Elektrodynamik 001

I

Inhaltsverzeichnis I Elektrodynamik und spezielle Relativitätstheorie 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.5.1 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 2.5.6 2.5.7 2.6 2.7 2.8 2.9

Empirische Grundlagen der Elektrodynamik Relativistische Bewegungsgleichungen . . . . . Die homogenen M AXWELLschen Gleichungen . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die inhomogenen M AXWELLschen Gleichungen Grundgleichungen der Elektrodynamik . . . . . Ladungs- und Stromdichte einer Punktladung . . 
. . . . . . . . . . . . . . . Distributionen im

. . . . . . .

. . . . . . .

1 . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen Der M INKOWSKIraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Feldstärketensor  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die 4-dimensionale Form der Grundgleichungen der Elektrodynamik . L ORENTZgruppe und P OINCARÉgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . Transformationsgesetz für Tensorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operationen auf Tensorfeldern, die mit  vertauschen . . . . . . . . . Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permutation der Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gradient  Hochziehen eines Tensorindexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weitere invariante Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nichtlineare invariante Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativistische Invarianz der elektrodynamischen Grundgleichungen . . Passive L ORENTZtransformationen: Koordinatenwechsel . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L ORENTZtransformationen, Bahnkurven und invariante Teilgebiete des M INKOWSKIraumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatenwechsel und Feldstärketensor . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 7 11 16 18 19 20 23 23 25 26 30 31 32 36 36 37 37 38 39 40 42 43 49 53 56 59 61 63

INHALTSVERZEICHNIS

II 2.10

Eine Bemerkung zu L ORENTZtransformationen mit Zeitspiegelung . .

67

3 3.1

Erhaltungsgrößen Der Energie-Impuls-Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69 74 80

4 4.1 4.2

N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung Die elektromagnetischen Vektorpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wirkungsfunktional der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . .

86 86 88 90

5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Lösungen der M AXWELLschen Gleichungen 98 Vektorpotentiale und Eichbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Die retardierten Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Die Vektorpotentiale einer bewegten Punktladung . . . . . . . . . . . . 106 Die Abstrahlung von Energie und Impuls durch eine beschleunigte Ladung109 Die Strahlungsrückwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Literaturverzeichnis

119

Verzeichnis der Übungen

120

Index

121

TEIL I ELEKTRODYNAMIK UND SPEZIELLE RELATIVITÄTSTHEORIE

3

1

Empirische Grundlagen der Elektrodynamik

Zur Notation



 bezeichnet das Skalarprodukt zweier Vektoren im  . 

 bezeichnet das Vektorprodukt zweier Vektoren im  .  Für jede Funktion  auf bezeichnet  den Vektor mit den Komponenten:













 

Für jedes Vektorfeld !

(

"#%$&!' und ,.-0/!



auf

die Funktion

das Vektorfeld4 mit den Komponenten

(54

6 798

4 7 ! 7

4

mit


 bXb J‚L 7 > Ñ J„L . Wir setzen Sei ein B .A  -Tensorfeld 4  Õ   bX bXb   bXŸ bXb   * 7 * 4 {  Ÿ  – š –7 š  Ֆ š  Ֆ š  * *

W

‹¼H½½ W O ˜— W O —½

— — — —½ —½

(2.41)

—½

¼½#½ ¼H½½

•

und erhalten ein neues Tensorfeld derselben Stufe. Es es ist leicht zu sehen, daß auch Õ Õ   für  J gilt, wenn man wieder nur die Definition für diese Operation   von  (Gleichung (2.32) auf Seite 32) einsetzt.



N 4

N

.A Bemerkung: Für ein rein kovariantes B  oder rein >J„L kontravariantes>J„L  Tensorfeld mit , da ja keine schreibt man auch einfach 7 respektive weiteren Argumente vertauscht werden können.

¼½

2.5.3 Kontraktion  B s¹F .A s F O  B .A  -Tensorfeld, bXbXb dann bezeichnet bXbXb Sei ein  -Tensorfeld 4 man das     Ö * bX7 bXç b *   ç bXØ bXb Ÿ  4 (2.42) * *  Ÿ   Öù * 7 ç * ù  ç Ø * *

W

— W O — W O ^ — als Kontraktion von W .

—

—

—

^ —

—

W gilt offenbar:  W  O 9 6 6 9@c¿¾ Ÿ W  O O ^ 6 9 6 O 6 9@c¿¾   ^ 6 6 ^ di¾   ^ 6 ^ 6 6 ^ di¾ O x `b`bzu ` bXbXx b x daß  bXbX b x x `b`b`b`b` ` 4 x gilt: Es ist wieder leicht x `b`b` sehen, x W   O ”Ö — * — bXbX7 b ç —  —  ç bXbXØ b  4 * * *  — — — — ^ ²  W O ”Ö?ù ^ * 7 ç * ù   ç Ø * *

Für die O Komponenten der Kontraktion von

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

38

bXbXb

bXbXb

  

O

WO

O Ž— W O —

bXbXb

Ž—

*

Ž —

bXbXb *

Ž —

ç ç    R Xb * bX b 7 ç * bXbX* b  * *4  ²  ”Ö * 7 ç *   ç Ø * * ç Im vorvorletzten Schritt wurde dabei Ö *Ø  



2.5.4 Gradient

Â

—

—

Ž À^ Ž

—

^ 3 À Á Á

4

*

ç Z *

benutzt.

˜Ä ÅÇÆ©È˜É -Tensorfeld, dann definieren wir das ĘÅ7ÊwË:Æ©È˜É -Tensorfeld ̑à durch (2.43) Ę̑ÃÍÉċÎÏÉ>ĘÐÑ\ÆAÒAÒAÒÆ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖ×Õ ÉØÚÙ ØÚÙ Û Y ÃÜÄ-ÎÜÊ Y Ð Ñ ÉĘÐÝ:ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖ×Õ ÉeÞÞ ÞÞ ß'à‰á Û und nennen dieses Tensorfeld den Gradienten von à . Die Komponenten des Gradienten lassen sich aus den Komponenten von à leicht æ berechnen, wenn man für âŸã und â ãÕ die Basisvektoren äAåæ@Æ@ä%ç einsetzt. Es folgt sofort: Ę̑ÃÍÉċÎÏÉ åçFè@è ébébêbêbêbêbê ê é é ç@å:ë ìží è Ù î å è ÃÜċÎÏÉ å:çFèžð ébébêbêbêbêbê ê é é ç@å:ë ìží è îTï Sei

Ã

4

W   O |RTŽ¬ù ^ Ž — * Ž — 7 ç Ž ç * ù ^ Ž ç * —  Ž ç * —  ç Z * * bXbXb bXbXb * 4 W    O  R ù%À Ž — * Ž — 7 ç ùAÁ Ž ç * —  Ž ç * —  ç Z Ž À ^ R ç Ž * Z ^ * * bXbXb * bXbXb Á 4 ç ç W    O |Rù À Ž — * Ž — 7 ç ù À Ž * —  Ž * —  ç Z 

ein

Für den Gradienten gilt nun

Ìñ Õ ÃÜċÎÏÉ>ĘÐÍÑAÆAÒAÒAÒÆ ÐÓAÔ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ ÉÖÙ Ù Û Y ÄòñÇÕ ÃÍÉÄ‹Î»Ê Y ÐÑiÉ‰Ä˜Ð Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓAÔ Ñ Æ ÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖ×Õ É ÞÞ ÞÞ ß'à‰á Û Ù Û Y ÃÜÄóñ Õ Ä‹ÎÜÊ Y ÐÑiÉ@ÉKôŸõöÐ Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓAÔ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'à>á Û

2.5 Operationen auf Tensorfeldern, die mit

ñÕ

vertauschen

39

Ù Û Y ÃÜċõÎÜʖøkÊ Y õÐÍÑ ÉAôTõÐ Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ©õÐùÓ\Ô Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'àá Û Ù Û Y ÃÜÄóñ Õ ÎÜÊ Y õöÐ Ñ É ô õöÐÝeÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓAÔ Ñ Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Z ÞÞ ÞÞ ß'à>á Û Ùw̑ÃÜÄ¿ñ Õ ÎÏÉ ô õÐÍÑAÆAÒAÒAÒÆ©õÐÓAÔ Ñ Æ\÷ õ Ñ ÕAÐÖÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ\Ðù×Õ Z Ù²ñ Õ Ì‘Ã¹Ä-ÎÏÉÄ˜Ð Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓAÔ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ Ð ×Õ É ú Ì ñ Õ Ù²ñ Õ Ì Also ist auch der Gradient POINCARÉinvariant.

2.5.5 Hochziehen eines Tensorindexes Sei

Ã

-Ä ÅÇÆ©È-É -Tensorfeld. Wir definieren ûÜà durch das ĨőüË:Æ©ÈTÊwË#É -Tensorfeld ċûÜÃÍɉċÎÏÉý‡Ð Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ Ô Ñiþ ؑ٠ØÚÙÿÃÜċÎÏɏô ÷ Ñ Ä˜Ð ÕÑ ÉÇÆ ÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ò (2.44)

ein

à «ûÜÃ

Die Operation 
bezeichnen wir als Hochziehen eines Index. Diese Bezeichansieht: nung wird sofort klar, wenn man sich die Komponenten von

ċûÜÃÍɉċÎÏÉ åçFè@è@ébébêbêbêbêbê ê é é ç å ë ìí  è è ÙwÃÜċÎÏÉ ççFðé å ébêbè@êbêébéêbç êbê ë é í å èì è çFè˜ç

Ã

Ä-őü Ë:Æ©ÈTÊwË#É ôû÷ Ñ Ã  Z ċÎÏÉćÐÏÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖÓ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ Ð ×Õ ÉØ Ù ØÚÙÿà  ċÎÏÉ>Ä˜Ð Ý ÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÖÓÆ Ä¨ÐÏÑFÉyÆ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆ Ð ×Õ É

ûÜÃ

Entsprechend kann man das Herunterziehen von Indizes als Inverses von ( sei ein -Tensorfeld):

Auch für diese Operation gilt Beweis:

û

ñ Õ ûÙkû ñ Õ , woraus sofort ñ Õ û ÷ Ñ kÙ û ÷ Ñ ñ Õ

Äòñ Õ ûÜÃÍÉÄ-ÎÏÉýaÐÏÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ Ð ×Õ Ô Ñ þ Ù

definieren

(2.45)

folgt.

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

40

٠ċûÜÃÍÉ>Äóñ Õ ÎÏɏôTõÐÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ©õÐÖÓ ÷ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ù ÃÜÄóñ Õ ÎÏÉ ô ÷ Ñ ô>÷ õ Ñ Õ Ð ÕÑ Z Æ©õöÐÍÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ©õöÐÖÓ ÷ Ñ Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒ#Æ ÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z  Ý Ý 

Ù ê ÃÜÄóñ Õ ÎÏÉöôŸõ ÷ Ñ Ä˜Ð ÕÑ ÉÇÆ©õöÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ©õöÐÓ ÷ Ñ Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ÝÕ ÆAÒAÒAÒ#Æ\÷ õ Ñ Õ Ð ×Õ Ô Ñ Z Ù ñÇÕ ÃÜċÎÏÉ ô ÷ Ñ Ä¨ÐÕÑ ÉyÆ ÐÑ%ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÓ ÷ Ñ Æ ÐÖÝÕ ÆAÒAÒAÒ%Æ ÐÖ×Õ Ô Ñ Z ٠ċû ñ Õ ÃÍÉ>ċÎÏÉ ý ÐÍÑAÆAÒAÒAÒ#Æ ÐÓ ÷ Ñ Æ Ð ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æ Ð ×Õ Ô Ñiþ

2.5.6 Weitere invariante Operatoren

û»Æ©û ÷ Ñ Æ aÆiÌ

ñ

Da die Operatoren   und  mit der Operation der P OINCARÉgruppe kommutieren, gilt das natürlich auch für Operatoren, die aus Summen und Produkten dieser Operatoren bestehen.

 ã ûÜÆ©û Õ ÜÙ#ñ Õ .

Mit

÷ Ñ ÆÜÆiÌ3Æ   ÄeÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ »É

gilt also für



Ø Ù "!ã Ñ  ã à

auch

Beispiele:

Wir haben in Gleichung (2.9) auf Seite 25 den Feldstärketensor $ mit den Tensorkomponenten $ eingeführt, das heißt ein &% ' -Tensorfeld komponentenweise definiert. Hierzu treten, ebenfalls komponentenweise definiert,

Hå ç Ä-ÎÏÉ

Ä  Æ É å å ( $( ċÎÏÉ und i). das ĞË:Æ%Ë#É -Tensorfeld mit den Komponenten $ ç Ä-ÎÏÉÖÙ å å ( ç ç *+$ ( ċÎÏÉ . ii). das Ä)'MÆ%É -Tensorfeld mit den Komponenten $ çöċÎÏÉùÙ * Der Vergleich der Tensorkomponenten zeigt:

7ç å ċÎÏÉ haben wir genau die Tensorkomponenten von û"$ definiert, das heißt û"$ ċÎÏÉ>ÄäAåTÆ@ä ç ÉùÙ,$ ç å ċÎÏÉ , å Ý ii). und mit $ çöċÎÏÉ wurden die Tensorkomponenten von ü û $ eingeführt, das heißt å$ ç ċÎÏÉÏÙ ü û Ý $ Ä-ÎùÉ>Ää å Æ@ä ç É . i). Mit $

2.5 Operationen auf Tensorfeldern, die mit

ñÕ

vertauschen

41

Hieraus wurden außerdem noch zwei weitere Tensorfelder gebildet:

Ä  Æ É

iii). Das schiefe &- ' -Tensorfeld chung (2.13) auf Seite 26):

Û $ mit den Komponenten (vergleiche GleiÄ@Ä Û $ÚÉ>ċÎÏÉ@É å./ è10 å./ ð 0 å./32 0 ØÚÙ54  Ä@Ä Û $ ÉÄ-ÎÏÉ@É å è å ð å 2 Ä@Ä Û $ ÉċÎÏÉ©É å è å ð å 2 ØÚÙ î $Hå ð å å 2 è ċÎÏÉ ü î $tå è å å 2 ð ċÎÏÉ Ê î $tå è å å ð 2 Ä-ÎÏÉ îTï îŸï îTï falls '7698; Ñ :98 Ý :=?6@iv). Das ÄA'MÆ%Ë#É -Tensorfeld ÛCBED $ mit den Komponenten (vergleiche Gleichung (2.12) auf Seite 26):

Ä@Ä ÛCBFD Ú$ ÉÄ-ÎÏÉ@É ç Ù î å $ å ç ĘÎÏÉ îŸï

Wir behaupten nun, daß sich auch diese Operatoren auf die angegebenen CARÉinvarianten Operatoren zurückführen lassen: i).

Ñ G JILK 2 4   MÌ $ ÛFür$ÜÙ dieHÝ Tensorkomponenten gilt nämlich NO7P

IQK 2

4 M Ì$

ċÎÏÉ RS å

Ù

P

è å ð å 2 P IQK 2 Ù

ii).

POIN -

ÛVBED $5Ù Wü 

Ì û Ý$

4  Ä-ÌM$ 4

ĘÎÏÉ@É å./ è10 å./ ð 0 å./32 0

å î ./ è10 $ ‹Ä ÎÏÉ å ./ ð 0 å./T2 0

îTï Ù % ô î $tå ð å å 2 è Ä-ÎÏÉ ü î $Hå è å eå 2 ð Ä-ÎÏÉ Ê î $tå è å å ð 2 ċÎÏÉ Z U îTï îŸï îTï IQK 2

Auch dies kann wieder komponentenweise nachgerechnet werden:

ý  Ì û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ å Ù ý Ì û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ ċä ç Æ@ä ç Æ@ä å É Ù î ç ý˜û Ý $ ‹Ä ÎÏÉ þ ċä ç Æ@ä å É îTï

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

42

Ù ü î ç $ ç å -Ä ÎùÉ îTï Indem wir nun sofort klar, daß

ñ Õ ÛCBED ñÇÕ Û

Û$

und

ÛCBED

$



als Produkte dieser Operatoren geschrieben haben, ist

Ù CÛ BED ñ Õ Æ Ù Û ñÇÕ

(2.46) (2.47)

gilt.

2.5.7 Nichtlineare invariante Operatoren Die im letzten Abschnitt betrachteten Operatoren sind alle linear. Wir können mit Hilfe des Tensorprodukts auch nichtlineare Operatoren auf Tensorfeldern, die der Bedingung YX X genügen, konstruieren.

ñÕ Ù ñÕ

Beispiele: i).

X &Ä $ ÉÖÙZ$\[U$

macht aus dem (2,0)-Tensorfeld ein (4,0)-Tensorfeld. Dafür gilt

dann

ñ Õ X Ä&$ É Ùœñ Õ Ä)$][^$ É Ùœñ Õ $_[»ñ Õ $ Ù X ¿Ä ñ Õ $ÚÉ ii).

X &Ä $ ÉÏÙ` AÄ $_[¢û"$

É , was in Komponenten X )Ä $ É å ç Ù`$(:åa$ :* ç diesem Fall bleibt die Stufe des Tensorfeldes erhalten. Auch hier gilt wieder

ñÇÕ X Ä&$ÚÉÖٛñÇÕY*Ä)$][¢û"$ É Ù Ù] ñ Õ Ä)$][¢ûb$ÚÉÖÙc*Äóñ Õ $][»ñ Õ û"$ É Ù Ùc*Ä¿ñ Õ $][¢û ñ Õ $ÚÉÖÙ X Äòñ Õ $ É

(*

bedeutet. In

Übungen

43

iii). Die Funktion X Z$ als X &$

Ä ÚÉ>ċÎÏÉÖÙ

Ä&$ ÉùÙ¯( üd Ý ý $_[¢û Ý $ þ , die sich aus den Tensorkomponenten (*$ *

ergibt.

Die P OINCARÉinvarianz zeigt man wieder genauso wie in Beispiel ii).

ebf+gUf+hVikjHlnmpo

ÜÆ©û»ÆiÌkÆ

In der Praxis schreibt niemand die oben definierten Operationen  [ und so weiter wirklich explizit aus, sondern es werden nur die Endprodukte in der Form von Tensorkomponenten benutzt. Beispiel:

Éå Ù î å $ ( * $ ( * îTï Am Indexbild erkennt man sofort: Dieses ĞË:Æ' É -Tensorfeld wird durch zweifache Anwendung von û auf $ , Tensorieren mit $ , zweifache Kontraktion und anschlieX AÄ $

ßende Bildung des Gradienten erzeugt. Also gilt

ÄòñÇÕY$ É Ù›ñÇÕ X Ä&$ ÉyÒ X

Für kompliziertere Tensorfelder gilt dies natürlich auch. Es bedarf nur einer gewissen Übung, um aus den Tensorkomponenten die einzelnen Operationen herauszulesen.

Übungen Aufgabe 2.3 — Multilineare Algebra Sei q ein r -dimensionaler (reeller oder komplexer) Vektorraum. Der Raum der linearen Funktionen auf q (mit Werten in s oder t ) wird mit q bezeichnet und stellt wieder einen Vektorraum gleicher Dimension dar. q heißt Dualraum zu q . Falls X aq"
uq eine lineare Abbildung ist und vq , so setzen wir für alle wvq

Ø

ïÕ

Õ

Õ

Ä X Õ ï ÕAÉ\Ä-âyÉÏÙ ï Õ:Ä X âÇÉyÒ (a) Zeigen Sie: (i) X Õ definiert eine lineare Abbildung X Õ Øaq Õ
uq Õ ; (ii) Es gilt: Ä Xvx É Õ Ù x YÕ XÕ und Ñ Ñ (iii) XÕ ÷ Ù X ÷ Õ . X Õ heißt die zu X adjungierte Abbildung.

Õ

â

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

44

äAåTÆ µÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ r

Sei 8 ist durch

eine Basis von

ä å Ää ç ÉùÙUy çå Æ

wobei y

q

åÙ z Ë ' ç{

. Die zu

äAå

duale Basis

ä å Æ 8µÙ!Ë:ÆAÒAÒAÒÆ r

äå Ù X åçäç

Õ

5Ùc| Õ ä å .

(E INSTEINsche Summenkonvention!). Berechnen Sie X

Õ , das heißt den Raum

Wir untersuchen jetzt den Raum der linearen Funktionen auf q . q . Sei w}q . Wir setzen für alle vq :

ÕÕ

q

falls 8 sonst

eindeutig definiert. (b) Sei X

von

â

ï Õ Õ â Õ ÕLÄ ï Õ ÉLÙ ï Õ Ä-âyÉ â
â Õ Õ vq Õ Õ ist ein linearer Isomorphismus. (c) Zeigen Sie: Die Abbildung n Wir werden vermöge dieses Isomorphismus die Räume q und q Õ Õ , das heißt die â }q Elemente âwvq und â Õ Õ vq Õ Õ , in der Folge stets identifizieren. Ein Vektor w repräsentiert somit stets ein Vektor â Õ ~ Õ q Õ Õ und umgekehrt. Tensoren Eine Funktion

ÖØa„ qd€vqW‰ …‡€‚† ƒƒ€vq ˆ -mal

Å

€Š„ q Õ }€ q Õ ƒ… €‹† ƒƒ€}q ˆ Õ
s Œ -mal

È

Ä-ÅÇƩȘÉ

heißt -fach kovarianter und -fach kontravarianter Tensor auf q oder kurz Tensor, falls für alle q , in jedem Argument vq linear ist. Sei  ein   -Tensor. Wir setzen:

âNã â ãÕ Õ Ã Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ É Ã Ä-Å Æ©È É ÄÃ"[œÃ  É\Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓpÆiâŸÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ\ÔÓ  Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ Æiâ ×Õ Ô Ñ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ Ô ×  É Ùlà Ä-â Ñ ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓpÆiâTÕÑ ÆAÒAÒAÒÆiâT×Õ É Aà  Ä-âŸÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ%ÆiâTÓ\ÔYÓ ‡ÆiâT×Õ Ô Ñ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâT×Õ Ô ×  É und erhalten einen Ä-ŠʖÅa‹Æ©ÈNʖ1È /É -Tensor. (d) Zeigen Sie: Es gilt Äb à [¢à  >É [›à  iÙqbà [Äà Q[œà  'É . (e) Zeigen Sie:

ÛÙlà å @è êbêbê å ë Fç èžêbêbê ç ì ä çFè

wobei

[]ƒƒŽ[œä ç ì [œäAå è []ƒƒ[œäAå ë

à å @è êbêbê å ë Fç èaêbêbê ç ì Ùlà Ä ä Fç è ÆAÒAÒAÒ#Æ@ä ç ì Æ@ä å è ÆAÒAÒAÒ#Æ@ä å ë ÉyÒ

Æ

Übungen Die Zahlen

à å @è êbêbê å çë è êbêbê ç ì

45

Ã

heißen die Tensorkomponenten von .

(f) Zeigen Sie: Diese (k,l)-Tensoren bilden einen Vektorraum der Dimension r

ÓAÔ × .

Øaq"
uq umkehrbar und linear. Wir setzen: Ñ Ñ Ä X Õ ÃÍÉ\Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æiâ ×Õ ÉÖÙlÃ Ä X â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ#Æ X âŸÓ Æ X ÷ Õ â ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ X ÷ Õ â ×Õ ÉyÒ (g) Zeigen Sie: XÕ stellt eine lineare Transformation des Raumes der Ä-ÅÇÆ©È˜É -Tensoren dar und es gilt: (i) Ä X}x É Õ Ù x Õ X Õ ; Ñ Ñ (ii) XÕ ÷ Ù X ÷ Õ und (iii) XÕ Ä" à [œà /ÉLÙ Ä XÕ ÃÍÉ [Ä XÕ à /É . Berechnen Sie die Tensorkomponenten von XÕ Ã . Sei X

Kontraktion

-Ä ÅÇÆ©È-É -Tensor und äAåyÆMÄ8µÙ Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ rHÉ eine Basis von q . Wir setzen: à ‘ Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒ#ÆiâŸÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒÆiâ ×Õ ÷ Ñ ÉÖÙwà Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒ#Æ@äAåyÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%Æ@ä å ÆAÒAÒAÒ%Æiâ ×Õ ÷ Ñ ÉyÒ ‘ å (Beachte: à hängt von der Position von äAå und ä in den Argumenten ab!) ‘ ‘ ‘ (h) Zeigen Sie: à hängt nicht von der Wahl der Basis ab, und es gilt: XÕ Ã Ù Ä X Õ ÃÍÉ . Sei ’ ein symmetrischer, kovarianter Tensor zweiter Stufe, das heißt ’Ä Æ “ŸÉLZ ï Ù ’ÇÄ “ÇÆ ï É , und ’ ist nicht ausgeartet, das heißt, daß aus ’ÇÄ ÆiâÇÉLÙ#' für alle âvq , folgt ÙZ' . ï ï Ø q"
uq Õ , definiert durch ’ÇÄ ï É\Ä-âÇÉL#Ù ’ÇÄ ï ÆiâÇÉ für alle (i) Zeigen Sie: Die Abbildung ’¹V âw}q , ist ein linearer Isomorphismus. Sei

Ã

ein

Transformationen von ko– und kontravarianten Tensoren vermittelt durch ’

à ein Ä-ÅÇÆ©È-É -Tensor. Wir setzen à  Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓAÔ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ ÷ Ñ ÉÍØóÙwà Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ƕâN” ãžÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓAÔ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%ÆJ’ÇÄ-âŸã‡É ÆAÒAÒAÒ#Æiâ ×Õ ÷ Ñ É und erhalten einen Ä-Å Ê Ë:Æ©ÈÖüË#É -Tensor. ( âN” ã bedeutet, daß dieses Argument fehlt). Sei

Ebenso ist

à   -Ä â>Ñ#ÆAÒAÒAÒ%ÆiâŸÓ ÷ Ñ ÆiâyÕÑ ÆAÒAÒAÒ#ÆiâT×Õ Ô Ñ ÉÍØóÙ ØÚÙÿà Ä-â>Ñ%ÆAÒAÒAÒ%ÆJ’ ÷ Ñ Ä-â ãÕ É ÆAÒAÒAÒ#ÆiâŸÓ ÷ Ñ Æiâ ÕÑ ÆAÒAÒAÒ%ÆJ–â ãÕ ÆAÒAÒAÒÆiâ ×Õ Ô Ñ É ein Ä-őü Ë:Æ©ÈTÊwË#É -Tensor. Weiterhin sei äAå eine Basis von q und ’:å ٗ’ÇÄäAåÇÆ@ä É . ç ç

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

46

à . (k) Zeigen Sie: Falls X eine Isometrie von ’ ist, das heißt, ’Ä X Æ X Ÿ ï “ ÉLÙZ’Ä ï Æ “ŸÉ alle Æ “˜vq , so gilt: Ä XÕ ÃÍəiÙ XÕ Ã und Ä XÕ ÃÍə ©Ù XÕ Ã  . ï (j) Berechnen Sie die Tensorkomponenten von

Ã



und

für

Sei jetzt q reeller r -dimensionaler Vektorraum und ’ ein symmetrischer nicht ausge,4 ny , arteter Tensor zweiter Stufe auf V. Es gibt eine Basis von q mit ’ wobei

äAå

4ã

äAå

Ù«Ë

4©ã>Ù

ÇÄäAåÇÆ@ä ç ÉLÙ @å Få ç

˂6Ñ#ÆAÒAÒAÒ#ÆiâTÓ:ÉyÆ wobei 4Ä) tÉ das Signum der Permutation   ist. Man kann zeigen, daß die Menge dieser Tensoren à einen Vektorraum X Ó der à  X Ó und à   X ÓY ist das £ -Produkt wie folgt erklärt: Dimension &ý ¢ Ó þ bildet. Für 7 à £qà Y X ÓAÔYÓ  und b Ä"à £qPà  É\Ä-âÑ%ÆAÒAÒAÒÆiâŸÓAÔYÓ ÉùÙ Ù IQK Å¥4#)Ä ¤ Å t É ¤ à Ä-â   Ñ ÆAÒAÒAÒÆiâ   Ó É‡Ã  Ä-â   ÓAÔ Ñ ÆAÒAÒAÒ%Æiâ   ÓAÔYÓ  É Ò ìaípì  Zeigen Sie:

Übungen

47

Ãb£ à  Ù!Ğü7Ë#É Ó ¦ Ó  à  £qà ; à £ Ä Ã  å £qà   ÉLÙ ÄÃ"£ à  ɐ£qà   ; (ii) b (iii) Falls ä (8µÙ!Ë:ÆAÒAÒAÒ#Æ r ) eine Basis des Dualraumes q Õ ä å è £bƒƒ£ ä åeì Æ Ä8Ñ:#= É keine Permutation von falls Ä8 Æ  ® ' á ist, ) Ä ' M % Æ : Ë  Æ %    Æ  É #§ åž« å è å:ðaå 2 Ù ¬­ falls 8>( Ùcù   Ä&° É , wobei  žb¡~± eine Permutation ü­¯ w§ Ä) tÉ von Ä)M' Æ%Ë:Æ % Æ- É mit Signatur #4 Ä)t  É ist, ' Æ pª É -Tensorfeld mittels gilt. Ebenso definieren wir ein konstantes Ä)M § å 燲´³ Ù å#å  ç\ç  ²´²  ³´³  § å  ç  ²  ³  Ò Bemerkung: Diese etwas unnatürliche Definition von § wurde gewählt, weil in Ñ= den meisten Physiklehrbücher § á Ý Ù¬ÊwË gesetzt wird.

2 Die kovariante Formulierung der M AXWELLschen Gleichungen

48 Sei $

der Feldstärketensor. Wir setzen

ęµ$ ‡É å ç ċÎÉÖÙ %Ë § å Yç ²³ $ ²´³ ‹Ä ÎÍÉyÒ (d) Zeigen Sie: Die Funktionen ™Ä µ$Úɇå ç feldes

µ$

stellen die Komponenten eines

dar und es gilt:

Ä&% Æ' É -Tensor-

ñ Õ Ä™µ$ ÍÉ Ù Û äƒ¶#ċõöɵÄóñ Õ $ÚÉ Berechnen Sie ™Ä µ$ÚÉ ã@Æ#ęµ$ É ã ÓMÄiÆiÅùÙ Ë:Æ% Æ-É , und stellen Sie den Zusammenhang ã á mit den Komponenten des elektrischen Feldes · und des magnetischen Feldes x ã dar. Bemerkung: ™Ä µ$ É heißt der duale Feldstärketensor. In den meisten Physiklehrbücher wird dieser Tensor mit ¸$ bezeichnet. å Ù ª¹&· Æ x7º Ò Zeigen (e) Berechnen Sie ™Ä µ$ ɇå $‚²%ç , und zeigen Sie, daß ™Ä µ$ ɇå $‚² Z ² ² å å Ý Ý Ù % Yý » · » ü » x » þ Ò Sie auch, daß $Hå $ ² Ù ü ™Ä µ$ É‡å ™Ä µ$ É ² , ² ² (f) Zeigen Sie:

¼$ c Ù '

gilt dann und nur dann, wenn

ÛCBFD ęµ$ ÉÍÙc' gilt. Wir definieren die Komponenten des sogenannten Energie-Impuls-Tensors durch:

½ÚÄ)$

É

Ä1½ÚÄ)$ @É É‡å ç Ù ªQË ¾À¿ $ å ³ $ ³ ç Ê ª Ë $ ²´³ $ ²´³ å çÁ Ò (g) Zeigen Sie, daß ½ÚÄóñ Õ $ÚÉLÙ ñ Õ ½ÚÄ)$ É gilt. (h) Zeigen Sie:

Ä ÛCBFD ½ É ç Ù ªQË ¾u¿ %Ë $ ²³ Ä ¼ $ É ²´³#ç Ê Ä CÛ BED $ É ³ $ ³%ç Á Ò Anregung: Berechnen Sie die Komponenten 1Ä ½ÚÄ)$ É@É å für die elektromagnetische ç Welle mit dem Feldstärketensor

$

ċÎÍÉ\Ä-øÏÆ ÉÖÙ X Ä ¹ i Æiø

º ¹ l ÆÂ º ü@¹ l

Æiø

º ¹ i Æ º ɚà FB Ä Ä ¹ i

Æ©Î º åQr Ù ü*Ë und eine Welle dieser ± ein zweiter Vektor mit Form heißt linear polarisiert. Seien X Æ °kƒ;s und ƒ˜s å å å r å r Ù*üË und Å å r ` Ù 'tZÙ r å r und $  å ç ċÎÏÉùÙ X  ý˜ÅL•å r  ç ü Å ç r  å þ ì‡í à , Å ³ ï ³ ^ Ê ° . (2.85) $tå ç

ċÎÏÉùÙ

X

der Feldstärketensor einer zweiten ebenen Welle. Sie ist wieder eine Lösung der M AXWELL-Gleichungen bei verschwindender Viererstromdichte, und das gleiche gilt auch für

)å ç cÙ $Hå ç ÊÍ ã Û ï Û ï ãá yY±Tý˜Î ü²Îãý ï ã%á þ#þ Ò à ÷_

Nach der Variablentransformation

ï ãÇü ï ã ý ï ãá þ “ ãá Ù ï ãá ü „…‡È †Ê ˆ gà « “Lã‰Ù

folgt dann

P

Ý

P

1ÄÊ©É Ù ã Ì Ñ>Í ã Û ± “MyY± Ä)“ŸÉ Ù ã Ì Ñ>Í ãaÆ à à das heißt, die Gesamtladung 1 ist nicht von der Zeit abhängig und (natürlich) POINCARÉinvariant.

3 Erhaltungsgrößen

74

Wir verschaffen uns jetzt ein solches kontravariantes Vektorfeld  nach einem speziellen Rezept. Sei ½ ein kovariantes symmetrisches Tensorfeld 2. Stufe mit Komponenten ½ für das gelte(i) :

œÄ‹ÎÏÉ Çå ç ċÎÏÉ î å ½ å ç ċÎÏÉÖÙc' îŸï ½Çå ç ċÎÏÉÖ_ Ù ½ ç åċÎÏÉ (Symmetrie) Sei wÄ-ÎùÉ ein Vektorfeld mit î (  * ċÎÏÉ‰Ê î *  (7ċÎÏÉ ÙU' îŸï îTï Dann gilt:  å ċÎÏÉ Ù_½ å ç Ä-ÎÏÉ ç Ä-ÎùÉ erfüllt ÛCBED ,Ù ' . Denn: î å Ä ½ å ç Ä-ÎùÉ  ç ċÎÏÉ©ÉÖÙ „ ô î å ½ …‡† å ç ċÎÏÉ Ú ˆ  ç ċÎÏÉ>ʽ å ç î å  ç ċÎÏÉ îŸï îŸï îŸï àá Ë å Ù % ½ ç „ ô î å  ç Ä-ÎÏÉ>…‡Ê † î ç TåċÎÏÉ Ú ˆ îTï îTï àá Ù 'MÒ c = wieder eine Erhaltungsgröße. Damit liefert z  á ċÎÏÉ « Ö Þ Û g ß ï wir nun genau ein solches Tensorfeld ½ Für die ElektrodynamikÞ àwerden entsprechenden Vektorfelder

3.1



(3.10) (3.11)

(3.12)

(3.13)

und die

konstruieren.

Der Energie-Impuls-Tensor

Zunächst führen wir den Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes ein:

Ľ€[‚'É å ç ØÚÙ ªQË ¾ ¿ $ å ³ $ ç ³ Ê ª Ë $

( * $ ( * å çÁ

/ æ 0 Heben der Indices sei, wie eingeübt, mit Hilfe der Metrik definiert und ausgeführt.

(3.14)

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor

75

Er erfüllt

Ä ÛCBED ½€[‚'É ç Ù ªQË ¾ ô %Ë $ ²³ Ä Û $ É ²´³%ç Ê Ä VÛ BED $ÚÉ ³ $ ³#ç Ú Ò

(3.15)

Beachten wir die M AXWELLschen Gleichungen und heben den Index | , so folgt

Ä ÛCBED ½ €[‚'É ç Ä-ÎÏÉÖÙ«ü ÈË $ ³ ç ċÎÏÉ É ³ ċÎÏÉ P

Ù«ü ã Ñ>Í ã à

Ý

$ ³ç

Ä-ÎÏÉ+yY±ÏċΠü ÎãŸÄ&Å#ã-É@É ï  ³ AÄ Å%ã-É Û Å#ã Wegen der yY± -Funktion können wir Î in $ ç durch ÎãNAÄ Å#ã‹É ersetzen, und die Bewe³ Ì

gungsgleichungen liefern dann zusätzlich

Ä ÛCBED ½ €[‚'É ç Ä-ÎÏÉÖÙ P Ý Ù ü ã Ì Ñ 3ã È Ý Û #Å ã¥yY± Ä-Î ü²ÎãMÄ&Å#ã-É@É Û Å%ã ¹-Î  Ä&Å#ã˜ÉyÆ©Ë Î  Ä&Å#ã˜É ðè ï ã ç Ä&Å%ã˜ÉÇÒ ã º Û ã à

Hier kann partiell integriert werden, und man erhält, wegen

mit

½

ƒ

Û Å#ã yY±ÏÄ-Î ü ÎãNÄ&Å%ã˜É©É Ùuü ï ã ( Ä&Å%ã˜É î ( yY±ÏÄ-Î ü Î ãNÄ&Å#ã-É©ÉyÆ îTï Û Ä CÛ BED ½€[‚'É ç Ä-ÎÏÉ Ùuü î å ½ ƒ å ç ċÎÏÉÇÆ îTï P å½ ƒ ç Ø Ù Ì 3ã È Ý Ý Å%ã yY±Ä-Î ü ÎãN&Ä Å%ã˜É©É ï ã å Ä&Å%ã˜É ï ã ç Ä&Å%ã˜É Ò Û ¹‹Î ã &Ä Å%ã˜ÉyÆ©Î ã &Ä Å%ã˜É º ðè ãà Ñ

(3.16)

(3.17)

heißt der Energie-Impuls-Tensor der materiellen Teilchen und mit

½;„4…†„ؑÙ@½y€[‚pÊp½

ƒ

(3.18)

wird der Energie-Impuls-Tensor des Gesamtsystems aus Teilchen und Feld bezeichnet. Erhaltungsgrößen erhalten wir jetzt mit Hilfe des speziellen Vektorfeldes

 å ċÎÏÉØ Ù‡0 å œÊ Ã çå ï ç Æ

(3.19)

76

0å

wobei der Tat

konstant und

à çå

3 Erhaltungsgrößen konstant mit

Ãtå ç

schief ist. In diesem Falle gilt offenbar in

î (  * ‹Ä ÎÏÉ‰Ê î *  ( ċÎÏÉ ÙU'MÒ îŸï å å îTï ي½ „|…†ç„  ç , so ist, falls ½ „|…†„ genügend rasch im Unendlichen verschwinSetzen wir  det,



Ý

Ù

Ù Ý

á ‹Ä ÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß Û = ï ½ „|á …†² „ ĘÎÖˆÉ  ² ċÎÏÉ Þ « Ö Û ï Ñ Û ï Ý Û ï = Þg à ß 

(3.20)

unabhängig von der Zeit, das heißt eine Erhaltungsgröße.

 explizit ein, so lautet (3.20) voll ausgeschrieben Ý   Ù Û = ï , ½ „|á …†å „ ċÎÏÉ0påʽ „|á …†å „ ċÎÏÉ ï ç Ãtå ç . « Ö gà ß Ý Ù Û = ï ô ½ „4á …†å „ Ä-ÎÏÉ0påÊ %Ë , ½ „4á …†å „ ċÎÏÉ ï ç üž½ „4á …†ç „ Ä-ÎùÉ ï å . Ãtå ç Ú « Ö Ò gà ß 0 å und Ãtå ç waren völlig beliebig gewählt. Wir schließen hieraus: Die folgenden Größen sind unabhängig von der Zeit Ä ©ÆiÅùÙ Ë:Æ % Æ -É Ý

á )Ä Ê©ÉÖÙ Û = ï ½ „|á@…†á „ ċÎÏÉ Þ « Ö (3.21) gÞ à ß ã )Ä Ê©ÉÖÙ Ý = ½ „|á …†ã „ ċÎÏÉ « Ö (3.22) ÞÞ g à ß Û ï ‰ á ã ÄÊ@É Ù ü ‰ ã á Ä)Ê©ÉÖÙ Ý = ý ½ „4á@…†á „ ċÎÏÉ ã üâ½ „4á …†ã „ Ä-ÎÏÉ á þ « Ö (3.23) ï ï gà ß Û ï ‰ ã Ó Ä)Ê©É Ùuü ‰ Ó ã Ä)Ê©ÉÖÙ Ý = , ½ „|á …†ã „ Ä-ÎÏÉ Ó üâ½ „|á …†Ó „ Ä-ÎÏÉ ã . « Ö (3.24) ï ï gà ß Û ï Setzen wir den Ausdruck für

Wir bemerken nochmals: Auf der rechten Seiten ergeben sich konstante Werte. Jetzt können wir uns davon überzeugen, daß die klassischen Erhaltungssätze für Energie, Impuls, Schwerpunkt und Drehimpuls in der Tat weiter gelten. Sie erscheinen allerdings in modifizierter Form und werden maßgeblich dadurch beeinflußt, daß das elektromagnetische Feld zu den Erhaltungsgrößen beiträgt.

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor

77

Wir betrachten zunächst den Beitrag des Materietensors zu den Erhaltungsgrößen = als Funktion der Zeit aus. Die 3und drücken ihn durch die Bahnkurven im s dimensionale Integration eliminiert dabei die yY± -Funktion, und man erhält nach einiger Rechnung:

P

¹Ó È Ý ƒá Ù Ì  Ý ðè Ó à Ñ ô ËKü ,‹Š õ ì ֌ ß Š. Ú P ¹ÓÜ Óã ÄÊ©É ƒ ã Ù È Ì  Ý ðè Ó à Ñ ô ËKü ,‹Š õ ì ֌ ß Š. Ú P ‰ ƒá ã Ù È Ý Ì ¹Ó ãÓ ÄÊ@ÉüW檆 Óã Ä&Ê@É þ ý è ð  ï Ý Ó à Ñ ô‰ËKü ,‹Š õ ì Ö ß Š . Ú P ‰ ã +ƒ Ù ÈÓ ist die Summe der relativistischen Bewegungsenergien der einzelnen Teilchen.à Sie ist selbst keine Erhaltungsgröße. Addiert man jedoch Ñ = , » · » Ý Ê » x » Ý . « Ö , so ist die Summe zeitlich konstant: den Beitrag €[á ‚ Ù †Ž z Û ï gàß

á c Ù ƒ á pÊ €[á ‚ Ù const.

€[á ‚ ist demzufolge natürlich als Energiebeitrag des elektromagnetischen Feldes zu interpretieren. Dieser erscheint als Integral über  Ø Ù †Ñ Ž , » · » Ý Ê » x » Ý . . Diese Funktion wird auch als Energiedichte des Feldes bezeichnet. ã ã Die Komponenten ƒ ñ È und €[‚ ñ È faßt man am besten zu jeweils einem Vektor ƒ beziehungsweise /€[‚ zusammen, für die dann gilt P

ƒ Ù Ì ñTã‡Æ ãà Ñ Ý = Ë

/€[‚yÙ ªQ¾ È Û ï · Æ x Ò ñTã ist der uns wohlbekannte relativistische Teilchenimpuls und somit ƒ der Gesamtimpuls aller Teilchen. Er allein ist wieder nicht zeitlich konstant. Addiert man aber /€[‚ , so gilt

Ùc ƒ Ê^ €~‚yÙ const. Wieder liegt die Interpretation von /€[‚ auf der Hand: /€[‚ ist der Impuls des elektromagnetischen Feldes.

Wir setzen jetzt noch

P

 ƒ ÚØ Ù Ì ¹Ó ÓpÆ Ó à Ñ ‰ô ËKü ,`Š õ ì Ö  ß Š . Ý ðè ï Ú Ý  €[‚ØÚÙ  Ë ÈFÝ = , » ·wċÎÏÉ » Ý Ê » x ċÎÏÉ » Ý . Ò ¾ Û ïï

(3.25)

(3.26)

3.1 Der Energie-Impuls-Tensor Aus der zeitlichen Konstanz von

Ä  ƒ Ê  €~‚/Éüd ‹ÊÖÙ  á Ù

ƒ

79

‰ ƒ ã Ê ‰ €[‚ ã folgt á á const.

(3.27)

 €[‚

ist offenbar bis auf einen Faktor der relativistische Schwerpunkt der Teilchen, als Schwerpunkt des elektromagnetischen Feldes anzusehen. Gleiund somit ist chung (3.27) ist dann nichts anderes als der verallgemeinerte Schwerpunktsatz.

‰ ã + ØÙ ‰ ƒ ã + Ê ‰ €[ã +‚ P Ý = Ë Ì û ØÚÙ ï Ó Æ‹ñyÓ Ê ªQ¾ È Û ï ï Æ · Æ x7  Óà Ñ

Aus den restlichen Erhaltungsgrößen

folgt: (3.28)

ist eine Erhaltungsgröße. Der erste Term ist offenbar der gesamte Teilchendrehimpuls, und wie bei den anderen Erhaltungsgrößen liegt die Interpretation des zweiten Terms wieder auf der Hand: Es ist der Drehimpuls des Feldes selbst. Addiert man ihn zum Teilchendrehimpuls, erhält man eine Erhaltungsgröße û .

ÎÖÓÙ ñ ÷ Ñ Õ ÖÎ Ó

Wir betrachten jetzt die transformierten Bahnkurven ¸ sowie die transformierten Felder $ . Wir haben auf den Seiten 51 bis 53 gezeigt, daß É der zu den transformierten Bahnkurven gehörende Strom ist. Analog gilt dies bei exakter Kopie des Beweises auch für ½ . Gleichfalls ist(i) ½ der Energie-Impuls-Tensor des transformierten elektromagnetischen Feldes $ . Hieraus folgt: ½ ist der Energie. Sei  Š½ wie Impuls-Tensor zum Feld $ und zu den Bahnkurven =  « Ö die P OINCARÉinvarianz zuvor. Nach (3.9) auf Seite 72 gilt für

ñÕ

Ý

=  ï

ñÕ ƒ ñÕ

ñÕ

Ý

ñ Õ €[‚

ñ ÷ Ñ Õ ÎÖÓ z Û ï á ċÎÏÉ Þ g Þ àß = ¿Ä ñÇÕY É Ä‹ÎÏÉ á ÞÞ g « Ö Ò Û ï Þ à ß

á -Ä ÎÏÉ ÞÞ g « à Ö ß Ù Andererseits ist Äóñ Õ  É å Ù Äóñ Õ ½ É å ç Ä¿ñ Õ  É ç Ò ( Für Äóñ Õ  É gilt aber, wegen  ċÎÏÉÖÙN0 ʢà ( ç ç ç ç ï ‘ } ( ‘ ( ñ Õ  ç Ùwõ * ç [ý 0 * ʢà * ( ý¨õ ï Ê T þ#þ ‘ ‡Ù 0 ç ʢà ç ‘ ï Æ wobei

Û

0 ç ØÚÙuõ * ç Ä 0 * ʜà * ( T ( ÉÇÆ

/ æ 0 Beweis siehe Aufgabe 2.5 auf Seite 47.

ñ Õ Ä‹ÎÏÉ

ñ Õ |„ …†„ å å Ù çç

(3.9)

(3.29) und

ñÙ¬Ä‹õ ÆÂMÉ , (3.30) (3.31)

3 Erhaltungsgrößen

80

à ç ‘ ÚØ Ùuõ * ç õ ( ‘ à * ( Ò (3.9) und‰ (3.29) auf der vorhergehenden Seite implizieren für die Erhaltungsgrößen

 å und  å ç , die zu den transformierten Feldern und Teilchenbahnen gehören, daß

 å 0 å Ê ‰  å ç à å ç U Ù å 0påÊ ‰ å ç Ãtå ç Ò Hieraus folgt sofort

‰ oder

( *

 å õ ( å Ùc (

õ å ( õ ç * Ê %Ë ý  ( õ å ( T ç Wü  ( õ ç ( T å þ Ù ‰ å ç

(3.32) (3.33)

( Ù ô ÷ õ Ñ Ú å ô>÷ õ Ñ Ú * ô ‰ å ç ü %Ë ÄRT ç å üW ç T å É Ú Ò (3.33) ç Wegen (3.32) und RÄ ’5ÆU’ÜÉ ö ' kann man nun immer ein Beobachtungssystem finden, ã Ù ' (eÙ Ë:Æ % Æ -É gilt. Außerdem kann auf Grund von in dem ‹ Z der Ursprung des ‰ ã(3.33) Ù ' (eÙ!‰ Ë:Æ % Ñ Æ Ý -É ergibt. Beobachtungssystems immer so gelegt werden, daß sich  á ` Ù ø ' , aber Eine dann noch verbleibende Drehung kann so gewählt werden, daß nur  ` ‰ ãÓ sonst  Ù,' ist. Ein solches Beobachtungssystem, dem nur die Gesamtenergie ‹ á Z Ù ø ' und eine Dre‰ Ñ Ý ø ' nichtin verschwinden und alle anderen Erhaltungsgrößen himpulskomponente  ÙZ

‰

( *

gleich Null sind, nennt man das Schwerpunktssystem (englisch Center of Mass System oder kurz CMS). Solche Koordinaten sind natürlich für die Rechnung sehr günstig, da sehr viele Größen schon ohne langwieriges Rechnen als 0 bekannt sind.

Übungen Aufgabe 3.1 — Energie-Impuls-Tensor Der Energie-Impuls-Tensor wurde definiert durch:

Ä1½ÚÄ)$ @É É‡å ç Ù ªQË ¾À¿ $ å ³ $ ³ ç Ê ª Ë $

²´³ $ ²´³

åçÁ Ò

Übungen

81

·

(a) Zeigen Sie, daß mit den Feldern gegeben ist durch:

und

x

die Energiedichte

“ÍÄ ï Æ Ê@ÉÏÙ  Ë ¾ ý » ·qÄ ï Æ Ê©É » Ý Ê » x Ä ï Æ Ê©É » Ý þ

“Ä ï Æ Ê©É Ø¹Ù—½ á@á

(b) Zeigen Sie auch, daß

½ wobei

”

Ë á ã Ù ÈD” ã Æ ˜s =

”ãÙ

mit den Komponenten

È Qª ¾ ·

Ä ï Æ Ê©É Æ x Ä ï Æ Ê©É ã

der P OYNTING-Vektor genannt wird. Dieser hat die physikalische Bedeutung einer Energiestromdichte. Der Energie-Impuls-Tensor einer Punktladung der Masse  , die sich auf einer Bahnkurve bewegt, wobei die Eigenzeit mit ¹   º È ist, wird definiert durch:

Äï TÉ  ‹Î ÄTÉ Æ©Î ÄTÉ Ù Ý _ å½ ƒ ç Ä)áÖÉÖÙ] È Ý ¼   å ÄTÉ  ç ÄTÉ+y  ± Ä)á5ü ÎöÄTÉ@ÉyÒ _÷ ï ï ã (c) Zeigen Sie, daß für die Komponenten ½ ƒ á@á beziehungsweise ½ ƒ á Impuls-Tensors der Punktladung ÈÝ ½ ƒ á@á Ä “Ç Æ Ê@ÉùÙ ô   ð ypÄ “ ü ï Ä Ê@É@ÉyÆ ËKü Š|g • Ö ß ð Š beziehungsweise

‘Ó ô  ï ÄÊ@ É ð ypÄ“ ü ï ÄÊ@É@É ËKü Š|g • Ö ß ð Š ˜ÄTÉLÙ– g ÄTÉ und ‘ ÄÊ@ÉLÙ– g ÄÊ@É .

Ë Ó È ½ ƒ á Ä “ÇÆ Ê@ÉùÙ gilt. Hierbei ist

ï

–˜—

ï

–ß

Aufgabe 3.2 — Relativistische Zweiteilchenkinematik

des Energie-

3 Erhaltungsgrößen

82

In der Vorlesung wurde gezeigt, daß im feldfreien Fall die Erhaltungsgrößen

(

Ý ¼= ( ï ½ ƒá

Ù ÈË

einen Vierervektor

P

ċÎÏÉ ÞÞ

’Ù ô

á Ú

« Ö

Þg à ß bilden, wobei

ÈÝ Ë 3  ã Ì

á Ù È ½ ã mit ½ ã Ù  ð ðè Æ æ ãà Ñ õ , Ë ü Š Ö ßð Š . P 3ãÜ

Ù Ì ñTã mit ñTãtÙ  ð ðè Ò æ ãà Ñ , Ëöü Š õ Ö ðß Š . Hierbei ist ½ã , beziehungsweise ñyã die (relativistische) kinetische Energie, respektive der (relativistische) Impuls des  -ten Teilchens. Für ½ ƒ ċÎÍÉ
\½ ƒ  ċÎÏÉLÙ²Äóñ Õ ½ ƒ É\ċÎÍÉ wurde gezeigt, daß heißt

’

sich wie ein kontravarianter Tensor 1. Stufe transformiert, das

٠ć÷ õ Ñ É åç ç Ò (a) Zeigen Sie: ÄR’!UÆ ’»É ist eine P Teilchen: ę š Æ[ š©ÉùÙ] ãÝ  È Ý

å
å

und

½ãtÙ

ô

 ãÝ YÈ ±

OINCARÉ-Invariante

und es gilt für ein einzelnes

Ê È Ý » yñ ã » Ý Ò

’ ÄR’!ÆU’ÜÉ › ¢[¥§¦ R ¢ § ¥ ¦ ¢ ¤ £ È ª  « ¬ © besitzt. Wir schreiben auch: £  œE­Uœ*® , das heißt, Form œ{Ÿž¡  ¨ «`¬ œB­Uœ¯® ist das Quadrat der gesamten kinetischen Energie in CM-System.

ö ' , so daß (b) Zeigen Sie, daß ein zeitartiger Vektor ist, das heißt es ein Bezugsystem (das “(C)enter of (M)ass (S)ystem”) gibt, in dem die

Wir betrachten jetzt die elastische Zweiteilchenreaktion

¬4° ­ ± ®`² 4¬ °*³ ­ ± ³ ®µ´ 4¬ °*¶ ­ ± ¶ ®‹² 4¬ °9· ­ ± · ®    

Übungen

83

wofür die Energie-Impuls-Erhaltung gilt:

¸ ² ¸³ ¸¶² ¸·   -invarianten M Die L -Variablen sind definiert durch ¹»º  «¬ ¸ ² ¸ ³ ­ ¸ ² ¸ ³ ®µ «`¬ ¸ ¶ ² ¸ · ­ ¸ ¶ ² ¸ · ® ¼ º  «¬ ¸   ¸ ¶ ­ ¸   ¸ ¶ ®µ «`¬ ¸ ³ ¸ · ­ ¸ ³ ¸ · ® ¿¯º  «¬ ¸  ¾½ ¸ · ­ ¸  µ½ ¸ · ®µ «`¬ ¸ ³ ½ ¸ ¶ ­ ¸ ³ ½ ¸ ¶ ®;À ½ ½  ½  ½ ¼ (c) Berechnen Sie ¹ ­ ­ ¿ (in Termen von °9Á ­± Á ­ £ Á ) und zeigen Sie, daß ¹ ² ¼ ² ¿  È ³- ° ³ ² ° ³³ ² ° ³¶ ² ° ·d³ à ­   ¼ das heißt, ¹ ­ ­ ¿ sind nicht unabhängig. ¢R¥f¦ ® ³ . (d) Zeigen Sie, daß ¹  ¢~Ä ¬ £   ÅÊÆ]ÒÓÈÊÉÒÔ ËÌÍ Î ORENTZ

ANDELSTAM

Å ÆÑÐÈÊÉËÐ ÌÍ Î

Õ ËÌ Í Å Æ]ÇdÈÊÉÇËÌÍ Î

£ R¢ ¥f¦  ¤Ö ¹

(3.34)

ÅÊÆ]ÏdÈÊÉÏËÌ Í Î

Abbildung 3.2: Zweiteilchenstoß im CMSystem

× ¢R¥§¦

Um den Streuprozeß kinematisch festzulegen, muß neben der SchwerpunktsenerÈ auch noch der Streuwinkel im Schwerpunktsystem angegegie ben werden, siehe Abbildung 3.2. Diese Ablenkung drückt man durch die 4-erImpulsüberträge von Teilchen 1 auf 3 aus.

¸

 ½

¸¶

3 Erhaltungsgrößen

84

³ × ¢RÝ ¥f¦ Þ ± ¢R¥f¦ ÞÞ ± ¢[¶ ¥§¦ Þ ­ ½EÙµÚ˜Û Ü   wobei ¼†Ø ÔÈ ß ³ ¬ £ ¢R¥f¦ £ ¶ ¢R¥f¦ ® ³ ¬ Þ ± ¢R¥§¦ Þ Þ ± ¢R¶ ¥f¦ Þ ® ³ ½   ½   ½ Für die Teilchen 1 und 4 gelten die entsprechenden Formeln mit der Invarianten ¿ . (f) Berechnen der Invarianten ¹ , ° und °*³ die kinetischen Energien ¢£ R¥f¦ und £ Sie ¢³ R¥§¦ mitderHilfe   Teilchen 1 und 2 im Schwerpunktsystem:   ³ È ³ ° ³³ È ³ ¹ ° [ ¢ § ¥ ¦ ²  Èß £   Ý Ö ¹½   ³³ È ³ ° ³ È ³ ¹ ° [ ¢ § ¥ ¦ ² Ý Ö ¹½   Èß £ ³  ¢R¥f¦ Þ und Þ ± ¢[³ ¥§¦ Þ mit Hilfe der Zeigen Sie, daß entsprechend die Impulsbeträge Þ ± Invarianten geschrieben werden können als   ¢Þ ± [¥§¦ Þ  Þ ± ¢R³ ¥§¦ Þ  ¬R¹ ¬4° ² °*³ ® ³ È ³ ®KÝ ÄàÖ ¬R¹¹ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ½  ½ ½     (g) In einem 2-Teilchen-Stoßexperiment befindet sich oft eines der Teilchen (Teilchen 2) anfangs im Labor in Ruhe. Stellen Sie die kinetische Energie £=áãâUä sowie den Impulsbetrag Þ ± áåâæä Þ des bewegten Teilchens (Teilchen 1) mit Hilfe der   Invarianten ¹ , ° und °*³ dar:    ³ È ³ ° ³³ È ³ ¹ ° Èß £ áãâUä  ½ Ý   ° ³ ½ È   ³ È ³ ® Äà ¬R¹ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ® Äà R ¬ ¹ 4 ¬ ° * ° ³ ² ® Þ ± áãâUä Þ  ½   Ý °*³YÈ ½   ½   Wir betrachten nun den Zerfall eines Teilchens der Masse ç in zwei Teilchen mit den Massen ° und °*³ : ¬ çè­  ±`®¾´ ¬4° ­± ®`² ¬4° ³ ­± ³ ®     (e) Zeigen Sie, daß gilt:

¼  †¼ Ø

Übungen Es gilt die Energie-Impuls-Erhaltung:

85

¸  ¸ ² ¸³ (3.35)   (h) Wann ist ein solcher Zerfall kinematisch möglich? Zeigen Sie, daß im Ruhesystem der Masse ç die Zerfallsenergien £ und £ ³ der Teilchen 1 und 2 folgendermaßen   sind: durch die Massen ç , ° und °*³ bestimmt ³ç È ³ ² °   ³ È ³ ° ³³ È ³ Ýç  È ½ Èß £    ³³ ³³ ³³ ç È ² °Ý ³ È È ° È Èß £ ³  ç ½   (i) Zeigen Sie, daß in diesem Bezugssystem ebenfalls die Impulsbeträge Þ ± Þ und Þ ± ³ Þ   durch die Massen ç , ° und °*³ bestimmt sind:   ¬ ç ³ È ³ ¬4° ² °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ¬ ç ³ È ³ ¬4° °*³ ® ³ È ³ ®KÄà ³ Þ± Þ  Þ± Þ  Ýç È ½   ½ ½    

86

4

N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

4.1

Die elektromagnetischen Vektorpotentiale

é ¬ ê ® ist ein Tensorfeld 1. Stufe, das der Bedingung ëìîí  ï ì ñ í ï í;ñ ì Dï ð ½ ïMð

Das Vektorpotential

(4.1)

genügt.

Seine Existenz folgt aus

é

òë  ¨À

(2.18)

é

kann explizit wie folgt konstruiert werden:

íé ¬ ê m®  ó   òMô^ô ì ëìîí ¬ ô ê ® Ø ð

(4.2)

ist durch (4.1) nicht eindeutig bestimmt: Mit

é Ç ì Ié ì ² ï ì õ ¬ê ® ïMð mit einer beliebigen Funktion õ ºö ´ø÷ é ì ´ é Ç ì èé ì ² ï ì õ ¬ê ® ïDð heißt Eichtransformation.

é

erfüllt auch (4.3)

die Gleichung (4.1). Die Transformation (4.4)

¬Rù ­ ¨ ®

ú ÷û

Die oben abgeleiteten Beziehungen werden mathematisch gerne im sogenannten -Tensorfeld im auch Formenkalkül dargestellt. Zunächst heißt ein schiefes

4.1 Die elektromagnetischen Vektorpotentiale

87

ù

Differentialform -ter Stufe. Setzen wir

¬ ò úF® ì îì þ†ÿ º  ï ì ú ì Ä ì þ†ÿ ï ì Ä ú ì ì
ì þ ÿ ² ² à5üý ü à ïMð à üý ü à ½ ïDð à üý ü à ² ¬ ß ®  ìï þ†ÿ ú ì à5üý ü ì þ ½ ïMð à      ¬ ß ® á    ï
ì ú ì à üý ü ì  üý ü ì þ ÿ à ­ (4.5) ½ M ï ð á    ò so wird komponentenweise eine Differentialform ú der Stufe ù ² erklärt. ß Es gilt ò³  ¨­ (4.6) · sowie speziell im ÷ ± ò  ò ± dÀ  (2.47) ò ¨ ò ú  ist, so heißt ú exakt. Wegen ò ³  ¨ Falls ú , heißt ú geschlossen. Falls ú  ist jede exakte Form auch geschlossen. Im ÷ û gilt für singularitätenfreie Differentialformen stets auch die Umkehrung:

ò ¨ Falls ú

ú R¬ ù ß ® -ter Stufe mit ½ úL ò ú  À Ohne Beweis geben wir hier eine Formel für  ú  an ìú  ì þ ¬ê ®Ñ ó   òMô ú ì ì ì þ  ¬ ô ê ® ô 
 ì  À  ð Ø à5üý ü à à5üý ü à ù  ß , ú  ist die Funktion ó   òDô ì ¬ ô ê ì  ¬ ê ú  ®Ñ Ø ú ® ð

Beispiele: i).

P OINCARÉ-Lemma gilt, so gibt es eine Differentialform 

(4.7)

(4.8)

4 N OETHERtheoreme und Prinzip der kleinsten Wirkung

88

ù  Ý , ú  ist die 1-Form ó ì ú í ¬ê ®Ñ Ø   òMô ú ìîí ¬ ô ê ® ô ð ò ³  ¨ auch Allgemeinò ist  ú  nicht eindeutig ò bestimmt. Es gilt: Mit  erfüllt wegen ú úÇ kú  ² ú   die Gleichung ú úÇ , wobei ú   eine ¬Rù Ý ® -Form ist. ë Der Zusammenhang zwischen Vektorpotential é und ½ Feldstärketensor kann also kurz in der Form ë  òé (4.9) ii).

und die Eichtransformation in der Form

é ´ é Ç Ié ² ò õ

dargestellt werden.

ñì

(4.10)

é ñ

é

ñ ؝ º

ñÁ

Der Zusammenhang zwischen  ,  und wird üblicherweise durch die kontravari und bildet aus den von dargestellt: Man setzt anten Komponenten ein dreidimensionales Vektorfeld . Dann gilt

ñ  Èß ï ¼ ½ ñï ½   À 

 

(4.11) (4.12)

Übungen Aufgabe 4.1 — Das Vektorpotential

ú ¬ ê ®

eine schiefes, kovariantes Tensorfeld der Stufe Sei  ableitung von  nach $ , das heißt

ú

ù

ú 

und !#"

die Richtungs-

ú  ¬ê ® &¬ % h­ ÀhÀhÀ¤­ %  ®µ(' ¼ ú  ¬ê ² ¼ % ® &¬ % h­ ÀhÀhÀd­ %  ® Þ )  Ø À     ' Dann wird durch ¬ ú  ® ¬ê ® ¬&% ­hÀhÀhÀ¤­ %  ®µ  þ ÿ . 0¬ù / 13® 2 !#"4
5 ú 7 ¬ê ®  % *-8 ³9 ­hÀhÀhÀd­ % *-8  9 à ' à 6     * +-, à   !#"

Übungen

òú

ein Tensorfeld  der Stufe Ableitung und es gilt:

ò ³ú   ¨ À

¬Rù ² ® erklärt. Die lineare Abbildung ò ß

89 heißt die äußere

Für die Komponenten gilt:

¬ ò úF® ì îì þ†ÿ  ï ì ú ì Ä ìîþ†ÿ ï ì Ä ú ì ì
ìîþ†ÿ ²}² ¬ ®  ìîï þ†ÿ ú ì ìîþ À ;à :