Theoretische Physik I ¨ tstheorie Mechanik und Relativita im Nebenfach Physik f¨ur D-Mathematik u. D-Informatik – Wintersemester 2004/05 – von Hans-J¨urgen W¨unsche Institut f¨ur Physik der Humboldt-Universit¨at zu Berlin Newtonstr. 15 Tel: 2093 7649 email: W¨unsche:
[email protected] web address: http://photonik.physik.hu-berlin.de/ede/index.html
23. Februar 2005
Worwort Dieser Skript diene dazu, dass Studierende ihre Mitschriften u ufen k¨ onnen, L¨ ucken schliessen etc. Kein ¨berpr¨ Ersatz f¨ ur den Vorlesungsbesuch bzw. f¨ ur Lehrb¨ ucher.
Literatur Es gibt viele B¨ ucher zum Thema, die Vorlesung ist an keines v¨ ollig gekoppelt, aber ich habe hier und da benutzt:
Literatur [1] J. Honerkamp, H. R¨omer: ”Klassische Theoretische Physik”’, Springer [2] W. Nolting: ”Theoretische Physik”, B¨ande 1,2 u. 4, Zimmermann-Neufang [3] L. D. Landau, E. M. Lifschitz: ”Theoretische Physik”, B¨ande 1 u. 2, Akademieverlag [4] A. Einstein: ”Grundz¨ uge der Relativit¨atstheorie”.
1
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis I
Newton-Mechanik
7
1 Raum, Zeit, Kinematik
7
1.1
Raum
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2
Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.3
Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Die Newtonschen Gesetze (Axiome) 2.1
Tr¨agheitsgesetz (Newtonaxiom I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2
Newton’s Bewegungsgleichung (Newtonaxiom II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
Wechselwirkungs- bzw. Reaktionsprinzip (Newtonaxiom III) . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3 einige Spezialf¨ alle von Kr¨ aften
4
8
10
3.1
homogenes Kraftfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.2
Reibungskr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.3
Einschub: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . .
12
3.4
harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.5
Zentralkr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.6
Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.7
Tr¨agheitskr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.8
Zwangskr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Einzelner Massepunkt in Kraftfeldern
15
4.1
Vorbereitende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.2
Grundaufgabe der Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
4.3
Phasenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4
Erhaltungss¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4.1
Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4.2
Drehimpulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
4.4.3
Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.5
Arbeit und Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
4.6
Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.7
Gemischt konservativ-dissipative Kr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
5 Effektiv eindimensionale Bewegungsprobleme
19
5.1
qualitative Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
5.2
allgemeine L¨osung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
INHALTSVERZEICHNIS
3
6 Punktmasse im Zentralpotential – Keplerproblem
20
6.1
allgemeine Reduktion auf effektives 1D-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6.2
Keplerproblem: Bewegung im Gravitationspotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
6.2.1
qualitative Diskussion der Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
6.2.2
quantitative Bahnberechnung: Herleitung von Kepler I . . . . . . . . . . . . . . .
22
6.2.3
Herleitung von Kepler II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6.2.4
Herleitung von Kepler III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7 Systeme von Massepunkten
25
7.1
Innere und ¨außere Kr¨afte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
7.2
Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
7.3
Drehimpulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
7.4
Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
7.5
Spezialfall 2-Teilchen-Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
7.6
Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
8 Streutheorie
31
8.1
Allgemeine Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
8.2
Diskussion der Relativbewegung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
8.3
Streuquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
8.4
Anwendung: Rutherfordstreuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
9 Beschleunigte Bezugssysteme
35
9.1
Ortsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
9.2
Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
9.3
Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
9.4
Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
9.5
Spezialfall 1: bremsende Strassenbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
9.6
Spezialfall 2: rotierende Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
10 Starrer K¨ orper
42
10.1 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
10.2 Einschub: Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
10.3 Der Tr¨agheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
10.4 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ bez¨ 10.5 Drehimpuls L uglich MMP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
10.6 Euler’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
10.7 Anwendung: kr¨aftefreier symmerischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
10.8 kr¨aftefreier unsymmerischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
10.9 Euler’sche Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
10.10Anwendung: schwerer symmetrischer Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
51
INHALTSVERZEICHNIS
II
Lagrange-Hamilton-Mechanik
4
68
11 Verallgemeinerte Koordinaten
68
12 Die Lagrange-Gleichungen (zweiter Art)
69
13 Die Lagrange-Funktion konservativer Systeme
69
14 L¨ osung von Bewegungsproblemen
70
14.1 Lagrange-Rezept (f¨ ur konservative Systeme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
14.2 Anwendungsbeispiel: ebenes mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
15 Begr¨ undung der Lagrange-Gleichungen
71
16 Das Hamilton-Prinzip
78
17 Die Hamilton’schen kanonischen Gleichungen
79
17.1 Formulierung und Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
17.2 Anwendung 1: freier Massepunkt in konservativem Kraftfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
81
17.3 Anwendung 2: Perle auf Draht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
18 Symmetrien und Erhaltungss¨ atze
83
18.1 Zyklische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
18.2 Invarianz gegen allgemeine Koordinatentrafo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
18.3 Homogenit¨at des Raumes – Impulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
18.4 Isotropie des Raumes – Drehimpulserhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
18.5 Homogenit¨at der Zeit – Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
19 Poissonklammern
87
19.1 Bewegungsgleichung f¨ ur mechanische Messgr¨ oßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
19.2 Eigenschaften von Poissonklammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
19.3 Poissonklammern von Koordinaten und Impulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
20 Kanonische Transformationen
89
20.1 Erzeugende Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
20.2 Invarianz der Poissonklammer gegen kanonische Transformationen . . . . . . . . . . . . .
91
20.3 Bewegung als kanonische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
21 Liouville-Theorem
93
INHALTSVERZEICHNIS
5
22 Hamilton-Jacobi Theorie
III
95
22.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
22.2 Die Hamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
22.3 Allgemeines HJ-L¨osungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
22.4 Konservative Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
22.5 Vollst¨andig separable Systeme
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
22.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Relativit¨ atstheorie
100
23 Wdhlg: Relativit¨ at von Inertialsystemen in der Newton-Mechanik
101
24 Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
103
25 Die Lorentz-Transformation
104
26 Erste Folgerungen aus der Lorentz-Transformation
107
26.1 c als Maximalgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 26.2 Relativierung von Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 26.3 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 26.4 L¨angenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 26.5 Addition von Geschwindigkeiten
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
27 Relativistische Bewegungsgleichung
113
¨ 28 Masse-Energie-Aquivalenz
116
29 Experimente zur Best¨ atigung der speziellen Relativit¨ atstheorie
117
29.1 Michelson-Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 29.2 Myonen-Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 29.3 Optischer Dopplereffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 30 Der Lichtkegel
123
31 Grundelemente des Minkowski-Raumes
127
31.1 Vierervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 31.2 Skalarprodukt und Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 31.3 Vierertensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
INHALTSVERZEICHNIS
6
32 Physikalische Gr¨ oßen als Minkowski-Tensoren
130
32.1 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 32.2 Vierergeschwindigkeit und -beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 32.3 Viererimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 32.4 Vierer-Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 33 Ein Hauch von Allgemeiner Relativit¨ atstheorie
133
33.1 Ausgangspunkt: alle K¨orper fallen gleich schnell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 33.2 Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33.2.1 Teilchen mit Ruhemasse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
33.2.2 Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33.3 Die Einsteinschen Gleichungen des Gravitationsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 33.3.1 Der Ricci-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 33.3.2 Christoffel-Symbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 33.3.3 Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 33.4 Spezielle Relativit¨atstheorie als Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 33.4.1 global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 33.4.2 lokal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 33.5 Newton’s Gravitationsgesetz als Grenzfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 33.6 Das Gravitationsfeld von Sternen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 33.6.1 Die Schwarzschild-L¨osung der Einstein’schen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . 138 33.6.2 Gravitative Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 33.6.3 Ereignishorizont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 33.6.4 Gravitative Ablenkung von Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 33.6.5 Periheldrehung (des Merkur) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 33.7 Schwarze L¨ocher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 33.8 Und weisse L¨ocher ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7 Vorlesung 041020
Teil I
Newton-Mechanik Gegenstand der Mechanik ist die r¨aumliche Bewegung physikalischer K¨ orper. Zun¨achst Beschr¨ankung auf folgendes Modell: Punktmasse := K¨orper, dessen r¨aumliche Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung vernachl¨assigen kann. Verallgemeinerungsschritte: Systeme von Massepunkten, starre K¨ orper, deformierbare K¨ orper. Ob ein K¨orper Punktmasse ist, h¨angt vom Bewegungsproblem ab. (z.B. Erde: Punktmasse bez. Bahn um Sonne, starrer K¨ orper bez. Erdrotation, deformierbarer K¨ orper bez. Erdbeben.)
1 1.1
Raum, Zeit, Kinematik Raum
Menge aller m¨oglichen Positionen P des K¨ orpers. Newton-Mechanik:
Raum a priori gegeben, unbeeinflusst von K¨ orpern in ihm. (Das ist begrenzt g¨ ultig: → allg. Relativit¨atstheorie.) Mathematisches Raummodell: affiner 3D Punktraum mit Euklidischer Metrik
Positionsangaben: nur relativ zu einem Bezugssystem m¨ oglich. Mathematisch wird Position P einer Punktmasse beschrieben durch Ortsvektor
−−→ ~r = OP = r · ~er .
(1.1)
r: Abstand vom Bezugspunkt O. ~er : Richtung vom Bezugspunkt zum Ort der Punktmasse (Einheitsvektor). Zum Messen / Rechnen braucht man Koordinatensystem. Am einfachsten sind kartesische Koordinaten: 3 zueinander senkrechte Achsen, Richtungs-Einheitsvektoren ~ex , ~ey , ~ez . die Projektionen x = ~r · ~ex , etc. sind die kartesischen Koordinaten des Ortsvektors ~r = x · ~ex + y · ~ey + z · ~ez Andere Koordinaten (Kugelkoordinaten, Zylinderkoordinaten) werden bei Bedarf eingef¨ uhrt.
(1.2)
2
DIE NEWTONSCHEN GESETZE (AXIOME)
1.2
8
Zeit
Intuitiv klar. Subjektiv dehnbar. Physik erfordert objektives Mass: Abz¨ahlen periodischer Ereignisse (Pendelschl¨age, Quarzschwingungen, etc.). Newton:
Die absolute und wahre Zeit verfließt an sich und verm¨ oge ihrer Natur gleichf¨ ormig und ohne Beziehung auf einen ¨außeren Gegenstand.
begrenzt g¨ ultig: schon in spezieller Relativit¨atstheorie wird’s anders.
1.3
Kinematik
Mechanische Bewegung kann auf dieser Basis beschrieben werden als zeitabh¨angiger Ortsvektor ~r = ~r(t).
Bahnkurve: Menge u ¨berstrichener Raumpunkte.
Abgeleitete Begriffe: Geschwindigkeit: Beschleunigung:
d~r ~v := ~r˙ = dt d2~r d~v = 2 ~a := ~v˙ = dt dt
(1.3) (1.4)
¨ Ubungsaufgabe Kreisbewegung Eine Punktmasse bewege sich gleichf¨ormig auf einem Kreis. Kreisradius: R. Umlaufzeit: T . Bestimme 1. die Winkelgeschwindigkeit ω. 2. Ort, Geschwindigkeit, Beschleuningung ~r(t), ~v (t), ~a(t) in geeignetem Koordinatensystem. ~ mit welchem gilt 3. den konstanten Vektor Ω, ~ × ~r(t) und ~a(t) = −Ω ~ 2~r(t). ~v (t) = Ω Diskutiere die Ergebnisse jeweils physikalisch.
2 2.1
Die Newtonschen Gesetze (Axiome) Tr¨ agheitsgesetz (Newtonaxiom I)
Newton-Axiom I: Es gibt ein Bezugssystem, bez¨ uglich dessen sich jeder unbeeinflusste K¨ orper unbeschleunigt bewegt. Ein solches Bezugssystem heisst Inertialsystem. ”Unbeeinflusste” K¨orper sind eine Abstraktion: ann¨ahernd herstellbar im Lab z.B. durch glatte Scheiben auf horizontaler Eisfl¨ache, im Weltraum durch große Entfernung von allen anderen K¨ orpern. Das Axiom bedeutet u.a.: – unbeeinflusste K¨orper haben relativ zueinander keine Beschleunigung. – jeder unbeeinflusste K¨orper ist selbst ein Inertialsystem (es gibt also viele Inertialsysteme) – Beschleunigung bez¨ uglich eines Inertialsystems ist Zeichen f¨ ur externen Einfluss
2
DIE NEWTONSCHEN GESETZE (AXIOME)
9 Vorlesung 041022
2.2
Newton’s Bewegungsgleichung (Newtonaxiom II)
Newton-Axiom II: S¨amtliche externen Einfl¨ usse auf die mechanische Bewegung eines K¨ orpers k¨ onnen in einem Kraftvektor ~ zusammengefasst werden. Die Reaktion des K¨ K orpers darauf wird in Inertialsystemen durch die Gleichung µ ¶ µ ¶ d d~r Grundgleichung der Mechanik ~ m =K (2.1) Bewegungsgleichung dt dt bestimmt, wobei die skalare Gr¨oße m allein eine Eigenschaft des K¨ orpers ist, seine tr¨age Masse. ~ von deutsch Kraft, oft auch F~ von englisch force. • K ~ • die Gr¨oße p~ := m~v in der Klammer heisst Impuls des K¨ orpers. Damit Newton II kurz: p~˙ = K. ~ = m~a, bzw. ~a = K/m, ~ • meist m =const., dann K d.h. m ist Mass f¨ ur Tr¨ agheitswiderstand gegen¨ uber Beschleunigung. • Messung tr¨ ager Masse: Im Prinzip durch Vergleich mit einer Einheitsmasse m0 , dem Kilogramm (kg, Grundeinheit). – beide Massen auf reibungsfreier Unterlage, jede an einer Zugfeder, zun¨achst beide mit Faden verbunden. Dann Faden durchtrennen, Anfangsbeschleunigungen messen, Betr¨age a1 u. a0 . – vor Durchschneiden u ¨bt jede Feder gleiche Kraft aus, im ersten Moment nach dem Durchschneiden auch. – also m1 a1 = m0 a0 ⇒ m1 = m0 a0 /a1 . • Messung Kraft: Prinzip abgeleitet aus Newton II durch Messung Beschleugung Probek¨ orpers bekannter Masse. Maßeinheit entsprechend, 1 Newton =1 N= 1 kg·m/s2 . Aber auch: Federwaage, Balkenwaage. • Messung schwerer Masse m(s) : (s) (s) mit Balkenwaage Vergleich Gewichtskr¨afte: m1 = m0 · (G1 /G0 ). tr¨age und schwere Masse sind begrifflich unterschiedlich ! Aber schon Galilei: alle K¨orper fallen gleich schnell, d.h. Verh¨ altnis tr¨ ager zu schwerer Masse ist gleich fu ¨ r alle Ko ¨rper (o.B.d.A. =1) Ausgangspunkt der allgemeinen Relativit¨atstheorie, Messungen bis heute ohne Abweichung. Deshalb werden tr¨age und schwere Masse im Alltag nicht unterschieden. ~ und • die Beschleunigung eines K¨orpers ist bez¨ uglich aller Inertialsysteme gleich. Folglich auch K damit: die Grundgleichung der Mechanik ist in allen Inertialsystemen gleich (Relativit¨ atsprinzip der klassischen Mechanik).
¨ ¨ EINIGE SPEZIALFALLE VON KRAFTEN
3
2.3
10
Wechselwirkungs- bzw. Reaktionsprinzip (Newtonaxiom III)
Newton III: ¨ ein K¨ Mechanische Kr¨afte entstehen grunds¨atzlich durch Wechselwirkung zwischen K¨ orpern. Ubt orper k auf ~ kl aus, so erf¨ahrt er von diesem eine gleich starke, aber entgegengesetzt einen anderen K¨orper l die Kraft K gerichtete Reaktionskraft ~ lk = −K ~ kl . K
(actio = reactio)
(2.2)
• beachte: beide Kr¨afte greifen an verschiedenen K¨ orpern an • in der Regel sind sie parallel zur Verbindungsgeraden zwischen den K¨ orpern. • alle Kr¨afte, die an einem K¨orper l angreifen, addieren sich vektoriell: X ~ tot = ~ kl . Gesamtkraft auf K¨orper l : K K l
(2.3)
alle k6=l
3
einige Spezialf¨ alle von Kr¨ aften
Wir werden einige physikalisch relevante Kr¨afte kennen lernen und bei einigen die Newton’sche Bewegungsgleichung (2.1) l¨osen.
3.1
homogenes Kraftfeld
~ =const. unabh¨angig von Zeit und Ort (z.B. Schwerkraft nahe Erde) wirkende Kraft K Grundgleichung (2.1) f¨ ur diesen Fall: ~ ⇒ ~r¨ = ~g := K/m. ~ m~r¨ = K Zweifache Zeitintegration gibt ~r(t) =
~g 2 t + ~v0 t + ~r0 2
(allgemeine L¨osung der Newtongleichung im homogenen Kraftfeld)
(3.1)
mit 2 freien Vektor-Integrationskonstanten ~v0 , ~r0 . Offensichtlich: ~r(0) = ~r0 , ~v (0) = ~v0 , die beiden Konstanten sind also Anfangslage und -geschwindigkeit. ~ Verallgemeinerung auf zeitabh¨angiges homogenes Kraftfeld K(t): Bewegungsgleichung in Normalform1 : ~r¨ = ~g (t). das kann wieder zeitlich integriert werden: Rt erste Integration: ~v (t) = 0 ~g (t0 )dt0 + ~v0 , zweite Integration: 1 ~r(t) = m
Z t ÃZ 0
0
t0
! ~ )dt K(t 00
00
dt0 + ~v0 t + ~r0
allgemeine L¨osung der Newtongleichung im zeitver¨anderlichen homogenen Kraftfeld
(3.2)
trotz des Doppelintegrals ist das schon eine L¨ osung: die unbekannte Funktion links wird explizit durch bekannte Gr¨ oßen rechts ausgedr¨ uckt. das Doppelintegral st¨ort den Physiker nicht, seine Berechnung in konkreten F¨allen ist nur eine Frage der Technik (z.B. numerisch wenn’s analytisch nicht geht). wir haben wieder die beiden Integrationskonstanten Fazit f¨ ur homogene Kraftfelder: 1
h¨ ochste Ableitung ohne Vorfaktor
3
¨ ¨ EINIGE SPEZIALFALLE VON KRAFTEN
11
• die Newtongleichung (2.1) bestimmt die Bewegung nicht eindeutig. • ihre allgemeine L¨osung enth¨alt 2 freie vektorielle Integrationskonstanten. • sind Lage und Geschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt (o.B.d.A. t = 0) gegeben, so ist der weitere Bewegungsablauf eindeutig bestimmt. Wir werden sehen: diese 3 Aussagen gelten generell f¨ ur beliebige Kr¨afte.
3.2
Reibungskr¨ afte
Reibung bremst. Also: Reibungskraft zeigt nach ”hinten”, der Geschwindigkeit entgegengesetzt: ~ = −α~v K
(Reibungskraft)
(3.3)
wobei α im allgemeinen noch von Geschwindigkeit, Ort, Zeit abh¨angen kann. hier nur einfachster Fall: α = const. Normalform Bewegungsgleichung: ~r¨ + γ~r˙ = 0 mit γ = α/m. ~ mit der Integrationskonstanten A. ~ erste Integration: ~r˙ + γ~r = A wie weiter? einfaches Integrieren hilft nicht, es liefert die Integralgleichung ~r + γ
R
~ +B ~ ~r(t0 )dt0 = At
L¨osungsmethoden f¨ ur Differentialgleichungen m¨ ussen angewendet werden. Weil die Informatiker diese nicht kennen, werde ich das n¨otige zun¨achst allgemein darstellen und dann auf das Beispiel zur¨ uckkommen.
3
¨ ¨ EINIGE SPEZIALFALLE VON KRAFTEN
12 Vorlesung 041027
3.3
Einschub: lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
allgemeine Form:
N X
an x(n) (t) = b
x(n) (t) :=
n=0
dn x(t) dtn
an , b = const.
(3.4)
mathematische Theorie wird hier nicht dargestellt, sondern nur L¨ osungsalgorithmus. zuerst einige Begriffe: • N : Ordnung der DGl • an : Koeffizienten der DGl • b: Inhomogenit¨ at der DGl • die DGl heisst homogen wenn b = 0, ansonsten inhomogen. • spezielle L¨ osung: eine konkrete Funktionen x(t), welche der DGl gen¨ ugt. • allgemeine L¨ osung: Gesamtheit aller speziellen L¨ osungen.
Lo ¨sungsrezept: 1. stelle Normalform her Normalform: h¨ochster Koeffizient aN = 1, niedrigster Koeffizient a0 6= 0. D.h. dividiere durch aN falls a0 = 0: f¨ uhre neue unbekannte Funktion x ˜(t) := x(k) (t) ein, wobei k der kleinste Index mit nichtverschwindendem Exponenten ist. Dadurch reduziert sich die Ordnung der DGl um k, ganz zum Schluss kann x(t) aus x ˜(t) durch einfache k-fache Integration gewonnen werden. 2. bestimme eine spezielle L¨ osung xs (t) scheint schwer, ist hier aber einfach: xs (t) = −b/a0 . 3. bestimme allgemeine Lo ¨sung der homogenen Gleichung N X
zugeordnete homogene DGl:
an y (n) (t) = 0
(3.5)
n=0
genereller L¨osungsansatz:
Einsetzen in (3.5) gibt:
y(t) = exp(−λt)
N X n=0
an λ n = 0
λ = const.
(charakteristische Gleichung)
(3.6)
(3.7)
3
¨ ¨ EINIGE SPEZIALFALLE VON KRAFTEN
13
osung. Sind die alle diese algebraische Gleichung hat generell N komplexe Zahlen λ1 , λ2 , . . . , λN als L¨ verschieden, so ist y(t) =
N X
An exp(−λn t)
(A1 , A2 , . . . , AN : frei w¨ahlbare komplexe Konstanten).
(3.8)
n=0
die gesuchte allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung. Sind mehrere L¨osungen λm der charakteristischen Gleichung identisch, so spricht man von Entartung. In der Mechanik spielt dieser Fall kaum eine Rolle, wir werden ihn ausschliessen, ansonsten schaue man in die entsprechenden Mathe-B¨ ucher. 4. allgemeine Lo ¨sung der inhomogenen Gleichung die allgemeine L¨osung der inhomogenen Gleichung ist generell die Summe aus einer speziellen L¨ osung und der allgemeinen L¨osung der homogenen Gleichung, also N
x(t) = −
X b + An exp(−λn t) a0
(A1 , A2 , . . . , AN : frei w¨ahlbare komplexe Konstanten). (3.9)
n=0
5. evtl. Bestimmung der Konstanten Falls Anfangswerte f¨ ur z.B. x(n) , n = 0 . . . (N −1) gegeben sind, so f¨ uhrt das auf ein Gleichungssystem f¨ ur die N Koeffizienten, aus denen sie bestimmbar sind. Der weitere Bewegungsablauf ist dann eindeutig festgelegt. Analoges gilt, wenn N andere unabh¨angige Bedingungen gefordert werden. Wir werden dies aber nicht allgemein behandeln, sondern im jeweiligen Spezialfall. ¨ Anwendung auf freie Bewegung mit Reibung: war in Ubung ¨ Ubungsaufgabe: freier Fall mit Reibung Eine Punktmasse m falle frei im homogenen Schwerefeld der Erde. Es m¨ oge ausserdem eine Reibungskraft F~ = −α~v (α > 0 const.) wirken. Berechne Ort und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit.
3.4
harmonischer Oszillator
konkret Federschwinger in 1D, r¨ ucktreibende Kraft ist K = −kx
⇒
Newtongleichung: m¨ x + kx = 0.
(3.10)
Fundamentales Modellsystem der Physik. Anwenden L¨osungsalgorithmus: 1. Normalform:
x ¨ + a0 x = 0, (a0 = k/m).
2. spezielle L¨osung: xs (t) = 0 3. allgemeine L¨osung der homogenen Gleichung zugeordnete homogene DGl: genereller L¨osungsansatz:
Einsetzen in DGl gibt:
Normalform ist schon homogen. y(t) = exp(−λt)
λ2 + a0 = 0
λ = const.
(3.11)
(charakteristische Gleichung)
(3.12)
3
¨ ¨ EINIGE SPEZIALFALLE VON KRAFTEN
14
√ diese algebraische Gleichung hat die L¨ osungen λ± = ± −a0 . Sind verschieden wennk 6= 0. Also ist y(t) = A+ exp(−λ+ t) + A− exp(−λ− t)
(A± : frei w¨ahlbare komplexe Konstanten)
(3.13)
die gesuchte allgemeine L¨osung der homogenen Differentialgleichung. Im gegebenen Beispiel ist es sinnvoll, wie folgt zu einer anderen Form u ¨berzugehen: p √ es ist λ± = ± −a0 = ±iω rein imagin¨ar mit ω = k/m. ⇒ exp(−λ± t) = exp(∓iωt) = cos(ωt) ∓ i sin(ωt). Einsetzen und Umsortieren gibt dann y(t) = B cos(ωt) + C sin(ωt)
(3.14)
mit 2 anderen frei w¨ahlbaren Konstanten B, C (nat¨ urlich durch A± ausdr¨ uckbar, aber wozu?). 4. allgemeine L¨osung der inhomogenen Gleichung: hier x(t) = y(t). 5. evtl. Bestimmung der Konstanten x0 = B, v0 = ωC. Also endg¨ ultig sin(ωt) x(t) = x0 cos(ωt) + v0 ω
r ω=
k m
³
allgemeine L¨osung der Newtongleichung f¨ ur den 1D harmonischen Oszillator
´ (3.15)
Das ist eine harmonische Schwingung mit der Eigenfrequenz ω des Oszillators.
3.5
Zentralkr¨ afte
~ = f (~r, ~r˙, t) ~r K
(f : skalare Funktion)
(3.16)
auf das Zentrum gerichtet (bzw. von ihm weg) Beispiele: Gravitationsfeld von Sonne, Planeten; elektrisches Kraftfeld einer Punktladung L¨osung der Bewegungsgleichung kommt sp¨ater.
3.6
Lorentzkraft
~ r, t), B(~ ~ r, t): Kraft auf Ladung q in elektromagnetischem Feld E(~ ³ ´ ~ = q E(~ ~ r, t) + ~v × B(~ ~ r, t) = Vektorfunktion F~ (~r, ~v , t) K
3.7
(3.17)
Tr¨ agheitskr¨ afte
z.B. Zentrifugalkraft, Corioliskraft. Treten auf in beschleunigten Bezugssystemen. Werden sp¨ater separat behandelt.
3.8
Zwangskr¨ afte
Zwingen den K¨ orper auf eine geometrisch bestimmte Bahn. Beispiele: – Kraft, welche die Schienen auf die R¨ader eines Eisenbahnwagens aus¨ uben – Kraft, welche der Faden eines Pendels auf den an ihm h¨angenden K¨ orper aus¨ ubt Werden wir im Abschnitt Lagrange-Mechanik n¨aher betrachten.
4
EINZELNER MASSEPUNKT IN KRAFTFELDERN
15 Vorlesung 041029
4
Einzelner Massepunkt in Kraftfeldern
4.1
Vorbereitende Definitionen ³
Nabla-Operator: ∇ :=
∂ ∂ ∂ ∂x , ∂y , ∂y
Komponentenschreibweise: ∂i
´ Vektor der partiellen Ableitungen nach den Koordinaten
(i numeriert die 3 Raumkoordinaten, x1 = x, x2 = y, x3 = z).
∂f ∂f Gradient: grad f (~r) := ∇f = ( ∂f r). ∂x , ∂y , ∂z ) ist der Gradient des Skalarfeldes f (~
Komponentenschreibweise: ∂i f . Divergenz: div F~ (~r) = (∇ · F~ ) =
∂Fx ∂x
∂Fy ∂y
+
+
∂Fz ∂z
Komponentenschreibweise: ∂i Fi (hierbei Einsteinsche Summenkonvention: u ¨ber 2 gleiche Indizes i wird absummiert!) z Rotation: rot F~ (~r) := ∇ × F~ = ( ∂F ∂y −
∂Fy ∂Fx ∂z , ∂z
−
∂Fz ∂Fy ∂x , ∂x
−
∂Fx ∂y )
Komponentenschreibweise: ²ijk ∂j Fk wo ²ijk = ~ei · (~ej × ~ek ) voll antisymmetrischer Einheitstensor.
4.2
Grundaufgabe der Dynamik
~ In praktisch allen F¨allen von Interesse gilt K(t) = F~ (~r(t), ~v (t), t). ( Grundaufgabe der Dynamik:
F~ (~r, ~r˙, t) gegeben ~r(t) gesucht.
d dt
L¨osung mit Newton2:
µ ¶ d~r m = F~ (~r, ~r˙, t) dt
(4.1)
3 gew¨ohnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung ohnliche Diffgleichungen 1. Ordnung) ¨aquivalent: ~r˙ = p~/m und p~˙ = F~ (~r, p~, t) (6 gew¨
(4.2)
Im allgemeinen sind die L¨osungen nicht analytisch angebbar, aber Mathe sagt: • f¨ ur ”vern¨ unftige” Funktionen F~ (...) existieren L¨ osungen ~r(t), p~(t) • die allgemeine L¨osung enth¨alt 6 willk¨ urliche Konstanten (Integrationskonstanten) • diese Konstanten werden durch Anfangsbedingungen ~r(0) = ~r0
und
p~(0) = p~0
(= m~v0 )
(4.3)
eindeutig festgelegt. die Bewegung des Mapu ist vollst¨andig determiniert, wenn Anfangslage und -impuls gegeben sind (⇒ Laplace-D¨amon).
4
EINZELNER MASSEPUNKT IN KRAFTFELDERN
4.3
16
Phasenraum
Der Phasenraum eines Systems wird durch die Koordinaten und Impulse aufgespannt. Bei einem Mapu:
~r, p~
(6-dimensional)
Wenn das Kraftfeld nicht explizit von der Zeit abh¨angt, F~ = F~ (~r, p~), gilt folgendes: – der aktuelle Bewegungszustand entspricht jeweils einem Punkt im Phasenraum – dieser Punkt wandert w¨ahrend der Bewegung auf einer Linie, genannt Trajektorie – durch jeden Punkt des Phasenraumes geht genau eine Trajektorie – Trajektorien schneiden sich nicht Die m¨oglichen Bewegungsformen lassen sich oft durch wenige charakteristische Trajektorien charakterisieren, das nennt man Phasenportrait des Systems. Wir werden dies an einigen Beispielen konkretisieren. Der Phasenraum spielt insbesondere in der statistischen Physik und in der nichtlinearen Physik eine grosse Rolle.
4.4
Erhaltungss¨ atze eine Funktion f (~r, p~) von Ort und Impuls, die im Verlaufe der Bewegung konstant bleibt.
Erhaltungsgr¨ osse:
4.4.1
Impulserhaltungssatz
Newton2:
p~˙ = F~
⇒
Impulserhaltungssatz Der Impuls p~ eines K¨ orpers ist Erhaltungsgr¨ osse gdw. die Summe aller einwirkenden Kr¨afte verschwindet.
Wegen p~ = m~v gilt dann ~r(t) = ~r(0) + bestimmt. 4.4.2
p ~ m t,
die Bewegung wird durch Anfangslage und Impuls eindeutig
Drehimpulserhaltungssatz
~ = ~r × p~. L
Definition Drehimpuls: ¨ Zeitliche Anderung:
d r dt (~
× p~) =
d~ r dt
× p~ + ~r ×
d~ p dt
(4.4)
~ Drehmoment. Also = ~v × p~ + ~r × F~ = ~r × F~ =: M
Drehimpulserhaltungssatz ~ = ~r × p~ ist eine Erhaltungsgr¨ ~ = ~r × F~ verschwindet. Der Drehimpuls L oße gdw. das Drehmoment M das ist der Fall gdw. F~ parallel zu ~r, also f¨ ur Zentralkr¨afte. ~ ⇒ ebene Bewegung. Konsequenz Drehimpulserhaltung: ~r immer senkrecht auf dem konstanten Vektor L
4
EINZELNER MASSEPUNKT IN KRAFTFELDERN
4.4.3
17
Energieerhaltungssatz
Wenn ein Potential V (~r) existiert, so dass F~ (~r) = − grad V (~r), dann existiert die mechanische Energie
E = T (~ p) + V (~r) mit T (~ p) =
p~2 2m
(=
m 2 ~v ) 2
(4.5)
und ist eine Erhaltungsgr¨oße. T und V werden kinetische bzw. potentielle Energie genannt. Beweis:
4.5
dE dt
p = ~v d~ v = ~v · F~ − F~ · ~v = 0 q.e.d. dt + grad V · ~
Arbeit und Leistung
Es ist lehrreich, die gerade gegebenen Beweisschritte r¨ uckw¨arts zu durchlaufen, und zwar f¨ ur beliebige Kraftfelder F~ (~r, ~v , t): ~v = 0 = p~˙ − F~ = p~˙~v − F~
dT dt
− F~ ~v , also
~ dT (~ p) uck d~r dem Massepunkt ~ v = F · d~r = Arbeit entlang Wegst¨ = F~ = Leistung dt dt Zeit
zugef¨ uhrte
(4.6)
Die Leistung der Kraft am Massepunkt erh¨oht entsprechend dessen kinetische Energie. Das kann man u ¨ber eine endliche Zeit integrieren, sagen wir von t1 bis t2 : Z T (~ p2 ) − T (~ p1 ) =
t2
t1
F~ (~r(t), ~v (t), t) · ~v (t) dt := W12
(4.7)
die Zunahme der kinetischen Energie ist gleich der vom Kraftfeld am Massepunkt geleisteten Arbeit W12 .
4
EINZELNER MASSEPUNKT IN KRAFTFELDERN
18 Vorlesung 041103
Falls ein Potential V (~r) existiert, wird die rechte Seite Z W12 = −
t2
grad V (~r(t)) · t1
d~r(t) dt = − dt
Z
Z
~ r2
V2
grad V (~r) · d~r = − V1
~ r1
dV = V (~r1 ) − V (~r2 ),
¨ d.h., die geleistete Arbeit ist gleich der Anderung der potentiellen Energie, die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bleibt konstant. Wann existiert ein Potential?
4.6
Konservative Kraftfelder
konservativ = Energie erhaltend Ein Kraftfeld F~ ist konservativ, wenn es nur von ~r abh¨angt und eine von folgenden Bedingungen erf¨ ullt: 1. F~ (~r) = − grad V (~r) R2 2. die Arbeit W12 = 1 F~ (~r) · d~r ist wegunabh¨angig H ur alle geschlossenen Integrationswege 3. es gilt F~ (~r) · d~r = 0 f¨ 4. rot F~ (~r) ≡ 0 ¨ ¨ Aquivalenz von 1 bis 4: Ubung. Anmerkung: dies ist hinreichend, aber nicht notwendig2 ¨ Ubungsaufgabe konservative Kr¨ afte a) Seien f (~r), g(~r) skalare Funktionen und ~v (~r) ein Vektorfeld. Man zeige rot(f ~v ) = gradf × ~v + f rot~v grad(f g) = f gradg + g gradf b) Gegeben seien folgende Potential- und Kraftfelder (a, b = const, n > 0 ganz, r = |~r|): aa) U (~r) = arn e−br
bb) U (~r) = (~a · ~r)2
cc) F~ (~r) = a~r × ~ez
dd) F~ (~r) = −a~r/rn
Berechne die zu den Potentialen geh¨ orenden Kraftfelder! Berechne die Potentiale zu konservativen Kr¨aften!
4.7
Gemischt konservativ-dissipative Kr¨ afte
Gesamtkraft oft Summe aus konservativem plus Reibungsanteil, z.B. F~ (~r(t), ~v (t), t) = − grad V (~r) − α~v 2
(α > 0, nicht notwendig const.)
~ (~r, ~v ) = q~v × B(~ ~ r). Hierf¨ ~ · ~v = 0, also E = T (~ Ausnahme z.B. Lorentzkraft F ur F p) =const.
(4.8)
5
EFFEKTIV EINDIMENSIONALE BEWEGUNGSPROBLEME
19
Dann d (T + V ) = −α~v 2 < 0 dt
Summe aus kinetischer Energie und Potential nimmt zeitlich ab.
(4.9)
Ende der Bewegung, wenn ein Potentialminimum erreicht wurde.
5
Effektiv eindimensionale Bewegungsprobleme
5.1
qualitative Diskussion
Wir betrachten Kraftfelder mit der Struktur
F~ (~r) = (F (x), G(y), H(z)).
Die 3 Komponenten der Bewegungsgleichung sind dann entkoppelt. Es reicht stellvertretend eine zu betrachten: m¨ x = F (x). Z Hierf¨ ur existiert immer ein Potential:
x
V = V (x) = −
F (x0 )dx0
(5.1)
x0
Probe: − grad V (x) = −(V 0 (x), 0, 0) = F (x)~ex q.e.d. Also Erhaltung der Energie, p2 + V (x) = E = const. 2m
(p = mx) ˙
(5.2)
p2 = E − V (x) ≥ 0 2m ⇒ Bewegung nur m¨oglich, wo
E ≥ V (x)
klassisch erlaubt
in der Quantenmechanik wird dann dieses Verbot aufgeweicht, die Wellenfunktion kann etwas in diese Bereiche eindringen. Siehe Tunneleffekt.
⇒ an jeder klassisch erlaubten Stelle gibt es 2 M¨ oglichkeiten: ½ p • Bewegung vorw¨arts oder p = ± 2m(E − V (x)) • Bewegung r¨ uckw¨arts ⇒ an Stellen mit V (x) = E wird p = 0, das Teilchen bleibt stehen. ⇒ aber: – dort ist im allg. V 0 (x) 6= 0, – es wirkt eine Kraft zur¨ uck in das erlaubte Gebiet, – das Teilchen kehr um. Deswegen heissen diese Stellen klassische Umkehrpunkte.
(5.3)
(5.
6
PUNKTMASSE IM ZENTRALPOTENTIAL – KEPLERPROBLEM
20
⇒ Bei Situationen wie in der Skizze pendelt das Teilchen also in einem der klassisch erlaubten Gebiete zwischen den Umkehrpunkten hin und her. ⇒ Die Gr¨oße der klassisch erlaubten Gebiete w¨achst mit der Energie.
5.2
allgemeine Lo ¨sung der Bewegungsgleichung
Aus der E-Erhaltung folgt unmittelbar r Z x dx 2 dx dx0 q =± (E − V (x)) ⇒ ± q = dt ⇒ ± = t − t0 dt m 2 2 0 x 0 m (E − V (x)) m (E − V (x ))
(5.5)
Das ist eine explizite L¨osung des Bewegungsproblems3 . Sie h¨angt von 2 Konstanten ab: der Anfangslage x0 und der Erhaltungsgr¨ oße E. Das ± unterscheidet zwischen ”Vorw¨arts”- und ”R¨ uckw¨arts”-Bewegung Bei Pendeln zwischen Umkehrpunkten muss man die ±-L¨ osungen geeignet aneinander ketten.
6
Punktmasse im Zentralpotential – Keplerproblem
6.1
allgemeine Reduktion auf effektives 1D-Problem
betrachten Kraftfeld mit kugelsymmetrischen Potential V = V (r) ~r ist eine konservative Zentralkraft. r 2 ~ = ~r × p~ & E = p~ + V (r) sind Erhaltungsgr¨ ⇒L ossen. 2m ⇒ F~ = −V 0 (r)
(6.1)
~ Polarkoordinaten r, ϕ in Ebene senkrecht auf L: ~ Koordinatenwahl: z||L, ~r = r~er
p~ = mr~ ˙ er + mrϕ~ ˙ eϕ
~ = r~er × mrϕ~ ⇒L ˙ eϕ = mr2 ϕ~ ˙ ez . Also ϕ˙ eliminierbar: ϕ˙ =
l , mr2
kinetische Energie damit T =
E= l2 : 2mr2
m 2 r˙ + Veff (r) 2
~ Betrag des Drehimpulses. wobei l = |L| m 2 2 r˙
+
mr2 ϕ˙ 2 2
=
m 2 2 r˙
+
l2 , 2mr2
mit dem Effektivpotential
mithin
Veff (r) =
l2 + V (r) 2mr2
Zentrifugalpotential , Rotationsanteil der kinetischen Energie.
das ist die Energie der 1D-Bewegung des Mapu in einem effektiven Potential
3
bis auf eine Integration, die nur ein technisches Problem ist
(6.2)
6
PUNKTMASSE IM ZENTRALPOTENTIAL – KEPLERPROBLEM
21 Vorlesung 041110
Einf¨ uhrung Vorlesung 05.11.04: wir hatten 6. Punktmasse in Zentralpotential – Keplerproblem 6.1 allgemeine Reduktion auf effektives 1D-Problem ~ Erhaltungsgr¨oßen Energie E & Drehimpuls L ~ ⇒ Bewegung in Ebene ⊥L ⇒ Reduktion auf Polarkoordinaten r, ϕ ϕ˙ = l/mr2 kann durch Betrag l des Drehimpulses ausgedr¨ uckt werden E=
m 2 r˙ + Veff (r) 2
mit
Veff (r) =
l2 + V (r) 2mr2
⇒ radiale 1D-Bewegung in effektivem Potential
6.2
Keplerproblem: Bewegung im Gravitationspotential
Nun Beschr¨ankung auf Bewegung eines Planeten der Masse m im Gravitationspotential
V (r) = −
k r
(k = γmM )
(6.3)
der Sonnenmasse M . Historisch war es wohl so, dass Newton diese Form des Potentials mithilfe seiner neuen Theorie aus den empirischen Keplergesetzen ableiten konnte. Wir werden umgekehrt verfahren, d.h. dieses Potential voraussetzen und die folgenden Keplergesetze daraus herleiten: Kepler I:
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
(6.4)
Kepler II:
Die Verbindungslinie Sonne-Planet u ¨berstreicht in gleichen Zeiten gleiche Fl¨achen.
(6.5)
Kepler III:
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnellipsen.
(6.6)
6.2.1
qualitative Diskussion der Bewegung
Veff (r) = =
l2 k − 2 2mr r l2 2 1 x − kx with x = 2m r
Minimum eff Potentials bei r = q :=
(6.7) (6.8) l2 mk
(6.9)
Wert des eff Potentials am Minimum: min Veff = −
Kurze Rechnung zeigt
kq Veff (x) = −E0 + 2
µ ¶ 1 2 x− . q
mk 2 = −k/2q = −E0 2l2
(6.10)
(6.11)
6
PUNKTMASSE IM ZENTRALPOTENTIAL – KEPLERPROBLEM
22
2 qualtitativ verschiedene M¨oglichkeiten: −E0 ≤ E < 0 E≥0
gebundene Bewegung, r bleibt beschr¨ankt
(6.12)
ungebundene Bewegung, r l¨auft bis ins Unendliche
(6.13)
Umkehrpunkte: kq 2
³ ´2 1 x− q .
sie sind L¨osung von E = Veff (x) = −E0 + q q 2(E+E0 ) 1 1 ⇒x= q ± = q (1 ± 1 + EE0 ), also kq q r± = mit ε = 1±ε
r 1+
E l2 k ,q = , E0 = E0 mk 2q
r− : maximaler Abstand (Apog¨aum) r+ : minimaler Abstand (Perig¨aum) ε: Exzentrizit¨at der Bahn
(6.14)
Falls E > 0 wird ε > 1 und r− < 0, es gibt diesen Umkehrpunkt nicht, die Bewegung ist ungebunden. Falls E < −k/2q = min Veff wird ε komplex, solche Bewegung unm¨ oglich. 6.2.2
quantitative Bahnberechnung: Herleitung von Kepler I
Aus der Erhaltung der Energie (6.2) folgt die dr effektive 1D-Bewegungsgleichung: = dt
r
2 (E − Veff (r)) m
(6.15)
oft interessiert nur, wie die Bewegungsbahn aussieht, nicht wie schnell der Mapu darauf flitzt. die Bewegungsbahn wird durch eine Bahngleichung r = r(ϕ) beschrieben. Um diese zu erhalten muss t eliminiert werden. Wir nutzen dazu dϕ = dt · l/mr2 , also dr r2 p 2m(E − Veff (r)) = dϕ l
Diffgleichung f¨ ur die Bahn
Es ist g¨ unstig, hier wieder zur Variablen x = 1/r u ¨berzugehen. dr dϕ
=
dx dx dϕ / dr
=
dx dϕ
dx ∗ (− r12 ) = −r2 dϕ .
(6.16)
6
PUNKTMASSE IM ZENTRALPOTENTIAL – KEPLERPROBLEM
23
Einsetzen, Division durch −r2 , Ausdr¨ ucken von Veff als Funktion (6.11) von x gibt: v à u µ ¶2 ! u 2m kq 1 = −t 2 E + E0 − x− l 2 q s µ ¶ ε2 1 2 = − − x− q2 q
dx dϕ
¯ ¯ 2m 2 1 ¯ ¯ l2 = kq = E0 q 2 , siehe (6.14) (6.17)
Die l¨aßt sich durch Variablenseparation wieder allgemein l¨ osen: Z ϕ=−
r ε2 q2
r=
dx ³ ´2 = arccos 1 − x− q
q 1 + ε cos(ϕ)
µ
qx − 1 ε
¶ bzw.
die Bahn ist ein Kegelschnitt
(6.18)
F¨ ur ε < 1 ergibt sich gebundene Bewegung auf einer Ellipse Damit ist das erste Keplersche Gesetz hergeleitet ! Wichtige Beziehungen: q a= 1 − ε2 r b2 ε= 1− 2 a
q b= √ 1 − ε2 q=
b2 a
(6.19) (6.20)
Es ergeben sich folgende physikalischen Ausdr¨ ucke f¨ ur die Halbachsen: q k qE0 =− unabh¨angig von l, allein durch E bestimmt = 1 − ε2 −E 2E p p l b = a 1 − ε2 = −a −E/E0 = √ proportional zu l −2mE
a =
Damit sind die Bahnformen bei gegenem l und E vollst¨andig bestimmt: Energiebereich
ε
Bahnform
E < −mk/2l2
imagin¨ar
unm¨oglich
−mk/2l2 = E
0
Kreis
−mk/2l2 < E < 0
0 0 nicht benutzt, die Formeln gelten in beiden F¨allen. Mit E =
µv 2 2
> 0 und l = µvb ist das vollst¨andig durch v und b bestimmt.
F¨ ur den Streuwinkel (8.5), θ = π − 2ϕ∞ brauchen wir ϕ∞ = ϕ(r = ∞). Das ist gerade die Nullstelle des Nenners, also ϕ∞ = −1/ε. Damit sin(θ/2) = − sin(ϕ∞ − π/2) = − cos(ϕ∞ ), mithin 1 sin(θ/2) = ε
Grenzwerte:
( θ → 0 f¨ ur E → ∞
(8.13)
θ → π f¨ ur E → 0 (Parabel, R¨ uckw¨artsstreuung)
Es ist sinnvoll den Tangens statt des Sinus zu betrachten: sin(θ/2)
1 tan(θ/2) = p =√ = 2 2 ε −1 1 − sin (θ/2)
Zwischenergebnis:
b(θ) =
r
E0 = E
r
|k| k2 |k| = = . l2 v 2 lv µbv 2
|k| cot(θ/2) µv 2
(8.14) π
θ
⇒ db/dθ = −k/(2µv 2 sin2 (θ/2), dies in (8.9) gibt dσ =
|k| µv 2
cot(θ/2) · (−k/(2µv 2 sin2 (θ/2)) · dΩ/ sin(θ)
Im Nenner noch sin(θ) = 2 sin(θ/2) cos(θ/2), dann ergibt sich die
Rutherford’sche Streuformel
π
θ F¨ ur den totalen Streuquerschnitt
R
1 dσ(φ, θ) = 4
dσ erh¨alt man ∞
das ist Konsequenz des langsamen Abklingens von 1/r.
µ
k µv 2
¶2
dΩ sin (θ/2) 4
(8.15)
9
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
35
Beschleunigte Bezugssysteme
= Bezugssysteme, die keine Intertialsysteme sind. z.B. bremsende Strassenbahn, rotierende Gondel in Karussell, ... was passiert? Zus¨atzlich zur eingepr¨agten Kraft F~ treten Tr¨agheitskr¨afte auf: Kraft durch Linearbeschleunigung Zentrifugalkraft Behauptung:
Corioliskraft Kraft durch Winkelbeschleunigung
~¨ = −mR = −m (~ ω × (~ ω × ~r)) = −2m(~ ω × ~v ) ˙ = −m(ω ~ × ~r)
~ = Urspung und ω R ~ = Winkelgeschwindigkeit des Systems relativ zu einem Intertialsystem. Beweis nun Schritt f¨ ur Schritt, dann physikalische Diskussion.
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
36 Vorlesung 041119
9.1
Ortsvektoren
Sei ~ei (i = 1, 2, 3) die Orthonormalbasis eines beliebigen Bezugssystems Σ. Ein Massepunkt m habe in Σ die Koordinaten xi , m
sein Ortsvektor sei
~r =
X
xi~ei .
(9.1)
i
In Bezug auf irgendein Inertialsystem Σ0 sei ~ der Ursprung von Σ R ~r 0 der Ortsvektor des Mapu. Inertialsystem
~+ ~r 0 = R
X
xi~ei .
(9.2)
i
9.2
Geschwindigkeiten
Geschwindigkeit des Mapu relativ zu Σ:
~v =
X
x˙ i~ei
(9.3)
i
Geschwindigkeit des Mapu relativ zu Σ0 : X ~˙ + ~v + ~r˙ 0 = R xi~e˙ i .
(9.4)
i
In einem beliebig bewegten Bezugssystem Σ verschwinden der erste und letzte Term nicht. ¨ Von Ubungsaufgabe 1 wissen wir: ~e˙ i = ω ~ × ~ei , wobei ω ~ = Winkelgeschwindigkeit von Σ (in Bezug auf ein beliebiges Inertialsystem Σ0 ). Also P P P P ~ × xi~ei = ω ~ × i xi~ei = ω ~ × ~r: ~ × ~ei = i ω e˙ i = i xi ω i xi~ ~˙ + ~r˙ ~r˙ 0 = R
9.3
mit
~r˙ = ~v + ω ~ × ~r
(9.5)
Beschleunigungen
Beschleunigung des Mapu relativ zu Σ:
~a =
X
x ¨i~ei
(9.6)
i
Beschleunigung des Mapu relativ zu Σ0 : ~¨ + ~v˙ + ω ~r¨ 0 = R ~˙ × ~r + ω ~ × ~r˙.
~r˙ = ~v + ω ~ × ~r (Formel 9.5) NR: d P ˙ i~ei = ~a + ω × ~v (analog zu ~r˙ ) ~v˙ = dt ix
~¨ + 2(~ ~r¨ 0 = ~a + R ω × ~v ) + (ω ~˙ × ~r) + ω ~ × (~ ω × ~r)
(9.7)
(9.8)
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
9.4
37
Bewegungsgleichung
Im Inertialsystem Σ0 gilt Newton II: h i ~¨ + 2(~ F~ = m~r¨ 0 = m ~a + R ω × ~v ) + (ω ~˙ × ~r) + ω ~ × (~ ω × ~r)
(9.9)
Umstellen nach m~a gibt die Bewegungsgleichung im beschleunigten System: ~¨ − 2m(~ m¨ a = F~ − mR ω × ~v ) − m(~ ω × (~ ω × ~r)) − m(ω ~˙ × ~r)
(9.10)
das ist die urspr¨ unglich aufgestellte Behauptung. Die Terme sind der Reihe nach F~ :
eingepr¨agte Kraft. Ursache: WW mit anderen K¨ orpern.
~¨ −mR:
Tr¨agheitskraft verursacht durch Linearbeschleunigung des Bezugssystems.
−2m(~ ω × ~v ):
Corioliskraft. Einfluss der Rotation des Bezugssystems auf bewegten K¨ orper.
−m(~ ω × (~ ω × ~r)):
Zentrifugalkraft infolge Rotation des Bezugssystems.
−m(ω ~˙ × ~r):
Tr¨agheitskraft infolge Beschleunigung der Rotation des Bezugssystems.
9.5
Spezialfall 1: bremsende Strassenbahn
eingepr¨agte Kraft: F~s = −mg~ez ~¨ = −m(−aB~ex ) = maB~ex Tr¨agheitskraft: F~T = −mR dabei aB : Bremsbeschleunigung
also Newton II in der Strassenbahn: m~a = m(aB , 0, −g) wer Gleichgewicht halten will, muss sich nach hinten lehnen!
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
9.6
Spezialfall 2: rotierende Erde
38
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
39
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
F~c = −2m([ωy ~ey + ωz ~ez ] × vx~ex ) = −2mvx (−ωy ~ez + ωz ~ey ) = 2mvx ω~eρ Hier ist ~eρ = cos(Ψ)~ez − sin(Ψ)~ey die Richtung von der Erdachse zum Mapu. Die Kraft F~R zeigte in die gleiche Richtung – diese Corioliskraft ist also eine Korrektur dazu
40
9
BESCHLEUNIGTE BEZUGSSYSTEME
41
10
¨ STARRER KORPER
42 Vorlesung 041124
10
10.1
Starrer K¨ orper
Kinetische Energie
10
¨ STARRER KORPER
43
10
¨ STARRER KORPER
10.2
Einschub: Tensoren
44
10
¨ STARRER KORPER
45
10
¨ STARRER KORPER
10.3
46
Der Tr¨ agheitstensor
¨ Ubungsaufgabe Tr¨ agheitsmoment Man beweise, dass jedes der drei Haupttr¨agheitsmomente I1 , I2 , I3 nicht gr¨oßer sein kann, als die Summe der jeweils beiden anderen.
10
¨ STARRER KORPER
47 Vorlesung 041126
10
¨ STARRER KORPER
48
10
¨ STARRER KORPER
49
10
¨ STARRER KORPER
10.4
Der Satz von Steiner
50
10
¨ STARRER KORPER
10.5
~ bezu Drehimpuls L ¨ glich MMP
51
10
¨ STARRER KORPER
10.6
Euler’sche Gleichungen
52
10
¨ STARRER KORPER
53
10
¨ STARRER KORPER
54 Vorlesung 041201
10.7
Anwendung: kr¨ aftefreier symmerischer Kreisel
10
¨ STARRER KORPER
55
Veranschaulichung: Fig aus Honerkamp, γ < 0 das Ω hier entspricht meinem ω Figurenachse = Achse des Gangpolkegels Drehimpuls = Achse des Rastpolkegels beide Kegel ber¨ uhren sich auf der ω-Achse die Kegel rollen mit der Winkelgeschwindigkeit |γ|ω3 aufeinander ab
10
¨ STARRER KORPER
56
analoge Bilder aus dem Nolting f¨ ur beide F¨alle:
Nolting γ < 0
Nolting γ > 0 Z, ω, ζ bezeichnen hier Drehimpuls-, Winkelgeschwindigkeits-, Figurenachse.
10
¨ STARRER KORPER
10.8
kr¨ aftefreier unsymmerischer Kreisel
A) im k¨orperfesten MMP-System
57
10
¨ STARRER KORPER
58
10
¨ STARRER KORPER
59
10
¨ STARRER KORPER
60
B) im raumfesten MMP-System (Poinsot-Bild)
konstant.
10
¨ STARRER KORPER
61
10
¨ STARRER KORPER
62 Vorlesung 041203
10.9
Euler’sche Winkel
Wenn ¨außere Drehmomente wirken, ist Umrechnung zwischen raum- u. k¨ orperfesten Systemen n¨ otig. Daf¨ ur bestens geeignet: Eulersche Winkel. ~ex , ~ey , ~ez : raumfestes MMP-System ~e1 , ~e2 , ~e3 : k¨orperfestes Hauptachsen-MMP-System gemeinsamer Ursprung: 0 −→ ~eN : Richtung Schnittlinie 0N von x, y- und 1, 2-Ebene Die Eulerwinkel charakterisieren Abfolge von 3 Drehungen: ϕ:
~ex nach ~eN , Drehachse: ~ez
(10.1)
θ:
~ez nach ~e3 , Drehachse: ~eN
(10.2)
ψ:
~eN nach ~e1 , Drehachse: ~e3
(10.3)
Hier Skizze aus Landau:
Wir wollen nun ω ~ durch diese Winkel ausdr¨ ucken.
10
¨ STARRER KORPER
63
10
¨ STARRER KORPER
10.10
Anwendung: schwerer symmetrischer Kreisel
64
10
¨ STARRER KORPER
65
10
¨ STARRER KORPER
66
10
¨ STARRER KORPER
67
68 Vorlesung 041208
Teil II
Lagrange-Hamilton-Mechanik oder auch: Analytische Mechanik. Keine neue Physik gegen¨ uber der Newtonmechanik, aber neue, alternative Formulierungen. Warum?:
• weil sie historisch entwickelt wurden • weil sie manche Bewegungsprobleme eleganter zu l¨ osen gestatten • weil sie vertiefende Einsichten liefern • weil sie weiterf¨ uhrende Ans¨atze liefern (Richtung Quantenmechanik, statistische Physik)
11
Verallgemeinerte Koordinaten
Die Newton-Mechanik basiert auf kartesischen Ortskoordinaten. Diese sind der Problemstellung nicht immer gut angepasst. Rotationsbewegungen z.B. werden besser durch Winkel charakterisiert (Eulerwinkel beim starren K¨ orper). Die analytische Mechanik formuliert die Bewegungsgesetze mit (fast) beliebigen Koordinaten. Verallgemeinerte Koordinaten eines mechanischen Systems sind voneinander unabh¨angige skalare Gr¨oßen q1 , q2 , . . . , qf , welche die Konfiguration des Systems, d.h. die Lage aller seiner Elemente relativ zum Bezugssystem, vollst¨andig bestimmen.
(11.1)
• voneinander unabh¨angig: jedes qi kann seinen Wertebereich unabh¨angig von den Werten der anderen verallg. Koordinaten durchlaufen. • vollst¨andig bestimmen: zu jedem m¨oglichen Satz von Koordinatenwerten gibt es genau eine Konfiguration des Systems. • verallgemeinerte Koordinaten sind nicht notwendig Ortskoordinaten • f = Zahl der Freiheitsgrade des Systems • wir beschr¨anken uns auf Systeme, f¨ ur welche verallgemeinerte Koordinaten existieren. • q := q1 , . . . , qf bezeichne den ganzen Satz von verallg. Koordinaten Im Verlaufe der Bewegung ¨andern sich die Koordinaten, sie h¨angen von der Zeit ab, qi = qi (t). Konsequenterweise q˙i (t) =
dqi (t) dt
(i = 1, . . . , f ),
kurz q(t), ˙
verallgemeinerte Geschwindigkeiten
Gibt es entsprechende ”verallgemeinerte Bewegungsgleichungen”?
(11.2)
12
12
DIE LAGRANGE-GLEICHUNGEN (ZWEITER ART)
69
Die Lagrange-Gleichungen (zweiter Art)
Axiom: Jedes mechanische System mit verallgemeinerten Koordinaten q = q1 , . . . , qf besitzt eine Lagrange-Funktion L(q, q, ˙ t) und gen¨ ugt den d ∂L ∂L − = 0 (i = 1, . . . , f ), dt ∂ q˙i ∂qi
Lagrange-Gleichungen
kurz
d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ q˙ ∂q
¨ • Formale Ahnlichkeit zu den Newtongleichungen p˙ = K entsteht durch die neuen Begriffe µ ¶ ∂L ∂L ∂L def K = verallgemeinerte Kr¨ afte = ,..., ∂q ∂q1 ∂qf ¶ µ ∂L ∂L ∂L def ,..., p = verallgemeinerte Impulse = ∂ q˙ ∂ q˙1 ∂ q˙f
(12.1)
(12.2) (12.3)
• man verwechsle nicht Lagrange-Funktion und Lagrange-Gleichungen • die Lagrange-Funktion ist im allgemeinen eine Funktion aller verallgemeinerten Koordinaten, Geschwindigkeiten und der Zeit. • die Lagrange-Gleichungen sind die gesuchten Bewegungsgleichungen f¨ ur die verallgemeinerten Koordinaten. • eine Bewegungsgleichung f¨ ur jeden Freiheitsgrad • im allg. enthalten sie q, q˙ und – wegen der Zeitableitung – auch die Beschleunigungen q¨, es sind gew¨ohnliche Diffgleichungen 2. Ordnung, wie auch die Newtongleichungen. • Die L-Funktion ist nicht eindeutig. Addition einer totalen zeitlichen Ableitung d dt f (q, t)
→
d ∂ dt ∂ q˙i
∂f ∂q
d dt f (q, t)
l¨aßt die L-Gleichungen unver¨andert:
∂f ∂t
= q˙ · + ¡d ¢ ∂f d ∂ · ∂f dt f = dt ∂¡q˙i (q˙ ¢ ∂q + ∂t ) = d = ∂q∂ i dt f q.e.d.
d ∂f dt ∂qi
= (q˙ ·
∂ ∂q
+
∂ ∂f ∂t ) ∂qi
=
∂ ∂qi (q˙
·
∂ ∂q
+
∂ ∂t )f
• Woher nimmt man nun eine Lagrange-Funktion?
13
Die Lagrange-Funktion konservativer Systeme
Satz: Die Lagrange-Funktion eines konservativen mechanischen Systems lautet T (q, q): ˙ kinetische Energie, ausgedr¨ uckt durch q, q˙
L = L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − U (q)
U (q) : potentielle Energie in verallg. Koord.
Beweis f¨ ur beliebige Koordinaten und Systeme mit Bewegungsbeschr¨ankungen folgt sp¨ater (im Abschnitt d’Alembert-Prinzip). Hier Beweis f¨ ur System freier Massepunkte u. kartesische Koordinaten: q = xiα ; i = 1, . . . , N ; α = 1, 2, 3. P Dann T = iα m2i x˙ 2iα unabh¨angig von den Koordinaten und ∂T ∂ x˙ iα
verallg. Impulse piα =
∂L ∂ x˙ iα
=
verallg. Kr¨afte Kiα =
∂L ∂xiα
∂U = − ∂x = gew¨ohnliche kartesische Kr¨afte iα
= mx˙ iα = gew¨ ohnliche kartesische Impulse
⇒ Lagrange-Gleichungen mit den Newtongleichungen identisch. q.e.d.
(13.1)
¨ LOSUNG VON BEWEGUNGSPROBLEMEN
14
14
70
L¨ osung von Bewegungsproblemen
14.1
Lagrange-Rezept (fu ¨ r konservative Systeme)
Offensichtlich muss man f¨ ur die L¨osung eines konkreten Bewegungsproblems mit den Lagrange-Gleichungen folgende Schritte absolvieren: 1. bestimme die Zahl f der Freiheitsgrade 2. w¨ahle geeignete verallgemeinerte Koordinaten qi (i = 1, . . . , f ) 3. bestimme U (q), die potentielle Energie als Funktion der verallg. Koordinaten q 4. bestimme T (q, q), ˙ die kinetische Energie als Funktion der verallg. Koordinaten u. Geschwindigkeiten 5. bilde damit die Lagrange-Funktion L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − U (q) 6. berechne damit explizit die Ableitungen in den f Lagrange-Gleichungen
d ∂L dt ∂ q˙i
−
∂L ∂qi
=0
7. l¨ose die entstandenen Bewegungsgleichungen (evtl. n¨aherungsweise)
14.2
Anwendungsbeispiel: ebenes mathematisches Pendel
Mapu m pendelt an masseloser Stange der L¨ange l 1. Bewegung auf Kreiskurve in Ebene ⇒ f = 1 2. am sinnvollsten q = q1 = ϕ (Drehwinkel) 3. U (ϕ) = −mgh(ϕ) = −mgl cos(ϕ) 4. T =
m 2 2v
=
5. L(ϕ, ϕ) ˙ =
m ˙ 2 2 (lϕ)
ml2 2 ˙ 2 ϕ
=
ml2 2 ˙ 2 ϕ
+ mgl cos(ϕ)
6. K =
∂L ∂ϕ
= −mgl sin(ϕ) verallg. Kraft hier = Drehmoment
p=
∂L ∂ ϕ˙
= ml2 ϕ˙ verallg. Impuls hier = Drehimpuls bez. Achse
p˙ = ml2 ϕ¨ ⇒ ml2 ϕ¨ + mgl sin ϕ = 0 ⇒ ϕ¨ + ω 2 sin ϕ = 0 tisches Pendel.
(ω 2 = g/l)
Bewegungsgleichung ebenes mathema-
7. einfache L¨osung nur f¨ ur kleine Ausschl¨age: |ϕ| ¿ 1 ⇒ sin ϕ ≈ ϕ ⇒ Oszillatorgleichung, also ϕ(t) = ϕ(0) cos(ωt) + ϕ(0) ˙
sin(ωt) ω
harmonische Schwingung um Ruhelage ϕ = 0.
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
71 Vorlesung 041210
15
Begru ¨ ndung der Lagrange-Gleichungen
Systeme mit Bewegungsbeschr¨ ankungen Wir betrachten Systeme, deren freie Bewegung in irgendeiner Form eingeschr¨ankt ist. Als Beispiel (aus Nolting): Kolben mit Pleuelstange und Kurbelwelle die Lage des Systems ist durch ϕ festgelegt wie geschieht das physikalisch? durch sogenannte Zwangskr¨ afte: die Elemente des Systems ”dr¨ ucken” so aufeinander, dass relative Positionen mit ϕ vertr¨aglich diese Zwangskr¨afte F~ Z m¨ ussen in den Newtongleichungen ber¨ ucksichtigt werden aber sie ¨andern sich st¨andig sie h¨angen vom Bewegungszustand ab, d.h. von der L¨ osung der Newtongleichung. da beisst sich die Katze in den Schwanz, die Newton-Mechanik hat’s hier schwer! Lagrange mit der varallgemeinerten Koordinate ϕ funktioniert aber problemlos. kann man die Lagrange-Gleichungen f¨ ur solche Systeme mit Bewegungsbeschr¨ankungen herleiten? Modell: Zwangsbedingungen Es gibt verschiedene Formen von Bewegungsbeschr¨ankungen. diese werden durch verschieden Typen von Zwangsbedingungen modelliert. Wir nehmen an, das System sei aus N Massepunkten zusammengesetzt (z.B. den Atomen). holonome Zwangsbedingungen: die Bewegungsbeschr¨ankungen sind formulierbar als p unabh¨angige skalare Gleichungen fν (~r1 , . . . , ~rN , t) = 0
(ν = 1, . . . , p).
Beispiel, Perle auf rotierendem Draht: x −
Zahl Freiheitsgrade: f = 3N − p.
(15.1)
p x2 + y 2 sin(ωt) = 0, z = 0.
nichtholonome Zwangsbedingungen: da gibt es viele, u.a. • Ungleichungen: z.B. wenn Bewegung auf das innere eines Volumens beschr¨ankt ist. • nicht integrierbare differentielle Zwangsbedingungen X
fνiα dxiα + fνt dt = 0 & ex. kein Fν mit fνiα =
i,α
∂Fν ∂Fν , fνt = ∂xiα ∂t
Beispiel: rollendes Rad. Hier existieren keine verallgemeinerten Koordinaten. Nicht geeignet f¨ ur unsere Lagrange-Gleichungen zweiter Art. Werden wir nicht behandeln, Interessenten: s. Lehrb¨ ucher, z.B. Nolting.
(ν = 1, . . . , p)
(15.2)
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
15
72
Beide Typen kann man noch nach folgendem Gesichtspunkt unterscheiden: skleronome Zwangsbedingungen: nicht explizit von der Zeit abh¨angig ∂Fν ∂t
≡ 0 bzw. fνt = 0 ∀ ν
Ab jetzt nur noch holonome Zwangsbedingungen4
4
hier reichte die Zeit nicht zum Weiterschreiben, also nur Scan meines vergeblichen ersten Versuchs von 1990, eine Skripte in den Computer zu hacken.
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
73
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
74
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
75
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
Es bleibt nun nur noch die Beziehung (14) zu beweisen:
76
15
¨ BEGRUNDUNG DER LAGRANGE-GLEICHUNGEN
77
16
DAS HAMILTON-PRINZIP
Einf¨ uhrung 15.12.04:
78 Vorlesung 041215
Kernpunkte der letzten Vorlesungen d ∂L ∂L − =0 dt ∂ q˙ ∂q
Lagrange-Gleichungen
(q = q1 , . . . , qf )
L(q, q, ˙ t): Lagrange-Funktion L(q, q, ˙ t) = T (q, q, ˙ t) − U (q, t) f¨ ur quasikonservativea Kr¨afte µ ¶ ∂L ∂L ∂L def K = verallgemeinerte Kr¨ afte = ,..., ∂q ∂q1 ∂qf ¶ µ ∂L ∂L ∂L def p = ,..., verallgemeinerte Impulse = ∂ q˙ ∂ q˙1 ∂ q˙f ~i = ∇i V (~r1 . . . ~rN , t), damit meine ich eingepr¨ agte Kr¨ afte, f¨ ur die ein Potential existiert, das zeitabh¨ angig sein kann: F U (q, t) = V (~r1 (q, t) . . . ~rN (q, t), t). Die Summe T + V bleibt nur erhalten und ist gleich der Energie, wenn V nicht explizit von der Zeit abh¨ angt, also f¨ ur konservative Systeme. a
16
Das Hamilton-Prinzip
= Prinzip der kleinsten Wirkung def
Z
Wirkung S =
tB
L(q(t), q(t), ˙ t) dt
tA
Grobform Hamilton-Prinzip:
- h¨angt ab von tA und tB - aber auch vom Verlauf von q(t) dazwischen - man nennt das ein Funktional von q
(16.1)
die Systembewegung minimiert S.
nun etwas pr¨aziser. gegeben sei mechanisches System mit verallgemeinerten Koordinaten q = q1 . . . qf die Lagrange-Funktion sei L(q, q, ˙ t) die Positionen zu zwei Zeiten t und tB seien qA bzw. qB 5 Hamilton-Prinzip :
das mechanische System bewegt sich so, dass die Wirkung (16.1) station¨ar wird. (in der Regel minimal)
(16.2)
der Begriff ”station¨ar” wird beim folgenden Beweis klar. Behauptung: das Hamilton-Prinzip ist ¨aquivalent zu den Lagrange-Gleichungen. Beweis a): Lagrange-Gleichungen =⇒ Wirkung station¨ ar Sei q(t) die L¨osung der L-Gleichungen mit q(tA ) = qA und q(tB ) = qB 6 Sei weiter δ(t) eine beliebige (2 mal diffbare) Funktion mit δ(tA ) = δ(tB ) = 0 und qε (t) = q(t) + εδ(t) eine benachbarte potentielle Bahnkurve. Z tB wir betrachten nun S(ε) = L(qε (t), q˙ε (t), t) dt als Funktion von ε. tA
5 die Indizes A und B bezeichnen hier die Zeitpunkte, nicht bestimmte Koordinaten. qA ist also der vollst¨ andige Koordinatensatz zur Zeit tA . qB analog. 6 die L-Gleichungen sind ein System von f Diffgleichungen 2. Ordnung f¨ ur die f Funktionen q(t) und haben genau eine L¨ osung zu diesen Rand-Bedingungen.
17
DIE HAMILTON’SCHEN KANONISCHEN GLEICHUNGEN
¯ dS ¯¯ f¨ ur ε → 0 gilt S(ε) = S(0) + ε + O(ε2 ). dε ¯ε=0
79
(16.3)
Zu beweisen ist: der in ε lineare Term verschwindet f¨ ur alle δ(t) (Stationarit¨at der Wirkung). Nun der Beweis: ¯ ¸ Z tB · dS ¯¯ ∂ ∂ ˙ ˙ = δ(t) + δ(t) L(q, q, ˙ t) dt hier nun partielle Integration des δ-Terms: dε ¯ε=0 ∂q ∂ q˙ tA ¸ · Z tB d ∂L(q, q, ˙ t) ∂L(q, q, ˙ t) = − dt + δ(tA ) + δ(tB ) (16.4) δ(t) ∂q dt ∂ q˙ tA = 0 weil die L-Gleichungen gelten und δ bei tA u. tB verschwindet. q.e.d. Beweis b): Hamilton-Prinzip =⇒ Lagrange-Gleichungen Nehmen wir an, bei irgendeinem t zwischen tA und tB gelte die L-Gleichung nicht. die eckige Klammer in (16.4) habe also einen Wert a 6= 0. sie hat dann in einem hinreichend kleinen Intervall um t das gleiche Vorzeichen. w¨ahlt man δ(t) nichtverschwindend (o.B.d.A. positiv) nur in diesem Intervall, so kann das Integral nicht null werden. das w¨are ein Widerspruch zum Hamilton-Prinzip also folgen aus diesem die Langrange-Gleichungen. q.e.d.
17
Die Hamilton’schen kanonischen Gleichungen
diese sind noch eine alternative Formulierung der Mechanik sie haben nichts direkt mit dem Hamilton-Prinzip zu tun es sind Bewegungsgleichungen f¨ ur die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse
17.1
Formulierung und Beweis
Behauptungen: Verallgemeinerte Koordinaten und Impulse eines mechanischen Systems bewegen sich gem¨aß ∂H ∂H & p˙ = − ∂p ∂q X H(q, p, t) = pi q˙i − L(q, q, ˙ t) q˙ =
Hamilton-Gleichungen
(17.1)
Hamilton-Funktion
(17.2)
f¨ ur quasikonservative Systeme m. skleronomholonomen Bewegungsbeschr¨ankungen
(17.3)
i
H(q, p, t) = T (q, p, t) + U (q, t)
• 2 Gleichungen erster Ordnung f¨ ur jeden Freiheitsgrad • sie heissen kanonisch, weil formal einfach und symmetrisch. • implizite Behauptung in (17.2): H h¨angt nicht von q˙ ab.
17
DIE HAMILTON’SCHEN KANONISCHEN GLEICHUNGEN
80
• Hamilton-Funktion f¨ ur quasikonservative Systeme: Summe aus kinetischer Energie und Potential, ausgedr¨ uckt durch verallgemeinerte Koordinaten und Impulse (nicht Geschwindigkeiten). • f¨ ur richtig konservative Systeme: H =Energie. Beweise: ∂H ∂ q˙k
=
∂H ∂qk
=
∂H ∂pk
=
" # ∂ X ∂L pi q˙i − L(q, q, ˙ t) = pk − = pk − pk = 0 ⇒ H ist unabh¨angig von q˙ ∂ q˙k ∂ q˙k i " # X ∂L ∂ pi q˙i − L(q, q, ˙ t) = 0 − = −p˙k ⇒ 2. Hamiltongleichung ∂qk ∂qk i # " ∂ X pi q˙i − L(q, q, ˙ t) = q˙k − 0 ⇒ 1. Hamiltongleichung ∂qk i
Nun noch Beweis von (17.3) f¨ ur quasikonservative Systeme mit skleronom-holonomen Bewegungsbeschr¨ankungen: X
pi q˙i
=
i
X
q˙i
i
i
= =
X
X ∂ X ∂ X mj ∂ ~r˙ 2 (T (q, q, ˙ t) − U (q, t)) = q˙i T (q, q, ˙ t) = q˙i ∂ q˙i ∂ q˙i ∂ q˙i 2 j
q˙i
X
i
j
X
X
i
q˙i
∂~r˙j mj ~r˙j ∂ q˙i mj ~r˙j
j
i
X ∂~rj X ∂~rj q˙i = mj ~r˙j ∂qi ∂qi j
i
hier benutzen wir skleronom-holonom: ~rj = ~rj (q) ⇒ =
X
j
∂~r˙j ∂~rj in letzter Vorlesung hatten wir: = ∂ q˙i ∂qi
X ∂~rj ∂qi
i
mj ~r˙j 2 = 2T
j
⇒ H(q, p, t) =
X
pi q˙i − L(q, q, ˙ t) = 2T − (T − U ) = T + U
q.e.d.
i
Einfache Beispiele sollen nun die Hamiltongleichungen tiefer verstehen helfen.
q˙i = ~r˙j
17
DIE HAMILTON’SCHEN KANONISCHEN GLEICHUNGEN
81 Vorlesung 041217
17.2
Anwendung 1: freier Massepunkt in konservativem Kraftfeld
keine Bewegungsbeschr¨ankungen ⇒ kartesische Koordinaten m¨ oglich, q = ~r. Potential sei V (~r). T =
m 2 v 2~
⇒
⇒ L(~r, ~r, ˙ t) =
H(q, p, t) =
m~ 2 2 r˙
− V (~r) ⇒ p =
∂L ∂ q˙
= m~r˙ = p~ ⇒ T (q, p, t) =
p ~ 2 2m
Hamilton-Funktion eines freien Massepunktes
p~ 2 + V (~r) 2m
(17.4)
gut merken, wird in Quantenmechanik gebraucht!
Nun die Hamilton-Gleichungen konkret: 1. H-Gleichung: q˙ =
∂H ∂p
ergibt ~r˙ = p~/m
∂V ~ ~ 2. H-Gleichung: p˙ = − ∂H ∂q ergibt p˙ = − ∂~ r =F
Ist nat¨ urlich nix neues gegen¨ uber Newton. L¨osungsweg: erst p~(t) durch Inegration der 2. H-Gleichung bestimmen (falls m¨ oglich), dann daraus ~r(t) durch Integration der 1. H-Gleichung
17.3
Anwendung 2: Perle auf Draht
Eine Perle m¨oge sich reibungsfrei auf einem horizontalen Draht bewegen, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine vertikale Achse rotiere. zun¨achst Lagrange: f = 1, q = Position auf Draht relativ zu Drehachse T = p=
m 2 2v ∂L ∂ q˙
=
m 2 2 (q˙
+ (qω)2 , V = 0
= mq˙
K=
∂L ∂q
⇒
= mωq
L(q, q, ˙ t) = ⇒
m 2 2 (q˙
+ ω2q2)
q¨ − ω 2 q = 0 (L-Gleichung)
die Bewegungsgleichung unterscheidet sich nur durch das Minus-Zeichen vom Oszillator entspricht einem Oszilltor mit ”imagin¨arer” Frequenz vollst¨andige L¨osung: q(t) = q(0) cosh(ωt) + q(0) ˙ sinh(ωt)/ω Asymptotisches Verhalten f¨ ur grosse Zeiten ωt À 1: q(t) → (q(0) + q(0)/ω) ˙ exp(ωt)/2 exponentiell schnell ab nach Unendlich, es sei denn q(0) ˙ = −ωq(0), dann q(t) → q(0) exp(−ωt), Anschleichen an Drehachse nun Hamilton: T (q, p, t) =
p2 2m
+
m 2 2 2ω q
⇒
H = qp ˙ −L=
p2 m
2
p − ( 2m +
m 2 2 2ω q )
=
p2 2m
−
m 2 2 2ω q
Nun die Hamilton-Gleichungen konkret: 1. H-Gleichung: q˙ =
∂H ∂p
ergibt q˙ = p/m
2 2. H-Gleichung: p˙ = − ∂H ∂q ergibt p˙ = mω q
Zur L¨osung kann man die erste ableiten und die zweite einsetzen, das gibt wieder das von Lagrange bekannte.
17
DIE HAMILTON’SCHEN KANONISCHEN GLEICHUNGEN
82
Man kann aber auch Exponentialansatz (p, q) = (p0 , q0 ) exp(λt) machen und das entstehende Gleichungssystem l¨osen. Einfacher ist aber das Nutzen von Erhaltungsgroessen, wie findet man die ? wegen Virus folgt wieder nur Scan eines alten Manuskripts:
18
18
¨ SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSATZE
Symmetrien und Erhaltungss¨ atze
83
18
¨ SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSATZE
18.1
84
Zyklische Koordinaten
Dahinter steckt folgende Symmetrieeigenschaft der Lagrangefunktion: L ist invariant gegen¨ uber der Koordinatentransformation qi → qi + α. α: Parameter der Transformation (eine Strecke bei kartesischem qi , ein Winkel bei Winkel-qi etc.) Invarianz gegen¨ uber dieser Trafo bedeutet also Existenz der Erhaltungsgr¨ oße f (q, q) ˙ := Das l¨aßt sich noch allgemeiner formulieren. Zun¨achst aber:
Frohe Feste !
∂L ∂ q˙i .
¨ SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSATZE
18
85
Einf¨ uhrung 5.1.05 voriges Jahr schlossen wir mit: 18. Symmetrien und Erhaltungss¨ atze ein mechanisches System mit verallgemeinerten Koordinaten q gen¨ ugt den Bewegungsgleichungen p˙ = K
wo p =
∂L ∂L ; K= ∂ q˙ ∂q
L(q, q, ˙ t) = Lagrange-Funktion.
L(q, q, ˙ t) enth¨ alt volle Info u ¨ber das System, also auch u ¨ber Erhaltungsgr¨ oßen = nichttriviale Funktionen f (q, q, ˙ t), die w¨ ahrend der Bewegung konstant bleiben Beispiel: qk zyklisch ⇒ pk (q, q, ˙ t) Erhaltungsgr¨ oße dahinter steckt eine Symmetrie der L-funktion: L ist invariant unter der Koordinatentransformation qk → qk + α das kann verallgemeinert werden:
18.2
Invarianz gegen allgemeine Koordinatentrafo
q(t) → q(t, α) sei eine Koordinatentransformation, die diffbar von einem Parameter α abh¨angt. O.B.d.A. gelte q(t, α = 0) = q(t). Behauptung: X
µ pi
i
∂qi ∂α
¶ ist Erhaltungsgr¨oße, wenn L(q, q, ˙ t) invariant gegen q(t) → q(t, α). α=0
(eines der Theoreme von Emmi Noether)
(18.1)
Beweis: 0 = =
µ ¶ Xµ ¶ Xµ ¶ dL X ∂L ∂qi ∂L ∂ q˙i ∂qi ∂ q˙i ∂qi d ∂qi = + = Ki + pi = p˙i + pi dα ∂qi ∂α ∂ q˙i ∂α ∂α ∂α ∂α dt ∂α i i i ¶ µ d X ∂qi q.e.d. pi dt ∂α i
Nun ist L nur bis auf eine totale zeitliche Ableitung bestimmt. Es geht deshalb noch allgemeiner: Falls L nicht invariant gegen die Trafo q(t) → q(t, α) ist, ¯ dL ¯¯ d aber eine Funktion f (q, q, ˙ t) existiert, so dass = f (q(t), q(t), ˙ t), dα ¯α=0 dt µ ¶ X ∂qi dann ist pi − f (q, q, ˙ t) eine Erhaltungsgr¨ oße. ∂α α=0 i
Im allgemeinen hat man mehrere verschiedene Symmetrien bzw. Invarianzen Anzahl unabh¨angiger Parameter der Symmetrietransformationen = Zahl der Erhaltungsgr¨ oßen. Wir werden nun wichtige Spezialf¨alle behandeln.
18.3
Homogenit¨ at des Raumes – Impulserhaltungssatz
Homogenit¨at des Raumes: alle Raumpunkte ¨aquivalent. ~ ⇒ die L-Funktion abgeschlossener Systeme7 ist unabh¨angig von Schwerpunktslage R 7
~ keine Wechselwirkung mit K¨ orpern ausserhalb des Systems, auch keine Bewegungsbeschr¨ ankung f¨ ur R
(18.2)
Vorlesung 050105
¨ SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSATZE
18
86
~ ⇒ kinetische Energie T aller Systeme unabh¨angig von Schwerpunktslage R
8
⇒ eine Schwerpunktskomponente Rα ist zyklisch, wenn das Potential davon unabh¨angig ist ~˙ 2 ˙ ⇒ ∂R˙α L = ∂R˙α ( M oße. 2 R + Trelativ − U (rrelativ )) = M Rα = Pα ist Erhaltungsgr¨ = Erhaltungssatz des Systemimpulses. Anmerkung: diese Argumente gelten analog f¨ ur die Hamiltonfunktion H.
18.4
Isotropie des Raumes – Drehimpulserhaltungssatz
Isotropie des Raumes: alle Richtungen gleichwertig. ⇒ L-Funktion abgeschlossener Systeme invariant gegen beliebige Drehung ⇒ das T beliebiger Systeme ebenfalls ⇒ falls ¨außeres Potential rotationssymmetrisch bez¨ uglich einer Achse, dann auch die L-Funktion ⇒ die entsprechende Drehimpulskomponente ∂ϕ˙ L ist Erhaltungsgr¨ oße. = Erhaltungssatz f¨ ur den Systemdrehimpuls ur die Hamiltonfunktion H. Anmerkung: diese Argumente gelten analog f¨
18.5
Homogenit¨ at der Zeit – Energieerhaltungssatz
Homogenit¨at der Zeit: alle Zeitpunkte gleichberechtigt. ⇒
die L-Funktion eines Systems h¨angt nicht explizit von der Zeit ab, wenn die ¨außeren Einwirkungen zeitlich konstant sind. o P n ∂L P P ∂L dL d dL q ˙ + q ¨ ¨i } = dt ⇒ 0 = ∂L = − {L − i pi q˙i } = − dH i ∂qi i i {p˙ i q˙i + pi q ∂t dt ∂ q˙i i = dt − dt = Energieerhaltungsatz. ¨ Uberpr¨ ufung mit den Hamiltongleichungen: X dH = dt i
½
∂H ∂H ∂H q˙i + p˙i + ∂qi ∂pi ∂t
¾
¾ X½ ∂H ∂H = −p˙i q˙i + q˙i p˙i + ≡ ∂t ∂t
(18.3)
i
Die Hamiltonfunktion H ist Erhaltungsgr¨oße, wenn sie nicht explizit von der Zeit abh¨angt. Per Definitionem von H gilt immer
∂H ∂t
= − ∂L ∂t .
¨ Ubungsaufgabe ”Massepunkt in Trichter” Ein Massepunkt m unterliege der Bewegungsbeschr¨ ankung z = r := Reibung sei vernachl¨ assigbar.
p
~ = −mg~ez . x2 + y 2 . Außerdem wirke die Schwerkraft F
a) Wie lauten Langrange- und die Hamilton-Funktion? (nutze r als eine verallgemeinerte Koordinate) b) Diskutiere Symmetrien und Erhaltungsgr¨ ossen. c) F¨ uhre das Bewegungsproblem unter Nutzung der Erhaltungsgr¨ oßen auf ein effektives eindimensionales Problem zur¨ uck. d) Diskutiere die Bewegungsformen qualitativ. e) Unter welchen Bedingungen bewegt sich der Massepunkt auf konstanter H¨ ohe z =const.? L¨ ose die LagrangeGleichungen f¨ ur diesen Fall. 8
weil: T ist ja die Energie des Systems ohne ¨ außere Einfl¨ usse
19
POISSONKLAMMERN
19
87
Poissonklammern
19.1
Bewegungsgleichung fu oßen ¨ r mechanische Messgr¨
Hamiltongleichungen = Bewegungsgleichungen 1.Ordnung f¨ ur alle q und p ⇒
vollst¨andige Beschreibung des Bewegungszustands durch – Phasenraumpunkt (q, p) – u. evtl. Zeit (z.B. falls zeitabh¨angige Bewegungsbeschr¨ankungen)
⇒ jede mechanische Messgr¨oße A ist Funktion A(q, p, t) dieser Variablen Welchen Bewegungsgleichungen gen¨ ugt A? dA dt
=
∂A ∂q q˙
+
∂A ∂p p˙
+
∂A Hamiltongl. ∂A ∂H = ∂t ∂q ∂p
dA ∂A = {A, H} + dt ∂t
−
∂A ∂H ∂p ∂q
+
∂A ∂t ,
also9
mit der Poissonklammer
def
{A, B} =
∂A ∂B ∂B ∂A − ∂q ∂p ∂q ∂p
(19.1)
Eigentlich ist die Poissonklammer nur eine Abk¨ urzung. Ihre Einf¨ uhrung macht aber u.a. strukturelle Analogien zur Quantenmechanik deutlich. Stipvisite in der Quantenmechanik: Heisenbergs Unsch¨arferelation verbietet gleichzeitige Messbarkeit von q und p. damit sind Funktionen A(q, p, t) sinnlos. statt dessen werden Messgr¨oßen A durch Operatoren repr¨asentiert. Insbesondere die Energie durch den Hamilton-Operator H. Die Operatoren gen¨ ugen den Bewegungsgleichungen dA 1 ∂A = [A, H] + dt i~ ∂t
mit dem Kommutator
def
[A, B] = AB − BA
offensichtlich entspricht das der klassischen Gleichung (19.1) Kommutator/i~ spielt hier die Rolle der Poissonklammer beide haben auch gleiche algebraische Eigenschaften die der Poisson-Klammer werde ich n¨achstes mal darlegen jene der Kommutatoren kommen in einem Jahr in der Quantenmechanik dran.
9
beachte: q und p umfassen jeweils f Variablen, entsprechend ist z.B.
∂A ∂p
der Vektor aus den f partielen Ableitungen P ∂H ∂A ∂H und Produkte solcher Vektoren sind im Sinne von Skalarprodukten zu verstehen, d.h. z.B ∂A = fi=1 ∂q . ∂q ∂p i ∂pi
19
POISSONKLAMMERN
88
Einf¨ uhrung 5.1.07 19. Poissonklammern 19.1 Bewegungsgleichung f¨ ur mechanische Messgr¨ oßen dA ∂A = {A, H} + dt ∂t
Poissonklammer
def
{A, B} =
voriges mal schlossen wir mit:
∂A ∂B ∂B ∂A − ∂q ∂p ∂q ∂p
Analogie zu Bewegungsgleichung quantenmech. Observablen: dA 1 ∂A = [A, H] + dt i~ ∂t
Kommutator
def
[A, B] = AB − BA
Kommutator/i~ spielt hier die Rolle der Poissonklammer beide haben auch gleiche algebraische Eigenschaften die der Poisson-Klammer sind heute dran.
19.2
Eigenschaften von Poissonklammern
U.a. gilt {A, B} = − {B, A}
Beweis: trivial
(19.2)
{A, B + C} = {A, B} + {A, C}
Beweis: folgt aus Linearit¨at von (19.3) {A, B} in A und B. {A, B · C} = {A, B} C + {A, C} B Beweis: folgt aus Produktregel (19.4) ∂A ∂A & {A, pk } = − (19.5) {A, qk } = ∂pk ∂qk ´ P ³ ∂A ∂qk ∂qk ∂A ´ P ³ ∂A ∂A ∂A Beweis: {A, qk } ≡ i ∂q − · 0 − δ = ki ∂pi = − ∂pk ; {A, pk } analog, q.e.d. i ∂qi ∂qi ∂pi i ∂pi 0 = {A, {B, C}} + {B, {C, A}} + {C, {A, B}} ∂ {A, B} ∂t d {A, B} dt
Jacobi-Identit¨at
Beweis: einfaches, aber m¨ uhsames Nachrechnen. Erspare ich uns. ½ ¾ ½ ¾ ∂A ∂B = , B + A, Beweis: Produktregel & Vertauschbar∂t ∂t keit von Ableitungen ½ ¾ ½ ¾ dA dB = , B + A, dt dt
(19.6) (19.7) (19.8)
das letzteres nicht trivial ist, zeigt der Beweis: d{A,B} (19.1) = dt (19.7)
∂{A,B} (19.6) = ∂t
− {{B, H} , A} − {{H, A} , B} + ∂{A,B} ∂t © ∂A ª © ∂B ª = {A, {B, H}} + {{A, H} , B} + ∂t , B + A, ∂t ª © ª (19.1) © dA ª © dB ª (19.3) © ∂A = A, {B, H} + ∂B = ∂t + {A, H} + ∂t , B dt , B + A, dt {{A, B} , H} +
q.e.d.
Wichtige Konsequenz: die Poissonklammer zweier Erhaltungsgr¨ oßen ist selbst Erhaltungsgr¨ oße. damit kann man unter Umst¨anden neue Erhaltungsgr¨ oßen gewinnen.
19.3
Poissonklammern von Koordinaten und Impulsen
{qi , pk } = δik Beweis: {qi , pk } =
P j
{qi , qk } = {pi , pk } = 0. P ∂pk ∂qi ∂qi ∂pk j δij δkj = δik q.e.d. (der Rest trivial). ∂qj ∂pj − ∂qj ∂pj =
dies sind ganz fundamentale Relationen zwischen verallgemeinerten Koordinaten und Impulsen quantenmechanische Impulse u Koordinaten kommutieren analog ⇒ Unsch¨arferelation Anmerkung: das gilt f¨ ur jede beliebige Wahl von q’s und den dazugeh¨ origen p’s.
(19.9)
Vorlesung 050107
20
KANONISCHE TRANSFORMATIONEN
20
89
Kanonische Transformationen
Der Zustand eines mechanischen Systems entspricht einem Punkt (q, p) im Phasenraum.10 Wir betrachten nun Abbildungen (q, p) ↔ (q 0 , p 0 ) des Phasenraumes auf sich. die neuen Variablen heissen kanonisch, wenn sie ebenfalls Hamiltongleichungen gen¨ ugen, wenn es also eine Funktion H 0 (q 0 , p 0 , t) gibt, so dass ∂H 0 q˙ 0i = ∂p 0i
0
∂H & p˙ 0i = − 0 ∂q i
(i = 1, . . . , f ).
(20.1)
Die Abbildungen zwischen kanonischen Variablen heissen kanonische Transformationen. Das sind die Trafo’s im Phasenraum, gegen welche die H-Gleichungen invariant sind.
20.1
Erzeugende Funktionen
Wann ist eine Trafo kanonisch? Es gilt folgender Satz: Die Phasenraumtransformation (q, p) ↔ (q 0 , p 0 ) ist kanonisch, wenn eine Funktion F (q, q 0 , t) existiert, so dass p=
∂F ∂q
in H 0 = H + einzusetzen.
& p0 = − ∂F ∂t
∂F . ∂q 0
Die neue Hamiltonfunktion ist H 0 = H +
∂F . ∂t
(20.2)
ist hier erst die rechte Seite auszurechnen und dann q = q(q 0 , p 0 , t), p = p(q 0 , p 0 , t)
die Funktion F (q, Q, t) heisst Erzeugende der kanonischen Trafo. Beweis von (20.2): Zu zeigen: (20.1) beschreibt das urspr¨ ungliche System. bzw: die zugeh¨orige Lagrangefunktion L0 (q 0 , q˙ 0 , t) = p 0 q˙ 0 − H 0 ist ¨aquivalent zu L(q, q, ˙ t). Dazu rechnen wir die urspr¨ ungliche Lagrange-Funktion auf die neuen Varaiblen um: ³ ´ dF ∂F ˙ 0 ∂F dF ∂F 0 ˙0 L(q, q, ˙ t) = pq˙ − H = ∂F q ˙ − H = − q − 0 ∂q dt ∂q ∂t − H = dt + p q − (H + ∂t ) = dF + L0 (q 0 , q˙ 0 , t) dt
L0
und L differieren um eine totale zeitliche Ableitung.
Sie sind also ¨aquivalent. q.e.d.11 Wir haben gezeigt: wenn zu einer gegebenen Trafo eine Erzeugende existiert, dann ist sie kanonisch. Kann man umgekehrt aus einem gegebenen F (q, q 0 , t) eine kanonische Trafo generieren? Ja, aber nur unter gewissen einschr¨ankenden Voraussetzungen, wie folgt: • l¨ose p =
∂F ∂q
nach den q 0 auf, das gibt q 0 (q, p, t).
das sind f Gleichungen f¨ ur f Unbekannte. Die Erzeugende F muss so beschaffen sein, dass es genau eine L¨ osung gibt. 10
=(q1 , . . . , qf , p1 , . . . , pf ), Phasenraum 2f-dimensional. Diesen ”Beweis” habe ich mir selbst ausgedacht. Er ist u uchern, ¨beraus elegant im Vergleich zu jenen in den Lehrb¨ die auszuwalzen ich uns nicht antun wollte. Mein Trick besteht in einer demagogischen Umschiffung gewisser Klippen, deren gr¨ undliche Diskussion man z.B. im Nolting finden kann. 11
20
KANONISCHE TRANSFORMATIONEN
90
∂F 0 0 • bilde p 0 = − ∂q 0 , setze das schon bekannte q (q, p, t) ein, das gibt p (q, p, t).
• bilde H 0 = H +
∂F ∂t ,
dr¨ ucke darin q, p durch q 0 , p 0 aus.
das erfordert vorher die Berechnung der R¨ ucktransformation. Die Erzeugende muss so beschaffen sein, dass das eindeutig m¨ oglich ist. Andere erzeugende Funktionen die Erzeugende F h¨angt von den alten und neuen Koordinaten ab. Man kann ggf. Koordinaten durch Impulse ersetzen durch Legendre-Trafo, z.B. Ansatz Φ = F + q 0 · p 0 ⇒ dΦ =
∂F ∂q dq
+
∂F 0 ∂q 0 dq
+ q 0 dp 0 + p 0 dq 0 = pdq − p 0 dq 0 + q 0 dp 0 + p 0 dq 0 = pdq + q 0 dp 0
⇒ Φ = Φ(q, p 0 ) und p =
∂Φ ∂q ;
q0 =
∂Φ ∂p 0 ;
H0 =H+
∂Φ ∂t .
Φ ist also Erzeugende der gleichen kanonischen Trafo, sie h¨angt aber von den neuen Impulsen statt Koordinaten ab. Analog kann man zu erzeugenden Funktionen u ¨bergehen, die von beliebigen f Variablen aus (q, p) und von beliebigen f Variablen aus (q 0 , p 0 ) abh¨angen. Einfaches Beispiel f¨ ur eine Erzeugende F F (q, q 0 , t) = q · q 0 . ⇒ q 0 = p; p 0 = −q Impulse werden zu Koordinaten, Koordinaten zu (negativen) Impulsen. Dies Beispiel zeigt zugleich: die Unterschiede zwischen Koordinaten und Impulsen verwischen im Rahmen des Hamilton-Formalismus, Es sind gleichwertige Variable.
20
KANONISCHE TRANSFORMATIONEN
91
Einf¨ uhrung 12.1.05 20. Kanonische Transformationen = Abbildungen (q, p) ↔ (q 0 , p 0 ), unter denen die Hamilton-Gleichungen forminvariant sind. Die Phasenraumtransformation (q, p) ↔ (q 0 , p 0 ) ist kanonisch, wenn eine erzeugende Funktion F (q, q 0 , t) existiert, so dass p=
∂F ∂q
&
p0 = −
∂F . ∂q 0
(20.2)
Die neue Hamiltonfunktion ist H 0 = H +
∂F . ∂t
Alternative Erzeugende: Φ(q, p 0 , t) = F (q, q 0 , t) + p 0 · q 0
20.2
Invarianz der Poissonklammer gegen kanonische Transformationen
Eine physikalische Gr¨oße A(q, p, t) sei in den transformierten Koordinaten A0 (q 0 , p0 , t) und entsprechend B u. B 0 . Seien {. . .}q,p bzw. {. . .}q0 ,p0 Poissonklammern mit Ableitung nach q, p bzw q 0 , p0 . Behauptung:
{A, B}q,p = {A0 , B 0 }q0 p0
Der Wert der Poissonklammer ist unabh¨angig davon, mit welchem Satz kanonischer Variablen er berechnet wird. Nat¨ urlich m¨ ussen sich die Phasenraumpunkte links und rechts entsprechen, d.h. rechts ist z.B. nach dem Ausrechnen q 0 = q 0 (q, p, t) und p0 = p0 (q, p, t) einzusetzen; bzw. links die Umkehrung.
Beweis: Rechnen geht, ist aber langwierig. Landau argumentiert eleganter, n¨amlich wie folgt: Wir fixieren einen beliebigen festen Zeitpunkt t = t0 . ⇒ B(q, p, t0 ) auffassbar als Hamiltonfunktion eines fiktiven mechanischen Systems. Diese H-Funktion h¨angt nicht von der Zeit t˜ im fiktiven System ab ⇒ B 0 (q 0 , p0 , t0 ) ist die H-Funktion des gleichen fiktiven Systems in neuen Koordinaten (s. (20.2)). die Erzeugende F (q, q 0 , t0 ) der Trafo (q, p) ↔ (q 0 , p0 ) h¨angt auch nicht von t˜ ab, ⇒ {A, B}q,p =
dA dt
=
dA0 dt
= {A0 , B 0 }q0 ,p0 . q.e.d.
Wegen dieser Invarianz ist es unn¨otig, den Index
q,p
bzw.
q 0 ,p0
an die Poissonklammer zu schreiben.
Wichtige Spezialf¨alle: ur die kanonisch transformierten Koordinaten und Impulse gilt (19.9). A = qi0 , B = p0k ⇒ auch f¨
(20.3)
Vorlesung 050112
20
KANONISCHE TRANSFORMATIONEN
20.3
Bewegung als kanonische Transformation
92
21
21
LIOUVILLE-THEOREM
Liouville-Theorem
Anmerkung: das Volumen bleibt konstant, aber es kann sich beliebig verformen. extremes Beispiel: chaotische Bewegung. hierbei entfernen sich dicht benachbarte Anfangspunkte exponentiell schnell voneinander. Anschauung: Nudelteig, der ausgerollt wird, wieder zusammengefaltet, wieder ausgerollt usw.
93
21
LIOUVILLE-THEOREM
Anmerkung: Das Theorem l¨aßt sich wie folgt verallgemeinern: Kanonische Trafos lassen das Phasenvolumen invariant.
94
22
HAMILTON-JACOBI THEORIE
95 Vorlesung 050114
22
Hamilton-Jacobi Theorie
= eine weitere allgemein Formulierung der Mechanik. sie nutzt kanonische Transformationen aus.
22.1
Motivation
Sei H(q, p, t) die Hamilton-Funktion eines mechanischen Systems. Gesucht: eine kanonische Trafo, f¨ ur die H 0 (q 0 , p0 , t) = 0 Dann w¨are das Bewegungsproblem gel¨ost, denn ∂H 0 =0 ∂p0 ∂H 0 = − 0 =0 ∂q
q˙0 = +
⇒
q 0 (t) = β = const.
(β = β1 , . . . , βf )
(22.1)
p˙0
⇒
p0 (t) = α = const.
(α = α1 , . . . , αf )
(22.2)
L¨osung als Funktion von 2f Konstanten.
(22.3)
Einsetzen in die Umkehrtrafo g¨abe q=
q(q 0 , p0 , t)
= q(α, β, t)
p=
p(q 0 , p0 , t)
= p(α, β, t)
Es lohnt sich also, so eine Trafo zu suchen.
22.2
Die Hamilton-Jacobi-Gleichung
Annahme: die gesuchte kanonische Trafo habe eine Erzeugende. Es ist sinnvoll, den Typ Φ(q, p0 , t) zu w¨ahlen, so dass p=
∂Φ ; ∂q
q0 =
∂Φ ; ∂p0
H0 = H +
Die Forderung H 0 = H(q, p, t) + H(q,
∂Φ ∂Φ , t) + =0 ∂q ∂t
∂Φ . ∂t
∂Φ ∂t
(22.4)
= 0 f¨ uhrt dann auf
Hamilton-Jacobi-Gleichung
das ist eine partielle Differentialgleichung f¨ ur Φ. diese ist nichtlinear, weil H in der Regel nichtlinear von p abh¨angt. Es treten nur Ableitungen nach den f + 1 Variablen q, t auf.
(22.5)
22
HAMILTON-JACOBI THEORIE
22.3
96
Allgemeines HJ-L¨ osungsverfahren
HJ = Hamilton-Jacobi Das L¨osen eines Bewegungsproblems mit HJ erfordert offensichtlich folgende Schritte: 1. Stelle H(q, p, t) auf (Schritte wie bei Lagrange / Hamilton). 2. Ersetze die Variablen p durch
∂Φ ∂q ,
bilde die HJ-Gleichung (22.4).
3. Bestimme die allgemeine L¨osung der HJ-Gleichung. Das ist Φ als Funktion von q, t und von f + 1 Integrationskonstanten12 , Φ = Φ(q, α, t) + Φ0
Φ0 = const., α = α1 , . . . , αf = const.
(22.6)
Dieser Schritt ist am schwierigsten. Ich werde sp¨ater l¨ osbare nichttriviale F¨alle vorf¨ uhren. 4. Identifiziere die Konstanten α mit p0 : p0 = α. 5. Bestimme die neuen Koordinaten und setze sie konstant, q0 =
∂Φ = Φα (q, α, t) = β = const. ∂α
(22.7)
das Φα im Rahmen bezeichnet die partiellen Ableiungen von Φ nach den α als Funktion von q, α, t. 6. L¨ose die Gleichung im Rahmen nach den Koordinaten q auf ⇒ q = q(α, β, t). Das ist schon die allgemeine L¨osung des Bewegungsproblems f¨ ur die Koordinaten: q als Funktion von 2f frei w¨ahlbaren Konstanten α, β und der Zeit t. 7. Um die allgemeine L¨osung f¨ ur die Impulse zu bekommen, berechne die f Funktionen Φq (q, α, t) := ∂Φ ∂q , setze das bereits bekannte q(α, β, t) ein, ⇒ p = Φq (q(α, β, t), α, t) = p(α, β, t). Das ist dann die allgemeine L¨osung des Bewegungsproblems f¨ ur die Impulse: p als Funktion der 2f Konstanten α, β und der Zeit t. 8. L¨ose ggf. die Anfangsbedingungen nach den Konstanten α, β auf.
22.4
Konservative Systeme
Wir wenden uns jetzt dem Hauptproblem zu: dem L¨ osen der HJ-Gleichung (22.4). Bei konservativen Systemen kann das etwas vereinfacht werden. Hier gilt H = H(q, p) unabh¨angig von t. Das erm¨oglicht eine Separationsansatz Φ(q, t) = Φ0 (q) + ϕ(t).
(22.8)
0 ⇒ H(q, ∂Φ ˙ =0 ∂q ) + ϕ
⇒ ϕ˙ unabh¨angig von t = const. ⇒ H =const. Diese Konstante ist nat¨ urlich die Energie E. Alles zusammen: konservatives System: Φ(q, t) = Φ0 (q) − E · t & H(q,
∂Φ0 )=E ∂q
konservative HJ-Gleichung
Die konservative HJ-Gleichung ist einfacher, aber auch nur in Spezialf¨allen l¨ osbar. Deshalb weitere Vereinfachungen. 12
eine Integrationskonstante ist additiv, weil die HJ-Gleichung nur Ableitungen von Φ enth¨ alt.
(22.9)
22
HAMILTON-JACOBI THEORIE
22.5
97
Vollst¨ andig separable Systeme
Die HJ-Gleichung l¨aßt sich vollst¨andig l¨osen, wenn H additiv aus Termen besteht, die jeder nur von einem qi , pi -Paar abh¨angen: H(q, p) =
f X
Hi (qi , pi )
vollst¨andig separables konservatives System.
(22.10)
i=1
P
Separationsansatz: Φ(q, t) =
i Φi (qi )
− Et
HJ-Gl.
⇒
P
dΦi i Hi (qi , dqi )
= E.
Jeder Summand i h¨angt nur von ”seiner Koordinate” qi ab ⇒ er muss konstant sein. Zu l¨osen bleibt also Hi (qi ,
dΦi ) = Ei dqi
( i = 1, . . . , f ; )
(22.11)
Das sind nur noch f voneinander unabh¨angige gew¨ ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung. Diese lassen sich immer wie folgt l¨osen: – aufl¨osen nach pi =
dΦi dqi
– integriere: Φi (qi , Ei ) =
⇒ R
pi = pi (qi , Ei )
pi (qi , Ei )dqi
Damit wird dann also Φ = Φ(q, E1 , . . . , Ef , t) =
X µZ
¶ pi (qi , Ei )dqi − Ei t .
(22.12)
i
Die Integrale sind Wirkungsintegrale, das ganze Φ ist die gesamte Wirkung des Systems (als Fkt. der Koord u der Zeit). Damit ist die allgemeine L¨osung der HJ-Gleichung auf einfache Integrationen zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Integrationskonstanten addieren sich zu einer einzigen, Φ0 , die aber keine Rolle spielt. Die Teilenergien Ei k¨onnen als die konstanten neuen Impulse αi genommen werden. weitere Schritte des Algorithmus: Schritt 5:
bestimme die konstanten neuen Koordinaten βk =
Schritt 6:
∂Φ = ∂Ek
Z
∂pk (qk , Ek ) dqk − t ∂Ek
das hat die Dimension einer Zeit. l¨ose nach den Koordinaten auf. Geht nicht allgemein. Aber es hat die Form qk = qk (Ek , βk + t)
Schritt 7: Impulse pk (qk , Ek ) war beim L¨osen der gew¨ ohnlichen Diffgl. schon angefallen.
22.6
Beispiele
hier schaffe ich wieder nur rudimantaere scans:
(22.13)
22
HAMILTON-JACOBI THEORIE
98
22
HAMILTON-JACOBI THEORIE
99
100 Vorlesung 050119
Teil III
Relativit¨ atstheorie Schliesslich haben wir ja das Einstein-Jahr. Jeder hat irgendwie eine Vorstellung von Relativit¨atstheorie. Ich will wie folgt vorgehen: – Elementare Spezielle Relativit¨atstheorie – Spezielle Relativit¨atstheorie mit Vierer-Vektoren und -Tensoren – Ein Hauch von Allgemeiner Relativit¨atstheorie Dies untersetzt in mehrere Kapitel.
23
23
¨ VON INERTIALSYSTEMEN IN DER NEWTON-MECHANIK 101 WDHLG: RELATIVITAT
Wdhlg: Relativit¨ at von Inertialsystemen in der Newton-Mechanik
23
¨ VON INERTIALSYSTEMEN IN DER NEWTON-MECHANIK 102 WDHLG: RELATIVITAT
24
24
PRINZIP VON DER KONSTANZ DER LICHTGESCHWINDIGKEIT
Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
die Galilei-Trafo liefert ja: c0 = c − v 6= c !!! Also m¨ ussen die Trafo-Formeln korrigiert werden. Aber wie ?
103
25
25
DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
Die Lorentz-Transformation
104
25
DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
105
25
DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
106
Das ist die spezielle Lorentz-Transformation. Speziell weil angenommen wurde: – bei t = t0 = 0 fallen Urspr¨ unge beider Inertialsysteme zusammen – x- und x0 -Achsen parallel zur Relativgeschwindigkeit ~v Allgemeine Lorentz-Transformation: – beliebige Ursprungslage, Achsenorientierungen, Zeitnullpunkte in beiden Inertialsystemen – aber identische Uhren u. L¨angenmaßst¨abe Ist durch folgende Operationen auf spezielle Lorentztrafo r¨ uckf¨ uhrbar: 1. r¨aumliche Verschiebung von Σ, so dass Urspr¨ unge bei t0 = 0 zusammenfallen. 2. zeitliche Verschiebung von Σ, so dass in diesem Moment t = 0. 3. r¨aumliche Drehung von Σ, so dass x-Achse parallel ~v . 4. spezielle Lorentz-Trafo. 5. r¨aumliche Drehung von Σ0 in gew¨ unschte Achsenorientierung. Die Schritte 1–3 und 5 sind trivial, verkomplizieren aber die Formeln. ¨ Ubungsaufgabe zur Lorentz-Transformation Zwei Ereignisse m¨ogen in einem Inertialsystem den r¨aumlichen Abstand ∆l und den zeitlichen Abstand ∆t haben. Beweise, dass ∆s2 = ∆l2 − c2 ∆t2
Dabei ∆s2 = (∆s)2 etc.
invariant unter allgemeinen Lorentz-Transformationen ist.
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
107 Vorlesung 050121
26
Erste Folgerungen aus der Lorentz-Transformation
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
26.1
c als Maximalgeschwindigkeit
108
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
26.2
Relativierung von Gleichzeitigkeit
109
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
26.3
Zeitdilatation
110
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
26.4
L¨ angenkontraktion
111
26
ERSTE FOLGERUNGEN AUS DER LORENTZ-TRANSFORMATION
26.5
Addition von Geschwindigkeiten
112
27
RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG
27
113
Relativistische Bewegungsgleichung
Im Inertialsystem Σ wirke auf einen Massepunkt mit der Ruhemasse m0 die Kraft F~ . Wie ¨andert sich seine Geschwindigkeit ~u(t)? Hier: Beschr¨ankung auf F~ parallel ~u parallel x−Achse. Behauptung: dp m0 u = F mit p(u) = p . dt 1 − u2 /c2
" m(u) = p
m0 1 − u2 /c2
# : Impulsmasse
(27.1)
27
RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG
114
Beweis: ein zweites Inertialsystem Σ0 erf¨ ulle die Bedingungen der speziellen Lorentztrafo und habe die Relativegeschwindigkeit v = u(t = 0). Dann ist u0 (t0 = 0) = 0., also |u0 (t0 )| ¿ c in einem hinreichend kleinen Zeitintintervall um t0 = 0 herum. Hier gilt die klassische Mechanik, also m0 u˙ 0 = F 0 . Gleichsetzen von F und F 0 f¨ uhrt auf13 :
q.e.d.
13
dass das nichttrivial ist, werden wir spter im Minkowskiraum sehen.
27
RELATIVISTISCHE BEWEGUNGSGLEICHUNG
115 Vorlesung 050126
Einf¨ uhrung 26.01.05. Kern der Relatheorie bisher. Konfiguration f¨ ur die spezielle Lorentz-Trafo:
Alle Inertialsysteme ¨aquivalent & c =const
x
0
dp dt
=
y0 = y
x − vt
p 1 − v 2 /c2
= F
z0 = z
=⇒
t − vx/c2 t0 = p 1 − v 2 /c2
m0 u p(u) = p . 1 − u2 /c2
Spezialfall konstante Kraft F =const. Erste Integration liefert: p(t) = F · t
m0 u p= p 1 − u2 /c2
⇒
Kein Unterschied zur Newton-Mechanik ! Aber das zugeh¨ orige u ist anders:
p2 u2 /c2 = 1 − u2 /c2 m20 c2
p2 (1 − u2 /c2 ) = u2 /c2 m20 c2 p2 ⇒ u2 /c2 = 2 2 m c + p2 0 p/m0 f¨ ur p → 0 −→ c f¨ ur p → ∞ ⇒
p/m0 u= p 1 + (p/m0 c)2
explizit als Funktion der Zeit:
gt u(t) = p 1 + (gt/c)2
p / m0c g=
F m0
28
28
¨ MASSE-ENERGIE-AQUIVALENZ
116
¨ Masse-Energie-Aquivalenz
Behauptung:
E = mc2
(28.1)
Beweis: die von der Kraft im gegebenen Moment dem Mapu zugef¨ uhrte Leistung ist F ·u=
dp d · u = u (m(u)u) = mu ˙ 2 + muu˙ dt dt
NR: m ˙ =
d m0 −m0 muu˙ −2u p = also muu˙ = m(c ˙ 2 − u2 ) ⇒ (1 − u2 /c2 )−3/2 · ( 2 ) · u˙ = 2 dt 1 − u2 /c2 2 c c − u2
d (mc2 ) dt ¨ Die zugef¨ uhrte Leistung ist gleich der Anderung der Energie des Mapu, F · u = mu ˙ 2 + m(c ˙ 2 − u2 ) = mc ˙ 2=
also E = mc2 +const. q.e.d. die const. setzt man u ¨blicherweise null14 . Dann hat man 2 Beitr¨age: Ruheenergie E0 = m0 c2 . U.a. Ursache f¨ ur E-Freisetzung bei Kernumwandlungen mit Massedefekt. p kinetische Energie Ekin = E − E0 = m0 c2 (1/ 1 − u2 /c2 − 1). Das sieht sehr anders aus als klassisch. Stimmt das Korrespondenzprinzip? Entwickeln nach Potenzen von u2 /c2 : p Ekin = m0 c2 (1/ 1 − u2 /c2 − 1)
u→0
−→
m0 c2 (1 +
1 u2 m0 2 u − 1) = 2 2c 2
das ist die klassische kinetische Energie, Korrespondenzprinzip ist erf¨ ullt.
14
auf die Frage warum, komme ich sp¨ ater zur¨ uck.
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 117
29
Experimente zur Best¨ atigung der speziellen Relativit¨ atstheorie
Es gibt viele, man st¨obere in der Literatur. Hier 3 Beispiele (sorry, Eingescanntes von frueher).
29.1
Michelson-Versuch
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 118
Bilder von http://galileo.phys.virginia.edu/classes/109N/lectures/michelson.html
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 119
29.2
Myonen-Lebensdauer
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 120
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 121
29
¨ ¨ EXPERIMENTE ZUR BESTATIGUNG DER SPEZIELLEN RELATIVITATSTHEORIE 122
29.3
Optischer Dopplereffekt
Ende der elementaren Relativit¨atstheorie.
30
30
DER LICHTKEGEL
Der Lichtkegel
123
30
DER LICHTKEGEL
Das ist ein Bild des Lichtkegels. Andere Darstellungen:
124
30
DER LICHTKEGEL
125
30
DER LICHTKEGEL
126
31
GRUNDELEMENTE DES MINKOWSKI-RAUMES
31
127
Grundelemente des Minkowski-Raumes
31.1
Vierervektoren
Die Raum-Zeit-Koordinaten von Ereignissen sind (ct,x,y,z). das sind Vektoren in einem 4-dimensionalen Raum. genauer: deren Komponenten in einem gegebenen Inertialsystem. der Ereignisvektor selbst ist schreibbar als i x nicht x hoch i, sondern i-te Komponente von x wir legen fest: x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z
Ereignisvektor: x = xi ei
ei : Basis-4er-Vektoren des geg. Inertialsystems ¨ber Paare gleicher hier und folgend Einstein-Konvention: u Indizes oben und unten wird von 0 bis 3 summiert.
(31.1)
im folgenden Vierervektoren fett, gew¨ohnliche Dreiervektoren mit Vektorpfeil. ¨ Der Ubergang zu einem neuen Inertialsystem Σ0 bedeutet Basiswechsel15 . Der Ereignisvektor ¨andert sich dabei nicht, es gilt x0i e 0i = xi ei .
(31.2)
Die neue Basis kann immer als Linearkombination der alten dargestellt werden (und umgekehrt). Deren Koeffizienten bestimmen eindeutig eine lineare Koordinatentransformation. Anmerkung:
Definition:
31.2
Die genaue Gestalt dieser Trafo spielt hier gar keine Rolle. Wir wissen nat¨ urlich, dass es die Lorentztrafo ist. Eine Gesamtheit von 4 Gr¨ oßen (a0 , a1 , a2 , a3 ) heisst Vierervektor, wenn sie sich ¨ beim Ubergang zu einem anderen Koordinatensystem genau wie die Ereignisvektorkoordinaten (x0 , x1 , x2 , x3 ) transformiert.
Skalarprodukt und Metrik
Messen kann man nur in einem Raum mit Metrik. Das setzt ein Skalarprodukt voraus. Skalarprodukte sind immer bilinear in den Koordinaten, d.h. (x, y) = gij xi y j
[ gij = (ei , ej ) = gji heisst metrischer Tensor ]
(31.3)
Es ist sinnvoll, das wie folgt umzuschreiben: ½ (x, y) = xi y i = xi yi
xi = gi jxj kovariante Komponenten eines Vektors x, im Unterschied zu seinen kontravarianten Komponenten xi .
Der metrische Tensor legt die Geometrie des Raumes fest. 15
Wie wir schon wissen, k¨ onnen wir uns auf solche mit gleichem Ursprung beschr¨ anken.
(31.4)
31
GRUNDELEMENTE DES MINKOWSKI-RAUMES
128
Insbesondere die L¨ange von Vektoren, x2 = (x, x) = gij xi xj .
(31.5)
Nun sind Vektoren als Elemente des Raumes Objekte, die nicht vom Bezugssystem abh¨angen. Also m¨ ussen auch ihre Skalarprodukte invariant sein und insbesondere ihre L¨angen. Die entsprechende Invariante der speziellen Relatheorie ist bekanntlich
x2 = −(x0 )2 + (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 , also
−1 0 gij = (ei , ej ) = 0 0
0 0 0 1 0 0 . 0 1 0 0 0 1
Der metrische Tensor ist fast die Einheitsmatrix – bis auf das Vorzeichen der Zeitkomponente. Einige Konsequenzen: – e20 = −1, d.h. dieser Basisvektor hat eine imagin¨are L¨ange. – x0 = −x0 , kontra- und kovariante Zeitkomponenten unterscheiden sich durch das Vorzeichen. – f¨ ur die Orskomponenten k = 1, 2, 3 gilt hingegen xk = xk , deshalb ist man es nicht gew¨ ohnt, sie zu unterscheiden.
(31.6)
31
GRUNDELEMENTE DES MINKOWSKI-RAUMES
129 Vorlesung 050202
wir sind in 31. Grundelemente des Minkowsik-Raumes Weltpunkt x = xi ei = x0 i e0 i x0 = ct, (x1 , x2 , x3 ) = ~r
Skalarprodukt (x, y) = gij xi y j
−1 0 metrischer Tensor: gij = 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
4er-Vektor ai : transformiert sich wie xi (Lorentz-Trafo) kovariante Komponenten: ai = gij aj d.h. (a0 , a1 , a2 , a3 ) = (−a0 , a1 , a2 , a3 ) Einheitsmatrix: δji , kontravariante Metrikkomponenten: g ij = gij 4er-Vektor = 4er-Tensor erster Stufe ¨ Ubungsaufgabe Minkowski-Metrik Zeige, dass die spezielle Lorentztransformation aus den Eigenschaften gi6=j = 0 und −g00 = g11 = g22 = g33 = 1 des metrischen Tensors des Minkowskiraumes (in jeder kartesischen Basis) folgt.
31.3
Vierertensoren
Tensoren sind eine Verallgemeinerung des Vektorbegriffes.
Definition:
Eine Gesamtheit von 4n Gr¨ oßen ai1 i2 ...in heissen kontravariante Komponenten eines ¨ Vierertensors n-ter Stufe, wenn sie sich beim Ubergang zu einem anderen Koori i i n 1 2 dinatensystem genau wie das Produkt x · x · · · x von n kontrovarianten Vektorkomponenten transformiert.
Offensichtlich sind Vierervektoren gerade Vierertensoren 1ter Stufe. Absenken und Anheben von Indizes man kann einen Tensor bez¨ uglich jedes Indizes auch kovariant darstellen: z.B. ai1 ...im−1 im im+1 ...in = gim+1 k ai1 ...im−1 kim+1 ...in man sagt: Absenken des Index. Genauso geht Anheben mit g ij = gij . Verj¨ ungen von Tensoren Wenn je ein kontra- und ein kovarianter Index eines Tensors gleichgesetzt werden (und dar¨ uber absummiert), heisst dies Verj¨ ungen des Tensors. (der wird dabei nicht j¨ unger, sondern um 2 Stufen kleiner). Beispiel: das Skalarprodukt ai bi kann als Verj¨ ungung des 2-stufigen Tensors ai bj zu einem Skalar verstanden werden. Im folgenden brauchen wir meistens nur Vierertensoren nullter bis zweiter Stufe, die wir der Einfachheit halber kurz Skalare, Vektoren, Tensoren nennen. .. . Wozu brauchen wir die? Zur¨ uck zur Physik: Relativit¨atsprinzip: physikalische Gleichungen haben gleiche Form in allen Inertialsystemen. Also: linke und rechte Seite transformieren sich gleich. Erfordert: beide Seiten muessen Tensoren gleicher Stufe sein.
32
¨ PHYSIKALISCHE GROSSEN ALS MINKOWSKI-TENSOREN
130
Mehr noch: physikalische Gr¨oßen wie Geschwindigkeit, Beschleunigung, Energie etc. sollten sich wie Tensoren transformieren, damit sie eine vom Bezugssystem unabh¨angige Bedeutung haben. Das wird jetzt Schritt f¨ ur Schritt ausgef¨ uhrt.
32
Physikalische Gr¨ oßen als Minkowski-Tensoren
32.1
Eigenzeit
M¨oge sich ein K¨orper (=Mapu) gem¨aß x(t), y(t), z(t) bez¨ uglich Σ bewegen. Dem entspricht eine Kurve im Minkowski-Raum, die Weltlinie des Mapu. Um das Fortschreiten des Mapu entlang der Weltlinie zu charakterisieren, sind Zeitintervalle dt schlecht geeignet, weil abh¨angig vom Bezugssystem. Man braucht ein invariantes Zeitintervall, d.h. ein skalares. Einzige verf¨ ugbare differentielle Invariante ist d(x 2 ). Das ist allerdings negativ (weil der K¨orper langsamer als Licht fliegt) und hat die Dimension L¨ange2 . Heilung dieses Defizits durch geeignete Proportionalit¨atsfaktoren gibt r p 1p u2 dτ = −d(x2 ) = dt2 − (dx2 + dy 2 + dz 2 )/c2 = 1 − 2 dt. c c
(32.1)
u2 = u2 (t) ist hier wie bisher das Betragsquadrat der gew¨ ohnlichen Geschwindigkeit des Mapu in Σ. Offensichtlich dτ = dt wenn dx = dy = dz = 0, der K¨ orper also in Σ ruht. ⇒ dτ = differentielle Eigenzeit des K¨orpers. Die Position des K¨orpers auf der Weltlinie kann nun parametrisiert werden durch die integrale Invariante Z r u2 (t) τ= 1 − 2 dt Eigenzeit (32.2) c die Integrationskonstante bestimmt den Punkt auf der Weltlinie, wo τ = 0. das Integral ist invariant, in jedem Inertialsystem kommt das gleiche raus. das gilt f¨ ur beliebiges u(t) < c (auch f¨ ur beschleunigt bewegte K¨ orper !) damit ist das Zwillingsparadoxon vollst¨andig aufgel¨ ost: • Zwillinge trennen sich bei τ1 = τ2 = 0. • Jeder kurvt eine Weile durch die Gegend. • irgendwann treffen sie sich wieder. • die Uhr von Zwilling i zeigt dann τi =
R te q 0
1−
u2i (t) c2
dt
dabei sind Wiedersehenszeit, Integrationszeit, Geschwindigkeiten te , t, ui bezueglich eines beliebigen (dann aber festen) Inertialsystems zu nehmen. • im allgemeinen τ1 6= τ2 Wenn insbesondere u1 = 0, dann τ1 ≥ τ2 , der Faule ist schon ¨alter. Schlussfolgerung: Wer sich viel bewegt, bleibt l¨anger jung.
32
¨ PHYSIKALISCHE GROSSEN ALS MINKOWSKI-TENSOREN
32.2
131
Vierergeschwindigkeit und -beschleunigung
Naheliegende Verallgemeinerung der gew¨ohnlichen Geschwindigkeit ist ui =
(c, ~u) dxi bzw. u = q 2 dτ 1 − uc2
Vierer-Geschwindigkeit.
(32.3)
das ist ein Vierervektor (Vierervektor geteilt durch Skalar) er ist tangential zur Weltlinie seine L¨ange ist konstant (ui )2 = −c2 . Analog ai =
32.3
ui d2 xi = dτ dτ 2
Viererbeschleunigung
(32.4)
Viererimpuls
Naheliegend ist (m0 c, m0 ~u) p = m0 u = q = (mc, p~) 2 1 − uc2
Vierer-Impuls.
(32.5)
p hier p~ = m~u der gew¨ohnliche Impuls, wobei m = m0 / 1 − u2 /c2 die Impulsmasse. L¨angenquadrat: p2 = pi pi = p~2 − mc2 , anderseits auch m20 ui ui = −m20 c2 =const. Aus beidem folgt p2 = −m0 c2 = const.
bzw.
m2 c2 = m20 c2 + p~ 2 .
(32.6)
Welche Bedeutung hat die zeitliche Komponente? Hilfsbetrachtung: aus pi pi = m0 c2 =const. und d~ p/dt = F~ =r¨aumliche Kraft folgt zun¨achst dp0 d~ p dpi pi = −2p0 + 2~ p dt dt dt dp0 1 ~ ~uF~ p~ ~ = 0 (~ F = . pF ) = dt p mc c
0= ⇒
(32.7)
Das ist die dem Maup zugef¨ uhrte Leistung geteilt durch c. ¨ Die zugef¨ uhrte Leistung ist gleich Anderung der Energie, also finden wir wieder E = mc2 = cp0
32.4
bzw.
p0 =
E . c
(32.8)
Vierer-Bewegungsgleichung
Verallgemeinerung Newton II:
dpi = Ki dτ
Externe Einfluesse auf die Weltlinie eines K¨orpers (Mapu) lassen sich in einem 4er-Kraftvektor K i zu¨ sammenfassen und dieser bestimmt die Anderung des 4er-Impulses pro Eigenzeit.
(32.9)
32
¨ PHYSIKALISCHE GROSSEN ALS MINKOWSKI-TENSOREN
132
Der Zusammenhang des 4er-Vektors K i mit dem r¨aumlichen Kraftvektor F~ ergibt sich wie folgt. 1 1 dp d 0 ~uF~ ~ (32.7) =p (p , p~) = p ( ,F) dτ 1 − u2 /c2 dt 1 − u2 /c2 c also (F~ ~u/c, F~ ) . K=p 1 − u2 /c2
(32.10)
Man k¨onnte jetzt nach Viererpotentialen als Verallgemeinerung gew¨ ohnlicher Potentiale fragen. Das w¨aren skalare Felder, aus denen sich die Kr¨afte durch Gradientenbildung ∂/∂xi erg¨aben. Allerdings ist in der Relatheorie Fernwirkung (instantane Wechselwirkung) unm¨ oglich. Also m¨ ussen diese Felder eigene physikalische Realit¨at besitzen. Ihre Eigenschaften h¨angen vom Wechselwirkungstyp ab. Man muss die WWs konkret studieren. Elektromagnetische Kr¨afte ergeben sich nicht aus einem Skalarpotential. Das wird im n¨achsten Semester in der Elektrodynamik behandelt werden. Gravitationskr¨afte haben ein Gravitationspotential, aber ihre konsistente Behandlung braucht die allgemeine Relativit¨atstheorie. Damit werden wir uns nun abschliessend befassen.
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
133 Vorlesung 050204
33
Ein Hauch von Allgemeiner Relativit¨ atstheorie
Die spezielle Relatheorie (Einstein 1905) war physikalisch schwierig aber mathematisch einfach. Die allgemeine Relatheorie (Einstein 1916) ist physikalisch und mathematisch anspruchsvoll. Man muss hunderte Seiten durcharbeiten, um sie detailliert zu verstehen. Das ist in den verbliebenen 2-3 Vorlesungen nicht zu leisten. Mein Konzept: – kurze Skizze von Einsteins Denkansatz – Postulieren seiner Gleichungen ohne Herleitung – grobe Analyse ihrer Struktur – Diskussion experimentell u ufbarer Effekte ¨berpr¨ Literatur: – A. Einstein: Grundz¨ uge der Relativit¨atstheorie – L. D. Landau, E. M. Lifschitz II: Klassische Feldtheorie, Kapitel X ff. – P. K. Raschewski: Riemannsche Geometrie und Tensoranalysis
33.1
Ausgangspunkt: alle Ko ¨rper fallen gleich schnell
Das war das Ergebnis von Galilei’s Fallversuchen. Es bedeutet: schwere Masse = tr¨age Masse Gravitationsfelder k¨onnen durch Beschleunigungen also kompensiert werden. Und zwar f¨ ur alle K¨orper gleichzeitig. Beispiel: Schwerelosigkeit in einer Raumstation. Umgekehrt auch Gravitation durch Beschleunigung simulierbar (rotierende Raumstation). Konsequenz: Gravitation und Beschleunigung sind wesensgleich. ⇒ theoretisches Konzept: Gravi durch geeignet beschleunigte Bezugssysteme beschreiben. T¨ ucken: Gravitationsfelder sind global inhomogen das entspr¨ache inhomogen beschleunigten Bezugssystemen Die werden dabei verzerrt bzw. gekr¨ ummt. Man sieht: dieses Konzept f¨ uhrt irgendwie zu zerknautschten Bezugssystemen. Nun die Kernpunkte von Einsteins Ansatz: ¨ – Alle beliebig zerknautschten Bezugssysteme sind ¨aquivalent (Aquivalenzprinzip). – Gravitationsfelder beschreibbar durch eine raumzeitlich variierende Metrik. Raumzeitlich variierende Metrik bedeutet folgendes. In jedem Weltpunkt x ist die differentielle Gr¨ oße ds2 = gij (x) dxi dxj
(33.1)
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
33
134
invariant gegen beliebige (hinreichend oft stetig differenzierbare) Koordinatentransformationen, wobei aber der metrische Tensor gij = gji selbst eine Funktion der Koordinaten ist. 2 Fragen: – wie beeinflusst das die Bewegung physikalischer Objekte? (n¨achstes Kapitel) – wodurch wird diese variable Metrik bestimmt? (¨ ubern¨achstes Kapitel)
33.2 33.2.1
Bewegungsgleichungen im Gravitationsfeld Teilchen mit Ruhemasse
dui 1 ∂gkl k l u u = dτ 2 ∂xi
(33.2)
Das sieht doch einfach aus: – links die 4er-Beschleunigung (allerdings die kovariante, d.h. von ui = gim um ). – rechts die 4er-Kraft, die tatsaechlich aus der Ver¨anderlichkeit der Metrik r¨ uhrt. Jedenfalls wohldefiniert, wenn die Metrik gik (x) als Funktion der Koordinaten bekannt ist. 33.2.2
Lichtstrahlen
In nahezu homogenen Medien enthalten alle Feldkomponenten den gleichen Phasenfaktor der Lichtamplitude
exp(iψ(x)).
(ψ(x) heisst Eikonal)
(33.3)
Die Weltlinie des Lichtes steht senkrecht auf den Fl¨achen gleicher Phase ψ =const. Es gilt g ik
∂ψ ∂ψ =0 ∂xi ∂xk
Eikonalgleichung im Gravitationsfeld.
(33.4)
So bestimmt die Metrik die Ausbreitung von Licht. Bleibt die Frage: woher die Metrik nehmen?
33.3
Die Einsteinschen Gleichungen des Gravitationsfeldes
1 Rik − gik R = κTik 2
Einstein’sche Feldgleichungen
Offensichtlich hat Einstein geschickte Abkuerzungen gew¨ahlt, damit es einfach aussieht. Diese sind im Einzelnen: κ: eine Konstante, proportional zur Gravitationskonstanten Tik : Energie-Impuls-Tensor, Quelle des Gravitationsfeldes, sei erstmal gegeben. gik : das gesuchte metrische Tensorfeld
(33.5)
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
135
Rik : Ricci-Tensor, Abk¨ urzung einer komplizierte Funktion der Metrik gij , s.u. R = g ij Rij Kr¨ ummungsskalar Wichtig ist: das sind alles Tensoren. Es gilt also an jedem Weltpunkt x 0 Tik =
∂x0 j ∂x0 l Tjl ∂xi ∂xk
i i ¨ beim Ubergang zu beliebigen neuen Koordinaten x0 = x0 (x0 , . . . , x3 ).
(33.6)
Damit sind diese Gleichungen in allen Bezugssystemen identisch, wie gefordert. Wie sieht nun das die linke Seite dominierende Rik aus?16 33.3.1
Der Ricci-Tensor
Rik = Rki =
∂Γlil ∂Γlik m l − + Γlik Γm lm − Γil Γkm ∂xl ∂xk
zur Erinnerung: u ¨ber gleiche Indizes oben und unten wird summiert!
(33.7)
Wie zu erwarten: – recht kompliziert – enth¨alt noch eine neue Gr¨oße: Γlik = Christoffelsymbol Letztere spielt eine zentrale Rolle und soll nun n¨aher angeschaut werden. 33.3.2
Γikl
Christoffel-Symbole
1 = g im 2
µ
∂gmk ∂gil ∂gkl + k− l ∂x ∂x ∂xi
¶ (33.8)
g im : kontravarianter Metriktensor, invers zum kovarianten, d.h. gik g kl = δil (1 f¨ ur i=l, 0 sonst). Uff: hier gehen nur die gik ein, also sind die Feldgleichungen in der Tat Bestimmungsgleichungen f¨ ur die Metrik. Sie sind – partielle Differentialgleichungen in 4 Variablen – sie sind von 2. Ordnung (h¨ochstens 2. Ableitungen) – sie sind nichtlinear (Produkt der Γ im Ricci, gik R in den Felgleichungen) Nicht ganz einfach, trotzdem gibt es L¨osungen in interessanten Spezialf¨allen. 33.3.3
Energie-Impuls-Tensor
Hier f¨ ur Materie mit Ruhemasse (der f¨ ur Photonen kommt in der E-Dynamik): Tik =
³p c2
´ + ρ ui uk − p gik
p: Druck und ρ: Dichte in einem Bezugssystem, in dem die Materie im gegebenen Raumzeitpunkt ruht.
(33.9)
16 Die verschiedenen B¨ ucher verwenden verschiedene Konventionen f¨ ur die Reihenfolge der Koordinaten und die Vorzeichen im Metriktensor. Ich bleibe bei meiner Konvention aus der speziellen Relatheorie, die sich dummerweise noch von all diesen unterscheidet. Es ist wahrscheinlich, dass ich die folgenden Formeln nicht ganz korrekt aus den B¨ uchern u ¨bertragen habe, insbesondere was die Vorzeichen betrifft. Deshalb Vorsicht und Kontrolle bei eigenen Rechnungen. Der Kern der Sache wird dadurch nicht ber¨ uhrt.
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
33.4 33.4.1
136
Spezielle Relativit¨ atstheorie als Grenzfall global (33.8)
(33.7)
(33.5)
In der speziellen Relatheorie war gij = ±δij =const.17 ⇒ Γikl = 0 ⇒ Rkl = 0 ⇒ Tkl = 0 Das ist eine L¨osung, wenn Tkl ≡ 0, wenn also keine Materie da ist. Die Umkehrung ist nichttrivial, aber lehrreich. Aus Tik ≡ 0 folgt n¨amlich nicht gij = ±δij =const. Es sind ja beliebig zerknautschte Koordinatensysteme zugelassen. In solchen Knautschkoordinaten sieht auch der speziell relativistische Metriktensor schlimm aus. Was vielmehr aus Tik ≡ 0 folgt, ist: es gibt mindestens ein globales Koordinatensystem, in dem gij = ±δij =const. Solche Koordinaten werden Galilei’sche Koordinaten genannt. Wenn Tik 6= 0, dann existiert kein Koordinatensystem mit gij =const., die Raumzeit an sich ist dann zerknautscht (gekr¨ ummt), nicht nur das spezielle Koordinatensystem. 33.4.2
lokal
Allerdings: man kann immer in jedem einzelnen Weltpunkt x0 lokal Galilei’sche Koordinaten finden. In ihnen gilt gij (x0 ) = ±δij und sogar (∂gij /∂xk )x=x0 = 0. Aber eben nur genau in diesem Punkt, nicht in seiner Umgebung oder gar global. Dieser lokale Minkowski-Raum ist praktisch die Tangente an die global gekr¨ ummte Raumzeit. Wie sehen die Bewegungsgleichungen f¨ ur Teilchen in den galileischen Koordinaten aus? Gleichung (33.2) wird zu
dui dτ
= 0. Keine Beschleunigung.
Im leeren Raum sind die Galileikoordinaten offenbar gerade die Inertialsysteme. Und in Gravitationsfeldern? Lokale Galileikoordinaten entsprechen hier Bezugssystemen mit konstanter Beschleunigung, welche die Gravitatonskraft im gegebenen Raumzeitpunkt gerade kompensiert.
17
±δij meint g00 = −1, alle anderen gkk = 1 und die Nichtdiagonalelemente null.
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
33.5
137
Newton’s Gravitationsgesetz als Grenzfall
Annahme 1: schwache Gravitationsfelder d.h. kleine Abweichung von leerem Raum (wie z.B. in Sonnensystem) dann existieren Koordindatensysteme, wo gik = ±δik + γik
und alle |γik | ¿ 1.
(33.10)
Annahme 2: Relativgeschwindigkeiten der Materie klein gegen c (auch wie im Sonnensystem). Dann gibt es Koordinatensysteme, wo die Materiegeschwindigkeit u ¨berall klein gegen c ist, also die Dichte ρ der Ruhemassen praktisch zeitlich konstant. Dann dominiert der Beitrag der Ruheenergie zum Energie-Impuls-Tensor, d.h. Tik ≈ ρc2 δi0 δk0 . Dies in (33.5 – 33.8) eingesetzt, in den γ linearisiert und fleissig gerechnet gibt ∂ l ∂l γik ∼ (±δik )ρ
(u ¨ber l wird absummmiert und ∂l =
∂ ∂ ) und ∂ l = ∂xl ∂xl
Es soll γik → 0 f¨ ur ρ → 0 gelten (globale Galiliekoordinaten ohne Materie) γik muss dann diagonal wie die rechte Seite sein und −γ00 = γ11 = · · · = γ33 = Φ ausserdem ist dann Φ ebenso schwach zeitabh¨angig, wie die rechte Seite und gen¨ ugt der Gleichung ∆Φ ∼ ρ
wobei ∆ =
X α=1,2,3
∂2 der r¨aumliche Laplace-Operator ist. ∂xα2
(33.11)
Das ist die bekannte Gleichung f¨ ur das Newton’sche Gravitationspotential Φ einer station¨aren Masseverteilung ρ(~r). Die Proportionalit¨atsfaktor κ der Feldgleichungen kann hier an die Newtonsche Gravitationskonstante angepasst werden (habe ich nicht mitgeschrieben). Und die Bewegungsgleichung (33.2) eines Teilchens wird damit zun¨achst 1 ∂gkl k l dui ∂Φ ∂Φ = u u ∼ (±δkl )uk ul = (−c2 ). i i dτ 2 ∂x ∂x ∂xi Der Ortsanteil davon ist genau die Newtonsche Bewegungsgleichung im Gravitationspotential Φ: d~u = −∇Φ. dt Fazit: das Newtonsche Gravitationsfeld ist ein Grenzfall der allgemeinen Relativit¨atstheorie.
(33.12)
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
138 Vorlesung 050209
33.6
Das Gravitationsfeld von Sternen
Beschr¨ankung auf wichtigen Spezialfall: kugelsymmetrische Materieverteilung:
– Dichte radialsymmetrisch – nur radiale Teilchenbewegung
d.h. Sterne, die expandieren oder kontrahieren k¨ onnen, aber vernachl¨assigbar rotieren. Daf¨ ur existiert eine exakte L¨osung der Einstein’schen Feldgleichungen ausserhalb des Sterns. 33.6.1
Die Schwarzschild-L¨ osung der Einstein’schen Feldgleichungen
In formalen Kugelkoordinaten (ct, r, ϕ, θ) lautet diese
gik
−(1 − 0 = 0 0
rg r )
0 (1 −
rg −1 r )
0 0
0
0 0 0 r2 sin2 θ 0 2 0 r
(33.13)
Das zugeh¨orige invariante Abstandsquadrat: ds2 = −(1 −
rg 2 2 dr2 2 2 2 2 2 )c dt + r + r sin θdϕ + r dθ . r 1 − rg
(33.14)
Diese L¨osung wurde 1916 von Karl Schwarzschild gefunden (kurz vor seinem Tode). Sie enth¨alt nur einen Parameter, den Gravitationsradius γM rg = 2 2 . c
½ γ ≈ 6, 674 · 10−11 m3 kg−1 s−1 : Gravitationskonstante
(33.15)
M : Masse des Sterns
Die Bedeutung der Schwarzschild-Koordinaten: F¨ ur r → ∞ geht (33.14) in das ds2 der speziellen Relatheorie in Kugelkoordinaten u ¨ber, also Schwarzschildkoordinaten = Minkowski-Raumzeit eines entfernten Beobachters, der relativ zum Stern ruht. 33.6.2
Gravitative Zeitdilatation
Die Eigenzeit eines relativ zum Stern ruhenden Teilchens (dr = dϕ = dθ = 0) ist entsprechend (33.14) r rg dτ = 1 − dt rF Diskussion:
(33.16)
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
139
• falls r > rg : dτ < dt = gravitative Zeitdilatation • falls r → rg :
dt/dτ → ∞
Prozesse dicht ausserhalb von rg erscheinen dem entfernten Beobachter extrem verlangsamt. Insbesondere wird die Schwingungsperiode von Licht extrem gedehnt. Strahlung von dicht ausserhalb rg ist extrem rotverschoben. • falls r < rg :
dτ imagin¨ar?
Schlussfolgerung: bez¨ uglich Stern ruhende Teilchen sind innerhalb rg unm¨ oglich. 33.6.3
Ereignishorizont
Wir betrachten Licht, das radial zwischen r ≥ rg und r + ∆r l¨auft. Daf¨ ur liefert Schwarzschild-Formel (33.14) dr 0 = ds ⇒ dt = ± ⇒ (1 − rg /r) 2
µ ¶ ∆r rg ∆r ∆t = + ln 1 + c c r − rg
(33.17)
Das ist immer > ∆r/c = speziell relativistische Laufzeit des Lichtes Licht wird im Gravitationsfeld langsamer als c. F¨ ur r → rg divergiert der zweite Term: Licht von rg braucht unendlich lange, um zum ¨außeren Beobachter zu gelangen. ⇒ eventuelle Prozesse von innerhalb rg sind aussen nicht beobachtbar. Deswegen heisst r = rg auch Ereignishorizont. Beachte: Die Schwarzschild-L¨osung gilt nur außen, f¨ ur r > Sternradius. F¨ ur homogene Sterne mit Radius > rg gibt es keinen Ereignishorizont, auch nicht im Innern. Das ist der Normalfall f¨ ur Sterne bzw. Planeten, die ja aus Gas entstehen. z.B. Erde: rg = 9mm (Radius ca. 6000km), Sonne: rg = 3km (Radius ca. 700000km). Wir beschr¨anken uns zun¨achst auf solche K¨ orper mit Radien > rg . 33.6.4
Gravitative Ablenkung von Lichtstrahlen
Mit den Eikonalgleichungen k¨onnen auch ”schr¨age” Lichtstrahlen im Gravifeld berechnet werden. Sie erfahren im allgemeinen eine Ablenkung hin zum Stern. F¨ ur schwache Gravitation rg ¿ r ergibt sich ∆ϕ = 2rg /ρ
∆ϕ: Ablenkwinkel von der geraden Linie ρ: kleinster Abstand vom Stern
(33.18)
Konkret bei Vorbeilaufen am Sonnenrand: ∆ϕ = 1.75” Die Best¨atigung dieser Vorhersage durch die Eddington-Expedition von 1919 machte Einstein weltber¨ uhmt.
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
33.6.5
140
Periheldrehung (des Merkur)
Zuvor schon konnte Einstein ein bis dato quantitativ unverstandenes Phenomen aufkl¨aren: Alle hundert Jahre wandert das Perihel der Merkurbahn um δϕperihel =42” vorw¨arts. Einsetzen der Schwarzschild-Metrik in die Teilchengleichungen (33.2) liefert f¨ ur r ¿ rg δϕperihel =
24π 3 a2 (1 − ε2 )c2 T 2
{a: grosse Halbachse , ε: Exzentrizit¨at, T : Umlaufzeit.}
(33.19)
¨ in Ubereinstimmung mit den gemessenen 42”.
33.7
Schwarze L¨ ocher
Normale Sterne mit Radius > rg haben keinen Ereignishorizont. Ausgebrannte Sterne k¨onnen aber kollabieren. Wenn dabei ihr Radius unter rg f¨allt, entsteht ein schwarzes Loch. Dauer dieses Vorganges von aussen gesehen: unendlich lange, weil dt/dτ → ∞ f¨ ur r → rg . Es gibt ewig lange noch Restmaterie ausserhalb rg . Diese ist aber praktisch unbeweglich, d.h. auch kalt, keine W¨armestrahlung. Man kann solche Objekte nur indirekt, durch Beobachtung anderer K¨ orper wahrnehmen. Dauer dieses Vorganges f¨ ur die beteiligte Materie Annahme: die ¨außere Materie f¨allt praktisch frei senkrecht auf das Zentrum zu. die Fallzeit ist dann die Eigenzeit τ eines frei fallenden Teilchens. deren Bestimmung gelingt mit einer Transformation (t, r) → (τ, R), so dass dR2 ds = −c dτ + + r2 (sin2ϕ dϕ2 + dθ2 ) r/rg 2
2
·
3 wobei hier r = (R − cτ ) 2
¸2/3
rg1/3
Die Details der Trafo sollen hier keine Rolle spielen. Wichtig ist folgendes: • F¨ ur dR = dϕ = dθ = 0 ist ds2 = −c2 dτ 2 , also ist τ die Eigenzeit eines Teilchens, das in diesen raumartigen Koordinaten ruht. • Das ist gerade ein frei radial fallendes Teilchen. Weil: wenn in einem bestimmten τ -Moment alle r¨aumlichen u-Komponenten verschwinden, dann wird (33.2) zu
dui dτ
=
1 ∂g00 2 ∂x0
= 0, weil g00 = −1 =const.
Alle u-Komponenten bleiben konstant, die r¨aumlichen = null, also R, ϕ, θ = const. • das Teilchen erreicht das Zentrum r = 0 nach einer endlichen Eigenzeit τ = R/c ! • durch den Ereignishorizont r = rg geht es in diesem Koordinatensystem v¨ ollig glatt durch.
(33.20)
33
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
141
Fazit: Materie, die in ein schwarzes Loch f¨allt, erreicht das Zentrum innerhalb einer endlichen Eigenzeitdauer. Von aussen gesehen vergeht aber schon bis zum Erreichen des Ereignishorizonts eine unendlich lange Zeit. Der Rest des Falls innerhalb des Ereignishorizonts geschieht erst jenseits der Aussenzeit unendlich. Also niemals f¨ ur uns und sogar niemals f¨ ur unsterbliche Irdische. Das klingt irre, zeigt aber nur: die transformierten Koordinaten sind besser geeignet als die Schwarzschild-Koordinaten. Gibt es noch bessere? Ja:
33.8
Und weisse L¨ ocher !
Eine modifizierte Trafo (t, r) → (τ, R) f¨ uhrt auf folgendes qualitative Bild [LLII Abb.24]18
Freie Bewegung wieder entlang R =const. (langgestrichelte vertikale Linie) Bei τ = 0 hat das Teilchen maximalen Abstand vom Stern. Danach (τ > 0) f¨allt es frei ins schwarze Loch, durchquert dessen Ereignishorizont im Punkt c und erreicht das Zentrum bei endlichem τ in Punkt d. Dies ist wie schon oben beschrieben. Aber es gibt auch eine Vorgeschichte τ < 0: Es ist im Punkt a vor endlicher τ -Zeit im Zentrum gestartet. Es hat aufsteigend den Ereignishorizont in Punkt b passiert. Hier erscheint das Teilchen bei t = −∞ in der Aussenwelt.
Dieses Bild beschreibt vollst¨andig die Bewegung von Probeteilchen im Schwarzschild-Gravitationsfeld. Jedes Probeteilchen startet vom Zentrum und f¨allt nach endlicher Eigenzeit dahin zur¨ uck. F¨ ur ¨außere Beobachter sieht das so aus: Alle Probeteilchen tauchten schon vor unendlich langer Zeit am Ereignishorizont auf. Diese pr¨ahistorische Quelle nennt man weisses Loch. Alle Probeteilchen versammeln sich nach unendliche langer Zeit wieder am Ereignishorizont. Dieser Teilchenverschlucker ist das uns schon bekannte schwarze Loch. Ist dieses Szenario realistisch ? Schwarze L¨ocher k¨onnen beim Gravitationskollaps ausgebrannter Sterne entstehen. Weisse L¨ocher erscheinen aber unrealistisch: Sie k¨onnten nicht entstanden sein, sondern m¨ ussten vor aller Zeit da gewesen sein. 18
auf Formeln werde ich hier weitgehend verzichten.
¨ EIN HAUCH VON ALLGEMEINER RELATIVITATSTHEORIE
33
Ausserdem m¨ ussten sie durch die st¨andige Materieemission immer leichter geworden sein, w¨ahrend das Schwarzschild-Modell von einer unver¨anderlichen festen Punktmasse ausgeht.
Trotzdem: das wird diskutiert ! Damit in Verbindung auch Wurml¨ocher, Pralleluniversen etc. Hier stoppen wir aber. Als Beispiel nur ein Bild aus ”Achronal Cosmic Future” von Pedro F. Gonzalez-Diaz PHYSICAL REVIEW LETTERS 071301 (2004). Das ist ernste Fachliteratura . Schlussbemerkung: Und sie bewegt sich doch! a
wenn es kein Witz des Autors ist.
93,
142
