossenen, beschränkten Intervall [a, b] ; a < b ; a, b ∈ R. Satz 1: f (x) ist beschr¨ ankt, d.h. es existiert ein M > 0, s.d. |f (x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Satz 2: f (x) sei reell. Dann existieren x1 , x2 ∈ [a, b], s.d. f (x1 ) = min f (x) und f (x2 ) = max f (x). x∈[a,b]

x∈[a,b]

Def.: f (x) heißt gleichm¨ aßig stetig auf einem Intervall I, gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein δ(ε) > 0 existiert, s.d. |f (x) − f (x0 )| < ε ∀ x, x0 ∈ I und |x − x0 | < δ(ε). Satz 3(Satz v. Cantor): Jede stetige Funktion f auf [a, b], a < b, a, b ∈ R ist gleichmäßig stetig auf [a, b]. Satz 4(Zwischenwertsatz): f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b], f (a) 6= f (b). Sei c ∈ R mit f (a) < c < f (b) oder f (b) < c < f (a). Dann ex. ein xc ∈ [a, b] mit f (xc ) = c. Lemma 5: f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b]. Es sei f (x0 ) > 0, x0 ∈ (a, b). f sei stetig [linksseitig | rechtsseitig] in x0 . Dann existiert ein ε > 0 und ein δ > 0, s.d. f (x) ≥ ε ∀ x ∈ (a, b) mit |x − x0 | < δ [ x0 − δ < x ≤ x0 | x0 ≤ x < x0 + δ ]. | {z } | {z } linksseitig stetig

3.4

rechtsseitig steitig

Monotone Funktionen

Def.: • f heißt • f heißt • f heißt • f heißt

monoton wachsend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) ≤ f (x2 ) folgt. monoton fallend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) ≥ f (x2 ) folgt. eigentlich monoton wachsend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) folgt. eigentlich monoton fallend, gdw. aus x1 < x2 f (x1 ) > f (x2 ) folgt.

10

Stetige Funktionen

11

Satz 1: f (x) sei reellwertige Funktion auf [a, b]. f sei monoton auf [a, b] f¨ ur alle x ∈ (a, b). Dann ex. lim f (x) = f (x0 − 0) und lim f (x) = f (x0 + 0). Jede Unstetigkeitsstelle ist Sprungstelle. Die x→x0 −0

x→x0 +0

Menge der Unstetigkeitsstellen ist entweder leer, endlich oder abzählbar. Satz 2: f (x) sei reellwertige, eigentlich monoton wachsende, stetige Funktion auf [a, b]. Dann besitzt f (x) eine eigentlich monoton fallende, stetige Umkehrfunktion x = g(y) auf [f (a), f (b)]. Es gilt (g ◦ f )(x) = x und (f ◦ g)(y) = y f¨ ur alle x ∈ [a, b] und y ∈ [f (y), f (b)]. Symbol: y = g(x) mit g = f −1

11

12

4 4.1

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen einer Ver¨ anderlichen

Differentialrechnung fu anderlichen ¨ r Funktionen einer Ver¨ Die Ableitung einer Funktion

(x0 ) Def.1: f (x) heißt diffbar in x0 , wenn der Grenzwert lim f (x0 +h)−f exisitert. Dieser Grenzwert heißt h h→0 Ableitung der Funktionf (x) in x0 . d Symbol: f 0 (x0 ) = y 0 (x0 ) = f (x0 ) dx

Satz: f (x) sei auf [x0 , b] mit x0 < b (bzw. [a, x0 ] mit a < x0 ) definiert. Dann heißt f (x) rechtsseitig (x0 ) (x0 ) bzw. lim f (x0 +h)−f gilt. diffbar bzw. linksseitig diffbar, wenn lim f (x0 +h)−f h h h→0−0

h→0+0

Symbol: f 0r f¨ ur rechtsseitig diffbar, f 0l f¨ ur linksseitig diffbar Tangente: Sei f (x) diffbar in x0 und f (x0 ) = y0 . Dann ist die Tangente: y − y0 = f 0 (x0 )(x − x0 ). Eigenschaften • Sei f (x) = f1 (x) + if2 (x). f (x) ist diffbar, gdw. f1 (x) und f2 (x) diffbar in x0 mit f 0 (x0 ) = f 01 (x0 ) + if 02 (x0 ). • f (x) ist diffbar in x0 , gdw. f (x) linksseitig und rechtsseitg diffbar in x0 ist, und f 0r (x0 ) = f 0l (x0 )

4.2

Differentationsregeln

Satz 1: Wenn f (x) diffbar ist in x0 , dann ist f (x) stetig in x0 . Bemerkungen: • f (x) = |x| ist stetig, aber nicht diffbar in x0 = 0 • Umkehrung gilt nicht Satz 2: Sei f (x) und g(x) diffbar in x0 , λ ∈ C. (1.) f + g, f · g, λf sind diffbar in x0 . Es gilt: • (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) • (λf )0 (x0 ) = λf 0 (x0 ) • (f · g)0 (x0 ) = f (x0 ) · g 0 (x0 ) + f 0 (x0 ) · g(x0 ) 0 f f 0 · g − f · g0 f diffbar in x0 mit (x0 ) = (x0 ). (2.) Sei g(x0 ) 6= 0. Dann ist g g g2 Satz 3(Kettenregel): z = g(x) sei in x0 ∈ (a, b) diffbar. y = f (z) sei in z0 = g(x0 ) diffbar. g(x) sei auf (a, b) definiert und bildet (a, b) auf (z0 − δ, z0 + δ) ab, wo f (z) definiert ist. Dann ist die Funktion y = f (g(x)) in x0 diffbar und es gilt y 0 = f 0 (z0 )·g 0 (x0 ). Andere Schreibweise: (f ◦g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))·g 0 (x0 )

4.3

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sei f (x) reellwertig stetig auf [a, b]. Def.: f (x) hat in x0 ∈ (a, b) ein relatives Maximum [Minimum]. Dann existiert ein δ > 0, s.d. f (x0 ) ≥ f (x) [f (x0 ) ≤ f (x)] ∀ x ∈ [a, b] und x ∈ (x0 − δ, x0 + δ). Theorem 2(Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung): f (x) und g(x) reellwertig, stetig auf [a, b], diffbar auf (a, b). Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit (f (b) − f (a))g 0 (ξ) = (g(b) − g(a)) · f 0 (ξ). Spezialf¨ alle: f (b) − f (a) (1) Sei g(x) = x. Dann heißt f 0 (ξ) = Mittelwertsatz der Differentialrechnung. b−a (2) Satz v. Rolle: Sei g(x) = x und f (b) = f (a). Dann ex. ein ξ ∈ (a, b) mit f 0 (ξ) = 0. Folgerung 3: Sei f 0 (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ (a, b). Dann ex. c ∈ C mit f (x) = c f¨ ur alle x ∈ (a, b). Folgerung 4: Sei x1 , x2 ∈ (a, b) und c mit f 0 (x1 ) ≤ c ≤ f 0 (x2 ). Dann ex. ξ ∈ (a, b), s.d. f 0 (ξ) = c. Satz 5(Regel v. l’Hospital): Sei f, g reellwertige Funktionen auf (a, b) und sei g 0 (x) 6= 0 f¨ ur alle 0 (x) x ∈ (a, b) und lim f (x) = lim g(x) = 0. Wenn lim fg0 (x) = A mit A ∈ {R ∪ +∞ ∪ −∞}, dann ist f (x) x→a+0 g(x)

lim

x→a+0

x→a+0

x→a+0

= A.

12


13

Bemerkungen: (1) Satz gilt auch, wenn lim f (x) = lim g(x) = +∞ x→a+0

(2)

x→a+0

Satz gilt f¨ ur unbestimmte Ausdr¨ ucke: ∞/∞, 0/0, 1∞ , 0∞ , ∞0 , 0 · ∞

Satz 6(MWS f¨ ur komplexwertige Funktionen): f (x) sei eine komplexwertige stetige Funktion auf [a, b] und f (x) sei diffbar auf (a, b). Dann ex. ein ξ mit der Eigenschaft |f (b) − f (a)| ≤ (b − a) |f 0 (ξ)|

4.4 4.4.1

Der Taylorsche Lehrsatz H¨ ohere Ableitungen

Def.: f (x) sei diffbare Funktion auf (a, b). Wenn die Ableitung f 0 (x) in x0 ∈ (a, b) diffbar ist, dann heißt die Ableitung von f 0 (x0 ) in x0 die 2. Ableitung von f (x). d2 f (x0 ) Symbol: f 00 (x0 ) = dx2 Satz 1(Leibnizsche Produktregel): f, g seien n-mal diffbare Funktionen in x0 . Dann ist auch f · g n-mal diffbar in x0 : n X n (f · g)(n) (x0 ) = f (k) (x0 )g (n−k) (x0 ). k k=0

4.4.2

Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Polynome

Satz (Taylorsche Formel f¨ ur Polynome n-ten Grades): p(x) = p(x0 ) +

p0 (x0 ) p(n) (x0 ) (x − x0 ) + · · · + (x − x0 )n 1! n!

Folgerung: p1 (x) und p2 (x) seien Polynome mit komplexen Koeffizienten. Sei x0 ∈ R und δ > 0. Wenn p1 (x) = p2 (x) ∀ x ∈ (x0 − δ, x0 + δ), dann stimmen die Koeffizienten beider Polynome u ¨berein und es gilt p1 (x) = p2 (x) ∀ x ∈ C. 4.4.3

Der Taylorsche Lehrsatz f¨ ur Funktionen

Theorem 2(Taylorscher Lehrsatz): f (x) sei (n + 1)-mal diffbare Funktion auf (x0 − a, x0 + a), wobei x0 ∈ R und a > 0 ∀ x ∈ (x0 − a, x0 + a). Es ex. ein ξ ∈ (x0 , x) oder ξ ∈ (x, x0 ) f¨ ur x < x0 mit n

Rn+1 (x0 , x) =

X f (k) (x0 ) f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 , d.h. f (x) = (x − x0 )k + Rn+1 (x0 , x) (n + 1)! n! k=0

Bemerkung: Rn+1 (x0 , x) heißt Lagrange-Restglied. Cauchy-Restglied: Rn+1 =

f (n+1) (ξ) (x − x0 )(x − ξ)n n!

Bemerkung: Sei f (n+1) (x) stetig in x0 . Dann gilt lim

x→x0

4.4.4

Rn+1 (x0 , x) f (n+1) (x0 ) = n+1 (x − x0 ) (n + 1)!

Die Taylorreihe

Satz 3: Sei f (x) reellwertige, n-mal diffbare Funktion auf (x0 − a, x0 + a), x0 ∈ R, a > 0 ∀ n ∈ N. (D.h. f (x) ∈ C ∞ auf (x0 − a, x0 + a)). Wenn lim Rn+1 (x0 , x) = 0 f¨ ur x ∈ (x0 − a, x0 + a), dann gilt: n→∞

∞ X f (n) (x0 ) f (x) = (x − x0 )n , x ∈ (x0 − a, x0 + a) n! n=0

(Taylorreihe)

Die Taylorreihe konvergiert in x0 gegen f (x). Bemerkungen: • x ist rational, wenn x = nq mit n, q ∈ Z, q 6= 0 • x heißt algebraisch, wenn es ganze Zahlen a0 , . . . , an gibt, mit an xn + · · · + a0 x0 = 0 • Reelle Zahlen, die nicht algebraisch sind, heißen transzendent. • Wenn lim Rn+1 (x0 , x) 6= 0, konvergiert die Taylorreihe nicht. n→∞

13

14


Beispiel: Binominalreihe: f (x) = (1 + x)n =

∞ X n k=0

4.5 4.5.1

k

xk f¨ ur |x| < 1 und n ∈ R.

Untersuchung von Funktionen mit Hilfe der Differentialrechnung auf Extremwerte Extremwerte

Satz 1: f (x) sei reellwertige, n-mal diffbare Funktion auf (a, b). f (n) (x) sei in x0 stetig. Sei f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) (x0 ) 6= 0. Wenn n ungerade ist, dann hat f (x) in x0 kein relatives Extremum. Wenn n gerade ist, dann hat f (x) in x0 ein relatives Extremum, falls f (n) (x0 ) > 0 (Minimum), falls f (n) (x0 ) < 0 (Maximum). Insbesondere hat f (x) f¨ ur f 00 (x0 ) < 0 ein relatives Maximum 00 und f¨ ur f (x0 ) > 0 ein relatives Minimum. 4.5.2

Wendepunkte

f (x) sei diffbare Funktion auf (a, b). Def.: x0 ∈ (a, b) heißt Wendepunkt von f (x), wenn x0 ein relatives Extremum von f 0 (x) ist. 4.5.3

Monotonie

Satz 2: f (x) sei diffbare, reellwertige Funktion auf (a, b). Dann ist: • f (x) ist monoton wachsend auf (a, b), gdw. f 0 (x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b) • f (x) ist monoton fallend auf (a, b), gdw. f 0 (x) ≤ 0 ∀ x ∈ (a, b)

4.6

Hyperbelfunktionen

Def.: 1 • cosh(x) = (ex + e−x ) 2 1 x • sinh(x) = (e − e−x ) 2 sinh(x) • tanh(x) = cosh(x) cosh(x) • coth(x) = sinh(x) Regel: cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1

14

Integralrechnung fur Funktionen einer Veranderlichen

5

15

Integralrechnung fu anderlichen ¨ r Funktionen einer Ver¨

5.1

Riemann-Stieltjes-Integral

Def.: f (x) sei beschr¨ ankt reellwertige Funktion auf [a, b] ; a, b ∈ R. α(x) sei monoton wachsende reellwertige Funktion auf [a, b]. Sei Zerlegung Z von [a, b]: a = t0 < t1 < · · · < tn = b mit der Feinheit δZ = max |ti − ti−1 | mit i = 1, . . . , n. Sei Mi = sup f (x), mi = inf f (x) und ∆ αi = α(ti ) − α(ti−1 ). x∈[ti−1 ,ti ] x∈[ti−1 ,ti ] n n P P Mi ∆ αi die obere Darbouxsche Summe und S(f, Z) = mi ∆ αi die untere Dann heißt S(f, Z) = i=1 Darbouxsche Summe. i=1 Lemma 1: Wenn δZ1 < δZ2 , dann ist S(f, Z1 ) ≤ S(f, Z2 ) und S(f, Z1 ) ≥ S(f, Z2 ). Def.: • S(f, Z) = inf S(f, Z) heißt oberes Darbouxsches Integral Z

• S(f, Z) = sup S(f, Z) heißt unteres Darbouxsches Integral Z

Def.: Eine Funktion heißt R-S-integrierbar auf [a, b] bezgl. α(x), wenn das obere Darbouxsche Integral gleich dem unteren Darbouxschen Integral ist. Ist dies erf¨ ullt, dann heißt die Zahl I(f, Z) = I(f, Z) das R-S-Integral von f (x) auf [a, b] bezgl. α(x). Symbole: • f ist R-S-integrierbar auf (a, b): f ∈ R(α; a, b) • f ist R-integrierbar auf (a, b): f ∈ R(a, b) Zb • f (x)dα(x) = I(f, Z) = I(f, Z). a Rb Bemerkung: F¨ ur α(x) = x heißt f (x) dx Riemann-Integral. a

Satz: Sei f (x) komplexwertig und beschr¨ ankt auf [a, b]. Sei f (x) = f1 (x) + if2 (x), wobei f1 (x), f2 (x) ∈ R Rb Rb f¨ ur x ∈ [a, b] und f1 (x), f2 (x) ∈ R(α; a, b). Ist dies erf¨ ullt, dann gilt: f dα = (f1 + if2 ) dα := a a Rb Rb f1 dα + i f2 dα. a

a

Eigenschaften: (1) f (x) sei reellwertig und beschr¨ ankt. Dann ist f ∈ R(α; a, b), gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein Zε ex., s.d. S(f, α, Zε ) − S(f, α, Zε ) < ε. Rb (2) Sei |f (x)| ≤ M ∀ x ∈ (a, b) und f ∈ R(α; a, b). Dann ist | f dα| ≤ M (α(b) − α(a)). a

(3)

Rb Sei f1 , f2 ∈ R(α; a, b) und λ1 , λ2 ∈ C. Dann ist λ1 f1 + λ2 f2 ∈ R(α; a, b) und (λ1 fa + λ2 f2 )dα = a Rb Rb λ1 f1 dα + λ2 f2 dα. a

(4)

Rb Sei f ∈ R(α1 ; a, b) und f ∈ R(α2 ; a, b). Dann ist f ∈ R(α1 + α2 ; a, b) und f d(α1 + α2 ) = a Rb Rb f d(α1 ) + f d(α2 ). a

(5)

a

a

Rb Rc Rb Sei f ∈ R(α; a, b), a < c < b. Dann ist f ∈ R(α; a, c) und f ∈ R(α; c, b) und f dα = f dα + f dα. a

a

c

Satz 2: f (x) sei stetige, komplexwertige Funktion auf [a, b]. Dann ist f (x) ∈ R(α; a, b). Satz 3: α(x) sei stetig auf [a, b] und f (x) sei monoton fallend/steigend auf [a, b]. Dann ist f (x) ∈ R(α; a, b).

Def.:

Za Zb Za f dα = − f dα, f dα = 0 b

a

a

Def.(Lebesguesche Nullmenge): f (x) sei komplexwertige, beschränkte Funktion auf [a, b]. U (f ) sei die Menge aller x ∈ [a, b], in denen f (x) nicht stetig ist. U (f ) ist Lebesguesche Nullmenge, wenn f¨ ur ∞ P alle ε > 0 ex. Folge [an , bn ] ∈ N von abgeschlossenen Intervallen derart, dass (bn − an ) < ε und ∞ n=1 S [an , bn ] ⊇ U (f ). n=1

15

16


Satz: f ∈ R(α; a, b), gdw. eine U (f ) eine Lebesguesche Nullmenge ist. Folgerung.: Jede beschr¨ ankte Funktion f (x) auf [a, b] mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen ist Rintegrierbar auf [a, b].

5.2

Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung

Rx Satz 1: Sei f ∈ R(a, b) und F (x) = f (t)dt f¨ ur alle x ∈ [a, b]. a

(1) F (x) ist stetig in x0 ∈ (a, b), rechtsseitig stetig in x0 = a und linksseitig stetig in x0 = b. (2) Wenn f (x) stetig in x0 ∈ (a, b), dann ist F (x) diffbar in x0 und F 0 (x0 ) = f (x0 ). Def.: • F (x) heißt Stammfunktion auf (a, b) f¨ ur f (x) auf (a, b), wenn F (x) diffbar auf (a, b) und F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b). • F (x) heißt Stammfunktion auf [a, b] f¨ ur f (x) auf [a, b], wenn F (x) diffbar auf (a, b), linksseitig diffbar f¨ ur x0 = a, rechtsseitig diffbar f¨ ur x0 = b, F 0 (x) = f (x) ∀ x ∈ (a, b) und Fr0 (a) = f (a), Fl0 (b) = f (b) Hilfssatz 2: F1 (x) und F2 (x) seien Stammfunktionen f¨ ur f (x) auf (a, b) bzw. [a, b]. Dann ex. ein C ∈ C mit F1 (x) = F2 (x) + C ∀ x ∈ (a, b) bzw. x ∈ [a, b]. Def: Die Menge aller Stammfunktionen f¨ ur f (x) heißt das unbestimmte Integral von f (x). Z Symbol: f dx Theorem 3(Fundamentalsatz der Differental- / Integralrechnung): Sei f (x) stetig auf [a, b]. Rx (1) F (x) = f (t)dt ist eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b] und F (a) = 0. a Rb (2) Sei G(x) eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b]. Dann ist f (t)dt = G(b) − G(a). a

Bemerkungen: (1) Aufsuchen von Stammfunktion / best. Integral ist wechselseitig, d.h.: • Wenn das Integral bekannt ist, dann erhält man die Stammfunktion • Wenn die Stammfunktion bekannt ist, dann erhält man das Integral (2) Jede stetige Funktion besitzt eine Stammfunktion auf [a, b]. (3) Theorem 3 liefert eine Methode zur Berechnung vom R-Integral bei bekannter Stammfunktion Satz 4: f (x) sei stetig auf [a, b], α(x) sei monoton wachsende, stetige Funktion auf [a, b]. Es ex. endlich viele Punkte c0 , . . . , ck ∈ [a, b] derart, dass α(x) auf [a, b] \ {c0 , . . . , ck } diffbar und α0 (x) auf [a, b] \ Rb Rb {c0 , . . . , ck } beschr¨ ankt ist. Dann ist f dα(x) = f α0 (x)dx. a

a

Satz 5: f (x) sei stetig auf [a, b]. Sei c0 = a und ck = b ; c1 , c2 , . . . , ck−1 ∈ (a, b). Die Grenzwerte α(ci + 0) und α(ci − 0) ex. f¨ ur alle i = 1, . . . , k − 1. Dann ist f ∈ R(α; a, b) und es gilt:   b b Z Z k−1 X f (ci ) α(ci + 0) −α(ci − 0)  + f (a) α(a + 0) −α(a) +f (b) α(b) − α (b − 0) f dα = f α0 dx + | {z } | {z } | {z } | {z } a

a

i=1

rechtss.GW

linkss.GW

rechtss.GW

linkss.GW

Bemerkung: F¨ ur α(ci − 0) − α(ci + 0) 6= 0 sind ci Unstetigkeitsstellen von α. Satz 6(Mittelwertsatz der Integralrechnung): f (x) sei stetige, reellwertige Funktion auf [a, b], α(x) Rb sei monoton wachsend auf [a, b]. Dann ex. ξ ∈ [a, b] mit f dα = f (ξ)(α(b) − α(a)). a

ur α(x) = x, Bemerkung: Wenn α(x) beliebig, dann kann man im allgemeinen nicht ξ ∈ (a, b) wählen. F¨ kann man ξ ∈ (a, b) w¨ ahlen.

5.3

Unbestimmte Integration

Bemerkung: Sei I = [a, b] und f (x) sei stetig auf [a, b]. Nach Fundamentalsatz der Differential- / Rx Integralrechnung ist F (x) = f (t)dt eine Stammfunktion f¨ ur f (x) auf [a, b]. D.h. f (x) besitzt eine 0

Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion läßt sich aus bekannten elementaren Funktionen zusammensetzen. 16


5.3.1 Z (1) Z (2) Z (3) Z (4) Z (5) Z (6) 5.3.2

17

Grundintegrale xα+1 x dx = +C α+1 dx = ln |x| + C x α

cos x dx = sin x + C sin x dx = − cos x + C dx = − cot x + C sin2 x dx = tan x + C cos2 x

Z (7)

ex dx = ex + C

Z

(8) (9) (10) (11) (12)

dx = arctan x + C Z 1 + x2 dx √ = arcsin x + C 1 − x2 Z dx = arccos x + C −√ 1 − x2 Z √ dx √ = arcsinh x + C = ln(x + x2 + 1) + C 1 + x2 Z √ dx √ = arccosh x + C = ln(x + x2 − 1) + C 2 x −1

Integrationsmethoden

5.3.2.1 Substitutionsmethode Satz 1: x = f (t) sei diffbar auf [a, b] und bilde [a, b] auf [c, d] ab. y = g(x) sei stetig auf [c, d]. Dann gilt: Z Z g(x)dx = g f (t) f 0 (t)dt

5.3.2.2 Partielle Integration Satz 2: sei u(x), v(x) stetig diffbar. Dann gilt: Z Z u0 (x)v(x)dx = uv − uv 0 dx

Rekursionsformeln: Z (1) In = xn ex dx = xn ex − n · In−1 I0 = eZx + C dx x 2n − 3 (2) In = = + In−1 2 n 2 n−1 (1 + x ) (2n − 2)(1 + x ) 2n − 2 I1 = arctan x + C Z cos x sinn−1 x n − 1 + In−2 (3) In = sinn x dx = − x n I1 = − cos x + C I0 = xZ + C sin x cosn−1 x n − 1 (4) In = cosn x dx = + In−2 x n I1 = sin x + C I0 = x + C 5.3.2.3 Anwendung auf bestimmte Integrale f Z(b)

Zb

g(x)dx = f (a)

5.3.3

b g f (t) f 0 (t)dt = g f (t) ·f (t) a −

Zb

g 0 f (t) f 0 (t) · f (t)dt

a

a

Integration rationaler Funktionen / Partialbruchzerlegung

5.3.3.1 Polynome Sei a0 , . . . , an ∈ C. Dann heißt p(x) = an xn +. . .+a1 x+a0 Polynom n-ten Grades mit dem Grad d(p) = n. Def.: z0 heißt Nullstelle von p(x), wenn p(z0 ) = 0 Def.: z0 heißt k-fache Nullstelle von p(x), wenn p(x) = (x − z0 )k q(x) Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom p(x) vom Grad d(p) ≥ 1 besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle. 17

18


Lemma 1: p(x) sei Polynom vom Grad n ≥ 1. Dann ex. z1 , . . . , zn mit p(x) = an (x − z1 ) · . . . · (x − zn ) Lemma 2: p(x) sei Polynom mit reellen Koeffizienten a0 , . . . , an . Wenn z0 ∈ C k-fache Nullstelle von p(x), dann ist auch z 0 k-fache Nullstelle. Satz 3: p(x) sei Polynom mit reellen Koeffizienten vom Grad n ≥ 1. Dann läßt sich p(x) darstellen als: p(x) = an (x − z1 )k1 · . . . · (x − zr )kr (x2 − 2b1 x + c1 )p1 · . . . · (x2 − 2bs x + cs )ps mit z1 , . . . , zr paarweise voneinander verschiedene, reelle Nullstellen und x2 − 2bj + cj , j = 1, . . . , s paarweise voneinander verschiedene Binome, ohne reelle Nullstellen. (kanonische Darstellung) Bemerkung: Wenn alle Koeffizienten von p(x) ganzzahlig sind, dann ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von a0 . Def.: Eine rationale Funktion p(x) q(x) heißt echt gebrochen, wenn d(q) > d(p) ist. Jede rationale Funktion ist Summe eines Polynoms und einer echt gebrochen rationalen Funktion.

5.3.3.2 Partialbruchzerlegung Satz 4:

q(x) p(x)

sei echt gebrochene, reellwertige Funktion. Dann ex. Alj , Blj , Clj mit: r

k

s

ps

r XX q(x) X X Alj Blj x + Clj = + j 2 p(x) (x − zl ) (x − 2bl x + cl )j j=1 j=1

l=1

l=1

Diese Zerlegung heißt Partialbruchzerlegung. Hilfssatz 5: p(x) habe einfache Nullstelle z0 , d.h. p(x) = (x − z0 )p1 (x) und p(z0 ) 6= 0. Dann ist der 1 Koeffizient in der Partialbruchzerlegung von x−z : 0 q(z0 ) q(z0 ) = p0 (z0 ) p1 (z0 ) Folgerung: p(x) sei reelles Polynom vom Grade n mit n paarweise verschiedenen Nullstellen z1 , . . . , zn . Dann gilt: n

q(x) X q(zl ) 1 = p(x) p0 (zl ) x − zl l=1

5.3.3.3 Integration der Partialbr¨ uche F¨ ur die Partialbr¨ uche mit reellen Nullstellen:  Z  (x − zl )1−l dx + C fu ¨r l 6= 1 dx = 1−l  (x − zl )l ln |x − zl | + C f u ¨r l = 1 F¨ ur die Partialbr¨ uche mit komplexen Nullstellen:

Z

(Bx + C) dx (x2 − 2bx + c)l

I1

I2

=

B 2

Z (2x − 2b) dx dx +(Bb + C) 2 l 2 (x − 2bx + c) (x − 2bx + c)l | {z } | {z } Z

I1 I2   (x2 − 2bx + c)1−l + C fu ¨r l 6= 1 = 1−l  ln |x2 − 2bx + c| + C f u ¨r l = 1 Z Z dx a du = = 2l −→ Berechnung m.H. Rekursionsformel 2 2 l 2 ((x − b) + a ) a (u + 1)l x−b dx mit x2 − 2bx + c = (x − b)2 + c − b2 , a2 = c − b2 , u = , du = a a

18


19

5.3.4

Einige Klassen elementar integrierbarer Funktionen Z 5.3.4.1 R(cos x, sin x)dx N P

R(u, v) sei rationale Funktion, d.h. R(u, v) =

anm un v m

n,m=0 M P

mit anm , bij ∈ C blj ul v j

l,j=0

Substitution: u = tan x2 Substitutionen f¨ ur Spezialf¨ alle: • R(−u, v) = −R(u, v) → t = sin x • R(u, −v) = −R(u, v) → t = cos x • R(−u, −v) = R(u, v) → t = tan x Bemerkung: Jede rationale Funktion ist Summe dieser 3 Fälle. Z 5.3.4.2 R(ex )dx Substitution: t = ex Z p 5.3.4.3 R x, ax2 + 2bx + c dx, a 6= 0 Substitutionen: • a>0 • c>0 • b2 − ac > 0 • b2 − ac = 0

√ √ → t = ax2 +√2bx + c − x a √ → xt + c = √ax2 + 2bx + c → t(x − a) =√ ax2 + 2bx + c, wobei ax2 + 2bx + c = a(x − α)(x − β) → |x − a| = ax2 + 2bx + c

Z 5.3.4.4

R(cosh x, sinh x)

Wegen den Definitionen f¨ ur cosh x und sinh x, siehe 5.4.3.2 Z 5.3.4.5 xm (axn + b)p dx Satz v. Tschebyscheff: Zahl ist. Substitutionen: • p ganz •

m+1 ganz n m+1 n + p ganz

R

xm (axn + b)p dx ist elementar integrierbar, gdw. p,

m+1 n

oder

m+1 n

+ p eine ganze

→ x = tq mit q gleich dem kleinsten gemeinsamen Nenner von n, m. → tα = axn + b mit α gleich dem Nenner von p.

→ tα = axn + b mit α gleich dem Nenner von p. R Bemerkung: Falls keiner dieser F¨ alle zutrifft, ist xm (axn + b)p dx nicht elementar integrierbar. •

5.4 5.4.1

Uneigentliche Integrale Fall 1: Integrale u ¨ ber Intervalle [a, +∞), (−∞, +∞), (−∞, a]

Satz: Sei f (x) ∈ R(a, A) ∀ A > a. Wenn I := Integral und es gilt:

lim

A→+∞ a

+∞ ZA Z f (x) dx = I = lim f (x) dx A→+∞

a

RA f (x) dx ex., dann konvergiert das uneigentliche

a

19

20


Eigenschaften: +∞ +∞ R R f (x)dx konvergiert, gdw. f (x)dx konvergiert, f¨ ur alle a0 > a. (1) a0

a

Sei f (x), g(x) ∈ R[a, A] ∀ A > a und es ex. K > 0, s.d. |f (x)| ≤ Kg(x) ∀ x ∈ [a, +∞]. Dann gilt:  +∞ +∞ R R   • Falls g dx konvergiert, konvergiert auch f dx  a a Majorantenkriterium +∞ +∞ R R   g dx nicht  f dx nicht konvergiert, konvergiert auch • Falls a a 0 A +∞ R R (3) Sei f (x) ∈ R[a, A] ∀ A > a. f dx konvergiert, gdw. ∀ ε > 0 ein A(ε) ≥ a ex., s.d. f dx < ε a A ∀ A, A0 ≥ A(ε) (Cauchy-Kriterium) +∞ +∞ R R f (x) dx |f (x)| dx konvergiert auch (4) Wenn (2)

a

a

5.4.2 Def.2:

Fall 2: f (x) ist in einer Umgebung von c ∈ [a, b] unbeschr¨ ankt +∞ R

+∞ R

f (x) dx heißt konvergent, wenn lim

f (x) dx ex. Dann gilt:

ε→0+0 a+ε

a

Zb Zb • f (x) dx = lim f (x) dx

f¨ ur c = a

ε→0+0 a+ε b−ε Z

a

Zb • f (x) dx = lim

f (x) dx

ε→0+0

a

f¨ ur c = b

a

Zb • f (x) dx = lim

 c−ε  Z Zb f (x) dx f¨ ur c ∈ (a, b) lim  f (x) dx + 0

ε→0+0 ε →0+0

c+ε0

a

a

Def.3: Der Grenzwert lim

ε→0+0

!

c−ε R

Rb

a

c+ε

f (x) dx +

f (x) dx

Rb heißt Cauchyscher Hauptwert von f (x) dx. a

Zb Symbol: Vp f (x) dx a

R∞ Rb R∞ Def.4: f (x) dx konvergiert, gdw. f (x) dx + f (x) dx konvergiert. Ist dies erf¨ ullt, dann setzen wir: a

a

b

Z∞ Zb Z∞ f (x) dx := f (x) dx + f (x) dx a

5.4.3

a

b

Integralkriterium

Satz (Integralkriterium): f (x) sei nicht negative, monoton fallend Funktion auf [1, +∞). Dann konvergiert +∞ ∞ R P f (n), gdw. f (x) dx konvergiert. n=1

1

20

Funktionenfolgen und Funktionenreihen

6

21


6.1

Gleichm¨ aßige Konvergenz

Def. 1: Eine Funktionenfolge {fn (t) ; n ∈ N} von Funktionen auf einer Menge M heißt gleichm¨ aßig konvergent auf M gegen eine Funktion f (t) auf M , wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ N ex., s.d. |fn (t)−f (t)| < ε ∀ n ≥ n(ε) und f¨ ur alle t ∈ M . Symbol: fn (t) ⇒ f (t) auf M Eigenschaften: (1) {fn (t)} konvergiert glm. auf M gegen f (t), d.h. f¨ ur alle t ∈ M gilt lim fn (t) = f (t), d.h. {fn (t)} n→∞ konvergiert punktweise gegen f (t). (2) Sei ||g|| = sup |g(t)|. fn (t) ⇒ f (t), gdw. ∀ ε > 0 ex. n(ε) ∈ N, s.d. ||fn − f || < ε ∀ n ≥ n(ε) und ∀ t∈M t ∈ M. Satz 1(Cauchy-Kriterium f¨ ur glm. Konvergenz): fn (t) ⇒ f (t), gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. |fn (t) − fm (t)| < ε ∀ n, m ≥ n(ε) und f¨ ur alle t ∈ M . Def. 2: Eine Funktionenreihe k ∈ N} ⇒ f (t).

∞ P

fn (t) ⇒ f (t), gdw. die Folge der Partialsummen {sk (t) =

n=1

k P

fn (t) ,

n=1

Satz 2: Wenn fn (t) ⇒ f (t), dann ist f (t) eindeutig. Satz 3(Majorantenkriterium): fn (t) sei Funktionenfolge. Es sei cn ≥ 0 ∀ n ∈ N, |fn (t)| < Kcn ∀ ∞ ∞ P P t ∈ M und K ≥ 0. Wenn cn konvergiert, dann konvergiert fn (t) glm. auf M . n=1

6.2

n=1

Eigenschaften konvergenter Folgen

6.2.1

Stetigkeit der Grenzfunktion

Satz 1: fn (t) ⇒ f (t) auf I ⊆ R. Sei x ∈ I und lim fn (x) = Gn . Dann konvergiert {Gn , n ∈ N} gegen x→x0 G ∈ C und lim f (x) = G. x→x0

Folgerung 2: Sei fn (t) ⇒ f (t). fn (t) sei stetig f¨ ur alle n ∈ N. Dann ist auch f (t) stetig. Satz 3(Satz v. Dini) {fn (t), n ∈ N} sei stetig auf [a, b] und lim fn (t) = f (t) (punktweise konvergent). n→∞

Sei fn (t) ≥ fn+1 (t) ∀ n ∈ N und sei t ∈ [a, b] fest. Wenn f (t) stetig, dann konvergiert fn (t) glm. gegen f (t). 6.2.2

Integration glm. konvergenter Folgen

Rx Satz 4: fn (x) ⇒ f (x), fn (x) sei stetig auf [a, b] und x0 ∈ [a, b]. Dann konvergiert Fn (x) := fn (t) dt x0 Rx glm. gegen F (x) = f (t) dt. x0

Bemerkungen: Rb Rb (1) fn (t) ⇒ f (t) auf [a, b]. Dann konvergiert fn (t) dt glm. gegen f (t) dt (2)

Analog f¨ ur Funktionenreihen: Rx konvergent gegen f (t) dt.

m P

a

a

an (x) ⇒ f (x). Dann ist

n=1

m Rx P x0 n=1

an (t) dt =

m Rx P

an (t) dt glm.

n=1 x0

x0

6.2.3

Differentation konvergenter Folgen

Satz 4’: {fn (x)} sei diffbare Folge von Funktionen auf [a, b]. {fn0 (x)} konvergiere glm. auf [a, b] und es ex. x0 ∈ [a, b], s.d. lim fn (x0 ) = f (x0 ). Dann ex. f (x), s.d. fn (x) ⇒ f (x) auf [a, b] und lim fn0 (x) = f 0 (x) n→∞ n→∞ f¨ ur x ∈ [a, b]. 21

22


6.3

Potenzreihen

Def.: f (x) sei auf {x ∈ C, |x−x0 | < r, r > 0} definiert. f (x) ist analytisch in x0 , wenn ein ε > 0 ex. und die ∞ P Potenzreihe an (x − x0 )n , s.d. die Potenzreihe auf {x ∈ C, |x − x0 | < ε} konvergiert und gleich f (x) ist. n=0 ∞ P

an xn mit Konvergenzradius % > 0. F¨ ur alle |x| < % sei f (x) = n=0 ∞ P n mit % > q > 0, s.d. an x glm. gegen f (x) konvergiert f¨ ur alle x ∈ [−q, q].

Satz 1: Sei

∞ P

an xn . Dann ex. ein q

n=0

n=0 ∞ P Satz 2: Sei f (x) = an xn ∀ x ∈ (−%, %). In (−%, %) darf man beliebig oft gliedweise differenzieren und n=0 integrieren.

Bemerkungen: ! ∞ ∞ X d X n 0 an x = nan xn−1 • f (x) = dx n=0 !n=1 Zx1 X Zx1 k ∞ X xn+1 − xn−1 0 an xn dx = an 1 f (x) dx = • n + 1 n=0 n=0 x0

x0

Folgerung 3: f (x) =

∞ P

an (x − x0 )n sei analytisch in x0 ∈ R. Dann ist f (x) in (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0

n=0

beliebig oft diffbar und es gilt f (k) (x0 ) = k! · ak . Folgerung 4: Seien f (x) =

∞ P

∞ P

an (x − x0 )n und g(x) =

n=0

bn (x − x0 )n analytisch in x0 und konvergent

n=0

auf (x0 − ε, x0 + ε), ε > 0. Wenn f (x) = g(x) ∀ x ∈ (x0 − ε, x0 + ε) gilt, dann ist an = bn ∀ n ∈ N0 und f (x) = g(x) f¨ ur alle x aus dem Konvergenzbereich der Potenzreihen. Satz 5(Satz v. Abel): Sei f (x) =

∞ P n=0

x ∈ (−%, +%] in x0 = % linksseitig stetig, d.h. lim

∞ P

x→%−0 n=0

6.4 6.4.1

∞ P

an xn mit % > 0. Wenn

an %n konvergiert, ist

n=0 ∞ P

an xn =

n=0

an %n

n=0

Fourierreihen Definition

Def.: Sei an , bn , a0 ∈ C ∀ n ∈ N. Die Reihe ∞ +∞ X a0 X + (an sin nx + bn cos nx) = cn einx 2 n=−∞ n=0

heißt Fourierreihe. Bemerkung: Die Partialsumme von

+∞ P

cn einx ist sk =

n=−∞

n=−k

6.4.2

Fourierkoeffizienten Zπ 1 • an = f (t) sin nt dt π • bn =

1 π

−π Zπ

f (t) cos nt dt −π

1 • cn = 2π

Zπ

+k P

f (t) e−int dt

−π

22

∞ P

cn einx

an xn ,


23

Bemerkungen: ∞ P |cn | konvergiert, dann konvergiert (1) Wenn n=−∞

(2)

Wenn f (x) stetig auf [−π, π], dann ist +∞ X Symbol: f (x) ∼ cn einx

∞ P

+∞ P

cn einx glm. gegen f (x) ∀ x ∈ [−π, π].

n=−∞

|cn |2 < ∞

n=−∞

n=−∞

6.4.3

Konvergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen

Satz 1(Theorem von Carleson): f (x) sei stetig auf [−π, π]. Dann ex. Lebesguesche Nullmenge +∞ P cn einx ∀ x ∈ [−π, π] \ N . N ⊆ [−π, π], s.d. f (x) = n=−∞

Satz 3(Satz v. Kaikone): F¨ ur alle Lebesgueschen Nullmengen N ⊆ [−π, π] ex. f (x) stetig auf [−π, π], s.d. die Fourierreihe von f (x) divergent f¨ ur alle x ∈ N . 6.4.4

Konvergenz von Fourierreihen diffbarer Funktionen (x0 ) Satz 1: f (x) sei stetig mit Periode 2π und es ex. c > 0, s.d. f (x0 +h)−f ≤ c ∀ h 6= 0, x0 ∈ R. Dann h +∞ P konvergiert die Fourierreihe von f (x) in x0 gegen f (x0 ), d.h. f (x0 ) = cn einx0 . n=−∞ (x0 ) Bemerkung: Die Voraussetzung f (x0 +h)−f ullt, wenn f (x) rechts- und ≤ c ∀ h 6= 0, x0 ∈ R ist erf¨ h linksseitig diffbar ist in x0 (insbesondere, wenn f (x) diffbar ist in x0 ). Satz 2: f (x) sei stetig auf R und periodisch mit 2π. Wenn f (x) stetig diffbar ist auf R, dann konvergiert +∞ P cn einx glm. gegen f (x). n=−∞

Bemerkung: f (x) sei stetig auf [−π, π]. Wenn f (−π) = f (π) und f (x+2πk) = f (x) mit x ∈ [−π, π], k ∈ Z, dann ist f (x) stetig auf ganz R und 2π-periodisch. 6.4.5

Dirichletsches Lokalisationsprinzip

Sei Dk (x) =

k X

einx der Dirichletkern.

n=−k

sin (k + 21 )x Lemma 2: Dk (x) = sin x2 k P Def.: Die Reihe sk (x) = cn einx heißt k-te Partialsumme der Fourierreihe von f (x) mit f (x) ∈ n=−k

R[−π, π] und f (π) = f (−π). Dann ist: Zπ 1 sk (x) = f (t)Dk (x − t) dt 2π −π Zπ sin (k + 12 )(x − t) 1 = f (t) dt 2π sin x−t 2 −π

Satz 3(Dirichletsches  −δ π  Lokalisationsprinzip): Sei f wie oben, und 0 < δ < π. Dann gilt: Z Z  (1) lim +  f (x − t)Dn (t) dt = 0, d.h. n→∞

−π

δ

1 (2) lim sk (x) = lim n→∞ 2π k→∞

Zδ f (x − t)Dn (t) dt, falls einer der beiden Grenzwerte existiert −δ

23

24


Bemerkungen: • Nach (2) h¨ angt das Konvergenzverhalten von sk (x) nur von Werten von f (t) in (x − δ, x + δ) ab, man sagt das Konvergenzverhalten ist lokal. Die Fourierkoeffizienten cn hängen aber von den Werten auf [−π, π] ab. • Die Fourierreihen von stetigen Funktionen können auf (a, b) u ¨bereinstimmen, ohne dass sie auf [−π, π] u ¨bereinstimmen. 6.4.6

Satz von Fej´ er

Satz 7(Satz v. Fej´ er) f sei stetig auf [−π, π] und f (−π) = f (π). sk sei k-te Partialsumme der Fourierreihe von f (x). Sei: s0 (x) + . . . + sn (x) n+1 die Fejérsche Summe. Es gilt: σn (x) ⇒ f (x) auf [−π, π]. σn (x) =

Bemerkung: F¨ ur jede Funktion f ∈ R[−π, π] gilt: Zπ lim

n→∞ −π

6.5 6.5.1

|f (t) − sn (t)|2 dt = 0

(Konvergenz im quadratischen Mittel )

Metrische R¨ aume und normierte R¨ aume Metrische R¨ aume

Def. 1: Eine Metrik d auf E ist eine Abbildung d : E × E → R mit folgenden Eigenschaften: (1) d(x, y) ≥ 0 ∀ x, y ∈ E und d(x, y) = 0, gdw. x = y (2) d(x, y) = d(y, x) ∀ x, y ∈ E (3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀ x, y, z ∈ E Def. 2: Ein metrischer Raum ist ein Paar (E, d) wobei E eine Menge und d eine Metrik auf E ist. v uX u n Bsp.(Euklidische Metrik): dz (x, y) = t (xi − yi )2 i=1

Def. 3: Eine Folge von Elementen xn eines metrischen Raumes (E, d) heißt konvergent, gdw. ein x ∈ E ex., s.d. lim d(xn , x) = 0. x ist dann eindeutig bestimmt. n→∞

6.5.2

Normierte lineare R¨ aume

Def. 1: Die Norm || · || auf E ist eine Abbildung || · || : E → R mit folgenden Eigenschaften: (1) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 gdw. x = 0 (2) ||λx|| = |λ| ||x|| (3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| Def. 2: Ein normierter linearer Raum ist ein Paar (E, || · ||), wobei E ein Vektorraum und ||x|| eine Norm auf E ist. Satz 1: Jeder n.l.R. (E, || · ||) ist ein metrischer Raum mit der Metrik d(x, y) = ||x − y||. Bemerkung: Die Umkehrung gilt nicht, denn nicht jede Menge ist ein Vektorraum. Beispiele: •

||x||p =

n X

!p1 |xi |p

, 1 ≤ p < ∞ (p-Normen)

i=1

• •

||x||∞ = max(|x1 |, . . . , |xp |)  b p1 Z ||f ||p =  |f (t)|p dt a

24


25

Satz 2: Es sei || · || eine Norm auf E = Cn oder E = Rn . Es seien xk = (xk1 , . . . , xkn ) ∈ E und x = (x1 , . . . , xn ) ∈ E. Dann gilt: lim xk = x, gdw. lim xkp = xp ∀ p ≤ n, d.h. die Konvergenz eines k→∞

k→∞

Vektors ist die koordinatenweise Konvergenz des Vektors

6.6 6.6.1

Topologische Grundbegriffe in metrischen R¨ aumen Offene Mengen

Def. 1: Sei x0 ∈ E und r ≥ 0. Dann ist: ∧ • Kr (x0 ) = {x ∈ E : d(x, x0 ) ≤ r} = Kugel um x0 mit Radius r ∧ • Ur (x0 ) = {x ∈ E : d(x, x0 ) < r} = offene Kugel (Kugelinneres) um x0 mit Radius r Def. 2: x0 ∈ M heißt innerer Punkt von M , gdw. ein r > 0 ex., s.d. Ur (x0 ) ⊆ M ist. Def. 3: M heißt offen, wenn jeder Punkt x0 ∈ M innerer Punkt von M ist. Def. 4: x0 ∈ M heißt Randpunkt von M , gdw. f¨ ur alle r > 0 Kr (x0 ) ∩ M 6= ∅ und Kr (x0 ) ∩ E \ M = 6 ∅ ist. 6.6.2

Abgeschlossene Mengen

Def. 1: x0 heißt Ber¨ uhrungspunkt [H¨ aufungspunkt] von M , wenn f¨ ur jedes ε > 0 die Menge Kε (x0 ) mindestens einen [von x0 verschiedenen] Punkt von M enthält. Def. 2: Die Menge aller Ber¨ uhrungspunkte von M heißt Abschluss von M . Symbol: M Def. 3: M heißt abgeschlossen, gdw. M = M . 6.6.3

Stetigkeit von Abbildungen metrischer R¨ aume

Def. 1: Seien (E1 , d1 ), (E2 , d2 ) metrische Räume. f sei Abbildung f : E1 → E2 und x0 ∈ E1 . (1) f ist stetig in x0 , wenn f¨ ur jede Folge {xn } ∈ E1 aus lim xn = x0 auch lim f (xn ) = f (x0 ) gilt. n→∞

n→∞

(2) f heißt stetig, wenn f stetig in jedem Punkt x0 ∈ E1 ist 6.6.4

Vollst¨ andigkeit eines metrischen Raumes

Def. 1: Eine Folge {xn } aus (E, d) heißt Cauchyfolge in (E, d), wenn f¨ ur alle ε > 0 ein n(ε) ∈ R ex., s.d. d(xn , xm ) < ε ∀ n, m ≥ n(ε). Bemerkung: Jede konvergente Folge √ {xn } im metrischen Raum ist Cauchyfolge. Die Umkehrung gilt nicht (Ein Beispiel daf¨ ur ist lim xn = 2 mit xn ∈ Q konvergiert nicht in Q). n→∞

Def. 2: Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchyfolge aus (E, d) in (E, d) konvergiert. Bemerkung: Vollst¨ andigkeit bedeutet, Cauchysches Konvergenzkriterium gilt.

6.7 6.7.1

Kompakte Mengen in metrischen R¨ aumen ¨ Der Uberdeckungssatz von Heine-Borel

¨ Def. 1: M sei Teilmenge von (E,S d). Eine offene Uberdeckung von M ist eine System {Ui , i ∈ I} von offenen Teilmengen Ui von E mit Ui ⊇ M . i∈I

¨ Satz 1(Satz v. Heine-Borel): Sei M = [a, b], E ∈ R und d(x, y) = |x − y|. Jede offene Uberdeckung n S {Ui , i ∈ I} von M besitzt eine endliche Teil¨ uberdeckung, d.h. es ex. Ui1 , . . . , Uin , n ∈ N mit Uik ⊇ M . k=1

Bemerkung: Keine Voraussetzung kann weggelassen werden. 25

26


6.7.2

Kompakte Mengen in metrischen R¨ aumen

¨ Def. 2: Eine Teilmenge M von (E, d) heißt kompakt, wenn jede offene Uberdeckung von M eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. Bemerkung: Eine Menge M ist kompakt, gdw. der Satz von Heine-Borel gilt. Satz 2: F¨ ur jede Teilmenge M von (E, d) sind folgende Aussagen äquivalent: (1) M ist kompakt (2) aus jeder Folge {xn } von Elementen aus xn ∈ M kann man eine in (E, d) konvergente Teilfolge {xnk } ausw¨ ahlen, mit lim xnk ∈ M (Satz v. Bolzano-Weierstrass). k→∞

Satz 3: Jede kompakte Menge M im metrischen Raum (E, d) ist abgeschlossen und beschränkt und ist als metrischer Raum vollst¨ andig. !21 n X Satz 4: M sei eine Teilmenge von Rn , d(x, y) = (xi − yi )2 . Es gilt M ist kompakt, gdw. M i=1 abgeschlossen und beschr¨ ankt ist. 6.7.3

Stetige Funktionen auf kompakten Mengen

Satz 5: M sei kompakt in (E, d). f : M → C sei stetige Funktion auf M . (1) f ist beschr¨ ankt (d.h. sup |f (x)| < ∞) x∈M

(2)

Sei f : M → R. Dann ex. x1 , x2 ∈ M , s.d. f (x1 ) = min f (x) und f (x2 ) = max f (x) x∈M

x∈M

(3) f ist auf M glm. stetig, d.h. zu jedem ε > 0 ex. ein δ(ε) > 0, s.d. |f (x) − f (x0 )| < ε ∀ x, x0 ∈ M mit d(x, x0 ) < ε (Satz v. Cantor gilt).

26

Differentialrechnung f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

7 7.1 7.1.1

27

Differentialrechnung fu anderlicher ¨ r Funktionen mehrerer Ver¨ Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher Gebiete

Def. 1: Eine offene Teilmenge M von E = Rn heißt zusammenh¨ angend, wenn f¨ ur beliebige Punkte x, y ∈ M ein Polygonzug von x nach y ex., der in M verläuft. Def. 2: Ein Gebiet in Rn ist eine offene, zusammenhängende Teilmenge des Rn . Bemerkung: Def. 1 von zusammenh¨ angend entspricht f¨ ur beliebige metrische Räume dem Begriff bogenzusammenh¨ angend f¨ ur offene Teilmengen des Rn . Beide Begriffe sind äquivalent. 7.1.2

Zwischenwertsatz f¨ ur stetige Funktionen

Satz 1: G sei ein Gebiet im Rn , x0 , x1 ∈ G. f sei eine reellwertige, stetige Funktion auf G, mit f (x0 ) < 0 und f (x1 ) > 0. Dann ex. ein x2 ∈ G, s.d. f (x2 ) = 0. 7.1.3

Stetige Funktionen auf Teilmengen M ⊆ Rn

Def. 1: f sei stetig in x0 , wenn aus lim xn = x0 in Rn und xn ∈ M ∀ n ∈ N, lim f (xn ) = f (x0 ) folgt. n→∞

n→∞

Def. 1’: f ist stetig in x0 , gdw. ∀ ε > 0 ein δ(ε) > 0 ex., s.d. |f (x)−f (x0 )| < ε ∀ x ∈ M mit d(x, x0 ) < δ(ε). Bemerkung: Wenn f (x, y) stetig ist in (x0 , y0 ), dann ist f (x, y0 ) stetig in x0 und f (x0 , y) stetig in y0 . Aus der Stetigkeit folgt die partielle Stetigkeit, die Umkehrung gilt jedoch nicht.

7.2 7.2.1

Die Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm Motivation

Hilfssatz: Sei f : R → R. f ist diffbar in x0 , gdw. ein A ∈ R ex., s.d.: lim

h→0

7.2.2

|f (x0 + h) − f (x0 ) − A · h| =0 |h|

Definition

Def. 1: Sei G ein Gebiet im Rn und f : G → Rm sei eine Abbildung von G in den Rm . Sei x0 ∈ G und h ∈ Rn . Dann heißt f diffbar in x0 , gdw. ein A ∈ L(Rn , Rm ) ex, s.d.: lim

h→0

||f (x0 + h) − f (x0 ) − A(h)|| =0 ||h||

Bemerkungen: (1) F¨ ur n = m = 1 ergibt sich die fr¨ uhere Ableitungsdefinition. (2) Im Zähler und Nenner steht jeweils die euklidische Norm (3) Die euklidische Norm kann durch beliebige andere Normen ersetzt werden (4) Da G ein Gebiet ist, ist x0 innerer Punkt. Dann ist x0 + h ∈ G, falls ||h|| < δ f¨ ur ein δ > 0 und f (x0 + h) ist definiert f¨ ur alle h ∈ Rn mit ||h|| < δ. (5) F¨ ur die Folge (hk , k ∈ N), hk ∈ Rn , hk 6= 0 ∀ k ∈ N mit lim ||hk || = 0 gilt: ||f (x0 +hk )−f (x0 )−A(hk )|| ||hk || k→∞

lim

k→∞

=0

Lemma 1: A ist durch f und x0 eindeutig bestimmt. Symbol: A = f 0 (x0 ) ∈ L(Rn , Rm ) Def. 2: Sei m = 1, d.h.f (x1 , . . . , xn ) ist eine reellwertige Funktion auf G. f heißt in x0 partiell diffbar nach xi , gdw. der Grenzwert lim

h→0

f (x01 , . . . , x0i + h, . . . , x0n ) − f (x01 , . . . , x0i−1 , x0i , x0i+1 , . . . , x0n ) h

existiert. Dieser Grenzwert heißt die i-te partielle Ableitung von f in x0 . ∂f Symbol: (x0 ) = fxi (x0 ) ∂xi 27

28

7.2.3


Spezialf¨ alle

0 Fall 1: Sei n = 1, dann ist A ∈ L(R, Rm ). Somit ist f (x) = f1 (x), . . . , fm (x) und f 0 (x) = f10 (x), . . . , fm (x) . Fall 2: Sei m = 1, d.h. f : G ⊆ Rn → R. Sei A ∈ L(Rn , R). Hilfssatz: Sei ~a ∈ Rn und A(h) = ~a · ~h (1) Dann ist A ∈ L(Rn , R). (2) Man kann eindeutig ~a zuordnen. ∂f ∂f Symbol: (gradf )(x) = (x), . . . , (x) = (∇f )(x) ∂x1 ∂xn Satz: Sei hi = dxi , i = 1, . . . , n. Dann ist: df (x) · (h) = fx1 (x)dx1 + . . . + fxn (x)dxn das totale Differential der Funktion f im Punkt x. df (x) ist lineare Abbildung von Rn in R ≡ L(Rn , R) Satz: Sei z = f (x, y). Dann ist: fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) = z − f (x0 , y0 ) die Tangentialebene an (x0 , y0 ). Bemerkungen: Die Tangentialebene • geht durch (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) • hat in x-Richtung den Anstieg fx (x0 , y0 ) • hat in y-Richtung den Anstieg fy (x0 , y0 ) 7.2.4

Koordinatendarstellung der Ableitung einer Funktion f : Rn → Rm

∂fi (x0 ) existieren und stetig Satz 1: f : G ⊆ Rn → Rm ist diffbar in x0 , gdw. alle partiellen Ableitungen ∂x j 0 sind (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n). Dann hat die lineare Abbildung f (x0 ) bzgl. der Standardbasen im Rn bzw. Rm folgende Matrixdarstellung:   ∂f1 ∂f1 ...  ∂x1 ∂xn   . ..   .  .  (x0 )  .  ∂f ∂fm  m ... ∂x1 ∂xn

Diese Matrix heißt Funktionalmatrix oder Jacobimatrix ∂(f1 , . . . , fn ) Symbol: ∂(x1 , . . . , xn ) Satz 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rm und x0 ∈ G. Dann ex. ein ε > 0, s.d. Kε (x0 ) ⊆ G und x ∈ Kε (x0 ), i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n und ist stetig in x0 . Dann ist f diffbar in x0 .

∂fi ∂xj (x)

ex. f¨ ur alle

Def. 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rm . f heißt stetig diffbar auf G, wenn f diffbar ist f¨ ur alle x ∈ G und die Abbleitung f 0 (x) ∈ L(Rn , Rm ), x ∈ Rn stetig als Abbildung von normierten linearen Räumen ist. Folgerung 3: Sei f : G ⊆ Rn → Rm , f = (f1 , . . . , fm ). f ist stetig diffbar auf G, gdw. alle partiellen ∂fi (x), x ∈ G existieren und auf G stetig sind. Ableitungen ∂x j 7.2.5

Richtungsableitung

Def.: Sei f : G ⊆ Rn → R(C), x0 ∈ G, u ∈ Rn mit ||u|| = 1. Wenn lim

t→0

f (x0 +tu)−f (x0 ) t

ex., dann heißt

dieser Grenzwert die Richtungsableitung der Funktion f in Richtung u im Punkt x0 . ∂f Symbol: (x0 ) ∂u ∂f Bemerkung: Wenn f in x0 diffbar ist, gilt: (x0 ) = fx1 (x0 ) · u1 + . . . + fxn (x0 ) · un = (gradf )(x0 ) · u ∂u ∂f ∂f Spezialfall: Sei u = ei = (0, . . . , 0, |{z} 1 , 0, . . . , 0). Dann ist (x0 ) = (x0 ). ∂u ∂xi i

28


7.3

29

Die Kettenregel

7.3.1

Die Norm einer linearen Abbildung

Def. 1: Sei A ∈ L(Rn , Rm ) und sei A = (aij ) Matrix f¨ ur A bzgl. der Standardbasen im Rn bzw. Rm . Sei n m P P 2 √ √ c= aij . Dann ist ||A(h)|| ≤ c||h|| ∀ h ∈ Rn . c heißt die Hilbert-Schmidt-Norm. i=1 j=1

Def. 2: Sei ||A|| = sup ||A(h)||. Dann ist ||A(h)|| ≤ ||A|| ∀ ||h|| ≤ 1 mit h ∈ Rn . ||A|| heißt die ||h||≤1

Operatorennorm der linearen Abbildung A. Bemerkungen: (1) ||A(h)|| ≤ ||A|| · ||h|| ∀ h ∈ Rn (2) ||A|| ist die kleinste Zahl M ≥ 0 mit ||A(h)|| ≤ M · ||h|| ∀ h ∈ Rn (3) ||B · A|| ≤ ||B|| · ||A|| Satz 1: Sei f : G ⊆ Rn → Rm und f in x0 ∈ G diffbar. Dann ist f in x0 stetig. 7.3.2

Kettenregel

Satz 2: Sei f : G1 ⊆ Rn → G2 ⊆ Rm und g : G2 → Rk , wobei G1 , G2 Gebiete sind. Sei f (x) = y, z = g(y) und z = k(x) = g f (x) , x ∈ G1 . Wenn f in x0 ∈ G1 diffbar ist und g in y0 = f (x0 ) diffbar ist, dann ist k in x0 diffbar und es gilt k 0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ). Umformulierung: Wenn C = B · A f¨ ur lineare Abbildungen gilt, dann gilt f¨ ur die entsprechenden Matrizen bzgl. der Standardbasen im Rn , Rm , Rk das Matrizenprodukt Φ = B · A, d.h. k 0 (x0 ) = g 0 (y0 ) · f 0 (x0 ) bedeutet: ∂(z1 , . . . , zk ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(z1 , . . . , zk ) = · ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(x1 , . . . , xn ) bzw. elementweise: m

X ∂zi = ∂xj l=1

∂zi ∂yl ∂yl ∂xj

Beide Formulierungen der Kettenregel sind äquivalent. Def. 3: Sei f : G ⊆ Rn → Rn diffbar in x0 ∈ G. Dann heißt die Determinante: ∂(f1 , . . . , fn ) ∂(f1 , . . . , fn ) (x0 ) := det ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(x1 , . . . , xn ) die Funktionaldeterminante der Abbildung f im Punkt x0 Bemerkungen: (1) det(B · A) = det B · det A, d.h. ∂(z1 , . . . , zk ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(z1 , . . . , zk ) = · ∂(x1 , . . . , xn ) ∂(y1 , . . . , ym ) ∂(x1 , . . . , xn ) (2)

ist die Produktformel f¨ ur Funktionaldeterminanten. det Ω−1 BΩ = det B. Determinanten sind in jedem Koordinatensytem gleich.

7.4 7.4.1

Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung und Anwendungen Partielle Ableitungen h¨ oherer Ordnung

Def. 1: Sei y = f (x) eine Funktion auf G ⊆ Rn . Sei i, j ∈ {1, . . . , n}, x0 ∈ G. Die partielle Ableitung ∂f ∂f ur x ∈ G. Wenn die Funktion ∂x (x0 ) eine partielle Ableitung nach xj besitzt, dann heißt diese ∂xi ex. f¨ i partielle Ableitung eine partielle Ableitung 2. Ordnung auf f nach xi und xj . ∂f ∂ ∂x ∂2f i Symbol: (x0 ) = (x0 ) = fxj xi (x0 ) ∂xj ∂xj ∂xi ∂kf Analog: F¨ ur partielle Ableitung k-ter Ordnung: ∂xi1 · . . . · ∂xik 29

30


Satz 1(Satz v. Schwarz): Sei z = f (x, y) auf dem Gebiet G ⊆ R2 definiert und (x0 , y0 ) ∈ G. Es ex. ein ε > 0, s.d. die partielle Ableitung fx (x, y), fy (x, y) und fxy (x, y) ex. f¨ ur alle (x, y) ∈ Kε (x0 , y0 ) ∩ G. Die partiellen Ableitungen fxy sei stetig in (x0 , y0 ). Dann ex. die partielle Ableitung fyx (x0 , y0 ) und es gilt fxy (x0 , y0 ) = fyx (x0 , y0 ). Bemerkung: Wenn alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung einer Funktion y = f (x) auf g ⊆ Rn ex. und auf G stetig sind, dann gilt fxi xj (x) = fxj xi (x) ∀ x ∈ G und ∀ i, j = 1, . . . , n. 7.4.2

Taylorscher Lehrsatz f¨ ur Funktionen von n Ver¨ anderlichen

Def. 1: Sei y = f (x) eine Funktion auf G ∈ Rn . Sei k ∈ N. f ist k-mal stetig diffbar oder f ∈ C k (G), gdw. alle partiellen Ableitungen k-ter Ordnung auf G ex. und auf G stetig sind. Wenn f ∈ C k (G) ∀ k ∈ N, dann sagt man f ∈ C ∞ (G). Satz 1: Sei f reellwertige Funktion aus C ∞ (G). Sei x0 + th ∈ G f¨ ur t ∈ [0, 1], x0 ∈ G, h ∈ Rn . Dann heißt: f (x0 + h) = f (x0 ) +

k X (h · ∇)n f (x0 ) (h · ∇)k+1 f (x0 + νh) + n! (k + 1)! n=1 | {z }

ν ∈ [0, 1]

Rk+1 (x0 ,h)

der Taylorsche Lehrsatz. ∞ Bemerkungen: X (h · ∇)n f (x0 ) (1) Wenn lim Rk+1 (x0 , h) = 0 gilt, dann ist f (x0 + h) = k→∞ n! n=0 (2) F¨ ur k = 0 folgt der Mittelwertsatz der Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher:

f (x0 + h) − f (x0 ) = (h · ∇)f (x0 + νh) 7.4.3

ν ∈ (0, 1)

Extrema f¨ ur Funktionen mehrerer Ver¨ anderlicher

y = f (x1 , . . . , xn ) sei reellwertige Funktion auf G ∈ Rn Def. 1: Ein Punkt x0 ∈ G heißt lokales Maximum [Minimum] f¨ ur f (x), wenn ein ε > 0 ex., s.d. f (x0 ) ≥ f (x) [f (x0 ) ≤ f (x)] ∀ x ∈ Kε (x0 ) ∩ G ist. Satz 1: Sei x0 lokales Extremum f¨ ur f (x). Wenn f diffbar in x0 , dann ist gradf (x0 ) = 0, d.h. fxi (x0 ) = 0 f¨ ur i = 1, . . . , n. Def. 2: Sei A = (aij ) eine symmetrische n × n-Matrix (d.h. aij = aji ). Dann ist Q(h) := hT Ah = n P hi hj aij die quadratische Form zu A. i,j=1

Def. 3: • Q(h) • Q(h) • Q(h) • Q(h) • Q(h)

heißt heißt heißt heißt heißt

positiv definit, wenn Q(h) > 0 ∀ h ∈ Rn mit h 6= 0 positiv semidefinit, wenn Q(h) ≥ 0 ∀ h ∈ Rn negativ definit, wenn Q(h) < 0 ∀ h ∈ Rn mit h 6= 0 negativ semidefinit, wenn Q(h) ≤ 0 ∀ h ∈ Rn indefinit, wenn h, k ∈ Rn existieren, s.d. Q(h) > 0 und Q(k) < 0

a11 Satz: Sei A = (aij ) und Dk = ... ak1

a12 .. .

...

ak2

...

a1k .. mit k = 1, . . . , n . akk

und λ1 , . . . , λm seien Eigenwerte von A (mit Vielfachheit). Dann gilt: • Q(h) ist positiv definit, gdw. λ1 > 0, . . . , λm > 0 gdw. D1 > 0, . . . , Dn > 0 • Q(h) ist negativ definit, gdw. λ1 < 0, . . . , λm < 0 gdw. (−1)k Dk > 0 , k = 1, . . . , n • Q(h) ist indefinit, gdw. ein k, l ∈ {1, . . . , m}ex., s.d. λk > 0 und λl < 0

30


31

Satz 2: Es sei A ≡ (aij ) =: Hf (x0 ) mit aij := fxi xj (i, j = 1, . . . , n) die Hessematrix von f in x0 und Q(h) = hT Ah. Sei f ∈ C 2 (G), x0 ∈ G und gradf (x0 ) = 0. Dann gilt: • Wenn Q(h) positiv definit, dann hat f in x0 ein lokales Minimum • Wenn Q(h) negativ definit, dann hat f in x0 ein lokales Maximum • Wenn Q(h) indefinit, dann hat f in x0 kein lokale Extremum fxx (x0 ) fxy (x0 ) Spezialfall n = 2: F¨ ur n = 2 ist A = . Dann gilt: fyx (x0 ) fyy (x0 ) • Wenn det Hf (x0 ) > 0 und fxx (x0 ) > 0, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Minimum • Wenn det Hf (x0 ) > 0 und fxx (x0 ) < 0, dann hat f an der Stelle x0 ein lokales Maximum • Wenn det Hf (x0 ) < 0, dann hat f an der Stelle x0 kein lokales Extremum • Wenn det Hf (x0 ) = 0, dann ist keine Aussage u ¨ber Extremwerte möglich Bemerkung: Sei y = f (x) eine reellwertige Funktion, stetig auf der abgeschlossenen, beschränkten Menge M ⊆ Rn . Da M kompakt ist, besitzt f (x) auf M ein Maximum und ein Minimum. Sei ∂M der Rand von M. Es gilt: • max f = max(f (x), f (z)) mit x ∈ ∂ M, z lokales Maximum im Inneren x∈M

•

min f = min(f (x), f (z)) mit x ∈ ∂ M, z lokales Minimum im Inneren

x∈M

7.4.4

Der Nablakalk¨ ul

Sei f (x, y, z) eine Funktion auf G ⊆ R3 . Sei ~v (x, y, z) = (v1 , v2 , v3 ) eine Vektorfunktion auf G ∈ R3 und f ∈ C 2 (G), ~v ∈ C 2 (G). ∂ ∂ ∂ , , der Nablaoperator. Wir definieren: Def.: Sei ∇ := ∂x ∂y ∂z (1) Gradient: grad f := (fx , fy , fz ) = ∇f ∂v1 ∂v2 ∂v3 (2) Divergenz: div ~v := + + = ∇ · ~v ∂x ∂y ∂z ~e1 ~e2 ~e3 ∂ ∂ ∂ (3) Rotation: rot ~v := ∂x ∂y v ∂z = ∇ × ~ v1 v2 v3 (4) Laplaceoperator: ∆f := fxx + fyy + fzz = (∇ · ∇)f (5) Laplacegleichung: ∆f = 0 Eigenschaften: (1) rot rot ~v = grad (div ~v ) − ∆V (2) rot grad f = 0 (3) div grad f = ∆f

7.5 7.5.1

Aufl¨ osungss¨ atze Gruppe GL(n, R)

Def. 1: Sei A ∈ L(Rn , Rn ) mit der Operatorennorm ||A|| = sup ||A(x)||. L(Rn , Rm , || · ||) ist ein reeller, ||x||≤1

normierter Raum. GL(n, R) sei die Menge aller linearen Abbildungen A ∈ L(Rn , Rn ), f¨ ur die det A 6= 0 gilt. GL(n, R) ist eine Gruppe. Wenn A, B ∈ GL(n, R), dann ist auch A−1 und A · B in GL(n, R). Satz 1: Sei A ∈ GL(n, R) und C = ||A−1 ||. Wenn B ∈ L(Rn , Rn ) und ||A − B|| < B ∈ GL(n, R). Die Abbildung A → A−1 des metrischen Raumes GL(n, R) ist stetig. 7.5.2

1 C,

dann ist

Satz von der Umkehrabbildung / inversen Funktion

Def.: Sei x0 ∈ Rn . Eine Menge U heißt Umgebung von x0 , wenn x0 innerer Punkt von U ist (d.h. es ex. ein ε > 0 mit Uε (x0 ) ⊆ U ).

31

32


Theorem 2: Sei f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar in x0 ∈ G. Es sei f 0 (x0 ) eine reguläre lineare Abbildung. Dann ex. eine offene Umgebung U von x0 , die durch f eineindeutig auf eine offene Umgebung V von y0 = f (x0 ) abgebildet wird. Die zugeh¨ orige Umkehrabbildung g := (f U )−1 : V → U ist stetig diffbar und es gilt: 0 und g 0 (y) = f 0 (x)−1 (f U )−1 (y) = f 0 (x)−1 | {z } | {z } | {z } Umkehrfunktion

inverse Abb.

fu ¨ r alle x∈U (inverse Matrix)

Bemerkungen: ∂(f1 , . . . , fn ) (1) f 0 (x0 ) ist regul¨ ar, gdw. det f 0 (x0 ) = (x0 ) 6= 0 ist. ∂(x1 , . . . , xn ) (2) Wenn f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar ist und regulär, dann gilt die Behauptung von Theorem 2. (3)

Sei y = f (x) mit f : G ⊆ Rn → Rn . Sei yi = fi (x1 , . . . , xi ), i = 1, . . . , n ein Gleichungssystem mit n Gleichungen. Die Behauptung von Theorem 2 besagt: Wenn dieses Gleichungssystem eine spezielle L¨ osung y = f (x0 ) besitzt, dann ex. eine eindeutige Lösung in einer geeigneten Umgebung von x0 .

Folgerung 3(Satz v. der Gebietstreue): Sei f : G ⊆ Rn → Rn stetig diffbar, G sei offene Menge im Rn . Es sei f 0 (x) regul¨ ar f¨ ur alle x ∈ G. Dann ist f (G) auch offen. Satz 4: Sei f : E1 → E2 eine Abbildung des metrischen Raumes E1 in E2 . Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (1) f ist stetig d.h. aus xn → x folgt stets f (xn ) → f (x) (2) F¨ ur jede offene Menge U in E2 ist das vollständige Urbild f −1 (U ) := {x ∈ E1 : f (x) ∈ U } offen. (3) F¨ ur jede abgeschlossene Menge U in E2 ist das vollständige Urbild f −1 (U ) abgeschlossen. Bemerkung zu (2) und (3): Die Umkehrung gilt nicht. Die Eigenschaften des Bildes u ¨bertragen sich auf das Urbild, aber die Eigenschaften des Urbilds u ¨bertragen sich nicht auf das Bild. Das heißt, wenn der Wertebereich offen ist, ist auch der Definitionsbereich offen, wenn der Definitonsbereich offen ist, muss der Wertebereich jedoch nicht offen sein. Beispiel: f = sin x bildet ab (0, 2π) → [−1, 1] 7.5.3

Satz von der impliziten Funktion (Aufl¨ osungssatz)

Theorem 5: Sei f : G ⊆ Rn+m → Rn stetig diffbar. Sei (x0 , y0 ) ∈ G, wobei x0 ∈ Rm und y0 ∈ Rn . Es sei ∂(f1 ,...,fn ) (x0 , y0 ) 6= 0. Dann ex. eine offene Menge U ⊆ Rn+m und eine offene Menge f (x0 , y0 ) = 0 und ∂(y 1 ,...,yn ) W ⊆ Rm mit x0 ∈ W , (x0 , y0 ) ∈ U mit folgenden Eigenschaften: Zu jedem x ∈ W ex. genau ein y = y(x) mit x, y(x) ∈ U und f x, y(x) = 0. Die Abbildung W 3 x → y(x) ∈ Rn ist stetig diffbar. (x,y(x)) Bemerkung: Aus f x, y(x) = 0 folgt durch Differentation nach x (Kettenregel): y 0 (x) = − ffxy (x,y(x)) .

7.6

Parameterabh¨ angige Integrale

Zb Form: f (x, y) dx = I(y) a

7.6.1

Stetigkeit von I(y)

Satz 1: f (x, y) sei stetige Funktion auf R mit {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}, a, b, c, d ∈ R. Dann ist I(y) stetig auf [c, d]. 7.6.2

Differenzierbarkeit von I(y)

Satz 2: Sei f (x, y) stetige Funktion in x ∈ [a, b] bei festem y ∈ [c, d]. Die partielle Ableitung fy (x, y) ex. auf R und sei stetig auf R (als Funktion von 2 Veränderlichen). Dann ist I(y) nach y auf [c, d] diffbar und es gilt: Zb Zb d 0 f (x, y) dx = fy (x, y) dx (Leibnizsche Regel ) I (y) = dy a

a

32


33

Satz 3: Seien x = α(y) und x = β(y) diffbare Funktionen auf [c, d] deren Graph in R verläuft. f sei wie in Satz 2 und β(y) Z I(y) = f (x, y) dx α(y)

Dann ist I(y) in y diffbar und es gilt: β(y) Z 0 I (y) = fy dx + β 0 (y)f β(y), y −α0 (y)f α(y), y α(y)

7.6.3

Uneigentliche Integrale

+∞ Z F¨ ur y ∈ [c, d] existiere das uneigentliche Integral f (x, y) dx. a +∞ R

f (x, y) dx konvergiert glm. bzgl. y auf [c, d], wenn f¨ ur alle Def.: Man sagt, das uneigentliche Integral a RA ε > 0 ein A(ε) ≥ a ex., s.d. |I(y) − f (x, y) dx| < ε ∀ A ≥ A(ε) und y ∈ [c, d]. a

Satz 1(Majorantenkriterium): Es sei |f (x, y)| ≤ ϕ(x) ∀ x ∈ [a, +∞] und y ∈ [a, b]. das uneigentliche +∞ +∞ R R Integral ϕ(x) dx sei konvergent. Dann konvergiert das uneigentliche Integral I(y) = f (x, y) dx glm. a

a

bzgl. y. Satz 2: Sei f (x, y) stetig in x ∈ [a, +∞] bei festem y ∈ [c, d]. fy (x, y) ex. und sei stetig auf {(x, y) ∈ R2 , +∞ R a ≤ x < +∞, c ≤ y ≤ d}. F¨ ur alle y ∈ [c, d] konvergiere I(y) = f (x, y) dx. Die Konvergenz von I(y) a

sei glm. bzgl. y auf [c, d]. Dann ist I(y) diffbar und es gilt: +∞ Z I (y) = fy (x, y) dx f¨ ur y ∈ [c, d]. 0

a

7.6.4

Eine Anwendung: Die Gammafunktion

+∞ Z Form: Γ(a) := xa−1 e−x dx 0

Eigenschaften: (1) Γ(a) ist beliebig oft diffbar f¨ ur a > 0 und konvergent f¨ ur a > 0 (2) Γ(a + 1) = aΓ(a) f¨ ur a > 0 (3) Γ(n + 1) = n! f¨ ur n ∈ N0 (4) f (x) = ln Γ(x) ist eine konvexe Funktion, d.h. f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) f¨ ur alle λ ∈ [0, 1], x > 0, y > 0 (5) Satz von Bohr/Mollerup: Sei f (x) eine positive Funktion auf (0, +∞) mit f (1) = 1, f (x + 1) = xf (x) f¨ ur alle x > 0 und ln f (x) konvex. Dann ist f (x) = Γ(x) ∀ x > 0. (6) Stirlingsche Formel : lim

x→+∞

Γ(x + 1) √ =1 x x 2πx e

√ F¨ ur x = n und große n: n! ≈ nn e−n 2πn √ (7) Γ 21 = π. Dann folgt wegen (2): 1 1√ • Γ 32 = Γ 12 + 1 = Γ 21 = π 2 2 1 1 1 5 1 1 • Γ 2 =Γ 2 +1+1 = +1 Γ 2 +1 = +1 Γ 2 2 2

33

1 2

=

3√ π 4

34

(8)


Sei die Betafunktion definiert als: Z1 B(x, y) := tx−1 (1 − t)y−1 dt, x > 0, y > 0 0

Dann gilt: B(x, y) =

Γ(x) · Γ(y) Γ(x + y)

(Verallgemeinerung des Binominalkoeffizienten)

Bemerkung: Die Eigenschaften (2), (4) und Γ(0) = 1 bestimmen Γ(x) vollständig.

34

Riemannintegrale im Rn

35


8

Das Riemannintegral im Rn

8.1 8.1.1

n-dimensionale Quader

Def. 1: Sei ai , bi ∈ R, ai ≤ bi mit i = 1, . . . , n. Ii sei eines der Intervalle (ai , bi ), [ai , bi ]. Dann heißt Q := I1 × I2 × · · · × In n-dimensionaler Quader (oder auch n-dimensionales Intervall bzw. n-Zelle). Die Zahl |Q| := (b1 − a1 )(b2 − a2 ) · . . . · (bn − an ) heißt Volumen von Q. Wenn alle Intervalle Ii offen [abgeschlossen] sind, dann heißt Q offener [abgeschlossener] n-dimensionaler Quader. Def. 2: Sei f (x) beschr¨ ankt. Sei die Zerlegung Z von Q: ai = ti0 < ti1 < . . . < tik = bi Seien Ji Intervalle, definiert als Jil = [til , ti(l+1) ]. Sei Qj = J1j1 × J2j2 × . . . × Jnjn f¨ ur j = (j1 , . . . , jn ). Die Menge dieser P n-dimensionalen Quader Qj heißt Zerlegung Z von Q. Sei S(f, Q, Z) = Mj |Qj | mit Mj = sup f (x) P x∈Qj j und S(f, Q, Z) = mj |Qj | mit mj = inf f (x). x∈Qj

j

ullt, dann heißt Def. 3: f heißt R-integrierbar u ¨ber Q, wenn sup S(f, Q, Z) = inf S(f, Q, Z). Ist dies erf¨ Z

Z

die Zahl sup S(f, Q, Z) = inf S(f, Q, Z) das n-dimensionale R-Integral von f u ¨ber Q. Z

Z

Z Symbol:

f (x) d~v = Q

8.1.2

Z f (x) dx1 dx2 . . . dxn Q

Integration u ¨ ber beliebige Mengen

Def.: Sei G beschr¨ ankte Menge im Rn . Dann ex. ein n-dimensionaler Quader Q mit G ⊆ Q. f (x) sei eine beschränkte, reellwertige Funktion auf G. Wir definieren: f (x) f¨ ur x ∈ G fe(x) = 0 f¨ ur x ∈ Q, x ∈ /G f heißt R-integrierbar, wenn fe R-integrierbar auf Q ist. Es gilt: Z Z Z f (x) d~v ≡ f (x) dx1 . . . dxn := fed~v G

G

Q

R Def.: Die Zahl |G| := 1 d~v heißt n-dimensionales Volumen von G, falls das Integral existiert. G

Bemerkung: F¨ ur n = 1 erh¨ alt man eine Länge, f¨ ur n = 2 eine Fläche und f¨ ur n = 3 ein Volumen. 8.1.3

Welche Funktionen sind R-integrierbar?

Def.: Eine Teilmenge N des Rn heißt Jordanische Nullmenge, gdw. f¨ ur alle ε > 0 n-dimensionale Quader r r S P Q1 , . . . , Qr ex., s.d. N ⊆ Qi und |Qi | < ε. Folgende Mengen sind Jordansche Nullmengen: i=1

i=1

(1) f : K → Rm sei eine stetige Abbildung der kompakten Menge K ⊆ Rk in den Rm . Dann ist die Menge {(x, f (x)), x ∈ K} eine Jordansche Nullmenge in Rm+k Spezialfall: Sei m = k = 1, K = [a, b], f : K → R, f stetig reellwertig. Dann ist { x, f (x) , x ∈ [a, b]} der Graph der Funktion f eine Jordansche Nullmenge. (2)

∂fi Sei G ⊆ Rk eine offene Menge und f : G → Rn . Alle partiellen Ableitungen ∂x ex. auf G und seien bej schränkt auf G. (f ist Lipschitzstetig). Dann ist f (G) eine Jordansche Nullmenge.

(3)

endliche Mengen

Def. 1: x ∈ Rn heißt Randpunkt von M ∈ Rn , gdw. f¨ ur alle ε > 0 ein Kε (x) ∩ M 6= 0 und Kε (x) ∩ (Rn \ M ) 6= 0 existiert. ∂ M sei die Menge aller Randpunkte von M. Def. 2: Eine kompakte Teilmenge M des Rn heißt Jordanbereich, wenn der Raum ∂ M eine Jordansche Nullmenge ist. (d.h. der Rand l¨ asst sich in endlich viele stetige Kurven zerlegen). Satz 1: Sei M ein Jordanbereich im Rn . f (x) sei beschränkt reellwertige Funktion auf M. Es ex. eine Jordansche Nullmenge N ⊆ M derart, dass f (x) stetig ist in M \ N . Dann ist f auf M R-integrierbar.

35


36

Def. 3: f (x) ist R-integrierbar, gdw. Re (f ) und Im(f ) R-integrierbar sind: Z Z Z f d~v := Re (f ) d~v + i Im(f ) d~v M

8.2 8.2.1

M

M

Iterierte Integrale Iterierte Integrale im R2

Satz 1: Sei a, b ∈ R, a < b. Sei ϕ(x), Ψ(x) stetige reellwertige Funktion auf [a, b]. Sei M : {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x)}. Dann gilt: ZZ

Zb Ψ(x) Z f (x, y) dx dy = f (x, y) dy dx a ϕ(x)

M

Bemerkungen: (1) Beliebige Mengen versucht man in die Vereinigung von endlich vielen Mengen der oberen Form zu zerlegen. (2) Analog sei M = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, α(y) ≤ x ≤ β(y)}. Dann gilt ZZ Zd β(y) Z f (x, y) dx dy = f (x, y) dx dy c α(y)

M

8.2.2

Iterierte Integrale im R3

Satz 2: Sei M = {(x, y, z) ∈ R3 : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x), α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)}. α(x, y), β(x, y), Ψ(x) und ϕ(x) seien stetig. Dann gilt: ZZZ Zb Ψ(x) Z β(x,y) Z f (x, y, z) dz dy dx f (x, y, z) dx dy dz = a ϕ(x) α(x,y)

M

8.2.3

Anwendung auf die Volumenberechnung

Satz 2: Sei f (x, y, z) = 1. Dann ist |M| gleich dem Volumen von M mit: Zb Zb Ψ(x) Z β(x,y) Z f (x, y, z) dz dy dx = F (x) dx |M| = a ϕ(x) α(x,y)

a

F (x) entspricht dem Fl¨ acheninhalt der Menge M = {(y, z) : α(x0 , y) ≤ z ≤ β(x0 , y), ϕ(x0 ) ≤ y ≤ ϕ(x0 )} bzgl. x0 . f zwei Mengen der obigen Form, d.h. Satz (Prinzip v. Cavaleri): Seien M und M • M = {(x, y, z) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ Ψ(x), α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)} e y)} f = {(x, y, z) : e e • M a ≤ x ≤ eb, ϕ(x) e ≤ y ≤ Ψ(x), α e(x, y) ≤ z ≤ β(x, f gleich sind, dann Wenn f¨ ur jedes x ∈ [a, b] die Fl¨ acheninhalte F (x) und Fe(x) der Schnitte M bzw. M f haben M und M die gleichen Volumina. Spezialfall: Sei y = f (x) reellwertig positive Funktion auf [a, b]. f rotiere um die x-Achse, M sei die einbeschriebene Menge. Es gilt: Zb |M| = π f (x)2 dx a

36


8.2.4

37

Anwendung in der Physik: Momente

Sei M Körper im R3 (Jordanmenge) mit Massendichte %(x, y, z) auf M. Es sei %(x, y, z) ≥ 0 auf M. Seien k, m, n ∈ N0 . Dann heißt: ZZZ akmn = xk y m z n % dx dy dz M

das Moment der Massendichte mit der Gesamtmasse: ZZZ % dx dy dz a000 = M

Schwerpunkt: Der Schwerpunkt hat die Koordinaten: a100 a010 a001 xs = , ys = , zs = a000 a000 a000 Tr¨ agheitsmomente: ZZZ (x2 + y 2 + z 2 − x2 )% dx dy dz • T11 = ZM ZZ • T22 = ZM ZZ • T33 =

(x2 + y 2 + z 2 − y 2 )% dx dy dz (x2 + y 2 + z 2 − z 2 )% dx dy dz

M

Deviationsmomente: ZZZ • T12 = xy% dx dy dz = T21 ZM ZZ • T13 =

xz% dx dy dz = T31 ZM ZZ

• T23 =

yz% dx dy dz = T32 M

8.3

Transformationen fu ¨ r n-dimensionale Riemannintegrale

8.3.1

Transformationsformel

Satz 1: Seien m und n Jordanbereiche im Rn . M sei eine Jordansche Nullmenge mit M ⊆ m. Sei g : m → n stetig diffbare Abbildung. Falls die Vorraussetzungen: (1) g (m \ M) ist injektiv (d.h. aus g(x1 ) = g(x2 ) folgt x1 = x2 ) (2) g ist regul¨ are Abbildung f¨ ur alle g ∈ m \ M (3) f (x) mit x = g(t) ist stetig auf n erf¨ ullt sind, gilt: Z Z ∂(x1 , . . . , xn ) dt1 . . . dtn f (x) dx1 . . . dxn = f g(t) ∂(t1 , . . . , tn ) n

m

Bemerkungen: (1) Transformation von: • Integrationsbereich: n → m • Integrand: f (x) → f g(t) ∂(x1 , . . . , xn ) dt1 . . . dtn • Integrationsdifferential: dx1 . . . dxn → ∂(t1 , . . . , tn ) (2)

Die Abbildung g : m → n heißt stetig diffbar, wenn es eine offene Umgebung U ⊇ m und eine stetig diffbare Abbildung ge : U → Rn gibt mit g(x) = ge(x) f¨ ur x ∈ m. 37


38

8.3.2

Polarkoordinaten

Sei n = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ R2 } und m = {(r, ϕ) ∈ R2 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y) =r ∂(r, ϕ) und es gilt: Z2πZR ZZ Z f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ = f (r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ f (x) dx dy = m

n

8.3.3

0

0

Zylinderkoordinaten

Sei n = {(x, y, z) : x2 + y 2 ≤ R2 , z ∈ [0, a], a ∈ R} und m = {(r, ϕ, z) ∈ R3 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ a}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y, z) =r ∂(r, ϕ, z) und es gilt: Z ZZZ Za Z2πZR f (x) dx dy dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)r dr dϕ dz = f (r cos ϕ, r sin ϕ, z)r dr dϕ dz n

8.3.4

m

0

0

0

Kugelkoordinaten

Sei n = {(x, y, z) : x2 + y 2 + z 2 ≤ R2 } und m = {(r, ϕ, ϑ) ∈ R3 : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ ϑ ≤ π}. Dann ist die Funktionaldeterminante: ∂(x, y) = r2 sin ϑ ∂(r, ϕ) und es gilt: Z f (x) dx dy dz

ZZZ =

n

f (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)r2 sin ϑ dr dϕ dϑ

m

Zπ Z2πZR = f (r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ)r2 sin ϑ dr dϕ dϑ 0

8.3.5

0

0

Warum Betrag der Funktionaldeterminante?

Ein eindimensionales Riemann-Integral ist f¨ ur untere Grenze < obere Grenze definiert. Das Vertauschen der Grenzen ist beim n-dimensionalen Fall nicht möglich. Bemerkung: Es gilt: 1=

∂(x, y) ∂(x, y) ∂(u, v) = · ∂(x, y) ∂(u, v) ∂(x, y)

→

∂(x, y) = ∂(u, v)

38

1 ∂(u,v) ∂(x,y)

Kurvenintegrale

9 9.1 9.1.1

39

Kurvenintegrale Rektifizierbare Kurven Kurven im Rn

Def.: Eine stetige Abbildung [a, b] 3 t → x(t) ∈ Rn , a < b, a, b ∈ R heißt Kurve im Rn . Eine Kurve heißt geschlossen, wenn x(a) = x(b) ist. Eine Kurve heißt einfach, wenn f¨ ur t1 , t2 ∈ [a, b] aus x(t1 ) = x(t2 ) auch t1 = t2 folgt. Eine Kurve heißt stetig diffbar, wenn die Abbildung t → x(t) stetig diffbar ist in jedem Punkt t ∈ [a, b] (in den Randpunkten einseitig diffbar). Bemerkung: Eine Kurve ist eine stetige Abbildung [a, b] 3 t, x(t) ∈ Rn . Die Menge {x(t), t ∈ [a, b]} heißt Spur der Kurve. Oft nennt man die Punktmenge {x(t), t ∈ [a, b]} auch Kurve.

9.1.2

Tangente an eine Kurve

Def.: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache Kurve. Wenn x0 (t0 ) 6= 0, dann heißt die Gerade durch den Punkt x(t0 ) in Richtung x0 (t0 ) die Tangente an die Kurve im Punkt x0 . Wenn x0 (t0 ) 6= 0 ∀ t ∈ [a, b], dann heißt die Kurve regul¨ ar. Tangentengleichung: x = x(t0 ) + λx0 (t0 )

9.1.3

λ∈R

Rektifizierbarkeit

Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig einfache diffbare Kurve. Sei Z die Zerlegung von [a, b] : t0 = a < t1 < · · · < tn = b. Ein Polygonzug PZ heißt die direkte Verbindung von n Punkten (jeweils benachbarte) entlang der Kurve (d.h. von x(t0 ) nach x(t1 ) nach x(t2 ) . . . nach x(tn ).) Die Länge des Polygonzuges sei lZ . Def.: Eine Kurve heißt rektifizierbar, wenn die Längen lZ aller Polygonz¨ uge PZ f¨ ur die Zerlegung Z des Intervalls [a, b] nach oben beschr¨ ankt sind. Ist dies erf¨ ullt, dann heißt die Zahl L := sup lZ die L¨ ange der Z Kurve x(t), t ∈ [a, b]

9.1.4

Formel f¨ ur die L¨ ange einer Kurve

Satz 1: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache, rektifizierbare Kurve im Rn . Dann ist die Länge: Zb Zbq 0 x01 (t)2 + x02 (t)2 + . . . + x0n (t)2 dt L = ||x (t)|| dt = a

a

Spezialfall: Kurve sei Graph einer Funktion f (t), t ∈ [a, b]. Sei f (t) diffbar auf [a, b]. Dann ist die Länge: Zbp 1 + f 0 (t)2 dt L= a

Bogenl¨ ange in Polarkoordinaten: L =

Zbp r0 (t)2 + r(t)2 ϕ0 (t)2 dt a

9.2 9.2.1

Kurvenintegrale Definition und Berechnung

Satz 1: Sei x(t), t ∈ [a, b] stetig diffbare, einfache, rektifizierbare Kurve im Rn . Sei C = {x(t), t ∈ [a, b]}. Sei die Spur der Kurve f : C → Rn , d.h. jedem x ∈ C ist eindeutig ein Vektor zugeordnet. Die Funktion R f sei stetig. Dann ex. das Kurvenintegral f dx und es gilt: C

Z C

Zb f dx = f x(t) ·x0 (t) dt a

39

40

Kurvenintegrale

9.2.2

Physikalische Deutung

(1) F sei eine konstante Kraft im Rn , x1 , x2 ∈ Rn . Die Kraft verschiebt eine Masse von x1 nach x2 . Die geleistete Arbeit ist dann: W = F · (x2 − x1 ). (2) F (x) sei Kraftfeld auf g ⊆ Rn . Sei x(t), t ∈ [a, b] eine Kurve in g. Dann ist: Z Z W = F (x) dx = F1 (x) dx1 + F2 (x) dx2 + . . . + Fn (x) dxn C

C

die Arbeit bei der Verschiebung eine Masse entlang x(t), t ∈ [a, b] im Kraftfeld F (x). 9.2.3

Orientierung einer Kurve

Def.: Sei C : x(t), t ∈ [a, b] eine einfache Kurve. Sei t1 , t2 ∈ [a, b]. Der Kurvenpunkt x(t1 ) liegt vor x(t2 ), falls t1 < t2 . Das definiert eine Orientierung. Bemerkung: Sei x e(t) = x(−t), t ∈ [−b, −a]. (dann ist −t ∈ [a, b] und x(t) ist definiert). Dann ist die Spur x e gleich der Spur von x und beide Kurven haben gleiche Punktmengen. Somit definiert x e die zu x entgegengesetzte Orientierung. Die Orientierung von x ist dann C+ , von x e ist sie C− und es gilt: Z Z f (x) dx = − f (x) dx C+

9.3 9.3.1

C−

Wegunabh¨ angigkeit von Kurvenintegralen Konservative Kraftfelder und Potentialfelder

Gegeben sei ein Gebiet g ⊆ Rn . Ein Vektorfeld auf g ist die Abbildung f : g → Rn , d.h. jedem Punkt x ∈ g ist eindeutig ein Vektor f (x) ∈ Rn zugeordnet. Def. 1: Eine Kurve x(t), t ∈ [a, b] heißt st¨ uckweise stetig diffbar (bzw. st¨ uckweise C 1 -Kurve), wenn es Punkte a = t0 < t1 < . . . < tk = b gibt, s.d. die Abbildung [ti−1 , ti ] 3 t → x(t) stetig diffbar ist (in den Randpunkten einseitig diffbar) f¨ ur i = 1, . . . , k. Def. 2: Ein Vektorfeld f (x) auf einem Gebiet g heißt konservativ, wenn f¨ ur beliebige Punkte x1 , x2 ∈ g und beliebige st¨ uckweise stetig diffbare Kurven x(t), t ∈ [a, b] und y(t), t ∈ [c, d] mit x(a) = y(c) = x1 und x(b) = y(d) = x2 , die in g verlaufen Z Z f (x) dx = f (x) dx x(t)

y(t)

R ist. D.h. das Kurvenintegral f dx u ¨ber stetig diffbare Kurven innerhalb von g hängt nur vom Anfangsund Endpunkt ab, nicht aber vom Verlauf der Kurve. Bemerkung: Ein Vektorfeld f auf g ist konservativ, wenn f¨ ur jede st¨ uckweise stetig diffbare geschlossene Kurve C : x(t), t ∈ [a, b] die in g verl¨ auft gilt: Z f dx = 0 C

Def.: Sei f konservatives Vektorfeld u uckweise stetig diffbare ¨ber g. Sei x0 ∈ g fest. Sei Cx irgendeine st¨ Kurve innerhalb von g von x0 nach x. Wir definieren: Zx Z f dx = f dx x0

Cx

Bemerkung: Die rechte Seite h¨ angt nicht vom Verlauf der Kurve ab. Def. 3: Ein Vektorfeld f auf einem Gebiet g heißt Potentialfeld, wenn es eine diffbare Funktion U auf g gibt, mit grad U = f ∀ x ∈ g. U ist dann ein Potential f¨ ur f , d.h grad U = f , gdw. Ux1 = f1 , Ux2 = f2 , . . . , Uxn = fn . Bemerkungen: (1) F¨ ur n = 1 bedeutet grad U = f , dass f = U 0 (2) Jedes Vektorfeld f (x) der Form f (x) = V ||x|| x ist ein Potentialfeld 40

Kurvenintegrale

41

Satz 1: (1) U (x) sei stetig diffbare Funktion auf g ⊆ Rn . Es sei f = grad U . Dann gilt f¨ ur jede st¨ uckweise stetig diffbare Kurve x(t), t ∈ [a, b], die in g verläuft: Z f dx = U x(a) −U x(b) C+

Rx (2) f (x) sei stetiges, konservatives Vektorfeld auf g. Sei x0 ∈ g und U (x) = f dx, x ∈ g. Dann ist U (x) x0 ein Potential f¨ ur f , d.h. grad U = f. (3) Ein stetiges Vektorfeld f auf g ist konservativ, gdw. es ein Potentialfeld ist. Bemerkung: (1) und (2) sind analog zum Fundamentalsatz der Differential- / Integralrechnung f¨ ur n Dimensionen. 9.3.2

Integrabilit¨ atsbedingungen

Def: Sei g ein Gebiet im Rn . g heißt einfach zusammenh¨ angend f¨ ur jede geschlossene Kurve x(t), t ∈ [a, b], wenn eine stetige Abbildung F : [a, b] × [0, 1] → g ex. mit F (t, 0) = x(t), t ∈ [a, b] und F (t, 1) = x(a) = x(b), t ∈ [a, b]. Anschauliche Deutung: Die Kurve lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen. Satz 2: f sei stetig diffbares Vektorfeld auf dem Gebiet g ⊆ R3 . (1) Wenn f ein Potentialfeld auf g ist, dann gilt rot f = 0 f¨ ur x ∈ g (2) Wenn g einfach zusammenh¨ angend ist und rot f = 0, dann ist f ein Potentialfeld. Bemerkungen: (1) Satz 2 gilt sinngem¨ aß auch f¨ ur Gebiet im Rn . Integrabilitätsbedingung: ∂fj ∂fi = ∂xj ∂xi

i, j = 1, . . . , n

Falls ein Potentialfeld vorliegt, ist die Integrabilitätsbedingung erf¨ ullt. Wenn die Integrabilitätsbedingung erf¨ ullt ist und das Gebiet einfach zusammenhängend ist, liegt ein Potentialfeld vor. ∂f2 ∂f1 = (2) F¨ ur Fall n = 2 ist die Integrabilit¨ atsbedingung: ∂y ∂x

9.4

Der Satz von Green

Sei G ein Gebiet im R2 , dessen Rand ∂G die endliche Vereinigung von st¨ uckweise stetig diffbaren Kurven ist. Wir legen eine Orientierung des Randes fest. Wir orientieren den Rand ∂G im mathematisch positiven ∧ Durchlaufsinn (= entgegen dem Uhrzeigersinn) vom Inneren von G aus. Eine Funktion f auf einer Menge n M ⊆ R heißt stetig diffbar auf M, wenn es eine offene Menge U ⊇ M und eine stetig diffbare Funktion fe auf U gibt mit fe(x) = f (x) ∀ x ∈ M. ∧ Theorem 1(Satz v. Green): Seien G und ∂G+ wie oben. f und g seien stetige Funktionen auf G (= G ∪ ∂G). Dann gilt: Z ZZ (gx − fy ) dy dx = g dy + f dx

∂G+

G

Bemerkungen: ZZ Z gx dy dx = g dy • ZGZ •

∂G+

Z −fy dy dx =

G

f dx ∂G+

Z Folgerung: Sei α ∈ R. Dann gilt: |G| =

(1 − α)x dy − αy dx

∂G+

41

42

Differentialformen und Vektoranalysis

10

Differentialformen und Vektoranalysis Differentialformen auf dem Rn

10.1 10.1.1

Alternierende Formen

Seien n, k ∈ N. Def. 1: Eine alternierende Multilinearform vom Grade k (kurz k-Form) ist eine Abbildung ω : Rn × Rn × . . . × Rn → R (also mit k Faktoren Rn ) mit folgenden Eigenschaften: (1) ω(. . . , λ1 h1 + λ2 h2 , . . .) = λ1 ω(. . . , h1 , . . .) + λ2 ω(. . . , h2 , . . .) i = 1, . . . , k, h1 , h2 ∈ Rn , λ1 , λ2 ∈ R | {z } i−te Stelle

(2)

ω(. . . , hi , hj . . .) = −ω(. . . , hj , hi , . . .)

Def.: Sei Λk (Rn ) der Vektorraum aller k-Formen. Wir setzen Λ0 (Rn ) := R und Λ1 (Rn ) := Rn . Sei i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n}. Dann ist: h1i1 · · · hki1 .. ω(h1 , . . . , hk ) := ... . h1i · · · hki k

k

eine k-Form. Symbol: ω = dxi1 ∧ dxi2 ∧ . . . ∧ dxik Beispiel: Sei n = 3. Seien i1 , i2 ∈ {1, 2} und dxi1 (hj ) = hji1 , j ∈ {1, 2}. Dann ist: h1i1 h2i1 dxi1 ∧ dxi2 (h1 , h2 ) = h1i2 h2i2 (1)

(2)

Sei jetzt i1 = i2 = 1. Dann ist: h dx1 ∧ dx1 (h1 , h2 ) = 11 h11 Somit ist dx1 ∧ dx1 = 0.

h21 =0 h21

Sei jetzt i1 = 1 und i2 = 2. Dann ist: h h21 dx1 ∧ dx2 (h1 , h2 ) = 11 h12 h22

und

h dx2 ∧ dx1 (h1 , h2 ) = 12 h11

h22 h21

Somit ist dx1 ∧ dx2 (h1 , h2 ) = −dx2 ∧ dx1 (h1 , h2 ). Bemerkung: Insbesondere, wenn ir = is , r 6= s, dann ist dxi1 ∧ . . . ∧ dxir ∧ . . . ∧ dxir ∧ . . . ∧ dxik = 0. |{z} |{z} r s n k n Satz: Es gilt: dim Λ (R ) = , k = 0, 1, . . . , n. F¨ ur k ≤ n sind die k-Formen dxi1 ∧ . . . ∧ dxik , k i1 < i2 < . . . < ik ∈ {1, . . . , n} eine Basis von Λk (Rn ). F¨ ur k > n ist jede k-Form gleich Null. 10.1.2

Differentialformen

Sei U ⊆ Rn . Def. 2: Sei ω : U → Λk (Rk ) eine k-Form und k ≥ 2. Sei ω(x), x ∈ U definiert als: X ω(x) := ai1 i2 ...ik (x) dxi1 ∧ . . . ∧ dxik i1 0 ein δ(ε) > 0 ex. mit |A − g(z)| < ε f¨ ur alle z ∈ G mit 0 < |z − z0 | < δ(ε). Symbol: lim g(z) = A. z→z0

Def. 2: f (z) sei auf G definierte komplexwertige Funktion. f (z) heißt in z0 komplex diffbar, wenn der Grenzwert: f (z) − f (z0 ) lim z→z0 z − z0 existiert. Dieser Grenzwert heißt komplexe Ableitung von f (z) in z0 und wird mit f 0 (z0 ) bezeichnet.

72

Holomorphe Funktionen

73

Satz 1: Sei w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) eine komplexwertige Funktion, die in einer Umgebung von z0 = x0 + iy0 ∈ C definiert ist. Sei u = Re f und v = Im f . Dann ist f (z) in z0 komplex diffbar, gdw. u und v in (x0 , y0 ) diffbar sind (als Funktionen von R2 in R) und f¨ ur die partiellen Ableitungen gilt: ux (x0 , y0 ) = vy (x0 , y0 )

und

uy (x0 , y0 ) = −vx (x0 , y0 )

Diese Gleichungen heißen Cauchy-Riemannsche-Differentialgleichungen. Sind diese erf¨ ullt, dann ist: f 0 (z0 ) = ux (x0 , y0 ) + ivx (x0 , y0 ) Folgerung 2: u, v seien stetige reellwertige Funktionen auf Gebiet G ⊆ R2 = C mit stetigen partiellen Ableitungen 1. Ordnung. Dann ist die Funktion f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z = iy + x in jedem Punkt z0 ∈ G komplex diffbar, gdw. die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichgungen gelten. Satz: Analog zu reell diffbaren Funktionen gilt: (1) Summe, Produkt und Quotient (falls Nenner 6= 0) komplex diffbarer Funktionen sind komplex diffbar. (2) zusammengesetzte Funktionen komplex diffbarer Funktionen sind komplex diffbar. 14.2.2

Harmonische Funktionen

Def.: Sei f = u + iv in z0 ∈ G komplex diffbar mit u, v ∈ C 2 (G) (Man kann zeigen: Ist eine Funktion komplex diffbar auf G, so folgt auch stets u, v ∈ C ∞ ). Dann sind die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen erf¨ ullt und es gilt: uxx + uyy = 0

bzw.

vxx + vyy = 0

Derartige Funktionen u, v heißen harmonische Funktionen. Folgerung: Ist f = u + iv in z0 ∈ G komplex diffbar, so sind u, v harmonische Funktionen.

14.2.3

Komplexe Differenzierbarkeit in z0 = ∞

f (z) sei f¨ ur alle z ∈ C f¨ ur |z| > R f¨ ur ein geeignetes R > 0 definiert. Sei g(z) = f g(0) = lim f z1 falls der Grenzwert ex.

1 z

, |z| > R. Es ist

z→∞

Def.: f heißt komplex diffbar in z0 = ∞, wenn g(z) komplex diffbar ist in z = 0.

14.2.4


f (z) sei definiert auf einer offenen Menge G ⊆ C. Def. 1: f (z) heißt holomorph in z0 ∈ G, wenn es eine Umgebung U (z0 ) um z0 mit U (z0 ) ⊆ G gibt derart, dass f (z) f¨ ur jedes z ∈ U (z0 ) komplex diffbar ist. Def. 2: f (z) heißt holomorph auf G, wenn f (z) in jedem Punkt z ∈ G komplex diffbar ist.

14.3 14.3.1

Der Cauchysche Integralsatz Komplexe Kurvenintegrale

Def.: γ sei rektifizierbare orientierte einfache Kurve in C ∼ = R2 . f (z) sei komplexwertige Funktion auf der Punktmenge γ. Wir def.: Z Z f (z) dz := f (z) dx + if (z) dy γ

γ

falls die rechte Seite existiert. Die rechte Seite stellt ein reelles Kurvenintegral im R2 dar.

73

74


Satz (Berechnungsformel): Sei {z(t), t ∈ [a, b]} eine Parameterdarstellung der orientierten Kurve γ. z(t) sei stetig diffbar auf γ. Dann gilt: Z γ

14.3.2

Zb f (z) dz = f z(t) z 0 (t) dt a

Cauchyscher Integralsatz

Satz 1: f (z) sei holomorphe Funktion auf einfach zusammenhängenden Gebiet G ∈ C. γ sei eine geschlossene rektifizierbare einfache Kurve in G. Dann ist: Z (?) f (z) dz = 0 γ

Bemerkung: Satz gilt unter folgender allgemeiner Situation: γ sei wie in Satz 1. G sei das Gebiet innerhalb von γ. f (z) sei stetige Funktion auf G und holomorph auf G. Dann gilt ebenfalls (?). Satz 2: G sei einfach zusammenh¨ angend und z0 ∈ G. Sei G0 = G \ {z0 }. f (z) sei holomorphe Funktion auf G0 , die in einer Umgebung von z0 beschränkt ist. γ sei geschlossene rektifizierbare Kurve in G0 . Dann gilt ebenfalls (?). 14.3.3

Cauchysche Integralformel

Satz 3: γ sei einfach geschlossene rektifizierbare Kurve in C. Das Gebiet G innerhalb von γ sei einfach zusammenhängend. f (z) sei eine stetige Funktion auf G. f (z) sei holomorph auf G. Dann gilt f¨ ur jedes z ∈ G und ζ ∈ γ: Z 1 f (ζ) f (z) = dζ 2πi ζ − z γ

14.3.4

Integrale vom Cauchyschen Typ

Def.: γ sei einfach rektifizierbare, geschlossene, orientierte Kurve. Das Innengebiet G von γ sei einfach zusammenhängend. g(ζ) sei stetige Funktion auf γ. Wir definieren: Z 1 g(ζ) h(z) = dζ 2πi ζ − z γ

Satz 4: F¨ ur jedes z ∈ C, z ∈ / γ ist h(z) holomorph und es gilt: Z g(ζ) n! dζ h(n) (z) = 2πi (ζ − z)n+1 γ

D.h. h(z) ist n-fach komplex diffbar und die n-te komplexe Ableitung h(n) (z) entsteht durch Vertauschung von Integral und Ableitung.

14.4

Eigenschaften holomorpher Funktionen

ur jedes n ∈ N und Satz 1: γ, G seien wie oben. f (z) sei holomorphe Funktion auf G und stetig auf G. F¨ jedes z ∈ G ex. die n-te komplexe Ableitung f (n) (z) und es gilt: Z n! f (ζ) dζ f (n) (z) = 2πi (ζ − z)n+1 γ

Folgerung 2: Seien γ, G, f wie in Satz 1. Dann ex. f (n) (z) f¨ ur z ∈ G, n ∈ N und ist eine holomorphe Funktion auf G. Folgerung 3: Seien γ, G, f wie in Satz 1. Sei u =Re f , v =Im f . Dann gilt: u, v ∈ C ∞ (G), 4u = 4v = 0 auf G.

74


75

Satz 4(Satz von Morera): f (z) sei stetige Funktion auf Gebiet G f¨ ur jede geschlossene, einfache, rektifizierbare Kurve γ. In G gilt: Z f (z) dz = 0 γ

Dann ist f (z) holomorph in G. Satz 5(Satz von Riemann u aten): G sei Gebiet und z0 ∈ G. f (z) sei ¨ ber hebbare Singularit¨ holomorph auf dem Gebiet G \ {z0 }. Es existiere eine Umgebung U um z0 in der die Funktion f (z) beschränkt ist. Dann ex. Zahl a ∈ C derart, dass die Funktion: f (z) f¨ ur z ∈ G \ {z0 } g(z) = a f¨ ur z = z0 auf G, also insbesondere in z0 holomorph ist. Satz 6(Maximumprinzip): f (z) sei holomorphe Funktion auf dem einfach zusammenhängenden Gebiet G. Es ex. ein z0 ∈ G mit |f (z0 )| = sup |f (z)|. Dann ist f (z) konstant auf G. z∈G

Bemerkung: Die Aussage von Satz 6 ist: Die Funktion f (z) auf G nimmt ihr Maximum immer auf dem Rand an und niemals im Inneren von G, es sein denn, f (z) ist konstant. Satz 7(Satz von Liouville): f (z) sei eine holomorphe Funktion auf C. Wenn f (z) beschränkt auf C, dann ist f (z) konstant auf C. Satz 8: fn (z), n ∈ N sei holomorphe Funktion auf einem Gebiet G. Die Reihe: F (z) :=

∞ X

fn (z)

n=1

konvergiere gleichm¨ aßig auf G. Dann ist F (z) auch holomorphe Funktion auf G.

14.5

Potenzreihenentwicklung holomorpher Funktionen

P∞ n Satz 1: f (z) = n=0 an (z − z0 ) sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius % > 0. Dann ist f (z) holomorph auf der Menge {z ∈ C : |z − z0 | < %}. Satz 2: f (z) sei holomorphe Funktion im Punkt P∞z0 ∈ C. Dann ex. ein r > 0 und eine auf der Menge {z ∈ C : |z − z0 | < r} konvergente Potenzreihe n=0 an (z − z0 )n , die auf der Menge gleich f (z) ist. Bemerkung: Die Potenzreihe (Taylorreihe) von f (z) konvergiert in jedem Kreis um z0 , in dem die Funktion f (z) holomorph ist. Zusammenfassung: F¨ ur eine Funktion f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y), die in einem Gebiet G ⊂ C gegeben ist, sind folgende Eigenschaften a ¨quivalent: (1) f ist in G stetig komplex diffbar. (2) u, v sind in G stetig diffbar und ux = vy und uy = −vx . (3) P Jeder Punkt z0 ∈ G hat eine Umgebung U , in der f (z) als Summe einer konvergenten Reihe ∞ i i=0 ai (z − z0 ) geschrieben werden kann. (4) f ist stetig in G und f¨ ur jede offene konvexe Teilmenge G1 ⊆ G und jede st¨ uckweise glatte, geschlossene einfache Kurve γ ⊆ G1 gilt: Z f (z) dz = 0 γ

14.6

Lokal gleichm¨ aßige Konvergenz und normale Konvergenz

Def.: Sei G ⊂ C Gebiet, fn , gn , f seien auf G gegebene Funktionen. Die Folge (fn ) konvergiert lokal gleichm¨ aßig G gegen f , wenn jedes z0 ∈ G eine Umgebung Uz0 hat, in der fn glm. gegen f konvergiert. Pin ∞ Die Reihe n=0 gn konvergiert lokal glm. in G, wenn die Folge ihrer Partialsummen lokal glm. konvergiert. P Def.: Die Reihe P∞ gn (z) konvergiert normal, wenn jedes z0 ∈ G eine Umgebung Uz0 hat, so dass Zahlen Mn ≥ 0 mit n=0 Mn < ∞ so ex., dass f¨ ur alle z ∈ Uz0 gilt: |gn (z)| ≤ Mn .

75

76


Folgerungen: (1) Aus der lokal glm. Konvergenz eine Folge oder Reihe stetiger Funktionen in G folgt die Stetigkeit des Limes. (2) Aus der normalen Konvergenz einer Reihe folgt ihre lokal glm. Konvergenz. P (3) Ist K ⊂ G kompakte Teilmenge und konvergiert die Folge (fn ) bzw. die Reihe n gn in G lokal glm., so konvergiert die glm. auf K. P (4) Ist K ⊂ G kompakt und konvergiert die Reihe n gn in G normal, so gibt es eine f¨ ur ganz K P g¨ ultige konvergente Majorante n Mn < ∞. Satz 5(Satz von Weierstrass): Seien fn holomorphe Funktionen in G und gelte f¨ ur jedes z ∈ G lim fn (z) = f (z). Sei dieser Limes glm. konvergent auf jeder kompakten Teilmenge von G. Dann ist n→∞

f (z) holomorph auf G. (k)

Zusatz: fn (z) konvergiert lokal glm. gegen die k-te Ableitung f (k) (z). P∞ Folgerung: Sei Potenzreihe n=0 an (z − z0 )n gegeben mit Konvergenzradius R > 0. (G = {z, |z| < R}. Die Reihe konvergiert normal in G.) Die Summe jeder Potenzreihe ist innerhalb des Konvergenzkreises holomorph und sie kann dort gliedweise differenziert werden: !0 ∞ ∞ X X n an (z − z0 ) = nan (z − z0 )n−1 n=0

14.7

n=1

Einige Anwendungen von Potenzreihen

14.7.1

Identit¨ atssatz und analytische Fortsetzung

Satz 1(Identit¨ atssatz): Seien f1 , f2 in einem Gebiet gegeben holomorphe Funktionen und sei z0 ∈ G. (1) Gibt es eine Folge zj in G mit lim zj = z0 und zj 6= z0 und gilt f¨ ur jedes j f1 (zj ) = f2 (zj ), so ist j→∞ f1 = f2 in G. (2)

(j)

(j)

Gelten f1 (z0 ) = f2 (z0 ) f¨ ur j = 0, 1, . . . , so gilt f1 = f2 in G.

Folgerung: Reelle Funktionen lassen sich auf höchstens eine Weise zu holomorphen Funktionen fortsetzen. Identitäten u ¨bertragen sich. Satz 2: Ist G = G1 ∪ G2 mit G1 ∩ G2 6= ∅ und sind f1 bzw. f2 holomorph auf G1 bzw. G2 , so dass f1 (G1 ∩ G2 ) = f2 (G1 ∩ G2 ), so ex. holomorphe Funktion f auf G mit f G1 = f1 und f G2 = f2 . 14.7.2

Satz von der Gebietstreue

Satz 1: Ist f holomorph in G, z0 ∈ G und gilt f 0 (z0 ) 6= 0, so ex. offene Mengen Uz0 von z0 und Uf (z0 ) von f (z0 ), so dass f : Uz0 → Uf (z0 ) eine Bijektion und die Umkehrfunktion f −1 : Uf (z0 ) → Uz0 wieder holomorph ist. Satz 2(Satz von der Gebietstreue): Ist f eine nicht konstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet G, so ist f (G) wieder ein Gebiet. 14.7.3

Lemma von Schwarz

Lemma v. Schwarz: Sei U = {z ∈ C, |z| < 1}. Ist f : U → U eine holomorphe Funktion mit f (0) = 0, so gilt f¨ ur z ∈ U stets |f (z)| ≤ |z| Zusatz 1: Dann gilt auch |f 0 (0)| ≤ 1. Zusatz 2: Gilt zus¨ atzlich f¨ ur ein z0 ∈ U \{0} |f (z0 )| = |z0 |, so gibt es ein a mit |a| = 1, so dass f (z) = a·z. Folgerungen: Sei f eine bijektive holomorphe Abbildung U ↔ U , dann ist f −1 : U → U ebenfalls holomorph. • Ist f (0) = 0, so gilt f (z) = a · z mit |a| = 1. mit |a| = 1, |b| < 1. • f (z) = a · bz−b z−1 Bemerkung: Der Riemannsche Abbildungssatz besagt, dass sich jedes einfach zusammenhängende Gebiet G ⊂ C mit G 6= C bijektiv holomorph auf die Einheitskreisscheibe abbilden lässt.

76


77

Def.: Eine bijektive reelle stetig diffbar Abbildung f : G1 → G2 heißt konforme Abbildung von G1 auf G2 , wenn sie Winkel zwischen glatten Kurven erhält. Folgerung: Jede bijektive holomorphe Funktion zwischen Gebieten G1 → G2 ist konform. Mit einer solchen Funktion f1 : G1 → G2 ist auch f 1 konform (weil z → z konform ist). Tatsächlich gilt f¨ ur jede konforme Abbildung f , dass f oder f holomorph ist.

14.7.4

Spiegelungssatz von Schwarz

Satz (Spiegelungssatz): Sei G ⊂ C ein Gebiet, so dass S = G ∩ R 6= ∅ und dass mit z auch z zu G gehört. Sei G1 = {z ∈ G, Im z > 0} und G2 = {z ∈ G, Im z < 0}. Ist f eine stetige Funktion auf G1 ∪ S, die in G1 holomorph ist und auf S reelle Werte annimmt, so gibt es eine analytische Fortsetzung f von f1 auf G. Dies wird auf G2 dann f (z) = f2 (z) = f1 (z). Folgerung: Sind f1 , f2 zwei holomorphe Funktionen auf einem Gebiet G und enthält der Abschluss von G ein Geradenst¨ uck oder einen Kreisbogen S, so dass f1 , f2 stetig auf G ∪ S fortsetzbar sind und dass die Fortsetzungen auf S u ¨bereinstimmen, so gilt f1 = f2 .

14.8

Singularit¨ aten, Laurent-Reihen, Residuen und Anwendungen

Def.: Eine Umgebung U˙ δ (z0 ) = {z ∈ C, 0 < |z − z0 | < δ} heißt punktierte Umgebung. Def.: Eine auf G definierte holomorphe Funktion f hat an der Stelle z0 eine isolierte Singularit¨ at, wenn eine punktierte Umgebung U˙ δ (z0 ) ⊂ G ex., in der f holomorph ist und wenn f aber in z0 nicht holomorph ist.

14.8.1

Die Laurent-Entwicklung

Satz: Sei f holomorph in einem Gebiet und sei K r,R (z0 ) ⊂ G mit 0 < r < R. Sei z ∈ Kr,R (z0 ) und sei γ eine in positiver Richtung durchlaufene Kreislinie innerhalb des Kreisringes Kr,R (z0 ) um Mittelpunkt z0 . Dann gilt: Z ∞ X 1 f (ζ) n f (z) = an (z − z0 ) wobei an = dζ 2πi (ζ − z0 )n+1 n=−∞ γ

Diese Reihe heißt Laurent-Reihe. Dabei ist die zweiseitig unendliche Reihe als Summe von 2 Reihen zu verstehen: ∞ ∞ ∞ X X X an (z − z0 )n = an (z − z0 )n + a−n (z − z0 )−n n=−∞

n=0

n=1

Diese beiden Reihen konvergieren in Kr,R (z0 ) normal und folglich lokal gleichmäßig. Bemerkung: Irgendeine Reihe habe die Form: ∞ ∞ ∞ X X X an (z − z0 )n = an (z − z0 )n + a−n (z − z0 )−n n=−∞

n=0

|

n=1

{z

}

Konvergenzradius sei R

|

{z

}

Konvergenzradius sei r

Die 1. Reihe konvergiert also f¨ ur |z − z0 | < R und die 2. Reihe f¨ ur |w| < r1 mit w := 1/(z − z0 ) und 1 r1 := 1/r, also f¨ ur |z − z0 | = |w| > r11 = r. Gilt dann r < R, so liegt normale Konvergenz in Kr,R (z0 ) vor. Satz: Die Koeffizienten der Laurent-Reihe sind durch die Summe der Reihe eindeutig bestimmt. Def.: f (z) habe eine isolierte Singularit¨ at z0 und die Laurententwicklung f (z) = −1 X (1) Die Summe an (z − z0 )n heißt Hauptteil der Laurentreihe. (2)

a−1

1 = 2πi

Z n=−∞ f (ζ) dζ heißt Residuum Resz0 (f ). γ

77

P∞

n=−∞

an (z − z0 )n .

78


14.8.2

Klassifikation von isolierten Singularit¨ aten und Nullstellen holomorpher Funktionen

Fall 1: Angenommen f (z0 ) = 0, f nicht identisch Null und f ist holomorph in Umgebung von z0 , hat dort also keine Singularit¨ at. Dann ist: ∞ X f (z) = an (z − z0 )n = (z − z0 )k g(z) n=k

Dabei ist ak 6= 0 und k mit k ≥ 1 wird als Ordnung der Nullstelle bezeichnet. Das heißt, der Hauptteil der Laurentreihe verschwindet. g(z) ist holomorphe Funktion in Umgebung von z0 mit g(z0 ) 6= 0. f (z) = ak 6= 0 Charakterisierung: lim z→z0 (z − z0 )k Fall 2: Angenommen f (z) habe an der Stelle z0 eine isolierte, hebbare Singularität. Dann lässt sich f (z) so definieren, dass eine Funktion entsteht, die in einer Umgebung von z0 holomorph ist. Charakterisierung: • Der Hauptteil der Laurententwicklung ist identisch 0. • f (z) ist beschr¨ ankt in einer punktierten δ-Umgebung von z0 . Fall 3: Angenommen, f (z) habe an der Stelle z0 eine isolierte Singularität, die eine Polstelle ist. Dann ist: ∞ X 1 f (z) = h(z) an (z − z0 )n = (z − z0 )k n=−k

Dabei ist a−k 6= 0 und k mit k ≥ 1 wird als Ordnung der Polstelle bezeichnet. Das heißt, der Hauptteil der Laurentreihe hat k Summanden und verschwindet nicht. h(z) ist holomorphe Funktion in Umgebung von z0 mit h(z0 ) 6= 0. Charakterisierung: lim (z − z0 )k f (z) = a−k 6= 0 z→z0

Satz: f (z) hat an der Stelle z0 eine Nullstelle der Ordnung k, wenn 1/f (z) dort eine Polstelle der Ordnung k hat und umgekehrt nach Beseitigung der hebbaren Singularität. Def.: Eine isolierte Singularit¨ at an z0 f¨ ur f heißt wesentliche Singularit¨ at, wenn der Hauptteil der Laurentreihe um z0 unendlich viele Summanden ungleich 0 enthält. Satz 2: Ist z0 eine isolierte wesentliche Singularität f¨ ur f und ist a ∈ C, so ex. Folge zj mit zj 6= z0 und es gilt lim zj = z0 und lim f (zj ) = a. j→∞

j→∞

Bemerkung: In Wahrheit werden alle Werte a ∈ C mit höchstens einer Ausnahme in jeder punktierten Umgebung von z0 als Wert f (z) angenommen. 14.8.3

Residuensatz, Berechnung von Residuen

Satz 1(Residuensatz von Cauchy): Sei G ⊂ C ein Gebiet. Seien z1 , . . . , zn ∈ G und sei f (z) holomorph in G1 = G \ {z1 , . . . , zn }. Sei D ⊂ G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, welches von einem positiv orientierten, st¨ uckweise glatten, geschlossenen Jordanweg γ : [0, 1] → G1 berandet sei. Dann gilt: Z X f (z) dz = 2πi Reszj f γ

zi ∈D

Berechnung von Residuen f¨ ur Polstellen k-ter Ordnung: 1 dk−1 Resz0 f (z) = lim (z − z0 )k f (z) k−1 (k − 1)! z→z0 dz Spezialfall k = 1: Berechnung von Residuen f¨ ur Polstellen 1. Ordnung: (1) Sei g(z) := 1/f (z). Dann ist: 1 z − z0 = 0 Resz0 f (z) = lim (z − z0 )f (z) = lim 1 z→z0 z→z0 g (z 0) f (z) (2)

Sei f (z) von der Gestalt f (z) = ist: g(z0 ) Resz0 f (z) = 0 h (z0 )

g(z) h(z)

mit g(z) und h(z) holomorph in einer Umgebung von z0 . Dann

78


14.8.4

79

S¨ atze von Hurwitz und Rouche

Satz: Pol- und Nullstellen einer Funktion f können mit Hilfe des Residuums berechnet werden. Es gilt: Resz

f 0 (z) f 0 (z) = lim (z − z0 ) := Ordz0 f (z) z→z0 f (z) f (z0 )

F¨ ur Ordz0 f (z) gilt:   k −k Ordz0 f (z) =  0

falls z0 Nullstelle der Ordnung k falls z0 Polstelle der Ordnung k falls z0 Regularitätsstelle

Bemerkung: Nullstellen einfach zusammenhängender Gebiete werden (unter Ber¨ ucksichtigung der Vielfachheiten) durch das Umlaufintegral: Z 0 f (z) 1 dz 2πi f (z) γ

gezählt. Satz (Satz von Hurwitz): Sei G ⊂ C ein Gebiet. Seien fn : G → C holomorphe Funktionen. Die Folge (fn ) konvergiere lokal glm. auf G gegen f . Haben die Funktionen fn in G keine Nullstelle und ist f nicht identisch 0, so hat auch f keine Nullstelle in G. Satz (Satz von Rouche): Seien f, g analytisch in G ⊂ C. Sei D ⊂ G ein einfach zusammenhängendes Gebiet, dessen Rand durch einen st¨ uckweise glatten, geschlossenen Jordanweg γ : [a, b] → G gegeben sei. Gilt auf diesen Rand |g(z)| < |f (z)|, so haben f und f + g in D gleich viele Nullstellen. 14.8.5

Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatzes Z2π

Form: I =

P (cos t, sin t) dt Q(cos t, sin t)

0

Vorraussetzung: Seien P, Q Polynome von zwei Variablen. Z2π e it Z e X P e Pe(z) 1 P (z) Berechnung: I = dz = 2πi Reszj dz = e e eit iz e iz Q(z) Q Q(z) |zj |0

Bemerkung: In die Summe gehen also nur Residuen ein, die in der oberen Halbebene liegen. +∞ Z

Form: I =

P (t) iαt e dt Q(t)

−∞

Vorraussetzung: Seien P, Q Polynome. Sei Grad Q ≥ (Grad P ) + 1. Q habe keine reellen Nullstellen. Sei α>0 X P (z) iαz Berechnung: I = 2πi Reszj e Q(z) Im zj >0

Bemerkung: In die Summe gehen also nur Residuen ein, die in der oberen Halbebene liegen.

79

80

Klassifikation linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung

15


15.1

Begriffe

15.1.1 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Schreibweisen

F¨ ur x = (x1 , . . . , xn ) schreiben wir x ∈ Rn . Skalarprodukt ist hx, yi P und der Betrag ist |x|. n Sei α ∈ Nn0 . Dann ist α = (α1 , . . . , αn ) mit αj = {0, 1, 2, . . .}. |α| = j=1 αj α2 α1 αn α x = x1 · x2 · . . . · xn ∂ |α| Dα f (x) := αn 1 ∂xα 1 · · · ∂xn ∂ Dj = D(0,...,0,1,0,...,0) = ∂xj ∂ u(x) = u(x1 , . . . , xn ), uxj = u(x) ∂xj

15.1.2

Begriffe

Def.: Eine Gleichung F der Form F (x, u, ux1 , . . . , uxn ; ux1 x2 , . . . , Dα u, . . .) = 0 heißt partielle Dgl. Dabei ist F eine Funktion von mehreren Veränderlichen und u(x1 , . . . , xn ) ist die gesuchte Funktion, die die Dgl. in einem Gebiet G ⊂ Rn erf¨ ullt. Def.: Die Ordnung der Dgl. ist die h¨ ochste vorkommende Zahl |α|. Lineare Dgl. 2. Ordnung: Sei x ∈ G ⊂ Rn und u(x) gesuchte Funktion. Dann lautet die Gleichung: n X

ajk (x)uxj xk +

bj (x)uxj + c(x) · u = d(x)

j=1

j,k=1

Es ist L2 u(x) =

n X

n X

ajk (x)uxj xk (x).

j,k=1

15.2 15.2.1

Variablentransformation und Klassifikation linearer Dgl. 2. Ordnung Variablentransformation

Φ sei bijektive Abbildung von Gebiet G → Γ. Weiterhin soll gelten uxj xk = uxk xj und f¨ ur die Matrix A = (ajk ) = (akj ) (d.h. A ist symmetrisch). Sei Φ definiert als:     y1 ϕ1 (x1 , . . . , xn )    ..  .. Φ(x) =  = .  . ϕn (x1 , . . . , xn )

yn

Es gilt f¨ ur u(x): u(x) = u e(y) = u e Φ(x) = u e ϕ1 (x1 , . . . , xn ), ϕ2 (x1 , . . . , xn ), . . . , ϕn (x1 , . . . , xn ) und f¨ ur die Ableitung nach xj : n X ∂e u ∂ϕl ∂u = uxj = ∂xj ∂yl ∂xj l=1

Nach Anwendung der Kettenregel ist uxj xk : n k X ∂2u ∂2u e ∂ϕl ∂ϕm X ∂e u ∂ 2 ϕl uxj xk = = + ∂xj ∂xk ∂yl ∂ym ∂xj ∂xk ∂yl ∂xj ∂xk l,m=1

l=1

80


81

e Speziell bestimmen wir: e u = d. Eintragen in Lu = d → Le X X ∂ϕl ∂ϕm • L2 u = ajk uxj xk = ajk u eyl ym + Terme niederer Ordnung ∂xj ∂xk k,j j,k,l,m X ∂ϕl ∂ϕm • e alm = ajk ∂xj ∂ϕk •

e2 u L e=

j,k n X

e al,m u eyl ym

l,m=1

• • • •

∂ϕj ∂xk B = (bjk ) e = (e A alm ) e A = BAB T bjk =

15.2.2

(Jacobi )

Normalform f¨ ur quadratische Form

Sei die quadratische Form Q(x) gegeben durch: Q(x) =

n X

ajk xj xk = xT Ax

j,k=1

mit A = (ajk ), A = AT und x ∈ Rn . Sei x = T y mit T = (tlm ) und y ∈ Rn . Dann ist Q(x) = y T T T AT T y. Satz: Symmetrische Zeilen- und Spaltentransformationen f¨ ur Matrizen A = AT . Sei zj gleich der j-ten Zeile und sj gleich der j-ten Spalte: (1) zj wird ersetzt durch zj + λzk a ¨quivalent zur und sj wird erstetzt durch sj + λsk a¨quivalent zu Multiplikation von links mit T T . Multiplikation von rechts mit T , tkj = λ sonst Einheitsmatrix. (2) Multiplikation von zj mit λ 6= 0 und von sj mit λ 6= 0. (3) Vertauschen von zj mit zk und von sj mit sk . T Mehrfache Anwendung von (1) - (3) u uhrt A in TlT · Tl−1 · . . . · T1T · A · T1 · . . . · Tl = T T AT . ¨berf¨  1 1

   A kann in    

..

. 1

   u uhrt werden.  ¨berf¨  

0 −1

..

0

.

−1 0

0

Dabei geht die quadratische Form in Normalform u ¨ber: l l+r X X Q(y) = yj2 − yj2 j=1

j=l+1

Algorithmus: 1. Erzeuge ann 6= 0 (falls n-te Spalte 6= 0) durch (1). 2. Erzeuge ann = ±1 durch (2). 3. Erzeuge Nullen u ¨ber ann durch (1). Wende dieselbe Methode auf (ajk )n−1 j,k=1 an usw. l, r sind hier eindeutig bestimmt. 15.2.3

Typ einer Dgl. 2. Ordnung

Def.: Betrachtet werde Lu = d; Lu = L2 u+. . . im Gebiet G. F¨ ur ξ ∈ G kann durch Koordinatentransformation e 2 an der Stelle ξ verschwinden: erreicht werden, dass die gemischten Terme f¨ ur L l r X X e 2 L = u yj yj − u y j yj x=ξ

j=1

j=l+1

Das Paar (l, r) heißt Typ der Dgl. an der Stelle ξ. Die Typen (l, r) und (r, l) stimmen u ¨berein.

81

82


Def.: Eine Dgl. heißt: • elliptische Dgl., falls sie vom Typ (n, 0) ist. • hyperbolische Dgl. falls sie von Typ (n − 1, 1) ist. • parabolische Dgl. fall sie vom Typ (n − 1, 0) ist. Spezialfall f¨ ur n = 2: Sei eine DGL von der Form: a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + bux + cuy + du = 0. Dann kann der Typ der Dgl. durch die zugeordnete quadratische Form bestimmt werden: a11 a12 A= a12 a22 Dann gilt f¨ ur den Typ der DGL in Abh¨ angigkeit von den Eigenwerten der Matrix: Definitheit indefinit pos. definit neg. definit pos. semidefinit. neg. semidefinit.

λ1 + + − + −

λ2 Typ der DGL − hyperbolisch + o elliptisch − o 0 parabolisch 0

Beispiel uxx − utt = 0 (Wellengleichung) uxx + uyy = 0 (Laplace-Gleichung) ut − uxx = 0 (Wärmeleitungsgleichung)

Ausserdem gilt: Es ist det A = a11 a22 − a212 = λ1 λ2 . Dann ist: • f¨ ur det A < 0 die DGL hyperbolisch • f¨ ur det A > 0 die DGL elliptisch • f¨ ur det A = 0 die DGL parabolisch n X Def.: Der Ausdruck L2 = 4u = uxj xj heißt Laplacescher Differentialausdruck. j=1

Def.: Die Dgl. hat Normalform, wenn gilt: l+r l X X uxj xj uxj xj − L2 u = j=1

j=l+1

Bemerkungen: (1) Bei konstanten Koeffizienten ajk kann man durch geeignete lineare Koordinatentransformation Normalform erreichen. (2) Ist n ≥ 3, so braucht es kein Koordinatensystem zu geben, in dem Normalform vorliegt. (3) Sei x, y ∈ R2 . Tricomi-Gleichung: yuxx + uyy = 0. Gemischter Typ: • elliptisch f¨ ur y > 0 • parabolisch f¨ ur y = 0 • hyperbolisch f¨ ur y < 0

15.3

Charakteristiken

Sei Lu = d, G ⊂ Rn , L2 =

X

aij uxi uxj .

i,j

Def.: Sei F = {x ∈ Rn , σ(x) = 0} eine glatte Hyperfläche mit σ ∈ C 1 , grad σ 6= 0. Die Fläche hat an einer Stelle ξ ∈ F eine charakteristische Richtung, wenn gilt: n X aij (ξ)σxi (ξ)σxj (ξ) = 0 i,j=1

F heißt charakteristische Fl¨ ache, falls sie an jeder Stelle ξ ∈ F charakteristische Richtung hat. Satz 1: Bei Koordinatentransformationen gehen charakteristische Flächen wieder in solche u ¨ber. Satz 2: Die Koordinatenfl¨ achen (oder -Linien im Falle n = 2) {x, xk = c} sind Charakteristiken, gdw. ann = 0. Anwendung f¨ ur n = 2: Sind beide Scharen von Koordinatenlinien Charakteristiken, so gilt: L2 = 2a12 (x)ux1 ux2 Aus uxy = 0 folgt ux = ϕ(x) und somit u = Ψ1 (x) + Ψ2 (y).

82


83

Def.: Die Dgl. Lu = d mit L = a11 ux1 x1 + 2a12 (x)ux1 x2 + a22 (x)ux2 x2 hat charakteristische Form, wenn im hyperbolischen Fall die Koordinatenlinien und im parabolischen Fall eine Schar (x2 = c) von Koordinatenlinien charakterisch sind: • hyperbolischer Fall: L2 = 2a12 (x)ux1 x2 • parabolischer Fall: L2 = a11 (x)ux1 x1 15.3.1

Berechnung von Charakteristiken im Falle n = 2

Sei σ = σ(x, y). F¨ ur n = 2 gilt: a11 σx2 + 2a12 σx σy + a22 σy2 = 0. Dann ist: s a12 a212 − a11 a22 σx =: f1,2 (x, y) −→ σx = f1,2 σy =− ± σy a11 a211 Suche Charakteristikenschar σ(x, y) = c. Betrachte Dgl. σx dx + σy dy = 0. Dann ist: f1,2 (x, y)dx + dy = 0 eine gewöhnliche Dgl. f¨ ur Charakteristikenschar.

15.4

Anfangswertprobleme und Spezialfall des Theorems von Kowalewski (Potenzreihens¨ atze)

Def. (Cauchy-Problem): Sei das Anfangswertproblem (Cauchy-Problem) gegeben durch:  Lu = d     u x =0 = u0 (x1 , . . . , xn−1 ) n   ∂u   = u1 (x1 , . . . , xn−1 ) ∂xn xn =0 Gilt ann (x) 6= 0, so ist Lu = d ¨ aquivalent zu: ! n n X X 1 − ajk (x)uxj xk − bj (x)uxj − c(x)u + d(x) uxn xn = ann (x) j=1 j,k=1 (j,k)6=(n,n)

Satz: Untersucht werde das Anfangswertwertproblem in einer Umgebung von ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0). e wobei ux x auf der rechten Seite nicht mehr vorkommt. e + d, Lu = d lasse sich darstellen als uxn xn = Lu n n ∞ Alle Koeffizienten und u0 , u1 seien C -Funktionen. Dann lassen sich alle Ableitungen an der Stelle ξ aus der Gleichung und den Anfangswerten berechnen. Theorem v. Kowalewski (Spezialfall): Sind die gegebenen Funktionen unseres AWP analytisch in einer Umgebung von ξ = (ξ1 , . . . , ξn−1 , 0) bzw. (ξ1 , . . . , ξn−1 ) und gilt ann (ξ) 6= 0, so gibt es eine kleinere Umgebung von ξ, in der das AWP eine eindeutige, analytische Lösung besitzt. Bemerkungen: (1) Das Theorem gilt analog f¨ ur AWP:  ∂ku   = Φ(x, u, Dα u) α 6= (0, . . . , 0, k), |α| ≤ k, k = 1, . . .    ∂xkn  ∂ k−1 u = uk−1 (x1 , . . . , xn−1 )   k−1 x =0  n ∂x n    u = 0 = u (x , . . . , x ) 0 1 n xn (2) (3)

und f¨ ur entsprechend nach h¨ ochsten Ableitungen aufgelöste Systeme. Das Theorem gilt analog f¨ ur komplexe Variable. Habe Fl¨ ache F nirgends charakteristische Richtung. Dann ist das verallgemeinerte Cauchy-Problem:  Lu = 0     u F = u0   ∂u   = u1 (x1 , . . . , xn−1 ) ∂~l F Durch geeignete Koordinatentransformationen lässt sich dieses Problem in ein AWP wie vorher behandelt u uhren. ¨berf¨

83

84

16 16.1

Distributionen und Fundamentall¨ osungen

Distributionen und Fundamentall¨ osungen Der Testfunktionenraum D(G)

Def.: Der Tr¨ ager oder Support einer im Rn definierten stetigen Funktion f (x), supp f , ist die abgeschlossene H¨ ulle aller Punkte x mit f (x) 6= 0: supp f := {x : f (x) 6= 0} Def.: Sei f ∈ Lp (Ω), f messbar. G \ supp f ist die größte offene Teilmenge von G, auf der f = 0 f.¨ u. gilt. Def.: Sei G ⊂ Rn offen und G 6= ∅. Dann wird: D(G) = {f ∈ C ∞ (G); supp f ist eine kompakte Teilmenge von G} als Testfunktionenraum bezeichnet. f heisst Testfunktion. F¨ ur D(Rn ) ist der Träger von f beschränkt. Def.: Eine kompakte Teilmenge Gδ von Gebiet G ist definiert als: Gδ := {x ∈ G; |x| ≤ 1/δ und d(x, ∂G) ≥ δ} Beispiel: Sei die Funktion h(x) definiert als: ( 0 fu ¨r |x| ≥ 1 1 h(x) := − 1−x 2 e fu ¨r |x| < 1 Eine Funktion der Gestalt f (x) = hε (x − y) ist f¨ ur geeignete ε, y im Testfunktionenraum D(G). Es ist: 1 x hε (x) := cε h ε und die Konstante cε : 1 cε := R 1 h ε x dx Rn

Dann gilt:

R

hε (x) dx = 1.

Rn

Bemerkung: F¨ ur ε → 0 geht hε (x) gegen δ(x). Def.: Die Faltung zweier Funktionen f, g ∈ D(G) ist definiert als: Z f ∗ g := f (x − y)g(y) dy Rn

Bemerkung: Zur Not k¨ onnen auf G gegebene Funktionen durch Null fortgesetzt werden: f (x) f u ¨r x ∈ G fe(x) := 0 fu ¨ r x ∈ Rn \ G Satz 1: Ist f ∈ L1 (Rn ) und gilt supp f ⊂ Gδ , so ist f ∗ hε ∈ D(G) f¨ ur ε < δ. Satz 2: (1) Ist f ∈ C k (G) und ist δ > 0, so gilt in Gδ f¨ ur |α| ≤ k: Dα (f ∗ hε ) ⇒ Dα f ε→0

(2)

Sei 1 ≤ p < ∞. Ist f ∈ Lp (Rn ), so gilt: ||f ∗ hε − f ||Lp → 0.

Def. Null, (1) (2)

Folgenkonvergenz in D(G) : Eine Folge (ϕj )∞ j=1 von Elementen ϕj ∈ D(G) konvergiert gegen gdw.: eine kompakte Teilmenge K ⊂ G existiert, so dass supp ϕj ⊂ K ∀ j ∈ N. Dα ϕ ⇒ 0 in G f¨ ur alle α.

ε→0

84


16.2

85

Distributionen

16.2.1

Definition von D 0 (G)

Def.: Eine Distribution T auf einer offenen Menge G ⊂ Rn ist ein folgenstetiges (d.h. aus ϕj → 0 in D(G) folgt T ϕj → 0) lineares Funktional auf D(G). D0 (G) ist der lineare Raum aller Distributionen auf G, und es gilt: (1) (2)

(T1 + T2 )(ϕ) = T1 (ϕ) + T2 (ϕ) (λT1 )(ϕ) = λT1 (ϕ)

mit T1 , T2 ∈ D0 (G) und ϕ ∈ D(G). Def.: Ein lineares Funktional ist eine Abbildung T : D(G) 3 ϕ → T (ϕ) ∈ C mit: (1) T (ϕ1 + ϕ2 ) = T (ϕ1 ) + T (ϕ2 ) (2) T (λϕ1 ) = λ(T ϕ1 ) f¨ ur alle ϕ1 , ϕ2 ∈ D(G), λ ∈ C. Satz: Ein lineares Funktional T auf D(G) ist folgenstetig, gdw. f¨ ur jede kompakte Teilmenge K ⊂ G Konstanten c, l so existieren, dass f¨ ur ϕ ∈ D(G) mit supp ϕ ⊂ K stetig gilt: |T (ϕ)| ≤ C ||ϕ||C l (G) = C sup |Dα ϕ(x)| |α|≤l x∈G

Def. (schwache Konvergenz): Eine Folge Tn in D0 (G) konvergiert schwach gegen T , wenn f¨ ur jedes ϕ ∈ D(G) gilt: lim Tn (ϕ) − T (ϕ) = 0 n→∞

ebenso Tε → T falls: lim Tε (ϕ) − T (ϕ) = 0

ε→+0

16.2.2

Regul¨ are Distributionen und δ-Distribution

Def.: Sei L1lok (G) = {f : G → C; f¨ ur jede kompakte Teilmenge K ⊂ G ist χK · f ∈ L1 (K)}. Satz: f ∈ L1lok (G), gdw. jedes x ∈ G eine offene Umgebung Ux besitzt, so dass χUx · f ∈ L1 (Ux ). Bemerkung: Die Fortsetzung durch Null einer Funktion f ∈ L1lok (G) gehört i.a. nicht zu L1lok (Rn ). Def.: Sei f lokal integrierbare Funktion auf G, d.h. f ∈ L1lok (G). Eine Distribution T heißt regul¨ ar, wenn sie durch das Integral Z T (ϕ) = hT, ϕi = hT (x), ϕ(x)i = hf (x), ϕ(x)i = f (x)ϕ(x) dx erzeugt wird. Def.: Nicht regul¨ are Distributionen heißen singul¨ ar. Beispiel: Sei ϕ ∈ D(G). Die δ-Distribution ist definiert durch: hδx , ϕi := ϕ(0) Die δ-Distribution ist eine singul¨ are Distribution mit supp δ = {0}. Satz: Die Abbildung L1lok (G) 3 f → Tf ∈ D0 (G) ist injektiv. Man identifiziert f ∈ L1lok (G) mit R Tf : ϕ → f (x)ϕ(x) dx. Dann ist L1,lok (G) ⊂ D0 (G), f ∈ D0 (G). Satz: Sei T1 , T2 ∈ D0 (G) und hat jedes x ∈ G eine offene Umgebung Ux , so dass T1 Ux = T2 Ux . Dann ist T1 = T2 .

16.2.3

Ableitungen und Produkte mit C ∞ -Funktionen

Motivation: Sei f (x) eine in Rn lokal integrierbare Funktion und α(x) ∈ C ∞ (Rn ). Dann gilt f¨ ur alle ϕ ∈ D(Rn ): hαf, ϕi = hf, αϕi 85

86


Def.: Durch diese Formel wird nun das Produkt αf einer Funktion α ∈ C ∞ (G) mit einer Distribution f ∈ D0 (G) definiert, d.h. αf ist das Funktional: D(G) 3 ϕ → f (αϕ) Motivation: Sei f ∈ C p (G). Dann gilt f¨ ur alle α mit |α| ≤ p und ϕ ∈ D(G) die Formel der partiellen Integration: Z Z hDα f, ϕi = Dα f (x)ϕ(x) dx = (−1)|α| Dα f (x)ϕ(x) dx = (−1)|α| hf, Dα ϕi Def.: Durch diese Formel wird nun die verallgemeinerte (distributive) Ableitung Dα f einer Distribution f ∈ D0 (G) definiert, d.h. Dα f ist das Funktional: D(G) 3 ϕ → (−1)|α| f (Dα ϕ) Bemerkung: Falls die klassische Ableitung von f existiert, ist sie gleich der verallgemeinerten Ableitung von f . Eigenschaften: (1) Jede Distribution ist unendlich oft differenzierbar. Jede Ableitung ist wieder eine Distribution. (2) Das Ergebnis der Differentation ist von der Differentationsreihenfolge unabhängig. (3) Sei f (x) ∈ D0 (Ω), x = x1 , . . . , xn und a(x) ∈ C ∞ (Rn ). Dann gilt:

(4) (5) (6)

∂a ∂f ∂(af ) = f +a ∂xi ∂xi ∂xi Ist die Distribution f (x) = 0, x ∈ G, so ist auch Dα f (x) = 0, x ∈ G, so dass supp Dα f ⊂ supp f gilt. Die Operation der Differentation ist stetig aus D0 (Ω) nach D0 (Ω), d.h. f¨ ur fk → f, k → ∞ gilt Dα fk → Dα f, k → ∞ in D0 (Ω). P∞ Eine auf jeder kompakten Menge G glm. konvergierende Reihe k=1 uk (x) mit uk (x) ∈ L1lok (G) (d.h. uk (x) lokal integrierbar) darf beliebig oft gliedweise differenziert werden. Die dabei entstehenden Reihen konvergieren in D0 (Ω).

S∞ Def.: Seien Gi beschr¨ ankte offene Mengen mit Vereinigung G = i=1 Gi . Unter einer Zerlegung der Eins bzgl. {Gi } versteht man eine Folge von Grundfunktionen mit den Eigenschaften: (1) 0 ≤ wi (x) ≤ 1 (2) (3)

supp wi ⊂ Gi ∞ P wi (x) = 1 ∀ x ∈ G. i=1

Bemerkung: Die Funktion f (x) ≡ 1, die ”Eins”, wird also in Summanden wi zerlegt, von denen jeder außerhalb eines vorgegebenen Gebietes Gi verschwindet. 16.2.4

Direktes Produkt und Faltung verallgemeinerter Funktionen

k+l k+l Satz 1: Jedes Pmϕ ∈ D(R ) kann als Limes im Sinne der Folgenkonvergenz von D(R ) einer Folge ϕm (x, y) = j=1 ηj (x)ϕj (y) geschrieben werden.

Def.: Es sei f (x) ∈ D0 (Rm ) bzw. g(y) ∈ D0 (Rn ) und ϕ(x, y) ∈ Rm+n . Dann gilt f¨ ur f (x) ⊗ g(y):

hf (x) ⊗ g(y), ϕi = f (x), hg(y), ϕ(x, y)iy x Dabei ist x → hg(y), ϕ(x, y)iy eine Testfunktion, die in die Distribution f eingesetzt werden kann. Diese Beziehung wird als direktes Produkt der Distributionen f und g bezeichnet.

86


87

Eigenschaften: Seien f ∈ D0 (Rn ) und g ∈ D0 (Rm ).

(1) f (x), hg(y), ϕ(x, y)i ist wieder eine Distribution auf Rn+m . (2) Das direkte Produkt ist stetig: Gilt fk → f, k → ∞ in D0 (Rn ), so gilt auch fk (x) ⊗ g(y) → f (x) ⊗ g(y), k → ∞ in D0 (Rn+m ). (3)

Das direkte Produkt ist assoziativ: Sei h ∈ D0 (Rk ), so gilt: f (x) ⊗ g(y) ⊗ h(z) = f (x) ⊗ g(y) ⊗h(z)

(4)

Differentation des direkten Produktes, es gilt: Dxα f (x) ⊗ g(y) = Dα f (x) ⊗ g(y)

(5)

Multiplikation des direkten Produktes: Ist a ∈ C ∞ (Rn ), so gilt: a(x) f (x) ⊗ g(y) = a(x)f (x) ⊗ g(y)

(6)

Translation des direkten Produktes, es gilt: (f ⊗ g)(x + h, y) = f (x + h) ⊗ g(y)

(7)

Man sagt, eine Distribution der Gestalt f (x) ⊗ 1(y) sei von y unabhängig. Dann gilt: Z R hf ⊗ 1(y), ϕi = hf (x), ϕ(x, y) dyi = h1(y) ⊗ f (x), ϕi = hf (x), ϕ(x, y)i dy

R Motivation: Wie oben definiert, wird f ∗ g := f (x − y)g(y) dy als Faltung bezeichnet. Es gilt unter geeigneten Vorraussetzungen Z an f, g: hf (x) ∗ g(y), ϕi = f (x)g(y)ϕ(x + y) dx dy = hf (x) ⊗ g(y), ϕ(x + y)i Def.: G ∈ D0 (G) hat einen kompakten Träger, wenn eine Testfunktion Ψ ∈ D(G) mit G = Ψ · G existiert. Def. / Satz: Seien F, G ∈ D0 (Rn ) und habe G einen kompakten Träger. Sei Ψ ∈ D(Rn ) so gewählt, dass Ψ · G = G gilt. Dann wird durch F ∗ G : D(Rn ) 3 ϕ → hF (x) ⊗ G(y), ϕ(x + y) · Ψ(y)i die Faltung F ∗ G ∈ D0 (Rn ) definiert. Bemerkungen: (1) Wenn F, G kompakten Tr¨ ager haben, so gilt: F ∗ G = G ∗ F . Sonst definiert man F ∗ G := G ∗ F (2) Haben G1 , G2 , . . . , Gk kompakten Tr¨ ager (also Ψj ·Gj = Gj , Ψj ∈ D(Rn ), j = 1, . . . , k). So definiert man: hF ∗ G1 ∗ . . . ∗ Gk , ϕi = hF (x) ⊗ G1 (y1 ) ⊗ . . . ⊗ Gk (yk ), ϕ(x + y1 + . . . yk ) · Ψ1 (y1 ) · . . . · Ψk (yk )i (3)

Faltung kann auch unter anderen Vorraussetzungen definiert werden (z.B. f¨ ur n = 1 könnte man ”Positivit¨ at” der Tr¨ ager von F, G vorraussetzen).

Satz (Struktursatz): Ist F eine Distribution mit kompaktem Träger, so ex. eine Zahl k, sowie reguläre Distributionen fα (|α| ≤ k), so dass gilt: X F = Dα fα |α|≤k

16.2.5

Lineare Transformation

Def.: F¨ ur f (x) ∈ D0 (Rn ), x = Ay + b und det A 6= 0 ist f (Ay + b) auch eine Distribution. Es gilt: E 1 D hf (Ay + b), ϕ(y)i = f (x), ϕ A−1 (x − b) | det A| 16.2.6

Begriff der Fundamentall¨ osungen

Sei L eine linearer Differentialausdruck mit Koeffizienten aus C ∞ . Es ist: X Lu = Cα Dα u endl.

mit α = (α1 , . . . , αn ), Cα ∈ C ∞ (Rn ).

87

88


Def.: Eine Distribution E ∈ D0 (Rn ) heißt Fundamentall¨ osung oder Grundl¨ osung f¨ ur den Differentialausdruck L, wenn gilt: LE = δ k P Satz: Ist n = 1, Lu = aj dxd j u(x), mit aj konstant und ak = 1 und ist u(x) = ys (x) spezielle Lösung j=0 des AWP:  Lu = 0    u(0) = u0 (0) = u(k−2) (0) = 0    u(k−1) (0) = 1

So ist E(x) = H(x) · ys (x) Fundamentall¨ osung f¨ ur L, wobei f¨ ur die Heaviside-Funktion H(x) gilt: 0 x≤0 H(x) := 1 x>0 Bemerkung: Es gilt: H 0 (x) = δ(x) im distributiven Sinne. Spezialf¨ alle: 0 (1) y + ay = 0 (2)

y 00 + a2 y = 0

16.3

−→ −→

E(x) = H(x) e−ax sin(ax) E(x) = H(x) · a

Temperierte Distributionen und Fouriertransformation

16.3.1

Fouriertransformation im Schwarzraum S

Def.: Der Schwarzraum S ist definiert: S (Rn ) := {ϕ ∈ C ∞ (Rn ) : F¨ ur alle m ∈ N gilt: pm (ϕ) = sup |xα Dβ ϕ(x)| < ∞} x∈Rn |α|≤m,|β|≤m

Dabei wird ϕ als temperierte Testfunktion bezeichnet. Satz: Sei η(x) ∈ D(Rn ), η(x) ≡ 1 in Umgebung von der Null. Es sei ηj (x) = η( xj ). Dann gilt: lim pm ϕ − ηj (x)ϕ → 0 ∀ ϕ ∈ S (Rn ) j→∞

Bemerkungen: (1) Dβ ϕ(x) ∈ L1 (Rn ) und xα Dβ ϕ(x) ∈ L1 (Rn ) ∀ ϕ ∈ S (Rn ) (2) (3)

1 ∂ϕ(x) und Qk (ϕ)(x) := xk ϕ(x). Pk , Qk lassen S (Rn ) invariant. i ∂xk 2 x2 Beispiele: D(Rn ) ⊂ S (Rn ), e− 2 ∈ S (Rn ), e−cx (c > 0) ∈ S (Rn ) Seien Pk (ϕ)(x) :=

Def.: Die Fouriertransformation sei definiert als: Z 1 F(ϕ)(ξ) ≡ ϕ(ξ) b := √ n e−ihx,ξi ϕ(x) dx 2π n R

Satz 1: F¨ ur ϕ, Ψ ∈ S (Rn ) gelten: ∂ (1) F xj ϕ(x) (ξ) = i F ϕ(x) (ξ), also F ◦ Qj = −Pj ◦ F ∂ξj ∂ ϕ(x) (ξ) = i ξj F ϕ(x) (ξ), also F ◦ Pj = Qj ◦ F (2) F ∂xj (3) (4) (5) (6)

F(ϕ) ∈ S (Rn ) √ n F(ϕ ∗ Ψ) = 2π F(ϕ) · F(Ψ) √ −n F(ϕ · Ψ) = 2π F(ϕ) ∗ F(Ψ) 1 −1 F ϕ(Ax + b) (ξ) = eihA b,ξi F ϕ(x) (A−1 )T ξ | det A|

88

      

P-Q-Gesetz


89

Bemerkung: Sei ϕ− (x) := ϕ(−x). Dann hat G(ϕ)(ξ) analoge Eigenschaften mit: Z Z Z 1 1 1 G(ϕ)(ξ) = √ n eihx,ξi ϕ(x) dx = √ n e−ihx,ξi ϕ− (x) dx = √ n eihx,ξi ϕ(x) dx 2π n 2π n 2π n R

R

R

= F(ϕ) Satz 2(Fourierumkehrformel): F¨ ur ϕ ∈ S (Rn ) gilt stets: G ◦ Fϕ = ϕ

und

F ◦ Gϕ = ϕ

Folgerung 3(Formel von Parseval-Plancherel): F¨ ur ϕ, Ψ ∈ S (Rn ) gilt stets: Z Z ϕ Ψ dx = F(ϕ)F(Ψ) dξ Rn

Rn

Folglich gilt ||Fϕ||L2 (Rn ) = ||ϕ||L2 (Rn ) . F könnte sich folglich in eindeutiger Weise zu einem unitären Operator u ar: linear, isometrisch, bijektiv). ¨ber L2 (Rn ) fortsetzen (unit¨ Def.: Eine Folge ϕj ∈ S (Rn ) konvergiert in S (Rn ) gegen ϕ ∈ S (Rn ), gdw. f¨ ur jedes m ∈ N gilt: pm (ϕj − ϕ) −→ 0 j→∞

Bemerkung: D(Rn ) ist dicht in S (Rn ). Satz 4: F¨ ur m ∈ N existiert ein C > 0 derart, dass f¨ ur alle ϕ ∈ S (Rn ) gilt: pm Fϕ ≤ Cpm+2n (ϕ). Folgerung 5: Gilt ϕj −→ ϕ in S (Rn ), so gilt auch Fϕj −→ Fϕ und mm (Fϕj −Fϕ) ≤ Cpm+2n (ϕj −ϕ). j→∞

16.3.2

j→∞

Temperierte Distributionen

Def.: S (Rn ) ist der lineare Raum der linearen Abbildung T : S (Rn ) → C, f¨ ur die die Konstanten C > 0 und m ∈ N so existieren, dass f¨ ur alle ϕ ∈ S (Rn ) gilt: 0

|T (ϕ)| ≤ Cpm (ϕ) Die Elemente von S 0 (Rn ) heißen temperierte Distributionen. Def. (Folgenkriterium): Eine lineare Abbildung T : S (Rn ) → C gehört zu S 0 (Rn ), gdw. sie Folgengrenzwerte (in S (Rn ) genommen) respektiert, d.h. aus ϕj → ϕ folgt T ϕj → T ϕ. Satz 2: Eine Distribution T ∈ D0 (Rn ) ist temperierte Distribution (d.h. T lässt sich zu Te ∈ S 0 (Rn ) fortsetzen), wenn Konstanten m ∈ N und C > 0 so existieren, dass f¨ ur alle ϕ ∈ D(Rn ) gilt: |T (ϕ)| ≤ Cpm (ϕ). Bemerkungen: (1) D(Rn ) ist dichter linearer Unterraum des normierten Raumes S (Rn ), pm , wobei pm Norm ist. Folglich l¨ asst sich T eindeutig unter Beibehaltung der Ungleichung auf S (Rn ) fortsetzen. (2) Alle Distributionen mit kompakten Träger sind temperiert. (3) Alle regul¨ aren Distributionen f ∈ L1lok mit |f (x)| ≤ C(1 + |x|2 )l sind temperiert. Eigenschaften: (1) Ableitung: hDα T, ϕi = hT, (−1)|α| Dα ϕi (2) Multiplikation mit C ∞ -Funktionen, deren s¨ amtliche Ableitungen polynominal beschr¨ ankt sind : Sei lα f (x) ∈ C ∞ (Rn ) und |Dα f (x)| ≤ Cα 1 + |x|2 . Dann gilt: e m hf T, ϕi = hT, f ϕi ≤ Cpm (f ϕ) ≤ Cp e (ϕ) (3) (4)

F¨ ur T (x) ∈ S 0 (Rn ) ist T (Ax + b) temperiert. F¨ ur F ∈ S 0 (Rn ) und G ∈ S 0 (Rm ) ist F ⊗ G ∈ S 0 (Rn+m )

Def.: Die Fouriertransformation kann auf S 0 (Rn ) definiert werden: hF(T ), ϕi = hT, F(ϕ)i e m+2n (ϕ). Es gilt dann |hT, F(ϕ)i| ≤ Cpm F(ϕ) ≤ Cp

89

90


Bemerkung: F ist Bijektion von S 0 (Rn ) auf S 0 (Rn ). Satz: Die Fouriertransformation auf S 0 (Rn ) ist eine bijektive lineare Abbildung von S 0 (Rn ) in S 0 (Rn ). Dabei gelten die Formeln (1), (2) und (6) der Fouriertransformation in S (R) aus Satz 1. 16.3.3

Resolventenformel f¨ ur den Laplaceoperator

−1 Sei A : L → L ein linearer Operator. falls die inverse Abbildung u ¨ber L ex, Es sei Rλ (A) = (A − λ1) λ ∈ C) und −∆ : S (R) → S (R) . Es ist −∆u − λu = ϕ. F¨ ur die Fouriertransformation gilt: P 2 Pj u − λF(u) F(ϕ) = F(−∆u) − F(λu) = F P 2 Qj − λ F(u) = und somit:

F(ϕ)(ξ) =

n P j=1

ξj2 − λ F(ϕ)(ξ)

Angenommen λ ∈ C \ [0, ∞): 1 F(u) = P F(ϕ) n ξj2 − λ j=1

Dann gilt f¨ ur u: 



  1 u = G F n P (ϕ) ξj2 − λ j=1

|

16.4

{z

Rλ (−∆)

}

Anfangswertproblem der Wellengleichung

Sei n = 3. Sei folgendes Cauchyproblem gegeben:  ∂2u   f (x, t) = − a2 ∆u   ∂t2 u0 (x) = u(x, 0)     u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t Def.: Der Operator a definiert als: a :=

∂2 − a2 ∆ ∂t2

wird als Wellenoperator oder d’Alembertscher Operator bezeichnet. Def.: Fx sei die Fouriertransformation nur nach x. Es gilt daher: Z 1 • Fx ϕ(x, t) (ξ, t) = √ 3 e−ihx,ξi ϕ(x, t) dx 2π • hFx T (x, t), ϕi = hT (ξ, t), (Fx ϕ)(ξ, t)i Def.: Eine klassische L¨ osung ist eine Funktion u ∈ C 2 R3 × (0, ∞) ∩ C 1 R3 × [0, ∞) (u und die ersten partielle Ableitungen von u sind zu stetigen Funktionen auf R3 × [0, ∞) fortsetzbar), so dass a u = f in ur die stetig fortgesetzten Funktionen erf¨ ullt sind. R3 × (0, ∞) gilt und die Randbedingungen f¨ Def.: Eine distributive L¨ osung der Gleichung ist u ∈ D0 (R4 ) mit a u = f Bemerkung: Andere Variante: Randwerte werden in klassischem Sinne angenommen. Gleichung gilt auf R3 × [0, ∞) in distributivem Sinne. Plan: (1) Bestimmung der Fundamentall¨ osung E3 f¨ ur a (2) Faltung mit E3 , L¨ osung distributiver Gleichung a u = f (3) Distributive Gleichung f¨ ur klassisches AWP 90


(4) (5) (6) (7) (8)

91

Lösungsformel f¨ ur klassisches AWP; retardierte Potentiale Behandlung der Dimensionen 2,1 Ausbreitung von Wellen im R3 , Wellenfronten Eindeutigkeit Korrektheit (stetige Abh¨ angigkeit von Ausgangsdaten)

16.4.1

Bestimmung der Fundamentall¨ osung E3

Zum Finden der Fundamentall¨ osung betrachten wir die Gleichung: a E3 = δ(x, t) P3 Sei Fx E3 (x, t) =: Ee3 (x, t) ≡ Ee3 und −∆ =: j=1 Pj2 . Anwenden von Fx auf (?) ergibt: (?)

1 ∂2 e E3 + a2 |ξ|2 Ee3 = √ 3 1(ξ)δ(t) 2 ∂t 2π Somit gilt f¨ ur Ee3 : 1 sin a|ξ|t Eee (ξ, t) = √ 3 H(t) a|ξ| 2π Wegen E3 (x, t) = Fξ−1 Ee3 (x, t) ist E3 : E3 (x, t) = H(t)

1 1 δSat ≡ H(t) δ(a2 t2 − |x|2 ) 2 4πa t 2πa

Satz 1: E3 (x, t) ist Fundamentall¨ osung f¨ ur a . Es gilt f¨ ur hE3 , ϕi mit E3 ∈ S 0 (R4 ): Z∞ 1 1 hE3 , ϕi = hδSat , ϕi dt 4πa2 t 0

=

Z∞ Z 1 1 ϕ(x, t) dSx dt 2 4πa t 0

16.4.2

Sat

Faltung von E3 mit Distributionen f (x, t), die ihren Tr¨ ager in R3 × [0, ∞) haben

Def.: Seien η1 , η2 ∈ C ∞ (R). Dabei ist η1 ∈ D(R), η1 ≡ 1 in einer Umgebung der Null und f¨ ur η2 gelte: 1 f¨ ur t ≥ −1 η2 ≡ 0 f¨ ur t ≤ −2 Bemerkung: Es gilt η1 (a2 t2 − |x|2 ) E3 (x, t) = E3 (x, t). Versuche Faltung durch Gleichung: hE3 ∗ f, ϕi = hE3 (y, s)f (x, t), ϕ(x + y, s + t)η2 (t)η1 (a2 s2 − |y|2 )i Bemerkung: Der Wert ist unabh¨ angig von der speziellen Wahl von η1 bzw. η2 , solange f (x, t)η2 (t) = f (x, t) gilt. Satz 2: Durch obige Formel wird f¨ ur Distributionen f ∈ D0 (Rn ) mit Träger in R3 ×[0, ∞) eine Distribution 0 4 E3 ∗ f ∈ D (R ) definiert, die a E3 ∗ f = f erf¨ ullt. 16.4.3

Distributive Gleichung f¨ ur die klassische L¨ osung

Def.: Sei die Funktion fe(x) definiert: f (x, t) t > 0 gegebene Funktion ∈ L1lok (R4 ) e f (x) = 0 t≤0

91

92


Satz 3: Sei u eine klassische L¨ osung des AWP:  a u = f    u0 (x) = u(x, 0)    u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t 2 3 1 wobei u ∈ C R × (0, ∞) ∩ C R3 × [0, ∞) . Dann gilt im distributiven Sinne: a u = fe(x, t) + u1 (x)δ(t) + u0 (x) 16.4.4

∂ δ(t) ∂t

L¨ osungsformeln f¨ ur das klassische AWP

Bertrachtet werde das AWP:  a u = f    u0 (x) = u(x, 0)    u1 (x) = ut (x, 0) = ∂ u(x, 0) ∂t Def.: Wir definieren die retardierten Potentiale V, V0 , V1 : (1)

V := E3 ∗ f

∂ δ(t) ∂t (3) V1 := E3 ∗ u1 δ(t)

(2) V0 := E3 ∗ u0

Bemerkung: V, V0 , V1 sind dann Funktionen, die explizit angegeben werden können. Satz 4 (Kirchhoffsche Wellenformel): F¨ ur f ∈ C 3 R3 × [0, ∞) , u0 ∈ C 3 (R3 ), u1 ∈ C 2 (R2 ) wird eine klassische Lösung des AWP durch u = V + V0 + V1 gegeben. Dabei sind: |x − y| Z f y, t − 1 a dy (1) V (x, t) = 2 4πa |x − y| uat (x)

 (2) V0 (x, t) =

 Z

1 ∂ 1  4πa2 ∂t t

 u0 (y) doy  Sat (x)

(3) V1 (x, t) =

1 1 4πa2 t

Z u1 (y) doy Sat (x)

Eigenschaften: (1) F¨ ur V (x, t): • lim V (x, t) = 0 t→0+

• (2)

(3)

lim V (x, 0) = 0

t→0+

F¨ ur V1 (x, t): • lim V1 (x, t) = 0 t→0+ ∂ • V1 (x, 0) = u1 (x) ∂t F¨ ur V0 (x, t): • lim V0 (x, t) = u0 (x) t→0+ ∂ V0 (x, 0 + 0) = 0 • ∂t

92


16.4.5

93

Die Dimensionen n = 2 und n = 1, Abstiegsmethode

16.4.5.1 Finden der Fundamentall¨ osungen E2 und E1 Grundidee: Sei ηk ∈ D(R) und konvergiere in R gegen 1. Zum Auffinden der Fundamentallösungen E2 (x1 , x2 , t), verwenden wir die Abstiegsmethode: hE2 (x1 , x2 , t), ϕ(x1 , x2 , t)i = hE3 (x1 , x2 , x3 , t), ϕ(x1 , x2 , t)1(x3 )i =

lim hE3 (x, t), ϕ(x1 , x2 , t)ηk (x3 )i

k→∞

Somit kann man hE2 , ϕi berechnen: hE2 , ϕ(x1 , x2 , t)i = hE3 , ϕ(x1 , x2 , t)1(x3 )i Z∞ Z 1 1 = ϕ(x, t) dSx dt 2 4πa t 0

=

1 2πa

=

1 2πa

Sat

Z∞ Z∞

ϕ(x, t) p

a2 t2 − |x|2

0 |x|≤at

Z

dx dt

H(at − |x|) p ϕ(x, t) dx dt a2 t2 − |x|2

Fazit: Es gilt also f¨ ur E2 (x, t):  1  1 p 2 2 2πa a t − |x|2 E2 (x, t) =  0

f¨ ur at > |x| f¨ ur at ≤ |x|

und durch analoge Rechnung f¨ ur E1 (x, t):   1 f¨ ur at > |x| 2a E1 (x, t) =  0 f¨ ur at ≤ |x| 16.4.5.2 L¨ osung der Wellengleichung im R2 Satz (Poissonsche Wellenformel): Setzt man in die Kirchhoffschen Formel von x3 unabhängige Ausgangsdaten f, u0 , u1 ein, so kann man die Poissonsche Wellenformel f¨ ur die Wellenausbreitung in der Ebene erhalten: u(x, t) = V (x, t) + V0 (x, t) + V1 (x, t) =

1 2πa

Zt

Z

f (y, s) p

a2 (t

0 |x−y|≤a(t−s)

+

Z

1 ∂ 2πa ∂t

− s)2 − |x − y|2

u0 (y) p

a2 t2 − |x − y|2

dy1 dy2 ds

dy1 dy2

|x−y|≤at

+

1 2πa

Z

u1 (y) p dy1 dy2 a2 t2 − |x − y|2

|x−y|≤at

Bemerkung: F¨ ur Sr (x) ist eine explizite Flächendarstellung durch p y3 = f (y1 , y2 ) = x3 ± r2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 gegeben, was jeweils r dy1 dy2 doy = p r2 − (y1 − x1 )2 − (y2 − x2 )2 ergibt.

93

94


16.4.5.3 L¨ osung der Wellengleichung im R1 Satz (d’Alembertsche Wellenformel): Setzt man in die Poissonschen Wellenformel Funktionen f , u0 , u1 ein, die nicht von x2 abh¨ angen, so lässt sich die Integration nach x2 ausf¨ uhren und man erhält: u(x, t) =

V (x, t) + V0 (x, t) + V1 (x, t) 1 2a

=

Zt

x+a(t−s) Z

1 1 f (y, s) dy ds + u0 (x + at) + u0 (x − at) + 2 2a

u1 (y) dy x−at

0 x−a(t−s)

16.4.6

x+at Z

Ausbreitung von Wellen, Huygensches Prinzip

16.4.6.1 Ausbreitung von Wellen im Raum H(t) Aus E3 (x, t) = 4πa 2 t δSat (x) folgt, dass die von einer momentan zum Zeitpunkt t > 0 wirkenden Punktquelle δ(x)δ(t) ausgehenden St¨ orung E3 (x, t) eine Kugelfläche mit dem Radius at und dem Zentrum 0 ist. Das bedeutet, dass sich die St¨ orung in Gestalt einer Kugelwelle |x| = at ausbreitet, die sich mit der Geschwindigkeit a bewegt, wobei nach Durchgang der Welle wieder der Zustand der Ruhe eintritt. In diesem Falle sagt man, dass f¨ ur den Raum das Huygensche Prinzip gilt.

16.4.6.2 Ausbreitung von Wellen in der Ebene Aus E2 (x, t) =

H(at−|x|)

√

2πa

a2 t2 −|x|2

folgt, dass die von einer momentan zum Zeitpunkt t > 0 wirkenden

Punktquelle δ(x)δ(t) ausgehenden St¨ orung E2 (x, t) ein Kreis (mit Inhalt!) mit dem Radius at und dem Zentrum 0 ist. In der Ebene wird die Ausbreitung einer Welle Sat beobachtet, die Geschwindigkeit der Ausbreitung ist a. Es gibt eine vordere Wellenfront, jedoch im Gegensatz zum räumlichen Fall, fehlt die hintere Wellenfront. Es herrscht Wellendiffusion. Das Huygensche Prinzip ist verletzt (dasselbe gilt f¨ ur n = 1). 16.4.7

Eindeutigkeit

Sei n = 3. Satz 5: Sei f ∈ D0 (R4 ) mit supp f ⊆ R3 × [0, ∞) gegeben. Dann existiert genau eine Lösung u ∈ D0 (R4 ) mit a u = f und supp u ⊆ R3 × [0, ∞). 16.4.8

Korrektheit

Def.: Unter Korrektheit versteht man die stetige Abhängigkeit der Lösung von den Ausgangsdaten. Def.: Betrachtet man eine zul¨ assige Klasse A von Ausgangsdaten f¨ ur die eine eindeutige Lösung in einer Klasse W m¨ oglicher L¨ osungen existiert, so wird eine Abbildung A 3 a → u ∈ W erklärt. In unserem Beispiel ist A 3 (f, u0 , u1 ) → u ∈ W gegeben durch die Wellenformel. Sind A, W normierte Räume, so heißt ein Problem (A, W )-korrekt, wenn gilt: ||u||W ≤ C||a||A = C||(f, u0 , u1 )||A A f¨ ur klassische L¨ osung auf R3 × [0, T ]. (f, u0 , u1 ) ∈ Cb2 R3 × [0, T ] × Cb3 (R3 ) × Cb2 (R3 ). Dabei ist:

•

Cbk := {f ∈ C k | f und alle Ableitungen von f bis einschließlich Ordnung k sind beschränkt} W := Cb R3 × [0, T ]

•

||u||W :=

•

sup |u(x, t)| ||f, u0 , u1 ||A := max ||f || R3 ×[0,T ]

•

Cb R3 ×[0,T ]

, ||u0 ||

Cb1 (R3 ) , ||u1 ||Cb (R3 )

Aussage: Das klassische und das verallgemeinerte AWP sind korrekt.

94


16.5

95

Anfangswertproblem der W¨ armeleitungsgleichung

Sei das folgende AWP gegeben: ( f (x, t) = ut − a2 ∆x u u0 (x) = u(x, 0) f¨ ur u ∈ C R × (0, ∞) ∩ C Rn × [0, ∞) 2

n

Fundamentall¨ osung: Analog zur Berechnung der Fundamentallösung bei der Wellengleichung, lässt sich durch Fouriertransformation En (x, t) herleiten. Die Fundamentallösung lautet: En (x, t) =

|x|2 H(t) − 4a2 t e (4πa2 t)n/2

Eigenschaften: Z (1) E(x, t) dx = 1 Rn

(2)

E(x, t) −→ δ(x) t→0+

Bemerkung: Die Fundamentall¨ osung beschreibt die von einer momentan wirkenden Punktquelle δ(x)δ(t) erzeugte Temperaturverteilung. Da En (x, t) > 0 f¨ ur alle t > 0 und alle x ∈ Rn , breitet sich die Wärme mit unendlicher Geschwindigkeit aus. Dies widerspricht der Erfahrung. Zur besseren Beschreibung ist die Transportgleichung heranzuziehen: Z 1 αh Ψt + hs, grad Ψi + αΨ = Ψ(x, s, t) ds + F v 4π S1

Satz 1: E sei f ∈ C Rn × [0, ∞) , u0 ∈ C(Rn ) und u sei eine klassische Lösung des AWP. Dann erf¨ ullt u die distributive Gleichung: ut − a2 ∆x u = f + u0 (x)δ(t) Ziel: Lösung des AWP f¨ ur eine geeignete Funktionenklasse M 3 f , wobei f¨ ur M gelten soll: 1 n+1 n M = f ∈ Llok (R ) | f ∈ C (R ×[0, ∞) , f (x, t) = 0, t < 0, f beschränkt auf jedem Streifen Rn × [0, T ] Satz 2: (1) F¨ ur f ∈ M und u0 ∈ Cb (Rn ) existieren ZtZ •

V (x, t) = E ∗ f =

E(y, s) f (x − y, t − s) dy ds 0

Rn

• V0 (x, t) = E ∗ u0 (x) δ(t) = H(t)

Z E(x − y, t) u0 (y) dy

Rn

(2) (3)

16.6

und definieren regul¨ are Distributionen. Die Funktion u = V + V0 ist Lösung des verallgemeinerten AWP mit supp u ⊆ Rn × [0, ∞). Gilt dar¨ uber hinaus f ∈ C 2 Rn × [0, ∞) und Dα f ∈ M f¨ ur |α| ≤ 1, so definiert (1) eine klassische Lösung des AWP. Die Lösung des verallgemeinerten AWP ist in M eindeutig bestimmt.

Fundamentall¨ osung fu ¨ r den Laplaceschen Differentialausdruck

Sei n = 3. Suche rotationssymmetrische Fundamentallösung E3 ∈ D0 ∈ R3 mit −∆E3 = δ Ansatz: E3 (x) = f |x| = f (r) mit −∆f (x) = 0 in R3 \ {0}. Satz: E3 =

1 4π

p

x21

+ x22 + x23

ist Fundamentallösung f¨ ur −∆ in R3 .

95

96


Bemerkung: Sei ωn die Oberfl¨ ache der Einheitskugel im Rn . Es gilt: 1 1 (Verallgemeinerung f¨ ur Rn , n ≥ 3) • En = ωn |x|n−2 •

E2 = −

1 ln |x| 2π

Satz (Darstellungsformel f¨ ur harmonische Funktionen): Sei u harmonisch in hinreichend guten ur x ∈ G: beschränkten Gebiet und sei u ∈ C 2 (G) ∩ C1 (G). Dann gilt f¨ Z ∂ ∂u u(x) = u0 (y) · − E(x − y) + E(x − y) do ∂~n ∂~n ∂G

Bemerkung: In der Darstellungsformel kann E(x − y) ersetzt werden durch: G(x, y) = E(x − y) + H(x, y) falls H(x, y) = Hx (y) ∈ C 1 (G) ∩ C 2 (G) und ∆y H(x, y) = 0. Def.: G(x, y) heißt Greensche Funktion, wenn G(y − x), H(x, y) wie vorher, stetig in (x, y ∈ G, x 6= y) und es gilt: =0 G(x, y) y∈∂G

Dann gilt f¨ ur u(x): Z ∂ u(x) = u0 (y) · − G(x − y) do ∂~n ∂G

Bemerkung: Manchmal kann G(x, y) explizit angegeben werden, z.B. f¨ ur G = {x ∈ Rn , |x| < R}. In diesem Fall folgt: −

16.7

∂ R2 − |x|2 G(x, y) = ∂~n ωn R|y − x|n

(Poissonsche Integralformel )

Das Poissonintegral

Form: R2 − r 2 u(r, ϕ) = 2π

Z2π R2

u0 (R, ϕ) dψ − 2rR cos(ϕ − ψ) + r2

0

bzw. u(x1 , x2 ) =

R2 − |x|2 2πR

Z

u0 (y) dsy |y − x|2

C

wobei C die positiv durchlaufene Kreislinie {y ∈ R2 : |y| = R} bezeichnet. Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugel: Z R2 − |x|2 u0 (y) u(x) = doy R ωn |y − x|n SR

wobei ωn den Fl¨ acheninhalt der Kugeloberfläche S1 ⊂ Rn bezeichnet.

96

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung

17 17.1

97

Separationsans¨ atze und Orthogonalreihenentwicklung Wiederholung zu VNOS

Def.: (xi , i ∈ I) heißt NOS, wenn hxi , xj i = δij f¨ ur alle i, j ∈ I, i 6= j. Satz: Ein NOS heißt vollst¨ andig, wenn eine der Bedingungen der Parselvalschen Vollständigkeitsrelation gilt. (siehe Satz 5 in 12.4.3).

17.2 17.2.1

Anwendungsf¨ alle von Separationsans¨ atzen W¨ armeleitung in einer Drahtschleife

Sei folgendes Randanfangswertproblem gegeben:  ut − a2 uxx = 0     u (x) = u(x, 0) 0  u(0, t) = u(l, t)    ux (0, t) = ux (l, t) Bemerkung: Die Randbedingungen sind periodisch. Separationsansatz: Suchen L¨ osungen der Gestalt: u(x, t) = f (x) · g(t) wobei die Anfangsbedingungen ignoriert werden: f (x) · g 0 (t) = a2 f 00 (x) · g(t) Daraus folgt: f 00 (x) 1 g 0 (t) = =κ a2 g(t) f (x) Bemerkung: Da g nur abh¨ angig von t und f nur abhängig von x, m¨ ussen diese Ausdr¨ ucke gleich einer gemeinsamen Konstanten κ sein. κ ist Konstante, welche unabhängig von x und t ist. Damit ergeben sich 2 homogene, lineare Differentialgleichungen: f 00 (x) − κf (x) = 0 g 0 (t) − a2 κg(t) = 0 Wegen der Randbedingungen gilt: f (0) · g(t) f 0 (0) · g(t)

= f (l) · g(t) −→ f (0) = f (l) = f 0 (l) · g(t) −→ f 0 (0) = f 0 (l)

Fall 1: Sei κ = 0. Dann ist: f (x) = C1 + C2 x In diesem Fall ist f (x) = C = const. die einzige periodische Lösung. Fall 2: Sei κ = −ν 2 < 0. Dann ist: f (x) = C1 cos(νx) + C2 sin(νx) Hierbei gilt ν =

2πn wegen der Randbedingungen. l

Fall 3: Sei κ = ν 2 > 0. Dann ist: f (x) = C1 eνx + C2 e−νx Es existieren also keine periodischen L¨ osungen ν F¨ ur die Lösung von g(t) erh¨ alt man: 2 2 νn t

gn (t) = e−a

97

98


Somit erhält man f¨ ur die L¨ osung u(x, t) = f (x) · g(t): u(x, t)

=

u(x, 0)

=

∞ a0 X −a2 νn2 t + e an cos(νx) + bn sin(νx) 2 n=1 ∞ 2πn 2πn a0 X + x + bn sin x an cos 2 l l n=1

Dabei m¨ ussen an , bn so bestimmt werden, dass diese Reihe gerade die Fourierreihe der Funktion von u0 (x) ist. Satz 1: Ist u0 (x) periodische mit Periode l und 4-mal stetig diffbar, so ist die erhaltene Lösung u(x, t) ∈ C 1 [0, l] × [0, ∞) und erf¨ ullt im klassischen Sinne das RAWP. Eindeutigkeit: Berechne: d dt

Zl

2 u(x, t) dx =

0

Zl 2 ut (x, t) · u(x, t) dx 0

=

l Zl −2 (aux )2 dx ≤ 0 a uxx u | {z x=0} 0 2

=0 weil u periodisch

Folgerung: In der Klasse der Funktionen C 1 [0, 1] × [0, ∞) , die auch stetige Ableitung uxx in [0, 1] × [0, ∞) hat, ist die L¨ osung eindeutig bestimmt. Hätte man 2 Lösungen u1 , u2 , so wäre u1 − u2 = u Lösung des Problems mit Anfangsbedingungen Null. Korrektheit: Sei v(t) = u(x, t) ∈ L2 (0, l). Es gilt: sup ||v(t)||L2 (0,l) ≤ ||u0 ||L2 (0,l) t∈[0,∞)

Es liegt somit Korrektheit vor. 17.2.2

Eigenwertprobleme und inhomogene Gleichung f¨ ur Laplaceschen Differentalausdruck in Rechtecken, Quadern,...

Sei Q ein Gebiet Q = (0, l) × (0, l). Es sei das RAWP gegeben: ( −∆u(x, y) − λu(x, y) = 0 Randbedingungen Bemerkung: Beispiele geeigneter Randbedingungen sind periodische Randbedingungen, also f (0) = f (l) bzw. f 0 (0) = f 0 (l). Def: Randbedingungen heißen symmetrisch, wenn daraus, dass u, v die Randbedingungen erf¨ ullen, folgt: l (u0 v − uv 0 ) = 0 0

Separationsansatz: Aus dem Ansatz u(x, y) = f (x) · g(y) erhält man (durch Einsetzen und Umstellen): f 00 (x) g 00 (y) = −λ f (x) g(y) Die linke Seite der Gleichung ist von y und die rechte Seite von x unabhängig. Das bedeutet, dass dieser Ausdruck sowohl von y als auch von x unabhängig ist, d.h. gleich einer Konstanten µ. Sei ν = λ − µ. Dann gilt: −f 00 (x) = µf (x) −g 00 (y) = νg(y)

98


99

Beispiel: Es seien Dirichletsche Randbedingungen gegeben, d.h. f (0) = f (l) = 0. Es gilt also nach Separationsansatz: f (x)00 f (x) g(y)00 − g(y)

−

= µ = ν

Wegen periodischen Randbedingungen lauten die Lösungen mit: √ √ f (x) = C1 cos(√µx) + C2 sin(√ µx) g(y) = C3 cos( νy) + C4 sin( νy) Damit folgt aus den Randbedingungen: C1 = 0, C3 = 0 nπ mπ µ= , ν= l l Man erhält somit als L¨ osungen: nπ fn (x) = C2 sin x l mπ gm (y) = C4 sin y l Somit folgt aus un,m (x, y) = fn (x) · gm (y): π 2 un,m −∆un.m = (n2 + m2 ) | {z l } =λ

Satz 2: Die Funktionen 1 un,m ||un,m || mit n, m ∈ N0 bilden ein VNOS in L2 (Q). 17.2.3

Ans¨ atze f¨ ur die Wellengleichung

Sei das folgende RAWP f¨ ur die homogene Wellengleichung gegeben:  2 ∂ u   − a2 ∆u = 0    ∂t2  u(x, 0) = u0 (x)   ut (x, 0) = u1 (x)     homogene Randbedingungen Separationsansatz: Aus u(x, t) = g(x) · h(t) erhält man (nach Einsetzen und Umstellen): 1 h00 (t) ∆g(x) =0 − a2 h(t) g(x) | {z } :=λ

Daraus erhält man die Eigenwertgleichung: ∆g(x) = λg(x) Diese Gleichung besitzt die Eigenwerte λk und die dazugehörigen Lösungen gk (x). Eigenwerte λk > 0 bei Dirichlet. Weiterhin gilt: h00k (t) + a2 λk hk (t) = 0 Mit der Lösung f¨ ur hk (t): √ √ hk (t) = ak cos(a λk t) + bk sin(a λk t) Als Lösung f¨ ur u(x, t) erh¨ alt man: u(x, t) =

∞ X k=1

hk (t)gk (x) =

∞ X

p p ak cos(a λk t) + bk sin(a λk t) gk (x)

k=1

99

100


Wobei f¨ ur die Anfangsbedingungen gilt: ∞ X p u1 (x) = bk a λk gk (x) u0 (x)

=

k=1 ∞ X

ak gk (x)

k=1

Da {gk (x)} ein VNOS ist, ergibt sich f¨ ur ak und bk (nach Satz 5, Unterpunkt (1) in 12.4.3): ak bk

= hu0 , gk (x)i 1 = √ hu1 , gk (x)i λk

Ansatz f¨ ur inhomogenes Problem: Sei das RAWP gegeben:  ∂2u   − a2 ∆u = f (x, t)   ∂t2 u(x, 0) = ut (x, 0) = 0     homogene Randbedingungen ∞ P hk (t)gk (x) und Umformung mit Einbeziehung der Anfangsbedingungen Aus dem Ansatz u(x, t) = k=1 erhält man: h00k (t) − a2 λk hk (t) = hf (x, t), gk (t)iL2 (Q) := ϕk (t)

17.3

Laplace-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen in der Kreisscheibe

Sei Gebiet G = (x, y), x2 + y 2 ≤ R2 und RAWP gegeben: ( ∆u = 0 u = u0 ∂G

Seien x, y in Polarkoordinaten. Dann erh¨ alt man f¨ ur ∆u: 1 1 ∆u = urr + ur + 2 uϕϕ r r Separationsansatz: Suchen L¨ osungen der Gestalt: u = f (r) · g(ϕ) Und man erh¨ alt nach Einsetzen und Umstellen: r2 frr (r) + rfr (r) g 00 (ϕ) + =0 f (r) g(ϕ) Satz 1: Sei G = (x1 , x2 ), x21 + x22 ≤ R und sei u0 eine stetige Funktion auf ∂G. Dann wird durch das Poissonintegral : Z R2 − |x|2 u0 (y) u(x) = u(x1 , x2 ) = dSy 2πR |x − y|2 ∂G

eine klassische L¨ osung des obigen RWP gegeben. In G kann u als Realteil der komplexanalytischen Funktion: Z 1 ζ +z u0 (ζ) dζ 2πi ζ(ζ − z) |ζ|=R

aufgefasst werden. Def.: Eine auf einem Gebiet G ⊂ Rn definierte C 2 -Funktion u heißt harmonisch in G, wenn sie die Gleichung ∆u = 0 erf¨ ullt. Satz 2(Schwaches Maximumprinzip): Ist G ∈ Rn ein beschränktes Gebiet und ist u ∈ C 2 (G) ∩ C(G) eine harmonische Funktion in G, so nimmt u sein Maximum auf ∂G an.

100


101

Folgerung: F¨ ur das klassische Dirichletproblem: ( ∆u = 0 u0 = 0 ∂G

existiert f¨ ur beschr¨ ankte Gebiete G h¨ ochstens eine Lösung u ∈ C(G) ∩ C 2 (G) und diese erf¨ ullt: ||u||C(G) ≤ ||u0 ||C(∂G) Bemerkung: Sind u1 , u2 zwei L¨ osungen, so sind u1 − u2 = u und u2 − u1 = −u Lösungen, deren Maximum gleich Null ist. Satz 4(Mittelwertsatz f¨ ur harmonische Funktionen): Ist u(x) harmonische in einem Gebiet G und gilt Kx0 ,R ⊂ G, so ist u(x0 ) gleich dem Mittelwert der Werte u(x) auf ∂Kx0 ,R und gleich dem Mittelwert von u(x) auf Kx0 ,R . Satz 5(strenges Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen): Nimmt in einem Gebiet G gegebene harmonische Funktion u im Inneren von G irgendwo ein lokales Extremum an, so ist u konstant. Bemerkung: Das ¨ außere Dirichletproblem f¨ ur die Kreisscheibe lässt sich analog behandeln. Sei G = {x ∈ R2 , |x| > R}. Sei das RWP gegeben:    ∆u = 0 u0 ∂G = 0   u beschr¨ ankt

17.4

Sobolevr¨ aume und Extremaleigenschaft des Dirichletproblems der LaplaceGleichung

Def.: Sei G ⊂ Rn ein Gebiet und sei k ∈ N. Der Sobolevraum W2k (G) ist der Raum derjenigen Funktionen u ∈ L2 (G), f¨ ur die alle distributiven Ableitungen Dα u mit 0 ≤ |α| ≤ k reguläre L1lok -Distributionen aus 2 L (G) sind. W2k (G) wird mit dem Skalarprodukt: X hu, vi = hDα u, Dα vi |α|≤k

in der Norm: ||u||W2k =

q hu, uiW2k (G)

o

versehen. W2k (G) ist der Abschluss von D(G) in W2k (G). o Satz 1: W2k (G) und folglich auch W2k (G) ist ein Hilbertraum.

Betrachten elliptische Dgl.: −div %(x) · grad (u) + c(x) · u = f (x) o

im beschränkten Gebiet G ⊂ Rn und suchen distributive Lösungen u ∈ W21 (G) Voraussetzungen: Es seien %(x) ≥ %0 > 0, c(x) ≥ c0 > 0 und f (x) ∈ L2 (G). Dabei sind %(x), c(x) ∈ C ∞ (G) beschr¨ ankt. %, c, f seien reellwertig. Def.: Betrachten den energetischen Hilbertraum HE . Dessen Elemente sind reellwertige Funktionen aus o W21 (G). Das Skalarprodukt ist definiert:   Z n X 1  %(x) uxj v xj + c(x)u(x)v(x)dx hu, viE = 2 j=1 G

mit der Norm ||u||E =

p hu, uiE

¨ o Bemerkung: Diese Norm ist Aquivalent zur u ¨blichen Norm || · ||W 1 (G) . 2

Satz 1: Unter den genannten Voraussetzungen (auch f¨ ur c ≥ 0 hat die elliptische Dgl eine Lösung o

u ∈ W21 (G) und es ex. eine Konstante C > 0 mit ||u|| ≤ C||f ||. 101

102


o

Betrachte Abbildung R0 , L2 (G) 3 f → u ∈ W21 (G). Der Funktion f wird die eindeutig bestimmte o

W21 (G)-Lösung zugeordnet. Daraus folgt: R0 ist eine stetige lineare Abbildung. o

Nach einem Einbettungssatz (Auswahlsatz von Rellich) ist die identische Einbettung W21 (G) 3 ϕ → ϕ ∈ L2 (G) ein kompakter Operator, d.h. das Bild der Einheitskugel ist relativ kompakt (d.h. der Abschluss ist kompakt). R

o

id

0 W21 (G) −→ L2 (G) ist kompakt. Wenn Selbstadjungiertheit von R nach Der Operator R : L2 (G) −→ 2 f, g ∈ L , Rf = u, Rg = v gilt, dann ist:

hf, RgiL2 = hf, vi = hu, viE Anwendung des Spektraltheorems f¨ ur kompakte selbstadjungierte Operatoren: Formulierung: Sei A ein kompakter selbstadjungierter Operator u ¨ber einem Hilbertraum H. Dann ex. eine endliche oder unendliche Folge (ej )m von Eigenvektoren mit rellen Eigenwerten λj , wobei im Falle j=1 m → ∞ noch gilt lim λj = 0, s.d. f¨ ur alle ϕ ∈ H gilt: j→∞

Aϕ =

m X

λj hϕ, ej iej

j=1

Bemerkung: Alle Eigenwerte von R sind positiv. Satz 2: Unter den aufgeschriebenen Vorraussetzungen besitzt R Orthonormalbasis (ist also VNOS) (ej )∞ j=1 von Eigenvektoren mit den Eigenwerten λj , wobei lim λj = 0 gilt. Diese Eigenvektoren ej j→∞ können zur Behandlung von der W¨ armeleitungsgleichung:  ∂u   − u2 div (%grad u) = f  ∂t Dirichletsche Randbedingungen    Anfangsbedingungen verwendet werden. Suchen Lösungen im Raum der stetigen Funktionen von t mit Werten im Hilbertraum HE : ||u(x, t)|| = sup ||u(x, t)||E + ||uT (x, t)||E 0≤t≤T o

Extremaleigenschaft der W21 ()-L¨ osung. Betrachte Variationsproblem: ||u||2E − hf, uiL2 → Min

o

(u ∈ W2 (G) reellwertig)

o

Betrachten f¨ ur u, v ∈ W21 (G) und s ∈ R die Funktion u + sv: Ψv (s) = ||u + sv||2E − hf, u + sviL2 Wenn u Lösung des Variationsproblem ist, hat Ψv (s) bei s < 0 ein Minimum. d ∂Ψv (s) = ||u||2E + 2shu, viE + s2 ||v||2E − hf, uiL2 − shf, uiL2 ∂s ds =

2hu, vi − hf, vi = 0

o

∀ v ∈ W21 (G)

Ist diese Bedingung erf¨ ullt, so hat Ψv (s) = const + s2 ||v||2E tatsächlich f¨ ur jedes v 6= 0 ein globales Maximum bei s = 0. Deshalb ist L¨ osung vom Variationsproblem. 2 sin(k1 x1 ) sin(k2 x2 ) (VNOS in L2 (Q), EW: k12 + k22 = λk ) π p o Satz: Die Funktionen ek bilden ein VNOS in W21 (Q), ||ek ||W20 = 1 + k12 + k22 . Sie sind orthogonal in W22 (Q). Es is ||ek ||W22 (Q) ≤ const · (1 + k12 + k22 ). Es ist somit: X 1 (−∆−1 )f = hf, ek iek λk Eigenfunktion: ek =

o

Diese Reihe konvergiert in L2 , W21 (Q), W12 (Q). 102


Satz: F¨ ur f ∈ L2 (Q) geh¨ ort u = ∆u = f

1 k λk hf, ek ik ek

P

103

o

zu W22 (Q) ∩ W21 (Q) und erf¨ ullt im distributiven Sinne:

(in Q) o

Die Lösung ist in W21 (Q) eindeutig bestimmt und erf¨ ullt ||u||W22 (Q) ≤ const · ||f ||L2 (Q) . Ausserdem gilt o u ∈ C(Q), u ∂G = 0 und ||u||C(Q) ≤ const · ||f ||L2 (Q) . F¨ ur f ∈ C 2 (Q), f ∂Q = 0 ist die W21 (Q)-Lösung u auch klassische L¨ osung.

103

Analysis 001

Analysis 1 4 001

Analysis I III 001

Nichtkommutative harmonische Analysis 001

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 001

Functional Analysis 001

Harmonic Analysis 001

Nonstandard Analysis 001

Survival Analysis 001

Nichlineare Analysis 001

Treatise on Analysis: 001

Analysis II 001

Analysis I 001

Convex Analysis 001.ps.gz

Stochastische Analysis 001

Functional Analysis 001.ps.gz

Stochastic Analysis 001

Komplexe Analysis 001

Analysis IV 001

Diophantine Analysis 001

Analysis und Zahlentheorie 001

Fourier Analysis I 001.ps.gz

Rekursive Verfahren der numerischen Analysis 001.ps.gz

Harmonic Analysis and PDE 001.ps.gz

Grundlagen der angewandten Analysis 001.ps.gz

Algorithmentechnik 001

Compilertechnik 001

Laplacetransformation 001

Gruppentheorie 001

Makrooekonomik 001

Hydromechanik 001

Analysis 001

Analysis 1 4 001

Analysis I III 001

Nichtkommutative harmonische Analysis 001

Analysis auf Mannigfaltigkeiten 001

Functional Analysis 001

Harmonic Analysis 001

Nonstandard Analysis 001

Survival Analysis 001

Nichlineare Analysis 001

Treatise on Analysis: 001

Analysis II 001

Analysis I 001

Convex Analysis 001.ps.gz

Stochastische Analysis 001

Functional Analysis 001.ps.gz

Stochastic Analysis 001

Komplexe Analysis 001

Analysis IV 001

Diophantine Analysis 001

Analysis und Zahlentheorie 001

Fourier Analysis I 001.ps.gz

Rekursive Verfahren der numerischen Analysis 001.ps.gz

Harmonic Analysis and PDE 001.ps.gz

Grundlagen der angewandten Analysis 001.ps.gz

Algorithmentechnik 001

Compilertechnik 001

Laplacetransformation 001

Gruppentheorie 001

Makrooekonomik 001

Hydromechanik 001

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