Partielle Differentialgleichungen

Skript zu den Vorlesungen Partielle Differentialgleichungen 1 und 2 Herbert Koch 20. April 2004 2 Inhaltsverzeichni...

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Skript zu den Vorlesungen Partielle Differentialgleichungen 1 und 2

Herbert Koch 20. April 2004

2

Inhaltsverzeichnis 1 Einf¨ uhrung 1.1 Was ist eine PDG? . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Motivation: Wie kommt man auf PDGs? . . . . 1.4 Fragen, die in der Vorlesung behandelt werden

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5 5 5 12 12

2 Grundbegriffe 2.1 Metrische und normierte Räume . . . . . 2.2 Funktionenr¨ aume stetiger Funktionen . . 2.2.1 Zerlegung der Eins . . . . . . . . . 2.3 Maß und Integration . . . . . . . . . . . . 2.4 Lebesguer¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Hilbertr¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Integration im Rn und der Satz von Gauß 2.7 Die Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Maximalfunktion und Lebesguepunkte . . 2.9 Die Fouriertransformation . . . . . . . . . 2.10 Schwache Konvergenz . . . . . . . . . . .

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13 13 14 15 15 19 21 21 23 24 24 25

3 Grundlegende Gleichungen 3.1 Die Transportgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Das inhomogene Problem . . . . . . . . . . . 3.2 Der Laplaceoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Die Fundamentallösung . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Die Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Maximumprinzip und Eindeutigkeit . . . . . . 3.2.4 Regularit¨ at und Abschätzungen . . . . . . . . . 3.2.5 Die Harnackungleichung . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Die Greensche Funktion und die Poissonformel 3.2.7 Die Poissonformel in der Kugel . . . . . . . . . 3.2.8 Das Perronverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.9 Viskosit¨ atsl¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Die W¨ armeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Die Fundamentallösung . . . . . . . . . . . . .

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27 27 28 28 28 31 32 32 33 33 34 37 38 39 40

3

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4

INHALTSVERZEICHNIS . . . . . . . . . .

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40 41 41 42 43 43 43 44 44 45

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47 47 48 48 49 50

5 Sobolevr¨ aume 5.1 Distributionen und Sobolevräume . . . . . . . . . . . 5.2 Definition der Sobolevräume . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Fortsetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Approximation von Sobolevfunktionen . . . . . . . . 5.5 Finite Differenzen und die Poincareungleichung . . . 5.6 Kompakte Teilmengen von Lp (U ) . . . . . . . . . . . 5.7 Sobolev- und Morreyungleichungen . . . . . . . . . . 5.8 Die Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Spuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Der Fall p = 2 und Hilberträume . . . . . . . . . . . 5.10.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2 Finite Elemente und Galerkinapproximation .

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53 53 55 57 57 58 58 59 60 60 61 64 64

6 Variationsrechnung 6.1 Einf¨ uhrung und die erste Variation 6.1.1 Null-Lagrangefunktionen . . 6.2 Existenz von Minimalstellen . . . . 6.3 Regularit¨ at . . . . . . . . . . . . . 6.4 Kritische Punkte . . . . . . . . . .

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67 67 69 70 70 70

3.4

3.3.2 Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip 3.3.3 Regularität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Spezielle Lösungen . . . . . . . . . . . . . . 3.3.5 Die Energieabschätzung . . . . . . . . . . . 3.3.6 Eindeutigkeit f¨ ur V = Rn . . . . . . . . . . Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Die d’Alembertsche Formel . . . . . . . . . 3.4.2 Die Euler-Poisson-Darbouxgleichung . . . . 3.4.3 Duhamels Prinzip . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 Energiemethoden . . . . . . . . . . . . . . .

4 Das Cauchyproblem 4.1 Skalare Gleichungen erster Ordnung . . . . 4.2 Der Satz von Cauchy-Kovalevskaya . . . . . 4.2.1 Nichtcharakteristische Hyperflächen 4.2.2 Analytische Funktionen . . . . . . . 4.2.3 Der Satz von Cauchy-Kowalevskaya

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Kapitel 1

Einfu ¨ hrung Partielle Differentialgleichungen sind Gleichungen, die partielle Ableitungen von gesuchten Funktionen enthalten. Die Theorie der partiellen Differentialgleichungen untersucht Konsequenzen aus der Information, daß Funktionen PDG’s ¨ gen¨ ugen. Die Einleitung soll eine Ubersicht u ¨ber einige PDGs und zu studierende Fragen geben.

1.1

Was ist eine PDG?

Eine m¨ oglicherweise vektorwertige Gleichung der Form F (Dk u(x), Dk−1 u(x), . . . , Du(x), u(x), x) = 0,

x ∈ D ⊂ Rn

(1.1)

heißt partielle Differentialgleichung der Ordnung k, wobei F gegeben ist und u die gesuchte (m¨ oglicherweise vektorwertige) Funktion ist. Hierbei bezeichnet Dk u den Vektor aller k-ten partiellen Ableitungen. Die Funktion u heißt Lösung, falls sie k mal stetig differenzierbar ist und der Gleichung (1.1) gen¨ ugt. Genauer: u : D → RN sei k-mal stetig differenzierbar, F : U → Rm ,

k

U ⊂ R N n × RN n

k−1

· · · × D.

Da h¨ ohere Ableitungen nach dem Satz von Schwartz symmetrisch sind, gen¨ ugt es, F auf symmetrischen Werten zu betrachten.

1.2

Beispiele

1. Die Laplacegleichung −∆u = −

n X

∂x2i xi u = 0,

i=1

5

x ∈ D ⊂ Rn

¨ KAPITEL 1. EINFUHRUNG

6

Funktionen heißen harmonisch, wenn sie der Laplacegleichung gen¨ ugen. Das wichtigste Problem ist das Randwertproblem ∆u = 0 u = g,

D ⊂ Rn ∂D

in auf

wobei g eine gegebene Funktion ist. Die Funktionen cos x2 ex1 , 1, xi , x21 − x22 sind harmonisch. Ist u(x) = f (|x|) harmonisch, so gen¨ ugt f der DGL f 00 +

n−1 0 f =0 t

Diese Gleichung hat ein Fundamentalsystem r2−n

1, falls n ≥ 3 und

1, ln r falls n = 2. 2. Die Helmholtzgleichung. Hier ist λ ∈ R gegeben und wir betrachten −∆u − λu = 0

in D ⊂ Rn .

√

Die u = e λx1 ist eine Lösung falls λ ≥ 0. Ist λ < 0 muß p √ Funktion λ = i |λ| verwendet werden. Ist λ = −1 und n = 3 so ist u(x) = |x|−1 e−|x| eine L¨ osung in Rn \{0}. 3. Die Transportgleichung. Das stetig differenzierbare Vektorfeld b(x) = (bi (x))1≤i≤n sei gegeben. ∂t u −

n X

bi (x)∂xi u = 0

(t, x) ∈ D ⊂ R × Rn

i=1

Sei u ∈ C 1 (D) eine Lösungen. Ist x(t) eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung x˙ i = bi (x)

1≤i≤n

so folgt d u(t, x(t)) = 0. dt

1.2. BEISPIELE

7

4. Die Liouvillegleichung. Hier ist b wie oben. Wir betrachten ut −

n X

∂xi (bi u) = 0

(t, x) ∈ D ⊂ R × Rn

i=1

Die Transportgleichungen und die Liouvillegleichung sind sehr ähnlich. 5. Die W¨ armeleitungsgleichung. (t, x) ∈ R × Rn

ut − ∆u = 0 Eine L¨ osung ist u(x, t) =

1 |x|2 + t 2n

sowie f¨ ur t > 0, u(t, x) =

|x|2 1 − 4t e . (4πt)n/2

Die Funktionen jε (x) = u(ε2 , x) bilden eine Diracschar. Daher ist f¨ ur jede integrierbare Funktion f : Rn → R die Funktion Z |x−y|2 1 − 4t e g(y)dy. u(t, x) = n/2 Rn (4πt) eine L¨ osung f¨ ur t > 0, die f¨ ur t → 0 gegen f konvergiert. 6. Die Schr¨ odingergleichung i∂t u + ∆u = 0

(t, x)R × Rn+1

wobei u komplexe Werte annimmt. Lösungen sind u(x, t) = und

1 |x|2 + it 2n

|x|2 1 ei 4t n/2 (4πit)

wobei eine geeignete komplexe Wurzel gewählt wird sowie |x|2 1 − 4+4it . e (4π(1 + it))n/2

7. Die Kolmogorovgleichung beschreibt Erwartungswerte stochastischer Prozesse wie z. B. Werte von Aktien. n n X X ∂ u− aij (t, x)∂x2i xj u − bi (t, x)∂xi u = 0 ∂t i,j=1 i=1

(t, x) ∈ D ⊂ R × Rn

wobei aij und bi gegebene stetige Funktionen sind und wir annehmen, daß (aij (x)) in jedem Punkt positiv definit ist.


8 8. Die Fokker-Planckgleichung ∂t u −

n X

∂x2i xj (aij (t, x)u) −

i,j=1

n X

∂xi (bi (t, x)u),

i=1

wobei die aij und bi die Eigenschaften wie oben besitzen (möglicherweise zweimal stetig differenzierbar). Die Beziehung zwischen der Fokker-Planckgleichung und der Kolmogorovgleichung ist analog zur Beziehung zwischen der Transportgleichung und der Liouvillegleichung. 9. Die Wellengleichung 2 ∂tt u − ∆u = 0

(t, x) ∈ D ⊂ R × Rn .

L¨ osungen sind x21 − x22 ,

u(t, x) = f (x1 − t)

wobei f eine beliebige Funktion ist. 10. Die allgemeine Wellengleichung 2 ∂tt u−

n X

aij (t, x)∂x2i xj u +

n X

∂xi u = 0

(t, x) ∈ D ⊂ R × Rn

i=1

i,j=1

wobei aij und bi gegebene stetige Funktionen sind. Wir nehmen wieder an, daß die Matrizen (aij (x)) u ¨berall positiv definit sind. 11. Die Airysche Differentialgleichung ut + uxxx = 0,

(t, x) ∈ R × R.

Sie beschreibt die Ausbreitung von bestimmten Wellen auf Oberflächen. 12. Die Balkengleichung utt + uxxxx = 0

(t, x) ∈ R × R.

Ist u(t, x) eine Lösung, die schnell genug f¨ ur große x fällt, so gilt Z d 1 2 2 ut (t, x) + uxx (t, x) dx = 0. dt 2 Diese Gleichungen sind linear, d.h. mit u und v sind auch u+λv Lösungen, λ ∈ K, K = C oder K = R. Die linke Seite ist ein sogenannter linearer Differentialoperator der Form X Lu(x) = aα (x)∂ α u(x) |α|≤k

1.2. BEISPIELE

9

mit gegenen Funktionen aα . Hier ist α eine Multiindex, d.h. ein n-Tupel nichtnegativer ganzer Zahlen und |α| = α1 + α2 . . . αn α! = α1 !α2 ! . . . αn ! ∂ α = ∂1α1 . . . ∂nαn αn 1 xα = xα 1 . . . xn

Eine PDG heißt linear, falls sie sich in der Form Lu(x) = f (x) schreiben l¨ aßt. 13. Die Eikonalgleichung. x ∈ D ⊂ Rn

|∇u| = 1, wobei 

 ∂x1 u    .  ∇u =  ..  = DuT   ∂xn u L¨ osungen sind D = Rn \{0}

u(x) = |x|

und allgemeiner, falls S ⊂ Rn eine Mannigfaltigkeit ist, so ist u(x) = d(x, S) eine L¨ osung der Eikonalgleichung in einer Umgebung auf einer Seite von S. 14. Die nichtlineare Poissongleichung. Hier ist f eine gegebene Funktion und wir betrachten −∆u = f (u) 15. Die Minimalfl¨ achengleichung. Wird eine offene Seifenhaut lokal durch den Graphen der Funktion u beschrieben, so gen¨ ugt u der Gleichung n

X ∇u ∂xi u ∇ · (p )= ∂xi q . Pn 2 1 + |∇u| 1+ (∂xj u)2 i=1 j=1

16. Die Monge-Amperegleichung det(D2 u(x)) = f (x) 17. Hamilton-Jacobigleichung. Hier ist H(p, x) eine gegebene Hamiltonfunktion. ut (t, x) + H(∇x u(t, x), x) = 0


10

18. Die skalare Erhaltungsgleichung. Hier ist F : D → Rn , D ⊂ R eine gegebene Funktion und ut + ∇ · F (u) = ∂t u +

n X

Fi (u) = 0.

i=1

Ein konkretes Beispiel ist Burgers Gleichung ut + u∂x u = 0

(t, x) ∈ D ⊂ R × R

Sei u(t, x) eine Lösung und y eine Lösung von y˙ = u(t, y). Dann ist d u(t, y(t)) = ut (t, y(t)) + yu(t, ˙ y(t)) = (ut + uux )(t, y(t)) = 0 dt und die L¨ osung ist konstant auf der Kurve (t, y(t)). Dann ist diese Kurve aber eine Gerade. 19. Reaktions-Diffusionsgleichungen. Hier ist f eine gegebene Funktion. ut − ∆u = f (u). 20. Die por¨ ose Mediengleichung. Sei 1 ≤ γ und ut − ∆uγ = 0 Diese Gleichung beschreibt die Ausbreitung eines idealen Gases in einem por¨ osen Medium wie Sand. 21. Die nichtlineare Wellengleichung 2 ∂tt u − ∆u = f (u) 2 ∂tt u − ∇ · a(∇u) = 0

wobei f und a : Rn → Rn gegebene Funktionen sind. 22. Die Korteweg-de-Vries Gleichung 3 ∂t u + u∂x u + ∂xxx u=0

(t, x) ∈ R.

Diese Gleichung kombiniert Burgers Gleichung und die Airygleichung. Sie beschreibt die Ausbreitung von Oberflächenwellen genauer als die beiden anderen Gleichungen. Die bisherigen Gleichungen sind skalar.

1.2. BEISPIELE

11

23. Lineare Elastizit¨ at. Sien µ > 0 und λ > 0. Wir betrachten µ∆u + (λ + µ)∇ · ∇u = 0,

D ⊂ Rn

wobei u : D → Rn , (∆u)j = ∆uj . 24. Elastische Wellen 2 ∂tt u − µ∆u − (λ + µ)∇ · ∇u = 0,

D ⊂ R × Rn

25. Die Maxwellgleichungen. Gesucht sind das elektrische Feld E und das Magnetfeld B im Vakuum. Beide sind Funktionen von t und x und sie haben jeweils drei Komponenten. Et = ∇ × B,

Bt = −∇ × E

∇·B =∇·E =0 Jede Komponente einer L¨ osung der Maxwellgleichung gen¨ ugt der Wellengleichung. 26. Die Cauchy-Riemanngleichungen: z = x + iy, (u, v) : D → R2 , ∂x u = ∂y v

D ⊂ R2

∂y u = −∂x v

heißt Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung. Die Lösungen sind holomorphe Funktionen. Jede Komponente einer Lösung gen¨ ugt der Laplacegleichung. 27. Die Lewygleichung. −ux − iuy + 2i(x + iy)uz = f (x, y, z),

(x, y, z) ∈ D ⊂ R3

wobei f gegeben ist. F¨ ur die meisten f hat diese Gleichung keine Lösung. 28. Die Eulergleichungen f¨ ur inkompressible reibungsfreie Fl¨ ussigkeiten. Sei D ⊂ R3 offen, u : R × D → R3 das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung und p : R × D → R der Druck. ut +

n X

ui ∂xi u + ∇p = 0

i=1

∇ · u = 0. 29. Die Navier-Stokesgleichungen f¨ ur inkompressible viskose Strömungen. ut +

n X

ui ∂xi u − ∆u + ∇p = 0

i=1

∇ · u = 0.


12

Eine PDG heißt quasilinear, wenn sie linear in den höchsten Ableitungen ist und semilinear, falls die Koeffizienten der höchsten Ableitungen nicht von der L¨ osung abh¨ angen. In der Vorlesung werden zunächst Transportgleichungen, der Laplaceoperator, die W¨ armeleitungsgleichung und die Wellengleichung betrachtet.

1.3

Motivation: Wie kommt man auf PDGs?

Viele PDGs sind durch Probleme der Natur-, Ingenieur-, Wirtschaftswissenschaften oder anderer Gebiete der Mathematik motiviert. Die Eigenschaften harmonischer Funktionen (d.h. von Funktionen, die der Laplacegleichung gen¨ ugen) h¨ angen nicht davon ab, ob sie ein elektrisches Potential oder den Realteil einer harmonischen Funktion oder ein Gleichgewicht in der Finanzmathematik beschreiben. Beispiele f¨ ur die Herleitung von PDGs sind: 1. Die Kontinuit¨ atsgleichung ρt + ∇ · (ρu) = 0

(1.2)

2. Ein elektrostatisches Potential minimiert die elektrische Energie. 3. Stochastische Prozesse. 4. Differentialgeometrie. Vorgeschriebene Gaußsche Kr¨ ummung.

1.4

Fragen, die in der Vorlesung behandelt werden

1. Konstruktion von Lösungen / spezielle Lösungen 2. Existenz/Nichtexistenz/ Eindeutigkeit 3. Regularit¨ at 4. Beobachtbarkeit 5. Kontrolltheorie 6. Qualitative Eigenschaften 7. Approximation von Lösungen Dabei werden wir den Begriffe der Ableitung und der Limiten von Funktionen neu u ¨berdecken, da es oft von Vorteil ist, den Begriff der Lösung abzuschw¨ achen.

Kapitel 2

Grundbegriffe 2.1

Metrische und normierte R¨ aume

Definition 2.1 Ein metrischer Raum (X, d) besteht aus einer Menge X und einer Abbildung d : X × X → R, die folgende Eigenschaften hat: 1. d(x, y) ≥ 0, wobei d(x, y) genau dann Null ist, wenn x = y. 2. d(x, y) = d(y, x) (Symmetrie) 3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Dreiecksungleichung) Die Begriffe Cauchyfolge, Limes, konvergente Folge, offene und abgeschlossene Menge, Rand, Abschluss und Inneres werden wie in R definiert. Wir bezeichnen die Kugel um x mit Radius r mit Br (x) und den Rand mit ∂Br (x). Definition 2.2 Der metrische Raum (X, d) heißt vollst¨ andig, wenn jede Cauchyfolge konvergiert. Eine Teilmenge A heißt dicht, falls der Abschluß gleich X ist. Der metrische Raum (X, d) heißt separabel, falls eine abz¨ ahlbare und dichte Teilmenge existiert. Wichtige Beispiele sind normierte Vektorräume. d.h. Vektorräume V mit einer Abbildung k.k : V → R, mit den Eigenschaften 1. kvk ≥ 0 und kvk = 0 genau dann wenn v = 0. 2. kλvk = |λ|kvk, λ ∈ K, v ∈ V . 3. kv + wk ≤ kvk + kwk wobei die Metrik durch d(f, g) = kf −gk definiert wird. Sind V und W normierte Vektorr¨ aume, so gilt dies auch f¨ ur den Raum der stetigen linearen Abbildung L(V, W ) mit der Norm von T ∈ L(V, W ) kT kL(V,W ) = sup kT vkW . kvkV ≤1

13

14

KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum. Ist V ein normierter Vektorraum und W ein Banachraum, so ist auch L(V, W ) ein Banachraum. Der wichtigste Spezialfall ist der Dualraum eines Banachraumes X, X ∗ = L(X, K). ¨ Sei (X, d) ein metrischer Raum und A ⊂ X. Eine Uberdeckung ist eine Teilmenge V der Potenzmenge bestehend aus offenen Mengen mit [ A⊂ U. U ∈V

¨ Definition 2.3 Die Menge A ist kompakt, falls jede Uberdeckung eine endliche Teil¨ uberdeckung besitzt. Satz 2.4 Die folgenden Aussagen sind ¨ aquivalent: 1. A ist kompakt. 2. A ist folgenkompakt, d.h. jede Folge mit Werten in A besitzt eine konvergente Teilfolge. 3. A ist abgeschlossen und pr¨ akompakt, d.h. f¨ ur ε > 0 existiert eine endliche Menge von ε Kugeln, die A u ¨berdecken. Im Rn sind einfachere Charakterisierungen kompakter Mengen möglich. Dies besagt der Satz von Heine-Borel. Satz 2.5 Eine Teilmenge A ⊂ Rn ist genau dann kompakt, wenn sie beschr¨ ankt und abgeschlossen ist.

2.2

Funktionenr¨ aume stetiger Funktionen

Sei (X, d) ein metrischer Raum. Wir bezeichen die stetigen Funktionen auf X mit C(X) (bzw C(X, Y ), falls die Abbildungen in den metrischen Raum Y gehen) und den Raum der stetigen beschränkten Funktionen mit Werten in R oder C mit Cb (X). Dieser Raum trägt die Supremumsnorm, die ihn zu einem Banachraum macht. Wir sagen, eine Funktion f : X → Y ist Hölderstetig mit Exponent s ∈ (0, 1], falls C > 0 existiert mit dY (f (x), f (y)) ≤ C(dX (x, y))s

f¨ ur alle x, y mit d(x, y) ≤ 1

Der Raum C s (X) der hölderstetigen Funktionen f : X → R ist der Untervektorraum von Cb (X) der Funktionen, die hölderstetig mit Exponent s sind. Wir versehen diesen Raum mit der Norm n |f (x) − f (y)| o kf kC s = max kf ksup , sup dX (x, y)s 0 0 ein δ > 0 existiert mit |f (x) − f (y)| < ε

falls d(x, y) < δ und f ∈ A.

Im Folgenden sei D ⊂ Rn offen. Der Raum C k (D) der k mal stetig differenzierbaren Funktionen ist ein Vektorraum. Wir versehen den Untervektorraum Cbk (D) der Funktionen mit beschränkten Ableitungen mit der Norm kf kCbk (D) = max k∂ α f ksup . |α|≤k

Sei 0 < s ≤ 1. Wir versehen den Untervektorraum C k,s (D) ⊂ Cbk (D) der Funktionen mit h¨ olderstetigen Ableitungen mit der Norm kf kC k,s = max k∂ α f kC s |α|≤k

Sei f : D → K, K = C, R. Der Träger von f ist durch supp f = {x : f (x) 6= 0} ∩ D. definiert. Wir sagen, f hat kompakten Träger, falls der Träger kompakt ist. Wir bezeichnen den Raum der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger mit C0 (D) und analog C0k (D), C0s (D) und C0k,s (D). Der Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist C ∞ (D) und der Raum der Testfunktionen ist C0∞ (D).

2.2.1

Zerlegung der Eins

Kommt sp¨ ater.

2.3

Maß und Integration

Wir beginnen mit dem Begriff der σ Algebra. Definition 2.8 Es sei X eine Menge. Eine Teilmenge A der Potenzmenge heißt σ Algebra, falls

16

KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE 1. Die leere Menge {} liegt in A. 2. Mit A ∈ A ist auch X\A ∈ A. 3. Mit Ai ∈ A, i ∈ N ist auch [

Ai ∈ A.

i

Beispiele sind {{}, X}, die Potenzmenge, und, f¨ ur einen topologischen Raum, die Borelsche σ-Algebra der Borelmengen, die von den offenen Mengen erzeugt wird. Definition 2.9 Es sei A eine σ Algebra auf X. Eine Maß µ ist eine Abbildung von A nach [0, ∞) ∪ {∞} mit den Eigenschaften 1. µ({}) = 0 . 2. Aus A, B ∈ A, A ⊂ B folgt µ(A) ≤ µ(B). 3. Aus Ai ∈ A, i ∈ N paarweise disjunkt folgt ∞ ∞ [ X µ Ai = µ(Ai ) i=1

i=1

mit den offensichtlichen Rechenregeln f¨ ur unendlich. Das Tripel (X, A, µ) heißt Maßraum. Als n¨ achstes betrachten wir meßbare Funktionen und Integrale. Definition 2.10 Sei (X, A, µ) ein Maßraum. Eine Funktion f : X → R heißt meßbar, falls f¨ ur alle t ∈ R {x ∈ X|f (x) > t} ∈ A Die Funktion φf (t) = µ({x ∈ X|f (x) > t}) heißt Verteilungsfunktion. Definition 2.11 Es seien (X, A, µ) ein Maßraum und f A meßbar. 1. Ist f nichtnegativ, so definieren wir das Integral durch Z Z ∞ f dµ = φf (t)dt 0

S

{−∞, ∞}

2.3. MASS UND INTEGRATION

17

2. Die Funktion f heißt integrierbar, falls das Integral u ¨ber |f | endlich ist. In diesem Fall wird das Integral durch Z Z Z f dµ = max{f, 0}dµ − max{−f, 0}dµ definiert. Dieses Integral ist auch dann eindeutig bestimmt, wenn nur einer der beiden Summanden endlich ist. Wir benutzen die Notation f+ = max{f, 0},

f− = max{−f, 0}

(2.1)

Wir sagen, eine Eigenschaft gilt fast u ¨berall, falls eine Nullmenge N existiert (d.h. µ(N ) = 0), so daß die Eigenschaft f¨ ur alle x ∈ X\N gilt. Es gelten der Konvergenzsatz von Lebesgue Theorem 2.12 Es sei fn eine Folge integrierbarer Funktionen, h sei nichtnegativ und integrierbar, |fn (x)| ≤ h(x)

f¨ ur fast alle x

(2.2)

und der Grenzwert f (x) = lim fn (x) n→∞

existiere f¨ ur fast alle x. Dann gilt Z Z fn dµ → f dµ

(2.3)

und der Satz von der monotonen Konvergenz von Beppo Levi Theorem 2.13 Es sei fn eine Folge integrierbarer Funktionen, f¨ ur fast alle x konvergiere fn (x) → f (x) monoton. Dann gilt Z lim

n→∞

Z fn dµ =

f dµ

und das Lemma von Fatou Theorem 2.14 Es seien fn nichtnegative meßbare Funktionen. Es gilt Z Z lim inf fn dµ ≥ lim inf fn dµ n→∞

n→∞

(2.4)

Beispiele f¨ ur Maße: 1. Das Z¨ ahlmaß, das jeder Teilmenge die Anzahl der Elemente zuordnet, ist ein Maß auf der Potenzmenge.

18

KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE 2. Das Lebesguemaß λn ist ein Maß auf der σ-Algebra der Lebesguemengen des Rn , das durch (a) λn ([0, 1)n ) = 1 (b) Das Lebesguemaß ist translationsinvariant. zun¨ achst auf den Borelmengen eindeutig definiert ist. Man erhält die Lebesguemengen, in dem man Mengen nur bis auf Nullmengen unterscheidet. 3. Das Hausdorffmaß. Sei m ∈ [0, n]. Das m dimensionale Hausdorffmaß Hm ist ein ¨ außeres Maß auf Rn (hier nicht erklärt) mit folgenden Eigenschaften: (a) Jede Borelmenge ist meßbar. (b) Ist A eine Menge und T eine (n, n) Matrix, so gilt Hm (T (A)) ≤ kT km Hm (A) (c) Das Maß ist translationsinvariant. (d) Es existieren Mengen mit einem Maß zwischen 0 und ∞. Es gilt die Areaformel. Theorem 2.15 Es seien m eine ganze Zahl zwischen 1 und n, D ⊂ Rm eine offene Menge und ψ ∈ C 1 (D; Rn ) sei injektiv. Dann gilt Z 1 Hm (ψ(D)) = det(Dψ T (y)Dψ(y)) 2 dλm (y) D

und

Z

f dHm =

Z

Ψ(D)

1

f (ψ(y)) det(Dψ T (y)Dψ(y)) 2 dλm (y)

D

wobei der Integrand rechts genau dann λm meßbar bzw integrierbar ist, wenn f χψ(D) HM meß- bzw integrierbar ist. 4. Es sei I = (a, b) ⊂ R ein Intervall und h : I → R eine monoton wachsende Funktion. Dann definiert h ein Maß µh , das durch µ([c, d)) = h(d− ) − h(c− ) eindeutig definiert ist. Das zugehörige Integral ist das Riemann-Stieltjesintegral, das ¨ ahnlich wie das Regelintegral durch Zerlegungen und Treppenfunktionen Z

N (n)

d

f dh = lim c

n→∞

X

(f (h(xnj )) − f (h(xnj−1 ))(h(xnj ) − h(xnj−1 ))

j=1

f¨ ur a < c < d < b definiert werden kann.

¨ 2.4. LEBESGUERAUME

19

5. Sei X ein kompakter metrischer Raum. Der Rieszsche Darstellungssatz ordnet stetigen linearen Abbildungen T : Cb (X) → R zwei Maße µ+ und µ− auf den Borelmengen zu. Theorem 2.16 Es sei X ein kompakter metrischer Raum und T ∈ L(Cb (X); R). Dann existieren zwei eindeutig bestimmte endliche Maße µ+ und µ− auf den Borelmengen von X mit den Eigenschaften (a) F¨ ur jede stetige Funktion f : X → R gilt Z Z T (f ) = f dµ+ − f dµ− X

X

(b) Es gilt kT kL(X;R) = µ+ (X) + µ− (X) Eine Klasse ’guter’ Maße sind die Radonmaße. Definition 2.17 Es sei (X, d) ein metrischer Raum, der eine abz¨ ahlbare Vereinigung kompakter Teilmengen ist, B die Borelsche σ-Algebra auf X und µ : B → [0, ∞) ∪ ∞ ein Maß. Das Maß µ heißt Radonmaß, falls es auf kompakten Mengen endlich ist. Dies gilt f¨ ur das Lebesguemaß, aber nicht f¨ ur das Hausdorffmaß(falls m < n).

2.4

Lebesguer¨ aume

Definition 2.18 Es sei (X, A, µ) ein Maßraum, 1 ≤ p < ∞. Der Raum Lp (µ) der p-integrierbaren Funktionen besteht aus den meßbaren Funktionen, f¨ ur die |f |p integrierbar ist mit der Norm Z kf kLp (µ) =

1/p |f |p dµ .

Im Fall p = ∞ sei kf kL∞ =

min

N Nullmenge

kf |X\N ksup

Bemerkungen: ¨ 1. Genauer sind die Elemente von Lp Aquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf Nullmengen unterscheiden.

20

KAPITEL 2. GRUNDBEGRIFFE 2. Die Dreiecksungleichung f¨ ur die Norm ist die Minkowskiungleichung kf + gkLp (µ) ≤ kf kLp (µ) + kgkLp (µ) 3. Mit dieser Norm sind die Räume Lp (µ) Banachräume. Wenn eine Folge fi in Lp (µ) konvergiert, so konvergiert eine Teilfolge fast u ¨berall. Es gibt jedoch in Lp (µ) konvergente Folgen, die nicht fast u ¨berall konvergieren. Es gilt die H¨ oldersche Ungleichung.

Theorem 2.19 Sei 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1 1 + =1 p q

(2.5)

f ∈ Lp (µ), g ∈ Lq (µ). Dann ist f g integrierbar und Z f gdµ ≤ kf kLp (µ) kgkLq (µ) Bemerkung: Ist p = 2, so ist auch q = 2. In diesem Fall sind die Räume Hilbertr¨ aume. Aufgrund der H¨ olderschen Ungleichung gibt es die Abbildung Z j : Lq (µ) → L(Lp (µ), K), j(g)(f ) = f gdµ Diese Abbildung ist immer eine Isometrie und oft surjektiv. Theorem 2.20 Sei 1 < p, q < ∞, und es gelte (2.5). Dann ist j bijektiv. Die Aussage gilt auch, wenn µ σ endlich ist, d.h. wenn eine Folge meßbarer Mengen Ai existiert mit [ µ(Ai ) < ∞, Ai = X und p = 1 ist. Dies ist beim Lebesguemaß erf¨ ullt, aber nicht beim Hausdorffmaß, falls m < n ist. Die Einheitskugel in Lp (µ) ist gleichmäßig konvex f¨ ur 1 < p < ∞. Theorem 2.21 Sei K eine abgeschlossene konvexe Menge in Lp (µ), 1 < p < ∞ und f ∈ Lp (µ). Dann existiert genau ein g ∈ K mit kf − gkLp (µ) = d(f, K) Satz 2.22 Ist µ ein Radonmaß und 1 ≤ p < ∞, so sind die stetigen Funktionen mit kompakten Tr¨ ager dicht in Lp (µ). Diese R¨ aume sind separabel, d.h. sie besitzen eine abz¨ ahlbare dichte Teilmenge.

¨ 2.5. HILBERTRAUME

2.5

21

Hilbertr¨ aume

Definition 2.23 Ein Banachraum H heißt Hilbertraum, falls die Parallelogrammidendit¨ at ku + vk2H + ku − vk2H = 4(kuk2H + kvk2H ) immer erf¨ ullt ist. Die wichtigsten Beispiele sind l2 und L2 (µ). In diesem Fall existiert eine positiv definite Sesquilinearform (¨ uber dem Körper C) < ., . > mit den Eigenschaften 1. < λv, w >= λ < v, w >, λ ∈ K, v, w ∈ H. 2. < v, w >= < w, v > (v, w ∈ K). 3. < v, v >≥ 0, < v, v >= 0 genau dann wenn v = 0. Zwischen der Norm und dem Skalarprodukt besteht die Beziehung < v, v >= kvk2H . Es gilt der Rieszsche Darstellungssatz: Theorem 2.24 Es sei H ein K Hilbertraum. Dann ist die Abbildung j : H → H ∗ = L(H, K),

v → (w →< w, v >)

injektiv, isometrisch und surjektiv. Wir k¨ onnen also einen Hilbertraum mit seinem Dualraum identifizieren. Mit Hilfe des Skalarprodukts definiert man die Begriffe senkrecht, Orthonormalsysteme (ONS) und Orthonormalbasis (ONB). Eine ONB existiert genau dann, wenn H separabel ist. Ist (vi )i∈N eine ONB, so gilt immer X v= < v, vi > vi (2.6) i=1

und kvk2H =

2.6

X

| < v, vi > |2

(2.7)

Integration im Rn und der Satz von Gauß

F¨ ur A ⊂ Rn und x ∈ Rm , m < n definieren wir den Schnitt       x Ax = y ∈ Rn−m :   ∈ A .   y Es gelten der Satz von Fubini

22


Theorem 2.25 Ist entweder f : A → R meßbar und nichtnegativ oder integrierbar, so gilt Z Z Z f dλn = f (x, y)dλn−m (y)dλm (x) (2.8) Rm

Ax

wobei der rechte Integrand fast u ¨berall definiert ist. und die Transformationsformel: Theorem 2.26 Sei A offen, φ : A → B ⊂ Rn bijektiv und stetig differenzierbar, f : B → Rn meßbar und nichtnegativ oder integrierbar. Dann gilt dies auch f¨ ur (f ◦ φ)| det(Dφ)| und

Z

f dλn =

B

Z

(f ◦ φ)| det(Dφ)|dλn

A

Die Transformationsformel gilt auch, wenn A meßbar ist und φ in einer offenen Umgebung lokal injektiv und differenzierbar ist. Der wichtigste Spezialfall sind Polarkoordinaten. Sei G ⊂ Rn ein Gebiet, d.h. offen und zusammenhängend. Ein Randpunkt x ∈ ∂G heißt regul¨ ar, wenn eine Umgebung U von x und eine stetig differenzierbare Funktion φ : U → R existieren mit ∂G ∩ U = {x ∈ U |φ(x) = 0},

∇φ(x) 6= 0.

Nach dem Satz von der inversen Funktion bilden die regulären Punkte eine Mannigfaltigkeit der Dimension n − 1. Nicht reguläre Randpunkte heißen singulär. Sei ν der ¨ außere Normalenvektor in regulären Randpunkten. Der Satz von Gauß lautet dann: Theorem 2.27 Sei G beschr¨ ankt, f ∈ C 1 (G; Rn ) sei zusammen mit den ersten Ableitungen stetig auf ∂G fortsetzbar. Es gelte Hn−1 (∂G) < ∞. Die singul¨ aren Punkte seien eine Hn−1 Nullmenge. Dann gilt Z Z ∇ · f dλn = f · νdHn−1 (2.9) G

∂G

Eine Variante ist der Greensche Satz in der Ebene: Satz 2.28 Sei G ⊂ R2 wie oben, f1 , f2 ∈ C 1 (G), wobei sich die Ableitungen stetig auf G fortsetzen lassen. Dann gilt Z Z ∂1 f2 − ∂2 f1 dλ2 = f1 dx + f2 dy G

∂G

wobei das Integral rechts das Kurvenintegral u uglich einer Kurve ist, ¨ber ∂G bez¨ f¨ ur die das Gebiet links der Kurve liegt.

2.7. DIE FALTUNG

2.7

23

Die Faltung

Sind (X, d) ein metrischer Raum, (X, B, µ) ein Maßraum, wobei B die Borelmengen sind und µ ein Radonmaß ist, so definieren wir Lploc (X) = {f meßbar|f φ ∈ Lp (X) f¨ ur jede stetige Funktion mit kompaktem Träger} Die Faltung zweier geeigneter Funktionen auf Rn ist durch Z f ∗ g(x) = f (x − y)g(y)dλn (y)

(2.10)

definiert. Es gilt immer f ∗g =g∗f f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ h. Die Faltung l¨ aßt sich f¨ ur f ∈ Lp und g ∈ Lq definieren falls 1/p + 1/q ≥ 1 Satz 2.29 Es seinen 1 ≤ p, q, r ≤ ∞, 1 1 1 + =1+ p q r f ∈ Lp (Rn ), g ∈ Lq (Rn ). Dann ist f ∗ g ∈ Lr (Rn ) und kf ∗ gkLr (Rn ) ≤ kf kLp (Rn ) kgkLq (Rn ) wobei das Integral (2.10) f¨ ur fast alle x existiert. Eine Diracschar ist eine Funktionenschar jε (x) = ε−n j(x/ε) wobei j integrierbar mit Integral 1 ist. Es gilt Satz 2.30 Ist 1 ≤ p < ∞ und f ∈ Lp (Rn ), so gilt fε := f ∗ jε → f in Lp (Rn ). Die Funktionen fε sind stetig falls j stetig ist. Ist f ∈ C0 (Rn ), so konvergiert fε → f gleichm¨ aßig mit ε → 0. Ist f und/oder g stetig differenzierbar mit zu 2.29 analogen Eigenschaften der Ableitung, so ist f ∗ g differenzierbar und es gilt ∂ ∂ ∂ f ∗ g(x) = ( f ) ∗ g(x) = ( g) ∗ f (x). ∂xi ∂xi ∂xi Insbesondere l¨ aßt sich jede Funktion in Lp (Rn ) durch C0∞ (Rn ) und durch analytische Funktionen in Lp (Rn ) approximieren, falls p < ∞.

24


2.8

Maximalfunktion und Lebesguepunkte

Definition 2.31 Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und f ∈ L1loc (Rn ). Wir definieren die Maximalfunktion Z n −1 M f (x) = sup λ (Br (y)) |f (z)|dz. Br (y)3x

Br (y)

Satz 2.32 Es gilt immer λn ({x|M f (x) > λ}) ≤

c kf kL1 λ

und

cp kf kLp (Rn ) p−1 wobei c nur von der Raumdimension abh¨ angt. kM f kLp (Rn ) ≤

Wir nennen x einen Lebesguepunkt von f , wenn f¨ ur ε > 0 ein δ > 0 existiert mit Z Z n −1 n −1 f dx − λ (BR (y0 )) f dx ≤ ε λ (Br (x0 )) Br (x0 ) BR (y0 ) falls r, R < δ und x ∈ Br (x0 ) ∩ BR (y0 ). Satz 2.33 Sei f ∈ L1loc . Das Komplement der Lebesguepunkte ist eine Nullmenge.

2.9

Die Fouriertransformation

Wir definieren die Schwartzfunktionen S(Rn ) = {f ∈ C ∞ (Rn )|xα ∂ β f ∈ Cb f¨ ur alle α, β} und sagen, eine Folge (fj ) von Schwartzfunktionen konvergiert gegen eine Schwartzfunktion f , falls xα ∂ β fj → xα ∂ β f gleichm¨ aßig. Eine lineare Abbildung T : S(Rn ) → K ist stetig, wenn T (fj ) → T (f ) falls fj → f in S. Der Vektorraum aller stetigen linearen Abbildungen von S(Rn ) nach K wird mit S ∗ (Rn ) bezeichnet. Im Folgenden betrachten wir komplexwertige Funktionen. F¨ ur integrierbare Funktionen definieren wir die Fouriertransformierte Z −n/2 ˆ f (ξ) = F (f )(ξ) = (2π) e−ix·ξ f (x) dx. (2.11) und die Fouriercotransformierte F −1 (g)(x) = (2π)−n/2

Z

eix·ξ g(ξ) dξ.

Man rechnet folgende Dinge f¨ ur f ∈ S(Rn ) nach:

(2.12)

2.10. SCHWACHE KONVERGENZ

25

1. F (∂xj f )(ξ) = iξj fˆ(ξ) 2. F (xj f )(ξ) = −i∂ξj fˆ(ξ) 3. fˆ ∈ S(Rn ) R R 4. f gˆ dx = fˆg dx 5. kfˆkL2 = kf kL2 6. F −1 (F (f )) = f , F (F −1 g)) = g. 7. F (f g)(ξ) = (2π)n/2 (fˆ ∗ gˆ)(ξ). 8. F (f ∗ g)(ξ) = (2π)n/2 fˆ(ξ)ˆ g (ξ) Man dehnt die Fouriertransformierte auf S ∗ durch F (T )(φ) = T (F (φ)) aus. Die Einschr¨ ankung auf L2 (Rn ) ist eine invertierbare Isometrie, genauer eine unitäre Abbildung mit den Eigenwerten 1, −1, i und −i.

2.10

Schwache Konvergenz

Definition 2.34 Es seien X ein Banachraum, und (xi ) eine Folge in X. Wir sagen, die Folge (xi ) konvergiert schwach gegen x ∈ X, falls x∗ (xi ) → x∗ (x) f¨ ur alle x∗ ∈ X ∗ . Eine Folge (x∗i ) in X ∗ konvergiert schwach-∗ gegen x∗ ∈ X ∗ , falls x∗i (x) → x∗ (x) f¨ ur alle x ∈ X. Definition 2.35 Ein Banachraum X heißt reflexiv, falls X ∗∗ = X. Bemerkung: Es existiert eine nat¨ urliche Abbildung X → X ∗∗ , da x ∈ X ∗ ∗ ∗∗ u ¨ber x → x (x) ein Element in X definiert. Wir identifizieren X mit seinem Bild in X ∗∗ unter dieser Abbildung. Ist H ein Hilbertraum, so gilt H ∗∗ = H und, f¨ ur 1 < p < ∞, (Lp (µ))∗∗ = Lp (µ). Satz 2.36 Es seien X ein separabler Banachraum mit Dualraum X ∗ und (x∗i ) eine beschr¨ ankte Folge in X ∗ . Dann existieren eine Teilfolge (x∗ij ) und x∗ ∈ X ∗ mit x∗ij (x) → x∗ (x) j→∞ f¨ ur alle x ∈ X.

26


Das heißt, jede beschr¨ ankte Folge in X ∗ hat eine schwach ∗ konvergente Teilfolge. Insbesondere hat jede Folge in einem separablen Hilbertraum und jede Folge in einem separablen Lp Raum, 1 < p < ∞, eine schwach konvergente Teilfolge, da dann X ∗∗ = X.

Kapitel 3

Grundlegende Gleichungen 3.1

Die Transportgleichung

Sei b ∈ Rn ein beschr¨ anktes stetig differenzierbares Vektorfeld. Wir betrachten die Transportgleichung in (0, ∞) × Rn

ut (t, x) + b(x) · ∇u(t, x) = 0

Wir haben bereits gesehen, daß stetig differenzierbare Lösungen auf Orbits der gewöhnlichen Differentialgleichung y˙ = b(y) konstant sind. Diese Gleichung hat globale Lösungen, die differenzierbar von den Anfangswerten abh¨ angen. Ist b ∈ Rn konstant, so gilt y(t) = y(0) + tb und f¨ ur jede L¨ osung u(t, x) = u(0, x − tb) Damit ist das Anfangswertproblem f¨ ur jede gegebene Funktion u0 ∈ C 1 (Rn ) in Rn × (0, ∞)

ut (t, x) + b · ∇u(t, x) = 0 u(0, x) = u0 (x)

f¨ ur x ∈ Rn

eindeutig l¨ osbar. Diese eindeutige Lösung ist u(t, x) = u0 (x − tb) Diese Formel ist f¨ ur u0 ∈ Lp (Rn ) sinnvoll. 27

28

3.1.1

KAPITEL 3. GRUNDLEGENDE GLEICHUNGEN

Das inhomogene Problem

Es seien b ∈ Rn , f ∈ C 1 ([0, ∞)×Rn ) und u0 ∈ C 1 (Rn ) gegeben. Wir betrachten das Anfangswertproblem in (0, ∞) × Rn

ut + b · ∇u = f

f¨ ur x ∈ Rn .

u(0, x) = u0 (x)

Gesucht ist die stetig differenzierbare Funktion u, die diesen beiden Gleichungen gen¨ ugt. F¨ ur x ∈ Rn und s ∈ R sei z(s) = u(t + s, x + sb). Ist u eine Lösung, so gilt d z(s) = b · ∇u + ut = f (t + s, x + sb) ds und daher Z 0 Z t u(t, x) − u0 (x − tb) = z(0) − z(−t) = z(s)ds ˙ = f (s, x + (s − t)b)ds −t

und Z

0

t

u(t, x) = u0 (x − tb) +

f (s, x + (s − t)b)ds. 0

Andererseits definiert diese Gleichung die gew¨ unschte Lösung, die damit eindeutig ist. Bei der Transportgleichung gibt es eine enge Beziehung zu den gewöhnlichen DGLs. Dieser Zusammenhang wird Methode der Charakteristiken genannt und funktioniert auch f¨ ur beschränkte Vektorfelder b. Es gibt viele L¨ osungen. Daher wird beim Anfangswertproblem eine frei wählbare Funktion vorgegeben, mit der die Lösung des Anfangswertproblems eindeutig wird.

3.2

Der Laplaceoperator

Wir betrachten die Laplacegleichung −∆u = 0

(3.1)

deren L¨ osungen harmonische Funktionen sind und die Poissongleichung −∆u = f.

3.2.1

(3.2)

Die Fundamentall¨ osung

Wir definieren g(x) :=

  

1 − 2π log(|x|) n = 2 1 2−n n(n−2)ωn |x|

n≥3

(3.3)

3.2. DER LAPLACEOPERATOR

29

f¨ ur x ∈ Rn \{0}. Diese Funktionen sind harmonisch. Es gilt |∇g| ≤

1 , nωn |x|n−1

|∂ α g(x)| ≤

n−1 , ωn |x|n

falls |α| = 2. Sei f ∈ C0 (Rn ) und Z u(x) = g(x − y)f (y) dy = g ∗ f (x). Rn

Satz 3.1 Sei f ∈ C02 (Rn ). Dann ist u = g ∗ f ∈ C 3 (Rn ) und −∆u = f. Es gilt n X

k∂x2i xj uk2L2 (Rn ) = kf k2L2 (Rn )

(3.4)

i,j=1

und ∂xi u(x) = f ∗ ∂xi g(x) und, falls x nicht im Tr¨ ager von f liegt, Z ∂x2i xj u(x) = f (x − y)k(y) dy mit k(x) =

∂2 g(x). ∂xi ∂xj

(3.5)

(3.6)

Die Gleichung (3.4) gibt Anlass zur Hoffnung, dass sich zweite Ableitungen von u etwa so gut verhalten wie die rechte Seite. Diese Hoffnung ist zum Teil gerechtfertigt. Satz 3.2 Es seien f , g und u wie oben, 0 < s < 1 und 1 ≤ i, j ≤ n. Dann existiert eine Konstante c, die nur von der Raumdimension abh¨ angt mit sup x6=y

2 2 |∂ij u(x) − ∂ij u(y)| c |f (x) − f (y)| ≤ sup . |x − y|s s(1 − s) x6=y |x − y|s

(3.7)

Die Aussage gilt auch, wenn f nur h¨ olderstetig ist. Andererseits gibt es Beispiele f¨ ur stetige Funktionen f , f¨ ur die f ∗ g in der Null nicht zweimal stetig differenzierbar ist. Beweis: Es gen¨ ugt f¨ ur y˜ mit |˜ y | = 1 zu zeigen: 2 2 |∂ij u(0) − ∂ij u(˜ y )| ≤

cn |f (x) − f (y)| sup . s(1 − s) x6=y |x − y|s

(3.8)

30

KAPITEL 3. GRUNDLEGENDE GLEICHUNGEN Wir w¨ ahlen eine Funktion v ∈ C0∞ mit ∆v(0) = 1 z.B.  1 2  1 e− 1−|x| falls |x| < 1 2n v(x) = −  0 sonst.

Dann gilt nach dem Beweis des letzten Teiles von Satz 3.1 n Z X 2 (∂ij (v − g ∗ (−∆v)))2 dx = 0 i,j=1 2 (v − g ∗ (−∆v)) = 0, ∂i (v − g ∗ (−∆v)) = 0 und v = g ∗ (−∆v) (mit und damit ∂ij Modifikation falls n = 2). Sei R > 0 mit supp f ⊂ BR (0).

Wir definieren u0 (x) = f (0)R2 v(x/R) und erhalten u0 = g ∗ (f (0)(−∆v)(x/R)), wobei |f (0)(∆v(¯ x/R) − ∆v(¯ y /R))| ≤ c(n)Rs−1 |x − y| sup x6=y

|f (x) − f (y)| |x − y|s

und mit f˜(x) = f (x) − f (0)(−∆v)(x/R) sup x6=y

|f (x) − f (y)| |f˜(x) − f˜(y)| ≤ c(φ) sup |x − y|s |x − y|s x6=y

und 2 2 |∂ij u0 (0) − ∂ij u0 (˜ y )| ≤ R−1 kvkC 3 ≤ c(n) sup x6=y

|f (x) − f (y)| . |x − y|s

Wir ersetzen u durch u−u1 und f durch f −f (0)φ(x/R), was wir in der Notation wieder vernachl¨ assigen, und d¨ urfen zusätzlich annehmen, daß f (0) = 0. Wir schreiben u = u1 + u2 = (φf ) ∗ g + ((1 − φ)f ) ∗ g. Nun gilt 2 ∂ij u2 (0) =

Z

2 (∂ij g(y))(1 − φ(−y))f (−y) dy Z Z 2 2 2 ∂ij u2 (˜ y ) = (∂ij g(y))(1−φ(˜ y −y))f (˜ y −y) dy = (∂ij g(˜ y +y)(1−φ(−y))f (−y) dy

und daher 2 2 I := |∂ij u2 (0) − ∂ij u2 (˜ y )| ≤

Z Rn

2 2 |∂ij g(y) − ∂ij g(˜ y + y)|(1 − φ(−y))f (−y)|dy.


31

Wir sch¨ atzen ab: |(1 − φ(−y))f (−y)| ≤ |y|s sup x6=y

|f (x) − f (y)| |x − y|s

und, nach dem Mittelwertsatz 2 2 |∂ij g(y) − ∂ij g(˜ y + y)| ≤

n (|y|/2)−1−n ωn

und I≤

21+n n |f (x) − f (y)| sup ωn x6=y |x − y|s

Z

|y|−1+s−n dy ≤

Rn \B1 (0)

c(n) |f (x) − f (y)| . sup 1 − s x6=y |x − y|s

Im letzten Schritt sch¨ atzen wir 2 2 J = |∂ij u1 (0) − ∂ij u1 (˜ y )|

ab. Wie oben d¨ urfen wir annehmen, dass zusätzlich f (˜ y ) = 0 ist. Wie im letzten Teil von Satz 3.1 gilt Z 2 2 ∂ij u1 (0) = ∂ij g(y)φ(−y)f (−y) dy, da alle Integrale konvergieren und damit

2 |∂ij u1 (0)| = |

Z

2 ∂ij g(y)φ(−y)f (−y) dy|

1 |f (x) − f (y)| sup ωn x6=y |x − y|s

≤

|y|−n+s

Rn ∩B4 (0)

|f (x) − f (y)| 1 sup . ωn s x6=y |x − y|s

=

3.2.2

Z

Die Mittelwerteigenschaft

Satz 3.3 Es sei U ⊂ Rn ein Gebiet. a) Ist u ∈ C 2 (U ) harmonisch, so gilt Z Z n −1 n−1 −1 u(x) = (λ (Br (x))) u(y)dy = (H (∂Br (x))) Br (x)

u(y)dHn−1 (y).

∂Br (x)

(3.9) f¨ ur jede Kugel mit Br (x) ⊂ U . b) Gilt u(x) = (λn (Br (x)))−1

Z u(y)dy Br (x)

f¨ ur alle derartigen Kugeln, so ist u harmonisch.

32


3.2.3

Maximumprinzip und Eindeutigkeit

Es sei U ⊂ Rn ein beschränktes Gebiet. Satz 3.4 Die Funktion u ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ) sei harmonisch in U . Dann ist 1. max u(x) = max u(x) x∈U

x∈∂U

2. Falls x0 ∈ U existiert mit u(x0 ) = max u(x), so ist u konstant. x∈U

Satz 3.5 Sei h ∈ C(∂U ), f ∈ C(U ). Dann gibt es h¨ ochstens eine L¨ osung u ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ) mit −∆u = f in U u=h

3.2.4

auf ∂U.

Regularit¨ at und Absch¨ atzungen

Satz 3.6 Die Funktion habe die Mittelwerteigenschaft (3.9) f¨ ur jede Kugel in U . Dann ist u ∈ C ∞ (U ). Wir k¨ onnen Ableitungen abschätzen. Satz 3.7 Die Funktion u sei harmonisch in U und Br (x0 ) ⊂ U . Dann gilt Z 1 |u(x0 )| ≤ |u(y)|dy. (3.10) ωn rn Br (x0 ) und |∇u(x0 )| ≤

cn ωn rn+1

Z |u(y)|dy.

(3.11)

Br (x0 )

Als Konsequenzen der Abschätzungen erhalten wir den Satz von Liouville Satz 3.8 Sei u : Rn → R beschr¨ ankt und harmonisch. Dann ist u konstant. und die Darstellungsformel Satz 3.9 Sei f ∈ C 2 (Rn ) mit kompaktem Tr¨ ager und u eine L¨ osung von ∆u = f in Rn mit lim

|x|→∞

|u(x)| =0 |x|

Dann existiert c ∈ R mit u(x) = g ∗ f (x) + c. Lemma 3.10 Es seien f ∈ L1 (Rn ) mit kompaktem Tr¨ ager und φ : Rn \{0} → R analytisch. Dann ist f ∗ φ außerhalb des Tr¨ agers von f analytisch.


33

Beweis: Sei x außerhalb des Tr¨ agers von f . Nach einer Zerlegung von f d¨ urfen wir annehmen, daß der Tr¨ ager f in einer Kugel Br (x0 ) enthalten ist, wobei wir r beliebig klein w¨ ahlen. Wir entwickeln φ um x − x0 in eine Potenzreihe φ(y) =

∞ X X ∂ α φ(x − x0 ) (y − (x − x0 ))α α! j=0 |α|=j

von der wir annehmen d¨ urfen, daß sie in B2r (x − x0 ) gleichmässig konvergiert. Die Faltung mit Polynomen f¨ uhrt wieder zu Polynomen. Satz 3.11 Die Funktion u sei harmonisch in U . Dann ist u in U analytisch, d.h. f¨ ur x0 ∈ U konvergiert die Taylorreihe um x0 in einer Umgebung von x0 .

3.2.5

Die Harnackungleichung

Satz 3.12 Es seien V, U offen, V beschr¨ ankt und zusammenh¨ angend mit V ⊂ U . Dann existiert eine Zahl c > 0, die nur von V abh¨ angt, mit sup u(x) ≤ c inf u(x) V

V

f¨ ur jede nichtnegative harmonische Funktion in U .

3.2.6

Die Greensche Funktion und die Poissonformel

Wir suchen eine Formel f¨ ur die L¨ osung des Randwertproblems −∆u = f u=h

in U

(3.12)

auf ∂U

(3.13)

wobei u und f gegebene Funktionen sind. Ein Hilfsmittel sind die Greenschen Formeln. Satz 3.13 Sei U ein beschr¨ anktes Gebiet, das den Voraussetzungen des Satzes von Gauß gen¨ ugt und u, v zweimal stetig differenzierbar bis zum Rand. Dann gelten die Formeln: Z Z Z v∆u dx + ∇u · ∇vdx = v∇u · ~ndHn−1 (y) (3.14) U

U

Z

∂U

Z v∆u − u∆vdx =

U

v∇u · ~n − u∇v · ~ndHn−1 (y)

(3.15)

∂U

Wir nehmen nun an, daß wir f¨ ur x ∈ U eine harmonische Funktion wx (y) finden k¨ onnen mit wx (y) + g(y − x) = 0

f¨ ur y ∈ ∂U.

Es sei G(x, y) = g(y − x) + wx (y).

34


Sei u eine L¨ osung des obigen Randwertproblems und x ∈ U , ε klein. Wir wenden die Greensche Formel in U \Bε (x) an: Z

Z G(x, y)∆u(y) − u(y)∆y G(x, y) dy + u(y)∇y G(x, y)~ndHn−1 (y) U \Bε (x) ∂U Z y−x dHn−1 (y) = (u(y)∇y G(x, y) − G(x, y)∇u(y)) · |y − x| ∂Bε (x)

Die rechte Seite konvergiert gegen −u(x) mit ε → 0 und daher Z

Z G(x, y)f (y) dy +

u(x) =

h(y)K(x, y) · ~n dHn−1 (y).

(3.16)

∂U

U

Die Funktion G heißt Greensche Funktion und K(x, y) = −∇y G(x, y) · ~n f¨ ur y ∈ ∂U heißt Poissonkern. Die Greensche Funktion ist symmetrisch in x und y: Satz 3.14 F¨ ur alle x, y ∈ U , x 6= y, gilt: G(x, y) = G(y, x).

3.2.7

Die Poissonformel in der Kugel

F¨ ur x ∈ Rn , x 6= 0 sei x ˜=

x |x|2

(3.17)

die Inversion an der Einheitssphäre und G(x, y) = g(y − x) − g(|x|(y − x ˜)),

x 6= y ∈ B 1 (0), x 6= 0

bzw. G(0, y) = g(y) Diese Funktion ist die Greensche Funktion. Wir erhalten die Greensche Funktion in der Kugel vom Radius r als Gr (x, y) = g(y − x) − g(

|x| g (y − rx/r)) r

und den Poissonkern K(x, y) := Es gilt dann:

r2 − |x|2 1 y = − ∇y Gr (x, y). nωn r |x − y|n |y|


35

1. F¨ ur |y| = r ist die Abbildung Br (0) 3 x → K(x, y) harmonisch. 2. F¨ ur |x| < r ist Z

K(x, y)dHn−1 (y) = 1.

∂Br (0)

3. Es existiert cn > 0 mit |K(x, y)| ≤ cn |x − y|1−n falls |y| = r. 4. K ist positiv. 5. F¨ ur x 6= 0 und δ > 0 gilt Z

K(x, y)dHn−1 (y) ≤ c(r − |x|)δ −1

(3.18)

c |K(x, y)||x − y|s dHn−1 (y) ≤ (r − |x|)s s ∂Br (0)

(3.19)

∂Br (0)∩(Rn \Bδ (rx/|x|)

und, f¨ ur 0 < s < 1 Z

sowie falls |x − x ˜| ≤ 12 (r − |x|) Z c rx s n−1 | dH (y) ≤ |x − x ˜|(r − |x|)s−1 |K(x, y) − K(˜ x, y)||y − |x| 1 − s ∂Br (0) (3.20) Satz 3.15 Sei h ∈ C(∂Br (0)) und, f¨ ur |x| < r, Z r2 − |x|2 h(y) u(x) = dHn−1 (y). n nωn r ∂Br (0) |x − y| und u(x) = h(x) f¨ ur |x| = r. Dann gilt: 1. u ∈ C ∞ (Br (0)) ∩ C(Br (0)). 2. u ist harmonisch. 3. u(x) = h(x) falls x ∈ ∂Br (0). 4. Ist h H¨ olderstetig, so auch u. Es gilt dann kukC s (Br (0)) ≤ c(n)khkC s (∂Br (0)) f¨ ur 0 < s < 1 und r ≤ 1.

36


Zun¨ achst ist u ∈ C ∞ und harmonisch in Br (0). Behauptung: F¨ ur ε > 0 existiert δ1 > 0 mit u(x) − h( rx ) < ε/2 |x| falls r − |x| < δ1 . Aus der Behauptung folgt die Stetigkeit: Es gen¨ ugt, die Stetigkeit an einem Randpunkt x0 zu zeigen. Sei also ε > 0 und δ2 > 0 mit |h(y1 ) − h(y2 )| < ε/2 f¨ ur |y1 − y2 | < δ2 . Wir definieren δ = min{δ1 , δ2 }. Dann erhalten wir f¨ ur |x − x0 | ≤ δ |u(x) − u(x0 )| ≤ |u(x) − u(

rx rx )| + |h( ) − h(x0 )| < ε. |x| |x|

Wir m¨ ussen also die Behauptung verifizieren. Es gilt Z rx rx n−1 K(x, y)(h(y) − h( ))dH |u(x) − u( )| = ∂Br (0) |x| |x| Z Z ≤ K(x, y)ε/2dHn−1 + ∂Br (0)

≤

∂Br

(0)∩(Rn \B

K(x, y)2khksup dHn−1 δ2 (rx/|x|))

ε + 2c(n)δ2−1 (r − |x|)khksup 2

Wir w¨ ahlen δ1 = min{δ2 , ε2c(n)δ2−1 khksup }. Sei jetzt 0 < s < 1 und h ∈ C s (∂Br (0)). Zu zeigen ist f¨ ur x 6= x ˜, r/2 < |x|, |˜ x| < r |u(x) − u(˜ x)| ≤

c(n) |h(y1 ) − h(y0 )| |x − x ˜|s sup . s(1 − s) |y0 − y1 |s y1 6=y0

Es gibt zwei F¨ alle: |x − x ˜| ≤ 12 (r − |x|), in welchem die Aussage mit (3.20) folgt, 1 und |x − x ˜| ≥ 2 (r − |x|), in welchem die Aussage mit Hilfe der Dreiecksungleichung eine Konsequenz aus |u(x) − u(

rx c(n) |h(y1 ) − h(y0 )| )| ≤ (r − |x|)s sup . |x| s |y0 − y1 |s y1 6=y0

ist. Diese Ungleichung wiederum folgt aus (3.19).

(3.21)


3.2.8

37

Das Perronverfahren

Definition 3.16 Sei U ⊂ Rn offen. Die Funktion u ∈ C(U ) heißt subharmonisch, falls Z n −1 u(x0 ) ≤ (λ (Br (x0 ))) u(y)dy Br (x0 )

f¨ ur alle Br (x0 ) ⊂ U . Die Funktion u heißt superharmonisch, falls −u subharmonisch ist. Lemma 3.17 Sei U ⊂ Rn ein beschr¨ anktes Gebiet, u ∈ C(U ) subharmonisch. Dann gilt max u(x) = max u(x), x∈∂U

x∈U

wobei die Ungleichung strikt ist, falls u nicht konstant ist. Definition 3.18 Wir definieren σ(U ) als die Menge die subharmonischen Funktionen und Σ(U ) als die Menge der superharmonischen Funktionen. 1. v ∈ σ(U ), V ⊂ U offen =⇒ v ∈ σ(V ). Pm 2. vi ∈ σ(U ), ci > 0 =⇒ i=1 ci vi ∈ σ(V ).

Lemma 3.19

3. vi ∈ σ(U ) =⇒ max1≤i≤m vi ∈ σ(V ). 4. v ∈ σ(U ), f : R → R monoton wachsend und konvex =⇒ f ◦ v ∈ σ(V ). Seien v ∈ σ(U ), x0 ∈ U , R > 0 und BR (x0 ) ⊂ U . Wir definieren Hv durch −∆Hv = 0 Hv = v

in BR (x0 ) auf ∂BR (x0 )

Lemma 3.20 Sei vx0 ,R (x) =

 

v(x)

 H (x) v

f¨ ur x ∈ U \BR (x0 ) f¨ ur x ∈ BR (x)

Es gilt v ≤ vx0 ,R vx0 ,R ∈ σ(U ) Definition 3.21 Das beschr¨ ankte Gebiet U ⊂ Rn gen¨ ugt der ¨ außeren Kugelbedingung, falls f¨ ur alle x ∈ ∂U eine Kugel B ⊂ Rn \U existiert mit U ∩ B = {x} Satz 3.22 Es seien U ⊂ Rn ein beschr¨ anktes Gebiet, das der ¨ außeren Kugelbedingung gen¨ ugt und h ∈ C(∂U ). Dann existiert genau eine harmonische Funktion u ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ). mit u = h auf ∂U .

38

KAPITEL 3. GRUNDLEGENDE GLEICHUNGEN Der Satz folgt aus zwei Behauptungen: 1. Die Funktion u(x) = sup{v(x)|v ∈ σ(U ) ∩ C(U ), v(x) ≤ h(x) f¨ ur x ∈ ∂U } ist harmonisch. 2. u ist stetig am Rand.

Definition 3.23 Sei x ∈ ∂U . Eine Barrierenfunktion ist eine nichtpositive subharmonische stetige Funktion φ, die in Bε (x) ∩ U definiert ist, mit φ(x) = 0 und φ(y) < 0 falls y 6= x. Satz 3.24 Es sei U ein beschr¨ anktes Gebiet, das in jedem Randpunkt Barrierenfunktionen besitzt, f ∈ C 0,1 (U ) und h ∈ C(∂U ). Dann existiert genau eine L¨ osung u ∈ C(U ) ∩ C 2 (U ) des Randwertproblems −∆u = f u=h

in U auf ∂U.

Insbesondere existiert eine Greensche Funktion G.

3.2.9

Viskosit¨ atsl¨ osungen

Die Idee des Perronverfahrens ist: 1. Man definiert Unterlösungen und beweist Maximumprinzipien. 2. Dies ergibt einen Ansatz f¨ ur die Lösung als Supremum aller Unterlösungen. Dieses Supremum ist gleichzeitig Oberlösung. 3. Wesentlich ist die Eindeutigkeit dieser so definierten Lösung. 4. Studium der Regularität und Eigenschaften Wir betrachten Gleichungen der Form F (x, u, Du, D2 u) = 0 u=h n

mit F ∈ C(U × R × R × R

n×n

in U

auf ∂U

) unter den Annahmen

1. F¨ ur festes x, p, P ist u → F (x, u, p, P ) monoton wachsend. 2. F¨ ur festes x, u, p, P und A positiv definit gilt F (x, u, p, P + A) ≤ F (x, u, p, P ).

¨ 3.3. DIE WARMELEITUNGSGLEICHUNG

39

Eine Funktion u ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ) heißt Unterlösung, falls 1. u ≤ h auf dem Rand 2. F (x, u, Du, D2 u) ≤ 0 und Oberl¨ osung, falls die Ungleichungen mit den umgekehrten Vorzeichen gelten. osung, es sei Lemma 3.25 Die Funktion u ∈ C 2 (U ) ∩ C(U ) sei eine Unterl¨ φ ∈ C 2 (U ) mit: Hat u − φ im Punkt x0 die isolierte Maximalstelle 0, so ist F (x0 , φ(x0 ), Dφ(x0 ), D2 φ(x0 )) ≤ 0

(3.22)

Definition 3.26 Die Funktion u ∈ C(U ) heißt Viskositätsunterlösung, falls 1. u ≤ h auf dem Rand. 2. Aus φ ∈ C 2 (U ), u − φ hat in x0 eine isolierte Maximalstelle mit Wert 0 folgt (3.22). Analog definieren wir eine Viskosit¨ atsoberl¨ osung und eine Viskosit¨ atsl¨ osung. Satz 3.27 Sei U ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt, h ∈ C(∂U ) mit |h(x) − h(y)| ≤ |x − y|

x, y ∈ ∂U

Dann existiert genau eine Viskosit¨ atsl¨ osung u von −1 + |∇u|2 = 0 u=h

in U,

auf ∂U.

Sie hat die Form u(x) = inf (h(y) + |x − y|) y∈∂U

3.3

Die W¨ armeleitungsgleichung

Wir betrachten die W¨ armeleitungsgleichung ut − ∆u = f

in (0, ∞) × Rn

und suchen Funktionen u, die zweimal stetig nach den x Variablen und einmal stetig nach t differenzierbar sind und dieser Gleichung gen¨ ugen. Zusätzlich sei eine stetige Funktion u0 gegeben. Dann soll u stetig in [0, ∞) × Rn sein und u(0, x) = u0 (x) f¨ ur x ∈ Rn .

40

3.3.1


Die Fundamentall¨ osung

Sei f¨ ur t > 0 gt (x) =

|x|2 1 e− 4t . n/2 (4πt)

Dann gilt 0 < g, ∂t g − ∆g = 0 und

(3.23)

Z gt (x)dx = 1.

(3.24)

Rn

Satz 3.28 Sei 1 ≤ p ≤ ∞ und u0 ∈ Lp (Rn ). Dann ist u(t, x) = u0 ∗ gt (x) f¨ ur t > 0 und u(0, x) = u0 (x) in C ∞ ((0, ∞)×Rn ) eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung, mit u(t, x) → u0 (x) f¨ ur t → 0 fast u ¨berall und, falls p < ∞, ku(t, .) − u0 kLp → 0

(t → 0).

Ist u0 ∈ Cb (Rn ) so ist u ∈ C([0, ∞) × Rn ). Es gilt |u(t, x)| ≤ M u0 (x) wobei M die Maximalfunktion ist. Satz 3.29 Sei f ∈ Cb1 ([0, ∞) × Rn ) und Z u(t, x) = gt−s (x − y)f (s, y)dyds. (0,t)×Rn

Dann ist u ∈ C([0, ∞)) ∩ C 1,2 ((0, ∞) × Rn ) eine L¨ osung von ut − ∆u = f und u(0, x) = 0.

3.3.2

Mittelwerteigenschaft und Maximumprinzip

Definition 3.30 Sei x ∈ Rn , t, r ∈ (0, ∞). Wir definieren E(t, x; r) = {(s, y) ∈ R1+n |s < t, gt−s (x − y) ≥ r−n } Satz 3.31 u ∈ C 1,2 ((0, t] × U ) sei eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung. Dann gilt Z 1 |x − y|2 u(t, x) = n u(s, y) dyds 4r E(t,x,r) (t − s)2

¨ 3.3. DIE WARMELEITUNGSGLEICHUNG

41

Wir definieren den parabolischen Rand: ∂P ((0, t) × U ) = ({0} × U ) ∪ ([0, t) × ∂U ) Satz 3.32 Es sei U ein beschr¨ anktes Gebiet. Die Funktion u ∈ C 1,2 ((s, t) × uge der W¨ armeleitungsgleichung. Dann ist U ) ∩ C([s, t] × U ) gen¨ u(τ, y) =

max (τ,y)∈[s,t]×U

max

u(τ, y)

(τ,y)∈∂P (s,t)×U

Wird das Maximum im (τ, y) im Inneren angenommen, so ist u auf [0, τ ] × U konstant.

3.3.3

Regularit¨ at

Satz 3.33 Sei u eine L¨ osung der W¨ armeleitungsgleichung in (s, t) × U . Dann ist u ∈ C ∞ ((s, t) × U ).

3.3.4

Spezielle L¨ osungen

Satz 3.34 Es existiert eine Funktion u ∈ C ∞ (Rn × R) mit supp u = {(t, x)|t ≥ 0} und in R × Rn

ut − ∆u = 0

Sei g ∈ C ∞ (R). Wir suchen eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung (n = 1) der Form u(t, x) =

∞ X

gj (t)xj

j=0

mit g0 (t) = g(t), g1 = 0 und gj0 = (j + 2)(j + 1)gj+2 Mit α > 1 definieren wir   e−t−α t > 0 g(t) =  0 t≤0 Behauptung: Es existiert θ > 0 mit |g (j) (t)| < f¨ ur t > 0. Damit ist

j! − 1 t−α e 2 (θt)j

(3.25)

42


∞ (k) X g (t) (2k)!

k=0

∞ X |x|2k − 1 t−α e 2 k!(θk)k k=0 2 1 |x| 1 1−α = exp − t t θ 2

≤

und die Reihe und ihre Ableitungen konvergieren gleichmäßig. Beweis von (3.25). Die Funktion g(t) ist die Einschränkung der holomorphen Funktion −α z → e−z in dem Sektor {|arg(z)|
0 2

u(t, x) ≤ AeA|x| . Dann gilt immer u(t, x) ≤ M Satz 3.36 Sei u0 ∈ C(Rn ), f ∈ C((t1 , t2 ) × Rn ), u, v ∈ C 1,2 ((0, T ) × Rn ) ∩ C([0, T ] × Rn ) und ut − ∆u = vt − ∆v u(0, x) = v(0, x) = u0 (x) |u(t, x)| + |v(t, x)| ≤ eA|x|

2

Dann ist u = v. Satz 3.37 Es seien u, v ∈ C 1,2 ((0, T ] × Rn ) mit ut − ∆u = vt − ∆v |x|2

|u| + |v| + |ut | + |vt | + |Du| + |Dv| ≤ Ce (8+ε)(T −t) , V ⊂ Rn offen und nichtleer, und u(T, x) = v(T, x) f¨ ur x ∈ V . Dann ist u = v.

3.4

Die Wellengleichung

Wir betrachten die Wellengleichung utt − ∆u = 0

in R × U

und die inhomogene Gleichung utt − ∆u = f wobei U eine offene Menge ist.

3.4.1

Die d’Alembertsche Formel

Satz 3.38 Sei g ∈ C 2 (R) und h ∈ C 1 (R). Dann existiert genau eine zweimal stetig differenzierbare L¨ osung der Wellengleichung mit u(0, x) = g(x) und ut (0, x) = h(x). Sie wird f¨ ur t ≥ 0 durch die Formel Z 1 x+t 1 h(y)dy u(t, x) = (g(x + t) + g(x − t)) + 2 2 x−t gegeben.

44


3.4.2

Die Euler-Poisson-Darbouxgleichung

Wir betrachten u ∈ C m ([0, ∞) × Rn ) utt − ∆u = 0 u(0, x) = g(x) und definieren f¨ ur x ∈ R

ut (0, x) = h(x)

n

U (t, x; r) = (Hn−1 (∂Br (x)))−1

Z

u(t, y)dHn−1 (y)

∂Br (x)

und G(x; r) = (Hn−1 (∂Br (x)))−1

Z

g(y)dHn−1 (y)

∂Br (x)

H(x; r) = (Hn−1 (∂Br (x)))−1

Z

h(y)dHn−1 (y)

∂Br (x)

Lemma 3.39 Es gilt

n−1 Ur = 0 r U (0, .) = G, Ut (0, .) = H

Utt − Urr −

˜ = rU . Dann erhalten wir Der Fall n = 3. Sei U ˜tt − U ˜rr = 0 U ˜ (0, .) = rG U

˜t (0, .) = rH U

und wir erhalten die Kirchhoffsche Formel Z u(t, x) = (Hn−1 (∂Bt (x)))−1 th(y) + g(y) + ∇g(y) · (y − x)dHn−1 (3.26) ∂Bt (x)

und f¨ ur n = 2 u(t, x) =

3.4.3

1 2 λ (Bt (x))−1 2

Z Bt (x)

tg(y) + t2 h(y) + t∇g(y) · (y − x) dy. (t2 − |y − x|2 )1/2

(3.27)

Duhamels Prinzip

Duhamels Prinzip liefert eine Lösung der inhomogenen Gleichung. Satz 3.40 Sei f ∈ C [n/2]+1 ([0, ∞) × Rn ) und us (t, x) sei als L¨ osung von ustt − ∆us = 0

in (s, ∞) × Rn

us (s, x) = 0

ust (s, x) = f (s, x)

definiert. Mit Z u(t, x) =

t

us (t, x)ds

0

gilt utt − ∆u = f u(0, x) = 0

ut (0, x) = 0

3.4. DIE WELLENGLEICHUNG

3.4.4

45

Energiemethoden

We betrachten das Randanfangswertproblem utt − ∆u = f in (0, T ) × U u = h in (0, T ) × ∂U u(0, x) = u0 (x) f¨ ur x ∈ U ut (0, x) = u1 (x) f¨ ur x ∈ U Satz 3.41 Es existiert h¨ ochstens eine L¨ osung u ∈ C 2 ([0, T ] × U ) dieses Problems. Konsequenzen: Endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit. Ableitungen in L2 .

46


Kapitel 4

Das Cauchyproblem 4.1

Skalare Gleichungen erster Ordnung

Wir betrachten Gleichungen der Form ut +

n X

ai (t, x, u)∂i u = f (t, x, u)

i=1

mit u(0, x) = u0 wobei ai , f und u0 gegebene stetig differenzierbare Funktionen sind. Dieses Problem heißt Anfangswertproblem oder Cauchyproblem. Satz 4.1 Sei u(t, x) eine L¨ osung und z0 = u(t0 , x0 ). Die charakteristische Kurve sei als L¨ osung der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung     x ~ a (t, x, z) d     = dt z f (t, x, z)  mit dem Anfangswert 

x0 z0

  bei t0 gegeben. Dann ist u(t, x(t)) = z(t)

f¨ ur t in der N¨ ahe von t0 . Wir erhalten eine L¨ osung des Anfangswertproblems: 1. Sei Φ(t, y, z) die L¨ osung der gewöhnlichen Differentialgleichung mit dem Anfangswert (y, z) zur Zeit t0 = 0. Wir setzen ψ(t, y) = Φ(t, y, u0 (y)). 47

48

KAPITEL 4. DAS CAUCHYPROBLEM 2. Sei x(t, y) der Vektor der ersten n Komponenten von ψ. Dann ist y → x(t, y) f¨ ur t = 0 die Identität und nach dem Satz u ur ¨ber implizite Funktionen f¨ kleine t invertierbar (f¨ ur x in einer kompakten Menge). Sei y(t, x) die Umkehrfunktion. 3. Es sei v(t, y) die letzte Komponente von ψ. Dann ist u(t, x) = v(t, y(t, x)) die L¨ osung des Cauchyproblems. Beispiel: Die Burgersgleichung.

4.2 4.2.1

Der Satz von Cauchy-Kovalevskaya Nichtcharakteristische Hyperfl¨ achen

Sei 0 = F (x, u, Du, . . . , Dk u) = A(x, u, Du, . . . , Dk−1 u)Dk u+f (x, u, Du, . . . , Dk−1 u) (4.1) eine (vektorwertige) quasilineare Differentialgleichung der Ordnung k. Es seien S ⊂ Rn eine Hyperfläche (Mannigfaltigkeit der Dimension n−1) und u0 : S → Rm k mal stetig differenzierbar. Dann heißt S nichtcharakteristisch, wenn f¨ ur ein nirgends tangentiales Vektorfeld X die Gleichung (4.1) in der Form (∂X )k u = B(u, . . . , Dk−1 u)D(Dk−1 u|S )

(4.2)

geschrieben werden kann. Ist die Gleichung linear, so hängt der Begriff nicht von u0 ab. Nach einer Koordinatentransformation d¨ urfen wir annehmen, dass lokal S ⊂ {x|xn = 0}. Dann hat (4.2) die Form X ∂xkn u = Bα (x, u, . . . , Dk−1 u)∂ α u + f (x, , u, Du, . . . Dk−1 u). (4.3) |α|=k,αn 6=k

Wie bei gew¨ ohnlichen Differentialgleichung kann diese Gleichung auf ein System erster Ordnung zur¨ uckgef¨ uhrt werden: ∂t u =

n X

Ai (t, x, u)∂i u + f (t, x, u)

i=1

F¨ ur lineare Gleichungen X |α|≤k

Aα (x)∂ α u = f

(4.4)

4.2. DER SATZ VON CAUCHY-KOVALEVSKAYA

49

ist f¨ ur x ∈ U , ξ ∈ Rn a(x, ξ) =

X

Aα (iξ)α

|α|≤k

das Symbol und a0 (x, ξ) =

X

Aα (iξ)α

|α|=k n

das Hauptsymbol. Dann ist S ⊂ R genau nicht charakteristisch, wenn a0 (x, ~n) invertierbar ist f¨ ur x ∈ S und ~n ein Normalenvektor. Eine Gleichung heißt elliptisch, wenn jede Hyperfläche nichtcharakteristisch ist, bzw. wenn a0 (x, ξ) invertierbar ist f¨ ur alle x und ξ 6= 0.

4.2.2

Analytische Funktionen

Definition 4.2 Es seien U ⊂ Rn offen, u ∈ C ∞ (U ). Dann heißt u analytisch in x0 ⊂ U , falls die Taylorreihe in einer Umgebung von x0 gegen u konvergiert. Sie heißt analytisch in U , falls u in jedem Punkt analytisch ist. Wir schreiben f ∈ C ω (U ). Satz 4.3 Sei f ∈ C ∞ (U ). Dann ist f genau dann analytisch in x0 , falls Zahlen ε > 0, r > 0 und M > 0 existieren mit |∂ α f (x)| ≤ M α!r−|α|

(4.5)

f¨ ur jeden Multiindex α und |x − x0 | < ε. Beweis: r0 sei der kleinste Konvergenzradius von f~n = f (x0 + t~n) f¨ ur jeden Vektor ~n der L¨ ange 1. Wir w¨ ahlen r < r0 . Definition 4.4 Wir sagen, f ∈ CM,r (x), falls die Absch¨ atzung |∂ α f (x)| ≤ M |α|!r−|α|

(4.6)

gilt. Satz 4.5 Ist f ∈ C ω (U ) und ist U zusammenh¨ angend, so bestimmt die Taylorreihe in einem Punkt f eindeutig. Beweis: Folgt aus der Aussage f¨ ur n = 1, Funktionentheorie, entlang Wegen. Definition 4.6 Es seien f, F ∈ C ∞ (Bε (0)). Wir sagen, F majorisiert f (f 0. Ist jε > 1 und f ∈ W k,p (Rn ), so ist f ∗ ηj ∈ C ∞ (Uε ) und f ∗ ηj → f

in W k,p (Uε )

Satz 5.16 Sei 1 ≤ p < ∞, U ⊂ Rn beschr¨ ankt und offen, f ∈ W k,p (U ). Dann ∞ k,p existieren Funktionen fj ∈ C (U ) ∩ W (U ) mit fj → f

in W k,p (U ).

Satz 5.17 Ist U offen, beschr¨ ankt mit Lipschitzrand, 1 ≤ p < ∞, k ∈ N, f ∈ W k,p (U ) so k¨ onnen wir fj ∈ C0∞ (Rn ) w¨ ahlen. Bemerkung: Die Aussagen von Satz (5.15) - (5.17) bleiben richtig f¨ ur p = ∞, wenn die Konvergenz durch schwach∗ Konvergenz ersetzt wird.

¨ KAPITEL 5. SOBOLEVRAUME

58

5.5

Finite Differenzen und die Poincareungleichung

F¨ ur h ∈ Rn und f ∈ Lp (Rn ) sei fh (x) = f (x − h) Satz 5.18 Sei 1 ≤ p ≤ ∞. Ist f ∈ W 1,p (Rn ) so gilt kfh − f kLp ≤ |h|k|∇f |kLp (Rn ) . Umgekehrt: Ist 1 < p ≤ ∞, f ∈ Lp (Rn ) und

f − f

h sup

p 0 existieren δ > 0 und R > 0 mit (a) kf kLp ((U \Uδ )∩BR (0)) < ε (b) kfh − f kLp (Uδ ) < ε f¨ ur |h| < δ falls f ∈ A. Bemerkung: Die R¨ uckrichtung gilt auch f¨ ur p = ∞. Satz 5.21 Sei U ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt, 1 ≤ p < ∞. 1. Die Kugel vom Radius R A = {f ∈ W01,p (U )|kf kW 1,p (U ) ≤ R} ist pr¨ akompakt in Lp (U ). 2. Hat U einen Lipschitzrand, so ist die Kugel A = {f ∈ W 1,p (U )|kf kW 1,p (U ) ≤ R} pr¨ akompakt in Lp (U ).

5.7. SOBOLEV- UND MORREYUNGLEICHUNGEN

5.7

59

Sobolev- und Morreyungleichungen

Lemma 5.22 Seien 1 ≤ p ≤ r ≤ q ≤ ∞ und 1 λ 1−λ = + r p q Dann gilt immer kf kLr (µ) ≤ kf kλLp (µ) kf k1−λ Lq (µ) Aus 0 ≤ s0 ≤ s ≤ s1 ≤ 1 und s = λs0 + (1 − λ)s1 folgt kf kC s ≤ kf kλC s0 kf k1−λ C s1 Satz 5.23 Sei 1 ≤ q < n, 1 1 1 = + , q p n f ∈ W 1,q (Rn ). Dann ist f ∈ Lp (Rn ) und kf kLp ≤ c(n)qkf kW 1,q (Rn ) Satz 5.24 Sei n < p ≤ ∞ und f ∈ W 1,p (Rn ). Dann sind alle Punkte Lebesguepunkte. Wir identifizieren f mit dem Vertreter, der an jedem Punkt mit dem Limes des Mittelwerts im Lebesguepunkt u ¨bereinstimmt. Dann gilt sup x6=y

|f (x) − f (y)| ≤ c(n, p)k|∇f |kLp (Rn ) |x − y|1−n/p

Außerdem ist f fast u ¨berall differenzierbar und die schwache und die klassische Ableitung stimmen fast u ¨berall u ¨berein. Genauer: Aus f ∈ W 1,p (B2R (x0 )), x, y ∈ BR (x0 ) folgt die Abschätzung von Morrey |f (x) − f (y)| ≤ c(n, p)R1−n/p k|∇f |kLp (BR (x0 )) . Daraus folgt der Satz von Rademacher: Satz 5.25 Es sei U ⊂ Rn offen und f : U → R Lipschitzstetig. Dann ist f fast u ¨berall differenzierbar. Besitzt U einen Lipschitzrand, so gilt C 0,1 (U ) = W 1,∞ (U ) mit ¨ aquivalenten Normen.


60

Satz 5.26 Sei U ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt mit Lipschitzrand, 1 ≤ p ≤ ∞, 1 1 1 + > q n p Dann ist {f ∈ Lq (U )|kf kW 1,p (U ) ≤ 1} ⊂ Lq (U ) pr¨ akompakt. Ist p > n und 0<s6= 0 am Rand. Nach dem Satz von Gauß (f¨ ur C 1 Ränder) gilt Z Z div (f X)dx = f X · ~ndHn−1 U

∂U

In dieser Sitzung definieren wir die Spur von Funktionen. Sei f ∈ W 1,p (U ), 1 ≤ p ≤ ∞. Wir definieren die Spur g ∈ Lp (∂U ) durch Z Z X · ~ngφdHn−1 = div (f Xφ)dx ∂U

U

f¨ ur φ ∈ C 1 (U ) Bemerkung: Nur C 1 Ränder. Es folgt aus der Definition des Hausdorffmaßes, daß das Integral u ¨ber Lipschitzränder wohldefiniert ist. Die Areaformel gilt auch f¨ ur Lipschitzr¨ ander bzw Lipschitzfunktionen. (Ohne Beweis)

¨ 5.10. DER FALL P = 2 UND HILBERTRAUME

61

Satz 5.28 Sei 1 ≤ p ≤ ∞, U ⊂ Rn offen beschr¨ ankt, mit Lipschitzrand. Es gilt: kf |∂U kLp (∂U ) ≤ ckf kW 1,p (U ) . Beweis: Nur C 1 Rand. Satz 5.29 Sei U beschr¨ ankt, offen mit Lipschitzrand, 1 ≤ p < ∞, k ∈ N. Dann ist W01,p (U ) = {f ∈ W 1,p (U )|f |∂U = 0}.

5.10

Der Fall p = 2 und Hilbertr¨ aume

Satz 5.30 Sei U ⊂ Rn offen und k ∈ N. Die Abbildung X Z W k,2 (U ; C) × W k,2 (U ; C) 3 (f, g) → ∂ α f ∂ α gdx =:< f, g >W k,2 (U ) ∈ C |α|≤k

U

definiert ein komplexes Skalarprodukt, mit dem die R¨ aume W k,2 (U ; C) separable Hilbertr¨ aume werden. Ist φ ∈ L(W k,2 (U ; C); C) eine stetige lineare Abbildung, so existiert genau ein g ∈ W k,2 (U ; C) mit φ(f ) =< f, g >W k,2 (U ) f¨ ur alle f . Es gilt außerdem: kφk = kgkW k,2 (U ) . Im Folgenden sei H ein Hilbertraum mit Skalarprodukt < ., . > und Norm k.k und A:H ×H →C eine Abbildung, linear in der ersten Komponente, antilinear in der zweiten, mit |A[f, f ]| ≤ Ckf kH kgkH Re A(f, f ) ≥ δkf k2 . Der Satz von Lax-Milgram. Satz 5.31 Unter diesen Voraussetzungen existiert genau eine invertierbare stetige lineare Abbildung T : H → H mit A(T f, g) =< f, g > f¨ ur alle f, g ∈ H.


62

Sei U ⊂ Rn offen und beschränkt, aij ∈ L∞ (U ) 1 ≤ i, j ≤ n und κ > 0. Es gelte n X

Re

aij ξi ξj ≥ κ|ξ|2 f¨ ur fast alle x und alle ξ ∈ Rn .

i,j=1

Derartige Koeffizienten heißen elliptisch. Es seien b1i , b2i ∈ L∞ (U ),

1≤i≤n

und c ∈ L∞ (U ). F¨ ur γ ∈ C betrachten wir die quadratische Form auf W01,2 (U ):

Aγ [f, g] =

Z X n

aij ∂i f ∂j g +

i,j=1

n X

(b1i ∂i f g + b2i f ∂i g) + (c + γ)f gdx

i=1

Es gilt nun |Aγ [f, g]| ≤ Ckf kW 1,2 (U ) kgkW 1,2 (U ) 0

0

und Re Aγ [f, f ] ≥ δk|∇f |k2L2 − Ck|∇f |kL2 kf kW 1,2 + Re γkf k2L2 0

2

Ist γ ∈ R, γ ≥ C so folgt Re Aγ [f, f ] ≥

γ δ k|∇f |k2L2 + kf k2L2 2 2

und Aγ erf¨ ullt die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Sind γ = 0, b1i = 0, b2i = 0 und c ≥ 0, so gilt Re A0 [f, f ] ≥ δk|∇f |k2L2 ≥

δ kf k2W 1,2 (U ) 0 C

R wegen des Lemmas von Lax-Milgram. Sei f ∈ L2 (U ). Dann definiert g → f gdx eine antilineare Abbildung von W01,2 (U ) → C. Nach dem Satz von Lax Milgram existiert genau ein T f ∈ W01,2 (U ) mit Z A0 (T f, g) = f gdx U

(Analog Aγ ). Wir schreiben u = T f . F¨ ur φ ∈ D(U ) gilt nun Z Aγ (u, φ) = f φdx U

und damit im Distributionssinn −

n X j=1

n n X X ∂j ( aij ∂i u + b2j u) + b1i ∂i u + cu + γu = f i=1

i=1

(5.3)


63

Derartige L¨ osungen heißen schwache Lösungen. Sie sind unter den Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram eindeutig unter Dirichletrandbedingungen: u|∂U = 0. Die Abbildung T ist kompakt als Abbildung von L2 nach L2 : Ist fj eine beschr¨ ankte Folge in L2 , so ist (T fj ) eine beschränkte Folge in W01,2 (U ) und sie enth¨ alt daher eine in L2 konvergente Teilfolge (nach Satz 5.21). Wir betrachten Lγ von W01,2 (U ) in die linearen Abbildungen von W01,2 (U ) nach C mit g → Aγ [f, g] = Lγ f (g) Dann ist Lγ Tγ f = f und Tγ Lγ f = f d.h. Tγ = (Lγ )−1 . Ist Aγ hermitesch, so gilt f¨ ur f, g ∈ L2 Z Z (Lγ f )gdx = f (Lγ g) dx U

U

D.h. Lγ ist formal selbstadjungiert. Es gilt die Fredholmsche Alternative. Satz 5.32 Sei Lγ wie oben, γ ∈ R. 1. Dann sind ¨ aquivalent: (a) Lγ u = f besitzt immer genau eine L¨ osung (b) Lγ u = 0 impliziert u = 0. 2. Die Dimension von N (Lγ ) = {u ∈ W01,2 (U )|Lγ u = 0} ist endlich. Das Bild R(Lγ ) = {Lγ f ∈ (W01,2 )∗ |f ∈ W01,2 (U )} ist abgeschlossen. 3. Die Gleichung Lγ u = f hat genau dann eine L¨ osung, wenn < f, v >L2 = 0

f¨ ur L∗γ v = 0

Definition 5.33 Die Menge der γ, f¨ ur die L−γ nichttriviale L¨ osungen von L−γ u = 0 besitzt, heißt Spektrum von L0 . Satz 5.34 In jedem Halbraum {λ| Re λ ≤ R} liegen nur endlich viele Spektralwerte.


64

Satz 5.35 Ist L∗ = L, so existiert eine ONB aus Eigenfunktionen mit Lφj = λj φj f¨ ur eine reelle monoton wachsende Folge λj ohne H¨ aufungswerte. Es gilt die Charakterisierung u ¨ber den Rayleighquotienten: λj+1 =

sup

inf

E,dim E=j v∈E,kvkL2 =1

Aγ [v, v]

und λj =

5.10.1

inf

sup

E,dim E=j v∈E,kvk

Aγ [v, v]

L2 =1

Beispiele

1. U = (−π, π), −u00 = γu 2. U = (−π, π) × (−π, π), −∆u = λu

5.10.2

Finite Elemente und Galerkinapproximation

Wir betrachten L. Sei Vj ⊂ W01,2 (U ) ein Folge von endlich dimensionalen Untervektorr¨ aumen mit 1. Vj ⊂ Vj+1 S 2. Vj ist dicht in W01,2 (U ) und damit auch in L2 (U ). Beispiele: 1. Die von den Eigenfunktionen von −∆ aufgespannten Untervektorräume (Spektralmethode) 2. Wir betrachten eine Folge von Triangulierungen der Feinheit 1/j, die jeweils in der vorigen enthalten sind. Wir nehmen an, daß der Rand in 1/j Kugeln von Ecken auf dem Rand enthalten ist. Sei Vj die Menge der dazugeh¨ origen stetigen st¨ uckweise linearen Funktionen, die auf den Randpunkten der Triangulierung Null sind. Basis: 1 in einer Ecke, Null sonst. Wir erhalten folgende approximative Beschreibung: Aγ [uj , φ] =< f, φ >L2 wobei wir uj ∈ Vj suchen, f¨ ur das diese Gleichung f¨ ur alle φ ∈ Vj gilt. Dies f¨ uhrt auf ein lineares Gleichungssystem, das eindeutig lösbar ist, wenn die Voraussetzungen des Satzes von Lax-Milgram erf¨ ullt sind. Es gilt dann: kuj kW 1,2 (U ) ≤ ckf kL2 0


65

f¨ ur eine feste Konstante c. Damit existiert eine Teilfolge, die schwach gegen eine Funktion u konvergiert. Daher gilt Aγ [u, φ] =< f, φ >L2 f¨ ur alle φ ∈

S

Vj . Dieser Raum ist dicht in L2 (U ) und damit ist Lγ u = f

66


Kapitel 6

Variationsrechnung 6.1

Einfu ¨ hrung und die erste Variation

Wir betrachten stetig diff’bare Lagrangefunktionen f¨ ur U ⊂ Rn beschränkt und offen: L : Rn × R × U → R, die wir L(p, z, x) schreiben. Wir verwenden Dp L, Dz L, Dx L f¨ ur die entsprechenden Funktionalmatrizen. Die sogenannten Funktionale Z I[w] := L(Dw(x), w(x), x)dx U

sind die zentralen Objekte dieses Kapitels, wobei w eine geeignete Funktion auf U ist. Wir suchen Minimalstellen dieses Funktionals in gewissen Klassen von Funktionen, z.B. C 1 Funktionen mit festen Randwerten. Ist u eine derartige Funktion, die Minimalstelle ist, so gilt I[u + τ v] ≥ I[u] f¨ ur jede Testfunktion v. Sei f (τ ) = I[u + τ v]. Dann ist f stetig differenzierbar (Majorisierte Konvergenz) und f 0 (0) = 0. Dies ergibt Z 0 = ∇vDp L(Du, u, x) + vDu L(Du, u, x)dx ZU = v(−∇ · (Dp L(Du, u, x)) + Du L(Du, u, x))dx U

67

68

KAPITEL 6. VARIATIONSRECHNUNG

und die Euler-Lagrangegleichung −

n X ∂ ∂ ∂ L(Du, u, x) + L(Du, u, x) = 0 ∂xj ∂pj ∂z j=1

Beispiele 1. Das Dirichletsche Prinzip L = 12 |p|2 Pn 2. Elliptische Gleichungen L = 12 i.j=1 aij pi pj − zf (x)dx, wobei die (aij ) beschr¨ ankt, meßbar und gleichmäßig positiv definit sind. 3. Die Minimalfl¨ achengleichung L(p, z, x) = 1 + |p|2

1/2

Die zweite Variation. Die Lagrangefunktion sei zweimal stetig diff’bar. Dann ist mit der obigen Notation Z X n n X Lpj z (Du, u, x)vxi v+Lzz (Du, u, x)v 2 dx Lpi pj (Du, u, x)vxi vxj +2 0 ≤ f 00 (0) = U i,j=1

j=1

Dies gilt f¨ ur jede Lipschitzfunktion v, die auf dem Rand verschwindet. Sei ξ ∈ Rn , x ∈ U und v(x) := ερ(

x·ξ )ζ(x) ε

wobei ζ ∈ C0∞ (U ) und

ρ(x) =

Der Limes ε → 0 ergibt X

    

x

if 0 ≤ x ≤ 21 ,

1 − x if 12 ≤ x ≤ 1,     ρ(x + 1) = ρ(x)

Lpi pj (Du(x), u(x), x)ξi ξj ≥ 0

i,j

f¨ ur fast alle x ∈ U und ξ ∈ Rn . Analoge Aussagen gelten f¨ ur Systeme. Hier ist L ∈ C 1 (Rn×m × Rm × U ) Sei u eine differenzierbare Minimalstelle. Die Euler-Lagrangegleichungen sind 0=−

n X ∂ ∂ ∂ L(Du, u, x) + k L(Du, u, x) k ∂xj ∂pj ∂z j=1

1≤k≤m

(6.1)

¨ 6.1. EINFUHRUNG UND DIE ERSTE VARIATION

69

Wie oben folgt aus der zweiten Variation f¨ ur ξ ∈ Rn und η ∈ Rm n X n X m X m X i=1 j=1 k=1 l=1

∂2 L(Du, u, x)ξi ξj ηk ηl ≥ 0 ∂pki ∂plj

Ist diese Ungleichung f¨ ur alle Argumente erf¨ ullt, so heißt L Rang-1 konvex. Konsequenz: Zumindest an der Minimalstelle muß die Lagrangefunktion ’konvex’ bzw ’Rang-1 konvex’ sein.

6.1.1

Null-Lagrangefunktionen

Definition 6.1 Die Funktion L heißt Null-Lagrangefunktion, falls jede Funktion u ∈ C 2 (U ) den Euler-Lagrangegleichungen (6.1) gen¨ ugt. Satz 6.2 Sei L eine Null-Lagrangefunktion, u, v ∈ C 2 (U ) mit u = v auf ∂U . Dann ist I[u] = I[v] Definition 6.3 Ist A eine (n, n) Matrix, so ist die Adjunkte Matrix bzw Cofaktormatrix cof(A) die (n, n) Matrix mit den Eintr¨ agen (−1)i+j det(Aij ) wobei Aij die (n − 1, n − 1) Matrix ist, die man aus A enth¨ alt, indem man die i-te Zeile und die j te Spalte streicht. Lemma 6.4 Sei u : Rn → Rn zweimal stetig differenzierbar. Dann ist n X

∂xi (cof Du)ki = 0.

i=1

Satz 6.5 Sei D ⊂ Rn offen und beschr¨ ankt und m = n. Dann ist L(P, z, x) = det(P ) eine Null-Lagrangefunktion. Anwendung: Der Brouwersche Fixpunktsatz. Satz 6.6 (Brouwersche Fixpunktsatz) Sei u : B1 (0) → B1 (0) stetig. Dann existiert ein Fixpunkt, d.h. ein Punkt x mit u(x) = x

70

KAPITEL 6. VARIATIONSRECHNUNG

6.2

Existenz von Minimalstellen

Motiviert durch analoge Probleme in Teilmengen des Rn wollen wir zunächst die Koerzivit¨ at sicherstellen. Insbesondere soll jede Minimalfolge in einem Sobolevraum beschr¨ ankt sein. Wir fixieren den Exponenten 1 < q < ∞. Wir machen immer folgende Annahme: Es existieren α > 0 und β ≥ 0 mit L(p, z, x) ≥ α|p|q − β f¨ ur alle p, z, x. Dann ist I[w] ≥ αk |Dw| kLq (U ) − βλn (U ). Insbesondere folgt I[w] → ∞ if kwkW 1,q → ∞. F¨ ur geeignete Funktionen g ∈ W 1,q (U ) betrachten wir A = {w ∈ W 1,q (U )|w = g auf ∂U }.

6.3

Regularit¨ at

6.4

Kritische Punkte

(6.2)

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen