Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Hohere Mathematik fur Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 4. Auflage

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Klemens Burg | Herbert Haf | Friedrich Wille | Andreas Meister Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen

Klemens Burg | Herbert Haf Friedrich Wille | Andreas Meister

Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker 4., überarbeitete und erweiterte Auflage Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, Universität Kassel STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geb. 1938 in Pfronten/Allgäu.1956 –1960 Studium der Feinwerktechnik-Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München.1960 –1966 Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen.1966 Diplomprüfung in Mathematik.1966 –1970 Wiss. Ass., 1968 Promotion.1970 –1974 Akad. Rat/Oberrat an der Universität Stuttgart.1968 –1974 Lehraufträge an der Universität Stuttgart.1974 – 2003 Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie. Prof. Dr. rer. nat. Andreas Meister, geb. 1966 in Einbeck.1987–1993 Studium der Mathematik mit Nebenfach Informatik an der Georg-August-Universität Göttingen.1993 Diplomprüfung in Mathematik.1993–1996 Promotionsstipendium an der Deutschen Forschungsanstalt für Luft- und Raumfahrt in Göttingen, 1996 Promotion an der TH Darmstadt.1996 Wiss. Mitarb. am Fraunhofer Institut für Techno- und Wirtschaftsmathematik Kaiserslautern.1996 –1997 Wiss. Mitarb., 1997– 2002 Wiss. Ass. an der Universität Hamburg. 2001 Habilitation und Privatdozent am FB Mathematik der Universität Hamburg. 2002–2003 Hochschuldozent an der Universität zu Lübeck. Seit 2003 Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Numerik partieller Differentialgleichungen und Numerik linearer Gleichungssysteme.

1. Auflage 1989 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2009 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009 Lektorat: Ulrich Sandten | Kerstin Hoffmann Vieweg +Teubner ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Druck und buchbinderische Verarbeitung: STRAUSS GMBH, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0861-5

Meinem verehrten akademischen Lehrer Prof. Dr. Peter Werner gewidmet

Vorwort Die vorliegende Neuauflage der Höheren Mathematik mit dem Schwerpunkt Partielle Differentialgleichungen und der Bereitstellung von Hilfsmitteln der Funktionalanalysis stellt die Abrundung unserer Lehrbuchreihe dar. Aufgrund ihrer Bedeutung für die Elektrodynamik haben wir zusätzlich eine Einführung in die Theorie der Maxwellschen Gleichungen in diesen Band aufgenommen (s. Abschn. 8). Die Adressaten sind — wie schon bei den anderen Bänden — in erster Linie Studierende der Ingenieurwissenschaften, aber darüber hinaus auch der Angewandten Mathematik, insbesondere der Technomathematik, sowie der Physik, der Physikalischen Chemie und der Informatik. Auch der »reine Mathematiker« wird manches Lesenswerte in diesem Buch finden. Zum Lernen, begleitend zur Vorlesung oder zum Selbststudium, zum Vertiefen, Nachschlagen und Wiederholen sind die Bände von Nutzen. Bei der Examensvorbereitung, wie auch in der späteren Berufspraxis findet der Leser Hilfe in dieser »Wissensbank«. Auch dieser Band ist relativ unabhängig von den übrigen Bänden gestaltet. Das nötige Vorwissen steht natürlich in den vorangehenden Bänden, aus denen es der Leser entnehmen kann. Er kann es natürlich auch anders erworben haben. Auch muß man die vorangehenden Bände nicht Wort für Wort durchstudiert haben, um diesen verstehen zu können. Benötigte Inhalte aus früheren Bänden werden gezielt zitiert, oft sogar kurz wiederholt, so daß sich umständliches Nachschlagen erübrigt. Der erste Themenbereich dieses Bandes ist durch die Funktionalanalysis gegeben. Sie wurde im letzten Jahrhundert entwickelt und stellt mittlerweile auch für den primär an Anwendungen Interessierten ein nützliches und modernes mathematisches Instrumentarium dar. Nicht zuletzt ist die moderne Numerische Mathematik in hohem Maße auf sie angewiesen. Die Funktionalanalysis ist zweifellos von höherem Abstraktionsgrad. Doch schon der Teil partielle Differentialgleichungen zeigt recht überzeugend, wie leistungsfähig die Funktionalanalysis ist. Um die Theorie für den von uns angesprochenen Leserkreis nicht ausufern zu lassen, haben wir nicht sämtliche Prinzipien der Funktionalanalysis in diesen Band aufgenommen. Stattdessen haben wir uns in der Regel auf solche beschränkt, mit denen wir auch weitergearbeitet haben. Eine Ausnahme stellt hier der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach dar. Aufgrund seiner allgemeinen Bedeutung erscheint uns seine Aufnahme unverzichtbar. Er findet sich (mit Beweis) im Anhang. Einige lineare Integralgleichungen, etwa solche vom Volterraschen Typ oder verschiedene Fredholmsche Integralgleichungen 2-ter Art, wurden — wie heute üblich — in den Funktionalanalysis-Teil integriert. Abweichend vom Standardweg, der über die Lebesgue-Theorie führt, sind wir zur Einführung ◦ des Lebesgueraumes L 2 und der Sobolevräume Hm und Hm einem von P. Werner [62] eröffneten Zugang gefolgt (s. Abschnitt 3). Diese Räume werden hierbei auf funktionalanalytische Weise, genauer, unter distributionentheoretischen Gesichtspunkten, diskutiert. Welche Gründe sprechen dafür? Zum einen stehen uns die benötigten funktionalanalytischen Hilfsmittel durch die vorher-

gehenden Abschnitte 1 und 2 bereits in vollem Umfang zur Verfügung, so daß wir auf ziemlich rasche und elegante Weise zu diesen Räumen gelangen. Ein weiterer Vorzug besteht darin, daß sich ein für die »Hilbertraummethoden« (s. Abschn. 10) benötigter schwacher Ableitungsbegriff im Rahmen dieses Zugangs ganz natürlich einordnet. Die partiellen Differentialgleichungen, die den eigentlichen Schwerpunkt dieses Bandes ausmachen, besitzen eine große Anwendungsrelevanz. Von daher ist hier eine Motivierung möglich, die unmittelbar von konkreten Sachverhalten ausgeht. Sowohl das Aufstellen von partiellen Differentialgleichungen (s. Abschn. 4.1.3), als auch die Erarbeitung von Lösungsmethoden zeigen, daß wir den »Abnehmer« von Mathematik sehr wohl im Blick haben. Aufgrund der außerordentlichen Breite des Gebietes ist es unumgänglich, eine Auswahl der Differentialgleichungstypen wie auch der Lösungsverfahren zu treffen. So haben wir ausschließlich lineare partielle Differentialgleichungen und im Rahmen der linearen Theorie insbesondere die »Schwingungsgleichung«, die »Wärmeleitungsgleichung« und die »Wellengleichung« untersucht (Abschnitte 5 bis 7). Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung sind von uns nur kurz gestreift und auf Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen zurückgeführt worden (s. Abschn. 4.2). Eine Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung findet sich in Abschnitt 4.2.2. Die Helmholtzsche Schwingungsgleichung mit ihrem wichtigen Spezialfall, der Potentialgleichung, nimmt in diesem Band einen besonders breiten Raum ein (s. Abschn. 5). Dies läßt sich durch die Schlüsselstellung dieser Gleichung begründen. Neben ihrer unmittelbaren Bedeutung für die Anwendungen führen Separationsansätze bei der Wärmeleitungsgleichung, der Wellengleichung und den Maxwellschen Gleichungen auf die Schwingungsgleichung (s. Abschn. 4.3.2 und Üb. 4.7). Ganzraumprobleme haben wir ganz allgemein im Rn untersucht. Dadurch gewinnen wir für jede Dimension n geeignete Abklingbedingungen im Unendlichen, die zur eindeutigen Lösung von Randwertaufgaben benötigt werden. Dabei lassen sich die in Burg/Haf/Wille [21], Abschnitt 5 mit funktionentheoretischen Methoden erarbeiteten Resultate über die Hankelschen Funktionen besonders schön anwenden. Es ist uns ein Anliegen, den mathematisch interessierten Leser möglichst schonend in zwei interessante und wichtige neuere Entwicklungen auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen einzuführen: In die »Integralgleichungsmethoden« (s. Abschn. 5.3) und in die »Hilbertraummethoden« (s. Abschn. 10). Beide Bereiche sind in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts entstanden. An ihnen wird der Nutzen der Funktionalanalysis überzeugend deutlich. Die den Hilbertraummethoden zugrunde liegenden »schwachen Formulierungen« (oder »Variationsformulierungen«) der entsprechenden Differentialgleichungsprobleme stellen den Ausgangspunkt für moderne numerische Verfahren zu deren Lösung dar (Ritz-Galerkin-Verfahren, Methode der finiten Elemente). Dieser Band kann die umfangreiche Numerik der partiellen Differentialgleichungen nicht abdecken. Hier verweisen wir auf die einschlägige Literatur (s. Literaturverzeichnis). In Abschnitt 5.5, der von F. Wille geschrieben wurde, geben wir eine kurze Einführung in die wichtige Methode der finiten Elemente. Dieser Abschnitt ist unabhängig von den Abschnitten 3 bzw. 10 gestaltet, um den an Theorie weniger interessierten Lesern dennoch eine Methode zur numerischen Lösungsbestimmung an die Hand zu geben. Zum besseren Verständnis der »Hintergründe« empfiehlt sich allerdings ein Studium der genannten Abschnitte. Weiterführende Literatur zur Numerik partieller Differentialgleichungen, findet sich insbesondere am Ende der jeweiligen Abschnitte.

Wir haben uns auch in diesem Band wieder um eine Ausgewogenheit zwischen Theorieanspruch und Anwendungsbezogenheit bemüht. Rücksichtnahme auf den »Abnehmer« von Mathematik, ohne Preisgabe mathematischer Genauigkeit, war uns dabei wichtig. Im Teil partielle Differentialgleichungen spiegelt sich die prägende Wirkung zahlreicher ausgezeichneter Vorlesungen und Vorträge wieder, die der Verfasser als Student bei den Professoren R. Leis und C. Müller, bzw. als Assistent und Mitarbeiter bei Professor P. Werner gehört hat. Ihnen möchten wir an dieser Stelle danken. Besonderer Dank gebührt hierbei Herrn Prof.Dr. P. Werner (Universität Stuttgart), dem dieser Band gewidmet ist. Sein Rat, seine wertvollen Hinweise und Anregungen waren uns sehr hilfreich. Originalarbeiten von ihm bilden die Grundlage für die Abschnitte 3 und 10. Ferner danken wir Herrn Dipl.-Inf. J. Barner für die Erstellung der ausgezeichneten LATEXVorlage. Nicht zuletzt gilt unser Dank dem Verlag B.G. Teubner für seine ständige Gesprächsbereitschaft, Rücksichtnahme auf Terminprobleme und Gestaltungswünsche. Kassel, Juli 2004

Herbert Haf

Vorwort zur vierten Auflage Die vorliegende vierte Auflage dieses Bandes stellt eine Überarbeitung und Erweiterung der vorangehenden Auflage dar. Aufgrund ihrer Bedeutung für die Strömungsmechanik wurden die Eulerschen Gleichungen der Gasdynamik aufgenommen. Die Verfasser hoffen nun, daß dieser letzte Band unseres sechsteiligen Gesamtwerkes »Höhere Mathematik für Ingenieure« auch weiterhin eine freundliche Aufnahme durch die Leser findet. Für Anregungen sind wir dankbar. Unser Dank gilt in besonderer Weise Herrn Prof. Dr. Thomas Sonar von der Technischen Universität Braunschweig für die kritische Sichtung der neuen Abschnitte und für wertvolle Hinweise zu diesem Band. Desweiteren möchten wir Herrn Dr.-Ing. Jörg Barner für die Erstellung der hervorragenden LATEX-Vorlage und Herrn Klaus Strube für die gewohnt präzise Erstellung der in dieser Auflage neu aufgenommenen Abbildungen danken. Nicht zuletzt danken wir dem Verlag Vieweg+Teubner für eine bewährte und angenehme Zusammenarbeit. Kassel, Juni 2009

Herbert Haf, Andreas Meister

Inhaltsverzeichnis

I 1

2

Funktionalanalysis Grundlegende Räume 1.1 Metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Topologische Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit 1.1.4 Bestapproximation in metrischen Räumen . . . . . 1.1.5 Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen . . . 1.2 Normierte Räume. Banachräume . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Lineare Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Normierte Räume. Banachräume . . . . . . . . . . 1.3 Skalarprodukträume. Hilberträume . . . . . . . . . . . 1.3.1 Skalarprodukträume . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Ein Approximationsproblem . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Der Zerlegungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5 Orthonormalsysteme in Hilberträumen . . . . . . 1.3.6 Fourierentwicklung in Hilberträumen . . . . . . . 1.3.7 Struktur von Hilberträumen . . . . . . . . . . . .

1 . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 5 5 10 10 18 19 29 29 33 41 41 47 51 55 61 67 69

Lineare Operatoren in normierten Räumen 2.1 Beschränkte lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Stetigkeit und Beschränktheit. Operatornorm . . . . . . . 2.1.2 Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren . . . . . 2.1.3 Die Neumannsche Reihe. Anwendungen . . . . . . . . . 2.1.4 Lineare Funktionale in normierten Räumen . . . . . . . . 2.1.5 Der Rieszsche Darstellungssatz . . . . . . . . . . . . . . 2.1.6 Adjungierte und symmetrische Operatoren . . . . . . . . 2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen . . . . . . . . 2.2.1 Vollstetige Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ausgeartete Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Die Fredholmsche Alternative . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen . . . . 2.2.5 Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen 2.3 Symmetrische vollstetige Operatoren . . . . . . . . . . . . . .

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75 75 75 81 82 88 90 92 96 97 100 102 104 109 119

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XII

Inhaltsverzeichnis

2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 3

Eigenwerte und -elemente vollstetiger symmetrischer Operatoren. Fourierentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendung auf symmetrische Integraloperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Sturm-Liouvillesches Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Spektrum eines symmetrischen Operators . . . . . . . . . . . . . . . . .

Der Hilbertraum L 2 (Ω) und zugehörige Sobolevräume 3.1 Der Hilbertraum L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Motivierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Definition von L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Einbettung von C0∞ (Ω) in L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Restriktion und norminvariante Erweiterung von L 2 -Funktionalen 3.1.5 Produkt von L 2 -Funktionalen mit stetigen Funktionen . . . . . . 3.1.6 Differentiation in L 2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Sobolevräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Der Sobolevraum Hm (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ◦ 3.2.2 Der Sobolevraum Hm (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Ergänzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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II Partielle Differentialgleichungen 4

5

120 128 129 131 139 147 147 147 149 150 155 156 158 163 163 164 166

171

Einführung 4.1 Was ist eine partielle Differentialgleichung? . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung . . . . . . . 4.1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Herleitung von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . 4.2 Lineare partielle Differentialgleichungen 1-ter Ordnung . . . . . . . . 4.2.1 Zurückführung auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 4.2.2 Anwendung auf die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . 4.3 Lineare partielle Differentialgleichungen 2-ter Ordnung . . . . . . . . 4.3.1 Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Separationsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Der Reynoldssche Transportsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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173 173 173 174 176 180 180 183 184 184 187 189

Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung 5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Hilfsmittel aus der Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Radialsymmetrische Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Die Darstellungsformel für Innengebiete . . . . . . . . . . 5.1.4 Mittelwertformel und Maximumprinzip . . . . . . . . . . . 5.1.5 Flächen- und Volumenpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Ganzraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung

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195 195 195 197 198 203 206 208 208

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Inhaltsverzeichnis

5.2.2 Die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung . . . . . . . . . . . 5.2.3 Die Darstellungsformel für Außengebiete . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Ganzraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Problemstellungen und Eindeutigkeitsfragen . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Sprungrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3 Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden . . . . . . . . 5.4 Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem . . 5.4.2 Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators . . . . . . 5.5 Einführung in die Finite-Elemente-Methode . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Die Fréchet-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Variationsprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme 5.5.4 Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM) . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Diskretes Variationsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.7 Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode . 6

7

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215 224 227 230 231 237 239 253 253 256 259 259 262 267 273 274 279 285

Die Wärmeleitungsgleichung 6.1 Rand- und Anfangswertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung 6.1.2 Die Eindeutigkeitsfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Ein Anfangswertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation . . . . . . . . . . .

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291 291 292 293 294 296 297 298 298

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303 303 303 306 313 315 316 320 320 322 323

Die Wellengleichung 7.1 Die homogene Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Anfangswertprobleme im R1 . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Anfangswertprobleme im R3 . . . . . . . . . . . . . 7.1.3 Anfangswertprobleme im R2 (»Method of descent«) 7.1.4 Das Huygenssche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . 7.1.5 Bemerkungen zu Rand- und Anfangswertproblemen 7.2 Die inhomogene Wellengleichung im R3 . . . . . . . . . 7.2.1 Das Duhamelsche Prinzip . . . . . . . . . . . . . . 7.2.2 Die Kirchhoffsche Formel . . . . . . . . . . . . . . 7.2.3 Erzwungene Schwingungen . . . . . . . . . . . . .

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XIII

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XIV

8

Inhaltsverzeichnis

Die Maxwellschen Gleichungen 8.1 Die stationären Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Stationäre Maxwellsche Gleichungen und vektorielle Schwingungsgleichung 8.1.2 Grundlösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Asymptotisches Verhalten der Grundlösungen. Ausstrahlungsbedingungen . 8.1.4 Darstellungsformeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1 Problemstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 Außenraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 Innenraumprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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327 327 327 329 330 331 334 334 334 339

Die Euler-Gleichungen und hyperbolische Bilanzgleichungen 9.1 Kompressible und inkompressible Strömungen . . . . . . . 9.2 Bilanzgleichungen und Erhaltungsgleichungen . . . . . . . 9.3 Charakteristiken im skalaren eindimensionalen Fall . . . . . 9.4 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . 9.5 Schwache Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Die Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . . .

341 341 343 349 352 361 371

10 Hilbertraummethoden 10.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1 Ein schwaches Dirichletproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung 10.1.2 Nachweis einer schwachen Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3 Ein äquivalentes schwaches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Das schwache Dirichletproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen . . 10.2.1 Das klassische Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.2 Das schwache Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.3 Ein äquivalentes schwaches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.4 Schwache Lösungen bei strikt positiven elliptischen Differentialoperatoren . 10.2.5 Schwache Lösungen bei gleichmäßig elliptischen Differentialoperatoren . . . 10.2.6 Eigenwerte und -elemente des schwachen Dirichletproblems . . . . . . . . . 10.3 Das schwache Neumannproblem für lineare elliptische Differentialgleichungen . 10.3.1 Ein schwaches Neumannproblem für die inhomogene Schwingungsgleichung 10.3.2 Nachweis einer schwachen Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Ausblick auf den allgemeinen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.1 Innenregularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4.2 Randregularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

381 381 381 383 385 386 386 387 388 389 391 397 399 399 405 405 407 407 408

9

Anhang

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

415

A Anhang 417 A.1 Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 A.2 Der Satz von Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

Inhaltsverzeichnis

XV

B Lösungen zu den Übungen

421

Symbole

453

Literaturverzeichnis

455

Stichwortverzeichnis

463

XVI

Band I: Analysis (F. Wille† , bearbeitet von H. Haf, A. Meister) 1

Grundlagen

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Reelle Zahlen Elementare Kombinatorik Funktionen Unendliche Folgen reeller Zahlen Unendliche Reihen reeller Zahlen Stetige Funktionen

2

Elementare Funktionen

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Polynome Rationale und algebraische Funktionen Trigonometrische Funktionen Exponentialfunktionen, Logarithmus, Hyperbelfunktionen Komplexe Zahlen

3

Differentialrechnung einer reellen Variablen

3.1 3.2 3.3

Grundlagen der Differentialrechnung Ausbau der Differentialrechnung Anwendungen

4

Integralrechnung einer reellen Variablen

4.1 4.2 4.3 4.4

Grundlagen der Integralrechnung Berechnung von Integralen Uneigentliche Integrale Anwendung: Wechselstromrechnung

5

Folgen und Reihen von Funktionen

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen und -reihen Potenzreihen Der Weierstraß’sche Approximationssatz Interpolation Fourierreihen

6

Differentialrechnung mehrerer reeller Variabler

6.1 6.2 6.3 6.4

Der n-dimensionale Raum Rn Abbildungen im Rn Differenzierbare Abbildungen von mehreren Variablen Gleichungssysteme, Extremalprobleme, Anwendungen

XVII

7

Integralrechnung mehrerer reeller Variabler

7.1 7.2 7.3

Integration bei zwei Variablen Allgemeinfall: Integration bei mehreren Variablen Parameterabhängige Integrale

Band II: Lineare Algebra (F. Wille† , H. Haf, K. Burg† , bearbeitet von H. Haf, A. Meister) 1

Vektorrechnung in zwei und drei Dimensionen

1.1 1.2

Vektoren in der Ebene Vektoren im dreidimensionalen Raum

2

Vektorräume beliebiger Dimensionen

2.1 2.2 2.3 2.4

Die Vektorräume Rn und Cn Lineare Gleichungssysteme, Gaußscher Algorithmus Algebraische Strukturen: Gruppen und Körper Vektorräume über beliebigen Körpern

3

Matrizen

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Definition, Addition, s-Multiplikation Matrizenmultiplikation Reguläre und inverse Matrizen Determinanten Spezielle Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Die Jordansche Normalform Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Matrix-Funktionen Drehungen Lineare Ausgleichsprobleme

4

Anwendungen

4.1 4.2

Technische Strukturen Roboter-Bewegung

Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen (H. Haf, A. Meister) Gewöhnliche Differentialgleichungen 1

Einführung in die gewöhnlichen Differentialgleichungen

1.1 1.2

Was ist eine Differentialgleichung? Differentialgleichungen 1-ter Ordnung

XVIII

1.3 1.4

Differentialgleichungen höherer Ordnung Ebene autonome Systeme

2

Lineare Differentialgleichungen

2.1 2.2 2.3 2.4

Lösungsverhalten Homogene lineare Systeme 1-ter Ordnung Inhomogene lineare Systeme 1-ter Ordnung Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung

3

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

3.1 3.2

Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung Lineare Systeme 1-ter Ordnung

4

Potenzreihenansätze und Anwendungen

4.1 4.2

Potenzreihenansätze Verallgemeinerte Potenzreihenansätze

5

Rand- und Eigenwertprobleme. Anwendungen

5.1 5.2 5.3

Rand- und Eigenwertprobleme Anwendung auf eine partielle Differentialgleichung Anwendung auf ein nichtlineares Problem (Stabknickung)

Distributionen 6

Verallgemeinerung des klassischen Funktionsbegriffs

6.1 6.2

Motivierung und Definition Distributionen als Erweiterung der klassischen Funktionen

7

Rechnen mit Distributionen. Anwendungen

7.1 7.2

Rechnen mit Distributionen Anwendungen

Integraltransformationen 8

Fouriertransformation

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

Motivierung und Definition Umkehrung der Fouriertransformation Eigenschaften der Fouriertransformation Anwendung auf partielle Differentialgleichungsprobleme Diskrete Fouriertransformation

XIX

9

Laplacetransformation

9.1 9.2 9.3 9.4

Motivierung und Definition Umkehrung der Laplacetransformation Eigenschaften der Laplacetransformation Anwendungen auf gewöhnliche lineare Differentialgleichungen

10

Z-Transformation

10.1 10.2 10.3

Motivierung und Definition Eigenschaften der Z-Transformation Anwendungen

Band Vektoranalysis: (F. Wille† , bearbeitet von H. Haf) 1

Kurven

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Wege, Kurven, Bogenlänge Theorie ebener Kurven Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen Theorie räumlicher Kurven Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale

2

Flächen und Flächenintegrale

2.1 2.2

Flächenstücke und Flächen Flächenintegrale

3

Integralsätze

3.1 3.2 3.3 3.4

Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessche Integralsatz Weitere Differential- und Integralformeln im R3 Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale

4

Alternierende Differentialformen

4.1 4.2

Alternierende Differentialformen im R3 Alternierende Differentialformen im Rn

5

Kartesische Tensoren

5.1 5.2

Tensoralgebra Tensoranalysis

XX

Band Funktionentheorie: (H. Haf) 1 1.1 1.2

Grundlagen Komplexe Zahlen Funktionen einer komplexen Variablen

2

Holomorphe Funktionen

2.1 2.2 2.3 2.4

Differenzierbarkeit im Komplexen, Holomorphie Komplexe Integration Erzeugung holomorpher Funktionen durch Grenzprozesse Asymptotische Abschätzungen

3

Isolierte Singularitäten, Laurent-Entwicklung

3.1 3.2

Laurentreihen Residuensatz und Anwendungen

4

Konforme Abbildungen

4.1 4.2

Einführung in die Theorie konformer Abbildungen Anwendungen auf die Potentialtheorie

5

Anwendung der Funktionentheorie auf die Besselsche Differentialgleichung

5.1 5.2 5.3

Die Besselsche Differentialgleichung Die Besselschen und Neumannschen Funktionen Anwendungen

Teil I Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis verbindet die Analysis mit Geometrie und Algebra. Durch Hervorhebung wesentlicher Strukturen lassen sich dabei verschiedenartige mathematische Fragestellungen unter allgemeinen Gesichtspunkten behandeln. Insbesondere werden »unendlichdimensionale lineare Räume« betrachtet. Räume mit unendlicher Dimension — gibt es die eigentlich? In der Tat! So erweist sich z.B. die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall »bei genauerem Hinsehen« als Raum von unendlicher Dimension. Solche »Funktionenräume« sind ein zentraler Gegenstand der Funktionalanalysis. Sind dies aber nicht nur künstliche Gedankenspiele, die mit der Wirklichkeit nichts zu tun haben? Nur auf den ersten Blick! Die Entwicklung der letzten Jahrzehnte zeigt, daß die Funktionalanalysis mehr und mehr zur Lösung von »Ingenieuraufgaben« benötigt wird und auch in den Naturwissenschaften, insbesondere der Physik, zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel geworden ist. Woran liegt das eigentlich? Der zunächst als recht wirklichkeitsfern erscheinende Schritt hin zur Abstraktion erweist sich als ungemein fruchtbar und ökonomisch. Sehr unterschiedliche Einzelprobleme lassen sich häufig zu einer »Operatorgleichung« in einem »geeigneten Raum« (meist unendlichdimensional!) zusammenfassen, für die die Funktionalanalysis starke Lösungsmethoden bereitstellt. Ein Beispiel hierfür ist der berühmte Banachsche Fixpunktsatz, der gleichermaßen zur Lösung von Gleichungssystemen, von Differential- wie auch von Integralgleichungsproblemen herangezogen werden kann (s. Abschn. 1.1.5). Bereits dieses Beispiel zeigt, daß es erfolgversprechend ist, wenn wir uns im folgenden sowohl mit »Räumen« (s. Abschn. 1) als auch mit »Abbildungen« und »Operatorgleichungen« (s. Abschn. 2) ausführlich beschäftigen. Im Rahmen dieses Bandes dienen insbesondere auch die Abschnitte über Integralgleichungsmethoden (s. Abschn. 5.3.3), über Eigenwertprobleme (s. Abschn. 5.4 und 6.1.3) und über Hilbertraummethoden zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen (s. Abschn. 10) zu einem besseren Verständnis für die Wirkungsweise und Leistungsfähigkeit der Funktionalanalysis.

1

Grundlegende Räume

Bei zahlreichen mathematischen Problemen ist die zweckmäßige Formulierung der Aufgabenstellung ein entscheidender Schritt hin zu einer Lösung. Die Wahl geeigneter mathematischer Räume und Abbildungen spielt hierbei eine wichtige Rolle. Wir wollen ein breites Angebot an Räumen und Abbildungen bereitstellen und deren Eigenschaften untersuchen. Zunächst beschäftigen wir uns mit verschiedenen Klassen von Räumen. Beginnend beim metrischen Raum, der mit schwachen Voraussetzungen auskommt, führt unser Weg durch schrittweise »Anreicherung« mit zusätzlichen Struktureigenschaften über den normierten Raum zum Banachraum und zum Hilbertraum, der besonders schöne und für die Anwendungen interessante Eigenschaften besitzt.

1.1

Metrische Räume

1.1.1

Definition und Beispiele

Ein Rückblick auf die Analysis im Rn (s. Burg/Haf/Wille [23]) und in C (s. Burg/Haf/Wille [21]) zeigt: Bei typischen Analysisfragen, also bei Fragen, die vorrangig die Konvergenz betreffen, spielt der Abstand (die Distanz) zwischen den betrachteten Objekten (Punkte, Vektoren, komplexe Zahlen. . . ) eine entscheidende Rolle. So lautet der Konvergenzbegriff in R, wenn wir den euklidischen Abstand d(x, y) := |x − y| für

x, y ∈ R

(1.1)

verwenden: Die Folge {x n } aus R heißt konvergent gegen x0 ∈ R, wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n 0 = n 0 (ε) gibt, so daß d(xn , x0 ) = |xn − x0 | < ε

(1.2)

für alle n ≥ n 0 gilt. Neben den Objekten, nämlich den Elementen aus R, kommt es bei der Formulierung dieser Konvergenz auf den Abstand (1.1) an. Wir fassen beides, Objekte und Abstand, zusammen und verwenden die Schreibweise (R, d). Was leistet der Abstand (1.1)? Seine zentralen und recht plausiblen Eigenschaften, auf die wir in der Analysis immer wieder zurückgegriffen haben, sind: (i) Die Punkte in R besitzen einen nicht negativen Abstand voneinander: Für alle x, y ∈ R gilt d(x, y) = |x − y| ≥ 0 und |x − y| = 0 genau dann, wenn x = y ist.

(1.3)

(ii) Der Abstand eines Punktes x von einem Punkt y aus R ist derselbe wie der Abstand von y von x: Für alle x, y ∈ R gilt |x − y| = |y − x|

(Symmetrieeigenschaft) .

K. Burg et al., Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, DOI 10.1007/978-3-8348-9589-9_1, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

(1.4)

6

1 Grundlegende Räume

(iii) Der direkte Weg eines Punktes x zu einem Punkt y in R ist kürzer als jeder Umweg, genauer: Für alle x, y, z ∈ R gilt |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| (Dreiecksungleichung) .

(1.5)

Bild 1.1: Zur Dreiecksungleichung

Wir lassen nun anstelle von R allgemeinere Mengen X zu, z.B. die Menge aller auf dem Intervall [0,1] stetigen, reell- oder komplexwertigen Funktionen: X = C[0,1]. Von einem Abstand in X fordern wir, daß er ebenfalls die charakteristischen Eigenschaften (i) bis (iii) besitzt. Dies führt uns zu Definition 1.1: Eine nichtleere Menge X mit Elementen (oder Punkten) x, y, z . . . heißt ein metrischer Raum, wenn jedem Paar x, y ∈ X eine reelle Zahl d(x, y), genannt Abstand oder Metrik, zugeordnet ist mit den Eigenschaften: Für alle x, y, z ∈ X gilt (i) d(x, y) ≥ 0 ; d(x, y) = 0 genau dann, wenn x = y ist; (ii) d(x, y) = d(y, x)

Symmetrieeigenschaft;

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Dreiecksungleichung.

Bemerkung: Man nennt die Bedingungen (i), (ii) und (iii) die Axiome des metrischen Raumes. Für metrische Räume verwenden wir die Schreibweisen: (X, d) oder kurz X , wenn der Kontext für Klarheit sorgt. Gibt es für unsere obige Menge X = C[0,1] eine Metrik? Mit x(t), y(t) ∈ C[0,1] und dmax (x, y) := max |x(t) − y(t)|, der sogenannten Maximumsmetrik erweist sich C[0,1] als 0≤t≤1

metrischer Raum: (C[0,1], dmax ). Der Nachweis von (i) und (ii) ist trivial, und (iii) ergibt sich wie folgt: Für alle t ∈ [0,1] gilt |x(t) − y(t)| = |(x(t) − z(t)) + (z(t) − y(t))| ≤ |x(t) − z(t)| + |z(t) − y(t)| ≤ max |x(t) − z(t)| + max |z(t) − y(t)| = dmax (x, z) + dmax (z, y) , 0≤t≤1

0≤t≤1

woraus dmax (x, y) = max |x(t) − y(t)| ≤ dmax (x, z) + dmax (z, y) 0≤t≤1

folgt.

1.1 Metrische Räume

7

Bild 1.2: Maximumsmetrik

Wir werden noch sehen (s. Beispiel 1.2), daß auf ein und derselben Menge X durchaus verschiedene Metriken definiert sein können. Welche Mengen lassen sich nun eigentlich zu metrischen Räumen ausbauen? Antwort: Jede nichtleere Menge. Dies zeigt das Beispiel 1.1: Es sei X eine beliebige nichtleere Menge und 1 , falls x = y d(x, y) := 0 , falls x = y .

(1.6)

Die Eigenschaften (i) und (ii) aus Definition 1.1 sind trivialerweise erfüllt; (iii) ist für x = y trivial und folgt für x = y aus 1 = d(x, y) und 1 ≤ d(x, z) + d(z, y). D.h. (X, d) ist ein metrischer Raum. Bemerkung: Man nennt die durch (1.6) erklärte Metrik d die diskrete Metrik. Weitere metrische Räume sind durch die folgenden Beispiele gegeben. Beispiel 1.2: Es sei X = Rn oder X = Cn die Menge aller Vektoren x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) mit xi , yi ∈ R oder C (i = 1, . . . , n) und n p d(x, y) := |xi − yi | p 1 ≤ p < ∞ . (1.7) i=1

Dann ist (X, d) ein metrischer Raum. Der Nachweis von (i) und (ii) ist wieder trivial; (iii) folgt mit Hilfe der Minkowski-Ungleichung1

n i=1

1 |ai + bi | p

p

≤

n i=1

1 |ai | p

p

+

n

1 |bi | p

i=1

1 Ein Beweis findet sich z.B. in Ljusternik/Sobolev [106], S. 356

p

(ai , bi ∈ R, 1 ≤ p < ∞) . (1.8)

8


Denn: d(x, y) =

n

1

p

|xi − yi | p

=

i=1

≤

n

n

1 |(xi − zi ) + (z i − yi )| p

p

i=1

1 |xi − z i |

p

p

+

i=1

n

1 |z i − yi |

p

p

= d(x, z) + d(z, y)

i=1

Insbesondere erhalten wir für p = 2 die euklidische Metrik n |xi − yi |2 d(x, y) =

(1.9)

i=1

auf Rn . Bemerkung: Beispiel 1.2 zeigt, daß sich auf Rn unendlich viele Metriken erklären lassen.

Bild 1.3: Integralmetrik für p = 1

Beispiel 1.3: ∞ Es sei X die Menge aller reellen oder komplexen Zahlenfolgen x = {xk }∞ k=1 , y = {yk }k=1 , . . . ∞ ∞ |x k | p , |yk | p , . . . konvergieren. Dann erhalten wir mit für die k=1

k=1

d(x, y) :=

∞ k=1

1 |xk − yk |

p

p

,

1≤ p 0) liegt.

1.1.3

Konvergenz in metrischen Räumen. Vollständigkeit

Mit Hilfe des in Abschnitt 1.1.1 eingeführten Abstandes d sind wir in der Lage, wichtige Grundbegriffe der Analysis, wie Konvergenz, Grenzwert, Vollständigkeit,. . . unmittelbar auf metrische Räume zu übertragen. Definition 1.3: Eine Folge {xn } von Elementen aus X heißt konvergent, wenn es ein x0 ∈ X gibt mit d(xn , x 0 ) → 0

für

n → ∞,

(1.13)

d.h., wenn es zu jedem ε > 0 ein n 0 = n 0 (ε) ∈ N gibt mit d(x n , x 0 ) < ε

für alle

n ≥ n0 .

4 Wir beachten, daß auch (A, d) und (B, d) metrische Räume sind.

(1.14)


Bild 1.4: Offene Kugel und innerer Punkt

11

Bild 1.5: Beschränkte Menge

Schreibweisen: x n → x 0 für n → ∞ oder lim xn = x0 ; x 0 heißt Grenzwert der n→∞ Folge {xn }. Wir zeigen: Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt. Hierzu nehmen wir an, neben x 0 sei noch ein weiterer Grenzwert y0 vorhanden. Wegen 0 ≤ d(x0 , y0 ) ≤ d(x0 , xn ) + d(xn , y0 ) = d(xn , x0 ) + d(x n , y0 ) →0

für n → ∞

(s. Def. 1.1 (iii)) (s. Def. 1.1 (ii)) (nach Voraussetzung)

gilt d(x 0 , y0 ) = 0, also nach Definition 1.1 (i) x0 = y0 . Bisher mutet unser Konvergenzbegriff noch recht abstrakt an. Wir wollen daher an einigen metrischen Räumen, die wir in Abschnitt 1.1.1 kennengelernt haben, verdeutlichen, welche Zusammenhänge zu bereits aus der Analysis bekannten Konvergenzbegriffen bestehen. Beispiel 1.5: Für den Rn mit den Elementen x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ), . . . ; xi , yi ∈ R haben wir u.a. die Metrik n d(x, y) = (xi − yi )2 i=1 (k)

(k)

benutzt (s. Beispiel 1.2, p = 2). Es sei nun {x k } eine Folge in Rn , x k = (x1 , . . . , xn ) die im Sinne dieser Metrik gegen x0 = (x01 , . . . , x0n ) konvergiert, d.h. es gelte d(xk , x 0 ) → 0 für k → ∞. Dies hat dann n (k) (x − x0i )2 → 0 für k → ∞ i i=1

12


oder das Verschwinden der Summe für k → ∞ zur Folge. Gleichbedeutend hiermit ist, daß (k) jeder einzelne Summand gegen Null strebt. Daher gilt xi → x0i für k → ∞ und jedes feste i (i = 1, . . . , n), d.h. die Konvergenz im euklidischen Raum (Rn , d) erweist sich als die uns bereits bekannte koordinatenweise Konvergenz (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.1.3). Beispiel 1.6: In der Menge C[0,1] der auf dem Intervall [0,1] stetigen (reell- oder komplexwertigen) Funktionen x(t), y(t), . . . verwenden wir zunächst die Maximumsmetrik dmax (x, y) = max |x(t) − y(t)| 0≤t≤1

(s. Abschnitt 1.1.1). Ist dann {xn (t)} eine Folge aus C[0,1], die im Sinne dieser Metrik für n → ∞ gegen x0 (t) ∈ C[0,1] strebt, so besagt dies max |xn (t) − x 0 (t)| → 0

0≤t≤1

n → ∞.

für

Zu jedem ε > 0 gibt es somit ein n 0 = n 0 (ε) ∈ N mit max |xn (t) − x 0 (t)| < ε

0≤t≤1

für alle

n ≥ n0

oder |xn (t) − x 0 (t)| < ε

für alle

n ≥ n0

und alle t ∈ [0,1] .

Dies heißt aber, daß die Folge {xn (t)} auf [0,1] gleichmäßig gegen x(t) konvergiert (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 5.1.1). Umgekehrt ergibt sich aus der gleichmäßigen Konvergenz einer Folge aus C[0,1] gegen x(t) die Konvergenz dieser Folge im Sinne der Maximumsmetrik gegen x(t), also gilt: Die Konvergenz in (C[0,1], dmax ) ist gleichbedeutend mit der gleichmäßigen Konvergenz auf dem Intervall [0,1]. Beispiel 1.7: Nun verwenden wir in C[0,1] die Integralmetrik ⎛ 1 ⎞ 1p

d p (x, y) = ⎝ |x(t) − y(t)| p dt ⎠ ,

1≤ p 0 eine natürliche Zahl n 0 = n 0 (ε) gibt mit d(xn , xm ) < ε

für alle

n, m ≥ n 0 .

(1.17)

Wie hängen konvergente Folgen mit Cauchy-Folgen zusammen? Eine Richtung klärt Hilfssatz 1.1: Jede konvergente Folge im metrischen Raum X ist auch eine Cauchy-Folge. Beweis: Aus der Konvergenz der Folge {xn } ergibt sich: Zu jedem ε > 0 gibt es ein n 0 = n 0 (ε) ∈ N und ein x0 ∈ X mit d(xn , x0 ) < ε

und d(xm , x0 ) < ε

für alle n, m ≥ n 0 , und daher folgt mit Hilfe der Dreiecksungleichung (s. Def. 1.1 (iii)) d(xn , xm ) ≤ d(xn , x 0 ) + d(x 0 , xm ) = d(x n , x0 ) + d(x m , x0 ) < 2ε für alle n, m ≥ n 0 . Dagegen gilt die Umkehrung im allgemeinen nicht. Dies zeigt 5 Für p = 1 bedeutet dies, etwas vergröbert ausgedrückt: Der Flächeninhalt der Fläche zwischen den Graphen von xn (t) und x0 (t) wird für hinreichend große n beliebig klein (s. auch Fig. 1.3, Abschn. 1.1.1).

14


Beispiel 1.8: Wir führen im Intervall X = (0,1) die Metrik d(x, y) := |x − y| ein und betrachten die Folge 1 . {xn } ist zwar eine Cauchy-Folge im metrischen Raum (X, d) (warum?), {xn } mit xn = n+1 besitzt jedoch keinen Grenzwert in diesem Raum (beachte: 0 ∈ / X ). Von besonderem Interesse sind diejenigen metrischen Räume, in denen Cauchy-Folgen konvergieren (s. auch Abschn. 1.1.5). Ihrer Bedeutung entsprechend führen wir für sie einen eigenen Begriff ein: Definition 1.5: Ein metrischer Raum X heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X gegen ein Element von X konvergiert. Der »Stellenwert« der Vollständigkeit von metrischen Räumen ist entsprechend dem der Vollständigkeit in der Analysis (s. Burg/Haf/Wille [23] und Burg/Haf/Wille [21]) zu sehen. Durch sie ist ein strenger Aufbau der Theorie erst möglich. Beispiele für vollständige metrische Räume: Beispiel 1.9: Rn mit der euklidischen Metrik n |xi − yi |2 d(x, y) = i=1

versehen (s. Beispiel 1.2) ist ein vollständiger metrischer Raum. Dies folgt unmittelbar aus dem Cauchyschen Konvergenzkriterium für Punktfolgen (s. Burg/Haf/Wille [23], Satz 1.7 bzw. Abschn. 2.5.5). Entsprechendes gilt für Cn . Beispiel 1.10: C[a, b] mit der Maximumsmetrik d(x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b

versehen (s. Abschn. 1.1.1) ist vollständig. Denn: Ist {x n (t)} eine beliebige Cauchy-Folge in C[a, b] mit d(xn , xm ) → 0 für n, m → ∞, also mit max |xn (t) − x m (t)| → 0

a≤t≤b

für n, m → ∞ ,

so gibt es zu jedem ε > 0 ein n 0 = n 0 (ε) aus N mit |xn (t) − x m (t)| < ε

für alle n, m ≥ n 0 und alle t ∈ [a, b]

(1.18)

({xn (t)} konvergiert im Sinne von Cauchy gleichmäßig auf [a, b]). Hieraus folgt, daß {xn (t)} für jedes feste t ∈ [a, b] eine Cauchy-Folge von reellen Zahlen ist. Aus der Vollständigkeit von R (s.


15

Bsp 1.9; n = 1) ergibt sich die Existenz einer Funktion x0 (t) mit lim xn (t) = x0 (t)

n→∞

punktweise in [a, b] .

Andererseits gilt wegen (1.18) |xn (t) − xn+k (t)| < ε

für alle n ≥ n 0 (ε), alle k ∈ N und alle t ∈ [a, b],

woraus bei festem n für k → ∞ lim |xn (t) − x n+k (t)| = |x n (t) − x 0 (t)| ≤ ε

k→∞

für alle n ≥ n 0 (ε) und alle t ∈ [a, b]

folgt, d.h. {x n (t)} konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen x0 (t). Hieraus und aus der Stetigkeit von xn (t) auf [a, b] für alle n ∈ N ergibt sich mit Satz 5.2, Burg/Haf/Wille [23] die Stetigkeit von x0 (t) auf [a, b]: x 0 (t) ∈ C[a, b]. Weitere Beispiele für vollständige metrische Räume finden sich z.B. in Heuser [73], S. 55 ff.; darunter befinden sich auch die Räume l p , insbesondere also der Hilbertsche Folgenraum l2 (s. Bsp. 1.3). Dagegen ist C[a, b] bezüglich der Integralmetrik ⎞ 1p ⎛ b

d(x, y) = ⎝ |x(t) − y(t)| p dt ⎠ ,

1≤ p n t≤

für 0 < α
0). Dann gilt: xn (t) ∈ C[0,1] für alle n ∈ N 1

1 d 2 (xn , x) =

n |xn (t) − x(t)|2 dt =

0

(n α − t −α )2 dt .

0

Wenden wir auf den Integranden die Ungleichung (a − b)2 ≤ 2(a 2 + b2 ) ,

16


die für alle a, b ∈ R gilt (warum?) an, so folgt 1

n d 2 (xn , x) ≤ 2

2

(n 2α + t −2α ) dt =

n 1−2α

+

0

2 1 →0 1−2α 1 − 2α n

für

n → ∞,

d.h. {x n (t)} konvergiert in der Integralmetrik ( p = 2) gegen x(t). Wegen Hilfssatz 1.1 ist {x n (t)} daher auch eine Cauchy-Folge in C[0,1]. Wir zeigen, daß {xn (t)} keine auf [0,1] stetige Grenzfunktion besitzt. Hierzu nehmen wir an, y(t) ∈ C[0,1] sei Grenzfunktion der Folge {x n (t)}. Wir setzen M := max |y(t)| . 0≤t≤1 1

1

Für t ≤ (2M)− α und n > (2M) α gilt: 1 x n (t) ≥ x n (2M)− α = 2M . Hieraus folgt xn (t) − y(t) ≥ M

für

1

t ≤ (2M)− α

und somit 1

− (2M)

α

1 d 2 (xn , y) =

|xn (t) − y(t)|2 dt ≥ 0

≥ (2M)

|xn (t) − y(t)|2 dt 0

− α1

· M > 0, 2

für

1

n > (2M) α ,

im Widerspruch zu unserer Annahme, daß {xn (t)} gegen y(t) konvergiert. Damit ist unsere Behauptung bewiesen. Die Tatsache, daß C[a, b], versehen mit einer Integralmetrik, kein vollständiger metrischer Raum ist, bedeutet einen schwerwiegenden Mangel dieses Raumes. Jedoch gibt es mehrere Wege der Vervollständigung: (1) Man erweitert die Klasse C[a, b] zur Klasse der auf [a, b] Lebesgue-integrierbaren Funktionen und interpretiert das in (1.19) auftretende Integral im Lebesgueschen Sinn. Dadurch gelangt man zum vollständigen metrischen Raum L p [a, b] (s. z.B. Heuser [74], S. 109). (2) Ein anderer Weg besteht darin, daß der vollständige Erweiterungsraum als Menge von linearen Funktionalen auf einem geeigneten Grundraum nach dem Vorbild der Distributionentheorie aufgefaßt wird. Wir werden dieses Programm in Kapitel 3 für den Fall p = 2 durchführen. (3) Ein weiterer Weg besteht in der abstrakten Konstruktion eines vollständigen Erweiterungsraums mit Hilfe von Cauchy-Folgen. Auf diese Weise läßt sich jeder nichtvollständige metrische Raum vervollständigen (s. z.B. Heuser [73], S. 251)


17

Um zu verdeutlichen, wie die auf diese Art gewonnenen Vervollständigungen von C[a, b] zusammenhängen, benötigen wir noch einige Begriffsbildungen, die uns auch im weiteren von Nutzen sein werden: Sind X und Y beliebige Mengen und ist T eine Vorschrift, durch die jedem x ∈ X ein einziges y ∈ Y zugeordnet ist, so nennt man diese Zuordnung T : x → y bekanntlich eine Abbildung (oder Transformation, oder einen Operator) von X in Y und schreibt: T x = y. Sind X und Y metrische Räume, so läßt sich für T folgender Stetigkeitsbegriff einführen: Definition 1.6: Die Abbildung T heißt stetig im Punkt x0 ∈ X , wenn es zu jedem ε > 0 eine reelle Zahl δ = δ(ε, x 0 ) > 0 so gibt, daß dY (T x, T x0 ) < ε

(1.20)

für alle x ∈ X mit d X (x, x0 ) < δ gilt.6 Entsprechend heißt T stetig in X , falls T stetig für alle x ∈ X ist. Wie gewohnt verwenden wir für die Umkehrabbildung von T (falls diese existiert) die Schreibweise T −1 . Ist T eine umkehrbar eindeutige Abbildung von X auf Y und sind T und T −1 beide stetig, so heißt T homöomorph (oder Homöomorphismus). Ist T eine umkehrbar eindeutige Abbildung von X auf Y , und gilt für beliebige x1 , x2 ∈ X dY (T x1 , T x2 ) = d X (x1 , x2 ) ,

(1.21)

so heißt T isometrisch (oder Isometrie) und X heißt isometrisch zu Y .

Bild 1.6: Isometrische Abbildungen und Räume

Für Fragen, die nur mit der Metrik, also mit dem Abstand der Elemente, zusammenhängen (Konvergenz, Vollständigkeit,. . . ) können wir isometrische Räume identifizieren, also als gleich ansehen. Es läßt sich zeigen, daß die oben beschriebenen drei Wege zur Vervollständigung von C[a, b] (mit Integralmetrik versehen) auf in diesem Sinne gleiche Räume führen. 6 Der Index X bzw. Y bei d weist auf die in X bzw. Y erklärte Metrik hin.

18


Wir kehren noch einmal zu den topologischen Grundbegriffen (s. Abschn. 1.1.2) zurück. Mit Hilfe von Folgen läßt sich die Abgeschlossenheit einer Menge (s. Def. 1.2 (d)) auch so ausdrücken: Eine Teilmenge A des metrischen Raumes X ist abgeschlossen, wenn jede konvergente Folge {x n } von Elementen aus A ein Grenzelement x besitzt, das ebenfalls zu A gehört (Begründung!). Ebenfalls mittels Folgen definieren wir: A ⊂ X heißt kompakt, wenn jede Folge {xn } aus A eine Teilfolge enthält, die gegen ein Grenzelement x ∈ A konvergiert. Eine Konsequenz der Kompaktheit zeigt sich in folgendem Hilfssatz 1.2: Jede kompakte Teilmenge A eines metrischen Raumes X ist beschränkt und abgeschlossen. Beweis: (a) Beschränktheit von A: Wir nehmen an, A sei unbeschränkt. Dann gibt es zu beliebigem x0 ∈ X eine Folge {xn } ⊂ A mit d(x n , x 0 ) > n für n = 1,2, . . . (x n liegt außerhalb einer Kugel um x0 mit Radius n). Damit ist auch jede Teilfolge von {x n } unbeschränkt und kann daher nicht konvergent sein (warum?). Dann kann aber A nicht kompakt sein, im Widerspruch zur Annahme. (b) Abgeschlossenheit von A: Sei {xn } eine beliebige konvergente Folge mit x n ∈ A. Da A kompakt ist, enthält {x n } eine konvergente Teilfolge, die gegen ein x ∈ A konvergiert. Dieses x stimmt mit dem Grenzwert der Ausgangsfolge {x n } überein: x = lim xn ∈ A. n→∞ Damit ist alles bewiesen. Die Umkehrung zu Hilfssatz 1.2 gilt im allgemeinen nicht. Wir weisen abschließend darauf hin, daß kompakte Teilmengen von metrischen Räumen unter anderem bei Approximationsproblemen von Bedeutung sind (s. Abschn. 1.1.4). Auch für den Nachweis, daß stetige reellwertige Funktionen, die auf einer Teilmenge eines metrischen Raumes erklärt sind, ein Minimum und ein Maximum besitzen, ist die Kompaktheit dieser Menge wichtig (s. Üb. 1.6). 1.1.4

Bestapproximation in metrischen Räumen

In der Approximationstheorie stellt sich folgendes Grundproblem: In einem metrischen Raum X sei eine Teilmenge A und ein fester Punkt y ∈ X vorgegeben. Zu bestimmen ist ein Punkt x0 ∈ A, der von y »minimalen« Abstand hat. Daß es einen solchen Punkt überhaupt gibt, ist keineswegs selbstverständlich. Dies zeigt das folgende einfache Beispiel 1.11: Im metrischen Raum (R, d) mit d(x1 , x 2 ) = |x1 − x2 | für x 1 , x2 ∈ R sei A das offene Intervall / A). (0,1) und y = 2. In A gibt es keinen Punkt x0 , für den d(x0 ,2) minimal ist (wir beachten: 1 ∈ Wir sind an hinreichenden Bedingungen interessiert, die uns die Existenz eines »bestapproximierenden« x ∈ A gewährleisten. Zunächst erinnern wir noch an zwei Begriffe der Analysis: Ist B eine Teilmenge von R, so versteht man unter dem Supremum von A (geschrieben: sup A) die


19

Bild 1.7: Zur Bestapproximation

kleinste reelle Zahl λ mit x ≤ λ für alle x ∈ A. Entsprechend nennt man die größte reelle Zahl μ mit x ≥ μ für alle x ∈ A das Infimum (und schreibt: inf A). Ist ε > 0 beliebig, so gibt es also immer ein y ∈ A mit y > λ − ε bzw. ein y˜ ∈ A mit y˜ < μ + ε. Nach diesem kurzen Rückblick auf die Analysis in R zeigen wir Satz 1.1: Es sei X ein metrischer Raum und A eine kompakte Teilmenge von X . Dann gibt es zu jedem festen Punkt y ∈ X einen Punkt x0 ∈ A, der von y kleinsten Abstand hat. Bemerkung: Man nennt x 0 beste Approximation der Elemente von X in A. Beweis: von Satz 1.1: Wir setzen μ := inf{d(y, x) | x ∈ A}. Nach Definition des Infimums gibt es zu μ+ 1 1 n (n = 1,2, . . . ) jeweils einen Punkt x n ∈ A mit d(y, x n ) < μ + n . Die hierdurch entstehende Folge {d(y, x n )} von (nichtnegativen) reellen Zahlen konvergiert für n → ∞ gegen μ. Da A kompakte Teilmenge von X ist, besitzt die Folge {x n } ⊂ A eine Teilfolge (wir bezeichnen sie wieder mit {xn }), die gegen einen Punkt x0 ∈ A konvergiert. Wir zeigen: x0 ist das gesuchte bestapproximierende Element. Wegen d(y, x0 ) ≤ d(y, x n ) + d(xn , x0 )

für alle

n∈N

(1.22)

und d(y, xn ) → μ sowie d(xn , x 0 ) → 0 für n → ∞ folgt aus (1.22) durch Grenzübergang n → ∞ d(y, x 0 ) ≤ μ. Andererseits gilt, da x 0 ∈ A ist: d(y, x 0 ) ≥ inf{d(y, x)|x ∈ A} = μ. Ingesamt folgt d(y, x 0 ) = μ und damit die Behauptung. Beispiel 1.12: Im metrischen Raum (R, d) mit d(x1 , x2 ) = |x1 − x2 | für x 1 , x2 ∈ R sei A das abgeschlossene Intervall [0,1] (d.h. A ist kompakt) und y = 2. Dann ist der Punkt x0 = 1 bestapproximierendes Element. 1.1.5

Der Banachsche Fixpunktsatz. Anwendungen

Aus der Analysis bekannte Iterationsverfahren, etwa das Verfahren von Picard-Lindelöf bei gewöhnlichen Differentialgleichungen (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 1.2.3 und Abschn. 1.3.1),

20


ordnen sich, wie wir sehen werden, in natürlicher Weise in den Rahmen der Theorie der metrischen Räume ein. Von den Abbildungen, die wir hierbei betrachten, verlangen wir, daß sie »dehnungsbeschränkt« im Sinne der folgenden Definition sind: Definition 1.7: Eine Abbildung T des metrischen Raumes X in sich heißt kontrahierend, wenn für alle x, y ∈ X d(T x, T y) ≤ q · d(x, y)

mit q < 1

fest

(1.23)

gilt, d.h. wenn der Abstand der Bildpunkte stets kleiner ist als der Abstand der Urbilder. Nun macht es sich bezahlt, daß uns aus Abschnitt 1.1.3 vollständige metrische Räume zur Verfügung stehen. Es gilt nämlich Satz 1.2: (Banachscher7 Fixpunktsatz) Ist X ein vollständiger metrischer Raum und ist T : X → X eine kontrahierende Abbildung, so besitzt die Gleichung x = Tx

(1.24)

genau eine Lösung x0 , genannt Fixpunkt von T . Beweis: Wir führen diesen analog zum Beweis von Satz 1.8 in Burg/Haf/Wille [23], wo der Spezialfall X = R behandelt wurde. Wir nehmen einen beliebigen (festen) Startpunkt x ∈ X und setzen x 1 := T x, x2 := T x1 , . . . , xn := T xn−1 , . . . .

(1.25)

Auf diese Weise gewinnen wir die Folge {xn }, von der wir zeigen, daß sie eine Cauchy-Folge in X ist: Es gilt nämlich aufgrund der Kontraktionsbedingung d(x 1 , x2 ) = d(T x, T x1 ) ≤ qd(x, x1 ) = qd(x, T x) d(x2 , x3 ) = d(T x1 , T x2 ) ≤ qd(x 1 , x2 ) ≤ q 2 d(x, T x) .. . d(x n , xn+1 ) ≤ q n d(x, T x) . Für k ∈ N beliebig folgt hieraus durch mehrfache Anwendung der Dreiecksungleichung d(xn , xn+k ) ≤ d(xn , x n+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + · · · + d(x n+k−1 , x n+k ) ≤ (q n + q n+1 + · · · + q n+k−1 )d(x, T x) 7 S. Banach (1892-1945), polnischer Mathematiker


21

und wegen der geometrischen Summenformel (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 1.1.7) d(xn , xn+k ) ≤

q n − q n+k d(x, T x) . 1−q

(1.26)

Da q < 1 ist, läßt sich (1.26) weiter abschätzen: d(xn , xn+k )
0 stets ein n finden mit ε ε und d(x n−1 , x0 ) < . d(x 0 , xn ) < 2 2q Aus (1.27) folgt damit d(x 0 , T x 0 ) < ε oder, da ε > 0 beliebig: T x 0 = x0 , d.h. x0 ist ein Fixpunkt der Gleichung (1.24). Zum Nachweis, daß x0 eindeutig bestimmt ist, nehmen wir an, x˜0 sei ein weiterer Fixpunkt mit x˜0 = x0 . Mit T x0 = x0 und T x˜0 = x˜0 folgt, wenn wir die Kontraktionsbedingung benutzen d(x 0 , x˜0 ) = d(T x 0 , T x˜0 ) ≤ qd(x 0 , x˜0 ) oder 1≤q, im Widerspruch zur Voraussetzung q < 1. Damit ist gezeigt, daß es außer x 0 keine weiteren Fixpunkte geben kann, und Satz 1.2 ist bewiesen. Für den »Praktiker« stellt sich nun die Frage: Wie gelangt man konkret zu einer Lösung der Gleichung x = T x? Die Antwort läßt sich hier ziemlich einfach finden. Mit dem Beweis von Satz 1.2 haben wir nämlich zugleich ein Verfahren zur näherungsweisen Lösung dieser Gleichung gewonnen:

22


Iterationsverfahren zur Lösung von x = T x: Wähle ein beliebiges Startelement x ∈ X . Bilde die Näherungsfolge {xn } mit x 1 := T x, x2 := T x1 , . . . , xn := T xn−1 , . . . .

(1.28)

Der Fehler, der durch Abbrechen nach dem n-ten Iterationsschritt entsteht, genügt der Abschätzung d(xn , x0 ) ≤

qn d(x, T x) . 1−q

(1.29)

Dabei ist x 0 die exakte Lösung. Die Formel (1.29) ergibt sich aus (1.26) durch Grenzübergang k → ∞. Bemerkung: Die Wahl der Startelementes x ist nur für die Konvergenzgeschwindigkeit der Folge {xn } gegen x0 von Belang. Anwendungen Der Banachsche Fixpunktsatz besitzt vielfältige Anwendungsmöglichkeiten, etwa auf algebraische Gleichungen, auf Differentialgleichungen und auf Integralgleichungen. Wir begnügen uns mit zwei Beispielen.

I. Iteratives Lösen von linearen Gleichungssystemen Wir betrachten das reelle lineare Gleichungssystem ξi −

n

aik ξk = bi ,

i = 1, . . . , n

8

(1.30)

k=1

mit vorgegebenen Koeffizienten aik (i, k = 1, . . . , n) und vorgegebenen rechten Seiten bi (i = 1, . . . , n). Zu bestimmen: ξi (i = 1, . . . , n). Hierzu übersetzen wir (1.30) in eine Fixpunktgleichung in einem geeigneten metrischen Raum. Wir wählen X = Rn mit der Metrik d(u, v) := max |μi − νi | , 1≤i≤n

(1.31)

wobei u = (μ1 , . . . , μn ) und v = (ν1 , . . . , νn ) ist. Nach Übung 1.8 ist X = (Rn , d) ein vollständiger metrischer Raum. In diesem Raum führen 8 Wir weisen darauf hin, daß sich jedes lineare Gleichungssystem mit einer (n, n)-Koeffizientenmatrix auf diese Form bringen läßt.


wir die Abbildung T durch n n a1k ξk + b1 , . . . , ank ξk + bn T x := k=1

23

(1.32)

k=1

ein, wobei x := (ξ1 , . . . , ξn ) ist. Offensichtlich bildet T den Raum X in sich ab. Außerdem läßt sich (1.30) in der gewünschten Form x = T x schreiben, wie man unmittelbar einsieht. Für den Fall, daß die Koeffizienten aik die Bedingung n

|aik | ≤ q < 1

für alle i = 1, . . . , n

(1.33)

k=1

erfüllen, erweist sich T überdies als eine kontrahierende Abbildung: Für beliebige x = (ξ1 , . . . , ξn ) und y = (η1 , . . . , ηn ) gilt nämlich n n d(T x, T y) = max aik (ξk − ηk ) ≤ max |aik ||ξk − ηk | 1≤i≤n 1≤i≤n k=1 k=1 n |aik | . ≤ max |ξi − ηi | max 1≤i≤n

1≤i≤n

k=1

Wegen (1.33) folgt hieraus d(T x, T y) ≤ q max |ξi − ηi | = qd(x, y) , 1≤i≤n

q < 1,

d.h. T ist kontrahierend. Damit existiert nach Satz 1.2 eine eindeutig bestimmte Lösung x0 =: (ξ10 , . . . , ξn0 ) von (1.30). Wählen wir x = (ξ1 , . . . , ξn ) beliebig, so konvergiert die Folge x1 := T x, x2 := T x1 , . . . , x j := T x j−1 , . . . .

(1.34) j

j

im Sinne der Metrik von X gegen x 0 : d(x j , x 0 ) → 0 für j → ∞. Setzen wir x j := (ξ1 , . . . , ξn ), so bedeutet dies j

max |ξi − ξi0 | → 0

1≤i≤n

für

j →∞

oder j

ξi → ξi0

für

j → ∞.

(1.35)

Eine Fehlerabschätzung gewinnen wir aus (1.29): Wenn wir bei der j-ten Näherung x j abbrechen gilt demnach d(x j , x0 ) ≤

qj d(x, T x) 1−q

24


oder j

max |ξ − ξi0 | 1≤i≤n i

n qj max ξi − ≤ aik ξk + bi . 1 − q 1≤i≤n

(1.36)

k=1

Damit ist gezeigt: Satz 1.3: Erfüllen die Koeffizienten aik der Gleichung ξi −

n

aik ξk = bi ,

i = 1, . . . , n

(1.37)

k=1

die Bedingung n

|aik | ≤ q < 1

für alle i = 1, . . . , n ,

(1.38)

k=1

so besitzt (1.37) für beliebige b1 , . . . , bn eine eindeutig bestimmte Lösung (ξ10 , . . . , ξn0 ) =: x0 . Diese Lösung läßt sich mit Hilfe der durch (1.34) erklärten Folge j j {x j }, x j := (ξ1 , . . . , ξn ) durch Grenzübergang j → ∞ gewinnen: j

ξi → ξi0

für

j → ∞.

(1.39)

Eine Fehlerabschätzung für die j-te Näherung ist durch (1.36) gegeben.

II Iteratives Lösen einer Fredholmschen Integralgleichung Hier interessieren wir uns für stetige Lösungen x(s) der Fredholmschen9 Integralgleichung

b K (s, t)x(t) dt = g(s) ,

x(s) − λ

s ∈ [a, b] .

(1.40)

a

Dabei seien die rechte Seite g und der Kern K des Integraloperators vorgegeben: g sei stetig auf dem Intervall [a, b] und K auf dem Rechteck [a, b] × [a, b]; λ sei ein reeller Parameter, den wir so festlegen wollen, daß wir die eindeutige Lösbarkeit von (1.40) sicherstellen können. Als Raum verwenden wir X = C[a, b] versehen mit der Maximumsmetrik dmax (x, y) = max |x(t) − y(t)| a≤t≤b

9 I. Fredholm (1866-1927), schwedischer Mathematiker

(1.41)


25

für x, y ∈ C[a, b]. Nach Beispiel 1.10 ist X ein vollständiger metrischer Raum. Der Integraloperator Tλ mit

b (Tλ x)(s) := λ

K (s, t)x(t) dt + g(s) ,

s ∈ [a, b]

(1.42)

a

bildet X für jedes feste λ ∈ R in sich ab (s. Burg/Haf/Wille [23], Satz 7.17). Mit Hilfe von Tλ können wir (1.40) in der Form x = Tλ x schreiben. Für welche λ läßt sich erreichen, daß Tλ kontrahierend ist? Zur Beantwortung dieser Frage versuchen wir, den Ausdruck dmax (Tλ x, Tλ y) geeignet abzuschätzen: Es gilt dmax (Tλ x, Tλ y) = max |(Tλ x)(s) − (Tλ y)(s)| a≤t≤b b

b = max λ K (s, t)x(t) dt − λ K (s, t)y(t) dt a≤t≤b a a b

= max λ K (s, t)[x(t) − y(t)] dt a≤t≤b a b

≤ |λ| max |x(t) − y(t)| · max K (s, t) dt a≤t≤b a≤t≤b a

≤ |λ|dmax (x, y) · (b − a) max |K (s, t)| . a≤s,t≤b

Wählen wir also λ so, daß |λ|(b − a) max |K (s, t)| ≤ q < 1

(1.43)

1 (b − a) max |K (s, t)|

(1.44)

a≤s,t≤b

oder |λ|
0 eine natürliche Zahl n 0 = n 0 (ε) gibt, so daß xn − x 0 < ε

für alle

n ≥ n0

gilt. Entsprechend heißt {xn } Cauchy-Folge in X , wenn es zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl

36


n 0 = n 0 (ε) gibt, so daß xn − x m < ε

für alle

n, m ≥ n 0

erfüllt ist. Vollständige normierte Räume X sind diejenigen, für die jede Cauchy-Folge in X gegen ein Element von X konvergiert. Wie schon bei metrischen Räumen gelingt auch bei normierten Räumen stets eine Vervollständigung mittels abstrakter Cauchy-Folgen. Damit stehen uns alle Hilfsmittel zur Verfügung, um eine berühmte Klasse von Räumen, nämlich die Banachräume, einzuführen: Definition 1.10: Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum. Einige Beispiele für Banachräume sind: Beispiel 1.18: Rn

bzw.

Cn

mit der Norm x :=

n

|xk |2 ist ein Banachraum.

k=1

Beispiel 1.19: C[a, b] mit der Norm x := max |x(t)| ist ein Banachraum. Den Vollständigkeitsnachweis a≤t≤b

haben wir bereits in Beispiel 1.10 erbracht. Beispiel 1.20: C k [a, b] (= linearer Raum der auf [a, b] k-mal stetig differenzierbaren Funktionen) ist mit der Norm x := max |x(t)| + max |x (t)| + · · · + max |x (k) (t)| a≤t≤b

a≤t≤b

a≤t≤b

ein Banachraum (s. Üb. 1.9). Beispiel 1.21: Cb (I ) (= linearer Raum der auf dem Intervall I beschränkten Funktionen) ist mit der Norm x := sup |x(t)| t∈I

ein Banachraum. (Zur Vollständigkeit s. Üb. 1.18) Beispiel 1.22: l p (1 ≤ p < ∞) (= linearer Raum aller Zahlenfolgen x = {x k }, für die

∞ k=1

|xk | p konvergiert) ist

1.2 Normierte Räume. Banachräume

37

mit der Norm x :=

∞

1 |xk | p

p

k=1

ein Banachraum. Zum Nachweis der Vollständigkeit s. z.B. Heuser [73], S. 85; für p = 2 s. Abschn. 1.3.2. Dagegen ist C[a, b] bezüglich der Norm ⎛ b ⎞ 1p

x := ⎝ |x(t)| p dt ⎠ a

kein vollständiger normierter Raum, also kein Banachraum (s. Gegenbeispiel im Anschluß an Bsp. 1.10, Abschn. 1.1.3). In normierten Räumen läßt sich der folgende Basisbegriff einführen: Wir sagen X besitzt eine abzählbare Basis {xk }∞ k=1 , x k ∈ X , falls jedes x ∈ X eindeutig in ∞ αk xk darstellbar ist. Die Konvergenz dieser Reihe ist hierbei im Sinne der der Form x = k=1

Konvergenz bezüglich der Norm von X zu verstehen. (Unterscheide hiervon den Basisbegriff: algebraische Basis oder Hamelbasis aus Abschn. 1.2.1) Aus unseren bisherigen Überlegungen wird deutlich, daß gewisse lineare Räume durchaus verschieden normiert werden können. Ein weiteres Beispiel hierfür stellt der lineare Raum Cn über dem Körper C dar: Für beliebige x = (x1 , . . . , xn ) mit x k ∈ C sind durch x1 :=

n

|xk |

(Betragsnorm)

k=1

n |x k |2 x2 :=

(Quadratnorm)

k=1

x3 := max |xk | 1≤k≤n

(Maximumsnorm)

Normen in Cn erklärt. Es stellt sich die Frage nach dem Zusammenhang dieser Normen. Zur Beantwortung dieser Frage führen wir nun folgende Begriffsbildung ein: Definition 1.11: Zwei Normen . a und . b heißen äquivalent, wenn jede bezüglich der Norm . a konvergente Folge auch bezüglich der Norm . b konvergent ist und umgekehrt. Im linearen Raum C[0,1] sind die Maximumsnorm und die Quadratnorm nicht äquivalent (Betrachte die Folge aus dem Gegenbeispiel in Abschnitt 1.1.3). Dagegen gilt in endlich-dimensionalen Räumen

38


Satz 1.6: Alle Normen in einem endlich-dimensionalen Raum X sind äquivalent.11 Beweis: Es sei e1 , . . . , en eine Basis von X . Wir setzen d := inf{α1 e1 + · · · + αn en |α1 | + · · · + |αn | = 1} . Dann gibt es Folgen {α1(k) }, . . . , {αn(k) } (k = 1,2, . . . ) mit |α1(k) | + · · · + |αn(k) | = 1 und α1(k) e1 + (k) · · · + αn en → d für k → ∞. Durch Übergang zu Teilfolgen erhalten wir konvergente Folgen (k) (k) (k) (k) (k) (k) {β1 }, . . . , {βn } mit |β1 | + · · · + |βn | = 1 und β1 e1 + · · · + βn en → d für k → ∞. Wir setzen β j := lim β (k) j k→∞

( j = 1, . . . , n) .

Es gilt dann (k)

(β1 e1 + · · · + βn en ) − (β1 e1 + · · · + βn(k) en ) (k)

≤ |β1 − β1 | · e1 + · · · + |βn − βn(k) | · en → 0

für k → ∞.

Hieraus folgt mit Übung 1.16 β1(k) e1 + · · · + βn(k) en → β1 e1 + · · · + βn en = d

für k → ∞

Annahme: d = 0. Dies hätte β1 e1 + · · · + βn en = 0 oder, da e1 , . . . , en linear unabhängig sind, β1 = · · · = βn = 0 zur Folge, im Widerspruch zu |β1 | + · · · + |βn | = 1. Also ist d > 0 und für beliebige α1 , . . . , αn gilt |α1 | + · · · + |αn | ≤

1 α1 e1 + · · · + αn en . d

Seien nun . a und . b zwei Normen in X . Wir zeigen: Es gibt ein C > 0 mit xa ≤ Cxb für alle x ∈ X . Andernfalls gäbe es eine Folge {x k } mit xk a → ∞ für k → ∞ und xk b = 1. Für xk = γ1(k) e1 + · · · + γn(k) en gilt dann mit obiger Abschätzung (k)

|γ1 | + · · · + |γn(k) | ≤

1 (k) 1 1 γ e1 + · · · + γn(k) en b = x k b = . d 1 d d

Ferner ist xk a ≤ |γ1(k) | · e1 a + · · · + |γn(k) | · en a ≤

1 (e1 a + · · · + en a ) , d

d.h. {xk } ist bezüglich der a−Norm beschränkt im Widerspruch zur obigen Annahme. Damit ist gezeigt: xa ≤ Cxb , so daß jede bezüglich . b konvergente Folge auch bezüglich . a 11 Insbesondere sind also die obigen drei Normen in Cn äquivalent.

1.2 Normierte Räume. Banachräume

39

konvergiert. Vertauschen wir die Rollen von . a und . b so ergibt sich die Behauptung des Satzes. Mit diesem Satz ergibt sich sofort Satz 1.7: Jeder endlich-dimensionale normierte Raum X ist vollständig, also ein Banachraum. Beweis: Sei . a eine beliebige Norm in X ; X habe die Dimension n. Ferner sei e1 , . . . , en eine Basis von X . Dann ist durch xb := α1 e1 + · · · + αn en b := |α1 | + · · · + |αn |, x ∈ X, αk ∈ C (k)

(k)

eine weitere Norm erklärt. Sei {x k } mit xk = α1 e1 + · · · + αn en eine Cauchy-Folge bezüglich der Norm . a . Dann ist sie nach Satz 1.6 auch bezüglich der Norm . b eine Cauchy-Folge. Somit gilt (k)

(l)

|α j − α j | ≤ x k − xl b → 0

für k, l → ∞, j = 1, . . . , n

d.h. {α (k) j } ist für jedes j = 1, . . . , n eine Cauchy-Folge in (C, | . |), und aus der Vollständigkeit dieses Raumes ergibt sich α j := lim α (k) j k→∞

existiert für j = 1, . . . , n.

Daher konvergiert {xk } gegen α1 e1 + · · · + αn en bezüglich der Norm . b bzw. . a , womit die Vollständigkeit von (X, . a ) bewiesen ist. Übungen Übung 1.14*: Es seien X ein linearer Raum, I eine Indexmenge und X i (i ∈ I ) Unterräume von X , so daß X i eine direkte Summe ist. Beweise, daß folgende Aussagen äquivalent sind: Y := i∈I

(a) Y =

Xi ;

i∈I

(b) Aus

xi = 0, xi ∈ X i folgt xi = 0 für alle i ∈ I ;

i∈I

(c) X i ∩

X j = {0} für alle i ∈ I .

j∈I j=i

Übung 1.15*: Es sei X ein normierter Raum und S ein Unterraum von X . Zeige: Die Abschließung S von S ist ebenfalls ein Unterraum von X .

40


Übung 1.16:

Zeige: Ist X ein normierter Raum, so gilt für alle x, y ∈ X die Abschätzung x − y ≤ x − y.

Übung 1.17: Auf Cn werden mit x = (x 1 , . . . , x n ), xk ∈ C (k = 1, . . . , n) durch

x1 :=

n

⎛ |x k | ;

x2 := ⎝

k=1

n

⎞1 |xk |2 ⎠

2

;

x∞ := max |x k |

k=1

1≤k≤n

Normen definiert (zeigen!). Sind diese Normen äquivalent?

Übung 1.18: Es sei Cb (I ) der lineare Raum aller auf einem Intervall I ∈ R beschränkten Funktionen. Für x(t) ∈ C b (I ) sei x := sup |x(t)|. Zeige: (Cb (I ), . ) ist ein Banachraum. t∈I

Übung 1.19*: Es seien (X 1 , . 1 ) und (X 2 , . 2 ) normierte Räume über K. Beweise: (a) Mit (x 1 , x2 ) := x1 1 + x2 2 für (x1 , x 2 ) ∈ X 1 × X 2 ist X 1 × X 2 ein normierter Raum. (b) Sind X 1 und X 2 Banachräume, dann ist auch X 1 × X 2 ein Banachraum.

Übung 1.20*: Es sei (X, . ) ein normierter Raum über dem Körper K. Ferner seien x, x1 , . . . , x n ∈ X . n Beweise, daß es α1 , . . . , αn ∈ K so gibt, daß x − αk x k minimal ist. k=1

Übung 1.21*: Eine Teilmenge A eines normierten Raumes (X ; . ) heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten x1 , x2 ∈ X auch die Verbindungsstrecke {αx1 + (1 − α)x2 α ∈ [0,1]} 2 zu X gehört. X heißt strikt konvex, wenn aus x1 = x 2 = 1 und x 1 = x 2 stets x1 +x 2 0 mit x n ≤ K und yn ≤ K für alle n ∈ N. Mit der Schwarzschen Ungleichung erhalten wir dann |(xn , yn ) − (x, y)| = |(x n , yn ) − (xn , y) + (xn , y) − (x, y)| ≤ |(xn , yn ) − (xn , y)| + |(x n , y) − (x, y)| ≤ |(xn , yn − y)| + |(x n − x, y)| ≤ x n yn − y + yx n − x ≤ K yn − y + yxn − x → 0 für n → ∞ .

Damit ist Satz 1.10 bewiesen 1.3.2

Hilberträume

Was wären Skalarprodukträume, wenn sie bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm nicht vollständig wären? Zumindest recht unvollkommene Gebilde. Daher wenden wir uns den anderen, den vollständigen, zu. Ihrer Bedeutung angemessen erhalten sie einen eigenen Namen: Definition 1.13: Ein Skalarproduktraum X , der bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Norm (1.63) x := (x, x) für x ∈ X vollständig ist, heißt Hilbertraum. Aus unseren bisherigen Überlegungen ergibt sich: Jeder Hilbertraum ist ein Banachraum. Umgekehrt sind nur solche Banachräume, deren Normen der Parallelogrammgleichung genügen, Hilberträume. Insgesamt erhalten wir folgende Hierarchie von Räumen: Linearer Raum 6 Normierter (linearer) Raum :X yX XXX XXX X Skalarproduktraum Banachraum yX X : XXX XXX X Hilbertraum

48


Beispiel 1.26: Rn bzw. Cn sind bezüglich der durch die Skalarprodukte (x, y) :=

n

xk yk

bzw.

k=1

n

xk yk

k=1

induzierten Normen Hilberträume. (Zum Vollständigkeitsnachweis s. Beispiel 1.9, Abschn. 1.1.3) Beispiel 1.27: l2 ist bezüglich der durch das Skalarprodukt (x, y) :=

∞

xk yk

k=1

induzierten Norm ein Hilbertraum. Denn: Sei {x (n) }n∈N mit x (n) := {x k(n) }k∈N , x k(n) ∈ C eine Cauchy-Folge in l2 . Zu jedem ε > 0 gibt es dann ein n 0 = n 0 (ε) ∈ N mit x (n) − x (m) 2 = (x (n) − x (m) , x (n) − x (m) ) =

∞

(n)

(m)

|xk − xk |2 < ε2

für alle n, m ≥ n 0 .

k=1

Hieraus folgt insbesondere (n)

(m)

|xk − xk | < ε

für alle n, m ≥ n 0 und k ∈ N.

(n)

Somit ist {xk } für festes k eine Cauchy-Folge in C. Da C vollständig ist (die Vollständigkeit überträgt sich vom R2 auf C) gilt (n) lim x n→∞ k

=: x k ∈ C , k = 1,2 . . . .

Setzen wir x (0) := {x k }k∈N , so ergibt sich: x (0) ∈ l2 und {x (n) } konvergiert gegen x (0) . Weitere interessante und für die Anwendungen bedeutungsvolle Hilberträume lernen wir in den Abschnitten 3.1 und 3.2 kennen: Den Raum L 2 (Ω) und die Sobolevräume Hm (Ω) und ◦ Hm (Ω). Dagegen ist C[a, b] bezüglich der Quadratnorm ⎛ b ⎞ 12

x2 := (x, x) = ⎝ |x(t)|2 dt ⎠ a

1.3 Skalarprodukträume. Hilberträume

49

nicht vollständig15 , d.h. (C[a, b], . 2 ) ist kein Hilbertraum. Der o.g. Raum L 2 [a, b] erweist sich als Vervollständigung dieses Raumes.

Elementare Eigenschaften der Hilberträume. Zahlreiche Eigenschaften des euklidischen Raumes Rn , die mit dem Skalarprodukt zusammenhängen, finden sich in beliebigen Hilberträumen wieder. Dies gilt insbesondere für geometrische Aspekte: Begriffe wie »Winkel«, »Orthogonalität von Elementen«, »orthogonale Basis«,. . . lassen sich in natürlicher Weise übertragen. Beginnen wir mit der Frage: Wann sind zwei Elemente eines Hilbertraumes orthogonal? Definition 1.14: Es sei X ein Hilbertraum. (a) Wir nennen zwei Elemente x, y ∈ X orthogonal und schreiben x⊥y, wenn (x, y) = 0

(1.64)

ist. (b) Zwei Teilmengen X 1 und X 2 von X heißen orthogonal, wir schreiben X 1 ⊥X 2 , wenn (x, y) = 0

für alle x ∈ X 1 und y ∈ X 2

(1.65)

gilt. (c) Ist M eine beliebige Teilmenge von X , dann heißt M ⊥ := {y ∈ X |(x, y) = 0

für alle x ∈ M}

Orthogonalraum von M. (d) Sei X ein abgeschlossener Unterraum16 von X . X

wird orthogonales Komplement von X genannt, wenn X

⊥X

und

X ⊕ X

= X

ist. (⊕ bezeichnet die direkte Summe, s. Abschn. 1.2.1) Mit Hilfe des Skalarproduktes läßt sich ein Winkel zwischen zwei Elementen eines Hilbertraumes einführen:

15 s. Gegenbeispiel im Anschluß an Beisp. 1.10, Abschn. 1.1.3. Beachte: x2 = d2 (x,0). 16 Für jede konvergente Folge {xn } ⊂ X gehört das Grenzelement zu X (s. Abschn. 1.1.3). X ist also ebenfalls ein Hilbertraum.

50


Definition 1.15: Es sei X ein (reeller) Hilbertraum, und es seien x, y ∈ X mit x, y = 0. Dann nennt man α mit cos α = cos (x, y) :=

(x, y) , 0≤α 0 eine natürliche Zahl n 0 = n 0 (ε) mit x − xk 2 < d 2 +

ε 2 2

für alle

k > n.

Andererseits gilt wegen der Parallelogrammgleichung (Abschn. 1.3.1, (1.59)) (x − xk ) − (x − xl )2 + (x − xk ) + (x − xl )2 = 2x − x k 2 + 2x − xl 2 und daher xk − xl 2 = (x − x k ) − (x − xl )2 = 2x − xk 2 + 2x − xl 2 − (x − x k ) + (x − xl )2 1 = 2x − xk 2 + 2x − xl 2 − 4x − (x k + xl )2 . 2

(1.70)

52


Bild 1.9: Bestapproximation in Hilberträumen

Da mit xk , xl ∈ X auch 12 (xk + xl ) ∈ X ist, folgt hieraus (beachte die Definition von d!) ε2 ε2 + 2 d2 + − 4d 2 = ε 2 xk − xl 2 < 2 d 2 + 4 4 für alle k, l > n. Also gilt xk − xl < ε für alle k, l > n, d.h. {xk } ist eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist (s. Fußnote in Def. 1.13), gibt es ein x0 ∈ X mit x 0 = lim xk . Nun k→∞

benutzen wir die Stetigkeit der Norm (s. Abschn. 1.2.2, Satz 1.5) und (1.69). Wir erhalten d = lim x − xk = x − lim xk = x − x0 k→∞

k→∞

und damit x − x 0 = min x − x . x ∈X

Wir haben noch zu zeigen, daß x0 eindeutig bestimmt ist. Hierzu nehmen wir an, x0∗ ∈ X erfülle ebenfalls x − x0∗ = d. Wegen x ∈ / X (nach Voraussetzung) und 12 (x0 + x0∗ ) ∈ X folgt 1 1 1 d ≤ x − (x 0 + x0∗ ) = (x − x 0 ) + (x − x0∗ ) 2 2 2 1 1 1 1 ≤ x − x 0 + x − x0∗ = d + d = d . 2 2 2 2 Hieraus ergibt sich (x − x 0 ) + (x − x0∗ ) = x − x0 + x − x 0∗ . Das Gleichheitszeichen in der Dreiecksungleichung hat das Gleichheitszeichen in der Schwarzschen Ungleichung zur Folge (s. Üb. 1.24). Daher sind die Elemente x − x0 und x − x 0∗ linear abhängig (s. Bemerkung im Anschluß an Hilfssatz 1.5): x − x0 = α(x − x0∗ )

mit einem α ∈ C, α = 0, α = 1.


53

Es ergibt sich somit x=

x0 − αx0∗ ∈ X 1−α

im Widerspruch zur Voraussetzung x ∈ / X . Damit ist alles bewiesen.

Wie gelangt man zu einer expliziten Darstellung des bestapproximierenden Elementes? Einen Schritt in diese Richtung liefert Satz 1.13: Es sei X ein Unterraum des Hilbertraumes X . Dann ist x0 ∈ X genau dann bestapproximierend an ein Element x ∈ X , wenn (x − x 0 , y) = 0

für alle y ∈ X

(1.71)

gilt. Beweis: (1) x 0 ∈ X sei bestapproximierend an x ∈ X . Wir nehmen an, es existiere ein y0 ∈ X mit (x − x 0 , y0 ) =: α = 0 und setzen x˜0 := x0 + (y0α,y0 ) y0 ∈ X . Es gilt dann 2 α x − x˜0 = x − x0 − y0 (y0 , y0 ) α α = x − x0 − y0 , x − x0 − y0 (y0 , y0 ) (y0 , y0 ) 2

= (x − x0 , x − x0 ) +

α |α|2 (y0 , y0 ) − (x − x 0 , y0 ) 2 (y0 , y0 ) (y0 , y0 )

α (y0 , x − x0 ) (y0 , y0 ) |α|2 2|α|2 = x − x0 2 + − (y0 , y0 ) (y0 , y0 ) |α|2 < x − x0 2 . = x − x 0 2 − (y0 , y0 ) −

Demnach würde x˜0 besser als x 0 approximieren, im Widerspruch zur Annahme. Daher gilt (1.71) für alle y ∈ X . / X ). (2) Sei nun umgekehrt (x − x 0 , y) = 0 für alle y ∈ X und für ein x0 ∈ X erfüllt (x ∈

Dann gilt für alle x ∈ X 0 ≤ x − x0 2 = (x − x0 , x − x0 ) = (x − x0 , x − x + x − x 0 ) = (x − x 0 , x − x ) + (x − x 0 , x − x 0 ) = |(x − x0 , x − x )| . ! " =0, da x −x 0 ∈X

54


Mit der Schwarzschen Ungleichung folgt hieraus x − x 0 2 = |(x − x0 , x − x )| ≤ x − x0 x − x oder x − x 0 ≤ x − x

für alle x ∈ X ,

d.h. x0 ist bestapproximierend an x ∈ X .

Für den Fall, daß X endlich-dimensional ist, läßt sich mit Hilfe von Satz 1.13 ein bestapproximierendes Element konstruieren17 : Satz 1.14: Es sei X ein n-dimensionaler Unterraum des Hilbertraumes X und x 1 , . . . , xn eine Basis von X . Dann läßt sich das (eindeutig bestimmte) bestapproximierende Element x 0 ∈ X an x ∈ X in der Form x0 =

n

λk x k

(1.72)

k=1

darstellen,wobei sich die Koeffizienten λ1 , . . . , λn aus dem linearen Gleichungssystem (x − x0 , xi ) = (x, xi ) −

n

λk (xk , xi ) = 0, i = 1, . . . , n

(1.73)

k=1

ergeben. Dieses System besitzt für jedes vorgegebene x ∈ X eine eindeutig bestimmte Lösung. Beweis: (1) Sei x 0 =

n

λk xk bestapproximierendes Element an x ∈ X . Nach Satz 1.13 gilt dann n (x − x 0 , y) = x − λk xk , y = 0 für alle y ∈ X . Diese Gleichung ist insbesondere k=1

k=1

für y = xi ∈ X (i = 1, . . . , n) erfüllt: n x− λk xk , xi = 0 für i = 1, . . . , n k=1

oder (x, xi ) −

n

λk (xk , xi ) = 0

für i = 1, . . . , n ,

k=1

17 Man spricht in diesem Falle von der Gaußschen Approximationsaufgabe


55

d.h. die Koeffizienten λk von x0 genügen (1.73). (2) Gehen wir nun vom linearen Gleichungssystem (1.73) aus. Da die Basiselemente x1 , . . . , xn linear unabhängig sind, ist die Determinante det(xk , xi ) (die sogenannte Gramsche Determinante der xi ) nach Übung 1.28 von Null verschieden, so daß (1.73) für jedes x ∈ X n eindeutig lösbar ist. Wir bezeichnen die Lösung mit λ∗1 , . . . , λ∗n und setzen x 0∗ := λ∗k xk . Ein beliebiges (festes) y ∈

X

läßt sich in der Form y =

n

k=1

αi xi darstellen. Es gilt dann

i=1

(x −

x 0∗ ,

y) = x −

n

λ∗k xk ,

k=1

=

n

αi

x−

k=1

n

αi xi

k=1 n

λ∗k x k , xi

= 0,

k=1

so daß x0∗ nach Satz 1.13 bestapproximierend ist. Ferner ergibt die Eindeutigkeitsaussage n (λk − λ∗k )xk = 0, woraus sich aufgrund der linearen Unabdieses Satzes: x0∗ = x0 oder k=1

hängigkeit der xk λk − λ∗k = 0 oder λ∗k = λk für k = 1, . . . , n ergibt. Damit ist der Satz bewiesen. Bemerkung: Bilden die xk , k = 1, . . . , n ein Orthonormalsystem, d.h. gilt 0 für i = k (xi , xk ) = δik = 1 für i = k

(1.74)

so ergibt (1.73) unmittelbar, daß die Koeffizienten λi des bestapproximierenden Elementes x 0 durch die Fourierkoeffizienten (x, xi ) von x gegeben sind: λi = (x, xi ), i = 1, . . . , n ;

(1.75)

x0 besitzt dann die Darstellung x0 =

n

(x, xi )xi .

(1.76)

i=1

(s. hierzu auch Abschnitt 1.3.7). In Abschnitt 1.3.6 zeigen wir, daß sich mit Hilfe des Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens aus n linear unabhängigen Elementen stets ein Orthonormalsystem konstruieren läßt. 1.3.4

Der Zerlegungssatz

Wir wollen — als Fernziel — die Struktur von Hilberträumen genauer kennenlernen. Ein Meilenstein auf diesem Weg ist der folgende

56


Satz 1.15: (Projektionssatz18 , Zerlegungssatz) Es sei X ein Hilbertraum und X ein abgeschlossener Unterraum von X . Dann läßt sich jedes Element x ∈ X eindeutig in der Form x = x 0 + x 0

mit

x0 ∈ X

und

x 0

∈ (X )⊥

(1.77)

darstellen. Beweis: Nach Satz 1.12 gibt es zu x ∈ X ein eindeutig bestimmtes Element x 0 ∈ X mit x − x0 = min x − x . Wir setzen x0

:= x − x0 und zeigen: x0

∈ (X )⊥ . Hierzu seien y ∈ X und α ∈ C x ∈X

beliebig. Dann ist x0 + αy ∈ X und es gilt x − x 2 = x − x 0 2 = x0

2 , x − (x 0 + αy )2 ≥ min

x ∈X

woraus x 0

2 ≤ (x − x0 ) − αy 2 = x 0

− αy 2 = (x0

− αy , x0

− αy ) = (x 0

, x0

) + αα(y , y ) − α(y , x 0

) − α(x0

, y ) oder 0 ≤ αα(y , y ) − α(y , x0

) − α(x 0

, y ) für alle y ∈ X und α ∈ C folgt. Sei y = 0. Dann wählen wir α := (1.78) 0≤−

|(x0

, y )|2 (y , y )

(1.78) (x 0

,y ) (y ,y )

und erhalten aus

für alle y ∈ X , y = 0

oder (x 0

, y ) = 0 für alle y ∈ X , y = 0. Da diese Beziehung für y = 0 trivial ist, gilt (x 0

, y ) = 0 für alle y ∈ X , d.h. es ist x 0

∈ (X )⊥ , und x läßt sich in der Form x = x 0 + x 0

zerlegen. Für den Eindeutigkeitsbeweis nehmen wir an, x = y0 + y0

sei eine weitere Zerlegung von x, d.h. es gilt dann x = x0 + x0

= y0 + y0

, wobei x 0 , y0 ∈ X und x0

, y0

∈ (X )⊥ ist. Setzen wir y0 − x0 = x0

− y0

=: z , so erhalten wir wegen y0 − x 0 ∈ X : z ∈ X und wegen x0

− y0

∈ (X )⊥ : z ∈ (X )⊥ . Daraus folgt (z, z) = 0 und hieraus, aufgrund von Definition 1.12, (1) z = 0, was x 0 = y0 und x 0

= y0

zur Folge hat. Die Zerlegung ist also eindeutig. Mit Hilfe von Satz 1.12 und Satz 1.15 beweisen wir nun 18 Zur Bezeichnung Projektionssatz s. Bem. im Anschluß an den Beweis von Satz 1.16


57

Satz 1.16: Es sei X ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes X . Dann besitzt X ein eindeutig bestimmtes orthogonales Komplement X

, d.h. es gilt X

⊥X

und

X ⊕ X

= X .

(1.79)

Beweis: Wir zeigen: X

:= (X )⊥ erfüllt die Bedingungen (1.79). Nach Hilfssatz 1.6 ist (X )⊥ ein (abgeschlossener) Unterraum von X . Da auch X ein (abgeschlossener) Unterraum von X ist, muß X + (X )⊥ ⊂ X gelten. Nach dem Projektionssatz muß andererseits X ⊂ X + (X )⊥ erfüllt sein, so daß insgesamt X = X + (X )⊥ = X + X

folgt. Da die Zerlegung eindeutig ist, gilt X = X ⊕ X

(zur Definition der direkten Summe s. Abschn. 1.2.1). Zum Nachweis, daß X

eindeutig bestimmt ist, nehmen wir an: X = X ⊕ X 1

= X ⊕ X 2

mit

X ⊥X 1

und

X ⊥X 2

.

Aus X

⊂ X = X ⊕ X 1

folgt, daß jedes x2

∈ X 2

eine eindeutige Zerlegung der Form x2

= x + x 1

mit

x ∈ X

und

x 1

∈ X 1

(1.80)

besitzt. Daher gilt x2

− x 1

= x ∈ X . Andererseits ist wegen x2

, x1

∈ (X )⊥ die Beziehung x2

− x1

∈ (X )⊥ erfüllt. Beides zusammen ergibt 0 = (x , x 2

− x1

) = (x , x )

oder

x = 0 .

Dies hat wegen (1.80) x2

= x1

∈ X 1

oder X 2

⊂ X 1

zur Folge. Entsprechend ergibt sich X 1

⊂ X 2

, also insgesamt X 1

= X 2

. X

ist somit eindeutig bestimmt und Satz 1.16 daher bewiesen. Bemerkung 1: Man nennt die durch x ∈ X eindeutig bestimmten Elemente x ∈ X bzw. x

∈ X

Projektionen von x auf X bzw X

. Die Abbildung P : X → X mit x = P x heißt Projektionsoperator. Wir werden seine Eigenschaften in Abschnitt 2.1.1 genauer untersuchen. Um der Struktur von Hilberträumen weiter auf die Spur zu kommen, betrachten wir nun Folgen {X k } von abgeschlossenen Unterräumen X k eines Hilbertraumes X . Zunächst erweitern wir die Begriffe »Summe« und »direkte Summe« aus Abschnitt 1.2.1: Seien X k , k = 1,2 . . . Unterräume eines linearen Raumes X . Dann heißt der durch ∞ ∞ # S := (1.81) X k := Span Xk k=1

k=1

erklärte Unterraum von X die Summe der X k (Span(A) bezeichnet die lineare Hülle von A).

58


Falls außerdem Xj ∩

∞

X k = {0}

für alle

j ∈N

(1.82)

k=1 k= j

gilt, so nennt man die Summe direkt und schreibt. ∞ # $ X1 ⊕ X 2 ⊕ · · · = X k := Span Xk . k∈N

k∈N

(1.83)

k=1

X k ist der kleinste Unterraum von X , der alle Unterräume X k umfaßt.

Bemerkung 2: Die Bedingung (1.82) ist gleichbedeutend damit, daß jedes x ∈ S =

∞

Xk

k=1

eindeutig darstellbar ist in der Form x=

∞

xk

xk ∈ X k .

mit

(1.84)

K =1

Ferner folgt aus (1.82): X j ∩ X k = {0} für j = k. Wir sagen, die Elemente der Folge {X k } sind paarweise orthogonal, falls X j ⊥X k für alle j = k ist. Es gilt Satz 1.17: abgeschlossenen Unterräumen des Es sei {X k } eine Folge von paarweise orthogonalen Hilbertraumes X . X sei durch X := X k erklärt.19 Ferner sei x ∈ X beliebig und in der Form mit

xk ∈ X k , yk ∈ (X k )⊥

(1.85)

mit

x ∈ X , y ∈ (X )⊥

(1.86)

x = xk + yk sowie in der Form x = x + y

zerlegt. (Dies ist nach Satz 1.15 möglich.) Dann gilt (i) die Besselsche Ungleichung ∞

xk 2 ≤ x2 ;

k=1

(ii)

n k=1

xk → x für n → ∞, woraus sich die Parsevalsche Gleichung

(1.87)


∞

x k 2 = x 2

59

(1.88)

k=1

ergibt.

Beweis: (i) Sei n eine beliebige natürliche Zahl. Da die Elemente der Folge {X k } paarweise orthogonal sind, gilt für x k ∈ X k n n n n n xk , xk = (xk , x j ) = (xk , x k ) k=1

k=1

k=1 j=1

k=1

oder n n 2 xk = x k 2 , n ∈ N . k=1

(1.89)

k=1

Für beliebiges x ∈ X und festes n ∈ N setzen wir y := x −

n

xk . Dann ist y ∈ X und

k=1

(x j , y) = x j , x −

n

xk

k=1

⎛

⎞

⎜ =⎜ ⎝x j , x − x j −

⎛

⎞

n k=1 k = j

⎟ xk ⎟ ⎠

n ⎜ ⎟ ⎜ xk ⎟ = (x j , x − x j ) − ⎝x j , ⎠ , j = 1, . . . , n . k=1 k= j

Nach (1.85) gilt x − x j = y j ∈ (X j )⊥ . Daher ist (x j , y) = (x j , y j ) −

n

(x j , xk ) = 0 − 0 = 0

(1.90)

k=1 k= j

für j = 1,2, . . . , n. Hieraus folgt (wir beachten die Definition von y) n n 2 xk , y + xk x = (x, x) = y + k=1

k=1

19 A bezeichnet wie üblich die Abschließung einer Menge A. X ist nach Üb 1.15 ebenfalls ein Unterraum von X .

60


= (y, y) + y,

n

+

xk

k=1

n

xk , y k=1 2 n

n xk ≥ = y + 0 + 0 + 2

k=1

k=1

+

n

xk ,

k=1

n

xk

k=1

2 n xk = xk 2

(1.91)

k=1

für beliebiges n ∈ N (die letzte Identität ergibt sich wegen (1.89)). Aus (1.91) folgt: n xk 2 konvergiert für n → ∞ (jede nach oben beschränkte monoton wachsende Folge k=1

ist konvergent!), und es gilt die Besselsche Ungleichung (1.87). (ii) Nach (i) ist

∞

' x k

2

konvergent. Daher bildet die Folge der Teilsummen:

k=1

eine Cauchy-Folge in R. Zu jedem ε > 0 gibt es also eine natürliche Zahl n m x k 2 − xk 2 < ε für alle n, m ≥ n 0 . k=1

n

( x k

k=1 n 0 = n 0 (ε)

2

mit

(1.92)

k=1

Sei n > m > n 0 . Dann folgt wie in (i) 2 2 n n m n xk − xk = xk = x k 2 < ε k=1 k=1 k=m+1 k=m+1 ' (letzteres wegen (1.92)), d.h. gibt es ein x 0 ∈ X mit

n

xk ∈

k=1

n $

Xk ⊂

k=1

(

∞ $

ist eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist,

xk

k=1 ∞

xk →

k=1 n

n

xk = x0 . Wegen

k=1

Xk = X

k=1

ist x0 ∈ X . Wir zeigen noch: x0 = x (s. (1.86)). Da y j ∈ (X j )⊥ und X k ⊥X j für k = j, folgt für j = 1, . . . , n und alle z k ∈ X k ⎞ ⎛ n n n ⎟ ⎜ ⎟ = (y j , z j ) − x− x − x xk , z j = ⎜ − x , z (xk , z j ) = 0 j k j ⎠ ⎝ k=1

k=1 k= j

k=1 k = j

und hieraus aufgrund der Stetigkeit des Skalarproduktes (s. Satz 1.10, Abschn. 1.3.1) n n xk , z j = x − lim xk , z j = (x − x o , z j ) = 0 lim x − n→∞

k=1

n→∞

k=1


61

für alle j ∈ N und alle z j ∈ X j . Damit ist x − x0 ∈ (X j )⊥ für alle j ∈ N oder x − x0 ∈ ⊥ ⊥ X k , woraus sich wieder mit Satz 1.10 x − x0 ∈ Xk = (X )⊥ ergibt. Die k∈N

k∈N

beiden Zerlegungen x = x + y

mit

x = x0 + (x − x 0 )

x ∈ X , y ∈ (X )⊥ mit

x0 ∈ X , x − x0 ∈ (X )⊥

sind nach dem Projektionssatz (Satz 1.15) eindeutig. Daher gilt x = x0 und y = x − x0 . Aus der Stetigkeit der Normen (s. Satz 1.5, Abschn. 1.2.2) folgt schließlich wie in (i) (beachte: x0 = x ) 2 n n n ∞ 2

2 2 x = lim xk = lim xk = lim x k = x k 2 , n→∞ n→∞ k→∞ k=1

k=1

k=1

k=1

also die Parsevalsche Gleichung (1.88). Damit ist alles bewiesen.

Wir benötigen diesen Satz im nachfolgenden Abschnitt. 1.3.5

Orthonormalsysteme in Hilberträumen

Definition 1.16: Es sei X ein Hilbertraum. Man nennt die Folge {x k }k∈N ein (abzählbares) Orthonormalsystem (oder eine Orthonormalfolge), kurz ONS geschrieben, von X , wenn x k ∈ X für alle k ∈ N und 1 für j = k (x j , x k ) = δ jk = (1.93) 0 für j = k erfüllt ist. Beispiele für Orthonormalsysteme sind gegeben durch Beispiel 1.28: Im Hilbertraum l2 bilden die Folgen {1,0,0,0,0,0,0,0, . . . }, {0,1,0,0,0,0,0,0, . . . }, {0,0,1,0,0, 0,0,0, . . . }, . . . ein ONS von l2 (zeigen!). Beispiel 1.29: Im (nicht vollständigen) reellen Skalarproduktraum C[0,2π ] mit

2π x(t)y(t) dt , x = x(t), y = y(t) ∈ C[0,2π ]

(x, y) = 0

62


bildet das System der trigonometrischen Funktionen 1 1 1 1 1 √ , √ cos t, √ sin t, √ cos 2t, √ sin 2t, . . . π π π π 2π ein ONS von C[0,2π]. (Man benutze die Orthogonalitätsrelationen von sin und cos aus Burg/Haf/Wille [23], Formeln (4.63).) Weitere Beispiele, etwa das ONS der Hermiteschen Polynome, der Legendreschen Polynome oder der Laguerreschen Polynome, finden sich z.B. in Heuser [73], S. 154–157. Mit Hilfe einer Verallgemeinerung des Orthogonalisierungsverfahren von Erhard Schmidt20 (s. Burg/Haf/Wille [24], Abschn. 2.1.4) zeigen wir, wie sich aus linear unabhängigen Elementen eines Hilbertraumes stets ein ONS konstruieren läßt: Satz 1.18: (Orthogonalisierungsverfahren nach Erhard Schmidt) Gegeben sei eine aus n linear unabhängigen bzw. aus abzählbar unendlich vielen linear unabhängigen Elementen bestehende Folge {yk } aus dem Hilbertraum X . Dann gibt es ein aus n bzw. abzählbar unendlich vielen Elementen bestehendes ONS {xk }, so daß der von der Folge {yk } aufgespannte (abgeschlossene) Unterraum mit dem von der Folge {xk } aufgespannten (abgeschlossenen) Unterraum übereinstimmt. Beweis: Span{y1 , . . . , yk } bezeichne den von der Menge {y1 , . . . , yk } aufgespannten Unterraum, d.h. es ist Span{y1 , . . . , yk } = {α1 y1 + · · · + αk yk |αi ∈ C, i = 1, . . . , k} . Setzen wir nun x 1 := yy11 , so ist Span{y1 } = Span{x1 }. Wir nehmen an, es seien bereits k orthonormierte Elemente x 1 , . . . , xk mit Span{y1 , . . . , yk } = Span{x 1 , . . . , x k } konstruiert. Wir setzen z k+1 := yk+1 −

k

(yk+1 , x j )x j .

(1.94)

j=1

Es ist z k+1 = 0, denn z k+1 = 0 hätte wegen (1.94) zur Folge, daß yk+1 linear abhängig von x 1 , . . . , xk wäre. Ferner gilt für i = 1, . . . , k: (z k+1 , xi ) = (yk+1 , xi ) −

k

(yk+1 , x j )(x j , xi )

j=1

= (yk+1 , xi ) −

k

(yk+1 , x j )δ ji = (yk+1 , xi ) − (yk+1 , xi ) = 0 .

j=1

20 E. Schmidt (1876–1959), deutscher Mathematiker


63

z

Mit xk+1 := z k+1 folgt dann Span{x 1 , . . . , xk+1 } = Span{y1 , . . . , yk+1 }, d.h. es existiert ein k+1 ONS {x1 , x2 , . . . } mit Span{y1 , . . . , yk } = Span{x1 , . . . , xk }, k = 1, . . . , n bzw. k = 1,2, . . .. Hieraus folgt die Behauptung im endlich-dimensionalen Fall k = n. Im unendlichdimensionalen Fall ist xn ∈ Span{y1 , . . . , yn } ⊆ Span{y1 , y2 , . . . } , woraus Span{x1 , x2 , . . . } ⊆ Span{y1 , y2 , . . . } folgt. Umgekehrt ist yn ∈ Span{x1 , . . . , xn } ⊆ Span{x1 , x2 , . . . } , was Span{y1 , y2 , . . . } ⊆ Span{x1 , x 2 , . . . } zur Folge hat. Beides zusammengenommen liefert die Behauptung.

Wir wollen jetzt Satz 1.17 aus Abschnitt 1.3.4 spezialisieren und eindimensionale Unterräume X k von X betrachten. Ist x k ∈ X mit x k = 0, so ist Span(xk ) := Span({x k }) := {x ∈ X |x = αxk , α ∈ C} , also der von der Menge, die nur aus dem einen Element x k besteht, aufgespannte Unterraum von der Dimension 1. Dieser Unterraum ist überdies abgeschlossen (Satz 1.7, Abschn. 1.2.2 und Üb. 1.10). Der folgende Satz charakterisiert »vollständige« ONS’e: Satz 1.19: Es sei X ein Hilbertraum und {xk } ein abzählbares ONS von X . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a) X = Span(xk ) ; k∈N

(b) Das ONS {xk } kann nicht zu einem größeren ONS erweitert werden21 (Abgeschlossenheit des ONS); ∞ (c) Für alle x ∈ X gilt: |(x, x k )|2 = x2 (Vollständigkeit des ONS). k=1

Bemerkung: Das ONS {xk } heißt vollständig, wenn eine dieser drei Eigenschaften - und damit alle drei - erfüllt sind; (a) verdeutlicht, wie sich der gesamte Hilbertraum X mit Hilfe eines vollständigen ONS aufbauen läßt. 21 d.h. es gibt kein y ∈ X mit y ∈ / {xk }, y = 0 und (y, xk ) = 0 für alle k = 1,2, . . ..

64


Beweis: von Satz 1.19 Wir zeigen zunächst (a)⇔(b) und (a)⇔(c), woraus sich (b)⇔(c) ergibt. (i) Nachweis (a)⇔(b): ⇒: Für x0 ∈ X mit x0 = 0 nehmen wir an, daß {xk }k∈N ∪ {x0 } ebenfalls ein ONS von X ist. Nach Definition 1.14 ist daher (x0 , xk ) = 0 für k = 1,2, . . .; ferner ist x 0 ∈ ⊥ Span(x k ) , und wegen der Stetigkeit des Skalarproduktes gilt zudem (wir beachten k∈N

(a))

x0 ∈

$

⊥

Span(xk )

= X⊥

k∈N

oder (da auch x 0 ∈ X gilt): (x0 , x0 ) = 0, d.h. x0 = 0, im Widerspruch zur Annahme x0 = 0. Span(xk ) X . Dann gibt es ein x ∈ X mit x ∈ / X . Nach ⇐: Wir nehmen an: X = k∈N

dem Projektionssatz läßt sich x in der Form x = x + x

mit

x ∈ X , x

∈ (X )⊥ (x

= 0)

darstellen. Wir setzen x 0 := xx

. Für x0 gilt dann: x0 ⊥xk für k = 1,2, . . . und x0 = 1. Also ist {xk }k∈N ∪ {x 0 } ebenfalls ein ONS von X . Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß das ONS {xk } abgeschlossen ist. Damit ergibt sich X = X . (ii) Nachweis (a)⇔(c): ⇒: Sei x ∈ X und k ∈ N beliebig. Dann gilt x = (x, xk )xk + x − (x, xk )xk = xk + x k

mit xk = (x, xk )xk ∈ Span(x k ), x k

= x−(x, x k )xk . Wegen (xk

, x k ) = (x−(x, xk )xk , x k ) = (x, x k ) − (x, xk )(x k , xk ) = (x, x k ) − (x, xk ) = 0 ist xk

∈ [Span(x k )]⊥ . Wir setzen X k := Span(xk )

und

X :=

$

Xk =

k∈N

$

Span(xk ) .

k∈N

Wegen (a) gilt X = X und nach dem Projektionssatz ist x = y + z mit y ∈ X = X und z ∈ (X )⊥ = X ⊥ . Daher gilt z = 0 oder x = y. Ferner ist nach Definition von xk : xk = (x, x k )xk = |(x, xk )|xk = |(x, xk )| , und nach Satz 1.17, (1.88) folgt (c). ∞ ⇐: Sei x ∈ X beliebig und gelte |(x, x k )|2 = x2 . Ferner sei X := Span(xk ). k∈N

k=1

Dann zerlegen wir x wieder in der Form x = x + x

mit x ∈ X und x

∈ (X )⊥ . Die ∞ |(x, x k )|2 = x 2 . Insgesamt ergibt sich also Parsevalsche Gleichung (1.88) liefert: k=1


65

x2 = x 2 . Nach Satz 1.11, Abschn. 1.3.2 (Pythagoras) gilt x 2 = x2 = x + x

2 = x 2 + x

2

2

oder x = 0. Dies zieht x = 0 oder x = x ∈ X nach sich. Daher gilt X = X = Span(xk ) und Satz 1.19 ist bewiesen. k∈N

Bemerkung: Aus dem Beweis wird ersichtlich, daß sich die Parsevalsche Gleichung (1.88) auch in der Form ∞

xk 2 = x2 , x ∈ X

beliebig

(1.95)

k=1

schreiben läßt. Beispiel 1.30: Die in Beispiel 1.28 betrachteten Folgen x 1 = {1,0,0,0, . . . }, x2 = {0,1,0,0, . . . }, x3 = {0,0,1, 0, . . . }, . . . bilden ein vollständiges ONS im Hilbertraum l2 . Denn: Ist y = {c1 , c2 , c3 , . . . } mit ∞ |ck |2 konvergent, d.h. y ∈ l2 , ist ferner y ∈ / {xk } und gilt (y, xk ) = 0 für alle k = 1,2, . . ., so k=1

folgt 0 = (y, x k ) = ck · 1 für k = 1,2, . . . oder ck = 0 für k = 1,2, . . ., also y = 0 = {0,0, . . . }. {xk } kann daher nicht zu einem größeren ONS erweitert werden und ist somit nach Satz 1.19 vollständig. Beispiele für vollständige ONS’e im Hilbertraum L 2 (s. Abschn. 3.1) sind: Beispiel 1.31: Das System der trigonometrischen Funktionen 1 1 1 1 1 √ , √ cos t , √ sin t , √ cos 2t , √ sin 2t , . . . π π π π 2π in L 2 [−π, π ]. Beispiel 1.32: Das System der Hermiteschen Polynome (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 4.1.2) 1, 2t, 4t 2 − 2, 8t 3 − 12t, . . . in L 2 (−∞, ∞). Beispiel 1.33: Das System der Legendreschen Polynome (oder Kugelfunktionen 1. Art) (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 4.2.1)

66


1, t,

1 2 1 (3t − 1), (5t 3 − 3t), . . . 2 2

in L 2 (−1,1). Die Nachweise (zumeist in Form von Übungsaufgaben) und auch weitere Beispiele finden sich z.B. in Heuser [73], S. 180. Wir wollen nun eine allgemeinere Klasse von Hilberträumen angeben, die ein vollständiges ONS besitzen. Definition 1.17: Ein (unendlich-dimensionaler) Hilbertraum X heißt separabel, wenn X ein abzählbar unendliches Teilsystem A = {y1 , y2 , . . . } enthält, das dicht in X ist: A = X . Bemerkung: In einem separablen Hilbertraum X läßt sich also jedes x ∈ X beliebig genau durch die Elemente yk eines dichten Teilsystems A approximieren, d.h. zu jedem ε > 0 existiert ein yk ∈ A mit x − yk < ε. Für separable Hilberträume ist die Existenz eines vollständigen ONS gesichert. Es gilt nämlich Satz 1.20: Jeder (unendlich-dimensionale) separable Hilbertraum X besitzt mindestens ein vollständiges ONS. Beweis: Da X separabel ist, gibt es ein abzählbar unendliches Teilsystem A = {y1 , y2 , . . . }, das dicht in X ist. Sei z 1 das erste Element aus A mit z 1 = 0; z 2 sei das erste Element aus A das nicht in Span{z 1 } liegt,. . . , z k das erste Element aus A das nicht in Span{z 1 , . . . , z k−1 } liegt (man beachte: X ist unendlich-dimensional). Offensichtlich sind die Elemente z 1 , z 2 , . . . linear unabhängig und Span{z 1 , z 2 , . . . } liegt dicht in X . Nach Satz 1.18 (Orthogonalisierungsverfahren) gibt es ein abzählbar unendliches ONS {x1 , x 2 , . . . } mit Span{x1 , x2 , . . . } = Span{y1 , y2 , . . . } = X . Annahme: Das ONS {x1 , x 2 , . . . } sei nicht vollständig, also nach Satz 1.19 nicht abgeschlossen. Es gibt dann ein x ∈ X mit x = 1 und (x, xk ) = 0 für k = 1,2, . . .. Da xk ∈ Span{y1 , . . . , yk }, yk ∈ Span{x 1 , . . . , xk } (s. Beweis von Satz 1.18) folgt (x, yk ) = 0 für k = 1,2, . . .. Die Menge {y1 , y2 , . . . } ist dicht in X . Zu jedem ε > 0 gibt es daher ein yk mit x − yk < ε. Wegen (x, x) = (x, yk ) + (x, x − yk ) = 0 + (x, x − yk ) ≤ xx − yk oder x2 ≤ xx − yk oder x ≤ x − yk < ε für alle ε > 0 folgt x = 0. Das ONS {x 1 , x 2 , . . . } kann somit nicht zu einem größeren erweitert werden. Beispiel 1.34: l2 ist ein separabler Hilbertraum. Denn: Ist A die Menge aller Elemente x mit x = {r1 , r2 , . . . , rn ,0,0, . . . }, n ∈ N, r j ∈ Q ( j = 1, . . . , n) ,


67

so ist A abzählbar (warum?). Für x = {x1 , x 2 , . . . } ∈ l2 beliebig und für beliebiges ε > 0 gibt es ein n 0 = n 0 (ε) ∈ N mit ∞

|xk |2
0 ein δ = δ(ε, x0 ) > 0 gibt, so daß 1 Wir bevorzugen im folgenden die Bezeichnung Operator


76

2 Lineare Operatoren in normierten Räumen

T x − T x0 < ε

(in der Norm von Y )

(2.4)

für alle x ∈ X mit x − x 0 < δ

(in der Norm von X )

(2.5)

gilt. Entsprechend heißt T stetig in X , wenn T in jedem Punkt x ∈ X stetig ist. Definition 2.3: Es seien X und Y normierte Räume. Der lineare Operator T : X → Y heißt beschränkt, wenn es eine Konstante C > 0 mit T x ≤ Cx

(2.6)

für alle x ∈ X gibt. Bemerkung: In (2.6) ist T x bezüglich der Norm in Y und x bezüglich der Norm in X zu verstehen. Da hier keine Verwechslungen möglich sind, verwenden wir diese einfachere Schreibweise anstelle von T xY und x X . Definition 2.4: Die kleinste Zahl C > 0 für die (2.6) gilt, heißt Norm von T und ist durch sup x∈X x=0

T x =: T x

(2.7)

gegeben. Bemerkung: Mit der Norm von T läßt sich Ungleichung (2.6) auch in der Form T x ≤ T x

(2.8)

schreiben. Die Sprechweise »Norm von T « oder auch »Operatornorm« wird erst aufgrund von Satz 2.1 (s.u.) verständlich. Hilfssatz 2.1: Die folgenden Ausdrücke sind äquivalent und ergeben damit alle T : (i) sup x∈X x=0

T x ; x

(iii) sup T x ; x≤1

(ii) sup T x ; x=1

(iv) sup T x . x 0. Ferner sei x 0 ∈ X beliebig. Für jedes ε > 0 gilt dann T x − T x0 = T (x − x0 ) ≤ Cx − x0 < C

ε =ε C

für alle x ∈ X mit x − x0 < Cε =: δ, d.h. T ist in x0 stetig und, da x0 ∈ X beliebig ist, in ganz X . (b) Sei nun T auf X stetig. Dann ist T insbesondere in x0 = 0 ∈ X stetig. Annahme: T sei xk nicht beschränkt. Also gibt es eine Folge {x k } in X mit xk = 0 und T x k > k für alle xk k ∈ N. Setzen wir yk := kxk , so folgt yk ∈ X und 1 = 1 T x k > 1 x T yk = T k kx kxk k für alle k ∈ N. Andererseits gilt: yk = 1k → 0 für k → ∞ bzw. yk → 0 für k → ∞. Aus der Stetigkeit von T in x0 = 0 folgt für k → ∞ T yk → T (0) = 0 (letzteres wegen (2.2)). Dies steht im Widerspruch zu T yk > 1 für alle k ∈ N. Damit ist alles bewiesen. Also: Bei linearen Operatoren sind Stetigkeit und Beschränktheit äquivalente Eigenschaften. Beispiel 2.1: 1

Es sei X = Y = Rn , x = (x 1 , . . . , xn ) ∈ Rn und x = (x 12 + · · · + xn2 ) 2 . T sei durch n n T x := a1k xk , . . . , ank xk k=1

(2.9)

k=1

erklärt, wobei [aik ] eine (n, n)-Matrix mit aik ∈ R für i, k = 1, . . . , n sei. Dann ist T ein linean rer beschränkter Operator, der (Rn , . ) in sich abbildet. Insbesondere gilt: T ≤ |aik |. i,k=1

(Zeigen !) Beispiel 2.2: Es sei X = Y = C[a, b], f ∈ C[a, b] und f = max | f (x)|. Wir betrachten den Integralopea≤x≤b

rator T mit

78


b (T f )(x) :=

K (x, y) f (y) dy , x ∈ [a, b]

(2.10)

a

mit in [a, b] × [a, b] stetigem Kern K (x, y). T ist ein linearer Operator (dies folgt aus der Linearität des Riemann-Integrals) der C[a, b] in sich abbildet: Da f stetig auf [a, b] und K stetig auf [a, b] × [a, b] ist, ist f · K stetig auf [a, b] × [a, b], und mit Burg/Haf/Wille [23], Satz 7.17 folgt die Stetigkeit von

b K (x, y) f (y) dy =: F(x) a

auf [a, b]. Da K stetig auf dem Kompaktum [a, b] × [a, b] ist, existiert max |K (x, y)| =: M ,

x,y∈[a,b]

und es gilt

b

b T f = max |(T f )(x)| ≤ max |K (x, y)|| f (y)| dy ≤ M max | f (x)| dy = M(b−a) f , x∈[a,b]

x∈[a,b]

x∈[a,b]

a

a

d.h. T ist bezüglich der Maximumsnorm beschränkt: T ≤ M(b − a). Beispiel 2.3: Es sei X ein Hilbertraum und X ein abgeschlossener Unterraum von X . Nach Abschnitt 1.3.4 läßt sich jedes x ∈ X eindeutig in der Form x = x + x

mit

x ∈ X

und

x

∈ X

darstellen, wobei X

das eindeutig bestimmte orthogonale Komplement von X ist. Die Abbildung P : X → X mit P x = x ; x ∈ X, x ∈ X

(2.11)

heißt Projektionsoperator. P ist ein linearer Operator (warum?). Ferner gilt nach Satz 1.11 (Pythagoras) für alle x ∈ X P x2 = x 2 ≤ x 2 + x

2 = x + x

2 = 1 · x2 oder für alle x = 0 P x2 ≤ 1, x2

woraus

sup x∈X x=0

P x ≤1 x

2.1 Beschränkte lineare Operatoren

79

und damit P ≤ 1 folgt. Nehmen wir speziell x ∈ X (x = 0), so erhalten wir wegen x = x P x P x x = = = 1,

x x x also P = 1. Zusammenfassend gilt: Der durch (2.11) erklärte Projektionsoperator P ist ein linearer und beschränkter Operator von X auf X mit P = 1. Wir haben den durch (2.7) erklärten Ausdruck T als Norm von T bezeichnet. Daß wir berechtigt sind, hier von einer Norm zu sprechen, zeigt Satz 2.1: Es seien X und Y normierte Räume über K, und L(X, Y ) bezeichne die Menge aller beschränkten linearen Operatoren von X in Y . Dann ist L(X, Y ) bezüglich der Operatornorm T = sup x∈X x=0

T x x

ein normierter Raum über K.

Beweis: (a) Wir zeigen zunächst, daß L(X, Y ) ein linearer Raum über K ist: Mit T1 , T2 ∈ L(X, Y ) und α ∈ K folgt, wenn wir T1 + T2 bzw. αT1 durch (T1 + T2 )x := T1 x + T2 x

bzw. (αT1 )x := αT1 x, x ∈ X

erklären: (T1 + T2 )x = T1 x + T2 x ≤ T1 x + T2 x ≤ T1 x + T2 x = (T1 + T2 )x, x ∈ X oder T1 + T2 ≤ T1 + T2 , d.h. T1 + T2 ist beschränkt. Ebenso ist αT1 wegen (αT1 )x = αT1 x = |α|T1 x ≤ |α|T1 x beschränkt: αT1 ≤ |α|T1 . Die Linearität von T1 + T2 und αT1 überträgt sich unmittelbar aus der Linearität von T1 und T2 . Also: Mit T1 , T2 ∈ L(X, Y ) und α ∈ K, gehören auch T1 + T2 und αT1 zu L(X, Y ). Die Axiome des linearen Raumes (s. Abschn. 1.2.1, Def. 1.6) lassen sich nun sehr einfach nachprüfen. (Durchführen!) (b) Es bleibt zu zeigen: T erfüllt die Normaxiome (s. Abschn. 1.2.2).

80


(i) Wegen T = sup x∈X x=0

T x x

folgt

T ≥ 0 ,

und

T = 0

ist genau dann erfüllt, wenn T x = 0 für alle x ∈ X (für x = 0 trivialerweise erfüllt!) oder T x = 0 ∈ Y für alle x ∈ X oder T = 0 (Nulloperator, s. Def. 2.1) gilt. (ii) αT = sup (αT )x x=1

(Hilfssatz 2.1)

= sup αT x = |α| sup T x = |α|T . x=1

x=1

(iii) T1 + T2 = sup (T1 + T2 )x = sup T1 x + T2 x x=1

x=1

≤ sup (T1 x + T2 x) ≤ sup T1 x + sup T2 x x=1

x=1

x=1

= T1 + T2 . Damit sind die Normeigenschaften von T nachgewiesen und Satz 2.1 ist bewiesen.

Ferner gilt Satz 2.2: Ist X ein normierter Raum und Y ein Banachraum. Dann ist L(X, Y ) ein Banachraum. Beweis: siehe Übung 2.3 Wir zeigen nun, daß bei Hintereinanderschaltung von beschränkten linearen Operatoren auch der »Produktoperator« diese Eigenschaft besitzt. Es gilt nämlich Hilfssatz 2.3: Es seien X, Y, Z normierte Räume, T1 und T2 beschränkte lineare Operatoren, T1 : X → Y und T2 : Y → Z . Dann ist auch der durch (T2 ◦ T1 )x := T2 (T1 x) ∈ Z , x ∈ X

(2.12)

erklärte Produktoperator T2 ◦ T1 : X → Z linear und beschränkt, und es gilt T2 ◦ T1 ≤ T2 · T1 .

(2.13)


81

Beweis: Aus der Beschränktheit von T1 und T2 ergibt sich mit (2.12) (T2 ◦ T1 )x = T2 (T1 x) ≤ T2 T1 x ≤ T2 T1 x für alle x ∈ X . Hieraus folgt T2 ◦ T1 = sup x∈X x=0

(T2 ◦ T1 )x ≤ T2 T1 x

und damit die Beschränktheit von T2 ◦ T1 . Die Linearität von T2 ◦ T1 folgt sofort aus der Linearität von T1 und T2 . Bemerkung: Ein entsprechendes Resultat gilt bei Hintereinanderschaltung von endlich vielen Operatoren. Insbesondere gilt für n ∈ N (fest) und A ∈ L(X, X ), wenn wir An durch An := A ◦ A ◦!· · · ◦ A" n-mal erklären: An ≤ An . 2.1.2

(2.14)

Folgen und Reihen von beschränkten Operatoren

Es seien X und Y normierte Räume. Wir betrachten nun Folgen {Tn } mit Tn ∈ L(X, Y ). Nach Satz 2.1, Abschnitt 2.1.1 ist L(X, Y ) ein bezüglich der Operatornorm (2.7) normierter Raum. Wir unterscheiden zwei wichtige Konvergenzbegriffe: Definition 2.5: Die Folge {Tn } aus L(X, Y ) heißt normkonvergent (stark konvergent, gleichmäßig konvergent) gegen T , wenn Tn − T → 0

für

n→∞

(2.15)

im Sinne der Operatornorm (2.7) gilt. Schreibweisen: Tn → T für n → ∞ oder lim Tn = T . n→∞

Definition 2.6: Die Folge {Tn } aus L(X, Y ) heißt punktweise konvergent (schwach konvergent) gegen T , wenn Tn x − T x → 0

für n → ∞

(in der Norm von Y ) gilt.

und

x∈X

(2.16)

82


Schreibweisen: Tn T für n → ∞ oder lim Tn x = T x. n→∞

Bemerkung: Wegen Tn x − T x = (Tn − T )x ≤ Tn − T x folgt aus der Normkonvergenz von {Tn } stets die punktweise Konvergenz dieser Folge. Wie in der Analysis (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 1.5.1) wird die Konvergenz von unendlichen Reihen auf die Konvergenz von Folgen zurückgespielt: ∞ Tk konvergiert punktweise bzw. im Sinne der NormkonWir sagen, die unendliche Reihe k=1

vergenz gegen T , wenn die Folge {Sn } der Teilsummen Sn :=

n

(2.17)

Tk

k=1

punktweise bzw. im Sinne der Normkonvergenz gegen T konvergiert. Welche Eigenschaften hat nun eigentlich der »Grenzoperator« T ? Es läßt sich zeigen (s. z.B. Heuser [73], S. 248) Satz 2.3: Es sei X ein Banachraum und Y ein normierter Raum. Ferner konvergiere die Folge {Tn } aus L(X, Y ) punktweise gegen T . Dann ist auch T aus L(X, Y ). Außerdem ist die Folge {Tn } beschränkt und es gilt T ≤ lim Tn .

(2.18)

n→∞

2.1.3

Die Neumannsche Reihe. Anwendungen

Vorbemerkung: Sind X und Y normierte Räume und bildet der lineare Operator T X umkehrbar eindeutig auf Y ab, so läßt sich wie üblich die Inverse T −1 zu T definieren: T −1 y ist dasjenige Element x aus X , für das T x = y gilt. Falls T −1 existiert, so ist T −1 ein linearer Operator. Dies folgt aus der Linearität von T : Für y1 , y2 ∈ Y gilt T (T −1 y1 + T −1 y2 ) = T T −1 y1 + T T −1 y2 = y1 + y2 oder T −1 y1 + T −1 y2 = T −1 (y1 + y2 ) , und für α ∈ K (R oder C) und y ∈ Y T (αT −1 y) = αT T −1 y = αy oder αT −1 y = T −1 (αy) .


83

Gilt für einen Operator S die Beziehung ST = T S = I (Identitätsoperator), so existieren T −1 und S −1 , und es gilt: S = T −1 und T = S −1 (s. Üb. 2.4). Der folgende Satz ist häufig von Nutzen: Satz 2.4: Es sei K ein beschränkter linearer Operator, der den Banachraum X in sich abbildet. Ferner gelte K < 1. Dann existiert der zu T := I − K inverse Operator T −1 , und es gilt T −1 = (I − K )−1 =

∞

Kj.

(2.19)

j=0

Die Konvergenz dieser Reihe ist hierbei im Sinne der Operatornorm zu verstehen.

Beweis: Wir setzen Sn :=

n

K j und nehmen o.B.d.A. m > n an. Wegen K < 1 gilt2

j=0

m m m j j ≤ Sm − Sn = K K ≤ K j j=n+1 j=n+1 j=n+1 ≤

∞

K j =

j=n+1

K n+1 →0 1 − K

für

m, n → ∞

d.h. {Sn } ist bezüglich der Operatornorm eine Cauchy-Folge in L(X, X ). Da X ein Banachraum ist, ist L(X, X ) nach Übung 2.3 ebenfalls ein Banachraum. Daher existiert der Grenzwert S := lim Sn = n→∞

∞

Kj.

j=0

Wir zeigen jetzt: (I − K )S − I = 0, woraus sich (I − K )S = I ergibt. Mit (I − K )Sn = (I − K )

n

K j = I − K n+1

j=0

erhalten wir (I − K )S − I = (I − K )(S − Sn ) + (I − K )Sn − I = (I − K )(S − Sn ) − K n+1 ≤ I − K S − Sn + K n+1 . 2 s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 1.5.1 (geometrische Reihe)

84


Da I − K beschränkt ist, K < 1 und S − Sn → 0 für n → ∞ gilt, folgt hieraus für n → ∞: (I − K )S − I = 0 ,

also

(I − K )S − I = 0 .

Entsprechend ergibt sich: S(I − K ) = I , woraus nach der Vorbemerkung zu diesem Abschnitt S = (I − K )−1 =

∞

Kj

j=0

folgt, was zu beweisen war. Bemerkung: Man nennt

∞

K j die Neumannsche3 Reihe von K .

j=0

Folgerung 2.1: Die Operatorgleichung x − K x = y läßt sich unter den obigen Voraussetzungen für jedes y ∈ X eindeutig lösen. Die Lösung x ist durch x=

∞

K jy

j=0

gegeben. (Zeigen!) Wir behandeln nun einige Anwendungen von Satz 2.4 I. Anwendung auf eine Fredholmsche Integralgleichung 2-ter Art Wir betrachten die Integralgleichung

f (x) − k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ D .

(2.20)

D

Dabei sei D eine kompakte J -meßbare Menge4 in Rn . Der Kern k(x, y) des Integraloperators K

(K f )(x) := k(x, y) f (y) dy , x ∈ D (2.21) D

sei stetig auf D× D, g sei stetig auf D. Legen wir den Banachraum C(D) mit f := max | f (x)| x∈D

zugrunde, so bildet K C(D) in sich ab (warum?) und ist beschränkt: Aus

|(K f )(x)| ≤ max | f (x)| · max |k(x, y)| dy , x ∈ D x∈D

x∈D

D

3 C. Neumann (1832–1925), deutscher Mathematiker 4 s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 7.1.2, Def. 7.3 bzw. Abschn. 7.2.1, Def. 7.7


85

folgt nämlich

K f = max |(K f )(x)| ≤ f · max x∈D

|k(x, y)| dy

x∈D

D

oder

K ≤ max

|k(x, y)| dy .

x∈D

(2.22)

D

Aus Satz 2.4 ergibt sich dann unmittelbar Satz 2.5: Unter den obigen Voraussetzungen an D, k und g besitzt die Integralgleichung

f (x) − k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ D (2.23) D

für den Fall, daß

max |k(x, y)| dy < 1

(2.24)

x∈D

D

ist, eine eindeutig bestimmte Lösung. Bemerkung: Bedingung (2.24) ist z.B. erfüllt, wenn max |k(x, y)| oder d(D) := sup |x − y| x,y∈D

x,y∈D

hinreichend klein sind. II. Anwendung auf die Volterrasche Integralgleichung Wir legen wieder den Banachraum (C(D), . max ) zugrunde, wobei D jetzt das abgeschlossene und beschränkte Intervall [a, b] ist. Die Volterrasche5 Integralgleichung

x k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ [a, b]

f (x) −

(2.25)

a

besitze einen auf [a, b] × [a, b] stetigen Kern. Ferner sei g stetig auf [a, b]. Wir gehen vom Integraloperator

b k(x, y) f (y) dy , x ∈ [a, b]

(K f )(x) := a

5 V. Volterra (1860–1940), italienischer Mathematiker

(2.26)

86


aus und bilden mit Hilfe der iterierten Kerne [1]

b

[2]

k (x, y) := k(x, y) , k (x, y) :=

k(x, z)k(z, y) dzi , a

. . . , k [ j+1] (x, y) :=

b

(2.27)

k(x, z)k [ j] k(z, y) dz

a

die Potenz

Kn

von K :

b

(K f )(x) = n

k [n] (x, y) f (y) dy , x ∈ [a, b] .

(2.28)

a

Setzen wir

u(x, y) :=

k(x, y) 0

für a ≤ y ≤ x für x < y ≤ b ,

Bild 2.1: Der Kern u(x, y)

so läßt sich die Volterrasche Integralgleichung (2.25) als Fredholmsche Integralgleichung 2-ter Art schreiben:

b f (x) −

u(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ [a, b] a

oder kurz (I − K ) f = g .

(2.29)


87

Für K n erhalten wir dann

b (K f )(x) = n

u [n] (x, y) f (y) dy , x ∈ [a, b] .

(2.30)

a

Mit M :=

max |k(x, y)| folgt: |u(x, y)| ≤ M, und wegen u(x, z) = 0 für z ≥ x und

x,y∈[a,b]

u(z, y) = 0 für z ≤ y folgt

b

[2]

u (x, y) =

u(x, z)u(z, y) dz = 0

für

xy x ≤ y.

Durch vollständige Induktion erhalten wir (s. Üb. 2.5) ⎧ M n (x − y)n−1 ⎨ [n] |u (x, y)| ≤ für x > y (n − 1)! ⎩ [n] für x ≤ y , n ∈ N . u (x, y) = 0 Damit ergibt sich für x ∈ [a, b]

b |(K f )(x)| ≤ max | f (x)|

|u

n

x∈[a,b]

a

[n]

Mn (x, y)| dy ≤ f (n − 1)!

x (x − y)n−1 dy a

M n (x − a)n Mn ≤ f ≤ f (b − a)n (n − 1)! n n! und somit K n ≤

M n (b − a)n . n!

Setzen wir S :=

∞ i=0

K i , Sn :=

n i=0

K i , so folgt für m < n, da die Reihe

88

2 Lineare Operatoren in normierten Räumen ∞ M i (b − a)i i!

(= e M(b−a) )

i=1

konvergiert, n n n M i (b − a)i i i ≤ . Sm − Sn = K K ≤ i! i=m+1 i=m+1 i=m+1 Nach dem Cauchy-Konvergenzkriterium für unendliche Reihen (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 1.5.2, Satz 1.12) gibt es daher zu jedem ε > 0 eine natürliche Zahl n 0 = n 0 (ε), so daß Sn − Sm < ε

für

m, n > n 0

ist. D.h. {Sn } ist eine Cauchy-Folge im Banachraum aller beschränkten linearen Operatoren, die (C[a, b], . max ) in sich abbilden. Somit existiert lim Sn = lim

n→∞

n→∞

n

K i =: S ,

i=0

und es gilt: (I − K )−1 = S. Damit ist bewiesen: Satz 2.6: Es sei g(x) stetig auf [a, b] und k(x, y) stetig auf [a, b] × [a, b]. Dann besitzt die Volterrasche Integralgleichung

x k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ [a, b]

f (x) −

(2.31)

a

die auf [a, b] stetige, eindeutig bestimmte Lösung f = Sg =

∞

K i g.

i=0

2.1.4

Lineare Funktionale in normierten Räumen

Es sei X ein normierter Raum. Jeder lineare Operator F : X → K (R oder C) heißt ein lineares Funktional auf X . Normieren wir K durch α := |α| , α ∈ K ,

(2.32)

so ist K damit ein Banachraum (s. Beisp. 1.18, Abschn. 1.2.2 mit n = 1). Nach Satz 2.2, Abschnitt 2.1.1 ist die Menge L(X, K) aller beschränkten linearen Funktionale auf X ein Banachraum. Dabei übertragen sich die bisher eingeführten Grundbegriffe Beschränktheit, Norm,. . . und die bisherigen Resultate auf diesen Spezialfall. Wir lernen nun einen wichtigen neuen Begriff kennen:


89

Definition 2.7: Der Banachraum L(X, K) aller beschränkten linearen Funktionale auf X heißt der zu X konjugierte (oder duale) Raum und wird mit X ∗ oder X bezeichnet. Beispiel 2.4: Es sei X ein Hilbertraum und y0 ein beliebiges (festes) Element aus X . Für x ∈ X wird durch x → F x := (x, y0 ) ∈ C

(2.33)

ein lineares Funktional F erklärt. (Die Linearität folgt unmittelbar aus der des Skalarproduktes!) Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung ergibt sich (man beachte (2.32)) F x = |F x| = |(x, y0 )| ≤ xy0

für alle

x ∈ X,

d.h. F ist ein beschränktes lineares Funktional: F ∈ X ∗ , mit F ≤ y0 . Da für x = y0 F y0 = |(y0 , y0 )| = y0 2 = y0 y0 gilt, folgt F = sup x∈X x=0

F x = y0 . x

(2.34)

Beispiel 2.5: Es sei C0∞ (Rn ) der lineare Raum aller in Rn beliebig oft stetig differenzierbaren reellwertigen Funktionen mit kompaktem Träger (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 6.1.2). In C0∞ (Rn ) führen wir durch

ϕ(x)ψ(x) dx für ϕ, ψ ∈ C0∞ (Rn ) (2.35) (ϕ, ψ) = Rn ein Skalarprodukt ein und mit seiner Hilfe die Quadratnorm ⎛ ϕ2 =

1 (ϕ, ϕ) 2

⎜ =⎝

⎞1 2

⎟ |ϕ(x)| dx ⎠ 2

.

(2.36)

Rn X = (C 0∞ (Rn ), . 2 ) ist damit ein Skalarproduktraum (kein Hilbertraum!). Ferner sei f ∈ C(Rn ), und das Integral

| f (x)|2 dx Rn

90


existiere. Dann ist das durch f induzierte Funktional F f mit

f (x)ϕ(x) dx für ϕ ∈ C0∞ (Rn ) F f ϕ :=

(2.37)

Rn ein lineares Funktional auf C0∞ (Rn ) (warum?). Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung gilt für alle ϕ ∈ C0∞ (Rn )

|F f ϕ| = f · ϕ dx = |( f, ϕ)| ≤ f ϕ , Rn woraus F f ≤ f folgt, d.h. F f ist ein beschränktes lineares Funktional auf C0∞ (Rn ): F f ∈ (C0∞ (Rn ), . 2 )∗ . Bemerkung: Zu den zentralen Sätzen der Funktionalanalysis zählt der Fortsetzungssatz von Hahn6 -Banach. Dieser gewährleistet, daß jedes auf einem Unterraum X 0 eines normierten Raumes X erklärte beschränkte lineare Funktional F norminvariant auf ganz X fortgesetzt werden kann. Da wir diesen Satz im folgenden nicht verwenden (was keineswegs seine Bedeutung schmälert!) formulieren und beweisen wir ihn im Anhang (s. Satz I). 2.1.5

Der Rieszsche Darstellungssatz

Wir wollen in diesem Abschnitt zeigen, daß sich beschränkte lineare Funktionale eines Hilbertraumes X besonders einfach und elegant darstellen lassen. Aus Beispiel 2.4 in Abschnitt 2.1.4 haben wir gelernt, daß für jedes x ∈ X durch F x = (x, y) ,

y∈X

fest

(2.38)

ein beschränktes lineares Funktional auf X erklärt ist: F ∈ X ∗ . Daß dieses Beispiel bereits alle linearen und beschränkten Funktionale erfaßt, die auf X definiert sind, zeigt Satz 2.7: (Darstellungssatz von Riesz)7 Es sei X ein Hilbertraum und F ∈ X ∗ beliebig. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes y ∈ X , so daß F die Darstellung F x = (x, y)

für alle

x∈X

(2.39)

besitzt. Bemerkung: Dieser Satz ist das zentrale Ergebnis der Hilbertraum-Theorie. Neben seiner Bedeutung als Darstellungssatz kann er auch als Existenz- und Eindeutigkeitsprinzip aufgefaßt werden: »es gibt ein eindeutig bestimmtes y ∈ X . . . «. Diese Bedeutung des Rieszschen Satzes ist 6 H. Hahn (1879–1934), österreichischer Mathematiker 7 F. Riesz (1880–1956), ungarischer Mathematiker


91

Grundlage für die moderne Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen (»Hilbertraummethoden«, s. Kapitel 8). Beweis: von Satz 2.7: Nach Voraussetzung ist F ∈ X ∗ und daher stetig. Wegen Übung 2.6 ist der Nullraum von F X 1 := Kern F := {x ∈ X F x = 0} (2.40) ein abgeschlossener Unterraum von X . Wir setzen X 2 := (X 1 )⊥ . Nach Satz 1.16, Abschnitt 1.3.4 läßt sich X in der Form X = X 1 ⊕ X 2 darstellen, wobei X 2 eindeutig bestimmt ist. Wir nehmen an: dim X 2 > 1. Dann muß es aber mindestens zwei (von 0 verschiedene) linear unabhängige Elemente x1 , x2 ∈ X geben, die einen Unterraum X˜ 2 := L({x 1 , x 2 }) ⊂ X 2 ⊂ X

mit

dim X˜ 2 = 2

von X 2 aufspannen (L: lineare Hülle). Bezeichne F| X˜ 2 : X˜ 2 → C die Restriktion von F auf X˜ 2 . Für x ∈ X˜ 2 gilt dann F| X˜ 2 (x) = F| X˜ 2 (α1 x 1 + α2 x2 ) = α1 F| X˜ 2 (x1 ) + α2 F| X˜ 2 (x2 ) mit geeigneten α1 , α2 ∈ C. Wir beachten, daß F| X˜ 2 (x1 ) und F| X˜ 2 (x2 ) von 0 verschieden sind (warum?). Nun betrachten wir die Gleichung F| X˜ 2 (x) = 0 ,

(2.41)

also eine homogene lineare Gleichung für α1 und α2 . Diese besitzt mindestens eine Lösung (α1 , α2 ) = (0,0): Wähle z.B. α2 = 0 beliebig und berechne das zugehörige α1 aus α1 = −α2

F| X˜ 2 (x2 ) F| X˜ 2 (x1 )

.

Bilden wir mit diesem Paar α1 , α2 das Element x = α1 x 1 + α2 x2 , so gilt für dieses x ∈ X˜ 2 ⊂ X 2 = (X 1 )⊥ ,

d.h.

x ∈ (X 1 )⊥

mit

x = 0 .

Andererseits haben wir für dieses x wegen (2.41): F x = 0, d.h. x ∈ X 1 . Dies ist aber ein Widerspruch, so daß dim X 2 ≤ 1 gelten muß. Wir diskutieren nun die verbleibenden beiden Fälle dim X 2 = 0 und dim X 2 = 1: (i) dim X 2 = 0: Dies hat X 1 = X zur Folge. Wegen (2.40) gilt dann F x = 0 für alle x ∈ X . Also ist F = 0 (= Nulloperator)8 . Wählen wir y = 0 ∈ X , so erhalten wir x = (x, y) F!" !" =0

für alle

x∈X

=0

8 Zwei Operatoren F : X 1 → Y1 und G : X 2 → Y2 heißen gleich, wenn X 1 = X 2 , Y1 = Y2 und F x = Gx für alle x ∈ X 1 gilt. Schreibweise: F = G.

92


und (2.39) ist für diesen Fall nachgewiesen. (ii) dim X 2 = 1: Es gibt dann ein Element e ∈ X 2 mit e = 1 und X = X 1 ⊕ X 2 = X 1 + L({e}). Ist nun x ∈ X beliebig, so läßt sich ein α ∈ C und ein x 1 ∈ X 1 finden mit x = x 1 + αe. Ferner gilt F x = F(x1 + αe) = F x1 + α Fe = 0 + α Fe = α Fe , und wegen (e, e) = e2 = 1 kann F x auch in der Form F x = α Fe = α Fe(e, e) = (αe, (Fe)e) und wegen (x1 , e) = 0 in der Form F x = (x1 + αe, (Fe)e) = (x, (Fe)e) , x ∈ X geschrieben werden. Wählen wir y := (Fe)e, so besitzt dieses Element die im Satz behauptete Eigenschaft. Zum Eindeutigkeitsbeweis nehmen wir an, daß zwei Elemente y1 , y2 ∈ X existieren mit F x = (x, y1 ) = (x, y2 )

für alle

x ∈ X.

Hieraus folgt aber (x, y1 − y2 ) = 0 für alle x ∈ X , also insbesondere auch für x := y1 − y2 , d.h. es gilt 0 = (y1 − y2 , y1 − y2 ) = y1 − y2 2 oder y1 = y2 . Damit ist der Satz bewiesen.

2.1.6

Adjungierte und symmetrische Operatoren

Wir wollen zwei weitere grundlegende Begriffsbildungen bereitstellen, die wir u.a. in den Abschnitten 2.2 und 2.3 benötigen. Definition 2.8: Es sei X ein Skalarproduktraum, und T sei ein beschränkter linearer Operator der X in sich abbildet. Dann heißt T ∗ adjungiert zu T , wenn (T x, y) = (x, T ∗ y)

für alle

x, y ∈ X

(2.42)

x, y ∈ X ,

(2.43)

gilt. Ist speziell (T x, y) = (x, T y)

für alle

so heißt T symmetrisch (oder selbstadjungiert)9 .

9 Nur für den Fall beschränkter linearer Operatoren kann man garantieren, daß die Eigenschaften »symmetrisch« und »selbstadjungiert« übereinstimmen.


93

Beispiel 2.6: In X = Cn = {x|x = (x 1 , . . . , xn ), xi ∈ C} führen wir für x, y ∈ X das Skalarprodukt n (x, y) = xk y k ein. Der Operator T sei durch k=1

⎞ ⎛ n n a1 j x j , . . . , an j x j ⎠ , ai j ∈ C (i, j = 1, . . . , n) Tx = ⎝ j=1

(2.44)

j=1

definiert. Dann ist T ∗ durch ⎞ ⎛ n n T ∗x = ⎝ a j1 x j , . . . , a jn x j ⎠ j=1

(2.45)

j=1

gegeben (nachrechnen!). Man vertauscht also in der Koeffizientenmatrix [aik ]i,k=1,...,n Zeilenund Spaltenindizes (Spiegelung an der Hauptdiagonalen) und geht zu den konjugiert komplexen Werten über. Beispiel 2.7: Es sei X = C(D) die Menge der auf einem kompakten J -meßbaren D ⊂ Rn stetigen Funktionen. In X führen wir das Skalarprodukt

f · g dx (2.46) ( f, g) = D

ein. Dann ist X bezüglich (2.46) ein Skalarproduktraum. Der Operator T sei durch

(T f )(x) := k(x, y) f (y) dy, x ∈ D

(2.47)

D

erklärt, wobei der Kern k(x, y) dieses Integraloperators in D × D stetig sei. Ferner sei f ∈ C(D). Dann ist T ∗ durch

(T ∗ f )(x) = k(y, x) f (y) dy , x ∈ D (2.48) D

gegeben (s. Üb. 2.7). Man gelangt also zu T ∗ , wenn man in k(x, y) die Variablen x und y vertauscht und die konjugiert Komplexe bildet. Wir zeigen nun Hilfssatz 2.4: Es sei X ein Skalarproduktraum. Ferner sei T ∈ L(X, X ) und T ∗ existiere. Dann ist T ∗ eindeutig bestimmt.

94


Beweis: Annahme: Für beliebige x, y ∈ X gelte (T x, y) = (x, T1∗ y) = (x, T2∗ y) . Dies hat (x, T1∗ y − T2∗ y) = 0 zur Folge. Wählen wir speziell x := T1∗ y − T2∗ y, so gilt für dieses Element aus X 0 = (T1∗ y − T2∗ y, T1∗ y − T2∗ y) = T1∗ y − T2∗ y2

für alle

y∈X

oder T1∗ y = T2∗ y

für alle

y∈ X.

Hieraus folgt aber (s. Fußnote im Beweis von Satz 2.7, Abschn. 2.1.5) T1∗ = T2∗ . T ∗ ist somit eindeutig bestimmt. Wann können wir sicher sein, daß wir zu T auch einen adjungierten Operator T ∗ finden können? Antwort gibt Satz 2.8: Es sei X ein Hilbertraum und T : X → X ein beschränkter linearer Operator. Dann gibt es zu T einen eindeutig bestimmten adjungierten Operator T ∗ . T ∗ ist ebenfalls linear und beschränkt und es gilt: T ∗ = T .

Beweis: Für jedes feste y ∈ X ist der durch x → (T x, y) =: H x definierte Operator H aus X ∗ : Die Linearität ist klar. Die Beschränktheit folgt mit der Schwarzschen Ungleichung: |H x| = |(T x, y)| ≤ T xy ≤ T xy , x ∈ X oder H ≤ T y. Nach dem Darstellungssatz von Riesz (s. Abschn. 2.1.5) gibt es ein eindeutig bestimmtes z ∈ X , so daß H x = (T x, y) = (x, z)

für alle

x∈X

gilt. Jedem y entspricht also ein eindeutig bestimmtes z. Dadurch ist ein Operator T ∗ mit T ∗ y := z definiert, für den (T x, y) = (x, T ∗ y) gilt. T ∗ ist linear (zeigen!) und beschränkt: Aus der Beziehung |(x, T ∗ y)| = |(T x, y)| ≤ T xy ≤ T xy

für

x, y ∈ X

folgt, wenn wir x := T ∗ y wählen T ∗ y2 ≤ T T ∗ yy

oder T ∗ y ≤ T y

für

y∈X


95

und hieraus T ∗ ≤ T , d.h. T ∗ ist beschränkt. Andererseits gilt für x, y ∈ X : |(x, T ∗ y)| ≤ xT ∗ y und daher für x = 0, y = 0 T ∗ = sup y∈X y=0

T ∗ y |(x, T ∗ y)| |(T x, y)| T ∗ y ≥ ≥ = . y y yx yx

Hieraus ergibt sich, wenn wir y := T x wählen, T ∗ ≥

T x T x2 = T xx x

oder T ∗ ≥ sup x∈X x=0

T x = T . x

Insgesamt erhalten wir T ∗ = T . Damit ist alles bewiesen. Übungen Übung 2.1*: Zeige: (a) Jeder lineare Operator der den n-dimensionalen linearen Raum Kn auf den m-dimensionalen linearen Raum Km abbildet hat die Form T (x1 , . . . , x n ) = (y1 , . . . , ym )

mit

yj =

n

t jk xk .

k=1

(b) Sind X und Y endlich-dimensionale normierte Räume, so ist jeder lineare Operator T : X → Y beschränkt.

Übung 2.2*: Es sei D eine kompakte J -meßbare Menge in Rn und X der Skalarproduktraum (C(D), . 2 ). Ferner sei T der Integraloperator mit

(T f )(x) := k(x, y) f (y) dy , x ∈ D , D

wobei sein Kern k(x, y) in D × D stetig und f ∈ C(D) sei. Beweise: T ist ein beschränkter linearer Operator, der X in sich abbildet.

Übung 2.3*: Beweise: Ist X ein normierter Raum und Y ein Banachraum, so bildet die Menge aller beschränkten linearen Operatoren T : X → Y bezüglich der Operatornorm einen Banachraum.

96


Übung 2.4*: S und T seien Operatoren, die normierte Räume in normierte Räume abbilden. Ferner gelte ST = T S = I (= Identitätsoperator). Zeige: Die inversen Operatoren T −1 und S −1 existieren, und es gilt S = T −1 und T = S −1 .

Übung 2.5: Zum Abschluß des Beweises von Satz 2.6, Abschnitt 2.1.3 ist mittels vollständiger Induktion zu zeigen ⎧ n n−1 ⎪ ⎨|u [n] (x, y)| ≤ M (x − y) für x > y (n ∈ N) (n − 1)! ⎪ ⎩u [n] (x, y) = 0 für x ≤ y (n ∈ N) .

Übung 2.6*: Es sei X ein Hilbertraum und F ein beschränktes lineares Funktional auf X . Weise nach, daß Kern F := {x ∈ X |F x = 0} ein abgeschlossener Unterraum von X ist.

Übung 2.7: Rechne nach: Der in Übung 2.2 erklärte Operator T besitzt die Adjungierte T ∗ mit

(T ∗ f )(x) := k(y, x) f (y) dy , x ∈ D . D

Übung 2.8: Zeige: Für adjungierte Operatoren gelten die Rechenregeln

2.2

(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ;

(α A)∗ = α A∗ ;

(A ◦ B)∗ = B ∗ ◦ A∗ ;

(A∗ )−1 = (A−1 )∗

wenn A−1 existiert.

Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen

Unser Anliegen ist es, eine möglichst große Klasse von Operatorgleichungen der Form Tx = y

bzw.

(I − K )x = y

(2.49)

(I : Identitätsoperator) zu lösen. Einige Spezialfälle haben wir bereits mit Hilfe eines Fixpunktsatzes (s. Abschn. 1.1.5, Satz. 1.2) bzw. mittels Neumannscher Reihe (s. Abschn. 2.1.3) untersucht

2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen

und insbesondere auch Fredholmsche Integralgleichungen 2-ter Art

f (y)k(x, y) dy = g(x) , x ∈ D f (x) −

97

(2.50)

D

betrachtet. Dabei waren recht einschneidende Voraussetzungen nötig: »kleine Kerne k(x, y)« bzw. »kleine Integrationsbereiche D«. Wir wollen uns nun von diesen Restriktionen lösen. Dies ist auch von den Anwendungen her dringend geboten. So verlangt etwa die Behandlung der Schwingungsgleichung mit Integralgleichungsmethoden (s. Abschn. 5.3.3) größere Allgemeinheit. Zum Aufbau einer Lösungstheorie benötigen wir geeignete Struktureigenschaften der Operatoren T bzw. K in (2.49). Mit solchen beschäftigen wir uns insbesondere in den nächsten beiden Abschnitten.

2.2.1

Vollstetige Operatoren

Die folgende Definition ist grundlegend für die weiteren Untersuchungen. Definition 2.9: Es sei X ein normierter Raum und T : X → X ein linearer Operator. T heißt vollstetig (oder kompakt), wenn jede beschränkte Folge {x n } aus X eine Teilfolge {x n k } enthält, für die die Bildfolge {T xn k } konvergiert. Beispiel 2.8: Ist der Raum X endlich-dimensional, so ist jeder lineare Operator T : X → X beschränkt (s. Üb. 2.1). Für jede beschränkte Folge {x n } aus X : xn < C (C > 0), gilt dann T xn ≤ T xn ≤ CT , n ∈ N d.h. auch die Bildfolge {T xn } ist beschränkt. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.1.3: Satz 6.2 gilt hier entsprechend) gibt es eine Teilfolge {T x n k } (Urbildfolge {x n k }) die in X konvergiert. T ist somit ein vollstetiger Operator. Beispiel 2.9: Es sei D eine kompakte J -meßbare Menge in Rm und X = C(D) der Banachraum aller auf D stetigen Funktionen f mit der Eigenschaft f = max | f (x)|. Der Operator T sei durch x∈D

k(x, y) f (y) dy , x ∈ D

(T f )(x) :=

(2.51)

D

erklärt (T ist also ein Integraloperator). Sein Kern k(x, y) sei stetig auf D × D. Zum Vollstetigkeitsnachweis von T sei { f n } eine beliebige beschränkte Folge in X . Es gibt dann eine Konstante

98


C > 0 mit f n = max | f n (x)| < C x∈D

n ∈ N,

für alle

d.h. die Folge { f n } ist auf D gleichmäßig beschränkt. Wegen T f n ≤ T f n < T C , n ∈ N ist die Folge {T fn } ebenfalls beschränkt. (Wir beachten, daß T beschränkt ist: vgl. Beisp. 2.2, Abschn. 2.1.1). Da k(x, y) stetig auf dem Kompaktum D × D ist, ist k(x, y) dort gleichmäßig stetig (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 1.6.5: Satz 1.25 gilt entsprechend auch im Rm ). Zu jedem ε > 0 gibt es daher ein δ = δ(ε) > 0 mit |k(x1 , y) − k(x2 , y)| < ε für alle x1 , x 2 , y ∈ D mit |x1 − x2 | < δ. Hieraus folgt

|T f n (x1 ) − T f n (x2 )| = [k(x1 , y) − k(x 2 , y)] f n (y) dy < f n ε Vol(D) =: ε˜ D

für alle x 1 , x2 ∈ D mit |x 1 − x2 | < δ und für alle n ∈ N, d.h. die Folge {T f n } ist gleichgradig stetig auf D. Nach dem Satz von Arzelá-Ascoli (s. z.B. Heuser [75], S. 563–567) existiert dann eine Teilfolge { f n k } von { f n } derart, daß {T f n k } auf D gleichmäßig konvergiert. Dies besagt aber, daß {T f n k } bezüglich der Maximumsnorm in C(D) konvergiert (s. Beisp. 1.6, Abschn. 1.1.3). Damit ist die Vollstetigkeit von T gezeigt. Bemerkung: Legen wir in C(D) die Quadratnorm ⎛ f = ( f,

1 f )2

=⎝

⎞1 2

| f (x)|2 dx ⎠

D

zugrunde, so erweist sich T in diesem Skalarproduktraum ebenfalls als vollstetig (s. Üb. 2.10).

Vollstetigkeit ist eine stärkere Struktureigenschaft eines Operators als die Stetigkeit (= Beschränktheit). Dies zeigt Hilfssatz 2.5: Der Operator T bilde den normierten Raum X in sich ab und sei vollstetig. Dann ist T beschränkt. Beweis: Wir nehmen an, T sei unbeschränkt. Dann gibt es eine Folge {x n } in X mit T xn > n für alle n ∈ N. Für jede Teilfolge {xn k } von {x n } gilt daher: T x n k → ∞ für k → ∞, im Widerspruch zur Vollstetigkeit von T . Somit ist T beschränkt.


99

Dagegen ist z.B. der Identitätsoperator I in einem unendlich-dimensionalen Raum zwar beschränkt, jedoch nicht vollstetig (warum?). Hilfssatz 2.6: Im normierten Raum X seien die linearen Operationen T1 + T2 bzw. αT1 für die Operatoren T1 , T2 : X → X und α ∈ C durch (T1 + T2 )x := T1 x + T2 x , (αT1 )x := αT1 x , x ∈ X erklärt. Sind T1 und T2 vollstetig und α, β ∈ C, so ist auch αT1 + βT2 : X → X vollstetig. Beweis: Es sei {xn } eine beliebige beschränkte Folge in X . Da T1 vollstetig ist gibt es eine Teilfolge {x n } von {x n }, so daß {T x n } konvergiert. Ferner ergibt sich aus der Vollstetigkeit von T2 die Existenz einer Teilfolge {x n

} von {x n }, für die {T2 xn

} konvergiert. Insgesamt ergibt sich die Konvergenz der Folge {(αT1 + βT2 )xn

} und damit die Behauptung des Hilfssatzes. Hilfssatz 2.7: Es sei X ein normierter Raum. S und T seien lineare Operatoren, die X in sich abbilden. Ferner sei S beschränkt und T vollstetig. Dann sind auch die Produktoperatoren10 S ◦ T und T ◦ S vollstetig. Beweis: s. Übung 2.9 Schließlich wollen wir noch untersuchen, ob sich die Vollstetigkeit bei Folgen von Operatoren im Falle der Konvergenz auch auf den Grenzoperator überträgt. Es gilt Hilfssatz 2.8: Es sei X ein Banachraum und {Tn } eine Folge von vollstetigen Operatoren, die X in sich abbilden und die (bezgl. der Operatornorm) gegen T konvergieren. Dann ist auch T vollstetig. Beweis: Es sei {xn } eine beliebige beschränkte Folge in X . Da T1 vollstetig ist, können wir eine Teilfolge {x n1 } von {xn } wählen, für die {T1 xn1 } konvergiert. Nun wählen wir eine Teilfolge {xn2 } von {xn1 }, für die {T2 xn2 } konvergiert (T2 ist vollstetig!) usw. Schließlich wählen wir eine Teilfolge {xnk } von {xnk−1 }, für die {Tk xnk } konvergiert (Tk ist vollstetig!) und setzen yk := x kk (Diagonalelemente!). Die Folge {yn } ist für n ≥ k Teilfolge von {xnk }, so daß {Tk yn } konvergiert. {Tk yn } konvergiert damit für alle k. Wir zeigen nun, daß auch die Folge {T yn } konvergiert. Zunächst weisen wir nach: {T yn } ist eine Cauchy-Folge in X . Hierzu sei M > 0 eine obere Schranke der Folgen {xn } und {yn }. 10 s. Abschn. 2.1.1, (2.12)

100


Nach Voraussetzung konvergiert {Tk } gegen T : Zu jedem ε > 0 gibt es ein k = k(ε) ∈ N mit Tk − T < ε. Da {Tk yn } konvergiert, existiert zu diesem ε > 0 ein N = N (ε) ∈ N mit Tk yn − Tk ym < ε

für alle

m, n ≥ N .

(Aus der Konvergenz der Folge {Tk yn } folgt insbesondere ihre Cauchy-Konvergenz!) Insgesamt erhalten wir T yn − T ym ≤ T yn − Tk yn + Tk yn − Tk ym + Tk ym − T ym ≤ T − Tk yn + Tk yn − Tk ym + Tk − T ym < ε · M + ε + ε · M = (2M + 1)ε

für

m, n ≥ N ,

d.h. {T yn }ist eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist - nach Voraussetzung ist X ein Banachraum - ergibt sich die Konvergenz von {T yn } und somit die Vollstetigkeit von T . 2.2.2

Ausgeartete Operatoren

Wir wenden uns einer Klasse von Operatoren zu, die »einfacher gebaut« sind als die vollstetigen. Außerdem wollen wir versuchen, vollstetige Operatoren durch diese »einfacheren« zu approximieren. Wir beschränken uns hierbei auf Skalarprodukträume. Definition 2.10: Es sei X ein Skalarproduktraum. Der Operator T : X → X heißt ausgeartet, wenn es endlich viele Elemente a1 , . . . , ak ; b1 , . . . , bk aus X gibt, so daß Tx =

k

(x, a j )b j

(2.52)

j=1

für alle x ∈ X ist.

Hilfssatz 2.9: Jeder ausgeartete Operator T : X → X ist vollstetig. Beweis: Es sei {x n } eine durch C > 0 beschränkte Folge in X . Nach der Schwarzschen Ungleichung gilt dann |(xn , a j )| ≤ x n a j < C max a j , 1≤ j≤k

d.h. die k Folgen {(x n , a j )}n∈N sind für j = 1, . . . , k beschränkt. Nach dem Satz von BolzanoWeierstrass (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.1.3, Satz 6.2) läßt sich daher eine Teilfolge {x n } von {x n } finden, so daß die Folgen {(xn , a j )} ( j = 1, . . . k) konvergieren. Wegen

2.2 Fredholmsche Theorie in Skalarprodukträumen k

101

(xn , a j )b j = T xn

j=1

konvergiert dann auch die Folge {T x n }, womit die Vollstetigkeit von T bewiesen ist.

Aus den Hilfssätzen 2.8 und 2.9 ergibt sich unmittelbar Hilfssatz 2.10: Es sei X ein Hilbertraum. Der Operator T : X → X lasse sich beliebig genau durch ausgeartete Operatoren approximieren, d.h. es existiere eine Folge {An } von ausgearteten Operatoren An mit An → T im Sinne der Operatornorm. Dann ist T vollstetig. Für das Weitere ist von Bedeutung, daß auch die Umkehrung von Hilfssatz 2.10 gilt: Satz 2.9: Es sei X ein Hilbertraum und T : X → X ein vollstetiger Operator. Dann läßt sich T beliebig genau durch ausgeartete Operatoren approximieren. Beweis: Wir haben zu zeigen, daß es zu jedem ε > 0 einen ausgearteten Operator A mit T − A < ε gibt. Hierzu sei M das Bild der abgeschlossenen Einheitskugel K := {x ∈ X |x ≤ 1} unter T .

Bild 2.2: Zum Beweis von Satz 2.9

Es gibt dann endlich viele Elemente y1 , . . . , ym ∈ M mit folgender Eigenschaft: Zu jedem y ∈ M und ε > 0 existiert mindestens ein yk ∈ M, 1 ≤ k ≤ m mit y − yk < ε. Andernfalls würde es eine unendliche Folge {νk } aus M geben mit νi − ν j ≥ ε für i = j (warum?). Andererseits gilt aber ν j = T x j mit x j ≤ 1, und wegen der Vollstetigkeit von T gibt es eine Teilfolge {x jl } von {x j }, so daß {T x jl } = {ν jl } konvergiert, was im Widerspruch zu νi −ν j ≥ ε für alle i = j steht.

102


Unter den Elementen y1 , . . . , ym seien genau r linear unabhängige. Diese lassen sich nach dem Verfahren von E. Schmidt (s. Abschn. 1.3.5, Satz 1.18) orthonormieren: w1 , . . . , wr seien die so r ckm wm , k = 1, . . . , m darstellbar gewonnenen Elemente. Jedes yk ist dann in der Form yk = m=1

und nach unseren obigen Überlegungen gibt es damit zu jedem y ∈ M Koeffizienten c1 , . . . , cr r mit y − cm wm < ε. Nun benutzen wir die Minimal-Eigenschaft der Fourierkoeffizienten m=1

von y aus Abschnitt 1.3.311 . Demnach gilt r r (y, wm )wm ≤ y − cm wm < ε y − m=1

m=1

oder, mit y = T x: r (T x, wm )wm < ε . T x − m=1

Da X ein Hilbertraum ist, existiert nach Satz 2.8, Abschnitt 2.1.6 der zu T adjungierte Operator T ∗ mit (T x, wm ) = (x, T ∗ wm ), und wir erhalten r ∗ (2.53) (x, T wm )wm < ε . T x − m=1

Setzen wir schließlich Ax :=

r

(x, T ∗ wm )wm , so folgt T x − Ax = (T − A)x < ε für

m=1

alle x ∈ X mit x ≤ 1, woraus sich mit T − A = sup (T − A)x ≤ ε x≤1

die Behauptung des Satzes ergibt. 2.2.3

Die Fredholmsche Alternative

Wir wenden uns nun wieder unserem eigentlichen Anliegen zu, nämlich der Behandlung von Operatorgleichungen der Form Tx = y

bzw.

(I − K )x = y .

(2.54)

Wir orientieren uns dabei an einem Spezialfall, den linearen Gleichungssystemen n

tik xk = yi (i = 1, . . . , n) .

k=1

11 Diese gilt auch im Falle beliebiger Hilberträume.

(2.55)


103

Dabei sind die Koeffizienten tik ∈ C und die rechte Seite yi ∈ C vorgegeben (i, k = 1, . . . , n) und Lösungen x k von (2.55) zu bestimmen. Mit der Matrix T := [tik ]i,k=1,...,n und den Vektoren x = (x1 , . . . , xn ) und y = (y1 , . . . , yn ) läßt sich (2.55) in der Form Tx = y

(2.56)

schreiben. Die Theorie der linearen Gleichungssysteme liefert dann den folgenden Alternativsatz (s. Burg/Haf/Wille [24], Abschn. 3.6.2, Satz 3.3712 ): Es gilt entweder (i) Besitzt die homogene Gleichung T x = 0 nur die triviale Lösung (x = 0), so ist die inhomogene Gleichung T x = y für jede rechte Seite y eindeutig lösbar. oder (ii) Der Nullraum Kern T = {x|T x = 0} und der Nullraum Kern T ∗ des zu T adjungierten Operators T ∗ sind endlich-dimensional und haben dieselbe Dimension13 dim[Kern T ] = dim[Kern T ∗ ] < ∞

(2.57)

und (iii) Die inhomogene Gleichung T x = y ist genau dann lösbar, wenn für alle z ∈ Kern T ∗ (d.h. für alle z mit T ∗ z = 0) (y, z) = 0

(2.58)

gilt. In der »Sprache der Funktionalanalysis« können wir das lineare Gleichungssystem (2.55) als 1 n 2 1 n 2 Operatorgleichung im Hilbertraum X = C mit x = (x, x) 2 = |xi | und dem durch i=1

T x :=

n

t1k xk , . . . ,

k=1

n

tnk xk

, x∈X

k=1

erklärten vollstetigen Operator T : X → X auffassen. (Zum Vollstetigkeitsnachweis siehe Beispiel 2.8). Der obige Alternativsatz für lineare Gleichungssyteme ist hierbei so formuliert, daß er sich auf allgemeinere Operatorgleichungen in Skalarprodukträumen übertragen läßt. Wir nehmen diesen Sachverhalt zum Anlaß für die folgende 12 Dieser Satz giltentsprechend auch in Cn (s.auch Smirnow [139], Teil III,1,§2) n n 13 Wegen T ∗ x = t k1 x 1 , . . . , t kn x n entspricht dem: Zeilenrang gleich Spaltenrang der Matrix k=1

k=1

104


Definition 2.11: Es sei X ein Skalarproduktraum und T : X → X ein linearer Operator. Zu T existiere der adjungierte Operator T ∗ . Wir sagen, für T (oder für die Gleichung T x = y) gilt die Fredholmsche Alternative, wenn T die obigen Eigenschaften (i) bzw. (ii), (iii) besitzt.

2.2.4

Der Fredholmsche Alternativsatz in Hilberträumen

Wir betrachten die Operatorgleichung T x := (I − K )x = y

(I : Identität)

(2.59)

zunächst in einem Hilbertraum und zeigen Satz 2.10: (Fredholmscher Alternativsatz) Es sei K ein vollstetiger Operator, der den Hilbertraum X in sich abbildet. Dann gilt für den Operator T := I − K die Fredholmsche Alternative.

Beweis: (Methode von E. Schmidt) K ist nach Voraussetzung vollstetig. Nach Satz 2.9, Abschnitt 2.2.2 gibt es daher zu jedem ε > 0 (ε < 1 gewählt) einen ausgearteten Operator A: 14

Ax =

k

(x, a j )b j ; x, a j , b j ∈ X ,

(2.60)

j=1

so daß sich K in der Form K = A+R

mit

R < 1

(2.61)

darstellen läßt. Wegen R < 1 existiert nach Satz 2.4, Abschnitt 2.1.3 der Operator S := (I − R)−1 , und aus der Gleichung x − K x = (I − K )x = y

(2.62)

oder (I − R)x − Ax = y folgt durch Multiplikation mit S von links S(I − R)x − S Ax = Sy

oder

x − S Ax = Sy .

14 kann beim ersten Lesen übersprungen werden.


105

Setzen wir in diese Gleichung (2.60) ein, so erhalten wir ⎞ ⎛ k x − S ⎝ (x, a j )b j ⎠ = Sy j=1

oder, da S linear ist, x−

k

(x, a j )Sb j = Sy ,

(2.63)

j=1

also eine Operatorgleichung in X mit ausgeartetem Operator. Da alle diese Schritte umkehrbar sind, sind die Gleichungen (2.63) und (2.62) äquivalent. Sei nun x eine Lösung von (2.63) (und damit auch von (2.62)). Wenden wir auf beide Seiten von (2.63) die Linearformen (·, ai )15 an, so ergibt sich ⎛ ⎞ k ⎝x − (x, a j )Sb j , ai ⎠ = (Sy, ai ) , i = 1, . . . , k j=1

oder, wegen der Linearität des Skalarproduktes (x, ai ) −

k

(Sb j , ai )(x, a j ) = (Sy, ai ) , i = 1, . . . , k

(2.64)

j=1

d.h. (x, a1 ), . . . , (x, ak ) ist eine Lösung des linearen Gleichungssystems ξi −

k (Sb j , ai )ξ j = (Sy, ai ) , i = 1, . . . , k .

(2.65)

j=1

Es sei umgekehrt ξ1 , . . . , ξk eine Lösung von (2.65). Setzen wir x := Sy +

k

ξ j Sb j

(2.66)

j=1

(vgl. (2.63)!), so folgt mit (2.66) k k k k Sy + (x, a j )Sb j = Sy + ξ j Sb j − ξi Sbi , a j Sb j x− j=1

= Sy +

k j=1

j=1

) ξj −

k i=1

*

j=1

ξi (Sbi , a j ) Sb j −

k

i=1

(Sy, a j )Sb j

j=1

15 Der Punkt im Ausdruck (·, ai ) ist Platzhalter für die entsprechenden Variablen, auf die die Linearform wirkt

106


= Sy +

k

(Sy, a j )Sb j −

j=1

k

(Sy, a j )Sb j = Sy ,

j=1

d.h. das durch (2.66) erklärte x löst (2.63) und damit (2.62), und es gilt ⎛ ⎞ k k (x, ai ) = ⎝ Sy + ξ j Sb j , ai ⎠ = (Sy, ai ) + (Sb j , ai )ξ j , j=1

j=1

j = 1, . . . , k, woraus wegen (2.65) (x, ai ) = ξi , i = 1, . . . , k

(2.67)

folgt. Insgesamt ergibt sich folgender Sachverhalt: (S) Durch ξi = (x, ai ), i = 1, . . . , k und x = Sy +

k

ξ j Sb j ist eine umkehrbar eindeu-

j=1

tige lineare Zuordnung zwischen den Lösungen x von (2.63) bzw. (2.62) und den Lösungen (ξ1 , . . . , ξk ) von (2.65) gegeben.

Das Lösen unserer Operatorgleichung (2.62) ist damit auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems, nämlich des Systems (2.65) zurückgeführt. Dafür steht uns aber eine komplette Lösungstheorie zur Verfügung (s. Abschn. 2.2.3), die wir nun anwenden. Zu (i): Die homogene Gleichung x − Kx = 0

(2.68)

besitze nur die Lösung x = 0. Wegen (S) besitzt dann auch das homogene Gleichungssystem ξi −

k

(Sb j , ai )ξ j = 0 , i = 1, . . . , k

(2.69)

j=1

nur die Lösung (ξ1 , . . . , ξk ) = (0, . . . ,0) und der Alternativsatz aus Abschnitt 2.2.3 besagt, daß (2.65) eindeutig lösbar ist. Wegen (S) ist damit auch (2.62) eindeutig lösbar. Zu (ii): Ist r der Rang der Koeffizientenmatrix des homogenen Systems (2.69), so besitzt dieses nach Burg/Haf/Wille [24], Abschnitt 3.6.2, Satz 3.37 k − r linear unabhängige Lösungen. Wegen (S) besitzt (2.68) ebenfalls k −r linear unabhängige Lösungen, d.h. dim[Kern(I − K )] ist endlich. Wir zeigen: dim[Kern(I − K )] = dim[Kern(I − K ∗ )] . Nach Satz 2.8, Abschnitt 2.1.6 existiert der zu R adjungierte Operator R ∗ und es gilt (wir beachten (2.61)) R ∗ = R < 1. Zur Diskussion von K ∗ können wir also von der Zerlegung K ∗ = (A + R)∗ oder, wegen Übung 2.8 von K ∗ = A∗ + R ∗ mit R ∗ < 1 ausgehen. Wir zeigen,


107

daß A∗ ausgeartet ist: Wegen ⎞ ⎛ k k (x, a j )(b j , y) (Ax, y) = ⎝ (x, a j )b j , y ⎠ = ⎛

j=1

= ⎝x,

k

⎞

j=1

⎛

(b j , y)a j ⎠ = ⎝x,

j=1

k

⎞ (y, b j )a j ⎠ =: (x, A∗ y)

j=1

folgt A∗ y =

k (y, b j )a j ,

(2.70)

j=1

d.h. A∗ ist ausgeartet. Wir haben oben S := (I − R)−1 gesetzt. Wir zeigen jetzt: S ∗ = [(I − R)−1 ]∗ = (I − R ∗ )−1 .

(2.71)

Mit w := (I − R)−1 x = Sx folgt nämlich mit I ∗ = I (x, (I − R ∗ )−1 y) = ((I − R)w, (I − R ∗ )−1 y) = (w, (I − R)∗ (I − R ∗ )−1 y) = (w, (I − R ∗ )(I − R ∗ )−1 y) = (w, y) = ((I − R)−1 x, y) = (Sx, y) = (x, S ∗ y) oder (I − R ∗ )−1 = S ∗ . Analog zu den vorigen Überlegungen bei x − K x = 0 ergibt sich: Die Gleichung x − K ∗x = 0

(2.72)

ist äquivalent zum homogenen Gleichungssystem ξi −

k (S ∗ a j , bi )ξ j = 0 , i = 1, . . . , k j=1

bzw. zu ξi −

k (a j , Sbi )ξ j = 0 , i = 1, . . . , k .

(2.73)

j=1

Dem Übergang von S zu S ∗ entspricht im linearen Gleichungssystem also der Übergang von a j zu b j bzw. von b j zu a j . (2.73) läßt sich auch in der Form

108

2 Lineare Operatoren in normierten Räumen k

ξi −

(Sbi , a j )ξ j = 0 , i = 1, . . . , k

j=1

oder ξi −

k

(Sbi , a j )ξ j = 0 , i = 1, . . . , k

(2.74)

j=1

schreiben. Damit folgt: Ist x eine Lösung von (2.72) und setzen wir ξi := (x, bi ), so löst (ξ 1 , . . . , ξ k ) Gleichung (2.74). Löst umgekehrt (ξ 1 , . . . , ξ k ) Gleichung (2.74), so ist durch x := k ξ j S ∗ a j eine Lösung von (2.72) gegeben. (ξ 1 , . . . , ξ k ) ist aber Lösung des zu (2.69) transj=1

ponierten Systems und hat somit dieselbe Anzahl linear unabhängiger Lösungen (Zeilenrang = Spaltenrang!). Hieraus ergibt sich (ii).

Zu (iii): Aus x − K x = y und z − K ∗ z = 0 folgt notwendig (y, z) = (x − K x, z) = (x, z) − (K x, z) = (x, z) − (x, K ∗ z) = (x, z − K ∗ z) = (x,0) = 0 ,

(2.75)

d.h. x kann nur dann eine Lösung von x − K x = y sein, wenn y orthogonal zu allen Lösungen z von z − K ∗ z = 0 ist. Wir zeigen: Diese Bedingung ist auch hinreichend für die Lösbarkeit von x − K x = y. Gelte also (y, z) = 0 für alle z mit z − K ∗ z = 0. Da (2.62) und (2.65) äquivalent sind, genügt es zu zeigen, daß (2.65): k

ξi −

(Sb j , ai )ξ j = (Sy, ai ) , i = 1, . . . , k

j=1

lösbar ist. Hierzu sei (η1 , . . . , ηk ) eine beliebige Lösung von (2.74), d.h. es gelte ηi −

k

(Sbi , a j )η j = 0 , i = 1, . . . , k .

j=1

Mit z :=

k

η j S ∗ a j folgt dann (s. (ii)) z − K ∗ z = 0, und wegen (2.75) gilt

j=1

(y, z) = (y,

k

η j S∗a j ) = 0 .

(2.76)

j=1

Gleichung (2.65) - und damit auch (2.62) - ist dann lösbar (s. Alternativsatz, Abschn. 2.2.3), wenn


109

⎤ ⎡ ⎤ η1 (Sy, a1 ) ⎢ ⎥ ⎢ .. ⎥ .. ⎣ ⎦· ⎣ . ⎦ = 0 . (Sy, ak ) ηk ! " !" ⎡

rechte Seite von (2.65)

Lösung von (2.74)

erfüllt ist. Dies ist aber wegen ⎞ ⎛ k k k (Sy, a j )η j = (y, S ∗ a j )η j = ⎝ y, η j S∗a j ⎠ = 0 j=1

j=1

j=1

(s. (2.76)) der Fall. Damit ist alles bewiesen.

Bemerkung: Dieser Satz läßt sich so noch nicht auf Fredholmsche Integralgleichungen 2-ter Art in X = (C(D), . 2 ) anwenden, da X nicht vollständig, also kein Hilbertraum ist. Wir erweitern daher Satz 2.10 auf Skalarprodukträume. 2.2.5

Der Fredholmsche Alternativsatz in Skalarprodukträumen

Abweichend vom vorhergehenden Abschnitt benötigen wir für den Fall, daß kein vollständiger Skalarproduktraum vorliegt, zusätzliche Voraussetzungen an den zu K adjungierten Operator K ∗ : Seine Existenz und seine Vollstetigkeit. Es gilt Satz 2.11: Es sei K ein vollstetiger Operator, der den Skalarproduktraum X in sich abbildet. Ferner existiere der zu K adjungierte Operator K ∗ und sei vollstetig. Dann gilt für den Operator T := I − K die Fredholmsche Alternative. Beweis: 16 Bezeichne X die Abschließung von X . Nach Übung 1.27 ist X ein Hilbertraum. Zu jedem F ∈ X gibt es eine Folge { f k } in X mit F − f k → 0 für k → ∞. K F definieren wir durch K F := lim K f k ,

(2.77)

k→∞

wobei die Konvergenz im Sinne der Norm von X zu verstehen ist. Diese Definition ist sinnvoll: Wegen K f k − K f j = K ( f k − f j ) ≤ K f k − f j → 0

für

k, j → ∞

(K ist vollstetig und daher beschränkt; { f k } ist konvergent und daher insbesondere CauchyFolge!) ist {K f k } eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist, existiert der Grenzwert (2.77). Außerdem ist er unabhängig von der Wahl der speziellen Folge { f k } die F approximiert (warum?). 16 kann beim ersten Lesen übergangen werden

110


Zum Nachweis, daß K auch in X vollstetig ist, nehmen wir eine beliebige Folge {Fk } in X mit Fk < C (C > 0). Zu Fk wählen wir ein f k ∈ X mit Fk − f k < 1k für k ∈ N. Wegen f k < Fk + k1 < C + 1 ist { f k } eine beschränkte Folge in X . Da K nach Voraussetzung in X vollstetig ist, gibt es eine Teilfolge { fk j } von { f k }, so daß die Folge {K f k j } in X konvergiert. Insbesondere ist damit {K f k j } auch eine Cauchy-Folge in X . Aus der Abschätzung K Fk j − K f k j ≤ K Fk j − f k j < K ·

1 →0 kj

für

j →∞

(K ist auch als Abbildung von X in X beschränkt. Warum?) folgt K Fk j − K Fki ≤ K Fk j − K f k j + K f k j − K f ki + K f ki − K Fki → 0 für j, i → ∞, d.h. {K Fk j } ist ein Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist, ist damit {K Fk j } in X konvergent, K : X → X also vollstetig. Wir zeigen nun: Aus F − K F = y, F ∈ X und y ∈ X (!) folgt sogar F ∈ X . Hierzu wählen wir eine Folge { f k } in X mit F − f k → 0 für k → ∞. Da K in X vollstetig ist, gibt es eine Teilfolge { f k j } von { f k } und ein g ∈ X mit K f k j − g → 0 für j → ∞. Mit F − K F = y folgt aus f k j − K f k j = y + ( f k j − F) + K (F − f k j ) durch Grenzübergang j → ∞: F − g = y oder F = g + y. Aus g, y ∈ X ergibt sich dann F ∈ X. Nach diesen Vorüberlegungen weisen wir (i) bzw. (ii), (iii) der Fredholmschen Alternative nach: Zu (i): Die Gleichung f − K f = 0 besitze in X nur die Lösung x = 0. Sei F ∈ X beliebig mit F − K F = 0, und sei { f k } eine Folge in X mit F − f k → 0 für k → ∞. Wegen fk − K fk → F − K F = 0

für

k→∞

besitzt die Gleichung F − K F = 0 in X nur die Lösung F = 0. Da 0 ∈ X ist, ist nach unseren obigen Überlegungen F ∈ X . Nach Satz 2.10 besitzt dann F − K F = y für jedes y ∈ X (⊂ X ) genau eine Lösung in X , die wegen y ∈ X sogar in X liegt. Somit besitzt die Gleichung f − K f = y für jedes y ∈ X genau eine Lösung in X . Zu (ii): Nach Voraussetzung existiert K ∗ in X und ist dort vollstetig. Auf dieselbe Weise wie in (2.77) läßt sich K ∗ eindeutig zu einem vollstetigen Operator auf X fortsetzen. Ferner ist K ∗ auch in X zu K adjungiert, denn: Sind F, G ∈ X und sind { f k }, {gk } Folgen in X mit F − f k → 0, G − gk → 0 für k → ∞, so folgt aus der Stetigkeit des Skalarproduktes: (K F, G) = lim (K f k , gk ) = lim ( f k , K ∗ gk ) = (F, K ∗ G) . k→∞

k→∞

Nach den Überlegungen vor (i) bestehen die Nullräume von (I − K ) und (I − K ∗ ) in X aus den gleichen Elementen wie die Nullräume von (I − K ) und (I − K ∗ ) in X . Nach Satz 2.10 ergibt sich damit (ii).


111

Zu (iii): Es sei (y, z) = 0 für alle z ∈ X mit z − K ∗ z = 0 erfüllt. Wegen 0 ∈ X gilt daher auch (s.o.): (y, Z ) = 0 für alle Z ∈ X mit Z − K ∗ Z = 0 und sogar Z ∈ X . Nach Satz 2.10 besitzt daher F − K F = y mindestens eine Lösung in X , die wegen y ∈ X sogar zu X gehört. Die Gleichung f − K f = y besitzt somit mindestens eine Lösung in X . Damit ist (iii) und Satz 2.11 insgesamt bewiesen. Anwendungen A) Wir wenden Satz 2.11 auf eine Fredholmsche Integralgleichung 2-ter Art an:

f (x) − k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ D .

(2.78)

D

Dabei sei D ⊂ Rn , D kompakt und J -meßbar, g(x) stetig in D und k(x, y) stetig in D × D. X sei der Skalarproduktraum C(D) versehen mit der Quadratnorm ⎛ f = ( f,

1 f )2

=⎝

⎞1 2

| f (x)|2 dx ⎠

.

D

Nach Übung 2.10 ist der durch

(K f )(x) := k(x, y) f (y) dy , x ∈ D

(2.79)

D

erklärte Operator K : X → X vollstetig, und nach Übung 2.7 ist der zu K adjungierte Operator K ∗ durch

(2.80) (K ∗ f )(x) := k(y, x) f (y) dy , x ∈ D D

gegeben. Da der Kern k(y, x) des Integraloperators K ∗ stetig ist, ist K ∗ : X → X ebenfalls vollstetig. Nach Satz 2.11 ergibt sich daher

Satz 2.12: Es sei D ⊂ Rn kompakt und J -meßbar, g(x) stetig in D und k(x, y) stetig in D × D. Dann gilt für die Integralgleichung

f (x) − k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ D (2.81) D

die Fredholmsche Alternative.

112


B) Bei der Behandlung der Schwingungsgleichung mit Integralgleichungsmethoden (s. Abschn. 5.3.3) treten Fredholmsche Integralgleichungen 2-ter Art mit »schwach-singulärem« Kern k(x, y) auf. Dabei heißt k(x, y) schwach-singulär in D × D, wenn k(x, y) für x = y in D × D stetig ist und wenn es eine Konstante C > 0 gibt mit |k(x, y)|
0 und m = dim(D) ≤ n (D ⊂ Rn ) ist. Steht in (2.82) anstelle von m − α der Ausdruck m2 − α, so nennt man den Kern k(x, y) schwach-polar in D × D. Erklären wir X wie in Anwendung A) und K mit schwach-polarem Kern k(x, y) durch (2.79), so erweist sich K : X → X als vollstetig und der zu K adjungierte Operator K ∗ ist durch

(2.83) (K ∗ f )(x) := k(y, x) f (y) dy , x ∈ D D

gegeben (s. Üb. 2.11). Satz 2.11 liefert dann Satz 2.13: Es sei D ⊂ Rn kompakt und J -meßbar, g(x) stetig in D und k(x, y) schwach-polar in D × D. Dann gilt für die Integralgleichung

(2.84) f (x) − k(x, y) f (y) dy = g(x) , x ∈ D D

die Fredholmsche Alternative. Für beliebige schwach-singuläre Kerne k(x, y) läßt sich Satz 2.11 dagegen nicht anwenden. K ist dann im allgemeinen nicht vollstetig. Hier hilft uns die folgende Variante von Satz 2.11 weiter: Satz 2.14: Es sei X ein Skalarproduktraum und V : X → X ein linearer Operator mit den Eigenschaften (i) V besitzt einen adjungierten Operator V ∗ . (ii) Die Operatoren (I − V )−1 und (I − V ∗ )−1 existieren. Ferner sei der Operator K durch K x :=

N

(x, a j )b j + V x ; x, a j , b j ∈ X

j=1

erklärt. Dann gilt für den Operator T := I − K die Fredholmsche Alternative.

(2.85)


113

Beweisskizze: Die Gleichung x − K x = y ist zur Gleichung x − Vx −

N

(x, a j )b j = y

j=1

äquivalent. Multiplizieren wir diese von links mit S := (I − V )−1 , so entsteht die hierzu äquivalente Gleichung x−

N

(x, a j )Sb j = Sy ,

(2.86)

j=1

also eine Operatorgleichung mit ausgeartetem und damit nach Hilfssatz 2.9, Abschnitt 2.2.2 vollN (x, b j )a j stetigem Operator. Auf diesen läßt sich Satz 2.11 anwenden. (Wir beachten: K ∗ x = j=1

+V ∗ x).

Wir wollen diesen Satz nun auf Integraloperatoren mit schwach-singulären Kernen anwenden. Um zu einer Darstellung der Form (2.85) zu gelangen, wenden wir den Satz von StoneWeierstrass (s. z.B. Dunford/Schwarz [42], IV. 6.15–6.17) an: (a) Ist k(x, y) stetig auf dem Kompaktum D × D und ist x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ), so läßt sich k(x, y) in D × D gleichmäßig durch Polynome in x 1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn approximieren. Jeder Term β

cx1α1 · · · · · xnαn · y1 1 · · · · · ynβn dieser Polynome kann in der Form a j (x) · b j (y) geschrieben werden. Also: Zu jedem ε > 0 gibt es ein N = N (ε) ∈ N sowie in D stetige Funktionen a j (x) und b j (y), so daß N k(x, y) − a j (x)b j (y) < ε j=1 ist. Setzen wir v(x, y) := k(x, y) −

N

a j (x)b j (y) ,

j=1

so folgt für x ∈ D

|v(x, y)| dy =

D

D

N k(x, y) − a j (x)b j (y) dy < Vol(D) · ε j=1

(2.87)

114


(Vol(D) = Volumen von D). (b) Sei nun k(x, y) schwach-singulär mit α > 0 und m = dim(D) ≤ n. Mit y˜ := x − y und d(D) := sup |x − y| (= Durchmesser von D) folgt x,y∈D

dy 0 mit | f (x)| < C|g(x)| für hinreichend kleine |x|. Ferner ist C in (5.25) die Eulersche Konstante. Die in diesen asymptotischen Formeln auftretenden komplexen Logarithmus- und Potenzfunktionen sind im Sinne von Burg/Haf/Wille [21], Abschnitt 2.1.4 und 2.3.5 zu verstehen. Mit (5.22) und (5.24) gewinnen wir für unsere Grundlösung Φ1 (x, y) der Schwingungsgleichung die asymptotische Darstellung Φ1 (x, y) =

1 1 1 + O (n − 2)ωn |x − y|n−2 |x − y|n−3 für |x − y| → 0 ; n = 3,4,5, . . . .

(5.26)

Das entscheidende singuläre Verhalten von Φ1 kommt hierbei durch den Anteil |x− 1y|n−2 , n = 3,4,5, . . . in (5.26) zum Ausdruck. Neben der asymptotischen Formel (5.26) benötigen wir im Zusammenhang mit dem Ausdruck ∂ ∂n y Φ1 (x, y) noch eine asymptotische Formel für i 4

k 2π

n−2 2

4 3 n−2 ∂ − 1 2 H r n−2 (kr ) , ∂r 2

r = |x − y| .

(5.27)

Hierzu benutzen wir aus der Theorie der Hankelfunktionen die Beziehung d > −λ 1 ? 1 z Hλ (z) = −z −λ Hλ+1 (z) , dz

(5.28)

5.1 Grundlagen

201

die sich mit den in Burg/Haf/Wille [21], Abschnitt 5 bereitgestellten Hilfsmitteln beweisen läßt. Aus (5.28) folgt mit z := kr und λ := n−2 2 3 3 4 4 n−2 n−2 ∂ n−2 ∂ − − 1 1 2 2 2 r (kr ) H n−2 (kr ) = k H n−2 (kr ) ∂r ∂r 2 4 3 2 (5.29) n−2 d n−2 n−2 ∂z − − 1 1 2 2 2 H n−2 (z) H n (kr ) . z = −r =k dz ∂r 2 2 Aus (5.29) und (5.24) (n durch n + 2 ersetzt!) erhalten wir, wenn wir die Beziehung ωn+2 = 2π n ωn beachten, die sich aus (5.9), Abschnitt 5.1.1 ergibt (r = 1!), nach einfacher Rechnung die asymptotische Formel

i 4

k 2π

4 3 n−2 1 1 ∂ 1 (kr ) = − + O r − 2 H n−2 ∂r ωn r n−1 r n−2 2

n−2 2

(5.30)

für r = |x − y| → 0 ; n = 3,4,5, . . . . Wenden wir uns wieder dem Integral über ∂ K ε in (5.23) zu: Mit (5.26), (5.30) und unseren obigen Überlegungen ergibt sich für ε → 0 3 4

'

1 1 {. . . } dσ y = U (x + εz) + O n−2 ωn εn−1 ε |z|=1 ∂ Kε 3 4 ( 1 1 ∂ 1 − + O U (x + εz) ε n−1 dσ z (n − 2)ωn εn−2 εn−3 ∂ε 3 4 (

' ∂ 1 1 U (x + εz) − = U (x + εz) ε n−1 dσ z + O(ε) . ωn εn−1 (n − 2)ωn εn−2 ∂ε |z|=1

Wir spalten das letzte Integral in zwei Integrale auf: Wegen

∂ ∂ 1 1 n−1 ε ε U (x + εz) dσ z = U (x + εz) dσ z → 0 für ε → 0 n−2 (n − 2)ωn ε ∂ε (n − 2)ωn ∂ε |z|=1

|z|=1

liefert das zweite2Integral für ε → 0 keinen Beitrag. (Da U stetig differenzierbar in D vorausge∂ setzt wurde, ist ∂ε U (x + εz) dσ z für hinreichend kleine ε beschränkt.) Für das erste Integral |z|=1

gilt (vgl. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 7.3.1)

1 1 n−1 ε U (x + εz) dσ = z ωn εn−1 ωn |z|=1

1 → U (x) ωn

|z|=1

|z|=1

U (x + εz) dσ z

dσ z = U (x)

für ε → 0 .

202

5 Helmholtzsche Schwingungsgleichung und Potentialgleichung

Insgesamt ergibt sich damit der folgende Satz 5.1: Es sei D ein beschränktes Gebiet im Rn (n = 3,4,5, . . . ) mit glatter Randfläche ∂ D. Ferner sei U in D zweimal und in D = D ∪ ∂ D einmal stetig differenzierbar und genüge der Schwingungsgleichung (5.1). Dann gilt für x ∈ D 4

3 ∂ ∂ Φ1 (x, y) U ( y) − U ( y) Φ1 (x, y) dσ y . U (x) = ∂n ∂n y (5.31) ∂D (Darstellungsformel für Innengebiete) Dabei ist Φ1 (x, y) die durch (5.22) erklärte Grundlösung der Schwingungsgleichung. Jede Lösung U der Schwingungsgleichung im Gebiet D ist also bereits durch die Werte von U ∂ ∂ U auf dem Rand ∂ D von D festgelegt. Dabei können U und ∂n U und der Normalableitung ∂n im allgemeinen nicht unabhängig voneinander vorgegeben werden. Man sieht dies besonders einfach im Falle der Potentialtheorie (k = 0), wo (5.31) entsprechend gilt (s. unten): Setzt man in (5.21) V ≡ 1, so ergibt sich als Bedingung an U , die von jeder Potentialfunktion U erfüllt werden muß:

∂D

∂ U dσ = 0 ∂n

(5.32)

Bemerkung 1: Durch Formel (5.31) kommt eine interessante Analogie zur Cauchyschen Integralformel der Funktionentheorie (s. Burg/Haf/Wille [21], Abschn. 2.2.3, III) zum Ausdruck. Etliche Konsequenzen aus der Cauchyschen Integralformel lassen sich mit Hilfe von (5.31) entsprechend auch für Lösungen U der Schwingungsgleichung nachweisen. So kann in Analogie zu Satz 2.3.6 aus Burg/Haf/Wille [21] gezeigt werden, daß sich U in einer Umgebung eines beliebigen Punktes x 0 ∈ D in eine Potenzreihe nach den Koordinaten von x − x 0 entwickeln läßt. Insbesondere ist U in jedem Punkt x ∈ D beliebig oft stetig differenzierbar. Bemerkung 2: Im Spezialfall n = 3 steht in der Darstellungsformel (5.31) wegen H 11 (z) = 2 1 1 2 iz e (s. Burg/Haf/Wille [21], (5.55)) die Grundlösung i πz Φ1 (x, y) =

1 ei k|x− y| 4π |x − y|

(5.33)

der Schwingungsgleichung. Gehen wir im Falle n = 2 anstelle von (5.22) von der Grundlösung Φ1 (x, y) :=

1 1 H (k|x − y|) i 0

(5.34)

der Schwingungsgleichung aus, so gelangen wir mit diesem Φ1 ebenfalls zur Darstellungsformel

5.1 Grundlagen

203

(5.31). Die Herleitung erfolgt analog zum Fall n ≥ 3 unter Verwendung der asymptotischen Formel (5.25). Wir beachten, daß H01 (k|x − y|) für |x − y| → 0 wie ln |x − y| singulär wird. Alle in diesem Abschnitt durchgeführten Überlegungen gelten entsprechend auch für die Grundlösungen Φ2 (x, y), die mit Hilfe der Hankelfunktionen Hλ2 gebildet werden. Für k = 0, also für die Potentialgleichung ΔU = 0, gewinnen wir auf dieselbe Weise Darstellungsformeln der Gestalt (5.31). Diese haben mit den Grundlösungen der Potentialgleichung ⎧ 1 1 ⎪ ⎪ für n = 3,4,5, . . . ⎨ (n − 2)ωn |x − y|n−2 (5.35) Φ(x, y) = ⎪ 1 ⎪ ⎩ − ln |x − y| für n = 2 2π besonders einfache Gestalt, etwa für n = 2: 4

3 ∂ ∂ 1 U ( y) ln |x − y| − ln |x − y| · U ( y) dσ y . U (x) = 2π ∂n y ∂n

(5.36)

∂D

5.1.4

Mittelwertformel und Maximumprinzip

In Analogie zur Funktionentheorie (s. Burg/Haf/Wille [21], Abschn. 2.2.5) weisen wir im folgenden nach, daß im Falle der Potentialtheorie (k = 0 in der Schwingungsgleichung) ein Maximumbzw. Minimumprinzip gilt. Hierzu leiten wir aus der Darstellungsformel (5.31), Abschnitt 5.1.3 zunächst eine Mittelwertformel her. Zu x ∈ D wählen wir eine Kugel K r (x) ⊂ D mit Radius r und Mittelpunkt x. Nach den Überlegungen des vorherigen Abschnittes gilt dann für n ≥ 3 und mit der durch (5.35) erklärten Grundlösung Φ(x, y) 4

3 ∂ 1 ∂ 1 1 U ( y) − U ( y) U (x) = dσ y . (n − 2)ωn ∂n y |x − y|n−2 |x − y|n−2 ∂n ∂ K r (x)

Wie in den früheren Untersuchungen ergibt sich hieraus mit Hilfe der Transformation y =: x+r z ⎡

∂ 1 ⎢ 1 U (x) = U (x + r z) · r n−1 dσ z ⎣ n−2 (n − 2)ωn r ∂r |z|=r

− ⎡ =

1 ⎢ 1 ⎣ (n − 2)ωn r n−2

U (x + r z) · |z|=r

∂ K r (x)

⎤ ∂ 1 ⎥ · r n−1 dσ z ⎦ ∂r r n−2

(n − 2) ∂ U ( y) dσ y + n−1 ∂n r

∂ K r (x)

⎤ ⎥ U ( y) dσ y ⎦ .

(5.37)

204


Wegen

∂ K r (x)

∂ U ( y) dσ y = 0 ∂n

(s. (5.32), Abschn. 5.1.3) verschwindet der erste Summand auf der rechten Seite von (5.37), und wir erhalten die Mittelwertformel U (x) =

1 ωn r n−1

U ( y) dσ y

(5.38)

∂ K r (x)

Bemerkung: Diese Formel gilt auch für n = 2 (s. Üb. 5.3). Dabei ist ∂ K r (x) der Kreis um x mit dem Radius r und ω2 = 2π der Umfang des Einheitskreises. Die Mittelwertformel ermöglicht uns einen einfachen Beweis des folgenden Satz 5.2: (Maximumprinzip) Jede nichtkonstante Funktion U , die in D der Potentialgleichung ΔU = 0 genügt, kann im Inneren von D kein Maximum besitzen. Beweis: (indirekt) Annahme: In einem Punkt x 0 ∈ D werde das Maximum M von U angenommen. Es gilt dann U (x) = M für alle x aus einer beliebigen Kugel um x 0 , die ganz in D liegt. Andernfalls würde ein r > 0 und ein Punkt x 1 mit |x 1 − x 0 | = r existieren, so daß K r (x 0 ) ⊂ D und U (x 1 ) < M ist. Dies aber hätte wegen (5.38)

1 M M = U (x 0 ) = U (x) dσ < dσ x = M , x ωn r n−1 ωn r n−1 ∂ K r (x 0 )

∂ K r (x 0 )

also einen Widerspruch, zur Folge. Nach Voraussetzung ist U nicht konstant in D. Daher gibt es einen Punkt x 2 ∈ D mit U (x 2 ) = M. Nun verbinden wir x 0 mit x 2 durch eine ganz in D liegende Kurve C und definieren die Menge A durch A = {x ∈ C U (x) = M}. A ist eine offene Menge (warum?). Andererseits ist A in C abgeschlossen: Ist {x i } eine Folge in A, d.h. U (x i ) = M mit x i → x ∈ C, so folgt aus der Stetigkeit von U U (x) = lim U (x i ) = lim M = M , i→∞

i→∞

also x ∈ A. Da A eine bezüglich C offene und abgeschlossene Menge ist, folgt A = C im Widerspruch zu U (x 2 ) = M. Damit ist der Satz bewiesen. Bemerkung: Entsprechend läßt sich ein Minimumprinzip beweisen.

5.1 Grundlagen

205

Bild 5.2: Zum Beweis des Maximumprinzips

Wir wenden uns nun der Frage zu, ob auch für die Schwingungsgleichung ein Maximum- und Minimumprinzip gilt. Daß dies im allgemeinen nicht der Fall ist, zeigt folgendes Gegenbeispiel:

Es sei D die Kugel K πk (0) um den Punkt x 0 = 0 mit Radius

⎧ ⎨ sin k|x| |x| U (x) = ⎩ k

π k.

Die Funktion

für x = 0 für x = 0 i k|x|

k|x| = Im e |x| !) und auf dem genügt offensichtlich in D der Schwingungsgleichung (beachte: sin|x| π Rand ∂ D von D, also auf der Kugelfläche |x| = k gilt U = 0. Das Maximum von U in D wird somit nicht auf ∂ D angenommen.

In Spezialfällen gilt jedoch auch für die Schwingungsgleichung ein Maximumprinzip: Nach Übung 5.4 für die Gleichung ΔU − k 2 U = 0

für k ∈ R (n = 3) .

(5.39)

Das Bestehen eines Maximum- bzw. Minimumprinzips läßt sich sehr vorteilhaft für Eindeutigkeitsbeweise bei Randwertproblemen verwenden. Wir verdeutlichen dies am Beispiel des Dirichletschen2 Innenraumproblems der Potentialtheorie: (DIP) Es sei D ein beschränktes Gebiet im Rn mit der Randfläche ∂ D. Gesucht ist eine in D = D ∪ ∂ D stetige und in D zweimal stetig differenzierbare Funktion U mit ΔU = 0 in D ; (5.40) U = f auf ∂ D . 2 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859), deutscher Mathematiker

206


Dabei ist f vorgegeben. Man nennt die zweite Forderung in (5.40) eine Dirichletsche Randbedingung. Wir zeigen: Satz 5.3: (Eindeutigkeitssatz) Falls das Problem (DIP) eine Lösung besitzt, so ist diese eindeutig bestimmt. Beweis: Wir nehmen an, U1 und U2 seien Lösungen von (DIP). Dann genügt V := U1 − U2 der Potentialgleichung ΔV = 0 in D und der homogenen Dirichletbedingung V = 0 auf ∂ D. Da V als Differenz von zwei stetigen Funktionen in D stetig ist, nimmt V in D (= Kompaktum) sein Maximum an, etwa an der Stelle x 0 . Nach Satz 5.2 liegt dieses Maximum auf dem Rand von D: x 0 ∈ ∂ D. Daher gilt V (x 0 ) = 0. Entsprechend ergibt sich durch Anwendung des Minimumprinzips: Es gibt ein y0 ∈ ∂ D, so daß V ( y0 ) minimal ist und V ( y0 ) = 0 gilt. Maximum und Minimum von V haben also den Wert 0, d.h. V verschwindet in D identisch, woraus U1 ≡ U2 in D und damit die Behauptung des Satzes folgt. Bemerkung: Bei der Beantwortung der Frage, ob es überhaupt eine Lösung von (DIP) gibt, spielt die Beschaffenheit des Randes ∂ D von D eine Rolle (s. Abschn. 5.3). 5.1.5

Flächen- und Volumenpotentiale

In der in Abschnitt 5.1.3 hergeleiteten Darstellungsformel für Innengebiete 4

3 ∂ ∂ Φ(x, y) U ( y) − U ( y) U (x) = Φ(x, y) dσ y ∂n ∂n y ∂D

treten Flächenintegrale der Form

M(x) := μ( y)Φ(x, y) dσ y ,

(5.41)

∂D

sogenannte einfache Potentiale mit der Belegung μ und

∂ Φ(x, y) dσ y , N (x) := ν( y) ∂n y

(5.42)

∂D

man nennt sie Doppelpotentiale mit der Belegung ν, auf. Sind μ und ν auf ∂ D stetige Funktionen, so lösen diese beiden Potentiale für x ∈ / ∂ D die Schwingungsgleichung. Man sieht dies recht einfach: Wir wissen bereits aus Abschnitt 5.1.3, daß Φ(x, y) (x = y) für jedes feste y ∈ Rn als Funktion von x der Schwingungsgleichung genügt. Nach Burg/Haf/Wille [23], Abschnitt 7.3.2 dürfen wir im Ausdruck

ΔM(x) + k 2 M(x) = Δ μ( y)Φ(x, y) dσ y + k 2 μ( y)Φ(x, y) dσ y ∂D

∂D

5.1 Grundlagen

Δ und

2

207

vertauschen und erhalten daher

∂D

ΔM(x) + k 2 M(x) =

> ? μ( y) Δx Φ(x, y) + k 2 Φ(x, y) dσ y = 0 .

∂D

Entsprechendes gilt für N (x), wobei wir zusätzlich noch den Satz über die Vertauschung der Reihenfolge der Differentiation (Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.3.5, Satz 6.10) anwenden. Im folgenden benötigen wir neben den beiden Flächenpotentialen noch sogenannte Volumenpotentiale

(5.43) H (x) := η( y)Φ(x, y) dτ y . D

/ D ebenfalls Ist η eine in D = D ∪ ∂ D stetige Belegungsfunktion, so genügt H (x) für alle x ∈ der Schwingungsgleichung. (Begründung wie bei M(x)). Bemerkung: Mit den oben betrachteten Potentialen liegen uns Lösungen der Schwingungsgleichung vor, die über die Belegungsfunktionen »Freiheitsgrade« enthalten. Diesen Umstand werden wir später im Zusammenhang mit Randwertproblemen nutzen und solche Belegungsfunktionen suchen, für die unsere Potentiale außerdem ein vorgeschriebenes Randverhalten besitzen (s. Abschn. 5.3.3). Übungen Übung 5.1*: Bestimme ein System von Fundamentallösungen für die Besselsche Differentialgleichung f

(r ) +

n−1 f (r ) + k 2 f (r ) = 0 r

für den Fall k = 0 und für beliebiges n ≥ 2 (n ∈ N).

Übung 5.2: Beweise mit den Hilfsmitteln aus Burg/Haf/Wille [21], Abschnitt 5 die für z → 0 geltenden asymptotischen Formeln ⎞ ⎛ n−2 2 2π 4 1 1 + O ⎝ n−4 ⎠ für n = 3,4,5, . . . H n−2 (z) = i(n − 2)ωn z 2 |z| 2 und H01 (z) =

2i 1 z πi log + C − + O |z|2 ln π 2 2 |z|

für n = 2 .

208


Übung 5.3: Leite analog zu Abschnitt 5.1.4 für den Fall n = 2 die Mittelwertformel der Potentialtheorie her.

Übung 5.4*: Weise das Maximumprinzip für die Gleichung ΔU − k 2 U = 0 ,

k ∈ R (n = 3)

nach. Hinweis: Zeige: Für die Schwingungsgleichung ΔU + k˜ 2 U = 0 mit k˜ ∈ C gilt die Mittelwertformel

˜ sin kr 1 U (x) U ( y) dσ y . = ˜ 4πr 2 kr ∂ K r (x)

Übung 5.5*: Es sei D ein beschränktes Gebiet im R3 mit der Randfläche ∂ D. Da bezeichne das Äußere von D. Zeige: Das Dirichletsche Außenraumproblem mit (i) ΔU (x) − k 2 U (x) = 0 ,

x ∈ Da , k ∈ R ;

(ii) U (x) = f (x) , x ∈ ∂ D ; 1 für |x| → ∞ (iii) U (x) = O |x| besitzt höchstens eine Lösung.

5.2

Ganzraumprobleme

Wir sind an Lösungen der inhomogenen Schwingungsgleichung ΔU + k 2 U = f

in ganz Rn

(5.44)

interessiert. Um zu eindeutig bestimmten Lösungen dieser Gleichung zu gelangen, sind geeignete Abklingbedingungen im Unendlichen erforderlich (»Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung«, Abschn. 5.2.2). Solche »Ganzraumprobleme« treten z.B. bei der Diskussion von akustischen Wellenfeldern bei zeitharmonischer Störung (= vorgegebene Kraftdichteverteilung) auf. Die Störung drückt sich hierbei durch die Inhomogenität f in (5.44) aus (s. auch Abschn. 7.2.3). 5.2.1

Volumenpotentiale und inhomogene Schwingungsgleichung

Es sei D ein beschränktes Gebiet im Rn mit glatter Randfläche ∂ D. Im vorhergehenden Abschnitt haben wir gesehen, daß das Volumenpotential

H (x) = η( y)Φ(x, y) dτ y (5.45) D

5.2 Ganzraumprobleme

209

für x ∈ / D = D ∪ ∂ D die Schwingungsgleichung ΔU + k 2 U = 0 erfüllt, wenn η in D stetig ist. Wie aber verhält sich H und wie verhalten sich die Ableitungen von H in den Punkten x ∈ D? Da die jeweiligen Grundlösungen Φ(x, y) für x = y singulär sind (s. Abschn. 5.1.3), müssen wir das Volumenintegral in (5.45) als uneigentliches Integral in folgendem Sinne auffassen: Es sei {Di } eine beliebige Folge von Teilgebieten von D mit glatten Randflächen ∂ Di . Der Punkt x liege für jedes i in Di , und für den Durchmesser d(Di ) = sup | y − z|

(5.46)

y,z∈Di

von Di gelte d(Di ) → 0 für i → ∞. Wir sagen, das uneigentliche Integral in (5.45) existiert und besitzt den Wert H (x) (x fest!), falls

η( y)Φ(x, y) dτ y → H (x) für i → ∞ (5.47) D−Di

gilt. Wir zeigen:

Hilfssatz 5.1: Unter den obigen Voraussetzungen an D und η existiert das Volumenpotential (5.45) für alle Punkte x ∈ D und ist eine in ganz Rn stetige Funktion. Beweis: Für n ≥ 3 und k = 0 gilt wegen (5.26), Abschnitt 5.1.3 1 1 1 + O Φ(x, y) = (n − 2)ωn |x − y|n−2 |x − y|n−3

für |x − y| → 0

bzw. für k = 0 wegen (5.35) Φ(x, y) =

1 1 . (n − 2)ωn |x − y|n−2

In beiden Fällen ist η( y)Φ(x, y) eine für x = y, x ∈ Rn und y ∈ D stetige Funktion, und es gibt Konstanten B > 0 und 1 > r0 > 0 mit |η( y)Φ(x, y)|
0, so daß

|V |2 dτ = 0 für alle r ≥ r0 Zr

ist. Daraus folgt V ≡ 0 oder U1 ≡ U2 , also die behauptete Eindeutigkeit. Fall 2: k = 0, π2 < arg k < π : Dies hat Re k < 0 und Im(k 2 ) < 0 zur Folge, und mit Hilfe von (5.124) ergibt sich wie im Fall 1 die Eindeutigkeit der Lösung. Fall 3: k = 0, arg k = π2 (k ist also rein imaginär): Damit ist i k < 0 und −k 2 > 0. Die Beziehung (5.123) liefert daher

1 für r → ∞ , |V |2 dτ = O r Zr

woraus wie im Fall 1 die Eindeutigkeit folgt. Fall 4: k = 0 (Potentialtheorie) Aus (5.123) ergibt sich

1 2 für r → ∞ |∇V | dτ = O r Zr

und hieraus wie oben: ∇V = 0 in Da oder V = const in Da . Zusammen mit V = O r → ∞ folgt V ≡ 0 oder U1 ≡ U2 , also die Eindeutigkeit der Lösung.

1 r

für

Fall 5: k = 0, k reell: Dieser Fall ist der schwierigste. Da die linke Seite von (5.123) für hinreichend große r rein imaginär ist und die rechte Seite reell ist, gilt für r → ∞

>

? 1 1 2 2 2 2 |∇V | − k V dτ = O |V | dσ = O und . (5.126) r r ∂ Kr

Zr

Um den Beweis abschließen zu können, benötigen wir den erst 1942 bewiesenen Hilfssatz 5.3: (Lemma von Rellich) 10 Es sei V zweimal stetig differenzierbar in Da und einmal stetig differenzierbar in Da ∪ ∂ D. Ferner gelte ΔV + k 2 V = 0 und

|V |2 dσ = O ∂ Kr

in Da für k ∈ R 1 r

(k = 0)

für r → ∞ .

10 F. Rellich (1906–1955), deutscher Mathematiker

5.3 Randwertprobleme

235

Dann verschwindet V in Da identisch. Beweis: Dieser ist kompliziert und findet sich z.B. in Leis [101], S. 161–165. Mit dem Rellichschen Lemma folgt aus (5.126) auch für den Fall 5 die Eindeutigkeitsaussage. Damit ist der Satz bewiesen.

(B) Innenraumprobleme Wir präzisieren zunächst die Aufgabenstellung. Dirichletsches bzw. Neumannsches Innenraumproblem: Es sei Di ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche ∂ D. Gesucht ist eine in Di zweimal und in Di ∪ ∂ D einmal stetig differenzierbare Funktion U mit (i) ΔU + k 2 U = 0 in Di , Im k ≥ 0; (ii) U = f auf ∂ D bzw.

∂U ∂n

= f auf ∂ D.

Für k = 0 (Potentialtheorie) besitzt das Dirichletsche Innenraumproblem nach dem Maximumprinzip höchstens eine Lösung (s. Abschn. 5.1.4), während das Neumannsche Innenraumproblem nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt ist: Offensichtlich ist jede Konstante c eine Lösung des homogenen Neumannschen Problems ⎧ ⎨ ΔU = 0 in Di ; (5.127) ⎩ ∂U = 0 auf ∂ D . ∂n Daher ist mit jeder Lösung U0 des Neumannschen Innenraumproblems auch U0 + c eine Lösung. Seien nun U1 und U2 zwei beliebige Lösungen dieser Aufgabe. Dann folgt aus der ersten Greenschen Formel (s. Abschn. 5.1.1, (5.5)) für V := U1 − U2 wegen ∂∂nV = 0 auf ∂ D und ΔV = 0 in Di

∂V dσ = ∇· [V (∇V )] dτ = |∇V |2 dτ . 0= V ∂n ∂D

Di

Di

Hieraus ergibt sich ∇V = 0 in Di oder V = const in Di , d.h.: Für k = 0 ist jede Lösung des Neumannschen Innenraumproblems nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. Seien nun k = k1 + i k2 und k2 = Im k = 0. Ist dann V wieder die Differenz von zwei Lösungen, so erhalten wir für

236


(1) k1 = 0 mit der zweiten Greenschen Formel (s. Abschn. 5.1.1, (5.6)):

6 5 ∂V ∂V V V ΔV − V ΔV dτ . −V dσ = ∂n ∂n ∂D

Di

2

Wegen V = V = 0 bzw. ∂∂nV = ∂∂nV = 0 auf ∂ D, ΔV = −k 2 V und ΔV = −k V folgt hieraus die Beziehung

2 2 2 |V | dτ = 2 i k1 k2 |V |2 dτ , 0 = −k + k Di

Di

aus der sich V = 0 in Di ergibt. 2

(2) k1 = 0 mit der ersten Greenschen Formel und ΔV = −k V = k22 V :

0=

V ∂D

∂V dσ = ∂n

> ? ? |∇V |2 + V ΔV dτ = |∇V |2 + k22 |V |2 dτ , k2 = 0 .

> Di

Di

Da der Integrand des letzten Integrals nicht negativ ist, muß damit |∇V |2 + k22 |V |2 = 0 in Di oder |∇V | = |V | = 0 in Di gelten, d.h. es ist V = 0 in Di . Damit ist gezeigt Satz 5.9: (Eindeutigkeitssatz) Das Dirichletsche und das Neumannsche Innenraumproblem für die Schwingungsgleichung ΔU + k 2 U = 0 besitzen für Im k > 0 höchstens eine Lösung. Im Falle des Dirichletproblems gilt die Eindeutigkeitsaussage auch für k = 0. Bemerkung: In den Anwendungen charakterisiert der Anteil Im k von k häufig den Einfluß der Dämpfung (s. auch erste Fußnote in Abschn. 5.2.2). In diesen Fällen kann man also stets davon ausgehen, daß die entsprechenden Innenraumprobleme höchstens eine Lösung besitzen. Für reelle k sind die beiden Innenraumprobleme im allgemeinen nicht eindeutig lösbar. Ein Standardbeispiel hierfür ist das folgende Beispiel 5.1: Es sei k > 0. Ferner sei Di eine Kugel um den Nullpunkt mit Radius Dann besitzt das Dirichletsche Innenraumproblem ⎧ ⎨ ΔU + k 2 U = 0 in Di ; π ⎩ U = 0 auf ∂ D := {x |x| = } k

π k:

Di = {x |x|
0 bezeichnen wir mit Cα (D). Das sind solche Funktionen f , zu denen es eine Konstante A > 0 gibt, so daß | f (x 1 ) − f (x 2 )| ≤ A|x 1 − x 2 |α

(5.134)

für alle x 1 , x 2 ∈ D gilt. Entsprechend verstehen wir unter Cm+α (D) die Menge aller m-mal stetig differenzierbaren Funktionen, deren m-te Ableitung hölderstetig mit Exponent α > 0 ist. Tabelle 5.1:

M(x) =

μ( y)Φ(x, y) dσ y )

N (x) =

∂D

μ ∈ C(∂ D): Dann ist M ∈ C(R3 ), und für x ∈ ∂ D gilt Ma − M i = 0 .

ν( y) ∂D

∂ Φ(x, y) dσ y ∂n y

ν ∈ C(∂ D): Dann ist N ∈ Cα (∂ D), N ∈ C(Da + ∂ D), N ∈ C(Di + ∂ D), und für x ∈ ∂ D gilt Na − Ni = 2ν und Na = ν + N ;

μ ∈ Cα (∂ D): Dann ist M ∈ C 1 (Da + ∂ D), M ∈ C 1 (Di + ∂ D), und für x ∈ ∂ D gilt ∂ ∂ Ma − Mi = −2μ ∂n ∂n ∂ ∂ Ma = −μ + P ; Mi = μ + P . ∂n ∂n

Tabelle 5.1 entnehmen wir, daß für M

ν ∈ C1+α (∂ D): Dann ist N ∈ C 1 (Da + ∂ D), N ∈ C 1 (Di + ∂ D), und für x ∈ ∂ D gilt ∂ ∂ Na − Ni = 0 . ∂n ∂n Für ν ∈ Cα (∂ D) gilt

und

und

∂ N ∂n

Ni = −ν + N .

N ∈ C 1+α (∂ D) .


239

ein stetiger Durchgang durch die Randfläche ∂ D vorliegt, während N

∂ M ∂n

und

»springen« (Sprung zu 2ν bzw. −2μ). Diese springenden Anteile sind bei der Herleitung von Integralgleichungen für ν bzw. μ, die die entsprechenden Randbedingungen gewährleisten, von entscheidender Bedeutung. 5.3.3

Lösungsnachweise mit Integralgleichungsmethoden

(A) Außenraumprobleme Zur Lösung des Dirichletschen Außenraumproblems (s. Abschn. 5.3.1, (A)) gehen wir vom Lösungsansatz

∂ Φ(x, y) dσ y , x ∈ Da (5.135) U (x) = ν( y) ∂n y ∂D

i k|x− y|

1 e mit Φ(x, y) = 2π |x− y| aus. Dieser Ansatz genügt, wie wir gesehen haben, bereits der Schwingungsgleichung und der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung. Wir wollen nun ν so bestimmen, daß auch

U= f

∂D

auf

(5.136)

erfüllt ist. Nach Tabelle 5.1, Abschnitt 5.3.2 ist diese Randbedingung zu der Integralgleichung für ν

∂ Φ(x, y) dσ y = f (x) , x ∈ ∂ D (5.137) ν(x) + ν( y) ∂n y ∂D

äquivalent. Wegen |Φ(x, y)| ≤

1 2π|x − y|

für Im k ≥ 0 gilt Φ(x, y) = O

1 |x − y|

Für die Normalableitung

∂ ∂n y Φ

für

x→ y

(x , y ∈ ∂ D) .

(5.138)

gilt dasselbe asymptotische Verhalten:

∂ 1 Φ(x, y) = O ∂n y |x − y|

für

x→ y

(x , y ∈ ∂ D) .

(5.139)

Zum Nachweis führen wir ein Tangenten-Normalen-System (y1 , y2 , y3 ) im Punkt x ∈ ∂ D

240


Bild 5.6: Einführung eines Tangenten-Normalen-Systems

gemäß Figur 5.6 ein. Die Fläche ∂ D ist nach Voraussetzung glatt und besitzt damit in einer Umgebung ∂ D x von x auf ∂ D eine Darstellung der Form (y1 , y2 , f (y1 , y2 )) mit zweimal stetig differenzierbarem f und ∂ f ∂ f = = f (0,0) = 0 . (5.140) ∂ y1 (0,0) ∂ y2 (0,0) Es gilt dann für y ∈ ∂ Dx und Im k ≥ 0 3 4 ∂ i k|x− y| ∂ 1 1 1 ∂ i k|x− y| +e Φ(x, y) = e · · ∂n y 2π ∂n y |x − y| ∂n y |x − y| 1 ∂ 1 1 1 1 1 = +O = ∇y ·n( y) + O 2π ∂n y |x − y| |x − y| 2π |x − y| |x − y| 1 1 1 1 1 ∇y ·n(x) + ∇y ·[n( y) − n(x)] + O = 2π |x − y| 2π |x − y| |x − y| für x → y. Wegen n( y) − n(x) = O(|x − y|) für x → y (warum?), gilt mit n( y) = (0,0,1), y3 = f (y1 , y2 ) und x 3 = 0 für x → y: ∂ 1 y3 − x 3 1 Φ(x, y) = + O ∂n y 2π |x − y|3 |x − y| (5.141) 1 f (y1 , y2 ) 1 = + O . 2π |x − y|3 |x − y| Entwickeln wir f (y1 , y2 ) in eine Taylorreihe um den Punkt (0,0) (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.3.6), so folgt wegen (5.140): f (y1 , y2 ) = O(y12 + y22 ), woraus sich mit y12 + y22 < |x − y|2 dann f (y1 , y2 ) = O(|x − y|2 ) und damit wegen (5.141) die Beziehung (5.139) ergibt.


Mit der Abkürzung

∂ Φ(x, y) dσ y , (T ν)(x) := ν( y) ∂n y

x ∈ ∂D

241

(5.142)

∂D

läßt sich die Integralgleichung (5.137) kurz in der Form ν + Tν = f

(5.143)

schreiben. Wir setzen im folgenden stets f ∈ C1+α (∂ D)

(5.144)

voraus und zeigen zunächst: Satz 5.10: Es sei ν eine stetige Lösung der Integralgleichung (5.143). Dann löst

∂ Φ(x, y) dσ y U (x) = ν( y) ∂n y

(5.145)

∂D

das Dirichletsche Außenraumproblem. Beweis: Nach Voraussetzung ist ν ∈ C(∂ D) Lösung von (5.143). Daher gilt: ν = f − T ν. Da f ∈ C 1+α (∂ D) und nach Tabelle 5.1 T ν ∈ Cα (∂ D) ist, folgt hieraus ν ∈ Cα (∂ D) und Tabelle 5.1 liefert (Sprungverhalten des Doppelpotentials!) Ua (x) = ν(x) + U (x) = ν(x) + T ν(x) = f (x) ,

x ∈ ∂D

(ν ist Lösung von (1.143)!), d.h. U erfüllt die Dirichletsche Randbedingung. Aus früheren Untersuchungen (s. Abschn. 5.1.5 und 5.2.2) wissen wir bereits: U ∈ C 2 (Da ), U genügt in Da der Schwingungsgleichung und erfüllt die Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung. Es bleibt zu zeigen: U ∈ C 1 (Da + ∂ D). Dies folgt aber wieder mit Tabelle 5.1: Wegen ν ∈ C 1+α (∂ D), also insbesondere ν ∈ Cα (∂ D) folgt T ν ∈ C 1 (Da + ∂ D) (und T ν ∈ C 1 (Di + ∂ D)). Damit ist der Satz bewiesen. Unser Dirichletsches Außenraumproblem reduziert sich damit auf die Diskussion der Integralgleichung (5.143). Die hierzu benötigten Hilfsmittel stehen uns erfreulicherweise aus Abschnitt 2.2 zur Verfügung: Wegen (5.139) ist T ein Integraloperator mit schwach-singulärem Kern (n = 3; Dimension des kompakten Integrationsbereiches ∂ D: m = 2 ≤ n; α = 1; s. auch (2.82)). Nach Satz 2.15, Abschnitt 2.2.5 gilt daher für die Integralgleichung (5.143) die Fredholmsche Alternative. Diese besagt: Wenn die homogene Integralgleichung η + Tη = 0

(5.146)

242


nur die triviale Lösung η = 0 besitzt, dann besitzt die inhomogene Integralgleichung (5.143) für jede stetige Funktion f genau eine stetige Lösung ν. Es genügt also, die homogene Integralgleichung (5.146) zu untersuchen. Hierzu sei η ∈ C(∂ D) eine Lösung von (5.146). Ferner sei

∂ η( y) Φ(x, y) dσ y , x ∈ R3 . (5.147) V (x) := ∂n y ∂D

Wie im Beweis von Satz 5.10 ergibt sich: V ∈ C 1 (Da + ∂ D), V ∈ C 1 (Di + ∂ D), und der Tabelle 5.1 entnehmen wir: Va (x) = η(x) + V (x), woraus wegen V (x) = T η(x) und (5.146) Va (x) = η(x) + T η(x) = 0 ,

x ∈ ∂D

(5.148)

folgt. Außerdem genügt V in Da der Schwingungsgleichung und der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung (Begründung wie früher). Nach Abschnitt 5.3.1 ist das Dirichletsche Außenraumproblem (auch das homogene) eindeutig lösbar. Demnach ist V ≡ 0 in Da . Dies zieht ∂ ∂ ∂ ∂n Va = 0 auf ∂ D nach sich (warum?). Nach Tabelle 5.1 gilt ∂n Va − ∂n Vi = 0 auf ∂ D, so daß ∂ sich ∂n Vi = 0 auf ∂ D ergibt. V löst also das homogene Neumannsche Innenraumproblem ⎧ ⎨ ΔV + k 2 V = 0 in Di ; ∂V ⎩ = 0 auf ∂ D . ∂n

(5.149)

(a) Ist η ≡ 0 auf ∂ D, so ist V ≡ 0 in Di : Andernfalls würde aus V ≡ 0 in Di auch Vi ≡ 0 auf ∂ D folgen (stetige Fortsetzbarkeit des Doppelpotentials von Di auf Di +∂ D, s. Tabelle. 5.1). Wegen Va = 0 (s.o.) und der Sprungrelation für das Doppelpotential (Tab. 5.1) hätte dies η = 12 (Va − Vi ) ≡ 0 zur Folge. (b) Wir zeigen nun umgekehrt: Ist V ≡ 0 eine Lösung des homogenen Neumannschen Innenraumproblems (5.149), so besitzt die homogene Integralgleichung (5.146) eine Lösung η ≡ 0. Sei V ≡ 0 also Lösung von (5.149). Aus der Darstellungsformel für Innengebiete (s. Ab∂ Vi = 0 schn. 5.1.3) folgt dann wegen ∂n

∂ 1 Vi ( y) Φ(x, y) dσ y , x ∈ Di (5.150) V (x) = − 2 ∂n y ∂D

und wegen

∂ ∂n Va

−

∂ ∂n Vi

= 0 (s. Tab. 5.1):

∂ ∂n Va

= 0 auf ∂ D.

Ferner gilt mit 1 V (x) := − 2

Vi ( y) ∂D

∂ Φ(x, y) dσ y , ∂n y

x ∈ Da ,

(5.151)

daß V der Schwingungsgleichung und der Sommerfeldschen Ausstrahlungsbedingung genügt.


243

Aufgrund des Eindeutigkeitssatzes für das Neumannsche Außenraumproblem (s. Abschn. 5.3.1) ist daher V ≡ 0 in Da . Da sich die durch (5.151) erklärte Funktion V stetig von außen auf ∂ D fortsetzen läßt (Doppelpotential!), gilt auch Va ≡ 0 auf ∂ D und daher mit der Sprungrelation für das Doppelpotential

1 1 ∂ Vi ( y) Φ(x, y) dσ y , x ∈ ∂ D 0 = Va (x) = − Vi (x) − 2 2 ∂n y ∂D

oder mit (5.142) 0 = Vi (x) + T Vi (x) ,

x ∈ ∂D .

Die Funktion η(x) := Vi (x), x ∈ ∂ D genügt somit der homogenen Integralgleichung η + T η = 0. Für dieses η gilt: η ≡ 0. Denn: η ≡ 0 auf ∂ D hätte Vi ≡ 0 auf ∂ D und daher wegen (5.150) V ≡ 0 in Di zur Folge, im Widerspruch zu der in (b) gemachten Voraussetzung. Damit ist gezeigt: Die homogene Integralgleichung (5.146) besitzt nichttriviale Lösungen η genau dann, wenn das homogene Neumannsche Innenraumproblem (5.149) nichttriviale Lösungen V besitzt. Die Frage nach der Lösbarkeit des Dirichletschen Außenraumproblems wird also zurückgespielt auf die Frage nach der Lösbarkeit des homogenen Neumannschen Innenraumproblems. Dieses besitzt nach dem Eindeutigkeitssatz (s. Abschn. 5.1.3) für Im k > 0 nur die Lösung V = 0. Somit besitzt auch die homogene Integralgleichung (5.146) nur die Lösung η = 0 und (nach dem Fredholmschen Alternativsatz) die inhomogene Integralgleichung (5.143) eine eindeutig bestimmte Lösung ν. Zusammen mit Satz 5.10 ergibt sich daher Satz 5.11: Das Dirichletsche Außenraumproblem besitzt für Im k > 0 genau eine Lösung U (x). Diese läßt sich in der Form

∂ Φ(x, y) dσ y , x ∈ Da (5.152) U (x) = ν( y) ∂n y ∂D

darstellen, wobei ν die eindeutig bestimmte Lösung der Integralgleichung

∂ Φ(x, y) dσ y = f (x) , x ∈ ∂ D ν(x) + ν( y) ∂n y

(5.153)

∂D

ist. Bemerkung: Dieser Lösungsweg über die Integralgleichung (5.153) läßt sich auch zur numerischen Behandlung des Dirichletschen Außenraumproblems verwenden (s. Greenspan und Werner [61]). Dabei wird das Integral in (5.153) mit Hilfe geeigneter Quadraturformeln angenähert. Bleibt noch die Behandlung des Falles reeller k (Im k = 0). Hier führt der obige Weg wieder auf

244


das homogene Neumannsche Innenraumproblem (5.149), das jetzt aber nichttriviale Lösungen besitzt (für k = 0 genau die Konstanten; s. Abschn. 5.3.1, (B)). Diese Schwierigkeit läßt sich dadurch meistern, daß man anstelle des Lösungsansatzes (5.135) einen modifizierten Lösungsansatz verwendet, der auf Werner und Brakhage [12] bzw. Leis [100] zurückgeht: Für Im k ≥ 0 geht man dabei vom Ansatz

∂ − i ϕ Φ(x, y) dσ y (5.154) U (x) = ν( y) ∂n y ∂D

aus, also von einer Kombination aus einem Einfach- und einem Doppelpotential. Hierbei ist ϕ die Vorzeichenfunktion 1 für Re k ≥ 0 ϕ= (5.155) −1 für Re k < 0 . Die Anwendung der Sprungrelationen führt dann wieder auf eine Fredholmsche Integralgleichung 2-ter Art mit schwach-singulärem Kern: ν + Tν = f , wobei T jetzt durch

∂ − i ϕ Φ(x, y) dσ y (T ν)(x) := ν( y) ∂n y

(5.156)

(5.157)

∂D

erklärt ist. Ein zum Fall Im k > 0 analoges Vorgehen liefert nun anstelle des homogenen Neumannschen Innenraumproblems (5.149) das homogene Problem ⎧ ⎨ ΔV + k 2 V = 0 in Di ; (5.158) ⎩ ∂ V − i ϕV = 0 auf ∂ D ∂n mit gemischter Randbedingung. Von diesem läßt sich zeigen (s. Üb. 5.9), daß es nur die triviale Lösung V = 0 besitzt, und es ergibt sich entsprechend der folgende

Satz 5.12: Das Dirichletsche Außenraumproblem besitzt für Im k ≥ 0 genau eine Lösung U (x). Diese läßt sich in der Form

∂ − i ϕ Φ(x, y) dσ y x ∈ Da (5.159) U (x) = ν( y) ∂n y ∂D


darstellen, wobei ν die eindeutig bestimmte Lösung der Integralgleichung

∂ ν(x) + ν( y) − i ϕ Φ(x, y) dσ y = f (x) , x ∈ ∂ D ∂n y

245

(5.160)

∂D

ist.

Das Neumannsche Außenraumproblem (s. Abschn. 5.3.1, (A)), für das wir jetzt f ∈ C α (∂ D) ,

(5.161)

also Hölderstetigkeit von f auf dem Rand ∂ D, voraussetzen, soll im folgenden nur skizzenhaft behandelt werden. Hier liefert der Ansatz

(5.162) U (x) = μ( y)Φ(x, y) dσ y ∂D

unter Verwendung der Sprungrelationen die Integralgleichung

∂ Φ(x, y) dσ y = f (x) , x ∈ ∂ D . −μ(x) + μ( y) ∂n x

(5.163)

∂D

Analog zum Dirichletschen Außenraumproblem kann gezeigt werden: Die homogene Integralgleichung

∂ −η(x) + η( y) Φ(x, y) dσ y = 0 , ∂n x

x ∈ ∂D

(5.164)

∂D

besitzt nichttriviale Lösungen η genau dann, wenn das homogene Dirichletsche Innenraumproblem ΔV + k 2 V = 0 in Di ; (5.165) V = 0 auf ∂ D nichttriviale Lösungen V besitzt.

Nach dem Eindeutigkeitssatz für Dirichletsche Innenraumprobleme (s. Abschn. 5.3.1) ist (5.165) für Im k > 0 und für k = 0 eindeutig lösbar: V = 0, so daß auch das Neumannsche Außenraumproblem eindeutig lösbar ist. Für reelle k (Im k = 0) besitzt (5.165) nichttriviale Lösungen, so daß sich der erste Teil des Fredholmschen Alternativsatzes nicht anwenden läßt. Hier führt wie-

246


der ein modifizierter Ansatz von P. Werner [156] zum Ziel: Der Ansatz

1 η( y)Φ(x, y) dτ y , U (x) = μ( y)Φ(x, y) dσ y + 2 ∂D

(5.166)

Di

der sich aus einem Einfachpotential und einem Volumenpotential zusammensetzt, führt auf ein System von Integralgleichungen für das Funktionenpaar (μ, η):

⎧ ∂ ⎪ Φ(x, y) dσ y ⎪ − μ(x) + μ( y) ⎪ ⎪ ∂n x ⎪ ⎪ ⎪ ∂ D ⎪

⎪ ⎪ ⎪ 1 ∂ ⎪ ⎪ + η( y) Φ(x, y) dτ y = f (x) , x ∈ ∂ D ⎪ ⎪ 2 ∂n x ⎪ ⎨ Di

(5.167) ⎪ ⎪ ⎪ − η(x) + i ϕψ(x) μ( y)Φ(x, y) dσ y ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ∂D ⎪ ⎪

⎪ ⎪ 1 ⎪ ⎪ + i ϕψ(x) η( y)Φ(x, y) dτ y = 0 , x ∈ Di . ⎪ ⎪ ⎩ 2 Di

Dabei ist ϕ die Vorzeichenfunktion 1 für Re k ≥ 0 ϕ= −1 für Re k < 0

(5.168)

und ψ(x) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit ψ = 0 auf ∂ D und ψ > 0 in Di . In der oben zitierten Arbeit von P. Werner findet sich der Beweis von Satz 5.13: Das Neumannsche Außenraumproblem besitzt für Im k ≥ 0 genau eine Lösung, die sich in der Form (5.166) darstellen läßt. Dabei sind μ und η die eindeutig bestimmten Lösungen des Integralgleichungssystems (5.167). Bemerkung: Numerische Untersuchungen von Neumannschen Außenraumproblemen auf der Grundlage entsprechender Integralgleichungen wurden von Kussmaul [95] durchgeführt. Wie schon beim Dirichletschen Außenraumproblem werden auch hier die auftretenden Integrale durch geeignete Quadraturformeln angenähert. Dabei hat man es infolge der stärkeren Singularität der Integraloperatoren mit zusätzlichen Schwierigkeiten zu tun. (B) Innenraumprobleme Wir beginnen mit dem Dirichletschen Innenraumproblem (s. Abschn. 5.3.1, (B)), wobei wir jetzt f ∈ C1+α (∂ D)

(5.169)


247

in der Randbedingung voraussetzen. Daneben betrachten wir das zugehörige homogene Dirichletsche Innenraumproblem mit ΔV + k 2 V = 0 in Di ; (5.170) V = 0 auf ∂ D . Ist U eine Lösung des Dirichletschen Innenraumproblems und V eine Lösung von (5.170), so gilt nach der zweiten Greenschen Formel (s. Abschn. 5.1.1, (5.6)) 4

3

∂U ∂V −V dσ = [U ΔV − V ΔU ] dτ , U ∂n ∂n ∂D

Di

woraus sich wegen ΔV = −k 2 V , ΔU = −k 2 U in Di , V = 0 auf ∂ D und U = f auf ∂ D

f ∂D

∂V dσ = 0 ∂n

(5.171)

ergibt. Dies ist eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit des Dirichletschen Innenraumproblems. Wir können also f im allgemeinen nicht beliebig vorgeben, sondern dürfen nur solche f zulassen, die für alle Lösungen V von (5.170) der Bedingung (5.171) genügen. Wir zeigen, daß diese Bedingung auch hinreichend ist. Hierzu gehen wir vom Ansatz

∂ Φ(x, y) dσ y , x ∈ Di (5.172) U (x) = ν( y) ∂n y ∂D

aus. Aus der Sprungrelation für das Doppelpotential (s. Abschn. 5.3.2, Tabelle. 5.1) folgt dann, daß die Dirichletsche Randbedingung zu der Integralgleichung für ν:

∂ −ν(x) + ν( y) Φ(x, y) dσ y = f (x) , x ∈ ∂ D (5.173) ∂n y ∂D

äquivalent ist. Mit

∂ Φ(x, y) dσ y , (T ν)(x) := ν( y) ∂n y

x ∈ ∂D

(5.174)

∂D

läßt sich (5.173) kurz in der Form −ν + T ν = f

(5.175)

schreiben. Für diese Integralgleichung gilt wieder der Fredholmsche Alternativsatz (siehe Abschn. 2.2.5, Satz 2.15). Da wir jetzt für gewisse reelle k mit nichttrivialen Lösungen der homoge-

248


nen Integralgleichung −η + T η = 0

(5.176)

rechnen müssen, benötigen wir den zweiten Teil des Fredholmschen Alternativsatzes. Hierzu führen wir in C(∂ D) durch

(5.177) (u, v) := uv dσ ∂D

ein Skalarprodukt ein. Der zu T adjungierte Operator T ∗ (s. Abschn. 2.1.6) ist durch

∗

(T μ)(x) :=

μ( y) ∂D

∂ Φ(x, y) dσ y , ∂n x

x ∈ ∂D

(5.178)

gegeben (nachrechnen!). Der zweite Teil des Fredholmschen Alternativsatzes (s. Abschn. 2.1.3 und 2.1.6) besagt: (1) Die Gleichung −η + T η = 0 besitzt höchstens endlich viele linear unabhängige Lösungen; ebenso die Gleichung −μ+ T ∗ μ = 0. Die Anzahl dieser Lösungen stimmt in beiden Fällen überein. (2) Die inhomogene Gleichung −ν + T ν = f ist genau dann lösbar, wenn für alle Lösungen μ der Gleichung −μ + T ∗ μ = 0

f μ dσ = 0 (5.179) ( f, μ) = ∂D

gilt. Wir wollen diesen Satz anwenden und betrachten hierzu die Gleichung −μ + T ∗ μ = 0 .

(5.180)

Durch Übergang zur konjugiert komplexen Gleichung folgt hieraus −μ + T ∗ μ = −μ + T ∗ μ = 0 oder mit (5.178)

∂ Φ(x, y) dσ y = 0 , −μ(x) + μ( y) ∂n x

x ∈ ∂D .

(5.181)

∂D

Wir setzen

W (x) :=

μ( y)Φ(x, y) dσ y . ∂D

(5.182)


249

Aus (5.181) und der entsprechenden Sprungrelation (s. Abschn 5.3.2, Tabelle. 5.1) folgt dann ∂ 1 1 ∂n Wa = 0; ferner: W ∈ C (Di + ∂ D) und W ∈ C (Da + ∂ D). Nach dem Eindeutigkeitssatz für das Neumannsche Außenraumproblem (s. Abschn. 5.3.1) gilt daher W = 0 in Da . Aufgrund der Stetigkeit des Einfachpotentials folgt Wi = Wa = 0 auf ∂ D, d.h. W löst das homogene Dirichletsche Innenraumproblem. Ferner liefert die Sprungrelation für die Normalableitung des ∂ ∂ ∂ ∂ Wi − ∂n Wa = 2μ, oder wegen ∂n Wa = 0: ∂n Wi = 2μ. Das Einfachpotentials (s. Tab. 5.1) ∂n Skalarprodukt ( f, μ) läßt sich damit durch

1 ∂ Wi ( f, μ) = dσ (5.183) f μ dσ = f 2 ∂n ∂D

∂D

ausdrücken. Wegen (5.179) ist −ν + T ν = f genau dann lösbar, wenn2 ( f, μ) = 0 für alle Wi Lösungen μ von −μ + T ∗ μ = 0 ist. Diese Bedingung ist aber wegen f ∂∂n dσ = 0 (die ∂D

notwendige Bedingung (5.178) soll erfüllt sein!) und (5.183) erfüllt. Damit ist −ν + T ν = f für alle f , die (5.171) genügen, lösbar. Wie in Teil (A) folgt aus f ∈ C1+α (∂ D) wegen ν = − f +T ν auch ν ∈ C 1+α (∂ D). Mit diesem ν löst

∂ U (x) = ν( y) Φ(x, y) dσ y ∂n y ∂D

(s. (5.172)) unser Problem. Damit ist gezeigt:

Satz 5.14: Das Dirichletsche Innenraumproblem ist genau dann lösbar, wenn für jede Lösung W des zugehörigen homogenen Dirichletschen Innenraumproblems (5.170) die Bedingung

∂W dσ = 0 (5.184) f ∂n ∂D

erfüllt ist.

Bemerkung: Im Fall reeller Werte k können endlich viele linear unabhängige Lösungen W1 , . . . , Wm des homogenen Dirichletschen Innenraumproblems (5.170) auftreten. Erfüllt f dann für diese Lösungen (5.184), so ist das (inhomogene) Dirichletsche Innenraumproblem zwar lösbar, jedoch nicht eindeutig: Ist U (x) irgendeine Lösung, so sind durch U (x) +

m

c j W j (x) ,

j=1

weitere Lösungen gegeben.

c j : beliebige Konstanten

(5.185)

250


Als Folgerung von Satz 5.14 ergibt sich Satz 5.15: Besitzt das homogene Dirichletsche Innenraumproblem (5.170) nur die Lösung W = 0, so besitzt das (inhomogene) Dirichletsche Innenraumproblem für jedes f ∈ C(∂ D) genau eine Lösung. Dies trifft insbesondere für die Fälle Im k > 0

und k = 0 (Potentialtheorie)

zu. Das Neumannsche Innenraumproblem (s. Abschn. 5.3.1, (B)) mit f ∈ Cα (∂ D)

(5.186)

läßt sich ganz entsprechend behandeln: Neben diesem Problem betrachtet man das zugehörige homogene Neumannsche Innenraumproblem mit ⎧ ⎨ ΔV + k 2 V = 0 in Di ; (5.187) ∂V ⎩ = 0 auf ∂ D . ∂n Als notwendige Bedingung für die Lösbarkeit des inhomogenen Problems erhält man die (5.171) entsprechende Bedingung

f V dσ = 0 (5.188) ∂D

für alle Lösungen V von (5.187). Man geht in diesem Fall von dem Ansatz

U (x) = ν( y)Φ(x, y) dσ y , x ∈ Di

(5.189)

∂D

aus und erhält mittels Sprungrelation eine zur Neumannschen Randbedingung ∂U ∂n = f auf ∂ D äquivalente Integralgleichung, von der man wie oben zeigt, daß sie für jedes f , das (5.188) genügt, lösbar ist. So gelangt man zu dem folgenden Satz 5.16: Das Neumannsche Innenraumproblem ist genau dann lösbar, wenn für jede Lösung W des zugehörigen homogenen Neumannschen Innenraumproblems (5.187) die Bedingung

f W dσ = 0 (5.190) ∂D

erfüllt ist.


251

Bemerkung: Im Falle der Potentialtheorie (k = 0) sind, wie wir gesehen haben, die Konstanten die einzigen Lösungen des homogenen Neumannschen Innenraumproblems, so daß anstelle von (5.190) die Bedingung

f dσ = 0

(5.191)

∂D

auftritt. Als Folgerung von Satz 5.16 ergibt sich Satz 5.17: Besitzt das homogene Neumannsche Innenraumproblem (5.187) nur die Lösung W = 0, so besitzt das (inhomogene) Neumannsche Innenraumproblem für jedes f ∈ C(∂ D) genau eine Lösung. Dies trifft insbesondere für alle Werte k mit Im k > 0 zu. Insgesamt haben wir damit eine vollständige Übersicht über das Lösungsverhalten der beiden wichtigsten Randwertprobleme für die Helmholtzsche Schwingungsgleichung gewonnen. Übungen Übung 5.9*: Beweise den folgenden Eindeutigkeitssatz: Es sei D ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche ∂ D und V eine in D zweimal stetig differenzierbare und in D = D ∪ ∂ D einmal stetig differenzierbare Funktion mit ⎧ ⎨ ΔV + k 2 V = 0 in D , k ∈ R ; ⎩ ∂ V − i βV = 0 auf ∂ D , β ∈ R (β = 0) . ∂n Dann verschwindet V in D identisch.

Übung 5.10*: Gegeben sei das gemischte Innenraumproblem für die Schwingungsgleichung im R3 : Gesucht ist eine in D (D wie in Üb. 5.9) zweimal stetig differenzierbare und in D einmal stetig differenzierbare Funktion U mit ⎧ ⎨ ΔU + k 2 U = 0 in D , Im k > 0 bzw. k = 0 ; ⎩ ∂U + hU = f ∂n

auf ∂ D ,

wobei h ∈ C(∂ D), h > 0 und f ∈ Cα (∂ D), α > 0 sind.

252


(a) Leite mit Hilfe des Ansatzes U (x) =

1 2π

μ( y) ∂D

ei k|x− y| dσ y , |x − y|

x∈D

unter Beachtung der Sprungrelationen eine Integralgleichung für μ(x) auf ∂ D her (Integralgleichungstyp?). (b) Zeige: Die Integralgleichung aus Teil (a) besitzt für jede stetige Funktion f genau eine stetige Lösung μ. (c) Es sei μ die nach (b) eindeutig bestimmte Lösung der Integralgleichung. Setze μ in den Lösungsansatz für U ein und beweise, daß dadurch eine eindeutig bestimmte Lösung des gemischten Innenraumproblems gewonnen ist.

Übung 5.11*: Die Kelvintransformation an einer Kugel im R3 mit dem Radius R um den Nullpunkt (wir bezeichnen sie mit K ) ist wie folgt erklärt: Jedem x ∈ K wird ein Punkt x zugeordnet, der auf der Halbgeraden liegt, die vom Nullpunkt durch den Punkt x verläuft und für den |x | · |x| = R 2 gilt. (a) Drücke x durch x bzw. x durch x aus: x = ϕ(x) bzw. x = ψ(x ). (ϕ, ψ = ?) (b) Zeige: Ist U eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, und ist V durch V (x ) =

R U (ψ(x )) |x |

erklärt, so gilt ΔU (x) =

|x |5 ΔV (x ) . R5

Welche Konsequenzen ergeben sich aus dieser Formel, wenn U in K der Potentialgleichung genügt? Hinweis: Verwende räumliche Polarkoordinaten: x = (r cos ϕ · cos ϑ, r sin ϕ · cos ϑ, r sin ϑ) .

5.4 Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie

5.4

Ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie

5.4.1

Die Greensche Funktion zum Dirichletschen Innenraumproblem

Die Darstellungsformel für Innengebiete 4

3 ∂ ∂ Φ(x, y) U ( y) − U ( y) Φ(x, y) dσ y , U (x) = ∂n ∂n y

x∈D

253

(5.192)

∂D

(s. Abschn. 5.1.3) legt im Falle n = 3 der Potentialtheorie (k = 0) folgenden Gedanken nahe: Falls es uns gelingen würde, anstelle der betrachteten Grundlösung Φ(x, y) der Potentialgleichung eine andere, etwa G(x, y), zu finden, die auf dem Rand ∂ D von D (d.h. für x ∈ ∂ D) verschwindet, so könnte man erwarten, mit Hilfe von G und der Dirichletschen Randbedingung U (x) = f (x) für x ∈ ∂ D aus (5.192) unmittelbar eine Lösung des Dirichletschen Innenraumproblems mit ΔU = 0 in D ; (5.193) U = f auf ∂ D zu gewinnen. Zur Realisierung dieser Idee suchen wir eine Funktion ϕ(x, y) mit Δx ϕ(x, y) = 0

in D

für y ∈ D

(5.194)

für x ∈ ∂ D .

(5.195)

und 1 + ϕ(x, y) = 0 |x − y| Man nennt die durch G(x, y) :=

1 + ϕ(x, y) |x − y|

(5.196)

erklärte Funktion G die Greensche Funktion des Dirichletschen Innenraumproblems für das Gebiet D. Gibt es überhaupt eine solche Funktion G? Zur Beantwortung dieser Frage lösen wir für beliebiges (festes) y ∈ D das Dirichletsche Innenraumproblem mit ⎧ ⎨ Δ x ϕ(x, y) = 0 in D ; (5.197) 1 ⎩ ϕ(x, y) = − auf ∂ D . |x − y| Nach Abschnitt 5.3.3 besitzt dieses Problem eine eindeutig bestimmte Lösung. Wegen (5.196) ist damit auch G eindeutig bestimmt. Da |x−1 y| für x = y als Funktion von x der Potentialgleichung genügt, trifft dies auch für die Greensche Funktion zu. Außerdem hat G(x, y) dieselbe Singularität wie die uns bekannte Grundlösung Φ(x, y) der Potentialgleichung (s. Abschn. 5.1.3,

254


(5.35)) und leistet das, was wir anstreben: G(x, y) = 0

für

x ∈ ∂D .

(5.198)

Des weiteren ist G(x, y) eine symmetrische Funktion: G(x, y) = G( y, x)

für

x, y ∈ D .

(5.199)

Dies sieht man so: Wir wählen Punkte y1 und y2 aus D, y1 = y2 und wenden die zweite Greensche Formel (s. Abschn. 5.1.1, (5.6)) auf das gemäß Figur 5.9 schraffiert gezeichnete Gebiet und auf die Funktionen G(x, y1 ) und G(x, y2 ) an. (Wir beachten, daß beide auf ∂ D verschwinden!). Wir erhalten

Bild 5.7: Zum Symmetrienachweis von G(x, y)

3

4 ∂ ∂ G(x, y2 ) − G(x, y2 ) G(x, y1 ) dσx ∂n x ∂n x

[. . . ] dσ x + [. . . ] dσx .

G(x, y1 )

0= ∂D

= ∂ K 1 (r )

(5.200)

∂ K 2 (r )

Wie im Beweis der Darstellungsformel (s. Abschn. 5.1.3) ergibt sich wegen (5.196) für r → 0:

[. . . ] dσx = −4π G( y1 , y2 ) + O(r ) (5.201) ∂ K 1 (r )

und entsprechend

[. . . ] dσx = 4π G( y2 , y1 ) + O(r ) . ∂ K 2 (r )

(5.202)


255

Aus (5.200), (5.201) und (5.202) folgt damit für r → 0 die Symmetrie der Greenschen Funktion. Die Greensche Funktion (falls bekannt!)11 ermöglicht uns eine direkte Darstellung der Lösung des Dirichletschen Innenraumproblems: Satz 5.18: Es sei D ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche ∂ D und f eine auf ∂ D stetige Funktion. Dann läßt sich die (eindeutig bestimmte) Lösung des Dirichletschen Innenraumproblems mit ΔU = 0 in D ; (5.203) U = f auf ∂ D in der Form 1 U (x) = − 4π

f ( y) ∂D

∂ G(x, y) dσ y ∂n y

(5.204)

darstellen. Beweis: Wenden wir die zweite Greensche Formel (s. Abschn. 5.1.1, (5.6)) auf das Gebiet D − K r (x) mit K r (x) := { y | y − x| ≤ r }, x ∈ D, r hinreichend klein an, so gilt 4

3 ∂ ∂ U ( y) 0= G( y, x) − G( y, x) U ( y) dσ y ∂n y ∂n ∂ D∪∂ K r

(5.205) ∂ = f ( y) G( y, x) dσ y + [. . . ] dσ y . ∂n y ∂D

∂ Kr

Wie beim Nachweis von (5.201) folgt

[. . . ] dσ y → 4πU (x) für r → 0 .

(5.206)

∂ Kr

Aus (5.205), (5.206) und der Symmetrie von G ergibt sich die Behauptung von Satz 5.18.

Für das homogene Dirichletsche Innenraumproblem für die Poissonsche Gleichung: ΔU = g in D ; (5.207) U = 0 auf ∂ D zeigen wir noch den für unsere weiteren Untersuchungen wichtigen 11 Zur Greenschen Funktion für die Kugel bzw. den Halbraum s. Üb. 5.12 bzw. Üb. 5.16

256


Satz 5.19: Es sei D ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche ∂ D. Die Funktion g sei in D = D ∪ ∂ D stetig differenzierbar. Dann ist

1 U (x) = − g( y)G(x, y) dτ y (5.208) 4π D

die (eindeutig bestimmte) Lösung des Problems (5.207). Beweis: Mit (5.196) schreiben wir (5.208) in der Form

1 1 1 g( y) g( y)ϕ(x, y) dτ y . U (x) = − dτ y − 4π |x − y| 4π D

D

Wegen Folgerung 5.1, Abschnitt 5.2.1 (k = 0!) und Δ x ϕ(x, y) = 0 für x ∈ D folgt ⎛ ⎞

1 1 1 dτ y ⎠ − ΔU (x) = Δ ⎝− g( y) g( y)Δ x ϕ(x, y) dτ y = g(x) + 0 = g(x) 4π |x − y| 4π D

D

für x ∈ D. Die Beziehung U (x) = 0 für x ∈ ∂ D ergibt sich aus G(x, y) = 0 für x ∈ ∂ D. Damit ist alles bewiesen. 5.4.2

Eigenwerte und Eigenfunktionen des Laplace-Operators

Es sei D wieder ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche ∂ D. Wir sind an den Eigenwerten und Eigenfunktionen des Eigenwertproblems ΔU + λU = 0 in D ; (5.209) U = 0 auf ∂ D interessiert. Dabei bezeichnet man als Eigenwerte von Problem (5.209) diejenigen Werte λ ∈ C, für die (5.209) von U ≡ 0 verschiedene Lösungen U besitzt. Die zugehörigen Lösungen U nennt man Eigenfunktionen. Man benötigt diese zum Beispiel bei der Konstruktion von Lösungen von Rand- und Anfangswertproblemen der Wärmeleitungsgleichung (s. Abschn. 6.1.3) und der Wellengleichung (s. Abschn. 7.1.5). Wir zeigen zunächst: Es gibt keine Eigenwerte λ mit λ ≤ 0. Dies folgt für λ < 0 aus (5.209) und dem Integralsatz von Gauß:

∂ 0 = U U dσ = U ∇U ·n dσ = ∇· U ∇U dτ ∂n ∂D ∂D D

>

? |∇U |2 − λ|U |2 dτ . ∇U ·∇U + U ΔU dτ = = D

D


257

Aufgrund dieser Beziehung kann es für λ < 0 kein nichttriviales U geben, das ΔU + λU = 0 genügt. λ = 0 kann ebenfalls kein Eigenwert von (5.209) sein, da das homogene Dirichletsche Innenraumproblem der Potentialtheorie nach Abschnitt 5.3.1 nur die Lösung U = 0 besitzt. Um zu weitergehenden Aussagen über die Eigenwerte und -funktionen von Problem (5.209) zu gelangen, ziehen wir die in Abschnitt 2.3.3 entwickelte Theorie symmetrischer Integraloperatoren heran. Hierzu formen wir das Eigenwertproblem (5.209) in ein äquivalentes Eigenwertproblem für eine Integralgleichung um: nach Satz 5.19 in das Problem

λ U ( y)G(x, y) dτ y , x ∈ ∂ D . (5.210) U (x) = 4π D

Der Integraloperator in (5.210) besitzt mit G(x, y) einen symmetrischen, schwach-polaren Kern (vgl. Abschn. 2.3.3, (2.121): n = 3, m = dim(D) = 3 = n, α = 12 ). Mit den Ergebnissen von Abschnitt 2.3.2, Satz 2.20 und Abschnitt 2.3.3, Satz 2.22 und der Tatsache, daß keine Eigenwerte λ mit λ ≤ 0 auftreten können (s.o.) ergibt sich unmittelbar:12

Satz 5.20: (a) Zum Eigenwertproblem (5.209) gibt es eine monoton wachsende Folge {λn } von positiven Eigenwerten mit λn → ∞ für n → ∞, die sich in R+ nirgends häufen können und ein zugehöriges abzählbar unendliches vollständiges Orthonormalsystem {Un } von Eigenfunktionen. Dabei gibt es zu jedem Eigenwert höchstens endlich viele orthonormierte Eigenfunktionen. (b) Jede in D = D ∪ ∂ D zweimal stetig differenzierbare Funktion h mit h(x) = 0 auf ∂ D läßt sich in eine in D gleichmäßig konvergente Reihe nach den Eigenfunktionen {Un } entwickeln: h(x) =

∞

cn Un (x)

(5.211)

n=1

mit den Koeffizienten

cn = (h, Un ) = hUn dτ .

(5.212)

D

Bemerkung: Zur numerischen Lösung des Eigenwertproblems (5.209) siehe z.B. Hackbusch [110], Kap. 11, S. 227–245. Dort werden Finite-Elemente-Diskretisierung und Diskretisierung durch Differenzenverfahren herangezogen. 12 Wir beachten den Unterschied zwischen λ in (5.210) und λ in den genannten Sätzen: Wir haben hier λ durch λ1 ersetzt.

258


Übungen Übung 5.12*: Berechne die Greensche Funktion G(x, y) für das Dirichletsche Randwertproblem der Potenti altheorie für die Kugel K := {x ∈ R3 |x| < R}. 1 − a Hinweis: Benutze den Ansatz G(x, y) = |x− y| |x−b y| und bestimme a und b so, daß G(x, y) für |x| = R verschwindet.

Übung 5.13*: Setze die in Übung 5.12 gewonnene Greensche Funktion in die Lösungsformel (5.204) für das Dirichletsche Problem ein und leite die Poissonsche Integralformel U (x) =

1 R 2 − |x|2 4π R

| y|=R

f ( y) dσ y , |x − y|3

|x| < R

her.

Übung 5.14*:

(a) Es sei K := {x ∈ R3 |x| < R}. Ferner sei U (x) nicht negativ und stetig in K , und U (x) genüge der Potentialgleichung in K . Weise mit Hilfe der Poissonschen Integralformel (s. Üb. 5.13) und der Mittelwertformel (s. Abschn. 5.1.4) die Harnacksche Ungleichung R(R + |x|) R(R − |x|) U (0) ≤ U (x) ≤ U (0) , (R + |x|)2 (R − |x|)2

|x| < R

nach. (b) Zeige: Ist u(x) eine in ganz R3 zweimal stetig differenzierbare Funktion, die dort u(x) ≤ C und Δu(x) = 0 erfüllt, dann ist u(x) eine Konstante. (Vgl. auch den Satz von Liouville der Funktionentheorie, Burg/Haf/Wille [21], Abschn. 2.2.5) Hinweis: Betrachte die Funktion U (x) := C − u(x) und verwende die Harnacksche Ungleichung.

Übung 5.15: Beweise ein dem Satz 5.18 entsprechendes Resultat für den Fall n = 2. Hinweis: Definiere die Greensche Funktion G(x, y) durch G(x, y) = ln

1 + ϕ(x, y) , |x − y|

wobei ϕ(x, y) für festes y ∈ ∂ D (=Randkurve von D ⊂ R2 ) die Lösung von ⎧ ⎪ ⎨ Δ x ϕ(x, y) = 0 in D ; 1 ⎪ ϕ(x, y) = − ln auf ∂ D ⎩ |x − y| ist. Wie lautet die Poissonsche Integralformel für den Kreis?

5.5 Einführung in die Finite-Elemente-Methode

259

Übung 5.16: Gegeben sei das Dirichletsche Innenraumproblem der Potentialtheorie mit ΔU = 0 in D ; U= f

auf ∂ D ,

wobei D der Halbraum D = {x ∈ R3 x = (x, y, z) mit z > 0} ist. (a) Bestätige, daß die Greensche Funktion dieses Problems durch 1 1 1 G(x, y) = − 4π |x − y| |x − y| gegeben ist. Dabei ist x der Punkt, der durch Spiegelung von x = (x, y, z) an der x, yEbene entsteht: x = (x, y, −z). (b) Zeige mit Hilfe der Formel (5.204), daß die Lösung des obigen Problems z U (x) = 2π

∞ ∞ f (x1 , y1 ,0) −∞ −∞

1 (x − x1 )2 + (y − y1 )2 + z 2

dx 1 dx 2

lautet.

5.5

Einführung in die Finite-Elemente-Methode

In diesem Abschnitt behandeln wir Randwertprobleme für die (elliptische) Differentialgleichung Δu + gu = w im R2 mit der Finite-Elemente-Methode. Dabei wird das Definitionsgebiet von u in kleine Teile (finite Elemente) zerlegt (z.B. Dreiecke im R2 ) und die Lösung durch Zusammensetzen der Teillösungen auf den »finiten Elementen« gewonnen. Um so vorgehen zu können, erläutern wir zuerst allgemein Differenzierbarkeit von Operatoren auf Banachräumen (»Fréchet-Ableitung«)13 und erörtern allgemein Variationsprobleme auf Banachräumen. Dann wird die Äquivalenz gewisser elliptischer Randwertprobleme mit Variationsproblemen aufgezeigt und erläutert, wie diese Variationsprobleme mit der Finite-ElementeMethode (kurz FEM) näherungsweise gelöst werden. 5.5.1

Die Fréchet-Ableitung

Für reelle Funktionen f (x) einer reellen Variablen ist uns der Begriff der Ableitung f (x) wohlbekannt. Wir wollen ihn hier auf Abbildungen zwischen Banachräumen ausdehnen. Wie ist dies zu tun? 13 R.M. Fréchet (1878-1973), französischer Mathematiker

260


In Banachräumen kann man i.a. (leider) nicht dividieren, wohl aber addieren und mit reellen (oder komplexen) Zahlen multiplizieren. Folglich verbietet sich die Bildung eines Differenzenquotienten f (x) − f (x0 ) , x − x0 um durch Grenzübergang x → x0 zur Ableitung f (x0 ) zu gelangen. Wir knüpfen daher besser an die (totale) Differenzierbarkeit im Rn an (s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.3.2). Dort heißt eine Abbildung f : D ⊂ Rn → Rm genau dann (total) differenzierbar ◦ in x 0 ∈ D 14 , wenn sich f (x) in einer Umgebung von x 0 in folgender Form darstellen läßt: f (x) = f (x 0 ) + A(x − x 0 ) + k(x) ,

(5.213)

wobei A eine reelle (m, n)-Matrix ist und k : D → Rm eine Funktion mit der Eigenschaft lim

x→x 0

k(x) = 0. |x − x 0 |

(5.214)

Die Matrix A hängt von x 0 ab, wie auch die Funktion k. Durch Ah =: L(h)

(h := x − x 0 ∈ Rn )

(5.215)

ist eine stetige lineare Abbildung L : Rn → Rm gegeben. Bemerkung: Man kann leicht beweisen, daß A gleich der Funktionalmatrix in x 0 ist: ∂ fi A = f (x 0 ) = (x 0 ) ∂ xk m,n

(5.216)

(s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 6.3.2, Üb. 6.19). Im Falle n = m = 1 reduziert sich A auf die gewöhnliche Ableitung f (x0 ). Hier besteht also kein Unterschied zur wohlbekannten eindimensionalen Differentialrechnung, und so muß es ja auch sein. Liegt nun eine Abbildung f : D → Y (D ⊂ X ) vor, wobei X und Y Banachräume sind, so läßt sich an den Begriff der (totalen) Differenzierbarkeit im Rn , also an (5.213), (5.214) und (5.215) mühelos anknüpfen: Definition 5.3: Es sei f : D → Y (D ⊂ X ) eine Abbildung, wobei X und Y Banachräume sind. ◦ Man nennt f in x0 ∈ D Fréchet-differenzierbar, wenn f in einer Umgebung von x0 folgendermaßen dargestellt werden kann: f (x) = f (x0 ) + L[x 0 ](x − x 0 ) + k(x) . ◦

14 D bezeichnet das Innere von D

(5.217)


261

Dabei ist L[x0 ] ein linearer stetiger Operator von X in Y , und k : D → Y besitzt die Eigenschaft lim

x→x 0

1 k(x) = 0 . x − x0

(5.218)

In diesem Falle schreibt man den Operator L[x 0 ] in der Form L[x 0 ] =: f [x0 ]

(5.219)

und nennt ihn die Fréchet-Ableitung von f in x 0 . f : D → Y heißt Fréchet-differenzierbar in D, wenn f in jedem Punkt x ∈ D Fréchet-differenzierbar ist. Jedem Punkt x ∈ D ist also ein stetiger linearer Operator f [x] : X → Y zugeordnet. Die zugehörige Funktionsgleichung hat dann die Form v = f [x]h . Hierbei ist f [x] das Funktionssymbol (bei festem x), h die unabhängige Variable und v die abhängige Variable. Beispiel 5.2: Wir betrachten das Integral

f (u) := u 2 (x, y) dx dy

(5.220)

B

auf einem kompakten J -meßbaren Bereich B in R2 . Man kann f auffassen als eine Abbildung f : C(B) → R , also vom Banachraum aller stetigen reellwertigen Funktionen in den Raum der reellen Zahlen. Die Norm in C(B) ist dabei u = max |u(x, y)|. (x,y)∈B

Für eine fest gewählte stetige Funktion u 0 : B → R soll die Fréchet-Ableitung von f ermittelt werden. Dazu rechnen wir f (u) − f (u 0 ) explizit aus, wobei u = u 0 + h gesetzt wird, mit beliebigem h ≡ 0 (h ∈ C(B)). Es folgt durch einfache Rechnung 15

f (u 0 + h) − f (u 0 ) = (u 0 + h)2 dx dy − u 20 dx dy =

B

>

(u 0 + h)

B

2

− u 20

?

dx dy =

B

>

u 20

+ 2u 0 h + h

2

− u 20

?

dx dy =

>

B

15 Die Variablenangaben (x, y) werden der besseren Übersichtlichkeit wegen weggelassen.

? 2u 0 h + h 2 dx dy .

B

262


Das letzte Integral wird in zwei Integrale aufgespalten. Man erhält also

u 0 h dx dy + h 2 dx dy . f (u 0 + h) = f (u 0 ) + 2 B

B

!

=:k(u 0 +h)

(5.221)

"

Für das rechte Glied gilt 1 k(u 0 + h) → 0 h

für h → 0 ,

denn man schätzt folgendermaßen ab:

1 k(u 0 + h) 2 2 ≤ 1 = h dx dy h dx dy = h dx dy → 0 für h → 0 . h h h B

B

B

Ferner erkennt man, daß das erste Integral in (5.221) linear und stetig von h abhängt. Folglich liefert der Vergleich mit (5.217) und (5.219)

f [u 0 ]h = 2

u 0 h dx dy ,

h ∈ C(B)

(5.222)

B

womit die Fréchet-Ableitung von f berechnet ist (und gleichzeitig die Fréchet-Differenzierbarkeit von f bewiesen ist). Bemerkung: Im Falle X = Rn und Y = Rm ist die Fréchet-Differenzierbarkeit mit der totalen Differenzierbarkeit identisch. Denn jede lineare Abbildung L : Rn → Rm läßt sich mit einer geeigneten (n, m)-Matrix A so beschreiben: L(x) = Ax . (Sind e1 , . . . , en die Koordinateneinheitsvektoren im Rn , so ist A = (L e1 , . . . , L en ); vgl. Burg/Haf/Wille [24], Abschn. 3.2.3.)

5.5.2

Variationsprobleme

Wir betrachten reellwertige Funktionen auf Banachräumen (also Funktionale) und interessieren uns für ihre Minima und Maxima, also kurz für ihre Extrema. Genauer: Es sei f : D → R ein Fréchet-differenzierbares Funktional auf einer offenen Menge D ⊂ X , wobei X ein Banachraum ist. Wir beweisen nun, daß in Extremalstellen u 0 die Ableitung f [u 0 ] verschwindet, wir wir es aus dem 1-dimensionalen gewohnt sind.


263

Satz 5.21: Ist f : D → R ein Fréchet-differenzierbares Funktional auf einer Teilmenge D eines ◦ reellen Banachraumes X , und ist u 0 ∈ D eine (lokale) Extremalstelle von f , so gilt f [u 0 ] = 0 .

Beweis: Wir nehmen o.B.d.A. an, daß u 0 eine (lokale) Minimalstelle von f ist. (Wäre u 0 eine Maximalstelle, so würden wir − f statt f betrachten.) In einer Umgebung U von u 0 gilt also f (u) ≥ f (u 0 )

für alle u ∈ U .

(5.223)

Wir schreiben u in der Form u = u 0 + th mit t > 0 und h = 1. Wegen der FréchetDifferenzierbarkeit können wir f (u) damit so ausdrücken: f (u 0 + th) = f (u 0 ) + f [u 0 ](th) + k(u 0 + th) mit k(u 0 + th) →0 th

für t → 0 .

Umstellung und Division durch t > 0 liefert 0≤

k(u 0 + th) f (u 0 + th) − f (u 0 ) = f [u 0 ]h + . t t

Der linke Quotient ist ≥ 0 wegen (5.223). Das rechte Glied (wegen t = th), also folgt 0 ≤ f [u 0 ]h

(5.224) k(u 0 +th) t

strebt mit t → 0 gegen Null

für alle h ∈ X mit h = 1.

(5.225)

Setzen wir hier −h statt h ein, so erhalten wir wegen − h = 1 auch 0 ≤ f [u 0 ](−h) = − f [u 0 ]h und somit f [u 0 ]h = 0

für h = 1 .

(5.226)

Damit gilt (5.226) überhaupt für alle h ∈ X , da man diese durch Multiplikation mit geeigneten λ ∈ R aus den Elementen mit Einheitslänge gewinnt. Das heißt aber, es ist f [u 0 ] = 0. Unter den Punkten u 0 mit f [u 0 ] = 0 sind also alle Extremalstellen enthalten. Folglich trachtet man danach, die Nullstellen von f zu finden. Dies ist — allgemein gesprochen — das »Variationsproblem«. Also:

264


Unter einem Variationsproblem (auf einem Banachraum) verstehen wir folgendes: Ist f : D → R (D ⊂ X ) ein Fréchet-differenzierbares Funktional, wobei X ein reeller Ba◦ nachraum ist, so sind die Punkte u 0 ∈ D gesucht, deren Ableitung verschwindet: f [u 0 ] = 0 . ◦

Die Punkte u 0 ∈ D mit f [u 0 ] = 0 nennt man stationäre Punkte von f . Somit lautet das Variationsproblem kurz: Gesucht sind die stationären Punkte von f . Diejenigen stationären Punkte von f , die keine (lokalen) Extremalpunkte sind, heißen Sattelpunkte von f . Beispiel 5.3: Es sei H ein reeller Hilbertraum. Auf H betrachten wir das Funktional f (x) =

1 (Ax, x) + (b, x) + c , 2

x ∈H,

(5.227)

wobei A : H → H ein linearer, stetiger, selbstadjungierter (= symmetrischer) Operator ist, sowie b ∈ H und c ∈ R. Zur Ermittlung der Fréchet-Ableitung berechnen wir mit beliebigem x, h ∈ H die Differenz 1 (A(x + h), x + h) + (b, x + h) + c 2 1 − (Ax, x) − (b, x) − c 2 1 = [(Ax, x) + (Ax, h) + (Ah, x) + (Ah, h)] 2 1 + (b, x) + (b, h) − (Ax, x) − (b, x) 2 1 1 = [(Ax, h) + (Ah, x)] + (b, h) + (Ah, h) . 2 2

f (x + h) − f (x) =

Wegen (Ah, x) = (Ax, h) (warum?) folgt dann 1 1 f (x + h) − f (x) = (Ax, h) + (b, h) + (Ah, h) = (Ax + b, h) + (Ah, h) . 2 2

(5.228)

Es gilt offenbar |(Ah, h)| Ah2 ≤ →0 h h

für h → 0

(h = 0). Damit repräsentiert das Glied (Ax + b, h) in (5.228) die Fréchet-Ableitung von f : f [x]h = (Ax + b, h) .


265

Der Fall f [x] = 0, d.h. f [x]h = 0 für alle h ∈ H , ist folglich gleichbedeutend mit Ax + b = 0. Somit gewinnen wir das Ergebnis: Die stationären Punkte x von f sind die Lösungen der linearen Gleichung Ax = −b Variationsprobleme auf linearen Mannigfaltigkeiten Oftmals liegen auch Variationsprobleme mit Nebenbedingungen vor. Wir betrachten hier folgenden Fall: Es sei f : X → R ein Fréchet-differenzierbares Funktional auf dem reellen Banachraum X, V ein Unterraum von X und u ∗ ein beliebiger fester Punkt aus X . Durch M = u ∗ + V := {u ∗ + v v ∈ V } ist damit eine lineare Mannigfaltigkeit gegeben. (Jede Gerade, jede Ebene, jede Hyperebene ist z.B. eine lineare Mannigfaltigkeit.) Man betrachtet nun die Einschränkung f | M von f auf M und sucht deren Extremalstellen. Anders ausgedrückt: Es sind die Extremalstellen u 0 von f gesucht unter der Nebenbedingung u 0 ∈ M. Hierfür gilt ein ähnlicher Satz wie Satz 5.21: Satz 5.22: Es seien f : X → Y , V (Unterraum) und M = u ∗ + V (lineare Mannigfaltigkeit) wie oben erklärt. Hat die Einschränkung f | M in u 0 ein Extremum, so gilt dort f [u 0 ]h = 0

für alle h ∈ V .

(5.229)

Beweis: Wir definieren fˆ(v) := f (u ∗ + v) für alle v ∈ V . Es ist also fˆ : V → R auf dem Unterraum V definiert. Es folgt für v, h ∈ V über die Fréchet-Differenzierbarkeit von f : fˆ(v + h) = f (u ∗ + v + h) = f (u ∗ + v) + f [u ∗ + v]h + k(u ∗ + v + h) mit der üblichen Eigenschaft k(u ∗ + v + h) →0 h

für h → 0 .

ˆ Mit k(v) := k(u ∗ + v) haben wir also ˆ + h) , fˆ(v + h) = fˆ(v) + f [u ∗ + v]h + k(v

h∈V.

Daraus folgt, daß f [u ∗ + v]h = fˆ [v]h zu setzen ist. Nach Satz 5.21 gilt aber für jede Extremalstelle v0 ∈ V von fˆ die Gleichung fˆ [v0 ] = 0, d.h. f [u ∗ + v0 ]h = 0 für alle h ∈ V . Mit u 0 := u ∗ + v0 ist dies gerade die Behauptung (5.229).

266


Damit gelangen wir zum folgenden Variationsproblem auf einer linearen Mannigfaltigkeit: Es sei f : X → R Fréchet-differenzierbar auf dem reellen Banachraum X , und es sei M = u ∗ + V eine lineare Mannigfaltigkeit in X (V ⊂ X Unterraum, u ∗ ∈ X ). Gesucht sind die Punkte u 0 ∈ M mit f [u 0 ]h = 0

für alle h ∈ V .

(5.230)

Diese Punkte u 0 heißen stationäre Punkte von f mit der Nebenbedingung u 0 ∈ M. Nach ihnen wird gefahndet.

Beispiel 5.4: Eindimensionale Variationsprobleme gehen oft von dem Integral

b I (u) =

F(x, u(x), u (x)) dx

(5.231)

a

aus, wobei w = F(x, y, z) eine zweimal stetig differenzierbare Funktion auf [a, b] × R × R ist, und wobei u(a) = u a und u(b) = u b vorgegeben sind (z.B. Brachistochrone-Problem). Es ist eine stetig differenzierbare Funktion u : [a, b] → R gesucht, die I stationär macht, also I [u] = 0 erfüllt. Wir berechnen I [u] aus der Differenz I (u + h) − I (u) mit h(a) = h(b) = 0:

b I (u + h) − I (u) = a

b = a

b

F(x, u + h, u + h ) − F(x, u, u ) dx

⎡ ⎤ 0 [F (x, u, u ) ⎣ h ⎦ + k(x, h, h )] dx h

b

[Fy (x, u, u )h + Fz (x, u, u )h ] dx +

= a

k(x, h, h ) dx ,

a

wobei k(x, h, h ) →0 h

für h → 0

(h := max |h(x)| + max |h (x)|) . x∈[a,b]

x∈[a,b]

(Die Konvergenz ist gleichmäßig!) Damit gilt auch für das zweite Integral 1 h

b a

k(x, h, h ) dx → 0

für h → 0 .


267

Da das erste Integral bezüglich h linear und stetig ist, folgt

b

I [u]h =

[Fy (x, u, u )h + Fz (x, u, u )h ] dx .

a

Zur Vereinfachung der Gleichung I [u]h = 0 formen wir den zweiten Teil mittels partieller Integration um:

b

Fz h dx = h(b)Fz (b, h(b), h (b)) − h(a)Fz (a, h(a), h (a))

a

b −

d Fz (x, u(x), u (x)) · h(x) dx dx

a

also

b

I [u]h =

[Fy (x, u, u ) −

d Fz (x, u, u )]h dx . dx

(5.232)

a

Dieses Integral verschwindet für alle h genau dann, wenn der Integrand 0 ist, also für Fy (x, u, u ) −

d Fz (x, u, u ) = 0 dx

(5.233)

Dies ist die Eulersche Differentialgleichung zum Variationsproblem für I (u) (s. (5.231)). Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind die gesuchten stationären Punkte, unter der Nebenbedingung u(a) = u a , u(b) = u b . Bei diesem Beispiel liegt der Banachraum C 1 [a, b] zu Grunde. Darin bilden die Funktionen u mit vorgegebenen u(a) = u a und u(b) = u b eine lineare Mannigfaltigkeit M. Es liegt also ein Variationsproblem mit der Nebenbedingung u ∈ M vor. Bei der im folgenden beschriebenen Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertprobleme haben wir es auch mit einem Variationsproblem auf einer linearen Mannigfaltigkeit zu tun. Es ähnelt dem obigen Beispiel. Der Definitionsbereich der Funktion u ist in dem von uns betrachteten Falle allerdings 2-dimensional. 5.5.3

Elliptische Randwertprobleme und äquivalente Variationsprobleme

In der Ebene R2 sei G ein beschränktes Gebiet, welches stückweise glatt berandet ist. Letzteres besagt, daß der Rand ∂G von G aus endlich vielen glatten Kurven16 zusammengesetzt ist (s. Fig. 5.8) 16 Eine Kurve im R2 heißt glatt, wenn sie eine Parameterdarstellung x = f (t) (a ≤ t ≤ b) besitzt, wobei f stetig differenzierbar ist und f˙(t) = 0 in [a, b] gilt.

268


Bild 5.8: Definitionsbereich G

Auf G bzw. ∂G betrachten wir den Integralausdruck 4

3 1 2 1 (u x + u 2y ) − g(x, y)u 2 + w(x, y)u dx dy I (u) := 2 2 G 4

3 1 2 + α(s)u − β(s)u ds . 2

(5.234)

∂G

Hierbei sei u aus der Menge C 2 (G) aller Funktionen u : G → R, die auf G zweimal stetig differenzierbar sind.17 (Statt u ist im ersten Integral ausführlicher u(x, y) zu schreiben, und für u x , u y gilt entsprechendes. Die vereinfachte Schreibweise wurde der besseren Übersichtlichkeit wegen 2 gewählt.) Im zweiten Integral . . . ist s die laufende Bogenlänge (der »natürliche Parameter«) ∂G

der Randkurve. D.h. wir denken uns den Rand ∂G aus glatten Kurven K i : f i : [ai , bi ] → R2 (i = 1, . . . , m) zusammengesetzt. Damit ist

3 ∂G

4 4 m bi 3 α(s) 2 α(s) 2 u − β(s)u ds = u ( f i (s)) − β(s)u( f i (s)) ds . 2 2 i=1 ai

Schließlich sind g, w : G → R und α, β :

m B

[ai , bi ] → R stetige Funktionen. (Die Intervalle

i=1

[ai , bi ] sind paarweise durchschnittsfremd.) α, β sind also als Funktionen auf dem Rand ∂G aufzufassen. Ferner denken wir uns auf einem Teil R1 des Randes ∂G die Werte von u vorgegeben, also u| R1 = ϕ

(5.235)

17 D.h. G ist in einer offenen Menge G 0 ⊂ R2 enthalten, auf die man f zweimal stetig differenzierbar erweitern kann.


269

mit gegebener stetiger Funktion ϕ auf R1 . R1 bestehe aus endlich vielen glatten Kurven. Dabei sind auch die Fälle R1 = ∂G und R1 = ∅ möglich. Diese Funktionen u bilden im Raum C 2 (G) eine lineare Mannigfaltigkeit, genannt C 2 (G; R1 , ϕ). Denn jedes u, welches (5.235) erfüllt, läßt sich in der Form u = u∗ + h schreiben, wobei u ∗ eine festgewählte Funktion aus C 2 (G) mit u ∗ | R1 = ϕ ist und h ∈ C 2 (G) eine geeignete Funktion mit h| R1 = 0. h ist also aus dem Unterraum V = C 2 (G; R1 ,0) von C 2 (G). In C 2 (G) verwenden wir die Norm u := u∞ + u x ∞ + u y ∞ + u x x ∞ + 2u x y ∞ + u yy ∞ ( ∞ bezeichnet die Maximumsnorm). C 2 (G) ist damit ein reeller Banachraum. Wir beschäftigen uns im folgenden mit dem Variationsproblem (VP): Gesucht sind die zweimal stetig differenzierbaren Funktionen u : G → R, die I (u) (s. (5.234)) stationär machen. Dabei soll die Nebenbedingung u(x, y) = ϕ(x, y) auf dem Randstück R1 ⊂ ∂G erfüllt sein. Ein gut gestelltes Problem ist schon halb gelöst! Was haben wir also zu tun? Wir müssen offenbar I [u] berechnen und gleich Null setzen. Zu diesem Zweck rechnen wir die folgende Differenz aus: I (u + h) − I (u) = 4

3 1 1 (u x + h x )2 + (u y + h y )2 − g · (u + h)2 + w · (u + h) dx dy 2 2 G 4

3 1 α · (u + h)2 − β · (u + h) ds + 2 ∂G 3 4

>

? 1 2 α 2 1 2 2 (u x + u y ) − gu + wu dx dy − u − βu ds . − 2 2 2 ∂G

G

Ausmultiplizieren der Binome (u x + h y )2 , . . . sowie Zusammenfassung unter den Integralen und Umstellung liefert sofort I (u + h) − I (u) =

u x h x + u y h y − guh + wh dx dy + [αuh − βh] ds G

3

+ G

4

1 2 g (h + h 2y ) − h 2 dx dy + 2 x 2

∂G

∂G

α 2 h ds . 2

(5.236)

270


Die letzte Zeile schreiben wir kurz als k(u + h). Für sie gilt ⎧

> ? g 1 1 ⎨ |k(u + h)| 2 2 2 ≤ h + h − h dx dy h h ⎩ 2 2 G ⎫

⎬ α h2 ds → 0 für h → 0 . + ⎭ 2 ∂G

Die mittlere Zeile in (5.236) hängt linear und stetig von h ab (bei festem u). Sie stellt damit die Fréchet-Ableitung von I dar, d.h. es ist

I [u]h =

6 [u x h x + u y h y ] − guh + wh dx dy

5

G

+

(5.237) [αuh − βh] ds

∂G

Unser Variationsproblem lautet nun: Gesucht sind Funktionen u 0 ∈ C 2 (G) mit u 0 | R1 = ϕ, die folgendes erfüllen: I [u 0 ]h = 0

für alle h ∈ C 2 (G) mit h| R1 = 0.

Sehen wir uns die letzte Zeile in (5.236) nochmals an (wir haben sie kurz k(u + h) geschrieben). Man sieht ihr unmittelbar folgendes an: Ist g(x, y) ≤ 0 in ganz G und α(s) ≥ 0 auf ∂G, so sind alle Integranden ≥ 0, also k(u + h) ≥ 0, ja sogar k(u + h) > 0 falls h = 0. Verschwindet nun für ein u = u 0 die mittlere Zeile in (5.236), d.h. gilt I [u 0 ] = 0, so folgt I (u 0 + h) − I (u 0 ) > 0 für alle h = 0, d.h. u 0 ist Minimalstelle, und zwar die einzige. Somit gilt

Folgerung 5.4: Im Integralausdruck I (u) sei g(x, y) ≤ 0 auf G und α(s) ≥ 0 auf ∂G erfüllt. Dann folgt: I (u) nimmt für höchstens eine Funktion u 0 ∈ C 2 (G; R1 , ϕ) ihr Minimum an. Diese ist bestimmt durch I [u 0 ]h = 0

für alle h ∈ C 2 (G; R1 ,0) .

Bemerkung: In Anwendungen wird I (u) häufig als Energie gedeutet. Das Lösen unseres Variationsproblems nennt man daher auch Energiemethode. Die gesuchte Lösung u zeichnet sich also dadurch aus, daß das Energieintegral I (u) minimal ist.


271

Zusammenhang des Variationsproblems (VP) mit elliptischen Differentialgleichungen Es ist I [u] = 0 zu lösen. Zunächst geben wir I [u] eine andere Gestalt, und zwar wenden wir die erste Greensche Formel (s. Abschn. 5.1.1) an:

∂u ∇u·∇h dx dy = − (u + u )h dx dy + h ds . (5.238) x x yy ! " ∂n G

=u x h x +u y h y

∂G

G

∂u die Ableitung von u in Richtung der äußeren Normalen n auf ∂G. (Da ∂G stückDabei ist ∂n ∂u nicht definiert weise glatt ist, gibt es nur endlich viele Punkte (»Ecken«) auf ∂G, in denen ∂n ∂u ist. Hier setzen wir einfach ∂n = 0. Für die Integration ist dies ohne Bedeutung!) Einsetzen von (5.238) in (5.237) liefert 4

3 ∂u I [u]h = − (u x x + u yy ) + gu − w h dx dy + + αu − β h ds . (5.239) ∂n ∂G

G

Angenommen, u ∈ C 2 (G; R1 , ϕ) sei eine Funktion, die I [u] = 0 erfüllt, also I [u]h = 0 für alle h ∈ C 2 (G) mit h| R1 = 0. Wählt man hierbei h so, daß h(x, y) = 0 auf ganz ∂G gilt, so ist das zweite Integral in (5.239) gleich 0, und damit auch das erste: Da h im übrigen beliebig aus C 2 (G; ∂G,0) ist, muß der Integrand im ersten Integral verschwinden, d.h. es ist u x x + u yy + g(x, y)u = w(x, y)

in G.

(5.240)

Somit ist auch das rechte Integral in (5.239) gleich 0 für alle h ∈ C 2 (G; R1 ,0). Da h(x, y) = 0 auf R1 ⊂ ∂G ist, reduziert sich diese Aussage zu 4

3 ∂u + αu − β h ds = 0 . ∂n ∂G\R1

Die Funktionen h sind aber im übrigen beliebig wählbar, folglich ist ∂u + αu = β ∂n

auf R2 = ∂G\R1 .

(5.241)

Man nennt dies die natürliche Randbedingung. Hinzu kommt die »künstliche Randbedingung« u=ϕ

auf R1

(5.242)

Die Gleichungen (5.240), (5.241), (5.242) stellen ein gemischtes elliptisches Randwertproblem dar. Jede Lösung des Variationsproblems (VP) ist also eine Lösung des gemischten elliptischen Randwertproblems. Daß auch die Umkehrung gilt, sieht man unmittelbar ein. Also

272


Folgerung 5.5: Das Variationsproblem (VP) (s.o.) und das elliptische Randwertproblem (5.240), (5.241), (5.242) sind äquivalent. Bemerkung 1: Der Nachweis der Existenz einer Lösung des Variationsproblems (VP) und ähnlicher Variationsprobleme erweist sich als kompliziert, und zahlreiche bedeutende Mathematiker haben sich damit beschäftigt (so z.B. Dirichlet, Riemann, Weierstrass u.a.). Die Ursache für die auftretenden Schwierigkeiten liegen darin begründet, daß zwar das Infimum des Energieintegrals I (u) existiert, dieses aber nicht notwendig von einer Funktion aus dem betrachteten Raum (mit der entsprechenden Nebenbedingung) angenommen zu werden braucht. Diese Schwierigkeiten lassen sich vermeiden, wenn man die Lösung u in einem geeigneten Sobolevraum sucht (s. hierzu auch Abschn. 8 und Hackbusch [110], Kap. 7). Wir wollen im folgenden annehmen, daß eine Lösung des Variationsproblems (VP) existiert. Bemerkung 2: Die Gleichung (5.240) geht durch Spezialisierung in folgende elliptische Differentialgleichungen über: g=w=0 : g=0 : w=0 :

u x x + u yy = 0 ( Laplace-Gleichung) u x x + u yy = w(x, y) ( Poisson-Gleichung) u x x + u yy + g(x, y)u = 0 ( Helmholtz-Gleichung)

Bei den Randbedingungen erhalten wir im Falle α = 0, R1 = ∅ die Neumann-Bedingung, im Falle R1 = ∂G die Dirichlet-Bedingung. All dies ist in unserem Variationsproblem (VP) enthalten. Im Spezialfall

−Δu + u = −u x x − u yy + u = f (x, y) in G u = 0 auf ∂G

lautet das zugehörige Variationsproblem (VP)

−u x x − u yy + u − f h dx dy = 0 I [u]h = G

bzw. wenn wir das Integral aufspalten und (5.238) beachten (das letzte Integral in (5.238) verschwindet in unserem Falle!)

h f dx dy = hu dx dy + (h x u x + h y u y ) dx dy . (5.243) G

G

G

In Abschnitt 8.1 werden wir die Existenz von »schwachen Lösungen« für dieses Problem nachweisen. Dem Variationsproblem in der Form (5.243) entspricht dort das »schwache Problem« (8.14) (s. auch Bemerkung in Abschn. 8.1.3). Der Zusammenhang zwischen »schwachen« und »klassischen« Lösungen wird in Abschnitt 8.4 behandelt.


5.5.4

273

Prinzip der Finite-Elemente-Methode (FEM)

Unsere Aufgabe besteht darin, die stationären Punkte des Integralausdruckes I (u) (siehe Abschn. 5.5.3, (5.234)) zu berechnen, unter der Dirichletschen Nebenbedingung u| R1 = ϕ, R1 ⊂ ∂G. Auf dieses Variationsproblem — und nichts anderes — konzentrieren wir uns in den folgenden zwei Abschnitten. Zur näherungsweisen Lösung der Aufgabe wird der Definitionsbereich G von u in Dreiecke zerlegt (s. Fig. 5.9), wobei allerdings gekrümmte Randteile durch Streckenzüge angenähert werden. G wird also näherungsweise durch ein dreieckszerlegtes Polygon G p ersetzt. Die Dreieckszerlegung18 sei dabei so beschaffen, daß zwei verschiedene Dreiecke entweder in einer ganzen Seite übereinstimmen, oder nur einen Eckpunkt gemeinsam haben oder elementfremd sind. Jedes dieser Dreiecke nennt man ein (finites) Element der Zerlegung.

Bild 5.9: Dreieckszerlegung des Definitionsbereiches G

Auf jedem der Dreiecke Di wählt man für u einen bestimmten Polynomansatz, also z.B. u(x, y) = g0 + g1 x + g2 y

(linearer Ansatz)

u(x, y) = g0 + g1 x + g2 y + g11 x 2 + 2g12 x y + g22 y 2 (quadratischer Ansatz) oder höhergradig. In unserem Falle arbeiten wir mit dem quadratischen Ansatz. Als sogenannte Knotenpunkte wählen wir die Eckpunkte der Dreiecke und ihre Seitenmitten. Jedes Dreieck hat also auf seinem Rand sechs Knotenpunkte, s. Fig. 5.10. Alle Knotenpunkte der Dreieckszerlegung werden durchnumeriert und entsprechend die Werte u i von u in diesen Punkten (i = 1, . . . , m). Man kann nun die quadratische Ansatzfunktion u(x, y) auf Dk durch ihre sechs Werte u i in den Knoten des Randes ausdrücken (die g j , g jl lassen sich aus den u i berechnen). Die Ansatzfunktionen u auf Dk bilden zusammen eine Funktion auf dem Polygon G p . Man nennt sie eine »stückweise quadratische« Funktion oder auch quadratische Spline-Funktion auf G p . Wir bezeichnen sie wieder mit u. 18 auch »Triangulierung« genannt.

274


Bild 5.10: Finites Dreieckselement mit Knotenpunkten

Bildet man mit u den Integralausdruck I (u), wobei man elementweise integriert und dann summiert, so erhält man eine quadratische Form I (u) =

1 T u Au + bT u + c , 2

(5.244)

wobei u ein Vektor aus Rn ist, der als Koordinaten diejenigen u i besitzt, die nicht durch die Dirichletsche Randbedingung festgelegt sind. Die stationären Punkte dieses Funktionals (auf der Menge der quadratischen Spline-Funktionen) sind die Lösungen des Gleichungssystems Au = b analog zu Beispiel 5.3, Abschnitt 5.5.2. A ist hier eine symmetrische Matrix. Sie ist überdies positiv definit. Das Gleichungssystem kann dann z.B. mit dem Cholesky-Verfahren gelöst werden. Damit sind alle u i berechnet, womit u(x, y) auf G p bekannt ist. Die so berechnete Spline-Funktion u ist eine Näherungslösung der eigentlichen Lösung aus C 2 (G). Durch Verfeinerung der Dreieckszerlegung kann man (unter bestimmten Voraussetzungen) der wahren Lösung beliebig nahe kommen. Für Konvergenzfragen und Fehlerabschätzungen hierzu verweisen wir auf die Spezialliteratur (s. z.B. Hackbusch [110], Kap. 8.2, 8.4). 5.5.5

Diskretes Variationsproblem

Wir knüpfen an den vorigen Abschnitt an und führen den dort beschriebenen Plan aus. Es sei D ein Dreieck der Triangulierung in G (s. Fig. 5.10). Mit p1 , p2 , p3 bezeichnen wir die Ecken des Dreiecks und mit p4 , p5 , p6 die Mittelpunkte der Seiten, wie in Figur. 5.10 skizziert. Diese sechs Punkte 3 4 x pi = i , i = 1,2, . . . ,6 yi


275

heißen Knotenpunkte. Wir suchen nun eine quadratische Funktion u(x, y) = c0 + c1 x + c2 y + c11 x 2 + 2c12 x y + c22 y 2

(5.245)

auf D, deren Werte u(xi , yi ) =: u i in den Punkten pi (i = 1,2, . . . ,6) vorgeschrieben sind. Dieses geschieht am einfachsten mit Hilfe von Formfunktionen Ni (x, y) (i = 1,2, . . . ,6). Die Funktion Ni habe dabei in pi den Wert 1 und in den anderen Knotenpunkten den Wert 0: 1 für i = k (i, k = 1, . . . ,6) . (5.246) Ni (xk , yk ) = 0 für i = k Man gewinnt Ni explizit über die Hilfsfunktionen gik (x, y) = (x − xk )(yi − yk ) − (y − yk )(xi − x k )19 und zwar auf folgende Weise (mit x = xy ): g23 (x)g46 (x) ; g23 ( p1 )g46 ( p1 ) g13 (x)g45 (x) N2 (x) := ; g13 ( p2 )g45 ( p2 ) g12 (x)g56 (x) ; N3 (x) := g12 ( p3 )g56 ( p3 ) N1 (x) :=

(i = k)

g13 (x)g23 (x) g13 ( p4 )g23 ( p4 ) g12 (x)g13 (x) N5 (x) := g12 ( p5 )g13 ( p5 ) g12 (x)g23 (x) N6 (x) := g12 ( p6 )g23 ( p6 ) N4 (x) :=

(5.247)

Alle Ni sind quadratische Funktionen in x und y. Unser gesuchtes u(x, y) hat damit die Gestalt

u(x, y) =

6

u i Ni (x, y)

(5.248)

i=1

Mit u D = [u 1 , . . . , u 6 ]T und N = [N1 , . . . , N6 ]T erhält u die prägnante Form u = u TD N

(5.249)

Für diese Funktion wollen wir die Flächenintegrale in I (u) bilden (s. Abschn. 5.5.3, (5.234)), jedoch mit D statt G als Integrationsbereich. Es ist also zu berechnen: * (

') 2 u 2y ux g I D (u) = (5.250) + − u 2 + wu dx dy . 2 2 2 D

Der Einfachheit halber seien hier g und w konstante reelle Zahlen. Zur Integration über D wird 19 gik (x, y) = 0 ist die Geradengleichung für die Gerade durch pi und pk .

276


D auf das Normaldreieck D0 mit den Ecken 3 4 3 4 3 4 0 1 0 , , 0 0 1 transformiert. Dies geschieht durch

Bild 5.11: Normaldreieck D0

x = x1 + (x2 − x 1 )ξ + (x3 − x 1 )η =: τ1 (ξ, η) y = y1 + (y2 − y1 )ξ + (y3 − y1 )η =: τ2 (ξ, η) und durch Verwendung der Transformationsformel für Bereichsintegrale:

∂(x, y) dξ dη F(x, y) dx dy = F(τ1 (ξ, η), τ2 (ξ, η)) ∂(ξ, η) D

D0

(s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 2.1.7). Eine längere, aber elementare Rechnung liefert dann folgendes Resultat: Satz 5.23: Für die quadratische Funktion u(x, y) aus (5.248) gilt

I1 := (u 2x + u 2y ) dx dy = uTD A D u D D

(5.251)


277

u 2 dx dy = u TD B D u D

I2 :=

(5.252)

D

I3 :=

u dx dy =

J [u 4 + u 5 + u 6 ] 6

(5.253)

D

mit ⎡ ⎤ u1 ⎢u 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 3 ⎥ ⎥ uD = ⎢ ⎢u 4 ⎥ , ⎢ ⎥ ⎣u 5 ⎦ u6

⎡ ⎢ ⎢ 1⎢ AD = ⎢ 6⎢ ⎢ ⎣

wobei

x − x1 J = 2 y2 − y1

3 (s+t) s s 3a t −b −4s −4s 0 4b −4t 0

t −4s −b −4s 3c 0 0 8r 4b −8t −4t 8b

0 4b 4b −8t 8r −8s

−4t 0 −4t 8b −8s 8r

x3 − x1 = (x 2 − x1 )(y3 − y1 ) − (x3 − x1 )(y2 − y1 ) y3 − y1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ , (5.254) ⎥ ⎥ ⎦

20

(5.255)

und | p 3 − p 1 |2 , r =a+b+c J ( p − p1 )·( p2 − p1 ) b=− 3 , s =a+b J | p − p 1 |2 , t =b+c c= 2 J

a=

(5.256)

sowie ⎡ ⎢ ⎢ J ⎢ ⎢ BD = 360 ⎢ ⎢ ⎣

6 −1 −1 0 −4 0

−1 6 −1 0 0 −4

⎤ −1 0 −4 0 −1 0 0 −4 ⎥ ⎥ 6 −4 0 0 ⎥ ⎥. −4 32 16 16 ⎥ ⎥ 0 16 32 16 ⎦ 0 16 16 32

(5.257)

Die Randintegrale in I (u) über dem Rand ∂G setzen sich nach Triangulierung aus den Integralen über die Dreieckseiten zusammen, die ∂G approximieren. Die Dreieckseiten in unserer Triangu-

20 J ist die Funktionaldeterminante J = ∂(x,y) ∂(ξ,η) ; geometrisch bedeutet |J | den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks D.

278


lierung nennen wir auch Kanten. Das Integral

> ? α 2 u − βu ds I K (u) := 2

(5.258)

K

(α, β ∈ R konstant, s Bogenlängenparameter) stehe stellvertretend für diese Kantenintegrale, wobei wir die Endpunkte der Kante K mit p und q bezeichnen, sowie den Mittelpunkt mit m. Dies sind wiederum die Knoten (s. Fig. 5.12)

Bild 5.12: Kante mit Knoten

Damit erhalten wir — über elementare Rechnungen — den folgenden

Satz 5.24: Für eine quadratische Funktion u(x, y) = c0 + c1 x + c2 y + c11 x 2 + 2c12 x y + c22 y 2 , deren Werte in den Knotenpunkten der Kante K durch u p := u( p) ,

u q := u(q) ,

u m := u(m)

bezeichnet sind, ergeben sich folgende Integralausdrücke

I4 := u 2 ds = uTK C K u K , K

I5 :=

u ds =

(5.259)

L u p + 4u m + u q 6

(5.260)

K

mit

⎤ up = ⎣u m ⎦ , uq ⎡

uK

⎡

L = | p − q| ,

4 L ⎣ −1 Ck = 30 2

−1 4 2

⎤ 2 2 ⎦. 16

(5.261)

Bemerkung: Sind g, w, α oder β nicht konstant, so lassen sich diese Funktionen bei den Integralen in (5.250) bzw. (5.258) natürlich berücksichtigen. Es entstehen nur wenig kompliziertere Ausdrücke als in Satz 5.23 und Satz 5.24.


279

Zusammensetzen der Element-Integrale. Lösungsberechnung Man denkt sich nun die Knotenpunkte pi der Triangulierung von G durchnumeriert von 1 bis m. Dabei sollte man so verfahren, daß die Nummern an einem Element D möglichst eng zusammenliegen. (Hierfür gibt es effektive Algorithmen. Auf diese Weise entstehen später Bandmatrizen.) Mit dieser Numerierung bildet man entsprechend zu Satz 5.23 die Integrale I D für jedes Element D und summiert sie auf. Ferner addiert man alle Kantenintegrale I K dazu, die Randkanten von D entsprechen. Es entsteht eine Funktion der Form ⎡ ⎤ u1 T 1 ⎢ ⎥ T ˆ u) ˆ = uˆ Aˆ uˆ + bˆ uˆ mit uˆ = ⎣ ... ⎦ , F( 2 um wobei u i = u( pi ) ist. Anschließend werden entsprechend der Dirichletschen Randbedingung u| R1 = ϕ die Zahlen u i = ϕi in den zugehörigen Randpunkten pi ∈ R1 eingesetzt. Diese »Unbekannten« entfallen also. Bezeichnet nun u den Vektor, bestehend aus den verbleibenden n Unbekannten u i , so erhält unsere Integralsumme die Gestalt F(u) =

1 T u Au + bT u + c . 2

(5.262)

Dabei ist u ∈ Rn , b ∈ Rn , c ∈ R und A eine symmetrische (n, n)-Matrix. Die stationären Punkte dieser Funktion auf Rn sind die Lösungen des Gleichungssystems Au + b = 0

(5.263)

(vgl. Beisp. 5.3 in Abschn. 5.5.2. Man sieht dies aber auch direkt ein, denn Au+b ist der Gradient von F(u), und der Gradient muß ja in stationären Punkten verschwinden.) Oft ist A positiv definit. Dann kann das Cholesky-Verfahren zur Lösungsbestimmung benutzt werden (s. Burg/Haf/Wille [24], Abschn. 3.6.3, oder Schwarz [124], Abschn. 1.3.1). Ist n groß, so werden mit Erfolg auch iterative Verfahren zur Lösung von (5.263) verwendet (s. z.B. das Einzelschritt-Verfahren, s. Burg/Haf/Wille [24], Abschn. 3.6.5). Für weitere effektive Methoden sehe man die Spezialliteratur ein (z.B. Schwarz [126]). Hat man auf diese Weise die Funktionswerte u i = u( pi ) berechnet, so erhält man aus (5.248) sofort u(x, y) (wobei die geänderte Numerierung der u i zu berücksichtigen ist). Damit ist näherungsweise eine Lösung u(x, y) berechnet. 5.5.6

Beispiele

Das folgende Beispiel ist einfach gewählt, damit der Leser es gut nachvollziehen und sich so mit der Finite-Elemente-Methode praktisch vertraut machen kann. Beispiel 5.5: Wir wollen das folgende elliptische Randwertproblem lösen: Gesucht ist eine Funktion u : D → R (D s. Fig. 5.13), die u x x + u yy = 0

(5.264)

280


erfüllt, sowie die folgenden Randbedingungen: ⎧ u(x, y) = 0 auf den Strecken [ p1 , p4 ] und [ p1 , p6 ] ⎪ ⎪ ⎨ u(x, y) = 1 auf den Strecken [ p20 , p25 ] und [ p22 , p25 ] ⎪ ∂u ⎪ ⎩ = 0 auf den Strecken [ p4 , p20 ] und [ p6 , p22 ]. ∂n

(5.265) (5.266) (5.267)

Hierbei soll u zweimal stetig differenzierbar sein. Die Punkte p1 , p2 , . . . , p25 sind in Figur 5.13 der Einfachheit halber mit den Zahlen 1,2, . . . ,25 markiert. Das äquivalente Variationsproblem zum obigen Randwertproblem fußt (nach Abschn. 5.5.3, (5.234)) auf dem Integralausdruck

I (u) :=

(u 2x + u 2y ) dx dy

21

(5.268)

D

unter der Dirichletschen Nebenbedingung (5.265), (5.266). Wir berechnen approximative Lösungen u, die stetige quadratische Spline-Funktionen auf D sind, wobei D wie in Figur 5.7 trianguliert sei. Dabei ziehen wir zunächst Satz 5.23 (s. Abschn. 5.5.5) heran und berechnen nach (5.251), (5.254) das Integral

I1 (u) := (u 2x + u 2y ) dx dy = u TD1 A D1 u D1 . (5.269) D1

Hier ist also die 6 × 6-Matrix A D1 zu berechnen. (Dreieck D1 = [ p1 , p4 , p6 ] wie in Fig. 5.13). Zunächst ergeben (5.255), (5.256) die Werte J = 4 und a = 1,

b = 0,

c = 1,

Formel (5.254) liefert damit ⎡ 6 −4 ⎢ −4 16 ⎢ 1 ⎢ −4 0 A D1 = ⎢ 1 −4 6⎢ ⎢ ⎣ 0 −8 1 0

r = 2,

s = 1,

⎤ −4 1 0 1 0 −4 −8 0 ⎥ ⎥ 16 0 −8 −4 ⎥ ⎥, 0 3 0 0 ⎥ ⎥ −8 0 16 0 ⎦ −4 0 0 3

t = 1.

u D1

(5.270) ⎡ ⎤ u1 ⎢u 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 3 ⎥ ⎥ =⎢ ⎢u 4 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣u 5 ⎦ u6

(5.271)

Für die übrigen Dreiecke D2 , D3 , . . . , D8 in Figur 5.13 erhalten wir jeweils die gleiche Matrix A D1 (wegen »Ähnlichkeit«), wobei wir die Eckennumerierung analog zu D1 wählen, also A Di = A D1

für alle i = 2,3, . . . ,8

21 Der unwesentliche Faktor 12 wird hier weggelassen.


281

und u D2 ⎡=⎤ u 11 ⎢u 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ u8 ⎦ u7

u D3 ⎡=⎤ u 13 ⎢ u6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ u9 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ u5 ⎦ u8

u D5 ⎡=⎤ u 11 ⎢u 20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 16 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣u 17 ⎦ u 12

u D4 ⎡=⎤ u 15 ⎢ u6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 10 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ u9 ⎦ u 14

u D6 ⎡=⎤ u 13 ⎢u 20 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 17 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣u 21 ⎦ u 18

u D7 ⎡=⎤ u 15 ⎢u 13 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 14 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣u 18 ⎦ u 19

u D8 ⎡=⎤ u 25 ⎢u 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢u 20 ⎥ ⎢ ⎥. ⎢u 24 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣u 21 ⎦ u 23

Wir bilden damit die Summe über alle Ii (u) = uTDi A Di u Di und erhalten I D (u) :=

8 i=1

Ii (u) =

8

u TDi A Di u Di =:

1 T ˆ uˆ A uˆ . 2

⎡

⎤

i=1

mit ⎡

⎤

u1 ⎢ u2 ⎥ ⎢ ⎥ uˆ = ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ u 25

⎢ ⎢ 1 ⎢ und Aˆ = ⎢ 3⎢ ⎣

. ... ... ... . . . ... ...

A∗ 0

... ... ... ..... ... ... . . ... .. ... ... ... ... ... .. ..

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(25 × 25-Matrix)

wobei Aˆ = [aˆ ik ]25,25 symmetrisch bezüglich beider Diagonalen ist, d.h. aˆ ik = aˆ ki

und aˆ ik = aˆ 26−k,26−i

(i, k = 1,2, . . . ,25) .

Für den Teil A∗ im obigen Schema ergeben sich folgende Werte (Leerfelder=0): 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 −4 −4 1 1 1 −4 −8 16 2 −8 −4 16 3 −4 −4 9 1 1 4 −8 −8 32 5 −4 −4 9 1 1 6 −4 7 A∗ = 16 −8 −8 −4 32 8 −4 −8 9 32 −8 −4 10 16 12 −8 2 11 32 −8 12 24

13

(5.272)

282


(Die Symmetrie bezüglich der Nebendiagonalen von Aˆ resultiert aus geometrischen Symmetrien in Fig. 5.13, während die Symmetrie zur Hauptdiagonalen aˆ 1,1 , . . . , aˆ 25,25 stets vorliegt, da Aˆ Matrix zu einer quadratischen Form ist.) Wir legen nun wegen der »Dirichletschen Randbedingungen« (5.265), (5.266) folgendes fest (vgl. Figur 5.13): u1 = u2 = u3 = u4 = u6 = 0 ,

u 20 = u 22 = u 23 = u 24 = u 25 = 1 .

Setzen wir dies in die quadratische Form (5.272) I D (u) =

1 T ˆ u A uˆ 2

(5.273)

ein, so erhält sie folgende Gestalt: I D (u) =

1 T u Au + bT u + c 2

(5.274)

mit c = 56, u = [u 5 , u 7 , u 8 , u 9 , u 10 , u 11 , u 12 , u 13 , u 14 , u 15 , u 16 , u 17 , u 18 , u 19 , u 21 ]T und ⎤

⎡

−8 −8 ⎥ ⎢ 16 −8 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 −8 32 −8 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 −4 −8 32 −8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 16 −4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 −4 12 −8 2 ⎥ ⎢ −8 −8 32 −8 −8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 −4 −4 −4 2 −8 24 −8 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −8 −8 32 −8 −8 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 −4 2 −8 12 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −4 16 −8 ⎥ ⎢ ⎢ −8 −4 −8 32 −8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ −4 −8 32 −8 −8 ⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ −4 −8 16 −8 −8 32

A=

1 3

⎤

⎡

32

,

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ 1⎢ ⎢ ⎥ b = ⎢ −2 ⎥ 3⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎢4⎥ ⎢ ⎥ ⎣4⎦ 16

(Leerfelder = 0) Man erhält A und b aus Aˆ auf folgende Weise: In Aˆ streicht man alle Zeilen und Spalten durch, die zu Indizes festgelegter u k gehören. In unserem Falle werden also alle Spalten und Zeilen mit den Indizes 1, 2, 3, 4, 6, 20, 22, 23, 24, 25 durchgestrichen. Die übrigen, nicht durchgestrichenen Elemente bilden die Matrix A. Man nimmt nun die durchgestrichenen Zeilen endgültig heraus, multipliziert dann in jeder durchgestrichenen Spalte die verbliebenen Elemente mit dem entsprechenden festgelegten u k


283

(also k-te Spalte mit u k ), und addiert die so entstandenen Spaltenvektoren auf. Das Ergebnis ist der Vektor b. (Auf c kommt es nicht an, da stationäre Werte gesucht werden.) Den stationären Punkt von I D (u) erhält man nun als Lösung des linearen Gleichungssystems Au = −b .

(5.275)

Bild 5.13: Zu Beispiel 5.5 (Triangulierung von D)

Tabelle 5.2: u5

0.1458333

u 11

0.5000000

u 16

0.7291667

u7

0.2708333

u 12

0.5000000

u 17

0.7083333

u8

0.2916667

u 13

0.5000000

u 18

0.7083333

u9

0.2916667

u 14

0.5000000

u 19

0.7291667

u 10

0.2708333

u 15

0.5000000

u 21

0.8541667

Die Lösung u ist in der obigen Tabelle angegeben (gerundete Werte). Mit diesen Zahlen gewinnt man explizit die Näherungslösung u(x, y) auf jedem Teildreieck Di von D (s. Fig. 5.13), und zwar aus der Formel (5.248) in Abschnitt 5.5.5. Damit ist die gesuchte Funktion u(x, y) (näherungsweise) berechnet. Beispiel 5.6: Wir wandeln das Beispiel 5.5 geringfügig ab, und zwar wird lediglich die Neumannsche Randbedingung (5.267) folgendermaßen geändert: ∂u + u = 0 auf der Strecke [ p6 , p22 ] ∂n ∂u = 0 auf der Strecke [ p4 , p20 ] ∂n

(5.276) (wie bisher).

284


Im übrigen bleibt alles beim Alten, d.h. es wird ein u(x, y) gesucht mit u x x + u yy = 0 und den Dirichletschen Bedingungen (5.265), (5.266) (vgl. Fig. 5.13), sowie (5.276). Dieses Randwertproblem entspricht dem Variationsproblem für den Integralausdruck

(u 2x

I (u) :=

+ u 2y ) dx

dy +

u 2 ds .

(5.277)

∂D

D

Auf (5.277) stoßen wir, wenn wir in Abschnitt 5.5.3 α = 1 setzen, wobei wir auch hier auf den unwesentlichen Faktor 12 verzichtet haben. Nach Satz 5.24, (5.259) in Abschnitt 5.5.5 ist folgendes zu setzen (mit den Strecken S1 = [ p6 , p15 ], S2 = [ p15 , p22 ]):

2 2 u ds = u ds + u 2 ds = u1T C1 u1 + u2T C2 u2 ∂D

mit

S1

⎤ u6 u1 = ⎣u 10 ⎦ , u 15 ⎡

S2

⎤ u 15 u2 = ⎣u 11 ⎦ , u 22 ⎡

√ ⎡ 4 2⎣ 2 C1 = C2 = 30 −1

2 16 2

⎤ −1 2 ⎦. 4

Addiert man dies zu (5.272), also zu

1 I D (u) = (u 2x + u 2y ) dx dy = u T Au + b u + c , 2 D

wobei noch u 6 = 0 und u 22 = 1 (Randbedingung) eingesetzt wird, so wird (5.277) zu I (u) =

1 T u A0 u + b0T u + c0 , 2

(5.278)

mit leicht zu berechnenden Matrizen A0 und b. Zum Auffinden stationärer Punkte muß man also A0 u = −b0 lösen. Tabelle 5.3: u5

0.1096699

u 11

0.4561808

u 16

0.6958793

u7

0.2383919

u 12

0.4436661

u 17

0.6636682

u8

0.2486934

u 13

0.4061018

u 18

0.5846581

u9

0.1899861

u 14

0.3419048

u 19

0.4815953

u 10

0.1053188

u 15

0.1868732

u 21

0.8120816


285

Das Ergebnis ist in der obigen Tabelle angegeben. Mit Formel (5.248) in Abschnitt 5.5.5 erhält man daraus die Näherungslösung u(x, y). Bemerkung: Je kleiner die Maschenweite der Triangulierung eines Bereiches D ist, desto dichter liegt (normalerweise) die berechnete Lösung an der wahren Lösung. Konvergenzfragen und Fehlerabschätzungen wollen wir hier aber nicht behandeln, da sie den Rahmen des Buches sprengen würden. Ein Beispiel aus der Praxis sei noch aus dem Buch von H.R. Schwarz [137] kurz zitiert:

Bild 5.14: Gabelschlüssel mit Triangulierung und Linien gleicher Hauptspannungsdifferenzen

Zur Berechnung der Spannungen im Schlüssel wurde die in Figur 5.14 skizzierte Triangulierung gewählt. Für technische Zwecke reicht die gewählte Maschenweite hier aus. Es wurden hier allerdings kubische Spline-Funktionen verwendet, die noch genauere Resultate liefern als die quadratischen Splines. 5.5.7

Ausblick auf weitere Möglichkeiten der Finite-Elemente-Methode

An Hand des Variationsproblems für das Funktional *

) 2

> ? u x + u 2y g 2 α 2 − u + wu dx dy + u − βu ds I (u) = 2 2 2

(5.279)

∂G

G

(s. Abschn, 5.5.3, (5.234)) haben wir die Finite-Elemente-Methode erklärt. Wie in Abschnitt 5.5.3 beschrieben, ist dieses Variationsproblem äquivalent zu dem elliptischen Randwertproblem u x x + u yy + gu = w

in G ;

∂u + αu = β ∂n

auf R2 ⊂ ∂G ,

(5.280)

wobei in beiden Fällen (Variations- und Randwertproblem) noch eine »Dirichletsche Randbedingung« u = ϕ auf R1 = ∂G \ R2 vorgeschrieben ist. (Die Grenzfälle R1 = ∅ oder R1 = ∂G sind mit gemeint.) Die hier exemplarisch beschriebene Methode läßt sich selbstverständlich verallgemeinern, und zwar auf andere Funktionale und Differentialgleichungen, auf andere Dimensionen (nicht nur 2) und auf andere Formen der finiten Elemente, nämlich Rechtecke, Parallelogramme, Polygone im R2 , sowie Tetraeder, Prismen, Quader, Parallelflachs und andere Polyeder im R3 . Ferner kann man statt quadratischer Ansatzfunktionen auf den finiten Elementen auch lineare,

286


bilineare, allgemeiner multilineare, kubische und andere Polynome verwenden, ja auch Funktionen von völlig anderem Typ. In jedem Fall geht man aber nach folgendem Arbeitsablauf vor: Finite-Elemente-Methode (allgemeine Beschreibung) (1) Liegt eine Differentialgleichung vor (evtl. mit Randbedingungen), so wird sie zunächst in eine Variationsaufgabe

F dV + H ds = stationär! (5.281) I (u) = ∂G

G

verwandelt (falls möglich). F und H hängen von mehreren Variablen ab (die hier nicht explizit aufgeführt werden). (2) Ausgangspunkt ist das Variationsproblem (5.281). Der Integrationsbereich wird in finite Elemente D1 , D2 ,. . . , Dm zerlegt (evtl. angenähert bei krummen Rändern) und I (u) aufgespalten in I (u) =

m

F dV +

i=1 D

i

q

H ds

(5.282)

k=1∂ S k

mit geeigneten Randstücken Sk ⊂ ∂G, die zusammen ∂G ergeben. (3) Auf jedem Element Di (i = 1, . . . , m) werden n i Knotenpunkte p1i , p2i ,. . . , pni i festgelegt22 (sie liegen zumeist auf dem Rand ∂ Di , doch mag es auch welche im Inneren von ∂ Di geben). (4) Auf jedem Element Di werden Formfunktionen N1i , N2i , N3i , . . . , Nni i festgelegt, und zwar aus einer geeignet gewählten Funktionenklasse (z.B. der quadratischen Polynome). Dabei ist für die Nik charakteristisch, daß sie 1 für k = s Nki ( psi ) = (5.283) 0 für k = s erfüllen. Mit ihnen wird der Lösungsansatz u(x) =

ni

u ik Nki (x)

für x ∈ Di

k=1

22 Das hochgestellte i ist ein (oberer) Index

(5.284)


287

gemacht. Dabei sind die Zahlen u ik 23 die Funktionswerte von u in den Knoten pki , also u( pki ) = u ik . (5) Die Integranden F und H sind abhängig von x = [x, y, z, . . . ]T , u, u x , u y , u z ,. . . , u x x , u yy , u zz ,. . . , u x y ,. . . usw. Die Funktion u und ihre Ableitungen werden in jedem Element Di durch die folgenden Summen ersetzt: ⎫ ni ⎪ ⎪ i i u= u k Nk ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k=1 ⎪ ⎪ ⎪ ni ⎬ ∂ i i Nk ux = uk (5.285) in Di ∂x ⎪ ⎪ k=1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ni ⎪ ⎪ i ∂ i⎪ uy = u k Nk ⎪ ⎪ ∂y ⎭ k=1

j

usw. Damit bilden wir das Integral I (u) in (5.282). Gemeinsame Knoten pki , pr zweier j verschiedener Elemente werden natürlich identifiziert: pki = pr und dasselbe gilt für die j entsprechenden Funktionswerte: u ik = u s . Nach dieser Identifizierung werden die u ik neu durchnumeriert, sie erscheinen einfach als u 1 , u 2 , u 3 ,. . . , u M . Zusammen bilden sie den Vektor u = [u 1 , u 2 , . . . , u M ]T . Entsprechend werden die pki neu numeriert: p1 , p2 ,. . . , p M . Es folgt, daß der Integralausdruck I (u) nur noch von u 1 , u 2 ,. . . , u M abhängt, also: I (u) =: fˆ(u 1 , . . . , u M ) .

(5.286)

(6) In fˆ(u 1 , . . . , u M ) werden nun alle u k konstant gesetzt, die der Dirichletschen Randbedingung u = ϕ auf R1 ⊂ ∂G entsprechen: u k = ϕ( pk ) für pk ∈ R1 . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien dies die Werte u n+1 , u n+2 ,. . . , u M . Damit hängt fˆ nur echt von u 1 ,. . . , u n ab. Wir schreiben f (u 1 , . . . , u n ) := fˆ(u 1 , . . . , u n , u n+1 , . . . , u M ) . ! " konstant (7) Es sind nun die stationären Punkte von I (u) = f (u 1 , . . . , u n ) 23 i ist hier oberer Index

288


zu berechnen. Dazu ist das Gleichungssystem ∂f (u 1 , . . . , u n ) = 0 ∂u i

(i = 1, . . . , n) .

(5.287)

zu lösen. Ist die Differentialgleichung, von der ausgegangen wurde, linear, so ist auch (5.287) ein lineares System. (Dies ist der Hauptfall). (5.287) besitzt damit die Form Au + b = 0

mit u, b ∈ R M , A = (aik )n,n .

(5.288)

Die (üblicherweise) eindeutig bestimmte Lösung u von (5.288) liefert die gesuchte (Näherungs-) Lösung u unseres Variationsproblems (5.281). Man hat die Komponenten von u nur in (5.284) einzusetzen (nach entsprechender Rücknumerierung). (8) Durch Verkleinerung der Durchmesser der finiten Elemente oder durch Wahl geeigneter Ansatzfunktionen (z.B. höherer Polynomgrad) kann man verbesserte Näherungslösungen u erreichen. Bemerkung 1: Die Verwendung unterschiedlichster finiter Elemente (Polygone im R2 , Polyeder im R3 , krummlinig berandete Elemente usw.) wird ausführlich in H.R. Schwarz [137] beschrieben. Technische Anwendungen findet der Bauingenieur und Maschinenbau-Ingenieur in dem Standard-Werk von Link [104]. Beide Bücher werden dem Leser empfohlen. Bemerkung 2: Die beschriebene Finite-Elemente-Methode ist weitgehend auf Computern automatisiert. Insbesondere gibt es Programme für günstige Numerierungen der Knoten p1 , p2 , . . . und zur Lösung der großen linearen Gleichungssysteme. Kleine Liste von Variationsaufgaben und äquivalenten Differentialgleichungen (a) Eindimensionale Funktionen u, v (siehe Tabelle 5.4) Sind u(a) und/oder u(b) beim Variationsproblem von vorne herein festgelegt, so gilt das auch für das äquivalente Randwertproblem. Es entfallen dann die jeweiligen natürlichen Randbedingungen in x = a bzw. x = b. Zur Lösung der Variationsprobleme in der linken Spalte von Tabelle 5.4 wird [a, b] in kleine Teilintervalle [xi−1 , xi ] zerlegt (a = x 0 < x1 < · · · < x n = b). Dies sind die finiten Elemente. Hier wird erfolgreich mit kubischen Spline-Funktionen u als Ansatzfunktionen gearbeitet. (Eine kubische Spline-Funktion u ist auf jedem Teilintervall [xi−1 , xi ] ein Polynom höchstens dritten Grades. In den Teilungspunkten wird die Funktion stetig differenzierbar gemacht.) (b) Zwei- und dreidimensionale Funktionen u (siehe Tabelle 5.5) Wir ordnen den Variationsproblemen

F(x, u, u x , u y , . . . , u x x , u x y , u yy , . . . ) d(x, y, . . . ) = stationär! G

die äquivalenten Differentialgleichungen gemäß Tabelle 5.5 zu. Hierbei sind a, b, c stetig differenzierbare Funktionen von x, y, . . . und f, g stetige Funktionen.


289

Tabelle 5.4: Variationsproblem 2b a

Differentialgleichung

F(x, u, u ) dx = stationär!

speziell: 2b

(u + x 3 eu +x ln u ) dx ! " a F(x,u,u )

= stationär! 2b F(x, u, u , u

) dx

a

= statio-

d F = 0 24 Fu − dx u

Fu = 0 für x = a und x = b

a

(Fu = ux , Fu = 1 + x 3 eu , d 2 u 3 u

dx Fu = 3x e +x e u )

1 + x 3 eu (x) = 0 für x = a und x = b

d2 F

− d F + F = 0 u dx u dx 2 u

d F

= 0, Fu − dx u Fu

= 0 für x = a und x =b

⇒ ux − 3x 2 eu +x 3 eu u

=0

när! 2b

»natürliche« Randbedingung

F(x, u, v, u , v ) dx = statio-

när!

d F =0 Fu − dx u d F =0 Fv − dx v

Fu = 0, Fv = 0 für x = a und x = b

24 F = ∂ F , F = ∂ F u u ∂u ∂u

Tabelle 5.5: F(x, u, u x , . . . ) =

Differentialgleichung

a(u x )2 + 2bu x u y + c(u y )2 + f u 2 + 2gu

(au x + bu y )x + (cu y + bu x ) y = fu +g

[(u x )2 + (u y )2 + au 2 + 2bu] eαx+βy (α, β ∈ R)

u x x + u yy + αu x + βu y = au + b (α, β ∈ R)

a(u x )2 + b(u y )2 + c(u z )2 + f u 2 + 2gu

(au x )x + (bu y ) y + (cu z )z = fu +g

Tabelle 5.5 läßt sich fortsetzen. Mit ihrer Hilfe kann die Lösungsberechnung schwieriger Randwertprobleme durch die hochelastische Finite-Elemente-Methode durchgeführt werden, wie in den vorigen Abschnitten beschrieben. Hinweis: Ausführliche und vertiefende Darstellungen numerischer Methoden von elliptischen Problemen (insbesondere die Methode der finiten Elemente, das Differenzenverfahren, das RitzGalerkinverfahren, die Randelementemethode und die Lösung über die Integralgleichungsmethoden) finden sich z.B. in Forsythe, G./Wasow, W.R. [55] p 146–377; Greenspan, D./Werner, P. [61]; Hackbusch, W. [66] S. 147–187 bzw. S. 43–104; Hackbusch, W. [65] S. 72–217 bzw. S. 339–363; Köckler, N. [96]; Kussmaul, R. [95]; Marsal, D. [108] S. 67–88; Meis, Th./Marcowitz, U. [112] S. 165–263; Mitchell, A.R./Griffiths, D.F. [120] p 102–163; Reutersberg, H. [128]; Smith, G.D. [140] p 239–330; Törnig, W./Spelluci, P. [151] S. 371–419; Törnig, W./Gipser, M./Kaspar, B. [150]; Schwarz, H.R. [135] S. 418–451; Varga, R.S. [152] p 161–208; Vichnevetsky, R. [153] p 73–108.

290


Übungen Übung 5.17*: Berechne die Fréchet-Ableitungen der folgenden Abbildungen in u 0 :

u 3 (x, y) dx dy , G J -meßbar in R2 , f : C(G) → R. (a) f (u) = G

1 ext u 2 (t) dt ,

(b) ( f (u))(x) =

f : C[0,1] → C[0,1] .

0

Übung 5.18*: Für welche stetig differenzierbaren Funktionen u : [0,1] → R wird

b I (u) :=

(2xu(x) + u(x)2 + u (x)2 ) dx

mit u(0) = 1 , u(1) = 0

a

stationär? (Hinweis: Man orientiere sich an Beisp. 5.4)

Übung 5.19: Behandle das folgende Randwertproblem mit der Methode der finiten Elemente, wobei der Bereich G in Figur 5.15 zugrunde liegt (samt der skizzierten Triangulierung): u x x + u yy = 0 u=0 ∂u =0 ∂n

auf G

auf [A, B] , auf [B, C] ,

u=2

C auf C D

∂u +u =0 ∂n

auf [A, D] .

Bild 5.15: Zu Übung 5.19 Figur 5.15 kann als Teil eines Quadrates mit kreisförmigem Loch angesehen werden. Acht solcher Teile ergeben diese Gestalt. Wir stellen uns vor, daß aus Symmetriegründen nur ein solches Achtel explizit behandelt werden muß.

6

Die Wärmeleitungsgleichung

Die Wärmeleitungsgleichung Δu(x, t) −

∂u(x, t) = 0, ∂t

x ∈ Rn , t > 0

(6.1)

ist, wie wir aus Abschnitt 4.3.1 wissen, ein typischer Vertreter der parabolischen Differentialgleichungen. Wie schon bei der Schwingungsgleichung, zeigt es sich auch hier, daß im Hinblick auf Lösungen und Lösungsmethoden keine wesentliche Dimensionsabhängigkeit auftritt. Wir beschränken uns daher im folgenden zumeist auf die Behandlung des Falles n = 3. Zur eindeutigen Charakterisierung einer Lösung benötigt man auch bei der Wärmeleitungsgleichung zusätzliche Bedingungen. In den Anwendungen treten dabei sowohl Rand- und Anfangswertprobleme als auch reine Anfangswertprobleme auf.

6.1

Rand- und Anfangswertprobleme

Wir interessieren uns für die Temperaturverteilung in einem homogenen Körper D im R3 mit (glatter) Randfläche ∂ D bei vorgegebener Anfangstemperaturverteilung u(x,0) = g(x) ,

x∈D

(6.2)

(Anfangsbedingung). Zusätzlich werden noch Forderungen an die Lösung bezüglich des Verhaltens auf dem Rand ∂ D von D gestellt. Die folgenden drei Randbedingungen stellen hierbei besonders interessante und anwendungsrelevante Möglichkeiten dar: (i) Bei der Dirichletsche Randbedingung wird die Temperaturverteilung auf dem Rand ∂ D von D vorgeschrieben: u(x, t) = f (x) ,

x ∈ ∂D , t ≥ 0

( f vorgegeben) .

(6.3)

(ii) Mit einer (homogenen) Neumannschen Randbedingung ∂ u(x, t) = 0 , ∂n

x ∈ ∂D , t ≥ 0

(6.4)

haben wir es z.B. zu tun, wenn ein vollständig wärmeisolierender Rand ∂ D vorliegt, wenn also keine Wärmestrahlung an ein umgebendes Medium auftritt. (iii) Die gemischte Randbedingung ∂ u(x, t) = α(x) [u(x, t) − u 0 ] ∂n K. Burg et al., Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, DOI 10.1007/978-3-8348-9589-9_6, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

(6.5)

292

6 Die Wärmeleitungsgleichung

stellt eine Ausgleichsbedingung bei Wärmeausstrahlung des Körpers an ein umgebendes Medium der Temperatur u 0 dar. Die Wärmeübergangsfunktion α(x) ist hierbei vorgegeben.

Bild 6.1: Vorgaben auf dem Rand ∂ D

Im folgenden beschränken wir uns auf die Behandlung des Falles (i). Die übrigen finden sich z.B. in Smirnow [138], Teil II, S. 547 ff.

6.1.1

Ein Rand- und Anfangswertproblem mit Dirichletscher Randbedingung

Wir formulieren zunächst die Aufgabenstellung:

(RAP) Es sei D ein beschränktes Gebiet im R3 mit glatter Randfläche. I bezeichne das Intervall (0, ∞). Zu bestimmen ist eine in D × I zweimal stetig differenzierbare und in D × I stetige Funktion u(x, t), die der Wärmeleitungsgleichung Δu(x, t) −

∂u(x, t) = 0, ∂t

x ∈ D, t ∈ I ,

(6.6)

der Anfangsbedingung u(x,0) = g(x) ,

x∈D

(6.7)

mit der (vorgegebenen) Funktion g und der Randbedingung u(x, t) = f (x) ,

x ∈ ∂D , t ∈ I

(6.8)

mit der (vorgegebenen) Funktion f genügt. Ferner gelte g(x) = f (x)

für

x ∈ ∂D .

Die Funktionen f und g sind hierbei noch zu präzisieren.

(6.9)

6.1 Rand- und Anfangswertprobleme

293

Problem (RAP) läßt sich durch die folgende Überlegung vereinfachen: Wir lösen zuerst das Dirichletsche Innenraumproblem der Potentialtheorie mit Δv = 0 in D ; (6.10) v = f auf ∂ D . Dieses besitzt nach Abschnitt 5.3.3, Satz 5.15 für f ∈ C(∂ D) eine eindeutig bestimmte Lösung v(x). Mit w(x, t) := u(x, t) − v(x)

(6.11)

und (6.6) ergibt sich dann für x ∈ D und t ∈ I Δw(x, t) = Δu(x, t) − Δv(x) =

∂w(x, t) ∂u(x, t) = . ∂t ∂t

(6.12)

Ferner folgt mit (6.8) und (6.10) w(x, t) = u(x, t) − v(x) = f (x) − f (x) = 0 ,

x ∈ ∂D

(6.13)

und mit (6.7) w(x,0) = u(x,0) − v(x) = g(x) − v(x) =: h(x) ,

x ∈ D,

(6.14)

wobei die so definierte Funktion h(x) wegen (6.9) und (6.10) die Bedingung h(x) = g(x) − v(x) = f (x) − f (x) = 0 für

x ∈ ∂D

(6.15)

erfüllt. Wir können uns daher im weiteren o.B.d.A. auf die Behandlung eines Rand- und Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung u(x,0) = h(x) und der homogenen Randbedingung u(x, t) = 0 ,

x ∈ ∂D , t ∈ I

(6.16)

beschränken. Wir bezeichnen dieses Problem dann mit (RAP). 6.1.2

Die Eindeutigkeitsfrage

Wir zeigen Satz 6.1: besitzt höchstens eine Lösung. Das Problem (RAP) Beweis: Wir setzen u := u 1 − u 2 . Dann löst u Problem Es seien u 1 und u 2 Lösungen von (RAP). mit homogener Anfangsbedingung u(x,0) = 0 für x ∈ D. Nun betrachten wir das (RAP)

294


Energieintegral

(∇u)2 dτ =: E(t) .1

(6.17)

D

Offensichtlich ist E(t) ≥ 0 für alle t ≥ 0. Aus (6.17) folgt durch Differentiation

∂ ∂

2 (∇u) dτ = E (t) = (∇u)2 dτ ∂t ∂t D D

∂ ∂u dτ = 2 ∇u· (∇u) dτ = 2 ∇u·∇ ∂t ∂t D D 3 4

∂u ∂u = 2 ∇· ∇u dτ − 2 Δu dτ . ∂t ∂t D

D

(Begründungen!) Wenden wir auf das vorletzte Integral den Integralsatz von Gauß an, und beachten wir u(x, t) = 0 für x ∈ ∂ D und t ≥ 0, so erhalten wir

∂u ∂u ∂u E (t) = 2 ∇u·n dσ − 2 Δu dτ = −2 Δu dτ , ∂t ∂t ∂t ∂D

D

D

woraus sich wegen Δu = ∂u ∂t

2 ∂u E (t) = −2 dτ ∂t

(6.18)

D

ergibt. E (t) ist also stets ≤ 0. Zusammen mit E(0) = 0 (warum?) hat dies E(t) ≤ 0 für alle t ≥ 0 zur Folge. Andererseits gilt E(t) ≥ 0 für alle t ≥ 0 (s.o.). Somit ist E(t) = 0 für alle t ≥ 0. Aus (6.17) ergibt sich daher ∇u = 0, d.h. u ( x, t) hängt nur von t ab. Zusammen mit (6.16) erhalten wir u(x, t) = 0 oder u 1 (x, t) = u 2 (x, t) für alle x ∈ D und alle t ≥ 0. Damit ist der Eindeutigkeitsnachweis erbracht. 6.1.3

Lösungsbestimmung mittels Eigenwerttheorie

vom Nach Abschnitt 4.3.2 ist es sinnvoll, zur Gewinnung einer Lösung von Problem (RAP) Separationsansatz u(x, t) = U (x) · V (t)

1 ∇u bedeutet hierbei ∇ x u(x, t) und (∇u)2 = ∇u·∇u.

(6.19)

6.1 Rand- und Anfangswertprobleme

295

auszugehen. Für V erhalten wir dann, wie wir gesehen haben, V (t) = e−λt ,

λ = const. (beliebig) ,

während wir für U das homogene Dirichletsche Innenraumproblem ΔU + λU = 0 in D ; U = 0 auf ∂ D

(6.20)

(6.21)

zu lösen haben. Die homogene Dirichletsche Randbedingung in (6.21) ergibt sich hierbei aus der Forderung (6.16) und dem Ansatz (6.19). Aus der Sicht von Abschnitt 5.4.2 handelt es sich bei (6.21) um ein Eigenwertproblem der Potentialtheorie, das wir dort vollständig gelöst haben: Es sei {λn } die in Satz 5.20, Abschnitt 5.4.2 nachgewiesene Folge von Eigenwerten des Problems (6.21) mit λn → ∞ für n → ∞. {Un } sei das zugehörige vollständige Orthonormalsystem von Eigenfunktionen. Nach Teil (b) dieses Satzes gilt für U die Reihenentwicklung U (x) =

∞

cn Un (x)

(6.22)

n=1

mit den Koeffizienten

cn = (h, Un ) = hUn dτ .

(6.23)

D

Dabei konvergiert die Reihe in (6.22) gleichmäßig in D = D + ∂ D. Mit (6.19), (6.20) und (6.22) gelangen wir dann zu dem (formalen) Lösungsausdruck u(x, t) =

∞

cn e−λn t Un (x) ,

x ∈ D, t ≥ 0

(6.24)

n=1

Ein Nachweis, daß (6.24) tatsächlich dieses Problem löst, findet sich für unser Problem (RAP). unter der zusätzlichen Voraussetzung h ∈ C 4+α (D) z.B. in Leis [101], S. 196–199. Bemerkung: Zur numerischen Lösung des Eigenwertproblems (6.21) siehe z.B. Hackbusch [66], Kap. 11, S. 227–245. Übungen Übung 6.1*: Eine kreisförmige dünne homogene Scheibe mit Radius 1 wird an ihrem oberen Rand auf der konstanten Temperatur u 1 und an ihrem unteren Rand auf der konstanten Temperatur u 2 gehal-

296


ten. Bestimme eine (formale) Lösung eines entsprechenden Problems für die Temperaturverteilung der Kreisscheibe. Hinweis: Die Temperaturverteilung, die sich nach einer gewissen Zeit einstellt, wird durch die Potentialgleichung Δu = 0 beschrieben. Wie lautet sie in Polarkoordinaten? Führe zur Lösung des Problems einen Separationsansatz durch und benutze die Fouriermethode (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 5.2.1).

Bild 6.2: Temperaturverteilung einer Kreisscheibe

Übung 6.2*: Es sei D das Gebiet gemäß Figur 6.3 mit Rand ∂ D, I ein offenes Intervall parallel zur x-Achse und C die abgeschlossene Kurve ∂ D − I . Ferner sei u(x, t) eine in D + I zweimal stetig differenzierbare und in D = D+∂ D stetige Funktion, die in D+ I der Wärmeleitungsgleichung u x x = u t genüge. Beweise: u(x, t) nimmt auf C sein Maximum (und sein Minimum) an. Hinweis: Betrachte die Funktion v(x, t) := u(x, t) − εt

(ε > 0 beliebig)

und führe die Annahme, das Maximum von v werde in D + I angenommen, zu einem Widerspruch.

6.2

Ein Anfangswertproblem

Da wir Anfangswertprobleme für die Wärmeleitungsgleichung bereits in Burg/Haf/Wille [25], Abschnitt 7.2.1 und Abschnitt 8.4.1 behandelt haben, beschränken wir uns auf eine kurze Wiederholung bzw. Ergänzung der wichtigsten Gesichtspunkte. Da keine entscheidende Dimensionsabhängigkeit auftritt, ist es ausreichend, den bezüglich des Ortes 1-dimensionalen Fall zu untersuchen.

6.2 Ein Anfangswertproblem

297

Bild 6.3: Zum Maximumprinzip

Bild 6.4: Anfangstemperaturverteilung des Stabes

6.2.1

Aufgabenstellung

Wir denken uns (idealisiert) einen unendlich langen homogenen Stab (x-Achse), dessen Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 0 vorgegeben sei. Wir fragen nach der Temperaturverteilung u(x, t) zum Zeitpunkt t > 0. Dies führt uns auf folgendes Anfangswertproblem für die Wärmeleitungsgleichung: (A) Es sei f (x) eine in R stetige Funktion. Gesucht ist eine in R×[0, ∞) stetige Funktion u(x, t), deren Ableitungen2 u x , u x x und u t in R × (0, ∞) stetig sind und die Wärmeleitungsgleichung u x x (x, t) − u t (x, t) = 0 ,

x ∈ R, t > 0

(6.25)

erfüllt und die der Anfangsbedingung u(x,0) = f (x) ,

x ∈R

genügt. ∂2u 2 u x , steht für ∂u ∂ x , u x x für ∂ x 2 usw.

(6.26)

298


6.2.2

Die Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung

In Burg/Haf/Wille [25], Abschnitt 7.2.1 haben wir gesehen, daß im 1-dimensionalen Fall durch (x−y) 1 u 0 (x, t; y) = √ e− 4t 2 πt

2

(6.27)

als Funktion von x und t (x ∈ R, t > 0) bei beliebigem (festen) y ∈ R eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung gegeben ist, die im Distributionensinn für t → 0+ gegen die Diracsche Deltafunktion δ y strebt. Man nennt diese Lösung von (6.25) Grundlösung der Wärmeleitungsgleichung. Sie läßt eine interessante physikalische Deutung zu (s. Burg/Haf/Wille [25], Abschn. 7.2.1). Im n-dimensionalen Fall lautet die entsprechende Grundlösung 1

u 0 (x, t; y) =

n

(4πt) 2

e−

|x− y|2 4t

(6.28)

mit x, y ∈ Rn und t > 0 (s. auch Üb. 6.3). Mit Hilfe von Grundlösungen lassen sich Anfangswertprobleme für die Wärmeleitungsgleichung lösen.

6.2.3

Lösungsbestimmung mittels Fouriertransformation

Durch Verwendung des Hilfsmittels »Fouriertransformation« gelangt man auf recht elegante Weise zu einer (formalen) Lösung des Anfangswertproblems (A). Sie lautet für x ∈ R und t > 0

∞ u(x, t) = −∞

1 u 0 (x, t; y) f (y) dy = √ 2 πt

∞

e−

(x−y)2 4t

f (y) dy

(6.29)

−∞

(s. Burg/Haf/Wille2 [25], Abschn. 8.4.1). Wir zeigen: Ist f (x) in R stetig, beschränkt und absolut ∞ integrierbar (d.h. −∞ | f (x)| dx existiert), so erfüllt die durch (6.29) definierte Funktion u(x, t) die Wärmeleitungsgleichung (6.25) und die Anfangsbedingung (6.26). Im Integral in (6.29) dür2∞ 2 fen wir nämlich ∂t∂ (bzw. ∂∂x bzw. ∂∂x 2 ) und vertauschen. (Begründung! Verwende Satz 2 im −∞

Anhang von Burg/Haf/Wille [25].) Zusammen mit der Tatsache, daß die Grundlösung u 0 eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist, ergibt sich dann (6.25). Zum Nachweis der Anfangsbe√ . Damit lautet (6.29) dingung setzen wir z := y−x 2 t 1 u(x, t) = √ π

∞ −∞

√ 2 f (x + 2 t z) e−z dz .

(6.30)


299

Verwenden wir die Beziehung 1 1= √ π

∞

e−z dz 2

(6.31)

−∞

(s. Burg/Haf/Wille [23], Abschn. 7.1.7, (7.56)), so ergibt sich 1 u(x, t) − f (x) = √ π

∞ >

? √ 2 f (x + 2 t z) − f (x) e−z dz

−∞

und hieraus 1 |u(x, t) − f (x)| ≤ √ π

∞

√ 2 | f (x + 2 t z) − f (x)| e−z dz .

(6.32)

−∞

Nach Voraussetzung ist f beschränkt. Es gibt daher eine Konstante A > 0 mit | f (x)| ≤ A für alle x und √ (6.33) | f (x + 2 t z) − f (x)| ≤ 2A für alle x, t und z. Aus der Existenz des Integrals in (6.31) ergibt sich: Zu beliebigem ε > 0 gibt es ein R = R(ε) > 0 mit

−R e

−z 2

∞ dz ≤ ε

und

−∞

e−z dz ≤ ε . 2

(6.34)

R

Daher folgt aus (6.32) nach entsprechender Zerlegung des Integrals ⎧ −R ⎫

R

∞ ⎬

R √ 1 ⎨ 1 2 |u(x, t)− f (x)| ≤ √ · · · + · · · + . . . ≤ 4Aε+ √ | f (x+2 t z)− f (x)| e−z dz . ⎩ ⎭ π π −∞

−R

R

−R

(6.35) Da f in R stetig ist, gibt es zu obigem ε > 0 ein t0 = t0 (ε), so daß für alle t ≤ t0 und |z| ≤ R √ | f (x + 2 t z) − f (x)| < ε ist. Damit erhalten wir aus (6.35) für t ≤ t0 1 |u(x, t) − f (x)| ≤ 4Aε + ε √ π

R

−z 2

e −R

1 dz ≤ 4Aε + ε √ π

∞ −∞

e−z dz = (4A + 1)ε 2

300


und somit: u(x, t) → f (x) für t → +0. Damit ist bewiesen: Satz 6.2: Unter den obigen Voraussetzungen an f löst die durch (6.29) definierte Funktion u das Anfangswertproblem (A). Bemerkung: Ist f nach unten durch c1 und nach oben durch c2 beschränkt, so folgt aus (6.30) und (6.31), daß c1 und c2 auch Schranken für u sind: c1 ≤ u(x, t) ≤ c2 , d.h. die Temperatur u(x, t) des Stabes kann nicht tiefer und nicht höher als seine Anfangstemperatur f (x) werden, was physikalisch ja auch zu erwarten ist. Wir geben noch ein schärferes Resultat an, das 1938 von dem russischen Mathematiker Tychonow erzielt wurde: Die Funktion f erfülle die Bedingung 2

| f (x)| ≤ M e Ax ,

x ∈R

(6.36)

mit Konstanten M, A ≥ 0. Suchen wir dann nach einer solchen Lösung u(x, t) (x ∈ R, t ∈ (0, T ]), die einer Abschätzung der Form ˜ 2 |u(x, t)| ≤ M˜ e Ax ,

x ∈ R , t ∈ [0, T ]

(6.37)

˜ A˜ ≥ 0 genügt, so läßt sich zeigen: mit Konstanten M, Satz 6.3: Das Anfangswertproblem (A) für die Wärmeleitungsgleichung besitzt für T < eindeutig bestimmte Lösung ⎧

∞ (x−y) ⎪ ⎪ ⎨ √1 e− 4t f (y) dy für 0 < t ≤ T u(x, t) = 2 πt −∞ ⎪ ⎪ ⎩ f (x) für t = 0

1 4A

die

(6.38)

mit den oben verlangten Eigenschaften. Beweis: S. z.B. Hellwig [70], S. 46–52. Hinweis: Numerische Methoden zur Lösung von parabolischen Problemen finden sich in mehr oder weniger ausführlicher Darstellung z.B in Bathe, K.J. [9] S. 447–472; Douglas, J./Dupont, T. [38]; Forsythe, G./Wasow, W.R. [55] p 88–145; Marsal, D. [108] S. 49–66, 112–156; Meis, Th./Marcowitz, U. [112] S. 1–164; Mitchell, A.R./Griffiths, D.F. [120] p 17–101; Rosenberg v. D.U. [130] p 16–33, 84–103; Smith, G.D. [140] p 111–174; Schwarz, H.R. [135] S. 451–468; Varga, R.S. [152] p 250–282.


Übungen Übung 6.3: Zeige: Die Funktion u 0 (x, t; y) =

1

− |x−4ty|

2

n e

(4π t) 2

,

x, y ∈ Rn

genügt der Wärmeleitungsgleichung im Rn .

Übung 6.4*: Es liege das Anfangswertproblem (A) für die Wärmeleitungsgleichung vor (s. Abschn. 6.2.1). Gib geeignete Abklingbedingungen für die Lösung u(x, t) für x → ±∞ an, so daß sich mit Hilfe des Energieintegrals E(t) :=

1 2

∞ [u(x, t)]2 dx −∞

ein Eindeutigkeitsnachweis für Problem (A) führen läßt.

301

7

Die Wellengleichung

Mit der Wellengleichung c2 Δu(x, t) =

∂ 2 u(x, t) , ∂t 2

x ∈ Rn , t > 0

(7.1)

(c: Phasengeschwindigkeit) liegt ein typischer und besonders interessanter Fall einer hyperbolischen Differentialgleichung vor. Sie tritt z.B. im Zusammenhang mit der Ausbreitung akustischer Wellen auf. Auch bei der Beschreibung elektromagnetischer Schwingungen haben wir es mit (7.1) zu tun: Nach Übung 4.2 genügen die Komponenten der elektrischen Feldstärke E(x, t) und der magnetischen Feldstärke H(x, t) der Wellengleichung. Im Gegensatz zur Schwingungsgleichung und zur Wärmeleitungsgleichung zeigt sich bei der Wellengleichung eine charakteristische Dimensionsabhängigkeit bezüglich der Ortskoordinate x (also eine Abhängigkeit von n). Wir verdeutlichen dies anhand der Fälle n = 1, n = 3 und n = 2, wobei wir bei unseren Untersuchungen den Schwerpunkt auf Anfangswertprobleme legen.1 Auf Rand- und Anfangswertprobleme, die sich ähnlich wie die entsprechenden Probleme der Wärmeleitungsgleichung behandeln lassen (s. Abschn. 6.1), gehen wir kurz in Abschnitt 7.1.5 ein.

7.1

Die homogene Wellengleichung

7.1.1

Anfangswertprobleme im R1

Wir verwenden zur Lösung von Anfangswertproblemen im R1 eine Methode, die auf d’Alembert2 zurückgeht. Zunächst präzisieren wir die Aufgabenstellung: ( A1 ) Es sei I das Intervall [0, ∞). Zu bestimmen ist eine in R1 × I zweimal stetig differenzierbare Funktion u(x, t), die der 1-dimensionalen Wellengleichung c2

∂ 2 u(x, t) ∂ 2 u(x, t) = , ∂x2 ∂t 2

(x, t) ∈ R1 × I

(7.2)

genügt und die die Anfangsbedingungen u(x,0) = u 0 (x) ,

∂ u(x,0) = u 1 (x) , ∂t

x ∈ R1

(7.3)

mit vorgegebenen Funktionen u 0 = C 2 (R1 ) und u 1 ∈ C 1 (R1 ) erfüllt. Die Voraussetzungen an u 0 und u 1 sind durch die nachfolgenden Überlegungen begründet. Problem ( A1 ) stellt in idealisierter Weise ein mathematisches Modell für die unendlich lange schwingende Saite dar. 1 Wir orientieren uns dabei an Kirchgässner; Ritter; Werner [89] 2 J.L. d’Alembert (1717–1783), französischer Mathematiker


304

7 Die Wellengleichung

(i) Durch einfaches Nachrechnen stellen wir fest: Die durch u(x, t) := v(x − ct) + w(x + ct)

(7.4)

erklärte Funktion u mit beliebigen Funktionen v, w ∈ C 2 (R1 ) löst die Wellengleichung (7.2). (ii) Nun zeigen wir: Sämtliche Lösungen von (7.2) sind von der Form (7.4). Hierzu transformieren wir (7.2) mittels ξ = ξ(x, t) := x − ct ,

η = η(x, t) := x + ct .

(7.5)

Die hierzu inverse Abbildung lautet: x = x(ξ, η) :=

1 (ξ + η) , 2

t = t (ξ, η) :=

1 (η − ξ ) . 2c

(7.6)

Wir nehmen an, u(x, t) sei eine Lösung von (7.2) und setzen u ∗ (ξ, η) := u(x(ξ, η), t (ξ, η)) .

(7.7)

Für η ≥ ξ (nach (7.6) ist dann t ≥ 0) gilt nach der Kettenregel ∂u ∂ x ∂u ∂t 1 ∂u 1 ∂u ∂u ∗ = + = − ∂ξ ∂ x ∂ξ ∂t ∂ξ 2 ∂x 2c ∂t und (wir beachten: u löst (7.2)) ∂ 2u∗ ∂ 1 ∂u 1 ∂u ∂ x ∂ 1 ∂u 1 ∂u ∂t = − + − ∂ξ ∂η ∂x 2 ∂x 2c ∂t ∂η ∂t 2 ∂ x 2c ∂t ∂η 2 2 2 1 ∂ u 1 1∂ u 1 ∂ u 1 ∂ 2u 1 − = + − 2 ∂x2 2c ∂t∂ x 2 2 ∂ x∂t 2c ∂t 2 2c ∂ 2u ∂ 2u 1 = 2 c2 2 − 2 = 0 . 4c ∂x ∂t Aus (7.8) ergibt sich, daß

∂u ∗ ∂ξ

(7.8)

auf allen Parallelen zur η-Achse konstant ist, d.h. es gilt

∂u ∗ (ξ, ξ ) ∂u ∗ (ξ, η) = =: h(ξ ) , ∂ξ ∂ξ

η≥ξ.

Sei nun H eine Stammfunktion von h. Dann gilt für η ≥ ξ ∗

∗

η

u (ξ, η) = u (η, η) −

h(s) ds = u ∗ (η, η) − H (η) + H (ξ ) .

(7.9)

ξ

Setzen wir schließlich noch v(ξ ) := H (ξ ) und w(η) := u ∗ (η, η) − H (η), so erhalten wir v, w ∈

7.1 Die homogene Wellengleichung

305

C 2 (R1 ) und (mit (7.9)) u ∗ (ξ, η) = v(ξ ) + w(η) bzw. mit (7.7) und (7.5) für t ≥ 0: u(x, t) = v(x − ct) + w(x + ct) . Es stellt sich nun die Frage: Wie sind die Funktionen v und w zu wählen, damit auch die Anfangsbedingungen (7.3) erfüllt sind? Aus (7.3) und (7.4) ergeben sich die beiden Gleichungen u(x,0) = v(x) + w(x) = u 0 (x) ∂u(x,0) = −cv (x) + cw (x) = u 1 (x) . ∂t Differenzieren wir die erste dieser Gleichungen, so erhalten wir zusammen mit der zweiten für v und w das Gleichungssystem ⎧

⎨ v + w = u0 (7.10) ⎩ v − w = − 1 u 1 . c Die Lösung von (7.10) lautet: 1 1 1 1 v = u 0 − u 1 , w = u 0 + u 1 , 2 c 2 c woraus sich durch Integration 1 1 v(x) = v(0) + (u 0 (x) − u 0 (0)) − 2 2c

x u 1 (s) ds 0

1 1 w(x) = w(0) + (u 0 (x) − u 0 (0)) + 2 2c

x u 1 (s) ds 0

ergibt. Wegen u(x, t) = v(x − ct) + w(x + ct) gilt somit 1 1 u(x, t) = v(0) + w(0) − u 0 (0) + (u 0 (x − ct) + u 0 (x + ct)) + 2 2c

x+ct

u 1 (s) ds . (7.11) x−ct

Mit (7.4) und (7.3) folgt u(0,0) = v(0) + w(0) = u 0 (0), und mit (7.11) erhalten wir die Lösung von Problem ( A1 ): 1 1 u(x, t) = (u 0 (x − ct) + u 0 (x + ct)) + 2 2c

x+ct

u 1 (s) ds . x−ct

(7.12)

306


Bemerkung: Da jede Lösung von Problem ( A1 ) die Gestalt (7.12) haben muß, ist sie zwangsläufig eindeutig bestimmt. Physikalische Deutung Bereits aus der Darstellung u(x, t) = v(x −ct)+w(x +ct) (s. (7.4)) wird folgendes deutlich: Der Anteil v(x − ct) beschreibt eine Bewegung des Wellenprofils v(x) (t = 0!) mit der Geschwindigkeit c nach rechts, denn v(x − ct) geht aus v(x) durch Parallelverschiebung um ct nach rechts hervor:

Bild 7.1: Nach rechts verlaufender Wellenprozess mit Geschwindigkeit c.

Entsprechend beschreibt w(x + ct) einen mit der Geschwindigkeit c nach links verlaufenden Wellenprozess. Wir betrachten jetzt die spezielle Situation u(x,0) = u 0 (x) ,

∂u(x,0) = u 1 (x) = 0 . ∂t

(7.13)

Wegen (7.12) gilt dann u(x, t) =

1 (u 0 (x − ct) + u 0 (x + ct)) . 2

(7.14)

Es sei u 0 gemäß Figur 7.2 gewählt. Mit den obigen Überlegungen ergibt sich dann folgender Sachverhalt: Die Welle mit dem »Startprofil« u 0 (x) »zerfällt« also in zwei Wellen mit dem Profil 12 u 0 (x), die sich mit der Geschwindigkeit c nach rechts bzw. links ausbreiten, und wir sehen: Räumlich begrenzte Anfangsstörungen (im x-Bereich) führen zu räumlich begrenzten Ausbreitungsbereichen der Welle, die allerdings von der Zeit t abhängen. 7.1.2

Anfangswertprobleme im R3

Wir präzisieren zunächst wieder die Aufgabenstellung:

7.1 Die homogene Wellengleichung

307

Bild 7.2: Zerfall des Ausgangsprofils

( A3 ): Es sei I das Intervall [0, ∞). Zu bestimmen ist eine in R3 × I zweimal stetig differenzierbare Funktion u(x, t), die der 3-dimensionalen Wellengleichung c2 Δu(x, t) =

∂ 2 u(x, t) , ∂t 2

(x, t) ∈ R3 × I

(7.15)

genügt und die die Anfangsbedingungen u(x,0) = u 0 (x) ,

∂ u(x,0) = u 1 (x) , ∂t

x ∈ R3

(7.16)

mit vorgegebenen Funktionen u 0 ∈ C 3 (R3 ) und u 1 ∈ C 2 (R3 ) erfüllt. Unser Ziel ist es, Problem ( A3 ) durch geeignete Mittelwertbildung auf ein 1-dimensionales Anfangswertproblem zurückzuführen. Hierzu sei u(x, t) eine Lösung unseres Problems. Wir betrachten für festes x ∈ R3 den Mittelwert

1 u( y, t) dσ y (7.17) u(r, ˜ t; x) = 4πr 2 | y−x|=r

von u( y, t) über die Kugel um x mit dem Radius r .

Bild 7.3: Zur Mittelwertbildung

308


Mit y = x + r n (n = n( y), |n| = 1) und dσ y = r 2 dσn läßt sich (7.17) in der Form

1 u(x + r n, t) dσn u(r, ˜ t; x) = 4π

(7.18)

|n|=1

schreiben. Aufgrund von (7.15) und dem Integralsatz von Gauß (s. Abschn. 5.1.1, (5.4)) gilt

| y−x| 0} bzw. {x ∈ Rn |x| < R , x n < 0} mit K R+ bzw. K R− , so läßt sich der folgende Glattheitsbegriff für den Rand ∂Ω von Ω formulieren:

10.4 Zur Regularitätstheorie beim Dirichletproblem

409

Definition 10.1: Wir sagen Ω gehört zur Klasse C k (k ∈ N), wenn es zu jedem x 0 ∈ ∂Ω eine offene Umgebung U (x 0 ) von x0 sowie ein R > 0 und eine umkehrbar eindeutige Abbildung x → y = f (x) = ( f 1 (x), . . . , f n (x)) von U (x o ) ∩ Ω auf die abgeschlossene Halbkugel K R+ gibt, mit (1) f (U (x0 ) ∩ ∂Ω) = {x ∈ Rn |x| < R , x n = 0} ; (2) f (x 0 ) = 0 ; (3) f j ∈ C k (U (x0 ) ∩ Ω) und f j− ∈ C k (K R+ ) ( j = 1, . . . , n). Dabei bezeichnet f − : y → x = f − (y) = ( f 1− (y), . . . , f n− (y)) die zu f inverse Abbildung. Für unseren Nachweis, daß u auf dem Rand ∂Ω von Ω verschwindet, setzen wir Ω ∈ C 1 voraus und zeigen: u(x 0 ) = 0 in jedem Punkt x 0 ∈ ∂Ω. Nach Definition 9.1 gibt es eine Abbildung f mit den Eigenschaften (1), (2) und (3) (k = 1), d.h. U (x0 ) ∩ Ω wird umkehrbar eindeutig K R+ , das Flächenstück U (x0 ) ∩ ∂Ω von ∂Ω auf einen Teil auf die abgeschlossene Halbkugel n der Hyperebene {x ∈ R x n = 0} und der beliebige (feste) Punkt x 0 ∈ ∂Ω in den Punkt y0 = f (x0 ) = 0 abgebildet (s. Fig 9.4 für den Fall n = 2).

Fig 10.4: Abbildung eines Flächenstückes auf die Hyperebene {x ∈ Rn x n = 0} (n = 2).

Nun führen wir eine Zwischenüberlegung durch, bei der wir klären wollen, wie sich der Übergang von der Variablen x zur Variablen y (bzw. umgekehrt) gestaltet: Seien Ω0 und Ω0 beliebige offene Mengen in Rn , und f = ( f 1 , . . . , f n ) sei eine umkehrbar eindeutige Abbildung von Ω0 auf Ω0 für die f j ∈ C bk (Ω0 ) und f j− ∈ C bk (Ω0 ) gilt (wir sagen dann, f gehört zur Klasse

410

10 Hilbertraummethoden

Cbk (Ω0 , Ω0 )). Ist u ∈ C0 (Ω0 ), und ist die Funktion v = S0 u durch v(y) = (S0 u)(y) := u( f − (y)) ,

y ∈ Ω0

(10.106)

erklärt, so gilt v ∈ C0 (Ω0 ). Ferner ist S0 eine umkehrbar eindeutige lineare Abbildung von C0 (Ω0 ) auf C0 (Ω0 ), und die Inverse S0−1 von S0 ist durch u(x) = (S0−1 v)(x) = v( f (x)) ,

x ∈ Ω0

(10.107)

gegeben. S0 beschreibt den Übergang von der Variablen x = (x 1 , . . . , xn ) zur neuen Variablen y = (y1 , . . . , yn ). Es läßt sich zeigen, daß S0 unter den obigen Voraussetzungen an f zu einer linearen Abbildung S von L 2 (Ω0 ) auf L 2 (Ω0 ) erweitert werden kann (s. Werner [158], Theorem 12.1). Außerdem — und das ist für unsere Belange wichtig — überträgt sich die Zugehörig◦ keit von U zu H1 (Ω0 ) auf SU zu ◦

SU ∈ H1 (Ω0 ) ,

(10.108)

und es gilt die Abschätzung ◦

SU 1,Ω ≤ c1 U 1,Ω0 0

für U ∈ H1 (Ω0 )

(10.109)

mit einer Konstanten c1 > 0 (s. Werner [158], Theorem 12.2). Nach dieser Zwischenüberlegung führen wir unseren Nachweis fort: Wir setzen Ω0 := U (x 0 ) ∩ Ω ,

Ω0 := K R+ .

(10.110)

◦

Nach Voraussetzung ist U ∈ H1 (Ω). Daher gibt es eine Folge {u k } ⊂ C 0∞ (Ω) mit U − u k 1 → 0 für k → ∞. Nun setzen wir (s.o.) vk (y) = u k ( f − (y)) = (Su k )(y) ,

y ∈ K R+

(10.111)

und 5 62 2 < R2 , 0 < yn < h} Z (h) := {y ∈ Rn y12 + · · · + yn−1 2 < (Zylinder mit Grundfläche y12 + · · · + yn−1 + so, daß Z (h 0 ) ⊂ K R ist.

5 R 62 2

(10.112)

und Höhe h). Ferner wählen wir ein h 0 > 0

Mit der Abkürzung y = (y1 , . . . , yn−1 ) läßt sich y in der Form y = (y , yn ) schreiben. Wegen u k ∈ C0∞ (Ω) ist vk (y ,0) = 0 für |y | < R. Für y ∈ Z (h 0 ) gilt daher nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

yn vk (y) = 0

∂ vk (y , t) dt . ∂ yn

(10.113)


411

Fig 10.5: Zum Nachweis u = 0 auf ∂Ω

Wenden wir auf dieses Integral die Schwarzsche Ungleichung an, so ergibt sich y 2 ⎛ y ⎞ ⎛ yn ⎞ n 2

n

∂ ∂ |vk (y)|2 = 1 · vk (y , t) dt ≤ ⎝ 12 dt ⎠ ⎝ vk (y , t) dt ⎠ ∂ y ∂ y n n 0

0

0

2

yn ∂

dt . · v (y , t) ≤ yn ∂y k n

0

Für 0 < h < h 0 gilt dann 1 h

1 |vk (y)| dy = h

h '

2

Z (h)

1 ≤ h

yn

=

1 h

h yn

Z (yn )

0

1 ≤ h

|vk (y , yn )| dy

h yn 0

( dyn

2

yn ∂

∂ y vk (y , t) dt dy dyn n

|y |< R2 0

0

2

|y |< R2

0

h

(10.114)

2 ∂ v (y) ∂ y k dy dyn n

2 2

∂ ∂ h dy ≤ h vk v (y) dy dy = v (y) n k H1 (K R+ ) . ∂y k 2 ∂ y 2 n n K R+

K R+

412


Die Menge U (x 0 )∩Ω ist beschränkt. Ferner ist der Rand von U (x0 )∩Ω (als Bild einer Halbkugel unter einer C 1 -Abbildung) genügend glatt. Wie im Beweis von Übung 3.2 folgt dann

U − u k 2L 2 (U (x0 )∩Ω) = |u − u k |2 dx . U (x0 )∩Ω

Mit der Abkürzung ∂ Δ(x) := det f j (x) ∂ xi

(10.115)

ergibt sich hieraus mit Hilfe der Transformationsformel für Gebietsintegrale (s. Bd. I, Abschn. 7.1.7)

|v − vk |2 dy = |u − u k |2 · Δ(x) dx (10.116) U (x 0 )∩Ω K R+ ≤ U − u k 2L 2 (U (x0 )∩Ω) sup |Δ(x)| → 0

für k → ∞ .

Wegen (U (x 0 ) ∩ Ω) ⊂ Ω und U − u k H1 (Ω) → 0 für k → ∞ (s.o.) können wir Übung 3.7 (b) anwenden und erhalten U − u k H1 (U (x0 )∩Ω) ≤ U − u k H1 (Ω) → 0

für k → ∞ .

Abschätzung (10.109) liefert dann SU − vk H1 (K + ) = S(U − u k ) H1 (K + ) R

R

≤ c1 U − u k H1 (U (x0 )∩Ω) → 0

für k → ∞ .

(10.117)

Nun verwenden wir (10.116) und (10.117) und führen in (10.114) den Grenzübergang k → ∞ durch. Dadurch ergibt sich für 0 < h < h 0

1 h 1 |v(y)|2 dy ≤ SU H1 (K + ) und hieraus |v(y)|2 dy → 0 für h → 0 . R h 2 h Z (h)

Z (h)

Andererseits gilt nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung mit geeignetem 0 < yn∗ < h 1 h

1 |v(y)| dy = h

h

|v(y , yn )|2 dy dyn

2

Z (h)

=

0

|v(y , |y |< R2

yn∗ )|2 dy

|y |< R2

→ |y |< R2

|v(y ,0)|2 dy

für h → 0 ,


413

so daß das letzte Integral verschwindet. Dies zieht aber v(y ,0) = 0 für alle y mit |y | < damit insbesondere auch v(0) = 0

R 2

und

(10.118)

nach sich. Wegen u k (x) = vk ( f (x)) und (10.116) gilt

|v( f (x)) − u k (x)|2 dx = |v( f (x)) − vk ( f (x))|2 dx U (x0 )∩Ω

U (x 0 )∩Ω

=

2

−

−

|v − vk |2 dy → 0

|v(y) − vk (y)| · Δ (y) dy ≤ sup |Δ (y)| · K R+

K R+

für k → ∞. Andererseits gilt (s.o.)

|u(x) − u k (x)|2 dx → 0

für k → ∞ .

U (x0 )∩Ω

Daher induzieren die Funktionen v( f (x)) und u(x) dasselbe L 2 -Funktional in U (x0 ) ∩ Ω. Nach Übung 3.1 (b) gilt somit für x ∈ U (x0 ) ∩ Ω .

u(x) = v( f (x))

Für x → x0 erhalten wir schließlich mit (10.118) u(x0 ) = v( f (x0 )) = v(0) = 0 . Damit ist gezeigt Satz 10.9: ◦ Es sei Ω ∈ C 1 , und U ∈ H1 (Ω) sei durch eine Funktion u ∈ C(Ω) induziert:

U ϕ = uϕ dx für ϕ ∈ C0∞ (Ω) . Dann gilt: u(x) = 0 für x ∈ ∂Ω. ◦

Mit diesem Ergebnis ist die Wahl des Sobolevraumes H1 (Ω) begründet. Übungen Übung 10.1*:

◦

Beweise: Für F ∈ H1 (Ω) und ◦ G ∈ D = {U ∈ H1 (Ω) ΔU ∈ L 2 (Ω}

414


gilt im Falle reeller Räume (F, ΔG) = −

n ∂ ∂ F, G . ∂ xi ∂ xi i=1

Insbesondere ergibt sich für F, G ∈ D (F, ΔG) = −

n ∂ ∂ F, G = (ΔF, G) . ∂ xi ∂ xi i=1

Übung 10.2*: 1 Es sei u ∈ C 2 (Ω) mit ∂u ∂n = 0 auf ∂Ω. Ferner sei v ∈ C (Ω) und besitze einen beschränkten Träger. Zeige, daß die Beziehung

∇u·∇v dx = − Δu · v dx Ω

gilt.

Ω

Anhang

A

Anhang

A.1

Der Fortsetzungssatz von Hahn-Banach

Es sei X ein normierter Raum, X 0 ein Unterraum von X und f ein beschränktes lineares Funktional auf X 0 . Dann gibt es ein beschränktes lineares Funktional F auf X mit (i)

F(x) = f (x)

für x ∈ X 0 ;

(ii)

F = f .

D.h. f läßt sich norminvariant auf ganz X fortsetzen. Beweis:1 (a) Wegen X 0 ⊂ X gibt es ein x0 ∈ X mit x0 ∈ / X 0 . Wir bilden X 1 = X 0 + [x0 ] = {x + αx 0 x ∈ X 0 und α ∈ R} . X 1 ist ein Unterraum von X . Wir wollen zunächst f von X 0 auf X 1 fortsetzen; f 1 sei eine Fortsetzung mit (i)

f 1 (x) = f (x)

für x ∈ X 0 ;

(ii)

f1 = f .

Dann folgt wegen (i) f 1 (x + αx0 ) = f 1 (x) + α f 1 (x0 ) = f (x) + α f 1 (x0 ) . Durch Vorgabe von f 1 (x0 ) ist damit f 1 eindeutig bestimmt. Umgekehrt ist jedes Funktional der Form f 1 (x + αx0 ) := f (x) + αz 0 ,

z 0 ∈ R beliebig (fest)

ein beschränktes und lineares Funktional auf X 1 . Wir haben nun zu zeigen: Es gibt ein z 0 ∈ R so, daß f 1 = f ist. Hierzu genügt der Nachweis f 1 ≤ f oder | f 1 (x + αx 0 )| = | f (x) + αz 0 | ≤ f x + αx 0 oder

x x + z0 ≤ f + x0 . f α α

Da mit x auch

x α

ganz X 0 durchläuft, reicht es aus, | f (x) + z 0 | ≤ f x + x0 für alle

1 Wir beschränken uns auf den reellen Fall. Zum komplexen Fall s. z.B. Heuser [73], S. 228–232

K. Burg et al., Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen, DOI 10.1007/978-3-8348-9589-9, © Vieweg+Teubner | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2009

418

A Anhang

x ∈ X 0 nachzuweisen. Gleichbedeutend hiermit ist − f x + x0 ≤ f (x) + z 0 ≤ f x + x 0

für alle x ∈ X 0

oder − f (x) − f x + x0 ≤ z 0 ≤ − f (x) + f x + x 0

für alle x ∈ X 0

oder sup [− f (x) − f x + x0 ] ≤ z 0 ≤ inf [− f (x) + f x + x 0 ] , x∈X 0

x∈X 0

und es bleibt zu zeigen: sup [− f (x) − f x + x0 ] ≤ inf [− f (x) + f x + x0 ] . x∈X 0

x∈X 0

Dies folgt aber so: Für alle u, v ∈ X 0 gilt f (u) − f (v) = f (u − v) ≤ f u − v = f (u + x 0 ) − (v + x0 ) ≤ f u + x0 + f v + x0 oder − f (v) − f v + x 0 ≤ − f (u) + f x + x0 . Hieraus ergibt sich die behauptete Ungleichung, und f ist durch f 1 in der gewünschten Weise auf X 1 fortgesetzt. (b) Im nächsten Schritt wollen wir f auf ganz X fortsetzen. Hierzu benötigen wir einige mengentheoretische Überlegungen: Ist M eine nichtleere Menge, und ist für gewisse x, y, z ∈ M eine Vergleichsrelation » 0 ;

c2 > 0

für alle f, g ∈ X . Dann gibt es zu jedem f ∈ X genau ein u ∈ X mit B(g, u) = (g, f )

für alle g ∈ X .

Beweis: Wegen (i) ist für festes u ∈ X die Zuordnung g → B(g, u) ein beschränktes lineares Funktional auf X . Nach dem Rieszschen Darstellungssatz (s. Abschn. 2.1.3) gibt es daher ein eindeutig bestimmtes h ∈ X mit B(g, u) = (g, h)

für alle g ∈ X .

(1)

Wir setzen h =: Su und zeigen, daß S eine umkehrbar eindeutige lineare und beschränkte Abbildung von X auf sich ist. Mit diesem h lautet (1) B(g, u) = (g, Su)

für alle g ∈ X ,

(2)

420

A Anhang

und mit der Definition von S folgt hieraus sofort die Linearität von S. Daher ist der Bildbereich von S: N = {Su u ∈ X }, ein Unterraum von X . Setzen wir speziell g := Su, so ergibt sich aus (2) und (i) Su2 = (Su, Su) = B(Su, u) ≤ c1 Suu oder Su ≤ c1 u, d.h. S ist beschränkt. Nun setzen wir g := u und erhalten aus (ii) und (2) c2 u2 ≤ B(u, u) = (u, Su) ≤ uSu oder Su ≥ c2 u, d.h. Su = 0 zieht u = 0 nach sich. S ist also umkehrbar eindeutig. Wir zeigen nun: Der Bildbereich N von S ist abgeschlossen. Hierzu sei die Folge {Su k } ⊂ N konvergent in X . Dann gilt Su k − Su j = S(u k − u j ) ≥ c2 u k − u j . Die linke Seite dieser Ungleichung strebt für j, k → ∞ gegen 0 (warum?), daher ist {u k } eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist konvergiert diese Folge: u ∈ X sei das Grenzelement. Wegen Su − Su k ≤ Su − u k → 0

für k → ∞

konvergiert die Folge {Su k } gegen Su ∈ N , d.h. N ist abgeschlossen. Nun weisen wir N = X nach und nehmen hierzu an, es sei N ⊂ X . Dann gibt es aber ein w ∈ X mit w ∈ / N , und der Zerlegungssatz (s. Abschn. 1.3.4) garantiert uns eine eindeutige Darstellung von w in der Form w = w1 + w2

mit (w1 , v) = 0 für alle v ∈ N und w2 ∈ N .

Aus Sw1 ∈ N und (ii) folgt dann 0 = (w1 , Sw1 ) = B(w1 , w1 ) ≥ c2 w1 2 oder w1 = 0. Also gilt w = w2 ∈ N im Widerspruch zu unserer Annahme. Damit ist N = X gezeigt. Zu gegebenem f ∈ X wählen wir nun u := S −1 f und erhalten B(g, u) = (g, Su) = (g, SS −1 f ) = (g, f )

für alle g ∈ X ,

und die Existenz eines u ∈ X mit den geforderten Eigenschaften ist gezeigt. Zum Eindeutigkeitsnachweis nehmen wir an, es existiere ein weiteres u mit B(g, u ) = (g, f ) für alle g ∈ X . Dann gilt: B(g, u − u ) = 0 für alle g ∈ X . Wählen wir g := u − u , so folgt mit (ii) 0 = B(u − u , u − u ) ≥ c2 u − u 2 oder u − u = 0. Dies hat u = u zur Folge. Damit ist der Satz vollständig bewiesen.

B

Lösungen zu den Übungen

Zu den mit ∗ versehenen Übungen werden Lösungen angegeben oder Lösungswege skizziert. Zu Abschnitt 1 Lösung 1.1: Wegen der Konvergenz von

∞ 1 existiert d(x, y) für alle x, y ∈ s. Mit der im Hinweis angegebenen Ungleichung k

k=1

2

ergibt sich (iii): d(x, y) = ≤

∞ 1 |(xk − z k ) + (z k − yk )| 2k 1 + |(x k − z k ) + (z k − yk )|

k=1 ∞ k=1

∞

1 |z k − yk | 1 |x k − z k | + = d(x, z) + d(z, y) . 2k 1 + |xk − z k | 2k 1 + |z k − yk | k=1

u für u > −1 monoton wachsend ist. Zum Nachweis der Ungleichung beachte, daß die Funktion f (u) = 1+u

Lösung 1.4: Für x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ), z = (z 1 , z 2 ) aus X 1 × X 2 gilt, wenn wir o.B.d.A. d1 (x1 , y1 ) ≥ d2 (x 2 , y2 ) annehmen, d(x, y) = max(d1 (x 1 , y1 ), d2 (x 2 , y2 )) = d1 (x 1 , y1 ) ≤ d1 (x 1 , z 1 ) + d1 (z 1 , y1 ) ≤ max(d1 (x1 , z 1 ), d2 (x 2 , z 2 )) + max(d1 (z 1 , y1 ), d2 (z 2 , y2 )) = d(x, z) + d(z, y) . Der Nachweis von (i) und (ii) ist klar.

Lösung 1.5: Zu zeigen: f (X 0 ) ist abgeschlossen und beschränkt. (i) f (X 0 ) ist beschränkt: Annahme: f (x) nicht nach oben beschränkt. Dann gibt es eine Folge {x k } in X 0 mit f (xk ) > k. Da X 0 kompakt ist enthält sie eine Teilfolge {xk j }, die gegen ein x0 ∈ X 0 konvergiert. Aus der Stetigkeit von f ergibt sich f (xk j ) → f (x0 ) für k j → ∞. Andererseits gilt f (x k j ) > k j , also f (x k j ) → ∞ für k j → ∞.Widerspruch! f (x) ist also nach oben beschränkt. Entsprechend zeigt man die Beschränktheit nach unten. (ii) f (X 0 ) ist abgeschlossen: {yk } sei eine beliebige Folge in f (X 0 ) mit yk → y0 . Zu jedem yk existiert dann wenigstens ein x k ∈ X 0 mit f (xk ) = yk , also gilt f (x k ) → y0 für k → ∞. X 0 ist kompakt. Daher enthält {xk } eine Teilfolge {xk j } mit xk j → x 0 ∈ X 0 für k j → ∞. Aus der Stetigkeit von f folgt f (x k j ) → f (x0 ) für k j → ∞, insgesamt also y0 = f (x0 ) ∈ f (X 0 ).

Lösung 1.7: Benutze dieselbe Schlußweise wie in Übung 1.5.


422


Lösung 1.8: (b) Es sei {u (k) } eine Cauchy-Folge in (Rn , d), d.h. (k)

d(u (k) , u (l) ) = max |μi 1≤i≤n

(l)

− μi | → 0

für k, l → ∞ .

(k)

Dann ist jede Folge {μi } (i = 1, . . . , n) eine Cauchy-Folge in R. R ist vollständig. Es gibt daher reelle Zahlen μi

(k) (i = 1, . . . , n) mit |μi − μi | → 0 für k → ∞ (i = 1, . . . , n). Setze u := (μ1 , . . . , μn ). Dann folgt (k)

d(u (k) , u) = max |μi 1≤i≤n

− μi | → 0

für k → ∞ .

Lösung 1.9: Zum Vollständigkeitsnachweis sei {xn } eine beliebige Cauchy-Folge in C 1 [a, b]. Dann folgt für n, m → ∞ max |xn (t) − xm (t)| → 0

a≤t≤b

und

(t)| → 0 . max |xn (t) − xm

a≤t≤b

Daher konvergieren die Folgen {xn (t)} und {x n (t)} im Sinn von Cauchy gleichmäßig auf [a, b]. Für alle (festen) t ∈ [a, b] sind diese Folgen Cauchy-Folgen in R. Da R vollständig ist, kann man punktweise Grenzfunktionen definieren: lim xn (t) =: x0 (t) ,

n→∞

lim x (t) =: x(t) ˜ , t ∈ [a, b] . n→∞ n

Wie in Beispiel 1.10 zeigt man: {x n (t)} konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen x0 (t) und entsprechend {x n (t)} gegen x(t). ˜ Aus der gleichmäßigen Konvergenz und der Stetigkeit von x n (t) und xn (t) auf [a, b] folgt die Stetigkeit von x 0 (t) und x(t) ˜ auf [a, b]. Ferner ergibt sich: x 0 (t) ist stetig differenzierbar und es gilt x0 (t) = lim xn (t) = x(t) ˜ n→∞ d und lim!). Damit erhält man (Vertauschung von dt

d(xn , x0 ) = max |x n (t) − x0 (t)| + max |x n (t) − x0 (t)| → 0 a≤t≤b

a≤t≤b

für n → ∞ .

In C m [a, b] (m ∈ N) läßt sich durch d(x, y) =

m k=0

max |x (k) (t) − y (k) (t)|

a≤t≤b

eine Maximumsmetrik erklären.

Lösung 1.10: Zu (2): Es sei {xn } eine Folge in M mit xn → x ∈ X für n → ∞. Dann ist {x n } eine Cauchy-Folge in M (warum?). Da M vollständig ist, konvergiert {xn } in M, d.h. x ∈ M (Eindeutigkeit des Grenzelementes). zu (3): ⇒: s. (2) ⇐: Es sei {x n } eine beliebige Cauchy-Folge in M ⊂ X . Dann gibt es ein x ∈ X mit xn → x für n → ∞ (da X vollständig!). Daher gilt x ∈ M + und wegen der Abgeschlossenheit von M: x ∈ M. Die Folge {xn } konvergiert somit gegen ein Element aus M, d.h. M ist vollständig.

423

Lösung 1.11: (X, d) ist ein metrischer Raum. Nachweis von (iii) (Dreiecksungleichung): Mit x = [a, b], y = [c, d], z = [e, f ] gilt d(x, y) = |a − c| + |b − d| = |a − e + e − c| + |b − f + f − d| ≤ |a − e| + |e − c| + |b − f | + | f − d| = |a − e| + |b − f | + |e − c| + | f − d| = d(x, z) + d(z, y) . ? > 1 , 1 eine Cauchy-Folge in (X, d), jedoch gehört das Grenzele(X, d) ist nicht vollständig: z.B. ist {x n } mit x n = n+1 n ment [0,0] nicht zu (X, d). Eine Vervollständigung ist durch X ∪ {a} mit a ∈ R gegeben. Dabei sei [a, a] := {a}.

Lösung 1.12: (i)

(i)

( j)

(b) ⇒: Es seien {xk } (k = 1, . . . , n) beliebige Cauchy-Folgen in X k , d.h.es gelte dk (x k , x k ) → 0 für i, j → ∞. (i)

(i)

Setze x (i) := (x1 , . . . , xn ). Wegen n

d(x (i) , x ( j) ) =

( j)

(i)

dk (xk , xk ) → 0

für i, j → ∞

k=1 (0)

(0)

ist {x (i) } eine Cauchy-Folge in X . Da X vollständig ist, gibt es ein x (0) = (x1 , . . . , xn ) ∈ X mit d(x (i) , x (0) ) =

n

(i)

(0)

dk (xk , xk ) → 0

für i → ∞ .

k=1 (i)

(0)

(0)

Hieraus folgt dk (xk , xk ) → 0 für i → ∞ und k = 1, . . . , n, mit xk ∈ X k , d.h. X k ist für k = 1, . . . , n vollständig. (i) (i) (i) ⇐: Es sei {x (i) } mit x (i) = (x 1 , . . . , xn ) eine beliebige Cauchy-Folge in X . Dann sind {xk } für k = 1, . . . , n Cauchy(0)

Folgen in X k (warum?). Da die X k alle vollständig sind, gibt es zu jedem k ein xk

(0) (0) i → ∞. Setze x (0) := (x 1 , . . . , x n ). Dann ist x (0) ∈ X , und es gilt

d(x (i) , x (0) ) =

n

(i)

(0)

dk (xk , xk ) → 0

(i)

für i → ∞ ;

k=1

d.h. {x (i) } konvergiert gegen x (0) . X ist somit vollständig.

Lösung 1.13: Benutze den vollständigen metrischen Raum X = (Cn , d) mit ⎛ d(x, y) = ⎝

n

⎞1 |ξi − ηi |2 ⎠

2

i=1

für x = (ξ1 , . . . , ξn ), y = (η1 , . . . , ηn ) (ξi , ηi ∈ C, i = 1, . . . , n) (s. Beisp. 1.9). Die Abbildung T mit ⎞ ⎛ n n a1k ξk + b1 , . . . , ank ξk + bk ⎠ T x := ⎝ k=1

k=1

(0)

∈ X k mit dk (x k , xk ) → 0 für

424


bildet X in sich ab. Ferner gilt mit der Schwarzschen Ungleichung für Summen 2 ⎞ 12 ⎧ ⎫⎞ 1 ⎛ n n n ⎨ n n ⎬ 2 ⎟ ⎜ aik (ξk − ηk ) ⎠ ≤ ⎝ |aik |2 · |ξk − ηk |2 ⎠ d(T x, T y) = ⎝ ⎩ ⎭ i=1 k=1 i=1 k=1 k=1 ⎛

⎛ =⎝

⎞1 ⎛ 2

n

n

|aik |2 ⎠ ⎝

i,k=1

⎞1 |ξk − ηk |2 ⎠

2

≤ qd(x, y) , q < 1 ,

k=1

d.h. T ist eine kontrahierende Abbildung, und Satz 1.2 garantiert für jedes (b1 , . . . , bn ) eine eindeutig bestimmte Lösung.

Lösung 1.14: (a)⇒(b): 0 ∈ X i für alle i ∈ I . Mit xi ∈ X i sei

xi = 0 =

i∈I

0. Da die Darstellung eindeutig ist (direkte Summe!),

i∈I

gilt xi = 0 für alle i ∈ I . X j folgt x = xi ∈ X i und x = x j . Hieraus ergibt sich (b)⇒(c): Aus x ∈ X i ∩ j∈I j=i

0=

x j − xi =

j∈I j=i

j∈I j=i

x˜ j

x˜ j :=

mit

j∈I

xj

für j = i

−x j

für j = i

und damit xi = x = 0. (c)⇒(a): Es sei x ∈ X mit x =

xi =

i∈I ∈

yi . Für i = j gilt

i∈I

Xj

j∈I j=i

0 = x − x = xi − yi + ! " ∈X i

! " (x j − y j ) j∈I j=i

oder wegen (c) xi − yi = 0, d.h. die Darstellung ist eindeutig.

Lösung 1.15: Zu x, y ∈ S gibt es Folgen {xn }, {yn } mit xn , yn ∈ S und xn → x, yn → y für n → ∞. Da S Unterraum von X ist, enthält S auch die Folge {z n } mit z n := xn + yn . Wegen lim z n = lim (x n + yn ) = lim x n + lim yn = x + y ∈ X

n→∞

n→∞

n→∞

n→∞

(Stetigkeit der Addition) und lim z n ∈ S folgt x + y ∈ S. Entsprechend folgt aus der Stetigkeit der s-Multiplikation für α ∈ K beliebig

n→∞

lim (αxn ) = α lim xn = αx ∈ S . n→∞

n→∞

Lösung 1.19: (b) {(xn , yn )} sei eine beliebige Cauchy-Folge in X 1 × X 2 , d.h. es gelte (xn , yn ) − (x m , ym ) = (xn − xm , yn − ym ) = xn − x m 1 + yn − ym 2 → 0 für n, m → ∞ ,

425 dann folgt xn − x m 1 → 0 und yn − ym 2 → 0 für n, m → ∞, d.h. {xn } ist eine Cauchy-Folge in X 1 und {yn } eine Cauchy-Folge in X 2 . Da X 1 und X 2 vollständig sind, gibt es Elemente x0 ∈ X 1 und y0 ∈ X 2 mit xn → x0 und yn → y0 für n → ∞. Ferner gilt (x n , yn ) − (x 0 , y0 ) = x n − x 0 1 + yn − y0 2 → 0

für n → ∞ ,

d.h. (x n , yn ) → (x0 , y0 ) ∈ X 1 × X 2 . X 1 × X 2 ist also vollständig.

Lösung 1.20: Von den Elementen x 1 , . . . , xn ∈ X seien m linear unabhängig, o.B.d.A. nehmen wir dies von x 1 , . . . , x m an. Wir bilden [x 1 , . . . , xm ], also einen m-dimensionalen Unterraum von X . Dieser ist abgeschlossen (warum?). Nach Satz 1.1 existiert m βk xk . ein x0 ∈ [x 1 , . . . , xm ], so daß x − x 0 = min. Da x 0 ∈ [x1 , . . . , x m ], gibt es β1 , . . . , βm ∈ K mit x0 = k=1

Setze z.B. α1 = β1 , . . . , αm = βm , αm+1 = 0, . . . , αn = 0. Dann gilt n = min . x − α x k k k=1

Lösung 1.21: (a) x0 und x1 aus A mit x0 = x 1 seien bestapproximierend an x ∈ X . Es ist also x − x 0 = x − x1 = inf x − x . x ∈A

Bilde die Konvexkombination x 2 := αx0 + (1 − α)x1 , α ∈ [0,1]. Es gilt dann x − x 2 = x − αx 0 − (1 − α)x1 = α(x − x0 ) + (1 − α)(x − x 1 ) ≤ αx − x 0 + (1 − α)x − x1 = inf x − x . x ∈A

Da x2 aus A ist, muß x − x2 = inf x − x gelten, so daß auch x 2 bestapproximierend ist. x ∈A

(b) Die Existenzaussage ist durch Satz 1.1 erledigt. Zum Eindeutigkeitsnachweis nehmen wir an, x 0 und x1 seien zwei verschiedene bestapproximierende Elemente an x ∈ X (x ∈ / A), also: x − x0 = x − x 1 = inf x − x . Daher gilt wegen (a) x −

x ∈A

1 1 (x0 + x1 ) = (x − x0 ) + (x − x1 ) = inf x − x =: d . 2 2 x ∈A

Hieraus folgt nach Division durch d 1 x − x0 + x − x1 = 1 . 2 d d Dies ist ein Widerspruch zur Annahme x0 = x 1 , da der Ausdruck auf der linken Seite < 1 ist (X ist strikt konvex!).

Lösung 1.23: Benutze die Parallelogrammgleichung

426


Lösung 1.27: (a) Es seien x, y ∈ X . Dann gibt es Folgen {xn }, {yn } in X mit x n → x und yn → y für n → ∞. Insbesondere sind {xn } und {yn } Cauchy-Folgen in X . Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung folgt hieraus |(xn , yn ) − (x m , ym )| = |(xn , yn ) − (x n , ym ) + (x n , ym ) − (x m , ym )| ≤ |(x n , yn − ym )| + |(x n − x m , ym )| ≤ x n yn − ym + ym xn − x m →0

für n, m → ∞

({x n } und {yn } sind beschränkt) ,

d.h. {(x n , yn )} ist eine Cauchy-Folge in C. Da C vollständig ist, existiert der Grenzwert lim (xn , yn ). Dieser ist unn→∞

abhängig von den approximierenden Folgen, denn: Sind {xñ } und { yñ } weitere Folgen mit xñ → x und yñ → y, so gilt |(x n , yn ) − (xñ , yñ )| = |(xn , yn ) − (x, yn ) + (x, yn ) − (xñ , yn ) + (xñ , yn ) − (xñ , yñ )| ≤ |(xn − x, yn )| + |(x − xñ , yn )| + |(xñ , yn − yñ )| →0

für n → ∞ (folgt wie oben).

Damit ist die Definition (x, y) :=

lim (x n , yn ) für x, y ∈ X sinnvoll, und (x, y) besitzt die Eigenschaften eines

n→∞

Skalarproduktes (nachprüfen!) (b) Es sei x ∈ X und {xn } eine beliebige Folge aus X mit xn → x. Dies hat x = lim x n zur Folge. Mit (a) ergibt n→∞

sich dann 1

1

1

x = lim x n = lim (x n , xn ) 2 = [ lim (x n , xn )] 2 = (x, x) 2 . n→∞

n→∞

n→∞

X ist vollständig (s. Üb. 1.10), also ein Hilbertraum.

Lösung 1.28: (a) x1 , . . . , xn seien linear abhängig. Dann gibt es Zahlen α1 , . . . , αn mit |α1 |+· · ·+|αn | = 0 so, daß Multipliziert man diese Gleichung skalar mit x1 , dann mit x2 ,. . . so ergibt sich das Gleichungssystem i = 1, . . . , n. Da nicht alle αk verschwinden, muß det(x k , xi ) = 0, i, k = 1, . . . , n gelten. (b) Es sei nun det(xk , xi ) = 0. Dann gibt es Zahlen α1 , . . . , αn mit |α1 | + · · · + |αn | = 0 so, daß

n

αk x k = 0 gilt.

k=1 n

αk (xk , xi ) = 0,

k=1 n

αk (x k , xi ) = 0

k=1

für i = 1, . . . , n gilt. Multiplizieren wir die i-te Gleichung mit αi und addieren wir sämtliche Gleichungen, so ergibt sich 2 ⎞ ⎛ n n n n 0= αk αi (xk , xi ) = ⎝ αk xk , αi xi ⎠ = α x i i . i,k=1 k=1 i=1 i=1 Hieraus folgt

n

αi xi = 0, d.h. die xi sind linear abhängig (nicht alle αi sind 0!).

i=1

Lösung 1.29: (a) Es sei {xn } eine Folge in E, die in X konvergiere, d.h. es existiert ein x ∈ X mit xn − x → 0 für n → ∞. Hieraus folgt

1 xn − x2 =

[xn (t) − x(t)]2 dt → 0 −1

für n → ∞

427

oder

0

1 [xn (t) − x(t)]2 dt +

−1

[x n (t) − x(t)]2 dt → 0

für n → ∞

0

oder

0

[x(t)]2 dt +

−1

1

[x n (t) − x(t)]2 dt → 0

für n → ∞ .

0

20

Daraus ergibt sich

−1

[x(t)]2 dt = 0 oder x(t) ≡ 0 auf [−1,0], d.h. x ∈ E. E ist somit abgeschlossen. Entsprechendes

gilt für F. (b) Betrachte in X die Folge {z n (t)} mit z n (t) = xn (t) + yn (t), wobei ⎧ ⎧ 1 0 für − 1 ≤ t ≤ 0 ⎪ ⎪ 1 für − 1 ≤ t ≤ − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n ⎨ ⎨ 1 xn (t) := nt für 0 ≤ t ≤ n ; yn (t) := −nt für − 1 ≤ t ≤ 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 1 für 1 ≤ t ≤ 1 ⎩ 0 für 0 ≤ t ≤ 1. n Es gilt für z(t) := 1 auf [−1,1]

1

z n − z2 =

0

[z n (t) − z(t)]2 dt =

−1

1

(−nt − 1)2 dt +

− n1

n

(nt − 1)2 dt

0

1

n =2

(nt − 1)2 dt =

2 →0 3n

für n → ∞ .

0

Da z(0) = 0 ist, folgt hieraus z ∈ / E + F.

Lösung 1.30: (a) Die Besselsche Ungleichung gilt auch für Skalarprodukträume, denn: ⎛ ⎞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⎝ 0≤ x− (x, ek )ek , x − (x, ek )ek ⎠ = x2 + 2 |(x, ek )|2 + (x, ek )(x, e j )(ek , e j ) k=1

= x2 −

∞

k=1

|(x, ek )|2

oder

k=1

Es gilt also mit ak = (x, ek ):

k=1 ∞

k, j=1

|(x, ek )|2 ≤ x2 .

k=1 ∞ k=1

|ak |2 ≤ x2 < ∞. Damit folgt:

∞ k=1

|ak |2 ist konvergent, so daß lim ak = 0 ist k→∞

(warum?). (b) Benutzen wir die Beziehung 2 ⎛ ⎞ n n n n n n x − ⎝ λk ek λk ek , x − λk ek ⎠ = x2 − λk ak − λk a k + |λk |2 , = x− k=1 k=1 k=1 k=1 k=1 k=1

428


so folgt aus n

|ak − λk |2 =

k=1

n

(ak − λk )(a k − λk ) =

k=1

n

|ak |2 +

k=1

n

|λk |2 −

k=1

n

λk a k −

k=1

n

ak λk

k=1

oder n

|λk |2 =

k=1

n

|ak − λk |2 +

k=1

n

λk a k +

k=1

die behauptete Beziehung. (c) Für λk = ak (k = 1, . . . , n) gilt

n k=1

n

ak λ k −

n

|ak |2

k=1

|ak − λk |2 = 0, also

k=1

2 2 n n x − ˜ λ a e ≤ x − e k k k k , k=1 k=1 wenn λ˜ 1 , . . . , λ˜ n beliebige Elemente aus C sind.

Zu Abschnitt 2 Lösung 2.1: (a) s. Band. II, Abschnitt 2.4.5, Beipiel 2.28. (b) Benutze Teil (a) sowie Satz 1.6 und Beweis.

Lösung 2.2: Benutze die Schwarzsche Ungleichung.

Lösung 2.3: L(X, Y ) bezeichne die Menge aller beschränkten linearen Operatoren von X in Y . {Tn } sei eine Cauchy-Folge in L(X, Y ), d.h. zu jedem ε > 0 gibt es ein n 0 = n 0 (ε) mit Tn − Tm < ε für n, m > n 0 . Für x ∈ X gilt dann Tn x − Tm x = (Tn − Tm )x ≤ Tn − Tm x < εx . {Tn x} ist also eine Cauchy-Folge in Y . Da Y ein Banachraum ist, existiert der Grenzwert lim Tn x =: T x, und aus Tn x − Tm x < εx folgt für m → ∞: Tn x − T x ≤ εx. Hieraus ergibt sich T − Tn = sup (T − Tn )x ≤ ε x=1

n→∞

für alle n > n 0 .

Insgesamt erhalten wir: T = Tn +(T −Tn ) ist beschränkt, und T ist Grenzelement von {Tn }. L(X, Y ) ist somit vollständig, also ein Banachraum.

Lösung 2.4: (a) T x = y besitzt für jedes y ∈ Y die Lösung x = Sy, da T S = I ; d.h. T ist eine Abbildung von X auf Y . (b) Aus T x = y folgt x = Sy, da ST = I ; d.h. die Lösung x von T x = y ist eindeutig bestimmt. Aus (a) und (b) folgen die Behauptungen.

429

Lösung 2.6: Es sei {xk } eine Folge in Kern F mit xk → x ∈ X für k → ∞. Wegen F xk = 0 und der Stetigkeit von F folgt F x = 0, d.h. x ∈ Kern F. Kern F ist also abgeschlossen.

Lösung 2.9: Es sei {xn } eine beschränkte Folge in X . Da T vollstetig ist, gibt es eine Teilfolge {x n k } von {xn }, so daß {T xn k } konvergiert. Da S beschränkt ist, konvergiert auch die Folge {(S ◦ T )xn k }, d.h. S ◦ T ist vollstetig. Entsprechend zeigt man: T ◦ S ist vollstetig.

Lösung 2.11: Es sei X = (C(D), 2 ). Der Kern von T ist schwach-polar, d.h. stetig in D × D für x = y, und es existieren Konstanten C > 0, α > 0 mit C

|k(x, y)|
0 mit

|k(x, y)|2 dy ≤ M für alle x ∈ D . D

Die Schwarzsche Ungleichung liefert dann 2 ⎛ ⎞⎛ ⎞

k(x, y) f (y) dy ≤ ⎝ |k(x, y)|2 dy ⎠ ⎝ | f (y)|2 dy ⎠ ≤ M f 2 . D

D

D

Hieraus folgt T f 2 ≤

2

k(x, y) f (y) dy dx ≤ M dx f 2 = M · Vol(D) f 2 D d

D

√

oder T f ≤ M · Vol(D) f , d.h. T ist beschränkt. Der Vollstetigkeitsnachweis verläuft nun analog zu dem in Beispiel 2.9 geführten.

Lösung 2.13: Im Ausdruck

3

(T f, g) = D

D

4 k(x, y) f (y) dy g(x) dx ,

f, g ∈ C(D)

430


darf die Integrationsreihenfolge vertauscht werden (s. Nachweis von (2.98)). Mit k(x, y) = k(y, x) folgt dann 3

3

4 4

f (y) k(x, y)g(x) dx dy = f (y) k(x, y)g(x) dx dy = ( f, T g) . (T f, g) = D

D

D

D

Lösung 2.14: Schreibe ϕ(x) in der Form

π

x ϕ(x) =

η(y)G(x, y) dy +

η(y)G(x, y) dy . x

0

Durch Differentiation erhalten wir unter Beachtung von (i) ϕ (x) = G(x, x − 0)η(x) +

x η(y) 0

x η(y)

= 0

∂ G(x, y) dy + ∂x

∂ G(x, y) dy − G(x, x + 0)η(x) + ∂x

π η(y) x

π η(y) x

∂ G(x, y) dy ∂x

∂ G(x, y) dy . ∂x

Erneute Differentiation liefert ϕ

(x) =

∂ G(x, x − 0)η(x) + ∂x

x η(y) 0

∂2 ∂ G(x, y) dy − G(x, x + 0)η(x) + ∂x ∂x2

π η(y) x

∂2 G(x, y) . ∂x2

Hieraus folgt wegen der Symmetrie von G(x, y) und wegen (iv) ϕ

(x) =

3

4

x

π ∂ ∂2 ∂2 ∂ G(x − 0, x) − G(x + 0, x) η(x) + η(y) 2 G(x, y) dy + η(y) 2 G(x, y) dy ∂x ∂x ∂x ∂x 0

=−

η(x) + p(x)

x η(y) 0

∂2 G(x, y) dy + ∂x2

x

π ... . x

Zusammen mit (iii) folgt insgesamt d [ p(x)ϕ (x)] − q(x)ϕ(x) = p(x)ϕ

(x) + p (x)ϕ (x) − q(x)ϕ(x) dx ⎞ ⎛ x 3 4 (

π ' ∂ ∂ p(x) G(x, y) − q(x)G(x, y) dy = −η(x) . = −η(x) + ⎝ + ⎠ ∂x ∂x x

0

Wegen G(0, y) = G(π, y) = 0 für alle y mit 0 ≤ y ≤ π ergeben sich die Randbedingungen ϕ(0) = ϕ(π ) = 0.

Lösung 2.15: (a) Eigenwerte und -funktionen bestimmen sich aus

2π λ f (x) = (T f )(x) =

sin(x + y) f (y) dy 0

431 oder mit λ1 =: μ aus

2π sin(x + y) f (y) dy = 0 .

f (x) − μ 0

Hieraus ergibt sich mit

2π c1 :=

2π cos y · f (y) dy ,

c2 :=

0

sin y · f (y) dy 0

die Gleichung f (x) − μ

2π (sin x · cos y + cos x · sin y) f (y) dy = f (x) − μ[c1 sin x + c2 cos x] = 0 0

oder f (x) = μ[c1 sin x + c2 cos x]. Einsetzen in die obige Gleichung liefert ⎡ ⎤

2π

2π ⎢ ⎥ μ[c1 sin x + c2 cos x] = μ ⎣sin x cos y {μ(c1 sin y + c2 cos y)} dy + cos x sin y {μ(c1 sin y + c2 cos y)} dy ⎦ . 0

0

Da sin x und cos x linear unabhängig sind, folgt

2π c1 = μc1

2π cos2 y dy

sin y · cos y dy + μc2 0

2π c2 = μc1

0

sin2 y dy + μc2

0

2π sin y · cos y dy . 0

Mit

2π

sin2 y dy =

0

2π

cos2 y dy = π

2π sin y · cos y dy = 0

und

0

0

? > > ? 1 −μπ c1 0 ergibt sich hieraus für c1 , c2 das lineare Gleichungssystem −μπ c2 = 0 . Dieses besitzt genau dann nicht1 1 −μπ 1 1 2 2 triviale Lösungen, wenn −μπ 1 = 1 − μ π = 0 ist, d.h. für μ1 = π und μ2 = − π bzw. λ1 = π und λ2 = −π . Eigenfunktionen zu λ1 bestimmen sich aus 3 43 4 3 4 1 −1 c1 0 = : c1 = c2 = c ∈ R beliebig, d.h. f 1 (x) = πc (sin x + cos x). −1 1 c2 0 Zu λ2 : Aus 3 43 4 3 4 1 1 c1 0 = 1 1 c2 0

folgt c1 = −c2 = c ∈ R, d.h. f 2 (x) = − πc (sin x − cos x).

(b) Allgemeine Lösung der homogenen adjungierten Gleichung (der Kern ist symmetrisch!) f (x) −

1 π

2π sin(x + y) f (y) dy = 0 . 0

432


Wegen (a) lautet diese Lösung πc (sin x + cos x). Nach dem Fredholmschen Alternativsatz muß die Orthogonalitiätsbedingung c π

2π (sin x + cos x)(sin x + α cos x) dx = 0 0

erfüllt sein. Multipliziert man den Integranden aus und beachtet

2π

sin x · cos x dx = 0,

0

2π 2

cos2 x dx = π , so ergibt sich

0

für α die Beziehung π + απ = 0 oder α = −1 Setze h(x) := sin x − cos x. Entsprechend zu (a) erhält man für c1 , c2 das Gleichungssystem c1 = −π + c2 ,

c2 = π + c1

d.h. c2 = c1 + π , c1 beliebig.

Ferner ergibt sich die Lösung (c1 = c gesetzt) f (x) = sin x +

c (sin x + cos x) , π

c ∈ R.

Zu Abschnitt 3 Lösung 3.1: (a) Da Ω offen ist, gibt es zu jedem x 0 ∈ Ω ein δ0 > 0, so daß die Kugel {x |x − x0 | < δ0 } ganz in Ω liegt. (b) Für x := x0 + δy, δ < δ0 gilt

1 x − x0 Fu h δ = n u(x 0 + δy)h(y) dy → u(x 0 ) h(y) dy = u(x 0 ) für δ → 0 . dx = u(x)h δ δ |y|≤1

Da Fu h δ = 0 für 0 < δ < δ0 ist, folgt u(x0 ) = 0. Jedes u ∈ C(Ω) ∩ L 2 (Ω) läßt sich daher mit dem durch u induzierten Funktional identifizieren. Für u, v ∈ C(Ω) mit Fu , Fv ∈ L 2 (Ω) setze: u = Fu und (u, v) = (Fu , Fv ).

Lösung 3.2: (a) Wegen u ∈ C0 (Ω) ist δ = dist(Tr u, ∂Ω) > 0 und u k aus C 0∞ (Ω) für k > 1δ . {u k } konvergiert gleichmäßig 2 gegen u für k → ∞. Da Tr u und Tr u k beide in {x dist(x, Tr u) ≤ 1} liegen, folgt |u − u k |2 dx → 0 für k → ∞. 2 2 Entsprechendes gilt für |v − vk | dx. (b) Mit der Schwarzschen Ungleichung gilt für alle ϕ ∈ C0∞ (Ω) mit ϕ = 1

1

2 Fu ϕ − u k ϕ dx = (u − u k )ϕ dx ≤ |u − u k |2 dx →0

für k → ∞

(wegen (a)). Daher: Fu − u k → 0 und entsprechend Fv − vk → 0 für k → ∞.

Lösung 3.3: F, G ∈ L 2 (Ω). Daher gibt es Folgen { f k }, {gk } in C0∞ (Ω) mit F − f k → 0 und G − gk → 0 für k → ∞. Wegen Hilfssatz 3.3 folgt g F − g f k → 0 und gG − ggk → 0 für k → ∞, und mit Übung 3.2 (b) ergibt sich

g f k g k dx = lim f k ggk dx = ( f k , ggk ) = (F, gG) . (g F, G) = lim (g f k , gk ) = lim k→∞

k→∞

k→∞

Lösung 3.4: 5 m 6 5m 6 5m+16 (iii) mittels vollständiger Induktion beweisen. Indunktionsanfang (m = 1) folgt aus (ii). Benutze: k−1 + k = k .

433

Lösung 3.5:

y−x p 1 u(y) dy u(x + δy)h(y) dy = Dx n h δ δ

1 y−x 1 p u(y) dy = (−1)| p| n Fu (D p ψ) , Dx h = n δ δ δ wobei: ψ(y) := h y−x ∈ C0∞ (Ω) für dist(x, ∂Ω) > δ > 0 und | p| ≤ m ist. Nach Definition 3.4 (Ableitung von δ L 2 -Funktionalen) folgt hieraus

y−x 1 1 1 D p u(y) dy h D p u δ (x) = n (D p Fu )ψ = n (FD p u )ψ = n δ δ δ δ

= h(y)D p u(x + δy) dy = (D p u)δ (x) . p

D p u δ (x) = Dx

Lösung 3.6: 1. Zeige: Für Ω := Rn − Ω gilt δ = dist(K , Ω ) = inf |x − y| > 0. x∈Ω y∈K

2. Setze α := 3δ , Aα := {x dist(x, K ) < α}, Bα := {x dist(x, Ω ) < α} und betrachte f (x) :=

dist(x, Bα ) . dist(x, Aα ) + dist(x, Bα )

(Eigenschaften von f ?) 3. Bilde mit h aus Übung 3.1 (a)

f (x + εy)h(y) dy f ε (x) := und zeige, daß f ε für ε < α2 das Gewünschte leistet.

Lösung 3.7: ◦

(a) F ∈ Hm (Ω) . Daher gibt es eine Folge { f k } in C0∞ (Ω) mit F − f k m,Ω → 0 für k → ∞. Nach Definition der Ableitung für L 2 -Funktionale (Def 3.4) und Definition von F e (s. (3.31)) folgt für | p| ≤ m und ϕ ∈ C0∞ (Ω )

(D p F e )ϕ = (−1)| p| F e (D p ϕ) = (−1)| p| lim f k D p ϕ dx = lim ϕ D p f k dx = (D p F)e ϕ . k→∞

k→∞

Aus (3.32) ergibt sich D p F e L 2 (Ω ) = D p F L 2 (Ω) . Mit F e − f k m,Ω = F − f k m,Ω → 0 für k → ∞ folgt ◦ F e ∈ Hm (Ω ). (b) Für ϕ ∈ C0∞ (Ω) gilt (D p F r )ϕ = (−1)| p| F r (D p ϕ) = (−1)| p| F(D p ϕ) = (D p F)ϕ , also D p F r = (D p F)r . Der Rest folgt hieraus und aus (3.30).

Abschnitt 4 Lösung 4.2: (a)

Anwendung von ∇· auf die 2. Maxwellsche Gleichung liefert ∇·(∇ × H) = ε∇·

∂E + σ ∇·E = 0 . ∂t

434


∂ ∇·E = − σ ∇·E. Mit der Substitution ∇·E = f (x, t) Hieraus folgt wegen ∇·(∇ × H) = 0: ε∇· ∂∂tE = −σ ∇·E oder ∂t ε σ ∂ σ ergibt sich hieraus die DGl ∂t f (x, t) = − ε f (x, t) für f mit der allgemeinen Lösung f (x, t) = h(x) e− ε t . Die Funktion h bestimmt sich aus der Bedingung 0 = ∇·E 0 = f (x,0) = h(x). Damit ist f (x, t) = ∇·E = 0. Wendet man ∇· auf die 1. Maxwellsche Gleichung an, so ergibt sich entsprechend ∇·H = 0. (b) Anwendung von ∇× auf beide Gleichungen ergibt ⎧ ∂H ⎪ ⎪ =0 ⎨ ∇ × (∇ × E) + μ∇ × ∂t ⎪ ∂ E ⎪ ⎩ ∇ × (∇ × H) − ε∇ × − σ∇ × E = 0 ∂t

oder ⎧ ∂ ⎪ ⎪ ⎨ ∇(∇·E) − ΔE + μ ∇ × H = 0 ∂t ⎪ ∂ ⎪ ⎩ ∇(∇·H) − ΔH − ε ∇ × E − σ ∇ × E = 0 . ∂t Wegen ∇·E = ∇·H = 0 (s. (a)) verschwinden die ersten Summanden dieser Gleichung, und wir erhalten −ΔE + ∂ ∇ × H = 0 oder (mit der 1. Maxwellschen Gleichung) −ΔE + μ ∂ ε ∂ E + σ E = 0 oder μ ∂t ∂t ∂t ΔE − μ ε

∂E ∂2 E +σ ∂t ∂t 2

= 0.

Eine entsprechende Gleichung ergibt sich für H. Die Komponenten von E und H genügen also der Telegraphengleichung. Sonderfälle: μ=0

bzw. ε = σ = 0

σ =0

ε=μ=1

Wellengleichung

ε=0

μ=σ =1

Wärmeleitungsgleichung.

Potentialgleichung

Lösung 4.3: Eine Wärmebilanz für die Wärmemenge, die im Zeitintervall t0 ≤ t ≤ t aus D herausströmt, liefert

(a)

t Q(t0 ) − Q(t) =

Φ(t ) dt .

t0

Hieraus ergibt sich durch Differentiation nach t −Q (t) = Φ(t). Der weitere Nachweis verläuft wie bei der Herleitung der Kontinuitätsgleichung: Man schreibt Φ(t) als Gebietsintegral, differenziert im Integral für Φ(t) den Integranden und erhält 4

3 ∂u ∂u + ∇·S dσ = 0 oder c + ∇·S = 0 . c ∂t ∂t D

(b) Mit S(x, t) = −λ(x)∇u(x, t) folgt aus (a) die Wärmeleitungsgleichung c ∂u ∂t = ∇·(λ∇u) und hieraus für c ∂u = Δu (einfachste Form der Wärmeleitungsgleichung). Hängt u nicht von = 1 (, c, λ const.) die Gleichung λ ∂t t ab: u = U (x), so genügt U der Gleichung ∇·(λ∇U ) = 0 und im Falle eines homogenen Mediums (λ =const.) der Potentialgleichung ΔU = 0.

Lösung 4.4: 2 u(x, t) = x 2 exp −2t+t . 2

435

Lösung 4.6: 3 Matrix der zugehörigen quadratischen Form: A :=

4

x 2 −1 x y , d.h. A ist symmetrisch. Die Eigenwerte von A ergeben x y y 2 −1

sich aus det(A − λI ) = (x 2 − 1 − λ)(y 2 − 1 − λ) − x 2 y 2 = 0 2 2 oder nach einfacher Umformung > 2 2 zu λ1 = ? 1 und λ2 = x + y − 1 (λ2 = −1). Die auf Hauptachsenform transformierte x +y −1 0 Matrix A lautet also ϑ = . Die Differentialgleichung ist daher für x 2 + y 2 < 1 elliptisch, für x 2 + y 2 = 1 0

−1

parabolisch und für x 2 + y 2 > 1 hyperbolisch.

Fig B.1: Charakter der DGl

Lösung 4.7: Ein Separationsansatz für ΔE = εμE tt + σ μE t führt auf εμf

(t) − σ μf (t) + k 2 f (t) = 0

und ΔE ∗ (x) + k 2 E ∗ (x) = 0 .

Für f ergeben sich zwei linear unabhängige Lösungen, von denen nur eine eine zeitlich ungedämpfte Schwingung beschreibt. Wir suchen nach solchen E(x, t), für die E(x, t) = e− i ωt E ∗ (x) gilt. (Es ist also f (t) = e− i ωt , f (t) = − i ω e− i ωt und f

(t) = −ω2 e− i ωt ). Aus der obigen Gleichung folgt dann ΔE ∗ · f = εμf

E ∗ + σ μf E ∗ = −εμω2 e− i ωt E ∗ − i μσ ω e− i ωt E ∗ = −k 2 E ∗ e− i ωt . Es besteht also der Zusammenhang k 2 = εμω2 + i μσ ω . Setzt man schließlich in den Maxwellschen Gleichungen (s. Üb. 4.2) E(x, t) = e− i ωt E ∗ (x) und H(x, t) = e− i ωt H ∗ (x), so ergibt sich − i ωt ∇ × E ∗ (x) + μ(− i ω) e− i ωt H ∗ (x) = 0 e e− i ωt ∇ × H ∗ (x) − ε(− i ω) e− i ωt E ∗ (x) − σ e− i ωt E ∗ (x) = 0 oder

∇ × E ∗ (x) − i ωμH ∗ (x) = 0 ∇ × H ∗ (x) + (i ωε − σ )E ∗ (x) = 0 .

(stationäre Maxwellsche Gleichungen)

436


Lösung 4.8: (a)

Einfaches Nachrrechnen liefert 3 4 d d a (t) a12 (t) det A(t) = det 11 a21 (t) a22 (t) dt dt d (a11 (t)a22 (t) − a21 (t)a12 (t)) dt

(t) − a (t)a (t) − a (t)a (t) = a11 (t)a22 (t) + a11 (t)a22 12 21 21 12 3 4 3 4

(t) a11 (t) a12 a11 (t) a12 (t) = det + det

(t) . a21 (t) a22 (t) a21 (t) a22 =

(b)

Sei a j (t) = [a j1 (t), . . . , a jd (t)] der j-te Zeilenvektor der zeitabhängigen d × d Matrix A(t), d.h. ⎡ ⎤ a 1 (t) ⎢ . ⎥ ⎥ A(t) = ⎢ ⎣ .. ⎦ , ad (t)

so lautet die Behauptung ⎡ ⎤ a 1 (t) ⎢ . ⎥ ⎢ . ⎥ . ⎥ d ⎢ ⎢ ⎥ d ⎢ a (t)⎥ det A(t) = j ⎢ ⎥ dt ⎥ j=1 ⎢ ⎢ .. ⎥ ⎣ . ⎦ ad (t) für beliebiges d ∈ N. Der Nachweis ergibt sich durch eine einfache Induktion. Für d = 1 ist die Aussage wegen d d d

(t) = det(a (t)) det A(t) = det(a11 (t)) = a11 (t) = a11 11 dt dt dt offensichtlich. Gelte die Aussage für ein beliebiges, aber festes d ∈ N. Für die (d + 1) × (d + 1) Matrix A(t) bezeichnen wir mit Aik (t) die (d, d)-reihige Untermatrix von A(t), die sich aus A(t) durch Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte ergibt. (k) Sei zudem a j (t) der aus dem Zeilenvektor a j (t) durch Streichen des k-ten Elements entstehende Vektor, so gilt ⎤ ( j) a (t) ⎥ ⎢ 2 ⎥ .. ⎢ A1 j (t) = ⎢ ⎥, . ⎦ ⎣ ( j) a d+1 (t) ⎡

j = 1, . . . , d + 1 ,

und wir erhalten aufgrund der Induktionsannahme die Darstellung ⎡ ( j) ⎤ a (t) ⎥ ⎢ 2. ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ d+1 ⎥ ⎢ d ⎢ ( j) ⎥ det A1 j (t) = det ⎢ a (t) ⎥ . ⎥ ⎢ k dt ⎥ ⎢ k=2 .. ⎥ ⎢ . ⎦ ⎣ ( j) ad+1 (t)

437

Unter Verwendung des Determinantenentwicklungssatzes (siehe Burg/Haf/Wille [23]) folgt daher d+1 d d a1 j (t)(−1) j+1 det A1 j (t) det A(t) = dt dt j=1

d+1

d+1

d det A1 j (t) dt j=1 j=1 ⎡ ( j) ⎤ ⎤ ⎡ a (t) a1 (t) ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ (t) . a a1 (t) ⎥ ⎢ .. ⎥ 1 ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ a (t) ⎥ d+1 ⎢ ⎢ a (t) ⎥ d+1 . d+1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ ⎢ ( j) j+1

(t) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ = det a (t)(−1) det det + = det ⎢ + a ⎥ ⎢ (t) ak .. .. 1j ⎥ ⎢ ⎢ k ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . . ⎥ ⎢ .. j=1 k=2 k=2 .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ . . ad+1 (t) a d+1 (t) ⎦ ⎣ ( j) ad+1 (t) a d+1 (t) ⎤ ⎡ a1 (t) ⎥ ⎢ .. ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ d+1 ⎥ ⎢ . ⎢ = det ⎢ ak (t) ⎥ ⎥. ⎥ ⎢ .. k=1 ⎥ ⎢ ⎦ ⎣ . ad+1 (t) =

a1 j (t)(−1) j+1 det A1 j (t) +

a1 j (t)(−1) j+1

Zu Abschnitt 5 Lösung 5.4: Betrachte die Darstellungsformel (5.31) mit Φ1 (x, y) =

1 ei k|x− y| 4π |x − y|

bzw. Φ2 (x, y) =

1 e− i k|x− y| . 4π |x − y|

Addition dieser Formeln liefert 4 3

cos kr ∂ cos kr 1 ∂ U ( y) · − U ( y) dσ y ; 2U (x) = 2 · 4π ∂n r ∂r r

(1)

| y−x|=r

Subtraktion ergibt 3 4

∂ 1 sin kr ∂ sin kr 0= U ( y) · − U ( y) dσ y . 4π ∂n r ∂r r

(2)

| y−x|=r

Multipliziere (1) mit sin kr , (2) mit (− cos kr ) und addiere die sich ergebenden Gleichungen. Dann erhält man die Mittelwertformel

sin kr 1 U (x) U ( y) dσ y . = kr 4πr 2 | y−x|=r

In der Aufgabenstellung tritt anstelle von k k˜ auf. Setzt man dann k˜ := i k, so ergibt sich

sin i kr 1 U (x) U ( y) dσ y = i kr 4πr 2 | y−x|=r

438


als Mittelwertformel für ΔU − k 2 U = 0 (k ∈ R). Der Nachweis des Maximum- (bzw. Minimum-) prinzips verläuft anakr log zu dem von Satz 5.2: Benutzt man die Beziehung sin i kr = i sinh kr und die Abschätzung sinh kr < 1 (Begründung!), so lautet die entsprechende Ungleichung

1 kr kr 1 U (x) dσ x < 4πr 2 M < 4πr 2 M = M. M = U (x 0 ) = sinh kr 4πr 2 4πr 2 sinh kr 4πr 2 |x−x 0 |=r

Dies ist ein Widerspruch zur Annahme, das Maximum M werde in x 0 ∈ D angenommen. Der Rest ergibt sich wie im Beweis von Satz 5.2.

Lösung 5.5: Sind U1 und U2 zwei Lösungen des Problems, so erfüllt U := U1 − U2 1 ΔU − k 2 U = 0 in Da ; U = 0 auf ∂ D ; U (x) = O für |x| → ∞ . |x| Annahme: Es existiere ein x 0 ∈ Da mit U (x 0 ) = 0. Lege eine Kugel K R (0) so um D, daß x 0 ∈ K R (0) und D ⊂ K R (0) (D ist beschränkt!) sowie |U (x)| < |U (x 0 )| für alle x ∈ ∂ K R (0) (läßt sich wegen der Abklingbedingung für ˜ Dies ist ein U erreichen!). Auf ∂ D gilt U (x) ≡ 0. Setze D˜ := Da ∩ K R (0). Es ist |U (x)| < |U (x 0 )| für x ∈ ∂ D. Widerspruch zum Maximumprinzip (s. Üb. 5.4), da x 0 im Inneren von D˜ liegt.

Lösung 5.6: Wir beschränken uns auf ∂ ∂x H (x). Es sei h < 12 und ε < 12 . Wir betrachten den Zylinder 1 Z ε (x, h) := { y = (y1 , y2 , y3 ) |y1 − x 1 | < h , (y2 − x 2 )2 + (y3 − x 3 )2 < ε2 } . x = x + t e1 (e1 : Einheitsvektor in Richtung x1 -Achse, |t| < h) beschreibt Punkte auf der Zylinderachse. Es gilt (warum?)

∂ ∂ η( y)Φ(x , y) dτ y = η( y) Φ(x , y) dτ y . ∂ x1 ∂ x1 D−D∩Z ε (x,h)

Zu zeigen ist:

D−D∩Z ε (x,h)

η( y)Φ(x , y) dτ y → 0

für ε → 0

D∩Z ε (x,h)

und

η( y)

D∩Z ε (x,h)

∂ Φ(x , y) dτ y → 0 ∂ x1

für ε → 0

gleichmäßig für x = x + t e1 , |t| < h. Wir betrachten das letzte Integral. Es gilt

1 ∂

, y) dτ ≤ B η( y) Φ(x dτ y y ∂ x1 | y − x |2 D∩Z ε (x,h)

≤B Z ε (x ,2h)

Z ε (x,h)

1 dτ y = B | y − x |2

Z ε (0,2h)

1 dτ y . | y|2

439 Wir zeigen, daß das letzte Integral (es ist von x unabhängig!) für ε → 0 gegen 0 strebt:

1 dτ y = | y|2

Z ε (0,2h)

2h =

⎛ ⎜ ⎝

−2h

⎧

2π⎨ ε ⎩ 0

ε =π −ε

2h −2h

⎢ < 2π ⎣−

y22 +y32

> ? ? f (u + h) − f (u) = (u + h)3 − u 3 dx dy = 3u 2 h + 3uh 2 + h 3 dx dy G

=3

u 2 h dx dy +

G

G

>

?

3uh 2 + h 3 dx dy .

G

Dividiert man das rechte Integral durch h = sup |h(x, y)|, so konvergiert der Quotient mit h → 0 gegen Null. Also G

ist das linke Integral der letzten Formelzeile gleich f [u]h, d.h.: f [u]h = 3

u 2 (x, y)h(x, y) dx dy G

(b) Es ist

1 f (u + h)(x) − f (u)(x) =

e xt ((u + h)2 − u 2 ) dt = 2

0

1

1 ext uh dt +

0

ext h 2 dt .

0

Das rechte Integral strebt schneller gegen Null als h, also

( f [u]h)(x) = 2

1 ext u(t)h(t) dt 0

f [u] ist also die Vorschrift, die einem beliebigen h ∈ C[0,1] die Funktion auf der rechten Seite der letzten Gleichung zuordnet.

Lösung 5.18: Es wird die in Beispiel 5.4 verwendete Methode benutzt: Der Integrand wird durch die Funktion F(x, u, u ) = 2xu + u 2 + (u )2 gebildet. Wir berechnen die Differentialgleichung Fu (x, u, u ) −

d F (x, u, u ) = 0 , dx u

also 2x + 2u − 2u

= 0, d.h. nach Umstellung u

− u = x ,

mit

u(0) = 1 , u(1) = 0 .

443 Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung u

− u = 0 ist λ ex +μ e−x (λ, μ ∈ R). Eine partikuläre Lösung ist offenbar u 0 (x) = −x, also ergibt sich die allgemeine Lösung von u

− u = −x als: u(x) = λ ex +μ e−x −x . 1 , μ = e , und somit die eindeutig bestimmte Lösung Aus u(0) = 1, u(1) = 0 erhält man λ = 1+e 1+e

u(x) =

ex + e1−x −x 1+e

Zu Abschnitt 6 Lösung 6.1: Potentialgleichung in Polarkoordinaten: u rr + r1 ur + 12 u ϕϕ = 0. Randbedingungen: r u 1 für 0 < ϕ < π u(1, ϕ) = u 2 für π < ϕ < 2π . Ferner gelte |u(r, ϕ)| < M. Der Separationsansatz u(r, ϕ) = v(r )w(ϕ) führt für w auf die DGl w

+ λ2 w = 0 und für v auf die (Eulersche) DGl r 2 v

+ r v − λ2 v = 0 mit den Lösungen v(r ) = A2 r λ + B2 r −λ .

w(ϕ) = A1 cos λϕ + B1 sin λϕ ;

Da u für r = 0 beschränkt ist, muß B2 = 0 gelten. Ferner muß u(r, ϕ) bezüglich ϕ periodisch mit Periode 2π sein, d.h. λ ∈ N0 . Setze λ =: m. Es ergibt sich u m (r, ϕ) = vm (r )wm (ϕ) = r m (Am cos mϕ + Bm sin mϕ) (Am , Bm = const.). Lösungsansatz: u(r, ϕ) =

∞ A0 r m (Am cos mϕ + Bm sin mϕ) . + 2 m=1

Hieraus folgt (formal) u(1, ϕ) =

∞ A0 (Am cos mϕ + Bm sin mϕ) = + 2

m=1

u1

für 0 < ϕ < 2π

u2

für π < ϕ < 2π .

Nach der Fouriermethode erhalten wir Am =

1 π

2π u(1, ϕ) cos mϕ dϕ = 0

=

1 π

π u 1 cos mϕ dϕ + 0

1 π

2π u 2 cos mϕ dϕ π

für m = 1,2, . . .

0 u1 + u 2

für m = 0

und Bm =

1 π

2π u(1, ϕ) sin mϕ dϕ = 0

1 π

π u 1 sin mϕ dϕ + 0

u − u2 (1 − cos mπ) = 1 mπ

1 π

2π u 2 sin mϕ dϕ π

für m = 1,2, . . . .

444


Daher ergibt sich die (formale) Lösung ∞ u1 − u2 u + u2 + (1 − cos mπ)r m sin mϕ . u(r, ϕ) = 1 2 mπ m=1

Lösung 6.2: Die Funktion v(x, t) ist in D stetig und nimmt daher in einem Punkt (x0 , t0 ) ∈ D ihr Maximum an. Annahme: (x0 , t0 ) ∈ D + I . Dann ist vx x (x0 , t0 ) ≤ 0 (s. Bd. I, Abschn. 6.4.3) und somit auch u x x (x 0 , t0 ) ≤ 0. Hieraus und aus u x x = u t folgt vt (x0 , t0 ) = u t (x0 , t0 ) − ε = u x x (x 0 , t0 ) − ε ≤ −ε . Ferner gibt es ein h > 0 mit Ix0 ,h := {(x, t) x = x0 , t0 − h ≤ t ≤ t0 } ⊂ D + I (beachte: I ist parallel zur x-Achse) ε und vt (x, t) ≤ − 2 für (x, t) ∈ I x0 ,h . Durch Integration ergibt sich dann

t0 v(x0 , t0 ) − v(x 0 , t0 + h) = t0 +h

ε vt (x0 , t) dt ≤ − h < 0 2

oder v(x 0 , t0 ) < v(x 0 , t0 + h), was der obigen Annahme widerspricht. Entsprechend schließt man beim Minimum.

Lösung 6.4: Es seien u 1 , u 2 Lösungen von (A). Dann löst u := u 1 − u 2 Problem (A) mit homogener Anfangsbedingung u(x,0) = 0 ∞ 2 für x ∈ R. Betrachte das Energieintegral E(t) = 12 [u(x, t)]2 dx. Hieraus folgt (formal!) durch Differentiation nach

−∞ ∞ 2 d t, Vertauschung von dt und und Verwendung von u t = u x x −∞

E (t) =

∞

∞ uu t dx =

−∞

x=+∞

∞ uu x x dx = uu x − u 2x dx x=−∞

−∞

−∞

(letzteres nach partieller Integration; x = ±∞ ist im Sinne von lim R1 bzw. lim R2 zu verstehen). Falls R1 →−∞ R2 →+∞ x=+∞ uu x x=−∞ verschwindet, gilt E (t) ≤ 0. Hieraus und aus E(0) = 0 folgt E(t) ≤ 0. Andererseits gilt nach Definition von E(t): E(t) ≥ 0. Insgesamt ist damit E(t) ≡ 0. Dies hat u(x, t) ≡ 0 und damit u 1 (x, t) ≡ u 2 (x, t) zur Folge. Um die durchgeführten Operationen zu begründen, fordern wir z.B. |u(x, t)|
? 1 ( J − ∇ × (∇ × U)) . Hieraus folgt Aus der Definition von E ergibt sich ∇ × E = ∇ × i ωε ∇ × E − i ωμ(∇ × U) =

1 [∇ × J − ∇ × (∇ × (∇ × U))] − i ωμ(∇ × U) i ωε

und mit (b) ∇ × E − i ωμ(∇ × U) =

1 [∇ × J − ∇ × (∇(∇U) − ΔU)] − i ωμ(∇ × U) i ωε

Wegen (c) und ΔU = − J − k 2 U gilt (beachte k 2 = ω2 εμ) ? 1 > ∇ × J − ∇ × ( J + k 2 U) − i ωμ(∇ × U) ∇ × E − i ωμ(∇ × U) = i ωε ? 1 > = ∇ × J − ∇ × J − k 2 (∇ × U) − i ωμ(∇ × U) i ωε k2 =− (∇ × U) − i ωμ(∇ × U) i ωε ω2 εμ (∇ × U) − i ωμ(∇ × U) = 0 . =− i ωε Mit H = ∇ × U folgt hieraus ∇ × E − i ωμH = 0 . Die zweite Maxwellsche Gleichung ergibt sich wegen ∇ × H + i ωε E = ∇ × ∇ × U + i ωε E 4 3 1 1 J− ∇ ×∇ ×U = J. = ∇ × ∇ × U + i ωε i ωε i ωε

Zu Abschnitt 9 Lösung 9.1: Analog zu der in Beispiel 9.1 vorgestellten Transformation ergibt sich mit u = [u 1 , u 2 , u 3 ]T := [η, ξ1 , ξ2 ]T die Darstellung ∂t g(u) +

2

∂ x j f j (u) = 0

j=1

mit

⎤ −c2 u 2 ⎥ ⎢ f 1 (u) = ⎣ −u 1 ⎦ , 0 ⎡

g(u) = u ,

⎡ ⎢ f 2 (u) = ⎣

⎤ −c2 u 3 ⎥ 0 ⎦. −u 1

Lösung 9.2: Für d = 1 erhalten wir die Geschwindigkeiten (Eigenwerte) λ1,2 = ±c, die wegen c = 0 verschieden sind. Die zugehörigen Eigenvektoren lauten 3 4 3 4 −c c u1 = , u2 = n n

449 und folglich ist die Wellengleichung für d = 1 strikt hyperbolisch. Für d = 2 ergibt sich die Folgerung analog aus λ1 = 0 , mit

λ2,3 = ±c

⎤ 0 ⎢ n2 ⎥ u1 = ⎣ n 1 ⎦ , −1 ⎡

⎤ −c u2 = ⎣ n 1 ⎦ , n2 ⎡

⎤ c u3 = ⎣n 1 ⎦ . n2 ⎡

Hierbei wurde n 1 = 0 vorausgesetzt. Im Fall n 1 = 0 gilt wegen n2 = 1 direkt n 2 = 0 und wir ersetzen u1 durch ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ u1 = ⎣−1⎦ . n1 n2

Lösung 9.3: Die Eigenwerte λ1 = 2, λ2 = 3 können direkt der Diagonalen von A entnommen werden. Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich zu 3 4 3 4 2 0 , r2 = . r1 = 1 1 Damit ergeben sich ) R = [r 1 , r 2 ] ⇒ R−1 = und α L = R−1 u L =

3

4 2 , −1

*

1 2 − 12

0 1

α R = R−1 u R =

3 4 1 . 1

Hiermit folgt für den konstanten Zwischenzustand 3 4 2 w1 = α R,1 r 1 + α L ,2 r 2 = r 1 − r 2 = 0 und es gilt

u(x,1) =

⎧ ⎪ ⎪ ⎨u L , w1 ,

⎪ ⎪ ⎩u , R

für

x < 2,

für

2 ≤ x < 3,

für

3≤x.

Lösung 9.4: Es gelten λ1 = −4 ,

λ2 = 2 ,

und α L = [r 1 , r 2 ]−1 u L =

r1 =

3 4 1 , 2

4 −1 , 5

r2 =

3

3 αR =

3 4 1 1

4 −1 . 3

450


Damit folgt w 1 = α R,1 r 1 + α L ,2 r 2 = und somit u L , für 1 = u x, 2 u R , für

3 4 4 = uL 3

x < 1, x ≥ 1.

Lösung 9.6: Da f · n eine vektorielle Größe darstellt, betrachten wir eine beliebige Komponente. Wir erhalten für i = 1, . . . , d ⎧⎡ ⎤ ⎫ ⎡ ⎤ 0 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢.⎥ ⎪ ⎢.⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ . ⎪ ⎪⎢ . ⎥ ⎪ ⎢ .. ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢0⎥ ⎪ ⎪⎢ 0 ⎥ ⎬

⎨

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ f ⎥ · n (x) dσ = ∇ · ⎢ f ⎥ (x) dx = ∂x f (x) dx , ( f · n i )(x) dσ = i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎪ ⎢0⎥ ⎪ ⎪⎢ 0 ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ∂Ω ∂Ω ⎪ Ω Ω ⎪ ⎪ ⎢.⎥ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎢.⎥ ⎪ ⎢ .. ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎣.⎦ ⎣.⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ 0 0 wobei innerhalb des Vektors die Funktion f an der i-ten Stelle steht. Zusammenfassend ergibt sich

( f · n)(x) dσ = ∇ f (x) dx . ∂Ω

Ω

Zu Abschnitt 10 Lösung 10.1: ◦

◦

Es ist G ∈ D und daher G ∈ H1 (Ω). Ferner ist F ∈ H1 (Ω) (nach Voraussetzung). Es gibt somit Folgen { f k }, {gk } in C0∞ (Ω) mit F − f k 1 → 0 und G − gk 1 → 0 für k → ∞. Nach Definition von Skalarprodukt und Ableitung in L 2 und mit Folgerung 3.1, Abschnitt 3.1.3 folgt (F, ΔG) = lim ( f k , ΔG) = lim (ΔG) f k = lim G(Δf k ) = lim (G, Δf k ) . k→∞

k→∞

k→∞

k→∞

Für festes k ergibt sich mit dem Integralsatz von Gauß (Begründung!)

(G, Δf k ) = lim (g j , Δf k ) = lim g j Δf k dx j→∞

= − lim

j→∞

n

j→∞

i=1

n ∂ ∂ ∂ ∂ gj · f k dx = − G, fk . ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi i=1

Insgesamt erhält man n n ∂ ∂ ∂ ∂ G, fk = − G, F . ∂ xi ∂ xi ∂ xi ∂ xi k→∞

(F, ΔG) = − lim

i=1

i=1

Für F, G ∈ D folgt dann unmittelbar (F, ΔG) = (ΔF, G).

451

Lösung 10.2: Benutze die in Ω geltende Beziehung ∇·(v∇u) = ∇u·∇v + Δu · v (s. Burg/Haf/Wille [22], Abschn. 3.3.5) und den Integralsatz von Gauß.

Symbole Wir erinnern zunächst an einige Symbole, die in diesem Band verwendet werden und die in dieser oder ähnlicher Form bereits in Burg/Haf/Wille [23], [24], [25], [22] und [21] verwendet wurden. x := x ist definitionsgemäß gleich . . . x∈M x ist Element der Menge M, kurz: »x aus M« x∈ /M x ist nicht Element der Menge M {x1 , x2 , . . . , xn } Menge der Elemente x1 , x 2 , . . . , x n {x|x hat die Eigenschaft E} Menge aller Elemente x mit der Eigenschaft E M ⊂ N , N ⊃ M M ist Teilmenge von N M∪N Vereinigungsmenge von M und N M∩N Schnittmenge von M und N ∅ leere Menge N Menge der natürlichen Zahlen Menge der natürlichen Zahlen einschließlich 0 N0 Z Menge der ganzen Zahlen R Menge der reellen Zahlen R+ Menge der positiven reellen Zahlen R+ Menge der nichtnegativen reellen Zahlen 0 [a, b], (a, b), (a, b], [a, b) abgeschlossene, offene, halboffene Intervalle [a, ∞), (a, ∞), (−∞, a], (−∞, a) unbeschränkte Intervalle (x1 , . . . , xn ) n-Tupel C Menge der komplexen Zahlen Re z Realteil von z Im z Imaginärteil von z z konjugiert komplexe Zahl zu z arg z Argument von z ⎤ ⎡ x1 ⎢ . ⎥ ⎣ .. ⎦ Spaltenvektor der Dimension n xn Rn Menge aller Spaltenvektoren der Dimension n, (wobei x 1 , . . . , x n ∈ R) f : A → B Funktion (Abbildung) von A in B D abgeschlossene Hülle von D ◦ D , In (D) , Di Inneres von D Äu(D) , Da Äußeres von D ∂D Rand von D Zur Funktionalanalysis: d(x, y) Abschn .1.1.1 dmax (x, y) Abschn. 1.1.1 d p (x, y) Abschn. 1.1.1 C[a, b] Abschn. 1.1.1 K ε (x0 ) Abschn. 1.1.2 Abschn. 1.1.2 A+

A Abschn. 1.1.2 lim x n , x x → x Abschn. 1.1.3

n→∞ L p [a, b] Abschn. 1.1.3 d X (x, y) Abschn. 1.1.3

sup A , inf A Abschn. 1.1.4 (K, +, ·) , K Abschn. 1.2.1 C k [a, b] Abschn. 1.2.1 C ∞ [a, b] Abschn. 1.2.1 Pol R Abschn. 1.2.1 Abschn. 1.2.1 lp Span A Abschn. 1.2.1 S⊕T Abschn. 1.2.1 dim S Abschn. 1.2.1 . Abschn. 1.2.2 Abschn. 1.2.2 Cb (I ) . p , . ∞ Abschn. 1.2.2 (x, y) kurz ( . , . ) Abschn. 1.3.1 x⊥y Abschn. 1.3.2 X 1 ⊥X 2 Abschn. 1.3.2 Abschn. 1.3.2 M⊥ δik (Kronecker-Symbol) Abschn. 1.3.3 ∞ B Span X k Abschn. 1.3.4 k=1 X k Abschn. 1.3.4 k∈N

ONS (Orthonormalsystem) Abschn. 1.3.5 T (Operatornorm) Abschn. 2.1.1 P (Projektionsoperator) Abschn. 2.1.1 L(X, Y ) Abschn. 2.1.1 T2 ◦ T1 Abschn. 2.1.1 An Abschn. 2.1.1 Tn → T , Tn T Abschn. 2.1.2 ∞ Tk Abschn. 2.1.2

k=1 T −1

Abschn. 2.1.3 I (Identitätsoperator) Abschn. 2.1.3 L(X, K) Abschn. 2.1.4 X ∗ , X Abschn. 2.1.4 C0∞ (Rn ) Abschn. 2.1.4 Kern F Abschn. 2.1.5 L (lineare Hülle) Abschn. 2.1.5 F| X˜ Abschn. 2.1.5 2

T∗ χT (λ)

Abschn. 2.1.6 Abschn. 2.3.5


454

Symbole

σ (T ) Abschn. 2.3.5 R(λ, T ) Abschn. 2.3.5 C(Ω) C0 (Ω) Abschn. 3.1.1 Tr Abschn. 3.1.1 2 2 f f (x) dx , f dx Abschn. 3.1.1

Ω

C m (Ω) , C0m (Ω) , C0∞ (Ω) Abschn. 3.1.2 L 2 (Ω) Abschn. 3.1.2 F (Norm in L 2 (Ω)) Abschn. 3.1.2 Fψ (durch ψ induziertes Funktional) Abschn. 3.1.3 F − ψ , F − ψ Abschn. 3.1.3 C0∞ (Ω) ⊂ L 2 (Ω) (Einbettung) Abschn. 3.1.3 C0∞ (Ω) Abschn. 3.1.3 (F, G) Abschn. 3.1.3 C(Ω) ∩ L 2 (Ω) Abschn. 3.1.3 F r , F e Abschn. 3.1.4 gF Abschn. 3.1.5 Abschn.3.1.5 Cb (Ω) ∂ ∂m ∂ x F , ∂ x m F Abschn. 3.1.5 i

i

p = ( p1 , . . . , pn ) (Multiindex) Abschn. 3.1.5 p p x p = x1 1 · · · · · xn n Abschn. 3.1.5 p1 pn . . . ∂ ∂x Abschn. 3.1.5 D p = ∂ ∂x n 1 | p| = p1 + · · · + pn Abschn. 3.1.5 DpF Abschn. 3.1.5 Hm (Ω) (Sobolevraum) Abschn. 3.2.1 (F, G)m Abschn. 3.2.1 Fm Abschn. 3.2.1 ◦ Hm (Ω) (Sobolevraum) Abschn. 3.2.2 Zu Partielle Differentialgleichungen: ∂k u Abschn. 4.1.1 , . . . , F x, u, ∂∂u k x 1

∂ xn

Δ (Laplace-Operator) Abschn. 4.1.2 ∇ (Nabla-Operator) Abschn. 4.1.2 ∇· (Divergenz) Abschn. 4.1.2 ∇× (Rotation) Abschn. 4.1.2 ∇ x u (Gradient bez. x) Abschn. 4.2.1 exp{ } Abschn. 4.2.1 Q(ξ ) (quadratische Form) Abschn. 4.3.1 cn(x) , n (Normalenvektor) Abschn. 5.1.1 ∂U (Normalableitung) Abschn. 5.1.1 ∂n vn , ωn , vn (r ) , ωn (r ) Abschn. 5.1.1 Hλ1 , Hλ2 (Hankelfunktionen) Abschn. 5.1.2

Φ1 (x, y) , Φ2 (x, y) (Grundlösungen) Abschn. 5.1.3 ∂ (Normalableitung bez. y) Abschn. 5.1.3 2∂n y . . . dσ y (Integration bez. y) Abschn. 5.1.3 O (Landau-Symbol) Abschn. 5.1.3 2 ν( y) ∂n∂ Φ(x, y) dσ y Abschn. 5.1.5 y ∂2D μ( y)Φ(x, y) dσ y Abschn. 5.1.5 ∂2D η( y)Φ(x, y) dτ y Abschn. 5.1.5 D 2 C. H. . . . dτ y (Cauchy-Hauptwert) Abschn. 5.2.1 ∂U (Radialableitung) Abschn. 5.2.2 ∂r SAB (Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung) Abschn. 5.2.2 o (Landau-Symbol) Abschn. 5.2.2 (x) , Ma (x) Abschn. 5.3.2 M 2i μ( y) ∂n∂ Φ(x, y) dσ y Abschn. 5.3.2 ∂D

x

Cα (D) , C m+α (D) Abschn. 5.3.2 G(x, y) (Greensche Funktion) Abschn. 5.4.1 u 0 (x, t; y) (Grundlösung) Abschn. 6.2.2 2 u(r, ˜ t; x) = 1 2 u( y, t) dσ y (Mittelwert) 4πr

| y−x|=r

Abschn. 7.1.2 u˜ 0 (ct; x) , u˜ 1 (ct; x) Abschn. 7.1.2 ∇ x × aΦ(x, y) Abschn. 8.1.2 (H (1) , E (1) ) (elektr. Dipol) Abschn. 8.1.2 (H (2) , E (2) ) (magnet. Dipol) Abschn. 8.1.2 (−1)| p| D p (a pq D q U ) Abschn. 10.2.2 L[U ] = | p|,|q|≤m B(V, U ) = (D p V, a pq D p U ) (Bilinearform) | p|,|q|≤m

Abschn. 10.2.3

Abschn. 10.2.5 L ∗ [U ] B ∗ (V, U ) Abschn. 10.2.5

S Abschn. 10.3.1/3 W Abschn. 10.3.1/3 D Abschn. 10.3.1/3 L [U ] Abschn. 10.3.3 + − , KR Abschn. 10.4.2 KR Ω ∈ C k Abschn. 10.4.2 f − (y) Abschn. 10.4.2 C bk (Ω0 , Ω0 ) Abschn. 10.4.2 Z (h) (Zylinder im Rn ) Abschn. 10.4.2


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A Abbildung, 17, 75 – kontrahierende, 20 – stetige, 17 abgeschlossene Hülle, 10 Ableitung – eines L 2 -Funktionals, 159 Abschließung, 10 Abstand, 6 – euklidischer, 5 äquivalente Normen, 40 algebraische Basis, 33 Alternativsatz, 396 – für lineare Gleichungssysteme, 103 Anfangsbedingung, 291 antilinear, 388 Außenraumproblem – Dirichletsches, 231, 239 – Neumannsches, 231, 245 Außenraumprobleme, 230 B Banach, S., 20 Banachraum, 36 Banachscher Fixpunktsatz, 20 Basis, 33 beschränkte Folge, 35 Besselsche Differentialgleichung, 197 Besselsche Ungleichung, 58 bestapproximierendes Element, 51, 54 beste Approximation, 19 Betragsnorm, 37 Bilanzgleichung, 344 – hyperbolische, 346 – quasilineare Form einer, 345 – strikt hyperbolische, 346 Bilinearform, 388, 401 C Cauchy-Folge, 13, 16 Cauchy-Problem – schwache Lösung des, 363 Cholesky-Verfahren, 279 Codierungstheorie, 9, 27

D Darstellungsformel – für Außengebiete, 225 – für Innengebiete, 202 Darstellungssatz von Riesz, 90 Definitionsbereich – des Laplace-Operators, 383, 400, 403 – eines Differentialoperators, 397 Differentialgleichung – Eulersche, 267 – homogene, 185 – inhomogene, 185 Differentialgleichungen – elliptische, 381 Differentialoperator – formal adjungierter, 394 – gleichmäßig elliptischer, 392, 406 – strikt koerziver, 406 – strikt positiv elliptischer, 389 Dimension eines Raumes, 33 direkte Summe, 58 Dirichletproblem – klassisches, 386 – schwaches, 387 Distributionen – im Sinne von L. Schwartz, 150 – im weiteren Sinne, 149 Distributionentheorie, 16 Doppelpotentiale, 206 Dreiecksungleichung, 6, 34 Dreieckszerlegung, 273 Duhamelsches Prinzip, 321 E Eigenelement – eines Operators, 120 Eigenfunktionen des Laplace-Operators, 256 Eigenwerte – des Laplace-Operators, 256 – eines Operators, 120 Eigenwertproblem, 397 Eindeutigkeitssatz, 206 Elemente – linear abhängige, 32 – linear unabhängige, 32 endlich-dimensionaler Raum, 39


464


Energieintegral, 294, 317 Energiemethode, 270 Entropiebedingung, 370 Entwicklungssatz, 137 ε-Umgebung, 10 Erhaltungsgleichung, 344 Erzeugendensystem, 32 Euler-Gleichungen, 375 Eulersches Koordinatensystem, 190 F finite Elemente, 286 Finite-Elemente-Methode, 259 finites Element, 273 Fixpunkt, 20 Flächenpotentiale, 224 Folge – gleichmäßig konvergente, 81 – konvergente, 10 – normkonvergente, 81 – stark konvergente, 81 Formfunktionen, 275 Fortsetzungssatz von Hahn-Banach, 90 Fourierentwicklung, 68, 397 Fourierkoeffizienten, 55, 68 – Minimaleigenschaft der, 102 Fourierreihe, 126 Fouriertransformation, 298 Fréchet-differenzierbar, 260 Frechét-Ableitung, 261 Fredholm, I., 24 Fredholmsche Alternative, 104, 111, 112, 118 Fredholmsche Integralgleichung, 24, 84, 97 – mit schwach-polarem Kern, 112 – mit schwach-singulärem Kern, 112 – mit stetigem Kern, 26, 111 Fredholmscher Alternativsatz, 394 – in Hilberträumen, 104 – in Skalarprodukträumen, 109 Funktion – hölderstetige, 238 – quellenmäßig darstellbare, 129 Funktional – Fréchet-differenzierbares, 262 – induziertes, 90, 150 – lineares, 88 G Gårdingsche Ungleichung, 392 Gabelschlüssel, 285 Ganzraumproblem, 227 Ganzraumprobleme, 195 Gaußsche Approximationsaufgabe, 54 Geopotential, 348 Gleichungssysteme – lineare, 22

Gramsche Determinante, 55 Greensche Formel – erste, 196 – zweite, 196 Greensche Funktion, 133, 253 – für die Kugel, 258 – für einen Halbraum, 259 Grenzwert einer Folge, 11 Grundlösung – asymptotische Darstellung, 200 H Häufungspunkt, 10 Hahn, H., 90 Hamelbasis, 33 Hamming-Distanz, 27 Hankelsche Funktionen, 197 Harnacksche Ungleichung, 258 Helmholtz-Gleichung, 272 Helmholtzsche Schwingungsgleichung, 175, 186 Hermitesche Polynome, 62, 65 Hilbert, D., 9 Hilbertraum, 47 Hilbertraum L 2 (Ω), 48 Hilbertraummethoden, 91, 381 Hilbertscher Folgenraum, 9 Homöomorphismus, 17 Homogenität der Metrik, 33 Huygenssches Prinzip, 316 I Identitätsoperator, 75 Impulsbilanz, 372 Impulsdichte, 372 indefinit, 186 induzierte Norm, 43 Infimum einer Menge, 19 inkompressible Strömung, 341 Innenraumproblem – Dirichletsches, 235, 246 – gemischtes, 251 – Neumannsches, 235, 250 Innenraumprobleme, 230 innerer Produktraum, 41 innerer Punkt, 10 Integral – Cauchyscher Hauptwert eines, 214 – im Lebesgueschen Sinne, 16 – im Riemanschen Sinne, 9 – uneigentliches, 209 Integralgleichungsmethode, 237 Integralmetrik, 9 Integraloperator, 24 – mit schwach-polarem Kern, 119 – mit schwach-polarem und symmetrischem Kern, 129


– mit stetigem Kern, 77, 95 Integralsatz von Gauß, 195 Isometrie, 17 isometrische Abbildung, 17 isometrische Räume, 17 Isotropenexponent, 375 Iterationsverfahren, 19, 22 – von Picard-Lindelöf, 19

– symmetrischer, 92 – vollstetiger, 97 linearer Raum, 33 – über einem Körper K, 30 – komplexer, 30 – reeller, 30 Linearform, 105 linerer Teilraum, 32

K Kelvintransformation, 252 Kern – stetiger, 24 – symmetrischer, 120 Kirchhoffsche Formel, 322 klassische Lösung, 382 klassische Lösungen, 272 klassische Problemstellung, 399 klassisches Problem, 382 Knotenpunkte, 273, 275 kompressible Strömung, 341 Kontinuitätsgleichung, 175, 176 Konvergenz – gleichmäßige, 12 – im p-ten Mittel, 13 – im eukidischen Raum, 12 – im Sinne der Integralmetrik, 13 – im Sinne der Maximumsmetrik, 12 – koordinatenweise, 12 Konvergenz einer Folge, 35 konvexer normierter Raum, 40 Koordinatensystem – Eulersches, 190 Kugel – abgeschlossene, 10 – offene, 10 Kugelfunktionen 1. Art, 65

M Massenerhaltung, 371 materielles Volumen, 192 Maximumprinzip, 204 Maximumsmetrik, 6, 12 Maximumsnorm, 37 Maxwellsche Gleichungen, 175, 178, 189 Menge – abgeschlossene, 10, 18 – beschränkte, 10 – derivierte, 10 – dichte, 10 – kompakte, 18 – offene, 10 Metrik, 6 – diskrete, 7 metrischer Raum, 33 Minimumprinzip, 204 Minkowski-Ungleichung, 7, 31 Mittelwert, 307 Mittelwertformel, 204

L L 2 -Funktionale, 149 Lagrange-Koordinatensystem, 190 Laguerresche Polynome, 62 Laplace-Gleichung, 272 Laplaceoperator, 174 Lebesgue, H., 149 Lebesgue-integrierbare Funktion, 16 Legendresche Polynome, 62, 65 Lemma von Rellich, 234 lineare Hülle, 32 lineare Mannigfaltigkeit, 32, 265, 269 linearer Operator – adjungierter, 92 – beschränkter, 76 – kompakter, 97 – selbstadjungierter, 92 – stetiger, 75

N Nablaoperator, 174 negativ definit, 186 Neumann, C., 84 Neumannproblem – schwaches, 400 Neumannsche Reihe, 84 Norm eines Elementes, 34 Norm eines Operators, 76 Normen – äquivalente, 37 Normierbarkeit von Skalarprodukträumen, 43 normierter Raum, 34 norminvariante Erweiterung – eines L 2 -Funktionals, 156 normisomorphe Hilberträume, 71 Nulloperator, 75 O Oberfläche – einer Kugel im Rn , 196 Operator, 17, 75 – ausgearteter, 100 – formal selbstadjungierter, 397 – symmetrischer, 119

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Operatornorm – äquivalente, 76 orthogonale Elemente, 49 orthogonale Mengen, 49 orthogonales Komplement, 49 Orthogonalitätsrelation – verallgemeinerte, 136 Orthogonalraum, 49 Orthonormalfolge, 61 Orthonormalsystem, 55, 61 – abgeschlossenes, 63 – vollständiges, 63 P Parallelogrammgleichung, 44 Parsevalsche Gleichung, 58, 70 partielle Differentialgleichung – der Ordnung k, 173 – elliptische, 185 – hyperbolische, 186 – lineare 1-ter Ordnung, 180 – lineare 2-ter Ordnung, 184 – – Klassifikation, 185 – parabolische, 186 Permanenzprinzip, 158 Physikalische Deutung, 306 Poisson-Gleichung, 272 Poissonsche Formel, 311 Poissonsche Integralformel, 258 Polynomansatz, 273 positiv definit, 186 Potentiale – einfache, 206 Potentialgleichung, 186, 195 – Grundlösungen, 198 Prä-Hilbertraum, 41 Prinzip der Grenzamplitude, 324 Produktfunktional, 157 Produktoperator, 80 Projektionsoperator, 57, 78 Projektionssatz, 56 Q quadratische Form, 185 quadratische Spline-Funktion, 273 Quadratnorm, 37 R Räume – komplementäre, 32 Randbedingung – Dirichletsche, 291 – gemischte, 291 – künstliche, 271 – natürliche, 271 – Neumannsche, 291

Randwertproblem – Dirichletsches, 231 – gemischtes, 231 – gemischtes elliptisches, 271 – Neumannsches, 231 Randwertprobleme, 195 Raum – dualer, 89 – konjugierter, 89, 149 – metrischer, 6 regulärer Punkt, 140 Regularitätstheorie, 382, 407 Reihe – gleichmäßig konvergente, 81 – normkonvergente, 81 – stark konvergente, 81 Rellichscher Auswahlsatz, 394 Resolvente, 140 Restriktion – eines L 2 -Funktionals, 155 Reynoldsscher Transportsatz, 189, 193 Riesz, F., 90 S Saite – inhomogene, 131 – schwingende, 303 Satz von Pythagoras, 50 Satz von Stone-Weierstrass, 113 schlichte Überdeckung, 351 Schmidt, E., 62 Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, 55, 62 Schrödingergleichung, 176 schwache Lösung, 382 schwache Lösungen, 272 schwaches Problem, 272, 382 Schwarz, H.A., 42 Schwarzsche Ungleichung, 42 Schwingungsgleichung, 175, 195 – Grundlösungen, 198 – inhomogene, 381 – radialsymmetrische Lösungen, 197 semidefinit, 186 separabler Hilbertraum, 66 Separationsansatz, 188 Skalarprodukt, 41, 152 Skalarproduktraum, 41 ◦ Sobolevräume Hm (Ω) und Hm (Ω), 48 ◦ Sobolevraum Hm (Ω), 164 Sobolevraum Hm (Ω), 163 Sommerfeldsche Ausstrahlungsbedingung, 218, 220 Spektralpunkt, 139 Spektrum, 140 Sprungunstetigkeit, 364 stationäre Punkte, 264 – mit Nebenbedingung, 266


Störung – zeitharmonische, 323 strikt konvexer normierter Raum, 40 Strömung – inkompressible, 341 – kompressible, 341 Struktursatz für Hilberträume, 69 Sturm-Liouvillesches Rand und Eigenwertproblem, 132 Summe, 32 – direkte, 32 Summe von Unterräumen, 57 Support einer Funktion, 147 Supremum einer Menge, 18 Symmetrieeigenschaft, 6 Symmetrisierung – einer Integralgleichung, 136 System von Bilanzgleichungen, 344 T Telegraphengleichung, 175 Totalentalphie, 375 Träger einer Funktion, 147 Transformation, 17, 75 Translationsinvarianz der Metrik, 33 Transportsatz – Reynoldsscher, 189, 193 Triangulierung, 273 trigonometrische Funktionen, 62, 65 U Überdeckung – schlichte, 351 Umgebung, 10 Umkehrsatz von Banach, 143 unendlich-dimensionaler Raum, 33 Unterraum, 32

V Variationsproblem, 264, 272, 273, 286 – auf einer linearen Mannigfaltigkeit, 266 – mit Nebenbedingungen, 265 Vektorraum – über einem Körper K, 30 verallgemeinerte Fourierreihen, 67 Vervollständigung metrischer Räume, 16 Vielfachheit – geometrische, 127 vollständiger metrischer Raum, 14 vollständiger normierter Raum, 36 vollständiger Skalarproduktraum, 47 Vollständigkeitsrelation, 70 Volterra, V., 85 Volterrasche Integralgleichung, 85, 88 Volumen – einer Kugel im Rn , 196 – materielles, 192 Volumenpotential, 208, 224 – retardiertes, 323 Volumenpotentiale, 207 W Wärmeleitungsgleichung, 174, 187, 189, 291 – Grundlösung der, 298 Wellenfront, 315 Wellengleichung, 131, 174, 187, 188, 303, 317 – 2-dimensionale, 313 – 3-dimensionale, 307 – allgemeine, 216 – eindimensionale, 303 – inhomogene, 320 Z Zerlegungssatz, 56

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Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Hohere Mathematik fur Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 4. Auflage

Partielle Differentialgleichungen und funktionalanalytische Grundlagen: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker, 5. Auflage

Vektoranalysis: Hohere Mathematik fur Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker

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