Lebensversicherungsmathematik 001

Lebensversicherungsmathematik Vorlesung am Institut für Mathematische Stochastik der Universität Hannover von Dr. Matthias Brake Sommersemester 2006

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INHALTSVERZEICHNIS

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Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Was ist eine Versicherung? . . . . . . . . . . . 1.2 Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen 1.3 Aufgaben der Versicherungsmathematik . . . 1.4 Deterministische Modelle . . . . . . . . . . . . 1.5 Lebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . .

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4 4 5 5 6 7

2 Elementare Finanzmathematik 2.1 Die diskontinuierliche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Beispiele für Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 kontinuierliche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Beispiele für Verzinsung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Effektiver und nomineller Zinssatz . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Zeitrenten und ihre Barwerte von zinsbehafteten Zahlungen

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9 9 10 11 12 13 15

3 Zukünftige Lebenserwartung eines x-Jährigen 3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 vollständige Restlebenserwartung eines x-Jährigen . . . . . . . 3.3 Sterbeintensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Stationaritätsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Diskretisierung: ganzzahlig gestutzte zukünftige Verweildauern 3.6 Sterbetafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Arten von Sterbetafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Vorgehensweise beim Herleiten einer Sterbetafel . . . . . 3.6.3 In der Praxis verwendete Sterbetafeln . . . . . . . . . .

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18 18 20 20 21 23 25 27 29 33

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4 Leistungen und Barwerte 35 4.1 Einleitung, Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Berechnung von erwarteten Barwerten bei unterjährlicher Zahlungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 Kommutationszahlen 5.1 Einleitung und Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Versicherungen mit ausschließlich Erlebensfallcharakter . . . . . . 5.3 Versicherungen mit ausschließlich Todesfallcharakter . . . . . . .

45 45 46 48

6 Prämien 6.1 Modellvoraussetzungen der klassischen LV . . . . . . . . . . . . . 6.2 Nettoprämie = Nettobeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Jahresnettoprämien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Unterjährliche Renten und unterjährliche Beiträge . . . . . . . . 6.4.1 Gebräuchliche Näherungsverfahren zur Berechnung unterjährlicher Beiträge (nicht in der Vorlesung behandelt) . . 6.5 Kosten und Bruttobeiträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Kostenschlüsselung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Allgemeine Berechnung der ausreichenden Prämie . . . . . . . . .

50 52 53 54 55 56 57 58 59

INHALTSVERZEICHNIS 6.7

3

Tarif- und Bruttoprämie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7 Der Gleichbehandlungsgrundsatz

63

8 Der Verantwortliche Aktuar

65

9 Deckungsrückstellungen in der LV 9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Das prospektive Deckungskapital . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Klassische Lebensversicherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Rekursionsformel und retrospektive Darstellung . . . . . . . . 9.5 Zerlegung der Nettoprämie in Spar- und Risikoanteil . . . . . 9.6 Gezillmerte und ausreichende Deckungsrückstellung . . . . . . 9.7 Formeln für das gezillmerte und ausreichende Deckungskapital 9.8 Bilanzdeckungsrückstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . . . .

10 Überschussbeteiligung in der Lebensversicherung 10.1 Bilanz und GuV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Bilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2 Die Gewinn- und Verlustrechnung (GuV) eines Lebensversicherers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Überschussentstehung: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Die Ursachen des Überschusses und seine Quellen. Kontributionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Kontributionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Überschussverteilungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Natürliche Dividendensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Mechanische Dividendensystem . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Überschussverwendungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Schlussüberschussbeteiligung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Finanzierbarkeit der Überschussbeteiligung, Profit-Testing . . . . 10.7.1 Varianten des Finanzierbarkeitsnachweises . . . . . . . . .

66 66 67 72 74 75 77 78 81 82 83 84 85 88 90 92 93 93 95 96 97 98 99

11 Rechtliche Rahmenbedingungen 103 11.1 Rechtliche Rahmenbedingungen der Prämienkalkulation und der Wahl der Rechnungsgrundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.2 Gesetzliche Vorgaben zur Berechnung von Deckungsrückstellungen104 11.3 Garantiewerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 12 Aktuarverordnung, Erläuterungsbericht

109

1 EINLEITUNG

1

4

Einleitung

1.1

Was ist eine Versicherung?

Aus Sicht des Versicherungsnehmers (VN): Mittel seiner individuellen Risikopolitik Aus Sicht des Versicherers (VR): Schutzversprechen als produziertes Wirtschaftsgut. Aus gemeinsamer Sicht: Finanzieller Risikotransfer vom VN auf den VR gegen Entgeltzahlung. Es sind mehrere Teilgebiete betroffen: 1. ökonomisches Phänomen 2. juristisches Phänomen 3. mathematisches Phänomen 4. medizinisches und technisches Phänomen etc. Die Versicherungswissenschaft ist somit interdisziplinär. Definition 1.1.1 (Farny, 1988, S. 870) Versicherung ist die Deckung eines im einzelnen ungewissen, insgesamt geschätzten Mittelbedarfs auf der Grundlage des Risikoausgleichs im Kollektiv und in der Zeit. Es gibt drei Hauptmerkmale des Versicherungsgeschäftes: 1. Finanzierung aus den Entgelten, 2. Unsicherheit hinsichtlich des versicherten Ereignisses, 3. Risikokalkulation und Risikoausgleich. Der letzte Punkt stellt die Abgrenzung zum Bankgeschäft dar. Bei diesen Hauptmerkmalen bleibt die Unsicherheit bei den Prämienzahlungen zunächst unberücksichtigt. Die Unsicherheit bezieht sich hier nur auf das Risiko. Dabei besteht die Unsicherheit in Bezug auf: • Tatsache des Eintritts des Risikos (Eintritt ja oder nein?), • Zeitpunkt des Eintritts, • Qualität des Eintrittes des Risikos (Art und Ausmaß). Bei der Modellierung der Unsicherheit sind zufällige Momente von Bedeutung. Hier kommt die Stochastik (Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik) ins Spiel.

1 EINLEITUNG

5

Fazit: Die Stochastik ist Basis der Versicherungsmathematik!

1.2

Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen

Die folgenden Einteilungsprinzipien für Versicherungsformen sind praxisorientiert und historisch gewachsen. Sie sind nicht disjunkt. Eine Einteilung kann beispielsweise erfolgen • nach Art des versicherten Gegenstandes – Personenversicherung – Sachversicherung – Vermögensversicherung (z.B. Haftpflicht) • nach Art der Versicherungsleistung (s. VVG) – Summenversicherung (fester Geldbetrag nach Eintritt des Versicherungsfalles ohne Nachweis eines konkreten Schadens) – Schadenversicherung (vertragsmäßiger Ersatz des eingetretenen Schadens • nach Art der versicherten Gefahr (Risikoart) – Einbruchdiebstahlversicherung – Feuerversicherung – Glasbruchversicherung – etc. Diese Einteilungsprinzipien ziehen eine Bildung von Versicherungszweigen und -sparten nach sich, welche wichtig sind für: • die Kalkulation einer risikogerechten Prämie, • die Vertragsverwaltung und • die Ergebnisermittelung im Rahmen der Rechnungslegung. In dieser Vorlesung befassen wir uns mit der Personenversicherung und hier vorwiegend mit der Lebensversicherung (LV).

1.3

Aufgaben der Versicherungsmathematik

Bereitstellung von mathematischen Modellen und Methoden, • die die quantifizierbaren Sachverhalte des Versicherungswesens beschreiben oder erklären oder

1 EINLEITUNG

6

• mit deren Hilfe Entscheidungproblem der Versicherungswirtschaft gelöst werden. Anmerkung: Recht abstrakte Umschreibung der Aufgaben der Versicherungsmathematik. Man unterscheidet zunächst zwischen drei (nicht disjunkten) Zweigen der Versicherungsmathematik: • Personenversicherungsmathematik • Schadenversicherungsmathematik • Finanzmathematik Die Protagonisten in der Versicherungsmathematik sind die Versicherungsmathematiker und Aktuare (Begriffe häufig synonym verwendet). Die Hauptaufgaben der Versicherungsmathematik bestehen aus: • mathematische Beschreibung des versicherten Risikos bis hin zur Erstellung von statistisch gesicherten Rechnungsgrundlagen (LV: Schätzung und Vertafelung von Ausscheide- und Überlebenswahrscheinlichkeiten) • Tarifierung und Prämienkalkulation (LV: Berechnung von Barwerten, Nettoprämien, Kosten, Deckungskapitalien etc.) • versicherungstechnische Analysen (LV: Überschussermittelung, Überschusszerlegung nach Gewinnquellen, Renditeberechnungen etc.) • Risikoteilung VN - VR - Rückversicherer (hier: nicht behandelt) • Berechnung von Rückstellungen für die Schadenabwicklung, von Schwankungsrückstellungen und Sicherheitsreserven (Solvabilitätsüberlegungen) (hier: nicht behandelt) • Überlegungen zur Beschreibung des Zinsrisikos und zur Steuerung von Kapitalanlagen (hier: nur am Rande behandelt) In diese Probleme spielen häufig außermathematische Überlegungen, zum Beispiel betriebswirtschaftlicher oder steuerlicher Natur, hinein. Fazit: Ein Versicherungsmathematiker bzw. Aktuar ist folglich nicht nur ein ‘Produktentwickler‘ im Versicherungswesen, sondern (mit-)verantwortlich für viele Belange des VR.

1.4

Deterministische Modelle

In der Praxis der Personenversicherung werden in der Regel deterministische Modelle und Methoden verwendet. Aus wissenschaftstheoretischer Sicht sind

1 EINLEITUNG

7

dies Erklärungsmodelle: Deterministische Modelle: • Eingangs- und Zielgrößen werden als deterministisch angesehen (LV: Zins, Kosten etc.) oder durch ihre Erwartungswerte ersetzt (rechnungsmäßige = erwartete Anzahl von Leistungsfällen, erwartete Schadenhöhen) • Eingangsgrößen bestimmen / erklären Zielgrößen • im Ergebnis reines Mittelwertkalkül Nachteile deterministischer Modelle: • Modell ungeeignet , wenn Zufallsschwankungen um den Mittelwert von Bedeutung sind (z.B. bei der Betrachtung von Großschäden in der Schadenversicherungsmathematik) • keine fundierte Risikobewertung möglich • keine Berechnung von Sicherheitszuschlägen möglich. Man unterscheidet bei der deterministischen Methode zwischen der kontinuierlichen Methode und der diskontinuierlichen Methode: diskontinuierlich = diskret höchstens abzählbare Menge von Zeitpunkten (meistens äquidistant), zu denen die relevanten Ereignisse auftreten oder registriert werden (ggf. Diskretisierung erforderlich) kontinuierlich = stetig Verteilung der Zufallsvariablen, die Zeiten modellieren, besitzen (Lesbuege-) Dichten. In der Praxis treten häufig gemischte Modelle auf: • Zeitvariablen, die Gegenstand vertraglicher Regelungen und Einschränkungen sind (z.B. Prämienzahlungen, Leistungszeiten, Stornozeiten etc.) sind in der Regel diskret. • biometrische Variablen (z.B. Todesfallzeitpunkt, Individualisierungszeitpunkt etc.) sind in der Regel kontinuierlich. Die Unterscheidung zwischen diskontinuierlichen und kontinuierlichen Modellen ist historisch gewachsen. In der Praxis wird häufig die diskontinuierliche Methode, in der Theorie wird häufig die kontinuierliche Methode verwendet. In dieser Vorlesung wird vorwiegend die diskontinuierliche Methode angewendet!

1.5

Lebensversicherung

Charakter einer Lebensversicherung: Langfristiges Versicherungsverhältnis!

1 EINLEITUNG

8

Folgerung: Der Preis der Versicherung muss sorgfältig und vorausschauend bestimmt werden. Die verschiedenen Lebensversicherungsverträge kann man nach unterschiedlichen Kriterien einteilen: 1. Unterscheidung nach dem versicherten Ereignis • Versicherungen auf das Leben oder den Tod • Erwerbsunfähigkeitsversicherungen • Krankenversicherungen (hier nicht behandelt) 2. Unterscheidung nach Erbringung der Leistung • Versicherung auf das Leben oder den Tod – Altersrente (mit Garantiezeit) – Erlebensfallversicherung – (lebenslängliche) Todesfallversicherung – gemischte Versicherung (klassisches Beispiel!) – Witwen- / Witwerrente – Waisenrente – Versicherung auf zwei Leben – Rückgewähr (Zusatzversicherung, Todesfallversicherung in Höhe der bezahlten Beiträge) • Erwerbsunfähigkeitsversicherung – Invalidenrente – Invaliditätskapital – Prämienbefreiung – Invalidenkinderrente 3. Unterscheidung nach versicherbaren Risiken • Todesfallrisiko • Unfalltodrisiko • Erlebensfallrisiko • Berufsunfähigkeitsrisiko, Erwerbsunfähigkeitsrisik, Arbeitsunfähigkeitsrisik • Pflegebedürftigkeitsrisiko

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

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• Heiratsrisiko • Arbeitslosigkeitsrisiko Finanzierungsarten: Die Finanzierung in der Lebensversicherung erfolgt in der Regel die laufende Prämienzahlung oder gegen Zahlung eines Einmalbeitrages. Das Hauptprinzip bei der Berechnung der Versicherungsprämien ist das Äquivalenzprinzip. Es besagt, dass der Wert der Leistungen des Versicherers dem Wert der Leistungen des Versicherungsnehmers entsprechen muss.

2

Klassische oder elementare Finanzmathematik: Der Zins als Rechnungsgrundlage

Neben der Wahrscheinlichkeitstheorie (Sterbewahrscheinlichkeit, Ausscheideordnung etc.) spielt der Zins als weitere Rechnungsgrundlage eine entscheidende Rolle in der Lebensversicherungsmathematik. Man unterscheidet wie in der Versicherungsmathematik üblich zwischen der diskontinuierlichen Methode und der kontinuierlichen Methode. Dies bezieht sich auf die Änderung des Kapitals bzw. auf den Zeitpunkt der Zinsgutschrift. Während der gesamten Vorlesung gehen wir davon aus, dass der Zins nicht stochastisch, sondern deterministisch ist. Ein stochastischer Zins ist Gegenstand der Finanzmathematik (stochastische Prozesse, Brownsche Bewegung).

2.1

Die diskontinuierliche Methode

Der Zinssatz wird für einen Basiszeitraum festgelegt. Der Zins wird immer nur am Ende einer bestimmten Periode gutgeschrieben. Das Kapital ändert sich in diesen Punkten sprunghaft. Dabei sind nicht Gründe für die Zinszahlungen interessant, sondern nur die Auswirkungen der Zinszahlbuchungen auf die Änderung des Kapital (Zinstheorie ist Gegenstand der Wirtschaftswissenschaften). Einige wichtige Begriffe: Konversionsperiode: • Zeitraum, an dessen Ende die Zinsen gutgeschrieben werden. • Oft beträgt die Länge einer Konversionsperiode ein Jahr.

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

10

• Die Zinszuschreibung erfolgt nur zu bestimmten festen Zeiten, oft in gleichlangen Konversionsperioden. Am Ende dieser Konversionsperiode steigt das Kapital sprunghaft. effektiver Zins: Wenn die Konversionsperiode mit der Basiszeiteinheit übereinstimmt, dann heisst der Zins, der in dieser Zeiteinheit auf das Kapital 1 gezahlt wird, effektiver Zins. Die Angabe der Basiszeiteinheit, auf die sich der effektive Zins bezieht, ist somit immer erforderlich. 2.1.1

Beispiele für Verzinsung

Sei i ein effektiver jährlicher Zinssatz. Zur Vereinfachung sei angenommen, dass i für alle Jahre identisch ist. Wir betrachten ein Bankkonto oder einen Fonds und ein Anfangskapital F0 , das investiert wird. Am Ende des Jahres k wird ein zusätzlicher Betrag rk investiert, k = 1, . . . , n. Frage: Wie sieht das Guthaben am Ende des n-ten Jahres aus? Sei Fk das Guthaben am Ende des Jahres k, einschließlich der Zahlung rk . Dann gilt: Fk = Fk−1 + iFk−1 + rk , k = 1, . . . , n ⇔

Fk − (1 + i)Fk−1 = rk ,

k = 1, . . . , n

Multipliziert man die untere Gleichung mit (1 + i)n−k und summiert über alle k, ergibt sich:

n

Fn = (1 + i) F0 +

n X

(1 + i)n−k rk .

(1)

k=1

Zusammengesetzte Verzinsung (Zinseszins) Interpretation: Das Kapital am Ende eines Zeitintervalls ist der verzinste Wert des Anfangskapitals plus der Summe der verzinsten Zwischenzahlungen. Vielfach ist man auch an dem umgekehrten Vorgang interessiert. Wir definieren r := 1 + i 1 v := . 1+i r nennt man Aufzinsungsfaktor und v den Diskontierungsfaktor. Dann gilt:

(2) (3)

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

(1) ⇔ v n Fn = F0 +

11

n X

v k rk .

k=1

Der Zuwachs des Kapitals ergibt sich aus Fk − Fk−1 = iFk−1 + rk zu Fn − F 0 =

n X

iFk−1 +

k=1

n X

rk

k=1

als Summe der gutgeschriebenen Zinsen und der Gesamteinzahlung. Wir definieren weiter: d := 1 − v.

(4)

d nennt man den ährlichen Diskont oder Vorauszins. Bemerkung 2.1.1 Es gelten folgende Beziehungen: a)

iv = d

(5)

b) dr = i.

(6)

Beweis: siehe Übung. Als weiteres Beispiel betrachten wir die einfach Verzinsung: Sei dazu die Konversionsperiode ein Jahr, i der verwendete Zinssatz und F0 das Anfangskapital. Es werden am Ende jeder Konversionsperiode nur die Zinsen auf das Anfangskapital gezahlt. Am Ende des n-ten Versicherungsjahres liegt dann folgendes Kapital vor: Fn = F0 + iF0 · . . . · iF0 = F0 (1 + ni) Aufzinsung. | {z } n−mal

Analog erhält man für die Abzinsung bei der einfachen Verzinsung: F0 =

2.2

Fn . 1 + ni

kontinuierliche Methode

Das Kapital wächst nicht sprunghaft zu gewissen Zeitpunkten, sondern stetig in jedem Zeitpunkt.

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK 2.2.1

12

Beispiele für Verzinsung

i) Einfache Verzinsung: Sei K(t) das Kapital zum Zeitpunkt t und K(0) das Startkapital. Dann gilt:

K(t) = K(0)(1 + ti) Aufzinsung K(0) =

K(t) 1+ti

Abzinsung

ii) zusammengesetzte Verzinsung (auch geometrische oder mathematische Verzinsung):

K(t) = K(0)(1 + i)t = K(0)rt Aufzinsung K(0) =

K(t) (1+i)t

= K(t)v t

Abzinsung

Neben der reinen diskontinuierlichen Methode und der reinen kontinuierliche Methoden betrachtet man auch die sogenannte iii) gemischte Verzinsung: Sei n ≤ t < n + 1. Dann gilt mit s = t − n: K(t) := K(0)(1 + i)n (1 + s · i). Die gemischte Verzinsung gehört zu den kontinuierlichen Methoden. Es handelt sich hier um die zusammengesetzte Verzinsung für die vollendeten Konversionsperioden und um die einfache Verzinsung für die angebrochene Konversionsperiode. iv) kaufmännische Verzinsung: Sei n ≤ t < n + 1. Dann gilt mit s = t − n: K(t) =

rn+1 . 1 + i(1 − s)

Die kaufmännischen Verzinsung gehört zu den kontinuierlichen Methoden. Es handelt sich hier um die zusammengesetzte Verzinsung bis zum Ende der laufenden Konversionsperioden und um die einfache Abzinsung auf den Zeitpunkt t. Allgemein lassen sich die Verzinsungen durch folgendes Modell zusammenfassen:

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

13

Definition 2.2.1 Sei B ∈ R+ der Anfangswert und K : [0; ∞) → [1; ∞) eine monoton nicht fallende, rechtsseitig stetige Funktion mit K(0) = 1. Dann heißt K Kapitalfunktion oder Aufzinsungsfunktion. Die Größe S := B · K(t) ist der Endwert des Startkapitals B zum Zeitpunkt t ≥ 0. r = K(1) heißt Aufzinsungsfaktor für das erste Jahr. i = r − 1 heißt Zinssatz, v := 1r heißt Abzinsungs- oder Diskontierungsfaktor und d := 1 − v heißt der jährliche Diskont (Vorauszins). i) K ist eine endliche Verteilungsfunktion.

Bemerkung 2.2.2

ii) Geht man von einer Konversionsperiode von einem Jahr aus, so lassen sich die bisher genannten Verzinsungen wie folgt darstellen: a) einfach / lineare Verzinsung: K(t) = KE (t) = 1 + [t]i diskontinuierlich K(t) = KE (t) =

1 + ti

kontinuierlich

b) zusammengesetzte (geometrische) Verzinsung: K(t) = KZ (t) = r[t] diskontinuierlich K(t) = KZ (t) =

rt

kontinuierlich

c) gemischte Verzinsung: K(t) = KG (t) = r[t] (1 + i(t − [t])) kontinuierlich d) kaufmännische Verzinsung: K(t) = KK (t) =

r [t]+1 1+i(1−(t−[t]))

kontinuierlich

Lemma 2.2.3 Bei kontinuierlicher Verzinsung gelten: a) KZ (t) ≤ KG (t) ≤ KZ ([t] + 1) b) KG (t) − KZ (t) = (i − δ)t + O(t2 )

(t → 0) mit KZ0 (0) = δ.

c) KZ ([t]) ≤ KK (t) ≤ KZ (t) d) KZ (t) − KK (t) = (δ − d)t + O(t2 )

(t → 0).

Beweis: Siehe Übung.

2.3

Effektiver und nomineller Zinssatz

Eingangs haben wir schon von dem effektiven Zins für eine Konversionsperiode gesprochen. Ein Zins für eine Basisperiode heißt effektiv, wenn die Konversionsperiode mit der Basisperiode übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, so

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

14

kommen wir zu dem Begriff nomineller Zinssatz oder nominelle Zinsrate. Sei dazu I∆

D∆

der tatsächliche Gesamtzins, der in einem Zeitintervall der Länge ∆ ∈ (0; 1] auf das Kapital 1 gezahlt wird. 1 I∆ =1− , Diskont zu I∆ . := 1 + I∆ 1 + I∆

Dann heißt N I∆ := I∆∆ die nominelle jährliche Zinsrate und N D∆ := die nominelle jährliche Diskontrate.

D∆ ∆

Der nomminelle Zins ist somit der Jahreszins, der sich bei kontinuierlicher einfacher Verzinsung aus I∆ berechnet. Für ∆ = 1/k schreiben wir auch N I∆ := i(k) := kI1/k und N D∆ := d(k) := k · D1/k . Analog: • Der effektive Jahreszins i ist der Zins, der bei kontinuierlicher zusammengesetzter Verzinsung zum Zins I∆ für die Dauer t = ∆ führt: I∆ = (1 + i)∆ − 1. • Der effektive Jahresdiskont ist definiert als d :=

i . 1+i

Bemerkung 2.3.1 Offensichtlich gelten: D∆ = 1 − (1 − d)∆ , (k)

i d

(k)

d

(k)

1/k

= k((1 + i)

(7)

− 1),

(8)

1/k

(9)

= k(1 − (1 − d) (k) 1/k

= i

v

),

,

(10) 1/∆

i = (1 + I∆ )

− 1, 1/∆

d = (1 − (1 − D∆ )

(11) ).

(12)

Satz 2.3.2 Der effektive Jahreszins ist stets höher als der nominelle Jahreszins: Es gelten i>

I∆ ∆,

D∆ ∆

lim∆&0

>d I∆ ∆

(∆ ∈ (0; 1), I∆ > 0),

= lim∆&0

D∆ ∆

= δ.

(13) (14)

Beweis: Der erste Teil folgt gemäß Übung. Die zweite Zeile ergibt sich wie folgt: I∆ r∆ − 1 d = lim = |t=0 rt = log r, ∆&0 ∆ ∆&0 ∆ dt lim

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

15

und gemäß Definition von D∆ lim

∆&0

D∆ I∆ = lim = log r. ∆&0 ∆ · (1 + I∆ ) ∆ 2

2.4

Zeitrenten und ihre Barwerte von zinsbehafteten Zahlungen

Definition 2.4.1 a) Eine Zeitrente ist ein vertraglich fixiertes System von zeitdiskreten Zahlungen an einen Vertragspartner, bei dem die Beträge und die Zahlungszeitpunkte, insbesondere also auch die Dauer, bei Vertragsabschluss festliegen. b) Vorschüssige Zahlungsweise: Die Zahlungen erfolgen zu Beginn des jeweiligen Rentenintervalls. Nachschüssige Zahlungsweise: Die Zahlungen erfolgen am Ende des Rentenintervalls. c) Der Barwert (Anfangswert) einer Zeitrente ist die Summe aller auf den Vertragsbeginn abgezinsten Zahlungen. d) Der Endwert einer Zeitrente ist die Summe aller auf das Vertragsende aufgezinsten Zahlungen. Schreibweise: Barwerte: a ¨

vorschüssige Zahlungsweise,

a

nachschüssige Zahlungsweise.

s¨

vorschüssige Zahlungsweise,

s

nachschüssige Zahlungsweise.

Endwerte:

Im folgenden wird die Jahresrente auf 1 normiert. Wird der Betrag 1 in k gleich großen Teilen innerhalb eines Jahres jeweils zum Beginn oder zum Ende eines Zeitintervalls der Länge 1/k gezahlt, so sprechen wir von einer k-tel-jährlich n · k-mal vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Rente. Bemerkung 2.4.2 a) Im Gegensatz zu Leibrenten (etwa Alters- und Invalidenrenten), deren Zahlungen vom Leben bzw. allgemeinem Status einer Person abhängen, spielt bei Zeitrenten der Zufall keine Rolle! b) Im Folgenden ist das Rentenintervall in der Regel ein Jahr und die Verzinsung zusammengesetzt.

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

16

c) Bei vorschüssigen Zahlungen ist das Rentenende verschieden vom Zeitpunkt der letzten Zahlung. Bei nachschüssigen Zahlungen ist der Rentenbeginn verschieden vom Zeitpunkt der ersten Zahlung. Lemma 2.4.3 a) Der Barwert einer Zahlung vom Betrag 1 zu Beginn des k-ten Versicherungsjahres ist v k−1 . b) Barwerte und Endwerte von n Jahre lang jährlich vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Zeitrenten: a ¨n| =

n−1 X

1 − vn 1 − vn = , 1−v d

vk =

k=0

an| =

n X

k

v =

k=1

n−1 X

v k+1 = v · a ¨n| =

k=0 rn

−1 , d rn − 1 = an| · rn = . i

(15) 1 − vn , i

(16)

s¨n| = a ¨n| · rn =

(17)

sn|

(18)

c) Barwerte ewiger Zeitrenten: a ¨∞| = limn→∞ a ¨n| = d1 ,

(19)

1 i,

(20)

a∞| = limn→∞ an| =

Beispiel: Eine Erbschaft von 300.000 e soll bei 7%-iger Verzinsung in einer 12mal nachschüssig jährlich zahlbaren Zeitrente von x Geldeinheiten umgewandelt werden. 1 − 1, 07−12 0, 07 ⇒ x = 37.770, 60.

300.000 = x · a12| = x ·

Lemma 2.4.4 Barwerte m Jahre aufgeschobener, n Jahre jährlich zahlbarer Zeitrenten: ¨n| m| a

1−v n i , 1−v n i .

= vm · a ¨n| = v m−1 ·

(21)

= v m · an| = v m ·

(22)

m| an|

¨ bzw. B der Barwert einer jährlich vorschüssig bzw. nachSatz 2.4.5 Seien B ¨ (k) bzw. B (k) der Barwert der k-tel-jährlich schüssig zahlbaren Zeitrente und B vorschüssig bzw. nachschüssig zahlbaren Zeitrente mit denselben Jahresgesamtbeiträgen. Dann gilt: a) zusammengesetzte Verzinsung: ¨ (k) = d · B, ¨ B d(k)

B (k) =

i i(k)

· B,

(23)

2 ELEMENTARE FINANZMATHEMATIK

17

b) kaufmännische Verzinsung: ¨ (k) = (1 − k − 1 d) · B, ¨ B 2k

B (k) = (1 +

k−1 i) · B 2k

(24)

Beweis: Der Beweis erfolgt nur für die vorschüssigen Zahlungen. Der Beweis für die nachschüssigen Zahlungen erfolgt analog. a) Die k-tel-jährlich vorschüssige Zahlung des Betrages 1 im ν-ten Versicherungsjahr bei zusammengesetzter Verzinsung hat den Barwert k−1

(k)

¨1| = ν−1| a

d 1 ν−1 X j/k v ν−1 1 − v = v ν−1 (k) . v v = 1/k k k 1−v d j=0

Summation über die einzelnen Versicherungsjahren liefert a). b) Die k-tel-jährlich vorschüssige Zahlung des Betrages 1 im ν-ten Versicherungsjahr bei kaufmännischer Verzinsung hat den Barwert k−1 vν X = (1 + i(1 − j/n)) k j=0   k−1 vν  iX  (1 + i)k − j k k j=0   i (k − 1)k vν (1 + i)k − k k 2   k−1 v ν (1 + i) − i 2k   k−1 1−d v ν−1 wegen v = (1 + i)−1 , d = i/(i + 1). 2k

(k) ¨1| ν−1| a

= = = =

Summation über die einzelnen Versicherungsjahre liefert b). 2

Folgerung: Barwerte k-tel-jährlich nk-mal vor- bzw. nachschüssig zahlbare Zeitrenten bei a) zusammengesetzter Verzinsung (k)

a ¨ = d(k) n|

(k)

i a i(k) n|

a ¨n| = an| =

d

=

1 1 − vn , k 1 − v 1/k 1 1 − vn . k v −1/k − 1

(25) (26)

b) kaufmännischer Verzinsung (k)

a ¨n| = (1 − (k)

an| =

(1 +

k−1 an| 2k d)¨

=

k−1 2k i)an|

=

1 − vn k − 1 − (1 − v n ), 1−v 2k 1 − vn k−1 + (1 − v n ). v −1 − 1 2k

(27) (28)

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

18

Zukünftige Lebenserwartung eines x-Jährigen

3 3.1

Einleitung

Gegenstand dieses Abschnittes ist die Modellierung des biometrischen Risikos. Da die Verzinsung deterministisch gewählt wurde, kommt hier erstmalig der Zufall und damit die Stochastik ins Spiel. Unter Risiko ist in der Lebensversicherung das Todesfallrisiko, aber auch das Invaliditätsrisiko zu verstehen. Dabei wird sowohl die Todesursache eines Einzelnen oder auch einer Gruppe von Leben betrachtet. Ebenso können auch mehrere Todesursachen berücksichtigt werden. Gibt es nur eine Ausscheideursache (z.B. nur Tod), so spricht man von einfacher Ausscheideordnung. Bei mehreren Ausscheideursachen spricht man von zusammengesetzter Ausscheideordnung. Einfache Ausscheideordnungen können ausschließlich mittels Zufallsvariablen modelliert werden (Lebensdauer und Ausscheideursachen), da die betrachtete Person nur einmal ihren Zustand ändert. Das allgemeine Geschehen in der Personenversicherungsmathematik ist dadurch gekennzeichnet, dass mehrere Personen zwischen endlich vielen Zuständen zu zufälligen Zeitpunkten wechseln. Dies kann nur mit Hilfe von stochastischen Prozessen beschrieben werden und ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Wenn möglich sollen wie bei der Verzinsung auch hier die stetige Methode und die diskrete Methode einheitlich betrachtet werden. Dies geschieht dadurch, dass man nicht das Geschehen zu einen Zeitpunkt, sondern bis zu einem Zeitpunkt betrachtet. Bei der Gewinnung von biometrischen Rechnungsgrundlagen insbesondere bei der Herleitung von Sterbetafeln aus geeigneten Beobachtungen werden statistische Fragestellungen behandelt. Im folgenden bezeichnen wir mit (x) einen x-jährigen Mann bzw. eine x-jährige Frau. Mit T (genauer Tx ) bezeichne man die restliche Lebenserwartung eines x-Jährigen. Zum Zeitpunkt des Todes einer Person beträgt das Alter somit x + T = x + Tx . Die zukünftige Lebenserwartung Tx ist eine Zufallsgröße mit Verteilungsfunktion Gx (t) = P (Tx ≤ t), t ≥ 0. Gx (t) ist somit die Wahrscheinlichkeit, dass die x-jährige Person innerhalb der nächsten t Jahre stirbt, t ≥ 0. Voraussetzung/Annahme: i) Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Tx , Gx , ist bekannt. ii) Gx sei stetig und besitzt eine Dichte g(t) = G0x (t) (Bemerkung: Die Existenz einer Dichte ist nicht zwingend erforderlich, s. Milbrodt/Helbig)

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

19

g(t)dt = P (t < Tx < t + dt) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass der Tod innerhalb eines infenitesimalen Zeitintervalls von t nach t + dt eintritt. Notationen in der IAA: t qx s|t qx

:= Gx (t),

t px

:= 1 − Gx (t) =: Sx (t),

:= P (s < Tx ≤ s + t) = Gx (s + t) − Gx (s) =s+t qx −s qx .

(29) (30)

Dabei ist t px die Wahrscheinlichkeit, das eine x-jährige Person mindestens t Jahre überlebt. s|t qx ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine x-jährige Person s Jahre überlebt und innerhalb weiterer t Jahre stirbt. Außerdem sei t px+s t qx+s

P (Tx >s+t) und 1−Gx (s) P (ss) 1−G(s)

:= P (Tx > s + t|Tx > s) =

:= P (Tx ≤ s + t|Tx > s) =

t px+s

ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person noch mindestens weitere t Jahre überlebt, wenn sie das Alter x + s erreicht hat. (Dies ist per se nicht gleich P (Tx+s > t), wie die Notation vermuten lässt. Hier benötigt man eine Zusatzbedingung, die sog. Stationaritätsbedingung.) t qx+s

ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Person innerhalb der nächsten t Jahre stirbt gegeben das Ereignis, dass sie das Alter x + s erreicht hat. Es gelten folgende Beziehungen: s+t px

= 1 − Gx (s + t) = (1 − Gx (s))

1 − Gx (s + t) =s px ·t px+s 1 − Gx (s)

und s|t qx

= (Gx (s + t) − Gx (s)) = (1 − Gx (s))

Gx (s + t) − Gx (s) =s px ·t qx+s . 1 − Gx (s)

Die Interpretation dieser Beziehungen ist offensichtlich. Konvention: Für t = 1 wird der Index t in der Regel weggelassen: qx = 1 q x

und

s| qx

= s|1 q x .

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

3.2

20

vollständige Restlebenserwartung eines x-Jährigen

Die vollständige Restlebenserwartung eines x-Jährigen ist der Erwartungswert ◦ E(T ) von T und wird mit ex bezeichnet. Z ∞ ◦ ex := E(Tx ) = t · g(t)dt. 0

Mit Hilfe der partiellen Integration mittels des Satzes von Fubini (vgl. evtl. Aufgabe) gilt: ◦

ex =

3.3

R∞ 0

(1 − Gx (t))dt =

R∞ 0

t px dt.

(31)

Sterbeintensität

Definition 3.3.1 Betrachte einen x-Jährigen (x). Sei Gx die Verteilungsfunktion der zukünftigen Restlebensdauer eines x-Jährigen. Gx sei stetig differenzierbar und besitze die (Riemann-) Dichte g(t). Dann heißt µx (t) =

g(t) d = − ln(1 − Gx (t)) 1 − Gx (t) dt

(32)

mit 0/0 := 0 die Sterbeintensität eines x-Jährigen im Alter x + t. (Die Annahme, dass G stetig differenzierbar ist, wird nur getroffen, um die Betrachtungen von “technischem Ballast“ frei zu halten. Tatsächlich genügt es vorauszusetzen, dass G stetig ist und eine Lebesgue-Dichte besitzt. Dann muss man allerdings mit Nullmengen operieren. Sogar die Existenz einer Dichte kann man fallenlassen. Dann arbeitet man mit sog. kumulierten Sterbeintensitäten.) Da nach Annahme T = Tx eine absolut stetige Verteilung mit Dichte g besitzt, gilt: Z t g(τ )dτ = Gx (t) − Gx (s) = P (s < Tx ≤ t) =s|t−s qx . s

Die Sterbeintensität µx läßt sich dann schreiben als µx =

g Sx

(0/0 := 0).

Interpretation: P (t < Tx ≤ t + δ|Tx > t) = δ

R t+δ t

g(τ )dτ δ&0 g(t) = µx (t) (λ − f. ü.) → δ · Sx (t) Sx (t)

µx (t) beschreibt somit die Momentansterblichkeit zur Zeit t. µx (t)δ ≈ P (t < Tx ≤ t + δ|Tx > t) = − für δ ”klein”.

Sx (t + δ) − Sx (t) Sx (t)

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

21

Mit dem verallgemeinerten Hauptsatz der Differential und Integralrechnung folgt dann: d d log Sx (t) = − logt px dt dt Z t µx (τ )dτ , t ≥ 0. ⇒ Sx (t) = exp − µx (t) = −

0

Dabei gilt die erste Beziehung nur λ- fast überall auf [0; G−1 x (1)], falls G nicht stetig differenzierbar. Bemerkung: Wichtige versicherungsmathematische Größen: −1 a) wx := x + G−1 x (1) mit Gx (1) = inf{y : Gx (y) ≥ 1} Höchstalter eines x-Jährigen,

∼ rechnerisches

∼ (vollständige) mittlere Restlebensdauer von x, b) med(Tx ) := G−1 x (0, 5) R∞ R ◦ ∞ c) ex := E(Tx ) = 0 Sx (t)dt = 0 t px dt ∼ (vollständige) Restlebenserwartung von (x),

3.4

Stationaritätsbedingung

Für praktische Zwecke möchte man zumindestens für ganzzahlige Alter x und für ganzzahlige zukünftige Verweildauern n die Werte n px , n, x ∈ N vertafeln. Dazu müsste man allerdings eine Vielzahl von Wahrscheinlichkeiten abspeichern, was äußerst unpraktisch ist. Wünschenswert ist es daher, nur die einjährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten 1 px , x ∈ N, abzuspeichern und die n-jährigen Überlebenswahrscheinlichkeiten aus diesen abzuleiten. Dadurch könnte man die Zahl der abzuspeichernden Wahrscheinlichkeiten um eine ganze Dimension blackuzieren. Im folgenden wird daher stets die Stationaritätsbedingung (Verträglichkeitsbedingung) gefordert, die diese Blackuktion ermöglicht:

P (Tx+s > t) = P (Tx > s + t|Tx > s) =t px+s ,

s, t, x ≥ 0

(33)

Falls die Stationaritätsbedingung gilt, kann die bedingte Wahrscheinlichkeit in der Definition von t px+s ersetzt werden durch die unbedingte Wahrscheinlichkeit P (Tx+s > t). Die Schreibweise t px+s ist somit konform mit der allgemeinen Definition von t px . Interpretation: Die Verteilung der zukünftigen Lebenserwartung eines s-Jährigen ergibt sich aus der Verteilung der Lebensdauer eines Neugeborenen (x = 0) ausschließlich durch die Berücksichtigung der Zusatzinformation, dass inzwischen das Alter s erreicht wurde. Andere Zusatzinformationen (etwa das Ergebnis einer Risikoprüfung) spielen keine Rolle.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

22

Anmerkungen: 1) Betrachte eine Population der Ausgangsgröße l0 mit einjähriger Sterbewahrscheinlichkeit 1 px = px , x ≥ 0. Es gelte die Stationaritätsbedingung. Dann gilt für alle x ≥ 0, n ∈ N: n px

= P (Tx > n)) = P (Tx > n|Tx > n − 1)P (Tx > n − 1)

(34)

= P (Tx+n−1 > 1)P (Tx > n − 1) = px+n−1 P (Tx > n − 1).

(35)

Analog zeigt man für alle j = 0, . . . , n − 2: P (Tx > n − j) = P (Tx > n − j|Tx > n − j − 1)P (Tx > n − j − 1) (36) = P (Tx+n−j−1 > 1)P (Tx > n − j − 1)

(37)

= px+n−j−1 P (Tx > n − j − 1).

(38)

Damit folgt induktiv: n px

= P (Tx > n) = px+n−1 P (Tx > n − 1)

(39)

= px+n−1 px+n−2 P (Tx > n − 2) .. . n−1 Y = px+n−j P (Tx > 1)

(40) (41) (42)

j=1 n−1 Y

=

px+n−j px =

j=1

und damit ln = l0

n Y j=1

px+n−j =

n Y

px+j−1 ,

(43)

j=1

Qn

j=1 pj−1 .

2) Aus der Stationaritätsbedingung folgt die Existenz eines ω0 ∈ [0; ∞] mit  1 x < ω0 P (Tx > 0) = (44) 0 x ≥ ω0 Beweis: Mit ω0 := inf{t ≥ 0|P (T0 ≤ 1) = 1} = inf{t ≥ 0|G0 (t) = 1} = G−1 0 (1) folgt die Behauptung. 3) Für s, t, x ≥ 0 gilt: s+t px

= P (Tx > s)P (Tx > s + t|Tx > s) = P (Tx > s)P (Tx+s > t) = s px · t px+s

und s+t qx

−s qx = P (s < Tx ≤ s + t) = P (Tx > s)(1 − P (Tx > s + t|Tx > s)) | {z } P (Tx+s >t)

| =

s px

· t qx+s .

{z

P (Tx+s ≤t)

}

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

23

Siehe Übung! Folgerung: Das zugrunde liegende Risikokollektiv ist eine stationäre Personengesamtheit. Jährlich wächst eine Kohorte gleicher Stärke nach, alle Kohorten zeigen dasselbe Absterbeverhalten. Die dieses Absterbeverhalten steuernden einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten können dann rein altersabhängig (unabhängig vom Geburtsjahr) geschätzt und tabelliert werden (Sterbetafeln). Ein System L(Tx |P ), x ≥ 0, von Verteilungen zukünftiger Lebensdauern von(x) heißt einfache Ausscheideordnung, falls die Stationaritätsbedingung erfüllt ist (im Sprachgebrauch wird allerdings häufig die Folge lx , x ∈ N0 , der erwarteten Anzahl von Lebenden bei einem einzigen Risiko als einfache Ausscheideordnung bezeichnet).

3.5

Diskretisierung: ganzzahlig gestutzte zukünftige Verweildauern

Grundannahme: Tx strikt positiv. P Definition 3.5.1 Kx = [Tx − 0] := ∞ k=0 k · 1{k k) · P (Tx > k) =

k px

· 1 q x+k .

2. Weiter gilt: P (Tx ≤ t) = P (Kx ≤ [t] − 1) + P (Kx = [t], Rx ≤ t − [t]), für t ≥ 0, 3. Außerdem gilt: P (Kx = k, Rx ≤ r) = P (k < Tx ≤ k + r),

k ∈ N0 , r ∈ (0; 1].

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

24

Die letzten beiden Punkte sagen, dass die Kenntnis der Verteilung von Tx und die Kenntnis der gemeinsamen Verteilung von (Kx , Rx ) äquivalent sind. 4. Die ganzzahlig gestutzte Restlebenserwartung von (x) lautet: ex = E(Kx ) =

∞ X

k · P (Kx = k) =

k=1

= oder:

ex =

∞ X k=1 ∞ X

∞ X

k ·k px · qx+k

k=1 k Y k · (1 − qx+i−1 )qx+k i=1

P (Kx ≥ k) =

k=1

∞ X k=1

P (Tx > k) =

∞ X

k px .

k=1

Satz 3.5.4 Sei x ≥ 0. Folgende Aussagen sind äquivalent: a) Rx und Kx sind stochastisch unabhängig und Rx ∼ U (0; 1]. b) Es gelten die linearen Interpolationsformeln: k+r qx

= k qx + r · (k+1 qx −k qx ),

r ∈ (0; 1], k ∈ N0 .

Beweis: ”a) ⇒ b)”: Sei t ≥ 0. Dann gilt:

t qx

= P (Tx ≤ t) = P (Kx ≤ [t] − 1) + P (Kx = [t], Rx ≤ t − [t]) | {z } | {z } P (Tx ≤[t])

P (Kx =[t])·P (Rx ≤t−[t])

=

[t] qx

+ P ([t] < Tx ≤ [t] + 1)(t − [t])

=

[t] qx

+ (1+[t] qx −[t] qx )(t − [t])

=

[t] qx

+ (t − [t])(1+[t] qx −[t] qx ),

also b). ”b) ⇒ a)”: Seien 0 < r ≤ 1, k ∈ N0 Dann gilt P (Kx = k, Rx ≤ r) = r · P (k < Tx ≤ k + 1). Summation über k zeigt: P (Rx ≤ r) = r ⇒ Rx ∼ U (0; 1] ⇒ P (Kx = k, Rx ≤ r) = P (Rx ≤ r)P (Kx = k) 2 Bemerkung: 1. Gilt zusätzlich die Stationaritätsbedingung, so folgt für alle k, r, x, ν ≥ mit r + ν ≤ 1 und x + ν < ω0 P (Tx+ν ≤ k + r) = =

= P (Tx ≤ ν + k + r|Tx > ν) q k+r+ν x −ν qx k qx + (r + ν)[k+1 qx −k qx ] − νqx = . 1 −ν qx 1 − νqx

k+r qx+ν

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

25

Speziell gilt für k = 0 (0 qx = 0): r qx+ν

=

r · qx . 1 − νqx

2. Sind Kx und Rx stochastisch unabhängig mit Rx ∼ U (0; 1], so gilt: ◦

ex = ETx = EKx + ERx = ex +

1 2

1 12 Sheppard-Korrektur = Varianzkorrektur.

V arTx = V arKx + V arRx = V arKx +

3. Sind Kx und Rx stochastisch unabhängig und gilt Rx ∼ U (0; 1], so folgt für u ≤ 1 u px

3.6

= 1 − uqx ⇒ µx (u) = −

qx d lnu px = . du 1 − uqx

Sterbetafeln

Ausscheideordnung: Modell zur Beschreibung des Abbaus einer geschlossenen Personengesamtheit. Einfache Ausscheideordnung: Ausscheideordnung, bei der nur eine Ausscheideursache wirksam wird. Spezialfall: einzige Ausscheideursache Tod ⇒ Sterbetafeln. Zusammengesetzte Ausscheideordnung: Ausscheideordnung, bei der mindestens zwei Ausscheideursachen wirksam sind (z.B. Tod und Invalidität). Im folgenden betrachten wir nur die einfache Ausscheideordnung mit Ausscheideursache Tod. Man möchte die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten schätzen und vertafeln. Unter der Annahme der Stationarität erhält man so beliebige t-jährige Sterbewahrscheinlichkeiten für jeden Geburtsjahrgang. Ausgangspunkt: • Vorgabe von quantitativer und qualitativer Risikomerkmale, die die Sterblichkeit bestimmen: Alter, Geschlecht etc. • Kohorten: Risikoklassen, die vermöge der Merkmale Geschlecht und Alter gebildet werden. • Annahme: Verteilung der künftigen Lebensdauer einer Person hängt nur von den Ausprägungen der Risikomerkmale ab. • Aufgabe: Die unabhängigen einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten sollen als Funktion der Ausprägung der Risikomerkmale geschätzt werden. Vertafelung der resultierenden Schätzwerte: Differenzierung nach den Risikomerkmalen Alter und Geschlecht.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

26

• Lebensalter: AB := {x0 , . . . , ω} ⊂ N0 , x0 Minimalalter, ω Schlussalter (oft: x0 = 0, ω = 101 oder 111). • Sterbetafeln getrennt für Männer und für Frauen: Zu jedem Alter x ∈ AB werden jeweils ein Schätzwert für die unabhängige Wahrscheinlichkeit u qx festgehalten, dass eine Person des Kollektivs, die das Alter x erreicht hat, bis zur Vollendung des (x + 1)-ten Lebensjahres stirbt. ω ∈ AB ist das kleinste Alter mit unabhängiger einjähriger Sterbewahrscheinlichkeit gleich 1. • Im folgenden wird auf das Attribut ”unabhängig” verzichtet. • Keine Unterscheidung zwischen tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten und Schätzwerten! Bei den Einträgen in der Sterbetafeln handelt es sich um Schätzwerte für die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit, die mit statistischen Fehlern behaftet sind. • Abgeleitete Größen: – Anfangsgröße der Kohorte lx0 ∼ Radix der Sterbetafel. – Voraussetzung: Sterbetafel beschreibt eine einfache Ausscheideordnung, bei der die Stationaritätsbedingung ist erfüllt:

lx := lx0 x−x0 px0 = lx0

x−x Y0

px0 +j−1

x ∈ AB ∪ {ω + 1}

j=0

⇒

lx+m = m px lx

lx ∼ erwartete Anzahl der Lebenden des Alters x (bzw. Schätzwerte dafür) und dx := lx qx = lx − lx+1

x ∈ AB

⇒ qx =

dx lx

∼ erwartete Anzahl der Toten des Alters x (bzw. Schätzwerte dafür). Häufig üblich: lx0 = 100.000. In der Realität sind Sterbewahrscheinlichkeiten nicht deterministisch. Sie unterliegen systematischen Schwankungen und dem Risiko systematischer Änderungen. Bemerkung: Rechnungsgrundlagen 1. und 2. Ordnung (siehe auch §11 (1) VAG): 1. Rechnungsgrundlagen 1. Ordnung: • dienen der Tarifierung • sind vorsichtig zu bemessen

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

27

• VAG: dauernde Erfüllbarkeit der teilweise äußerst langfristigen Personenversicherungsverträge gewährleistet. ⇒ Todesfallversicherung: Barwert der vom VR zu erwarteten Leistungen nimmt mit steigender Sterblichkeit zu ⇒ Sterbetafel muss tatsächliche Sterblichkeit überschätzen. Rentenversicherung/Erlebensfallversicherung: Barwert der vom VR zu erbringenden Leistungen nimmt mit steigender Sterblichkeit ab. ⇒ Verwendung einer Sterbetafel, die die tatsächliche Sterblichkeit unterschätzt. Bei Versicherung, die sowohl Todesfall- als auch Erlebensfallleistungen erbringt, muss man prüfen, ob sie Todesfall- oder Erlebensfallcharakter hat. 2. Rechnungsgrundlagen 2. Ordnung: • dienen der Nachkalkulation, z.B im Rahmen des Controllings und der Überschussanalyse • Zur Erstellung einer Sterbetafel 2. Ordnung sind unternehmenseigene Daten heranzuziehen (sind Portefeuilles eines VR zu klein, d.h. keine hinreichende statistische Sicherheit beim Schätzen der Sterbewahrscheinlichkeit möglich, wird oft nur ein einfacher funktionaler Zusammenhang zwischen fester Sterbetafel und tatsächlicher Sterbewahrscheinlichkeitunterstellt. Der funktionale Zusammenhang wird aus dem Bestand heraus geschätzt.) 3.6.1

Arten von Sterbetafeln

1. Periodensterbetafeln: aufgrund von Sterblichkeiten in einer festen Periode ermittelt. Sie enthalten Schätzungen für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person des Kollektivs, die innerhalb eines festen (kurzen) Zeitraumes das Alter x erreicht, im Laufe eines Jahres stirbt. Beispiel: DAV Sterbetafel 1994 T oder die Allgemeinen Deutsche Sterbetafel (ADSt - beruhen auf Volkszählungen) 2. Generationensterbetafeln: Die Leistungszusage in der LV ist oft sehr langfristig. Die einjährigen Sterbewahrscheinlichkeiten sind in der Regel nicht zeitlich konstant, sondern werden zumindestens in Deutschland mit der Zeit kleiner: ”säkulare Sterblichkeitsabnahme” auf Grund verbesserter medizinischer oder sozialer Verpflegung. ⇒ Generationensterbetafeln: zum festen Geburtsjahr τ = t−x sind Schätz-

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

28

(τ )

werte für die Wahrscheinlichkeit qx = qx,t erfasst, dass eine in τ geborene Person, die zum Zeitpunkt t (angegeben als Kalenderjahr) das Alter x erreicht, innerhalb eines Jahres stirbt. Der betrachtete Zeitraum, in dem ggf. der Tod eines x-Jährigen eintritt, hängt von x ab (anders als bei Periodensterbetafel). Erstellung: erst nach Absterben einer ganzen Generation möglich. Daher werden gesuchte Sterbewahrscheinlichkeiten mittels geeigneter Extrapolation aus den geschätzten Sterbewahrscheinlichkeiten früherer Geburtsjahrgänge ermittelt (anderes Verfahren: Altersverschiebung nach Rueff). Anwendung häufig in der Rentenversicherung. 3. Selektionstafeln: • Erfassung weiterer Riskomerkmale (z.B. Raucherstatus, der jederzeit durch die VP veränderbar ist). • Selektionsvorgang zu Beginn des Vertrages: einjährige Sterbewahrscheinlichkeit einer x-jährigen Person, die zu einem vergangenem Zeitpunkt einem Selektionsvorgang unterlag, hängt von der seit der Selektion verstrichenen Dauer ab ⇒ 2-dimensionale Sterbewahrscheinlichkeiten. • Beispiel: – Wahrscheinlichkeit, dass eine x-jährige Person im ersten Jahr nach Invalidisierung stirbt, ist deutlich höher als die einjährige Sterbewahrscheinlichkeit, falls die Invalidisierung schon länger zurckliegt. – relative Sterbehäufigkeiten in Kollektiven x-jähriger Personen, die kürzlich eine Rentenversicherung abgeschlossen haben, ist meistens niedriger als bei x-jährigen Rentenversicherten mit schon älteren Verträgen. Grund: Autoselektion: Personen, deren zukünftige Lebenserwartung nach eigener Einschätzung eher unterdurchschnittlich ist, werden i.a. keine Rentenversicherung abschließen. – Selektion durch Risikoprüfung. • Verweildauereffekte werden durch Selektionssterbetafeln quantitativ erfasst. Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeit q[x−t]+t ; t = 0, . . . , r, x ∈ AB, x ≥ t, dass eine x-jährige Person, die vor t Jahrem dem der Tafel zugrundeliegenden Selektionsprozeß unterlag, innerhalb eines Jahres stirbt.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

29

• Selektion klingt im Laufe der Jahre ab. ⇒ Annahme: q[x−t]+t = q[x−r]+r für alle t ≥ r, d.h. Sterbewahrscheinlichkeit ändert sich nicht mehr, wenn die Selektion mindestens r Jahre zurückliegt. • Die Vertafelung dieser Werte qx bezeichnet man als Schlusstafel der Selektionssterbetafel und r als (Länge der) Selektionsperiode. • Für die Versicherung einer bei Vertragsabschluss x-jährigen Person werden offenbar die Sterbenswahrscheinlichkeiten q[x] , q[x]+1 , . . . , q[x]+r = qx+r , qx+r+1 , . . . benötigt. • Selektionseffekt lässt sich sowohl bei Generationensterbetafeln wie auch bei Periodensterbetafeln verwenden. • Selektionsperiode häufig r = 5. 3.6.2

Vorgehensweise beim Herleiten einer Sterbetafel

1. Unterteilung des Bestandes nach Altersgruppen und Geschlecht differenzierende Merkmale

risiko-

• ggf. Unterscheidung nach weiteren Merkmalen wie Wohnort, Arbeitsplatz, Familienstand etc. • Problem: je mehr Risikomerkmale desto kleiner der Bestand 2. Rohe Sterbewahrscheinlichkeiten Situation: Zum Zeitpunkt t betrachten wir die Personengesamtheit L. Lx ∼ Menge der im Zeitpunkt t lebenden x-jährigen Männer, x ∈ N Qx ∼ Menge der im Zeitintervall [t; t¯] verstorbenen Männer, die im Zeitpunkt t x Jahre alt waren. x-jährig ist eine Person dann, wenn sie den x-ten Geburtstag erlebt und da (x + 1)-te Lebensjahr noch nicht vollendet hat. Definition: qˆx :=

]Qx ]Lx ,

falls Lx 6= ∅ rohe Sterbewahrscheinlichkeiten.

Bemerkung: (a) Es werden nur Personengruppen bis zu einem Endalter ω = 100 oder ω = 110 betrachtet, da darüber hinaus die Beobachtungseinheiten nur schwach besetzt sind. (b) Interpretation: In einem stochastischen Bevölkerungsmodell ist der Wert ]Qx als Stichprobe der Zufallsgröße Qx der im Intervall [t; t¯] Verstorbenen, die im Zeitpunkt t x Jahre alt waren, angesehen ⇒ qˆx Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit qx , im Intervall [t; t¯] zu sterben.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

30

Achtung: Unkorrektheit: Eine Person, die im Zeitpunkt t x Jahre alt ist und im Intervall [t; t¯] stirbt, kann, falls t < t¯ , im Zeitpunkt des Todes das (x + 1)-te Lebensjahr vollendet haben. ⇒ Dieser Todesfall darf bei der Schätzung von qx nicht berücksichtigt werden. ⇒ Ermittlung einer geeigneten Stichprobe notwendig. 3. Methoden zur Ermittelung geeigneter Stichproben: (a) Geburtsjahrmethode nach Becker-Zeuner: Abgrenzung nach dem Geburtsjahr Annahme: Beobachtung einer Personengesamtheit über k Jahre vom 01.01. des Jahre n bis 31.12. des Jahres n + k − 1 ⇒ Stichprobenwert Qx : Anzahl derjenigen Personen, die x-jährig im Beobachtungszeitraum gestorben sind und deren x-ter Geburtstag im Beobachtungszeitraum fiel und deren (x + 1)-ter Geburtstag, hätte sie ihn erlebt, ebenfalls noch im Beobachtungszeitraum läge. Vorteil: Sowohl die im Zähler aus als auch die im Nenner stehende Menge kann direkt beobachtet werden. Nachteil: Einige beobachtete Todesfälle werden nicht berücksichtigt ⇒ man verzichtet auf Informationen. (b) Sterbejahrmethode: Abgrenzung nach dem Todesjahr Sämtliche im Beobachtungszeitraum eingetretenen Todesfälle werden als Stichprobe gewählt. ⇒ Setzt die Modifikation der Anzahl der Lebenden, zu der die Anzahl der Verstorbenen ins Verhältnis gesetzt wird, voraus. Annahme: Jeweils die Hälfte der in dem Kalenderjahren n−x−1 und n + k − x − 1 geborenen Personen, die x-jährig verstarben, scheiden im Beobachtungsintervall aus der Personengesamtheit aus. Bemerkung: Diese Überlegungen beziehen sich auf geschlossene Personengesamtheiten (d.h. keine Zuwanderung möglich). Da in der Regel offene Personengesamtheiten betrachtet werden, müssen Wanderungen berücksichtigt werden. ⇒ Berücksichtigung von Wanderung wie folgt: Sämtliche Ein- und Auswanderungen finden in der Mitte des Kalendejahres statt. ⇒ jeder Zu- und jeder Abwanderer ist ein halbes Jahr unter Beobachtung.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

31

Das Verfahren erfordert hinreichend viele Informationen und genügend große Organisationen, die diese Daten sammeln und aufbereiten. ⇒ nur für große Stichproben lohnt dieser Aufwand ⇒ Volkszählungen und anschließende Bevölkerungsbeobachtung Dabei gibt es häufig Probleme mit der Datenspeicherung: Falls bei einem LVU nur das Alter zum Zeitpunkt des Abschlusses gespeichert ist, nimmt man an, dass jeder VN am Jahrestag seines Versicherungsvertrages Geburtstag hat oder dass alle VN am 01.01. oder 01.07. um ein Jahr älter werden. 4. Ausgleich von rohen Sterbewahrscheinlichkeiten: Die so ermittelten Sterbewahrscheinlichkeiten weisen oft einen unregelmäßigen Verlauf auf, was darauf schließen läßt, dass die Schätzwerte, bei denen die Unregelmäßigkeiten am deutlichsten sind, stärker von den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten abweichen. Gesucht sind Verfahren, um aus den rohen Sterbewahrscheinlichkeiten qˆx die tatsächlichen Sterbewahrschelichkeiten qx zu ermitteln. Die tatsächlichen Sterbewahrscheinlichkeiten hängen somit von der Wahl des Ausgleichsverfahren ab. Die ”tatsächlichen Sterbewahrscheinlichkeiten” sind relative Wahrscheinlichkeiten und dürfen nicht mit den absoluten Wahrscheinlichkeiten eines Neugeborenen verwechselt werden, als x-Jähriger zu sterben Mit den ausgeglichenen Sterbewahrscheinlichkeiten erhält man die Entwicklung eines Bestandes Neugeborener:  l0 := 100.000 lx − lx+1 dx lx+1 = lx (1 − qx ) ⇒ qx = = , lx lx dx = lx qx = lx − lx+1

px =

lx+1 . lx

Ein Ausgleichsverfahren bezieht sich nicht auf die rohen Sterbewahrscheinlichkeiten qˆx , sondern auf die Werte (ˆl0 , . . . , ˆlω ), um damit gemäß obigen Beziehungen Sterbewahrscheinlichkeiten zu erhalten. 5. Ausgleichsverfahren: (a) graphischer Ausgleich: Man legt durch die in einem Diagramm eingetragenen Punkte/Rohwerte ein glatte Kurve, die nur möglichst ”wenig” von den Rohwerten abweicht. (b) analytischer Ausgleich: Man gibt einen bestimmten Funktionalausdruck y = f (x, a0 , . . . , ak ) vor, wobei a0 , a1 , . . . , ak zu bestimmende Parameter sind. Die Parameter müssen so gewählt werden, dass die

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

32

Funktion f die Messwerte gut ausgleicht. Güte eines Ausgleichsverfahrens: Mittelweg aus folgenden Anforderungen: • Messwerte sollen möglichst wenig von den Funktionalwerten abweichen, • Ausreisser sollen geglättet werden. Daraus ergibt sich ein Maß für die Güte: Summe der Fehlerquadrate. i. Ausgleich durch Polynome: Güte wird mittels der Methode der kleinsten Quadrate oder mittels Momentenmethode bestimmt. ii. Analytischer Ausgleich und Sterbegesetze (s.o.) Verallgemeinerung der Ausgleichsverfahren durch Einführung von Gewichten. iii. Ausgleich durch Splines. (c) Mechanischer Ausgleich: Anders als bei analytischen Verfahren werden keine in einem Ausgleichsintervall differenzierbaren Funktionen gesucht. Lediglich die Werte qˆx werden für ganzzahlige x aus dem betrachteten Intervall durch neue Werte qˆx ”ausgeglichen”. Idee: Um qx zu erhalten, betrachtet man in einer Umgebung von x die gemessenen Werte qˆx und bildet aus diesen ein gewichtetes Mittel, wobei entfernt liegende Werte meistens weniger berücksichtigt werden als nähere 6. Modifizierung (Ergänzung von Sicherheitszuschlägen) In der Realität sind Sterbewahrscheinlichkeiten nicht deterministisch. Es sind zufällige Schwankungen zu beobachten und es besteht das Risiko einer systematischen Änderung. Die gesetzlichen Anforderungen an gemäß §11 (1) VAG an eine vorsichtige Kalkulation sehen Zu- und Abschläge für das Schwankungsrisiko und das Änderungsrisiko vor. Es ist eine ständige Aufgabe des Verantwortlichen Aktuars, mit geeigneten Mitteln zu überprüfen, ob die von ihm gewählten Sterblichkeitsgrundlagen noch ausreichend sind. Wie beim Zins wählt man auch die Sterbetafel vorsichtig aus, um die dauerhafte Erfüllbarkeit der Verträge garantieren zu können. Das bedeutet, dass bei einer Todesfallversicherung die Sterbewahrscheinlichkeiten künstlich höher angesetzt werden (unter der Prämisse, dass Sterbewahrscheinlichkeiten im Laufe der Zeit sinken) und dass bei Erlebensfallversicherung die Sterbewahrscheinlichkeiten künstlich niedriger angesetzt werden.

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

33

Häufig wird ein absoluter Sicherheitszuschlag bzw. -abschlag draufgeschlagen. 3.6.3

In der Praxis verwendete Sterbetafeln

1. Versicherungen mit Todesfallcharakter: Tarifgeneration vor 1967 1967 - 1987 1987 - 1994 Seit 1994

Sterbetafel ADSt 1924/26 M ADSt 1960/62 M Sterbetafel 1986 M/F (aus Volkszählung z.B. DAV Sterbetafel 1994 TM/TF

Die DAV-Sterbetafel wird von den meisten VR verwendet. Seit der Deregulierung des Versicherungsmarktes haben die VR freie Wahl bei der Verwendung der Sterbtafeln. T steht für Todesfallversicherung. 2. Altersverschiebung: Generationensterbetafeln sind zusammengesetzte (τ ) Sterbetafeln (qx ), bei denen die Sterbewahrscheinlichkeiten sowohl vom Alter x als auch vom Geburtsjahrgang τ abhängen. Das Problem bei der Bestimmung der Sterbetafeln ist, dass die Erstellung einer vollständigen Generationensterbetafeln erst nach dem Absterben der gesamten Generation möglich ist. Folgerung: Für die Anwendung ist es erforderlich, die gesuchten Sterbewahrscheinlichkeiten mittels geeigneter Extrapolationsverfahren aus den geschätzten Sterbewahrscheinlichkeiten früherer Generationen zu ermitteln (dazu liegen eine Reihe von Periodensterbetafeln zugrunde; Extrapolation erfolgt durch einen loglinearen Ansatz). Rueff: (τ )

Zweidimensionale Tafeln qx lassen sich mittels des Verfahrens der Altersverschiebung approximieren und vereinfacht darstellen. Durch geeignete Altersverschiebung können die Sterbetafeln nahezu vollständig ineinander überführt werden. Ausgangspunkte: (a) Grundsterbetafel (¯ qx ) (z.B. bei DAV-Sterbetafel 1994 R: Modifikati(1955) on der Generationensterbetafel 1955: q¯x ≈ qx . (b) Vertafelung ganzzahliger Altersverschiebungen δ(τ ) in Abhängigkeit vom Geburtsjahrgang τ . (τ )

Beide Tafeln sind so konstruiert, dass qx ≈ q¯x+δ(τ ) ”in einem versicherungstechnisch relevanten Alters- und Generationenbereich möglichst gut

3 ZUKÜNFTIGE LEBENSERWARTUNG EINES X-JÄHRIGEN

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ist”. Vorteil: Es muss nicht für jede Generation eine Sterbetafel erstellt und gespeichert werden oder sämtliche extrapolierte Werte gespeichert werden. Nachteil: Nur anwendbar, wenn ein abnehmbarer Trend der Sterbewahrscheinlichkeiten festgestellt wird. Bei steigenden Trend ermittelt man zu hohe Sterbewahrscheinlichkeiten, die zu unzureichenden Beiträgen führen. 3. Versicherungen mit Erlebensfallcharakter:

Tarifgeneration vor 1987 1987 - 1995 1995 - 2004 seit 2004

Sterbetafel ADSt 1949/51 M/F + Rueffsche Altersverschiebung Sterbetafel 1987 RM/RF + Altersverschiebung z.B. DAV Sterbetafel 1994 RM/RF DAV 2004 R ( und DAV 2004 R Bestand für die Nachreservierung)

Die DAV-Sterbetafel wird von den meisten VR verwendet. Seit der Deregulierung des Versicherungsmarktes haben die VR freie Wahl bei der Verwendung der Sterbtafeln. R steht für Rentenversicherung. Die 87-er Sterbetafel war keine gute Sterbetafel, da sie nicht vorsichtig genug war. Wichtig: Der Aktuar hat dafür Sorge zu tragen, dass die Sterbetafeln stets hinreichend sicher angesetzt sind. Dazu muss er geeignete Verfahren zur Überprüfung der Sterbetafeln anwenden.

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE

4

35

Leistungen und Barwerte

4.1

Einleitung, Definition und Beispiele

Definition 4.1.1 Eine (kumulative) Versicherungsleistungsfunktion ist eine Abbildung A : (0; ∞) × [0; ∞) 3 (s; t) 7→ As (t) ∈ [0; ∞) mit folgenden Eigenschaften: a) ∀s > 0 ist t 7→ As (t) eine Verteilungsfunktion auf [0; ∞) b) ∀t ≥ 0 ist s 7→ As (t) Borel-meßbar. Bemerkung: i) As (t) ist die unverzinste Gesamtleistung des Versicherers bis zum Zeitpunkt t einschließlich, falls der VN zum Zeitpunkt s stirbt. ii) A beschreibt das vom Versicherer angebotene Produkt. Aspekte des Verkaufs (wie z.B. Verzinsung oder Preis) sowie zufällige Momente (z.B. Zufälligkeit des Todeszeitpunktes) werden nicht berücksichtigt. Korollar 4.1.2 Jede kumulative Versicherungsleistungsfunktion kann aufgespalten werden in einen Todesfallanteil (death part) DA von Leistungen ab einschließlich des Todesfallzeitpunktes und in einen Erlebensfallanteil (survival part) SA bis ausschließlich zum Todesfallzeitpunkt: A = DA + SA DAs : t 7→ (As (t) − As (s − 0))+ , s > 0 SAs : t 7→ min(As (t); As (s − 0)), s > 0. Beispiele: Diskretisierung des Todesfallzeitpunktes. Sei 0 = s0 < s1 < . . . < sk < . . . ∞ eine monoton steigende Folge, s > 0, t ≥ 0. a) Todesfallversicherung, diskretisiert: Bei Tod im Intervall (sk−1 ; sk ] wird die Leistung (Versicherungssumme) D(sk ) ≥ 0 zur Zeit sk fällig. Dann gilt: As (t) = DAs (t) ∞ X = D(sk ) · 1[sk ;∞) (t) · 1(sk−1 ;sk ] (s). k=1

b) Leibrente, diskretisiert: Die Leistung S(sk ) wird direkt bei Erleben des

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE

36

Zeitpunktes sk fällig, As (t) = SAs (t) ∞ X = S(sk ) · 1[sk ;∞) (t) · 1(sk ;∞) (s) =

k=1 ∞ X

k−1 X

k=1

l=0

! S(sl ) · 1[sl ;∞) (t)

· 1(sk−1 ;sk ] (s).

c) Gemischte Versicherung, diskretisiert: A = DA + SA mit DA und SA gemäß a) bzw. b): ! k−1 ∞ X X S(sl ) · 1[sl ;∞) (t) · 1(sk−1 ;sk ] (s). D(sk ) · 1[sk ;∞) (t) + As (t) = l=0

k=1

d) Todesfallzeitrente (Nachrente), diskretisiert: Der Tod im Zeitintervall (sk−1 ; sk ] löst eine Zeitrente mit Beträgen Dk (sk ), Dk (sk+1 ), . . . ≥ 0 zu Zeiten sk , sk+1 , . . . aus. As (t) = DAs (t) ! ∞ ∞ X X = Dk (sl ) · 1[sl ;∞) (t) · 1(sk−1 ;sk ] (s), k=1

l=k

z.B. Leibrenten mit Rentengarantie. e) Sei s > 0, t ≥ 0: unmittelbar zahlbare Todesfallversicherung: Leistung wird direkt bei Tod zum Zeitpunkt s fällig: As (t) = DAs (t) = D(s) · 1[s;∞) (t). f) kontinuierliche Leibrente: Bis zum Tod zur Zeit s wird eine Rente mit beschränkt integrierbarer Dichte σ : [0; ∞) → [0; ∞) gezahlt: Z As (t) = SAs (t) =

min(s;t)

σ(τ )dτ. 0

Bemerkung: Die Beschreibung von Leistungsversprechen in der Lebensversicherung mittels kumulativer Versicherungsleistungsfunktionen bietet ein einheitliches Dach einerseits für Erlebensfall- und Todesfallversicherungen und andererseits für die diskrete und kontinuierliche Methode. Wichtig: Alle Zahlungen werden bis zu einem Zeitpunkt kumuliert. Eine genaue Beschreibung, was zu einem festen Zeitpunkt geschieht, ist nicht Mittelpunkt der Untersuchung.

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE

37

Im Folgenden wird fast ausschließlich die diskrete Methode betrachtet. Dabei sei As (·) eine (rechtsseitig stetige) Treppenfunktion, d.h. Zahlungen erfolgen immer an diskreten Zeitpunkten 0 = s0 < s1 < . . . < sk < . . . < ∞. Für t > 0 gilt dann:

As (t) = As (s0 ) + | {z } as (0)

∞ X k=1

(As (sk ) − As (sk−1 )) ·1[sk ;∞) (t) | {z } =:as (sk )

= as (0) · 1[0;∞) (t) +

∞ X

as (sk ) · 1[sk ;∞) (t)

k=1 ∞ X

=

as (sk ) · 1[sk ;∞) (t).

k=0

Erwirbt ein Versicherungsnehmer für eine Person (x) mit zukünftiger Lebensdauer Tx > 0, Tx Zufallsgröße auf einem W-Raum (Ω, A, P ), dieses Leistungsversprechen, so wird der Leistungsverlauf dieser Police beschrieben durch den (individuellen kumulierten) Versicherungsleistungsprozeß (ω, t) 7→ ATx (ω) (t)

∼ zufälliger gewichteter Zahlungsstrom

Zur Bewertung des Leistungsverlaufes mittels einer Kapitalfunktion K betrachtet man als Zufallsvariable den Barwert: Bx (ω) = a(ATx (ω) ) = ATx (ω) (s0 ) +

∞ X aTx (ω) (sk ) k=1

= aTx (ω) (s0 ) +

∞ X aTx (ω) (sk )

K(sk )

k=1

=

∞ X k=0

K(sk )

aTx (ω) (sk ) , K(sk )

da K(s0 ) = K(0) = 1. Definition 4.1.3 Der erwartete Barwert (= die Nettoeinmalprämie) einer Versicherungsleistung A für (x) gebildet mit der Kapitalwertfunktion K ist: Z E(Bx ) =

Z Bx (ω)dP (ω) =

Ω

∞ X as (sk )

(0;∞) k=0

K(sk )

dP Tx (s).

Bx bezeichnet man gelegentlich auch als finanzmathematischen Barwert der Versicherungsleistung für (x) und ihr Barwert E(Bx ) als den versicherungsmathematischen Barwert. Beispiele:

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE

38

a) diskrete Todesfallversicherung: Bx =

∞ X D(sk ) ·1 (Tx ) K(sk ) (sk−1 ;sk ] k=1

∞ X D(sk ) E(Bx ) = · P (sk−1 < Tx ≤ sk ). K(sk ) k=1

b) diskrete Leibrente: Bx

∞ ∞ k−1 X X X S(sk ) S(sl ) = ·1 (Tx ) = K(sk ) (sk ;∞) K(sl ) k=0 ∞ X

k=1

! · 1(sk−1 ;sk ] (Tx )

l=0

S(sk ) · P (Tx > sk ) K(sk ) k=0 ! ∞ k−1 X X S(sl ) = · P (sk−1 < Tx ≤ sk ). K(sl )

E(Bx ) =

k=1

l=0

c) gemischte Versicherung, diskretisiert: Bx =

E(Bx ) =

∞ X k=1 ∞ X k=1

k−1

D(sk ) X S(sl ) + K(sk ) K(sl )

!

D(sk ) + K(sk )

!

l=0 k−1 X l=0

S(sl ) K(sl )

· 1(sk−1 ;sk ] (Tx ) · P (sk−1 < Tx ≤ sk ).

d) diskrete Todesfallzeitrente: Bx

∞ ∞ X X D(sl ) = K(sl )

E(Bx ) =

k=1 ∞ X

l=k ∞ X

k=1

l=k

D(sl ) K(sl )

! · 1(sk−1 ;sk ] (Tx ) ! · P (sk−1 < Tx ≤ sk ).

Die folgenden Überlegungen dienen der Berechnung von erwarteten Barwerten mit Sterbetafeln. Dies ist für die Praxis von großer Bedeutung. Lemma 4.1.4 Seien A eine (diskrete) Versicherungsleistungsfunktion, Kx = [Tx − 0] die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauer von (x) und Rx = Tx − Kx . Dann gilt: E(Bx ) =

∞ X

bx (k) · νx (k),

k=0

wobei für k ∈ N0 νx (k) := P (Kx = k) = P (k < Tx ≤ k + 1)

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE und

39

∞ X ak+r (sj )

Z bx (k) =

K(sj )

(0;1] j=0

dP Rx |Kx =k (r)

der (bedingte) erwartete Barwert der Versicherungsleistung bei Tod in (k; k + 1] ist. Sind Kx und Rx stochastisch unabhängig und ist Rx ∼ U(0; 1), so gilt: Z 1X ∞ ak+r (sj ) bx (k) = dr, k ∈ N. K(sj ) 0 j=0

Beweis: Es gilt:

P

Tx

= P =

Kx +Rx

∞ X

Z =

dP Kx +Rx |Kx =k dP Kx (k)

P Rx +k|Kx =k νx (k).

k=0

Damit folgt aus der Definition von E(Bx ): ∞ Z ∞ X X ar (sj ) Rx +k|Kx =k E(Bx ) = dP (r)νx (k) K(sj ) k=0 (0;∞) j=0 ∞ Z ∞ X X ar+k (sj ) Rx |Kx =k = dP (r)νx (k) K(sj ) (0;1] =

k=0 ∞ X

j=0

bx (k) · νx (k).

k=0

Sind Kx und Rx stochastisch unabhängig und ist Rx ∼ U(0; 1], so gilt für alle k ∈ N0 : P Rx |Kx =k = P Rx = U(0; 1]. 2

Beispiele: Gemischte Versicherung (Todes- und Erlebensfallleistung), diskretisiert: a) obiges Beispiel liefert im allgemeinen Fall: ! j−1 ∞ X D(sj ) X S(sl ) bx (k) = + · P (sj−1 − k < Rx ≤ sj − k|Kx = k). K(sj ) K(sl ) j=1

l=0

b) Sind Zahlungen nur zu ganzzahligen Zeitpunkten zugelassen (sl ≡ l), so folgt aus 0 < Rx < 1: k

bx (k) =

D(k + 1) X S(l) + . K(k + 1) K(l) l=0

4 LEISTUNGEN UND BARWERTE

40

Dabei wird der erste Summand bei Tod in (k; k + 1] fällig und der zweite direkt bei Erleben der Zeitpunkte l. c) Bei n-tel jährlicher Fälligkeit unter der Voraussetzung, dass Kx und Rx ∼ U(0; 1] stochastisch unabhängig sind, liefert a) mit sl ≡ l/n: 1 bx (k) = · n mit

j−1

n·k+n X j=n·k+1

D(j/n) X S(l/n) + K(j/n) K(l/n)

! ,

l=0

1 j−1 j = P (Rx ∈ ( − k; − k]). n n n

Bemerkung: Ist G−1 x (1) = ωx − x < ∞ die Höchstverbleibezeit, d.h. ωx < ∞ das Höchstalter für x-Jährige, so ist in der Formel für den erwarteten Barwert aus der Definition und den Beispielen das (äußere) zu P Tx gehörige Integral nur über (0; ωx − x] zu bilden. Beispiel: ∞ X as (j) dP Tx (s) K(s ) j (0;ωx −x]

Z E(Bx ) =

j=0

P∞

P

und k=1 . . . geht über in sk−1