Klassische Elektrodynamik 001

Klassische Elektrodynamik Reinhard Hentschke Inhaltsverzeichnis 1 Konzequenzen des Relativit¨ atsprinzips 1.1 Lorentz...

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Klassische Elektrodynamik

Reinhard Hentschke

Inhaltsverzeichnis 1 Konzequenzen des Relativit¨ atsprinzips 1.1 Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 1.2 Zur Masse-Energie-Aquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Wirkungsintegral freier Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 4 7

2 Relativit¨ at und Elektrodynamik 9 2.1 Viervektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Wirkungsintegral einer Ladung im Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Wirkungsintegral des elektromagnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3 Zeitunabh¨ angige elektromagnetische Felder 3.1 Das elektrostatische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Randwertprobleme der Elektrostatik - ideale Leiter im Vakuum . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Zeitunabh¨ angige Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 17 20 28

4 Elektromagnetische Wellen und deren Austrahlung 31 4.1 Elektromagnetische Wellen im Vakuum: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Retardierte Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Das Feld beliebig bewegter Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5 Elektro- und Magnetostatik der Kontinua 37 5.1 Das elektrostatische Feld im Dielektrikum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Das magnetostatische Feld im Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Elektrodynamik der Kontinua 6.1 Elektrodynamik einfacher Stromkreiselemente: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Elektromagnetische Wellen in Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53 53 56 59

A Formeln und Einheiten

63

¨ B Ubungsaufgaben

67

iii

Vorbemerkungen Diese einsemestrige, einf¨ uhrende Vorlesung in die klassische Elektrodynamik richtet sich an Studenten der Physik, und zwar im Rahmen der u ¨blichen Vorlesungsabfolge des Grundstudiums der theoretischen Physik (Mechanik, Elektrodynamik, Quantenmechanik, Statistische Mechanik). Die Vorlesung orientiert sich haupts¨ achlich an den folgenden Texten, den B¨ anden Klassische Feldtheorie [1] sowie Elektrodynamik der Kontinua [2] des Landau/Lifschitz 1 , Classical Electrodynamics [3] von Jackson sowie Klassische Elektrodynamik von Greiner [4]. Am Beginn steht eine kurze Einf¨ uhrung in die spezielle Relativit¨ atstheorie. Dies liegt nahe aufgrund der Lorentz-Invarianz der Maxwell Gleichungen 2 , dem grundlegenden Gleichungssystem der Elektrodynamik. Die Maxwell Gleichungen wiederum werden eingef¨ uhrt gem¨ aß der Darstellung im Landau/Lifschitz mit Hilfe des elektromagnetischen Wirkungsfunktionals. Eine solche Darstellung ist insbesondere n¨ utzlich im Hinblick auf den Einstieg in die fortgeschrittene Quantentheorie (Feldquantisierung). Anschliessend werden elektrostatische Felder sowie Randwertprobleme der Elektrostatik und die Magnetostatik im Vakuum diskutiert. Die im Rahmen der elektrostatischen Randwertprobleme oft behandelten mathematischen Methoden (insbesondere spezielle Funktionen) werden ¨ hier lediglich in den Ubungsaufgaben gestreift. Sie 1 Landau, Lew Dawydowitsch, sowjetischer Physiker, *Baku (Aserbaidschan) 22.1. 1908, †Moskau 1.4. 1968; Professor in Charkow und Moskau; erhielt 1962 f¨ ur die theoretische Kl¨ arung der Erscheinungen des suprafluiden Zustands, wie er beim Helium II auftritt, den Nobelpreis f¨ ur Physik. Weitere wesentliche Beitr¨ age zur Quantenelektrodynamik und Quantenfeldtheorie sowie zum Diamagnetismus freier Elektronen in Metallen; verfasste ein Lehrbuch der theoretic schen Physik (10 B¨ ande). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 2 Maxwell, James Clerk, britischer Physiker, *Edinburgh 13.6. 1831, †Cambridge 5.11. 1879; erneuerte die von T.Young aufgestellte Dreifarbentheorie des Sehens und f¨ orderte besonders die kinetische Gastheorie (maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung), schloss aus mathematischen berlegungen, dass der Saturnring aus festen Teilchen bestehen m¨ usse, erweiterte die Vektor- und Tensoranalysis, zeigte die elektromagnetische Natur der Lichtwellen. Er entwickelte die Theorie des elektromagnetischen Feldes (Elektrizit¨ at) durch Mathematisierung des von M. Faraday in die Phyc sik eingef¨ uhrten Feldbegriffs (maxwellsche Theorie). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

sollten Teil einer gesonderten Vorlesung u ¨ber mathematische Methoden der Physik sein. Behandelt werden weiterhin elektromagnetische Wellen und deren Austrahlung. Wir verlassen dann das Vakuum und wenden uns der Elektrodynamik der Kontinua zu. Dieser Teil des Skripts behandelt elementare Aspekte der Elektro- und Magnetostatik sowie ausgewählte Themen der Elektrodynamik in kondensierter Materie. Dabei orientieren wir uns hauptsächlich am Landau [2] und am Greiner [4]. Ich möchte an dieser Stelle meinen Dank aussprechen: Frau Susanne Christ f¨ ur das TeXen meiner Notizen; Herrn Dipl. Phys. Hendrik Kabrede f¨ ur ¨ die Betreuung der Ubungen im Sommersemester 2001; Herrn Trieu und Frau Peters f¨ ur ihre Korrekturhinweise.

Reinhard Hentschke Bergische Universität Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften Gauß-Str. 20 42097 Wuppertal e-mail: [email protected] http://constanze.materials.uni-wuppertal.de Version vom 22.3.2005 (mit verschiedenen Korrekturen und Ergänzungen zur urspr¨ unglichen Fassung vom August 2001).

Abbildung 1: Hauptakteure unseres Themas.

Kapitel 1

Konzequenzen des Relativit¨ atsprinzips 1.1

Lorentz-Transformation

z

z'

Einige Begriffe: Inertialsystem: Ein System, in dem ein sich frei bewegender K¨ orper (keine Kr¨ afte wirken) konstante Geschwindigkeit besitzt.

y

y'

K

Relativitit¨ atsprinzip: Naturgesetze sind in allen Inertialsystemen gleich (Erfahrungstatsache 1 ). D.h., die Gleichungen, durch die die Naturgesetze ausgedr¨ uckt werden, sind invariant unter Transformationen der Koordinaten und der Zeit von einem Inertialsystem zum anderen. Insbesondere gilt: (R1) Raum und Zeit sind homogen. Der Koordinatenursprung ist willk¨ urlich w¨ ahlbar. (R2) Der Raum ist isotrop. Alle Richtungen sind aquivalent. ¨

x

K'

x'

w

Abbildung 1.1: Inertialsytsem K bewegt sich relativ zu Inertialsystem K mit der Geschwindigkeit w entlang x bzw. x .

prinzip folgt die Gleichheit der Ausbreitungsgeschwindigkeit (Wirkungsgeschwindigkeit) in allen Fernwirkung: Die Wechselwirkung materieller Inertialsystemen. Dies ist die konstante GeschwinTeilchen wird durch ihre potenzielle Energie digkeit des Lichts (c = 2.99792 · 1010 m/s). beschrieben. Es gibt keine augenblickliche Fernwirkung! Daher ist die Mechanik, die auf der Spezielle Lorentz-Transformationen: sofortigen Ausbreitung der Wirkung beruht, nicht exakt. Ziel ist eine möglichst allgemeine Form der Transformationsgleichungen f¨ ur die Koordinaten Ausbreitungsgeschwindigkeit: Abstand zweier und die Zeit zwischen Inertialsystemen K und K K¨ orper dividiert durch den Zeitintervall zwischen auf der Basis des Relativititätsprinzips 2 . Wir beUrsache und Wirkung. Aus dem Relativitätstrachten den in Abbildung 1.1 dargestellten Fall. 1 Mit Erfahrungstatsachen sollte man nat¨ urlich vorsich- Die allgemeinste Form der Transformationsgleitig umgehen. Gerade die Relativit¨ atstheorie zeigt dies. Man chungen, die mit R1 vertr¨ aglich ist, lautet sollte es lieber wie folgt sehen: Man geht von gewissen Postulaten aus und entwickelt darauf aufbauend eine Theorie. Diese muß sich dann im Experiment bew¨ ahren. Tut sie dies nicht, dann m¨ ussen die Postulate hinterfragt werden.

2 siehe auch U. E. Schr¨ oder (1981) Spezielle Relativit¨ atstheorie. Verlag Harri Deutsch

1

¨ KAPITEL 1. KONZEQUENZEN DES RELATIVITATSPRINZIPS

2

i) K → K

uhren wir als Definition γ 2 (w) + wγ (w) (w) = 1 f¨ wγ(w) 3 ein: (w) ≡ − η2 (w) und erhalten:

x = γ(w) (x − wt) y = α(w)y z = α(w)z t = µ(w)t + (w)x .

γ (w) =

1 1−

w2 η 2 (w)

.

Wegen R2 muß ebenfalls gelten Damit folgt ii) K → K

x = γ(−w) (x + wt ) y = α(−w)y z = α(−w)z t = µ(−w)t + (−w)x .

x

Einen dritten Satz von Gleichungen ergibt die Inversion von w, x, x (sowie y, y um Rechtssystem zu erhalten):

t

x

Der Vergleich von i) und iii) liefert

t

iv) γ(w) = γ(−w) α(w) = α(−w) µ(w) = µ(−w) (w) = −(−w) .

iv)

=

= γ (w) t −

wx η 2 (w)

(1.3)

.

(1.4)

= γ (w2 ) (x − w2 t )

w2 x = γ (w2 ) t − 2 η (w2 )

bzw. x

Einsetzen von ii) in i) zusammen mit iv) ergibt =

= z

(1.1) (1.2)

Mehr Info u ¨ber γ (w) erhalten wir daraus, dass w w w K →1 K →2 K äquivalent zu K → K möglich ist. D.h.,

iii) −x = −γ(−w) (x − wt) −y = −α(−w)y z = α(−w)z t = µ(−w)t − (−w)x .

x

= γ (w) (x − wt) = y

y z

γ (w) γ (−w) (x + wt ) −w µ (−w) t + (−w) x 2 γ (w) + wγ (w) (w) x

t

ist a¨quivalent zu x

=1

+wγ (w) (γ (w) − µ (w)) t

= γ (w2 ) γ (w1 ) (x − w1 t) w1 x −w2 γ (w1 ) t − 2 η (w1 ) = ...

t

= γ (w) (x − wt) = ... .

=0

Daraus folgen die Gleichungen

sowie

iv)

2

y = α (w) α (−w) y = α (w) y =1

w1 w2 = γ (w1 ) γ (w2 ) 1 + 2 η (w1 ) −wγ (w) = −γ (w1 ) γ (w2 ) (w1 + w2 ) γ (w)

und nichts Neues von den anderen Gleichungen! und somit Aus α2 (w) = 1 folgt α (w) = ±1. Das Vorzei3 erf¨ chen ist +, da f¨ ur limw→0 α (w) → 1 gelten muß. In ullt die Bedingung (w) = − (−w)

1.1. LORENTZ-TRANSFORMATION

w=

3 Mit r⊥ = r − r = r + r⊥

w1 + w2 w2 . 1 + ηw2 1(w 1)

r

Dieses spezielle Geschwindigkeitsadditionstheorem macht nur Sinn, wenn η = Konstante (d.h., η = c, die Lichtgeschwindigkeit 4 ). Insbesondere gilt f¨ ur w1 = w und w2 = c

w=

t

( r ·w) w w2

( r ·w) w w2

folgt f¨ ur

(r · w) w w2

(1.6)

und r =

= r + (γ (w) − 1)

−γ (w) wt

w · r , = γ (w) t − 2 c

(1.7)

wobei r⊥ · w = 0 verwendet wurde.

w+c w+c =c =c. 1 + wc w+c c2

Transformation der Geschwindigkeiten:

D.h., c ist die h¨ ochste erreichbare Geschwindigkeit! Also: 1

γ(w) =

1−

w2 c2

Inertialsystem K bewegt sich mit w von K aus r r sowie v = d gesehen, und es seien v = d dt dt die (1.5) jeweiligen Laborgeschwindigkeiten. Es folgt mittels Gl. (1.6)

.

Offensichtlich folgen die Galilei-Transformationen f¨ ur w → 0 bzw. c → ∞. Die speziellen Lorentz-Transformationen 5 (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) (η = c!) und (1.5) zusammen mit der Existenz einer Grenzgeschwindigkeit sind das Ergebnis dieses Abschnitts. Man beachte auch, dass die Zeit nicht mehr als unabhängige Koordinate auftritt, sondern als Komponente des Raum-Zeit-Kontinuums.

v

= = +

dr dt dr r γ (w) dt − w·d c2 γ (w) − 1 (dr · w) w 1 w · dt − w·d r r γ (w) w2 dt − c2 dt − w·d c2

bzw. Verallgemeinerung auf beliebige Raumrichtungen: Der Ortsvektor in K sei r = r⊥ + r mit r⊥ ⊥ w und r w. Es gilt dann r r⊥

t

v

= γ (w) r − wt = r⊥

= γ (w) t −

w · r c2

=

1 v (1.8) v γ (w) 1 − w· c2

1 (v · w) w + 1− − w . γ (w) w2

Die Umkehrung dieser Gleichung ist durch

.

v

4 Im

Prinzip wissen wir hier noch nicht, dass c die Lichtgeschwindigkeit ist. Erst im Kapitel 4 werden wir diesen Zusammenhang herstellen. 5 Lorentz, Hendrik Antoon, niederl¨ andischer Physiker, *Arnheim 18.7. 1853, †Haarlem 4.2. 1928; Professor in Leiden, erkl¨ arte 1875 auf der Grundlage der maxwellschen Theorie die Brechung und Reflexion des Lichtes und mithilfe seiner Elektronentheorie (1895) auch den Zeeman-Effekt sowie die Drehung der Polarisationsebene des Lichtes im magnetischen Feld; f¨ uhrte 1892 die Lorentz-Kontraktion, 1895 die Lorentz-Kraft und 1899 die Lorentz-Transformation in die Elektrodynamik ein. 1902 erhielt er zusammen mit c P. Zeeman den Nobelpreis f¨ ur Physik. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

=

v + w 1+

(1.9)

w· v c2

und

v⊥

=

v⊥ 1 v γ(w) 1 + w· 2

(1.10)

c

gegeben, wobei sich bzw. ⊥ auf die Richtung von w beziehen (siehe Aufgabe). Die Gl. (1.9) ist wiederum das schon erwähnte Geschwindigkeitsadditionstheorem. Es ist in Abbildung 1.2 illustriert.


4 K

z

K'

z' K

v'

w

K'

x

w

vc

va

v 1

vb =0

0.98

x'

v 'a θ'

vd

θ'

v 'c

v 'b

v 'd

v ÅÅÅÅ c

0.96 0.94 0.92 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

v£ ÅÅÅÅÅÅ c

Abbildung 1.2: Oben: Inertialsytsem K bewegt sich relativ zu Inertialsystem K mit der Geschwindigkeit w. In K wiederum bewegt sich der Läufer mit der Geschwindigkeit v in die gleiche Richtung. Im System K ist seine Geschwindigkeit v. Unten: Auftragung von v gegen v gem¨ aß Gl. (1.9) f¨ ur w = 0.9. Die gerade Linie zeigt die simple Addition v = v + w, wie sie unserer Alltagserfahrung entspricht. Die Abweichung vom relativistischen Resultat ist umso gr¨ oßer, je n¨ aher w an der Grenzgeschwindigkeit liegt.

Abbildung 1.3: Abbilung. Links: Inertialsystem K in dem das eine Teilchen sich bewegt, und das andere ruht. va und vb (= 0) sind die Geschwindigkeiten vor dem Stoß. vc und vd sind die Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Rechts: Inertialsystem K in dem der Massenschwerpunkt ruht. Aus Symmetriegr¨ unden gilt w = va = −vb sowie w = va = vb = vc = vd .

m (va ) va = m (vc ) vc + m (vd ) vd . Wieder wollen wir möglichst allgemein sein und betrachten daher die Masse m als Funktion von v. Da va w ist, lautet die z-Komponente der obigen Gleichung

0 N¨ ahert sich der L¨ aufer in seinem Laborsystem der Grenzgeschwindigkeit, d.h. v → c, gelingt es ihm trotzdem nicht, diese Grenzgeschwindigkeit im System K zu u ¨berschreiten, wie wir oben schon festgestellt haben.

= (1.10)

=

c

vd sin θ 1 −m (vd ) γ (w) 1 − wv2d cos θ c

=

1.2

¨ Zur Masse-Energie-Aquivalenz

Impulserhaltung und Massenver¨ anderlichkeit: Wir betrachten den in Abbildung 1.3 dargestellten Zweierstoß. Die Teilchen sollen identisch sein. Die Impulserhaltung im System K lautet

m (vc ) vc⊥ + m (vd ) vd⊥ 1 vc sin θ m (vc ) γ (w) 1 + wv2c cos θ

1 w sin θ m (vc ) γ (w) 1 + wc22 cos θ −m (vd )

1 w sin θ . γ (w) 1 − wc22 cos θ

D.h.

m (vc ) =

1+ 1−

w2 c2 w2 c2

cos θ cos θ

m (vd ) .

(1.11)

¨ 1.2. ZUR MASSE-ENERGIE-AQUIVALENZ Diese Gleichung gilt f¨ ur alle θ also insbesondere f¨ ur θ = 0. In diesem Fall gilt außerdem va = vc sowie vd = 0 und daher 1+

m (va ) =

1−

w2 c2 w2 c2

5

¨ Energieerhaltung und Masse-Energie-Aquivalenz: Jetzt betrachten wir die Energieerhaltung

m (0) . (va ) + (0) = (vc ) + (vd ) ,

Gem¨ aß Gl. (1.9) haben wir zus¨ atzlich

und wir entwickeln die rechte Seite um θ = 0. D.h.

va 2w/c = 2 c 1 + wc2 und damit

∂ (vc ) θ ∂θ θ =0 1 ∂ 2 (vc ) + θ2 + ... 2 ∂θ2 θ =0 ∂ (vd ) + (0) + θ ∂θ θ =0 1 ∂ 2 (vd ) + θ2 + ... 2 ∂θ2 θ =0

(va ) + (0)

= (va ) +

6

m (v) = γ (v) m (0)

(1.12)

bzw. bzw. p = γ (v) m (0) v ,

(1.13)

∂ (vc ) ∂vc2 ∂ (vd ) ∂vd2 θ + ∂vc2 va ∂θ θ =0 ∂vd2 0 ∂θ θ =0 1 ∂ 2 vc2 ∂ (vc ) 2 ∂θ2 θ =0 ∂vc2 va 2 2

2 ∂ (vc ) ∂vc + ∂θ θ =0 ∂vc2 ∂vc2 va ∂ (vd ) ∂ 2 vd2 + ∂θ2 θ =0 ∂vd2 0 2 2

2 ∂ (vd ) 2 ∂vd + θ + ... . ∂θ θ =0 ∂vd2 ∂vd2 0

wobei va durch v ersetzt ist, und p den Impuls be- 0 = zeichnet. Dies ist die bekannte relativistische Massenzunahme bewegter K¨ orper relativ zu ihrer Ru+ hemasse m (0). Insbesondere folgt aus Gl. (1.13) sofort 7 δmc2 = δEkin

mit Ekin = 12 m (0) v 2 und δm = m (δv) − m (0). D.h., die ber¨ uhmte Formel f¨ ur die Umwandlung von Masse in Energie und umgekehrt deutet sich hier schon an. Mit etwas Fußarbeit bzw. mit Hilfe von alge6 Nebenrechnung: braischen Rechenprogrammen wie Mathematica können die folgenden Entwicklungen berechnet 2 4 2 werden: 8 2w w w 1 + c2 + c4 − 4 c2 va2 4w2 /c2 1− 2 =1− = w2 2 w2 2 c 1+

c2

=

1+

1− 1+

c2

w2 c2 w2 c2

2

vc2

8 Zur

7 Nebenrechnung:

γ (v) =

2 2 = vc⊥ + vc

Erinnerung: v⊥ = ±

1 1−

=1+ v2 c2

1 v2 ... 2 c2

(1.14)

w sin θ 1 γ (w) 1 ± w22 cos θ c

v = w

1 ± cos θ 1±

w2 c2

cos θ

ur vd . Hier steht + f¨ ur vc und − f¨

(1.15)

(1.16)


6 = 4 vd2

w 1+

2

w2 2 c2

2 2 = vd⊥ + vd =

− w2

1− 1+

w2 c2

2

w2 3 c2

θ2 + O θ

4

wobei wir (0) = m (0) c2 verwendet haben. Quadrieren der Gl. (1.17) ergibt 2 (v) = 2 (0) γ 2 (v) = 2 (0) γ 2 (v) − 1 +2 (0) .

w2 θ2 + O θ4 . w2 1 − c2

=

Damit folgt aus der obigen Entwicklung ∂ 2 vc2 ∂ (vc ) ∂ (vd ) ∂ 2 vd2 0 = + ∂θ2 θ =0 ∂vc2 va ∂θ2 θ =0 ∂vd2 0

2 2 1 − wc2 ∂ (va ) 1 m (0) = − + . 2 w2 w2 3 ∂v 2 1 − a 1+ 2 c2

v 2 /c2 2 1− v c2

Die Kombination dieser beiden Gleichungen liefert die relativistische Version 2 (v) = p2 (v ) c2 + 2 (0)

(1.18)

der klassischen Energie-Impuls-Beziehung

c

(kl)

kin = ∂ (va ) ∂va2

2 p(kl) , 2m (0)

Somit gilt

=

1 2

w2 c2 w2 c2

1+

3 (kl)

wobei kin und p(kl) die klassischen Größen sind. Gl. (1.18) ist eine Invariante unter Lorentz-Transformationen (warum?).

m (0) 1− s.N ebr. 1 3 γ (va ) m (0) . = 2

Transformation der Kraft:

Die Integration liefert 1 (v) = (0) + m (0) 2

0

v

2

dva2

1 1−

2 va c2

= (0) + (γ (v) − 1) m (0) c2

3/2

Die Definition der Kraft F beruht auf einer Konvention 9 . In der Newtonschen Mechanik sind die folgenden Formen äquivalent: dv d d p F = m (0) a = m (0) = (m (0) v ) = . dt dt dt

bzw.

Hier ist a die Beschleunigung. F¨ ur relativistische Geschwindigkeiten gilt aber Gl. (1.13), so dass die (v) = γ (v) m (0) c2 + (0) − m (0) c2 . (1.17) obigen vier Formen nicht mehr äquivalent sind. Wir verwenden hier die Form ¨ Was hier fehlt, ist die ber¨ uhmte Aquivalenz von Ruhemasse und Energie gem¨ aß (0) = m(0)c2 . d p d Es gibt viele Wege zu dieser Relation, die in den F = = m (0) γ (v) a + m (0) v γ (v) . dt dt Experimenten der Teilchenphysik bestätigt wurde. Wir nehmen sie momentan als gegeben an, da sie D.h., weiter unten noch einmal auftauchen wird.

Relativistischer Energie-Impuls-Satz:

(a · v ) v F = m (0) γ (v) a + m (0) γ 3 (v) . (1.19) c2

Quadrieren der Gl. (1.13) sowie Multiplikation Man beachte, dass F nicht mehr parallel zu a sein mit c2 ergibt muß. Die Transformationsformel f¨ ur die Kraft lautet v 2 /c2 9 siehe auch H. Melcher Relativit¨ atstheorie in elementarer p2 (v ) c2 = γ 2 (v) m2 (0) v 2 c2 = 2 (0) 2 , Darstellung. Aulis Verlag Deubner & CoKg 1 − vc2

1.3. WIRKUNGSINTEGRAL FREIER TEILCHEN

F =

F γ(w)

+w

1−

1 γ(w)

1−

w· F w2

−

− v ·F v˙ · p v2

7

Hier gilt α > 0, wie wir gleich sehen werden. Aus der speziellen Situation

w· v c2

ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 = c2 dt2 (1.20) (siehe Aufgabe). Hier bewegt sich das gestrichene folgt System relativ zum ungestrichenen wieder mit der konstanten Geschwindigkeit w. dx2 + dy 2 + dz 2 dt dt = dt 1 − = 2 2 c dt γ (v)

1.3

Wirkungsintegral Teilchen

freier

bzw. ds =

cdt . γ (v)

Nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung (engl.: least action principle) gibt es f¨ ur jedes mechani- Somit gilt sche System ein Wirkungsintegral S, das f¨ ur die tats¨ achlich erfolgende Bewegung eines Teilchens ein t2 αc Minimum besitzt, und dessen Variation δS daS=− dt . γ (v) t1 her verschwindet. Das Wirkungsintegral soll nicht vom Inertialsystem abh¨ angen. D.h., es soll eine In- Im klassischen Grenzfall erwarten wir variante unter Lorentz-Transformationen sein. Es t2 muß daher von Skalaren abh¨ angig sein; die einzige M¨ oglichkeit ist αds, wobei α eine Konstante und lim S = L(kl) dt v→0

ds = c dt − dx − dy − dz 2

2

2

2

2

t1

2

(1.21) mit der klassischen Lagrange-Funktion 11 L(kl) = 2 der infinitesimale Abstand zweier Ereignisse ist 10 . m (0) v /2. Daraus folgt α = m (0) c. Die relativistische Lagrange-Funktion des freien Teilchens ist Somit sollte gelten: somit b m (0) c2 S = −α ds . (1.22) L = − . (1.23) a γ (v) 10 Im System K geht zum Zeitpunkt t am Ort x , y , z 1 1 1 1 ein Lichtsignal aus (erstes Ereignis) und wird zur Zeit t2 am Ort x2 , y2 , z2 aufgefangen (zweites Ereignis). Es gilt

s221

≡

c2 (t2 − t1 )2 − (x2 − x1 )2 − (y2 − y1 )2

bzw. im System K ≡

2

2

c2 t2 − t1 −

z2

− z1

− x2 − x1

∂L ∂ v

folgt p = γ (v) m (0) v

(vgl. Gl. (1.13)). Aus der Definition der Energie, = p · v − L, folgt das schon bekannte Ergebnis

− (z2 − z1 )2 = 0 ,

s2 21

Aus p =

2

− y2 − y1

2

=0

(siehe Aufgabe). D.h., verschwindet der Abstand s12 zweier Ereignisse in einem Inertialsystem, dann gilt dies auch f¨ ur alle anderen. Sind zwei Ereignisse infinitesimal benachbart, so gilt ds2 = c2 dt2 − dx2 − dy 2 − dz 2 . Wie man leicht zeigen kann (vgl. [1] §2), ist ds und damit s eine Invariante unter Lorentz-Transformationen.

(v) = γ (v) m (0) c2 .

(1.24)

11 Lagrange, Joseph Louis de, franz¨ osischer Mathematiker, *Turin 25.1. 1736, †Paris 10.4. 1813; herausragender Gelehrter des 18.Jahrhunderts; Professor in Turin, Berlin und Paris, entwickelte die Variationsrechnung und wurde durch seine Zusammenfassung der Prinzipien der Mechanik zu den nach ihm benannten Gleichungssystemen der Begr¨ under der analytischen Mechanik; Beitr¨ age zur Theorie der analytischen Funktionen, zur Himmelsmechanik und Hydrodynac mik. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

8


Kapitel 2

Relativit¨ at und Elektrodynamik 2.1

Viervektoren

bzw.

Ein Ereignis habe die Koordinaten ct, x, y und z. Sie bilden die Komponenten xi

3

Ai Ai ≡ Ai Ai ≡ Ai Ai = A2

i=0

x0 = ct,

x1 = x,

x2 = y,

x3 = z

Die Komponente A0 heißt zeitliche Komponente. Die u ¨brigen Komponenten sind die rä umlichen

. Komponenten. Wir schreiben auch Ai = A0 , A

eines vierdimensionalen Ortsvektors. Dessen Quadrat, gegeben durch

Der Vierergradient des Skalars ϕ ist der Vierervektor

2 2 2 2 x0 − x1 − x2 − x3 ,

ist invariant unter Lorentz-Transformationen 1 . ∂ϕ 1 ∂ϕ 0 1 2 3 , ∇ϕ . (2.2) = Viervektoren heißen alle (A , A , A , A ), die sich ∂xi c ∂t wie der vierdimensionale Ortsvektor transformieren. Der Ausdruck Die Ableitungen sind hierbei kovariante Komponenten, da 3

Ai Ai = A0 A0 + A1 A1 + A2 A2 + A3 A3 dϕ =

i=0

ist das Skalarprodukt (hier Quadrat). Darin ist

∂ϕ i dx ∂xi

ein Skalar sein muß. Umgekehrt gilt

A0 = A0 , A1 = −A1 , A2 = −A2 , A3 = −A3 .

∂ϕ = ∂xi

1 ∂ϕ , −∇ϕ c ∂t

. (2.3) Die Ai heißen kontravariante und die Ai kovariante Komponenten. Wir verwenden die Summenkonveni i tion, d.h., u ¨ber doppelt vorkommende Indizes wird Kurzformen sind ∂ = ∂/∂xi oder ∂i = ∂/∂x . ik Die Gesamtheit der 16 Größen A , die sich wie automatisch summiert: Produkte von Komponenten von zwei Viervektoren transformieren, heißt Viertensor (4-Tensor) zwei3 ter Stufe. Das Vorzeichen einer Komponente wird Ai Bi ≡ Ai Bi ≡ Ai B i (2.1) durch das Heben oder Senken eines räumlichen Ini=0 dex (1, 2, 3) geändert, durch die Bewegung eines 1 allgemein unter Drehungen im 4D Raum. zeitlichen (0) aber nicht. Z. B.: 9

¨ UND ELEKTRODYNAMIK KAPITEL 2. RELATIVITAT

10

Bewegungsgleichung einer Ladung im Feld: A01 = −A01

A00 = A00 A11 = A11

A0 1 = −A01 , ... .

Wir betrachten die Variation des WirkungsinteA heißt symmetrisch, wenn A = A ist, und grals bzw. die resultierende Lagrange Gleichung: antisymmetrisch, wenn Aik = −Aki ist (d.h. gleichzeitig sind die Diagonalelemente Null). Die Größe d ∂L ∂L = . (2.10) dt ∂v ∂r ik

ik

ki

Ai i = Ai i = A0 0 + A1 1 + A2 2 + A3 3

(2.4) F¨ ur

∂L ∂ v

ist die Spur. Die Spurbildung verj¨ ungt hier den Tensor 2. Stufe zu einem Skalar. Der Tensor g ik , definiert durch ⎛

g ik = gik

⎞ 1 0 0 0 ⎜ 0 −1 0 0 ⎟ ⎟ =⎜ ⎝ 0 0 −1 0 ⎠ , 0 0 0 −1

2

bzw. g ik Ak = Ai .

(2.6)

. F¨ ur das Skalarprodukt gilt

Wirkungsintegral Ladung im Feld

gilt

∂L e . = ∇ A · v − e∇ϕ ∂r c

(2.12)

a · b ∇

=

b + b · ∇ a a · ∇

× b + b × ∇ × a +a × ∇

(2.7) (siehe Aufgabe) angewandt auf A·v (v = konstant) folgt

Ai Ai = gik Ai Ak = g ik Ai Ak .

2.2

∂L ∂ r

(2.11)

Mit der Identität

heißt metrischer Tensor. Offensichtlich ist gik Ak = Ai

∂L e = γ (v) m (0) v + A , ∂v c und f¨ ur

(2.5)

folgt

einer

Jetzt setzt sich das Wirkungsintegral aus dem Beitrag des freien Teilchens plus dem Feldbeitrag zusammen:

∂L e e ×A − e∇ϕ .(2.13) = v · ∇ A + v × ∇ ∂r c c Aus den Gln. (2.11) und (2.13) erhalten wir

d e γ (v) m (0) v + A dt c

e e b .

= v · ∇ A + v × ∇ × A − e∇ϕ e c c S= −m (0) cds − Ai dxi . (2.8) c

a d A

Wenn wir jetzt auch noch dt A = ∂∂tA + v · ∇ . Das WirHier ist e die Ladung und Ai = ϕ, A beachten, dann erhalten wir f¨ ur die Bewegungsgleikungsintegral hat dann die Form chung b

e S= · dr − eϕdt −m (0) cds + A c a t2

m (0) c2 e = − + A · v − eϕ dt . γ (v) c t1 =L 2 ds2

= dxi

dxi

=

g ik dxi dxk

d p e ∂A + e v × ∇ ×A . (2.14) =− − e∇ϕ dt c ∂t c (2.9) Wir definieren die elektrische Feldstärke = − 1 ∂ A − ∇ϕ , E c ∂t

(2.15)

2.2. WIRKUNGSINTEGRAL EINER LADUNG IM FELD die nicht von v abh¨ angt, sowie die magnetische Feldst¨ arke =∇ ×A , H

(2.16)

11

dxi dδxi ds

ui dδxi = d ui δxi − dui δxi b = ui δxi − dui δxi . a

=

und aus Gl. (2.14) wird d p + e v × H . = eE dt c

(2.17)

Die rechte Seite dieser Gleichung wird als LorentzKraft bezeichnet. Bemerkung: Ein elektromagnetisches Feld mit = 0 und H = 0 heißt elektrisches Feld und umE = 0 und H = 0 ein Magnetfeld. gekehrt mit E Bemerkung: In die Bewegungsgleichung f¨ ur die und H aber nicht A bzw. ϕ Ladung (2.17) gehen E ein. Die Gln. (2.15) und (2.16) aber sind invariant unter folgender Transformation: →A + ∇f A 1 ϕ → ϕ − f˙ , c

≡0

Das zweite Glied wird ebenfalls partiell integriert, und wir erhalten

Mit

(2.18) (2.19)

e e m (0) cdui δxi + δxi dAi − δAi dxi = 0 . c c

dAi =

0

H

1 ∂ 1 → − A + ∇f − ∇ ϕ − f˙ = E c ∂t c

× A + ∇f . → ∇ =H

3 Beachte:

dxi dδxi = − m (0) c ds

e e + Ai dδxi + δAi dxi = 0 . c c

ds =

cdt γ(v)

und daher ui =

dxi γ(v) d(ct) .

m (0) cdui δxi

m (0) c

dui e = Fik uk ds c

(2.20)

sind die Bewegungsgleichungen der Ladung im Vierdimensionalen. Hier ist

Wir definieren die Vierergeschwindigkeit ui = 3 und schreiben

=

Da δxi willk¨ urlich ist, muß [...] = 0 gelten, d.h.,

Wir betrachten explizit die Variation des √ Funktionals (2.8) nach den xi . Wir setzen ds = dxi dxi und erhalten

δS

∂Ai k δx ∂xk

e ∂Ai i k e ∂Ai i k + δx dx − dx δx k c ∂xk c∂x dui = m (0) c ds

e ∂Ak ∂Ai − uk δxi ds . − c ∂xi ∂xk

Diese Eigenschaft heißt Eichinvarianz (engl.: gauge invariance). Der elektromagnetische Feldst¨ arketensor:

δAi =

wird daraus

wobei f eine beliebige Funktion vom Ort und von der Zeit ist. D.h. mit (2.15) und (2.16) folgt E

∂Ai k dx ∂xk

Fik = dxi ds

der ∂ ∂xi

∂Ak ∂Ai − ∂xi ∂xk

elektromagnetische Feldst¨ arketensor.

∂ folgt = 1c ∂t , ∇ sowie Ai = ϕ, −A

(2.21) Mit


12

∂ F01 = − 1c ∂t Ax −

F02 =

∂ − 1c ∂t Ay

F12 =

∂A − ∂xy

− .. .

+ .. .

(2.15) ∂ ∂x ϕ = (2.15) ∂ ∂y ϕ =

Ex

S

Ey .

Fik

0 ⎜ −Ex =⎜ ⎝ −Ey −Ez

= −Hz

∂Ax ∂y

Ey −Hz 0 Hx

Ex 0 Hz −Hy

⎞ Ez Hy ⎟ ⎟ −Hx ⎠ 0

bzw. ⎛

F ik

0 ⎜ Ex =⎜ ⎝ Ey Ez

−Ex 0 Hz −Hy

(2.26)

(2.16)

Insgesamt gilt ⎛

m (0) c ds e Ai dxi + SF eld . − c

= −

−Ey −Hz 0 Hx

⎞ −Ez Hy ⎟ ⎟ . −Hx ⎠ 0

Die beiden ersten Terme entsprechen dem uns schon bekannten Wirkungsintegral unabhängiger Ladungen im elektromagnetischen Feld. SF eld dagegen ist jener Anteil der Wirkung, der nur von den Eigenschaften des Feldes abhängt, d.h. das Wirkungsintegral des Feldes, wenn keine Ladungen vorhanden sind. Bisher hatten wir uns nur f¨ ur die Be(2.22) wegung einer Ladung im Feld interessiert, so dass dieser Term keine Rolle spielte. Er ist jedoch zur Ableitung der Feldgleichungen nötig. Wie aber sieht SF eld aus? Eine naheliegende Wahl ist das Integral u ¨ber die echte skalare Invari2−E 2 , d.h., ante H

SF eld = a

Bemerkung: Die Gr¨ oße

2−E 2 Fik F ik = 2 H

(2.24)

ist eine echte skalare Invariante. Man kann zeigen, dass auch ·H E

(2.23)

(2.25)

2−E 2 dΓ H

mit dΓ = cdtdxdydz. Die Konstante muß negativ sein, da sonst gemäß Gl. (2.15) eine schnel¨ le Anderung des Potenzials die Wirkung beliebig negativ machen w¨ urde, es gäbe also kein Minimum. Außerdem wollen wir, dass die resultierenden Differentialgleichungen linear in den Feldern sind. Damit ist die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung. Und dies ist das Superpositionsprinzip. Ausgedr¨ uckt durch den Feldstärketensor gilt 2−E 2 = 1 Fik F ik und daher H 2

eine Invariante ist (Aufgabe). D.h., gilt in einem H, dann gilt dies f¨ Koordinatensystem E⊥ ur alle anderen Inertialsysteme ebenso. Allerdings ·H das Produkt eines axialen und eines ist E 1 polaren Vektors. Polare Vektoren kehren ihre SF eld = − Fik F ik dΓ . (2.27) 16πc Richtung um, wenn die Koordinatenachsen gespieget werden. Axiale Vektoren (Vektorprodukte polarer Vektoren) tun dies nicht. Daher ist das Ska- Wir verwenden hier das Gauß’sche Maßsystem. ·H nur ein sogenannter Pseudoskalar. larprodukt E Bevor wir die endg¨ ultige Form von S angeben, schreiben wir den zweiten Term in Gl. (2.8) um. Dazu f¨ uhren wir die Ladungsdichte

2.3

Wirkungsintegral des elektromagnetischen Feldes

Jetzt interessieren wir uns f¨ ur das Wirkungsintegral des Gesamtsystems gegeben durch

ρ=

ev δ (r − rv )

(2.28)

v

ein. Die Größe δ (r − rv ) ist die Delta-Funktion 4 Definition:

4

δ (x) = 0 f¨ ur alle x = 0 und δ (x) = ∞ f¨ ur

2.3. WIRKUNGSINTEGRAL DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES Damit folgt

−

13

Mit den Gln. (2.27) und (2.30) lautet die endg¨ ultige Form des Wirkungsintegrals

e c

Ai dx

i

dxi 1 ρ Ai dV dt = − c dt 1 Ai j i dΓ . (2.30) = − 2 c

Die Gr¨ oße

S

= − −

1 c2

m (0) cds

Ai j i dΓ −

1 16πc

(2.33) Fik F ik dΓ .

Die Maxwell Gleichungen im Vakuum: dxi ji = ρ dt

(2.31)

heißt Stromvierervektor. Der gew¨ ohnliche r¨ aumliche Vektor lautet j = ρv .

(2.32)

Anwendung der Rotation auf beide Seiten der Gl. (2.15) ergibt ×E = −1 ∂ ∇ ×A −∇ × ∇ϕ ∇ . c ∂t ≡0

v ist die normale 3-er Geschwindigkeit, und j ist der Zusammen mit Gl. (2.16) folgt Stromdichtevektor, d.h. j ist die Ladung, die pro Zeiteinheit durch das Fl¨ achenelement senkrecht zu v hindurchtritt. Die zeitliche Komponente von j i ×E = −1H ˙ ∇ ist cρ. c x = 0 derart, dass

(2.34)

(Faradaysches Gesetz 5 ). Anwendung der Divergenz auf beide Seiten von (2.16) ergibt

∞

δ (x) dx = 1 . −∞

Einige Eigenschaften: f (x) sei beliebige stetige Funktion. Dann gilt

∞

f (x) δ (x − a) dx = f (a) . −∞

Die Integrationsgrenzen brauchen nicht ±∞ zu sein. Sie m¨ ussen aber den Punkt einschließen, an dem die DeltaFunktion nicht verschwindet. Weiterhin gilt (im Sinne der Integration u ¨ber die beiden Seiten der Gleichungen) δ (−x) = δ (x) 1 δ (x) δ (ax) = |a| δ (ϕ (x)) =

i

(2.29)

1 δ (x − ai ) . | ϕ (ai ) |

Hier ist ϕ (x) eine eindeutige Funktion, und die ai sind die L¨ osungen von ϕ (x) = 0. Definition in 3D: δ ( r ) = δ (x) δ (y) δ (z) .

·H =0. ∇

(2.35)

Die Gln. (2.34) und (2.35) sind die ersten beiden von vier Maxwell Gleichungen. Die anderen beiden Maxwell Gleichungen lassen sich aus der Variation des Wirkungsintegrals (2.33) 5 Faraday, Michael, britischer Physiker und Chemiker, *Newington Butts (heute zu London) 22.9. 1791, †Hampton Court Green bei London 25.8. 1867; bildete sich nach einer Buchbinderlehre autodidaktisch, wurde 1813 Laboratoriumsgehilfe bei H. Davy und 1825 dessen Nachfolger als Direktor des Laboratoriums der Royal Institution, danach auch Professor f¨ ur Physik und Chemie. Faraday entdeckte das Benzol im Leuchtgas, die elektromagnetische Induktion, die Selbstinduktion, die dielektrischen und diamagnetischen Erscheinungen, die Drehung der Polarisationsebene des Lichts durch ein magnetisches Feld (Faradayeffekt, Magnetooptik) und die Grundgesetze der Elektrolyse. Faraday f¨ uhrte den Begriff der elektrischen und magnetischen Kraftlinien ein und konstruierte den ersten Dynamo. Werke: Experimental researches in electricity, 3 B¨ ande (1844-55); Experimental researches in chemistry and physics (1859). Literatur: Lemmerich, J.: Michael Faraday 1791-1867 Erforscher der Elekc trizit¨ at M¨ unchen 1991. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG


14

nach den Potenzialen bei gegebenen Bahnkurven Aus der Willk¨ urlichkeit der δAi folgen die vier Gleider Ladungen gewinnen 6 . Demnach folgt chungen δS = −

1 c

1 i 1 ik j δAi + F δFik dΓ = 0 , c 8π

∂F ik 4π = − ji . ∂xk c

ur i = 0 ergibt sich wobei F ik δFik ≡ Fik δF ik verwendet wurde. Ein- F¨ setzen von ·E = 4πρ . ∇ ∂Ak ∂Ai Fik = − F¨ ur i = 1, 2, 3 erhalten wir ∂xi ∂xk liefert

δS

1 1 i = − j δAi c c ∂ 1 1 ik ∂ dΓ . + F ik i δAk − δA F i 8π ∂x 8π ∂xk

Im zweiten Term in Klammern vertauschen wir i und k; zus¨ atzlich ber¨ ucksichtigen wir F ki = −F ik . D.h., δS = −

1 c

Maxwell Gleichungen in Integralform: Nach dem Stokeschen Satz angewandt auf Gl. (2.34) gilt

Gauß

=

· ds ∇ × E · df = E

bzw.

F ik

=

(2.38)

˙ = 0 heißt dies das Ampèresche Gesetz 7 . (mit E Dies sind die beiden anderen Maxwell Gleichungen.

∂ δAi dΓ ∂xk ∂ ik F δAi dΓ k ∂x

∂ ik − δAi dΓ F ∂xk

∂ ik ik δAi dΓ . F δAi dfk − F ∂xk

(2.37)

×H = 1E ˙ + 4π j ∇ c c

1 ik ∂ 1 i δA j δAi − F i dΓ . c 4π ∂xk

Das zweite Glied wird wie folgt umgeformt:

(2.36)

· ds = − 1 ∂ E c ∂t

· df H

(2.39)

8

. Auf die Gl. (2.35) wenden wir den Gauß’schen Satz an und erhalten · df = 0 . H

(2.40)

ur (2.37) Die r¨ aumlichen Integrationsgrenzen liegen im Un- Analog gilt f¨ endlichen. Dort verschwindet das Feld. An den zeit lichen Anfangs- bzw. Endpunkten muß die Variati E · df = 4π ρdV . (2.41) on der Potenziale im Sinn des Prinzips der kleinsten Wirkung verschwinden. D.h., der Oberflächenbei7 Amp` ere, Andr´ e Marie, franz¨ osischer Physiker und Matrag verschwindet, und wir erhalten thematiker, *Lyon 22.1. 1775, †Marseille 10.6. 1836; entdeck

ik

1 i 1 ∂F j + c 4π ∂xk

δAi dΓ = 0 .

6 Bei der Ableitung der Gl. (2.10) war dies gerade umgekehrt!

te Anziehung, Abstoßung und magnetische Wirkung elektrischer Str¨ ome, erkl¨ arte den Magnetismus durch Molekularstr¨ ome und stellte 1826 die erste mathematisch fundierc te elektrodynamische Theorie auf. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 8 Darauf das die Zeitableitung vor dem Integral steht kommen wir sp¨ ater noch zur¨ uck.

2.3. WIRKUNGSINTEGRAL DES ELEKTROMAGNETISCHEN FELDES Und f¨ ur (2.38)

15

(siehe Aufgabe) folgt

· ds = 4π H c

1 ∂E + j 4π ∂t

· df .

(2.42)

1 ∂E Die Gr¨ oße 4π ∂t heißt Verschiebungsstrom (engl.: displacement current).

Kontinuit¨ atsgleichung:

2 2 + H ∂ E · j − ∇ ·S = −E ∂t 8π

(2.44)

= c E ×H . S 4π

(2.45)

mit

ist der sogenannte Poynting-Vektor 9 . S Wir wenden die Divergenz auf beide Seiten von Jetzt integrieren wir die Gl. (2.44), d.h. (2.38) an und erhalten

· ∇ ×H ∇

=

=0 (2.37)

=

4π 4π ρ˙ + ∇·j . c c

D.h., · j = 0 ρ˙ + ∇

2 2 E +H dV 8π · df . = − j · EdV − S ∂ ∂t

1 ˙ 4π ∇·E+ ∇·j c c

∼ =

(2.46)

e v ·E

Die Summe läuft u ¨ber alle Ladungen im Integrationsvolumen. Wenn die Grenzen ! des Volumens im · df = 0, da dort Unendlichen liegen, dann gilt S (2.43) die Felder verschwinden. Außerdem gilt

bzw. ∂ ∂t

= ev · E

ρdV = −

j · df .

d kin , dt

(2.47)

wobei kin die kinetische Energie der Ladungen inklusive ihrer Ruheenergie ist 10 . Demnach gilt Die linke Seite ist die Ladungsver¨ anderung im Volumen. Die rechte Seite liefert die Ursache, # " nämlich den Strom der Ladung durch die Ober 2 2 + H ∂ E fläche, wobei df nach außen weist. Gl. (2.43) ist (2.48) dV + kin = 0 ∂t 8π die Kontinuit¨ atsgleichung. Energiedichte und Energiestrom: · (2.34) + E · (2.38) , d.h., Wir bilden −H

· ∇ ×E +E · ∇ ×H − H =

1 ˙ 1 ˙ 4π H ·H + E ·E+ E·j . c c c

Mit der Identität

· a × b = b · ∇ × a − a · ∇ × b ∇

Die Klammer [...] ist erhalten, und es liegt nahe, die Größe 9 Poynting, John Henry, britischer Physiker, *Monton (bei Manchester) 9.9. 1852, †Birmingham 30.3. 1914; arbeitete u uhrte den Begriff ¨ber Gravitation und Elektrodynamik, f¨ c der Energiestromdichte (Poynting-Vektor) ein. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 10 Nebenrechnung: kin ist gegeben durch Gl. (1.24), d.h.,

d d p dv d d kin = ( p · v − L) = v · +p · − L dt dt dt dt dt (1.23) d p 1 dv dv = v · +p · − m (0) c2 γ (v) 2 v · dt dt c dt

(1.13)

=

p


16

W =

2 + H 2 E 8π

(2.49)

als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes zu betrachten. F¨ ur ein endliches Volumen dagegen ist ∂ [...] = − ∂t

· df . S

! · df ist der Energiestrom des Feldes Die Gr¨ oße S durch die Oberfl¨ ache. D.h., der Poynting-Vektor ist die Energiestromdichte. An dieser Stelle verf¨ ugen wir u ¨ber eine vereinheitliche Theorie der elektromagnetischen Kräfte! In den folgenden Kapiteln werden wir spezielle L¨ osungen und Konsequenzen der Maxwell Gleichungen diskutieren.

Kapitel 3

Zeitunabh¨ angige elektromagnetische Felder 3.1

Das elektrostatische Feld ∆ϕ = 0 .

Das Coulombsche Gesetz:

einer einzelnen Ladung sollte radialDas Feld E symmetrisch sein. D.h., f¨ ur eine Ladung e im Ur nur vom Ortsvektor r abhängen. sprung sollte E Gemäß Gl. (2.37) bzw. (2.41) liegt nahe

Gem¨ aß Gl. (2.15) gilt jetzt = −∇ϕ E

(3.3)

(3.1)

1

. Aus der Maxwell Gleichung (2.37) folgt die Poisson Gleichung 2 und daher

(r) = e r E r2 r

(3.4)

e . (3.5) r bzw. in Abwesenheit von Ladungen die Laplace Die Gl. (3.4) bzw. auch die Gl. (3.5) wird als Coulombsches Gesetz 4 bezeichnet. F¨ ur eine Verteilung Gleichung 3 von Ladungen ei an den Orten ri (i = 1, ..., N ) gilt 1 Bemerkung: Aufgrund von E = −!∇ϕ gilt ∇ ×E = 0 nach dem Superpositionsprinzip ∆ϕ = −4πρ

ϕ (r) =

(3.2)

· ds = 0. Solche und damit nach dem Stokesches Satz E Felder nennt man konservativ. 2 Poisson, Sim´ eon Denis, franz¨ osischer Mathematiker und Physiker, *Pithiviers (Département Loiret) 21.6. 1781, †Paris 25.4. 1840; trug wesentlich zum Ausbau der Potenzialtheorie bei (Poisson-Gleichung), die er zur L¨ osung elektrostatischer und magnetischer Probleme anwandte. Poisson befasste sich u.a. mit W¨ armeleitung und Wahrscheinlichkeitstheorie und gab als Grenzfall der Binomialverteilung die nach ihm benannte Poisson-Verteilung an, bei der die Wahrscheinlichkeit f¨ ur das Eintreffen eines bestimmten Ereignisses sehr klein, die Anzahl der unabh¨ angigen Wiederc holungen sehr groß ist. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 3 Laplace, Pierre Simon Marquis de (seit 1817), franz¨ osischer Physiker, Mathematiker, Astronom, *Beaumont-enAuge (D´ epartement Calvados) 28.3. 1749, †Paris 5.3. 1827; gab eine sehr detaillierte Darstellung der Bewegungsvorg¨ ange der Himmelsk¨ orper, erkl¨ arte die Entwicklung des Sonnensystems (Kant-Laplace-Theorie). Laplace begr¨ unde-

ϕ (r) =

N i=1

ei = |r − ri |

ρ (r )

1 d3 r (3.6) |r − r |

te die Potenzialtheorie und entwickelte u.a. die Laplace-Gleichung sowie die Laplace-Transformation, eine Integraltransformation, und verfasste Arbeiten zur Schwingungs- und W¨ armelehre sowie zur Wahrscheinlichkeitsrechnung. Sein Hauptwerk ist Trait´ e de mecanique c´ eleste (5 B¨ ande, 1799c 1825). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 4 Coulomb, Charles Augustin de, franz¨ osischer Physiker und Ingenieur, *Angoulême 14.6. 1736, †Paris 23.8. 1806; f¨ uhrte u.a. den Begriff des magnetischen Moments ein und begr¨ undete die Theorie der elektrischen Polarisation, fand 1785 mithilfe der von ihm erbauten Drehwaage das Grundc gesetz der Elektrostatik (Coulombsches Gesetz). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

17

¨ KAPITEL 3. ZEITUNABHANGIGE ELEKTROMAGNETISCHE FELDER

18

N mit ρ (r) = i=1 ei δ (r − ri ) 5 . F¨ ur das elektrische Feld gilt dann

(r) E

=

N i=1

=

r − r 3 d r . | r − r |3

2

F¨ ur das Vektorpotenzial gilt

ei r − ri |r − ri |2 | r − ri |

ρ (r )

r2 = γ 2 (w) (x − wt) + y 2 + z 2 .

(3.7)

we = γ (w) w A ϕ = γ (w) . c cr

= −1A ˙ − ∇ϕ, folgt mit F¨ ur die Kraft auf eine Ladung e am Ort r aufgrund Gemäß Gl. (2.15), E c der Ladung e am Ort r gilt nach Gl. (2.17) und ⎛ ⎞ Gl. (3.4) γ 2 (w) (x − wt) e = γ (w) ⎝ ⎠ y −∇ϕ r3 z ee r − r F (r) = . (3.8) | r − r |2 | r − r | und Bemerkung: Setzen wir ϕ = re sowie ρ = eδ (r) in die Poisson Gleichung ein, so ergibt sich 1 ˙ we 1 − A = −γ (w) 2 3 γ 2 (w) (x − wt) w c c r 1 ∆ = −4πδ (r) . (3.9) die Formel r ⎛ ⎞ Bemerkung: Das Kraftgesetz (3.8) ist funktional x − wt e identisch mit dem entsprechenden Gesetz f¨ ur die = γ (w) ⎝ ⎠ y E Gravitation. Allerdings ist die Gravitationskraft r3 z unglaublich viel schw¨ acher: In MKSA-Einheiten eγ (w) (4πo )−1 e2e /(Gme (0)2 ) = 4.2 · 1042 , wobei G die = 3/2 2 Gravitationskonstante ist. γ 2 (w) (x − wt) + y 2 + z 2 Eine Ladung in relativer Ruhe:

⎛

⎞ x − wt ⎠ . y ×⎝ z

Wir betrachten die Situation in Abbildung 1.1, wobei die Ladung e im Ursprung von K ruht, = (x − wt, y, z) und R2 sin2 θ = y 2 +z 2 , d.h., und fragen uns: wie sieht das Feld dieser Ladung Mit R vom System K gesehen aus? Zur Erinnerung: kon- θ ist der Winkel zur x-Achse (Bewegungsrichtung),

i o travariate Viervektoren A = A , A transfor- folgt mieren sich gem¨ aß xi = (xo , x) = (ct, x) 6 . Insbesondere betrachten wir hier das Viererpotenzial

. Im System K gilt Ai = ϕ, 0 und Ai = ϕ, A die Verbindung zum K-System lautet e ϕ = γ (w) ϕ = γ (w) r mit 5 Im Abschnitt 1.7 der Referenz [3] ist gezeigt, dass Gl. (3.6) tats¨ achlich die Poisson Gleichung erf¨ ullt. 6 Ao = γ (w) Ao + w A1 , A1 = γ (w) A1 + w Ao , c c A2 = A2 , A3 = A3 (vgl. Gln. (1.1) bis (1.5)).

= E

1− 1−

w2 c2

w2 c2

sin2 θ

R 3/2 e R3 .

(3.10)

Die Komponenten senkrecht und parallel zur Bewegungsrichtung sind

⊥ E E

1 R e 3 2 1 − wc2 R

R w2 = 1− 2 e 3 . c R =

3.1. DAS ELEKTROSTATISCHE FELD

19

D.h., mit zunehmender Geschwindigkeit w wird das E-Feld parallel zur Bewegungsrichtung gestaucht und senkrecht dazu gestreckt. Energie U einer statischen Ladungsverteilung:

λi

λj

τi

rij

ρ i (τ i )

τj

ρ j (τ j )

Gem¨ aß Gl. (2.49) gilt

U

1 8π

= (3.1)

=

=

Abbildung 3.1: Schematische Darstellung zweier Ladungsverteilungen ρi (τi ) und ρj (τj ) im Abstand rij voneinander.

2 dV E 1 · ∇ϕdV − E 8π 1 · Eϕ − ∇ dV 8π Gauß · df Eϕ = +

1 8π

re ∼

·E dV . ϕ ∇ Gl.(2.37) = 4πρ

Die Multipolentwicklung:

Das Oberfl¨ achenintegral verschwindet im Unendli verschwindet. Somit gilt chen, da dort E

U=

1 2

ρϕdV

Wir betrachten die in Abbildung 3.1 dargestellten Ladungsverteilungen ρi (τi ) und ρj (τj ). Ihre Coulomb-Wechselwirkungsenergie ist

(3.11)

uij =

bzw.

U

= (3.6)

=

1 2

ej ϕj

j

ei ej 1 . 2 | ri − rj | i,j(i=j)

(3.14)

ist der sogenannte Elektronenradius re re ≈ 2.810−15 m . Quanteneffekte werden allerdings vorher schon wichtig (typische Länge h ¯ −13 m). me (0)c ≈ 3.9 · 10

=0

e2e . me (0) c2

ρi (τi ) ρj (τj ) 3 3 d τi d τj , | τi − τj + rij |

(3.15)

wobei u ¨ber den gesamten Raum integriert wird. Wir nehmen an, dass der Abstand rij der beiden (3.12) Ladungsverteilungen sehr viel größer ist als ihre jeweiligen räumlichen Ausdehnungen λi und λj . Unter diesen Bedingungen ist es sinnvoll, den Inte(3.13) −1 granden in Potenzen von rij zu entwickeln. D.h., wir schreiben

Als alternative Notation f¨ ur 12 i,j(i=j) wird häufig i<j verwendet. Bemerkung: In Gl. (3.13) haben wir explizit die Selbstenergie (i = j) vermieden, f¨ ur diesen Fall wird U unendlich und damit sinnlos. D.h., es gibt einen gewissen Grenzabstand r0 , unterhalb dessen unsere Elektrodynamik sinnlos wird. Aus den bisher bekannten Gr¨ oßen Elektronenruhemasse me (0), Lichtgeschwindigkeit c und Elektronenange re konstruieren wir die ladung −ee sowie der L¨ e2 dimensionslose Gr¨ oße re mee(0)c2 bzw.

τi − τj −1 1 n + rij rij −1/2 2 τij n · τij 1 1+2 = + 2 rij rij rij 2

2 n · τij 1 1 τij 3 n · τij 1− = − 2 + 8 2 r rij rij 2 rij ij 1 +O 3 rij | τi − τj + rij |−1 =


20 =

1 n · (τi − τj ) − 2 rij rij 2

Es ist n¨ utzlich, die obige Multipolentwicklung aus einer zweiten unsymmetrischen Perspektive zu betrachten. Wir betrachten die Ladungsverteilung ρi (τi ) im Feld der Ladungsverteilung ρj (τj ). D.h.

2

1 3 (n · τi ) − τi2 + 3 (n · τj ) − τj2 3 2 rij τi · τj − 3 (n · τi ) (n · τj ) 1 . + +O 3 4 rij rij +

uij =

ρi (τi ) ϕ (ri + τi ) d3 τi .

Das Potenzial ϕ (ri + τi ) ist bis einschließlich dem Hier haben wir n = rij /rij , die Entwicklung Quadrupolbeitrag durch die Taylor Entwicklung −1/2 = 1 − x/2 + 3x2 /8 + O x3 f¨ ur klei(1 + x) ne x, sowie die Abk¨ urzung τij ≡ τi − τj verwendet. (ri ) ϕ (ri + τi ) = ϕ (ri ) − τi · E (3.21) Als n¨ achstes setzen wir die obige Entwicklung in 3 (3.15) ein und definieren 1 − 3τi,α τi,β − τi2 δαβ 6 α,β=1 3 e = ρ (τ ) d τ (3.16) ∂Eβ (ri + τi ) × + ... ∂τi,α τi =0 = −∇ϕ das elektrische Feld gegeben 7 . Hier ist E p = τ ρ (τ ) d3 τ (3.17) hervorgerufen durch die Ladungsverteilung ρ . Soj

mit erhalten wir f¨ ur die Wechselwirkungsenergie Q=

3 1 nα nβ Qαβ 2

(3.18)

uij

α,β=1

Qαβ =

3τα τβ − τ 2 δαβ ρ (τ ) d3 τ .

=

ei ej n · (ei pj − pi ej ) + 2 rij rij ei Qj + Qi ej + 3 rij pi · pj − 3 (n · pi ) (n · pj ) + +O 3 rij

(3.22) 3 1 ∂Eβ (ri + τi ) − Qi,αβ + ... 6 ∂τi,α τi =0 α,β=1

(3.19)

Hier ist e die Gesamtladung und p das Dipolmoment der Ladungsverteilung ρ (τ ). Die Größen Qαβ sind die kartesischen Komponenten des Quadrupoltensors. Damit erhalten wir f¨ ur die Wechselwirkungsenergie

uij

(ri ) = ei ϕ (ri ) − pi · E

Insbesondere liefert der Vergleich von (3.22) mit (3.20) # " ej rij pj 3 (rij · pj ) rij E (ri ) = 3 − 3 − + ... (. 3.23) 5 rij rij rij

Bemerkung: Es ist möglich, folgendes Theorem zu beweisen. Das niedrigste, nicht verschwindenangig (3.20) de Moment einer Ladungsverteilung ist unabh¨ vom Ursprung. Dies gilt in der Regel nicht f¨ ur die höheren, nicht verschwindenden Momente.

1 4 rij

.

3.2

Randwertprobleme der Elektrostatik - ideale Leiter im Vakuum

Die Terme auf der rechten Seite beschreiben der Reihe nach die Monopol-Monopol-, die Monopol-Dipol-, die Monopol-Quadrupol- und die Di- Durchgang durch eine geladene Leiterplatte: pol-Dipol-Wechselwirkung der Ladungsverteilun 7 1 ( τ )( τ )ϕ = − 1 ·E ) gen. Die Terme w¨ aren ein Dipol-Quadruτ ·∇ τ ·∇ τ τ ∇ E (+ 16 τ 2 ∇ folgenden 2 2 α,β α β α β −4 pol- ≈ rij und ein Quadrupol-Quadrupol-Term =0 1 2 ∂Eβ −5 ≈ rij . und (...) = τ δ α,β 6 ∂τ α,β α

3.2. RANDWERTPROBLEME DER ELEKTROSTATIK - IDEALE LEITER IM VAKUUM

21

-e

r

Ea

∆f

Ri

n

n

E

∆f

Ra

∆h r

Ei

Abbildung 3.2: Ein idealer Leiter mit den Oberi unterhalb. Die fl¨ achenfeldern Ea oberhalb und E Integrationsdose ist ebenfalls gezeigt.

e

(a) Hohlkugel

r E

(b) Koaxialkabel

E

n

(c) Plattenkondensator

e

d z

-e

Wir untersuchen die Potenzial- bzw. Feldverläufe Abbildung 3.3: Verschiedene Spezialfälle im Konin und um ideale Leiter 8 . Abbildung 3.2 zeigt einen text von Gl. (3.24). solchen Leiter der Dicke ∆h. Nach Gl. (2.41) gilt i = 0. Somit ist E i = 0 u konstant und daher E ¨ber 9 . all in der Hohlkugel · df = 4π ρdV . E Wir erhalten also f¨ ur das äußere Feld im Abstand r vom Kugelzentrum Wir schreiben σ (r) = ∆hρ (r), wobei σ (r) die Fl¨ achenladungsdichte ist. Außerdem gilt ∆V = (r) = e r . ∆f ∆h. D.h., f¨ ur eine geschlossene Dose, deren E r2 r Deckel sich unmittelbar u ache befindet ¨ber der Fl¨ und ihr Boden unmittelbar darunter (vgl. Abbil- Dies ist das bekannte Coulombsche Gesetz (vgl. Gl. dung), folgt (3.4)), wobei hier e die Gesamtladung der Kugel ist 10 .

Ein weiterer Spezialfall ist das Koaxialkabel (sie a (r) − E i (r) · n = 4πσ (r) . E (3.24) he Abbildung 3.3 (b)) mit R als Radius des Inneni zylinders (Ladung e) und Ra als Radius des Au in einigen einfachen Leitergeometrien: ßenzylinders (Ladung −e). Mit dem gleichen Arguϕ und E (r) = 0 f¨ ment wie eben gilt E ur r < Ri . Hier ist r Ein spezieller Fall dieser Betrachtung ist die der senkrechte Abstand von der Zylinderachse. F¨ ur Hohlkugel mit gleichf¨ ormiger Ladungsverteilung σ Ri ≤ r < Ra dagegen ist (siehe Abbildung 3.3 (a)). Da es im Inneren keine Ladungen gibt, gilt dort (r) = 4πe r = 2e r . E (3.25) 2πrl r lr r i · df = 0 . Hier ist e/l die Ladung auf dem inneren ZylinE der pro Längeneinheit. F¨ ur das Potenzial ϕ (r) gilt Dies gilt insbesondere, wenn wir u 9 Selbst wenn die Oberfl¨ ¨ber eine auf den achenladungsverteilung nicht Mittelpunkt der Hohlkugel zentrierte beliebige Ku- gleichförmig und die Oberfläche keine Kugel ist, gilt immer i · df = noch Ei = 0 (Warum? Stichwort: Faradayscher Käfig). gelfl¨ ache integrieren. Auf dieser Fl¨ ache ist E 10 8 In

idealen Leitern k¨ onnen sich Ladungen unbehindert in dem herrschenden elektrischen Feld bewegen.

Diese Gleichung gilt nat¨ urlich f¨ ur jede radialsymmetrische Ladungsverteilung, wobei e = e (r) die bis zum Radius r aufintegrierte Ladung ist.


22 (r) = −∇ϕ (r) gem¨ aß E

S (positiv)

θ

ϕ (r) = −

2e ln r . l

(3.26) dΩ

Die Kapazit¨ at, Ladung/Potenzialdifferenz, des Kabels ist −1 e l Ra C= . = ln ϕ 2 Ri

df'

d

(3.27)

S (negativ)

n σ -σ

r r'

dV=df' cos(θ) dx = x2 dx dΩ

x θ Die Gr¨ oße ϕ = ϕ (Ri ) − ϕ (Ra ) heißt Spannung. ! df' · df = 0 Ganz außen, f¨ ur r > Ra , gilt wieder E (r) = 0. bzw. E Ein letzter Spezialfall ist der Plattenkondensator (Abbildung 3.3 (c)). Er kann als Grenzfall des Abbildung 3.4: Schematische Darstellung einer Koaxialkabels f¨ ur Ri, Ra → ∞ mit Ra − Ri = d elektrischen Doppelschicht. Die Größen sind im erhalten werden. Aus Gl. (3.25) folgt dann Text erklärt. Der Einsatz zeigt den Zusammenhang mit dem Raumwinkelelement dΩ, wobei x ≡ |r −r | ist. = 4πσn , E (3.28)

wobei σ die Fl¨ achenladungsdichte e/ (2πrl) ist. n Elektrische Doppelschicht: steht senkrecht auf der (inneren) Platte mit der po im gesamten Wir stellen uns zwei Leiterflächen S und S (wie sitiven Ladung e. Man beachte, das E 11 Innenraum des Kondensators konstant ist . Au- die in Abbildung 3.2 gezeigte) vor, die den kleinen Abstand d voneinander haben (siehe Abbilßen verschwindet es. F¨ ur das Potenzial gilt dung 3.4). Der erste Leiter trägt die Ladungsdichte σ (r), der zweite trägt die Ladungsdichte −σ (r). z ϕ (z) = − 4πσdz = −4πσz . (3.29) Insgesamt entspricht diese Geometrie einer Dipolfläche bzw. einer elektrischen Doppelschicht, deren 0 Potenzial durch Hier ist z die Koordinate senkrecht zur Fläche mit der Ladung e. Wenn die Platten den Abstand d haben, dann ist die Kapazit¨ at σ (r ) ϕ (r) = (3.31) df r − r | S | σ (r ) e A − df C= = , (3.30) r − r + nd | ϕ (0) − ϕ (d) 4πd S | wobei A die Fl¨ ache einer Platte ist. Bevor wir auf verschiedene Berechnungsmethoden f¨ ur die Potenzialverl¨ aufe bzw. Feldverläufe eingehen, wollen wir kurz den Fall des Potenzialverlaufs beim Durchgang durch eine elektrische Doppelschicht betrachten. 11 Nat¨ urlich treten bei realen Kondensatoren Abweichungen an den R¨ andern auf.

gegeben ist. Wir gehen von | r − r |>> d aus und entwickeln 1 1 =$ 2 2 | r − r + nd | | r − r | +d + 2dn · (r − r )

1 dn · (r − r ) = 1− + ... | r − r | | r − r |2 1 1 r = + dn · ∇ + ... . | r − r | | r − r |


23

Wenn wir dies in Gl. (3.31) einsetzen und gleichzei- Neumannsche Probleme 14 : ∆ϕ = 0 in B und ∂ϕ tig d → 0 betrachten (d.h., S → S ) folgt n die Normalenableitung ∂ n ∂B = g. Hier ist ∂ϕ/∂ und g ist wieder eine vorgegebene (stetige) Funktion auf ∂B. 1 r ϕ (r) = − σ (r ) dn · ∇ df . | r − r | Man kann zeigen (siehe Jackson I.9), dass diese S Randbedingungen f¨ ur eine eindeutige Lösung Wir nennen D (r ) = σ (r ) d die Dipolfl¨ achendichte ausreichen! r ... ) und schreiben ( mit ∇r ... = −∇ Die Bildladungsmethode:

1 r df D (r ) n · ∇ | | r − r S

Die Abbildung 3.5 zeigt eine Punktladung im Abstand a von der ebenen Oberfläche eines idealen Leiters. Im Gleichgewicht bedeutet dies Fx = Fy = =− cos θ 2 df =−dΩ | r − r | 0 f¨ ur die Kraft auf eine Ladung an der Leiterober ⊥ zur Leifläche. Daraus folgt Ex = Ey = 0 bzw. E = − D (r ) dΩ (3.32) teroberfläche. Daraus folgt ϕ = konstant entlang S der Leiteroberfläche. Hier setzen wir ϕ (z = 0) = 0; man spricht von Erdung. In der unmittelbaren Um(vgl. Abbildung 3.4). Die Formel (3.32) erlaubt es, den Potenzial- gebung von e dagegen gilt das Coulombsche Gesetz. sprung ϕ beim Durchgang durch die Doppel- Diese Vorgaben werden mit dem Bildladungsansatz schicht hinzuschreiben. D.h., beim Durchgang von oben (laut Abbildung 3.4) nach unten gilt e e ϕ (r) = + (3.34) | r − re | | r − re | ϕ (r) =

ϕ

= ϕunten − ϕoben = 2πD + 2πD = 4πD

wenn D (r ) ¨ ortlich konstant ist.

ullt falls e = −e und re = −re gesetzt wird. (3.33) erf¨ Interessant ist noch die tatsächliche Verteilung der induzierten Ladung in der Leiterebene. Diese folgt aus (3.24)

dϕ (τ , z) Wir betrachten nun Methoden zur Berechnung − = 4πσ (τ ) , dz z=0 (r) in komplexen Leitergeometrien von ϕ (r) bzw. E im Vakuum. D.h., wir l¨ osen die Laplace Gleichung wobei τ = (x, y) ist. Mit re = (0, 0, a) und r = 12 unter vorgegebenen Randbedingungen auf den (τ , z) folgt Leiteroberfl¨ achen. Man unterscheidet in der Regel e e − Dirichletsche Probleme 13 : ∆ϕ = 0 im Inneren ϕ (τ , z) = 2 2 τ 2 + (z − a) τ 2 + (z + a) eines Bereiches B und ϕ∂B = h auf dem Rand ∂B. h ist eine vorgegebene (stetige) Funktion auf bzw. ∂B. 12 Bemerkung:

Eine Funktion, deren 1. und 2. Ableitung stetig ist, und die L¨ osung der Laplace-Gleichung ist, heißt harmonische Funktion. 13 Dirichlet, Johann Peter Gustav, eigentlich Lejeune-Dirichlet, Mathematiker, *D¨ uren 13.2. 1805, †G¨ ottingen 5.5. 1859; arbeitete besonders u ¨ber Zahlentheorie, unendliche Reihen, Integralrechnung, Potenzialtheorie und Randwertc probleme. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

σ (τ ) = −

e a . 2 2π (τ + a2 )3/2

(3.35)

14 Neumann, Franz Ernst, Physiker und Mineraloge, *Joachimsthal (Kreis Barnim) 11.9. 1798, †K¨ onigsberg (Pr) 23.5. 1895; Begr¨ under der mathematischen Physik in Deutschland, grundlegende theoretische und experimentelle Arbeiten zur Wellenlehre des Lichts, zur Elektrodynamik und zur c Kristallographie. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG


24

y r e R

e'

re

x

re

z Abbildung 3.6: Eine leitende geerdete Kugel mit Radius R am Ursprung. Die Ladung e befindet sich bei re ; die Bildladung e bei re (aus Symmetriegr¨ unden gilt re re ). Der Messpunkt liegt bei r.

x r e'

re '

re

E

z e ϕ=konstant

Ebenfalls von Interesse ist die Kraft, die die induzierte Ladung auf e aus¨ ubt. Nach der Gl. (3.8) gilt re − re e2 re F (re ) = ee = − . | re − re |3 4re2 re Ein schwierigeres Beispiel zeigt die Abbildung 3.6. Wir wollen ϕ (r) ausserhalb der gezeigten Kugel bestimmen. Wir gehen wieder von (3.34) aus:

idealer Leiter

z=0 e e ϕ (r) = + . Abbildung 3.5: Eine Ladung e vor der Oberfläche | nr − n re | | nr − n re | eines idealen Leiters bei z = a induziert eine Bild¨ Hier ist n = r/r bzw. n = re /re . D.h., ladung e . ϕ = konstant bezeichnet Aquipotenziallinien bzw. -fl¨ achen, auf denen die Feldlinien senkrecht stehen (Aufgabe). e e = ϕ(R) . (3.36) re + R | n − R n | re | n − rR n | e

= 0 f¨ Um ϕ(R) ur beliebige n · n zu erreichen, muß e e =− R r e

R re = R r e

gelten, und somit folgt

re =

R2 re

e = −

R e. re

(3.37)


25

Auch hier ist es interessant, die Kraft auf die La- Außerdem ist | r ± nx a |2 = r2 + a2 ± 2ra cos θ, wodung e zu berechnen. Nach dem Coulombschen Ge- bei θ der Winkel des Betrachtungspunktes r zur xsetz bzw. Gl. (3.8) gilt wieder Achse ist. Wir bleiben mit dem Betrachtungspunkt in der Nähe der Kugel und entwickeln in r/a

w a ≈ . c λ

Insbesondere gilt auch R >> a. Unter diesen Be ) R(t dingungen lautet der f¨ uhrende Term von E: ) = R(t) +w +w R(t (t − t ) = R(t) (4.15) c gilt (mit w(t ) = w(t) = w). Durch Multiplikation ∼ e (w E ˙ × n) × n . 2R c mit R(t ) folgt

) · R(t · R(t ) + w R2 (t ) = R(t) R(t ) c

Wir gehen jetzt davon aus, dass sich nicht eine einzelne Ladung, sondern viele Ladungen im˙ Gebiet der Größe a aufhalten, d.h., ew ˙ → ν eν w ν . Das Feld der gesamten Ladungsverteilung ist dann

bzw. ) w · R(t R(t ) − = R(t) cos α c $

= R(t) 1 − sin2 α .

∼ E

1 ¨ (p × n) × n . c2 Ro

(4.17)

Es gilt nämlich

Aus Abbildung 4.2 geht ferner hervor, dass ∂2 ∂2 ˙ ¨ ρ(τ )τ d3 τ = p w e = ( e τ (t)) = ν ν ν ν c sinα = w sin θt gilt und damit 2 2 ∂t ∂t ν ν (ρ(τ ) = ν eν δ(τ − τν (t))). Hier ist τν der Orts2 ) w · R(t w ν = R(t ) − = R(t) 1 − 2 sin2 θt . (4.16) vektor der νten Ladung. Außerdem haben wir R c c

36

KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN UND DEREN AUSTRAHLUNG

o +τν ≈ R o angenommen, wobei R o der AbstandsR vektor vom Ursprung in der Ladungsverteilung zum Betrachter ist. folgt aus Gl. (4.17) F¨ ur H

S

=

c 2 E n 4π ≈

∼ H

1 c2 R

o

¨ × n) . (p

e2 4πR2 c3

(4.18)

(4.21)

2 w ˙ × (n − wc ) × n n . 6 1 − nc·w

Der Term [...]2 im Zähler können wir mit der baccab Regel bearbeiten und erhalten

Wir erhalten f¨ ur den Poynting-Vektor

2

c n · w w2 E×H [...]2 = ˙ 2 1− w˙ 2 − 1 − 2 (n · w) 4π c c 1

¨ × n) × n × (p ¨ × n) = ( p w ·w ˙ n · w 2 3 ˙ 4πc Ro (n · w) . (4.22) + 2 1− c c

1 ¨) (p ¨ × n) · n +n(p ¨ × n)2 = (n × p 4πRo 2 c3 Der Nenner in Gl. (4.21) wird besonders klein, wenn =0 die Beobachtungsrichtung n parallel zur Geschwin1 ¨ × n)2n . digkeit w ist. D.h., in Geschwindigkeitsrichtung ist = ( p (4.19) 4πRo 2 c3 die Abstrahlung besonders groß. Allerdings gibt es Spezialfälle, die genauere Betrachtung verlangen. Gl. (4.19) zeigt, dass die Abstrahlung des Dipols Einer dieser Spezialfälle ist w w ˙ (Linearbesenkrecht zu p maximal ist. In Richtung der Dipo- schleuniger). Hier sehen wir sofort aus Gl. (4.21) lachse dagegen ist die Abstrahlung Null. Betrachten wir zum Abschluß die vom Dipol e2 w˙ 2 sin2 θ pro Periode T abgestrahlte Leistung Q f¨ ur p = ≈ S (4.23) n , 2 3 po sin (ω(t − Ro /c)): 4πR c 1 − w cos θ 6

S

=

c

Q =

2π

dtRo 0

= =

T

T 1 dt¨ p2 2c3 0 16 π 4 po 2 , 3 λ3

wobei θ der Winkel zwischen n und w ist. Man f¨ beachte, dass |S| ur θ = 0 verschwindet aber f¨ ur θ = π/2 maximal wird. Ein zweiter Spezialfall ist w ⊥w ˙ (Ringbeschleuniger). Hier gilt

π

2

dθ sin θS 0 π

dθ sin3 θ 0

wobei ω = 2π/T und cT = λ ist. Strahlung schneller Ladungen:

(4.20)

e2 w˙ 2 4πR2 c3 1 − n·w 4 c

w2 (n · w) ˙ 2 − 1− 2 6 n . c 1 − n·w ≈ S

(4.24)

c

Wir diskutieren einige Spezialf¨ alle im Grenzfall Man kann zeigen (Aufgabe), dass die Strahlung f¨ ur 1 − wc 0 sei = 1 . Wieder wollen wir das Potenzial mithilfe der Bildladungsmethode berechnen. DiesAbbildung 5.1: Dielektrische Kugel mit Dielektrimal haben wir statt (3.34) a(∞) . Der zitätszahl im homogenen äußeren Feld E Radius der Kugel sei R. Kurze durchgehende Pfeie e 1 1 le in der Kugel illustrieren das geschwächte Feld ϕz>0 (r) = + 1 | r − re | 1 | r − re | i . Die kurzen gestrichelten Pfeile illustrieren das E im positiven Halbraum. Um die beiden Be- Polarisationsfeld. 1 − E 2 = 0 dingungen (5.6) E und (5.7)

• Polarisation einer Kugel im homogenen Feld ⊥1 − D ⊥2 = 0 zu erf¨ D ullen, machen wir den E a(∞) : Die Situation ist in Abbildung 5.1 skizziert. Ansatz F¨ ur das Potenzial des äußeren Feldes setzen wir an:

ϕa = −Ea(∞) z +

e 1 ϕz 1. Somit sind wobei P die Polarisation ist, f¨ ullt den Hohlraum. c hier die Gleichungen f¨ ur die Randbedingungen dieEs ergeben sich folgende Bedingungen: selben wie zuvor aber mit → 1 . a = E a(∞) bzw. ϕ = −E a(∞) r cos θ f¨ (a) E ur r R. Wir sind speziell an der Polarisationsladungsp cos θ (b) ϕi = i r2 f¨ ur r → 0. dichte interessiert, die sich an der Oberfläche des a = a E i + 4π Pc f¨ a f¨ i = i E ur r < R und D ur · P = − ρpol folgt mit- (c) D Hohlraums aufbaut. Aus ∇ r > R. hilfe des Gaußschen Satzes Alle drei Fälle können gleichzeitig behandelt werden, da die Winkelabhängigkeit des Potenzials die

gleiche ist. Generell w¨ urde man ϕ in Kugelfl¨ achen Pi − Pa · n = −σpol , funktionen entwickeln 10 . Hier jedoch gibt es aufgrund der Bedingungen lediglich Terme linear in wobei n in den Hohlraum hinein zeigt. Mit Pi = cos θ. Die allgemeine Lösung lautet daher i = −χi ∇ϕ i und Pa = χa E a = −χa ∇ϕ a folgt χi E

A ϕ (r) = − + Br cos θ . ∂ r2 σpol = χa (5.14) − Ea(∞) r cos θ ∂r Die Konstanten A und B sind innen (Ai , Bi ) und (∞) 1/ − 1 R3 Ea cos θ außen (Aa , Ba ) verschieden und m¨ ussen aus den − 1/ + 2 r2 r=R Randbedingungen bestimmt werden. Immer noch

∂ 3 in allen drei Fällen gilt somit −χi − Ea(∞) r cos θ ∂r 1/ + 2 r=R

1 3 ( − 1) (∞) ϕi (r) = ipr2 − Bi r cos θ (r < R) =− (5.15) Ea cos θ , 4π 1 + 2

(∞) Aa mit χ = −1 . ϕ ( r ) = − + E r cos θ (r > R) a a 4π r2 Aus der Bedingung • Eingebettete kugelf¨ ormige Dielektrika: Wir be∂ϕi ∂ϕa = trachten ein unendliches, homogenes Dielektrikum ∂θ r=R ∂θ r=R mit der statischen Dielektrizit¨ atszahl a . In diesem 9 Dielektrikum eingebettet sei eine dielektrische Ku- tiert.Dieses Beispiel hatten wir oben schon für a = 1 disku10 siehe Kapitel 3 in Referenz [3]; f¨ gel mit der Dielektrizit¨ atszahl i . Der Kugelradius ur Probleme mit axialer Symmeterie gilt allgemein sei R. Wir wollen das elektrische Feld aufgrund der fol∞ l genden drei Quellen berechnen: −(l+1) ϕ=

8 Allerdings

ist hier das Vorzeichen der Oberfl¨ achenladungen gerade umgekehrt wie in Abbildung 5.1 (warum?).

Ar + Br

Pl (cos θ) .

l=0

Die Pl (x) sind die Legendre-Polynome.

5.1. DAS ELEKTROSTATISCHE FELD IM DIELEKTRIKUM (vgl. Gl. (5.6)) erhalten wir zun¨ achst −

p Aa + Bi = 3 + Ea(∞) . i R3 R

(c) Zunächst betrachten wir die Kugel im Vakuum, d. h., i = a = 1. In diesem Fall ist Bi das sogenannte Selbst-Feld der Kugel: (5.16) selbst = − 4π Pc = − pc . E 3 R3

Außerdem muss gelten

(vgl. Gl. (5.7)). Und daraus folgt p Aa + i Bi + 4πPc = −2a 3 + a Ea(∞) . (5.17) R3 R

Aus den Gln. (5.16) und (5.17) erhalten wir schließlich Aa p a − i (∞) 3 4πPc = Ea − − 3 3 R 2a + i 2a + i R 2a + i und

Bi =

3a 2 a − i p 4πPc E (∞) + − . 2a + i a i 2a + i R3 2a + i

Damit ist das Problem in allen drei F¨ allen gelöst, die wir aber kurz getrennt kommentieren wollen: (a) Es gilt p = 0 und Pc = 0 und daher i = E

(5.19)

Wenn wir nun die Kugel mit einem Dielektrikum (a ) umgeben, dann ist Bi − Eselbst das Reaktionsfeld im Fall i = 1:

∂ϕi ∂ϕa −i + 4πPc = −a ∂r r=R ∂r r=R

2

41

3a (∞) E 2a + i a

R = − 4π Pc + 4π Pc = 2(a − 1) pc . E 2a + 1 3 2a + 1 R3 Arten der Polarisation: Oben wurde P als (lokales) Dipolmoment des Dielektrikums pro Volumenelement (bzw. Einheitsvolumen) bezeichnet. Neben dem Fall des konstanten bzw. festen Dipolmoments gibt es verschiedene Möglichkeiten Dipolmomente zu induzieren: verVerschiebungspolarisation (a) Das Feld E schiebt die (Valenz-)Elektronen relativ zu den Ionenr¨ umpfen, die entweder als fest betrachtet werden oder wesentlich träger sind (dynamisches Phänomen!). (b) Das induzierte Dipolmoment entsteht durch eine Verschiebung positiver Ionen relativ zu negativen Ionen. Man bezeichnet (a) als Elektronenpolarisation und (b) als Ionenpolarisation. Orientierungspolarisation bezeichnet die vom Feld induzierte Drehung bzw. Orientierung polarer Molek¨ ule, wie H2 O, HCl oder CO, die ein signifikantes permanentes Dipolmoment besitzen.

bzw. a = E (∞) + a − i R3 ez − 3z r E (∞) E a a 3 5 2a + i r r

Experimentelle Verfahren zur Unterscheidung der verschiedenen Polarisationen beruhen in der Regel ¨ Wir erhalten Ubereinstimmung (bzgl. Ei ) mit unauf deren unterschiedlichen typischen Zeitskalen serem vorherigen Resultat f¨ ur i = und a = 1. (Relaxationszeiten). (b) In diesem Fall beschreibt der Koeffizient Bi den Unterschied zu einem reinen Dipolterm, d. h., Clausius-Mossottische Gleichung: R = 2 a − i p ez E i 2a + i R3

(5.18)

ist das sogenannte Reaktionsfeld des Dielektrikums auf den Punktdipol.

Hauptsächlich in der physikalischen Chemie stößt man häufig auf die Beziehung lok . ppol = αE

(5.20)

42

KAPITEL 5. ELEKTRO- UND MAGNETOSTATIK DER KONTINUA

lok das lokale Feld am Ort eines Atoms Hier ist E oder Molek¨ uls in einem Medium 11 . Die Größe lok in dem Atom oder in dem ppol ist das durch E Molek¨ ul induzierte Dipolmoment. Die Proportionalit¨ atskonstante α, die im allgemeinen Fall wieder eine tensorielle Gr¨ oße ist (!); heißt (isotrope) atomare oder (isotrope) molekulare Polarisierbarkeit. Die Gl. (5.20) erlaubt es, unter noch zu diskutierenden Bedingungen, die mikroskopische Gr¨ oße Polarisierbarkeit mit der makroskopischen Gr¨ oße Dielektrizit¨ atszahl eines Mediums zu verbinden. Dazu gehen wir wie folgt vor. Ein Volumen sei angef¨ ullt mit Molek¨ ulen, die kein permanentes Dipolmoment besitzen. Grunds¨ atzlich soll in unserem Medium ein mittle herrschen, so wie es zu res makroskopisches Feld E Beginn des Abschnitts 5.1 eingef¨ uhrt wurde. Dieses mittlere makroskopische Feld ist u ¨ber die Be1 mit der Poziehung (5.11), also P = 4π ( − 1)E, laristion verkn¨ upft. Andererseits gilt lokal bezogen auf unser Zentralmolek¨ ul

lok = E +E pol . E

pol ein Feld im Zentrum des HohlHier ist E raums aufgrund der Polarisationsladungsverteilung pol gilt daher an dessen Rand. F¨ ur E pol = E

11 Der Einfachheit halber gehen wir hier von nur einer einzigen Sorte Atome bzw. Molek¨ ule aus.

=−

(0)

σpol df R2

cos2 θez

4π (0) σ ez , 3 pol

(5.23)

wobei df zum Kugelzentrum gerichtet ist. Hier ist (0) σpol der richtungsunabhängige Teil von σpol (vgl. oben) und ez ist ein Einheitsvektor in z-Richtung. Gleichzeitig ist das Dipolmoment der Ladungsverteilung σpol gegeben durch

(5.21)

wobei ρ in diesem Fall die Anzahldichte der Molek¨ ule im Dielektrikum ist. Hier wird das gleiche P einmal vom makroskopischen Standpunkt aus betrachtet (in Gl. (5.11)) und einmal vom mikroskopischen Standpunkt aus (in Gl. (5.21))! Um α durch bzw. umgekehrt ausdr¨ ucken zu k¨ onnen, ben¨ otigen wir eine zus¨ atzliche Verbindung lok und E. Dazu greifen wir ein einzelzwischen E nes Referenzmolek¨ ul heraus und nehmen an, dass sich dieses Molek¨ ul in einem effektiven kugelförmigen K¨ afig oder Hohlraum gebildet durch die umgebenden Molek¨ ule befindet. Weiter nehmen wir an, dass die umgebenden Molek¨ ule zu einem homogenen Dielektrikum verschmelzen. Damit entspricht diese Situation dem oben diskutierten Fall eines kugelf¨ ormigen Hohlraums in einem homogenen Dielektrikum. An dieser Stelle gibt es zwei Fortsetzungen. Die Erste, die sich h¨ aufig in den Lehrb¨ uchern findet, ist mehr intuitiver Natur. Sie verkn¨ upft das lokale Feld mit dem mittleren makroskopischen Feld mittels der Beziehung

σpol df R2

=

ppol = R lok , P = ρ ppol = αρE

(5.22)

⎛

⎞ sin θ cos φ 4π 3 (0) σpol ⎝ sin θ sin φ ⎠ df = R σ ez 3 cos θ =P

und daher pol = 4π P , E 3

(5.24)

wobei P wieder die gleiche Polarisation wie oben sein soll! Es ist auch wichtig zu bemerken, dass bei dieser Ableitung lediglich die Symmetrie des Problems eingegangen ist. Insbesondere ist σpol aus Gl. (5.14) abgeleitet f¨ ur einen leeren Hohlraum nicht explizit verwendet worden. Nur die Winkelabhängigkeit, die im Fall des besetzten Hohlraums die gleiche ist, ist eingegangen. Die Kombination der Gln. (5.11), (5.21), (5.22) und (5.24) liefert sofort + 4π P = α−1 ρ−1 P = E 3

4π 4π + −1 3

P ,

d.h.

α=

3 −1 . 4πρ + 2

(5.25)

5.1. DAS ELEKTROSTATISCHE FELD IM DIELEKTRIKUM

43

Dies ist die Clausius-Mossottische Gleichung 12 13 . Jetzt wollen wir den Molek¨ ulen zusätzlich ein Die zweite alternative Fortsetzung berechnet permanentes Dipolmoment p und freie Orientier lok direkt aus den obigen Approximationen. D.h., barkeit verleihen. Treu dem bisherigen Vorgehen E lok ist das Feld am Ort des zentralen Punktdipols ersetzen wir Gl. (5.20) durch den Ansatz E im kugelf¨ ormigen Hohlraum gegeben durch lok E

3 = E + g ppol 2 + 1

lok . ppol + p = (α + α ) E (5.26)

Hier ist p = p cos θez der zeitliche Mittelwert des permanten Dipolmomentes bezogen auf die Richmit lok ( ez ). Diese Beziehung setzt nähetung von E rungsweise voraus, dass der permanente Dipol in 8πρ − 1 lok thermische Richtungsfg= . (5.27) einem mittleren Feld E 3 2 + 1 lok definierte Vorzugsluktuationen um die durch E richtung ausf¨ u hrt. Der Mittelwert

cos θ berechnet Dies entspricht dem Resultat, das wir im Beisich dann gem¨ a ß spiel Eingebettete kugelf¨ ormige Dielektrika f¨ ur Ei erhalten haben. Die Kombination der Gln. (5.11), (5.21) und (5.26) liefert wiederum die Clausius% dΩ cos θeβp·Elok Mossottische Gleichung!

cos θ = % . dΩeβp·E lok Eine Grundvoraussetzung f¨ ur diese Identität der Ergebnisse ist die Gleichheit der Polarisa lok = pElok cos θ. T tion P in Gl. (5.21) verglichen mit P in den Hier ist β = (kB T )−1 und p · E Gln. (5.11) und (5.24). Generell setzt sich P die Temperatur, kB ist die sogenannte Boltzmannaus verschiedenen, oben aufgelisteten, Beiträgen Konstante, und dΩ ist 2π sin θdθ 14 . Die Lösung des (wie Verschiebungs- oder Orientierungspolarisati- Integrals lautet on) zusammen, die durch unterschiedliche Zeitskalen charakterisiert sind. Gl. (5.20) ber¨ ucksichtigt die (hochfrequenten) elektronischen Verschiebun cos θ = L (x) mit x = βpElok , gen, und wir haben in unser Betrachtung bisher angenommen, dass nur dieser Beitrag f¨ ur das gesamm- wobei te P verantwortlich ist. Dementsprechend wird die Clausius-Mossottische Gleichung oft auch als 1 x→0 x L (x) = coth x − −→ x 3 3 ∞ − 1 α= . (5.28) 4πρ ∞ + 2 die Langevin-Funktion 15 ist. F¨ ur gen¨ ugend hohe Temperaturen gilt also geschrieben. Hier ist ∞ der Hochfrequenzgrenzfall der Dielektrizit¨ atszahl. Die Wurzel aus dieser Gr¨ osse ist der Brechungsindex (vgl. Abschnitt 6.3). p2 α = . 12 Clausius, Rudolf Julius Emanuel, Physiker, *K¨ 3kB T oslin (heute Koszalin) 2.1. 1822, †Bonn 24.8. 1888; Mitbegr¨ under der mechanischen W¨ armetheorie; formulierte den 2. Hauptsatz der W¨ armetheorie und f¨ uhrte den Begriff der Entropie c ein. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 13 Mossotti, Ottaviano-Fabrizio, 1791-1863, war ein Italienischer Physiker, der augrund seiner liberalen Ideen ins Exil gehen mußte. Er unterichtete Astronomie und Physik an der Universit¨ at von Buenos Aires. Sein Name ist verbunden mit einem speziellen astronomischen Linsentyp sowie mit der Clausius-Mossotti Gleichung. Quelle: www.wikipedia.org

14 cos θ ist ein Mittelwert im kanonischen Ensemble der statistischen Mechanik. Siehe z. B. R. Hentschke (2004) Statistische Mechanik Wiley-VCH (Abschnitt 6.1). 15 Langevin, Paul, franz¨ osischer Physiker, *Paris 23.1. 1872, ebenda 19.12. 1946; formulierte die erste atomare Theorie f¨ ur Paramagnetismus (Verallgemeinerung des curieschen Gesetzes) und Diamagnetismus; Arbeiten zur brownschen Molekularbewegung und kinetischen Gastheoc rie. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

44


Ersetzen von α in Gl. (5.25) durch α + α liefert die Debyesche Gleichung 16 :

ε δe

p2 3 −1 α+ = . 3kB T 4πρ + 2 Diese Gleichung beinhaltet einen zusätzliche Beitrag der Orientierungspolarisation. Dieser verschwindet mit zunehmender Temperatur. Aus einer Auftragung der (gemessenen) rechten Seite der −1 Debyeschen Gleichung gegen (3kB T ) kann man prinzipiell p und α direkt bestimmen. Allerdings liefert diese Methode nur f¨ ur Gase bei geringen Dr¨ ucken, jedoch nicht f¨ ur Fl¨ ussigkeiten brauchbare Ergebnisse 17 . Auch hier kann gem¨ aß der zweiten alternativen Fortsetzung vorgegangen werden. Das Ergebnis ist diesmal aber nicht wieder die Debyesche Gleichung. Die Details dieser Rechnung, die von Onsager durchgef¨ uhrt wurde 18 19 , und eine Diskussion des Ergebnisses sowie verschiedene 16 Debye, Peter Josephus Wilhelmus, niederl¨ andischer Physiker und Physikochemiker, seit 1946 amerikanischer Staatsb¨ urger, *Maastricht 24.3. 1884, †Ithaca (New York) 2.11. 1966; formulierte u.a. 1912 eine Theorie zur Erkl¨ arung der spezifischen W¨ armekapazit¨ at von Festk¨ orpern (DebyeTheorie) und kl¨ arte die Temperaturabh¨ angigkeit der Dielektrizit¨ atskonstante; erhielt 1936 den Nobelpreis f¨ ur Chemie. c 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 17 Dies ist nicht grunds¨ atzlich der Fall. Im Lehrbuch von P. W. Atkins, Physikalische Chemie (VCH, 1990) findet man im Beispiel 24-2 (Seite 594) eine Auftragung f¨ ur Cam¨ die der Debyeschen Gleichung sehr pher, ein ¨ atherisches Ol, sch¨ on gehorcht. Man kann sich dies dadurch klar machen, indem man die Langevin-Funktion entwickelt und die f¨ uhrende Korrektur zur Debyeschen Gleichung betrachtet. Diese 1 pElok 2 spielt dann keine Rolle, wenn 15 ( k T ) 1 gilt. Wenn B aherung als unabh¨ angig von der Temwir Elok in grober N¨ peratur ansehen, dann kann durch einfache Dimensionsana2 ∝ p2 ρ gefolgert werden, wobei ρ die Anzahldichte lyse Elok der Molek¨ ule im Volumen ist. Damit ergibt sich unter Ver2

ur nachl¨ assigung von numerischen Faktoren ( kp T )2 ρ 1. F¨ B Campher ist die Gr¨ oße auf der linken Seite ungef¨ ahr 0.03 bei T = 300K w¨ ahrend sich f¨ ur Wasser ungef¨ ahr 7.7 ergibt! Es kommt also entscheidend auf die Gr¨ oße des Molek¨ uls im Verh¨ altnis zu seinem Dipolmoment an. 18 L. Onsager (1936) Elektric moments of molecules in liquids J. Am. Chem. Soc. 58, 1486. 19 Onsager, Lars, amerikanischer Physikochemiker norwegischer Herkunft, *Oslo 27.11. 1903, †Coral Gables (Florida) 5.10. 1976; arbeitete u ahigkeit von L¨ osun¨ber die Leitf¨ gen, u ¨ber Elektrolyte, Thermodynamik und statistische Mechanik; stellte eine Theorie zur Isotopentrennung auf. F¨ ur Untersuchungen zur Thermodynamik irreversibler Prozesse c erhielt er 1968 den Nobelpreis f¨ ur Chemie. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

Abbildung 5.2: Ein Leiter befindet sich im Dielektrikum und seine Ladung wird durch Heranf¨ uhren von δe aus dem Unendlichen vergrößert. Erweiterungen findet man im angegebenen Buch von Fröhlich (Kapitel II, §6). Energie einer Ladungsverteilung im Dielektrikum: Wir betrachten die Situation in Abbildung 5.2. Die Arbeit, die geleistet werden muss, um die Ladung e auf dem Leiter zu vergrößern, ist

δw = ϕδe . Hier wird die Ladung aus dem Unendlichen (ϕ = 0) herangef¨ uhrt. Gemäß Gl. (5.8) gilt

e=−

1 4π

· df . D

Man beachte, dass df hier in den Leiter hinein gerichtet ist. Damit folgt

δw = −

1 4π

· df = − 1 ϕδ D 4π

· ϕδ D dV , ∇

wobei sich das Volumenintegral u ¨ber das gesamte Gebiet außerhalb des Leiters erstreckt. Wir schreiben weiter

· ϕδ D = ϕ∇ · δD +δ D · ∇ϕ = −E · δD ∇ =0

und erhalten E · δD δw = dV 4π

(5.29)

5.1. DAS ELEKTROSTATISCHE FELD IM DIELEKTRIKUM bzw. f¨ ur die gesamte Energie U = im Dielektrikum

U=

E·D dV . 8π

δw des Feldes

(5.30)

=

45

1 ·D 0 −D ·E 0 dV E 8π V1 0 = 0 E 0 D 1 ·E 0 dV . = (1 − 0 ) E − 8π V 1 = 1 E D

Der zus¨ atzliche Faktor 1/2 ergibt sich aus der Wenn jetzt 0 die Dielektrizitätszahl das Vakuum ist, also 0 = 1, dann folgt mit Gl. (5.11) angenommenen linearen Beziehung zwischen E 1 und D (vgl. Gl. (5.10)), d.h., E · δ D = 2 δ(E · D). 1 0 dV . U = − (5.32) P · E Ein dielektrisches Objekt im externen E-Feld: 2 V1 Wenn ein dielektrisches Objekt in ein elektrisches Feld, dessen Quellen als fest angenommen werden, eingebracht wird, ¨ andert dies die Energie des Gesamtsystems. Wir wollen diese Energieänderung berechnen. Dazu gehen wir von der urspr¨ unglichen elektrostatischen Energie 1 8π

Dies ist das zu Gl. (3.65) analoge Resultat. Der Faktor 1/2 resultiert hier aus der Polarisierbarkeit des ins Feld eingebrachten Objekts. Die Gln. (5.31) und (5.32) zeigen auch, dass ein dielektrischer Körper die Tendenz hat, sich in Richtung größerer elektrischer Feldstärke zu bewegen (vorausgesetzt 1 > 0 !). Betrachten wir ein Beispiel.

• Punktdipol im Zentrum eines kugelförmigen Hohlraums (i = 1) mit Radius R eingebettet in aus. Das Objekt soll ein Volumen V1 und darin eine ein homogenes unendliches Dielektrikum (a ): Hier 0 das Feld des Dipols Dielektrizit¨ atszahl 1 besitzen. Außerhalb ist diese ist E 0 . Die Energiedifferenz ist dann

p cos θ E0 = −∇ .

1 r2 0 dV , ·D −E 0 · D U= E 8π Dagegen beschreibt P die Polarisation des Dielekwobei der erste Term die Situation nach Einbrin- trikums aufrund von E 0 , d. h. gen des Objektes beschreibt. Mit viel Voraussicht schreiben wir a − 1 P = − ∇ϕa . 4π

1 ·E 0 dV ·D 0 −D U = E Hier ist 8π

1 −D 0 dV , +E 0 · D + E 8π Aa ϕa = − 2 cos θ r denn das zweite Integral verschwindet. Es gilt

× E +E 0 = 0 und daher E +E 0 = mit n¨ amlich ∇ U0 =

0 dV 0 · D E

−∇ϕ. Einsetzen nebst

partieller Integration

liefert % 1 3 · D −D 0 dV = 0, da ∇ · D −D 0 = 0. ϕ ∇ 8π Aa = − p. 2a + 1 Die Dichte der Quellen soll ja konstant sein. Somit folgt Die Form von ϕa entnehmen wir dem obigen Bei¨ spiel auf Seite 40. Insgesamt erhalten wir f¨ ur Ande

rung der potenziellen Energie des Systems durch 1 ·D 0 −D ·E 0 dV U = E (5.31) Einbettung des Dipols in das Dielektrikum: 8π

46


U =−

3 a − 1 2 p 8π 2a + 1

cos θ d3 r ∇ r2 D

die mittlere magnetische Feldstärke bzw. Hier ist B die magnetische Induktion. F¨ ur Nichtleiter, d.h. Dielektrika, gilt

2 .

Das Integrationsvolumen ist der Außenraum der Kugel (also das Dielektrikum). Mit

cos θ ∇ r2

2

2

2 e zr z z ∇ = − 3 r3 r3 r5

1 2 1 − 6 cos θ e · n +9 cos θ z r6

= =

ρv · df = 0 ,

wobei das Integral u ¨ber irgendeinen Körperquerschnitt verläuft, während f¨ ur Leiter = 0 gelten kann. Wir gehen zunächst von (5.36) aus und definieren ×M .

ρv ≡ c∇

=cos θ

=

1 1 + 3 cos2 θ 6 r

2 d r ... D π ∞ 1 = 2π dr 4 dθ sin θ 1 + 3 cos2 θ r R 0 8π = . 3R3 3

D. h. wir erhalten a − 1 p2 . 2a + 1 R3

(5.37)

wird als Magnetisierung bezeichnet. Die Größe M In Analogie zu Gl. (5.4) definieren wir weiter

folgt

U =−

(5.36)

(5.33)

≡H + 4π M , B

(5.38)

×H =0. ∇

(5.39)

d.h.,

und nicht etwa H Man beachte allerdings, dass B die mittlere Feldstärke ist! ? Welches ist die physikalische Bedeutung von M Wir gehen von Gl. (3.62) f¨ ur das magnetische Moment im Vakuum aus, d.h., 1 2c

1 (r × ρv ) dV = 2

×M r × ∇ dV .

Dieses Ergebnis geht auf Lars Onsager zur¨ uck. Eine Anwendung ist die L¨ oslichkeit polarer Molek¨ ule in einer Fl¨ ussigkeit. Wir werden diesen Punkt in Auf- Das Integral kann wie folgt umgeformt werden: gabe 27 wieder aufgreifen (allerdings f¨ ur Monopole

(Ionen). r × ∇ × M dV = r × df × M

×∇ × rdV 5.2 Das magnetostatische − M

Feld im Medium

(Aufgabe). Das Flächenintegral verschwindet an Das zeitunabh¨ angige Magnetfeld in Medien wird der Körperoberfläche, da dort ρv = 0 gilt. Der zwei20 durch Mittelung aus den Gln. (2.35) und (2.38) er- te Integrand ergibt 20 Nebenrechnung: halten: ·B =0 ∇

×B = 4π ρv . ∇ c

(5.34)

×∇ × r M

i

=

ijk jlm Ml ∂m rk

=

(−δil δkm + δim δkl ) Ml ∂m rk

=

=

(5.35)

−Mi ∂j rj + Mj ∂i rj

∇ · −M r

i

+ M

i

5.2. DAS MAGNETOSTATISCHE FELD IM MEDIUM

· r + M = −2M . ×∇ × r = −M ∇ M

47

Hier f¨ uhrt ein äußeres Magnetfeld zur Ausrichtung (Umklappen) der Bereiche als Ganzes. Das zu Gl. (5.43) analoge Gesetz lautet

Daraus folgt 1 2c

χ ∝ |T − Tc |−γ ,

r × ρv dV =

(5.44)

dV . M

(5.40) wobei γ = 1 ist (Curie-Weiß Gesetz) 21 . Tc heißt dann Curie-Temperatur (Fe: Tc = 774o C; Ni: Tc = ist das magnetische Moment pro Volumen- 372o C). Die Relation (5.44) gilt eigentlich f¨ ur hohe D.h., M Temperaturen oberhalb Tc . Sie gilt aber auch in einheit. = E im elektrostati- der unmittelbaren Umgebung von Tc , wobei jedoch Analog der Beziehung D und B durch γ = 1 ist. schen Fall verbinden wir H Dazu einige Erläuterungen: Wir betrachten die Abbildung 5.3 (a), die den einfachsten Fall il = µH , B (5.41) lustriert. Dargestellt ist die Magnetisierung in Feldrichtung aufgetragen als Funktion der Hwobei µ die magnetische Permeabilit¨ at ist. Die Gl. Feldstärke. Der Wechsel von positiven zu negati(5.41) setzt wieder nicht zu große Feldst¨ arken sowie ven Werten bedeutet die Richtungsumkehr der Maein isotropes Medium voraus. gnetisierung bzw. des Feldes. In einem Bereich um Ebenfalls analog zum elektrostatischen Fall defi- den Ursprung ist die Beziehung zwischen M und H nieren wir u ¨ber linear. Dort ist die magnetische Suszeptibilität unabhängig von H. Dies ist der Bereich, der eigentlich von Gl. (5.42) beschrieben wird. Außerhalb dieses µ − 1 = χH = M H (5.42) Bereiches strebt die Kurve gegen die Sättigungs4π magnetisierung. Sie weicht vom linearen Verhalten die magnetische Suszeptibilit¨ at χ. ab. In Experimenten, in denen H zwischen großen positiven und großen negativen Werten kontinuBemerkung: W¨ ahrend f¨ ur alle K¨ orper > 1 gilt, ierlich hin und her variiert wird, beobachtet man gilt hier µ > 0 (siehe §30 in Referenz [2]). Außerin der Regel Hystereseschleifen. Dies ist in Abbildem ist die magnetische Suszeptibilit¨ at in der Regel dung 5.3 (b) dargestellt. Die Hystereseschleife entsehr viel kleiner als die dielektrische Suszeptibilität. spricht metastabilen Zuständen des Probenmaterials. D.h., w¨ urde man unendlich langsam (man sagt: Man unterscheidet im Gleichgewicht) den gezeigten Pfad durchlaufen können, dann ergäbe sich ein Bild wie in (a). Je Paramagnetismus (µ > 1): Die Atome oder nach Ausprägung der Schleife spricht man von maMolek¨ ule dieser Substanzen haben ein eigenes gnetisch weicheren oder härteren Materialien. magnetisches Moment. Ein ¨ außeres Magnetfeld Um die Relation (5.44) zu verstehen, muss man f¨ uhrt zur temperaturabh¨ angigen Ausrichtung. Hier zur Definition der Suszeptibilität in der Gleichgeist die Suszeptibilit¨ at als Funktion der Temperatur wichtsthermodynamik u ¨bergehen: durch das Curie-Gesetz gegeben: χ= χ ∝ T −1 .

(5.43)

Ferromagnetismus (µ 1): Innerhalb mikroskopischer Bereiche sind die atomaren bzw. molekularen Momente vollst¨ andig ausgerichtet (S¨ attigungsmagnetisierung). Die Richtungsverteilung dieser Bereiche (Weißsche Bezirke) ist allerdings isotrop.

∂M . ∂H T,H=0

21 Curie, Pierre, franz¨ osischer Physiker, *Paris 15.5. 1859, †ebenda 19.4. 1906; seit 1904 Professor an der Sorbonne. Curie entdeckte 1880 die Piezoelektrizit¨ at der Kristalle und mit seiner Frau 1898 die radioaktiven Elemente Polonium und Radium. Mit ihr und A.H. Becquerel erhielt er 1903 den c Nobelpreis f¨ ur Physik. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

48


(a)

(b)

(c)

Im angesprochenen linearen Bereich ist dies mit Gl. (5.42) gleichbedeutend. Das Curie-Weiß Gesetz wird jetzt jedoch durch Abbildung 5.3 (c) verständlich. Bei hohen Temperaturen (hier T > Tc ) erhalten wir ein Bild wie im Teil (a) der Abbildung. K¨ uhlen wir die Probe ab und n¨ ahern uns Tc , so wird die Steigung der Magnetisierungskurve immer größer. Bei T = Tc ist sie unendlich. Dies entspricht der Divergenz in der Relation (5.44). F¨ ur T < Tc ändert sich das Verhalten der Magnetisierung qualitativ. Dort macht M einen Sprung bei H = 0. Dieser Sprung entspricht einem Phasen¨ ubergang 1. Ordnung. Das Verhalten von M f¨ ur T → Tc und H → 0 dagegen bezeichnet man als Phasen¨ ubergang 2. Ordnung. Der Index c hat u ¨brigens nicht mit Curie zu tun, sondern steht f¨ ur critical, also kritisch. Das Verhalten von Systemen nahe ihrer kritischen Temperatur wird als kritische Phänomene bezeichnet. Die Erklärung des sogenannten kritischen Verhaltens gehört zu den großen Erfolgen der Physik in den vergangenen 40 Jahren. antiparallel Diamagnetismus (µ < 1): Hier ist M Man kann dies erklären durch die Induktion zu H. von Wirbelströmen in den Atomen, die dann dem entgegengesetzt sind (vgl. unten). Dadurch Feld H ist der Diamagnetismus temperaturunabhängig.

Bemerkung: Analog zu den Gln. (5.6) und (5.7) gilt hier Abbildung 5.3: (a) Magnetisierung M aufgetragen gegen H-Feldst¨ arke. (b) Wird das Feld variert so

durchl¨ auft man in der Regel Hystereseschleifen. Die 1 − H 2 × n = 0 H (5.45) Restmagnetisieung bei H = 0 nennt man Remanenz. (c) Gleichgewichtsmagnetisierung aufgetraund gen gegen H f¨ ur Temperaturen T > Tc , T = Tc und T < Tc . Die Geraden zeigen die Steigungen an

den entsprechenden Punkten. 1 − B 2 · n = 0 . B (5.46) Hier zeigt n in das Gebiet 2. Was aber passiert mit der Tangentialkomponente Dazu integrieren wir Gl. (5.35) u von B? ¨ber einen kleines Längenelement δl, das die Grenzfläche senkrecht schneidet. Man erhält dann

1 − B 2 × n = 4π g , B c

(5.47)

wobei g , die Oberflächendichte des Stromes, durch


δl→0

der Vektor vom Volumenelement zum Hier ist R Beobachtungspunkt. Wenn wir es mit d¨ unnen Drähten zu tun haben gilt weiter

δl/2

g = lim

−δl/2

49

ρv dl

gegeben ist (vgl. [2] §27).

jdV ≈ Idl ,

Biot-Savartsches Gesetz im Kontinuum:

wobei I der durch den Leiter fließende Gesamtstrom ist, und dl ist ein gerichtetes Linienelement. Die Behandlung konstanter Str¨ ome im Abschnitt Bemerkung: Tatsächlich sind wir hier nicht auf 3.3 l¨ aßt sich hier u ¨bernehmen. Ausgangspunkt sind den Fall µ = 1 beschränkt, da der Leiterdurchmesdiesmal die Gleichungen ser und damit zusammenhängende Grenzbedingungen gar nicht auftreten. D.h., ·B =0 ∇ dl × R und = µI B . (5.50) c R3 ×H = 4π j Dies ist wieder das Biot-Savatsche Gesetz – aber ∇ c diesmal f¨ ur magnetisch permeable Medien. Hier ist j die Dichte des Leitungsstroms22 . Man beachte jedoch ×M + j ,

ρv = c∇ ×M keinen Beitrag zum wobei aber der Term c∇ Nettostrom (Integral u ¨ber Leiterquerschnitt) lie ≡∇ ×A fert. Statt Gl. (3.57) erhalten wir mit B und Gl. (5.41) =− ∆A

4π µj , c

und U f¨ F , N ur j in B: ein externes Feld und j eine begrenzte Es sei B Stromdichte. Gemäß der Gleichung f¨ ur die LorentzKraft ist 1 F = c

r)d3 r j(r) × B(

(5.51)

die Gesamtkraft auf die Stromverteilung j (r) im (5.48) Volumen. Entsprechend gilt f¨ ur das Drehmoment

wobei µ = konstant angenommen wurde. Bei der L¨ osung von Gl. (5.48) m¨ ussen nat¨ urlich die oben = 1 r × (j × B)d 3r . N (5.52) diskutierten Bedingungen an den Grenzen zwic schen zwei Medien ber¨ ucksichtigt werden (vgl. Gl. (r) um einen geeigneten Ursprung ent(5.46)). Wenn wir B Die Gl. (5.48) l¨ aßt sich leicht l¨ osen, wenn sowohl wickeln, so folgt im Medium als auch im umgebenden Raum µ = 1 gilt (z. B. µKupf er − 1 = −9.7 · 10−6 ;µSauerstof f −

(r) = B (0) + r · ∇ B (0) + ... . 1 = −1.9·10−6 ) und die Str¨ ome auf einen endlichen B (5.53) Raumbereich beschr¨ ankt sind. Analog zu (3.60) folgt Einsetzen in Gl. (5.51) ergibt =H =1 B c

j×R dV . R3

(5.49)

22 Da wir es hier grunds¨ atzlich mit gemittelten Gr¨ oßen zu tun haben, lassen wir die Klammern ... weg.

1 jj (r) Bk (0) d3 r ijk c

Bk (0) d3 r + ... . + jj (r) r · ∇

Fi =

50


Der erste Term verschwindet f¨ ur Integrationsge- Man beachte, dass df = 12 τ × dl gilt, wobei df das biete, die die Stromverteilung einschließen 23 . Der vektorielle Flächenelement ist, das durch τ und dl zweite Term kann so umgeschrieben werden, dass aufgespannt wird. Folglich gilt 25 in f¨ uhrender Ordnung gilt I

m = df . (5.58) Bk (r) |r=0 c Fi = ijk m ×∇ j

24

Energiestrom im Leiter:

Dies kann als F

×E = 0 sowie ∇ ×H = 4π j Ausgehend von ∇ c folgt wie am Ende des Kapitels 2 schon gezeigt die stationäre Energie-Kontinuitätsgleichung

×B m ×∇

m −m ·B = ∇ ·B ∇

=

=0

und damit als

·S = j · E −∇

(5.59)

= c E ×H . S 4π

(5.60)

mit

m F = ∇ ·B

(5.54)

geschrieben werden. Diese N¨ aherung ist dann gut, Die rechte Seite beschreibt die pro Zeit und Volu in dem von m wenn sich B eingenommenen Volu- men durch das Feld geleistete mechanische Arbeit men wenig ¨ andert. Analog findet man an den verschobenen Ladungen, die den Strom ausmachen. Diese Arbeit verteilt sich im Leiter und geht in Wärme u oßen ¨ber (Joulsche Wärme). Die Gr¨ =m (0) . N ×B (5.55) j und E sind miteinander verkn¨ upft, wobei diese upfung von der Art des Leiters abhängt. Oft Aus Gl. (5.54) folgt direkt f¨ ur ein permanentes Mo- Verkn¨ kann man von einer einfachen Proportionalit¨ at aus ment m dessen Energie im B-Feld: gehen . U = −m ·B

(5.56)

. j = σ E

(5.61)

Das magnetische Moment f¨ ur Leiterschleifen:

(Ohmsches Gesetz) 2627 . Der Koeffizient ist eine temperaturabhängige Materialkonstante und wird Entsprechend Gl. (3.62) gilt in diesem Fall elektrische Leitfähigkeit genannt 28 . Mit dem Ohmschen Gesetz folgt f¨ ur die oben erwähnte W¨ arme leistungsdichte eines homogenen Leiters I m = τ × dl . (5.57) % 25 Insbesondere ist 2c df nicht von der Form der Fl¨ ache, % die die Leiterschleife begrenzt, abh¨ angig. 23 3

Zu zeigen ist jj d r = 0 (im Mittel). Dies wurde bewiesen bei der Herleitung von Gl. (3.61). 24 Am besten ersetzt man die Kreuzprodukte durch die Komponentenschreibweise mittels des klm und arbeitet r¨ uckw¨ arts. Produkte der ... k¨ onnen mittels der δ-Identit¨ at (vgl. Anhang) ausgedr¨ Dann ben¨ otigt man nur % uckt3 werden. % ur lokalisierte noch die Identit¨ at rj jm d r+ rm jj d3 r = 0 f¨ Stromverteilungen. Die Identit¨ mit % at ist leicht zu beweisen + g(j · ∇)f ]d3 r = 0, einer allgemeineren Form: [f (j · ∇)g wobei f (r) = rj und g(r) = rm gesetzt wird. Die verallgemeinerte Identit¨ at beweist man durch partielle Integration · j = 0 (im Mittel). und mittels ∇

26 Ohm, Georg Simon, Physiker, *Erlangen 16.3. 1789, †M¨ unchen 6.7. 1854; Gymnasiallehrer, Professor in M¨ unchen. Er entdeckte 1826 das nach ihm benannte Gesetz der Stromleitung (ohmsches Gesetz); weitere Arbeiten betrafen die physiologische Akustik und die Interferenz linear polarisierten Lichts beim Durchgang durch einachc sige Kristalle. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 27 im anisotropen K¨ orper gilt ji = σik Ek . σik ist der Leitf¨ ahigkeitstensor. 28 sollte nicht mit der Fl¨ achenladungsdichte verwechselt werden


2 = σE 2 = j j · E σ

(Joule-Lenzsches Gesetz)

29 30

51

(5.62)

.

δw =

H · δB dV . 4π

(5.64)

Dies ist formal 32 analog zu Gl.(5.29)! Entsprechend gilt f¨ ur die Gesamtenergie U

Energie magnetischer Felder in Materie: H ·B U= dV . 8π

an den Im Zeitintervall δt leistet das Feld E Str¨ omen die Arbeit δt

Ein µ-Objekt im externen B-Feld:

j · EdV .

Die daf¨ ur notwendige Arbeit δw einer ¨ außeren EMK (elektromotorische Kraft ) ist gerade das Nec gative dieses Ausdrucks. Setzt man j = 4π ∇×H ein, so gilt

δw

c · ∇ ×H dV = −δt E 4π

c ×H df = δt E 4π

Wenn ein Objekt mit Permeabilität µ1 in ein magnetisches Feld gebracht wird, dessen Quellen (Ströme) fest sind, ändert dies die Energie des Ge durch B samtsystems 33 . Hier wird die Rolle von E durch H. Man kann u ¨bernommen und die von D dann zeigen (Aufgabe), dass die Energieänderung U durch

U=

· ∇ ×E dV . H

Wir setzen

U ×E = − 1 ∂B ∇ c ∂t

ein

31

1 8π

·H 0 − H ·B 0 dV B

V1

gegeben ist. Hier ist V1 das Volumen des Objekts. Der Ausdruck kann umgeschrieben werden in

=0(imU nendlichen)

c −δt 4π

(5.65)

= =

(5.63)

= δt∂B/∂t und erhalten mit δ B

29 Joule, James Prescott, britischer Physiker, *Salford (bei Manchester) 24.12. 1818, †Sale (County Cheshire) 11.10. 1889; einer der Entdecker des Energiesatzes. Er bestimmte die Menge der durch mechanische Arbeit erzeugten W¨ arme (mechanisches W¨ arme¨ aquivalent), untersuchte die innere Energie der Gase und entdeckte mit W.Thomson bei Gasdrosselversuchen den Abk¨ uhlungseffekt (Joule-Thomsonc Effekt); fand 1841 das Joule-Gesetz. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 30 Lenz, Heinrich, russischer Physiker deutscher Herkunft, *Dorpat (heute Tartu) 24.3. 1804, †Rom 10.2. 1865; brachte durch Anwendung des Peltier-Effekts Wasser zum Gefrieren, stellte die lenzsche Regel f¨ ur die Richtung eines induzierten c elektrischen Stromes auf (Induktion). 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 31 beachte: H ist im Gegensatz zu E nicht der Mittelwert der echten mikroskopischen Feldst¨ arke.

1 ·H 0 dV (µ1 − µ0 ) H (5.66) 8π V1

1 1 1 B · B0 dV . − 8π V1 µ0 µ1

Sowohl µ0 als auch µ1 können ortsabhängig sein. Sie sind aber als unabhängig von der Feldstärke angenommen. Wenn das Objekt sich im Vakuum befindet (µ0 = 1), so folgt 1 U= 2

·B 0 dV . M

(5.67)

V1

Dieses Resultat entspricht wieder (bis auf das Vorzeichen) der Gl. (5.32).

32 und 33 Vgl.

jekts

verlassen kurzzeitig die Magnetostatik den oben diskutierten Fall des dielektrischen Ob-

52


Kapitel 6

Elektrodynamik der Kontinua 6.1

Elektrodynamik einfacher Stromkreiselemente:

Induktionsgesetz f¨ ur bewegte Leiter:

d r df ds

Wir bewegen einen d¨ unnen Draht im Magnetfeld. Dies bewirkt eine Lorentz-Kraft FL auf die Ladungstr¨ ager im Draht:

B

A(t) A(t+dt)

e . FL = v × B c Wenn sie k¨ onnen, bewegen sich die Ladungen und diese Bewegung k¨ onnen wir uns auch aufgrund ei- Abbildung 6.1: Eine bewegte Leiterschleife. Die Schleife bewegt sich in der Zeit dt um dr. dr und ds nes E-Feldes vorstellen: spannen das gezeigte Flächenelement auf df auf. ind = FL = 1 v × B . E e c

1 . Hier steht ind f¨ ur induziert. Wenn der Draht die ge ϕind = dt−1 df · B c dA schlossene Raumkurve ∂A beschreibt, dann erhält man so an den Leiterenden die Potenzialdifferenz Hier ist dA gerade die Mantelfläche, die die Ränder oder Spannung der Flächen A (t) und A (t + dt) verbindet. Auf ·B = 0 1 , läßt sich dieses Integral grund von ∇

schreiben als ind · ds = 1 · ds ϕind = E v × B c ∂A ∂A " # 1 . (6.1) 1 = (ds × v ) · B ϕind = − df · B + df · B . c ∂A cdt A(t) A(t+dt) Die Gr¨ oße ds × v bzw. ds × (dr/dt) hat die in AbDie Flächenelemente zeigen dabei nach außen, bebildung 6.1 dargestellte geometrische Bedeutung. zogen auf das durch A (t),A (t + dt) und dA begrenzte Volumen. Wenn wir nun die Richtung der Das Integral ist also gerade der magnetische Fluß % % 10 = · BdV wobei ∂V = A (t) + durch die Summe dieser Fl¨ achenelemente in der ∇ = df · B, V ∂V Zeit dt, d.h., A (t + dt) + dA gilt. 53

54

KAPITEL 6. ELEKTRODYNAMIK DER KONTINUA

Fl¨ achenelemente auf A (t) umdrehen, so dass es in die Richtung des Fl¨ achenelements auf A (t + dt) weist, folgt endg¨ ultig

Impedanz eines Leiters:

Wenn eine zeitliche veränderliche Spannung ϕ (t) an den Leiterenden anliegt, f¨ uhrt dies zu einem zeitlich ver¨ a nderlichen Fluss im Leiter der 1 d ϕind = − df · B (6.2) eine entgegengesetzte Spannung ϕind (t) hervorc dt A ruft, so dass aus (6.3) jetzt Dies entspricht der Gl. (2.39), wobei wir erst jetzt gezeigt haben, warum die Zeitableitung vor das Ind L ϕ (t) − I (t) = RI (t) (6.7) tegral geh¨ ort! Aus dem Faraday-Gesetz wird so das dt c2 ¨ Induktionsgesetz. Jede Anderung des magnetischen wird 2 . L ist die (hier konstante) Induktivit¨ at, Flusses die von der Leitergeometrie sowie dessen Materi al abhängt. Daß der zweite Term in Gl. (6.7) diese Φ= df · B Form hat, kann man sich leicht aus der KombinaA |∝ I u tion der Gl. (6.2) mit | B ¨berlegen. Es ist u blich, durch Einsetzen der komplexen ¨ wobei sich sowohl die Fl¨ ache A als auch B als −iωt Gr¨ o ßen ϕ (t) = ϕ e und I (t) = I0 e−iωt 0 auch die relative Orientierung von df und B 3 in Gl. (6.7) , d.h., u ber ¨ andern k¨ onnen, f¨ uhrt zu einer Induktionsspan¨ nung. Dabei gilt die Lenzsche-Regel, die besagt,

dass der induzierte Strom so gerichtet ist, dass i ϕ (t) = R − 2 ωL I (t) , (6.8) seine magnetische Fluss¨ anderung der erzeugenden c entgegengesetzt ist (Aufgabe). den komplexen Widerstand Ohmscher Widerstand:

i Wir betrachten einen zylindrischen Leiter zwiZ ≡ R − 2 ωL (6.9) c schen zwei senkrechten Schnittfl¨ achen A1 und A2 . Die elektrische Spannung zwischen den Flächen ist des Leiters zu definieren 4 . Die reelle Stromamplitude ist ϕ2 2 · ds ϕ12 = − ∇ϕ (6.3) dϕ = − ϕ0 1 ϕ1 I (t) = $ cos (ωt − δ) , (6.10) 2 2 2

R + ω 2 L2 /c4 1 (5.64) · ds = j · ds = E (6.4) 1 1 σ wobei 2 ds =I ≡ RI . (6.5) 1 σA ωL δ = arctan 2 (6.11) c R Die Gr¨ oße R ist der Ohmsche Widerstand des Drahtes. 2 Man kann dies auch uberlegen, indem man die Energie¨ Definitionsgem¨ aß wird die Arbeit pro Zeiteinheit, erhaltung via also die Leistung Q, die das elektrische Feld an d L I2 den Landungen, die den Strom ausmachen, leistet, ϕI = RI 2 + dt 2 c2 durch Q = ∆ϕ · I = RI 2 gegeben. Man spricht vom Jouleschen Gesetz.

(6.6)

betrachtet! 3 Da Gl. (6.7) linear in den komplexen Gr¨ oßen ist, funktioniert dies! 4 In der Elektrotechnik bezeichnet Z ublicherweise den ¨ Betrag von (6.9), d.h., Z =

R2 +

ω 2 c2

L

. Diese Gr¨ oße

wird Scheinwiderstand oder Impedanz bezeichnet.

6.1. ELEKTRODYNAMIK EINFACHER STROMKREISELEMENTE: die Phasenverschiebung zwischen I (t) in Gl. (6.10) und ϕ beschreibt.

55

δ = arctan

ωL 1 − 2 c ωC

1 . R

(6.15) 1. Bemerkung: Zur expliziten Berechnung Die im zeitlichen Mittel dissipierte Leistung in von Z (w) in einem Draht muss der Skineffekt ber¨ ucksichtigt werden, wonach sich der Strom bei diesem Stromkreis ist zunehmender Frequenz haupts¨ achlich auf die Gebiete in der N¨ ahe der Leiteroberfl¨ ache konzentriert Q = Re{ ϕ}Re{I} (vgl. §46 in Referenz [2]). 1 cos δ 2 = ωL ∆ϕo , 2 1 2 2 2. Bemerkung: Befindet sich eine Spule in dem R + c2 − ωC betrachteten Leiter, so erscheint auf der linken wobei Re{I} durch (6.14) gegeben ist. Seite von (6.7) ein weiterer Term − 1c dΦ dt , der die Fluss¨ anderung in dieser Spule beschreibt (entweder 4. Bemerkung: F¨ ur einfache Stromkreise aus nur durch Selbstinduktion oder durch zus¨ atzliche induktive Kopplung). Dieser Term kann in der Ohmschen Drähten, Spulen und Kondensatoren d L können wir somit leicht den Strom I (t) berechnen. Regel auch als − dt c2 I geschrieben werden, wobei Dazu m¨ ussen wir einfache lineare DifferentialgleiL die Induktivit¨ at der Spule ist (Aufgabe). chungen des Typs (6.12) lösen. Bei verzweigten ussen wir dabei die Spannungs3. Bemerkung: Bei angelegter Wechselspannung Stromkreisen m¨ 5 kann auch in einem unterbrochenen Leiter ein abfälle in dem geschlossenen Teilkreis zu Null Strom fließen. Hier soll diese Unterbrechung ein aufaddieren (Energieerhaltung) und die Summe Kondensator sein. Aus der Energieerhaltung folgt der Ströme, die in einem Leiterknoten zusammendies - und f¨ ur einen Draht mit Spule 6 und Kon- treffen ist ebenfalls Null (1. Kirchhoffsches Gesetz 8 ; Ladungserhaltung). densator Beispiel - Induktivität eines (geraden) Drahtes: Wir betrachten einen linienförmigen Leiter (6.12) und gehen davon aus, dass sich die Induktivität hauptsächlich aus der Feldenergie außerhalb des Hier ist C die Kapazit¨ at, wobei wir die Feldenergie Leiters bestimmt. Wir berechnen daher 1 des Kondensators via 8π E 2 V aus den Gln. (3.28) und (3.30) bestimmt haben. Die Induktivität des µa Drahtes selbst ist vernachl¨ assigt! Analog zu Gln. H 2 2πrdr 8π 7 (6.9), (6.10) und (6.11) erhalten wir d L 2 d e(t)2 ϕI = I + + RI 2 . 2 dt 2c dt 2C

Z =R−i

ωL 1 − c2 ωC

(6.13)

sowie f¨ ur die reelle Stromamplitude ϕ0 cos (ωt − δ) I (t) = 1 2 R2 + ωL c2 − ωC und 5 bzw.

zeitlich ver¨ anderlicher Spannung etc. ist %zeitlich konstant 7 man beachte: e = Idt 6 Geometrie

(6.14)

8 Kirchhoff, Gustav Robert, Physiker, *K¨ onigsberg (Pr) 12.3. 1824, †Berlin 17.10. 1887; stellte 1845 bereits als Student in K¨ onigsberg weit allgemeiner als G.S. Ohm die Gesetze der Stromverzweigung auf (kirchhoffsche Regeln). 185054 Professor in Breslau, ab 1854 in Heidelberg, wo er zusammen mit R.W. Bunsen 1859/60 Untersuchungen zur Emission und Absorption des Lichts durchf¨ uhrte, die die Grundlage der Spektralanalyse darstellten und zur Aufstellung des kirchhoffschenStrahlungsgesetzes (1859) f¨ uhrten. Mit der Spektralanalyse konnte er die fraunhoferschen Linien als Absorptionslinien erkl¨ aren und entdeckte dadurch zusammen mit Bunsen die Elemente C¨ asium und Rubidium. In diese Zeit f¨ allt auch die Definition des schwarzen Strahlers (1862, schwarzer K¨ orper). Kirchhoff behandelte außerdem Fragen der Mechanik, der Akustik (Erkl¨ arung der ChladniFiguren) und der Elektrizit¨ atsleitung, wobei er 1857 erkannte, dass diese ann¨ ahernd mit Lichtgeschwindigkeit erfolgt. c 1875-86 war Kirchhoff Professor in Berlin. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

56


R −

r

α

Leiter

L dI = RI c2 dt

bzw.

dl

dI c2 R =− dt I L

Abbildung 6.2: Geometrie zum Beispiel: Induktivit¨ at eines Drahtes. oder (a f¨ ur außerhalb), die magnetische Feldenergie au gilt ßerhalb des Leiters pro L¨ angeneinheit. F¨ ur H =I H c

dl × R 3 R

|= dlR | sin α |= (vgl. Abbildung 6.2). Mit | dl × R dlr folgt Ir H=2 c

0

dl

=

I (t) = I (t = 0) e−

c2 R L dt

Man beachte, je kleiner τ −1 = dauert der Stromabfall.

6.2

.

c2 R L

desto l¨ anger

Elektromagnetische Wellen in Materie

h 2Ir , c 2r2 h2 + r2 4

Wir betrachten die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in unendlich ausgedehnten, homognenen ruhenden Medien. Diese seien durch die Mawobei h die Leiterl¨ ange ist 9 . F¨ ur die Magnetfeld- terialkonstanten und µ charakterisiert. Wir beenergie außerhalb des Leiters folgt schränken uns auf normal polarisierbare und magnetisch isotrope Substanzen. Es gilt dann: ∞ 2 2 µa I 2 dr I h h2 ≈ hµa 2 ln h h 2 2 4 c c 2a = E B = µH j = σ E r 4 +r a D −h/2 (l2

=2 ln

+

3/2 r2 )

h2 +4a2 4a2

Mit ρ = 0 erhalten wir die Maxwell Gleichungen

wobei a der Drahtradius ist (a h). F¨ ur die Induktivit¨ at L folgt L ≈ 2µa h ln

h 2a

durch Vergleich mit

×H = E ˙ + 4πσ E ∇ c c

(6.16)

×E = −µH ˙ ∇ c

(6.17)

·H =0 ∇

(6.18)

L I2 . 2 c2 Beispiel - Ausschaltvorgang: Wir betrachten Gl. (6.7), wenn die Spannung zur Zeit t = 0 abgeschaltet wird. Es gilt dann 9 Den Beobachtungspunkt in der Mitte des Leiters zu legen, ist eine Vereinfachung, die jedoch das Ergebnis nicht wesentlich ver¨ andert.

·E =0. ∇ (6.19)

× ∇ ×H =∇ ∇ ·H − ∆H folgt mit Aus ∇ (6.16) und (6.17)

6.2. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN IN MATERIE

57

ein orthogonales Rechtssystem bilden (aber und H |=| H |). diesmal |E = µ H ¨ + 4πµσ H ˙ . ∆H (6.20) Wir bestimmen zunächst den Zusammenhang c2 c2 zwischen k und ω, die sogenannte Dispersionsre

Analog folgt aus (6.17) zusammen mit (6.16) und lation. Aus k × k × H = k k · H − Hk 2 folgt (6.19) mit (6.25), (6.28) und (6.26) = ∆E

µ ¨ 4πµσ ˙ E+ 2 E. c2 c

(6.21)

= k2 H

Diese Gleichungen heißen Telegraphengleichungen. F¨ ur Isolatoren (σ = 0) sind (6.20) und (6.21) d.h., gew¨ ohnliche Wellengleichungen. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist dann c cIsolator = √ µ

=H 0 exp i k · r − ωt H ,

k2 =

ηµ 2 ω c2

(6.29)

(6.22) bzw.

Wir hatten schon erw¨ ahnt, dass frequenzabh¨ angig ist ( = (ω)). Das Gleiche gilt f¨ ur (σ = σ (ω)). Wir machen den Ansatz

= E0 exp i k · r − ωt E

ω ω η µH , c c

√ | k |=

µ c

1+

4πσ 2 ω

2 1/4 ω

(6.30)

Interessant ist der Spezialfall einer ebenen Welle (6.23) (in x-Richtung), die von einem Medium mit σ = 0 auf ein Medium mit σ = 0 trifft. Während die ebene Welle f¨ ur σ = 0 ungedämpft ist, folgt aus k = α+iβ eingesetzt in Gl. (6.29) (6.24)

der nat¨ urlich nur eine Frequenz- bzw. Fourier-Kom⎛ ⎞1/2 4πσ 2 ponente enth¨ alt. Mit ∂i Ej = iki Ej bzw. ∂i Hj = +1 √ ω ⎝ 1 + ω ⎠ α = ± µ ×E = ik × E bzw. ∇ ×H = iki Hj folgt dann ∇ c 2 und ∇ ·E = ik · E bzw. ∇ ·H = ik · H. Daik × H her ergeben (6.23) und (6.24) eingesetzt in (6.16) sowie bis (6.19) k × H = − ω ηE c k × E = ω µH c k · E =0

(6.25)

⎛ ⎞1/2 4πσ 2 −1 √ ω ⎝ 1 + ω ⎠ β = ± µ c 2

(6.26) (f¨ ur positives β muß α ebenfalls positiv sein). Insbesondere muß die Welle im σ = 0-Medium wie folgt abklingen: (6.27) ei(kx−ωt) = ei(αx−ωt) eβx .

k · H =0,

ussen α und (6.28) Damit dies physikalisch sinnvoll ist, m¨ β nat¨ urlich positiv sein. Die Größe 1/β wird als wobei η = + 4πiσ ω eine verallgemeinerte Dielektri- Eindringtiefe bezeichnet. D.h., nach der Strecke x = β ist die Wellenamplitude auf das 1/e-fache zit¨ atskonstante ist. Wir sehen, dass auch jetzt k, E

58 reduziert.

KAPITEL 6. ELEKTRODYNAMIK DER KONTINUA und j um einer Phasenverschiebung zwischen E π/2 ...e−iωt ≈ ...eiπ/2 ...e−iωt = e−i(ωt−π/2) .

Frequenzabh¨ angigkeit der Leitf¨ ahigkeit: Betrachten wir zum Schluß noch die Divergenz Wir nehmen an, dass f¨ ur die beweglichen La- von Gl. (6.32): dungstr¨ ager das Newtonsche Gesetz gilt:

· j˙ + 1 ∇ · j = ∇ ≈ eρstat ∇ ·E . (6.36) eρ E ∇ k − ξvk τ m m mv˙ k = eE (6.31) ·E = 4π−1 ρ und ρ˙ = −∇ · j folgt Hier ist m die Masse und vk die Geschwindig- Mit ∇ keit der kten Ladung e. Ek ist das elektrische Feld, und ξ ist ein Reibungskoeffizient, den wir 0 = ρ¨ + τ −1 ρ˙ + ωP2 ρ (6.37) zun¨ achst bestimmen wollen. Dazu schreiben wir j = 1 vk , wobei ∆V ein Volumenelement k e ∆V ist, in dem sich die k Ladungen befinden. Außer- mit durch E k gegeben sein dem soll das mittlere Feld E (N¨ aherung !). Aus (6.31) wird dann 4πσ0 4πeρstat ωP = − = . (6.38) τ m ˙ − ξj , mj = eρE (6.32) Gl. (6.36) beschreibt gedämpfte Schwingungen der Dichte der Ladungen (man spricht auch von einem wobei ρ die Dichte der Ladungen im VolumenelePlasma). Die Größe ωP wird als Plasmafrequenz ˙ ment ist. Im station¨ aren Fall, j = 0, folgt mit bezeichnet. In der Festkörper spricht man im j = σ0 E Zusammenhang mit der Anregung bestimmter Frequenzen im Elektronenplasma auch von Plasmonen. eρstat ξ= , (6.33) σ0 Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: wobei σ0 die Gleichstromleitf¨ ahigkeit ist. Wenn an den betrachteten Leiter ein Feld mit ¨ Wir betrachten das einfache Beispiel der Uberladem Zeitverhalten E ∼ e−iωt angelegt wird, ist gerung zweier Wellen mit gleicher Amplitude und es sinnvoll, f¨ ur j ebenfalls j ∼ e−iωt anzuneh- verschiedenen aber benachbarten Frequenzen (ω1 , men. Damit und mit (6.33) folgt aus Gl. (6.32) k1 und ω2 , k2 ): = σ −1 (ω) j. Dabei ist E

u (x, t) = A ei(k1 x−ω1 t) + ei(k2 x−ω2 t) σ0 σ (ω) = (6.34) k1 +k2 ω1 +ω2 1 − iωτ = Ae i 2 x−i 2 t

k1 −k2 ω1 −ω2 k2 −k1 ω2 −ω1 und die D¨ ampfungszeit × ei 2 x−i 2 t + ei 2 x− 2 t

k1 − k2 ω1 − ω2 = 2A cos x− m mσ0 2 2 τ= (6.35) = ξ eρstat k +k ω +ω i 1 2 2 x−i 1 2 2 t ×e 10 . F¨ ur kleine Frequenzen ωτ 1 gilt σ (ω) ≈ σ0 w¨ ahrend f¨ ur hohe Frequenzen ωτ 1 die Durch diese Umformung ist die Welle in einen mit Leitf¨ ahigkeit rein imagin¨ ar ist. Dies entspricht ω1 − ω2 langsam oszillierenden Amplitudenfaktor und einen mit ω1 + ω2 schnell oszillierenden Pha10 Die Bedeutung von τ als D¨ ampfungszeit ersieht man aus ausschaltet (vgl. den oben betrach- senfaktor aufgespalten. Die Phase bewegt sich mit Gl. (6.32), wenn man E der Geschwindigkeit teten Ausschaltvorgang).

6.3. REFLEXION UND BRECHUNG

59 Entsprechend gelten f¨ ur die gebrochene und die reflektierte Welle die gleichen Beziehungen. Außerdem gelten die Grenzbedingungen (5.6), (5.7), (5.45) und (5.46) (es sollen keine Oberflächenladungen oder -ströme auftreten). Damit diese unabhängig von Ort und Zeit in der ganzen Grenzfläche gelten können, folgt

· r −ω t)

ei(k·r−ωt) = ei(k ·r−ω t) = ei(k Abbildung 6.3: Brechung und Reflexion an der und daher Grenzfl¨ ache zweier Medien.

vp =

ω1 + ω2 ω ≈ k1 + k2 k

k · r − ωt = k · r − ω t + 2πm1 = k · r − ω t + 2πm2 (6.39)

f¨ ur alle t (m1 , m2 ∈ IN). F¨ ur r = 0 und t = 0 folgt (mit ω1 ≈ ω2 ≈ ω). Die Amplitude (Wellengruppe) m1 = m2 = 0. F¨ ur r = 0 und t = 0 gilt damit bewegt sich mit der geringeren Geschwindigkeit ω1 − ω2 ∼ dω vg = . = k1 − k2 dk

ω = ω = ω ,

(6.43)

(6.40)

d.h., es erfolgt keine Frequenzänderung bei der BreDie Energie einer Welle wird durch die Ampli- chung bzw. der Reflexion. Weiterhin haben wir tude bestimmt. Die Gruppengeschwindigkeit gibt somit auch die Geschwindigkeit des Energietransω√ ω √ ports an. Da in einem Medium in der Regel vp von k= µ = µ = k (6.44) c c der Frequenz abh¨ angt, sind die Phasengeschwindigkeiten verschiedener Wellen verschieden. Man spricht von Dispersion. Nur in einem dispersions- d.h., der einfallende und reflektierte Wellenvektor sind betragsmäßig gleich. Und es gilt freien Medium gilt vp = vg .

6.3

Reflexion und Brechung

k · r |z=0 = k · r |z=0 = k · r |z=0 .

(6.45)

Aus dieser Beziehung folgt, dass alle drei k-Vektoren in der gleichen Ebene liegen, der sogenannten ur die spezielle Wahl r = ex folgt Wir betrachten den Einfall einer elektromagne- Einfallsebene 11 . F¨ weiter tischen Welle unter einem Winkel α auf die Grenzfl¨ ache zweier unterschiedlicher isotroper Medien wie in Abbildung 6.3 gezeigt. k sin α = k sin β = k sin γ (6.46) Die einfallende Welle sei Snelliussches Brechungsgesetz:

=E 0 ei(k·r−ωt) . E

(6.41)

und mittels k = k ist

Gem¨ aß den Gln. (6.26) und (6.29) (mit σ = 0) gilt = √µ k × E . B k

sin α = sin γ 11 Dies

bzw. α = γ

(6.47)

sieht man, wenn r senkrecht zu einem der k-Vek-

(6.42) toren gewählt wird.

60


Einfallswinkel und Reflexionswinkel sind also gleich. Aus (6.46) erhalten wir außerdem das Snelliussche Brechungsgesetz 12 √ sin α µ λ1 k n c1 = , = = √ = = sin β k µ n c2 λ2

=

n · S =

c } } × Re{H

n · Re{E 4π &

' c ,

Re n · E∗ × H 8π

(6.48)

wobei n der Normaleneinheitsvektor in z-Richtung ist, und ∗ bedeutet konjugiert komplex. Mit Gl. wobei c1 , λ1 bzw. c2 , λ2 Lichtgeschwindigkeit und (6.26) folgt Wellenl¨ ange im Medium 1 bzw. 2 sind. Ferner ist c √ n= = µ c1

(6.49)

= n · S =

' & c2 | E0 |2 Re n · k 8πµ ω

=

c2 Re {k cos β} | E0 |2 = 0 . 8πµ w

der Brechungsindex. Im optisch dichteren Medium sind Lichtgeschwindigkeit, Wellenl¨ ange und Winkel reduziert. Der Brechungsindex, die Dielektrizitäts- Dies ergibt sich, da cos β, wie oben gesagt, rein konstante und der Betrag des Wellenvektors sind imaginär ist. Die gesamte Energie geht also in die reflektierte Welle u ¨ber. daf¨ ur gr¨ oßer. Gl. (6.48) beinhaltet die interessante Möglichkeit der Totalreflexion, d.h., β = π2 . F¨ ur den entspre- Fresnelsche Formeln: chenden Einfallswinkel αo gilt Wir betrachten noch einmmal die Randbedingungen explizit: n sin αo = . (6.50)

n 0 + E 0 − E 0 × n = 0 E (6.51) Es muß aber n > n gelten, d.h., Totalreflexion ¨ kann nur beim Ubergang vom optisch dichteren

zum optisch d¨ unneren Medium auftreten. Was aber k × E 0 + k × E − k × E · n = 0 (6.52) 0 0 passiert f¨ ur α > αo ? Dazu schreiben wir = ei(kx x+kz z) = ei(k x sin β+k z cos β )√ 2 n = eik x n sin α e−k z (sin α/ sin α0 ) −1 , $ wobei wir cos β = 1 − sin2 β = 2 2 2 2 1 − (n /n ) sin α = 1 − (sin α/ sin αo ) verwendet haben. F¨ ur α > αo wird die Welle im dichteren Medium also wegged¨ ampft bzw. kann dieses nur durchdringen, wenn es sehr d¨ unn ist (Gr¨ oßenordnung der D¨ ampfungsl¨ ange). Der Energiefluß durch die Grenzfl¨ ache f¨ ur α > α0 ist (im zeitlichen Mittel)

eik·r

12 Snellius, eigentlich Snel van Rojen, Willebrord, niederl¨ andischer Mathematiker und Physiker, *Leiden 1580, †ebenda 30.10. 1626; entdeckte das nach ihm benannte Gesetz der Lichtbrechung (Brechung) und begr¨ undete eine bec stimmte Art der Gradmessung. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

1

k × E 0 + k × E 0 µ

1 0 − k × E × n = 0 µ

0 + E 0 · n = 0 . 0 − E E

(6.53)

(6.54)

Die Gln. (6.51) und (6.54) entsprechen dabei den Bedingungen (5.6) und (5.7). Die Gln. (6.52) und (6.53) folgen aus den Bedingungen (5.46) und (5.45), wobei Gl. (6.26) eingesetzt wurde.√Außer√ dem haben wir µ/k = c/w = c/w = µ /k = E verwendet. Ausgehend von diesen sowie D Gleichungen betrachten wir die Reflexion bzw. Brechung einer linear polarisierten Welle f¨ ur zwei Spezialfälle.

6.3. REFLEXION UND BRECHUNG

61

0 ist parallel zur Grenzfl¨ (a) E ache: Aus (6.51) folgt

dann E0 + E − E × n = (E0 + E − E ) ex = 0

0

0

E0 sin (β − α) = E0 sin (α + β)

0

0 und somit

(6.59)

und E0 + E0 − E0 = 0 .

(6.55)

E0 2 sin β cos α = E0 sin (α + β)

Aus (6.53) folgt 1 k × E0 × n µ

(6.60)

0 liegt in der Einfallsebene: Eine ganz analo1

(b) E k n · E0 − E0 n · k ge Betrachtung liefern statt (6.57) und (6.58) die µ Gleichungen 1 w = k E0 cos α = E0 cos α , µ c µ µ cos β α 1 − 1 − tan µ cos α E0 sowie entsprechende Beziehungen f¨ ur die gestrichetan β = = (6.61) α cos β nen Gr¨ oßen. Da die Frequenzen gleich sind und E0 1 + tan tan β 1 + µ µ cos α auch der Einfalls- bzw. Reflexionswinkel, ergibt sich insgesamt und

(E0 −

E0 )

= −

( cos α − E0 µ

cos β = 0 . (6.56) µ

E0 = E0 1+

2 µ µ

µ cos β µ cos α

=

2 nn α . 1 + tan tan β

(6.62)

Gl. (6.54) liefert nichts Neues, und mit Gl. (6.55) Mit µ = µ ergibt dies k¨ onnen wir jeweils E0 bzw. E0 eliminieren, d.h., 1−

µ cos β µ cos α

1− E0 = = cos β E0 1+ 1 + µµ cos α

µ µ µ µ

tan α tan β tan α tan β

E0 tan (α − β) = E0 tan (α + β)

(6.63)

E0 2 sin β cos α , = E0 sin (α + β) cos (α − β)

(6.64)

(6.57) sowie

sowie

E0 2 2 = = µ tan α . µ cos β E0 1 + µ tan β 1 + µ cos α

(6.58) die Fresnelschen Formeln f¨ 0 in der Einfallsebeur E ne. Ein interessanter Spezialfall ergibt sich f¨ ur µ = µ F¨ ur die Frequenzen des sichtbaren Lichtes gilt i. a. und α + β = π/2 aus Gl. (6.63). In diesem Fall gilt µ = µ . Dann ergeben sich die Fresnelschen ForE0 = 0, d.h., es gibt keinen reflektierten Strahl, ur Licht, das senkrecht zur Einfallsebene meln 13 f¨ dessen elektrischer Vektor parallel zur Einfallsebepolarisiert ist: ne schwingt. Nach dem Snellius Gesetz, Gl. (6.48), 13 Fresnel, Augustin Jean, franz¨ ur den Einfallswinkel osischer Physiker und In- gilt hier f¨

genieur, *Broglie (Département Eure) 10.5. 1788, †Ville d’Avray (bei S` evres) 14.7. 1827; seit 1823 Mitglied der Acad´ emie des sciences, begr¨ undete ab 1815 die Wellentheorie des Lichtes (fresnelscher Spiegelversuch), untersuchte die Polarisation des Lichts und die Doppelbrechung; erfand den nach ihm benannten Doppelspiegel und das Doppelprisma; er konstruierte ferner Linsen (Fresnel-Linse), die noch heute c verwendet werden. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

n = tan αB . n Der Winkel αB heißt Brewsterscher Winkel 14 D.

Brewster (*1781, †1868), britischer Physiker

(6.65) 14

.

62


Anhang A

Formeln und Einheiten

a · b × c

Kartesische Einheitsvektoren: e1 , e2 , e3 ; ei · ej = δij mit δ11 = δ22 = δ33 = 1 und δ12 = δ21 = δ13 = δ31 = δ23 = δ32 = 0 aber δii = 3 ! Skalarprodukt: a · b = ai ei · bj ej = ai bj δij = ai bi

a × b × c

a × b · c × d

Vektorprodukt: e1 a × b = a1 b1

e2 a2 b2

e3 a3 b3

⎛ a2 b3 = ⎝ a3 b1 a1 b2

× ∇ϕ ∇

· ∇ × a ∇

× ∇ × a ∇

⎞ − a3 b2 − a1 b3 ⎠ − a2 b1

⎧ ⎨ 123 = 231 = 312 = 1 132 = 213 = 321 = −1 = ⎩ 0 sonst

ijk ist in allen Indizes antisymmetrisch. a × b = aj bk ej × ek = ei ijk aj bk N¨ utzlich:

ijk kmn = δim δjn − δin δjm Vektoridentit¨ aten: (αa) × b

= b (a · c) − c a · b

= (a · c) b · d

− a · d b · c =

0

=

0

∇ · a − ∇ 2a = ∇

· (ϕa) = a · ∇ϕ + ϕ∇ · a ∇ × (ϕa) = ∇ϕ × a + ϕ∇ × a ∇

a · b b ∇ = a · ∇

a + b · ∇

× b +a × ∇

× a +b × ∇

· a × b × a ∇ = b · ∇

× b −a · ∇

× a × b · b ∇ = a ∇

· a −b ∇

a + b · ∇

b − a · ∇

ej × ek ≡ ei ijk

ijk

= b · (c × a)

= c · a × b

= a × αb

= α a × b

H¨ aufig auftretende Ableitungen: Es soll gelten 63

64

ANHANG A. FORMELN UND EINHEITEN

| r |= r und n = r/r, dann ist · r = 3 ∇ · n = 2 ∇

V

1 [a − n (a · n)] r = n r = − 3 r

Laplace Operator in Zylinderkoordinaten: 2ϕ = 1 ∂ ∇ ρ ∂ρ

ρ

∂ϕ ∂ρ

S

+

1 ∂2ϕ ∂2ϕ + ρ2 ∂φ2 ∂z 2

=

1 ∂ r2 ∂r

r

2 ∂ϕ

∂r 1 ∂2ϕ + 2 2 r sin θ ∂φ2

1 ∂ + 2 r sin θ ∂θ

∂ϕ sin θ ∂θ

Weitere Sonderfälle:

Taylorentwicklung: r ) ϕ (r) ϕ (ro + δr) = ϕ (ro ) + (δr · ∇ ro 1 r ) ϕ (r) + ... r )(δr · ∇ + (δr · ∇ 2 ro Integraltheoreme:

Carl Friedrich, Mathematiker und Astronom, *Braunschweig 30.4. 1777, †G¨ ottingen 23.2. 1855; seit 1807 Direktor der Sternwarte in G¨ ottingen, Professor f¨ ur Mathematik und Mitglied der G¨ ottinger Akademie der Wissenschaften, einer der bedeutendsten Mathematiker. Gauß begr¨ undete mit den 1801 erschienenen Disquisitiones arithmeticae die moderne Zahlentheorie. In seiner 1809 ver¨ offentlichten Theorie der Bewegungen der Himmelsk¨ orper behandelte er die Probleme der Himmelsmechanik. Seine Arbeiten u ¨ber die Methode der kleinsten Quadrate (Ausgleichsrechnung) haben die Entwicklung der Himmelsmechanik, die Theorie der unendlichen Reihen und die numerischen Methoden der angewandten Mathematik sehr gef¨ ordert. 1816 wurde ihm die Vermessung des K¨ onigreichs Hannover u ¨bertragen, an der er 25 Jahre arbeitete und dabei zu bahnbrechenden Untersuchungen zur Geod¨ asie und zur Differenzialgeometrie angeregt wurde. Von großer Bedeutung sind auch

ϕdf

∇ϕdV = V

∂V

Beweis: durch Anwendung des Integralsatzes von = (ϕ, 0, 0), A = (0, ϕ, 0) und A = Gauß auf A (0, 0, ϕ).

df × A

× AdV ∇ = V

∂V

Beweis: folgt aus% den vorherigen Spezialfall. D.h., % % ∇j%Ak dV = Ak dfj bzw. ijk ∇j Ak dV = ijk Ak dfj .

(a) Integralsatz von Gauß 1 - Es sei ∂V eine geschlossene Fl¨ ache, die das Volumen V begrenzt. Dann gilt 1 Gauß,

∂Ax (x, y) ∂Ay (x, y) − dxdy ∂x ∂y = (Ax dx + Ay dy) . ∂S

Laplace Operator in Kugelkoordinaten: 2ϕ ∇

· df . A ∂V

Das gerichtete Flächenelement df zeigt dabei nach außen 2 . In der englischsprachigen Literatur wird dieser Satz auch als divergence theorem oder Green’s theorem in space genannt. Die 2D Version heißt auch Integralformel von Gauß:

=

∇r 1 ∇ r

· AdV ∇ =

× r = 0 ∇ × n = 0 ∇

r

n a · ∇

∂V

= r(df · A)

· ∇) r d3 r + (A

V

· A)d 3r r(∇ V

Beweis: betrachte seine Abhandlungen zur Physik, zur Potenzialtheorie und zur Optik sowie die Erfindung des Magnetometers. Zusammen mit dem Physiker Wilhelm Weber untersuchte er den Erdmagnetismus und stellte dabei sein absolutes physikalisches Maßsystem (1832) auf. Große Teile seines mathematischen Schaffens, so die Theorie der elliptischen Funktionen und die Arbeiten zur nichteuklidischen Geometrie, wurden erst durch die Ver¨ offentlichung seines Nachlasses bekannt. Literatur: B¨ uhler, W. K.: Gauß. Eine biographische Studie. Aus dem Englischen. Berlin u.a. 1987. Wußing, H.: C. F. c Gauß. Leipzig 51989. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG 2 Beweis siebe z. B. M. R. Spiegel (1971) Advanced Mathematics. Schaum’s outline series. McGraw-Hill

65

ϕ(df · A)

A)d 3r ∇(ϕ

=

∂V

Lichtgeschwindigkeit Ladung, Ladungsdichte

Gauß c e, ρ

elektr. Feld, Potenzial

ϕ E,

magnet. Feld Verschiebungs(dichte)

H D

magnet. Induktion Leitfähigkeit Dielektrische Konstante Permeabilität Widerstand, Impedanz

B σ µ R, Z

Induktivität Kapazität

L C

V

· ∇)ϕ · A)]d 3r . [(A + ϕ(∇

= V

Wenn man ϕ = x bzw. ϕ = y oder ϕ = z setzt, so erkennt man die Richtigkeit der obigen Behauptung. (b) Integralsatz von Stokes 3 - Es sei S eine offene zweiseitige Fl¨ ache, deren Rand ∂S eine geschlossene, sich nicht schneidende Kurve bildet. Dann gilt

∇ × A · df =

S

· ds . A

∂S

Hier soll ds ein Wegelement im mathematisch positiven Umlaufsinn (gegen den Uhrzeiger) sein. df ist so orientiert, dass wenn der Daumen der rechten Hand in Richtung von ds weist, dann weisen die um den Rand gekr¨ ummten Finger in Richtung von df. Beweis: siehe oben. Weiterer Spezialfall:

= df × ∇ϕ

S

ϕds ∂S

= (ϕ, 0, 0), A = (0, ϕ, 0) Beweis: Einsetzen von A sowie A = (0, 0, ϕ) in den Stokeschen Satz. Einheiten: Konversion MKSA-System

vom

Gauß

zum

3 Stokes, Sir (seit 1889) George Gabriel, britischer Mathematiker und Physiker, *Skreen (County Sligo, Irland) 13.8. 1819, †Cambridge 1.2. 1903; wurde 1849 Professor in Cambridge und war 1885-90 Pr¨ asident der Royal Society; bedeutende Beitr¨ age zur Hydrodynamik (stokessches Reibungsgesetz), Optik (stokessche Regel) und Analysis, in der er den Begriff der gleichm¨ aßigen Konvergenz und den Zusammenhang zwischen Oberfl¨ achen- und Kurvenintegralen (stoc kesscher Integralsatz) erarbeitete. 2000 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG

Konstanten (MKSA): Lichtgeschwindigkeit Elektronenruhemasse Elektronenladung Influenzkonstante Induktionskonstante

Größe Leitfähigkeit σ elektr. Widerstand R elektr. Spannung ϕ Kapazität C Induktivität L magnet. Fluß Φ magnet. Flußdichte, Induktion B elektr. Stromstärke I

MKSA 1/2 (µo o ) 1 √ e, 4πo 1 √ ρ √4πo √4πo E, 4π ϕ $ o 4πµo H 4π D √ o 4µo B σ 4πo o µ µo

4πo R, 4πo Z 4πo L 1 4πo C

c = 2.99792458 ms−1 me (0) = 9.1093897 · 10−31 kg ee = −1.60217733 · 10−19 C 8.8541878 · 10−12F m−1 o = −1 F m = AsV −1 m−1 −1 1.2566370 · 10−6 Hm µo = −1 −1 −1 Hm = V sA m Einheit (MKSA) (mΩ)−1 ( Ω1 : Siemens) Ω = V A−1 (Ω: Ohm) V = J(As)−1 (V : Volt) F = CV −1 (F : Farad) H = JA2 (H: Henry) W b = V s (W b: Weber) T = W bm−2 (T : Tesla) A = Cs−1 (A: Ampere)

66

ANHANG A. FORMELN UND EINHEITEN

Anhang B

¨ Ubungsaufgaben Aufgabe 1: Vektoridentit¨ aten (a)

× a × b ∇

Zeigen Sie, dass die folgende Identit¨ at gilt: klm njm = δkn δlj − δkj δln

(∗) .

Wir verwenden die Summenkonvention: u ¨ber die in einem Produkt doppelt vorkommenden Indizes wird summiert. ijk ist definiert u ¨ber

ijk

⎧ ⎨ 123 = 231 = 312 = 1 132 = 213 = 321 = −1 = ⎩ 0 sonst

a × b × c

= b (a · c) − c a · b

(c) Warum f¨ uhrt man nicht den Vektoroperator ∇ × ∇ ein? .

Insbesondere gilt daher ej × ek ≡ ei ijk , wobei die ei kartesische Einheitsvektoren sind. D.h., a × b = aj bkej × ek = ei ijk aj bk . Außerdem ist δ11 = δ22 = δ33 = 1 und δ12 = δ21 = ... = δ32 = 0 aber δii = 3! Hinweise: Zeigen Sie zun¨ achst die beiden einfacheren Beziehungen (i) ej × (ek × el ) = mkl njmen sowie (ii) ej × (ek × el ) = δjlek − δjkel . Durch einfaches Gleichsetzen dieser Beziehungen, ist (∗) leicht zu zeigen. (b) Mit der Relation aus Teilaufgabe (a) zeigen Sie, dass die folgenden Vektoridentit¨ aten gelten:

a · b ∇

· a · b − b ∇ = a ∇

a − a · ∇ b + b · ∇

Aufgabe 2: Gradient und Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten Wir betrachten den Ortsvektor r = r(u, v, w) als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten u, v, w und definieren ein Koordinatensystem durch die Einheitsvektoren

eu ev ew

∂r −1 ∂r = ∂u ∂u ∂r −1 ∂r = ∂v ∂v ∂r −1 ∂r = . ∂w ∂w

Leiten Sie den Gradienten sowie den LaplaceOperator in Zylinderkoordinaten her (u = r, v = φ, w = z).

b + b · ∇ a = a · ∇

× a + a × ∇ × b +b × ∇

Aufgabe 3: Geschwindigkeitsadditionstheorem Inertialsystem K bewegt sich relativ zu Inertialsystem K mit der Geschwindigkeit w. Wir hatten

· a × b = b · ∇ × a − a · ∇ × b ∇ 67

¨ ANHANG B. UBUNGSAUFGABEN

68 in der Vorlesung die folgende Transformationsgleichung (1.8) f¨ ur die Geschwindigkeiten eines Teilchens innerhalb seines jeweiligen Inertialsystems hergeleitet: v =

1 v 1 (v · w) w −w . + 1 − w· v γ (w) 2 γ (w) w 1 − c2

(a) In einem zeitlich konstanten elektromagnetischen Feld bewegt sich eine Ladung e. Die Bahn t → r(t) der Ladung ist die Kurve C mit r1 = r(t1 ) als Anfangspunkt und r2 = r(t2 ) als Endpunkt. Man Zeige, dass = −e (ϕ(r2 ) − ϕ(r1 )) ds · E

e C

Zeigen Sie, dass die Umkehrung dieser Transformadie Arbeit ist, die vom elektromagnetischen Feld tionsgleichung durch an der Ladung geleistet wird, wenn es die Kurve C durchläuft. Warum leistet das Magnetfeld keine v + w Arbeit? v⊥ 1 v = und v⊥ = Bemerkung: Die Arbeit (Energie) f¨ ur e = ee v v γ(w) 1 + w· 1 + w· c2 c2 und ϕ = 1V heißt 1 Elektronenvolt (eV) −19 gegeben ist, wobei sich bzw. ⊥ auf die Richtung = 1.60 · 10 J. von w beziehen. r) = (0,0,H) (b) Im konstanten Magnetfeld H( bewegt sich ein Elektron. Pr¨ ufen Sie nach, dass Aufgabe 4: Lorentz-Transformation der Kraft eine Schraubenlinie als Trajektorie eine Lösung der nichtrelativistischen Bewegungsgleichung darstellt. Leiten Sie die Transformationsgleichung (1.20), F¨ ur ein mit der Geschwindigkeit (v, 0, 0) in das Feld eintretendes Elektron lässt sich diese Bahn − v ·F v˙ · p 1 w· F F kurve durch ein zusätzliches E-Feld in eine Gerade +w 1 − γ(w) 2 − 2 γ(w) w v an. F = , in x-Richtung verwandeln. Geben Sie dieses E v 1 − w· c2 f¨ ur die Kraft her 1 . Die Situation ist die gleiche Aufgabe 8: Lorentz-Invarianz von E · H wie in Aufgabe 3. ·H unter der speziZeigen Sie die Invarianz von E ellen Lorentz-Transformation: x = γ(w) (x − wt), Aufgabe 5: Invarianz von ds mit y = y, z = z und ct = γ(w) ct − wx c w2 −1/2 γ(w) = (1 − ) . Zeigen Sie durch explizites Einsetzen der Lorentzc2 Transformation (Gln. (1.6) und (1.7) im Skript) Aufgabe 9: Bewegungsgleichungen: Ladung im die Invarianz von ds. Feld Aufgabe 6: Geometrischer Zusammenhang zwi und ϕ Die Bewegungsgleichung einer Ladung e in der vierschen E dimensionalen Raumzeit lautet Zeigen Sie, dass das elektrostatische Feld E = −∇ϕ ¨ senkrecht zu den Aquipotenziallinien bzw. den dui e m(0)c = Fik uk von ϕhoch zu H¨ ohenlinien von ϕ ist und dass E ds c ϕniedrig gerichtet ist. (vgl. Gl. (2.20) im Skript). Davon ausgehend leiten ur i = 0 Aufgabe 7: Ladungstrajektorien in elektroma- Sie die resultierenden 3D Gleichungen f¨ sowie f¨ u r i = 1, 2, 3 ab. Interpretieren Sie Ihr gnetischen Feldern Resultat im Fall i = 0. Im Fall i = 1, 2, 3 sollten Sie die Gl. (2.17) im Skript erhalten. 1

Die hier angegebene Formel weicht im letzten Term des Z¨ ahlers von der im Melcher angegebenen ab. Ich denke jedoch, dass dies die Korrekte ist. F¨ ur den Beweis des Gegenteils gibt es 5 Punkte extra!

Aufgabe 10: Ein Kernkraftwerk

69 (2ζi )2n+1 In einer Kugel aus β-aktivem Material werur ζ = ζi = ζj 4π(2n)! , und berechnen Sie Jij f¨ den kontinuierlich Elektronen ausgestoßen. Folglich und n = 1. Zeigen Sie, dass nimmmt die Ladungsdichte in der Kugel (Radius R) wie 1 wenn rij → ∞ rij + · · · J = . ij , 5 1 3 2 wenn rij → 0 ρo (1 − e−t/τ ) f u ¨r r < R 8 ζ − 12 ζ rij + · · · ρ(t, r) = % 0 fu ¨r r > R gilt. Hinweis: |τ −τ |−1 = 2π1 2 d3 kk −2 exp[ik · (τ − τ )] 2 . zu. Die Stromdichte ist radialsymmetrisch, Beachten Sie, die elektrostatische Wechselwirkungsenergie ist somit bei großen Abständen die j(t, r) = j(t, r) r . gleiche wie f¨ ur Punktladungen ei = ej = 1. Bei r kleinen Abständen dagegen tritt keine Divergenz Berechnen Sie j(t, r). Skizzieren Sie j(t, r) als mehr auf! Funktion von r. Aufgabe 14: Eine Anwendung des Gaußschen Aufgabe 11: Poisson-Gleichung und Kugelsym- Satzes metrie Zeigen Sie mithilfe des Satzes von Gauß, dass an der Oberfläche eines gebogenen, geladenen Leiters F¨ ur die kugelsymmetrische Ladungsverteilung gilt ρ(r) =

π r 3e cos θ(a − r) , 4πa3 2a

hier ist θ(x) = 1 (x > 0) und θ(x) = 0 (x < 0), berechne man das Potenzial ϕ(r) sowie die Feldstärke r). Skizzieren Sie sowohl ϕ(r) als auch E( r). E(

1 ∂E =− E ∂n

1 1 + R1 R2

,

wobei ∂E/∂n die Ableitung in Normalenrichtung ist, und R1 sowie R2 sind die Hauptkr¨ ummungsradien der Oberfläche.

Aufgabe 12: Kraft zwischen geladenen Platten Aufgabe 15: Monopol-Dipol- und Dipol-DipolBerechnen Sie die Kraft pro Einheitsfl¨ ache zwi- Wechselwirkung schen zwei unendlich ausgedehnten parallelen Platten, wenn diese die Fl¨ achenladungsdichten σ (a) Welche Kraft wirkt auf eine Ladung ei am Ort ri im Feld eines Punktdipols pj am Ort rj ? und σ tragen. Geben Sie auch die Kraft f¨ ur die folgenden Spezialfälle an: pj ⊥ rij , pj ↑↑ rij , pj ↑↓ rij ; rij ≡ ri −rj . Aufgabe 13: Coulomb-Integrale Rechnen Sie explizit aus, welche Kraft In der Quantenchemie spielen die sogenannten Cou- (b) umgekehrt auf den Punktdipol pj im Feld der lomb-Integrale Jij eine wichtige Rolle: Ladung ei wirkt? 1 (c) Berechnen Sie das Drehmoment, das im Fall Jij = d3 τ d3 τ |φi (τ )|2 |φj (τ − rij )|2 . |τ − τ | (b) auf den Dipol ausge¨ ubt wird. Sie beschreiben die elektrostatische WechselwirZwei gleichstarke Dipole p1 = pn1 und kung zwischen den ¨ außeren Valenzorbitalen φi (d) = p n r1 und r2 frei drehbar angeordp 2 2 sind bei und φj an den Atomen i und j im Abstand rij net. Bestimmen Sie die Gleichgewichtsorientierung (vgl. Gl. (3.15) im Skript). Hier liegt der Ur2 sprung im Atom i. Verwenden Sie die N¨ aherung folgt % 3aus der Darstellung der δ-Funktion als δ(r) = 1 d k exp[ik · r ] und Gl. (3.9) im Skript. φi (x) = Nn xn−1 exp[−ζi x] mit x ≡ |x| und Nn = (2π) 3


70 der Dipole zueinander.

molekularen Dipolmomente festgehalten w¨ urde.

Aufgabe 16: Dipol-Dipol-Wechselwirkung in Aufgabe 17: Kapazität paralleler Zylinder in verd¨ unnten Gasen großem Abstand Wir betrachten ein verd¨ unntes monomolekulares Gas, wie beispielsweise reiner Wasserdampf, bestehend aus N Molek¨ ulen in einem Volumen V (Anzahldichte ρ = N/V ist konstant). Das Dipolmoment der neutralen Molek¨ ule sei p. Da der mittlere Abstand zwischen den Molek¨ ulen groß sein soll, ist die Dipol-Dipol-Wechselwirkungsenergie uDD der dominante Beitrag zur Gesamtwechselwirkungsenergie des Gases U . D.h., U/N ≈ N 1 DD ule ständig bewei,j=1 uij . Da sich die Molek¨ 2N gen, verstehen wir alle diese Gr¨ oßen als Mittelwerte u aume. Als Integral geschrieben ist ¨ber lange Zeitr¨ U in diesem Fall durch U N

1 dΩ dΩ ≈ (N − 1) 2N 4π 4π d3 rρg2 (r; p, p )uDD (r; p, p )

gegeben. Die Gr¨ oße d3 rρg2 (r; p, p ) ist die mittlere Anzahl der Molek¨ ule im Volumenelement d3 r im Abstand r vom Ursprung, deren Dipol p entlang dem Raumwinkelelement dΩ orientiert ist. Der Ursprung wiederum liegt auf einem beliebig gewählten Molek¨ ul, dessen Dipol p in das Raumwinkelelement dΩ zeigt. In der Vorlesung u ¨ber Statistische Physik werden Sie noch lernen, dass in guter N¨ aherung gilt

Zwei lange zylindrische Leiter sind parallel und besitzen die Radien a1 und a2 . Der Abstand der Zylinderachsen d soll groß sein verglichen mit den jeweiligen Zylinderradien. Unter dieser Annahme zeigen Sie, dass die Kapazität pro Längeneinheit Cl der Anordnung ungefähr durch

Cl ≈

d 4 ln a

−1

√ gegeben ist, wobei a = a1 a2 der geometrische Mittelwert der Radien ist. Aufgabe 18: Bildladungsmethode: Dipol vor Metalloberfläche Die Abbildung zeigt einen Dipol vor einer idealen Metalloberfläche. (a) Geben Sie mithilfe der Bildladungsmethode einen Ausdruck f¨ ur die potenzielle Energie des Dipols an. (b) Berechnen Sie die Kraft auf den Dipol, wenn dieser verglichen zu seiner linearen Ausdehnung r weit von der Oberfläche entfernt ist (r > R an.

z y φ

I

δl

d

x y

δl '

I'

x

(b) Berechnen Sie das magnetische Moment

m der Scheibe. Wie können Sie dieses Ergebnis einsetzen, um den Grenzfall r >> R in Teil (a) sofort hinzuschreiben? Aufgabe 23: Magnetischer Dipol im inhomogenen Feld In der Vorlesung wurde die Formel

Abbildung B.2: Strom I fließt in x-Richtung, w¨ ahrend Strom I in z-Richtung um d verschoben Um ·H = −m in der x − y−Ebene fließt, wobei φ der Winkel zwi schen der x-Richtung und δl ist. hergeleitet. In die Ableitung ging ein, dass H konstant sein sollte. Andererseits wurde behaupAufgabe 21: Elementare Magnetostatik tet, dass der negative Gradient von Um die Kraft auf den Dipol liefert. Wie kann dies sein, wenn


72 konstant ist? Die Ableitung bzw. die Kraft H sollte dann verschwinden und dadurch wäre die obige Gleichung unbrauchbar – oder? Hinweis: Betrachten Sie die Herleitung im Skript genau, =konstant wirklich und fragen Sie sich, was mit H =konstant u gemeint ist bzw. inwiefern H ¨berhaupt notwendig ist.

Aufgabe 26: Strahlung einer Ladung auf einer Kreisbahn Auf einer Kreisbahn mit Radius r bewegt sich in der xy-Ebene eine Ladung e mit der gleichförmigen Geschwindigkeit w und strahlt Energie ab. In der Vorlesung war gezeigt worden, dass der PoyntingVektor durch

Aufgabe 24: Retardierte Potenziale S

Zeigen Sie, dass ϕ(r, t) =

d3 r

ρ(r , t − R

R c)

= r − r eine L¨ mit R osung von ∆r ϕ − c−2 ϕ¨ = −4πρ ist. Aufgabe 25: E-Feld einer bewegten Ladung:

≈

w˙ 2 e2 2 3 n 4 4πR c 1 − w· c

(n · w) ˙ 2 w2 − 1− 2 n . n 6 c 1 − w· c

gegeben ist (vgl. Skript Gl. (4.24)). Der Einheitsvektor n in Richtung zum Beobachter (in der großen Entfernung R) soll in der yz-Ebene liegen, und den Winkel ϑ mit der y-Achse bilden. Die Energie dE, die im Mittel in ein Raumwinkelelement dΩ um n abgestrahlt wird, kann gem¨ aß der %T Formel dE = dΩ T1 0 |S|dt berechnet werden. Hier ist T die Zeit einer Periode.

(a) Tragen Sie dE/dΩ (in Einheiten von In dieser Aufgabe sollen Sie Gl. (4.13) im Skript, 2 e w/(4πR2 cr) gegen ϑ auf (f¨ ur w/c = 0, 0.4, 0.6 d.h. und 0.8). E

=

e

n·w 3

n −

w c

γ 2 (w)

+

R2 1 − c Rw ˙ w × ( n − ) × n , c2 c

aus den dort angegebenen Potenzialen e w (ϕ = Re 1−1w· n = R/R) n sowie A = cR w· n mit 1−

(b) Geben Sie eine Formel f¨ ur dEϑ=0 /dEϑ=π/2 (Verhältnis der Strahlungsintensität in der Bahnebene zur Intensität senkrecht zur Bahnebene) an, und plotten Sie das Verhältnis gegen w/c. Geben Sie auch die f¨ uhrenden Terme in den Grenzf¨ allen w → 0 sowie w → c an.

Hinweise: Beachten Sie, dass die rechte Seite von t abhängt, und sie daher der Gleichung f¨ ur S = − 1 ∂ A − ∇ϕ herleiten. Beachten Sie, die Integrationsvariable substituieren m¨ mittels E ußen, d.h., c ∂t und ϕ zur fr¨ dass A uheren Zeit t gegeben sind. Dies dt = (∂t/∂t )dt . Die Integration können Sie mit gilt auch f¨ ur die gesamte rechte Seite der Gl. (4.13). allen zur Verf¨ ugung stehenden Hilfsmitteln -außer Abschreiben- ausf¨ uhren. (a) Geben sie den Ausdruck f¨ ur − 1c ∂∂tA an. Aufgabe 27: Reaktionsfeldnäherung: Born-Modell an. (b) Geben Sie den Ausdruck f¨ ur −∇ϕ (a) In einem unendlich ausgedehnten DielektriHinweis: Verwenden Sie die im Skript angegebenen kum (a ) befindet sich ein kugelförmiges Volumen ullt mit einem anderen Dielektrin¨ utzlichen Formeln! Stellen Sie den gesuchten (Radius R) angef¨ kum (i ). Im Abstand re (< R) vom Kugelzentrum ¨ Ausdruck bitte so dar, dass Ahnlichkeiten mit E befindet sich eine Ladung e. Bestimmen Sie das Pogut erkennbar werden! tenzial ϕ(r) = {ϕi (r)(r < R); ϕa (r)(r > R)} dieser c

c

73 Ladung im gesamten Raum mit der Bildladungsmethode. Hinweise: Im Skript (S. 24) hatten wir die Bildladungsmethode auf eine Ladung außerhalb einer leitenden Kugel angewandt. Modifizieren Sie diese Vorgehensweise im Sinne des Beispiels einer Punktladung vor einem dielektrischen Halbraum (Skript S. 39), und ber¨ ucksichtigen Sie die Randbedingungen analog zum Beispiel der dielektrischen Kugel im homogenen Feld (Skript S. 39). Seien Sie nicht u ¨berrascht, wenn ihre Bildladungen vom Winkel zwischen r und re abh¨ angen. (b) Geben Sie die Potenziale ϕi (r) und ϕa (r) im Spezialfall re = 0 an, d.h., die Ladung e befindet sich im Kugelzentrum. Wenn Sie jetzt die% potenzielle Energie der Ladung mittels U = 12 ρϕdV berechen (vgl. Skript Gl. (3.11)), dann erhalten Sie einen unendlichen Beitrag, die Selbstenergie der Ladung, der hier nicht interessiert und einen endlichen Beitrag URF proportional zu e2 /R (der Reaktionsfeldbeitrag). Dieser Beitrag, der urspr¨ unglich von M. Born diskutiert wurde (Z. Physik (1920) 1, 45), beschreibt den Anteil der Polarisierungsenergie des die Ladung umgebenden Mediums zur gesamten potenziellen Energie der Ladung. Mit seiner Hilfe kann beispielsweise der Energieunterschied zwischen einem Ion im Vakuum und dem gleichen Ion in (beispielsweise) Wasser abgesch¨ atzt werden. Wir wollen dies probieren. Gemessen wurden die folgenden Energieunterschiede ¨ ∆Ehyd (in kJmol−1 ) f¨ ur die Uberf¨ uhrung der angegebenen Ionen vom Vakuum (Luft) ins Wasser: Li+ (−520), N a+ (−405), K + (−321), F − (−506), Cl− (−364), Br− (−337). Das Ion selbst hat einen bestimmten Radius, der hier dem Kugelradius entspricht (R in 10−10 m aus Kristallstrukturdaten: Li+ (0.68), N a+ (0.97), K + (1.33), F − (1.33), Cl− (1.81), Br− (1.96)). Weiter nehmen wir an: 1/i ≈ 1 und 1/a = 1/W asser ≈ 0. Berechnen Sie URF in kJmol−1 und vergleichen Sie mit den experimentellen Werten f¨ ur ∆Ehyd .

auf der äußeren ist diese −σ. Der Kondensator sei teilweise in eine Fl¨ ussigkeit mit Massendichte ρ und der Dielektrizitätzahl eingetaucht. Die Fl¨ ussigkeitsoberfläche und die Zylinderachse sind dabei senkrecht zueinander. (a)

Ausgehend von U =−

1 2

o dV P · E V1

(vgl. Gl. (5.22) im Skript) geben Sie die Kraft an, mit der das fl¨ ussige Dielektrikum in den Kondensator gezogen wird. (b) Aus dem entsprechenden Kräftegleichgewicht berechnen Sie die Steighöhe h, die die Fl¨ ussigkeit im Kondensator erreicht. (c) Diskutieren Sie die beiden folgenden Fragen: 1. Warum wäre die Aufgabe ohne die Bedingung δR r1 , r2 (Retartierungseffekte seien aber vernachl¨ assigbar.) sowie µ = 1 gelten. Berechnen Sie das B-Feld von Schleife 1 im Zentrum von Schleife 2 in Dipoln¨ aherung. Vergleichen (max) Sie dort Bz (t)/Bz mit dem entsprechenden Quotienten des induzierten Feldes in Schleife 2 (max) also Bz,ind (t)/Bz,ind . Skizze! Gehen Sie von einem rein Ohmschen Zusammenhang zwischen Iind und Uind aus.


Literaturverzeichnis [1] L. D. Landau, E. M. Lifschitz (1981) Klassische Feldtheorie. Akademie-Verlag [2] L. D. Landau, E. M. Lifschitz (1980) Elektrodynamik der Kontinua. Akademie-Verlag [3] J. D. Jackson (1975) Classical Electrodynamics. Wiley [4] W. Greiner (1978) Klassische Elektrodynamik. Harri Deutsch

75

Index Amperesches Gesetz, 14 Ausbreitungsgeschwindigkeit, 1 avancierte Potenziale, 33 axialer Vektor, 12

elektrische, 10 magnetische, 11 Feldstärketensor, 11 Fernwirkung, 1 Ferromagnetismus, 47 Flächenladungsdichte, 21 Fresnelsche Formeln, 61

Biot-Savartsches Gesetz, 28 Brechungsindex, 60 Brewsterscher Winkel, 61

Geschwindigkeitsadditionstheorem, 3 Greens-Funktion, 27 Greensche Beziehungen, 27

Clausius-Mossottische Gleichung, 43 Coulomb-Eichung, 31 Coulombsches Gesetz, 17 Curie-Gesetz, 47 Curie-Temperatur, 47 Curie-Weiss Gesetz, 47

Hysterese, 47 Impedanz, 54 Induktionsgesetz, 54 Induktivität, 54 Inertialsystem, 1 Ionenpolarisation, 41

Debyesche Gleichung, 44 Diamagnetismus, 48 Dielektrika, 37 dielektrische Permeabilit¨ at, 38 dielektrische Suszeptibilit¨ at, 38 Dirichletsche Randbedingungen, 23 Dispersion, 59 Dispersionsrelation, 57

Joule-Lenzsches Gesetz, 51 Joulesches Gesetz, 54 Kapazität, 22 Kirchhoffsches Gesetz (1.), 55 komplexer Widerstand, 54 Kondensator, 22 konforme Abbildung, 25 konservative Felder, 17 Kontinuitätsgleichung, 15 kontravariant, 9 kovariant, 9

ebene Welle, 31 Eichinvarianz, 11 elektrische Doppelschicht, 22 elektrische Leitf¨ ahigkeit, 50 elektrische Verschiebung, 38 elektromagnetische Wellen, 31 Elektronenpolarisation, 41 Elektronenradius, 19 EMK, 51 Energiedichte, 16 Erdung, 23

Langevin-Funktion, 43 Laplace Gleichung, 17 Leitfähigkeitstensor, 50 Lichtgeschwindigkeit, 1 Lorentz-Eichung, 31 Lorentz-Kraft, 11

Faradaysches Gesetz, 13 Feld elektrisches, 11 magnetisches, 11 Feldst¨ arke

magnetische Induktion, 46 magnetische Permeabilität, 47 76

INDEX magnetische Suszeptibilit¨ at, 47 magnetischer Fluss, 54 Magnetisierung, 46 Massenzunahme, 5 metrischer Tensor, 10 Neumannsche Randbedingungen, 23 Ohmsches Gesetz, 50 Paramagnetismus, 47 Plasmafrequenz, 58 Plasmonen, 58 Poisson Gleichung, 17 polarer Vektor, 12 Polarisation elliptische, 33 lineare, 33 zirkular, 33 Polarisationsvektor, 38 Polarisierbarkeit, 42 Poynting-Vektor, 15 Prinzip der kleinsten Wirkung, 7 Pseudoskalar, 12 Reaktionsfeld, 41 Relativitit¨ atsprinzip, 1 Remanenz, 48 retardierte Potenziale, 33 Ruhemasse, 5 Scheinwiderstand, 54 Selbst-Feld, 41 Skineffekt, 55 Snelliussche Brechungsgesetz, 60 Spannung, 22 Stromdichte, 13 Stromvierervektor, 13 Summenkonvention, 9 Superpositionsprinzip, 17 Telegraphengleichungen, 57 Totalreflexion, 60 Verschiebungsstrom, 15 Vierergeschwindigkeit, 11 Viertensor, 9 Wellengleichung, 31 Wellenvektor, 32 Wirkungsintegral, 7

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