Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie Peter Marzlin Sommersemester 2001 gesetzt in LATEX 2 von Wolfram Que...

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Elektrodynamik und Spezielle Relativitätstheorie

Peter Marzlin Sommersemester 2001

gesetzt in LATEX 2 von Wolfram Quester ∋

ii

Inhaltsverzeichnis 1

2

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . 1.2 Wiederholung: Lineare Differentialgleichungen 1.3 Skalares Potential und Vektorpotential . . . . . 1.4 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Kopplung an geladene Teilchen . . . . . . . . . 1.6 Energie- und Impulsdichte . . . . . . . . . . .

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1 . 1 . 4 . 5 . 6 . 8 . 10

Elektrostatik 2.1 Coulomb-Potential, Poisson- und Laplace-Gleichung 2.2 Green-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Randbedingungen, Greenscher Satz . . . . . . . . . 2.4 Methode der Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . 2.5 Green-Funktion in sphärischen Koordinaten . . . . .

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13 13 14 17 18 20

3

Magnetostatik 23 3.1 Die Feldgleichungen und ihre Lösung . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Das Gesetz von Biot und Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Kreisströme und magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . . 26

4

Veränderliche Felder 4.1 Ebene Wellen . . . . . . . . 4.2 Green-Funktionen . . . . . . 4.3 Liénard-Wiechert-Potentiale 4.4 Multipolentwicklung . . . .

5

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Elektrodynamik in dielektrischen Medien 5.1 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . . . . . . 5.2 Randbedingungen an Grenzschichten . . . . . . . . 5.3 Elektrostatische Probleme in dielektrischen Medien 5.4 Clausius-Mosotti und Lorentz-Lorenz-Beziehungen iii

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31 . . 31 . . 34 . . 38 . . 40

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45 . . . 47 . . . 51 . . . 54 . . . 57

iv

INHALTSVERZEICHNIS 5.5

6

Magnetische Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lineare und nichtlineare Optik 6.1 Reflexion und Refraktion . . . . . . . . . . 6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivität . . 6.3 Eikonal-Näherung, Geometrische Optik . . 6.4 Paraxialnäherung, fokussierte Lichtstrahlen 6.5 Nichtlineare Optik . . . . . . . . . . . . .

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7 Spezielle Relativitätstheorie 7.1 Forminvarianz, Galilei-Transformation und Elektrodynamik 7.2 Einsteinsche Postulate, Lorentz-Transformationen . . . . . . 7.3 Längenkontraktion und Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . 7.4 Lorentz-Gruppe und Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Relativistische Formulierung der Elektrodynamik . . . . . . 7.6 Eigenzeit, relativistische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . 7.7 Paradoxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.1 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.2 Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.7.3 Wie sieht ein bewegtes Objekt aus? . . . . . . . . .

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59

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65 66 69 73 76 78

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83 83 85 87 89 92 95 99 99 100 101

8

Ein kleiner Ausblick 105 8.1 Allgemeine Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.2 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9

Formelsammlung 9.1 Rechenregeln für die δ-Distribution . . . . . 9.2 Nablakalkül . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Vektoridentitäten . . . . . . . . . . . 9.2.2 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten 9.3 Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . 9.3.3 Greensche Integralsätze . . . . . . .

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111 111 112 112 112 112 112 112 112

Kapitel 1 Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1

Die Maxwell-Gleichungen

Die Maxwell-Gleichungen beschreiben alle Phänomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern zu tun haben. Im Vakuum lauten sie: ρ

div ~B = 0

∋

div ~E =

0

rot ~E = −~B˙

rot ~B = µ0 ~j + 0 ~E˙

(1.1)

∋

Darin bezeichnet ~E das elektrische und ~B das magnetische Feld; ρ(~x,t) ist die Ladungs- und ~j(~x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion ~R(~x) sind dabei definiert als ∂ Ri (~x) = ∂i Ri (~x) i=1 ∂xi 3

div ~R(~x) = ∑ 3

rot ~R(~x) i =

∑

εi jk

j,k=1

∂ Rk = εi jk ∂ j Rk (~x) ∂x j

Für die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der u¨ ber doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist (hier von 1 bis 3). εi jk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert ist als   (i jk) = (123), (231), (312) 1 εi jk = −1 (i jk) = (132), (321), (213)   0 sonst 1

2

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER

Aus dieser Definition folgt εi jk = ε jki und εi jk = −ε jik . Aus Konsistenzgründen muss die Kontinuitätsgleichung gelten: ρ˙ + div ~j = 0

(1.2)

Beweis:

∋

0 div

1 ~ rot B − µ0~j

µ0

∋

=

˙

E 0 div ~

∋

ρ˙ =

0

1 = div rot ~B − div ~j µ0 div rot ~B = ∂i εi jk ∂ j Bk = εi jk ∂i ∂ j Bk = 0 |{z} |{z}

(1.3)

antisym. sym.

Die physikalische Bedeutung der Kontinuitätsgleichung liegt in der Ladungserhaltung: Z Q(t) = V

=⇒ Q˙ =

Z V

ρ(~x,t) d3 x

ρ˙ d x = − 3

Z

div ~j d 3 x

V

Verwendet man nun den Gaußschen Satz, div ~R d 3 x =

ZZ

V

0

Z

∂V

~R d~s

(1.4)

so sieht man, dass die Ladungsänderung im Volumen V gleich der Summe des Stroms ist, der aus V abfließt: ZZ

0

Q˙ = −

∂V

~j d~s

(1.5)

Darin ist ∂V die Oberfläche (= der Rand) von V . Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter Ordnung abgeleitet werden: (rot rot ~E)i = εi jk ∂ j (rot ~E)k = εi jk ∂ j εklm ∂l Em Benutzt man εi jk εklm = δil δ jm − δim δ jl , so ergibt sich: (rot rot ~E)i = δil δ jm ∂ j ∂l Em − δim δ jl ∂ j ∂l Em

3

1.1. DIE MAXWELL-GLEICHUNGEN =⇒ (rot rot ~E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei = ∇i div ~E − ∆Ei rot rot ~E = ∇div ~E − ∆E ⇒ ∇div ~E − ∆~E = −rot ~B˙ = −∂t µ0 ~j + 0 ~E˙ ∋

1

∇ρ − ∆~E = −µ0 ∂t ~j − 0 µ0 ~E¨ ∋

∋

⇒

0

Verwendet man ∋

0 µ0

=

1 c2

so folgt 1 ∂2 ∂ 1 − ∆ ~E = −µ0 ~j − ∇ρ (1.6) 2 2 c ∂t ∂t 0 2 Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t∂ 2 − ∆ wird häufig mit abgekürzt. Analog ergibt sich:

∋

~B¨ = −rot ~E˙ = −rot 1 rot ~B − µ0~j 0 µ0 1 ~¨ ~B −∆~B + µ0 rot ~j ⇒ 2 B = − ∇ div | {z } c ∋

=0

=⇒

1 ∂2 − ∆ ~B = µ0 rot ~j c2 ∂t 2

(1.7)

Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! Für sie kann man verschiedene Spezialfälle unterscheiden: 1. ~j, ~ρ = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear. 2. ~j, ~ρ sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugehörigen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt die von Ladungen und Strömen ausgehenden Felder. 3. ~j, ~ρ hängen (näherungsweise) linear von ~E, ~B ab. ⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), führen zu linearen Differentialgleichungen.

4

KAPITEL 1. MAXWELL-GLEICHUNGEN UND EICHFELDER 4. ~j, ~ρ hängen nichtlinear von ~E, ~B ab. ⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu lösen. Nichtlineare Optik.

1.2

Wiederholung: Elementare Eigenschaften linearer Differentialgleichungen

Die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen in vielen Fällen linear sind macht, ihre Behandlung – im Prinzip – recht einfach. Sei L¯ ~E = J~ eine lineare Differentialgleichung. In unserem Fall haben wir drei Gleichungen (für jede Komponente des 2 1 ∂ ¯ elektrischen Feldes eine), so dass Li j = δi j c2 ∂t 2 − ∆ und J~ = µ0 ∂t∂ ~j − 10 ∇ρ. Die homogene Differentialgleichung L¯ ~E = 0 hat dann einen Satz unabhängiger Lösungen, denen wir zur Unterscheidung einen Index α geben: ∋

L¯ ~Eα = 0

α = Index

2 ¯ = 0: zeitabhängige Schrödinger-Gleichung Beispiel: L¯ = i~∂t + ~2M∆ − V (x), LΨ (enthält auch stationäre Lösungen). Beim elektromagnetischen Feld sind die Lösungen laufende Wellen:

~E~ = ~E cos(~k~x − c|~k|t) k

(oder sin(. . .))

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen: 2 1 ∂ Li j (~E~k ) j = δi j E j 2 2 − ∆ cos(~k~x − c|~k|t) c ∂t = Ei −|~k|2 +~k2 cos(~k~x − c|~k|t)

(1.8) (1.9)

Es gilt das Superpositionsprinzip: Sind ~E~k1 und ~E~k2 Lösungen von L¯ ~Eα = 0, so ist auch a~E~k1 + b~E~k2 (a, b ∈ C) Lösung. Wichtiges Beispiel: ~E1 = E cos(~k~x − c|~k|t) ~E2 = E sin(~k~x − c|~k|t) ~E = ~E1 + i~E2 = E exp(i~k~x − c|~k|t) ist auch Lösung, ebenso ~E ∗ = ~E1 − i~E2 (da der Operator L¯ keine komplexen Zahlen enthält (L¯ = )). ⇒ Re ~E = ~E1 , Im ~E = ~E2 sind reelle Lösungen. Wir können also, obwohl die physikalischen ~E- und ~B-Felder reell sind, auch komplexe Lösungen betrachten und dann Real- bzw. Imaginärteil davon nehmen. Das ist oft bequemer.

5

1.3. SKALARES POTENTIAL UND VEKTORPOTENTIAL

Durch Superposition (z. B. ebener Wellen) gibt es in der Elektrodynamik wie in der Quantenmechanik Interferenz: ~E1 =~e1 A1 ei~k1~x ,

~E2 =~e1 A2 ei~k2~x ~

~

=⇒ Intensität ∼ |~E1 + ~E2 |2 = |A1 |2 + |A2 |2 + Re (A1 A∗2 ei(k1 −k2 )~x ) Darin ist der Term Re (. . . ) der sogenannte Interferenzterm. Die physikalische Erklärung der Interferenz ist, dass elektromagnetische Felder ein Wellenphänomen sind, a¨ hnlich wie Wasserwellen. Allerdings fehlt ihnen die materielle Substanz, ¨ auf der sie schwingen (kein Ather“, s. a. Kapitel 7). Im Gegensatz zur Quanten” mechanik gibt es in der klassischen Elektrodynamik keine Quanten-Interferenz. Die Interferenzmuster sind rein klassisch, es gibt keinen Welle-Teilchen-Dualismus. Dieser taucht – bei anderen Interferenzphänomenen – erst in der Quantenelektrodynamik auf, die Photonen beschreibt.

1.3

Skalares Potential und Vektorpotential

Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div ~B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3) gilt allgemein: div rot ~A = 0. Daher läßt sich das magnetische Feld auch schreiben als1 ~A = Vektorpotential ~B = rot ~A ~B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole). Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erhält man ⇒rot ~E = −~B˙ = −rot ~A˙ ˙ =0 ⇒rot (~E + ~A) es gilt allgemein rot grad φ = εi jk ∂ j ∂k φ = 0 ⇒~E + ~A˙ = −∇φ ⇒ ~E = −∇φ − ~A˙ 1 Wir

φ = skalares Potential

sehen hier von Subtilitäten ab wie sie in mehrfach zusammenhängenden Raumgebieten auf Grund topologischer Phänomene auftreten können.

6


Die Potentiale ~A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur ~E und ~B. Allgemeine Bewegungsgleichungen für die Potentiale lauten: ρ ∋

div ~E =

= −div grad φ − div ~A˙

0

¨ rot ~B = rot rot ~A = µ0 ~j + 0 [−∇φ˙ − ~A] ∋

ρ ∆φ = − − div ~A˙ 0 =⇒ 1 ~A¨ − ∆~A + ∇div ~A = µ0~j − 1 ∇φ˙ 2 c c2

(1.10)

∋

Wäre div ~A = 0, so hätten wir die Poisson-Gleichung für φ und eine Wellengleichung für ~A. φ spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies läßt sich tatsächlich erreichen.

1.4

Eichtransformationen

Durch ~B = rot ~A wird ~A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 für beliebiges χ führt ~ 0 = ~A + ∇χ A zum selben ~B-Feld. Ebenso führen φ und φ0 = φ − ∂t χ zum gleichen ~E-Feld, denn ~ 0 = −∇φ0 − ~A˙ 0 = −∇φ + ∇χ˙ − ~A˙ − ∇χ˙ E = −∇φ − ~A˙ = ~E Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder ~E, ~B bleiben dabei unverändert. Eichtransformationen können dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an die Potentiale zu stellen. Am gebräuchlichsten sind die folgenden: div ~A = 0 1 ∂ div ~A + 2 φ = 0 c ∂t

Coulomb-Eichung (1.11) Lorentz-Eichung

7

1.4. EICHTRANSFORMATIONEN

Beide sind voneinander unabhängig und nicht gleichzeitig zu erfüllen. Die erste führt zur Coulomb-Eichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung ist dagegen Lorentz-invariant und deswegen für die Relativitätstheorie wichtig (s. Kapitel 7). Zur Herleitung der Coulomb-Eichung: Seien ~A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div ~A = 0: ! ~A = ~A0 − ∇χ =⇒ div ~A = div ~A0 − ∆χ = 0

Das ist eine Differentialgleichung für χ: ∆χ = div ~A0

Poisson-Gleichung für χ

(1.12)

Mit der Lösung χ(~x,t) = − Beweis: ∆x χ = −

1 4π

Z

1 4π

Z

div ~A0 (~x0 ) 3 0 d x |~x −~x0 |

div ~A0 (~x0 )∆x

1 d 3 x0 |~x −~x0 |

Für die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz, der später (auf Seite 15) bewiesen wird: ∆x

1 = −4πδ(~x −~x0 ) |~x −~x0 |

1 ∆x χ = − div ~A0 (~x0 )(−4π)δ(~x −~x0 ) 4π = div ~A0 (~x) Z

=⇒

qed.

Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.11) in Gleichung (1.10) ein, so erhält man die Feldgleichungen für die Potentiale in Coulomb-Eichung:

1 ∂2 1 − ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c ρ ∆φ = − ∋

0

Interpretation: φ = b Coulomb-Potential ~A = b elektromagnetische Wellen Achtung: Die Interpretation hängt von den Eichbedingungen ab!

(1.13)

8

1.5


Kopplung an geladene Teilchen

Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen m~x¨ = q~E + q~x˙ × ~B

Elektrische + Lorentz-Kraft

kann aus der Lagrange-Funktion 1 L = m~x˙2 + q~x˙~A(~x,t) − qφ(~x,t) 2

(1.14)

wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls ~p ist definiert als pi :=

∂L ⇒ pi = mx˙i + qAi (~x,t) ∂x˙i

(1.15)

In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte ˙ Die Euler-LagrangeImpuls also verschieden vom kinetischen Impuls ~Π = m~x. Gleichungen lauten: ∂L d pi = (1.16) dt ∂xi Gleichungen (1.14) und (1.15) einsetzen: ∂L = −q∂i φ + qx˙k ∂i Ak ∂xi d ∂ ∂ pi = mxï + q Ai (~x(t),t) + q Ai (~x(t),t) x˙k dt ∂t ∂xk =⇒ mxï = −q∂i φ − q∂t Ai + qx˙k (∂i Ak − ∂k Ai )

(1.17)

verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem) =⇒ mxï = qEi + qx˙k (∂i Ak − ∂k Ai )

(1.18)

nun ist aber B j = (rot A) j = ε jmn ∂m An =⇒ εik j B j = εik j ε jmn ∂m An = ε jik ε jmn ∂m An = (δim δkn − δin δkm )∂m An = ∂i Ak − ∂k Ai =⇒ mxï = qEi + qx˙k εik j B j = qEi + q(~x˙ × ~B)i

(1.19) qed.

1.5. KOPPLUNG AN GELADENE TEILCHEN

9

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form der Schrödinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion H = pi x˙i − L Sie soll mit Hilfe von ~x˙ = m1 (~p − q~A) als Funktion von ~p und ~x ausgedrückt werden. 1 1 1 1 =⇒ H = pi (pi − qAi ) − m 2 (~p − q~A)2 − q (~p − q~A)~A + qφ m 2 m m 1 H= (~p − q~A)2 + qφ 2m Um zur Quantenmechanik u¨ berzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung: ~x → ~xˆ ; ~p → ~pˆ ; [xî , pˆ j ] = δi j In der Ortsdarstellung gilt: ~x → ~xˆ ;

~p → −i~∇

2 1 ˆ ˆ =⇒ Hˆ = −i~∇ − q~A(~x,t) + qφ(~x,t) 2m ˆ x,t) i~∂t Ψ(~x,t) = HΨ(~ Dies ist die Schrödinger-Gleichung für nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (~p − q~A) wird minimale Kopplung genannt. Sie spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkräfte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung) diese Form. Liegen elektrisch neutrale Teilchen vor, verwendet man gerne eine alternative Form: die Dipolkopplung. Zu deren Herleitung geht man von der Feststellung aus, dass sich die Euler-Lagrange-Gleichungen nicht a¨ ndern, wenn man zur LagrangeFunktion eine totale Zeitableitung addiert: L0 (x, x,t) ˙ = L(x, x,t) ˙ +

d d ∂L0 ∂L0 d ∂L ∂L F(~x,t) =⇒ − = − dt dt ∂x˙ ∂x dt ∂x˙ ∂x

Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder ~E und ~B (der Beweis geht auch allgemein). ~E = ~E0 ; ~B = ~B0 ⇐⇒ φ = −~x~E0 ~A = − 1 (~x × ~B0 ) 2

10


Wähle F = −q~x~A =⇒

d q ˙ ~B0 F = −q~x˙~A + (~x ×~x) dt 2 1 q ˙ ~B0 L0 = m~x˙2 + q~x˙~A + q~x~E0 −q~x˙~A + (~x ×~x) 2 2 | {z }

(1.20) (1.21)

L

1 q = m~x˙2 + q~x~E0 + ~L~B0 2 2m Setzen d~ := q~x q~ ~µ := 2m L

˙ mit ~L = (~x × m~x)

(1.22)

elektrisches Dipolmoment des Teilchens magnetisches Moment des Teilchens 1 L0 = m~x˙2 + d~~E0 +~µ~B0 2

˙ Vorteil: Jetzt gilt für den kanonisch konjugierten Impuls ~p = m~x.

1.6

Energie- und Impulsdichte

In der Mechanik wird die Energie u¨ ber die Hamilton-Funktion berechnet. Kennt man die Lagrange-Funktion L(qi , q˙i ), so gilt (für Punktteilchen) pi =

∂L ; ∂q˙i

H(pi , qi ) = pi q˙i − L;

q˙i = q˙i (p j , q j )

Das läßt sich auf Feldtheorien verallgemeinern. An Stelle von q und q˙ sind die ˙ x). Am einfachsten stellt man sich das dynamischen Variablen dann ~A(~x) und ~A(~ durch eine Diskretisierung des Raumes vor. Statt kontinuierlichem x betrachtet man diskrete Punkte xn ; (n = 1, 2, 3, . . . , N) (z. B. xn = x0 + n · ∆x mit x0 , ∆x fest). Das ist genau das, was oft bei der numerischen Lösung von Differentialgleichungen gemacht wird. Man hat dann eine Theorie für die endlich vielen Variablen An = A(xn ), die genauso aussieht wie für N Punktteilchen. Anstatt der ˙ x)). In Lagrange-Funktion L(q, q) ˙ haben wir nun die Lagrange-Dichte L (~A(~x), ~A(~ der Punktteilchen-Mechanik werden die Euler-Lagrange-Gleichungen durch VaR riation der Wirkung S = dtL hergeleitet. In der Feldtheorie ist die Wirkung durch R R 3 S = dtd x L gegeben, so dass die Rolle von L durch dtd 3 x L u¨ bernommen wird. Für das elektromagnetische Feld gilt: 0 ˙ ˙ 2 2 2 ~ ~ ~ ~ ˙ (−A − ∇φ) − c (rot A) L (A, A, φ, φ) = 2 ∋

11

1.6. ENERGIE- UND IMPULSDICHTE

Die Euler-Lagrange-Gleichungen von L sind die Maxwell-Gleichungen für ~A und φ. Sie lauten für die ite Komponente des Vektorpotentials (analog für das skalare Potential) ∂L ∂L ∂ ∂L ∂ − + =0 ∂t ∂A˙ i ∂xk ∂ ∂Ai ∂Ai ∂xk

Zu L gehört eine kanonische Impulsdichte ∂L = − 0 Ei (x) ∂A˙ i (x) ∂L Π(φ) (x) = =0 ˙ ∂φ(x) (A)

Πi (x) =

∋

Um die Energie auszurechnen, führt man eine Hamiltondichte H (A, Π(A) , φ) ein: Z

Energie H =

H (A(x), Π(A) (x), φ(x)) d 3 x

In der Punktteilchen-Theorie ist H = pq˙ − L. In der Feldtheorie ist Z

H= =

H d3x

Z h

(A) ˙ −L Πi (x)A˙ i (x) + Π(φ) (x)φ(x)

i

d3x

(A) ˙ −L =⇒ H = Πi (x)A˙ i (x) + Π(φ) (x)φ(x)

Eigentlich ist H = H (A(x), Π(A) , φ(x), Π(φ) ), aber es ist physikalisch sinnvoller H = H (~E, ~B) zu schreiben:

∋

=⇒ H = − 0 Ei (x) [−Ei (x) − ∂i φ] −

0~ 2

2

E +

c2 0 ~ 2 B 2 ∋

∋

=⇒

∋

~E = −~A˙ − ∇φ

0

(~E 2 − c2~B2 ) 2 ~A˙ = −~E − ∇φ

=⇒ H = − 0 Ei (x)A˙ i (x) −

∋

∋

1 = E + ~B2 + 0 ~E · ∇φ 2 2µ

H d3x

Z

=

∋

H=

1 ~2 3 E + B d x+ 2 2µ 0~ 2

Z

∋

Z

∋

0~ 2

0

~E · ∇φ d 3 x

12


Partielle Integration im zweiten Term: ∋

0

~E · ∇φ d 3 x = −

Z

(div ~E)φ d 3 x = 0 wegen div ~E = 0 bei ρ = 0 Z 1 ~2 0~ 2 E + B d3x =⇒ H = 2 2µ0 | {z } ∋

Z

0

∋

Energiedichte

Dies ist die Energie elektromagnetischer Felder im freien Raum. Anmerkung: Man kann die allgemeine Form von H auch aus der Invarianz der Lagrange-Dichte gegenüber Verschiebungen des Zeitnullpunktes herleiten. Energieerhaltung hängt also damit zusammen, dass keine expliziten Zeitabhängigkeiten vorkommen. In der Literatur wird der Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungsgrößen als Noether-Theorem (siehe z. B. [4]) bezeichnet. Genauso ist die Impulserhaltung eine Folge räumlicher Homogenität (Es treten nur Abstände auf, keine absoluten Koordinaten). Für das elektromagnetische Feld folgt für den Gesamtimpuls (ohne Beweis): Z

∋

~P =

0

(~E × ~B) d 3 x

(

1 ~ ~ (E × B) =: ~S µ0

Poynting-Vektor)

Kapitel 2 Elektrostatik 2.1

Coulomb-Potential, Poisson- und Laplace-Gleichung

In der Elektrostatik behandelt man die Situation, dass nur ruhende Ladungen als Quellen auftreten, es fließen also keine Ströme, j = ρ˙ = 0. Die Maxwell-Gleichungen werden dann zu ρ

div ~B = 0

∋

div ~E =

0

1 ∂~E rot ~B = 2 c ∂t

rot ~E = −~B˙

(2.1)

~E kann als zeitunabhängig angesetzt werden, da es Lösung einer zeitunabhängigen Differentialgleichung ist (ρ˙ = 0, keine Ausbreitung der Felder). Daher kann auch ~B = 0 gesetzt werden: rot ~B = 0 =⇒ ~B = 0 div ~E =

ρ

rot ~E = 0

∋

Für das E-Feld folgt

0

Wegen rot grad φ = 0 und rot ~E = 0 (das E-Feld ist wirbelfrei) kann ~E geschrieben werden als ~E = −∇φ ρ =⇒ div ~E = = −div ∇φ = −∆φ ∋

∋

∆φ = −

ρ

0

Poisson-Gleichung

0

13

14

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK

φ ist dann das Coulomb-Potential. In Raumbereichen ohne Ladungsträger erfüllt φ die Laplace-Gleichung ∆φ = 0 Dort kann φ kein Maximum oder Minimum annehmen (Sattelpunkte sind möglich). Zur Motivation dieses Theorems geht man von der Annahme aus, dass φ an x = 0 ein Maximum/Minimum hat. Taylor-Entwicklung von φ ergibt (in einem geeigneten Koordinatensystem) φ = φ0 + αx2 + βy2 + γz2 + O(x3 , y3 , z3 ) !

0 = ∆φ = 2α + 2β + 2γ Hätte die Funktion dort ein Minimum, so müßte dort gelten ∆φ > 0, bei einem Maximum ∆φ < 0. Die Aufgabe der Elektrostatik ist es, für ein gegebenes ρ(x) und Randbedingungen die Poisson-Gleichung zu lösen. Dabei sind die Randbedingungen, die z. B. durch Metallplatten vorgegeben werden, der schwierige Teil.

2.2

Green-Funktionen

Green-Funktionen sind eine a¨ ußerst wichtige Methode zur Lösung inhomogener Differentialgleichungen. Diese treten typischerweise bei der Störungstheorie auf, z. B. bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung: Ψ00 + εV (x)Ψ = E(ε)Ψ Ψ = Ψ0 + εΨ1 + · · · 00 00 Ψ0 + εΨ1 + εV (x)(Ψ0 + εΨ1 ) = (E0 + εE1 )(Ψ0 + εΨ1 ) =⇒Ψ000 − E0 Ψ0 = 0 Ψ001 − E0 Ψ1 = (E1 −V (x))Ψ0

homogene DGL inhomogene DGL

Die Green-Funktion der Elektrostatik ist definiert als Lösung der Gleichung ∂2 G(~x,~x0 ) = δ(~x −~x0 ) 2 ∂x i=1 i 3

∆x G(~x,~x0 ) = ∑

Die Lösung von ∆φ = − ρ0 ist dann gegeben durch ∋

−

1 ∋

φ(~x) =

Z

0

ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0

(2.2)

15

2.2. GREEN-FUNKTIONEN Beweis: ∋

∆x φ(~x) = −

1

∆x

Z

Z

ρ(~x0 )∆x G(~x,~x0 ) d 3 x0

Z

ρ(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0

ρ(~x0 )G(~x,~x0 ) d 3 x0

0

∋

=−

1 0

∋

=−

1 0

qed.

∋

=−

ρ(~x) 0

Um ∆x G = δ(x − x0 ) zu lösen verwenden wir ∆x

1 = −4πδ(~x −~x0 ) |~x −~x0 |

Beweis: 1. Annahme: |~x −~x0 | 6= 0 ∂i ∂i

1 1 = ∂i ∂i 1 0 |~x −~x | 2 0 2 ∑ j (x j − x j ) 1 1 0 = ∂i − 3 · 2(xi − xi ) 2 2 ∑ j (x j − x0j )2 = −∂i

xi − xi0

∑ j (x j − x0j )2

= − = −

3

(∂i xi ) ∑ j (x j − x0j )2

3 2

2

− (xi − xi0 )

3 − 2

2(xi − xi0 )

5 2 ∑ j (x j − x0j )2

(xi − xi0 )2 + 3 · 3 5 2 2 ∑ j (x j − x0j )2 ∑ j (x j − x0j )2 3

=0 2. Um den Fall ~x = ~x0 zu berechnen, muss man ein Integral betrachten, denn Distributionen wie die δ-Distribution sind eigentlich nur unter einem Integral definiert. Z I=

F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 := F(~x)

16

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK F(~x) ist dabei eine sogenannte Testfunktion, d. h. eine gutartige“ Funktion R ” (alle Ableitungen existieren, F(~x) d 3 x endlich, . . . ) ∆x |~x −~x0 |−1 = −4πδ(~x −~x0 ) ist also a¨ quivalent zu Z Z 1 3 0 0 F(~x )∆x d x = −4π F(~x0 )δ(~x −~x0 ) d 3 x0 = −4πF(~x) 0 |~x −~x | V V ist dabei ein beliebiges Volumen. Wir wählen V = Kε , eine Kugel mit Radius ε um |~x −~x0 | = 0. Wir setzen noch ~x00 = ~x −~x0 , ~x0 = ~x −~x00 , d 3 x0 = d 3 x00 . Dann ist Z Z 1 1 0 3 0 F(~x )∆x d x = F(~x −~x00 )∆x00 00 d 3 x00 0 |~x −~x | |~x | V Kε F(~x −~x00 ) ist differenzierbar, daher läßt sich schreiben F(~x −~x00 ) = F(~x) − ∂i F(~x)xi00 + . . . Weil Kε klein ist (~x00 ≈ 0), können wir F(~x −~x00 ) durch F(~x) ersetzen. Das Integral wird dann zu Z 1 F(~x) div grad 00 d 3 x00 (2.3) |~x | Kε Mit dem Gaußschen Satz (1.4) wird daraus I 1 F(~x) ~n~∇ 00 ds (2.4) |~x | ∂Kε wobei ∂Kε die Kugeloberfläche ist und ~n =

~x00 |~x00 |

;

00 ~∇ 1 = − ~x |~x00 | |~x00 |3

(2.5)

verwendet man, dass auf ∂Kε gilt |~x00 | = ε, so wird das Integral zu 00 I ~x00 ~x I = F(~x) − 3 ds ε ∂K ε Auf der Kugeloberfläche mit Radius ε gilt ds = ε2 sin ϑ dϑ dϕ I = −F(~x)

Z

sin ϑ dϑ dϕ = 4πF(~x)

qed.

1 1 + g(~x,~x0 ) (2.6) 4π |~x −~x0 | Wobei g(~x,~x0 ) eine Lösung der homogenen Gleichung ist. g(~x,~x0 ) wird dazu verwendet, die Randbedingungen an G(~x,~x0 ) zu erfüllen. Einfachstes Beispiel: Unendlich ausgedehnter Raum mit G → 0 für |~x −~x0 | → ∞ 1 1 =⇒ G(0) (~x −~x0 ) = − 4π |~x −~x0 | =⇒ G(~x,~x0 ) = −

17

2.3. RANDBEDINGUNGEN, GREENSCHER SATZ Anmerkungen zur δ-Distribution

δ(~x) ist wie schon angemerkt keine Funktion, sondern eine Distribution. D. h. (per Definitionem), dass δ(~x) nur unter einem Integral sinnvoll ist: Streng genommen R ist F(~x)δ(~x −~x0 ) d 3 x definiert, nicht aber F(~x)δ(~x −~x0 ) als Funktion. F(~x) ist dabei eine gutartige“ Funktion, die unendlich oft differenzierbar ist. ” Wegen ∆G = δ(x) ist auch die Green-Funktion eigentlich eine Distribution. In der Tat wird sie singulär für x = x0 und ist daher nicht u¨ berall als Funktion wohldefiniert.

2.3

Randbedingungen, Greenscher Satz

Um herauszufinden welche Randbedingungen gelten können, kann man den Greenschen Satz verwenden: Z V

I

(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d 3 x =

∂V

(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds

(2.7)

Der Greensche Satz ist eine einfache Folgerung des Gaußschen Satzes (1.4) mit ~R = φ∇Ψ − Ψ∇φ 1 1 Sind speziell φ eine Lösung von ∆φ = −ρ/ 0 und Ψ = − 4π |~x−~x0 | , so ergibt sich: Z Z 1 1 ρ(~x0 ) 3 0 (φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x = φδ(~x −~x ) − d 3 x0 0 4π |~x −~x | 0 V V Z 1 ρ(~x0 ) 3 0 = φ(~x) − d x 4π 0 |~x −~x0 | ∋

∋

∋

Z V

ρ(~x) 1 d3x + 0 4π 0 |~x −~x | 4π ∋

=⇒ φ(~x ) = 0

I ∂V

~n∇φ 1 − φ(~x)~n∇ 0 |~x −~x | |~x −~x0 |

ds (2.8)

Man sieht hier, wie Randterme wirken können. Allerdings ist die Vorgabe von ¨ φ und~n∇φ nicht gleichzeitig möglich (Uberbestimmung). Gleichung (2.8) hat den Charakter einer Integralgleichung für φ(~x0 ) und ~n∇φ (bzw. φ(~x0 ) und φ(∂V )) bei Vorgabe von φ(∂V )) (bzw. ~n∇φ). Um zu sehen, welche Randbedingungen an φ gestellt werden können, kann man folgendes Argument verwenden: Angenommen, wir haben zwei verschiedene Lösungen φ1 , φ2 zu ∆φi = −ρ/ 0 . Dann erfüllt U = φ1 − φ2 die Gleichung ∆U = 0. Benutze die erste Greensche Identität : ∋

Z V

˜ + ∇φ˜ · ∇Ψ) ˜ d3x = ˜ Ψ (φ∆

I ∂V

˜ d~s ˜ Ψ φ∇

18


˜ ˜ Ψ). (folgt aus dem Gaußschen Satz mit ~R = φ∇ ˜ = U setzen, gilt Wenn wir φ˜ = Ψ Z

(U |{z} ∆U +∇U · ∇U) d x = 3

V

Z

2

3

|∇U| d x =

I ∂V

=0

V

U∇U d~s

Falls U = 0 auf ∂V oder ~n∇U = 0 auf ∂V , so folgt ∇U = 0, d. h. U = konstant (z. B. Faraday-Käfig: kein Feld im Innern) =⇒ φ1 = φ2 falls U = 0 auf ∂V , wenn also φi auf ∂V vorgegeben ist (Dirichlet-Randbedingung) φ1 = φ2 + const. falls ~n∇U = 0 auf ∂V , wenn also ~n∇φi auf ∂V vorgegeben ist (Neumann-Randbedingung)

2.4

Methode der Spiegelladungen

In der Praxis ist es oft einfacher nicht die Green-Funktion, sondern φ direkt zu berechnen. Besonders wichtig ist die Methode der Spiegelladungen bei Metalloberflächen. Idee: Auf einer Metalloberfläche können sich die Elektronen (nahezu) frei bewegen. Sie bewegen sich so lange bis auf sie keine elektrostatische Kraft mehr parallel zur Oberfläche wirkt (Nur noch eine senkrecht zur Oberfläche).

.

.

.

.

.

.

Q

.

Q

. .

. . .

.

.

.

.

.

Kraft = q~E = −q∇φ =⇒∇φ = 0 auf der Oberfläche ⇐⇒φ = const. auf der Oberfläche Wie kann die Randbedingung ~E k~n auf der Oberfläche erfüllt werden? Beispiel: Teilchen der Ladung Q in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Metallplatte. Wir wollen das Feld als Lösung von ∆φ = ρ/ 0 nur in dem Raumbereich finden, in dem sich das Teilchen befindet. Außerhalb können wir beliebig ∋

19

2.4. METHODE DER SPIEGELLADUNGEN . .

.

.

−Q

Q

Spiegel− ladung

−x

Q.

x

. .

viele virtuelle“ Ladungen anbringen, sog. Spiegelladungen. Für die Metallplatte ” ergibt sich: 1 Q 1 −Q + 4π 0 |~y −~x| 4π 0 |~y +~x| =⇒ φ(y1 = 0, y2 , y3 ) = 0 ∋

∋

φ(~y) =

=⇒ ~E = −∇φ ist senkrecht zur Metalloberfläche, da sich das Potential in dieser Ebene nicht a¨ ndert 2. Beispiel: Punktladung außerhalb einer Metallkugel mit Radius a.

a Q’ r’

z

Q0 Q φ(~x) = + 4π 0 |~x −~r| 4π 0 |~x −~r0 | ∋

Ansatz:

Q r

∋

Symmetrieüberlegungen legen nahe, dass die Spiegelladung Q0 auf der gleichen Achse liegt wie Q, also~r = r~ez ,~r0 = r0~ez . Für einen Vektor ~x mit |~x| = R in Kugelkoordinaten gilt:   R cos ϕ sin ϑ ~x = R sin ϕ cos ϑ R cos ϑ

20

KAPITEL 2. ELEKTROSTATIK − 1 Q 2 2 a sin ϑ + (a cos ϑ − r)2 2 4π 0 − 1 Q0 2 2 + a sin ϑ + (a cos ϑ − r0 )2 2 4π 0 − 12 − 12 1 2 2 0 2 02 0 = Q a + r − 2ar cos ϑ + Q a + r − 2ar cos ϑ 4π 0 ∋

φ(|~x| = a) =

∋

∋

!

= 0 für alle ϑ Lösung: a2 a ; Q0 = Q r r Generell ist die Methode der Spiegelladungen erfolgversprechend, wenn das Problem eine gewisse Symmetrie aufweist. Im Allgemeinen reicht auch nicht eine einzelne Spiegelladung, sondern man muss mehrere Ladungen einführen, um die Randbedingungen zu erfüllen. r0 =

2.5

Green-Funktion in sphärischen Koordinaten

Zu lösen ist die Poisson-Gleichung in Kugelkoordinaten.   r cos ϕ sin ϑ ρ ∆φ = ; ~x = r sin ϕ cos ϑ 0 r cos ϑ ∋

1 ∂2 1 ∆φ = rφ + 2 ∆Ω φ 2 r ∂r r 1 ∂ ∂φ 1 ∂2 ∆Ω φ = sin ϑ + 2 φ = −L2 φ sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ2 Aus der Quantenmechanik ist bekannt: ∆ΩYlm (ϑ, ϕ) = −l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ) ;

−i∂φYlm (ϑ, ϕ) = mYlm (ϑ, ϕ)

Darin sind die Ylm die Kugelflächenfunktionen: s (2l + 1) (l − m)! m Ylm (ϑ, ϕ) = P (cos ϑ)eimϕ 4π (l + m)! l Die Plm sind die assoziierten Legendre-Polynome: Plm (x) =

m (−1)m 2 l (1 − x2 ) 2 ∂l+m x (x − 1) l 2 l!

¨ 2.5. GREEN-FUNKTION IN SPHARISCHEN KOORDINATEN

21

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein Orthonormalsystem mit der Orthogonalitätsrelation Z 2π Z π 0

0

Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll 0 δmm0

(2.9)

und der Vollständigkeitsrelation ∞

l

∑ ∑

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 ) | {z } l=0 m=−l

(2.10)

=δ(Ω−Ω0 )

Man kann daher alle Lösungen der sphärisch symmetrischen Poisson-Gleichung nach Kugelflächenfunktionen entwickeln. Besonders interessant ist in unserem Falle die Green-Funktion: ∞ l l 1 1 r< = 4π ∑ ∑ 2l + 1 rl+1 Ylm∗ (ϑ0, ϕ0)Ylm(ϑ, ϕ) |~x −~x0 | > l=0 m=−l

mit r< := min(|~x|, |~x0 |) ;

(2.11)

r> := max(|~x|, |~x0 |)

(Für Einzelheiten siehe [6], Kapitel 3.9.) Dies entspricht einer Entwicklung der Green-Funktion in Kugelkoordinaten um den Punkt ~x. Das Auftauchen von r< und r> ist typisch für Green-Funktionen in kugel- und zylindersymmetrischen Problemen. Der Sprung in r< und r> ist notwendig, um δ(~x −~x0 ) in der PoissonGleichung zu erzeugen. Lösungen dieser Art treten z. B. auch in Gravitationstheorie, Akustik und Quantenmechanik auf.

22


Kapitel 3 Magnetostatik Hier betrachtet man den Fall, dass konstante Ströme fließen, d. h. Ladungsträger werden zwar bewegt, aber nur so dass sich ihre Ladungsdichte nicht a¨ ndert: ρ = const. =⇒ ∂t ~j = ∂t ρ = 0 Mit der Kontinuitätsgleichung ρ˙ + div ~j = 0 folgt daraus ~j = const.

;

div ~j = 0 d. h. die Ströme sind quellenfrei. Streng genommen können daher nur unendlich ausgedehnte Ströme oder geschlossene Stromkreise betrachtet werden.

3.1

Die Feldgleichungen und ihre Lösung

Zur Herleitung der Feldgleichungen kann man von den Maxwell-Gleichungen ausgehen. Weil die Quellen zeitunabhängig sind nimmt man an, dass es die Felder ebenfalls sind: ρ div ~E = div ~B = 0 0 (3.1) rot ~E = 0 rot ~B = µ0~j ∋

Die Gleichungen für ~E sind die aus der Elektrostatik, aber die für ~B sind neu. Es ist möglich sie direkt zu lösen, einfacher ist es jedoch u¨ ber die Potentiale zu gehen. In Coulomb-Eichung ergeben sich für die Potentiale folgende Differentialgleichungen: ρ ∆φ = − 0 2 1 ∂ 1 − ∆ ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c ∋

23

24

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK

Wieder ist die Gleichung für das elektrische Potential die aus der Elektrostatik. Weil die Felder zeitunabhängig sind, folgt für ~A: ∆~A = −µ0~j Die drei Komponenten dieser Gleichung sind a¨ quivalent zur Poisson-Gleichung und werden analog gelöst (vgl. Gleichung (1.12)). ~A(~x) = µ0 4π

Z

~j(~x0 ) 3 0 d x |~x −~x0 |

~B(~x) = rotx ~A(~x) ∂ Ak (~x) Bi (~x) = εi jk ∂x j Z µ0 ∂ 1 = εi jk jk (~x0 ) d3 x0 4π ∂x j |~x −~x0 | Z µ0 (−1) = εi jk (x j − x0j ) jk (~x0 ) d3 x0 4π |~x −~x0 |3 Z µ0 (~j(~x0 ) × (~x −~x0 )) 3 0 ~ =⇒ B(~x) = d x 4π |~x −~x0 |3

3.2

Das Gesetz von Biot und Savart

Das Gesetz von Biot und Savart ist historisch a¨ lter als die Maxwell-Gleichungen. Es beschäftigt sich mit idealisierten Fadenströmen“. ” Zu seiner Herleitung bedient S2 n man sich der Modellvorstellung eines dünnen verlustfreien Leiters, der an Anfang und Ende jeweils die Querschnittsflächen z S1 und S2 besitzt, die von einem Strom homogen durchflosS1 sen werden. div ~j = 0 =⇒ 0 =

Z

3

div ~j d x =

V

I Z∂V

= S1

~j d~S ~j d~S −

Z

~j d~S

S2

= j1 S1 − j2 S2 = I1 − I2

3.2. DAS GESETZ VON BIOT UND SAVART

25

Durch beide Flächen S1 und S2 fließt also die gleiche Stromstärke. Die Integration erstreckt sich dabei u¨ ber das gesamte Volumen V des betrachteten Leiterstücks bzw. u¨ ber dessen Oberfläche. Wegen der Verlustfreiheit tragen nur Anfangs- und Endfläche des Leiters bei, was die Aufteilung des Oberflächenintegrals in der zweiten Zeile ermöglicht. Ist der Leiterquerschnitt S konstant, S = S1 = S2 , so ist j1 = j2 = SI . Parametrisieren wir einen Ort im Leiter durch die Länge l des Leiters bis zu diesem Punkt, so folgt daraus ~j(~z(l)) = I ·~n(l) S Wobei ~n(l) der Normalenvektor zur Querschnittsfläche des Leiters am Ort~z(l) ist R ~z(l) (d. h. tangential zum Leiter). Da l der Längenparameter ist gilt l = ~z(l1 ) |d~z| und somit 1/|d~z/dl| = 1. Der Normalenvektor kann daher in der Form ~n(l) =

d~z(l) dl

ausgedrückt werden. Für Biot-Savart geht man von einem unendlich dünnen Draht aus (FadenR strom). Formal kann man dies dadurch beschreiben, indem man ~j(~x) = d 3 x0 δ(~x− ~x0 ) ~j(~x0 ) schreibt. Das Integral erstreckt sich dabei nur u¨ ber den Raumbereich des Leiters, da die Stromdichte sonst verschwindet. An jedem Punkt des Leiters kann man es zerlegen in der Form d 3 x0 = dl dS. Da die Stromdichte konstant u¨ ber den Leiterquerschnitt ist, ergibt das Integral u¨ ber dS einfach die Fläche S. Man erhält dadurch ~j(~x) =

Z l2 l1

=I

~j(~z(l)) δ(~x −~z(l)) dl dS

Z l2 d~z(l)

dl

l1

Z

=I C

δ(~x −~z(l)) dl

δ(~x −~z) dz

µ0 1 · ~j(~x0 ) × (~x −~x0 )d3 x0 4π |~x −~x0 |3 Z Z µ0 I 1 = d~z × (~x −~x0 ) δ(~x0 −~z) 4π |~x −~x0 |3 C Z µ0 I ~x −~z = d~z × 4π |~x −~z|3

=⇒ ~B(~x) =

Z

µ0 I d~z × (~x −~z) 4π |~x −~z|3 Dies ist das Gesetz von Biot und Savart. ⇐⇒ d~B(~x) =

26

3.3


Kreisströme und magnetische Quadrupolfalle

Das Gesetz von Biot und Savart kann direkt dazu verwendet werden um das Feld dünner Stromleiter auszurechnen. Manchmal ist es aber einfacher vom Vektorpotential auszugehen. Beispiel: Kreisstrom in x-y-Ebene Die Stromdichte in Kugelkoordinaten ist   − sin ϕ ~j(r, ϑ, ϕ) = jϕ~eϕ ; ~eϕ =  cos ϕ  0 a I jϕ (r, ϑ, ϕ) = δ(cos ϑ)δ(r − a) Z a I µ0 1 ~ 0 3 0 =⇒ ~A(~x) = j(~x ) d x 4π |~x −~x0 | Das Problem ist symmetrisch unter ϕ → ϕ + ϕ0 . Für die Koordinate ~x können wir also wählen     x1 sin ϑ ~x =  0  = r  0  x3 cos ϑ Damit ist 0 Z ∞ Z π Z 2π 0 )δ(r 0 − a) − sin ϕ µ I δ(cos ϑ 0 02 0 0 0 0 0 ~A(~x) =  cos ϕ  r dr sin ϑ dϑ dϕ 0



4π

0

µ0 Ia = 4π

0

Z 2π 0



− sin ϕ0

|~x −~x |

a

0



0



1 dϕ0  cos ϕ0  |~x −~x0 | 0



;

cos ϕ0



~x0 = a  sin ϕ0  0

|~x −~x0 |2 = (r sin ϑ − a cos ϕ0 )2 + a2 sin2 ϕ0 + r2 cos2 ϑ = r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0   Z 2π − sin ϕ0 1 ~A(~x) = µ0 Ia dϕ0  cos ϕ0  p 4π 0 r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0 0 Ax verschwindet, da der Integrand antisymmetrisch in ϕ0 ist. µ0 Ia =⇒ ~A(~x) = ~ey π

Z 2π 0

1

dϕ0 cosϕ0 p

r2 + a2 − 2ar sin ϑ cos ϕ0

Dies ist ein sog. elliptisches Integral. Das Auftreten solcher Integrale ist typisch für diese Art von Problem. Sie können durch die vollständigen elliptischen

¨ 3.3. KREISSTROME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE

27

Integrale E(k) und K(k) (Siehe Ref. [1]) gelöst werden: µ0 I 1 (2 − k2 )K(k) − 2E(k) √ Ay = π r2 + a2 − 2ar sin ϑ a2 mit k2 =

4ar sin ϑ r2 + a2 − 2ar sin ϑ

Weiteres Beispiel: Magnetische Quadrupolfalle:

a

a z_

_L

0

+L

z+

x3

   a cos ϕ a cos ϕ ~z+ =  a sin ϕ  ; ~z− = −a sin ϕ L −L     −a sin ϕ −a sin ϕ d~z d~z+ = dϕ = dϕ  a cos ϕ  ; d~z− = dϕ −a cos ϕ dϕ 0 0 

Verwenden Biot-Savart: ~B(~x) = µ0 I 4π

Z

d~z+ × (~x −~z+ ) d~z− × (~x −~z− ) + |~x −~z+ |3 |~x −~z− |3

Für die Falle ist nur das ~B-Feld in der Umgebung von ~x = 0 interessant. Daher entwickeln wir ~B um ~x = 0: ∂ Bi ≈ Bi (0) + xk Bi +··· ∂xk x=0

28

KAPITEL 3. MAGNETOSTATIK Es gelten d~z+ ×~z+ d~z− ×~z− − − |~z+ |3 |~z− |3 p |~z+ | = |~z− | = a2 + L2     L cos ϕ L cos ϕ d~z+ ×~z+ = dϕa ·  L sin ϕ  ; d~z− ×~z− = dϕa · −L sin ϕ −a a   Z 2π −2L cos ϕ µ I a 0  =0 0 =⇒ ~B(0) = dϕ √ 3 4π 0 a2 + L 2 0 ~B(0) = µ0 I 4π

Z

Analog findet man     x1 x1 2 ∂ ~ µ0 I 6a Lπ  x2  = B0  x2  ≈ ~B(x) xl B =− ∂xl x=0 4π √a2 + L2 5 −2x3 −2x3 Aus der Quantenmechanik kennt man die Wechselwirkungsenergie zwischen einem ~B-Feld und einem Teilchen mit magnetischem Moment~µ Hint = −~µ~B

z. B. für Spin:~µ = µB g~s

Für festes~µ entspricht~µ~B einer homogenen Kraft ~F = −∇Hint = B0 (µx , µy , −2µz )T , die keine Falle darstellt. Man kann trotzdem Teilchen fangen, weil der Spin und damit das magnetische Moment sehr schnell um die (lokale) Achse des Magnetfeldes präzediert. Die zum Magnetfeld senkrechten Spinkomponenten mitteln sich deshalb weg und man kann den das zeitlich gemittelte magnetische Moment in der Form ~B ~µ = ±|~µ| =⇒ Hint = −|~µ||~B| |~B| darstellen. Falls also die Schwerpunktbewegung des Teilchens sehr viel langsamer als die Präzession des Spins ist, ist die Wechselwirkungsenergie proportional zu |~B|. Falls der mittlere Spin antiparallel zum Magnetfeld ist (paramagnetisch), ergibt sich eine magnetische Falle für Teilchen:   x1 0   ~ ~ x2 |B| = |B | · −2x3

¨ 3.3. KREISSTROME UND MAGNETISCHE QUADRUPOLFALLE

29

Hint

x1

Das besondere an der magnetischen Quadrupolfalle ist, dass die Präzession des Spin eine Falle mit einem statischen Magnetfeld ermöglicht. In Abschnitt 2 hatten wir gesehen, dass ein statisches elektrisches Feld im freien Raum kein Minimum oder Maximum annehmen kann. Dasselbe gilt auch für ein statisches Magnetfeld, da es auch die Laplace-Gleichung erfüllt. Erst die Präzession des Spins und die damit verbundene Kopplung an |~B| erzeugt eine Wechselwirkungsenergie mit einem Minimum, die zum Fangen von Teilchen verwendet werden kann.

30


Kapitel 4 Veränderliche Felder Läßt man zeitabhängige Felder und Quellen zu, so muss man mit den allgemeinen Maxwell-Gleichungen rechnen, am besten in Form der Wellengleichungen 1 ~E = −µ0 ∂t ~j − ∇ρ (4.1) ∋

0

~B = µ0 rot ~j

(4.2)

4.1 Ebene Wellen Im Vakuum (ρ = ~j = 0) gilt: ~E = ~B = 0

div ~E = div ~B = 0

;

Ansatz zur Lösung: ~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωt) k k2 1 ∂ ~E = E~k~ε~k 2 2 − ∆ exp(i~k~x − iωt) c ∂t Darin sind E~k ∈ C ~ε~k

die Amplitude und der Polarisationsvektor.

ω ! =⇒ ~E = E~k~ε~k (− 2 + k~2 ) exp(i~k~x − iωt) = 0 c Das ist eine Lösung von ~E = 0 falls ω = c|~k|. Hierbei ist ω~k := c|~k| die Frequenz eines Photons1 mit Impuls ~~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die 2

1 Der

Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst in der Quantenelektrodynamik eingeführt. Die Eigenschaften eines Photons hängen aber so eng mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff schon hier zu verwenden

31

¨ KAPITEL 4. VERANDERLICHE FELDER

32

Plancksche Formel E = ~ω~k . Der Polarisationsvektor ~ε~k wird festgelegt durch die Bedingung div ~E = ∂i Ei = 0: ε k(2)

div ~E = E~k (~ε~k )i iki exp(i~k~x − iωkt) = iE~ (~ε~~k) exp(i~k~x − iωkt) k

k .

k

!

=0

.

ε(1) k

=⇒~ε~k muss senkrecht auf dem Wellenvektor ~k stehen!

Im R3 gibt es zwei linear unabhängige Vektoren senkrecht zu ~k =⇒ es gibt zwei (σ) unabhängige Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der ~ε~ sind willk kürlich. Eine Möglichkeit ist  cos ϕ sin ϑ ~k = k  sin ϕ sin ϑ  cos ϑ 

 cos ϕ cos ϑ (1) ; ~ε~ =  sin ϕ cos ϑ  k − sin ϑ 

  − sin ϕ ~ k (1) (2) ; ~ε~ = ×~ε~ =  cos ϕ  k k k 0

(1) (2) Die reellen Vektoren ~ε~ und ~ε~ entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allk k gemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren:

~ε~k = α~ε~(1) + β~ε~(2) k

k

;

mit |α|2 + |β|2 = 1

,

α, β ∈ C

Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht: 1 ~ε~(±) = √ (~ε~(1) ± i~ε~(2) ) k k 2 k In der Literatur werden bezüglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet. Wir halten uns hier an die von [5, 2]: +“: links zirkular oder positive Helizität, σ+ -Licht ” −“: rechts zirkular oder negative Helizität, σ− -Licht ” σ+ - und σ− -Licht ist wichtig für die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ± : ∆m = ±1, wobei m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Su(1) (2) perpositionen ~ε~k = α~ε~ + β~ε~ heißen elliptisch polarisiert. k k In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig den Spin eines Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die z-Spin-Werte sz = ±1. Das entspricht σ+ - und σ− -Licht. Die Auswahlregel ∆m = ±1 folgt dann aus der Erhaltung des Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse nicht realisiert (vgl. [7]). Im

33

4.1. EBENE WELLEN

Allgemeinen gehört zu einem zeitabhängigen ~E-Feld auch ein zeitabhängiges ~BFeld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot ~E = −~B˙ herleiten: ~B˙ = −rot {E~~ε~ e(i~k~x−iωk t) + c. c.} k k ~

= −εi jk ∂ j (~ε~k )l E~k e(ik~x−iωk t) + c. c. ~

= −εi jk (~ε~k )l E~k lk j e(ik~x−iωk t) + c. c. ~

= −iE~k (~k ×~ε~k )i e(ik~x−iωk t) + c. c. Zur Lösung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωkt). Daraus ergibt sich: ~B =

E~k ~ ~ (k ×~ε~k )e(ik~x−iωk t) + c. c.

ωk 1 = (~k × ~E) ωk

Die allgemeine Lösung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen: ~E(~x,t) =

Z

d3k

∑

σ=1,2

~B(~x,t) =

Z

3

d k

∑

σ=1,2

E~k(σ)~ε~(σ) exp(i~k~x − iωt) + c. c. k E~k(σ) ωk

(σ) (~k ×~ε~ ) exp(i~k~x − iωt) + c. c. k

Besonders erwähnenswert sind noch folgende Spezialfälle: 1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil ~ε und einem Imaginärteil ~ε00 zusammen: ~E = E~~ε~ exp(i~k~x − iωkt) + c. c. k k = E~ (~ε0 + i~ε00 ) exp(i~k~x − iωkt) + c. c. k

Dabei gelte ~ε02 +~ε002 = 1, E ∈ R. =⇒ ~E = E~k~ε0 2 cos(~k~x − iωkt) − E~k~ε00 2 sin(~k~x − iωkt) Es handelt sich also um eine laufende Welle. ¨ 2. Man betrachtet die Uberlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen mit E~k = E−~k und ~ε~k =~ε−~k : ~E = ~E~ + ~E ~ k −k = E~k~ε~k exp(i~k~x − iωkt) + E−~k~ε−~k exp(−i~k~x − iωkt) + c. c.


34

=⇒ ~E ∼ cos(~k~x)cos(ωkt) Es handelt sich also um eine stehende Welle.

4.2

Green-Funktionen

Im vorigen Abschnitt wurden Wellen im freien Raum betrachtet. Nun soll gelten ρ 6= 0 und ~j 6= 0. Die Gleichungen (4.1) und (4.2) für ~E und ~B sind inhomogen. Daher ist es nützlich die Green-Funktion zu kennen. Zu lösen ist: G(~x,t;~x0 ,t 0 ) = δ(t − t 0 )δ(~x −~x0 ) Als Lösungsansatz wird die Fourier-Transformation gewählt. Die Gleichungen sind invariant unter der Verschiebung des räumlichen und zeitlichen Ursprungs. Deswegen hängt G nur von den Differenzen der Koordinaten ab, also G(~x,t;~x0 ,t 0 ) = G(t −t 0 ,~x −~x), und man kann die Fourier-Transformation nach nur vier Variablen ansetzen: 1 ~ ˜ ~k, ω) d3 k dω ei(k~x−ωt) G( (2π)2 Z 1 ω2 ~ 2 ˜ ~k, ω) d3 k dω x G(~x,t) = − 2 + k ei(k~x−ωt) G( 2 (2π) c = δ(t)δ(x) Z 1 ~ = ei(k~x−ωt) d3 k dω 4 (2π) Z

G(~x,t) =

(∗)

(∗∗)

Für das letzte Gleichheitszeichen wurde eine der Darstellungen der δ-Funktion benutzt. Ein Vergleich der Gleichungen (∗) und (∗∗) liefert ˜ ~k, ω) = G(

1 2 (2π)2 (~k2 − ωc2 )

1 =⇒ G(~x,t) = (2π)4

Z

3

i~k~x

d ke

Z

e−iωt dω ~k2 − ω22 c

Das Integral u¨ ber ω hat Pole bei ω = ±ωk := ±c|~k|. Die Art und Weise, wie man bei der Integration mit den Polen umgeht, legt die an G zu stellenden Randbedingungen fest. Wir verschieben die Pole etwas:

35

4.2. GREEN-FUNKTIONEN 2 ~k2 − ω = 1 (ω2 − ω2 ) c2 c2 k 1 = 2 (ωk + ω)(ωk − ω) c 1 −→ (ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i ) c2

ϕ ω2

R

ω1

Neue Pole: ω1 = ωk ± i ω2 = −ωk ± i

Cu

∋

∋

−R

∋

I

∋

Co

∋

Beide Pole liegen nun entweder um u¨ ber oder unter der reellen Achse. Jetzt kann die Green-Funktion mit Hilfe des Residuensatzes berechnet werden. Dazu setzen wir 3

i~k~x

Z

d ke

dω

e−iωt (ωk + ω ∓ i )(ωk − ω ± i ) ∋

Z

∋

c2 G(∓) (~x,t) = lim →0 (2π)4 ∋

Es ist leicht zu sehen, dass G− (t) = G+ (−t) gilt, indem man die Integrationsvariable gemäß ω0 = −ω wechselt. Wir werden uns deshalb im Folgenden auf G+ beschränken. Zu berechnen ist dann das Integral ∋

I(+) :=

e−iωt dω := (ωk + ω + i )(ωk − ω − i )

Z

∋

Z

Z

i(+) (ω) dω :=

g(ω) dω h+ (ω)

Der Residuensatz besagt, dass das Integral u¨ ber eine meromorphe Funktion entlang eines geschlossenen Pfades in der komplexen Ebene gleich 2πi mal der Summe der Residuen der Funktion innerhalb des Pfades ist. Wir sind jedoch nur an dem Integral entlang der reellen Achse interessiert und müssen daher den Beitrag u¨ ber die den Pfad schließenden Halbkreise abschätzen. Auf dem oberen/unteren Halbkreis hat die Frequenz den Wert ω = R exp(±iϕ) mit ϕ ∈ [0, π]. Für R ωk kann man ωk vernachlässigen und erhält für das Integral u¨ ber den oberen/unteren Halbkreis Z π −iR exp(±iϕ)t e R exp(±iϕ)(±i)dϕ Io/u ≈ R2 0 Dieses Integral ist immer kleiner als das u¨ ber den Betrag des Integranden, |Io/u | ≤

Z π ±R sin(ϕ)t e dϕ 0

R

Für R → ∞ geht dieses Integral gegen Null, sofern • t > 0 ist und man den unteren Halbkreis verwendet,


36

• t < 0 ist und man den oberen Halbkreis verwendet. Da G+ keine Pole in der oberen Halbebene hat, ist ihr Wert Null für t < 0. Um G+ für t > 0 zu berechnen benutzt man, dass alle Pole von erster Ordnung sind. Daher kann man zur Berechnung der Residuen folgende Formel anwenden: g(ω0 ) h0 (ω0 ) h0(+) (ω) = (ωk − ω − i ) − (ωk + ω + i ) = −2ω − 2i Resω0 (i(ω)) =

∋

∋

∋

Damit ergibt sich für die Residuen: ∋

∋

Wenn man nun Integral I(+) zu

e−it(ωk −i −2ωk

)

;

Resω2 (i(ω)) =

∋

Resω1 (i(ω)) =

e−it(−ωk −i 2ωk

)

gegen Null gehen läßt, ergibt sich nach dem Residuensatz das

e−iωk t eiωk t I(+) = −2πi − + 2ωk 2ωk

=

2π πi −iωk t e − eiωk t = sin(ωkt) ωk ωk

Dabei ist zu beachten, dass der Integrationsweg u¨ ber die obere Halbebene entgegen dem Uhrzeigersinn, der u¨ ber die untere Halbebene jedoch im Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Das Integral u¨ ber Letzteren erhält daher einen zusätzlichen Faktor −1. Setzt man die bisherigen Rechnungen ein, so ergibt sich c2 ~ 2π G+ (t,~x) = Θ(t) eik~x sin(ckt) d3 k 4 (2π) ck Z ∞ Z π Z 2π c 1 2 = Θ(t) k dk sin ϑ dϑ sin(ckt)eik|~x| cos ϑ dϕ 3 (2π) k 0 0 0 Z

wobei wir im letzten Schritt zu Kugelkoordinaten für ~k u¨ bergegangen sind und ~k entlang o.B.d.A. angenommen haben, dass die z-Achse der Integrationsvariablen Rπ ~x liegt. Die Integration u¨ ber ϕ und ϑ ist elementar, wenn man 0 sin(ϑ)dϑ · · · = R1 alt −1 d cos ϑ · · · verwendet. Man erh¨ Z ∞ c 1 ik|~x| −ik|~x| G+ (t,~x) = Θ(t) k dk sin(ckt) e − e (2π)2 ik|~x| 0 Z ∞ 2c = Θ(t) dk sin(ckt) sin(k|~x|) (2π)2 |~x| 0 Z ∞ c = Θ(t) dk sin(ckt) sin(k|~x|) (2π)2 |~x| −∞

37

4.2. GREEN-FUNKTIONEN

wobei im letzten Schritt benutzt wurde, dass der Integrand symmetrisch in k ist. Schreibt man die trigonometrischen Funktionen mit Hilfe von Exponentialfunktionen, so ergibt das Integral eine Summe von vier δ-Distributionen, G+ (t,~x) =

c Θ(t) {−δ(ct + |~x|) − δ(−ct − |~x|) + δ(ct − |~x|) + δ(−ct + |~x|)} 8π|~x|

Da ct > 0 gilt verschwindet das Argument der ersten beiden Terme nie und sie können zu Null gesetzt werden. Die Symmetrie der δ-Distribution erlaubt uns ausserdem, die beiden letzten Terme zusammenzufassen, so dass wir als Ergebnis die retardierte Green-Funktion c Gret (t,~x) ≡ G+ (t,~x) = Θ(t)δ(ct − |~x|) (4.3) 4π|~x| erhalten. Die Theta-Funktion kann hier eigentlich vernachlässigt werden, da t > 0 nun auch durch die δ-Distribution impliziert wird. t

|x _x’| = c ( t _ t’) t=t’

Eigenschaften von Gret : • Gret heißt retardierte Green-Funktion, weil • Gret = 0 ist für t < 0 (nichts propagiert in die Vergangenheit) • Gret 6= 0 ist nur auf dem Zukunftslichtkegel“ |~x| = ct ” 0 0 =⇒ Gret (~x −~x ,t − t ) propagiert eine in der Vergangenheit t 0 liegende Ursache (Ladung, Strom) mit Lichtgeschwindigkeit vom Ort ~x zum Ort ~x0 . • Die retardierte Green-Funktion beschreibt die Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. Die zweite Green-Funktion G− wird als avancierte Green-Funktion bezeichnet: c Θ(−(t − t 0 )) Gav(~x−~x0 ,t−t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) + |~x −~x0 |) 4π |~x −~x0 |


38

• Gav beschreibt das Signal, das eine Antenne zur Zeit t am Ort ~x empfängt. =⇒ Man sieht: Jedes Signal wird mit Lichtgeschwindigkeit u¨ bertragen. Das ist der Hauptunterschied zu Teilchen mit nicht-verschwindender Ruhemasse. Für diese sind Gret und Gav 6= 0 u¨ berall innerhalb des Lichtkegels.

4.3

Liénard-Wiechert-Potentiale

Fragestellung: Welches Potential wird von einer sich bewegenden Punktladung erzeugt? Die Ladungsdichte und die Stromdichte einer Punktladung sind ρ(t 0 ,~x0 ) = qδ(~x0 −~z(t 0 ))

˙ 0 )δ(~x0 −~z(t 0 )) ~j(t 0 ,~x0 ) = q~z(t

;

Darin ist q die Ladung und~z(t) ist die (vorgegebene) Bahn des Teilchens Am besten ist es, in der Lorentz-Eichung zu arbeiten: div ~A +

1 ∂t φ = 0 c2

Die allgemeinen Gleichungen für die Potentiale lauten ρ ∋

∆φ = −

− div ~A˙

1 ~A = µ0~j − 2 ∇φ˙ − ∇div A˙ c

;

0

Mit (∗) folgen daraus die Potentialgleichungen in Lorentz-Eichung:

Z

;

0

Gret (t − t 0 ,~x −~x0 )

ρ(~x0 ) ∋

=⇒ φ(~x,t) =

ρ ∋

φ =

~A = µ0~j

dt 0 d3 x0

0

c Θ(t − t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~x0 |) · qδ(~x0 −~z(t 0 )) dt 0 d3 x0 0| 4π |~ x −~ x 0 Z ∞ qc Θ(t − t 0 ) = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0 4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )| Z t 1 qc = δ(c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|) dt 0 4π 0 −∞ |~x −~z(t 0 )| 1

Z

∋

∋ ∋

Wir setzen F(t 0 ) = c(t − t 0 ) − |~x −~z(t 0 )|. Dann ist zu berechnen: Z

δ(F(t 0 )) 0 dt |~x −~z(t 0 )|

(∗)

´ 4.3. LIENARD-WIECHERT-POTENTIALE

39

Dazu benutzen wir die allgemeine Regel: δ(F(t 0 )) = ∑ n

1 δ(t 0 − tn ) ˙ |F(tn )|

˙ n ) 6= 0. Bei uns ist Die tn sind darin die Nullstellen von F(t 0 ), F(t 0) 1 ~ x −~ z(t 0 ˙ ˙ ) = c −1 + F(t ~z(t ) c |~x −~z(t 0 )|

0

Wir setzen ~n :=

˙ 0 ~x −~z(t 0 ) ~β := ~z(t ) und |~x −~z(t 0 )| c

Es gilt ~n2 = 1 und ~β2 < 1, was nichts anderes heißt, als dass sich die Punktladung mit einer Geschwindigkeit kleiner als c bewegt. Damit ist ˙ 0 )| = c(1 −~n~β) |F(t qc 1 1 =⇒ φ(~x,t) = 0 ~ 4π 0 |~x −~z(t )| c(1 −~nβ) 0 t =t− 1 |~x−~z(t 0 )| ∋

c

q 1 φ(~x,t) = 4π 0 |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0

t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|

∋

Völlig analog findet man: ˙ 0) µ q ~ z(t 0 ~A(~x,t) = 4π |~x −~z(t 0 )| · (1 −~n~β) 0

t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|

Dies sind die Liénard-Wiechert-Potentiale. An ihnen sieht man den Retardierungs-Effekt: eine Quelle (Ladung) am Ort ~z(t 0 ) braucht die Zeit t − t 0 = 1c |~x − ~z(t 0 )| um am Ort ~x ein Feld zu erzeugen. Ist β = 0, so erhält man das retardierte Coulomb-Potential. Die dazugehörigen Felder sind am einfachsten aus den allgemeinen Gleichungen herzuleiten:


40

  (~n −~β)(1 −~β2 ) q ~E = 4π 0  (1 −~n~β)3 r2 0 t =t− 1c |~x−~z(t 0 )|  ˙ ˙  ~ ~ ~ ~ (~n − β)(~n · β) − (1 −~nβ)β + 0  c(1 −~n~β)r t =t− 1 |~x−~z(t 0 )| ∋

c

~B = 1~n × ~E c Hier wurde r = |~x −~z(t 0 )| gesetzt. Der erste Term hängt nur von der Geschwindigkeit ab und ist (wie u¨ blich) ¨ 0 )) ab und ist ∼ 1 . ∼ r12 . Der zweite Term hängt von der Beschleunigung (~z(t r

4.4

Multipolentwicklung

Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die Auswahlregeln von Atomen und Molekülen in der Quantenmechanik. In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach DrehimpulsEigenzuständen wie in der Quantenmechanik.

Skalare Multipole Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung. ρ(~x,t) ∋

φ(~x,t) =

0

Zeitliche Fourier-Transformation: Z

e−iωt φ(~x,t) dt

=⇒ (∆ + k2 )φ˜ ω (~x) = −

˜ x) ρ(~ ∋

φ˜ ω (~x) =

,

k=

0

ω c

Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion für die Helmholtz-Gleichung erfüllt (∆ + k2 )G(~x,~x0 ) = −δ(~x −~x0 )

41

4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG und ist (mit Randbedingung G → 0 für |~x −~x0 | → ∞) gegeben durch 0

1 eik|~x−~x | G(~x −~x ) = 4π |~x −~x0 | 0

∞

= ik ∑

(1) jl (kr< )hl (kr> )

l=0

m

∑

∗ Ylm (ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ) | {z } m=−l

Basisfunktion

Darin sind l 1 sin x jl =(−x) ∂x x x l 1 cos x (1) hl = jl − (−x)l ∂x x x

sphärische Besselfunktionen

(4.4)

sphärische Hankelfunktionen

(4.5)

Die Lösung ist φ˜ ω (~x) = ik =⇒ φ˜ ω (~x) =

Z ∞

Z

l

∑ ∑

∋

0

G(~x,~x0 )

˜ x) ρ(~ ∋

l

0

(1)

jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0

l=0 m=−l

·

Z

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )ρ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

Von besonderem Interesse für praktische Anwendungen ist das Feld φ˜ ω (~x) an einem Ort ~x außerhalb der Ladungsverteilung. Wählt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |~x| > |~x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r. ∞

ik =⇒ φ˜ ω (~x) =

l

∑ ∑ 0

(1)

Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr) (4.6)

l=0 m=−l

∋

·

Z

∗ jl (kr0 )Ylm (ϑ0 , ϕ0 )ρ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0

In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung 2πc klein gegenüber der Wellenlänge λ = 2π ule: r0 = k = ω (z. B. Atome oder Molek¨ 0 ˚ λ = 1 µm). Das Argument kr von jl ist also klein. Für x 1 gilt 1 A, jl (x) ≈ Z

=⇒

xl (2l + 1)!!

∗ ˜ jl (kr0 )Ylm ρω dΩ0 dr0 ≈

kl (2l + 1)!!

Z

∗ ˜ r0lYlm ρω dΩ0 dr0

(4.7)


42

Man definiert das sphärische Multipolmoment der Ordnung lm als Z

∗ ˜ r0lYlm ρω dΩ0 dr0

Qlm :=

(4.8)

so dass das skalare Potential von kleinen Ladungsverteilungen ausgedrückt werden kann als ik φ˜ ω (~x) =

∞

l

∑ ∑

(1)

∋

0 l=0 m=−l

Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr)

Qlm kl (2l + 1)!!

(4.9)

Spezialfälle: 1 Q00 = √ 4π Q =√ 4π r

Z

ρ˜ ω (~x0 ) d 3 x0

Q = Gesamtladung des Ions/Moleküls bei ω r Z 3 3 0 0 0 3 0 Q11 = − ρ˜ ω (~x )(x − iy ) d x = − (px − ipy ) 8π 8π r Z r 3 3 Q10 = ρ˜ ω (~x0 )z0 d 3 x = pz 4π 4π Darin ist ~p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment: Z

~p =

~x0 ρ(~x0 ) d 3 x0

Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist ~p~x 4π 0 |~x|3 ∋

φDip (~x) =

Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegensätzliche Ladungen mit sehr kleinem Abstand L. Dipolmoment = q(L) · L~n = ~p L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt. Das entsprechende elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch ˆ p~x) ˆ −~p 1 3~x(~ 4π 0 |~x|3 ∋

~EDip (~x) =

mit ~xˆ =

~x |~x|

43

4.4. MULTIPOLENTWICKLUNG

Die allgemeine Taylor-Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet: " # x x 1 Q ~p~x 1 i j φ(~x) = + 3 + ∑ Q¯ i j 5 + · · · 4π 0 r r 2 ij r ∋

Darin ist Q¯ i j =

Z

ρ(~x)(3xi x j − δi j~x2 ) d 3 x

der (spurlose) cartesische Tensor des Quadrupolmoments. Gleichung (4.6) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen hergeleitet werden. Wegen Gleichung (2.10) gilt für eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ): f (ϑ, ϕ) =

Z

=∑

f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0 Z

∗ Ylm (Ω0 )Ylm (Ω) f (Ω0 ) dΩ0

l,m

= ∑ Ylm (ϑ, ϕ) · Flm

Z

mit den Koeffizienten Flm :=

∗ Ylm (Ω0 ) f (Ω0 ) dΩ0

l,m

In unserem Fall gilt: φ˜ ω (~x) = ∑ Ylm (ϑ, ϕ)φ˜ ω,lm (~r) l,m

mit φ˜ ω,lm (~r) =

Z

∗ Ylm (Ω0 )φ˜ ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein: 1 ∋

(∆ + k2 )φ˜ ω (~x) = −

0

ρ˜ ω (~x)

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: 1 ∂ 2∂ 1 r − 2~L ; ~L =~x × (−i∇) 2 r ∂r ∂r r ~L2Ylm = l(l + 1)Ylm 1 ∂ 2 ∂ l(l + 1) 1 2 ˜ =⇒ 2 r − + k φ (~ r) = − ρ˜ ω,lm (~r) ω,lm r ∂r ∂r r2 0 ∆=

∋

Lösen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle für r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r , sin(kr) 1r ) führt zu obigem Ausdruck (4.6) für φ˜ ω (~x).


44

¨ Vektorfelder Multipolentwicklung fur Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div ~B = 0) durchführen. Im Wesentlichen werden dabei die Kugelflächenfunktionen Ylm ersetzt durch ~Xlm := p 1 ~LYlm (ϑ, ϕ) Vector spherical harmonics“ ” l(l + 1) ~Xlm erfüllt Z

∗ ~ ~Xlm Xl 0 m0 dΩ = δll 0 δmm0

Z

∗ ~Xlm · (~x × ~Xlm )dΩ = 0

Ein vollständiges System von Vektorfunktionen für divergenzfreie Felder ist dann gegeben durch Fl (kr)~Xlm und ∇ × (gl (kr)~Xlm wobei

(1) (1)

(2) (2)

Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr) (1) (1)

(2) (2)

gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr) (i)

(2)

(1)∗

hl (kr) = sphärische Hankelfunktionen hl (kr) = hl (1)

(2)

(1)

(kr)

(2)

Hierbei sind Fl , Fl , gl und gl Entwicklungskoeffizienten, deren Wert von der Ladungsverteilung abhängt. Die elektromagnetischen Felder im freien Raum lassen sich dann entwickeln gemäß h i ~B = ∑ aE (l, m)Fl (kr)~Xlm + am (l, m)∇ × gl (kr)~Xlm l,m

~E = ∑ l,m

i aE (l, m)∇ × Fl (kr)~Xlm + am (l, m)gl (kr)~Xlm k

Felder, die proportional zu am sind heißen sphärische TM-Felder ( transverse ma” gnetic“) und Felder, die proportional zu aE sind heißen sphärische TE-Felder ( transverse electrical“). ” Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zurückführen, wenn kr 1 innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann aE (l, m) ∼ Qlm

am (l, m) ∼ Mlm ! Z ~ 1 ~ x × j(~ x) Mlm = − rlYlm ∇ d3 x (l + 1) c ;

Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [5], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.

Kapitel 5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen behandelt. Oft möchte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen) betrachten. Fast alle Medien sind aus Atomen und Molekülen aufgebaut. In solchen Objekten sind die Ladungen gebunden, d. h. sie können durch ein angelegtes a¨ ußeres Feld nicht frei verschoben werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar ein permanentes Dipolmoment. Atome sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen Feldes polarisierbar:

_

E=0

E =/ 0

H

_

+ _

_

_ _ _

+

+

_

_

_

8+

_

_ O _

H

+ _

Moleküle (z. B. Wasser) können auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies tritt oft bei ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Moleküls, sondern nur makroskopische Felder, die u¨ ber einen Raumbereich, der viele Moleküle enthält, gemittelt sind, kann man die makroskopischen Felder ~E, ~D, ~B und H ~ durch folgende Gleichungen gut beschreiben: div ~D = ρ div ~B = 0 (5.1) ~ = ~j + ~D˙ rot ~E = −~B˙ rot H makroskopische Maxwell-Gleichungen 45

46

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN Es gelten die materialabhängigen Beziehungen E + ~P 0~

∋

~D =

~B = µ0 (H ~ + M) ~

;

~ die magnetische Darin sind ~D die dielektrische Verschiebungsdichte und H ~ ~ Feldstärke, P ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt einige Spezialfälle: ~ = 0, so dass wir auf die bisherige Form der • Im Vakuum gilt ~P = 0 und M Maxwell-Gleichungen kommen. • Wenn die Moleküle ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben, ~ = ~P = 0. Weraber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M ~ ~ den die Moleküle ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel für ein theoretisches Modell dazu ist das Ising-Modell.

m

m

M=0

M= / 0

• Sind die Atome/Moleküle polarisierbar, so gilt = ( + χ)~E

E 0 r~

∋ ∋

~D = ~E = ∋

;

∋

~P = χ~E

ist die Dielektrizitätskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilität. Dieser Effekt kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabhängig sein (Doppelbrechung):

∋ ∋

i j:

Di =

;

∋

Pi = χi j E j

i jE j

dielektrischer Tensor

• Für optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow1

1 Es

;

~D = (~E + β rot ~E) ∋

~ =0 M

gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivität. Dieses Modell sei nur als Beispiel herausgegriffen.

47

5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN Optische Aktivität heißt, dass die Polarisation eines Lichtstrahls beim Durchgang durch das Medium gedreht wird. Sie kommt daher, dass σ+ - und σ− -Licht bei unterschiedlichen Frequenzen resonant sind und daher einen unterschiedlichen Brechungsindex erfahren.

n= 3, m=0 , l=0 σ+

σ−

m = _1 n=2, l=0

m=0 m = +1

• In nichtlinearen Medien gilt z. B.: E + κ|~E|2 ~E 0~

∋

~D =

5.1 Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen ~ ist, dass sie makroDer physikalische Hintergrund der Größen ~E, ~D, ~B und H skopische Felder darstellen, die als Mittelung u¨ ber die mikroskopischen“ Felder ” ~Emik und ~Bmik auftreten. Letztere erfüllen die bisher behandelten Gleichungen ρmik ∋

div ~Emik =

div ~Bmik = 0

0

rot ~Bmik = µ0 ~jmik + 0 ~E˙mik ∋

rot ~Emik = −~B˙ mik

Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf: ρmik = ρfrei + ρgebunden ~jmik = ~jfrei + ~jgebunden Die freien Größen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Moleküle gebunden sind. Im Rahmen der klassischen Physik können sie geschrieben werden als ρfrei (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi ) i

~jfrei (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi ) i

Summen u¨ ber die freien Teilchen.

48

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN

Die gebundenen Größen korrespondieren zu den Atomen/Molekülen des Mediums:

ρgebunden (~x) = ∑ ρn (~x) Summe u¨ ber die Moleküle n

ρn (~x) = ∑ qi δ(~x −~xi ) Summe u¨ ber die Teilchen (e− , Kerne) im Molekül i

~jgebunden (~x) = ∑ ~jn (~x) ;

~jn (~x) = ∑ qi~x˙i δ(~x −~xi )

n

i

In den meisten Situationen können die Meßgeräte für elektromagnetische Fel˚ nicht auflösen. Bei optischen Experimender einzelne Moleküle (Größe ∼ 1 A) ten ist die räumliche Auflösung beispielsweise in der Größenordnung der Wel˚ Man kann daher eine räumliche Mittelung u¨ ber ~Emik und lenlänge (∼ 6000A). ~Bmik durchführen ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern:

~E(~x) = h~Emik (~x)i =

Z

f (~x0 )~Emik (~x −~x0 ) d3 x0

~B(~x) = h~Bmik (~x)i

Darin soll f (~x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam a¨ ndert, aber deren Träger klein gegenüber der Wellenlänge ist. Wegen der Mittelung soll R natürlich gelten f (~x) d3 x = 1. f(x)

x 700 nm

5.1. MAKROSKOPISCHE MAXWELL-GLEICHUNGEN

49

Für ~E und ~B folgen dann die Gleichungen ∂ Bi (~x) ∂xi Z ∂ = f (~x0 )Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0 ∂xi Z ∂ = f (~x0 ) Bmik,i (~x −~x0 ) d3 x0 ∂xi Z

div ~B(~x) =

f (~x0 ) div ~Bmik (~x −~x0 ) d3 x0 | {z }

=

=0

∋

und analog

= hdiv ~Bmik (~x)i = 0 hρmik i div ~E(~x) = 0

˙ x) rot ~E(~x) = −~B(~ 1 ˙ rot ~B(~x) = µ0 h~jmik (~x)i + 2 ~E(~ x) c Die Mittelwerte können wie folgt verarbeitet werden: hρmik i = hρfrei i + hρgebunden i =: ρ(~x) + hρgebunden i

ρ(~x) : makroskopische Ladungsdichte

hρgebunden i =

∑

hρn (~x)i

(5.2)

n(Moleküle)

Für jedes Molekül ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich, daher: ρn (~x) ≈ =

Z

f (~x0 )ρn (~x −~x0 ) d3 x0

Z

f (~x0 )

∑ −

qi δ(~x −~x0 −~xi ) d3 x0

i(e , Kerne)

=

∑ −

qi f (~x −~xi ) d3 x0

i(e , Kerne)

Ist ~xn der Schwerpunkt das Moleküls, so gilt |~xi −~xn | Träger von f und man

50


kann f entwickeln: f (~x −~xi ) = f (~x −~xn − (~xi −~xn )) ≈ f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · · =⇒ hρn (~x)i ≈

∑

qi { f (~x −~xn ) − (~xi −~xn )∇ f (~xi −~xn ) + · · · }

i(e− , Kerne)

∑

=⇒ hρn (~x)i ≈ f (~x −~xn )

Kerne)

|

{z

i(e− ,

}

qn

∑

−∇ f (~x −~xn )

qi

i(e− ,

qi (~xi −~xn ) + · · ·

Kerne)

|

{z ~pn

}

qn ist die Ladung des Moleküls n. Für nicht ionisierte Moleküle ist qn = 0. ~pn ist sein Dipolmoment.

∑

=⇒ hρgebunden i =

(−∇ f (~x −~xn )~pn

n(Moleküle)

Polarisation ~P(~x) = ∑ f (~x −~xn )~pn

;

qn = 0

n

=⇒ hρgebunden (~x)i = −div ~P(~x) Setzt man dies und Gleichung (5.2) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ein, so erhält man 1 ∋

div ~E =

hρmik i

0

1

∋

0

1

div ~P

0

E + ~P =⇒ div ~D = ρ 0~

∋

~D =

ρ−

∋

=

Eine entsprechende Behandlung für rot ~B = µ0 h~jmik i +

1 ~˙ E c2

führt auf ~ + ~P˙ h~jmik i = ~j + rot M ~ = h∑ ~mn δ(~x −~xn )i M n

qi qi ~ ~mn = (~xi × mi~x˙i ) = Li ∑ ∑ 2mi 2mi i(e− , Kerne) i(e− , Kerne) Hier ist ~mn das magnetische Dipolmoment des Moleküls n. (Zu Details vgl. [5], Abschnitt 6.7). Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Gleichung (5.1).

51

5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN

5.2

Randbedingungen an Grenzschichten

Mit Hilfe der Sätze von Gauß und Stokes läßt sich das Verhalten der Felder an einer Grenzschicht zwischen zwei Dielektrika untersuchen. Man integriert dazu u¨ ber einen kleinen Bereich um die Grenzfläche. Zuerst soll das Verhalten von D an der Grenzfläche untersucht werden. Man betrachtet dazu ein kleines (Zylinder-)Volumen V , das jeweils zur Hälfte in beiden Medien liegt (Abb. 5.2). Seine Grundfläche sei ∆s, seine Höhe ε. Man integriert n n ε ∆s

Medium 1 Medium 2

nun die Gleichung div ~D = ρ: div ~D dV =

Z V ZZ

ρ dV =

ZZ

0

Z

∂V

~D~n da

~D~n da + = Zylinder | {z }

ZZ

~D~n da

Deckel

−→0 für ε−→0

=⇒

0

ZZ

∂V

~D~n da ≈~n(~D1 − ~D2 )∆s =

Z V

ρ dV = σ∆s

σ ist die Flächenladungsdichte an der Grenzfläche (falls sich dort Ladungen ansammeln). =⇒~n(~D1 − ~D2 ) = σ =⇒ Die Normalkomponente von ~D ist stetig für σ = 0. Analog zeigt man Z

0= V

div ~B dV =~n(~B1 − ~B2 )∆s

=⇒ Die Normalkomponente von ~B ist stetig. Um das Verhalten von E und H an der Grenzfläche herauszufinden, betrachtet man die anderen Maxwell-Gleichungen und integriert u¨ ber eine Fläche A, die von der Kurve C eingeschlossen wird. A liegt in einer Ebene senkrecht zur Grenzfläche

52


53

5.2. RANDBEDINGUNGEN AN GRENZSCHICHTEN

und wird der Bequemlichkeit halber als Rechteck der Höhe ε und der Länge l angenommen (Abb. 5.1). ZZ

rot ~E d~a =

A

I

~E d~l

C ZZ

= A

≈ (~E1 − ~E2 ) · (~t ×~n)l

−~B˙ d~a ≈ −(~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) ·~t |{z} lε A

Darin ist d~a ein Vektor senkrecht zu A, also tangential zur Grenzfläche. Er hat die Richtung ~t (|~t| = 1) und den Betrag da. Die Kurve C wird durch den Vektor d~l = dl(~t ×~n) beschrieben, wobei ~n der Normalenvektor der Grenzfläche ist. Der Beitrag der beiden Kurvenanteile, die (anti-)parallel zu ~n verlaufen, hebt sich gerade weg. Für ε −→ 0 geht geht auch A −→ 0, sodass (mit (~B˙ 1 − ~B˙ 2 ) endlich) folgt (~t ×~n)(~E1 − ~E2 ) = 0

~n × (~E1 − ~E2 ) = 0 (~t beliebig) =⇒ Die Tangentialkomponente von ~E ist stetig. bzw.

Analog findet man ~1 −H ~ 2 )l = (~t ×~n)(H

ZZ

˙ d~a (~j + ~D)

A

Der Term mit ~D˙ verschwindet wieder für ε −→ 0. Der Term mit ~j verschwindet nicht, falls Oberflächenströme vorliegen. ~j(~x) = K(~ ~ x)δ( ~x in der Oberfläche“) ” δ( ~x in der Oberfläche“) ist dabei eine eindimensionaleRDelta-Distribution, die RR ” ~ d~a gilt. dafür sorgt, dass ~j = 0 außerhalb der Oberfläche ist und ~j d3 x = A K Formal kann man eine Oberfläche durch eine Bedingung der Form p f (x, y, z) = 0 beschreiben. Für eine Kugeloberfläche ist beispielsweise f (~x) = x2 + y2 + z2 − R = 0. =⇒ δ( ~x in der Oberfläche“) ∼ δ( f (~x)) ” ZZ ~j d~a = K ~~tl =⇒ A

~1 −H ~ 2) = K ~~t =⇒ (~t ×~n)(H

bzw.

~1 −H ~ 2) = K ~ ~n × (H

~ ist stetig in Abwesenheit von Oberflächen=⇒ Die Tangentialkomponente von H strömen.

54


5.3

Elektrostatische Probleme in dielektrischen Medien

Die Techniken der Elektrostatik in Dielektrika sind im wesentlichen die gleichen wie im freien Raum. Neu ist, dass Randbedingungen an Grenzflächen berücksichtigt werden müssen. Der Spezialfall linearer Polarisierbarkeit (~D = ~E; ~P = χ~E; = 0 + χ) tritt am häufigsten auf. Beispiel 1: Punktladung an dielektrischer Grenzschicht ∋

∋

z

∋

2

∋

1

q x

d

∋

( ~D =

E 1~

∋ ∋

⇐⇒ ρ(~x) = qδ(~x − d~ex ) ;

x>0 x 0 gilt wie gehabt: 1 φ= 4π 1

q q0 + R R0

∋

R=

q

r2 + (x − d)2

;

0

R =

q

r2 + (x + d)2

;

r2 = y2 + z2

Bis jetzt war das Vorgehen analog zum Fall einer Ladung vor einer Platte aus leitendem Material. Aber nun müssen wir auch das Feld für x < 0 beschreiben.

5.3. ELEKTROSTATISCHE PROBLEME IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN55 Da ρ dort Null ist nimmt man an, dass an der Stelle d eine Ladung q00 sitzt: 1 q00 φ= 4π 2 R ∋

   −d    00    q 1   + 4π 2 r03  y    z      −∇φ|x=0 =  −d d     q   q0   1   + 4π 1  r3  y  + r3  y    0 0  z z

für x −→ 0−

∋

r0 =

p

r2 + d 2

für x −→ 0+

∋

Nun ist Dx stetig: =

1 ∇φ|x=0+

∋

2 ∇φ|x=0−

⇐⇒ q − q0 = q00

∋

Aus der Stetigkeit von Ey und Ez folgt: q00 =

;

∋

∋

Das Bild zeigt den qualitativen Verlauf der Feldlinien für 1 (rechts).

∋

2+ 1

q

2

>

∋

2− 1

1

2 2 q 2+ 1

(links) und

∋

q0 = −

∋

=⇒

∋

1

(q + q0 )

∋ ∋

1

∋ ∋

2

q00 =

∋

1

2

a =− P∇x 32r 1 2 2 0 a − 3r ra φ= P~x r3 3 0 1 ra 3 0 r =⇒ φ = −~x ~E0 − 1 ~P r 1: paramagnetisch, µ < 1: diamagnetisch Dabei unterscheidet sich µ in der Regel nur gering von µ0 (≈ 10−6 ). Für Ferromagnetika gilt allgemeiner ein nicht linearer Zusammenhang ~B = ~f (H) ~ Insbesondere kann es sich sogar um einen nicht eindeutigen Zusammenhang handeln. Das Medium erinnert sich dabei gewissermaßen an seine Vorgeschichte: B .

. .

H Neukurve

Dieses Phänomen nennt man Hysterese. Ferromagnetika lassen sich mit einem Spin-Modell verstehen. Jeder Spin hat ein magnetisches Moment. Durch ein an~ gelegtes H-Feld werden die Spins ausgerichtet. Je mehr umso stärker das a¨ ußere Feld ist. Irgendwann sind dann alle am Feld orientiert. ~ Fährt man danach das H-Feld wieder runter, so spüren die Spins ein lokales ~ und dem Feld des anderen Spins zusammengesetzt ist =⇒ Selbst Feld, das aus H ~ kleiner wird muß zum Umklappen das Feld der anderen noch ausgerichwenn H teten Spins u¨ berwunden werden. Je mehr Spins umgeklappt sind, desto einfacher ist es, einen weiteren umzuklappen. m

H= 0; B= 0

m

H> 0; B> 0

m

H= 0; aber B> 0

60


Durch erhöhen der Temperatur bei H = 0 kann man die Spinordnung zerstören und so H = B = 0 erreichen. Die Beschreibung dieses Systems gehört in die Statistische Physik. ~ ist schwierig. Oft Die Behandlung von Phänomenen mit allgemeinem ~B(H) ~ x) als vorgegeben angenommen werden, da das zusätzliche H-Feld ~ kann aber M(~ ~ merklich zu a¨ ndern (harte Ferromagneten). zu klein ist, um M Allgemeine Lösungsmethode für statische Probleme: ~ = 0 und somit H ~ = −∇φM mit dem Falls ~j = 0 (und ~D˙ = 0) so gilt rot H magnetischen Skalarpotential φM . Eine Gleichung für φM ergibt sich aus ~ + M) ~ div ~B = 0 = µ0 div (H ~ =⇒ ∆φM = div M Für harte Ferromagneten ist die rechte Seite vorgegeben und mit den Mitteln der Elektrostatik folgt Z ~ 0 1 M(~x ) 3 0 φM = − div d x 4π |~x −~x0 | ~ x0 ) 6= 0 gilt In großer Entfernung von dem Gebiet mit M(~ 1 1 ≈ 0 |~x −~x | |~x|

=⇒

~m ·~x φM = 4πr3

Z

;

~m =

~ x0 ) d3 x0 M(~

Beispiel 1: Homogen magnetisierte Kugel ( ~ = const. innerhalb Kugel mit Radius a M 0 außerhalb ~ = −∇φM =⇒ ∆φM = div M: ~ Das Problem ist a¨ quivalent zur homogen polariH sierten dielektrischen Kugel. ( 3 a 1~ für r > a =⇒ φM = M~x · r3 3 1 für r < a Außen ist dies ein reines magnetisches Dipolfeld. Beispiel 2: Abschirmung durch hoch permeable Materialien ~ (Abbildung 5.2). Wir betrachten eine Kugelschale in einem a¨ ußeren Magnetfeld H

61

5.5. MAGNETISCHE MEDIEN

b

H a

~ Abbildung 5.2: Kugelschale im a¨ ußeren Magnetfeld H. ( ~ ~B = µH ~ µ0 H

für a < r < b sonst

In den Teilbereichen gilt ~ = −∆φM div ~B = 0 = div H Wegen der Kugelsymmetrie des Problems kann man folgenden Ansatz machen: φM = ∑ Yl,m (ϑ, ϕ) fl (r) l,m

Wegen der Zylindersymmetrie und Yl,m ∼ eimϕ folgt: φM = ∑ Yl,0 fl (r) l

2 l(l + 1) =⇒ ∂2r fl + ∂r fl − fl = 0 r r2 Lösung: fl = arl + b−(l+1) Ansätze für φM in den einzelnen Teilbereichen: Außen: αl Pl (cos ϑ) rl+1 r→∞ −→ −B0 z

φM = −B0 · z + ∑

62

KAPITEL 5. ELEKTRODYNAMIK IN DIELEKTRISCHEN MEDIEN In der Kugelschale:

φM = ∑ βl r +

γl

l

l

r(l+1)

Pl (cos ϑ) ;

a ϑ0 gilt sin ϑ0 > 1 =⇒ ϑ0 = iϑ˜ 0 p p =⇒ cos ϑ0 = 1 − sin2 ϑ0 = i sin2 ϑ0 − 1 =⇒ cos ϑ0 ist rein imaginär =⇒ ~E 0 ∼ eik ~x = ei sin ϑ k x+i cos ϑ n z √ 2 0 0 0 0 = ei sin ϑ k x e− sin ϑ −1k z ~0

0 0

0 0

=⇒ Das ~E-Feld fällt außerhalb des -Mediums“ exponentiell ab (kein Energie” transport). Es findet also keine Propagation statt, sondern das Maxwell-Feld tunnelt sozusagen ein wenig in das zweite Medium hinein. Man nennt das exponentiell abfallende Feld auch evaneszentes Feld. ∋

Anwendungen der Totalreflexion: 1. Atomspiegel: Der exponentiell abfallende Term erzeugt abstoßendes (reflektierendes) Potential für Atome. 2. Verlustfreie Spiegelung von Lichtstrahlen

6.2 Doppelbrechung und Optische Aktivität Ein Medium, das zwar homogen, aber nicht mehr isotrop ist, wird durch ∋

i jE j

∋

Di =

∋

charakterisiert. In Abwesenheit eines (starken) Magnetfeldes kan i j = ji als symmetrisch angesetzt werden. Bei Vernachlässigung der Absorption ist i j außerdem reell. Für eine solche Matrix gibt es immer drei Eigenvektoren (mit reellen Eigenwerten), die orthogonal zueinander stehen (Hauptachsen). Mit i j − 0 δi j )E j

∋

∋

folgen dann die Wellengleichungen i j − 0 δi j )E¨ j

∋

Ei = −∇i div ~E − µ0 (

∋

mit ∇div − ∆ = rot rot folgt: i j E¨ j

∋

(rot rot E)i + µ0

=0

∋

Pi = (

70

KAPITEL 6. LINEARE UND NICHTLINEARE OPTIK

Als Ansatz wählt man eine ebene Welle: ~

Ei = ei eik~x−iωt ~

=⇒ rot rot ~E = −~k × (~k ×~e)eik~x−iωt =⇒ ei~k2 − ki (~k~e) − ω2 µ0 i j e j = 0 ∋

1

∋ ∋

∋

Setzt man ¯ i j =

0

ij

und ~k = ωc ~n, so folgt (~n2 δi j − ni n j − ¯ i j )e j = 0 ∋

Dieses lineare Gleichungssystem ist lösbar, falls die Determinante von (~n2 δi j − ni n j − ¯ i j ) verschwindet. Legt man die Koordinaten x, y, z entlang der Hauptachsen des Mediums (Kristalls), so folgt  (x)  0 0 r   (y) 0  ij =  0 r (z) 0 0 r ∋

∋

∋

∋

∋

und für die Determinante (x) (y) (z) 0 =~n2 r n2x + r n2y + r n2z h (x) (y) (z) (y) − n2x r ( r + r ) + n2y r ( ∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

∋

(x) (y) (z) r r r

∋ ∋ ∋

+

i

(x) (z) (y) 2 (z) (x) r + r ) + nz r ( r + r )

Diese Gleichung heißt Fresnelsche Gleichung und ist wesentlich für die Kristallphysik. Beispiel einachsige Kristalle: ;

(z) r

k

=:

k 2 nz + ⊥ (n2x + n2y ) − ⊥ k

∋ ∋

∋

∋

∋

)

⊥

∋

⊥

h

=:

∋

∋

∋

=⇒ (~n2 −

(y) r

=

∋

(x) r

i

=0

Diese Gleichung hat zwei Lösungen: 1. n2 = ⊥ : Ordentliche Wellen Diese √ verhalten sich wie in einem isotropen Medium mit Brechungsindex n= ⊥ ∋

∋

2. Außerordentliche Wellen   sin ϑ cos ϕ Für ~n = n  sin ϑ sin ϕ  gilt cos ϑ 1 sin2 ϑ cos2 ϑ + ⊥ = k n2 ∋

∋

¨ 6.2. DOPPELBRECHUNG UND OPTISCHE AKTIVITAT

71

=⇒ Der Brechungsindex hängt von der Richtung von ~k ab, also n = n(ϑ). Da die Herleitung des Snelliusschen Gesetzes nicht von den Einzelheiten der Randbedingungen abhängt, kann man es direkt u¨ bernehmen und findet, dass für ϑ 6= 0 zwei Strahlen mit unterschiedlichem Brechungsindex und damit unterschiedlichem Brechungswinkel existieren. Das nennt man Doppelbrechung. Optische Aktivität In optisch aktiven Medien wird die Polarisationsrichtung von durchlaufendem Licht gedreht. Optische Aktivität kann durch verschiedene Modelle beschrieben werden. Nach dem Modell von Fedorow gilt: ~D = ~E + βrot ~E ∋

¨ Die Wellengleichung dazu lautet (s. Ubungen): µ0 ~E¨ − ∆~E = −µ0 βrot ~E¨ ∋

∋

~ Gelöst wird sie wieder durch ebene Wellen ~E = ~E0 eik~x−iωt :

(−ω2 µ0 + k2 )~E0 = iω2 µ0 β(~k × ~E0 ) ∋

~k ,~e1 ,~e2 |~k|

∋

ˆ Sei ~k :=

ein Dreibein (~ei = lineare Polarisationsvektoren):

~E (±) = E (±) (~e1 ± i~e2 ) zirkular polarisierte Wellen 0 0 =⇒ ω2± µ0 (1 ± βk) = k2 k 1 ck ω± = √ ·p = µ0 1 ± βk n± (k) ∋

∋

Der Brechungsindex hängt von der Polarisation und von k ab! Betrachte eine Superposition von ~E (+) und ~E (−) : ~E = E (+) (~e1 + i~e2 )ei~k~x−iω(+)t + E (−) (~e1 − i~e2 )ei~k~x−iω(−)t 0 0 (+)

(−)

Nehmen an E0 = E0 n o −iω(+)t −iω(−)t −iω(+)t −iω(−)t i~k~x i~k~x ~ =⇒ E = E0 ~e1 e e +e + i~e2 e e −e + c. c. ~ Für t = 0 ist ~E = 2E0~e1 eik~x + c. c. und ist linear in ~e1 -Richtung polarisiert. Für ~ π t¯ := ω −ω gilt ~E = 2E0~e2 eik~x , d. h. ~E ist linear in ~e2 -Richtung polarisiert. (−)

(+)

72


_ t

_ 3t

_ 2t

_ 4t

t=0

In dielektrischen Medien breiten sich elektromagnetische Wellen im Allgemeinen ganz anders aus als im Vakuum. ~ Sei allgemein ~Ek = E(k)~ek eik~x−iω(k)t eine ebene Welle in irgendeinem Medium. Darin sei ω(~k) = c|~k| im Vakuum und ω(~k) = c|~k|/n in isotropen Medien. Die Phasengeschwindigkeit ~ω einer ebenen Welle ist die Geschwindigkeit, mit |k| der sich die Wellenfronten fortbewegen. Ein Wellenpaket ist gegeben durch (der Einfachkeit halber eindimensional) Z

E(x,t) =

E(k)eikx−iω(k)t dk

Annahme: Nur Frequenzen in der Nähe einer Frequenz ω0 tragen zum Wellenpaket bei (sehr gut erfüllt für Laserlicht). dω (k − k0 ) + · · · =⇒ ω(k) ≈ ω0 + dk k0 i k0

dω dk k0 −ω0

t

i k0

dω dk k0 −ω0

t

=⇒E(x,t) = e =e

| |

·

Z

ik x− dω dk |k t

E(k)e

· E(x − t ·

0

dk

| , 0)

dω dk k0

=⇒ Das Wellenpaket bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit vgr = Im Vakuum gilt dω dk = c = vgr = Phasengeschwindigkeit. c In isotropen Medien gilt dω dk = n = Phasengeschwindigkeit. In n(|~k|)-Medien (inhomogene Medien, optisch aktive Medien) gilt dω d ck c = 6= dk dk n(k) n(k) d. h. Gruppengeschwindigkeit 6= Phasengeschwindigkeit In anisotropen Medien gilt c|~k| n = n(|~k|, ϑ) =⇒ ∇~k =~vgr n(~k)

dω dk k0 .

¨ 6.3. EIKONAL-NAHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK

73

Hier hat die Gruppengeschwindigkeit sogar eine andere Richtung als die Phasengeschwindigkeit.

6.3

Eikonal-Näherung, Geometrische Optik und Fermats Prinzip

In isotropen, inhomogenen Dielektrika gilt ~D = (~x)~E(~x). Für solche Medien (und auch Vakuum) wird oft die Eikonal-Näherung durchgeführt, die mit der WKB-Näherung der Quantenmechanik eng verwandt ist. Die Wellengleichung für diese Medien lautet ∋

µ0 (~x)~E¨ + rot rot ~E = 0 = µ0 (~x)~E¨ + ∇div ~E − ∆~E ∋

∋

aus div ~D = ρ = 0 folgt div ( ~E) = 0 = div ~E + (∇ )~E ∋

∋

∋

Man kann oft näherungweise (∇ )~E = 0 annehmen (⇐⇒ (~x) a¨ ndert sich im wesentlichen nur in Ausbreitungsrichtung, da ~E ⊥~k). ∋

∋

µ0 (~x)~E¨ − ∆~E = 0 ∋

Ansatz zur Lösung: monochromatische Welle, bei der sich in Analogie zu ebenen Wellen nur die Phase a¨ ndert und die Amplitude und damit die Intensität im wesentlichen konstant bleibt. ~E = ~E0 e−iωt eik0 S(x) ; k0 := ω c 2 2 2 ~ −iωt ik0 S(x) =⇒ −µ0 ω − ik0 ∆S + k0 (∇S) E0 e e =0 ∋

¨ Andert sich der Lichtstrahl nur auf Skalen, die groß gegenüber der Wellenlänge λ = 2π sind, so ist k0 groß im Vergeich zur Variation von S. =⇒ vernachlässige k0 k0 ∆S gegenüber k02 (∇S)2 . ;

∋

2 r (x) = n (x)

r

=

∋ ∋

∋

=⇒ (∇S)2 ≈

(x) 0

Eikonalgleichung Interpretation der Phase S(x): ~ Man kann folgendermaßen eine Analogie zu ebenen Wellen E(~x) ∼ eik~x herstellen: Die Ausbreitungsrichtung der Wellenfronten ist bei ebenen Wellen durch den Vektor ~k gegeben. Der Wellenvektor kann definiert werden als Gradient der Phase ~k = ∇(~k~x)

74


Diese Definition mutet umständlich an, jedoch läßt sie sich in der Eikonalgleichung einfach verwenden. Aus der Analogie folgt, dass S(x) = const. die Wellenfronten (Ebenen konstanter Phase) angibt und dass die Ausbreitungsrichtung dieser Wellenfronten durch ~k(x) = ∇(k0 S(x)) = k0 ∇S(x) gegeben ist. Die Feldlinien“ des Potentials“ ” ” S(x) lassen sich daher als Lichtstrahlen interpretieren (~k= b Ausbreitungsrichtung der Lichtstrahlen). Lichtstrahlen entsprechen also Kurven x(u) (u = Parameter), die immer senkrecht auf den Ebenen S(x) = const. stehen. =⇒

d~x(u) ∼ ∇S(~x(u)) du

x (u) S(x) = S0

S(x) = S1

S(x) = S 2

Die Eikonalgleichung stellt die Grundlage der geometrischen Optik dar. Um ~x(u) zu berechnen, wählen wir die spezielle Parametrisierung u = l = Länge der Kurve bis zum Punkt ~x(l), d. h. d~x(l) d~x(l) ∇S(x) 1 dl = 1 =⇒ dl = |∇S| = n(~x(l)) ∇S|~x=~x(l) d d~x d n = ∇S(~x(l)) dl dl dl d = ∇ S(~x(l)) dl d~x(l) =∇ · ∇S(~x(l)) dl 1 2 =∇ (∇S) n(~x(l)) d d~x =⇒ n = ∇n(~x(l)) (6.1) dl dl

¨ 6.3. EIKONAL-NAHERUNG, GEOMETRISCHE OPTIK

75

Speziell für n =const. folgt: d2~x(l) = 0 ⇐⇒~x(l) =~x0 + l dl 2 Dies ist ein gerader Lichtstrahl =⇒ Gleichung (6.1) ist sinnvoll. Die Gleichung für die Lichtstrahlen kann auch aus einem Extremalprinzip hergeleitet werden: Lichtstrahlen sind die Kurven, für die Z l1

S=

n(~x(l))dl l0

extremal wird (Fermatsches Prinzip). Um den Zusammenhang zu verstehen lassen wir zun¨ achst wieder eine belie d~x d~x bige Parametrisierung u zu, es gilt im Allgemeinen du 6= 1. Da du ∼ ∇S folgt d~x d~x 1 du = |∇S| ∇S du Z ~x

Z u

d~x ∇S · 0 du0 du ~x0 u0 Z u 1 d~x = ∇S · ∇S 0 du0 n du u0 Z u Z l d~x 0 = n 0 du (= n(~x(l 0 )dl 0 für obige spezielle Parametrisierung) du u0 0

=⇒ S(x) =

∇Sd~x =

Variation von S mit Hilfe der Funktionalableitung: δS 1 = lim S[xi (u) + εδ(u − u0 )] − S[xi (u)] δxi (u) ε→0 ε δS δS = 0 ⇐⇒ =0 δxi (u) Z d δS 1 0 0 0 0 = lim n(xi (u ) + εδ(u − u )) · 0 (xi (u ) + εδ(u − u )) δxi (u) ε→0 ε du d −n(xi (u0 )) 0~x(u0 ) du0 du s 2 2 2 d dx dx d a b (xi + iεδ) = + + (xi (u0 ) + εδ(u − u0 )) du0 du du du0

76


Die Wurzel wird nun bis zur ersten Ordnung in ε entwickelt (a, b, i = 1, 2, 3): s

p

2 dxb 2 dxi (· · · ) ≈ + + 0 du du0 d d 1 + r · 2 0 xi (u0 ) + εδ(u − u0 ) δ(u − u0 )ε 0 2 2 2 du du dxi dxa b + dx + du 2 0 du0 du0

dxa du0

2

+ O(ε2 ) d~x 1 dxi d = 0 + · 0 0 εδ(u − u0 ) 0 du |d~x/du | du du dn n xa , xb , xi (u0 ) + εδ(u − u0 ) ≈ n(xa , xb , xi ) + εδ(u − u0 ) + O(ε2 ) dxi δS 1 =⇒ = lim δxi (u) ε→0 ε

Z

=

Z

dn n + εδ(u − u ) dxi d~x −n 0 du0 du 0

d~x 1 dxi 0 + dn0 |d~x/dn0 | du0 εδ(u − u )

1 dxi d 0 0 dn d~x n δ(u − u ) + δ(u − u ) du0 0 0 0 |d~x/du | du du dxi du0

Das Integral u¨ ber die δ-Distribution wird wie im Anhang behandelt: δS dn d~x d 1 dxi =⇒ = − n |d~x/du| du0 δxi (u) dxi (u) du du Speziell für u = l (Länge) als Parameter gilt

d~x dl

=1

δS dn d dxi =⇒ 0 = = − n δxi (l) dxi (l) dl dl

6.4

qed.

Paraxialnäherung, fokussierte Lichtstrahlen

Wenn monochromatische Lichtstrahlen (insbesondere Laserstrahlen) so stark fokussiert werden, dass ihre Breite nicht mehr sehr viel größer als ihre Wellenlänge ist, muss man im Gegensatz zur geometrischen Optik die Variation des transversalen Profils berücksichtigen.

¨ 6.4. PARAXIALNAHERUNG, FOKUSSIERTE LICHTSTRAHLEN

77

Ansatz: ω k= (Strahl in z-Richtung) cω ~E = 0 =⇒ − 2 − ∆ ~E(~x)eikz = 0 c 2 ∂ ~ ∂~ ikz ikz 2~ ~ ~ ∆E(~x)e = ∆⊥ E(~x) e + E(~x) + 2ik E − k E eikz ∂z2 ∂z ~E = ~E(~x)eiωt eikz

;

mit ∆⊥ = ∂2x + ∂2y =⇒ 0 = (∂2z + 2ik∂z + ∆⊥ )~E(~x) Wie bei der Eikonalnäherung geht man davon aus, dass ~E(~x) im Vergleich zu eikz langsam mit z variiert: k∂z ~E ∂2z ~E

2ik∂z ~E = −∆⊥ ~E

=⇒

paraxiale Helmholtz-Gleichung Diese Gleichung hat dieselbe Struktur wie die freie Schrödinger-Gleichung in zwei Dimensionen (z=t), b deren Lösungsmethoden aus der Quantenmechanik bekannt sind. Besonders interessant ist hier eine Lösung, die für z = 0 ein transversales Gauß-Profil hat: E(z, ρ) =

ρ2 E0 ik 2q(z) e q(z)

mit q(z) = z − iz0 und ρ =

p

x2 + y2

Die Größe z0 heißt Rayleigh-Länge. Die Intensität ist ∼ |~E|2 : I = I0 r w0 =

2z0 π

w0 w(z)

2

−

e

2ρ2 w2 (z)

s ;

w(z) = w0

z 1+ z0

2

78


Die Rayleigh-Länge hängt mit der Fokussierung (Breite am Fokus) w0 zusammen und beschreibt den Bereich u¨ ber den sich die Breite nur wenig (Faktor √ 2) a¨ ndert. Je kleiner z0 , desto kleiner ist die minimale Breite w0 , aber auch der Bereich, u¨ ber den der Lichtstrahl fokussiert ist. Andere wichtige Lösungen (Lasermoden) sind die Hermite-Gauß-Strahlen: √ ! √ ! w0 2x 2y El,m ∝ Gl Gm w(z) w(z) w(z) ρ2 z −1 · exp ikz + ik + i(l + m + 1) tan z0 2w(z)z0 /w20 u2

Darin ist Gl (u) = Hl (u)e− 2 und Hl sind die Hermite-Polynome.

6.5

Nichtlineare Optik

In nichtlinearen Medien hängt die Polarisation ~P nichtlinear von ~E ab. Der physikalische Hintergrund ist die Wechselwirkung des Lichts mit den Elektronen im Medium. Dadurch wird die Elektronenverteilung und damit auch der Brechungsindex des Mediums geändert. Ein einfaches Beispiel ist ein Elektron, das an das skalare Potential koppelt. Die Wellengleichung für φ lautet ρ ∋

0

=−

e ∋

φ =

|Ψ(~x,t)|2

0

Für das Elektron gilt die Schrödinger-Gleichung i~∂t Ψ = −

~2 ∆Ψ − eφ(~x,t)Ψ(~x,t) 2µ

79

6.5. NICHTLINEARE OPTIK Sei Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) die Green-Funktion der freien Schrödinger-Gleichung, die ~ i~∂t + ∆x Gs (~x −~x0 ,t − t 0 ) = δ(~x −~x0 )δ(t − t 0 ) 2µ erfüllt. =⇒ Ψ(~x,t) = Ψ0 (~x,t) − e

Z

d4 x0 ≡ d3 x0 dt 0

Gs (~x −~x0 )φ(~x0 )Ψ(~x0 ) d4 x0 ;

x0 = (~x,t)

Ψ(x) ist nur eine formale Lösung, da die rechte Seite noch von der unbekannten Größe Ψ(x0 ) abhängt. Ist der Beitrag des Terms −eφΨ klein gegenüber Ψ0 , so kann man die Gleichung in sich selbst einsetzen (iterieren), um eine Störungsreihe zu erhalten: Ψ(x) = Ψ0 (x) − e

Z

d4 x0 Gs (x − x0 )φ(x0 ) Z 0 4 00 0 00 00 00 · Ψ0 (x ) − e d x Gs (x − x )φ(x ) Ψ(x ) | {z }R Ψ0 (x0 )−e ···

oder grob(!) vereinfacht: Ψ ≈ Ψ0 + αφ + βφ2 + · · · e =⇒ φ = − |Ψ0 |2 + 2αφ + α2 φ2 + · · · ∋

0

Dies ist eine nichtlineare Gleichung für φ, die die Rückwirkung der Elektronen auf das elektromagnetische Feld einschließt. Es muss aber betont werden, dass diese Rechnung nur das Prinzip widerspiegelt und nicht quantitativ korrekt ist. Normalerweise ist die Nichtlinearität in dielektrischen Medien sehr klein und man kann ~P nach ~E entwickeln: Pi = εi j E j + 2di jk Ei Ek + 4χih jkl E j Ek El Im folgenden betrachten wir ein Kerr-Medium mit ~P = 4χ(3) (~E)2 ~E Darin ist χ(3) die sogenannte kubische Suszeptibilität. Die allgemeine Wellengleichung für ~E lautet 1 ~E = ∇div ~P − µ0~P¨ ∋

0

E + div ~P 0 div ~

∋

div ~D = 0 =

80


Gelöst wird sie durch eine ebene Welle (~e = Polarisationsvektor): i~k~x−iωt E = Re ~ee = 2~e cos(~k~x − ωt) =⇒ div ~E = −2~e~k sin(~k~x − ωt) ∼~e~k div ~P = 4χ(3) div ((~E)2 ~E) = 4χ(3) ∂i (E j E j Ei ) = 4χ(3) {(∂i Ei ) ~E 2 + Ei 2E j ∂i E j } | {z } 2~e~k

∂i E j ∼ ki e j =⇒ Ei E j ∂i E j ∼ ei e j ki e j =⇒ 0 div ~E + div ~P ∼~e~k ∋

=⇒~e~k = 0 =⇒ div ~E = div ~P = 0 =⇒ ~E = −4µ0 χ(3) ∂t2 ((~E)2 ~E) = −µ0~P¨

(6.2)

Diese Gleichung ist nichtlinear und führt zu völlig neuartigen Effekten: • kein Superpositionsprinzip mehr! • Der Brechungsindex hängt von der Lichtintensität ab. • Licht wechselwirkt mit Licht und kann sich u¨ ber das Medium selbst beeinflussen. • Licht kann seine Frequenz a¨ ndern. Beispiel 1: Erzeugung harmonischer Oberschwingungen Wir nehmen an, dass eine laufende Welle der Form ~E0 =~ E0 sin(ωt − kz) auf den nichtlinearen Kristall trifft. Zur Lösung von Gl. (6.5) setzen wir eine Störungsreihe in 1. Ordnung in χ(3) an: ∋

~E(t) = ~E0 + χ(3) ~E1 (t) + (χ(3) )2 · · · Einsetzen in die Wellengleichung liefert h i (3) ~ ~ E0 + χ E1 = −4µ0 χ(3) ∂t2 (~E0 )2 ~E0 + O((χ(3) )2 )

81

6.5. NICHTLINEARE OPTIK Gleichung 0. Ordnung: ω = ck

=⇒ ~E0 = 0

Gleichung 1. Ordnung: =⇒ ~E1 = −4∂t2 µ0 E03 =⇒ E1 = 3ω µ0 E0

3~

∋

2

sin(ωt − kz) − 3 sin(3(ωt − kz))

=⇒ Das Medium (Kristall) erzeugt eine Oberschwingung der Frequenz 3ω. Die Erzeugung von 3ω-Frequenzen in Kerr-Medien ist nur sehr schwach. In P ∼ E 2 -Medien kann man effektiv die Frequenzen verdoppeln (2ω). Beispiel 2: Erzeugung von Solitonen In einigen Medien hat die Nichtlinearität die Form ˜ 2 ~E˜ , 3µ0 χ(3) |~E|

(6.3)

wobei ~E˜ die komplexe Amplitude ist. In diesem Fall kann man wieder eine Gleichung für die komplexe Amplitude finden: ~E0 =~eei~k~x−iωt + c. c. = ~E˜ + c. c. ˜ 2 ~E˜ =⇒ ~E˜ ≈ 3µ χ(3) |~E| 0

Machen wir wieder eine Paraxialnäherung, so folgt mit ~E˜ = A~eei~k~x−iωt

;

~E˜ ≈~e(−2ik∂z A − ∆⊥ A)ei~k~x−iωt

die nichtlineare Schrödinger-Gleichung 2ik∂z A = −∆⊥ A + 3µ0 χ(3) |A|2 A Für χ(3) = 0 laufen die Lösungen der Schrödinger-Gleichung auseinander (Dispersion). In der Quantenmechanik kann ein Potential das Auseinanderlaufen verhindern. Hier kann die Nichtlinearität diese Aufgabe u¨ bernehmen. Das Licht produziert sich sozusagen sein eigenes Potential. Im Allgemeinen können sich für χ(3) < 0 Lichtstrahlen selbst fokussieren, sie werden zu Gebieten höherer Intensität hingebogen. Der Brechungsindex hängt von der Intensität ab. Laserstrahlen können bei einer bestimmten Intensität sogar ihren eigenen Wellenleiter bilden: Soliton-Lösungen verändern ihre Form nicht. Nichtlinearität und Dispersion (∆⊥ heben sich gegenseitig auf. Beispiel: Helles Soliton A(x, y) = a0

1 i zz 0 x e cosh( ω0 )

(χ(3) < 0)

82


Darin ist z0 = 12 kω2 wieder die Rayleigh-Länge und A0 =

1 w2 3µ0 |χ(3) |

Solitonen sind ein dehr aktives Forschungsgebiet in der nichtlinearen Optik, BoseEinstein-Kondensaten, Teilchenphysik, . . . .

Kapitel 7 Spezielle Relativitätstheorie Die Spezielle Relativitätstheorie (SRT) ist die Erklärung eines ungewöhnlichen Verhaltens, das man in der Elektrodynamik beobachtet hatte. Dies hängt eng mit Symmetrie-Argumenten zusammen.

7.1

Forminvarianz, Galilei-Transformation und Elektrodynamik

Die Forminvarianz einer Bewegungsgleichung oder Lagrange-Funktion unter Symmetrie-Transformationen ist ein wichtiges allgemeines Konzept in der Physik: Man fordert, dass die Gleichungen ihre Form bewahren, wenn man eine Symmetrie-Operation auf sie anwendet. Als Beispiel seien die Newtonschen Bewegungsgleichungen von N wechselwirkenden Teilchen betrachtet: m~x¨n = −∇~xn ∑ V (|~xn −~xn0 |)

n = 1, 2, . . . , N

n0

Diese sind invariant unter Galilei-Transformationen ~xn0 =~xn +~vt

;

t0 = t

Galilei-Transformationen beschreiben den Wechsel in ein bewegtes Bezugssystem, wie man ihn sich vor Einstein vorstellte. Beweis der Invarianz1 : 0 ∂xn,i ∂t 0 ∂ ∂ ∂ = + ∑ 0 0 ∂t ∂t ∂t n,i ∂t ∂xn,i = 1 Zur

∂ ∂ ∂ + v = +~v · ∑ ∇~xn0 i ∑ 0 ∂t 0 n,i ∂xn,i ∂t 0 n

¨ Berechnung der Ableitungen siehe auch Ubung 9.3

83

¨ KAPITEL 7. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

84

∂xm, j ∂ ∂ ∂t 0 = +∑ 0 ∂xn,i ∂xn,i m, j ∂xn,i ∂xm, j 0

= ∑ δmn δi j m, j

∂ ∂ = 0 0 ∂xm, j ∂xn,i

=⇒ m∂t2~xn = m∂t2 (~xn0 −~vt) = m∂t2~xn0 = m(∂t 0 +~v ∑ ∇~xl0 )2~xn0 l 2 0 = m(∂t 0~xn + 2m∂t 0 (~v

∑ ∇~xl0 )~xn0 + m(~v ∑ ∇~xl0 )(~v ∑ ∇~xk0 )~xn0 l

((~v ∑ ∇~xl0 )~xn0 )i = v j ∑ l

=⇒ m∂t2~xn

l

∂ 0 x = vi ∂xl,0 j n,i

l 2 0 = m∂t 0~xn + 2m ∂t 0~v +m (~v |{z} =0

k

|

∑ ∇~xl0 )~v = m∂t20~xn0 l

{z

=0

}

∇~xn V (|~xn −~xn0 |) = ∇~xn0 V (|~xn0 −~vt −~xn0 0 +~vt|) = ∇~xn0 V (|~xn0 −~xn0 0 |)

qed.

Im Gegensatz zur Newtonschen Mechanik ist die Wellengleichung nicht invariant unter Galilei-Transformationen: 1 2 1 1 2 0 2 0 0 ∂ − ∆x φ(~x,t ) −→ 2 (∂t 0 +~v · ∇~x0 ) − ∆~x0 φ(~x ,t ) 6= ∂ 0 − ∆x0 φ(~x0 ,t 0 ) c2 t c c2 t Das ist an sich nicht weiter schlimm: Schallwellen erfüllen auch eine Wellengleichung (mit c = Schallgeschwindigkeit). Die Erklärung für deren Nicht-Invarianz ist einfach: Es gibt ein bevorzugtes Bezugsystem, in dem das Medium, durch das sie sich ausbreiten (z. B. Luft), ruht. Schallwellen bewegen sich nur relativ zu diesem Medium mit Schallgeschwindigkeit. Die Annahme, dass für elektromagnetische Wellen ein solches Medium existiert, wurde durch das Michelson-Morley-Experiment widerlegt (bzw. man braucht ¨ zuätzliche Hypothesen, um diese sogenannte Athertheorie mit dem Experiment in Einklang zu bringen). Das Experiment beruht auf dem Gedanken, dass das Licht für einen Beobach¨ ter, der sich relativ zum Ather bewegt, mit einer Geschwindigkeit c0 = c ± v fliegt. Für zwei unterschiedliche Bewegungen muss die Geschwindigkeit c0 daher unterschiedlich sein. Im Michelson-Morley-Experiment war v = ± Geschwindigkeit der Erde um die Sonne, mit dem Ergebnis, dass c unabhängig von v ist.

7.2. EINSTEINSCHE POSTULATE, LORENTZ-TRANSFORMATIONEN 85 ¨ Um die Athertheorie aufrecht zuerhalten, wurden folgende Hypothesen aufgestellt: p ¨ • Bewegte Objekte werden im Ather kontrahiert gemäß L(v) = L0 1 − v2 /c2 ¨ • Der Ather wird zum Teil von bewegten Objekten mitgezogen, wobei das Mitziehen vom Brechungindex des Objektes bestimmt wird. Es gibt daher folgende Möglichkeiten, um die Widersprüche aufzulösen: 1. Die Mechanik und die Elektrodynamik sind galilei-invariant, wobei der ¨ Ather seltsame Eigenschaften hat. Diese Option ist möglich, aber nicht schön“ (ad-Hoc-Hypothese) ” 2. Die Elektrodynamik ist falsch und die Natur ist galilei-invariant. Das ist unwahrscheinlich, weil die Maxwell-Gleichungen sehr gut mit den Experimenten u¨ bereinstimmen. 3. Die Newtonsche Mechanik ist falsch. Es gibt eine andere Invarianz zwischen Bezugsystemen. Diese Option ist möglich. Lorentz und Poincaré fanden, dass die MaxwellGleichungen invariant unter den sogenannten Lorentz-Transformationen sind (siehe nächster Abschnitt). Dass diese Option auch schön“ ist, demonstrierte Einstein 1905. ”

7.2 Einsteinsche Postulate, Herleitung der Lorentz-Transformationen Einstein verwendete 2 Axiome für die Herleitung der Lorentz-Transformationen: 1. In jedem Inertialsystem ist der Raum isotrop und homogen und die Zeit homogen. 2. Die Lichtgeschwindigkeit ist in jedem Inertialsystem gleich. Ein Inertialsystem ist dabei ein Satz cartesischer (!) Koordinaten (t, x1 , x2 , x3 ), welche die Raumzeit (= Raum und Zeit) parametrisieren, also jedem Punkt in der Raumzeit eindeutige Koordinaten zuweisen. (Jedes Inertialsystem entspricht einem Beobachter, der in diesem Inertialsystem ruht, typischerweise an ~x = 0.) Aus Postulat 1 folgt, dass Transformationen zwischen Inertialsystemen linear sind. Sonst gäbe es ausgezeichnete Punkte (⇔ Inhomogenitäten), die z. B. durch Minima oder Sattelpunkte der Transformation charakterisiert wären. Wir betrachten eine Transformation zwischen einem System R(x0 , x1 , x2 , x3 ) und einem System R0 (x00 , x10 , x20 , x30 ), das sich gegenüber R mit ~v = cβ~e3 bewegt.


86

x0 = ct ist dabei eine bequeme Parametrisierung der Zeit. Die allgemeinste Transformation, die x1 und x2 gleich behandelt (Isotropie) ist x10 = αx1

;

x20 = αx2

x30 = γx3 + δx0

;

;

x00 = εx3 + ηx0

Die beiden Inertialsysteme seien so gewählt, dass ihre Nullpunkte zur Zeit x0 zusammenfallen, also xi0 = 0 und xi = 0, i = 1, 2, 3 für x0 = 0. zur Zeit t muss dann der Ursprung des Systems R0 vom System R aus gesehen am Ort x3 = vt = βx0 sein, also x30 = 0 = γx3 + δx0 = (βγ + δ)x0 =⇒ δ = −βγ

x30 = γ(β)(x3 − βx0 )

;

(7.1) (7.2)

Das Argument muss wegen der Isotropie auch dann gelten, wenn wir ein Koordinatensystem verwenden, in dem x3 durch −x3 ersetzt wird (und damit auch x30 → −x30 , β → −β). =⇒ −x30 = γ(−β)(−x3 + βx0 ) = −γ(−β)(x3 − βx0 ) Dies stimmt mit dem vorherigen u¨ berein, falls γ(−β) = γ(β) ¨ Ahnlich findet man ε(β) = −ε(−β) ;

η(β) = η(−β) ;

α(β) = α(−β)

Die Rücktransformation muss natürlich dieselbe Form haben, mit β → −β. =⇒ x3 = γ(−β)(x30 + βx00 ) = γ2 (x3 − βx0 ) + βγ(εx3 + ηx0 ) x0 = ε(−β)x30 + η(−β)x00 = −εγ(x3 − βx0 ) + η(εx3 + ηx0 ) =⇒ 1 = γ2 + εγβ ; 0 =−εγ + εη ;

0 = −βγ2 + γβη 1 = εγβ + η2

1 (1 − γ2 ) γβ x1 = α(−β)x10 = α2 x1 =⇒ α = 1 1 =⇒ x30 = γ(x3 − βx0 ) ; x00 = γx0 + (1 − γ2 )x3 γβ =⇒ η = γ

;

ε=

¨ 7.3. LANGENKONTRAKTION UND ZEITDILATATION

87

Um γ zu bestimmen, brauchen wir das Postulat u¨ ber die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit2 . Aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit können wir folgern, dass ein Lichtblitz, der zur Zeit t = 0 vom Ursprung xi = 0 = xi0 (i = 1, 2, 3) ausgeht, in beiden Systemen die gleiche Geschwindigkeit hat. x3 x30 x3 = = 1 ( = 1) x00 x0 ct x3 = x0 =⇒x30 = γ(1 − β)x0 =⇒

x00 = (γ +

1 − γ2 0 )x γβ

1

=⇒ γ(v) = p

1 − β2

Damit haben wir für die speziellen Lorentz-Transformationen, d. h. Geschwindigkeit in x3 -Richtung: x10 = x1

;

x20 = x2

;

x30 = γ(x3 − βx0 ) ;

x00 = γ(x0 − βx3 )

Das Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit führt also dazu, dass die Zeit für Beobachter mit unterschiedlicher Geschwindigkeit unterschiedlich ist. Das ist der zentrale Punkt in der speziellen und einer der zentralen Punkte in der allgemeinen Relativitätstheorie: Die Zeit eines Beobachters hängt von seiner Geschwindigkeit im Raum ab.

7.3

Längenkontraktion und Zeitdilatation

Es ist zweckmäßig, die Lorentz-Transformationen in Matrix-Form zu schreiben: xµ0 = Λ ν xν mit xµ = {x0 , x1 , x2 , x3 }   γ 0 0 −βγ  0 1 0 0  µ  und Λ ν (β) =   0 0 1 0  für ~v = cβ~e3 −βγ 0 0 γ µ

Mit der neuen Schreibweise der Indizes lautet die Einsteinsche Summenkonvention, dass u¨ ber Indizes, die einmal oben und einmal unten stehen, summiert wird. 2 W¨ urden

wir jetzt γ = 1 postulieren, so kämen wir auf die Galilei-Transformationen.


88

Wir betrachten die Addition von Geschwindigkeiten (β1 , β2 seien Geschwindigkeiten in x3 -Richtung): xµ00 = Λ ν (β2 )xν0 µ

= Λ ν (β2 )Λνλ (β1 ) xλ | {z } µ

µ

Λ λ (β3 )

= Λ λ (β3 )xλ µ

β1 +β2 mit β3 = 1+β . Daraus folgt wegen β1 β2 < 1 =⇒ β3 < 1 1 β2 Die Geschwindigkeit v ist also immer kleiner als c!

Längenkontraktion Ein Maßstab ruhe im System R und habe die Endpunkte x3 (a) und x3 (b). Seine Länge gemessen zu Zeit x0 (a) = x0 (b) ist L = x3 (a) − x3 (b). Ein Beobachter in R0 definiert die Länge natürlich zu L0 = x30 (a) − x30 (b), wobei er aber in seinem System gleichzeitig mißt, also x00 (a) = x00 (b). Im System R sind diese Meßereignisse nicht gleichzeitig! Nach einer Lorentz-Transformation gilt: L0 = γ(x3 (a) − βx0 (a)) − γ(x3 (b) − βx0 (b)) = γL − βγ(x0 (a)) − x0 (b)) und !

x00 (a) − x00 (b) = 0 = γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b)) = γ(x0 (a) − x0 (b)) − βγL =⇒ x0 (a) − x0 (b) = βL

(Messung nicht mehr gleichzeitig in R) 1 L0 = γL − β2 γL = L γ q ⇐⇒ Längenkontraktion: L0 = 1 − β2 L

Das bedeutet, dass gleichförmig bewegte Maßstäbe kürzer sind als ruhende. Zeitdilatation Eine Lampe ruht in R am Ort x3 (a) = x3 (b). Sie wird zu x0 (b) ein- und zu x0 (a) ausgeschaltet. Sie brennt also die Zeit T = x0 (a) − x0 (b). Im System R0 brennt sie

89

7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN für die Zeit T 0 = x00 (a) − x00 (b) = γ(x0 (a) − βx3 (a)) − γ(x0 (b) − βx3 (b)) = γT =⇒ T 0 = γT > T Bewegte Uhren messen also ein längeres Zeitintervall!

7.4

Lorentz-Gruppe und Tensoren

Es stellt sich die Frage, welches die allgemeinste Transformation ist, die die Lichtgeschwindigkeit invariant läßt. Bisher haben wir nur Geschwindigkeitsänderungen in x3 -Richtung betrachtet, sogenannte Lorentz-Boosts. Invarianz der Lichtgeschwindigkeit bedeutet allgemein: (x0 )2 =~x2

(= (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 )

oder −~x2 + (x0 )2 = invariant = const. unter Lorentz-Transformationen Insbesondere im Hinblick auf die Allgemeine Relativitätstheorie ist es sinnvoll, diese Relation mit infinitesimalen Größen auszudrücken: ds2 = −d~x2 + (dx0 )2 = invariant ds2 ist das 4-dimensionale Linienelement. Führt man die Metrik 3   +1 0 0 0  0 −1 0 0  ηµν = ηµν =  0 0 −1 0  0 0 0 −1 ein, so folgt

ds2 = ηµν dxµ dxν

(7.3)

(7.4) µ

Welche Transformationen lassen ds2 nun invariant? Wir suchen Matrizen Λ ν , so µ dass dxµ0 = Λ ν dxν und ds2 = ds02 gilt, also ρ

ηµν = ηρσ Λ µ Λσν

;

¯ T η¯ Λ ¯ in Matrix-Schreibweise: η¯ = Λ

(7.5)

3 µν  Dabei handelt essich um eine Konvention. Auch häufig verwendet wird ηµν = η = −1 0 0 0  0 +1 0  0   0 0 +1 0  0 0 0 +1


90

Matrizen, für welche dies gilt, bilden die Lorentz-Gruppe. Ein Lorentz-Boost kann natürlich in eine beliebige Richtung durchgeführt werden. Man beschreibt dies, indem man das räumliche Koordinatensystem in die Richtung des Boosts dreht, den Boost durchführt und dann wieder zurückdreht. Die Drehung kann durch eine orthogonale Matrix (d. h. M T = M −1 ) beschrieben werden. Z. B. dreht   1 0 0 0 0 cos ϑ sin ϑ 0  M= 0 − sin ϑ cos ϑ 0 0 0 0 1 das räumliche System um die x3 -Achse, die Zeit bleibt unverändert. xν0 = M νλ xλ Da Drehungen räumliche Entfernungen nicht verändern, gilt (i, j = 1, 2, 3) d~x02 = dxi0 dxi0 = M i j dx j M ik dxk = (M T · M) jk dx j dxk = dxk dxk = d~x2 =⇒ Räumliche Drehungen gehören also zur Lorentz-Gruppe (da ds02 = ds2 ). Ein Boost kann dann als M −1 Λ(β)M geschrieben werden. Auf die Koordinaten angewandt ergibt dies γ−1 ~ 0 0 ~ ~x =~x + (~x · β) − γx β β2 h i ~β = 1~v; ~x = (x1 , x2 , x3 ) x00 = γ −(~x ·~β) + x0 ; c Die Lorentz-Gruppe der Transformationen, die ds2 invariant lassen, wird allgemein aus Boosts und Drehungen gebildet. 4 Das infinitesimale Linienelement ds2 ist außerdem invariant unter Raum-ZeitTranslationen xµ0 = xµ + aµ ; aµ = const. Verbindet man diese Translationen mit der Lorentz-Gruppe, so erhält man die Poincaré-Gruppe. 4 Genau

genommen gehören die Boosts und Drehungen, die wir hier behandelt haben, zur eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe, die eine Untergruppe der vollen Lorentz-Gruppe ist. Letztere besteht aus allen Matrizen, die die Relation (7.5) erfüllen und kann aufgeteilt werden in vier Unterbereiche, die durch det Λ = ±1 und Λ00 ≥ 1 bzw. Λ00 ≤ −1 gekennzeichnet sind. Die eigentlich orthochrone Lorentz-Gruppe entspricht det Λ = 1 und Λ00 ≥ 1.

91

7.4. LORENTZ-GRUPPE UND TENSOREN

Um zu zeigen, dass die Elektrodynamik invariant unter Lorentz-Transformationen ist, ist es zweckmäßig zunächst den Begriff der Tensoren einzuführen. In ¨ der speziellen Relativitätstheorie wird der Ubergang zwischen zwei Inertialsystemen durch die Koordinatentransformation xµ0 Λ ν xν µ

µ

bzw. mit Λ

ν=

∂xµ0 ∂xν

xµ0 =

∂xµ0 ν x ∂xν

beschrieben5 . Besonders wichtig ist ein Tensor 0. Stufe, ein Skalar, der sich gemäß A0 (x0 ) = A(Λ−1 x) transformiert. Hier hat man keine Indextransformation, die Abhängigkeit von x0 wird (wie bei allen anderen Tensoren auch) durch x0 = Λ−1 x ausgedrückt. Einen Satz aus vier Objekten Aµ , die sich unter Koordinatentransformationen gemäß Aµ0 =

∂xµ0 ν A ∂xν

transformieren, nennt man kontravarianten Tensor 1. Stufe (Index oben) oder kontravarianten Vierer-Vektor. Analog definiert man einen kovarianten Tensor 1. Stufe (Index unten) durch das Transformationsverhalten A0µ =

∂xν Aν ∂xµ0

ein wichtiges Beispiel für einen kovarianten Vierer-Vektor sind die Ableitungen nach den Koordinaten: ∂xν ∂ f (x) ∂ f (x0 ) = ∂xµ0 ∂xµ0 ∂xν

oder

∂0µ =

∂ ∂xν = ∂ν ∂xµ0 ∂xµ0

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Unterschied zwischen kovarianten und ¨ kontravarianten Größen nicht sehr groß. Der Ubergang zwischen ihnen wird durch Heben und Senken der Indizes mit der Metrik vollzogen: Aµ = ηµν Aν

;

Aν = ηνµ Aµ

Beispiel:   xµ = ηµν xν =   5 In

+1

  0  0 x +x  x1  −x1  −1   =    x2  −x2  −1 −1 x3 −x3

der speziellen Relativitätstheorie sieht diese Schreibweise umständlich aus, in der allgemeinen Relativitätstheorie ist sie hingegen notwendig.


92





+1 −1

 ηµν = (η−1 )µν =  

   −1 −1

;

ηµν ηνλ = δµλ

In der Speziellen Relativitätstheorie dreht das Heben und Senken der Indizes (in der hier verwendeten Konvention) also nur die Vorzeichen der Ortskomponenten um. Tensoren höherer Stufe werden analog zu Vierer-Vektoren definiert. Ein kontravarianter Tensor 2. Stufe transformiert sich gemäß T µν0 =

∂xµ0 ∂xν0 αβ T ∂xα ∂xβ

0 Tµν =

∂xα ∂xβ T ∂xµ0 ∂xν0 αβ

µ 0 ν

∂xµ0 ∂xβ α T ∂xα ∂xν0 β

ein kovarianter gemäß

und ein gemischter gemäß T

=

Tensoren höherer Stufe können also sowohl kovariante als auch kontravariante Anteile haben. Jeder Index transformiert sich dabei wie ein entsprechender ViererVektor. Ein Tensor n-ter Stufe transformiert sich gemäß T α1 ···αn 0 =

∂xαn 0 β1 ···βn ∂xα1 0 · · · T ∂xβ1 ∂xβn

Durch Kontraktion eines ko- und eines kontravarianten Index kann die Stufe eines Tensors verringert werden: T

αβ α

=T

0β 1β 2β 3β 0 +T 1 +T 2 +T 3

= T¯ β = Tensor 1. Stufe

Das Produkt zweier Tensoren ist ein Tensor höherer Stufe, z. B. Aµ Bν = T µν = Tensor 2. Stufe

7.5

Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Um die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen zu zeigen, startet man meistens von der Kontinuitätsgleichung ρ˙ + div ~j = 0 = c∂0 ρ + ∂i ji

7.5. RELATIVISTISCHE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK

93

da {∂µ } = (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 ) ein kovarianter Vierer-Vektor ist, ist es naheliegend, dass der kontravariante Vierer-Vektor jµ = (cρ, ~j) die relativistische Stromdichte ist. Die Kontinuitätsgleichung wird dann zu ∂µ j µ = 0 was offensichtlich kovariant ist (transformiert wie ein Skalar). In der LorentzEichung waren die Gleichungen für die elektromagnetischen Potentiale gegeben durch ρ φ = ; ~A = µ0~j ∋

0

Der d’Alembert-Operator ist offensichtlich invariant: 1 ∂2 = − ∆ = ∂20 − ∂i ∂i c2 ∂t 2 = ηµν ∂µ ∂ν = ∂µ ∂µ

Mit der Vierer-Stromdichte gilt: = µ0

∋

0

ρ = c2 µ0 ρ = cµ0 j0 µ 0 0

∋

ρ

Setzt man für das Vierer-Potential µ

A =

φ ~ ,A c

so folgt in der Lorentz-Eichung ∂ν ∂ν Aµ = µ0 jµ Aµ ist also kontravariant. Auch die Lorentz-Eichung selbst ist kovariant: 0=

1 ∂t φ + div ~A = ∂0 A0 + ∂i Ai = ∂µ Aµ = 0 2 c

Eine Umeichung der Potentiale kann nun in der Form A0µ = Aµ + ∂µ χ geschrieben werden. Während die Kovarianz der Potentiale von der Eichung abhängt, können die Felder ~E und ~B immer kovariant geschrieben werden: Der Feldstärke-Tensor


94 ist definiert als

Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ F0i = ∂0 Ai − ∂i A0 = −∂0 Ai − ∂i A0 1 1 = − ∂t Ai − ∂i φ c c 1 ~˙ = −A − ∇φ c i 1 F0i = Ei c Fi j = ∂i A j − ∂ j Ai = −∂i A j + ∂ j Ai Nun gilt (in nichtrelativistischer Notation: i, j = 1, 2, 3; ~A ⇔ Ai !) εi jk (rot ~A)k = εi jk εklm ∂l Am = (δil δ jm − δim δ jl )∂l Am = ∂i A j − ∂ j A i =⇒ Fi j = −εi jk Bk  0 + 1c E1 + 1c E2 + 1c E3 − 1 E 1 0 −B3 +B2  c  Fµν =  − 1 E2 +B3 0 −B1  c − 1c E3 −B2 +B1 0 

Inhomogene Maxwell-Gleichungen: ρ ∋

(div ~E =

˙ , rot ~B = µ0 (~j + 0 ~E))

0

∋

∂µ F µν = +µ0 jν

Homogene Maxwell-Gleichungen: ∂µ F˜ µν = 0

˙ (div ~B = 0, rot ~E = −~B)

mit

1 F˜ µν = εµνρσ Fρσ 2

und εµνρσ =

 +1      −1    0

; für µ = 0, ν = 1, ρ = 2, σ = 3 und jede gerade Permutation davon ; für ungerade Permutationen ; wenn zwei Indizes gleich sind

95

7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK

7.6

Eigenzeit, relativistische Mechanik

Die Bewegung eines Teilchens in der vierdimensionalen flachen Raumzeit (MinkowskiRaum) der speziellen Relativitätstheorie wird durch eine Kurve (die sogenannte Weltlinie) xµ (u) beschrieben (u = Parameter). Da das Linienelement ds2 = ηµν dxµ dxν = (dx0 )2 − d~x2 R

invariant gegenüber Lorentz-Transformationen ist, hat das Integral cτ = ds in jedem Inertialsystem denselben Wert. Auf einer zeitartigen (ds2 > 0 ∀u) Kurve xµ (u) gilt r dxµ dxµ dxν µ dx = du =⇒ ds = ηµν du du du du wählt man speziell u = x0 (= Zeit im gewählten Inertialsystem), so gilt

τ=

Z

s

Z q

= τ=

Z

dx0 dx0

2

d~x − dx0

1 −~β2 (x0 ) dx0

1 dx0 γ(x0 )

2

dx0

~v (~β = ) c 1 0 (dτ = dx ) γ

(7.6)

Die Bedeutung von τ wird klar, wenn wir ins Ruhesystem eines inertialen TeilR chens gehen. Dort ist ~β = 0 und somit τ = dx0 = x0 . τ wird als Eigenzeit6 des Teilchens bezeichnet. Sie stimmt mit der Zeit im Ruhesystem des Teilchens u¨ berein und beschreibt die Zeit, die für das Teilchen tatsächlich abgelaufen ist. Für bewegte Beobachter ist τ im Allgemeinen kleiner da 1γ < 1. Aus physikalischen Gründen eignet sich die Eigenzeit natürlich besonders, um Weltlinien zu parametrisieren. Mathematisch auch, denn τ ist Lorentz-invariant. Aus dieser Invarianz folgt: Leitet man einen Tensor nach τ ab, so ist das Resultat auch ein Tensor. Besonders wichtig ist die Vierer-Geschwindigkeit: uµ (τ) = 6 Eigentlich: τ0

=

τ c

= Eigenzeit

dxµ (τ) dτ


96 Bedeutung:

dx0 =γ dτ dxi dx0 dxi ui = = 0 = βi γ dτ dx dτ =⇒ uµ uµ = (u0 )2 − ∑(ui )2 = γ2 − γ2~β2 u0 =

i ~2

= γ2 (1 − β ) = 1 uµ ist Einheitsvektor im Vierer-Sinn. Dieser Begriff ist völlig anders als im euklidischen Sinn (3D), da für einen Vierer-Vektor vµ vµ nicht positiv definit ist =⇒ Es gibt also Vierer-Vektoren cµ 6= (0, 0, 0, 0), deren Skalarprodukt cµ cµ = 0 ist. Im Vierer-Sinn bedeuten: cµ cµ = 0 Der Vektor ist lichtartig, d. h. er zeigt (in jedem Inertialsystem) entlang des Lichtkegels. Beispiel: cµ = (1, 0, 0, 1); cµ cµ > 0 Der Vektor ist zeitartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem zeitartige Vektoren auf der Zeitachse liegen. Beispiel: cµ = (1, 0, 0, 0) cµ cµ < 0 Der Vektor ist raumartig. Der Name kommt daher, dass es immer ein Inertialsystem gibt, in dem der Vektor mit einer der Raumachsen zusammenfällt. Beispiel: cµ = (0, 0, 0, 1) Vierer-Beschleunigung: aµ :=

∂2 xµ duµ = =: u˙µ ∂τ2 dτ

wegen uµ uµ = 1 gilt d µ d u uµ = 0 = (ηµν uµ uν ) dτ dτ = ηµν (u˙µ uν + uµ u˙ν ) = aν uν + uµ aµ = 2aµ uµ = 0 =⇒ aµ uµ = 0: Vierer-Beschleunigung steht senkrecht (im Vierer-Sinn) auf uµ . Was bedeutet das? Im (momentanen) Ruhesystem des Beobachters stimmt uµ mit dem Richtungsvektor der Zeitachse u¨ berein: uµ (β = 0) = (1, 0, 0, 0). aµ ist dann ein rein räumlicher Vektor, der mit der 3er-Beschleunigung u¨ bereinstimmt: i dvi dβ µ i a = (0,~b) ; b = 0 = dx dt

7.6. EIGENZEIT, RELATIVISTISCHE MECHANIK

97

Im Ruhesystem ist Vierer-Orthogonalität also a¨ hnlich wie Dreier-Orthogonalität. Annahme: aµ = (0, 0, 0, 1) im Ruhesystem (⇐⇒ x3 -Achse). Lorentz-Boost mit ~β = −β~e3 : uµ0 = Λ ν uν = (γ, 0, 0, +βγ) aµ0 = (+βγ, 0, 0, γ) µ

x0 γ 1 uµ βγ

uµ’

aµ’ βγ

aµ

1

γ

x3

=⇒ Vierer-orthogonale Vektoren liegen symmetrisch um den Lichtkegel und werden in der Grafik länger mit β. Dies gilt insbesondere auch für die Koordinatenachsen des R0 -Systems vom R-System aus gesehen (aµ und uµ stimmen in unserem Beispiel mit den Koordinatenachsen u¨ berein). Oder andersrum ausgedrückt: Die Koordinatenachsen eines Inertialsystems entsprechen vierer-orthogonalen Vektoren. Um die Dynamik eines relativistischen Teilchens zu beschreiben, muss das Newtonsche Gesetz d ~p = ~F (~p = m~v) dt verallgemeinert werden. Es liegt nahe, den Vierer-Impuls durch pµ (τ) = mcuµ (τ) zu definieren und als Bewegungsgleichungen dpµ = Kµ dτ anzusetzen. Dies kann auch durch die Energie- und Impulserhaltung bei Stößen begründet werden (siehe z. B. [5]). Wegen dpi dx0 dpi dpi = = γ dτ dτ dx0 dx0


98

und dem nichtrelativistischen Newton-Gesetz dpi dpi = c 0 = Fi dt dx erscheint die Identifikation

γ Ki = F i c sinnvoll. Sie wird durch das Experiment bestätigt. Die 0-Komponente erhält man aus ~ 0 = muµ aµ = uµ Kµ = u0 K 0 −~u · K γ = γK 0 − γ~β · ~F c γ =⇒ K 0 = 2~v~F c =⇒

dp0 d d = mcγ = cγ 0 mγ dτ dτ dx γd γ = c· mγ = K 0 = 2~v~F c dt c d dE =⇒ (mc2 γ) =~v~F = P = dt dt

Darin sind P die Leistung und E die Energie, für die sich ergibt E = mc2 γ

bzw.

p0 =

E c

Führt man die nicht lorentz-invariante Masse mr (β) = mγ(β) ein, so ergibt sich E = mr c2 E entwickelt man nun für kleine v, d. h. v c, β 1: 1 3 γ ≈ 1 + β2 + β4 + · · · 2 5

=⇒

1 2 3 v4 E = mc + mv + m 2 + · · · 2 8 c 2

Das heißt, jede Masse entspricht einer Ruheenergie von mc2 . Der Term 12 mv2 entspricht der nichtrelativistischen kinetischen Energie, die höheren Terme sind die relativistischen Korrekturen dazu. Wegen uµ uµ = 1 gilt außerdem pµ pµ = m2 c2 uµ uµ = m2 c2 =

E2 −~p2 2 c

=⇒ E 2 = ~p2 c2 + m2 c4

99

7.7. PARADOXA

diese Gleichung kann verwendet werden, um eine relativistische Wellengleichung für quantenmechanische Teilchen herzuleiten. Setzt man E = i~∂t

;

~p = −i~∇

Quantisierung“, ”

so folgt −~2 ∂t2 φ = (−~2 ∆c2 + m2 c4 )φ m2 c2 1 ∂2 − ∆ φ + φ=0 c2 ∂t 2 ~2 Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung. Für m = 0 geht sie in die Wellengleichung der Elektrodynamik u¨ ber.

7.7

Paradoxa

Die Spezielle Relativitätstheorie wurde oft durch scheinbare Widersprüche in Frage gestellt. Bei richtiger Interpretation der Ergebnisse lösen sich diese Paradoxa jedoch auf. Das bekannteste Paradoxon ist das Zwillingsparadoxon.

7.7.1 Zwillingsparadoxon Zwei Zwillinge stehen bei t0 = 0 am Ursprung. Der eine bleibt dort, der andere steigt in eine Rakete und fliegt mit v = βc für eine Zeit t los und kehrt dann p um. Der bewegte Zwilling II hat wegen der Zeitdilatation die Eigenzeit τII = t 1 − β2 < t. Er bleibt also jünger als der ruhende Zwilling (τI = t). Im Bezugssystem von II sieht die Sache genau umgekehrt aus. Demnach müßte I jünger bleiben! t

BI

B II

I

t

II II

I x

x

Auflösung: Zwilling II wird beschleunigt, so dass es kein Inertialsystem gibt in dem er ruht. Die paradoxe Situation entsteht daher gar nicht erst. In der Tat kann für einen beliebigen Beobachter in einem beliebigen Bezugssystem die Eigenzeit (=invariant) eindeutig berechnet werden (Gleichung (7.6))


100

7.7.2

Maßstab-Paradox

Eine Stange der (Ruhe-)Länge L nähert sich mit β = geöffneten Garage der Ruhelänge L/2. β

√

3/2 (⇐⇒ γ = 2) einer

L/ 2

L Garage

Im Bezugssystem der Garage ist die Stange auf L/γ = L/2 verkürzt und sollte in die Garage passen. Man sollte also die Garagentür in dem Moment schließen können, in dem das vordere Ende der Stange die Rückwand der Garage berührt. Im Bezugssystem der Stange erscheint die Garage jedoch auf L/2 · 1/γ = L/4 verkürzt. Die Tür sollte also nicht geschlossen werden können. Auflösung: Schließen“ und vorne Anstoßen“ sind nur im Bezugssystem der ” ” Garage gleichzeitig, weil sie in diesem System ausgeführt werden. Im System der Stange beginnt der Ablauf des Geschehens damit, dass die Stange vorne anstößt. Die Information darüber breitet sich (maximal) mit Lichtgeschwindigkeit aus. Bis zum Ende der Stange hat das Signal die Distanz L zurückgelegt. Von der Garagentür bis zum Ende der Stange hat das Türe schließt sich“-Signal aber nur ” 3/4L zurückzulegen. In Gleichungen: Garage Stange u

L

v x

L/ 2

y

Seien R0 das Ruhesystem der Stange und R das der Garage. =⇒uµ0 = (u00 , 0, 0, 0) ; xµ = (x0 , 0, 0, x3 ) ; β=

√

0

vµ0 = (v0 , 0, 0, L) L yµ = (y0 , 0, 0, x3 + ) 2

3/2, γ = 2, Lorentz-Transformation: a0 = γa00 + βγa30 ; a3 = γa30 + βγa00 √ √ √ =⇒ uµ = (2u00 , 0, 0 3u00 ) ; vµ = (2v00 + 3L, 0, 0, 2L + 3v00 )

101

7.7. PARADOXA Event ①: Stange stößt an ⇐⇒ v3 = y3 , v0 = y0 Event ②: Türe zu ⇐⇒ x0 = y0 am Ort x3 √ √ L ① =⇒ 2v00 + 3L = y0 ; 2L + 3v00 = x3 + 2 √ 2 3 1 ② L =⇒ y0 = √ x3 = x0 =⇒ v00 = √ x3 − 2 3 3 2 L 2 =⇒ yµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 + ) = vµ ; xµ = ( √ x3 , 0, 0, x3 ) 2 3 3 Rücktransformation:

√ √ 3 √ 0 1 3 3 3 =⇒y = v = (2y − 3(x + L/2), 0, 0, 2x + L − 3y ) = ( √ x − L, 0, 0, L) 2 3 1 xµ0 = ( √ x3 , 0, 0, 0) 3 µ0

µ0

0

√

3 früher. Bis die Türe an xµ0 zuschlägt (Event ②) fliegt die Garage 2 L √ √ noch um y00 ·β = 23 L· 23 = 34 L weiter. Das ist genau die Länge, um die die Garage

=⇒ y00 ist um

bei Vernachlässigung der Zeitunterschiede zu kurz erscheint.

7.7.3

Wie sieht ein bewegtes Objekt aus?

Auf Grund der Lorentz-Kontraktion würde man erwarten, dass ein bewegtes Objekt für einen ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung gestaucht aussieht.

⇓

⇓

⇓

⇓

Dies ist tatsächlich nicht der Fall. Die Objekte wirken gedreht! Der Grund ist, dass Licht von weiter entfernten Punkten länger braucht, um das Auge des Beobachters zu erreichen. Beispiel: Ein Rechteck bewegt sich mit der Geschwindigkeit v = βc in zRichtung. Der Beobachter ist in x-Richtung so weit entfernt, dass die Lichtstrahlen als parallel angenommen werden können:


102 z

a

d La

v b

Lc

c x

Im Ruhesystem R0 des Rechtecks gilt aµ0 = (a00 , 0, 0, La ) ;

bµ0 = (b00 , 0, 0, 0)

cµ0 = (c00 , Lc , 0, 0) ;

d µ0 = (d 00 , Lc , 0, La )

Lorentz-Transformation: γ  0 µ Λ ν (β) =  0 βγ 

0 1 0 0

 0 βγ 0 0  1 0 0 γ

aµ = (γa00 + βγLa , 0, 0, γLa + βγa00 ) bµ = (γb00 , 0, 0, βγb00 ) cµ = (γc00 , Lc , 0, βγc00 ) d µ = (γd 00 + βγLa , Lc , 0, γLa + βγd 00 ) Der Einfachkeit halber wurde hier b00 = 0 gesetzt. Die Punkte a und b haben denselben Abstand vom Auge, die von ihnen ausgehenden Lichtstrahlen kommen also gleichzeitig an, wenn sie gleichzeitig ausgesandt werden =⇒ a0 = b0 . Die Punkte c und d sind um Lc weiter weg. Das Licht muss entsprechend um ∆t = Lc /c früher ausgesandt werden, um gleichzeitig beim Auge anzukommen =⇒ c0 = d 0 = a0 − Lc . b0 = γb00 = 0 =⇒ b0 = a0 = 0 c0 = d 0 = −Lc =⇒ γc00 = −Lc γd 00 = −Lc − βγLa γa00 = −βγLa 1 =⇒ a3 = γLa − β2 γLa = La γ La d3 = − βLc γ

103

7.7. PARADOXA La ) γ bµ = (0, 0, 0, 0) cµ = (−Lc , Lc , 0, −βLc ) La d µ = (−Lc , Lc , 0, − βLc ) γ aµ = (0, 0, 0

Auf die Netzhaut des Beobachters werden die x3 -Koordinaten projiziert: x3 a d

La γ La γ

_βL

c

b 0 c _ β Lc

Das ist dasselbe Bild, das sich in der Euklidischen Geometrie von einem Rechteck ergibt, das um den Winkel α = arcsin(β) gedreht ist: a cos α La =

La

La γ

_ sin α L = _ β L c c

d α

b

Lc c

104


Kapitel 8 Ein kleiner Ausblick 8.1

Allgemeine Relativitätstheorie

Die Spezielle Relativitätstheorie behandelt die folgende Situation: • Inertiale Beobachter • Minkowski-Raum, d. h. keine Gravitation Die Allgemeine Relativitätstheorie erweitert beide Punkte. Die bedeutendsten Unterschiede zur Speziellen Relativitätstheorie sind: • Es gibt keine globalen Bezugssysteme mehr • Die Raumzeit ist gekrümmt Die mathematische Grundlage ist die Invarianz unter beliebigen Koordinatentransformationen (d. h. nicht nur Lorentz-Transformationen): der Natur ist es egal, mit welchen Koordinaten wir sie beschreiben. Der Begriff der Tensoren (Aµ0 = ∂xµ0 ν ¨ bernommen werden, ebenso ds2 und die Eigenzeit. ∂xν A ) kann direkt u Beispiel Zylinderkoordinaten: x0 = x00

,

x3 = x30

,

x1 = r cos ϕ 105

,

x2 = r sin ϕ

106

KAPITEL 8. EIN KLEINER AUSBLICK

Die Koordinaten sind keine kontravarianten Vektoren mehr! ∂xµ ∂xν ds2 = ηµν α0 β0 dxα0 dxβ0 ∂x 0 ∂x ∂x ∂x0 ∂xi ∂xi = − α0 β0 dxα0 dxβ0 α0 β0 ∂x ∂x ∂x ∂x α0 00 x = (x , r, ϕ, x30 )   1 0 0 0 0 cos ϕ −r sin ϕ 0 ∂xµ  =⇒ α0 =  0 sin ϕ r cos ϕ 0 ∂x 0 0 0 1 1 2 2 2 ! ∂x ∂x =⇒ ds2 = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 + ∂r ∂r ! 1 2 2 2 1 1 ∂x ∂x ∂x ∂x2 ∂x2 ∂x 2 − dϕ + − 2dr dϕ + ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂r = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 cos2 ϕ + sin2 ϕ − dϕ2 r2 cos2 ϕ + r2 sin2 ϕ − 2dr dϕ (−r sin ϕ cos ϕ + r cos ϕ sin ϕ) = (dx00 )2 − (dx30 )2 − dr2 − r2 dϕ2 = gαβ (xµ0 )dxµ0 dxν0  1 0 0  0 −1 0 gαβ (xµ0 ) =  0 0 −r2 0 0 0

 0 0  0 1

⇐⇒ ηµν wird im Allgemeinen durch einen koordinatenabhängigen Tensor gαβ (x) (= Metrik) ersetzt! ¨ Die Gravitation wird durch das Aquivalenzprinzip eingeführt: 2 SRT: E = mt c mt = träge Masse, d. h. die Masse, die in mt~x¨ = ~F vorkommt. s ms = schwere Masse, d. h. der Faktor, der im NewNewton: FGrav = −G Mm r2 tonschen Gravitationsgesetz vorkommt In der Newtonschen Mechanik gilt zufälligerweise“ ms = mt , in der Allge” ¨ meinen Relativitätstheorie wird dies gefordert. ⇐⇒ Aquivalenz von träger und schwerer Masse. Aus E = mc2 folgt, dass auch Energie Gravitation verursacht und somit Teil¨ chenbahnen a¨ ndert. Die Idee ist nun, diese Anderung durch eine gekrümmte Raumzeit zu beschreiben:

107

8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK Minkowski−Raum

gekrümmter Raum

Teilchenbahn

Die Krümmung kann ebenfalls durch die Metrik gαβ (x) beschrieben werden. Beispiel: Für x00 = r = const. beschreibt obiges ds2 den zweidimensionalen Raum einer Zylinderoberfläche. Einstein fand eine Differentialgleichung (Rµν = κTµν ), die beschreibt, wie Energie bzw. Masse den Raum krümmt (sehr kompliziert!). Die Lösungen beschreiben schwarze Löcher, Big Bang, . . . ¨ Beispiel: gµν = diag(1, −a(t), −a(t), −a(t)) beschreibt die zeitliche Anderung der räumlichen Maßstäbe ⇐⇒ Big Bang (a → 0 für t → 0). Bezugssysteme können nicht mehr global definiert werden, da im gekrümmten Raum im Allgemeinen keine geraden“ Linien mehr existieren. ”

8.2

Quantenelektrodynamik

Die Elektrodynamik war nicht nur die erste Lorentz-invariante Theorie, sie wurde auch als erste quantisiert: Planck stellte 1900 die Hypothese auf, dass die Strahlung in Quanten der Energie ~ω auftritt. Viel später (Ende der 20er Jahre) wurde eine Vielteilchen“-Theorie für die” se Quanten aufgestellt, die Quantenelektrodynamik (QED). Man kann allgemein zeigen, dass eine quantenmechanische Vielteilchen-Theorie für Bosonen (Teilchen mit ganzzahligem Spin) beschrieben werden kann durch Operatoren aˆl , die formal dieselben Kommutator-Relationen erfüllen wie der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik, [aˆl , aˆ†m ] = δlm (l, m = Satz von Quantenzahlen). In der Quantenelektrodynamik (QED) wird dann z. B. das elektrische Feld ersetzt durch den Feldoperator s ~ωk ~ ˆ x) = ~E(~ ∑ ∑ aˆ~k,σ~ε(~k, σ)eik~x 2 0V + h. c. ~ σ=1,2 ∋

k

(V = Quantisierungsvolumen). Für die Feldenergie ergibt sich dann der Operator Z 1 0 ˆ ˆ † 2 2 2 3 ~E (~x) + c ~B (~x) d x = ∑ ~ωk aˆ aˆ~ + H= ~k,σ k,σ 2 2 ~ ∋

k,σ

108


wie bei einer Summe harmonischer Oszillatoren. H spielt die Rolle des HamiltonOperators für freie Photonen. Bedeutung der Operatoren: aˆ~† erzeugt ein Photon k,σ mit Wellenvektor ~k und Polarisation ~ε(~k, σ). Aus dem Feldoperator ~Eˆ kann man ablesen, dass das Photon die räumliche Modenfunktion s ~ωk ~ ~ε(~k, σ)eik~x 2 0V ∋

hat. Darin ist die Wurzel ein Normierungsfaktor. aˆ~k,σ vernichtet ein solches Photon. Man rechnet damit wie beim harmonischen Oszillator: Grundzustand=Vakuum=|0i (kein Photon) (h0|0i = 1, d. h. |0i ist ein normierter Zustand, nicht die Zahl 0) 1-Photon-Zustand: aˆ~† |0i k,σ

2 Photonen in der selben Mode: aˆ~†2 |0i k,σ

2 Photonen in verschiedenen Moden: aˆ~†

aˆ† |0i k1 ,σ1 ~k2 ,σ2

Wie beim harmonischen Oszillator gilt: aˆ~k,σ |0i = 0 =⇒ Im Vakuum gibt es im Mittel kein E-Feld: s

~k,σ

~ωk + c. c. 2 0V ∋

~ ˆ x)|0i = ε h0|~E(~ ∑ (~k,σ)eik~x h0|aˆ~k,σ|0i

=0 Wohl aber gibt es Quantenfluktuationen: ˆ † 2 ~ h0|E |0i = h0| ∑ aˆ~k,σ + · · · + aˆ~ + · · · ~k,σ

k,σ

∑

~k0 ,σ0

aˆ~k0 ,σ0 + · · · + aˆ~†0 0 + · · · k ,σ

=∑

∑ · · · h0|aˆ~k,σaˆ~†k0,σ0 |0i

=∑

∑ · · · h0|aˆ~†k0,σ0 aˆ~k,σ + [aˆ~k,σ, aˆ~†k0,σ0 ] |0i

~k,σ~k0 ,σ0

~k,σ~k0 ,σ0

= ∑ · · · 6= 0 ~k,σ

|

{z

δkk0 δσσ0

}

|0i

109

8.2. QUANTENELEKTRODYNAMIK

Das Vakuum hat also nur im Mittel kein elektrisches Feld. Die Quantenmechanik läßt aber auf Grund der Unschärferelation ∆E∆t ≥ ~ die kurzfristige Erzeugung von Photonen ”aus dem Nichts” zu. Deshalb verschwindet der Mittelwert von ~Eˆ 2 nicht, das elektrische Feld zeigt Vakuumfluktuationen. Die Quantenelektrodynamik beschreibt viele verschiedene Prozesse: • Paarerzeugung von e− und e+ (E = ~ω = 2me c2 ) • Spontane Emission von Atomen (wg. Vakuumfluktuationen) • Absorption und Emission von Photonen • Casimir-Kräfte, die aus der Vakuum-Energie herrühren: ˆ h0|H|0i = ∑ ~ωk ~k,σ

1 2

Verändert man (durch Spiegel, Dielektrika, . . . ) die ωk , so a¨ ndert sich dieser Wert. Da diese Veränderung vom Abstand der Spiegel abhängt, ergibt sich eine anziehende Kraft zwischen den Spiegeln (= Casimir-Kraft). • usw. usf.

110


Kapitel 9 Formelsammlung ¨ die Einige Rechenregeln, insbesondere fur δ-Distribution

9.1

δii δi j εi jk εi jk εi jk εi jk εl jk εi jk εlmk Z

= = = = =

3 0 6 2δil δil δ jm − δim δ jl

f (x)δ(x − y) dx = f (y)

Z

f (x)

n dn nd f δ(x − y) dx = (−1) dxn dyn dΘ(x − y) = δ(x − y) dx δ(x − xn ) δ( f (x)) = ∑ 0 n | f (xn )|

Z ∞

mit f (xn ) = 0, f 0 (xn ) 6= 0

dkeikx = 2πδ(x)

−∞

1 P = ∓iπδ(x) + ε→0 x ± iε x lim

Z ∞ 0

dke±ikx = πδ(x) ± i

mit P = Hauptwert unter einem Integral u¨ ber x

P x

Man sollte allgemein nicht vergessen, dass die δ-Distribution eigentlich nur unter einem Integral definiert ist. Entsprechend sind alle Gleichungen zu lesen (insbesondere solche, in denen der Hauptwert auftaucht). 111

112

9.2 9.2.1

KAPITEL 9. FORMELSAMMLUNG

¨ Nablakalkul Vektoridentitäten rot rot ~R = ∇div ~R − ∆~R rot grad φ = 0 div rot ~B = 0

9.2.2

Gaußscher Satz Z

div ~R d 3 x =

ZZ

∂V

V

9.3.2

~Rd~s

(9.5)

Satz von Stokes Z

rot ~R d~s =

I

A

9.3.3

(9.4)

Integralsätze 0

9.3.1

(9.3)

Laplaceoperator in Kugelkoordinaten 1 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 2 ∂ ∆= 2 r + 2 sin ϑ + 2 2 r ∂r ∂r r sin ϑ ∂ϑ ∂ϑ r sin ϑ ∂ϕ2

9.3

(9.1) (9.2)

∂A

~Rd~x

(9.6)

Greensche Integralsätze

Erste Greensche Identität Z V

˜ + ∇φ˜ · ∇Ψ) ˜ d3x = ˜ Ψ (φ∆

I ∂V

˜ d~s ˜ Ψ φ∇

(9.7)

Zweite Greensche Identität Z V

(φ∆Ψ − Ψ∆φ) d x = 3

I ∂V

(φ~n∇Ψ − Ψ~n∇φ) ds

(9.8)

Literaturverzeichnis [1] Milton Abramowitz and Irene A. Stegun. Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1968. Signatur: mat 3.90/ a17. [2] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg. Atomphoton interactions: basic processes and applications. John Wiley & Sons, Inc., 1998. Signatur: phy 214/ c64c. [3] Eugene Hecht. Optik. Addison Wesley Publishing Company, 1989, Nachdruck 1994. Signatur: phy 214/ c64c. [4] Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber. Quantum field theory. McGrawHill, New York, 1980. Signatur: phy 212/i98. [5] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 2 edition, 1975. Signaturen: lbs 780/j12(2) und phy 182/ j12(2). [6] John David Jackson. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons, Inc., 3 edition, 1999. Signaturen: lbs 780/j12(3). [7] J.D. Bjorken und S.D. Drell. Relativistische Quantenfeldtheorie. B.I. Hochschultaschenbücher Band 101, 1967. Abschnitt 14.5, Signatur: phy 212/ b76.

113

Index Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Doppelbrechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Symbole δ-Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 17 ¨ Aquivalenzprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Optische Aktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

E Eichtransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 eigentlich orthochronen Lorentz-Gruppe 94 Eigenzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Eikonalgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 75, 76 Einfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Einsteinsche Summenkonvention . . . 1, 91 Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 elliptisches Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

A ¨ Ather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 88 ¨ Athertheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Aktivität optische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Allgemeine Relativitätstheorie . . . . . . . 109 Außerordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . 72 Außerordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . 72 Ausfallswinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

F Fadenströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Feldgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . 23 Feldstärke-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Fermatsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Flächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Forminvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Fresnelsche Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Fundamentalkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Funktionalableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

B Besselfunktionen sphärische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Bezugsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Biot-Savart Gesetz von. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24 Brechungsindex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60, 69 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 C Clausius-Mosotti-Gleichung . . . . . . . . . . 60 Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

G Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . . . 87 Gaußscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2, 116 geometrische Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Green-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 40 avancierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen 21 retardierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Greensche Identität erste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116 zweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17, 116 Greenscher Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

D d’Alembert-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 diamagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 dielektrische Verschiebungsdichte . . . . . 46 Differentialgleichungen lineare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 nichtlineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dipolmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Dirichlet-Randbedingung . . . . . . . . . . . . . 18 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

114

INDEX H Hamilton-Operator ¨ freie Photonen . . . . . . . . . . . . . . 112 fur Hamiltondichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Hankelfunktionen sphärische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 harte Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Helles Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Helmholtz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 inhomogene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Hermite-Gauß-Strahlen . . . . . . . . . . . . . . 80 Hohlraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Hysterese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 I Impuls kanonisch konjugierter . . . . . . . . . . . . 8 kinetischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Impulsdichte kanonische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Indizes Heben und Senken der . . . . . . . . . . . 95 Inertialsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 K kanonische Quantisierung . . . . . . . . . . . . . 9 Kerr-Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . . . . . . 103 Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Kontraktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96 Kreisströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Kugelflächenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 20 Orthogonalitätsrelation . . . . . . . . . . 21 Vollständigkeitsrelation . . . . . . . . . . 21 L Längenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Ladungserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Laplaceoperator in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . 116 Lasermoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Laserstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Legendre-Polynome assoziierte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Levi-Civita-Symbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 lichtartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lichtgeschwindigkeit

115 Invarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Lichtstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Lorentz-Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Lorentz-Eichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Lorentz-Lorenz-Gleichung. . . . . . . . . . . .60 Lorentz-Transformationen . . . . . . . . 89, 91 M Maßstab-Paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 magnetische Monopole . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Magnetische Quadrupolfalle . . . . . . . . . . 27 makroskopische Felder . . . . . . . . . . . . . . . 45 makroskopische Maxwell-Gleichungen 45 Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Kovarianz der . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93, 110 minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Minkowski-Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Modenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ¨ Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 fur Multipolmoment sphärisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 N Neumann-Randbedingung . . . . . . . . . . . . 18 Nichtlineare Optik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 O Optik geometrische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ordentliche Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Ordentlicher Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 P paramagnetisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5, 112 ¨ freie . . . . 112 Hamilton-Operator fur Poincaré-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 positiv definit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Potential skalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vektor- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Prinzip Fermatsches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

116

INDEX

Punktdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Q Quadrupolfalle magnetische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Quantenelektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . 5 Quantenfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . 112 R raumartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Rayleigh-Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Relativitätstheorie allgemeine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 S Satz Greenscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Skalare Multipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Skalarpotential magnetisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Snelliussche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Soliton Helles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Spiegelladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Stokes Satz von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Strahl außerordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . 72 ordentlicher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Stromdichte relativistische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Suszeptibilität makroskopische . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 T TE-Felder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 kontravarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 kovarianter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 TM-Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 V Vector spherical harmonics . . . . . . . . . . . 44 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Vierer-Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . 100 Vierer-Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 99

Vierer-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Vierer-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Vierer-Sinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Vierer-Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Vierer-Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 virtual cavity model . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 W Wellen außerordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ordentliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wellengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Weltlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Wirbelfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Z zeitartig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Spezielle Relativitaetstheorie 001

Theoretische Physik 2. Elektrodynamik und spezielle Relativitaetstheorie

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik 001

Allgemeine Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik 001.ps.gz

Allgemeine Relativitaetstheorie 001.ps.gz

Klassische Elektrodynamik 001

Grundkurs Theoretische Physik 4: Spezielle Relativitaetstheorie, Thermodynamik

Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie (Springer-Lehrbuch)

Elektrodynamik

Elektrodynamik

R. Elektrodynamik

Allgemeine Relativitaetstheorie

Graphen und Netzwerkalgorithmen 001

Kategorien und Topostheorie 001

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Algebra und Geometrie 001

Modellierung und Programmierung 001

Atome und Licht 001

Kodierung und Sicherheit 001

Logik und Regelverarbeitung 001

Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

Finanz und Versicherungsmathematik 001

Elektrodynamik: Einfuehrung in Experiment und Theorie

Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten 001

Differenzen und Differentialgleichungen 001

Elektrodynamik und Spezielle Relativitaetstheorie 001

Spezielle Relativitaetstheorie 001

Theoretische Physik 2. Elektrodynamik und spezielle Relativitaetstheorie

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik 001

Allgemeine Relativitaetstheorie 001

Elektrodynamik 001.ps.gz

Allgemeine Relativitaetstheorie 001.ps.gz

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Theoretische Physik 2: Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie (Springer-Lehrbuch)

Elektrodynamik

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Modellierung und Programmierung 001

Atome und Licht 001

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Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

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Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten 001

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