Atome und Licht 001

Atome, Licht und ihre Wechselwirkung Priv. Doz. Dr. Karl-Peter Marzlin WS 2002/2003 2 Inhaltsverzeichnis 1 2 Maxwe...

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Atome, Licht und ihre Wechselwirkung Priv. Doz. Dr. Karl-Peter Marzlin WS 2002/2003

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Inhaltsverzeichnis 1

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Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . 1.2 Skalares Potential und Vektorpotential . . 1.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . . 1.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . . 1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien 1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen . 1.7 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . .

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Quantenfeldtheorie des Lichts - QED 2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Erzeuger und Vernichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Der Feldoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie 2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz . . . . . . . . . . . . 2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen .

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1 . 1 . 3 . 4 . 6 . 10 . 12 . 15

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19 19 20 22 23 25 26 27 33 37 39

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3

¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick 41 3.1 Das Wasserstoffatom, Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Feinstruktur und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht 4.1 Die minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung . . 4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung 4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation . . 4.2.1 Das Grundprinzip der Transformation . 4.2.2 Die vollständige Transformation . . . .

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45 45 45 47 48 48 49

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INHALTSVERZEICHNIS 4.3 4.4

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Dipolnäherung und Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Auswahlregeln für Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

¨ Atome Das 2-Niveau Modell fur 5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Darstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Kopplung eines 2-Niveau-Atoms an ein elektromagnetisches Feld ¨ 5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.2.1 Landau-Zener-Ubergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Dressed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Dressed States in einer Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Uberg¨ ange . . . 5.4.1 Dunkelzustände (Dark States) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 5.4.2 Raman-Uberg¨ ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Adiabatisches Theorem, STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Anwendung des adiabatischen Theorems auf Dunkelzustände . . Atomoptik 6.1 Grundlegendes Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Atom-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Ramsey-Bordé-Interferometer (Bordé 1988, Riehle 1991) 6.2.2 Atomic fountain (Kasevich & Chu 1991) . . . . . . . . . 6.3 Optische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Laufender Laser mit Gauß-Profil . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2 Stehender Doughnut-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Evaneszente Lichtfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Linsen für einen Atomstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix 7.1 Dichtematrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren . . . . . . . . . . . . . 7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung . . . . 7.3.1 Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren 7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . 7.4 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz . . . . . . . ¨ Laser-Kuhlen von Atomen 8.1 Allgemeines zur Kühlung von Atomen 8.2 Doppler-Kühlung . . . . . . . . . . . 8.2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . . 8.2.2 Theoretische Beschreibung . . 8.3 VSCPT . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 64 65 66 69 73 75 76 79 79 84 86 87

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89 89 91 91 93 94 95 95 96 96

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99 99 102 105 106 107 114 120

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123 123 123 124 124 127

INHALTSVERZEICHNIS 9

5

Elektromagnetisch induzierte Transparenz 129 9.1 Maxwell-Bloch-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände . . . . . . . . . . 133

¨ 10 Photonische Bandlucken

137

11 Bose-Einstein-Kondensate 11.1 Vielteilchentheorie bosonischer Atome . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Der Bose-Einstein-Phasenübergang . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion . . . . . 11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . . 11.4.1 BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-Näherung 11.4.2 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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143 143 145 147 150 150 151

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153 153 153 155 157

¨ 12 Einschube 12.1 Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2.1 Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen 12.3 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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INHALTSVERZEICHNIS

Vorwort Das vorliegende Skript ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Wintersemster 2002/03 an der Universität Konstanz gehalten habe. Die Grundidee der Veranstaltung war, die vielen verschiedenen Aspekte der Quanten- und Atomoptik auf drei grundlegende Modelle zurückzuführen: Das Zwei- und das Drei-Niveau-Atom sowie den harmonischen Oszillator. Entsprechend ist das Skript angelegt. Nach einem Rückblick auf den Stoff aus Kursvorlesungen (Kapitel 1 und 3) werden die theoretischen Grundlagen der Quantenoptik in Kapitel 2 und 4 behandelt. In Kapitel 5 werden das 2-Niveau- und das 3-Niveau-Modell ausführlich besprochen und die fundamentalen Effekte vorgestellt, die in solchen Systemen auftreten. In Kapitel 6 werden diese Modelle um die Schwerpunktbewegung erweitert, in Kapitel 7 tritt die Kopplung an ein Reservoir hinzu. Beide Erweiterungen werden in Kapitel 8 zur Beschreibung der Laser-Kühlung von Atomen benötigt und bilden auch die Grundlage für die verschiedenen Anwendungen in Kapitel 9-11. Dieses Skript ist Dank des Engagements der Studierenden entstanden, die diesen Kurs besucht haben. Viele von Ihnen haben beim Tippen des Manuskripts geholfen. Auch haben ihre Fragen und Bemerkungen während der Vorlesung Teile des Stoffes sowie dessen Darstellung beeinflußt. Für ihre Mitarbeit und die herzliche Atmosphäre während der Vorlesung möchte ich Stefan Bretzel, Wolfgang Bührer, Martin Clausen, Claudia Gnahm, Peter Groß, Roland Haas, Christine Hartung, Corinna Maaß und Thomas Schluck sehr danken. Mein besonderer Dank gilt Wolfgang Bührer für seine Initiative, die Web-Seite www.atome-licht.de.vu zu erstellen und damit das Texen der Vorlesung zu koordinieren. Last not least ist es mir eine angenehme Pflicht, mich bei Martin Kiffner für das Korrektur-Lesen und bei Wolfram Quester für das Texen meines Skriptes zur Elektrodynamik zu bedanken, aus dem Kapitel 1 hervorgegangen ist. Möglicherweise wäre dieses Skript ohne diesen Anfang nicht enstanden.

Konstanz, im Mai 2003 Peter Marzlin

Kapitel 1 Maxwell-Gleichungen und Eichfelder 1.1

Die Maxwell-Gleichungen

Die beschreiben alle Phänomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern zu tun haben. Im Vakuum lauten sie: % ε0 ˙ rot E = −B div E =

div B = 0 ˙ rot B = µ0 j + ε0 E

(1.1)

Darin bezeichnet E das elektrische und B das magnetische Feld; %(x, t) ist die Ladungs- und j(x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion R(x) sind dabei definiert als 3 X ∂ div R(x) = Ri (x) = ∂i Ri (x) ∂x i i=1 3 X ∂ rot R(x) i = ijk Rk = ijk ∂j Rk (x) ∂xj j,k=1

Für die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der u¨ ber doppelt vorkommende Indizes zu summieren ist (hier von 1 bis 3). ijk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert ist als   (ijk) = (123), (231), (312) 1 ijk = −1 (ijk) = (132), (321), (213)   0 sonst Aus dieser Definition folgt ijk = jki und ijk = −jik . Aus Konsistenzgründen muss die Kontinuitätsgleichung gelten: %˙ + div j = 0

(1.2)

2

Maxwell-Gleichungen und Eichfelder

Beweis: ˙ %˙ = ε0 div E 1 = ε0 div (rot B − µ0 j) µ0 ε 0 1 = div rot B − div j µ0 div rot B = ∂i ijk ∂j Bk = ijk ∂i ∂j Bk = 0 |{z} |{z}

(1.3)

antisym. sym.

Die physikalische Bedeutung der Kontinuitätsgleichung liegt in der Ladungserhaltung: Z Q(t) = %(x, t) d3 x V

=⇒ Q˙ =

Z

Z

3

div j d3 x

%˙ d x = − V

V

0

Verwendet man nun den Gaußschen Satz, Z ZZ 3 div R d x = V

R ds

(1.4)

∂V

0

so sieht man, dass die Ladungsänderung im Volumen V gleich der Summe des Stroms ist, der aus V abfließt: ZZ ˙ Q=− j ds (1.5) ∂V

Darin ist ∂V die Oberfläche (= der Rand) von V . Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter Ordnung abgeleitet werden: (rot rot E)i = ijk ∂j (rot E)k = ijk ∂j klm ∂l Em Benutzt man ijk klm = δil δjm − δim δjl , so ergibt sich: (rot rot E)i = δil δjm ∂j ∂l Em − δim δjl ∂j ∂l Em =⇒ (rot rot E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei = ∇i div E − ∆Ei rot rot E = ∇div E − ∆E ˙ = −∂t µ0 j + ε0 E ˙ ⇒ ∇div E − ∆E = −rot B ⇒

1 ¨ ∇% − ∆E = −µ0 ∂t j − ε0 µ0 E ε0

1.2 Skalares Potential und Vektorpotential

3

Verwendet man ε 0 µ0 =

1 c2

so folgt ∂ 1 ∂2 1 (1.6) − ∆ E = −µ0 j − ∇% 2 2 c ∂t ∂t ε0 2 ∂ Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t − ∆ wird häufig mit abgekürzt. 2 Analog ergibt sich:

¨ = −rot E ˙ = −rot 1 (rot B − µ0 j) B ε 0 µ0 1 ¨ ⇒ 2 B = − ∇ div B} −∆B + µ0 rot j | {z c =0

=⇒

1 ∂2 − ∆ B = µ0 rot j c2 ∂t2

(1.7)

Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! Für sie kann man verschiedene Spezialfälle unterscheiden: 1. j, % = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear. 2. j, % sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugehörigen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt die von Ladungen und Strömen ausgehenden Felder. 3. j, % hängen (näherungsweise) linear von E, B ab. ⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), führen zu linearen Differentialgleichungen. 4. j, % hängen nichtlinear von E, B ab. ⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu lösen. Nichtlineare Optik.

1.2

Skalares Potential und Vektorpotential

Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3) gilt allgemein: div rot A = 0. Daher läßt sich das magnetische Feld auch schreiben als1 B = rot A 1

A = Vektorpotential

Wir sehen hier von Subtilitäten ab wie sie in mehrfach zusammenhängenden Raumgebieten auf Grund topologischer Phänomene auftreten können.

4


B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole). Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erhält man ˙ = −rot A ˙ ⇒rot E = −B ˙ =0 ⇒rot (E + A) es gilt allgemein rot grad φ = ijk ∂j ∂k φ = 0 ˙ = −∇φ ⇒E + A

in einfach zusammenhängendem Gebiet

˙ ⇒ E = −∇φ − A

φ = skalares Potential

Die Potentiale A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur E und B. Allgemeine Bewegungsgleichungen für sie lauten: % ˙ = −div grad φ − div A ε0 ¨ rot B = rot rot A = µ0 j + ε0 [−∇φ˙ − A] div E =

% ˙ ∆φ = − − div A ε0 =⇒ 1 1 ¨ A − ∆A + ∇div A = µ0 j − 2 ∇φ˙ 2 c c

(1.8)

Wäre div A = 0, so hätten wir die Poisson-Gleichung für φ und eine Wellengleichung für A. φ spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies läßt sich tatsächlich erreichen.

1.3 Eichtransformationen Durch B = rot A wird A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 für beliebiges χ führt A0 = A + ∇χ zum selben B-Feld. Ebenso führen φ und φ0 = φ − ∂t χ zum gleichen E-Feld, denn ˙ 0 = −∇φ + ∇χ˙ − A ˙ − ∇χ˙ E 0 = −∇φ0 − A ˙ =E = −∇φ − A

1.3 Eichtransformationen

5

Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder E, B bleiben dabei unverändert. Eichtransformationen können dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an die Potentiale zu stellen. Am gebräuchlichsten sind die folgenden: div A = 0 1 ∂ div A + 2 φ = 0 c ∂t

Coulomb-Eichung Lorentz-Eichung

(1.9)

Beide sind voneinander unabhängig und nicht gleichzeitig zu erfüllen. Die erste führt zur CoulombEichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung ist dagegen Lorentz-invariant und deswegen für die Relativitätstheorie wichtig. Zur Herleitung der Coulomb-Eichung: Seien A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div A = 0: !

A = A0 − ∇χ =⇒ div A = div A0 − ∆χ = 0 Das ist eine Differentialgleichung für χ: ∆χ = div A0

Poisson-Gleichung für χ

(1.10)

Mit der Lösung

Z 1 div A0 (x0 ) 3 0 χ(x, t) = − dx 4π |x − x0 | Beweis: Z 1 1 div A0 (x0 )∆x d3 x0 ∆x χ = − 4π |x − x0 | Für die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz: ∆x

1 = −4πδ(x − x0 ) 0 |x − x |

Beweis: =⇒

Z 1 ∆x χ = − div A0 (x0 )(−4π)δ(x − x0 ) 4π = div A0 (x)

qed.

Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.9) in Gleichung (1.8) ein, so erhält man die Feldgleichungen für die Potentiale in Coulomb-Eichung: 1 ∂2 1 − ∆ A = µ0 j − 2 ∇φ˙ 2 2 c ∂t c (1.11) % ∆φ = − ε0 Interpretation: φ = b Coulomb-Potential A= b elektromagnetische Wellen Achtung: Die Interpretation hängt von den Eichbedingungen ab!

6

1.4


Multipolentwicklung

Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die Auswahlregeln von Atomen und Molekülen in der Quantenmechanik. In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach Drehimpuls-Eigenzuständen wie in der Quantenmechanik.

Skalare Multipole Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung. φ(x, t) =

%(x, t) ε0

Zeitliche Fourier-Transformation: φ˜ω (x) =

Z

e−iωt φ(x, t) dt

%˜(x) ω =⇒ (∆ + k 2 )φ˜ω (x) = − , k= ε0 c Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion für die Helmholtz-Gleichung erfüllt (∆ + k 2 )G(x, x0 ) = −δ(x − x0 ) und ist (mit Randbedingung G → 0 für |x − x0 | → ∞) gegeben durch 0

1 eik|x−x | 4π |x − x0 | ∞ m X X (1) ∗ = ik jl (kr< )hl (kr> ) Ylm (ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ) | {z }

G(x − x0 ) =

l=0

m=−l

Basisfunktion

Darin sind l 1 sin x jl =(−x) ∂x x x l 1 cos x (1) hl =jl − (−x)l ∂x x x l

sphärische Besselfunktionen

(1.12)

sphärische Hankelfunktionen

(1.13)

Die Lösung ist φ˜ω (x) = ik =⇒ φ˜ω (x) = ε0

Z

Z X ∞ X l

G(x, x0 )

%˜(x) ε0 (1)

jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0

l=0 m=−l

Z ·

∗ Ylm (ϑ0 , ϕ0 )˜ %ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

1.4 Multipolentwicklung

7

Von besonderem Interesse für praktische Anwendungen ist das Feld φ˜ω (x) an einem Ort x außerhalb der Ladungsverteilung. Wählt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |x| > |x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r. ∞ l ik X X (1) ˜ Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr) =⇒ φω (x) = ε0 l=0 m=−l Z ∗ · jl (kr0 )Ylm (ϑ0 , ϕ0 )˜ %ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0

(1.14)

In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung klein gegenüber ˚ λ = 1 µm). Das Argument der Wellenlänge λ = 2π = 2πc (z. B. Atome oder Moleküle: r0 = 1 A, k ω 0 kr von jl ist also klein. Für x 1 gilt jl (x) ≈ Z =⇒

jl (kr

0

∗ )Ylm %˜ω

xl (2l + 1)!!

kl dΩ dr ≈ (2l + 1)!! 0

0

Z

∗ r0l Ylm %˜ω dΩ0 dr0

Man definiert das sphärische Multipolmoment der Ordnung lm als Z ∗ Qlm := r0l Ylm %˜ω dΩ0 dr0 Spezialfälle: Q00

Q11 Q10

1 =√ 4π Q =√ 4π r

Z

%˜ω (x0 ) d3 x0

Q = Gesamtladung des Ions/Moleküls bei ω r Z 3 3 0 0 0 3 0 =− %˜ω (x )(x − iy ) d x = − (px − ipy ) 8π 8π r Z r 3 3 = %˜ω (x0 )z 0 d3 x = pz 4π 4π

Darin ist p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment: Z p = x0 %(x0 ) d3 x0 Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist φDip (x) =

px 4πε0 |x|3

(1.15)

(1.16)

8


Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegensätzliche Ladungen mit sehr kleinem Abstand L. Dipolmoment = q(L) · Ln = p L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt. Das elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch E Dip (x) =

1 3ˆ x(pˆ x) − p 4πε0 |x|3

ˆ= mit x

x |x

Die allgemeine Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet: " # 1 Q px 1 X ¯ xi xj φ(x) = + 3 + Qij 5 + · · · 4πε0 r r 2 ij r Darin ist ¯ ij = Q

Z

%(x)(3xi xj − δij x2 ) d3 x

der (spurlose) Tensor des Quadrupolmoments. Gleichung (1.14) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen hergeleitet werden. Diese sind Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators und erfüllen die Orthogonalitätsrelation Z 2π Z π (1.17) Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll0 δmm0 0

0

und die Vollständigkeitsrelation ∞ X l X l=0 m=−l

∗ (ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 ) Ylm | {z }

(1.18)

=δ(Ω−Ω0 )

Wegen Gleichung (1.18) gilt für eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ): Z f (ϑ, ϕ) = f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0 XZ ∗ = Ylm (Ω0 )Ylm (Ω)f (Ω0 ) dΩ0 l,m

=

X

Z Ylm (ϑ, ϕ) · Flm

mit den Koeffizienten Flm :=

l,m

In unserem Fall gilt: φ˜ω (x) =

X

Ylm (ϑ, ϕ)φ˜ω,lm (r)

l,m

mit φ˜ω,lm (r) =

Z

∗ Ylm (Ω0 )φ˜ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0

∗ Ylm (Ω0 )f (Ω0 ) dΩ0

1.4 Multipolentwicklung

9

Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein: 1 (∆ + k 2 )φ˜ω (x) = − %˜ω (x) ε0 Laplace-Operator in Kugelkoordinaten: 1 ∂ 2∂ 1 r − 2 L ; L = x × (−i∇) 2 r ∂r ∂r r L2 Ylm = l(l + 1)Ylm l(l + 1) 1 1 ∂ 2∂ 2 r − + k φ˜ω,lm (r) = − %˜ω,lm (r) =⇒ 2 2 r ∂r ∂r r ε0 ∆=

Lösen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle für r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r sin(kr) 1r ) führt zu obigem Ausdruck (1.14) für φ˜ω (x).

¨ Vektorfelder Multipolentwicklung fur Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div B = 0) durchführen. Im Wesentlichen werden dabei die Kugelflächenfunktionen Ylm ersetzt durch 1

X lm := p

l(l + 1)

LYlm (ϑ, ϕ)

Vector spherical harmonics“ ”

X lm erfüllt Z

X ∗lm X l0 m0 dΩ = δll0 δmm0

Z

X ∗lm · (x × X lm )dΩ = 0

Ein vollständiges System von Vektorfunktionen für divergenzfreie Felder ist dann gegeben durch Fl (kr)X lm (1) (1)

und

∇ × (gl (kr)X lm

(2) (2)

Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr) (1) (1) (2) (2) gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr) (i) (2) (1)∗ hl (kr) = sphärische Hankelfunktionen hl (kr) = hl (kr) Die elektromagnetischen Felder im freien Raum lassen sich dann entwickeln gemäß X B= [aE (l, m)Fl (kr)X lm + am (l, m)∇ × gl (kr)X lm ] wobei

l,m

E=

Xi l,m

k

aE (l, m)∇ × Fl (kr)X lm + am (l, m)gl (kr)X lm

10


Felder, die proportional zu am sind heißen sphärische TM-Felder ( transverse magnetic“) und ” Felder, die proportional zu aE sind heißen sphärische TE-Felder ( transverse electrical“). ” Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zurückführen, wenn kr 1 innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann aE (l, m) ∼ Qlm ; am (l, m) ∼ Mlm Z x + j(x) 1 l Mlm = − r Ylm ∇ d3 x (l + 1) c Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [1], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.

1.5

Elektrodynamik in dielektrischen Medien

Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen behandelt. Oft möchte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen) betrachten. Fast alle Medien sind aus Atomen und Molekülen aufgebaut. In solchen Objekten sind die Ladungen gebunden, d. h. sie können durch ein angelegtes a¨ ußeres Feld nicht frei verschoben werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar ein permanentes Dipolmoment. Atome sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen Feldes polarisierbar:

_

E=0

E =/ 0

H

_

+ _

_

_ _ _

+

+

_

_

_

8+

_

_ O _

H

+ _

Moleküle (z. B. Wasser) können auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies tritt oft bei ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Moleküls, sondern nur makroskopische Felder, die u¨ ber einen Raumbereich, der viele Moleküle enthält, gemittelt sind, kann man die makroskopischen Felder E, D, B und H durch folgende Gleichungen gut beschreiben: div D = % ˙ rot E = −B

div B = 0 ˙ rot H = j + D

makroskopische Maxwell-Gleichungen Es gelten die materialabhängigen Beziehungen D = ε0 E + P

;

B = µ0 (H + M )

(1.19)

1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien

11

Darin sind D die dielektrische Verschiebungsdichte und H die magnetische Feldstärke, P ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt einige Spezialfälle: • Im Vakuum gilt P = 0 und M = 0, so dass wir auf die bisherige Form der MaxwellGleichungen kommen. • Wenn die Moleküle ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben, aber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M = P = 0. Werden die Moleküle ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel für ein theoretisches Modell dazu ist das Ising-Modell.

m

m

M=0

M= / 0

• Sind die Atome/Moleküle polarisierbar, so gilt P = χE

;

D = εE = ε0 εr E = (ε + χ)E

ε ist die Dielektrizitätskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilität. Dieser Effekt kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabhängig sein (Doppelbrechung): Pi = χij Ej

;

Di = εij Ej

εij : dielektrischer Tensor • Für optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow2 M =0

;

D = ε(E + β rot E)

Optische Aktivität heißt, dass die Polarisation eines Lichtstrahls beim Durchgang durch das Medium gedreht wird. • In nichtlinearen Medien gilt z. B.: D = ε0 E + κ|E|2 E 2

Es gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivität. Dieses Modell sei nur als Beispiel herausgegriffen.

12

1.6


Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen

Der physikalische Hintergrund der Größen E, D, B und H ist, dass sie makroskopische Felder darstellen, die als Mittelung u¨ ber die mikroskopischen“ Felder E mik und B mik auftreten. ” Letztere erfüllen die bisher behandelten Gleichungen %mik ε0 ˙ = −B mik

div E mik = rot E mik

div B mik = 0 ˙ mik rot B mik = µ0 j mik + ε0 E

Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf: %mik = %frei + %gebunden j mik = j frei + j gebunden Die freien Größen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Moleküle gebunden sind. Im Rahmen der klassischen Physik können sie geschrieben werden als X %frei (x) = qi δ(x − xi ) i

j frei (x) =

X

qi x˙ i δ(x − xi )

Summen u¨ ber die freien Teilchen.

i

Die gebundenen Größen korrespondieren zu den Atomen/Molekülen des Mediums: X %gebunden (x) = %n (x) Summe u¨ ber die Moleküle n

%n (x) =

X

qi δ(x − xi ) Summe u¨ ber die Teilchen (e− , Kerne) im Molekül

i

j gebunden (x) =

X

j n (x)

n

;

j n (x) =

X

qi x˙ i δ(x − xi )

i

In den meisten Situationen können die Meßgeräte für elektromagnetische Felder einzelne Mo˚ nicht auflösen. Bei optischen Experimenten ist die räumliche Auflösung leküle (Größe ∼ 1 A) ˚ Man kann daher eine räumliche beispielsweise in der Größenordnung der Wellenlänge (∼ 6000A). Mittelung u¨ ber E mik und B mik durchführen ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern: Z E(x) = hE mik (x)i = f (x0 )E mik (x − x0 ) d3 x0 B(x) = hB mik (x)i Darin soll f (x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam a¨ ndert, Raber deren Träger klein gegenüber der Wellenlänge ist. Wegen der Mittelung soll natürlich gelten f (x) d3 x = 1.

1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen

13 f(x)

x 700 nm

Für E und B folgen dann die Gleichungen ∂ Bi (x) ∂xi Z ∂ = f (x0 )Bmik,i (x − x0 ) d3 x0 ∂xi Z ∂ = f (x0 ) Bmik,i (x − x0 ) d3 x0 ∂xi Z = f (x0 ) div B mik (x − x0 ) d3 x0 | {z }

div B(x) =

=0

und analog

= hdiv B mik (x)i = 0 h%mik i div E(x) = ε0 ˙ rot E(x) = −B(x) rot B(x) = µ0 hj mik (x)i +

1 ˙ E(x) c2

Die Mittelwerte können wie folgt verarbeitet werden: h%mik i = h%frei i + h%gebunden i =: %(x) + h%gebunden i

%(x) : makroskopische Ladungsdichte X h%gebunden i = h%n (x)i

(1.20)

n(Moleküle)

Für jedes Molekül ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich, daher: Z

f (x0 )%n (x − x0 ) d3 x0

Z =

f (x0 )

=

X

%n (x) ≈

X

qi δ(x − x0 − xi ) d3 x0

i(e− , Kerne)

qi f (x − xi ) d3 x0

i(e− , Kerne)

Ist xn der Schwerpunkt das Moleküls, so gilt |xi − xn | Träger von f und man kann f ent-

14


wickeln: f (x − xi ) = f (x − xn − (xi − xn )) ≈ f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · · X =⇒ h%n (x)i ≈ qi {f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · · } i(e− , Kerne)

X

=⇒ h%n (x)i ≈ f (x − xn )

qi

{z qn

qi (xi − xn ) + · · ·

i(e− , Kerne)

i(e− , Kerne)

|

X

−∇f (x − xn )

}

|

{z pn

}

qn ist die Ladung des Moleküls n. Für nicht ionisierte Moleküle ist qn = 0. pn ist sein Dipolmoment. X =⇒ h%gebunden i = (−∇f (x − xn )pn n(Moleküle)

Polarisation P (x) =

X

f (x − xn )pn

;

qn = 0

n

=⇒ h%gebunden (x)i = −div P (x) Setzt man dies und Gleichung (1.20) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ein, so erhält man 1 h%mik i ε0 1 1 = % − div P ε0 ε0 D = ε0 E + P =⇒ div D = % div E =

Eine entsprechende Behandlung für rot B = µ0 hj mik i +

1 ˙ E c2

führt auf hj mik i = j + rot M + P˙ X M =h mn δ(x − xn )i n

mn =

X i(e− , Kerne)

qi (xi × mi x˙ i ) = 2mi

X i(e− , Kerne)

qi Li 2mi

Hier ist mn das magnetische Dipolmoment des Moleküls n. (Zu Details vgl. [1], Abschnitt 6.7). Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Gleichung (1.19).

1.7 Ebene Wellen

1.7

15

Ebene Wellen

Im Vakuum (% = j = 0) gilt: E = B = 0

;

div E = div B = 0

Ansatz zur Lösung: E = Ek k exp(ikx − iωt) 1 ∂2 E = Ek k 2 2 − ∆ exp(ikx − iωt) c ∂t Darin sind Ek ∈ C k

die Amplitude und der Polarisationsvektor. =⇒ E = Ek k (−

ω2 ! + k2 ) exp(ikx − iωt) = 0 c2

Das ist eine Lösung von E = 0 falls ω = c|k|. Hierbei ist ωk := c|k| die Frequenz eines Photons3 mit Impuls ~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die Plancksche Formel E = ~ωk . Der Polarisationsvektor k wird festgelegt durch die Bedingung div E = ∂i Ei = 0: div E = Ek (k )i iki exp(ikx − iωk t) = iEk (k k) exp(ikx − iωk t) !

=0 =⇒ k muss senkrecht auf dem Wellenvektor k stehen! Im R3 gibt es zwei linear unabhängige Vektoren senkrecht zu k =⇒ es gibt zwei unabhängige (σ) Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der k sind willkürlich. Eine Möglichkeit ist       cos ϕ sin ϑ cos ϕ cos ϑ − sin ϕ k (1) (2) (1) k = k  sin ϕ sin ϑ  ; k =  sin ϕ cos ϑ  ; k = × k =  cos ϕ  k cos ϑ − sin ϑ 0 (1)

(2)

Die reellen Vektoren k und k entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allgemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren: (1)

(2)

k = αk + βk

;

mit |α|2 + |β|2 = 1 ,

α, β ∈ C

Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht: 1 (1) (2) (±) k = √ (k ± ik ) 2 3

Der Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst in der Quantenelektrodynamik eingeführt. Die Eigenschaften eines Photons hängen aber so eng mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff schon hier zu verwenden

16


In der Literatur werden bezüglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet. Wir halten uns hier an die von [1, 10]: +“: links zirkular oder positive Helizität, σ + -Licht ” −“: rechts zirkular oder negative Helizität, σ − -Licht + ” σ - und σ − -Licht ist wichtig für die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ ± : ∆m = ±1, wobei (1) (2) m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Superpositionen k = αk + βk heißen elliptisch polarisiert. In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig den Spin eines Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die z-Spin-Werte sz = ±1. Das entspricht σ + - und σ − -Licht. Die Auswahlregel ∆m = ±1 folgt dann aus der Erhaltung des Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse nicht realisiert (vgl. [8], Abschnitt 14.5). Im Allgemeinen gehört zu einem zeitabhängigen E˙ Feld auch ein zeitabhängiges B-Feld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot E = −B herleiten: ˙ = −rot {Ek k e(ikx−iωk t) + c.c.} B = −ijk ∂j (k )l Ek e(ikx−iωk t) + c.c. = −ijk (k )l Ek lkj e(ikx−iωk t) + c.c. = −iEk (k × k )i e(ikx−iωk t) + c.c.

Zur Lösung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωk t). Daraus ergibt sich: Ek (k × k )e(ikx−iωk t) + c.c. ωk 1 = (k × E) ωk

B=

Die allgemeine Lösung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen: Z X (σ) (σ) E(x, t) = d3 k Ek k exp(ikx − iωt) + c.c. σ=1,2

Z B(x, t) =

X E (σ) (σ) k dk (k × k ) exp(ikx − iωt) + c.c. ωk σ=1,2 3

Besonders erwähnenswert sind noch folgende Spezialfälle: 1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil 00 zusammen: E = Ek k exp(ikx − iωk t) + c.c. = Ek (0 + i00 ) exp(ikx − iωk t) + c.c.

1.7 Ebene Wellen

17

Dabei gelte 02 + 002 = 1, E ∈ R. =⇒ E = Ek 0 2 cos(kx − iωk t) − Ek 00 2 sin(kx − iωk t) Es handelt sich also um eine laufende Welle. ¨ 2. Man betrachtet die Uberlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen mit Ek = E−k und k = −k : E = E k + E −k = Ek k exp(ikx − iωk t) + E−k −k exp(−ikx − iωk t) + c.c. =⇒ E ∼ cos(kx)cos(ωk t) Es handelt sich also um eine stehende Welle.

18


Kapitel 2 Quantenfeldtheorie des Lichts - QED 2.1

Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

Nimmt man 2 freie Teilchen, so ergibt sich der gemeinsame Hamilton-Operator zu H=

p21 p2 + 2 2m 2m

(2.1)

Die zugehörige 2-Teilchen-Wellenfunktion ist ψ (x1 , x2 ) = φn (x1 ) · φm (x2 )

(2.2)

In dieser Wellenfunktion sind die Teilchen unterscheidbar, der experimentelle Befund jedoch zeigt, dass identische Teilchen NICHT unterscheidbar sind. Dies ist gewährleistet, wenn ψ(x1 , x2 ) dieselben Meßergebnisse wie ψ(x2 , x1 ) liefert. Man führt den Vertauschungsoperator Eˆ ein. ˆ Eψ(x 1 , x2 ) = ψ(x2 , x1 )

(2.3)

Für den Austausch-Operator gilt Eˆ 2 = 1. Somit sind die Eigenwerte dieses Operators ±1. Als Eigenfunktionen definiert man: ˆ B (x1 , x2 ) = +ψB (x1 , x2 ) = ψB (x2 , x1 ) Eψ ˆ F (x1 , x2 ) = −ψF (x1 , x2 ) = ψF (x2 , x1 ) Eψ

(2.4) (2.5)

Aus dem experimentellen Befunden schliesst man, das alle Teilchen in der Natur Eigenfunktioˆ nen des E-Operators: • ψB ⇔ Bosonen • ψF ⇔ Fermionen Das Pauli-Verbot ist eine Konsequenz der Antisymmetrie von ψF .

20

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED

Spin-Statistik-Theorem • Bosonen ⇔ ganzzahliger Spin • Fermionen ⇔ halbzahliger Spin Der Beweis benutzt im Wesentlichen Kausalität und kann in [4] gefunden werden. Vielteilchen-Wellenfunktion ψ(x1 , . . . , xn ) soll symmetrisch oder antisymmetrisch unter dem Austausch zweier beliebiger Teilchen sein: ψ(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = ±ψ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn )

(2.6)

Das erreicht man durch Symmetrisierung: Summiere u¨ ber alle Permutationen der Koordinaten und normiere 1 X ψB (x1 , . . . , xn ) = √ ψ xp(1) , . . . , xp(n) (2.7) N! p 1 X ψF (x1 , . . . , xn ) = √ (−1)p ψ xp(1) , . . . , xp(n) N! p

(2.8)

wobei p die Permutationen signalisiert, also (−1)p ist +1 für gerade Anzahl von Vertauschungen, −1 für ungerade Anzahl von Vertauschungen. Als Beispiel wird die Produktwellenfunktion freier Teilchen benutzt: ψ(x1 , x2 , x3 ) = ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 )

(2.9)

Also Teilchen 1 im Zustand l, Teilchen 2 im Zustand m, Teilchen 3 in n. Somit wären die Teilchen unterscheidbar. Für Fermionen wäre die ununterscheidbare Wellenfunktion per Konstruktion also: 1 F ψlmn (x1 , x2 , x3 ) = √ {ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 ) − ψl (x2 )ψm (x1 )ψn (x3 ) 6 +ψl (x2 )ψm (x3 )ψn (x1 ) − ψl (x3 )ψm (x2 )ψn (x1 ) +ψl (x3 )ψm (x1 )ψn (x2 ) − ψl (x1 )ψm (x3 )ψn (x2 )} Dies wäre für große Teilchenzahlen sehr aufwändig.

2.1.1

Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung

In der Einteilchenquantenmechanik muss man nicht ψ(x), also die Ortsdarstellung für die Wellenfunktion kennen. Um den Zustand vollständig festzulegen, reichen Quantenzahlen aus. Zum Beispiel sind das beim H-Atom die Quantenzahlen n,l und m. Der Zustand ist also vollständig durch |n, l, mi statt durch ψnlm (x) = hx|n, l, mi bestimmt.

2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik

21

In der Vielteilchentheorie reicht es analog völlig aus zu wissen, wie viele Teilchen in welchen Zuständen sind: der ket |1l , 1m , 1n i wird mit dem Zustand 1 Teilchen in l, 1 Teilchen in m, und 1 F Teilchen in n, also der Wellenfunktion ψlmn (x1 , x2 , x3 ) identifiziert. Bosonisches Beispiel: B ψllm (x1 , x2 , x3 )

1 √ {ψl (x1 )ψl (x2 )ψm (x3 ) 3 +ψl (x1 )ψl (x3 )ψm (x2 ) +ψl (x2 )ψl (x3 )ψm (x1 )} ⇐⇒ |2l , 1m i =

Superposition solcher Zustände sind möglich und werden auch im Experiment präpariert, z.B: |ψi = α |2l , 1m i + β |3l , 0m i + γ |1l , 2m i Aber auch Superpositionen von Zuständen mit verschiedener Teilchenzahl wie |ψi = α |1l i + β |2l i + γ |3l , 4m i . . . sind möglich. Formal sind Superpositionen von Zuständen mit verschiedener Tielchenzahl Elemente des Fock-Raumes, der wie folgt definiert ist. • Sei H(1) der Hilbert-Raum für 1-Teilchen-Wellenfunktionen • H(2) der Hilbert-Raum für 2-Teilchen-Wellenfunktionen . . . Der Fockraum ist die direkte Summe aller N-Teilchen-Hilberträume: F := H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ · · · ⊕ H(N )

(2.10)

H(0) beschreibt das Vakuum und hat dementsprechend nur einen einzigen Zustand, der als |0i geschrieben wird. (h0|0i = 1). Man braucht den Fockraum, um Prozesse zu beschreiben, die die Teilchenzahl einer Teilchensorte nicht erhalten. Zum Beispiel kann man die Paarerzeugung von e+ und e− aus einem γ-Quant folgendermaßen darstellen 1 |1γ i ⊗ |0e+ i |0e− i −→ |0γ i ⊗ |1e+ i |1e− i Als zweites Beispiel kann man die Anregung eines Atoms vom Grundzustand |1g i in den angeregten Zustand |1e i durch ein Photon so darstellen: |1g i ⊗ |1γ i −→ |1e i ⊗ |0γ i 1

Eigentlich braucht man zur Energie und Impulserhaltung bei diesem Prozeß noch ein weiteres Teilchen, aber es geht uns hier nur um das Prinzip.

22


2.1.2 Erzeuger und Vernichter Diese erlauben eine einfache Darstellung von Vielteilchen-Wellenfunktionen. Definiere den Erzeuger eines Teilchens im Zustand (in der Mode) l durch: p (l) . . .i = n(l) + 1 |(n(l) + 1)l , n(m) (2.11) a†l |nl , n(m) m . . .i m (l)

al |nl , n(m) m . . .i =

√

n(l) |(n(l) − 1)l , n(m) m . . .i

(2.12)

wobei beide Formeln für Bosonen definiert sind. Für diese Operatoren gilt folgende Vertauschungsrelation. Zur Vereinfachung der Schreibweise lassen wir die Indizes weg. † a , a |ni = a† a |ni − aa† |ni √ √ = a† n |n − 1i − a n + 1 |n + 1i = n |ni − (n + 1) |ni = (−1) |ni Daraus folgt a, a† = 1. Die Wirkung der Operatoren sowie die Vertauschungsrelation sind also dieselben wie beim harmonischen Oszillator. Allgemein gilt al , a†m = δlm (2.13) [al , am ] =

h

a†l , a†m

i

=0

(2.14)

Der physikalische Grund dieser Analogie zwischen harmonischem Oszillator und den Vielteilchenzuständen liegt darin, dass die Energieniveaus analog zu denen des harmonischen Oszillators gelegen sind: Die Erzeugung von n Teilchen der Energie E0 entspricht einer Energiezunahme von nE0 . Die ist analog zur n-fachen Anregung eines harmonischen Oszillators, bei der ebenfalls die Energie nE0 (für E0 = ~ω) benötigt wird. Offensichtlich gilt für Bosonen: a†l H(N ) −→ H(N +1) al H(N ) −→ H(N −1) al |0i = 0 = Zahl! Dabei sind die beiden oberen Gleichungen Abbildungen vom Fockraum in den Fockraum, die untere Abbildung ist die Definitionsgleichung für die Vernichtung des Vakuums. Für Fermionen muss natürlich wegen des Pauli-Verbots (a†l )2 = 0 gelten. Diese Forderung lässt sich durch die Relationen {a†l , a†m } = {al , am } = 0

{al , a†m } = δlm

erfüllen, wobei {A, B} = AB + BA den Antikommutator bezeichnet.

(2.15)


23

2.1.3 Der Feldoperator Wie berechnet man nun Erwartungswerte mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern? Wir betrachˆ x, pˆ). Nun gilt in der Ein-Teilchen-Theorie ten einen 1-Teilchen-Operator O(ˆ Z 3 ˆ ˆ hOi = ψ ∗ (ˆ x)Oψ(x)d x ˆ offensichtlich zu: Für N Teilchen ergibt sich dann der Erwartungswert von O ˆ = hOi

N X

ˆ hOi Einteilchen

i=1

Die legt nahe, den Erwartungswert eines Ein-Teilchen-Operators wie folgt zu definieren: ˆ N i := hO =

N X

ˆ xi , pî ) i h O(ˆ

i=1 N Z X

∗ ˆ N ψ(x1 , . . . xn ) d3 x1 . . . d3 xn ψN (x1 , . . . xN )O

(2.16)

i=1

Betrachten wir z.B. die Energie, mit der Eigenwertgleichung H(ˆ x, pˆ)ψa (x) = Ea ψa (x)

(2.17)

Bei einem n-Teilchenzustand |na , . . . , na0 , . . . , na00 i ist die Energie offensichtlich E = Ea na + . . . + Ea na0 + . . . Z Z 3 ∗ = d x ψa (x)H(ˆ x, pˆ)ψa (x)na + d3x ψa∗0 (x)H(ˆ x, pˆ)ψa0 (x)na0 + . . . Die Teilchenzahlen kann man mit Hilfe der Erzeuger/Vernichter berechnen: Führe folgenden Operator ein: â = a†a aa N

(2.18)

(2.19)

Das ist der Anzahloperator für ein Teilchen im Zustand a. Die Deutung als Anzahloperator wird so motiviert: â | . . . , na , . . .i = h. . . , na , . . . |a† aa | . . . , na , . . .i h. . . , na , . . . |N (2.20) a √ = h. . . , na , . . . |a†a na | . . . , (na − 1)a , . . .i p √ = h. . . , na , . . . | (na − 1) + 1 na | . . . , na , . . .i = na h. . . | . . .i = na Also gilt für E: Z E= Z + + ... Wichtig:

d3x ψa∗ (x)H(ˆ x, pˆ)ψa (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a aa | . . . , na , . . . , na0 i d3x ψa∗0 (x)H(ˆ x, pˆ)ψa0 (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a0 aa0 | . . . , na , . . . , na0 i

(2.21)

24

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED In diesem Ausdruck wirken die Operatoren aa , a†a nur auf die Teilchenzahlzustände, nicht auf ψa (x). Umgekehrt wirkt H(ˆ x, pˆ) nur auf ψa (x), nicht auf |. . . , na , . . .i. Die Teilchenzahlzustände sind eine Art Buchhaltungstrick, um die Kombinatorik zu vereinfachen.

Wir können also den Ausdruck für E umschreiben in: Z E = h. . . , na , na0 , . . . | d3x ψa∗ (x)H(ˆ x, yˆ)ψa (x)a†a aa | . . . , na , na0 , . . .i + . . . Führe den Feldoperator Ψ(x) :=

P

a

(2.22)

aa ψa (x) ein: Z

E = h. . . , na , n , . . . | a0

d3x Ψ† (x)H(ˆ x, yˆ)Ψ(x)| . . . , na , na0 , . . .i

(2.23)

Beweis der Wirkung des Feldoperators: Z h. . . |

Z

d3x

X

d3x ψa∗ Hψb h. . . |a†a ab | . . .i = | R {z }

X

3

†

d x Ψ HΨ| . . .i = h. . . |

ψa∗ (x)a†a H

a

=

XZ a,b

=Eb

X

ψb (x)ab | . . .i

(2.24)

b

Ea h. . . |a†a aa | . . .i =

a

X

Ea na = E

a

ψa∗ ψb =Eb δab

Allgemein kann man jeden Erwartungswert in einem Fock-Zustand |ψi von einem Einteilchenˆ x, pˆ) herleiten gemäß: operator O(ˆ Z ˆ ˆ x, pˆ)Ψ(x)|ψi hO(ˆ x, pˆ)i = hψ| d3x Ψ† (x)O(ˆ (2.25) Dies gilt für beliebige Elemente des Fock-Raumes, z.B. |ψi = |1a i + |2a0 i → hψ|Ψ† Ψ|ψi = h1a |Ψ† Ψ|1a i + h2a0 |Ψ† Ψ|2a0 i

(2.26)

Bemerkungen zum Feldoperator: • Ψ(x) ist in gewisser Weise sowohl ein Operator als auch ein Zustand: X Ψ(x) = aa ψa (x)

(2.27)

a

aa : Operator im Fock-Raum ψa (x): Einteilchenzustand Man könnte ψa (x) als hx|ψa iEinteilchen deuten: X → Ψ(x) = hx| aa |ψa i

Eint.

= hx|ΨiEint.

(2.28)


25

• Interpretation von Ψ(x): Was ist der Zustand Ψ† (x) |0i? Wie wir im Folgenden sehen werden, ist er ein spezieller Einteilchenzustand im Ein-Teilchen Hilbert-Raum H(1) . Betrachte dazu einen vollständig lokalisierten Zustand im H(1) : φx0 (x) = δ(x − x0 ) =

X

cn φn (x),

{φn }= Basis des H(1)

n

Z

Z

dx = d3x φ∗n (x)δ(x − x0 ) = φ∗n (x0 ) X → φx0 (x) = φ∗n (x0 )φn (x) (Vollständigkeitsrelation) φ∗n (x)φx0 (x)

3

cn =

(2.29)

n

Die Fock-Raum-Darstellung dieses Zustandes lautet X

φ∗n (x0 ) |1n i =

n

X

φ∗n (x0 )a†n |0i = Ψ† (x0 ) |0n i

(2.30)

n

Also: Ψ† (x0 ) erzeugt ein Teilchen am Ort x0 . Ψ(x0 ) vernichtet ein Teilchen am Ort x0 . • Kommutatorrelationen für Bosonen: " # X X X Ψ(x), Ψ† (x) = al ψl (x), a†n ψn∗ (y) = ψl (x)ψn∗ (y) [al , a†m ] | {z } =

l

n

X

ψn (x)ψn∗ (y)

l,n

= δ(x − y)

(für Bosonen)

δln

(2.31)

n

Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y) † Ψ (x), Ψ† (y) = [Ψ(x), Ψ(y)] = 0

(2.32) (2.33)

Für Fermionen gilt analog: {al , a†m } = δlm = al a†m + am a†l → Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y) † Ψ (x), Ψ† (y) = {Ψ(x), Ψ(y)} = 0

2.1.4

(2.34) (2.35)

Zweite Quantisierung

Die Konstruktion der Feldoperatoren wie oben ist mathematisch a¨ quivalent zur nochmaligen Quantisierung der Schrödinger-Wellenfunktion.

26


Kanonische Quantisierung eines klassischen Teilchens: Mit der Lagrange-Funktion L(x, x) ˙ läßt sich der kanonisch konjugierte Impuls definieren: p=

∂L ∂ x˙

(2.36)

Quantisiert wird, indem x und p zu Operatoren xˆ und pˆ gemacht werden und man folgende Kommutatorrelation fordert: [ˆ x, pˆ] = i~ (2.37) Genauso kann man bei einem Feld vorgehen: Für ein Schrödinger-Teilchen entspricht der Lagrange-Funktion die Lagrange-Dichte 2 2 ˙ ψ˙ ∗ ) = i~(ψ ∗ ψ˙ − ψ˙ ∗ ψ) − ~ ∇ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ V ψ L(ψ, ψ ∗ , ψ, 2m

(2.38)

Die Feldgleichung führt auf die komplex konjugierte Schrödinger-Gleichung: ∂L ∂L ∂L = −∂i + ˙ ∂(∂i ψ) ∂ψ ∂ψ ~2 ∗ → ∂t i~ψ ∗ = ∂i2 ψ − V ψ∗ 2m

∂t

(2.39) (2.40)

Man definiert die kanonisch konjugierte Impulsdichte π(x) =

∂L = i~ψ ∗ (x) ˙ ∂ ψ(x)

(2.41)

und quantisiert nach dem folgenden Schema: ψ(x), π(x) → Ψ(x), Π(x) [Ψ(x), Π(y)] = i~δ(x − y) → Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y)

(2.42)

Man erhält also dieselben Kommutatorrelationen wie bei der Konstruktion des Feldoperators mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern. Die Methode der zweiten Quantisierung wird am häufigsten angewendet bei der Erstellung einer Vielteilchentheorie für Felder. Sie hat allerdings den Nachteil, dass die explizite Konstruktion des Fock-Raums und die Bedeutung der Feldoperatoren nicht so offensichtlich sind wie bei der vorher beschriebenen Methode.

2.1.5

Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie

“Kochrezept” zur Konstruktion einer Vielteilchentheorie am Beispiel des Schrödingerfeldes: 2

Es gibt auch andere Formen für die Lagrange-Dichte eines SchrödingerTeilchens. Die hier verwendete ist für unsere Zwecke geeignet.


27

(i) Wähle stationäre Lösungen ϕn (x) einer Einteilchentheorie mit hϕn |ϕm i = δnm . Das Skalarprodukt soll zeitunabhängig sein, da sonst die Bedeutung der Moden und damit der Vernichter und des Feldoperators zeitabhängig wäre. Die Interpretation der Operatoren im Schrödinger-Bild wäre dann schwieriger.

Z

i~∂t ψ = Hψ, hψ|ψ i = d3x ψ ∗ ψ 0 Z Z i 0 ∗ 0 ∗ ˙0 3 ∗ 0 ∗ −i 0 ˙ ∂t hψ|ψ i = ψ ψ +ψ ψ dx = (Hψ )ψ + ψ Hψ ) d3x ~ ~ Z i = {ψ ∗ (Hψ 0 ) − ψ ∗ (Hψ 0 )} = 0 (2.43) ~ 0

Dabei wurden die hermitesch konjugierte Schrödingergleichung und die Hermitezität von H bezüglich des Skalarproduktes benutzt. (ii) Ersetze die allgemeine Lösung ψ(x) =

X

cn ϕn (x)

(2.44)

n

der Einteilchen-Bewegungsgleichungen durch den Feldoperator Ψ(x) =

X

mit an , a†m = δnm

an ϕn (x)

(2.45)

n

(bzw. {an , a†m } = δnm für Fermionen). Ψ† (x) erzeugt ein Teilchen am Ort x.

2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung Die Lagrange-Dichte L für das elektromagnetische Feld lautet ˙ 2 − c2 (rot A)2 L ∝ E 2 − c2 B 2 = (−∇φ − A)

(2.46)

L enthält keine Ableitungen der Felder E und B und führt deshalb nur zu den MaxwellGleichungen, wenn man es als Funktion der Potentiale betrachtet. Die Feldgleichungen in CoulombEichung (div A = 0) lauten A = µ0 j −

1 ˙ ∇φ, c2

∆φ = −

% 0

Die Gleichung für φ ist nicht dynamisch!

(2.47)

28

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED Die entsprechenden Gleichungen im Vakuum lauten: A = −

Randbedingungen: Lösung:

r→∞

φ −→ 0

=⇒

1 ˙ ∇φ, c2

φ=0

∆φ = 0

=⇒

(2.48)

A = 0

A(x, t) = A(+) (x, t) + A(−) (x, t) M odenf unktion Z z }| { X = d3 k Akσ εσk Nσk exp (−iωk t) exp (ikx) + σ=1,2

|

{z A (x, t)

}

(+)

(2.49) c.c. |{z} A(−) (x, t)

(2.50)

dabei sind: • Akσ die Entwicklungskoeffizienten • εσk der Polarisationsvektor • Nσk ein Normierungskoeffizient • A(+) (x, t) der sog. positive Frequenzanteil“ ”

(∝ exp (−iωk t))

Wir wissen, daß eikx eine vollständige Basis ist (wegen der Fouriertransformation). Da eikx schon in A(+) (x, t) alleine vorkommt, reicht es, nur A(+) (x, t) zu betrachten. Da außerdem b nur ein hermitescher Operator sein, aber A(x, t) reell ist, kann der entsprechende Operator A † b nicht [a, a ] = 1 bedeutet, daß a nicht hermitesch sein kann. Deshalb kann der volle Operator A (+) alleine aus Vernichtern aufgebaut werden. Auch das ist ein Grund, A (x, t) statt A(x, t) zu quantisieren. Seien nun A(+) (x, t), A0 (+) (x, t) Lösungen von A = 0. Ein erhaltendes Skalarprodukt ist dann gegeben durch D

A

(+)

Z E 0 0(+) ˙ (+)∗ A0 (+) − A(+)∗ A˙ 0 (+) } (x, t) A (x, t) = −i d3 x { A | {z } | {z } } (−) ˙ A(−) A

¨ Der Vorfaktor stammt aus dimensionalen Uberlegungen: [A] =

Js Cm

=⇒

[hA |A0 i] = 1


29

Behauptung: Z

0 ∂t hA|Ai = −i }

n ∗ o ∗ ˙0 ∗ ˙0 ! ∗ ¨0 0 ¨ ˙ ˙ d x A A +A A −A A −A A =0 3

1 ¨ verwende hierzu A − ∆A = 0 c2 Z 0 =⇒ ∂t hA|Ai = −i c2 d3 x {(∆A∗ ) A0 − A∗ (∆A0 )} } Z 0 2 = −i c d3 x {A∗ (∆A0 ) − (∆A∗ ) A0 } } =0 Z Z Z 0 ∗ ∗ 0 wobei benutzt wurde, dass ∇i ∇i Aj A j = − ∇i Aj ∇i A j = A∗j ∇i ∇i A0 j Normierung der ebenen Wellen Nkσ εkσ exp (ikx − iωk t) = ϕkσ (x, t) !

hϕkσ |ϕk0 σ0 i = δσσ0 δ(k − k0 ) Z 0 d3 xNkσ Nk0 σ0 ε∗kσ εk0 σ0 = −i } −ikx iω t 0 e e k (iωk ) eik x e−iωk0 t 0

−e−ikx eiωk t (−iωk0 ) eik x e−iωk0 t Z mit

0

d3 x ei(k−k )x = (2π)3 δ(k − k0 ) folgt: 0 (2π)3 ε∗kσ εkσ0 δ(k − k0 ) Nkσ Nkσ0 2ωk | {z } } δσ,σ0 0 2 = (2π)3 2ωk Nkσ δσ,σ0 δ(k − k0 ) } ! = δσ,σ0 δ(k − k0 )

hϕkσ |ϕk0 σ0 i =

s =⇒

Nkσ =

} 2(2π)3 0 ωk

für t = 0 folgt 3 also für A(x): Z A(x) =

s d3 k

X σ

3

Akσ

} εkσ exp (ikx) + c.c. 2(2π)3 0 ωk

(2.51)

Wir setzen hier t = 0 um den zeitunabhängigen Operator für das Vektorpotential (in Coulomb-Eichung) im Schrödinger-Bild herzuleiten. Man kann auch t 6= 0 betrachten und erhält einen zeitabhängigen Operator, der das Vektorpotential im Wechselwirkungs-Bild beschreibt.

30

Quantenfeldtheorie des Lichts - QED Quantisierung: Ersetze die Amplitude Akσ durch Vernichter akσ mit h

akσ , a†k0 σ0

i

= δσ,σ0 δ(k − k0 )

a†kσ erzeugt ein Photon ( = Lichtquant ) mit Impuls }k und Polarisationsvektor εkσ . Im Gegensatz zur klassischen Maxwell-Theorie sind in der QED Intensität und Energie eines Lichtstrahls gequantelt. Photonen sind Bosonen und haben Spin 1, jedoch nur zwei mögliche Werte für die magnetische Quantenzahl m = +1, −1. Diese Werte entsprechen den links - bzw. rechtszirkular polarisierten ebenen Wellen: die Polarisation ist also spinfreiheitsgradabhängig. m = 0 ( ⇒ longitudinal polarisierte Photonen ⇔ εkσ k k ) ist verboten, wegen des Verschwindens der Masse der Photonen. Mehr dazu in Abschnitt 14.5 von Ref. [8]. Den elektrischen und magnetischen Feldoperator kann man leicht aus dem Vektorpotential herleiten:

b E(x)

t=0

˙ b = − A(x)

Z =i

s d3 k

X

t=0

σ

Z b b B(x) = rotA(x) =i

akσ

}ωk εkσ eikx + H.c. 3 2(2π) 0

(2.52)

s d3 k

X σ

akσ

} (k × εkσ )eikx + H.c. 2(2π)3 0 ωk

(2.53)

Der Hamiltonian kann aus der klassischen Energiedichte gewonnen werden:

Z 2 0 b (x) + c2 B b 2 (x) = . . . b = H d3 x E 2 Z o X }ωk n † = d3 k akσ akσ + akσ a†kσ 2 σ Z X 1 † 3 = dk }ωk akσ akσ + 2 σ

(2.54)

(⇔ Summe harmonischen Oszillatoren) Die Bewegungsgleichung der Operatoren im Heisenberg-Bild lautet allgemein: h i b b b = O(t), i}∂t O(t) H

(2.55)


31

hieraus folgt " i}E˙ i (x, t) =

Z Ei (x, t),

d3 k

Z

s

X σ

}ωk0 2(2π)3 0

X

d3 k 0

= i

# 1 }ωk a†kσ akσ + 2

σ0

" 0

0

ak0 σ0 eik x (εεk0 σ0 )i − a†k0 σ0 e−ik x (ε ε∗k0 σ0 )i ,

Z

d3 k

X

}ωk a†kσ akσ +

σ

Z = i

XZ

d3 k 0

1 2

#

s X

d3 k

0

σ

}ωk0 }ωk 2(2π)3 0

n 0 σ o 0 eik x (εεk0 σ0 )i δ(k − k0 )δσσ0 akσ − e−ik x (εε∗kσ0 )i a†k0 σ0 (−δσσ0 δ(k − k0 )) s

Z

˙ = =⇒ E

d3 k

X

} † −ikx ∗ ikx a e ε + a e ε kσ kσ kσ kσ 2(2π)3 0 ωk

ωk2

σ

(2.56)

Berechne nun (rot B)i : Z

d3 k

(rot B)i = i

X σ

∂ εijl akσ (k × εkσ )l eikx ∂xj

Z −i

d3 k

X

εijl

σ

Z rot B = −

s ~ 2(2π)3 ε0 ωk s

∂ † a (k × ε∗kσ )l e−ikx ∂xj kσ

~ 2(2π)3 ε0 ωk

s d3 k

X σ

~ † −ikx ikx ∗ k × (k × ε )a e + k × (k × ε )a e kσ kσ kσ kσ 2(2π)3 ε0 ωk (2.57)

Mit k · εkσ = 0 erhält man außerdem: k × (k × εkσ ) = k(k · εkσ ) − εkσ k2 = −εεkσ k2

(2.58)

Woraus dann folgt: Z rot B =

s d3 k

X σ

~ k 2 {akσ eikx εkσ + a†kσ e−ikx ε∗kσ } 3 2(2π) ε0 ωk

(2.59)

1 ˙ ˙ E = µ0 ε 0 E (2.60) c2 Dies ist eine der inhomogenen Maxwell-Gleichungen für j = 0 (andernfalls gilt ja rot B = 1 ˙ ˙ E = µ0 {j + ε0 E}). Analog findet man c2 ⇒ rot B =

˙ = [B, H] = . . . i~B

32


˙ = −rot E ⇒B

(2.61)

Außerdem gilt wegen k · εkσ = k · (k × εkσ ) = 0 div B = 0

(2.62)

und div E = 0

% = ε0

(2.63)

⇒ Die Feldoperatoren erfüllen die Maxwell-Gleichungen im Vakuum Die Bewegungsgleichungen lassen sich leicht lösen, wenn man die einzelnen Moden betrachtet: i~a˙ kσ = [akσ , H]   Z X 1  0 0 = akσ , d3 k ~ωk a†k0 σ0 ak0 σ0 + 2 σ0 Z X 0 0 = d3 k ~ωk0 δσσ0 δ(k − k )ak0 σ0 σ0

= ~ωk akσ

(2.64)

Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet akσ = e−iωk t akσ (0) akσ (0) ist dabei der Schrödinger-Operator für die entsprechende Mode. Die Lösung hat dieselbe Struktur wie die entsprechende klassische Welle. Bemerkungen zum Faktor 21 im Hamiltonian: Dieser Term ist eine Konstante und hat daher keinen Einfluß auf die Dynamik. Er repräsentiert die Vakuumenergie und ist divergent. Er hängt jedoch von den Randbedingungen an die Moden ab. Beispiel: Zwei Spiegel im Abstand L (siehe Abbildung 2.1). Die Spiegel implizieren Randbedingungen für das Maxwell-Feld. Die Folge davon ist, dass nur diskrete Wellenzahlen mit kn = 2π n, L n ∈ N statt |k| ∈ R zugelassen sind. Entsprechend wird im Hamiltonian nur u¨ ber die diskreten Wellenvektoren summiert, so dass sich die Vakuumenergie a¨ ndert. Subtrahiert man die freie Vakuumenergie von der zwischen den beiden Spiegeln, so erhält man eine endliche Energie-Differenz, die vom Abstand L abhängt. Dies führt zu einer anziehenden Kraft (Casimir-Kraft) zwischen den Spiegeln. Casimir-Kräfte werden ausführlich in Ref. [7] behandelt.

2.2 Kohärente Zustände

33

Abbildung 2.1: Skizze zu Casimir-Effekt

2.2

Kohärente Zustände

Kohärente Zustände sind die bei weitem wichtigsten in der Quantenoptik. Sie bilden eine quantenmechanische Beschreibung Felder. klassischer † Betrachte eine Mode a, a, a = 1 des elektromagnetischen Feldes. Verschiedene Definitionen des kohäherenten Zustands |αi: • Eigenzustand von a: a |αi = α |αi, α ∈ C ¨ • Zustand minimaler Unschärfe (siehe Ubungen) • “Verschiebung des Vakuums” Was ist a |αi? Entwickle |αi nach Fock-Zuständen: ∞ X

∞ X n α √ n a† |0i |αi = αn |ni = n! n=0 n=0

34


⇒ a |αi =

∞ X

αn a |ni =

n=0

∞ X

√ αn n |n − 1i

n=1

0

Mit n = n − 1 ergibt sich damit: a |αi =

∞ X

αn0 +1

√

n0

0

!

+ 1 |n i = α |αi = α

∞ X

αn0 |n0 i

n0 =0

n0 =0

n Daraus folgt die Relation αn+1 = α √αn+1 , wobei α0 noch durch die Normierung festgelegt wird. Aus

α1 = αα0 α2 α2 = √ α0 2! α3 α3 = √ α0 usw. 3! folgt

αn αn = √ α0 n!

(2.65)

Damit ergibt sich nun: ∞ ∞ X X αn α n † n √ |ni = α0 |αi = α0 a |0i = α0 exp αa† |0i n! n! n=0 n=0

Unter Verwendung von hn|mi = δnm und Gleichung (2.65) erhält man dann ∞ ∞ ∞ X X X (α∗ )n αm |α|2n ! 2 √ hn| √ |mi = |α0 | hα|αi = 1 = |α0 | = |α0 |2 exp |α|2 = 1 n! n! m! n=0 m=0 n=0 2

woraus sich dann

|α|2 α0 = exp − 2

(2.66)

ergibt. Insgesamt können wir nun |αi darstellen als |αi = exp

−|α|2 2

X ∞ n=0

|α|2 αn √ |ni = exp − exp(αa† ) |0i 2 n!

(2.67)

|αi kann auch mit dem Verschiebe-Operator D(α) = exp (αa† − α∗ a)

(2.68)

konstruiert werden. Die Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung lautet: 1

1

e(A+B) = eA eB e− 2 [A,B] e− 6 [A,[A,B]] . . .

(2.69)

2.2 Kohärente Zustände

35

Mit A = αa† und B = −α∗ a folgt nun |α|2 1 1 − [A, B] = − (−|α|2 )[a† , a] = − ∈R 2 2 2 ⇒ [A, [A, B]] = 0 Damit ergibt sich mit Gleichung (2.69) folgende Darstellung des Verschiebe-Operators: †

∗

D(α) = eαa e−α a e−

|α|2 2

(2.70)

Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Verschiebe-Operators: • D(α) ist unitär: D† (α) = eα

∗ a−αa†

= e−(αa

† −α∗ a)

= D−1 (α) = D(−α)

• Es gilt die Beziehung |αi = D(α) |0i

(2.71)

Aus Gleichung (2.71) wird ersichtlich, dass man das Vakuum als speziellen kohärenten Zustand mit α = 0 auffassen kann. ¨ In den Ubungen wurde gezeigt, dass 4 E ∼ a + a† B ∼ i(a† − a)

(2.72) (2.73)

E¯ = hα| E |αi = hα| a + a† |αi = α + α∗ = 2Re α ¯ = hα| B |αi = hα| i(a† − a) |αi = i(α∗ − α) = 2Im α B

(2.74) (2.75)

Damit ergibt sich:

(∆E)2 = = = =

hE 2 i − E¯ 2 hα| a2 + aa† + a† a + (a† )2 |αi − (α − α∗ )2 α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| aa† |αi − (α − α∗ )2 α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + a, a† |αi − (α − α∗ )2

= α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + 1 |αi − (α − α∗ )2 = α2 + (α∗ )2 + 2αα∗ + 1 − α2 − (α∗ )2 − 2αα∗ = 1 4

(2.76)

Genaugenommen kommt es dabei auf die Wahl der Polarisation und der Phase an. Für eine einzelne Mode ˙ ∝ iωa exp(ikx)ε gilt A ∝ a exp(ikx)ε ε + a† exp(−ikx)ε ε∗ und somit E = −A ε + (−iω)a† exp(−ikx)ε ε∗ sowie † ∗ B = rot A ∝ ia exp(ikx)k × ε + (−i)a exp(−ikx)k × ε . Wählt man nun z.B. zirkular polarisiertes Licht (ε ε ∝ ex + iey ) und den Ort x = 0, so ergeben sich nachfolgenden Beziehungen für die y-Komponenten der Felder.

36


⇒ ∆E ist unabhängig von α. Analoge Rechnung für ∆B: (∆B)2 = · · · = 1

(2.77)

⇒ ∆E∆B = 1

(2.78)

Die allgemeine Heisenberg’sche Unschärferelation für zwei (beliebige) hermitesche Operatoren lautet ∆E∆B ≥ |h[E, B]i|/2. Hieraus kann man ersehen, dass kohärente Zustände minimale Unschärfe haben. ⇒ Man kann kohärente Zustände durch eine Amplitude α ∈ C und eine Unschärfe 1 charakterisieren. Graphisch:

Abbildung 2.2: Veranschaulichung eines kohärenten Zustandes durch eine komplexe Amplitude mit Unschärfe 1 (kleiner Kreis). Der gestrichelte Kreis beschreibt die (freie) Zeitentwicklung der Amplitude.

Freie Zeitentwicklung kohärenter Zustände: †

†

|α(t)i = U (t) |α(0)i ∝ U eαa |0i = U eαa U † U |0i †

U |0i = |0i ⇒ |α(t)i = U eαa U † |0i A2 + . . . )U † 2 1 = U U † + U AU † + U A(U † U )AU † + . . . 2 1 = 1 + U AU † + (U AU † )2 + . . . 2 + = exp(U AU )

U eA U † = U (1 + A +

(2.79)

2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz

†

⇒ U eαa U † = eαU a

†U †

37

= exp(αe−iωt a† )

⇒ |α(t)i = |αe−iωt i

(2.80) (2.81)

Kohärente Zustände bleiben also kohärent, ihre Zeitentwicklung beschreibt einen Kreis um den Ursprung der komplexen Ebene. • Kohärente Zustände sind nicht diagonal: hα|βi = e

−|α|2 2

e

−|β|2 2

eα

∗β

(2.82)

¨ Herleitung: Uber Entwicklung nach Fock-Zuständen oder u¨ ber Verschiebeoperator und Baker-Hausdorfformel (Gleichung (2.69) auf Seite 34). • Kohärente Zustände sind u¨ bervollständig: Z d2 α |αi hα| = π1

(2.83)

Beweis: Entwicklung nach Fock-Zuständen, Integration u¨ ber Winkel.

2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz Der Unterschied zwischen klassischer und quantenmechanischer Interferenz ist auf den ersten Blick subtil, läßt sich aber mit kohärenten Zuständen gut verstehen. Sei also |ψi = |αi = D(α) |0i; D† (α) = D−1 (α) D(α) kann verwendet werden, um zu einem unitär a¨ quivalenten Bild“ u¨ berzugehen, bei ˜ = D−1 (α) |ψi durch das Vakuum gegeben ist. ” dem der Zustand |ψi Operatoren-Trafo: ˆ˜ = D† (α)OD(α) ˆ O ˆ˜ ψi ˜ O| ˜ = hψ|O|ψi) ˆ (⇐⇒ hψ| ˜ E(x) = D† (α)E(x)D(α) s X = (akσ . . . eikx + H.c.) + i a

Zkσ =

6=a

dk

X σ

~ωa a eikx D† (α)aD(α) + H.c. 2(2π)3 0

√ akσ . . . + H.c. + i . . .a eikx D† aD + H.c.

(2.84)

38


Was ist D† (α)aD(α)? Benutze das Theorem: eA Be−A =

∞ X 1 kn n! n=0

k0 = B;

kn+1 = [A, kn ]

(2.85)

=⇒ A = α∗ a − αa† ; B = a =⇒ k0 = a; k1 = α∗ a − αa† , a = α =⇒ k2 = k3 = . . . = 0 =⇒

D† (α)aD(α) = a + α

√ √ ˜ E(x) = E Alle anderen Moden + (i . . .a eikx a − i . . .∗a e−ikx a† ) √ √ +(iα . . .a eikx − i . . .∗a α∗ e−ikx ) ˜ =⇒ E(x) = E(x) + E klassisch (x) a

(2.86)

Der Zustand |αi in Abwesenheit a¨ ußerer Felder ist unitär a¨ quivalent zum Vakuum mit dem a¨ ußeren Feld E klass. (x) (und B klass. (x)). a a Damit läßt sich der Unterschied zwischen der Interferenz von Photonen und klassischer MaxwellFelder verstehen: • Klassische Interferenz: z.B. E i ∝ eiki x

E = E 1 + E 2,

I ∝ EE ∗ = |E 1 |2 + |E 2 |2 + 2Re(E 1 E ∗2 ) 2Re(E 1 E ∗2 ) ∝ cos(x(k1 − k2 )) • Quantenmechanische Beschreibung klassischer Interferenz: |ψi = |α1 , α2 i = D1 (α1 )D2 (α2 ) |0i †

∗

D1 (α1 ) = eα1 a1 −α1 a1 D2 (a2 ) analog Das Produkt D1 D2 erzeugt die Summe klassischer Felder: ˆ 1 D2 = D† (E ˆ + E 1 )D2 = E ˆ + E1 + E2 D2† D1† ED 2

2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen

39

Transformiere mittels D2† D1† von |ψi auf den Vakuumzustand: I ∝ hψ|E (−) E (+) |ψi

ˆ (−) + E ∗ + E ∗ )(E ˆ (+) + E 1 + E 2 )|0i = h0|(E 1 2 = |E 1 + E 2 |2 ⇐⇒ klassisches Interferenzbild

Im Gegensatz zu klassischen Feldern kann man in der Quantenmechanik auch kohärente Zustände u¨ berlagern: |ψi = |α1 i + |α2 i = (D1 (α1 ) + D2 (α2 )) |0i Interferenzmuster dieses Zustandes: ˆ I ∝ hψ|E = = = =

(−)

ˆ (+) |ψi E

ˆ (−) E ˆ (+) (D1 + D2 )|0i h0|(D1† + D2† )E h0|(D1† E (−) E (+) D1 + D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 + D2† E (−) E (+) D2 )|0i |E 1 |2 + |E 2 |2 + h0|(D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 )|0i |E 1 |2 + |E 2 |2 + hα1 |E (−) E (+) |α2 i + hα2 |E (−) E (+) |α1 i

=⇒ I ∝ |E 1 |2 + |E 2 |2 + E1∗ E2 hα1 |α2 i + E2∗ E1 hα2 |α1 i hα1 |α2 i = e−

|α1 |2 2

e−

|α2 |2 2

∗

eα1 α2

=⇒ | hα1 |α2 i |2 = . . . = e−|α1 −α2 |

2

=⇒ Für |α1 − α2 | 1 ist die Quanteninterferenz stark unterdrückt. Für ein klassisches Feld mit großer Anzahl von Photonen |α|2 1 spielt sie daher keine Rolle. Der Zustand |α1 i + |α2 i wird auch Schrödinger cat state genannt, da er einer Superposition makroskopischer Zustände entspricht (für |αi |2 1).

2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen ˆ und nicht φ quantisiert wurde, hängt mit der Coulomb-Eichung zusamDie Tatsache, daß nur A men. Grund: A = 0 ∆φ = 0 =⇒ φ ist nicht dynamisch, sein konjugierter Impuls verschwindet.

40


Das sieht man gut an der Lagrange-Funktion: Z 1 L = (E 2 − c2 B 2 )d3 x 2 Z 1 ˙ 2 − c2 (rotA)2 ]d3 x = [(−∇φ − A) 2 Z 1 ˙ +A ˙ 2 − c2 (rotA2 )]d3 x = [(∇φ)2 + 2φdivA 2 Z = Ld3 x Coulomb-Eichung: divA = 0 =⇒

∂L =0 ∂ φ˙

Lorentz-Eichung: Z 1 ˙ 1 1 ˙ 2 − c2 (rotA2 )]d3 x divA + 2 φ = 0 =⇒ L = [(∇φ)2 − 2φφ¨ 2 + A c 2 c R Betrachtet man jetzt die Wirkung S = Ldt, so kann man den Term ∝ φ¨ partiell integrieren und erhält damit eine neue Lagrange-Dichte L0 ∝ φ˙ 2 . Damit wird ∂L0 /∂ φ˙ 6= 0 und der skalare kanonische Impuls verschwindet nicht. =⇒ In der Lorentz-Eichung erhält man daher nicht nur zwei zirkular polarisierte Photonen, sondern auch ein skalares (⇐⇒ φ) und ein longitudinal polarisiertes (⇐⇒ divA 6= 0). Die beiden letzteren sind unphysikalisch und müssen durch geeignete Nebenbedingungen an die ˆ˙ 2 ) |ψi =! 0) für die physikalischen Zustände |ψi. ˆ + φ/c Zustände entfernt werden: (divA Eine einheitliche Vorschrift zur Quantisierung von Systemen mit Nebenbedingungen wurde von Dirac entwickelt, ist aber schwierig (Siehe z.B. Kapitel 1 in Ref. [9])

Kapitel 3 Quantenmechanik der Atome: ein kurzer ¨ Uberblick 3.1

Das Wasserstoffatom, Parität

Hamilton-Operator für ein Proton, ein Elektron (V Coulombpotential): p2p p2 H= + e + V (|xp − xe |) 2Mp 2me

(3.1)

1 Mit R = Mp +m (Mp xp + me xe ) Schwerpunktkoordinate, r = xe − xp Relativkoordinate, e 1 M = Mp + me , µ = M1p + m1e ergibt sich:

P2 p2 + + V (|r|) (3.2) 2M 2µ In der Atomphysik spielt die Relativbewegung die zentrale Rolle, in der Atomoptik die Schwerpunktbewegung. Führe sphärische Koordinaten für die Relativbewegung ein: ! 2 2 2 ˆ p ~ 1 L =⇒ =− · ∂r r∂r − 2 (3.3) 2µ 2µ r r H=

ˆ der Bahndrehimpulsoperator. Es gilt [L, ˆ |r|] = 0. Eigenfunktionen Dabei ist p = −i~∇ und L von H sind auch Eigenfunktionen von L: ψ = Ylm (θ, φ)fl (r) ˆ2

L Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm Der Radialanteil fl (r) der Wellenfunktion erfüllt dann 2 ~ 1 ~2 l(l + 1) Efl = − ∂r r∂r + + V (r) fl 2µ r 2µ r2

(3.4)

(3.5)

¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick

42 l

Lösung: fnl ∼ r exp

− nar 0

˚ · Laguerre-Polynome, a0 = Bohr-Radius ≈ 0, 5 A.

=⇒ Ψnlm = fnl Ylm (θ, φ) ⇐⇒ |nlmi (elektronischerZustand)

(3.6)

Hierbei bezeichnet n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische Quantenzahl. Zusätzlich: Spin s des Elektrons, s = ± 21 , |ψi = |nlmsi . Parität: r −→ −r |r| −→ |r|

(3.7) l

Ylm (θ, φ) −→ Ylm (π − θ, φ + π) = (−1) Ylm (θ, φ) =⇒ Parität von |nlmsi ist (−1)l . Die Parität ist wichtig für die Auswahlregeln der Dipolstrahlung.

3.2 Feinstruktur und Spin Allgemein von großer praktischer Relevanz ist die Wechselwirkung mit einem Magnetfeld: H = −µ · B

(3.8)

Dabei ist µ das magnetische Dipolmoment des Atoms. Ein klassisches Teilchen mit Drehimpuls L (z.B. auf Kreisbahn) und Ladung q hat das magn. Moment µ=

q L. 2M

(3.9)

Das Elektron liefert den Bahnbeitrag: e ˆ L 2me

(3.10)

e ˆ L µe 2Mp

(3.11)

µe = − Für das Proton ergibt sich wegen Mp me : µp = + Spin des Elektrons: 1

e ~e 2S = − σ. (3.12) 2me 2me Die Feinstruktur entsteht dadurch, dass im Ruhesystem des Elektrons der Kern um das Elektron rotiert und dabei ein Magnetfeld erzeugt. −

1

Der Faktor 2, der im Unterschied zum Bahndrehimpuls auftritt, wird gyromagnetischer Faktor g genannt. Aus der Dirac-Gleichung, die ein relativistisches Elektron beschreibt, folgt g = 2. Auf Grund der Vakuumfluktuationen des elektromagnetischen Feldes ergeben sich aber kleine Abweichungen von diesem Wert (g ≈ 2, 002).

3.3 Hyperfeinstruktur

43

Kernsystem: elektrisches Feld E = −∇VCoul , B = 0 (der Kern erzeugt kein Magnetfeld, da er ruht). Lorentztransformation ins Ruhesystem des Elektrons 2 : B0 = v × E = −v × ∇VCoul 1 = − p × ∇VCoul M

(3.13)

1 VCoul = VCoul (|r|) =⇒ ∇VCoul = er ∂r Vcoul = r ∂r VCoul r 1 1 1 1 − =⇒ B 0 = − ∂r VCoul p × r = ∂r VCoul L(e ) M r M r

(3.14)

Dabei ist v die Geschwindigkeit.

Es existiert also eine Kopplung zwischen Spin und Bahndrehimpuls des Elektrons: HSB = −µe σB 0 1 = µe σ · L ∂r VCoul r

(3.15)

Eine exakte Berechnung der Matrixelemente hn0 l0 m0 s0 |HSB |nlmsi inklusive relativistischer Korrekturen ergibt:

∆EF S

1 1 = − me c2 (αZ)4 3 2 h

1 j+

1 2

3 − 4n

(3.16)

∆EF S /~ ≈ 100GHz Hierbei bezeichnet j = l ± 21 den Gesamtdrehimpuls des Elektrons. Ohne relativistische Korrekturen würde ∆EF S von l und s statt von j = l + s abhängen.

3.3

Hyperfeinstruktur

Die Hyperfeinstruktur hat zwei Ursachen: 1. Wechselwirkung zwischen dem Drehimpuls des Elektrons und dem Kernspin 2. QED Korrekturen (Vakuumfluktuationen) 2

Eigentlich bewegt sich das Elektron auf einer nicht-inertialen Kreisbahn und man muß anders vorgehen. Das Ergebnis stimmt aber bis auf einen Faktor 1/2 (Thomas-Faktor) mit dem korrekten Resultat u¨ berein und der hier beschriebene Weg enthält die wesentliche Physik.

44

¨ Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Uberblick

Zu 1.: Ein magnetisches Dipolmoment erzeugt ein Magnetfeld, mit dem andere magnetische Dipole wechselwirken. Beim H-Atom erzeugt der Gesamtdrehimpuls j = s + l des Elektrons ein Magnetfeld am Kern, mit dem der Kernspin wechselwirkt. Hyperfeinspin: F = Sk + j (3.17) Es muß hierbei angemerkt werden, dass die Addition von S k und j zum Hyperfeinspin nicht a¨ quivalent zu der Addition von Gesamtspin S G = S k + S e und elektronischem Bahndrehimpuls L zu F ist. Dies geschieht, obwohl die Operatoren eigentlich exakt die gleichen sind. Der Grund liegt darin, dass man bei der Addition von Drehimpulsen immer eine bestimmte Basis assoziiert, die den Gesamtdrehimpuls diagonalisiert. Diese Basis ist verschieden je nachdem, welche der beiden Zerlegungen F = S k + j beziehungsweise F = S G + L man verwendet. Siehe dazu Anhang 12.2

Kapitel 4 Die Wechselwirkung von Atomen und Licht 4.1

Die minimale Kopplung

Die klassischen Maxwell-Gleichungen sind eichinvariant, A → A0 = A + ∇χ

,

φ → φ0 = φ − ∂t χ .

(4.1)

Die Invarianz gilt auch in Anwesenheit von Ladungen % und Strömen j. Diese Eigenschaft sollte auch in der Quantenmechanik erhalten bleiben.

4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen m¨ x = qE + q x˙ × B

Elektrische + Lorentz-Kraft

kann aus der Lagrange-Funktion 1 ˙ L = mx˙ 2 + q xA(x, t) − qφ(x, t) 2

(4.2)

wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls p ist definiert als pi :=

∂L ⇒ pi = mx˙ i + qAi (x, t) ∂ x˙ i

(4.3)

In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte Impuls also ver˙ Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten: schieden vom kinetischen Impuls Π = mx. d ∂L pi = dt ∂xi

(4.4)

46

Die Wechselwirkung von Atomen und Licht

Gleichungen (4.2) und (4.3) einsetzen: ∂L = −q∂i φ + q x˙ k ∂i Ak ∂xi d ∂ ∂ pi = m¨ xi + q Ai (x(t), t) + q Ai (x(t), t) x˙ k dt ∂t ∂xk =⇒ m¨ xi = −q∂i φ − q∂t Ai + q x˙ k (∂i Ak − ∂k Ai )

(4.5)

verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem) =⇒ m¨ xi = qEi + q x˙ k (∂i Ak − ∂k Ai )

(4.6)

nun ist aber Bj = (rot A)j = jmn ∂m An =⇒ ikj Bj = ikj jmn ∂m An = jik jmn ∂m An = (δim δkn − δin δkm )∂m An = ∂i Ak − ∂k Ai =⇒ m¨ xi = qEi + q x˙ k ikj Bj = qEi + q(x˙ × B)i

(4.7) qed.

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form der Schrödinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion H = pi x˙ i − L Sie soll mit Hilfe von x˙ =

1 (p m

− qA) als Funktion von p und x ausgedrückt werden =⇒

1 1 1 1 (pi − qAi ) − m 2 (p − qA)2 − q (p − qA)A + qφ m 2 m m 1 H= (p − qA)2 + qφ 2m

H = pi

Um zur Quantenmechanik u¨ berzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung: ˆ x→x

;

ˆ p→p

;

[ˆ xi , pˆj ] = δij

In der Ortsdarstellung gilt: ˆ x→x

;

p → −i~∇

und somit ˆ = 1 (−i~∇ − qA(ˆ H x, t))2 + qφ(ˆ x, t) , 2m

ˆ i~∂t ψ(x, t) = Hψ(x, t)

(4.8)

Dies ist die Schrödinger-Gleichung für nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (p − qA) wird minimale Kopplung genannt.

4.1 Die minimale Kopplung

47

4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung Wendet man die Transformation (4.1) auf den Hamiltonian (4.8) an so stellt man fest, dass die Schrödinger-Gleichung nicht invariant ist: ∂χ 1 (−i~∇ − qA(ˆ x, t) − q∇χ)2 + qφ(ˆ x, t) − q ψ 2m ∂t ˆ i~∂t ψ(x, t) = 6 Hψ(x, t) ˆ0 = H

Um die Invarianz wiederherzustellen, muß auch die Wellenfunktion unitär transformiert werden: ψ 0 = ψ exp(iqχ/~)

(4.9)

Daraus folgt i~∂t ψ

0

= = = = =

∂ψ ∂χ e i~ −q ψ ∂t ∂t ∂χ iqχ/~ ˆ −q ψ e Hψ ∂t 1 ∂χ 2 iqχ/~ e (−i~∇ − qA) + qφ ψ − q ψ 0 2m ∂t 1 ∂χ (−i~∇ − qA − q∇χ)2 + qφ eiqχ/~ ψ − q ψ 0 2m ∂t 0 0 ˆψ H iqχ/~

(4.10)

Die minimale Kopplung spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkräfte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke und schwache Wechselwirkung) diese Form. Beim elektromagnetischen Feld ist die Eichinvarianz auf die einfachste Art realisiert. Man nennt Sie auch U(1) Eichtheorie, da die Transformation des Zustands (4.9) einer Multiplikation mit einer Unitären 1×1 Matrix (= komplexe Zahl mit Betrag eins) entspricht. Bei anderen Wechselwirkungen treten mehrere Felder auf. Beispiel: bei der sogenannten Speziell unitären SU(2) Eichtheorie der (elektro-) schwachen Wechselwirkung werden die Zustände gemäß 0 ψe ψe = exp(iσ · χ) (4.11) ψν0 e ψνe transformiert. Hierbei ist ψe die Wellenfunktion des Elektrons, ψνe die des Elektron-Neutrinos und σ die Pauli-Matrizen. Das Wort speziell bedeutet, dass die Matrix exp(iσ · χ) die Determinante 1 hat. Das Eichpotential in dieser Theorie wird als A = A(i) σi geschrieben und besteht daher aus drei Vektorfeldern A(i) . Die entsprechen grob gesagt den W± -Bosonen und dem ZBoson, die die schwache Wechselwirkung vermitteln. 1 1

Eigentlich sind die schwache und die elektromagnetische Theorie ineinander verwoben und werden zusammen durch eine U(1)×SU(2) Eichtheorie beschrieben. Die U(1) ist dabei die der Hyperladung und nicht die, die die elektromagnetischen Felder allein beschreibt.

48


4.2

Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

Obwohl sie für die Beschreibung der Fundamentalkräfte wichtig ist, hat die minimale Kopplung einige Nachteile, wenn man die Wechselwirkung von Atomen und Licht beschreiben will: • Bei elektrisch neutralen, aus Elektronen, Neutronen und Protonen zusammengesetzten Atomen ist eine Kopplung an die Ladung der Teilchen etwas umständlich. Bequemer wäre es, die Kopplung u¨ ber die Multipolmomente der Atome zu beschreiben. • In der minimalen Kopplung treten die Eichpotentiale statt der physikalischen Felder auf. Das ist zwar kein prinzipielles Problem, aber eine Kopplung an das elektrische und das magnetische Feld wäre — unabhängig von der gewählten Eichbedingung — manifest eichinvariant. • In der Coulomb-Eichung kann das skalare Potential φ durch das unretardierte CoulombPotential ersetzt werden, da letzteres eine Lösung der Poisson-Gleichung ist, die φ erfüllt. Das Coulomb-Potential ist aber unretardiert und gaukelt uns eine instantane langreichweitige Wechselwirkung zwischen den Atomen vor. Die Power-Zienau-Woolley-Transformation (Refs. [27] und [28], siehe auch [29] und [30]) ist eine unitäre Transformation, die die minimale Kopplung in eine a¨ quivalente Form u¨ berführt, die die obigen Probleme beseitigt.

4.2.1

Das Grundprinzip der Transformation

Zur Herleitung der Dipolkopplung 2 kann man von der Feststellung ausgehen, dass sich die EulerLagrange-Gleichungen nicht a¨ ndern, wenn man zur Lagrange-Funktion eine totale Zeitableitung addiert: L0 (x, x, ˙ t) = L(x, x, ˙ t) +

d ∂L0 ∂L0 d d ∂L ∂L F (x, t) =⇒ − = − dt dt ∂ x˙ ∂x dt ∂ x˙ ∂x

Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder E und B (der Beweis geht auch allgemein). E = E 0 ; B = B 0 ⇐⇒ φ = −xE 0 1 A = − (x × B 0 ) 2 2

Besser wäre der Ausdruck multipolare Kopplung, da die Power-Zienau-Woolley-Transformation die minimale eigentlich in eine Kopplung u¨ berführt, die an alle Multipolmomente angreift. In der Praxis wird jedoch meist nur das Dipolmoment berücksichtigt. Bei dem einfachen Beispiel in diesem Unterabschnitt tritt ebenfalls nur das Dipolmoment auf.

4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation

49

Wählt man F = −qxA so folgt d q ˙ + (x × x)B ˙ 0 F = −q xA dt 2 q 1 ˙ + qxE 0 −q xA ˙ + (x × x)B ˙ 0 L0 = mx˙ 2 + q xA 2 |2 {z }

(4.12) (4.13)

L

1 q = mx˙ 2 + qxE 0 + LB 0 2 2m

˙ mit L = (x × mx)

(4.14)

Setzt man d := qx elektrisches Dipolmoment des Teilchens so findet man für die neue q µ := 2m L magnetisches Moment des Teilchens Lagrange-Funktion 1 L0 = mx˙ 2 + dE 0 + µB 0 2 ˙ Ausserdem ist die Kopplung Vorteil: Jetzt gilt für den kanonisch konjugierten Impuls p = mx. manifest eichinvariant und besser geeignet für elektrisch neutrale Teilchen.

4.2.2

Die vollständige Transformation

Wir betrachten eine Verteilung von Punktteilchen mit Ladung qα am Ort xα , deren Ladungsdichte durch X %(x) = qα δ(x − xα ) (4.15) α

gegeben ist. Da wir insbesondere am Verhalten eines aus nicht ionisierten P Atomen bestehenden Gases interessiert sind nehmen wir an, dass die Gesamtladung Null ist, α qα = 0. Die Polarisation der makroskopischen Elektrodynamik erfüllt die Gleichung divP = −h%geb i (Siehe Abschnitt 1.5). Für den vorliegenden Fall ist eine Lösung dieser Gleichung gegeben durch XZ 1 P (x) = du qα (xα − R)δ(x − R − u(xα − R)) (4.16) α

0

Beweis: ∂i P i (x) =

XZ α

=

du qα (xα − R)i ∂i δ(x − R − u(xα − R))

0

XZ α

1

1

du qα (xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) ×

0

δ(xj − Rj − u(xα − R)j )δ(xk − Rk − u(xα − R)k ) , (4.17) wobei u¨ ber i summiert wird und (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). δ 0 ist die Ableitung der δ-Distribution. Nun gilt (xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) = −∂u δ(xi − Ri − u(xα − R)i )

(4.18)

50


und somit ∂i P i (x) = −

XZ X

du qα ∂u δ(x − R − u(xα − R))

0

α

= −

1

qα {δ(x − xα ) − δ(x − R)}

α

= Qδ(x − R) −

X

qα δ(x − xα )

(4.19)

α

Die Gesamtladung Q verschwindet für neutrale Atome und der zweite Term entspricht gerade der Ladungsverteilung q.e.d. Um alle Konsequenzen der Power-Zienau-Woolley-Transformation verstehen zu können, muß man mehrere Atome/Moleküle im Gas berücksichtigen. Wir stellen uns also eine Ladungsverteilung vor, bei der die Ladungsträger zu elektrisch neutralen Atomen gruppiert sind. Das mte Atom hat die Kern-Koordinate Rm und die Teilchen-Koordinaten (Elektronen + Kern) xαm .

Der vollständige Hamiltonian dieses Systems in der minimalen Kopplung ist gegeben durch H =

2 ε0 1 pαm − qαm A(xαm ) + 2Mαm 2 m αm X X VCoul (m, m0 ) + VCoul (m)

XX

m<m0

Z

d3 x (E ⊥ )2 + c2 B 2 + (4.20)

m

E ⊥ ist dabei der Operator des transversalen elektrischen Feldes, den wir bisher (in Abwesenheit von Ladungen) einfach als E bezeichnet haben. Das gesamte elektrische Feld in Anwesenheit von Ladungen nimmt die Form E = E ⊥ − ∇VCoul (x) an. Die Coulomb-Wechselwirkung der Teilchen innerhalb eines Atoms ist gegeben durch VCoul (m) =

X αm 0

ρ

∆0

%

ρ

z

∆0

z

∆ 0, was einer Fokussierung entspricht.

2~ m

Kapitel 7 Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix 7.1

Dichtematrix-Formalismus

Die Dichtematrix %b erlaubt es, die Zeitentwicklung inkohärenter Systeme (an Stelle reiner Zustände) zu beschreiben. Insbesondere ermöglicht sie auch die Beschreibung offener Quantensysteme. Ein Beispiel: Ein (klassischer) Apparat im Labor produziert einen Quantenzustand nur mit einer gewissen klassischen Wahrscheinlichkeit bei jeder Durchführung des Experiments. Dies kann beispielsweise ein Ofen sein, bei dem Atome mal mit Geschwindigkeit v1 , mal mit v2 ausgestoßen werden. Man weiß daher nur mit einer Wahrscheinlichkeit pi , ob der Zustand |ψi i realisiert wurde. Die P |ψi i müssen dabei nicht orthogonal sein. Die Wahrscheinlichkeiten müssen natürlich i pi = 1 erfüllen, da irgendein Zustand mit Sicherheit vorliegt. Jedes |ψi i entwickelt sich danach (gei schlossenes System, kein Reservoir) unitär gemäß |ψi (t)i = e− ~ Ht |ψi (0)i. Falls bei einer Realisierung des Experiments der Zustand |ψi i vorliegt, so ist der Mittelwert einer Observable für diesen Zustand gegeben durch b = hψi (t)|b hAi a|ψi (t)i (7.1) i

|ψi i liegt bei jeder Realisierung mit Wahrscheinlichkeit pi vor. Man gewinnt den vollständigen Erwartungswert durch die Mittelung u¨ ber alle Realisierungen, b = hAi

X

b = pi hAi i

i

X

pi hψi (t)|b a|ψi (t)i

(7.2)

i

Ist {|ni} eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes, dann läßt sich die 1 als Damit gilt für den Erwartungswert: b = hAi

X i

pi hψi |

X n

b ii = |ni hn|A|ψ

X n

b hn|A

X i

pi |ψi i hψi |ni =

P

X n

n

|nihn| darstellen.

b%|ni hn|Ab

(7.3)

100

Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix

Die Dichtematrix %b definiert man u¨ ber %b =

X

pi |ψi ihψi |

(7.4)

i

Der Erwartungswert eines Operators ist die Spur u¨ ber diesen und die Dichtematrix: b = Tr (b b hAi %A)

(7.5)

Eigenschaften der Spur (i) Die Spur hängt nicht von der Basis ab. bB) b = Tr (B b A) b (ii) Tr (A Beweis: zu (i) Sei {|n0 i} eine andere Basis des Hilbertraumes. Dann ist b = Tr (A)

X

=

X

b = hn|A|ni

X

n

hn|

b hn0 | A

n0

|nihn| n0 i =

| n {z 1

b |n0 i hn0 |A|ni

n0

n

X

X

X

b 0i hn0 |A|n

n0

}

zu (ii) bB) b = Tr (A

X

=

X

bB|ni b hn|A =

b hn|A|n b 0i = hn0 |B|ni

n,n0

Eigenschaften der Dichtematrix (i) %b ist hermitesch. (ii) Tr %b = 1 (iii) Tr (b %2 ) ≤ 1 (= 1 für reine Zustände)

zu (i) trivial wegen pi ∈ [0, 1]

b 0 i hn0 |B|ni b hn|A|n

n,n0

n

Beweis:

X

X n0

b A|n b 0i hn0 |B

7.1 Dichtematrix-Formalismus

101

zu (ii) Tr %b =

X

hn|pi |ψi i hψi |ni =

n,i

=

X i

X

X

pi hψi |

pi hψi |ψi i = | {z } 1

X

|ni hn|ψi i

n

i

pi = 1

i

zu (iii) Tr (b %2 ) =

X

=

X

hn|

X

n

i,j

pi |ψi i hψi |pj |ψj i hψj |ni =

ij

X

pi pj hψi |ψj i hψj |ψi i

i,j

pi pj | hψi |ψj i |2 ≤ | {z } ≤1

X i

pi

X

pj = 1

j

Bei einem reinen Zustand gilt: %ˆ = |ψi hψ| , %ˆ2 = %ˆ Ein Gemisch hat mindestens zwei verschiedene Zustände: %ˆ = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | + . . . , pi 6= 0 Der Unterschied zwischen Gemisch und Superposition wird an folgendem Beispiel deutlich: %bG beschreibt ein Gemisch: 1 %ˆG = (|eihe| + |gihg|) 2 Die Hälfte der Atome ist angeregt, die andere Hälfte ist im Grundzustand. In diesem Zustand soll der Erwartungswert des Dipol-Operators, d ∝ |eihg| + |gihe|, gebildet werden. 1 hdi ∝ Tr (b %G (|eihg| + |gihe|)) = Tr (|gihe| + |eihg|) 2 1 1 = he| . . . |ei + hg| . . . |gi = 0 2 2 %bS beschreibt eine Superposition: 1 |ψi = √ (|ei + |gi) 2 1 %bS = |ψihψ| = (|ei + |gi)(hg| + |ei) 2 1 1 = (|gihg| + |eihe|) + (|eihg| + |gihe|) |2 {z } 2 %bG

102


%ˆs hat nichtdiagonale Elemente, sogenannte Kohärenzen. Der Erwartungswert des Dipol-Operators ist: 1 hdi ∝ Tr (b %S (|eihg| + |gihe|)) = Tr ((ˆ %G + (|eihg| + |gihe|))(|eihg| + |gihe|)) 2 1 = 0 + Tr (|eihe| + |gihg|) = 1 | {z } 2 1

Die nichtdiagonalen Elemente der Dichtematrix beschreiben den Grad an quantenmechanischer Kohärenz, also die Fähigkeit des Systems, Interferenzeffekte zu zeigen. Sie werden deshalb oft Kohärenzen genannt. Die Diagonalelemente enthalten die Population der Zustände.

7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren Man betrachte die Zeitentwicklung von %ˆ im abgeschlossenen System. Ein einzelner Zustand erfüllt bekanntlich die Schrödinger-Gleichung: i~∂t |ψi i = H |ψi i Dies kann man auf die Dichtematrix u¨ bertragen: X X i~∂t %ˆ = i~ pi ∂t (|ψi ihψi |) = i~ pi (∂t |ψi i hψi | + |ψi i ∂t hψi |) i

=

X

i

pi (H |ψi ihψi | − |ψi ihψi | H)

i

i~∂t %ˆ = [H, %ˆ]

(7.6)

Dies ist die Liouville-Gleichung für geschlossene Systeme. Die Spur der Dichtematrix ist zeitlich konstant: i~∂t Tr %ˆ = Tr ([H, %ˆ]) = Tr (H %ˆ − %ˆH) = 0 [H, ·] ist ein Spezialfall sogenannter Superoperatoren, die ihrerseits auf Operatoren wirken. Lˆ % := [H, %ˆ] nennt man Liouville-Superoperator. Nun muß die Liouville-Gleichung i~∂t %b = Lb % gelöst werden. Dies geschieht zunächst formal: i i t2 %b(t) = e− ~ tL %b(0) = (1 − tL − LL + · · · )b %(0) ~ 2!~2 i i it t2 = %b(0) − [H, %b(0)] − [H, [H, %b(0)]] + . . . = e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht 2 ~ 2!~

7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren

103

Beweis: it

f (t) := e− ~ L %b(0) → i~∂t f = Lf = [H, f ] i

i

g(t) := e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht zu zeigen: f (t) = g(t) i i i~∂t g = i~(− Hg + gH) = [H, g] ~ ~ f (t) und g(t) erfüllen die gleiche Differentialgleichung. f (0) = %b(0) = g(0) f (t) und g(t) erfüllen die gleichen Anfangsbedingungen. →f (t) = g(t) Entropie, Gleichgewichts-Dichtematrix (Exkurs stat. Mechanik) Die Entropie eines Quantensystems ist wie folgt definiert: S = −kB Tr (b % ln %b) = −kB hln %bi

(7.7)

S beschreibt den Grad an Unordnung, der in einem System herrscht. b eines In (7.7) wird der Logarithmus der Dichtematrix gebildet. Allgemein ist eine Funktion f (A) Operators in seiner Diagonaldarstellung am besten definiert. X b |an i = an |an i → A b= A an |an ihan | n

Für hermitesche Operatoren gilt: han |am i = δnm f sollte Taylor-entwickelbar sein: X fl b = bl f (A) A l! l X X X 2 b = A an |an ihan | am |am iham | = a2n |an ihan | n

m

n

Dies läßt sich auf beliebige Potenzen erweitern: X bl = A aln |an ihan | n

b = ⇒ f (A)

X fl X l

l!

aln |an ihan | =

n

X

f (an ) |an ihan |

n

Als Beispiel folgt die Entropie des reinen Zustandes: %b = 1 · |ψihψ| S = −kB Tr (b % ln %b) = −kB Tr (1 · |ψihψ| · ln(1) |ψihψ|) | {z } =0

(7.8)

104


Die Entropie des reinen Zustandes ist 0. Für Gleichgewichtszustände gilt: h i ˆ %ˆ = 0 %ˆ˙ = 0 ⇔ H, ˆ ⇒ %ˆ hat gemeinsamen Satz von Eigenwerten mit H H |En i = En |En i ⇒ %ˆ =

X

%n |En ihEn |

n

Thermischer Gleichgewichtszustand: maximiere Entropie S mit den Nebenbedingungen: • Tr (ˆ %) = 1 (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit) D E ˆ = E (Kanonische oder großkanonische Gesamtheit) • H Führe dazu zwei Larange-Parameter λ1 , λ2 ein. Maximierung: D E ∂ ˆ −E =0 S − λ1 (Tr (ˆ %) − 1) − λ2 ( H ∂%n Da %ˆ in dieser Basis diagonal ist, gilt somit: ( ! X X ∂ −kB %n0 ln %n0 − λ1 %n0 − 1 − λ2 ∂%n n0 n0

!) X n0

⇒ 0 = −kB (ln %n + 1) − λ1 − λ2 En 1 ⇒ %n = exp − (λ1 + λ2 En ) kB λ

− k 2 En

∼e λ1 wird fixiert durch

P

n

B

%n = 1 ⇒ %ˆ ∼

X

λ

− k 2 En

e

B

|En ihEn |

n

fasse dies als Funktion von H auf −

λ2

H

%ˆ ∼ e kB ˆ ˆ Setze λ2 = T1 ⇒ˆ % = Z1 e−β H , β = kB1T , Z = Tr e−β H

%n0 En0 − E

=0

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung

105

Liouville-Theorem Die Entropie eines Systems a¨ ndert sich nicht, wenn man eine unitäre Transformation auf die Dichtematrix anwendet. %ˆ0 = U %Û † S 0 = −kB Tr (ˆ %0 ln %ˆ0 ) = S(ˆ %0 ) = S U %Û †

Taylor-Entwicklung des Operators innerhalb der Spur: X X n ˆ %0 ) := %ˆ0 ln %ˆ0 = K(ˆ Kn %ˆ0n = Kn U %Û † n

n

Werte den Term in der Klammer aus U %Û †

n

= U %ˆ |{z} U † U %Û † U %Û † . . . n

1 †

= U %ˆ U X ˆ %0 ) = U ⇒ K(ˆ Kn %ˆn U † ⇒ S 0 = −kB Tr U %ˆ ln %Û †

= −kB Tr U † U %ˆ ln %ˆ = S ⇒ Die Entropie kann durch keine Zeitentwicklung U = exp(−iHt/~) in einem geschlossenen System verändert werden. Will man also die Entropie eines Systems a¨ ndern, so darf es sich nicht um ein geschlossenes System handeln. Durch die Wechselwirkung mit der Umgebung kann das System Energie, Impuls oder Teilchen austauschen und so z.B. gekühlt werden.

7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung Direkte Produkte von Hilbert-Räumen Betrachte zwei Hilbert-Räume HS , HR mit den Basen {|Sn i}, {|Rα i}. Das direkte Produkt dieser Räume ist gegeben durch ) ( X ψnα |Sn i ⊗ |Rα i HS ⊗ HR = |ψi |ψi = n,α

Dieser Raum enthält nicht nur Zustände, die in Produktform |Sn i ⊗ |Rα i geschrieben werden können, sondern auch so genannte verschränkte Zustände, z.B. |S1 i ⊗ |R1 i + |S2 i ⊗ |R2 i Verschränkte Zustände spielen eine zentrale Rolle bei vielen modernen Forschungsgebieten (BellUngleichungen, Quanten-Kryptographie, Quanten-Teleportation, Quantum-Computing usw.). Ihre besondere Eigenschaft besteht darin, dass Korrelationen zwischen den beiden Systemen R und

106


S bestehen, die praktisch nicht mit klassischen Modellen verstanden werden können. Mehr dazu kann man in Referenz [18] erfahren. Sei %ˆ die HR . Der Erwartungswert einer Observablen, die nur auf HS E auf HS ⊗ D Dichtematrix wirkt, ist AˆS = Tr %ˆ AˆS ⊗ 1R . Hier ist unter AˆS ein Operator zu verstehen, der nur auf dem Hilbert-Raum HS wirkt: AˆS : HS → HS : |Sn i 7→ AˆS |Sn i AˆS ⊗ 1R ist die Darstellung dieses Operators auf dem Produkt-Hilbert-Raum mit der Wirkung AˆS ⊗ 1R : HS ⊗ HR → HS ⊗ HR |Sn i ⊗ |Rα i 7→ AˆS |Sn i ⊗ 1R |Rα i

7.3.1

Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren

Die Spur eines Operators im Produkt-Raum kann damit zerlegt werden gemäß: X ˆ H ⊗H = ˆ (|Sn i ⊗ |Rα i) Tr (O) (hSn | ⊗ hRα |) O S R n,α

⇒ D

E X AˆS = hSn | ⊗ hRα | %ˆ(AˆS ⊗ 1R ) |Sn i ⊗ |Rα i n,α

=

X

=

X

n

hSn |

X

hRα | %ˆ |Rα i AˆS |Sn i

α

hSn | TrR (ˆ %)AˆS |Sn i

n

Im letzten Schritt wurde verwendet, dass ein Operator der auf dem einen Teilraum wirkt, im anderen Teilraum keine Wirkung hat. X TrR (ˆ %) ≡ hRα | %ˆ |Rα i α

Nenne %ˆS = TrR (ˆ %) reduzierte Dichtematrix. %ˆS wirkt auf HS , insbesondere gilt: D E AˆS = TrS (ˆ %S AˆS ) = TrS (TrR (ˆ %)AˆS )) Die reduzierte Dichtematrix enthält also die volle Information u¨ ber das Verhalten einer Observablen im Subsystem HS . Ziel: Finde eine Gleichung, die %ˆS alleine beschreibt.


107

Projektions-Superoperatoren Normale Projektionsoperatoren Pˆ in der Quantenmechanik, wie zum Beispiel P = |eihe| mit P |ψi = |ei he|ψi, erfüllen P 2 = P , P † = P Für den Projektions-Superoperator gilt analog für die Wirkung auf Operatoren: P 2 Aˆ = P Aˆ Beispiele: 1. Reduzierte Dichtematrix P %ˆ ≡ %ˆR (0)TrR (ˆ %) ,

(7.9)

wobei %ˆR (0) derDichtematrix des Reservoirs zur Zeit t = 0 entspricht P 2 %ˆ = %ˆR (0)TrR (P %ˆ) = %ˆR (0)TrR (ˆ %R (0) TrR (ˆ %) ) | {z } %ˆS :HS 7→HS

⇒ P 2 %ˆ = %ˆR (0)TrR (ˆ %R (0)) %ˆS = P %ˆ 2. Projektion auf die Populationen P %ˆ ≡

X

|ni hn| %ˆ |ni hn|

n

P projiziert %ˆ auf seine Diagonalelemente, damit werden also alle Kohärenzen zerstört.

7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung Zwanzigs Master-Gleichung ist eine Gleichung für P %ˆ alleine, die aus der Liouville-Gleichung i~%˙ = L% für %ˆ abgeleitet wird. Zur Herleitung führen wir zunächst den zu P komplementären ProjektionsSuperoperator Q := 1 − P ein, wobei Q2 = Q erfüllt ist.1 Der Projektions-Superoperator ist zeitunabhängig, P˙ = 0, ∂ ⇒ i~ P% = PL% = PL(P + Q)% ∂t ∂ ⇒ i~ P% = PLP% + PLQ% ∂t analog mit Q% ∂ i~ Q% = QLP% + QLQ% (7.10) ∂t 1

Hier ist die Unterscheidung zwischen Projektions-Operatoren und Projektions-Superoperatoren wichtig: für ˆ ˆ P |ψi P AP P AQ Projektionsoperatoren gilt: |ψi = , dagegen gilt für Super-Operatoren: Aˆ = ˆ ˆ Q |ψi QAP QAQ

108


Löse zunächst i~Q%˙ = QLQ%. Sind die Super-Operatoren zeitunabhängig, so kann man die formale Lösung leicht hinschreiben: Q%(t) = exp(−iQLQt/~)Q%(0) . Der allgemeine Fall ist bedeutend komplizierter und führt auf ein sogenanntes zeitgeordnetes Exponential. Da dieses sehr häufig in der Quantenfeldtheorie und anderen Bereichen der theoretischen Physik auftritt, soll es hier kurz vorgestellt werden. Das zeitgeordnete Exponential Formale Lösung: Z

t

Z Q%dt ˙ =

i~ 0

t

QL(t0 )Q%(t0 )dt0

(7.11)

0

Z i t ⇒ Q%(t) = Q%(0) − QL(t0 )QQ%(t0 )dt0 (7.12) ~ 0 wobei im letzten Schritt Q2 = Q verwendet wurde. Diese Lösung ist nur formal, da sie sich praktisch selbst wieder enthält: Q%(t) hängt von Q%(t0 ) mit t0 < t ab. Drückt man Q%(t0 ) wieder mit Hilfe von Gleichung (7.12) aus, so ergibt sich Z Z 0 i t 00 i t 0 0 Q%(t) = Q%(0) − dt (QL(t )Q){Q%(0) − dt QL(t00 )QQ%(t00 )} (7.13) ~ 0 ~ 0 Iteriere dieses Verfahren: i ⇒ Q%(t) = Q%(0) − ~

Z

t

dt0 (QL(t0 )Q)Q%(0) 0 2 Z t Z t0 i + − dt0 dt00 (QLQ(t0 ))(QLQ(t00 ))Q%(0) + . . . (7.14) ~ 0 0

Führe das zeitgeordnete Produkt ein: 0

T (A(t)B(t )) :=

A(t)B(t0 ) f¨ ur t > t0 0 B(t )A(t) f¨ ur t0 > t

Damit können wir die mehrfachen Integrale der Reihe umschreiben: Z t Z t1 Z t Z t dt1 QLQ(t1 ) dt2 QLQ(t2 ) = dt2 dt1 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) 0

0

0

(7.15)

(7.16)

t2

T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) hat auch die richtige Ordnung der Operatoren (der spätere steht links vom früheren), wenn t1 < t2 ist. Betrachte deshalb das Integral mit modifizierten Grenzen für t2 : Z t Z t ⇒ dt1 dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) 0 0 Z t Z t1 Z t Z t = dt1 dt2 QLQ(t1 ) QLQ(t2 ) + dt1 dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) (7.17) 0

0

0

t1


109

Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) kommt in der Reihe (Gleichung (7.14)) vor. Für den zweiten Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) läßt sich schreiben: Z

t

Z

t

t2

Z

dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) =

dt1 0

t

Z

dt1 QLQ(t2 ) QLQ(t1 )

dt2

t1

0

(7.18)

0

Mit t01 = t2 und t02 = t1 folgt: Z ⇒ 2.Term in Gleichung (7.17) =

t

dt01

0

Z

t01


(7.19)

0

Gleichung (7.19) ist wieder ein Term, der in unserer Reihe (Gleichung (7.14)) vorkommt. Z ⇒

t

Z

0

t1


dt1 0

1 = 2!

Z

t

Z

dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) (7.20)

dt1 0

t

0

Wir haben es also erreicht, dass der erste Term der Reihe mit Hilfe von Integralen mit unabhängigen Grenzen geschrieben werden kann. Man kann zeigen, dass eine entsprechende allgemeine Relation gilt: Z 0

=

1 n!

t

Z

dt1 Z t 0

t1

Z

tn−1

dt2 . . . dtn QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn ) 0 Z t dt1 . . . dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )) 0

(7.21)

0

Z i t ⇒ Q%(t) = {1 − dt1 QLQ . . . ~ 0 n Z t Z t 1 −i + dt1 . . . dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )}Q%(0) n! ~ 0 0 Z t −i 0 0 = T exp dt QLQ(t ) Q%(0) (7.22) ~ 0 = : UQQ (t)Q%(0) (7.23) Dies ist die Lösung der homogenen Gleichung i~Q%˙ = QLQ(Q%)

(7.24)

Das zeitgeordnete Exponential T exp ist dabei definiert u¨ ber seine Taylor-Reihe, in der Integrale u¨ ber verschiedene Variablen t1 , t2 , . . . auftreten. Der Zeitordnungsoperator T sorgt dafür, dass die Zeiten genau entsprechend ihrem Auftreten in Reihe (7.14) erscheinen.

110


Herleitung der Master-Gleichung: Fortsetzung Zur Herleitung der Master-Gleichung ist nun der Ansatz Q%(t) = UQQ (t)%˜Q (t) zweckmäßig. ⇒ i~∂t Q% = i~U˙ QQ %˜Q + i~UQQ %˜˙ Q

(7.25)

Mit U˙ QQ = − ~i QLQ(t)UQQ (t) folgt unter Verwendung der Gleichung (7.10): −1 i~%˜˙ Q = UQQ (t)QLP%(t) Z i t 0 −1 0 ⇒ %˜Q (t) = %˜Q (0) − dt UQQ (t )QLP%(t0 ) ~ 0 Z t i −1 0 dt0 UQQ (t )QLQP%(t0 ) ⇒ Q%(t) = Q%(0) − UQQ (t) ~ 0

(7.26) (7.27) (7.28)

Setze Gleichung (7.28) in die Gleichung für P% ein: Z t i 0 −1 0 0 dt UQQ (t )QLP%(t ) i~P %˙ = PLP% + PL(t)Q Q%(0) − UQQ (t) ~ 0

(7.29)

Gleichung (7.29) ist Zwanzigs Master-Gleichung. Dies ist eine exakte Differentialgleichung für P% alleine, die in der Praxis ohne Näherungen nicht gelöst werden kann. Um sie zu vereinfachen, spezialisieren wir uns nun auf einen SuperProjektor von der Form 7.9 und betrachten folgenden Spezialfall: 1. %(0) = %R (0) ⊗ %S (0), d.h. keine Korrelationen zwischen System und Reservoir zur Zeit t=0 2. [%R (0), HR ] = 0, d.h. das Reservoir ist in einem stationären Zustand von HR (es gilt H = HR + HS + Hint ). 3. Tr R (%R (0)Hint ) = 0 z.B. Hint = −d · E, das Reservoir entspricht der Strahlung ⇒ TrR (%R (0)Hint ) = −d hEi (t = 0) = 0. 2 Unter diesen Voraussetzungen gilt Q%(0) = = = = 2

%(0) − P%(0) %R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ TrR (%R (0) ⊗ %S (0)) %R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ %S (0) 0

(7.30)

In einem stationären Zustand ist im freien Raum hEi = 0, da ein solcher Zustand einem Gemisch (kei+ + ner Superposition) √von Teilchenzahl-Zuständen entspricht. Wegen E ∼ a + a gilt daher hn| a + a |ni = √ hn| ( n |n − 1i + n + 1 |n + 1i) = 0


111

¨ Aus den Ubungen sind für einen beliebigen Operator X die folgenden Relationen bekannt: PLPX = %R (0)[HS , TrR (X)] = PLS X PLQX = %R (0)TrR ([Hint , X]) = PLint X QLPX = [Hint , %R (0)TrR (X)] = Lint PX

(7.31) (7.32) (7.33)

Desweiteren findet man QLQX = = = = =

(1 − P)LQX LQX − PLQX L(1 − P)X − PLint X LX − LPX − PLint X [HS + HR + Hint , X] − [HS + HR + Hint , %R (0)TrR (X)] −%R (0)TrR ([Hint , X]) = [HS + HR + Hint , X] − [HS , %R (0)TrR (X)] −[HR , %R (0)]TrR (X) − [Hint , %R (0)TrR (X)] −%R (0)TrR ([Hint , X])

Mit [HR , %R (0)] = 0 folgt daraus: QLQX = [HS , X − PX] + [HR , X] + [Hint , X − PX] − P[Hint , X] = [HS , QX] + LR X + [Hint , QX] − PLint X = (LS Q + LR + Lint Q − PLint )X

(7.34)

Weitere Eigenschaften: LS Q = QLS PLS = LS P Einsetzen in die Master-Gleichung (Gleichung (7.29)) liefert: Z t i −1 0 i~P %˙ = PLS P% − PLint dt0 UQQ (t)UQQ (t )Lint P%(t0 ) ~ 0 Z t −i 00 00 UQQ (t) = T exp dt QL(t )Q ~ 0 L(t)X = [H(t), X] = [HS + HR + Hint , X] Näherung: Berücksichtige Hint nur bis zur 2. Ordnung. (Annahme: Hint HR , HS ) i ⇒ UQQ ≈ exp − Q(Ls + LR )Qt ~

(7.35) (7.36)

112


Falls HS und HR zeitunabhängig sind. QLs = Ls Q QLR = LR Q = LR

⇒ QLs Q = Ls Q = QLs

⇒ UQQ = e−iQLs t/~ e−iLR t/~ Im letzten Schritt haben wir dabei Ls LR = LR Ls verwendet, was in der folgenden Weise bewiesen werden kann: (LR Ls − Ls LR )X = HR , [HS , X] − HS , [HR , X] = HR , [HS , X] + HS , [X, HR ] = − X, [HR , HS ] = 0 | {z } =0

wobei die Jakobi-Identität verwendet wurde. Es folgt n ∞ X n − it/~ −iQLs t/~ e = QLs (QLs )n = Lns Qn = Lns Q n > 0 n! n=0 ⇒ e−iQLs t/~ QLP = e−iLs t/~ QLP Damit erhält man für die Master-Gleichung: i i~P %˙ = PLS P% − PLint ~

t

Z

−i dt0 exp { (t − t0 )(Ls + LR )} Lint P%(t0 ) ~ | {z }

0

freie Zeitentwicklung

P% = %R (0)TrR (%) = %R (0)%s (t) ⇒ i~%R (0)%˙ s = %R (0) TrR [HS , %R (0)%s ] − | {z } [HS ,%s ]

i − %R (0)TrR Hint , ~

i i~%˙ s (t) = [HS , %s (t)] − ~

Z

Z

t

dt e

[Hint , %R (0)%s (t )] 0

0

t 0

0 −i(t−t0 )(Ls +LR )/~

dt TrR

−i(t−t0 )(Ls +LR )/~ 0 Hint , e [Hint , %R (0)%s (t )]

0

Dies ist die allgemeine Master-Gleichung unter der Bedingung Hint HR , HS und H˙ s = H˙ R = 0.


113

Annahme u¨ ber die Form der Wechselwirkung: Hint = −di Ei , i = 1, . . . , N wobei di Operatoren auf Hs und Ei Operatoren auf HR sind. −i(t−t0 )(Ls +LR )/~ 0 [dl El , %R (0)%s (t )] ⇒ TrR [Hint , . . .] = TrR di Ei , e mit

e−iLt/~ X = e−iHt/~ XeiHt/~ (siehe Anfang des Kapitels) 0 ⇒ e−i(t−t )(Ls +LR )/~ dl El , %R (0)%s (t0 ) = 0 0 dl (t − t0 )El (t − t0 ), %R (0)e−iHS (t−t )/~ %s (t0 )eiHS (t−t )/~

mit 0 0 dˆl (t − t0 ) = e−i(t−t )HS /~ dˆl ei(t−t )HS /~ 0 0 Eˆl (t − t0 ) = e−i(t−t )HR /~ Eˆl ei(t−t )HR /~ %R (t) = %R (0) wegen HR , %R (0) = 0

Bemerkung: dˆl (−t) ist der Operator dˆl im Wechselwirkungsbild 0 0 0 0 † 0 TrR [Hint , . . . = TrR di Ei , dl (t − t )El (t − t ), %R (0) Us (t − t )%s (t )Us (t − t ) | {z } =:¯ %s

Us (t) := e−iHS t/~ ⇒TrR . . . = TrR di Ei dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)¯ %s − di Ei %R (0)¯ %s dl (t − t0 )El (t − t0 )− − dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)¯ %s di Ei + %R (0)¯ %s dl (t − t0 )El (t − t0 )di Ei = di dl (t − t0 )¯ %s TrR Ei El (t − t0 )%R (0) − di %¯s dl (t − t0 )TrR Ei %R (0)El (t − t0 ) − − dl (t − t0 )¯ %s di TrR El (t − t0 )%R (0)Ei + %¯s dl (t − t0 )di TrR %R (0)El (t − t0 )Ei Setze Fm1 m2 (t1 , t2 ) := TrR Em1 (t1 )Em2 (t2 )%R (0) = hEm1 (t1 )Em2 (t2 )i ⇒ TrR . . . = di dl (t − t0 )¯ %s Fil (0, t − t0 ) − di %¯s dl (t − t0 )Fli (t − t0 , 0)− − dl (t − t0 )¯ %s di Fil (0, t − t0 ) + %¯s dl (t − t0 )di Fli (t − t0 , 0)

mit

i ⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Z 0

t 0

dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )¯ %s + 0 0 Fli (t − t , 0) %¯s dl (t − t ), di

Wir führen nun die sehr verbreitete Markov-Näherung durch. Idee: Die Reservoir-Funktion Fil (0, t− t0 ) fällt oft sehr schnell mit t − t0 ab. (Das Reservoir ”vergisst” sehr schnell, wie sein Zustand war). Für kleine t − t0 kann %s (t0 ) dann angenähert werden durch: %s (t0 ) ≈ Us (t0 − t)%s (t)Us† (t0 − t)

114


Us beschreibt die freie Zeitentwicklung. Man nimmt also an, dass sich das System für kurze Zeiten im wesentlichen frei entwickelt. ⇒

%¯s = Us (t − t0 )%s (t0 )Us† (t − t0 ) = %s (t)

i i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Setze τ = t − t0

Z

t

0

0

dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )%s (t) + 0 0 Fli (t − t , 0) dl (t − t )%s (t), di

dτ = −dt0

i ⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − ~

Z

t

dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di

0

Da Fil (0, τ ) schnell abfällt, kann man die Integrationsgrenze t durch ∞ ersetzen. ⇒ Endgültige Form der Master-Gleichung in der Markov-Näherung: Z i ∞ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) − dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di ~ 0 Die Master-Gleichung in Markov-Näherung • ist eine lineare Differentialgleichung und im Gegensatz zur allgemeinen Master-Gleichung keine Integro-Differentialgleichung mehr, • hat konstante Koeffizienten (gegeben durch das Integral u¨ ber τ ).

7.4

Spontane Emission

Bei der spontanen Emission im freien Raum spielt das Atom die Rolle des Systems, an dem wir interessiert sind. Die Strahlung bildet das Reservoir, dessen Zustand im wesentlichen konstant ist, da im freien Raum spontan emittierte Photonen nicht zum Atom zurückkehren. X HS = En |ni hn| , |ni = atomare Energieniveaus Zn HR

=

d3 k

X

~ωk a†k,σ ak,σ

σ

Hint = −dE(x) = −d(+) E (+) − d(−) E (−) wobei x der Ort des Atoms ist und in der letzten Gleichung die rotating wave approximation gemacht wurde. E (+) = positiver Frequenzanteil (∝ ak,σ ) d(+) = Aufsteigeoperator

7.4 Spontane Emission

115

• Beim 2-Niveau-System: d(+) = deg |ei hg| P • Bei zwei Multipletts: d(+) = me ,mg |Je , me i hJg , mg | dme ,mg Der anfängliche Zustand der Strahlung soll das Vakuum sein: %R (0) = |0i h0|. Die MasterGleichung lautet allgemein in der Markov-Näherung Z n i ∞ i~%˙ S =[HS , %S ] − dτ [di , dj (τ )%S ] hEi Ej (τ )i (7.37) ~ 0 o + [%S dj (τ ), di ] hEj (τ )Ei i In unserem Fall setzen wir 3 d1 = d(+) ; E 1 = E (+) d2 = d(−) ; E 2 = E (−) Man kann leicht nachrechnen, dass wegen des Vakuumzustandes der Strahlung (+)

(−)

(+)

h0|Ea(+) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = 0 gilt. Für die Master-Gleichung folgt damit n o n (−) (−) [di , . . . ] h. . .i . . . = hEa(+) Eb (τ )i [d(+) a , db (τ )%S ] o (+) (+) (−) (−) + hEb (τ )Ea i [%S db (τ ), da ] ¨ Die Korrelationsfunktion hat den folgenden Wert (siehe Ubungen): Z ∞ ~ (−) (+) h0|Ea (x, 0)Eb (x, τ )|0i = 2 3 δab dωk ωk3 e−iωk τ 6π 0 c 0

(7.38)

Die zweite Korrelationsfunktion, bei der τ im ersten Operator vorkommt, kann man mittels des freien Zeitentwicklungsoperators U (τ ) mit diesem Ergebnis verbinden: (−)

(−)

h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|U (τ )Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)|0i Verwende U |0i = |0i : (−)

(−)

=⇒ h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)U (τ )|0i (−)

= h0|Ea(+) (0)Eb (−τ )|0i Die Zeitabhängigkeit der atomaren Operatoren ist bei freier Zeitentwicklung gegeben durch X d(+) (τ ) = |Je me ihJg mg | dme ,mg eiτ (Emg −Eme )/~ me ,mg 3

Genau genommen steht in der allgemeinen Summe oben jedes di für eine Vektor-Komponente von entweder oder d(−) . Um die Notation u¨ bersichtlich zu halten, unterdrücken wir aber diesen Punkt.

(+)

d

116


Z =⇒

∞

(−)

(+) dτ d(+) a (τ ) hEa (τ )Eb (0)i

0

Z ∞ Z ∞ X ~ 3 = 2 3 (dme ,mg )b |Je , me ihJg , mg | ω dω dτ eiτ (ω−ωme ,mg ) 6π 0 c m ,m 0 0 e g R∞ mit ωme ,mg := (Eme − Emg )/~. Unter Verwendung 0 dτ e−iωτ = πδ(ω) − iP/ω folgt daraus Z ∞ X ~ (−) (+) (τ ) hE (τ )E (0)i = |Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b dτ d(+) a a b 6π 2 0 c3 m ,m 0 e g Z ∞ Pω 3 3 × πωme ,mg + i dω (ω − ωme mg ) 0 X 0 =: |Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b (Kme mg + iKm ) e mg me ,mg

ˆ (+) ˆ 0(+) =:K + iK b b ˆ (+) und K ˆ 0(+) wirken dabei nur noch auf die atomaren Freiheitsgrade und sind Die Operatoren K zeitunabhängig. Als Ergebnis erhalten wir die Master-Gleichung für atomare Multipletts o i n (+) ˆ (−) ˆ 0(−) )%S ] + [%S (K ˆ (+) + iK ˆ 0(+) ), d(−) ] i~%˙ S = [HS , %S ] − [da , (Ka − iK (7.39) a a a a ~ (+) † 0(+) † (−) 0(−) ˆ ˆ ˆ ˆ wobei wir K := K und K := K eingeführt haben. Wenden wir dieses Ergebnis auf das Zwei-Niveau-System an, so haben diese Operatoren die einfache Gestalt Z ∞ ~ω03 0(+) (+) ˆ ˆ K = |eihg| deg ; K = |eihg| deg ... (7.40) 6π0 c3 0 ˆ 0(+) ist dabei irrelevant, da er nicht nur divergiert (und renorDer Zahlenwert des Integrals in K miert werden muß) sondern im Rahmen des Zwei-Niveau-Modells und der rotating wave approximation auch nach der Renormierung inkorrekt ist. Setzen wir diese Operatoren in Gl. (7.39) ein, so erhalten wir die Master-Gleichung für Zwei-Niveau-Atome i i %˙ = − [~ω0 |eihe| , %] − [~∆Lamb |eihe| , %] (7.41) ~ ~ γ − (σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ ) 2 mit |deg |2 ω03 γ := (7.42) 3π~0 c3 und Z ∞ |deg |2 Pω 3 ∆Lamb := − 2 dω 6π ~0 c3 0 (ω − ω0 )


117

Konsequenzen Realteil K (+) und Imaginärteil K 0(+) haben offensichtlich völlig unterschiedliche Konsequenzen. ˆ 0(+) enthält das Hauptwert-Integral u¨ ber ω und ist daher mit dem Kommutator ∝ ∆L • K verbunden. Es bewirkt eine Verschiebung der Resonanzfrequenz: ω00 = ω0 + ∆L . Die Verschiebung ∆L heißt Lamb-Shift. • ∆L ist divergent und müsste renormiert werden. Eine Behandlung, die u¨ ber das 2-NiveauModell hinausgeht, findet man in Ref. [7]. ∆L verändert nicht die Unitarität der Zeitentwicklung. (+)

ˆ • Der Realteil K ist die Ursache für den Term proportional zu γ und beschreibt eine nicht unitäre Zeitentwicklung (s.u.); γ ist die spontane Emissionsrate . • Die Struktur − γ2 (R† R% + %R† R − 2R%R† ) ist die allgemeinste Form eines Terms zur Beschreibung inkohärenter Prozesse und wird Lindblad-Form genannt. R ist dabei ein verallgemeinerter Auf- oder Absteigeoperator. Beispiel: Strahlung bei Temperatur T statt |0i =⇒ Thermische Anregung der Atome: −η(T )(σ− σ+ % + %σ− σ+ − 2σ+ %σ− ) Mehr dazu kann man z.B. in Ref. [5] finden. Im Folgenden wird die Lamb-Shift in die Laserfrequenz integriert: ω ≡ ω0 + ∆L . γ i %˙ = − [~ω |eihe| , %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2 Damit läßt sich die Zeitentwickung von % einfach berechnen: %ee %eg %= %ge %gg Zunächst wird der Kommutator mit dem Systemhamiltonian berechnet: 1 0 0 %eg [|eihe| , %] = ,% = 0 0 −%ge 0 Für die Lindblad-Form gilt: σ+ σ− = |eihg|gihe| = |eihe| und damit |eihe| % + % |eihe| − 2 |gihe| % |eihg| = | {z } | {z } σ−

σ+

2%ee %eg %ge −2%ee

(7.43)

118


Damit lautet die komplette Master-Gleichung: γ 2%ee %eg %˙ ee %˙ eg 0 %eg = −iω − %˙ ge %˙ gg −%ge 0 2 %ge −2%ee

(7.44)

Für die linear unabhängigen Komponenten gilt: %˙ ee = −γ%ee γ %˙ eg = −iω − %eg 2 %˙ gg = γ%ee

⇒

%ee (t) = %ee (0)e−γt

⇒

%eg (t) = e−iωt e− 2 t %eg (0)

⇒

%gg (t) = %gg (0) + (1 − e−γt )%ee (0)

(7.45)

γ

Diese Lösung charakterisiert die spontane Emission: ¨ • Der angeregte Zustand wird inkohärent entvölkert, da bei dem Ubergang von e nach g keine Kohärenzen %eg , %ge entstehen. Bei Rabi-Oszillationen würden auch %eg , %ge zunächst wachsen. • Anfänglich vorhandene Kohärenzen %eg , %ge zerfallen mit γ2 . Dies liegt daran, daß |gihe| eine angeregte Komponente enthält, die zerfallen kann, |eihe| dagegen zwei. • Was oben an Population verloren geht, wird in %gg wieder aufgesammelt, das sichert die Wahrscheinlichkeitserhaltung. Tr % = 1

→

Tr %˙ = 0 = %˙ ee + %˙ gg

Dies gilt allgemein für die Lindblad-Form: γ Tr %˙ = − Tr {R† R% + %R† R − 2R%R† } 2 γ = − Tr {R† R% + R† R% − 2R† R%} = 0 2 • Im Vergleich zur Master-Gleichung für die Dichtematrix kann die phänomenologische Beschreibung der spontanen Emission verschiedene Aspekte nicht korrekt beschreiben. Mit γ ψe (t) = e− 2 t ψe (0) folgt für die Spur von %: |ψe |2 + |ψg |2 = e−γt |ψe (0)|2 + |ψg (0)|2 6= const. Es gilt keine Wahrscheinlichkeitserhaltung. Versucht man, dies zu reparieren, führt das zum zwischenzeitlichen Auftreten von Kohärenzen, die es bei einem spontanen Prozeß nicht geben sollte. q ψg (t) ∝ |ψg (0)|2 + (1 − e−γt )|ψe (0)|2 ⇒ %eg = ψe ψg∗ 6= 0 %eg ist für t = 0 und t → ∞ gleich 0, dazwischen aber nicht.


119

Abbildung 7.1: π-Puls (links) und spontane Emission (rechts) auf der Bloch-Kugel Veranschaulichung auf der Bloch-Kugel: Sowohl bei einer Rabi-Oszillation um den Winkel π als auch bei der spontanen Emission handelt es sich um die gleichen Ausgangs- und Endzustände. Am Beispiel der Bloch-Kugel wird der Unterschied deutlich: Bei der Rabi-Oszillation beschreibt der Bloch-Vektor einen Halbkreis und a¨ ndert seine Länge nicht: Das System befindet sich immer in einem reinen Zustand. Bei der spontanen Emission “schrumpft” der Bloch-Vektor und entwickelt sich durch den Koordinatenursprung nach unten, zwischenzeitlich entsteht dabei ein maximal unbestimmtes Gemisch. Was geschieht, wenn man als Ausgangszustand eine beliebige Superposition zuläßt? Ohne spon-

Abbildung 7.2: Verhalten einer beliebigen Superposition auf der Bloch-Kugel bei einer RabiOszillation (links) und unter spontaner Emission (rechts). tane Emission wird sich nur die Phase der Superposition entwickeln, der Bloch-Vektor behält seine Länge und bewegt sich auf einem Kreis mit konstantem Winkel zur z-Achse (Abbildung 7.2, links). Berücksichtigt man die spontane Emission, dann bewegt sich der Vektor auf einer Spiralbahn abwärts, wobei er zwischendurch kürzer wird und schließlich im Grundzustand landet ¨ (Abbildung 7.2, rechts). Zur Veranschaulichung des Ubergangs vom reinen Zustand zum Ge-

120


misch zum reinen Zustand sei hier noch die Spur von %2 berechnet. Tr %2 = %2ee + 2%eg %ge + %2gg Unter der Annahme von %ee (0) = 1 folgt mit (7.45): Tr %2 (t) = 1 − 2e−γt + 2e−2γt

(7.46)

Diese Zeitentwicklung ist in Abbildung 7.3 abgebildet. Der Betrag der Spur fällt von 1 rasch auf ab (vollständiges Gemisch) und nähert sich dann asymptotisch wieder der 1. Dieses Resultat gilt allerdings nicht, wenn man die Schwerpunktbewegung der Atome mitberücksichtigt. Durch den Impulsübertrag der Photonen entsteht ein Gemisch im p-Raum. Schematisch gilt Z ω0 % = |e, pihe, p| → |e, pihe, p| + d3k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − ) c Z (7.47) ω0 3 → d k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − ) c 1 2

7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz Betrachte ein 3-Niveau-Atom in V-Konfiguration: |+i

|−i

|gi Ee = E+ = E− In der allgemeinen Master-Gleichung (7.39) für Atome findet man einen Term Z ∞ (+) 0(+) (+) (+) (−) K i + iK i = dτ dj (τ ) h0|Ej (τ )Ei (τ )|0i 0 X 0 = |me ihg| (dme g )i (Kme g +i Km ) | {z } | {ze}g me =± ∈R

∈R

0 ¨ nur von Ee − Eg abhängen, sind sie für beide Uberg¨ ange, + → g und − → g, Da Kme g , Km eg gleich. K (+) + iK 0(+) = (K + iK 0 ){|+ihg| d+g + |−ihg| d−g }

Einsetzen in die Master-Gleichung ergibt: i~%˙ s = [HS , %s ] i i nh − d+g |+ihg| + d−g |−ihg| , (K − iK 0 )](|gih+| d∗+g + |gih−| d∗−g )%s ~ h io +(K + iK 0 ) %s (|+ihg| d+g + |−ihg| d−g ) , d∗+g |gih+| + d∗−g |gih−|

7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz

Abbildung 7.3: Plot von Tr %2 bei spontaner Emission

121

122


Unter der Annahme 4 d+ = d− = d vereinfacht sich dies zu h i i 2n 0 i~%˙ s = [HS , %s ] − |d| (K − iK ) (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|) %s h~ io 0 +(K + iK ) %s (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|) Die Atome seien in angeregtem Zustand |ψi =

√1 (|+i 2

(7.48)

− |−i) präpariert:

%s (0) = |ψihψ| , HS |ψi = Ee |ψi → [HS , %s (0)] = 0 Außerdem gilt: (h+| + h−|) |ψi = 0. Wegen des Terms %s (|+i + |−i) = 0 in den Kommutatoren in Gleichung (7.48) gilt damit %˙ s = 0 ⇒ |ψi kann nicht in den Grundzustand zerfallen! • Die destruktive Interferenz zwischen den Amplituden von |+i und |−i sorgt dafür, daß dieser Zustand stabil ist [13]. • Der Effekt ist a¨ hnlich wie beim Dunkelzustand, nur daß |ψi ein angeregter Zustand ist und für alle Photonen dunkel ist. • Die Realisierung ist schwierig, da bei Atomen d+ = eiα d− nicht erfüllbar ist, denn die Zustände sind Eigenzustände von Jz Beispiel: Drei-Niveau-System V-Konfiguration:

in

Q k Q Q Q

3 Q

Jg = 0

Je = 1

Es gilt: √ d+ = D(ex − iey )/ 2 √ d− = D(ex + iey )/ 2

koppelt an σ+ -Licht koppelt an σ− -Licht

Damit ist d+ · d∗− = 0, Interferenzterme treten nicht auf. Beispielsweise gilt (|+i d+ + |−i d− ) hg| · |gi (h+| d∗+ + h−| d∗− ) = D2 (|+ih+| + |−ih−|) statt wie im oben angenommenen Fall d+ = d− D2 (|+i + |−i)(h+| + h−| . • Bei Molekülen ist die destruktive Interferenz im Prinzip möglich. Ein experimenteller Nachweis wurde erbracht [14], aber später angezweifelt [15]. 4

Möglich ist auch d+ = eiα d−

Kapitel 8 ¨ Laser-Kuhlen von Atomen 8.1

¨ Allgemeines zur Kuhlung von Atomen

Nach dem Satz von Liouville kann man die Entropie eines abgeschlossenen (Quanten)-Systems nicht a¨ ndern, da es sich unitär entwickelt. Adiabatisches Kühlen zur Verringerung der Temperatur ¨ ist zwar möglich (siehe Ubungen), die Entropie ( Unordnung “) bleibt dabei aber erhalten. ” Um die Unordnung zu verringern bzw. das von den Atomen besetzte Phasenraumvolumen zu verkleinern muss das System offen sein. Die Beschreibung des Systems kann dann durch eine Master-Gleichung erfolgen. ¨ Verschiedene Konzepte der Kuhlung • Austausch von Atomen mit der Umgebung. z.B. Verdampfungskühlen wie bei der Kaffeetasse (bzw. bei Corinnas Teetasse). Hierbei befinden sich die Atome in einem Potentialtopf endlicher Tiefe. Nur die heißesten Atome haben genug Energie, um den Topf zu verlassen. Die verbliebenen Atome sind dann im Mittel kälter. Durch Stöße zwischen den Atomen werden die Atome rethermalisiert, so dass die Energieverteilung wieder thermisch wird. • Spontan emittierte Photonen dissipieren Energie und Impuls. (Induzierte Emission tut dies nicht, da dies ein unitärer Prozess ist). ⇐⇒ Laser-Kühlen. Nobelpreis 1997 an Claude Cohen-Tannoudji, Steve Chu und Bill Phillips Eine ausgezeichnete Einführung in die Konzepte der Laserkühlung kann man in Ref. [11] finden.

¨ 8.2 Doppler-Kuhlung Die Doppler-Kühlung ist die grundlegendste Form der Laser-Kühlung (Lethokov, Hänsch und Schawlow 1975).

124

Laser-Kühlen von Atomen

8.2.1 Das Prinzip ¨ Die Anregungswahrscheinlichkeit der Atome hängt von der Laser-Frequenz ab (siehe Ubungen). %ee =

|Ω|2 ∆2 +

γ2 4

+ 2|Ω|2

(8.1)

wobei ∆ = ωL −ω0 und Ω die Rabi-Frequenz ist. Der mittlere absorbierte Impuls ist ~kL %ee (ωL ). Bewegt sich das Atom mit der Geschwindigkeit v, so nimmt es eine durch den DopplerEffekt verschobene Laser-Frequenz ωL0 = ωL − kL · v wahr: • für v parallel zu kL ist ωL0 rotverschoben (ωL0 < ωL ) • für v antiparallel zu kL ist ωL0 blauverschoben (ωL0 > ωL ) Nun wählt man ∆L = ωL − ω0 < 0, also einen rotverstimmten Laser. Für Atome, die auf den Laser zufliegen, ist die Verstimmung gegeben durch ∆0 = ωL0 − ω0 = ωL − kL · v − ω0 = ∆L − kL · v

(8.2)

so dass |∆0 | < |∆L | (solange v nicht zu groß ist). Ein rotverstimmter Laser regt deshalb vornehmlich Atome an, die auf ihn zufliegen. Bei zwei gegenläufigen rotverstimmten Laserstrahlen werden die Atome vornehmlich Photonen von dem Laserstrahl absorbieren, auf den sie zufliegen. Dadurch werden die Atome gekühlt.

8.2.2 Theoretische Beschreibung Man beschreibt das Problem durch: p2 − ~∆ |eihe| − ~Ω(x) |eihg| − ~Ω∗ (x) |gihe| (8.3) 2M (Zwei-Niveau-Atom mit Schwerpunktbewegung im Laserfeld). Zu lösen ist die DGL: H=

i γ %˙ = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2

(8.4)

Der letzte Term σ− %σ+ ist dabei anders als im vorigen Kapitel, da der Impulsübertrag der spontan emittierten Photonen berücksichtigt werden muss: σ− %σ+ = |gihg| %ee (8.5) Z 2 dΩ ˆ 2 eikx %êe e−ikx |gihg| σ− %σ+ = 1 − |dêg · k| (8.6) 8π/3 ˆ 2 die Dipol-Charakteristik beschreibt, eikx den Impulsübertrag von ~k, Wobei 1 − |dêg · k| %êe ist he|ˆ %|ei. Herleitung: Siehe Ref. [12]. Dieser Term heizt “ die Atome, da er ∆p um etwa ”

8.2 Doppler-Kühlung

125

~k vergrößert. ¨ die Mastergleichung Lösungsidee fur Verwende die Born-Oppenheimer Näherung (oder adiabatische Näherung): Die Schwerpunktbewegung ist viel langsamer als die elektronische Relativbewegung, daher löst man das elektronische Problem für fixiertes x und setzt dies in die Schwerpunkt-DGL ein. Die interne Zeitentwicklung ist sogar so schnell, dass man einfach die stationäre elektromagnetische Lösung nehmen kann. i γ ! %˙ = 0 = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ } ~ 2

(8.7)

mit H=~

−∆ −Ω(x) −Ω∗ (x) 0

(8.8)

Die Lösung dieses Problems ist: |Ω|2 %ee = L

%eg

Ω ∆ − i γ2 =− = %∗ge L

(8.9)

2

wobei L := ∆2L + γ4 + 2|Ω|2 . Dies setzt man in die Schwerpunktbewegung ein und lässt R d2 Ω hier der Einfachheit halber den dissipativen Term 8π/3 . . . weg (weiter unten werden wir ihn phänomenologisch wieder einführen). So ergibt sich: p2 H= − d · E(x) + innere Zustände 2M

(8.10)

Daraus folgen: p M p˙ = ∇(d · E(x))

x˙ =

(8.11) (8.12)

Dies sind die Heisenberg-Bewegungsgleichungen für x und p. Wir benutzen wieder die RWA: RWA

d · E(x) = deg · E (+) (x) |eihg| + d∗eg · E (−) (x) |gihe| = ~Ω(x) |eihg| + ~Ω∗ (x) |gihe|

(8.13)

Der Mittelwert u¨ ber die inneren Freiheitsgrade ergibt p¯˙ = Tr 2×2 (%p) ˙ = ~ Tr 2×2 (%{|eihg| ∇Ω(x) + |gihe| ∇Ω∗ (x)}) = ~(∇Ω(x))%ge + ~(∇Ω∗ (x))%eg

(8.14)

126

Laser-Kühlen von Atomen

Einsetzen von %eg und %ge = %∗eg = −

Ω∗ (∆+i γ2 ) . L

∇(|Ω|2 ) γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ ) p¯˙ = F¯ = −~∆L − i~ L 2 L 2 γ ~γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ ) ~∆L =− ∇ ln ∆2L + + 2|Ω|2 − i 2 4 2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2

(8.15)

4

Der erste Term ist eine konservative Kraft (da = ∇...), der zweite Term stellt eine dissipative Kraft dar. γ2 γ Ω∗ ∇Ω − Ω∇Ω∗ 1 2 2 + 2|Ω| − i~ F = −~∆L ∇ ln ∆L + (8.16) 2 4 2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2 4 Beispiel 1: laufende Laserwelle: Ω = Ω0 · eikx , |Ω|2 = Ω20 ∈ R =⇒ F = ~k

γΩ20 ∆2L +

γ2 4

= ~kγ%ee

+ 2Ω20

(8.17)

Doppler-Effekt: ∆L −→ ∆L − kv = ∆L − =⇒ F = ~k

γΩ20 kp 2 ∆L − M +

γ2 4

pk M

(8.18)

+ 2Ω20

Beispiel 2: Zwei gegenläufige Laser. Wir behandeln das Problem vereinfacht, indem wir die Kräfte von Ω1 = Ω0 eikx und Ω2 = Ω0 e−ikx addieren 1 . F = F→ + F← = ~ k γ Ω20

4∆L · [(∆L −

kp 2 ) M

+

kp M

(8.19)

γ2 ][(∆L 4

+

kp 2 ) M

+

γ2 ] 4

(für Ω0 γ). Dabei ist F ← = F → (−k). Für kleines p gilt F ≈

4~k γ Ω20 k p M

∆L ∆2L

+

γ2 4

2 ∼ p

In Richtung von k haben wir F p < 0 für ∆L < 0, so dass aus der Bewegungsgleichung p˙ = F die Zeitentwicklung p(t) ∼ e−αt abgeleitet werden kann. Der mittlere Impuls wird somit abgebremst. Wegen F ∼ γ ist dafür die spontane Emission notwendig. Die maximale Kraft Fˆ 2 Ω2 wird erreicht für ∆L = − γ2 und ist gegeben durch Fˆ = −8 ~Mk γ 20 p. 1

Eigentlich muss man Ω = Ω0 cos(kx) setzen und völlig anders weiterrechnen. Dies führt zu komplizierten Berechnungen. Qualitativ richtig und viel einfacher ist der Zugang, den wir hier verwenden.

8.3 VSCPT

127

Diese Kraft muss verglichen werden mit der (noch nicht berücksichtigten) Heizrate, die sich durch den Impulsübertrag der spontan emittierten Photonen ergibt. (=⇒ Impulsverteilung wird verbreitert). Heizrate intuitiv: die Breite der Impulsverteilung ist definiert als σ 2 = hp2 i − hpi2 . Ihre durch ¨ das Heizen verursachte zeitliche Anderung genügt d 2 σ = Anregungswahrscheinlichkeit · Emissionsrate · Impulsübertrag 2 dt Heiz

= %ee · γ · ~2 k 2 ¨ Somit erhalten wir für die gesamte (Kühlen und Heizen) Anderung den Ausdruck d 2 d 2 d 2 σ = p + σ dt dt |{z} |dt{z } 2 2 2pp˙ γ%ee ~ k

Heiz

Betrachten wir die Situation für die maximale Kühlungskraft, also ∆L = −γ/2, so ist die Anregungswahrscheinlichkeit durch %ee = 2Ω20 /γ 2 gegeben. Im Gleichgewicht muß −2pF = γ~2 k 2 · 2Ω20 /γ 2 gelten, so dass man auf p2 ~γ 1 = = kB T 2M 16 2 schließen kann. Das stimmt bis auf einen numerischen Faktor. Das richtige Ergebnis ist das sog. Doppler-Limit: kB T = ~γ γ ≈ 107 s−1 =⇒ T ≈ 10−4 K (8.20)

8.3 VSCPT Velocity-selective coherent population trapping [19] verwendet Dunkelzustände zum Kühlen und kann erst bei tiefen Temperaturen eingesetzt werden (< 10 µK). Die Methode liefert dafür sehr tiefe Endtemperaturen (3 nK). Betrachte ein Λ-System mit Schwerpunktbewegung: |e, pi

Ee

k − , ω L , Ω−

Ω+ , ω L , k +

|−, p − ~k− i

|+, p − ~k+ i

Eg

Dabei gilt: E+ = E− = Eg , ∆ = ωL − (Ee − Eg )/~, |k+ | = |k− | = k pˆ2 H= 1 − ~∆ |ei he| 2M + ~Ω− eik− x |ei h−| + e−ik− x |−i he| + ~Ω+ eik+ x |ei h+| + e−ik+ x |+i he| = H0 + Hint

(8.21)

128

Laser-Kühlen von Atomen ˙ = H |ψi , entwickle |ψi gemäß i~ |ψi Z |ψi = d3 p {ψe (p) |e, pi + ψ+ (p − ~k+ ) |+, p − ~k+ i + ψ− (p − ~k− ) |−, p − ~k− i}

Einsetzen =⇒   p2 −~∆ + 2M ψe (p)  i~∂t ψ+ (p − ~k+ ) =  ~Ω+ ψ− (p − ~k− ) ~Ω− 

~Ω+

(p−~k+ )2 2M

0

  ~Ω− ψe (p)  0  ψ+ (p − ~k+ ) (p−~k− )2 ψ− (p − ~k− )

(8.22)

2M

=⇒ Im allgemeinen ist die Entartung von |+i, |−i durch die Schwerpunktbewegung aufgehoben. Setze Ω+ = Ω− = Ω =⇒ 1 |ψD (p)i = √ {|−, p − ~k− i − |+, p − ~k+ i} 2

(8.23)

ist ein Dunkelzustand im Sinne von Hint |ψD (p)i = 0. Aber: 2 p ~2 k 2 H0 |ψD (p)i = + |ψD (p)i 2M 2M 1 ~k− p ~k+ p − |−, p − ~k− i + |+, p − ~k+ i +√ M M 2 (p − ~k)2 |ψD (p)i : Eigenzustand 2M (p2 + ~2 k2 ) ~kp k := k+ = −k− =⇒ H0 |ψD (p)i = |ψD (p)i − |ψB (p)i 2M M k := k+ = k− =⇒ H0 |ψD (p)i =

=⇒ Bei gegenläufigen Lasern (k+ = −k− ) ist nur |ψD (0)i ein Eigenzustand von H0 + Hint . Dies führt uns zur Idee von VSCPT: • Atome werden von den Lasern nach |ei angeregt und fallen via spontaner Emission zurück. • Atome, die nach |ψB (p)i fallen, werden wieder hochgepumpt • Atome, die nach |ψD (p 6= 0)i fallen, entwickeln sich erst zu |ψB (p)i und werden dann gepumpt • Atome in |ψD (p = 0)i bleiben dort: Kühlung.

Kapitel 9 Elektromagnetisch induzierte Transparenz EIT ist einer von vielen Effekten in der Quanten-Optik, bei denen Licht den Zustand der Atome und somit seinen Brechungsindex a¨ ndert. Grundlage sind dabei die

9.1

Maxwell-Bloch-Gleichungen

Gleichung für Atome: %˙ = L% wie in Kapitel 7 für die Kopplung zwischen Licht und Atomen: Z 1 P (x) · D(x)d3 x H = HA + HRad − 0 (9.1) P (x) = Polarisation, z.B. für ein Atom Ort x0 : ˆ P (x) = dδ(x − x0 ) Heisenbergsche Bewegungsgleichungen (wie in Kapitel 2): ˙ i~D(x) = [D(x), H] mit 0 [Di (x), Bj (x )] = −i~ijk ∂k δ(x − x0 )

(9.2)

Daraus ergibt sich: 1 rot B µ0 ˙ = − 1 rot (D − P ) B ε0

˙ = D

(9.3) (9.4)

Das entspricht den Maxwell-Gleichungen 1 in einem Dielektrikum mit Polarisation P . Daraus lassen sich nach dem aus den ersten Kapiteln bekannten Schema Wellengleichungen herleiten: 1 2 ∂ + rot rot D = rot rot P (9.5) c2 t 1

Wir nehmen an, dass die makroskopische freie Ladungsdichte verschwindet, so dass ÷D = 0. Man kann dan die Unterscheidung zwischen dem senkrechtem Anteil der Verschiebungsdichte und der Verschiebungsdichte selbst fallenlassen.

130

Elektromagnetisch induzierte Transparenz

Bzw. unter der Verwendung D = ε0 E + P 1 2 ¨ ∂ + rot rot E = −µ0 P c2 t

(9.6)

Mit %˙ = L% zusammen bilden diese Gleichungen die Maxwell-Bloch-Gleichungen. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwer zu lösen, weshalb Näherungen durchgeführt werden. Oft gemachte Annahmen sind: • Homogen verteilte Atome ⇒ P (x, t) = P (t)

(9.7)

• Das atomare Gas hat eine so geringe Dichte, dass sich die Atome nicht gegenseitig beeinflussen und einzeln mit dem Licht wechselwirken. ⇒ P (t) = %¯d

(9.8)

Dabei ist %¯ die Dichte der Atome und d der Dipoloperator für ein einzelnes Atom. Mitteln u¨ ber die atomaren Freiheitsgrade ergibt: 1 2 ¨ ∂ + rot rot E = −µ0 %¯ hdi c2 t 1 ¨ = − 2 %¯Tr (%d) c 0

(9.9) (9.10)

Die Maxwell-Bloch-Gleichungen erlauben die Berechnung der optischen Eigenschaften eines Mediums von Atomen. Bei Gasen kann man zu einem gewissen Grad die Stöße und Wechselwirkung zwischen den Atomen vernachlässigen.

9.2

Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen

Betrachte wie in Kapitel 8 ein 2-Niveau-Atom in einer laufenden Laserwelle: E = E 0 eikx e−iωL t + c.c.

(9.11)

Die Laserwelle soll kontinuierlich eingeschaltet sein, so daß die Atome durch ihren stationären Zustand beschrieben werden können: %st ee =

|Ω|2 γ2 4 st %ee

∆2 +

+ 2|Ω|2

%st gg = 1 − −Ω(∆ − i γ2 ) %st = 2 eg ∆2 + γ4 + 2|Ω|2 ∆ = ωL − ω0

(9.12)

9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen

131

Diese Lösunge gilt für das “mitrotierende” Bezugssystem, in dem HA = ~∆ |ei he| ist. Um zum “Laborsystem” zu wechseln, müssen wir die entsprechende unitäre Transformation U = exp (−iωL t |ei he|)

(9.13)

rückgängig machen: %(t) = U (t)%st U + (t) X + = %st ij U |ii hj| U i,j st st −iωL t iωL t = %st |ei hg| + %st |gi he| ee |ei he| + %gg |gi hg| + %eg e ge e

⇒ Tr (%(t)d) = deg %ge (t) + d∗eg %eg (t)

(9.14) (9.15)

Der Zusammenhang zwischen der Amplitude des elektrischen Feldes und der in der stationären Dichtematrix (9.12) auftretenden Rabi-Frequenz ist gegeben durch 1 deg · E (+) (t) ~ 1 = deg · E 0 eikx e−iωL t ~

Ω(x, t) =

(9.16)

Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen ergibt 1 2 ∗ −ikx iωL t ikx −iωL t ∂ + rot rot E e e + E e e 0 0 c2 t ∆ + i γ2 ωL2 %¯ 1 = 2 deg (−1) eiωL t e−ikx d∗eg E ∗0 2 γ c 0 ~ ∆2 + + 2|Ω0 |2 4

+d∗eg (−1)

∆ − i γ2 ∆2 +

γ2 4

1 e−iωL t eikx deg E 0 ~ + 2|Ω0 |2

! (9.17)

mit Ω0 = deg ·E 0 /~. Machen wir nun die Annahme, daß E 0 = const. gilt. Koeffizientenvergleich von e±iωL t liefert: ∆ − i γ2 −ωL2 −¯ %ωL2 ∗ E 0 − k × (k × E 0 ) = d (deg E 0 ) 2 c2 ~0 c2 eg ∆2 + γ + 2|Ω0 |2

(9.18)

4

Setze deg = D∗ , E 0 = E0 mit ⊥ k: ∆ − i γ2 ωL2 %¯ωL2 2 2 ⇒ − 2 E0 + k E0 = − D E0 2 c ~0 c2 ∆2 + γ + 2|Ω0 |2 ⇒−

4 γ i2

∆− ωL2 −¯ %ωL2 2 2 + k = D 2 2 2 2 c ~0 c ∆ + γ + 2|Ω0 |2 4

(9.19) (9.20)

132


Dies ist eine Gleichung, die k mit ωL verknüpft. ωL ist vom Laser vorgegeben und muß auch innerhalb des Mediums denselben Wert annehmen, da sonst die Randbedingungen an der Grenze zwischen Medium und freiem Raum verletzt würden. k kann jedoch innerhalb des Mediums einen anderen Wert annehmen als ωcL . Lösung: s ∆ − i γ2 ωL2 ωL2 %¯D2 k(ωL ) = − (9.21) c2 c2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2 4

wobei ∆ = ωL − ω0 Vergleiche dies mit der Definition des Brechungsindex: k(ωL ) = s ⇒ n(ωL ) = Für kleine Dichten: Näherung

√

1−

ωL n(ωL ) c

(9.22)

∆ − i γ2 %¯D2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2

(9.23)

4

1−x=1−

n(ωL ) = 1 −

1 x 2

⇒

∆ − i γ2 1 %¯D2 2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2

(9.24)

4

0

Der Brechungsindex ist im Allgemeinen komplex, n = n + in ⇒ E (+) = E 0 e−iωL t eikx 0

0 00 ωL (n +in ) c

= E 0 e−iωL t eik x e−k 0

00

00

x

• Der Realteil n bestimmt die Phasengeschwindigkeit vph = den des Detunings wird daraus v(∆ = 0) = c.

(9.25) ω Re k

des Lichts. Bei Verschwin-

• Gruppengeschwindigkeit: Betrachte das Wellenpaket Z E(x, t) = dωeik(ω)x e−iωt E(ω) Schmale Frequenzbreite, d.h. ω ≈ ω0 , erlaubt die Entwicklung ∂k k(ω) ≈ k(ω0 ) + (ω − ω0 ) + . . . ∂ω ω0

(9.26)

(9.27)

Z

i ∂k | (ω−ω0 )x dωE(ω)e−iωt eik(ω0 )x e ∂ω ω0 Z ∂k ∂k −iω(t− ∂ω |ω0 x) ik(ω0 )x −i ∂ω |ω0 ω0 x = e e dωE(ω)e

⇒ E(x, t) =

(9.28)

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände Daraus folgt: Das Paket läuft mit der Geschwindigkeit −1 ∂k ∂ω x = const. = = t ∂ω ∂k ω0

133

(9.29)

ω0

∂k −1 was der Gruppengeschwindigkeit vgr = ( ∂ω ) entspricht. Diese a¨ ndert sich besonders 00 stark um ∆ = 0 herum. Allerdings: n beschreibt die Absorption und wird ebenfalls für ∆ = 0 maximal, so dass man nicht mehr von einer wirklichen Propagation des Lichts sprechen kann. Der Begriff der Gruppengeschwindigkeit wird dann unsinnig.

• “Spectral hole burning”: |Ω0 |2 ∼ Lichtintensität; daraus folgt, daß hohe Intensitäten selbst bei ∆ = 0 die Absorption stark unterdrücken. Grund: Wenn alle Atome angeregt sind können die verbleibenden Photonen nicht mehr absorbiert werden.

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände Der Brechungsindex für Atome mit mehr als zwei Niveaus kann sehr von dem 2-Niveau-Ergebnis abweichen. Ein Beispiel dafür ist das Phänomen der elektromagnetisch induzierten Transparenz in einem Λ-System. Um den Brechungsindex herzuleiten, müssen wir wieder die MaxwellBloch-Gleichungen für ein Λ-Sytem lösen.     0 −Ω− −Ω+ −γ%ee − γ2 %e− − γ2 %e+ b = ~ −Ω∗− ∆− 0  0  (9.30) H Lsp. Em. %b = − γ2 %−e γ2 %ee γ γ ∗ − 2 %+e 0 % −Ω+ 0 ∆+ 2 ee Also: i ! stationäre Lösung (9.31) %˙ = − [H, %] + Lsp. Em. % = 0 ~ Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems zu finden ist im Prinzip einfach, das Ergebnis ist aber so umfangreich, daß es nicht mehr interpretierbar ist. Wir machen daher die Annahme, daß Ω+ klein ist, und entwickeln um Ω+ = 0. Die Lösung für Ω+ = 0 ist einfach der Dunkelzustand, also %0 = |+ih+|

(9.32)

Da |+i der Dunkelzustand für diese Situation (Ω+ = 0, Ω− 6= 0) ist, wird so die gesamte Population nach |+i gepumpt. Wird nun der zweite Laser eingeschaltet (Ω+ 6= 0) so führt man eine störungstheoretische b =H b0 + H b 1 mit Rechnung durch: H     0 −Ω− 0 0 0 −Ω+ b 0 = ~ −Ω∗− ∆− b1 = ~  0 0  0 0  H H (9.33) ∗ 0 0 ∆+ −Ω+ 0 0

134


Setzt man nun den Ansatz %b = %b0 + %b1 + O(Ω2+ ) in (9.31) ein, so findet man i 0 = − [H0 + H1 , %0 + %1 ] + Lsp.Em. %b0 + Lsp.Em. %b1 ~

(9.34)

und da %0 die ungestörte Gleichung löst, verbleibt zur ersten Ordnung nur noch: i i − [H0 , %1 ] + Lsp.Em. %b1 = [H1 , %0 ] ~ ~

(9.35)

Also ein inhomogenes lineares Gleichungssystem für %b1 . Löst man dieses Gleichungssystem, dann findet man: % = |+ih+| + {%e+ |eih+| + %−+ |−ih+| + H.c.} | {z }

(9.36)

%0

mit (∆− − ∆+ )Ω+ (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2 −Ω+ Ω∗− = (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2

%e+ = − %−+

Berechne nun den Brechungsindex für den Ω+ Laser mit Hilfe von Gleichung (9.9). Von der Herleitung des Brechungsindex für das Zwei-Niveau-System in Abschnitt 9.2 her wissen wir, daß gilt 2 n+ ≈ 1 +

%¯D b(−) · ε∗ %) 1 Tr (d Ω+ 2~ε0 Ω+

(9.37)

b(−) · ε∗ ∝ |+ihe| gilt, folgt Da für den Ω+ Strahl d Ω+ n+ ≈ 1 −

%¯D2 ∆− − ∆+ 2~ε0 (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2

(9.38)

Der dabei auftretende Vorfaktor ist charakteristisch für optisch dünne Gase und derselbe wie beim Zwei-Niveau-System. Der Bruch enthält den Effekt der elektromagnetisch induzierten Transparenz. Für ∆− = ∆+ gilt n = 1, d. h. derselbe Brechungsindex wie im Vakuum; insbesondere findet keine Absorption statt. Das System verhält sich jedoch nicht vollständig wie das Vakuum, denn die rechte Seite der Gleichung ist nur bei Resonanz exakt Null. Außerhalb der Resonanz treten neue Effekte auf. Die Gruppengeschwindigkeit die mit ∂ω zusammenhängt weicht auch für den ∂k Resonanzfall vom Vakuumwert ab. 2

Die Herleitung dieser Gleichung verläuft völlig analog zur Herleitung von Gleichung (9.24).

9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände

135

Für ∆− = ∆+ gilt also n = 1 es tritt keine Absorption auf, denn die Atome sind fast alle im Dunkelzustand. Die Phasengeschwindigkeit entspricht der des Vakuums, nicht aber die Gruppengeschwindigkeit. Betrachten wir den Fall ∆− = 0 (Pumplaser in Resonanz): n+ = 1 −

%¯D2 (ω0 − ω+ ) 2~ε0 (ω0 − ω+ )(ω+ − ω0 + i γ2 ) + |Ω− |2

(9.39)

ω+ n+ (ω+ ) c

(9.40)

Für den Wellenvektor gilt nun: k+ (ω+ ) =

Die Gruppengeschwindigkeit läßt sich damit leicht berechnen: ∂k+ n+ ω+ ∂n+ 1 ω0 %¯D2 1 = − = . . . = + ∂ω+ ω+ =ω0 c c ∂ω+ c c 2~ε0 |Ω− |2 c ⇒ vgr = %¯D2 ω0 1 + 2~ε0 |Ω− |2

(9.41) (9.42)

Theoretisch ist damit vgr = 0 erreichbar (für Ω− → 0), dann ist jedoch die obige Entwicklung eigentlich nicht mehr erlaubt. Obwohl dieser Grenzfall nicht mehr von unserer Theorie beschreibbar ist (denn wir hatten Ω+ Ω− vorausgesetzt) ist er dennoch im Experiment erreicht worden. Beispiel ω0 = 1015 s−1 , D = ea0 , %¯ ≈ 1021 m−3 , Ω− ≈ 108 s−1 dann findet man für die Gruppengeschwindigkeit 1 m vgr = 10−6 c ≈ 100 3 s

(9.43)

In einem ersten Experiment erreichte die Gruppe von Lene Hau 1999 [20] vgr = 17 m/s. Ein Jahr später gelang es der Gruppe von Bill Philipps sogar, Licht zu stoppen [?]. Man kann mit dieser Methode einen Puls für eine Zeitdauer im Millisekundenbereich anhalten, ohne die Information durch inkohärente Prozesse zu verlieren. Dies könnte z. B. interessant sein für optische Computer. Zudem kann man das gestoppte Licht auf vielfältige Weise manipulieren, z. B. quetschen. Das Stoppen kann dabei als Transfer der Atome von |+i nach |−i und anschließendem Abschalten des Pumplasers verstanden werden. Das Licht ist dann reversibel und kohärent gespeichert. Der Ω+ -Puls kann nach bis zu einer Millisekunde wiederhergestellt werden [34].

136


Kapitel 10 ¨ Photonische Bandlucken Photonic band gaps (PBG) treten in völliger Analogie zu den Bandlücken von Elektronen in periodischen Potentialen auf. Ihre Bedeutung ist, dass Photonen mit bestimmten Frequenzen in einem periodischen dielektrischen Medium nicht propagieren können. Sie entstehen bei periodischer Modulation des Brechungsindexes. Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir die relative Dielektrizitätskonstante εr ein εr (x) =

ε(x) = n2 (x) ε0

n: Brechungsindex

(10.1)

von der wir annehmen, daß sie zeitlich konstant ist (ε˙r ∝ ε(x) ˙ = 0), was einen von der Frequenz unabhängigen Brechungsindex impliziert. Es gilt dann D = ε0 E + P = ε(x)E = ε0 εr (x)E(x)

(10.2)

und die Maxwell-Gleichungen lauten: ˙ = −rot E B

˙ = ε0 c2 rot B D

was auf eine symmetrische“ Wellengleichung für B führt: ” 1 2 2 ∂t + c rot rot B(x, t) = 0 εr (x)

(10.3)

(10.4)

Betrachte nun einen periodischen Brechungsindex εr (x) = εr (x + L), der der Einfachkeit halber nur von x abhängen soll 1 . Um die Analogie zwischen photonischen und elektronischen Bandlücken möglichst klar herauszuarbeiten, soll die Wellengleichung für das Magnetfeld mit den bekannten Konzepten aus der Quantenmechanik behandelt werden 1

Im Folgenden schreiben wir trotzdem die volle Abhängigkeit εr (x), wenn die entsprechende Gleichung auch im allgemeinen Fall gilt.

138

Photonische Bandlücken • Zunächst definieren wir ein erhaltendes Skalarprodukt (siehe auch Abschnitt 2.1.6), mit dessen Hilfe wir hermitesche Operatoren einführen können: Z ε0 0 ˙ ∗B0 − B∗B ˙ 0) hB|B i := −i d3x (B (10.5) ~ Z ¨ ∗B0 − B∗B ¨ 0) ⇒ ∂t hB|B 0 i ∝ d3x (B (10.6) eingesetzt in die Wellengeichung (10.4) 1 1 ∗ 0 ∗ 0 2 2 = d x (−c rot rot B )B − B (−c rot rot B ) (10.7) εr (x) εr (x) Z 1 1 0 ∗ 0 ∗ 2 3 2 rot B ) − B (−c rot rot B ) = 0 = d x B (−c rot εr (x) εr (x) (10.8) Z

3

Dabei wurde im letzten Schritt zwei mal partiell integriert, um die Rotation auf den gestrichenen Term zu schaufeln. In diese Rechnung ging insbesondere auch ein, dass εr (x) unabhängig von der Zeit ist und dass es symmetrisch zwischen den beiden RotationsOperatoren auftritt. • Der “Hamilton”-Operator H := −c2 rot εr (x)−1 rot ist hermitisch, d. h. hB 0 |HBi = hHB 0 |Bi. Zudem ist H periodisch, d. h. H(x + L) = H(x). Um nun die Eigenmoden der Wellengleichung (10.4) zu finden, betrachten wir analog zur Festkörperphysik zunächst den Translationsoperator Tx0 = eibp·x0 /~ = ex0 ·∇x Wirkung des Operators: Bew.:

(Tx0 f )(x) = f (x + x0 )

(10.9) (10.10)

x0 ·∇x

Tx0 f (x) = e f (x) ∞ X (x0 · ∇x )n = f (x) ≡ Taylor-Reihe um x n! n=0 = f (x + x0 )

(10.11)

H vertauscht mit TL , denn (HTL − TL H)f (x) = Hf (x + L) − H(x + L)f (x + L) = 0 , da H periodisch ist. Also hat H ein gemeinsames System von Eigenfunktionen mit TL . Die Eigenzustände von TL sind die Impulseigenzustände eikx mit zugehörigen Eigenwerten TL eikx = eik(x+L) = eikL eikx . Das heißt, es liegt eine ∞-fache Entartung der Eigenwerte vor. Für alle k = q + 2nπ , n ∈ Z ergibt sich derselbe Eigenwert exp(iqL). L

139 Die Eigenzustände von H können nach einem Satz entarteter Eigenwerte von TL entwickelt werden und haben daher die Form ψq (x) = eiqx

∞ X

ψq,n ei

2nπ x L

(10.12)

n=−∞

Die Quantenzahl q kann aus [− π2 , π2 ] gewählt werden 2 . q heißt Quasi-Impuls (= Impuls modulo 2π/L). 2

∂ Zu lösendes Eigenwert-Problem: ∂t ψ = 0, Ansatz ψ(x, t) = e±iωt ψ(x) ⇒ −ω 2 ψ(x) = 2 − H Hψ(x) Ein möglichst einfaches Beispiel dazu: 2π r = 1 + δ cos x L

mit δ 1 ⇒ 1 rot 1 + δ cos 2π x L 2π 2 ≈ −c rot 1 − δ cos x rot L = H0 + δH1

H = −c2 rot

mit H0 = −c2 rot rot 2π 2 x rot H1 = c rot cos L Betrachte Lichtwelle entlang der x-Achse: B(x) = B(x)ey Dieser Ansatz erfüllt die Maxwell-Gleichung div B = 0. Für die Wirkung des Hamilton-Operators folgt 1 ∂ 1 ∂ −rot rot B = B ey r (x) ∂x r (x) ∂x Verwende nun Störungstheorie: B(x) = hx|Bi, |Bi = |B0 i + δ |B1 i, dabei ist |B0 i ein Impulseigenzustand p0 . (H0 + δH1 ) (|B0 i + δ |B1 i) = −ω 2 (|B0 i + δ |B1 i) mit ω 2 = ω02 + δω12 ¨ Eine andere Wahl kann durch Andern des Summationsindexes auf diese Wahl zurückgeführt werden. Falls z.B. q = q + 2π/L so erhält man dieselbe Entwicklung mit ψq,n ersetzt durch ψq0 ,n−1 . 2

0

140

Photonische Bandlücken

Gleichung 0. Ordnung: H0 |p0 i = −ω02 |p0 i p2 = −c2 02 |p0 i ~ ⇒ ω0 = cp~0 Gleichung 1. Ordnung: H0 |B1 i + H1 |B0 i = −ω12 |B0 i − ω02 |B1 i ¨ Dies zu lösen ist unübersichtlich. Von der Struktur sieht die Lösung wie folgt aus: Die Anderung 2 des Eigenwertes kann aus −ω1 = hB0 |H1 |B0 i bestimmt werden. Der Zustand hat die Struktur |B1 i ∼ H1 |B0 i 2π ∼ rot cos x rot |p0 i L 2π iLx −i 2π x L ∼ e +e |p0 i ∼ |p0 +

2π 2π ~i + |p0 − ~i L L |{z} k

c2 p2 |pi ~2 = ω02 (p) |pi

H0 |pi = −

Für p0 ≈ ~k ist c|p0 − ~k| nahezu resonant zu c|p0 |, während p0 + ~k eine viel höhere 2 3 . Man erhält ungestörte Energie hat ⇒ H1 koppelt vornehmlich p0 und p0 − ~k für p0 ≈ ~k 2 ~k also effektiv ein Zwei-Niveau-System. Ist |p0 | sehr verschieden von 2 , so ist die Kopplung vernachlässigbar. Ein Schema der daraus folgenden Energieniveaus ist in Abb. 10.2 dargestellt. . Bezeichnen wir das Matrixelement Betrachten wir das Zwei-Niveau-System für p0 ≈ ~k 2 hp0 | H1 |p0 − ~ki mit h1 , so erhält man die Gleichungen |Bi ≈ α |p0 i + β |p0 − ~ki δH1 |p0 i ≈ δh1 |p0 − ~ki δH1 |p0 − ~ki ≈ δh1 |p0 i und das Eigenwert-Problem H |Bi = −ω 2 |Bi 3

bzw. p0 und p0 + ~k für p0 ≈ − ~k 2

141

Abbildung 10.1: Energie-(Quasi-)-Impulsrelation für elektromagnetische Wellen im freien Raum. Die gestrichelte Linie beschreibt die Energie E(p) = c|p| in Abhängigkeit vom Impuls p, die durchgezogene in Abhängigkeit vom Quasi-Impuls q. Der Unterschied ist lediglich eine andere Benennung der Quantenzahlen: statt einer kontinuierlichen Variable p benutzt man eine kontinuierliche q und den diskreten Bandindex n.

Abbildung 10.2: Energie-Quasiimpulsrelation für elektromagnetische Wellen im periodischen Dielektrikum. An den Stellen, an denen die freien Zustände resonant sind, enstehen Bandlücken.

142

Photonische Bandlücken H |Bi =

−ω02 (p0 ) δh1 † 2 δh1 −ω0 (p0 − ~k)

α β

mit den Eigenwerten: ω 2 (p0 ) + ω02 (p0 − ~k) 1 − 0 ± 2 2

q

2

(ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k)) + 4δ2 2

wobei die ”Verstimmung” gegeben ist durch ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k) ∼ 2 ~c 2 k∆p worin der Anfangsimpuls gemäß p0 = ~k + ∆p relativ zu ~k/2 angegeben ist. ∆p spielt daher eine a¨ hnliche 2 Rolle wie die echte Verstimmung beim Zwei-Niveau-System aus Abschnitt 5.3. Variiert man ∆p, ¨ so erhält man in völliger Analogie zum Landau-Zener-Ubergang ein avoided crossing, welches dazu führt, dass Bandlücken entstehen. Bedeutung der Photonic Band Gaps: • Licht mit Frequenzen innerhalb einer Bandlücke kann nicht durch das Medium propagieren. Das kann benutzt werden für Spiegel, Glasfasern, Filter, . . . • Theoretische Vorhersage: Spontane Emission von Atomen, die in das Medium eingebettet sind, wird stark modifiziert [21]. Jedoch sind photonische Kristalle mit Bandlücken, die sich u¨ ber den kompletten Winkelbreich des Photonenimpulses erstrecken, erst seit recht kurzer Zeit vorhanden [22].

Kapitel 11 Bose-Einstein-Kondensate 11.1

Vielteilchentheorie bosonischer Atome

In Kapitel 2 wurde die allgemeine Struktur von Vielteilchentheorien in der Quantenmechanik behandelt. Diese soll nun auf bosonische Atome angewendet werden: Sei H0 (x, p) ein Ein-Teilchen-Operator, z.B. p2 H0 (x, p) = + V (r) 2M mit Eigenzust¨ H0 ψn (x) = En ψn (x). Die Eigenzustände sollen normiert sein, hψn |ψm i = R 3 anden ∗ δn,m = d x ψn (x)ψm (x). Mit Hilfe dieser Basis kann man den Feldoperator X b Ψ(x) = b an ψn (x) n

einführen, der ein Atom am Ort x vernichtet. Der Feldoperator und die Erzeuger/Vernichter erfüllen die Kommutator-Relationen b b † (y)] = δ(x − y) , [b [Ψ(x), Ψ an , b a†m ] = δn,m Freier Hamilton Operator mittels Feldoperatoren ausgedrückt: Z b 0 = d3x Ψ b † (x)H0 (x, p)Ψ(x) b H

(11.1)

wobei: p → i~∇ Die Wechselwirkung wird u¨ ber einen Mehrteilchenoperator vermittelt. Der eine Kollision vermittelnde Operator lautet Z 1 b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)Ψ(y) b Ψ(x) b b Coll = d3x d3y Ψ (11.2) H 2 Diese Darstellung des Operators im Fock-Raum ist eine Art Matrixelement“ des Operators für ” zwei Teilchen. V kann zum Beispiel das Coulomb Potential darstellen. Allgemein tritt pro an der Wechselwirkung beteiligtem Teichen ein Feldoperator und der entsprechende adjungierte Operator (am selben Ort genommen) im Wechselwirkungs-Hamiltonian auf. Diese Darstellung der Wechselwirkung hängt eng mit den Feynman Diagrammen zusammen.

144

Bose-Einstein-Kondensate

Beispiel: Anwendung auf einen 2-Teilchen-Zustand |ψi = b a†1b a†2 |0i d.h. 1 Teilchen in Mode 1 1 Teilchen in Mode 2

(11.3)

Der Effekt der Wechselwirkung kann nun berechnet werden. In |ψi sind die beiden Atome unkorreliert, die Wechselwirkung wird im allgemeinen ein Korrelation erzeugen. Also: b Coll |ψi = 1 H 2

Z

b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)[Ψ(y) b Ψ(x), b d3x d3y Ψ b a†1b a†2 ] |0i

(11.4)

dies gilt wegen b Ψ(x) |0i = 0 und

† † † † † †b b b b b b [Ψ(y)Ψ(x), b a1 b a2 ] |0i = Ψ(y)Ψ(x)b a1 b a2 − b a1 b a2 Ψ(y)Ψ(x) |0i (11.5)

Es muß also noch der Kommutator in (11.5) berechnet werden. Man findet so unter Ausnutzung der Relation [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B nach längerer Rechnung: 1 b Ψ(x), b [Ψ(y) b a†1b a†2 ] |0i = √ (ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ2 (y)ψ1 (x)) |0i 2

(11.6)

wobei noch folgende nützliche Relation verwendet wurde: X b [Ψ(x), b a†1 ] = [ b am ψm (x), b a†1 ] m

=

X m

ψm (x) [b a ,b a† ] = ψ1 (x) | m{z 1}

(11.7)

δ1m

Mit diesem Ergebnis erhält man für den Wechselwirkungshamiltonian: Z b Coll |Ψi = d3x d3y Ψ b † (x)Ψ b † (y)V (x − y)(ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ1 (x)ψ2 (y)) |0i H

(11.8)

d. h. die Wirkung des Operators auf einen Zweiteilchenzustand erzeugt einen neuen Zweiteilchenzustand, der mit dem Wechselwirkungspotential gewichtet wird und so Korrelationen zwischen Teilchen am Ort x und y enthält. Wechselwirkung mit Licht

In diesem Fall hat der Wechselwirkungs-Hamiltonian die Form Z b b b (+) (x) + h.c. b † (x)Ψ b g (x)deg · E −d · E(x) → − d3x Ψ (11.9) e

b g und Ψ b e jeweils Atome in Grund- und angeregtem Zustand vernichten. Insgesamt wird Wobei Ψ also ein Photon vernichtet und ein Grundzustandsatom durch ein angeregtes ersetzt. Auch dieser Operator hat die Struktur einer Art Matrixelement“. ”

11.2 Der Bose-Einstein-Phasenübergang Bewegungsgleichungen Systems:

145

Im Heisenbergbild lauten die Bewegungsgleichungen eines solchen b˙ = [Ψ(x), b b i~Ψ H]

(11.10)

Für den freien Anteil des Hamiltonians lauten sie insbesondere: Z b b b † (x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x b 0 )] [Ψ(x), H0 ] = d3x0 [Ψ(x), Ψ Z b 0) = d3x0 δ(x − x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x b = H0 (x, p)Ψ(x) ≡ Schrödingergleichung Wähle als ψn (x) die Eigenfunktionen von H0 (x, p): H0 (x, p)ψn (x) = En ψn (x): X X b H0 (x, p)Ψ(x) = H0 (x, p)b an ψn (x) = b an En ψn (x) n

⇒b an (t) = e

b an (0) da die ψn orthogonal sind.

n

=

n,n0

=

X

b a†nb an0

(11.13)

n

(11.14)

Insbesondere gilt auch: Z Z X X 3 † b0 = d x Ψ b (x)H0 (x, p)Ψ(x) b H = d3x b a†n ψn∗ (x)H0 (x, p) b an0 ψn0 (x) X

(11.12)

n

da H0 nur auf ψn (x) wirkt. Damit findet man die Bewegungsgleichung X X b˙ b i~Ψ(x) = i~ b a˙ n ψn (x) = H0 (x, p)Ψ(x) = b an En ψn (x) n −iEn t/~

(11.11)

hψn |H0 (x, p)|ψn0 i1-Teilchen {z } |

(11.15)

n0

(11.16)

=En0 δnn

b a†nb an En

(11.17)

n

Also die bereits von den Photonen bekannte Form der Gesamtenergie.

¨ 11.2 Der Bose-Einstein-Phasenubergang Anwendung des eben Gelernten auf den Bose-Einstein-Phasenübergang. Betrachte den Gleichgewichtszustand eines nicht wechselwirkenden Bose-Gases mit N Teilchen. Aus der statistischen Mechanik u¨ bernehmen wir die Form der Dichtematrix P b 1 1 b bn := a† an % = e−β H0 = e−β n Nn En N n Z Z N 1 Y −β Nbn En 1 Y X −βNn En = e = e |Nn ihNn | ⇔ Spektralzerlegung (11.18) Z n Z n N =0 n

146


P b mit: Z := Tr e−β H0 und der Nebenbedingung n Nn = N . In Lehrbüchern wird die folgende Rechnung im allgemeinen für die großkanonische Gesamtheit P durchgeführt, da dort die kombinatorischen Schwierigkeiten, die aus der Nebenbedingung Nn = N entstehen, wegfallen. Wir verwenden die kanonische Gesamtheit, da wir einen sehr einfachen Fall betrachten: Nur 2 Moden ψ0 (x), ψ1 (x) sind vorhanden. N 1 X −iβN1 E1 −β(N −N1 )E0 e e ⇒%= {z } |(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 | Z N =0 | {z } | 1. M ode

1

(11.19)

N ebenbdg.

Setze E0 = 0, E1 = ∆E. N 1 X −βN1 ∆E ⇒%= e |(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 | Z N =0

(11.20)

1

Damit kann die Zustandssumme sehr einfach berechnet werden: b0 −β H

Z = Tr e

=

N X

e−βN1 ∆E

(11.21)

N1 =0

Setze q := e−β∆E < 1 ⇒ Z=

N X N1 =0

q N1 =

1 − q N +1 1−q

(11.22)

Berechne die mittlere Teilchenzahl in Mode 1 (angeregte Mode): ¯1 = Tr (%N b1 ) N N 1 X = N1 q N 1 Z N =0 1

1−q q N N +1 = 1 − (N + 1)q + N q 1 − q N +1 (1 − q)2 Im Fall einer großen Anzahl von Atomen findet man N 1 1 lim N q = lim −N = lim = lim − qN = 0 N →∞ N →∞ q N →∞ − ln qq −N N →∞ ln q q ¯1 = ⇒ lim N < ∞ (q < 1) N →∞ (1 − q) N

(11.23) (11.24)

D. h. es tritt ein Sättigungseffekt auf. Ab einer gewissen Anzahl von Atomen gehen alle weiteren Atome, die man hinzufügt, in den Grundzustand. Für ein freies Gas befinden sich für T → 0 alle

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion

147

Atome im Grundzustand. In einem wechselwirkenden (realen) Gas verbleibt ein Rest angeregter Atome. Addiert man also bei festgehaltener Temperatur Teilchen zu einem bosonischen Gas, so gehen ab einer gewissen Anzahl alle neuen Teilchen in den Grundzustand. Die Anzahl der angeregten Atome wird gesättigt. Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Anzahl der Moden (gilt auch für kontinuierliche Moden) und von der zu Grunde gelegten Gesamtheit (kanonisch, großkanonisch). Es existiert eine kritische Temperatur für die gilt: ¯0 ¯1 N N −N q = =1− .1 N N N (1 − q)3

(11.25)

Für kleines β∆E gilt nun 1 − q ≈ β∆E (wegen q = e−β∆E ) also: ¯0 1 N ≈ ≈1 N N (β∆E)

(11.26)

Dies ist eine Bedingung an β, die angibt, wann sich eine makroskopische Anzahl von Atomen im Grundzustand befindet. Bis auf numerische Vorfaktoren stimmt dies mit dem Ergebnis für harmonische Fallen u¨ berein [24]. Im freien Raum erhält man andere Bedingungen, die meist mit Hilfe der thermischen deBroglie-Wellenlänge ausgedrückt werden: 3 3 %λdB = ζ ≈ 2.612 (11.27) 2 p mit λdB := 2π~2 /(M kB T ). Dies läßt sich folgendermaßen deuten: In einem thermischen Gas kann man sich vorstellen, daß die Teilchen Wellenpakete mit Ausdehnung λdB bilden. Die Bedingung (11.27) für die Bose-Einstein-Kondensation bedeutet, daß man in etwa ein Teilchen pro Volumen λ3dB hat. Hat man weniger Teilchen, so u¨ berlappen die Wellenpakete sich nicht und ¨ merken nichts von ihrer bosonischen Natur. Uberlappen sie, so kommt es zu Beeinflussungen und die Atome kondensieren.

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion Wechselwirkung ist für ein BEC zwar nicht notwendig, muss aber in der Regel berücksichtigt werden. Dies kann man durch den Hamilton-Operator Z ZZ 1 3 b† b b b † (x)Ψ b † (y) V (x − y) Ψ(y) b Ψ(x) b H = d x Ψ (x) H0 (x, p) Ψ(x) + d3x d3y Ψ (11.28) 2 ausdrücken. Atomare BECs (87 Ru, 23 Na, . . . ) sind verdünnte Gase in dem Sinn, dass der mittlere Abstand der Atome weit größer ist als die Streulänge a ihrer Wechselwirkung 1 %a3 1

(% =Dichte) b

(11.29)

Die Streulänge a ist definiert u¨ ber den Streuquerschnitt, σ ∝ a2 . Für die u¨ blichen atomaren BECs ist sie einige Nanometer groß. 1

148


Abbildung 11.1: Anschauliche Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation: für T < Tc oder zu geringe Dichten % = d−3 sind die Wellenpakete zu weit auseinander und beeinflussen sich gegenseitig nicht. Ist die BEC-Bedingung erfüllt, so sind die Wellenpakete nahe genug beieinander, damit ihre bosonische Statistik wirken kann. Da Bosonen eine Tendenz haben, in denselben Zustand zu gehen, ist dann Kondensation möglich.

11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion

149

Die Potentiale sind kurzreichweitig (∝ 1/r6 , Van-der-Waals-Wechselwirkung), in diesem Fall kann man das Potential als punktförmig auf der Skala des mittleren Abstandes betrachten und V (x − y) durch ein Kontaktpotential mit derselben Streulänge ersetzen V (x − y) −→

4π~2 a δ(x − y). M

(11.30)

Der Vorfaktor ist hierbei gerade so gewählt, dass sich die richtige Streulänge für das Kontaktpotential ergibt. Dies ist ein so genanntes Pseudopotential 2 . Der Hamiltonoperator lautet dann: Z b= H

κ b† 2 b 2 b † (x) H0 (x, p) Ψ(x) b d x {Ψ + Ψ (x) Ψ(x) } 2 3

,

4π~2 a κ := M

(11.31)

b findet man mit Hilfe eines Variationsansatzes. Dabei geht man von Den Grundzustand von H (a†0 )N |ψi = √ |0i N!

(11.32)

(also N Atomen in der Mode ψ0 ) als Zustand R 3 aus.2 Die Variationsvariable ist dabei die Mode ψ0 (x), als Nebenbedingung muss gelten: d x |ψ0 | = 1. Diese Nebenbedingung anders ausgedrückt bedeutet: Z b |ψi = hψ| d3x Ψ b † (x)Ψ(x)|ψi b hψ|N =N (11.33) ¨ Uber die Kommutatorrelation h

i b Ψ(x), (a†0 )n = N ψ0 (x)(a†0 )N −1

(11.34)

kommt man durch längere Rechnung zu Z κ b hψ|H|ψi = N {ψ0∗ H0 ψ0 + (N − 1)|ψ0 |4 }d3x 2 Z b |ψi = N |ψ0 |2 d3x hψ|N

(11.35) (11.36)

b b |ψi − N ) (Variation unter Nebenbedingung (11.33) nach Nun minimiert man hψ|H|ψi − µ(hψ|N ψ0 (x)). Man kann dies entweder durch normale Variationsrechnung ( virtuelle Verrückung“) ” oder durch Funktionalableitung [23] erledigen. δ δψ0∗ (x) 2

Z h

N ψ0∗ H0 ψ0

i κ + N (N − 1)(ψ0∗ )2 ψ02 − µN |ψ0 |2 d3x + µN 2

=0

(11.37)

Genau genommen müsste man in 3D für das Pseudopotential ∂r (rδ(r)) benutzen (siehe z.B. [24]). Für sehr viele Situationen ist dies aber unerheblich.

150


Anwendung der Funktionalableitung für Physiker “ 3 ” δ 1 F [g(x)] := lim {F [g(y) + εδ(x − y)] − F [g(y)]} ε→0 ε δg(x)

(11.38)

führt zu µψ0 (x) = H0 ψ0 (x) + κ(N − 1)|ψ0 |2 ψ0 (x)

(11.39)

Dies ist die Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE) oder nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLSE). ψ0 heisst kollektive Wellenfunktion. Zwei Lösungen ψ0 , ψ00 können nicht mehr zu einer dritten superponiert werden, da die GPE nichtlinear ist. Die Dichte eines Kondensates ist N |ψ0 |2 , die kollektive Phase ist arg ψ0 . Die GPE kann auch aus der Heisenberg-Gleichung für den Feldoperator gewonnen werden: h i ˙ b b b i~Ψ(x, t) = Ψ(x, t), H b t) + κΨ b † (x, t)Ψ b 2 (x, t) = H0 (x, p)Ψ(x,

(11.40)

b durch Annahme: Das Kondensat ist im kohärenten Zustand |αi der Mode ψ0 . Dann kann Ψ 2 αψ0 (x) ersetzt werden (|α| = N ). Man erhält also die GPE (11.39) zurück. In diesem Fall ist ψ0 (x) völlig analog zu einer Lasermode des Lichtfeldes. (a† )N

Es lässt sich bisher nicht entscheiden, ob ein BEC durch |αi oder √0N ! besser beschrieben wird. Wahrscheinlichste Lösung: ein BEC entspricht einem Gemsich von Fock-Zuständen. Ein ¨ solches kann auch einem Gemisch kohärenter Zustände entsprechen, siehe Ubungen.

11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung 11.4.1

BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-Näherung

Löse

p2 ψ + V ψ + N κ|ψ|2 ψ (11.41) 2M Annahme: nichtlinearer Term N κ|ψ|2 ψ ist viel größer als die kinetische Energie (klappt ab etwa p2 10 000 Atomen), also vernachlässige 2M . Dies ist die Thomas-Fermi-Näherung. Es ergibt sich durch einfaches Auflösen: µ−V N |ψ|2 = % = (% > 0) (11.42) κ R Das chemische Potential µ wird durch die Normierung |ψ0 |2 d3x = 1 festgelegt. In einem harmonischen Potential ergibt sich ein qualitativer Verlauf von % wie in Abb. 11.2 gezeigt. Diese Dichteverteilung wurde auch bei den ersten Experimenten zu atomaren Kondensaten als Signatur für deren Entstehung verwendet [25, 26]. µψ =

3

In der Mathematik wird fie Funktionalableitung etwas anders definiert. Im wesentlichen besteht der Unterschied darin, dass die Physiker-Funktionalableitung in etwa dem Integralkern der Mathematiker-Funktionalableitung entspricht und wie u¨ blich etwas unsauberer definiert ist. Das einzige Buch, das sich meines Wissens mit dem Zusammenhang beschäftigt, ist das von Grossmann (Funktionalanalysis 1+2).

11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung

151

Abbildung 11.2: Plot von % in harmonische Falle, beliebige Einheiten Die Näherung bricht nur im Bereich niedriger Dichten, also hier am Rand des Kondensats, zusammen.

11.4.2

Solitonen

Solitonen sind Wellenpakete, die sich durch nichtlineare Effekte selbst stabilisieren und ihre Form nicht verändern. Die normale Dispersion eines Schrödinger-Wellenpaketes wird durch die Wechselwirkung zwischen den Atomen aufgehoben. • Bright-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ < 0, also attraktive Wechselwirkung. Es ergibt sich als DGL und als (eine) Soliton-Lösung ~2 00 i~ψ˙ = − ψ − N |κ||ψ|2 ψ 2M 1 1 √ ψ = e−iµt x cosh w 2w

(11.43) (11.44)

mit w = 2~2 /(|M ||κ|) und µ = ~/(2|M |w2 ). Bei dieser Lösung heben sich die kinetische Energie und Wechselwirkungs-Energie gerade auf, so dass das Wellenpaket auch ohne Fallen-Potential seine Form beibehält. • Dark-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ > 0, also repulsive Wechselwirkung. Die Lösung der DGL ist dann: x 1 ψ = √ e−iµt tanh (11.45) w 2w Betrachtet man die Dichte |ψ|2 so entspricht dies einem ”Loch” in der ansonsten konstanten Dichte, sozusagen die Umkehrung der Bright-Solitons.

152

Bose-Einstein-Kondensate • Gap-Solitons sind Bright-Solitons für sich abstoßende (κ > 0) Atome. In diesem Fall ist die nichtlineare Energie positiv. Die Idee ist, dass man zur Kompensation die kinetische Energie mit Hilfe von Bandlücken negativ macht. Im periodischen Potential hat die freie Energie freier Teilchen eine Bandstruktur. An der oberen Bandkante gilt: E0 (q) ≈ E0 − 2|M~ ∗ | (q − k2 )2 . M ∗ < 0 heißt effektive Masse (= inverse der Krümmung von E0 (q)) Entwickelt man ψ nach Bloch-Funktionen um die obere Bandkante herum, so kann man p2 + V (x) durch E0 (q) ersetzen und erhält eine effektive negative kinetische Energie, die 2M sich gegen die positive nichtlineare Energie aufheben kann.

Kapitel 12 ¨ Einschube 12.1

Greenfunktion

Gegeben sei eine lineare inhomogene DGL der Form: (Lˆx F )(x) = h(x) Eine Greenfunktion ist eine spezielle Lösung mit der Inhomogenität δ (x − x0 ). (Lˆx G)(x, x0 ) = δ (x − x0 ) Kennt man G (x, x0 ), so ist die Lösung des inhomogenen DGL’s gegeben durch: Z F (x) = G(x, x0 ) · h(x0 ) dx0

(12.1)

Beweis: Z ˆ ˆ (Lx F )(x) = Lx dx0 G(x, x0 ) · h(x) Z = dx0 Lˆx G(x, x0 ) · h(x) Z = dx0 δ (x − x0 ) h(x) = h(x)

12.2

Addition von Drehimpulsen

Ein Drehimpuls ist definiert als ein Vektor L dessen drei Komponenten Operatoren mit den Kommutator-Relationen [La , Lb ] = i~εabc Lc . (12.2) Es läßt sich leicht zeigen, dass [L2 , Li ] = 0 ist, so dass man Eigenfunktionen von L2 und einer Komponente, meist wird Lz gewählt, findet: L2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi ,

Lz |l, mi = ~m|l, mi

(12.3)

154

Einschübe

Es ist ausserdem von Vorteil, die Operatoren L± := Lx ± iLy einzuführen, die [L± , Lz ] = ∓~L± und [L+ , L− ] = 2~Lz erfüllen. Es folgt ∓ ~L± |l, mi = [L± , Lz ]|l, mi = m~L± |l, mi − Lz L± |l, mi so dass L± |l, mi proportional zu |l, m ± 1i ist. Da finden wir

L†+

(12.4)

= L− und L2 = L2z + L+ L− − ~Lz gilt,

hl, m|L2 |l, mi = ~2 l(l + 1) = hl, m|L2z + L+ L− − ~Lz |l, mi = ~2 m2 − ~2 m + |hl, m|L+ |l, m − 1i|2

(12.5)

und somit hl, m|L+ |l, m − 1i = hl, m − 1|L− |l, mi = ~

p

l(l + 1) − m(m + 1)

(12.6)

(Die Phasen der Zustände |l, mi lassen sich so wählen, dass diese Matrixelemente reell sind.) Will man zwei (miteinander kommutierende) Drehimpulse L und S zu J = L + S addieren, so stellt sich die Frage, welche Eigenfunktionen geeignet sind. Eine mögliche Wahl ist das Tensorprodukt der Einzelbasen, |l, ml ; s, ms i := |l, ml i ⊗ |s, ms i .

(12.7)

Oft ist es jedoch bequemer, in der Eigenbasis von J 2 und J z zu arbeiten. Wegen [L2 , J i ] = [S 2 , J i ] = 0 ist diese durch vier Quantenzahlen |j, mj , (l, s)i

(12.8)

charakterisiert. Die Matrixelemente hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i werden Clebsch-Gordan-Koeffizienten genannt und erlauben den Basiswechsel gemäß X |j, mj , (l, s)i = hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|l, ml ; s, ms i (12.9) ml ,ms

Wir kürzen sie im Folgenden mit Cmj ,ml ,ms ab. Durch Anwenden von J z sieht man leicht, dass ms + ml = mj gelten muß. Die numerischen Werte für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten lassen sich aus dem linearen Gleichungssystem hl, ml ; s, ms |J ± |j, mj , (l, s)i = Cmj ±1,ml ,ms hj, mj ± 1, (l, s)|J ± |j, mj , (l, s)i (12.10) X = hl, ml ; s, ms |(L± + S ± ) Cmj ,m0l ,m0s |l, m0l ; s, m0s i m0l ,m0s

=

X

Cmj ,m0l ,m0s hl, ml ; s, ms |L± + S ± |l, m0l ; s, m0s i

m0l ,m0s

=

X

Cmj ,m0l ,m0s (hl, ml |L± |l, m0l iδms ,m0s +

m0l ,m0s

= hs, ms |S ± |s, m0s iδml ,m0l ) = Cmj ,ml ∓1,ms hl, ml |L± |l, ml ∓ 1i + Cmj ,ml ,ms ∓1 hs, ms |S ± |s, ms ∓ 1i

12.2 Addition von Drehimpulsen

155

und der Normierungsbedingung 1 = hj, mj , (l, s)|j, mj , (l, s)i X = |hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|2

(12.11)

ml ,ms

ableiten. Setzt man die Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren ein, so kann man das Gleichungssystem (12.11) in die Form Cmj ±1,ml ,ms

q

j(j + 1) − (mj + 1)(mj + 1 ± 1) = (12.12) p Cmj ,ml ∓1,ms l(l + 1) − (ml + 1)(ml + 1 ∓ 1) + p Cmj ,ml ,ms ∓1 s(s + 1) − (ms + 1)(ms + 1 ∓ 1)

bringen. Allgemein sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten nur von Null verschieden, wenn l + s ≥ j ≥ |l − s| erfüllt ist. Bei der Addition von drei oder mehr Drehimpulsen muß man bei der Wahl der Basis vorsichtig sein. Betrachte den Fall F = I + L + S. Addieren wir zunächst J = L + S und dann F = I + J , so würde die obige Prozedur uns die Basis {|f, mf , (i, j)i} liefern, also Eigenzustände von F 2 , F z , I 2 und J 2 . Addieren wir aber zunächst Σ = I + S und dann F = L + Σ, so benutzen wir die Basis {|f, mf , (l, σ)i}. Die beiden Basen sind verschieden, in diesem Sinne ist die Addition von Drehimpulsen sozusagen nicht assoziativ. Welche der Basen besser geeignet ist, hängt von der physikalischen Situation ab. Gute Abhandlungen u¨ ber Drehimpulse in der Quantenmechanik finden sich in [2] und [3].

12.2.1

Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen [Li , Lj ] = i~ijk Lk [L2 , Li ] = 0 Lz |lmi = ~m |lmi

(12.13)

L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi Der Gesamtdrehimpuls ist j = L + S. |ψi =

XX

ψlmsms |l, mi ⊗ |s, ms i

(12.14)

l,m s,ms

Dabei ist |ψi ∈ Produktraum, die |l, mi ⊗ |s, ms i sind Eigenfunktionen von Lz , L2 , Sz , S 2 . Die Problemstellung ist nun, eine Basis des Produktraumes zu finden, die j 2 und jz diagonalisiert. j 2 |ψi = ~2 j(j + 1) |ψi jz |ψi = ~mj |ψi

(12.15)

156

Einschübe

|ψi = |j, mj , l, si jz |ψi = (Lz + Sz ) |ψi X = ψlmsms (~m + ~ms ) |lmi ⊗ |smi

(12.16)

lmsms !

= ~mj

X

ψl,m,s,ms |lmi ⊗ |smi

lmsms

=⇒ |ψi kann nur gebildet werden durch Zustände, bei denen gilt: mj = m + ms . j 2 = (L + S)2 = L2 + S 2 + 2LS LS = Lx Sx + Ly Sy + Lz Sz

(12.17)

Führe ein: L± = Lx ± iLy S± = Sx ± iSy L− S+ + L+ S− = (Lx + iLy )(Sx − iSy ) + (Lx − iLy )(Sx + iSy ) = 2Lx Sx + 2Ly Sy + i(Ly Sx − Lx Sy ) + i(Lx Sy − Ly Sx ) = 2(Lx Sx + Ly Sy )

(12.18)

1 =⇒ LS = Lz Sz + (L− S+ + L+ S− ) 2

(12.19)

[L± , Lz ] = [Lx ± iLy , Lz ] = (−iLy ± iiLx ) = ∓L± ~ =⇒ Lz L± |l, mi = (L± Lz + [Lz , L± ]) |l, mi = m~L± |l, mi + ±L± |l, mi = ~(m ± 1)L± |l, mi =⇒ L± |l, mi ∼ |l, m ± 1i

(12.20)

[L2 , L± ] = 0 X

=⇒ |j, mj , l, si =

ψm,l,mj −m,s |l, mi |s, mj − mi

(12.21)

m,ms :m+ms =mj

=⇒ Basis: |j, mj , l, si F = S0 + j ∼

=⇒ |F, mF , j, s0 i

F = (S 0 + S) + L

∼

=⇒ |F , m ∼ , SG , Li F

(12.22)

12.3 Distributionen

12.3

157

Distributionen

Distributionen sind Objekte, die eigentlich nur unter einem Integral definiert sind. So ist z.B. δ(x − x0 ) nur durch seine Wirkung unter dem Integral definiert: Z dx f (x)δ(x − x0 ) := f (x0 ) wobei f(x) eine sog. Test-Funktion sein soll. Grob gesagt sind Testfunktionen Funktionen, die sich immer gutartig verhalten. Etwas formaler sind es C ∞ -Funktionen mit begrenztem Träger, oder sie fallen zumindest hinreichend schnell ab für |x| −→ ∞). Distributionen sind keine Funktionen. δ(x − x0 ) ist z.B. nicht am Ort x0 definiert. R∞ Das Integral D(ω) := 0 dτ e−iωτ ist auch im Distributions-Sinn zu verstehen: Z ∞ Z ∞ Z ∞ dω D(ω)f (ω) = dω f (ω) dτ e−iωτ −∞ 0 Z−∞ ∞ Pc = dω f (ω)(πδ(ω) − i ) ω −∞ Z − Z ∞ dω dω = πf (0) − i lim+ ( f (ω) + f (ω)) →0 ω −∞ ω Der Schritt von der ersten zur zweiten Zeile kann mathematisch bewiesen werden. Der darin auftretende Hauptwert bedeutet, dass auf beiden Seiten der Singularität dasselbe verwendet wird. Im Unterschied dazu muß man beim normalen Grenzwert für beide Seiten der Singularität verschiedene Grenzwerte verwenden.

158

Einschübe

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[29] Claude Cohen-Tannoudji, Jacques Dupont-Roc, and Gilbert Grynberg, Photons and atoms : introduction to quantum electrodynamics (1989). In this book the fundamental equations of non-relativistic QED are thoroughly explained. [30] D.P. Craig and T. Thirunamachandran, Molecular quantum electrodynamics : an introduction to radiation-molecule interactions (1997). Despite its title it is also very useful for atoms. A cheap (15 Euro) alternative to the first book. [31] M.O. Scully and M.S. Zubairy, Quantum Optics (1997). A very nice introduction which also covers electromagnetically induced transparency. [32] Leonard Mandel and Emil Wolf, Optical coherence and quantum optics (1995). One of the most comprehensive and complete texts on quantum optics. Gives a good survey of most techniques and topics. [33] D.F. Phillips, A. Fleischhauer, A. Mair, R. L. Walsworth, M. D. Lukin, Storage of Light in Atomic Vapor, Phys. Rev. Lett. 86, 783 (2001). [34] C. Liu, Z. Dutton, C.H. Behrozzi, and L.V. Hau, Observation of coherent optical information storage in an atomic medium using halted light pulses, Nature 409, 490 (2001). [35] F. Riehle, T. Kisters, A. Witte, J. Helmcke und C.J. Bordé, Optical Ramsey spectroscopy in a rotating frame: Sagnac effect in a matter-wave interferometer, Phys. Rev. Lett. 67,177 (1991). [36] C.J. Bordé, Atomic interferometry with internal state labeling, Phys. Lett. A 140, 10 (1989). [37] M. Kasevich und S. Chu, Atomic Interferometry using stimulated Raman Transitions, Phys. Rev. Lett. 67, 181 (1991). [38] O. Carnal und J. Mlynek, Young’s Double Slit Experiment with Atoms: A Simple Atom Interferometer, Phys. Rev. Lett. 66, 2689 (1991).

Index adiabatische Näherung, 125 Anzahloperator, 23 Atom-Interferometrie, 91 avoided crossing, 76, 142 Bahndrehimpulsoperator, 41 Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung, 34 Berry-Phase, 87 Besselfunktionen sphärische, 6 Bewegungsgleichung Vielteilchensystem, 145 Bloch -Kugel, 71 -Vektor, 71 Born-Oppenheimer Näherung, 125 Bose-Einstein ¨ -Ubergang, 145 Kondensat, 143 Bose-Gas, 145 Brechungsindex, 134 Definition, 132 Casimir-Effekt, 32 Coulomb-Eichung, 5 d’Alembert-Operator, 3 Dark States, 79 deBroglie-Wellenlänge, 147 Dichtematrix, 100 Eigenschaften, 100 Kohärenzen, 102 dielektrische Verschiebungsdichte, 11 Dielektrizitätskonstante relative, 137 Differentialgleichungen

nichtlineare, 3 Dipol, 7 Dipolmoment, 7 Direktes Produkt von Hilbert-Räumen, 105 Distributionen, 157 Divergenz, 1 Doppler -Effekt, 124 -Kühlung, 123 -Verschiebung, 91 Dressed States, 75 in einer Cavity, 76 Dunkelzustand, 79, 87, 133 Eichtransformationen, 5 Einsteinsche Summenkonvention, 1 EIT, 129, 133 Elektromagnetisch induzierte Transparenz, 133 Eliminierung adiabatische, 94 Entropie, 103 reiner Zustand, 104 Erzeuger, 22 Falle harmonische, 150 Feinstruktur, 42, 64 Feldoperator, 23, 24 Feynman-Diagramm, 143 Fockraum, 21 Fundamentalkräfte, 47 Güte Cavity-, 78 Gaußscher Satz, 2 Gesamtheit

INDEX großkanonische, 146 kanonische, 146 Green-Funktion, 6 Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE), 150 Gruppengeschwindigkeit, 132, 134 gyromagnetischer Faktor, 42 Hamiltonian Zwei-Niveau-System, 65 Hankelfunktionen sphärische, 6 Heisenberg’sche Unschärferelation, 36 Helmholtz-Gleichung inhomogene, 6 Hyperfeinstruktur, 43 Impuls kanonisch konjugierter, 45 kinetischer, 45 Impulsoperator Zwei-Niveau-System, 66 Interferometer Atomic fountain, 93 Ramsey-Bordé, 91 Doppler-Verschiebung, 92 Interferometrie, 72 Jaynes-Cummings-Modell, 77 Josephson-Effekt, 63 kanonische Quantisierung, 46 kohärente Zustände, 33 Eigenschaften, 37 Zeitentwicklung von, 36 Kommutatorrelation Erzeuger und Vernichter, 22 Kontinuitätsgleichung, 1, 2 Korrelation, 105 Ladungserhaltung, 2 Lagrange-Dichte, 26 Lamb-Shift, 117 ¨ Landau-Zener-Uberg¨ ange, 73 Laser

163 -Kühlen, 123 Doughnut-, 95 Levi-Civita-Symbol, 1 Lindblad-Form, 117 Linse Atom, 96 Liouville -Gleichung, 102 -Superoperator, 102 -Theorem, 105 Lorentz -Eichung, 5 -Kraft, 45 magnetische Monopole, 4 magnetisches Moment, 42, 44 makroskopische Felder, 10 Maxwell-Gleichungen, 10 Markov-Näherung, 113 Master-Gleichung Zwanzigs, 110, 111 für atomare Multipletts, 116 für Zwei-Niveau-Atome, 116 in Markov-Näherung, 114 Zwanzigs, 105, 107 Maxwell-Bloch-Gleichungen, 129, 130, 133 Maxwell-Gleichungen, 1 im Vakuum, 1 in Dielektrikum, 129 inhomogene, 31 minimale Kopplung, 46 Multiplett, 64 Multipolentwicklung, 6 für Vektorfelder, 9 Multipolmoment sphärisches, 7 Näherung Thomas-Fermi-, 150 Nichtlineare Optik, 3 Operator Zwei-Teilchen-System, 65

164 Operatorfunktion, 103 Ortsoperator Zwei-Niveau-System, 65 Pauli-Verbot, 19 Phasengeschwindigkeit, 132 Photonische Bandlücken, 137 Potential optisches, 94 periodisches, 137 skalares, 4 Vektor-, 3 Produkt zeitgeordnetes, 108 Produktzustand, 105 Projektions-Superoperatoren, 107 Pseudopotential, 149 Punktdipol, 7 Qbit, 64 Quadrupolübergänge, 93 Quasi-Impuls, 139 Rückstoßverschiebung, 91, 92 Rabi -Frequenz, 67 -Oszillationen, 70 ¨ Raman-Uberg¨ ange, 84 Raman-Nath-Näherung, 97 recoil-shift, 91 Reduzierte Dichtematrix, 105 reduzierte Matrixelement, 60 Reservoir, 110 Rotating-Wave-Approximation, 68 Rotation, 1 Schrödinger-Gleichung nichtlineare (NLSE), 150 Schrödinger-Operator für bestimmte Mode, 32 Schwerpunktbewegung, 89 Skalare Multipole, 6 Skalarprodukt erhaltendes, 138

INDEX Solitonen, 151 Solitons Bright-, 151 Dark-, 151 Gap-, 152 Spectral hole burnig, 133 Spin-Bahn-Kopplung, 43 Spin-Statistik-Theorem, 20 spontane Emission, 114 Emissionsrate, 117 Spur, 100 stationärer Zustand, 130 STIRAP, 86 Stoppen von Licht, 135 Streulänge, 147 Superoperator, 102 TE-Felder, 10 Teilchenzahldarstellung, 20 Test-Funktion, 157 Theorem Adiabatisches, 86 TM-Felder, 10 Translationsoperator, 138 Vakuum Verschiebung des, 35 Variation unter Nebenbedingung, 149 Vector spherical harmonics, 9 Vektorpotential, 3 Verdampfungskühlen, 123 Vernichter, 22 Verschiebe-Operator, 34, 35 Vertauschungsoperator, 19 Vielteilchentheorie, 26 bosonischer Atome, 143 VSCPT, 127 Wasserstoffatom, 41 Parität, 42 Quantenzahlen, 42 Wechselwirkungsbild, 68

INDEX Wellenfunktion kollektive, 150 Vielteilchen-, 20 Wellengleichungen, 3 Wirbelfeld, 4 zeitgeordnetes Exponential, 109 Produkt, 108 Zustandsumme, 146 Zwanzigs Master-Gleichung, 105, 107, 110, 111 Näherungen, 110 Zwei-Niveau Atom, 130 effektives System, 94 System, 63 Zwei-Photonen-Resonanz, 79 Zweite Quantisierung, 25

165

Atome und Licht 001

Atome Molekuele und Licht 001

Experimentalphysik: Atome, MolekГјle und Festkrper

Experimentalphysik: Atome, Molekuele und Festkoerper

Licht und Schatten

Zwischen Licht und Finsternis

Licht und Schatten

Zwischen Licht und Finste

Zwischen Licht und Finsternis

Zwischen Licht und Finsternis

Licht und Schatten

Zwischen Schatten und Licht

Zwischen Schatten und Licht

Zwischen Schatten und Licht

Experimentalphysik 3: Atome, Molekuele und Festkoerper

Graphen und Netzwerkalgorithmen 001

Kategorien und Topostheorie 001

Groebnerbasen und Anwendungen 001

Algebra und Geometrie 001

Mechanik und Relativitaetstheorie 001

Modellierung und Programmierung 001

Kodierung und Sicherheit 001

Logik und Regelverarbeitung 001

Automaten und Berechenbarkeit 001

Thermodynamik und Statistik 001

Finanz und Versicherungsmathematik 001

Automatentheorie und Kryptologie 001

Logik und Modelltheorie 001

Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeiten 001

Differenzen und Differentialgleichungen 001

Hydrodynamik und Anwendungen 001

Atome und Licht 001

Atome Molekuele und Licht 001

Experimentalphysik: Atome, MolekГјle und Festkrper

Experimentalphysik: Atome, Molekuele und Festkoerper

Licht und Schatten

Zwischen Licht und Finsternis

Licht und Schatten

Zwischen Licht und Finste

Zwischen Licht und Finsternis

Zwischen Licht und Finsternis

Licht und Schatten

Zwischen Schatten und Licht

Zwischen Schatten und Licht

Zwischen Schatten und Licht

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