Ausgew¨ahlte Kapitel der Kombinatorik 2st. Vorlesung im SS 2001
Jens Schwaiger
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlegendes u ¨ ber endliche Mengen 1.1 Begriffsbestimmungen und Rechenregeln . . . . . 1.2 Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Die Siebformel und Anwendungen . . . . . . . . . 1.4 Auswahlen mit Ber¨ ucksichtigung der Anordnung . 1.5 Operationen von Gruppen auf Mengen . . . . . . 1.6 Auswahlen ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung
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2 Konstruktive Aspekte der Kombinatorik 2.1 Die lexikographische und andere Ordnungen . . . . . . . . 2.2 Produkt- und Potenzmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Monotone Funktionen und n-elementige Teilmengen . . . . 2.4 Permutationen mit und ohne Wiederholung, surjektive und bildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Der 3.1 3.2 3.3
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . injektive Ab. . . . . . . .
Heiratssatz Das Resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein algorithmischer Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2 7 9 11 12 13 15 15 17 19 23 26 26 29 31
Kombinatorik ist (grobgesprochen) die Besch¨aftigung mit endlichen Mengen. Typische Fragestellungen entstammen z.B. den folgenden Bereichen: 1. Abz¨ahlprobleme: beispielsweise die Frage nach der Anzahl aller Teilmengen, aller k-elementigen Teilmengen einer endlichen Menge; oder nach der Anzahl aller (injektiven, surjektiven, bijektiven) Abbildungen einer endlichen Menge in eine zweite. 2. Konstruktionsaufgaben: Angabe von Methoden und Algorithmen, um alle Objekte mit bestimmten Eigenschaften zu bestimmen; auch Algorithmen zur zuf¨alligen Auswahl derartiger Objekte. (Beispielsweise Konstruktion aller k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge; zuf¨allige Auswahl solcher Mengen, so daß jede Auswahl gleich wahrscheinlich ist [Lotto]). 3. Existenzprobleme: z.B. der Themenkreis des Heiratssatzes: Gegeben ist dabei eine endliche Menge F von Frauen und eine Abbildung ϕ : F → P(M ) (M eine endliche 1
Menge von M¨annern, P(M ) die Menge aller Teilmengen von M , ϕ(x) die Menge der M¨anner aus M , die der Frau x sympathisch sind). Frage: Unter welchen Voraussetzungen an ϕ existiert eine injektive Abbildung h : F → M (simultane Heirat), so daß h(x) ∈ ϕ(x) f¨ ur alle x ∈ F ? 4. Optimierungsaufgaben: z.B. Rucksackproblem.
1
Grundlegendes u ¨ ber endliche Mengen
1.1
Begriffsbestimmungen und Rechenregeln
Es sei N die Menge der nat¨ urlichen Zahlen (ohne 0), es sei N0 = N ∪ {0}. F¨ ur n ∈ N0 sei n := {1, 2, . . . , n}. Ferner sei f¨ ur n, m ∈ N (oder auch in Z) das Intervall hn, mi erkl¨art durch hn, mi := {i ∈ Z | n ≤ i ≤ m}. Zus¨atlich sei noch [n] := h0, n − 1i, wenn n ∈ N0 . Definition 1.1. Eine nichtleere Menge A heißt endlich, wenn f¨ ur eine geeignete nat¨ urliche Zahl n ∈ N eine bijektive Abbildung f : n → A existiert. Die leere Menge ∅ heißt ebenfalls endlich. Ist A endlich und nichtleer, so heißt |A| := card(A) := #A die M¨achtigkeit oder der Umfang von A. Dabei ist |∅| := 0 und |A| := n, wenn A 6= ∅ und wenn f¨ ur n ∈ N eine bijektive Abbildung f : n → A existiert. Wenn |A| = n, so heißt A auch n-elementig oder eine n-Menge. (Allgemein heißen zwei nicht notwendigerweise endliche Mengen A und B gleichm¨achtig, wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt.) Bemerkung 1.1. |A| ist f¨ ur jede endliche Menge wohldefiniert. Es gilt n¨amlich: Sind n, m ∈ N und sind f : n → A, g : m → A bijektiv, so ist n = m. Dazu gen¨ ugt es zu zeigen, daß aus der Existenz einer injektiven Abbildung ϕ : n → m folgt, daß n ≤ m. (Man nehme ϕ := g −1 ◦ f und vertausche dann die Rollen von n und m.) Der eigentliche Beweis erfolgt durch Induktion u ¨ber n. Wenn n = 1 ist, ist alles klar, da m ≥ 1. F¨ ur den Schluß von n auf n + 1 unterscheidet man den Fall a) ϕ(n + 1) = m. Dann aber ist ϕ|n eine injektive Abbildung von n nach h1, m − 1i. Also ist nach Induktionsvoraussetzung n ≤ m − 1 oder n + 1 ≤ m. Im Falle b) (ϕ(n + 1) beliebig) definieren wir ϕ∗ = τm,ϕ(n+1) ◦ ϕ, wobei τ := τm,ϕ(n+1) : m → m, definiert durch τ (m) := ϕ(n + 1), τ (ϕ(n + 1)) := m und τ (x) = x sonst, eine bijektive Abbildung von m in sich ist. Dann ist ϕ∗ injektiv und außerdem ϕ∗ (n + 1) = m. Also ist nach Fall a) n + 1 ≤ m.
¨ Bemerkung 1.2. Mit den obigen Uberlegungen erkennt man sofort, daß es f¨ ur jede n-Menge A und jedes a ∈ A eine bijektive Abbildung fa : n → A gibt mit fa (n) = a. Bemerkung 1.3. Es gelten u.a. die folgenden Aussagen: 1. Ist A endlich und f : A → B bijektiv, so ist B endlich und |A| = |B|. 2. Sind A, B endlich, so folgt aus |A| = |B| die Existenz einer bijektiven Abbildung f : A → B. 3. Jede Teilmenge B einer endlichen Menge A ist endlich. Ferner ist dann |B| ≤ |A| mit Gleichheit genau dann, wenn A = B. (Echte Teilmengen einer endlichen Menge haben echt kleinere M¨achtigkeit.) 2
4. Ist A endlich und f : A → B eine Abbildung, so ist f (A) endlich und |f (A)| ≤ |A| mit = genau dann, wenn f injektiv ist. 5. F¨ ur eine Abbildung f : A → A einer endlichen Menge A in sich sind die Eigenschaften injektiv, surjektiv und bijektiv zueinander ¨aquivalent. 6. Sind A, B endlich, so auch A ∪ B. Ferner gilt |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|; also ist |A ∪ B| = |A| + |B| genau dann, wenn A ∩ B = ∅. 7. Sind A, B endlich, so auch A × B. Ferner gilt |A × B| = |A| · |B|. 8. Die Potenzmenge P(A) := {B | B ⊆ A} einer endlichen Menge A ist endlich, und es gilt |P(A)| = 2|A| . Beweis: Die Aussagen 1) und 2) folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis von 3) gen¨ ugt es zu zeigen, daß jede echte Teilmenge B der endlichen Menge A wieder endlich ist und daß |B| < |A|. Dies geschieht durch Induktion u ¨ber n := |A|. Im Fall n = 0 ist nichts zu zeigen. Sei jetzt |A| = n + 1 und die Behauptung richtig f¨ ur 0 alle n-Mengen A . Sei B A. Dann existiert ein a ∈ A mit a ∈ / B. Nach Bem. 1.2 existiert eine bijektive Abbildung f : h1, n + 1i → A mit f (n + 1) = a. Dann ist f |n : n → A0 := A \ {a} bijektiv (weswegen A0 eine n-Menge ist) und B ⊆ A0 . Ist B = A0 , so ist B endlich und |B| = n < n + 1 = |A|. Im Falle B A0 kann man die Induktionsvoraussetzung anwenden. Bez¨ uglich 4) kann wegen 1) und 2) o.B.d.A A = n (und f (A) = B) angenommen werden. Wir definieren dann g : B → A durch g(x) := min f −1 (x). Dann ist wegen f (g(x)) = x die Abbildung g injektiv und g(B) als Teilmenge von A endlich. Also sind B und g(B) gleichm¨achtig. Da g(B) als Teilmenge von A endlich ist, ist auch B endlich. Außerdem ist |B| = |g(B)| ≤ |A|. Da g(B) = A genau dann ist, wenn f −1 (x) f¨ ur alle x ∈ B einelementig ist (d.h., wenn f injektiv ist), folgt auch der Rest der Behauptung. Nun zu 5). Ist f : A → A surjektiv, so folgt aus 4), daß f injektiv ist. Umgekehrt folgt aus der Injektivit¨at von f , daß |f (A)| = |A|. Wegen f (A) ⊆ A und 3) folgt dann f (A) = A, also die Surjektivit¨at von f . F¨ ur den Beweis von 6) betrachten wir zun¨achst denn Fall A ∩ B = ∅. Sind f : n → A und g : m → B bijektiv, so definieren wir f¨ ur k := m + n die Abbildung h : k → A ∪ B durch h(j) := f (j) f¨ ur 1 ≤ j ≤ n und h(j) := g(j − n) f¨ ur n + 1 ≤ j ≤ k = n + m. (h ist wohldefiniert, da A und B disjunkt sind.) Dann rechnet man leicht nach, daß h sogar bijektiv ist. Im allgemeinen Fall hat man zu beachten, daß A ∪ B = A ∪ (B \ (A ∩ B)), daß A und B \ (A ∩ B) disjunkt sind und daß wegen der Disjunktheit von A ∩ B und B\(A∩B) aus dem ersten Teil |B| = |(A ∩ B) ∪ (B \ (A ∩ B))| = |A ∩ B|+|B \ (A ∩ B)| folgt. (Letzteres bedeutet ja |B \ (A ∩ B)| = |B| − |A ∩ B|.) Der Beweis von 7) erfolgt durch Induktion u ¨ber n = |A|. Wegen ∅ × B = ∅ ist der Induktionsanfang n = 0 klar. Ist |A| = n + 1, so w¨ahle man ein a ∈ A. Mit A0 := A \ {a} ist dann A die disjunkte Vereinigung von A0 und der einelementigen Menge {a}. Dann ist aber A × B die disjunkte Vereinigung von A0 × B und {a} × B. Die letzte Menge ist offensichtlich zu B gleichm¨achtig (man betrachte x 7→ (a, x)). Dann folgt das Gew¨ unschte aus der Induktionsvoraussetzung und aus 6). Die G¨ ultigkeit von 8) erschließt man ebenfalls durch Induktion. Da P(∅) = {∅} ist der Induktionsanfang n = |A| = 0 wieder klar. Ist |A| = n + 1 (und A0 , a wie in 7)), so betrachtet man die Abbildung γ : P(A) → P(A) mit γ(B) := B \ {a}, falls a ∈ B, und 3
γ(B) := B ∪ {a}, falls a ∈ / B. Dann ist γ wohldefiniert und wegen γ ◦ γ = idP(A) sogar 0 . bijektiv. Da P(A) = P(A )∪γ(P(A0 )) (die erste Menge ist die Menge aller Teilmengen von A, die a enthalten, die zweite die derjenigen Teilmengen, die a nicht enthalten), folgt aus der Gleichm¨achtigkeit von P(A0 ) und γ(P(A0 )), der Induktionsvoraussetzung und aus 6) die Behauptung. 2 Bemerkung 1.4. (Rechenregeln f¨ ur Summen und Produkte) Es sei (H, +) eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element 0, d.h., es sei + eine assoziative innere Verkn¨ upfung auf H, die zus¨atzlich kommutativ ist, und es gelte x + 0 = x f¨ ur alle x ∈ H. F¨ ur k, n ∈ N0 und a0 , a1 , . . . , ak , . . . , an , . . . ∈ H erkl¨art man dann rekursiv ½ n X 0P falls n < k ai := ( n−1 a ) + a falls n ≥ k n i=k i i=k
Ist die Verkn¨ upfung Q multiplikativP(mit · anstelle von + und 1 anstelle von 0) geschrieben, so schreibt man anstelle von . Es P gelten dann u ¨blichen Pdie Pn (und bekannten) Rechenregeln, z.B. n m a) Pi=k ai = Pi=k ai + i=m+1 ai f¨ ur k ≤ m ≤ n oder b) ni=k ai = ni=k aϕ(i) , wenn k ≤ n und ϕ : hk, ni → hk, ni eine beliebige Bijektion ist. Ferner Pn noch c) i=1 ai = na, wenn a1 = a2 = . . . = an = a und n ∈ N0 . Die vorletzte Regel erm¨oglicht es den Begriff der ungeordneten Summe einzuf¨ uhren. Ist I eine n-Menge und, falls n > 0, f : n → I bijektiv, so erkl¨art man f¨ ur eine Familie (ai )i∈I in H, d.h., f¨ ur eine Abbildung i → 7 a von I nach H, P Pn i P a := ur I = ∅ setzt man i∈I ai := 0. i i∈I j=1 af (j) . F¨ (Entsprechend uhrung ungeordneter Produkte.) P verf¨ahrt man bei der Einf¨ Der Wert nj=1 af (j) ist von der speziellen Wahl der Bijektion unabh¨angig. Ist n¨amlich g : n → I eine (andere) Bijektion, so ist ϕ := f −1 ◦ g eine Bijektion von n in sich. Mit bj := af (j) ergibt sich dann n X
af (j) =
j=1
n X
bj =
j=1
n X
bϕ(j) =
j=1
n X
af (ϕ(j)) =
j=1
n X
ag(j) .
j=1
Der Beweis f¨ ur a) und b) verl¨auft in etwa folgendermaßen. Bez¨ uglich a) f¨ uhrt man einen Induktionsbeweis u ur ` = 0 alles klar ist. F¨ ur m = n ist ebenfalls ¨ber ` = n − k, wobei f¨ Pn alles klar. ur den Schluß von ` auf ` + 1 und k ≤ m < n = k + ` + 1 schreibt man P i=k ai = Pn−1 F¨ n−1 a +a i n . Weil k ≤ m ≤ n − 1 = k + `, ergibt die Induktionsvoraussetzung dann i=k i=k ai = Pm P n−1 a + a und insgesamt i=k i i=m+1 i n X i=k
ai =
m X i=k
ai + (
n−1 X
ai + an ) =
i=m+1
m X i=k
ai +
n X
ai .
i=m+1
Um b) zu zeigen, wendet man wieder Induktion nach ` = n − k an. Die F¨ alle ` = 0, 1 sind offensichtlich. (Es gibt nur eine bijektive Abbildung einer einelementigen Menge in sich.) Wenn ϕ(n) = n kann man die Summe zerlegen in die Summe von k bis n − 1 und den restlichen Term aϕ(n) = an . Auf die erste Summe kann man dann die Induktionsvoraussetzung anwenden.
4
Wenn ϕ(n) 6= n ist ϕ(j) = n f¨ ur ein j mit k ≤ j < n. Es sei dann ϕ∗ = ϕ ◦ τ und τ := τj,n (vgl. mit der Definition von τ aus dem Beweis nach Bemerkung 1.1). Dann ist ϕ∗ (n) = n = ϕ(j), ϕ∗ (j) = ϕ(n) und ϕ∗ (i) = ϕ(i) sonst. Daraus folgt (mit Punkt a) und wegen der G¨ ultigkeit von ∗ b) f¨ ur ϕ ): n X
aϕ(i) =
i=k
j−1 X
aϕ(i) + aϕ(j) +
=
aϕ∗ (i) + aϕ∗ (n) +
= =
i=k n X
n−1 X
aϕ∗ (i) + aϕ∗ (j) =
i=j+1
i=k j−1 X
aϕ(i) + aϕ(n) =
i=j+1
i=k j−1 X
n−1 X
aϕ∗ (i) + aϕ∗ (j) +
n−1 X
aϕ∗ (i) + aϕ∗ (n) =
i=j+1
aϕ∗ (i) =
i=k
n X
ai
i=k
¨ Die Ubertragung von a) auf ungeordnete Summen ergibt die folgende Regel: Ist I = . J ∪K, I endlich, so ist X X X X ai = ai + ai . ai = . i∈J i∈K i∈I i∈J ∪K Bemerkung 1.5. (Potenzmenge und charakteristische Funktionen) F¨ ur Mengen M, N N ist Abb(N, M ) := M die Menge aller Abbildungen f : M → N . F¨ ur die Menge M und f¨ ur A ∈nP(M ) ist die charakteristische Funktion cA ∈ Abb(M, {0, 1}) definiert 1 falls x ∈ A durch cA (x) = Die Abbildung c : P(A) → Abb(M, {0, 1}) ist definiert 0 sonst. durch c(A) := cA . Dann sieht man schnell, daß c bijektiv ist; c−1 ist gegeben durch c−1 (f ) = f −1 (1). Faßt man {0, 1} als den K¨orper mit zwei Elementen auf, so ist, wie aus der Algebra bekannt, Abb(M, {0, 1}) mit punktweiser Definition von + und · ein Ring. F¨ ur Teilmengen A, B, Ai (i ∈ I, I endlich und nicht leer) von M gilt dann . = cA + cB , 1. cA∩B = cA · cB und cA∪B 2. c∅ = 0, cM = 1, Q 3. cTi∈I Ai = i∈I cAi , 4. cM \A = 1 − cA
S T und mit Hilfe der de Morganschen Regeln M \ ( i∈I Ai ) = i∈I (M \ Ai ) Q 5. cSi∈I Ai = 1− i∈I (1−cAi ), insbesondere cA∪B = 1−(1−cA )(1−cB ) = cA +cB −cA∩B . (Diese Regeln gelten aber auch dann, wenn man 0 und 1 als Null- bzw. Einselement eines beliebigen kommutativen Ringes mit Einselement auffaßt.) Nun sind wir mit Hilfe von Summen und Produkten in der Lage neue Gesetzm¨aßigkeiten zu formulieren. Zuvor aber noch ein interessanter algebraischer Zusammenhang zwischen P(M ) und Abb(M, {0, 1}), wobei die Menge {0, 1} hier wieder als K¨orper mit zwei Elementen aufgefaßt wird. 5
F¨ ur Mengen A, B ist ihre symmetrische Differenz definiert durch A4B := (A ∪ B) \ (A ∩ B). Man rechnet nun leicht nach, daß cA4B = cA∪B − cA∩B = cA + cB − 2cA∩B = cA + cB . Außerdem ist cA∩B = cA · cB . Daraus folgt, weil (Abb(M, {0, 1}), +, ·) ein kommutativer Ring mit Eins ist und weil c bijektiv ist, daß (P(M ), 4, ∩) ein ebensolcher ist und c ein Isomorphismus zwischen ihnen. Bemerkung 1.6. Es sei (Ij )j∈J eine endliche Familie endlicher Mengen (also J und alle Ij endlich) und es sei (R, +) eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element. Dann gilt: P S 1. I := j∈J Ij ist endlich und |I| ≤ j∈J |Ij |. Gleichheit gilt genau dann, wenn die Ij paarweise disjunkt sind. Q S 2. Das cartesische Produkt j∈J Ij := {f ∈ Abb(J, j∈J Ij ) | f (j) ∈ Ij f¨ ur alle j ∈ ¯Q ¯ Q ¯ ¯ J} ist endlich und ¯ j∈J Ij ¯ = j∈J |Ij |. 3. Insbesondere ist f¨ ur zwei endliche Mengen I, J die Menge Abb(J, I) = I J endlich und |Abb(I, J)| = |I||J| . . S 4. Sind die Ij paarweise disjunkt, so gilt f¨ ur alle Familien (ai )i∈I (I := j∈J Ij ): ´ P P ³P a = a (Allgemeines Assoziativit¨atsgesetz). i i i∈I j∈J i∈Ij P 5. Sind I, J endlich und ist (aij )(i,j)∈I×J eine Familie in R, so gilt (i,j)∈I×J aij = ´ P ¡P ¢ P ³P i∈I aij . j∈J i∈I j∈J aij = 6. Sind g : J → I bijektiv und istP(ai )i∈I eine Familie in R, so gilt: P P f : I → J,P i∈I ai j∈J ag(j) = i∈I ai und j∈J af −1 (j) = 7. Ist R sogar ein kommutativer Ring mit Eins und ist f¨ ur alle j ∈ J eine Familie (ai,j )i∈Ij in R gegeben, so gilt das allgemeine Distributivit¨atsgesetz X Y Y X af (j),j . ai,j = j∈J
i∈Ij
f∈
Q
j∈J
Ij j∈J
8. Speziell f¨ ur Ij = {0, 1}, j ∈ n = J, a0,j = 1, a1,j = aj ergibt sich daraus (mit einigen Zwischenrechnungen): n Y
(1 + aj ) =
j=1
X Y
P
a` .
L∈ (n) `∈L
9. F¨ ur jede P Teilmenge A der endlichen Menge M berechnet sich |A| als |A| = x∈M cA (x) Beweis: (Andeutungen) Die Punkte 1, 2 und 4 erledigt man durch Induktion u ¨ber m = |J|, wobei fr¨ uhere Ergebnisse (z.B. u ¨ber geordnete Summen) heranzuziehen sind. Punkt 3 ist der Spezialfall Ij = I von 2. Punkt 5 folgt aus 4 mit Ij = I × {j}. Bez¨ uglich −1 Punkt 6 setze man bj := af (j) und w¨ahle eine bijektive Abbildung h : n → I.PDann ist f ◦ h eine Bijektion zwischen n und J. Deswegen folgt (nach Definition von j∈J ), 6
P P bj = n`=1 b(f ◦h)(`) . Wegen b(f ◦h)(`) = af −1 ((f ◦h)(`)) = ah(`) erh¨alt man j∈J bj = P P −1 `=1 ah(`) = i∈I ai . (Letzteres ist nach Definition von i∈I richtig.) Mit f := g ergibt sich die entsprechende Aussage f¨ ur g. F¨ urPPunkt 7 verwendet man ebenfalls P Induktion. Ferner muß man zun¨achst die Regel b i∈I ai = i∈I bai (ein Spezialfall) gesondert beweisen. Ist das erledigt, so besteht der wesentliche Schritt in den folgenden ¨ Rechnungen und Uberlegungen: Y X Y X X ai,j = ai,j · ai,j0 = . i∈Ij j∈J i∈Ij i∈Ij0 j∈J ∪{j0 } Ã ! X X Y X Y X ai,j0 = af (j),j af (j),j ai,j0 = daß Pn
P
j∈J
f∈
Q
j∈J
Ij j∈J
Q f ∈ j∈J Ij
i∈Ij0
i∈Ij0
j∈J
Q Q . } Ij , wobei eine Bijektion λ gegeben ist Es ist j∈J Ij × Ij0 gleichm¨achtig zu j∈J ∪{j 0 Q ∗ ∗ ∗ . } Ij den durch (f, i) 7→ f mit f |J := f und f (j0 ) := i. Definiert man f¨ ur f ∗ ∈ j∈J ∪{j 0 P P P Q Q Q . } af ∗ (j),j , so erh¨alt man wegen f ∈ = Wert Af ∗ := j∈J ∪{j (f,i)∈ j∈J Ij ×Ij0 i∈Ij0 0 j∈J Ij Q und j∈J af (j),j ai,j0 = Af ∗ = Aλ((f,i)) durch Anwendung von Punkt 6, daß Ã ! Y X X X Y X ai,j = Aλ(f,i) = af (j),j ai,j0 = Q Q . i∈Ij i∈Ij0 j∈J f ∈ j∈J Ij (f,i)∈ j∈J Ij ×Ij0 j∈J ∪{j0 } Y X X af ∗ (j),j . Af ∗ = = Q Q . ∗ ∗ . 0 } Ij j∈J ∪{j0 } . 0} f ∈ j∈J ∪{j f ∈ j∈J ∪{j Q P Q Das ergibt f¨ ur Punkt 8 zun¨achst nj=1 (1 + aj ) = f ∈{0,1}n j∈n af (j),j . Wegen a1,j = aj , a0,j = 1 und mit Hilfe der Bijektion f 7→ f −1 (1) zwischen {0, 1}n und P(n) folgt n Y
X
(1 + aj ) =
j=1
Y
f ∈{0,1}n j∈f −1 (1)
aj =
X Y
P
a` .
L∈ (n) `∈L
Der letzte Punkt endlich ergibt sich aus folgender Rechnung: X X X X X cA (x) = 1+ 0 = |A| 1 + |M \ A| 0 = |A| . cA (x) = cA (x) + x∈M
x∈A
x∈M \A
x∈A
x∈M \A
2
1.2
Binomialkoeffizienten
Definition 1.2. Es sei M eine n-Menge und k ∈ N0 . Dann ist Pk (M ) := {A ∈ P(A) | |A| = k} die ¡n¢Menge aller k-elementigen Teilmengen von M . Die M¨achtigkeit von P (M ) wird mit bezeichnet: k ¡nk¢ := |Pk (M )| f¨ ur jede n-Menge M . k Bemerkung 1.7. Diese Definition ist sinnvoll. Es gelten sogar viel allgemeiner folgende Sachverhalte: Sind M, M 0 , N, N 0 endliche Mengen, wobei M zu M 0 und N zu N 0 gleichm¨achtig sein m¨oge, so folgt 7
1. F¨ ur alle k ∈ N sind Pk (M ) und Pk (M 0 ) gleichm¨achtig. 2. Es ist Abb(M, N ) zu Abb(M 0 , N 0 ) gleichm¨achtig. 3. Dies gilt auch f¨ ur die Mengen Inj(M, N ) und Inj(M 0 , N 0 ) bzw. f¨ ur Surj(M, N ) 0 0 0 0 und Surj(M , N ), aber auch f¨ ur Bij(M, N ) und Bij(M , N ) und f¨ ur S(M ) und 0 S(M ). (Dabei ist Inj(M, N ) die Menge aller injektiven Abbildungen f : M → N , Surj(M, N ) die Menge aller surjektiven Abbildungen f : M → N , Bij(M, N ) := Inj(M, N ) ∩ Surj(M, N ) die Menge aller bijektiven Abbildungen zwischen M und N und S(M ) := Bij(M, M ).) Sind n¨amlich ϕ : M → M 0 und ψ : N → N 0 bijektiv, so ist f¨ ur f : M → N die Abbildung ∗ −1 0 0 f := ψ ◦f ◦ϕ eine, die M nach N abbildet. Die Zuordnung Λ = Λϕ,ψ : Abb(M, N ) → Abb(M 0 , N 0 ), Λ(f ) := f ∗ = ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ist dann eine Bijektion, die injektive (surjektive) Abbildungen auf ebensolche abbildet. Ferner ist offensichtlich die Zuordnung A 7→ ϕ(A) von P(M ) → P(M 0 ) bijektiv; sie hat außerdem die Eigenschaft, daß dadurch Pk (M ) auf Pk (M 0 ) abgebildet wird. Satz 1.1. F¨ ur n, k ∈ N0 gilt: ¡n¢ ¡ n ¢ 1. k = n−k , wenn 0 ≤ k ≤ n. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ n ¢ ¡ ¢ 2. n0 = nn = 1, n1 = n−1 = n, wenn n ≥ 1, nk = 0 f¨ ur k > n. Pn ¡n¢ n 3. k=0 k = 2 . ¡ ¢ Pn k n 4. (−1) = 0, wenn n > 0. k=0 k ¡n+1¢ ¡n¢ ¡ n ¢ 5. k = k + k−1 , wenn 0 < k ≤ n. ¡ ¢ ¡ ¢ 6. n n−1 = k nk , wenn 0 < k ≤ n. k−1 ¡ ¢ n! k = k!(n−k)! , wenn 0 ≤ k ≤ n, wobei (n)k := n(n − 1) . . . (n − k + 1) = 7. nk = (n) Qk−1 k! j=0 (n − j) und k! := (k)k = k(k − 1) . . . 2 · 1. Beweis: Die Abbildung A 7→ M \ A bildet die Potenzmenge von M in sich ab. Sie ist involutorisch (zu sich selbst invers), also bijektiv. Daher bildet sie Pk (M ) bijektiv auf Pn−k (M ) ab, wenn 0 ≤ k ≤ n. Damit ist 1) (und auch 2)) erledigt. 3) folgt aus P(M ) = .n S k=0 Pk (M ). Die Aussage aus 4) besagt umformuliert, daß |{A ⊆ M | |A| gerade}| = |{A ⊆ M | |A| ungerade}|. Wenn a ∈ M fest gew¨ahlt wird, ist τ : P(M ) → P(M ) mit τ (A) := A4{a} wegen τ 2 = id bijektiv. Dabei ist |τ (A)| genau dann gerade (ungerade), wenn |A| ungerade (gerade) ist. Daher bildet τ die Menge aller Teilmengen von M mit gerader M¨achtigkeit bijektiv auf die der Teilmengen ungerader M¨achtigkeit ab. Sie haben daher dieselbe M¨achtigkeit (und zwar 2n−1 , da ihre — disjunkte — Vereinigung die gesamte Potenzmenge ergibt). Man k¨onnte die beiden eben besprochenen Punkte auch mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes beweisen, da 2n = (1 + 1)n und 0 = (1 − 1)n , wenn n > 0. Der binomische Lehrsatz ergibt sich kombinatorisch aus Bem. 1.6, Punkt 8) mit aj = a f¨ ur j = 1, 2, . . . , n so: (1 + a)n =
X
P
a|L| =
n X X k=0 L∈
L∈ (n)
8
Pk (n)
ak =
=
n X k=0
X L∈
Pk (n)
n µ ¶ X n k 1 a = a . k k
k=0
Zum Beweis von 5) w¨ahlt man aus der (n + 1)-Menge M ein Element a, setzt M 0 := . M \ {a}, P 0 := Pk (M 0 ), P 00 := {A ∈ Pk (M ) | a ∈ A}. Dann ist Pk (M ) = P 0 ∪P 00 und P 00 gleichm¨achtig mit Pk−1 (M 0 ). (Eine Bijektion zwischen diesen beiden Mengen ist gegeben durch P 00 3 A 7→ A \ {a}.) Um 6) zu zeigen, betrachtet man f¨ ur eine n-Menge M und k > 0 die Menge B := {(a, A) | A ∈ Pk (M ), a ∈ A}. F¨ ur a ∈ M sei Pa := {(a, A) | (a, A) ∈ B}, f¨ ur A ∈ Pk (M ) sei QA := {(a, A) | (a, A) ∈ B}. . . S S Dann ist B = a∈M Pa = A∈Pk (M ) QA . Da Pa zu Pk−1 (M \ {a}) gleichm¨achtig ist (man betrachte (a, A) 7→ A \ {a}) und da QA zu A gleichm¨achtig ist, folgt µ ¶ X X µn − 1¶ n−1 |B| = |Pa | = =n und k − 1 k − 1 a∈M a∈M µ ¶ X n |QA | = k. |B| = k
Pk (M )
A∈
Der letzte Punkt folgt dann daraus durch Induktion u ¨ber k.
2
Satz 1.2. (Vandermondesche Identit¨at) F¨ ur alle m, n, k ∈ N0 gilt ¡n+m¢ Pk ¡n¢¡ m ¢ ¡2n¢ Pn ¡n¢2 = , f¨ u r m = n = k ergibt das speziell = j=0 j . j=0 k j k−j n Beweis: Eine erste M¨oglichkeit des Beweises l¨auft u ¨ber sogenannte erzeugende Funktionen (ein vielf¨altig anwenbares algebraisches Werkzeug in der F¨ ur PKombinatorik). ∞ ¡ α¢ j beliebige reelle α konvergiert die binomische Reihe Bα (x) := x absolut f¨ ur j=0 j α ur diese x die Werte Bα (x) und (1 + x) gleich. (Dabei ist ¡alle ¢ |x| < 1 und es sind f¨ α := (α)k /k! f¨ ur alle reellen Zahlen sinnvoll erkl¨art.) Wenn man in der Beziehung j Bα+β (x) = (1 + x)α+β = (1 + x)α (1 + x)β = Bα (x)Bβ (x) die rechte Seite ausmultipliziert, nach Potenzen von xj ordnet und den Koeffizienten von xk mit dem von xk in der Reihe Bα+β (x) vergleicht, erh¨alt man µ
α+β k
¶
¶ k µ ¶µ X α β = . j k − j j=0
Eine zweiter (inhaltlich argumentierender) Zugang geht von einer n-Menge N und einer . dazu disjunkten m-Menge M aus. Dann erh¨alt man durch (A, B) 7→ A∪B eine Bijektion .k S . zwischen j=0 Pj (N ) × Pk−j (M ) und Pk (N ∪M ). 2
1.3
Die Siebformel und Anwendungen
Die Siebformel dient der Berechnung der M¨achtigkeit der endlichen Vereinigung endlicher Mengen und stellt die Verallgemeinerung der Formel |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| dar. 9
Satz 1.3. (Siebformel) Es seien A1 , A1 , . . . An endliche Mengen. Dann gilt ¯ ¯ ¯ ¯ n ¯[ ¯ ¯\ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ (−1)|J|−1 ¯ Aj ¯ ¯ Aj ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ j=1 j∈J J∈P(n)\{∅} ¯ ¯ ¯ ¯ n ¯ ¯ ¯\ ¯ [ X ¯ ¯ ¯ |J| ¯ Aj ¯ = (−1) ¯ Aj ¯ , ¯M \ ¯ ¯ ¯ ¯
P
j=1
(1)
(2)
j∈J
J∈ (n)
Dabei wirdTin (2) vorausgesetzt, daß M eine (endliche) Menge ist, die alle Aj enth¨alt. Ferner ist j∈∅ Aj := M . Beweis: Es Q gen¨ ugt, die zweite Formel zu beweisen. Aus Bemerkung 1.5 ergibt sich n Sn cM \ j=1 Aj = j=1 (1 − cAj ), was wegen Punkt 8 aus Bemerkung 1.6 X Y X Y cM \Snj=1 Aj = (−cAj ) = (−1)|J| cAj
P
P
J∈ (n) j∈J
oder
X
cM \Snj=1 Aj =
j∈J
J∈ (n)
P
(−1)|J| cTj∈J Aj
J∈ (n)
bedeutet. Der letzte Punkt der Bemerkung 1.6 liefert dann ¯ ¯ n ¯ ¯ [ X X X ¯ ¯ Aj ¯ = (−1)|J| cTj∈J Aj (x) = cM \Snj=1 Aj (x) = ¯M \ ¯ ¯ j=1 x∈M x∈M J∈P(n) X X (−1)|J| cTj∈J Aj (x) = =
P
x∈M J∈ (n)
X
=
P
Ã
(−1)|J|
X
! cTj∈J Aj (x)
=
x∈M
J∈ (n)
X
P
J∈ (n)
¯ ¯ ¯\ ¯ ¯ ¯ (−1)|J| ¯ Aj ¯ ¯ ¯ j∈J
2 Aus diesem Satz ergibt sich z.B. die explizite Darstellung der Eulerschen ϕ-Funktion. Satz 1.4. F¨ ur n ∈ N sei ϕ(n) := |{j ∈ N | 1 ≤ j ≤ n, (j, n) = 1}|. Dann gilt: ¶ Y µ 1 . 1− ϕ(n) = n p p|n p prim
Beweis: Es sei n = pα1 1 pα2 2 · . . . · pαmm die Primfaktorzerlegung von n (n > 1 o.B.d.A.); also die pj prim und paarweiseSverschieden und die αj > 0. Sodann sei Aj := {i | 1 ≤ i ≤ n, pj | i} ⊆ n. Dann ist m j=1 Aj = {i ∈ N | 1 ≤ i ≤ n, (i, n) > 1}, also ϕ(n) = ¯ ¯ T Q Sm ¯ ¯ ur J ⊆ m ist j∈J Aj die Menge aller i ∈ n, die Vielfache von j∈J pj ¯n \ j=1 Aj ¯. F¨ ¯T ¯ Q ¯ ¯ sind, weswegen ¯ j∈J Aj ¯ = n/ j∈J pj . Dann ergibt die Siebformel ϕ(n) =
X
|J|
(−1) n
J⊂m
Y j∈J
p−1 j
=n
XY J⊂m j∈J
(−p−1 j )
=n
m Y
(1 − p−1 j ).
j=1
2 10
F¨ ur endliche Mengen N, M ist |Abb(N, M )| = |M ||N | . Was aber ist |Surj(N, M )|? Satz ¡1.5. F¨ ur endliche Mengen N, M mit |N | = n, |M | = m gilt: |Surj(N, M )| = ¢ P m m j − j)n . Insbesondere folgt aus Surj(N, N ) = Bij(N, N ) = S(N ), daß j=0 j (−1) (m Pn ¡n¢ |S(N )| = j=0 j (−1)j (n − j)n . Beweis: F¨ ur b ∈ M sei Ab S die Menge aller f ∈ Abb(N, M ) mit b ∈ / f (N ). Dann ist Surj(N, M ) = Abb(N, M ) \ ( b∈M Ab ). Die Siebformel ergibt dann ¯ ¯ ¯\ ¯ X ¯ ¯ |Surj(N, M )| = (−1)|J| ¯ Aj ¯ . ¯ ¯ j∈J J⊂M T Es ist aber j∈J Aj die Menge aller Abbildungen von N nach M , deren Bild in M \ J ¯T ¯ T ¯ ¯ enthalten ist. Daher ist j∈J Aj = Abb(N, M \ J) und ¯ j∈J Aj ¯ = |Abb(N, M \ J)| = (m − |J|)|N | . Das liefert |Surj(N, M )| = =
X J⊂M m X
(−1)|J| |Abb(N, M \ J)| =
X
(−1)|J| (m − |J|)|N | =
J⊂M
X
j=0 J∈
(−1)j (m − j)n =
Pj (M )
m µ ¶ X m j=0
j
(−1)j (m − j)n 2
Bald werden wir sehen, daß |S(n)| = n!. Da S(n) = Surj(n, n), folgt daraus die wohl u ¨berraschende Beziehung n µ ¶ X n n! = (−1)j (n − j)n . j j=0
1.4
Auswahlen mit Beru ¨ cksichtigung der Anordnung
Definition 1.3. Es sei M eine endliche Menge und n ∈ N. Dann heißt f : n → M eine Auswahl mit Ber¨ ucksichtigung der Anordnung vom Umfang n und mit Wiederholung aus M . Sie ist eine ohne Wiederholung, wenn f injektiv ist. ( mit“ bedeutet somit eigentlich ” nicht notwendigerweise ohne Wiederholung.) Satz 1.6. F¨ ur endliche Mengen N, M ist |Abb(N, M )| = |M ||N | und |Inj(N, M )| = (|M |)|N | . Insbesondere gibt es aus einer m-Menge M genau mn Auswahlen vom Umfang n mit Wh. und genau (m)n derartige ohne Wh. Beweis: Die M¨achtigkeit von Abb(N, M ) wurde schon fr¨ uher bestimmt. Zur Bestimmung der M¨achtigkeit von Inj(N, M ) f¨ uhren wir einen Induktionsbeweis nach n = |N |. Die F¨alle n = 0 (bei richtiger Interpretation) und n = 1 sind klar. Ist N nun eine (n + 1)-Menge, a ∈ N fest und Ib := Inj(N \ {a}, M \ {b}), wobei b ∈ M , so ist Inj(N, M ) gleichm¨achtig . S zu b∈M Ib × {b}. (Eine Bijektion ist gegeben durch f 7→ (f |M \{f (a)} , f (a)). 2 Wie gelangt man von Auswahlen mit Ber¨ ucksichtigung der Anordnung zu solchen ohne“? ” Intuitiv gesprochen werden zwei Auswahlen mit Ber¨ ucksichtigung der Anordnung dieselbe Auswahl ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung definieren, wenn sie sich nur um eine Umnumerierung der Elemente unterscheiden. Im n¨achsten Abschnitt wird diese Idee abstrakt untersucht, im u ¨bern¨achsten konkret. 11
1.5
Operationen von Gruppen auf Mengen
Definition 1.4. Es sei X eine nichtleere Menge und (G, ·) eine Gruppe (mit neutralem Element e). Dann heißt eine Abbildung ∗ : G × X → X (bzw. das Tripel (G, X, ∗)) eine Operation (oder Aktion) von G auf X, wenn i) e ∗ x = x f¨ ur alle x ∈ X und wenn ii) (g · h) ∗ x = g ∗ (h ∗ x) f¨ ur alle x ∈ X und alle g, h ∈ G. Beispiele 1. F¨ ur jede nichtleere Menge X und jede Untergruppe G von (S(X), ◦) definiert (π, x) 7→ π ∗ x := π(x) eine Operation von G auf X. 2. Sind N, M nichtleere Mengen und ist G eine Untergruppe von S(N ), so ist durch ∗ : G × Abb(N, M ) → Abb(N, M ), π ∗ f := f ◦ π −1 eine Operation von G auf Abb(N, M ) definiert. 3. F¨ ur jede Gruppe G und jede Untergruppe H sind (h, g) 7→ g · h−1 und (h, g) 7→ h · g Operationen von H auf G. ¨ Bemerkung 1.8. Durch x ∼ y :⇔ ∃g ∈ G : y = g ∗ x ist eine Aquivalenzrelation ¨ auf X definiert, die Aquivalenzklasse x eines x ∈ X ist gegeben durch x = G ∗ x := {g ∗ x | g ∈ G}, die Bahn (der Orbit) von x bez¨ uglich G. F¨ ur x ∈ X ist Gx := {g ∈ G | g ∗ x = x} eine Untergruppe von G, die Fixgruppe von x. Ferner ist die Menge G/Gx der Linksnebenklassen von G bez¨ uglich Gx gleichm¨achtig zur Bahn G ∗ x. Die Menge der ¨ Aquivalenzklassen wird in Verallgemeinerung zur Operation einer Untergruppe auf einer . S Gruppe mit X/G bezeichnet: X/G = {G ∗ x | x ∈ G}. (X = x∈X/G x.) Beweis: Es ist x ∼ x, da x = e ∗ x. Aus y = g ∗ x =: gx (y ∼ x) folgt g −1 y = g −1 (gx) = (g −1 g)x = ex = x, also x ∼ y. Aus y = gx, z = hy folgt z = (hg)x, also aus y ∼ x ¨ und z ∼ y auch z ∼ x. Der Ausdruck G ∗ x f¨ ur die Aquivalenzklasse von x ergibt sich dann aus der Definition. Es ist e ∈ Gx , also Gx 6= ∅. F¨ ur g ∈ Gx gilt gx = x und daher x = ex = (g −1 g)x = g −1 (gx) = g −1 x oder g −1 ∈ Gx . Ferner folgt aus gx = hx = x (g, h ∈ Gx ), daß (gh)x = g(hx) = gx = x, also gh ∈ Gx . Es ist G/Gx = {gGx | g ∈ G} die Menge der Linksnebenklassen gGx , die gerade die ¨ Aquivalenzklassen von G bez¨ uglich der ersten der beiden oben definierten Gruppenaktion von H := Gx auf G sind. Wenn gGx = g 0 Gx , existiert ein h ∈ Gx mit g = g 0 h. Daher ist gx = g 0 (hx) = g 0 x. Somit ist τ : G/Gx → G ∗ x =: Gx, τ (gGx ) := gx wohldefiniert und surjektiv. Wenn τ (gGx ) = τ (g 0 Gx ), ist gx = g 0 x und deswegen g −1 g 0 ∈ Gx bzw. gGx = g 0 Gx . 2 Daraus ergibt sich das folgende Resultat. Satz 1.7. Sind in der Gruppenoperation (G, X, ∗) die Gruppe G und die Menge X endlich, so gilt f¨ ur alle x ∈ X: |G ∗ x| = |G| / |Gx |. ¨ Beweis: Es ist G/Gx gleichm¨achtig zu G ∗ x. Die Aquivalenzklassen gG sind alle zu Gx . x S gleichm¨achtig (h 7→ gh bildet Gx bijektiv auf gGx ab). Wegen G = g∈G/Gx g folgt dann |G| = |G/Gx | |Gx |. 2 12
1.6
Auswahlen ohne Beru ¨ cksichtigung der Anordnung
Definition 1.5. Eine Auswahl vom Umfang n ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung mit Wiederholung aus der endlichen Menge M ist eine Bahn Sn ∗ f eines f ∈ Abb(n, M ) bez¨ uglich der Operation von S(n) := Sn auf Abb(n, M ), π ∗ f := f ◦ π −1 . Diese Auswahl ist eine ohne Wiederholung, wenn f injektiv ist. (Diese Festlegung ist sinnvoll, da mit f alle g ∈ Sn ∗ f injektiv sind.) Bemerkung 1.9. Ist M zu M 0 gleichm¨achtig und ϕ : M → M 0 bijektiv, so sind die Mengen der n-Auswahlen ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordung aus M und aus M 0 , Abb(n, M )/Sn bzw. Abb(n, M 0 )/Sn , gleichm¨achtig. Eine Bijektion zwischen ihnen ist gegeben durch Sn ∗ f 7→ Sn ∗ (ϕ ◦ f ). Beweis: Als wesentlicher Punkt ist nur die Wohldefiniertheit zu u ¨berlegen. Wenn g = −1 −1 f ◦ π (g ∈ Sn ∗ f ) dann ist ϕ ◦ g = ϕ ◦ f ◦ π , also Sn ∗ (ϕ ◦ g) = Sn ∗ (ϕ ◦ f ). 2 Bemerkung 1.10. Sind f, g ∈ Abb(n, M ), M endlich, so sind die Bahnen von f und g bez¨ uglich Sn genau dann gleich, wenn |f −1 (m)| = |g −1 (m)| f¨ ur alle m ∈ M . Beweis: Aus g = f ◦ π f¨ ur ein π ∈ Sn folgt nat¨ urlich g −1 (m) = π −1 (f −1 (m)), woraus wegen der Bijektivit¨at von π das Gew¨ unschte folgt. Umgekehrt folgt mit Am := f −1 (m), −1 Bm := g (m) aus |Am | = |Bm | f¨ ur alle m ∈ M , daß es Bijektionen πm : Bm → Am gibt. Weil . . [ [ n= Am = Bm , m∈M
m∈M
ist ein π ∈ Sn durch π|Bm := πm , m ∈ M , wohldefiniert. Ist x ∈ n, so existiert (genau) ein m ∈ M , so daß x ∈ Bm . Dann aber ist g(x) = m, π(x) ∈ Am und folglich f (π(x)) = m, also f ◦ π = g. 2 Bemerkung 1.11. F¨ ur f ∈ Abb(n, M ) ist die Fixgruppe S(n)f isomorph zum Produkt Q −1 (m)) und daher m∈M S(f |S(n) ∗ f | = Q
|S(n)| n! =Q . −1 −1 (m)|! (m))| m∈M |S(f m∈M |f
Außerdem ist Abb(n, M )/ S(n) gleichm¨achtig zur Menge gPart(n, MP ) aller geordneten Partitionen von n in |M | Teile: gPart(n, M ) := {h ∈ Abb(M, N0 ) | m∈M h(m) = n}. Eine Bijektion Λ ist gegeben durch die Abbildung S(n) ∗ f 7→ (m 7→ |f −1 (m)|) (also Λ(S(n) ∗ f )(m) := |f −1 (m)|.) Beweis: Die Permutation π ∈ Sn = S(n) liegt genau dann in S(n)f , wenn f ◦ π = f , d.h., wenn π −1 (f −1 (m)) = f −1 (m). Das bedeutet, daß die Einschr¨ankung von π auf die Mengen f −1 (m) diese Mengen (bijektiv) in sich abbildet. Wegen der obigen . S Charakterisierung von S(n) ∗ f und wegen n = m∈M f −1 (m) ist Λ wohldefiniert und injektiv. Die Surjektivit¨at ist ebenfalls leicht zu P sehen. (Wenn z.B. M = m mit m ∈ N und wenn f¨ ur h(j) =: kj ∈ N0 die Gleichung j kj = n gilt, definiert man f : n → m durch f (i) := j f¨ ur k1 + . . . + kj−1 + 1 ≤ i ≤ k1 + . . . + kj−1 + kj ,wenn kj > 0, wobei k0 := 0. F¨ ur dieses f ist dann Λ(S(n) ∗ f ) = h.) 2 13
Nun fragen wir nach den M¨achtigkeit von Abb(n, M )/ S(n) und von Inj(n, M )/ S(n), also nach fr¨ uheren Darlegungen, nach der Anzahl der Auswahlen vom Umfang n aus einer m-Menge M ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung und mit bzw. ohne Wiederholung. Dabei k¨onnen wir o.B.d.A. annehmen, daß M = m f¨ ur ein m ∈ N. Satz 1.8. Es seien n, m ∈ N. Dann existiert in jeder Bahn S(n)∗f von Abb(n, m)/ S(n) genau eine monoton steigende und eine monoton fallend Funktion. Diese sind genau dan streng monoton, wenn f injektiv ist. Beweis: F¨ ur 1 ≤ j ≤ m sei (wie oben) kj := |f −1 (j)|. Die ebenfalls oben definierte Funktion g mit g|hk1 +...+kj−1 +1,k1 +...+kj−1 +kj i := j, wenn hk1 + . . . + kj−1 + 1, k1 + . . . + kj−1 + kj i 6= ∅, ist dann eine monoton steigende Funktion in der Bahn von f . Mit inv(i) := n + 1 − i (inv ∈ S(n)) ist dann h := g ◦ inv monoton fallend und ebenfalls eine Funktion in der Bahn von f . Da die injektiven monotonen Funktionen genau die streng monotonen sind, ist die letzte Behauptung richtig. Wir haben noch zu zeigen, daß verschiedene monoton steigende Funktionen nicht in derselben Bahn liegen k¨onnen. (F¨ ur monoton fallende Funktionen folgt dasselbe Resultat durch Anwendung von inv.) Sind f und g zwei monoton steigende Funktionen in Abb(n, m) und ist f 6= g, so existiert ein Wert i0 mit f (i0 ) 6= g(i0 ). Wir w¨ahlen i0 kleinstm¨oglich. Dann ist f (i) = g(i) f¨ ur i = 1, 2, . . . , i0 −1. Wir k¨onnen o.B.d.A. auch annehmen, daß f (i0 ) < g(i0 ). Sei j := f (i0 ), Aj := f −1 (j), Bj := g −1 (j). Dann ist Bj ⊆ {1, 2, . . . , i0 − 1}, da aus i ≥ i0 folgt, daß g(i) ≥ g(i0 ) > f (i0 ) = j und daher g(i) 6= j. Ferner ist Aj ∩ {1, 2, . . . , i0 − 1} = Bj , da f (i) = g(i) f¨ ur i < i0 . Außerdem ist aber i0 ∈ Aj . Daher ist |Aj | > |Bj |. Somit liegen f und g in verschiedenen Bahnen. 2 Definition 1.6. F¨ ur n, m ∈ N sei Mon< (n, m) bzw. Mon≤ (n, m) die Menge derjenigen f ∈ Abb(n, m), die streng monoton steigen bzw. (schwach) monoton steigen. Ferner sei f¨ ur eine beliebige m-Menge M die Menge gPart(n, M ) die Menge aller geordneten PartiP tionen von n mit Teilen aus M , also gPart(n, M ) := {h ∈ Abb(M, N0 ) | x∈M h(x) = n}. Mit Hilfe der schon gewonnenen Resultate erhalten wir dann folgende Ergebnisse. Satz 1.9. Es seien n, m ∈ N und es sei M eine m-Menge. Dann: 1. Abb(n, M )/ S(n) ist zu gPart(n, M ) gleichm¨achtig; die Abbildung ¯ ¯ Λ : Abb(n, M )/ S(n) → gPart(n, M ), Λ(S(n) ∗ f )(x) := ¯f −1 (x)¯ f¨ ur alle x ∈ M, ist wohldefiniert und eine Bijektion zwischen den beiden Mengen. 2. Die Einschr¨ankung von Λ auf Inj(n, M )/ S(n) bildet diese Menge bijektiv auf gPart∗ (n, M ) := {h ∈ gPart(n, M ) | h(x) ∈ {0, 1} f¨ ur alle x ∈ M } ab. 3. Mon≤ (n, m) ist zu Abb(n, m)/ S(n), also auch zu Abb(n, M )/ S(n) gleichm¨achtig, wenn |M | = m. Eine Bijektion ist gegeben durch Mon≤ (n, m) 3 f 7→ S(n) ∗ f . 4. Die Einschr¨ankung dieser Abbildung auf Mon< (n, m) liefert eine Bijektion zwischen dieser Menge und Inj(n, m)/ S(n). Also sind Inj(n, m)/ S(n) und Inj(n, M )/ S(n) f¨ ur jede m-Menge M zu Mon< (n, m) gleichm¨achtig. 14
Beweis: Da g genau dann in S(n) ∗ f liegt, wenn |g −1 (x)| = |f −1 (x)| f¨ ur alle x in M , ist . S Λ(S(n)∗f ) als Abbildung von M nach N0 wohldefiniert. Da ferner n = x∈M f −1 (x), liegt diese Abbildung auch in gPart(n, M ). Die Bijektivit¨at von Λ zu beweisen, ist dann sehr einfach. Da f genau dann injektiv ist, wenn alle Urbilder f −1 (x) h¨ochstens einelementig sind, ist auch der zweite Teil klar. Die restlichen Teile folgen aus dem vorigen Satz und der Beobachtung, daß eine monotone Funktion genau dann streng monoton ist, wenn sie injektiv ist. 2 Nun zur ausst¨andigen Bestimmung der Anzahl der Auswahlen ohne Ber¨ ucksichtigung der Anordnung. Satz 1.10. Es seien n, m ∈ N, es sei M eine m-Menge. Dann gilt: ¢ ¡ ¡ ¢ . und |Mon≤ (n, m)| = m+n−1 1. |Mon< (n, m)| = m n n ¡m¢ u¢cksicht2. Es gibt genau n Auswahlen vom Umfang n aus der m-Menge M ohne Ber¨ ¡m igung der Anordnung und ohne Wiederholung; also |Inj(n, M )/ S(n)| = n . ¢ ¡ 3. Es gibt genau m+n−1 Auswahlen vom Umfang n aus der m-Menge M ohne n Ber¨ u cksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung; also |Abb(n, M )/ S(n)| = ¡m+n−1¢ . n Beweis: Die Menge Mon< (n, m) ist gleichm¨achtig zur Menge gPart∗ (n, m) := {h ∈ gPart(n, m) | h(m) ⊆ {0, 1}}, welche selbst wiederum gleichm¨achtig zur Menge Pn (m) ist. (Dabei beachte man den Zusammenhang zwischen Teilmengen einer Menge und deren charakteristischen Funktionen.) Damit ist der erste Teil gezeigt. Nun betrachten wir f¨ ur ∗ ∗ f ∈ Mon≤ (n, m) die Abbildung Γ(f ) := f : n → Z, definiert durch f (i) := f (i) + i − 1. Man rechnet leicht nach, daß f ∗ streng monoton steigt und daß 1 ≤ f ∗ (1) und f ∗ (n) ≤ m + n − 1. Also ist Γ eine Abbildung von Mon≤ (n, m) nach Mon< (n, m + n − 1). Durch Induktion u ur jede streng monoton steigende Funktion ¨ber j erkennt man schnell, daß f¨ g : n → N und alle 1 ≤ j ≤ n der Wert g(j) ≥ j sein muß. Daraus folgt, daß f¨ ur # # g ∈ Mon< (n, m + n − 1) die Funktion g mit g (j) := g(j) − j + 1 in Mon≤ (n, m) liegt und daß die Zuordnung g 7→ g # zu Γ invers ist.¡ Folglich ¢ ist Γ bijektiv und |Mon≤ (n, m)| = m+n−1 |Γ(Mon≤ (n, m))| = |Mon< (n, m + n − 1)| = . Die restlichen Aussagen ergeben n sich daraus. 2
2
Konstruktive Aspekte der Kombinatorik
In diesem Kapitel soll exemplarisch gezeigt werden, daß kombinatorische Objekte nicht nur abgez¨ahlt werden k¨onnen, sondern daß man sie explizit bestimmen kann. Die Verwobenheit beider Gesichtspunkte soll ebenfalls aufgezeigt werden.
2.1
Die lexikographische und andere Ordnungen
Wir werden bequemerweise Abbildungen f : hn, mi → X als Vektoren deuten: f = (fn , fn+1 , . . . , fm ), fj = f (j). Definition 2.1. F¨ ur n, m ∈ N0 mit n ≤ m und f¨ ur f, g ∈ Abb(hn, mi), R) definieren wir drei Ordnungsbeziehungen. Es sei 15
1. f ≤p g, wenn fj ≤ gj f¨ ur alle j (partielle Ordnung). 2. f ≤` g, wenn entweder f = g oder wenn (f 6= g und) ein n ≤ j0 ≤ m existiert, so daß fj0 < gj0 und fj = gj f¨ ur alle n ≤ j < j0 (lexikographische Ordnung). 3. f ≤c , wenn f ◦ inv ≤` g ◦ inv, wobei inv(j) := m + n − j (kolexikographische Ordnung). Wir schreiben f
p g usw. f¨ ur die offensichtlich damit gemeinten Sachverhalte. Bemerkung 2.1. F¨ ur f 6= g ist es bequem festzusetzen: µ(f, g) := min{n ≤ j ≤ m | fj 6= gj }. Dann ist f
0 do begin f[j]:= m[j] mod a[j]; m[j-1]:=m[j] div a[j];
18
j:=j-1; (* u div v Quotient bei Division von u durch v *) (* u mod v Rest bei Division von u durch v *) end; f[0]:=m[0]
Q ManQ erkennt wegen mj = mj−1 aj +fj n¨amlich mittels Induktion, daß m = mj n`=j+1 a` + fj+1 n`=j+2 a` + . . . + fn−1 an + fn , wenn j = n, n − 1, . . . , 0. F¨ ur j > 0 liegen die fj nach Konstruktion in [aj ]. f0 = m0 ist ≥ 0. W¨are f0 > a0 − 1, so m ≥ a0 a1 · · · an > a0 a1 · · · an − 1, ein Widerspruch zu m ≤ a0 a1 · · · an − 1. Die Potenzmenge P([n]) ist nichts anderes als Abb([n], {0, 1}) = {0, 1}n . Somit sind die obigen Algorithmen anwendbar. Will man anstelle der charakteristischen Funktionen cA ∈ Abb([n], {0, 1}) die Mengen A selbst haben, so muß man anstelle der Funktion cA , also des Vektors (x0 , x1 , . . . , xn−1 ), wobei alle xj ∈ {0, 1}, die Menge {j | 0 ≤ j ≤ n − 1, xj = 1} betrachten.
2.3
Monotone Funktionen und n-elementige Teilmengen
Obwohl die lexikographische Anordnung Listalgorithmen f¨ ur die Mengen Mon≤ (n, m) und Mon< (n, m) in einfacher Form liefert, besprechen wir hier die kolexikographische Ordnung, da hier die Rangfunktion und ihre Umkehrung interessante zus¨atzliche Einsichten liefert. Bez¨ uglich der lexikographischen Ordnung ergibt sich min Mon≤ (n, m) = (1, 1, . . . , 1) und max Mon≤ (n, m) = (m, m, . . . , m). Ein f ∈ Mon≤ (n, m) ist < max Mon≤ (n, m) genau dann, wenn ein i existiert, so daß fi < m. In diesem Fall sei i0 das Maximum aller i mit fi < m. Dann hat der Nachfolger f + die Form f + = (f1 , f2 , . . . , fi0 −1 , fi0 + 1, fi0 + 1, . . . , fi0 + 1). Die Zuordnung Γ : Mon≤ (n, m − n + 1) → Mon< (n, m), Γ(f )(i) := f (i) + i − 1, ist bijektiv und bez¨ uglich ≤` streng monoton steigend, also insbesondere succ(Γ(f )) = Γ(succ(f )). Somit hat man auch Mon< (n, m) im Griff.
Wir schicken voraus: F¨ ur zwei Funktionen f, g ∈ Abb(hn, mi, R) mit f 6= g sei ν(f, g) := max{j | n ≤ j ≤ m, fj 6= gj }. Dann ist f k − n`=i+1 f`j−1 } f¨ ur i = n − 1, n − 2, . . . , 1. ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ Beweis: O.B.d.A. sei n ≥ 2. Nach Definition ist fnn−1 ≤ k < fnn und wegen k < m ¡ ¢n auch fn ≤ m. Außerdem ist nach den Rechenregeln f¨ ur Binomialkoeffizienten fnn = ¡fn −1¢ ¡fn −1¢ ¡fn −1¢ ¡fn ¢ ¡fn −1¢ ¡fn −1¢ + , also 0 ≤ k − < − = . Daher kann man mit n n−1¢ n n n n−1 ¡ f − k 0 = k − nn , n0 = n − 1 und m0 = fn − 1 weitermachen. 2 Die algorithmische Umsetzung bereitet keine Probleme. Es folgen zwei Anwendungen. Satz 2.2. Es ist N × N gleichm¨achtig zu N. Eine konkrete Bijektion ist gegeben durch (i, j) 7→ i + (i + j − 1)(i + j − 2)/2 + 1. Analoge Aussagen und konkrete Bijektionen kann man auch f¨ ur Nk , k > 2, treffen bzw. angeben. Beweis: Die Abbildung (i, j) 7→¡ (i,¢i +¡j) bildet N × N bijektiv auf N := {(i, k) ∈ N × ¢ k−1 N | i < k} ab. Dann ist (i, k) 7→ i−1 + + 1 sicher injektiv und auch surjektiv. Man 1 2 hat nur die Einschr¨ankung dieser Abbildung auf die Mengen Mon< (2, m) zu betrachten, ¨ deren Eigenschaften nach den obigen Uberlegungen bekannt sind. 2 Denkt man sich N × N in der u ¨blichen Weise angeschrieben (1, 1) (1, 2) . . . (1, n) . . . (2, 1) (2, 2) . . . (2, n) . . . (3, 1) (3, 2) . . . (3, n) . . . , .. .. .. ... ... . . . 21
so geschieht die Abz¨ahlung l¨angs Diagonalen: (1, 1); (2, 1), (1, 2); (3, 1), (2, 2), (1, 3); . . . ; (n, 1), (n − 1, 2), . . . , (1, n); . . . Bemerkung 2.12. Bekanntlich ist die Zuordnung Mon< (n, m) 3 f 7→ f (n) ∈ Pn (m) eine Bijektion. Deswegen sind obige Algorithmen gleichzeitig welche, die auf Pn (M ) (M eine m-Menge) anwendbar sind. Bemerkung 2.13. Die Menge gPart(n, m) =: Part(n, m) ist ebenfalls zu Mon< (n, m) gleichm¨achtig. In Vektorschreibweise ist Part(n, m) = {g ∈ Nm 0 | g1 + g2 + . . . + gm = n}; die Bijektion wird geliefert durch f 7→ (|f −1 (1)| , |f −1 (2)| , . . . , |f −1 (m)|). Auch hier ist es nicht allzu schwer, die Algorithmen zu u ¨bertragen. F¨ ur a1 , a2 , . . . , am ∈ N0 sei Part(n; a1 , a2 , . . . , am ) := {g P ∈ Part(n, m) | gi ≥ ai , 1 ≤ i ≤ m}. Dann ist diese Menge gleichm¨ a chtig zu Part(n − i ai , m), also insbesondere ¡m+n−P ai −1¢ ¡m+n−P ai −1¢ i i P . Eine Bijektion ist gegeben |Part(n; a1 , a2 , . . . , am )| = = m−1 n− i ai durch (g1 , g2 , . . . , gm ) 7→ (g1 − a1 , g2 − a2 , . . . , gm − am ). ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Die Zuordnung Mon≤ (n, m) 3 f 7→ Λ(f ) := (¯f −1 (1)¯ , ¯f −1 (2)¯ , . . . , ¯f −1 (m)¯) ∈ Part(n, m) ist bijektiv. Λ ist sogar streng monoton steigend, wenn Definitions- und Bildbereich mit der kolexikographischen Ordnung versehen werden. Ist n¨ amlich f j0 und fj0 < gj0 , so folgt f −1 (k) = g −1 (k), wenn k > gj0 . Außerdem folgt f −1 (gj0 ) ⊆ hj0 + 1, ni und f −1 (gj0 ) ( g −1 (gj0 ), da fj = gj f¨ ur j > j0 und da j0 ∈ g −1 (gj0 ). Das bedeutet, daß Λ(f )k = Λ(g)k , wenn k > gj0 , und Λ(f )gj0 < Λ(g)gj0 , also Λ(f ) fi0 }. Die Funktion f ∗ , f ∗ := (f1 , f2 , . . . , fi0 −1 , fj0 , fn , fn−1 , . . . , fj0 +1 , fi0 , fj0 −1 , . . . , fi0 +1 ), 24
liegt dann in Ai0 −1 (f ) ⊆ A. Es ist f ∗ 6= f und µ(f, f ∗ ) = i0 , sowie fi0 < fj0 = fi∗0 , also f 0. 2 Satz 3.5. (G. Birkhoff, 1946.) Jede doppelt-stochastische Matrix ist eine Konvexkombination von Permutationsmatrizen. D.h., zu jeder doppelt-stochastischen (n, n)P Matrix A existiert eine nat¨ urliche Zahl t und existieren λ1 , λ2 , . . . , λt ≥ 0 mit ti=1 λi = 1, sowie Permutationen π1 , π2 , . . . , πt ∈ Sn , so daß A=
t X
λi Pπi .
i=1
Beweis: Wir f¨ uhren einen Induktionsbeweis nach k = k(A) := |{(i, j) | aij > 0}|. Nach dem oben formulierten Hilfssatz ist k(A) ≥ n. Im Falle k(A) = n (Induktionsanfang) sei π ∈ Sn so gew¨ahlt, daß aiπ(i) > 0 f¨ ur alle i. (Das ist wegen des Hilfssatzes m¨oglich.) Dann ist aber schon A = Pπ (und die Behauptung richtig). Es ist ja aiπ(i) > 0 und wegen k(A) = n auch aij = 0, wenn j 6= π(i). Deswegen ist aiπ(i) = 1. Wenn k(A) > n, sei π eine Permutation mit den im Hilfssatz geforderten Eigenschaften und i0 so gew¨ahlt, daß ai0 π(i0 ) = κ := min{a ½ iπ(i) | 1 ≤ i ≤ n}. Es sei B = (bij ) := A − κPπ . Das heißt, daß aij falls j 6= π(i) . Deswegen sind alle bij ≥ 0; außerdem bij = aij − κδπ(i)j = aiπ(i) − κ falls j = π(i) bleibt bij gleich 0, wenn aij schon 0 ist. Zus¨atzlich ist bi0 π(i0 ) = 0. Nun betrachten wir die Zeilen- und Spaltensummen von B. n X
bij =
j=1 n X i=1
bij =
X
aij + aiπ(i) − κ = 1 − κ
j6=π(i) n X
n X
i=1
i=1
(aij − κδπ(i)j ) =
aij − κ = 1 − κ
Im Falle κ = 1 ist B = 0 und daher A = Pπ . Anderenfalls ist B 0 = (1/(1 − κ))B doppeltstochastisch und k(B 0 ) < k(A). Folglich existieren nach Induktionsvoraussetzung t0 , P0 P0 λ01 , λ02 , . . . , λ0t0 , π10 , π20 , . . . , πt00 , sodaß B 0 = ti=1 λ0i Pπi0 , bzw. B = ti=1 (1 − κ)λ0i Pπi0 oder P A = B + κPπ = ti=1 λi Pπi , wobei t := t0 + 1, λ1 := κ, π1 := π und λi := (1 − κ)λ0i−1 , 0 f¨ ur 2 ≤ i ≤ t. 2 πi := πi−1 30
Satz 3.6. (van der Waerden, 1927) Es sei M eine Menge mit nm Elementen, und es seien D, H m-elementige Teilmengen von Pn (M ), sodaß M=
. [ D∈
D
. [
D=
H∈
H
H.
Dann existiert eine Bijektion π : D → H, so daß D ∩ π(D) 6= ∅ f¨ ur alle D ∈ D. ¨ (Faßt man H und K als Aquivalenzrelationen auf M auf, so kann man das Ergebnis ¨ auch so formulieren: Haben zwei Aquivalenzrelationen auf einer endlichen Menge M ¨ gleichm¨achtige Aquivalenzklassen, so existiert eine Teilmenge von M , die gleichzeitig ein ¨ Repr¨asentantensystem f¨ ur beide Aquivalenzrelationen ist.) Beweis: F¨ ur D ∈ D sei F (D) := {H ∈ H | D ∩ H 6= ∅}. Wir weisen ¯die Bedingung ¯S S ¯ ¯. (P ) nach. Sei D0 ⊂ D und sei H0 := D∈D0 F (D). Dann ist ¯ D∈D0 D¯ = n |D0 | und ¯S ¯ S S ¯. ¯ H ¯ H∈H0 ¯ = n |H0 |. Außerdem ist D∈D0 D ⊆ H∈H0 H. Ist n¨amlich x ∈ D ∈ D0 , so S existiert ein H ∈ H mit x ∈ H. Folglich ist H ∈ F (D) und somit x ∈ D∈D0 F (D). Daraus ergibt sich ¯[ ¯ ¯[ ¯ ¯. ¯ ¯. ¯ n |D0 | = ¯¯ D¯¯ ≤ ¯¯ H ¯¯ = n |H0 |
D0
H0
D∈
d.h.,
H∈
¯ ¯ ¯[ ¯ ¯ ¯ |D0 | ≤ |H0 | = ¯ F (D)¯ . ¯ ¯ D∈
D0
Daher impliziert der Heiratssatz die Existenz einer injektiven Abbildung π : D → H, so daßT π(H) ∈ F (H) f¨ ur alle H. π ist sogar bijektiv, und π(H) ∈ F (H) bedeutet, daß H π(H) 6= ∅. 2 Folgerung 3.1. (Miller, 1910) Es sei G eine endliche Gruppe und H eine Untergruppe. Dann existieren Elemente x1 , x2 , . . . , xm in G, so daß G=
. m [ i=1
xi H =
. m [ i=1
Hxi .
Beweis: Es sei n die Ordnung von H und nm die Ordnung von G. Auf G sind zwei ¨ Aquivalenzrelationen definiert durch g ∼` h, wenn g −1 h ∈ H, und g ∼r h, wenn gh−1 ∈ ¨ H. Die Aquivalenzklassen sind dann gerade die Links- bzw. Rechtsnebenklassen von H in G. Diese haben alle die (gleiche) M¨achtigkeit n. Der Satz garantiert dann die Existenz einer Bijektion π zwischen der Menge {u1 H, u2 H, . . . , um H} der Linksnebenklassen und der Menge {Hv1 , Hv2 , . . . , Hvm } der Rechtsnebenklassen, so daß ui H ∩ π(ui H) 6= ∅. Abschließend w¨ahlt man xi ∈ ui H ∩ π(ui H). (Es ist π(ui H) = Hvj f¨ ur ein geeignetes j.) 2
3.3
Ein algorithmischer Beweis
In diesem Abschnitt soll f¨ ur den Heiratssatz eine in [BP] dargelegte konstruktive Beweismethode dargestellt werden. Dabei k¨onnen wir uns darauf konzentrieren, die Hinl¨anglichkeit der Bedingung (P ) nachzuweisen. 31
Gegeben seien n endliche Mengen A1 , A2 , . . . , An und eine injektive Funktion h : {1, 2, . . . , n − 1} →
n−1 [
Ai
mit h(i) ∈ Ai , 1 ≤ i ≤ n − 1.
i=1
Wir werden den folgenden Satz beweisen. Satz 3.7. Gilt unter obigen Voraussetzungen f¨ ur alle Teilmengen J ⊆ {1, 2, . . . , n − 1} ¯ ¯ ¯ ¯[ ¯ ¯ ¯ Aj ∪ An ¯ ≥ |J| + 1, ¯ ¯ j∈J
S so existiert eine injektive Funktion h∗ : {1, 2, . . . , n} → ni=1 Ai mit h∗ (i) ∈ Ai f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n, sodaß außerdem h(i) ∈ h∗ ({1, 2, . . . , n}) f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n − 1. ¨ Den Beweis kann man den folgenden Uberlegungen und Bemerkungen entnehmen. Fall 1. Wenn An * h({1, 2, . . . , n − 1}), w¨ahle man ein x ∈ An \ h({1, 2, . . . , n − 1}) und setzte h∗ (n) := x und h∗ |{1,2,...,n−1} := h. Fall 2. Von nun an sei An ⊆ h({1, 2, . . . , n − 1}) und I := {1, 2, . . . , n − 1}. F¨ ur jede Teilmenge E von h(I) sei ind(E) := h−1 (E) die Menge der Indizes i ∈ I, so daß h(i) ∈ E. Dann ist h(ind(E)) = E, und aus Sder Injektivit¨at von h folgt, daß |ind(E)| = |E|. F¨ ur beliebige Teilmengen E von A := nj=1 Aj sei nS v(E) :=
E
j∈ind(E)
Aj
falls E ⊆ h(I) sonst.
Behauptung 1. F¨ ur alle E ⊆ A ist E ⊆ v(E) ⊆ A und sogar E ( v(E), falls An ⊆ E ⊆ h(I). Wenn E * h(I) ist v(E) = E. Im anderen Fall (E ⊆ h(I)) sei x ∈ E beliebig; dann ist x = h(i) f¨ ur ein i ∈ ind(E). Folglich ist x = h(i) ∈ Ai und Ai ⊆ v(E) nach Konstruktion von v(E). Ist An ⊆ ES⊆ h(I), so folgt aus dem eben Gezeigten, daß E ⊆ v(E). Wegen An ⊆ E ist v(E) = i∈ind(E) Ai ∪ An , woraus mit Hilfe der Voraussetzung folgt, daß |v(E)| ≥ |ind E| + 1 = |E| + 1. Somit ist v(E) 6= E. Die Zuordnung E 7→ v(E) ist eine Abbildung der endlichen Menge P(A) in sich. Deshalb existiert in jeder Folge E ⊆ v(E) ⊆ v(v(E)) ⊆ . . . ⊆ v j (E) ⊆ . . . ein k ≥ 0 mit v k (E) = v k+1 (E). F¨ ur E0 := An ist E0 ( v(E0 ) =: E1 . Es sei T := min{k ∈ N0 | v k (E0 ) = v k+1 (E0 )}. Dann ist T ≥ 1 und (mit Ek := v k (E0 )) E0 ( E1 ( . . . ( ET = ET +1 . Behauptung 2. Es ist T ≥ 1, ET −1 ⊆ h(I) und ET * h(I), also T das Minimum aller k ≥ 1 mit v k (E0 ) * h(I). Daß T ≥ 1 sein muß, haben wir schon gesehen. W¨are ET −1 keine Teilmenge von h(I), so w¨are ET = v(ET −1 ) = ET −1 , ein Widerspruch zur Definition von T . 32
F¨ ur 0 ≤ t ≤ T − 1 sei It := ind(Et ). (Da f¨ ur diese t-Werte Et ⊆ h(I), ist It definiert.) Dann ist (Injektivit¨at von h) I0 ( I1 ( . . . ( IT −1 ⊆ I und Et+1 = v(Et ) =
[
Ai .
i∈It
Behauptung 3. F¨ ur alle 1 ≤ t ≤ T − 1 und f¨ ur alle x ∈ Et+1 \ Et existiert ein i ∈ It \ It−1 , so daß x ∈ Ai . Mehr noch: Ist xS∈ Ai f¨ ur ein i ∈ It , so gilt immer i ∈ / It−1 . Aus x ∈ Et+1 \ Et und Et+1 = v(Et ) = i∈It Ai folgt die Existenz eines i ∈ It mit x ∈ Ai . W¨are i ∈ It−1 , so m¨ ußte Ai eine Teilmenge von Et sein, also x in Et liegen, ein Widerspruch. Behauptung 4. Ist T = 1, so existiert ein b ∈ E1 \ h(I) und ein i0 ∈ I0 , so daß b ∈ Ai0 . Ferner ist h(i0 ) ∈ An und h∗ — mit h∗ (n) := h(i0 ), h∗ (i0 ) := b und h∗ (i) := h(i) f¨ ur alle anderen i — definiert eine Funktion mit der gew¨ unschten Eigenschaft. Unter den Voraussetzungen dieser Behauptung exitiert sicher ein b ∈ E1 \ h(I). Also ist b ∈ Ai0 f¨ ur ein (geeignetes) i0 ∈ I0 . h(i0 ) liegt in E0 = An ⊂ h(I). Somit ist h(i0 ) 6= b. Der Rest ist klar. Von nun an sei T ≥ 2. Behauptung 5. Es sei T ≥ 2. Dann existiert ein b ∈ ET \ h(I) und eine Folge (iT −1 , iT −2 , . . . , i1 , i0 ) von Elementen aus I mit den Eigenschaften: 1. b ∈ AT −1 , h(it ) ∈ Ait−1 f¨ ur 1 ≤ t ≤ T − 1, 2. it ∈ It \ It−1 f¨ ur 1 ≤ t ≤ T − 1 3. h(i0 ) ∈ E0 = An . Der Beweis f¨ ur diese Behauptung verl¨auft folgendermaßen. Wegen ET * h(I) existiert ein b ∈ ET \ h(I) ⊆ ET \ ET −1 . Folglich gibt es nach Behauptung 3 ein iT −1 ∈ IT −1 \ IT −2 mit b ∈ AIT −1 . Weiter geht es mit Induktion. Wir nehmen an, daß man (iT −1 , iT −2 , . . . , is+1 ) schon konstruiert hat, so daß die obigen Punkte f¨ ur i ≥ s + 1 gelten, wobei s ≥ 1. Dann ist is+1 ∈ Is+1 \ Is und folglich (da h injektiv) h(is+1 ) ∈ h(Is+1 \ Is ) = h(Is+1 ) \ h(Is ) = Es+1 \ Es . Daher existiert nach Behauptung 3 ein is ∈ Is \ Is−1 mit his ∈ Ais−1 . Nun sei (iT −1 , iT −2 , . . . , i1 ) (und b) schon so konstruiert wie gefordert. Dann ist h(i1 ) ∈ h(I1 \ I0 ) = h(I1 ) \ h(I0 ) = E1 \ E0 . Also ist h(i1 ) ∈ E1 = v(E0 ) und es existiert ein i0 ∈ I0 mit h(i1 ) ∈ Ai0 . Außerdem liegt wegen An = E0 = h(I0 ) das Element h(i0 ) in An . Behauptung 6. Die Werte i0 , i1 , . . . , iT −1 sind paarweise verschieden und ebenso die Werte h(i0 ), h(i1 ), . . . , h(iT −1 ), b. W¨are n¨amlich i0 = it mit t ≥ 1, so folgte i0 ∈ I0 ∩ (It \ It−1 ) ⊆ I0 ∩ (It \ I0 ) = ∅, ein Widerspruch. W¨are is = it f¨ ur 1 ≤ s < t ≤ T − 1, so folgte in analoger Weise der Widerspruch is ∈ (Is \ Is−1 ) ∩ (It \ It−1 ) ⊆ Is ∩ (It \ Is ) = ∅. Aus der Injektivit¨at von h ergibt sich dann, daß die Werte h(ij ), 0 ≤ j ≤ T − 1 paarweise verschieden sind. Der Rest ergibt sich aus der Beobachtung, daß b 6∈ h(I) ⊇ {h(i0 ), h(i1 ), . . . , h(iT −1 )}. Behauptung 7. h∗ , definiert durch 33
1. h∗ (n) := h(i0 ), 2. h∗ (it ) := h(it+1 ) f¨ ur 0 ≤ t ≤ T − 2, 3. h∗ (iT −1 ) := b und 4. h∗ (i) := h(i) f¨ ur alle i ∈ I \ {i0 , i1 , . . . , iT −1 }, ist eine injektive Funktion mit Definitionsbereich {1, 2, . . . , n}, so daß h∗ (i) ∈ Ai f¨ ur alle 1 ≤ i ≤ n. Das ergibt sich aus den beiden vorigen Behauptungen. F¨ ur den Algorithmus verwenden wir folgende Notationen: x in A {} A
