Spezielle Relativitaetstheorie 001

Spezielle Relativitätstheorie Jörg Frauendiener∗ Institut für Theoretische Astrophysik SS 2004 Version: 4. Oktober 2005

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Inhaltsverzeichnis

1 Die Lorentz-Transformation 1.1 Inertialsysteme und Koordinaten . . . . . . . . . 1.2 Das Relativitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Folgerungen aus dem Relativitätsprinzip . . . . 1.4 Konsequenzen der Lorentz-Transformation . . . 1.5 Andere Formen für die Lorentz-Transformation 1.6 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Relativität der Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . 1.8 Die Lorentz-Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Die Zeit-Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Die „Addition“ von Geschwindigkeiten . . . . .

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5 5 8 10 14 16 18 19 20 22 25

2 Die invariante Raumzeit 2.1 Eine Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 4-Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Kovariante Vektoren . . . . . . . . . . . . . 2.5 Der Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Indexgymnastik . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Aberration, Himmelskugel,bewegte Körper

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28 28 32 36 41 44 45 49

3 Relativistische Mechanik 3.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Stossgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Photonen und Compton-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55 55 58 60

4 Elektrodynamik 4.1 Die Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form 4.2 Die Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . 4.4 Invarianten des elektromagnetischen Feldes . .

63 63 69 70 73

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Literaturverzeichnis [1] H. Bondi, Relativity and Common Sense (Dover, New York, 1980). [2] M. Born, Die Relativitätstheorie Einsteins (Springer-Verlag, Berlin, 2003), 7. Aufl. [3] A. Einstein (1905). Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Annalen der Physik 17, 891. [4] A. Einstein, Relativity: The Special and the General Theory (Crown Publisher, New York, 1961). Dazu gibt es auch ein deutsches Original. [5] R. Feynman, R. Leighton und M. Sands, Lectures on Physics, vol. 1 (Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1977). [6] H. A. Lorentz, A. Einstein und H. Minkowski, Das Relativitätsprinzip; eine Sammlung von Abhandlungen (B. G. Teubner, Stuttgart, 1974). Dieses Buch enthält alle wesentlichen Originalartikel zur speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie. [7] W. Pauli, Relativitätstheorie (Springer-Verlag, Berlin, 2000). [8] W. Rindler, Essential Relativity (Springer-Verlag, Berlin, 1977), 2. Aufl. Hier gibt es eine kürzlich bei Oxford University Press erschienene Neuauflage. [9] H. Ruder und M. Ruder, Spezielle Relativitätstheorie (Vieweg, Braunschweig, 1993). [10] R. Sexl und H. K. Schmidt, Raum-Zeit-Relativität (Vieweg, Braunschweig, 1978). [11] R. Sexl und H. Urbantke, Gruppen, Teilchen, Relativität (Springer-Verlag, Wien, 1992), 3. Aufl. [12] R. C. Tolman, Relativity, Thermodynamics and Cosmology (Dover, New York, 1987). [13] H. Weyl, Raum – Zeit – Materie (Springer-Verlag, Berlin, 1988), 7. Aufl.

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1 Die Lorentz-Transformation 1.1 Inertialsysteme und Koordinaten Die drei Newtonschen Axiome lauten • (Trägheitsgesetz) Jeder Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung, wenn er nicht durch die Einwirkung von Kräften gezwungen wird, diesen Zustand zu verändern. • (Grundgleichung der Mechanik) Die auf einen Körper wirkende Kraft ist dem Produkt aus Masse und Beschleunigung des Körpers gleich. • (Das Wechselwirkungsgesetz) Die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets einander gleich und von entgegengesetzter Richtung. Es stellt sich die Frage, wozu man das erste Axiom benötigt. Denn es scheint ja aus dem zweiten zu folgen: Aus F = m¨x folgt für F = 0 auch x¨ = 0 also x = v0 t + x0 . Das heißt, x ändert sich linear mit t. Was aber sind x und t? Wenn man x als eine kartesische Koordinate bezeichnet, dann ist diese Beziehung Ausdruck einer gleichförmigen Bewegung bzw. des Ruhezustands. Aber: wenn man mit x den Abstand von einem Punkt meint, dann beschreibt diese Beziehung etwas ganz anderes. Für v0 = 0 ergibt sich eine Kreisbahn, keine Gerade. Also ist mit dem Symbol x eine bestimmte Bedeutung verknüpft. Das erste Axiom kann also nur dann eine Bedeutung haben, wenn man eine Verabredung trifft, wie die Bewegung beschrieben werden soll. Dazu dienen Bezugssysteme. Ein Bezugssystem ist ein (idealisierter) starrer Körper bzgl. dessen die Bewegung eines anderen Körpers beschrieben werden kann. Dies ist unerlässlich; im ansonsten leeren Raum kann man die Lage und Orientierung eines Körpers nicht feststellen. Das Bezugssystem besteht aus einem Ursprung (ein fest gegebener Punkt auf dem Bezugskörper) und drei aufeinander senkrechten Achsen, auf denen eine Einheitslänge definiert ist. Diese drei Achsen besitzen auch eine Orientierung, die durch die Rechte-HandRegel gegeben ist.

Bezugssystem

Außerdem gehört zu einem Bezugssystem auch eine Uhr, deren Zeit dazu benutzt wird, um Bewegungen bzgl. des Bezugssystems anzugeben. Dabei ist auch zu beachten, dass mit dieser Uhr eine Zeiteinheit anzugeben ist (z.B. Zeitdauer des Auslaufens einer Sanduhr, Anzahl Schwingungen eines Pendels, Cäsiumatom). Bezüglich eines solchen Bezugssystems lässt sich jedes Ereignis eindeutig durch die

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Ereignis

Koordinaten

Angabe von vier Zahlen, den Koordinaten charakterisieren. Dazu bieten sich z.B. die kartesischen Koordinaten bzgl. des Bezugssystems an: die Angabe der Längen der senkrechten Projektionen des Ortsvektors auf die Achsen sowie die Zeitangabe einer Uhr. Ebenso kann man Polarkoordinaten benutzen oder sonstige Koordinaten zur Beschreibung des Raumes. Aber genauso gut kann man die Empfangszeiten an vier verschiedenen Orten eines vom Körper ausgesandten Signals als Koordinaten benutzen (GPS). Also: Bezugssystem und Koordinatensystem sind streng voneinander zu trennen. Ein Bezugssystem ist ein idealisierter starrer Körper, also ein physikalisches Objekt, das den Rahmen schafft, um mit 4 Zahlen, den Koordinaten, die Menge der Ereignisse in einem raumzeitlichen Kontinuum eindeutig zu beschreiben. Zu jedem Bezugssystem gibt es ausgezeichnete Koordinaten, die kartesischen, die den räumlichen Achsen angepasst sind. Ruht ein Körper bzgl. eines auf der Erde fest verankerten Bezugssystems, so hat er bzgl. den Fixsternen eine Beschleunigung. Gilt also das Trägheitsgesetz in einem System, dann nicht im anderen. Das erste Axiom macht nur Sinn, wenn ein Bezugssystem angegeben wird.

Inertialsystem

Der wesentliche Inhalt des Axioms ist also das Postulat der Existenz von Bezugssystemen, in denen das Trägheitsgesetz gilt. Ein solche System heißt Inertialsystem. Gibt es überhaupt ein Bezugssystem, in welchem das erste Axiom gilt? Die Frage, welches System ein Inertialsystem (IS) sei, muss experimentell überprüft werden. Näherungsweise Inertialsysteme sind z.B. (und dies ist abhängig von den jeweiligen Betrachtungen) • Ein mit der Erde fest verankertes Bezugsystem (Hörsaal) • Das Bezugssystem mit Ursprung im Massenmittelpunkt des Sonnensystems und Achsen in Richtung auf Fixsterne • das Isotropiesystem der kosmischen Hintergrundstrahlung Mit der Existenz eines IS hat man automatisch unendlich viele, denn in jedem Bezugssystem, das sich mit einer gleichförmigen Geschwindigkeit bzgl. des einen bewegt, ist das Trägheitsgesetz ebenfalls gültig.

absoluten Raum

Newton postuliert die Existenz eines absoluten Raumes und er fordert die Gültigkeit des Axioms in Bezug auf diesen. Damit ist es gültig für alle Inertialsysteme, die sich mit gleichförmiger Geschwindigkeit bzgl. des absoluten Raumes bewegen. Nach Newton setzt eine Masse nie der gleichförmigen Bewegung einen Widerstand entgegen; es widersetzt sich jedoch jeder Änderung dieses Zustands. Der Koeffizient m in F = ma ist genau ein Mass für diesen Widerstand gegenüber Beschleunigungen. Aber Beschleunigungen wogegen? Die Antwort ist offensichtlich: gegenüber jedem IS! Dies ist so offensichtlich wie unbefriedigend, denn wodurch sind die IS ausgezeichnet als DIE nicht

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beschleunigten Systeme? Nach Newton ist Beschleunigung gegenüber dem absoluten Raum feststellbar. Dazu erfand er sogar ein Gedankenexperiment, den “Eimerversuch”, das dazu dienen sollte, die Existenz des absoluten Raums nachzuweisen. Maxwell erklärte Licht als eine elektromagnetische Wellenerscheinung. Er ging dabei von der Analogie mit Wellen in einem elastischen Medium aus. Auf der Suche nach diesem Medium, dem Äther, in dem sich Licht ausbreiten sollte, fand er Newtons absoluten Raum und postulierte, dass der Äther mit diesem absoluten Raum identisch sei. Dies führte zu einer Flut von Experimenten, die die Existenz dieses Mediums nachweisen sollten. Gegen den absoluten Raum lassen sich mehrere Einwände erheben: • Er wird ad hoc postuliert und erklärt nichts. Dies ist ähnlich wie Keplers Engel die die Planeten auf ihren Bahnen halten. • Es gibt keine eindeutige Vorschrift, aus der Menge der IS eines auszuzeichnen. • “Es widerspricht jeglichen wissenschaftlichen Verständnisses, sich ein Ding vorzustellen, was auf etwas einwirkt, auf welches aber nicht eingewirkt werden kann”. Dieses Argument spricht übrigens nicht nur gegen den absoluten Raum, sondern auch gegen die ganze Klasse der IS. Es bleibt die Tatsache, dass IS für die Newtonsche Theorie fundamental sind und auch im täglichen Leben eine Rolle spielen. Innerhalb der Newtontheorie gibt es jedoch keine Erklärung für ihre Existenz. Der Begriff des IS wird viel verwendet und führt oft zu Verwirrung. Das ist im Grunde unnötig. In der ART wird dieser Begriff präzisiert und verliert letztendlich seine grundlegende Bedeutung, die er in der klassischen Mechanik und der SRT noch hat. Zum Schluss wollen wir die wesentlichen Aussagen dieses Abschnitts nochmal zusammenfassen. • Inertialsysteme sind Idealisierungen. Ihre physikalische Realisierung ist räumlich und zeitlich begrenzt. Ein System ist kein Inertialsystem mehr, wenn vorhandene Beschleunigungen oder Massen nicht mehr vernachlässigt werden können. • Inertialsysteme sind allein dadurch charakterisiert, dass in ihnen das 1. Newtonsche Gesetz gilt, welches wiederum nur in einem Inertialsystem gilt. Dies ist das bekannte Zirkelargument der klassischen Mechanik. • Newton garantiert die Existenz von Inertialsystemen, indem er die Existenz des absoluten Raumes und der absoluten Zeit postuliert.

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Abbildung 1.1: Beschleunigte (links) und gleichförmige (rechts) Bewegung

1.2 Das Relativitätsprinzip Die Bewegung eines Körpers bzgl. eines IS lässt sich am besten in einem RaumzeitDiagramm angeben. Es lässt sich leicht einsehen, dass die Weltlinie einer freien Bewegung bzgl. eines IS eine Gerade beschreibt. Die Weltlinie einer Bewegung ist die grafische Darstellung der aufeinanderfolgenden Ereignisse: der Körper befindet sich zu dieser Zeit an jenem Ort. Diese Ereignisse können wir z.B. mit kartesischen Koordinaten xi = (t = x0 , x1 , x2 , x3 ) beschreiben und erhalten so eine Kurve in einem 4-dimensionalen Raum. Diese Kurve ist durch affine Gleichungen bzgl. kartesischer Koordinaten gegeben. Offensichtlich gilt diese Form der Gleichung nicht in beliebigen Koordinatensystemen. Dies ist der wesentliche Grund, warum kartesische Koordinaten oftmals bevorzugt werden. Bezeichnen wir mit xi die kartesischen Koordinaten eines beliebigen Ereignisses P bzgl. eines IS I und mit x¯ i die kartesischen Koordinaten dieses Ereignisses bzgl. eines IS I¯ (vgl. Abb. 1.2), dann wird die Relation zwischen den beiden IS durch eine Beziehung

Abbildung 1.2: Die gleiche Bewegung von zwei IS aus gesehen

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Weltlinie

der Form x¯ i = fi (xk ),

i=0:3

beschrieben. Wir suchen diese Transformation. In kartesischen Koordinaten wird eine gleichförmige Bewegung, die in beiden IS eine Gerade ist, durch affine Gleichungen beschrieben. Die Transformation muss also affine Beziehungen zwischen den Koordinaten, wieder in affine Beziehungen überführen, also selbst affin sein: x¯ i = Li k xk + ai ,

i = 0 : 3.

Wir verwenden hier die Einsteinsche Summenkonvention, nach der über gleichzeitig oben und unten vorkommende gleiche Indizes zu summieren ist. Die Transformation zwischen den Koordinaten des gleichen Ereignisses bzgl. verschiedener Bezugssysteme nennt man passive Transformation. Aus der Tatsache, dass die gleichförmige Bewegung in jedem Inertialsystem als Gerade beschrieben wird, folgt also, dass die Transformation zwischen den kartesischen Koordinaten der Inertialsysteme notwendigerweise eine affine Transformation ist. Die Raumzeit der klassischen Mechanik trägt daher eine affine Struktur.

Einsteinsche Summenkonvention passive Transformation

affine Struktur

Offensichtlich sind nicht alle affine Transformation auch solche, die ein Inertialsystem in ein anderes überführen. Insbesondere hatten wir gesehen, dass z.B. die räumlichen Achsen eines Inertialsystems immer senkrecht aufeinander sind. Dies bedeutet, dass die Klasse von affinen Transformationen zwischen Inertialsystemen weiter eingeschränkt werden kann. Um die möglichen Transformationen zu finden, benötigen wir jedoch noch mehr physikalischen Input. Wie bekommt man aus einem gegebenen IS I andere solche? Erfahrungsgemäß gilt: ist I ein IS, d.h. gilt das Trägheitsgesetz in I, dann ist auch ein bzgl. I • • • •

um a verschobenes, um die Zeit a0 späteres, um den Winkel α verdrehtes, mit der konstanten Geschwindigkeit v bewegtes

Bezugssystem I¯ ebenfalls ein IS, in dem das Trägheitsgesetz gilt. Damit erhält man eine 10-parametrige Schar von IS. Sie gehen durch eine (echte) physikalische Operation auseinander hervor oder, wie man auch sagt, durch eine aktive Transformation. Wir betrachten zwei Experimente, die in I und I¯ in gleicher Weise aufgebaut und durchgeführt werden. Alle physikalische Erfahrung zeigt (bisher), dass beide Experimente zum gleichen Resultat führen, unabhängig vom zugrunde gelegten IS. Das bedeutet, dass alle IS zur Beschreibung der physikalischen Experimente, Messergebnisse, usw. prinzipiell vollkommen gleichwertig sind. Dies heißt nicht, dass nicht einige IS in der Darstellung der physikalischen Sachverhalte ökonomischer sind als andere. Die experimentell gefundene Gleichwertigkeit aller Inertialsysteme wird zum Postulat erhoben:

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aktive Transformation

Das Relativitätsprinzip: In allen IS laufen die physikalischen Phänomene in genau der gleichen Art und Weise ab. Dieses Postulat ist grundlegend für die Spezielle Relativitätstheorie. Die SRT besteht letztlich darin, die physikalischen Gesetze so anzupassen, daß sie dem Relativitätsprinzip genügen, also in allen IS gelten. Aufgrund des Relativitätsprinzips sind alle Inertialsysteme miteinander gleichwertig. Das bedeutet, dass es z.B. keine absoluten Ruhezustand geben kann. Denn befände sich ein Körper in einem Zustand absoluter Ruhe, dann wären die IS, bzgl. deren dieser Körper ruht ruht, gegenüber den anderen ausgezeichnet. Ebenso wie es keine absolute Ruhe gibt, so gibt es auch keine absolute Richtung, keinen absoluten Ort und keinen absoluten Zeitpunkt (Isotropie und Homogenität des Raumes, Homogenität der Zeit), denn sonst müsste es gelingen, diese absoluten Elemente zu bestimmen. Dann wären aber gewisse IS gegenüber anderen ausgezeichnet.

invariant

Die physikalischen Erscheinungen werden durch die Naturgesetze beschrieben. Wenn diese Phänomene nun in jedem IS unter gleichen Bedingungen die gleichen sind, dann müssen die Naturgesetze so beschaffen sein, dass sie den Übergang von einem System zum anderen nicht bemerken. Sie müssen bei diesem Übergang invariant sein. Da der Begriff ‘invariant’ ein äußerst überfrachteter ist, wollen wir verabreden, in diesem Zusammenhang darunter zu verstehen, dass die Naturgesetze, die ja in mathematischen Formeln dargestellt werden, beim Übergang von einem IS zum anderen ihre Form nicht ändern. Was dies genau bedeutet, werden wir später noch sehen. Nehmen wir an, das Relativitätsprinzip wäre nicht gültig, so gäbe es IS in denen bestimmte Naturgesetze eine besonders einfache Form besitzen. In einem dazu gleichförmig bewegten IS müsste dann die Relativgeschwindigkeit zwischen den beiden Systemen eine Rolle spielen. Insbesondere wären auch die Vorhersagen, die aufgrund dieses Gesetzes gemacht würden, von dieser Relativgeschwindigkeit abhängig. So kann man sich (mit Einstein) beispielsweise vorstellen, dass Orgelpfeifen einen anderen Ton produzierten, je nachdem ob sie in Richtung der Relativgeschwindigkeit gehalten werden oder senkrecht dazu. Solche Effekte sind bisher nie beobachtet worden.

1.3 Folgerungen aus dem Relativitätsprinzip Wir hatten gesehen, dass der Übergang von einem IS I zu einem anderen I¯ in kartesischen Koordinaten durch einen affinen Ausdruck gegeben ist. Wir betrachten nun zunächst nur homogene Transformationen, setzen also ai = 0. Aus dem Relativitätsprinzip folgt, dass der Übergang von einem IS zum anderen nur durch die Geschwindigkeit v und den Drehwinkel α bzw. äquivalent dazu durch eine Drehmatrix R vermittelt werden kann.

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Relativitäts

Sind I und I¯ nur verdreht zueinander, so ist die Transformation allein durch die Drehmatrix x¯ 0 = x0 , x¯ = Rx gegeben. Die Matrix Li k hat also die Form   1 0 i Lk= 0 R Sind I und I¯ gleichförmig gegeneinander bewegt bei gleicher Ausrichtung der Achsen, so kann nur die Relativgeschwindigkeit v zur Matrix Li k beitragen. Die Transformation muss aufgrund der Linearität die Gestalt x¯ 0 = a(v)x0 + b(v)v · x,

x¯ = c(v)x +

d(v) v(v · x) + e(v)vx0 v2

(1.3.1)

haben. Dabei ist v = |v|. Der Ursprung von I¯ bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit bzgl. I, d.h., aus x = vx0 muss sich x¯ = 0 ergeben, also c(v) + d(v) + e(v) = 0. Unser Ziel ist es, die Funktionen a(v), . . . , e(v) so weit wie möglich mithilfe des Relativitätsprinzips zu fixieren. Nach diesem Prinzip sind alle IS miteinander gleichwertig, keines ist vor den anderen ausgezeichnet. Daher ist der Übergang von einem IS zum anderen universell, d.h., die Funktionen a(v) bis e(v) sind ein für allemal fixiert. Betrachten wir die Situation vom System I¯ aus, bzgl. dessen sich das System I mit der Geschwindigkeit v¯ = −v bewegt. Die Umkehrung von (1.3.1) muss wieder eine Transformation von der gleichen Form sein, also ¯ x0 = a(¯v)¯x0 + b(¯v)v¯ · x,

x = c(¯v)x¯ +

d(¯v) ¯ v¯ · x) ¯ + e(¯v)v¯ ¯ x0 . v( v¯ 2

(1.3.2)

Wir nehmen nun an, dass die Achsen der Inertialsysteme so orientiert sind, dass die x-Achse und die x¯ -Achse entlang v zeigen. Übung 1.1: Warum ist dies keine Einschränkung der Allgemeinheit?

¯ ≥ 0. Die Transformationen Dann ist also v = (v, 0, 0) und v¯ = (−v, 0, 0) mit v = v¯ = |v| vereinfachen sich wie folgt   x¯ 0 = a(v)x0 + b(v)vx, x¯ = −e(v) x − vx0 , y¯ = c(v)y, z¯ = c(v)z. und entsprechend für die Umkehrung (mit v¯ = v)   x0 = a(v)¯x0 − b(v)v¯x, x = −e(v) x¯ + v¯x0 ,

y = c(v)y, ¯

z = c(v)¯z.

Setzen wir diese Transformationen ineinander ein, so erhalten wir eine Identität nur unter den Bedingungen c2 = 1,

a2 − ebv2 = 1,

e2 − ebv2 = 1,

e(a + e) = 0,

b(a + e) = 0.

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Wir interessieren uns nur für solche Transformationen, die sich stetig in die Identität überführen lassen. Da c = −1 einer Raumspiegelung entspricht, können wir diesen 2 Fall hier ausschließen, und es folgt c = 1. Da e 6= 0 muss e = −a und b = 1−a sowie av2 d = a − 1 sein. Damit ist die Transformation auf eine Funktion a(v) eingeschränkt. Nun lautet die Transformation (1.3.1) x¯ 0 = a(v)x0 + b(v)vx,

x¯ = a(v)(x − vx0 ),

y¯ = y,

z¯ = z.

(1.3.3)

Wir betrachten nun ein drittes IS ^I, welches sich bzgl. I¯ mit der Geschwindigkeit w ¯ ebenfalls in x-Richtung bewegt. Führen wir erst die Transformation von I nach I¯ aus, und dann die Transformation von I¯ nach ^I, so haben wir effektiv eine Transformation von I nach ^I durchgeführt, also wieder eine Transformation von der Form (1.3.3). Setzen wir die beiden Transformation ineinander ein, erhalten wir     x ^0 = a(w)¯ ¯ x0 + b(w) ¯ w¯ ¯ x = a(w) ¯ a(v)x0 + b(v)vx + b(w) ¯ w ¯ a(v)(x − vx0 ) = (a(w)a(v) ¯ − b(w)a(v) ¯ wv) ¯ x0 + (a(w)b(v)v ¯ + b(w)a(v) ¯ w) ¯ x     x ^ = a(w)(¯ ¯ x − w¯ ¯ x0 ) = a(w) ¯ a(v)(x − vx0 ) − a(w) ¯ w ¯ a(v)x0 + b(v)vx = (a(w)a(v) ¯ − a(w)b(v) ¯ wv) ¯ x − (a(w)a(v)v ¯ + a(w)a(v) ¯ w) ¯ x0 Wenn dies wieder eine Transformation von der Form (1.3.3) sein soll, so ist dazu notwendig, dass die Koeffizienten vor x bzw. x0 in x ^ bzw. x ^0 gleich sind. Dies führt auf a(w)a(v) ¯ − b(w)a(v) ¯ wv ¯ = a(w)a(v) ¯ − a(w)b(v) ¯ wv ¯ und damit zu

a(v) a(w) ¯ = . b(v) b(w) ¯

Da dies für beliebige Geschwindigkeiten gilt, muss der Ausdruck a(v)/b(v) konstant sein. Diese Konstante ist universell, also unabhängig vom Bezugssystem. Setzen wir den Ausdruck für b(v) in Abhängigkeit von a(v) ein, ergibt sich schließlich λ :=

a(v)2 − 1 1 ⇐⇒ a(v) = √ . 2 2 a(v) v 1 − λv2

Damit ist die Funktion a(v) bis auf eine Konstante bestimmt und damit sind auch die Transformationen bekannt, die aufgrund des Relativitätsprinzips zwischen Inertialsystemen zulässig sind. Sie lauten x¯ 0 = √

1 1 − λv2



 x0 − λv · x ,

 v · x  v·x  v 0 x¯ = x − 2 v + √ − x . (1.3.4) v 1 − λv2 v2

Offensichtlich hat λ die Dimension des inversen Quadrats einer Geschwindigkeit. Die universelle Konstante ist also im wesentlichen eine Geschwindigkeit. Da es sich um eine dimensionsbehaftete Größe handelt, gibt es nur vier wesentlich verschiedene Fälle

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λ = 0, λ = ±∞, λ > 0 und λ < 0. Die Fälle λ = ±∞ führen auf Unsinn, sind also auszuschließen. Der Fall λ < 0 lässt sich ebenfalls ausschließen. Übung 1.2: Zeigen Sie, dass sich im Fall λ = −K2 < 0 die Transformationen in x-Richtung auf die Form (¯x0 /K) = cos θ (x0 /K) − sin θ x, x¯ = sin θ (x0 /K) + cos θ x bringen lassen, wobei cos θ =

√

1 1+K2 v2

und sin θ =

√ vK 1+K2 v2

ist.

Es handelt sich dabei also um euklidische Rotationen zwischen Raum- und Zeitkoordinate. Durch Hintereinanderschalten mehrerer solcher Transformationen kann man erreichen, dass a(v) = cos θ negativ wird, so dass es zu einer Zeitumkehr kommen kann. Dies müssen wir aus Kausalitätsgründen ausschließen. Es bleiben also nur noch die Fälle λ = 0 und λ 6= 0 zu berücksichtigen. Der Fall λ = 0 führt auf die klassischen Galilei-Transformationen x¯ 0 = x0 ,

x¯ = x − vx0 .

(1.3.5)

Der Fall λ 6= 0 hingegen führt auf eine andere Klasse von Transformationen. Die Entscheidung, welcher der beiden möglichen Fälle in der Natur realisiert ist, d.h. ob nun λ verschwindet oder einen endlichen Wert besitzt, muss dem Experiment überlassen werden. In ‘vorrelativistischer’ Zeit war die einhellige Meinung, daß der gesunde Menschenverstand λ = 0 fordert. Dies war auch mit allen bekannten Experimenten in Einklang. Erst die vergebliche Suche nach dem Äther deutete darauf hin, dass vielleicht λ = 0 doch nicht verwirklicht sein könnte. √ Wenn λ 6= 0 ist, dann ist c = 1/ λ eine universelle Geschwindigkeit. Man muß sich nun fragen, ob es Phänomene in der Natur gibt, die mit einer universellen Geschwindigkeit vonstatten gehen. Die Antwort ist natürlich klar: Licht breitet sich im Vakuum immer mit endlicher Geschwindigkeit geradlinig und unabhängig vom Bewegungszustand der Quelle aus. Die Lichtgeschwindigkeit beträgt c = 2.997925 × 1010 cm/s. Einstein hat diesen Tatbestand postuliert, nachdem es unmöglich war, experimentell nachzuweisen, dass sich Licht bzgl. des Äthers und der Erde unterschiedlich verhält. Er nahm diesen experimentellen “Fehlschlag” als Tatsache hin und formulierte das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit hängig vom Bewegungszustand der Quelle.

Die Lichtgeschwindigkeit ist unab-

Dieses Postulat zusammen mit dem Relativitätsprinzip führt zu völlig neuen Auffassungen von Raum und Zeit, wie wir später noch sehen werden. Die Tatsache, dass eine solche endliche universelle Geschwindigkeit existiert, schließt die Galilei-Transformationen aus. Der Wert der Geschwindigkeit ist dabei vollkommen irrelevant. Da es eine dimensionsbehaftete Größe ist, kann ihr Zahlenwert durch Wahl

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GalileiTransformationen

von Einheiten willkürlich geändert werden. Was allein zählt ist, daß λ einen von Null verschiedenen, endlichen Wert hat. LorentzTransformationen

Wir werden im folgenden immer die Einheiten so wählen, dass λ = 1 ist. Damit erhalten wir die (speziellen oder Geschwindigkeit-) Lorentz-Transformationen   x¯ 0 = γ(v) x0 − v · x ,

Lorentz-Faktor

wobei wir mit γ(v) =

√ 1 1−v2

v · x   v·x  0 − x . x¯ = x − 2 v + γ(v)v v v2

(1.3.6)

den bekannten Lorentz-Faktor bezeichnen.

Dies sind die Transformationen, die zwischen relativ zueinander bewegten Inertialsystemen vermitteln. Die allgemeinsten Transformationen zwischen IS erhält man, wenn man die oben erwähnten Rotationen, sowie die Verschiebungen in Raum- und Zeitrichtungen noch mit berücksichtigt.

1.4 Konsequenzen der Lorentz-Transformation Wir wollen einige einfache Eigenschaften der Lorentz-Transformation erwähnen. • Sind (t, x, y, z) die Koordinaten eines Ereignisses P bezüglich eines Inertialsystems I und (t¯ , x¯ , y, ¯ z¯ ) die Koordinaten desselben Ereignisses bezüglich des In¯ welches sich gegenüber I gleichförmig bewegt. Mithilfe der Geertialsystems I, schwindigkeitstransformation (1.3.6) weist man schnell nach, dass t2 − x2 − y2 − z2 = t¯ 2 − x¯ 2 − y¯ 2 − z¯ 2 gilt. Offensichtlich gilt dies auch dann, wenn die beiden Systeme relativ zueinander verdreht, aber in Ruhe sind. Es gilt jedoch nicht, wenn die beiden Systeme verschiedene Ursprünge haben, wenn die Koordinaten also durch Translationen ineinander übergehen. • Bezeichnen wir mit ∆t = t2 − t1 , ∆x = x2 − x1 , ∆y = y2 − y1 , ∆z = z2 − z1 die Differenzen in den kartesischen Koordinaten zweier Ereignisse P1 und P2 , dann erfüllen diese ebenfalls die Lorentz-Transformation. Dies ergibt sich sofort aus der Linearität der Transformation. Ähnliches gilt für die Koordinatendifferentiale dx, dy, dz und dt. Diese beschreiben, physikalisch ausgedrückt, den Unterschied in den Koordinaten zweier infinitesimal benachbarter Ereignisse.1 1 Man

beachte, dass die endlichen Differenzen ∆t usw. nur einen Sinn haben, wenn man t2 − t1 überhaupt bilden kann. Dies bedeutet, dass die Raumzeit eine lineare Struktur tragen muss. Dies ist i.a. nicht der Fall, wie man in der ART lernt. Dann sind die endlichen Differenzen nicht mehr wohldefiniert. Die Differentiale dagegen sind immer noch sinnvoll.

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• Eine rein algebraische Folgerung aus (1.3.6) ist die Identität (∆t)2 − ∆x · ∆x = (∆t¯ )2 − ∆x¯ · ∆x¯

(1.4.1)

bzw. ausgeschrieben (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 = (∆t¯ )2 − (∆¯x)2 − (∆y) ¯ 2 − (∆¯z)2

(1.4.2)

Die Größe ∆s definiert durch ∆s2 = (∆t)2 − ∆x · ∆x

(1.4.3)

ist der invariante Abstand zwischen zwei Ereignissen. Es zeigt sich, dass ∆s2 invariant ist unter allen Lorentz-Transformationen, d.h. allen Transformationen, die Inertialsysteme auf Inertialsysteme abbilden. Insbesondere auch unter Rotationen und Translationen.

invariante Abstand

Wegen der unterschiedlichen Vorzeichen vor den Termen kann das Quadrat des invarianten Abstands zweier Ereignisse positiv, negativ und sogar Null werden. Die Notation ∆s2 ist also nur symbolisch zu verstehen. Die gleichen Aussagen gelten auch für die (noch fundamentalere) quadratische Form in den Koordinatendifferentialen. Dies ist der infinitesimale invariante Abstand ds, dessen Quadrat durch ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2

infinitesimale invariante Abstand

definiert ist. • Die Menge aller Lorentz-Transformationen bildet eine Gruppe. Tatsächlich sind die Forderungen, die wir in 1.3 aufgestellt hatten, genau die Bedingungen, dass die Geschwindigkeitstransformationen in einer festen Richtung eine Gruppe bilden. Nehmen wir die Rotationen hinzu, erhalten wir die Lorentz-Gruppe, die zusammen mit den Translationen die Poincaré-Gruppe bildet.

Lorentz-Gruppe Poincaré-Gruppe

• Für v 6= 0 ist γ(v) > 1. Die Abhängigkeit von der Geschwindigkeit ist sehr ver√ schieden. Der Lorentz-Faktor erreicht den Wert 2 erst für v = 3/2 ≈ 0.866, √ also bei 86% der Lichtgeschwindigkeit. Der Wert 4 wird dann erreicht bei v = 15/4 also 97% der Lichtgeschwindigkeit. Für v → 1 divergiert γ(v). Die Tatsache, dass γ(v) − 1  1 über weite Bereiche der Relativgeschwindigkeit, insbesondere im Bereich unserer alltäglichen Geschwindigkeiten, ist dafür verantwortlich, dass die Lorentz-Transformationen erst spät als die richtigen Transformationen zwischen Inertialsystemen erkannt wurden. • Für v > 1 werden die Transformationen sinnlos, denn γ(v) wird komplex. Dies bedeutet, dass es unmöglich ist, von einem Inertialsystem auf ein anderes zu transformieren, welches sich mit Überlichtgeschwindigkeit bewegt. Daraus ergibt sich aber auch, dass sich kein Inertialsystem mit Überlichtgeschwindigkeit gegenüber irgendeinem anderen bewegt.

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Überlichtgeschwindigkei

• Allgemein kann man begründen, dass es im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie nicht möglich ist, Signale (d.h. Informationen) mit Überlichtgeschwindigkeit zu senden. Dazu ist aber die zusätzliche Annahme nötig, dass die kausalen Beziehungen zwischen Ereignissen invariant sind. Damit ist gemeint, dass Ursache und Wirkung unabhängig vom Beobachter eindeutig unterschieden werden können. Würde man Überlichtgeschwindigkeiten zulassen, so wäre es möglich akausale Situationen zu konstruieren. • Damit ist nicht gesagt, dass Überlichtgeschwindigkeiten grundsätzlich nicht vorkommen. So überstreicht z. B. das Leuchtfeuer eines Leuchtturms eine Fläche in großer Entfernung mit sehr großer Geschwindigkeit und es gibt keine Grenze für diese Geschwindigkeit. Ein anderes Beispiel ist durch eine ebene Meereswelle gegeben, die auf eine gerade Kaimauer trifft. Der Punkt, an dem ein Maximum der Welle auf die Mauer trifft, bewegt sich mit einer Geschwindigkeit, die vom Einfallswinkel der Welle abhängt. Auch diese Geschwindigkeit ist unbeschränkt, im Falle des senkrechten Einfalls sogar unendlich. In keinem der genannten Beispiele ist es jedoch möglich, das ‘Phänomen’ zur Informationsübermittlung zu nutzen. • Die Unmöglichkeit, Signale mit Überlichtgeschwindigkeit zu übertragen, ist auch der Grund für die Nichtexistenz eines starren Körpers oder einer inkompressiblen Flüssigkeit in der Relativitätstheorie. Denn damit wäre es möglich solche Signale zu übertragen, indem man das eine Ende des Körpers bewegt und damit instantan eine Bewegung des gesamten Körpers hervorruft.

1.5 Andere Formen für die Lorentz-Transformation Wenn wir die x- und x¯ -Achse in Richtung der Geschwindigkeit legen, dann vereinfacht sich die Lorentz-Transformation und wir erhalten t¯ = γ(v) (t − vx) ,

x¯ = γ(v) (x − vt) ,

y¯ = y,

z¯ = z.

(1.5.1)

Wie schon oben gesehen, ist der Ausdruck t2 − x2 invariant gegenüber dieser LorentzTransformation, ebenso der Ausdruck ∆t2 − ∆x2 . Analog zur euklidischen Geometrie, wo der Ausdruck x21 + x22 invariant unter Drehungen um einen Winkel φ (x1 , x2 ) 7→ (x1 cos φ − x2 sin φ, x1 sin φ + x2 cos φ, ) ist, so lässt sich hier eine ähnliche Transformation finden. Setzen wir nämlich cosh φ = γ(v),

sinh φ = vγ(v)

Übung 1.3: Warum ist dies immer möglich?

dann folgt tanh φ = v

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und

r

1+v 1−v und wir können die Transformation (1.5.1) in der Form φ

e =

t¯ = t cosh φ − x sinh φ,

x¯ = x cosh φ − t sinh φ,

y¯ = y,

z¯ = z

(1.5.2)

schreiben. Dies ist in exakter Analogie zum euklidischen Fall von Drehungen. Man kann die beiden Fälle sogar formal ineinander überführen, indem man eine komplexe Zeitkoordinate (it) einführt. Mit diesem mathematischen Trick ist aber keine physikalische Bedeutung verknüpft. Der Parameter φ heißt auch Rapidität und kann alle reellen Werte annehmen. Betrachten wir nun einen Lichtstrahl bzw. ein ‘Photon’, welches sich mit Lichtgeschwindigkeit in der x-Richtung bewegt. Wenn es zur Zeit t = 0 bei x = x0 ist, dann ist seine Bewegung durch x = ±t + x0 bzw. x ∓ t = x0 gegeben, je nachdem ob es sich in positiver oder negativer x-Richtung bewegt. Die Universalität der Lichtgeschwindigkeit legt es nahe, dass diese ‘Lichtbahnen’ eine besondere Bedeutung haben. Dies wird offensichtlich, wenn man die sogenannten Lichtkoordinaten einführt. Sie sind definiert durch U = t − x, V = t + x. In diesen Koordinaten ist die Bewegung eines Photons einfach durch U = const. bzw. V = const. gegeben. Auch der Ausdruck für eine Lorentz-Transformation vereinfacht sich in diesen Koordinaten enorm. Sie ist gegeben durch ¯ = eφ U, U

V¯ = e−φ V.

(1.5.3)

Die Wirkung einer Lorentz-Transformation ist in den Lichtkoordinaten einfach eine Streckung in der einen Richtung und eine Stauchung in der anderen Richtung, so dass das Produkt UV invariant bleibt. In dieser Form der Lorentz-Transformation ist es unmittelbar ersichtlich, dass es sich dabei um eine Gruppe handelt. Das inverse Element einer Transformation mit Rapidität φ (Geschwindigkeit v) ist die Transformation mit Rapidität −φ (Geschwindigkeit −v). Die Hintereinanderausführung zweier Transformationen mit Parametern φ1 und φ2 ergibt eine Transformation mit Rapidität φ3 = φ1 + φ2 . Mit der Formel tanh φ3 =

tanh φ1 + tanh φ2 1 + tanh φ1 tanh φ2

folgt daraus für die resultierende Geschwindigkeit v3 =

v1 + v2 . 1 + v1 v2

(1.5.4)

(Nebenbei bemerkt, diese Überlegung zeigt, dass die Gruppe der eindimensionalen Geschwindigkeitstransformationen isomorph zur additiven Gruppe (R, +) der reellen Zahlen ist.) Dies ist die relativistische Verallgemeinerung der Addition zweier Geschwindigkeit. Wir werden diese Formel später noch genauer diskutieren.

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Rapidität

Lichtkoordinaten

1.6 Graphische Darstellung der Lorentz-Transformation Zur geometrischen Veranschaulichung der Lorentz-Transformation zwischen zwei Inertialsystemen I und I¯ beschränken wir uns wie zuvor auf den Fall, wo die x-Achsen der beiden Systeme parallel zu Relativgeschwindigkeit ausgerichtet sind. Dann haben wir die Transformation (1.5.1) vorliegen. Wir zeichnen zunächst ein x, t-Diagramm und bestimmen darin die Lage der t¯ , x¯ -Achsen (vgl. Abb. 1.3). Zunächst ist klar, dass das Ereignis O, welches in I die Koordinaten (0, 0) besitzt auch in I¯ die Koordinaten (0, 0) hat. Die Ursprünge der beiden Systeme fallen also zusammen. Die t¯ -Achse ist gege-

Abbildung 1.3: Eine Lorentz-Transformation ben durch die Gleichung x¯ = 0 ⇐⇒ x = vt. Im x, t-Diagramm ist dies eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung 1/v. Analog dazu ist die x¯ -Achse durch die Gleichung t¯ = 0 ⇐⇒ t = vx bestimmt, was einer Geraden durch den Ursprung mit Steigung v entspricht. Damit sind die Richtungen der Achsen bestimmt. Was noch fehlt sind die Einheiten. Dazu verwenden wir den invarianten Abstand. Für jedes Ereignis P mit Koordinaten (t, x) bzw. (t¯ , x¯ ) ist das Quadrat des invarianten Abstands zum Ereignis O gegeben durch t2 − x2 = t¯ 2 − x¯ 2 . Setzen wir hier die Koordinaten t¯ = 1 und x¯ = 0 ein, also die Koordinaten eines Ereignisses auf der t¯ -Achse im Abstand 1 vom Ursprung, so erhalten wir die Gleichung t2 − x2 = 1, d.h. dieses Ereignis liegt auf der positiven Einheitshyperbel. Es handelt sich also um das Ereignis E1 im Schnittpunkt dieser Hyperbel mit der t¯ -Achse. Analog bestimmen wir die Einheit auf der x¯ -Achse. Hier bekommen wir das Ereignis E2 als Schnittpunkt zwischen der Hyperbel x2 − t2 = 1 und der x¯ -Achse.

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Im Gegensatz dazu sieht die graphische Darstellung der Galilei-Transformation folgendermaßen aus. Wir zeichnen wieder ein (x, t)-Diagramm und finden die t¯ -Achse durch die Gleichung x¯ = 0 = x − vt. Da t¯ = t bei Galilei-Transformationen gilt, fällt die x¯ Achse mit x-Achse zusammen. Ebenso erhalten wir den Einheitspunkt auf der t¯ -Achse aus dieser Beziehung, denn dieser Punkt hat die Koordinaten t¯ = 1 und x¯ = 0 bezüglich I¯ und daraus folgt t = 1. Er ist also der Schnittpunkt zwischen der t¯ -Achse und einer Parallelen zur x-Achse im Abstand t = 1. Aus diesen Überlegungen ergibt sich damit die Abb. 1.4

Abbildung 1.4: Eine Galilei-Transformation

1.7 Relativität der Gleichzeitigkeit Der offensichtliche Unterschied zwischen den beiden Diagrammen ist die Asymmetrie zwischen Raum und Zeit im Fall der Galilei-Transformation. Hier wird nur die Zeitachse geändert, während die x-Achsen unverändert bleiben. Dies hat zur Folge, dass in allen Inertialsystemen die gleiche Zeit gemessen wird. Bei Galilei-Transformationen ist die Zeit absolut. Wenn in einem System zwei Ereignisse gleichzeitig stattfinden, dann in jedem System. Da die Geschwindigkeit bei diesen Transformationen unbeschränkt ist, kann die t¯ Achse Winkel bis zu 90◦ mit der t-Achse einschließen. Dadurch ist es möglich, zu jedem Ereignis, wie z.B. A ein System zu finden, was sich so schnell gegenüber I bewegt, dass O und A in diesem System am gleichen Ort befinden. Die ‘Gleichortigkeit’ ist unter Galilei-Transformationen nicht invariant, also vom jeweiligen System abhängig. Es ist also ein relativer Begriff.

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Im Gegensatz zu den Galilei-Transformationen werden bei Lorentz-Transformationen Raum und Zeit in symmetrischer Weise geändert (vgl. z.B. die beiden Winkel α in Abb. 1.3). Das Auftreten einer absoluten Zeit bei Galilei-Transformationen spiegelt sich darin wider, dass die x¯ -Achse mit der x-Achse zusammenfällt und nicht verändert werden kann. Dies ist nun bei Lorentz-Transformationen anders und dies legt nahe, dass die Zeit keine absolute Größe mehr ist. In der Tat sieht man leicht aus Abb. 1.3, dass z.B. das Ereignis E1 , welches in I¯ mit O gleichzeitig auftritt — beide liegen auf der x¯ -Achse, haben also die gleiche t¯ -Koordinate t¯ = 0 — bzgl. I später als O stattfindet. Diesen Sachverhalt finden wir auch in Formeln wieder. Für die Koordinatendifferenzen gelten die gleichen Transformationsformeln wie für die Koordinaten selber, also ∆t¯ = γ(v) (∆t − v∆x) ,

∆¯x = γ(v) (∆x − v∆t) .

Zwei Ereignisse, die in I¯ gleichzeitig stattfinden, haben eine Zeitdifferenz ∆t¯ = 0. Daraus resultiert im System I eine räumliche Differenz ∆x = 1/γ(v)∆¯x, aber auch eine zeitliche Differenz von v ∆t = ∆¯x. γ(v) Im Allgemeinen werden also die beiden Ereignisse bzgl. I als nicht gleichzeitig empfunden. Die Zeitdifferenz ∆t in I ist umso grösser, je weiter die beiden Ereignisse in I¯ voneinander entfernt sind, und je schneller die beiden Systeme relativ zueinander bewegt sind. Sie verschwindet nur dann, wenn v = 0, also I mit I¯ zusammenfällt, oder wenn ∆¯x = 0, also wenn die beiden Ereignisse tatsächlich identisch sind.

1.8 Die Lorentz-Kontraktion

Eigenlänge

Wir betrachten einen Maßstab mit Einheitslänge, der sich bzgl. des Systems I mit einer Geschwindigkeit v parallel zur x-Achse bewegt (vgl. Abb. 1.5). Die Transformation zwischen I und dem Ruhsystem I¯ des Stabs ist dann eine eindimensionale Geschwindigkeitstransformation. Die Weltlinien, die die beiden Enden des Stabs beschreiben, verlaufen parallel zur t¯ -Achse, da der Stab in I¯ ruht. Das bedeutet, dass jedes Ereignis auf der einen Weltlinie von jedem Ereignis auf der anderen Weltlinie den räumlichen Abstand ∆¯x besitzt. Dies ist die Eigenlänge L0 des Stabs. Nun fragen wir, welche Länge ein Beobachter in I dem Stab zuschreibt. Offensichlich macht der Begriff ‘Länge’ nur Sinn, wenn die Messung zu einem Zeitpunkt durchgeführt wird, wenn also der Ort der beiden Enden des Stabs gleichzeitig (in I!) abgelesen wird. D.h. der Beobachter in I wird dem Stab die Differenz der x-Koordinaten der beiden Ereignisse zuschreiben, die sich durch Schnitt der Weltlinien mit der x-Achse ergeben. Aus Abb. 1.5 ist klar ersichtlich, dass diese Länge kleiner als die Einheitslänge ist.

20

Abbildung 1.5: Zur Lorentz-Kontraktion bzgl. I

In Formeln ergibt sich das gleiche Resultat. Die Messereignisse finden in I gleichzeitig statt, also ist ihr ∆t = 0. Folglich gilt für ihre räumlichen Differenzen ∆¯x = γ∆x (und ∆t¯ = −v∆x, was aber nur ausdrückt, dass die beiden Messereignisse in I¯ nicht gleichzeitig sind). Da die beiden Ereignisse auf den Weltlinien der Stabenden liegen, gilt für ihren räumlichen Abstand in I¯ ∆¯x = L0 . Bezeichnen die Länge des bewegten Stabs mit L, so haben wir die Formel für die Lorentz-Kontraktion p L = γ−1 L0 = 1 − v2 L0 < L0 . (1.8.1) Die Länge L des bewegten Stabs ist demnach kleiner als dessen Eigenlänge. Dies bedeutet: Körper, die sich gleichförmig durch ein Inertialsystem bewegen, werden entlang ihrer Bewegungsrichtung kontrahiert. Die Länge eines Maßstabs ist in dem System am größten, in dem er selbst ruht. Das andere Extrem ist ein System, bzgl. dessen sich der Stab mit nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt. Denn dann ist die gemessene Länge nahezu Null. Wie sieht es nun mit dem reziproken Effekt aus? Wie verhält es sich mit einem in I ruhenden Maßstab, der vom bewegten System I¯ aus gemessen wird? Dazu reicht ein Blick auf Abb. 1.6, um sich zu überzeugen, dass auch in dieser Situation der bewegte Maßstab kürzer ist. Die Längenkontraktion ist ein symmetrischer Effekt, der nur vom Betrag der Geschwindigkeit abhängt (in diesem eindimensionalen Fall). Eine Bemerkung zu diesem Effekt. Die Lorentz-Kontraktion ist ein prinzipiell messbarer Effekt: bewegte Körper sind verkürzt. Damit ist nicht gemeint, dass diese Verkürzung eine objektive Eigenschaft des Körpers ist. Vielmehr ist darunter zu verstehen, dass ein Beobachter für einen Körper eine andere Länge misst, wenn dieser in Ruhe ist, als wenn er sich

21

Lorentz-Kontraktion

Abbildung 1.6: Zur Lorentz-Kontraktion bzgl. I¯

relativ zum Beobachter bewegt. Das heisst, die Längenkontraktion ist ein subjektiver (vom Beobachter abhängiger) Effekt. Es ist auch nichts darüber gesagt, inwieweit ein bewegter Körper verkürzt erscheint. Die Frage, was ein Beobachter (oder eine Kamera) sieht, ist eine wesentlich kompliziertere Angelegenheit, zu deren Beantwortung man mehrere Effekte berücksichtigen muss, von denen einer die Lorentz-Kontraktion ist. Dazu später mehr.

1.9 Die Zeit-Dilatation Ebenso wie die Längenmessung von der Relativbewegung beeinflusst wird, gilt dies auch für die Zeitmessung. Wir betrachten eine Uhr, die sich gegenüber I mit Geschwin¯ dem Ruhsystem der Uhr, eine Zeitdigkeit v bewegen möge (vgl. Abb. 1.7). Wenn in I, einheit verstrichen ist, dann ist offensichtlich, dass die verstrichene Zeit in I (bis zu dem Ereignis, wenn die Uhr in I¯ eine Zeiteinheit anzeigt) länger als eine Zeiteinheit ist. Auch hier lässt sich dies mit Formeln ausdrücken. Es bezeichne ∆t¯ die Zeit, die in I¯ verstreicht. Da die Uhr in I¯ ruht, ist ∆¯x = 0 (dies ist die räumliche Differenz der Ereignisse ‘Start der Uhr’ in O und ’Ablesen nach ∆t¯ ’). Die Koordinatendifferenzen dieser beiden Ereignisse in I sind gegeben durch ∆t = γ∆t¯ ,

∆x = γv∆t¯ .

Davon bedeutet die letztere Relation, daß die Ereignisse ‘Start’ und ‘Ablesen’ nicht am gleichen Ort in I stattfinden. Schreiben wir T0 für die Eigenzeit der Uhr, d.h. die Zeit,

22

Abbildung 1.7: Zur Zeit-Dilatation

die in ihrem Ruhsystem vergeht und T für die in I gemessene Zeitdauer, so ist die erste Relation die Formel für die Zeitdilatation T = γT0 > T0 .

(1.9.1)

Wir finden also: Uhren, die sich gleichförmig durch ein Inertialsystem bewegen, sind um den Faktor γ verlangsamt. Wie die Längenkontraktion ist auch die Zeit-Dilatation ein symmetrischer Effekt: wenn für einen Beobachter in I die Uhren in I¯ verlangsamt erscheinen, so gilt das gleiche für einen Beobachter in I¯ für Uhren die in I ruhen. Das Zwillings-Paradoxon Wir betrachten Zwillinge, von denen einer in ein Raumschiff steigt, die Erde verlässt und mit fast Lichtgeschwindigkeit eine Rundreise antritt. Nach einer gewissen Reisezeit kommt er auf die Erde zurück und muss erstaunt feststellen, dass sein Bruder wesentlich mehr gealtert ist als er selber. Offensichtlich handelt es sich dabei um einen Dilatationseffekt. Die „Lebensuhr“ des bewegten Bruders geht langsamer als diejenige des auf der Erde zurückgebliebenen Bruders. So weit so gut. Betrachten wir nun die Situation vom reisenden Bruder aus. Er sieht, wie sich sein Bruder (mit der relativ zu ihm ruhenden Erde) von ihm weg bewegt und im Laufe der Zeit wieder zu ihm zurück kommt. Also ist in diesem Fall der erdfeste Bruder bewegt und aufgrund der Symmetrie der Zeitdilatation sollte dessen Lebensuhr langsamer gegangen sein. Also sollte der Erdenbruder bei Rückkehr der jüngere der beiden sein. Was geht hier schief? Die Situation wird klar, wenn man sie in einem Minkowski-Diagramm betrachtet vgl. Abb. 1.8. Der erste Zwilling bewegt sich in einem Inertialsystem (wir nehmen an, dass die Beschleunigungseffekte der sich bewegenden Erde vernachlässigbar sind für diese Betrachtung), also beschreibt seine Weltlinie eine Gerade und wir legen die Achsen

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Abbildung 1.8: Zum Zwillings-Paradoxon

im Minkowski-Diagramm so, dass diese Weltlinie mit der t-Achse übereinstimmt. Wir gehen also ins Ruhsystem des ersten Zwillings. Die Weltlinie des zweiten Zwillings ist dagegen keine Gerade, denn dieser Zwilling bewegt sich beschleunigt. Zwischen beiden Weltlinien besteht keine Symmetrie. Es kann auch keinen Zweifel geben, welcher Zwilling beschleunigt ist, da nur der zweite die Beschleunigungskräfte spürt. Daher ist die Situation vom zweiten Zwilling aus betrachtet nicht äquivalent zur Sichtweise des ersten. Das Ruhsystem des zweiten Zwillings ist kein Inertialsystem. Die Koordinaten, die bzgl. dieses Systems gelten sind krummlinige oder beschleunigte Koordinaten. Und ebenso wie man die Länge eines Vektors in Kugelkoordinaten anders berechnet als in kartesischen Koordinaten, so hat man die Zeitdifferenzen bzgl. beschleunigter Koordinaten anders zu berechnen als bzgl. kartesischer Koordinaten. Verwendet man den geeigneten Formalismus um die Zeitdifferenzen entlang der beiden Weltlinien auch in beschleunigten Systemen zu berechnen, so erhält man auch bzgl. des beschleunigten Systems, dass der zweite Zwilling langsamer altert. Diese Betrachtung stellt wieder Zeit und Länge auf dieselbe Stufe. Denn ebenso, wie es niemanden überraschen wird, dass die zurückgelegte Wegstrecke zweier Autofahrer, die beide von einem Ort A zu einem Ort B auf verschiedenen Wegen fahren, verschieden ist, so sollte es niemanden überraschen, dass die vergangene Zeit zweier Beobachter, die beide von einem Ereignis A an ein Ereignis B gelangen, in der Regel von ihrer Weltlinie, also ihrer Geschichte, abhängig ist. Die Analogie geht noch etwas weiter: der zurückgelegte Weg ist am kürzesten entlang der geraden Verbindungslinie der beiden Orte; die vergangene Zeit ist am längsten entlang der geraden Weltlinie zwischen den beiden Ereignissen, also in dem Inertialsystem, in dem die Ereignisse am gleichen Ort stattfinden. Die Tatsache, dass der Weg minimal und die Zeit maximal wird, hat wiederum mit den verschiedenen Vorzeichen im invarianten Abstandsquadrat ds2 zu tun.

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1.10 Die „Addition“ von Geschwindigkeiten Eine Stewardess läuft im fliegenden Flugzeug den Gang entlang. Welche Geschwindigkeit hat sie bezüglich des Kontrollturms? Um Fragen dieser Art zu beantworten, muss man wissen, wie sich Geschwindigkeiten beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen ändern. Die Tatsache, dass die Lichtgeschwindigkeit eine obere Grenze für die Relativgeschwindigkeit zweier Inertialsysteme darstellt, bedeutet dass diese Geschwindigkeitstransformation nicht vollkommen trivial sein kann. Wenn sich die Geschwindigkeiten einfach addierten, so wie in der vorrelativistischen Mechanik, dann wäre es leicht Überlichtgeschwindigkeiten zu erreichen. Zur Herleitung der gesuchten Beziehung beschreiben wir einen beliebigen Bewegungsprozess bezüglich zweier relativ zueinander bewegten Inertialsysteme. Die Relativgeschwindigkeit von I¯ bezüglich I sei wie immer v. Im System I¯ sei die Bewegung durch eine Gleichung der Form ¯ t¯ ) x¯ = x( beschrieben. Die Geschwindigkeit, die in I¯ gemessen wird, ist dann gegeben durch ¯ = w

dx¯ . dt¯

Entsprechendes gilt für das IS I bzgl. dessen die Gleichung x = x(t) gilt und eine Geschwindigkeit u=

dx dt

gemessen wird. Die Umkehrung von (1.3.6) angewandt auf die Koordinatendifferentiale ist     v · dx¯ v · dx¯ ¯ . ¯ , dx = dx¯ − v + γ(v)v + d t dt = γ(v) (dt¯ + v · dx) v2 v2

(1.10.1)

¯ t¯ hier ein, ergibt sich Setzen wir nun die Geschwindigkeitsrelation dx¯ = wd     ¯ ¯ v·w v·w ¯ dt¯ , ¯ − 2 v dt¯ + γ(v)v dt = γ(v) (1 + v · w) dx = w − 1 dt¯ . v v2 und damit erhalten wir für die Geschwindigkeit u bzgl. I u=

¯ w γ(v)

+

γ(v) γ(v)+1

¯ v+v (v · w)

¯ 1+v·w

.

(1.10.2)

Dieses ist die allgemeine Form der Geschwindigkeitstransformation beim Übergang zwischen Inertialsystemen. Einige Bemerkungen:

25

• Die hier vorkommenden Geschwindigkeiten haben unterschiedlichen Charakter: Während v eine Relativgeschwindigkeit zwischen Inertialsystemen ist, sind ¯ und u die Geschwindigkeit einer wie auch immer gearteten Bewegung bzgl. w zweier verschiedener Inertialsysteme. Daher handelt es sich bei (1.10.2) nicht um ein Additionsgesetz, obwohl man oft diesen Begriff gebraucht. Die obige Relation verknüpft keine gleichen Objekte, wie dies bei einer Addition der Fall sein sollte. Die Relation ist im allgemeinen auch nicht kommutativ oder assoziativ. ¯ selbst für Überlichtgeschwin• Diese Formel gilt für beliebige Geschwindigkeiten w, digkeiten. Man beachte aber, dass v als Relativgeschwindigkeit zwischen Inertialsystemen immer kleiner als die Lichtgeschwindigkeit sein muss. ¯ parallel zueinander sind, erhalten wir die wesent• In dem Spezialfall, wo v und w lich vereinfachte Form (vgl. auch (1.5.4)) u=

¯ v+w . ¯ 1+v·w

¯ = 0, also bei Bewegung senkrecht zur Relativgeschwindigkeit v ergibt • Ist v · w sich p ¯ 1 − v2 . u = v+w Das heißt, in I ist die Bewegung senkrecht zu v verlangsamt. Dies muss ein Effekt der Zeit-Dilatation sein, denn die Längen senkrecht zu v bleiben unverändert. • Für die Betragsquadrate der Geschwindigkeiten gilt folgende Relation 1 − u2 =

¯ 2) (1 − v2 )(1 − w . ¯ 2 (1 + v · w)

Daraus ergibt sich die wichtige Erkenntnis, dass eine Bewegung mit Über- bzw. Unterlichtgeschwindigkeit in jedem Inertialsystem als eine solche erkannt wird. Es ist also nicht möglich, durch Wechsel des Inertialsystems aus einer Überlichtgeschwindigkeit eine Unterlichtgeschwindigkeit zu machen oder umgekehrt. • Im Grenzfall v  1 ergibt sich die nichtrelativistische Relation ¯ u = v + w. Betrachten wir ein bewegtes Teilchen, z.B. ein Elektron in einem äußeren Feld, dann können wir das momentane Ruhsystem für ein beliebiges Ereignis der Bewegung definieren. Dabei handelt es sich um ein Inertialsystem mit Ursprung im betreffenden Ereignis, welches sich mit der momentanen Geschwindigkeit des Teilchen bewegt, so dass dieses momentan dort ruht. Das momentane Ruhsystem und das System I bzw. das System I¯ sind durch eine Lorentz-Transformation L bzw. L¯ miteinander verknüpft. Ist Lv die Lorentz-Transformation ¯ so muss zwischen I und I, L = L¯ ◦ Lv

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gelten. Nehmen wir an, das Ruhsystem gehe drehungsfrei, also durch eine reine Geschwindigkeitstransformation L¯ = Lw¯ aus I¯ hervor. Wie sieht dann die Lorentz-Transformation L zwischen dem Ruhsystem und I aus? Nun ist zwar die Komposition zweier „boosts“ in der gleichen Richtung (wenn also die Geschwindigkeiten parallel sind) wieder ein „boost“. Aber dies ist im allgemeinen nicht richtig. Vielmehr kann man jede Lorentz-Transformation als ein Produkt einer Rotation mit einem „boost“ schreiben. Es gilt also immer Lv ◦ Lw¯ = LR ◦ Lu = Lu¯ 0 ◦ LR 0 für geeignete Drehungen R, R 0 und geeignete Geschwindigkeiten u, u 0 2 . Daraus ergibt sich, dass sich das Ruhsystem des betrachteten Teilchens bzgl. I dreht, selbst wenn es bzgl. I¯ immer gleich orientiert bleibt. D.h. bzgl. I scheint sich das Teilchen zu drehen, also eine Präzessionsbewegung durchzuführen. Man nennt diesen Effekt ThomasPräzession, nach L.H. Thomas, der 1926 diese Betrachtung auf den anomalen ZeemanEffekt anwendete und damit die richtige Feinstruktur-Aufspaltung der Spektrallinien berechnete.

2 Diese

Zerlegung firmiert in der Mathematik als Polarzerlegung. Man kann jede Matrix als ein Produkt einer orthogonalen Matrix (Drehung) und einer symmetrischen Matrix (Geschwindigkeitstransformation) schreiben.

27

2 Die invariante Raumzeit Bis jetzt haben wir die Dinge immer von verschiedenen Inertialsystemen aus betrachtet und die Effekte besprochen, die beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen auftreten. Nun könnte man meinen, die Spezielle Relativitätstheorie sei eine subjektive Theorie, die nur bzgl. irgendwelchen, geeigneten Beobachtern gilt. Das genaue Gegenteil ist jedoch der Fall. Die Tatsache, dass es möglich ist, subjektive d.h. beobachterabhängige Effekte auf eindeutige Weise ineinander umzurechnen, legt es nahe, dass es eine objektive ‘Realität’ gibt, die sich nur in den verschiedenen Beobachtern verschieden widerspiegelt.

2.1 Eine Analogie

Vektoren Verbindungsvektor

Bezugssystem Ursprung

Einheitsvektoren Orthonormalsystem

Wir betrachten die Geometrie in der zwei-dimensionalen1 euklidischen Ebene E. Diese Ebene besteht aus Punkten und wir können Geraden bzw. Strecken zeichnen und Winkel definieren usw. Die Ebene E ist homogen und isotrop. Damit ist gemeint, dass kein Punkt vor einem anderen ausgezeichnet ist (Homogenität) und ebenso wenig ist eine Richtung vor anderen ausgezeichnet (Isotropie). Zusätzlich zu den Punkten der Ebene gibt es Vektoren, die je zwei Punkte miteinander in Verbindung bringen: Zu je −−→ zwei Punkten P1 und P2 gibt es den Verbindungsvektor P1 P2 und zu je einem Punkt P −→ und einem Vektor e gibt es einen zweiten Punkt Q, so dass e = PQ. Unser Ziel ist nun, aufzuzeigen, wie sich diese geometrischen Begriffe darstellen, wenn wir Koordinaten und Bezugssysteme einführen. Um die geometrischen Strukturen quantitativ beschreiben zu können, führen wir ein Bezugssystem (hier auch Orthonormalsystem genannt) ein. Dazu wählen wir zunächst einen beliebigen Punkt O, den Ursprung aus. Zusätzlich spezifizieren wir noch zwei weitere Punkte E1 und E2 so dass die Strecken OE1 und OE2 gleich lang und senkrecht aufeinander sind. Die drei Punkte (O, E1 , E2 ) oder äquivalent dazu die bei−−→ −−→ den Einheitsvektoren e1 = OE1 und e2 = OE2 legen ein Orthonormalsystem fest. Nun können wir jeden Punkt (und jeden Vektor) auf dieses Orthonormalsystem beziehen und so diesen geometrischen Größen Koordinaten zuweisen. Die Koordinaten 1 Die

Beschränkung auf zwei Dimensionen ist nur der Bequemlichkeit wegen. Es gibt keinen prinzipiellen Unterschied zwischen der Euklidischen Geometrie in zwei, drei oder noch mehr Dimensionen. Alles was hier für zwei Dimensionen formuliert wird, kann man sinngemäß auf höhere Dimensionen übertragen.

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eines Punktes Q erhalten wir dadurch, dass wir Parallelen zu den Einheitsvektoren durch Q legen und dann das Verhältnis der Länge der Strecken zwischen Ursprung und Schnittpunkten zur Einheitsstrecke bestimmen. Die Koordinaten eines Vektors erhalten wir dadurch, dass wir die Koordinatendifferenzen der ihn definierenden Punkte bestimmen. Die Koordinaten eines Punktes P sind also dieselben wie die Koordinaten −→ des Verbindungsvektors OP, des Ortsvektors von P. Jeder Vektor v lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben: v = v1 e1 + v2 e2 . Es ergeben sich folgende Beobachtungen: • Orthonormalsysteme sind nicht eindeutig bestimmt. Vielmehr erhalten wir mit einem gegebenen System alle anderen durch 1. Translation des Ursprungs oder 2. Drehung der Achsen. ¯ wird durch den VerbinDie Translation des Ursprungs O zum neuen Ursprung O −−→ ¯ erreicht. Die Drehung der Achsen (e1 , e2 ) auf neue Achdungsvektor a = OO sen (e¯ 1 , e¯ 2 ) wird durch eine Matrix T vermittelt, die wir erhalten, indem wir die Komponenten der neuen Vektoren in Bezug auf die alten bestimmen: e¯ 1 = αe1 + βe2 , e¯ 2 = −βe1 + αe2 .

⇐⇒ e¯ k =

2 X

l

T k el

mit T

l=1

l

 k

=

α −β β α

 (2.1.1)

Die Tatsache, dass hier Orthonormalsystem auf Orthonormalsystem übergeht, hat zur Folge, dass α2 + β2 = 1 ist, d.h., T ist eine orthogonale Matrix. • Die Änderung der Koordinaten bei einem solchen Wechsel vom Orthonormalsystem S zu einem Orthonormalsystem S¯ ist gegeben durch 

x¯ 1 x¯ 2



 =

α β −β α

  1   1  x a · + , x2 a2

mit α2 + β2 = 1

gegeben, also durch eine affine Transformation. Hingegen ändern sich die Koordinatendifferenzen, und damit die Koordinaten eines Vektors, auf homogene Weise       ∆¯x1 α β ∆x1 = · , mit α2 + β2 = 1. −β α ∆¯x2 ∆x2 Daraus folgt, dass die Koordinaten eines Vektor niemals von Null verschieden sein können, wenn sie in einem Orthonormalsystem verschwinden. Und daraus folgt, dass die Koordinaten von zwei Vektoren in jedem Orthonormalsystem gleich sind, wenn sie in einem Orthonormalsystem gleich sind.

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Ortsvektor

• Offensichtlich ändern sich beim Übergang von einem Orthonormalsystem zum anderen die Projektionen auf die Achsen und damit die Koordinaten eines Punktes P sowie die Koordinatendifferenzen ∆x1 , ∆x2 von je zwei Punkten. • Bei diesem Übergang bleibt jedoch die Kombination ∆l2 := (∆x1 )2 + (∆x2 )2 invariant: ∆l2 = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 = (∆¯x1 )2 + (∆¯x2 )2 = ∆l¯2 Bei gegebenem Orthonormalsystem S können wir jedem Paar P1 , P2 von Punkten, d.h. jedem Verbindungsvektor ein Paar (∆x1 , ∆x2 ) von Zahlen zuordnen. Nun ist diese Entsprechung jedoch abhängig vom gewählten Orthonormalsystem S. Nur die Angabe des Zahlenpaares charakterisiert den Vektor nicht eindeutig. Erst wenn man zusätzlich angibt, auf welches Orthonormalsystem sich die Zahlen beziehen, kann man den Vektor eindeutig bestimmen. Diese Beobachtung lässt sich formalisieren: Definition 2.1. Die ‘Menge aller Koordinatendarstellungen bzgl. eines Orthonormalsystems’ ist    

  V^ = v1 , v2 , S | v1 , v2 ∈ R2 , S ein Orthonormalsystem .



Zwei solche Angaben v1 , v2 , S und v¯ 1 , v¯ 2 , S¯ sind äquivalent2 , wenn es eine Drehma  α −β trix T = gibt, die die Achsen der Orthonormalsysteme gemäß (2.1.1) ineinander β α überführt und  1     1  v¯ α β v = · −β α v¯ 2 v2 gilt. Die Menge V aller Äquivalenzklassen (also aller äquivalenten Koordinatenangaben) ist der Raum der ebenen Vektoren. Vektor

kontravariant kontravariante Vektoren

Ein Vektor ist also charakterisiert durch ein Paar von reellen Zahlen vi = (v1 , v2 ) und die Angabe des Orthonormalsystems S, auf das sich diese Zahlen beziehen sollen. Mit dem stillschweigenden Einverständnis, (mathematisch durch die obige Äquivalenzrelation formalisiert) mit einer konkreten Koordinatendarstellung gleichzeitig alle dazu äquivalenten mit zu erfassen, ist damit eine invariante, d.h., vom Orthonormalsystem unabhängige, Größe definiert. Man beachte, dass die Drehmatrix T , die in Def. 2.1 angesprochen wird, in unterschiedlicher Weise auftaucht. Sie transformiert die Achsen des Orthonormalsystems, während gleichzeitig die Koordinaten eines Vektors mit der Inversen von T transformiert werden. Dieses ‘gegenläufige’ Verhalten von Basis und Koordinaten eines Vektors nennt man kontravariant und daher nennt man die so eingeführten Vektoren auch kontravariante Vektoren. 2 Dass

30

es sich hierbei um eine Äquivalenzrelation handelt, ist leicht nachzuprüfen.

In physikalischen Texten findet man oft Definitionen der Art: „Ein Vektor ist ein Zahlenschema (n-tupel) (vi )i=1...n , welches sich unter Rotationen in der und der Weise transformiert.“ Diese sind immer in der obigen formalen Darstellung zu interpretieren. Damit haben wir für ein invariantes Objekt, nämlich einen Vektor (man beachte: ein solcher Vektor existiert unabhängig von jeglichen Orthonormalsystemen als Verbindungsvektor zweier Punkte in der euklidischen Ebene) eine Charakterisierung gefunden, die ohne Bezug auf den ‘realen Vektor’ allein mit den Koordinaten und ihrem Transformationsverhalten ausgedrückt werden kann. Ein weiteres invariantes Objekt ist, wie gesehen, der euklidische Abstand ∆l2 bzw. äquivalent dazu das euklidische Skalarprodukt, welches uns gestattet, Winkel und Längen zwischen Vektoren zu bestimmen. Wir schreiben   
1 0 ∆x1 2 1 2 2 2 1 2 ∆l = (∆x ) + (∆x ) = ∆x ∆x 0 1 ∆x2 =

2 X

ηlk ∆xl ∆xk

l,k=1

wobei ηlk die Einheitsmatrix ist. Es ist nun leicht nachzuprüfen, dass für je zwei Vektoren u und v mit Koordinaten (u1 , u2 ) bzw. (v1 , v2 ) bzgl. eines Orthonormalsystems P S der Ausdruck 2l,k=1 ηlk vl uk bei Wechsel des Orthonormalsystems S invariant ist. Durch diesen Ausdruck wird also je zwei Vektoren eine Zahl zugeordnet, die sich unabhängig vom Bezugssystem durch den obigen Ausdruck berechnen lässt. Diese Zahl ist das euklidische Skalarprodukt, welches für die euklidische Geometrie grundlegend ist. Betrachten wir eine Kurve (γ(λ))λ∈R in der Ebene. Sei P = γ(0) und Q ein weiterer −→ Punkt auf der Kurve. Dann können wir dem Vektor PQ bzgl. eines Orthonormalsystems S Koordinaten (∆x1 , ∆x2 ) zuweisen und auch seine Länge q −→ |PQ| = ∆l = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 bestimmen. Offensichtlich ist durch das Zahlenpaar   1 ∆x ∆x2 , ∆l ∆l ebenfalls ein Vektor bestimmt, denn beim Übergang von einem Orthonormalsystem zum anderen bleibt ∆l invariant. Tatsächlich ist der dadurch bestimmte Vektor der Ein−→ heitsvektor in Richtung PQ. Wenn wir nun den Punkt Q immer näher an P bringen, also den Limes ∆l → 0 ausführen, erhalten wir im Grenzfall (unter geeigneten Differenzierbarkeitsvoraussetzungen an die Kurve) das Zahlenpaar  1  dx dx2 , dl dl

31

euklidische Abstand

welches natürlich ebenfalls einen Vektor definiert. Dieser ist offensichtlich der Einheitstangentialvektor t(P) an γ in P:    dx1 dx2  1 2 , . t = t ,t = dl dl Die Länge der Kurve γ zwischen zwei Punkten P1 = γ(λ1 ) und P2 = γ(λ2 ) lässt sich definieren als das Integral s Z P2 Z λ2  1  2  2  2 dx dx l(γ) = dl = + dλ, dλ dλ P1 λ1 skalare Invariante

welches ebenfalls vom gewählten Orthonormalsystem unabhängig ist. Die Länge der Kurve ist daher eine skalare Invariante in dem Sinne, dass ihr Wert nicht von S abhängt.

2.2 4-Vektoren Im vorigen Abschnitt wurde anhand der euklidischen Geometrie gezeigt, wie sich die invarianten Größen Vektor und Metrik bzw. Skalarprodukt bzgl. Orthonormalsystemen darstellen und wie sich diese Koordinatendarstellungen beim Wechsel des Bezugssystems verhalten. Während dort die invarianten Größen am Beginn der Betrachtung standen, drehen wir nun den Spieß um und definieren entsprechende invariante Größen aufgrund des Transformationsverhaltens ihrer Koordinatendarstellungen. In Tab. 2.1 sind die Analogien zwischen der Euklidischen Geometrie und der Raumzeitstruktur Euklidische Ebene Punkt Gerade Orthonormalsystem Vektor Drehungen Drehgruppe Euklidische Gruppe ∆l2 = (∆x1 )2 + (∆x2 )2 euklidisches Skalarprodukt

Raumzeit Ereignis gleichförmige Bewegung (und Gerade) Inertialsystem 4-Vektor „boosts“ und Rotationen Lorentz-Gruppe Poincaré-Gruppe ∆s2 = (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 Minkowski-Skalarprodukt

Tabelle 2.1: Analogie zwischen Euklidischer Geometrie und Raumzeitstruktur der Speziellen Relativitätstheorie aufgeführt. MinkowskiRaumzeit

Den Punkten der Ebene entsprechen die Ereignisse in der Raumzeit, die auch Minkowski-Raumzeit genannt wird. So wie ein Vektor der euklidischen Ebene durch das

32

Transformationsverhalten seiner Koordinatendarstellung charakterisiert werden kann, so definieren wir nun Definition 2.2. Ein (kontravarianter) 4-Vektor va ist ein Objekt, dessen Koordinatendarstellung bzgl. eines Inertialsystems ein 4-tupel (v0 , v1 , v2 , v3 ) von reellen Zahlen ist, welches beim Wechsel des Inertialsystems mit einer Lorentz-Transformation Ll k transformiert wird: v¯ l =

3 X

Ll k vk .

(2.2.1)

k=0

Der Raum aller 4-Vektoren heißt Minkowski-(Vektor)raum. Übung 2.1: Zeigen Sie, dass es sich hierbei tatsächlich um einen Vektorraum handelt, in dem man die Vektoren addieren und mit Skalaren multiplizieren kann.

Die Notation va ist symbolisch zu verstehen. Die Stellung des Index a deutet an, dass es → sich bei dem Objekt um einen kontravarianten Vektor handelt, genauso wie v oder − v einen ebenen Vektor symbolisiert. Der Grund für diese Notation wird später klar werden. Bzgl. eines Inertialsystems hat ein 4-Vektor gewisse Koordinaten, (v0 , v1 , v2 , v3 ) = (vi )i=0,...,3 . Da sich diese ändern, wenn wir vom einen Inertialsystem in ein anderes wechseln, schreiben wir . va = (v0 , v1 , v2 , v3 ) für die Darstellung eines 4-Vektors in einem gegebenen Inertialsystem. Damit soll ausgedrückt werden, dass es sich hierbei nicht um eine absolute Gleichheit handelt, sondern um eine relative, also bezugssystemabhängige. Beispiel So wie in der Euklidischen Geometrie ein Vektor als Verbindungsvektor zweier Punkte realisiert ist, so ist auch in der Minkowski-Raumzeit ein 4-Vektor durch zwei Ereignisse definiert, denn die Koordinatendifferenzen (∆t, ∆x, ∆y, ∆z) der Ereignisse bilden ein 4-Tupel, welches sich beim Wechsel des Inertialsystems wie in (2.2.1) transformiert (vgl. Abschnitt 1.4). Dies ist der ‘Prototyp’ eines kontravarianten 4-Vektors, von dem ausgehend man viele weitere konstruieren kann. Übung 2.2: Warum bildet das 4-tupel der Koordinaten eines Ereignisses keinen 4-Vektor?

An die Stelle des invarianten euklidischen Abstandes ∆l der Euklidischen Geometrie tritt in der Minkowski-Raumzeit nun der invariante (Raumzeit-) Abstand ∆s definiert durch (1.4.3). Dabei handelt es sich um eine Größe, die sich beim Übergang von einem Inertialsystem zum anderen nicht ändert. Solche Größen nennt man auch Skalare unter Lorentz-Transformationen. Der invariante Abstand ist also eine skalare Größe. Da wir für unsere Betrachtungen grundsätzlich c = 1 gewählt haben, gibt es keinen Unterschied zwischen Längen- und Zeitdimensionen. Der invariante Abstand ist also mit dem gleichen Recht eine invariante Zeitdauer. Welcher der Begriffe im Einzelfall der geeignetere ist, hängt von Ereignissen ab, zwischen denen er angewendet soll: Betrachten wir in einem Inertialsystem zwei Ereignisse E1 und E2 auf der Zeitachse, so

33

Skalare

zeitartig raumartig getrennt

dass also E1 = (t1 , 0, 0, 0) und E2 = (t2 , 0, 0, 0). Dann ist ∆s2 = (t2 − t1 )2 > 0. Andererseits ist für zwei Ereignisse P1 = (0, x1 , 0, 0) und P2 = (0, x2 , 0, 0) auf der x-Achse der Abstand ∆s2 = −(x2 − x1 )2 < 0. Dies motiviert folgende Sprechweise: Ereignisse, deren invarianter Abstand positiv bzw. negativ ist, nennen wir zeitartig bzw. raumartig getrennt und für zeitartig getrennte Ereignisse wird man eher von invarianter Zeitdauer sprechen wollen, während raumartig getrennten Ereignissen ein invarianter Abstand zugewiesen wird. Beispiel Im vorigen Abschnitt wurde durch einen geeigneten Grenzübergang aus einem Vektor ein Tangentialvektor an eine Kurve konstruiert. Analoge Überlegungen lassen sich hier anstellen. Wir betrachten die Weltlinie P(λ) = (t(λ), x(λ), y(λ), z(λ)) eines Teilchens. Dabei sind die Koordinaten bzgl. eines beliebigen Inertialsystems I genommen. Es sei P = P(0) und Q ein weiteres Ereignis auf der Weltlinie. Dann definiert das 4tupel ∆xa = (∆t, ∆x, ∆y, ∆z) der Koordinatendifferenzen von P und Q einen 4-Vektor. Lassen wir nun das Ereignis Q auf P zuwandern, dann bekommen wir eine Folge von 4Vektoren. Um einen endlichen Grenzwert zu erhalten, müssen wir wie im Falle der Euklidischen Geometrie, die Vektoren geeignet skalieren, so dass im Limes ein endlicher Wert übrig bleibt. Dort war es der euklidische Abstand, denp wir dazu verwenden konnten. Hier bietet es sich an, den invarianten Abstand ∆s = ∆t2 − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2 zu benutzen. Wir bilden also   ∆xa ∆t ∆x ∆y ∆z lim = lim , , , . Q→P ∆s Q→P ∆s ∆s ∆s ∆s Es ist leicht einzusehen, dass dies einen 4-Vektor, ua , definiert. Übung 2.3: Warum? Und warum kann man nicht ∆t anstelle von ∆s nehmen?

Offensichtlich ist dies ein Tangentialvektor an die Weltlinie P(λ) im Punkt P. Aber was ist seine physikalische Interpretation? Dazu berechnen wir zunächst ∆s 1 p 2 = ∆t − ∆x2 − ∆y2 − ∆z2 = ∆t ∆t

s

 1−

∆x ∆t

2

 −

∆y ∆t

2

 −

∆z ∆t

2 .

Im Grenzfall gilt also ∆s ds p = = 1 − u2 , Q→P ∆t dt lim

wobei u die Geschwindigkeit des Teilchens ist, wie sie ein Beobachter vom System I aus beurteilt. Folglich gilt auch ∆t → γ(u). ∆s Ferner ist     ∆t ∆x ∆y ∆z ∆t ∆x ∆y ∆z , , , = 1, , , ∆s ∆s ∆s ∆s ∆s ∆t ∆t ∆t

34

so dass sich schließlich

. ua = γ(u) (1, u)

ergibt. Wenn wir den 4-Vektor also bzgl. eines Inertialsystems I auswerten (d.h. die entsprechenden Koordinaten einsetzen usw.), dann besteht er bis auf den Lorentz-Faktor genau aus der Geschwindigkeit des Teilchens bezüglich dieses Inertialsystems. Man nennt diesen 4-Vektor folglich 4-Geschwindigkeit des Teilchens (der Weltlinie).

4-Geschwindigkeit

Wenn sich das Teilchen beschleunigt bewegt, dann ist die Weltlinie keine Gerade mehr und die 4-Geschwindigkeit ist nicht konstant entlang der Weltlinie. Dann hat es keinen Sinn mehr, von der 4-Geschwindigkeit zu sprechen. Vielmehr kann man nur von der momentanen 4-Geschwindigkeit reden. Im Falle der gleichförmigen Bewegung des Teilchens gibt es immer ein Inertialsystem (Beobachter), in dem (für den) das Teilchen ruht. Im Falle der beschleunigten Bewegung ist das offensichtlich nicht mehr der Fall. Aber es gibt in jedem Moment der Bewegung einen Beobachter bzw. ein Inertialsystem, für den bzw. in dem das Teilchen momentan in Ruhe ist. Dieses Inertialsystem ist das momentane Ruhsystem des Teilchens.

Ruhsystem

Betrachten wir nun die 4-Geschwindigkeit bzgl. dieses speziellen Inertialsystems, des ¯ = ddxt¯¯ = 0 und daher momentanen Ruhsystems I¯ des Teilchens. In diesem System ist u hat die 4-Geschwindigkeit ua in diesem System die Koordinaten . ua = (1, 0) . Für den invarianten Abstand ds gilt in diesem System dt¯ = γ(u)ds ¯ = ds. D.h., ds misst die Zeit, die im momentanen Ruhsystem des Teilchens vergeht, die Eigenzeit des Teilchens. Die 4-Geschwindigkeit ist also die Ableitung der Weltlinie nach der Eigenzeit. Dies ist in Analogie zur Geschwindigkeit in der klassischen Mechanik zu sehen, wo sich die Geschwindigkeit als Ableitung der Raumkurve nach der (universellen, absoluten) Zeit ergibt.

Eigenzeit

Aus der Koordinatendarstellung der 4-Geschwindigkeit bzgl. des momentanen Ruhsystems folgt außerdem, dass ua die Zeitachse des momentanen Ruhsystems definiert. Nachdem die erste Ableitung der Weltlinie nach der Eigenzeit die 4-Geschwindigkeit liefert, ist zu vermuten, dass die zweite Ableitung eine Art Beschleunigung liefert. Wir berechnen also die 4-Beschleunigung als die Ableitung der 4-Geschwindigkeit einer Weltlinie nach der Eigenzeit. Dies ist notwendigerweise wieder ein 4-Vektor und wir berechnen seine Koordinaten bzgl. eines Inertialsystems I (mit γ = γ(u)) aa =


dγ
dua . d du
= γ, γu = 1, u + γ 0, . ds ds ds ds

Mit dt = γds und du/dt = a wird daraus  

du
. dγ aa = γ 1, u + γ2 0, = γ2 γ2 u · a, γ2 u · a u + a . dt dt

35

4-Beschleunigung

Dieser etwas unschöne Ausdruck vereinfacht sich gewaltig, wenn wir ihn im momentanen Ruhsystem auswerten. Dann ist u = 0 und wir erhalten . aa = (0, a). Im momentanen Ruhsystem haben die 4-Geschwindigkeit und die 4-Beschleunigung ein komplementäres Verhalten. Die 4-Beschleunigung hat keine Komponente in Richtung der 4-Geschwindigkeit.

2.3 Die Metrik Wir kommen nun zur wesentlichen Struktur der Minkowski-Raumzeit. So wie die euklidische Metrik dazu benutzt wird, um Längen und Winkel zu berechnen und damit die ‘Geometrie’ erst wirklich definiert, so gibt es in der Minkowski-Raumzeit ebenfalls eine ‘Metrik’, die es uns gestattet, eine ‘Raumzeit-Geometrie’ zu definieren. Diese Metrik entsteht aus dem invarianten Abstandsquadrat. Es sei ua ein 4-Vektor, den wir uns als Verbindungsvektor zwischen zwei Ereignissen vorstellen können, so dass also . ua = (ui )i=0,...,3 = (∆t, ∆x, ∆y, ∆z) in einem Inertialsystem gilt. Dann ist das Abstandsquadrat gegeben durch X ηkl uk ul ∆s2 = (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 = k,l

wobei ηkl die Matrix  1 0 0 0 0 −1 0 0  ηkl =  0 0 −1 0  0 0 0 −1 ¯ Dann gibt es eine Lorentz-Transformation ist. Betrachten wir nun ein zweites Inertialsystem I. a ¯ zwischen I und I und die Koordinaten von u bzgl. der beiden IS transformieren sich gemäß 3 X Lk i u¯ i . (2.3.1) uk = 

i=0

wobei

Lk

eine geeignete Lorentz-Matrix ist. Nun gilt  ! ! X X X X X X ∆s2 = ηkl uk ul = ηkl Lk i u¯ i  Ll j u¯ j  = ηkl Lk i Ll j u¯ i u¯ j . i

k,l

k,l

i

j

Setzen wir nun η¯ ij =

X k,l

so erkennen wir

36

ηkl Lk i Ll j

i,j

k,l

(2.3.2)

1. die Matrix ηkl ist die Darstellung des invarianten Abstandsquadrats bzgl. eines Inertialsystems. D.h. wir können sie als die Koordinaten des Abstandsquadrats in diesem Inertialsystem betrachten. 2. Diese Koordinaten transformieren sich unter Lorentz-Transformationen gemäß der Vorschrift (2.3.2), wenn die Koordinaten des 4-Vektors gemäß (2.3.1) transformiert werden. Wir haben damit ein weiteres absolutes Objekt gefunden, welches wir durch sein Transformationsverhalten gegenüber Wechsel des Bezugssystems charakterisieren können. Dieses Objekt ist ein kovarianter Tensor 2. Stufe. ‘Kovariant’, weil es sich entgegengesetzt zum kontravarianten 4-Vektor ua transformiert. ‘2. Stufe’, weil dazu zwei Transformationsmatrizen Li k notwendig sind. Wir schreiben dieses Objekt in Analogie zu den kontravarianten 4-Vektoren ua ebenfalls in symbolischer Form als ηab . 3. Der Tensor ηab ist etwas besonderes in der Speziellen Relativitätstheorie, denn seine Koordinaten sind in jedem Inertialsystem die gleichen. Dies folgt aus der Invarianz des Abstandsquadrats, denn ∆s2 = (∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2 = (∆t¯ )2 − (∆¯x)2 − (∆y) ¯ 2 − (∆¯z)2 , so dass auch für η¯ kl gilt 

η¯ kl

 1 0 0 0 0 −1 0 0  = 0 0 −1 0  = ηkl . 0 0 0 −1

Dies ist auch mit (2.3.2) verträglich, denn diese Gleichung ist nichts anderes als die Matrix-Gleichung η¯ = Lt · η · L und für Lorentz-Matrizen L gilt (vgl. Übung) Lt · η · L = η. 4. Der Tensor ηab ist symmetrisch, d.h., es gilt ηij = ηji (zu sehen an der Symmetrie der Matrix η). Wir schreiben dies wieder symbolisch als ηab = ηba . Definition 2.3. Der symmetrische kovariante Tensor ηab , der durch das invariante Abstandsquadrat definiert wird, heißt Minkowski-Metrik. Dieser Tensor ist invariant unter LorentzTransformationen. Mithilfe dieser Metrik kann man einen ‘Betrag’ für 4-Vektoren einführen. Für einen beliebigen 4-Vektor ua ist der Ausdruck X ηkl uk ul k,l

37

ein Skalar, also unabhängig vom Inertialsystem, in dem er ausgewertet wird. Diese Zahl kann positiv, negativ und sogar Null sein. Trotzdem wird diese Zahl als Betragsquadrat von ua bezeichnet. Symbolisch schreiben wir dafür ηab ua ub p und wir definieren den Betrag des 4-Vektors als |u| = ±ηab ua ub . Das Vorzeichen ist dabei so zu wählen, dass die Wurzel reell bleibt. Dieser ‘Betrag’ ist keine Betragsfunktion im mathematischen Sinn. Denn es gilt nicht die Dreiecksungleichung und es gibt nicht-verschwindende Vektoren mit Betrag Null. Nun ist also ηab ua ub für alle 4-Vektoren ein Skalar. Daher ist auch der Ausdruck

ηab ua ± va ub ± vb ein Skalar. Wertet man diese symbolischen Ausdrücke in einem Inertialsystem aus, dann erkennt man, dass

ηab ua ± va ub ± vb = ηab ua ub ± ηab ua vb ± ηab va ub + ηab va vb gilt. Da nun wegen der Symmetrie der Metrik ηab ua vb = ηab va ub gilt, erhalten wir mit

1

1 ηab ua vb = ηab ua + va ub + vb − ηab ua − va ub − vb 4 4 einen Ausdruck, der wegen der Invarianz der rechten Seite ebenfalls ein Skalar ist, also unabhängig vom Inertialsystem, in dem er ausgewertet wird. Definition 2.4. Der Ausdruck ηab ua vb , der je zwei beliebigen 4-Vektoren eine Zahl zuordnet wird als (Minkowski-) Skalarprodukt bezeichnet. Zwei 4-Vektoren ua und va sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt verschwindet, ηab ua vb = 0. Beispiel Die 4-Geschwindigkeit ua eines Teilchens hat die Koordinaten . ua = γ(u) (1, u)
in einem Inertialsystem. Daher ist ηab ua ub = γ(u)2 1 − u2 = 1. Dieses Resultat erhält . man noch einfacher im momentanen Ruhsystem des Teilchens, in dem ja ua = (1, 0) gilt. Die 4-Beschleunigung aa des Teilchens hat im momentanen Ruhsystem die Koordinaten . aa = (0, a), so dass ηab ua ab = 0 gilt. In einem beliebigen Inertialsystem ergibt sich natürlich das gleiche Resultat, jedoch etwas aufwändiger. 4-Geschwindigkeit und 4-Beschleunigung sind also senkrecht aufeinander.

38

Inwiefern bestimmt die Metrik die Raumzeit-Geometrie? Wir betrachten ein beliebiges Ereignis O in der Minkowski-Raumzeit. Jedes weitere Ereignis P bestimmt genau einen −→ 4-Vektor xa = OP und umgekehrt. Die indefinite Metrik hat zur Folge, dass es Vektoren gibt, deren Betragsquadrat positiv, negativ und sogar null sein kann. Solche Vektoren heißen zeit-, raum- oder lichtartig, wenn ihr Betragsquadrat positiv, negativ oder null ist. . Sei la ein lichtartiger 4-Vektor. In einem Inertialsystem ist la = (t, x) und es ist ηab la lb = t2 − x · x = 0.

(2.3.3)

Die Menge aller lichtartigen Vektoren wird also durch eine quadratische Gleichung beschrieben. Auflösen dieser Gleichung nach t zeigt p t = ± x2 + y2 + z2 . Die Menge der Ereignisse P, die durch lichtartige Vektoren mit O verknüpft werden können, bildet also einen Kegel, den Lichtkegel von O (vgl. Abb. 2.1). Dieser zerfällt in zwei Teile, den Zukunfts- oder Vorwärtskegel und den Vergangenheits- oder Rückwärtskegel. Beide Teile haben ihre Spitze in O. Die physikalische Interpretation des Zukunftskegels ist folgende: wenn im Ereignis O ein Lichtblitz ausgelöst wird, dann breitet sich eine kugelförmige Wellenfront im Raumzeit-Kontinuum aus. Die Ereignisse, die durch diese Wellenfront überstrichen werden, bilden den Zukunftskegel. Es handelt sich also gerade um die Ereignisse, die von O aus mit Lichtsignalen erreicht, also beeinflusst werden können. Umgekehrt ist der Vergangenheitskegel die Menge derjenigen Ereignisse, die O durch Lichtsignale beeinflussen können. Beschränken wir uns nicht auf Lichtsignale, sondern lassen beliebige Signale zu, dann sehen wir, dass die Menge aller von O aus beeinflussbaren Ereignisse gerade den Zukunftskegel ausfüllt. Sie liegen innerhalb des Lichtkegels. Entsprechend liegen Ereignisse, die O mit beliebigen Signalen erreichen können, im Inneren des Vergangenheitskegels. Daraus erklärt sich die Namensgebung. Die Zukunft von O sind genau die Ereignisse, die mit O kausal in Beziehung gesetzt werden können, so dass sie nach O stattfinden. Dies kann man formal so einsehen: sei P ein Ereignis innerhalb des Zu−→ kunftskegels von O. Dann ist pa = OP ein zeitartiger Vektor. Nun gibt es aber zu jedem . zeitartigen Vektor ein Inertialsystem, in dem pa = (t, 0) gilt. Übung 2.4: Geben Sie eine Lorentz-Transformation an, die ein beliebiges IS auf ein Inertialsys. tem abbildet, in dem pa = (t, 0) gilt.

D.h. also, es gibt einen Beobachter, für den O und P am gleichen Ort stattfinden, und zwar P nach O. Dieser Beobachter muss also nur lange genug warten, um mit der Information von O in P etwas zu erreichen. Betrachten wir nun ein weiteres Ereignis Q außerhalb des Lichtkegels. Für solche Ereig−→ nisse ist qa = OQ raumartig, ηab qa qb < 0 und es gibt immer ein Inertialsystem, in dem . qa = (0, x, 0, 0) gilt. D.h., es gibt Beobachter für die O und Q gleichzeitig stattfinden. Die Ereignisse sind raumartig getrennt und können sich nicht gegenseitig beeinflussen.

39

Lichtkegel

Zukunft

Abbildung 2.1: Der Lichtkegel von O

Der Lichtkegel charakterisiert also alle Ereignisse der Raumzeit hinsichtlich ihres kausalen Zusammenhangs mit O, dem Vertex des Kegels. Er zerlegt die Raumzeit in die Zukunft, Vergangenheit und Gegenwart von O. Offensichtlich kann man diese Charakterisierung für jedes Ereignis durchführen. Man bekommt also an jedem Ereignis einen Lichtkegel: es entsteht ein Feld von Lichtkegeln in der Raumzeit. Der Lichtkegel ist eine invariante Struktur der Raumzeit. Er ist in jedem Inertialsystem durch die Gleichung (2.3.3) gegeben. Die Konstruktion des Lichtkegels beruhte allein auf dieser Gleichung, die wiederum aus der Betrachtung der lichtartigen Vektoren folgte. In der Verteilung der Lichtkegel steckt also Information über die Metrik. Die Frage ist: wieviel Information? Stellen wir uns vor, wir wüssten für ein Raumzeit-Gebiet für jedes Ereignis, wie sein Lichtkegel verläuft, können wir dann die Metrik rekonstruieren? Diese Frage führt geradewegs zur Allgemeinen Relativitätstheorie, wo gezeigt wird, dass in der Lichtkegelstruktur schon so gut wie alles über die Geometrie der Raumzeit steckt. Das einzige, was nicht festgelegt wird, ist eine Zeitskala (bzw. äquivalent dazu eine Längenskala). Die Metrik ηab ist eine natürliche Verallgemeinerung des euklidischen Abstands. Setzen wir uns in ein Inertialsystem und betrachten alle Vektoren xa , die senkrecht auf der . 4-Geschwindigkeit ua eines dort ruhenden Beobachters sind. Mit ua = (1, 0) folgt also . xa = (0, x). Diese Vektoren sind alle raumartig und für je zwei solcher Vektoren xa , ya gilt ηab xa ya = −x · y. Bis auf das Vorzeichen stimmt das Skalarprodukt der 4-Vektoren mit dem euklidischen Skalarprodukt überein. Die Euklidische Geometrie ist also in der

40

SRT enthalten, und in jedem einzelnen Inertialsystem gültig. Mit dem Begriff der Orthogonalität läßt sich jetzt auch das Bezugssystem eines Beobachters genauer fassen. Definition 2.5. Ein (lokales) Inertialsystem in M besteht aus einem Ereignis O, dem Ursprung, sowie aus vier aufeinander senkrechten Einheitsvektoren ea0 , ea1 , ea2 , ea3 derart, dass ea0 zeitartig ist. Die vier Vektoren bilden eine (Pseudo-) Orthonormalbasis im Minkowski-Vektorraum V. Ein Inertialsystem ist also die natürliche Verallgemeinerung eines ONS der Euklidischen Geometrie. Jeder 4-Vektor va kann als eindeutige Linearkombination dieser vier Basisvektoren geschrieben werden va = v0 ea0 + v1 ea1 + v2 ea2 + v3 ea3 oder, in der bisherigen Notation . va = (v0 , v1 , v2 , v3 ). Wir betrachten einen gegenüber einem Inertialsystem gleichförmig bewegten Beobachter. Die Weltlinie dieses Beobachters ist dann eine Gerade in M. Zu jedem Ereignis O auf der Weltlinie ist die 4-Geschwindigkeit ua des Beobachters ein zeitartiger Einheitsvektor in Richtung dieser Geraden. Wählen wir ea0 = ua und zusätzlich drei raumartige Einheitsvektoren senkrecht zu ua , dann haben wir das momentane Ruhsystem des Beobachters definiert. Die drei raumartigen Einheitsvektoren sind nicht eindeutig definiert, sondern nur bis auf eine beliebige Rotation in dem 3-dimensionalen Raum senkrecht zu ua .

2.4 Kovariante Vektoren Wir betrachten nun einen beliebigen 4-Vektor ua . Dieser hat bzgl. eines beliebigen Inertialsystems die Koordinaten ui = (u0 , u1 , u2 , u3 ). Mit den Koordinaten ηik der Metrik können wir ein weiteres 4-Tupel bilden vi =

3 X

ηik uk ,

i=0

so dass, (v0 , v1 , v2 , v3 ) = (u0 , −u1 , −u2 , −u3 ). Man beachte, dass dies eine bijektive Abbildung ist. Definiert dieses 4-Tupel einen 4-Vektor? Dazu müssen wir das Transformationsverhalten beim Übergang zu einem anderen Inertialsystem bestimmen. Dies ist einfach, denn

41

wir kennen das Transformationsverhalten der ui (vgl. (2.3.1)) und der ηik (vgl. (2.3.2)). Wir erhalten ! 3 3 3 X X X v¯ i = η¯ ik u¯ k = ηlm Ll i Lm k u¯ k i=0

=

i=0 3 X l,m=0

l,m=0

ηlm Ll i

3 X

! Lm k u¯ k

k=0

also v¯ i =

3 X

=

3 X

3 X

l=0

m=0

! ηlm um

Ll i ,

vl Ll i .

l=0

Wir sehen daran, dass das Transformationsverhalten der vi anders ist als das der uk oder auch der ηik . Es ist ähnlich zu dem der ηik , in dem Sinne, dass die Struktur die gleiche ist: die gequerten Komponenten ergeben sich aus den ungequerten durch Multiplikation mit der Lorentz-Matrix, und nicht umgekehrt, wie bei der Transformation der uk . Es handelt sich bei der durch die vi definierte Größe um einen kovarianten 4-Vektor (auch Kovektor genannt). Wir schreiben symbolisch va = ηab ub . Ein Wort zu dieser symbolischen Notation. Wir schreiben einheitlich kontravariante Größen mit oberen Indizes und kovariante Größen mit unteren Indizes. Dadurch ist bei jeder Größe sofort ihr Transformationsverhalten klar. Die Notation gibt an, wie man die Komponenten von va aus denen von ηab und ub berechnet, wenn man sie einsetzt und verabredet, dass über gleiche Indizes oben und unten summiert werden soll (Einsteinsche Summenkonvention). Dualität

kanonisches Produkt duale Basis

Zwischen ko- und kontravarianten 4-Vektoren besteht eine natürliche Dualität3 in dem Sinne, dass ein Kovektor va eine lineare Abbildung vermittelt, die jedem Vektor ua die Zahl va ua zuordnet. Umgekehrt, vermittelt ein Vektor ua ebenfalls eine lineare Abbildung, die jedem Kovektor va die gleiche Zahl ua va zuordnet. Diese Abbildung wird manchmal auch kanonisches Produkt genannt. Hiermit können wir zu jeder Basis (ea0 , ea1 , ea2 , ea3 ) in V die dazu duale Basis (f0a , f1a , f2a , f3a ) in V∗ definieren. Diese ist durch die Relation 1 i=k i a fa ek = 0 i 6= k 3 Tatsächlich

handelt es sich mathematisch gesehen bei einem Kovektor um ein Element des zum Minkowski-Vektorraum V dualen Raums. Dies ist der Raum V∗ aller Linearformen, der linearen Abbildungen von V → R. Die Abbildung, die ein Kovektor va vermittelt, ist in unserer Notation gegeP3 i ben durch ua 7→ va ua , und lautet in Koordinaten ui 7→ i=0 vi u . Das Senken der Indizes ent∗ spricht einer bijektiven linearen Abbildung V → V , die jedem 4-Vektor ua den kovarianten 4-Vektor ua = ηab ub zuordnet, also die lineare Abbildung vb 7→ ua va = ηab ua vb .

42

definiert. Übung 2.5: Zeigen Sie, dass diese Relation die dual Basis tatsächlich eindeutig charakterisiert.

Die Prototypen für kontravariante 4-Vektoren sind die Verbindungsvektoren zwischen je zwei Ereignissen. Die Prototypen der kovarianten 4-Vektoren sind Differentiale. Sind xi kartesische Koordinaten bzgl. eines Inertialsystems I und x¯ k solche bzgl. eines In¯ dann sind sie durch eine inhomogene Lorentz-Transformation oder ertialsystems I, Poincaré-Transformation verknüpft: x¯ k = Lk i xi + ak . Es sei nun f ein Skalarfeld, d.h., eine Abbildung f : M → R. In den Koordinaten xk hat f die Form f(xi ) und wir können die partiellen Ableitungen ∂f ∂xk bilden. Drücken wir nun f in den anderen Koordinaten aus, dann ergibt sich die Form ¯ xk ) und auch hier können wir die Ableitungen f(¯ ∂f¯ ∂¯xk ¯ xk ) = f(L ¯ k i xi + ak ) = f(xi ) (der Wert des Feldes an einem Ereignis ist bilden. Wegen f(¯ unabhängig davon, in welchen Koordinaten es beschrieben wird), gilt nun 3 3 X ∂f ∂f¯ ∂¯xk X ∂f¯ k = = L i. ∂xi ∂¯xk ∂xi ∂¯xk k=0

k=0

Wir finden also: das 4-Tupel ∂f/∂xk der partiellen Ableitungen eines Skalarfeldes definiert einen kovarianten 4-Vektor, das Differential des Feldes. Wir bezeichnen diesen Kovektor mit dem Symbol ∇a f. In einem Inertialsystem gilt also . ∇a f =



∂f ∂xk

 .

Die Abbildung, die der Kovektor ∇a f induziert, ist offensichtlich gegeben durch ua 7→ ua ∇a f =

3 X i=0

ui

∂f . ∂xi

Sie ordnet also jedem 4-Vektor die Richtungsableitung von f in Richtung ua zu.

43

2.5 Der Doppler-Effekt Als Beispiel für den Gebrauch von Kovektoren besprechen wir hier einen Effekt, der bei Wellenphänomenen auftritt, den Doppler-Effekt. Wir betrachten dazu eine ebene Welle, die sich bzgl. eines Inertialsystems in einer Richtung n (n · n = 1) mit der Geschwindigkeit V ausbreitet. Wir können sie mit einer Funktion der Form φ(t, x) = A(ω, k) exp(iωt − ik · x) mit k = kn, ω = kV beschreiben. Dieser Ausdruck für die Funktion definiert ein Skalarfeld in der Raumzeit, denn jedem Ereignis wird ein Wert zugeordnet. Eine Fläche konstanter Phase ist eine (Hyper-) Ebene in der Raumzeit. Ihre Schnitte mit der Fläche t = const. bilden die Wellenfronten, die sich mit der Phasengeschwindigkeit V fortbewegen. Wir berechnen das Differential dieses Feldes und erhalten ∂φ = i(ω, −k)φ(t, x). ∂xm Nun sind dies aber die Koordinaten eines Kovektors, nämlich von ∇a φ. Also ist auch die rechte Seite die Koordinatendarstellung eines Kovektors, und weil iφ ein Skalar ist, handelt es sich bei (ω, −k) um die Koordinaten eines Kovektors, sagen wir ka . Dann schreibt sich das Skalarfeld in der Form φ(xa ) = A(ka ) exp(ika xa ). Was ist die physikalische Interpretation dieses Kovektors? Für einen Beobachter, der im Inertialsystem I ruht ist ω/(2π) die Frequenz der Welle, k ist der Wellenvektor. Er beschreibt die Wellenlänge und die Ausbreitungsrichtung der Welle. Da die 4-Geschwindigkeit eines solchen Beobachters in diesem Inertialsystem durch . ua = (1, 0) gegeben ist, ist ka ua = ω, d.h., das Skalarprodukt des Wellen-4-Vektors ka mit der 4-Geschwindigkeit eines Beobachters ergibt gerade die Kreisfrequenz, mit der dieser Beobachter das Wellenphänomen sieht. Mit dieser Interpretation berechnen wir nun die Frequenz für einen mit der Geschwindigkeit v relativ zu I bewegten Beobachter. Dieser hat die 4-Geschwindigkeit . u¯ a = γ(1, v) und misst folglich die Frequenz ω ¯ = ka u¯ a . Es folgt also  n · v ω ¯ = γω 1 − . V

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ppler-Effekt

Diese Formel drückt den Doppler-Effekt aus. Für einen Beobachter, der sich in Richtung der Welle bewegt, ist n · v = v und die Frequenz ergibt sich in diesem Fall zu  v ω ¯ = γω 1 − . V Wenn sich der Beobachter also gerade so schnell wie die Welle bewegt wird die von ihm gemessene Frequenz Null. Das ist klar, der Beobachter ‘springt auf die Welle auf’, er ‘surft’. Für Phasengeschwindigkeiten V < 1 kann die Frequenz auch negativ werden. Dies bedeutet, dass der Beobachter die Welle überholt hat und sich die Welle für ihn in die andere Richtung bewegt. Für V = 1, also z.B. Lichtwellen kann dies nicht passieren. Für Beobachter, die sich parallel zur Welle bewegen (also v · n = ±v) ist die Frequenz gegeben durch r ω ¯ = γω (1 ∓ v) = ω

1∓v . 1±v

Also Frequenzerhöhung (-erniedrigung) bei Bewegung entgegen (mit) der Welle. Selbst im Falle v · n = 0, wenn sich also der Beobachter senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle bewegt, gibt es einen Effekt ω ¯ = γω. Dies ist der transversale Doppler-Effekt. Er ist unabhängig von der Phasengeschwindigkeit. Es handelt sich hier einfach um die Zeitdilatation zwischen den beiden Inertialsystemen.

transversale Doppler-Effekt

Das bekannteste Beispiel für den optischen Doppler-Effekt ist die Rotverschiebung der Spektren, die wir von Galaxien empfangen. Diese Verschiebung ist umso größer, je weiter die Galaxien von uns entfernt sind. Aus der damit verbundenen Fluchtgeschwindigkeit schließt man auf die allgemeine Expansion des Weltalls.

2.6 Indexgymnastik Da die Metrik regulär ist, steckt in va = ηab ub die gleiche Information wie in ua , nur das Transformationsverhalten ist anders. Daher nennt man oft auch va die kovariante Form von ua und bekräftigt dies dadurch, dass man schreibt ua = ηab ub . Die Metrik wird also zum Senken der Indizes verwendet.

Senken der Indizes

Ebenso wie wir für kontravariante 4-Vektoren ein Skalarprodukt berechnen können, ist dies auch für kovariante Vektoren möglich. Wir setzen dazu fest, wie das Skalarprodukt

45

zwischen zwei kovarianten Vektoren ua = ηab ub und va = ηab vb berechnet werden soll (ua , vb ) 7→ ηab ua vb , d.h. es ist gleich dem Skalarprodukt zwischen den entsprechenden kontravarianten Vektoren. Ebenso wie im Falle der kontravarianten Vektoren das Skalarprodukt einem symmetrischen Tensor 2. Stufe entspricht, so ist es auch hier. Wir können das Skalarprodukt in der Form αab ua vb schreiben. Aus der Invarianz des Skalarprodukts und dem Transformationsverhalten von ua und va folgt das Transformationsverhalten von αab : es handelt sich um einen symmetrischen kontravarianten Tensor 2. Stufe. Setzen wir nun αab ua vb = ηab ua vb , so folgt nach kurzer Rechnung die Relation αab ηac ηbd = ηcd . Die kovariante Form von αab ist daher ηab und wir können ηab = αab Heben der Indizes

setzen. Ebenso wie ηab zum Senken der Indizes verwendet wird, so kann man ηab zum Heben der Indizes verwenden. Zu jedem kovarianten 4-Vektor ua können wir den kontravarianten 4-Vektor ηab ub bestimmen und dies in bijektiver Weise. Es stellt sich nun die Frage was passiert beim Hintereinander ausführen von Senken und Heben? Betrachten wir dazu einen kontravarianten 4-Vektor ua . Nach Senken und anschließendem Heben des Index erhalten wir den 4-Vektor u ^ a = ηab ηbc uc . Wie verhält sich dieser zum Ausgangsvektor? Berechnen wir für beliebiges va das Skalarprodukt ηab va u ^ b:     ηab va u ^ b = ηab va ηbc ηcd ud = ηab ηbc ηcd va ud = ηad va ud . Folglich steht der 4-Vektor ua − u ^ a auf allen 4-Vektoren senkrecht, muss also verschwinden und es gilt ηab ηbc uc = ua .

Kronecker-Tensor

Daraus ergibt sich, dass Heben und Senken inverse Operationen sind. Außerdem folgt, dass ηab ηbc die Identitätsabbildung auf dem Raum V der 4-Vektoren vermittelt. Man prüft leicht nach, dass dieses Objekt ein Tensor 2.Stufe ist, der einfach ko- und einfach kontravariant ist (zwei Indizes, einer oben, einer unten). Dieser Tensor wird mit δab bezeichnet und zwar deshalb, weil die Koordinaten-Darstellung in einem Inertialsystem durch die Einheitsmatrix (δik )i,k=0,...,3 gegeben ist. Der Tensor heißt demnach auch Einheitstensor oder Kronecker-Tensor (oft auch nur Kroneckersymbol). Damit haben wir aber nun auch das Wesen der Tensoren gesehen: Tensoren vermitteln (multi-) lineare Abbildungen. Um beim Beispiel des Kronecker-Tensors zu bleiben: die multilineare Abbildung, die von diesem Tensor vermittelt wird, ist gegeben durch (va , ub ) 7→ δab va ub = va ua ,

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also das kanonische Produkt zwischen einem ko- und einem kontravarianten 4-Vektor. Jede multilineare Abbildung, die ein mehrfaches kartesisches Produkt von V und V∗ in R abbildet, definiert einen Tensor. Einige Beispiele sollen genügen:
1. Ein Kovektor ist ein kovarianter Tensor 1. Stufe, d.h. vom Typ 01 , denn er vermittelt die Abbildung V → R, ua 7→ va ua . 2. Ein 4-Vektor ist ein kontravarianter Tensor 1. Stufe, d.h. vom Typ vermittelt die Abbildung

V ∗ → R, 3. Die Metrik ist ein Tensor vom Typ

V × V,

0 2

1 0




, denn er

va 7→ va ua .


, denn sie vermittelt die Abbildung

(ua , va ) 7→ ηab ua vb .

4. Eine multilineare Abbildung

V ∗ × V × V × V → R,

(sa , ub , vc , wd ) 7→ Ra bcd sa ub vc wd
definiert Ra bcd , einen Tensor vom Typ 13 , also einfach kontra- und dreifach kovariant. Man beachte: im allgemeinen ist die Reihenfolge der Indizes wichtig, d.h. T ab cd 6= T ba cd 6= T a c b d 6= T ab dc · · · . Die Koordinatendarstellungen dieser Tensoren erhält man, wenn man die Ausdrücke in einer Basis auswertet. Um z.B. die Darstellung eines Tensors T a bc zu bestimmen berechnet man die 64 Zahlen T i jk = T a bc fia ebj eck ,

i, j, k = 0, 1, 2, 3.

wobei die eai , i = 0, 1, 2, 3 bzw. fkb , k = 0, 1, 2, 3 Basis- bzw. duale Basisvektoren sind. Dieses Zahlenschema hängt natürlich von der gewählten Basis ab. Wenn man aber nun in ein anderes Bezugssystem geht, also eine andere Basis wählt, so zeigt sich, dass dieses Zahlenschema durch eine homogene Transformation mit drei (im allgemeinen Falle soviel wie es Indizes gibt) Transformationsmatrizen in ein anderes übergeht. Im vorliegenden Fall geht das so: wir wählen eine andere Basis (e¯ a0 , e¯ a0 , e¯ a0 , e¯ a0 ) mit dazugehöriger Dualbasis (f¯0a , f¯1a , f¯2a , f¯3a ). Übung 2.6: Zeigen Sie, dass es eine Lorentzmatrix Li k gibt, so dass e¯ a k

=

3 X i= 0

L

i

a k ei ,

f¯ia =

3 X

(L−1 )i k fka

k=0

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gilt.

Damit erhalten wir für die Koordinaten-Darstellungen des Tensors T a bc bzgl. der beiden Basen das Transformationsverhalten eines einfach ko- und zweifach kontravarianten Tensors 3 X T¯ i jk = T a bc f¯ia e¯ bj e¯ ck = (L−1 )i l Lm j Ln k T l mn . l,m,n=0

Der Vollständigkeit halber wollen wir noch einige Rechenregeln für Tensoren angeben. (i) Linearität: Zunächst ist klar, dass Tensoren gleichen Typs einen Vektorraum bilden, wir können solche Tensoren also addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren T a bc = αSa bc + βUa bc. Übung 2.7: Zeigen Sie, dass Tensoren gleichen Typs einen Vektorraum bilden, wenn unter der Addition bzw. Multiplikation die punktweise Addition/Multiplikation der entsprechenden Abbildungen verstanden wird.

(ii) äußeres Produkt: Aus zwei Tensoren vom Typ
r+p vom Typ s+q konstruieren, z.B.

r s




bzw.

p q




lässt sich ein Tensor

Uab cdef = T a cd Sb ef , indem man die jeweils vermittelten Abbildungen in R multipliziert.
(iii) Verjüngung: Aus einem Tensor vom Typ sr mit r, s ≥ 1 lässt sich ein Tensor
r−1 vom Typ s−1 konstruieren, indem in der Koordinatendarstellung des Tensors ein oberer und ein unterer Index gleichgesetzt werden und über alle Werte summiert wird. Ist z.B. T i kl die Koordinatendarstellung von T a bc , dann hat der verjüngte Tensor Tc = T a ac die Koordinatendarstellung Tl =

3 X

T i il .

i=0

[Warum ist diese Definition basisunabhängig?] Tensoralgebra, also das Rechnen mit Tensoren, ist im wesentlichen die Anwendung dieser Rechenoperationen, zusammen mit gewissen Symmetrieoperationen, auf die wir hier aber nicht näher eingehen wollen. Diese Operationen lassen sich alle durch Indexmanipulationen darstellen, so dass Tensoralgebra sich also auf formale Manipulationen reduzieren lässt. Die symbolische Schreibweise, bei der man den verschiedenen Tensoren ihren Typ sofort ansieht, eignet sich hervorragend dazu, solche Rechnungen durchzuführen. In der Mathematik ist es oft üblich indexfreie Notationen zu verwenden. Damit wird es wesentlich schwieriger konkrete Rechnungen zu machen. Strukturelle Überlegungen werden aber dadurch vereinfacht, dass manche Formeln nicht so überladen werden.

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2.7 Aberration des Lichts, die ‘Himmelskugel’, Aussehen bewegter Körper Aberration nennt man das Phänomen, dass Richtungen von verschiedenen Beobachtern unterschiedlich wahrgenommen werden. Ein einfaches Beispiel dafür ist Regen: kommt er (bei Windstille) für ein stehendes Auto genau von oben, so scheint er bei fahrendem Auto von schräg vorne zu kommen und zwar desto waagrechter, je schneller das Auto ist. Um diesen Effekt in der SRT zu beschreiben, greifen wir auf die allgemeine Geschwindigkeitstransformation (1.10.2) zurück und spezialisieren sie auf den Fall, dass sich die Inertialsysteme relativ zueinander entlang ihrer jeweiligen x-Achsen bewegen und die übrigen Achsen parallel zueinander sind. Dann erhalten wir die einfachen Formeln u1 =

w ¯1+v , 1 + vw ¯1

u2,3 =

w ¯ 2,3 . γ(1 + vw ¯ 1)

Wir interessieren uns für den Winkel zwischen der Relativgeschwindigkeit v und den ¯ Wir können also zusätzlich annehjeweils beobachteten Geschwindigkeiten u und w. men, dass u3 und damit auch w ¯ 3 verschwinden. Mit u1 = u cos α und u2 = u sin α sowie w ¯1 =w ¯ cos α, ¯ w ¯2 =w ¯ sin α¯ erhalten wir

cos α =

w ¯ cos α¯ + v , u(1 + vw ¯ cos α) ¯

sin α =

w ¯ sin α¯ . γu(1 + vw ¯ cos α) ¯

(2.7.1)

Dies ist die gesuchte Relation zwischen den Geschwindigkeitsrichtungen. Offensichtlich ist sie abhängig von den Beträgen der Geschwindigkeiten. Für das oben genannten Beispiel des Regens setzen wir α¯ = π/2 und bekommen mit −v anstelle von v (der ¯ welches sich mit −v gegenüber I bewegt). Dann folgt Regen fällt senkrecht in I, v cos α = − , u

sin α =

w ¯ . γ(v)u

Licht breitet sich mit endlicher Geschwindigkeit aus und unterliegt ebenfalls dem Effekt der Aberration. Wir erhalten die entsprechende Aberrationsformel, indem wir u = 1 und damit notwendigerweise w ¯ = 1 in (2.7.1) setzen. Setzen wir die erhaltenen Ausdrücke für sin α und cos α in die Identität tan(α/2) =

sin α 1 + cos α

ein ergibt sich die erstaunliche Formel r tan(α/2) ¯ =

1−v tan(α/2) 1+v

(2.7.2)

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Aberration

Diese Formel beschreibt das Phänomen der ‘Gesichtsfelderweiterung’ für einen bewegten Beobachter. Damit ist folgendes gemeint. Nehmen wir an, ein (menschlicher) Beobachter habe ein Gesichtsfeld von 180◦ , d.h. er sieht alle Lichtstrahlen, die mit einem Winkel von maximal π/2 gegenüber seiner Blickrichtung in sein Auge treffen. Vergleichen wir nun zwei Beobachter, die in die gleiche Richtung blicken und von denen sich einer in dieser Richtung mit der Geschwindigkeit v relativ zum anderen bewegt. Der bewegte Beobacher sieht Licht, das aus Richtungen, die maximal senkrecht zu seiner Blickrichtung auf sein Auge treffen, also mit tan α/2 ¯ =q 1. Dieses Licht kommt für den ruhenden Beobachter aus einer Richtung mit tan α/2 = 1+v 1−v > 1, also aus Richtungen mit α > π/2. Der bewegte Beobachter sieht also im Vergleich zum ruhenden Beobachter mehr.

Stellen wir uns einen Beobachter vor, der in einem Raumschiff Sterne beobachtet. Er sieht innerhalb seines Gesichtsfeldes Lichtpunkte von einzelnen Sternen. Wenn der bewegte Beobachter jetzt beschleunigt, dann wird er sehen, wie immer mehr Lichtpunkte ‘von hinten’ in sein Gesichtsfeld nachrücken. Die einzelnen Lichtpunkte verlaufen mit zunehmender Beschleunigung auf Linien, die sich alle im ‘Vorwärtspunkt’ treffen. [Bei ’Star Wars’ und ’Startrek’ ist das der Effekt, der beim ‘Durchbruch durch die Lichtmauer’ auftritt.] Im Grenzfall v = 1 ist tan α/2 = ∞, also α = π. Der so bewegte Beobachter sieht also Licht aus einer Richtung, die der ruhende Beobachter von hinten sehen würde. Soweit zur physikalischen Bedeutung der Aberration. Wie kann man die Lichtaberration mithilfe der invarianten Struktur der Raumzeit herleiten? Dazu müssen wir uns erst die grundlegenden Ideen zurechtlegen. Stellen wir uns einen Beobachter 1 vor, der einen Stern beobachtet. Das Licht, das zu einem gegebenen Moment E in sein Auge (Objektiv, Detektor,. . . ) eintritt, ist wegen der endlichen Lichtgeschwindigkeit auf dem Vergangenheitslichtkegel des Beobachters eingelaufen. Für unsere momentanen Überlegungen genügt es, uns das Licht als eine Gerade parallel zu einem lichtartigen Vektor la vorzustellen (Lichtstrahl), siehe Abb. 2.2. Damit ist zur Geometrie schon alles gesagt. Der Rest folgt nun einfach dadurch, dass wir uns in die jeweiligen momentanen Bezugssysteme von Beobachtern setzen und uns überlegen, wie diese die Raumzeitgeometrie wahrnehmen. Sei also ta = ea0 die 4-Geschwindigkeit des Beobachters 1 und ea1 , ea2 , ea3 die raumartigen Einheitsvektoren seines momentanen Bezugssytems. Dann ist . la = (α, −αn) wobei α > 0 eine unbestimmte (irrelevante) reelle Zahl ist und n ein Einheitsvektor (da 0 = ηab la lb = α2 (1 − n · n)). Dieser Einheitsvektor ist die Richtung, in der der Beobachter den Stern sieht. Um diese Richtung mit den gegebenen geometrischen Größen zu berechnen, bemerken wir ηab ta lb = α und ηab eai lb = αni , also gilt ni =

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eai la . ta la

Abbildung 2.2: Zur Geometrie der Lichtaberration P Man verifiziert leicht, dass 3i=1 (ni )2 = 1 gilt. Damit ist die Richtung bestimmt, in der Beobachter 1 den Stern sieht. Wie steht es nun für Beobachter 2, der sich bzgl. Beobachter 1 bewegt? Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Achsen der Beobachter gleich orientiert sind und die Geschwindigkeit wie üblich in Richtung der x-Achsen . zeigt. Dann ist t¯ a = e¯ a0 = (γ, γv, 0, 0) im Bezugssystem von 1. Diese Gleichung heißt nichts anderes als t¯ a = γ(ta + vea1 ). Für die anderen Achsen des Bezugssystems von Beobachter 2 gilt e¯ a1 = γ(ea1 + vta ),

e¯ a2 = ea2

e¯ a3 = ea3 .

Dies folgt aus der Orthonormalitätseigenschaft und der angenommen Orientierung der Achsen. Für Beobachter 2 gilt nun natürlich das gleiche wie für den Beobachter 1. Die Richtung in der 2 den Stern sieht ist gegeben durch n¯ i =

e¯ ai la . t¯ a la

Setzen wir hier nun die Ausdrücke für die Basisvektoren ein, bekommen wir n¯ 1 =

(ea1 + vta )la n1 + v = (ta + vea1 )la 1 + vn1

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und n¯ 2 =

ea2 la n2 = , γ(ta + vea1 )la γ(1 + vn1 )

n¯ 3 =

ea3 la n3 = . γ(ta + vea1 )la γ(1 + vn1 )

Wenn man nun für die ni die Richtungskosinus der Sternrichtung einsetzt, dann ergibt sich eine Relation für die Winkel, die die jeweiligen Beobachter zwischen der Sternrichtung und ihren Achsen messen. In dem Spezialfall n3 = 0 = n¯ 3 ergibt sich gerade die Gleichung (2.7.1) (mit u = 1 = w) ¯ und damit schliesslich (2.7.2). Die wesentliche Größe bei der Herleitung dieser Formel ist offensichtlich der 4-Vektor la , der den Lichtstrahl repräsentiert, der vom Stern zum Beobachter läuft. Zwar ist dieser lichtartige Vektor nicht eindeutig definiert, denn mit la ist jeder Vektor αla (mit α > 0) ebenso zulässig. Damit ist die Information, die in la steckt genau äquivalent zu einem Einheitsvektor, also einer Richtung. Die Menge aller dieser ‘Himmelsrichtungen’ (auch Nullrichtungen) ist offensichtlich eine Sphäre. Das bedeutet, die Menge aller (zukunfts- bzw. vergangenheitsgerichteten) lichtartigen Vektoren ist topologisch eine Sphäre. Für einen gegebenen Beobachter mit 4-Geschwindigkeit ta ist es möglich, diese Kugel konkret zu realisieren. Denn aus allen Vielfachen αla lässt sich genau jenes aussortieren, welches gegenüber ta normiert ist, für welches also gilt ηab la tb = 1. . Dann ist la = (1, −n) und damit die Richtung n festgelegt. Die Menge aller möglichen la , die ein Beobachter so ‘konstruieren’ kann, ist durch die Gleichungen ηab la lb = 0, ta la = 1 charakterisiert. Übung 2.8: Zeigen Sie, dass diese Gleichungen eine Kugeloberfläche definieren. Himmelskugel

Dies ist gerade die Sphäre aller Richtungen, aus denen Licht auf den Beobachter treffen kann. Man nennt diese Kugel daher auch Himmelskugel (‘celestial sphere’) des Beobachters. Die Himmelskugel ist beobachterabhängig. Je zwei Beobachter, die relativ zueinander in Bewegung sind, sehen eine andere Himmelskugel aufgrund der Aberration des Lichts. Es ist eine erstaunliche Tatsache, dass die Transformationen, die durch die Aberration zwischen den Himmelskugeln der Beobachter auftreten genau die Möbiustransformationen der komplexen Zahlenkugel sind. Dies bedeutet, dass die Kugel der Nullrichtungen eine komplexe Zahlenkugel ist und damit die komplexen Zahlen in ganz natürlicher Weise in der ‘klassischen SRT’ auftauchen. Die Herleitung dieser Beziehung würde hier jedoch zu weit führen. Es sei auf das Buch von Penrose und Rindler4 verwiesen. Der raumzeitliche Gesichtspunkt ist auch nützlich bei der Untersuchung des Aussehens bewegter Körper. Im Grunde ist dies die gleiche Überlegung wie die oben für

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Abbildung 2.3: Zur Beobachtung bewegter Körper

einen Stern durchgeführte. Im Raumzeit-Diagramm ergibt sich folgendes Bild: Ein Körper bewege sich durch die Raumzeit. Jeder seiner Punkte bildet dabei eine Weltlinie, insgesamt ergibt sich so eine Weltröhre, die den Körper in seiner Bewegung beschreibt. Ein Beobachter befinde sich am Ereignis O. Zu diesem Moment erfasst er alle Lichtstrahlen, die auf dem Vergangenheitslichtkegel von O einlaufen. Insbesondere also diejenigen Strahlen, die von der Weltröhre des Körpers ausgehend bei O eintreffen. Jedem Punkt des Körpers entspricht dabei ein Lichtstrahl, der auf dem Lichtkegel auf O zuläuft und damit ein Lichtpunkt im Gesichtsfeld des Beobachters bei O. Die Menge aller so erhaltenen Lichtpunkte ergibt dann das Bild, welches der Beobachter sieht und damit die Form, mit der der Körper wahrgenommen wird. Bei der Bestimmung der Gestalt eines bewegten Körpers sind also zwei Dinge ausschlaggebend: (i) die Schnittmenge zwischen Vergangenheitslichtkegel und Weltröhre und (ii) die 4-Geschwindigkeit des Beobachters. Die Geschwindigkeit des Körpers bestimmt dabei die Form der Schnittmenge. Die Geschwindigkeit des Beobachters beeinflusst die Aberration. In dieser geometrischen Betrachtungsweise sind alle wesentlichen physikalischen Effekte berücksichtigt, nämlich der Laufzeit- oder Retardierungseffekt und die Lichtaberration. Nimmt man weiter an, dass der Körper Licht in verschiedenen Farben aussendet, dann muss noch zusätzlich der Doppler-Effekt berücksichtigt werden, der die Frequenzverschiebung zwischen emittiertem und absorbiertem Licht bestimmt. Auch dabei ist die Angabe der 4-Geschwindigkeit des Beobachters ausreichend. Die tatsächliche Berechnung von relativistischen Szenen ist aufwändig, aber nicht zu 4 R.

Penrose und W. Rindler, Spinors and Space-Time, vol. 1, Cambridge University Press, 1984

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Weltröhre

tiefsinnig. Man muss dabei ein sog. ‘Ray-tracing’ anwenden, bei dem zu jedem Zeitpunkt (in der Eigenzeit des Beobachters) die Lichtstrahlen seines Gesichtsfeldes in die Vergangenheit zurückverfolgt werden, bis sie auf ein Objekt treffen. Je nach Art des Objekts, wird der Strahl weiter zurück in die Vergangenheit gespiegelt, oder durch definierte Oberflächeneigenschaften des Objekts anders verändert. Auf diese Art kann man bewegte Szenen rechnen, die z.B. den Flug mit fast Lichtgeschwindigkeit durch das Brandenburger Tor, oder am Arc de Triomphe vorbei, zeigen.

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3 Relativistische Mechanik Das Relativitätsprinzip erforsert, dass die Gleichungen der Physik in jedem Inertialsystem die gleiche Form besitzen. Im Rahmen der Relativitätstheorie bedeutet dies, dass die Gleichungen unter Poincar’e-Transformationen invarient sein müssen. Unsere Aufgabe besteht nun also darin, die verschiedenen physikalischen Theorien daraufhin zu untersuchen, ob ihre Grundgleichungen diese Eigenschaften besitzen bzw. die Gleichungen so umzuschreiben, dass sie invariant werden. Dabei ist darauf zu achten, dass im nichtrelativistischen Grenzfall die ursprünglichen Gleichungen wiedergefunden werden. Wir beginnen diese Untersuchung mit der Mechanik von Punktteilchen.

3.1 Kinematik Wie wir schon in vorigen Abschnitten gesehen hatten, wird ein Teilchen (Massenpunkt) durch seine Weltline xa (λ) in der Raumzeit beschrieben. Dabei handelt es sich um die Angabe der Ereignisse, die dieser Massenpunkt durchläuft, also Angaben wie: Wann ist das Teilchen an welchem Ort. Wir nehmen an, dass die Ereignisse in stückweise stetiger und differenzierbarer Weise durchlaufen werden. Als natürlicher Parameter λ entlang der Weltlinie bietet sich die Eigenzeit τ des Teilchens an, also die Zeit, die im momena tanen Ruhsystem vergeht. Dann ist der Tangentenvektor ua = dx dτ ein zeitartiger Einheitsvektor, die 4-Geschwindigkeit des Teilchens. In einem Inertialsystem I gilt also . ua = γ(1, v) ≈ (1, v) für v  1. Im nichtrelativistischen Grenzfall bilden die Raumkomponenten also genau die Newtonsche Geschwindigkeit v. Wollen wir die nichtrelativistische Relation p = mv zwischen Geschwindigkeit und Impuls eines Massenpunkts verallgemeinern, dann bleibt uns nicht viel übrig, als pa = mua zu setzen. Dadurch wird ein 4-Vektor definiert, dessen Betrag durch pa pa = m2 ua ua = m2 gegeben ist. Damit ist m ein Skalar, also unabhängig vom Bezugssystem definiert. Die Beziehung  2 pa pa = p0 − p · p = m2

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Massenschale

ist eine grundlegende Relation der relativistischen Kinematik. Sie bedeutet, dass für Teilchen mit der Masse m die möglichen Impulse ein Hyperboloid, die sog. Massen. schale bilden. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist tatsächlich pa = (m, mv) so dass es sich bei der Proportionalitätskonstanten m für kleine Geschwindigkeiten um die Masse des Teilchens handeln muss. Genauer gesagt, ist m die Ruhmasse des Teilchens, also diejenige Masse, die im Ruhsystem des Teilchens gemessen wird. Die zweite Ableitung der Weltlinie nach der Eigenzeit liefert die 4-Beschleunigung aa =

dua , dτ

die notwendigerweise senkrecht auf der 4-Geschwindigkeit steht: 0=

d (ua ua ) = 2ua aa . dτ

Im nichtrelativistischen Grenzfall erhalten wir  

du
. dγ aa = γ 1, u + γ2 0, = γ2 γ2 u · a, γ2 u · a u + a ≈ (0, a). dt dt Also steckt auch hier die nichtrelativistische Größe in den Raumkomponenten. Das 2. Newtonsche Axiom bestimmt die Änderung der Geschwindigkeit eines Massenpunktes aufgrund der Einwirkung einer äusseren Kraft F = ma. Mit diesem Gesetz kann man bei Vorgabe der Kraft unter Spezifizierung von Anfangsort und -geschwindigkeit eine eindeutige Bewegung bestimmen. Wollen wir dieses Gesetz in die SRT übertragen, so müssen wir eine Beziehung zwischen 4-Vektoren finden, die im nichtrelativistischen Grenzfall das zweite Axiom zurückliefert. Es bietet sich also an, die Beziehung Fa = maa = m

dua dpa = dτ dτ

(3.1.1)

genauer anzuschauen. Man beachte, dass hier noch nichts Wesentliches passiert ist. Im Grunde definieren wir hier nur den 4-Vektor Fa . Damit diese Gleichung eine physikalische Bedeutung erhält, muss Fa aufgrund einer anderen physikalischen Theorie (z.B. die Lorentz-Kraft der Elektrodynamik) vorgegeben werden. Dabei ist zu beachten, dass es sich um einen 4-Vektor handeln muss. Dadurch ist gewährleistet, dass diese Gleichung in jedem Bezugssystem die gleiche Form hat und damit automatisch dem Relativitätsprinzip genügt. Nun ist es aber nicht möglich, den 4-Vektor vollständig frei vorzugeben, denn ein Blick auf die rechte Seite der Beziehung zeigt, dass Fa die Beziehung Fa ua = 0

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(3.1.2)

erfüllen muss. Man kann also nicht alle vier Komponenten frei vorgeben, sondern nur drei. Dies ist insofern nicht unvernünftig als die nichtrelativistische Bewegung (und damit die Weltlinie) durch Vorgabe der drei Kraftkomponenten eindeutig festgelegt ist, so dass kein Platz für eine weitere Freiheit wäre. . Welche Bedeutung hat nun (3.1.2)? Im momentanen Ruhsystem des Teilchens ist ua = (1, 0), so dass . Fa = (0, F). Dabei ist F die im Ruhsystem des Teilchens wirkende Kraft. In einem anderen Inertialsystem erhalten wir daraus mit Hilfe einer Lorentz-Transformation γ2 . (v · F) v). Fa = (γ v · F, F + 1+γ γ2 (v · F) v und beachten, dass F¯ · v = F · v gilt, dann hat die 4Setzen wir γF¯ = F + 1+γ Kraft in diesem Inertialsystem die Gestalt

. ¯ F). ¯ Fa = γ(v · F, ¯ Dabei ist F¯ die Dies ist die Form für die 4-Kraft in einem beliebigen Inertialsystem I. ¯ Kraft, die in I auf ein Teilchen wirkt, das sich mit der Geschwindigkeit v durch I¯ bewegt. Im nichtrelativistischen Grenzfall ist Fa ≈ (v · F, F), so dass die nichtrelativistische Kraft mit der Kraft im Ruhsystem übereinstimmt. Für die Zeitkomponente des 4-Kraftvektors gilt nun F0 = γv · F = F ·

dx dW = . dτ dτ

Es handelt sich also dabei um die an dem Teilchen durch die Kraft pro Eigenzeiteinheit geleistete Arbeit. Die Zeitkomponente der relativistischen Kraft ist daher die auf die Eigenzeit bezogene Leistung. Damit ergibt sich nun auch eine Interpretation für Zeitkomponente des 4-Impulses pa , denn aus (3.1.1) folgt die Gleichung F0 =

dW dp0 = . dτ dτ

Das bedeutet, dass sich p0 gemäß der geleisteten Arbeit ändert, es handelt sich also (bis auf eine zunächst unbestimmte Konstante) um die Energie des Teilchens. Man nennt daher pa auch Energie-Impuls-Vektor, weil in dieser Größe sowohl Energie als auch Impuls in einer Lorentz-invarianten Weise zusammengefasst werden. Um die Konstante zu bestimmen, betrachten wir den Fall kleiner Geschwindigkeiten. Es ergibt sich p0 = mγ = m + 12 mv2 + · · · , so dass in der Tat p0 bis auf eine Konstante durch die kinetische Energie bestimmt ist. Die Folgerungen aus der Energieerhaltung (folgender Abschnitt) zeigen, dass man p0

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Energie-ImpulsVektor

als Gesamtenergie des Teilchens auffassen muss, die sich aus der Ruhenergie (= mc2 in konventionellen Einheiten) und der kinetischen Energie T zusammensetzt. Es ist also p0 = E = m + T

3 mit T = (γ − 1)m = 12 mv2 + mv4 + · · · . 8

3.2 Stossgesetze Die einfachste Wechselwirkung, die man im Rahmen der klassischen Mechanik beschreiben kann, ist der Stoss zweier Teilchen. Dies ist deshalb einfach, weil die Situation dadurch idealisiert wird, dass man annimmt, die Wechselwirkung sei beschränkt auf einen einzigen Zeitpunkt. Abgesehen davon seien die Teilchen kräftefrei. Die Forderungen, die man dem Stoss auferlegt, sind die Impuls- und Energieerhaltung. Man beachte, dies sind keine Folgerungen aus dem ersten oder zweiten Newtonschen Axiom. Erst eine geeignete Interpretation des dritten Axioms („actio=reactio“) hat dies zur Folge. Im nichtrelativistischen Grenzfall gilt also (vgl. Abb. 3.1)

Abbildung 3.1: Zum Stoss zweier freier Teilchen

p1 + p2 = p3 + p4 und 2 1 2 m1 v1

+ 12 m2 v22 = 12 m3 v23 + 21 m4 v24

Die genaue Wechselwirkung bleibt offen, was durch die nicht spezifizierte Wechselwirkungszone in der Abbildung angedeutet ist. Dadurch ist zwar der Stoß nicht eindeutig festgelegt, aber die möglichen Endzustände sind durch die Erhaltungssätze weitgehend eingeschränkt.

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Ruhenergie

Beim relativistischen Stoß gehen wir analog vor. An die Stelle des Impulses tritt nun der 4-Impuls der freien Teilchen vor und nach dem Stoß. Da dies die einzigen 4-Vektoren sind, die zur Verfügung stehen, liegt es nahe, die Erhaltung des gesamten 4-Impulses zu postulieren: pa1 + pa2 = pa3 + pa4 . (3.2.1) Wie oben, so ist auch dies eine Forderung an die Art der Wechselwirkung und damit eine Annahme, die experimentell verifiziert werden muss! Welche Konsequenzen hat nun die Erhaltung des Energie-Impuls-Vektors? Die Vermutung liegt nahe, dass wir im nichtrelativistischen Grenzfall aus den vier Komponenten dieses Erhaltungssatzes gerade die drei Komponenten des Impulssatzes sowie die . Energieerhaltung bekommen. Es ergeben sich jedoch für v  1 mit pa = (m, mv) die beiden Gleichungen m1 + m2 = m3 + m4 und m1 v1 + m2 v2 = m3 v3 + m4 v4 also die Massenerhaltung und die Impulserhaltung. Die Zeitkomponente des Erhaltungssatzes liefert dennoch eine Aussage über die Energieerhaltung: (m1 + T1 ) + (m2 + T2 ) = (m3 + T3 ) + (m4 + T4 ). Im nichtrelativistischen Grenzfall, in dem die Massenerhaltung gilt, bleiben folglich auch die kinetischen Energien erhalten. Relativistisch jedoch bleibt nur Summe von Ruhenergien und kinetischen Energien erhalten. Dies bedeutet, dass die SRT theoretisch Prozesse zuläßt, bei denen Ruhenergie in kinetische Energie und umgekehrt umgewandelt werden kann. In der Tat beobachtet man Prozesse, wie die Erzeugung und Vernichtung von Elementarteilchen, bei denen genau dieses geschieht. Der wichtigste Prozess dieser Art ist die Paarvernichtung e+ + e− → 2γ bei der ein Elektron-Positron-Paar vollständig in die Energie zweier Photonen zerstrahlt. Andere Prozesse bei denen Ruhenergie in kinetische Energie umgewandelt werden sind die Zerfallsprozesse, wo ein Teilchen in mehrere andere zerfällt wie z.B. beim β-Zerfall n → e + p + ν¯ e . Umgekehrt, wird bei vielen Streuexperimenten mit hochenergetischen Teilchen (z.B. am LHC des CERN) die kinetische Energie in die Ruhenergie plus kinetische Energie von neu entstandenen Teilchen umgesetzt. Da für die Raumkomponenten aus (3.2.1) der Erhaltungssatz γ1 m1 v1 + γ2 m2 v2 = γ3 m3 v3 + γ4 m4 v4 folgt, ergibt sich, dass sich ein schnelles Teilchen mit Masse m beim Stoss so verhält, als habe es – im Vergleich zur Newtonschen Theorie – eine Masse γm, die sogenannte dynamische Masse. Offensichtlich ist immer γm > m. Diesen Effekt nennt man die re-

59

dynamische Masse

lativistische Massenzunahme. Die Ruhmasse, also die Masse, die man im Ruhsystem des Teilchens misst, ist die kleinstmögliche Masse, die man diesem Teilchen zuschreiben kann. Für einen inertialen Beobachter ist die Energie eines Teilchens durch die Komponente p0 = γm seines 4-Impulses gegeben. Mit zunehmender Geschwindigkeit wächst diese unbeschränkt an. Da p0 die am Teilchen verrichtete Arbeit ist, bedeutet dies, dass ein unendlich großer Energieaufwand nötig ist, um ein Teilchen (mit nichtverschwindender Ruhmasse) auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen. Dies ist also unmöglich. Es zeigt sich damit eine dynamische Ursache für die Nichterreichbarkeit der Lichtgeschwindigkeit. Aus pa pa = m2 folgt die Relation E = p0 =

p

m2 + p · p

für die Energie in Abhängigkeit von Masse und Impuls und damit für die relativistische kinetische Energie p T = E − m = m2 + p · p − m. Die Geschwindigkeit v eines Teilchens drückt sich aus durch v=

p p =p 2 p0 m +p·p

3.3 Photonen und Compton-Effekt Die bisherigen Überlegungen lassen sich noch etwas verallgemeinern. Die Gleichung pa pa = m2 definiert im Impulsraum die Massenschale zur Masse m. Was geschieht im Grenzfall m → 0? Man erkennt leicht, dass das Hyperboloid nun zu einem Kegel entartet. Dies muss so sein, denn die Gleichung pa pa = 0 charakterisiert pa als einen (zukunftsgerichteten) lichtartigen Vektor. Für ein Teilchen mit verschwindender Ruhmasse ist der 4Impuls also notwendigerweise lichtartig. Daraus folgt E2 = p · p und damit

p·p = 1. E2 Teilchen mit Ruhmasse Null bewegen sich also immer mit Lichtgeschwindigkeit. Gibt es solche Teilchen? Streng genommen gibt es sie in der klassischen SRT nicht. Hier gibt es Licht, welches als ein Wellenphänomen der Elektrodynamik beschrieben wird und sich v2 = v · v =

60

Massenzun

gemäß der Näherung der geometrischen Optik entlang Lichtstrahlen ausbreitet. Diese sind dadurch charakterisiert, dass ihre Tangentenvektoren lichtartig sind. Erst durch die Quantenmechanik wird ein Bezug zwischen diesem Wellenphänomen und einem Teilchen hergestellt. Demgemäß ist der 4-Impuls eines Lichtteilchens, oder Photon, mit der Frequenz ω und dem Wellenvektor k gegeben durch . pa = —h(ω, k). √ Da pa lichtartig ist, folgt die Dispersionsrelation ω = k · k = k. Damit lassen sich nun auch die Stossgesetze, d.h. der Erhaltungssatz für den EnergieImpuls-Vektor auch auf Photonen ausdehnen. Eine experimentelle Bestätigung findet dieser erweiterte Erhaltungssatz im Compton-Effekt, der Streuung von Photonen an freien Elektronen. Zur Beschreibung dieses Effekts betrachten wir Abb. 3.2. Ein Photon

Abbildung 3.2: Zum Compton-Effekt mit 4-Impuls pa stößt auf ein Elektron mit 4-Impuls qa und wird gestreut. Nach dem Stoß laufen ein gestreutes Photon und das Elektron mit 4-Impuls p¯ a bzw. q¯ a auseinander. Nach (3.2.1) gilt pa + qa = p¯ a + q¯ a und wir wollen daraus die Größen nach dem Stoß so weit wie möglich bestimmen. Experimentell wird zunächst das gestreute Photon (Röntgenstrahlung) beobachtet. Wir interessieren uns daher nicht für das Elektron nach dem Stoß und eliminieren q¯ a , indem wir schreiben q¯ a = pa + qa − p¯ a und damit m2 = q¯ a q¯ a = pa pa + qa qa + p¯ a p¯ a + 2pa qa − 2pa p¯ a − 2qa p¯ a = m2 + 2pa qa − 2pa p¯ a − 2qa p¯ a

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Photon

Dispersionsrelation

Compton-Effekt

also qa (pa − p¯ a ) = pa p¯ a . . . Im Ruhsystem des einlaufenden Elektrons gilt nun qa = m(1, 0), pa = —h(ω, k) und . ¯ und damit ¯ k) p¯ a = —h(ω, ¯ m—h(ω − ω) ¯ = —h2 (ωω ¯ − k · k). Setzen wir nun k · k¯ = kk¯ cos θ, wo θ den Streuwinkel des Photons bezeichnet und benutzen wir ferner die Dispersionsrelation ω = k, dann folgt m(ω − ω) ¯ = —hωω(1 ¯ − cos θ). Dies ist eine Relation zwischen der Winkeländerung des Photons bei der Streuung und der Frequenzänderung, die es dabei erleidet. Üblicherweise wird dies bzgl. der Wellenlänge des Photons ausgedrückt. Dann erhält man (mit ωλ = 2π) λ¯ − λ = (h/m) (1 − cos θ).

ComptonWellenlänge

Der Faktor h/m (bzw. h/(mc) in konventionellen Einheiten) ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons. Diese Formel ist deshalb nützlich, weil sie zwei relativ leicht messbare Größen miteinander verknüpft. Dadurch ist es möglich, durch Messung des Streuwinkels und der Wellenlängen vor und nach dem Stoß diese Formel zu prüfen. Dies gibt dann eine Bestätigung der deBroglie-Beziehung oder der relativistischen EnergieImpulserhaltung (je nachdem, welcher Relation man mehr glaubt). Damit haben wir im Prinzip erst eine der 4 Komponenten des Erhaltungssatzes ausgenutzt. Die übrigen drei Komponenten liefern Informationen über die Rückstreuung des Elektrons. Wir können jedoch nicht erwarten, den 4-Impuls von Photon und Elektron bei gegebenen Eingangsgrößen bestimmen zu können. Dies wären 6 unabhängige Größen während der Erhaltungssatz nur vier Gleichungen liefert. Man kann jedoch durch Messen zweier Grössen (z.B. der Streuwinkel) auf die fehlenden Komponenten schließen.

62

4 Elektrodynamik und Relativitätstheorie Die Elektrodynamik ist von Natur aus ohne Änderungen mit der SRT verträglich. Einsteins Überlegungen in seinem Artikel von 1905 hatten sogar die Elektrodynamik als Ausgangspunkt. Nicht umsonst lautet die Überschrift dieses Papiers „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“. Das Ziel dieses Kapitels ist also nicht die Erweiterung der Elektrodynamik auf speziell relativistische Gegebenheiten, sondern es kann nur darum gehen, ihre Grundgleichungen in eine Form zu bringen, in der sie offensichtlich invariant unter Lorentz-Transformationen sind. Dies muss eine tensorielle Formulierung sein.

4.1 Die Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form Die Maxwell-Gleichungen im Vakuum werden üblicherweise wie folgt geschrieben

∇ · B = 0, ∇ · E = 4π ρ,

∇ × E + ∂t B = 0, ∇ × B − ∂t E = 4π j.

MaxwellGleichungen

(4.1.1) (4.1.2)

Dabei sind ∇ · E bzw. ∇ × E die Divergenz bzw. Rotation des (dreidimenionalen) Vektorfeldes E. Man beachte, dass ∇ = (∂x , ∂y , ∂z ) bzgl. eines Inertialsystems bzw. dessen kartesischer Koordinaten (x, y, z) bedeutet. Diese Gleichungen beschreiben das elektrische Feld E und das magnetische Feld B, die eine Ladungsverteilung erzeugt, die durch ihre Ladungsdichte ρ und Stromdichte j beschrieben wird. Es ist eine einfache Konsequenz dieser Gleichungen, dass zwischen den rechten Seiten der inhomogenen Maxwell-Gleichungen (4.1.2) eine Relation bestehen muss, denn es gilt wegen ∇ · (∇ × B) = 0 die Ladungserhaltung ∂t ρ + ∇ · j = 0.

(4.1.3)

Als weitere Konsequenz zeigen wir, dass die Felder E und B der Wellengleichung genügen. Dies ergibt sich für das elektrische Feld aus ∂tt E = ∇ × ∂t B − 4π ∂t j = −∇ × (∇ × E) − 4π∂t j. Unter Verwendung der Identität ∇ × (∇ × E) = grad (∇ · E) − ∆E folgt nun

E = (∂tt − ∆) E = −4π (grad ρ + ∂t j) .

63

Und ganz analog dazu ergibt sich die Gleichung

B = −4π (grad ρ + ∇ × j) . Damit erfüllen also alle Komponenten des elektrischen und des magnetischen Feldes die inhomogene Wellengleichung ψ = ρ. 8 Nun ist bekannt, dass die Funktion Z ρ(t − ||x − x 0 ||, x 0 ) 3 0 ψ(t, x) = d x ||x − x 0 || eine partikuläre Lösung dieser Wellengleichung liefert. Zum Wert der Funktion an einem Ereignis E = (t, x) tragen über dieses Integral alle Ereignisse E 0 = (t 0 , x 0 ) bei, für −−→ die t 0 = t − ||x − x 0 || gilt. Der Verbindungsvektor la = EE 0 ist also gegeben durch . la = (t 0 − t, x 0 − x) = (−||x − x 0 ||, x 0 − x), und dies ist offensichtlich ein vergangenheitsgerichteter, lichtartiger Vektor. Das bedeutet: in dem Integral wird die gesamte Information von ρ auf dem Vergangenheitslichtkegel des Ereignisses E ‘aufgesammelt’ und, gewichtet mit einem Abklingfaktor, zum Wert der Funktion ψ im Ereignis E kombiniert. Die Information, die durch ρ bei E 0 vermittelt wird, breitet sich also mit Lichtgeschwindigkeit aus und erreicht E nicht instantan, sondern nach einer gewissen Retardierung. Wir sehen also: in die Maxwell-Gleichungen ist der Lichtkegel schon eingebaut, und da der Lichtkegel (die Metrik) die absolute Struktur in der Relativitätstheorie ist, sind die Maxwell-Gleichungen mit der SRT (und ebenso mit der ART) verträglich. Die homogene Maxwell-Gleichung,

∇ · B = 0, erlaubt es uns, ein Vektorpotential A einzuführen, dessen Rotation gerade das magnetische Feld ist B = ∇ × A. Nun folgt aus der zweiten homogenen Gleichung, dass

∇ × (E + ∂t A) = 0, so dass ein skalares Potential φ existiert, aus dem sich das elektrische Feld berechnen läßt E = − grad φ − ∂t A. Eichtransformation

Die Potentiale sind durch diese Gleichungen nicht eindeutig festgelegt, vielmehr dürfen wir für ein beliebiges Paar (φ, A) eine Eichtransformation mit einer beliebigen Funk-

64

tion Λ durchführen, die uns ein weiteres Paar (φ 0 , A 0 ) = (φ, A) + (∂t Λ, − grad Λ) liefert, welches die gleichen Felder E und B ergibt. Setzen wir die Ausdrücke für E und B in die inhomogenen Maxwell-Gleichungen ein, dann ergeben sich die Gleichungen −∆φ − ∂t A = 4πρ,

−∆A + ∂tt A + grad (∇ · A + ∂t φ) = 4π j

Wir können hier die Freiheit in der Wahl der Potentiale insofern benutzen, als diese es uns ermöglicht, die Potentiale so zu wählen, dass

∇ · A + ∂t φ = 0 gilt. Von Potentialen, die diese Bedingung zusätzlich erfüllen, sagt man, sie genügen der Lorenz-Eichung. Um einzusehen, dass man diese Bedingung immer stellen kann, betrachten wir Potentiale φ und A, die diese Bedingung nicht notwendigerweise erfüllen müssen. Jedes andere Paar von Potentialen, welches die gleichen Felder liefert, erhalten wir dann vermöge der obigen Eichtransformation. Seien nun φ 0 und A 0 solche Potentiale, die zusätzlich der Lorenz-Eichung genügen, dann haben wir 0 = ∇ · A 0 + ∂t φ 0 = ∇ · (A − grad Λ) + ∂t (φ + ∂t Λ) = Λ + (∇ · A + ∂t φ) also genügt Λ der inhomogenen Wellengleichung

Λ = − (∇ · A + ∂t φ) . Da diese Gleichung immer Lösungen hat, kann man immer eine Funktion Λ finden, die diese Gleichung löst, und damit Potentiale konstruieren, die der Lorenz-Eichung genügen. Mit diesen Potentialen bekommen wir schließlich aus den Maxwell-Gleichungen die Gleichungen für die Potentiale

φ = 4πρ,

A = 4π j,

also wieder inhomogene Wellengleichungen. Betrachten wir nun die Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung q, die sich auf . einer Kurve x = X(t) bzw. einer Weltlinie xa = Xa (τ) = (T (τ), X(T (τ)) mit der Eigenzeit τ durch die Raumzeit bewegt. Die Ladungsdichte der Punktladung am Ereignis E mit den Koordinaten (t, x) ist durch eine Diracfunktion gegeben Z ρ(t, x) = qδ(x − X(t)) = q δ(x − X(t 0 )) δ(t 0 − t) dt 0 Z dT = q δ(x − X(T (τ))) δ(T (τ) − t) dτ dτ Z dT =q δ(xa − Xa (τ)) dτ. dτ

65

Lorenz-Eichung

Ganz analog dazu gilt für die Stromdichte j(t, x) = ρ(t, x)v(t), die diese Ladung erzeugt Z j(t, x) = qv(t)δ(x − X(t)) = q v(t 0 )δ(x − X(t 0 )) δ(t 0 − t) dt 0 Z dX dT δ(x − X(T (τ))) δ(T (τ) − t) =q dτ dt 0 dτ Z dX =q δ(xa − Xa (τ)) dτ. dτ dX a Nun sind aber dT dτ , dτ gerade die Komponenten der 4-Geschwindigkeit u der Ladung. a Das bedeutet, dass ρ und j zu einem 4-Vektor j zusammengefasst werden können Z a b j (x ) = ua (τ)δ(xb − Xb (τ)) dτ.

Da wir uns jede Ladungsverteilung aus Punktladungen aufgebaut denken können, gilt allgemein, dass Ladungs- und Stromdichte gemeinsam einen 4-Vektor ja bilden. Kommen wir nun zu den Wellengleichungen zurück, welchen die Potentiale genügen. Übung 4.1: Zeigen Sie, dass der Wellenoperator  = ∇a ∇a = ηab ∇a ∇b = ∂2t − ∂2x − ∂2y − ∂2z ein skalarer Operator ist, d.h. dass er in jedem Inertialsystem die gleiche Form besitzt.

Potentialvektor

Da die jeweiligen rechten Seiten der Wellengleichungen zu einem 4-Vektor zusammengefasst werden können und weil der Wellenoperator ein skalarer Operator ist, gilt auch für die Lösungen (φ, A), dass sie zu einem 4-Vektor Aa zusammengefasst werden können. Für diesen Potentialvektor gilt also

Aa = 4πja . Die Lorenz-Eichung lautet nun ∂t φ + ∇ · A =

dA0 dA1 dA2 dA3 + + + = ∇a Aa . dx0 dx1 dx2 dx3

Dabei haben wir ∇a , den vierdimensionalen Ableitungsoperator verwendet. Die Eichtransformationen lassen sich ebenfalls in Lorentz-invarianter Weise schreiben (φ 0 , A 0 ) = (φ, A) + (∂t Λ, − grad Λ) ≡ Aa0 = Aa + ∇a Λ. . Hier ist es günstiger, die kovariante Form des Potentialvektors zu benutzen, Aa = (φ, −A). Von den Potentialen kommen wir sofort wieder zurück zu den Feldern, indem wir die entsprechenden Ableitungen bilden. Wir erhalten so für des elektrische Feld  1   E1 = −∂1 φ − ∂0 A = ∂0 A1 − ∂1 A0 , E = − grad φ − ∂t A ≡ E2 = −∂2 φ − ∂0 A2 = ∂0 A2 − ∂2 A0 ,   E3 = −∂3 φ − ∂0 A3 = ∂0 A3 − ∂3 A0 .

66

Für das magnetische Feld gilt  3 2   B1 = ∂2 A − ∂3 A = ∂3 A2 − ∂2 A3 , B = ∇ × A ≡ B2 = ∂3 A1 − ∂1 A3 = ∂1 A3 − ∂3 A1 ,   B3 = ∂1 A2 − ∂2 A1 = ∂2 A1 − ∂1 A2 . Die Struktur dieser Gleichungen zeigt, dass sich die Feldstärkevektoren E und B anders verhalten als sonstige dreidimensionale Vektoren. Oft war es so (Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, usw.), dass diesen nur eine zusätzliche Zeitkomponente hinzugefügt werden musste, um einen 4-Vektor zu konstruieren. Hier ist dies nun anders. E und B werden gemeinsam zu einem einzigen Objekt verschmolzen, welches sich aus dem 4Potential Aa durch Differenzieren bilden läßt. Dies ist nicht ganz so verwunderlich, wie es zunächst den Anschein hat. Es ist ja bekannt, dass E und B unterschiedliche ‘Sorten’ von dreidimensionalen Vektoren sind. E ist ein polarer Vektor, während B ein axialer Vektor ist. Sie können daher nicht beide in gleicher Weise behandelt werden. Außerdem wissen wir, dass ein elektrisches Feld von einem bewegten Bezugssystem aus betrachtet einen magnetischen Anteil bekommt und umgekehrt. Dieses Verhalten und der unterschiedliche Vektorcharakter sind genau Ausdruck dessen, dass die Felder ‘in Wirklichkeit’ unterschiedliche Komponenten des gleichen vierdimensionalen Objekts sind. Es liegt nun nahe, den Faraday-Tensor Fab wie folgt zu definieren

Faraday-Tensor

Fab = ∇a Ab − ∇b Aa . Dies ist nach Konstruktion ein zweifach kovarianter Tensor, der zudem antisymmetrisch ist: Fab = −Fba . Die Komponenten dieses Tensors in einem Inertialsystem I sind gemäß den obigen Gleichungen gegeben durch die Matrix 

Fab

 0 E1 E2 E3 0 −B3 B2  . −E1  = −E2 B3 0 −B1  −E3 −B2 B1 0

(4.1.4)

Da Fab ein Tensor ist, ist sein Transformationsverhalten klar. In einem Inertialsystem, welches zu I entlang der x-Richtung bewegt ist, erhalten wir die Komponenten durch Multiplikation der Matrix (4.1.4) von rechts mit einer Lorentz-Matrix und von links mit ihrer Transponierten, also z.B.

67

antisymmetrisch

0 E¯ 1 −E¯ 1 0  −E¯ 2 B¯ 3 −E¯ 3 −B¯ 2  γ −γv =  0 0 

 E¯ 2 E¯ 3 −B¯ 3 B¯ 2   0 −B¯ 1  B¯ 1 0    −γv 0 0 0 E1 E2 E3 γ −γv 0 0   γ 0 0 0 −B3 B2  γ 0 0  −E1  −γv      0 1 0 −E2 B3 0 −B1 0 0 1 0 0 0 1 −E3 −B2 B1 0 0 0 0 1   0 E1 γ(E2 + vB3 ) γ(E3 − vB2 )  −E1 0 −γ(B3 + vE2 ) γ(B2 − vE3 )  = −γ(E2 + vB3 ) γ(B3 + vE2 )  0 −B1 −γ(E3 − vB2 ) −γ(B2 − vE3 ) B1 0

So kann man beliebige Lorentz-Transformationen anwenden, um die Komponenten des Faraday-Tensors in beliebigen Bezugssystemen zu bestimmen. Welchen Gleichungen genügt nun der Faraday-Tensor? Offensichtlich gilt

∇c Fab + ∇a Fbc + ∇b Fca = ∇c ∇a Ab − ∇c ∇b Aa + ∇a ∇b Ac − ∇a ∇c Ab + ∇b ∇c Aa − ∇b ∇a Ac = 0. Diese Gleichung muss natürlich den homogenen Maxwell-Gleichungen entsprechen. Übung 4.2: Man zeige, dass man genau diese Gleichungen bekommt, wenn man in einem Inertialsystem die Komponenten berechnet. Man beachte, dass dieses Ergebnis nur gilt, weil die Ableitungen ∇a und ∇b vertauschbar sind.

Um die inhomogenen Maxwell-Gleichungen zu bekommen, beachten wir, dass auf der rechten Seite dieser Gleichungen die Ladungs- und Stromdichten stehen, die wir schon als 4-Vektor entlarvt hatten. Damit haben wir als invariante Bausteine Fab , ∇a und ja zur Verfügung, um die inhomogenen Gleichungen zu basteln. Auf der linken Seite stehen die Ableitung und der Faraday-Tensor, auf der rechten Seite der 4-Vektor ja . Man sieht leicht ein, dass es nur eine Möglichkeit gibt, um aus dem Tensor 2. Stufe Fab durch Ableiten einen kontravarianten 4-Vektor zu machen: ∇a Fab , so dass die inhomogenen Maxwell-Gleichungen die Form ∇a Fab ∝ jb haben müssen. Den Proportionalitätsfaktor bekommt man, indem man in einem Inertialsystem die Zeit-Komponente bestimmt:

∇a Fa0 = ∂1 F10 + ∂2 F20 + ∂3 F30 = − (−∂1 E1 − ∂2 E2 − ∂3 E3 ) = 4πρ und damit lauten die Maxwell-Gleichungen in kovarianter Form

∇c Fab + ∇a Fbc + ∇b Fca = 0,

68

∇a Fab = 4πjb .

(4.1.5)

Eine weitere Ableitung, angewandt auf die inhomogenen Gleichungen ergibt

∇b ∇a Fab = 4π∇b jb . Da nun die Ableitungen vertauschbar sind, also ∇a ∇b Fab = ∇b ∇a Fab gilt, weil aber andererseits Fab = −Fba ist, folgt notwendigerweise ∇a ∇b Fab = ∇b ∇a Fab = −∇b ∇a Fba = 0, also ∇b jb = 0 und damit (wieder) die Ladungserhaltung, diesmal in kovarianter Form.

4.2 Die Lorentz-Kraft Die Kraft, die von einem elektromagnetischen Feld auf eine Testladung q mit Geschwindigkeit u ausgeübt wird, ist durch die Lorentz-Kraft gegeben F = q (E + u × B) . Eine kovariante Formulierung dieses Kraftgesetzes muss wieder den Faraday-Tensor beinhalten sowie – wegen des Auftretens der Geschwindigkeit u – die 4-Geschwindigkeit ua der Ladung. Wieder gibt es im wesentlichen nur eine Möglichkeit, einen 4Vektor aus diesen ‘Zutaten’ zu basteln, nämlich Fab ub . Im Ruhsystem der Ladung wird . daraus (wegen ua = (1, 0)) . Fab ub = Fa0 = (0, E). Wir setzen also für die Lorentz-Kraft die 4-Kraft Ka = qFab ub an und erhalten daraufhin in einem beliebigen Inertialsystem den Ausdruck . Ka = qγ(E · u, E + u × B). Dies hat genau die Struktur, die für eine 4-Kraft notwendig ist. Denn es ist eine notwendige Konsequenz der Antisymmetrie des Faraday-Tensors, dass ua Ka = qua Fab ub = 0. Schreibt man nun die Bewegungsgleichungen in der Form   dpa . dE dp a =γ , K = dτ dt dt auf, dann bekommt man in der Zeit-Komponente den Ausdruck dE = qE · u = E · j dt

(4.2.1)

69

Lorentz-Kraft

also die pro Zeiteinheit geleistete Arbeit. Die Raumkomponenten ergeben F=

dp = q(E + u × B) = qE + j × B. dt

(4.2.2)

Dies ist genau der gleiche Ausdruck für die Lorentz-Kraft wie oben angegeben. Für eine ausgedehnte Ladungsverteilung mit 4-Stromdichte ja ergibt sich die Kraft aus der Überlegung, dass für eine einzelne Ladung die 4-Stromdichte ja durch ja = qua δ(xb − Xb (τ))

Kraftdichte

gegeben ist. Eine kontinuierliche Verteilung spürt dann eine Kraft, die sich durch Integration über alle Einzelladungen ergibt. Die Kraftdichte ist also Ka = Fab jb .

4.3 Der Energie-Impuls-Tensor Eine wesentliche Größe der relativistischen Physik ist der sogenannte Energie-ImpulsTensor, der die energetischen Eigenschaften einer Materieverteilung in invarianter Weise zusammenfasst. Es ist diese Größe, die in der allgemeinen Relativitätstheorie auf der rechten Seite der Einstein-Gleichung steht und damit als Quelle für das Gravitationsfeld, die Krümmung der Raum-Zeit, dient. Jede Materieverteilung besitzt einen solchen Energie-Impuls-Tensor. Da aber gemäß der speziellen Relativitätstheorie Materie (Masse) und Energie äquivalent sind, elektromagnetische Felder aber einen Energieinhalt haben, muss man auch ihnen einen Energie-Impuls-Tensor zuschreiben. Wir wollen nun dieses Objekt vorstellen. Dazu betrachten wir zuerst die nicht-relativistische Formulierung. Energiedichte

Die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes in einem Inertialsystem I ist gegeben durch  1  2 E= E + B2 . 8π Wir berechnen unter Verwendung der Maxwell-Gleichungen   ∂E 1 ∂E ∂B 1  E · (−4πj + ∇ × B) − B · (∇ × E) = ·E+ ·B = ∂t 4π ∂t ∂t 4π  1 = −E · j − ∇ · (E × B) 4π Diese Gleichung hat die Form einer (Fast-)Erhaltungsgleichung. Wenn wir die Größe S=

70

1 (E × B) 4π

ting-Vektor

einführen, bekommen wir

∂E + ∇ · S = −E · j. ∂t Der Vektor S ist der Poynting-Vektor. Durch Integration über ein Raumvolumen V und unter Verwenden des Gaußschen Satzes ergibt sich mit (4.2.1)   I Z d 3 S · n dO (4.3.1) E+ Ed x = − dt ∂V V die Energiebilanz von Poynting. Dabei haben wir eine Ladungsverteilung mit individuellen Ladungen im Volumen V zugrunde gelegt, deren zeitliche Änderung der Energie durch (4.2.1) gegeben ist. Die Gleichung (4.3.1) drückt die Energieerhaltung aus. Die zeitliche Änderung der im gesamten Volumen V enthaltenen Energie bestehend aus der Energie der individuellen Ladungen sowie der Feldenergie ist durch den Fluß des Poynting-Vektors durch die Oberfläche des Volumens gegeben. Daher beschreibt der Poynting-Vektor die Dichte des Energie-Flußes des elektromagnetischen Feldes. Auf ähnliche Weise wird der Impulssatz für das elektromagnetische Feld hergeleitet. Ein Blick auf (4.2.2) deutet darauf hin, dass die folgende Rechnung zum Ziel führt. 4π j × B = (∇ × B) × B − E˙ × B = (∇ × B) × B − 4π = −4π

∂S + E × B˙ ∂t

∂S + (∇ × B) × B + (∇ × E) × E ∂t

Die Vektoridentität v × (∇ × v) = 21 ∇(v · v) − (v · ∇)v führt dann zu folgendem Ausdruck  1  ∂S + (B · ∇)B + (E · ∇)E − ∇ E2 + B2 . 4π j × B = −4π ∂t 2 Um diesen Ausdruck weiter umzuformen, benötigen wir einen beliebigen konstanten Vektor a und berechnen das Skalarprodukt der Gleichung mit a. Dann ergibt sich1    ∂a · S 1 − ∇ · (E2 + B2 ) a + ∇ · (E · a)E + (B · a)B ∂t 2 − (E · a)∇ · E − (B · a)∇ · B.

4π a · (j × B) = −4π

Schließlich liefern die verbleibenden Maxwell-Gleichungen die gewünschte Beziehung in der Form

∂a · S 1 2 1 2 + ∇· (E + B )a − (E · a)E − (B · a)B = −a · (ρE + j × B) (4.3.2) ∂t 4π 2 1 Hier

wurde eine weitere Identität verwendet, die für beliebige Vektorfelder v und ein beliebiges konstantes Vektorfeld a gilt: a · ((v · ∇) v) = (v · ∇) (a · v) = ∇ · ((a · v) v) − (v · a) (∇ · v)

71

Energieerhaltung

Dies ist nun wieder fast eine Kontinuitätsgleichung, die wir wieder über ein Volumen V integrieren können. So erhalten wir

Z I 1 1 2 d 3 2 p+ Sd x = − a· (E + B )a · n − (E · a)(E · n) − (B · a)(B · n) dO dt 4π ∂V 2 (4.3.3) Wir können diese Gleichung so interpretieren: die zeitliche Änderung der Komponente des gesamten Impulses in Richtung des Vektors a ist gegeben durch die Kraftkomponente K · a, die durch Integration des Ausdrucks in geschweiften Klammern über die Oberfläche des Volumens entsteht. Dabei besteht der Gesamtimpuls aus dem Impuls der Ladungen im Raumgebiet V und aus dem Feldimpuls, gegeben durch das Volumenintegral über den Poynting-Vektor. Das Oberflächenintegral auf der rechten Seite ist demnach eine Kraft. Es handelt sich um die auf das Volumen wirkende Kraft K, bzw. den aus dem Volumen strömenden Impuls. Die Kraft ergibt sich durch Integration des quadratischen Ausdrucks

1 1 2 2 T (a, n) = − (E + B )a · n − (E · a)(E · n) − (B · a)(B · n) . 4π 2 Da a und n beliebig sind, besteht der wesentliche Teil in

1 1 2 2 Tik = − (E + B )δik − Ei Ek − Bi Bk , 4π 2

Maxwellschen Spannungstensor

i, k = 1 . . . 3

welcher volständig durch die Feldkonfiguration gegeben ist. Offensichtlich ist Tik = Tki . Diese symmetrische Matrix stellt den sogenannten Maxwellschen Spannungstensor dar. Seine physikalische Deutung ist analog zu der des Spannungstensors in der Elastizitätstheorie. Kommen wir nun zu einer 4-dimensionalen Interpretation des Energie- und Impulserhaltungssatzes. Diese gewinnt man am bequemsten, indem man sich die Komponenten des Spannungstensors anschaut und sie durch den Faradaytensor ausdrückt. Wir müssen also einen symmetrischen Tensor Tab konstruieren, der quadratisch in Fab ist und dessen räumliche Komponenten mit Tik übereinstimmen, wenn wir sie in einem Inertialsystem bestimmen. Zur Konstruktion dieses Tensors haben wir außer Fab nur die Metrik ηab zur Verfügung. Man überlegt sich schnell, dass es nur zwei Möglichkeiten dazu gibt, so dass Tab = αFac Fb c + βηab Fcd Fcd mit zwei reellen Zahlen α und β geschrieben werden kann. Durch die Berechnung von z.B. T12 findet man   1 1 Tab = − Fac Fb c − ηab Fcd Fcd . 4π 4 Die zusätzlichen Komponenten (diejenigen mit Index 0) finden wir sofort als T00 =

72

 1  2 E + B2 , 8π

T0i = −

1 E × Bi = −Si . 4π

gie-ImpulsTensor

Der Tensor Tab enthält also alle Größen, die für die energetischen Eigenschaften einer Feldkonfiguration relevant sind. Man nennt ihn daher den Energie-Impuls-Tensor des Maxwell-Feldes. Seine kontravarianten Komponenten sind gegeben durch die Matrix  E S1 S2 S3 .  S1 T 11 T 12 T 13   =  S2 T 21 T 22 T 23  . S3 T 31 T 32 T 33 

T ab

Die kovariante Form von Energie- und Impuls-Erhaltung erhalten wir nun, indem wir einen konstanten 4-Vektor ac einführen und die Integrale umformen in

Z Z ∂ ic ∂ 0c d(ac pc ) ca 3 3 ac T + a ∇ T d x = T d x = . (4.3.4) c a ∂xi ∂t dt V V Diese Gleichung enthält sowohl den Energie- (für zeitartige Vektoren) als auch den Impuls-Erhaltungssatz (für raumartige Vektoren). Dabei beschreibt pa den EnergieImpulsvektor aller Teilchen im Volumen V. Betrachten wir eine Feldkonfiguration ohne Ladungen, dann lautet der Erhaltungssatz Z ac ∇a T ca d3 x = 0. V

Da das Volumen beliebig gewählt werden kann, und da auch ac beliebig ist, folgt notwendigerweise ∇a T ab = 0. Das bedeutet, der Energie-Impuls-Tensor T ab ist divergenzfrei. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft für den Energie-Impuls-Tensor eines physikalischen Systems. Die Divergenzfreiheit des elektromagnetischen Energie-Impuls-Tensors ist eine unmittelbare Konsequenz der Maxwell-Gleichungen, die man direkt herleiten kann. Wenn man für die Ladungsteilchen einen geeigneten Energie-Impuls-Tensor TTab definiert, so kann man die Divergenzfreiheit des Summentensors T ab + TTab aus dem Erhaltungssatz (4.3.4) herleiten.

4.4 Invarianten des elektromagnetischen Feldes Zum Schluss sollen noch kurz die Invarianten des elektromagnetischen Feldes diskutiert werden. So wie mit jedem 4-Vektor eine Invariante, nämlich sein Skalarprodukt, verknüpft ist, so kann man auch aus Fab Invarianten konstruieren. Eine dieser Invarianten ergibt sich wiederum als Skalarprodukt I = Fab Fab

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In einem Inertialsystem erhält man diese Invariante als die negative Spur der Matrix, die durch Qa c = Fab Fbc definiert wird, zu I = E2 − B2 . Diese Invariante hat in jedem Inertialsystem den gleichen Wert. D.h., wenn also in einem System I > 0 gilt, dann gilt dies in jedem System. Es ist also in diesem Fall nicht möglich, ein Bezugssystem zu finden, in dem kein elektrisches Feld vorhanden ist, während man durchaus ein System finden kann, in dem B = 0 gilt. Entsprechendes gilt beim anderen Vorzeichen. Eine weitere Invariante ist durch die (vierte Wurzel aus der negativen) Determinante der Matrix von Qa c gegeben J = E · B. Damit ist das Skalarprodukt zwischen elektrischem und magnetischem Feld ebenfalls invariant.

Wellenzone Strahlungsfelder

Ein Spezialfall sind Felder, bei denen I = 0 = J gilt. Dann stehen E und B senkrecht aufeinander und haben den gleichen Betrag. Solche Felder erhält man als Lösungen der Maxwell-Gleichungen im Vakuum in der sogenannten Fern- oder Wellenzone. Da diese Lösungen Strahlungsphänomene beschreiben, nennt man die Felder mit I = 0 = J Strahlungsfelder.

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