Quantenmechanik 001

P. Manakos, Wolfgang Kilian Quantenmechanik ein Skriptum Inhaltsverzeichnis 1 Observable und Operatoren I 1.1 Mathema...

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P. Manakos, Wolfgang Kilian

Quantenmechanik ein Skriptum

Inhaltsverzeichnis 1 Observable und Operatoren I 1.1 Mathematische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Der Raum H: Inneres Produkt und Norm . . . . . . . . . 1.1.2 Linearformen in H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Orthonormierte Systeme, Basen . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Eigenvektoren, Eigenwerte von Operatoren . . . . . . . . . 1.1.6 Funktionen von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Quantenmechanik von Einteilchensystemen . . . . . . . . . . . . . 1.3 Erläuterungen und Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Normierung von Zustandsvektoren . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Unschärfe . . . . 1.3.3 Reduktion des Wellenpakets. Kompatible Observable . . . 1.3.4 Präparation durch Messung. Maximaler Satz kompatibler Observablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.3.5 Zeitliche Anderung von Erwartungswerten . . . . . . . . . 1.3.6 Stationäre Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7 Kontinuierliches Spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.8 Spektrum des Ortsoperators, Wahrscheinlichkeitsdichte . . 1.3.9 Nichtkompatible Observable . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 6 7 8 9 11 13 14 16 16 17 21

2 Einfache Anwendungen der Quantenmechanik 2.1 Der harmonische Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Definition des Drehimpulsoperators . . . . . . . . . . . . ~2 . . . . . . 2.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren von L3 und L 2.2.3 Eigenvektoren des Bahndrehimpulses (Kugelfunktionen) 2.3 Das Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Streuung an einem Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude . . . . . . . . . 2.4.2 Integralgleichung f¨ ur Streuung . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Bornsche Näherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Partialwellenanalyse, Streuphasen . . . . . . . . . . . . .

33 33 37 37 38 41 44 46 46 49 50 51

1

. . . . . . . . . . .

23 25 26 26 29 30

2

INHALTSVERZEICHNIS 2.4.5

Streuresonanzen, Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Observable und Operatoren II 3.1 Der mathematische Rahmen (Dirac-Formalismus) . . 3.1.1 Vektoren und Operatoren . . . . . . . . . . . 3.1.2 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Transformationstheorie . . . . . . . . . . . . . 3.2 Beschreibung physikalischer Systeme . . . . . . . . . 3.2.1 Zustände, Observable, Messungen . . . . . . . 3.2.2 Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Bilder der zeitlichen Entwicklung . . . . . . . 3.2.4 Quantenstatistik . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Anwendung auf spezielle Systeme . . . . . . . . . . . 3.3.1 Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen 3.3.2 Zusammengesetzte Systeme (Tensorprodukte) 3.3.3 Zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade . . . 3.3.4 Teilchen mit Spin 12 . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . . . . . . . .

56 59 59 59 65 69 72 72 74 79 81 85 85 91 93 95

4 Symmetrien und Invarianzen 99 4.1 Translationen und Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1 Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2 Drehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1.3 Infinitesimale Drehungen und Drehimpuls . . . . . . . . . 105 4.2 Darstellungen von Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.1 Allgemeine Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.2.2 Darstellungen der Drehgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.2.3 Drehungen eines physikalischen Systems und Drehoperatoren113 4.2.4 Irreduzible lokale Darstellungen der Drehgruppe . . . . . . 114 4.2.5 Tensorprodukt von Darstellungen (Drehimpulskopplung) . 114 4.2.6 Tensoroperatoren und Wigner–Eckart–Theorem . . . . . . 116 5 Anwendungen 5.1 Systeme gleicher Teilchen. Fermionen und Bosonen . . . . . . 5.1.1 Der Raum der Ket–Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Permutationen in E ⊗N . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Teilchen gleicher Sorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Symmetrische und antisymmetrische Zustände . . . . . 5.2 Systeme von Bosonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Besetzungszahldarstellung f¨ ur Bosonen . . . . . . . . . 5.2.2 Ein–Teilchen–Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Bosonen und Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . 5.3.1 Das elektromagnetische Feld in klassischer Darstellung

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

119 119 119 120 122 125 130 130 134 137 140 140

INHALTSVERZEICHNIS 5.3.2 5.3.3 5.3.4 5.3.5 5.3.6

Hamiltonfunktion f¨ ur Teilchen und elektromagnetisches Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes . . Plancksche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quantisierung des elektromagnetischen Feldes . . . . . Anwendung: Spontane Photonenemission . . . . . . . .

3 Feld150 . . 154 . . 155 . . 157 . . 159

A Zeitabhängige Störungsrechnung 1. Ordnung

163

B Tensorprodukte

169

4

INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 1 Observable und Operatoren I (Ortsdarstellung, Einteilchensystem)

1.1 Mathematische Hilfsmittel Im ersten Kapitel wurde ausgehend von den Postulaten de Broglies eine Theorie f¨ ur die Zustände eines Einteilchensystems im äußeren Potential, dargestellt durch eine Wellenfunktion ψ(~r, t), aufgebaut. Dabei ergab sich eine Randbedingung, die an ψ zu stellen ist, um eine physikalische Interpretation zu ermöglichen: Alle physikalisch realisierbaren Zustände werden durch normierbare Wellenfunktionen, d.h ψ(~r, t) mit Z

|ψ(~r, t)|2 d3~r < ∞

f¨ ur alle Zeiten t

dargestellt. Im folgenden werden nun die Eigenschaften dieser Funktionenklasse, die bez¨ uglich der Addition und der Multiplikation mit komplexen Zahlen einen Vektorraum bildet, näher untersucht. Besonders wichtig sind hierbei die linearen Operatoren u ¨ber diesem Vektorraum, die jeder quadratintegrablen Funktion eine andere zuordnen, da mit ihrer Hilfe die physikalischen Observablen in die Theorie eingef¨ uhrt werden. Mit zweien dieser Operatoren wurde bereits gearbeitet: Der e f¨ Hamiltonoperator H ur die physikalische Größe Energie und der Differentialopeh~ ¯ ur die physikalische Größe Impuls. rator i ∇ f¨ Im zweiten Abschnitt werden in einer axiomatischen Form die bisher erhaltenen Ergebnisse zusammengefaßt und zusätzlich die statistische Deutung der EinteilchenQuantenmechanik eingef¨ uhrt, ausgehend vom Begriff der Messung (einer Observablen). Die Anwendung der Quantenmechanik auf konkrete physikalische Systeme (Wasserstoffatom, Streuprozesse) wird dann Gegenstand des nächsten Kapitels sein. 5

6

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I

1.1.1 Der Raum H: Inneres Produkt und Norm H = Der Vektorraum quadratintegrablen Funktionen {u(~r ) | R der komplexwertigen 3 2 3 ~r ∈ IR und |u(~r )| d ~r < ∞ (Lebesgue-Integral) } (Dabei entspricht die Addition von Funktionen bzw. die Multiplikation mit komplexen Zahlen der Addition von Vektoren bzw. der Multiplikation mit komplexen Zahlen.) Ein inneres Produkt im Raum H wird definiert durch: Z (u, w) = u∗ (~r )w(~r ) d3~r

(1.1)

Eigenschaften des inneren Produkts: 1. (u, w1 + w2 ) = (u, w1 ) + (u, w2 ) 2. (u, λw1 ) = λ(u, w1 ) (linear im zweiten Argument) 3. (u1 + u2 , w) = (u1 , w) + (u2 , w) 4. (λu1 , w) = λ∗ (u1 , w) (antilinear im ersten Argument) 5. (u, w) = (w, u)∗ 6. (u, u) ≥ 0 f¨ ur jedes u aus H 7. (u, u) = 0 genau dann, wenn u = 0

(1.2)

Zwei quadratintegrable Funktionen u1 , u2 werden als gleich angesehen, wenn sie fast u ¨berall“ ” gleich sind, d.h. wenn die Menge X aller Punkte ~r mit u1 (~r ) 6= u2 (~r ) eine Menge vom (Lebesgueschen) Maß Null ist. Eine Menge X heißt Menge vom (Lebesgueschen) Maß Null“, wenn ” f¨ ur jedes > 0 eine Folge von W¨ urfeln existiert, die X u ¨berdeckt, und die Summe der Volumina der W¨ urfel kleiner als ist.

Die Norm kuk eines Vektors u aus H ist definiert durch: p kuk = (u, u)

(1.3)

Man beachte, daß (u, u) ≥ 0. Die Norm kuk eines Vektors ist Null genau dann, wenn u = 0. Aus den Eigenschaften des inneren Produkts folgt die Cauchy–Schwarz–Ungleichung |(u, w)| ≤ kuk · kwk Beweis der Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

(1.4)

1.1. MATHEMATISCHE HILFSMITTEL

7

1. Wenn kwk = 0, dann w = 0 und (u, w) = 0, also |(u, w)| ≤ kuk · kwk . 2. Sei w 6= 0. Wir definieren z = u − λw mit λ = (w, u)/kwk2 . Aus (z, z) ≥ 0 folgt: 0 ≤ (u − λw, u − λw) = (u, u) + |λ|2 (w, w) − λ(u, w) − (w, u)λ∗ |(w, u)|2 = kuk2 − kwk2 d.h. kuk2 · kwk2 ≥ |(u, w)|2 . 2 Der Raum H ist vollständig. Das bedeutet: Zu jeder Folge {un | n = 1, 2, . . .} von Vektoren aus H mit der Eigenschaft { f¨ ur jedes > 0 existiert ein N > 0, so daß ||un − um || < f¨ ur alle n, m > N gilt } (Cauchy-Folge) gibt es einen Vektor u aus H mit limn→∞ ||un − u|| = 0 . Ein Vektorraum mit innerem Produkt heißt Hilbert-Raum, wenn er vollständig ist.

1.1.2 Linearformen in H Eine Linearform T in H ist eine lineare Abbildung T von H in die komplexen Zahlen. T (u + λw) = T (u) + λT (w) (1.5) Es gilt folgender Satz u ¨ber die Linearformen: Satz von Riesz: F¨ ur jede stetige Linearform T : H ⇒ C existiert genau ein Vektor φ aus H, so daß T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u aus H (1.6) gilt. In endlichdimensionalen Vektorräumen mit innerem Produkt gibt es f¨ ur jede Linearform T einen Vektor φ mit T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u. Da im folgenden auf die ausf¨ uhrliche Darstellung der erforderlichen mathematischen Voraussetzungen verzichtet werden muß, werden mehrfach Sätze, die f¨ ur endlichdimensionale Räume gelten, ohne weiteren Beweis f¨ ur H u ¨bernommen. Insbesondere verwenden wir statt des Satzes von Riesz die Behauptung: F¨ ur jede Linearform T in H existiert genau ein φ aus H mit T (u) = (φ, u) f¨ ur alle u aus H. Eine Linearform T in H heißt stetig (oder beschränkt), wenn es ein M > 0 gibt, so daß |T (u)| ≤ M ||u|| f¨ ur alle u aus H gilt. Wenn T (u) = (φ, u), dann folgt aus der Cauchy-SchwarzUngleichung: |T (u)| ≤ M ||u|| mit M = ||φ||.

8


1.1.3 Operatoren Eine lineare Abbildung A von H in sich selbst wird linearer Operator oder einfach Operator in H genannt (A(u + λw) = A(u) + λA(w)). Als Kurzschrift wird auch Au statt A(u) verwendet. Zu jedem Operator A existiert genau ein Operator A† , genannt adjungierter Operator von A, mit der Eigenschaft: (A† u, w) = (u, Aw) f¨ ur alle u,w aus H

(1.7)

Diese Behauptung wird wie folgt begr¨ undet: F¨ ur festes u ist die Abbildung Tu : w ⇒ (u, Aw) eine Linearform in H (da A linear ist). Es gibt also genau einen Vektor φu aus H mit Tu (w) = (φu , w) f¨ ur alle z. Man definiert nun die Abbildung † † A : H ⇒ H durch A (u) = φu . Hieraus folgt: (A† u, w) = (φu , w) = Tu (w) = (u, Aw) f¨ ur alle u,w aus H Es gilt ferner: (A† (u1 + λu2 ), w) = ((u1 + λu2 ), Aw) = (u1 , Aw) + λ∗ (u2 , Aw) = (A† u1 , w) + λ∗ (A† u2 , w) = (A† u1 + λA† u2 , w) f¨ ur alle w. Hieraus folgt, daß A† (u1 + λu2 ) = A† u1 + λA† u2 . Also ist A† linear. Addition von Operatoren: (A + B)(u) = A(u) + B(u) Multiplikation von Operatoren: A ◦ B(u) = A(B(u)) (Hintereinanderausf¨ uhrung) (Kurzschrift: AB statt A ◦ B) Einheitsoperator I: I(u) = u f¨ ur jedes u aus H Inverser Operator: Ein Operator B heißt inverser Operator von A und wird mit A−1 bezeichnet, wenn AB = BA = I

(1.8)

(Es gibt zu jedem Operator höchstens eine Inverse; f¨ ur gewisse Operatoren gibt es gar keine Inverse.) Operatoren-Addition und -Multiplikation erf¨ ullen Assoziativgesetze und Distributivgesetze: (A+B)+C = A+(B +C), (A◦B)◦C = A◦(B ◦C), (A+B)◦C = A ◦ C + B ◦ C, C ◦ (A + B) = C ◦ A + C ◦ B. Die Multiplikation ist aber nicht kommutativ, denn A ◦ B ist nicht immer gleich B ◦ A.


9

¨ Eigenschaften von adjungierten Operatoren (Beweis: Ubung): 1. (A† )† = A 2. (A + B)† = A† + B † 3. (A ◦ B)† = B † ◦ A† 4. (λI)† = λ∗ I 5. (A + λB)† = A† + λ∗ B † Wenn A−1 existiert, dann gilt 6. (A−1 )† = (A† )−1

(1.9)

Der Kommutator von zwei Operatoren ist definiert als [A, B] = AB − BA

(1.10)

¨ Eigenschaften von Kommutatoren (Beweis: Ubung): 1. [A, B + λC] = [A, B] + λ[A, C] 2. [A, BC] = [A, B]C + B[A, C] 3. [A, B] = −[B, A] 4. [A, B]† = [B † , A† ] 5. [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

(1.11)

Hermitesche Operatoren: Ein Operator A heißt hermitesch, wenn A = A† . Unitäre Operatoren: Ein Operator B heißt unitär, wenn B † B = BB † = I.

1.1.4 Orthonormierte Systeme, Basen Eine (endliche oder unendliche) Folge χn |n = 1, 2, . . . von Vektoren heißt orthonormiertes System von Vektoren, wenn (χκ , χλ ) = δκλ

(1.12)

gilt. Ein orthonormiertes System χn |n = 1, 2, . . . heißt vollständig, wenn es zu jedem Vektor u aus H eine Folge an |n = 1, 2, . . . von komplexen Zahlen gibt, so daß

N

X

lim u − an χn = 0. (1.13) N →∞

n=1

P P∞ (Statt limN →∞ ku− N andin=1 an χn k = 0 schreibt man u = n=1 an χn .) Ein vollst¨ ges orthonormiertes System wird orthonormierte Basis von H genannt. Ein beliebiges System χn |n = 1, 2, . . . von Vektoren heißt vollständig, wenn es zu jedem Vektor u aus H eine Folge uN |N = 1, 2, . . . von Vektoren gibt, so daß limN →∞ ||u − uN || = 0, wobei jedes uN eine Linearkombination der Vektoren {χn |1 ≤ n ≤ N } ist.

10


Satz: Wenn χn |n = 1, 2, . . . ein orthonormiertes System von Vektoren und u ein Vektor aus H sind, dann ist

N

X

an χn

u −

n=1

minimal f¨ ur die Koeffizientenwahl (1.14)

an = (χn , u).

Beweis: Sei a0n = (χn , u) + δn f¨ ur n = 1, 2, . . . N . ku −

N X

a0n χn k2 = kψ + zk2 = (ψ + z, ψ + z)

n=1

= kψk2 + kzk2 + (ψ, z) + (z, ψ) mit ψ =u−

N X

(χn , u)χn und z = −

n=1

N X

δn χn .

n=1

Aber f¨ ur m = 1, 2, . . . N gilt (χm , ψ) = (χm , u) −

N X

(χn , u)δnm

n=1

= (χm , u) − (χm , u) = 0 Daraus folgt (z, ψ) = 0 und somit ku −

N X

a0n χn k2 = kψk2 + kzk2

n=1

= ku −

N X

2

(χn , u)χn k +

n=1

N X

|δn |2 ;

n=1

also wird der Ausdruck minimal f¨ ur δn = 0 | n = 1, 2, . . . N .

2

Orthogonalisierungsverfahren (Erhard Schmidt) Sei φ1 , φ2 , . . . ein System von Vektoren, so daß jeder Satz von endlich vielen von ihnen linear unabhängig ist. Gesucht wird nun ein Satz ψ1 , ψ2 , . . ., so daß 1. (ψκ , ψλ ) = δκλ gilt und


11

2. f¨ ur jedes N die Vektoren {φ1 , . . . , φN } Linearkombinationen der Vektoren {ψ1 , . . . , ψN } sind. Zur Konstruktion des Systems ψ1 , ψ2 , . . . wird verfahren wie folgt: 1) 2)

ψ1 = kφφ11 k φ02 = φ2 − (ψ1 , φ2 )ψ1 φ0 ψ2 = kφ20 k 2

··· k) φ0k = φk − (ψ1 , φk )ψ1 − (ψ2 , φk )ψ2 − . . . − (ψk−1 , φk )ψk−1 φ0 ψk = kφk0 k k

Begr¨ undung: F¨ ur λ = 1, 2, . . . k − 1 gilt (ψλ , φ0k ) = (ψλ , φk ) − (ψλ , φk ) = 0 φ0k 6= 0 wegen der linearen Unabhängigkeit der Vektoren φ1 , . . . φk . Also ist ψk definiert, und es gilt (ψµ , ψλ ) = δµλ f¨ ur λ, µ ≤ k. Das Orthogonalisierungsverfahren kann man auch f¨ ur linear abhängige Sätze φ1 , φ2 , . . . verwenden, indem man zuerst durch Streichung von Vektoren einen linear unabhängigen Satz erhält. Aus einem vollst¨ andigen System von Vektoren kann ein vollständiges orthonormiertes System konstruiert werden.

1.1.5 Eigenvektoren, Eigenwerte von Operatoren Sei A ein Operator, λ eine komplexe Zahl und φ ein Vektor aus H. Wenn φ 6= 0 und Aφ = λφ, dann heißt λ Eigenwert von A und φ Eigenvektor zum Eigenwert λ. Die Gesamtheit der Eigenwerte eines Operators A wird Spektrum des Operators genannt und mit SpA bezeichnet. Satz: Jeder Eigenwert eines hermiteschen Operators A ist reell. Beweis: Aφ = λφ ; (φ, Aφ) = λ(φ, φ), aber (φ, Aφ)∗ = (Aφ, φ) = (φ, Aφ), also muß λ = λ∗ sein, wenn (φ, φ) 6= 0. 2 Satz: Wenn φ1 , φ2 Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten λ1 , λ2 eines hermiteschen Operators A sind, dann ist (φ1 , φ2 ) = 0. Beweis: Aus

Aφ1 = λ1 φ1 Aφ2 = λ2 φ2

folgt

(φ2 , Aφ1 ) = λ1 (φ2 , φ1 ) (Aφ2 , φ1 ) = λ∗2 (φ2 , φ1 )

.

Da aber A = A† ist, gilt λ∗ = λ und (Aφ2 , φ1 ) = (φ2 , Aφ1 ). Daraus folgt: 0 = (λ1 − λ2 )(φ2 , φ1 )

12 F¨ ur λ1 6= λ2 also:


(φ2 , φ1 ) = 0 2

Satz: Ein hermitescher Operator hat ein vollständiges orthonormiertes System von Eigenvektoren. F¨ ur endlichdimensionale Räume kann der Satz relativ einfach bewiesen werden. F¨ ur unendlich dimensionale Räume ist der Satz nicht immer richtig. Da aber hier auf mathematische Exaktheit verzichtet wird, wird der Satz als allgemein richtig angenommen. Satz: Wenn A und B zwei hermitesche Operatoren sind und [B, A] = 0 gilt, dann gibt es einen vollständigen orthonormierten Satz uν | ν = 1, 2, . . . von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B. Beweis: Seien φκ | κ = 1, 2, . . . bzw. ψµ | µ = 1, 2, . . . vollständige orthonormierte Systeme von Eigenvektoren von A bzw. von B. Die entsprechenden Eigenwerte seien aκ und bµ . Aφκ = aκ φκ Bψµ = bµ ψµ (κ)

F¨ ur jedes κ gibt es einen Satz cµ |µ = 1, 2, . . . von komplexen Zahlen, so daß X c(κ) φκ = µ ψµ µ

F¨ ur jedes b aus dem Spektrum von B definieren wir Ψ(κ, b) durch: X Ψ(κ, b) = c(κ) µ ψµ µ mit bµ = b

Hieraus folgt BΨ(κ, b) = bΨ(κ, b) d.h. Ψ(κ, b) ist Eigenvektor von B zum Eigenwert b (vorausgesetzt, daß Ψ 6= 0 ist) und X φκ = Ψ(κ, b) b aus SpB

Es gilt aber ferner AΨ(κ, b) = aκ Ψ(κ, b) d.h. Ψ(κ, b) ist unter der Voraussetzung Ψ 6= 0 Eigenvektor von A zum Eigenwert aκ . Das beweist man wie folgt: X 0 = (A − aκ )φκ = (A − aκ )Ψ(κ, b) b aus SpB


13

aber da wegen [A, B] = 0 B(A − aκ )Ψ(κ, b) = (A − aκ )BΨ(κ, b) = b(A − aκ )Ψ(κ, b) gilt, ist (A − aκ )Ψ(κ, b) entweder der Nullvektor oder ein Eigenvektor von B, und f¨ ur b 6= b0 ist ((A − aκ )Ψ(κ, b), (A − aκ )Ψ(κ, b0 )) = 0 und folglich X k (A − aκ )Ψ(κ, b)k2 =

X

((A − aκ )Ψ(κ, b), (A − aκ )Ψ(κ, b0 ))

b, b0 aus SpB

b aus SpB

=

X

k(A − aκ )Ψ(κ, b)k2

b aus SpB

d.h. aber 0 = k(A − aκ )φκ k2 =

X

k(A − aκ )Ψ(κ, b)k2

b aus SpB

also (A − aκ )Ψ(κ, b) = 0. Nachdem die Vektoren Ψ(κ, b) — soweit von Null verschieden — gemeinsame Eigenvektoren von A und B sind, und alle φκ |κ = 1, 2, . . . als (“unendliche”) Linearkombinationen der Vektoren Ψ(κ, b) dargestellt werden können, bilden die von Null verschiedenen Ψ(κ, b) einen vollständigen Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B. Hieraus erhält man mit Hilfe des OrthogonalisierungsVerfahrens von Erhard Schmidt einen vollständigen orthonormierten Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und B: F¨ ur jedes Paar a, b von Eigenwerten von A und B konstruiert man aus den zugehörigen von Null verschiedenen Ψ(κ, b), falls es solche gibt, einen orthonormierten Satz. Die Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten von A und B gehören, sind automatisch orthogonal. Also erhält man durch Vereinigung der einzelnen orthonormierten Sätze wiederum einen orthonormierten Satz. 2 Entsprechend kann der allgemeine Satz bewiesen werden: Satz: Sei A1 , A2 , . . . An ein System von hermiteschen Operatoren, die paarweise miteinander kommutieren ([Aj , Ak ] = 0 f¨ ur alle j, k). Dann existiert ein vollständiges orthonormiertes System von gemeinsamen Eigenvektoren der Operatoren A1 , A2 , . . . A n .

1.1.6 Funktionen von Operatoren Definition: Sei f (ξ1 , ξ2 , . . . ξn ) eine komplexwertige Funktion von n reellen Variablen. Wenn A1 , A2 , . . . An ein Satz von miteinander vertauschbaren hermiteschen

14


Operatoren ist, dann definiert man den Operator f (A1 , A2 , . . . An ) folgendermaßen: Es existiert eine orthonormierte Basis {φk |k = 1, 2, . . .} von H, deren Elemente gemeinsame Eigenvektoren der Operatoren A1 , A2 , . . . An sind: (m)

Am φk = λk φk |m = 1, 2, . . . n und k = 1, 2, . . . Der lineare Operator T = f (A1 , A2 , . . . An ) ist definiert durch (1)

(2)

(n)

T φk = f (λk , λk , . . . λk )φk

(1.15)

Spezialfall n = 1: Sei f (ξ) Funktion einer reellen Variablen und A ein hermitescher Operator mit Aφk = λk φk . Der Operator f (A) ist definiert durch f (A)φk = f (λk )φk

(1.16)

Insbesondere wenn f (ξ) = ξ 2 , dann ist nach dieser Definition f (A) = A ◦ A = A2 . Wenn die Funktion f (ξ1 , ξ2 , . . . ξn ) reelle Werte hat, dann ist der Operator f (A1 , A2 , . . . An ) hermitesch. Dies folgt aus dem Satz: Sei {φk |k = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis und {ηk |k = 1, 2, . . .} ein Satz von reellen Zahlen. Dann ist der durch die Relationen {T φk = ηk φk | k = 1, 2, . . .} definierte Operator T hermitesch. P P ¨ (Beweis: Ubung. Man beachte, daß T u = k ck ηk φk f¨ ur u = k ck φk .)

1.2 Quantenmechanische Beschreibung eines Einteilchensystems: Die Grundvorschriften (Teilchen ohne innere Freiheitsgrade“) ” Zur Beschreibung aller physikalischen Eigenschaften eines Einteilchensystems (ohne innere Freiheitsgrade) benutzt die Quantenmechanik folgende Vorschriften: 1. Zu jedem Zeitpunkt t ist der Zustand des Systems vollständig charakterisiert durch einen Vektor ψt 6= 0 aus H, der Zustandsvektor genannt wird. (Der Vektor ψt ist eine quadratintegrable Funktion ψt (~r ), die man oft ψ(~r, t) notiert. Hierbei ist t ein Parameter.) ˜ zugeord2. Jeder beobachtbaren Größe (Observablen) O wird ein Operator O net, welcher hermitesch ist und ein vollständiges orthonormiertes System von Eigenvektoren besitzt.

1.2. QUANTENMECHANIK VON EINTEILCHENSYSTEMEN

15

Der Erwartungswert < O > der Observablen O in dem durch ψt charakterisierten Zustand ist gegeben durch =

˜ t) (ψt , Oψ . (ψt , ψt )

(1.17)

Der Erwartungswert wird experimentell realisiert als Mittelwert der Meßergebnisse, die eine sehr lange Reihe von Messungen der Observablen O an Systemen ergibt, die sich zum Zeitpunkt der jeweiligen Messung1 in dem durch ψt charakterisierten Zustand befinden. ˜ 1, O ˜ 2 die zugeordneten Operatoren 3. (a) Wenn O1 , O2 Observable und O sind, dann wird f¨ ur jedes Paar ξ1 , ξ2 von reellen Zahlen der Observablen ξ1 O1 + ξ2 O2 der Operator ˜ 1 + ξ2 O ˜2 (ξ1 O1 + ξ2 O2 )˜= ξ1 O

(1.18)

zugeordnet. ˜ der der Observablen O zugeordnete Operator ist, dann wird (b) Wenn O ˜ O ˜ zugeordnet. (◦ bedeutet Operader Observablen O2 der Operator O◦ torenmultiplikation, d.h. Hintereinanderausf¨ uhrung der Operationen. ˜ ◦O ˜ wird oft die Abk¨ ˜ 2 benutzt.) F¨ ur das Produkt O urzung O ˜ zugeordnet wird, dann wird (c) Wenn der Observablen O der Operator O ˜ zugeordnet. f ist hierbei der Observablen f (O) der Operator f (O) eine reellwertige Funktion. 4. Die den Observablen xk |k = 1, 2, 3 und pk |k = 1, 2, 3 zugeordneten Operatoren x˜k und p˜k sind gegeben durch x˜k ψ = φ, wobei φ(x1 , x2 , x3 ) = xk ψ(x1 , x2 , x3 ), h ¯ ∂ p˜k ψ = χ, wobei χ(x1 , x2 , x3 ) = ψ(x1 , x2 , x3 ). i ∂xk

(1.19) (1.20)

¨ 5. Die zeitliche Anderung des Zustandsvektors ψt des Systems ist gegeben durch die Schrödingergleichung i¯ h

d ˜ t. ψt = Hψ dt

(1.21)

˜ den der Hamilton-Funktion H(~p, ~q) zugeordneten Hierbei bezeichnet H Operator. 1

Die Tatsache, daß eine von Null verschiedene Zeitspanne f¨ ur die Durchf¨ uhrung einer Messung notwendig ist, wird hier nicht n¨ aher diskutiert.

16

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I 6. (a) Sei χn |n = 1, 2, . . . ein vollständiges orthonormiertes System von Ei˜ Die genvektoren des der Observablen O zugeordneten Operators O. entsprechenden Eigenwerte seien λn |n = 1, 2, . . .. Bei einer Messung der Observablen O sind die einzigen möglichen Meßwerte f¨ ur O die ˜ Eigenwerte von O. Wenn sich das System zum Zeitpunkt der Messung in einem durch ψt charakterisierten Zustand befindet, ist die Wahrscheinlichkeit W (ξ) f¨ ur den Meßwert ξ gegeben durch: P 2 n mit λn = ξ |cn (t)| P W (ξ) = (1.22) 2 alle n |cn (t)| wobei ψt =

X

cn (t)χn

n

(b) Wenn ferner die Messung den Meßwert ξ ergibt, dann befindet sich das System nach der Messung in einem durch den Zustandsvektor X φ= cn (t)χn (1.23) n mit λn = ξ

¨ charakterisierten Zustand. Diese Anderung (ψt ⇒ φ) des Zustands wird Reduktion des Wellenpakets genannt.

1.3 Erläuterungen und Anwendungen der Grundvorschriften ˜ f¨ Bezeichnungen: Es wird im folgenden oft die Bezeichnung O (statt O) ur den der Observablen O zugeordneten Operator benutzt (Vorsicht!). Der durch den Zustandsvektor ψt charakterisierte Zustand wird gelegentlich der Zustand ψt“ ” genannt. Wenn X ein Operator ist, dann wird (ψt , Xψt )/(ψt , ψt ) durch < X > abgek¨ urzt.

1.3.1 Normierung von Zustandsvektoren F¨ ur jede komplexe Zahl λ 6= 0 beschreibt der Zustandsvektor λψt den gleichen Zustand wie der Zustandsvektor ψt . Denn (Vorschrift 6a) der Zustandsvektor λψt ergibt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit W (ξ) den gleichen Wert wie der Vektor ψt . Es ist n¨ utzlich, die Freiheit bei der Wahl der Zahl λ auszunutzen, um den Zustand des Systems durch einen Zustandsvektor ψt mit (ψt , ψt ) = 1 zu beschreiben (auf Eins normierter oder normierter Vektor). Wenn ψt ein normierter Vektor ist, dann ˜ t ). vereinfacht sich der Erwartungswert < O > zu (ψt , Oψ

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN

17

¨ Zeitliche Anderung der Norm: d (ψt , ψt ) = 0 dt

(1.24)

Denn d d d (ψt , ψt ) = ( ψt , ψt ) + (ψt , ψt ) dt dt dt 1 ˜ 1 ˜ = ( Hψt , ψt ) + (ψt , Hψ t) i¯ h i¯ h 1 ˜ ˜ −(Hψt , ψt ) + (ψt , Hψt ) = 0, = i¯ h ˜ hermitesch ist. weil H

1.3.2 Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Unschärfe Wenn {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollständiger orthonormierter Satz von Vektoren ist und P u ein Vektor aus H, dann sind die Koeffizienten {cn } der Entwicklung u = n cn χn eindeutig bestimmt, und zwar gilt (1.25)

cn = (χn , u). Denn2 aus u =

P

n cn χn

folgt (χn , u) = (χn ,

X

ck χk )

k

=

X

=

X

ck (χn , χk )

k

ck δnk = cn .

k

Wenn u =

P

n cn χn

und w = (u, w) =

P

dn χn , dann

X

c∗n dn =

n

n

X

(u, χn )(χn , w),

(1.26)

n

wegen X X X (u, w) = ( cn χn , w) = c∗n (χn , w) = c∗n dn . n

n

n

2 Die mathematischen Fragen, die dadurch entstehen, daß es sich um unendliche Summen handelt (Konvergenzfragen), werden hier u ¨bergangen. Ein detaillierter Beweis der Relation cn = PN PN PN N →∞ (χn , u) lautet: |(χn , u) − k=1 ck δnk P|∞= |(χn , u − k=1 ck χk )| ≤ kχn k · ku − k=1 ck χk k −→ 0 (Cauchy-Schwarz), also (χn , u) = k=1 ck δnk .

18


Insbesondere gilt X

kuk2 = (u, u) =

|cn |2 =

n

X

|(u, χn )|2 .

(1.27)

n

Mit Hilfe obiger Relationen können die in Vorschrift 6 erwähnten Wahrscheinlichkeiten W (ξ) f¨ ur den Meßwert ξ und der Zustandsvektor φ f¨ ur den Zustand nach der Messung geschrieben werden wie folgt: P 2 n mit λn = ξ |(χn , ψt )| W (ξ) = (1.28) (ψt , ψt ) X φ = (χn , ψt )χn (1.29) n mit λn = ξ

Hierbei bezeichnet {χn |n = 1, 2, . . .} einen vollständigen orthonormierten Satz von Eigenvektoren des der gemessenen Observablen O zugeordneten Operators ˜ O: ˜ n = λn χ n Oχ (1.30) ˜ Offenbar gilt W (ξ) = 0, wenn die Zahl ξ dem Spektrum SpO˜ des Operators O ˜ nicht angehört, d.h. wenn ξ kein Eigenwert von O ist. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten W (ξ) f¨ ur alle möglichen Meßwerte muß Eins sein: X W (ξ) = 1 (1.31) ξ

Dies ist tatsächlich erf¨ ullt, denn X

W (ξ) =

ξ

X

P

|(χn , ψt )|2 (ψt , ψt )

n mit λn = ξ

ξ

|(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) (ψt , ψt ) = = 1. (ψt , ψt ) P

=

alle n

F¨ ur den Erwartungswert < O > der Observablen O erhält man X = ξW (ξ).

(1.32)

ξ

Aber ξW (ξ) =

X X 1 1 ξ|(χn , ψt )|2 = λn |(χn , ψt )|2 , (ψt , ψt ) n mit λ = ξ (ψt , ψt ) n mit λ = ξ n

n


19

also X X 1 1 ˜ n )(χn , ψt ) λn |(χn , ψt )|2 = (ψt , Oχ (ψt , ψt ) alle n (ψt , ψt ) alle n X † 1 ˜ ψt , χn )(χn , ψt ) = (O (ψt , ψt ) alle n

=

=

˜ 1 ˜ † ψt , ψt ) = (ψt , Oψt ) (O (ψt , ψt ) (ψt , ψt )

d.h. =

˜ t) (ψt , Oψ (ψt , ψt )

(1.33)

wie bereits in Vorschrift 2 erwähnt. F¨ ur die Unschärfe ∆O der Observablen O (mittlere quadratische Abweichung) erhält man X (∆O)2 = (ξ − < O >)2 W (ξ). (1.34) ξ

Aber f¨ ur jede Zahl a gilt X 1 (ξ − a)2 |(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) n mit λ = ξ n X 1 = (λn − a)2 |(χn , ψt )|2 , (ψt , ψt ) n mit λ = ξ

(ξ − a)2 W (ξ) =

n

also X ξ

X 1 (ξ − a)2 |(χn , ψt )|2 (ψt , ψt ) alle n X 1 ˜ − aI)2 χn )(χn , ψt ) = (ψt , (O (ψt , ψt ) alle n

(ξ − a)2 W (ξ) =

=

˜ − aI)2 ψt ) (ψt , (O (ψt , ψt )

(vgl. die Rechnung f¨ ur < O >), wobei I den Einheitsoperator, also die identische Abbildung von H auf sich, bezeichnet. Somit ist s 2 ˜ (ψt , (O − aI) ψt ) ∆O = . (1.35) (ψt , ψt ) a=

Aus diesem Ausdruck f¨ ur die Unschärfe ∆O folgt ∆O =

ˆ tk kOψ , kψt k

(1.36)

20


ˆ =O ˜ − < O >I definiert wird. F¨ wobei O ur jeden hermiteschen Operator A gilt nämlich: (ψt , A2 ψt ) = (A† ψt , Aψt ) = (Aψt , Aψt ) = kAψt k2 Unter Benutzung dieses Ausdrucks f¨ ur ∆O erhält man, daß die Unschärfe ∆O ˜ ist (Ubung). ¨ genau dann Null ist, wenn ψt ein Eigenvektor von O F¨ ur das Produkt der Unschärfen ∆A, ∆B zweier Observablen A, B gilt die Unschärferelation: ∆A · ∆B ≥ |< 2i [A, B] >| (1.37) Beweis der Unschärferelation: ∆A =

ˆ tk ˆ tk kAψ kBψ und ∆B = , kψt k kψt k

ˆ = B − < B >I ist. Hieraus folgt: wobei Aˆ = A − < A >I und B ∆A ∆B =

ˆ t kkBψ ˆ tk ˆ t , Bψ ˆ t) kAψ |(Aψ ≥ kψt k2 kψt k2

(Cauchy-Schwarz-Ungleichung (1.4)). Ferner gilt ˆ t , Bψ ˆ t )| ≥ |Im(Aψ ˆ t , Bψ ˆ t )|. |(Aψ Aber ˆ t , Bψ ˆ t )| = |Im(Aψ = = =

1 ∗ ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (Aψt , Bψt ) − (Aψt , Bψt ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (Aψt , Bψt ) − (Bψt , Aψt ) 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 2i (ψt , ABψt ) − (ψt , B Aψt ) i ˆ ˆ i |(ψt , [A, B]ψt )| = |(ψt , [A, B]ψt )| 2 2

wegen ˆ B] ˆ = [A, B] ˆ − < A > [I, B] ˆ = [A, B] − < B > [A, I] = [A, B]. [A, | {z } | {z } =0

Also

=0

|(ψt , 2i [A, B]ψt )| = |< 2i [A, B] >| ∆A ∆B ≥ 2 kψt k

2

Wichtiges Beispiel: Unschärferelationen f¨ ur Ort und Impuls ∆pj ∆xj ≥

h ¯ |j = 1, 2, 3 2

(Heisenberg)

(1.38)


21

Diese Unschärferelationen erhält man unter Ausnutzung der Vertauschungsrelationen f¨ ur Ort und Impuls: [˜ xj , p˜k ] = i¯ hδjk (1.39) Diese folgen wiederum aus der Definition der Operatoren x˜j , p˜k (Vorschrift 4): [˜ xj , p˜k ]ψ = x˜j ◦ p˜k ψ − p˜k ◦ x˜j ψ Einsetzen der Definitionen ergibt x˜j ◦ p˜k ψ = φ mit φ(x1 , x2 , x3 ) = xj

h ¯ ∂ ψ(x1 , x2 , x3 ) i ∂xk

und h ¯ ∂ xj ψ(x1 , x2 , x3 ) i ∂xk h ¯ h ¯ ∂ = xj ψ(x1 , x2 , x3 ) + δjk ψ(x1 , x2 , x3 ), i ∂xk i

p˜k ◦ x˜j ψ = χ mit χ(x1 , x2 , x3 ) =

also [˜ xj , p˜k ]ψ = − ¯hi δjk ψ. F¨ ur den Operator λI (λ ∈ C) wird meistens die vereinfachte Bezeichnung λ benutzt, z.B. [x1 , p1 ] = i¯ h statt [x1 , p1 ] = i¯ hI. Operatoren der Form λI werden manchmal c-Zahl-Operatoren oder c-Zahlen genannt.

1.3.3 Reduktion des Wellenpakets. Kompatible Observable Aus Vorschrift 6 ergeben sich folgende Konsequenzen: 1. Wenn der Zustandsvektor vor einer Messung MO der Observablen O Eigenvektor von O zum Eigenwert ξ ist, dann ergibt die Messung MO von O mit Sicherheit den Meßwert ξ. Denn wenn Oψt = ξψt gilt und {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollständiges orthonormiertes System von Eigenvektoren (Oχn = λn χn ) von O bezeichnet, dann gilt (χn , ψt ) = 0 f¨ ur λn 6= ξ. Deswegen ist bei der Messung von O die Wahrscheinlichkeit W (ξ 0 ) f¨ ur den Meßwert ξ 0 gegeben durch  f¨ ur ξ 0 6= ξ  X X 0 1 0 2 1 W (ξ ) = |(χn , ψt )| = |(χn , ψt )|2 = 1 f¨ ur ξ 0 = ξ (ψt ,ψt )  (ψt , ψt ) 0 n mit λn = ξ

alle n

Also ergibt die Messung MO mit Sicherheit den Meßwert ξ.

22

KAPITEL 1. OBSERVABLE UND OPERATOREN I 2. Wenn eine Messung MO der Observablen O den Meßwert ξ ergibt, dann ist der Zustandsvektor φ nach der Messung (Reduktion des Wellenpakets) ein Eigenvektor von O zum Eigenwert ξ. Denn wenn {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollständiges orthonormiertes System von Eigenvektoren (Oχn = λn χn ) des Operators O ist und ψt den Zustandsvektor vor der Messung bezeichnet, dann gilt X (χn , ψt )χn . φ= n mit λn = ξ

Hieraus folgt X

Oφ =

n mit λn = ξ

= ξ

X

(χn , ψt )Oχn =

X

(χn , ψt )λn χn

n mit λn = ξ

(χn , ψt )χn = ξφ.

n mit λn = ξ

Aus den oben bewiesenen Konsequenzen der Vorschrift 6 folgt ferner: Wenn eine Messung MO einer Observablen O den Meßwert ξ ergibt, dann ergibt eine anschließende3 Messung MO der gleichen Observablen O den gleichen Meßwert ξ. Wenn zwischen den zwei Messungen MO eine Messung MR einer anderen Observablen R stattfindet, dann ergibt im allgemeinen die zweite Messung MO nicht mehr mit Sicherheit den Meßwert ξ. Dies ist eine Folge der Reduktion des Wellenpakets, die bei der Messung MR stattfindet. F¨ ur spezielle Paare von Observablen O, R, die kompatibel genannt werden, bleibt das Ergebnis der zweiten Messung MO von der Messung MR unbeeinflußt: Zwei Observable A, B heißen miteinander kompatibel, wenn die zugeordneten Operatoren A, B vertauschbar sind, d.h. wenn AB = BA gilt, was gleichbedeutend mit [A, B] = 0 ist. Wenn nun zwischen zwei Messungen MA einer Observablen A eine Messung MB einer Observablen B stattfindet4 , dann ergibt die zweite Messung MA dasselbe wie die erste Messung MA , falls die Observablen A, B miteinander kompatibel sind. Dies ist eine Konsequenz folgender Aussage: Seien A, B kompatible Observable. Wenn eine Messung von A den Meßwert ξ und eine anschließende Messung von B den Meßwert η ergibt, dann befindet sich das 3

Es wird hierbei angenommen, daß die Messungen so kurz hintereinander erfolgen, daß ¨ die durch die Schr¨ odingergleichung gegebene Anderung des Zustands in der Zeit zwischen den Messungen vernachl¨ assigt werden darf. 4 vgl. die vorige Fußnote.


23

System nach der zweiten Messung in einem Zustand φ mit Aφ = ξφ, Bφ = ηφ. (Jede spätere Messung von A ergibt ξ und jede spätere Messung von B ergibt η.) Dies folgt aus Vorschrift 6. Denn es existiert ein vollständiger orthonormierter Satz {χn |n = 1, 2, . . .} gemeinsamer Eigenvektoren der Operatoren A und B, da [A, B] = 0 (Aχn = an χn , Bχn = bn χn ). Nach der Messung von A ist der Zustandsvektor ψ Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ (Aψ = ξψ). Nach der Messung von B ist der Zustandsvektor φ gegeben durch X φ= (χn , ψ)χn n mit bn = η

und es gilt Bφ = ηφ. Aber aus {Aψ = ξψ, Aχn = an χn } folgt {(ψ, χn ) = 0 f¨ ur an 6= ξ}. Also X φ= (χn , ψ)χn . n mit {bn = η und an = ξ}

Hieraus folgt aber Aφ = ξφ (vgl. Zwischenrechnung Seite 22).

1.3.4 Pra¨paration durch Messung. Maximaler Satz kompatibler Observablen Ein Satz {A1 ,...An } von Observablen heißt Satz kompatibler Observablen, wenn je zwei Observable des Satzes miteinander kompatibel sind, d.h. wenn [Aj , Al ] = 0 |j, l = 1, 2, . . . n

(1.40)

gilt. Sei {A1 ,. . . An } ein Satz kompatibler Observablen. Der nach Ausf¨ uhrung von Messungen MA1 , MA2 ,. . . MAn der Observablen A1 ,A2 ,. . . An hintereinander mit den Meßergebnissen ξ (1) ,ξ (2) ,. . . ξ (n) entstehende Zustand wird durch einen Zustandsvektor φ charakterisiert, welcher die Eigenschaft Am φ = ξ (m) φ |m = 1, 2, . . . n

(1.41)

hat (gemeinsamer Eigenvektor der Operatoren A1 ,A2 ,. . . An ). Durch selektive Messungen5 eines Satzes {A1 ,A2 ,. . . An } kompatibler Observablen können Systeme präpariert werden, so daß jede anschließende Messung einer der Observablen A1 ,. . . An mit Sicherheit den entsprechenden Wert ξ (1) ,ξ (2) ,. . . ξ (n) als Meßwert ergibt. Durch Hinzunahme weiterer (mit den vorhergehenden und miteinander kompatibler) Observablen kann man den Satz kompatibler Observablen vergrößern und 5

Selektive Messung = Messung, bei welcher das System nur dann durchgelassen“ wird, wenn ” es einen bestimmten Meßwert f¨ ur die gemessene Observable ergibt. Sonst wird es abgeblendet“. ”

24


entsprechend mehr Information u ¨ber das durch Messungen untersuchte (oder präparierte) System gewinnen. Dieses Verfahren endet, wenn ein maximaler Informationsstand6 erreicht wird. Die Hinzunahme weiterer Observablen kann zu keiner neuen Information f¨ uhren. Dies ist der Fall, wenn der Satz {A1 ,. . . An } maximal ist. Ein Satz {A1 , . . . An } kompatibler Observablen heißt maximal, wenn jede Observable B, die mit jeder Observablen des Satzes kompatibel ist, eine Funktion F (A1 ,. . . An ) der Observablen A1 ,A2 ,. . . An ist. Es gilt folgender Satz: Ein System {A1 ,. . . An } kompatibler Observablen ist genau dann maximal, wenn es kein Paar φ,φ0 linear unabhängiger Vektoren gibt mit Am φ = λ(m) φ und Am φ0 = λ(m) φ0 |m = 1, 2, . . . n,

(1.42)

d.h., wenn es zu jedem Satz {λ(1) ,. . . λ(n) } von reellen Zahlen höchstens einen Zustand des Systems gibt mit der Eigenschaft, daß jede Messung von Am mit Sicherheit den Meßwert λ(m) f¨ ur m = 1, . . . n ergibt. (Man beachte: Zwei linear abhängige, von Null verschiedene Vektoren φ,φ0 charakterisieren den gleichen Zustand des Systems: φ0 = aφ.) Beweis 1. Sei {χk |k = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von H, die aus gemeinsamen Eigenvektoren der Operatoren A1 ,. . . An und des zusätzlichen Operators B besteht. (m)

|k = 1, 2, . . . und m = 1, 2, . . . n |k = 1, 2, . . .

Am χk = ξk χk Bχk = bk χk

Wenn zu jedem Paar χµ ,χν von Basisvektoren mit µ 6= ν die Eigenwertsätze (1) (n) (1) (n) {ξµ , . . . ξµ } bzw. {ξν , . . . ξν } verschieden sind, dann gibt es zu jedem vorkommenden Satz {ξ (1) , . . . ξ (n) } genau einen Index k. Also ist k und folglich bk eine Funktion von {ξ (1) , . . . ξ (n) }. (1)

(n)

bk = f (ξk , . . . ξk ) |k = 1, 2, . . . d.h. B = f (A1 , . . . An ) 2. Umgekehrt sei {A1 ,A2 ,. . . An } maximal, und es gelte Am φ = λ(m) φ, 6

Am φ0 = λ(m) φ0 |m = 1, 2, . . . n.

In der klassischen Mechanik wird z.B. maximaler Informationsstand erreicht, wenn der Impuls und der Ort eines Teilchens bestimmt sind. Alle anderen Größen (z.B. Energie, Drehimpuls) können aus Ort und Impuls errechnet werden.


25

Es wird gezeigt, daß φ,φ0 linear abhängig sind: Angenommen, φ,φ0 seien linear unabhängig; dann existieren zwei orthonormierte Vektoren ψ1 ,ψ2 (ψ1 = φ/kφk, ψ2 = (φ0 − (ψ1 , φ0 )ψ1 )/kφ0 − (ψ1 , φ0 )ψ1 k: Erhard Schmidt) mit der Eigenschaft Am ψj = λ(m) ψj |j = 1, 2; m = 1, 2, . . . n. Dann definiert man einen Operator B durch Bχ = (ψ1 , χ)ψ1 − (ψ2 , χ)ψ2 . Dieser Operator hat die Eigenschaften [B, Am ] = 0 |m = 1, 2, . . . n Bψ1 = ψ1 ,

Bψ2 = −ψ2 ,

die aus seiner Definition folgen. z.B. ist BAm χ = (ψ1 , Am χ)ψ1 − (ψ2 , Am χ)ψ2 = (Am ψ1 , χ)ψ1 − (Am ψ2 , χ)ψ2 = λ(m) (ψ1 , χ)ψ1 − λ(m) (ψ2 , χ)ψ2 = (ψ1 , χ)Am ψ1 − (ψ2 , χ)Am ψ2 = Am Bχ. Da aber nach Voraussetzung {A1 ,. . . An } maximal ist, muß B = f (A1 ,. . . An ) gelten, und daraus folgt Bψj = f (λ(1) , . . . λ(n) )ψj |j = 1, 2 also 1 = f (λ(1) , . . . λ(n) ) = −1 (Widerspruch!). 2

¨ 1.3.5 Zeitliche Anderung von Erwartungswerten Wenn der Operator A als zeitunabhängig vorausgesetzt wird, dann gilt d dψt dψt i (ψt , Aψt ) = ( , Aψt ) + (ψt , A ) = ((Hψt , Aψt ) − (ψt , AHψt )) dt dt dt h ¯ i i = ((ψt , HAψt ) − (ψt , AHψt )) = (ψt , [H, A]ψt ), h ¯ h ¯ weil H hermitesch ist. Da (ψt , ψt ) konstant ist, gilt daher d 1 d 1 i = (ψt , Aψt ) = (ψt , [H, A]ψt ). dt (ψt , ψt ) dt (ψt , ψt ) h ¯

(1.43)

Wenn also [H, A] = 0, dann ist der Erwartungswert der Observablen A zeitunabhängig. Insbesondere ist wegen [H, H] = 0 der Erwartungswert der Energie < H > zeitunabhängig, wenn der Operator H zeitunabhängig ist.

26


1.3.6 Stationa¨re Zusta¨nde Sei {χn |n = 1, 2, . . .} ein vollständiger orthonormierter Satz von Eigenvektoren von H: Hχn = En χn

(Zeitunabhängige Schrödingergleichung)

(1.44)

Dann läßt sich die allgemeine Lösung ψt der zeitabhängigen Schrödingergleichung i¯ h dtd ψt = Hψt in der Form X i ψt = cn (0) e− h¯ En t χn (1.45) n

darstellen. Denn wegen der Vollständigkeit des Satzes {χn } gilt X ψt = cn (t)χn n

Hieraus erhält man i¯ h

X d d ψt − Hψt = (i¯ h cn (t) − En cn (t))χn . dt dt n

Die Schrödingergleichung i¯ h dtd ψt − Hψt = 0 ist also genau dann erf¨ ullt, wenn d i¯ h dt cn (t) − En cn (t) = 0 f¨ ur alle n gilt, d.h., wenn i

cn (t) = cn (0)e− h¯ En t f¨ ur alle n gilt. Speziell ist e−iEn t/¯h χn eine Lösung der Schrödingergleichung. Eine solche Lösung sowie der dadurch charakterisierte Zustand wird stationär genannt. Man benutzt diese Bezeichnung, weil der Erwartungswert jeder zeitunabhängigen Observablen in einem stationären Zustand konstant ist: i

i

(e− h¯ En t χn , Ae− h¯ En t χn ) = (χn , Aχn ).

(1.46)

1.3.7 Kontinuierliches Spektrum Beispiel: Spektrum des Impulsoperators im IR3 Da die Operatoren {p1 , p2 , p3 } paarweise kommutieren (d.h. [pµ , pν ] = 0 f¨ ur µ, ν = 1, 2, 3), werden gemeinsame Eigenvektoren χ der drei Operatoren gesucht. pµ χ = λµ χ |µ = 1, 2, 3

(1.47)


27

λ1 ,λ2 ,λ3 sind hierbei die Eigenwerte. Aus der Definition der Operatoren pµ folgt h ¯ ∂ χ(x1 , x2 , x3 ) = λµ χ(x1 , x2 , x3 ) |µ = 1, 2, 3 i ∂xµ und daraus erhält man i

i

i

i

χ(x1 , x2 , x3 ) = Ae h¯ λ1 x1 e h¯ λ2 x2 e h¯ λ3 x3 = Ae h¯ (λ1 x1 +λ2 x2 +λ3 x3 ) ,

(1.48)

wobei A eine von Null verschiedene Konstante bezeichnet. Die Eigenwerte λ1 ,λ2 ,λ3 m¨ ussen reell sein, sonst w¨ urde |χ(x1 , x2 , x3 )| gegen ∞ anwachsen f¨ ur xk → ±∞. Mit der Bezeichnung ~k = (k1 , k2 , k3 ) = ( λ1 , λ2 , λ3 ) h ¯ h ¯ h ¯

(1.49)

gilt also ~

χ(~r ) = Aei(k·~r ) pν χ = h ¯ kν χ. Die Funktion χ(~r ) ist nicht quadratintegrabel: Z Z 2 3 |χ(~r )| d ~r = |A|2 d3~r = ∞

(1.50) (1.51)

(1.52)

Also ist χ kein Element von H ( uneigentlicher Vektor“). Es ist trotzdem n¨ utzlich, ” χ als Eigenvektor von p1 ,p2 ,p3 anzusehen, da jeder Vektor u aus H als kontinu” ierliche“ Superposition solcher uneigentlicher Vektoren dargestellt werden kann: Z 1 ~ u(~r ) = u˜(~k)ei(k·~r ) d3~k (1.53) 3/2 (2π) Das Spektrum von pν , d.h. die Menge aller Eigenwerte von pν , ist kontinuierlich: alle reellen Zahlen λ sind Eigenwerte von pν . In Analogie zu den bisher betrachteten vollständigen orthonormierten Sätzen von Eigenvektoren hermitescher Operatoren werden die Eigenvektoren von p1 ,p2 ,p3 mit dem kontinuierlichen Index ~k indiziert: ~ χ~k = Aei(k·~r ) (1.54) Sie werden ferner durch die Festlegung A = (2π)−3/2 so normiert, daß Z (χ~k0 , χ~k ) = χ~∗k0 (~r )χ~k (~r )d3~r = δ(~k − ~k 0 )

(1.55)

28


gilt. Denn es gilt Z

i(~k−~k0 )·~ r 3

e

d ~r = =

3 Z Y ν=1 3 Y

0

ei(kν −kν )xν dxν

(2πδ(kν − kν0 )) = (2π)3 δ(~k − ~k 0 ).

ν=1

Mit dieser Indizierung und Normierung können alle Formeln, die f¨ ur diskret indizierte vollständige orthonormierte Sätze gelten, leicht u bertragen werden. Es ¨ gen¨ ugt, δ 0 durch δ(~k − ~k 0 ) und R P νν durch · · · d3~k zu ersetzen. ν ··· Wichtig ist hierbei zu beachten, daß die Integrationsvariable mit dem im Argument der δ-Funktion erscheinenden Index identisch sein muß. ¨ Beispiele der Ubertragung: (χν , χν 0 ) = δνν 0 =⇒ (χ~k , χ~k0 ) = δ(~k − ~k 0 ) ( R P u = c(~k)χ~k d3~k u = ν cν χν =⇒ mit cν = (χν , u) mit c(~k) = (χ~k , u) Z Z X X 2 2 3 2 2 |cν | =⇒ kuk = k c(~k)χ~k d ~kk = |c(~k)|2 d3~k cν χν k = kuk = k ν

ν

Es gibt Operatoren, deren Spektrum zum Teil aus diskreten Werten und zum Teil aus endlichen oder unendlichen Intervallen besteht. In solchen Fällen werden die Eigenvektoren zum Teil mit diskreten und zum Teil mit kontinuierlichen Indizes versehen. Die nicht quadratintegrablen Eigenvektoren treten immer in Zusammenhang mit dem kontinuierlichen Teil des Spektrums von Operatoren auf. Bemerkung: Der f¨ ur die Eigenvektoren der Impulsoperatoren benutzte Index ~k ist die Zusammenfassung der drei kontinuierlichen Indizes k1 ,k2 ,k3 . Im allgemeinen können vollständige orthonormierte Sätze mehrfach indiziert sein, wobei einige Indizes kontinuierlich und andere diskret sein können: ξ1 , . . . ξm : kontinuierlich χξ1 ξ2 ...ξm ν1 ν2 ...νn ν1 , . . . νn : diskret 0 ) δν1 ν10 · · · δνn νn0 (χξ1 ...νn , χξ10 ...νn0 ) = δ(ξ1 − ξ10 ) · · · δ(ξm − ξm


29

1.3.8 Spektrum des Ortsoperators, Wahrscheinlichkeitsdichte Auch hier sind die Eigenvektoren χξ~ (~r ) keine Elemente des Hilbertraums7 : x˜k χξ~ (~r ) = ξk χξ~ (~r )

|k = 1, 2, 3

(1.56)

mit χξ~ (~r ) = δ(ξ~ − ~r ) Es gilt die Orthogonalitätsrelation Z χ∗ξ~ (~r ) χξ~0 (~r) d3~r = δ(ξ~ − ξ~0 ).

(1.57)

(1.58)

Offensichtlich kann jeder Vektor ψ aus H mit Hilfe der so definierten χξ~ als Z Z 3~ ~ χ~ (~r ) d3 ξ~ ~ ψ(~r ) = ψ(ξ) χξ~ (~r ) d ξ = c(ξ) (1.59) ξ ~ nach geschrieben werden, d.h. ψ stimmt als Funktion mit seiner Entwicklung c(ξ) Eigenvektoren des Ortsoperators u ¨berein. Die Verallgemeinerung der Vorschrift 6 f¨ ur Observable mit kontinuierlichem Spektrum ergibt f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, bei einer Ortsmessung einen Wert im Volumen ∆V zu erhalten, den Ausdruck R R ~ 2 d3 ξ~ |c( ξ)| |ψ(~r )|2 d3~r . (1.60) W (∆V ) = R∆V = ∆V ~ 2 3~ (ψ, ψ) 3 |c(ξ)| d ξ IR

Diesen Ausdruck kann man aber auch als Integral u ¨ber eine Wahrscheinlichkeitsdichte interpretieren: Z ρ(~r ) d3~r

W (∆V ) =

(1.61)

∆V

mit ρ(~r ) =

1 |ψ(~r )|2 . (ψ, ψ)

(1.62)

F¨ ur ein Einteilchensystem ohne innere Freiheitsgrade hat der Hamiltonoperator i.a. die Form ˜2 ¯2 ˜ = p~ + V (~˜r ) = − h H ∆ + V (~r ). (1.63) 2m 2m Damit erhält man eine Beziehung f¨ ur ρ(~r ), wenn man die Schrödingergleichung ∂ h ¯2 i¯ h + ∆ − V (~r ) ψ(~r, t) = 0 (1.64) ∂t 2m 7

Die Tatsache, daß die so definierten Eigenvektoren ( Deltafunktionen“) nicht als Funktio” nen, sondern nur als verallgemeinerte Funktionen (Distributionen) verstanden werden können, wird hier nicht er¨ ortert.

30


von links mit ψ ∗ multipliziert und anschließend die konjugiert komplexe Gleichung h ¯2 ∂ ψ(~r, t) −i¯ h + ∆ − V (~r ) ψ ∗ (~r, t) = 0 ∂t 2m subtrahiert:

∂ ∂ i¯ h ψ ψ + ψ ψ∗ ∂t ∂t ∗

+

h ¯2 (ψ ∗ ∆ψ − ψ ∆ψ ∗ ) = 0. 2m

Wegen ∂ ∂ ∂ ∂ ψ + ψ ψ∗ = (ψ ∗ ψ) = |ψ|2 ∂t ∂t ∂t ∂t ~ · ψ ∗ ∇ψ ~ − ψ ∇ψ ~ ∗ ψ ∗ ∆ψ − ψ ∆ψ ∗ = ∇ ψ∗

und

erhält man so die Kontinuitätsgleichung ∂ ~ · ~ (~r, t) = 0, ρ(~r, t) + ∇ ∂t wobei

1 |ψ(~r, t)|2 (ψ, ψ)

(1.66)

1 h ¯ ∗~ ~ ∗ ψ ∇ψ − ψ ∇ψ (ψ, ψ) 2mi

(1.67)

ρ(~r, t) = und ~ (~r, t) =

(1.65)

gesetzt ist. In Analogie zur Elektrodynamik bezeichnet man ~ als WahrscheinlichkeitsStromdichte und die Kontinuitätsgleichung als Erhaltung der Wahrscheinlichkeit. 8

1.3.9 Nichtkompatible Observable Wenn zwei Observable A,B nicht kompatibel sind, existiert kein vollständiger Satz gemeinsamer Eigenvektoren. F¨ ur gewisse Paare von inkompatiblen Observablen gibt es keinen einzigen gemeinsamen Eigenvektor; dies bedeutet physikalisch, daß es keinen Zustand gibt, bei welchem jede der beiden Observablen einen bestimmten Wert hat. Wichtiges Beispiel: Impuls und Ort eines Teilchens. Die Unschärfen von Impuls und Ort erf¨ ullen die Heisenbergschen Unschärferelationen ∆pj ∆xj ≥ h ¯ /2 |j = 1, 2, 3. Beispiele von Ortsbestimmung: 8

Die Kontinuit¨ atsgleichung wurde bereits im ersten Kapitel abgeleitet. Der neue Aspekt ist die statistische Deutung: ρ(~r, t) als Wahrscheinlichkeitsdichte f¨ ur die Ortsmessung.

¨ 1.3. ERLAUTERUNGEN UND ANWENDUNGEN 6x

31

2

l A A A

w

h ¯k

A A A θ A A x - Aa

x1 -

Abbildung 1.1: Mikroskop 1. Mikroskop: Die Unschärfe ∆x1 der Bestimmung des Teilchenorts ist gegeben durch das Auflösungsvermögen des Mikroskops ∆x1 ≈

λ sin θ

(1.68)

(λ = Wellenlänge des zur Beleuchtung“ benutzten Lichts). Das Teilchen ” wird sichtbar dadurch, daß ein Lichtquant mit Impuls h ¯ k an dem Teilchen gestreut wird und in das Mikroskop gelangt. Bei dieser Streuung wird auf das Teilchen Impuls u ¨bertragen. Damit ist die Komponente p1 des Teilchenimpulses nach der Streuung geändert. Die Unschärfe ∆p1 kann aus den möglichen Impulsen des gestreuten Lichtquants abgeschätzt werden: ∆p1 ≈ h ¯ k sin θ. Somit ∆x1 ∆p1 ≈ h ¯ kλ = 2π¯ h. 2. Blende: Der Ort von Teilchen mit Impuls p1 = h ¯ k, p2 = p3 = 0 wird mit einer Blende bestimmt. ∆x2 = d. Wegen der Beugung an der Blende (θ ≈ sin θ ≈ λ/d) gilt nach dem Durchgang ∆p2 = h ¯ k sin θ ≈ h ¯ kλ/d. Also ∆x2 ∆p2 ≈ h ¯ kλ = 2π¯ h.

32


6x

2

-

1 θ A PP PP PP PP q P

6

d ?

x1 -

Abbildung 1.2: Blende

Kapitel 2 Einfache Anwendungen der Quantenmechanik 2.1 Der harmonische Oszillator Die Bestimmung der stationären Lösungen der Schrödingergleichung f¨ ur das Potential eines eindimensionalen harmonischen Oszillators V (x) =

mω 2 2 x 2

(2.1)

ist der Angabe von Eigenwerten und Eigenvektoren des Hamiltonoperators H=

1 2 mω 2 2 h ¯2 mω 2 2 p + x =− ∆+ x 2m 2 2m 2

(2.2)

äquivalent. Man definiert man die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren 1 1 1 b 1 d a = √ x+i p = √ x+b (2.3) h ¯ dx 2 b 2 b 1 1 1 b 1 d † a = √ x−i p = √ x−b (2.4) h ¯ dx 2 b 2 b p mit b = h ¯ /mω (Längenparameter des harmonischen Oszillators). Aus der kanonischen Vertauschungsrelation [x, p] = i¯ h

(2.5)

[a, a† ] = 1,

(2.6)

folgt

33

34KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK denn

1 1 b 1 1 b [a, a ] = √ x+i p ,√ x−i p h ¯ h ¯ 2 b 2 b 1 1 b2 1 −i [x, p] + i [p, x] + [p, p] = [x, x] h 2¯ h 2b2 | {z } 2¯ 2¯ h2 |{z} †

=0

=0

i = − [x, p] = 1. h ¯ Es gilt ferner

1 H =h ¯ω a a + 2 †

,

(2.7)

denn †

aa = = = = =

1 1 b 1 b x−i p x+i p 2 b h ¯ b h ¯ 1 1 2 1 1 b2 2 x + i xp − i px + 2 p 2 b2 h ¯ h ¯ h ¯ 2 1 1 2 b 2 i x + 2 p + [x, p] 2 b2 h ¯ h ¯ 1 mω 2 1 2 x + p −1 2 h ¯ mω¯ h 1 1 2 mω 2 2 1 p + x − . h ¯ ω 2m 2 2

Das Eigenwertproblem f¨ ur den Operator H wird somit auf das Eigenwertproblem † f¨ ur den Operator a a zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Eigenwerte des Operators a† a sind, wie im folgenden gezeigt wird, die nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, . . .}. Es gibt ferner eine orthonormierte Basis {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} mit den Eigenschaften: a† a ψn a† ψn a ψn a ψ0 ψn

n ψn | n = 0, 1, 2, . . . √ n+1 ψn+1 | n = 0, 1, 2, . . . √ n ψn−1 | n = 1, 2, . . . 0 1 = √ (a† )n ψ0 n!

= = = =

(2.8) (2.9) (2.10) (2.11) (2.12)

Zum Beweis obiger Behauptungen zeigt man zunächst, daß aus [a, a† ] = 1 die Relationen [a† a, a† ] = a† und [a† a, a] = −a

2.1. DER HARMONISCHE OSZILLATOR

35

folgen. Hieraus folgt: Wenn ψβ Eigenvektor von a† a zum Eigenwert λβ ist, wenn also a† a ψβ = λβ ψβ gilt, dann gelten auch die Relationen a† a a† ψβ = (λβ + 1) a† ψβ und a† a (a ψβ ) = (λβ − 1) (a ψβ ) . Diese Relationen bedeuten, daß die Vektoren a† ψβ und a ψβ , soweit von Null verschieden, Eigenvektoren von a† a zu den Eigenwerten (λβ + 1), (λβ − 1) sind. Durch mehrfache Anwendung dieser Aussage erhält man, daß jeder Vektor (a† )n ψβ

bzw. (a)n ψβ

| n = 1, 2, . . . ,

soweit von Null verschieden, Eigenvektor von a† a zum Eigenwert (λβ +n) (bzw. (λβ −n)) ist. Alle Eigenwerte von a† a sind nichtnegativ. Denn aus a† a ψβ = λβ ψβ und ψβ 6= 0 folgt (ψβ , a† aψβ ) = λβ (ψβ , ψβ ), also λβ =

(ψβ , a† aψβ ) . (ψβ , ψβ )

Aber (ψβ , a† aψβ ) = ka ψβ k2 ≥ 0, und daraus folgt λβ ≥ 0. Wenn nun ψβ Eigenvektor von a† a zum Eigenwert λβ ist, dann ist mindestens einer der Vektoren {(a)n ψβ : n = 1, 2, . . .} Null, denn sonst wären sie alle Eigenvektoren von a† a und alle Zahlen {λβ −n | n = 1, 2, . . .} Eigenwerte von a† a, obwohl a† a nur nichtnegative Eigenwerte hat. Sei m die kleinste nat¨ urliche Zahl, f¨ ur die (a)m ψβ = 0 gilt; dann gilt a† a am−1 ψβ = a† (am ψβ ) = 0. Da aber andererseits a† a am−1 ψβ = (λβ − (m−1)) am−1 ψβ und am−1 ψβ 6= 0 gelten, muß λβ − (m−1) = 0 sein. Also ist λβ = m−1 eine ganze nichtnegative Zahl. Es gilt ferner 1 ψβ = (a† )m−1 am−1 ψβ , (m−1)! denn (a† )k (a)k ψβ = = .. . = =

(a† )k−1 a† a (a)k−1 ψβ (λβ − (k−1)) (a† )k−1 (a)k−1 ψβ (λβ − (k−1)) (λβ − (k−2)) · · · λβ ψβ (m−k)(m−k+1) · · · (m−1) ψβ ,

36KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK d.h. (a† )m−1 (a)m−1 ψβ = (m − 1)! ψβ . Das bedeutet, daß jeder Eigenvektor ψβ von a† a mit Eigenwert λβ in der Form (a† )λβ ψz dargestellt werden kann, wobei ψz einen Vektor mit der Eigenschaft a ψz = 0 bezeichnet. Zur Bestimmung eines Vektors ψ0 mit a ψ0 = 0 und (ψ0 , ψ0 ) = 1 benutzen wir die Wellenfunktion ψ0 (x) | − ∞ < x < ∞. explizit. Die Gleichung a ψ0 = 0 ist gleichbedeutend mit der Differentialgleichung d x +b ψ(x) = 0 (2.13) b dx f¨ ur die Wellenfunktion ψ0 . Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist x2

ψ(x) = A e− 2b2 , 1

1

wobei A eine komplexe Konstante ist. Mit der Wahl A = π − 4 b− 2 erf¨ ullt die Wellenfunktion x2 1 ψ0 (x) = 1 1 e− 2b2 (2.14) π 4 b2 R∞ die Normierungsbedingung −∞ |ψ0 (x)|2 dx = 1. Jeder Vektor ψz mit a ψz = 0 ist ein Vielfaches des oben bestimmten Vektors ψ0 , da die allgemeine Lösung der Differentialgleichung Produkt von ψ0 mit einer komplexen Konstante ist. Damit hat auch jeder Eigenvektor ψβ mit Eigenwert λβ die Form ψβ = Aβ (a† )λβ ψ0 , wobei Aβ eine komplexe Zahl ist. Wir definieren die Vektoren 1 ψn = √ (a† )n ψ0 n!

| n = 1, 2, 3 . . .

und zeigen induktiv, daß sie auf Eins normiert sind: 1 ((a† )n+1 ψ0 , (a† )n+1 ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n+1 (a† )n+1 ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n aa† (a† )n ψ0 ) (n + 1)! 1 = (ψ0 , (a)n ([a, a† ] + a† a) (a† )n ψ0 ) (n + 1)!

(ψn+1 , ψn+1 ) =

2.2. DER DREHIMPULS

37

1 (ψ0 , (a)n (1 + a† a) (a† )n ψ0 ) (n + 1)! n+1 = (ψ0 , (a)n (a† )n ψ0 ) (n + 1)! 1 ((a† )n ψ0 , (a† )n ψ0 ) = n! = (ψn , ψn ). =

Also (ψn+1 , ψn+1 ) = (ψn , ψn ) = · · · = (ψ0 , ψ0 ) = 1. Die Vektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} sind paarweise orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten des hermiteschen Operators a† a gehören; sie bilden also ein orthonormiertes System. Aus den Definitionen folgt ferner √ 1 a† ψn = √ (a† )n+1 ψ0 = n+1 ψn+1 n!

| n = 0, 1, . . .

sowie 1 1 a ψn = √ a(a† )n ψ0 = √ (aa† )(a† )n−1 ψ0 n! n! 1 1 = √ aa† ψn−1 = √ (1 + a† a) ψn−1 n n √ = n ψn−1 | n = 1, 2, . . . Es bleibt nur noch zu beweisen, daß das orthonormierte System {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} vollständig ist. Dies wird hier nicht bewiesen. Wir beschränken uns nur auf die Bemerkung, daß, wenn es ein vollständiges System aus Eigenvektoren von a† a gibt, dann {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} auch vollständig ist, da jeder Eigenvektor von a† a ein Vielfaches eines der Vektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} ist. 2 Die Basisvektoren {ψn : n = 0, 1, 2, . . .} sind auch Eigenvektoren von H, und zwar gilt 1 H ψn = h ¯ω n + ψn | n = 0, 1, 2, . . . (2.15) 2

2.2 Der Drehimpuls 2.2.1 Definition des Drehimpulsoperators Nach den allgemeinen Zuordnungsvorschriften entsprechen die Operatoren (x2 p3 − x3 p2 ), (x3 p1 − x1 p3 ), (x1 p2 − x2 p1 ) den drei Komponenten des Drehimpulses eines

38KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Teilchens. In Einheiten von h ¯ ausgedr¨ uckt: L1 = (x2 p3 − x3 p2 )/¯ h L2 = (x3 p1 − x1 p3 )/¯ h L3 = (x1 p2 − x2 p1 )/¯ h

(2.16)

Diese drei Definitionsgleichungen werden formal zusammengefaßt: ~ = (~r × p~)/¯ L h

(2.17)

Dem Quadrat des Drehimpulses entspricht der Operator ~ 2 = L2 + L2 + L 2 . L 1 2 3

(2.18)

~ 2 sind hermitesch (Ubung). ¨ Die Operatoren L1 , L2 , L3 und L Aus den Definitionen 2 ~ von L1 , L2 , L3 , L und den Vertauschungsrelationen [xj , xk ] = 0,

[pj , pk ] = 0,

[xj , pk ] = i¯ hδjk

(2.19)

der Operatoren xj , pk folgen die Vertauschungsrelationen der Drehimpulsoperatoren [L1 , L2 ] = iL3 [L2 , L3 ] = iL1 (2.20) [L3 , L1 ] = iL2 ~ 2 , Lk ] = 0 [L

|k = 1, 2, 3

(2.21)

¨ (Ubung).

~2 2.2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren von L3 und L ~ 2 kommutieren. Also existiert ein vollstänDie hermiteschen Operatoren L3 und L diges orthonormiertes System von gemeinsamen Eigenvektoren dieser Operatoren. Es ist zweckmäßig, f¨ ur die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren folgende Operatoren zu definieren (Schiebeoperatoren): L+ = L1 + iL2 L− = L1 − iL2

(2.22)

Aus den Vertauschungsrelationen und den Definitionen folgt [L3 , L+ ] = L+ [L3 , L− ] = −L−

(2.23)

~ 2 − L23 + L3 L+ L − = L ~ 2 − L23 − L3 L− L+ = L

(2.24)

2.2. DER DREHIMPULS

39 [L+ , L− ] = 2 L3

(2.25)

¨ (Ubung). Es gilt ferner (L+ )† = L− ,

(L− )† = L+ .

(2.26)

Die Aussagen, die man mit Hilfe dieser Relationen erhält, werden in den folgenden Sätzen zusammengefaßt. Satz 1: Nur die reellen Zahlen j(j+1) mit j = 0, 12 , 1, 32 , 2, 52 , . . . können Eigenwerte ~ 2 sein. Wenn ψjm gemeinsamer Eigenvektor von L ~ 2 und L3 mit von L ~ 2 ψjm = j(j + 1)ψjm L L3 ψjm = mψjm

(2.27) (2.28)

ist, dann hat m einen der (2j + 1) Werte {−j, −j +1, . . . , j −1, j}. ~ 2 zum Eigenwert j(j + 1), wobei j eine der Satz 2: Sei χ Eigenvektor von L 1 3 Zahlen {0, 2 , 1, 2 , . . .} ist. Dieser Vektor χ sei ferner normiert (kχk = 1) und Eigenvektor von L3 . Dann existiert genau ein orthonormierter Satz {ψjm |m = −j, −j+1, . . . j−1, j} von (2j + 1) Vektoren, der χ enthält und die Eigenschaften ~ 2 ψjm = j(j + 1)ψjm L L3 ψjm = mψjm 1 ψj,m+1 = L+ ψjm kL+ ψjm k 1 ψj,m−1 = L− ψjm kL− ψjm k

| m = −j, . . . j

(2.29)

| m+1 = −j +1, −j +2, . . . j

(2.30)

| m−1 = −j, −j +1, . . . j −1

(2.31)

hat. F¨ ur die Vektoren ψjm dieses Satzes gilt ferner p kL+ ψjm k = pj(j + 1) − m(m + 1) |m = −j, . . . j kL− ψjm k = j(j + 1) − m(m − 1)

(2.32)

und insbesondere L+ ψjj = L− ψj,−j = 0. Beweis der Sätze: Sei χ ein Vektor mit ~ 2 χ = λχ, L

L3 χ = µχ,

kχk = 1.

Dann gelten die folgenden drei Aussagen: ~ 2 (L+ χ) = λ(L+ χ) L

(2.33)

40KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK ~ 2 , L+ ] = 0 folgt L ~ 2 L+ χ = L+ L ~ 2 χ = L+ λχ = λL+ χ), (Denn aus [L L3 (L+ χ) = (µ + 1)(L+ χ) (Aus [L3 , L+ ] = L+ folgt L3 L+ χ = L+ L3 χ + L+ χ = (µ + 1)L+ χ) und kL+ χk2 = (λ − µ(µ + 1))kχk2 wegen kL+ χk2 = (L+ χ, L+ χ) = (χ, (L+ )† L+ χ) ~ 2 − L2 − L3 )χ) = (χ, L− L+ χ) = (χ, (L 3

2

2

= (λ − µ − µ)kχk . Die entsprechenden Relationen f¨ ur L− sind ~ 2 (L− χ) = λ(L− χ), L L3 (L− χ) = (µ − 1)(L− χ), kL− χk2 = (λ − µ(µ − 1))kχk2 . Durch Induktion erhält man ferner ~ 2 (L± )k χ = λ(L± )k χ L L3 (L± )k χ = (µ ± k)(L± )k χ k(L+ )k χk2 = (λ − µ(µ+1)) (λ − (µ+1)(µ+2)) . . . (λ − (µ+k−1)(µ+k)) kχk2 k(L− )k χk2 = (λ − µ(µ−1)) (λ − (µ−1)(µ−2)) . . . (λ − (µ−k+1)(µ−k)) kχk2 . F¨ ur gen¨ ugend große Werte von k wird (λ−(µ+k−1)(µ+k)) und (λ−(µ−k+1)(µ−k)) negativ. Da aber k(L+ )k χk2 ≥ 0 und k(L− )k χk2 ≥ 0 f¨ ur k = 1, 2, . . . sowie kχk = 6 0 gilt, gibt es zwei nicht negative ganze Zahlen n, n0 mit λ − (µ + n)(µ + n + 1) = 0 λ − (µ − n0 )(µ − n0 − 1) = 0. Nach Auflösung obiger Gleichungen nach µ und λ folgt µ=

n0 − n , 2

λ = j(j + 1),

wobei j =

n0 + n . 2

Dies bedeutet aber, daß j einen der Werte 0, 12 , 1, 32 , . . . hat, während {−j, −j + 1, . . . j − 1, j} die möglichen Werte von µ sind. Dies beweist Satz 1. Die f¨ ur χ bewiesenen Formeln zeigen ferner, daß p kL+ ψjm k = j(j + 1) − m(m + 1) p kL− ψjm k = j(j + 1) − m(m − 1)

2.2. DER DREHIMPULS

41

~ 2 und L3 mit den Eigenwerten gilt, wenn ψjm ein normierter Eigenvektor von L j(j + 1), m ist. Im Spezialfall m = j (bzw. m = −j) erhält man kL+ ψjj k = 0 (bzw. kL− ψj,−j k = 0), also L+ ψjj = 0 (bzw. L− ψj,−j = 0). Um den Beweis des Satzes 2 zu vervollständigen, definieren wir die Vektoren ψjm durch: ψjm = χ ψj,m+1 = kL+ 1ψjm k L+ ψjm ψj,m−1 = kL− 1ψjm k L− ψjm

|m = µ |m+1 = µ+1, µ+2, . . . j |m−1 = µ−1, µ−2, . . . − j

Aus den bereits bewiesenen Relationen folgt induktiv, daß die ψjm Eigenvekto~ 2 , L3 zu den Eigenwerten λ = j(j + 1) sind. Die Vektoren ψjm sind ren von L zueinander orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten von L3 gehören. Das System {ψjm |m = −j, . . . j} ist also orthonormiert, da die Vektoren ψjm offenbar auch auf Eins normiert sind. F¨ ur (m+1) = µ+1, µ+2, . . . j ist die Relation ψj,m+1 = L+ ψjm /kL+ ψjm k identisch mit der Definition von ψj,m+1 . F¨ ur (m+1) = µ, µ−1, µ−2, . . . − j +1 gilt andererseits: 1 1 L+ ψjm = L+ L− ψj,m+1 = L+ L− ψj,m+1 kL− ψj,m+1 k kL− ψj,m+1 k 1 ~ 2 − L23 + L3 )ψj,m+1 = (L kL− ψj,m+1 k 1 = p (j(j +1) − (m+1)2 + (m+1))ψj,m+1 j(j +1) − (m+1)m p = j(j +1) − m(m+1)ψj,m+1 = kL+ ψjm kψj,m+1 Also gilt ψj,m+1 = L+ ψjm /kL+ ψjm k f¨ ur (m + 1) = −j + 1, . . . j. Entsprechend wird die Relation ψj,m−1 = L− ψjm /kL− ψjm k bewiesen. 2 Aus Satz 2 folgt, daß ψjm =

1 k(L+ )m+j ψj,−j k

(L+ )m+j ψj,−j

|m = −j, . . . j.

(2.34)

Diese Formel wird im folgenden f¨ ur die Konstruktion der Kugelfunktionen benutzt.

2.2.3 Eigenvektoren des Bahndrehimpulses (Kugelfunktionen) In sphärischen Polarkoordinaten r, θ, φ gilt: L3 =

1 ∂ i ∂φ

L± = e±iφ (±

(2.35) ∂ ∂ + i ctg θ ) ∂θ ∂φ

¨ (Ubung)

(2.36)

42KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Die Eigenwertgleichung L3 ψ = mψ kann also in der Form 1 ∂ ψ(r, θ, φ) = mψ(r, θ, φ) i ∂φ

(2.37)

geschrieben werden, und daraus folgt f¨ ur den Eigenvektor ψ ψ(r, θ, φ) = eimφ F (r, θ).

(2.38)

Da die Wellenfunktion ψ eine eindeutige Funktion des Ortsvektors ~r = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) ist, muß ψ(r, θ, φ+2π) = ψ(r, θ, φ) gelten. Hieraus folgt eim2π = 1, d.h. m ist ganzzahlig. Die Eigenwerte des Operators L3 , welcher einer Komponente des Bahndrehimpulses eines Teilchens entspricht, sind m = 0, ±1, ±2, ±3, . . .. Bemerkung: F¨ ur manche Teilchen setzt sich der Drehimpuls aus dem Bahndrehimpuls und einem weiteren Anteil, dem Spin, zusammen. F¨ ur einige Elementarteilchen (Elektronen, Protonen, Neutronen, Neutrinos, µ-Mesonen etc.) haben die Operatoren, die einer Komponente des Spins entsprechen, halbzahlige Eigenwerte. Der Spin ist ein innerer“ Freiheitsgrad; zur Beschreibung der Zustände ” von Teilchen mit Spin sind Wellenfunktionen ψ(x1 , x2 , x3 ) nicht ausreichend (vgl. Abschnitt 3.3.4). ~ 2 , L3 mit EigenwerZur Bestimmung von gemeinsamen Eigenvektoren ψlm von L ten l(l + 1), m können die Sätze 1 und 2 benutzt werden: F¨ ur m = −l gilt L− ψl,−l = 0 d.h. e−iφ (−

(2.39)

∂ ∂ + i ctg θ )ψl,−l = 0. ∂θ ∂φ

(2.40)

Da aber andererseits ψl,−l = e−ilφ F (r, θ) gilt, erhält man (−

∂ + l ctg θ)ψl,−l = 0. ∂θ

(2.41)

Aus dieser Dgl. folgt, daß ψl,−l die Form (sin θ)l G(r, φ) hat. Es gilt also ψl,−l (r, θ, φ) = N e−ilφ (sin θ)l f (r).

(2.42)

q gewählt. F¨ ur die Normierungskonstante N wird zweckmäßig der Wert 21l l! (2l+1)! 4π Mit dieser Wahl gilt dann Z Z Z ∞ 2 3 2 2 |ψl,−l | d ~r = |ψl,−l | dΩ r dr = |f (r)|2 r2 dr (2.43) 0

2.2. DER DREHIMPULS

43

(dabei ist dΩ = sin θ dθ dφ). F¨ ur allgemeine Werte von m (m 6= l) erhält man die Funktionen ψlm durch wiederholte Anwendung von L+ auf ψl,−l und Multiplikation mit geeigneten Normierungskonstanten. Es gilt allgemein ψlm (r, θ, φ) = Ylm (θ, φ)f (r),

(2.44)

wobei die Kugelfunktionen Ylm definiert sind durch s Ylm (θ, φ) = (−1)m

(2l + 1)(l − m)! m Pl (cos θ)eimφ . 4π(l + m)!

(2.45)

Hierbei bezeichnet Plm die assoziierten Legendre-Funktionen Plm (z)

l+m 1 2 m/2 d = l (1 − z ) (z 2 − 1)l . l+m 2 l! dz

(2.46)

F¨ ur m = 0 gilt insbesondere r Yl0 (θ, φ) =

2l + 1 Pl (cos θ), 4π

(2.47)

wobei Pl (z) =

1 dl 2 (z − 1)l 2l l! dz l

(2.48)

ein Legendre-Polynom ist. Die Legendre-Polynome haben die Eigenschaft Pl (1) = 1.

(2.49)

Die Kugelfunktionen sind auf der Oberfläche der Einheitskugel“ orthonormiert, ” d.h. Z ∗ Ylm (θ, φ)Yl0 m0 (θ, φ)dΩ = δll0 δmm0 . (2.50) Es gilt schließlich die wichtige Identität

Pl (cos θ12 ) =

l 4π X ∗ Ylm (θ1 , φ1 )Ylm (θ2 , φ2 ), 2l + 1 m=−l

(2.51)

das sogenannte Additionstheorem der Kugelfunktionen. (Der Beweis ist umständlich.) Hierbei bezeichnen (θ1 , φ1 ), (θ2 , φ2 ) Polarkoordinaten f¨ ur zwei Einheitsvektoren ~r1 , ~r2 und θ12 den Winkel zwischen diesen Vektoren: cos θ12 = (~r1 · ~r2 ).

44KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK

2.3 Das Wasserstoffatom Es werden stationäre Zustände eines Teilchens unter dem Einfluß eines anziehenden Coulomb-Potentials V (r) = −Ze2 /r gesucht. Beispiel: Elektron im Feld eines Atomkerns mit Kernladungszahl Z, wenn man annimmt, daß der Kern am Koordinatenursprung ruht ( festgenagelt ist“). Dies ist eine gute Näherungsannahme, ” denn selbst beim leichtesten Atom (Wasserstoff) ist die Masse M des Atomkerns viel größer als die Masse des Elektrons (M/m ≈ 2000). Die gesuchten stationären Zustände entsprechen also Eigenvektoren ψ des Opera2 h2 ¯ ~ 2 , L3 } miteinander kompatibel tors H = − 2m ∆+(− Zer ). Da die Operatoren {H, L sind, gibt es einen vollständigen orthonormierten Satz gemeinsamer Eigenvektoren dieser Operatoren. Jeder gemeinsame Eigenvektor ψ(~r ) hat die Form ψ(~r ) = Ylm (θ, φ)f (r). Da

h ¯2 ∆ψ = Tψ = − 2m

h ¯2 ~ 2 h ¯2 L − 2mr2 2mr2

(2.52)

∂ 2∂ r ∂r ∂r

ψ

(2.53)

¨ (Ubung) gilt, erhält man h ¯2 ∆ + V (r) Ylm (θ, φ)f (r) − 2m 2 h ¯2 ∂ 2 ∂ l(l+1) = Ylm (θ, φ) − + − + V (r) f (r), 2m ∂r2 r ∂r r2 somit ist dann die Eigenwertgleichung Hψ = Eψ äquivalent zur Radialgleichung 2 d 2 d l(l+1) 2m 2m Ze2 + − − 2 − + 2 E f (r) = 0. (2.54) dr2 r dr r2 r h ¯ h ¯ Im folgenden werden nur Zustände negativer Energie betrachtet (gebundene Zustände). Das klassische Analogon der gebundenen Zustände sind Teilchenbahnen, bei welchen der Abstand des Teilchens vom Koordinatenursprung beschränkt bleibt (Ellipsenbahnen des Keplerproblems). Die nicht gebundenen Zustände entsprechen Teilchenbahnen, bei welchen der Abstand des Teilchens vom Koordinatenursprung unbeschränkt ist (z.B. Hyperbelbahnen des Keplerproblems). Abk¨ urzungen: α2 = −

2mE , h ¯2

r0 =

h ¯2 (Bohrscher Radius), me2

Neue Variable: ρ = αr (dimensionslos) Ansatz: f (r) = e−αr u(αr) = e−ρ u(ρ)

ρ0 = αr0

2.3. DAS WASSERSTOFFATOM

45 2

d 2 Motivation des Ansatzes: F¨ ur r → ∞ gilt näherungsweise ( dr 2 − α )f = 0. Daher erwartet man das asymptotische Verhalten f (r) → e−αr f¨ ur r → ∞. Einsetzen in die Radialgleichung ergibt f¨ ur u die Differentialgleichung: 1 du Z 2 l(l+1) d2 u +2 −1 + −1 − u=0 (2.55) dρ2 ρ dρ ρ0 ρ ρ2

Physikalisch brauchbar1 ist nur die am Ursprung reguläre Lösung, die sich als Potenzreihe ∞ X l aν ρν u(ρ) = ρ (2.56) ν=0

ansetzen läßt. F¨ ur die Koeffizienten aν erhält man die Rekursionsformel Z [(ν +l+1)(ν +l+2) − l(l+1)] aν+1 − 2 ν +l+1 − aν = 0. ρ0

(2.57)

Wenn die Reihe nicht abbricht, dann verhält sich u(ρ) asymptotisch wie e2ρ , und f (r) verhält sich wie eρ (denn aν+1 /aν ≈ 2/(ν + 1) f¨ ur große ν-Werte). Quadratintegrable Funktionen erhält man also nur, wenn die Reihe abbricht. Abbruchbedingung: N +l+1−

Z = 0 f¨ ur eine ganze Zahl N ≥ 0 ρ0

(2.58)

Hieraus folgen die Energieeigenwerte: h ¯ 2Z 2 1 me4 2 1 En = − = − Z 2 2mr02 (N + l + 1)2 n 2¯ h2

(2.59)

mit n = N + l + 1 = 1, 2, . . . ( Hauptquantenzahl“). Die zugehörigen normierten ” Radialfunktionen fnl sind gegeben durch

(n−l−1)! fnl = − (2αn ) 2n[(n+l)!]3 3

1/2

e−αn r (2αn r)l L2l+1 n+1 (2αn r),

(2.60)

wobei αn =

2mEn − 2 h ¯

1/2 =

Z nr0

(2.61)

1 Die allgemeine L¨ osung u = a1 χ1 +a2 χ2 der Differentialgleichung ist eine Linearkombination der regul¨ aren L¨ osung χ1 und der singulären χ2 . Die singuläre Lösung χ2 verhält sich am Ursprung wie ( 1r )l+1 . F¨ ur l > 0 ist die singuläre Lösung nicht quadratintegrabel. F¨ ur l = 0 ist die R h ¯2 singuläre L¨ osung zwar quadratintegrabel, aber der Erwartungswert < T > = − 2m χ∗2 ∆χ2 d3~r der kinetischen Energie wird unendlich.

46KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK und dσ Lµ (ξ) dξ σ

Lσµ (ξ) =

(2.62) µ

X dµ Lµ (ξ) = e µ (e−ξ ξ µ ) = (−1)ν dξ ν=0 ξ

µ ν

µ! ν ξ ν!

(2.63)

gesetzt wird (Laguerresche Polynome).

2.4 Streuung an einem Potential 2.4.1 Wirkungsquerschnitt und Streuamplitude Experimentelle Situation: Teilchen (Projektile) werden auf das Streuzentrum (Target) geschossen und zum Teil in verschiedene Richtungen gestreut. Der Impuls der Projektile lange Zeit p~ = h ¯~k. I vor der Streuung ist @ @

p~ = h ¯~k

@ -

z Q JQ J Q J QQ J Q J @ QQ @ QQ R R JJ @ J J JE dΩ

-

Abbildung 2.1: Streuung an einem Streuzentrum Der Wirkungsquerschnitt dσ f¨ ur die Streuung in den Raumwinkel dΩ ist definiert 2 durch dσ =

jst R2 dΩ jp

2

Bei Streuexperimenten besteht das Target ( Zielscheibe“) aus einer großen Anzahl NT von ” Streuzentren (Targetteilchen). Wenn die Streuzentren statistisch verteilt sind, so daß kohärente Streuung ausgeschlossen ist und die mehrfache Streuung vernachlässigbar ist, dann ist die Anzahl der gestreuten Teilchen um den Faktor NT größer als im Falle eines einzigen Streuzentrums. Deswegen gilt f¨ ur den Wirkungsquerschnitt: dσ =

Anzahl der pro Zeiteinheit in dΩ gestreuten Teilchen (Einfallende Stromdichte) · (Anzahl der Targetteilchen)

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL =

Anzahl der pro Zeiteinheit in dΩ gestreuten Teilchen Stromdichte der einfallenden Teilchen

47 (2.64)

Dabei ist die Stromdichte der einfallenden Teilchen definiert als die Anzahl der einfallenden Teilchen pro Zeiteinheit und Flächeneinheit. Zur Beschreibung dieser experimentellen Situation werden Wellenfunktionen ψ herangezogen, die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung sind: " # p~ 2 h ¯ 2~k 2 h ¯2 − ∆ + V (~r ) ψ = Eψ E= = >0 (2.65) 2m 2m 2m mit dem asymptotischen Verhalten ikr ~r e r→∞ i~k·~ r ψ(~r ) −→ A e + f~k , r r

(2.66)

wobei r = |~r |, k = |~k|, A eine Normierungskonstante und f~k die Streuamplitude bedeuten. Erläuterung: V (~r ) ist das durch die Anwesenheit des Streuzentrums entstehende Potential, in dem sich das Projektil bewegt. Die Wellenfunktion ψ ist asympto~ tisch Superposition einer ebenen Welle eik·~r und einer auslaufenden Kugelwelle f · 1r eikr . Die Streuamplitude f~k (~r/r) hängt vom Impuls p~ = h ¯~k der einfallenden Teilchen und der Richtung (~r/r) des Vektors ~r ab. Die physikalische Situation wird durch Wellenpakete, die aus den erwähnten Wellenfunktionen ψ durch Superposition entstehen, beschrieben. Das Ergebnis der Untersuchung des Verhaltens solcher Wellenpakete verdeutlicht die Abbildung: Die Streuwelle und die einfallende Welle interferieren nur in Vorwärtsrichtung“, ” d.h. in der durch die Geschwindigkeit des Projektils bestimmten Richtung. Durch ¨ Ubergang zu scharfem Impuls p~ des einfallenden Teilchens erhält man als Grenzr→∞ ~ fall die Wellenfunktion ψ mit dem asymptotischen Verhalten ψ −→ A(eik·~r + f 1r eikr ). Der differentielle Wirkungsquerschnitt (dσ/dΩ) kann aus der asymptotischen Form der Wellenfunktion berechnet werden. Da einlaufende und gestreute Wellen nur in Vorwärtsrichtung interferieren, können die Stromdichten (Wahrscheinlichkeits-Stromdichten) f¨ ur das einfallende und das gestreute Wellenpaket mit Hilfe ~ der Wellenfunktionen Aeik·~r bzw. Af 1r eikr getrennt berechnet werden: h ¯ ~ ~ ~ jp = |~jp | = (A eik·~r )∗ ∇(A eik·~r ) + k.k. 2mi ¯~k h ¯k 2h = |A| (2.67) = |A|2 m m

48KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK

Einfallendes Wellenpaket Streuzentrum x

W l

vorher (t ≈ −l/|~v |)

-

auslaufende Kugelwelle 7

R /

x K

nachher (t ≈ R/|~v |)

W HH Y

auslaufendes Wellenpaket

Abbildung 2.2: Ein- und auslaufendes Wellenpaket ~jst · ~r r | {z }

2

jst R dΩ =

R2 dΩ

Radialkomponente

=

h ¯ 2mi

eikr Af r

∗

∂ ∂r

eikr Af r

+ k.k.

R2 dΩ

(2.68)

|r=R

d.h. 1 R→∞ h ¯k jst R dΩ = |A| |f | dΩ + O −→ |A|2 |f |2 dΩ. m R m 2

2

¯k 2h

(2.69)

Man erhält also: dσ =

|A|2 |f |2 ¯hmk dΩ = |f |2 dΩ |A|2 ¯hmk

(2.70)

2 dσ ~r = f~k dΩ r

(2.71)

Das bedeutet:

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL

49

2.4.2 Integralgleichung fu ¨r Streuung Die Schrödingergleichung h ¯2 ∆ + V (~r ) ψ = Eψ − 2m

h ¯ 2k2 2m

(2.72)

2m V (~r ). h ¯2

(2.73)

mit E =

erhält durch triviale Transformation die Form ∆ + k 2 − U (~r ) ψ = 0,

wobei U =

Wenn die Greensfunktion G(~r, ~r 0 ) die Gleichung (∆~r + k 2 )G(~r, ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 )

(2.74)

erf¨ ullt, dann ist die Funktion Z ψ(~r ) = φ(~r ) +

G(~r, ~r 0 )χ(~r 0 ) d3~r 0

(2.75)

Lösung der Gleichung (∆ + k 2 )ψ = χ,

(2.76)

vorausgesetzt, daß φ eine Lösung der entsprechenden homogenen Gleichung (∆ + k 2 )φ = 0 ist. Insbesondere erhält man f¨ ur χ(~r ) = U (~r )ψ(~r ), daß ψ(~r ) mit Z ψ(~r ) = φ(~r ) + G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 (2.77) Lösung der Gleichung (∆ + k 2 − U (~r ))ψ = 0 ist. Die Funktion 0

1 eik|~r−~r | Gk (~r, ~r ) = − 4π |~r − ~r 0 | 0

(2.78)

erf¨ ullt die Gleichung (∆ + k 2 )G = δ(~r − ~r 0 ). Somit hat die Integralgleichung die Form: Z ik|~r−~r 0 | 1 e ψ(~r ) = φ(~r ) − U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 (2.79) 4π |~r − ~r 0 | Asymptotisches Verhalten von ψ: Unter der Annahme, daß U (~r 0 ) = 0 f¨ ur |~r 0 | > a gilt, erhält man wegen 0

eik|~r−~r | r→∞ eikr −ik(~r 0 ·~r )/r ≈ e |~r − ~r 0 | r

f¨ ur r 0 ≤ a

(2.80)

das asymptotische Verhalten 1 eikr ψ(~r ) −→ φ(~r ) − 4π r r→∞

Z

~

0

e−ikf ·~r U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 ,

(2.81)

50KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK r − ~r 0 · ~r

-

r

~r hhhh

0 hhh ~r h hhhh h h |~r − ~r 0 |

hhh

hhhh

Abbildung 2.3: Näherung f¨ ur |~r 0 − ~r | ~

wobei ~kf = k~r/r. Wenn φ(~r ) = eik·~r gewählt wird, dann hat ψ das asymptotische ~ Verhalten (eik·~r + f 1r eikr ), und zwar gilt Z 1 0 ~ e−ikf ·~r U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 . (2.82) f~k = − 4π Die vollständige Integralgleichung lautet dann: Z ik|~r−~r 0 | 1 e i~k·~ r ψ(~r ) = e − U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0 4π |~r − ~r 0 |

(2.83)

2.4.3 Bornsche Na¨herung Die Integralgleichung Z ψ(~r ) = φ(~r ) +

G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψ(~r 0 ) d3~r 0

(2.84)

kann (f¨ ur gen¨ ugend schwaches“ Potential U (~r 0 )) iterativ gelöst werden: ”   ψ0 (~r ) = φ(~r ) R ψn+1 (~r ) = φ(~r ) + G(~r, ~r 0 )U (~r 0 )ψn (~r 0 ) d3~r 0 | n = 0, 1, 2, . . .  n→∞ ψn −→ ψ Die sukzessiven Approximationen ψ0 , ψ1 , ψ2 , . . . sind also ψ0 = φ Z ψ1 = φ + Z ψ2 = φ +

GU φ d3~r 0 3

0

GU φ d ~r +

(2.85) Z

GU GU d3~r 0 d3~r 00

··· F¨ ur die Streuamplitude f erhält man die n + 1-te Bornsche Näherung durch Ersetzen von ψ durch ψn : Z 1 ~ f ≈− e−kf ·~r U (~r )ψn (~r ) d3~r (2.86) 4π


51

Insbesondere ergibt die erste Bornsche Näherung, die auch Bornsche Näherung“ ” schlechthin genannt wird: Z 1 ~ ~ f ≈ fB = − ei(k−kf )·~r U (~r ) d3~r (2.87) 4π und damit gilt

dσ dΩ

B

2 Z 2m i~ q ·~ r 3 = − 2 e V (~r ) d ~r h ¯ 4π

mit ~q = ~k − ~kf .

(2.88)

2.4.4 Partialwellenanalyse, Streuphasen Die f¨ ur das Streuproblem relevante Lösung ψ der stationären Schrödingergleichung h ¯2 − ∆ + V (r) ψ = Eψ(~r ) (E > 0) (2.89) 2m mit dem asymptotischen Verhalten (~k = k~ez ) r→∞

ψ(~r ) −→ eikz + f

~ r r

eikr r

(2.90)

wird in diesem Abschnitt als Superposition von Drehimpuls-Eigenvektoren dargestellt (Zerlegung in Partialwellen. Wichtige Lösungsmethode). Es werden hier Potentiale V (r) betrachtet, die nur von r = |~r | abhängen (Sphärische Symmetrie). Deswegen kommutieren die Drehimpulsoperatoren mit dem Hamilton-Operator h ¯2 H= − ∆ + V (r) . 2m ~ 2 , L3 } sind also miteinander verträglich, und es existiert Die Observablen {H, L ein vollständiger Satz gemeinsamer Eigenvektoren dazu. Wir bezeichnen mit ψElm einen solchen Eigenvektor mit ~ 2 ψElm = l(l+1)ψElm , L

L3 ψElm = mψElm ,

HψElm = EψElm .

(2.91)

Die Wellenfunktionen ψElm haben die Form ψElm = Ylm (θ, φ) χl (r) und erf¨ ullen die Radialgleichung“ ” 2 d 2 d l(l+1) 2 + +k − − U (r) χl (r) = 0, dr2 r dr r2

(2.92)

(2.93)

52KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK wobei U (r) = 2m V (r). F¨ ur U (r) ≡ 0 ist die allgemeine Lösung der Radialgleih2 ¯ chung eine Linearkombination von jl (kr) und nl (kr). Die Funktionen jl , nl sind definiert durch: l d 1 jl (ρ) = (−ρ)l ρ1 dρ sin ρ sphär. Besselfunktion ρ l (2.94) d 1 nl (ρ) = −(−ρ)l ρ1 dρ cos ρ sphär. Neumannfunktion ρ (±)

hl (ρ) = (±i) (jl (ρ) ± i nl (ρ))

sphär. Hankelfunktion

Diese Funktionen haben folgendes Verhalten f¨ ur ρ → ∞ bzw. ρ → 0: jl (ρ)

ρ→∞

−→

1 ρ

sin(ρ − lπ/2)

jl (ρ)

ρ→0

−→ [(2l+1)!!]−1 ρl ρ→0

ρ→∞

nl (ρ) −→ − ρ1 cos(ρ − lπ/2) nl (ρ) −→ −(2l−1)!!ρ−(l+1) ρ→∞ (±) hl (ρ) −→ ρ1 e±i(ρ−lπ/2) (Dabei ist (2l + 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2l + 1).) Wenn das Potential U (r) f¨ ur r > a verschwindet, dann gilt χl (r) = (Al jl (kr) + Bl nl (kr))

| r > a.

(2.95)

χl (r) ist eine am Ursprung (d.h. f¨ ur r = 0) reguläre Lösung der Radialgleichung. Die Funktion χl ist bis auf einen konstanten Faktor durch die Forderung der Regularität am Ursprung bestimmt. Die Koeffizienten Al , Bl können bestimmt werden, wenn χl (r) und χ0l (r) f¨ ur r = a bekannt sind. Asymptotisches Verhalten von χl (r): r→∞

χl (r) −→

1 (Al sin(kr − lπ/2) − Bl cos(kr − lπ/2)) = kr  lπ r→∞ Cl sin kr − + δl χl (r) −→ |{z} kr 2

Cl sin(kr − lπ/2 + δl ) kr  (2.96)



Streuphase

Alternative Schreibweisen f¨ ur χl (r) | r > a: i(kr−lπ/2) iδl e e − e−i(kr−lπ/2) e−iδl r→∞ Cl χl (r) −→ kr 2i Also 2iδl Cl e−iδl − 1 ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2) i(kr−lπ/2) e χl (r) −→ e + kr 2i 2i −iδl Cl e = sin(kr − lπ/2) + eiδl sin δl ei(kr−lπ/2) kr r→∞

und somit −iδl

χl (r) = Cl e

iδl

jl (kr) + e

(+) sin δl hl (kr)

.

(2.97)


53

(Cl e−iδl ist eine uninteressante Konstante.) Zur Konstruktion der Wellenfunktion ψ mit dem gew¨ unschten asymptotischen Verhalten benutzt man folgenden Ansatz: X (+) |r>a ψ= αlm Ylm (θ, φ) jl (kr) + eiδl sin δl hl (kr) (2.98) l,m

Aufgrund der wichtigen Relation ikz

e

=

∞ X

il (2l+1) jl (kr) Pl (cos θ)

(2.99)

l=0

(mit z = r cos θ) und der Gleichung r Yl0 =

2l + 1 Pl (cos θ) 4π

(2.100)

ist folgende Wahl naheliegend: r αlm = 0 | m 6= 0,

l

αl0 = i (2l+1)

4π 2l + 1

Somit erhält man ∞ X (+) ψ= il (2l+1) Pl (cos θ) jl (kr) + eiδl sin δl hl (kr)

| r > a,

(2.101)

(2.102)

l=0

also r→∞

ikz

ψ −→ e

+

! ∞ 1X eikr iδl (2l+1)e sin δl Pl (cos θ) . k l=0 r

(2.103)

Daraus erhält man f¨ ur die Streuamplitude ∞

f=

1X (2l+1)eiδl sin δl Pl (cos θ). k l=0

(2.104)

F¨ ur den differentiellen Wirkungsquerschnitt folgt hieraus: ∞ 2 X dσ 1 iδl = (2l+1)e sin δl Pl (cos θ) k dΩ l=0 ∗ 1 X = 2 (2l+1)(2l0 +1) eiδl sin δl eiδl0 sin δl0 Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) (2.105) k l,l0 R dσ F¨ ur den totalen Wirkungsquerschnitt: σ = dΩ dΩ erhält man unter Ausnutzung der Orthogonalitätsrelation s Z Z (4π)2 4π Pl (cos θ) Pl0 (cos θ) dΩ = Yl0∗ (θ, φ) Yl0 0 (θ, φ) dΩ = δll0 0 (2l+1)(2l +1) 2l+1 (2.106)

54KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK den Ausdruck

∞ 2 4π X σ= 2 (2l + 1) eiδl sin δl . k l=0

(2.107)

Die Streuphasen sind reell, wie am Ende des Abschnitts bewiesen wird. Deswegen gilt |eiδl sin δl |2 = sin2 δl . Somit: ∞ 4π X σ= 2 (2l + 1) sin2 δl k l=0

(2.108)

Da die Streuphasen reell sind, gilt f¨ ur den Imaginärteil der Streuamplitude f (θ): ∞

Im (f (θ)) =

1X (2l + 1) sin2 δl Pl (cos θ) k l=0

(2.109)

Hieraus folgt (da Pl (cos θ) |θ=0 = Pl (1) = 1 gilt) σ=

4π Im (f (0)) k

(Optisches Theorem)

(2.110)

f (0) heißt Streuamplitude in Vorwärtsrichtung (Vorwärtsstreuamplitude). Physikalische Bedeutung des Optischen Theorems: In der Vorwärtsrichtung wird die Intensität der einfallenden Welle durch Interferenz mit der Streuwelle geschwächt (vgl. Skizzen Seite 48). Aber aufgrund der Kontinuitätsgleichung (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) ist die Verminderung der Intensität der einfallenden Welle gleich der insgesamt gestreuten Intensität. F¨ ur die Berechnung der Streuphasen ist folgende Relation machmal n¨ utzlich: Z ∞ eiδl sin δl = −k jl (kr) U (r) χl (r) r2 dr (2.111) 0

Hierbei ist χl (r) die Lösung der Radialgleichung mit asymptotischem Verhalten 1 χl (r) → kr sin(kr − lπ/2 + δl ). Beweis der obigen Relation: Aus Z 1 0 ~ f =− e−ikf ·~r U (r0 ) ψ(~r 0 ) d3~r 0 4π mit 0

ψ(~r ) =

∞ X

(2l + 1) il Pl (cos θ0 ) χl (r0 )

l=0 0

(wobei θ der Winkel zwischen ~ez und ~r 0 ist) folgt Z Z ∞ X 2l+1 l ∞ −i~kf ·~ r0 0 f =− i e Pl (cos θ ) dΩ U (r0 ) χl (r0 ) r02 dr0 . 4π 0 l=0


55

Aber aus X

eikr cos θ =

(2l + 1) il jl (kr) Pl (cos θ)

l

folgt mit Hilfe des Additionstheorems der Kugelfunktionen“ (2.51) ” X ~ ∗ il jl (kr) Ylm (Ω~k ) Ylm (Ω~r ). eik·~r = 4π l,m

Man erhält dann aufgrund der Orthogonalitätsrelation der Kugelfunktionen (2.50) Z 0 ~ e−ikf ·~r Pl (cos θ0 ) dΩ~r0 = 4π(−i)l jl (kr0 ) Pl (cos θ) (θ = Winkel zwischen ~ez und ~kf ) und somit f =−

∞ X

Z

∞ 0

(2l+1)

0

0

02

jl (kr ) U (r ) χl (r ) r dr

0

Pl (cos θ).

0

l=0

Der Vergleich mit der Relation (2.104) f=

1X (2l + 1) eiδl sin δl Pl (cos θ) k l

ergibt schließlich die zu beweisende Relation Z ∞ iδl e sin δl = −k jl (kr) U (r) χl (r) r2 dr

2

0

Beweis der Behauptung, daß die Streuphasen reell sind: Die Wellenfunktion ψElm (~r ) h2 ¯ = χl (r)Ylm (θ, φ) ist Lösung der zeitunabhängigen Schrödingergleichung (− 2m ∆+ V )ψElm = EψElm . Also ist φ(~r, t) = e−iEt/¯h ψElm (~r ) stationäre Lösung der zeitabhängigen Gleichung. Es gilt also die Kontinuitätsgleichung ∂ h ¯ 2 ∗ ~ · ~ + k.k. . |φ(~r, t)| = −∇ φ ∇φ (2.112) ∂t 2mi Hieraus folgt, da |φ(~r, t)|2 zeitunabhängig ist, ~ · ( ¯h φ∗ ∇φ ~ + k.k.) = 0. ∇ 2mi Also ∗ ~ · ( 1 ψElm ~ Elm + k.k.) = 0. ∇ ∇ψ i

56KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK Unter Anwendung des Satzes von Gauß f¨ ur eine Kugel mit Radius R erhält man hieraus: Z Z 1 1 ∂ ∗ ∗ ~ Elm dF~ + k.k. = 0 = ψElm ∇ψ ψElm ψElm R2 dΩ + k.k. i |~r |=R i ∂r r=R dχl (r) 1 ∗ = χl (r) R2 + k.k. i dr r=R r→∞ 1 kr

Hieraus folgt, da χl (r) −→ 0

R→∞

≈

sin(kr − lπ/2 + δl ) gilt,

(sin(kR−lπ/2+δl ))∗ cos(kR−lπ/2+δl ) − (cos(kR−lπ/2+δl ))∗ sin(kR−lπ/2+δl ).

Also sin(δl∗ − δl ) = 0, d.h. δl∗ − δl = nπ (wobei n eine ganze Zahl ist). Daraus folgt aber δl∗ = δl , da (δl∗ − δl )∗ = −(δl∗ − δl ). 2 Nach obigem Beweis sind die Streuphasen reell aufgrund der Kontinuitätsgleichung. Das optische Theorem ist also auch eine Konsequenz der Kontinuitätsgleichung.

2.4.5 Streuresonanzen, Lebensdauer p Der Beitrag der Partialwelle mit Drehimpuls l(l + 1) zum totalen Wirkungsquerschnitt ist σl = 4π (2l+1) sin2 δl . Dieser Beitrag wird maximal, wenn sin δl = k2 ±1, d.h. δl = π/2+nπ. Wenn die Streuphase δl als Funktion der Energie (¯hk)2 /2m des einfallenden Teilchens an einer Stelle E = Er schnell“ durch den Wert ” π/2 + nπ geht, erscheint ein mehr oder weniger ausgeprägtes Maximum des totalen Wirkungsquerschnitts (vorausgesetzt, daß die Beiträge aller u ¨brigen Streuphasen vernachlässigbar sind). Im Fall eines solchen Maximums spricht man von einer Streuresonanz, vorausgesetzt, daß δl eine wachsende Funktion von E ist. An der Resonanzenergie Er ist ctg δl |E=Er = 0. Wenn also ctg δl (E) in der Nähe von Er nach Taylor entwickelt werden kann, gilt ctg δl (E) ≈ −

2(E − Er ) Γ

(Γ > 0).

(2.113)

Hieraus folgt iδl

e und

Γ sin δl tan δl 2 sin δl = = = cos δl − i sin δl 1 − i tan δl (Er −E) − i Γ 2 4π 2 σl = 2 (2l + 1) k (Er − E)2 +

. Γ 2 2

Γ 2

(2.114)

(2.115)

2.4. STREUUNG AN EINEM POTENTIAL σl

L

57

E Er Abbildung 2.4: Lorentz–Kurve

In der Nähe der Resonanz werden die auslaufenden Wellen um eine Zeit der Größenordnung 2¯ h/Γ verzögert“. Zur Bestimmung der Verzögerungszeit (auch ” Verweilzeit genannt) betrachtet man den zeitlichen Verlauf der Bewegung von Wellenpaketen: Im asymptotischen Bereich (r → ∞) hat die Partialwelle ψElm die Form A −i(kr−lπ/2) r→∞ ψElm (~r ) −→ Ylm e − e2iδl (E) ei(kr−lπ/2) (2.116) r mit E = (¯ hk)2 /2m (A ist eine Konstante). Durch Superposition erhält man die Wellenfunktion Z ∞ i r→∞ ψ(~r, t) −→ |g(k)| Ylm e−i(kr−lπ/2) − e2iδl (E) ei(kr−lπ/2) e− h¯ Et dk. (2.117) 0

Diese Wellenfunktion besteht aus einem einlaufenden und einem auslaufenden Wellenpaket: ψein (~r, t), ψaus (~r, t) Z ∞ r→∞ −i(kr−lπ/2)−iEt/¯ h ψein (~r, t) −→ |g(k)| e dk Ylm (2.118) 0 Z ∞ r→∞ i(kr−lπ/2)−iEt/¯ h+2iδl (E) ψaus (~r, t) −→ |g(k)| e dk Ylm (2.119) 0

Nach der Näherung der stationären Phase3 ist ψein (bzw. ψaus ) wesentlich von Null verschieden, wenn 1 dE 1 dE d(δl ) dE r+ t = 0 bzw. r− t+2 = 0. h ¯ dk h ¯ dk dE dk Näherung aren Phase: Wenn g(k 0 ) scharf um den Wert k zentriert ist, dann ist R der 0station¨ i∆(k0 ,λ) das Integral |g(k )| e dk 0 wesentlich von Null verschieden nur f¨ ur solche Werte λ, f¨ ur die 3

58KAPITEL 2. EINFACHE ANWENDUNGEN DER QUANTENMECHANIK l) Da ¯h1 dE = ¯hmk = v, kann 2¯ h d(δ interpretiert werden als die Verzögerungszeit dk dE des auslaufenden Wellenpakets gegen¨ uber dem Wellenpaket, welches bei Abwesenheit des Streuzentrums (δl (E) ≡ 0) auslaufen w¨ urde. F¨ ur eine Resonanz ist die mittlere Verzögerungszeit 2¯ h/Γ. Wenn man die Resonanz als einen instabilen Zustand auffaßt, der in der Hälfte der Verzögerungszeit aufgebaut wird und in der nächsten Hälfte zerfällt, erhält man als mittlere Lebensdauer dieses Zustands

τ =h ¯ /Γ.

gilt:

d 0 ∆(k , λ) =0 dk 0 k0 =k

(2.120)

Kapitel 3 Observable und Operatoren II (Allgemeine quantenmechanische Beschreibung)

3.1 Der mathematische Rahmen (Dirac-Formalismus) In diesem Abschnitt wird der mathematische Rahmen f¨ ur die quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme definiert. Dieser Rahmen ist in zwei Hinsichten breiter als der im Abschnitt 1 gegebene. Die Beschränkung auf Systeme mit einem Teilchen ohne innere Freiheitsgrade entfällt hier. Andererseits enthält der betrachtete Vektorraum auch nicht-normierbare“ Vektoren; somit ” sind auch uneigentliche Eigenvektoren (kontinuierliches Spektrum) Elemente des Raums.

3.1.1 Vektoren und Operatoren Der Raum der Ket–Vektoren. F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung eines physikalischen Systems benutzt man einen Vektorraum u ¨ber den komplexen Zahlen. Die Elemente des Vektorraums werden Ket-Vektoren (oder Kets“) genannt ” und mit Symbolen |ai, |bi, . . ., |1i, |2i, . . . bezeichnet. Addition von Ket-Vektoren und Multiplikation mit komplexen Zahlen: |ai + |bi,

λ|ai (λ ∈ C)

Linearkombinationen: λ1 |ai + λ2 |bi Auch unendliche Linearkombinationen“ sind zugelassen: ” ∞ X λµ |µi µ=1

59

60

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II

und sogar Integration u ¨ ber kontinuierliche Indices“: ” Z ∞ λξ |ξi dξ −∞

Die bei der Definition der unendlichen Summen und Integrale auftretenden mathematischen Fragen (Konvergenz) werden hier nicht erörtert. Der Vektor Null (den man von der komplexen Zahl Null unterscheiden muß) wird auch mit 0 bezeichnet. Der Raum der Bra–Vektoren. Es ist bekannt (Lineare Algebra), daß jedem Vektorraum E ein dualer Raum E ∗ zugeordnet wird. Der duale Raum E ∗ ist die Menge aller Linearformen auf E (d.h. die Menge aller linearen Abbildungen χ von E in die komplexen Zahlen C), versehen mit den u ¨blichen Operationen der Addition von Abbildungen und Multiplikation mit komplexen Zahlen. χ(|ui) ∈ C f¨ ur jedes |ui ∈ E Linearform χ: χ(λ1 |u1 i + λ2 |u2 i) = λ1 χ(|u1 i) + λ2 χ(|u2 i) Addition von Linearformen und Multiplikation mit komplexen Zahlen:   χ1 + χ2 (bzw. λχ)         ist die durch   (χ1 + χ2 )(|ui) = χ1 (|ui) + χ2 (|ui)     bzw. (λχ)(|ui) = λχ(|ui)       definierte Linearform. Der zum Raum der Ket-Vektoren duale Raum wird Raum der Bra-Vektoren genannt und seine Elemente χ, nach Dirac, mit hχ| bezeichnet. In der Dirac’schen Bezeichnungsweise wird hχ|ui statt χ(|ui) geschrieben. Ein Bra-Vektor hΦ| ist Null, wenn hΦ|ui f¨ ur alle |ui aus E gilt. Zur Einf¨ uhrung eines inneren Produkts wird im folgenden angenommen, daß eine eindeutige antilineare Abbildung g des Raums der Ket-Vektoren auf den Raum der Bra-Vektoren ausgezeichnet ist. Der einem Ket-Vektor |ui zugeordnete BraVektor wird mit hu| bezeichnet: g

|ui =⇒ hu| g |vi = λ1 |1i + λ2 |2i =⇒ hv| = λ∗1 h1| + λ∗2 h2| Rξ Rξ g |wi = ξ12 λξ |ξi dξ =⇒ hw| = ξ12 λ∗ξ hξ| dξ

(3.1)

Die durch die Abbildung g (bzw. durch ihre Umkehrung) einander zugeordneten Vektoren |ui und hu| werden zueinander adjugiert genannt. Bemerkung: F¨ ur endlich-dimensionale Räume kann die Existenz einer solchen Abbildung g leicht bewiesen werden. F¨ ur unendlich-dimensionale Räume treten

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS)

61

einige mathematische Komplikationen auf, deren Behandlung außerhalb des Rahmens dieser Vorlesung liegt. Deswegen werden im folgenden die damit zusammenhängenden mathematischen Probleme u ¨bergangen. Inneres Produkt (Skalarprodukt) der Ket-Vektoren |ui und |vi ist die komplexe Zahl hu|vi, wobei hu| den durch die Abbildung g dem Ket |ui zugeordneten Bra bezeichnet. Aus der Definition folgt, daß das innere Produkt hu|vi linear bez¨ uglich |vi und antilinear bez¨ uglich |ui ist (Letzteres ist eine Folge der Antilinearität der Abbildung g). Folgende Eigenschaften des inneren Produkts werden postuliert: 1. 2.

hv|ui = hu|vi∗ f¨ ur alle |ui, |vi hu|ui ≥ 0 f¨ ur alle |ui hu|ui = 0 genau dann, wenn |ui = 0

(3.2)

(Diese Eigenschaften können als postulierte Eigenschaften der Abbildung g angesehen werden.) Aus obigen Eigenschaften und der Linearität folgt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung (vgl. Kap.1 (1.4)): |hu|vi|2 ≤ hu|ui · hv|vi (3.3) Die Norm eines Vektors |ui ist definiert durch: p k|uik = hu|ui

(3.4)

Man sagt, daß zwei Vektoren |ui, |vi zueinander orthogonal sind (notiert |ui ⊥ |vi), wenn hu|vi = 0. Man sagt, daß zwei Unterräume1 E1 , E2 zueinder orthogonal sind (notiert E1 ⊥ E2 ), wenn hx|yi = 0 f¨ ur jeden Vektor |xi aus E1 und jeden Vektor |yi aus E2 gilt. Wenn E1 ein Unterraum ist, dann nennt man orthogonales Komplement von E1 (bezeichnet E1⊥ ) die Menge aller Vektoren, die orthogonal auf allen Vektoren von E1 sind. Es ist leicht zu zeigen, daß das orthogonale Komplement E1⊥ auch ein Unterraum ist. Es gilt ferner der folgende Satz: Sei E1 ein Unterraum. F¨ ur jeden Ket-Vektor |ui gibt es genau eine Zerlegung: |ui = |u1 i + |u⊥ 1i

(3.5)

⊥ mit |u1 i aus E1 und |u⊥ 1 i aus E1 .

Lineare Operatoren sind lineare Abbildungen des Raums der Ket-Vektoren in sich. Der dem Ket-Vektor |ui durch den Operator A zugeordnete Ket-Vektor wird A|ui bezeichnet. Addition: (A + B)|ui = A|ui + B|ui 1

Eine nichtleere Menge E von Vektoren eines Vektorraums E heißt Unterraum von E, wenn f¨ ur jedes Paar |xi, |yi von Vektoren aus E auch die Vektoren |xi + |yi und λ|yi f¨ ur alle komplexen Zahlen λ in E enthalten sind.

62


Multiplikation: (A ◦ B)|ui = A(B|ui) Einsoperator I oder 1: I|ui = |ui Inverser Operator: B = A−1 bedeutet AB = BA = 1. c–Zahl–Operator λI oder λ ist die Abbildung |ui ⇒ λ|ui, wobei λ eine komplexe Zahl bezeichnet. Wenn zu P und Q inverse Operatoren P −1 und Q−1 existieren, dann existiert ein inverser Operator von P Q, und zwar (P Q)−1 = Q−1 P −1 . Anwendung eines Operators auf Bra–Vektoren: Sei A ein Operator. Zu jedem Bra-Vektor hx| definiert man den Bra-Vektor hy| = hx|A durch die Bedingung hy|ui = hx| (A|ui).

(3.6)

Obige Bedingung definiert genau einen Bra-Vektor hy|, da die Abbildung |ui ⇒ hx| (A|ui) eine Linearform ist. Es ist aus der Definition leicht festzustellen, daß die Abbildung hx| ⇒ hx|A linear ist. Da nach der Definition von hx|A die Gleichung (hx|A) |ui = hx| (A|ui)

(3.7)

gilt, kann die vereinfachte Schreibweise hx|A|ui f¨ ur (hx|A) |ui und hx| (A|ui) benutzt werden. Aus der Definition der Anwendung von Operatoren auf BraVektoren erhält man schließlich auch die Relationen hx| (A + B) = hx|A + hx|B hx| (A ◦ B) = (hx|A) B hx|λI = λhx| f¨ ur jedes λ ∈ C.

(3.8) (3.9) (3.10)

Ket–Bra–Operatoren. Besonders n¨ utzlich sind die Operatoren |aihb| (auch KetBra-Operatoren genannt), die definiert werden durch die Relation (|aihb|) |xi = |ai (hb|xi)

(3.11)

(Ket |ai multipliziert mit der komplexen Zahl hb|xi). Aus den Definitionen folgt hy| (|aihb|) = hy|aihb|

(3.12)

(Bra hb| multipliziert mit der komplexen Zahl hy|ai). Statt (|aihb|) |xi oder |ai (hb|xi) schreibt man einfach |aihb|xi. Hermitesche Adjunktion. Sei A ein linearer Operator. Man definiert den hermitesch adjungierten Operator A† durch die Relation: A† |xi = |ui,

wenn hu| = hx|A

(3.13)


63

Obige Relation definiert die Abbildung A† eindeutig, und es ist leicht festzustellen, daß die so definierte Abbilding A† linear ist. Aus der Definition erhält man leicht die Beziehungen 1. (A + B)† = A† + B † 2. (λI)† = λ∗ I (λ ∈ C) 3. (AB)† = B † A† (3.14) † 4. (|aihb|) = |biha| 5. (A† )† = A. Wenn komplexe Zahlen, Bra-Vektoren, Ket-Vektoren und Operatoren in jeweils geeigneter Reihenfolge aneinander geschrieben werden, entstehen Ausdr¨ ucke, die ihrerseits komplexe Zahlen, Bra-Vektoren, Ket-Vektoren oder Operatoren darstellen. z.B. hd|ai hb|A|ci ist eine komplexe Zahl λhd|ai hb|A ist ein Bra-Vektor B † |ai hb|ci ist ein Ket-Vektor AB|ai hb| ist ein Operator. ¨ Der Ubergang zur entsprechenden konjugierten komplexen Zahl, zum adjungierten Vektor oder zum adjungierten Operator erfolgt durch folgende Vorschrift, die aus den Definitionen abgeleitet wird: 1. Alle im Ausdruck auftretenden komplexen Zahlen (bzw. Vektoren oder Operatoren) sind durch die konjugiert komplexe Zahl (bzw. den adjungierten Vektor oder den adjungierten Operator) zu ersetzen. 2. Die Reihenfolge der Faktoren“ des Ausdrucks ist umzukehren, z.B. ” hd|ai hb|A|ci =⇒ hc|A† |bi ha|di λhd|ai hb|A =⇒ A† |bi ha|diλ∗ B † |ai hb|ci =⇒ hc|bi ha|B AB|ai hb| =⇒ |bi ha|B † A† Definition: Ein Operator A heißt hermitesch oder selbstadjungiert, wenn A = A† . Projektionsoperatoren: Sei S ein Unterraum von E. F¨ ur jeden Vektor |ui aus E gibt es, wie bereits erwähnt, genau eine Zerlegung |ui = |uS i + |u⊥ Si

⊥ mit |uS i ∈ S und |u⊥ Si ∈ S .

Man definiert die Abbildung PS (von E in E) durch die Gleichung PS |ui = |uS i.

(3.15)

PS ist eine lineare Abbildung, wie man leicht feststellen kann, und wird orthogonaler Projektionsoperator auf den Unterraum S (oder kurz Projektionsoperator

64


auf S oder Projektor auf S) genannt. Man sagt auch, daß PS auf S projiziert. Aus der Definition folgt, daß ein Vektor |xi aus E genau dann ein Element des Unterraums S ist, wenn PS |xi = |xi gilt. Satz: Jeder Projektionsoperator PS hat die charakteristischen Eigenschaften PS2 = PS ,

PS† = PS .

(3.16)

Beweis: 1. PS2 |ui = PS |uS i = |uS i = PS |ui. Also ist PS2 = PS . 2. F¨ ur |vi = |vS i + |vS⊥ i gilt: hv|PS |ui = hv|uS i = hvS |uS i (denn hvS⊥ |uS i = 0) = hvS |ui (denn hvS |u⊥ S i = 0) Also hv|PS = hvS |, und daraus folgt PS† |vi = |vS i, d.h. PS† = PS .

2

Es kann auch umgekehrt gezeigt werden, daß es f¨ ur jeden Operator P mit den 2 † Eigenschaften P = P und P = P genau einen Unterraum von E gibt, so daß P der Projektionsoperator auf diesen Unterraum ist. Also ist jeder Operator mit P 2 = P und P † = P ein Projektionsoperator. Bemerkung: F¨ ur endlich-dimensionale Räume u ¨ber den rellen Zahlen haben Projektionsoperatoren anschauliche Bedeutung: sie projizieren orthogonal auf den Unterraum S. 6

P PP PP

* PP P

PP PP P S PPP P P P PPP PP q P PP

Abbildung 3.1: Orthogonale Projektion auf S Beispiele f¨ ur Projektionsoperatoren: 1. P = |aiha| wenn ha|ai = 1 Pν 2. P = n=1 |nihn| wenn hn|n0 i = δnn0 Rξ 3. P = ξ12 |ξi dξ hξ| wenn hξ|ξ 0 i = δ(ξ −ξ 0 )


65

Eigenwertproblem. Sei A ein Operator. Eine komplexe Zahl ξ heißt Eigenwert von A, wenn es einen Ket-Vektor |ai gibt mit |ai 6= 0 und A|ai = ξ|ai. Ein solcher Vektor heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ. Wenn ξ ein Eigenwert von A ist, dann nennt man Eigenraum von A zum Eigenwert ξ die Menge aller Vektoren |ai mit A|ai = ξ|ai. Es ist leicht nachzuweisen, daß der Eigenraum zu irgendeinem Eigenwert ein Unterraum des Vektorraumes ist. (Der Eigenraum enthält alle Eigenvektoren zum Eigenwert ξ und ferner den Null-Vektor). F¨ ur hermitesche Operatoren A sind alle Eigenwerte reell. Denn aus A|ai = ξ|ai folgt ha|A|ai = ξha|ai, und durch Konjugation erhält man ha|A† |ai = ξ ∗ ha|ai. Da aber A = A† gilt, muß also ξ ∗ ha|ai = ξha|ai sein. Dies bedeutet f¨ ur |ai 6= 0, daß ξ = ξ ∗ ist. F¨ ur jeden hermiteschen Operator A gilt ferner: Wenn A|1i = ξ1 |1i und A|2i = ξ2 |2i ist, dann gilt h1|2i = 0, falls ξ1 6= ξ2 . Obige Behauptung ist trivial, wenn |2i = 0. Wenn |2i 6= 0, dann ist ξ2 Eigenwert von A, also reell; also folgt durch ¨ Ubergang zum adjungierten Vektor aus A|2i = ξ2 |2i die Relation h2|A = ξ2 h2| und hieraus h2|A|1i = ξ2 h2|1i. Andererseits folgt aus A|1i = ξ1 |1i auch h2|A|1i = ξ1 h2|1i, es gilt also 0 = (ξ2 − ξ1 ) h2|1i. Somit ist h2|1i = 0, wenn ξ2 6= ξ1 . Ein Eigenwertproblem kann auch f¨ ur Bra-Vektoren formuliert werden: ha|A = ξha|. F¨ ur hermitesche Operatoren ist diese Relation aber äquivalent zu A|ai = ξ|ai.

3.1.2 Spektralzerlegung ManPbezeichnet eine endliche oder unendliche (oder sogar kontinuierliche“) Sum” me n Pn von Projektionsoperatoren als Zerlegung der Einheit, wenn folgendes gilt: P n Pn = 1 (3.17) Pn Pn0 = 0 f¨ ur n 6= n0 Sei A ein Operator. F¨ ur jedes ξ aus dem Spektrum SpA von A sei Pξ der Projektionsoperator auf den Eigenraum P zum Eigenwert ξ. Man sagt, daß A eine Spektralzerlegung besitzt, wenn ξ aus SpA Pξ eine Zerlegung der Einheit ist, und wenn X A= ξPξ (3.18) ξ aus SpA

gilt. Man nennt dann die rechte Seite dieser Gleichung die Spektralzerlegung des Operators A. In endlich-dimensionalen Vektorräumen besitzt jeder hermitesche Operator eine Spektralzerlegung. F¨ ur unendlich-dimensionale Räume trifft das nicht f¨ ur alle

66


hermiteschen Operatoren zu. In der Quantenmechanik werden nur solche hermiteschen Operatoren, die eine Spektralzerlegung besitzen, physikalischen Observablen zugeordnet. Deswegen werden in der Literatur (z.B. Dirac, Messiah) nur hermitesche Operatoren, die eine Spektralzerlegung besitzen, Observable“ ” genannt. Da wir im folgenden die Existenz2 einer Spektralzerlegung nicht im einzelnen nachpr¨ ufen, werden wir uns darauf verlassen m¨ ussen, daß in den meisten f¨ ur die Quantenmechanik relevanten Fällen folgende Aussage gilt: Jeder hermitesche Operator besitzt eine Spektralzerlegung. Bemerkungen: 1. Aus der Eigenschaft aller hermitescher Operatoren, daß Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal sind, folgt Pξ Pξ0 = 0 f¨ ur ξ 6= ξ 0 . 2. Ein Eigenwert ξ eines Operators A heißt nicht-entartet, wenn der zugehörige Eigenraum eindimensional ist, andernfalls heißt er entartet. Wenn {|ξ, νi : ν = 1, 2, . . . nξ } eine orthonormierte Basis des Eigenraums zum Eigenwert ξ ist (hξ, ν |ξ, ν 0 i = δνν 0 ), dann läßt sich der Projektionsoperator Pξ auf diesen Eigenraum in der Form Pξ =

nξ X

|ξ, νihξ, ν|

(3.19)

ν=1

darstellen. Wenn ξ nicht entartet ist, dann ist nξ = 1. Bei entsprechender Bezeichnung f¨ ur orthonormierte Basen in den Eigenr¨ P aumen von allen Eigenwerten ξ von A nimmt die Zerlegung der Einheit 1 = ξ aus SpA Pξ die Form 1=

X

|ξ, νihξ, ν|

(3.20)

ξ aus SpA ν=1,...nξ

an. Bemerkungen: P 1. Mit Hilfe der Spektralzerlegung A = ξPξ erreicht man eine einfache Definition f¨ ur Funktionen von Operatoren: X f (A) = f (ξ)Pξ (3.21) 2

Voraussetzung f¨ ur eine pr¨ azise Formulierung der Bedingung f¨ ur die Existenz einer Spektralzerlegung ist eine sorgf¨ altige Definition des adjungierten Operators unter Ber¨ ucksichtigung des Definitionsbereichs der Operatoren. Viele f¨ ur die Quantenmechanik wichtige Operatoren sind nämlich nur in einem Unterraum des Hilbertraums definiert.


67

2. Der Satz u ¨ber die Existenz einer orthonormierten Basis von gemeinsamen Eigenvektoren f¨ ur kommutierende hermitesche Operatoren kann mit Hilfe der Spektralzerlegung eleganter formuliert und durchsichtiger bewiesen werden. F¨ ur den Beweis benötigt man den folgenden P Hilfssatz: Sei A ein Operator mit der Spektralzerlegung A = ξ aus SpA ξPξ . Ein Operator B kommutiert mit A (d.h. BA = AB) dann und nur dann, wenn BPξ = Pξ B f¨ ur jedes ξ aus dem Spektrum von A. Beweis: 1. Wenn BPξ = Pξ B f¨ ur jedes ξ aus SpA gilt, dann gilt auch ! ! X X B ξPξ = ξPξ B, ξ aus SpA

ξ aus SpA

d.h. BA = AB. 2. Wegen derP Relation {Pξ Pξ0 = 0 | ξ 6= ξ 0 } erhält man aus der Spektralzerlegung A = ξ aus SpA ξPξ die Relation APξ = Pξ A = ξPξ

f¨ ur jedes ξ aus SpA .

Also folgt aus AB = BA durch Multiplikation mit Pξ von links und Pξ0 von rechts: ξPξ BPξ0 = ξ 0 Pξ BPξ0 , d.h. Pξ BPξ0 = 0

f¨ ur ξ 6= ξ 0 .

P Unter Verwendung der Zerlegung der Einheit 1 = ξ aus SpA Pξ erhält man hieraus     X X BPξ =  Pξ0  BPξ = Pξ BPξ = Pξ B  Pξ0  = Pξ B. 2 ξ 0 aus SpA

ξ 0 aus SpA

Erläuterung: Die Relation BPξ = Pξ B bedeutet, daß alle Vektoren des Unterraums, auf den Pξ projiziert, auf Vektoren des gleichen Unterraums durch B abgebildet werden. P (A) Satz: Seien A, B Operatoren mit Spektralzerlegungen A = ξ aus SpA ξPξ , B = P (B) η aus SpB ηPη , und es gelte ferner AB = BA. Dann gelten die Relationen (A)

Pη(B) Pξ

(A)

= Pξ Pη(B)

f¨ ur jedes ξ aus SpA und jedes η aus SpB ,

(3.22)

68


und dann ist X

(B,A)

(B,A)

Pη,ξ

mit Pη,ξ

(A)

= Pη(B) Pξ

η aus SpB ξ aus SpA (B,A)

eine Zerlegung der Einheit. Der Operator Pη,ξ ist der Projektionsoperator auf den Unterraum, der die Vektoren |xi mit A|xi = ξ|xi und B|xi = η|xi enthält. Es gelten X X (B,A) (B,A) A= ξPη,ξ , B= ηPη,ξ . (3.23) η aus SpB ξ aus SpA

η aus SpB ξ aus SpA

Beweis: Durch zweimalige Anwendung des Hilfssatzes erhält man zunächst, daß (A) (A) (B) (A) (A) (B) BPξ = Pξ B, und daraus, daß Pη Pξ = Pξ Pη (f¨ ur alle ξ aus SpA und (B,A)

(B)

alle η aus SpB ). F¨ ur die Operatoren Pη,ξ (B,A)

(B,A)

(B)

(A)

= Pη Pξ

(A)

(A)

folgt hieraus

(B)

(A)

(A)

= Pη0 Pξ0 Pη(B) Pξ = Pη0 Pη(B) Pξ0 Pξ (A) (B,A) = δηη0 Pη(B) δξξ0 Pξ = δηη0 δξξ0 Pη,ξ

Pη0 ,ξ0 Pη,ξ

sowie (A)

(B,A)

Pη,ξ

†

(B)

† (A) (A) (A) (B,A) = Pη(B) Pξ = Pξ Pη(B) = Pη(B) Pξ = Pη,ξ (B,A)

(Denn Pξ

und Pη

sind hermitesch.) Also sind die Pη,ξ

und es gilt

(B,A) (B,A) Pη,ξ Pη0 ,ξ0

0

Projektionsoperatoren

0

= 0 f¨ ur (η, ξ) 6= (η , ξ ).

Andererseits gilt ! X

(B,A) Pη,ξ

=

X

Pη(B)

η aus SpB


! X

(A) Pξ

= 1 · 1 = 1.

ξ aus SpA

Also ist dies eine Zerlegung der Einheit. Es gilt ferner ! X

(B,A)

ξPη,ξ


=

X η aus SpB

Pη(B)

! X

(A)

ξPξ

= 1 · A = A.

ξ aus SpA

(Analog f¨ ur B.) (B,A)

Ein Vektor |xi ist Element des Unterraums Sηξ , auf den Pη,ξ dann, wenn

(B,A) Pη,ξ |xi

= |xi gilt. Aber die Relation

(B,A) {Pη,ξ |xi

projiziert, genau

= |xi} ist äquiva-

3.1. DER MATHEMATISCHE RAHMEN (DIRAC-FORMALISMUS) (B)

69

(A)

lent3 zu der Relation {Pη |xi = |xi und Pξ |xi = |xi}. Letzteres bedeutet aber, (B,A)

daß B|xi = η|xi und A|xi = ξ|xi. Also projiziert Pη,ξ auf den Unterraum aller Vektoren |xi mit B|xi = η|xi und A|xi = ξ|xi. 2 P Erläuterung: Sei νn=1 eine Zerlegung der Einheit und f¨ ur n = 1, 2, . . . ν bezeichne En den Unterraum, auf den Pn projiziert. Aus der Definition der Zerlegung der Einheit folgt, daß die Unterräume En paarweise orthogonal sind. Ferner kann jeder Vektor |xi aus E eindeutig in der Form |xi = |x1 i + |x2 i + . . . + |xν i mit |xn i aus En zerlegt werden, und zwar gilt |xn i = Pn |xi f¨ ur n = 1, 2, . . . ν. In einem solchen Fall sagt man, daß E direkte Summe der Unterräume E1 , . . . Eν ist und bezeichnet E = E1 ⊕ E2 ⊕ . . . En . Wenn ein Operator A eine Spektralzerlegung besitzt, dann ist der Raum E direkte Summe der Eigenräume von A. Wenn ein Operator B mit A kommutiert, dann bildet B jeden der Eigenräume in sich ab. Beim Beweis des Satzes wird jeder der Eigenräume von A weiter zerlegt, so daß innerhalb jedes einzelnen Eigenraums von A eine Spektralzerlegung der Beschränkung von B auf jeden Eigenraum konstruiert wird.

3.1.3 Transformationstheorie (Theorie der Darstellungen von Vektoren und Operatoren) Orthonormierte Basen. Neben den orthonormierten Basen {|ni : n = 1, 2, . . .} mit hn|n0 i = δnn0 , die mit einem diskreten Index indiziert werden, betrachtet man in der Transformationstheorie zweckmäßigerweise auch Basen mit mehreren Indices, die diskret oder kontinuierlich oder sogar gemischt sind. Beispiele: 1. {|ki | − ∞ < k < +∞} mit hk|k 0 i = δ(k−k 0 ) 2. {|k1 , k2 , k3 i | − ∞ < kj < +∞} mit hk1 , k2 , k3 |k10 , k20 , k30 i = δ(k1 −k10 ) δ(k2 −k20 ) δ(k3 −k30 )   0 ≤ E < +∞   3. |E, l, mi l = 0, 1, 2, . . .  m = −l, −l+1, . . . l  mit hE, l, m|E 0 , l0 , m0 i = δ(E −E 0 ) δll0 δmm0 3

(B)

Aus {Pη

(A)

|xi = |xi und Pξ

(B,A)

|xi = |xi} folgt Pη,ξ (B)

Umgekehrt, aufgrund der Relationen Pη

(B,A)

(B,A)

(A)

Pξ

(A)

(B) |xi = Pη |xi = |xi.

(B,A)

(B,A)

= Pη,ξ und Pξ Pη,ξ = Pη,ξ folgen (B,A) (B) (B) (B,A) (B,A) aus {Pη,ξ |xi = |xi} die Relationen Pη |xi = Pη Pη,ξ |xi = Pη,ξ |xi = |xi und (A)

Pξ

|xi = |xi.

Pη,ξ

(B)

|xi = Pη

70

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II   4. |Ei  mit

E = 1 , 2 , . . . n < 0 sowie f¨ ur 0 ≤ E < +∞  0  hE|E i = δ(E −E 0 ) hE|E 0 i = 0  hE|E 0 i = δEE 0

   f¨ ur E, E 0 ≥ 0 f¨ ur E < 0, E 0 ≥ 0 f¨ ur E, E 0 < 0

Im Beispiel 4 ist der Index E zum Teil diskret und zum Teil kontinuierlich. Ein solcher Fall tritt z.B. auf, wenn man Eigenvektoren eines hermiteschen Operators mit teils diskretem, teils kontinuierlichem Spektrum mit Hilfe der Eigenwerte indiziert. Um Komplikationen der Schreibweise zu vermeiden, werden die Formeln in der Regel nur f¨ ur Basen mit einem diskreten Index angegeben. Der diskrete Index steht stellvertretend f¨ ur alle Indices, und das Summationszeichen bedeutet Summation (bzw. Integration) u ¨ber alle Indices. Darstellung von Vektoren und Operatoren. PSei {|ni : n = 1, 2, . . .} eine ortho4 0 normierte Basis (hn|n i = δnn0 ). Dann ist P n |nihn| eine Zerlegung der Einheit . Mit Hilfe dieser Zerlegung der Einheit 1 = n |nihn| kann man eine Darstellung von Operatoren und Vektoren durch Matrizen erhalten: P F¨ ur einen beliebigen Vektor |zi gilt |zi = n |nihn|zi. Der Vektor |zi ist eindeutig bestimmt durch die Vorgabe des Satzes von Zahlen {hn|zi : n = 1, 2, . . .}. Dieser Satz von Zahlen kann auch als Spaltenvektor   h1|zi  h2|zi    .. . aufgefaßt werden. P F¨ ur jeden Operator A gilt A = m,n |mihm|A|nihn|. Der Operator A ist eindeutig bestimmt durch die Vorgabe des Satzes von Zahlen {hm|A|ni : m, n = 1, 2, . . .}. Dieser Satz von Zahlen kann auch als Matrix aufgefaßt werden:   h1|A|1i h1|A|2i h1|A|3i . . . ..   .   h2|A|1i h2|A|2i  ..  ...  h3|A|1i .  ... ... ... ... Bei vorgegebener Basis {|ni : n = 1, 2, . . .} hat man also eine Zuordnung zwischen Operatoren und Matrizen einerseits und zwischen Ket-Vektoren und 4

P Um diePOperatorengleichung 1 = ugt es zu zeigen, daß der n |nihn| zu beweisen, gen¨ Operator P ( n |nihn|) jedenP Basisvektor |mi unge¨ a ndert l¨ a ßt. Dies kann aber leicht festgestellt P werden: ( n |nihn|) |mi = n |nihn|mi = n |niδnm = |mi.


71

Spaltenvektoren andererseits. Operatorenaddition und -multiplikation entsprechen Matrixaddition und -multiplikation: hm| (A + B) |ni = hm|A|ni + hm|B|ni ! X hm| A ◦ B |ni = hm|A |kihk| B|ni

(3.24)

k

=

X

hm|A|kihk|B|ni

(3.25)

k

Die Anwendung eines Operators auf einen Ket-Vektor entspricht der Multiplikation der Matrix mit dem Spaltenvektor: A|zi = |yi

⇐⇒

X

hn|A|mihm|zi = hn|yi

(3.26)

m

Bemerkungen: 1. Jeder Bra-Vektor hy| kann durch Angabe der Zahlen {hy|ni : n = 1, 2, . . .} P bestimmt werden, da hy| = n hy|nihn| gilt. Der Satz {hy|ni : n = 1, 2, . . .} kann als Zeilenvektor aufgefaßt werden. Damit entspricht dem inneren Produkt hy|zi die Matrixmultiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor:   h1|zi X   hy|zi = hy|nihn|zi = (hy|1i, hy|2i, . . .)  h2|zi  (3.27) . . n . 2. Da die Zahlen hm|A|ni in der Matrixdarstellung des Operators A auftreten, bezeichnet man allgemein f¨ ur beliebige Vektoren |yi, |zi die Zahl hy|A|zi als Matrixelement des Operators A zwischen y und z. F¨ ur jede orthonormierte Basis {|ni : n = 1, 2, . . .} hat man eine Darstellung von Operatoren und Matrizen. Es ist u ¨blich von der {Q}-Darstellung zu sprechen, wenn die Basisvektoren {|ni : n = 1, 2, . . .} Eigenvektoren des hermiteschen Operators (bzw. des Satzes von vertauschbaren hermiteschen Operatoren) Q sind. In der {Q}-Darstellung ist die Matrix des Operators Q diagonal, d.h. hn|Q|mi = 0 f¨ ur m 6= n, denn Q|mi = qm |mi (qm = Eigenwert), also hn|Q|mi = qm hn|mi = qm δnm . ¨ Anderung der Darstellung. Seien {|an i : n = 1, 2, . . .}, {bn : n = 1, 2, . . .} zwei verschiedene orthonormierte Basen (Die Zeichen a, b werden benutzt, um die Basen zu unterscheiden). Die zwei Darstellungen von Vektoren {han |zi : n =

72


1, 2, . . .} und {hbn |zi : n = 1, 2, . . .} bzw. von Operatoren {han |A|am i : n, m = 1, 2, . . .} und {hbn |A|bm i : n, m = 1, 2, . . .} sind miteinander verkn¨ upft durch X X han |zi = han |bk ihbk |zi = Tnk hbk |zi (3.28) k

han |A|am i =

X

k

han |bk ihbk |A|bk0 ihbk0 |am i =

k,k0

X

∗ Tnk hbk |A|bk0 iTmk 0 (3.29)

k,k0

mit der Transformationsmatrix Tnk = han |bk i

| n, k = 1, 2, . . .

(3.30)

3.2 Quantenmechanische Beschreibung physikalischer Systeme 3.2.1 Zusta¨nde, Observable, Messungen F¨ ur die Beschreibung physikalischer Systeme werden folgende Grundvorschriften benutzt: 1. Ein physikalisches System wird mit Hilfe eines Vektorraums E beschrieben. Jeder Zustand eines solchen Systems zu einem gegebenen Zeitpunkt wird durch einen Ket-Vektor |ψi (Zustandsvektor) aus dem Vektorraum E charakterisiert. 2. Jeder physikalischen Observablen A wird ein hermitescher Operator A im Vektorraum E zugeordnet5 . 3. Bei jeder Messung der Observablen A sind die Eigenwerte des Operators A die einzig möglichen Meßwerte. Die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß sich bei einer Messung der Observablen A an einem sich im Zustand |ψi befindenden System6 der Meßwert ξ ergibt, ist: W (ξ) =

hψ|Pξ2 |ψi kPξ |ψik2 = k|ψik2 hψ|ψi

(3.31)

Hierbei bezeichnet Pξ den Projektionsoperator auf den Eigenraum des Operators A zum Eigenwert ξ. Nach einer Messung mit dem Meßresultat ξ befindet sich das System in dem Zustand Pξ |ξi ( Reduktion des Wellenpakets“). ” 5

Der Einfachheit halber wird das gleiche Symbol A zur Bezeichnung sowohl der physikalischen Observablen als auch des zugeordneten Operators verwendet. 6 Der Ausdruck Das System ist im Zustand |ψi“ bedeutet: Das System ist in dem durch ” den Vektor |ψi charakterisierten Zustand.

3.2. BESCHREIBUNG PHYSIKALISCHER SYSTEME

73

Bemerkungen und Erläuterungen: Im Zusammenhang mit Vorschrift 1 stellt sich die Frage, ob auch umgekehrt jedem Ket-Vektor |ψi aus E ein Zustand des Systems entspricht. Da der Raum der Ket-Vektoren auch nicht normierbare Vektoren |ψi (mit hψ|ψi = ∞) enthält, gibt es offenbar die (triviale) Einschränkung, daß nur Ket-Vektoren |ψi mit hψ|ψi < ∞ physikalische Zustände darstellen können. Die nicht normierbaren Vektoren sind nur aus Gr¨ unden der mathematischen Zweckmäßigkeit im Vektorraum E enthalten. Ein weitergehendes Problem ist, ob allen normierbaren Vektoren |ψi physikalische Zustände (d.h. physikalisch realisierbare Zustände) entsprechen. Damit verkn¨ upft ist die Frage nach dem G¨ ultigkeitsbereich des Superpositionsprinzips: Wenn |ψ1 i und |ψ2 i physikalischen Zuständen entsprechen und λ1 , λ2 komplexe Zahlen sind, dann entspricht λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i einem physikalischen Zustand, wenn λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i = 6 0 ist. Die G¨ ultigkeit des Superpositionsprinzips wird durch sogenannte Superauswahlregeln eingeschränkt. Eine Superauswahlregel besagt, daß f¨ ur bestimmte Paare von Zustandsvektoren |ψ1 i, |ψ2 i kein Vektor der Form λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i mit λ1 6= 0, λ2 6= 0 einem physikalischen Zustand entspricht. Das einfachste Beispiel einer Superauswahlregel ist die (−1)F -Superauswahlregel. Diese schließt Linearkombinationen von Zustandsvektoren |ψ1 i, |ψ2 i aus, wenn |ψ1 i Eigenvektor zu einem halbzahligen Eigenwert des Drehimpulsoperators Jz oder Linearkombination solcher Eigenvektoren ist, während |ψ2 i Eigenvektor zum ganzzahligen Eigenwert von Jz oder Linearkombination solcher Eigenvektoren ist. Diese Superauswahlregel folgt aus Invarianzforderungen (vgl. das Kapitel u ¨ber Symmetrien und Invarianzen). Weitere Superauswahlregeln, deren G¨ ultigkeit aufgrund umfangreicher experimenteller Evidenz als Erfahrungstatsache angenommen wird, sind die Superauswahlregeln der elektrischen Ladung und die der Baryonenladung. Diese schließen Linearkombinationen von |ψ1 i, |ψ2 i aus, wenn den Vektoren |ψ1 i, |ψ2 i Zustände mit verschiedener elektrischer Ladung oder Baryonenladung7 entsprechen. Man nimmt an, daß die einzigen Einschränkungen der G¨ ultigkeit des Superpositionsprinzips die von Superauswahlregeln bedingten sind. In Zusammenhang mit Vorschrift 2 stellt sich die analoge Frage, ob alle hermiteschen Operatoren physikalischen Observablen entsprechen. Aus der vorangehenden Diskussion folgt, daß einige hermitesche Operatoren keiner Observablen entsprechen können. Wenn z.B. der Vektor |ψi = λ1 |ψ1 i + λ2 |ψ2 i aufgrund von Superauswahlregeln keinem physikalischen Zustand entspricht, während |ψ1 i und |ψ2 i physikalischen Zuständen entsprechen, dann kann der Projektionsoperator 7

Baryonenladung (oder Baryonenzahl): Additive Größe, die f¨ ur Atome gleich der Atommassenzahl A ist, f¨ ur Protonen und Neutronen den Wert 1 hat, während sie f¨ ur Mesonen, Elektronen und Photonen den Wert 0 hat.

74


|ψihψ| keiner Observablen entsprechen8 . Eine weitere Einschränkung, die sich aus den Grundvorschriften selbst ergibt, ist, daß die Operatoren A, die Observable darstellen, eine Spektralzerlegung besitzen m¨ ussen. Dies ist notwendig, um die Zahl W (ξ) = hψ|Pξ |ψi/hψ|ψiPals Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Meßergebnis ξ zu interpretieren. Denn es muß ur alle |ψi ξ aus SpA W (ξ) = 1 gelten, und das ist f¨ P nur dann möglich, wenn ξ aus SpA Pξ eine Zerlegung der Einheit ist. F¨ ur die Beschreibung eines Systems, welches aus einem Teilchen ohne innere Freiheitsgrade besteht, wurde in Kapitel 3 ein viel detaillierterer Satz von Vorschriften angegeben. Insbesondere wurde vorgeschrieben, welche Operatoren den Observablen zugeordnet werden, und ferner wurde die Bewegungsgleichung (zeitabhängige Schrödingergleichung) angegeben. Im Gegensatz dazu wurde in diesem Abschnitt nur der allgemeine Rahmen der Beschreibung gegeben. Welche Operatoren den Observablen eines Systems entsprechen sollen, ist ein nichttriviales Problem, welches bei der Anwendung der Quantenmechanik auf ein konkretes physikali¨ sches System gelöst werden muß. Uberhaupt kann die Frage, welche Observable ein System besitzt, nur empirisch beantwortet werden. Es gibt Observable (z.B. den Spin), die keiner klassischen Observablen entsprechen. Die Existenz solcher Freiheitsgrade wurde aufgrund von Experimenten festgestellt. Es können also nur in den einzelnen Fällen Vorschriften f¨ ur die Zuordnung von Operatoren zu Observablen gegeben werden. Schließlich ist f¨ ur die Festlegung der Bewegungsgleichung die Angabe des Hamiltonoperators notwendig. Dies kann aber nicht mit allgemeinen Vorschriften erfolgen. In sehr vielen Fällen sind die Wechselwirkungen der betrachteten Teilchen nicht genau bekannt. Man ist dann darauf angewiesen, Ansätze f¨ ur den Hamiltonoperator zu machen, und sie durch Vergleich der gewonnenen Vorhersagen mit dem Experiment zu testen.

3.2.2 Bewegungsgleichung Zur Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Systems wird folgende Vorschrift benutzt: ¨ 4. Die zeitliche Anderung des Zustands eines Systems ist durch die Schrödingergleichung d i¯ h |ψ(t)i = H |ψ(t)i (3.32) dt f¨ ur den Zustandsvektor |ψ(t)i bestimmt. Hierbei bezeichnet H einen f¨ ur das System charakteristischen hermiteschen Operator, der Hamilton-Operator genannt wird. 8

Denn nach einer Messung der Observablen |ψihψ| an einem System im Zustand |ψ1 i (oder |ψ2 i) w¨ urde aufgrund der Reduktion des Wellenpakets der Zustand |ψi entstehen können.


75

Bemerkungen: 1. Der Hamilton-Operator entspricht der Observablen Energie. F¨ ur einfache Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen, kann der Hamilton-Operator aus Korrespondenzbetrachtungen gewonnen werden: Man ersetzt in der Hamilton-Funktion H(p1 , . . . pn , q1 , . . . qn ) die (klassischen) Observablen p1 , . . . qn durch die entsprechenden Operatoren. Dieses Verfahren ist aber bei komplizierteren Hamilton-Funktionen nicht eindeutig durchf¨ uhrbar. 2. Der Hamilton-Operator kann im allgemeinen Fall zeitabhängig sein. F¨ ur eine besonders wichtige Klasse von Systemen (konservative Systeme) ist der Hamilton-Operator zeitunabhängig. Formale Lösung der Schrödingergleichung: Wenn {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞} und {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} Lösungen der Schrödingergleichung und λ1 , λ2 komplexe Zahlen sind, dann ist {|ψ(t)i = λ1 |ψ1 (t)i + λ2 |ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} auch Lösung der Schrödingergleichung (Linearität). Ferner ist hψ1 (t)|ψ2 (t)i zeitunabhängig, denn aus der Schrödingergleichung ergibt sich durch Adjunktion (−i¯ h)

d hψ1 (t)| = hψ1 (t)| H dt

(3.33)

und damit erhält man d d hψ1 (t)| |ψ2 (t)i + hψ1 (t)| |ψ2 (t)i dt dt 1 1 = hψ1 (t)|H|ψ2 (t)i + hψ1 (t)|H|ψ2 (t)i, (−i¯ h) i¯ h

d hψ1 (t)|ψ2 (t)i = dt

also

d hψ1 (t)|ψ2 (t)i = 0. dt

(3.34)

Zu jedem Zeitpunkt t0 und jedem Zustandsvektor |ai gibt es genau eine Lösung9 {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} der Schrödingergleichung mit |ψ(t0 )i = |ai. Man kann also bei jedem gegebenen Paar t1 , t0 von Zeitpunkten jedem Vektor |xi eindeutig den Vektor U (t1 , t0 ) |xi = |ψ(t1 )i zuordnen, wobei {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} die eindeutig bestimmte Lösung der Schrödingergleichung mit der Anfangsbedingung |ψ(t0 )i = |ψ0 i ist. Somit ist f¨ ur jedes Paar (t1 , t0 ) die Abbildung U (t1 , t0 ) definiert. 9

Es wird hier kein mathematischer Beweis der Existenz einer Lösung gegeben. Die Eindeutigkeit der L¨ osung kann aber leicht gezeigt werden: Wenn {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞}, {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} L¨ osungen der Schrödingergleichung mit |ψ1 (t0 )i = |ψ2 (t0 )i = |xi sind, dann ist {|φ(t)i = |ψ1 (t)i − |ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} Lösung der Schrödingergleichung mit |φ(t0 )i = 0. Daraus folgt, da hφ(t)|φ(t)i zeitunabhängig ist, hφ(t)|φ(t)i = hφ(t0 )|φ(t0 )i = 0 f¨ ur alle t, also |ψ1 (t)i − |ψ2 (t)i = 0 f¨ ur alle t.

76


Offenbar ist nach dieser Definition {|ψ(t)i : −∞ < t < +∞} genau dann eine Lösung der Schrödingergleichung, wenn |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i f¨ ur alle t

(3.35)

gilt. Aus der Definition von U folgen die Relationen U (t1 , t1 ) = 1 U (t1 , t2 ) U (t2 , t3 ) = U (t1 , t3 )

(3.36) (3.37)

f¨ ur alle t1 , t2 , t3 . Insbesondere folgt U (t1 , t2 ) U (t2 , t1 ) = 1 = U (t2 , t1 ) U (t1 , t2 ), d.h. U (t2 , t1 ) = (U (t1 , t2 ))−1 .

(3.38)

Aus der Definition folgt, daß die Abbildung U (t1 , t2 ) linear ist, da jede Linearkombination von Lösungen der Schrödingergleichung auch eine Lösung ist. F¨ ur jedes Paar {|ψ1 (t)i : −∞ < t < +∞}, {|ψ2 (t)i : −∞ < t < +∞} von Lösungen der Schrödingergleichung ist hψ1 (t)|ψ2 (t)i zeitunabhängig; daraus folgt, daß hx1 |U † (t, t0 ) U (t, t0 )|x2 i = hx1 |x2 i f¨ ur alle |x1 i, |x2 i gilt. Dies bedeutet U † (t, t0 ) U (t, t0 ) = 1.

(3.39)

Durch Multiplikation von rechts mit U (t0 , t) = (U (t, t0 ))−1 erhält man daraus U † (t, t0 ) = (U (t, t0 ))−1 ,

(3.40)

U † (t, t0 ) U (t, t0 ) = U (t, t0 ) U † (t, t0 ) = 1.

(3.41)

d.h. Der Operator U (t, t0 ) ist also unitär. Aus der Definition von U und der Schrödingergleichung folgt i¯ h dtd U (t, t0 )|xi = H(t) U (t, t0 ) |xi f¨ ur jeden Vektor |xi. Daraus folgt i¯ h

d U (t, t0 ) = H(t) U (t, t0 ). dt

(3.42)

Diese Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung U (t0 , t0 ) = 1 ist äquivalent zur Integralgleichung Z i t U (t, t0 ) = 1 − H(τ ) U (τ, t0 ) dτ. (3.43) h ¯ t0 Die formale Lösung10 dieser Integralgleichung ist U (t, t0 ) =

∞ X

Un (t, t0 )

(3.44)

n=0 10

Diese L¨ osung der Integralgleichung wird durch sukzessive Approximation gewonnen: Die nullte“ N¨ aherung U (t, t0 ) ≈ U0 (t, t0 ) = 1 in die rechte Seite der Integralgleichung eingesetzt ”


77

mit   

Un+1 (t, t0 ) = U0 (t, t0 )

i − h ¯

Z

t

H(τ ) Un (τ, t0 ) dτ | n = 0, 1, 2, . . .

 

t0

= 1

(3.45)



Im wichtigen Spezialfall eines zeitunabhängigen Hamilton-Operators H hat die formale Lösung die einfache Form i

U (t, t0 ) = e− h¯ (t−t0 ) H .

(3.46)

Zum Beweis dieser Relation bestimmt man Un (t, t0 ) induktiv: U1 (t, t0 ) =

i − h ¯

i − h ¯

2

Z

t

H

1 dτ =

t0 2

Z

i − h ¯

t

H (τ − t0 ) dτ = U2 (t, t0 ) = t0 ... n i (t − t0 )n Un (t, t0 ) = − Hn . h ¯ n!

H (t − t0 )

i − h ¯

2

H2

(t − t0 )2 2!

Daraus folgt: n ∞ n X i i n (t − t0 ) U (t, t0 ) = − H = e− h¯ H (t−t0 ) . h ¯ n! n=0 Andererseits kann direkt gezeigt werden, daß e−iH(t−t0 )/¯h die Anfangsbedingung und die Differentialgleichung f¨ ur U erf¨ ullt. Bemerkung: F¨ ur zeitunabhängiges H hängt U (t, t0 ) nur von der Differenz (t − t0 ) ab: i U (t, t0 ) = e− h¯ H (t−t0 ) = U (t−t0 , 0) (3.47)

ergibt als n¨ achste N¨ aherung U (t, t0 ) ≈ 1 −

i h ¯

Z

t

H(τ ) U0 (τ, t0 ) dτ = U0 (t, t0 ) + U1 (t, t0 ). t0

PN Allgemein: Wenn die N¨ aherung der Ordnung N ist: U (t, t0 ) ≈ n=0 Un (t, t0 ) in die rechte Seite der Integralgleichung eingesetzt ergibt als Näherung der Ordnung N + 1: ! Z N N +1 X X i t U (t, t0 ) ≈ 1 − H(τ ) Un (τ, t) dτ = Un (t, t0 ) h t0 ¯ n=0 n=0

78


Konstanten der Bewegung. Eine Observable A, deren zugeordneter Operator A zeitunabhängig ist, heißt Konstante der Bewegung, wenn [A, H(t)] = 0 f¨ ur alle t gilt. Satz: Eine Observable A ist genau dann eine Konstante der Bewegung, wenn der zugeordnete Operator A zeitunabhängig ist, und wenn U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = A

f¨ ur alle t gilt.

(3.48)

Zum Beweis dieser Behauptung benutzt man die Differentialgleichung f¨ ur U und die daraus durch hermitesche Adjunktion entstehende Differentialgleichung f¨ ur U† d − i¯ h U † (t, t0 ) = U † (t, t0 ) H(t). (3.49) dt Man erhält: d U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) dt d † d † U AU + U A U = dt dt i † i = U (t, t0 ) H(t) A U (t, t0 ) + − U † (t, t0 ) A H(t) U (t, t0 ) h ¯ h ¯ i = − U † (t, t0 ) [A, H(t)] U (t, t0 ) h ¯ Wenn also A eine Konstante der Bewegung ist, dann gilt d U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = 0 dt

f¨ ur alle t,

also ist U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = U † (t0 , t0 ) A U (t0 , t0 ) = A

f¨ ur alle t.

Umgekehrt: Wenn U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) = A

f¨ ur alle t

gilt, dann folgt daraus i − U † [A, H(t)] U = 0 h ¯ und daraus [A, H(t)] = U U † [A, H(t)]U U † = 0.

2

Bemerkung: Wegen der Relation U † U = U U † = 1 sind die Gleichungen U † A U = A, A U = U A, U † A = A U † äquivalent. Die Konstanten der Bewegung sind durch folgende Eigenschaften ausgezeichnet:


79

1. Der Erwartungswert hψ(t)|A|ψ(t)i/hψ(t)|ψ(t)i einer Konstanten der Bewegung ist zeitunabhängig. Es gilt nämlich hψ(t)|A|ψ(t)i hψ(t0 )| U † (t, t0 ) A U (t, t0 ) |ψ(t0 )i hψ(t0 )|A|ψ(t0 )i = = . hψ(t)|ψ(t)i hψ(t0 )|ψ(t0 )i hψ(t0 )|ψ(t0 )i (3.50) 2. Wenn der Zustandsvektor |ψ(t0 )i, der den Zustand des Systems zum Zeitpunkt t0 charakterisiert, ein Eigenvektor von A zum Eigenwert ξ ist, und wenn A eine Konstante der Bewegung ist, dann ist zu jedem Zeitpunkt t der Zustandsvektor |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i auch ein Eigenvektor von A zum gleichen Eigenwert ξ. Es gilt nämlich A|ψ(t)i = A U (t, t0 ) |ψ(t0 )i = U (t, t0 ) A|ψ(t0 )i = ξ U (t, t0 ) |ψ(t0 )i = ξ|ψ(t)i. (3.51) 3. Wenn H zeitunabhängig ist und A eine Konstante der Bewegung ist, dann gibt es einen vollständigen orthonormierten Satz von gemeinsamen Eigenvektoren von A und H (A und die Energie sind kompatible Observable). Bemerkung: Wenn H zeitunabhängig ist, dann ist H selbst eine Konstante der Bewegung.

3.2.3 Bilder der zeitlichen Entwicklung Die oben angegebene Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines Systems wird Schrödinger-Bild genannt. Es gibt aber weitere äquivalente Beschreibungen (Bilder) der zeitlichen Entwicklung: Zu jedem Zeitpunkt t sei T (t) ein unitärer Operator, und f¨ ur jeden Vektor |xi und Operator O bezeichnen wir mit |xiT bzw. OT den Vektor |xiT = T † (t)|xi bzw. den Operator OT = T † (t)O T (t). Wir erhalten eine äquivalente Beschreibung des Systems, wenn wir jeden Zustandsvektor |xi durch |xiT und jede Observable O durch OT ersetzen. Denn alle Erwartungswerte bleiben bei dieser Transformation ungeändert: T hx|O T |xiT T hx|xiT

=

hx|T T † OT T † |xi hx|O|xi = , † hx|T T |xi hx|xi

(3.52)

weil T T † = T † T = 1 gilt. Das Heisenberg–Bild der zeitlichen Entwicklung erhält man, wenn man T (t) = U (t, t0 ) wählt. Wir benutzen Indices S und H, um die Zustandsvektoren und Observablen im Schrödinger-Bild von den Entsprechungen im Heisenberg-Bild zu unterscheiden: |xiH = U † (t, t0 ) |xiS OH = U † (t, t0 ) OS U (t, t0 )

(3.53) (3.54)

80


F¨ ur die zeitliche Entwicklung der Zustandsvektoren gilt im Heisenberg-Bild: |ψ(t)iH = U † (t, t0 ) |ψ(t)iS = U † (t, t0 ) U (t, t0 ) |ψ(t0 )iS = |ψ(t0 )iS , d.h. |ψ(t)iH = |ψ(t0 )iS .

(3.55)

Die Zustandsvektoren sind also zeitunabhängig im Heisenberg-Bild. Daf¨ ur sind die Operatoren zeitabhängig. Es gilt: d d † d † OH = U (t, t0 ) OS U (t, t0 ) + U (t, t0 ) OS U (t, t0 ) dt dt dt dOS U (t, t0 ) + U † (t, t0 ) dt i † i = U (t, t0 ) HS (t) OS U (t, t0 ) − U † (t, t0 ) OS HS (t) U (t, t0 ) h ¯ h ¯ dO S U (t, t0 ) + U † (t, t0 ) dt Mit den Bezeichnungen ∂OH dOS = U † (t, t0 ) U (t, t0 ) ∂t dt HH = U † (t, t0 ) HS (t) U (t, t0 )

(3.56) (3.57)

(HH ist zeitabhängig, wenn HS zeitabhängig ist) erhält man dann11 i¯ h

d ∂OH OH = [OH , HH ] + i¯ h . dt ∂t

(3.58)

Durch eine andere Wahl von T (t) gewinnt man andere Bilder der zeitlichen Entwicklung. Ein f¨ ur die Anwendungen (zeitabhängige Störungsrechnung) besonders n¨ utzliches Bild ist das sogenannte Wechselwirkungsbild. Dies erhält man durch die Wahl i T = e− h¯ H0 (t−t0 ) , (3.59) wobei H0 zeitunabhängig ist und H = H0 + V . F¨ ur die Operatoren OW im Wechselwirkungsbild gilt i

i

OW = e+ h¯ H0 (t−t0 ) OS e− h¯ H0 (t−t0 ) .

(3.60)

F¨ ur die Zustandsvektoren i

|ψ(t)iW = e+ h¯ H0 (t−t0 ) |ψ(t)iS 11

(3.61)

Durch den Term (∂OH /∂t) wird die sogenannte explizite Zeitabhängigkeit der Observablen, d.h. derjenige Anteil der Zeitabh¨ angigkeit, der von der Zeitabhängigkeit im Schrödinger-Bild (dOS /dt) herr¨ uhrt, ber¨ ucksichtigt.


81

andererseits gilt die Bewegungsgleichung i¯ h

d |ψ(t)iW = VW |ψ(t)iW . dt

(3.62)

Denn: i¯ h

i d i H0 (t−t0 ) e h¯ |ψ(t)iS = e h¯ H0 (t−t0 ) (−H0 + H) |ψ(t)iS dt i i = e h¯ H0 (t−t0 ) V e− h¯ H0 (t−t0 ) |ψ(t)iW = VW |ψ(t)iW

3.2.4 Quantenstatistik Die Spur Sp(A) (oder Tr(A)) eines Operators A ist definiert durch Sp(A) =

X

haν |A|aν i,

(3.63)

ν

wobei {|aν i} eine orthonormierte Basis bezeichnet. Diese Definition ist von der Wahl der orthonormierten Basis {|aν i} unabhängig. Denn wenn {|bκ i} eine andere orthonormierte Basis bezeichnet, dann gilt X

haν |A|aν i =

ν

X

haν |A|bκ ihbκ |aν i

ν,κ

=

X ν,κ

hbκ |aν ihaν |A|bκ i =

X

hbκ |A|bκ i

(3.64)

κ

P P (da κ |bκ ihbκ | = 1 = ν |aν ihaν | jeweils Zerlegungen der Einheit sind). Folgende Identitäten können leicht nachgewiesen werden: Sp(A + λB) = Sp(A) + λSp(B) f¨ ur jedes λ ∈ C Sp(AB) = Sp(BA) (zyklische Invarianz) † ∗ Sp(A ) = Sp(A)

(3.65) (3.66) (3.67)

(Vorsicht! SpA = Spektrum von A; Sp(A) = Spur von A) Der statistische Operator (Dichtematrix). Aufgrund der Grundvorschriften 1,2,3 (Seite 72) ist der Erwartungswert < A > jeder Observablen A, wenn das System sich in einem durch den Zustandsvektor |ψi charakterisierten Zustand befindet,

82


gegeben12 durch =

hψ|A|ψi . hψ|ψi

(3.68)

Sei {|ψm i : m = 1, 2, . . .} ein Satz normierter (aber nicht notwendig zueinander orthogonaler) Zustandsvektoren. Wenn bekannt ist, daß sich das physikalische System in einem der Zustände {|ψm i} befindet und daß P die Wahrscheinlichkeit daf¨ ur, daß es sich im Zustand |ψm i befindet, pm ist ( m pm = 1), dann ist der Erwartungswert einer Observablen A gegeben durch X = (3.69) pm hψm |A|ψm i. m

Der statistische Operator (oder Dichtematrix 13 ) ρ wird definiert durch X ρ= pm |ψm ihψm |.

(3.70)

m

Mit Hilfe des statistischen Operators läßt sich der Erwartungswert < A > in der kompakten Form < A > = Sp(ρA) = Sp(Aρ) (3.71) schreiben. Denn Sp(ρA) =

X

=

X

haν |ρA|aν i =

ν

X

haν |ψm ihψm |A|aν ipm

ν,m

hψm |A|aν ihaν |ψm ipm =

ν,m

X

hψm |A|ψm ipm .

m

Es gilt ferner Sp(ρ) = 1.

(3.72)

Denn Sp(ρ) =

X

haν |ρ|aν i =

ν

=

X

X

haν |ψm ihψm |aν ipm

ν,m

hψm |aν ihaν |ψm ipm =

ν,m

X

hψm |ψm ipm .

m

12

P Der Erwartungswert < A > ist definiert durch die Gleichung < A > = ξ ξWξ , wobei ξ alle m¨ oglichen Meßwerte von A durchläuft und Wξ die Wahrscheinlichkeit f¨ ur den Meßwert ξ bezeichnet. Nach Vorschrift 3 sind die einzig möglichen Meßwerte der Observablen A die 2 2 Elemente des P Spektrums SpA von A und es gilt Wξ = kPξ |ψik /k|ψik = hψ|Pξ |ψi/hψ|ψi, wobei A = ξ aus SpA ξPξ die Spektralzerlegung von A ist. Daraus erhält man =

X ξ aus SpA

13

ξWξ =

X ξ aus SpA

ξhψ|Pξ |ψi hψ|A|ψi = . hψ|ψi hψ|ψi

ρ ist ein Operator und nicht eine Matrix. Aus historischen Gr¨ unden wird er aber oft Dichtematrix“ genannt. ”


83

P P Aber nach Voraussetzung ist hψm |ψm i = 1 und m pm = 1, also m hψm |ψm ipm = 1. Auch wenn das System sich mit Sicherheit in einem Zustand |ψi befindet, kann der statistische Operator ρ = |ψihψ| (hψ|ψi = 1 vorausgesetzt) zur Bestimmung von Erwartungswerten benutzt werden. Reiner Zustand und Gemisch. Bei der experimentellen Untersuchung atomarer Systeme liegt meistens eine Gesamtheit (Ensemble) gleicher Systeme vor. (Im Stern-Gerlach-Experiment z.B. wird ein Strahl, der aus einer großen Anzahl von Silberatomen besteht, untersucht.) Wenn sich alle Systeme der Gesamtheit im gleichen Zustand befinden, dann sagt man, daß ein reiner Zustand vorliegt. Andernfalls spricht man von einem Gemisch. F¨ ur die Beschreibung eines Systems aus einem Gemisch wird die Dichtematrix benutzt: Wenn sich Nm Systeme der Gesamtheit im Zustand |ψm i befinden (f¨ ur m = 1, 2, . . . M ), dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß sich ein aus der Gesamtheit zufällig herausgegriffenes System im Zustand |ψm i befindet, pm = Nm /N , wobei N = N1 +N2 +. . . NM die gesamte Anzahl von Systemen der Gesamtheit bezeichnet. Zur Beschreibung eines zufällig aus der Gesamtheit herausgegriffenen Systems (und folglich auch P zur Beschreibung der vorliegenden Gesamtheit) wird die Dichtematrix ρ = M m=1 pm |ψm ihψm | benutzt. (Hierbei wurde hψm |ψm i = 1 vorausgesetzt.) Wenn zwei Gesamtheiten die gleiche Dichtematrix zugeordnet wird, dann sind sie ununterscheidbar, da die Erwartungswerte aller Observablen f¨ ur beide Systeme identisch sind. Beispiel: Seien |χ1 i, |χ2 i zwei Zustandsvektoren mit hχj |χk i = δjk . Dann ist eine Gesamtheit aus N/2 Systemen im Zustand |χ1 i und N/2 Systemen im Zustand |χ2 i nicht von einer Gesamtheit aus N/2 Systemen im Zustand |ψ1 i = cos φ|χ1 i + sin φ|χ2 i und N/2 Systemen im Zustand |ψ2 i = − sin φ|χ1 i + cos φ|χ2 i (φ reell) unterscheidbar, denn 1 1 1 1 |ψ1 ihψ1 | + |ψ2 ihψ2 | = |χ1 ihχ1 | + |χ2 ihχ2 |. 2 2 2 2 Formale P Eigenschaften der Dichtematrix: Aus der Definition der Dichtematrix P ρ = m pm |ψm ihψm | (die pm sind reelle Zahlen mit 0 ≤ pm ≤ 1 und m pm = 1) folgen die Eigenschaften ρ = ρ† (3.73) und 0 ≤ ha|ρ|ai ≤ ha|ai

f¨ ur jeden Ket |ai.

(3.74)

Beweis: 1. ρ† =

P p∗m |ψm ihψm | = m pm |ψm ihψm | = ρ wegen p∗m = pm . P P 2. ha|ρ|ai = m pm ha|ψm ihψm |ai = m pm |ha|ψm i|2 . Da pm ≥ 0 gilt, folgt hieraus ha|ρ|ai gilt wegen |ha|ψm i|2 ≤ ha|aihψm |ψm i = P ≥ 0. Andererseits P ha|ai auch m pm |ha|ψm i|2 ≤ m pm ha|ai = ha|ai. 2 P

m

84


Bemerkung: Aus (3.74) folgt, daß jeder Eigenwert λ von ρ notwendig im Intervall 0 ≤ λ ≤ 1 liegen muß. Unter Benutzung der Spektralzerlegung von ρ folgt daraus die Relation ha|ρ2 |ai ≤ ha|ρ|ai f¨ ur jeden Ket |ai. (3.75) Ein formales Kriterium zur Unterscheidung zwischen reinen Zuständen und Gemischen liefert der folgende Satz: Ein reiner Zustand liegt genau dann vor, wenn die Dichtematrix ein Projektionsoperator ist. Beweis: 1. Bei einem reinen Zustand mit Zustandsvektor |ψi (hψ|ψi = 1) ist die Dichtematrix ρ = |ψihψ| ein Projektionsoperator. 2. Sei ρ ein Projektionsoperator. Wenn {|ψm i : m = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis des Unterraums P V ist, auf den ρ projiziert, dann gilt ρ = P m |ψm ihψm |. Da aber Sp(ρ) = m Sp(|ψm ihψm |) und Sp(|ψm ihψm |) = 1 gilt14 , muß der Unterraum V eindimensional sein, denn 1 = Sp(ρ) = dim V . Also ρ = |ψ1 ihψ1 |, d.h. ρ ist die Dichtematrix f¨ ur einen reinen Zustand |ψ1 i. 2 Zeitliche Entwicklung der Dichtematrix im Schrödingerbild. Im Schrödingerbild ist die zeitliche Entwicklung von Zustandsvektoren gegeben durch |ψ(t)i = U (t, t0 ) |ψ(t0 )i (bzw. |ψ(t)i = e−iH(t−t0 )/¯h |ψ(t0 )i, wenn H zeitunabhängig ist). Hieraus folgt die zeitliche Entwicklung der Dichtematrix: X X ρ(t) = pm |ψm (t)ihψm (t)| = pm U (t, t0 ) |ψm (t0 )ihψm (t0 )| U † (t, t0 ) m

Also: ρ(t) = U (t, t0 ) ρ(t0 ) U † (t, t0 )

(3.76)

bzw. (wenn H zeitunabhängig ist): i

i

ρ(t) = e− h¯ H(t−t0 ) ρ(t0 ) e h¯ H(t−t0 )

(3.77)

Gibbs–Ensemble. F¨ ur die Beschreibung eines Systems im thermischen Gleichgewicht mit absoluter Temperatur T wird in der statistischen Mechanik15 folgende Dichtematrix benutzt: H (3.78) ρ = C e− kT 14 15

P P Es gilt allgemein Sp(|xihy|) = ν haν |xihy|aν i = ν hy|aν ihaν |xi = hy|xi. vgl. Vorlesung Thermodynamik und Statistik“ ”

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME

85

mit dem Normierungsfaktor C = 1/Sp(e−H/kT ). (k ist die Boltzmann-Konstante mit dem Zahlenwert k = 8.6 · 10−5 eV/K). Die durch diese Dichtematrix beschriebene Gesamtheit wird Gibbs-Ensemble genannt. Dichtematrix nach einer Messung. Die Dichtematrix f¨ ur ein System vor einer Messung der Observablen A sei ρI . Wenn die Messung das Resultat ξ ergibt und Pξ den Projektionsoperator auf den entsprechenden Eigenraum bezeichnet, dann wird das System nach der Messung durch die Dichtematrix ρII = C Pξ ρI Pξ

(3.79)

mit C = 1/Sp(Pξ ρI Pξ ) beschrieben. Die Begr¨ undung dieser Vorschrift aus den Grundvorschriften ist umständlich. Wir begn¨ ugen uns daher hier mit der Bemerkung, daß diese Vorschrift mit Vorschrift 3 (Seite 72) identisch ist, wenn ρI einem reinen Zustand entspricht.

3.3 Anwendung auf spezielle Systeme In den folgenden Abschnitten soll die Konstruktion des Raumes der Ket-Vektoren und die Bestimmung der den Observablen zugeordneten Operatoren f¨ ur einige wichtige Klassen physikalischer Systeme ausgef¨ uhrt werden.

3.3.1 Systeme, die ein klassisches Analogon besitzen F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung eines Systems, das ein klassisches Analogon mit f Freiheitsgraden besitzt, benutzt man folgende Vorschrift: Den Koordinaten q1 , . . . qf und den kanonischen Impulsen p1 , . . . pf des klassischen Analogons entsprechen Observable des Systems, denen hermitesche Operatoren16 q˜1 , . . . q˜f , p˜1 , . . . p˜f zugeordnet werden, die die kanonischen Vertauschungsrelationen [˜ qj , q˜k ] = 0, [˜ pj , p˜k ] = 0,

[˜ qj , p˜k ] = i¯ hδjk

| j, k = 1, . . . f

(3.80)

erf¨ ullen. Weiteren dynamischen Variablen (z.B. Energie) des klassischen Analogons, die als reelle Funktionen f (q1 , . . . pf ) der reellen Variablen q1 , . . . pf dargestellt werden können, ordnet man Observable des Systems zu, deren Operator jeweils als eine entsprechende Funktion f˜(˜ q1 , . . . p˜f ) der Operatoren q˜1 , . . . p˜f dargestellt wird. Man kann nicht beliebige Funktionen f eines Satzes A1 , . . . An hermitescher Operatoren allgemein definieren. Dies ist aber eine akademische Schwierigkeit, da f¨ ur die wichtigen dynamischen Variablen (z.B. Energie) die f (q1 , . . . pf ) meist relativ 16

Operatoren werden in diesem Abschnitt durch das Zeichen

”

˜ “ gekennzeichnet.

86


einfache Funktionen sind. Die Bestimmung von f (˜ q1 , . . . p˜f ) kann auf die Anwendung folgender spezieller Definitionen zur¨ uckgef¨ uhrt werden: 1. Wenn A1 , A2 , . . . An vertauschbare hermitesche Operatoren sind, dann ist der Ausdruck F (A1 , . . . An ) f¨ ur jede Funktion F (x1 , . . . xn ) von n reellen Variablen definiert (vgl. Abschnitt 1.1.6). 2. Wenn F (x1 , . . . xn ) ein Polynom in n Variablen ist, dann ist F (A1 , . . . An ) f¨ ur beliebige Operatoren definiert, wenn die Reihenfolge der Faktoren in den auftretenden Produkten bestimmt ist. Beispiel: H(x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 ) =

1 (p 2 +p22 +p32 ) 2m 1

+ V (x1 , x2 , x3 )

V˜ = V (˜ x1 , x˜2 , x˜3 ) ist definiert, weil x˜1 , x˜2 , x˜3 kommutieren. 1 T˜ = 2m (˜ p12 + p˜22 + p˜32 ) ist definiert, weil p˜1 , p˜2 , p˜3 kommutieren. ˜ = T˜ + V˜ ist definiert, weil F (T, V ) = T + V Polynom der Variablen T, V H ist. Wenn f (˜ q1 , . . . p˜f ) ein Operator ist, der einer Observablen entspricht, dann muß er hermitesch sein. Diese Forderung an den Operator f wird zur Bestimmung der Reihenfolge der Faktoren der auftretenden Produkte herangezogen. Allerdings reicht dies bei mehr als zwei Faktoren zur eindeutigen Bestimmung der Reihenfolge nicht aus. Beispiele: 1. f (x, y) = xy: Wenn A, B hermitesche Operatoren sind, dann ist f (A, B) = 1 (AB +BA) hermitesch. 2 2. f (x, y, z) = xyz: Wenn A, B, C hermitesche Operatoren sind, dann gibt es mehrere Möglichkeiten f¨ ur f (A, B, C), die die Hermitezitätsforderung erf¨ ullen, z.B. 1 (ABC +CBA), 2

1 (BAC +CAB), 2

1 (ABC +CBA+BAC +CAB +ACB +BCA). 6

Wichtige Bemerkung: Wenn (q1 , . . . qf , p1 , . . . pf ) und (Q1 , . . . Qf , P1 , . . . Pf ) zwei Sätze von Koordinaten und kanonischen Impulsen des klassischen Analogons bezeichnen, dann sind im allgemeinen die kanonischen Vertauschungsrelationen {[˜ qj , q˜k ] = 0, [˜ pj , p˜k ] = 0, [˜ qj , p˜k ] = i¯ hδjk } nicht zu den Relationen {[Q˜j , Q˜k ] = 0, ˜ ˜ ˜ ˜ [Pj , Pk ] = 0, [Qj , Pk ] = i¯ hδjk } äquivalent. Um die Vorschriften anwenden zu können, muß man also einen bestimmten Satz von verallgemeinerten Koordinaten auswählen. F¨ ur Systeme mehrerer Teilchen (nichtrelativistisch) wird die Vorschrift dahingehend präzisiert, daß die kanonischen Vertauschungsrelationen f¨ ur die Operatoren, die den kartesischen Teilchenkoordinaten und den kanonisch konjugierten Impulsen entsprechen, gelten sollen.

3.3. ANWENDUNG AUF SPEZIELLE SYSTEME (j)

(j)

87 (j)

Beispiel: System aus zwei Teilchen. Seien x1 , x2 , x3 die kartesischen Koordi(j) (j) (j) naten des Ortes des Teilchens j (j = 1, 2) und p1 , p2 , p3 die kanonisch konjugierten Impulse. Die kanonischen Vertauschungsrelationen f¨ ur die entsprechenden Operatoren sind (j 0 )

[˜ x(j) ˜λ ] = 0, κ ,x

(j 0 )

˜λ ] = 0, [˜ p(j) κ ,p

(j 0 )

[˜ x(j) ˜λ ] = i¯ hδκλ δjj 0 κ ,p

f¨ ur j, j 0 = 1, 2 und κ, λ = 1, 2, 3. Konstruktion des Raumes der Ket–Vektoren: Nach Festlegung der Grundobservablen q1 , . . . qf , p1 , . . . pf , deren zugeordnete Operatoren die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen sollen, wird ein Raum von Ket-Vektoren gesucht, in dem hermitesche Operatoren q˜1 , . . . p˜f definiert sind. (a) System mit einem Freiheitsgrad. Grundobservable sind q und p. Gesucht wird ein Vektorraum E, in dem zwei hermitesche Operatoren q˜, p˜ mit [˜ q , p˜] = i¯ h definiert sind. Zur Konstruktion von E nehmen wir zunächst an, daß es einen solchen Raum gibt, und erhalten einige Folgerungen aus den Vertauschungsrelationen. Da q˜ hermitesch ist, gibt es einen Eigenwert q0 und einen entsprechenden Eigenvektor |q0 i = 6 0 von q˜: q˜ |q0 i = q0 |q0 i (3.81) Man definiert die Operatoren i

S(ξ) = e− h¯ ξp˜

f¨ ur jede reelle Zahl ξ.

(3.82)

Aus der Definition folgen die Relationen S(ξ1 ) S(ξ2 ) = S(ξ1 + ξ2 ) S(0) = 1

(3.83) (3.84)

i

S † (ξ) = S(−ξ) = e h¯ ξp˜ = (S(ξ))−1 .

(3.85)

Ferner: Mit Hilfe der Hausdorff-Identität17 eA Be−A = B + mit

∞ X 1 [A, B]n n! n=1

[A, B]n+1 = [A, [A, B]n ] [A, B]1 = [A, B]

erhält man unter Ausnutzung der Vertauschungsrelation [˜ q , p˜] = i¯ h 2 iξ 1 iξ † S (ξ) q˜ S(ξ) = q˜ + [˜ p, q˜] + [˜ p, [˜ p, q˜]] + . . . = q˜ + ξ. h ¯ 2! h ¯ 17

¨ Beweis: Ubung

(3.86)

(3.87)

(3.88)

88


Hieraus folgt q˜ S(ξ) = S(ξ) (˜ q + ξ)

(3.89)

q˜ S(ξ) |q0 i = S(ξ) (˜ q + ξ) |q0 i = (q0 + ξ) S(ξ) |q0 i.

(3.90)

und somit Also ist S(ξ) |q0 i Eigenvektor von q˜ zum Eigenwert (ξ + q0 ), falls S(ξ) |q0 i = 6 0 ist. Dies ist aber sicher der Fall, da aus der Annahme 0 = S(ξ) |q0 i 0 = S † (ξ) S(ξ) |q0 i = |q0 i

(3.91)

folgen w¨ urde, was im Widerspruch zur Voraussetzung |q0 i = 6 0 steht. Dies trifft f¨ ur jede reelle Zahl ξ zu. Somit sind alle reellen Zahlen Eigenwerte von q˜ (Kontinuierliches Spektrum: Uneigentliche Eigenvektoren). Es muß also im Raum E ein orthonormiertes System {|qi} von Eigenvektoren von q˜ geben mit den Eigenschaften hq|q 0 i = δ(q−q 0 ) q˜ |qi = q|qi |q0 + ξi = λ(ξ) S(ξ) |q0 i,

(3.92) (3.93) (3.94)

wobei λ(ξ) eine von Null verschiedene komplexe Zahl bezeichnet. (Aufgrund der Normierung hq|q 0 i = δ(q−q 0 ) gilt |λ(ξ)| = 1.) Nach diesen Betrachtungen erfolgt die Konstruktion des Raumes E mit den geforderten Eigenschaften durch Vorgabe einer orthonormierten Basis {|qi : −∞ < q < +∞} mit hq|q 0 i = δ(q −q 0 ). Die Vektoren von E sind Linearkombinationen der Basisvektoren. Jeder Vektor |αi aus E ist eindeutig charakterisiert durch den Satz R +∞ von komplexen Zahlen {ψα (q) = hq|αi : −∞ < q < +∞}. Denn es gilt (da |qihq| dq eine Zerlegung der Einheit ist) −∞ Z +∞ Z +∞ |αi = |qihq|αi dq = |qiψα (q) dq. (3.95) −∞

−∞

Der Satz {ψα (q) : −∞ < q < +∞} wird auch die dem Vektor |αi entsprechende Wellenfunktion genannt. Im Raum E werden die Operatoren q˜, p˜ definiert durch q˜ |qi = q|qi S(ξ) |qi = |q+ξi h ¯ 1 p˜ = − lim (S(ξ) − 1). i ξ→0 ξ

(3.96) (3.97) (3.98)

ξ6=0

Das Ergebnis der Anwendung der Operatoren q˜, p˜ kann auch mit Hilfe der Wellenfunktionen ausgedr¨ uckt werden:    ψβ (q) = q ψα (q) wenn |βi = q˜|αi  h ¯ d (3.99) ψα (q) wenn |γi = p˜|αi   ψγ (q) = i dq


89

Denn es gilt Z

ψβ (q) = hq|βi = hq|˜ q |αi = dq 0 hq|˜ q |q 0 ihq 0 |αi Z = dq 0 q 0 δ(q−q 0 )hq 0 |αi = qhq|αi = q ψα (q). Ferner Z hq|S(ξ)|αi =

0

0

dq hq|S(ξ)|q ihq |αi = Z

=

0

Z

dq 0 hq|q 0 +ξihq 0 |αi

dq 0 δ(q−q 0 −ξ)hq 0 |αi

= hq−ξ|αi = ψα (q−ξ) und daher 1 h ¯ ψγ (q) = hq|γi = hq|˜ p|αi = − lim hq| (S(ξ) − 1)|αi i ξ→0 ξ ξ6=0 h ¯ 1 = − lim (hq|S(ξ)|αi − hq|αi) i ξ→0 ξ ξ6=0 h ¯ 1 h ¯ d = − lim (ψα (q−ξ) − ψα (q)) = ψα (q) i ξ→0 ξ i dq ξ6=0

Man kann nachpr¨ ufen, daß die oben definierten Operatoren q˜, p˜ hermitesch sind und die Relation [˜ q , p˜] = i¯ h erf¨ ullen. Damit ist gezeigt, daß der oben konstruierte Raum E alle geforderten Eigenschaften hat18 . (b) Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Grundobservable: {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 }: Teilchenkoordinaten und kanonische Impulse. Gesucht wird ein Raum E von KetVektoren, in dem hermitesche Operatoren {˜ xκ , p˜κ |κ = 1, 2, 3} mit der Eigenschaft [˜ xκ , p˜λ ] = i¯ hδκλ , [˜ xκ , x˜λ ] = 0,

[˜ pκ , p˜λ ] = 0 | κ, λ = 1, 2, 3

(3.100)

definiert sind. Einen solchen Raum E konstruiert man19 durch die Vorgabe einer orthonormierten Basis {|x1 , x2 , x3 i : −∞ < xκ < ∞} mit hx1 , x2 , x3 |x01 , x02 , x03 i = δ(x1 −x01 ) δ(x2 −x02 ) δ(x3 − x03 ). 18

(3.101)

Es stellt sich die Frage, ob der Raum E durch die gestellten Forderungen eindeutig bestimmt ist. Es zeigt sich, daß E bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist, wenn man außerdem verlangt, daß E in Bezug auf p˜ und q˜ irreduzibel ist. Die Definition des irreduziblen Raums wird in dem Kapitel Symmetrien und Invarianzen“ gegeben. ” 19 Der hier konstruierte Raum unterscheidet sich von dem in Kapitel 1 betrachteten Raum H der quadratintegrablen Funktionen nur dadurch, daß er auch nicht normierbare Vektoren enthält.

90


Jeder beliebige Vektor |αi aus E wird durch die Wellenfunktion {ψα (x1 , x2 , x3 ) = hx1 , x2 , x3 |αi : −∞ < xκ < ∞} eindeutig charakterisiert. Die Operatoren x˜κ , p˜κ sind definiert durch: ψβ (x1 , x2 , x3 ) = xκ ψα (x1 , x2 , x3 ), wenn |βi = x˜κ |αi h ¯ ∂ ψγ (x1 , x2 , x3 ) = ψα (x1 , x2 , x3 ) wenn |γi = p˜κ |αi i ∂xκ

(3.102) (3.103)

Die so definierten Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die kanonischen Vertauschungsrelationen (vgl. Zwischenrechnung auf Seite 21). (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j

(c) System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Grundobservable: {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 1, 2, . . . N }: Teilchenkoordinaten und kanonische Impulse. Kanonische Vertauschungsrelationen: j, l = 1, 2, . . . N (l) (j) (l) (j) (j) (l) hδjl δκλ , [˜ xκ , x˜λ ] = 0, [˜ pκ , p˜λ ] = 0 [˜ xκ , p˜λ ] = i¯ κ, λ = 1, 2, 3 (3.104) (j) (j) Es wird ein Raum E gesucht, in dem hermitesche Operatoren x˜κ , p˜κ definiert ¨ sind, die die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen. Ahnlich wie im Fall (b) konstruiert man einen solchen Raum E durch Vorgabe einer orthonormierten Basis   −∞ < x(j)  κ < ∞  (1) (1) (1) (N ) (N ) (N ) |x1 , x2 , x3 , . . . x1 , x2 , x3 i j = 1, 2, . . . N   κ = 1, 2, 3 mit (1)

(1)

(N )

hx1 , . . . x3 |x01 , . . . x03

(N )

(1)

(1)

(N )

i = δ(x1 −x01 ) · · · δ(x3 −x03

(N )

).

(3.105)

Jeder beliebige Vektor |αi aus E wird durch die Wellenfunktion (1)

(N )

(1)

(N )

ψα (x1 , . . . x3 ) = hx1 , . . . x3 |αi

(3.106)

eindeutig charakterisiert. Das innere Produkt von Vektoren |α1 i, |α2 i aus E kann mit Hilfe der Wellenfunktionen ausgedr¨ uckt werden: Z (1) (N ) (1) (N ) (1) (N ) hα1 |α2 i = hα1 |x1 , . . . x3 i hx1 , . . . x3 |α2 i dx1 · · · dx3 (3.107) Z (1) (N ) (1) (N ) (1) (N ) = ψα∗ 1 (x1 , . . . x3 ) ψα2 (x1 , . . . x3 ) dx1 · · · dx3 (3.108) (j)

(j)

Die Operatoren x˜κ , p˜κ sind definiert durch (1)

(N )

(1)

(N )

(j)

ψβ (x1 , . . . , x3 ) = x(j) wenn |βi = x˜κ |αi (3.109) κ ψα (x1 , . . . , x3 ), h ¯ ∂ (1) (N ) (1) (N ) (j) ψγ (x1 , . . . , x3 ) = ψα (x1 , . . . , x3 ), wenn |γi = p˜κ |αi(3.110) (j) i ∂xκ


91

Abk¨ urzungen: (j)

(j)

(j)

(j)

(j)

(j)

~rj = (x1 , x2 , x3 ), p~j = (p1 , p2 , p3 ) (j) (j) (j) (j) (j) (j) ~˜rj = (˜ x1 , x˜2 , x˜3 ), p˜~j = (˜ p1 , p˜2 , p˜3 ) entsprechend: (1)

(1)

(1)

(N )

(N )

(N )

|~r1 , . . . ~rN i = |x1 , x2 , x3 , . . . x1 , x2 , x3 i (1)

(N )

ψα (~r1 , . . . ~rN ) = ψα (x1 , . . . x3 ) 3 X 2 p~j2 = p(j) κ κ=1

Hamiltonoperator: F¨ ur ein System von N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade hat der Hamiltonoperator in den meisten Fällen die Form ˜ = H

N X 1 ˜2 p~j + V (~˜r1 , . . . ~˜rN , t). 2m j j=1

(3.111)

Hierbei sind {mj | j = 1, 2, . . . N } die Massen der Teilchen und V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN , t) die potentielle Energie des klassischen Analogons. F¨ ur ein System geladener Teilchen mit Ladungen {ej | j = 1, 2, . . . N } z.B. ist der Hamiltonoperator ˜ = H

N X 1 ˜ 2 1 X ek ej p~j + , ˜rk −~˜rj | 2m 2 | ~ j j=1 k6=j

(3.112)

wenn man nur die Coulomb-Wechselwirkung der Teilchen ber¨ ucksichtigt. Wenn sich das gleiche System in einem äußeren elektromagnetischen Feld befindet, dann ist der Hamiltonoperator ˜ = H

N N 2 1 X e e X X 1 ˜ ej ~ ˜ k j p~j − A(~rj , t) + + ej φ(~˜rj , t), ˜rk −~˜rj | 2m c 2 j | ~ j=1 j=1 k6=j

(3.113)

~ r, t), φ(~r, t) bewenn das äußere elektromagnetische Feld durch die Potentiale A(~ schrieben wird.

3.3.2 Zusammengesetzte Systeme (Tensorprodukte) Der Raum E von Ket-Vektoren eines Systems, welches aus zwei Teilsystemen besteht, wird konstruiert durch Bildung des Tensorproduktes E1 ⊗ E2 der Räume von Ket-Vektoren E1 , E2 der Teilsysteme. Diese allgemeine Methode zur Konstruktion von Räumen von Ket-Vektoren beruht auf folgender Bemerkung:

92


ˆ1 , B ˆ2 , . . . Wenn {Aˆ1 , Aˆ2 , . . . Aˆn } ein Satz von Operatoren in einem Raum E1 und {B ˆ Bm } ein Satz von Operatoren in einem Raum E2 ist, dann gelten f¨ ur die Operaˆ ˆ toren {Aν = Aν ⊗ I | ν = 1, . . . n}, {Bµ = I ⊗ Bµ | µ = 1, . . . m} die Relationen: ν = 1, . . . n [Aν , Bµ ] = 0 (3.114) µ = 1, . . . m Wenn ferner f (X1 , . . . Xn ) ein Polynom von Operatoren (mit festgelegter Reihenfolge der Faktoren der auftretenden Produkte) ist, dann gilt f (A1 , A2 , . . . An ) = f (Aˆ1 , Aˆ2 , . . . Aˆn ) ⊗ I.

(3.115)

Wenn g(Y1 , . . . Ym ) ein Polynom von Operatoren ist, dann gilt ˆ1 , B ˆ2 , . . . B ˆm ). g(B1 , B2 , . . . Bm ) = I ⊗ g(B

(3.116)

Obige Relationen folgen aus den Eigenschaften des Tensorprodukts von Operatoren: ˆµ ) = (Aˆν ⊗ B ˆµ ) = (I ⊗ B ˆµ )(Aˆν ⊗ I) = Bµ Aν Aν Bµ = (Aˆν ⊗ I)(I ⊗ B Somit [Aν , Bµ ] = 0. Ferner: Da jedes Polynom von Operatoren Summe von Produkten von Operatoren ist, folgt die Relation f (A1 , . . . An ) = f (Aˆ1 , . . . Aˆn ) ⊗ I aus den Relationen (X1 ⊗ I + X2 ⊗ I) = (X1 + X2 ) ⊗ I, (X1 X2 ) ⊗ I = (X1 ⊗ I)(X2 ⊗ I).

(3.117) (3.118)

ˆ1 , . . . B ˆm ) ist analog. Der Beweis der Relation g(B1 , . . . Bm ) = I ⊗ g(B Wir sagen, daß ein System aus zwei Teilsystemen besteht, wenn es einen Satz von Grundobservablen20 des Systems gibt, welcher aus zwei Sätzen {A1 , . . . An } und {B1 , . . . Bm } mit der Eigenschaft {[Aν , Bµ ] = 0 | ν = 1, . . . n; µ = 1, . . . m} besteht. Jeder dieser beiden Sätze wird als Satz von Grundobservablen eines Teilsystems aufgefaßt. Beispiel: System von zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Der Satz von Grundobservablen (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 , p1 , p2 , p3 } 20

Ein Satz von Operatoren (die Observablen entsprechen) wird Satz von Grundobservablen“ ” genannt, wenn jeder Operator, der einer Observablen entspricht, als Funktion der Operatoren des Satzes aufgefaßt werden kann.


93

des Systems kann in die Teilsätze (1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } und {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } aufgeteilt werden. Diese Sätze entsprechen den Teilsystemen Teilchen 1“ und ” Teilchen 2“, aus denen das Gesamtsystem zusammengesetzt ist. ” Das Problem der Konstruktion des Raums von Ket-Vektoren eines aus zwei Teilsystemen bestehenden Systems stellt sich folgendermaßen: Gesucht wird ein Raum E, in dem hermitesche Operatoren {A1 , A2 , . . . An , B1 , . . . Bm } definiert sind, die folgende Relationen erf¨ ullen: ν = 1, . . . n (3.119) [Aν , Bµ ] = 0 µ = 1, . . . m fj (A1 , A2 , . . . An ) = 0 | j = 1, . . . N gj (B1 , B2 , . . . Bn ) = 0 | j = 1, . . . M

(3.120) (3.121)

wobei fj und gj gewisse Polynome der Operatoren sind21 . Wenn E1 , E2 Räume von Ket-Vektoren f¨ ur die Teilsysteme sind, d.h. wenn in ˆ1 , . . . B ˆm }) mit den E1 (bzw. E2 ) hermitesche Operatoren {Aˆ1 , . . . Aˆn } (bzw. {B ˆ ˆ ˆ ˆm ) = 0 | j = Eigenschaften {fj (A1 , . . . An ) = 0 | j = 1, . . . N } (bzw. {gj (B1 , . . . B 1, . . . M }) definiert sind, dann ist der Raum E = E1 ⊗ E2 der gesuchte Raum von Ket-Vektoren f¨ ur das Gesamtsystem. Die Operatoren {Aν = Aˆν ⊗ I | ν = 1, . . . n},

ˆµ ⊗ I | µ = 1, . . . m} in E {Bµ = B

sind hermitesch und erf¨ ullen die geforderten Relationen (3.119) bis (3.121).

3.3.3 Zwei Teilchen ohne innere Freiheitsgrade Die Konstruktion eines Raumes von Ket-Vektoren f¨ ur ein System von mehreren Teilchen ohne innere Freiheitsgrade erfolgte bereits im Abschnitt 30 (c). Es ist aber n¨ utzlich, die Konstruktion des Raumes f¨ ur das Zweiteilchensystem auch mit Hilfe des Tensorproduktes zu vollziehen. Satz von Grundobservablen: (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

{x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 , p1 , p2 , p3 } Die Grundobservablen erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen j, l = 1, 2, . . . N (l) (j) (l) (j) (j) (l) [xκ , pλ ] = i¯ hδjl δκλ , [xκ , xλ ] = 0, [pκ , pλ ] = 0 κ, λ = 1, 2, 3 (3.122) 21

Vertauschungsrelationen von Operatoren können in der Form f (A1 , . . . An ) = 0 geschrieben werden; z.B. ist [q, p] = i¯ ha ¨quivalent zu f (q, p) = 0 mit f (X1 , X2 ) = X1 X2 − X2 X1 − i¯hI.

94


Aufteilung der Grundobservablen: ( ) (1) (1) (1) (1) (1) (1) Teilchen 1“ mit Grundobservablen {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } ” (2) (2) (2) (2) (2) (2) Teilchen 2“ mit Grundobservablen {x1 , x2 , x3 , p1 , p2 , p3 } ” Sei E ein Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein Teilchen ohne innere Freiheitsgrade mit der Basis {|x1 , x2 , x3 i : −∞ < xκ < ∞}, dessen Vektoren |αi durch Wellenfunktionen ψα (x1 , x2 , x3 ) = hx1 , x2 , x3 |αi dargestellt werden. In diesem Raum sind hermitesche Operatoren {ˆ xκ , pˆκ | κ = 1, 2, 3}, die die Relationen [ˆ xκ , pˆλ ] = i¯ hδκλ ,

[ˆ xκ , xˆλ ] = 0,

[ˆ pκ , pˆλ ] = 0 | κ, λ = 1, 2, 3

(3.123)

erf¨ ullen, definiert durch: ψβ (x1 , x2 , x3 ) = xκ ψα (x1 , x2 , x3 ), wenn |βi = xˆκ |αi h ¯ ∂ ψγ (x1 , x2 , x3 ) = ψα (x1 , x2 , x3 ) wenn |γi = pˆκ |αi i ∂xκ

(3.124) (3.125)

E kann als Raum von Ket-Vektoren sowohl f¨ ur das Teilsystem Teilchen 1“ (E1 ) ” als auch f¨ ur das Teilsystem Teilchen 2“ (E2 ) benutzt werden (E1 = E2 = E). ” F¨ ur das aus Teilchen 1 und Teilchen 2 bestehende Gesamtsystem ist der Raum der Ket-Vektoren E1 ⊗E2 , also E ⊗E. Die Grundobservablen sind gegeben durch: (1)

(1)

xκ = xˆκ ⊗ I (2) xκ = I ⊗ xˆκ

pκ = pˆκ ⊗ I (2) pκ = I ⊗ pˆκ

(3.126)

Basis von E ⊗ E: (1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

(1)

(1)

(1)

(2)

(2)

(2)

|x1 , x2 , x3 , x1 , x2 , x3 , i = |x1 , x2 , x3 i⊗|x1 , x2 , x3 , i | −∞ < x(j) κ < ∞ (3.127) (j) (j) (j) oder (mit der Abk¨ urzung ~rj = (x1 , x2 , x3 )): |~r1 , ~r2 i = |~r1 i ⊗ |~r2 i

| ~r1 , ~r2 ∈ IR3

(3.128)

Wellenfunktionen: ψα (~r1 , ~r2 ) = h~r1 , ~r2 |αi

(3.129)

Im Spezialfall |αi = |α1 i ⊗ |α2 i gilt ψα (~r1 , ~r2 ) = h~r1 , ~r2 | (|α1 i ⊗ |α2 i) = (h~r1 | ⊗ h~r2 |) (|α1 i ⊗ |α2 i) = h~r1 |α1 i h~r2 |α2 i = ψα1 (~r1 ) ψα2 (~r2 ). (3.130) (j)

(j)

Anwendung der Operatoren xκ , pκ : vgl. Abschnitt 30 (c).


3.3.4 Teilchen mit Spin

95

1 2

Um die experimentellen Ergebnisse u ¨ber das Verhalten von Atomen in Magnetfeldern (Zeeman-Effekt, Stern-Gerlach-Experiment) zu erklären, wurde (Uhlenbeck und Goudsmit 1925) angenommen, daß Elektronen neben dem Bahndrehimpuls ~r × p~ einen intrinsischen (inneren) Drehimpuls ~s besitzen. Dieser intrinsische Drehimpuls wird Spin genannt. Heute schreibt man sehr vielen Teilchen einen Spin zu. Teilchen ohne Spin werden als Spezialfall, nämlich als Teilchen mit Spin Null angesehen. F¨ ur die Operatoren ~s = (s1 , s2 , s3 ) des Spins von Elektronen wurde neben den Drehimpuls-Vertauschungsrelationen [s1 , s2 ] = is3 die Relation s12

+

s22

+

s32

und zyklisch 1 = 2

(3.131)

1 +1 I 2

(3.132)

(kurz: ~s 2 = 34 ) postuliert. Dies hat aufgrund der allgemeinen Theorie des Drehimpulses (vgl. Seite 39) zur Folge, daß s3 nur die Eigenwerte ± 12 hat. Es wird ferner angenommen, daß die Operatoren ~r, p~ der mit der Bahnbewegung verkn¨ upften Observablen mit den Spin-Operatoren kommutieren: [xκ , sλ ] = 0,

[pκ , sλ ] = 0

(3.133) 1

Der Raum von Ket-Vektoren f¨ ur das Ein-Elektron-System ist E ⊗ E ( 2 ) . Hierbei bezeichnet E den Raum von Ket-Vektoren mit Basis {|~r i : ~r ∈ IR3 }, welcher zur Beschreibung eines Teilchens ohne innere Freiheitsgrade benutzt wird. E (j) bezeichnet einen Raum von Ket-Vektoren mit orthonormierter Basis {|j, mi : m = −j, −j + 1, . . . j}, in welchem hermitesche Operatoren sˆ1 , sˆ2 , sˆ3 definiert sind, so daß die Relationen sˆ3 |j, mi = m |j, mi p (ˆ s1 ± iˆ s2 ) |j, mi = j(j +1) − m(m±1) |j, m±1i 2 2 2 (ˆ s1 + sˆ2 + sˆ3 ) |j, mi = j(j +1) |j, mi

(3.134) (3.135) (3.136)

gelten. Im Raum E sind hermitesche Operatoren xˆk , pˆk | k = 1, 2, 3 definiert (vgl. 1 Seite 94). Somit sind im Raum E ⊗ E ( 2 ) die Operatoren xk , pk , sk definiert durch xk = xˆk ⊗ I,

pk = pˆk ⊗ I,

sk = I ⊗ sˆk

| k = 1, 2, 3.

(3.137)

1

Basis von E ⊗ E ( 2 ) : |~r, mi = |~r i ⊗ | 12 , mi

~r ∈ IR3 m = −1, 1 2 2

(3.138)

96

KAPITEL 3. OBSERVABLE UND OPERATOREN II 1

Somit kann jeder beliebige Vektor |αi aus E ⊗ E ( 2 ) durch die Wellenfunktion ~r ∈ IR3 ψα (~r, m) = h~r, m|αi (3.139) m = −1, 1 2 2 eindeutig charakterisiert werden. Neben der oben angegebenen ist in der Literatur auch die Schreibweise φ+ (~r ) | ~r ∈ IR3 φ− (~r ) mit φ+ (~r ) = ψα (~r, 21 ) und φ− (~r ) = ψα (~r, − 12 ) gebräuchlich. Man definiert schließlich die Funktionen {χ+ (m) : m = − 12 , 12 }, {χ− (m) : m = − 12 , 12 } durch χ+ (m) = δm, 1 , χ− (m) = δm,− 1 . (3.140) 2

2

Mit dieser Definition kann die Wellenfunktion f¨ ur einen beliebigen Zustandsvektor ( 21 ) |αi aus E ⊗ E in der Form ψα (~r, m) = φ+ (~r ) χ+ (m) + φ− (~r ) χ− (m)

(3.141)

geschrieben werden. Insbesondere ist f¨ ur Zustandsvektoren der Form |αi = |vi ⊗ 1 1 | 2 , ± 2 i die Wellenfunktion ψα (~r, m) = φ(~r ) χ± (m) (wobei φ(~r ) = h~r |vi). Man sagt, daß ein Teilchen Spin j hat, wenn die Operatoren s1 , s2 , s3 des Spins des Teilchens die Relation s12 + s22 + s32 = j(j+1)I erf¨ ullen. Die Konstruktion des ( 21 ) Raumes der Ket-Vektoren E ⊗ E und die Definition der Operatoren xk , pk , sk bleibt f¨ ur alle Werte j = 0, 12 , 1, 32 , 2, . . . des Spins ungeändert. Aufgrund der experimentellen Beobachtungen wird den Elektronen, Protonen und Neutronen Spin 21 und den Photonen Spin 1 zugeschrieben. 1

Pauli–Matrizen: Im Raum E ( 2 ) definiert man die Operatoren σ1 , σ2 , σ3 durch σκ = 2ˆ sκ | κ = 1, 2, 3.

(3.142)

Diese Operatoren (Pauli-Spin-Operatoren) erf¨ ullen die Relationen σ12 = σ22 = σ32 = 1 σκ σλ = −σλ σκ | λ 6= κ σ1 σ2 = iσ3 und zyklisch

(3.143) (3.144) (3.145)

Die Matrizen der Operatoren σ1 , σ2 , σ3 in der Basis {| 12 , mi : m = − 12 , 12 } sind 1 0 0 1 0 −i σ1 : , σ2 : , σ3 : (Pauli–Spin–Matrizen) 1 0 i 0 0 −1 (3.146)


97

Die Anordnung der Matrixelemente ist hierbei h+|σκ |+i h+|σκ |−i mit |±i = | 12 , ± 12 i. h−|σκ |+i h−|σκ |−i Magnetisches Moment: Um die Ergebnisse der Experimente zu interpretieren, muß den Elektronen ein intrinsisches magnetisches Dipolmoment zugeschrieben werden, welches proportional zum intrinsischen Drehimpuls ist: e¯ h ~µ = ge ~s (3.147) 2mc (d.h. µκ = ge (e¯ h/2mc)sκ | κ = 1, 2, 3), wobei e = −|e|, und zwar mit ge ≈ 2 (genauer: ge = 2 · 1.00116). Das bedeutet, daß der Hamiltonoperator f¨ ur ein ~ r ) den Term Elektron in einem Magnetfeld B(~ h ~ r )) = −ge e¯ ~ r) − (~µ · B(~ ~s · B(~ (3.148) 2mc zusätzlich enthalten muß. Wenn man annimmt, daß dieser Term der einzige vom Spin herr¨ uhrende Beitrag zur Energie des Elektrons ist22 , dann erhält man f¨ ur ein Elektron im äußeren elektromagnetischen Feld den Hamiltonoperator 2 1 e~ e¯ h ~ r ). H= p~ − A(~ r, t) + eφ(~r, t) − ge ~s · B(~ (3.149) 2m c 2mc ~ erhält man mit A ~ = 1B ~ × ~r F¨ ur ein homogenes Magnetfeld B 2 2 2 e1~ 1 2 e 1 ~ × ~r ) + e (B ~ × ~r )2 p~ − B × ~r = p~ − p~ · (B 2m c2 2m 2mc 2mc2 1 2 e¯ h ~r × p~ ~ ≈ p~ − · B. (3.150) 2m 2mc h ¯ ~ quadratischen Terms erhält man also f¨ Unter Vernachlässigung des in |B| ur den mit der Bahnbewegung des Elektrons verkn¨ upften Beitrag zum magnetischen Moment e¯ h~ ~µBahn = l. (3.151) 2mc Die Herleitung zeigt, daß dieses Ergebnis f¨ ur jedes geladene Teilchen gilt, wenn jeweils e die Ladung und m die Masse des Teilchens bezeichnet. Der Zusammenhang zwischen Spin und magnetischem Moment andererseits ist f¨ ur verschiedene Teilchen im allgemeinen verschieden, wie experimentell festgestellt wurde. F¨ ur Nukleonen (d.h. Protonen und Neutronen) gilt z.B. ep h ¯ g = 5.587 f¨ ur Protonen ~µSpin = g ~s mit (3.152) g = −3.826 f¨ ur Neutronen, 2Mp c wobei ep und Mp Ladung und Masse des Protons bezeichnen. 22

Tats¨ achlich muß noch werden.

h ¯ s 2m2 c2 ~

~ × p~ , der Term der Spin-Bahn-Kopplung“, addiert · ∇φ ”

98


Kapitel 4 Symmetrien und Invarianzen 4.1 Translationen und Drehungen Die Untersuchung von Symmetrie- und Invarianzeigenschaften hat sich im Rahmen sowohl der klassischen Physik als auch der Quantenphysik als sehr fruchtbar erwiesen, denn wichtige Aussagen u ¨ber ein physikalisches System können aufgrund solcher Symmetrie¨ uberlegungen ohne detaillierte Kenntnis der Dynamik gewonnen werden. F¨ ur ein klassisches Teilchensystem z.B. kann ohne volle Kenntnis der Kräfte die Erhaltung des Gesamtimpulses aus der Translationsinvarianz der Lagrangefunktion abgeleitet werden. Entsprechend folgt aus der Invarianz unter Drehungen die Erhaltung des Drehimpulses und aus der Invarianz unter Translationen der Zeit (zeitunabhängige Lagrangefunktion) die Erhaltung der Energie. Den Symmetrietransformationen (z.B. Translationen, Drehungen) werden also Observable zugeordnet (Impuls, Drehimpuls), die Konstanten der Bewegung sind, wenn die Lagrangefunktion unter der entsprechenden Symmetrie invariant ist. In der Quantenmechanik ist die Verkn¨ upfung zwischen Symmetrietransformationen und den zugeordneten Observablen noch enger. Dies wird im folgenden anhand von Beispielen (Translationen, Drehungen) erläutert.

4.1.1 Translationen Bei einer räumlichen Translation wird jeder Vektor ~r in den Vektor ~r+ξ~ u uhrt; ¨berf¨ ~ hierbei ist ξ ein Vektor, der die Translation charakterisiert. Wenn eine durch den Vektor ξ~ charakterisierte Translation eines sich im Zustand |Ai befindenden ¨ Systems erfolgt, dann geht es in einen Zustand |Bi u kann ¨ber. Dieser Ubergang mit Hilfe eines Translationsoperators Tξ~ ausgedr¨ uckt werden: |Bi = Tξ~ |Ai

(4.1)

Der Translationsoperator Tξ~ f¨ ur ein System von N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade ist definiert durch die Relation ~ ~r2 − ξ, ~ . . . ~rN − ξ~ ), ψB (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) = ψA (~r1 − ξ, (4.2) 99

100

KAPITEL 4. SYMMETRIEN UND INVARIANZEN

wenn |Bi = Tξ~ |Ai und wenn ψA (bzw. ψB ) die Wellenfunktion bezeichnet, die den Zustand |Ai (bzw. |Bi) charakterisiert. Diese Definition des Translationsoperators erscheint besonders plausibel: Bei Verschiebung eines Einteilchensystems um ξ~ hat die neue Wellenfunktion ψB an der Stelle ~r den gleichen Wert wie die urspr¨ ungliche Wellenfunktion ψA an der Stelle ~ ~r − ξ.

*] J J ~ ~r J ξ J J

~r − ξ~ Abbildung 4.1: Translation um den Vektor ξ~ Aus der Definition der Translationsoperatoren {Tξ~ | ξ ∈ IR3 } folgen die Relationen Tξ~1 ◦ Tξ~2 = Tξ~1 +ξ~2 Tξ~ = 1 ~

(4.3) (4.4)

ξ=0

Tξ~† ◦ Tξ~ = 1.

(4.5)

Bemerkungen: 1. Die letzte Relation bedeutet: hA1 |A2 i = hB1 |B2 i,

wenn |B1 i = Tξ~ |A1 i und |B2 i = Tξ~ |A2 i.

Dies läßt sich aber aufgrund der Definition von Tξ~ auf die offenbar erf¨ ullte Relation Z ψA∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψA2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN Z ~ . . . ~rN − ξ) ~ ψA (~r1 − ξ, ~ . . . ~rN − ξ) ~ d3~r1 · · · d3~rN = ψA∗ 1 (~r1 − ξ, 2 zur¨ uckf¨ uhren. 2. Aus obigen Relationen (4.3) bis (4.5) folgt, daß Tξ~ unitär ist, und zwar (Tξ~)† = (Tξ~)−1 = T−ξ~. Denn aus (4.3) und (4.4) folgt T−ξ~ ◦ Tξ~ = Tξ~ ◦ T−ξ~ = Tξ− ~ ξ~ = 1.

4.1. TRANSLATIONEN UND DREHUNGEN

101

Also existiert ein inverser Operator zu Tξ~, und zwar (Tξ~)−1 = T−ξ~. Durch Multiplikation von (4.5) mit dem Inversen (Tξ~)−1 erhält man (Tξ~)† ◦ Tξ~ ◦ (Tξ~)−1 = (Tξ~)−1 , also (Tξ~)† = (Tξ~)−1 . Es gilt schließlich ~ ~

i

f¨ ur alle ξ~ ∈ IR3 ,

Tξ~ = e− h¯ P ·ξ

(4.6)

wobei P~ der Operator des Gesamtimpulses f¨ ur das betrachtete System ist. Dies erhält man leicht durch eine Taylorentwicklung wie folgt: (−ξ) + ... 1! n ! ∞ X d (−ξ)n d g(x) = e−ξ( dx ) g(x) n! dx n=1

g(x−ξ) = g(x) + g 0 (x) = g(x) +

(4.7)

F¨ ur Funktionen mehrerer Veränderlicher gilt entsprechend1 ∂ ∂ −(ξ1 ∂x +...+ξf ∂x )

g(x1 −ξ1 , . . . xf − ξf ) = e

1

f

g(x1 , . . . xf ).

(4.8)

Insbesondere: ~∇ ~∇ ~ ~r +...+ξ· ~ ~r ) ~ . . . ~rN − ξ~ ) = e−(ξ· 1 N ψ (~ ψA (~r1 − ξ, rN ) A r1 , . . . ~ 1

(4.9)

Denn wenn f (λ) = g(x1 −λξ1 , . . . xf −λξf ), dann gilt n ∞ X 1 d f (1) = f (0) + f (λ) n! dλ n=1

Aber d f (λ) = dλ und somit

d dλ

n

. λ=0

∂g(z1 , . . . zf ) ∂g(z1 , . . . zf ) −ξ1 − . . . − ξf ∂z1 ∂zf zk =xk −λξk

f (λ)

= λ=0

∂ ∂ −ξ1 − . . . − ξf ∂x1 ∂xf

n g(x1 , . . . xf )

und " g(x1 −ξ1 , . . . xf −ξf ) = f (1)

=

n # ∞ X 1 ∂ ∂ 1+ −ξ1 − . . . − ξf g(x1 , . . . xf ) n! ∂x1 ∂xf n=1

∂ −(ξ1 ∂x +...+ξf

= e

1

∂ ∂xf

)

g(x1 , . . . xf ).

102


Hieraus folgt: i

~

~

i

~~

Tξ~ |Ai = e− h¯ (ξ·~p1 +...+ξ·~pN ) |Ai = e− h¯ (ξ·P ) |Ai i

(4.10)

~ ~

Die wichtige Relation Tξ~ = e− h¯ P ·ξ zwischen Translationsoperatoren und Impulsoperatoren gilt f¨ ur beliebige quantenmechanische Systeme. (Manchmal wird diese Relation zur Definition des Operators P~ benutzt.) Wenn der Hamiltonoperator H eines Systems translationsinvariant ist, d.h. wenn f¨ ur alle ξ~ ∈ IR3

Tξ~ H (Tξ~)−1 = H

(4.11)

gilt, dann gilt auch [P~ · ~n, H] = 0

f¨ ur alle ~n ∈ IR3 .

(4.12)

Jede Komponente des Impulses ist dann eine Konstante der Bewegung. Denn aus ~ ~

i

i

~ ~

e− h¯ P ·ξ H e h¯ P ·ξ = H folgt

i~ ~ i~ ~ ~ 2 ) = H, 1 − P · ξ H 1 + P · ξ + O(|ξ| h ¯ h ¯

d.h.

i H+ − h ¯

~ H] + O(|ξ| ~ 2 ) = H, [P~ · ξ,

~ H] = 0 f¨ also [P~ · ξ, ur alle ξ~ ∈ IR3 .

4.1.2 Drehungen Eine Drehung2 d um die Achse ~n (~n = Einheitsvektor) um den Winkel φ im dreidimensionalen Raum IR3 kann in der Form d = eφ~n× = 1 +

∞ X φν ν=1

ν!

(~n×)ν

(4.13)

als Operator im Raum IR3 geschrieben werden, wobei der Operator (~n×)ν definiert ist durch (~n×)1 (~r ) = ~n × ~r, (~n×)ν+1 (~r ) = (~n×)ν (~n × ~r ).

(4.14)

Zum Beweis der Formel (4.13) f¨ ur d muß gezeigt werden, daß d(~r ) = ~r +

∞ X φν ν=1

ν!

(~n×)ν (~r )

(4.15)

Die Drehungen im dreidimensionalen Raum IR3 können mathematisch als lineare orthogonale Transformationen mit Determinante Eins definiert werden. 2


103

f¨ ur jeden Vektor ~r aus IR3 gilt. Zu diesem Zweck zerlegt man den Vektor ~r in eine zu ~n parallele Komponente ~rk und eine zu ~n orthogonale Komponente ~r⊥ : ~r = ~rk + ~r⊥

(4.16)

~n × ~r = ~n × ~r⊥ , ~n × (~n × ~r ) = ~n × (~n × ~r⊥ ) = −~r⊥

(4.17) (4.18)

Es gilt offenbar

und somit (~n×)2ν (~r ) = (−1)ν ~r⊥ (~n×)2ν+1 (~r ) = (−1)ν (~n × ~r⊥ )

| ν = 1, 2, . . . | ν = 0, 1, 2, . . .

(4.19) (4.20)

Also φ~ n×

e

∞ ∞ X X φ2ν φ2ν+1 ν (~r ) = ~r + (−1) ~r⊥ + (−1)ν (~n × ~r⊥ ) (2ν)! (2ν + 1)! ν=1 ν=0

= ~rk + (cos φ)~r⊥ + sin φ (~n × ~r⊥ ).

(4.21)

Es ist leicht festzustellen (vgl. Abb. 35), daß der Vektor ~r 0 = ~rk + ~r 0⊥ = ~rk + cos φ ~r⊥ + sin φ (~n × ~r ) aus dem Vektor ~r = ~rk + ~r⊥ durch Drehung um die Achse ~n um den Winkel φ hervorgeht.

~r ⊥0 D

~r⊥

φ

~n × ~r⊥ ~r 0

~r ⊥0

d

φ

~rk

~r

~r⊥

Abbildung 4.2: Drehung eines Vektors um den Winkel φ F¨ ur ein System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade definiert man f¨ ur jede Drehung d den Operator D(d) im Raum der Ket-Vektoren durch die Relation ψB (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) = ψA d−1 (~r1 ), d−1 (~r2 ), . . . d−1 (~rN ) , (4.22)

104


wenn |Bi = D(d) |Ai und ψB , ψA die den Ket-Vektoren |Bi, |Ai entsprechenden Wellenfunktionen bezeichnen. Hierbei bezeichnet d−1 die zu d inverse Drehung (d · d−1 = d−1 · d = 1). Aus der Definition der Operatoren D(d) folgen die Relationen D(d1 ) ◦ D(d2 ) D(1) D(d−1 ) D† (d)

= = = =

D(d1 · d2 ) 1E (D(d))−1 (D(d))−1

(4.23) (4.24) (4.25) (4.26)

f¨ ur alle Drehungen d1 , d2 , d. Hierbei bezeichnet d1 ·d2 die Hintereinanderausf¨ uhrung von d1 , d2 : d1 · d2 (~r ) = d1 (d2 (~r )). d1 · d2 ist auch eine Drehung. Ferner bezeichnet 1 die identische Abbildung in IR3 , also eine Drehung um eine beliebige Achse um den Winkel Null. Schließlich bezeichnet 1E den Eins-Operator im Raum der Ket-Vektoren E. (Der Einfachheit halber wird 1E durch 1 abgek¨ urzt.) Beweis: 1. Seien |Bi = D(d2 ) |Ai, |Ci = D(d1 ) |Bi und ψA , ψB , ψC die den Vektoren |Ai, |Bi, |Ci entsprechenden Wellenfunktionen. Nach der Definition gelten ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψB d−1 r1 ), . . . d−1 rN ) 1 (~ 1 (~ und 0 −1 0 ψB (~r 01 , . . . ~r 0N ) = ψA d−1 (~ r ), . . . d (~ r ) . 2 1 2 N Hieraus folgt (mit der Bezeichnung ~r 0k = d−1 rk )) 1 (~ 0 −1 0 ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψB (~r 01 , . . . ~r 0N ) = ψA d−1 (~ r ), . . . d (~ r ) 2 1 N 2 −1 −1 −1 (d (~ r )), . . . d (d (~ r )) , = ψA d−1 1 N 1 2 1 2 d.h. ψC (~r1 , . . . ~rN ) = ψA d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) −1 −1 mit d = d1 · d2 (da d−1 2 · d1 = (d1 · d2 ) ). Somit gilt

|Ci = D(d1 · d2 ) |Ai. Andererseits |Ci = D(d1 ) |Bi = D(d1 ) D(d2 ) |Ai. Da also D(d1 ) D(d2 ) |Ai = D(d1 · d2 ) |Ai f¨ ur beliebiges |Ai gilt, ist (4.23) bewiesen. 2. D(1) = 1 (4.24) ist trivial.


105

3. D(d−1 ) = (D(d))−1 (4.25) ist eine Folge von (4.23) und (4.24). Denn D(d−1 ) D(d) = D(d−1 · d) = D(1) = 1 und D(d) D(d−1 ) = D(d · d−1 ) = D(1) = 1. 4. F¨ ur jedes Paar von Ket-Vektoren |A1 i, |A2 i gilt hA1 |A2 i = hB1 |B2 i, wenn |Bk i = D(d) |Ak i ist. Denn Z hA1 |A2 i = ψA∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψA2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN und hB1 |B2 i Z ψB∗ 1 (~r1 , . . . ~rN ) ψB2 (~r1 , . . . ~rN ) d3~r1 · · · d3~rN = Z = ψA∗ 1 d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) ψA2 d−1 (~r1 ), . . . d−1 (~rN ) d3~r1 · · · d3~rN Z = ψA∗ 1 (~r 01 , . . . ~r 0N ) ψA2 (~r 01 , . . . ~r 0N ) d3~r 01 · · · d3~r 0N = hA1 |A2 i mit der Variablensubstitution ~r 0k = d−1 (~rk ), wobei d3~r1 · · · d3~rN = d3~r 01 · · · d3~r 0N , weil die Jacobi-Determinante bei dieser Substitution gleich Eins ist. Somit: hA1 |A2 i = hA1 | D† (d) D(d) |A2 i | {z } | {z } hB1 |

f¨ ur alle |A1 i, |A2 i.

|B2 i

Also D† (d) D(d) = 1. Multiplikation von rechts mit dem Operator (D(d))−1 ergibt D† (d) D(d) (D(d))−1 = (D(d))−1 , d.h. D† (d) = (D(d))−1 .

2

4.1.3 Infinitesimale Drehungen und Drehimpuls Aus den Relationen D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ),

D(1) = 1,

D† (d) = (D(d))−1 = D(d−1 )

(4.27)

und einer Differenzierbarkeitsforderung f¨ ur D(d) erhält man folgendes Ergebnis:

106


Satz: Es existiert genau ein Tripel J~ = (J1 , J2 , J3 ) von Operatoren im Raum der Ket-Vektoren E mit den Eigenschaften Jk = Jk†

| k = 1, 2, 3

[J1 , J2 ] = iJ3 so daß

und zyklisch, ~

D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ

(4.28) (4.29) (4.30)

f¨ ur jeden Winkel φ aus IR und jeden Einheitsvektor ~n aus IR3 gilt. Beweis: 1. Sei F (a1 , a2 , a3 ) = D(e~a× ) f¨ ur ~a = (a1 , a2 , a3 ). Wir definieren die Operatoren Jk durch ∂F Jk = i | k = 1, 2, 3. ∂ak ~a=0 Aus der Eigenschaft D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) folgt insbesondere D(e(λ+∆λ)~a× ) = D(e∆λ~a× ) D(eλ~a× ) und daraus wiederum D(e(λ+∆λ)~a× ) − D(eλ~a× ) lim ∆λ→0 ∆λ ∆λ~a× D(e )−1 = lim D(eλ~a× ) ∆λ→0 ∆λ d λ~a× D(e ) D(eλ~a× ) = dλ λ=0 d = F (λa1 , λa2 , λa3 ) D(eλ~a× ) dλ

d D(eλ~a× ) = dλ

λ=0

= −i (J1 a1 + J2 a2 + J3 a3 ) D(eλ~a× ) = −i (J~ · ~a) D(eλ~a× ). Also

d D(eλ~a× ) = −i (J~ · ~a) D(eλ~a× ). dλ

(4.31)

2. Unter Ber¨ ucksichtigung der Anfangsbedingung D(eλ~a× )|λ=0 = D(1) = 1 erhält man aus der Differentialgleichung (4.31) ~

D(eλ~a× ) = e−i(J·~a)λ . Aus der Unitaritätsbedingung D(eλ~a× )† = (D(eλ~a× ))−1 = D(e−λ~a× ) folgt ~

~

(e−i(J·~a)λ )† = e+i(J·~a)λ .


107

Die Potenzreihenentwicklung ergibt (1 − i(J~ · ~a)λ + O(λ2 ))† = (1 + i(J~ · ~a)λ + O(λ2 )) und damit auch (J~ · ~a)† = J~ · ~a. Das bedeutet, daß die Operatoren Jk | k = 1, 2, 3 hermitesch sind. 3. Es gilt f¨ ur beliebige Einheitsvektoren ~n1 , ~n2 : 0

eφ2~n2 × eφ1~n1 × e−φ2~n2 × = eφ1~n1 × , wobei ~n01 = eφ2~n2 × (~n1 ). Dies kann man durch anschauliche geometrische Betrachtung leicht einsehen: Die Hintereinanderausf¨ uhrung der Drehungen d · eφ1~n1 × · d−1 ist gleich einer Drehung mit Winkel φ1 um die neue Achse ~n01 , die durch die Drehung d aus ~n1 entsteht. Unter Benutzung der Relation D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) erhält man also 0

D(eφ2~n2 × ) D(eφ1~n1 × ) D(e−φ2~n2 × ) = D(eφ1~n1 × ), d.h. ~

~

~

~

0

e−i(J·~n2 )φ2 e−i(J·~n1 )φ1 e+i(J·~n2 )φ2 = e−i(J·~n1 )φ1 . Daraus folgt ~ n2 )φ2 ~ n2 )φ2 −i(J·~ 2 +i(J·~ 0 2 ~ ~ 1 − i(J · ~n1 )φ1 + O(φ1 ) e = 1 − i(J · ~n1 )φ1 + O(φ1 ) e und somit ~ ~ e−i(J·~n2 )φ2 (J~ · ~n1 )e+i(J·~n2 )φ2 = (J~ · ~n01 ).

Entwicklung nach Potenzen von φ2 ergibt (J~ · ~n1 ) − i[(J~ · ~n2 ), (J~ · ~n1 )]φ2 + O(φ22 ) = (J~ · ~n1 ) + (J~ · (~n2 × ~n1 ))φ2 + O(φ22 ), die zu den Vertauschungsrelationen {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch} äquivalent ist. 2 Damit hat man in Teil 3 des Beweises auch die Relation ~

~

e−i(J·~n)φ (J~ · ~a)e+i(J·~n)φ = (J~ · ~a0 ) mit ~a0 = eφ~n× (~a) gezeigt.

(4.32)

108


F¨ ur ein System aus N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade gilt 3

1X J~ = ~rk × p~k . h ¯ k=1 Denn: (J~ · ~a) |Ai =

d i |Bi dφ φ=0

(4.33)

~

mit |Bi = e−i(J·~a)φ |Ai.

F¨ ur die entsprechenden Wellenfunktionen ψB , ψA gilt ψB (~r1 , . . . ~rN ) = ψA (e−φ~a×~r1 , . . . e−φ~a×~rN ) und somit N X d ~ ~r ψA (~r1 , . . . ~rN ) · (~a × ~rk ) i ψB = −i ∇ k dφ φ=0 k=1 ! N X 1 h ¯~ = ~a · ~rk × ∇~rk ψA (~r1 , . . . ~rN ), h ¯ i k=1 also

! N X d 1 h ¯ ~ ~r i |Bi = ~a · ~rk × ∇ |Ai. k dφ h ¯ i φ=0 k=1

Im oben besprochenen Fall eines Systems aus Teilchen ohne innere Freiheitsgrade ist also f¨ ur jeden Einheitsvektor ~n aus IR3 der Operator (J~ · ~n) mit dem Operator der Komponente des Gesamtdrehimpulses in Richtung ~n identisch. Dieser Zusammenhang ist aber ganz allgemein: F¨ ur jedes System hat der der Drehung eφ~n× ~ φ~ n× entsprechende Operator D(e ) die Form e−i(J·~n)φ , wobei (J~ · ~n) der Operator der Komponente in Richtung ~n des Gesamtdrehimpulses ist. (Diese allgemeine Relation wird manchmal umgekehrt zur Definition des Gesamtdrehimpulses benutzt.) Wenn der Hamiltonoperator H des Systems unter Drehungen invariant ist, d.h. wenn D(eφ~n× ) H D(e−φ~n× ) = H (4.34) gilt, dann ist der Gesamtdrehimpuls eine Konstante der Bewegung: [(J~ · ~n), H] = 0

(4.35)

Bemerkung: F¨ ur Teilchen mit halbzahligem Spin entsteht eine kleine formale ~ Komplikation: Es gilt nämlich e−i(J·~n)2π 6= 1. Diese Schwierigkeit kann aber leicht behoben werden, wie noch gezeigt wird (vgl. Abschnitt 4.2.2).

4.2. DARSTELLUNGEN VON GRUPPEN

109

4.2 Darstellungen von Gruppen, Darstellung der Drehgruppe 4.2.1 Allgemeine Theorie Sei G eine Gruppe3 und E ein Vektorraum4 und L(E) die Menge der linearen Operatoren im Raum E. Eine Abbildung D von G in L(E) heißt eine Darstellung der Gruppe G in L(E) oder kurz eine Darstellung der Gruppe G, wenn sie die Eigenschaften D(1) = 1E D(a · b) = D(a) D(b) f¨ ur jedes a, b ∈ G

(4.36) (4.37)

hat. Hierbei bezeichnet 1E den Einsoperator in E und wird oft mit 1 abgek¨ urzt. Beispiele: 1. Sei G die Gruppe der Translationen und E der Raum der Ket-Vektoren. Die i ~ ~ Abbildung, die der Translation um ξ~ den Operator e− h¯ P ·ξ zuordnet (vgl. Seite 101), ist eine Darstellung von G. 2. Sei G die Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum: Die Zuordnung ~ eφ~n× =⇒ D(eφ~n× ) = e−i(J·~n)φ ist eine Darstellung von G. Eine Darstellung D : G ⇒ L(E) der Gruppe G heißt unitär, wenn der Raum E ein inneres Produkt hat und die Operatoren D(a) f¨ ur jedes a aus G unitär sind: (D(a))−1 = (D(a))†

(4.38)

Ein Unterraum U von E heißt invarianter Unterraum f¨ ur die Darstellung D, wenn D(a) den Unterraum U f¨ ur jedes a aus G in sich abbildet, d.h. wenn D(a) |zi ∈ U 3

f¨ ur jedes |zi ∈ U und jedes a ∈ G.

G ist also eine Menge mit einer Operation (a, b) ⇒ a · b mit den Eigenschaften

1. (a · b) · c = a · (b · c) f¨ ur alle a, b, c aus G. 2. Es gibt ein Element 1 aus G, so daß 1 · a = a · 1 = a f¨ ur alle a aus G gilt. 3. F¨ ur jedes a aus G gibt es ein Element a−1 aus G mit a · a−1 = a−1 · a = 1. 4

Es handelt sich hier um Vektorr¨ aume u ¨ber den Körper der komplexen Zahlen.

(4.39)

110


Der Raum E selbst und der aus dem Nullvektor allein bestehende Unterraum {0} sind offenbar invariante Unterräume. Eine Darstellung D : G ⇒ L(E) heißt irreduzibel, wenn es außer E und {0} keinen invarianten Unterraum gibt; andernfalls nennt man D reduzibel. Allgemeiner: Ein Unterraum U heißt invariant bez¨ uglich einer Menge X von Operatoren in E, wenn jeder Operator aus X U in sich abbildet. Der Raum E heißt irreduzibel bez¨ uglich der Menge von Operatoren X, wenn es außer E und {0} keinen bez¨ uglich X invarianten Unterraum gibt. Wenn U ein invarianter Unterraum f¨ ur die Darstellung D : G ⇒ L(E) ist, dann erhält man durch Beschränkung des Operators D(a) auf U eine Darstellung der Gruppe G in L(U ). Diese Darstellung wird kurz Beschränkung der Darstellung D auf U bezeichnet. Zwei Darstellungen D1 : G ⇒ L(E1 ) und D2 : G ⇒ L(E2 ) einer Gruppe G werden äquivalent genannt, wenn es eine eineindeutige lineare Abbildung f von E1 auf E2 gibt, so daß f D1 (a) f −1 = D2 (a) f¨ ur jedes a ∈ G (4.40) gilt. Andernfalls werden sie inäquivalent genannt. Eine wichtige Aufgabe der Dar¨ stellungstheorie ist, eine Ubersicht der Gesamtheit der irreduziblen Darstellungen einer Gruppe G zu liefern: Es soll eine Menge M von paarweise inäquivalenten irreduziblen Darstellungen von G konstruiert werden, so daß jede beliebige irreduzible Darstellung zu einer Darstellung aus der Menge M äquivalent ist.

4.2.2 Darstellungen der Drehgruppe Mit O3+ bezeichnen wir im folgenden die Gruppe der Drehungen im dreidimensionalen Raum. Die Elemente von O3+ können als Operatoren eφ~n× dargestellt werden (vgl. Seite 102). Um die mit den halbzahligen Eigenwerten von Jk zusammenhängenden Schwierigkeiten zu beheben, f¨ uhrt man den Begriff der lokalen ” Darstellung“ der Gruppe O3+ ein. Eine Abbildung D : O3+ ⇒ L(E) wird lokale Darstellung der Drehgruppe genannt, wenn sie folgende Eigenschaften hat: D(1) = 1E

(4.41)

D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 )

f¨ ur

φk ~ nk ×

dk = e mit |φk ~nk |
0 gibt, so daß D(d1 ) D(d2 ) = D(d1 d2 ) gilt, falls dk = eφk ~nk × und |φk ~nk | < δ f¨ ur k = 1, 2. Diese Fassung entspricht der Definition der lokalen Darstellung einer allgemeinen kontinuierlichen Gruppe G. Da wir uns hier ohnehin nur mit der O3+ befassen, bringt diese allgemeinere Fassung keinen Vorteil. 6 ¨ Beim Ubergang von Darstellungen zu lokalen Darstellungen wird der Ausdruck f¨ ur alle d ” aus O3+“ bei allen Definitionen durch f¨ ur alle eφ~n× mit |φ~n| < π2 “ ersetzt. ”

112


Bemerkung: An dieser Stelle spielt der Unterschied zwischen Darstellung und lokaler Darstellung eine wesentliche Rolle: Sei E ein zweidimensionaler Raum mit der orthonormierten Basis {| 12 , mi : m = + 12 , − 12 } und seien {J1 , J2 , J3 } die durch die Relationen J3 | 12 , mi = m | 12 , mi p (J1 ± iJ2 ) | 12 , mi = j(j +1) − m(m±1) | 12 , m ± 1i

(4.47) (4.48)

definierten linearen Operatoren. Diese Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die Vertauschungsrelationen {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch}. Es gilt e−i2πJ3 = −1,

(4.49)

denn e−i2πJ3 | 12 , mi = e−i2πm | 12 , mi = −| 12 , mi

| m = ± 21 .

Es gibt also keine Darstellung D von O3+ mit der Eigenschaft φ~ n×

D(e

f¨ ur jeden Einheitsvektor ~n und jedes |φ| < δ,

~ n)φ −i(J·~

)=e

(4.50)

wobei δ irgendeine positive Zahl ist. Denn gäbe es eine solche Darstellung, dann m¨ ußte gelten 2π~ n×

1 = D(1) = D(e

) = D (e

F¨ ur gen¨ ugend großes k ist aber

2π k

2π ~ n× k

k

)

= D (e

2π ~ n× k

k )

| k = 1, 2, . . .

< δ und folglich ~

2π

2π

D(e k ~n× ) = e−i(J·~n) k . Also m¨ ußte ~

2π

~

1 = (e−i(J·~n) k )k = e−i(J·~n)2π f¨ ur alle Einheitsvektoren ~n gelten und insbesondere 1 = e−iJ3 2π . Dies wiederspricht aber der Relation e−iJ3 2π = −1. Es gibt aber eine lokale Darstellung D von O3+ mit der Eigenschaft (4.50). Mit Hilfe des Begriffs der lokalen Darstellung u ¨berwindet man also die formalen Schwierigkeiten, die von den halbzahligen J3 -Eigenwerten herr¨ uhren. Die Re−iJ3 2π lation e = −1 bei halbzahligen J3 -Eigenwerten wirft aber dar¨ uberhinaus ~ die Frage nach dem Zusammenhang zwischen den Operatoren e−i(J·~n)φ und den Drehungen eines physikalischen Systems auf.


113

4.2.3 Drehungen eines physikalischen Systems und Drehoperatoren Bei einer Drehung d1 eines physikalischen Systems geht jeder Zustand des Systems ¨ in einen neuen u kann durch eine Abbildung T1 : E ⇒ E des ¨ber. Dieser Ubergang Raums der Ket-Vektoren in sich dargestellt werden. Da aber die Ket-Vektoren |xi und λ|xi f¨ ur jede komplexe Zahl λ 6= 0 den gleichen Zustand darstellen, gibt es viele Möglichkeiten die Abbildung T1 zu wählen. F¨ ur Drehungen kann gezeigt 7 werden , daß diese Freiheit der Wahl so ausgenutzt werden kann, daß T1 ein unitärer linearer Operator ist. Aber auch bei der zusätzlichen Forderung, daß T1 ein unitärer linearer Operator sein soll, bleibt noch Freiheit bei der Wahl von T1 : F¨ ur jede komplexe Zahl c mit |c| = 1 ist T10 = cT1 auch ein unitärer linearer Operator, der jedem Vektor |xi = 6 0 einen Zustandsvektor zuordnet, welcher dem Zustand entspricht, der durch die Drehung d1 aus dem von |xi charakterisierten Zustand hervorgeht. Dieser Sachverhalt hat folgende Konsequenz: Wenn T = D(d) den der Drehung d zugeordneten unitären linearen Operator bezeichnet, dann gilt f¨ ur jedes Paar d1 , d2 von Drehungen D(d1 ) D(d2 ) = w(d1 , d2 ) D(d1 d2 ),

(4.51)

wobei w(d1 , d2 ) eine von d1 , d2 abhängende komplexe Zahl mit |w(d1 , d2 )| = 1 bezeichnet. Wenn man eine andere Wahl f¨ ur die unitären Operatoren trifft: T 0 = D0 (d) = c(d) D(d),

(4.52)

wobei c(d) eine von d abhängende komplexe Zahl mit |c(d)| = 1 bezeichnet, dann gilt c(d1 ) c(d2 ) 0 0 D (d1 ) D (d2 ) = w(d1 , d2 ) D0 (d1 d2 ). (4.53) c(d1 d2 ) Man könnte also hoffen, daß bei geschickter Wahl von c(d) c(d1 ) c(d2 ) w(d1 , d2 ) = 1 und damit D0 (d1 ) D0 (d2 ) = D0 (d1 d2 ) c(d1 d2 ) f¨ ur alle Paare (d1 , d2 ) gilt. Diese Hoffnung ist jedoch falsch; man kann nur erreichen, daß D0 (d1 ) D0 (d2 ) = D0 (d1 d2 ) f¨ ur alle d1 , d2 mit gen¨ ugend kleinem Drehwinkel (Drehungen in einer Umgebung der Eins) gilt. Nach Klarstellung dieses Punktes ist es nicht mehr verwunderlich, wenn 1 = D(1) 6= D(eπ~n× ) D(eπ~n× ) bei halbzahligen Drehimpulseigenwerten gilt. 7

vgl. z.B. Gottfried: Quantum Mechanics I

(4.54)

114


4.2.4 Irreduzible lokale Darstellungen der Drehgruppe Unter Benutzung der Sätze u ¨ber Eigenvektoren und Eigenwerte der Drehimpulsoperatoren (vgl. Abschnitt 2.2.2) erhält man folgenden Satz von irreduziblen lokalen Darstellungen der Drehgruppe: D(j) | j = 0, 12 , 1, 32 , 2, . . . Diese sind definiert wie folgt: E (j) ist ein komplexer Vektorraum mit einer orthonormierten Basis {|j, mi : m = −j, −j + 1, . . . j}. In E (j) sind die linearen Operatoren J1 , J2 , J3 definiert durch die Relationen J3 |j, mi = m |j, mi p (J1 ± iJ2 ) |j, mi = j(j +1) − m(m±1) |j, m ± 1i.

(4.55) (4.56)

Die so definierten Operatoren sind hermitesch und erf¨ ullen die Relation {[J1 , J2 ] = iJ3 und zyklisch}. Es gilt ferner (J12 + J22 + J32 ) |j, mi = j(j +1) |j, mi

| m = −j, −j +1, . . . j.

Die lokale Darstellung D(j) : O3+ ⇒ L(E (j) ) ist definiert durch ~ n)φ (j) φ~ n× −i(J·~ D (e ) = e |~n| = 1 und |φ| < π.

(4.57)

(4.58)

(F¨ ur ganzzahliges j kann die Beschränkung |φ| < π aufgehoben werden: {D(j) (eφ~n× ) ~ = e−i(J·~n)φ | − π ≤ φ ≤ π, |~n| = 1} ist sogar eine Darstellung von O3+ .) Jede differenzierbare irreduzible lokale Darstellung ist einer der Darstellungen der 1 Menge {D(0) , D( 2 ) , D(1) , . . .} äquivalent.

4.2.5 Tensorprodukt von Darstellungen (Drehimpulskopplung) Seien D1 : O3+ ⇒ L(E1 ), D2 : O3+ ⇒ L(E2 ) zwei (lokale) Darstellungen der Drehgruppe. Dann ist die Abbildung D : O3+ ⇒ L(E1 ⊗ E2 ), die definiert wird durch D(d) = D1 (d) ⊗ D2 (d) f¨ ur alle d aus O3+ , (4.59) auch eine (lokale) Darstellung von O3+ . Aus D1 (a·b) = D1 (a) D2 (b) und D2 (a·b) = D2 (a) D2 (b) folgt nämlich D1 (a · b) ⊗ D2 (a · b) = (D1 (a) D1 (b)) ⊗ (D2 (a) D2 (b)) = (D1 (a) ⊗ D2 (a)) (D1 (b) ⊗ D2 (b)) , d.h. D(a · b) = D(a) D(b). Andererseits ist D(1) = D1 (1) ⊗ D2 (1) = 1 ⊗ 1 = 1.


115

Die (lokale) Darstellung D wird Kroneckerprodukt oder Tensorprodukt der (lokalen) Darstellungen D1 , D2 genannt und gelegentlich mit D1 ⊗ D2 bezeichnet. In der Quantenmechanik tritt das Kroneckerprodukt von Darstellungen bei der Betrachtung eines aus Teilsystemen zusammengesetzten Systems auf. Wenn E1 (bzw. E2 ) der Raum der Ket-Vektoren f¨ ur das Teilsystem S1 (bzw. S2 ) ist, dann sind alle Ket-Vektoren, die Zuständen des aus S1 und S2 zusammengesetzten Systems entsprechen, Vektoren aus E1 ⊗ E2 . Wenn durch die (lokale) Darstellung D1 (bzw. D2 ) die Drehungen des Teilsystems S1 (bzw. S2 ) beschrieben werden, dann beschreibt D1 ⊗ D2 die Drehungen des Gesamtsystems. Wenn J~(1) (bzw. J~(2) ) die Drehimpulsoperatoren f¨ ur das Teilsystem S1 (bzw. S2 ) bezeichnet, dann gilt f¨ ur jedes |~n| = 1 und |φ| < π folgende Relation8 : ~(1) ·~ n)φ

D(eφ~n× ) = D1 (eφ~n× ) ⊗ D2 (eφ~n× ) = e−i(J

~(2) ·~ n)φ

⊗ e−i(J

~

= e−i(J·~n)φ ,

(4.60)

wobei (J~ · ~n) = (J~(1) · ~n) ⊗ 1 + 1 ⊗ (J~(2) · ~n),

(4.61)

d.h. die Projektion des Drehimpulses des Gesamtsystems in Richtung ~n ist gleich der Summe der entsprechenden Projektionen der Drehimpulse beider Teilsysteme. Bei den Anwendungen besonders wichtig ist der Fall des Kroneckerprodukts D(j1 ) ⊗ D(j2 ) der irreduziblen Darstellungen D(j1 ) , D(j2 ) . Die Darstellung D(j1 ) ⊗ D(j2 ) ist im allgemeinen nicht irreduzibel. Aber der Raum E (j1 ) ⊗E (j2 ) kann in invariante paarweise zueinander orthogonale Unterräume zerlegt werden, so daß die Beschränkung der (lokalen) Darstellung auf jeden dieser Unterräume irreduzibel ist. Im folgenden werden die Ergebnisse ohne Beweis angegeben. Es gibt eine orthonormierte Basis von E (j1 ) ⊗ E (j2 ) M = −J, −J +1, . . . J |JM i J = |j1 −j2 |, |j1 −j2 |+1, . . . j1 +j2 mit folgenden Eigenschaften: 8

Es gilt n¨ amlich allgemein eA ⊗ eB = eA⊗1+1⊗B . Dies zeigt man wie folgt: eA ⊗ eB = (eA ⊗ 1)(1 ⊗ eB ) = eA⊗1 e1⊗B .

Aber die Operatoren (A ⊗ 1) und (1 ⊗ B) kommutieren miteinander, und somit gilt eA⊗1 e1⊗B = eA⊗1+1⊗B .

(4.62)

116


F¨ ur jedes J ist der von den Basisvektoren {|JM i : M = −J, . . . J} aufgespannte Unterraum [E (j1 ) ⊗ E (j2 ) ]J ein invarianter Unterraum f¨ ur D(j1 ) ⊗ D(j2 ) . Die Beschränkung von D(j1 ) ⊗D(j2 ) auf [E (j1 ) ⊗E (j2 ) ]J ist äquivalent mit der irreduziblen lokalen Darstellung D(J) . Es gilt nämlich J3 |JM i = M |JM i p (J1 ± iJ2 ) |JM i = J(J +1) − M (M ±1) |J, M ±1i,

(4.63) (4.64)

wobei {Jk | k = 1, 2, 3} die Operatoren f¨ ur die drei Komponenten des Gesamtdrehimpulses bezeichnen: (1)

(2)

Jk = Jk ⊗ 1 + 1 ⊗ J k

| k = 1, 2, 3

(4.65)

Die Entwicklungskoeffizienten der Basisvektoren |JM i in der Basis |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i

| m1/2 = −j1/2 , . . . j1/2

werden Clebsch-Gordan-Koeffizienten genannt. X |JM i = C(j1 m1 ; j2 m2 |JM ) |j1 m1 i ⊗ |j2 m2 i

(4.66)

m1 ,m2

Die Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind reell und erf¨ ullen die Bedingung C(j1 j1 ; j2 , J −j1 |JJ) > 0 (1)

| J = |j1 −j2 |, . . . j1 +j2 .

(4.67)

(2)

Aus der Relation J3 = (J3 ⊗ 1) + (1 ⊗ J3 ) erhält man C(j1 m1 ; j2 m2 |JM ) = 0,

wenn m1 + m2 6= M .

(4.68)

4.2.6 Tensoroperatoren und Wigner–Eckart–Theorem Definition: Sei D : O3+ ⇒ L(E) eine (lokale) Darstellung der O3+ . Eine Abbildung9 T : E (q) ⇒ L(E) wird irreduzibler Tensoroperator der Stufe q genannt, wenn sie linear ist und folgende Eigenschaft hat: D(d) T (x) (D(d))−1 = T (D(q) (d) x) f¨ ur jedes x aus E (q) und jede Drehung d aus O3+ mit Drehwinkel φ (|φ| < π). (4.69) Erläuterung: F¨ ur jedes x aus E (q) ist T (x) ein Operator in E. D(q) ist die auf Seite 114 definierte Darstellung O3+ ⇒ L(E (q) ). Also ist D(q) (d) x ein Vektor aus 9

Zur Definition von E (q) vgl. Seite 114.


117

E (q) . Die Vektoren aus E (q) werden nicht als Ket-Vektoren bezeichnet; entsprechend wird die Bezeichnung {eqk | k = −q, . . . q} f¨ ur die auf Seite 114 angegebene (q) orthonormierte Basis von E benutzt. Schließlich wird, um Verwechslungen zu ~ ~ vermeiden, e−i(j·~n)φ f¨ ur D(q) (eφ~n× ) geschrieben, während die Bezeichnung e−i(J·~n)φ f¨ ur D(eφ~n× ) vorbehalten bleibt. Der Tensoroperator T ist durch Angabe der 2q+1 Operatoren {T (eqk ) | k = −q, . . . q} vollständig bestimmt. In der Literatur ist es u ¨blich, diesen Satz von 2q+1 Operatoren einen Tensoroperator zu nennen. Aus der Definition folgt, daß eine lineare Abbildung T : E (q) ⇒ L(E) genau dann ein Tensoroperator ist, wenn die folgende Aussage gilt: f¨ ur jedes x aus E (q) ~ ~ [(J · ~n), T (x)] = T ((j · ~n)x) (4.70) und jedes ~n aus IR3 mit |~n| = 1. Beweis: 1. Aus

~

~

~

e−i(J·~n))φ T (x) ei(J·~n)φ = T (e−i(j·~n)φ x) folgt T (x) − iφ[(J~ · ~n), T (x)] + O(φ2 ) = T x − iφ(~j · ~n)x + O(φ2 ) = T (x) − iφT ((~j · ~n)x) + O(φ2 ) und damit [(J~ · ~n), T (x)] = T ((~j · ~n)x). 2. Aus der Hausdorff-Identität A

−A

e Be

∞ X 1 =B+ [A, B]ν ν! ν=1

(mit [A, B]ν+1 = [A, [A, B]ν ] f¨ ur ν = 1, 2, . . . und [A, B]1 = [A, B]) folgt ~ n)φ −i(J·~

e

~ n)φ i(J·~

T (x) e

= T (x) +

∞ X (−iφ)ν ν=1

ν!

[(J~ · ~n), T (x)]ν .

Wenn also [(J~ · ~n), T (z)] = T ((~j · ~n)z)

f¨ ur alle a aus E (q)

gilt, dann gilt [(J~ · ~n), T (x)]ν = T ((~j · ~n)ν z) und damit ~ n)φ −i(J·~

e

~ n)φ i(J·~

T (x) e

∞ X (−iφ)ν ~ ~ ν = T (j · ~n) x = T (e−i(j·~n)φ x). ν! ν=0

2

118


F¨ ur jede lineare Abbildung T : E (q) ⇒ L(E) ist die Bedingung (4.70) a¨quivalent zu: [J3 , T (eqk )] = k T (eqk ) p | k = −q, . . . q (4.71) [(J1 ±iJ2 ), T (eqk )] = q(q+1) − k(k±1) T (eqk±1 ) F¨ ur irreduzible Tensoroperatoren gilt das Wigner–Eckart–Theorem, welches wir hier ohne Beweis angeben: hα0 J 0 M 0 |T (eqk )|αJM i = c(α0 , α, J 0 , J, q) C(qk; JM |J 0 M 0 )

(4.72)

Hierbei bezeichnen |αJM i (bzw. hα0 J 0 M 0 |) Ket- (bzw. Bra-) Vektoren mit J3 |αJM i = M |αJM i p (J1 ± iJ2 ) |αJM i = J(J +1) − M (M ±1) |αJ, M ±1i, (bzw. entsprechend f¨ ur hα0 J 0 M 0 |). Weiterhin ist C(qk; JM |J 0 M 0 ) ein ClebschGordan-Koeffizient, und schließlich ist c(α0 , α, J 0 , J, q) eine von M 0 , M, k unabhängige komplexe Zahl.

Kapitel 5 Anwendungen 5.1 Systeme gleicher Teilchen. Fermionen und Bosonen 5.1.1 Der Raum der Ket–Vektoren Die Ket-Vektoren eines Systems aus N Teilchen sind Elemente des Raumes E1 ⊗ E2 ⊗· · · EN , wenn Ek den Raum der Ket-Vektoren f¨ ur das nur aus dem Teilchen k bestehende System bezeichnet. Dies erhält man durch direkte Verallgemeinerung des Spezialfalls eines Zweiteilchensystems (vgl. die Abschnitte 3.3.2 und 3.3.3). Wenn {|λi(k) : λ = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis1 von Ek f¨ ur k = 1, . . . N ist, dann ist |λ1 i(1) ⊗ |λ2 i(2) ⊗ · · · |λN i(N ) | λ1 , . . . λN = 1, 2, . . . (5.1) eine orthonormierte Basis von E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN . Beispiel:

|~r, mi(k) | ~r ∈ IR3 , m = −jk , −jk +1, . . . jk

(5.2)

ist orthonormierte Basis von Ek , wenn das Teilchen k ein Teilchen mit Spin jk ist: (k) h~r, m|~r 0 , m0 i(k) = δ(~r −~r 0 ) δmm0 . Dann ist   ~rk ∈ IR3   |~r1 , m1 i(1) ⊗ |~r2 , m2 i(2) ⊗ · · · |~rN , mN i(N ) mk = −jk , . . . jk (5.3)  k = 1, 2, . . . N  eine orthonormierte Basis von E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN . Jeder Vektor |Ai aus E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN wird eindeutig charakterisiert durch die Wellenfunktion ψA (~r1 , m1 ; ~r2 , m2 ; . . . ~rN , mN ) = (1) h~r1 m1 | ⊗ (2) h~r2 m2 | ⊗ · · · (N ) h~rN mN | |Ai. (5.4) 1

Der Index k am Ket |λi(k) (bzw. Bra (k) hλ|) soll darauf hinweisen, daß es sich um einen Vektor des Raumes Ek (bzw. des dualen Raumes Ek∗ ) handelt.

119

120

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN

Wenn E1 = E2 . . . = EN = E gilt2 , dann ist E1 ⊗ E2 ⊗ · · · EN = E ⊗ E ⊗ · · · E und dann ist {|λ1 i ⊗ |λ2 i ⊗ · · · |λN i : λ1 . . . λN = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E ⊗ E ⊗ · · · E, wenn {|λi : λ = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis von E ist. Es werden im folgenden nur solche Systeme betrachtet, f¨ ur die E1 = E2 = . . . = EN = E ist. Bezeichnungen und Definitionen: E ⊗N = E ⊗ · · · E} | ⊗ E{z

(5.5)

N Faktoren

(E = Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein Einteilchensystem.) Basis von E: ~r ∈ IR3 |~r, mi m = −j, . . . j

(5.6)

bzw. {|~r i : ~r ∈ IR3 } f¨ ur ein Teilchen ohne innere Freiheitsgrade. Die Vektoren |αi von E sind durch Wellenfunktionen φα (~r, m) = h~r, m|αi

bzw. φα (~r ) = h~r |αi

(5.7)

eindeutig charakterisiert. Die Vektoren |Ai von E ⊗N werden durch Wellenfunktionen ψA (~r1 m1 , . . . ~rN mN ) = (h~r1 m1 | ⊗ · · · h~rN mN |) |Ai bzw. ψA (~r1 , . . . ~rN ) = (h~r1 | ⊗ · · · h~rN |) |Ai

(5.8) (5.9)

eindeutig bestimmt. Die Argumente der Wellenfunktionen werden im folgenden vielfach durch η abgek¨ urzt: η⇐⇒(~r, m) |ηi⇐⇒|~r, mi φα (η)⇐⇒φα (~r, m) ψA (η1 , . . .RηN )⇐⇒ψ PA (~rR1 m1 , . . . ~rN mN ) dη⇐⇒ m d3~r

bzw. η⇐⇒~r bzw. |ηi⇐⇒|~r i bzw. φα (η)⇐⇒φα (~r ) bzw. ψA (η1 , . . .RηN )⇐⇒ψ R A (~r1 , . . . ~rN ) bzw. dη⇐⇒ d3~r

5.1.2 Permutationen in E ⊗N Eine Permutation P der Menge {1, 2, . . . N } ist eine eineindeutige Abbildung der Menge auf sich. Die Permutation P ordnet jeder Zahl k aus {1, 2, . . . N } die Zahl P (k) zu. Eine Permutation kann durch ein Diagramm 1 2 ... N P : (5.10) P (1) P (2) . . . P (N ) 2

Die R¨ aume E1 , . . . EN k¨ onnen u ¨bereinstimmen, obwohl die Teilchen 1, . . . N nicht gleicher Sorte sind. Beispiel: Drei-Teilchen-System aus einem Elektron, einem Proton und einem Neutron. Da alle drei Teilchen Spin 12 haben, kann f¨ ur jedes von ihnen der gleiche Raum von Ket-Vektoren mit Basis {|~r, mi | ~r ∈ IR3 , m = − 21 , 12 } benutzt werden.

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 121 als Permutation der Reihenfolge von 1, . . . N“ anschaulich dargestellt werden. ” Die Menge der Permutationen der Menge {1, 2, . . . N } wird mit SN bezeichnet. F¨ ur jede Permutation P aus SN definiert man die lineare Abbildung Pb in E ⊗N durch Pb(|α1 i ⊗ · · · |αN i) = |αP −1 (1) i ⊗ · · · |αP −1 (N ) i. (5.11) Aus dieser Definition folgt ψB (η1 , . . . ηN ) = ψA (ηP (1) , . . . ηP (N ) ),

wenn |Bi = Pb|Ai,

(5.12)

denn: ψB (η1 , . . . ηN ) = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) |Bi = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) Pb|Ai Z 0 0 0 0 0 0 b = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) P (|η1 i ⊗ · · · |ηN i) (hη1 | ⊗ · · · hηN |) dη1 · · · dηN |Ai | {z } Zerlegung der Einheit Z 0 0 = (hη1 | ⊗ · · · hηN |) |ηP0 −1 (1) i ⊗ · · · |ηP0 −1 (N ) i ψA (η10 , . . . ηN ) dη10 · · · dηN Z 0 0 = hη1 |ηP0 −1 (1) i · · · hηN |ηP0 −1 (N ) i ψA (η10 , . . . ηN ) dη10 · · · dηN Z 0 0 ) dη10 · · · dηN = δ(η1 −ηP0 −1 (1) ) · · · δ(ηN −ηP0 −1 (N ) ) ψA (η10 , . . . ηN = ψA (ηP (1) , . . . ηP (N ) ). (Denn {ηk = ηP0 −1 (k) } bedeutet {ηj0 = ηP (j) }.) Aus der Definition von Pb folgen die Relationen3 : d b P Q = PbQ Ib = 1 −1 (Pb)† = (Pb)−1 = Pd

(5.13) (5.14) (5.15)

Hierbei bezeichnet I die identische Permutation; P, Q sind beliebige Permutationen. Beweis: 1. b (|α1 i ⊗ · · · |αN i) = Pb (|β1 i ⊗ · · · |βN i) PbQ = |βP −1 (1) i ⊗ · · · |βP −1 (N ) i, 3

ist.

Diese Relationen besagen, daß P ⇒ Pb eine unitäre Darstellung der Permutationsgruppe

122

KAPITEL 5. ANWENDUNGEN wobei b (|α1 i ⊗ · · · |αN i) , d.h. |βk i = |αQ−1 (k) i |β1 i ⊗ · · · |βN i = Q und somit |βP −1 (j) i = |αQ−1 (P −1 (j)) i = |α(P Q)−1 (j) i. b=P d Also PbQ Q.

2. Ib = 1 ist trivial, da I(j) = j f¨ ur j = 1, . . . N . 3. −1 = Pd −1 P −1 P = I b = Pd b = 1, PbPd P −1 = Ib = 1 und Pd −1 . Ferner gilt f¨ also (Pb)−1 = Pd ur jedes Paar von Vektoren |A1 i, |A2 i aus ⊗N E : Z hA1 |A2 i = ψA∗ 1 (η1 , . . . ηN ) ψA2 (η1 , . . . ηN ) dη1 · · · dηN Z = ψA∗ 1 (ηP (1) , . . . ηP (N ) ) ψA2 (ηP (1) , . . . ηP (N ) ) dη1 · · · dηN

= hB1 |B2 i, wobei |Bk i = Pb |Ak i f¨ ur k = 1, 2. Also gilt hA1 |A2 i = hA1 | Pb† Pb |A2 i, | {z } | {z } hB1 |

|B2 i

und aus Pb† Pb = 1 folgt durch Multiplikation mit (Pb)−1 von rechts: Pb† = (Pb)−1 . 2

5.1.3 Teilchen gleicher Sorte Zur Definition der Gleichartigkeit von Teilchen benutzt man folgende Bedingung: Bei jeder Vertauschung von Teilchen gleicher Sorte bleiben alle beobachtbaren Größen ungeändert. Aus dieser Bedingung folgt, daß Teilchen gleicher Sorte den gleichen Spin, die gleiche Masse und gleiche Wechselwirkungen haben. Da alle beobachtbaren Größen bei einer Vertauschung von Teilchen gleicher Sorte ungeändert bleiben, sind Teilchen gleicher Sorte ununterscheidbar. Alle Ket-Vektoren, die Zuständen eines Systems von N Teilchen gleicher Sorte entsprechen, sind Elemente des Raumes E ⊗N = E ⊗E ⊗· · · E, wobei E den Raum

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 123 der Ket-Vektoren f¨ ur ein Teilchen dieser Sorte bezeichnet. Die Bedingung, die zur Definition der Gleichartigkeit von Teilchen benutzt wird, wird mathematisch folgendermaßen ausgedr¨ uckt: Wenn |Ai ∈ E ⊗N einem Zustand eines Systems von N Teilchen gleicher Sorte entspricht, dann gilt f¨ ur jede Permutation P aus SN und jeden Operator X, welcher einer beobachtbaren Größe entspricht, die Relation hA|X|Ai hB|X|Bi = hA|Ai hB|Bi

mit |Bi = Pb|Ai.

(5.16)

Diese Relation kann in der Form hA|Pb−1 X Pb|Ai = hA|X|Ai

(5.17)

geschrieben werden, denn hB| = hA|Pb† = hA|Pb−1 , also hA|Pb−1 X Pb|Ai hB|X|Bi hA|Pb−1 X Pb|Ai = = . hB|Bi hA|Ai hA|Pb−1 Pb|Ai Aus dieser Bedingung folgt: Satz: Jeder beobachtbaren Größe des Systems von N Teilchen gleicher Sorte entspricht ein Operator X in E ⊗N mit der Eigenschaft Pb−1 X Pb = X

f¨ ur alle Permutationen P ∈ SN .

(5.18)

Die zeitliche Entwicklung des Systems kann durch eine Bewegungsgleichung i¯ h

d |ψi = H|ψi dt

(5.19)

beschrieben werden, wobei der Hamiltonoperator H auch die Eigenschaft Pb−1 H Pb = H

f¨ ur alle Permutationen P ∈ SN .

(5.20)

hat. Beweis: Wenn einer Observablen des Systems der Operator X0 entspricht, dann gilt hA|X0 |Ai hA|X|Ai = , hA|Ai hA|Ai wobei X=

1 X b−1 b P X0 P N ! P ∈S N

124


f¨ ur jeden Vektor |Ai, welcher einen Zustand des Systems charakterisiert. Der Operator X hat die Eigenschaft (5.18), denn ! X 1 b−1 X0 Q b Pb Pb−1 X Pb = Pb−1 Q N ! Q∈S N 1 X d −1 d) = (QP ) X0 (QP N ! Q∈S N X 1 c0 −1 X0 Q c0 = X. = Q N ! Q0 ∈S N

(Wenn Q f¨ ur festes P alle Permutationen aus SN genau einmal durchläuft, dann durchläuft Q0 = QP auch alle Permutationen aus SN genau einmal.) Die zeitliche Entwicklung des Systems sei durch i¯ h

d |ψ(t)i = H0 |ψ(t)i dt

¨ beschrieben. Das bedeutet, daß die beobachtbare zeitliche Anderung des Erwartungswerts einer beliebigen Observablen mit zugeordnetem Operator X durch den Erwartungswert von ¯hi [H0 , X] gegeben ist: i d hψ(t)|X|ψ(t)i = hψ(t)| [H0 , X] |ψ(t)i. dt h ¯ Daraus folgt i 1 X b−1 i hA| [H0 , X] |Ai = hA| P [H0 , X] Pb|Ai h ¯ N ! P ∈S h ¯ N

und hieraus

i i hA| [H0 , X] |Ai = hA| [H, X] |Ai h ¯ h ¯

mit H=

1 X b−1 b P H0 P , N ! P ∈S N

denn Pb−1 [H0 , X]Pb = [Pb−1 H0 Pb, Pb−1 X Pb] = [Pb−1 H0 Pb, X]. Also kann die zeitliche Entwicklung mit Hilfe des Hamiltonoperators H mit der Eigenschaft {Pb−1 H Pb = H f¨ ur jedes P aus SN } beschrieben werden. 2

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 125

5.1.4 Symmetrische und antisymmetrische Zusta¨nde Eine T ransposition tjk ist eine Permutation aus SN mit tjk (j) = k,

tjk (k) = j,

tjk (l) = l (l 6= k und l 6= j).

(5.21)

Dabei sind j, k zwei verschiedene Indices. F¨ ur Transpositionen gilt (tjk )−1 = tjk . Damit gilt f¨ ur den Operator b tjk b b† tjk = b t−1 jk = tjk

(5.22)

(hermitescher Operator). Wegen (b tjk )2 = 1 sind ±1 die einzig möglichen Eigenwerte von b tjk : Man sagt, daß ein Zustand symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k ist, wenn der entsprechende Zustandsvektor |Ai die Eigenschaft b tjk |Ai = |Ai hat (bzw. b tjk |Ai = −|Ai). Da der Hamiltonoperator b mit allen Permutationsoperatoren P vertauscht (da PbH = Pb(Pb−1 H Pb) = H Pb), gilt insbesondere b tjk H = H b tjk . Daraus folgt: Wenn zu einem Zeitpunkt der Zustand des Systems symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k ist, dann gilt das gleiche f¨ ur den Zustand des Systems zu jedem anderen Zeitpunkt. Wenn wir also die Transpositionen als Observable auffassen, dann sind sie Konstanten der Bewegung. Man sagt, daß ein Zustand eines Systems N gleicher Teilchen total-symmetrisch (bzw. total-antisymmetrisch) ist, wenn dieser Zustand symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bei Vertauschung der Teilchen j, k f¨ ur alle Werte 1 ≤ j < k ≤ N der Indices j, k ist. Wenn der Zustand eines Systems N gleicher Teilchen zu einem Zeitpunkt total-symmetrisch (bzw. total-antisymmetrisch) ist, dann gilt das gleiche f¨ ur den Zustand des Systems auch zu jedem anderen Zeitpunkt. Neben den total-symmetrischen und den total-antisymmetrischen Zuständen sind auch Zustände denkbar, deren Zustandsvektoren ein anderes Transformationsverhalten unter Transpositionen haben. F¨ ur ein System aus vier gleichen Teilchen wären Zustandsvektoren |Ai mit b t12 |Ai = −|Ai, b t34 |Ai = |Ai denkbar, z.B. |Ai = |v1 i ⊗ |v2 i ⊗ |v3 i ⊗ |v3 i − |v2 i ⊗ |v1 i ⊗ |v3 i ⊗ |v3 i.

Die Erfahrung hat aber bisher gezeigt, daß nur total-symmetrische und total-antisymmetrische Zustände von N gleichen Teilchen in der Natur vorkommen, und zwar kommt f¨ ur jede Sorte von Teilchen ausschließlich eine der beiden Möglichkeiten vor. Zustände von N Elektronen (oder N Protonen) z.B. sind immer totalantisymmetrisch, Zustände von N α-Teilchen (4 He) sind immer total-symmetrisch.

126


Man sagt, daß eine Teilchensorte der Bose-Statistik 4 gehorcht oder daß die Teilchen dieser Sorte Bosonen sind, wenn jeder Zustand von N Teilchen dieser Sorte total-symmetrisch ist. Man sagt, daß eine Teilchensorte der Fermi-Statistik 5 gehorcht oder daß die Teilchen dieser Sorte Fermionen sind, wenn jeder Zustand von N Teilchen dieser Sorte total-antisymmetrisch ist. Mit diesen Definitionen kann man die oben erwähnte Erfahrungstatsache auch so formulieren: Die Erfahrung hat bisher gezeigt, daß alle in der Natur vorkommenden Teilchen entweder Bosonen oder Fermionen sind. Die Erfahrung hat schließlich auch folgenden Zusammenhang zwischen Spin und Statistik gezeigt: Teilchen mit ganzzahligem Spin sind Bosonen; Teilchen mit halbzahligem Spin sind Fermionen.6 Elektronen, Protonen und Neutronen sind also Fermionen; Photonen und αTeilchen (α-Teilchen haben Spin Null) sind Bosonen. Ein Vektor |Ai aus E ⊗N heißt symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) bez¨ uglich der Permutation P ∈ SN , wenn Pb |Ai = |Ai

bzw. Pb |Ai = sgn(P ) |Ai

(5.23)

gilt. Hierbei bedeutet sgn(P ) das Signum der Permutation: sgn(P ) =

+1, falls P ungerade und −1, falls P gerade ist.

(5.24)

Bekanntlich ist eine Permutation gerade (bzw. ungerade), wenn sie als Produkt einer geraden (bzw. ungeraden) Anzahl von Transpositionen dargestellt werden kann; jede Permutation ist entweder gerade oder ungerade. Jede Transposition ist offenbar eine ungerade Permutation; die identische Permutation ist gerade. Es gilt sgn(QP ) = sgn(Q) sgn(P ) f¨ ur alle P, Q ∈ SN . (5.25) Wenn ein Vektor |Ai bez¨ uglich jeder Transposition symmetrisch (bzw. antisymmetrisch) ist, dann ist dieser Vektor bez¨ uglich jeder Permutation symmetrisch (bzw. antisymmetrisch); ein solcher Vektor wird total-symmetrisch (bzw. totalantisymmetrisch) genannt. Mit dieser Nomenklatur ist ein Zustandsvektor, der 4

auch Bose-Einstein-Statistik genannt auch Fermi-Dirac-Statistik genannt 6 Der Zusammenhang zwischen Spin und Statistik konnte im Rahmen der relativistischen Quantenfeldtheorie als Folge sehr allgemeiner Voraussetzungen gezeigt werden (vgl. Streater, Wightman: Die Prinzipien der Quantenfeldtheorie, BI-Taschenbuch). 5

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 127 einem total-symmetrischen (bzw. einem total-antisymmetrischen) Zustand entspricht, ein total-symmetrischer (bzw. ein total-antisymmetrischer) Vektor. Die Gesamtheit der total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren aus E ⊗N ist ein Unterraum des Vektorraumes E ⊗N . Dieser Unterraum wird als Raum von Ket-Vektoren f¨ ur ein N -Bosonen-System (bzw. N -Fermionen-System) benutzt. Im folgenden werden Projektionsoperatoren f¨ ur diese Unterräume sowie Basen dieser Unteräume konstruiert. Man definiert die Operatoren S,A (Symmetrisator, Antisymmetrisator) in E ⊗N durch 1 X b 1 X S= P, A = sgn(P ) Pb. (5.26) N ! P ∈S N ! P ∈S N

N

Mit obigen Definitionen gelten die Relationen b b S Q = QS = S ur jedes Q ∈ SN , f¨ b b AQ = QA = sgn(Q) A S 2 = S, S † = S,

A2 = A, A† = A.

(5.27)

(5.28)

Beweis: 1 X bb 1 X d PQ = PQ = S N ! P ∈S N ! P ∈S N N X 1 1 X 1 b = d d AQ sgn(P )P Q= sgn(P Q) P Q N ! P ∈S sgn(Q) N ! P ∈S b = SQ

N

N

1 = A = sgn(Q)A sgn(Q) (Wenn P alle Permutationen genau einmal durchläuft, dann durchläuft P Q auch b = S und QA b = ¨ alle Permutationen genau einmal.) Ahnlich zeigt man, daß QS sgn(Q)A gelten. ! X 1 1 X b S 2 = SS = Pb S = PS N ! P ∈S N ! P ∈S N N 1 X 1 = S= N! S = S N ! P ∈S N! N ! X 1 1 X A2 = AA = sgn(P )Pb A = (sgn(P ))2 A N ! P ∈S N ! P ∈S N

=

1 N! A = A N!

N

128


(denn (sgn(P ))2 = 1.) Schließlich: 1 X d 1 X b† P = P −1 = S N ! P ∈S N ! P ∈S N N 1 X 1 X −1 = A = sgn(P )Pb† = sgn(P )Pd N ! P ∈S N ! P ∈S

S† = A†

N

N

(Wenn P alle Permutationen genau einmal durchläuft, dann durchläuft P −1 auch alle Permutationen genau einmal, wobei sgn(P −1 ) = sgn(P ) gilt.) S (bzw. A) ist der Projektionsoperator auf den Unterraum der total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren von E ⊗N . Der Raum der totalsymmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektoren von E ⊗N wird deswegen S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )) bezeichnet. Beweis: S ist ein Projektionsoperator, da die Relationen S 2 = S und S † = S gelten. Wenn |Xi ein beliebiger Vektor aus E ⊗N ist, dann ist S|Xi ein totalsymmetrischer Vektor, denn PbS|Xi = S|Xi. Andererseits: Wenn |Y i ein totalsymmetrischer Vektor ist, dann gilt S|Y i = |Y i, denn aus {Pb|Y i = |Y i f¨ ur alle P ∈ SN } folgt 1 X b 1 S|Y i = P |Y i = N ! |Y i = |Y i. N ! P ∈S N! N

F¨ ur A verläuft der Beweis analog.

2

Basen der Räume S(E ⊗N ), A(E ⊗N ): Sei {|νi : ν = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E. Dann ist {|ν1 i ⊗ |ν2 i ⊗ · · · |νN i : ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E ⊗N . Durch Anwendung eines Projektionsoperators auf die Basisvektoren erhält man ein System von Erzeugenden7 des Unterraums, auf den der Operator projiziert. Also sind die Vektoren {S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .} bzw. {A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . .}

(5.29) (5.30)

ein System von Erzeugenden des Unterraums S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )). Wenn P eine beliebige Permutation aus SN ist, gelten S(|νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i) = S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) und A(|νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i) = sgn(P ) A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i),

(5.31) (5.32)

denn |νP −1 (1) i ⊗ · · · |νP −1 (N ) i = Pb(|ν1 i ⊗ · · · |νN i), 7

Ein System von Erzeugenden eines Unterraums U ist ein Satz von Vektoren des Unterraums mit der Eigenschaft, daß jeder Vektor aus U als Linearkombination dieser Vektoren dargestellt werden kann.

5.1. SYSTEME GLEICHER TEILCHEN. FERMIONEN UND BOSONEN 129 und S Pb = S sowie APb = sgn(P )A. Es gilt schließlich A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = 0, wenn es zwei Indices i, j mit νi = νj gibt, denn in diesem Fall gilt b tij (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = |ν1 i · · · ⊗ |νN i und folglich A(|ν1 i · · · |νN i) = A b tij (|ν1 i · · · ⊗ |νN i) = −A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i), also A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = 0. Durch Ausnutzung dieser Relationen folgt, daß das eingeschränkte System von Vektoren {S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN } bzw. {A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) | ν1 , . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 < ν2 < · · · < νN } auch ein System von Erzeugenden von S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )) ist. Diese Systeme sind sogar Basen von S(E ⊗N ) (bzw. A(E ⊗N )), wie in den nächsten Abschnitten gezeigt wird. Die Vektoren S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) (bzw. A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i)) entsprechen Zuständen eines N -Bosonen- (bzw. N -Fermionen-) Systems, bei welchen sich ein Teilchen im Zustand |ν1 i , ein Teilchen im Zustand |ν2 i usw. befindet. Daß jeder Vektor der Form A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) verschwindet, wenn zwei der Indices ν1 , . . . νN u ¨bereinstimmen, hat folgende Konsequenz: Pauli–Prinzip: Es gibt keinen Zustand eines physikalischen Systems, bei welchem sich zwei gleiche Fermionen im gleichen Zustand befinden. Die Wellenfunktionen, die Vektoren der Form A(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) entsprechen, können als Determinanten geschrieben werden: 1 X sgn(P ) (hη1 | ⊗ · · · hηN |) Pb (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) N ! P ∈S N 1 X = sgn(P ) φν1 (ηP (1) ) · · · φνN (ηP (N ) ) N ! P ∈S N φν (η1 ) φν (η2 ) . . . φν (ηN ) 1 1 1 1 φν2 (η1 ) φν2 (η2 ) . . . φν2 (ηN ) = (5.33) .. .. .. ... N! . . . φνN (η1 ) φνN (η2 ) . . . φνN (ηN ) | {z } Slater–Determinante

ψ(η1 , . . . ηN ) =

130


5.2 Systeme von Bosonen 5.2.1 Besetzungszahldarstellung fu ¨r Bosonen Basis von S(E ⊗N ): Sei {|νi : ν = 1, 2, . . .} orthonormierte Basis des Raumes E der Ket-Vektoren f¨ ur ein Ein-Bosonen-System. Die Vektoren {S(|ν1 i ⊗ . . . |νN i) | ν1 . . . νN = 1, 2, . . . mit ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN } bilden einen Satz von Erzeugenden f¨ ur den Vektorraum S(E ⊗N ). Es ist bequem, den Satz von N Indices ν1 ≤ ν2 ≤ · · · ≤ νN durch einen Satz von (unendlich vielen) ganzzahligen nichtnegativen Indices n1 , n2 , . . . auszudr¨ ucken, die wie folgt definiert sind: n1 =

N X

δ1,νj ,

j=1

n2 =

N X j=1

δ2,νj ,

...

nk =

N X

δk,νj ,

...

(5.34)

j=1

d.h. man zählt“, wieviele der Indices ν1 , ν2 , . . . νN den Wert k haben. Offenbar ” gilt (5.35) N = n1 + n2 + n3 + · · · Ferner: νj = 1 | 0 < j ≤ n1 νj = 2 | n1 < j ≤ n1 + n2 .. .. . . νj = k | n1 + · · · nk−1 < j ≤ n1 + · · · nk−1 + nk .. .. . . Beispiel: N = 6, {ν1 , ν2 , ν3 , ν4 , ν5 , ν6 } = {2, 2, 4, 4, 4, 5}. Dann ist n1 = 0, n2 = 2, n3 = 0, n4 = 3, n5 = 1, n6 = n7 = . . . = 0. Die Indices ν1 , ν2 , . . . lassen sich aus den Indices n1 , n2 , . . . in folgender Weise bestimmen: νj νj νj νj νj

=1 =2 =3 =4 =5

| 0 < j ≤ 0 (d.h. f¨ ur keinen Wert von j) |0 < j ≤ 2 | 2 < j ≤ 2 (d.h. f¨ ur keinen Wert von j) |2 < j ≤ 5 |5 < j ≤ 6

Die Indices n1 , n2 , . . . werden Besetzungszahlen genannt, denn der Index nk ist gleich der Anzahl der Teilchen, die sich im Einteilchenzustand |ki befinden, wenn der Zustand des N -Bosonen-Systems durch den Ket-Vektor S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) gegeben ist.

5.2. SYSTEME VON BOSONEN

131

Man definiert die Vektoren |N ; n1 , n2 , . . .i durch r N! |N ; n1 , n2 , . . .i = S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i). n1 ! n2 ! · · ·

(5.36)

Dann ist der Satz von Vektoren {|N ; n1 , n2 , . . .i | n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . . mit N = n1 + n2 + · · ·} eine orthonormierte Basis von S(E ⊗N ). Beweis: Dieser Satz von Vektoren bildet ein System von Erzeugenden von S(E ⊗N ). Wir brauchen also nur noch nachzuweisen, daß es ein orthonormiertes System ist. hN ; n01 , n02 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i s r N! N! = (hν 0 | ⊗ · · · hνN0 |) S † S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · 1 s N! N! = (hν 0 | ⊗ · · · hνN0 |) S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · 1 X 1 (hν10 | ⊗ · · · hνN0 |) Pb (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = p 0 0 n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · P ∈SN X 1 = p 0 0 hν10 |νP −1 (1) i · · · hνN0 |νP −1 (N ) i n1 ! n2 ! · · · n1 ! n2 ! · · · P ∈SN (Dabei wurde S † = S und S 2 = S verwendet.) Wegen der Orthogonalitätsrelation hν|µi = δµν verschwinden alle Summanden dieser Summe, wenn f¨ ur irgendeine nichtnegative ganze Zahl k die Anzahl n0k der Indices ν10 , ν20 , . . . mit Wert k von der Anzahl nk der Indices ν1 , ν2 , . . . mit Wert k verschieden ist. Es gilt also hN ; n01 , n02 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i = hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i δn01 n1 δn02 n2 · · · und hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i =

X 1 hν1 |νP −1 (1) i · · · hνN |νP −1 (N ) i. n1 ! n2 ! · · · P ∈S N

Jeder Summand der letzten Summe ist entweder 1 oder 0. Die Anzahl der nicht verschwindenden Summanden ist gleich der Anzahl von Permutationen mit ν1 = νP −1 (1) ,

ν2 = νP −1 (2) , . . . νN = νP −1 (N ) .

Diese sind aber genau die Permutationen, die nur Indices mit gleichem Wert untereinander permutieren; ihre Anzahl ist (n1 ! n2 ! n3 ! · · ·). Damit gilt hN ; n1 , n2 , . . . |N ; n1 , n2 , . . .i = 1.

2

132


Es ist zweckmäßig, einen Raum T als direkte Summe der Räume {S(E ⊗N ) | N = 0, 1, 2, . . .} zu konstruieren: T = S(E ⊗0 ) ⊕ S(E ⊗1 ) ⊕ S(E ⊗2 ) ⊕ · · · mit einer orthonormierten Basis   n1 , n2 , . . . = 0, 1, 2, . . .   |N ; n1 , n2 , . . .i N = n1 + n2 + · · ·   N = 0, 1, 2, . . .

(5.37)

(5.38)

F¨ ur einen festen Wert von N bilden die Vektoren {|N ; n1 , n2 , . . .i} eine orthonormierte Basis des Vektorraums S(E ⊗N ), welcher Unterraum von T ist. F¨ ur N = 1 ⊗1 ⊗0 ist S(E ) identisch mit E, und f¨ ur N = 0 definiert man S(E ) als einen eindimensionalen Raum mit Basis {|0; 0, 0, . . .i}. Der Vektor |0; 0, 0, . . .i entspricht dem Vakuumzustand“, bei welchem kein Boson vorhanden ist. ” Man definiert die linearen Operatoren a†k , ak (Erzeugungs- und Vernichtungsoperator f¨ ur ein Boson im Zustand |ki) durch die Gleichungen √ a†k |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk + 1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i (5.39) √ ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i. (5.40) Hierbei bezeichnet |N 0 ; n01 , n02 , . . .i den Nullvektor, wenn irgendeiner der Indices n01 , n02 , . . . negativ ist. Unter Benutzung der Definition der Erzeugungsoperatoren zeigt man induktiv, daß 1 |N ; n1 , n2 , . . .i = √ (a†1 )n1 (a†2 )n2 · · · |0; 0, 0, . . .i (5.41) n1 ! n2 ! · · · gilt. Aus den Definitionen der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ergeben sich folgende Eigenschaften dieser Operatoren: a†k = (ak )†

(5.42)

(d.h. ak und a†k sind zueinander hermitesch adjungiert.) [ak , al ] = [a†k , a†l ] = 0,

[ak , a†l ] = δkl

(5.43)

(Vertauschungsrelationen) a†k ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i X N |N ; n1 , n2 , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . .i

| k = 1, 2, . . .(5.44) (5.45)

k

= N |N ; n1 , n2 , . . .i,

(5.46)


133

wobei der Teilchenzahloperator N durch die Gleichung X † N = ak ak

(5.47)

k

definiert wird. Bemerkung: Der Eigenwert nk des Operators a†k ak f¨ ur den entsprechenden Eigenvektor |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i ist die Anzahl von Teilchen, die sich im Einteilchenzustand |ki befinden, also die Besetzungszahl des Zustands |ki. Beweis der Eigenschaften der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren: 1. Zum Nachweis der Eigenschaft a†k = (ak )† gen¨ ugt es zu zeigen, daß hN 0 ; n01 , n02 , . . . | a†k |N ; n1 , n2 , . . .i = hN ; n1 , n2 , . . . | ak |N 0 ; n01 , n02 , . . .i∗ f¨ ur n1 , n01 , n2 , n02 , . . . = 0, 1, 2, . . . gilt. Dies folgt aus den Relationen √ hN 0 ; n01 , n02 , . . . | a†k |N ; n1 , n2 , . . .i = nk + 1 δn01 n1 δn02 n2 · · · δn0k ,nk +1 · · · p hN ; n1 , n2 , . . . | ak |N 0 ; n01 , n02 , . . .i = n0k δn01 n1 δn02 n2 · · · δn0k −1,nk · · · , die aus den Definitionen von a†k und ak folgen. 2. √ a†k ak |N ; n1 , n2 , . . . nk . . .i = a†k nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i √ p = nk (nk −1) + 1 |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i. Hieraus folgt trivialerweise auch N |N ; n1 , n2 , . . .i = (n1 +n2 +· · ·) |N ; n1 , n2 , . . .i. 3. √ ak a†k |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = ak nk +1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i = (nk +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i. Aus der unter 2. bewiesenen Relation ergibt sich somit (ak a†k − a†k ak ) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = ((nk +1) − nk ) |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i = |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . .i, d.h. ak a†k − a†k ak = 1, also [ak , a†k ] = 1.

134


4. F¨ ur k < l gilt ak a†l |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl , . . .i √ = ak nl +1 |N +1; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl +1, . . .i √ √ = nl +1 nk |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i p = nk (nl +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i und a†l ak |N ; n1 , n2 , . . . nk , . . . nl , . . .i √ = a†l nk |N −1; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl , . . .i p = nk (nl +1) |N ; n1 , n2 , . . . nk −1, . . . nl +1, . . .i, d.h. (ak a†l − a†l ak ) |N ; n1 , n2 , . . .i = 0. Also ist [ak , a†l ] = 0 f¨ ur k < l (Analog f¨ ur k > l). ¨ 5. Ahnlich wie unter 3. und 4. zeigt man die Relationen [ak , al ] = 0 und [a†k , a†l ] = 0. 2

5.2.2 Ein–Teilchen–Operatoren Ein Operator B (N ) in E ⊗N heißt Ein-Teilchen-Operator, wenn er die Form B (N ) = b1 + b2 + · · · bN

(5.48)

hat, wobei b1 = B (1) ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · · 1 b2 = 1 ⊗ B (1) ⊗ 1 ⊗ · · · 1 ... bN = 1 ⊗ 1 ⊗ 1 ⊗ · · · B (1)

(5.49)

und B (1) ein Operator in E ⊗1 = E ist. Jede Observable eines Systems N gleicher Teilchen, die Summe N gleichartiger auf die einzelnen Teilchen des Systems bezogener Observablen ist, entspricht einem Ein-Teilchen-Operator. Eine solche Observable ist z.B. die kinetische Energie des Systems, welche Summe der kinetischen Energien der einzelnen Teilchen ist. Das gleiche gilt f¨ ur die z-Komponente des Gesamtimpulses oder des Gesamtdrehimpulses, welche Summe der z-Komponenten der Impulse oder Drehimpulse der einzelnen Teilchen sind.


135

Jeder Ein-Teilchen-Operator B (N ) kommutiert mit allen Permutationsoperatoren Pb (P ∈ SN ), wie man feststellen kann: B (N ) Pb(|x1 i ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i) = B (N ) (|xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i) B (1) ⊗ 1 ⊗ · · · 1 + 1 ⊗ B (1) ⊗ · · · 1 + . . . · (|xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i) (1) = B |xP −1 (1) i ⊗ |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i + |xP −1 (1) i ⊗ B (1) |xP −1 (2) i ⊗ · · · |xP −1 (N ) i + . . . = Pb (B (1) |x1 i) ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i + |x1 i ⊗ (B (1) |x2 i) ⊗ · · · |xN i + . . . = PbB (N ) (|x1 i ⊗ |x2 i ⊗ · · · |xN i) =

f¨ ur alle |x1 i, |x2 i, . . . |xN i aus E. Durch Anwendung eines Ein-Teilchen-Operators B (N ) auf einen total-symmetrischen (bzw. total-antisymmetrischen) Vektor |Ai aus E ⊗N entsteht immer ein total-symmetrischer (bzw. total-antisymmetrischer) Vektor B (N ) |Ai aus E ⊗N . Denn aufgrund der Vertauschbarkeit von Pb mit B (N ) folgt aus Pb|Ai = |Ai PbB (N ) |Ai = B (N ) Pb|Ai = B (N ) |Ai und aus Pb|Ai = sgn(P )|Ai folgt PbB (N ) |Ai = B (N ) Pb|Ai = sgn(P )B (N ) |Ai. Anders formuliert: B (N ) bildet die Räume S(E ⊗N ) und A(E ⊗N ) jeweils in sich ab. F¨ ur die mathematische Behandlung eines Viel-Bosonen-Systems empfiehlt es sich, im Raum T = S(E ⊗0 ) ⊕ S(E ⊗1 ) ⊕ · · · (direkte Summe) einen Operator B zu definieren, dessen Beschränkung auf S(E ⊗N ) mit dem Operator B (N ) identisch ist f¨ ur N = 1, 2, . . ., und dessen Beschränkung auf S(E ⊗0 ) Null ist. Ein solcher Operator B, welcher fortan auch Ein-Teilchen-Operator genannt wird, kann mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausgedr¨ uckt werden. Es gilt X B= hk|B (1) |li a†k al , (5.50) k,l

wobei {|νi : ν = 1, 2, . . .} eine orthonormierte Basis von E bezeichnet. Beweis: 1. Offenbar ist

P

k,l hk|B

(1)

|li a†k al |Ai = 0, wenn |Ai ∈ S(E ⊗0 ), denn

al |N ; n1 , n2 , . . .i = 0, wenn N = 0.

136


2. F¨ ur N 6= 0 gilt B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i r N! = B (N ) S(|ν1 i ⊗ · · · |νN i) n1 ! n2 ! · · · r N! 1 X (N ) b B P (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S N r X N! 1 PbB (N ) (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S N ! r N N! 1 X b X (1) = P |ν1 i ⊗ · · · (B |νi i) ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · N ! P ∈S i=1 N ! r N X N! = S |ν1 i ⊗ · · · (B (1) |νi i) ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · i=1 ! ! r N X X N! = S |ν1 i ⊗ · · · |kihk|B (1) |νi i ⊗ · · · |νN i n1 ! n2 ! · · · i=1 k r N XX N! = hk|B (1) |νi i S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) . n1 ! n2 ! · · · i=1 k F¨ ur k 6= νi gilt r S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) . =

n01 ! n02 ! · · · |N ; n01 , n02 , . . .i, N!

wobei   nj + 1 | j = k nj − 1 | j = νi n0j =  nj | sonst Somit gilt r

N! S (|ν1 i ⊗ · · · |ki ⊗ · · · |νN i) n1 ! n2 ! · · · s nk + 1 = |N ; n01 , n02 , . . .i n νi p 1 = (nk +1)nνi |N ; n01 , n02 , . . .i n νi 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i


137

F¨ ur k = νi gilt andererseits r N! S (|ν1 i ⊗ · · · |νN i) = |N ; n1 , n2 , . . .i n1 ! n2 ! · · · 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i n νi νi i 1 † = a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i Also gilt B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i =

N X X i=1

hk|B (1) |νi i

k

1 † a aν |N ; n1 , n2 , . . .i. n νi k i

Die rechte Seite der Gleichung ist Summe von Termen der Form X 1 hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i. nl k Ein solcher Term kommt so oft vor, wie es Indices νi gibt, die gleich l sind; ein solcher Term kommt also nl mal vor. Die rechte Seite der Gleichung kann also in der Form XX hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i l

k

geschrieben werden, wobei l zunächst u ¨ber alle Werte mit nl 6= 0 läuft. Da aber al |N ; n1 , n2 , . . .i = 0 ist, falls nl = 0, bleibt diese Summe ungeändert, wenn der Index l alle Werte annimmt. Es gilt also X B (N ) |N ; n1 , n2 , . . .i = hk|B (1) |li a†k al |N ; n1 , n2 , . . .i 2 k,l

5.2.3 Bosonen und Oszillatoren Die Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren des Hamiltonoperators H=

1 2 mω 2 2 p + x 2m 2

(5.51)

eines eindimensionalen harmonischen Oszillators wurde bereits im Abschnitt 2.1 durchgef¨ uhrt. An dieser Stelle sollen die Ergebnisse rekapituliert werden. Man definiert die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren 1 1 b a = √ x+i p (5.52) h ¯ 2 b 1 1 b † a = √ x−i p (5.53) h ¯ 2 b

138


p mit b = h ¯ /mω (Längenparameter des harmonischen Oszillators). Aus der kanonischen Vertauschungsrelation [x, p] = i¯ h

(5.54)

[a, a† ] = 1.

(5.55)

folgt Damit gilt

1 H =h ¯ω a a + 2 †

,

(5.56)

und das Eigenwertproblem f¨ ur den Operator H ist auf das Eigenwertproblem f¨ ur † den Operator a a zur¨ uckgef¨ uhrt. Die Eigenwerte des Operators a† a sind die nichtnegativen ganzen Zahlen {0, 1, 2, . . .}. Es gibt ferner eine orthonormierte Basis {|ni : n = 0, 1, 2, . . .} mit den Eigenschaften: a† a |ni a† |ni a |ni a |0i

n |ni | n = 0, 1, 2, . . . √ n+1 |n+1i | n = 0, 1, 2, . . . √ n |n−1i | n = 1, 2, . . . 0 1 |ni = √ (a† )n |0i n! = = = =

(5.57) (5.58) (5.59) (5.60) (5.61)

Jeder Basisvektor |ni mit Eigenwert n kann als Vielfaches von (a† )n |0i dargestellt werden, wobei |0i den Vektor mit der Eigenschaft a |0i = 0 bezeichnet. Zur Bestimmung eines Vektors |0i mit a |0i = 0 und h0|0i = 1 benutzt man die zugeordnete Wellenfunktion ψ0 (x) = hx|0i

| − ∞ < x < ∞.

Die Gleichung a |0i = 0, d.h. (x/b + i(b/¯ h)p) |0i = 0, ist gleichbedeutend mit der Differentialgleichung x d +b ψ(x) = 0 (5.62) b dx f¨ ur die Wellenfunktion ψ0 . Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung ist 2

x ψ(x) = A e− 2b2 , 1

1

wobei A eine komplexe Konstante ist. Mit der Wahl A = π − 4 b− 2 erf¨ ullt die Wellenfunktion x2 1 hx|0i = ψ0 (x) = 1 1 e− 2b2 (5.63) π 4 b2


139

R∞ die Normierungsbedingung −∞ |ψ0 (x)|2 dx = 1. Jeder Vektor |zi mit a |zi = 0 ist ein Vielfaches des oben bestimmten Vektors |0i, da die allgemeine Lösung der Differentialgleichung Produkt von ψ0 mit einer komplexen Konstante ist. Damit hat auch jeder Eigenvektor |βi mit Eigenwert λβ die Form |βi = Aβ (a† )λβ |0i, wobei Aβ eine komplexe Zahl ist. Die Vektoren 1 |ni = √ (a† )n |0i n!

| n = 1, 2, 3 . . .

(5.64)

sind auf Eins normiert hn+1|n+1i = hn|ni = · · · = h0|0i = 1. und paarweise orthogonal, da sie zu verschiedenen Eigenwerten des hermiteschen Operators a† a gehören; sie bilden eine Orthonormalbasis. Diese Vektoren sind auch Eigenvektoren von H, und zwar gilt 1 |ni | n = 0, 1, 2, . . . (5.65) H |ni = h ¯ω n + 2

System aus mehreren ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Der Hamiltonoperator f¨ ur ein System aus M ungekoppelten harmonischen Oszillatoren ist M X 1 2 mk ωk2 2 H= pk + xk , 2m 2 k k=1

(5.66)

wobei die Operatoren xk , pk f¨ ur Koordinaten und Impulse die kanonischen Vertauschungsrelationen erf¨ ullen: [xk , xl ] = 0,

[pk , pl ] = 0,

[xk , pl ] = i¯ hδkl

| k, l = 1, 2, . . . M

(5.67)

Man definiert die zueinander hermitesch adjungierten Operatoren 1 1 bk ak = √ xk + i pk (5.68) h ¯ 2 bk 1 1 bk † ak = √ xk − i pk (5.69) h ¯ 2 bk p mit bk = h ¯ /mk ωk (f¨ ur k = 1, 2, . . . M ). Aus den kanonischen Vertauschungsrelationen erhält man [ak , al ] = 0,

[a†k , a†l ] = 0,

[ak , a†l ] = δkl

| k, l = 1, 2, . . . M.

(5.70)

140


Obige Vertauschungsrelationen sind identisch mit denjenigen f¨ ur die Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren f¨ ur ein System gleicher Bosonen. Der Hamiltonoperator läßt sich mit Hilfe der Operatoren ak , a†k in der Form H=

M X

h ¯ ωk

k=1

a†k ak

1 + 2

(5.71)

schreiben. ¨ Ahnlich wie im Fall eines einzelnen Oszillators zeigt man, daß es eine orthonormierte Basis {|n1 , n2 , . . . nM i | n1 , . . . nM = 0, 1, 2, . . .} (5.72) mit folgenden Eigenschaften gibt: √ ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |n1 , n2 , . . . nk −1, . . .i √ † ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk +1 |n1 , n2 , . . . nk +1, . . .i † a ak |n1 , n2 , . . . nk , . . .i = nk |n1 , n2 , . . . nk , . . .i 1 |n1 , n2 , . . .i = √ (a†1 )n1 (a†2 )n2 · · · |0, 0, . . .i n1 ! n2 ! · · ·

(5.73) (5.74) (5.75) (5.76)

Diese Eigenschaften der Basisvektoren |n1 , n2 , . . .i sind identisch mit denjenigen der Basisvektoren |N ; n1 , n2 , . . .i eines Systems gleicher Bosonen (vgl. Abschnitt 5.2.1). Diese Identität der Eigenschaften der Operatoren und Basisvektoren eines Systems ungekoppelter Oszillatoren und eines Systems von Bosonen ermöglicht folgende alternative Beschreibung des Oszillatorensystems: Jedem Oszillator k entspricht ein Einteilchenzustand |ki, in dem sich eine variable Anzahl von Bosonen ( Oszillationsquanten“) befinden kann. Jedes Boson im ” Zustand |ki hat die Energie h ¯ ωk . Damit ist im Zustand |n1 , n2 , . . .i die Energie des Systems X E = E0 + nk h ¯ ωk , (5.77) k

wobei E0 =

1X h ¯ ωk 2 k

(5.78)

die Energie des Grundzustands |0, 0, . . .i (Nullpunktsenergie) bezeichnet.

5.3 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes 5.3.1 Das elektromagnetische Feld in klassischer Darstellung Das elektromagnetische Feld wird klassisch beschrieben durch Angabe der elek~ r, t), B(~ ~ r, t) an jedem Raumpunkt trischen und der magnetischen Feldstärke E(~

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES

141

~ B ~ zu jedem Zeitpunkt. Die Felder E, ~ ~ ×E ~ = − 1 ∂B ∇ c ∂t ~ ·B ~ = 0 ∇

erf¨ ullen die Maxwellschen Gleichungen   homogene (5.79) Maxwell-Gleichungen   ~ ·E ~ = 4πρ  ∇ inhomogene ~ (5.80) 4π 1 ∂ E Maxwell-Gleichungen ~ ×B ~ =  ∇ ~ + c c ∂t ~ ~ ~ φ ausgeDie Felder E, B können mit Hilfe der elektromagnetischen Potentiale A, dr¨ uckt werden: ~ ~ =∇ ~ × A, ~ ~ = − 1 ∂ A − ∇φ ~ (5.81) B E c ∂t Die elektromagnetischen Potentiale sind nicht eindeutig bestimmt; durch die Eichtransformation   ~ =⇒ A ~0 = A ~ + ∇χ ~  A  , (5.82) 1 ∂χ  φ =⇒ φ0 = φ −  c ∂t ~ 0 , φ0 , wobei χ eine beliebige Eichfunktion bezeichnet, entstehen neue Potentiale A ~ B ~ wie die urspr¨ ~ φ entsprechen, die denselben Feldern E, unglichen Potentiale A, denn offenbar gilt ~ ~0 ~ ×A ~=∇ ~ ×A ~ 0 und − 1 ∂ A − ∇φ ~ = − 1 ∂ A − ∇φ ~ 0. ∇ c ∂t c ∂t Durch Einsetzen von (5.81) in die inhomogenen Maxwellgleichungen (5.80) — die homogenen (5.79) werden durch den Ansatz (5.81) automatisch erf¨ ullt — erhält man f¨ ur die Potentiale die Differentialgleichungen 1∂ ~ ~ − ∆φ − ∇ · A = 4πρ (5.83) c ∂t 2~ ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A = 4π ~ − 1 ∂ ∇φ ~ − 1 ∂ A. ∇( (5.84) c c ∂t c2 ∂t2 Wichtige Eichungen: (a) Die Lorentz–Eichung. Die Potentiale erf¨ ullen die Zusatzbedingung ~ ·A ~ + 1 ∂φ = 0. ∇ (5.85) c ∂t Die Differentialgleichungen (5.83) und (5.84) f¨ ur die Potentiale werden bei dieser Eichung entkoppelt: 1 ∂2 − ∆ φ = 4πρ (5.86) c2 ∂t2 1 ∂2 ~ = 4π ~ −∆ A (5.87) 2 2 c ∂t c

142


Die Lorentz-Eichung ist dadurch ausgezeichnet, daß das Transformationsverhalten der Potentiale unter Lorentz-Transformationen in dieser Eichung besonders u ¨bersichtlich ist. Die Quantisierung des elektromagnetischen Feldes ist bei Benutzung der Lorentz-Eichung aufwendig. Bei den hier betrachteten einfacheren Problemen ist aber dieser Aufwand nicht gerechtfertigt. Deswegen wird hier bei der Quantisierung des elektromagnetischen Feldes die Coulomb-Eichung (transversale Eichung) benutzt. (b) Die Coulomb–Eichung. Die Potentiale erf¨ ullen die Bedingungen Z ρ(~r 0 , t) 3 0 d ~r φ(~r, t) = |~r − ~r 0 | ~ ·A ~ = 0. ∇

(5.88) (5.89)

Es ist immer möglich die Potentiale so zu wählen, daß (5.88) und (5.89) erf¨ ullt 00 00 ~ sind. Denn wenn A , φ Potentiale in beliebiger Eichung sind, dann ergibt die ~=A ~ 00 + ∇χ, ~ Eichtransformation A φ = φ00 − (1/c)(∂χ/∂t) mit Z t Z ρ(~r 0 , τ ) 3 0 00 χ(~r, t) = c φ (~r, τ ) − d ~r dτ + χ0 (~r ), (5.90) |~r − ~r 0 | t0 wobei χ0 (~r ) die Bedingung ~ ·A ~ 00 (~r, t0 ) ∆χ0 (~r ) = −∇

(5.91)

erf¨ ullt, neue Potentiale, die (5.88) f¨ ur alle Zeiten t und (5.89) f¨ ur t = t0 erf¨ ullen. Aus (5.88) folgt aber ∆φ = −4πρ, (5.92) und damit ergibt sich aus (5.83) 1∂ ~ ~ (∇ · A) = 0. c ∂t

(5.93)

~ ·A ~ zeitunabhängig ist, und somit bedeutet die Erf¨ Das bedeutet, daß ∇ ullung von (5.89) f¨ ur t = t0 auch die Erf¨ ullung f¨ ur alle Zeiten t. In Coulomb-Eichung ist die Dgl. (5.83) automatisch erf¨ ullt. Aus der Dgl. (5.84) erhält man unter Benutzung von (5.89) 1 ∂2 ~ 4π ~ A − ∆A = ~t , (5.94) 2 2 c ∂t c wobei ~t = ~ −

1 ∂ ~ ∇φ. 4π ∂t

(5.95)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES ~t wird der transversale Strom“ genannt. Aus (5.95) folgt offenbar ” ~ × ~t = ∇ ~ × ~ ∇

143

(5.96)

und ~ · ~t = 0, ∇

(5.97)

denn

~ · ~ + ∂ ρ = 0. ~ · ~t = ∇ ~ · ~ − 1 ∂ ∆φ = ∇ ∇ 4π ∂t ∂t Es ergeben sich also insgesamt folgende Relationen: 1 ∂2 ~ ~ = 4π ~t A − ∆A 2 2 c ∂t c ~ ~ ∇·A = 0 Z ρ(~r 0 , t) 3 0 φ(~r, t) = d ~r |~r − ~r 0 | 1 ∂ ~ ∇φ ~t = ~ − 4π ∂t

(5.98) (5.99) (5.100) (5.101)

F¨ ur das freie elektromagnetische Feld, d.h. f¨ ur den Fall ρ ≡ 0, ~j ≡ 0, erhält man 1 ∂2 ~ ~ = 0 A − ∆A c2 ∂t2 ~ ·A ~ = 0 ∇ φ = 0.

(5.102) (5.103) (5.104)

Periodische Randbedingungen. Aus Gr¨ unden der mathematischen Zweckmäßigkeit schränkt man das Vektorpotential durch periodische Randbedingungen ein: ~ 1 +L, x2 , x3 , t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x ~ 1 , x2 +L, x3 , t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x ~ 1 , x2 , x3 +L, t) = A(x ~ 1 , x2 , x3 , t) A(x

(5.105)

¨ Am Ende der Rechnung wird der Ubergang L → ∞ durchgef¨ uhrt. Durch diese Methode treten in den Rechnungen Fourier-Reihen statt Fourier-Integralen auf. ~ in Coulomb-Eichung kann als Linearkombination ebener Das Vektorpotential A Wellen ~u~k,α (~r ) dargestellt werden, die (5.105) sowie die Transversalitätsbedingung ~ · (~u~ (~r )) = 0 ∇ (5.106) k,α erf¨ ullen. Diese ebenen Wellen haben die Form ~

~u~k,α (~r ) = ~ (α) eik·~r ,

(5.107)

144


wobei ~k =

2π 2π 2π n1 , n2 , n3 L L L

n 1 , n2 , n3 ganzzahlig

(5.108)

und ~ (α) ein reeller Einheitsvektor mit ~k · ~ (α) = 0

(5.109)

ist. F¨ ur jeden Vektor ~k 6= 0, der (5.108) erf¨ ullt, wählt man zwei reelle Einheits(α) vektoren {~ | α = 1, 2}, die (5.109) erf¨ ullen und zueinander orthogonal sind: 0

~ (α) · ~ (α ) = δαα0

(5.110)

(F¨ ur ~k = 0 wählt man drei Vektoren, die (5.110) erf¨ ullen). Man kann damit das Vektorpotential wie folgt schreiben: X ~ r, t) = √2 A(~ C~k,α (t) ~u~k,α (~r ) L3 ~

(5.111)

k,α

Das Vektorpotential ist aber reell; deswegen folgt aus (5.111) X ∗ ~ r, t) = √1 A(~ C~k,α (t) ~u~k,α (~r ) + C~k,α (t) ~u~∗k,α (~r ) . L3 ~

(5.112)

k,α

F¨ ur die ebenen Wellen gilt ∆~u~k,α = −

ω(~k) c

!2 ~u~k,α ,

(5.113)

wobei ω(~k) = c |~k|.

(5.114)

Im folgenden wird häufig das Indexpaar (~k, α) durch ν ersetzt und ω(~k) entsprechend durch ων abgek¨ urzt. Mit diesen Abk¨ urzungen erhält man anstelle von (5.111) und (5.112) X ~ r, t) = √2 A(~ Cν (t) ~uν (~r ) L3 ν X ~ r, t) = √1 A(~ (Cν (t) ~uν (~r ) + Cν∗ (t) ~u∗ν (~r )) . 3 L ν

(5.115) (5.116)

Ferner erhält man ∆~u = − ~ · ~uν = 0 ∇

ων2 ~uν c2

(5.117) (5.118)

5.3. QUANTISIERUNG DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES und schließlich 1 L3

Z

(~u∗ν · ~uµ ) d3~r = δµν ,

145

(5.119)

V

wobei V = {0 ≤ xκ ≤ L | κ = 1, 2, 3}.

(5.120)

Bemerkung: Die Tatsache, daß die ~uν ebene Wellen sind, wird im folgenden nicht benutzt. Benutzt werden lediglich die Relationen (5.117), (5.118), (5.119) und die ~ r ) mit Vollständigkeitseigenschaft, daß jede quadratintegrable Vektorfunktion X(~ ~ ·X ~ = 0 als Linearkombination der ~uν dargestellt werden kann. ∇ Aus (5.97) folgt, daß ~t als Linearkombination der ~uν dargestellt werden kann: 2 X ~t = √ fν (t) ~uν (~r ) L3 ν

(5.121)

Da ~t = ~t∗ ist, erhält man aus (5.121) 1 X ~t = √ (fν (t) ~uν (~r ) + fν∗ (t) ~u∗ν (~r )) . 3 L ν

(5.122)

Einsetzen von (5.115) und (5.121) in (5.98) ergibt unter Ausnutzung von (5.117) 2 X 1 d2 ων2 2 4π X √ √ C (t) + C (t) ~ u (~ r ) = fν (t) ~uν (~r ). ν ν ν c2 dt2 c2 L3 ν L3 c ν Hieraus folgt unter Ausnutzung von (5.119) 1 d2 ων2 4 C (t) + C (t) = fν (t). ν ν πc2 dt2 πc2 c

(5.123)

Die Entwicklungskoeffizienten {Cν } und ihre Ableitungen {(d/dt)Cν } bestimmen ~ r, t) und (∂/∂t)A(~ ~ r, t) und damit den Zustand zu jedem Zeitpunkt t die Größen A(~ des elektromagnetischen Feldes. Wenn alle Funktionen ~uν reell sind8 , sind offenbar auch die Entwicklungskoeffizienten Cν reell. Man kann also in einem solchen Fall die Cν als Koordinaten f¨ ur die Freiheitsgrade des elektromagnetischen Feldes auffassen. Die Bewegungsgleichung (5.123) kann dann entsprechend als LagrangeGleichung ∂L d ∂L − =0 (5.124) dt ∂ C˙ ν ∂Cν 8

Einfaches Beispiel reeller ~uν sind stehende ebene Wellen:

√

2~ (α) cos(~k·~r ),

√

2~ (α) sin(~k·~r ).

146


mit der Lagrangefunktion X 1 ων2 2 4 2 ˙ L= C − C + fν Cν 2πc2 ν 2πc2 ν c ν

(5.125)

¨ angesehen werden. Es ist hierbei zu bemerken, daß die zeitliche Anderung des elektromagnetischen Feldes mit Hilfe der Lagrangefunktion X 1 ων2 2 4 2 ˙ L= αν C − C + fν Cν 2 ν 2 ν 2πc 2πc c ν und den entsprechenden Gleichungen αν d2 αν ων2 4αν C (t) + Cν (t) = fν (t), ν 2 2 2 πc dt πc c wobei die αν positive Konstanten sind, ebensogut wie durch (5.125) und (5.123) beschrieben werden kann. Durch die spezielle Wahl der Lagrangefunktion (5.125) erreicht man, daß beim freien Feld (d.h. f¨ ur fν = 0) die Hamiltonfunktion gleich der Energie des Feldes ist, wie wir später zeigen. Im Falle reeller ~uν können also die Cν als verallgemeinerte Koordinaten benutzt werden. Die zugeordneten kanonischen Impulse sind den Geschwindigkeiten C˙ ν proportional. Bei komplexen ~uν f¨ uhrt man Koordinaten Qν und kanonische Impulse Pν durch folgende Gleichungen ein: r 1 1 1 ˙ ∗ ∗ ˙ Qν = (Cν + Cν ) + Cν − Cν (5.126) πc2 2 2iων r ω 1 1˙ ν ∗ ∗ ˙ Pν = Cν + Cν − (Cν − Cν ) (5.127) πc2 2 2i Es wird dabei vorausgesetzt, daß alle ~uν mit ων = 0 reell sind; f¨ ur ων = 0 wird (5.126) durch r r 1 1 1 Qν = (Cν + Cν∗ ) = Cν 2 πc 2 πc2 ersetzt. Aus (5.126) und (5.127) folgen √ i i πc2 Qν − Pν = Cν − C˙ ν ων ων √ i i πc2 Qν + Pν = Cν∗ + C˙ ν∗ ων ων

(5.128) (5.129)


147

f¨ ur ων 6= 0, während f¨ ur ων = 0 √ 2 √πc Qν = Cν πc2 Pν = C˙ ν gilt. Aus (5.128) und (5.129) folgt X √ i i 2 πc Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν ων ων ν: ων >0 X X 1 ˙∗ ∗ 1 ˙ ∗ ∗ = (Cν ~uν + Cν ~uν ) − i Cν ~uν − Cν ~uν . ων ων ν: ω >0 ν: ω >0 ν

(5.130)

(5.131)

ν

Es gilt aber X 1 1 ∗ ∗ C˙ ν ~uν − C˙ ν ~uν = 0, ω ων ν ν: ω >0

(5.132)

ν

~ denn f¨ ur jedes ξ > 0 ist ν: ων =ξ C˙ ν ~uν die Projektion von 12 (∂ A/∂t) auf den von P den Funktionen {~uν | ων = ξ} aufgespannten Raum, während ν: ων =ξ C˙ ν∗~u∗ν die ~ Projektion von 21 (∂ A/∂t) auf den von den Funktionen {~u∗ν | ων = ξ} aufgespann∗ ten Raum ist. Diese Räume sind aber identisch. P (Es gilt nämlich ∆~uP uν )∗ = ν = (∆~ ˙ ∗ u∗ν und ˙ uν −(ων2 /c2 )~u∗ν .) Damit sind aber die Summen ν: ων =ξ Cν ~ ν: ων =ξ Cν ~ gleich; daraus folgt (5.132). P

Aus (5.131) und (5.132) folgt unter Benutzung von (5.116) r πc2 X i i ~ A(~r, t) = Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν . L3 ν ων ων Hierbei ist

(5.133)

i i Qν − Pν ~uν + Qν + Pν ~u∗ν ων ων

f¨ ur ων = 0, ~uν = ~u∗ν mit dem Ausdruck [Qν ~uν + Qν ~u∗ν ] gleichzusetzen. Aus (5.128), (5.129) und (5.130) folgt X √ πc2 (Pν + iων Qν )~uν + (Pν − iων Qν )~u∗ν ν

=

X ν

(C˙ ν ~uν + C˙ ν∗~u∗ν ) + i

X ν

(ων Cν ~uν − ων Cν∗~u∗ν ).

(5.134)

148


Es gilt aber andererseits X

(ων Cν ~uν − ων Cν∗~u∗ν ) = 0.

(5.135)

ν

(Der Beweis von (5.135) ist demjenigen von (5.132) analog.) Aus (5.134), (5.135) und (5.116) erhält man also r ∂ ~ πc2 X [(Pν + iων Qν )~uν + (Pν − iων Qν )~u∗ν ] . (5.136) A(~r, t) = L3 ν ∂t ~ Die Relationen (5.133) und (5.136) zeigen, daß f¨ ur gegebene Qν , Pν die Größen A ~ und (∂ A/∂t) eindeutig bestimmt sind. Umgekehrt folgt aus (5.116), (5.126) und ~ und (∂ A/∂t) ~ (5.127), daß Qν , Pν bei gegebenen A eindeutig bestimmt sind. Aus den Relationen (5.126), (5.127) und der Dgl. (5.123) folgen √ π 2 (fν − fν∗ ) Q˙ ν = Pν + iων √ 2 ˙ Pν = −ων Qν + 2 π(fν + fν∗ ).

(5.137) (5.138)

Diese Gleichungen können offenbar als kanonische Gleichungen ∂H Q˙ ν = , ∂Pν mit H=

X1 ν

2

Pν2

+

ων2 Qν2

∂H P˙ν = − ∂Qν

√ √ 4 π ∗ ∗ + (fν − fν )Pν − 4 πQν (fν + fν ) iων

(5.139)

(5.140)

~ und geschrieben werden. Die Hamiltonfunktion (5.140) kann mit Hilfe von A ~ (∂ A/∂t) ausgedr¨ uckt werden; unter Benutzung von (5.128) und (5.129) erhält man X1 1 X ˙ (Pν2 + ων2 Qν2 ) = |Cν + iων Cν |2 (5.141) 2 2 2πc ν ν und fν − fν∗ ∗ Pν − (fν + fν )Qν iων ν 2X i ˙∗ i ˙ ∗ ∗ = − fν Cν + Cν + fν Cν − Cν . c ν ων ων

√ X 2 π

Beim Beweis von (5.132) wurde gezeigt, daß f¨ ur jedes ξ ≥ 0 X X C˙ ν ~uν = C˙ ν∗~u∗ν ν: ων =ξ

ν: ων =ξ

(5.142)


149

¨ gilt. Ahnlich zeigt man, daß X

Cν ~uν =

ν: ων =ξ

X

Cν∗~u∗ν .

ν: ων =ξ

Daraus folgt, daß die Summe X

C˙ ν∗ Cν =

Z V

ν: ων =ξ

! X

 X

C˙ ν∗~u∗ν

Cµ~uµ 



ν: ων =ξ

µ: ωµ =ξ

1 3 d ~r L3

reell ist. Weiterhin verschwindet die Summe X ν

~∗ ∂A fν C˙ ν∗ − fν∗ C˙ ν = 2 Im · ~t ∂t

!

~ ∗ /∂t)·~t = (∂ A/∂t)·~ ~ weil (∂ A t reell ist. Damit erhält man aus (5.141) und (5.142) X1 1 X ˙ 2 2 2 2 2 2 (P + ων Qν ) = |Cν | + ων |Cν | (5.143) 2 ν 2πc2 ν ν √ X fν − fν∗ 2X ∗ 2 π Pν − (fν + fν )Qν = − fν Cν∗ + fν∗ Cν . (5.144) iων c ν ν Unter Benutzung von (5.115), (5.117) und (5.119) erhält man hieraus   2 Z X1 ~ 1 ~ ∆A)c ~ 2  d3~r  ∂ A − (A (Pν2 + ων2 Qν2 ) = 2 2 8πc V ∂t

(5.145)

ν

und √ X 2 π ν

fν − fν∗ Pν − (fν + fν∗ )Qν iων

1 =− c

Z

~ d3~r. (~t · A)

(5.146)

V

~ ·A ~ = 0) Es gilt aber (wegen ∇ Z Z 3 ~ ∆A) ~ d ~r = ~· ∇ ~ × (∇ ~ × A) ~ d3~r − (A A V VZ Z 3 ~ ~ ~ ~ ~ × A| ~ 2 d3~r = − ∇ · (A × (∇ × A)) d ~r + |∇ V {z } |V =0

(das erste Integral verschwindet nach Anwendung des Gaußschen Satzes wegen der periodischen Randbedingungen), d.h. Z Z 3 ~ ~ ~ × A| ~ 2 d3~r. − (A ∆A) d ~r = |∇ (5.147) V

V

150


Andererseits gilt Z

~ d ~r = (~t · A) 3

Z

V

~ d3~r. (~ · A)

(5.148)

V

Denn 4π

Z V

Z ∂φ 3 ~ ~ ~ d3~r (~ − ~t ) · A d ~r = ∇ ·A ∂t ZV Z ∂φ ~ 3 ∂φ ~ ~ 3 ~ = ∇· A d ~r − ∇ · A d ~r = 0 ∂t ∂t | {z } V V =0 | {z } =0

(das erste Integral verschwindet wieder nach Anwendung des Gaußschen Satzes wegen der periodischen Randbedingungen). Aus (5.145) und (5.147) (bzw. (5.146) und (5.148)) erhält man schließlich   2 Z X1 ~ 1 ~ × A| ~ 2  d3~r  1 ∂ A + |∇ (Pν2 + ων2 Qν2 ) = (5.149) 2 8π V c2 ∂t ν

und √ X 2 π ν

fν − fν∗ Pν − (fν + fν∗ )Qν iων

1 =− c

Z

~ d3~r. (~ · A)

(5.150)

V

F¨ ur eine gegebene Stromverteilung ~ können also die Bewegungsgleichungen (5.137), (5.138) des elektromagnetischen Feldes als kanonische Gleichungen (5.139) mit der Hamiltonfunktion   2 Z Z ~ 1 ∂A 1 1 2 3 ~ ~ ~ d3~r  H= (~ · A) (5.151) + |∇ × A| d ~r − 2 8π V c ∂t c V geschrieben werden (vgl. (5.140), (5.149), (5.150)).

5.3.2 Hamiltonfunktion fu ¨r Teilchen und elektromagnetisches Feld Die zeitliche Entwicklung eines aus dem elektromagnetischen Feld und N strukturlosen Teilchen bestehenden Systems wird bei kleinen Teilchengeschwindigkeiten durch kanonische Bewegungsgleichungen mit der Hamiltonfunktion N 2 X e e X 1 ek ~ k l H = p~k − A(~ rk , t) + 2m c |~ r rl | k k −~ k=1 k = + 2

! Y X ¯hω ! 1 l nk + e− kT nl + 2

¯ ωk h nk e− kT

1 2

nk

l6=k

! Y X − ¯hωl n + 1 l 2 e kT nl

l

h ¯ ωk h ¯ ωk = + 2

X

¯ ωk h nk e kT

nk +

1 2

nk

X

hωk ¯ e kT nk +

1 2

nk

= h ¯ ωk

nl

! P∞ −ξn ne 1 + Pn=0 . ∞ −ξn h ¯ω 2 e n=0 ξ= k kT


157

Aber: ∞ X n=0 ∞ X

e−ξn =

ne

n=0

−ξn

1 1 − e−ξ ∞ X

d = − dξ

! −ξn

e

n=0

e−ξ = . (1 − e−ξ )2

Es gilt also h ¯ ωk < Hk > = +h ¯ ωk 2 oder < Hk > =

h ¯ ωk + 2

hω k ¯ e− kT hωk ¯ 1 − e− kT

h ¯ ωk ¯ ωk h e kT

.

(5.184)

(5.185)

−1 F¨ ur das elektromagnetische Feld erhält man damit f¨ ur die Energiedichte in einem 0 Frequenzintervall ω ≤ ω ≤ ω + ∆ω ! 1 h ¯ω h ¯ω dN ∆u = ρ(ω) ∆ω = 3 + ¯hω ∆ω, (5.186) L 2 dω e kT − 1 wobei (dN/dω)∆ω die Anzahl von Oszillatoren des elektromagnetischen Feldes mit Frequenz ω 0 im Intervall ω ≤ ω 0 ≤ ω + ∆ω ist. Zur Bestimmung von (dN/dω)∆ω benutzt man ebene Wellen {~uν (~r )} als Basis. Die Basisvektoren sind α = 1, 2 (α) i~k·~ r ~ e ~k = 2π (n1 , n2 , n3 ) . L Die Anzahl der Basisvektoren mit ω 0 = c|~k| aus dem Intervall ω ≤ ω 0 ≤ ω + ∆ω ist 3 L ω 2 ∆ω 2 4π . 2π c c Damit erhält man die Plancksche Formel h ¯ ω3 ρ(ω) ∆ω = 2 3 π c

1 + 2

1 hω ¯

! ∆ω.

(5.187)

e kT − 1

5.3.5 Quantisierung des elektromagnetischen Feldes Wenn Teilchen mit elektromagnetischen Wechselwirkungen vorhanden sin, hat man ein Gesamtsystem zu betrachten, welches aus dem elektromagnetischen Feld und den Teilchen zusammengesetzt ist. Klassisch wird der Zustand dieses Gesamtsystems durch die Angabe der Koordinaten und Impulse Qν , Pν des Feldes

158


und der Koordinaten und Impulse ~rk , p~k der (strukturlosen) Teilchen festgelegt. Hierbei ist (k)

(k)

(k)

~rk = (x1 , x2 , x3 )

und

(k)

(k)

(k)

p~k = (p1 , p2 , p3 ).

F¨ ur die quantenmechanische Beschreibung werden kanonische Vertauschungsrelationen postuliert: [Qν , Qµ ] = 0,

[Pν , Pµ ] = 0,

[Qν , Pµ ] = i¯ hδνµ

(j) (j) (j) [Qν , x(j) κ ] = [Qν , pκ ] = [Pν , xκ ] = [Pν , pκ ] = 0 (l)

[x(j) κ , xλ ] = 0,

(l)

[p(j) κ , pλ ] = 0.

(l)

[x(j) hδκλ δjl κ , pλ ] = i¯

(5.188) (5.189) (5.190)

Die zeitliche Entwicklung des Systems wird mit Hilfe des Hamiltonoperators N 2 X e e X ek ~ 1 k l p~k − A(~ rk ) + + V (~r1 , ~r2 , . . . ~rN ) H = 2m c |~ r r k k −~ l| k

Quantenmechanik 001

Quantenmechanik 001.ps.gz

Quantenmechanik II 001

Relativistische Quantenmechanik

Quantenmechanik 002

Kleine Quantenmechanik

Quantenmechanik und ihre Anwendungen

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Quantenmechanik 003.ps.gz

Quantenmechanik 002.ps.gz

Quantenmechanik fuer Fortgeschrittene

Quantenmechanik - QM I

Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II)

Quantenmechanik fuer Fortgeschrittene - QM II

2. Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen

Theoretische Physik 3: Quantenmechanik 1

Quantenmechanik-Lehrbuch zur Theoretischen Physik

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