Atomphysik 001

Atomphysik (P6) Zimmermann, Uni Tübingen SS2000

1

Einleitung (1) Größe, Masse, Dichte, Energie, „back of the envelope“ Abschätzungen

2 2.1 2.2 2.3 2.4

Schrödingergleichung und Wasserstoffatom (2) Quantenmechanische Beschreibung des Elektrons Reduzierte Masse Schrödingergleichung im rotationssymmetrischen Zentralpotential Elektron im Coulomb-Potential

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Einige Methoden zur Beobachtung atomarer Spektren Dieses Kapitel fehlt im Skript. Die Themen sind aber im Skript zur ExpIII behandelt Frank-Hertz-Versuch (3) Photoeffekt (4) Wasserstoff-Gasentladung Absorptionsspektroskopie (5) Dopplerfreie Sättigungsspektroskopie (5)

4 4.1 4.2

Was ist ein Photon (6) klassische Hamiltonfunktion Quantisierung

5 5.1 5.2 5.3

Einfache Anwendungen des Photonenbildes (7) Spektrum einer thermischen Lichtquelle, (Planck, Wien, Stefan-Boltzmann) Ratengleichungen (Einstein) Laser im Ratengleichungsbild

6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7

Das Wasserstoffatom II: relativistische Theorie(8) Relativistische Wellengleichungen Elektron im Coulomb-Potential Nichtrelativistischer Grenzfall Bedeutung der σ-Matrizen Dirac-Gleichung mit elektromagnetischem Feld Spin-Bahn-Kopplung Weitere Korrekturen in α4

7 7.1 7.2

Einflüsse des Kerns Isotopie und Volumeneffekt(9) Hyperfeinstruktur (10)

8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Mehrelektronenatome(11) Schalenmodell Alkaliatome Helium jj-Kopplung Exotische Atome (12)

9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6

Das Elektron im Magnetfeld Landau-Niveaus (13) Halbklassisches Modell (13) Spin im homogenen Magnetfeld (13) Zusätzliches Wechselfeld (13) Penning-Falle und g-2 Messung (14) Weitere Experimente (Rabi Apparatur, Doppelresonanz , optisches Pumpen) (15)

9.7

Kernspin-Tomographie (15)

10 10.1 10.2 10.3 10.4

Atome im statischen Feld Zeeman und Paschen-Back-Effekt (16) Allgemeine Lösungsstruktur (17) Muonium und Positronium Grundzustand (18) Stark-Effekt (19)

11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7

Optische Übergänge Optische Blochgleichungen (20) Anregung und Übergangsrate (21) Leistungsverbreiterung (22) Kopplungsopperator und Auswahlregeln (23) Hanle Effekt (24) Andere Verbreiterungsmechanismen (25) Optische Ramseyspektroskopie (26)

12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5

Lichtkräfte (29) Strahlungsdruck Magnetooptische Falle Optische Potentiale Kühlen unter die Dopplergrenze Kühlen unter die Rückstoßgrenze

Literatur 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

B Kapitel 2 A. Kapitel 9-12 und B Kapitel 3 C Kapitel 8.8 C Kapitel 5.3 D Kapitel 7.3 F 2.4.2 und E Kapitel 4 B Kapitel 6.3 und E Kapitel 1 F Kapitel 2 und H Kapitel 1 G Kapitel XI Complement D C Kapitel 20.3 C Kapitel 17 B Kapitel 11 G Kapitel IV einschließlich Complement A bis F B Kapitel 5.4 C Kapitel 20.6 und 20.7 B Kapitel 9.2 I Kapitel 1 oder 2? G Kapitel XII Complement C A Kapitel 16 E Kapitel 2.6 E Kapitel 2.3 und 2.4 E Kapitel 2.8 B Kapitel 6.2 und siehe Stichwort Auswahlregeln im Register C Kapitel 22.5 B Kapitel 6.4 D Kapitel 14 C Kapitel 12.11 und 15.5; sowie K J Kapitel 3 C Kapitel 22.6

A)

S. Gasiorowicz, Quantenphysik, Oldenbourg, München.

B) T. Mayer-Kuckuk, Atomphysik, Teubner, Stuttgart. C) Haken und Wolf, Atom und Quantenphysik, Springer, Heidelberg. D) W. Demtröder, Laserspektroskopie, Springer, Heidelberg E) R. Loudon, The Quantum Theorie of Light, Clarendon Press, Oxford. F) H. Friedrich, Theoretische Atomphysik, Springer, Heidelberg G) C. Cohen- Tannoudji, Quantum Mechanics, Wiley, New-York. H) P. Schmüser Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker, Springer, Heidelberg. I)

Döring, Quantenmechanik und Atomphysik

J)

F. Engelke, Teubner Stuttgart

K) J.D. Bjorken, S. D. Drell, Relativistische Quantenmechanik, BI Wissenschaftsverlag

Der erste Teil der Vorlesung beinhaltet das übliche Pensum, wie es etwa in Prüfungen verlangt wird. Entsprechend gibt es viele mehr oder minder gute Lehrbücher. Die Stoffauswahl ist in B) ganz gut und entspricht ziemlich genau dem bisher üblichen Prüfungsstoff. An vielen Stellen ist die Darstellung knapp und teilweise sehr verkürzt, was das Verständnis erschwert. Das genaue Gegenteil ist G): sehr didaktisch, sehr genau und für Kapitel 9 wärmstens zu empfehlen, ansonsten sehr umfangreich. Die Bücher A, E, F, H, I, J und K behandeln die Theorie, wobei A eine sehr gelungene Mischung aus Knappheit und Verständlichkeit ist. F ist noch knapper und bringt die Dinge auf wenigen Seiten auf den Punkt. Die Themnauswahl ist etwas unkonventionell und für ein Lernen auf die Prüfung nicht ideal. E ist ein typisches Quantenoptiklehrbuch und ein Klassiker, allerdings in Englisch. H ist was für künftige Teilchenphysiker. Es beginnt mit Diracgleichung und arbeitet sich über Eichtheorien und Higgs Boson bis zur QCD vor. Sehr zu empfehlen für Experimentalpysiker und als Einstieg ins Gebiet. Für Atomphysiker ist das erste Kapitel mit seiner kompakten und balastfreien Darstellung der Dirac-Theorie interessant. Der zweite Teil der Vorlesung beinhaltet unter anderem Themen der heutigen Forschung. Naturgemäß gibt es für diese Themen bisher noch keine etablierten Lehrbücher. Hier muß man findig sein und teilweise Originalarbeiten lesen (etwas für besonders Interessierte, die Atomphysik als Schwerpunkt weitermachen wollen).

Kapitel 1 Einleitung

Die Ausdehung der Elektronenhülle beträgt etwa 0

Wovon reden wir? Zunächst wollen wir uns die Begriffe und Größenordnungen vergegenwärtigen, die für die Beschreibung und das Verständnis von Atomen von Bedeutung sind. Atome bestehen aus einem Kern und einer Elektronenhülle. Betrachten wir die Eigenschaften dieser beiden Teile eines Atoms:

rH = 1 ⋅ 10 -10 m = 1 A und ist damit 5000mal kleiner als die Wellenlänge von sichtbarem Licht und etwa ein Million mal kleiner als der Durchmesser eines Haars. Anschaulich bedeuten diese Verhältnisse, daß bei einem angenommenen Kerndurchmesser von 1m die Elektronenhülle eines Atoms die Ausdehnung einer Großstadt hätte (etwa 20 km). Die Massen der Bausteine eines Atoms betragen:

Der Kern ! !

! ! ! !

besteht aus Protonen und Neutronen. kann in einem vereinfachten Bild aufgefasst werden als positiv geladene, weitgehend kugelförmige und isotrope Ladungsverteilung mit einem Drehimpuls (Spin) und einem magnetischem Moment. ist schwer, d.h. der Kern enthält fast die gesamte Masse des Atoms. ist klein, d.h. nimmt nur einen vernachlässigbar kleinen Teil des atomaren Volumens ein. definiert den Namen und Charakter des Atoms. Er bildet eine eine charakteristische "elektromagnetische Falle“ für Elektronen. ist unter "normalen Bedingungen" statisch, d.h. ändert seine Eigenschaften nicht.

Die Elektronenhülle ! ! !

besteht je nach Element aus einem oder vielen Elektronen. Die Elektronen sind punktförmig, negativ geladen und leicht. bestimmt die Größe, d.h. das Volumen des Atoms. reagiert auf äußere Einflüsse d.h.verändert seine Form und seine Eigenschaften unter Einfluß von Licht oder statischer und dynamischer elektromagnetischer Felder.

Zahlen Die Größe des Atomkernes beträgt ungefähr rK = 5 ⋅ 10-15 m = 5 fm und ist damit 20.000mal kleiner als die Elektronenhülle.

Elektron: me = 9,10956 ⋅ 10−31 kg Proton: m p = 1, 67261 ⋅ 10-27 kg = 1836 me Neutron: mn = 1, 67482 ⋅ 10 -27 kg Kern: mK ! 1 bis 200 ⋅ m p Bemerkung: Die Tatsache, daß die Masse eines Atoms vom Kern, die Größe aber von der Hülle bestimmt wird erlaubt sofort eine Aussage über die Dichte von normaler Materie zu machen. Schätzt man z.B. den Abstand zwischen zwei Atomen in metallischem Lithium mit ungefähr 3 Å ab, so erhält man für die Dichte den Wert n≈

7 ⋅ mp

(3 A) 0

3

= 0, 4

g , cm 3

was dem tatsächlichen Wert von 0,542 g/cm3 erstaunlich gut trifft. Dagegen beträgt in einem Neutronenstern die Dichte n∼

1 mp −15 3

(1 ⋅ 10 )

= 1, 67 ⋅ 1015

g . cm 3

Bestünde die Erde aus Atomen ohne Elektronenhülle würde sie auf einen Kubus von etwa 150 m Kantenlänge schrumpfen. Die Energie eines Elektrons im elektrischen Feld des Atomskerns setzte sich aus kinetischer und potentieller Energie zusammen. Die potentielle Energie beträgt

3

Kapitel 1 Einleitung

rH

U ∼

∫

Fds =

∞

1 ze 2 4πε0 rH

Energie

Lokalisierungsenergie (~r-2)

d.h. für z = 1 und rH = 0.5 Å erhält man U ~ 10-18 J ~ 6 eV. Nimmt man als kinetische Energie noch einmal denselben Betrag an, so ergibt sich für die Bindungsenergie des Elektrons etwa 12 eV. Im thermischen Gleichgewicht gilt U ∼ kT . Damit errechnet sich aus der Bindungsenergie eine Temperatur von etwa 150 000 K. Erhitzt man ein atomares Gas auf diese Temperatur, beginnen die Elektronen abzudampfen und man erhält zunächst geladene Atome, Ionen und schließlich ein Plasma. Unter "normalen" Bedingungen sind Atome also stabil.

Ist eine quantenmechanische Beschreibung nötig? Wir schätzen die Nullpunktenergie ab: Die Orts-Impuls-Unschärfe ∆x ⋅ ∆p > # ergibt eine Untergrenze für den Elektronenimpuls pe : rH ⋅ pE > # ⇒ pe >

# rH

Mit dem Impuls ist eine Nullpunktenergie verbunden:

ao

Coulomb-Energie (~-r-1)

Ist eine relativistische Beschreibung nötig? Um eine Vorstellung von der Geschwindigkeit des Elektrons zu bekommen benutzen wir das Äquipartitionstheorem der Thermodynamik. p⋅

dH dp

= r⋅

dH dr

wobei H die Hamiltonfunktion ist. In unserem Fall gilt: H =

p2 1 e2 − ⋅ 2m 4πε0 r

und wir erhalten folgenden Zusammenhang für die Mittelwerte:

pe 2 #2 ∼ 2me 2me ⋅ rH 2

p2 m $

=

doppelte mittlere kinetische Energie −19

∼ 12 ⋅ 10

1 e2 ⋅ 4 πε0 r %&&&&&'&&&&&(

mittlere potentielle Energie

J = 7.5 eV

Dies ist vergleichbar mit der klassischen Bindungsenergie von 13.7 eV. Dies suggeriert folgendes Bild: Das „Fallenpotential“ des Kerns komprimiert das Elektron auf einen sehr kleinen Raum. Dabei steigt die Nullpunktsenergie aufgrund der Unschärferelation. Die Größe des Atoms ist durch das Gleichgewicht zwischen potentieller Energie und Nullpunktenergie gegeben.

Um einen Ausdruck für den Radius r zu erhalten verwenden wir die Unschärferelation und erhalten eine untere Grenze für die Ausdehnung der Wellenfunktion rH >

# pe

Mit der Annahme, daß das H-Atom den Fall # kleinster Unschärfe realisiert, d.h. rH = pe folgt

pe 2 1 e 2 pe , = ⋅ m 4πε0 #

4

Abstand des Elektrons vom Kern

und, falls

pe zeitlich konstant ist,

pe 1 e2 = ve = ⋅ m 4 πε0 #

bzw.

ve 1 e2 1 . = ⋅ =: α ! c 4πε0 #c 137 Der genaue Wert der Feinstrukturkonstanten α = 7.29735308 ⋅ 10 -3 . Sie ist dimensionslos und daher in jedem Einheitensystem gleich groß. Also: Im Wasserstoff bewegt sich das Elektron im Grundzustand mit einem 137-tel der Lichtgeschwindigkeit. Relativistische Effekte sind zu erwarten, aber klein.

5

Kapitel 2

Schrödingergleichung und Wasserstoffatom

Kapitel 2 Schrödingergleichung und Wasserstoffatom 2.1 Quantenmechanische Beschreibung des Elektrons Der Ort eines Elektrons wird durch eine kom! plexwertige Funktion ψ(r, t ) beschrieben, wobei ! 2 ψ(r , t ) die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ! man das Elektron zur Zeit t am Ort r antrifft. Das Elektron ist punktförmig. Die Wellenfunktion gehorcht der Schrödinger-Gleichung "! 2 2  !  ! ∂ !  # ∇ +V (r ) ψ(r, t ) = i# ψ(r, t ) − ∂t  2me  Der Hamilton setzt sich aus einer Summe von Operatoren zusammen, von denen jeder von einer anderen Variablen abhängt. Man kann dann die Variablen trennen, d.h. für jede Variable eine unabhängige Differentialgleichung finden. Dazu macht man zunächt den Produktansatz ! ! ψ(r , t ) = u(r ) ⋅T (t ) . Nach Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt sich "! 2  #2∇ !  ! ∂ !  +V (r ) u(r ) ⋅ T (t ) = i# u(r ) ⋅ T (t ) − ∂t  2me  ! und nach Division durch u(r ) ⋅ T (t ) folgt "! 2 !  ! 1  # 2 ∇ 1 ∂ +V (r ) u(r ) = i# T (t ) ! −  u(r )  2me T (t ) ∂t  $%%%%%%%%%%% %&%%%%%%%%%%% %' $%%%%%%&%%%%%%' unabhängig von

t

!

unabh. von r

Da beide Seiten jeweils nur von einer der beiden Variablen abhängen ist das Gleichheitszeichen für beliebige Orte und Zeiten nur erfüllt, wenn beide Seiten konstant sind. Wir nennen die Konstante E und erhalten je eine Gleichungen für T (t ) und ! u(r ) i# und

6

∂ T (t ) = E ⋅ T (t ) ∂t

! ! H u(r ) = E u(r ) wobei wir die Definition "! 2 ! #2 ∇ H ≡− +V (r ) 2me für den Hamilton-Operator verwendet haben. Die Lösung der zeitabhängigen Gleichung (2.1) lautet T (t ) = C ⋅ e −iE / #t . Gleichung (2.2) heißt zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung und stellt eine Eigenwertgleichung mit dem Spektrum En und den Lösungen ! ! uE (r ) dar. Die Lösungen uE (r ) bilden einen Satz von Basisvektoren. Ein allgemeiner Elektronenzustand setzt sich als Linearkombination der Basisfunktionen ! cn = uE (r )e −iEn / #t zusammen. Die Basisfunktionen sind Zustände mit scharfer Energie. Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung ist 2 2 ! ! 2 2 cn = un (r ) ⋅ e −iEn / #t = un (r ) ⋅ e −iEn / #t . $%%%&%%%' 1

und damit zeitlich konstant. Die Basisfunktionen bilden also stationäre Zustände. In wie weit läßt sich die klassische Vorstellung eines Elektrons, das den Kern wie ein Satellit umkreist in die quantenmechnische Beschreibung hinüberretten? Etwas genauer formuliert stellt sich die Frage, ob stationäre Zustände einen Teilchenstrom tragen können.

Teilchenstrom Zur Herleitung des Teilchenflußdichte-Operators betrachtet man zunächst die Änderung der Wahrscheinlichkeitsdichte an einem Ort in Abwesenheit eines äußeren Potentials: ∂ ∂ψ ∗ ∂ψ 2 ψ(r , t ) = ψ ⋅ + ψ∗ ⋅ ∂t ∂t ∂t "! 2 "! 2 2 1 ∇ #2 ∇ ∗ # = (ψ ⋅ ψ − ψ∗ ⋅ ψ) i# 2m 2m "! # "! "! = −∇ ⋅ ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ 2im $%%%%%%%% %%&%%%%%%%%%%'

(

"! ! ! ≡ −∇ ⋅ j (r )

)

! ! := j (r )

2.3 Die Schrödingergleichung mit kugelsymmetrischem Zentralpotenzial

Bezeichnet man die Wahrscheinlichkeitsvertei! 2 ! lung als ψ(r, t ) ≡ ρ(r, t ) erhält man daher die Kontinuitätsgleichung "! ! ! ∂ ! ρ(r, t ) = −∇ ⋅ j (r ) ∂t mit einer sinnvollen physikalischen Interpretation des so definierten Teilchenflußdichte-Operators j. Beispiel: Für die Wellenfunktion eines freien Elektrons

H =−

"! 2 "! 2 ! ! # 2 ∇e # 2 ∇K − +V ( r e − r K 2me 2mK

)

Das Potential V hängt nur vom Abstand zwischen Kern und Elektron ab. Wir definieren die Schwerpunktvariablen ! mK ! ! me ⋅ re + ⋅r R := me + mK me + mK K =

""! ! ψ(r , t ) = c ⋅ e i(kr −ωt )

me ⋅ mK  1 ! 1 !   ⋅ re + ⋅r  me + mK  mK me K  $%%%%&%%%%' :=µ

erhält man die Teilchenflußdichte ! ! ∗ ! ! # #k ! ∗ j= (ik ψ ψ + ik ψψ ) = ρ(r, t ) 2im m oder ! !! p ! ! ! j (r ) = ρ(r , t ) = v ρ(r , t ) . m In genauer Analogie zur Ladungsstromdichte in der Elektrodynamik erhält man für die Wahrscheinlichkeitsstromdichte das Produkt aus Geschwindigkeit und Wahrscheinlichkeitsdichte. Der Operator j funktioniert also. Auch im Atom tragen die stationären Zustände des Elektrons einen Teilchenstrom. In diesem Sinn umrundet das Elektron den Kern.

und

! ! ! r = re − rK .

Die Orte des Elektrons und des Kerns schreiben sich dann als ! ! µ ! re = R + ⋅r me bzw. ! ! µ ! rK = R − ⋅r . mK Außerdem lautet nun die Wellenfunktion des Elektrons ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ϕ (re , rK ) = ϕ re R, r , rK R, r = ϕ( R, r .

( ( ) ( ))

( )

Für die kinetische Energie rechnet man sich aus 2

"! 2 "! 2  µ  "!  + ∇r ∇re = ∇R   mK 

2.2 Die reduzierte Masse Elektron und Kern bilden ein Gesamtsystem. Am einfachsten wäre die Beschreibung im Koordinatensystem, in dem der Kern ruht. Im Laborsystem betrachtet bewegt sich allerdings sowohl das Elektron als auch der Kern auf einer Kreisbahn. Beim Übergang vom Laborsystem zum Kernsystem begibt man sich also in ein beschleunigtes System. Es erfolgt dann aber kein Übergang von einem Inertialsystem in ein anderes, so daß Scheinkräfte auftreten können. Sinnvoller ist daher der Überang in das Schwerpunktsystem, welches sich unbeschleunigt relativ zum Laborsystem bewegt. Es zeigt sich, daß das die Struktur der Schrödingergleichung nicht ändert, sondern lediglich die Masse des Elektrons durch eine effektive Masse ersetzt werden muß. Zur Beschreibung des Gesamtatoms machen wir für den Hamilton-Operator den Ansatz

2

und

"! 2 "! 2  µ  "! ∇rK = ∇R   + ∇r .  me 

(siehe Bemerkung am Ende des Abschnitts). Eingesetzt in den Hamilton ergibt das

H =

"! 2 ! −# 2 −# 2 "! 2 ∇R + ∇r +V (r ) . 2µ %&%%%%%%%' 2 (me + mK ) $%%%%%% $%%%%%% %&%%%%%%%' =H : =HS ! i nur von r abhängig, ! nur von R abhängig,

(innere Energie)

(Schwerpunktsbewegung)

Wieder erhält man eine Summe von Operatoren mit der Möglichkeit zur Variablentrennung von

7

Kapitel 2

Schrödingergleichung und Wasserstoffatom

"! ! r und R . Die Lösung kann man also als das Produkt der Schwerpunktswellenfunktion und Relativwellenfunktion schreiben:

! ! ∂2 ∂ ϕ R, r = 2 ∂x e ∂x e

! ! ! ! ϕ( R, r = φ R ⋅ ϕ (r ) ,

Die Anwendung der Kettenregel ergibt

( )

wobei

! −# 2∇2R

( )

( )

! ! ∂ϕ R, r

2 (me + mK )

!

( )

∂Xe

!  # 2 ∇2 !  ! ! − r  2µ +V (r ) ϕ (r ) = Ei ϕ (r ) .  

+

! Die Lösung φ R der Schwerpunktbewegung ist

( )

die eines freien Teilchens der Masse me + mK !! ! φ R = C ⋅ e i (KR−ES / #⋅t ) ,

( )

mit ES =

=

! ! ∂ϕ R, r

∂x

!

∂xe

∂x e

∂Z

∂x e

∂y ! ! ∂ϕ R, r

∂x e

∂z

∂x e

+

( ) ⋅ ∂Z + ( ) ⋅ ∂z

! ! ∂ϕ R, r

! ! ∂ϕ R, r

( ) ⋅ ∂X + ( ) ⋅ ∂x

∂X

∂x e

∂x

∂x e

"! 2

! ! ! Für die x , y, z -Komponenten von r , R, re gilt unabhängig: µ µ ⋅ xe + ⋅x mK me K x = xe − x K

( )

( )

Auf gleiche Weise erhält man für die gesuchte zweite Ableitung 2 ∂2 ∂ 2  µ  ∂2 µ ∂2  = ⋅  + 2 + 2 2 2  ∂x e ∂X  mK  ∂x m K ∂x ∂X

Bemerkung: Berechnung von ∇e und ∇K ∂2 ∂2 = ∂x K2 ∂X 2

2

µ ∂2 µ ∂2 ⋅   + 2 − 2 ∂x me ∂x ∂X  me 

und die entsprechenden Ausdrücke für die y und z -Koordinaten. Der Nabla-Operator lautet damit 2

und analog für Y , Z und y, z . Gesucht ist nun der Nabla-Operator "! 2  ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2  ∇e =  2 , 2 , 2   ∂xe ∂ye ∂ze 

"! 2 "! 2  µ  "! 2 "! "!  ∇R + 2 µ ∇r ∇R ∇e = ∇r +   mK  mK 2

"! 2 "! 2  µ  "! 2 µ "! "! ∇K = ∇r +   ∇R − 2 ∇r ∇R . me  me 

"! 2 und der entsprechende Ausdruck für ∇K . Zunächst berechnen wir die einzelnen Differentiale des Nabla-Operators, also

8

+

( ) ⋅ ∂Y + ∂ϕ (R, r! ) ⋅ ∂y

∂Y ! ! ∂ϕ R, r

( )

Die Herleitung der Lösung der inneren Bewegung ist schwieriger und wird nun ausführlich dargestellt werden.

X=

∂xe

und mit der obigen Zerlegung der Schwerpunktskoordinaten nach kartesischen Koordinaten ist ! ! ! ! ! ! ∂ϕ R, r ∂ϕ R, r ∂ ϕ R ,r µ . = ⋅ + ∂ Xe ∂X mK ∂x e

! # 2K 2 . 2 (me + mK )

"! 2

  

!

∂X

+ und

( )

( ) = ∂ϕ (R, r! ) ⋅ ∂X + ∂ϕ (R, r! ) ⋅ ∂x

! ! φ R = ES φ R

( )

 ∂ϕ R!, r!    ∂xe 

2.3 Die Schrödingergleichung mit kugelsymmetrischen Zentralpotential

=0

2.3 Die Schrödingergleichung mit kugelsymmetrischem Zentralpotenzial

Der Kern des Atoms erzeugt das Potenzial ! 1 Z ⋅ e2 V (r ) = − ⋅ . 4πe0 r

2

L  =   ⋅ R ⋅Y # 

Da das Potential kugelsymmetrisch ist, ist es sinnvoll in der weiteren Beschreibung Polarkoordinaten zu verwenden: x = r ⋅ cos ϕ sin θ y = r ⋅ sin ϕ sin θ z = r ⋅ cos θ .

1 ∂  2 ∂  1 − r r 2 ∂r  ∂r  r 2

Die Division durch R ⋅Y ergibt 1 ∂  2 ∂  2µr 2 ⋅  ⋅ R + 2 (E −V ) = r # R ∂r ∂r  %%&%%%%%%%%%%%%%%%% $%%%%%%%%%%%%%% %'% nur r

Desweiteren muß der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten umgerechnet werden. Man erhält nach einiger Rechnung den Ausdruck ∇2 =

   ∂  2 ∂  2µr 2     r  + 2 (E −V ) R ⋅Y     # ∂ ∂ r r    

2

=

1  L    Y = const .  #  Y $%%%&%%%' nur ϕ, θ

2

L  ⋅   # 

mit 2 L  1 1 ∂  ∂ ∂2 . ⋅ ⋅ sin θ  −   = − 2 # ∂θ sin θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2

Zunächst erhalten wir die bekannte Eigenwertgleichung für L2 L2 ⋅Y = # 2 ⋅ const ⋅Y , Mit den bekannten Eigenwerten const. = l (l + 1)

L ist der Drehimpuls-Operator, der als ! ! ! L := r × p definiert ist. Damit lautet die SchrödingerGleichung:  # 2 1 ∂  2 ∂     +V (r ) + 1 ⋅ L2  r ⋅ 2 − Ψ = 2       ∂ ∂ ⋅ 2 µ r r r 2 µ r  = EΨ Interessant ist, daß die gesamte Winkelabhängigkeit von H nur in L steckt. Da der DrehimpulsOperator L unabhängig von r ist gilt

[H , L ] = 0 . Der Drehimpuls ist also in einem radialsymmetrischen Potential eine Erhaltungsgröße. Wieder können wir Variablen separieren. Mit ψ (r, ϕ, θ ) = R (r ) ⋅Y (ϕ, θ ) erhalten wir

und den Kugelflächenfunktionen Yl ,m (ϕ, θ ) als Eigenfunktionen. Für den Radialteil ergibt die Variablentrennung die Gleichung   2 −# 1 ∂   2µ r 2 ∂r  

      2 ∂  # l (l + 1)   ⋅ r + V (r ) R = +  ∂r  2µ r 2   $%%%%&%%%%'   Vz(r )    = E R. 2

Zusammenfassend gilt, daß in einem kugelsymmetrischen Potential die Lösungen der Schrödingergleichung aus dem Produkt der Kugelflächenfunktionen Yl ,m (ϕ, θ ) und der Radialfunktion R (r ) bestehen, die vom jeweiligen Potential abhängt und Lösung der radialen SchrödingerGleichung sind. Die Lösung der Schrödingergleichung im Zentralpotenzial reduziert sich also auf ein eindimensionales Problem mit einem Teilchen der reduzierten Masse µ in einem effektiven Potential

9

Kapitel 2

Schrödingergleichung und Wasserstoffatom

Veff (r ) = Vz (r ) + V (r ) . Der erste Term ist das sogenannte Zentrifugalpotential # 2 l (l + 1) Vz(r ) = . 2µ r 2

Daraus folgt:

R ( ρ ) ∼ e −ρ / 2 . Für ρ → 0 gilt  d l (l + 1)  2 d   ⋅ R (ρ ) = 0 + − 2 d ρ ρ dρ ρ 2 

Es geht mit r-2 ist repulsiv und wächst mit zunehmenden Drehimpuls.

2.4 Das Wasserstoffatom I

Versuchen wir einen Potenzansatz: R (ρ ) ∼ ρ s

Wir wollen nun die Schrödingergleichung auf das Wasserstoffatom anwenden. Der Kern eines Wasserstoffatoms kann vereinfacht als punktförmig und einfach positiv geladen angenommen werden. Den Spin des Kerns vernachlässigen wir hier.

Eingesetzt ergibt sich s (s − 1) ρs −2 +

l (l + 1) s 2 ⋅ s ρs −1 − ⋅ρ = 0 ρ ρ2

Das Elektron bewegt sich dann im Potential oder s 2 + s − l (l + 1) = 0 ,

2

V (r ) =

α ⋅ # ⋅c e 1 , ⋅ = r 4πε0 r

wobei α ) 1/137 die Feinstrukturkonstante bezeichnet. Wir substituieren 2µ ρ := 2r ⋅ ⋅E #2

mit den Lösungen 1 1 1 s1 / 2 = − ± + l2 + l = − ± 2 4 2

2

 1   l + 2  .

Die erste Lösung heißt "reguläre" Lösung: s1 = l , R ( ρ ) ∼ ρ l . Sie verhält sich für kleine Abstände vernünftig

und führen die Zahl λ ein: E=

1 2 2 1 µc α 2 . 2 λ

λ ist zunächst eine reele Zahl, die den Wert von E codiert. Setzen wir diesen Ausdruck in die radiale Schrödingergleichung ein, erhalten wir    d + 2 d − l (l + 1) + λ − 1  ⋅ R (ρ ) = 0 .  2  d ρ 2 ρ d ρ ρ ρ 4

R (0) = 0 . Die zweite Lösung ist die irreguläre Lösung: s 2 = −l − 1 , R (ρ ) ∼ ρ−(l +1) . Sie divergiert für kleine Abstände R ( 0) = ∞ und ist deshalb physikalisch wenig sinnvoll. Als allgemeinen Ansatz für R (ρ ) setzen wir ∞

Um einen vernünftigen Lösungsansatz zu erraten untersuchen wir zunächst wie die Lösung für große und für kleine Abstände des Elektrons vom Kern aussieht. Für ρ → ∞ gilt  d2 1    d ρ 2 − 4  R (ρ ) ) 0

10

R ( ρ ) = e −ρ / 2 ⋅ ρ l ⋅

∑a ⋅ ρ

j

j

j =1

e −ρ / 2 : beschreibt Verhalten für ρ → ∞ ρl :

beschreibt Verhalten für ρ → 0

2.3 Die Schrödingergleichung mit kugelsymmetrischem Zentralpotenzial

∞

∑a

j

⋅ ρj

beschreibt Verhalten

j =1

für den Rest := H (ρ ) . Interessant ist nun, daß das Polynom eine endliche Ordnung haben muß, denn für ρ → ∞ wird R (ρ ) nur dann von e −ρ / 2 dominiert, wenn die Taylorreihe bei einem bestimmten j max abbricht. Daher gilt

∑a

j

( µ ) me ). Wie lauten nun die Lösungsfunktionen? Den Koeffizienten a 0 erhält man durch Normierung

jmax

H (ρ ) =

Sie ist quantisiert, das heißt die Energie des Elektrons kann nur diskrete Werte annehmen. Der Ausdruck für die Energie ist negativ, da das Atom im Grundzustand, also für n = 1, den Zustand minimaler Energie einnimmt. Die Ruheenergie eines Teilchens der Masse µ ist µc 2 . Im Grundzustand ( n = 1) beträgt die Energie etwa α 2 ) 1371 2 der Ruhemasse des Elektrons

⋅ρj.

der Grundzustandswellenfunktion.

j =0

R1, 0 (ρ ) = e Man muß also nur eine endliche Zahl von Koeffizienten an ausrechnen und kann das Problem so lösen. Im weiteren wollen wir berechnen, wie groß j max ist. Dazu setzen wir den allgemeinen Ansatz in die Schrödingergleichung ein, was zu einer Rekursionsformel für die Koeffizienten a j führt: a j +1 = a j ⋅

a0 =

als

−

ρ 2

⋅ ρ0 ⋅ a0

# . µc α

Zur Normierung muß man zurückkehren in die Ortsvariable r. Die Grundzustandswellenfunktion lautet dann −3

R1, 0 (r ) = 2 ⋅ a 0

2

⋅e

−

r a0

.

Die Koeffizienten a j mit j > 0 berechnen sich aus

j +l +1−λ ( j + 1)( j + 2l + 2)

obiger Rekursionsformel. Man findet, daß die Funktion H (ρ ) gerade den zugeordneten La-

Für j > j max müssen die a j verschwinden, es

guerre-Polynomen L2nl−+l1−1 (ρ ) entspricht. Die Wellenfunktionen der niedrigsten Zustände lauten

muß also gelten a jmax +1 = a jmax

j max + l + 1 − λ

( j max + 1)( j max + 2l + 2)

n=1, l=0:

R1,0 (r ) ∼ e −r /a0

n=2, l=0:

 r  −r / 2a0 R2,0 (r ) ∼ 1 − e  2a 0 

n=2, l=1:

R2,1 (r ) ∼

=0

und daher folgt j max + l + 1 − λ = 0 oder j max = λ − l − 1 . Da j max und l ∈ + , ist λ eine natürliche Zahl! Man nennt λ die Hauptquantenzahl n. Weiter muß j max ≥ 0 sein, da wir nur reguläre Lösungen zulassen. Um diese Bedingung zu erfüllen muß gelten n>0

( nmin = 1 für l = 0)

r −r / 2a0 e a0

n=3, l=0: 2   2 r 2  r   −r / 3a0  +    e R3,0 (r ) ∼ 1 − 3 a 0 27 a 0       r r  −r / 3a0 n=3, l=1: R3,1 (r ) ∼ ⋅ 1 − e 6a 0  a 0  2

und l + 1 > 0 ( l min = 0 für n = 1). Die Energie des Wasserstoffatoms ergibt sich aus der Definition von λ mit der Ersetzung λ = n 1 1 E = − µc 2α 2 2 . 2 n

n=3, l=2:

 r  R3,2 (r ) ∼   e −r / 3a0 a 0 

usw. Die Größe des Wasserstoffatoms im Grundzustand läßt sich aus der Wahrscheinlichkeit W ableiten, das Elektron im Abstand r vom Kern zu finden. Das Volumen einer infinitesimalen Kugelschale ist r 2 dr , also ist

11

Kapitel 2

Schrödingergleichung und Wasserstoffatom

W dr ∼ R102 (r ) ⋅ r 2 dr , also  2r   2 W (r ) ∼ exp −  a  r .  0 W (r ) hat ein Maximum bei r = a0 =

# = 0, 52917...Å . µc α

Zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen beachten wir, daß nur das Polynom H (ρ ) Nulldurchgänge macht. Die Zahl der Knoten in radialer Richtung entspricht der Ordnung des Polynoms j max = n − l − 1 . Wie viele Zustände mit gleicher Energie gibt es? Jeder Zustand mit der Drehimpulsquantenzahl l hat 2l + 1 Unterzustände. Zustände mit gleicher Energie heißen entartet. Die Zahl der Zustände mit gleicher Energie bezeichnet man als Entartungsgrad gn : n −1

gn =

∑

n −1

2l + 1 =

l =0

∑ l =0

n −1

∑l =

1+2

l =0

1 = n + 2 ⋅ (n − 1) n = n 2 . 2 Die Notation der Zustände zu den Quantenzahlen n und l und die Lage der Zustände im Spektrum ist in Abb. 2.1 gezeigt. Energie 0 eV

... 3 2

-13.6 eV

n=1

3s

3p

2s

2p

1s l=0

12

3d

1

2

3

...

gig von der Lichtleistung, hängt aber linear von der Lichtfrequenz ab.

Kapitel 4 Was ist ein Photon? 4.1

Experimente

Licht besteht in sofern aus Teilchen, als es seine Energie, seinen Impuls und seinen Drehimpuls in ganz bestimmten Paketen mit seiner Umwelt austauscht. Eine solches Paket heißt Photon. Es hat also Teilcheneigenschaften wie Impuls, Energie und Drehimpuls (den wir hier allerdings nicht betrachten). Beginnen wir mit Experimenten, die eine Quantelung des Lichts nahe legen.

Der experimentelle Befund lautet: U max = A ⋅ ν −U a oder E kin = e ⋅U max = e ⋅ A ⋅ ν − e ⋅U a Interpretiert man den letzten Term als Austrittsarbeit, die ein Elektron leisten muss um aus dem Kathodenmetall freizukommen, so ergibt sich die vom Licht auf ein Elektron übertragene Energie δE als

Photoeffekt

δE = Ekin + e ⋅U a = e ⋅ A ⋅ ν .

Das Licht schlägt Elektronen aus der Photokathode. Die Elektronen werden von der Anode eingesammelt und fließen als Strom zurück zur Kathode. Bei positiver Spannung werden die Elektronen zur Anode gesaugt. Der Strom steigt mit der Spannung an und sättigt bei einem Wert, der von der Lichtleistung abhängt.

I

Die Konstante e ⋅ A ist materialunabhängig und stellt sich als die Plancksche Konstante h heraus. Die Kathode übernimmt also aus dem Lichtfeld die Energie in Portionen von hν, bzw. !ω .

Compton-Streuung Um die These zu untermauern, dass das Licht selber in Einheiten von !ω gequantelt ist, betrachten wir die Compton-Streuung.

Isat(P2>P2) Isat(P1)

Umax

U

Interessanter ist der Fall negativer Spannung. Die Elektronen müssen dann einen Potenzialberg erklimmen um zur Anode zu gelangen. Die Höhe des Potenzialbergs Umax, bei dem der Strom aufhört zu fließen, entspricht gerade der kinetischen Energie Ekin, die die Elektronen unmittelbar nach Austritt aus der Kathode haben. Umax ist unabhän-

Ein ruhendes Elektron befindet sich in Röntgenlicht. Man beobachtet Streuung des Lichts aus der Richtung des einfallenden Lichts heraus in neue Richtungen. Die Wellenlänge des gestreute Lichts hängt vom Streuwinkel θ ab und ist immer größer als die des einfallendes Lichts.

2 2 " pe2 = (!kein ) + (!kaus ) − 2! 2keinkaus cos θ . 2 1 2 " pe2 = 2 (!ωein ) + (!ωaus ) − 2! 2 ωein ωaus cos θ   c 

Eingesetzt in die Energiebilanz ergibt den Ausdruck ! 2 ωein ωaus (1 − cos θ ) = mc 2 (ωein − ωaus ) Klassisch ist das nicht zu erklären. Demnach versetzt das einfallende Licht das Elektron in Schwingungen mit einer Frequenz die identisch mit der des treibenden Feldes sein muss. Das Auftreten von Licht einer neuen Frequenz bzw. Wellenlänge ist so nicht zu erklären. Eine korrekte Interpretation geht davon aus, dass das einfallende Photon vernichtet wird und ein neues Photon erzeugt wird. Die Frequenz des neuen Photons wird durch die Energie und die Impulserhaltung gegeben. Für eine quantitativer Analyse benötigen wir eine Hypothese für den Impuls des Photons. Hierzu verwenden wir die relativistische EnergieImpulsbeziehung

oder in Wellenlängen λaus − λein = λcomp ⋅ (1 − cos θ ) mit λcomp =

h . mc

Dies ist die Compton-Wellenlänge des Elektrons. Sie beträgt 2,4263 ⋅ 10 -12 m . Die so berechnete Wellenlängendifferenz entspricht dem beobachteten Wert und stützt die These von der Quantelung des Lichtfeldes in Energie und Impulsportionen.

E = m 2c 4 + p 2c 2 und verlangen vom Photon, dass es sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt und also keine Ruhemasse hat (m=0). E = p 2c 2 = p ⋅ c . Wenn also gelten soll, dass E = !ω so folgt daraus für den Betrag des Impuls: p = E / c = !ω / c = !k . Damit können wir folgende Bilanzen aufmachen. Energieerhaltung: Eein + mc 2 = Eaus + m 2c 4 + pe2c 2 oder !ωein + mc 2 = !ωaus + m 2c 4 + pe2c 2 .

4.2

Quantisierung des Lichtfeldes

Physikalisches Bild Die Zustände der Wellenmechanik finden ihre Entsprechung in Moden, d.h. Raumbereiche in denen Photonen vorkommen können. Sie sind Lösungen der Maxwellgleichungen unter den gegebenen Randbedingungen. Die Dynamik der Mode als Ganzes ist deterministisch und durch die Maxwellgleichungen gegeben. Die Bewegung der Photonen innerhalb der Mode ist prinzipiell unbekannt. Alles was man wissen kann ist die Wahrscheinlichkeit, mit der man ein Photon bei einer Messung an einem bestimmten Ort zu einer bestimmten Zeit antrifft. Jede Mode kann mit verschieden vielen Photonen besetzt sein. Solche Zustände heißen Nummern-Zustände. Es kann aber auch Linearkombinationen von Nummernzuständen geben. Die Anzahl der Photonen in der Mode ist dann unscharf.

Impulserhaltung: " " " pein = pe + paus " "2 "2 " " pe2 = pein + paus − 2 ⋅ pein ⋅ paus " "2 "2 pe2 = pein + paus − 2 ⋅ pein paus cos θ

Klassische Hamiltonfunktion

Die Maxwellgleichungen in Coulomb-Eichung # ohne Quellen (also ρ = j = 0 ) führen zur Wellengleichung # 1 $$# ∇2A = 2 A . c

Als letzten Schritt unserer Umformulierung machen wir den Übergang zu neuen Variablen. Wir definieren Qn :=

Die allgemeine Lösung ist eine Überlagerung ebener Wellen " " A (r , t ) =

"

∑ (a A (r")e n

−i ωnt

" " + an A (r )e +i ωnt ,

)

n

wobei

" " " " " An (r ) = L−3 / 2 ⋅ εn ⋅ e −iknr

Pn :=

εn =

" Der Vektor εn ist der Polarisationsvektor des Lichtfeldes. Die Normierungsbedingung ist " "

"2

∫ dr A (r ) = 1 .

4πc 2 i ωn 4πc 2

(an* + an ) (an* − an )

und setzen die neuen Variablen in den Ausdruck für die Energie ein. Wir erhalten für die Energie der n-ten Mode den Ausdruck

ωn = c kn .

mit

1

1 2 (Pn + ωn2Qn2 ) . 2

Formal hat dieser Ausdruck große Ähnlichkeit mit der Energie eines harmonischen Oszillators. Für die Energie einer Masse an einer Feder gilt zum Beispiel

n

L3

ε=

Periodische Randbedingungen im „Kasten“ der Kantenlänge L erleichtern das Rechnen. " Die normierten Funktionen An (r ) sind die Moden des Lichtfeldes. Sie bilden so etwas wie "vorgefertigte" räumliche Formen für das Feld. Die Zahl an gibt den Feldinhalt an. Ein Photon kann in dieser Betrachtungsweise als ein Energiequant in einer dieser „Schubladen“ aufgefasst werden. Betrachten wir die Energie solcher Photonen. Sie lautet gemäß der klassischen Elektrodynamik: ε=

1 8π

"

∫ dr (E

2

+ B2 )

L3

Ersetzen wir die elektromagnetischen Feldvektoren durch # # # # 1 #$ E = − A und B = ∇ × A c folgt ε=

∑ n

εn =

∑ n

ωn2 ⋅ an*an 2πc 2

Die Energie enthält nur noch die Amplituden a " " und a*. Die Form der Moden An (r ) und das Normierungsvolumen tauchen nicht mehr auf.

1 (P 2 + m 2 ω 2Q 2 ) 2m

wobei P der Impuls und Q die Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Quantisierung Wie kann man die Energie εn in Einheiten (Photonen) zerlegen und wie groß sind die Einheiten? Der kreative Schritt besteht darin, die Größen Pn und Qn als Operatoren zu interpretieren. Anders als komplexe Zahlen sind Operatoren nicht komutativ. Um die Operatoren vollständig festzulegen muss man also noch die Vertauschungsrelationen angeben. Hier nehmen wir die Vertauscher des harmonischen Oszillators an: % % Q , P  = i!δ . nm  n m  Schauen wir uns die Konsequenzen an. Man erhält jetzt satt der Hamiltonfunktion einen Hamiltonoperator: H =

∑H

n

mit Hn =

% 1 %2 Pn + ωn2Qn2 ) ( 2

Der Hamiltonoperator für die n-te Mode hat die Form eines harmonischen Operators. Man kann ihn daher, unabhängig von der Darstellung, mit der Methode der Erzeuger und Vernichter lösen: Wir definieren als % An =

Vernichter:

% % 1 ωnQn + iPn ) ( 2!ωn

% An+ =

Erzeuger:

% % 1 ωnQn − iPn ) ( 2!ωn

Damit lauten die Energieeigenwerte für die n-te Mode: 1  εn = !ωn mn +   2 Die Eigenfunktionen konstruieren wir aus dem % Grundzustand mittels des Erzeugers A+ . Dann ist % A+ ...0... = K 0 ...1... , oder allgemein % A+ ..., mn ,... = K m ..., mn +1 ...

Der Hamilton lautet dann: % H =

%+ %

∑ !ω A A + 2  , n

n

1

Die Konstante K m erhält man aus der Bedingung

n

n

1  ..., mn ,... H ..., mn ,... = m +  !ωn  2

Für die neuen Operatoren lauten die Vertauschungsrelationen i)

% % A , A+  = δ nm  n m 

ii)

% % % H , A  = −!ω A und n n n  

Nach Einsetzen des Hamiltonoperators ergibt sich 1 % % ..., mn ,... !ωn An+An +  ..., mn ,... =  2 1  !ωn m +   2

% % % H , A+  = !ω A+ n  n n  

oder Die Zustände ..., mn ,... , auf die der Hamilton wirkt seien Eigenzustände zum Hamiltonoperator % H.

% % Wir wenden den Vertauscher An , Am+  an,  

Wie lauten die Eigenwerte zu den Eigenzuständen ..., mn ,... ?

% %+ n

% % ..., mn ,... An An+ − 1 ..., mn ,... = m und erhalten

Aus ii) folgt, dass

(HA

% % ..., mn ,... An+An ..., mn ,... = m.

% % ..., mn ,... An An+ ..., mn ,... = m + 1.

% % % − An+H ..., mn ,... = !ωn An+ ..., mn ,...

)

Da

und daher

% An+ ..., mn ,... = K m ..., mn + 1,...

% %% HAn+ ..., mn ,... = (!ωn + Emn ) An+ ..., mn ,... , % wobei An+ ..., mn ,... der neue Eigenzustand ist.

und

Man sieht, dass sich die Energie in Schritten von !ωn erhöht. Die Energie des Grundzustandes er% gibt sich aus der Bedingung, dass A 0...0 = 0 zu

folgt für den obigen Ausdruck

% ..., mn ,... An = ..., mn + 1,... K m

K m2 ..., mn + 1,... ..., mn + 1,... = m + 1 &'''''''''''''( '''''''''''''')' =1 (Normierung)

0...0 H 0...0 =

∑ n

1 !ωn . 2

und schließlich

Km = m + 1 .

Damit findet man % An+ ..., mn ,... = m + 1 ..., mn + 1,... und entsprechend % An ..., mn ,... = m ..., mn − 1,... Abschließend können wir folgende wichtigen Resultate zusammenfassen: An jedem Ort wird die zeitliche Schwingung des Vektorpotentials durch einen abstrakten quantenmechanischen, harmonischen Oszillator beschrieben, der nur durch die Vertauschungsrelationen definiert ist. Die Änderung der Phase dieses Operators mit dem Ort ist durch die Modenfunktion festgelegt. Die zeitliche Änderung des Operators hängt von Verwendung des Heisenberg- oder Schrödingeroder Wechselwirkungsbildes ab.

Kapitel 5 Einfache Anwendungen des Photonenbildes

n⋅

oder k =n

5.1

Das Spektrum einer thermischen Lichtquelle

Im thermischen Gleichgewicht tauscht jede Mode Energie mit einem Reservoir der Temperatur T aus. Die Wahrscheinlichkeit m Photonen in einer Mode der Frequenz ω vorzufinden beträgt Pm =

∑

1 −Em / kBT

e m "#"""""$ !""""

⋅ e −Em / kBT .

λ =L. 2

π . L

Erweitern wir das Problem auf den dreidimensionalen Potentialkasten, so gilt in kartesischen Koordinaten π ki = ni ⋅ , mit i = x , y, z . L Die möglichen Werte für den Vektor ki liegen auf einem Gitter, dessen Zellen das Volumen 3  π    haben. Die Anzahl N der Zustände innerhalb L  einer Kugel mit Radius k beträgt dann

Normierungsfaktor

Mit E m = m ⋅ %ω und U := e Pm =

−%ω / kBT

Um

∑

Um

erhält man

∞

∑U

m

=

m

3 4 π  1 π ⋅ k 3 /   ⋅ . L  8 3

Der Faktor 1/8 ergibt sich aus der Bedingung, daß nur positive Werte von k zugelassen sind, und somit nur das Segment mit positiven Achsenabschnitten im k-Raum zu N beiträgt.

.

m

Da

N =

1 (geometrische Reihe), 1 −U

Die Anzahl der Zustände im Intervall k + dk beträgt dann

folgt Pm = (1 −U ) ⋅U m .

dN 1 L3 = k2 ⋅ 2 ⋅ 2 , dk 2 π

Die mittlere Besetzungszahl einer Mode ist dann m=

∑ mP

m

= (1 −U )

m

∑ mU

m

m

= (1 −U )U

d dU

∑

Um

m

= U / (1 −U ) = 1/(U −1 − 1) und insgesamt m=

1 e

%ω / k BT

−1

wobei wir zusätzlich die zwei Polarisationsrichtungen des Photons berücksichtigt haben. Als spektrale Modendichte ergibt sich dann ρ dk := dN =

L3 2 k dk . π2

Berücksichtigt man, daß ω = c ⋅ k , erhalten wir schließlich für die Anzahl der Moden ρω dω im Frequenzintervall ω + dω

.

Zur Berechnung der Strahlungsenergie im Frequenzintervall ω + d ω benötigen wir die Zahl der Moden, die in diesem Intervall existieren. Betrachten wir die Modendichte in einem eindimensionalen Potentialtopf der Länge L. Es können nur Wellen existieren mit Knoten an den Wänden

ρω dω =

L3 ⋅ ω2 dω . π 2c 3

Multipliziert man die Anzahl der Moden mit der Energie %ω eines Photons und der mittleren Besetzungszahl einer Mode erhält man die Energie im Frequenzintervall ω + dω . Wir interessieren uns hier für die Energiedichte W(ω) und dividieren daher noch durch das Volumen L3.

Lichtgeschwindigkeit ist. Nach Integration über den Halbraum erhalten wir das StefanBoltzmann-Gesetz

W ( ω ) d ω = m ⋅ %ω ⋅ ρ ω d ω oder W (ω ) dω =

%ω 3 1 dω . π 2c 3 e %ω / kBT − 1

Diese Beziehung für die spektralen Energiedichte W (ω ) wurde erstmals von M. Planck abgeleitet und wird daher auch Plancksche Strahlungsformel genannt.

Pt =

c 2π 5 4 4 ⋅Wt = k T := σ ⋅T 4 . 4 15c 3h 3 B

Die insgesamt über alle Frequenzen abgestrahlte Leistung bei der Temperatur T ist also proportional zur vierten Potenz der Temperatur. Die Proportionalitätskonstante σ hat den Wert

Energiedichte W(ω)

σ = 5,67·10–8 W/m2 K4.

0

2

4

6

8

10

hω/kT

Das Maximum des Energiespektrums liegt bei

Im folgenden Abschnitt werden wir uns mit der Photonenstatistik für ein Quantensystem mit nur zwei Zuständen beschäftigen.

%ωmax = 2, 8 k BT und ist linear von der Temperatur abhängig. Diese Abhängigkeit des maximalen Wertes des Energiespektrums bezeichnet man als das Wiensche Verschiebungsgesetz. Um die gesamte Energiedichte Wt der Lichtstrahlung zu berechnen integriert man über alle möglichen Frequenzen und erhält mittels der Substitution x:=!ω/kBT . ∞

Wt =

∫

(kBT )

∞

4

W

(ω )dω

0

=

2 3

πc %

3

Berechnen wir als Beispiel die Strahlungsleistung einer Glühbirne. Die Wendel der Glühbirne bestehe aus Wolfram, das einen Schmelzpunkt von 3683 K hat. Wir betreiben die Wendel sicherheitshalber bei einer Temperatur von T = 3000 K Die Länge des Drahtes sei l = 10 mm und der Radius der Wendel r = 0,05 mm. Für solch eine Glühbirne erhält man als Strahlungsleistung P = σ ⋅ l ⋅ 2πr ⋅ T 4 = 144 W, was mit der zum Betrieb einer Glühbirne üblichen elektrischen Leistung gut übereinstimmt.

∫ 0

x 3 dx . ex − 1

5.2

Einsteins Ratenbild

Photonen können von Atomen erzeugt und vernichtet werden. Betrachten wir ein sehr vereinfachtes Modell. Das Atom hat nur zwei Energieniveaus. Zu jedem der beiden Energieeigenwerte existieren gi (i = 1, 2) Zustände, die Energieniveaus könne also entartet sein. Man bezeichnet gi als Entartungszahlen der Niveaus. Die Niveaus seien durch die Energie %ω eines Photons getrennt. N2 E2 g2

Die Lösung des Integrals ergibt Wt =

π2 k 4T 4 . 15 c 3% 3 B

Die abgestrahlte Leistungsdichte Pt einer Fläche in eine bestimmte Richtung beträgt Pt = c ⋅Wt ⋅ sin θ , wobei θ den Winkel zwischen der Abstrahlrichtung und der Flächenebene angibt und c die

B12 W(ω)

B21 W(ω)

A21 N1 E1 g1

Das Modell von Einstein postuliert drei Vorgänge. Aus dem Zustand 2 kann das System durch spontane Emission eines Photons in den energieärmeren Zustand 1 übergehen. Durch die induzierte Absorption eines Photons kann das System aus dem unteren Zustand in den oberen

angeregt werden. Drittens nehmen wir an, dass es auch eine durch das Lichtfeld induzierte Emission gibt. Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Prozesse sind durch die Übergangskoeffizienten B12, B21 und A21 gegeben. Zur Berechnung der Koeffzienten stellen wir die Ratengleichung für das System auf: N& 1 = N 2 A21 − N 1B12W (ω ) + N 2 B21W (ω ) wobei N1 die Besetzungszahl des Grundzustands ist. Im Gleichgewicht muß gelten N& 1 = 0 , und

also mit dem Koeffizienten.

A21

(N 1 / N 2 ) B12 − B21

.

Einstein-

g 1 π 2c 3 ⋅W (ω ) . N& 12 = B12 ⋅W (ω ) = 2 ⋅ ⋅ g 1 τ %ω 3 Praktisch ist der Begriff des Wirkungsquerschnitts. Dazu definiert man zunächst eine spektrale Photonenflußdichte j :=

c ⋅W (ω ) ∆ω . %ω

Sie gibt an wieviele Photonen mit Frequenzen im Intervall ω+∆ω durch eine Einheitsfläche treten. Mit diesem Ausdruck erhält man

Die Bestimmung der Besetzungszahl des Systems erfolgt unter der Annahme, daß beide Zustände thermisch besetzt sind und daher gilt

N i ∼ gi ⋅ e −Ei / kBT mit i = 1, 2.

des

Aus einer Messung der Lebensdauer kann die Absorptionsrate bestimmt werden zu

man erhält einen Ausdruck für die Energiedichte: W (ω ) =

Kehrwert

N& 12 =

B12 %ω c ⋅ ∆ω

⋅j ≡σ⋅j.

Der Übergangswirkunsquerschnitt σ hat die Einheit [ σ ] = m2 und lautet

Das Verhältnis der Besetzungszahlen lautet dann N1 N2

=

g1

σ :=

e %ω / k BT .

g2

Damit ist die spektrale Energiedichte W (ω ) = =

A

g1 g2

⋅ B12e

A21 B21

⋅

21 %ω / kBT

− B21 1

g1 g2

⋅

B12 B21

e

%ω / kBT

−1

Zur Bestimmung der Übergangskoeffizienten vergleichen wir diesen Ausdruck mit der Planckschen Strahlungsformel und finden A21 B21

=

%ω 3 π 2c 3

Anschaulich kann man sich um jedes Atom eine Kreisfläche der Größe σ vorstellen. Immer wenn diese Fläche von einem Photon getroffen wird erfolgt ein Übergang. Welchen Wert für das Frequenzinterval ∆ω muß man sinnvollerweise ansetzen? Aufgrund der Energie-Zeit-Unschärfe ist die Übergangsfrequenz nur bis auf die natürliche Linienbreite δ definiert. Zum Photonenfluß tragen daher nur Photonen im Frequenzintervall ∆ω ∼ δ = 1/τ bei. Damit gilt τ ∆ω ∼ 1, und für den Absorptionswirkungsquerschnitt folgt σ∼

sowie g1 ⋅ B12 = g 2 ⋅ B21 . Zwei wichtige Folgerungen aus diesen Gleichungen sind die Existenz der stimulierten Emission und der Zerfall des angeregten Zustands. Der Zerfall erfolgt exponentiell mit einer Lebensdauer τ=

g  λ 2 %ω 1 . B12 = 2   ⋅   τ ∆ω c ⋅ ∆ω g1 2

1 A21

g 2  λ 2 ⋅   . g1  2 

Für ein Zweiniveausystem hängt damit der Wirkungsquerschnitt nur von der Wellenlänge des resonanten Lichts also dem Energieabstand der beiden Niveaus ab! Aufgrund von Beugung kann man einen Lichtstrahl im Idealfall maximal auf einen Fleck der Größenordnung λ 2 fokussieren. In diesem Fall könnte man einen bis an die Beugungsgrenze ge-

bündelten Lichtstrahl durch ein einziges Atom abschatten! Allerdings geht das nur solange keine Sättigung im Spiel ist, also nur bei sehr kleinen Leistungen. Solche Experimente werden beispielsweise in München (Max-Planck-Institut für Quentenoptik) und in Los Angeles (CalTech) durchgeführt. Einzelne Atome fliegen dabei durch einen optischen Resonator in dem nur eine Mode mit wenigen Photonen besetzt ist. Das Atom kann die Lichtmode im Resonator fast vollständig dämpfen. (z.B. http://www.mpq.mpg.de/qdynamics/)

5.3. Der Laser im Ratengleichungsbild Eine wichtige Anwendung der Existenz von stimulierter Emission ist die Verstärkung von Licht im Laser (Abk. engl. light amplified stimulated emission of radiation). Betrachten wir ein System, aus vier energetisch getrennten Niveaus.

N1 schneller Zerfall N2

Pumplicht σp, jp

schen Lichtquelle verwendet (Lampe) kann man monochromatisches Licht verstärken. Der Übergang in den Grundzustand erfolgt wieder schnell, so daß näherungsweise für die Besetzungszahlen gilt N1 = N 3 = 0 . Die schnelle Entleerung der Zustände führt dazu, daß keine Reabsorption von Laserlicht vom Zustand (3) nach (2) stattfindet. Außerdem ist keine stimulierte Entvölkerung vom Zustand (1) in den Grundzustand möglich. Mit einem solchen Lichtverstärker kann man in einem weiteren Schritt eine Quelle für monochromatisches Licht konstruieren, wenn man das erzeugte Laserlicht mit einem optischen Resonator rückkoppelt. Im einfachsten Fall geschieht das durch zwei gegenüberliegende Spiegel, zwischen denen das Licht hin und her läuft. Einer der beiden Spiegel reflektiert das Licht mit bestmöglicher Reflektion, während der andere Spiegel einen kleinen Anteil des Lichtes nach außen durchläßt, also auskoppelt. Den Anteil des ausgekoppelten Lichtes bezeichnet die Transmission T, die je nach Anwendung zwischen unter 1% und einigen 10% liegt.

Laserlicht σl, jl N3 schneller Zerfall

N0

Durch Einstrahlung von Pumplicht, charakterisiert durch den Photonenfluss jp, werden die Teilchen des Lasermaterial (Atome, Moleküle, Ionen) aus dem Grundzustand (0), in den obersten Zustand (1) angeregt. Der angeregte Zustand zerfällt sofort in einen energetisch tieferliegenden Zustand (2). Für dieses "obere Laserniveau" ist im folgenden die Lebensdauer wichtig, sie sei hier mit τ bezeichnet. Außerdem ist noch das zu verstärkende Licht anwesend, das wir als "Laserlicht" bezeichnen mit einem entsprechenden Photonefluss jL. Durch stimulierte Emission werden die Teilchen vom oberen in das untere Laserniveau (3) befördert und geben dabei Photonen ab, die mit den Photonen, die den Übergang stimulieren exakt identisch sind. Die stimulierenden Photonen werden "geklont". Dadurch wird das eingestrahlte Laserlicht verstärkt, ohne dass seine Eigenschaften geändert werden. Selbst wenn man als Pumplicht das Licht einer thermi-

Lasermaterial

Spiegel

Mode (m, A)

teildurchl ssiger Spiegel (T)

Analysieren wir das System mit Hilfe des Ratenmodells. Die Ratengleichung für den oberen Laserzustand (2) lautet 1 N& 2 = +N 0 σ p j p − N 2 ⋅ − N 2 σL jL . τ Die Besetzungszahlen Ni beschreiben die Anzahl der Atome im entsprechenden Zustand. Die Gesamtatomzahl im Medium sei N. Im Gleichgewicht gilt N& 2 = 0 . Damit erhält man einen Ausdruck für den Photonenfluß des Laserlichts in Abhängigkeit der Besetzung des oberen Laserniveaus N2. jL =

N 2  1  ⋅ N 0σ p j p −  τ  N 2σL 

Welcher Wert für N2 stellt sich ein? Um diese Frage zu beantworten müssen wir die Rückkopp-

lung miteinbeziehen. Die Besetzung N2 und der Photonenfluß jL hängen dann wechselseitig voneinander ab: Vergrößert sich die Besetzung nimmt die Verstärkung zu und damit auch der Laser-Photonenfluß. Der allerdings mindert die Besetzung, da die stimulierte Emission zunimmt. Es stellt sich am Ende ein Gleichgewicht ein. Um diesen Sachverhalt zu beschreiben benötigen wir eine Ratengleichung für die Photonenzahl im Resonator. Besitzt die Mode des Lasers m Photonen und eine Querschnittsfläche AL ,so gilt für die Zahl mt der ausgekoppelten Photonen m& t = T ⋅ j L ⋅ AL .

Pout =

schreiben, oder einfach Pout = ε (Pp − Ps ) , mit der dimensionslosen Effizienz ε := Q ⋅ α ⋅

wobei L die Verluste im Resonator etwa durch Streuung an den optischen Oberflächen oder durch unerwünschte Absorption im Lasermedium bezeichnen. Im Gleichgewicht gilt m& = 0 woraus folgt

Ps :=

g :=

1 α ⋅ ⋅σ ⋅τ , %ωp AL L

und dem sogenannten Quantendefekt Q :=

N σp j p T T ⋅ 0 − . σL τ T +L AL

Bei nicht zu starker Anregung hält sich das Atom meistens im Grundzustand auf, so dass oft näherungsweise N 0 ≈ N . Zur Vereinfachung der Beschreibung des Photonenflusses aus dem Laserresonator formen wir in praktische Größen um. Mit der Leistung P = %ω ⋅ j ⋅ A und dem Absorptionskoeffizienten α :=

N 0 ⋅ σp Ap

können wir die ausgekoppelte Leistung als

ωL ωp

.

Man erkennt, dass für hohe Frequenzen die Verstärkung sinkt. Deshalb ist die Entwicklung eines Lasers im ultravioletten Spektralbereich schwierig. Das Produkt σL.τ ist eine Größe, die das Lasermaterial charakterisiert. Zur Optimierung der Lasereffizienz wählt man Materialien mit hoher Lebensdauer τ des oberen Laserniveaus. Als technischer Parameter geht in die Verstärkung der Quotient aus Absorptionsquerschnitt und Querschnittsfläche des Resonators ein. Die Pumpschwelle Ps gibt den Einsatzpunkt der Lasertätigkeit an. Oberhalb der Schwelle nimmt die Ausgangsleistung linear mit der Pumpleistung zu.

Ausgangsleistung

jout ≡ T ⋅ jL =

1 ⋅ (T + L ) , g

der Kleinsignalverstärkung

N 2 σL = (T + L ) ⋅ AL . Mit dem so ermittelten Wert für die Besetzung kann man jetzt den Photonenfluss im Resonator und damit auch den ausgekoppelten Photonenfluß jout berechnen.

T , T +L

der Pumpschwelle

Für die Änderung der Photonenzahl im Resonator erhält man also den Ausdruck m& = N 2σL j L − (T + L ) AL j L ,

%ω ⋅ A T ωL ⋅ α ⋅ Pp − L L ⋅ T σL ⋅ τ T + L ωp

Effizienz (ε)

Pump schwelle

Pumpleistung

Im optimalen Fall sind der Absorptionskoeffizient α = 1 und die Resonatorverluste L = 0. Dann gilt für die Effizienz %ω ε =Q = L , %ω p das heißt, oberhalb der Pumpschwelle wird jedes Pumpphoton in ein Laserphoton umgewandelt. Zum Abschluß dieses Kapitels fassen wir die wesentlichen Resultate zusammen. Unsere Annahmen waren die Quantelung der Energie einer elektromagnetischen Mode und die EnergieZeit-Unschärfe. Aus einer Analyse des schwarzen Strahlers folgte die Existenz der stimulierten Emission und die Werte für die Übergangsraten oder Einstein-Koeffizienten Bislang fehlt uns noch eine mikroskopische Theorie der beschriebenen Phänomene. Weiter werden wir uns mit der Frequenz- und Polarisationsabhängigkeit der atomaren Anregung beschäftigen müssen. Schließlich fehlen noch die Auswahlregeln, die die Kopplung zwischen unterschiedlichen Zuständen beschreiben.

Kapitel 6 Das Wasserstoffatom, Teil II 6.1 Die relativistische Wellengleichung für ein freies Teilchen Die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen basiert auf der nichtrelativistischen EnergieImpuls-Beziehung E =

p2 2m

Ersetzt man Energie und Impuls durch die entsprechenden Operatoren erhält man: ∂φ = ∂t  ∂ ∂ ∂  −ic! α1 + α2 + α3  φ + βm 0c 2φ ∂y ∂z   ∂x

i!

Die obige relativistische Bedingungen ist erfüllt, wenn

α12 = α22 = α32 = β 2 = 1 αi ⋅ αj + αj ⋅ αi = 0

und den quantenmechanischen Definitionen für die Operatoren für Energie und Impuls

Energie-Impuls-

für i ≠ j

αi β + βαi = 0 . Wenn αi und β Zahlen sind, kann man diese

∂ E = i! ∂t und

Gleichungen nicht erfüllen. Nehmen wir z.B. die mittlere Gleichung mit i=1 und j=2: 2α1α2 = 0 .

" " p = −i!∇ .

Es muß also entweder α1 = 0 oder α2 = 0 . Dies Wie könnte eine relativistische Wellengleichung aussehen? Als naheliegender Ansatz kann man die Definition der Operatoren in die relativistische EnergieImpulsbeziehung

E 2 = c 2 p 2 + m02c 4 einsetzen und erhält 2 " 2  ∂  i!  = c 2 −i!∇ + m 20c 4 ,  ∂t 

(

)

bzw. " 1 ∂ m c   − ∇2 +  0   !  c 2 ∂t 2 2

2

 φ = 0 

widerspricht der ersten Gleichung, die fordert daß

α12 = α22 = 1 . Dirac's geniale Idee war, daß es sich bei den Größen αi und β um Matrizen handeln könnte. Diese Matrizen wirken als Operatoren auf entsprechende Zustände, die nicht mehr eine skalare Funktion sind, sondern ein komplexwertiger Vektor. Jede Komponente des Vektors ist eine Wellenfunktion im üblichen Sinn. Der Hilbertraum wird erweitert und ist jetzt der Produktraum aus den üblichen Ortswellenfunktionen und einem endlichdimensionalen Vektorraum. Bemerkung: Um kurz zu zeigen wie hier die Algebra funktioniert betrachten wir ein völlig willkürliches Beispiel. Als Operator nehmen wir das Produkt

Dies ist die Klein-Gordon-Gleichung. Sie wird verwendet um Teilchen mit Spin=0 zu beschreiben.

0 1 ∂   1 0 ⋅ ∂x  

Es gibt aber noch einen weiteren, zwar etwas komplizierteren aber auch viel spannenderen Ansatz der auf Dirac zurückgeht. Ausgangspunkt ist die Frage, ob man nicht auch einen Ansatz ma# # chen kann, der linear in E und P ist:

und als Vektor

E = α1cpx + α2cpy + α3cpz + βm 0c 2 .

 exp(ik1x )   .  exp(ik2x )

Wendet man den Operator auf den Zustandsvektor an erhält man 0 1 ∂  exp(ik1x )    1 0 ⋅ ∂x ⋅ exp(ik x ) =      2   0   ∂   ∂x

∂    exp(ik x ) 1  ∂x  ⋅   exp(ik x ) =   2 0   

Diese Bezeichnung klärt sich später. Man kann die Dirac-Gleichung jetzt folgendermaßen schreiben: " " " "    σ ⋅ p  1 0 φ  ∂ φ    0   + m c2    i !  "  = c  " " 0 −1 "  . 0 0  ∂t χ  σ ⋅ p  χ

  0 + ∂ exp(ik x ) ik exp(ik x ) 2   2 2   ∂x  =       ∂ exp(ik x ) + 0 ik1 exp(ik1x )  1  ∂x

Hier wurden die σ-Matrizen als dreidimensionaler Vektor mit den Komponenten σx, σy und σz zusammengefasst. Dieser Vektor codiert den Eigendrehimpuls des Teilchens. Wie das genau aussieht kommt später.

Zurück zu Dirac. Die Größen αi und β sind nun Matrizen, die obigen Bedingungen gehorchen müssen. Man kann zeigen, daß die Matrizen dazu mindestens vierdimensional sein müssen und dieForm haben:

Im Rahmen des Standardmodells geht man davon aus, daß Materie aus Fermionen zusammengesetzt ist, die durch die Dirac-Gleichung beschrieben werden. Die Wechselwirkung zwischen den Fermionen wird durch Teilchen mit ganzzahligem Spin, also Bosonen vermittelt. Bosonen gehorchen der Klein-Gordon-Gleichung.

0 αj =  σ j

σ j   0 

Die Nichtdiagonalmatrix " "  0 σ ⋅ p    . σ" ⋅ p" 0  

Eˆ 0    β =   . ˆ  0 −E  In dieser Schreibweise sind die Komponenten der Matrizen wieder Matrizen: 0 1  σx =   1 0 0 −i   σy =   i 0  1 0   σz =  0 −1 und 1 0  . Eˆ =  0 1

Der Zustandsvektor muß ebenfalls vierdimensional sein. Man unterscheidet zwei "große" und zwei "kleine" Komponenten.  φ1 (r$, t )   $    r , t φ ( )  2 $  φ (r , t ) =  $  χ (r , t )  1  χ (r$, t )   2

große Komponenten kleine Komponenten

koppelt sowohl die großen und die kleinen Komponenten. Wir betrachten den Spezialfall, in dem die Funktionen φ1(r,t), φ2(r,t), χ1(r,t), χ2(r,t) alle Eigenfunktionen des Impulsoperators zum Eigenwert 0 sind (Wellen mit beliebig langer Wellenlänge). Die Nichtdiagonalmatrix verschwindet dann und die Dirac-Gleichung zerfällt in zwei unabhängige Gleichungen i!

" ∂ " φ = m 0c2 ⋅ φ ∂t

i!

∂ " " χ = −m0c2 ⋅ χ . ∂t

Dies sind Energie-Eigenwertsgleichungen mit den Eigenwerten +m0c2 und -m0c2 . Die Zustände negativer Energie werden als Antiteilchen interpretiert. Für nichtverschwindenden Impuls werden die Zustände für ruhende Teilchen bzw. Antiteilchenzustände durch die Nichtdiagonalmatrix gemischt. Ähnlich wie bei der Schrödingergleichung kann man zu einer stationären Dirac-Gleichung gelangen indem man die Zeitvariable absepariert. Wir machen in weiser Vorraussicht der Lösung gleich den Ansatz einer Exponentialfunktion für den Zeitanteil:

E $ $ φ (r , t ) = φ (r ) ⋅ e −i !⋅t

und erhalten die gekoppelten Gleichungen " 1 c 1 " " " " (σ ⋅ p ) φ ( r ) = (E + m 0 c2 ) χ ( r ) . c " " "

(σ ⋅ p ) χ ( r ) = (E − m 0c 2 ) φ (r )

6.2

Elektron im Coulomb-Potential

In der Atomphysik interessieren wir uns natürlich in erster Linie für Elektronen, die in einem Potential (Kern) gebunden sind. Wir müssen also ein elektrostatisches Potential in die Dirac-Gleichung einführen. Die stationäre Diracgleichung mit Potential lautet: " $ 1 $ c 1 " " " $ " $ $ (σ ⋅ p ) φ ( r ) = (E −V ( r ) + m0 c 2 ) χ ( r ) c " " " $

(σ ⋅ p ) χ ( r ) = (E −V ( r ) − m0 c 2 ) φ ( r )

neben der Hauptquantenzahl n ist die Quantenzahl für den Gesamtdrehimpuls j. Den etwas unübersichtlichen Ausdruck für die Energie kann man nach Potenzen von α entwickeln.         2 4    1 3 α α      + … − − En, j = m0c2 1 −     2n 2 2n 3  j + 1 4n  %   Schrödinger       2 '(((((((()((((((( (*   Feinstruktur  Man findet dann zunächst die Energie der Schrödingerschen Theorie wieder. Darüber hinaus gibt es Korrekturterme in Potenzen von α. Das neue Termschema sieht folgendermaßen aus. j=1/2

j=3/2

j=5/2

3p3/2 3d3/2

3d5/2

n=3 3s1/2 3p1/2 n=2

Genau wie beim Aufstellen der Schrödingergleichung haben wir einfach die potenzielle Energie als skalare Größe hinzugefügt. Für das Coulombpotential V (r ) = −

2p3/2

1 e2 4πε0 r

läßt sich die Diracgleichung sogar algebraisch lösen (siehe z.B. Friedrich, Theoretische Atomphysik) mit dem Ergebnis: E n, j =

δj = j +

wobei

2s1/2 2p1/2

j =l ±

1 2

1 2

1s1/2

m 0 c2 2

 α    1 +   n − δj 

1 − 2

2

1   j +  − α2  2  für l > 0

und j=

n=1

für l = 0 .

Dieser Ausdruck ist nicht sehr anschaulich, man sollte sich aber merken, daß die Energie jetzt von zwei Quantenzahlen abhängt. Die Drehimpulsentartung ist aufgehoben, die neue Quantenzahl

Die Bezeichnung der Niveaus folgt dabei der Regel nl j also z.B. ist der Zustand 3d5/2 ein Zustand mit der Hauptquantenzahl n=3, einem Drehimpuls l=2 und einem Gesamtdrehimpuls j=5/2. Zustände mit gleichem j sind entartet. Für große n und für große j verschwindet die Feinstruktur.

6.3

Nichtrelativistischer Grenzfall

Wie kann man nun die Diracgleichung interpretieren? Wir wollen sie zunächst mit der Schrödingergleichung in Verbindung bringen. Um zu einer nichtrelativistischen Gleichung zu kommen müssen wir zunächst die Ruheenergie loswerden. Dazu separieren wir eine schnelle Oszilation ab, de-

ren Frequenz der Ruhemasse des Elektrons entspricht. Wir machen den folgenden Ansatz, wobei u und v schwach zeitabhängig sein sollen: φ =e

u ( r$, t )    $ , v ( r , t ) 

−i ω0t

Eingesetzt in die Gleichung für u ergibt gerade die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen. i !u+ =

!ω 0 = m 0 c 2

" p2 u. 2m0

Wieso wird die u-Komponente als „große“ Komponente bezeichnet? Es gilt

Für φ+ erhält man:

v +v =

 u+  u    i !φ+ = m 0 c 2 v  + i !  e −i ω0t  v+     Dies wird in die Diracgleichung eingesetzt  u+  u     −i ω0t 2   ! + = c m i   0 v  v+ e       u   " " v  c (σ ⋅ p )  + m c2  e −i ω0t 0  u  −v  

Da u und v nur schwach zeitabhängig sein sollen sind die Ableitungen der linken Seite kleine Größen. Die Forderung, dass beide Ableitungen ganz verschwinden sollen ist zu stark. Sie führt nur zur trivialen Lösung u=0 und v=0. Die erste nichttriviale Lösung erhält man für die Forderung dv/dt=0. Die untere Gleichung lautet dann " " 1 (σ ⋅ p )u . 2m 0 c

Eingesetzt in die obere Gleichung ergibt: " "

2m0 c

2

u.

" "2 Nun berechnen wir noch den Ausdruck (σ ⋅ p ) . " "



(σ ⋅ p ) = 

" 1 p2 + u u 2m 0 c2 2m 0

" p2 und da , m 0 c2 folgt sofort v +v , u +u . 2m 0

bzw.

" " i!v+ = c (σ ⋅ p ) u − 2m0c 2v

(σ ⋅ p )

(2m0c)

2

(σ ⋅ p ) u +u

" p2 ≈ m 0 c2 2m0

" " i !u+ = c (σ ⋅ p )v

i !u+ = c

" "

2

In dieser nichtrelativistischen Näherung sind die oberen Komponenten viel größer als die unteren. Die Mischung zwischen Teilchen und Antiteilchen wird erst wichtig, wenn

und ergibt schließlich

v=

=

1

pz

px + ipy

" "2 " 1 0 ⇒ (σ ⋅ p ) = p 2   0 1

px − ipy   −pz 

1 m v 2 ≈ m 0c 2 oder 2 0

v ≈c

Dem Elektron werden erst dann kleine Komponenten beigemischt, wenn es sich der Lichtgeschwindigkeit nähert. Im Wasserstoffatom gilt etwa für den Grundzustand v/c=α~1/137. Die Beimischung kleiner Komponenten ist also klein. Im obigen Ausdruck für die Energie des Elektrons im Coulomb-Potential ist der letzte Term positiv und ~1/n4. Er beschreibt die Lockerung der Bindung durch Beimischung kleiner Komponenten. Der zweite Term ist die sogenannte SpinBahn-Kopplung. Um diesen Anteil besser zu verstehen müssen wir uns aber zunächst die σMatrizen genauer anschauen.

6.4

Welche Bedeutung σ−Matrizen?

haben

die

Wir betrachten den Operator " 1 " S := !σ 2 und berechnen die Vertauschungsrelationen seiner drei Komponenten. Mit

Sx =

! 0 1   , 2 1 0

Sy =

! 0 −i   , 2  i 0 

Man kann zwar die Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators auf halbzahlige Werte erweitern, z.B. i

ϕ

Y1 , 1 ∼ sin θ ⋅ e 2 . 2

2

und Sz =

! 1 0    2 0 −1

Wendet man jedoch den Abwärtsoperator

ergibt sich die Kommutatorrelation: 2 0 2 1 0 −i  ! 0 −i  0 1 S x , Sy  = !  −          4 1 0 i 0  4  i 0 1 0 '(((((()((((((* '(((((()((((((*  i 0  −i 0     0 −i   0 i      2

=

! 4

0  2i    0 −2i  = i !S z .  

Allgemein gilt:

S , S  = ε i!S . i , j ,k k  i j 

Interessant ist der Vergleich mit der Vertauschungsrelation des Bahndrehimpulses L: L , L  = ε i ! L i , j ,k k  i j  Dies suggeriert einen verallgemeinerten Begriff des Drehimpulses: Jeder dreikomponentige Vektoroperator, der die obigen Vertauschungsrelationen erfüllt, ist danach ein Drehimpuls. Tatsächlich lässt sich dieser Ansatz sehr gut mit einer allgemeinen Forderung nach Symmetrie unter Raumdrehungen begründen, was wir hier aber nicht vertiefen wollen. Was sind die Eigenwerte von Sz? Stellen wir die Eigenwertgleichung für Sz auf. φ  φ  ! 1 0   1  = ms!  1    φ  2 0 −1φ2   2  Die Eigenwerte sind offensichtlich ms = ±

1 2

Der Spin ist also ein halbzahliger Drehimpuls! Dies ist eine völlig neue Art von Drehimpuls und ist in der üblichen Definition des Bahndrehimpul$ $ $ ses L = r × p nicht enthalten.

 ∂ ∂   L− = !e −iϕ − + i cos θ ∂ϕ   ∂θ auf den Zustand an, erhält man L−Y1 , 1 ∼ 2

2

cos θ − 2i ϕ e . sin θ

Dies ist jedoch nicht proportional zum Zustand Y1/2,-1/2. Der ergibt sich nämlich aus dem Zustand Y1/2,1/2 durch Y1 2 −1 2 = −1 ⋅Y1*2 1 2 ∼ i sin θ ⋅ e

i − φ 2

.

Im Ortsraum gibt es also keine Drehimpulseigenfunktionen mit halbzahligem Eigenwert! Der Spin ist eine zusätzliche Struktur zum Ortsraum und genauso „normal“ wie der Begriff der Polarisation von Licht, oder allgemein des elektromagnetischen Feldes. Ist nun mit dem Spin auch ein magnetisches Moment verbunden? Dazu müssen wir das elektromagnetische Feld in die Dirac-Gleichung einbauen.

6.5 Diracgleichung im elektromagnetischen Feld Die Kopplung an das elektromagnetische Feld geschieht durch Übergang von " " " p → p − qA . Dies ist eine Konsequenz der Forderung nach Eichinvarianz. Dieses Prinzip ist ähnlich fundamental wie das Prinzip der kleinste Wirkung und integraler Bestandteil des Standardmodells. Wir wollen das hier nicht besprechen sondern benutzen nur das Resultat. Neben der Ersetzung des Impulses müssen wir noch das skalare Potential q ⋅U hinzufügen und erhalten für die Dirac-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feld

g Proton = 5.5858

  " $+  " " $ 2 i !φ = c ⋅ α p − q ⋅ A + mc β + q ⋅U  φ   '(((()((( $ (*   := π

g Neutron = −3.8261

Die Gleichung für die große Komponente lautet im nichtrelativistischen Grenzfall (abweichend von oben bezeichenen wir hier die großen Komponenten nicht mit u sondern mit ϕ):

Neutron und Proton sind ebenfalls Fermionen (Spin 1/2) aber gehorchen nicht der Diracgleichung! Eine Abweichung von g=2 weist also auf eine innere Struktur hin. Könnte das auch für das Elektron gelten? Wie kann man g messen? Diese Fragen heben wir uns für später auf.

(

)

" " 2 (σ ⋅ π ) $ $+ $ i !ϕ = ϕ + qU ϕ 2m " " " mit σ1, σ2  = i σ3 , B = ∇× A und e = −q erhält man nach einiger Rechnung die sogenannte Pauligleichung " 2 e! " " $ $  1  ! " ∇ + eA + σ ⋅ B − eU  ϕ . i !ϕ+ =     2m  i  2m Wir vergleichen den zweiten Term mit der Energie eines magnetischen Moments im B-Feld

" " E = µ ⋅B . Dies legt legt folgenden Zusammenhang zwischen Spin und magnetischen Moment nahe: " " e! " " e " " µ ⋅B = σ ⋅B = S ⋅B 2m m also " e " µe = − ⋅ S . m Definiert man den g-Faktor eines Systems mit einem beliebigen Drehimpuls J als " µ µBohr

" J =g⋅ , !

mit µBohr =

e! , 2m

so erhält man ge = 2 . Dies ist der g-Faktor des Elektrons. Wie fundamental ist nun ein Elektron? Ist es ein Elementarteilchen oder besitzt es wie Proton und Neutron eine innere Struktur?

6.6

Spin-Bahn-Kopplung

Da mit dem Spin des Elektrons ein magnetisches Moment verbunden ist und das Atom bewegte Ladungen enthält, können wir uns nach magnetischen Effekten im Atom fragen. Sie sind in der Schrödingergleichung sicher nicht enthalten, wohl aber in der Dirac-Gleichung. Bei der Berechnung der Energie des Elektrons im Coulombpotential haben wir nur das elektrostatische Potential des Kerns berücksichtigt. Das war auch korrekt, denn ein externes Magnetfeld war nicht Teil des Modells und daher gab es auch kein Vektorpotential. Der innere Magnetismus des Atoms ist bereits vollständig in der Dirac-Gleichung enthalten. Beim Übergang zur nichtrelativistischen Näherung verschwinden der inneratomare Magnetismus aus der Gleichung. Man kann jedoch die führende Korrektur zur Schrödingerschen Theorie, die sogenannte Spin-Bahn-Kopplung, "von Hand" wieder einführen, wenn man in der PauliGleichung das Magnetfeld berücksichtigt, das im Atom selbst erzeugt wird. Das wollen wir jetzt besprechen. Man erhält dadurch einen Einblick in die physikalischen Ursachen dieser Korrektur. Aus der Sicht des Elektrons kreist der positiv geladene Kern um das Elektron und erzeugt ein " Magnetfeld B . In diesem Feld orientiert sich das magnetische Moment des Elektrons. Damit ist eine Energie verbunden H LS = 2µBohr

1 " " e " " S ⋅ Be = S ⋅ B ! m

Dies ist die gesuchte Korrektur zur Schrödingergleichung. " Wie ermittelt man nun das Magnetfeld B am Ort des Elektrons? Ein Strom I entlang eines Stre" ckenelements dl erzeugt nach Biot-Savart ein Feld:

" " " 1 dl × r ⋅I ⋅ dH = 4π r3

Der neue Hilbertraum ist das Tensorprodukt aus Orts- und Spinraum.

Für einen Kreisstrom ergibt sich das Magnetfeld:

Der Hamiltonoperator für das Wasserstoffatom inklusive Spin-Bahn-Kopplung hat nun die Form:

" 1 H = ⋅I ⋅ 4π

2 πr

∫ 0

1 1 I dl = 2 r 4π r 2

2 πr

1I

∫ dl = 2 r

H =

0

"2 " " p2 (r )L (r ) L ⋅ S , + U (r ) + A + B '(( ( )(( ( * '((( ()((( (* 2m Zentrifugalpotential Spin-Bahn-Kopplung

wobei Der Strom ist definiert als Ladung pro Zeit. Da pro Umlaufzeit T das Proton einmal vorbeikommt gilt =L . e e ω e ωmr 2 = . I = = 2π 2πmr 2 T

Damit ergibt sich das Magnetfeld am Ort des Elektrons " " µ e 1 " B = µ0H = 0 L 4π m r 3 bzw. der Wechselwirkunsoperator H LS =

µ0 e 2 1 " " L ⋅S . 4π m 2 r 3

Dies kann man umformen in H LS

1 . 2µr 2

Um den Hamilton zu diagonalisieren benötigen " wir die gemeinsame Eigenfunktionen von L2 und " " L ⋅ S . Da für das Quadrat des Gesamtdrehimpuls "2 J gilt: " " " "2 " " " J 2 = L + S = L2 + S 2 + 2L ⋅ S " " " 1 " " ⇒ L ⋅ S = J 2 − L2 − S 2 2

(

)

(

)

ist das äquivalent damit gemeinsame Eigenfunk" " " tionen von J 2 , L2 und S 2 zu finden. Diese kennt man aus der Theorie der Drehimpulsaddition. Sie sind bestimmte Linearkombinationen der Funktis1  onen Yl ,m (θ, φ )s  .  2  Für uns genügt es zu wissen, daß sie existieren und das in dieser Basis der Hamiltonian diagonal ist. Die Drehimpuls-Operatoren kann man dann durch ihre Eigenwerte ersetzen. Man erhält so die Gleichung für den Radialteil:

" " = B (r ) ⋅ L ⋅ S ,

mit der Abkürzung B(r ) =

A(r ) :=

1 1 ! α 2 ⋅ 3. 2 m c r

 !2 p2   + A ( r ) ⋅ ! 2 ⋅ l (l + 1) + B ( r ) ( j ( j + 1) −   2   2m

Hier haben wir noch einen Faktor 1/2 eingefügt. Dieser sogenannte Thomas-Faktor berücksichtigt die Transformation vom Ruhesystem des Elektrons in das Ruhesystem des Kerns. Eine genaue Herleitung ist schwierig. Wir betrachten den Faktor hier als heuristische Korrektur, die am Ende zum richtigen Ergebnis führt. Nach der Einführung des Spins muß der Hilbertraum der Einteilchenwellenfunktionen entsprechend erweitert werden. Die Wellenfunktionen sind jetzt das Produkt aus Ortswellenfunktionen und Spineigenvektoren: " φn ,l ,m = Rn ,l ( r )Yl ,m (θ, φ ) '((((((()(((((((* Ortsraum

s1    s2  % Spinraum

−l (l + 1) − s (s + 1))} Rn ,l ( r ) = E ⋅ Rn ,l ( r ) Die Energieverschiebung aufgrund der SpinBahn-Kopplung ergibt sich durch Störungsrechnung in erster Ordnung zu: E LS ≈ Rn ,l ( r ) H LS Rn ,l ( r ) = ξn,l ⋅ ( j ( j + 1) − l (l + 1) − s (s + 1)) wobei ξn,l =

! 2 α! ⋅ 2 2m 2 c

∞

∫R 0

*

n ,l

1 R r 2dr r 3 n,l

1 1 = m c2 α 4  1 4 n 3l l +  (l + 1)  2

Diese Korrektur ist proportional zu α4 und ist abhängig von der Drehimpulsquantenzahl l . Die Drehimpulsentartung der Schrödingergleichung ist damit aufgehoben.

6.7

Weitere Korrekturen in α 4

Es gibt weiter Korrekturen in α4 die relativistischer Natur sind. Dies sieht man, wenn man vom Hamilton die Ruhemasse abzieht und den Rest nach p entwickelt: H = p 2 c 2 + m02 c 4 − m0 c 2 + V =

p2 1 p4 − + … +V 3 2 2m '((( 8(m c(* )((( rel. Korrektur H rel

Die mit Hrel verbundene Energie ergibt sich wieder durch Störungsrechnung in erster Ordnung: E rel = φ H rel φ !4 " 4 ∇ φn ,l ,m r 2dr d φ d cos θ 8m 3 c2     2 1 3  m c 4  α  =− − 4   3  1  4n  2   n l +     2

∫

=−

φ*n ,l ,m

Neben dieser relativistischen Korrektur und der Spin-Bahn-Kopplung gibt es noch eine weitere Korrektur, die proportional zu α 4 ist. Dies ist der sogenannte Darwin-Term. Er wirkt nur auf sZustände. Sein physikalischer Ursprung basiert auf der Tatsache, daß man ein Elektron nicht besser als die Compton-Wellenlänge lokalisieren kann. Nimmt man für das Elektron eine geladene Kugel von der Größe der Comptonwellenlänge an erhält man bereits für das klassische Problem eine Energieverschiebung von πe 2! 2 2 E Darwin = ψ(0) . 2 2 2me c Nur s-Zustände haben eine von Null verschiedene 2 Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ(0) am Kernort. Alle Terme ergeben zusammen die sogenannte Feinstruktur: E FS = E LS + E rel + E Darwin    1 1 3  . 2 4 1  = − m c α 3  −  n  j + 1 4n  2   2

Dies ist gerade der dritte Term in der Entwicklung des exakten Ergebnis der Diracgleichung!

EH

Kapitel 7 Einflüsse des Kerns DenKern haben wir bisher nur als punktförmige Quelle eines Coulomb-Potenzials betrachtet. Wir besprechen jetzt drei Effekte, die durch die innere Struktur des Kerns zustande kommen. Isotopieverschiebung: Die Kernmasse führt über die reduzierte Masse zu einer Skalierung des Energieschemas als ganzes. Die relative Verschiebung beträgt zwischen 10-3 und 10-5 . Verschiedene Isotope des selben Atoms sind relativ zueinander energetisch verschoben. Volumeneffekt: Ein wesentlich kleinerer Effekt im Bereich einer relativen Verschiebung von 108 bis 10-10 entsteht durch die Kernausdehnung und die damit verbundene Abweichung von einem reinen Coulomb-Potenzial im Kern. Hyperfeinstruktur: Sie kommt durch das magnetische Moment des Kerns zustande, der sich im Magnetfeld der Hülle ausrichtet und ist etwa 1000 mal kleiner als die Feinstruktur.

7.1

Isotopie und Volumeneffekt

Im Schrödinger-Modell ist die Energie  α2  1 E = − µ c2  2 + … ,   2 n proportional zur reduzierten Masse µ. Vergleicht man z.B. die beiden Isotope Wasserstoff und Deuterium mit ihren reduzierten Massen µH =

me ⋅ mp me + mp

und µD =

ED

=

µH µD

= 1−

me 1 2 me + mN

" 1−

1 me 2 mN

" 1−

1 1 2 1836

Allgemein gilt für die Energieverschiebung zwischen zwei Kerne mit den Kernmassenzahlen A und A+1: m K = A ⋅ mN und m K´ = (A + 1) ⋅ mN me ⋅ A ⋅ m N µK µK'

=

me + A ⋅ m N m e ⋅ (A + 1) ⋅ m N m e + (A + 1) ⋅ m N

= 1−

me 1 ⋅ . A + 1 m e + Am N

" 1−

m 1 ⋅ e A (A + 1) m N

Die relative Verschiebung wird damit für große A näherungsweise ∆E 1 1 "− 2 ⋅ E A 1836 Die Isotopieverschiebung ist für schwere Kerne klein, für Wasserstoff liegt sie etwas unter einem Promille. Zu Beschreibung des Volumeneffekt benötigen wir das Potential des endlich ausgedehnten Kerns. Als Modell betrachten wir den Kern als homogen geladene Kugel mit eine Gesamtladung Z ⋅ e und einem Radius r0.

m e (m n + m p ) m e + (m n + m p )

so ergibt sich für das Energieverhältnis in der Näherung mp=mn:=mN:

1

elektrostatische Kraft F

∆E =

2 Ze 2 1 Rn ,l (0) ⋅ 4πε0 2r0 r0

∫

⋅

0

2 Ze 2 r02 = ⋅ ⋅ Rn ,l (0) 4πε0 10

r0

Abstand vom Kern r

 Ze 2   −    4πε0 F =  2  − Ze      4πε0

1 ⋅r r03

r < r0

1 r2

r > r0

Sie entspricht einem Potential 2   − Ze 1   4 πε0 r   Veff =  2 2   Ze 1  r     − 3    4 πε 2r  r     0  0 0    

2

Wie groß ist Rn ,l (0) ? Für Wasserstoff kennen wir die radiale Wellenfunktion Rn ,l ( r ) ∼ e −κr ⋅ r l ⋅ H ( κr ) .

Für die Kraft auf das Elektron erhält man

Man erhält also . Rn ,l (r = 0) = 0

r > r0

R1,0 (r = 0) = 2a0−3 2 .

, r < r0

das sich durch Integration der Kraft ergibt, wobei die Integrationskonstante so gewählt werden muss, dass das Potential an r0 stetig ist. Die Energieverschiebung berechen wir wieder in erster Ordnung Störungstheorie angewandt auf einen Störoperator, der die Abweichung vom reinen Coulomb-Potenzial angibt.

erhält man

r > r0 r < r0

Der Vergleich mit der Grundzustandsenergie E1s = −

)2 1 ⋅ 2m a 02

liefert ∆Ε 4 r02 = ⋅ . 5 a 02 E1s Mit den Zahlenwerten für das Wasserstoffatom a 0 = 0.05 nm und r0 = 1.3 fm bekommen wir

Man erhält dann ∆E = φn ,l ,m ∆V φn ,l ,m = Yl ,m Yl ,m ⋅ Rn ,l ∆V Rn ,l #$$$$%$$$$&

eine relative Verschiebung .

1

Da im Bereich r 0

Der Volumeneffekt kommt nur bei den sZuständen zum tragen. Betrachten wir z.B. den Wasserstoffgrundzustand und benutzen

∆E =

man

 2 2r   r r dr   + 0 − 3.  r   r  0  2

∆E = 5.4 ⋅ 10−10 . E1s

Dies ist extrem klein. Aus der Kernphysik übernehmen wir für große Kerne mit der Kernmassenzahl A: 1

r0 ∼ 1.3fm ⋅ A 3

ben Größe. Wir können also nicht einfach den Gesamtdrehimpuls als Maß für das Magnetfeld nehmen sondern müssen Spin und Bahnbeitrag getrennt behandeln.: * * * B Hülle ∼ µL + µS

Die relative Verschiebung lautet damit ∆E 2 ∼A3. E1s Für A=200 erhält man eine relative Verschiebung von 10-8. (siehe auch Lithium Halokerne: http://wwwaix.gsi.de/~laserweb/lithium/lithium.html)

7.2

Hyperfeinstruktur

wobei * * * * µL + µS ∼ − L + 2S

(

)

Dieses gesamte magnetische Moment ist allerdings keine Erhaltungsgröße. Dies erkennt man wenn man sich klar macht, dass bereits der Gesamtdrehimpuls eine Erhaltungsgröße ist. Den Gesamtdrehimpuls haben wir ja gerade eingeführt um den Hamilton mit Spin-BahnWechselwirkung zu lösen. Die Spin-Bahn* * Kopplung sorgt dafür, dass L und S umeinander mit der Frequenz )ω = E FS präzedieren.

S

Mit dem Kernspin ist ein magnetisches Moment verbunden. Wir benutzen wieder die Schreibweise unter Einführung eines g-Faktors * * I µ = g ⋅ µK ⋅ . )

J L

Das Bohrsche Magneton ist hier entsprechenddurch das Kernmagneton ersetzt 1 e µK := ⋅) . 2 mp Für die Quantenzahl des Kernspins erhält man Werte je nach Kern zwischen 0 und 15 2 .

Das gesamte magnetische Moment ist daher eine Größe, die ebenfalls in der x-y-Ebene präzediert. Im zeitlichen Mittel heben sich dann die Komponenten in der x-y-Ebene auf und es bleibt nur die Projektion auf die z-Achse.

Mit dem magnetischen Moment und dem Magnetfeld das die Hülle am Ort des Kerns erzeugt ist eine Energie verbunden. Der Hamiltonoperator lautet * * H HFS = −µ ⋅ B Hülle . Der Betrag des Magnetfelds am Ort des Kerns ist für die meisten Atome schwer zu berechnen. Wir können aber eine Aussage über die Richtung machen. Das Gesamtmagnetfeld entsteht durch die Beiträge der Bahndrehimpulse und der Eigendrehimpulse aller Elektronen. Aufgrund des anomalen g-Faktors des Elektrons trägt allerdings ein Spin doppelt soviel zum Magnetfeld bei wie ein Bahndrehimpuls dersel-

s j l

Das zeitlich gemittelte Moment steht parallel zu * J und wir können ansetzen:

3

* * J B Hülle = −B0 ⋅ * J

Allgemein gilt folgende Intervallregel:

Damit lautet der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur H HFS

=

* * I J = g p µK B0 ⋅ * ) J = =

g p µK B0 )

j ( j + 1)

2

)2

1 * 2 *2 *2 F − I −J j ( j + 1) 2

g p µΚ B0 j ( j + 1)

(

A HFS 2

×

Betrachten wir als Beispiel wieder den Wasserstoffgrundzustand. Die Elektron- und Kerndrehimpulsquantenzahlen lauten für das Elektron l=0, s=1/2, J=1/2 und für den Kern also das Proton I=1/2. Man erhält damit zwei Zustände: A 1 A HFS = HFS 2 2 4 3 A HFS 3 =− = − A HFS 2 2 4

F = 1 : E HFS =

F=1 1/4 A

3/4 A

F=0

4

F=3 3A F=2 2A 1A

(F (F + 1) − I (I + 1) − J (J + 1))

F = 0 : E HFS

(F (F + 1) − (F − 1)(F − 1 + 1))

)

1 (F (F + 1) − I (I + 1) − J (J + 1)) 2 =

2

Deswegen wird A auch „Intervallfaktor“ genannt.

Wie bei der Behandlung der Feinstruktur schreiben wir den Operator unter Einführung eines Gesamtdrehimpulses F als Summe von Quadraten von Drehimpulsen. Im gemeinsamen Eigensystem dieser drei Operatoren wird der Hamilton diagonal und wir erhalten den Energieeigenwert. E HFS =

AHFS

= AHFS ⋅ F .

* * I ⋅J

g p µK B0

∆ = E HFS (F ) − E HFS (F − 1)

F=1 F=0

Kapitel 8 Mehrelektronenatome Bisher haben wir hauptsächlich Wasserstoff und wasserstoffähnliche Atome betrachtet also Atome mit einem Kern und einem Elektron. Wie können wir das Bild auf Atome mit mehreren Elektronen ausdehnen? Wir werden zunächst einige allgemeine Überlegungen und qualitative Abschätzungen besprechen um dann Helium genauer zu betrachten. Am Helium kann man die neuen Aspekte, die beim Übergang zu mehreren Elektronen hinzukommen noch einigermaßen genau behandeln.

8.1

Schalenmodell

Der Hamiltonoperator eines Mehrelektronensystems kann folgendermaßen geschrieben werden: Z

∑ i =1

pi 2

Z e2 1 + 4 πε0 ri "##$##%

−

2m ! kin. Energie

+

Potential des Kerns

e2 & & ri −r j 0 i> j "####### #$####### #%

∑ 4πε

Wechselwirkung zw. Eletronen H WW

Der Index numeriert die Elektronen und läuft von 1 bis Z. Wir vernachlässigen zunächst die Elektron-Elektron-Wechselwirkung H WW . Man erhält dann für jedes Elektron ein Wasserstoffproblem, wobei in der Lösung α durch αZ ersetzt wird, denn das Coulomb-Potential des Kerns lautet jetzt Z e2 1 Z α ⋅ ' ⋅ c = . 4 πε0 r r

∑

E =−

i =1

E/Z2

N

4s

M

3s

L

2s

K

1s

K Ca 19 20

Na Mg 11 12

Li Be 3 4

H He 1

2

2

4p

2

3p

2

2p

...

Al Si P S Cl Ar 13 14 15 16 17 18

B C N O F Ne 5 6 7 8 9 10

2

 Z α  1  m e c2   ni  2

Jedes der Energieniveaus in dieser Summe enthält mehrere Zustände. Jeden dieser Zustände kann man gemäß dem Pauli-Prinzip mit nur einem Elektron besetzen. Auf diese Weise erhält man Elektronenkonfiguration für die Atome des Periodensystems. Dies funktioniert nur für die

6

4d

6

3d

...

21 22 ...

10

10

6

2

Dazu betrachten wir ein Elektron im mittleren Feld aller anderen Elektronen. Das Elektron befindet sich dann in einem effektiven Potential, das für große und kleine Abstände in ein Coulomb-Potential übergeht: Für kleine Abstände sieht das Elektron nur die positive Punktladung des Kerns und das Potential ist proportional zu αZ. V (r ) = −

Z e2 1 . 4πε0 r

Für große Abstände bilden der Kern und alle anderen Elektronen zusammen eine nahezu kugelförmige kleine Ladungsquelle den sogenannten core und man kann das Potenzial nähern durch V (r ) = −

Für die Energien gilt dann: Z

Atome mit bis zu 18 Elektronen. Nach vollständiger Befüllung der 3p Schale wird nicht die 3dSchale sondern die 4s-Schale besetzt. Um dies zu verstehen müssen wir die Elektron-ElektronWechselwirkung berücksichtigen.

e2 1 . 4πε0 r

Das tatsächliche Potenzial geht von einem in den andern Verlauf über:

V(r)

r

-e2/r

-Ze2/r

Innen schirmen die Elektronen den Kern schlechter ab als für große r. Damit liegen Zustände mit einer geringen Aufenthaltswahrscheinlichkeit am Kernort energetisch höher. Also E 2s < E 2 p E 3s < E 3 p < E 3d . Die Drehimpulsentartung des Schrödingermodells wird aufgehoben, der Abschirmungseffekt ist, wie man am Beispiel der angeregten Zustände von Lithium sehen kann, ein großer Effekt im Bereich einiger eV. 4s

4p

4d

3p

3d

4f

3s

2p

670nm 2s

Die Abschirmung führt auf ähnliche Weise zu den Konfigurationsanomalien im Periodensystem, wie z.B. bei K oder Ca. Da E4s<E3d wird zuerst der 4s-Zustand besetzt. Ähnliche Anomalien treten auch bei Rb (5s), Cs (6s) und Fr (7s) auf.

Noch stärker ist der Abschirmungseffekt bei den Seltenen Erden ausgeprägt. Hier liegt die Energie des 6s-Zustandes unterhalb der 4f-Energie. Die 6s-, 5s-, 5p- und 5d-Schalen schirmen also die 4f-Schale sehr gut ab. Ein Beispiel dafür ist Nd:YAG (Neodym in Ytrium AluminiumGranat). Bei diesem Kristall können optische Übergänge im Nd innerhalb der 4f-Schale angeregt werden. Allerdings sind diese Übergänge nur durch Störungen des Kristallfeldes erlaubt. Die sehr starke Abschirmung führt zu einer langen Lebensdauer des angeregten Zustands. Dadurch eignet sich dieser Kristall hervorragend als Lasermaterial.

8.2

Alkaliatome

Alkaliatome bestehen aus einer vollständigen Edelgasschale und einem zusätzlichen Valenzelektron. Ihr Spektrum ist deswegen stark wasserstoffähnlich. Zur Beschreibung macht man den empirischen Ansatz α2 1 E n,l = − µEG c2 ⋅ . 2 2 (n − ∆ (n, l )) Dabei ist µEG die reduzierte Masse bezüglich des Edelgasrumpfes und ∆(n,l) der sogenannte Quantendefekt. Er ist für die meisten Alkalizustände tabelliert und ist besonders für energetisch niedrige Zustände wichtig. Für Natrium lauten die Werte z.B.: L s p d f

n=3 n=4 1.37 1.36 0.88 0.87 0.10 0.11 - 0.00

n=5 1.35 0.86 0.13 -0.01

n=6 1.34 0.86 0.11 0.008

Für Zustände mit großem Drehimpuls verschwindet der Quantendefekt. In diesen Zuständen befindet sich das Elektron weit vom Kern entfernt und das Potenzial ist weitgehend wasserstoffähnlich. Alkali-Atome sind die derzeit gängingen Laboratome der Quantenoptik. Sie sind vergleichsweise einfach aufgebaut, besitzen aber genügend Struktur um interessant zu sein. Die elektronischen Übergänge liegen im nahen infraroten und sichtbaren Spektralbereich und können mit vergleichweise einfachen Laserquellen angeregt werden. Die Lebensdauern der angeregten Zu-

stände liegen im Bereich einiger 10 ns. Damit beträgt die natürliche Linienbreite etwa 5-10 MHz und man kann in den meisten Fällen die Hyperfeinstruktur auch der angeregten Zustände prinzipiell noch auflösen. Die Sättigungsintensitäten betragen typischerweise 1-5 mWcm-2, was gut mit Laserdioden erreicht werden kann. Die Schmelzpunkte liegen zwischen 28°C für Cäsium und 180°C für Lithium. In einer Dampfzelle wird ein Dampfdruck von 10-6 mbar bei Temperaturen von 307°C (Li) bzw. –7°C (Cs) erreicht. Dieser Druck entspricht einer p Atome Dichte von, n = ≈ 1010 . kT cm3 Die Atome können mit Hilfe der Sättigungsspektroskopie gut untersucht werden. Dabei treten bei Vielniveausystemen sogenannte crossover-Resonanzen auf. Für Atome einer bestimmten Geschwindigkeitsklasse kann ein Grundzustandsniveau durch die beiden Laserstrahlen an zwei verschiedene angeregte Zustände gekoppelt werden. Der Dopplereffekt führt zu gleichzeitiger Resonanz von zwei unterschiedlichen Übergängen.

Damit gilt dann

( (

( (

(H (1) + H (2) )u (r1, r2 ) = E u (r1, r2 ) , bzw. für die Energie der Zustände  1 1 1  2 E = En1 + En2 = − µ c2 (2α)  + .  n12 n22  2 Die Grundzustandsenergie ist also 8mal größer als beim Wasserstoff. Elektronen sind Fermionen. Die Gesamtwellenfunktion muß antisysmmetrisch sein, u (q1 , q 2 ) = −u (q 2 , q1 ) , wobei q ein vollständiger Satz von Quantenzahlen ist, die den Zustand beschreiben (ist q nicht vollständig, so wären die Teilchen unterscheidbar). Ein vollständiger Satz von Quantenzahlen wäre z.B. q={n,l,m}. Für den Spezialfall, daß beide Zustände gleich sind, also q1=q2=q, gilt !

8.3

u (q, q ) = −u (q, q ) = 0 .

Helium

Betrachten wir jetzt Helium genauer. Wir können am Helium beispielhaft verstehen, wie man Atome mit mehreren Elektronen quantitativ beschreiben muß. Der Hamiltonoperator des Heliumatoms setzt sich aus zwei Wasserstoffähnlichen Hamiltonoperatoren und einem Wechselwirkungsoperator zusammen. H =

p12

Z e2 1 p22 Z e2 1 − + − 2m 4πε0 r1 2m 4πε0 r2 "######$##### #% "######$######% H (1)

H (2)

+

e2 1 & & 4πε0 r 1 − r 2 "##### #$######% :=V

Magnetische Effekte wollen wir hier nicht betrachten. Wir vernachlässigen zunächst außerdem die elektrostatische Wechselwirkung zwischen den Elektronen (V=0). Die Operatoren H (1) und H (2) vertauschen und man kann ansetzen

( ( ( ( u (r1, r2 ) = φn l m (r1 ) ⋅ φn l m (r2 ) . 11

1

22

2

Dieser Zustand existiert also nicht (PauliPrinzip). Die Gesamtwellenfunktion setzt sich aus Ortswellenfunktion und Spinzustandsfunktion zusammen. Betrachten wir zunächst die Ortswellenfunktion. Wir fordern, daß sie unter Austausch von Teilchen entweder symmetrisch oder antisymmetrisch sein soll. Dies können wir durch folgende Ansätze garantieren. Für q1=q2=q ist der Ausdruck ( ( ( ( us (r1, r2 ) = φq ( r1 ) ⋅ φq ( r2 ) symetrisch. Für unterschiedliche q1 und q2 müssen wir die Wellenfunktion symmetrisieren: ( ( ( ( 1 us (r1, r2 ) = φq1 ( r1 ) ⋅ φq2 ( r2 ) ( 2 ( ( +φq1 ( r2 ) ⋅ φq2 ( r1 )) Auf dieselbe weise erhalten wir eine antisymmetrische Variante der Ortswellenfunktion:

( ( ( ( 1 ua (r1, r2 ) = φq1 ( r1 ) ⋅ φq2 ( r2 ) ( 2 ( ( −φq1 ( r2 ) ⋅ φq2 ( r1 )) Für q1=q2 sehen wir sofort die Gültigkeit des Pauliprinzips.

a1b1       a b  1   1  a1b2    ⊗   =   a 2  b  a b   2   2 1    a 2b2    oder etwas kompakter geschrieben

( ( q1 =q2 =q 1 ( ( ua (r1, r2 ) = φq ( r1 ) ⋅ φq ( r2 ) ( 2 ( ( −φq ( r2 ) ⋅ φq ( r1 ))

(   ( ( a1b  a ⊗ b =  (  . a b   2 

=0 Betrachten wir nun die Spinwellenfunktion. Die Eigendrehimpulse der beiden Elektronen adddieren sich zu einem Gesamtspin. Wie sieht der Vektorraum aus in dem der Gesamtspin "lebt"? Wir wissen, daß je ein Elektronenspin in seinem zweidimensionalen Spinraum beschrieben wird. Bildet man das Tensorprodukt dieser beiden Räume erhält man den vierdimensionalen Raum des Gesamtspins. Wir führen jetzt diese Konstruktion im Detaille durch. Das Tensorprodukt der Vektoren ( a1  a = a  = ai  2  ( b1  b =   = bj b2  ist folgendermaßen definiert: ( ( ( c := a ⊗ b = aibj = ck Die Indexbelegung von k ist Konvention, wir einigen uns hier auf:

j 1 2 1 2 ! ∈B

Für die Dimension des neuen Raums C gilt ( ( ( dim (c ) = dim (a ) ⋅ dim b , ( ( und wenn an und bm eine Basis im Raum A ( ( ( bzw. B ist, so ist ck = an ⊗ bm eine Basis im

()

Tensorraum C. Das Tensorprodukt von Operatoren ist folgendermaßen definiert: ( ( ( ( α ⊗ β) a ⊗ b = α a ⊗ βb ("## #$###% "##$##% "###$###%

(

Operator

)

Zustand

neuer Zustand

In Matrizenschreibweise liest sich das so:

wobei k ∈ {1, 2, 3, 4} .

i 1 1 2 2 ! ∈A

Das Tensorprodukt zweier Vektoren ist also distributiv und bilinear. Man muß hier unterscheiden welcher Vektor aus welchem Raum stammt. In dieser Schreibweise ist der Vektor vor dem Zeichen für das Kreuzprodukt aus Raum A und der nach dem Kreuzproduktzeichen aus Raum B.

k 1 2 3 4 ! ∈C

Der neue Vektor ist Element von Raum C. Also

 α11β11   α β  11 21 α ⊗ β =   α21β11  α21β21  α11β  =  α21β

α11β12

α12 β11

α11β22

α12 β21

α21β12

α22 β11

α21β22

α22 β21

α12 β12   α12 β22   α22 β12    α22 β22  

α12 β   α22 β 

Man kann das Tensorprodukt zweier Operatoren auch folgendermaßen schreiben:

α ⊗ β = (α ⊗ E ) ⋅ (E⊗ β )

1 0  mit E =   0 1

α E α12 E  β 0   11  ⋅   =  α21 E α22 E ↑ 0 β  normale Matrizenmultiplikation α11 β α12 β   =   α21 β α22 β  ) =α⊗E Der im Raum C wirkende Operator α ist die Erweiterung von α im Tensorraum C.

1     1 E 0 ⋅ '  ' 0 S z a =   =  2  0 −1 ⋅ E 2 0  0  1    ⋅  1 0 σ z '  ' 0 = S z (b ) =   1 ⋅ σz  2 0 2  0  0  0     0 1 E ⋅ ' ' 0  a  S x =  = 0  2 1 2 1 ⋅ E  0 

0   1 0 0   0 −1 0   0 0 −1  0 0 0   −1 0 0   0 1 0   0 0 −1  0 1 0  0 0 1  0 0 0  1 0 0  0 1 0 0   1 0 0 0  ⋅  1 0 σ  x '  '   S x (b ) =   =   1 ⋅ σx  2 0 0 0 1 2  0   0 0 1 0   0 0 −i 0    0 0 0 −i    ⋅ 0 1 E  ' '     Sy a =   =   0  2  i 0 0 0  2 1 ⋅ E   0 i 0 0  (

1    1  1  0 ( c1 :=   ⊗   =   0 0 0 0    0   1  0 1     (       c2 :=   ⊗   =     0 1  0   0  0     0 1     (   0 c3 :=   ⊗   =   1  0 1    0  0     0 0     (    0   c4 :=   ⊗   =   1  1  0   1  

beide Elektronen "Spin up"

a: "Spin up" b: "Spin down"

a: "Spin down"

(

)

)

Sy (b ) =

' 1 ⋅ σy  2  0

b: "Spin up"

beide Elektronen "Spin down"

0

)

(

Soweit der Formalismus. Wenden wir ihn nun auf ein Elektronenpaar an. Die Zustände die zwei Elektronen einnehmen können sind:

0

0 −i 0 0    0  '  i 0 0 0    =  1 ⋅ σy  2 0 0 0 −i    0 0 i 0 

Mit diesen im Raum C wirkenden Operatoren können wir jetzt neue Operatoren bilden. Betrachten wir zunächst den Operator für die drei Komponenten des Gesamtspins. Sz = Sz ⊗ E + E ⊗ Sz

Weiterhin erhält man für die in den Raum C erweiterten Spinoperatoren:

=

' E 0  S z  + 2  0 − E  0

1  0  = '  0  0 und

0   0 0 0   0 0 0   0 0 −1 

0 0

0   S z 

Sx = Sx ⊗ E + E ⊗ Sx '  0 E S x 0   +  2 E 0   0 S x  0 1 1 0     ' 1 0 0 1  =   2 1 0 0 1    0 1 1 0  und schließlich

1  0  '  0  0

=

S z ist also bereits diagonal in der oben eingeführten Basis ci. Man erhält also sofort die Eigenwerte: ( S z ⋅ c1 ( S z ⋅ c2 ( Sz ⋅ c3 ( Sz ⋅ c4

Sy = Sy ⊗ E + E ⊗ Sy =

'  0 −i E Sy  + 0   0 2 i E

0   Sy 

0 −1 −1 0     0 −1 i ' 1 0  =  0 −1 2 1 0   1 0  0 1 

( ( 1 ( ca = (c2 − c3 ) 2 ( ( 1 ( cs = (c2 + c3 ) 2

( S 2 = S x2 + S y2 + S z2 0 0 2  2   2 2 0  0  +  2 2 0  0    0 0 2 −2  

0 0 0  0 0 0   0 0 0  0 0 1  2 0 0  0 1 1 (2  S = ' 2  0 1 1  0 0 0 

0 0 −2  2 2 0   2 2 0   0 0 2  

1  0  +4  0  0

( = 'c1 ( = 0 ⋅ c2 ( = 0 ⋅ c3 ( = −'c 4

Für S 2 ist die Sache interessanter. Die Linearkombination zweier Eigenzustände mit gleichem Eigenwert ist bekanntermaßen wieder ein Eigenzustand. Die Zustände

Der Operator für das Betragsquadrat des Gesamtspins berechnet sich dann folgendermaßen:

2    0 '2    =  0 4       2   

0   0 0 0  (  ⋅ φ = s ⋅ φ( 0 0 0   0 0 −1  0 0

sind also nach wie vor Eigenzustände von Sz. Sie sind aber auch Eigenzustände zu S 2 : 2  0 (2 (  S cs = ' 2  0  0

0 0 0 0 0        1    1 1 0 1 1     2 1     ' = 2 1 1 0 2 1  1  2         0 0 2 0 0     

und 0  0  0  2 

2  0 (2 ( S ca = ' 2  0  0

Nun suchen wir die Eigenwerte des Gesamtspins. Die Eigenwertgleichung von S z lautet: Für

0 0 0 0  0        1  1 1 0 1 1    = 0' 2 1     1 1 0 2 −1 2 −1     0  0  0 0 2        

( S 2 = 2 gibt es also die folgenden drei

Zustände:

( c1 ( c4 ( cs Für

   ms = −1   ms = 0   ms = 1

Triplett, s = 1

( S 2 = 0 gibt es dagegen nur einen Zu-

1 1 2 1 E = − µ c2 (2α )  2 + 2   2 1 2  5 = − µ c2 α2 = −68.0 eV 2 Das Umklappen des Spins eines Elektrons kostet also 40.8 eV ohne daß der Hamilton vom Spinoperator abhängt!

stand: ( ca

ms = 0

Singulett, s = 0

Vertauscht man die beiden Elektronen behalten die Vektoren c1 und c4 ihre Form und die gemischten Vektoren vertauschen gerade ihre ( ( ( ( Form c2 → c 3 , c 3 → c2 . Unter Teilchenaus( tausch wechselt ca sein Vorzeichen, ist also ( ( ( antisymmetrisch während c1 , c4 und cs ihr Vorzeichen beibehalten also symmetrisch sind. Wir können jetzt die Zustände von Helium konstruieren. Im Fall antiparalleler Spins ist der Spinzustand antisymmetrisch (Singulett). Die Ortswellenfunktion muß also symmetrisch sein:

Wir können versuchen den Beitrag der Elektron-Elektron Wechselwirkung mittels Störungstheorie erster Ordnung zu berücksichtigen. Man erhält dann für den Grundzustand des Singuletts: ∆E =

∫

( (( dr1dr2 ψs

( e2 ( ( ψs = 4 πε0 r1 − r2

(

∫ dr e φ

(

100

1

(r1 )

2

⋅

(

e

(

1

dr ( ( φ (r ) = ∫"############ 4 πε r − r #$ # #############%# 100

2

0

1

2

2

2

( := U ( r1 )

Potential aufgrund des zweiten Elektrons

*& ( ( ( ψs = φ1,0,0 ( r1 ) ⋅ φ1,0,0 ( r2 ) ⋅ ca "########$########% "##$##% symmetrisch

antisymmetrisch

Damit ergibt sich die Energie des Grundzustandes zu: 1 1 2 1 E = − µ c2 (2α)  2 + 2  1 2 1  2 2 = −4µ c α = −108.8 eV Beim Grundzustand des Tripletts gilt für die Gesamtwellenfunktion: ( 1 ( ( ( ( ψt = φ1,0,0 ( r1 ) ⋅ φ2,0,0 ( r2 ) − φ1,0,0 ( r2 ) ⋅ φ2,0,0 ( r1 )) ⋅ ( ####################%# 2 "###################$ antisymmetrisch

 c(  1  (  c4  (  c s ! symmetrisch

Für die Energie des Triplett-Grundzustandes erhält man:

einiges Rechnen =  5 1  m c2 α2  = 34 eV    2 2

Damit lautet die Energie des Grundzustands E1s,1s=-74.8 eV was dem experimentellen Wert von -78.975 eV immerhin etwas näher kommt. Für den ersten angeregten Zustand des Singuletts bzw. Tripletts erhält man analog ∆Es,t =

e2 1 4πε0 2

∫

* ( ( φ r φ r ±φ100 ( r2 ) φ200 ( r1 )) drdr 1 2 ( 100 ( 1 ) 200 ( 2 )

1 ⋅ ( ( (φ100 ( r1 ) φ200 ( r2 ) ±φ100 ( r2 ) φ200 ( r1 )) r1 −r2 =

e2  4πε0  

( (

∫ drdr φ 1

2

100

1 & 2 & 2 ( r1 ) φ200 ( r2 ) ⋅ ( ( r1 −r2

 ( ( 1 & & & * &  * r r ± drdr φ φ ( ( 1 )φ (r2 ) ( 1 ) φ ( r 2 ) ⋅ ( 1 2 100 200 100 r −r2 200  "#########################$ ###1####################### #%##

∫

Austauschenergie ≈±0.4eV

Das Triplett liegt also energetisch tiefer. Im Triplett-Zustand sind die Elektronen antikorre-

liert und schirmen wechselseitig den Kern weniger stark ab, was zu einer stärkeren Bindung führt. Eine Ladungsverteilung der Form

Zum Abschluß das tatsächliche Termschema von Helium wie es experimentell bestimmt ist und durch weitaus aufwendigere Theorieen berechnet werden kann: eV 0

ist weniger stark gebunden als eine Verteilung der Form:

-5

.

Bisher haben wir immer ein Elektron im Grundzustand und eines im angeregten Zustand betrachtet. Natürlich können auch zwei Elektronen angeregt sein. Allerdings ist die Energie eines solchen doppelt angeregten Heliums größer als die Energie, die erforderlich ist, um von einem Grundzustandsheliumatom ein Elektron zu entfernen. Energetisch steht also dem Zerfall eines doppelt angeregten Helium in ein Helium Ion und ein freies Elektron nichts im Wege. Wir machen die dazugehörige Energiebilanz auf: Wir schätzen die Energie des doppelt angeregten Heliums vor dem Zerfall unter Vernachlässigung der Elektron-Elektron-Wechselwirkung ab: 1 1 2 1 E 2s 2s = − µ c2 (2α )  2 + 2  2 2 2  = −27.2 eV Diese Energie müssen wir mit der Energie des Helium Ions im Grundzustand und des freien Elektrons vergleichen. E He + + Ee 1 2 1 = − µ c2 (2α) 2 + Ee . 2 #$###### 1#% "###### He + Grundzustand

= −54.4 eV + Ee Das Gleichsetzen der Energieen vor und nach dem Zerfall liefert für die Energie des freien Elektrons ein Wert von immerhin 27.2 eV. Die Elektron-Elektron-Wechselwirkung lockert die Bindung , sodaß unsere Abschätzung eher konservativ ist und die tatsächliche Elektronenergie noch höher ist. Dieser Zerfall eines doppelt angeregten Heliumatoms nennt man Autoionisation.

4S

4P

4S

4P

3S

3P 2P

3S

3P 2P

2S

2S

-10 -15 -20 -25

1S Singulett S=0

Triplett S=1

Parahelium

Orthohelium

Aufgrund der großen Austauschwechselwirkung kann das Triplet optisch nicht zum Singulett zerfallen, die Spin-Bahn-Kopplung ist klein gegenüber der Austauschwechselwirkung. Orthohelium kann mit Laserdioden bei 1083 nm anregt werden. Ortsaufgelöster Nachweis einzelner Atome ist mit einer Mikrokanalplatte möglich.

8.4

jj-Kopplung

Am Helium haben wir gesehen, daß das PauliPrinzip zunächst die relative Ausrichtung der Elektronenspins bestimmt. Die Spins der einzelnen Elektronen addieren sich also zu einem Gesamtspin. ( S =

(

∑S

i

i

Die Bahndrehimpulse nehmen ebenfalls eine bestimmte relative Orientierung ein. Sie wird durch die nichtkugelsymmetrischen CoulombRestwechselwirkung bestimmt. Eine bestimmte Kombination von Bahndrehimpulsen führt zu einer bestimmten räumlichen Verteilung der Elektronen und damit zu einer bestimmten elektrostatischen Energie.

( L=

(

∑L

i

i

Die verschiedenen Gesamtbahndrehimpulse sind energetisch aufgespalten. Als zusätzliche Korrektur muß man dann die Spin-BahnKopplung berücksichtigen also die Energie, die der Gesamtspin im Feld des Gesamtbahndrehimpulses einnimmt. Diese Beschreibung nennt man Russel Saunders Kopplung oder LSKopplung. Sie funktioniert solange die SpinBahn-Kopplung klein ist. In diesem Fall gilt auch das Interkombinationsverbot, d.h. es kann keine elektromagnetischen Übergänge zwischen Zuständen mit unterschiedlichem Spin geben.

als die Austausch- und Restenergie kosten. Daher koppeln jetzt zunächst der Spin und der Bahndrehimpuls eines Elektrons zu einem Gesamtdrehimpuls ( ( ( J i = Si + Li und man erhält einen Feinstrukturhamilton der Form ( ( H FS ∼ J i ⋅ J k . 4 3 (3/2,5/2) 1,2,3,4 2 1 3 2 (3/2,3/2)0,1,2,3 1 0

3/2

5/2

3/2

3/2

1/2

5/2

3 (1/2,5/2)2,3 2

1/2

3/2

2 (1/2,3/2) 1,2 1

1P

S=0

1D 1F

l1=1, l2=2 Einteilchen Energieen

3P 2 3P 1 3P 0

3D

S=1

3D

Symmetrie und Austauschenergie

3F

Coulomb Restwechselw.

j1

j2

J

(j1,j2)J

Reine jj-Kopplung gibt es nur bei sehr schweren Kernen, normalerweise liegt die sogenannte intermediäre Kopplung, eine Mischung aus LSund jj-Kopplung, vor. Dies führt zur Aufhebung des Interkombinationsverbots bei intermediärer Kopplung. Bei den reinen Kopplungsformen gelten folgende Dipolauswahlregeln:

Feinstruktur

Darüber hinaus gibt es noch folgende kleine Beiträge: ( ( • li ⋅ l j Dipolwechselwirkung der Bahnen ( ( • si ⋅ s j Dipolwechselwirkung der Spins • •

relativistische Korrekturen Hyperfeinstrukturaufspaltung

LS-Kopplung ∆S = 0 ∆L = ±1

jj-Kopplung ∆j = 0, ± 1 für ein e∆j = 0

für alle anderen

∆l = ±1 Zusätzlich gilt bei beiden Kopplungen ∆J = 0, ±1

Für leichte Atome ist die Kopplung des Spins eines Elektrons an seinen Bahndrehimpuls eine Störung. Da aber

∆mJ = 0, ±1

kein J = 0 → J = 0 falls ∆J = 0 kein mJ = 0 → mJ = 0

4

E LS ∼ (Z α ) ∼ Z 4 kann bei schweren Atomen die Spin-BahnKopplung größer werden sowohl als die Symmetrie und Austauschenergie als auch als die Coulomb-Restwechselwirkung. Die Orientie( ( rung von Li relativ zu Si bringt mehr Energie

8.5

Exotische Atome

Das Positronium besteht aus einem Elektron und einem Positron, die um ihren gemeinsamen Schwerpunkt kreisen. Die reduzierte Masse ist dann

me⋅ mp

1 µ= = me , 2 me +mp das Spektrum des Positroniums ist also ein „halbiertes“ Wasserstoffspektrum. Bedingt durch seinen Aufbau besitzt das Positronium einen strukturlosen „Kern“ und ist damit das einfachste rein leptonische, gebundene System. Es ist damit ein interessanter Kandidat für Präzisionsmessungen um Theorie und Experiment zu vergleichen. Positronium entsteht z.B. indem ein Positron auf ein Target geschossen wird. Coulombstöße bremsen es ab bis es schließlich unter Emission von Strahlung eingefangen wird. Das Positronium hat je nach relativer Orientierung der einzelnen Spins einen Gesamtspin S = 0 oder S = 1 . Beide Zustände anihilieren unter Abgabe von Photonen: S =0:

2 γ -Quanten gleicher Energie (0.511MeV)

S =1:

≥ 3 γ -Quanten, kontinuierliches

Spektrum Der Triplett Zustand lebt mit 0,14µs etwa 1000 mal länger als der Singulettzustand. Dies liegt daran, daß Prozesse an denen meherer Teilchen beteiligt sind unwahrscheinlicher sind als einfache Prozesse. Warum zerfällt der Triplett-Zustand in 3 Photnen? Der Grund findet sich in einer etwas subtilen Symmetriebetrachtung. Beginnen wir mit dem Begriff der Parität Pr. Der Paritätsoperator wirkt folgendermaßen auf Zustände: ( ( Pr ψ ( r ) = ψ (−r ) ( ( Pr2 ψ ( r ) = ψ ( r ) ( ( ( ⇒ Pr ψ ( r ) = ±1ψ ( r ) = ψ (−r ) Unter Raumspiegelung kann also ein Zustand sein Vorzeichen ändern oder nicht. Ist [H , P ] = 0 , so ist Pr eine Erhaltungsgröße, d.h. es gibt Systeme, die unter Spiegelung eine Phase von π erfahren und solche, die keine Phase erfahren. Überprüfen wir also den Kommutator. Klassisch gilt die Schrödingergleichung und wir erhalten ( ( ' 2 ∇2 ' 2 ∇2 − Pr Pr = 0 . 2m 2m

Relativistische Teilchen gehorchen der Diracgleichung: 1 ( ( ( ( σ ⋅ p χ ( r ) = (E − m 0 c2 ) φ ( r ) c ( ( ( 1 ( σ ⋅ pφ ( r ) = (E + m 0 c2 ) χ ( r ) c ( ( Wie verhält sich σ ⋅ p unter Raumspiegelung? Man unterscheidet verschiedene Skalare und Vektoren je nach ihrem Verhalten bei Raumspiegelung: ( ( x → −x ( ( x →x

( ( ( polare Vektoren: r , p, F ( ( ( axiale Vektoren: L = r × p

s →s

Skalar: m, e

s → −s

( ( ( ( Pseudoskalar: r ⋅ L, p ⋅ L ( ( ( ( speziell: σ ⋅ p → −σ ⋅ p

Wendet man also den Paritätsoperator auf die Diracgleichung an, so geht diese über in: ( ( ( 1 ( σ ⋅ p χ ( r ) = (−E + m 0 c2 ) φ ( r ) c ( ( ( ( 1 σ ⋅ pφ ( r ) = (−E − m 0 c2 ) χ ( r ) c Ersetzt man φ → χ , χ → φ und E → −E , so erhält man die ursprünglichen Gleichungen. Der Paritätsoperator Pr setzt sich somit zusammen aus dem Spinaustauschoperator Ps und dem Teilchenaustauschoperator C: Pr = Ps ⋅ C Jedes Teilchen (Elementarteilchen, Atome etc.) besitzt außerdem noch eine Eigenparität. Die des Elektrons ist z.B.

P (e− ) = −P (e+ ) ⇒ P (e− e+ ) = −1 Damit gilt für den Teilchenaustauschoperator angewandt auf das Positronium: C = −Pr Ps , wobei die Eigenparität des Positroniums −1 ist. Wendet man den Teilchenaustauschoperator auf

den Grundzustand des Positroniums an, so erhält man: C ψ = −Ps Pr ψ = cψ Die s-Ortswellenfunktion des Grundzustands ist kugelsymmetrisch, es gilt also: Pr ψ1s = ψ1s Die Spinwellenfunktion ist je nach Ausrichtung der Spins symmetrisch (F=1) oder antisymmetrisch (F=0). Man erhält also: F =1 F =0

c = −1 C-Parität vor dem   c = 1 Zerfall 

c ist eine Erhaltungsgröße. Photonen haben die C-Parität −1 (q → −q ⇒ A → −A) , wobei A die Wellenfunktion des Photons ist. Also zerfällt der Singulettzustand (F=0) in eine gerade Photonenzahl – im einfachsten Fall in zwei Photonen – und der Triplettzustand (F=1) in eine ungerade Anzahl. Aufgrund der Impulserhaltung ist ein Zerfall des Tripletts in ein Photon nicht möglich, es müssen mindestens drei Photonen am Zerfall beteiligt sein. Ein weiteres exotisches Atom ist das Myonium. Es ist aus einem positiven Myon als Kern und einem Elektron aufgebaut. Seine Lebensdauer wird durch die mittlere Lebensdauer 2,2µs des Myoniums beschränkt. Im Gegensatz zum Positronium findet keine Anihilation statt, da Myon und Elektron fundamental verschieden sind. Das Myonium ist wasserstoffähnlich und hat einen schweren, strukturlosen Kern von etwa 200 Elektronenmassen.. Sein Zerfall µ + → e+ + ν e + ν µ ist anisotrop, wobei die Richtung der Positronen parallel zum Spin des Myons steht. Dies ermöglicht die Messung des magnetischen Moments im äußeren Magnetfeld. Ein weiteres interessantes exotisches Atom ist Antiwasserstoff. Die CPT-Invarianz fordert ein gleiches Spektrum für Wasserstoff und Antiwasserstoff. Da CP verletzt ist, folgt aus der CPT-Invarianz, daß auch T verletzt sein muß. Zur Zeit gibt es dazu ein Projekt am Cern. Dabei soll Antiwasserstoff durch laserinduzierte

Rekombination bei tiefen Temperaturen in einer Penningfalle hergestellt werden.

! ! 2 ! ! 1 ! p + e A ( r ) u ( r ) = E pu ( r ) 2m

(

Kapitel 9 Elektron im Magnetfeld In diesem Kapitel betrachten wir die Bewegung eines Elektrons im Magnetfeld. Es dient als Vorbereitung für Kapitel 10, in dem wir besprechen wollen, was ein Atom im Magnetfeld macht. Das Elektron im Magnetfeld ist aber auch ein Standardbeispiel für ein quantenmechanisches Zweiniveausystem. Das Zweiniveausystem ist neben dem harmonischen Oszillator eines der wichtigsten Modellsysteme in der Physik überhaupt. Es wird für die Erklärung vieler physikalischer Phänomene verwendet angefangen bei optischen Anregungen von Atomen bis hin zu Neutrinooszillationen in der Teilchenphysik. Wir leiten zunächst die Grundgleichungen her mit denen ein Elektron im homogenen, stationäres Magnetfeld beschrieben werden kann. Ausgangspunkt ist die stationäre PAULI- Gleichung: ! ! 2 ! !  1 ! E ψ ( r ) =  p + e A (r ) 2 m e ! ! ! ! ! + S ⋅ B ( r ) ψ ( r )  m

(

)

Die erste Gleichung beschreibt die Spinbewegung und die zweite Gleichung die Bahnbewegung. Im homogenen Magnetfeld entkoppeln also Spin und Bahn!

9.1

Landauniveaus

Das Vektorpotential zu einem homogenen Magnetfeld in z-Richtung lautet  0   !   A = B0x     0    denn dann lautet:      0   0  ! ! !     B = ∇ × A =  0  =  0  .        ∂Ay ∂x  B0 

)

Damit gilt:

Für ein homogenes Feld und mit dem Ansatz ! ! ! ψ (r ) = u (r )φ

(

ergibt sich: ! ! 2 ! !  1 ! Eu ( r ) φ =  p + e A(r ) 2 m e ! ! ! ! + B ⋅ S  u ( r ) φ  m

(

)

Nach Variablenseparation man erhält:    ! ! 2 !  !  1 1 ! p + e A ( r ) u ( r ) φ E − !  u (r ) 2 m  "#############$ # #############%#  :=E p  e ! ! ! B ⋅S φ = m#$###% "##

(

2 ! ! 1 2 Epu ( r ) = px + pz2 + (py + e Bx ) u ( r ) 2m     2 2 2 2 (e B)  p 1   !  p py  u ( r ) =  x + z + ⋅ x + 2m 2m "#2m B #% #$##% "######e$#####   1 2 2 Q : =  : m = ω c  2

Der erste Term kann durch Variablenseparation ! abgespaltet werden. Mit u ( r ) = u ( r ) ⋅ v (z ) folgt dann:

)

:=Es (unabhängig von r )

Da Es unabhängig ist von r muss Ep konstant sein. Mit E = E p + Es folgt dann ! e ! !! Es φ = B ⋅ S φ m

)

v (z ) = e ikz z . Für die verbleibende Funktion u(r) gilt:  px2  1 + m ωc2Q 2  u ( r )  2m 2 "####### #$########%

E p − E z ) u ( r ) =  ("###  #$####% Ec

harmonischer Oszillator

Diese Gleichung scheint die Form für einen harmonischen Oszillator zu haben, wobei der Operator Q die Rolle des Ortsoperators einnimmt. Ein Hamiltonoperator der sich als Summe des Quadrats zweier Operatoren schreiben lässt hat die Lösung des harmonischen Oszillators sofern die Vertauschungsrelation für die 1

beiden Operatoren die richtige ist. Dies sieht man, wenn man sich den üblichen Lösungsweg mit Hilfe von Aufwärts und Abwärtsoperatoren vergegenwärtigt. Bei dieser Methode geht nur die Vertauschungsrelation zwischen Orts und Impulsoperator ein. Wir müssen also verifizieren, dass die Vertauschungsrelation zwischen p und Q dieselbe ist, wie für p und x:

[ px ,Q ] = [ px , x ] +  px , py  ⋅

1 = [ px , x ] eB

Die Lösungen des harmonischen Oszillators können damit direkt übernommen werden. Man erhält äquidistante Niveaus mit Abstand &ωc , die sogenannten „Landau-Niveaus“. Die Free quenz ωc = B0 wird als Zyklotronfrequenz m bezeichnet.

E

&k = ωc ⋅ r m Benutz man beide Gleichungen um r zu eliminieren so folgt: v=

k⋅

&k =n , m ωc

und daraus für die kinetische Energie: E kin =

& 2k 2 1 = n ⋅ &ωc 2m 2

Es fehlt noch die potentielle Energie. Sie entsteht durch die Ausrichtung des magnetischen Moments der Bahnbewegung im homogenen Magnetfeld. Das magnetische Moment der Bahnbewegung wird analog zum magnetischen Moment einer Leiterschleife berechnet. Bei einer Leiterschleife gilt: ! ! µ = I ⋅A,

Dωc

! wobei I den Strom und A die vom Leiter umschlossene Fläche bezeichnet. Beim Elektron auf einer Kreisbahn gilt dann: I =

e v ω −e = −e =− ⋅ T 2π 2π r

Mit A = πr 2 folgt sofort:

9.2

Halbklassisches Modell

Im klassischen Bild bewegt sich das Elektron auf einer Kreisbahn bei der sich die Zentrifugalund Lorentzkraft die Waage halten: ! ! m r ω#%2 = e v × B = e vB0 = e r ωB0 "##$# "############$############% Zentrifugalkraft

! e v 2 e µ =− πr = mv ⋅r 2π r 2m ! ! e e& L = ⋅L = ⋅ 2m 2m & ' ! µ

Lorentzkraft

Diese Gleichung liefert die klassische Umlauffrequenz. e ω = B0 = ωc m Sie ist offensichtlich mit der Zyklotronfrequenz identisch. Quantenmechanisch ist das Elektron eine Welle. Nach einem Umlauf muss die Phase der Wellenfunktion entlang der klassischen Bahn konstruktiv mit sich selber interferieren:

µBohr

Umfang

oder

Andererseits gilt

2

k ⋅r = n .

! L =− &

Der g-Faktor der Bahnbewegung ist also 1. Die potenzielle Energie des Elektrons im Magnetfeld ist damit: ! ! e E pot = −µ ⋅ B = m vrB0 2m Zusammen mit der Resonanzbedingung kr = n erhält man:

!

φ = k ⋅ 2' πr = n ⋅ 2π

:= µBohr

E pot =

e B0 2m

&kr =

e B0 2m

&n =

1 &ωc n 2

Die Gesamtenergie lautet dann E = E pot + E kin = &ωcn

was mit der quantenmechanischen Rechnung gut übereinstimmt.

&ωL − 2E  &Ω   det  −&ωL − 2E   &Ω = (&ω − 2E )(−&ω − 2E ) − & 2Ω2 = 0

9.3

Spin im homogenen Magnetfeld

führt dann zur Energie

Für den Spin im homogenen Magnetfeld gilt die Gleichung (s.o.) !  e ! ! ! Es φ =  S ⋅ B  φ . m 

E1,2 = ±

& ωL2 + Ω2 2

E

Mit einem homogenen Feld in z-Richtung ! ! B = B0ez

DΩ

ergibt sich: 1 0  ! ! e ! 1 e  φ Es φ =  B0S z  φ = & B0  m  m 0 −1 2 '

ωl

:=ω

L

Die Frequenz

e ωL := g B 2m 0 wird als Larmorfrequenz bezeichnet wobei g=2 der g-Faktor des Elektrons ist. Man erhält also zwei Energieeigenwerte, bzw. zwei Eigenvektoren: 1  ! φ+ =    0

E+ =

0 ! φ− =   1 

1 E − = − &ω L 2

Die Störung wirkt hauptsächlich am Kreuzungspunkt und hebt dort die Entartung auf. Man spricht von einem "avoided crossing" oder "anticrossing". Die neuen Eigenzustände des Systems sind Linearkombinationen der ungestörten Zustände: ! α1  α = α  ,  2 

1 &ω 2 L

Dies ist eines der einfachsten Beispiele für ein Zweiniveau-System. Das System befindet sich entweder im Zustand "Spin up" oder "Spin down". Interessant wird es, wenn wir uns fragen, wie das System auf eine zunächst statische Störung reagiert. Legt man ein zusätzliches Feld in x-Richtung an, so erhält man:   0 1 1 0  ! ! &  e       Es φ =  Bx   + ωL   φ 2  ' m 1 0 0 −1   :=Ω  oder &ωL − 2E  ! &Ω   φ = 0  &Ω −&ωL − 2E   Die charakteristische Gleichung

! β1  β =   β2 

Eingesetzt in obiges Gleichungssystem ergibt folgende Bedingungen. α2 α1

=

2E1 − &ωL &Ω

ω ω  =  L  + 1 − L Ω Ω 2

bzw. β2 β1

=

2E 2 − &ωL &Ω

ω ω  = −  L  + 1 − L Ω Ω 2

Außerdem müssen die Zustände normiert sein:

α12 + α22 = 1 = β12 + β22 . Die neuen Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Dazu müssen wir verifizieren dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren verschwindet: α1 β1 + α2 β2 = 0

3

α1 β1 α2 β2

   

θα ∈ [0, 45°] .

= −1

ω L    ω L 2  Ω  + 1 + Ω  ⋅   

ω L   ω L 2  Ω  + 1 − Ω  = 1 

In welche Richtung zeigt der Spin im Ortsraum? Dazu berechnen wir den Erwartungswert von ! S für den Zustand α: ! 1 0  ! 2 S z = α   α = cos 2θ & 0 −1

2

   

  ω L 2  ω L 2   Ω  + 1  −  Ω  = 1 

! 0 1  ! 2 S x = α   α = sin 2θ & 1 0

 ω L  ω    + 1 −  L  = 1 Ω Ω 2

2

2 ! 0 −i  ! Sy = α  α = 0 &  i 0 

1=1

 sin 2θ    ! &   S = ⋅  0    2  cos 2θ   

Die beiden Eigenzustände des gestörten Hamiltons stehen also immer noch senkrecht aufeinander. Die gestörte Basis ist damit relativ zur ungestörten verdreht. und wir können schreiben:

α1 = cos θ ,

α2 = sin θ

β1 = − sin θ ,

β2 = cos θ

φ− β α

Für den Zustand β sieht der Spin bis auf das Vorzeichen genauso aus:

θ φ+ Der Drehwinkel heißt oft auch Mischungswinkel. Man kann ihn einfach berechnen: tan θ =

2 ω α sin θ ω  = 2 =  L  + 1 − L . Ω α1 Ω cos θ

Mit Hilfe des Zusammenhangs tan(2θ) =

 sin 2θ    ! &   S = − ⋅  0   2  cos 2θ    Der Spin im Zustand β ist relativ zum Zustand α am Ursprung gespiegelt. Im Ortsraum zeigt der Spin in den Zuständen α und β also immer noch in entgegengesetzte Richtungen.

2 tan(θ) 1 − tan2 (θ)

Betrachten wir jetzt noch die Situation in der wir das x-Feld plötzlich ausschalten und nur noch das z-Feld beibehalten. Wir erhalten dann wieder den ursprünglichen diagonalen Hamilton mit den Eigenzuständen

Ω . ωL

1  −i ωL t φ+ (t ) =  e 2 0

erhält man tan(2θ) =

Dies ist eine sehr wichtige Formel, da sie den Mischungswinkel eines Zweiniveausystems auf einfache Weise mit den beiden einzigen Parametern des Hamiltonoperators verknüpft. Der Wertebereich des Mischungswinkels ist offenbar der halbe Definitionsbereich der Tangensfunktion:

4

Der Spin dreht sich durch die Störung in der xz-Ebene um den doppelten Mischungswinkel. Ist des Feld in x-Richtung viel größer als das ursprüngliche Feld in z-Richtung geht der Mischungswinkel gegen 45 Grad und der Erwartungswert des Spins ist nur für Sx von Null verschieden. Der Spin steht parallel zur x-Achse.

und 0 +i ωL t φ− (t ) =  e 2 . 1  Der aktuelle Zustand zum Zeitpunkt des Abschaltens ist aber eine Linearkombination dieser beiden nicht entarteten Eigenzuständen. Diese

Zustände sind daher auch keine Eigenzustände zum neuen Hamilton und damit auch nicht zeitlich konstant.

Hamilton als statisch annimmt und die Lösung berechnet. Dies betrachten wir jetzt etwas genauer. Ausgangspunkt ist die Schrödingergleichung.

ωL   cos θ ⋅ e −i 2 t     α (t ) =  ω   +i L t  sin θ ⋅ e 2  ωL   − sin θ ⋅ e −i 2 t    β (t ) =   ω  +i L t cos θ ⋅ e 2 

i&

In unserem Beispiel hat er die Form e (S x Bx + S z Bz ) m e = B0 (Sx sin δ(t ) + S z cos δ(t )) m = ωL (S x sin δ(t ) + S z cos δ(t ))

H =

Berechnen wir für diese Zustände den Erwartungswert für den Spin erhalten wir für den Zustand α: ! 1 0  ! 2 S z = α   α = cos 2θ & 0 −1

Die Zeitabhängigkeit steckt im Winkel δ(t) um den wir das Magnetfeld langsam verdrehen. Wir machen jetzt folgenden Lösungsansatz:

! 0 1 ! 2 S x = α   α = sin 2θ ⋅ cos (ωLt ) & 1 0

! ! ϕ(t ) = e −i ωt ⋅ u (t )

! 0 −i  ! 2 Sy = α   α = sin 2θ ⋅ sin (ωLt )  i 0  &

und setzen ihn in die Schrödingergleichung ein:

! ! i &ϕ) (t ) = ωL (S x sin δ(t ) + S z cos δ(t )) ϕ(t )

oder ! S

α

sin 2θ cos (ω t )  L   &  = ⋅  sin 2θ sin (ωLt ) .  2    cos 2θ  

Für den Zustand β geht die Rechnung analog mit dem Resultat

! S

β

sin 2θ cos (ω t )  L   &  = − ⋅  sin 2θ sin (ωLt ) .  2    cos 2θ  

Der Spin rotiert also in der x-y-Ebene mit der Lamorfrequenz und ist für die beiden Zustände nach wie vor entgegengesetzt orientiert.

9.4

(! dϕ (! = H (t ) ⋅ ϕ dt

! ! = i&(−i ω)e −iωt ⋅ u(t ) + i&e −iωt ⋅ u) (t ) ! = H (t ) ⋅ e −iωt ⋅ u (t ) oder

! ! ! &ωu (t ) + i&u) (t ) = H (t ) ⋅ u (t ) .

Die Näherung besteht jetzt darin, den zweiten Term gegenüber dem ersten zu vernachlässigen

! ! u) (t ) * −i ω ⋅ u (t ) . Das kann man machen, wenn man mit der Frequenz ω im Ansatz bereits den Großteil der Zeitabhängigkeit erfasst hat und sich der Vektor u nur noch langsam ändert. Die Gleichung reduziert sich dann auf die stationäre Schrödin! gergleichung für den Vektor u . ! ! H (t ) ⋅ u (t ) = &ω ⋅ u (t )

Zeitlich variables Störfeld oder

Bisher haben wir nur die Lösungen für ein statisches homogenes Feld betrachtet. Betrachten wir zunächst eine sehr langsame zeitabhängige Störung, z.B. das langsame Drehen der Magnetfeldrichtung aus der z-Achse in die x-Achse. Erfolgt diese Drehung genügend langsam, so ist die adiabatische Näherung gültig. Das System bleibt die ganze Zeit in einem Eigenzustand des momentanen Hamilton. Mit anderen Worten man erhält die Lösung zu einem Zeitpunkt, indem man den zu diesem Zeitpunkt gültigen

! ! ωL (S x sin δ(t ) + S z cos δ(t )) ⋅ u (t ) = &ω ⋅ u (t ) ! 1 cos δ(t ) sin δ(t )  ! &ωL ⋅   ⋅ u (t ) = &ω ⋅ u (t )  2  sin δ(t ) − cos δ(t )

5

2ω   cos δ(t ) − sin δ(t )   ωL  !   ⋅ u (t ) = 0 2ω   δ δ − − sin ( ) cos ( ) t t   ωL   Die Determinante der Matrix ist Null, wenn ω ω = ± L . Die verbleibende Matrixgleichung 2 cos δ(t ) − 1 sin δ(t )  !   ⋅ u (t ) = 0  sin δ(t ) − cos δ(t ) − 1  wird wie oben durch den Vektor cos θ  !   u (t ) =   sin θ  und − sin θ  !   u (t ) =   cos θ  gelöst wobei δ=2θ. In unserem Beispiel gilt also die adiabatische Näherung, wenn die Lamorfrequenz deutlich größer als die Änderung von u ist. Die Folge der stationären Lösungen zu den Zeiten t beschreibt dann die Lösung der zeitabhängigen Entwicklung. Der Spin folgt in seiner Orientierung der Richtung des Feldes. Eine Drehung im Ortraum entspricht dabei einer Drehung im Spinraum um den halben Winkel. Eine vollständige Drehung im Ortsraum führt zu einer halben Drehung im Spinraum oder einem Vorzeichenwechsel. Der Zustand ist also erst symmetrisch unter einer Drehung von 4π! Bei der Bildung des Betragquadrats hebt sich der Vorzeichenwechsel wieder heraus, so dass die Observable wieder symmetrisch ist unter 2π. Bei Interferenzexperimenten kann das Vorzeichen des Zustands jedoch durchaus eine Rolle spielen. Insbesondere gibt es in der Quanteninformationsverarbeitung ein Vorschlag zur Erzeugung eines Quantengatters, der gerade auf diesem Vorzeichenwechsel basiert. Als zweites sehr wichtiges Beispiel betrachten wir eine harmonische zeitabhängige Störung. Dazu legen wir ein zusätzliches Wechselfeld in x-Richtung an.: B cos ωt   x  (!    0 B =   .    Bz  Der Hamilton lautet jetzt

6

H (t ) =

1 0  1 0 1 1  &ωL   + &Ω cos (ωt )  . 0 1 1 0 −   2  2    "######$######% "#########$#########% H0

H i (t )

Der Hamiltonoperator beschreibt jetzt kein abgeschlossenes System mehr. Die Energie ist keine Erhaltungsgröße sondern zeitabhängig. Zur Lösung dieses Problems macht man den Ansatz: ! ! ψ (t ) = c1 (t ) φ+ (t ) + c2φ− (t ) Wir lassen also zu, dass sich die Linearkombination der ungestörten Zustände in der Zeit ändert. Die Wahrscheinlichkeit, ob Spin up oder Spin down vorkommt ergibt sich aus dem Betragsquadrat ci ci*. Mit diesem Ansatz erhält man:  ω 0 1 1 ! & −i L t     H ψ (t ) = Ω cos ωt c1 (t )e 2    0  1 0 2   +c2 (t )e +

i

ωL 2

t

 0 1  0  1 0 1     

 ω 1 0  1 & −i L t     ωL c1 (t )e 2     2 0 −10  +c2 (t )e

(! dψ = i& dt

i

ωL 2

t

1 0  0     0 −1 1     

Was dann zu den folgenden Differentialgleichungen führt: & Ω cos ωte i ωLt ⋅ c2 2 & ic)2 = Ω cos ωte −iωLt ⋅ c1 2 ic)1 =

Diese Gleichungen sind nicht lösbar. Man kann aber zur Dichtematrix übergehen und eine sehr schwache Näherung machen mit der sich dann eine analytische Lösung finden lässt. Wir benutzen die Schreibweise als Dichtematrix: ρ11 ρ = ρ  21

ρ12  c1c1* c1c2*     ρ22  := c c * c c *   2 1 2 2 

Die Differenzialgleichung für die Elemente dieser Matrix lauten demnach:

ρ)11 = −ρ) 22 = i Ω cos ωt (e i ωLt ρ12 − e −i ωLt ρ21 ) ρ)12 = −ρ) 2*1 = i Ω cos ωt ⋅ e −i ωLt (ρ11 − ρ22 )

ρ22 1

δ=2Ω

Jetzt führen wir die „rotating wave approximation“ durch. Wir betrachten dazu die Terme in der Gleichung mit der Form: 1 i ωt (e + e −iωt )e ±iωLt 2 1 = e i(ω ±ωL )t + e −i(ω ∓ωL )t   2

cos ωt ⋅ e ±i ωLt =

und vernachlässigen die schnell oszillierenden Terme, da sie sich zeitlich herausmitteln. Dies betrifft die Terme mit +ω denn in der Nähe der Resonanz ist ω-ωL ~ 0. Man erhält dann die sogenannten BLOCH-Gleichungen:

(

ρ)11 = −ρ) 22 = i Ω e −i(ωL −ω )t ρ12 + e i(ωL −ω )t ρ21 * 21

ρ)12 = ρ) = iΩe

+i (ωL − ω )t

)

(ρ11 − ρ22 )

Die Lösung für den Anfangswert c2(t=0) = 0 ist für die Besetzungen vergleichsweise übersichtlich: 2

Ω  1 ,  ρ22 (t ) =   sin 2  Ω t ,  2  Ω ρ11 (t ) = 1 − ρ22 (t ) .

δ=0

0

2π/Ω

t

4π/Ω

In Resonanz variiert die Besetzung zwischen null und eins mit der Rabi-Frequenz. Bei nichtverschwindender Verstimmung erhöht sich die Schwingungsfrequenz und die Amplitude verringert sich. Man kann also den angeregten Zustand nicht mehr vollständig besetzen.

9.5

π-Pulse

Die harmonische Entwicklung der Spinorientierung lässt sich verwenden um Zweiniveausysteme gezielt zu manipulieren. Wir betrachten resonante Anregung (δ=0) und variieren die Zeit in der die Störung eingeschaltet ist bei fester Rabi-Frequenz d.h. Störungsstärke. Man kann solche Störpulse nach ihrer Wirkung charakterisieren: Ein Puls, der die z-Komponente gerade zum Verschwinden bringt, den Spin also in die x-y-Ebene kippt heißt π/2-Puls. Seine Länge beträgt gerade π/2*1/Ω. Nach dieser Zeit hat sich der Mischungswinkel von 0 Grad auf 45 Grad erhöht. Die Eigenzustände sind dann gerade die symmetrische und antisymmetrische Linearkombination der Anfangszustände.

Dabei ist

, := δ 2 + Ω2 Ω mit

δ := ωL − ω

und Ω=

e B m 0

die RABI-Frequenz. Die Kohärenzen sehen etwas komplizierter aus. ρ12 (t ) = ρ21* (t ) Ω  1 ,  −iδt ρ12 (t ) = sin  Ω t e × ,  2  Ω   1 ,  δ  1 ,  t  cos  Ωt − , sin  Ω   2 2  Ω   Entscheidend ist die Formel für ρ22 also die Besetzungswahrscheinlichkeit für den angeregten Zustand.

<Sz> D/2

0

t

-D/2 B B0 t Auf ähnliche Weise transferiert ein π-Puls das System vom "spin-up"-Zustand in den "spindown"-Zustand oder umgekehrt. Der Mischungswinkel wächst von 0 Grad auf 45 Grad und geht dann zurück auf 0 Grad.

7

<Sz>

<Sz>

D/2

0

t

t

B

-D/2 B B0

π/2

π/2

π-Puls

t

t Bei Anwendung von solchen Pulsen kann man Spinecho beobachten. Diese Phänomen tritt in Ensembles mit vielen Spin-1/2-Systemen auf. Die Spins sind anfänglich alle in Richtung eines möglichst homogenen Magnetfeldes orientiert und werden dann einem π/2 Puls ausgesetzt. Dadurch kippen die Spins synchron in die x-yEbene, wo sie nach dem Puls um das homogene Magnetfeld präzedieren. Aufgrund von nicht vermeidbaren Restinhomogenitäten des Magnetfeldes weichen die Präzessionsfrequenzen leicht voneinander ab. Die einzelnen Spins laufen in ihrer Orientierung auseinander und verteilen sich in der x-y-Ebene. Der Gesamtspin und das damit verbundene magnetische Moment wird im Mittel verschwinden. Wendet man jetzt einen π-Puls an werden alle Spins am Ursprung gespiegelt. Der Vorsprung, den die Spins aufgrund ihrer höheren Frequenz erreicht haben ändert sein Vorzeichen und wird zum "Nachsprung". Genauso wird das Nachhinken der langsamen Spins in einen Vorsprung verwandelt. Die Spins rotieren jetzt mit unveränderter Geschwindigkeit weiter. Die schnellen holen wieder auf und die langsamen brauchen ihren Vorsprung auf, bis alle Spins wieder in die gleiche Richtung zeigen. Wendet man in diesem Moment einen zweiten π/2 Puls an, so klappen alle Spins aus der x-y-Ebene wieder zurück in die anfängliche Richtung. Es entsteht wieder ein Dipolmoment, das man messen kann. Das Wiederaufleben des magnetischen Moments nennt man Spinecho.

Man kann das Abklingen des magnetischen Moments auch direkt beobachten. Unmittelbar nach dem ersten π/2-Puls dauert es eine gewisse Zeit bis die Spins sich über die x-y-Eben verteilt haben. Solange existiert noch ein mittleres Dipolmoment, das sich allerdings mit der Lamorfrequenz in der x-y-Ebene dreht. Das drehende Dipolmoment erzeugt ein Magnetfeld, das sich ebenfalls in der x-y-Ebene dreht und in einer "pick up" Spule einen Strom induziert, den man messen kann.

B0

M

pick up Spule Man erhält also ein oszillierendes Signal, das allerdings in dem Maße abklingt, wie die Spins auseinanderlaufen. Diese "Dekohärenz" bestimmt die Einhüllende des Signals und kann so direkt beobachtet werden. Die Zeit mit der das Signal zerfällt heißt transversale Zerfallszeit. Der Vorgang selber wird freier Induktionszerfall genannt.

Strom I

Zeit t

8

π-Pulse und freier Induktionszerfall finden intensive Anwendung in der Kernspintomographie. Es werden hierbei natürlich keine Elektronenspins sondern die Spins der Atomkerne angeregt. Aus der Resonanzfrequenz kann man auf die Lamorfrequenz und damit auf das magnetische Moment der Kerne schließen. Die Lamorfrequenz hängt dabei natürlich auch vom magnetischen Feld am Ort des Kerns ab. Das muss nicht immer mit dem von außen angelegten Feld identisch sein. Die Nachbarschaft anderer Atome und der dazugehörigen Elektronen können das äußere Magnetfeld abschirmen und die Lamorfrequenz verschieben. Dies nennt man die "chemische Verschiebung". Sie bietet die Möglichkeit etwas über das Umfeld des Kerns zu erfahren. Bei chemisch biologischen Vorgängen kann sich dieses Umfeld verändern, was man in einer veränderten Larmorfrequenz beobachten kann. Eine ganz aktuelle Anwendung der Kernspinresonanz ist die Konstruktion sogenannter Quantengatter zur Quanteninformationsverarbeitung (Quantencomputer). Mehr dazu später. Siehe auch http://www.org.chemie.tumuenchen.de/glaser/qcomp.html.

9.6

r = n⋅

& = n ⋅ 24 nm . eB

Für den Grundzustand (n=1) sind das etwa 25nm oder 500 Wasserstoffradien. Die Energie der Landauniveaus beträgt E = n &ωc , die der Spinniveaus

E ′ = n ′&ωL . Für einen g-Faktor von exakt g = 2 ist ωc = ωL und die durch die Spinenergie aufgespaltenen Niveaus sind entartet.

Dωc

DωL

Penning-Falle und g-2-Messung

Elektronen können in einer Penning-Falle fast beliebig lange gespeichert werden. Der radiale Einschluß erfolgt über das Magnetfeld, der axiale Einschluß durch die elektrostatische Abstoßung an den negativ geladenen Endkappen.

Landau-Niveaus Spin-Niveaus Durch Radiofrequenzmessungen kann man also eine mögliche Abweichung von g=2 sehr genau bestimmen. Das Experiment ergibt:

E

Endkappen

B

a g −2 := = 0.0011596521884 2 2 mit einer Meßgenauigkeit von

Ring

σ= Das Elektron befindet sich in einem Feld von etwa 1T (zum Vergleich: Erdmagnetfeld 1/2 Gauß) und hat hier dann eine Zyklotronfrequenz von ωc=2π ∗ 27 GHz. Mit Hilfe der Resonanzbedingung (DEBROGLIE-Wellenlänge)

kr = n und der Tangentialgeschwindigkeit &k = ωc m

∆a ≈ 10−9 . a

Die Differenz zwischen dem theoretischen und dem experimentellen Wert beträgt:

a theoretisch − a experimentell = −2σ , die Theorie wird also weitgehend bestätigt mit einer fast signifikanten bisher ungeklärten Abweichung.

9.7

Kernspin-Experimente

erhält man einen Bahnradius von

9

Die Rabi-Apparatur zur Messung des magnetischen Kernmoments ist eine Weiterentwicklung des Stern-Gerlach-Apparats. B0

dB/dx

dB/dx Detektor für Atome

Quelle für Atome Polarisator



Analysator

Eine genauere Beschreibung wird nachgeliefert oder findet sich im Skript zur Vorlesung ExpIII. Kernspins knn man auch mit Hilfe von Kernspinresonanz nachweisen. Näheres im Skript zur ExpIII.

10

Kapitel 10 Atome im statischen Feld

=

1 ω Lz . 2 L

Der Hamilton für das Elektron eines wasserstoffähnlichen Atoms setzt sich damit aus zwei Teilen zusammen

10.1 Zeeman und Paschen-BackEffekt Beim sogenannten normalen ZEEMAN-Effekt wird der Spin vernachlässigt. Den Hamilton für ein gebundenes Elektron mit äußerem homogenen Magnetfeld erhält man wiederum durch Erweitern des Impulses um das Vektorpotential. H =

! 2 1 ! p + e A +V 2m

(

  −y ! B   z  A=  x  2    0   und man erhält p2 e "  ∂ ∂  +V + Bz ⋅ x −y  2m 2 m i  ∂y ∂x 

e2 Bz2 2 + (x + y 2 ). 8m

p2 1 +V + ω Lz 2 m$%$$$& 2 L & #$$ #$$%$$ H0

Lz ⋅Y (θ, φ ) = ml " ⋅Y (θ, φ ) Die Energiekorrekturen aufgrund des äußeren Magnetfeldes sind dann einfach: Em =

1 "ω m = ml ⋅ µBohr ⋅ Bz 2 L l

Die Energie steigt mit dem Magnetfeld linear an. Die Steigung ist durch die magnetische Quantenzahl m gegeben. Für einen Zustand mit l=2 erhält man folgendes "Zeeman-Diagramm":

m=2

1,4MHz/G

E

m=1 m=0

Der letzte Term heißt diamagnetischer Term. Er ist sehr klein und spielt erst bei höchsten Magnetfeldern im Bereich von mehreren Tesla ein Rolle. Der zweitletzte Term ist der paramagnetische Term. Er ist uns bereits im Zusammenhang mit den Landau-Niveaus des freien Elektrons begegnet und kann auf den Drehimpulsoperator reduziert werden: ∂  e "  ∂ ⋅ x −y  Bz  ∂x  2 m i  ∂y e h ∂ = Bz 2 m i ∂φ e = Bz Lz 2m µ = Bohr Bz Lz "

HB

Die Lösungen von H0 bei rotationssymmetrischen Potenzial sind die Kugelflächenfunktionen. In dieser Basis ist aber auch HB diagonal, d.h.

)

Bei einem homogenen B-Feld in z-Richtung lautet das Vektorpotential:

H =

H = H 0 + HB =

m= -1 m= -2 B Beim anomalen ZEEMAN-Effekt wird der Spin mit berücksichtigt und wir starten mit der Pauligleichung. H =

! 2 1 ! e" ! ! p + eA + σ ⋅ B0 , 2m 2m

(

)

Wir zerlegen das Magnetfeld jetzt in ein externes und eine Hüllenfeld:

! ! ! Bo = Bz + B Hülle

! tigen wir das mit J verbundene magnetische Moment.

Analog zur Argumentation bei der Diskussion der Feinstruktur erhält man: H =

! ! e L ⋅S (Lz + 2S z ) ⋅ Bz + A FS & 2m #$$$$$$$ $%$$$$$$$$& #$$$%$$$ H FS

H mag

Zur Lösung dieses Hamiltons ist es wieder ge! ! schickt, den Operator L ⋅ S umzuformen:   ! ! 1  ! ! 2 !2 ! 2   L ⋅ S =  L + S − L − S   2  #$$$%$$ $&   J!2

(

)

Das gesamte magnetische Moment ! ! µ ! ! ! µ ! = µ ! + µ ! = − Bohr 2S + L J L S " µBohr ! ! S +J =− "

(

Die Operatoren J 2 , J , S 2 , L2 kommutieren untereinadner, jedoch nicht mit dem Operator (Lz + 2S z ) . Daran ist der anomale g-Faktor des Elektronenspins schuld. Bevor wir diese Problem ausführlicher besprechen, wollen wir die Physik etwas diskutieren und eine anschauliche Ableitung der zu erwartenden Energiekorrekturen geben. Zunächst betrachten wir Grenzfälle.

(

)

rotiert um die Richtung von J. Das mittlere Moment ist also die Projektion des Moments auf die Richtung von J. ! µ!

Im ZEEMAN-Bereich, für kleine Magnetfelder, ist die Spin-Bahn-Kopplung groß gegenüber der Energie im Magnetfeld. H mag < H FS

)

J

! ! J = µ! ⋅ ! J J

Das gemittelte Moment ergibt sich somit zu: ! ! µz = µ !

Es ergibt sich folgendes Bild:

J

! J ! . J

Nun können wir den Hamilton für eine homogenes Magnetfeld ausrechnen. ! ! H mag = − µj ⋅ B ! ! ! ! ! µBohr S + J ⋅ J J ⋅ B ! = " J2

(

) (

Mit ! ! S präzediert schnell im von L erzeugten Mag! netfeld. Der über die Präzesion gemittelte J Vektor präzediert langsam im äußeren Magnet! feld. Eine sinnvolle Basis ist somit J 2 , J , S 2 und L2 , der Operator (Lz + 2S z ) ist die Störung. Für eine quantitative Beschreibung benö-

0   !   B = 0    B    erhält man und:

! ! J ⋅ B = JzB

)

H mag =

µBohr B "

! ! ! ! J 2 + 12 J 2 + S 2 − L2 Jz . ! J2

(

)

In der Basis J 2 , J z , S 2 , L2 ist H mag diagonal und man erhält: E mag = µBohrB ⋅ m j   1 + j ( j + 1) + s (s + 1) − l (l + 1)    2 j ( j + 1)  #$$$$$$$$$$$$$$$$% $ $$$$$$$$$$$$$$$$&$ Landescher g-Faktor

Im PASCHEN-BACK-Bereich, also bei starkem äußeren Feld, H mag > H FS , wird H FS komplett vernachlässigt und man verwendet die Basis Lz , L2 , S z , S 2 : E=

e" Bz (m + 2ms ) . 2 m & l #$$%$$

10.2 Hyperfeinstruktur des Wasserstoff-Grundzustands Die Berechnung der exakten Lösung für beliebige Magnetfelder betrachten wir jetzt am Beispiel des Wasserstoffgrundzustands. Der Hamilton lautet: 2 ! ! 1! ! 1 ! ! S ⋅ B + µKg I ⋅ B + AHFS 2 S ⋅ I . " " " den zweiten Term können wir in guter Näherung vernavhlässigen, da das Kernmagneton sehr viel kleiner ist als das Bohrsche Magneton. Es bleibt also der Hamilton H = µBohr

µBohr B

Betrachten wir als konkretes Beispiel den Fall l=1 und s=1/2. In der Zeeman Basis haben wir dann die Zustände 1 P1 : m j = ± , 2 2

3 3 P3 : m j = − , …, . 2 2 2

In der Paschen-Back-Basis werden die Zustände mit ml , ms bezeichnet. Also 1 1 1 −1, − , 0, − , 1, − , 2 2 2 1 1 1 −1, , 0, , 1, 2 2 2

H = ωL S z + A HFS

1 ! ! S ⋅I "2

Wir schreiben den Hamilton in Matrizenform ! ! im Produktraum von S und I . Zunächst berechnen wir: ! ! S ⋅ I = S x ⊗ I x + Sy ⊗ I y + S z ⊗ I z =

0 " 2 0  4 0 1

 0  " 2  0  +  0  4  0 0  −1

0 0 −1

0 1 0

0 1

1 0

1 0

0 0

0 0

1 " 2 0 + 0 4  0 0 " 2 0 = 0 4  0

  0  0 

0 0 1

1   " 2 0  + 0 0  4  0  0

0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

   0   1

0 0 0

0

0

0

0 2 0

−1

0

0

0

−1

0

0

2 0 0 0

Zusammen mit 1 0 1 ωLS z = "ωL 0  2 0

0

0

1

0

0 −1 0

0

  0  −1  0

0

   0  1  0

0

lautet der Hamilton dann a +b  0 H =  0   0

0

0

a −b

0

0

−a −b

0

0

  0   0 +  0    0  −a +b   0

   0  0 

0

0

0

0

0

2b 0

2b

0

0

0

! ! S ⋅ L = S x ⊗ Lx + Sy ⊗ Ly + S#$$ L$&z z $⊗ %$$

0

1 1 wobei a = "ωL und b = A HFS ist. Der xy2 4 ! ! Anteil von S ⋅ I ist nichtdiagonal und mischt ! ! die beiden mittleren Zustände e2 und e3 . Die Energie dieser gemischen Zustände erhält man durch Diagonalisieren des mittlern Teils des Hamiltons. Mit

diagonal

Die Struktur des nichtdiagonalen Anteils sieht man, wenn man die Operatoren Lx und Ly als Linearkombinationen der Aufwärts und Abwärtsoperatoren schreibt: Lx =

L+ und L− haben nur Einträge in der oberen bzw. unteren Nebendiagonalen: 0 0 L = 0  0 +

φ  a − b 2b φ2     = ε  2      2b −a − b  φ3    φ3  ⇒ (a − b − ε)(−a − b − ε) − 4b 2 = 0

1 + 1 (L + L− ), Ly = (L+ − L− ) 2 2

*

0 ( 0

ε− = −3b und für

a → ∞ ⇒ ε+ = a − b

ε− = −a − b . Man

  *  0 

0

0

0 * L = 0  0 −

0

0

(

0

( ( 0

*

  0  0  0

0

Damit ist Lx bzw. Ly :

⇒ ε± = −b ± a 2 + 4b 2 Für a = 0 ⇒ ε+ = +b

0

( ( 0

0 *     * ( (     ( ( *    * 0 

erhält also:

Bildet man S x ⊗ Lx , so steht an jedem Eintrag von Lx eine Matrix S x multipliziert mit dem Eintrag   (  *S x   

*S x ( *S x

   (    *S x  + i  *Sy    (   

− * Sy ( *Sy

   − * Sy   (  

Mit S x − iS y = S − und S x + iS y = S + folgt Wir können zumindest die Lösungsstruktur für den allgemeineren Fall behandeln in dem ein Spin an einen Bahndrehimpuls koppelt. Das folgende ist etwas formal und mehr ein Hinweis für Interessierte. Wir betrachten den Hamilton: ! ! e H = Bz (Lz + 2S z ) + A FS S ⋅ L 2m In der Basis von Lz ⊗ S z ist der erste Teil dia! ! gonal . Wie sieht es mit S ⋅ L aus ?

(   + *S   

*S − ( *S

+

×     S − * =    (   

× × × × × × × ×

   ,   × 

0 0 0 1  und S + = "   wobei S − = "  0 0 ist. 1 0   Die Matrix zerfällt in Blockform:

a

b

c

d a ′ b′ c′ d ′

↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ #$$%$$& #$$$%$$$& #$$$%$$$& #$$$%$$$& m

l

m −1

Beim Myonium gilt:

l

Offenbar mischen je zwei Zustände m, ↑ und m − 1, ↓ . Der oberste und der unterste Zustand l, ↓ bzw. −l, ↓ bleiben unvermischt.

10.3 Myonium und Positronium Bei Myonium und Positronium gilt µK ≈ µB , der Kernspin im äußeren Magnetfeld muß also mit berücksichtigt werden:

−µK g

1 0 1 ! ! I ⋅ B = −c 0  " 0

0

0

−1 0 0

1

0

0

   , 0  −1 

mµ µ ge a = B = ≈ 207 c me µµg µ A HFS = 2π" ⋅ 4.46 GHz Die Steigung der ungemischten Zustände ist um 0.5% gegenüber dem genäherten Fall abgesenkt. Dies ist ein kleiner quantitativer Effekt, der aber zu einem Levelcrossing führt. Beim Positronium ist der Effekt viel größer: µBohr g e a = = 1, c −µBohr g e+

0

0

Die Steigung verschwindet der ungemischten Zustände verschwindet ganz.

1 1 "ω = µK gB ist. Der Hamilton 2 K 2 lautet dann:

wobei c =

a +b −c  H =   

a −b +c −a −b −c

     +    −a +b +c    0

0 2b 2b

    

Man erhält das folgende ZEEMAN-Diagramm:

Da das Magnetfeld Triplett und SingulettZustände mischt und die beiden Zustände drastisch unterschiedliche Lebensdauern haben hängt die Lebensdauer der gemischten Zustände über das Mischungsverhältnis vom Magnetfeld ab:

! ! e1, e4 : t = τ Triplett ! e2 : t ∈ τ Triplett , …, 2τSingulett ! e3

:

{ t ∈ {τ

Singulett

} }

, …, 2τSingulett

τ Triplett = 1.4 ⋅ 10−7 s,

τ Singulett = 1.25 ⋅ 10−10 s

Man kann das Zeeman-Diagram ausmessen, und die Hyperfeinstruktur-Konstante von Positronium bestimmen, indem man eine Radiofrequenz ! ! ! einstrahlt, die e1 und e4 mit e2 mischt und die

der befestigt im harmonischen Potential vorstellt, ergibt sich: ! ! e! 1! e F = kr = k r = k ρ e e 2 e ⇒ α= k Betrachten wir nun eine quantenmechanische Beschreibung einer Ladungsverteilung mit Dipolmoment. Für die Ladnungsverteilung gilt:

! ! 2 ρ (r ) = − e ψ (r )

Lebensdauer verkürzt.

Damit ergibt sich das Dipolmoment zu: ! ρ = −e

Den Übergang bei B = 0 zu messen ist schwierig, da der Energieabstand mit einer Übergangsfrequenz von 203 GHz groß ist.

∫

!! ! 2 drr ψ (r )

Beim Wasserstoff im Schrödingermodell sind die Eigenfunktionen symmetrisch oder antisymmetrisch unter Ortsspiegelung : ! ψ (r ) = ψ (r, φ, θ ) = R (r )Ylm (φ, θ ) = R (r ) θlm (θ )e imφ

! ψ (−r ) = ψ (r, φ + π, θ + π )

10.4 Elektrostatische Felder Beim STARK-Effekt wird im Gegensatz zum voherigen Kapitel ein äußeres, statisches elektrisches Feld angelegt. Klassisch erwartet man dabei die Induktion eines elektrischen Dipolmoments.

i πm = R (r ) θlm (θ + π )e imφ e) =−1m

mit l −m

 d  θlm ∼ Pl m (cos θ ) ∼  d cos θ 

l

(1 − cos2 θ )

ergibt sich dann: ! ! m l −m ψ (−r ) = (−1) (−1) ψ (r ) . Das heißt, die Parität hängt von der Drehimpulsquantenzahlo l ab:

Die damit verbundene Energie beträgt ! ! H = ρ ⋅F

mit

! ρ=

!!

!

∫ dr r ρ (r )

Das Dipolmoment wird induziert d.h. ! ! ρ = α⋅F Dabei ist α die Polarisierbarkeit und im allgemeinen eine Martix. Beim klassischen Modell, in dem man sich das Elektron wie an einer Fe-

l

Parität = (−1) . Das Quadrat der Eigenfunktionen ist daher immer symmetrisch unter Ortsspiegelung! Da! mit ist ρ das Integral über eine antisymmetrische Wellenfunktion und verschwindet daher. Die nicht entarteten Eigenzustände des Wasserstoffs tragen also kein permanentes Dipolmoment. Allgemein gilt, daß der Paritätsoperator

2

2

−ab (S (r ) A* (r ) + S * (r ) A (r ))

nach der Symmetrie unter Ortsspiegelung „fragt“. Eigenzustände von P sind entweder symmetrisch oder antisymmetrisch und tragen deshalb kein Dipolmoment. Vertauscht der Hamiltonoperator eines Systems mit dem Paritätsoperator, so tragen die Eigenzustände des Systems kein elektrisches Dipolmoment. Beispiele dafür sind: •

2

ψ (−r ) = a 2 S (r ) + b 2 A (r )

! ! P ψ (r ) = ψ (−r )

≠ ψ (r )

2

Der Mischterm ist immer antisymmetrisch und trägt daher allein zum Dipolmoment bei. Ein Beispiel dafür ist Wasserstoff:

freies Teilchen: H (r ) =

p2 −" 2 ! 2 = ∇ = H (−r ) 2m 2m PH = HP

•

harmonischer Oszillator: p2 1 + m ω 2r 2 = H (−r ) 2m 2

H (r ) = •

Coulomb-Potential H (r ) =

•

p2 e2 − 2m 4πε0

1 r

2

= H (−r )

Der Schwerpunkt z 0 von ψ (r )

2

ist aus dem

Nullpunkt verschoben. Entsprechend erhält man ein Dipolmoment von ρz = e z 0 . Die Größe des

Potenzen in r:

Dipols hängt von dem Mischungsverhältnis ab bzw. mit a = cos β und b = sin β vom Mi-

p2 q + kr q = (−1) H (−r ) 2m [H , P ] = HP (1 − (−1)q )

schungswinkel β ab:

H (r ) =

vertauscht nur für gerade q

z0 =

2

2

2

+ab (S (r ) A* (r ) + S * (r ) A (r )) nicht symmetrisch:

!

*

!

!

!

(r ) A (r )) zdr

1 sin 2 β 2

⋅

ψ (r ) = aS (r ) + bA (r ) ,

ψ (r ) = a 2 S (r ) + b 2 A (r )

*

= sin cos β& #$$$β $%$$$$

Welche Zustände tragen also nun ein elektrisches Dipolmoment? Ein Beispiel ist

wobei S (−r ) = S (r ) und A (−r ) = −A (r ) , bzw. PS = 1 und PA = −1 . In diesem Fall ist

!

∫ ab (S (r ) A (r ) + S

!

∫ (ψ ψ + ψ ψ )zdr #$$$$$$$$$$$$$$$%$$$$$$$$$$$$$$$& 1s

* 2 p ,m = 0

* 1s

2 p ,m = 0

2⋅0.74 a 0

= 0.74 a 0 sin 2β Die Deformation der Hülle durch das von außen angelegte Feld findet also auf der Skala des Hüllenradius statt. Bei maximaler Mischung (β = 45°) erhält man für das Dipolmoment den Zahlenwert ρmax = 0.74 ⋅ e⋅ a 0 = 1.118 ⋅ 10−29 C ⋅ m .

∆E = ∆E1 − ∆E 2

Den tatsächlich auftretenden Mischwinkel kann man durch eine Energieüberlegung gewinnen. Die Deformation der Hülle kostet Energie, die durch die teilweise Besetzung des p-Zustandes zustandekommt: 2

= β 2 (E 2 p − E1s ) − 2βM = βM − 2βM = −βM .

2

∆E1 = E 2 p sin β + E1s cos β − E1s

=

= sin2 β (Ε2 p − E1s ) ≈ β 2 (Ε2 p − E1s ),

β +1

Andererseits hat man einen Energiegewinn durch die Induktion eines Dipolmoments: ∆E 2 = ρ ⋅ Fz 1 sin 2β 2 reell  ,$$$$$$-$$$$$ $.   ⋅ ψ1s e zFz ψ2 p + ψ2 p e zFz ψ1s     #$$$$$$$$$$$$$$$$%$$$$$$$$$$$$$$$$&

=

H ij = ψi H ψj , also mit ψ1 = ψ1s und ψ2 = ψ2 p,m =o :

Die Gesamtänderung lautet also: ∆E = ∆E1 − ∆E 2 . Die Energie hängt vom Mischungswinkel ab. Welcher Mischungswinkel wird sich einstellen? Wir nehemen sinnvollerweise an, dass sich das System den energetisch niedrigsten Zustand such. Der Mischungswinkel ergint sich dann durch Bestimmung des Minimums der Funktion E(β).

= 2β 2 (E2 p − E1s ) + 2βM = 0

 E1s  H =  ! !   ψ2 p −ρ ⋅ F ψ1s

! !  ψ1s −ρ ⋅ F ψ2 p     E 2s 

Als Abkürzung führen wir ein ! ! M := ψ1s −ρ ⋅ F ψ2 p , ! ! = ψ1s er ⋅ F ψ2 p und erhalten die charakteristische Gleichung

(E1s − ε)(E 2p − ε) − MM * = 0 ,

oder β=

E1s − E 2 p

! ! ! ! −ρ ⋅ F = e r ⋅ F . Der Störoperator ist also im wesentlichen der Ortsoperator. In der Energiedarstellung lautet die Hamiltonmatrix

:=2M

dβ

2

Wir behandeln jetzt desn Stark-Effekt etwas weniger heuristisch und betrachten dazu die Lösung des geeigneten Hamiltonoperator. Den Ausdruck für den Störhamilton erhält man aus dem Korrespondenzprinzip. Die klassische ! ! Energie −ρ ⋅ F geht über in den Operator:

= β ⋅ 2M

d (∆E1 − ∆E2 )

ψ1s ρz Fz ψ2 p,m =0

− ψ1s ρz Fz ψ2 p,m =0 E1s − E 2 p

=

M . E1s − E 2 p

Die zu diesem Winkel gehörige Energie beträgt:

woraus man die Energiewerte ε1,2 =

1 (E + E2p ) 2 1s ±

1 4MM * E1s − E2 p ) ⋅ 1 + ( 2 (E − E 1s

berechnet.

2p

)

2

Dieses Ergebnis entspricht genau der Störungsrechnung 2. Ordnung. Die erste Ordnung existiert nicht. Sie wäre proportional zu , ∼ F ψ1 ρ ψ1 was aus Symmetriegründen verschwindet. Das Dipolmoment berechnet sich aus der Energie durch Der lineare Stark-Effekt tritt auf, wenn E1s = E 2 p . Dann erhält man für die Aufspal-

ρ =−

tungsenergie ε1,2 =

1 (E + E2 p ) M 2 1s

2

∼F

wobei wir die Population des angeregten Zustandes vernachlässigen können, also ε ≈ ε1 . Man erhält:

Allgemein gilt bei kleinen Feldern ! ∆E ∼ F 2

dε dF

ρ =−

4MM * 1 E1s − E 2 p

ρ = 1.1 ⋅

e a0 ) "natürliches" Dipolmoment

Bei kleinen Feldern kann man den Energieausdruck entwickeln. Unter Verwendung von 1 1 + x2 = 1 + x2 , 2

1 = (E1s + E 2 p ) 2

bzw. 2

2

M ε2 = E 2 p − E1s − E 2 p

,

Energieverhältnis

∆E = E1s − E 2 p .

!2 ∆E = e F

M E1s − E 2 p

∆E & #$$%$$

wobei

2

  2  2M  1  ± (E1s − E2 p )1 + 2   2  (E1s − E2p ) 

ε1 = E1s +

e a 0 Fz

Betrachten wir jetzt noch die Lösung unter berücksichtigung aller Wasserstoffzustände. Dazu verwenden wir die Störungsrechnung 2. Ordnung:

ergibt sich für die Energie ε1,2

⋅

.

∑ n ,l ,m

φnlm z φ100

2

E10 − En0

Die Matrixelemente in der Summe können für Wasserstoffwellenfunktionen berechnet werden. Mit z = r cos θ ergibt sich:

φnlm r cos θ φ100 =

2

= 2

∫

2

∫

d ΩYlm*Y100 cos θ r 2drRn*10rR100 #$$$$$$$$$%$$$$$$$$$& #$$$$$$$$%$$$$$$$$& =

1 δ δ 3 l1 m0

2

=

28 n 7 (n −1)2 n − 5 2n +5

a20

(n +1) #$$$$$$$$$$$$$$$$$$% $$$$$$$$$$$$$$$$$$ $&$ :=f (n )a20

m bleibt als gute Quantenzahl erhalten, da

[Lz , z ] = 0 . Also erhält man: ! ∆E = − e2 F 2 a 20

∞

∑ n =2

!2 = −2 a 30 F

1 2

f (n ) m c α2 (1 − n12 ) 2

∞

n 2 f (n ) 2 −1 n = 0 $%$$$$ #$$$$ $& 1.125 ! ! ⇒ ∆E = 2.5 ⋅ a 30 F ⋅ F #$$%$$& #$$$α$%$$$$&

∑n ρ

Die Energie ∆E entspricht in etwa dem Energieinhalt des Feldes im Volumen a 30 . Interessant ist noch ein weiterer Aspekt. Bei Anlegen eines homogenen Feldes wird das Atom prinzipiell metastabil. Das Gesamtpotential in dem sich das Elektron bewegt setzt sich aus dem Coulomb-Potential des Kerns und dem äußeren Feld zusammen:

Auch bei beliebig kleinem Feld besteht eine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit für das Atom aus seinem Coulombpotential herauszutunneln. Die Zustände sind prinzipiell metastabil. Mathematisch drückt sich das darin aus, daß die Störungsrechnung für Potenzen in z nicht konvergiert. Die Lebensdauerreduktion ist für sogenannte Rydberg-Atome meßbar. Das sind Atome bei denen sich eines der Elektronen in

einem Zustand mit extrem hoher Hauptquantenzahl befindet (bis zu n=500). Zustände mit hohem n sind bei Anwesenheit eines äußeren Feldes nur noch sehr schwach gebunden. Die Tunnelbariere ist dann sehr klein und die Ionisationswahrscheinlichkeit ist groß.

Kapitel 11 Optische Übergänge

Die Lösungen der Bloch-Gleichungen können direkt übernommen werden wobei die Rabifrequenz jetzt lautet #Ω = e F0 ψ1 z ψ2 . $%%%&%%%' := z

11.1 Optische Bloch-Gleichungen Was macht ein Atom im Lichtfeld genau? In diesem Kapitel benutzen wir die halbklassische Beschreibung. Das Lichtfeld wird dabei durch die Maxwell-Gleichungen und das Atom durch die Schrödinger-Gleichung beschrieben. Das physikalische Bild ist einfach: Das elektrische Feld des Lichts induziert im Atom ein zeitlich variables Dipolmoment, das mit dem Feld des Lichtes Energie austauschen kann.

und die Verstimmung ist die Abweichung der Lichtfrequenz von der Bohrfrequenz des atomaren Übergangs. 1 (E − E1 ) − ω # 2 = ω0 − ω

δ=

Die Besetzungswahrscheinlichkeit für den oberen Zustand ist:

Wie sieht die quantitative Beschreibung aus? Wir haben zunächst eine zeitabhängige Störung: ! ! ! ! H i = −ρ ⋅ F (t ) = −ρ ⋅ F cos (kx − ωt ) In Dipolnäherung, also für den Fall, daß die Wellenlänge groß gegenüber der Ausdehnung des Atoms ist, kann man die Ortsabhängigkeit vernachlässigen. ! ! H i = −ρ ⋅ F cos ωt Für ein Zweiniveausystem erhält man E 0   0 r12  !  1   H =   + e F cos ωt   ,  0 E 2  r21 0 

2

Ω  1 (  ρ22 =   ⋅ sin 2  Ω t , (  2  Ω mit

( = δ 2 + Ω2 Ω Zur Berechnung der Rabi-Frequenz benötigen wir die elektrische Feldstärke F0. Sie läßt sich durch die Lichtintensität ausdrücken 1 ε ⋅F2 = 2 0 0

∫W

(ω )d ω

,

wobei W (ω ) die spektrale Energiedichte ist. Sie ergibt sich aus der spektralen Intensitätsverteilung durch I (ω ) = cW (ω ) .

wobei ! rij = ψi r ψj = rji* . Der Hamilton ist formal identisch mit dem Hamilton für den Spin im Magnetfeld. Man kann die Gleichungen für die EntwicklungsKoeffizienten direkt übernehmen: ic"1 = Ω ⋅ cos ωt ⋅ exp(i (E1 − E 2 ) / # ⋅ t )⋅ c2 ic"2 = Ω* ⋅ cos ωt ⋅ exp(−i (E1 − E 2 ) / # ⋅ t )⋅ c1

Damit erhält man # 2Ω2 = e2 F02 z

2

=

2 e2 z ε0

2

∫W

( ω )d ω

.

Wir können mit diesem Modell einen Ausdruck für die Raten des Einsteinschen Modells berechnen. Dazu betrachten wir die Zeitabhängigkeit der Besetzung des angeregten Zustands für kleine Intensitäten. Verläuft die Besetzung linear in der Zeit, könnten wir eine Rate ableiten und mit dem Einsteinkoeffizienten vergleichen. Bei kleinen Intensitäten gilt:

Ω2 1  sin2  δ 2 + Ω2 t  2  δ 2 + Ω2 2 1 sin ( 2 δt ) ≈ Ω2 δ2 sin2 ( 12 δt ) 2 e2 = 2 z 2 W0 δ2 # ε0

ρ22 =

In Resonanz ( δ = 0 ) ergibt sich: lim δ →0

Wir betrachten Lösungen des Integrals für zwei verschieden Zeitskalen. Für t∆ω wird das Integral zu

sin 2 ( 12 δt ) 1 2 = t 4 δ2

und

Int =

1 πt , 2

und der Verlauf linear. Die exakte numerische Lösung sieht ungefähr so aus:

ρ22 ∼ t 2 . Die Besetzungswahrscheinlichkeit des angeregten Zustandes wächst nicht linear sondern quadratisch mit der Zeit. Wie paßt das mit dem Ratenbild zusammen? Dazu müssen wir die Linienbreite berücksichtigen. Der angeregte Zustand zerfällt in einer Zeit τ in den Grundzustand. Also ist wegen der Unschärferelation die Energie des angeregten Zustandes unscharf: ∆E ⋅ τ = # 1 ∆E ∆ω = = # τ Selbst bei exakt monochromatischem Licht, ist dann auch die Verstimmung δ=ω0-ω unscharf. Man muß die Näherung δ=0 aufgeben und die Gesamtanregung als Integral über die Anregungen der verschiedenen Frequenzkomponenten schreiben, die durch die Unschärferelation ins Spiel kommen: ω0 +

2

ρ22 =

2e z # 2ε0

2

∆ω 2

∫ ω0 −

W (ω )

∆ω 2

Für Meßzeiten, die lang gegenüber der Lebensdauer des angeregten Zustandes sind, erhält man ein Ratenverhalten. Für Meßzeiten, die kurz gegen die Lebensdauer sind, erhält man dagegen den Beginn einer Rabi-Oszillation. Dies gilt allerding nur in der Näherung kleiner Intensitäten. Exakt monochromatisches Licht gibt es streng nur bei unendlich langer Meßzeit. Ist die Meßzeit begrenzt, so bestimmt die Form des Pulses das Spektrum der eletromagnetischen Welle.

sin 2 ( 12 δt ) dω , δ2

Da sich W(ω) im Bereich der Unschärfe ∆ω kaum ändert, kann man W(ω) vor das Integral ziehen: 2

ρ22 =

2e z 2 ⋅W (ω0 ) ⋅ # 2 ε0

∆ω 2

∫ −

∆ω

sin2 ( 21 δt ) dδ . δ2

2 $%%%%%% %&%%%%%%%' :=Int

Wir berechnen die Anregungsrate und den Einstein-Koeffizient B12. Die Anregungsrate lautet

ρ22 t *

= B12W (ω ) . $%%%&%%%' Einstein

Bloch

Für Zeiten lang gegen τ, sowie monochromatisches Licht und kleine Intensitäten gilt: ρ22

2

=

t

πe z # 2ε0

2

⋅W (ω0 )

Im folgenden vergleichen wir das Ergebnis mit dem klassischen Dipol. Beim getriebenen harmonischen Oszillator gilt, beispielsweise für ein Elektron an einer Feder: mz"" − kz = e F0 cos ωt Die Dämpfung des Oszillators ist gegeben durch die mittlere abgestrahlte Leistung

Der Vergleich mit Einstein ergibt: ρ22 t

=

π e2 z # 2ε0

2

1 1 E" = P = ω 4ρ2 , 3 12π c ε0

⋅W (ω0 ) = 3 ⋅ B12 ⋅W (ω0 ) wobei

oder B12 =

ρ = eA

1 π e2 z 2. 3 # 2ε0

Woher kommt der Faktor 3? Der EinsteinKoeffizient bezog sich auf Anregung mit unpolarisiertem Licht aus irgendeiner Richtung. Im mikroskopischen Bild kann für ein solches Licht das Dipolmoment von einer Feldkomponente induziert werden, die eine andere Richtung hat, als die Komponente mit der der Dipol dann Energie austauscht. Die Mittelung über diesen Effekt ergibt einen Faktor 1 3 .

das maximal auftretende Dipolmoment ist. Andererseits ist die Energie eines klassischen Oszillators: E=

2 1 1 1 ρ 2 2 mv max = m (ωA) = m ω 2   e 2 2 2

Damit erhält man dann E" = −γE γ=

Die natürliche Lebensdauer folgt aus dem BKoeffizienten: g e2 ω03 #ω 3 g 1 z = A21 = 2 03 1 B12 = 1 τ π c g2 g 2 3πε0# c3

2

Für Wasserstoff 2p → 1s erhält man für den Übergang in jeden der m-Zustände einen B21 Koeffizienten, so daß die Gesamtübergangsrate noch P=3B12 beträgt. Diese kürzen sich gerade mit dem Entartungsgrad g1/g2=1/3 weg. Man erhält also e2 ω03 1 z = 3πε0# c3 τ

In diesen Ausdruck geht die Masse des Schwingers ein. Um den Übergang zur Quantenmechanik zu machen stellen wir die „Federkonstante“ des Atoms ω=

k m

bzw.

k = mω2

so ein, dass die Energie des harmonischen Oszillators lautet: E = #ω .

2

mit dem Wert τ=1.6 ns. Dies entspricht einer natürlichen Linienbreite von ∆ω=600 MHz bzw. eine Linienbreite von ∆ν=95 MHz. Die natürliche Linienbreite des 1s-2p-Übergangs ist damit 16mal größer als der entsprechende Übergang bei Alkalis.

1 e2 ω 2 6π c3 ε0m

oder 2 1 ρ  m ω 2   = #ω . e 2

Damit läßt sich m eliminieren und man erhält

γ=

1 ω 3 ρ2 1 , = τ 12π c 3 ε0#

was dem exakten obern berechneten Wert entspricht, wenn man ρ = 2e z ersetzt. Die Analogie stimmt bis auf einen Faktor 2. Das ist überaschend da beide Modelle sehr verschieden sind. Das quantenmechanische Dipolmoment kommt durch Überlagerung zweier Zustände zustande und ist von seiner Größe her begrenzt. Außerdem verschwindet es für Zustände mit exakt definierter Energie. Das klassische Dipolmoment kennt keine Zustände und kann beliebig groß werden. Die natürliche Linienbreite erhält man aus der Fouriertransformation des exponentiellen Zerfalls: A (t ) = A0e A (ω ) =

− γt

1 2π

+∞

∫

A0e −γte −iωtdt

−∞ 2

A (ω ) = A0

( γ2 ) 2 δ 2 + ( γ2 )

Dies ist eine Lorentz-Kurve mit einer Halbγ wertsbreite von δ1 = . 2 2

11.3

Dämpfung und Resonanzbreite

Um das Absorptionsverhalten mit Dämpfung und Verstimmung zu beschreiben, muß man die optischen Bloch-Gleichungen um entsprechende Dämpfungsterme erweitern. In die Differentialgleichung für ρ22 fügt man den Term

−γ+ρ22 ein und in die Gleichung für ρ21 und ρ12 den Term −γ⊥ ρij . Diese sogenannten longitudinale und die transversale Zerfallsrate können verschieden sein: •

γ+ beschreibt den Zerfall der Population im angeregten Zustand. Mit γ+ ist immer ein

•

Energiefluß verbunden. γ ⊥ beschreibt den Zerfall des Dipolmoments: ρ = e c1ψ1 + c2 ψ2 z c1 ψ1 + c2 ψ2 ρ = e z (c1c2* + c1*c2 ) = e z (ρ12 + ρ21 )

Das Dipolmoment kann zerfallen, ohne daß im Mittel Energie ausgetauscht wird. Durch Einfügen dieser beiden Terme kann man ein interessantes aber kompliziertes Stück Physik auf einfache Weise berücksichtigen: Der spontane Zerfall entsteht durch die sogenannten Vakuumsfluktuationen. Wir haben in Kapitel 4 gesehen, daß man das elektromagnetische Feld im Modenbild beschreiben kann. Jede Mode wird dabei mit Energiequanten, den Photonen besetzt. Im Zustand geringster Energie ist keine Photon in der Mode vorhanden. Die Mode hat dann aber immer noch eine Nullpunktsenergie von 1/2!ω. Sie läßt sich der Mode zwar nicht entziehen, ist aber verbunden mit stochastischen Schwankungen der elektrischen Feldstärke. Dieses Feld kann ein angeregtes Atom per stimulierter Emission in den Grundzustand überführen. In diesem Bild ist der spontane Zerfall ein durch die Vakuumsfluktuationen stimulierter Übergang. Darüber hinaus dämpft die Vakuumsfluktuation auch die elektrische Dipolschwingungen des Atoms. Eine ausführliche Theorie führt hier zu weit. Das Ergebnis einer solchen Theorie sind die oben erwähnten zusätzlichen Terme in den optischen BlochGleichungen. Für den Spezialfall, in dem nur die Vakuumsfluktuationen den angeregten Zustand beeinflussen, kann man auch in der Differentialgleichung für c2 den Zerfallsterm

γ − c2 2 einfügen. Dies führt dann zu

Die Besetzung als Funktion der Verstimmung ist eine Lorentzförmige Resonanz mit einer Breite 2

∆ = γ2 + 2 Ω .

γ+ = γ und

γ γ⊥ = . 2

Löst man die Blochgleichungen numerisch, so findet man eine gedämpfte Schwingung für die Besetzung des angeregten Zustands.

Das Dipolmoment, bzw. die Matrixelemnente ρ12 und ρ21 schwingen allerdings ungedämpft auch bei langen Zeiten. Um die Matrixelemente im eingeschwungenen Zustand zu berechnen, separiert man die Schwingung des Dipolmoments und zerlegt ρ12 in einen schnellen und einen langsamen Teil:

Die Linienbreite ist nur für kleine Lichtintensitäten durch die natürliche Linienbreite bestimmt. Für große Intensitäten ist die Resonanz "leistungsverbreitert".

Im Experiment misst man die Absorption des Laserlichts als Funktion der Verstimmung. Ein Photon wird dabei zunächst absorbiert um das Atom anzuregen. Der Zerfall erfolgt dann in den ganzen Raumwinkel d.h. ein Photon wird durch das Atom aus dem Laserstrahl gestreut. Die Absorptionsrate ist also gleich der Streurate. Γ = ρ22 γ =

1 2 1 Ω γ 2 2 γ 2 4 δ + ( 2 ) + 12 Ω

In Resonanz (δ=0) gilt:

ρ12 = e −iδt ⋅ ρ(12

Γ=

Ebenso verfährt man mit ρ21 und erhält die

1 Ω2 ⋅ γ 1+2

Da

Gleichungen:

2

Ω ∼I

1 1 ρ"22 = − iΩ∗ ρ(12 + iΩρ(21 − γρ22 2 2 1 1 ρ("12 = iΩ (ρ11 − ρ22 ) − γρ(12 + i δρ(12 2 2 * ρ(21 = ρ(21

Im Gleichgewicht verschwinden die Ableitungen und für die Besetzung des angeregten Zustands ergibt sich ρ22 =

Ω2 γ2

1 2 1 . Ω 2 2 2 4 δ + ( γ2 ) + 12 Ω

(I=Intensität) kann man die "Sättigungsintensität" definieren: I I Sat

=

2Ω2 . γ2

Unter Verwendung der Definition der Rabifrequenz erhält man für die Sättigungsintensität den explizieten Ausdruck 3

I Sat =

ω 1 # 0γ. 12π c2

In der Praxis ist die Sättigungsintensität eine Kenngröße des Übergangs. Die Absorptionsrate schreibt sich jetzt sehr handlich als Γ=

1 γ ⋅ 2 1 + I Sat I I

γ I = ⋅ Sat I 2 1 + I Sat

  δ cos ωt ρ = e z Ω  2 2 γ 2 1   δ + ( 2 ) + 2 Ω +

  sin ωt    δ + ( ) + 21 Ω   γ 2 γ 2 2

2

2

2

Bis auf den Term 21 Ω im Nenner entspricht das der Lösung des gedämpften, getriebenen, harmonischen Oszillators. Der Faktor vor dem Cosinus ist die dissipative Amplitude (1). Sie verschwindet in Resonanz und ist nicht mit einem Energieübertrag verbunden. Der Faktor vor dem Sinus ist die absorptive Amplitude (2). Sie beschreibt den Energieübertrag zwischen Licht und Atom.

.

Für kleine Intensitäten gilt: ρ22 =

1 I 2 I Sat

Bei Sättigungsintensität ist die Anregung gerade 25%. 1 ρ22 (I = I Sat ) = . 4 Für Rubidium beträgt die Sättigungsintensität der D2 Linie (Rb ) = 1.654 mW cm2 . I sat

Mit Hilfe des Zusammenhangs   b  a cos x + b sin x = (a 2 + b 2 ) cos x − arctan    a  kann man die Phasenverschiebung ϕ zwischen antreibender Welle und Dipolschwingung berechnen:

Sie wird leicht mit einfachen Laserdioden erreicht. Betrachten wir jetzt noch das Dipolmoment etwas genauer:

tan ϕ = −

1γ . 2δ

Daraus erhält man die Relativphase als Funktion der Verstimmung δ:

ρ = − e z (ρ12e +i ω0t + ρ21e −i ω0t ) .

−

2δ π  = cot ϕ = tan  − ϕ  2  γ

oder

Mit ρ12 = e −iδt ergibt sich

− 12 Ω (δ − i γ 2 ) 2

δ 2 + ( γ2 ) + 12 Ω

2

 2δ  π ϕ = arctan   − .  γ  2

und benutzen die Beziehungen: 3 Y 4 π 1,0

cos θ = sowie ∓ sin θe ±iφ =

3 Y . 8π 1,±1

Damit lautet Für rote Verstimmung (δ>0) stehen Dipolmoment und elektrisches Feld parallel, d.h. eine Felderhöhung verringert die Energie. Atome werden zu hohen Feldern gezogen. Für blaue Verstimmung (δ