This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
mit c l S(v,y,r), und v wäre daher nicht subharmonisch. q.e.d.
Beispiele subharmonischer Funktionen: 1) Es sei d ::::: 2. Wir berechnen
LllxlC> = 2)
(da
+ a(a - 2)) Ixlc>-2 : : : o.
IxlC> ist also für a ::::: 2 subharmonisch. n -+ R sei harmonisch und positiv, ß ::::: 1. Dann ist
u:
Llu ß =
d
L
(ßuß-1uxixi
+ ß(ß -
1)u ß- 2u xiu xi)
i=l d
=
Lß(ß -1)u ß- 2 u xiuxi, i=l
da U harmonisch ist. Da U als positiv vorausgesetzt und ß ::::: 1 ist, folgt, daß u ß subharmonisch ist. 3) u: n -+ R sei wieder harmonisch und positiv. Dann ist Al og U --
L.I
Ld i=l
(UXixi -U
-
UXiUXi) -u2
--
-
Ld UXiUxi
--
i=l
u2
'
da U harmonisch ist. log U ist also super harmonisch, und -log U ist dann subharmonisch. 4) Die vorstehenden Beispiele lassen sich folgendermaßen verallgemeinern: U : n -+ R sei harmonisch, f : u( n) -+ R sei konvex. Dann ist f 0 U subharmonisch. Wir nehmen zunächst an, daß f E C 2 ist. Dann gilt d
Llf(u(x)) =
L (f'(u(X))UXixi + f"(u(X))UxiUXi) i=l
d
= L f" (u( x)) (UXi )2 ,
weil U harmonisch ist
i=l
::::: 0, weil für eine konvexe C 2 -Funktion
f" : : : 0 ist.
24
1. Die Laplacegleichung
Ist die konvexe Funktion f nicht von der Klasse C 2 , so existiert eine Folge konvexer C 2-Funktionen (fn)nEN, die lokal gleichmäßig gegen f konvergiert. Dann ist f n° U nach dem Vorstehenden subharmonisch, erfüllt also die Mittelwertungleichung. Da fn 0 U lokal gleichmäßig gegen f 0 U konvergiert, erfüllt f 0 U ebenfalls die Mittelwertungleichung und ist daher nach Satz 1.2.2 subharmonisch. Wir kehren nun zu den harmonischen Funktionen zurück. Ist u harmonisch, so sind u und -u beide subharmonisch, und wir erhalten daher aus Lemma 1.2.1
Korollar 1.2.3 (Starkes Maximumprinzip). u sei harmonisch auf Existiert dann ein Xo E n mit u(xo)
= sup u(x) xEil
oder u(xo)
n.
= inf u(x), xEil
so ist u konstant. Eine Abschwächung von Korollar 1.2.3 ist
Korollar 1.2.4 (Schwaches Maximumprinzip). u E CO(n) sei harmonisch. Dann gilt für alle x E n
n
sei be-schränkt und
min u(y) ::; u(x) ::; max u(y).
yE8il
yE8il
Beweis. Andernfalls müßte u in einem inneren Punkt von n sein Supremum oder Infimum annehmen. Dann wäre u nach Korollar 1.2.3 konstant, und die Behauptung würde ebenfalls gelten. q.e.d. Korollar 1.2.5 (Eindeutigkeit von Lösungen der Poissongleichung): Es sei f E CO (!Z), {} beschränkt, Ul, U2 E CO(.!?) n C2({}) seien Lösungen der Poissongleichung
LlUi(X)
= fex)
Gilt Ul(Z) ::; U2(Z) für alle Z E
an,
für
xE {}
(i
= 1,2).
so auch
Ul(X) ::; U2(X) für alle x E
n.
Ist insbesondere so ist
Beweis. Wir wenden das Maximumprinzip auf die harmonische Funktion U2 an. q.e.d.
Ul -
1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip
25
Insbesondere erhalten wir im Falle f = 0 wiederum die Eindeutigkeit harmonischer Funktionen zu gegebenen Randwerten.
Bemerkung. Die Rückrichtung von Satz 1.2.1 läßt sich auch folgendermaßen beweisen: Wir beobachten, daß das Maximumprinzip zum Beweis nur die Mittelwertformeln benötigt. Daher gilt auch die Eindeutigkeitsaussage von Korollar 1.2.5 für Funktionen, die den Mittelwertformeln genügen. Andererseits existiert nach Satz 1.1.2 zu stetigen Randwerten auf einer Kugel eine harmonische Fortsetzung, welche nach der Hinrichtung von Satz 1.2.1 ebenfalls die Mittelwertformeln erfüllt. Nach der Eindeutigkeit muß daher jede stetige Funktion mit der Mittelwerteigenschaft auf jeder Kugel in ihrem Definitionsbereich n und damit in ganz n harmonisch sein. Als Anwendung des schwachen Maximumprinzips können wir beweisen, daß isolierte Singularitäten harmonischer Funktionen hebbar sind.
Korollar 1.2.6. Es sei Xo E nC IRd(d ~ 2), u: n \ {xo} ---> IR harmonisch und beschränkt. Dann läßt sich u harmonisch auf ganz n fortsetzen, d.h. es gibt eine harmonische Funktion Ü :
die in
n \ {xo}
n ---> IR,
mit u übereinstimmt.
Beweis. Durch eine einfache Transformation können wir erreichen, daß Xo = und n die Kugel B(0,2) enthält. Nach Satz 1.1.2 läßt sich daher das folgende Dirichletproblem lösen
o ist
,dü = 0 in B(O,l)
ü = u auf 8B(0, 1). Wir betrachten auch die Greensche Funktion auf B(O, 1) für y = 0: flog G(x) = { 11' 1
lxi (lxi2-d _ 1)
d(2-d)w,1
Wir setzen jetzt für c:
>0
ue(x) := ü(x) - c:G(x) Zunächst gilt
für d = 2 für d >_ 3 .
(0
< lxi::; 1).
(1.2.11 ) = u(x) für lxi = 1. Weil einerseits u als glatte Funktion für lxi = 1 eine beschränkte Ableitung besitzt und andererseits (mit r = lxI) G(x) > 0 ist, ergibt sich für genügend
ue(x) = ü(x)
tr
großes c:
ue(x) Es gilt aber auch
> u(x)
für 0
< lxi< 1.
26
1. Die Laplacegleichung
lim ue(x) =
x-+O
Weil
U
00
für alle e
> o.
beschränkt ist, existiert daher zu jedem e
Ue(x) > u(x) für
> 0 ein r(G) > 0 mit
lxi< r(c).
(1.2.12)
Es existiert aufgrund dieser Überlegungen ein kleinstes
Ueo(x) ~ u(x) für
~ 0 mit
lxi ~ 1.
Wir wollen nun zeigen, daß GO = 0 ist. Wäre GO> 0, so gäbe es nach (1.2.11) und (1.2.12) ein mit U-il (zo)
GO
Zo, r(~)
< IZoI
o
also (1.2.13).
IÜ(X ,o, ... ,O)1 l
X
1
::;
I'
1m
",1_0
x 1 >o
v(x l ,O, ... ,O) _ dJ.L R M 1 X R + 2 , q.e.d.
28
1. Die Laplacegleichung
Weitere Konsequenzen der Mittelwertformel sind
Korollar 1.2.8 (Satz von Liouville). beschränkt. Dann ist U konstant. Beweis. Für
Xl, X2 E ]Rd
U : ]Rd -+ ]R
ist nach (1.2.2) für alle r
sei harmonisch und
>0
Nun ist nach Voraussetzung
lu(x)1 $ M, und für r
-+ 00
gilt 1
- d Vol Wd T
(B(xt, r) \
B(X2, r» -+
Hieraus folgt, daß die rechte Seite von (1.2.14) für r Daher muß
O. -+ 00
gegen 0 strebt.
U(XI) = U(X2) sein. Mithin ist U konstant, da
Xl
und
X2
beliebig waren.
q.e.d.
Ein anderer Beweis von Korollar 1.2.8 folgt aus Korollar 1.2.7. Nach Korollar 1.2.7 gilt für alle Xo E ]Rd, R > 0, i = 1, ... ,d:
d
IUXi(Xo)1 $ -R sup lul· IR,I
Da U nach Voraussetzung beschränkt ist, strebt die rechte Seite für R -+ 00 gegen 0, und es folgt, daß U konstant ist. Dieser Beweis funktioniert auch unter der schwächeren Voraussetzung lim
R .... oo
1 -R
sup
B(Xo.R)
lul = o.
Diese Voraussetzung ist scharf, da affin lineare Funktionen auf dem ]Rd definierte, nicht konstante harmonische Funktionen sind.
Korollar 1.2.9 (Harnacksche Ungleichung). u: n -+ ]R sei harmonisch und nicht negativ. Dann existiert zu jedem Teilgebiet n' ce n eine Konstante e = e(d, n, n') mit supU $ einf u. n' n'
(1.2.15)
1. 2 Mittelwerteigenschaft. Subharmonische Funktionen. Maximumprinzip
29
Beweis. Wir betrachten zunächst den Spezialfall [}' = B(xQ, r) unter der Annahme B(xQ, 4r) C [}. Es seien Yt. Y2 E B(xQ, r). Nach (1.2.2) ist U(Yl)
=~ (
JB(Yl,r)
Wd r
1
u(y)dy
::; - 1d u(y)dy, Wd r B(xo,2r) weil u ~ 0 und B(Yl, r) =
::;
1
d
c
B(xQ, 2r) ist
u(y)dy 3 d wd(3r) B(xo,2r) d
1
u(y)dy, 3 d wd(3r) B(Y2,3r) weil u ~ 0 und B(xQ,2r) C B(Y2, 3r) ist = 3du(Y2)' also insbesondere sup u::; 3d inf u. B(xo,r) B(xo,r) Für ein allgemeines Teilgebiet [}'
ce [} wählen wir r > 0 mit
1 . r< '4d1st([}',8[}).
Weil Jl' beschränkt und zusammenhängend ist, existiert ein derartiges mE N, daß je zwei Punkte Yl, Y2 E [}' in Jl' durch einen Weg verbunden werden können, welcher durch höchstens m Kugeln vom Radius r mit Zentrum in Jl' überdeckt werden kann. Indem wir die vorstehenden Ungleichungen für alle diese Kugeln zusammenfügen, erhalten wir
Die Behauptung gilt also für c = 3md .
q.e.d.
Aus der Harnackschen Ungleichung folgt
Korollar 1.2.10 (Harnackscher Konvergenzsatz). Un : [} -+ lR sei eine monoton wachsende Folge harmonischer Funktionen. Gibt es ein yEn, für welches die Folge (un(Y»nEN beschränkt ist, so konvergiert Un auf jedem Teilgebiet Jl' ce n gleichmäßig gegen eine harmonische Funktion. Beweis. Aus der Monotonie und Beschränktheit folgt, daß un(y) für n -+ 00 konvergiert. Zu c > 0 existiert daher ein derartiges N E N, daß für n ~ m ~ N
30
1. Die Laplacegleichung
U n - Um ist eine nicht negative harmonische Funktion (wegen der Monotonie), und nach Korollar 1.2.9 ist
sup(un fl'
-
um) :::; ce,
(o.E. sei YEn'),
wobei c von d, n und n' abhängt. Daher konvergiert (Un)nEN gleichmäßig in ganz n'. Der gleichmäßige Limes harmonischer Funktionen erfüllt aber ebenfalls die Mittelwertformeln und ist daher nach Satz 1.2.1 wieder harmoq.e.d. nisch.
Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir einige wichtige Eigenschaften von harmonischen Funktionen, also Lösungen der Laplacegleichung Llu = 0
in
n
gesehen, gelegentlich auch von Lösungen der Poissongleichung Llu =
f
in
n
mit vorgegebenem f. Wir haben das Dirichletproblem auf der Kugel in eindeutiger Weise lösen können (Satz 1.1.2), haben gesehen, daß Lösungen glatt sind (Korollar 1.1.2) und sogar explizite Abschätzungen erfüllen (Korollar 1.2.7) und insbesondere dem Maximumprinzip genügen (Korollar 1.2.3, Korollar 1.2.4), welches übrigens auch für subharmonische Funktionen gilt (Lemma 1.2.1). All diese Aussagen sind typisch für Lösungen elliptischer partieller Differentialgleichungen. Die in diesem Kapitel vorgestellten Methoden sind dagegen nicht ohne weiteres verallgemeinerbar, da sie wesentlich auf der Rotationssymmetrie des Laplaceoperators beruht haben. In den nachfolgenden Kapiteln werden wir daher andere, allgemeinere Methoden entwickeln müssen, um Analoga der zitierten Aussagen für größere Klassen von elliptischen PDGln zu beweisen.
Übungen 1.1 Bestimmen Sie die Greensche Funktion des Halbraumes
{x = (xl, ... ,xd ) E]Rd: xl> O}. 1.2 Bestimmen Sie auf der Einheitskugel B(O,l) des ]Rd eine Funktion H(x, y), definiert für x f= y, mit
(i) kH(x, y) = 1 für x E äB(O, 1) (ii) Hlx, y) - r(x, y) ist eine harmonische Funktion von xE B(O, 1). (r(x, y) ist eine Fundamentallösung.)
Übungen
31
1.3 Wenden Sie das Ergebnis aus 2) an, um das Neumannproblem für die Laplacegleichung auf der Einheitskugel B(O, 1) des ]Rd zu untersuchen: 9 : aB(O, 1) ~ ]R mit faB(O,l) g(y) do(y) = 0 sei gegeben, Gesucht ist eine Lösung von o
..1u(x) = 0 für x E B (0,1)
8u 8v (x) = g(x) für
xE
8B(O, 1).
1.4 u: B(O, R) ~ ]R. sei harmonisch und nichtnegativ. Zeigen Sie die folgende Version der Harnackschen Ungleichung:
Rd- 2 (R - lxI) Rd-2(R + lxI) (R + Ixl)d-l u(O):::; u(x):::; (R -Ixl)d-l u(O)
für alle x E B(O, R). 1.5 u:]R.d ~ ]R. sei harmonisch und nichtnegativ. Zeigen Sie, daß u konstant ist! (Hinweis: Benutzen Sie das Ergebnis aus 4)). 1.6 Es sei nc ]R.3 \ {O}, u : n ~ ]R. harmonisch. Dann ist
v(x l , x 2 , x 3 ) harmonisch in dem Gebiete
1
x2
(Xl
x3
)
Ix12' Ix12' Ixl2
:= jXjU
n' := {x E ]R.3 : (~, ~, ~ ) E n} .
• Gibt es einen tieferen Grund hierfür? • Gilt ein analoges Resultat in beliebiger Dimension d?
1.7 n sei das unbeschränkte Gebiet {x E]R.d : erfülle .du = 0 in n. Weiter gelte lim u(x)
Ix 1""'00
lxi> I}. U E C2 (n) n CO(!1)
= O.
Dann ist sup lul = max lul·
n
an
1.8 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip): Es sei n+ c {x d > O},
E := an+ n {x d = O} sei harmonisch in setzen
U
_( I
U
n+,
x , .. " x
d) ,_
Dann ist ü harmonisch in
n+},
stetig auf
,-
n+ u E,
# 0.
und es gelte u = 0 auf E. Wir
{U(X I , ... ,xd) für x d ~ 0 -u (X I , .. " -x d) f"ur x d < 0 ,
n+ U E u n-, mit n-
:= {x E ]R.d : (Xl, ... , _x d ) E
32
1. Die Laplacegleichung
1.9 [l C ]Rd sei ein beschränktes Gebiet, für das der Divergenzsatz gilt. Es sei u E C 2 (12), u = 0 auf an. Beweisen Sie, daß für jedes c > 0
2. Das Maximumprinzip
In diesem Kapitel sei il ein beschränktes Gebiet im ~d. Alle betrachteten Funktionen U seien aus C 2 (il).
2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf Wir wollen lineare elliptische Differentialoperatoren der Form d
d
Lu(x) = L aij(x)uxixj(X) i,j=1
+ Lbi(x)Uxi(X) + c(x)u(x) i=1
betrachten, wobei wir an die Koeffizienten die folgenden Forderungen stellen: (i) Symmetrie: aij(x) = aji(x) für alle i,j und x E [} (dies ist keine wesentliche Einschränkung). (ii) Elliptizität: Es gibt eine Konstante>. > 0 mit
Alel 2 ~
d
L
aij(x)eie j für alle x
E
a,e
E]Rd
i,j=l
(dies ist die entscheidende Bedingung). Die Matrix (a ij (X)kj=l, ... ,d ist also insbesondere für alle x positiv definit, und der kleinste Eigenwert ist ? A. (iii) Beschränktheit der Koeffizienten: Es gibt eine Konstante K mit
laij(x)l, W(x)1 ,jc(x)1 :::; K für alle i,j und x
E [}.
Der Laplaceoperator erfüllt offensichtlich alle diese Bedingungen. Ziel dieses Kapitels ist der Beweis von Maximumprinzipien für Lösungen von Lu = O. Allerdings müssen wir hierfür noch eine Bedingung an das Vorzeichen von c(x) stellen, da sonst kein Maximumprinzip gelten kann, wie das folgende einfache Beispiel zeigt. Das Dirichletproblem
U"(X)+U(X)=O u(O) = 0 = u(n) J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
auf (O,n)
34
2. Das Maximumprinzip
hat die Lösungen u(x) = asinx
für beliebiges a E R, und diese Lösungen nehmen je nach Vorzeichen von a bei x = 7r /2 ein echtes inneres Maximum oder Minimum an. Dagegen hat das Dirichletproblem u"(x) - u(x) = 0
u(O) als einzige Lösung u ==
= 0 = u(7r)
o.
Zur Einstimmung wollen wir einen Beweis des schwachen Maximumprinzips für subharmonische Funktionen (Lemma 1.2.1) vorführen, der nicht auf den Mittelwertformeln beruht: Lemma 2.1.1. Es sei u E G 2 (n) n GOU]), .1u :::: 0 in n. Dann gilt supu = maxu. n an
(2.1.1 )
(Weil u stetig und n beschränkt und ii daher kompakt ist, ist das Supremum von u über n gleich dem Maximum von u auf ii.) Beweis. Wir betrachten zunächst den Fall, wo sogar .1u
gilt. Dann kann u im Innern von einem solchen Maximum wäre UxiXi
> 0 in n
n kein Maximum Xo
annehmen, denn in
(xo) :5 0 für i = 1, ... ,d,
also auch .1u(xo) ::; O.
Wir kehren nun zum allgemeinen Fall .1u :::: 0 zurück und betrachten die Hilfsfunktion 1 v(x) = eX , welche
.1v = v> 0 erfüllt. Für jedes e > 0 ist dann .1(u + eV)
> 0 in n,
und nach dem zuerst betrachteten Fall folgt sup(u + eV) = max(u + ev). n an Dann ist auch
sup u + e inf v::; maxu + e maxv, n n an an und da dies für jedes e > 0 gilt, folgt auch (2.1.1).
q.e.d.
2.1 Das Maximumprinzip von E. Hopf
Satz 2.1.1. Es gelte c(x) == 0; u erfülle in
Lu also
d
L
~
f}
0, d
aii(x)uxixi
i,i=1
35
+L
bi(x)UXi ~
i=1
o.
(2.1.2)
Dann gilt
sup u(x) = max u(x).
xEf1
(2.1.3)
xEßf1
Im Falle Lu ::; 0 gilt eine entsprechende Aussage für das Infimum. Beweis. Nach dem Vorgange des Beweises von Lemma 2.1.1 betrachten wir wieder zuerst den Fall
Lu> Da in einem inneren Maximum Xo von
o.
U
UXi(XO) = 0 für i = 1, ... ,d und
(UXiXi(XO))i,i=l, ... ,d
negativ semidefinit wäre,
und daher wegen der Elliptizitätsbedingung auch d
Lu(xo)
=L
aii(xo)Uxixi(XO) ::; 0
i,i=l
wäre, kann kein solches inneres Maximum auftreten. Wir betrachten nun, zum allgemeinen Fall Lu 2 0 zurückkehrend, die Hilfsfunktion I
v(x)
für
Cl
=
efY.X
> o. Dann ist
Da n und die Koeffizienten bi beschränkt sind und die Koeffizienten aii(x) 2 A sind, ist für genügend großes Cl
Lv> 0, und durch Anwendung des schon bewiesenen auf U
(L(u
+ cV
+ cV) > 0),
folgt die Behauptung wie im Beweis von Lemma 2.1.1. Der Fall Lu ::; 0 läßt sich durch Übergang zu -u auf den vorstehenden zurückführen. q.e.d.
36
2. Das Maximumprinzip
Korollar 2.1.1. L sei wie in Satz 2.1.1. Es seien f E C°(1]),
u(x) für alle x E n' (iv) Es gebe eine Kugel B(y, R) c n' mit Xo E aB(y, R). Dann gilt mit r :=
Ix - yl
au ar (xo) > 0,
sofern diese Ableitung (in Richtung der äußeren Normalen von n') existiert. Beweis. Wir können annehmen, daß aB(y, R) n an' = {xo}. Für 0
< P < R betrachten wir auf dem Ringgebiet B(y, R) \ B(y, p)
die Hilfsfunktion Es ist
Lv(x) =
{4
72
-27
.t
aii (x) (Xi - yi) (xi -
yi)
',3=1
(t,
(aii(x)
+c(x) (e-'YIX-YI 2
+ bi(x) (xi _
e-'Y R2 )
•
yi))) }e-'YIX-YI 2
38
2. Das Maximumprinzip
Für genügend großes "{ ist dann wegen der vorausgesetzten Beschränktheit der Koeffizienten von L und der Elliptizitätsbedingung
Lv ~ 0 in B(y, R) \ B(y, p).
(2.1.10)
Nach (iii) und (iv) ist
u(x) - u(xo) < 0 für x E B(y, R). Daher findet sich ein e > 0 mit
u(x) - u(xo) Da v auch
=0
+ eV(x) ::; 0 für x E 8B(y, p).
(2.1.11)
auf 8B(y, R) ist, gilt (2.1.11) auch auf 8B(y, R). Andererseits gilt
L (u(x) - u(xo)
+ eV(x)) ~ -c(x)u(xo)
~ 0
(2.1.12)
nach (2.1.10) und (ii) und wegen c(x) ::; O. Wir können daher auf B(y, R) \B(y, p) Korollar 2.1.2 anwenden und erhalten
u(x) - u(xo)
+ eV(x) ::; 0 für x E B(y, R) \
B(y, p).
Es folgt, sofern diese Ableitung existiert, daß
ar8 (u(x) -
u(xo)
+ eV(x))
~ 0 an der Stelle
x = xo,
also für x = Xo, 8
8v(x)
2) > O.
(
8r u(x) ~ -e-a;:- = c 2"{Re-"f R
q.e.d. Beweis von Satz 2.1.2: Wir nehmen an, u wäre nichtkonstant, hätte aber ein Maximum m (~ 0 im Falle c ~ 0) in n. Dann wäre
sl' := {x E n : u(x) < m} =f. 0 und
an' n n =f. 0. Wir wählen ein YEn', welches näher an 8n' als an an liegt. B(y, R) sei die größte in n' enthaltene Kugel mit Zentrum y. Dann würde folgen u(xo) = m und Nach Lemma 2.1.2 wäre
für ein
Xo E
8B(y, R),
u(X) < u(xo) für x E
n'.
Du(xo) =f. 0,
was aber in einem inneren Maximum nicht möglich ist. Somit muß die Behauptung des Satzes doch richtig sein. q.e.d.
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman
39
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman In diesem § betrachten wir Differentialoperatoren L der gleichen Gestalt wie im vorigen §, nehmen aber der technischen Einfachheit halber an, daß die Koeffizienten c(x) und bi(x) alle verschwinden. Zwar gelten auch ähnliche Aussagen wie die hier vorgestellten für nichtverschwindende bi(x) und nicht positives c(x), aber wir wollen hier nur das Beweisprinzip in einem möglichst einfachen Fall erläutern. Satz 2.2.1. Es gelte für ein
U
E C 2 (il) n CO (51) d
Lu(x)
:=
L
aij(x)uxixi ~ fex),
(2.2.1)
i,j=l
wobei die Matrix (a ij (x)) für jedes x Eilpositiv definit und symmetrisch sei. Ferner sei
1
If(x)ld " ( )) dx < 00. n d et (a'3 x
(2.2.2)
Dann gilt
supu~maxu+ n an
diam(il) ( If(x)1 d ) lid lid l d dwd a'3 x n et (,,())dx
(2.2.3)
Im Gegensatz zu Abschätzungen, die aus dem Hopfschen Maximumprinzip folgen (vgl. z.B. Satz 2.3.2 infra), steht hier auf der rechten Seite nur eine Integralnorm von f, also eine schwächere Norm, statt der Supremumsnorm. In diesem Sinne ist das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman also stärker als das Hopfsche. Zum Beweis von Satz 2.2.1 benötigen wir einige geometrische Konstruktionen. Für v E CO (il) definieren wir die obere Kontaktmenge
T+(v)
:=
{y Eil: 3p E IR d "Ix Eil: v(x) ::; v(y) + p. (x - y)}.
(2.2.4)
Der Punkt "." bedeutet hierbei das euklidische Skalarprodukt des IR d . Das in der Definition auftretende p hängt normalerweise von y ab, p = p(y). T+ (v) ist diejenige Teilmenge von il, auf der der Graph von v unterhalb einer Hyperebene des IR d+1 liegt, welche den Graphen von v im Punkte (y,v(y)) berührt. Ist v differenzierbar im Punkte y E T+(v), so ist notwendigerweise p(y) = Dv(y). Schließlich ist v genau dann konkav, wenn T+(v) = il ist.
Lemma 2.2.1. Für v E C 2 (il) ist die Hessesehe
(vxix.i )i,j=l, ... ,d auf T+ (v) negativ semidejinit.
2. Das Maximumprinzip
40
Beweis. Für Y E T+(v) betrachten wir die Funktion w(x)
°
:=
v(x) - v(y) - p(y) . (x - y).
Dann gilt w(x) :::; auf [l, weil Y E T+(v) ist, und w(y) = 0. Daher hat W im Punkte y ein Maximum, weswegen (Wxixi(Y)) negativ semidefinit ist. Da Vxixi = Wxixi für alle i,j gilt, folgt die Behauptung. q.e.d. Wenn v im Punkte y E T+(v) nicht differenzierbar ist, braucht p = p(y) nicht eindeutig zu sein, sondern es kann mehrere p geben, welche der Bedingung in (2.2.4) genügen. Wir ordnen nun y E T+(v) die Menge aller dieser p zu, betrachten also die mengenwertige Abbildung
TV(Y)
:=
{p
E ]Rd : \Ix E [l :
Für y ~ T+(v) setzen wir Tv(Y) :=
v(x) :::; v(y) + p. (x - y)} .
0.
Beispiel 2.2.1. [} = B(O, 1), ß > 0, v(x) = ß(l - lxI). Der Graph von v ist also ein Kegel mit Spitze der Höhe ß im Nullpunkt und der Einheitskreislinie als Basis. Es ist dann T+(v) = B(O, 1) und Tv(Y) =
{
für y = { -ßGr} für Y #
B(O,ß)
°
°.
Für den Kegel mit Spitze der Höhe ß in Xo und Basis ßB(x o , R),
v(x) = ß und [}
(1 _Ix ~xOI)
= B(xo, R) gilt analog Tv
(B(xo, R)) = Tv(XO) = B(O,ß/R).
Wir betrachten nun das Bild von TV ([}) =
[l
unter
(2.2.5)
Tv ,
U Tv(Y) C ]Rd. yEn
Mit Ld bezeichnen wir das d-dimensionale Lebesguemaß. Dann gilt Lemma 2.2.2. Es sei v E C 2 ([}) n COUi). Dann gilt
(2.2.6)
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und BakeIman
41
Beweis. Zunächst ist TV(S?) = Tv(T+(v)) = Dv(T+(v)),
da v differenzierbar ist.
(2.2.7)
Nach Lemma 2.2.1 ist die Funktionalmatrix von Dv : n -> JRd, nämlich (Vxi xi), auf T+ (v) negativ semidefinit. Daher ist Dv - dd für c > 0 von maximalem Rang. Nach der Transformationsformel für mehrfache Integrale gilt dann
.cd (Dv-cId) (T+(v)))
~ lT+(v) r !det(vxixi(x)-COij)iJ'=I"d!dx. , "
(2.2.8)
Lassen wir nun c gegen Null streben, so folgt wegen (2.2.7) die Behauptung.
q.e.d. Wir können nun Satz 2.2.1 beweisen: Wir können annehmen, daß U ~
0 auf an
ist, indem wir gegebenenfalls u durch u - maxan u ersetzen. Es sei nun Xo E n, u(xo) > O. Wir betrachten die Funktion "'xQ auf B(xo, 0) mit 0 = diam(n), deren Graph der Kegel mit Spitze der Höhe u(xo) in Xo und Basis aB(xo, 0) ist. Nach Definition des Durchmessers 0 = diam n ist n c B(xo, 0). Da wir u ~ 0 auf an annehmen, muß für jede berührende Hyperebene dieses Kegels eine parallele Hyperebene existieren, die an den Graphen von u tangential ist. (Um dies einzusehen, bewegen wir einfach eine gegebene solche Hyperebene von oben an den Graphen von u, bis das erste Mal eine Berührung stattfindet. Weil der Graph von u mindestens die Höhe u(xo), also die Höhe des Kegels hat, und weil u ~ 0 auf an gilt und an c B(xo, 0) ist, kann diese erste Berührung nicht über einem Randpunkt von n stattfinden, sondern nur in einem inneren Punkt Xl. Damit liegt die entsprechende Hyperebene in Tv(XI).) Dies bedeutet (2.2.9) Nach (2.2.5) ist
Tl<xo (n)
=
B (0, u(xo)/o).
Aus (2.2.6), (2.2.9), (2.2.10) folgt
.cd (B (0, u(xo) / 0)) also
~
r
lT+(u)
Idet (Uxixi (x)) I dx,
(2.2.10)
42
2. Das Maximumprinzip
U(Xo):::;
~/d (r
Idet(Uxixi(X))ldX) lid
~/d (r
(-l)ddet (UXiXi(X))dX) lid
Wd
=
Wd
JT+(u)
JT+(u)
nach Lemma 2.2.1.
(2.2.11)
Befreien wir uns wieder von der Annahme U :::; 0 auf an, so erhalten wir einen zusätzlichen Term maxan U auf der rechten Seite von (2.2.11). Da die Formel für alle Xo E n gilt, ergibt sich also
Lemma 2.2.3. Für U E C 2 (n) supu :::; maxu +
n
an
diam(n)
lid
n c°(i'i)
(1
wd
T+(u)
gilt
d ) lid (-1) det (Uxixi(X)) dx
(2.2.12)
Um hieraus Satz 2.2.1 herleiten zu können, benutzen wir das elementare
Lemma 2.2.4. AufT+(u) ist
(-l)ddet(uxixi(x)):::; det(:ii(x))
(-~.t aii(X)UXiXi(X))d
(2.2.13)
',3-1
Beweis. Für symmetrische, positiv semidefinite Matrizen A, B gilt bekanntlich det A det B :::;
(~spur AB )
d ,
was man leicht einsieht, wenn man eine der beiden Matrizen diagonalisiert, was wegen der vorausgesetzten Symmetrie möglich ist. Setzen wir A = (-UXixi), B = (a ij ) ein (was wir nach Lemma 2.2.1 und der Elliptizitätsannahme dürfen), so folgt (2.2.13). q.e.d.
(1 (- ~t.i=l
Aus (2.2.12) und (2.2.13) folgt
supu < maxu + n - an
diam(il)
dwYd
T+(u)
aij(x)UXixi(X))d
.. t3
det (a (x))
dx
) lid
(2.2.14) Aus (2.2.14) wiederum ergibt sich nun unmittelbar Satz 2.2.1, da nach Voraussetzung - ~ aij Uxixi :::; - f und die linke Seite hiervon nach Lemma 2.2.1 auf T+(u) nicht negativ ist. q.e.d. Wir wollen Satz 2.2.1 auf eine nicht lineare Gleichung anwenden, nämlich die zweidimensionale Monge-Ampere-Gleichung.
2.2 Das Maximumprinzip von Alexandrov und Bakeiman
Es sei also fl offen in
]R2 = {(xl, x 2 )},
und
U
E
C 2 (fl) erfülle
Uxl xl(X)U x2x2(X) - U;l x2(X) = f(x)
mit gegebenem
43
in fl,
(2.2.15)
f. Damit (2.2.15) elliptisch ist, muß
(i) die Hessesche von U positiv definit und deswegen auch (ii) f(x) > 0 in fl sein. (i) bedeutet, daß u eine konvexe FUnktion ist. Dann kann U im Innern von kein Maximum annehmen, wohl aber ein Minimum. Um das Minimum kontrollieren zu können, beobachten wir, daß mit U auch (-u) eine Lösung von (2.2.15) ist. Allerdings ist die Gleichung (2.2.15) bei (-u) nicht mehr elliptisch, weil die Hessesche von ( -u) negativ statt positiv definit ist, so daß wir Satz 2.2.1 nicht direkt anwenden können. Wir beobachten jedoch, daß Lemma 2.2.3 ohne eine Elliptizitätsbedingung gilt und erhalten so
n
Korollar 2.2.1. Für eine Lösung u der Monge-Ampere-Gleichung {2.2.15} gilt unter den Voraussetzungen {i}, {ii}
inf u
n
~
min U
an
-
diam( fl) '2v~
(1n f{x)dx)!
q.e.d. Der wichtige Punkt hierbei ist, daß wir die nicht lineare Monge-AmpereGleichung für eine Lösung u formal als lineare Differentialgleichung schreiben können. Mit 11
1
22
1
a (x) = 2Ux2x2(X), a (x) = 2Uxlxl(X)
wird (2.2.15) nämlich zu
L aiiuxix;(X) = f(x), 2
i,j=l
hat also genau die betrachtete Gestalt. Wollen wir also Aussagen über eine Lösung U gewinnen, so müssen wir nur prüfen, ob die erforderlichen Bedingungen an die Koeffizienten aij (x) unter den an u gemachten Voraussetzungen erfüllt sind, um die gewünschten Sätze anwenden zu können. Allerdings sind oft diese Voraussetzungen für manche, aber nicht für alle Lösungen U erfüllt. Beispielsweise war (2.2.15) unter den Bedingungen (i), (ii) bei der Lösung (-u) nicht mehr elliptisch.
44
2. Das Maximumprinzip
2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen Wir betrachten nun eine allgemeine Differentialgleichung der Form F[u] = F(x, u, Du, D 2 u) = 0,
(2.3.1)
mit F : S := fJ x R X Rd x S(d,R) -+ R, wobei S(d,R) der Raum der symmetrischen reellwertigen d x d-Matrizen ist. Elemente aus S schreiben wir in der Form(x, Z,p, r)j hierbei ist P = (PI,'" ,Pd) ERd, r = (rijkj=l, ... ,d E S{d, R). Wir nehmen an, daß F nach den rij differenzierbar ist. Definition 2.3.1. Die Gleichung (2.3.1) heißt elliptisch bei u E e 2 (fJ), falls (::. (x, u{x), Du{x), D 2 U{X))) . . J
positiv definit
(2.3.2)
t,J=I, ... ,d
ist.
Unter den am Ende von § 2.2 formulierten Bedingungen (i), (ii) ist z.B. die Monge-Ampere-Gleichung (2.2.15) in diesem Sinne elliptisch bei u. Es ist nicht ganz klar, was die geeignete Verallgemeinerung des Maximumprinzips von linearen auf nichtlineare Gleichungen ist, da wir im linearen Fall immer Voraussetzungen über die Terme niederer Ordnung machen mußten. Eine Interpretation, die auf eine mögliche Verallgemeinerung hindeutet, ist jedoch, das Maximumprinzip als eine Vergleichsaussage einer Lösung mit einer Konstanten aufzufassen, die unter anderen Voraussetzungen eine Lösung von Lu ::::; 0 war. Wegen der linearen Struktur von L ergab sich hieraus unmittelbar ein Vergleichssatz für .beliebige Lösungen Ul, U2 von Lu = O. Wir beginnen daher im nicht linearen Fall ebenfalls mit einem Vergleichssatz. Satz 2.3.1. Es seien UD, Ul E e 2 (fJ) n CO(m. Es gelte
(i) FE el(s), (ii) F ist elliptisch bei allen Funktionen tUI + (1 - t)uo, 0 ::::; t ::::; 1, (iii) Für jedes feste (x, p, r) ist F monoton fallend in z. Gilt dann Ul ::::;
und so ist entweder oder Uo ==
Ul
in fJ.
Uo
auf afJ
2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen
45
Beweis. Wir setzen
v:=
Ul - Uo
+ (1 - t)uo 1 oF (
. 1 Ut :=
tU1
für 0 ::; t ::; 1
) dt ~ x, Ut(x), DUt(x), D2 Ut(x) o ur" 1 bi(x):= ooF (x, Ut(x), DUt(x), D2Ut(x)) dt
a"(x)
:=
r
10 Pt loF c(x) := 10r oz (x, Ut(X), DUt(X), D2Ut(x)) dt
(man beachte, daß hier eine totale Ableitung nach t integriert wird, nämlich 1tF(x, Ut(x), DUt(x), D2Ut(x)), so daß wir das Integral durch Randterme ausdrücken können, woraus unten die richtige Darstellung von Lv folgen wird, vgl. (2.3.3)) d
L
Lv:=
aij (X)VXixj (x)
i,j=l
d
+ L bi (X)VXi (x) + c(x)v(x). i=l
Dann ist
Lv = F[Ul]- F[uo] :::: 0 in n.
(2.3.3)
Wegen (ii) ist L elliptisch, und wegen (iii) gilt c(x) ::; O. Daher ist Satz 2.1.2 auf v anwendbar und liefert die Behauptung. q.e.d. Insbesondere gilt der Satz also für Lösungen von F[u] = O. Der entscheidende Punkt im Beweis von Satz 2.3.1 ist dann, daß, weil die Lösungen Uo und U1 der nichtlinearen Gleichung F[u] = 0 schon gegeben sind, wir Größen, die von Uo und Ul und deren Ableitungen abhängen, als Koeffizienten einer linearen Differentialgleichung für die Differenz auffassen können. Wir formulieren noch den folgenden Eindeutigkeitssatz für das Dirichletproblem für F[u] = f mit gegebenem f: Korollar 2.3.1. Unter den Voraussetzungen von Satz 2.3.1 gelte auf und F[uo] = F[U1] in n.
on
Dann ist
Uo
=
Ul
in
= U1
Uo
n.
Als Beispiel betrachten wir die Minimalflächengleichung: Es sei
q.e.d.
nc
JR2 =
{(x, y)}. Die Minimalflächengleichung ist dann die quasilineare Gleichung
(2.3.4) Aus Satz 2.3.1 folgt
46
2. Das Maximumprinzip
Korollar 2.3.2. Es seien uo, Ul E C2(il) zwei Lösungen der Minimalflächengleichung. Falls die Differenz Uo - Ul in einern inneren Punkt von il ein Maximum oder Minimum annimmt, so ist Uo -
Ul
== const.
in il. q.e.d.
Wir kommen nun zu dem folgenden Maximumprinzip: Satz 2.3.2. Es sei u E C 2 (il) n c°(ii). Es sei FE C 2 (8). Es gelte für ein >. > 0 die Elliptizitätsbedingung d
"ßF .. >'I~I ~ L..J ~(x,z,p,r)ee i,j=1 r l3 2
(2.3.5)
für alle ~ E IRd , (x, z,p, r) E 8. Ferner gebe es solche Konstanten J1.b J1.2, daß für alle (x,z,p) F(x,z,p,O)sign(z) I I J1.2 (2.3.6) >. ~ J1.1 P + T· Gilt dann F[u] = 0 so ist
in il,
sup lul ~ max lul n an
+ c~2 , A
(2.3.7)
wobei die Konstante c von /-LI und dem Durchmesser diam(il) abhängt.
(2.3.6) sollte hierbei als das Analogon der Vorzeichenbedingung c(x) ~ 0 sowie der Schranke für die bi(x) wie auch einer Schranke für die rechte Seite f bei der Gleichung Lu = f angesehen werden. Beweis. Wir verfolgen eine ähnliche Strategie wie im Beweis von Satz 2.3.1 und wollen die Aussage auf ein Maximumprinzip aus § 2.1 für lineare Gleichungen zurückführen. v sei eine noch zu bestimmende Hilfsfunktion, und W : = u - v. Wir betrachten den Operator d
Lw:=
L
i,j=1 mit
. 1°
al3 (x):=
1
aij(x)wxi x; +
d
L bi(x)wxi i=1
ßF ( 2 ßrij x,u(x), Du(x),tD u(x))dt,
(2.3.8)
während die Koeffizienten bi(x) durch die folgende Gleichung definiert sind:
2.3 Maximumprinzipien für nichtlineare Differentialgleichungen d
d
i=l
i,j=l
r (araF.. (x, u(x), Du(x), tD u(x))
io
L bi(x)Wxi = L -
47
1
2
0
:~
'J
(x, u(x), Dv(x), tD 2 u(x)) ) dt· Vxixi
+F (x, u(x), Du(x), 0) - F (x, u(x), Dv(x), 0). (2.3.9) (Daß dies möglich ist, folgt aus dem Mittelwertsatz und der Voraussetzung F E C 2 • Es reicht allerdings aus, wenn F nur bezüglich der Variablen r zweimal stetig differenzierbar ist.) L erfüllt dann die Voraussetzungen zu Satz 2.1.1. Nun ist
Lw = L(u - v)
~
,tl ([ ~
-L d
i,j=l
(rio 0
l
(x, u(x), Du(x), !D'u(x))
dt) u.,., + F(x, u(x), Du(x) , 0)
öF (x, u(x), Dv(x), tD 2 u(x)) dt ) Vxixi - F(x, u(x), Dv(x), 0) ör"
(tl
1J
~ F (x, u(x), Du(x) , D'u(x)) -
""(X)V"'"
+ F (x, u(x), Dv(x) ,
0)) ,
(2.3.10)
mit
"
r
l
a'J(x) = i o
aF (x,u(x),Dv(x),tDu(x) 2 ) dt
Örij
(2.3.11)
(dies entsteht wieder aus dem totalen Integral einer Ableitung nach t). Hierbei ist nach Voraussetzung
A IEI 2
d
::;
L
ah(x)EiEj
für alle
xE
n,E
E ]Rd.
(2.3.12)
i,j=l
Wir suchen nun eine geeignete Hilfsfunktion v mit
Mv:= Laij(x)vxixi Wir nehmen an, daß mit 8 liegt. Unser Ansatz ist
:=
+ F(x,u(x),Dv(x),O)::; 0. diam(n)
(2.3.13)
n in dem Streifen {O < xl
< 8}
(2.3.14)
(u+(x) = max(O,u(x))). Dann ist
48
2. Das Maximumprinzip
+ 1)2 a ll (x)e(1L1+1)X 1 + F(x, u(x), Dv(x),O) -/-L2 (/-LI + 1)2 e(1L1+1)X 1 + /-L2/-LI (/-LI + 1) e(1L1+1)X 1 + /-L2
Mv = -~ (/-LI
~
~O
nach (2.3.6), (2.3.12). Damit ist (2.3.13) nachgewiesen. Aus (2.3.10) folgt dann, sogar schon unter der Voraussetzung F[u] ~ 0 statt F[u] = 0, Lw
~O.
N ach Konstruktion von v haben wir auch w
=u- v
~
auf an.
0
Satz 2.1.1 impliziert daher
u
~
v in
n,
und (2.3.7) folgt daher mit c = e(lLl +1) diam(n) der Voraussetzung F[u] ~ 0 die Ungleichung
1. Genauer haben wir unter
-
c,
supu < maxu+ + /-L2
n
- an
A
(2.3.15)
bewiesen, aber die Ungleichung in der anderen Richtung folgt natürlich analog, also infu > minu- _ c/-L2 (2.3.16)
n
(u-(x)
:=
- an
A
min(O,u(x))).
q.e.d.
Satz 2.3.2 ist durchaus auch im linearen Fall von Interesse. Wir wollen noch einmal die simple Gleichung
!,,(x) + ",/(x) = 0 /(0) = /(1r) = 0
für x E (0,1r)
mit konstantem ", betrachten. Wir können dann Satz 2.3.2 mit A = 1, /-LI /-L2 = {
anwenden. Dann folgt sup
(0,11")
d.h. falls
",sup (0,11")
111
= 0, für", > 0
o
für",~O
I/I ::; c", sup I/I , (0,11")
1 c
",< -,
Übungen
49
=
so muß f 0 sein. Statt /'i, kann man auch allgemeiner eine Funktion c(x) mit c(x) ::; /'i, auf (0,1l') nehmen und f"(x) + c(x)f(x) = 0 betrachten, ohne die gezogene Folgerung zu beeinflussen. Wir können also insbesondere die Vorzeichenbedingung c(x) ::; 0 abschwächen. Die schärfstmögliche Aussage in 0 ist, sofern /'i, kleiner als der kleinste Eigenwert diesem Beispiel ist, daß f Al von auf (0, 1l'), also 1, ist. Dies überträgt sich analog auf andere lineare elliptische Gleichungen, z.B .
=
.fxr
.t1f(x) + /'i,f(x) = 0 in fl f(y) = 0 auf afl. Satz 2.3.2 impliziert auch hier eine solche Aussage, allerdings wiederum ohne die optimale Schranke Al zu erreichen. Eine Referenz für das vorliegende Kapitel ist Gilbarg-Trudinger[6].
Zusammenfassung und Ausblick Das Maximumprinzip liefert Beispiele sogenannter a-priori-Abschätzungen, d.h. Abschätzungen, die für jede Lösung einer bestimmten Differentialgleichung oder Klasse von Differentialgleichungen gelten, in Abhängigkeit von den gegebenen Daten (Randwerte, rechte Seite, etc.), ohne daß man die Lösung selber kennen müßte oder sogar ohne daß zuerst sichergestellt werden müßte, daß überhaupt eine Lösung existiert. Vielmehr sind solche a-prioriAbschätzungen oft umgekehrt ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Existenzbeweisen. Maximumprinzipien sind charakteristisch für Lösungen elliptischer (und parabolischer) PDGln, und zwar keineswegs nur für Lösungen linearer Gleichungen. Maximumprinzipien sind sogar oft das wichtigste Hilfsmittel beim Studium nichtlinearer elliptischer PDGln.
Übungen 2.1 Es seien fl l , fl 2 C ]Rd disjunkte, offene Mengen, für die fl l n fl 2 eine glatte Hyperfläche T enthält, z.B.
fl l := {(xl, ... ,xd ): lxi< 1,x l > O} fl 2 := ({Xl, ... ,xd ) T
= {(Xl,
:
... ,xd ) :
lxi< 1,x l < O} lxi< 1,x l = O}.
E CO(fl l U fl 2) n C2(fld n C 2(fl 2) sei auf fl l und fl 2 harmonisch, es gelte also:
U
Ist u dann auch notwendigerweise auf fl l U fl 2 U T harmonisch?
50
2. Das Maximumprinzip
yn. Kann eine nichtkonstante Lösung
2.2 Es sei n offen in JR2 = {(x, C2(n) der Differentialgleichung
=
U xy
°
U
E
in G
n annehmen?
ein inneres Maximum in
2.3 Es sei G offen und beschränkt in JRd. Auf G x [0,00) C JRd+1 {(Xl, ... , x d, t)} betrachten wir die Wärmeleitungsgleichung
Ut
82
d
(.1 = ~ (8x i )2)'
= .1u
t=l
Zeigen Sie, daß für eine beschränkte Lösung U E C 2 (G x (0,00)) n CO(G x
[0,00)) sup
sup
U ~
nx[o,oo)
U
(nx{o})u(anx[o,oo))
gilt.
2.4 U : n - t lR. sei harmonisch, G' zwischen 1 und d
ce
G
2d s~? IUxi xi I:::; ( dist(G', 8G)
c JRd.
Dann gilt für alle i,j
)2 s~p lul·
Beweisen Sie diese Ungleichung! Formulieren und beweisen Sie auch eine analoge Abschätzung für Ableitungen beliebiger Ordnung! 2.5 GC]Rd sei offen und beschränkt. U E C 2 (G) n CO(G) erfülle
.1u = u3 , U
°
== 0,
xE
n
xE ßG.
Zeigen Sie, daß U == in G ! 2.6 Beweisen Sie eine Version des Maximumprinzips von Alexandrov und Bakeiman für einen Operator n
Lu =
L
aij(x)uxixj(X),
i,j=l
wobei Sie statt der Elliptizität nur voraussetzen, daß det(aij(x)) in G positiv ist. 2.7 Kontrollieren Sie das Maximum und Minimum der Lösung U einer elliptischen Monge-Ampere-Gleichung
in einem beschränkten Gebiet G.
Übungen
51
2.8 Es sei u E C 2 (.o) in dem Gebiet .0 eine Lösung der Monge-AmpereGleichung mit positivem f. Es gebe ein Xo E .0, in dem die Hessesche von u positiv definit ist. Zeigen Sie, daß die Gleichung dann bei u in ganz .0 elliptisch ist.
2.9 Es sei ]R2 := {(xl, x 2)},.o := B(O, R 2) \ B(O, Rt}, mit R 2 > R l > 0. cjJ(x l , x 2 ) := a+b log(jxj) ist für alle a, b harmonisch auf .0. u E C 2 (D)nCO(.ä) sei subharmonisch, also .du ~ 0, xE.o. Zeigen Sie
M(Rt}log(~)+M(R2)log(; )
M(r)
c>
°
U E
C 2 (DT ) n CO(DT ) erfülle
in DT für (x, t) E (D x {O}) U (aD x [0, T)).
Zeigen Sie a) U > c für alle (x, t) E .oT . b) Gilt zusätzlich
u(x, t) so ist T
< 00.
= u(x, 0)
für alle x E aD und alle t,
3. Existenzverfahren I: Methoden, die auf dem Maximumprinzip beruhen
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen Der Grundgedanke der Differenzenverfahren besteht darin, eine gegebene Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung mit einer Schrittweite h zu ersetzen und zu versuchen, nachzuweisen, daß für h --t 0 die Lösungen der Differenzengleichung gegen eine Lösung der Differentialgleichung konvergieren. Es handelt sich hierbei um ein konstruktives Verfahren, welches insbesondere auch häufig zur numerischen (approximativen) Berechnung von Lösungen von Differentialgleichungen eingesetzt wird. Um die wesentlichen Aspekte dieses Verfahrens in möglichst einfacher Form darzustellen, beschränken wir uns auf die Laplacegleichung
..du = 0
(3.1.1)
in einem beschränkten Gebiet [l des ]Rd. Wir überziehen den ]Rd mit einem orthogonalen Punktgitter der Maschenweite h > 0, d.h. wir betrachten alle Punkte der Form (3.1.2) mit nl, ... , nd E Z. Die Menge aller dieser Punkte nennen wir ]Rt, und wir setzen (3.1.3) Wir nennen x = (nIh, ... , ndh) und y benachbart, wenn
= (mIh, ... , mdh)
(alle ni, mj E Z)
d
2: Ini - mil = 1,
(3.1.4)
i=1
oder gleichwertig hierzu,
Ix - Yl =
h.
(3.1.5)
Die geradlinigen Verbindungen zwischen Nachbarpunkten nennen wir Kanten. Eine zusammenhängende Vereinigung von Kanten, bei der jeder Gitterpunkt auf höchstens zwei Kanten liegt, heißt Kantenzug.
J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
54
3. Exist.enzverfahren I
/
(
/
/
I--V- \ fl
\
"--r\
"~ /
/
(
/
;/
./"
/
'" "-----V
Abb. 3.1. x(Kreuz) und seine Nachbarn(offene Kreise) sowie ein Kantenzug in fl,,(verdickt.e Linie) und Punkte aus r" (dicke Punkte)
Als Randpunkte von Dh bezeichnen wir alle Gitterpunkte aus Dh , bei denen nicht sämtliche Nachbarn in Dh liegen. sei die Menge dieser Randpunkte. Punkte aus Dh, die keine Randpunkte sind, heißen innere Punkte. Die Menge der inneren Punkte nennen wir ah. Wir nehmen an, daß flh diskret zusammenhängend ist, d.h. daß je zwei Gitterpunkte in flh durch einen ganz in flh verlaufenden Kantenzug miteinemder verbunden werden können. Wir betrachten eine Funktion
rh
u:
und setzen für i = 1, ... , d, x = 1
1
1L i (x):=h(U(x,
Dh
~ lR
(Xl, ... , x d ) E
ah
i i+l d 1 d ... ,xi-I ,x+h,x , ... ,x)-u(x, ... ,x))
. _ h1 ( 1 d ) u,(x).u(x , ... ,xd )-u(x 1 , ... ,x;-1 ,xi -h,xi+1 , ... ,x).
(3.1.6) Ui und u, sind also vor- und rückwärtiger Differenzenquotient in der i-ten Koordinatenrichtung. Entsprechend bilden wir Differenzenquotienten höherer Ordnung, z.B.
u;,(x) = UIi(X) = (u,);{x) =
;2 (u(xl, ...
,Xi
+ h, ... ,xd ) -
2u(x 1 , ... ,xd )
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen
55
+u(X 1 , ... , x i - h, . .. ,X d ) ) .
(3.1. 7) Wenn wir die Abhängigkeit von der Maschenweite h ausdrücken wollen, schreiben wir statt u, Ui, Ui, etc. u h , u~, u~ etc. Der wesentliche Grund für die Betrachtung von Differenzenquotienten ist natürlich, daß sie für entsprechend oft differenzierbare Funktionen für h ~ 0 gegen die entsprechenden Ableitungen streben, also z.B. für U E C 2 (fl) !im U7,(Xh)
h-O
wenn Xh E flh für h Laplacegleichung
~
82
= (8X"·)2 U(X),
(3.1.8)
0 gegen x E fl strebt. Wir approximieren daher die .du = 0
in fl
durch die Differenzengleichung d
.dh uh :=
L u~ = 0
in flh,
(3.1.9)
i=l
welche wir auch als diskrete Laplacegleichung bezeichnen. Unser Ziel ist nun, das Dirichletproblem für die diskrete Laplacegleichung .dhuh = 0 in fl h
u h = gh auf T h
(3.1.10)
zu lösen und dann zu zeigen, daß unter geeigneten Voraussetzungen die Lösungen u h für h ~ 0 gegen eine Lösung des Dirichletproblems .du = 0 in fl
u = 9 auf 8fl
(3.1.11)
konvergieren, wenn gh eine diskrete Approximation von 9 ist. Wenn wir die Werte von u h in den Punkten von flh als Unbekannte auffassen, so führt (3.1.10) aufein lineares Gleichungssystem mit ebensovielen Gleichungen wie Unbekannten. Diejenigen Gleichungen, die zu Gitterpunkten gehören, deren sämtliche Nachbarn ebenfalls innere Punkte sind, sind homogen, die anderen inhomogen. Es ist nun bemerkenswert und nützlich, daß sich viele Eigenschaften der Laplacegleichung auf die diskrete Gleichung übertragen. Wir beginnen mit dem diskreten Maximumprinzip:
Satz 3.1.1. Es gelte .dhuh ~ 0
in fl h ,
wobei fl h , wie stets, diskret zusammenhängend sein soll. Dann gilt
56
3. Existenzverfahren I
max u h = max u h . fi,•
r,.
(3.1.12)
Wird das Maximum in einem inneren Punkt angenommen, so ist u h konstant. Beweis. Es sei Xo ein innerer Punkt, und xl. ... ,X2d seien seine Nachbarn. Dann ist
LlhUh(X)
~ :'
(t,
uh(x a ) - 2dU h(XO») .
(3.1.13)
Gilt ßhuh(X) ~ 0, so ist also (3.1.14) d.h. uh(xo) ist nicht größer als das arithmetische Mittel der Werte von u h in den Nachbarn von xo. Hieraus folgt (3.1.15) wobei Gleichheit nur dann eintritt, wenn (3.1.16) ist. Nimmt also u h im Punkte Xo ein inneres Maximum an, so auch in allen Nachbarn von xo, und durch Wiederholung des Schlusses dann auch in allen Nachbarn von Nachbarn u.s.w. Da Qh diskret zusammenhängend ist, muß u h dann in tih konstant sein. Dies ist die starke Form des Maximumprinzips, welche wiederum das schwache Maximumprinzip (3.1.12) impliziert. q.e.d. Korollar 3.1.1. Das diskrete Dirichletproblem ßhuh = 0 in Qh u h = gh auf r h mit vorgegebenem gh hat höchstens eine Lösung. Beweis. Wie üblich durch Anwendung des Maximumprinzips auf die Differenz zweier Lösungen. q.e.d.
Es ist nun bemerkenswert, daß im diskreten Fall hieraus auch schon die Existenz einer Lösung folgt: Korollar 3.1.2. Das diskrete Dirichletproblem ßhuh = 0 in Qh u h = gh auf r h hat zu jedem gh : rh
-+
IR genau eine Lösung.
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen
57
Beweis. Wie wir festgestellt haben, handelt es sich bei dem diskreten Problem um ein endliches lineares Gleichungssystem mit der gleichen Anzahl von Gleichungen und Unbekannten. Da nach Korollar 3.1.1 für eine homogene Randwertvorgabe gh = 0 die homogene Lösung u h = 0 die einzige Lösung ist, folgt aus einem grundlegenden Satz der linearen Algebra die Existenz q.e.d. einer Lösung zu beliebiger rechter Seite, also zu beliebigem gh.
Ähnlich leicht läßt sich auch die diskrete Poissongleichung lösen, also (3.1.17) mit vorgegebenem fh, wobei wir o.E. nur die homogene Randbedingung (3.1.18) betrachten, da wir eine inhomogene Randbedingung durch Hinzufügen einer Lösung der entsprechenden diskreten Laplacegleichung behandeln können. Zur Darstellung der Lösung konstruieren wir eine Greensche Funktion Qh(x, y). Hierzu betrachten wir ein spezielles fh in (3.1.17), nämlich
zu gegebenem y E {ho Qh(x, y) sei dann die Lösung von (3.1.17), (3.1.18) für dieses spezielle fh. Die zu einem beliebigen fh gehörende Lösung ist dann
uh(x) = h 2
E Qh(x, y)fh(y).
(3.1.19)
yEn"
Um zu zeigen, daß die Lösungen der diskreten Laplacegleichung L1 h u h = 0 in nh für h -+ 0 gegen eine Lösung der Laplacegleichung L1u = 0 in n konvergieren, benötigen wir Abschätzungen für die u h , die nicht von h abhängen. Es zeigt sich, daß solche Abschätzungen genau wie im kontinuierlichen Fall mittels des Maximumprinzips gewonnen werden können. Für den symmetrischen Differenzenquotienten 1 ( 1 d Ui(X):= 2h u(x , ... ,xi-I ,xi +h,x i+1 , ... ,x)
-u ( X 1 , ••. , x i - I ,xi - h ,xi+ 1 , ... ,xd)) (3.1.20) können wir nämlich in völliger Analogie zu Korollar 1.2.7 beweisen: Lemma 3.1.1. In
nh
gelte (3.1.21)
58
3. Existenzverfahren I
Es sei Xo E nh, und Xo und alle seine Nachbarn mögen einen Abstand von n haben. Dann gilt
~
R
(3.1.22) Beweis. O.E. sei i = 1, Xo = O. Wir setzen
Wir betrachten wieder die Hilfsfunktion h
v (x):=
J1. R2
lxi 2 + x 1 (R -
1
x)
(dJ1. M) R2 + 2"
.
Wegen Ll h Ixl 2 =
d
L ~2 ((Xi + h)2 + (Xi - h)2 - 2(x )2) = 2d i
i=l
gilt wiederum sowie V h (O,X 2 , ••.
,xd ) ~ 0
vh(x) ~
J1.
für alle x 2 , ••• ,xd für lxi ~ R, 0::;
Außerdem gilt für üh(x):= ~(uh(X1, ... ,xd) -
ILlhÜh(X) I ::; M
Xl ::;
R.
U h (_X 1,X2 , ...
,xd))
für diejenigen x E {}h, für die dieser Ausdruck definiert ist,
üh(O, x 2 , .•• ,xd) = 0 für alle x 2 , . .. ,xd , lüh(x)1 ::;
J1. für lxi
Auf der Diskretisierung daher sowie
Bt
~ R,
xl ~
der Halbkugel
o.
B+
:=
{lxi::;
v h ± ü h ~ 0 auf dem diskreten Rand von
R,:1;l
> O} gilt
Bt
(um genau zu sein, sollte man hier als diskreten Rand alle Gitterpunkte außerhalb von B+ nehmen, die mindestens einen Nachbarn in B+ haben). Das Maximumprinzip (Satz 3.1.1) ergibt
lühl ::; v h
in
Bt,
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen also
lu~(O)1 =
59
*
luh(h,O, ... ,0)1
1 h ::; hV (h, 0, ... ,0) =
d/-L
R
R + 2M +
/-L
R2 (1 - d)h. q.e.d.
Für Lösungen der diskreten Laplacegleichung
L1 h u h =
°
in
fh
(3.1.23)
folgen hieraus iterativ Abschätzungen für Differenzenquotienten höherer Ordnung, denn mit u h sind auch alle Differenzenquotienten u~, u~, u~u~,,-, uf,,-, etc. Lösungen. Z.B. erhalten wir aus (3.1.22) für eine Lösung von (3.1.23), sofern Xo genügend weit vom Rand r h entfernt ist,
(3.1.24) Somit sind iterativ Differenzenquotienten beliebiger Ordnung beschränkt, und es folgt Satz 3.1.2. Sind die Lösungen u h von
luhl ::;
°
unabhängig von h beschränkt (d.h. maxrh /-L), so konvergiert in jedem Teilgebiet fi ce n eine Teilfolge von u h für h ~ gegen eine harmonische Funktion. Konvergenz läßt sich hierbei zunächst als Konvergenz in der Supremumsnorm fassen, also !im max lun(x) - u(x)1 = 0, n-->O xEnn
mit harmonischem u. Aufgrund der vorstehenden Überlegungen konvergieren aber auch die Differenzenquotienten von U n gegen die entsprechenden Ableitungen von u. q.e.d. Wir wollen noch kurz einige Aspekte von Differenzengleichungen diskutieren, die für die numerische Analysis wichtig sind. Hier geht man davon
60
3. Existenzverfahren I
aus, daß schon aus theoretischen Gründen sichergestellt ist, daß die untersuchte Differentialgleichung eine glatte Lösung besitzt, und man will dann diese Lösung durch Lösungen von Differenzengleichungen annähern. Hierzu sei L ein elliptischer Differentialoperator, welcher auf die Einschränkungen der Funktionen u auf das Gitter [}h angewandt wird. Definition 3.1.1. Das DiiJerenzenverfahren Lh heißt konsistent mit L, falls lim (Lu - LhU) = 0 h-+O
für alle u E C 2 (ti) gilt. Das Verfahren Lh heißt gegen L konvergent, falls für die Lösungen u, u h von in [}, u = c.p auf a[} in [}h, wobei fh die Einschränkung von f auf [}h ist auf r h , wobei c.ph die Einschränkung auf [}h einer stetigen Erweiterung von c.p ist, limh-+o maxxESJ,. luh(x) - u(x)1 = 0 gilt.
Lu = f LhUh = fh u h = c.ph
Um den Zusammenhang zwischen Konvergenz und Konsistenz herzustellen, betrachten wir den "globalen Fehler"
a(x) := uh(x) - u(x) und den "lohlen Fehler"
s(x) := LhU(X) - Lu(x) und berechnen für x E
[lh
Lha(X) = LhUh(X) - LhU(X) = fh(x) - Lu(x) - s(x) = -s(x), da fh(x) = f(x) = Lu(x). Da lim sup la(x)1 = 0,
h-+°xEr"
haben wir also im wesentlichen das Problem
Lha(X) = -s(x) in [}h a(x) = 0 auf rho Um dann aus der Konsistenz auf die Konvergenz des Verfahrens schließen zu können, muß man also zeigen, daß mit s(x) auch die Lösung a(x) dieses Problems gegen Null strebt, und zwar gleichmäßig in h. In einem hier nicht näher spezifizierten Sinne müssen also die Inversen Li. 1 beschränkt bleiben. Diese Eigenschaft bezeichnet man auch als Stabilität. Im Sinne dieser Begriffsbildungen beweisen wir noch die folgende einfache Konvergenzaussage.
3.1 Differenzenverfahren: Diskretisierung von Differentialgleichungen
61
Satz 3.1.3. Es sei u E C 2 (n) eine Lösung von t1u = f in n u = r.p auf an. u h sei die Lösung von t1 hu h = fh in nh u h = r.ph auf rh, wobei fh, r.ph wie oben definiert sind. Dann gilt max luh(x) - u(x)1 xE!],.
--+
0 für h
--+
O.
Beweis. Aus der Taylorschen Formel folgt für die (von der Schrittweite h abhängenden) zweiten Differenzenquotienten Uit () X
wobei -h ::; 8i su P
18;I:Sh
für h
--+
::;
a2u (
i-I
,x
i
ri i+ 1 d) +u,X , ... ,X ,
h ist. Da u E C 2 ( ii) ist, gilt
I i ( ( Jla2u i) 2 (x , ... , x uX
I
= (ax i )2 x , ... ,X
+ 8i , ... , x d ) -
a 2u
1
i
d )
(Jl i) 2 (x , ... , x , ... , x) uX
-t
0
0, und daher für den obigen lokalen Fehler sup Is(x)1
--+
0
für h
--+
o.
n sei nun in einer Kugel B(xo, R) enthalten, wobei o.E. Xo = 0 sei. Aus dem Maximumprinzip folgt dann durch Vergleich mit der Funktion R 2 - Ix1 2 , daß eine Lösung v von t1hv = 1] in nh v = 0 auf rh die Abschätzung Iv(x)1 ::;
su~J1]1
(R
2 _
Ix 12 )
erfüllt. Daher gilt für den globalen Fehler
R2
sup lu(x)1 ::; 2d sup Is(x)1 , also die gewünschte Konvergenz.
q.e.d.
62
3. Existenzverfahren I
3.2 Die Perronsehe Methode Wir wollen zunächst an den Begriff der subharmonischen Funktionen aus § 1.2 erinnern. Definition 3.2.1. Sei a c JRd, f : a - t [-00,00) oberhalbstetig in a, f -00. f heißt subharmonisch in a, falls für alle a' ce a gilt:
t=
Ist u harmonisch auf a' und gilt f $ u auf an', so auch f $ u auf a'. Die Aussagen des nachstehenden Lemmas ergeben sich ebenfalls aus §1.2: Lemma 3.2.1.
(i) Starkes Maximumprinzip: v sei subharmonisch in a. Falls ein Xo E a existiert mit v(xo) = sUPn v(x), so ist v konstant. Ist insbesondere v E c°(ii), so gilt v(x) $ maxan v(y) für alle x E JR. (ii) Sind Vl, ... , V n subharmonisch, so auch v := max( Vl, .•. , vn ). (iii) Ist v E c°(ii) subharmonisch und B(y, R) ce a, so ist die harmonische Ersetzung v von v, definiert durch v(x)
v(x):= { R2 -lx-vI 2 dWdR
subharmonisch in
n
für J8B(v,R)
v z
..
xE
IZ~}I'1 do(z) fur x
a \ B(y, R)
E B(y, R)
(und harmonisch in B(y, R)).
Beweis. (i) ist das starke Maximumprinzip für subharmonische Funktionen, welches wir zwar nicht explizit formuliert hatten, aber welches sich unmittelbar aus Satz 1.2.2 und Lemma 1.2.1 ergibt. (ii) Es sei n' ce a, u harmonisch auf n', v $ u auf aa'. Dann ist auch Vi
und somit, weil
Vi
$ u
auf aa'
für i = 1, ... , n,
subharmonisch ist, auch Vi
$ u
auf
a'.
Dann ist aber auch
Dies zeigt, daß v subharmonisch ist. (iii) Zunächst ist v $ v, weil v subharmonisch ist. Es sei a' ce a, u harmonisch auf a', und v $ u auf an'. Da v $ v ist, gilt somit auch v $ u auf aa' und somit, weil v subharmonisch ist, auch v $ u auf a' und daher v $ u auf a' \ B(y, R). Damit gilt auch v $ u auf a' n aB(y, R).
3.2 Die Perronsche Methode
63
Somit gilt insgesamt v:S u auf a(n' n B(y, R)). Weil v auf n' n B(y, R) harmonisch, mithin auch subharmonisch ist, folgt v:S u auf n' nB(y, R). Insgesamt ergibt sich v :S u auf n'. Dies zeigt, daß v subharmonisch ist. q.e.d. Im folgenden sei
_3
(3.4.1)
E jRn
a 1 al/ P(r) = "VP· 1/ = - r d (x - y) . 1/.
(3.4.2)
Wir betrachten die folgende Situation:
o Abb.3.3.
also xE n 1 ; Y EIl, Randstück von 11.
Q
=I O,7r,an1,an2 E
Cl.
d11 (y) sei ein infinitesimales
11,
()
Abb.3.4.
72
3. Existenzverfahren I
dw sei der infinitesimale Raumwinkel, unter dem das Flächenstück d'YI (y) im Punkte x erscheint. Dann gilt (3.4.3) und cosß = v· It:::~I. Hiermit und mit (3.4.2) folgt h(x) :=
1: ')'1
V
4>(r)d'YI(Y) =
1
dw.
(3.4.4)
')'1
(3.4.4) bedeutet anschaulich, daß J,),1 ~~(r)d'Y1(Y) den Raumwinkel angibt, unter dem das Randstück "11 im Punkte x erscheint. Da Ableitungen harmonischer Funktionen auch harmonisch sind, liefert (3.4.4) eine in fh harmonische Funktion h, die auf an 1 \ (Tl n T2 ) stetig ist. Um den Beweis von Lemma 3.3.1 möglichst anschaulich zu gestalten, betrachten wir ab jetzt nur noch den Fall d = 2 und bemerken, daß für d ~ 3 der Beweis analog geführt werden kann.
t
Abb.3.5.
3.4 Randregularität
A und B seien die beiden Schnittpunkte von stetig in A und B, denn es gilt
r1
und
r2 . Dann ist
73
h nicht
=ß
(3.4.5)
= ß + 7r
(3.4.6)
+ ß.
(3.4.7)
lim h(x)
x-A
x€rl
lim h(x)
x--+A
lim h(x) = a
x_A xE"Y2
Sei
p(x)
für x E /1
:= 7r
und
r 1.
p(x) := 0 für x E Dann ist hlan l - p stetig auf ganz
afh, denn
lim (h(x) - p(x))
x-A
lim (h(x) - p(x))
x-A
=
lim h(x) - 0
x-A
= x_A lim h(x) -
7r
=ß
= ß + 7r -
7r
= ß.
Nach Voraussetzung gibt es dann eine Funktion u E C 2 (n 1 ) n CO (.!?1) mit
n1 auf an 1 .
.1u = 0 in u
Für
=
hlanl - p
v(x)
:=
h(x) - u(x) 7r
(3.4.8)
gilt in n1 .1v = 0 v(x) = 0 für xE r 1 v(x) = 1 für xE /1. Aus dem starken Maximumprinzip folgt daher
n1 ,
(3.4.9)
v(x) < 1 für alle x E /2.
(3.4.10)
v(x)
< 1 für
alle x E
insbesondere also auch
Nun gilt
74
3. Existenzverfahren I
lim v(x) =
x_A
.!.1f (lim h(x) x_A
xE"Y2
da Q: da
ß)
=
~ < 1,
(3.4.11)
7r
;,;E'Y2
< 'Ir nach Voraussetzung. Analog folgt auch limx_B v(x) < 1 und daher, ~;E"Y2
12 kompakt,
für ein q
v(x) < q
> O. Wir setzen m
< 1 für
alle x
E 12
(3.4.12)
:= v - w und erhalten
m(x) = 0 für x E r l m(x) 2:: 0 für x E /'1. Da m stetig in
a{lt \ (rl n r 2 )
und
anl
regulär, folgt
lim m(x) = m(xo) für alle Xo E
x-t-XQ
an l \ (rl n r 2).
Wegen des Maximumprinzips gilt m(x) 2:: 0 für alle x E
nI, und da außerdem
lim m(x) = lim v(x) - w(A)
x---+A
x---+A
= lim v(x) 2:: 0 (w ist stetig) , x---+A
gilt für alle x E
12
w(x) :S v(x) < q < l.
(3.4.13)
Ebenso liefert die Betrachtung für M := v + w die Ungleichung
-w(x) :S v(x) < q < 1, also insgesamt
(3.4.14)
Iw(x)1 < q < 1 für alle x E 12.
q.e.d. Wir wollen jetzt eine hinreichende Bedingung für die Regularität eines Randpunktes y E an angeben.
Definition 3.4.1. n erfüllt eine äußere Sphärenbedingung in y E ein p > 0 und ein Xo E lRn mit B(p, xo) n {} = {y} existieren.
an,
falls
Beispiele
a) Alle konvexen Gebiete und alle Gebiete der Klasse C 2 erfüllen in jedem Randpunkt eine äußere Sphärenbedingung. b) Bei einspringenden Spitzen ist die äußere Sphärenbedingung verletzt.
Lemma 3.4.1. Erfüllt regulär.
n
in y die äußere Sphärenbedingung, so ist
an
in y
3.4 Randregularität
75
a)
b)
y
Beweis. Durch ß(x) := { i-2 -
Ix_x~ld-2
In Ix-xol p
d~3
d= 2
ist dann eine Barriere in y gegeben. Es ist nämlich ß(y) = 0, und ß ist harmonisch in Rn\ {xo}, insbesondere also in il. Da für xE 0\ {y} Ix - xol > e ist, ist auch ß(x) > 0 für alle x E 0 \ {y}. q.e.d. Wir wollen nun für d ~ 3 das Lebesguesche Beispiel eines nicht regulären Randpunktes vorstellen, indem wir ein Gebiet mit einer genügend scharfen einspringenden Spitze konstruieren. Sei R3 = {(x, y, x E [0,1], p2 := y2 + Z2,
zn,
u(x,y,z):=
1 1
Xo
o J(xo-x)2+ p2
dxo =v(x,p) -2xlnp
mit v(x,p) = J(l- X)2
+ p2 -
+x In 1(1 - x
Jx 2 + p2
+ J(l
- x)2
+ p2)
(x
+ Jx 2 + p2) I.
Es gilt lim v(x, p) = l.
(3.:,p)_O ",>0
Aber der Grenzwert von - 2x In p hängt wesentlich von der gegen Null konvergierenden Folge (x, p) ab. Ist zum Beispiel p = Ix In , so gilt
76
3. Existenzverfahren I
-2xlnp = -2nxlnlxl ~ O. Andererseits ist für p = e- fx , k, x
>0
lim (-2xlnp)=k>0.
(x,p)-+O
Die Fläche p
= e-fx hat im Nullpunkt eine "unendlich scharfe" Spitze: Faßt y,z
o
x
Abb.3.7.
man u als Potential auf, so folgt hieraus, daß alle Äquipotentialflächen von u zum Wert 1 + k im Nullpunkt zusammenlaufen, und zwar so, daß 1'(0) = 0, wenn die Äquipotentialfläche durch p = f(x) gegeben ist. Wählen wir fl nun als Äquipotentialfläche zu 1 + k, so löst u das äußere Randwertproblem und durch Spiegelung an der Kugel (x - !)2 + y2 + z2 = erhält man dann ein Gebiet fl' wie in Beispiel b).
t
o
Abb.3.8.
Übungen
77
Bei geeigneter Annäherung an die Spitze erhält man aber verschiedene Grenzwerte, was zeigt, daß die Lösung des Potentialproblems in (x, y, z) = (-!,O,O) nicht stetig sein kann, an' also nicht regulär in (-!,O,O) ist.
Zusammenfassung Das Maximumprinzip ist das entscheidende Hilfsmittel, um die Konvergenz verschiedener Approximationsverfahren für harmonische Funktionen zu zeigen. Bei den Differenzenverfahren wird die Laplacegleichung, also ein Differentialgleichung, durch eine Differenzengleichung auf einem diskreten Gitter ersetzt, also durch ein endlichdimensionales lineares Gleichungssystem. Das Maximumprinzip liefert die Eindeutigkeit, und weil es sich um ein endlichdimensionales Problem handelt, auch die Existenz von Lösungen, sowie eine Kontrolle der Lösungen durch ihre Randwerte. Bei der Perronschen Methode wird eine harmonische Funktion zu vorgegebenen Randwerten als Supremum aller subharmonischen Funktionen mit diesen Randwerten konstruiert. Ob die so gewonnene harmonische funktion ihre Randwerte stetig annimmt, hängt allerdings von der Geometrie des Randes ab. Das alternierende Verfahren von H. A. Schwarz gewinnt eine Lösung auf der Vereinigung zweier überlappender Gebiete durch abwechselndes Lösen des Dirichletproblems auf den beiden Gebieten, wobei im Überschneidungsbereich die Randwerte jeweils durch die Lösung des vorhergehenden Schrittes auf dem anderen Gebiet geliefert werden.
Übungen 3.1 In den Bezeichungen des Textes sei Xo E nh C lR~ mit Nachbarn seien die Punkte aus lR 2 , die Nachbarn von genau zweien der Punkte Xl, ... , X4 sind. Wir setzen Xl, ... , X4. X5, ... , Xs
fh:=
Für u : ti h
--+
lR, Xo E
Dh
{xo
E
nh : Xl, ... ,Xs E tih ).
setzen wir
Diskutieren Sie die Lösbarkeit des Dirichletproblems für die entsprechende Laplace- und Poissongleichung!
78
3. Existenzverfahren I
3.2 Es sei Xo E flh mit Nachbarn zenoperator Lu für u : flh -4 R.,
Xl. ... X2d.
Wir betrachten einen Differen-
2d
Lu(xo) =
L bou(x
a,)
0=0
mit den folgenden Voraussetzungen:
bo 2:
°
für
Cl:
2d
2d
0=1
0=0
= 1, ... , 2d,
L bo > 0, L bo ~ 0.
Beweisen Sie das schwache Maximumprinzip: Aus Lu 2: in fl h folgt
°
maxu < maxu. fJ,.
n,
-
3.3 Unter den Voraussetzungen von 2) sei zusätzlich
bo >
°
für
Cl:
= 1, ... ,2d
und flh sei diskret zusammenhängend. Nimmt eine Lösung von Lu 2: in einem Punkt aus fl h ein Maximum an, so ist u konstant.
°dann
3.4 Führen Sie die Einzelheiten des alternierenden Verfahrens von H.A. Schwarz für die Vereinigung dreier Gebiete durch. 3.5 u sei harmonisch in dem Gebiet fl,xo E fl,B(xo,R) R,p2 = rR. Dann gilt
r
J rJl=1 1
u(xo
+ rt9)u(xo + R7'J)d7'J =
r
J rJl=1
u 2 (xo
c fl,O
~
r
~
p
~
+ p7'J)d7'J.
1
Folgern Sie, daß, wenn u in einer Umgebung von Xo konstant ist, u dann schon überall konstant ist.
4. Existenzverfahren 11: Parabolische Methoden. Die Wärmeleitungsgleichung
4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien Sei fl E
]Rd
offen, (0, T)
c
]R
U {oo},
fl T
:=
fl x (0, T)
8*flT
:=
(n x {o}) U (8fl x (O,T)).
Für jedes feste t E (0, T) sei u(x, t) E C 2(fl) und für jedes feste x E fl sei u(x,t) E C 1((0,T)). Weiterhin sei f E CO(8*flT ), u E CO(nT ). Wir sagen, daß u die Wärmeleitungsgleichung mit Randwerten f löst, falls
Ut(x, t) = L1 x u(x, t) für (x, t) E flT u(x, t) = f(x, t) für (x, t) E 8* flT.
(4.1.1)
(4.1.1) ist eine lineare, parabolische Differentialgleichung zweiter Ordnung. Daß wir hier, anders als beim Dirichletproblem für harmonische Funktionen, nur Randwerte für den reduzierten Rand 8* fl T festlegen, liegt daran, daß bei Lösungen parabolischer Differentialgleichungen die Funktionswerte von u auf fl x {T} bereits durch die Funktionswerte von u auf fl T U 8* fl T bestimmt sind, wie wir im folgenden sehen werden.
T
n Abb.4.1.
Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt die Änderung der Temperaturverteilung in Wärmeleitern und ist auch bei vielen Diffusionsprozessen von J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
80
4.
Existenzverfahren 11
Bedeutung. Ist z.B. für einen Körper im ]R3 die Temperaturverteilung zum Zeitpunkt to = 0 gegeben und wird die Temperaturverteilung auf der Oberfläche des Körpers konstant gehalten, so ist hierdurch bereits die Temperaturverteilung im Körper für t > to eindeutig bestimmt. Dies ist eine heuristische Begründung dafür, daß wir in (4.1.1) nur Randwerte für den reduzierten Rand festlegen. Ersetzt man in (4.1.1) t durch -t, so wird die Wärmeleitungsgleichung nicht in sich selbst überführt. Es wird also zwischen "Vergangenheit" und "Zukunft" unterschieden. Auch dies ist heuristisch leicht verständlich. Für x, y E ]Rn, t, to E ]R; t "# to definieren wir den Wärmeleitungskern in (y, to) (auch oft Wärmequelle oder Wärmepol genannt (engl. heat kerneI)) A(x, y, t, to) :=
1
IX-!J1 2
,I
(47rlt-toI}2
e 4('0-') .
Es gilt dann: d
At(x, y, t, to) = - 2(t _ to) A(x, y, t, to) Xi _ yi
A Xi (x, y, t, to) = 2(
to - t
) A(x, y, t, to)
(Xi _ yi)2
A XiXi (x, y, t, to) = 4(
to - t
Ix _ Yl2
+ 4(to _ t)2 A(x, y, t, to)
)2 A(x, y, t, to)
1
+ 2( to - t ) A(x, y, t, to),
also .dxA(x, y, t, to)
Ix -
yl2
d
= 4(to _ t)2 A(x, y, t, to) + 2(to _ t) A(x, y, t, to)
= At(x, y, t, to). Der Wärmeleitungskern ist demnach eine Lösung von (4.1.1). Die Bedeutung von A für die Theorie der Wärmeleitungsgleichung ist ähnlich wie die Bedeutung der Fundamentallösung r für die Laplace-Gleichung. Die Maximumprinzipien für parabolische Differentialgleichungen sind im allgemeinen von denen für elliptische Gleichungen qualitativ verschieden. Es lassen sich nämlich oft schärfere Aussagen beweisen. Satz 4.1.1. Es sei u wie in den Voraussetzungen zu (4.1.1). [l E ]Rd sei beschränkt und (4.1.2) .du - Ut 2: 0 in [lT· Dann gilt supu = sup U. tiT a'nT
(Ist T
< 00,
so kann man auch max anstelle von sup schreiben.)
(4.1.3)
4.1 Die Wärmeleitungsgleichung: Definition und Maximumprinzipien
Beweis. O.E. T
0 in
nT .
Für 0 < € < T existiert dann wegen der Stetigkeit von paktheit von fi T - g ein (x, t) E fi T - g mit U(x, t)
=
(4.1.4) U
und der Kom(4.1.5)
IJlax u.
nr-.
Wäre (x, t) E nT - g , so würde aus L1ul(x,t) ::; 0, V'ul(x,t) = 0, utl(x,t) = 0 ein Widerspruch folgen, also gilt (x, t) E anT _ g • Für t = T - € und xE n würde man L1ul(x,t) ::; 0, utl(x,t) ;::: 0 erhalten, was ebenso (4.1.4) widerspricht. Daher gilt maxu = max u a*nr _.
(4.1.6)
ti r -.
und (4.1.6) liefert für € --+ 0 wegen der Stetigkeit von u die Behauptung. II) Ist nun allgemeiner L1u - Ut ;::: 0, so sei v := u - ci, € > O. Es gilt:
Vt
= Ut
-
€ ::;
L1u -
€
= L1v - € < L1v
und daher nach I) Il!ax u nr
=
Il!ax( v nr
+ ci)
< maxv +€T - ti r
= maxv+€T a*nr
< maxu+€T - a*nr
und
€ --+
0 liefert die Behauptung.
q.e.d. Satz 4.1.1 impliziert unmittelbar eine Eindeutigkeitsaussage. Korollar 4.1.1. Seien u, v zwei Lösungen von {4.1.1} mit u nc IR d beschränkt. Dann gilt u = v auf fiT.
= v auf a* nT ,
Beweis. Man wende Satz 4.1.1 auf u - v und v - u an.
q.e.d. Diese Eindeutigkeitsaussage gilt jedoch nur für beschränktes n. Ist z.B. n = IRd , so läßt sich eine Eindeutigkeitsaussage nur noch unter bestimmten zusätzlichen Bedingungen an u herleiten.
82
4. Existenzverfahren 11
Satz 4.1.2. Sei fl
=]Rd
und es gelte
Llu - Ut
in flT
~ 0
u(x, t) :s; M e·*1 u(x,O) = f(x)
2
Dann gilt
in flT für M,>. > 0 xE fl = ]Rd.
:s; sup f.
sup u
(4.1.8)
IR'!
fiT
(4.1. 7)
Bemerkung. Dieses Maximumprinzip impliziert dann die Eindeutigkeit von Lösungen der Differentialgleichung Llu U(x, 0)
= Ut =
auf fl T
f(x)
= IRd
(0, T)
X
für x E ]Rd
u(x, t) :s; MeAlxl2 für (x, t)
E
flT.
Die zusätzliche Bedingung (4.1.7) ist eine Bedingung an das Wachstum von u im Unendlichen. Ist diese Bedingung verletzt, so lassen sich leicht Gegen-
beispiele konstruieren. Man wähle z.B.
u(x, t)
n(t) L ~x2n (2n). 00
;=
n=O
mit
g(t)
;=
v(x,t)
;=
{
e~
t
> 0, für ein k > 1
o t=0 0 für alle (x,t) E IR x (0,00).
Dann sind u und v Lösungen von (4.1.1) mit f(x) = sei auf das Buch von Fritz John[7] verwiesen.
o. Für die Einzelheiten
Beweis von Satz 4.1.2. Da man das Intervall (0, T) in gleiche Teile der Länge zerlegen kann, genügt es, die Aussage für T < zu beweisen, denn dann gilt sup u < sup u:S; ... :s; sup f(x).
T Sei also T
0 mit 1
T+c< 4>.. Für festes y E ]Rd und 8 > 0 betrachten wir
(4.1.9)
4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung
v D(x, t) := u(x, t) - M(x, y, t, T
+ c), 0::; t
::; T.
83
(4.1.10)
Es ergibt sich (4.1.11) denn A ist eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Für deshalb nach Satz 4.1.1
[lP :=
B(y, p) gilt (4.1.12)
Weiterhin (4.1.13) und für
Ix - yl = p vD(x t) < Me A/X / , -
2
-
0
< M eA(/Y/+p) 2 -
1
~
(471'(T+c-t))~ -
0
1 (41f(T
+ c))~
e 4 (T+
(4.2.1)
84
4. Existenzverfahren 11
Als erstes bemerken wir, daß für alle x E ]Rd, t
ImIRd K(x,y,t)dy =
1
--d
(4rrt) "2
dwd
>0
1
00
0
,.2 d 1 e-Ttr - dr
(4.2.2) Für beschränktes und stetiges
f : ]Rd ---t ]R betrachten wir nun die Faltung
u(x, t) = ( K(x, y, t)f(y)dy.
JlRd
Lemma 4.2.1. f:]Rd
---t
]R
(4.2.3)
sei stetig und beschränkt. Dann ist
u(x, t) = { K(x, y, t)f(y)dy JIR,j
von der Klasse C OO auf]Rd x (0, 00) und eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung Ut = Llu. (4.2.4) Beweis. Die Coo-Eigenschaft folgt durch Differentiation unter dem Integralzeichen, was nach bekannten Sätzen erlaubt ist, aus der entsprechenden Eigenschaft von K(x, y, t). Es gilt daher auch 8 ( 8 8t u(x, t) = JlRd 8t K(x, y, t)f(y)dy
= ( LlxK(x, y, t)f(y)dy
JlRd
= Llxu(x, t).
q.e.d. Lemma 4.2.2. Unter den Voraussetzungen von Lemma 4.2.1 gilt für jedes xE ]Rd
lim u(x, t)
t--+O
= fex).
Beweis. If(x) - u(x, t)1 = If(X) -
=
kd K(x, y, t)f(y)dyl
Ikd K(x, y, t)(f(x) - f(y))dyl
nach (4.2.2)
4.2 Die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung
:::;
If(x) - f(y)1
sup
dw d + 2sup Ifl-d
YEB(x,2.;tM)
7r 2
IR'!
1
00
85
e- s 2 s d - 1ds
M
Wir wählen nun zu gegebenem c > 0 zunächst M so groß, daß der zweite Summand< c/2 ist und dann to > 0 so klein, daß für alle t mit 0 < t < to der erste Summand ebenfalls< c/2 wird. Hieraus folgt die Stetigkeit. q.e.d. Durch (4.2.3) haben wir also eine Lösung des Anfangswertproblems
Ut(x, t) - Llu(x, t) = 0 für x u(x,O) = f{x)
t >0
E IRd ,
für die Wärmeleitungsgleichung gefunden. Nach Satz 4.1.2 ist dies auch die einzige Lösung mit höchstens exponentiellem Wachstum. Physikalisch soll durch u(x, t) die zeitliche Entwicklung der Temperatur zu Anfangswerten f(x) beschrieben werden. Allerdings findet hier eine physikalisch nicht unbedingt akzeptable sofortige Wirkungsausbreitung statt, denn zu jeder beliebigen Zeit t > 0 wird die Temperatur u(x, t) im Punkte x von den Anfangswerten in allen - beliebig weit entfernten - Raumpunkten Y beeinflußt, wenn auch die Wirkung exponentiell mit dem Abstand Ix - Yl abnimmt.
= 0 für x 1. K, gilt
Im Falle, wo f kompakten Träger K hat, also f(x) für Funktionen aus (4.2.3) 1
lu(x, t)1 :::; - - d e(47rt) '2 --4
Für beliebiges beschränktes
0 für t
--4
dist(X,Kl2j
4'
K
If(y)1 dy
(4.2.5)
00.
f hat man auch
1 Im Ie -Ix-vl 4' lu(x, t) - u(z, t)1 :::; sup Ifl-- 1/ für (x, t) E an x [r,oo).
(4.2.35) (4.2.36)
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung
91
Nach Voraussetzung (4.2.26), (4.2.27) existiert zu jedem TJ ein T = T(TJ) mit
IcfJ(x, t)1 < TJ für x E fl, t;::: T b(x, t)1 < TJ für x E äfl, t;::: T.
(4.2.37) (4.2.38)
Wir setzen nun in (4.2.33)
T = T(TJ),
Co =
sup IW(X,T)I·
xEn
Dann gilt
m(x, T)
(,1- !)
± w(x, T) ;::: 0 für
x E fl nach (4.2.35); m(x, t) ± w(x, t) ;::: 0 für x E äfl, t;::: T nach (4.2.36), (4.2.38), (4.2.28);
(m(x, t) ± w(x, t)) ::; 0 für x E fl,
t;:::
T
nach (4.2.34), (4.2.37), (4.2.28). Aus Satz 4.1.1 (man überlege sich, daß es keine Rolle spielt, daß unsere Funktionen nun auf flx [T, 00) statt auf flx [0, 00) definiert und Anfangswerte auf fl x {T} vorgegeben sind) folgt nun
Iw(x, t)1 ::; m(x, t) für x
E
t >T
fl,
K1 -~(t-T) < _ TJ ( -K1 + -K1) + eo-e "1 K
KO
KO
und dies wird kleiner als ein vorgegebenes c, wenn TJ > 0 aus (4.2.37), (4.2.38) q.e.d. genügend klein und t > T(TJ) genügend groß gewählt wird.
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung Wir wollen zunächst eine Darstellungsformel für die Lösungen der Wärmeleitungsgleichung herleiten, die es uns erlaubt, die Funktionswerte von U zu einem Zeitpunkt T aus den Funktionswerten von u und der Normalenableitung von u auf ä* flT zu berechnen. Hierzu nehmen wir zunächst an, daß u die Wärmeleitungsgleichung löst und daß fl C lR d beschränkt ist und so gewählt sei, daß der Divergenzsatz erfüllt ist. verfülle Vt = -,1v auf ilT . Dann
0= {
lnT
v(Ut - ,1u)dxdt
92
4. Existenzverfahren 11
L(l T
V(X,t)ut(X,t)dt) dx
=
_foT
(L
VLlUdX) dt
~ In [V(X,T)U(X,T) - v(x,O)u(x, O) - !.T V'(X")U(X")d'] dx _foT ULlVdx) dt T!an (v :: - :~) dodt
(L
f
=
JnX{T}
-l
vudx -
f
Jnx{o}
U
vudx - (
f
Jo Jan
av (v au a - u a ) dodt.
v
v
(4.3.1)
Für v(x, t) := A(x, y, T
f
Jnx{T} Für c
-+
Audx =
f
+ c, t)
Jnx{o}
mit festem y E IRd gilt also wegen Vt = -Llv
Audx +
r (fJan (A aauv - u aaAv ) dO) dt. T
Jo
(4.3.2)
0 wird der Term auf der linken Seite zu lim
E:--+O
r A(x, y, T + c, T)u(x, T)dx = u(y, T).
Jn
Außerdem ist A(x, y, T+c, t) gleichmäßig stetig in c,x, t fürc ~ 0, x E an, und 0 ::; t ::; T bzw. für x E n, t = o. Daher folgt aus (4.3.2) für c -+ 0 u(y, T) =
l (l T
in
A(x, y, T, O)u(x, O)dx
(A(
)aA(x,y,T,t»)d)d x, y, T ,t )au(x,t)_ a u (x, t a o t. (4.3.3) o an v v Diese Formel löst jedoch noch nicht das Anfangs-Randwertproblem, da in (4.3.3) zusätzlich zu u(x, t) für x E an, t > 0 und u(x,O) auch noch die Normalenableitung ~~ (x, t) für x E an, t > 0 eingeht. Daher sollte man versuchen, A(x,y,T,t) durch einen Kern zu ersetzen, der auf an x (0,00) verschwindet. Dieser Aufgabe wollen wir uns nun zuwenden. Wir benötigen einige Vorbereitungen. +
n ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 im IRd . Dann < ~ + 1, T> 0 eine Konstante c = c(a, T, d, n) mit der
Lemma 4.3.1. Es sei
existiert zu jedem a Eigenschaft, daß für alle Xo, x E an, 0 von an bezeichnet,
< t ::; T, wenn v die äußere Normale
aK( x, Xo, t )1 ::; ct- 01 x lav x
Xo l- d +2o .
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung
93
Beweis.
8 1 8 Ir-"oI2 -K(x, Xo, t) = - - , I - e - 4' 8vx (47rt)~ 8vx 1 (x - xo) . V x _ 1"_'01 2 =--e 4/. . (47rt)~ 2t Weil der Rand von [] nach Voraussetzung eine C 2-Mannigfaltigkeit ist und x, Xo E 8n, V x normal an 8n ist, gilt
für eine von der Geometrie von 8n abhängige Konstante
8 1" 1 I 8vx K(x,xo, t) ~ C2t- r mit einer Konstanten Funktion
Cl.
Ix - xol 2 e- 1"_"01 4/
Also gilt
2
(4.3.4)
Wir betrachten nun für einen Parameter ß > 0 die
C2.
1jJ(s) := sße-·
für s > O.
Diese Funktion nimmt ihr Maximum für s = ß an, und daher gilt für alle s > o.
sße-· ~ ßße-ß
Wir setzen nun s
= Ix~~uI2 , ß = %+ 1 e_
wobei
C3
1,,-roI 2
~ C3
4'
von ß, d.h. von d und
IX -
Cl!
(4.3.5)
und erhalten aus (4.3.5)
Xo l- d -
2+ 2 o< 4+1-0
0). Wir setzen
v(x, t)
:= -
l° l t
an
Dann gilt
8K (x, y, rh(y, t - r)do(y)dr. -8 vy
v E COO(n x [0, T]),
n
( 4.3.8)
8K (xo, y, rh(Y, t - r}do(y)dr. -8
(4.3.9)
v(x,O) = 0 für alle x E und für alle Xo E 8n, 0
0, 8 > 0 zu studieren. Insbesondere können wir annehmen, daß TO und 8 so gewählt sind, daß zu vorgegebenem c > 0 für y E on, Iy - xol < 8, und 0 ~ T < TO
1'Y(xo, t) - 'Y(Y, t - T)I < c. Somit werden wir höchstens einen Fehler der Größenordnung c machen, wenn wir statt (4.3.10) das Integral
-
17"°1 o
oK
~(x,y,r)r(xo,t)do(y)dT
(4.3.11)
annB(xo,o) vl/y
auswerten. Indem wir dann den Faktor 'Y(xo, t) herausziehen, bleibt also nur zu zeigen, daß - lim
X-+Xo
17"°1 0
oK ~(x,
annB(xo,o) vl/y
y, r)do(y)dT = -21 + 0( 0
(4.3.17)
4.3 Das Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung
97
zu finden. Wir machen dazu mit einer noch zu bestimmenden Funktion 1(X, t) den Ansatz
u(x, t) = -
l° la
aK y, t - r)"{(y, r) do(y) dr. !'l(x,
t
an
(4.3.18)
ul/y
(4.3.9) und (4.3.17) ergeben als Gleichung für 1 für Xo E an
l° la t
1 g(xo, t) = -1(Xo, t) -
an
2
also
l° la t
1(Xo, t) = 2g(xo, t) + 2
an
aK !'l(xo, y, t - r)"{(y, r) do(y) dr, ul/y
aK !'l(xo, y, t - r)"{(y, r) do(y) dr.
(4.3.19)
ul/y
Dies ist nun eine Fixpunktgleichung für 1, und man kann versuchen, sie durch eine Iteration zu lösen, also für alle Xo E an
1o(Xo, t) = 2 g(xo, t) 1n(XO, t) = 2g(xo, t)
+2
für n E N.
l° la t
an
Rekursiv erhält man
1n(XO, t) = 2g(xo, t)
+2
tr
aK !'l(xo, y, t - r)"{n-1(y, r) do(y)dr ul/y
t
Jo Jan v=l
Sv(xo, y, t - r)g(y, r) do(y)dr (4.3.20)
mit
aK
Sl(XO,y,t) = 2!'l(xo,y,t)
l° l
ul/y
Sv +1 (xo, y, t) = 2
t
an
aK y, r) do(z) dr. Sv(xo, z, t - r)!'l(z, ul/y
Um zu zeigen, daß diese Iteration tatsächlich eine Lösung liefert, müssen wir nachweisen, daß die Reihe
L Sv(xo, y, t) 00
S(xo, y, t) = konvergiert. Wenn wir in Lemma 4.3.1 wieder
Cl!
v=l
= 3/4 wählen, erhalten wir
98
4. Existenzverfahren II
Iterativ folgt ISn(xo, y, t)1 :S cnC1+* Ixo _ YI-(d-1)+~ .
Wir wählen n = max(4, 2(d - 1)), damit beide Exponenten positiv sind. Gilt nun ISm(xo, y, t)1 :S ßmt o.
Wir haben hier Anfangswerte vorgegeben,
u(x, 0) = f(x)
für x E n,
und wenn n einen Rand an besitzt, auch Randwerte
u(y, t) = g(y, t)
für y E an, t
~
O.
Wir haben insbesondere die euklidische Fundamentallösung
1 !x_u!2 4t K(x,y,t) = ---,I e - -
(47Tt) 2
betrachtet und hieraus durch Faltung die Lösung
u(x, t) =
r K(x, y, t)f(y)dy
J.ntd
des Anfangswertproblems auf dem ]Rd konstruiert. Falls n ein beschränktes Gebiet der Klasse C 2 ist, haben wir auch den Wärmeleitungskern q(x, y, t) für n gefunden und das Anfangs-Randwertproblem durch
Übungen
u(x, t) =
1 n
q(x, y, t)f(y)dy -
t r
Jo Jan
~q (x, z, t -
ullz
107
T)g(Z, T)do(z)dT
gelöst. Insbesondere ist u(x, t) wegen der entsprechenden Regularitätseigenschaften des Kerns q(x,y,t) für xE {l, t > von der Klasse Coo. Die Lösungen erfüllen ein Maximumprinzip dergestalt, daß ein Maximum oder Minimum nur auf {l x {o} oder 8{l x [0,00) angenommen werden kann, und sind eindeutig. Im Falle, daß die Randwerte g(y) nicht von t abhängen, strebt u(x, t) für t --> 00 gegen eine Lösung des Dirichletproblems für die Laplacegleichung
°
°
.1u(x) = in {l u(x) = g(x) für x
E 8{l.
Dies liefert einen neuen Beweis für die Existenz einer Lösung dieses Problems, wenngleich unter stärkeren Einschränkungen an das Gebiet {l im Vergleich zu dem in Kapitel 3 gegebenen Existenzbeweis. Dafür ist der hier angegebene Beweis konstruktiver in dem Sinne, daß er eine explizite Vorschrift angibt, wie man von einem gegebenen Zustand f zu dem gewünschten harmonischen Zustand gelangt.
Übungen 4.1 Es sei
{l C ]Rd
beschränkt
{lT := {l
x (0, T)
d" 82 d, 8 L:= ' " a'l(x, t)~ + '" b'(x, t)!'l" 6 ux'ux1 6 ux' i,j=l
sei für alle (x, t)
E {lT
i=l
ellitptisch, und es gelte Ut ::;
wobei CO({lT) bezüglich x E stetig differenzierbar sei. Dann gilt
{l
zweimal und bezüglich t E (0, T) einmal
supu
nT
Lu,
= sup
a*nT
u.
4.2 Leiten Sie unter Verwendung des Wärmeleitungskerns A(x, y, t, 0) = K(x, y, t) eine Darstellungsformel für Lösungen der Wärmeleitungsgleichung auf {lT mit beschränktem {l C ]Rd und T < 00 her. 4.3 Man zeige für K wie in 2)
° °
K(x,O,s+t)
a) falls s, t > b) falls < t < -so
=
r K(x,y,t)K(y,O,s)dy
J[{d
108
4. Existenzverfahren 11
4.4 Sei E das Gitter aus Punkten (x, t) der Form x = nh, t = mk, (n, mE Z, m ~ 0) und v die Lösung der diskretisierten Wärmeleitungsgleichung v(x, t + k) - v(x, t) _ v(x k
+ h, t) -
2v(x, t) h2
+ v(x -
h, t) = 0
mit v(x,O) = I(x) E CO (lR.). Man zeige, daß für =
-b ! gilt:
v(nh, mk) = Tm
f: (rr:) j=O
Folgern Sie hieraus, daß
J
I((n - m
sup lvi ~ sup 1/1. E
R
+ 2j)h).
5. Exkurs: Die Wellengleichung und ihre Beziehungen zur Laplace- und Wärmeleitungsgleichung
5.1 Die eindimensionale Wellengleichung Die Wellengleichung ist die partielle Differentialgleichung {)2 {)t 2u(x, t)
- Llu(x, t) = 0 für x E fl C JRd, t E (0,00) oder tE IR.
(5.1.1)
t wird wie bei der Wärmeleitungsgleichung als zeitliche, x als räumliche Variable betrachtet. Wir wollen zunächst zur Veranschaulichung den Fall betrachten, wo die "räumliche" Variable x eindimensional ist. Wir schreiben die Wellengleichung dann als Utt(x, t) - uxx(x, t) = O.
(5.1.2)
Es seien 'P, 'l/J E C 2 (JR). Dann ist offensichtlich u(x, t) = 'P(x
+ t) + 'l/J(x -
t)
(5.1.3)
eine Lösung von (5.1.2). Hieraus kann man schon die wichtige Beobachtung vornehmen, daß im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung Lösungen der Wellengleichung nicht unbedingt für t > 0 regulärer als zur Zeit t = 0 sein müssen, insbesondere nicht von der Klasse Coo. Wir werden hierzu noch Näheres sagen können, wollen aber zunächst den Ansatz (5.1.3) plausibler machen: 'P(x + t) löst (5.1.4) 'Pt - 'Px = 0, 'l/J(x - t) löst
'l/Jt + 'l/Jx = 0,
(5.1.5)
und der Wellenoperator (5.1.6) läßt sich schreiben als (5.1.7) J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
110
5. Die Wellengleichung
also als Produkt der beiden Operatoren, die in (5.1.4), (5.1.5) auftreten. Dies legt es auch nahe, die Variablentransformation ~=x+t,
TJ=x-t
(5.1.8)
vorzunehmen. Dann wird die Wellengleichung (5.1.2) zu (5.1.9) und für eine Lösung muß ue unabhängig von TJ sein, also
Ue = cp' (~) (wobei,,'" wie üblich eine Ableitung bedeutet) und daher
U=
Jcp'(~)
+ 'lj;(TJ) = cp(~) + 'lj;(TJ)·
(5.1.10)
Daher ist durch (5.1.3) sogar die allgemeine Lösung der Wellengleichung (5.1.2) gegeben. Da diese Lösung zwei willkürliche Funktionen enthält, lassen sich für t = 0 zwei Daten vorgeben, nämlich Anfangswerte und Anfangsableitungen, wiederum im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung, wo wir nur Anfangswerte wählen konnten. Wir bekommen aus den Vorgaben
also
f(x) cp(x) = -2-
1
(5.1.11)
cp(x) + 'lj;(x) = f(x) cp'(x) - 'lj;'(x) = g(x)
(5.1.12)
r
(5.1.13)
+ "2 10 g(y)dy + c
11
'lj;(x) = -f(x) - 2
U(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x)
2
0
x
g(y)dy - c mit einer Konstanten c.
Also
Satz 5.1.1. Die Lösung des Anjangswertproblems
Utt(x, t) - uxx(x, t) = 0 für u(x,O) = j(x), Ut(x,O) = g(x) ist durch
xE
R., t > 0
5.2. Die Mittelwertmethode
u(x, t) = cp(x + t)
+ 1jJ(x -
t)
1 {J(x + t) + f(x =2
tn + -211 + g(y) dy x t
x-t
gegeben. (Damit u E C 2 ist, müssen wir hierbei f E C 2 , 9 E Cl fordern.)
111
(5.1.14)
q.e.d.
Die Darstellungsformel (5.1.14) beleuchtet noch einen weiteren Unterschied zwischen der Wellengleichung und der Wärmeleitungsgleichung. Für letztere hatten wir nämlich eine unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit festgestellt, daß nämlich eine Änderung der Anfangswerte in einem lokalisierten Bereich die Lösung für beliebig kleines t > 0 sofort überall in ihrem ganzen Definitionsbereich beeinflußt. u aus (5.1.14) ist dagegen im Punkte (x, t) schon durch die Werte von fund 9 in dem Intervall [x - t, x + tJ bestimmt, d.h. für den Wert u(x, t) spielt es überhaupt keine Rolle, wie die Anfangswerte fund 9 außerhalb dieses Intervalls gewählt sind. Umgekehrt beeinflussen diese Anfangswerte im Punkte (y,O) auf der x-Achse den Wert von u(x, t) nur in dem Kegel y - t ~ x ~ y + t. Da die diesen Bereich begrenzenden Strahlen die Steigung 1 haben, ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit für Störungen in den Anfangswerten für die Wellengleichung also 1.
5.2 Die Mittelwertmethode: Lösung der Wellengleichung mittels der Darbouxschen Gleichung Es sei v E C°(lR d), xE JRd, r
> O. Wie in § 1.2 betrachten wir den sphärischen
Mittelwert
S(v,x,r) = dw 1d-l dr
(
JaB(x,r)
v(y)do(y).
(5.2.1)
Wir setzen für r > 0 S(v,x,-r) = S(v,x,r) und haben S(v,x,r) so als gerade Funktion von rE JR definiert. Da trS(v,x,r)lr=o = 0 ist, bleibt die so fortgesetzte Funktion auch genügend oft differenzierbar.
Satz 5.2.1 (Gleichung von Darboux). Es gilt für v
E
C 2(JRd)
8 d-18) ( ßr 2 + -r-8r S(v,x,r) = L1 x S(v,x,r). Beweis. Es ist
S(v, x, r) = dw1
(
d
und daher
JI~I=1
v(x + r~) do(~),
(5.2.2)
112
5. Die Wellengleichung
: S(v, x, T) = T
~
d
1
wobei
1
1{1=1 i=l
= dw 1Td d
d
L
1
1/
:Vi (x X
+ Te)e i do(e)
8 V(Y) do(y), 8I/ 8B(x,r) die äußere Normale von B(x, T) ist
r
= dw 1d-l Llv(z) dz J B(x,r) dT nach dem Gaußschen Integralsatz. Hieraus folgt nun
1
(5.2.3)
d -1d 88 2S(v,X,T)=-dw Llv(z)dz+dw 1d-l Ja Llv(y)do(y) T dT B(x,r) dT 8B(x,r) 2
d-18 1 = ----8 S(V,X,T) + dw d-l Llx T
dT
T
1
8B(x,r)
v(y)do(y), (5.2.4)
denn es ist
Ll x
r
J8B(x,r)
v(y) do(y) = Ll x
r
JaB(xQ,r)
v(x - Xo
+ y) do(y)
r Llxv(x - Xo + y) do(y) = r Llv(y) do(y). JaB(x,r)
=
JaB(xQ,r)
q.e.d.
(5.2.4) ist gleichwertig zu (5.2.2).
Korollar 5.2.1. u(x, t) sei eine Lösung des Anfangswertproblems für die
Wellengleichung Utt(x, t) - Ll(x, t) = 0 fÜT X E JRd, t > 0 u(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x). Wir setzen M(U,X,T,t):= dw
Id_l
dT
r
J8B(x,r)
u(y,t)do(y)
(5.2.5)
(5.2.6)
als Täumlichen Mittelwert. Dann gilt
8 2
at2M(u,X,T,t) =
(88T2 + -T-8T d-18) M(U,X,T,t). 2
(5.2.7)
5.2. Die Mittelwertmethode
113
Beweis. Es ist nach der ersten Zeile von (5.2.4) 82 ( 8r2
d-18) + -r-8r
I! dwd~d-l !
M(u,x,r,t) = dwd rd - 1
L\yu(y,t)do(y)
8B(x,r)
=
:t22 u(y, t) do(y),
8B(x,r)
da u die Wellengleichung löst,
82
= 8t 2M (u,x,r,t).
q.e.d.
Zur Abkürzung setzen wir w(r, t) := M( u, x, r, t).
(5.2.8)
w löst also die Differentialgleichung Wtt
= W rr
d-1
+ - -r W r
(5.2.9)
mit Anfangsdaten w(r,O) = 8(f, x, r)
= 8(g, x, r). Raumdimension d = 3 löst für
(5.2.10)
wt(r,O)
Im Falle der eine Lösung dann v := rw die eindimensionale Wellengleichung Vtt
W
von (5.2.9) (5.2.11)
= Vrr
mit Anfangsdaten v(r,O) = r8(f,x,r)
(5.2.12)
vt(r,O) = r8(g, x, r).
Nach Satz 5.1.1 folgt hieraus rM(u,x, r, t) =
1
"2 {(r + t)8(f, x, r + t) + (r -
11
+"2
r t
r-t+ p8(g,x,p)dp,
also, da 8(f,x,r) und 8(g,x,r) gerade in r sind,
t)8(f,x, r - t)}
(5.2.13)
114
5. Die Wellengleichung
1
M(u,x,r,t) = 2r {(t + r)S(f,x,r + t) - (t - r)S(f,x,t - r)} 1 +-2 r
l
t r
+ pS(g,x,p)dp. t-r
(5.2.14)
°
Wir wollen in dieser Formel r gegen streben lassen. Wegen der Stetigkeit von u gilt M(u, x, 0, t) = u(x, t), (5.2.15) und wir erhalten
o
u(x, t) = tS(g, x, t) + Ot (tS(f, x, t)).
(5.2.16)
Nach unseren vorstehenden Schlußweisen muß sich jede C 2-Lösung des Anfangswertproblems (5.2.5) der Wellengleichung auf diese Weise darstellen lassen, und wir erhalten
Satz 5.2.2. Die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems für die Wellengleichung in 3 Dimensionen,
°
Utt(x, t) - Llu(x, t) = für u(x,O) = f(x) Ut(x,O) = g(x) für gegebene f
>
°
(5.2.17)
C 3 (]R3), gE C 2 (]R3) läßt sich darstellen' als
E
u(x, t) = 4:t 2
xE ]R3, t
r
J 8B(x,t)
(tg(y)
+ f(y) + tfYi(y)(yi i=l
Xi)) do(y).
(5.2.18)
Beweis. Zunächst liefert (5.2.16) u(x, t) =
41t r 7f
J8B(x,t)
g(y)do(y)
+ ~t v
(41t r 7f
JaB(x,t)
f(y)dO(y)),
(5.2.19)
Um die Differentiation unter dem Integralzeichen auszuführen, muß man den Mittelwert von f wieder auf die Einheitssphäre zurücktransformieren, also 1 -4 7ft
r
J8B(x,t)
f(y)do(y) = 4t
7f
1
Izl=l
f(x
+ tz)do(z)
schreiben. Aus der Darbouxschen Gleichung folgt, daß u aus (5.2.19) die Wellengleichung erfüllt, und die korrekten Anfangsdaten ergeben sich aus den Beziehungen
S(w,x,O) = w(x) , für jedes stetige w.
o
arS(w,x,r)lr=o = 0 q.e.d.
5.3 Die Energieungleichung
115
Eine wichtige Beobachtung, die sich aus (5.2.18) ergibt, ist, daß in der Dimension 3 (und daher auch in höheren Dimensionen) eine Lösung der Wellengleichung sogar weniger regulär als die Anfangswerte sein kann. Wenn nämlich u(x,O) ECk, Ut(x,O) E C k- 1 ist, so impliziert dies nur u(x,t) E ck-l, Ut(x, t) E C k - 2 für positives t. Außerdem können wir ähnlich wie im Falle d = 1 die Abhängigkeitsgebiete und Einflußbereiche der Anfangsdaten bestimmen. Bemerkenswerterweise hängt der Wert von U im Punkte (x, t) sogar nur von den Anfangsdaten auf der Sphäre 8B(x, t) ab, nicht aber von den Werten im Innern der Kugel B(x, t). Dies ist das sogenannte Huygenssche Prinzip. Dieses Prinzip gilt jedoch nur in ungeraden Dimensionen > 1, nicht aber in geraden Dimensionen. Wir wollen uns dies für den Fall d = 2 klarmachen. Eine Lösung der Wellengleichung für d = 2 kann offensichtlich als eine von der dritten Raumkoordinate x 3 unabhängige Lösung für d = 3 angesehen werden. Wir setzen daher x 3 = in (5.2.19) und erhalten dann durch Integration auf der Sphäre 8B(x, t) = {y E ]R3 : (yl - x l )2 + (y2 _ x 2)2 + (y3)2 = t 2} mit dem Oberflächenelement
°
do(y) =
lyt3 1dy 1dy 2 ,
da die Punkte (yl, y2, y3) und (yl, y2, _y3) den gleichen Beitrag liefern,
U(X 1 ,x2,t) =
~
r
g(y)
dy
27f } B(x,t) Jt2 -Ix _ Yl2
+~ (~ r 8t
f(y)
211' JB(x,t) Jt2 _
Ix _ Yl2
dY)
'
wobei x = (Xl, x 2), Y = (yl, y2) und die Kugel B(x, t) jetzt zweidimensional zu verstehen sind. Als Abhängigkeitsgebiet für den Wert von u im Punkte (x, t) ergibt sich jetzt also die ganze Kreisscheibe B(x, t) und nicht nur ihr Rand 8B(x, t). Referenz für 5.1, 5.2: F. John[7].
5.3 Die Energieungleichung und der Zusammenhang mit der Wärmeleitungsgleichung Es sei
U
eine Lösung der Wellengleichung
Utt(x, t) - Llu(x, t) = Wir definieren die Energienorm von
U
°
als
für x E
]Rd,
t > O.
(5.3.1)
116
5. Die Wellengleichung
(5.3.2) Es gilt
(5.3.3) falls u(x, t) = 0 für genügend großes lxi (wobei dies von t abhängen darf, so daß diese Rechnung auf Lösungen von (5.3.1) mit Anfangswerten mit kompaktem Träger angewandt werden darf). Auf diese Weise läßt sich auch leicht die folgende Aussage über das Abhängigkeitsgebiet einer Lösung von (5.3.1) beweisen, welche die diesbezüglichen Überlegungen aus § 5.2 für beliebige Raumdimensionen partiell verallgemeinert:
Satz 5.3.1.
U
löse {5.3.1} mit u(x,O)
K
= f(x)
,
Ut(x,O)
= O.
:= supp f (:= {x E ]Rd : f(x) :I O})
Dann gilt
(5.3.4)
sei kompakt.
U(x, t) = 0 für dist(x, K) > t.
(5.3.5)
Beweis. Wir zeigen, daß aus f(y) = 0 für alle y E B(x, T) u(x, T) = 0 folgt, was zur Behauptung gleichwertig ist. Wir setzen (5.3.6) und erhalten wie in (5.3.3) (vgl. (1.1.1))
ddE = t
=
r r
J B(x,T-t)
{utUtt
JaB(x,T-t)
+ L UyiUyit } dy -
U {Ut Ö ö v
1 -2
1 -2
r
JaB(x,T-t)
{U~ + L U~i} do(y)
(U~+ LU~i)}dO(Y).
Nach der Schwarzsehen Ungleichung ist der Integrand nicht positiv, und es folgt dE Ti :::; 0 für t > O.
5.3 Die Energieungleichung
117
Da nach Annahme E(O) = 0 und E nicht negativ ist, ist
E(t) = 0 für alle t und daher
u(y, t) = 0 für
::;
T
Ix - yl ::; T
- t,
also insbesondere wie gewünscht
u(x,T) =
o. q.e.d.
Satz 5.3.2. Wie in Satz 5.3.1 sei u eine Lösung der Wellengleichung mit Anfangswerten
u(x, 0) = f(x)
mit kompaktem Träger
und Ut(x,O) = O. Dann liefert v(x, t) :=
/00 e~U(X, s)ds -00 y47ft
eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung
Vt(x, t) - Llv(x, t) = 0 für xE JRd, t > 0 mit Anfangswerten v(x,O) = f(x). Beweis. Daß v die Wärmeleitungsgleichung löst, folgt durch Differentiation unter dem Integralzeichen:
8 -;:lv(x, t) = ut
=
/00-00 8 (e-?) u(x, s)ds v - ; : l . r;c;.
ut
47ft
J (e-?) oo
-00
82 !l"2 uS
r;c;.
v 47ft
u(x, s)ds,
da der Kern die Wärmeleitungsgleichung löst, 00 e-f.. 8 2 r;c;.!l"2u(x, s)ds
-00 y47ft = /00 e~Llxu(X,S)dS, v 47ft
=
/
uS
-00
da u die Wellengleichung löst, = Llv(x, t), wobei wir uns hier die detaillierte Rechtfertigung der auftretenden Vertauschungen von Differentiation und Integration schenken. Daß v(x,O) = u(x,O) = f(x) gilt, folgt wie in § 4.1. q.e.d.
118
5. Die Wellengleichung
Zusammenfassung In diesem Kapitel haben wir die Wellengleichung
82 8t 2 u(x, t) - Llu(x, t) = 0 für x
E
JRd, t > 0
mit Anfangsdaten u(x,O) = f(x)
8 8t u(x, 0) = g(x) studiert.. Im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung sind Lösungen nun nicht mehr regulärer als die Anfangsdaten, es kann sogar im Falle d > 1 ein Regularitätsverlust eintreten. Wie bei der Laplacegleichung spielen auch für die Wellengleichung Mittelwertbildungen eine große Rolle und erlauben es hier, die Wellengleichung für d > 1 auf die Darbouxsche Gleichung für die Mittelwerte zu reduzieren, welche ebenfalls hyperbolisch ist, aber nur noch eine räumliche Variable enthält. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit ist im Gegensatz zur Wärmeleitungsgleichung endlich. Störungen setzen scharf ein, und im Falle ungerader Raumdimensionen setzen sie auch scharf wieder aus (Huygenssches Prinzip). Die Energie
ist zeitlich konstant. Durch geeignete Mittelung erhält man aus einer Lösung der Wellengleichung eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung.
Übungen 5.1 Wir betrachten die räumlich eindimensionale Wellengleichung Utt -
U xx
= 0
für 0 < x < 7r, t > 0 mit Anfangsdaten
=L 00
u(x,O)
n=l
und Randwerten
=L 00
an sin nx,
Ut(x, 0)
n=l
ßn sin nx
Übungen
u(O, t)
119
= U(1I', t) = 0 für alle t > O.
Man stelle die Lösung als Fourierreihe
= I: 'Yn(t) sin nx 00
u(x, t)
n=l
dar und berechne die Koeffizienten 'Yn(t). 5.2 Wir betrachten die Gleichung Ut
+ CU x = 0
für eine Funktion u(x, t), x, t E IR, wobei c eine Konstante ist. Zeigen Sie, daß längs jeder Geraden der Form x - ct
=
const.
=e
u konstant ist, und daher die allgemeine Lösung durch u(x, t)
= I(e) =
I(x - ct)
gegeben ist, wobei die Anfangswerte u(x, 0) rentialgleichung das Huygenssche Prinzip?
= I(x) sind. Gilt für diese Diffe-
5.3 Wir betrachten die allgemeine quasilineare Differentialgleichung für eine Funktion u(x, y) von zw~i Veränderli~hen
+ 2buxy + CU yy = d,
au xx
wobei a, b, c, d von x, y, u, U x und u y abhängen dürfen. Wir betrachten eine Kurve 'Y(s) = ( 0 einen Operator
wobei c~ die Klasse der stetigen und beschränkten Funktionen bezeichnet, durch (Pd)(x) = u(x, t) (6.1.4) mit u aus (6.1.2). Nach Lemma 4.2.2 gilt
Pof := !im Pd = f,
(6.1.5)
t-o
d.h. Po ist der Identitätsoperator. Bemerkenswerterweise gilt nun auch für t l , t2
~
0 (6.1.6)
Ausgeschrieben bedeutet dies, daß für alle
1 IRd
1
-----.,1
(47r (tl
+ t2)) '2"
J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
f
E
1~-uI2
cg(lR d )
e- 4 ('t+t2) f(y)dy =
122
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
{
1
JJRd
d
(411"t2)~
e-
1"'«;1
2
1
(
JJRd
d
(411"td~
e - l-i,~12 I(y) dy dz.
(6.1. 7)
Dies folgt aus der Formel
1 1",_,,1 2 - - - - -...... e- 4('1+'2)
(411" (tl
+ t2))~
-
111m
- (411"t2)~ (411"td~
e-
l"'i ol2 '2
1_-111 2
e--:rtt dz
JRd
'
(6.1.8) die man durch Rechnung nachweisen kann (vgl. auch Aufgabe 3 von Kapitel 4). Es gibt jedoch noch einen allgemeineren und tieferen Grund für die Gültigkeit von (6.1.6): Pt1 +t2 1(x) ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung mit Anfangswerten 1 zur Zeit tl +t2. Zur Zeit tl hat diese Lösung den Wert ptJ(x). Pt2 (Pt J)(x) dagegen ist die Lösung der Wärmeleitungsgleichung zur Zeit t2 mit Anfangswerten Pt} f. Da die Lösung der Wärmeleitungsgleichung in der Klasse der beschränkten Funktionen nach Satz 4.1.2 eindeutig ist, und die Wärmeleitungsgleichung invariant unter Zeittranslationen ist, muß es dasselbe Resultat ergeben, wenn man zur Zeit 0 mit den Anfangswerten Pt1 1 startet und die Lösung zur Zeit t2 betrachtet, oder wenn man zur Zeit tl mit den Werten Pt! 1 startet und die Lösung zur Zeit tl + t2 betrachtet, denn der Zeiturtterschied ist in beiden Fällen der gleiche. Dieses Argument überträgt sich auch auf das Anfangswertproblem, da nach Korollar 4.1.1 auch hier die Lösungen eindeutig sind. Es gilt also auch: Satz 6.1.1. D C ]Rd sei beschränkt und von der Klasse C 2 , g : aD stetig. Für jedes 1 E cg (D) sei dann
-4
IR
Pn,g,d(x) die Lösung u(x, t) des Anlangswertproblems Llu -
Ut
= 0
in
D x (0,00)
u(x, t) = g(x)
für x E aD
u(x, 0) = I(x)
für xE D.
(6.1.9)
Dann gilt Pn ,9,01
= t'\.o' !im Pn 9 ,tl = 1
für alle
Pn,9,t1 +t2 = Pn,g,t2
0
1 E CO(D)
Pn,g,t}.
(6.1.10) (6.1.11) q.e.d.
Korollar 6.1.1. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.1.1 gilt für alle t o 2:
o und für alle 1 E Cg(D)
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
123
Pngtof lim Pngt/. • • = t'-to' • q.e.d. Wir fassen das gerade explizierte Phänomen in eine allgemeine Definition:
Definition 6.1.1. B sei ein Banachraum, Tt : B lineare Operatoren mit
-t
B seien für t
~
0 stetige
(i) To = Id (ii) T t1 +t2 = T t2 0 Tt1 für alle tl, t2 ~ 0 (iii) limt-+to Ttv = T to v für alle to ~ 0 und alle v E B. Dann heißt die Familie {Ttlt~o eine stetige Halbgruppe (von Operatoren). Ein anderes, einfacheres Beispiel einer Halbgruppe ist das folgende: Es sei B der Banachraum der beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen auf [0,00). Wir setzen für t ~ 0
Td(x) := f(x
+ t).
(6.1.12)
Dann sind alle Bedingungen aus Definition 6.1.1 erfüllt. Diese Halbgruppe wie auch aufgrund des Maximumprinzips die Wärmeleitungshalbgruppe erfüllen auch die folgende
Definition 6.1.2. Eine stetige Halbgruppe {Ttlt>o von stetigen linearen Operatoren eines Banachraumes B mit Norm 11·11 heißt kontrahierend, falls für alle v E B und alle t ~ 0 liTtvII ::; Ilvll·
(6.1.13)
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen Wenn die Anfangswerte f(x) = u(x, 0) einer Lösung der Wärmeleitungsgleichung Ut(x, t) - Llu(x, t) = 0 (6.2.1) von der Klasse C 2 sind, so erwarten wir
Um u(x, t) - u(x, 0) = Ut(x, 0) = Llu(x, O) = Llf(x), t
t'-O
oder in der Notation
u(x, t)
(6.2.2)
= Pt/(u)
des vorigen §,
lim ~(Pt - Id)f = Llf·
t,-O t
Wir wollen dies nun abstrakter fassen und verifizieren
(6.2.3)
124
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
Definition 6.2.1. {Ttlt~o sei eine stetige Halbgruppe auf einem Banachraum B. Wir setzen D(A) := {v E B : lim
~(Tt -
t"'O t
Id)v existiert} C B
(6.2.4)
und nennen den linearen Operator A: D(A)
-+
B,
definiert durch - Id)v, "'0 ~(Tt t
(6.2.5)
Av := Um t
den infinitesimalen Erzeuger der Halbgruppe {Ttl.
Da 0 in D(A) liegt, ist D(A) nicht leer.
Lemma 6.2.1. Für alle v E D(A) und alle t 2: 0 gilt
(6.2.6) A vertauscht also mit allen T t . Beweis. Für v E D(A) gilt TtAv = T t lim
~(Tr -
r"'OT
Id)v
1 = lim -(TtTr - Tt)v, r'"O T
1
= lim -(TrTt - Tt)v, r'"O T
.
1
= hm -(Tr r'"OT
-
da Tt stetig und linear ist wegen der Halbgruppeneigenschaft
Id)Ttv
= ATtv. q.e.d.
Insbesondere ist also mit v auch Ttv E D(A). Insofern findet kein Regularitätsverlust von Ttv gegenüber v( = Tov) statt. Wir benötigen im folgenden die Notation J>.v:=
fooo >..e->,sTsvds
für>..
>0
(6.2.7)
für eine kontrahierende Halbgruppe {Tt}. Das Integral kann hierbei im Riemannschen Sinne verstanden werden, für eine banachraumwertige Funktion. Die übliche Definition durch Grenzwerte von Treppenfunktionen überträgt
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
125
sich leicht auf den banachraumwertigen Fall. Die Konvergenz des uneigel1tlichen Integrals folgt aus der aufgrund der Kontraktionsannahme gültigen Abschätzung
und der Vollständigkeit von B. Da (6.2.8) stellt J>.v ein gewichtetes Mittel der auf v angewandten Halbgruppe {Ttl dar. Da
1!J>.vll :$1
00
:$ II v
>.e->'SIITsvll ds
ll1
00
>.e->'Sds
wegen der Kontraktionseigenschaft :$ nach (6.2.8) ist, ist J>. : B I!J>.II :$ 1.
IIvll -+
(6.2.9)
B ein beschränkter linearer Operator mit Norm
Lemma 6.2.2. Für alle v E B gilt
(6.2.10)
Beweis. Wegen (6.2.8) gilt
Es sei für §
Es sei nun > 0, daß
§
>0
€
>
°
gegeben. Da Tsv stetig in s ist, existiert dann ein solches IITsv -
€
vII < 2"
für
°
:$ s :$ §
126
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
und daher auch C {5
11 ~ 2 io Für jedes fJ
>..e->'Sds
0 existiert nun aber auch ein solches >"0 E lR, daß für alle >.. ~ >"0
I~ ~
1
00
>..e->'s (lITsvll + IlvII) ds
~ 2 \Iv \I
1
00
>..e->'Sds wegen der Kontraktionseigenschaft
c
< 2' q.e.d.
Hieraus folgt leicht (6.2.10).
Satz 6.2.1. {Tth>o sei eine kontrahierende Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger A. Dann-ist D{A) dicht in B. Beweis. Wir zeigen, daß für alle>.. > 0 und alle v E B
J>.v E D{A}.
{6.2.11}
Da aus Lemma 6.2.2 folgt, daß
dicht in B liegt, liefert dies die Behauptung. Es gilt
~{Tt t
Id}J>.v =
~ {oo >..e->,sTt+svds _ ~ {oo >..e->,sTsvds, t
io
t
io
da T t stetig und linear ist,
11
= -
t
00
e>.t-- 1 =-
t
=
11
>..e>.te->.uT. vdu - -
1
t U t
e>.t - 1
00
0
>..e->'uT. v du - -1
t U t
00
>..e->'sT. vds
1 t
0
s
>..e->'sT v ds s
({tio >..e->'uTuvdu) - t1 iot >..e->,sTsvds.
--t- hv -
Der letzte Term strebt, weil der Integrand stetig in s ist, für t -+ 0 gegen ->"Tov = ->..v, während der erste Term in der letzten Zeile gegen >"J>.v strebt. Dies impliziert die Formel
Ahv = >"{h -Id)v für alle v E B, die zeigt, daß {6.2.11} gilt.
{6.2.12}
q.e.d.
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
127
Wir definieren nun für eine kontrahierende Halbgruppe {Tth>o Operatoren durch
DtTtv := h_O lim -h1 (Tt+h - Tt) v,
(6.2.13)
wobei D(DtTt ) der Unterraum von B ist, wo dieser Limes existiert. Lemma 6.2.3. v E D(A) impliziert v E D(DtTt ), und es gilt (6.2.14)
Beweis. Die zweite Gleichung wurde schon in Lemma 6.2.1 bewiesen. Daher ist für v E D(A) (6.2.15) (6.2.15) bedeutet, daß die rechtsseitige Ableitung bezüglich t von Ttv für alle v E D(A) existiert und stetig in t ist. Dies impliziert aber bekanntlich, daß dann auch die linksseitige Ableitung existiert und mit der rechten übereinstimmt, woraus die gewünschte Differenzierbarkeit und (6.2.14) folgt. (Der Beweis der Aussage über die beidseitige Differenzierbarkeit verläuft so: f : [0,00) ~ B sei stetig und für alle t 2: 0 existiere die rechtsseitige Ableitung d+ f(t) := limh'-,.o k(f(t + h) - f(t)) und sei stetig. Dann folgert man aus der Stetigkeit von d+ f, daß auf jedem Intervall [0, Tl diese Limesbeziehung sogar gleichmäßig in t gilt. Um zu zeigen, daß f differenzierbar mit Ableitung d+ f ist, schließt man nun
~~ II~ (J(t) -
f(t - h)) - d+ f{t)
: : ; l~ Ilx(J«t - h) + h) -
11
f{t - h)) - d+ f{t -
h)1I +
lim Ild+f(t - h) -d+f(t)11
h'-,.O
= o. ) q.e.d. Satz 6.2.2. Für A > 0 ist der Operator (AId - A) : D(A) ~ B invertierbar (A infinitesimaler Erzeuger einer kontrahierenden Halbgruppe), und es gilt (6.2.16)
also (6.2.17)
128
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
Beweis. Damit (.\Id - A) invertierbar ist, müssen wir zunächst zeigen, daß (Ald - A) injektiv ist, also ausschließen, daß ein Vo E D(A), Vo ::I 0, mit .\Vo = Avo
(6.2.18)
existiert. Für ein solches Vo würde nach (6.2.14) DtTtvo = TtAvQ = .\TtvQ
(6.2.19)
sein, und daher (6.2.20) Da .\ > 0 ist, verletzte dies aber im Falle Vo
::I 0 die Kontraktionseigenschaft
Daher ist (.\Id - A) invertierbar für .\ > O. Um nun die Formel (6.2.16) zu erhalten, gehen wir von (6.2.12) aus, also
und erhalten (6.2.21) Daher bildet (.\Id-A) das Bild von JA in bijektiver Weise auf B ab. Da dieses Bild nach (6.2.11) in D(A) liegt und (.\Id - A) injektiv ist, muß (.\Id - A) dann auch D(A) in bijektiver Weise auf B abbilden. Daher muß D(A) mit dem Bild von JA übereinstimmen, und aus (6.2.21) folgt dann (6.2.16). q.e.d. Lemma 6.2.4 (Resolventengleichung). Unter den Voraussetzungen von Satz 6.2.2 gilt für A, Jl > 0
R(.\, A) - R(Jl, A)
= (p, -
.\)R(.\, A)R(p" A).
(6.2.22)
Beweis. R(.\, A) = R(.\, A)(p,Id - A)R(Jl, A)
+ (.\Id - A))R(JL, A) .\)R(.\, A)R(JL, A) + R(JL, A)
= R(.\, A)((JL - .\)Id = (JL -
q.e.d. Wir wollen nun in den beiden von uns betrachteten Beispielen mittels des vorstehenden Formalismus die infinitesimalen Erzeuger ausrechnen. Wir beginnen mit der Translationshalbgruppe: B sei also der Banachraum der beschränkten, gleichmäßig stetigen Funktionen auf [0, 00), Td(x) = f(x+ t) für f E B, x, t ~ O. Dann ist
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
129
(6.2.23) und daher
d dx (J).. f) (x) = ->"f(x)
+ >"(J)..f)(x).
(6.2.24)
Nach (6.2.12) gilt aber für den infinitesimalen Erzeuger
AJ)..f(x) = >"(J),f - f)(x),
(6.2.25)
und somit ist (6.2.26) Wir haben am Ende des Beweises von Satz 6.2.2 gezeigt, daß das Bild von J).. mit D(A) übereinstimmt, und daher gilt also
Ag
d dx g für alle 9
=
E
D(A).
(6.2.27)
Wir wollen nun zeigen, daß D(A) genau diejenigen gE B enthält, für die ebenfalls zu B gehört. Für ein solches 9 definieren wir f E B durch
d
/x g
dxg(x) - >..g(x) = ->..J(x).
(6.2.28)
dx (J)..f)(x) - >..J)..f(x) = ->..J(x).
(6.2.29)
Nach (6.2.24) gilt auch
d
d
cp(x) := g(x) - J)..f(x) erfüllt daher dx cp(x) = >..cp(x),
(6.2.30)
somit cp(x) = ce)..x, und da cp E B ist, muß c = 0 sein, also 9 = J)..f. Damit ist gezeigt, daß der infinitesimale Erzeuger A durch (6.2.27) gegeben ist, mit denjenigen 9 E B als Definitionsbereich D(A), für die auch
/xg E Bist.
Wir wollen nun nach dem gleichen Muster die Wärmeleitungshalbgruppe betrachten. B sei der Banachraum der gleichmäßig stetigen und beschränkten Funktionen auf dem Rd,
Pd(x) = Es ist nun
J),f(x) =
1
--d
(411"t) 2"
11
00
IR,j
Wir berechnen
J
0
2
> O.
(6.2.31)
dtf(y)dy.
(6.2.32)
Ix-yl 4 t -f(y)dy efür t
>..
--d
(411"t) 2"
e-
)..~ t-
4t
130
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
LlJ.xf(x)
= =
11 ll Rd
IR,I
00
0
OO
.x
A
8(1 11
Ae- .x t8
--01
(41rt) ~
t
0
1"-lJI 2
- - , I Llxe- t-~dtf(y)dy (41rt)~
= -Af(x) -
00
IR d
0
1~-lJI2) 4t e-dtf(y)dy
8 ( .xt) 1 1~-!l12 -8 Ae- - 0 1 e4t dtf(y)dy
= -Aj(x) + AJ.xf(x).
t
(41rt)~
Wie vorher folgt
AJ.xf = LlJ.xf, und daher
Ag
= Llg
(6.2.33)
für alle 9 E D(A).
(6.2.34)
Wir wollen nun zeigen, daß jetzt D(A) alle 9 E B umfaßt, für die Llg ebenfalls in B ist. Für ein solches 9 definieren wir f E B durch
Llg(x) - Ag(X)
= -Af(x)
(6.2.35)
und vergleichen dies mit
LlJ.xf(x) - AJ.xf(x) = -Af(x).
(6.2.36)
cp := 9 - J.xf ist also beschränkt und erfüllt Llcp - AI{) = 0 für ein A > O.
(6.2.37)
Aus dem untenstehenden Lemma 6.2.5 folgt nun cp == 0, also wie gewünscht 9 =
J>.f·
Lemma 6.2.5. Es sei A > o. Dann gibt es kein beschränktes cp;t 0 mit (6.2.38)
Beweis. Wir berechnen für eine Lösung von (6.2.38)
Llcp2 = 21'Vcp12 + 2cpLlcp = 21'Vcp12
+ 2Acp2
(mit 'Vcp =
(8~1 cp, . .. , 8~dCP) )
nach (6.3.38).
(6.2.39)
Es sei Xo E ]Rd. Wir wählen dann C 2 -Funktionen TJR für R ~ 1 mit
o ~ TJR(X) ~ 1 TJR(X) = 0 TJR(X) = 1 I'VTJR(X)I + ILlTJR(X)1 :5 Co
für alle x E ]Rd
(6.2.40)
für Ix - xol ~ R + 1
(6.2.41)
für Ix -
xol :5 R
für eine von x und R unabhängige Konstante Co.
(6.2.42) (6.2.43)
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
131
Wir berechnen
+ 'P2Ll17~ + 817R'P\117R' \1'1' 217~ 1\1'1'12 + 2)..1J~'P2 + (Ll1J~) '1'2 - 217~ 1\1'1'12 -
Ll (17~ B ein stetiger linearer Operator mit IILII ::; 1. Dann konvergiert für jedes t ~ 0 und alle x E B die Reihe
exp(tL)x :=
L 00
1
,(tL)"x ,,=0 v.
und definiert eine stetige Halbgruppe mit infinitesimalem Erzeuger L. Beweis. Wegen IILII ::; 1 gilt auch
IILnl1 ::; 1 für alle n E N.
(6.2.49)
132
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
Daher ist (6.2.50) Wegen der Cauchyfolgeneigenschaft der reellen Exponentialreihe wird letzterer Ausdruck für genügend große m, n beliebig klein, und somit erfüllt auch unsere banachraumwertige Exponentialreihe die Cauchyfolgeneigenschaft und konvergiert daher wegen der Vollständigkeit von B. Der Limes exp(tL) ist beschränkt, denn nach (6.2.50) ist
und daher auch Ilexp(tL)xll $ e t Ilxll·
(6.2.51)
Es gilt wie bei der reellen Exponentialreihe (6.2.52) also
exp((t + s)L) = exptL 0 expsL
(6.2.53)
und somit die Halbgruppeneigenschaft. Weiter ist 11
1
h (exp(hL)
11 00 h"-l 00 h"-l - Id) x - Lx $ ~ ~ IIL"xll $ Ilxll ~~.
Da letzterer Ausdruck für h --t 0 gegen 0 strebt, ist L infinitesimaler Erzeuger q.e.d. der Halbgruppe {exp(tL)h~o. Genauso wie (6.2.53) beweist man auch (vgl. (6.2.52))
Lemma 6.2.7. L,M: B --t B seien stetige lineare Operatoren, die die Voraussetzung von Lemma 6.2.6 erfüllen, und es gelte
Dann ist
LM=ML.
(6.2.54)
exp(t(M + L)) = exp(tM) . exp(tL).
(6.2.55) q.e.d.
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
133
Satz 6.2.3 (Hille-Yosida). A : D(A} -+ B sei ein linearer Operator mit in dem Banachraum B dichtem Dejinitionsbereich D(A}. Die Resolvente R(n, A} = (nId - A}-l existiere für alle n E N, und es gelte 1 ( Id - ~A
)-1
:5 1 für alle n
E N.
(6.2.56)
Dann erzeugt A eine eindeutig bestimmte kontrahierende Halbgruppe. Beweis. Wir setzen wieder 1 Jn := ( Id - ~A
)-1
für n E N (vgl. Satz 6.2.2).
Der Beweis wird aus mehreren Schritten bestehen. I} Wir behaupten lim Jnx = x für alle x E B,
(6.2.57)
n ...... oo
sowie
Jnx E D(A)
für alle x E B.
(6.2.58)
Zunächst gilt nämlich für x E D(A)
AJnx = JnAx = Jn(A - nId)x + nJnx = n(Jn - Id)x, und weil nach Voraussetzung \\JnAx\\ 1
Jnx - x = -JnAx n
(6.2.59)
:5 \\Ax\\, folgt -+
0 für n
-+ 00.
Weil D(A) dicht in B ist und die Operatoren Jn nach Voraussetzung gleichgradig stetig sind, folgt (6.2.57). Aus (6.2.59) folgt auch (6.2.58). 2) Nach Lemma 6.2.6 existiert (wegen (6.2.56» die Halbgruppe
{exp(sJn)}s~o, Setzen wir s = tn, so erhalten wir die Halbgruppe
und ebenso auch die Halbgruppe
1t(n) := exp(tAJn ) = exp(tn(Jn - Id»
(t ~ 0)
(vgl. (6.2.59» .
Nach Lemma 6.2.7 ist dann (6.2.60)
134
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
Weil wegen (6.2.56)
lIexp(tnJn )xll :::;
t)V L~ IIJ~xll :::; exp(nt) IIxll , v. 00
(
v=o
folgt (6.2.61) und die Operatoren sind daher insbesondere gleichgradig stetig in t nE N. 3) Es gilt für alle m, nE N
~
0 und
(6.2.62) Weil nach (6.2.60) Jn mit Tt(n) kommutiert, kommutiert deswegen auch Jm mit Tt(n) für alle n, m E N, t ~ o. Nach den Lemmata 6.2.3, 6.2.6 gilt für xEB (6.2.63) und daher
\ \Tt(n) X
-
lifo Ds (Tt~;T;n)x) dsll = lifo Tt:;T;n) (AJn - AJm)XdSII t
Tt(m) x \ \ =
t
:::; t
II(AJn
-
AJm)xll
mit (6.2.61).
(6.2.64)
Für x E D(A) ist nach (6.2.59)
(AJn - AJm ) x = (Jn - J m ) Ax.
(6.2.65)
Aus (6.2.64), (6.2.65), (6.2.57) folgt daher, daß für x E D(A)
eine Cauchyfolge ist, und zwar gleichmäßig in 0 :::; t :::; to für jedes to. Weil die Operatoren Tt(n) nach (6.2.61) gleichgradig stetig sind und D(A) nach Voraussetzung dicht in B ist, ist
daher sogar für alle x E Beine Cauchyfolge, wiederum lokal gleichmäßig in t. Daher existiert auch der Limes
Ttx:= lim Tt(n) x n ..... oo
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
135
lokal gleichmäßig in t, und Tt ist ein stetiger linearer Operator mit
liTtli:::; 1
(6.2.66)
(vgl. (6.2.61)).
4) Wir behaupten, daß (Tdt~O eine Halbgruppe ist. Weil {Tt(n)h~o für alle n E N eine Halbgruppe ist, ist nämlich unter Ausnutzung von (6.2.61)
IITt+sx - TtTsxl1 :::; IITt+sX -
Tt~~XII + IITt~~X - Tt(n)Tsxll
+ IITt(n)Tsx - TtTsXl1 :::; IITt+sX -
Tt~~XII + IIT;n)x -
Tsxll
+ 1I (Tt(n) - Tt) Tsxll ' und dies strebt für n --+ 00 gegen O. 5) Nach 4) und (6.2.66) bildet {Tt}t~o eine kontrahierende Halbgruppe. Wir wollen nun zeigen, daß A der infinitesimale Erzeuger dieser Halbgruppe ist. Es sei A der infinitesimale Erzeuger, und wir behaupten somit
A=A.
(6.2.67)
Es sei x E D(A). Aus (6.2.57) und (6.2.59) erhält man leicht
TtAx = lim Tt(n) AJnx,
(6.2.68)
n-+DO
wiederum lokal gleichmäßig in t. Daher ist für x E D(A) lim
t'-,.O
~t (Ttx -
x) = lim ~ lim (Tt(n)x - x) t'-,.O
t
n-+DO
= lim -1 lim t'-,.O
t
I1°
= lim t'-,.O
=
Ax.
n-+DO
t
t
l
0
t
T~n) AJnxds
nach (6.2.63)
TsAxds
Daher gilt für x E D(A) auch x E D(A) und Ax = Ax. Es bleibt also nur D(A) = D(A) zu zeigen. Nach dem Beweis von Satz 6.2.2 bildet (nld - A) D(A) in bijektiver Weise auf B ab. Da (nld - A) aber nach Voraussetzung schon D(A) bijektiv auf B abbildet, muß wie gewünscht D(A) = D(Ä) sein, also A = Ä. 6) Es bleibt nur noch die Eindeutigkeit der von A erzeugten Halbgruppe {Tth~o zu zeigen. {Tt}t~o sei eine andere von A erzeugte kontrahierende Halbgruppe. Weil A dann mit Tt kommutiert, tun dies auch AJn und Tt(n). Daher erhält man wie in (6.2.64) für x E D(A)
136
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
\ \Tt(n) X
-
Ttx\\ = =
Aus (6.2.57) folgt dann
JJfot D. (Tt_sT;n)x ) dSJJ JJfot (-Tt_sT;n)(A -
AJn)x)
dsJJ.
Ttx = lim Tt(n) n ..... oo
für alle x E D(A) und dann wie üblich auch für alle x E B, also Tt = Tt . q.e.d. Wir wollen nun nachweisen, daß die Voraussetzungen des Satzes von HilleYosida in den beiden von uns betrachteten Beispielen erfüllt sind. Wir beginnen wieder mit der Translationshalbgruppe und verwenden die bisherige Notation weiter. Als infinitesimalen Erzeuger hatten wir
A
=!!.. dx
(6.2.69)
identifiziert, und wir wollen zeigen, daß dieses A die Bedingung (6.2.56) erfüllt. Es gelte also
d)-l f
1 ( Id - - -
= 9
(6.2.70)
sup Ig(x)1 ::; sup If(x)1
(6.2.71)
ndx
und wir müssen zeigen, daß x~o
x~o
gilt. (6.2.70) ist äquivalent zu 1
f(x) = g(x) - -g'(x). n
(6.2.72)
Wir betrachten zunächst den Fall, wo 9 sein Supremum in einem Xo E [0,00) annimmt. Dann gilt dort
g'(xo) ::; 0 (= 0, falls Xo > 0). Und daher
supg(x) = g(xo) ::; g(xo) x
~g'(xo) = n
f(xo) ::; supf(x). x
(6.2.73)
Wenn 9 sein Supremum nicht annimmt, existiert zumindest eine Folge C [0,00) mit g(X V ) -+ supg(x). (6.2.74)
(XV)VEN
x
6.2 Infinitesimale Erzeuger von Halbgruppen
> 0 ein derartiges
Wir behaupten, daß es zu jedem co alle v ;::: Vo
137
Vo E N gibt, daß für
(6.2.75) Wäre nämlich (6.2.76) für ein co und fast alle v, so gäbe es wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von g', welche sich aus (6.2.72) ergibt, da f,g E B sind, auch ein derartiges 6> 0, daß co g'(x) ;::: 2' falls Ix - xIII ~ 6 für alle v mit (6.2.76). Daher wäre
g(x il
+ 6) = g(x + ll )
1'5 g'(x
il
+ t)dt
co6 ;::: g(x lI ) + 2'
(6.2.77)
Wegen (6.2.74) können wir aber andererseits
annehmen, woraus dann mit (6.2.77) der Widerspruch
g(X Il
+ 6) > sup g(x)
folgt. Daher gilt (6.2.75). Wie in (6.2.73) erhalten wir nun für jedes c supg(x) x
= !im
1.1-+00
~
>0
g(x v )
!im (g(xlI) - .!.g'(xlI)) n . c = 1.1-+00 hm f(x lI ) +n c ~ supf(x) +-. x n 11-+00
+ ~n
Da der Fall des Infimums analog behandelt werden kann erhält man (6.2.71). Wir wollen nun die entsprechende Analysis für die Wärmeleitungshalbgruppe durchführen, wobei wir uns wiederum an die schon eingeführten Bezeichungen halten wollen. In diesem Fall ist der infinitesimale Erzeuger
A =..1, der Laplaceoperator. Wir betrachten wieder die Gleichung
(6.2.78)
138
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
1 ( Id -~.1
)-1 f
(6.2.79)
= g,
oder in äquivalenter Form 1
f(x) = g(x) - -.1g(x), n
(6.2.80)
und wir wollen wieder (6.2.56) nachweisen, also sup Ig(x)1 ~ sup If(x)l.
xElRd
(6.2.81)
xElRd
Wir betrachten wieder zuerst den Fall, wo 9 sein Supremum in einem Xo annimmt. Dann ist .1g(xo) ~ 0,
E ]Rd
und somit 1 sup g(x) = g(xo) ~ g(xo) - -.1g(xo) = f(xo) ~ sup f(x).
n
x
x
(6.2.82)
Falls 9 sein Supremum nicht annimmt, so wählen wir ein beliebiges Xo E Rd und betrachten zu jedem 'fJ > 0 die Funktion
gf/(x) := g(x) - 'fJ Ix Da
lim gf/(x) =
Ixl-+oo
xol 2 .
-00,
nimmt gf/ sein Supremum in einem xf/ E lR d an. Es gilt dann
also Wir erhalten dann für y E Rd
Da 'fJ > 0 beliebig klein gewählt werden kann, gilt somit für jedes y E R d
6.3 Brownsche Bewegung
139
g(y) :::; sup f(x), xEIR,l
also (6.2.81), wenn man das Infimum entsprechend behandelt. Die Lösbarkeit von (6.2.80) nach 9 für ein gegebenes f ist nun nicht mehr so leicht direkt nachzuweisen. Nach unseren vorherigen Betrachtungen wissen wir jedoch schon, daß Ll eine kontrahierende Halbgruppe erzeugt, nämlich die Wärmeleitungshalbgruppe, und die Lösbarkeit von (6.2.80) folgt daher aus Satz 6.2.2. Natürlich hätten wir auch (6.2.56) auf diese Weise folgern können, denn es ist leicht zu sehen, daß (6.2.56) auch eine notwendige Bedingung für die Erzeugung einer kontrahierenden Halbgruppe ist. Der gerade gegebene direkte Beweis war jedoch einfach und instruktiv genug, um ihn hier vorführen zu können.
6.3 Brownsche Bewegung Wir betrachten ein Teilchen, welches sich in einer Menge S, welche wir der Einfachheit halber als meßbare Teilmenge des !Rn annehmen wollen, nach folgenden Regeln bewegt: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es sich, wenn es sich zur Zeit t im Punkte x befindet, zur Zeit s ~ t in der Menge E C S befindet, sei P(t,xi s, E). Hierbei gilt insbesondere
P(t,XiS,S) =1 P(t, Xi s, 0) = o. Diese Wahrscheinlichkeit soll nicht von den Positionen des Teilchens für Zeiten < t abhängen. Das Teilchen habe also kein Gedächtnis, oder, wie man auch sagt, der Prozeß habe die Markoveigenschaft. Dies bedeutet, daß für t < T :::; s die Chapman-Kolmogorov-Gleichung
P(t,XiS,E) =
fs P(T,YiS,E)P(t,xiT,y)dy
(6.3.1)
gilt. Hierbei ist P(t, Xi T, y) als Wahrscheinlichkeitsdichte aufzufassen, also P(t, Xi T, y) ~ 0 und J8 P(t, Xi T, y)dy = 1 für alle x, t, T. Wir wollen annehmen, daß der Prozeß zeitlich homogen ist, daß also P(t, Xi s, E) nur von (s-t) abhängt. Es ist dann also
P(t, Xi s, E)
=
P(O, Xi s - t, E)
=:
P(s - t, x, E)
und (6.3.1) wird zu
P(t + T, X, E) Wir formalisieren dies als
:=
fs P(T, y, E)P(t, x, y)dy.
(6.3.2)
140
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
Definition 6.3.1. B sei eine a-additive Menge von Teilmengen von 8 mit 8 E B. Zu t > 0, xE 8 und E E B sei jeweils P(t, x, E) definiert mit
(i) P(t,x,E) ~ 0, P(t,x,8) = 1 (ii) P(t, x, E) ist a-additiv in E E B für alle t, x (iii) P(t, x, E) ist B-meßbar in x für alle t, E (iv) P(t+r,x,E) = JsP(r,y,E)P(t,x,y)dy (Chapman-Kolmogorov-Gleichung) für alle t, r > 0, x, E.
Dann heißt P(t, x, E) ein Markovprozeß auf (8, B). LOO(8) sei der Raum der beschränkten Funktionen auf 8. Für fE LOO(8),
t
> 0 setzen wir
(Td)(x) =
1s P(t,x, y)f(y)dy.
(6.3.3)
Aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung folgt die Halbgruppeneigenschaft
Tt +s = Tt oTs für t,s > O. Da nach (i) P(t, x, y)
~
(6.3.4)
0 und
1s P(t, x, y)dy = 1,
(6.3.5)
sup ITd(x)1 :::; sup If(x)1 ,
(6.3.6)
folgt auch xES
xES
also die Kontraktionseigenschaft. Damit Tt stetige Funktionen in ebensolche abbildet und damit {Tth~o eine stetige Halbgruppe definiert, müssen wir noch zusätzliche Annahmen machen. Wir betrachten der Einfachheit halber nur den Fall 8 = IR d .
Definition 6.3.2. Der Markovprozeß P(t, x, E) heißt räumlich homogen, falls für alle Translationen i : IR d -+ IR d
P(t,i(x),i(E)) = P(t,x,E).
(6.3.7)
Ein räumlich homogener Markovprozeß heißt Brownsche Bewegung, falls für alle f2 > 0 und alle x E IR d
. 11
11m t"..O
t
Ix-Yl > l!
P(t,x,y)dy = O.
(6.3.8)
Satz 6.3.1. B sei der Banachraum der beschränkten und gleichmäßig stetigen Funktionen auf dem IR d , versehen mit der 8upremumsnorm. P(t, x, E) sei eine Brownsche Bewegung. Wir setzen
(Td)(x):= { P(t,x, y)f(y)dy für t > 0
JR.t
Tof = f. Dann bildet
{Tt}t~o
eine kontrahierende Halbgruppe auf B.
6.3 Brownsche Bewegung
141
Beweis. Aus P(t, x, E) ~ 0, P(t, X, ]Rd) = 1 folgt, wie schon erläutert, die Kontraktionseigenschaft sup I(Td)(x)1 $ sup If(x)1
:z:EJRd
:z:ERd
für alle f
E
B, t
~
o.
(6.3.9)
Die Halbgruppeneigenschaft folgt, wie ebenfalls schon erläutert, aus der Chapman-Kolmogorov-Gleichung. i sei eine Translation des euklidischen Raumes. Wir definieren if(x) := f(ix) und erhalten
iTd(x) = Td(ix) = =
r P(t, ix, y)f(y)dy r P(t, ix, iy)f(iy)dy, JRd
JRd
weil d(iy) = dy für eine Translation, =
r P(t, x, y)f(iy)dy,
JRd
weil der Prozeß räumlich homogen ist, =Ttif(x), also
iTt = Tti.
Zu x, y
E ]Rd
existiert nun eine Translation i : ]Rd
(6.3.10) --+
IR d
ix = y. Es gilt dann
I(Td)(x) - (Td)(y)1 = I(Td)(x) - (iTd)(x)1 = 11t(f - if)(x)l· Weil f gleichmäßig stetig ist, folgt hieraus, daß Td ebenfalls gleichmäßig stetig ist, denn
!Tt(f - if)(x)1 =
11
$ sup z
P(t,x,z)(f(z) - f(iz»dzl If(z) - f(iz)1 ,
und wenn Ix - yl < 8, so ist auch Iz - izl < 8 für alle z E ]Rd, und 8 kann so gewählt werden, daß dieser Ausdruck kleiner als ein vorgegebenes c > 0 wird. Man beachte, daß diese Abschätzung nicht von tabhängt. Es bleibt die Stetigkeit in t zu zeigen. Es sei t ~ s. Wir betrachten für fEB
142
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
ITd(x) - Tsf(x)1
für r := t - s,g:= Tsf
= IT'Tg(x) - g(x)1
= lid P(r,x,y)(g(y) - g(x))dyl
wegen ( P(t, x, y)dy = 1
S
1 1
JlRd
P(r,x,y)(g(y) - g(x))dy
Ix-yl~e
+
Ix-yl>e
S {
Jlx-YI~e
P(r,x,y)(g(y) - g(x))dy
P(r,x,y)(g(y)-g(x))dy
+2 sup If(z)ll zElRd
Ix-yl>e
P(r, x, y)dy
nach (6.3.9). Da wir schon gesehen haben, daß 9 = Tsf die gleichen Stetigkeitsabschätzungen wie f erfüllt, können wir zu gegebenem € > (J > so klein wählen, daß der erste Term kleiner als ~ wird. Für dieses (J können wir dann r so klein wählen, daß der zweite Term ebenfalls kleiner als ~ wird. Man beachte, daß r wegen der räumlichen Homogenität des Prozesses hierbei unabhängig von x und y gewählt werden kann. Damit ist gezeigt, daß {Tth>o eine stetige Halbgruppe bildet, und Satz 6.3.1 ist vollständig bewiesen. q.e.d.
° °
Ein Beispiel für eine Brownsche Bewegung wird durch den Wärmeleitungskern 1 jx_ yj 2 P(t,x,y) = - - - d e---U(6.3.11) (41l"t) ~ gegeben. Wir werden nun sehen, daß eine Brownsche Bewegung typischerweise so dargestellt werden kann.
Satz 6.3.2. P(t, x, E) sei eine Brownsche Bewegung, welche unter allen Isometrien i : IR d ~ IR d des euklidischen Raumes invariant ist, also P(t,i(x),i(E)) = P(t,x,E)
(6.3.12)
für alle euklidischen Isometrien i. Dann ist der infinitesimale Erzeuger der hierdurch definierten kontrahierenden Halbgruppe
A = c..1,
(6.3.13)
c = const. > 0, ..1 =Laplaceoperator, und diese Halbgruppe stimmt daher noch der Eindeutigkeitsaussage von Satz 6.2.3 bis auf eine Umparametrisierung von t mit der Wärmeleitungshalbgruppe überein. Genauer gilt
6.3 Brownsche Bewegung
P(t,x,y) =
1
1"-vI 2
143
(6.3.14)
de---rct.
(41l"ct) 2
Beweis. 1) B sei wieder der Banachraum der beschränkten, gleichmäßig stetigen Funktionen auf dem IRd , versehen mit der Supremumsnorm. Unsere Halbgruppe operiert nach Satz 6.3.1 auf B. Nach Satz 6.2.1 hat der infinitesimale Erzeuger einen in B dichten Definitionsbereich D(A). 2) Wir behaupten, daß auch D(A)nCoo(lR d ) dicht in B liegt. Hierzu betrachten wir wie in §1.2 Faltungen mit einem glatten Kern, also für f E D(A)
fr(x) = 1d r
= (
{
lad
J.a,j
(}
(IX -r YI) f(y)dy
wie in (1.2.6)
p(lzDf(x - Tz)dz.
(6.3.15)
Wegen der angenommenen 'franslationsinvarianz liegt mit f(x) auch die Funktion (irzf)(x) = f(x - TZ) für alle T > 0, z E IR d in D(A), und das entsprechende Kriterium, nämlich lim ~ ({ P(t, x, y)f(y - TZ) - f(x - TZ)) = 0, o t lJRd
t .....
gilt gleichmäßig in T, z. Indem man das vorstehende Integral durch Treppenfunktionen der Gestalt Lv cvf(x - TZ v ) approximiert (wobei wegen der Kompaktheit des 'frägers von p nur endlich viele Summanden auftreten), sieht man, daß mit fauch fr limt ..... otUJRdP(t,x,Y}fr(y}dy-fr(x)) = 0 erfüllt, also in D(A} liegt. Da fr für T > 0 in COO(lRd } liegt und für T ---7 0 gleichmäßig gegen f strebt, folgt die obige Behauptung. 3} Wir behaupten, daß eine Funktion
0, t >
= 0,
(xo
d
E]R .
(6.3.17)
°
= (x~, ... ,xg))
(6.3.18)
denn es sei die durch
i(x j - xb) = _(xi - xb) i(x k - x~) = x k - x~ für k
#- j
(6.3.19)
definierte euklidische Isometrie (Spiegelung an der durch Xo laufenden, zur j-ten Koordinatenachse senkrechten Hyperebene ). Dann ist
f
(xi - Xb)P(t, xo, x)dx =
Ix-xol~r
f
i(x j - xb)P(t,ixo,ix)dx
f
Ix-xol~r
(x j - Xb)P(t, xo, x)dx
Ix-xol~r
wegen (6.3.19) und der vorausgesetzten Invarianz von P, und hieraus folgt tatsächlich (6.3.18). Ebenso erhält man aus der Invarianz von P unter Drehungen des
{
Jlx-xol~r
(xi - xb)2 P(t, Xo, x)dx = {
Jlx-xol~r
(x k -
]Rd
X~)2 P(t, Xo, x)dx
6.3 Brownsche Bewegung
für alle Xo E JRd, r > 0, t > 0, j, k = 1, ... ,d
145
(6.3.20)
und schließlich auch wie (6.3.18)
1
(xi - xb)(x k
Ixo-xl:Sr
x~)P(t,xo,x)dx = 0
-
für j
f= k,
(6.3.21)
falls Xo E JRd, r > 0, t > 0, j,k E {l, ... ,d}. 5) Es sei cp E D(A) n C 2 (lR d ). Dann existiert
. 11 ~1 ~1 ~1
Acp(xo) = hm t'"O
= !im
t'"O
= lim
t'"O
t
lR,l
P(t,xo, x) (cp(x) - cp(xo))dx
t Ix-xol:Se t
P(t,xo,x)(cp(x) - cp(xo))dx nach (6.3.8) d
2)xi - Xb)
Ix-xol:Se i=l
+ lim
t'"O t
~ I)x i -
Ix-xol:Se 2 i,k
8 2 cp . 8xi 8x k (xo
+ T(X -
~(P (xo)P(t, Xo, x)dx
ux J
Xb)(x k
-
x~)
xo))P(t, Xo, x)dx
durch Taylorentwicklung für ein TE [0,1), da cp E C2(lRd). Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet nach (6.3.18). Daher existiert der Limes t \, 0 des zweiten Terms, und aus (6.3.17) und pet, Xo, x) 2': 0 folgt, daß limsup ~ t'"O
t
1
Ix-xol:Se
2:(xi - Xb)2 pet, Xo, x)dx
0 ab, und ebensowenig der entsprechende Limes inferior. 6) Es sei nun I E D(A) n C 2 (lR d). Wie in 5) erhalten wir durch Taylorentwicklung von I um Xo 1
t
=~ t
=
~ t
(Td(xo) - I(xo))
r (f(x) - l(xo))P(t, Xo, x)dx
JJRd
1
(f(x) - l(xo))P(t,xo,x)dx
11 ",.. 81 Ix-xol>e
+t
~(xJ Ix-xol:se i
xf,)!l i (xo)P(t, Xo, x)dx uX
146
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
11
1", · k k 82 f - L)x3 -.~)(x - xo) a ia k (xo)P(t, xo, x)dx Ix-xol$e 2 i,k X X
+t
+~ {
L(xi - :r{)(xk
t J1x-xol$e i,k
-
X~)O"ii(e)P(t, xo, x)dx
(wobei wir in der Notation die x-Abhängigkeit des Restterms O"ii(e) unterdrücken, da dieser für e -+ 0 gleichmäßig in x gegen 0 strebt, da fE C 2 (lRd )) =
1 '" +-11 +~ 1 ~ t
Ix-xol>e
(J(x) - f(xo))P(t, Xo, x)dx
.. j2 (882i)2(x f O)P(t,xo,x)dx L)Xi -XO) t Ix-xol$e i x
t
L(xi - :r{)(xk
Ix-xol$e j,k
-
X~)O"ii(e)P(t, Xo, x)dx
nach (6.3.18), (6.3.21).
(6.3.23)
Der erste Term auf der rechten Seite strebt nach (6.3.8) für jedes e > 0 für -+ 0 gegen O. Wegen (6.3.22) und lime ..... oO"ii(e) = 0 (da f E C 2 ) strebt dagegen der letzte Term für e -+ 0 und jedes t > 0 gegen O. Da wir aber am Ende von 5) beobachtet haben, daß wir beim zweiten Term auf der rechten Seite Grenzübergänge unabhängig von e vollziehen können, erhalten wir für alle e > 0 die Existenz von
t
. -1 hm
t~O t
1 "'. Ix-xol$e
~(X3
i 2 (>18 2i)2 f (xo)P(t, xo, x)dx = Af(xo), - xo) uX
(6.3.24 )
wenn wir auch auf der linken Seite von (6.3.23) den Grenzübergang t durchführen. Da wir mit dem Argument aus 3) sehen, daß
-+
0
82 f
(8X i )2 (xo)
für f E D(A) beliebige Werte approximieren kann, folgt insbesondere die Existenz von lim
t~O
~
{
t J1x-xol$e
L(xj
-
x~)2 P(t, Xo, x)dx
unabhängig von e. Nach (6.3.20) existiert dann auch für jedes j = 1, ... ,d
11
.'
lim (x 3 - x~)2p(t,xo,x)dx t Ix-xol$e
t~O
und dieser Limes ist unabhängig von j und wegen der Translationsinvarianz auch unabhängig von Xo. Wir bezeichnen ihn daher mit c. Nach (6.3.24) gilt dann
6.3 Brownsche Bewegung
147
Af(xo) = cLlf(xo). Der Rest ergibt sich aus Satz 6.2.3.
q.e.d.
Bemerkung. Falls man nur die räumliche Homogenität, also die Translationsinvarianz, nicht aber die Invarianz unter Spiegelungen und Drehungen voraussetzt, so ist der infinitesimale Erzeuger immer noch ein Differentialoperator zweiter Ordnung, und zwar gilt
mit
also insbesondere ajk
und
= a kj , a jj ~ 0 für alle j, k
iJi(x)=lim~l t'-,O t
ly-xl:5e
(yj-xj)P(t,x,y)dy,
wobei die Limites wiederum unabhängig von c > 0 sind. Der Beweis folgt mit den gleichen Methoden wie derjenige von Satz 6.3.2. Eine Referenz für dieses Kapitel ist Yosida[12].
Zusammenfasssung Die Wärmeleitungsgleichung erfüllt eine Markoveigenschaft in dem Sinne, daß die Lösung u(x, t) zur Zeit tl +t2 mit Anfangswerten u(x, 0) = f(x) gleich der Lösung der Wärmeleitungsgleichung zur Zeit t2 mit Anfangswerten u(x, tl) ist. Setzt man (Pd)(x) := u(x, t), so gilt also
(Pt1 +t2 f)(X) = Pt2 (Pt J)(x), d.h. Pt erfüllt die Halbgruppeneigenschaft
{Pdt~o ist auch stetig auf dem Raum
CO in dem Sinne, daß
148
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
für alle to ~ 0 (insbesondere auch für to = 0 mit Po = I d) gilt. Weiterhin ist Pt wegen des Maximumprinzips kontrahierend, d.h.
IlPdlleo ::; II/lleo
für t ~ 0, / E Co.
Der infinitesimale Erzeuger der Halbgruppe Pt ist der Laplaceoperator, d.h. Ll
= lim ~(Pt - Id). t""O
t
Auf diesen Eigenschaften läßt sich eine abstrakte Theorie von Halbgruppen in Banachräumen begründen. Der Satz von Hille-Yosida besagt, daß ein linearer Operator A : D(A) --+ B mit in dem Banachraum B dicht liegendem Definitionsbereich D(A) und der Voraussetzung, daß Id - ~A für alle n E N invertierbar ist und !I(Id - .!.A)-l!l ::; 1 n gilt, eine eindeutig bestimmte kontrahierende Halbgruppe von Abbildungen T t : B --+ B (t ? 0) erzeugt. In einer stochastischen Interpretation betrachtet man die Wahrscheinlichkeitsdichte P(t, x, y) dafür, daß sich ein Teilchen, welches sich bei einer Irrfahrt zu einem bestimmten Zeitpunkt im Punkte x befunden hat, zu einer um t späteren Zeit im Punkte y befindet. Dies begründet einen Markovprozeß, insofern als diese Wahrscheinlichkeitsdichte nur von der Zeitdifferenz zwischen den beiden Zeitpunkten abhängt, nicht aber von den absoluten Werten der jeweiligen Zeitpunkte. Insbesondere 'hängt P(t, x, y) auch nicht davon ab, in welchen Punkten sich das Teilchen vor dem Erreichen von x aufgehalten hat (Irrfahrt ohne Gedächtnis). Eine solche Irrfahrt auf der Menge S erfüllt dann die Chapman-Kolmogorov-Gleichung
und konstituiert somit eine Halbgruppe. Ein solcher Prozeß auf dem lRn , welcher räumlich homogen ist und
~
r
t J1x-yl>p
P(t,x,y)dy=O
für alle p > 0 und alle x E lR d erfüllt, heißt Brownsche Bewegung. Man zeigt dann, daß eine solche Brownsche Bewegung bis auf einen Skalierungsfaktor c durch unseren Wärmeleitungsprozeß gegeben ist, also
Übungen
149
Übungen 6.1 Es sei gleichung
f E C°(lRd) beschränkt, u(x, t) die Lösung der WärmeleitungsUt(x, t) = Llu(x, t) u(x,O) = f(x).
für x E JRd, t
>
°
Dann gilt für die Ableitungen von u
a
laxju(x,t)1
s const.suplfl·r l / 2 .
(Hinweis: Benutzen Sie die Darstellungsformel (4.2.3) aus § 4.2.) 6.2 Wie in § 6.2 betrachten wir eine stetige Halbgruppe exp(tA) : B
-+
(t 2:: 0), B Banachraum.
B
BI sei ein weiterer Banachraum, und für t
exp(tA) : BI
°
> sei -+
B
definiert, und es gelte für 0 < t S 1 und alle cp E BI
Schließlich sei eine Lipschitzstetige Abbildung. Zeigen Sie, daß dann für jedes f existiert, daß die Evolutionsgleichung
av at
E
Bein T > 0 mit der Eigenschaft
= Av + p(v(t)) v(O)
für t > 0
=f
eine eindeutige, stetige Lösung v : [0, Tl -+ B besitzt. (Hinweis: Wandeln Sie das Problem um in die Integralgleichung
v(t) = exp(tA)f +
l
t
exp((t - s)A)p(v(s)) ds
und verwenden Sie (wie beim üblichen Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf über gewöhnliche Differentialgleichungen) den Banachschen Fixpunktsatz, um eine Lösung dieser Integralgleichung zu bekommen.)
150
6. Die Wärmeleitungsgleichung, Halbgruppen und Brownsche Bewegung
6.3 Wenden Sie die Resultate der Aufgaben 1), 2) auf das Anfangswertproblem für die folgende semilineare parabolische Differentialgleichung an: au(x, t)
ot
= Llu(x, t)
+ F(t, x, u(x), Du(x))
d
für x E lR ,t
>0
u(x,O) = f(x), für f E CO(lR d ) mit kompaktem Träger. F sei hierbei glatt in allen Argumentell. 6.4 I\lan beweise die in der Bemerkung am Ende von § 6.3 angesprochene Aussage.
7. Das Dirichletsche Prinzip. Variationsmethoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen (Existenzverfahren 111)
7.1 Das Dirichletsche Prinzip Wir betrachten wieder das Dirichletproblem für harmonische Funktionen u : n ---+ IR, n E IR d Gebiet:
du = 0 in n u = f auf an
(7.1.1)
mit vorgegebenem f. Das Dirichletsche Prinzip beruht auf der folgenden Beobachtung: Es sei u E C 2 (n) eine Funktion mit u = f auf an und
!n 1'Vu(x)1 2 dx
= min {!nI'VV(X)1 2 dx : v : n ---+ IR mit v = f
auf an}
.
(7.1.2) Dann, so behaupten wir nun, ist u eine Lösung von (7.1.1). Zum Beweis sei
und nach (7.1.2) hat die Funktion
a(t) := 11'V(u + t1])(x)1 2 dx ein Minimum bei t = 0, denn u + t1] = Ausgeschrieben ist
a(t) = !n 1'Vu(x)1 2 dx
f auf an, da 1] auf an verschwindet.
+ 2t !n 'Vu(x) . 'V1](x)dx + t 2 !n1'V 1J (x)1 2 dx.
(7.1.3)
a ist also insbesondere differenzierbar in t, und die obige Minimalität bei = 0 impliziert a(O) = O. (7.1.4)
t
Nach (7.1.3) folgt hieraus 1
CO"(A) := {
Iwl 2
+ (1 - t)Dv q.e.d.
Es sei also nun (Un)nEN eine Minimalfolge. Dann ist
D(u n
-
um)
r
= Jn 1V'(un - um)1 2' = 2
In
lV'unl2
+2
In
lV'uml2
-
4
In
IV'( u n
~ um)
2
1
(7.1.10) Nun gilt v n,
S D
(u
n
+2 um)
1 S iD(u n ) ~ K
nach Definition von
1
+ iD(um)
für n, m ~
00
K
c( 7.1.8 ))
nach Lemma 7.1.2 nach Wahl von (un)als Minimalfolge. (7.1.11)
Hieraus folgt nun, daß die rechte Seite von (7.1.10) für n, m ~ 00 gegen 0 strebt, mithin auch die linke Seite. Dies bedeutet, daß (V'Un)nEN eine Cauchyfolge in der Topologie des Raumes L 2 (D) ist. (Da V'u n d Komponenten hat, also vektorwertig ist, ist das so zu verstehen, daß W;t für i = 1, ... , deine
154
7. Existenzverfahren III
Cauchyfolge in L 2 (il) bildet.) Weil L 2 (il) ein Hilbertraum und daher insbesondere vollständig ist, strebt V'u n also gegen ein w E L 2 (il). Es stellt sich nun die Frage, ob wals Gradient V'u einer Funktion u : il -+ lR dargestellt werden kann. Da wir aber im Moment nur wissen, daß w E L 2 ( il) ist, ist also auch nicht klar, welche Regularitätseigenschaften u besitzen könnte. Jedenfalls legt die vorstehende Überlegung es aber nahe, zunächst ein Minimum von D in dem Raum derjenigen Funktionen v : il -+ lR, deren Gradient in L2(il) liegt, zu suchen. In einem nachfolgenden Schritt wäre dann die Regularität eines Minimums u zu klären. In diesem Schritt wäre als Grundlage die unverändert gültige Beziehung (7.1.5), also
In
V'u(x) . V''Tl(x)dx
= 0 für alle 'Tl E Co(il)
(7.1.12)
zu nehmen. Nach Korollar 1.2.1 folgt hieraus schon, daß u E COO(il) ist. Wir werden im vorliegenden Kapitel das Problem jedoch allgemeiner aufrollen. Die gerade skizzierte Aufspaltung des Problems in zwei Teilschritte, nämlich zuerst der Beweis der Existenz eines Minimums und dann der Nachweis von dessen Regularität, erweist sich in der Tat als fruchtbarer Ansatz, wie nachfolgend detailliert werden soll. Hierzu ist zunächst der vorstehend beschriebene Funktionenraum genauer zu studieren. Dies soll im nächsten § geschehen.
7.2 Der Sobolevraum W Definition 7.2.1. Es sei u von u in Richtung xi (x
E
1 ,2
Lloc(il). v
= (xl, ... ,xd )
r 0 ein n E N und ein V n E Vn mit
Ilv-vnll..IILq
durch
liD fAlb
kontrolliert, falls
!!=.E
cl
Aq::;A" fürA - -q- , d.h. q
~
ddP
-p
im Falle p < d.
Wir haben hierbei stillschweigend IIDfll v. > 0 vorausgesetzt, aber die Leserin/der Leser wird sich leicht davon überzeugen, daß dies der wesentliche
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
179
Fall des Sobolevschen Einbettungssatzes ist. (Wir betrachten nur den Limes .A -+ 0, weil nur für .A :::; 1 (für f E Ht,P(]Rd)) supp f>...
c
supp f
und der Sobolevsche Einbettungssatz nur den Fall beinhaltet, wo die Funktionen ihren 'fräger in einer festen, beschränkten Menge D haben. Man erkennt hieraus allerdings aus den Skalierungseigenschaften für .A -+ 00, daß diese Voraussetzung über den 'fräger für die Gültigkeit des Satzes erforderlich ist.) Die Skalierungseigenschaften im Falle P > d werden im Anschluß an Korollar 8.1.5 untersucht. Beweis (von Satz 8.1.1). Wir beweisen die Ungleichungen (8.1.2) und (8.1.3) zunächst für u E CJ(D). Wir setzen wieder u = 0 auf]Rd \ D. Es gilt wie im Beweis von Satz 7.2.2 lu(x)1 :::;
lX~ IDiu(X I , .. , Xi-I, e, x i +!, .. , xd)1 de mit x = (Xl, .. , x d) für 1 :::; i :::; d,
und daher
und
Es folgt
wobei wir (A.6) für PI = ... = Pd-l = d - 1 ausgenutzt haben. Iterativ folgt
r
also
Ilull"" .-;
(n
: :; ~1
n
fu!V,u l 1) an( lul'Y liegt zwar nicht unbedingt mit u in CJ (n), aber wie am Ende dieses Beweises erläutert, gilt (8.1.4) durch ein Approximationsargument, nachdem es für cJ(n) nachgewiesen ist, auch für Ht,l, und wir werden 'Y so wählen, daß für u E Ht,p(n) lul'Y E Ht,l(n) ist), so erhält man
Illuell~ :::; ~ !nlul'Y-1IDul dx 1 1 für-+-=1 p q mittels der Hölderschen Ungleichung (AA).
:::; ~ Illul'Y-11I q ·IIDull p
(8.1.5)
Ist P < d, so erfüllt 'Y = (dd~~P
(-y - 1)p
'Yd d-1
p-1'
und (8.1.5) ergibt, wenn man q = ~ berücksichtigt,
also welches (8.1.2) ist. Zum Beweis von (8.1.3) benötigen wir die folgende Verschärfung von Lemma 7.2.4:
Lemma 8.1.2. Für J.L E (0,1], fE L1(n) sei
(VI-'J)(x) := !nIX - yld(l-'-l) f(y)dy. Es sei 1 :::; p :::; q :::;
00,
0:::; 8 =
1
1 < J.L. q
- - -
P
r-
Dann bildet VI-' LP(n) stetig nach Lq(n) ab, und es gilt für fE LP(n):
IIVI-'fll q :::;
(:
=!
ow!-I-' Inll-'-ollfll
p .
(8.1.6)
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
Beweis. Es gelte
1
1
- := 1 + r q
Dann ist
f(x - y)
:=
1 = 1 - ö. p
- -
Ix - yld(JL-1)
E
U(D),
und wie im Beweis von Lemma 7.2.4 wählen wir R derart, daß IB(x, R)I = wdRd ist, und schätzen wie folgt ab:
Wir schreiben
f
I/I =
181
f T (l-l/p)
IDI
W I/ni 1/I P8
und erhalten aus der verallgemeinerten Hölderschen Ungleichung (A.6)
JVJLf(x) I
~ ( l fT(x -
y) 1/(y)I PdY)
i ( l fT(X -
Y)dY)
1-~
.
(ll/(Y)IP dY) 8,
also durch Integration über x und Vertauschung der Integrationsreihenfolge im ersten Integral,
IJVJLfll q
~ s~p (J fT(x -
1
Y)dY) ;: Ilfll p
~ (~ =~) 1-8 w!-JL IDI JL - 8 1Ifll
p
nach der obigen Abschätzung für IlfiIT.
q.e.d. Um den Beweis von Satz 8.1.1 zu vervollständigen, benutzen wir (7.2.4), wiederum zunächst u E CJ(D) annehmend, also
1L d
1
u(x) = dw d
.
.
(x' - y')
n i=l Ix - Yl
d Diu(y)dy
(8.1. 7)
182
8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie
für x E [}. Hieraus folgt
lul :S
1
(8.1.8)
dw d VI;z (IDI).
Aus (8.1.6) für q = 00, I.L = lid folgt dann (8.1.3), wiederum zunächst für u E CJ([}). Ist nun u E Hci'p([}) , so approximieren wir u in der W1'P-Norm durch C(f'Funktionen U n und wenden (8.1.2) und (8.1.3) auf die Differenzen U n - Um an. Es folgt, daß (u n ) eine Cauchyfolge in Ldp/(d- p )([}) (für p < d) bzw. C°(.Q) (für p > d) ist. Daher liegt auch u in dem entsprechenden Raum und erfüllt (8.1.2) bzw. (8.1.3). q.e.d. Korollar 8.1.1.
Hk,P([})
°
c {L/!.'k" ([}) cm([})
für kp
1 x u(x) = u(-2)
lxi
setzen. Diese Fortsetzung erfüllt
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
Il u II H l"'(B(O,2» ~
clll u Il H l,"(B(O,I»'
183
(8.1.10)
Nun sei ry E COO(B(O, 2)) mit
ry
~
ry == 1 auf B(O, 1),
0,
IDryl
~
2.
Dann ist v = ryu E H~,P(B(O, 2)), und nach (8.1.2) ist
(r
lVI;#;;)
} B(0,2)
~~
r
C2 (
IDV IP)
} B(0,2)
Da nun
Dv = ryDu
~
(8.1.11)
+ uDry,
ist nach den Eigenschaften von ry
IDvl P ~
(IDul P + lul P) ,
C3
(8.1.12)
mit (8.1.10) also
r
} B(0,2)
IDvl P
~ C4 (
1
Da andererseits
r
} B(O,I)
IDul P +
~ ~ lul =r;
B(O,I)
r
IU IP ) .
~ lvi =r;
,
} B(O,I)
1
(8.1.13)
B(0,2)
folgt (8.1.9) aus (8.1.11) und (8.1.13).
q.e.d.
Später werden wir auch den folgenden Satz von John und Nirenberg benötigen: Satz 8.1.2. Sei B(yo, R o) eine Kugel im U E
]Rd,
W1,1(B(yo, R o)) und es gelte für alle Kugeln B(y, R) C ~d
[
IDul
} B(y,R)nB(yo,Ro )
Dann existieren a
>0
und ßo
0, u E Wl,l(il). Dann ist für fast alle x E il
lu(x) - uBI
s
(diamil)d
d IBI
r
in Ix -
zl
I-d
IDu(z)1 dz.
(8.1.18)
Beweis. Wir üblich reicht es, den Beweis für u E C1(il) zu führen. Da il konvex ist, ist für x, y Eilauch die geradlinige Verbindung von x und y in il enthalten, und es gilt
y
r!x- ! 8
u(x) - u(y) = - io
( 8r u x
x) dr
y
+ r Iy _ xl
und daher
1~ll (u(x) -
u(x) - UB =
=
1
r
u(y))dy
r!X- Y! 8
( y- x ) 8r u x+r ly _ xl drdy.
-TB! iBio
Hieraus folgt
lu(x) - uBI S
1 (diamil)d
TBT
d
1Ix~";.':il1 ior!x- ! 8r8 u(x + rw)dr®.; 1, (8.1.19) y
indem wir statt über B über die Kugel B(x, diam il)) n fl integrieren, dy = ed-1®';de in Polarkoordinaten schreiben und die Integration bezüglich e durchführen. Also, wie im Beweis von Satz 1.2.1 und Satz 7.2.2,
Iu (x ) -
J J J L !x-Y!
1 (diam fl)d UB I S TBT d
1 8u rd-1 8v (z)da(z)dr
o 8B(x,r)nn
1 (diam il)d
-IBI S
d
(diam fl)d
d IBI
1
J n
n
Ix - zl
d-l
d
i=l
8 Xi - zi -8,u(z)-I- I dz z' x- z
1
Ix _ zld-l IDu(z)1 dz. q.e.d.
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
185
Wir benötigen auch die folgende Variante von Lemma 8.1.2: Lemma 8.1.4. Es sei I E L1(D), und es gelte lür alle Kugeln B(xo, R) IR d
1
III ~ KRd(l-~)
c
(8.1.20)
J?nB(xQ,R)
mit einem lesten K. Ferner sei p > 1, 11p < IL. Dann ist I(v. J)(x)1 /l
Beweis. Wir setzen I IV/lI(x) I ~ =
~
p- 1
--(diam D) ILP - 1
= 0 außerhalb von D.
L
rd(/l-l)
Mit
1) /l-,. K
(8.1.21)
r = Ix - Yl
ist
II(y)1 dy
r
rdiamJ? rd(/l-l)
Jo
=
d(
II(z)1 dzdr
JaB(x,r)
(~r
rdiamJ? rd(/l-l)
8r
Jo
= (diam D)d(/l-l)
+d(l - IL)
l°
r
JB(x,diam J?)
diam
II(y)1 dY) dr
J B(x,r)
II(y)1 dy
J? rd(/l-l)-l
::;; K(diam JI)d(/l-1)+d(1-1/p) rdiam J?
+Kd(l - IL) J o
r
JB(x,r)
II(y)1 dydr
r d (/l-l)-1+d(l-l/p)dr
nach (8.1.20) 1-! = K --f(diam D)d(/l-l/p). J.L-
p
q.e.d. Beweis von Satz 8.1.2: Wegen (8.1.14) erfüllt I = IDul die Ungleichung (8.1.20) mit K = 1 und P = d. Also ist nach Lemma 8.1.4 für J.L > lid
Insbesondere ist für s ;::: 1 und J.L = ~
+ 18
186
8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie
V~+;/;(J) ~ (d - 1)s(2Ro)~. Nach Lemma 8.1.2 ist auch für s
[
JB(yo,Ro)
v.};(J)
~
(8.1.23)
1, J.I. = lIds, p = q = 1
~ dsw~-l/dsIB(Yo,Ro)I;/; IlfIIL1(B(Yo,Ro» 1
~ dSWdRJ Rg-l (8.1.24) nach (8.1.20), was, wie bemerkt, mit K = 1 und p = d gilt. (8.1.25)
Nun ist
Ix - Y1 1- d = Ix _ yld(;/;-lH Ix _ Yld(;/;+~-l)(l-~)
und nach der Hälderschen Ungleichung dann
V~ (J)
=
!
(Ix - yld(;/;-lH
If(Y)I~)
(8.1.26)
. (Ix - Yld(;/;+~-l)(l-~) If(Y)ll-~) dy ~ V;r.1 (J)~Vl+ 1 (J)l-~. ;z ;r. Mit (8.1.23) und (8.1.24) folgt hieraus dann
[
JB(yo,Ro)
V~(J)S ~ dSWd~-l+~ (d _1)8-1 S S-1(2Ro) .~1 ~
2d(d - l)s-lsswdRg d
= 2 d _ 1 wd((d - 1)s)8 Rg. Daher ist
1
Vl(J)n
2d
d
~;z < --wdRö~ B(yo,Ro) 'Ynn ! - d - 1 00
f::o
~
[
f::o
(d-l)nnn -- 'Y n!
d-1
d
eRo,
falls - 'Y
also
JB(yo,Ro)
00
exp (VI/d(J)) 'Y
1
< -,
~ eRg.
e
(8.1.27)
Nun gilt aber nach Lemma 8.1.3
uol ~ const.V~ (IDu!), IDul hergeleitet haben, folgt
lu(x) -
(8.1.28)
und da wir (8.1.27) für f = (8.1.15). q.e.d. Zum Abschluß dieses Kapitels bringen wir noch einige weitere Anwendungen der vorstehenden Lemmata, darunter auch die folgende Version der Poincareschen Ungleichung:
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
187
Korollar 8.1.4. n c IRd sei konvex, u E Wl,p(n). Dann ist für jedes meßbare Ben mit jBj > 0
(L
ju - UBjP)
~ s Wj~t [nj~ (diam n)d (L jDU[p) ~
(8.1.29)
Beweis. Nach Lemma 8.1.3 ist
und nach Lemma 8.1.2 ist
und aus diesen beiden Ungleichungen folgt die Behauptung.
q.e.d.
Der nächste Satz stammt von Morrey.
Satz 8.1.3. Es sei U E Wl,l(n), nc IR d, und es gebe derartige Konstanten K < 00, 0< a < 1, daß für alle Kugeln B(xo, R) C IR d
1
nnB(xQ,R)
Dann gilt für jede Kugel B(z, r) osc
nnB(z,r)
u:=
C
sup
jDuj S KRd -1+O 0) und
f>..(y) = f(Ax).
8.1 Allgemeine Sobolevräume. Einbettungssätze
189
Dann ist
1f>.(YI) - f>.(Y2)1 IYI - Y21 d
= .x-",If(xd - f(x2)1
lXI -
(Yi
x21 a
= .xXi, i = 1,2)
und daher
und wie oben berechnet,
Im Limes
.x -> 0 wird also Ilhl\c.,
durch
IIDhlb
kontrolliert, falls
also 0: :::;
d. 1 - - 1m Falle p
> d.
p
Beweis (von Kor. 8.1.5). Nach der Hölderschen Ungleichung ist 1
{
IDul:::; IB(xQ, R)II-f,
} nnB(xo,R)
( (
IDU IV );;
(8.1.34)
} nnB(xo,R)
:::; c3I\ Du lb(n) Rd(I-f;) =
C3
liDU II v'(n) Rd-l+(l-!!) " ,
(8.1.35) (8.1.36)
wobei C3 nur von p und d abhängt. Somit sind die Voraussetzungen von Satz 8.1.3 erfüllt. q.e.d. Die folgende Variante von Satz 8.1.3 heißt auf englisch "Morrey's Dirichlet growth theorem" und wird häufig beim Nachweis der Regularität von Minima von Variationsproblemen angewandt: Korollar 8.1.6. Es sei u E W 1,2(Q), und es gelte mit Konstanten K' < o < 0: < 1, für alle Kugeln B(xQ, R) c ]Rd
(
IDul 2
:::;
K' Rd - 2+2"'.
00,
(8.1.37)
JnnB(xo,R)
Dann ist u E C"'(fl), und es gilt für alle Kugeln B(z, r) osc
B(z,r)nn
wobei c nur von d und
0:
abhängt.
1
u:::; c(K')2r"',
(8.1.38)
190
8. Sobolevräume und die L2-Regularitätstheorie
Beweis. Nach der Hölderschen Ungleichung ist 1
[
} nnB(zo,R)
IDul
~ IB(xo,R)I! ( }[nnB(zo,R) IDUI ~ 2)
~ c4(K')!Rd -1+ a
nach (8.1.37),
wobei C4 nur von d abhängt. Somit sind wiederum die Voraussetzungen von q.e.d. Satz 8.1.3 erfüllt. Schließlich benötigen wir später noch den folgenden Satz von Campanato, der Hölderstetigkeit durch Approximierbarkeit im V-Sinne durch Mittelintegrale über Kugeln charakterisiert. Satz 8.1.4. Es seip ~ 1, d< A ~ d+p. fl C IRd sei ein beschränktes Gebiet
mit der Eigenschaft, daß es ein 0 > 0 mit IB(xo,r)
n fll
~ or d
für alle Xo
E
fl,r > 0
(8.1.39)
gibt. Dann ist U E V(fl) genau dann aus Ca(fl) mit a = >';d (bzw. aus CO,l(fl) im Falle A = d + p), wenn eine Konstante K < 00 existiert mit
r
} B(zo,r)nn
Iu(x) - UB(zo,rl dx
~ KVr >'
für alle xo E fl, r > 0
(wobei in der Definition von UB(zo,r) U durch Null auf IRd
\
(8.1.40)
fl fortgesetzt
wird).
Beweis. Es sei U E Ca(fl), x
E fl
n B(xo, r). Dann ist
Iu(x) - UB(zo,R) I ~ (2r)a lIullca(n) und daher
womit (8.1.40) erfüllt ist. Zum Beweis der Umkehrung starten wir mit der folgenden Abschätzung
fürO 0
!
(8.2.7)
für a = T/ IDu\, b = u IDT/I, c = beim zweiten Integral und für a b = T/U, c = 62 bei dem Integral auf der rechten Seite
{ T/ 2 1Du1 2 ~
Jn
~
{ T/ 21Du1 2 2 Jn
+ 2 { IDT/1 2 u2 +
Jn
Wenn wir noch 0 ~ T/ ~ 1, 17 = 1 auf hieraus
:2
Jn
~
j
2u
n', IDT/I
{
= T/f,
T/2 U 2 + 62 ( T/2 f2. 2 Jn (8.2.8) beachten, ergibt sich
also Lemma 8.2.3. u sei schwache Lösung von Llu = f mit f E L2(n). Dann gilt für jedes n' ce n 2
17
2
2
2
IIDulb(n') ~ 62 lIulb(n) + 6 Ilflb(n)' mit 6:= dist(n',an).
(8.2.9)
q.e.d.
Bis jetzt haben wir noch nicht ausgenutzt, daß wir u E W 2,2(n') für jedes {}' ce n annehmen wollen. Jetzt kommen wir aber zur Abschätzung der W 2,2-Norm und benötigen daher diese Annahme. U E W2,2(n')nW 1 ,2(n) erfülle wiederum
l
Du· Dv =
-l
fv
für alle v E
H~,2(n).
(8.2.10)
Gilt suppv ce n'(d.h. v E H~,2(n") für ein n" ce n'), so können wir, weil wir u E W2,2(n') voraussetzen, in (8.2.10) partiell integrieren und erhalten (8.2.11)
196
8. Sobolevräume und die L 2-Regularitätstheorie
o({}'),
o({}')
Dies gilt also insbesondere für alle v E C und da C dicht in L 2 ({}') liegt, gilt (8.2.11) dann auch für v E L 2 ({}'), wobei wir v = 0 in {} \ {}' setzen. Wir betrachten die Matrix D2u der zweiten schwachen Avleitungen von U und erhalten
d
=
d
DD LDjDju 1,L n iU '
i
i=l
i=2
+ Randterme,
die wir im Moment vernachlässigen und später mittels Abschneidefunktionen in innere Terme überführen (damit die erforderliche partielle Integration möglich ist, müssen wir sogar U E W 3,2({},) annehmen) d
=
1,ILD Dj n j
U
i=l
:s;
(l, 12) ! (l, ID2u1 2) !
(8.2.12)
nach der Hölderschen Ungleichung und hieraus (8.2.13) also
"D2U"~2(n') :s; 11/11~2(n)'
(8.2.14)
(8.2.9) und (8.2.14) ergeben zusammen
Ilull~!2,2(n') :s; (Cl(J) + 1) Ilull~2(n) + 211/11~2(n)'
(8.2.15)
Wir kommen nun zum richtigen Beweis von Satz 8.2.1: Es sei
n' ce n" ce n,
dist(n", an)
:::: ~ ,
dist(n' , an") > -4~.
Wir benutzen wieder
l Du .Dv = -lI' v für alle vE H~,2(n). Im folgenden betrachten wir v mit suppv
ce n"
(8.2.16)
8.2 L2 -Regularitätstheorie
197
und wählen immer h > 0 mit
2h< dist(suppv,aa"). Wir können dann in (8.2.16) auch L1fv (i E {1, ... ,d}) einsetzen. Es folgt
r
i{lll
DL1?u. Dv =
r
i{lll
L1?(Du). Dv
r
= -
i{lll
=-
Du . L1? Dv
r Du.D(L1?v)
i{lll
=
1
~
IlfII L 2({l) ·IIDvlb({lIl)
{l"
fL1?v (8.2.17)
nach Lemma 8.2.1 und Wahl von h. Es sei nun wie oben beschrieben Tl E cJ(a"), 0 ~ Tl ~ 1, Tl(x) = 1 für x E a', ID7J1 ~ 8/8. Wir setzen
Es ergibt sich mittels (8.2.17)
1 [lll
ITlDL1?uI2 =
~
1
[}"
DL1?u· Dv -
21
{}"
TlDL1?u.
L1~uD7J
IlfII L 2({l) IID (7J 2L1fu) 11 L2 ({lll) +21 ""DL1~ullL2({lIl) 11L1~uDTlIIL2({lIl) .
Mittels der Youngschen Ungleichung (8.2.7) und unter Verwendung von Lemma 8.2.1 (man beachte die Wahl von h) erhalten wir hieraus
Der wichtige Trick bei der Anwendung der Youngschen Ungleichung besteht hierbei darin, daß der Ausdruck II7JDL1full~2({lIl) auf der rechten Seite mit einem kleineren Faktor als auf der linken Seite auftritt und deswegen der Beitrag der rechten Seite auf der linken Seite absorbiert werden kann. Wir bekommen daher wegen Tl == 1 auf G' und (a 2 + b2 )! ~ a + b für h -+ 0 mit Lemma 8.2.2 (8.2.18)
198
8. Sobolevräume und die L 2-Regularitätstheorie
Aus Lemma 8.2.3 folgt nun (mit il" statt il')
II DuII L 2(n"> ::; Cl
(J IluII
L2
(n) + 81IfllL2(n»)
(8.2.19)
mit einer Konstanten Cl. (8.2.4) folgt aus (8.2.18) und (8.2.19). q.e.d. I Ist nun f sogar aus W ,2(il), so kann man in (8.2.5) statt v Div einsetzen und erhält
In
D(Diu) . Dv =
-In
Dd . v.
Satz 8.2.1 ergibt damit DiU E W 2,2(il'), also u E W 3,2(il'). Iterativ erhält man so
Satz 8.2.2. u E W I,2(il) sei schwache Lösung von Llu = f, f E Wk,2(il). Dann ist für jedes il' ce il u E Wk+ 2,2(il'), und
Il u ll wk+2.2(n
l )
::;
const.
(iluII L2 (n) + Ilfllw k •2 (n») ,
wobei die Konstante von d, kund dist(il', ail) abhängt.
Korollar 8.2.1. Ist u E WI,2(il) schwache Lösung von Llu GOO(il), so ist auch u E GOO(il). Beweis. Dies folgt aus Satz 8.2.2 und Korollar 8.1.2.
=f
mit
f
E
q.e.d.
Zum Abschluß dieses § wollen wir noch einmal eine grundlegende Bemerkung zur sog. elliptischen Regularitätstheorie machen, wie sie uns in diesem § zum ersten Mal begegnet ist und in nachfolgenden §§ noch häufig wiederbegegnen wird. Trivialerweise hat man für jedes u aus beispielsweise dem Sobolevraum W2,2(il) eine Abschätzung der Form
(wobei Llu hier als Summe der schwachen reinen Ableitungen von u verstanden werden kann). Die elliptische Regularitätstheorie liefert uns nun eine Abschätzung in umgekehrter Richtung; nach Satz 8.2.1 ist nämlich
Llu und ein Term niedrigerer Ordnung kontrollieren also schon alle zweiten Ableitungen von u. In diesem Sinne läßt sich auch Lemma 8.2.3 verstehen. Die Poincareungleichung besagt für jedes u E H~,2(il)
während für ein harmonisches u
E
W 1,2(n) die umgekehrte Abschätzung
8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen
199
(für n' ce n) gilt. In diesem Sinne hat man also in der elliptischen Regularitätstheorie Abschätzungen in beiden Richtungen, wobei sich die eine Richtung aus allgemeinen Einbettungssätzen und die andere aus dem Bestehen einer elliptischen Differentialgleichung ergibt. Aus der Kombination der beiden Richtungen lassen sich häufig Iterationsargumente zum Beweis immer höherer Regularität gewinnen, wie wir in diesem § gesehen haben und in nachfolgenden §§ noch oft sehen werden.
8.3 Regularität am Rande und Regularitätsaussagen für Lösungen allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen Durch das Dirichletsche Prinzip haben wir schwache Lösungen von
Llu = mit
1
in
n
u - 9 E H~,2(n)
zu vorgegebenen 1 E L2(n), gE Hl,2(n) gefunden. Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, daß u im Innern von n so regulär ist, wie es 1 zuläßt. Es stellt sich nun die Frage, ob u auch auf an regulär ist, sofern 9 und an geeignete Bedingungen erfüllen. Als Vorüberlegung stellen wir zunächst fest, daß eine Lösung des obigen Dirichletproblems eine globale Schranke besitzt, die nur von 1 und gabhängt: Lemma 8.3.1. u sei schwache Lösung von.du =
beschränkten Gebiet
n.
J, u-g E Hci,2(.!?) in dem
Dann ist
Il ull w .2(n) S c(ilgllw 2(n) + Ilflb(n)), 1
(8.3.1)
1•
wobei die Konstante c nur von
Inl und d abhängt.
Beweis. In die schwache Differentialgleichung
in Du· Dv = -in Jv für alle v E H~,2(n) setzen wir die Testfunktion v = u - 9 ein und erhalten
J 0 mittels der Youngschen Ungleichung
200
8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie
und somit
also
Nun ist aber
(8.3.3)
Ilulb ::; Ilu - gllp + Ilglb ,
und nach der Poincareschen Ungleichung ist
(8.3.4) Insgesamt ergibt sich
IIDullL' : 0 mit d
L
aij(X)eiej ~
,\lel 2
für alle x E n,e E IR d .
i,j=l
(A2) (Beschränktheit) Es gibt ein M < sup (laij(x)l, jbi(x)
xEfl,i,j,
00
mit
I' Ic(x)l, Id(x) I) :::; M.
u heißt schwache Lösung des Dirichletproblems Lu = f in n (f E L 2 (n) gegeben) u - 9 E H~,2(n) , falls für alle v E H~,2(n)
in {L:
aij(x)Diu(x)Djv(x) +
tJ
- (
L lJl(x)u(x)Djv(x) J
~ c'(x )D,u(x) + d(X)U(X)) v(x) }dx =
-in
(8.3.12)
f(x)v(x)dx.
Um uns mit (8.3.12) ein wenig vertraut zu machen, probieren wir zunächst aus, was sich ergibt, wenn wir unsere bei der Betrachtung der schwachen Poissongleichung erfolgreichen Testfunktionen v = 1PU und v = u - 9 einsetzen. TJ sei hierbei eine Abschneidefunktion der in Kapitel 8.2 diskutierten Art bezüglich n' ce n. Mit v = TJ2 U wird (8.3.12) dann zu
in {L 2
TJ2ai j DiuDju + 2
L TJaijuDiuDjTJ + L TJ2lJluD u +
L u2b'~D;~ - L ~2c'uD,u - d~2U2 } ~ - Jf~2u.
j
(8.3.13)
Hieraus erhält man analog zu (8.2.8) mittels der Youngschen Ungleichung, diesmal in der Form (8.3.14) für c: > 0, (al, ... ,ad),(b1, ... ,bd) E IR d und einer positiv definiten Matrix (aijkj=l, ... ,d, die folgende Ungleichung
204
8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie
J
T/ 2
1Du1 2
::;
::;
JL e~ J
~
T/2
aij DiuDju
IDul 2 T/2
+C2(!5, >..,
M, d)
+ cI(e, >.., M, d)
J
u2 1D1/1 2
+ 15;
J J
T/2 U2
1/ 2 /
2
(8.3.15)
mit noch zu wählendem e > 0 und 15 = dist( a', aa) mit Konstanten Cl, C2, die nur von den angegebenen Größen abhängen. Hierbei haben wir natürlich (Al) und (A2) benutzt. Für e = folgt
21
( IDuI 2
Ja
::; C3(!5,
>.., M, d) { u 2 +15 2
k
{
k
12,
(8.3.16)
wobei auch die Eigenschaften von T/ eingegangen sind. Dies ist das Analogon zu Lemma 8.2.3. Die globale Schranke aus Lemma 8.3.1 läßt sich dagegen nicht vollständig verallgemeinern. Wenn wir in (8.3.12) die Testfunktion u-g einsetzen, so erhalten wir nur (in der üblichen Weise unter geeigneter Verwendung der Youngschen Ungleichung, um alle Terme mit Ableitungen von u in den positiv definiten Hauptterm zu absorbieren)
J( IDul 2 ::; ~1 [J
J" .
~ a'J DiuDju
::; C4(>", M, d, laI)
(lIgll~f1.2 + II/lIi2([J) + lIulli2([J») . (8.3.17)
Es tritt also zusätzlich lIulli2([J) auf der rechten Seite auf. Daß dies La. wirklich erforderlich ist, erkennt man schon an der Differentialgleichung
u"(t) + K2U(t) = 0 für 0 < t < 7r u(O) = u(7r) = 0 mit
K
> O.
Für
K
E
(8.3.18)
N hat man nämlich die Lösungen
u(t) = bsin(Kt) mit beliebigem b E IR, und diese Lösungen lassen sich offensichtlich nicht allein durch die rechte Seite des Differentialgleichung und die Randwerte kontrollieren, weil diese Daten hier nämlich alle gleich 0 sind. Die lokale oder innere Regularitätstheorie aus Kapitel 8.2 läßt sich dagegen vollständig übertragen. Es gilt nämlich
Satz 8.3.1. u E W I ,2(il) sei schwache Lösung von Lu = I, d.h. es gelte (8.3.12). Es möge die Elliptizitätsvoraussetzung (Al) gelten. Außerdem seien alle K oejjizienten aij (x), ... , d( x) wie auch 1(x) von der Klasse Coo. Dann ist u E COO(il).
8.3 Regularität am Rande; allgemeinere elliptische Gleichungen
205
Bemerkung. Die Regularität ist eine lokale Aussage. Da wir voraussetzen, daß die Koeffizienten COO sind, gilt insbesondere auf jedem il' ce il eine Schranke der Form (A2), wobei die Konstante M allerdings von il' abhängen kann.
Zum Beweis von Satz 8.3.1: Wir reduzieren den Beweis zuerst auf den Fall bi, Ci, d = 0, d.h. auf die Regularität von schwachen Lösungen von
" 8x 8 j (.. 8 ) = f(x). Mu:= '~ a'J(x) 8xiU(x)
(8.3.19)
',J
Wir schreiben nämlich
Lu= f
einfach um als ",8.
",.8
Mu = - ~ 8x j (b1 (x)u(x)) - ~ c'(x) 8x i u(x) - d(x)u(x) + f(x). (8.3.20) Wir zeigen dann Satz 8.3.2. u E W 1,2(il) sei schwache Lösung von Mu = f mit f E Wk,2(il). Es gelte (Al), und die Koeffizienten aij(x) von M seien aus Ck+l(il). Dann ist für jedes il' ce il
u E Wk+2,k(il'). Gilt
(8.3.21 ) so ist
Il ull w k+2,k(n') ::; c (1I ullL2(n) + Ilfll w k,2(n»)
(8.3.22)
mit c = c(d, A, k, M k , dist(il', 8il)).
Mit dem Sobolevschen Einbettungssatz folgt dann, daß, falls a ij , f E Coo, eine Lösung von Mu = f ebenfalls aus C oo ist. Die entsprechende Regularität von Lösungen von Lu = f, wie in Satz 8.3.1 behauptet, erhalten wir nun durch das folgende wichtige Iterationsargument: Da wir u E W 1,2(il) voraussetzen, ist die rechte Seite von (8.3.20) aus L 2(il). Nach Satz 8.3.2 für k = 0 ist dann u E W2,2(il). Dies impliziert, daß die rechte Seite von (8.3.20) aus Wl,2(il) ist. Wir können daher Satz 8.3.2 für k = 1 anwenden und erhalten u E W3,2(il). Dann ist die rechte Seite aus W2,2(il), also u E W 4,2(il) usw. So erhält man, daß u E wm,2(il) für alle m E N und daher nach dem Sobolevschen Einbettungssatz auch aus COO(il) ist.
206
8. Sobolevräume und die L 2 -Regularitätstheorie
Den Beweis von Satz 8.3.2 werden wir nun nicht in allen Einzelheiten darstellen, da es sich um eine Verallgemeinerung der entsprechenden Argumente aus Kapitel 8.2 handelt, die nur eine umständlichere Notation, aber keine wesentlichen neuen Ideen erfordert. Wie diese Verallgemeinerung funktioniert, haben wir uns schon klargemacht, als wir die Testfunktion ry2 u in (8.3.12) eingesetzt haben. Das einzige, was noch hinzukommt, sind Regeln für das Rechnen mit Differenzenquotienten, z.B. die Produktregel
Llr(ab)(x) =
1
h (a(x + hel)b(x + heL) -
= a(x
a(x)b(x))
+ hedLl?b(x) + (Ll?a(x)) b(x).
(8.3.23)
Z.B. ist also
Llr (t, a'i (X)D,U(X)) ~ ~ (a;; (x + he/)Llr D,a(x) + LIra" (x )D,u(x)) .
(8.3.24) Man setzt wie vorher als Testfunktion Ll1hv statt v ein und erhält im Falle suppv ce flll, 2h < dist(suppv,8fl")
l,,2::
Ll? (aij(x)Diu(x)) Djv(x)dx =
J
f(x)Ll1hv(x)dx.
(8.3.25)
t,)
Mit (8.3.23) und Lemma 8.2.1 folgt hieraus
i" L.
aij(x + hel)Di.::1?u(x)Djv(x)dx
t,)
~ c5(d,Md (1IuIIW1,2(!]") + Ilfllp(!]») IIDvllp(!],,) ,
(8.3.26)
also ein Analogon zu (8.2.17). Da man wegen der Elliptizitätsbedingung (Al) die Abschätzung
A
l
IryDLl?u(x) 12 dx
~
l
ry2
2:: aij(x + hel).::1? Diu(x)Ll? Dju(x)dx t,}
hat, kann man nun wie im Beweis von Satz 8.2.1 und Satz 8.2.2 fortfahren. Willige Leser und Leserinnen sollten die Einzelheiten ohne prinzipielle Schwierigkeiten ausführen können. Wir kehren nun zur Frage der Randregularität zurück und formulieren Satz 8.3.3. Es sei u schwache Lösung von M u = f in fl mit u - g E Ht,2(fl). Wie immer gelte (Al). Es sei f E W k ,2(fl), g E Wk+2,2(fl). fl sei von der Klasse Ck+2, und die Koeffizienten aij von M seien von der Klasse Ck+l(.f?) (im Sinne von Definition 8.3.2). Dann ist U E
W k +2,2(fl),
Übungen
207
und es gilt
wobei c von A, d und
n
und CHi-Schranken für die a ij abhängt.
Beweis. Wie am Anfang dieses Kapitels ausgeführt, können wir annehmen, lokal eine Hyperebene ist, indem wir statt u die Komposition uorjJ-i daß betrachten, wobei rjJ ein Diffeomorphismus der in Definition 8.3.1 beschriebenen Art ist. Nach (7.4.12) transformiert sich unsere Gleichung Mu = f dabei in eine Gleichung
an
!VIü=j
vom gleichen Typ, wobei die Abschätzungen für die Koeffizienten von !VI sich jetzt aus denjenigen für die a ij und Abschätzungen für die Ableitungen von rjJ ergeben. Wie man nun Abschätzungen für u in dieser speziellen geometrischen Situation bekommt, haben wir oben schon erklärt, und mit diesem Hinweis wollen wir uns wieder begnügen, statt in längliche Einzelheiten ohne neue Ideen einzusteigen. q.e.d. Bemerkung. Als Referenz zur Regularitätstheorie der schwachen Lösungen empfehlen wir Gilbarg-Trudinger[6].
Zusammenfassung In diesem Kapitel werden zunächst Sobolevräume als Räume integrierbarer Funktionen eingeführt, welche nicht notwendig im klassischen Sinne differenzierbar sind, aber doch sog. verallgemeinerte oder schwache Ableitungen besitzen, für welche die Regeln der partiellen Integration gelten. Einbettungssätze setzen Sobolevräume in Beziehung zu LV-Räumen oder Räumen stetiger, hölderstetiger oder differenzierbarer Funktionen. Die schwachen Lösungen der Laplace- oder Poissongleichung, die im Kap. 7 mittels des Dirichletschen Prinzips gewonnen worden waren, liegen in solchen Sobolevräumen. In diesem Kapitel wird mit Hilfe der Einbettungssätze gezeigt, daß schwache Lösungen regulär, d.h. beliebig oft differenzierbar und somit auch Lösungen im klassischen Sinne sind.
Übungen 8.1 Es sei u : n -+ IR integrabel, 0, ß Multiindices. Zeigen Sie, daß, falls zwei der schwachen Ableitungen Do:+ßu, Do:(Dßu), Dß(Do:u) existieren, auch die dritte existiert und alle drei übereinstimmen.
208
8. Sobolevräume und die L2 -Regularitätstheorie
8.2 Es seien U,V E Wl,l(il) mit UV, uDv + vDu E Ll(il). Dann ist auch uv E W1,1(il), und die schwache Ableitung erfüllt die Produktregel
= uDv + vDu.
D(uv)
(Zum Beweis ist es nützlich, zuerst den Fall zu betrachten, wo eine der beiden Funktionen von der Klasse Cl(il) ist.) 8.3 Für m 2: 2, 1 ~ q ~ und
m/2, u E H~'ff:r (il) n Li!=r(il) gilt u E H1,!ff(il)
IIDull~~(n) ~ (Anleitung: Für p =
const.
IluIlL;f:'r(n) II D2u II L ;fFr(n)'
~
IDiul P = Di(uDiUIDiUIP-2) - UDi(DiUIDiUIP-2).
Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet bei einer Integration über il für u E C(f(il) (Approximationsargument!), und für den zweiten benutzen wir die Formel D i (vlvI P- 2)
= (p -1)(D i v)lvI P- 2.
Schließlich muß man die Höldersche Ungleichung in der Form
II U1U2 U3I1LI(n)
~ IIUlllul(n) II U2Ib2(n) II U3I1 u '3(n)
für Ui E LPi(il), -L + -L + -L = 1, heranziehen (Beweis!).) PI P2 P3 8.4 Es seien il1
:=
il2 :=
d
o
B(O, 1) C lR d lR \ B(O, 1), 0
also die d-dimensionale Einheitskugel und ihr Komplement. Für welche Werte von k,p, d, Q ist
f(x) :=
Ixl
Q
in Wk,P(ill) oder Wk,P(il 2) ? 8.5 Beweisen Sie die folgende Fassung des Sobolevschen Einbettungssatzes: Es sei u E Wk,P(il), il' ce il c IR d . Dann ist uE {
L ,l~~" (il') für kp < d cm(il') für 0 ~ m < k - dip.
8.6 Formulieren und beweisen Sie eine zu Aufgabe 5) analoge Verallgemeinerung von Korollar 8.1.5 für U E Wk,P(il). 8.7 Führen Sie die Einzelheiten des Beweises von Satz 8.3.2 durch. (Dies mag zwar nach dem im Text Gesagten langweilig erscheinen, aber zum gründlichen Verständnis der Abschätzungstechniken gehört auch eine gewisse Routine in der Behandlung von zusätzlichen Termen niedrigerer Ordnung und variablen Koeffizienten. )
9. Starke Lösungen
9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen Wir beginnen mit einer elementaren Beobachtung: Es sei v E cg(n). Dann ist
1 = -1 =1
IID2vll~2{n) =
d
L
n i,j=1
VXix;Vxi X;
d L
n i,j=1
VX'XiXiVxi d
LVXiXi LVXiXi
n i=1
=
j=1
IILlvll~2{n) .
(9.1.1)
Die L2-Norm von Llv kontrolliert also insbesondere schon die L2-Normen aller zweiten Ableitungen von v. Löst v also die Differentialgleichung
Llv = f, so kontrolliert die L 2-Norm von f die L 2-Norm der zweiten Ableitungen von v. Dies ist eine Aussage im Sinne der elliptischen Regularitätstheorie, wie wir sie in § 8.2 (vergl. Satz 8.2.1) kennengelernt haben. Allerdings haben wir bei unserer vorstehenden Überlegung angenommen, daß v erstens dreimal stetig differenzierbar ist und zweitens kompakten Träger hat. In der elliptischen Regularitätstheorie sollen aber gerade Regularitätsaussagen gezeigt werden, und außerdem treten typischerweise nicht verschwindende Randwerte auf an auf, so daß derartige Annahmen nicht zulässig sind und wir uns nun davon befreien müssen. Dies soll im vorliegenden § geschehen. Wir beweisen zuerst einen elementaren Spezialfall der Calderon-ZygmundUngleichung. Es sei fE L2(n), n offen und beschränkt in ]Rd. Wir definieren das sogenannte Newtonpotential von f als
w(x):=
In
J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
rex, y)f(y)dy
(9.1.2)
210
9. Starke Lösungen
mit der Fundamentallösung aus § 1.1,
r(x, y) =
{
2~ log Ix - yl 1 Ix _ 12 - d d(2-d)w,l Y
für d = 2 für d > 2 .
Satz 9.1.1. Es sei f E L 2 (n) und w das Newtonpotential von f. Dann ist w E W 2,2(n), Llw = f fast übemll in n und (9.1.3) (w heißt starke Lösung von Llw = f, weil die Gleichung fast übemll erfüllt ist). Beweis. Wir nehmen zunächst f E CIf(n) an. Dann ist w E COO(lRd ). Es sei n ce no, no beschränkt mit glattem Rand. Wir wollen uns zuerst überlegen, daß für x E n 2 8 8t'8 J.w(x) =
x x
1 ilo
8 2 .r(x,y)(f(y) - f(x))dy -8'8 J x' x
+f(x) Ja
8
8ilo
.
-8. r(x, y)v J do(y) x'
(9.1.4)
ist, wobei v = (vI, ... , vd ) die äußere Normale und do(y) das Oberflächenelement von 8no ist. Dies folgt leicht aus der Tatsache, daß
,r(x, y)(f(y) I-x82'88 x t
J
I
1 d If(Y) - f(x)1 Ix - yl 1 ::; const. d-l Ilflb ' Ix -yl
f(x)) ::; const.
die Singularität in dem Integral also integrabel ist. (Man betrachtet dann nämlich einfach
ve(x) =
J8~i
r(x, Y)1Je(y)f(y)dy,
wobei 1Je(Y) = 0 für lyl ::; c:, 1Je(Y) = 1 für lyl 2': 2c: und ID1Jel ::; ~ ist, und zeigt, daß für c: ~ 0 Djve gegen die rechte Seite von (9.1.4) strebt.) Bemerkung. (9.1.4) bleibt auch für hölderstetiges f richtig, vgl. § 10.1, da man dann den Integranden durch
const. abschätzen kann (0 < a < 1).
1
Ix-yl
d-o:
Ilflb.
9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen
Weil
Llr(x, y) =
°
211
für alle x =I- y
ist, folgt mit Do = B(x, R), R genügend groß, aus (9.1.4) d
Llw(x)
dwd~d-l fex) lX-YI=R "f:. vi(Y)Vi(y) do(y) = fex).
=
(9.1.5)
Insbesondere hat mit fauch Llw kompakten Träger; dieser sei im Innern von B(O, R) enthalten. Dann gilt
r J B(O,R)
r r
=-
=
d
i~l
J B(O,R)
J B(O,R)
(ß2 )2 ßxißx j w
L~w~f+ i
ßx'
(Llw)2 +
ßx'
r
r
JaB(O,R)
Dw·
J aB(O,R)
~
Dw.~Dwdo(y) ßv
Dwdo(y).
(9.1.6)
uV
Für R ~ 00 verhält sich aber Dw wie R 1- d, D2w wir R-d, und daher strebt das Integral über ßB(O, R) für R ~ 00 gegen Null. Wegen (9.1.5) folgt aus (9.1.6) dann (9.1.3). Um zum allgemeinen Fall f E L 2 (D) überzugehen, überlegen wir, daß nach Satz 7.2.2 für f E Cij"(S2) die W l ,2-Norm von w durch die L2-Norm von f kontrolliert werden kann. l Wir approximieren dann f E L 2 (D) durch (In) E Oü(D). Durch Anwendung von (9.1.3) auf die Newtonpotentiale W n von fn folgt dann, daß diese in W 2,2(D) eine Cauchyfolge bilden. Der Limes w erfüllt dann wiederum (9.1.3), und weil L 2 -Funktionen fast überall definiert sind, folgt auch Llw = f fast überall. q.e.d. Unsere Überlegungen lassen sich auch zu einem Beweis von Satz 8.2.1 ausbauen; wir formulieren die Aussage noch einmal als Satz 9.1.2. Es sei u E W l ,2(D) eine schwache Lösung von Llu = f mit f E L 2 (D). Dann ist u E W 2 ,2(D') für jedes D' ce D, und es gilt (9.1. 7) wobei die Konstante nur von d, D und D' abhängt. Ferner gilt
Llu = f
fast überall in D.
Beweis. Wir betrachten wiederum zunächst den Fall u E 03(D). Es sei B(x, R) c D, a E (0,1), 'f/ E C8(B(x, R)) eine Abschneidefunktion mit 1
vgl. den Beweis von Lemma 7.3.1
212
9. Starke Lösungen
o ~ ry(y)
1 ry(y) = 1 fürYEB(x,O'R) ~
ry(y) = 0 für y E R,d \ B (x, 1 ~ 0' . R) IDryl
~
(1 _40')R
ID'T/ I ::; (1- 160')2R2' 2
Wir setzen v:='T/u.
Dann ist v E Cg(B(x,R)), und aus (9.1.1) folgt
II D2v ll L2 (B(x,R)) = Nun ist Llv
II.1vII L2 (B(x,R))·
(9.1.8)
= ryLlu + 2Du . Dry + uLl'T/,
also
II D2U II L2 (B(x,ITR)) ::; IID2vIIL2(B(x,R))
(9.1.9)
::; const.( 1I/II L 2(B(x,R))
+ (l_lO')R
IIDulb(B(x,~.R))
+ (1- ~)2R2 Ilulb(B(x,R)))'
Es sei nun
eE CJ(B(x,R)) eine Abschneidefunktion mit o ::; e(y) ::; 1 e(y)
=
1 für y E B
(x,
1
~ 0' R)
4
IDel ::; (1- O')R'
Mit w
= eu folgt,
weil u schwache Lösung von Llu
r
} B(x,R)
und hieraus
r
} B(x,R)
e
IDul 2 = -2
Du. D(eu)
r
} B(x,R)
=-
r
} B(x,R)
euDu . De -
: ; ~ }{B(x,R) e
r
= 1 ist, 1eu
} B(x,R)
1 eu
IDul 2 + 2 { u 2 1Del 2 } B(x,R)
1
+(1- 0')2R 2
B(x,R)
12 +
11
(1 - 0')2 R2 B(x,R)
u2 ,
9.1 Die Regularitätstheorie der starken Lösungen
213
also eine Abschätzung für lIeDuIIL2(B(x,R»' und somit auch IIDulb(B(x,~R))
(9.1.10)
:::; IleDu IIL2(B(x,R» :5
const.( (' _'q)R II-IIL'
(B(.,R))
+ (' - q)R 11111 L' (B(.,R)) )
Aus (9.1.9) und (9.1.10) ergibt sich
IID 2 uIIL2(B(x,uR)l :::; const.
(1IfllL2(B(x,R» + (1- ~)2R21IuIIL2(B(X'R») .
(9.1.11) Setzt man nun in (9.1.11) a = und überdeckt D' mit einer endlichen Anzahl von Kugeln B(x, R/2) mit R:::; dist(D', aD), so folgt (9.1.7) für U E C2(D). Für den allgemeinen Fall U E W 1 ,2(D) betrachten wir die Glättungen Uh wie in Anhang A: es sei 0 < h < dist(D',aD). Dann gilt
!
in
DUh . Dv = -
f
fh v, für alle v E
H~,2(D),
und, da die Uh E COO(D) sind, auch
Nach Lemma A.3 gilt
Insbesondere besitzen die U n und die !h also die Cauchyeigenschaft in L2(D). Wir wenden (9.1.7) auf Uhl - Uh2 an und erhalten
Iluhl -
Uh21Iw2,2(!l/) :::; const.
(11uh
1 -
uh211L2(!l)
+ II!hl - !h211L2(!l»)'
Es folgt, daß Uh die Cauchyeigenschaft in W2,2(D') besitzt. Daher liegt der q.e.d. Grenzwert U in W2,2(D') und erfüllt (9.1.7). Ist nun f E W 1 ,2(D), so ist, weil U E W2,2(D') für alle D' ce D, Diu dann schwache Lösung von LlDiu = Dd in D'. Es folgt dann Diu E W 2,2(D") für alle D" ce D', also U E W3,2(D"). Iterativ erhält man so einen neuen Beweis von Satz 8.2.2, hier formuliert als Satz 9.1.3. Es sei U E W 1 ,2(D) schwache Lösung von Llu = f, f E
Wk,2(D). Dann ist U E Wk+2,2(Do) für alle Do ce D, und es gilt
Ilullwk+2,2(!lol :::; const. (1I ullL2(!l) + IIfll w k ,2(!ll) wobei die Konstante von k, d, D und Do abhängt.
q.e.d.
214
9. Starke Lösungen
Entsprechend erhalten wir einen neuen Beweis von Korollar 8.2.1: Korollar 9.1.1. Ist u E W 1 ,2(Q) schwache Lösung von .du =
COO(Q), so ist auch u E COO(Q).
I mit I
Beweis. Satz 9.1.3 und Korollar 8.1.2.
E
q.e.d.
9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie und Anwendungen auf Lösungen semilinearer elliptischer Gleichungen Die Ergebnisse des vorigen § gelten nicht nur für den Exponenten p = 2, sondern für jedes 1 < P < 00. Dies wollen wir in diesem § erläutern. Grundlage der LP-Regularitätstheorie ist die Calderon-Zygmund-Ungleichung, die wir hier allerdings nur zitieren, aber nicht beweisen wollen. Satz 9.2.1. Es sei 1 < P < 00, I E LP(Q) (Q c IRd offen und beschränkt), und w sei das Newtonpotential (9.1.1) von I. Dann ist w E W 2,P(Q), .dw = I last überall in Q und
(9.2.1) wobei die Konstante c(d,p), wie schon in der Notation zum Ausdruck gebracht, nur von der Raumdimension d und dem Exponenten p abhängt. Im Gegensatz zum Falle p = 2 (Satz 9.1.1), wo c(d, 2) = 1 für alle d und der Beweis elementar ist, ist der Beweis im allgemeinen Fall relativ lang; wir verweisen auf Bers-Schechter[l] oder Gilbarg-Trudinger[6). Mittels der Calderon-Zygmund-Ungleichung bekommen wir eine Verallgemeinerung von Satz 9.1.2: Satz 9.2.2. Es sei u E Wl,l(Q) eine schwache Lösung von .du = LP(Q), 1 < P < 00, in dem Sinne, daß
f
Du· Dcp = -
fI
Dann ist u E W 2,P(Q') für jedes Q'
cp lür alle cp E
ce Q,
Co (m·
I, I
E
(9.2.2)
und es gilt (9.2.3)
wobei die Konstante von p, d, Q' und Q abhängt. Es gilt auch .du =
I fast überall in Q.
(9.2.4)
9.2 Ausblick auf die V'-Regularitätstheorie
215
Auch von diesem Satz wollen wir hier keinen vollständigen Beweis bringen. Diesmal wollen wir aber wenigstens den Beweis skizzieren: Abgesehen davon, daß man (9.1.8) durch die sich aus der Calderon-ZygmundUngleichung (Satz 9.2.1) ergebenden Abschätzung (9.2.5) zu ersetzen hat, kann man zunächst genauso wie im Beweis von Satz 9.1.2 vorgehen, um die Abschätzung II D2V ll u'(B(x.R» $ const. (1Ifllu'(B(X,R»
+ (1 + (1
1 a)R
_
IIDullu·(B(x.~R»
~)2R2 Ilu1b(B(X,r»)
(9.2.6)
für 0 < a < 1, B(x, R) C n zu erhalten. Der zweite Teil des Beweises, nämlich die Abschätzung von IIDulb ist allerdings für p f:. 2 wesentlich schwieriger als für p = 2. Man benötigt ein Interpolationsargument. Für Einzelheiten verweisen wir auf Gilbarg-Trudinger, loc.cit., oder Giaquinta[5]. Soweit zu unserer Beweisskizze. Die Leserin oder der Leser mag nun den Eindruck bekommen haben, daß es sich bei der LP-Theorie um eine technisch aufwendige, aber möglicherweise weitgehend nutzlose Verallgemeinerung der L 2 _Theorie handelt. Die Notwendigkeit der LP-Theorie erschließt sich nämlich erst bei Anwendungen auf nicht lineare Differentialgleichungen, und wir wollen deswegen ein entsprechendes Beispiel diskutieren. Wir betrachten die Differentialgleichung (9.2.7) mit glattem r. Außerdem soll der Term r(u) beschränkt sein, wozu wir voraussetzen, daß entweder r beschränkt ist oder wir schon wissen, daß die zu untersuchende (schwache) Lösung u beschränkt ist. Die Gleichung (9.2.7) kann beispielsweise als Euler-Lagrange-Gleichung des Variationsproblems I(u) :=
l
g(u(x))IDu(xW dx
-+
min
(9.2.8)
auftreten, wobei 9 glatt sein und die Ungleichungen
0< A$ g(v) $ A < 00, Ig'(v)1 $ k < 00
(9.2.9)
(g' bezeichne die Ableitung von g) mit Konstanten A, A, k für alle verfüllen soll.
216
9. Starke Lösungen
Zur Aufstellung der Euler-Lagrange-Gleichungen für (9.2.8) untersuchen wir wie in § 7.4 für cp E HJ,2([}), t E IR,
I(u + tcp) =
In
g(u + tcp)ID(u + tcp)1 2 dx.
Dann ist
;'I(U +
t d
(9.2.11)
ist. Hierbei sei wie üblich [} c IR d , und d bezeichne also die Raumdimension. Die Voraussetzung (9.2.11) mag nun willkürlich erscheinen. Daß eine derartige Voraussetzung erforderlich ist, ist aber typisch für nichtlineare Differentialgleichungen. Zwar läßt sich im vorliegenden Fall zeigen I , daß jede schwache Lösung u der Klasse W 1,2([}) auch in W1,P([}) für jedes P liegt, aber in strukturell ähnlichen Fällen, z.B. wenn u vektorwertig statt skalarwertig ist (und wir infolgedessen statt einer einzigen Gleichung ein System von - üblicherweise gekoppelten - Differentialgleichungen vom Typ (9.2.7) bekommen), gibt es Beispiele, bei denen schwache Lösungen aus W I,2([}) existieren, welche in keinem Raum WI,P([}) mit P > 2 liegen. Man braucht mit anderen Worten bei nichtlinearen Gleichungen typischerweise eine gewisse Anfangsregularität einer Lösung, bevor die lineare Theorie greift. Um nun die LP-Theorie auf unsere Lösung u von (9.2.7) anzuwenden, setzen wir 1
Ladyzhenskya und Ural'tseva[9] oder die Hinweise in § 11.3
9.2 Ausblick auf die LP-Regularitätstheorie
f(x) := -r(u(x))IDu(x)1 2 •
217
(9.2.12)
Dann ist nach (9.2.11) und der vorausgesetzten Beschränktheit von r(u) (9.2.13) und u erfüllt
..1u = f
in D.
(9.2.14)
Nach Satz 9.2.2 ist dann u E W 2 ,pl/2 (D') für jedes D'
ce D.
(9.2.15)
Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz (Kor. 8.1.1, Kor. 8.1.3 und Aufg. 2 aus Kap. 8) ist dann u E W i ,P2(D') für jedes D'
ce D
(9.2.16)
mit P2
dl!.!.
= d _2l!.!. > Pi wegen Pi > d.
(9.2.17)
2
Also ist auch
f
E L 1!j (D')
für alle D'
ce
D,
(9.2.18)
und wir können wiederum Satz 9.2.2 und den Sobolevschen Einbettungssatz anwenden, um für alle D' ce D" uE
w 2,,,~ n W 1,P3(D') mit P3 =
dEl. d _ 2El.
> P2
(9.2.19)
2
zu bekommen. Iterieren wir dieses Verfahren, so erhalten wir schließlich u E W 2 ,Q(D') für alle q.
(9.2.20)
Nun differenzieren wir (9.2.7), um eine Gleichung für Diu, i = 1, ... d, zu bekommen, nämlich (9.2.21)
Wir setzen jetzt (9.2.22)
Dann ist
218
9. Starke Lösungen
und wegen (9.2.20) somit auch
f
E
LP (fl') für alle p.
v := Diu erfüllt also ..dv =
f mit f
E
LP{fl') für alle p,
(9.2.23)
und nach Satz 9.2.2 ist dann v E W 2,P{fl') für alle p,
also
u
E
W 3 ,P{fl') für alle p.
(9.2.24)
Wir differenzieren dann noch einmal, erhalten eine Gleichung für Diju (i,j = 1, ... ,d), auf welche Satz 9.2.2 anwendbar ist, bekommen u E W 4 ,P{fl') für alle p, usw. Indem wir das Verfahren wiederum iterieren (diesmal mit immer höheren Ableitungen statt wie vorher mit immer höheren Exponenten) und den Sobolevschen Einbettungssatz (Kor. 8.1.2) anwenden, erhalten wir Satz 9.2.3. u E Wl,Pl (fl) mit Pi
> d (fl C JRd) sei schwache Lösung von
..du + r(u)IDuI 2 = 0 mit glattem r und beschränktem r(u). Dann ist
u E COO(fl). q.e.d.
Wir haben diese Iterationsprozesse, in denen man in einem Schritt gewonnene Informationen über u als strukturelle Information über die Gleichung interpretiert, welche u erfüllt (im vorliegenden Fall stecken wir die Information in die rechte Seite f der Gleichung, aber in Kap. 11 werden wir auch anders geartete Fälle kennenlernen), um dann hieraus im nachfolgenden Schritt verbesserte Informationen über u herauszuziehen, in einiger Ausführlichkeit dargestellt, weil solche Verfahren für die Regularitätstheorie nichtlinearer elliptischer Differentialgleichungen typisch und wesentlich sind. Wie schon erwähnt, benötigt man aber zumeist eine gewisse Anfangsregularität, um die lineare Theorie anwenden zu können.
Übungen
219
Zusammenfassung u aus dem Sobolevraum W 2,2(n) heißt starke Lösung von ..du =
J,
wenn diese Gleichung für fast alle x aus fl gilt. In diesem Kapitel wird gezeigt, daß schwache Lösungen der Poissongleichung auch starke Lösungen sind. Dies eröffnet einen alternativen Zugang zur Regularitätstheorie. Allgemeiner gilt für eine schwache Lösung u E W1,1(fl) von
Llu =
J,
mit J E LP(fl) die auf der Calderon-Zygmund-Ungleichung beruhende LPAbschätzung (für alle fl' ce fl)
und zwar für alle 1 < P < 00 (aber nicht für p = 1 oder p = 00). Diese Abschätzung ist nützlich für Iterationsverfahren zur Regularität von Lösungen nichtlinearer elliptischer Gleichungen. Beispielsweise ist jede Lösung u von ..du + r(u)IDuI 2 = 0
mit regulärem r von der Klasse COO(n), sofern sie die anfängliche Regularitätsbedingung u
E
W1,P(.!?) für ein p > d(=Raumdimension)
erfüllt.
Übungen 9.1 Zeigen Sie (unter Verwendung der in § 9.2 vorgestellten Sätze) die folgende Aussage: Es sei u E W 1,2(fl) schwache Lösung von
..du =
J
mit J E Wk,P(fl) für ein k ~ 2 und ein 1 < P < 00. Dann ist u E Wk+2,P(flo) für alle flo ce fl, und
220
9. Starke Lösungen
9.2 Wir betrachten die folgende Abbildung u: B(O, 1)(C ]Rd) _ ]Rd
iiT. X
X
t--+
Zeigen Sie, daß für d ~ 3 u E W 1,2(B(0,1),]Rd) ist (dies bedeutet einfach, daß alle Komponenten von u in W 1,2 liegen). Zeigen Sie weiter, daß u eine schwache Lösung des Systems von partiellen Differentialgleichungen Llu
Q
+u
d
Q
L
i,ß=l
/D i u ß /2
=
°
für a:
= 1, ... , d
ist. Da u nicht stetig ist, sind also Lösungen von Systemen semilinearer elliptischer Differentialgleichungen nicht notwendig regulär.
10. Die Schaudersehe Regularitätstheorie und die Kontinuitätsmethode (Existenzverfahren IV)
10.1 Die CQ-Regularitätstheorie für die Poissongleichung Wir benötigen das wichtige Konzept der Hölderstetigkeit, welches wir aus Kapitel 8.1 wiederholen wollen: Definition 10.1.1. Es sei f : n -+ IR, Xo E n, 0 stetig im Punkte Xo zum Exponenten Q, falls sup xEfl
If(x) -
1x -
f(xo)1 Xo
10
< Q < 1. f heißt hölder-
< 00.
(10.1.1)
f heißt hölderstetig in n, falls hölderstetig in jedem Xo E n (zum Exponenten Q); in Zeichen: f E Co (n). Gilt (10.1.1) für Q = 1, so heißt f lipschitzstetig in xo. Entsprechend ist Ck,o(n) der Raum der fE Ck(n), deren k-te Ableitungen hölderstetig zum Exponenten Q sind.
Wir definieren eine Seminorm durch
Ifb'(fl):= x,yEn sup
If(x) - f(y)1
IX
-
1°
Y
(10.1.2)
Wir definieren
Ilflb'(fl)
=
Ilfllco(fll + If\cc'(fll
und allgemein
Ilfllck, (n) als Summe aus Ilfllck(fll und den Höldernormen sämtlicher k-ter partieller Ableitungen von f. Wie schon in Definition 10.1.1 schreiben wir statt Co,o meist einfach Co. Es gilt das elementare Lemma 10.1.1. Für zwei Funktionenft,h E CO(G) aufG C IRd giltfth E CO(G), und
Ifthlco(Gl
$
(s~p Iftl) Ihlca(Gl + (s~p 1121) Iftlco(Gl'
J. Jost, Partielle Differential-gleichungen © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998
222
10. Existenzverfahren IV
Beweis. Ift(x)h(x) - f~(Y)h(Y)1 :::; Ift(x) - f~(Y)llh(x)1
Ix - Yl
Ix - Yl
+ Ih(x) - f!(Y)llft(x)l, Ix - Yl q.e.d.
woraus die Behauptung direkt folgt.
Satz 10.1.1. Es sei
ac
jRd
-wie immer- offen und beschränkt,
u(x)
:=
In
r(x, y)f(y)dy,
(10.1.3)
mit der Fundamentalläsung raus § 1.1. a) Ist fE LOO(a) (d.h. sUPxEn If(x)1 < oop, so ist u E CI,"'(a), und
Ilulb,"(n) ::; Cl sup Ifl b) Ist f
E
für
(X
E (0,1).
(10.1.4)
Cff(a), so ist u E C 2,"'(a), und
lIulb,"(n) :::; c21Ifll c "(n)
für 0 < (X < 1.
(10.1.5)
Die Konstanten in (10.1.4) und (10.1.5) hängen hierbei von (x, d und lai ab. Beweis. a) Die ersten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor gegeben durch
. 1
v'(x)
:=
yi d f(y)dy n Ix-Yl Xi -
(i = 1, ... ,d).
Dann ist (10.1.6) Nach dem Mittelwertsatz existiert ein X3 auf der Verbindungsstrecke zwischen und X2 mit
Xl
Xl - yi
-=----"-'d -
lXI - yl 21xI - x21.
x~ - yi IX 2 -
yl
d
:::;
c31xl - x21 IX 3 -
Yl
d .
(10.1.7)
Wir setzen 8 := Da a beschränkt ist, existiert ein R > 0 mit c B(X3, R), und wir ersetzen das Integral über in (10.1.6) durch das Integral über B(x3' R) und spalten dieses auf als
a
a
(10.1.8)
1
"sup" bezeichnet hier das wesentliche Supremum, wie in Anhang A erklärt
10.1 Die CQ-Regularitätstheorie für die Poissongleichung
Es ist 11
::;
2
f
1
JB(X3,c5) IX3 - yl
d-l
dy = 2Wd8
223
(10.1.9)
und mittels (10.1.7) (10.1.10)
und daher
lt + 12 ::; c51x l
-
x21
Q
für jedes Q:'E (0,1).
Dies beweist a), da offensichtlich auch (10.1.11)
gilt. b) Die zweiten Ableitungen von u sind bis auf einen konstanten Faktor gegeben durch
Wii(X) =
J(Ix - yl2
8ii - d (xi - yi) (xi - yi) )
1
Ix-yl
d+2
f(y) dy,
wobei wir allerdings noch zu zeigen haben, daß dieses Integral unter unserer Voraussetzung f E C(f(G) tatsächlich existiert. Dies wird sich ebenfalls aus den nachstehenden Überlegungen ergeben. Wir setzen zunächst f(x) = 0 für x E ]Rd \ Gj f bleibt dadurch hölderstetig. Wir schreiben
Es ist (10.1.12)
da
=0,
Also ist auch
f
J)Rd Wir schreiben nun
yi -d
lyl
homogen vom Grade 1 - d ist.
K(y)dy = O.
(10.1.13)
224
10. Existenzverfahren IV
wij(X) = { K(x - y)f(y)dy
lIR
(10.1.14)
d
= ( (J(y) - f(x)) K(x - y)dy nach (10.1.13) . lad
Wie vorher gibt es auf der Verbindungsstrecke zwischen Xl und X2 einen Punkt X3 mit (10.1.15) Wir setzen wiederum und schreiben (vgl. (10.1.14)) w ij (xI) - w ij (X2)
=
1'1 {(J(y) - f(XI)) K(XI - y) - (J(y) - f(X2»
K(X2 - y)} dy
= lt + h
(10.1.16)
wobei lt das Integral über B(XI, eS) und 12 das Integral über R d ist. Da If(Y) - f(x)1 ~ IIfllcß ·Ix - ylct ist, folgt
Iftl
~
IIfllcß {
~
csllfllco . eS ct .
1B(xt.6)
\
B(XI, eS)
{K(XI - y) lXI - ylct - K(X2 - y) IX2 - ylct} dy (10.1.17)
Weiterhin 12 = (
la,I\B(Xl,6)
+(
(J(X2) - f(xd) K(XI - y) dy
(10.1.18)
(J(y) - f(X2)) (K(XI - y) - K(X2 - y)) dy
Ja d \B(Xl,6)
und das erste Integral verschwindet wegen (10.1.12). Benutzt man weiterhin (10.1.15), so folgt, da für y E Rd \ B(XI, eS)
d endlich. Auf diese Weise überlegt man sich, daß a~' w = const.v i ist, und gewinnt die Hälderabschätzung ähnlich wie im Beweis von Satz 10.1.1 a) und von Satz 10.1.2 a). q.e.d.
Korollar 10.1.1. Ist U E W 1,2(n) schwache Lösung von Llu = f mit f E ck,O!(n), k E N, 0< a < 1, so ist u E ck+2,0!(n), und für no ce n gilt
lIullck+2,0«no) Ist fE cOO(n), so auch u.
~ const. (lIfllck,O«n) + lIullp(n)) .
10.2 Die Schauderschen Abschätzungen
229
Beweis. Da u E C 2 ,Q(!1) nach Satz 10.1.2 ist, ist die partielle Ableitung 8~' u E W l ,2(!1) und schwache Lösung von
a
a
..1~u= ~f. vX' vX'
Es folgt aus Satz 10.1.2
a
- . u E C 2 ,Q(!1)
ax'
(i E {I, ... , d}),
und daher u E C3,Q(!1). Das Ergebnis ergibt sich dann induktiv.
q.e.d.
10.2 Die Schauderschen Abschätzungen Wir betrachten in diesem § Differentialgleichungen der Form d .. a2u(x) Lu(x) := ' " a'J(x)~J
~
ux'vx
i,j=l
in einem Gebiet !1 C
]Rd,
d.
au(x)
+ '" b'(x)-!l-' + c(x)u(x) = ~ uX'
f(x)
(10.2.1)
i=l
wobei wir die folgenden Voraussetzungen machen:
(A) Elliptizität: Es gibt ein derartiges A > 0, daß für alle x E !1, ~ E
]Rd
d
L
aij(x)~i~j ~ A 1~12.
i,j=l
Außerdem sei aij(x) = aji(x) für alle i,j,x. (E) Hölderstetigkeit der Koeffizienten: Es gibt ein K
. ~ A < 00 mit d
>'1~12 ~
L
aij(x)~i~j
i,j=l
für alle x aus dem Definitionsbereich und alle E ]Rd sup laij(x)1 :::; A.
e
(11.1.1)
n von u
i,j,x
Definition 11.1.1. u E W 1 ,2(n) heißt schwache Sub lösung von L (in Zeichen Lu ~ 0), falls für alle
,3
mithin f 0 u eine schwache Sublösung. Ähnlich behandelt man auch die schwachen Analoga der anderen Aussagen aus Lemma 11.1.1 und erhält
Lemma 11.1.2. Die Aussagen von Lemma 11.1.1 gelten unter den ent-
sprechenden Voraussetzungen auch für (Sub-, Super-) lösungen, sofern mit f E C 2 (lR) die Kettenregeln für schwache Ableitungen erfüllt sind. q.e.d. Aus Lemma 11.1.2 erhalten wir auch
Lemma 11.1.3. u E W 1 ,2(n) sei schwache Sub lösung von L, k E lR. Dann
ist v(x)
:=
max(u(x) , k)
ebenfalls schwache Sublösung. Beweis. Wir betrachten die Funktion f:lR-+lR
f(y)
:= max(y, k).
Dann ist
v=
f ou.
Wir approximieren f durch eine Folge (fn)nEN konvexer Funktionen der Klasse C 2 mit
fn(Y) = f(y) für y
f/.
(k - ~,k+~)
und If~(y)1 ~ 1 für alle
y.
Dann konvergiert ähnlich wie in den Beweisen der Lemmata 7.2.2 und 7.2.3 mittels eines Approximationsarguments fn ou in W 1 ,2 gegen v = f ou. Daher ist
Inl:
aij DivDjcp =
l,J
}!_r:!,
In ~
aij Di(fn 0 u)Djcp
'J
::; 0 für cp E HJ,2(n),cp ~ 0 nach Lemma 11.1.2.
q.e.d.
244
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
Bemerkung. Es gilt natürlich auch eine zu Lemma 11.1.3 analoge Aussage für schwache Superlösungen. Für k E lR ist mit '11. E W I,2(.G) auch min(u(x), k) eine schwache Superlösung.
Es gelten nun die folgenden grundlegenden Abschätzungen von J .Moser: Satz 11.1.1. '11. sei eine Sub lösung in einer Kugel B(xo,4R) eRd (R und es sei p > 1. Dann gilt sup
'11.::; Cl
B(xo,R)
wobei
Cl
(2-1) P-
nur von d und
f
2
P
(1
JB(xo,2R)
(max(u(x),O)t
dX)
> 0),
~ P ,
(11.1.4)
abhängt.
Bemerkung. Falls '11. positiv ist, ist natürlich max(u,O) = '11. in (11.1.4), und wir werden die Abschätzung hauptsächlich in diesem Fall anwenden. Satz 11.1.2. '11. sei eine positive Superlösung in B(xo,4R) C ]Rd. Dann gilt für 0 < P < d~2 im Falle d ;::: 3 uP dX) ~ < 1 ( JB(xo,2R) -
C2
(d~2
_
p)
f
2
inf
'11.,
(11.1.5)
B(xo,R)
wobei C2 wiederum nur von d und abhängt. Im Falle d = 2 gilt die gleiche Abschätzung für jedes 0 < P < 00, mit einer von p, d, abhängigen Konstanten
C2
anstelle von
C2/
(d~2 _
p)
f
2.
Bemerkung. Daß die Bedingung p < d~2 erforderlich ist, erkennt man an dem Beispiel, wo L der Laplaceoperator .1 und u(x) = min(lxI 2 - d, k) für beliebiges k > 0 ist, welches nach der Bemerkung im Anschluß an Lemma 11.1.3 wegen der Harmonizität von lxi 2- d auf]Rd \ {O} eine schwache Superlösung auf dem ]Rd ist. Läßt man nämlich hier k immer größer werden, so sieht man, daß die L ~ -Norm nicht mehr durch das Infimum kontrolliert werden kann. Aus den Sätzen 11.1.1 und 11.1.2 erhält man Ungleichungen vom Harnacksehen Typ für Lösungen von Lu = o. Aus den beiden Sätzen folgt direkt:
Korollar 11.1.1. '11. sei positive (schwache) Lösung von Lu = 0 in der Kugel B(xo,4R) C]Rd (R > 0). Dann gilt sup
B(xo,R)
wobei
C3
'11.::; C3
nur von d und tabhängt.
inf
B(xo,R)
'11.,
(11.1.6)
11.1 Die Mosersche Harnackungleichung
245
q.e.d. Für allgemeine Gebiete gilt
Korollar 11.1.2. u sei positive (schwache) Lösung von Lu = 0 in dem Gebiet ades JRd, und es sei a o ce a. Dann ist supu S cinfu, ["Ja
i
wobei c nur von d, a, ao und
(11.1.7)
["Ja
abhängt.
Beweis. Wir können diese Harnackungleichung auf a o mit dem üblichen Kugelkettenargument erhalten: Da (io kompakt ist, kann es durch endlich viele Kugeln Bi := B(Xi, R) mit B(xi, R) c a überdeckt werden (man wähle z.B. R < ~ dist(8a, ao)), i = 1, ... , N. Es seien nun Yl> Y2 E ao, o.E. sei Yl E Bk, Y2 E Bk+m mit m ~ 1, und die Kugeln seien o.E. derart numeriert, daß B j n Bj+l =I 0 für j = k, ... , k + m - 1. Dann gilt jeweils durch Anwendung von Korollar 11.1.1 auf die Kugeln Bk, B k+1, ... U(Yl) S supu(X) Bk
S c3 inf u(x) Bk
S C3 sup u(x),
da Bk
Bk+l
n Bk+1 =I 0
S c~ inf u(x) Bk+l
S ... S c~+1 inf u(x) Bk+m
S C~+1U(Y2). Da Yl und Y2 beliebig sind und m S N ist, folgt
supu(x) S ["Ja
cf+1 infu(x).
(11.1.8)
["Ja
q.e.d. Wir treffen nun einige Vorbereitungen zum Beweis der Sätze 11.1.1 und 11.1.2. Für festes positives u und Xo setzen wir
4>(p, R)
:=
(1
1
UPdX) P
JB(xa,R)
Lemma 11.1.4. lim 4>(p, R) =
p ..... oo
lim 4>(p, R) =
p ..... -oo
sup u =: 4>(00, R)
B(Xa,R)
inf
B(xa,R)
u =: 4>( -00, R).
(11.1.9) (11.1.10)
246
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
Beweis. Nach der Hölderschen Ungleichung ist fjJ(p, R) monoton wachsend in E LP' (G)
p. Es gilt nämlich allgemein für p < pi und u ( -1
1)
IGI n
uP
f,
::; - -11
IGI"
= ( -1
(1 )~ (1 i.)? n
1
n
1 ,)?
IGI n
(uP )"
uP
Außerdem ist 1
4J(p, R) ::; (IB( 1 R)I xo,
JfB(xo,R) (sup U)p) " = 4J(oo, R).
(11.1.11 )
Andererseits gibt es nach Definition des wesentlichen Supremums zu jedem
c > 0 ein 0 > 0 mit
{ X
E
B(xo, R) : u(x)
Daher ist
~
sup u -
B(xo,R)
I!
4J(p, R) > ( IB(xo, R)I
U(X);::SIlPU-'
c} > up )
O.
f.
",EB(xo,R)
1
~ CB(x~,R)I)" (supu-c) und daher lim 4J(p, R) ~ sup u - c
p-+oe
für jedes c > 0, und daher auch lim 4J(p, R) ~ sup u.
p-+oe
(11.1.12)
(11.1.11) und (11.1.12) implizieren (11.1.9), und (11.1.10) folgt ähnlich (oder auch direkt durch Anwendung des vorstehenden Argumentes auf q.e.d.
t).
Lemma 11.1.5. (i) u sei eine positive Sublösung in G, und es sei für q > ~ v := uq
aus L 2 (G).
Dann gilt für alle TJ E H~,2(G)
In TJ21Dvl 2 ::; 1~ (2q2~ 1) 2lnlDTJI2 v2.
(11.1.13)
(ii) Ist u stattdessen eine Superlösung, so gilt diese Ungleichung für q
0 f(u) = _u2q für q < O. Nach Lemma 11.1.2 ist f(u) dann eine Sublösung im Falle (i), eine Superlösung im Falle (ii). Hierauf beruhen auch die folgenden Rechnungen. (Im Beweis werden sich auch Integrierbarkeitsbedingungen ergeben, aus welchen die erforderlichen Kettenregeln folgen. Allerdings muß man den Beweis von Lemma 7.2.3 hierzu etwas verallgemeinern und mit variablen Sobolevexponenten, der Hölderschen Ungleichung und dem Sobolevschen Einbettungssatz arbeiten. Wir überlassen dies den Leserinnen und Lesern zur Übung.) Wir setzen dann als Testfunktion in (11.1.2) (bzw. der entsprechenden Ungleichung in Fall (ii)) 'P = !,(u) . 'T/2 (11.1.14) ein. Dann ist
in ~aij(x)DiUDj'P = in ~ aij DiuDj u!" (u)'T/2 'J
',J
+ in ~ aij Diuf'(u)2'T/Dj'T/ ',J
= in21ql (2q - 1)
~ aij DiuDju u2q - 2'T/2 ',J
+ in41ql ~ aij Diu U2q - 1'T/Dj'T/.
(11.1.15) ',J Im Falle (i) ist dies ~ O. Hieraus folgt mittels Anwendung der Youngschen Ungleichung auf den letzten Term für alle c > 0
21ql (2q -
l)A
f IDul 2
U2q - 2'T/2
f + 21~1 f
~ 21ql Ac IDul 2u2q - 2r? A
Mit c =
also
2 q; 1
1 folgt also
f IDul2 f
u2q-2",2 < 4 A2 ., - (2q - 1)2 A2
IDv1 2 'T/ 2
~ ~: (2q2~ 1)
2
f
f
u 2q ID'T/1 2 .
u 2q ID"'1 2
., ,
v2 ID'T/1 2 .
Im Falle (ii) ist (11.1.15) 2: 0, und da dann auch 2q - 1 ~ 0 ist, kann man analog vorgehen und c = 1~2q setzen, um auch in diesem Fall (11.1.13) zu q.e.d. erhalten.
1
248
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
Wir beginnen nun mit den Beweisen der Sätze 11.1.1 und 11.1.2. Da die behaupteten Ungleichungen skalierungsinvariant sind, können wir o.E.
R = 1 und
Xo
= 0
annehmen. Wir setzen zur Abkürzung
B r = B(O,r). Es sei
0< r' < r :::; 2r',
(11.1.16)
und es sei Tl E H~,2(Br) eine Abschneidefunktion mit
Tl == 1 auf B r , Tl == 0 auf R d \ B r 2 IDTlI:::;-,· r-r
(11.1.17)
Für den Beweis von Satz 11.1.1 können wir o.E. annehmen, daß u positiv ist, indem wir anderenfalls nach Lemma 11.1.3 die positiven Sublösungen Vk(X)
= max(u(x) , k)
für k > 0 (oder die approximierenden Sublösungen aus dem Beweis von Lemma 11.1.3) betrachten, den nachfolgenden Beweis für positive Sublösungen durchführen, das so erhaltene Resultat auf die Vk anwenden und dann k gegen Null streben lassen. Wir betrachten wieder und nehmen an, daß v E L 2 (n) ist. Nach dem Sobolevschen Einbettungssatz (Korollar 8.1.3) ist für d ~ 3 (11.1.18) Im Falle d = 2 kann man statt d~2 einen beliebig großen Exponenten p' wählen und analog fortfahren. Wir überlassen die in diesem Falle erforderlichen einfachen Modifikationen der Leserin oder dem Leser und betrachten daher nur d ~ 3. Mit (11.1.13) und (11.1.17) folgt hieraus (11.1.19) mit
11.1 Die Mosersche Harnackungleichung
249
(11.1.20) 2d
Somit ist v E L"-'- (f.?). Dies werden wir iterieren und dabei unter anderem einsehen, daß u zu immer höheren Potenzen integrierbar ist. Wir setzen nun 8 = 2q und nehmen an
1812: J.L > 0, wobei wir später einen geeigneten Wert für J.L wählen werden. Dann ist wegen r ::; 2r'
C
(
-
rI -r - r'
)2 ( -1 )2 ' 8
-8
(11.1.21)
wobei Cf> auch von J.L abhängt. Es ist also nach (11.1.19) und (11.1.21), da v = u~ ist, für 8 2: J.L rjJ ( -d8- r ,) =
d-2'
(i
B
::; C7
mit
C7
=
1
cl· Im Falle 8 ::; -
J.L
~
2,l ) v"-'-
r'
(~) ~ (8-1 _ 8 ) ~ rjJ(8, r) r - r'
(11.1.22)
ist analog
d8 ) rjJ ( d - 2,r ' 2:
l(r )-f.r l
r _ r'
C7
rjJ(8,r)
2
(11.1.23)
(den Term C~ 1 ) -IsT können wir hier weglassen, da er 2: 1 ist). Wir wollen nun zunächst den Beweis von Satz 11.1.1 beenden und kehren daher zu (11.1.22) zurück. Der entscheidende Punkt ist, daß wir eine Integration von u zu einem höheren Exponenten durch eine Integration zu einem niedrigeren Exponenten kontrolliert haben. Wir werden jetzt einfach diese Abschätzung iterieren, um immer höhere Integralnormen und nach Lemma 11.1.4 dann auch das Supremum von u zu kontrollieren. Es sei also zu diesem Zweck 8n
=
(d ~ 2)
r n = 1 + 2- n I
r n = r n +l > Dann folgt aus (11.1.22)
n
rn
p
2'
für p
>1
250
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
also iterativ
(11.1.24)
(Da wir u E LP(il) annehmen können, ist somit auch 4J(sn, rn ) für alle n E N endlich und daher u zu beliebig hohen Potenzen integrierbar.) Mit Lemma 11.1.4 folgt hieraus Satz 11.1.1. Um nun Satz 11.1.2 zu beweisen, nehmen wir an, daß u > c > 0 ist, um die Endlichkeit von 4J(a, r) für a < 0 sicherzustellen. Dies ist keine wesentliche Einschränkung, denn hat man Satz 11.1.2 unter dieser Voraussetzung bewiesen, so ist er für positives u auf u + c anwendbar, und man braucht dann in der resultierenden Ungleichung für u + c, also
1 (u+c)p)t. ( JB{xo,2R)
< -
C2 _
(d~2
p)
2
inf (u+c), B{xo,R)
nur c -+ 0 streben zu lassen, um die Ungleichung auch für u zu erhalten. Führen wir nun die obige Iteration analog für s ~ -JL mit rn = 2 + 2- n durch, so erhalten wir aus (11.1.23)
4J( -JL, 3)
~
clO4J( -00, 2)
~
clO4J( -00,1).
(11.1.25)
Durch endlich viele Iterationsschritte bekommen wir auch
4J(p, 2)
~
cu4J(JL, 3).
(11.1.26)
(Die Einschrenkung p < d~2 in Satz 11.1.2 ergibt sich daraus, daß wir nach Lemma 11.1.5(ii) in (11.1.19) nur v = u q mit q < 1/2 einsetzen dürfen. Aus der Beziehung p = 2q d~2' welche wir benötigen, um mit (11.1.19) die LP-Norm von u kontrollieren zu können, ergibt sich nach (11.1.20) auch der
r
Faktor (d~2 - P 2 in (11.1.5).) Der nun noch fehlende Schritt ist (11.1.27)
Aus (11.1.25), (11.1.26), (11.1.27) folgt dann Satz 11.1.2. Zum Beweis von (11.1.27) werden wir den Satz von John-Nirenberg (Satz 8.1.2) benutzen. Wir setzen hierzu
11.1 Die Mosersche Harnackungleichung
v = logu ,
0 mit B(x,R) M(R):= sup u,
m(R):= inf u.
B(x,R)
(Nach Lemma 11.2.1 gilt -00
c n setzen wir B(x,R)
< m(R)
~
M(R)
< 00.)
w(R) := M(R) - m(R)
ist dann die Oszillation von u in B(x, R), und wir wollen die Ungleichung
( r)Q w(R)
w(r) ~ Co R
für 0
0
2\ dann
ln wobei
2 inr IDLlZu l +.:!c inr ILlZuI2ID1]12
i
DLl u l 2r?
1
~ Cll ILlZul2 n"
~ Cl !nIDU I2
nach Lemma 8.2.1 ,
Cl nicht von h abhängt, also (11.3.11)
Da die rechte Seite von (11.3.11) nicht von h abhängt, folgt nach Lemma 8.2.2 D 2 u E L 2 (n') mit (11.3.12)
Daher ist u
E
W 2,2(n').
q.e.d.
262
11. Mosersche Iterationstechnikj Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
Indem wir in (11.3.10) den Grenzübergang h -+ 0 vollziehen, erhalten wir weiterhin mit
aij(x) := A~;(Du(x» v:= DkU
(11.3.13)
die Gleichung
Wegen (ii), (iii) erfüllt (aij(x»i,j=l, ... ,d die Voraussetzungen von Satz 11.2.1. Anwendung dieses Satzes auf v = DkU ergibt daher
Lemma 11.3.3. Unter den Voraussetzungen von Satz 11.2.2 ist
für ein
CI!
E (0,1), also
q.e.d.
v
= DkU, k = 1, ... , d, ist also schwache Lösung der Gleichung d
L
i,j=r
Di (aij(x)Djv)
= O.
(11.3.14)
Hierbei erfüllen die Koeffizienten aij{x) nicht nur die Elliptizitätsbedingung
A lel 2 ~
e
d
L aij{X)eiej,
i,j=1
I
laij{x) ~ A
für alle E JRd, X E n, i,j = 1, ... , d, sondern sie sind nach (11.3.13) auch hölderstetig, da Ai glatt und Du hölderstetig nach Lemma 11.3.3 ist. Zum Beweis von Satz 11.3.2 ist daher eine Regularitätstheorie für solche Gleichungen erforderlich. Da die Gleichung (11.3.14) im Gegensatz zu den in Kapitel 10 behandelten von Divergenzform ist, lassen sich nicht direkt die Sätze von Schauder anwenden. Man kann aber ähnliche Methoden verwenden. Wir wollen jedoch stattdessen zur Abwechslung die Methode von Campanato vorstellen. Als Vorbereitung bringen wir einige Lemmata für Gleichungen vom Typ (11.3.14) mit konstanten Koeffizienten. Diese Resultate sind uns natürlich im Prinzip schon aus Kapitel 8 bekannt. Das erste ist die sogenannte Caccioppoli-Ungleichung
11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen
263
Lemma 11.3.4. (Aij)i,j=l, ... ,d sei eine Matrix mit IAi j I ~ A für alle i, j,
,.\ 1~12 ~
d
L Aij~i~j
für alle ~
E
IRd
i,j=l
mit"\ > O. U E W 1,2(n) sei schwache Lösung von d
L
Dj (Aij Diu) = 0 in n.
(11.3.15)
i,j=l
Dann gilt für alle Xo
r
J B(xo,r)
E
n und 0 < r < R < dist(xo, an) und alle J.L
IDuI 2 ~
Beweis. Wir wählen 'f/
C2
(R - r)
r
2
J B(xo,R)\B(xo,r)
lu -
J.L1 2 .
0~'f/~1
auf B(xo, r)
2
ID'f/I~-R . -r
Wie in § 8.2 setzen wir als Testfunktion
ein und erhalten aus
0= !'l;Ai jDiUDj ((U-J.L)'f/2) ',J
= !'l;AijDiUDjury2+ 'J
!
2'l;AijDiu(u-J.L)ryDj'f/ ~J
unter Verwendung der Elliptizitätsbedingungen die Ungleichung
,.\ r
IDu1 2'f/2 $
J B(xo,R)
r
LAijDiUDju'f/2
J B(xo,R)
r +.:!d r c
~ cAd
IDuI 2 ry2
JB(xo,R}
IDryl21 u - J.L1 2 ,
J B(xo,R}\B(xo,r)
da D'f/
= 0 auf B(xo, r),
1
B{xo,R)
und hieraus mit c
IDul 22 ry $
= ! A~
C21
(R - r)
2
B{xo,R)\B{xo,r)
IR
(11.3.16)
E H~,2(B(xo, R)) mit
'f/ == 1 auf B(xo, r), also D'f/ == 0
E
2
Iu - J.LI ,
264
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash
und wegen
die Behauptung.
q.e.d.
Das nächste Lemma enthält die sogenannten Campanato-Abschätzungen.
Lemma 11.3.5. Unter den Voraussetzungen von Lemma 11.3.4 gilt
1
B(xo,r)
lul 2 < C3 (r- )dl R
-
B(xo,R)
lul 2
(11.3.17)
sowie
R lu - UB(xo,R) I . 1B(xo,r) lu - UB(xo,r) I ::; C4 (r)d+21 B(xo,R) 2
2
(11.3.18)
Beweis. O.E. r < ~. Wir wählen k > d. Dann ist nach dem Sobolevschen Einbettungssatz 8.1.1 bzw. einer zu Korollar 8.1.3 analogen Erweiterung
Nach Satz 8.3.1 ist nun u E W k ,2 (B (xo, ~)), und es gilt natürlich eine zu Satz 8.2.2 analoge Abschätzung. Daher gilt
[
J B(xo,r)
lul 2 ::; csrd
sup
B(:r:o,r)
rd
lul 2
Il u ll w k ,2(B(xo,l/))
1
::; Cf; Rd-2k
d
r ::; C3 Rd
B(xo,R)
lul 2 .
(Zur Radiusabhängigkeit: Die Radiuspotenz r d ist klar. Die Radiuspotenz Rd kann man sich auch leicht durch ein Skalierungsargument überlegen, anstatt die Zwischenabschätzungen sorgfältig durchzugehen.) Dies ergibt (11.3.17). Da die Gleichung konstante Koeffizienten hat, ist mit u auch Du eine Lösung, und wir bekommen auch für r < ~
r
IDul 2
::; C7
JB(xo,r)
r:
R
r
JB(:r:o,ll)
IDul 2 .
(11.3.19)
Nun ist nach der Poincareschen Ungleichung (Korollar 8.1.4)
r
J B(xo,r)
lu -
UB(xo,r) 12 ::;
csr2
r
J B(xo,r)
IDul 2
(11.3.20)
11.3 Die Regularität von Minima von Variationsproblemen
265
und nach der Caccioppoli-Ungleichung (Lemma 11.3.4) ist
r
R
} B( XQ'2)
IDuI 2::; ;21B(xQ,R) lu - UB(xQ,R) 12.
(11.3.21)
q.e.d.
(11.3.19)-(11.3.21) ergeben (11.3.18).
Wir können nun den folgenden Regularitätssatz mit der Methode von Campanato beweisen:
Satz 11.3.3. aii(x), i,j = 1, ... ,d, seien Punktionen der Klasse a < 1, auf nC JRd, und sie mögen die Elliptizitätsbedingung A lel 2
d
::;
L
aii(x)eiei
für alle
eE JRd,x E
n
ca,
0
. ::; A
0, wobei C13 und Ho von c abhängen. Wir wiederholen nun das gleiche Spiel, aber diesmal wenden wir (11.3.18) aus Lemma 11.3.5 statt (11.3.17) an. Analog zu (11.3.29) erhalten wir
1
B(xQ,r)
IDw - (DW)B(xo,r)1
2
::; C14
(TR )d+21
B(xo,R)
IDw - (DW)B(xo,R)
2
1
.
(11.3.36) Ferner ist
denn für jede L2-Funktion 9 ist
r
} B(xo,R)
(Beweis: F(I\:) renzierbar nach
19 :=
1=
9B(xo,R) 2
In 19 -
1\:, und
in~
I<E
r
} B(xo,R)
19 _ 1\:1 2 .
1\:1 2 für ein 9 E L2 (D) ist konvex in und diffe-
also F'(I\:) = 0 genau für 1\:=
1~llg,
und da F konvex ist, muß ein kritischer Punkt ein Minimum sein.) Weiter ist
(11.3.37)
270
11. Mosersche Iterationstechnik; Regularitätssatz von de Giorgi und Nash IDw - (DV)B(XQ,R) 12
{
JB(xQ,R) :S ~ r
JB(xQ,R)
=
r
~
LAij (Diw - (Div)B(xQ,R)) (Djw - (DjV)B(xQ,R)) i,j L
Aij (Diw - (Div)B(xQ,R)) (Djv - (DjV)B(xQ,R))
JB(xQ,R) i,j +.!. r LAij (Div)B(xQ,R) (Djv ). JB(xQ,R) i,j
Djw)
nach (11.3.30). Das letzte Integral verschwindet, weil Aij(Div)B(xQ,R) konstant und v - w E H~,2(B(xo, R)) ist. Durch Anwendung der Cauchy-Schwarzschen Unglei-
chung folgt daher wie üblich insgesamt
1
B(xQ,R)
IDw-(Dw)B(XQ,R)1 2
2 :S A ).2 d2
1
B(xQ,R)
2 IDv-(Dv)B(XQ,R)I·
(11.3.38)
Schließlich ist
r
IDv - (DV)B(xQ,r) 12
r
IDv - Dwl 2 + 3
h~~ +3
JB(xQ,r)
:S 3 {
r
h~~
JB(xQ,r)
IDw - (DW)B(XQ,R) 12
((DV)B(xQ,r) - (DW)B(xQ,r))2.
Der letzte Ausdruck ist aber 3 {
JB(xQ,r)
(
1
IB(xo, r)1
{
JB(xQ,r)
(Dv _ DW)) 2
O.
(ii)
$
Übungen 11.1 Formulieren Sie Bedingungen an die Koeffizienten eines Differentialoperators der Form
Lu
8 (.. 8 ) = L: -. a'3(x)-.u(x) 8x3 8x' d
i,j=1
d
8
i=1
X
+ L äiW(x)u(x» + c(x)u(x), unter denen eine Harnackungleichung vom Typ von Korollar 11.1.1 gilt. Führen Sie einen detaillierten Beweis durch.
Übungen
11.2 Es sei wie in Lemma 11.1.4
'lX2 + >'2X2, y) = >'l(Xl, y) + >'2(X2, y) für alle >'1. >'2 iii) (x,x) > 0 für alle x # 0, xE H
E
IR, xl. X2, Y E H
iv) H ist vollständig bezüglich der Norm
IIxll := (x,x)2. 1
Es gelten die folgenden Ungleichungen für einen Hilbertraum H: • Schwarzsehe Ungleichung:
l(x,y)1
:s IIxll·llyll,
und Gleichheit gilt genau dann, wenn x und y linear abhängig sind
(A.l)
276
A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume
• Dreiecksungleichung:
Ilx + yll :::; Ilxll + Ilyll
(A.2)
Ebenfalls ohne Beweis zitieren wir den Rieszschen Darstellungssatz:
Es sei L ein beschränktes lineares Funktional auf dem Hilbertraum H (also L : H --T IR linear mit
Dann existiert ein eindeutig bestimmtes Y x EH, und es ist
E
H mit L(x) = (x, y) für alle
IILII = Ilyll·
Ebenfalls wichtig ist die folgende Erweiterung: Satz von Lax-Milgram:
B sei eine Bilinearform auf dem Hilbertraum H, welche beschränkt: IB(x, y)1 :::; K
Ilxllllyll
für alle x, y E H mit K < 00
und elliptisch oder koerziv: IB(x, x)1 2: A IIxl1 2
für alle x E H mit A > 0
ist. Dann existiert zu jedem beschränkten linearen FUnktional Tauf Hein eindeutig bestimmtes y E H mit B(x, y) = Tx für alle x
E
H.
Beweis. Wir betrachten Lz(x) = B(x, z). Nach dem Rieszschen Darstellungssatz existiert ein Sz E H mit
(x, Sz)
= Lzx = B(x, z).
Da B bilinear ist, hängt Sz linear von z ab. Außerdem ist
IISzlI:::; Kllzll· S ist also ein beschränkter linearer Operator. Wegen A IIzl1 2 :::; B(z, z) = (z, Sz) :::; IlzllllSzl1 ist
A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume
277
IISzl1 ~ A IIzll, S also injektiv. Wir wollen zeigen, daß S auch surjektiv ist. Andernfalls existiert x I- 0 mit (x, Sz) = 0 für alle zEH. Mit z = x folgt
(x,Sx) =
o.
Da wir aber schon
(x,Sx) 2 Allxl1 2 hergeleitet haben, folgt x = o. Dies zeigt, daß S surjektiv ist. Aus dem Bewiesenen folgt, daß S-l ebenfalls ein beschränktes lineares Funktional auf H ist. Nach Riesz existiert v E H mit
Tx = (x,v) = (x, Sz) wegen der Surjektivität von S für ein zEH (wegen der Injektivität von S ist z auch eindeutig) = B(x,z) = B(x, S-l v ).
y = S-l V erfüllt also die Behauptung.
q.e.d.
Die hier für uns wichtigen Räume sind die LP-Räume: Wir setzen, für 1 :::; p < 00
LP(V)
:=
{u: V ~ lR meßbar mit Ilull
p
:= Ilullu'(S1) :=
[!nlu IP dX]
1
P
< oo}
sowie
LOO(V) :=
{u: V ~ lR meßbar,
Ilullux>(n) := sup lul
k} ist Nullmenge}
das wesentliche Supremum von lul. Gelegentlich verwenden wir auch den Raum
Lfoc(V) := {u: V
~ lR meßbar mit u E
LP(V') für alle V' ce V}
für 1 :::; p:::; 00. Dabei werden jeweils Funktionen identifiziert, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden. (Dies ist erforderlich, um i) aus Definition A.l sicherzustellen. ) Wir erinnern an die folgenden Tatsachen:
278
A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume
Lemma A.1. LP(fJ) ist vollständig bezüglich 11·llp' also ein Banachraum, für 1 ::; P ::;
00.
L 2 (fJ) ist ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt
In
(u,v)P({l) :=
u(x)v(x)dx.
Jede bezüglich 11·llp konvergierende Folge enthält eine Teilfolge, die punktweise fast überall konvergiert. Für 1 ::; P < 00 liegt CO(fJ) dicht in V(Q), d.h. zu u E LP(Q) und c > 0 existiert ein W E CO(Q) mit
Ilu - wllp < c.
(A.3)
Es gilt die Höldersche Ungleichung: Ist u E V(Q), v E U(Q), l/p+ l/q so
In
uv ::;
Ilullv'(n) ·llvIILq({l) .
=
1,
(A.4)
(A.4) folgt aus der Youngschen Ungleichung: aP
ab::; -
p
b +-, q q
Wir setzen hierzu
A:= und o.E. seien A, B
f. 0.
f
falls a,b
Ilullp'
~
O,p,q
B:=
1 p
1 = 1. q
> 1, - + -
(A.5)
Ilvllp'
Mit a := lu~)I, b := Iv~)1 folgt dann aus (A.5) lu(x)v(x)1 < ! AP AB - pAp
also (A.4). Induktiv erhält man aus (A.4): Ist m
1
i=l
Pi
+! Bq
Ul E
qBq
= 1
,
LP1, . .. ,Um E LP"',
2:-=1, so ist
(A.6) Nach Lemma A.l ist für 1 ::; p < 00 CO(fJ) dicht in V(Q) bezüglich der V-Norm. Wir wollen nun zeigen, daß sogar COO(Q) dicht in V(Q) ist. Hierzu benutzen wir sogenannte Glättungsfunktionen, d.h. nichtnegative Funktionen (! aus C(f'(B(O, 1)) mit
f
Hierbei ist
(!dx
B(O, 1) := {x
= 1.
E]Rd:
lxi::; 1}.
A. Banach-und Hilberträume. Die LV-Räume
279
Das typische Beispiel ist
g(x):= { 0cexp (~) lxi -1 wobei c so gewählt ist, daß wir die Glättung von u:
für für
lxi< 1 lxi ~ 1
J edx = 1 wird. Für u E LP(n), h > 0, definieren
r (x-
y Uh(X) := h1d JIl~.'l g -h- ) u(y)dy,
(A.7)
wobei wir u(y) = 0 für y E R.d\n gesetzt haben. (Diese Konventionen werden wir im folgenden stets benutzen.) Die wichtige Eigenschaft der Glättung ist, daß ist.
Lemma A.2. Ist u E CO(n), so konvergiert Uh für h u auf jedem n' ce n. Beweis. Uh(X)
=
Ist also
1 1
= h1d
Ix-YI9
Izl:9
0 gleichmäßig gegen
(x-h- y) u(y)dy
e(z)u(x - hz)dz
x-y mit z = -h-'
(A.8)
n' ce n und 2h < dist( n', an), so erhalten wir, wenn wir schreiben u(x)
daß sup lu - uhl ::::: sup !]'
e
--t
xE!]'
da
1
=
1
Izl:9
e(z)u(x)dz,
e(z) lu(x) - u(x - hz)1 dz,
Izl~l
J e(z) =
1 und folglich u(x) =
J p(z)u(x) dz
::::: sup sup lu(x) - u(x - hz)l. xE!]'
Izl~l
Da u auf der kompakten Menge {x: dist(x, n') : : : h} gleichmäßig stetig ist, folgt sup lu - uhl --t 0 für h --t O. !]'
q.e.d.
A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume
280
Lemma A.3. Es sei U E V(n), 1 ~ p < 00. Dann gilt für h --+ 0
lIu -
uhlb(n)
--+
o.
Außerdem konvergiert Uh punktweise fast überall gegen u. (Wir setzen wieder = 0 außerhalb von n.)
U
Beweis. Mittels der Hälderschen Ungleichung folgt aus (A.8), wenn wir 1 1 e(z)u(x - hz) = e(z);; . e(z)vu(x - hz) mit l/p+ l/q = 1 schreiben, daß
IUh(X)IP
~(
1!.
(
1\z\9
= (
1\z\9
e(Z)dz)
q
{ IUh(XW dx
~
({
101\z\9
l\z\~l
Für e:
ce n'.
e(z) Iu(x - hzW dzdx
(e(z) ( lu(x - hz)jP dX) dz 10
{ lu(y)I Pdy
1.0 / (mittels der Substitution y = x-hz).
> 0 wählen wir nun w
Ilu -
e(z) Iu(x - hz)jP dz
e(z) Iu(x - hz)I Pdz.
= {
~
(
1\z\9
Wir wählen ein beschränktes n' mit fl Ist 2h < dist(n, an'), so folgt 1.0
•
(A.9)
E CO(n') mit
wllv'(n/) < e:
(vergleiche Lemma A.l) .
Nach Lemma A.2 gilt für genügend kleines h
Ilw -
whIlLP(OI) < e:.
Wendet man (A.9) auf u - w an, so erhält man
( IUh(X) - Wh(XW dx
1.0
~
( lu(y) - w(y)I Pdy
10 /
und somit
lIu -
wllv'(o) + IIw - whIlLP(o) ~ 2e: + lIu - wlb(ol) ~ 3e:.
uhllv'(o) ~
lIu -
+ IIUh - whllv'(o)
Daher konvergiert Uh bezüglich 1I·lI p gegen u. Nach Lemma A.l konvergiert dann eine Teilfolge von Uh punktweise fast überall gegen u. Da der Limes u eindeutig bestimmt ist, muß dann aber schon die ganze Familie Uh für h --+ 0 gegen U konvergieren. 0
A. Banach-und Hilberträume. Die LP-Räume
281
Bemerkung. Glättende Kerne wurden erstmals von K.O. Friedrichs systematisch in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen benutzt. In der Literatur werden sie daher auch oft "Friedrichs mollifier" genannt. Im Beweis der Lemmata A.2 und A.3 haben wir die Glattheit von p überhaupt nicht ausgenutzt. Daher gelten diese Aussagen auch für andere Kerne, insbesondere für
l1(x) =
{wald
für lxi:::; 1 sonst.
Die entsprechende Faltung ist
ur(x) = =
r in[ 11 (x -r Y) u(y) dy 1 [ u(y) dy =; 1 u, IB(x, r)1 i B(x,r) JB(x,r)
~ Wd
also das Mittelintegral von u über die Kugel B(x,r). Somit erhalten wir analog zu Lemma A.3
Lemma A.4. Es sei u E LP(fl), 1 :::; p
(n) := Sup lul
11'll p ,278
(u, V)L2(n) Uh(X) :=
:=
In u(x)v(x)dx, 278
t.r JIR,j
(!
(y) u(y)dy, 279
< oo},
277