Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Eine Einführung mit historischen Bemerkungen

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Author: Ernst Wienholtz | Hubert Kalf | Thomas Kriecherbauer

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Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Ernst Wienholtz · Hubert Kalf · Thomas Kriecherbauer

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine Einführung mit historischen Bemerkungen

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Prof. Dr. Ernst Wienholtz (1931–2003) Prof. Dr. Thomas Kriecherbauer Ruhr-Universität Bochum Fakultät für Mathematik 44780 Bochum [email protected]

Prof. Dr. Hubert Kalf Universität München Mathematisches Institut Theresienstr. 39 80333 München [email protected]

ISBN 978-3-540-45717-6 e-ISBN 978-3-540-45721-3 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 Springer Dordrecht Heidelberg London New York Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet u¨ ber http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 35-01, 31-01, 49-01, 46-01 c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der ¨ Ubersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Printed on acid-free paper Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Vorwort A Preface gives the author his last chance of disarming critics, or, at least, of anticipating them. (T. Chaundy, The Differential Calculus. Oxford: at the Clarendon Press 1935.)

Anfang der 80er Jahre begann der Springer-Verlag mit einer neuen Reihe, Grundwissen Mathematik“, deren Ziel es war, mathematische Theorien in ” Zusammenhang mit ihrer historischen Entwicklung darzustellen. Den Band Partielle Differentialgleichungen“ sollte Ernst Wienholtz schreiben, der nicht ” nur die klassischen drei Typen, sondern auch symmetrisch hyperbolische Systeme darstellen wollte, denen seine besondere Liebe und Aufmerksamkeit ¨ galt. Uberdies schwebte ihm f¨ ur den elliptischen Fall ein neuer Beweis der eindeutigen Fortsetzbarkeit der L¨ osungen vor, bei dem Funktionen, die dem allgemeinen Hauptteil angepaßt sind, die Kugelfunktionen verallgemeinern sollten. Dieser Plan, seine ¨ außerst sorgf¨ altige Arbeitsweise und seine Verpflichtungen als Hochschullehrer ließen die Fertigstellung des Buches leider mehr und mehr in die Ferne r¨ ucken. Bei seinem Tod 2003 hinterließ er ein mit einem selbst entwickelten Textverarbeitungssystem erstelltes und mit handschriftlichen Korrekturen und Erg¨ anzungen versehenes Manuskript, dessen genauer Umfang aufgrund diverser Versionen verschiedener Kapitel nicht leicht abzuschätzen war. Klar war, daß sich in einem einzelnen Band moderater Dicke nur das Material u ¨ber elliptische Gleichungen w¨ urde unterbringen lassen. Bald zeigte sich jedoch, daß auch dieser Teil nicht ohne betr¨ achtliche Veränderungen w¨ urde veröffentlicht werden k¨ onnen. Durch die jahrelange Arbeit an dem Manuskript war ein dichtes und nicht leicht zu durchschauendes Gewebe mit einer F¨ ulle komplizierter Querverweise entstanden. Zudem tendierte die Darstellung dazu, eher Methoden als Resultate zu betonen. Ein Gutachter, dem Teile des Textes vorlagen, schrieb, der Stoff m¨ usse fl¨ ussiggemacht“ werden. Dies haben wir zu ” erreichen versucht. Eine Auflistung der Ver¨ anderungen, die wir vorgenommen haben, erscheint uns unpassend, da dem Leser eine Bewertung derselben ohne Kenntnis des Wienholtzschen Manuskripts ja unmöglich ist. Der Leser wird prim¨ ar wissen wollen, wie sich dieses Buch von anderen B¨ uchern u ¨ber diesen Gegenstand, an denen ja kein Mangel herrscht, unterscheidet. Wie die ber¨ uhmte Gaußsche Arbeit [81] schon suggeriert, werden die zentralen Eigenschaften harmonischer Funktionen (Liouville- und Har-

VI

Vorwort

nackeigenschaft, Maximum- und Minimumeigenschaft sowie Analytizität) aus der Mittelwerteigenschaft und nicht, wie in der Literatur vorherrschend, aus der Poissonschen Integralformel erschlossen. Dies hat den Vorteil, daß analoge Aussagen f¨ ur L¨ osungen anderer Gleichungen hergeleitet werden können, wenn diese einer Mittelwertgleichung oder -ungleichung gen¨ ugen. Beispielhaft vorgef¨ uhrt wird dies anhand der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, die u ¨berhaupt detaillierter als gemeinhin u ¨blich betrachtet wird. Die Gestalt der Poissonschen Integralformel wird zu Beginn von Kapitel 3 motiviert. Der dann folgende elementare Beweis beruht auf der Beobachtung, daß der Poissonkern f¨ ur die Kugel die Eigenschaften einer δ-Funktion hat. Auch hier verf¨ ahrt das Gros der Literatur anders, nämlich u ¨ber die Greensche Darstellungsformel und die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel, Dinge, die hier erst sp¨ ater in Zusammenhang mit der Poissongleichung angesprochen werden. Die Perronsche Methode zur L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur harmonische Funktionen ist nat¨ urlich klassischer Bestandteil der Literatur, aber auch hier und beim sog. Zaremba-Kriterium gibt es Detailvereinfachungen im Beweis. Der Lebesguesche Dorn, f¨ ur den das Dirichletproblem klassisch nicht l¨ osbar ist, wird ausf¨ uhrlicher als gemeinhin behandelt. Ungewöhnlich f¨ ur die Lehrbuchliteratur ist die gr¨ undliche Behandlung unbeschränkter Gebiete ohne Verwendung der Kelvintransformation. Vereinfachungen findet man f¨ ur den Nachweis, daß das Newtonpotential die Poissongleichung f¨ ur h¨ olderstetige rechte Seite löst, und es wird Petrinis Gegenbeispiel gebracht, daß Stetigkeit alleine daf¨ ur nicht ausreicht. Die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung durch das Greenpotential wird auf den H¨ olderschen Satz zur¨ uckgef¨ uhrt und auf diese Weise bewiesen, daß die Greensche Funktion f¨ ur ein Gebiet genau dann existiert, wenn jeder Randpunkt eine Barriere besitzt. Diese Vorgehensweise gestattet dann auch eine relativ einfache Herleitung der Fredholmschen Alternative in Satz 6.2.5. ochten wir Wienholtzens neuen und eleganten Besonders hervorheben m¨ Beweis der Symmetrie der Greenschen Funktion allein unter Verwendung der ¨ Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen. Ublicherweise beruft man sich hier auf den Gaußschen Satz, was eine gewisse Qualität des Randes und des Gradienten der Greenschen Funktion voraussetzt. Kennzeichnend f¨ ur dieses Buch ist, daß der Gaußsche Satz immer nur f¨ ur Kugeln oder deren Komplemente angewendet wird, in welchem Fall er, wie in Anhang B dargelegt, eine unmittelbare Folge der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale ist. Die Integralumformungen, die etwa im Rahmen der Fredholmschen Alternative oder f¨ ur den Zusammenhang zwischen klassischen und schwachen Lösungen erforderlich sind, werden durch den – vielleicht noch immer nicht genug bekannten – Satz von Giesecke gedeckt, der einen sehr einfachen Beweis gestattet. Unseres Wissens nach neu ist der die Symmetrie der Greenschen Funktion verwendende Wienholtzsche Beweis f¨ ur die Abschätzungen der Ableitungen der Greenschen Funktion, wenn der Rand einer gleichmäßigen äußeren Kugelbedingung gen¨ ugt.

Vorwort

VII

Daß das Greenpotential f¨ ur die Kugel bei hölderstetiger Dichte hölderstetige 2. Ableitungen bis zum Rande besitzt, wird mit Hilfe eines wenig bekannten Kunstgriffs von Simoda gezeigt. In Kombination mit dem Banachschen Fixpunktsatz ergibt sich dann sofort die lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems sowie mit Hilfe der Bernsteinschen Kontinuitätsmethode und einer aus einem Kompaktheitsargument folgenden A-Priori-Ungleichung die Lösbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator. Ferner l¨ aßt sich sodann die Leray-Schaudersche Methode am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems f¨ ur die Kugel darstellen. Die Untersuchung der Poissongleichung f¨ ur ein Gebiet mit einem C 2,α Rand geschieht nun in der Weise, daß gezeigt wird, daß sich dieser lokal auf einen Teil einer Sph¨ are abbilden l¨ aßt, wobei der Laplaceoperator in einen allgemeinen elliptischen Differentialoperator 2. Ordnung u uhrt wird, dessen ¨berf¨ Hauptteil sich wenig vom Laplaceoperator unterscheidet. Dies f¨ uhrt zu einem neuen Beweis des Kelloggschen Satzes und in Kombination mit dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung zu einer A-Priori-Abschätzung, die dann zu einer Herleitung der globalen A-Priori-Abschätzung von Schauder verwendet wird. Mit dem Schauderschen Satz und der zugehörigen Fredholmschen Alternative in Abschnitt 8.3 und mit Satz 9.1.2 ist dann ein abschließendes Resultat u osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur lineare el¨ber die klassische L¨ liptische Gleichungen 2. Ordnung erreicht. Nun ist nicht zu verkennen, daß sich im Lauf der Zeit die Interessen und Priorit¨ aten in Forschung und Lehre stark gewandelt haben. In dem von uns hinzugef¨ ugten Kapitel 10 gehen wir daher kurz auf schwache Lösungen einer Gleichung oder eines Randwertproblems ein, wobei der Leser auch hier einiges anders als u ¨blich dargestellt finden wird. (Wienholtz selbst hatte die S¨ atze 10.3.4 und 10.3.9 als Beweisvarianten in das klassische Material von Kapitel 4 eingearbeitet.) F¨ ur eine einf¨ uhrende Vorlesung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungen, in der alle drei Typen angesprochen werden, lassen sich unschwer kleine Teil aus den Kapiteln 2–4 und 10 herausgreifen. Die Schaudersche Theorie k¨ onnte aufgrund des hier gegebenen stufenweisen Aufbaus zum Gegenstand einer Reihe von Seminarvorträgen gemacht werden. Dem Konzept der Reihe Grundwissen“ entsprechend, enthält dieses Buch ” eine F¨ ulle historischer Bemerkungen. Gerade bei den partiellen Differentialgleichungen hat ein Theorem – und erst recht ein Begriff oder eine Technik – meist eine komplizierte Entwicklungslinie, die aus dem Blickwinkel der Gegenwart zu skizzieren versucht wird. Das Wienholtzsche Manuskript enthielt mit Jahreszahlen versehene Autorennamen, so daß eine Identifizierung der Arbeiten, die er zitieren wollte, nahezu immer möglich war. Wir haben die Anzahl der Literaturverweise um gut ein Drittel vermehrt. ¨ Wir sind A. Hinz (M¨ unchen) und C.G. Simader (Bayreuth) f¨ ur die Uberlassung eigener Vorlesungsskripte sowie f¨ ur viele anregende Diskussionen u ¨ber lange Jahre hinweg zu Dank verpflichtet. Frau M. Wienholtz-Hatzidaki und ¨ Herrn Dr. D. Wienholtz danken wir f¨ ur die großz¨ ugige Uberlassung aller Rechte gegen¨ uber dem Springer-Verlag. Dem Springer-Verlag danken wir f¨ ur

VIII

Vorwort

die angenehme Zusammenarbeit und insbesondere f¨ ur die Möglichkeit, dieses Buch in alter Rechtschreibung erscheinen zu lassen. Ein besonders herzlicher Dank gilt Frau Eberhardt (Bochum) f¨ ur ihre hervorragende Arbeit und Engelsgeduld bei der Erstellung der Druckvorlage.

M¨ unchen und Bochum, im April 2009 Hubert Kalf und Thomas Kriecherbauer

Inhaltsverzeichnis

1

Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung 1 1.1 Das Potential des Schwerefeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem . . . 7 1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert . . . . . . 10

2

Die Laplacegleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft . . . . . . . . . . 2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Das Maximum-Minimumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Analytizit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . 2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19 28 31 35 39 43 47 53

3

Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen . . . . . . . . . 3.1 Einf¨ uhrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ at und der Fall der Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Superharmonische Funktionen und die Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ anktes Ω ⊆ RN . . . . . . . . . . . . . . . . . ¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien. 3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne Lösung. . . . . 3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 63 67 75 78 82 92 97

X

Inhaltsverzeichnis

4

Die Poissongleichung −Δu = f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential . . . . . . . . . . . 103 4.2 Differenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials und L¨ osung des Dirichletproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Petrinis Gegenbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . 118 4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion . 126 4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singuläre Integrale . . . 134 4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1 . . . . . . . . . . . . 147 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5

Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen . . 165 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr ¨ Außeres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel . . . . . . . . . 172 5.4 Eine erste Anwendung: Die lokale Lösbarkeit des Beltrami-Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.5 Das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.6 Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems in der Kugel . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

6

Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem . . . . 207 6.1 Die S¨ atze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung. Resolvente und Spektrum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f . . . . . . . . . . . . . . . . 211 N 6.3 Die Gleichung −Δu + i=1 ai uxi + (a − λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

7

Der 7.1 7.2 7.3

Kelloggsche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes . . . . . . . . . 246 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Inhaltsverzeichnis

XI

8

Die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme 263 8.1 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . 264 8.2 Variable Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.3 Die Kontinuit¨ atsmethode zur L¨ osung des allgemeinen 2,α linearen Dirichletproblems in C (Ω). Die Fredholmsche Alternative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.4 Ausblick: Das Dirichletproblem f¨ ur die quasilineare elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von Leray-Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

9

Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at . . . . . . . . . . . . . 281 9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung . . . . . . 281 osungen linearer und 9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf . . . . . . . . . . 287 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

10 Schwache L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 10.2 Existenz schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 A

Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . 343

B

Integration u aren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 ¨ ber Sph¨

C

H¨ olderstetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

Symbolverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Personenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung

Unter den partiellen Differentialgleichungen bilden die elliptischen eine besondere Klasse. Ihre L¨ osungen haben ein hohes Maß an innerer Regularität und, ¨ ahnlich wie die Funktionentheorie, welche in anderen Bereichen der Mathematik immer wieder Anwendungen hat, so fordert die Theorie der elliptischen Gleichungen nicht nur zu ihrem eigenen Aufbau heraus, sondern sie unterst¨ utzt auch die Behandlung großer Klassen der u ¨brigen Differentialgleichungen. Die elliptischen Differentialgleichungen 2. Ordnung sind aus der klassischen Potentialtheorie hervorgegangen, die ihrerseits mit der mathematischen Erforschung der physikalischen Kraftfelder der Gravitation, der Elektrostatik und der Magnetostatik entstanden ist. Zur Unterscheidung der klassischen von der jetzt eng mit Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie einhergehenden modernen Potentialtheorie sei auf repr¨ asentative Lehrb¨ ucher, z.B. O.D. Kellogg [136] ¨ bzw. L.L. Helms [110] und J.L. Doob [52] verwiesen, zur Ubersicht auch auf einen Essay von H. Bauer [12]. Noch heute kann man f¨ ur die Theorie elliptischer Gleichungen nicht auf Bausteine verzichten, die aus der Potentialtheorie stammen. Zugleich kann die klassische Potentialtheorie angesehen werden als eine Theorie der Gleichung zweiter Ordnung − (ux1 x1 + . . . + uxN xN ) = f . Hier bezeichnen die uxi xi die partiellen Ableitungen 2. Ordnung der gesuchten L¨ osung u. Dies ist eine elliptische Differentialgleichung, zwar eine sehr spezielle, aber mit den typischen Eigenschaften. Wir werden uns gr¨ undlich mit ihr befassen, bevor wir uns den allgemeinen elliptischen Gleichungen 2. Ordnung zuwenden werden.

E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 1,

2


1.1 Das Potential des Schwerefeldes Das von Newton [240] um 1665 in Ausdeutung der Keplerschen Gesetze der Planetenbahnen aufgestellte Gravitationsgesetz zwischen Körpern wird heute mit der Abstraktion Massepunkt“ formuliert: ” Wenn eine Masse M im Nullpunkt des Koordinatensystems und eine Masse m im Punkte (x, y, z) konzentriert sind und wenn r ihr Abstand ist, dann beschreibt Mm x y z , , k(x, y, z) = −γ 2 r r r r den Vektor der Anziehungskraft im Punkte (x, y, z) zwischen den beiden Massen. Dabei ist γ die Gravitationskonstante. Daniel Bernoulli [16], wenn auch nur indirekt, und Lagrange [162, ∂ 1 ∂ 1 ∂ 1 , ) aus (siehe auch § 12] dr¨ uckten den Vektor − r12 ( xr , yr , zr ) als ( ∂x r , ∂y r ∂z r 2 [161]), also als Gradienten der Funktion 1/r = 1/ x + y 2 + z 2 ; das ist in heutigen Schreibweisen 1 1 ∂ ∂ ∂ 1 1 x y z , , = grad = ∇ = , , . − 2 r r r r r r ∂x ∂y ∂z r In k(x, y, z) = m grad(γM/r), was Physiker lieber −m grad(−γM/r) schreiben, kommt dann zum Ausdruck, daß M von einem Schwerefeld umgeben ist, n¨ amlich dem Gradientenfeld der Funktion φ(x, y, z) =

γM x2

+ y2 + z2

,

das von m unabh¨ angig ist. Heute nennen wir φ das Potential oder die Potentialfunktion des Schwerefeldes von M . D. Bernoulli [16, p. 361] und Lagrange [162, § 12ff] untersuchten auch solche Schwerefelder, die von mehreren Massepunkten M1 . . . Mn erzeugt werden, und formulierten das Superpositionsprinzip k(x, y, z) = m grad(φ1 + . . . + φn ) . In Verallgemeinerung davon untersuchte Lagrange [162] 1 Gravitationsfelder von r¨ aumlich oder fl¨ achig verteilten Massen M und stellte auch dabei fest, daß außerhalb der Masseverteilung eine Funktion existiert, deren Gradient das Kraftfeld beschreibt. Wir wollen dies am Beispiel einer r¨ aumlich verteilten Masse verdeutlichen: ¨ Jede experimentelle Uberpr¨ ufung des Newtonschen Gravitationsgesetzes muß 1

Lagrange [163, 164] sind abschließende Arbeiten. Wegen einer manchmal erst dem sp¨ ateren Laplace gemachten Zuordnung siehe A.S. Hathaway [100].

1.1 Das Potential des Schwerefeldes

3

in Kauf nehmen, daß M auf ein kleines Volumen verteilt ist, ebenso m, und daß r nur bis auf die Summe der Durchmesser dieser Volumina bekannt ist. Die G¨ ultigkeit des Newtonschen Gesetzes bedeutet daher, daß es das Anziehungsgesetz zwischen zwei K¨ orpern, die einen relativ großen Abstand voneinander haben, approximiert. Das soll insbesondere heißen, daß der Betrag der Anziehungskraft zwischen den Massen M und m eine der Zahlen γ Mr2m ist, wo r den Abstand zwischen einem Punkt aus dem einen und einem Punkt aus dem anderen K¨ orper mißt. Bei einer r¨ aumlichen Masseverteilung sei die Masse M u ¨ber ein beschränktes Gebiet G verteilt mit der Dichte (x, y, z), so daß (ξ, η, ζ) dξ dη dζ . M= G

Wir wollen die Anziehungskraft berechnen, die an der Stelle (x, y, z) außerhalb von G, dem Abschluß von G, auf einen Massepunkt der Masse m wirkt. Zerlegt man G durch eine Rasterung des R3 der√Maschenweite δ > 0 in endlichviele G1 , G2 , . . . , Gn mit Durchmessern δ1 ≤ δ 3 – ähnlich wie bei der Bestimmung des Jordaninhalts von G – und ist Mi = (ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.1) Gi

die in Gi enthaltene Masse und (ξi , ηi , ζi ) ein in Gi liegender Punkt, dann ubte Kraft nach Obigem approximiert wird die von Mi auf m in (x, y, z) ausge¨ durch Mi m x − ξi y − ηi z − ζi , , −γ 2 ri ri ri ri mit ri = (x − ξi )2 + (y − ηi )2 + (z − ζi )2 . Der Fehler ist O(δ 4 ) f¨ ur δ → 0 f¨ ur jede der drei Komponenten; denn sind (ξi , ηi , ζi ) und (ξi , ηi , ζi ) irgend zwei Punkte in Gi und ist ri der Abstand von (x, y, z) zum ersten und ri der zum zweiten Punkt, so ist ξi − ξi = O(δ) (d.h. |ξi − ξi | ≤ const δ, wobei const eine von δ unabh¨ angige, positive Konstante bezeichne), ri − ri = O(δ), und der Betrag des Unterschieds in der beispielhaften ersten Komponente ist Mi m x − ξi Mi m x − ξi γ · − γ · r2 ri ri2 ri i mMi = γ 3 3 (x − ξi )(ri3 − ri3 ) + (ξi − ξi )ri3 ri ri = Mi O(δ) ; ferner ist der Ausdruck (1.1) von der Ordnung O(δ 3 ), wenn beschränkt ist. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Anziehungskraft, die in (x, y, z) zwischen m und der Vereinigung der Mi besteht, gleich der Summe der einzelnen

4


Kr¨ afte; letztere sind uns bis auf O(δ 4 ) bekannt. Die Anzahl der Summanden geht h¨ ochstens wie δ −3 ; also ist −

n

Mi m x − ξi y − ηi z − ζi γ 2 , , ri ri ri ri i=1

(1.2)

eine Approximation an den zu berechnenden Kraftvektor mit einem Fehler O(δ). Um diesen Ausdruck als Riemannsumme eines Integrals zu deuten, wählen wir jetzt noch den Punkt (ξi , ηi , ζi ) so in Gi aus, daß Mi = (ξi , ηi , ζi ) dξ dη dζ Gi

gilt, was bei stetigem nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung möglich ist. Damit ist dann (1.2) Riemann-Zwischensumme von mγ(ξ, η, ζ) (x − ξ, y − η, z − ζ) dξ dη dζ − 3/2 [(x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2 ] G

Das ist

m grad G

γ(ξ, η, ζ) (x −

ξ)2

+ (y − η)2 + (z − ζ)2

dξ dη dζ ;

und wir haben hergeleitet, daß das Kraftfeld außerhalb von G das Potential γ(ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.3) φ(x, y, z) = 2 (x − ξ) + (y − η)2 + (z − ζ)2 G

besitzt, wenn es von der in G mit der Dichte verteilten Masse M herr¨ uhrt.

1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung Laplace [165, § 8], [166, § 2] stellte f¨ ur dieses Potential (1.3) Differentialgleiugt; und zwar zuerst in Polarkoordinachungen auf, denen es außerhalb G gen¨ ten und dann in rechtwinkligen cartesischen Koordinaten in der Form (siehe auch [167, p. 137f]) φxx + φyy + φzz = 0 , was man heute die Laplacegleichung nennt und häufig mit dem erst später aufgetretenen Laplaceoperator

1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung

Δ=

5

∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

in der Gestalt Δφ(x, y, z) = 0 schreibt. L¨ osungen der Laplacegleichung werden auch harmonische Funktionen genannt. Der Schritt von Laplace hat sich als ¨ außerst fruchtbar erwiesen, sowohl f¨ ur die Potentialtheorie als auch f¨ ur die Entstehung einer Theorie partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Vielleicht war das Interesse an dieser Gleichung seinerzeit dadurch besonders geweckt, daß bereits 1756/57 Euler [63, § 67] bei hydrodynamischen Problemen auf sie gestoßen war; siehe auch Lagrange [159, § 42], [160]. ugt, ist sehr Der Nachweis, daß φ außerhalb von G der Laplacegleichung gen¨ einfach. Man braucht es nur in der Umgebung eines beliebigen Punktes aus R3 \G zu zeigen, und dazu legt man um einen solchen Punkt eine Kugel B, die von G einen positiven Abstand hat. In B ist φ nach klassischen Sätzen beliebig oft differenzierbar, und man erh¨ alt die Ableitungen durch Differentiation in (1.3) unter dem Integral; man rechnet nach, daß Δ

1 (x − ξ)2 + (y − η)2 + (z − ζ)2

=0

ist. Man kann (1.3) aber auch benutzen, um ein Potential φ(x, y, z) f¨ ur (x, y, z) ∈ G zu definieren. Zwar ist der Integrand in (1.3) f¨ ur solche (x, y, z) singul¨ ar, trotzdem existiert das Integral. Um das einzusehen, legt man um (x, y, z) ∈ G als Mittelpunkt eine kleine Kugel B ⊆ G mit festem Radius β, und es gen¨ ugt zu zeigen, daß (ξ, η, ζ) dξ dη dζ (1.4) 2 (x − ξ) + (y − η)2 + (z − ζ)2 B

existiert; denn das Restintegral u ¨ber G \ B ist unproblematisch. Nach Einf¨ uhrung von Polarkoordinaten (ξ − x, η − y, ζ − z) = rχ , also r=

(ξ − x)2 + (η − y)2 + (ζ − z)2 , χ ∈ R3 , |χ| = 1 ,

geht (1.4) u ¨ber in das Integral β 0 |χ|=1

(x + rχ1 , y + rχ2 , z + rχ3 ) dS(χ) r2 dr , r

6


worin dS das Oberfl¨ achenelement bezeichnet. Das Integral existiert, da beschr¨ ankt ist. Durch (1.3) ist nun zwar φ auch f¨ ur (x, y, z) ∈ G definiert, aber es gen¨ ugt in G nicht mehr der Laplacegleichung Δφ = 0. Schon die Stetigkeit von φ bedarf einer besonderen Begr¨ undung. Jedenfalls bei in G konstantem (x, y, z) bewies Poisson [265] die Gleichung φxx (x, y, z) + φyy (x, y, z) + φzz (x, y, z) = −4π(x, y, z) , die er allerdings auch f¨ ur ver¨ anderliches zu beweisen versuchte; daher nennt man heute eine Differentialgleichung vom Typ −Δu = f mit f = 0 eine Poissongleichung. F¨ ur nichtkonstante Dichte f¨ uhrte nach weiteren Bem¨ uhungen von Poisson und anderer Autoren erst Gauß [81] einen strengen Beweis, daß das Potential φ in G dieser Gleichung gen¨ ugt; er mußte allerdings dabei voraussetzen, daß in G stetig differenzierbar ist. Im Jahre 1882 konnte dann Otto H¨ older [120] in seiner Dissertation Beitr¨ age zur Potentialtheorie“ die Voraussetzung der stetigen Differenzier” barkeit von durch die schw¨ achere Forderung ersetzen, daß es 0 < α < 1 und eine Konstante gibt, so daß α/2 |(x, y, z) − (x , y , z )| ≤ const (x − x )2 + (y − y )2 + (z − z )2 f¨ ur alle (x, y, z) ∈ G , (x , y , z ) ∈ G. Dies ist eine Forderung 2 , die f¨ ur weniger als Differenzierbarkeit, aber mehr als Stetigkeit bedeutet. Sie wird uns in diesem Buch noch sehr besch¨ aftigen, da sie f¨ ur die Theorie elliptischer Differentialgleichungen eine Schl¨ usselrolle spielt. Man nennt sie eine H¨ olderbedingung, und man nennt solche h¨ olderstetig. Es braucht φ in G nicht zweimal differenzierbar zu sein, wenn lediglich stetig ist. Hierzu hat Petrini [251] ein Beispiel gegeben; siehe Abschnitt 4.3. Die hier angesprochenen Eigenschaften des Potentials (1.3), insbesondere, daß φ bei h¨ olderstetigem der Poissongleichung −Δφ = 4π gen¨ ugt, werden in den Abschnitten 4.1 und 4.2 in etwas allgemeinerem Rahmen behandelt. In der Elektrostatik gilt das nach Coulomb benannte Gesetz eQ x y z , , k(x, y, z) = 2 r r r r f¨ ur die Kraft, die eine im Ursprung des Koordinatensystems befindliche Ladung Q auf eine in (x, y, z) befindliche Ladung e aus¨ ubt. Genauere Literaturangaben und Hinweise auf Coulombs Vorg¨ anger findet man in [84]. Dabei ist 2

Wohl zuerst bei R. Lipschitz [194], aber dort beim Studium trigonometrischer Reihen.

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem

7

wieder r2 = x2 + y 2 + z 2 . Das von der Punktladung Q erzeugte elektrische Feld ist ein Gradientenfeld E(x, y, z) = − grad(Q/r) mit dem Potential φ(x, y, z) =

Q x2 + y 2 + z 2

,

¨ und man erkennt die Ubereinstimmung mit dem vorhin behandelten Fall des Schwerefeldes. ¨ Ahnlich verh¨ alt es sich mit der Magnetostatik. Nach Vorarbeiten auf diesen Gebieten von Poisson [264, pp. 5, 30-34] hat Green [86] mit seiner zun¨ achst nur wenig bekannt gewordenen Arbeit3 An Essay on the Application ” of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism“ die Potentialtheorie entscheidend gestaltet; ebenso Gauss [81] mit Allgemeine ” Lehrs¨ atze in Beziehung auf die im umgekehrten Verhältnis der Quadrate der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte“. Zuerst in diesen beiden Arbeiten wird die Benennung Potential oder Potentialfunktion f¨ ur den bis dahin so wichtig gewordenen Begriff benutzt; siehe aber [14, 28]. F¨ ur historische Studien u older nennen wir die ¨ber die Epoche vor Otto H¨ ¨ Monographien von Todhunter [325] und von Bacharach [10]. Uber die weitere Entwicklung der Potentialtheorie um die Jahrhundertwende berichten die Enzyklop¨ adieartikel von Burkhardt und Meyer [31] und Lichtenstein [190]. Jedoch ist es manchmal notwendig und ein m¨ uhevoller Genuß, in den Originalarbeiten zu lesen.

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem Warum interessiert man sich f¨ ur Differentialgleichungen, denen das Potential φ einer Verteilung von Massen oder Ladungen gen¨ ugt? Anfänglich konnte man nur Hoffnungen auf weitere Einsicht damit verbinden, und erst die dadurch in Gang gesetzten Forschungen ergaben, daß man aus dem Bestehen der Poissongleichung oder der Laplacegleichung wichtige Eigenschaften von φ, und damit des Kraftfeldes grad φ, ableiten kann. Beispielsweise l¨ aßt sich das Gravitationsfeld in einem beschränkten Teilgebiet D außerhalb der Masseverteilung ohne jede weitere Kenntnis der Massendichte bestimmen, wenn man das Feld nur nahe der (hinreichend glatt 3

Die Verbreitung der Resultate dieser Schrift mehr als anderthalb Jahrzehnte nach ihrem Erscheinen als Privatdruck 1828 ist William Thomson (dem sp¨ ateren Lord Kelvin) zu verdanken, der als Student durch ein Zitat in einer Arbeit von Murphy von ihrer Existenz erfuhr und nach langem vergeblichem Suchen durch Zufall feststellte, daß sein Tutor drei Exemplare besaß. Auf Anregung Thomsons erschien in den Jahren 1850–54 ein Nachdruck in Crelles Journal.

8


angenommenen) Berandung ∂D von D kennt. Dies ist eine Folge der Differentialgleichung Δφ = 0 in D. Es gen¨ ugt sogar, daß man die Normalkomponente ∂φ ∂ des Feldes auf ∂D kennt; dabei ist ∂ν die Differentiation in Richtung der ∂ν außeren Einheitsnormalen ν an D, also ∂φ ¨ ∂ν = ν · grad φ auf ∂D. Freilich, dahinter steht die Konstruktion einer Lösung des Neumannschen Randwertproblems, das man auch das 2. Randwertproblem nennt und dessen L¨ osung einen der H¨ ohepunkte der Potentialtheorie darstellt. Es lautet in enger Anlehnung an das urspr¨ ungliche Allgemeine Problem“ bei Franz Neumann ” [233, p. 270]: 4 3 ugend glattem Rand, so daß in jedem Punkte Es sei D ⊂⊂ R mit gen¨ (x, y, z) ∈ ∂D die ¨ außere Einheitsnormale ν(x, y, z) an D existiert und der Gaußsche Integralsatz auf D anwendbar ist. Es sei g : ∂D → R stetig. Gesucht ist eine in D einmal stetig differenzierbare Funktion u 5 , die in D zweimal stetig differenzierbar ist, der Laplacegleichung Δu = 0 in D und der (Neumannschen) Randbedingung ∂ ugt. ∂ν u(x, y, z) = g(x, y, z) auf ∂D gen¨ Man beachte, daß unsere Formulierung des Neumannschen Randwertproblems keinen R¨ uckgriff auf Potentiale macht, vielmehr ganz im Rahmen partieller Differentialgleichungen verl¨ auft. Durch diese Loslösung formulieren wir es f¨ ur alle stetigen g : ∂D → R, also nicht nur f¨ ur solche g, die auf ∂D Normalkomponente eines Gravitationsfeldes sind. Es gibt aber stetige g, f¨ ur die das Neumannsche Randwertproblem keine osung des Neumannproblems ist L¨ osung hat. Wenn n¨ amlich u : D → R eine L¨ = g auf ∂D, dann ist nach dem Integralsatz von Gauß mit ∂u ∂ν ∂u (x, y, z) dS = Δu (x, y, z) dx dy dz = g (x, y, z) dS . 0= ∂ν D

∂D

∂D

Daher ist die Bedingung ∂D g dS = 0 f¨ ur die Lösbarkeit des Neumannschen Randwertproblems notwendig.6 F¨ ur die Rekonstruktion des Gravitationsfeldes in einem massefreien Gebiet aus der Kenntnis der Normalkomponenten des Feldes auf dem Rande des Gebietes gen¨ ugt es nicht, zu wissen, daß eine Lösung des Neumannproblems existiert. Vielmehr ist ein Verfahren n¨ otig, eine Lösung allein aus den Randwerten zu konstruieren, und man muß wissen, daß das Gradientenfeld der konstruierten L¨ osung mit dem gegebenen Gravitationsfeld u ¨bereinstimmt. Es bedarf also auch eines Eindeutigkeitssatzes zum Neumannschen Problem: Wenn u und v L¨ osungen des Neumannschen Randwertproblems in D sind ∂v = auf ∂D, dann ist grad u = grad v. mit ∂u ∂ν ∂ν Wenn das Gebiet D glatt berandet ist, l¨ aßt sich dieser Eindeutigkeitssatz leicht mit dem Gaußschen Integralsatz beweisen, indem man w := u − v 4

5 6

Sind A, B ⊆ RN offen, so verstehen wir unter A ⊂⊂ B, daß A beschr¨ ankt ist mit A ⊆ B. Man sagt dann: A ist kompakt enthalten in B. D.h. die ersten Ableitungen von u besitzen eine stetige Fortsetzung auf D. Auch dieses und der kommende Eindeutigkeitssatz bei Franz Neumann [233] .

1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem

9

betrachtet. Es ist Δw = 0 und ∂w ∂ν = 0 und daher ∂w 2 dS − | grad w| dx dy dz = w wΔw dx dy dz = 0 ; ∂ν D

∂D

D

mithin ist grad w = 0, und das ist grad u = grad v. Jetzt werden wir das Dirichletsche Randwertproblem vorstellen. Bei elektrischen Feldern befinden sich die Ladungen oft auf Metallen, wo sie frei verschieblich sind, so daß die Ladungsdichte nicht a-priori vorgegeben ist, wie die Massendichte es in unserer Darstellung war, sondern sich erst unter der Wirkung des elektrischen Feldes einstellt. Im statischen Fall kann die Feldst¨ arke im metallischen Leiter keine Komponente haben, die eine Verschiebung bewirkt; also ist φ = const innerhalb jeder Zusammenhangskomponente eines Leiters. Die Differenzen zwischen den Werten von φ auf verschiedenen Zusammenhangskomponenten lassen sich als Spannungen messen. Man kennt daher im elektrostatischen Fall die Werte des Potentials φ (bis auf eine f¨ ur alle gemeinsame additive Konstante) auf den Leitern, von denen wir annehmen, daß sie ein ladungsfreies Gebiet D beranden; die Bestimmung des elektrischen Feldes E(x, y, z) = − grad φ(x, y, z) in D l¨ auft dann auf die Bestimmung einer Funktion φ in D mit Δφ = 0 hinaus, das auf ∂D die gegebenen Werte annimmt. Das ist ein Spezialfall des Dirichletschen Randwertproblems, das man auch das 1. Randwertproblem nennt. Allgemein lautet es f¨ ur die Laplacegleichung so: Vorgegeben sind ein offenes (nichtleeres) Ω ⊆ RN und eine stetige Funktion g : ∂Ω → R; gesucht ist eine auf Ω stetige Funktion u, die in Ω zweimal stetig differenzierbar ist, dort der Laplacegleichung Δu = 0 gen¨ ugt, und die auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Manchmal findet man eine Formulierung, die etwas weiter gefaßt zu sein scheint, die n¨ amlich die Stetigkeit von g : ∂Ω → R nicht nennt und nur u ∈ ur alle x ∈ ∂Ω fordert. C 2 (Ω), Δu = 0 in Ω und limy→x, y∈Ω u(y) = g(x) f¨ Daraus folgt aber die Stetigkeit von u ˜ : Ω → R, wenn man u(x) f¨ ur x ∈ Ω u ˜(x) := g(x) f¨ ur x ∈ ∂Ω setzt, und, wegen g = u ˜|∂Ω , auch die Stetigkeit von g : ∂Ω → R. ˜(x)| < /2 f¨ ur Es gibt ja zu > 0 und x ∈ Ω ein δ(, x) > 0, so daß |u(y)− u y ∈ Ω = Ω\∂Ω mit |y − x| < δ(, x). Zu x , x ∈ Ω mit |x − x | < 12 δ(, x ) u(x ) − u ˜(x )| ≤ gibt es ein y ∈ Ω ∩ Bδ( ,x ) (x ) ∩ Bδ( ,x ) (x ); somit ist |˜ ˜(x )| < . Also ist u ˜ : Ω → R stetig. Daher muß auch |˜ u(x ) − u(y)| + |u(y) − u die Vorgabe g : ∂Ω → R stetig gewesen sein, und man ist wieder in der alten u = 0 in Ω, u ˜|∂Ω = g. Situation u ˜ ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) mit Δ˜ Tats¨ achlich ist man aber auch an einer Verallgemeinerung des Dirichletproblems interessiert, bei der g : ∂Ω → R unstetig vorgegeben und eine Lösung

10


u der Laplacegleichung in Ω gesucht ist, die limx→y, x∈Ω u(x) = g(y) f¨ ur alle solchen y ∈ ∂Ω erf¨ ullt, in denen g stetig ist. Hierzu vergleiche man den Satz 3.3.9. Wir schließen mit einer Bemerkung u ¨ber die Benennung der Randwertprobleme. Das Dirichlet-Problem zuerst von Green 1828 behandelt, verdankt seinen Namen dem Zusammenhang mit dem im nächsten Abschnitt zu besprechenden Dirichletschen Prinzip. Es wird heute gemeinhin angenommen, daß es Carl Neumann ist, der mit der Benennung des zweiten Randwertproblems geehrt wird, aber wie auf Seite 8 erw¨ ahnt, war es Franz Neumann, Carls Vater, der diese Aufgabe als erster in der Potentialtheorie formulierosung ein Analogon zur Greenschen Funktion aufstellte7 und zu ihrer L¨ te [233, S. 272]. (Diese Schrift fußt auf Vorlesungen von Franz Neumann aus den Jahren 1852/53 und 1856/57.) Carl Neumann war es, der erstmals ein gemischtes Randwertproblem (Dirichlet-Bedingung auf einem, NeumannBedingung auf einem anderen Teil des Randes) f¨ ur die Potentialgleichung behandelt hat [230]. Dieses Problem heißt heute vielfach Zaremba-Problem (nach [354]). Es sei noch erw¨ ahnt, daß es noch ein weiteres Randwertproblem + γ(x)u(x) auf dem Rande vorgegeben ist. F¨ ur dieses sind gibt, bei dem ∂u(x) ∂ν die Bezeichnungen Robinsche Randwertaufgabe oder drittes Randwertproblem gel¨ aufig [90, 91] .

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert Diese Randwertaufgabe hat Mathematiker w¨ ahrend des ganzen 19. Jahrhunderts und noch weit im 20. Jahrhundert herausgefordert. Poisson [266] hatte Integralformeln aufgestellt, die die L¨ osung darstellen, wenn Ω eine Kugel in R3 oder eine Kreisscheibe in R2 ist. Aber noch 50 Jahre später bedurften die Beweise der Nachbesserung durch H.A. Schwarz [302] . Es hatte Green [86] einen Ansatz gemacht, um solche Formeln f¨ ur allgemeinere Gebiete Ω = D zu bekommen. Er postulierte dabei zu jedem x ∈ D die Existenz einer Funktion, die er sich als elektrostatisches Potential dachte, das von einer in x ∈ D plazierten Einheitsladung und von einer solchen Ladungsverteilung (Influenzladung) auf ∂D ausgeht, welche von jener Einheitsladung induziert wird, wenn man ∂D erdet, also das Potential dort auf Null h¨ alt. Hier sieht man das Konzept der von C. Neumann [224] und im Buch von Riemann & Hattendorff [284] so benannten Greenschen Funktionen, deren Existenz man seinerzeit nur mit physikalischer Analogie begr¨ undete. Gauss unterstellte f¨ ur die Existenz eines derartigen Gleichgewichtspotentials, daß das Infimum des von ihm eingef¨ uhrten nichtnegativen Funktionals 7

Sie ergibt sich aus seiner großen Abhandlung [232, §§ 7, 8] und findet sich etwas sp¨ ater auch bei Thomson [323].

1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert

11

→ ∂D ∂D (x)(y) |x−y| dS(x) dS(y), wenn man alle stetigen Ladungsdichten bei fester Gesamtladung zur Konkurrenz zuläßt, ein Minimum : ∂D → R+ 0 sei; vgl. [81, Art. 29f]. Dirichlet hat in seinen Berliner [219, S. 603-605] und G¨ ottinger Vorlesungen [51], durch die von Gauss benutzte Charakterisierung der Gleichgewichtspotentiale beeinflußt, die Lösung der Randwert2 0 aufgabe darin gesehen, daß man unter allen Funktionen

u ∈ C 2(D) ∩ C (D) atte, die | grad u| dx dy dz am mit u|∂D = g die Existenz einer solchen h¨ D kleinsten macht, aber hier¨ uber selbst nichts publiziert. ¨ Ahnlich argumentieren schon vorher Green [87], Thomson [323] und bei einer verwandten Fragestellung Kirchhoff [139]. Dies ist das von B. Riemann [282] so genannte Dirichletsche Prinzip 8 . Daß dabei das Integral als Feldenergie gedeutet werden kann, trug dazu bei, die Existenz eines Minimums als gesichert anzusehen. ur das das Integral minimal Wenn wirklich ein solches u ∈ C 2 (D) existiert, f¨ ist, dann sieht man leicht Δu = 0 ein. Es w¨ are nämlich 2 |∇u| dx dy dz ≤ |∇(u + tφ)|2 dx dy dz D

D

f¨ ur alle t ∈ R und alle φ ∈ Cc∞ (D); eine simple Rechnung ergibt 2 ∇u · ∇φ dx dy dz + t |∇φ|2 dx dy dz 0 ≤ 2t D

D

f¨ ur alle t ∈ R. Dann muß aber ∇u · ∇φ dx dy dz = 0 D

f¨ ur alle φ ∈ Cc∞ (D) sein. Nimmt man Δu = 0 an, dann gibt es eine Kugel B ⊆ D, in der Δu > 0 oder Δu < 0 ist;

es gibt aber auch ein φ ∈ Cc∞ (B) ⊆ ∞ (Δu)φ dx dy dz > 0 bzw. < 0. Im Cc (D) mit φ ≥ 0 und φ = 0. Dann ist B Gegensatz dazu ist aber nach partieller Integration (siehe Bemerkung A.1) (Δu)φ dx dy dz = − ∇ u · ∇φ dx dy dz B

B

∇u · ∇φ dx dy dz = 0 .

=− D

Riemann [283] st¨ utzte seine Theorie der Abelschen Funktionen auf das Dirichletsche Prinzip, wobei das Randwertproblem in der Ebene, also D ⊆ R2 8

Vorher stand diese Benennung mehr f¨ ur die Eindeutigkeit der L¨ osung der Randwertaufgabe, nicht so sehr f¨ ur diese Methode zur Gewinnung einer L¨ osung, die auch das Thomsonsche Prinzip genannt wurde.

12


und nicht im Raume gestellt ist. Die Dirichletsche Randwertaufgabe, die zun¨ achst f¨ ur die Physik interessant gewesen war, hatte so auch innerhalb der Mathematik an Bedeutung gewonnen. Umso eher regten sich Zweifel an der Schl¨ ussigkeit des Dirichletschen Prinzips. Das fr¨ uheste datierbare Beispiel ist das des russischen Bergbauingenieurs Thieme (G.A. Time), der sich 1862 in Göttingen aufhielt, um bei Riemann Aufkl¨ arung u ¨ber dessen Theorie der Abelschen Funktionen zu erbitten [223, S. 247]. Kronecker nannte Casorati 1864 ein geometrisches Variationsproblem, das kein Minimum besitzt [222, S. 26]. ¨ Die schwelende Kritik hat Riemanns Uberzeugung von der Richtigkeit seiner mit dem Dirichletschen Prinzip begr¨ undeten funktionentheoretischen Sätze nicht ersch¨ uttert 9 . Erst drei Jahre nach Riemanns Tod erhärtete Weierstraß [334] die Einw¨ ande durch Publikation eines nach unten beschränkten Funktionals, das keine Minimumstelle in seinem Definitionsbereich hat. Da

| grad u|2 dx dy dz es sich aber nicht um das Dirichletfunktional φ : u → D handelte, blieb die Frage hierf¨ ur offen; immerhin war die Evidenz“ angeschla” gen, gleichzeitig die Argumentation von Gauss. Zuvor hatte H. Weber [333] den Versuch gemacht, eine konvergente Folge zu konstruieren, auf der das Dirichletsche Funktional gegen sein Infimum strebt. Methodisch kn¨ upft er an seine Arbeit [332] an, mit der die Zeitschrift Mathematische Annalen“ er¨ offnet wurde. ” Prym [270] kritisierte das Dirichletsche Prinzip unter einem anderen Gesichtspunkt als Weierstraß. Er zeigte, daß die Lösung des Dirichletproblems Δu = 0 in der Kreisscheibe D ⊆ R2 , u|∂D = g, nicht jeder stetigen

bei Randwertvorgabe g : ∂D → R endliches Dirichletintegral D u2x + u2y dx dy zu haben braucht, so daß sich die L¨ osung nicht f¨ ur jedes g aus dem Di” richletschen Prinzip“ ergeben kann. Heine [104] weist auf Annahmen beim ` [8] setzte seine Ergebnisse u Dirichletschen Prinzip hin. Arzela ¨ber Funktionenklassen f¨ ur den Versuch ein, das Dirichletsche Prinzip zu retten. Am Ende des 19. Jahrhunderts formulierte David Hilbert 10 : . . . Das Dirichletsche Prinzip fand nur noch historische W¨ urdigung und ” erschien jedenfalls als Mittel zur L¨ osung der Randwertaufgabe abgetan. Bedauernd spricht C. Neumann aus, daß das so sch¨ one und dereinst so viel benutzte Dirichletsche Prinzip jetzt wohl f¨ ur immer dahingesunken sei; nur A. Brill und M. Noether rufen neue Hoffnung in uns wach, indem sie der ¨ Uberzeugung Ausdruck geben, daß das Dirichletsche Prinzip, gewissermaßen der Natur nachgebildet, vielleicht in modifizierter Fassung einmal eine Wiederbelebung erf¨ ahrt.“(Bei den Arbeiten der zitierten Autoren handelt es sich um [228, p. 707], [29, p. 265].)

9 10

F. Klein [142, p. 264] zitierte hierzu Weierstraß. Hilbert [112] Vortrag mit dem Ziel einer Wiederbelebung des Dirichletschen Prinzips auf der Jahresversammlung 1899 der Deutschen MathematikerVereinigung in M¨ unchen.


13

Hilbert [113] 11 gelang dann der entscheidende Durchbruch zur Rehabilitation des Dirichletschen Prinzips, indem er, was Weber seinerzeit nicht gelungen war, konvergente Minimalfolgen erzeugen konnte und so die direkten Methoden der Variationsrechnung f¨ ur die Existenz eines Minimums vom Dirichletintegral einleitete. Diese Methoden haben zu der heute sehr weit ausur Randwertaufgaben gef¨ uhrt. Stillschweigend benutzte gebauten L2 -Theorie f¨ Hilbert, daß die Randvorgabe g : ∂D → R eine stetige Fortsetzung auf D mit endlichem Dirichletintegral besitzt. Hierauf hat Hadamard [94] mit einem ber¨ uhmt gewordenen Gegenbeispiel (siehe Aufgabe 3.20) hingewiesen; die fr¨ uhere Aussage von Prym zu diesem Thema war in Vergessenheit geraten. Eine Begr¨ undung des Gaußschen Minimumprinzips erfolgte erst 1935 durch O. Frostman [52, S. 802]. Inzwischen hatte die Weierstraßsche Kritik aber auch andere Ideen zur L¨ osung der Dirichletschen Randwertaufgabe gefördert. In erster Linie sind hier Hermann Amandus Schwarz und Carl Neumann zu nennen. H.A. Schwarz [300, 301] schloß an seinen Beweis der Poissonformel f¨ ur das Dirichletproblem in der Kreisscheibe (siehe Abschnitt 3.1) das alternierende Verfahren (Vorbild bei Murphy [212, p. 93 f.]) an, mit dem er aus der L¨ osbarkeit der Dirichletprobleme f¨ ur Gebiete D1 ⊂⊂ R2 und D2 ⊂⊂ R2 mit ankungen, die L¨ osbarkeit in D1 ∪ D2 mit einem D1 ∩ D2 = ∅, unter Einschr¨ Konvergenzprozess anging. So ließe sich aus der Lösbarkeit f¨ ur Kreisscheiben die L¨ osbarkeit z.B. f¨ ur von Kreisb¨ ogen berandete Gebiete der Ebene gewinur die funktionentheoretischen Bed¨ urfnisse nen. Die Beschr¨ ankung auf R2 war f¨ ausreichend. Die Idee ist, daß man zu dem vorgegebenen g : ∂(D1 ∪D2 ) → R ein stetiges ur Randdatum g1 : ∂D1 → R (beliebig) hinzudefiniert, aber mit g1 (x) = g(x) f¨ x∈ / D2 , und dann Δu1 = 0 in D1 , u1 |∂D1 = g1 löst. Sei D1 , falls i ungerade Di := , i = 1, 2, 3, . . . . D2 , falls i gerade und sei schon Δui = 0 in Di , ui |∂Di = gi , gelöst; dann definiert man gi+1 : ∂Di+1 → R durch g(x), falls x ∈ ∂Di+1 \Di , gi+1 (x) := ui (x), falls x ∈ (∂Di+1 ) ∩ Di und man l¨ ost Δui+1 = 0 in Di+1 , ui+1 |∂Di+1 = gi+1 . Man löst also abwechselnd in den Gebieten D1 und D2 Dirichletprobleme und erhält eine Folge (ui ), und es ist zu zeigen, daß die Teilfolge mit ungeraden Indizes in D1 gegen ein u ∈ C 2 (D1 ) ∩ C 0 (D1 ), die mit geraden Indizes in D2 gegen ein u ∈ C 2 (D2 ) ∩ C 0 (D2 ) konvergiert, und daß 11

Vortrag 1901 auf dem Festkolloquim zum 150j¨ ahrigen Bestehen der G¨ ottinger Gesellschaft der Wissenschaften.

14


u(x) :=

u (x) u (x)

f¨ ur x ∈ D1 f¨ ur x ∈ D2

wohldefiniert ist und das in D1 ∪ D2 gestellte Dirichletproblem löst. Zu diesem Zweck beachten wir Di+3 = Di+1 und bilden wir ui+3 − ui+1 , also die Differenz zweier aufeinanderfolgender Lösungen in Di+1 . Sie ist harmonisch in Di+1 und stetig in Di+1 mit Randwerten 0 f¨ ur x ∈ (∂Di+1 )\Di gi+3 (x) − gi+1 (x) = . ui+2 (x) − ui (x) f¨ ur x ∈ (∂Di+1 ) ∩ Di Nach dem Maximumprinzip (Korollar 2.3.5) folgt |ui+3 (x) − ui+1 (x)| ≤ sup |gi+3 − gi+1 | =

sup

|ui+2 − ui |

(1.5)

(∂Di+1 )∩Di

f¨ ur x ∈ Di+1 . Nunmehr wird von folgendem Lemma Gebrauch gemacht, das wir weiter unten noch diskutieren werden. Lemma: Es gibt eine Konstante 0 < q < 1, so daß alle in Di harmonischen atzung gen¨ ugen: v ∈ C 0 (Di ), die auf (∂Di )\Di+1 Null sind, folgender Absch¨ sup

|v| ≤ q sup |v| . ∂Di

(∂Di+1 )∩Di

Dieses Lemma wird auf (ui+2 − ui ) in (1.5) angewendet. Das ergibt |ui+3 (x) − ui+1 (x)| ≤ q sup |ui+2 − ui | f¨ ur x ∈ Di+1 . ∂Di

Mit der Setzung Mi := sup∂Di |ui+2 − ui | haben wir dann Mi+1 ≤ qMi , und ur i ∈ N mit 0 < q < 1. Daher konvergiert die Teilfolge somit Mi ≤ q i−1 M1 f¨ n mit ungeraden Indizes u2n+1 = u1 + i=1 (u2i+1 −u2i−1 ) gleichmäßig auf ∂D1 n−1 und die mit geraden Indizes u2n = u2 + i=1 (u2i+2 − u2i ) gleichmäßig auf ∂D2 . Der erste Harnacksche Satz (Korollar 3.1.3) liefert dann die gleichmäßige Konvergenz der Folge (u2n+1 ) in D1 und die von (u2n ) in D2 gegen stetige und in D1 bzw. D2 harmonische Funktionen u und u mit den richtigen Randwerten auf ∂(D1 ∪ D2 ). Schließlich stimmen u und u in D1 ∩ D2 u ¨berein, weil die Diffferenz aßig gegen Null geht. Dies wiederum wegen u2n − u2n−1 in D1 ∩ D2 gleichm¨ des ersten Harnackschen Satzes; denn auf dem Teil (∂D2 ) ∩ D1 des Randes ahrend auf dem restlichen Teil von D1 ∩ D2 ist u2n (x) − u2n−1 (x) = 0, w¨ ur x ∈ (∂D1 ) ∩ D2 die Abschätzung (∂D1 ) ∩ D2 wegen u2n (x) = u2n+1 (x) f¨ sup (∂D1 )∩D2

besteht.

|u2n − u2n−1 | = sup |u2n+1 − u2n−1 | = M2n−1 ≤ q 2n−2 M1 ∂D1


15

Zum Beweis des obigen Lemmas, den man auch in Lehrb¨ uchern der Funktionentheorie findet (z.B. [126, III.6]; man ziehe auch Bemerkung 3.5.6 heran), ben¨ otigt man eine Voraussetzung an den Rand. In beliebigen Dimensionen kann ein Beweis mit Hilfe eines Doppelschichtpotentials gef¨ uhrt werden [46, 267ff]. Man kann aber auch das Lemma vermeiden, indem man die ui als L¨ osungen von Integralgleichungen gewinnt [239]. Beides leitet u ¨ber zu einer weiteren L¨ osungsmethode. C. Neumann [225,226] setzte Untersuchungen von A. Beer [13] fort u ¨ber das schon bei Gauss und Green vorkommende, aber erst von Helmholtz [108] herausgehobene und benannte Doppelschichtpotential ∂ 1 1 dS(y) , x ∈ R3 , μ(y) W (x) := 2π ∂νy |x − y| ∂D

bei hinreichend glatt berandetem D ⊂⊂ R3 . aßt sich stetig auf D fortsetzen; allerdings, auf Es ist W |D harmonisch und l¨ ∂D stimmt die Fortsetzung nicht mit W |∂D u ¨berein, sondern mit −μ + W |∂D . Die Herleitung solcher Sprungrelationen erfordert eine sorgfältige Analyse, auf die wir uns nicht einlassen wollen. Die Aufgabe ist nun, μ so einzurichten, daß −μ + W |∂D mit dem vorgegebenen Randwert g : ∂D → R u ¨bereinstimmt. osung der Aufgabe bildete C. Neumann mit den Es sei μ1 := −g. Zur L¨ sukzessive definierten Doppelschichtpotentialen 1 ∂ 1 dS(y) , x ∈ R3 , μn (y) Wn (x) := 2π ∂νy |x − y| ∂D

μn+1 := −Wn |∂D , n = 1, 2, 3, . . . ∞ n die Reihe k=1 (W2k−1 − W2k ). Ihre Teilsumme k=1 (W2k−1 − W2k ) besitzt eine stetige Fortsetzung auf D. Diese stimmt wegen der Sprungrelation auf ∂D mit n

(−μ2k−1 + W2k−1 |∂D + μ2k − W2k |∂D ) =

k=1

n

(μ2k+1 − μ2k−1 ) = g + μ2n+1

k=1

u ¨berein. Wenn diese Folge von Randwerten gleichm¨ aßig konvergiert, konvergiert die Reihe nach dem ersten Harnackschen Satz (Korollar 3.1.3) gleichmäßig gegen ein stetiges U : D → R, das in D harmonisch ist. C. Neumann bemerkte, wenn D konvex ist, min μn ≤ min μn+1 ≤ max μn+1 ≤ max μn . Er entnahm dies einer Darstellung (siehe [136, Chap. III.7 und XI.1]) 1 W (x) = − μ ˜(x; ξ) dS(ξ) 2π Σ(x)

(1.6)

16


mit Σ(x) = {ξ ∈ RN : |ξ| = 1 und es existiert r > 0 mit x + rξ ∈ ∂D} und mit μ ˜(x; ξ) := μ(x + rξ), falls x + rξ ∈ ∂D, r > 0. Im Falle x ∈ ∂D ist 2π = vol Σ(x), und so erscheint −W (x) als Mittelwert von μ ˜ auf Σ(x). Daher sprach C. Neumann von der Methode der arithmetischen Mittel . Seine Methode enth¨ alt aber auch den Begriff einer Konfigurationskonstante: Während max μn+1 − min μn+1 ≤ max μn − min μn sofort aus (1.6) folgt, stellt C. Neumann [226] zu jedem Gebiet D aus einer großen Klasse konvexer Gebiete eine Konstante κ < 1 auf 12 , mit der max μn+1 − min μn+1 ≤ κ (max μn − min μn )

(1.7)

ist. Aus (1.6) und (1.7) folgt, daß die Folge der μn gleichmäßig gegen eine Konstante C konvergiert. Dann ist u := U − C Lösung des Dirichletproblems. Die Ergebnisse von Schwarz und C. Neumann waren willkommene St¨ utzen f¨ ur Riemanns Theorie. Vielmehr aber waren sie Anlaß zu weiteren ´, Lyapunov und FredEntwicklungen, in die zun¨ achst Robin 13 , Poincare holm eintraten. ´ [263], der bereits einen wiederum neuen Weg zur Lösung des Poincare Dirichletproblems er¨ offnet hatte, den wir weiter unten beschreiben, sah in Neumanns Methode mehr eine Handhabe f¨ ur die konstruktive Berechnung von L¨ osungen, nicht deren Existenzbeweis, und suchte diese Methode auf nichtkonvexe Gebiete auszudehnen, indem er Vorstellungen anwandte, die er beim Studium der schwingenden Membran entwickelt hatte [261]. Er konnte die Konvergenz von Neumanns Reihe aus dem Verhalten einer meromorphen Funktion des von ihm eingebrachten Parameters λ erschließen. Diese Betrachtung brachte Fredholm [71,72] zu seiner ber¨ uhmten Auflösungstheorie linearer Integralgleichungen, mit der sich heute das Dirichletproblem als ein u ¨berschaubares Integralgleichungsproblem darstellen läßt. Freilich, die zur¨ uckgewonnene Energie muß man in die Qualit¨ atsnachweise u ¨ber die Sprungrelationen stecken, und das ist ein langes Kapitel der Potentialtheorie, an dem noch bis zum ersten Drittel des 20. Jahrhunderts hart gearbeitet wurde. Wir werden diesen Pfad nicht betreten und verweisen auf Lehrb¨ ucher wie [66, 89, 154] und f¨ ur den neueren Stand der Dinge auf die Literatur in [315]. 12

13

Der Beweis von κ < 1 bei C. Neumann [226] ist angreifbar. Es werden Minimum und Infimum sogar im Bereich der Zahlen verwechselt,w¨ ahrend die Verwechslung beim Dirichletschen Prinzip bei Funktionalen auf Funktionenr¨ aumen geschehen war und den Anlaß zu Neumanns Arbeiten gegeben hatte. Obwohl C. Neumann [228, § 6] dies mit einem sch¨ onen Lehrbeispiel eingestanden und korrigiert hat, wurde nur die fehlerhafte, ¨ altere Version tradiert. Dies f¨ uhrte zu einer heftigen, aber auch konstruktiven Kritik bei Lebesgue [177] und zu einem Beweis bei Schober [298]. Die von Monna [209] geschilderte Comedy ” of Errors“ bekommt dadurch, daß C. Neumanns Verbesserung in Vergessenheit geriet, eine zus¨ atzliche Pointe. Zur G¨ ultigkeit von (1.7) aus heutiger Sicht siehe [315]. Robin behandelte das zweite und dritte Randwertproblem.


17

Die konstruktive Methode der arithmetischen Mittel blieb trotz der Be´, und anschließend von Korn und E.R. Neumann m¨ uhungen von Poincare (einem Neffen von Franz Neumann), am Ende des 19. Jahrhunderts in den Augen von C. Neumann [229] selbst ein vorl¨ aufiges Ger¨ ust“, welches durch ” tiefer gehende Forschungen, durch mancherlei Determinationen und Rec” tificationen, schließlich in ein wirklich festes Gebäude sich selbst verwandeln werde“. Eine abschließende Untersuchung von E.R. Neumann ist [231]. ´ [259, 260] bereits mit seiner Méthode de W¨ ahrenddessen hatte Poincare ” balayage“ einen neuen Weg zur L¨ osung des Dirichletschen Randwertproblems gebahnt, der eher die Richtung des alternierenden Verfahrens von Schwarz verfolgt. W¨ ahrend die N¨ aherungen un bei Schwarz und Neumann der Gleichung ugen und ihre Randwerte gegen die Vorgabe konvergieren, Δun = 0 gen¨ erf¨ ullen die Randwerte der un bei Poincarés Methode des Fegens (siehe [260] f¨ ur N = 3, [246] f¨ ur N = 2) stets die Randwertvorgabe, und es konvergiert ur n → ∞. Δun → 0 f¨ Das Gebiet D ⊂⊂ R2 wird mit einer Folge von sich teils u ¨berlappenullt, und eine weitgehend willk¨ urliche den Kreisscheiben B1 , B2 , B3 , . . . ausgef¨ Funktion f : D → R, die aber auf dem Rande ∂D mit dem Randdatum g u achst in der Kreisscheibe B1 nach Regeln der Poten¨bereinstimmt, wird zun¨ tialtheorie, die wir erst in Abschnitt 3.2 beschreiben werden, so zu f1 : D → R ur (x, y) ∈ D\B1 und Δf1 (x, y) = 0 f¨ ur abge¨ andert, daß f1 (x, y) = f (x, y) f¨ (x, y) ∈ B1 gilt. Sodann wird f1 in B2 in analoger Weise zu f2 : D → R abgeändert, dann f2 wieder in B1 zu f3 , f3 in B2 zu f4 , f4 in B3 zu f5 , f5 in B1 zu f6 , usw. Man durchl¨ auft die Kreisscheiben in der Abfolge 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, . . . . In physikalischer Interpretation denkt man sich f als Potential einer in D verteilten Masse, welche, soweit sie in B1 enthalten ist, an den Rand von B1 gefegt wird. Das geht, ohne das Potential f außerhalb von B1 zu a¨ndern, und macht Δf1 = 0 in B1 . Anschließend fegt man in B2 an den Rand von B2 , sodann wieder innerhalb B1 , usw. W¨ ahrend also f auf ∂D bei jedem Schritt des unendlichen Prozesses unge¨ andert bleibt, erh¨ alt man von Schritt zu Schritt eine neue stetige Fortsetzung von f |∂D auf D, die auf einem immer größeren Teilvolumen von D harmonisch ist. Die so konstruierte Folge (un ) konvergiert gegen eine in D harmonische Funktion u. Unter welchen Voraussetzungen sich u stetig auf D fortsetzen l¨ aßt und wann die Fortsetzung auf ∂D mit f u ¨bereinstimmt, muß dann nat¨ urlich auch noch untersucht werden. Wir verweisen auf [118]. Hieraus ist durch weitere Abstraktion der Existenzbeweis von Perron [248] hervorgegangen, den wir in den Abschnitten 3.3 und 3.6 ausf¨ uhrlich behandeln, und der ohne R¨ uckgriff auf die bis hier angesprochenen Verfahren dargestellt wird.

2 Die Laplacegleichung

L¨ osungen der Laplacegleichung werden durch die Mittelwerteigenschaft charakterisiert (Satz 2.1.1). Hieraus ergeben sich innere A-Priori-Abschätzungen (die S¨ atze 2.1.7 und 2.1.9) und Analytizit¨ at (Satz 2.4.4), ferner Liouville- und Harnackeigenschaft (Korollar 2.2.2 bzw. Satz 2.2.5) sowie ein starkes Minimumprinzip (Satz 2.3.1). Analoge Aussagen werden f¨ ur die Helmholtzsche Schwingungsgleichung erzielt. Aus einem schwachen Minimumprinzip (Sätze 2.3.4 und 2.6.1) werden A-Priori-Ungleichungen von Bernstein gefolgert (Lemmata 2.3.6 und 2.6.3), die sp¨ ater im Rahmen der Schauder-Theorie (Abschnitte 5.5–5.6 und Kapitel 8) verwendet werden. Das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) wird in den Abschnitten 3.6 und 4.4 herangezogen.

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft Eine reellwertige Funktion u, die auf einer offenen Teilmenge Ω ⊆ RN oder auf einer Ω umfassenden Teilmenge des RN definiert ist, heißt auf Ω harmonisch, ur x ∈ Ω ist. wenn1 u ∈ C 2 (Ω) und ux1 x1 (x) + ux2 x2 (x) + . . . + uxN xN (x) = 0 f¨ Statt auf Ω steht h¨ aufig auch in Ω. Die f¨ ur u geforderte Differentialgleichung ist die (N -dimensionale) Laplacegleichung in Analogie zu dem in Abschnitt 1.2 Gesagten, und sie wird oft Δu(x) = 0 geschrieben mit dem (N -dimensionalen) Laplaceoperator Δ=

∂2 ∂2 ∂2 + + . . . + . ∂x21 ∂x22 ∂x2N

Man schreibt auch Δx u(x) = 0 oder ΔN u = 0, um x = (x1 , . . . , xN ) gerecht zu werden. Das Symbol Δ geht auf Murphy [212, p. 140] zur¨ uck, der Terminus Laplaceoperator auf Maxwell [200], der das Symbol −∇2 statt Δ benutzte2 . 1 2

Die Aussage u ∈ C 2 (Ω) ist nat¨ urlich durch u|Ω ∈ C 2 (Ω) zu interpretieren. Das Minuszeichen r¨ uhrt von einer Quaternionenmultiplikation her. Man vergleiche die Bemerkungen auf S. 188 von [142].


20


Thomson [324] nannte homogene Funktionen auf R3 , die der Laplacegleichung gen¨ ugen, spherical harmonics, womit er sie als räumliche Analoga zu den Kreisfunktionen cos, sin angesprochen haben d¨ urfte. Noch heute ist spherical harmonics die englische Benennung der Kugelfunktionen. In Anlehnung daran hat C. Neumann [227, p. 390] das Wort harmonisch eingef¨ uhrt. Er w¨ ahlte es zur Bezeichnung von Funktionen, die etwas allgemeiner als die in der uhrten obigen Definition sind 3 . Beispielsweise sind die in der Einleitung eingef¨ Potentiale des Gravitationsfeldes und des elektrostatischen Feldes auf massebzw. ladungsfreien Gebieten des R3 harmonisch. Wir weisen aber auch auf die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen der Funktionentheorie hin, wonach Real- und Imagin¨ arteil einer jeden auf einem Gebiet Ω ⊆ C holomorphen Funktion harmonisch sind. Wegen z n = (x + iy)n = rn (cos nφ + i sin nφ) definieren die Zuordnungen R2 (x, y) → rn cos nφ und R2 (x, y) → rn sin nφ, wobei (r, φ) die Polarkoordinaten von (x, y) sind, zwei harmonische Polynome u(x, y) bzw. v(x, y) auf R2 vom Grade n. Dies kann man auch ohne Benutzung komplexer Zahlen beweisen, wenn man die trigonometrischen Additionstheoreme im Reellen kennt (siehe Aufgabe 2.1). Diese Beipiele zeigen schon, daß die L¨ osungsmenge der partiellen Differentialgleichung Δu = 0, sogar in eialtiger ist als die L¨ osungsmenge der entsprechenden ner Kugel des RN , vielf¨ gew¨ ohnlichen Differentialgleichung u = 0 in einer Kugel des R1 (Intervall!), wo notwendig u(t) = at + b ist. Der Leser, welcher das Poissonintegral als Quelle aller Aussagen u ¨ber harmonische Funktionen zu haben w¨ unscht, kann an dieser Stelle direkt zum Abschnitt 3.2 u osung des Dirichletproblems ¨bergehen. Dort wird die L¨ −Δu = 0 in B , u|∂B = g f¨ ur Kugeln B ⊆ RN explizit angegeben. Der dort gegebene Beweis ist besonders einfach, weil er die Hilfsformel 1 R2 − |x|2 dS(y) = 1 RωN |y − x|N |y|=1

nicht u ¨ber die sonst u ¨blichen Greenschen Umformungen mit einer Grundlösung gewinnt, die am Rande der Kugel verschwindet. Vielmehr werden nur die Kugelsymmetrie und das schwache Minimumprinzip herangezogen, das in Satz 2.3.4 bewiesen ist. In Bemerkung 3.2.4 wird dann erläutert, wie man das Poissonintegral einsetzt, um Aussagen u ¨ber die Mittelwerteigenschaft oder z.B. auch die Analytizit¨ at harmonischer Funktionen bequem zu beweisen. Ein derartiger Zugang zur Mittelwerteigenschaft und zu den u ¨brigen lokalen Eigenschaften harmonischer Funktionen muß sich aber den Einwand 3

Hingegen benutzte Harnack [96], auch in Leipzig, harmonisch etwas enger als in obiger Definition. Jules Riemann [285] definiert harmonisch wie oben. Man vgl. auch die Bemerkung auf S. 300.

2.1 Harmonische Funktionen und Mittelwerteigenschaft

21

gefallen lassen, daß er innere Eigenschaften erst u ¨ber die Lösung eines Randwertproblems (Poissonintegral) zug¨ anglich macht. Daß dies nicht sachgerecht ist, wenn man die Theorie elliptischer Differentialgleichungen im Auge hat, erkennt man schon an der Gleichung −Δu + λu = 0 , f¨ ur die es kein Analogon zum Poissonintegral gibt; wohl aber ist es mit den im folgenden entwickelten Methoden m¨ oglich, ihre Lösungen u durch eine Mittelwerteigenschaft zu charakterisieren und andere innere Eigenschaften wie die Harnackungleichung oder u ∈ C ∞ oder die lokale Entwickelbarkeit in Potenzreihen zu beweisen, ferner, daß der lokal gleichmäßige Limes von Lösungen wieder L¨ osung ist; vgl. die Bemerkungen 2.5.1 und 2.5.3 sowie die Aufgabe 2.13. Hierzu lese man auch das einleitend in Abschnitt 9.2 Gesagte. ullt Die affine Funktion u(t) = at + b auf R1 erf¨ t+s u(t) + u(s) u = ; 2 2 ihr Wert in der Mitte eines Intervalls ist das Mittel ihrer Werte an den Intervallenden. Entsprechendes gilt f¨ ur die affine Funktion u(x) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + amlich aN xN + b auf RN ; n¨ 1 u(x) dS(x) , (2.1) u(x0 ) = N −1 r ωN |x−x0 |=r

was ausdr¨ uckt, daß der Wert von u im Zentrum einer Kugel gleich dem Integralmittel der Werte von u, genommen u ¨ber die Oberfläche der Kugel, ist. Das ist plausibel, weil die Restriktion von u auf einen Durchmesser eine affine Funktion auf R1 ist und weil wir von einer solchen Funktion wissen, daß das arithmetische Mittel von zwei Werten in antipodischen Punkten gerade den Wert im Zentrum ergibt. Es folgt unmittelbar aus dem Gaußschen Integralsatz f¨ ur die Kugel (siehe Lemma B.7), daß jede in Ω ⊆ RN harmonische Funktion diese Mittelwerteigenschaft besitzt, solange man die Mittelung u ¨ber Kugeln BR (x0 ) ⊂⊂ Ω bildet. Daß Potentiale im Sinne von Abschnitt 1.1 außerhalb der Masseverteilung die Mittelwerteigenschaft haben, wurde zuerst von Gauss [81] bewiesen. B. Riemann [280] bewies die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen f¨ ur N = 2. In diesem Fall kann (2.1) auch als Spezialfall der Cauchyschen Integralformel f¨ ur holomorphe Funktionen angesehen werden; vgl. [278]. Daß stetige Funktionen mit Mittelwerteigenschaft bereits harmonisch sind, wird ebenfalls durch Lemma B.7 nahegelegt. Diese Richtung des folgenden ˆ cher [20]. Satzes stammt von Koebe [143]; siehe auch Bo Satz 2.1.1. Es sei Ω ⊆ RN offen und u : Ω → R. Dann sind äquivalent:

22


(i) u ist auf Ω harmonisch. ur jedes (ii) u hat die Mittelwerteigenschaft auf Ω, d.h. u ∈ C 0 (Ω) und f¨ x ∈ Ω und jedes r > 0 mit Br (x) := {y ∈ RN : |y − x| < r} ⊂⊂ Ω ist 1 u(x) = N −1 u(y) dS(y) (Mittelwertrelation). r ωN |y−x|=r

(iii) u ∈ C 0 (Ω) und 4 (u(x) − u(y)) dy = 0

f¨ ur alle Br (x) ⊂⊂ Ω .

|y−x|≤r

Bemerkung 2.1.2. Man nennt die in (iii) ausgedr¨ uckte Eigenschaft auch die zweite Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen. Dies ist f¨ ur das Zitieren bequem. Es darf aber nicht dahin mißverstanden werden, als liefere die zweite Mittelwerteigenschaft eine wesentlich neue Information. Vielmehr zeigt ja gerade der Satz, daß es sich um eine mit der Mittelwerteigenschaft a ¨quivalente Eigenschaft handelt. Beweis von Satz 2.1.1. (i) ⇒ (ii): Dies ist wegen u ∈ C 2 (Ω) und Δu(x) = 0 in Ω eine unmittelbare Konsequenz aus dem zum Gaußschen Integralsatz geh¨ origen Lemma B.7. (ii) ⇒ (iii): Nach Multiplikation der Mittelwertrelation mit ωN rN −1 und Integration erh¨ alt man r r u(x)ωN sN −1 ds = u(y) dS(y) ds , 0

0

mithin u(x) Da

1 N N ωN r

ωN rN = N

|y−x|=s

u(y) dy . |y−x|≤r

gerade das Volumen der Kugel Br (x) darstellt, folgt (u(x) − u(y)) dy = 0 |y−x|≤r

f¨ ur Br (x) ⊂⊂ Ω. (iii) ⇒ (ii): Dies folgt aus d (u(x) − u(y)) dy = (u(x) − u(y)) dS(y) 0= dr |y−x|≤r |y−x|=r = u(x)ωN rN −1 − u(y) dS(y) . |y−x|=r

4

F¨ ur weitergehende Aussagen vgl. Aufgaben 3.3 und 3.8 sowie Satz 3.3.12.


23

¨ (ii) ⇒ (i): Das ist der letzte Teil des Aquivalenzbeweises. Zunächst beweisen wir eine bemerkenswerte Regularit¨ atsaussage, nämlich u ∈ C ∞ (Ω). Dazu ur k = 0 zutrifft, und Dk bezeichne eine parsei schon u ∈ C k (Ω) richtig, was f¨ tielle Ableitung der Ordnung k, wobei wir D0 u = u setzen. Aus (ii) folgt (iii) und somit gilt bei beliebig kleinem r > 0 f¨ ur x ∈ Ωr := {y ∈ Ω : Br (y) ⊂⊂ Ω} die Gleichung (s. Satz A.5) N N k k D u(y) dy = D u(x + z) dz Dk u(x) = ωn r N ωN r N |y−x|≤r

=

N ωN r N

|z|≤r

Dk u(y) dy . |y−x|≤r

Wegen der Stetigkeit des Integranden in Ω ergibt Satz B.8, daß Dk u ∈ C 1 (Ωr ), also u ∈ C k+1 (Ωr ) ist. Da zu jedem x ∈ Ω ein r > 0 existiert mit x ∈ Ωr , folgt u ∈ C k+1 (Ω). Mithin haben wir induktiv gezeigt, daß u ∈ C ∞ (Ω). Da nun u ∈ C 2 (Ω) ist, bilden wir Δu und nehmen an, es gäbe eine Stelle x0 ∈ Ω ankung der Allgemeinheit sei (Δu)(x0 ) > 0. mit (Δu)(x0 ) = 0. Ohne Einschr¨ Wegen der Stetigkeit von Δu auf der offenen Menge Ω existiert eine Kugel are Br (x0 ) ⊂⊂ Ω, auf der Δu > 0 ist; also w¨ 0< Δu(x) dx f¨ ur 0 < < r |x−x0 |<

und dann nach dem Lemma B.7 1 u(x0 ) < ωN rN −1

u(x) dS(x) , |x−x0 |=r

was der Mittelwerteigenschaft widerspricht.

Korollar 2.1.3. Harmonische Funktionen sind beliebig oft differenzierbar. Mit u ist auch uxi auf Ω harmonisch. Beweis. Die Harmonizit¨ at ist mit der in Satz 2.1.1 aufgef¨ uhrten Eigenschaft (iii) a quivalent, und es wurde im vorigen Beweis gezeigt, daß aus (iii) die ¨ ∂ Δu(x) = 0 trivial. C ∞ -Eigenschaft folgt. Sodann ist Δuxi (x) = ∂x i Bemerkung 2.1.4. In Abschnitt 2.4 wird gezeigt, daß harmonische Funktionen sogar reell-analytisch, d.h. lokal in Potenzreihen entwickelbar sind. Wenn man den in der Kapiteleinleitung beschriebenen Weg u ¨ber das Poissonintegral aus Abschnitt 3.2 eingeschlagen hat, weiß man schon, daß harmonische Funktionen reell-analytisch sind; siehe Bemerkung 3.2.4. Bemerkung 2.1.5. Die im Beweis von Satz 2.1.1 eingef¨ uhrten Mengen Ωr enthalten gerade diejenigen Punkte aus Ω, deren Abstand vom Rand ∂Ω

24


größer als r ist. Den Abstandsbegriff definieren wir hierzu f¨ ur x ∈ RN und N A ⊆ R durch dist(x, A) := inf{|x − a| : a ∈ A} , wobei wir gem¨ aß der u ¨blichen Konvention dist(x, ∅) = inf ∅ = +∞ setzen. Die folgenden Beobachtungen a)–c) sind elementarer Natur und werden dem ¨ Leser zur Ubung u ¨berlassen (s. Aufgabe 2.3). a) Im Falle A = ∅ gilt | dist(x, A)−dist(y, A)| ≤ |x−y|, woraus unmittelbar die Stetigkeit von dist(·, A) folgt. Wir definieren weiter f¨ ur Teilmengen A, B des RN den Abstand dist(B, A) := inf{dist(b, A) : b ∈ B} . Ist dist(B, A) > 0, so sind A und B offensichtlich disjunkt. N¨ utzlich ist die Umkehrung dieser Aussage, die jedoch nur eingeschränkt g¨ ultig ist. b) Ist A ⊆ RN abgeschlossen, B ⊆ RN kompakt und gilt A ∩ B = ∅, so ist dist(B, A) > 0. Man kann die Aussagen a) und b) verwenden, um folgendes zu beweisen: c) F¨ ur U ⊂⊂ V ⊆ RN existiert W ⊆ RN mit U ⊂⊂ W ⊂⊂ V . Hinweis: U ⊂⊂ V impliziert definitionsgemäß U ⊆ V und die Offenheit von V . Also sind U und ∂V disjunkt, und somit gilt δ := dist(U , ∂V ) > 0. F¨ ur 0 < < δ ist W := {x ∈ RN : dist(x, U ) < } wegen a) offen, und es gilt U ⊆ W und W ⊆ V . Der folgende Satz ist ein klassisches Theorem u ¨ber harmonische Funktionen. Satz 2.1.6 (Der lokale Teil des ersten Harnackschen Satzes). 5 Es sei Ω ⊆ RN offen, und (un ) sei eine Folge von auf Ω harmonischen Funktionen, die lokal gleichmäßig konvergiert, d.h. die auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichmäßig u : Ω → R, die konvergiert. Dann konvergiert (un ) auf Ω gegen eine Funktion auf Ω harmonisch ist. Jede abgeleitete Folge Dk un konvergiert auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichmäßig gegen Dk u, wobei Dk eine beliebige partielle Ableitung der Ordnung k bezeichne. Beweis. Daß (un ) auf Ω einen Limes u hat, ist trivial. Da Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist, folgt die Stetigkeit von u daraus, daß die stetigen Funktionen 5

Der erste Harnacksche Satz wird als Korollar 3.1.3 auftreten. Er wird auch Konvergenzsatz von Weierstraß genannt, weil Weierstrass den entsprechenden Satz f¨ ur analytische Funktionen bewiesen hatte; jedoch nutzte Weierstraß die Potenzreihenentwicklungen der analytischen Funktionen, w¨ ahrend Harnack [96] bei den harmonischen Funktionen mit der Mittelwerteigenschaft auskam. Diese dem Riemannschen Aspekt der Funktionentheorie n¨ aherliegende Schlußweise wurde ´ f¨ dann von Painleve ur einen potenzreihenfreien Beweis des funktionentheoretischen Weierstraßschen Satzes genutzt; vgl. [278].


25

un auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ aßig gegen u konvergieren. Nach Satz 2.1.1 besteht mit jeder Kugel Br (x) ⊂⊂ Ω die Mittelwertrelation (un (y) − un (x)) dy = 0 . |y−x|≤r

Sie u agt sich wegen der gleichm¨ aßigen Konvergenz auf u. Daher ist u ¨bertr¨ nach Satz 2.1.1 auf Ω harmonisch; nach Korollar 2.1.3 ist u ∈ C ∞ (Ω). Es sei Dk eine partielle Differentiation der Ordnung k, und es sei die Folge k aßig konvergent, was f¨ ur D0 un := un der (D un ) auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ Fall ist. Es sei nun Ω ⊂⊂ Ω0 ⊂⊂ Ω (vgl. Bemerkung 2.1.5). Nach der zweiten Mittelwerteigenschaft ist N k Dk un (y) dy f¨ ur x ∈ Ω mit r = dist(Ω , ∂Ω0 ) , D un (x) = N r ωN Br (x)

und nach Satz B.8 gilt N ∂ k D un (x) = N ∂xi r ωN

Dk un (y)νi (y) dS(y)

f¨ ur x ∈ Ω .

∂Br (x)

Die gleichm¨ aßige Konvergenz der Folge (Dk un ) in Ω0 ⊂⊂ Ω u ¨berträgt sich ∂ k k+1 D u ) in Ω . Mithin ist (D u ) auf Ω ⊂⊂ Ω daher auf die Folge ( ∂x n n i gleichm¨ aßig konvergent. Der Rest ist klassische Analysis (s. Satz A.5). Der folgende Satz gibt eine innere A-Priori-Abschätzung f¨ ur die ersten Ableitungen harmonischer Funktionen. Sie wird f¨ ur solche Punkte x, die nahe am Rande von Ω liegen, schlecht, ist also nur im Inneren von Ω sinnvoll. Nat¨ urlich lassen sich die Ableitungen jeder C 1 (Ω)-Funktion im Inneren von atzen. Das Besondere ist aber hier, daß Ω, sagen wir in Ω0 ⊂⊂ Ω, absch¨ die in der Absch¨ atzung auftretenden Konstanten nicht von der individuellen harmonischen Funktion u abh¨ angen, sondern nur von deren Schranken m und M . Es l¨ aßt sich a priori (d.h. von vornherein) eine Schranke f¨ ur uxi (x) angeben, ganz gleich, um welche in Ω harmonische Funktion u mit m ≤ u ≤ M es sich handelt. Satz 2.1.7. Es sei Ω ⊆ RN offen, und es sei −∞ < m < M < ∞. Dann ist |uxi (x)| ≤

N (M − m) 2r

f¨ ur alle i = 1, . . . , N , Br (x) ⊂⊂ Ω und f¨ ur alle auf Ω harmonischen u mit m ≤ u ≤ M . Insbesondere gilt im Falle ∂Ω = ∅ f¨ ur alle x ∈ Ω |uxi (x)| ≤

N (M − m) . 2 dist(x, ∂Ω)

26


M −m Beweis. Es sei w(x) := u(x) − m+M 2 . Dann ist |w(x)| ≤ 2 , und die Ableitungen von u und w stimmen miteinander u ¨berein. Nach Korollar 2.1.3 ist wxi auf Ω harmonisch, daher nach der 2. Mittelwerteigenschaft N wxi (x) = wx (y) dy , ωN rN |y−x|≤r i

wenn Br (x) ⊂⊂ Ω, aufgrund des Gaußschen Integralsatzes B.5 also N yi − xi dS(y) |uxi (x)| = |wxi (x)| = w(y) ωN rN |y−x|=r |y − x| ≤

N ωN r N

|y−x|=r

(2.2)

M −m dS(y) . 2

Bemerkung 2.1.8. Tats¨ achlich gilt sogar eine leicht allgemeinere Aussage, von der wir sp¨ ater, z.B. in Abschnitt 2.5, Gebrauch machen werden: Es sei Ω ⊆ RN offen, −∞ < m < M < ∞ und A > 0. Dann ist |uxi (x)| ≤

A (M − m) 2r

f¨ ur i = 1, . . . , N sowie f¨ ur alle u ∈ C 1 (Ω) mit m ≤ u ≤ M und A |uxi (x)| ≤ u (y) dy x wN rN |y−x|≤r i f¨ ur Br (x) ⊂⊂ Ω. Zum Beweis hat man nur zu beachten, daß nunmehr in (2.2) ≤“ und im ” Z¨ ahler A anstelle von N steht. Satz 2.1.9. Es sei Ω ⊆ RN offen und U eine Menge von auf Ω harmonischen Funktionen, die auf Ω gleichgradig beschr¨ ankt sind, d.h. es gibt M > 0 mit dem |u(x)| ≤ M f¨ ur alle x ∈ Ω und alle u ∈ U ist. Es sei Ω ⊂⊂ Ω. Dann aßig stetig, d.h. zu > 0 gibt es sind die u ∈ U auf Ω gleichgradig gleichm¨ ur alle x , x ∈ Ω mit |x − x | < δ und alle δ > 0, so daß |u(x ) − u(x )| < f¨ u ∈ U . Mehr noch: Zu Ω gibt es eine Konstante L, so daß |u(x ) − u(x )| ≤ ur alle x , x ∈ Ω . LM |x − x | f¨ Beweis. Es gen¨ ugt, die letzte Absch¨ atzung zu beweisen. Es sei Ω ⊂⊂ Ω und ur x, y ∈ Ω mit |x − y| ≥ R/2 ist 0 < R < dist(Ω , ∂Ω). F¨ |u(x) − u(y)| ≤ 2M ≤

4M |x − y| . R

(2.3)

F¨ ur x, y ∈ Ω mit |x − y| < R/2 ist y ∈ BR/2 (x) ⊆ Ω, und weil u ∈ C 1 (Ω) ist, besteht nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die Abschätzung


27

|u(x) − u(y)| ≤ |x − y| |∇u(x∗ )| mit geeignetem x∗ ∈ BR/2 (x). Nach Satz 2.1.7 ur x, y ∈ Ω mit |x − y| < R/2 ist dann ist |uxi (x∗ )| ≤ N R 2M . F¨ √ 2N N M |x − y| . |u(x) − u(y)| ≤ R Die Behauptung ergibt sich somit aus (2.3) und (2.4).

(2.4)

Satz 2.1.10 (Der Kompaktheitssatz). Sei Ω ⊆ RN offen. Jede beschränkalt eine Teilfolge, te Folge (un ) von auf Ω harmonischen Funktionen un enth¨ die in Ω lokal gleichm¨ aßig gegen eine auf Ω harmonische Funktion u konvergiert. Alle Ableitungen dieser Teilfolge konvergieren lokal gleichm¨ aßig gegen die entsprechenden Ableitungen von u. Beweis. Wir sch¨ opfen Ω durch eine aufsteigende Folge Ω1 ⊂⊂ Ω2 ⊂⊂ . . . ⊂⊂ Ω von beschr¨ ankten, offenen Mengen Ωn := {x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) < 1/n und |x| < n} aus. Aussch¨ opfen bedeutet, daß es zu jedem kompakten K ⊆ Ω ein Ωi gibt ankt und nach Satz 2.1.9 auf Ω1 gleichmit K ⊆ Ωi . Die Folge (un ) ist beschr¨ gradig gleichm¨ aßig stetig. Nach dem Satz von Arzelà und Ascoli enthält sie aßig konvergiert 6 . Diese braucht nicht eine Teilfolge (u1,n ), die auf Ω1 gleichm¨ alt aber ihrerseits eine auf Ω2 gleichmäßig konverauf Ω2 zu konvergieren, enth¨ alt eine Folge von Folgen, bei der jede eine gente Teilfolge (u2,n ), usw. Man erh¨ Teilfolge der vorangehenden ist; die j-te Folge konvergiert auf Ωj gleichmäßig. Die Diagonalfolge v1 , v2 , . . ., bei der vk := uk,k das k-te Glied aus der kaßig; denn vj , vj+1 , vj+2 , . . . ist ten Folge ist, konvergiert auf jedem Ωj gleichm¨ eine Teilfolge der j-ten Folge. Die Diagonalfolge konvergiert dann aber auch aßig; denn Ω ist in einem Ωj enthalten. Sie ist auf jedem Ω ⊂⊂ Ω gleichm¨ eine Teilfolge von (un ), die nach Satz 2.1.6 die behaupteten Eigenschaften hat. Bemerkung 2.1.11. Der Kompaktheitssatz behauptet nicht, daß eine Teilfolge existiert, die am Rande von Ω konvergiert. Auch dann nicht, wenn die Folge (un ) aus Funktionen besteht, die auf Ω harmonisch und auf Ω stetig sind; insbesondere braucht die Grenzfunktion nicht stetig auf Ω fortsetzbar zu sein.

6

Beweis z.B. in [289, p. 394]. Dieser Satz ist der Kern fast aller Kompaktheitsaussagen in Funktionenr¨ aumen. F¨ ur weitere (auch historische) Bez¨ uge sei auf [278] verwiesen.

28


2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft In der Funktionentheorie bewies Liouville f¨ ur doppeltperiodische Funktionen (und dann sp¨ ater Cauchy f¨ ur in ganz C holomorphe Funktionen) deren Konstanz, wenn sie beschr¨ ankt sind. Siehe hierzu [278]. Wenn sich ¨ ahnliche Aussagen u osungen einer Differentialgleichung ¨ber L¨ machen lassen, nennt man sie Aussagen vom Liouvilleschen Typ, oder sogar Liouvilles¨ atze. Ein solcher Satz u ¨ber harmonische Funktionen wurde zuerst von H.A. Schwarz [302] bewiesen, dort in § 12. Wie auch später bei Harnack [97] war die Darstellung harmonischer Funktionen durch das Poissonintegral (vgl. Abschnitt 3.2) f¨ ur den Beweis wichtig. Man gewann bei harmonischen Funktionen den Satz vom Liouvilleschen Typ aus der Harnackungleichung (siehe Aufgabe 3.5). ˆ cher [19] untersuchte, wie sich harmonische Funktionen mit isolierten Bo Singularit¨ aten verhalten (siehe Satz 5.2.1), und folgerte mittels der Kelvintransformation (Abschnitt 3.6), daß auch nur einseitig beschränkte, u ¨berall harmonische Funktionen konstant sind. Diese Aussage wird u ¨blicherweise nach Picard benannt, der in [252], obwohl er Beschränktheit fordert, eine Variante des Poissonintegrals verwendet, die mit der einseitigen Beschränktheit auskommt. Selbst diese Fassung des Liouvilleschen Satzes ergibt sich leicht aus der Harnackungleichung. Man kann sie aber noch niedriger ansiedeln, sie folgt direkt aus der Mittelwerteigenschaft. Ebenso einfach werden wir eine Harnackabsch¨ atzung aus der Mittelwerteigenschaft ableiten. So gewinnen wir auch diese inneren Eigenschaften harmonischer Funktionen bereits auf dem Niveau von Satz 2.1.1. Satz 2.2.1. Es sei Ω ⊆ RN offen und u auf Ω harmonisch und nichtnegativ; ferner x , x ∈ Ω und d := |x − x |. Dann gilt u(x ) ≤

1+

d r

N

u(x )

(2.5)

f¨ ur alle r > 0 mit Bd+r (x ) ⊂⊂ Ω. Beweis. Wegen Br (x ) ⊆ Bd+r (x ) und u ≥ 0 haben wir aufgrund der zweiten Mittelwerteigenschaft (d + r)N rN ωN u(x ) = ωN u(x ) . u(y) dy ≤ u(y) dy = N N Br (x )

Bd+r (x )

Dieser etwas technisch anmutende Satz hat eine Reihe bedeutender Anwendungen, die wir im Folgenden angeben werden. Zu diesen gehören auch der zweite Harnacksche Satz und eine Harnackabschätzung (siehe Sätze 2.2.4 und

2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft

29

2.2.5). Gew¨ ohnlich beweist man diese beiden S¨ atze auf dem längeren Weg u ¨ber die klassische Harnackungleichung (siehe Aufgabe 3.5), welche Harnack [97] aus der Poissonintegraldarstellung harmonischer Funktionen ableitete. ankte FunktiKorollar 2.2.2. Jede auf RN harmonische und einseitig beschr¨ on w ist konstant. Beweis. Wir d¨ urfen w ≥ c annehmen. Dann ist u := w − c auf RN harmonisch und ≥ 0, erf¨ ullt also (2.5). F¨ ur r → ∞ ergibt sich u(x ) ≤ u(x ). Da die Rei henfolge der Punkte x , x nicht ausgezeichnet war, ist das die Behauptung. Korollar 2.2.3. Jede auf BR (x0 ) ⊆ RN nichtnegative harmonische Funktion ur alle x , x ∈ BR/4 (x0 ). erf¨ ullt u(x ) ≤ 3N u(x ) f¨ Beweis. In (2.5) ist d < ahlen. r = R4 w¨

R 2,

und wegen B3R/4 (x ) ⊂⊂ BR (x0 ) können wir

Satz 2.2.4 (Der zweite Harnacksche Satz). 7 Es sei Ω ⊆ RN offen und zusammenh¨ angend, und (un ) sei eine Folge von auf Ω harmonischen Funktionen, die auf Ω monoton f¨ allt (d.h. un ≥ un+1 ). Dann ist entweder ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert (un ) auf Ω gegen limn→∞ un (x) = −∞ f¨ eine auf Ω harmonische Funktion, und zwar gleichmäßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω. Beweis. Da die Folge (un ) monoton f¨ allt, ist bei festem x ∈ Ω entweder lim un (x) = −∞, oder es existiert lim un (x) > −∞. Daher ist Ω die Vereinigung der zwei disjunkten Mengen Ωdiv := {x ∈ Ω : lim un (x) = −∞} und Ωkonv := {x ∈ Ω : lim un (x) > −∞}. Wegen des Zusammenhangs von Ω ist eine der beiden Mengen Ωdiv und Ωkonv leer, sobald wir wissen, daß beide offen sind. Es sei x0 ∈ Ωkonv und BR (x0 ) ⊆ Ω. Wegen der Monotonie der ur m < n. Korollar 2.2.3 liefert somit f¨ ur alle Folge (un ) gilt um − un ≥ 0 f¨ atzung x ∈ BR/4 (x0 ) und alle m < n die Absch¨ 0 ≤ (um (x) − un (x)) ≤ 3N (um (x0 ) − un (x0 )) .

(2.6)

Daher ist BR/4 (x0 ) ⊆ Ωkonv , wenn x0 ∈ Ωkonv und BR (x0 ) ⊆ Ω. Also ist Ωkonv offen. Es werde nun angenommen, daß Ωdiv nicht offen sei. Dann gibt es ein ahe ein Punkt x0 ∈ Ωkonv liegt. Wähle R > 0 mit x ∈ Ωdiv , so daß in jeder N¨ B2R (x) ⊆ Ω und x0 ∈ Ωkonv mit |x − x0 | =: d < R4 . Dann ist BR (x0 ) ⊆ Ω, und nach der vorigen Argumentation ist x ∈ Ωkonv . Dieser Widerspruch zeigt, daß auch Ωdiv offen ist. ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert Daher ist entweder lim un (x) = −∞ f¨ die Folge (un ) in Ω, und zwar wegen (2.6) lokal gleichmäßig. Da sich jedes 7

Der sogenannte erste Harnacksche Satz ist Korollar 3.1.3. Harnack [96] hat den fundamtentalen Charakter dieser S¨ atze, die schon in Schl¨ ussen bei C. Neumann und H.A. Schwarz verborgen waren, herausgestellt und sie explizit bewiesen.

30


Ω ⊂⊂ Ω durch endlichviele Kugeln B ⊆ Ω u ¨berdecken läßt, haben wir gleichm¨ aßige Konvergenz auf jedem Ω ⊂⊂ Ω. Nach dem lokalen Teil des ersten Harnackschen Satzes 2.1.6 konvergiert (un ) auf Ω gegen eine auf Ω harmonische Funktion. Satz 2.2.5 (Harnackabsch¨ atzung harmonischer Funktionen u ≥ 0). Zu offenem Ω ⊆ RN und zusammenhängendem Ω0 ⊂⊂ Ω gibt es c0 > 1, so daß alle in Ω nichtnegativen harmonischen u die Ungleichung u(x) ≤ c0 u(y)

f¨ ur alle x, y ∈ Ω0

erf¨ ullen. Beweis. F¨ ur Ω0 ⊂⊂ Ω ist dist(Ω0 , ∂Ω) > 0 oder = ∞. Im ersten Fall setzen wir d := dist(Ω0 , ∂Ω), sonst d := 1. Nach dem Satz von Heine und Borel gibt es ein System S := {Bd/4 (x1 ), . . . , Bd/4 (xn )} von endlichvielen Kugeln Bd/4 (xi ) vom Radius d/4 und mit Mittelpunkten xi ∈ Ω0 , deren Vereinigung Ω0 u ¨berdeckt. Ihre minimale Anzahl n ist allein durch d und Ω0 , also allein durch Ω und Ω0 bestimmt. Je zwei Punkte x , x ∈ Ω0 lassen sich, wie wir zeigen werden, mit einer Kugelkette verbinden, die aus m ≤ n Kugeln des Systems S besteht, d.h. zu x , x ∈ Ω0 gibt es ein m-Tupel (B 1 , . . . , B m ), m ≤ n, von Kugeln B i ∈ S mit x ∈ B 1 , x ∈ B m und B i ∩ B i+1 = ∅, i = 1, . . . , m − 1. Mit zi ∈ B i ∩ B i+1 ist dann nach Korollar 2.2.3 u(x ) ≤ 3N u(z1 ) ≤ 2N ur 3 u(z2 ) ≤ . . . ≤ 3mN u(x ). Wegen m ≤ n bedeutet das u(x) ≤ c0 u(y) f¨ alle x, y ∈ Ω0 mit der allein durch Ω und Ω0 bestimmten Zahl c0 := 3nN . Zum Nachweis der Kugelkette merken wir zunächst an, daß sich je zwei Punkte x , x ∈ Ω0 wegen des Zusammenhangs des offenen Ω0 durch einen Weg φ in Ω0 verbinden lassen, d.h. φ : [0, 1] → Ω0 stetig, φ(0) = x , φ(1) = x . Wir beweisen jetzt mit vollst¨ andiger Induktion nach r, daß sie sich mit einer Kugelkette aus h¨ ochstens r Kugeln von S verbinden lassen, wenn r Kugeln von S ausreichen, einen solchen Weg zu u ur r = n ¨berdecken. Das liefert dann f¨ die behauptete Kette. Als Induktionsanfang nehmen wir den offenbar trivialen Fall r = 1. Es seien nun x , x ∈ Ω0 durch einen Weg φ : [0, 1] → Ω0 verbunden, der von r + 1 Kugeln aus S u ¨berdeckt wird. Zu ihnen gehört ein B ∈ S mit x ∈ B. Wenn auch x ∈ B ist, kommt man mit einer Kette aus 1 ≤ r + 1 Kugeln aus. Sonst sei t∗ := sup{t ∈ [0, 1] : φ(t) ∈ B}. Wegen φ(0) = x ∈ B ist φ(t∗ ) ∈ ∂B und φ(t) ∈ / B f¨ ur t ∈ [t∗ , 1]. Es ist φ|[t∗ ,1] ein Weg in Ω0 , der φ(t∗ ) und x verbindet. Da er Teil des Weges φ ist und außerhalb von B verläuft, wird er von den u ¨brigen r Kugeln u ¨berdeckt. Nach Induktionsannahme lassen sich ochstens r Kugeln verbinden. Die φ(t∗ ) und x mit einer Kugelkette aus h¨ Hinzunahme von B liefert eine Kugelkette aus höchstens r + 1 Kugeln, die x und x verbindet. Bemerkung 2.2.6. a) Der Satz besagt, daß das Maximum von u auf Ω0 höchstens gleich dem c0 -fachen des Minimums von u auf Ω0 ist, ganz gleich,

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip

31

um welche auf Ω harmonische nichtnegative Funktion u es sich handelt. Die angt nur von der Geometrie von Ω und Ω0 ab, nicht von u. Konstante c0 h¨ b) Eine f¨ ur die Harnackabsch¨ atzung typische Konsequenz ist folgende: Wenn eine in Ω nichtnegative harmonische Funktion eine Nullstelle y0 hat, dann ist sie Null in der ganzen Zusammenhangskomponente von Ω, die y0 enth¨ alt. Da mit u auch u + const harmonisch ist, kann man daraus die starke Minimumeigenschaft harmonischer Funktionen erschließen, die wir ohne R¨ uckgriff auf Harnackabsch¨ atzungen in Abschnitt 2.3 direkt aus der zweiten Mittelwerteigenschaft herleiten werden. c) F¨ ur sehr allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung besteht, wie J. Moser in einer ber¨ uhmten Arbeit gezeigt hat [211], ein Zusammenhang zwischen der Harnackeigenschaft und der Hölderstetigkeit der Lösungen, einer Regularit¨ atseigenschaft, die sich insbesondere f¨ ur schwache L¨ osungen von Variationsaufgaben als wichtig erweist (s.a. S. 297). Bei harmonischen Funktionen ist dieser Zusammenhang noch nicht bedeutsam, denn aus der Mittelwerteigenschaft ergibt sich sofort sogar Lipschitzstetigkeit, wie wir in Satz 2.1.9 gesehen haben.

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip Eine Minimumstelle der Funktion u : Ω → R ist ein x0 ∈ Ω mit u(x0 ) ≤ u(x) f¨ ur alle x ∈ Ω. Gauss [81] bewies, daß ein Potential außerhalb des Trägers der Masseverteilung keine isolierte Minimumstelle haben kann und folgerte das aus der Mittelwerteigenschaft des Potentials (siehe Einleitung zu Abschnitt 2.1). Ein Punkt außerhalb der Masseverteilung hat demnach keine stabile Gleichgewichtslage; dies wurde unabh¨ angig von Earnshaw [57] bewiesen. Riemann [280, Art. 11.III] leitete das Fehlen isolierter Minimumstellen f¨ ur Lösungen der Gleichung Δu = 0 her. Man spricht vom starken Minimumprinzip f¨ ur u : Ω → R, wenn jede im Inneren von Ω gelegene Minimumstelle von u : Ω → R eine Umgebung hat, die aus lauter Minimumstellen von u besteht. Bei stetigem u : D → R, wobei D ⊆ RN ein Gebiet, also eine offene und zusammenhängende Menge ist, läuft das starke Minimumprinzip darauf hinaus, daß nichtkonstantes u seine Minimumstellen nur auf dem Rand ∂D hat. Im folgenden präzisieren wir das. Satz 2.3.1 (Das starke Minimumprinzip). Es sei Ω ⊆ RN offen, und u : Ω → R sei auf Ω harmonisch. Dann ist die Menge M der Minimumstellen von u offen (evtl. leer). Beweis. Die leere Menge ist offen. Zu x0 ∈ M gibt

es r > 0, so daß Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Nach der zweiten Mittelwerteigenschaft ist |y−x|≤r (u(y) − u(x0 )) dy = 0; der Integrand u−u(x0 ) ist stetig und nach der Bedeutung von x0 nichtnegativ. ur alle y ∈ Br (x0 ), mithin ist Br (x0 ) ⊆ M , d.h. Daher ist u(y) − u(x0 ) = 0 f¨ M ist offen.

32


Der n¨ achste Satz ist mit Satz 2.3.1 ¨ aquivalent. Auch er wird daher das starke Minimumprinzip genannt. Sein allgemeiner Hintergrund ist die Tatsache, daß die Menge der Minimumstellen einer auf Z ⊆ RN stetigen Funktion relativ Z abgeschlossen ist und daß jede Teilmenge einer zusammenhängenden Menge Z, die relativ Z abgeschlossen und relativ Z offen ist, leer oder ganz Z ist. Satz 2.3.2. Es sei Ω ⊆ RN offen. Wenn die auf Ω harmonische Funktion u : Ω → R eine Minimumstelle x0 hat, dann ist u auf derjenigen Zusammenhangskomponente Z von Ω konstant, welche x0 enthält. Beweis. Es ist Z offen und u auf Z harmonisch. Es sei M die Menge der Minimumstellen von u|Z . Nach dem starken Minimumprinzip ist M offen. Wegen der Stetigkeit von u ist M relativ Z abgeschlossen (d.h. jedes x ∈ Z, welches H¨ aufungspunkt von M ist, liegt in M ). Weil Z zusammenhängend ist, ist dann M leer oder M = Z. Es ist x0 ∈ M , also M = Z. Spezialisiert man Ω zu einem Gebiet D in RN und setzt man voraus, daß die auf D harmonische Funktion u : D → R stetig ist und mindestens eine in D gelegene Minimumstelle x0 hat, dann ist u nach Satz 2.3.2 auf D konstant, und wegen der Stetigkeit von u auch auf D konstant. Daher gilt Korollar 2.3.3. Es sei D ⊆ RN ein Gebiet, u : D → R stetig und auf D harmonisch. Dann liegen Minimumstellen von u nur auf dem Rande ∂D, es sei denn u = const. Es braucht u keine Minimumstelle zu haben, wenn D nicht beschränkt ist. Beispiele sind u(x1 , x2 ) = ex1 sin x2 mit D = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : − π < x2 < π}, ur N > 2, und u(x) = − ln |x| f¨ ur N = 2, mit D = {x ∈ oder u(x) = |x|2−N f¨ RN : |x| > 1}. Auch die Aussage des Korollars 2.3.3 wird häufig das (starke) Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen genannt. Der nun folgende Satz macht eine schw¨ achere Aussage f¨ ur eine größere Klasse von Funktionen. Sein Beweis – er geht auf Paraf [246, Chap. III.2] zur¨ uck – ben¨ otigt keine Mittelwertrelation und hätte daher auch ganz zu Beginn von Kapitel 2 stehen k¨ onnen. Satz 2.3.4 (Das schwache Minimumprinzip). Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Hat dann u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) auf Ω die Eigenschaft Δu ≤ 0, so liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Beweis. Bei festem > 0 hat v(x) := u(x)−|x|2 in Ω eine Minimumstelle x . are, dann w¨ are nach den Regeln der Differentialrechnung in Wenn x ∈ Ω w¨ einer (!) Ver¨ anderlichen vxi xi (x ) ≥ 0 (i = 1, . . . , N ) und somit Δv(x ) ≥ 0, es ist aber Δv = Δu − 2N ≤ −2N < 0. Also ist x ∈ ∂Ω, und daher gilt u(x) = v(x) + |x|2 ≥ v(x) ≥ v(x ) = u(x ) − |x |2 ≥ min u(y) − |x |2 y∈∂Ω

f¨ ur alle x ∈ Ω und > 0. Mit → 0 folgt u(x) ≥ miny∈∂Ω u(y) f¨ ur x ∈ Ω.

2.3 Das Maximum-Minimumprinzip

33

Die eben verwendete Schlußweise l¨ aßt sich ausdehnen auf Lösungen von partiellen Differentialgleichungen mit einem variablen Hauptteil (siehe Aufgabe 2.10). Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und Terme erster Ordnung in die Ungleichung aufnehmen, wie wir in Abschnitt 2.6 zeigen werden. Ersetzen wir in Satz 2.3.4 u durch −u, so erhalten wir Korollar 2.3.5 (Das schwache Maximumprinzip). Ist Ω ⊂⊂ RN nicht leer, und hat u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) auf Ω die Eigenschaft Δu ≥ 0, so liegt mindestens eine Maximumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Aus dem schwachen Maximum-Minimumprinzip ergeben sich unmittelbar folgende Absch¨ atzungen f¨ ur harmonische Funktionen. Sei Ω ⊆ RN offen und beschr¨ ankt. Ist u : Ω → R stetig und auf Ω harmonisch, so gilt min u ≤ u(x) ≤ max u , ∂Ω

∂Ω

also |u(x)| ≤ max |u(y)|

f¨ ur alle x ∈ Ω .

y∈∂Ω

Dies ist eine globale A-Priori-Absch¨ atzung und nicht nur eine innere, wie wir sie mit Satz 2.1.7 f¨ ur die ersten Ableitungen beschränkter harmonischer Funktionen hergeleitet hatten. Eine Verallgemeinerung dieser Abschätzung bietet die folgende spezielle Version eines Lemmas von Bernstein [18], dessen allgemeine Form wir in Abschnitt 2.6 kennenlernen werden. Lemma 2.3.6. Zu nichtleerem Ω ⊂⊂ RN gibt es eine Konstante c0 (Ω) mit der Eigenschaft max |u(x)| ≤ c0 (Ω) sup |Δu| + max |u| x∈Ω

∂Ω

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis. Wir d¨ urfen supΩ |Δu| < ∞ annehmen und wählen ein x0 ∈ RN mit 2 1 dist(x0 , Ω) = 1. Weiter sei C > 0 so bestimmt, daß C ≥ e 2 |x−x0 | f¨ ur alle 2 1 x ∈ Ω. Wir definieren φ(x) := C − e 2 |x−x0 | supΩ |Δu| + max∂Ω |u|. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ Ω 1 2 −Δφ(x) = N + |x − x0 |2 e 2 |x−x0 | sup |Δu| ≥ sup |Δu| . Ω

Ω

Hieraus folgt Δ(φ ± u)(x) ≤ − supΩ |Δu| + |Δu(x)| ≤ 0. Die Wahl von C ur alle x ∈ Ω und somit gilt (φ±u)|∂Ω ≥ 0. Wendet bewirkt φ(x) ≥ max∂Ω |u| f¨ man das schwache Minimumprinzip auf φ ± u an, so ergibt sich φ ± u ≥ 0 auf Ω, also |u(x)| ≤ φ(x) ≤ C supΩ |Δu| + max∂Ω |u| f¨ ur alle x ∈ Ω. Da die Wahl der Konstanten C nur von Ω abhing, ist das Lemma bewiesen. Zum Abschluß dieses Abschnitts betrachten wir das schwache Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen noch unter einem anderen Gesichtspunkt.

34


Bemerkung 2.3.7. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN und stetiges u : Ω → R läßt sich die Aussage, daß auf ∂Ω eine Minimumstelle von u liege, so schreiben: Aus c ∈ R und c ≤ u|∂Ω folgt c ≤ u . Man kann dies auch dadurch ausdr¨ ucken, daß f¨ ur alle c ∈ R gilt: Wenn die Absch¨ atzung c ≤ lim inf n→∞ u(xn ) f¨ ur jede Folge (xn ) ⊆ Ω besteht, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert, dann ist c ≤ u. Der Fortschritt bei dieser Formulierung besteht darin, daß sie auch dann sinnvoll bleibt, wenn u nur auf Ω definiert ist. Wir verzichten nun auf die Beschr¨ anktheit von Ω und fordern zusätzlich zur Stetigkeit von u : Ω → R, daß die Menge der Minimumstellen von u offen ist. Mit dem nachfolgenden Satz 2.3.8 erhalten wir dann eine Aussage, die zur allgemeinen Analysis stetiger Funktionen gehört und deren Bezug zur Laplacegleichung nur durch das starke Minimumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen (Satz 2.3.1) vermittelt wird. Satz 2.3.8 (Das Randminimumprinzip). Es sei Ω ⊆ RN offen, und u : Ω → R sei stetig, und die Menge der Minimumstellen von u sei offen. Es sei c ∈ R. F¨ ur jede Folge (xn ) in Ω, die gegen einen Punkt aus ∂Ω konullt, sei c ≤ lim inf n→∞ u(xn ). Dann ist c ≤ u(x) vergiert oder |xn | → ∞ erf¨ f¨ ur alle x ∈ Ω. Beweis. Es sei g := inf x∈Ω u(x); noch ist g = −∞ möglich. Zu zeigen ist: g ≥ c. Es gibt eine Folge (xn ) in Ω mit lim u(xn ) = g. Eine solche Folge existiert nach Definition des Infimums. Man nennt sie eine Minimalfolge. Wenn die Minimalfolge (xn ) eine Teilfolge (xn ) enthält, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert oder f¨ ur die |xn | → ∞ gilt, dann ist g = lim u(xn ) = lim u(xn ) = lim inf u(xn ) ≥ c, also g ≥ c. Wenn beides nicht der Fall ist, dann ankt, enth¨ alt also eine konvergente Teilfolge xn → x0 ∈ Ω; ist (xn ) beschr¨ / ∂Ω, also x0 ∈ Ω. Wegen der Stetigkeit von u ist dann aber es ist x0 ∈ u(x0 ) = lim u(xn ) = lim u(xn ) = g. Das bedeutet, daß u an der Stelle x0 ∈ Ω sein Infimum annimmt. Daher ist x0 eine Minimumstelle von u, und g ist der Minimalwert von u. Mit der Argumentation wie f¨ ur Satz 2.3.2 f¨ ullt die Menge der Minimumstellen von u diejenige Zusammenhangskomponente Z von Ω, alt; es ist u(z) = g f¨ ur alle z ∈ Z. Nun ist noch anzumerken, daß die x0 enth¨ ∂Z ⊆ ∂Ω ist, weil Z Zusammenhangskomponente des offenen Ω ist. Wenn ∂Z = ∅ ist, gibt es eine Folge (zn ) in Z mit zn → y ∈ ∂Z ⊆ ∂Ω. Wenn aber ∂Z = ∅ ist, gibt es eine Folge (zn ) in Z mit |zn | → ∞. Beidesmal ist g = u(zn ), also g = lim inf u(zn ) ≥ c. Mithin resultiert in jedem Falle g ≥ c. Ersichtlich verk¨ urzt sich der Beweis von Satz 2.3.8 etwas, wenn man Ω zusätzlich als beschr¨ ankt voraussetzt. Ersetzt man u durch −u, so folgt Korollar 2.3.9 (Das Randmaximumprinzip). Sei Ω ⊆ RN offen, die Abbildung u : Ω → R stetig, und die Menge der Maximumstellen von u sei offen. Es sei C ∈ R. F¨ ur jede Folge (xn ) in Ω, die gegen ein y ∈ ∂Ω konvergiert

2.4 Analytizit¨ at

35

oder |xn | → ∞ erf¨ ullt, sei lim supn→∞ u(xn ) ≤ C. Dann ist u(x) ≤ C f¨ ur alle x ∈ Ω.

2.4 Analytizit¨ at Traditionellerweise gewinnt man die Analytizität harmonischer Funktionen seit Schwarz [302] aus ihrer Darstellung durch das Poissonintegral (siehe Aufgabe 3.4). Die nachfolgende Argumentation u ¨ber die innere A-PrioriAbsch¨ atzung aus Satz 2.1.7 (sie stammt von Kellogg [138, § 6]) vermeidet es, f¨ ur den Nachweis einer lokalen Eigenschaft die Lösbarkeit eines Randwertproblems heranzuziehen. Der damit gewonnene Fortschritt wird im nächsten Abschnitt sichtbar werden. Das Problem der Analytizität von Lösungen sehr allgemeiner partieller Differentialgleichungen werden wir am Ende von Kapitel 9 ansprechen. Satz 2.4.1. Sei Ω ⊆ RN offen. Dann ist k D u(x) ≤ CN k sup |u| rk Br (x)

mit CN k := N k k!ek−1

f¨ ur alle x ∈ Ω, 0 < r < dist(x, ∂Ω) und alle auf Ω harmonischen u. Dabei bezeichnet Dk u irgendeine partielle Ableitung k-ter Ordnung von u. Beweis. Wir wissen seit Korollar 2.1.3, daß harmonische Funktionen beliebig oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wieder harmonisch sind. F¨ ur k = 1 folgt die Absch¨ atzung unmittelbar aus Satz 2.1.7. Sei sie f¨ ur k k r mit 0 < r < dist(x, ∂Ω). (Auf diese bewiesen, x ∈ Ω, und es sei s := k+1 Wahl von s wird man gef¨ uhrt, wenn man zunächst s = (1 − c)r setzt und sp¨ ater dann c optimiert.) Dann ist CN k k+1 D u(x) = Dk D u(x) ≤ k sup |D u| , s Bs (x) ferner nach Satz 2.1.7 sup |D u(y)| ≤ y∈Bs (x)

N sup |u| . r − s Br (x)

Schließlich ist CN k N (k + 1) CN k N = sk (r − s) rk+1

1+

1 k

k =

k CN,k+1 1 + k1 . rk+1 e

(2.7)

k Da 1 + k1 mit k monoton w¨ achst und gegen e strebt, ist die Ungleichung bewiesen.

36


Korollar 2.4.2. Es sei u auf offenem Ω ⊆ RN harmonisch, x ∈ Bs (x0 ) ⊆ Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann ist k D u(x) ≤

CN k sup |u| , (r − s)k Br (x0 )

denn f¨ ur x ∈ Bs (x0 ) ist Br−s (x) ⊆ Br (x0 ). Lemma 2.4.3. Es sei u ∈ C ∞ (Bs (x0 )), und mit zwei Konstanten C > 0 und M > 0 gelte ur x ∈ Bs (x0 ) und k ∈ N0 . |Dk u(x)| ≤ C k k!M f¨ Dann ist u in eine Potenzreihe um x0 (im Reellen) entwickelbar. Beweis. Nach der Taylorformel ist u(x0 + h) =

m−1

1 1 (h · ∇)j u (x0 ) + ((h · ∇)m u) (x0 + τ h) j! m!

j=0

f¨ ur h ∈ RN mit |h| < s und mit 0 < τ < 1. Zur Abschätzung des Restgliedes N ∂ m achst (h · ∇)m = ( i=1 hi ∂x ) nach dem polynomialen Rm stellt man zun¨ i Satz dar: (a1 + . . . + aN )

m

=

μ1 +...+μN

Nach Voraussetzung ist dann |Rm | ≤ C M m

m! aμ1 1 · . . . · aμNN . μ ! · . . . · μ ! 1 N =m

m!

μ1 +...+μN

|h1 |μ1 . . . |hN |μN μ1 ! . . . μN ! =m

(2.8)

.

N Der Klammerausdruck ist nach (2.8) gleich ( i=1√|hi |)m und kann aufgrund der Schwarzschen Ungleichung durch den Term ( N |h|)m abgeschätzt werur m → ∞. den. Ist |h| < √N1 C , so geht Rm gegen Null f¨ Satz 2.4.4 (Die Analytizit¨ at). Es sei Ω ⊆ RN offen, und u sei auf Ω harmonisch. Dann ist u in Ω reell-analytisch, d.h. lokal in eine Potenzreihe entwickelbar: Zu x0 ∈ Ω gibt es > 0, so daß u(x0 + h) = f¨ ur alle h ∈ RN mit |h| < .

∞

1 (h · ∇)j u (x0 ) j! j=0

2.4 Analytizit¨ at

37

Beweis. Es ist u ∈ C ∞ (Ω), und bei fixiertem Br (x0 ) ⊂⊂ Ω gibt es K > 0, so daß |u(x)| ≤ K f¨ ur x ∈ Br (x0 ). Nach Korollar 2.4.2, mit s = r/2, ist Lemma 2.4.3 mit C := 2N e/r, M := K/e erf¨ ullt. Bemerkung 2.4.5. a) Wir haben nur eine lokale Aussage gemacht, weil die Beweismethode zu schwach ist, auch den Konvergenzradius anzugeben. Satz 2.4.4 erm¨ oglicht es aber, ¨ ahnlich wie in der Funktionentheorie, aus lokalen Eigenschaften auf globale zu schließen. Eine Konsequenz dieses Satzes ist z.B., daß zwei auf einem Gebiet harmonische Funktionen im ganzen Gebiet u ¨bereinstimmen, wenn sie in der Umgebung eines einzigen seiner Punkte u berein¨ stimmen. Eine solche Eigenschaft nennt man die schwache eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. Sie ist von Gauss [81, Art. 21] angesprochen und von Schwarz [302, p. 245], bewiesen worden. Satz 2.4.4 etabliert aber sogar die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft harmonischer Funktionen: Es sei D ⊆ RN ein Gebiet, und es sei u auf D harmonisch. Wenn x0 ∈ D eine Nullstelle unendlich hoher Ordnung von u ist, also ur alle k ∈ N0 , lim |x − x0 |−k u(x) = 0 ist f¨

x→x0

so ist u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ D. (Dies folgt aus Satz 2.4.4 mit Schlußweisen, wie sie in der Funktionentheorie bei den Identitätssätzen f¨ ur Potenzreihen verwendet werden; vgl. [278, § 8.1].) Es ist bemerkenswert, daß schwache oder starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft f¨ ur L¨ osungen großer Klassen von partiellen Differentialgleichungen, sogar Differentialungleichungen, vorliegen, Lösungen, die keineswegs analytisch sind. Wir werden darauf in Abschnitt 2.7 eingehen. b) Unabh¨ angig voneinander haben Kiselman [141] und Hayman [103] folgendes gezeigt: Wenn u auf Br (x0 ) harmonisch ist, so konvergiert die Pour := √r2 ; diese Zahl ist bestmöglich. tenzreihe von u auf B (x0 ) f¨ Mit einer Anleihe aus der Funktionentheorie läßt sich Satz 2.4.4 sofort ausdehnen und folgendes Resultat beweisen. Satz 2.4.6. Es sei Ω ⊆ RN offen und f in Ω reell-analytisch. Ist dann u ∈ C 2 (Ω) Lösung von −Δu(x) = f (x)

f¨ ur x ∈ Ω ,

so ist u reell-analytisch. at (vgl. Lemma B.7) Beweis. Da u auf Br (x) ⊂⊂ Ω der Identit¨ r 1−N u(x)ωN = u(x + rη) dS(η) − s Δu(y)dy ds |η|=1

0

Bs (x)

gen¨ ugt, ist u(x)

ωN rN = N

u(y) dy +

Br (x)

0

r

N −1

s1−N 0

f (x + y)dyds d . (2.9) Bs (0)

38


Wegen f ∈ C ∞ (Ω) ist nach Satz A.5 das zweite Integral beliebig oft nach x ∈ Ω ⊂⊂ Ω differenzierbar, wenn 0 < r < dist(Ω , ∂Ω). Das erste Integral ist aus C k+1 (Ω ), wenn u ∈ C k (Ω) ist. Daher ist u ∈ C ∞ (Ω). Ist x ∈ Ω, so besitzt f f¨ ur geeignetes 0 < R < 1 eine auf BR (x) konvergente Potenzreihe. Diese Reihe konvergiert auch auf N 2 2 BR (x, CN ) := z = (z1 , . . . , zN ) ∈ CN : i=1 |zi − xi | < R und definiert eine Funktion f˜: BR (x, CN ) → C. Mit den Zahlen CN k aus Satz 2.4.1 zeigen wir CN k k D u(x) ≤ sup |u| + sup |f˜| (2.10) rk Br (x) Br (x,CN ) f¨ ur alle auf BR (x) reell-analytischen f , alle u ∈ C ∞ (BR (x)), die auf BR (x) die Gleichung −Δu = f erf¨ ullen, und alle 0 < r < R. Die Analytizität von u ergibt sich dann wie beim Beweis von Satz 2.4.4. Da aus (2.9) nach Satz B.8 wN rN yi − xi = dS(y) u(y) uxi (x) N |y − x| |y−x|=r r yi − xi dS(y)ds d + N −1 s1−N f (y) |y − x| 0 0 |y−x|=s folgt, haben wir N |uxi (x)| ≤ r

r2 sup |u| + sup |f | , N + 1 Br (x) Br (x)

(2.11)

woraus sich schon die Behauptung f¨ ur k = 1 ergibt. Des weiteren liefert (2.11) f¨ ur alle y ∈ Bs (x) N (r − s)2 |uxi (y)| ≤ sup |u| + sup |f | . (2.12) r − s Br−s (y) N + 1 Br−s (y) Bei festem z = (z1 , . . . , zN ) ∈ Bs (x, CN ) ist die Funktion f˜(·, z2 , . . . , zN ) auf ur τ ∈ Br−s (z1 , C) der Punkt (τ, z2 , . . . , zN ) in Br−s (z1 , C) holomorph. Da f¨ Br (x, CN ) liegt, liefert die Cauchysche Integralformel 1 ˜ sup |f˜| . (2.13) fz1 (z) ≤ r − s Br (x,CN ) Ist k ∈ N eine Zahl, f¨ ur die die Behauptung (2.10) gilt, so bilden wir Dk+1 u = k k r haben wir dann D D u und beachten, daß −ΔD u = D f ist. Mit s := k+1 wegen (2.12) und (2.13)

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung

k+1 CN k D u(x) ≤ k s

39

sup |uxi (y)| + y∈Bs (x)

CN k N ≤ k s (r − s)

sup z∈Bs (x,CN )

˜ fzi (z)

1 (r − s)2 sup |u| + + N +1 N Br (x)

sup

˜ |f | ,

Br (x,CN )

was wegen (2.7) die Behauptung f¨ ur k + 1 liefert.

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung Nach der Laplacegleichung ist die Gleichung −Δu + λu = 0, λ ∈ R , die einfachste und bestuntersuchte elliptische Differentialgleichung. Ihren Namen tr¨ agt sie aufgrund der Untersuchungen von Helmholtz [109] u ¨ber Luftschwingungen in R¨ ohren. Eine erste systematische Untersuchung stammt von Heinrich Weber [332]. Der Physiker F. Pockels [258] schrieb auf Anregung von F. Klein eine kleine Monographie u ¨ber diese Gleichung; auch [214] ist ihr zu einem nicht geringen Teil gewidmet. Ein Vergleich mit der gewöhnlichen ur λ < 0 Differentialgleichung −u + λu = 0 zeigt sofort, daß die Lösungen f¨ und λ > 0 sehr unterschiedliches Verhalten zeigen werden und ein MaximumMinimumprinzip nicht mehr zu erwarten ist. Andererseits bleiben viele der in den vorangegangenen vier Abschnitten f¨ ur harmonische Funktionen erzielten Ergebnisse auch f¨ ur L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung erhalten. Da die Beweise der bislang gewonnenen Resultate meist auf der Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen beruhten, werden wir zunächst eine modifizierte Mittelwertrelation f¨ ur L¨ osungen der Gleichung Δu = λu herleiten, die zuerst f¨ ur N = 2 von H. Weber [332] bewiesen wurde. Bemerkung 2.5.1. Die Identit¨ at d Δu(y) dy = N −1 d |y−x|<

aus Lemma B.7 und d d

|y−x|<

u(x + ξ) dS(ξ)

|ξ|=1

u(y) dy = N −1

u(x + ξ) dS(ξ)

|ξ|=1

(s. Folgerung B.3 a)) ergeben, wenn λ ∈ R ist, d d d {−Δu(y) + λu(y)} dy = − N −1 φ() + λN −1 φ() , (2.14) d |y−x|< d d

40


wobei wir φ() := |ξ|=1 u(x + ξ) dS(ξ) gesetzt haben. Wenn nun u ∈ C 2 (BR (x)) der Gleichung −Δu + λu = 0 gen¨ ugt, dann ist φ L¨ osung der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung N −1 φ () − λφ() = 0 , (2.15) √ −ν √ die f¨ ur λ = 0 die linear unabh¨ angigen L¨ osungen −λ Jν −λ und √ √ −ν −λ Nν −λ besitzt. Es ist ν := N 2−2 , und Jν (z) und Nν (z) sind L¨ osungen der Besselschen Differentialgleichung der Ordnung ν mit komplexem Argument. Dabei bezeichnet φ () +

∞

(−1)m (z/2)ν+2m Jν (z) = m!Γ (m + ν + 1) m=0

(2.16)

die Besselsche Funktion ν-ter Ordnung, w¨ ahrend die (nach Carl Neumann benannte) Neumannsche Funktion ν-ter Ordnung Nν (z) in z = 0 singulär ist. F¨ ur die diversen Notationen f¨ ur die Besselfunktionen verweisen wir auf [1, Sec. 9]. √ 2−N √ −λ , und mit = 0 So ergibt sich φ() = const −λ 2 J N −2 2 berechnet sich die Konstante. Das Resultat ist die Mittelwertrelation √ 2 N2−2 1 √ −λ u(x + ξ) dS(ξ) = u(x)Γ N2 J N −2 −λ 2 ωN |ξ|=1

= u(x)Φ(N, λ; ) .

(2.17)

Es ist Φ(N, λ; 0) = 1, wie ein Vergleich von linker und rechter Seite an der Stelle = 0 ergibt, und es ist Φ(N, λ; ·) : R+ 0 → R stetig. Mit Kenntnissen u ¨ber Besselfunktionen sind folgende Eigenschaften von Φ leicht zu gewinnen: Wenn λ < 0 ist, hat Φ(N, λ; ·) eine kleinste positive Nullstelle (diese wird f¨ ur λ → 0 beliebig groß), w¨ ahrend f¨ ur λ > 0 u ¨berall in R+ die Ungleichung Φ(N, λ; ·) > 0 gilt. F¨ ur ungerades N kann Φ(N, λ; ) durch elementare Funktionen ausgedr¨ uckt werden (vgl. Aufgabe 2.13 b) f¨ ur N = 3). In Aufgabe 2.14 soll weiter gezeigt werden, daß die Mittelwertrelation (2.17) die L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung charakterisiert. Zusammen mit Aufgabe 2.13 a) ist dann ein vollständiges Analogon zu Satz 2.1.1 formuliert. Eine genaue Analyse der in den Abschnitten 2.1-2.4 gegebenen Beweise zeigt jedoch, daß sich eine Reihe von Ergebnissen auch ohne genaue Kenntnis der Mittelwertrelation (2.17) auf L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung u ¨bertragen lassen. So kann z.B. die C ∞ -Eigenschaft (vgl. Korollar 2.1.3) und der lokale Teil des ersten Harnackschen Satzes (vgl. Satz 2.1.6) f¨ ur L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung bereits aus der Identität in Lemma B.7 gefolgert werden (vgl. Aufgabe 2.11).

2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung

41

Um die Analytizit¨ at der L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zu zeigen, gen¨ ugt die nachfolgende Mittelwertungleichung, die ohne R¨ uckgriff auf Kenntnisse u ¨ber Besselfunktionen hergeleitet werden kann. Wir bringen den Fall λ < 0 und geben den einfacheren Fall λ > 0 als Aufgabe 2.12. Satz 2.5.2. Es sei Ω ⊆ RN offen und λ < 0. Dann gibt es ein (allein von N und λ abh¨ angendes) r0 > 0 mit folgender Eigenschaft: Ist u ∈ C 2 (Ω) eine L¨ osung von −Δu + λu = 0, so gelten die beiden Absch¨ atzungen 2N 2 u(y) dS(y) , |u(x)| ≤ N u(y) dy |u(x)| ≤ N −1 r ωN |y−x|=r r ωN |y−x| 0 zu betrachten. λ 2 r0 = 12 gilt. Sei nun 0 < r ≤ r0 , wobei Wir w¨ ahlen r0 > 0 so, daß − N achst indirekt, daß φ() > 0 f¨ ur weiterhin Br (x) ⊂⊂ Ω gelte. Wir zeigen zun¨ alle 0 ≤ ≤ r. Andernfalls h¨ atte φ eine kleinste positive Nullstelle r∗ ∈ (0, r]. Aus (2.18) folgt, daß φ auf [0, r∗ ] streng monoton fällt. Wendet man nun alt man f¨ ur geeignete t∗ ∈ (0, r∗ ) und (2.19) auf r∗ anstelle von r an, so erh¨ ∗ ∗ atzung τ ∈ (0, t ) die Absch¨ φ(0) = φ(r∗ ) −

λ ∗ ∗ λ r t φ(τ ∗ ) ≤ φ(r∗ ) − r∗ t∗ φ(0) N N

Wegen 0 < t∗ < r∗ ≤ r0 und der Wahl von r0 ist φ(0) ≤ φ(r∗ )+ 12 φ(0), woraus φ(r∗ ) ≥ 12 φ(0) > 0 folgt, was im Widerspruch zu der Annahme φ(r∗ ) = 0

42


steht. Da nun die Positivit¨ at von φ auf [0, r] etabliert ist, folgt wiederum aus (2.18), daß φ auf [0, r] streng monoton f¨ allt. Wie eben ergibt sich aus (2.19) λ rt ≤ 12 die Ungleichung φ(0) ≤ 2φ(r), womit die erste Behauptung und − N bewiesen ist. Die zweite Behauptung folgt f¨ ur 0 < r ≤ r0 und Br (x) ⊂⊂ Ω aus r r tN −1 φ(0) dt ≤ 2 tN −1 φ(t) dt . 0

0

Bemerkung 2.5.3. Da nach Aufgabe 2.11 b) jede Lösung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung beliebig oft differenzierbar ist, ist auch uxi Lösung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung. Gemäß Satz 2.5.2 und Aufgabe 2.12 gibt es ein r0 > 0 derart, daß 2N uxi (y) dy , |uxi (x)| ≤ N r ωN Br (x) mithin nach Bemerkung 2.1.8 |uxi (x)| ≤

2N sup |u| r Br (x)

gilt f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0, alle 0 < r ≤ r0 und alle Br (x) ⊂⊂ Ω. Dies hat zwei wichtige Konsequenzen. a) In Analogie zu Satz 2.1.9 gilt: Ist U eine auf Ω gleichgradig beschränkte Menge von L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung und Ω ⊂⊂ Ω, so sind die u ∈ U auf Ω gleichgradig gleichmäßig lipschitzstetig. Somit ist auch das Analogon des Kompaktheitssatzes 2.1.10 f¨ ur beschränkte Folgen ultig. (un ) mit Δun = λun g¨ b) Jede L¨ osung der Helmholtzschen Schwingungsgleichung ist reell-analytisch. (Die Konstanten in Satz 2.4.1 und Lemma 2.4.3 erhalten lediglich einen Faktor 2.) Ebenso sind L¨ osungen der inhomogenen Gleichung −Δu + λu = f reell-analytisch, falls f reell-analytisch ist (vgl. Satz 2.4.6). S¨ atze vom Liouvilleschen Typ existieren f¨ ur Lösungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zwar sowohl f¨ ur λ > 0 als auch f¨ ur λ < 0; sie benötigen jedoch Versch¨ arfungen der Voraussetzung der einseitigen Beschränktheit, wie sie in Korollar 2.2.2 formuliert wurde. F¨ ur λ > 0 muß die beidseitige Beschr¨ anktheit der L¨ osung gefordert werden (vgl. Aufgabe 2.15), während f¨ ur λ < 0 die einseitige Beschr¨ anktheit ausreicht, die Schranke jedoch gleich 0 gew¨ ahlt werden k¨ onnen muß (vgl. Aufgabe 2.16 mit u = 0 bzw. v = 0). Mit diesen Zusatzvoraussetzungen kann dann f¨ ur jede Lösung u ∈ C 2 (RN ) der Gleichung −Δu + λu = 0 gefolgert werden, daß u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ RN . Gegenstand der Aufgabe 2.17 ist es, den zweiten Harnackschen Satz und die Harnackabsch¨ atzung aus Abschnitt 2.2 auf Lösungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung zu u ur den Beweis dieser beiden Sätze ¨bertragen. Das f¨

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung

43

2.2.4 und 2.2.5 wesentliche Korollar 2.2.3 wird hierbei durch die Aussage der Teilaufgabe 2.17 a) ersetzt und gleichzeitig verallgemeinert. Wie schon in der Einleitung zu diesem Abschnitt bemerkt, ist f¨ ur Lösungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung kein allgemeines MaximumMinimumprinzip zu erwarten. Man kann jedoch zeigen, daß f¨ ur jedes Gebiet Ω und jedes reelle λ die Nullfunktion die einzige Lösung der Gleichung −Δu + λu = 0 ist, die in Ω das Minimum/ Maximum 0 annimmt (vgl. Aufgabe 2.19). F¨ ur λ > 0 gilt zudem, daß u in Ω kein positives Maximum und kein negatives Minimum besitzen kann (vgl. Aufgabe 2.18).

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung Im letzten Abschnitt 2.5 haben wir ausf¨ uhrlich diskutiert, welche Eigenschaften von L¨ osungen der partiellen Differentialgleichung Lu = 0 erhalten bleiben, unter Umst¨ anden in modifizierter Form, wenn wir L = −Δ durch L = −Δ+λ ersetzen. Zentral in unseren Argumenten waren hierbei Mittelwerteigenschaften der entsprechenden L¨ osungen. Verallgemeinert man den Differentialoperator L weiter zu einem beliebigen linearen Differentialoperator zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten (Lu)(x) := −

N

aik (x)uxi xk (x) +

i,k=1

N

ai (x)uxi (x) + b(x)u(x) ,

i=1

so gibt es nur noch bedingt brauchbare allgemeine Mittelwertrelationen f¨ ur L¨ osungen der Gleichung Lu = 0. In Abschnitt 2.3 haben wir aber gesehen, daß zwei wichtige Resultate, das schwache Minimumprinzip (Satz 2.3.4) und das Lemma 2.3.6 von Bernstein, ohne Verwendung von Mittelwerteigenschaften bewiesen werden konnten. Wir werden in diesem Abschnitt zeigen, wie man durch geschickte Modifikation der Beweise analoge Resultate f¨ ur große Klassen von linearen Differentialoperatoren zweiter Ordnung herleiten kann. Satz 2.6.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Weiter seien aik und ai auf Ω stetig, ur jedes x ∈ Ω symmetrisch und positiv semidefinit. Es sei und (aik (x))ik sei f¨ uge auf Ω der u : Ω → R stetig, in Ω zweimal stetig differenzierbar und gen¨ Ungleichung (Lu)(x) := −

N

i,k=1

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) ≥ 0 .

i=1

Die positiv semidefinite Matrix (aik (x)) habe eine Untermatrix, ohne Einschr¨ ankung sei dies (aik (x))i,k=1,...,p (p ≥ 1), die auf Ω positiv definit ist. Dann liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rande ∂Ω von Ω.

44


Beweis. Es sei M die Menge der Minimumstellen von u. Es ist M nicht leer, und M ist abgeschlossen. Angenommen, es l¨ age keine Minimumstelle von u auf ∂Ω, dann ist d := dist(M, ∂Ω) > 0. Damit ist U := {x ∈ RN : dist(M, x) < d/2} eine offene Teilmenge von Ω, und es ist M ⊆ U ⊂⊂ Ω. F¨ ur den Rand von U gilt: ∂U = {x ∈ RN : dist(M, x) = d/2} ist kompakt und ∂U ∩ M ist leer. ur ein festes x0 ∈ M . Es sei m das Minimum von u|∂U . Dann ist m > u(x0 ) f¨ Sei α > 0. Wir setzen w(x) := eα

p

2 i=1 (x−x0 )i

und definieren v := u − w f¨ ur > 0. Es ist v(x0 ) = u(x0 ) − und v|∂U ≥ 2 m−eα[diam Ω] > u(x0 ), wobei wir zu jedem α > 0 ein = (α) > 0 so fixieren, 2 daß eα[diam Ω] < m − u(x0 ) ausf¨ allt. Dann hat v eine Minimumstelle x+ in U . Nach den Regeln der Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen ist ur die Hessesche Matrix (vxi xk (x+ )) positiv semidefinit und vxi (x+ ) = 0 f¨ i = 1, . . . , N . Es ist daher N

aik (x+ )vxi xk (x+ ) ≥ 0 ,

i,k=1

denn dies ist die Spur des Produkts zweier positiv semidefiniter Matrizen (siehe Aufgabe 2.10 a)). Mit der obigen Setzung v = u − w, > 0, und wegen Lu ≥ 0 folgt N

aik (x+ )wxi xk (x+ ) −

N

aj (x+ )wxj (x+ ) ≤ 0 ,

j=1

i,k=1

also 0 ≥ 4α

p

2

aik (x+ ) x+ − x0 i x+ − x0 k

i,k=1 p

p

j=1

j=1

ajj (x+ ) − 2α

+2α

aj (x+ ) x+ − x0 j .

angt zwar von der Wahl von α ab, sie liegt aber f¨ ur alle α in Die Stelle x+ h¨ U . Da U kompakt in Ω enthalten ist, ist die Untermatrix (aik )i,k=1,...,p in U gleichm¨ aßig positiv definit, d.h. es gibt ein a > 0 mit a

p

j=1

ξj2 ≤

p

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ U und alle ξ ∈ Rp . Insbesondere ist a ≤ ajj (x). F¨ ur alle α > 0 ist somit

2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung

4aα2

p

x+ − x0

2 j

+ 2αap − 2α

j=1

p

45

aj (x+ ) x+ − x0 j ≤ 0 .

j=1

p

2

(x+ − x0 )j → 0 mit α → p 2 ∞, oder es gibt > 0 und eine Folge αn → ∞, so daß j=1 (x+ − x0 )j ≥ . Im ersten Fall sch¨ atzen wir weiter ab: Nun sind zwei F¨ alle denkbar. Entweder geht

pa −

p

j=1

aj (x+ ) x+ − x0 j ≤ 0 .

j=1

Da aufgrund der Beschr¨ p anktheit der aj auf der in Ω kompakt enthaltenen Menge U auch j=1 aj (x+ ) (x+ − x0 )j gegen Null geht, resultiert mit α →∞ der Widerspruch pa ≤ 0. Im anderen Fall ist 4aαn2 + 2paαn − p 2αn j=1 aj (x+ ) (x+ − x0 )j ≤ 0, und da die letzte Summe beschränkt bleibt + f¨ ur x ∈ U , folgt mit αn → ∞ auch diesmal ein Widerspruch. Bemerkung 2.6.2. Ist unter den Voraussetzungen von Satz 2.6.1 u also eine L¨ osung von Lu = 0, so liegen wenigstens eine Minimum- und eine Maximumstelle von u auf dem Rand von Ω. Wir haben damit einen ersten Schritt in die Theorie der linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit variablen Koeffizienten getan. Von den f¨ uhrenden Koeffizienten aik (x) ben¨ otigen wir, daß die mit ihnen gebildete Matrix semidefinit ist, um das schwache Minimum-Maximum-Prinzip beweisen zu können. Dies ist nicht nur technisch bedingt. Vielmehr verhalten sich die Lösungen ganz verschieden, je nach dem algebraischen Typus der Koeffizientenmatrix (aik (x)). Man nennt die Gleichungen elliptisch, wenn (aik (x)) symmetrisch und definit ist. Die Laplacegleichung geh¨ ort dazu; denn bei ihr ist aik = δik . Zu den Gleichungen mit semidefiniter, aber nicht definiter Matrix gehören die parabolischen, zu denen mit indefiniter Matrix die hyperbolischen linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Diese Benennungen wurden im Falle der Dimension N = 2 von Du Bois-Reymond [54] eingef¨ uhrt und r¨ uhren daher, daß die Definitheit von (aik ) im Fall der Dimension N = 2 mit dem Vorzeichen von a11 a22 − a212 , bei Annahme von a11 > 0, korrelliert ist. Dieses Vorzeichen bewirkt bei den von a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + a1 x + a2 y + a = 0 dargestellten ebenen Kurven geometrische Eigenschaften, die Apollonios aus Perge [5] auf die Namensgebungen Ellipse, Parabel, bzw. Hyperbel gef¨ uhrt hatten. Eberhard Hopf [121] hat auf dem hier f¨ ur das schwache Minimumprinzip eingeschlagenen Weg, der von Paraf [246] zuerst beschritten wurde, auch das starke Minimumprinzip bei elliptischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung erreicht. Man findet das z.B. bei Hellwig [107] dargestellt. Besonders verweisen wir auf die Monographie von Protter und Weinberger [269] .

46


Die Resultate von Hopf [121, p. 149 Fußnote] benötigen keine Stetigkeitseigenschaften der Koeffizienten. Dies ist f¨ ur Anwendungen auf nichtlineare Probleme wichtig, und es u ¨bertrifft hierin und in dem elementaren Charakter der Herleitung ¨ ahnliche Ergebnisse fr¨ uherer Autoren. Wir wenden uns nun dem Lemma von Bernstein [18] zu, das uns in einer speziellen Form bereits im Lemma 2.3.6 begegnet ist. Lemma 2.6.3. Zu nichtleerem Ω ⊂⊂ RN , m > 0 und K > 0 gibt es eine Konstante c0 (Ω, m, K) mit der Eigenschaft max |u(x)| ≤ c0 (Ω, m, K) sup |Lu| + max |u| x∈Ω

Ω

∂Ω

f¨ ur u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) und f¨ ur alle Differentialoperatoren L, (Lu)(x) := −

N

bik (x)uxi xk (x) +

N

bi (x)uxi (x) + b(x)u(x) ,

i=1

i,k=1

N ur x ∈ mit Koeffizienten bik , bi , b : Ω → R, welche i,k=1 bik (x)ξi ξk ≥ m|ξ|2 f¨ ullen und |bi (x)| ≤ K und b(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ Ω. Ω und ξ ∈ RN erf¨ Beweis. Wir d¨ urfen supΩ |Lu| < ∞ annehmen und fixieren ein x0 ∈ RN mit dist(x0 , Ω) = 1. Zu u und positiven Zahlen , λ, C definieren wir 2 φ(x) := C − eλ|x−x0 | ( + supΩ |Lu|) + max∂Ω |u| . Damit ist (Lφ)(x) = 4λ2

N

bik (x)(x − x0 )i (x − x0 )k + 2λ

i,k=1

−2λ

N

N

bii (x)

i=1

2 bi (x)(x − x0 )i eλ|x−x0 | ( + sup |Lu|)

i=1

+b(x) C − eλ|x−x0 |

2

Ω

( + sup |Lu|) + b(x) max |u| ∂Ω Ω √ 2 ≥ 4λ m + 2λN m − 2λ N K(1 + diam Ω) ( + sup |Lu|) Ω

≥ + sup |Lu| , Ω

wenn λ so groß fixiert ist, daß die eckige Klammer ≥ 1 ist und dann C so, λ|x−x0 |2 > 0 ist f¨ ur x ∈ Ω. Hierzu muß λ nur in Abhängigkeit daß C − e von m, N, K und Ω gew¨ ahlt werden und C nur in Abhängigkeit von λ und Ω, also in Abh¨ angigkeit von m, K und Ω. Die Abhängigkeit von N wird schon

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit

47

mit Ω ⊆ RN ber¨ ucksichtigt. Mit so fixierten λ und C = C(Ω, m, K) ist φ nur noch von dem Parameter > 0 abh¨ angig. Wir haben jetzt die Ungleichungen L(±u + φ) = ±Lu + Lφ ≥ ±Lu + + sup |Lu| ≥ und (±u + φ)|∂Ω ≥ 0 . Ω

Wenn w := (±u + φ) ein negatives Minimum in Ω hätte, dann w¨ urde es in einem Punkt z ∈ Ω angenommen. In z verschwinden die ersten AbleiN tungen, und weil b(z) ≥ 0 ist, folgt Lw(z) ≤ − i,k=1 bik (z)wxi xk (z). Die Doppelsumme ist aber, da Spur des Produkts zweier positiv semidefiniter Matrizen, nichtnegativ (vgl. Aufgabe 2.10) und somit Lw(z) ≤ 0 im Widerspruch zu L(±u + φ) ≥ . Da w also kein negatives Minimum besitzt, ist ur jedes > 0, und daraus folgt (±u + φ) ≥ 0 in Ω. Also ist |u(x)| ≤ φ(x) f¨ |u(x)| ≤ C supΩ |Lu| + max∂Ω |u| mit C = C(Ω, m, K). Bemerkung 2.6.4. Ist L also ein Differentialoperator wie in Lemma 2.6.3 und ist man an der L¨ osung des Dirichletproblems Lu = f in Ω, u|∂Ω = g bei gegebenen f und g interessiert, ein Problem, von dessen Lösung wir noch weit entfernt sind, so wissen wir doch a priori, d.h. bevor wir die Existenz einer L¨ osung bewiesen haben, daß jede Lösung der Abschätzung ugt. |u| ≤ c0 (Ω, m, K) supΩ |f | + sup∂Ω |g| gen¨ A-priori-Absch¨ atzungen bilden eine Grundlage f¨ ur Existenzbeweise, wie wir sp¨ ater im Zuge der Theorie von Leray und Schauder zunächst in einem Spezialfall in Abschnitt 5.5 und im allgemeinen Fall in Kapitel 8 sehen werden.

2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit Carleman [38] zeigte, daß die L¨ osungen gewisser Systeme partieller Differentialgleichungen in der Ebene, die die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen verallgemeinern, obwohl nicht notwendig analytisch, dennoch die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft haben, also in einem Gebiet D ⊆ RN identisch Null sind, wenn sie eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung ur alle k ∈ N0 besitzen, also ein x0 ∈ D existiert derart, daß f¨ lim r(x)−k u(x) = 0

x→x0

gilt. Hierbei ist zur Abk¨ urzung r(x) := |x − x0 | gesetzt. Er leitete zu diesem Zweck eine Integralungleichung f¨ ur r−k u her, aus der sich im Limes k → ∞ ergab, daß u auf einer kleinen Kreisscheibe um x0 verschwand. (Ein Kreiskettenverfahren liefert dann die Behauptung.) Solche Integralungleichungen heißen daher heute Carleman-Ungleichungen. Claus M¨ uller [213] war der erste, der eine Aussage dieser Art f¨ ur L¨ osungen gewisser Differential(un)gleichungen in beliebig vielen Variablen bewies, n¨ amlich Satz 2.7.4 unten. Er entwickelte u nach Kugelfunktionen und zeigte, daß die Fourierkoeffizienten von u alle

48


Null sind. Mittels einer Carleman-Ungleichung, die ebenfalls durch Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen entstand, dehnte Heinz [106] das M¨ ullersche Resultat auf L¨ osungen von Ungleichungen |Δu| ≤ C(|u| + |∇u|) aus. (Die Heinzsche Carleman-Ungleichung wurde kurze Zeit später durch Cordes [43, § 3] verallgemeinert.) Wir werden hier das M¨ ullersche Ergebnis u ¨ber eine Carleman-Ungleichung, Lemma 2.7.2, herleiten, die von H¨ ormander [125] stammt, der einen Gedanken von Cordes [42] aufgreift. Dieser Beweis vermeidet Kugelfunktionen. Er wird besonders einfach, wenn man lediglich schwache eindeutige Fortsetzbarkeit zeigen, also nachweisen m¨ ochte, daß jede Lösung, die auf einer offenen Kugel Null ist, identisch verschwindet, denn dann gibt es bei den partiellen Integrationen im Beweis von Lemma 2.7.2 keine Probleme mit Randtermen und der vorbereitende Hilfssatz 2.7.1 er¨ ubrigt sich (dies ist tatsächlich die in [125] und [309, p. 519] betrachtete Situation). Es ist bequem, f¨ ur offenes Ω ⊆ RN und stetige u, v : Ω → R 1/2 u, vΩ := u(x)v(x) dx sowie uL2 (Ω) := (u, uΩ ) Ω

zu setzen und im Falle Ω = RN die Angabe Ω bzw. L2 (Ω) fortzulassen. Da sehr h¨ aufig Radialableitungen auftreten werden, empfiehlt sich eine weitere Abk¨ urzung. F¨ ur stetig differenzierbares u : Ω \ {0} → R setzen wir u (x) :=

x · ∇u(x) . |x|

(2.20)

Zum Beweis des ersten Hilfssatzes verwenden wir eine auf Carleman zur¨ uckgehende Schlußweise [37, p. 176 ff.]. Lemma 2.7.1. Sei f ∈ Cc2 (RN ) eine Funktion, die in x0 ∈ RN eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf einer Kugel um x0 der Ungleichung |Δf | ≤ C|f |

(2.21)

mit geeignetem C > 0 gen¨ ugt. F¨ ur alle k ∈ N hat dann die Funktion ϕ := r −k f die Eigenschaft |∇ϕ(x)|2 dx < ∞ . (2.22) RN

Insbesondere gilt daher lim inf →0

|∇ϕ(x)|2 dS(x) = 0 .

|x−x0 |=

(2.23)


49

Beweis. Durch eine Verschiebung unseres Koordinatensystems können wir x0 = 0 erreichen. Wir wollen u ¨ber A := RN \ B (0) partiell integrieren und dann den Limes → 0 durchf¨ uhren. Aufgrund des kompakten Trägers ur geeignetes von f wird dabei der Gaußsche Satz nur auf BR (0) \ B (0) f¨ R > angewandt, und Integrale u ¨ber ∂BR (0) verschwinden. Wegen −ϕΔϕ = −

N

(ϕϕxk )xk +

k=1

N

ϕ2xk

k=1

ist daher nach Satz B.6 bei Verwendung der Notation (2.20) 2 − ϕ, ΔϕA = ϕ(x)ϕ (x) dS(x) + |∇ϕ(x)| dx |x|=

A

und unter Ber¨ ucksichtigung von Δϕ = f Δr−k + 2∇f · ∇r−k + r−k Δf = k(k + 2 − N )r−2 ϕ − 2kr−(k+1) (rk ϕ) + r−k Δf 2k ϕ + r−k Δf = −k(k + N − 2)r−2 ϕ − r schließlich ϕ 2 T () := − ϕ, r−k Δf A + k(k + N − 2) r L2 (A ) ϕ , ϕ = − ϕ, ΔϕA − 2k r A ϕ 2 1 ≥ ϕ(x)ϕ (x) dS(x) + |∇ϕ(x)|2 dx − 2k 2 , 2 r L2 (A ) |x|=

(2.24)

A

wobei wir die Ungleichung 2

ϕ r

, ϕ

A

≤ ϕ 2L2 (A ) +

1 ϕ 2 2 r L (A )

1 mit = 2k verwendet haben. Da f in 0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und (2.21) gilt, existiert lim→0 T (). In φ() := ϕ2 (ξ) dS(ξ) |ξ|=1

kann unter dem Integralzeichen differenziert werden (Begr¨ undung wie in Folgerung B.4), so daß sich das Oberfl¨ achenintegral in (2.24)

50


2

ϕ(x)ϕ (x) dS(x) = N −1 φ () = N −2 (φ()) − N −2 φ()

(2.25)

|x|=

schreibt. Es ist lim→0 N −2 φ() = 0. Wir beachten nun, daß es eine monoton fallende Nullfolge (n ) gibt, auf oßer als Null ist. Sonst g¨ abe es ja ein Intervall (0, 0 ] mit welcher (φ()) gr¨ (sφ(s)) ≤ 0

f¨ ur alle s ∈ (0, 0 ] .

(2.26)

Wir k¨ onnen φ(0 ) = 0 annehmen, denn anderenfalls wäre ϕ ja in einer Umgebung von 0 identisch Null, die Behauptungen (2.22) und (2.23) also trivialerweise richtig. Ungleichung (2.26) h¨ atte aber 0 φ(0 ) ≤ φ()

f¨ ur ∈ (0, 0 ]

zur Folge, was nicht sein kann, da die rechte Seite f¨ ur → 0 gegen Null geht. Wenn wir daher (2.24) und (2.25) auf dieser Nullfolge (n ) betrachten, können wir folgern, daß |∇ϕ(x)|2 dx lim n→∞

An

endlich ist, was (2.22) beweist. Die Behauptung (2.23) ist nun wegen R 1 2 2 |∇ϕ(x)| dx = |∇ϕ(x)| dS(x) d 0 BR (0) |x|= aufgrund der Divergenz des Integrals u ¨ber

1

klar.

Lemma 2.7.2. Ist f ∈ Cc2 (RN ) eine Funktion, die in x0 ∈ RN eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf einer Kugel um x0 der Ungleichung |Δf | ≤ C|f | mit geeignetem C > 0 gen¨ ugt, so gilt f¨ ur alle k ∈ N −k 2 r f ≤ 1 r1−k (−Δ + 1)f 2 . 4k

(2.27)

Beweis. O.B.d.A. sei x0 = 0. Wir verwenden die Bezeichnungsweisen aus Lemma 2.7.1, setzen aber diesmal ϕ := r−(k+1) f . Dann ist N ϕ + x · ∇ϕ , Δ(rk rϕ) = rk Δ(rϕ) + k 2 rk−1 ϕ + 2krk−1 2 so daß wir mit


51

Sϕ := [r(−Δ + 1)r − k 2 ]ϕ , N Aϕ := ϕ + x · ∇ϕ 2 die Relation 1−k 2 r (−Δ + 1)rk+1 ϕL2 (A

)

= (S − 2kA)ϕ, (S − 2kA)ϕA

= Sϕ2L2 (A ) + (2k)2 Aϕ2L2 (A ) − 4kSϕ, AϕA erhalten. Wir behaupten nun, daß −Sϕ, AϕA = k 2 I1 () + I2 () + I3 () mit I1 () := ϕ, AϕA

1 =− 2

ϕ2 (x) dS(x) ,

(2.28)

|x|=

I2 () := −r2 ϕ, AϕA = rϕ2L2 (A ) − 2 I1 () ,

(2.29)

I3 () := rΔ(rϕ), AϕA

1 3 N |∇ϕ|2 − 2(ϕ )2 − ϕϕ dS = (N − 1)I1 () + 2 ∂B (0)

(2.30)

ist. Hieraus folgt die Ungleichung (2.27), denn da f in 0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung hat, gilt lim→0 I1 () = 0, und nach Lemma 2.7.1 gibt es eine Nullfolge, auf der das zweite Integral in (2.30) gegen Null geht. (A posteriori folgt, daß es auf jeder Nullfolge gegen Null geht.) Der Beweis von (2.28) und (2.29) beruht jeweils nur auf einer einzigen partiellen Integration, so daß wir uns darauf beschränken, (2.30) zu zeigen. Zun¨ achst ist rΔ(rϕ), AϕA = (N − 1)ϕ + 2x · ∇ϕ + r2 Δϕ, AϕA

(2.31)

= (N − 1)I1 () + 2x · ∇ϕ2L2 (A ) + N x · ∇ϕ, ϕA + Wegen r2 ϕΔϕ =

N 2 r Δϕ, ϕA + r2 Δϕ, x · ∇ϕA . 2

N

(r2 ϕϕxk )xk − r2 |∇ϕ|2 − 2ϕx · ∇ϕ

k=1

ergibt die Anwendung des Gaußschen Satzes in der Form von Satz B.6 N N x · ∇ϕ, ϕA + r2 Δϕ, ϕA 2 N 2 N =− ϕ(x)ϕ (x) dS(x) − r2 |∇ϕ(x)|2 dx . 2 2 |x|=

A

(2.32)

52


Des weiteren ist N

r2 (x · ∇ϕ)Δϕ =

(r2 (x · ∇ϕ)ϕxk )xk − 2(x · ∇ϕ)2

k=1

−r2

N

ϕxk (x · ∇ϕ)xk .

k=1

Aufgrund des Schwarzschen Satzes u ¨ber die Vertauschbarkeit partieller Ableitungen haben wir N N

r2 ϕxk (xj ϕxj )xk = r2 |∇ϕ|2 +

k=1 j=1

k=1

= also

1 2

N

r2 xj |∇ϕ|2

xj

3

j=1

|x|=

1 + 3 2

−

N 2 r |∇ϕ|2 , 2

(ϕ )2 (x) dS(x) − 2x · ∇ϕ2L2 (A )

r Δϕ, x · ∇ϕA = − 2

N N r2 2 ϕxk x xj j 2 j=1

N |∇ϕ(x)| dS(x) + 2

r2 |∇ϕ(x)|2 dx .

2

|x|=

A

Zusammen mit (2.31) und (2.32) ergibt dies die gew¨ unschte Relation (2.30). ur ein C > 0 auf Lemma 2.7.3. Es sei u ∈ C 2 (B1 (x0 )) eine Funktion, die f¨ B := B 12 (x0 ) der Ungleichung |Δu| ≤ C|u| gen¨ ugt und in x0 eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt. Dann gilt u = 0 auf B. ur x ∈ B gleich Eins und f¨ ur Beweis. Es sei X ∈ C 2 (RN ) eine Funktion, die f¨ 1 (C + 1) ≤ 1 ausf¨ a llt, so x ∈ RN \ B3/4 (x0 ) Null ist. Ist k ∈ N so groß, daß 2√ k gilt mit K := (−Δ + 1)X uL2 (RN \B) nach Lemma 2.7.2 1 r−k uL2 (B) ≤ r−k X u ≤ √ r1−k (−Δ + 1)X u 2 k 1 1−k (−Δ + 1)uL2 (B) + r1−k (−Δ + 1)X uL2 (RN \B) = √ r 2 k 1 ≤ √ (C + 1)r1−k uL2 (B) + 2k−1 K 2 k 1 1 −k ≤ r uL2 (B) + √ 2k−1 K , 2 2 k also

2 Aufgaben

53

1 2k uL2 (B) ≤ r−k uL2 (B) ≤ √ 2k−1 K . k 1 Wir haben somit uL2 (B) ≤ 2√ K f¨ ur alle hinreichend großen k ∈ N gezeigt. k Folglich ist uL2 (B) = 0, und die Behauptung ergibt sich aus der Stetigkeit von u.

Satz 2.7.4 (Claus M¨ uller). Es sei D ⊆ RN ein Gebiet und u ∈ C 2 (D) eine Funktion mit der Eigenschaft, daß f¨ ur jedes K ⊂⊂ D eine Zahl C > 0 existiert mit |Δu(x)| ≤ C|u(x)| f¨ ur alle x ∈ K. Dann besitzt u die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. Beweis. Sei x0 ∈ D eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung von D. Zu x ∈ D, x = x0 , gibt es einen in D liegenden Polygonzug P , der x0 mit x verbindet. Sei 0 < < 12 min{dist(P, ∂D), 1}. Es gibt dann Punkte x1 , . . . , xm−1 , xm = x auf P mit |xj−1 − xj | < . Nach Lemma 2.7.3 ist u auf jeder dieser Kugeln B (xj ) Null. Korollar 2.7.5. Es sei D ⊆ RN ein Gebiet und a : D → R lokal beschr¨ ankt ankt). Dann hat jede L¨ osung (also f¨ ur alle K ⊂⊂ D die Funktion a|K beschr¨ u ∈ C 2 (D) von −Δu + a(x)u = 0 die starke eindeutige Fortsetzbarkeitseigenschaft. S¨ atze u ¨ber schwache eindeutige Fortsetzbarkeit benötigt man bei der Untersuchung der Zahl der Knotengebiete von Eigenfunktionen elliptischer Gleichungen (vgl. [45, Kap. VI.6]). F¨ ur eine weitere Anwendung sei auf [58] verwiesen, wo in § 1.3 auch eine Motivation f¨ ur die Betrachtung des Operators A aus dem Beweis von Lemma 2.7.2 gegeben wird.

Aufgaben 2.1. Man beweise mittels vollst¨ andiger Induktion nach n ∈ N0 und ohne Benutzung komplexer Zahlen, daß die Zuordnungen R2 (x, y) → rn cos nφ

und R2 (x, y) → rn sin nφ ,

wobei (r, φ) die Polarkoordinaten von (x, y) sind, zwei Polynome u(x, y) bzw. v(x, y) auf R2 vom Grade n definieren, die den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ux (x, y) = vy (x, y), uy (x, y) = −vx (x, y) gen¨ ugen. Man folgere uxx + uyy = 0 und vxx + vyy = 0. 2.2. Es seien B eine reelle N ×N -Matrix, c ∈ RN , Q : RN → RN , x → Bx+c, und u ∈ C 2 (RN ). Man zeige

54


−Δ(u ◦ Q) = (L0 u) ◦ Q , wobei L0 := −

N

aik

i,k=1

∂2 ∂xi ∂xk

ist und die aik die Elemente der Matrix A := BB t sind. Insbesondere ist also Δ(u ◦ Q) = (Δu) ◦ Q, wenn B eine orthogonale Matrix ist. 2.3. Man verifiziere die Aussagen a)–c) der Bemerkung 2.1.5. 2.4. Man bestimme alle Funktionen u auf RN \ {0}, die sowohl rotationssymmetrisch (u(x) = f (|x|)) als auch harmonisch sind. Dazu leite man zunächst f¨ ur f ∈ C 2 (R+ ) die Relation Δu(x) = f (|x|) +

N −1 f (|x|) |x|

f¨ ur alle x ∈ RN \ {0} her.

2.5. Es sei u in der punktierten Kugel B˙ R (x0 ) := x ∈ RN : 0 < |x − x0 | < R harmonisch. Man zeige: N 0 )i angig von r. a) F¨ ur r ∈ (0, R) ist i=1 ∂Br (x0 ) (x−x |x−x0 | uxi (x) dS(x) unabh¨ b) Es ist

u(x) dS(x) = ∂Br (x0 )

c0 2−N r

+ d0 rN −1 , falls N ≥ 3

c0 r ln r + d0 r

, falls N = 2

mit Konstanten c0 , d0 . Die Konstante c0 ist der Wert des Integrals in a). Hilfe:

(i) F¨ ur 0 < r1 < r2 < R wende man auf 0 = r1 ≤|x−x0 |≤r2 Δu(x) dx den Gaußschen Satz an.

d u(x0 + rξ) dS(ξ) u (ii) Das Integral in a) stimmt mit rN −1 dr ¨berein. |ξ|=1 2.6. Es seien Ω ⊆ RN offen, Br (x) ⊂⊂ Ω und u ∈ C 2 (Ω). Man zeige u(y) dS(y) − [FN (r) − FN (|x − y|)]Δu(y) dy , ωN u(x) = r1−N ∂Br (x)

mit F2 (s) = ln s und FN (s) =

Br (x) 1 2−N 2−N s

f¨ ur N ≥ 3.

2.7. Man mache sich klar, daß Korollar 2.3.3 falsch wird, wenn D kein Gebiet ist. 2.8. Sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und u eine auf Ω harmonische Funktion, deren Gradient stetig auf Ω fortsetzbar ist. Man zeige mit Korollar 2.3.5, daß mindestens eine Maximumstelle von |∇u|2 auf ∂Ω liegt.

2 Aufgaben

55

2.9. a) Es sei Ω ⊂⊂ RN , u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), g := u|∂Ω und −Δu(x) + a(x)u(x) = 0 f¨ ur x ∈ Ω mit a > 0. Man zeige min{0, min g} ≤ u(x) ≤ max{0, max g} f¨ ur x ∈ Ω. b) Man mache sich an der gew¨ ohnlichen Differentialgleichung −u + u = 0 klar, daß man in (a) nicht min g ≤ u(x) ≤ max g erwarten darf. 2.10. a) Es seien A, B symmetrische und positiv semidefinite N ×N -Matrizen. Man zeige Spur (AB) ≥ 0. ur jedes b) Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. Weiter seien aik auf Ω stetig und f¨ x ∈ Ω sei die Matrix (aik (x)) symmetrisch und positiv semidefinit mit N daß jedes u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), das f¨ ur alle i=1 aii (x) > 0. Man zeige, N x ∈ Ω die Ungleichung − i,k=1 aik (x)uxi xk (x) ≥ 0 erf¨ ullt, eine seiner Minimumstellen auf ∂Ω hat. 2.11. a) Es sei Ω ⊆ RN offen und u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0. Man zeige u(x)

wN rN = N

r

u(y) dy − λ

|y−x|≤r

0

N −1

s1−N 0

u(y)dy ds d , |y−x|≤s

falls Br (x) ⊂⊂ Ω. b) Man folgere aus Teilaufgabe a), daß C 2 -Lösungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung bereits beliebig oft differenzierbar sind (vgl. Korollar 2.1.3). c) Man formuliere und beweise den lokalen Teil des ersten Harnackschen Satzes (vgl. Satz 2.1.6) f¨ ur L¨ osungen der Helmholtzschen Schwingungsgleichung, ohne die in Bemerkung 2.5.1 formulierte Mittelwerteigenschaft zu benutzen. Hierzu modifiziere man den Beweis aus 2.1.6 in der Weise, daß man mit Hilfe von Teilaufgabe a) zeigt, daß sämtliche Ableitungen lokal gleichm¨ aßig konvergieren. 2.12. Es sei Ω ⊆ RN offen, und λ > 0, u ∈ C 2 (Ω) und −Δu + λu = 0. Man zeige a uckgriff auf die ¨hnlich wie im Beweis des Satzes 2.5.2, d.h. ohne R¨ Mittelwertrelation (2.17), daß dann f¨ ur alle Br (x) ⊂⊂ Ω die Ungleichungen 1 N |u(x)| ≤ N −1 u(y) dS(y) , |u(x)| ≤ N u(y) dy r ωN |y−x|=r r ωN |y−x| 0 die Nullfunktion die einzige beschränkte L¨ osung u ∈ C 2 (RN ) der Gleichung −Δu + λu = 0 ist. Gilt diese Aussage auch f¨ ur λ < 0? 2.16. Man zeige: Sind u, v ∈ C 2 (RN ) L¨ osungen von −Δw + λw = 0 in RN mit λ < 0 und ist v ≤ u, so gilt v = u. Ist dies auch f¨ ur λ > 0 richtig? Hilfe: Man u ¨berlege sich, daß im Falle λ < 0 die Funktion Φ(N, λ; ·) aus Bemerkung 2.5.1 auch negative Werte annimmt. Zum Vergleich: Sind u, v auf RN harmonische Funktionen mit v ≤ u, so ist nach Korollar 2.2.2 v = u + const. 2.17. Harnackabsch¨ atzung f¨ ur die Helmholtzsche Schwingungsgleichung. Es sei λ ∈ R, λ = 0, und Ω ⊆ RN offen. a) Es sei R > 0 und im Falle λ < 0 kleiner als die erste positive Nullstelle von Φ(N, λ; ·). Man zeige, daß es Zahlen c1 (R) > 1, c2 (R) < 0 mit c1 (r) → 3N

,

c2 (r) → 1 − 3N

(r → 0)

so gibt, daß f¨ ur jede L¨ osung u von −Δu + λu = 0 in BR (x0 ) u(x) ≤ c1 (R)u(y) + c2 (R) inf u BR (x0 )

ur jede auf BR (x0 ) harmof¨ ur alle x, y ∈ B R (x0 ) gilt. Zum Vergleich: F¨ 4 nische Funktion u kann durch eine leichte Modifikation des Beweises von Korollar 2.2.3 gezeigt werden, daß f¨ ur alle x, y ∈ B R (x0 ) gilt

u(x) ≤ 3 u(y) + 1 − 3 N

N

4

inf u .

BR (x0 )

2 Aufgaben

57

b) Man zeige, daß es zu zusammenh¨ angendem Ω0 ⊂⊂ Ω ein c0 > 1 gibt, so daß alle nichtnegativen u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0 die Ungleichung u(x) ≤ c0 u(y) ullen. f¨ ur alle x, y ∈ Ω0 erf¨ 2.18. Sei Ω ⊆ RN offen, u ∈ C 2 (Ω) mit −Δu + λu = 0 f¨ ur λ > 0. Man zeige, daß u in Ω weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum annehmen kann. 2.19. Seien Ω ⊆ RN offen, λ ∈ R und f : Ω → R. Man zeige: Sind u, v zwei L¨ osungen von −Δw + λw = f in Ω mit v ≤ u und existiert ein x0 ∈ Ω mit ur alle x aus derjenigen Zusammenhangsv(x0 ) = u(x0 ), so ist v(x) = u(x) f¨ alt. komponente von Ω, die x0 enth¨ 2.20. Es sei > 0. Man zeige, daß u(x) :=

e−|x| 0

−

f¨ ur 0 < |x| < 1 f¨ ur x = 0

eine Funktion aus C 2 (B1 (0)) definiert, die mit ihren Ableitungen im Ursprung eine Nullstelle unendlichhoher Ordnung besitzt und auf B1 (0) \ {0} der Differentialgleichung −Δu + a(x)u = 0 mit einer Funktion a gen¨ ugt, die f¨ ur 0 < p < N2 bei geeignetem > 0 die Eigenschaft |a(x)|p dx < ∞ B1 (0)

hat.

3 Das Dirichletproblem fu ¨ r harmonische Funktionen

Im Anschluß an die Poissonsche Integralformel (Satz 3.2.1) wird die Perronsche Methode zur L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur harmonische Funktionen dargestellt, zun¨ achst f¨ ur beschr¨ ankte Gebiete (Sätze 3.3.6 und 3.3.9) und dann f¨ ur unbeschr¨ ankte (Satz 3.6.3). Kriterien f¨ ur die Regularität eines Randpunktes geben die S¨ atze 3.4.2 und 3.4.3. Satz 3.5.1 verallgemeinert den Riemannschen Hebbarkeitssatz f¨ ur holomorphe Funktionen. Satz 3.6.1 ist ein zentraler Eindeutigkeitssatz f¨ ur unbeschr¨ ankte Gebiete. Satz 3.7.1 von Giesecke wird erst in den Kapiteln 6 und 10 ben¨ otigt.

3.1 Einfu at und der Fall ¨hrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ der Kreisscheibe Das Dirichletsche Randwertproblem f¨ ur die Laplacegleichung in R3 trat in der Einleitung am Ende von Abschnitt 1.3 im Zusammenhang mit der Potentialtheorie elektrostatischer Felder auf. F¨ ur RN wird es gewöhnlich so formuliert: Gegeben sei Ω ⊂⊂ RN und ein stetiges g : ∂Ω → R. Gesucht ist ein stetiges u : Ω → R, das auf Ω harmonisch ist und auf ∂Ω mit gu ¨bereinstimmt. Man nennt u eine L¨ osung des Dirichletproblems. Hiermit verbindet man traditionellerweise ein ganzes Programm von Aufgaben. Dazu gehören Existenzbeweise, das sind Nachweise, daß mindestens eine Lösung existiert; Konstruktionen von L¨ osungen; Eindeutigkeitsbeweise, die zeigen, daß es höchstens eine L¨ osung geben kann; Stabilit¨ atsaussagen, die klären, wie sehr sich die L¨ osung ¨ andert, wenn man die Randdaten g oder die Gestalt von Ω verändert; und viele weitere Fragen, die sich mit den Eigenschaften der Lösungen befassen. Was die L¨ osbarkeit des Dirichletschen Randwertproblems angeht, gibt uns die Mittelwerteigenschaft, welche die L¨ osung ja auf Ω haben muß, ein Gef¨ uhl E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 3,

60

3 Das Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen

f¨ ur deren Schwierigkeit. Man ist eher geneigt zu verneinen, daß sich jede stetige Funktion g : ∂Ω → R stetig so auf Ω fortsetzen läßt, daß die Fortsetzung die Mittelwerteigenschaft hat. F¨ ur den sehr speziellen Fall, daß Ω die Einheitskreisscheibe ist, werden wir die L¨ osbarkeit bereits weiter unten in Bemerkung 3.1.8 bejahen k¨ onnen. Allgemeineres folgt dann in den Abschnitten 3.2, 3.3, 3.5 und 3.6. Beträchtlich leichter sind Eindeutigkeit und Stabilität, weil man bei solchen Fragen von der Existenz von L¨ osungen mit jenen starken inneren Eigenschaften ausgeht und diese Eigenschaften ausnutzen kann. Das ist schon ugung anders, wenn man die starke Eigenschaft u ∈ C 0 (Ω) nicht mehr zur Verf¨ hat (siehe z.B. Korollar 3.5.4 und Bemerkung 3.5.5). Satz 3.1.1 (Der Eindeutigkeitssatz f¨ ur das Dirichletproblem). Es sei ochstens eine stetige Ω ⊂⊂ RN , und g : ∂Ω → R sei stetig. Dann gibt es h¨ Funktion u : Ω → R, die auf Ω harmonisch ist und auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Beweis. Angenommen, u und v seien zwei derartige Funktionen. Dann ist ihre Differenz w := u − v auf Ω stetig und auf Ω harmonisch. Nach dem schwachen Minimumprinzip 2.3.4 hat w eine Minimumstelle auf ∂Ω. Es ist aber w|∂Ω = 0. Daher ist min w = 0. Es ist u − v ≥ min(u − v) = min w. Mithin ist u ≥ v. Da es auf die Reihenfolge der Funktionen u und v nicht ankam, ist auch v ≥ u bewiesen. Folglich ist u = v. Satz 3.1.2 (Der Stabilit¨ atssatz f¨ ur das Dirichletproblem). Es sei Ω ⊂⊂ RN , u ∈ C 0 (Ω), v ∈ C 0 (Ω), u und v auf Ω harmonisch; es sei > 0 und |u(y) − v(y)| ≤ f¨ ur alle y ∈ ∂Ω. Dann ist |u(x) − v(x)| ≤ f¨ ur alle x ∈ Ω. Beweis. Nach dem schwachen Minimumprinzip 2.3.4 liegt auf ∂Ω eine Minimumstelle von u−v. Wegen − ≤ u(y)−v(y) f¨ ur alle y ∈ ∂Ω ist das Minimum ≥ −. Analog ist das Maximum von u − v h¨ ochstens . Korollar 3.1.3 (Der erste Harnacksche Satz). 1 Es sei Ω ⊂⊂ RN , und (un ) sei eine Folge stetiger Funktionen un : Ω → R, die auf Ω harmonisch sind. Wenn (un |∂Ω ) auf ∂Ω gleichmäßig konvergiert, dann konvergiert (un ) auf Ω gleichmäßig gegen eine auf Ω harmonische Funktion u, die auf Ω stetig ist. Jede Ableitung konvergiert in Ω lokal gleichm¨ aßig gegen die Ableitung von u. ur n, k ≥ n0 und alle Beweis. Zu > 0 gibt es n0 , so daß |un (y) − uk (y)| ≤ f¨ ur n, k ≥ n0 y ∈ ∂Ω. Nach dem Stabilit¨ atssatz ist dann |un (x) − uk (x)| ≤ f¨ und alle x ∈ Ω. Also konvergiert (un ) auf Ω gleichmäßig gegen eine Funktion u ∈ C 0 (Ω). Nach Satz 2.1.6 ist sie auf Ω harmonisch, und es konvergieren die abgeleiteten Folgen auf Ω lokal gleichm¨ aßig gegen die entsprechenden Ableitungen von u. 1

Harnack [97]. Man vergleiche auch die Fußnoten zu Satz 2.1.6 und 2.2.4.

3.1 Einf¨ uhrung: Eindeutigkeit, Stabilit¨ at und der Fall der Kreisscheibe

61

Bemerkung 3.1.4. Offenbar gew¨ ahrleistet das schwache Minimumprinzip auch, daß die L¨ osungen des Dirichletproblems monoton von den Randdaten ur y ∈ ∂Ω, dann ist u1 (x) ≥ u2 (x) f¨ ur x ∈ Ω. abh¨ angen: Wenn g1 (y) ≥ g2 (y) f¨ Ein Blick auf den zweiten Harnackschen Satz 2.2.4 legt die Frage nahe, ob die Konvergenz einer monoton fallenden Folge (gn ) von Randdaten gn : ∂Ω → R auch die Konvergenz der zugeh¨ origen L¨ osungen der Dirichletschen Randwertprobleme zur Folge hat. Wenn die gn eine gemeinsame untere Schranke haben, also nach dem Minimumprinzip auch die un , konvergieren diese in Ω gegen eine harmonische Funktion; ist lim gn ein stetiges g : ∂Ω → R, dann konvergiert (gn ) nach einem Satz von U. Dini (siehe etwa [337, p. 250 f.]) gleichmäßig, und der erste Harnacksche Satz ist anwendbar. Bemerkung 3.1.5 (Bemerkung zum Stabilit¨ atssatz). Der Stabilitätssatz wird h¨ aufig auch der Satz u ¨ber die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Randdaten genannt. Er hat prinzipielle Bedeutung f¨ ur die Anwendbarkeit des Dirichletproblems auf Fragen der Physik und f¨ ur die näherungsweise Berechnung von L¨ osungen. Hierauf hat besonders Hadamard [92] hingewiesen. Was die Physik angeht, so muß die physikalische Aussage des mathematischen Modells experimentell u ufbar sein. Ordnet man z.B. einem ¨berpr¨ elektrischen Feld E in Ω ⊂⊂ R3 die Dirichletsche Randwertaufgabe Δu = 0 in Ω, u|∂Ω = g, als mathematisches Modell zu, indem man behauptet, daß deren L¨ osung u mit dem Potential Φ von E u ¨bereinstimmt, wenn g = Φ|∂Ω ist, so w¨ are dies nicht experimentell nachpr¨ ufbar, wenn kleine Abweichungen in g große oder gar sprunghafte Unterschiede f¨ ur u zur Folge hätten; denn man kann in das Modell nur ein bis auf Meßungenauigkeiten von Φ|∂Ω bekanntes g f¨ ur die Berechnung von u einsetzen. Der Stabilitätssatz versichert, daß kleine Abweichungen bei g auch nur kleine Abweichungen bei u zur Folge haben und gibt sogar quantitative Fehlerschranken an. Wenn man in diesem Beispiel das Dirichletproblem aber nicht nur als ein Modell f¨ ur die Bestimmung des elektrostatischen Potentials Φ in Ω, sondern auch als Modell f¨ ur die Bestimmung von E = − grad Φ in Ω anbieten m¨ ochte, dann kommt es auch darauf an, ob kleine Abweichungen bei g nur kleine Abweichungen bei grad u zur Folge haben. Die innere A-Priori-Absch¨ atzung von Satz 3.1.6 gewährleistet dies in der Tat, allerdings nicht gleichm¨ aßig auf Ω, wie es f¨ ur u der Fall war, sondern gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω: Satz 3.1.6. Wenn u und v L¨ osungen von Δu = 0 auf Ω ⊂⊂ RN , u|∂Ω = g, ur jedes Ω ⊂⊂ Ω und x ∈ Ω bzw. Δv = 0, v|∂Ω = h sind, dann ist f¨ √ N N max |g − h| . | grad u(x) − grad v(x)| ≤ dist(Ω , ∂Ω) Beweis. Man folgert zun¨ achst aus dem Stabilitätssatz 3.1.2, daß w := u − v ugt. F¨ ur x ∈ Ω liefert der Absch¨ atzung |w(y)| ≤ max |g −h| f¨ ur alle y ∈ Ω gen¨ Satz 2.1.7 dann: √ √ N max |g − h| . | grad w(x)| ≤ N max |wxi (x)| ≤ N 1≤i≤N dist(Ω , ∂Ω)

62


Bemerkung 3.1.7. Es liegt die Frage nahe, ob nur unsere Beweistechnik zu einer schlechten Absch¨ atzung am Rande gef¨ uhrt hat, oder ob es tatsächlich vorkommt, daß der Gradient einer harmonischen Funktion h am Rande von ankt ist, wenn h L¨ osung des Dirichletproblems in Ω ist. Ω ⊂⊂ RN unbeschr¨ Selbst wenn die Berandung von Ω sehr glatt ist, kann dieses eintreten, wie wir ¨ in der auf Bemerkung 3.1.8 beruhenden Ubungsaufgabe 3.20 sehen werden. Die Untersuchung, wann bei L¨ osungen des Dirichletproblems glattes Verhalten der Ableitungen am Rande vorliegt, wird sp¨ ater breiten Raum einnehmen. Bemerkung 3.1.8. Ist Ω die Einheitskreisscheibe E := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1} , so k¨ onnen wir die auf ∂Ω = ∂E gegebene stetige Funktion g als 2π-periodische Funktion G : R → R auffassen, G(t) = g(cos t, sin t) (t ∈ R) , und ihre Fourierkoeffizienten 1 2π G(t) cos kt dt, ak := π 0

bk :=

1 π

2π

G(t) sin kt dt

(3.1)

0

bilden. Sind (r, ϕ) die Polarkoordinaten von (x, y) ∈ E, so definiert nach Aufgabe 3.1 ∞

h(x, y) = H(r, ϕ) =

a0 k + r (ak cos kϕ + bk sin kϕ) 2

(3.2)

k=1

eine in E harmonische Funktion. F¨ ur r = 1 ist (3.2) die Fourierreihe von G; diese muß jedoch nicht konvergieren, da g ja nur als stetig vorausgesetzt ´r [153, §§ 1,2] läßt sich G jedoch ist [153, § 18]. Nach dem Satz von Feje gleichm¨ aßig durch trigonometrische Polynome approximieren, nämlich durch die Folge der arithmetischen Mittel aus den Teilsummen a0

+ (ak cos kϕ + bk sin kϕ) sn (G, ϕ) := 2 n

k=1

der Fourierreihe von G, d.h. es ist lim

n→∞

s1 (G, ϕ) + . . . + sn (G, ϕ) = G(ϕ) n

gleichm¨ aßig in 0 ≤ ϕ ≤ 2π. Die Partialsummen von (3.2) a0 k + r (ak cos kϕ + bk sin kϕ) 2 n

hn (x, y) = Hn (r, ϕ) =

k=1

(3.3)

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel.

63

sind in E stetig und in E harmonisch. Dasselbe gilt dann f¨ ur ihre arithmetischen Mittel h1 (x, y) + . . . + hn (x, y) , (3.4) n die auf dem Rande ∂E nach Konstruktion gleichmäßig gegen G konvergieren. Nach dem ersten Harnacksatz (Korollar 3.1.3) konvergieren sie in E ullt, gleichm¨ aßig gegen ein in E harmonisches u ∈ C 0 (E), das u|∂E = g erf¨ ur also das Dirichletsche Randwertproblem Δu = 0 in E, u|∂E = g löst. F¨ 0 ≤ r < 1 hat (3.4) den Grenzwert (3.2), da ja dann (3.2) selbst konvergent ist. Die Reihe (3.2) l¨ aßt sich also auf E als stetige Funktion mit den Randwerten g fortsetzen unabh¨ angig davon, ob die Fourierreihe von G konvergiert oder nicht. Einsetzen von (3.1) in (3.2) liefert nach Aufgabe 3.2 f¨ ur 0 ≤ r < 1 1 H(r, ϕ) = 2π

2π 0

1 − r2 G(t) dt . 1 − 2r cos(t − ϕ) + r2

(3.5)

Dies ist die Poissonsche Integralformel f¨ ur die Einheitskreisscheibe [266]. Prinur zipiell kann man f¨ ur die Einheitskugel im RN , N ≥ 3, analog vorgehen (f¨ N = 3 wurde dies von Poisson in [267] gemacht), wobei man nun allerdings Kenntnisse u otigt [215, § 9]. Im nächsten Paragra¨ber Kugelfunktionen ben¨ phen wird die Poissonsche Integralformel in v¨ ollig anderer Weise betrachtet werden. Daß die Fourierreihe einer stetigen Funktion divergent sein kann, wurde erst 1873 von Du Bois-Reymond durch ein Beispiel belegt [55], [153, § 18]. Poissons Interpretation [268, pp. 406, 408 f.] von limr→1 H(r, ϕ) als Fourierreihe von G heißt heute Abel-Poissonsche Summationsmethode divergenter Reihen. (Der Name Abel erscheint wegen des Zusammenhangs mit dem Abelschen Grenzwertsatz, obwohl Abel die Summation divergenter Reihen fremd war.)

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem fu r die Kugel. ¨ Mit dem folgenden Satz erreichen wir eine explizite Lösung des Dirichletschen Randwertproblems Δu = 0 in B,

u|∂B = g

f¨ ur die Kugel B ⊆ R . Er geht, wie in Abschnitt 3.1 bereits erwähnt, auf Poisson zur¨ uck ( [266] f¨ ur N = 2, [267] f¨ ur N = 3). Sein Beweis wurde von H.A. Schwarz [302] 2 im Sinne der Weierstraßschen Strenge präzisiert. N

2

Beim Wiederabdruck dieser Arbeit in seinen gesammelten Abhandlungen gab Schwarz in einem Zusatz eine geometrische Interpretation der Formel (3.5). Siehe auch [220].

64


Diese Arbeit macht auch den damaligen Stand solcher Begriffsbildungen wie Stetigkeit einer Funktion von zwei Ver¨ anderlichen oder gleichmäßige Stetigkeit deutlich. Schwarz benutzte die von B. Riemann [280] in dessen Inauguraldissertation u ¨ber Grundlagen der Funktionentheorie bewiesenen Greenschen Integralformeln, um mit einer Greenschen Funktion (vgl. Abschnitt 4.4) zun¨ achst zu einer Darstellungsformel f¨ ur Funktionen zu gelangen, die auf einer Kreisscheibe harmonisch sind (Satz 3.2.3), bevor er sich dem Beweis von Satz 3.2.1 zuwandte. Bei dieser die Lehrbuchliteratur weitgehend bestimmenden Vorgehensweise erscheint das Integral (3.7) als Spezialfall der Darstellungsformel f¨ ur Randwert Eins. Der hier gegebene Beweis verzichtet auf die Verwendung der Greenschen Funktion. Der zentrale Beweisschritt besteht nun darin, (3.7) zu etablieren. Hierzu verwenden wir die Symmetrie der Kugel und das schwache Maximum-Minimumprinzip. (F¨ ur N = 2 oder N = 3 könnte das Integral sofort auf elementare Weise berechnet werden.) Eine andere Möglichkeit best¨ unde darin zu zeigen, daß die rechte Seite von (3.7) eine f¨ ur |x| < R harmonische Funktion ist, die nur von |x| abhängt, also nach dem Ergebnis von Aufgabe 2.4 eine Konstante ist [6, pp. 2, 7]. (Eine andere Beweisvariante findet man in [9, p. 14].) Satz 3.2.1 (Die Poissonsche Integralformel). Es seien B := BR (0) ⊆ RN, g : ∂B → R stetig und ⎧ |y|2 − |x|2 ⎪ ⎨ 1 g(y) dS(y) f¨ ur |x| < R |y − x|N u(x) := RωN . (3.6) ∂B ⎪ ⎩ g(x) f¨ ur |x| = R Dann ist u harmonisch in B und stetig auf B. Beweis. I. Wir wissen, daß u in B harmonisch ist, wenn wir zeigen, daß u auf jedem U ⊂⊂ B harmonisch ist. Zu U ⊂⊂ B gibt es es δ > 0, so daß |x−y| ≥ δ f¨ ur alle x ∈ U , y ∈ ∂B. Daher ist der Integrand f¨ ur festes y ∈ ∂B beliebig oft nach x ∈ U differenzierbar, und alle Ableitungen sind beschränkte, stetige Funktionen von (x, y) ∈ U × ∂B. Gem¨ aß Satz A.5 ist das Integral auf U beliebig oft differenzierbar und |y|2 − |x|2 |y|2 − |x|2 g(y) dS(y) = Δ g(y) dS(y) . Δu(x) = Δx x |y − x|N |y − x|N ∂B

∂B

Nunmehr gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Funktion x → |y − x|−N (|y|2 − |x|2 ) auf U harmonisch ist bei festem y ∈ ∂B. Es ist |y|2 − |x|2 = |y|2 − |y + (x − y)|2 = −2y · (x − y) − |x − y|2 . Daher ist f¨ ur N ≥ 3 N |y|2 − |x|2 2 ∂ 1 yi = − − , N N −2 |y − x| 2 − N i=1 ∂xi |x − y| |x − y|N −2

3.2 Die Poissonsche Integralformel l¨ ost das Dirichletproblem f¨ ur die Kugel.

65

und f¨ ur N = 2 2

|y|2 − |x|2 ∂ = −2 yi ln |x − y| − 1 , |y − x|2 ∂x i i=1

Dies sind Summen von auf U harmonischen Funktionen, weil nach Aufgabe 2.4 die Abbildungen x → |x − y|2−N , N ≥ 3, und x → ln |x − y|, N = 2, harmonisch sind und damit auch ihre Ableitungen (vgl. Korollar 2.1.3). II. F¨ ur den Beweis der restlichen Behauptung benötigen wir die Identität |y|2 − |x|2 1 dS(y) f¨ ur |x| < R . (3.7) 1= RωN |y − x|N ∂B

Sie ist eine einfache Konsequenz des schwachen Minimumprinzips, Satz 2.3.4. Das Integral ist n¨ amlich nach I. eine harmonische Funktion f : B → R, so daß f¨ ur < R Punkte x1 , x2 ∈ ∂B (0) existieren mit f (x2 ) ≤ f (x) ≤ f (x1 ) f¨ ur alle |x| ≤ . Zu beliebigem x , x ∈ RN mit |x | = |x | = gibt es eine orthogonale Matrix A mit x = Ax , so daß 1 1 |y|2 − |Ax |2 |Ay|2 − |Ax |2 f (x ) = dS(y) = dS(y) = f (x ) RωN |y − Ax |N RωN |Ay − Ax |N ∂B

∂B

wegen der Invarianz des Integrals unter der orthogonalen Substitution y → Ay (vgl. Folgerung B.3 b)) und wegen der L¨ angenerhaltung |Az| = |z|. Also ist 1 |y|2 dS(y) = 1 f¨ ur alle |x| ≤ , f (x) = f (0) = RωN |y|N |y|=R

und damit f (x) = 1 f¨ ur |x| < R. III. Es ist u ∈ C 0 (B) bewiesen, sobald nur ur alle y0 ∈ ∂B lim u(x) = g(y0 ) f¨

x→y0 x∈B

(3.8)

gezeigt ist. Mittels der in II. gewonnenen Darstellung der Eins ist 1 |y|2 − |x|2 u(x) − g(y0 ) = (g(y) − g(y0 )) dS(y) f¨ ur |x| < R . RωN |y − x|N ∂B

Zu > 0 gibt es wegen der Stetigkeit von g ein δ > 0, so daß |g(y) − g(y0 )| < /2 f¨ ur alle y ∈ ∂B mit |y − y0 | < 2δ. Zerlegt man die Integration u ¨ber ∂B gem¨ aß |y − y0 | < 2δ und |y − y0 | ≥ 2δ, so läßt sich im ersten Integral der Betrag des Integranden majorisieren durch

66


|y|2 − |x|2 /2 , |y − x|N und man vergr¨ oßert weiter, wenn man anschließend wieder u ¨ber ganz ∂B integriert. Dies ergibt /2, wieder wegen der in II. gewonnenen Darstellung der Eins. Im zweiten Integral kann man |g(y) − g(y0 )| durch eine Zahl M > 0 absch¨ atzen. Man erh¨ alt so M R2 − |x|2 dS(y) f¨ ur |x| < R . |u(x) − g(y0 )| ≤ + 2 RωN |y − x|N ∂B |y−y0 |≥2δ

F¨ ur |x − y0 | < δ und |y − y0 | ≥ 2δ ist |y − x| ≥ δ und (R + |x|)(|y0 | − |x|) 2R|y0 − x| R2 − |x|2 = ≤ . N N |y − x| |y − x| δN Daher ist schließlich 2M RN −1 + |y0 − x| < 2 δN % δ N . f¨ ur x ∈ B mit |x − y0 | < min δ, 4M RN −1 |u(x) − g(y0 )| ≤

Bemerkung 3.2.2. Ist allgemeiner B die Kugel BR (x0 ) ⊆ RN , PB (x, y) :=

1 R2 − |x − x0 |2 RωN |y − x|N

(x ∈ B, y ∈ ∂B)

(diese Funktion heißt Poisson-Kern f¨ ur B) und g : ∂B → R eine meßbare und beschr¨ ankte Funktion, so zeigt der Beweis von Satz 3.2.1, daß ⎧ ⎪ ⎨ PB (x, y)g(y) dS(y) f¨ ur x ∈ B u(x) := ∂B ⎪ ⎩ g(x) f¨ ur x ∈ ∂B in B harmonisch und in jedem Stetigkeitspunkt von g stetig ist. F¨ ur N = 2 wurden die Voraussetzungen an g namentlich durch Fatou weiter abgeschw¨ acht. [279] unterrichtet dar¨ uber in historischem Kontext. Erwähnenswert ist vielleicht noch, daß im Fall N = 2 das Integral in (3.6) durch eine Variablentransformation in ein Integral u uhrt werden kann, das es gestattet, ¨berf¨ die Relation (3.8) durch Vertauschen von Limes und Integral zu erschließen (vgl. [206]). Der nun folgende Satz unterscheidet sich dadurch von dem vorhergehenden, daß er nicht das Dirichletproblem l¨ ost, sondern lediglich eine Darstellung der Funktion u in der Kugel liefert, wenn u bereits u ¨ber die Kugel hinaus harmonisch ist. Diese Darstellung ist ein Analogon zur Cauchyschen Integralformel f¨ ur holomorphe Funktionen.

3.3 Perronsche L¨ osungsmethode f¨ ur beschr¨ ankte Ω

67

Satz 3.2.3. Es sei u auf Ω harmonisch und PB der Poissonkern f¨ ur B := ur alle x ∈ B BR (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann gilt f¨ u(x) = PB (x, y)u(y) dS(y) . ∂B

Beweis. Das Integral auf der rechten Seite definiert nach Satz 3.2.1 eine Funkur die tion v, die auf BR (x0 ) harmonisch und auf BR (x0 ) stetig ist und f¨ v|∂B = u|∂B gilt. Nach Satz 3.1.1 ist v = u in B. Bemerkung 3.2.4. Wir haben Satz 3.2.1 und damit die Lösbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur die Kugel bewiesen, indem wir von den voraufgegangenen Ergebnissen des Buches lediglich das schwache Minimumprinzip benutzt haben. Gleiches gilt f¨ ur Satz 3.2.3. Da wir aber f¨ ur das schwache Minimumprinzip in 2.3.4 auch einen solchen Beweis gebracht haben, der keine Voruntersuchungen ben¨ otigte, insbesondere nicht von der Mittelwerteigenschaft Gebrauch machte, w¨ aren wir in der Lage gewesen, das Kapitel u ¨ber harmonische Funktionen ganz anders, n¨ amlich mit dem schwachen Minimumprinzip und dem Poissonintegral, zu er¨ offnen. Man bekommt die Mittelwerteigenschaft harmonischer Funktionen aus Satz 3.2.3, indem man x = x0 spezialisiert. Die C ∞ Eigenschaft folgt ebenfalls aus diesem Satz, sogar die Analytizität; siehe Aufgabe 3.4. Daß Funktionen mit Mittelwerteigenschaft harmonisch sind, ergibt sich bei einem solchen Aufbau wie folgt. In einer Kugel B gibt es nach Poisson eine harmonische Funktion h, die auf ∂B mit u u ¨bereinstimmt. Die Differenz u − h hat die Mittelwerteigenschaft, und es folgt das starke MaximumMinimumprinzip f¨ ur u − h wie zu Beginn des Abschnitts 2.3. Wendet man Satz 2.3.2 auf u − h und h − u an, so folgt aus (u − h)|∂B = 0 schon u − h = 0 auf ganz B. Somit stimmen u und h in ganz B u ¨berein, was die Harmonizität von u in B beweist.

3.3 Superharmonische Funktionen und die Perronsche L¨ osungsmethode fu anktes Ω ⊆ RN ¨r beschr¨ Zun¨ achst sei Ω ⊆ RN lediglich offen. Es sei u : Ω → R stetig und B := andern jetzt u in der Kugel B ab, und zwar ersetzen wir BR (x0 ) ⊂⊂ Ω. Wir ¨ u|B durch diejenige auf B harmonische Funktion, welche auf B stetig ist und auf dem Rande von B mit u u ¨bereinstimmt. Sie wird vom Poissonintegral (Satz 3.2.1) geliefert. Verwenden wir noch die Abk¨ urzungen aus Bemerkung 3.2.2, so ist das Ergebnis die Funktion QB u : Ω → R mit ⎧ ⎨ PB (x, y)u(y) dS(y) f¨ ur x ∈ B (QB u) (x) = . ∂B ⎩ u(x) f¨ ur x ∈ Ω\B ur x ∈ Ω\B erfolgen, Ist u sogar auf Ω stetig, so kann die obere Festlegung f¨ wovon beim Beweis von Satz 3.3.6 Gebrauch gemacht wird.

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Definition 3.3.1. Es sei Ω ⊆ RN offen. u : Ω → R heißt superharmonisch ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω gilt. (in oder auf Ω), wenn u stetig ist und QB u ≤ u f¨ Bemerkung 3.3.2. Es sei u : Ω → R superharmonisch und B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Ist dann h ∈ C 2 (B)∩C 0 B eine harmonische Funktion mit h = u auf ∂B, so gilt h ≤ u auf B, da ja aufgrund der Poissonschen Integralformel h = art die Namengebung. Andere Charakterisierungen QB u auf B ist. Dies erkl¨ superharmonischer Funktionen f¨ ugen wir am Schluß dieses Abschnitts an. ¨ Der Grund f¨ ur den Ubergang von harmonischen zu superharmonischen Funktionen liegt in der gr¨ oßeren Flexibilit¨ at der letzteren. Zum Beispiel ist die letzte Aussage von Satz 3.3.4, der mit Satz 3.3.3 bereits alle Aussagen u ¨ber superharmonische Funktionen etabliert, die wir f¨ ur die Perronsche Methode ben¨ otigen, f¨ ur harmonische Funktionen im allgemeinen nicht richtig. Satz 3.3.3. F¨ ur superharmonische Funktionen gilt das starke und somit auch das schwache Minimumprinzip. Konkret sind damit die beiden folgenden Aussagen gemeint. a) Sei Ω ⊆ RN offen und u : Ω → R sei superharmonisch. Dann ist die Menge der Minimumstellen von u offen. b) Sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer und u ∈ C 0 (Ω) auf Ω superharmonisch. Dann liegt mindestens eine Minimumstelle von u auf dem Rand ∂Ω von Ω. Beweis. a) Es sei x0 ∈ Ω eine Minimumstelle von u. Es sei BR (x0 ) ⊂⊂ Ω, 0 < r < R und B := Br (x0 ). Dann hat w := QB u eine Minimumstelle, die in B liegt, denn es ist ja w eine stetige Funktion mit den Eigenschaften w ≤ u,

w|∂B = u|∂B .

ur x ∈ B nach dem starken MiDa w|B harmonisch ist, ist w(x) = const f¨ nimumprinzip (Korollar 2.3.3). Dann ist u|∂B = const und u(x) = w(x0 ) ≤ ur x ∈ ∂B. Mithin besteht ∂B aus lauter Minimumstellen von u(x0 ) ≤ u(x) f¨ u, und dann auch BR (x0 ). b) u besitzt, da Ω kompakt ist, mindestens eine Minimumstelle x0 ∈ Ω. Liegt x0 in Ω, so folgt wie zu Beginn des Abschnitts 2.3 (vgl. Satz 2.3.2), daß u auf der Zusammenhangskomponente Z von Ω konstant ist, welche x0 enthält. Somit wird das Minimum auch auf ∂Z ⊆ ∂Ω angenommen. Da ∂Z wegen der Beschr¨ anktheit von Ω nicht die leere Menge sein kann, ist die Behauptung bewiesen. Satz 3.3.4. Es sei Ω ⊆ RN offen. a) Wenn u auf Ω superharmonisch ist und B ⊂⊂ Ω eine Kugel, dann ist auch QB u auf Ω superharmonisch. b) Es sei S eine nichtleere Menge auf Ω superharmonischer Funktionen. Wenn u := inf S auf Ω stetig ist, dann ist u superharmonisch auf Ω.


69

c) Das Minimum von endlichvielen auf Ω superharmonischen Funktionen ist superharmonisch auf Ω. Beweis. a) Es ist f¨ ur Kugeln K ⊂⊂ Ω zu zeigen, daß QK QB u ≤ QB u ist. Wegen QB u ≤ u ist QK QB u ≤ QK u nach Aufgabe 3.7 a). Ferner ist (QK u) (x) ≤ ur x ∈ / B. F¨ ur x ∈ / K ist (QK QB u) (x) = (QB u) (x). Daher u(x) = (QB u) (x) f¨ bleibt nur noch x ∈ K ∩ B zu untersuchen. Auf K ∩ B ist h := QB u − QK QB u eine harmonische Funktion. Wie wir soeben gesehen haben, ist h(x) ≥ 0 f¨ ur x ∈ ∂(K ∩ B). Aufgrund des schwachen Minimumprinzips ist daher h ≥ 0 auf K ∩ B. b) Es sei v ∈ S und B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Dann ist u ≤ v und folglich ur alle v, also auch f¨ ur das QB u ≤ QB v. Wegen QB v ≤ v ist dann QB u ≤ v f¨ Infimum u. c) Dies folgt sofort aus b), da das Minimum von endlichvielen stetigen Funktionen stetig ist. Bemerkung 3.3.5. Der zu Ende der historischen Einleitung in Kapitel 1 ´ zur Lösung des Dirichleterw¨ ahnten méthode de balayage von Poincare schen Problems lagen bereits, wenn auch etwas verborgen, superharmonische Funktionen zugrunde [260, p. 234]. Explizit treten sie zum erstenmal bei Hartogs [99, § 8] auf, und zwar in Zusammenhang mit den Konvergenzradien analytischer Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen. Die Benen´ und F. Riesz [272]; Perron selbst nung findet sich erstmals bei T. Rado spricht von Oberfunktionen. Lebesgue [176] nennt Funktionen u ∈ C 2 , die Δu ≤ 0 erf¨ ullen, superharmonisch. Im u ¨brigen sei auf die zweibändige Monographie [101, 102] verwiesen. Nun sei die nichtleere,offene Menge Ω beschränkt und g : ∂Ω → R stetig. osung des Dirichletproblems Ist dann h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω L¨ Δh = 0 auf Ω,

h = g auf ∂Ω ,

so liegt h in der Menge P (g) := v ∈ C 0 (Ω): v ist auf Ω superharmonisch, v|Ω ≤ max g, v|∂Ω ≥ g , denn jede harmonische Funktion ist superharmonisch, und es ist h ≤ max g ¨ aufgrund des schwachen Maximumprinzips. Uberdies erf¨ ullt v − h f¨ ur jedes v ∈ P (g) nach Satz 3.3.3 b) das schwache Minimumprinzip und es gilt h ≤ v f¨ ur alle v ∈ P (g). Perron [248] zeigte nun umgekehrt, daß das Infimum von P (g) eine harmonische Funktion definiert. (Man beachte, daß die auf Ω konstante Funktion max g in P (g) liegt und daß min g eine untere Schranke f¨ ur P (g) ist, denn wegen Satz 3.3.3 b) gen¨ ugen superharmonische Funktionen dem schwachen Minimumprinzip.) Nur drei Monate nach Perron reichte Remak den Mathematischen Annalen ein Manuskript mit dem gleichen Grundgedanken ein. Er konnte den von Perron intermedi¨ ar ben¨ otigten Lebesgueschen Integralbegriff vermeiden.

70


Der Titel seiner Arbeit [276] stellt die eigenst¨ andige Rolle der superharmonischen Funktionen heraus; [277] enth¨ alt weitere Beweisvereinfachungen. Eine Ausdehnung auf allgemeine elliptische Gleichungen 2.Ordnung erfolgte durch Tautz [319] und O.A. Ole˘inik [242]. Wiener [346] sah die Chancen, die zur Weiterentwicklung seiner Idee des verallgemeinerten Dirichletproblems in Perrons Methode lagen. Ihr Ausbau durch Wiener und durch Brelot [26] hat als PWB-Methode die Verbindung von Potentialtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie verst¨ arkt. Erw¨ ahnt sei noch, daß die Forderung der gleichmäßigen Beschränktheit der superharmonischen Funktionen, die wir in die Definition von P (g) aufgenommen haben, im Hinblick auf Satz 2.1.9 den Beweis des nachfolgenden Perronschen Satzes 3.3.6 erleichtert. In den u ¨blichen Darstellungen wird der 2. Harnacksche Satz verwendet, ein Beweiselement, das Radó-Riesz [272] eingef¨ uhrt haben. N ankt und Satz 3.3.6. Ω ⊂⊂ R nicht leer, ferner g : ∂Ω → R beschr¨ Es sei 0 P (g) := v ∈ C Ω : v ist auf Ω superharmonisch, v ≤ sup g, v|∂Ω ≥ g}. Dann hat die durch

u(x) := inf{v(x) : v ∈ P (g)},

x∈Ω,

definierte Funktion u : Ω → R die Eigenschaften 1) inf g ≤ u ≤ sup g ; 2) u ist in Ω harmonisch. Beweis. u existiert, da die Menge P (g) nichtleer und nach unten beschränkt ist. Die auf Ω konstante Funktion sup g liegt ja in P (g), und aus Satz 3.3.3 folgt, daß inf g ≤ v f¨ ur alle v ∈ P (g) gilt. Dies beweist 1). F¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zeigen wir nun QB u ≤ u und u ≤ QB u, was dann nach Aufgabe 3.6 Aussage 2) impliziert. F¨ ur die erste Ungleichung gen¨ ugt es nach Satz 3.3.4 b), die Stetigkeit von u nachzuweisen. F¨ ur jedes v ∈ P (g) ist nach Satz 3.3.4 a) vB := QB v superharmonisch, also vB ≤ v ≤ sup g .

(3.9)

ur alle x ∈ ∂Ω, gilt also Da vB (x) = v(x) ≥ g(x) f¨ vB ∈ P (g) .

(3.10)

inf g ≤ u ≤ vB .

(3.11)

Insbesondere ist daher

Die harmonischen vB |B sind also auf B gleichgradig beschränkt. Nach Satz 2.1.9 sind sie auf der kleineren Kugel B ⊂⊂ B gleichgradig gleichmäßig stetig, ur x, y ∈ B , und so gibt es zu > 0 ein δ > 0, so daß |vB (x) − vB (y)| < 2 ist f¨ |x − y| < δ, und f¨ ur alle v ∈ P (g). Zu y ∈ B und > 0 gibt es nach Definition


des Infimums ein v ∈ P (g), mit dem v(y) < u(y) + wegen (3.11) und (3.9) f¨ ur alle x ∈ Bδ (y) ∩ B u(x) − u(y) < u(x) − v(y) +

2

71

ist. Folglich haben wir

≤ vB (x) − vB (y) + < 2 2

und ebenso u(y) − u(x) < . Daher ist u stetig in B und damit auch in Ω. Nun zum Nachweis von u ≤ QB u. Weil u das Infimum von P (g) ist, gibt es zu x ∈ Ω und > 0 ein v ∈ P (g) mit v(x) ≤ u(x) +

. 3

Da u und v stetig sind, gibt es eine Kugel B (x) ⊆ Ω, so daß |u(y) − u(x)|
0

f¨ ur x ∈ Ω\{x0 },

b(x0 ) = 0

arer Randpunkt, wenn es eine Barriere f¨ ur Ω im Punkt besitzt. x0 heißt regul¨ x0 gibt. Satz 3.3.9. Es seien Ω ⊂⊂ RN nicht leer, g : ∂Ω → R beschränkt und u arer die harmonische Funktion aus Satz 3.3.6. Ist dann x0 ∈ ∂Ω ein regul¨ Randpunkt und g stetig in x0 , so gilt lim u(x) = g(x0 ) .

x→x0 x∈Ω

ur x ∈ ∂Ω mit Beweis. Zu > 0 gibt es ein δ0 > 0, so daß |g(x) − g(x0 )| < 2 f¨ ur Ω im Punkt x0 . F¨ ur c > 0 und |x − x0 | < δ0 . Es sei nun b eine Barriere f¨ x ∈ Ω setzen wir u± (x) := g(x0 ) ± + cb(x) 2 und haben dann f¨ ur alle x ∈ ∂Ω, die |x − x0 | < δ0 erf¨ ullen, − [g(x) − g(x0 )] + cb(x) ≥ 0 , 2 u− (x) − g(x) = − − [g(x) − g(x0 )] − cb(x) ≤ 0 . 2 u+ (x) − g(x) =

(3.12) (3.13)

Da b stetig und auf der kompakten Menge K := ∂Ω\Bδ0 (x0 ) positiv ist, gibt es ein k > 0 mit b(x) ≥ k f¨ ur alle x ∈ K. Die Ungleichungen (3.12) und (3.13) gelten daher auch f¨ ur x ∈ K, wenn wir c := k2 sup |g| wählen. u+ ist eine auf Ω superharmonische Funktion mit der Eigenschaft u+ ≥ g auf ∂Ω. Mit Satz 3.3.4 c) erhalten wir daher min {u+ , sup g} ∈ P (g) und daher ur u ≤ min {u+ , sup g} ≤ u+ auf Ω. Des weiteren ist nach Aufgabe 3.7 b), c) f¨ alle v ∈ P (g) die Funktion v + (−u− ) auf Ω superharmonisch mit v − u− ≥ g − g = 0 auf ∂Ω. Mit Satz 3.3.3 erhalten wir daher u− ≤ v und somit u− ≤ u auf Ω, insgesamt also f¨ ur x ∈ Ω + cb(x) ≤ u(x) − g(x0 ) ≤ + cb(x) . (3.14) − 2 2 Wegen b(x0 ) = 0 und der Stetigkeit von b gibt es nun ein δ > 0, so daß ur x ∈ Ω mit |x − x0 | < δ. 0 < cb(x) < 2 f¨ Mit Satz 3.3.9 haben wir schließlich eine hinreichende Bedingung an Ω gefunden, um die Existenz einer L¨ osung des in der Einf¨ uhrung beschriebenen Dirichletproblems f¨ ur beliebig vorgegebene stetige Randdaten nachweisen zu k¨ onnen. Aus Bemerkung 3.3.7 ergibt sich zudem die Notwendigkeit dieser Bedingung. Die Eindeutigkeit der L¨ osungen wurde bereits mit Satz 3.1.1 festgestellt. Zusammenfassend gilt:


73

Satz 3.3.10. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer. a) Ist jeder Randpunkt von Ω regulär, so besitzt das Dirichletproblem f¨ ur die Laplacegleichung Δu = 0 auf Ω ;

u|∂Ω = g

(3.15)

f¨ ur jedes vorgegebene stetige g : ∂Ω → R eine eindeutige L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω). b) Besitzt das Dirichletproblem (3.15) f¨ ur jedes stetige g : ∂Ω → R eine L¨ osung, so ist jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar. Bemerkung 3.3.11. Das Dirichletproblem hat also genau dann f¨ ur jedes stetige Randdatum eine L¨ osung, wenn jeder Randpunkt eine Barriere besitzt. Dieses Resultat stammt von Lebesgue [176], der in [172] auch den Namen Barriere pr¨ agte; die Benennung erkl¨ art sich aus Ungleichung (3.14). Barrieren ´ bei seiner méthode de balayage ben¨ wurden bereits von Poincare utzt [260, pp. 224, 228ff.]. Wiener charakterisierte regul¨ are Randpunkte mit Hilfe des von ihm in [344] eingef¨ uhrten Begriffs der Kapazität einer Menge. Zeitgleich gab Bouligand eine verwandte Beschreibung, und die beiden Arbeiten erschienen, getrennt durch eine Bemerkung von Lebesgue, hintereinander im selben Band der Comptes Rendus [24, 345] . Die L¨ osbarkeit des Dirichletproblems f¨ ur eine Kugel diente in Aufgabe 3.3 dazu zu zeigen, daß Funktionen, die eine abgeschwächte Form der Mittelwer¨ teigenschaft besitzen, harmonisch sind. Ahnlich einfach beweist man ur jede stetiSatz 3.3.12. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es seidas Dirichletproblem f¨ ge Randfunktion l¨ osbar. Dann ist u ∈ C 0 Ω bereits dann harmonisch in Ω, wenn u die eingeschr¨ ankte Mittelwerteigenschaft besitzt, d.h. zu jedem x ∈ Ω ur die u der Mittelwertrelation auch nur eine Kugel Br (x) ⊂⊂ Ω existiert, f¨ 1 u(y) dS(y) u(x) = N −1 r ωN ∂Br (x)

gen¨ ugt.

Beweis. Sei h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 Ω die in Ω harmonische Funktion mit h|∂Ω = u|∂Ω . Es gen¨ ugt zu zeigen, daß eine Funktion f ∈ C 0 Ω mit der eingeschr¨ ankten Mittelwerteigenschaft ihr Maximum auf dem Rande annimmt. Wendet man dies auf u − h und h − u an, so folgt u = h. Wenn M := max f nicht auf ∂Ω angenommen wird, gibt es in der kompakten Menge K := {x ∈ Ω : f (x) = M } einen Punkt a minimalen Abstands von ∂Ω. Zu diesem a existiert ein r mit Br (a) ⊂⊂ Ω und 1 [M − f (y)] dS(y) = 0 . rN −1 ωN ∂Br (a)

Also ist ∂Br (a) ⊂ K, was der Bedeutung von a widerspricht.

74


Satz 3.3.12 geht im wesentlichen auf Volterra [329] und Vitali [328] zur¨ uck. Zu diesem Fragenkreis existiert eine umfangreiche Literatur, f¨ ur die wir auf [221] verweisen. F¨ ur superharmonische Funktionen hat man analog zu Satz 2.1.1 und Aufgabe 3.3 folgende Aussagen. aquivalent: Satz 3.3.13. Es sei Ω ⊆ RN offen und u ∈ C 0 (Ω). Dann sind ¨ 1) u ist superharmonisch in Ω.

2) |y−x|= u(y) dS(y) ≤ N −1 ωN u(x) f¨ ur alle Kugeln B (x) ⊂⊂ Ω.

3) |y−x|≤r (u(y) − u(x)) dy ≤ 0 f¨ ur alle Kugeln Br (x) ⊂⊂ Ω. 4) Zu jedem x ∈ Ω gibt es eine Nullfolge (rj ) mit Brj (x) ⊂⊂ Ω und

(u(y) − u(x)) dy ≤ 0 f¨ ur alle j ∈ N. |y−x|≤rj Beweis. Aus 1) folgt 2); denn f¨ ur B := B (x) ⊂⊂ Ω ist (QB u) (x) ≤ u(x), und nach Definition ist 1 2 u(y) dS(y) ≤ u(x) . (QB u) (x) = ωN |y−x|= N Also gilt 2). Es folgt 3) aus 2) durch Multiplikation von 2) mit N −1 ωN und Integration u ¨ber 0 ≤ ≤ r. Es ist 4) eine triviale Abschwächung von 3). Um nun von 4) zu QB u ≤ u in 1) zu gelangen, sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel, und wir ur alle setzen h := QB u. Es sei x ∈ B eine Minimumstelle von (u − h)|B . F¨ j ∈ N mit Brj (x) ⊂⊂ B gilt {(u − h)(y) − (u − h)(x)} dy |y−x|≤rj

=

(u(y) − u(x)) dy −

|y−x|≤rj

(h(y) − h(x)) dy ≤ 0 ,

|y−x|≤rj

da auf u die Aussage 4) zutrifft und weil das mit harmonischem h gebildete Integral nach der 2. Mittelwerteigenschaft Null ist. Folglich besteht Brj (x) aus lauter Minimumstellen von (u−h)|B . Somit ist die Menge der Minimumstellen in B offen und relativ abgeschlossen, also leer oder ganz B. Wegen (u−h)|∂B = 0 folgt QB u ≤ u. F¨ ur eine Charakterisierung superharmonischer Funktionen u ∈ C 2 (Ω) siehe Aufgabe 3.8. Interessanterweise hat der f¨ ur harmonische Funktionen g¨ ultige Satz vom Liouvilleschen Typ (siehe Korollar 2.2.2) keine vollständige Entsprechung bei superharmonischen Funktionen. Zum Beispiel ist die Funktion x → 2−N 2 ur N ≥ 3 kon|x| + 1 2 auf RN superharmonisch und beschränkt, ohne f¨ stant zu sein. In der Ebene gilt jedoch

¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien.

75

Satz 3.3.14. Es sei u ∈ C 2 (R2 ) superharmonisch und nach unten beschr¨ ankt. Dann ist u konstant. Beweis. Wir folgen einem Argument von E. Heinz in [105]. Nach Aufgabe 3.8 ist Δu ≤ 0, so daß die Funktion v := e−u die Eigenschaft Δv = e−u |∇u|2 − Δu ≥ e−u |∇u|2 hat. Da nach Aufgabe 2.6 f¨ ur alle R > 0 die Identität R 1 Δv(y) dy ln v(y) dS(y) − 0 ≤ ω2 v(0) = R |y| |y|=R

|y| r. Also ist f¨ die geforderte Ungleichung b(x) > 0 erf¨ ullt. Der Beweis des nachfolgenden Satzes wurde E. Wienholtz etwa um 1980 von H. Steinlein und J. Voigt mitgeteilt. Satz 3.4.3. Es habe Ω ⊂⊂ RN , N ≥ 3, in x0 ∈ ∂Ω die äußere Kegeleigenschaft, d.h. es gebe einen geraden Kreiskegel C(x0 , s, ξ, h) ⊂⊂ RN mit Spitze ¨ s, Achsenrichtung ξ und H¨ ohe h, so daß Ω ∩ C(x0 , s, ξ, h) = in x0 , Offnung {x0 } ist. Dann hat Ω in x0 eine Barriere. Beweis. Wenn es einen solchen (kleinen) Kegel C(x0 , s, ξ, h) gibt, dann liegt der unendliche Kegel C(x0 , s, ξ, ∞) außerhalb von Ω∩BR (x0 ), wenn nur R > 0

¨ 3.4 Uber den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien.

77

hinreichend klein ist. Nach Satz 3.4.1 gen¨ ugt es aber, eine Barriere in x0 zu Ω ∩ BR (x0 ) zu finden. Daher d¨ urfen wir annehmen, daß Ω ∩ C(x0 , s, ξ, ∞) = {x0 } ist. Die Differentialgleichung Δu = 0 ist gegen¨ uber Translationen und orthogonalen Transformationen der unabh¨ angigen Ver¨ anderlichen invariant (s. Aufgabe 2.2); wir d¨ urfen daher annehmen, daß x0 = 0 und ξ = (1, 0, . . . , 0) ist. Wir beschreiben ¨ den unendlichen Kegel mit der Offnung s, 0 < s < 1, durch & & Bst (tξ) = {x ∈ RN : |x − tξ| < st} . C := t>0

Sodann definieren wir

t>0

b(x) :=

1

tr t2−N − |x − tξ|2−N dt

0

mit einer Zahl r aus dem Intervall N − 3 < r < N − 2. Offensichtlich wird b ¨ als Uberlagerung solcher Barrieren definiert, die bei dem Poincaré-Kriterium auftraten. Da Ω ∩ BR (0) ⊆ RN \C, Ω ∩BR (0) ⊆ RN \C und weil ohne Beschränkung der Allgemeinheit 0 < R < 1 gew¨ ahlt werden kann, gen¨ ugt es zu zeigen, daß durch b eine in RN \C stetige und in RN \C harmonische Funktion definiert wird, die auf B1 (0) \ (C ∪ {0}) bei geeigneter Wahl von r nur positive Werte annimmt. Dazu dienen drei Absch¨ atzungen, die f¨ ur 0 < t < ∞ und x ∈ RN \C gelten:

t

r

t2−N

|x − tξ| ≥ st , − |x − tξ|2−N ≥ −|x|(N − 2)s2−N tr−N +1 , s |x − tξ| ≥ |x| . 2

(3.16) (3.17) (3.18)

W¨ ahrend (3.16) selbstverst¨ andlich ist, ergibt sich (3.17) so: Es ist |x − tξ|N −2 − tN −2 tr t2−N − |x − tξ|2−N = tr N −2 t |x − tξ|N −2 N −3

|x − tξ| − t = t N −2 |x − tξ|N −3−i ti t |x − tξ|N −2 i=0 r

≥ tr (t − |x| − t)t2−N

N −3

i=0

ti , |x − tξ|i+1

ur und daraus folgt (3.17); denn nach (3.16) ist |x−tξ|−j ≤ (st)−j ≤ s2−N t−j f¨ 1 ≤ j ≤ N − 2. Die Ungleichung (3.18) folgt sofort aus (3.16), wenn t ≥ 12 |x| ist. F¨ ur 0 < t < 12 |x| ist aber |x − tξ| ≥ |x| − t ≥

s 1 |x| ≥ |x| . 2 2

78


Aus (3.16) folgt nicht nur die Existenz von b(x) f¨ ur x ∈ RN \C, sondern auch, daß der Integrand f¨ ur diese x eine von x unabhängige und u ¨ber 0 < t < 1 integrable Majorante hat, wenn r > N − 3 ist: r 2−N t t − |x − tξ|2−N ≤ tr+2−N 1 + s2−N . Da der Integrand u ¨berdies bei festem t ∈ (0, 1) stetig in x ∈ RN \C ist, 0 N folgt b ∈ C (R \C) (siehe Satz A.5). Des weiteren ist der Integrand bei festem t ∈ (0, 1) harmonisch. Da f¨ ur x ∈ U ⊂⊂ RN \C die Ungleichung ullt ist, kann b unter dem Integralzeichen beliebig |x − tξ| ≥ dist(U, C) > 0 erf¨ oft differenziert werden, so daß b auf RN \C harmonisch ist. Es ist also b auf Ω stetig und auf Ω harmonisch, insbesondere also superharmonisch, ferner b(0) = 0. F¨ ur x ∈ B1 (0) \ (C ∪ {0}) liefern die Ungleichungen (3.17) und (3.18) b(x) ≥

|x|

t

r−N +2

0

≥ |x|r−(N −3)

dt − 0

|x|

t |x − tξ| r

2−N

dt − |x|(N − 2)s

1

2−N

tr−N +1 dt |x|

1 s 2−N 1 N − 2 2−N − s − r − (N − 3) r + 1 2 N −2−r

,

und die eckige Klammer wird positiv, wenn r ∈ (N − 3, N − 2) hinreichend nahe bei N − 3 gew¨ ahlt wird. Bemerkung 3.4.4. F¨ ur N = 2 hat man schon dann eine Barriere zu Ω in x0 ∈ ∂Ω, wenn x0 Endpunkt einer gleichm¨ aßig stetigen Kurve φ : (0, 1) → R2 ist, die außerhalb Ω verl¨ auft und die eine kleine punktierte Kreisscheibe B˙ (x0 ) := B (x0 )\{x0 } zu einer einfach zusammenhängenden Menge aufschneidet: Ohne Einschr¨ ankung d¨ urfen wir x0 = 0, 0 < < 1 annehmen, und wir fassen B˙ (0)\φ ((0, 1)) als einfach zusammenhängende Teilmenge der komplexen Ebene C auf. Darin ist z → (ln z)−1 holomorph, also mit harmonischem Realteil. Dann definiert b(x, y) := − Re[(ln z)−1 ] mit z = x + iy eine Barriere zu Ω ∩ B (0) in 0; nach Satz 3.4.1 gibt es eine Barriere zu Ω in 0.

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung. Klassisch ist der Riemannsche Hebbarkeitssatz [280, § 12]: Jede auf der punktierten Kreisscheibe holomorphe und beschr¨ ankte Funktion besitzt eine eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung auf die ganze Kreisscheibe. Analoge Aussagen wurden erstmals von Christoffel [39] f¨ ur harmonische Funktionen im R3 erhalten, wenn die Ausnahmemengen Punkte oder geeignete Kurven sind. (F¨ ur eine Analyse dieser Arbeit siehe [27].) H.A. Schwarz [302, § 8, 12] studierte das Problem bei seinem Beweis der Poissonschen Integralformel in der Ebene, und in der Tat ben¨ otigt man solche Aussagen f¨ ur sein

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung.

79

im Abschnitt 1.4 erw¨ ahntes alternierendes Verfahren zur Lösung des Dirichletproblems. Der nachfolgende Satz 3.5.1 ist durch eine Bemerkung von Lebesgue [175] inspiriert; sein Korollar 3.5.2 stammt im Falle ξ ∈ ∂Ω von Zaremba [352]. Satz 3.5.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer, es sei T ⊆ Ω, und Ω\T sei offen. Es sei u : Ω\T → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) u ist harmonisch in Ω\T ; (ii) f¨ ur alle x0 ∈ ∂Ω\T gilt u(x) → 0, wenn x in Ω\T gegen x0 strebt; ur alle (iii) es gibt eine harmonische Funktion wT : Ω\T → (0, ∞) so, daß f¨ |u(x)| ξ ∈ T gilt wT (x) → 0, wenn x in Ω\T gegen ξ strebt. Dann ist u = 0. Beweis. Angenommen, es existiere ein a ∈ Ω\T mit u(a) = 0, also ohne Einschr¨ ankung u(a) > 0. Man w¨ ahle μ > 0 so klein, daß μ [1 + wT (a)] < u(a) ist. Wir definieren auf Ω \ T die Hilfsfunktionen g := μ(1 + wT ) − u und h := u/(1 + wT ) sowie die Menge Z := {x ∈ Ω\T : g(x) < 0} = {x ∈ Ω\T : h(x) > μ} , die offen und wegen a ∈ Z nicht leer ist. Aus ∂(Ω \T ) ⊆ ∂Ω ∪T = (∂Ω \T )∪T folgt mit (ii) und (iii), daß f¨ ur jede Folge (xj ) in Ω \ T , die gegen ein y0 ∈ ∂(Ω \ T ) strebt, schon gilt limj→∞ h(xj ) = 0. Wegen h|∂Z ≥ μ > 0 sind somit ∂Z und ∂(Ω \ T ) disjunkt, und es folgt Z ⊆ Ω \ T . Da g harmonisch ist, k¨ onnen wir nun das schwache Minimumprinzip auf g|Z anwenden und erhalten ur alle z ∈ Z. Dies steht im Widerspruch zur wegen g|∂Z = 0, daß g(z) ≥ 0 f¨ Definition von g. Korollar 3.5.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ξ ∈ Ω. Ist dann u ∈ C 0 (Ω\{ξ}) eine auf Ω\{ξ} beschr¨ ankte harmonische Funktion mit der Eigenschaft u|∂Ω\{ξ} = 0, so ist u = 0. Beweis. In Satz 3.5.1 w¨ ahle man T = {ξ} und wT (x) =

ur N ≥ 3 |x − ξ|2−N f¨ |x−ξ| ur N = 2 − ln diam Ω f¨

.

Korollar 3.5.3 (Hebbarkeitssatz). Es sei Ω ⊂⊂ RN und ξ ∈ Ω. Wenn u : Ω \ {ξ} → R harmonisch und beschr¨ ankt ist, dann stimmt u in Ω \ {ξ} mit einer in Ω harmonischen Funktion u ¨berein. Beweis. Es gibt eine Kugel B (ξ) ⊂⊂ Ω. Weil man nur zeigen muß, daß sich u in ξ so erg¨ anzen l¨ aßt, daß u ugt ¨berall lokal die Laplacegleichung besteht, gen¨

80


es, zu zeigen, daß u in B (ξ) \ {ξ} mit einer in B (ξ) harmonischen Funktion u ¨bereinstimmt. Es sei v ∈ C 0 (B (ξ)) die, etwa durch das Poissonintegral vermittelte, in B (ξ) harmonische Funktion, die auf ∂B (ξ) mit u u ¨bereinstimmt. Nach Korollar 3.5.2 ist daher u − v = 0 auf B (ξ) \ {ξ}. Im Abschnitt 5.2 werden wir eine genaue Beschreibung des Verhaltens insbesondere positiver harmonischer Funktionen in der Nähe einer isolierten Singularit¨ at geben. Eine weitere unmittelbare Folge aus Satz 3.5.1 ist Korollar 3.5.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN nicht leer, und g : ∂Ω → R sei beschränkt. Es sei T die Menge der Punkte aus ∂Ω, in denen g unstetig ist oder in denen keine Barriere zu Ω existiert. Wenn es dann eine harmonische Funktion wT : Ω → (0, ∞) mit lim wT (x) = ∞

x→ξ x∈Ω

f¨ ur alle ξ ∈ T gibt, so ist die Perronsche Funktion u : Ω → R aus Satz 3.3.6 die einzige beschr¨ ankte harmonische Funktion mit lim u(x) = g(x0 )

x→x0 x∈Ω

f¨ ur alle x0 ∈ ∂Ω\T .

(3.19)

Bemerkung 3.5.5. Man kann auf die Forderung der Beschränktheit in Korollar 3.5.2 nicht ersatzlos verzichten, wie das folgende von H.A. Schwarz stammende Beispiel zeigt [302, p. 236]. Auf der offenen Einheitskreisscheibe E definiert u(x, y) :=

1 − (x2 + y 2 ) (1 + x)2 + y 2

eine harmonische Funktion, denn mit z = x + iy gilt u(x, y) = Re 1−z 1+z . Setzt man T := {(−1, 0)}, so ist u ∈ C 0 (E\T ) und u|∂E\T = 0. Bemerkung 3.5.6. Korollar 3.5.4 gestattet es, a priori von der Beschränktheit eines harmonischen u : Ω → R mit der Eigenschaft (3.19) auf inf g ≤ u ≤ sup g zu schließen, was f¨ ur die Schwarzsche Methode des alternierenden Verfahrens von Bedeutung ist. Hier treten als T im Falle N = 2 isolierte Punkte auf, im Falle N = 3 Kurven auf der 2-dimensionalenRandmannigP faltigkeit von Ω. F¨ ur N = 2 l¨ aßt sich dann wT (x) = const − i=1 ln |x − ξi | angeben, im Falle N ahle man f¨ ur wT (x) das u ¨ber T erstreckte Kurven = 13 w¨ dTξ . Entsprechendes gilt f¨ ur N > 3, wenn T eine integral wT (x) = T |x−ξ| (N −2)-dimensionale Mannigfaltigkeit auf ∂Ω ist, u ¨ber die sich ξ → |x−ξ|2−N integrieren l¨ aßt.

3.5 Behebbare Singularit¨ aten. Dirichletprobleme ohne L¨ osung.

81

Bemerkung 3.5.7. Ein leichtes, wenn auch etwas k¨ unstliches Beispiel f¨ ur ein Dirichletproblem ohne L¨ osung l¨ aßt sich mit 1 , falls x = 0 Ω := B1 (0)\{0}, g(x) := 0 , falls |x| = 1 bilden. Es stammt von Zaremba [353, p. 199f.]. Hätte es eine Lösung u ∈ are nach Korollar 3.5.2 u = 0 auf Ω\{0}, aufgrund der C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), so w¨ Stetigkeit von u also auch u(0) = 0 im Widerspruch zu u(0) = g(0) = 1. F¨ ur N = 2 k¨ onnte man auch mit dem eingangs genannten Riemannschen Hebbarkeitssatz argumentieren. Erw¨ ahnt sei noch, daß Methoden der komplexen Funktionentheorie es gestatten, das Dirichletproblem f¨ ur jedes beschr¨ ankte einfach zusammenh¨ angende Gebiet in der Ebene zu lösen [278, Kap. 8, speziell p. 160]. Das nachfolgende Beispiel eines (einfach zusammenhängenden) Gebietes ur das das Dirichletproblem keine L¨ osung besitzt, stammt von Leim R3 , f¨ besgue [173]. Es zeigt u ¨berdies, daß man nicht mehr weit u ¨ber die äußere Kegeleigenschaft in Satz 3.4.3 hinausgehen kann, um noch die Existenz von Barrieren zu sichern. Satz 3.5.8. Es sei 1 D := (x, y, z) ∈ R3 : 0 < x < ∞, y 2 + z 2 < e− x der Lebesguesche Dorn mit Spitze in 0 := (0, 0, 0) und Ω := B1 (0)\D. Die Funktion 1 t dt, (x, y, z) ∈ R3 \([0, 1] × {0} × {0}) , v(x, y, z) := 2 (t − x) + y 2 + z 2 0 hat die folgenden Eigenschaften: 1) 2) 3) 4)

v ist in Ω harmonisch und in Ω\{0} stetig; aßt sich nicht stetig auf Ω fortsetzen; v|Ω l¨ aßt sich zu einer auf ∂Ω stetigen Funktion fortsetzen; v|∂Ω\{0} l¨ v ist in Ω beschr¨ ankt.

Aus diesen vier Eigenschaften folgt in Kombination mit Korollar 3.5.2 sofort, daß es keine in Ω harmonische Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit are aufgrund dieses Korollars ja u − v = 0 auf u|∂Ω = v|∂Ω gibt. Andernfalls w¨ Ω\{0}, wegen der Stetigkeit von u auf Ω also v doch auf Ω stetig fortsetzbar. Beweis. 1) Auf R3 \([0, 1] × {0} × {0}) kann v gemäß Satz A.5 unter dem Integralzeichen beliebig oft differenziert werden. Auf dieser Ω\{0} umfassenden Menge ist v harmonisch. 2) Das v definierende Integral l¨ aßt sich sofort berechnen und man erhält v(x, y, z) = A(x, y, z) − x ln ( x2 + y 2 + z 2 − x)

82


mit A(x, y, z) :=

(1 − x)2 + y 2 + z 2 − x2 + y 2 + z 2 + x ln (1 − x + (1 − x)2 + y 2 + z 2 ) .

auf Ω stetige Funktion. Es sei 0 < c < 1. F¨ ur kleine x > 0 liegt A ist eine c x, 0, e− 2x in Ω und strebt f¨ ur x → 0 gegen den Ursprung. Aus A(0, 0, 0) = 1 und −x ln ( x2 + y 2 + z 2 − x) = −x ln(y 2 + z 2 ) + x ln ( x2 + y 2 + z 2 + x) f¨ ur y 2 + z 2 > 0 folgt dann c lim v x, 0, e− 2x = 1 + c .

x→0+

Somit kann v|Ω nicht stetig auf Ω ∪ {0} ⊆ Ω fortgesetzt werden. 3) Liegt (x, y, z) auf dem Rand des Dorns mit x > 0, so gilt y 2 + z 2 = 1 2 (x) := e− x , und somit ist x2 + e−1/x + x . v(x, y, z) = A(x, y, z) + 1 + x ln Folglich wird v|∂Ω\{0} zu einer auf ∂Ω stetigen Funktion, wenn man ihr im Ursprung den Wert 2 gibt. 4) Sei (x, y, z) ∈ Ω. Im Falle x ≤ 0 ist 1 t dt √ =1. |v(x, y, z)| ≤ t2 0 F¨ ur x > 0 gilt 1 t dt |v(x, y, z)| ≤ = v(x, 0, (x)) . 2 + 2 (x) (t − x) 0 Wie in 3) sieht man, daß die rechte Seite zu einer auf [0, 1] stetigen Funktion fortgesetzt werden kann.

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete In diesem Abschnitt besch¨ aftigen wir uns mit dem Dirichletschen Randwertur problem f¨ ur unbeschr¨ ankte offene Teilmengen Ω des RN , d.h. wir suchen f¨ gegebenes stetiges g : ∂Ω → R eine Funktion u mit u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ;

Δu = 0 in Ω ;

u|∂Ω = g .

(3.20)

Der Fall Ω = RN , der keinerlei Randbedingung enthält, zeigt uns, daß die L¨ osungen von (3.20) nicht eindeutig bestimmt sein m¨ ussen, da ja zum Beispiel jede lineare Funktion harmonisch ist. Stellt man jedoch zusätzlich eine Randbedingung bei ∞ der Form

3.6 Unbeschr¨ ankte Gebiete

lim u(x) = γ ,

|x|→∞

γ∈R,

83

(3.21)

so folgt aus Korollar 2.2.2, daß u konstant den Wert γ annimmt und insbesondere eindeutig bestimmt ist. Der Fall Ω = RN ist damit abgehandelt und wir betrachten ihn nicht weiter. Wir werden in Satz 3.6.1 mit Hilfe des Randminimumprinzips, Satz 2.3.8, f¨ ur beliebige offene und unbeschränkte Ω nachweisen k¨ onnen, daß es h¨ ochstens eine Funktion u geben kann, die zugleich (3.20) und (3.21) erf¨ ullt. Weiter werden wir dort sehen, daß im Falle N = 2 f¨ ur echte Teilmengen Ω des R2 Eindeutigkeit schon gilt, falls (3.21) durch die Bedingung u beschr¨ ankt

(3.22)

ersetzt wird. Das Beispiel u(x) = |x|2−N − 1

f¨ ur |x| ≥ 1

(3.23)

zeigt f¨ ur N ≥ 3 und Ω = RN \ B1 (0), daß man bei Abschwächung von (3.21) auf (3.22) nur in der Ebene (N = 2) Eindeutigkeit erwarten kann. Die Sonderrolle der Raumdimension N = 2 hat etwas damit zu tun, daß die zu (3.23) analoge, nichttriviale harmonische Funktion f¨ ur N = 2 durch u(x) = ln |x| gegeben wird, welche unbeschr¨ ankt ist. F¨ ur die Untersuchung der Frage nach der Existenz von Lösungen des Dirichletproblems betrachten wir ausschließlich den Fall beschränkter Randdaten g. Mit Satz 3.6.3 u ¨bertragen wir die in Abschnitt 3.3 beschriebene Perronsche Methode auf unbeschr¨ ankte Ω. Die Formulierung dieses Satzes ist sehr allgemein und gilt f¨ ur beliebige offene Ω ⊆ RN . Insbesondere sind auch die S¨ atze 3.3.6 und 3.3.9 f¨ ur beschr¨ ankte Ω darin als Spezialfall enthalten. Im Anschluß an den Beweis von Satz 3.6.3 sind wir in der Lage, Sätze f¨ ur unbeschr¨ ankte Ω zu formulieren, die dem Satz 3.3.10 entsprechen. Wir unterscheiden hierbei die F¨ alle, ob Ω ein Außenraum ist, oder nicht. Als Außenraum bezeichnet man das Komplement einer kompakten, nichtleeren Teilmenge des RN . Ein wichtiges Verfahren zum Studium harmonischer Funktionen in unbeschr¨ ankten Gebieten besteht in der Anwendung der Kelvintransformation, bei der der Definitionsbereich einer Funktion an einer Kugeloberfläche gespiegelt wird. Auf diese Weise kann der Fall unbeschr¨ ankter Ω auf den Fall beschränkter Ω zur¨ uckgef¨ uhrt werden, falls das Komplement RN \ Ω eine Kugel von positivem Radius enth¨ alt, d.h. falls Ω = RN . Wir werden erst beim Studium ¨ der Greenschen Funktion f¨ ur das Außere der Kugel im Kapitel 5 von dieser Transformation Gebrauch machen; eingef¨ uhrt wird sie aber bereits am Ende des gegenw¨ artigen Abschnitts 3.6. ankt mit RN \ Ω nicht leer. Satz 3.6.1. Es sei Ω ⊆ RN offen und unbeschr¨ Ferner sei g : ∂Ω → R stetig. Dann gibt es im Falle N = 2 h¨ ochstens eine beschr¨ ankte Funktion u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit

84


Δu = 0 in Ω,

u|∂Ω = g .

(3.24)

Ist N ≥ 3 und γ ∈ R, so gibt es h¨ ochstens eine derartige Funktion mit lim|x|→∞ u(x) = γ. Beweis. Es seien u1 , u2 zwei beschr¨ ankte L¨ osungen von (3.24). Dann ist u := ankte harmonische Funktion mit u|∂Ω = 0. Wir m¨ ussen u1 − u2 eine beschr¨ zeigen, daß u(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ Ω. Im Falle N ≥ 3 gilt zudem u(x) → 0 f¨ ur |x| → ∞, und die Aussage folgt unmittelbar aus der Anwendung des Randminimumprinzips (Satz 2.3.8) auf u und −u mit c = 0. ur ein F¨ ur N = 2 werden wir zeigen, daß die Annahme u(x0 ) = 0 f¨ uhrt. Das nun folgende Argument läßt x0 ∈ Ω auf einen Widerspruch f¨ sich auf die Funktionen u und −u gleichermaßen anwenden, und es gen¨ ugt deshalb, u(x0 ) > 0 anzunehmen. Es bezeichne δ := 12 u(x0 ) > 0 und M := sup{u(x) : x ∈ Ω} < ∞. Wegen Ω = R2 ist ∂Ω = ∅. Sei z0 ∈ ∂Ω ur beliebig. Es gilt u(z0 ) = 0 und es existiert ein r > 0 mit |u(x)| ≤ δ f¨ alle x ∈ Ω mit |x − z0 | ≤ r, da u auf Ω stetig ist. Weiter wählen wir > 0 mit ln(|x0 − z0 |/r) < δ, und dann R > r mit ln(R/r) > M und G := Ω ∩ {x ∈ R2 : r < |x − z0 | < R}. Man beachte, daß |x0 − z0 | > r (da u(x0 ) = 2δ > δ) und |x0 − z0 | < R (da M ≥ 2δ) und somit x0 ∈ G. Die Menge G ist folglich offen, nichtleer und beschr¨ ankt. Die Funktion v: G → R ,

v(x) = u(x) − ln

|x − z0 | r

ist stetig und auf G harmonisch und gen¨ ugt gemäß Korollar 2.3.5 dem schwachen Maximumprinzip. Der gew¨ unschte Widerspruch ergibt sich nun aus v(x0 ) = u(x0 ) − ln

|x0 − z0 | > 2δ − δ = δ r

und aus v|∂G ≤ δ. Letztere Eigenschaft sieht man durch Zerlegung des Randes ∂G = R1 ∪ R2 ∪ R3 mit R1 ⊆ ∂Br (z0 ),

R2 ⊆ ∂BR (z0 ),

R3 ⊆ ∂Ω ∩ {x ∈ R2 : r < |x − z0 | < R} .

Es ist n¨ amlich v = u ≤ δ auf R1 (nach Wahl von r), v ≤ 0 auf R2 (nach Wahl von R) und v ≤ u = 0 auf R3 . Bemerkung 3.6.2. a) Wie in der Einleitung zu diesem Abschnitt erläutert, gilt wegen Korollar 2.2.2 obiger Satz 3.6.1 im Falle N ≥ 3 auch f¨ ur Ω = RN . 2 anktheit einer harmonischen Funktion u nicht F¨ ur Ω = R ist die Beschr¨ ausreichend, um die Eindeutigkeit zu erhalten; Korollar 2.2.2 erlaubt nur auf die Konstanz von u zu schließen. b) Der Beweis von Satz 3.6.1 verwendet im Falle N = 2 das schwache Maximumprinzip und f¨ ur N ≥ 3 das Randminimumprinzip, welches auf dem starken Maximumprinzip beruht. Auch f¨ ur den Beweis dieses Falles gen¨ ugt es, das schwache Maximumprinzip heranzuziehen (siehe Aufgabe 3.11).


85

Zum Nachweis der Existenz einer L¨ osung verwenden wir wieder die Perronsche Methode und Barrieren. Zur Vereinfachung der Notation bedienen wir uns der Schreibweise lim sup f (x) := lim (sup{f (x) : x ∈ D und r ≤ |x|}) r→∞

|x|→∞

f¨ ur Funktionen f : D → R. Entsprechend wird lim inf definiert. Der nun folgende Satz formuliert die Ergebnisse der Perronschen Methode in einer relativ allgemeinen Form. F¨ ur eine Diskussion der hierin enthaltenen F¨ alle siehe auch S¨ atze 3.6.4 und 3.6.6. Insbesondere ist auch der in Abschnitt 3.3 behandelte Fall beschr¨ ankter Mengen Ω mit eingeschlossen. F¨ ur diesen Fall erinnern wir an die Konvention sup φ = −∞ und inf φ = +∞, woraus lim sup f (x) = −∞ , |x|→∞

lim inf f (x) = +∞ . |x|→∞

folgt. Satz 3.6.3. Es seien Ω ⊆ RN offen, Ω und RN \ Ω nicht leer, g : ∂Ω → R beschr¨ ankt, γ ∈ R, m := min{γ, inf g}, M := max{γ, sup g}, μ− := min{γ, lim inf g(x)}, |x|→∞

μ+ := max{γ, lim sup g(x)} , |x|→∞

ur N ≥ 3, und schließlich c2 := m, cN := μ− f¨ P := P (g, γ) := {v ∈ C 0 (Ω) : v ist auf Ω superharmonisch, v ≤ M , v|∂Ω ≥ g, lim inf v(x) ≥ cN } . |x|→∞

Dann hat die durch u(x) := inf{v(x) : v ∈ P } ,

x∈Ω,

(3.25)

definierte Funktion u : Ω → R die folgenden Eigenschaften: 1) m ≤ u ≤ M ; 2) u ist in Ω harmonisch ; 3) f¨ ur N ≥ 3 ist lim sup|x|→∞ u(x) ≤ μ+ , lim inf |x|→∞ u(x) ≥ μ− ; 4) lim u(x) = g(x0 ) in jedem regulären Randpunkt x0 , in dem g stetig ist. x→x0 x∈Ω

Beweis. Ist Ω ⊂⊂ RN , so ist μ− = min{γ, +∞} = γ und μ+ = max{γ, −∞} = γ, so daß 3) zu der wahren Aussage −∞ ≤ γ ≤ +∞ wird. F¨ ur beschränkte Ω wird die Aussage von Satz 3.6.3 optimal, wenn inf g ≤ γ ≤ sup g gewählt wird. Da die lim inf-Forderung in P gegenstandslos ist, reduzieren sich die Aussagen von Satz 3.6.3 in diesem Fall auf die von Satz 3.3.6 und Satz 3.3.9. Im weiteren sei nun Ω unbeschr¨ ankt. Man beachte m ≤ cN ≤ μ− ≤ μ+ ≤ M .

(3.26)

86


1) P ist nichtleer, denn die konstante Funktion M gehört zu P . Ist v ∈ P , so gilt m ≤ g ≤ v|∂Ω

und m ≤ lim inf v(x) ≤ lim inf v(xn ) |x|→∞

n→∞

f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞, also m ≤ v, da superharmonische Funktionen das starke Minimumprinzip (Satz 3.3.3) und somit das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) erf¨ ullen. Also existiert u und gen¨ ugt den Ungleichungen in 1). ur 2) Ist B ⊂⊂ Ω eine Kugel, so setzen wir f¨ ur v ∈ P wieder vB := QB v. F¨ ur x ∈ ∂Ω und x ∈ Ω\B ist dann vB (x) = v(x). Dies gilt also insbesondere f¨ f¨ ur große |x|. Also ist vB ∈ P . Wie beim Beweis von Satz 3.3.6 zeigt man nun die Stetigkeit und damit die Superharmonizit¨ at von u. Desgleichen bleibt der andert. Beweis von u ≤ QB u unge¨ 3) Es ist μ− ≤ lim inf |x|→∞ g(x), lim sup|x|→∞ g(x) ≤ μ+ . Zu jedem > 0 gibt es daher ein R > 0, so daß μ− − ≤ g(x) ≤ μ+ +

f¨ ur alle x ∈ ∂Ω mit |x| ≥ R .

(3.27)

Es sei nun a ∈ RN \ Ω und v+ (y) = min M, μ+ + + (M − m)

|y − a| R + |a|

2−N ' ,

y ∈ Ω \ {a} .

Offensichtlich ist v+ als Minimum harmonischer Funktionen eine superharmonische Funktion auf Ω (s. Satz 3.3.4 c)). Zudem können wir v+ stets als stetige Funktion auf ganz Ω auffassen. Dies bedarf nur im Falle a ∈ ∂Ω und M − m > 0 einer Begr¨ undung, welche aber leicht fällt, da v+ dann in einer Umgebung von a konstant den Wert M annimmt. Wir verwenden die Absch¨ atzung μ+ + + (M − m) ≥

|y − a| R + |a|

2−N

μ+ + + (M − m) ≥ M μ+ +

f¨ ur |y − a| ≤ R + |a| , f¨ ur |y − a| > R + |a|

wobei wir (3.26) ben¨ utzt haben. Wir u ¨berzeugen uns nun, daß v+ (y) ≥ g(y) f¨ ur alle y ∈ ∂Ω gilt. Ist |y − a| ≤ R + a, so folgt v+ (y) = M ≥ g(y) nach Definition von M . Ist |y − a| > R + |a|, so gilt notwendigerweise |y| > R, und gem¨ aß (3.27) ist g(y) ≤ min{M, μ+ + } ≤ v+ (y). Schließlich ist lim inf |x|→∞ v+ (x) = min{M, μ+ + }, und wir haben v+ ∈ P gezeigt. ur alle x ∈ Ω, woraus Nach (3.25) gilt also u(x) ≤ v+ (x) f¨ lim sup u(x) ≤ lim v+ (x) = min{M, μ+ + } |x|→∞

|x|→∞


87

folgt. Da > 0 beliebig gew¨ ahlt werden kann, haben wir die Schranke an lim sup|x|→∞ u(x) gezeigt. Zum Nachweis der zweiten Absch¨ atzung definieren wir 2−N ' |y − a| , y ∈ Ω \ {a} . v− (y) := min −m, −μ− + + (M − m) R + |a| Die Funktion v− ist ebenfalls auf Ω superharmonisch und auf Ω stetig, bzw. ur |y − a| ≤ R + |a| gilt wegen (3.26) kann stetig auf Ω fortgesetzt werden. F¨ ur |y − a| > R + |a| ist v− (y) ≥ min{−m, −μ− + }. Mit v− (g) ≥ −m und f¨ (3.27) folgt also v− |∂Ω ≥ −g. Sei v ∈ P beliebig. Dann ist v + v− eine auf Ω superharmonische Funktion, f¨ ur die gem¨ aß Satz 3.3.3 a) das starke Minimumprinzip und somit auch das Randminimumprinzip (Satz 2.3.8) gilt. Zudem ist v + v− ∈ C 0 (Ω) mit v + v− |∂Ω ≥ g − g = 0, und es gilt lim inf (v + v− )(x) ≥ μ− + min(−m, −μ− + ) ≥ 0 . |x|→∞

ur Es folgt somit v + v− ≥ 0 auf Ω. Mithin ist u + v− ≥ 0, und wir haben f¨ alle x ∈ Ω 2−N |x − a| , u(x) ≥ −v− (x) ≥ μ− − − (M − m) R + |a| woraus sich die Ungleichung f¨ ur lim inf |x|→∞ u(x) ergibt. ur x ∈ ∂Ω 4) Zu > 0 gibt es ein δ0 > 0, so dass |g(x) − g(x0 )| < 2 f¨ mit |x − x0 | < δ0 . Nach Satz 3.4.1 gibt es eine Barriere c zu Ω ∩ B2δ0 (x0 ) ur Ω mit im Punkt x0 , und der dort gegebene Beweis liefert eine Barriere b f¨ ¨ die f¨ ur x ∈ Ω der Eigenschaft b(x) ≥ ν > 0 f¨ ur alle x ∈ Ω\Bδ0 (x0 ). Uber erkl¨ arten Hilfsfunktionen M −m + b(x) u± (x) := g(x0 ) ± 2 ν streben wir wie beim Beweis von Satz 3.3.9 die Ungleichungen M −m M −m + b(x) ≤ u(x) − g(x0 ) ≤ + b(x) − 2 ν 2 ν

(3.28)

f¨ ur alle x ∈ Ω an, aus denen dann die Behauptung folgt. Konstruktionsgemäß ist u+ eine auf Ω superharmonische Funktion mit den Eigenschaften u+ |∂Ω ≥ g und u+ (x) ≥ g(x0 ) +

+M −m>M 2

f¨ ur x ∈ Ω mit |x| > |x0 | + δ0 .

F¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ gilt daher lim inf n→∞ u+ (xn ) ≥ M ≥ cN . Also ist min{u+ , M } aus P und daher u ≤ u+ auf Ω. Dies liefert die rechte Ungleichung in (3.28).

88


F¨ ur jedes v ∈ P ist v + (−u− ) superharmonisch auf Ω. Wegen u− |∂Ω ≤ g ist v − u− ≥ 0 auf ∂Ω und −u− (x) ≥ −g(x0 ) +

+ M − m > −m f¨ ur x ∈ Ω, mit |x| > |x0 | + δ0 . 2

F¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ gilt also lim inf [v(xn ) − u− (xn )] ≥ lim inf v(xn ) + lim inf [−u− (xn )] ≥ cN − m ≥ 0 . n→∞

n→∞

n→∞

Aufgrund des Randminimumprinzips (Satz 2.3.8) ist daher v ≥ u− , mithin u ≥ u− auf Ω, und dies liefert die linke Ungleichung in (3.28). Wir fassen die bisherigen Ergebnisse f¨ ur die Lösbarkeit des Dirichletprour die Formulierung unserer blems bei unbeschr¨ anktem Ω ⊆ RN zusammen. F¨ Ergebnisse unterscheiden wir, ob ∂Ω beschr¨ ankt ist oder nicht. Im Falle eines beschr¨ ankten Randes ∂Ω ist Ω das Komplement einer kompakten, nichtleeren Menge, und man nennt das Dirichletproblem auch ein Außenraumproblem. Die folgenden beiden S¨ atze sind Konsequenzen der bisherigen Ergebnisse diese ¨ Abschnitts und werden dem Leser zur Ubung u ¨berlassen (s. Aufgabe 3.12). ankt. Der Rand ∂Ω sei nichtSatz 3.6.4. Es sei Ω ⊆ RN offen und unbeschr¨ leer und beschränkt, ferner jeder Randpunkt regul¨ ar. Weiter sei g : ∂Ω → R stetig. a) Ist N = 2, so gibt es genau eine beschr¨ ankte L¨ osung des Dirichletproblems (3.20). b) Ist N ≥ 3 und γ ∈ R, so gibt es genau eine L¨ osung des Dirichletproblems (3.20) mit Zusatzbedingung (3.21). ¨ Bemerkung 3.6.5. a) In Ubungsaufgabe 3.16 soll mit Hilfe der Kelvintransformation gezeigt werden, daß die eindeutig bestimmte beschränkte Lösung u eines Außenraumproblems in der Ebene (s. Satz 3.6.4 a)) f¨ ur |x| → ∞ konvergiert, d.h. γ := lim|x|→∞ u(x) existiert. Im Gegensatz zu höheren Raumdimensionen kann γ jedoch nicht vorgegeben werden. b) Auch im Falle N ≥ 3 liefert die Kelvintransformation, nun zusammen mit dem Satz 5.2.1 von Bˆ ocher, daß jede beschränkte Lösung u eines Außenraumproblems f¨ ur |x| → ∞ konvergiert. Folglich haben f¨ ur einen Außenraum Ω alle beschr¨ ankten L¨ osungen u des Dirichletproblems (3.20) die Eigenschaft, daß γ := lim|x|→∞ u(x) existiert. Wie wir in Satz 3.6.4 b) gesehen haben, kann γ ∈ R beliebig vorgegeben werden. anktem Rand ∂Ω. Jeder RandSatz 3.6.6. Es sei Ω ⊆ RN offen mit unbeschr¨ punkt von Ω sei zudem regulär. Weiter sei g : ∂Ω → R stetig und beschr¨ ankt. a) Ist N = 2, so besitzt (3.20) eine eindeutig bestimmte beschränkte L¨ osung u. F¨ ur diese gilt inf g ≤ u(x) ≤ sup g f¨ ur alle x ∈ Ω. b) Ist N ≥ 3 und existiert γ := lim|x|→∞ g(x), so besitzt (3.20) eine eindeutig bestimmte L¨ osung u mit lim|x|→∞ u(x) = γ.


89

c) Ist N ≥ 3 und γ− := lim inf |x|→∞ g(x) < lim sup|x|→∞ g(x) =: γ+ , so besitzt (3.20) mindestens eine L¨ osung u mit γ− = lim inf |x|→∞ u(x) und γ+ = lim sup|x|→∞ u(x). Wir beschließen diesen Abschnitt mit einer Diskussion der Kelvintransformation. Wie schon in der Einleitung bemerkt, erlaubt diese, eine auf unbeschr¨ anktem Ω harmonische Funktion in eine auf einer beschränkten Menge harmonische Funktion zu transformieren, sofern RN \ Ω eine Kugel von positivem Radius enth¨ alt. Grundlage der Kelvintransformation sind die bijektiven Abbildungen x → x ˜ := (R/|x|)2 x, die jedem Punkt x ∈ RN \ BR (0) einen Punkt in BR (0) \ {0} zuordnen und umgekehrt die punktierte Kugel ¨ BR (0)\{0} auf ihr Außeres RN \BR (0) abbilden. Diese werden Inversion oder urde der unendSpiegelung an der Sph¨ are ∂BR (0) genannt; dem Ursprung w¨ lichferne Punkt entsprechen. Vielleicht angeregt durch Greens Essay [86, § 10], teilte W. Thomson diese Methode, von ihm Methode der elektrischen Bilder genannt, Liouville mit [321, 322] und entwickelte sie zu großer Meisterschaft. Liouville gab ihr aufgrund der Beziehung |x||˜ x| = R2 den Namen Methode der reziproken Radien [192, p. 276]. Er zeigte in [193] f¨ ur N = 3, daß ¨ neben Translationen und orthogonalen Transformationen sowie Ahnlichkeitstransformationen die einzigen winkeltreuen Abbildungen f¨ ur N ≥ 3 im RN die durch reziproke Radien sind. Als eine rein geometrische Methode ist die Inversion sehr alt; wir verweisen auf [247] und die dort zitierten EnzyklopädieArtikel. Um zu sehen, wie sich der Poissonkern PB (x, y) (x ∈ B\{0}, y ∈ ∂B) aus Kapitel 3.2 unter einer Inversion verh¨ alt, setzen wir in der Symmetrierelation von Aufgabe 3.13 a = y, b = R−2 x und erhalten y x x |x| |x| − y 2 = 2 |˜ x − y| , − = R R |x| R R 2 also wegen R2 − |x|2 = |x|2 R−2 |˜ x| − R2 |x|2−N PB (˜ x, y) . R2−N Wir wissen, daß dies eine in x harmonische Funktion ist. Man kann aber auch allgemein zeigen, daß f¨ ur jede harmonische Funktion h die Funktion x) ebenfalls harmonisch ist. Der Rechenaufwand dies nachzuweisen, |x|2−N h(˜ wird etwas reduziert, wenn man den Laplaceoperator als Summe eines in radialer und eines in tangentialer Richtung wirkenden Operators schreibt. An den Begriff der Richtungsableitung wird in Aufgabe 3.14 erinnert. (Der Rechenaufwand w¨ urde minimiert durch Ausn¨ utzung von Eigenschaften homogener Polynome [9, p. 62f.].) PB (x, y) = −

Satz 3.6.7. F¨ ur x = 0 ist Δ=

2 N 1

(N − 1) ∂ ∂ ∂ ∂2 + x + − x . k i ∂|x|2 |x| ∂|x| 2|x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

90


Beweis. Es ist 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ xk xk − xi = xk − xi − xi ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 = xk δik + x2k 2 − xi − xi xk ∂xi ∂xi ∂xi ∂xk ∂xi 2 ∂ ∂ ∂ ∂2 + xi δik + x2i 2 − xk − xi xk . ∂xk ∂xk ∂xk ∂xi ∂xk Mit Aufgabe 3.14 b) folgt 2 N

∂ ∂ ∂ ∂2 − 2|x|2 xk − xi = 2|x|2 Δ − 2(N − 1)|x| . ∂xi ∂xk ∂|x| ∂|x|2 i,k=1

Bemerkung 3.6.8. den in tangentialer Richtung wirkenden OpeN Man nennt ∂ ∂ 2 − x rator Λ := 12 i,k=1 (xk ∂x i ∂xk ) Laplace-Beltrami- oder Beltramii Operator [15]. F¨ ur N = 3 kann Λ als Quadrat des Vektorprodukts von x und ∇, also, physikalisch gesprochen, des Drehimpulsoperators, geschrieben werden. Satz 3.6.9. Es sei u ∈ C 2 (Ω), Ω ⊆ RN \{0} offen, und H ⊆ RN sei das Bild von Ω unter der Inversion x → |x|−2 x. Es sei v : H → R die Kelvintransformierte von u, definiert durch x . v(x) := |x|2−N u |x|2 x −2−N . (Δu) Dann ist Δv(x) = |x| |x|2 Beweis. Wir setzen y := |x|−2 x und haben wegen Aufgabe 3.14 a) N

xj −1 x ∂ ∂ ∂u u(y) = |x| ∂|x| ∂yj |x|2 ∂|x| |x| j=1 N

x xj ∂|x|−1 ∂u = ∂yj |x|2 |x| ∂|x| j=1

= −|x|−2 und folglich

∂ u(y) ∂|y|

∂ x ∂ ∂ 2−N v(x) = |x| u(y) ; = (2 − N )|x|1−N u(y) − |x|−N u ∂|x| ∂|x| |x|2 ∂|y| ∂ ∂2 u(y) v(x) = (2 − N )(1 − N )|x|−N u(y) − (2 − N )|x|−1−N ∂|x|2 ∂|y| ∂ ∂2 u(y) + |x|−N −2 + N |x|−N −1 u(y) . ∂|y| ∂|y|2


91

Ferner ist nach Aufgabe 3.14 c) N

∂ ∂ ∂u ∂ ∂ xk u(y) = yj − xi (y) xk − xi ∂xi ∂xk ∂yj ∂xi ∂xk j=1

N

1 ∂u ∂ ∂ xj = (y) 2 xk − xi ∂yj |x| ∂xi ∂xk j=1 ∂ ∂ u(y) ; = yk − yi ∂yi ∂yk

folglich ∂ ∂ ∂ ∂ 2−N xk v(x) = |x| yk u(y) ; − xi − yi ∂xi ∂xk ∂yi ∂yk 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2−N xk |x| yk u(y) − xi v(x) = xk − xi − yi ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk ∂yi ∂yk 2 ∂ ∂ − yi u(y) ; = |x|2−N yk ∂yi ∂yk 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ −N 1 yk − xi v(x) = |x| − yi u(y) , xk ∂xi ∂xk |y|2 ∂yi ∂yk weil |x||y| = 1 ist. Zusammengenommen und unter Anwendung von Satz 3.6.7 folgt Δx v(x) =

2 N 1

∂2 N −1 ∂ ∂ ∂ v(x) + x v(x) + − x v(x) k i ∂|x|2 |x| ∂|x| 2|x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

= |x|−2−N

N −1 ∂ ∂2 u(y) u(y) + ∂|y|2 |y| ∂|y|

' 2 N 1

∂ ∂ yk + − yi u(y) 2|y|2 ∂yi ∂yk i,k=1 x −2−N −2−N = |x| . Δy u(y) = |x| (Δu) |x|2 are ∂BR (0) Korollar 3.6.10. Bei der Spiegelung x → (R/|x|)2 x an der Sph¨ sei v(x) := RN −2 |x|2−N u (R/|x|)2 x , die wir die Kelvintransformierte von u bez¨ uglich ∂BR (0) nennen. Dann gilt x 2 . Δv(x) = RN +2 |x|−N −2 (Δu) R |x|2

92


Beweis. Setzt man f (y) := |y|2−N u(|y|−2 y), so gilt v(x) = R2−N f (x/R2 ). Die Kettenregel zusammen mit Satz 3.6.9, angewendet auf f , ergeben dann −2−N x R2−N x 2 −2−N x = R . Δv(x) = (Δf ) (Δu) R R4 R2 R2 |x|2 Die Tatsache, daß nur in der Ebene die Inversion die Harmonizität einer Funktion erh¨ alt, kann man als eine weitere Erklärung daf¨ ur nehmen, daß sich der Eindeutigkeitssatz 3.6.1 f¨ ur N = 2 von dem f¨ ur N ≥ 3 unterschei¨ det. Ubungsaufgabe 3.15 fordert im Fall Ω = RN zu einem Beweis von Satz 3.6.1 auf, der die Kelvintransformation und die Resultate aus Abschnitt 3.5 verwendet.

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip. Der folgende Satz [82] zur partiellen Integration u ¨ber offenes Ω ⊆ RN ist dem Gaußschen Integralsatz oder den Greenschen Formeln ähnlich, ist aber nicht an Glattheitseigenschaften des Randes von Ω oder Informationen u ¨ber den Gradienten in Randn¨ ahe gebunden. Sein Beweis benutzt lediglich die klassischen Konvergenzs¨ atze von Beppo Levi und Lebesgue. ur jedes x ∈ Ω sei A(x) symSatz 3.7.1 (Giesecke). Es sei Ω ⊆ RN offen. F¨ metrisch und positiv semidefinit mit auf Ω stetig differenzierbaren Einträgen, des weiteren q ∈ L1 (Ω) und q ≥ 0. Ferner seien u ∈ C 2 (Ω), v ∈ C 1 (Ω) und f¨ ur jedes > 0 Ω := {x ∈ Ω : |v(x)| > } ⊂⊂ Ω . Schließlich sei [A∇(u − v)] · ∇(u − v) + q(u − v)2 u ¨ber Ω integrierbar (das ist z.B. der Fall, wenn u = v ist). Wenn dann das linke der beiden folgenden Integrale als Lebesgue-Integral existiert, dann auch das rechte, und es ist (− div (A∇u) + qu) v dx = [(A∇u) · ∇v + quv] dx . Ω

Ω

Es gilt dann auch (A∇u) · ∇u + qu2 ∈ L1 (Ω)

und

(A∇v) · ∇v + qv 2 ∈ L1 (Ω) .

ur jedes n ∈ N definiert wird Beweis. Mit der Hilfsfunktion φn : R → R, die f¨ durch ⎧ ⎪ f¨ ur n|t| < 1 ⎨0 ur 1 ≤ n|t| < 2 , φn (t) := n|t| − 1 f¨ ⎪ ⎩1 f¨ ur 2 ≤ n|t|

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip.

93

v(x) sei vn (x) := 0 φn (t) dt (dieser Kunstgriff stammt von E. Heinz). Dann ist

|v(x)| |vn (x)| = 0 φn (t) dt f¨ ur jedes x ∈ Ω eine in n monoton wachsende Folge mit |vn (x)| ≤ |v(x)|. Nach dem Konvergenzsatz von Lebesgue ist lim vn (x) = lim

n→∞

n→∞

v(x)

v(x)

φn (t) dt = 0

1 dt = v(x) .

(3.29)

0

Wegen der Stetigkeit von φn ist vn ∈ C 1 (Ω)

und ∇vn (x) = φn (v(x)) ∇v(x) .

(3.30)

Es gilt vn (x) = 0 f¨ ur x ∈ / Ω1/n , weil φn (t) = 0 ist f¨ ur |t| ≤ n1 . Also hat vn einen in Ω gelegenen ager.

kompakten Tr¨ Daher gestattet Ω {− div (A∇u) + qu) vn dx die partielle Integration nach Bemerkung A.1, und es ist (− div (A∇u) + qu) vn dx = [(A∇u) · ∇vn + quvn ] dx Ω Ω = [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx Ω = [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx . Ω1/n

Da A positiv semidefinit und q ≥ 0 ist, gilt [φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx = [φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx Ω

Ω1/n

2

[φn (v(x)) (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q (u − v + v − vn ) ] dx

≤

Ω1/n

[φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx

+2

Ω1/n

[(A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 ] dx + 2

≤2

Ω1/n

Ω1/n

+2

2

q (v − vn ) dx

(− div (A∇u) + qu) vn dx . Ω1/n

Die drei letzten Integrale sind bei wachsendem n beschränkt, das erste 2 wegen der vorausgesetzten Existenz, das zweite wegen (v − vn ) ≤ 4|v|2 1 und der Beschr¨ anktheit von v sowie wegen q ∈ L (Ω). Bei dem dritten ist | − div (A∇u) + qu||v| eine integrierbare Majorante. Folglich ist

[φ (v(x)) (A∇v) · ∇v + qvn2 ] dx ≤ const, und da der Integrand monoton n Ω wachsend konvergiert, liefert der Satz von Beppo Levi, daß lim φn (v(x)) (A∇v) · ∇v + qv 2

n→∞

94


u ¨ber Ω integrierbar ist. Nun ist lim φn (v(x)) =

n→∞

1, 0,

falls v(x) = 0 , falls v(x) = 0

und somit haben wir zun¨ achst einmal die Integrabilität von (A∇v) · ∇v + qv 2 u ¨ber Ω := ¨ber Ω := {x ∈ Ω : v(x) = 0} erhalten. Die Integrierbarkeit u {x ∈ Ω : ∇v(x) = 0, v(x) = 0} ist klar. Wie man vom Satz u ¨ber implizite Funktionen her erwartet, ist Ω := {x ∈ Ω : ∇v(x) = 0, v(x) = 0} eine Menge vom Maße Null. Dies wird in dem Lemma 3.7.2 in einfacher Weise gezeigt werden. Offenbar ist dann (A∇v) · ∇v + qv 2 ∈ L1 (Ω). Wegen (A∇u) · ∇u + qu2 + |(A∇u) · ∇v| + q|uv| ≤ (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 + 3 |(A∇u) · ∇v| + 3q|uv| ≤ (A∇(u − v)) · ∇(u − v) + q(u − v)2 + 12 (A∇u) · ∇u + qu2 + 92 (A∇v) · ∇v + qv 2 ist dann auch (A∇u) · ∇u + qu2 ∈ L1 (Ω) und |(A∇u) · ∇v| + q|uv| ∈ L1 (Ω) bewiesen. Dabei wurde von der Schwarzschen Ungleichung |(A∇u) · ∇v| ≤ 1 2 b [(A∇u) · ∇u]1/2 [(A∇v) · ∇v]1/2 und von der Ungleichung |ab| ≤ 2 a2 + 2

1 mit = 3 Gebrauch gemacht. Wir haben damit f¨ ur beide Seiten der Gleichung (− div (A∇u) + qu) vn dx = [φn (v(x)) (A∇u) · ∇v + quvn ] dx Ω

Ω

eine integrable Majorante gefunden. Nach dem Konvergenzsatz von Lebesgue folgt (− div (A∇u) + qu) v dx = ((A∇u) · ∇v + quv) dx , Ω

Ω ∪Ω

und da Ω und Ω ∪ Ω sich nur um die Nullmenge Ω unterscheiden, ist mit dem nachfolgenden Lemma alles bewiesen. Lemma 3.7.2. Es sei Ω ⊂ RN offen, v ∈ C 1 (Ω). Dann ist Ω := {x ∈ Ω : v(x) = 0, ∇v(x) = 0} eine Nullmenge. Beweis. Der Beweis folgt G. Simader [306]. Wir setzen 1 , falls v(x) = 0 , χ(x) := lim φn (v(x)) = n→∞ 0 , falls v(x) = 0 und wir werden beweisen, daß fast u ur x ∈ Ω ¨berall (1−χ(x))∇v(x) = 0 ist. F¨ ist aber offenbar (1 − χ(x))∇v(x) = 0; also ist Ω eine Nullmenge. Zum Beweis von (1 − χ(x))∇v(x) = 0 fast u ur ¨berall in Ω berechnen wir f¨ beliebiges Φ ∈ Cc∞ (Ω)

3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen Prinzip.

95

Φ(x)(1 − χ(x))∇v(x) dx = lim

n→∞

Ω

Φ(x)(1 − φn (v(x)))∇v(x) dx Ω

Φ(x) (∇v(x) − ∇vn (x)) dx = − lim (∇Φ(x)) (v(x) − vn (x)) dx = 0 . = lim

n→∞

Ω

n→∞

Ω

Dabei wurde von (3.29) und (3.30) sowie von der partiellen Integration bei einer Funktion mit kompaktem Tr¨ ager Gebrauch gemacht (Bemerkung A.1). Die Behauptung folgt nun aus Satz A.11 b). Als einfache Folgerung aus dem obigen Satz notieren wir Korollar 3.7.3. Es sei Ω ⊆ RN offen, u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), u|∂Ω = 0, wobei f¨ ur unbeschr¨ anktes Ω zus¨ atzlich lim|x|→∞ u(x) = 0 gelte. Wenn das linke der beiden folgenden Integrale als Lebesgue-Integral existiert, dann auch das rechte, und es ist dann 2 − u(x)Δu(x) dx = |∇u(x)| dx . Ω

Ω

Als eine weitere Anwendung des Satzes von Giesecke beweisen wir eine Extremaleigenschaft von L¨ osungen des Dirichletproblems. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es bezeichne 2 |∇v(x)| dx f¨ ur v ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) . D(v) := Ω

Man nennt D(v) das Dirichletintegral von v. Es ist zugelassen, daß D(v) = ∞ ist. Wenn das Dirichletsche Prinzip (vgl. Abschnitt 1.4) zuträfe, gäbe es zu g) < ∞ stetigem g : ∂Ω → R, das Restriktion eines g˜ ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit D(˜ ur ist, unter allen u ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit u|∂Ω = g ein gewisses u ∈ C 2 (Ω), f¨ das das Dirichletintegral minimal w¨ are; und dieses u wäre dann Lösung des Randwertproblems −Δu = 0 in Ω, u|∂Ω = g. Dies motiviert (vgl. Lebesgue [174]) den folgenden Satz, der etwas irref¨ uhrend manchmal auch das Dirichletsche Prinzip genannt wird. Satz 3.7.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , g : ∂Ω → R stetig, und h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) sei L¨ osung von Δh = 0 in Ω, h|∂Ω = g. Es sei w ∈ C 1 (Ω)∩C 0 (Ω) mit w|∂Ω = g. Dann ist D(h) ≤ D(w). Dabei wird zugelassen, daß die Dirichletintegrale divergieren. Beweis. Wenn D(w) = ∞ ist, ist nichts zu beweisen. Es sei also D(w) < ∞. Man u uft leicht, daß dann die Voraussetzungen des Satzes 3.7.1 f¨ ur ¨berpr¨ A(x) = Einheitsmatrix, q = 0, u = h und v = h − w erf¨ u llt sind. Hieraus

folgt nicht nur Ω ∇h · ∇(h − w) dx = 0, sondern auch die Integrierbarkeit von |∇h|2 und |∇(h − w)|2 u ¨ber Ω. Somit ist

96


D(w) = D(h − (h − w)) = D(h) + D(h − w) − 2

∇h · ∇(h − w) dx Ω

= D(h) + D(h − w) ≥ D(h) .

(3.31)

Bemerkung 3.7.5. Ein Analogon zu Satz 3.7.4 läßt sich auch f¨ ur Lösungen h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), Ω ⊂⊂ RN , der selbstadjungierten, elliptischen Differentialgleichung N

−

i,k=1

∂h ∂ aik (x) (x) + q(x)h(x) = r(x), ∂xk ∂xi

x∈Ω,

mit Randbedingung h|∂Ω = g formulieren, wenn man D(u) :=

N Ω

i,k=1

aik (x)

∂u ∂u (x) (x) + q(x)u(x)2 − 2r(x)u(x) dx ∂xi ∂xk

als Dirichletintegral ansieht. Man setzt die Koeffizienten aik , q wie in Satz ur alle 3.7.1 voraus, r ∈ C 0 (Ω) und g ∈ C 0 (∂Ω). Es gilt dann D(h) ≤ D(w) f¨ w ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit w|∂Ω = g. Der Beweis stammt von Giesecke [82]. Man kann ihn f¨ uhren, indem man Satz 3.7.1 ganz ähnlich anwendet wie bei Satz 3.7.4. Das ist nicht u ¨berrraschend, denn der Satz 3.7.1 ist ein Destillat aus jener Arbeit von Giesecke. Wenn Ω die Einheitskreisscheibe E in der Ebene ist, kommt man zum Beweis von Satz 3.7.4 mit dem Gaußschen Integralsatz aus, da man dann die Fourierentwicklung folgendermaßen heranziehen kann. F¨ ur 0 ≤ r < 1 setzen wir Er := {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < r2 } und 2 wx + wy2 dx dy . Dr (w) := Er

Mit der Funktion hn aus (3.3) in Bemerkung 3.1.8 haben wir dann anstelle von (3.31) Dr (w) ≥ Dr (hn ) − 2Ir , wobei aufgrund des Gaußschen Satzes (s. Satz B.5) und der Harmonizität von hn in Er ξ dS(ξ) Ir := ∇hn · ∇(hn − w) dx dy = (hn − w)(ξ) ∇hn (ξ) · |ξ| Er

∂Er

¨ ist. Ubergang zu Polarkoordinaten (vgl. Bemerkung 3.1.8) ergibt

3 Aufgaben

2π

Ir = =

97

0 n

k=1

(Hn − W ) (r, ϕ) (Hn )r (r, ϕ) r dϕ kr

2π

(ak cos kϕ + bk sin kϕ) (Hn − W ) (r, ϕ) dϕ .

k 0

Ersetzen wir in Ak (r) :=

1 π

2π

(Hn − W )(r, ϕ) cos kϕ dϕ 0

Hn durch (3.3), so ergibt sich aufgrund der Orthogonalität der trigonometrischen Funktionen 1 2π W (r, ϕ) cos kϕ dϕ . Ak (r) = ak rk − π 0 Im Grenz¨ ubergang r → 1 konvergiert dann Ak (r) gegen 1 2π G(ϕ) cos kϕ dϕ = 0 . ak − π 0 Entsprechendes gilt f¨ ur den Term mit Sinus. Also ist limr→1 Ir = 0, mithin ur alle n ∈ N . D(w) ≥ D(hn ) f¨ Aufgrund der Unterhalbstetigkeit des Dirichletintegrals (siehe Aufgabe 3.19) ist aber lim inf D(hn ) ≥ D(h) . n→∞

Wir hatten im Abschnitt 1.4 erw¨ ahnt, daß es durchaus stetige Randwerte g gibt, so daß die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Kreisscheibe mit Randwerten g ein divergentes Dirichletintegral hat. Dann läßt sich diese Lösung nicht als Minimumstelle des Dirichletfunktionals charakterisieren. Aufgabe 3.20 bringt das Beispiel von Hadamard.

Aufgaben 3.1. Es seien (αk ), (βk ) beschr¨ ankte Zahlenfolgen. Man zeige, daß durch ∞

rk (αk cos kϕ + βk sin kϕ)

k=1

eine auf der Einheitskreisscheibe E harmonische Funktion definiert wird. 3.2. Man beweise f¨ ur die auf E harmonische Funktion (3.2) die Darstellung (3.5).

98


3.3. Man erg¨ anze den Satz 2.1.1 mit der Feststellung, daß u ∈ C 0 (Ω) genau dann harmonisch ist, wenn es zu jedem x ∈ Ω eine Folge rj → 0 gibt, so daß f¨ ur alle j gilt: Brj (x) ⊂⊂ Ω und (u(x) − u(y)) dy = 0 . |y−x|≤rj

Man zeige zun¨ achst, daß Funktionen mit dieser eingeschränkten Mittelwerteigenschaft das starke (Maximum-)Minimumprinzip erf¨ ullen. 3.4. Man folgere aus der Poissonschen Integralformel, daß sich harmonische Funktionen lokal in eine Potenzreihe entwickeln lassen, indem man den Poissonkern f¨ ur B := BR (x0 ) in der Form PB (x, y) =

R2 − |x − x0 |2 (1 + t)−N/2 R N ωN

mit geeignetem t schreibt. 3.5. Man beweise die klassische Harnackungleichung: Ist u eine nichtnegative harmonische Funktion auf BR (0), so gelten f¨ ur alle x ∈ BR (0) die Ungleichungen R + |x| R − |x| RN −2 u(0) ≤ u(x) ≤ RN −2 u(0) . (R + |x|)N −1 (R − |x|)N −1 Anleitung: Absch¨ atzung des Nenners vom Kern des Poissonintegrals nach oben und nach unten und Anwendung der Mittelwertrelation. 3.6. Es sei Ω ⊆ RN offen. Man mache sich klar, daß stetiges u : Ω → R genau ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω gilt. dann auf Ω harmonisch ist, wenn QB u = u f¨ 3.7. Es seien u, v ∈ C 0 (Ω). Man zeige: a) Im Falle u ≤ v gilt QB u ≤ QB v f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω. b) Mit u ist f¨ ur jedes c ∈ R auch u + c superharmonisch auf Ω. c) Wenn u und v auf Ω superharmonisch sind, so auch λu + μv f¨ ur alle λ, μ ≥ 0. 3.8. Man zeige, daß f¨ ur u ∈ C 2 (Ω) die folgenden Aussagen äquivalent sind: (i) Δu ≤ 0 auf Ω.

1 (ii) N −1 u(y) dS(y) ≤ u(x) f¨ ur alle Kugeln B (x) ⊂⊂ Ω. ωN ∂B (x)

N (iii) rN ωN Br (x) u(y) dy ≤ u(x) f¨ ur alle Kugeln Br (x) ⊂⊂ Ω. 3.9. Man zeige, daß die Randpunkte von Ω = RN \(RN −1 ×{0}) regulär sind.

3 Aufgaben

99

3.10. Es sei Ω0 ⊆ R3 offen, und Ω0 enthalte die Strecke T := [0, 1]×{0}×{0}. Es sei u : Ω0 \ T → R harmonisch und beschränkt. Man zeige, daß sich u zu einer in Ω0 harmonischen Funktion fortsetzen läßt. ur das sich das Anleitung: Man w¨ ahle ein Ω ⊂⊂ Ω0 , das T enthält und f¨ Dirichletproblem −Δv = 0 in Ω, v|∂Ω = u|∂Ω lösen läßt. Das Potential

1 ullt die Forderungen in Satz wT (x, y, z) := 0 ((t − x)2 + y 2 + z 2 )−1/2 dt erf¨ 3.5.1. ankt, g : ∂Ω → R stetig und γ ∈ R. 3.11. Es seien Ω ⊆ RN offen und unbeschr¨ Man zeige, daß es h¨ ochstens ein auf Ω harmonisches u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit u|∂Ω = g und

lim u(x) = γ x∈Ω |x|→∞

gibt, indem man das schwache Maximumprinzip (Korollar 2.3.5) verwende. ur geeignetes > 0. Man betrachte die Menge Ω := Ω ∩ B (0) f¨ 3.12. Man beweise die S¨ atze 3.6.4 und 3.6.6. 3.13. Man zeige f¨ ur a, b ∈ RN \{0} a b |a| − b|a| = |b| − a|b| . 3.14. Es seien Ω ⊆ RN offen, ξ ∈ RN \{0} und u : Ω → R. Der Grenzwert limt→0 1t [u(x + tξ) − u(x)] heißt im Falle seiner Existenz Richtungsableitung von u nach dem Vektor ξ im Punkt x ∈ Ω und wird mit ∂u ahnlich ∂ξ (x) oder ¨ ∂u ur alle ξ ∈ bezeichnet. Ist u im Punkt x differenzierbar, so existiert ∂ξ (x) f¨ RN \{0}, und es gilt

∂u ∂u (x) = ξi (x) = ξ · ∇u(x) . ∂ξ ∂xi i=1 N

x Im Spezialfall x ∈ Ω\{0} und ξ = |x| heißt ∂u ∂ξ Radialableitung und man ∂u ∂u ∂u a. F¨ ur x ∈ RN \{0} und i = k ist schreibt k¨ urzer ∂|x| oder ∂r , auch ∂νx o.¨

τ := (0, . . . , 0, xk , 0, . . . , 0, −xi , 0, . . . , 0) (xk steht an der i-ten, −xi an der k-ten Stelle) orthogonal zu x und daher ∂ ∂ ∂u (x) = xk u(x) − xi ∂τ ∂xi ∂xk Richtungsableitung nach einem Tangentialvektor der Sphäre um 0 mit Radius |x| an der Stelle x. Man zeige:

100


a) Ist f¨ ur f : S N −1 → R die Funktion x → f (x/|x|), x ∈ Ω\{0}, differenzierbar, so gilt x ∂ f =0. ∂r |x| b) F¨ ur u ∈ C 2 (Ω\{0}) und x ∈ Ω \ {0} gilt N

∂2u xi xk ∂ 2 u (x) = (x) . ∂r2 |x|2 ∂xi ∂xk i,k=1

c) Ist f ∈ C 1 ((0, ∞)), so gilt f¨ ur x ∈ RN \{0} ∂ ∂ xk f (|x|) = 0 . − xi ∂xi ∂xk 3.15. Man gebe einen alternativen Beweis des Eindeutigkeitssatzes 3.6.1 f¨ ur ur die RN \Ω eine Kugel von positivem Radius unbeschr¨ ankte offene Ω ⊆ RN , f¨ enth¨ alt, der auf der Kelvintransformierten beruht. Zur Untersuchung der am Kugelmittelpunkt entstehenden Singularit¨ at verwende man die Ergebnisse aus Abschnitt 3.5. 3.16. Sei Ω ⊆ R2 ein Außenraum in der Ebene und u eine auf Ω harmonische und beschr¨ ankte Funktion. Man zeige, daß lim|x|→∞ u(x) existiert. N 2 0 3.17. Es sei Ω ⊆ R

offen. Es sei u ∈ C (Ω, C) ∩ C (Ω, C), u|∂Ω = 0, ur v : Ω → C. Man lim|x|→∞ u(x) = 0, Ω |Δu(x)| dx < ∞; und desgleichen f¨ zeige, daß dann die drei folgenden Integrale existieren und u(x)Δv(x) dx = ∇u(x) · ∇v(x) dx = − Δu(x)v(x) dx − Ω

Ω

Ω

gilt. ulle zumindest eine der beiden 3.18. Es sei Ω ⊂⊂ RN . Die Funktion u erf¨ folgenden Bedingungen a) oder b):

a) u ∈ C 1 (Ω, C) ∩ C 0 Ω, C , u|∂Ω = 0, Ω |∇u(x)|2 dx < ∞,

b) u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 Ω, C , u|∂Ω = 0, Ω |Δu(x)| dx < ∞.

2 Ferner sei v ∈ C 2 (Ω, C), Ω |∇v(x)| dx < ∞ und Ω |Δv(x)| dx < ∞. Man zeige, daß die beiden folgenden Integrale existieren und den gleichen Wert annehmen: u(x)Δv(x) dx = ∇u(x) · ∇v(x) dx . − Ω

Ω

3 Aufgaben

101

2 3.19. Es sei Ω ⊂⊂ RN , DΩ (v) := Ω |∇v(x)| dx, und (un ) sei eine Folge 1 aus C (Ω), die auf jedem Ω ⊂⊂ Ω mitsamt Ableitungen erster Ordnung gleichm¨ aßig gegen u ∈ C 1 (Ω) konvergiert. Man zeige DΩ (u) ≤ lim inf DΩ (un ) n→∞

(Unterhalbstetigkeit des Dirichletintegrals). 3.20. Verwendet werde die Notation aus Bemerkung 3.1.8. Es ist dann h2x + h2y = Hr2 +

1 2 H . r2 ϕ

Man zeige, daß D(h) =

∞

h2x + h2y dx dy = π k a2k + b2k

k=1

E

ist und bei Wahl von G(t) =

∞

sin(n!t) , n2 n=1

t∈R,

D(h) = ∞ ausf¨ allt (dazu w¨ urde es schon gen¨ ugen, n! im Argument des Sinus durch n3 zu ersetzen).

4 Die Poissongleichung −Δu = f

Es wird gezeigt, daß die Poissongleichung eine zweimal stetig differenzierbare L¨ osung besitzt, wenn die rechte Seite lokal hölderstetig ist (Satz 4.2.6) und Stetigkeit alleine dazu nicht ausreicht (Satz 4.3.1). Satz 4.4.9 stellt eine ¨ Aquivalenz zwischen L¨ osbarkeit des Dirichletproblems, Existenz der Green¨ schen Funktion und Regularit¨ at der Randpunkte her. Uber die Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2) werden Abschätzungen f¨ ur ihre Ableitungen hergeleitet (S¨ atze 4.6.2 und 4.6.3). Die Sätze 4.7.1 und 4.7.2 sind Hilfsmittel, um f¨ ur das Greenpotential zum Hölderschen Satz 4.2.6 analoge Aussagen beweisen bzw. die Helmholtzsche Schwingungsgleichung in ähnlicher Weise behandeln zu k¨ onnen. Lemma 4.7.4 von E. Hopf wird erst in Abschnitt 9.2 ben¨ otigt.

4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential Das Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung in Ω ⊂⊂ RN ist durch − Δu = f in Ω , u|∂Ω = g

(4.1) (4.2)

charakterisiert. Dabei sind f : Ω → R und g : ∂Ω → R vorgegebene Funktionen. Man nennt u : Ω → R in Erweiterung des auf S. 59 Gesagten eine Lösung dieses Problems, wenn u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ist und den beiden Gleichungen gen¨ ugt (was nat¨ urlich mindestens die Stetigkeit von f und g voraussetzt). Bemerkung 4.1.1. Nehmen wir an, wir h¨ atten irgendeine Funktion v ∈ ullt. Wenn dann jeder Randpunkt von Ω C 2 (Ω)∩C 0 (Ω) gefunden, die (4.1) erf¨ regul¨ ar ist, so garantiert nach Satz 3.3.9 die Perronsche Methode die Existenz einer Funktion h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit Δh = 0 in Ω ,

h = g − v auf ∂Ω .


104


u := v + h ist daher eine L¨ osung des Dirichletproblems (4.1), (4.2). Die Eindeutigkeit ergibt sich sofort aus Satz 3.1.1, da die Differenz zweier Lösungen von (4.1) ja eine harmonische Funktion ist. Es liegt nun nahe, nochmals die Linearit¨ at des Problems ausn¨ utzend, eine solche partikul¨ are L¨ osung v aus den bei festem y ∈ RN in RN \ {y} harmonischen Funktionen |x − y|2−N im Falle N ≥ 3 bzw.

ln |x − y| im Falle N = 2

aufzubauen. Diese Funktionen sind uns schon an verschiedenen Stellen begegnet (in Aufgabe 2.4, auf S. 64 bei der Poissonschen Integralformel, bei den Barrieren in Abschnitt 3.4 und bei den behebbaren Singularitäten in Abschnitt 3.5). Von jetzt an werden sie noch intensiver benutzt. Definition 4.1.2. F¨ ur x ∈ RN , y ∈ RN , x = y, sei S(x, y) :=

1 (N −2)ωN

|x − y|2−N f¨ ur N ≥ 3

1 − 2π ln |x − y|

.

f¨ ur N = 2

Wir werden sehen, daß es bequem ist, f¨ ur x ∈ RN noch S(x, x) := 0 zu N N setzen. Man nennt S : R × R → R die Singularitätenfunktion oder die Grundl¨ osung zum Laplaceoperator. Ersichtlich gilt S(x, y) = S(y, x) ,

lim S(x, y) = ∞ ,

x→y x =y

0 < S(x, y) f¨ ur x = y im Falle N ≥ 3 und f¨ ur 0 < |x − y| < 1 im Falle N = 2. Die Best¨ atigung der Angaben in der nachfolgenden Bemerkung ist eine leich¨ te Ubungsaufgabe. Aus (iv) erkl¨ art sich die Wahl des dimensionsabhängigen Faktors in der Definition der Funktion S. Bemerkung 4.1.3. a) (i) Es gibt eine Konstante C(N ) mit |S(x, y)| ≤ C(N ) |x − y|2−N + |ln |x − y|| und daher zu jedem R > 0 und γ ∈ (0, 1) eine Zahl CN (R, γ), so daß |S(x, y)| ≤ CN (R, γ)|x − y|2−N −γ

f¨ ur |x − y| ≤ R .

Damit wird eine Unterscheidung der F¨ alle N ≥ 3 und N = 2 vermieden. 1 xi − yi (ii) Es ist Sxi (x, y) = − = −Syi (x, y), und hieraus folgt ωN |x − y|N |∇x S(x, y)| ≤

1 |x − y|1−N . ωN

4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential

105

(iii) Die zweiten Ableitungen berechnen sich zu % 1 (xi − yi )(xk − yk ) δik − N ; Sxi xk (x, y) = − ωN |x − y|N |x − y|2 mithin ist Δx S(x, y) = 0 = Δy S(x, y) f¨ ur x = y und |Sxi xk (x, y)| ≤

N +1 . ωN |x − y|N

(iv) F¨ ur Ω ⊆ RN offen, x ∈ Ω und f ∈ C 0 (Ω) gilt x−y · ∇y S(x, y) dS(y) = f (x) . f (y) lim

→0 |x − y| ∂B (x)

b) Die Abschätzungen in (i)–(iii) verwendet man häufig in Kombination ultigen Formel mit der f¨ ur Br (x) ⊂⊂ RN und β > −N g¨ rN +β . |x − y|β dy = ωN N +β Br (x)

Speziell ist daher f¨ ur Ω ⊂⊂ RN mit D := diam Ω f¨ ur alle x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) ωN D2−γ . |S(x, y)| dy ≤ |S(x, y)| dy ≤ CN (D, γ) 2−γ |y−x|≤D

Ω

Des weiteren hat man |S(x, y)| dS(y) → 0 , ∂B (x)

|Sxi (x, y)| dy → 0 B (x)

f¨ ur → 0. Aufgrund von Bemerkung 4.1.3 b) k¨ onnen wir die folgende Definition treffen. Definition 4.1.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Man nennt die durch (4.3) v(x) := S(x, y)f (y) dy Ω

definierte Funktion v : RN → R das Newtonpotential zu Ω und f . In der ¨ alteren Literatur wurde die Bezeichnung Newtonpotential“ nur f¨ ur ” N = 3 benutzt. Man kontrastierte es mit dem Logarithmischen Potential“ ” f¨ ur N = 2. F¨ ur N = 3 stimmt v bis auf einen Faktor mit dem Potential (1.3)

106


eines Kraftfeldes u ¨berein, das von einer in Ω mit der Dichte f verteilten Masse ausgeht. Wie auf S. 6 erw¨ ahnt, zeigte Gauss, daß v f¨ ur stetig differenzierbares f zweimal stetig differenzierbar ist und (4.1) erf¨ ullt. Differenziert man (4.3) zweimal unter dem Integralzeichen, so erh¨ alt man wegen (iii) in Bemerkung 4.1.3 Terme der Gestalt |x − y|−N , deren Integrierbarkeit also nur durch Voraussetzungen an die Dichte f erreicht werden kann. H¨ older ersetzte dann die Voraussetzung der stetigen Differenzierbarkeit durch die in der nachfolgenden Definition 4.1.5 genannte zun¨ achst nur geringf¨ ugig schwächer erscheinende Bedingung an den Stetigkeitsmodul von f . Die zentrale Bedeutung seiner Voraussetzung f¨ ur die elliptischen Differentialgleichungen wurde erst später sehr deutlich, als im ersten Drittel des 20. Jahrhunderts Funktionalanalysis und Topologie zum Einsatz kamen. F¨ ur uns wird dieser Aspekt ab dem Abschnitt 5.5 eine große Rolle spielen. Definition 4.1.5. F¨ ur offenes Ω ⊆ RN ist ur jedes K ⊂⊂ Ω gibt es Zahlen c > 0 und C H (Ω) := {u : Ω → R : f¨ ur x, y ∈ K} α ∈ (0, 1] mit |u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α f¨ der Vektrorraum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen Funktionen. (Man beachte, daß H¨ olderschranke c und H¨ olderexponent α lokal variieren k¨ onnen; insbesondere wird kein gemeinsamer H¨ olderexponent f¨ ur alle K ⊂⊂ Ω vorgegeben. Dies wird erst in Abschnitt 5.3 geschehen.) Weiter setzen wir CbH (Ω) := u ∈ C H (Ω) : u ist beschränkt . Man spricht meist von H¨ olderstetigkeit im Falle α ∈ (0, 1) und Lipschitzstetigkeit im Falle α = 1. Obwohl derartige Funktionen höchst unterschiedliche Eigenschaften haben k¨ onnen – es gibt h¨ olderstetige Funktionen, die nirgends differenzierbar sind, w¨ ahrend lipschitzstetige Funktionen es nach einem Satz von Rademacher [271] fast u ¨berall sind – lassen sich bei unseren Untersuchungen diese Funktionenklassen weitgehend gemeinsam behandeln. Die Schwierigkeit bei der Untersuchung der Differenzierbarkeitseigenschaften singul¨ arer Integrale der Gestalt (4.3) besteht darin, daß es nicht möglich ist, den Differenzenquotienten durch eine von x ∈ Ω unabhängige integrierbare Funktion abzusch¨ atzen, also einen klassischen Satz u ¨ber Parameterintegrale anzuwenden (vgl. Satz A.5). Eine M¨ oglichkeit, diese Schwierigkeit zu meistern, besteht darin, den singul¨ aren Kern S durch singularitätenfreie Kerne, die mit Hilfe einer Abschneidefunktion erzeugt werden, zu approximieren (s. den Beweis von Satz 4.2.4). Naheliegender ist vielleicht eine Approximation, bei der 1/2 ersetzt und h gegen Null geschickt |x − y| in S(x, y) durch |x − y|2 + h2 wird, ein Gedanke, der von Green [87] stammt (er verwendet ihn in beliebigen Dimensionen) und der f¨ ur das Newtonpotential tatsächlich sehr bequem ist, sich aber nicht auf allgemeinere singul¨ are Integrale, wie sie in Abschnitt 4.7 vorkommen, u aßt. Lichtenstein verwendet diesen gelegent¨bertragen l¨ lich nach ihm benannten Trick in seiner auf Arbeiten von Korn [150, 151]

4.2 Differenzierbarkeit des Newtonpotentials, L¨ osung des Dirichletproblems

107

basierenden und f¨ ur seine hydrodynamischen Untersuchungen wichtigen systematischen Darstellung [191] der Eigenschaften des Newtonpotentials. Einen eigenst¨ andigen Charakter hat das Studium singulärer Integrale ´ n und Zygmund aus dem Jahre 1952 bedurch eine Arbeit von Caldero kommen. Hier¨ uber unterrichtet das Buch von Mikhlin [205]. Diese Ergebnisse sind besonders f¨ ur die von uns nicht behandelte Lp -Theorie elliptischer Differentialgleichungen wichtig. Sie enthalten als Spezialfall den Lichtensteinschen Satz, daß das Newtonpotential fast u ¨berall zweimal differenzierbar ist, wenn die Dichte quadratisch integrierbar ist [187]. In Abschnitt 4.3 werden wir sehen, daß nicht einmal die Stetigkeit der Dichte f¨ ur die u ¨berall zweimalige Differenzierbarkeit des Potentials ausreicht.

4.2 Differenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials und L¨ osung des Dirichletproblems Wir beginnen mit einer Aussage, deren Beweis nur vom Gaußschen Satz f¨ ur Kugeln Gebrauch macht. Lemma 4.2.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei σ ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, f¨ ur die Δσ beschr¨ ankt ist. Dann gilt S(·, y)Δσ(y) dy ∈ C 2 (Ω) Ω

und f¨ ur x ∈ Ω

−Δ

S(x, y)Δσ(y) dy = Δσ(x) .

(4.4)

Ω

ur ein > 0. Wir Beweis. Sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel, x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B f¨ zerlegen S(x, y)Δσ(y) dy = S(x, y)Δσ(y) dy + S(x, y)Δσ(y) dy . (4.5) Ω

Ω\B

B

Das erste Integral rechts kann nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale beliebig oft unter dem Integralzeichen differenziert werden; es stellt also eine harmonische Funktion dar. Somit verbleibt S(x, y)Δσ(y) dy = S(x, y)Δσ(y) dy + S(x, y)Δσ(y) dy . B

B\B (x)

B (x)

Das zweite Integral rechts geht nach Bemerkung 4.1.3 b) f¨ ur → 0 gegen Null. Auf das erste Integral wenden wir den Gaußschen Satz B.6 an, wobei auf die Richtung der ¨ außeren Einheitsnormalen ν zu achten ist. Wegen Δy S(x, y) = 0 f¨ ur y ∈ B \ B (x) haben wir

108

−


[σ(y)Δy S(x, y) − S(x, y)Δσ(y)] dy

S(x, y)Δσ(y) dy =

B\B (x)

B\B (x)

[σ(y)∇y S(x, y) − S(x, y)∇σ(y)] · ν(y) dS(y)

= ∂B

+

σ(y)

x−y · ∇y S(x, y) dS(y) |x − y|

(4.6)

∂B (x)

−

S(x, y)

x−y · ∇σ(y) dS(y) . |x − y|

∂B (x)

Das erste Integral in (4.6) ist eine in B harmonische Funktion h(x). F¨ ur → 0 strebt das zweite nach Bemerkung 4.1.3 a) gegen σ(x), während das dritte nach Teil b) dieser Bemerkung gegen Null geht. Dies liefert uns f¨ ur x ∈ B, (4.7) σ(x) = − S(x, y)Δσ(y) dy − h(x) , B

was man auch als Greensche Darstellungsformel f¨ ur die Kugel B bezeichnet.

Zusammen mit (4.5) folgt, daß Ω S(·, y)Δσ(y) dy auf B zweimal stetig differenzierbar ist. Anwendung von Δ auf (4.5) f¨ uhrt wegen der Harmonizität von ur alle x ∈ B. Da B ⊂⊂ Ω h und von Ω\B S(·, y)Δσ(y) dy auf Relation (4.4) f¨ beliebig gew¨ ahlt war, folgt hieraus die Behauptung. Korollar 4.2.2. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN gilt die auf S. 6 genannte Poissonsche Aussage u ¨ber das mit einer konstanten Dichte gebildete Newtonpotential, d.h. S(·, y) dy ∈ C ∞ (Ω) und − Δ S(x, y) dy = 1 f¨ ur alle x ∈ Ω . Ω

Ω

1 Beweis. Man wende Lemma 4.2.1 auf σ(x) = 2N |x|2 an. Die C ∞ -Eigenschaft des Newtonpotentials folgt nunmehr sofort aus (4.7).

Korollar 4.2.3. F¨ ur ϕ ∈ Cc2 (RN ) und x ∈ RN gilt −Δ S(x, y)ϕ(y) dy = − S(x, y)Δϕ(y) dy = ϕ(x) . RN

RN

Ist ϕ ∈ Cc∞ (RN ), so ist sein Newtonpotential auf RN beliebig oft differenzierbar. Beweis. Die Gleichheit rechts folgt sofort aus (4.7), da h identisch Null wird, wenn man B ⊇ supp ϕ w¨ ahlt. Die andere Behauptung ergibt sich aus


109

S(x, y)Δϕ(y) dy =

RN

S(0, z)Δϕ(x + z) dz RN

=

S(0, z)Δx ϕ(x + z) dz RN

=Δ

S(0, z)ϕ(x + z) dz ,

RN

wobei die Vertauschung von Differentiation und Integration durch den Standardsatz A.5 gedeckt wird. Die

folgt ebenfalls aus dem

letzte Behauptung Standardsatz A.5, wenn man RN S(x, y)ϕ(y) dy = RN S(0, z)ϕ(x + z) dz verwendet. Wenn man prim¨ ar daran interessiert ist zu zeigen, daß das Newtonpotential eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, kann man nun direkt zu Satz 10.2.5 u ¨bergehen. ankt. Satz 4.2.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , ferner f : Ω → R meßbar und beschr¨ Dann ist das Newtonpotential (4.3) zu Ω und f aus C 1 (RN ), und es gilt vxi (x) = Sxi (x, y)f (y) dy f¨ ur alle x ∈ RN . (4.8) Ω

Ist M eine Schranke f¨ ur |f |, so besteht |vxi (x)| ≤ c(Ω)M

f¨ ur alle x ∈ RN

(4.9)

mit einer allein von N und von dem Volumen von Ω abh¨ angigen Konstanten c(Ω). Beweis. Die absolute Konvergenz des Integrals (4.8) ergibt sich sofort aus (ii) in Bemerkung 4.1.3 a). Um zu einer Differenzierbarkeitsaussage f¨ ur v zu kommen, machen wir von einer Abschneidefunktion ϕ : R → R mit den Eigenschaften ϕ ∈ C ∞ (R), 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ(t) =

0 f¨ ur t < 1 1 f¨ ur t > 2

Gebrauch und setzen noch ϕ (t) := ϕ (t/) f¨ ur > 0. Es gibt dann ein k > 0 mit |ϕ (t)| ≤

k

(4.10)

110


f¨ ur > 0 und t ∈ R. Damit ist dann ϕ (|x − y|)S(x, y) singularitätenfrei, und f¨ ur alle x, y ∈ RN gilt lim ϕ (|x − y|)S(x, y) = S(x, y) ,

→0

denn wir haben ja S(x, x) zu Null definiert. Setzen wir v (x) := ϕ (|x − y|)S(x, y)f (y) dy ,

(4.11)

Ω

so gilt aufgrund des Satzes von der majorisierten Konvergenz lim v (x) = v(x)

→0

f¨ ur alle x ∈ R . F¨ ur jedes > 0 liegt nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale v in C 1 (RN ) und ∂ ∂ v (x) = f (y) [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy . ∂xi ∂xi N

Ω

Zum Nachweis der Differenzierbarkeit von v und der Darstellung (4.8) brauchen wir also nur zu zeigen, daß f¨ ur → 0 ∂ v (x) − Sxi (x, y)f (y) dy D (x) := ∂xi Ω

gleichm¨ aßig f¨ ur x ∈ Ω gegen Null geht. Aufgrund der Eigenschaften der Abschneidefunktion ϕ und wegen Bemerkung 4.1.3 1haben wir mit einer geeigur ≤ 2 gilt neten Zahl cN R = 1, γ = 12 =: cN , daß f¨ (|(ϕ (|x − y|) − 1) Sxi (x, y)| + |ϕ (|x − y|) S(x, y)|) dy |D (x)| ≤ M |x−y|≤2

≤M |x−y|≤2

1 1 k |x − y|1−N + cN |x − y|2−N − 2 ωN

dy

3 2k cN ωN (2) 2 . = M 2 + 3 Die Absch¨ atzung (4.9) ergibt sich schließlich aus M |vxi (x)| ≤ |Sxi (x, y)f (y)| dy ≤ |x − y|1−N dy ωN Ω Ω ⎫ ⎧ ⎪ ⎪ ⎬ ⎨ M 1−N 1−N ≤ |x − y| dy + 1 dy ⎪ ωN ⎪ ⎭ ⎩ B1 (x)

nach Bemerkung 4.1.3.

Ω


111

Lemma 4.2.5. Ist B ⊂⊂ RN eine Kugel, so gilt f¨ ur x ∈ B ∂2 S(x, y) dy = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂xi ∂xk B

∂B

Dabei ist νi (y) die i-te Komponente der ¨ außeren Einheitsnormalen an ∂B im Punkte y. Beweis. Sei x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B. Nach Satz 4.2.4 hat das Newtonpotential zu B und 1, v(x) := S(x, y) dy , B

die Eigenschaft

vxi (x) =

Sxi (x, y) dy , B

was nach (ii) in Bemerkung 4.1.3 a) in der Form Syi (x, y) dy − Syi (x, y) dy vxi (x) = − B\B (x)

B (x)

geschrieben werden kann, wobei das zweite Integral nach Punkt b) dieser Bemerkung f¨ ur → 0 gegen Null geht. Wenden wir auf das erste Integral den Gaußschen Satz B.6 an, so erhalten wir xi − yi S(x, y) dS(y) . Syi (x, y) dy = νi (y)S(x, y) dS(y) + |x − y| ∂B

B\B (x)

∂B (x)

Da das zweite Integral ebenfalls in Bemerkung 4.1.3 b) als gegen Null gehend erkannt wurde, haben wir die Darstellung vxi (x) = − νi (y)S(x, y) dS(y) ∂B

erreicht. Die rechte Seite kann nach Satz A.5 aber unter dem Integralzeichen nach xk differenziert werden. Nachfolgend der Hauptsatz dieses Abschnitts; wir erinnern an Definition 4.1.5. Satz 4.2.6 (O. H¨ older). Es sei Ω ⊂⊂ RN , und es sei f ∈ CbH (Ω). Dann ur x ∈ Ω gilt ist das zu Ω und f geh¨ orige Newtonpotential v aus C 2 (Ω), und f¨ ∂2 S(x, y) dy . (4.12) vxi xk (x) = [f (y) − f (x)] Sxi xk (x, y) dy + f (x) ∂xi ∂xk Ω

Ω

112


Beweis. Nach Voraussetzung lassen sich zu einer kleinen Kugel B (x) ⊂⊂ Ω um den festen Punkt x ∈ Ω eine H¨ olderschranke c und ein Hölderexponent α zu dieser Kugel angeben derart, daß f¨ ur y ∈ B (x) |(f (y) − f (x)) Sxi xk (x, y)| ≤ c|x − y|α

N +1 |x − y|−N ωN

ausf¨ allt (siehe (iii) in Bemerkung 4.1.3 a)). F¨ ur y ∈ Ω \ B (x) können wir gr¨ ober durch |(f (y) − f (x)) Sxi xk (x, y)| ≤

N +1 2 sup |f | ωN N

absch¨ atzen. Das erste Integral in (4.12) ist also absolut konvergent. ugt zu zeigen, daß v auf B zweimal Es sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel. Es gen¨ stetig differenzierbar ist und die Darstellung (4.12) f¨ ur x ∈ B besteht. Dazu betrachten wir wieder die mit der zu Beginn des Beweises von Satz 4.2.4 eingef¨ uhrten Abschneidefunktion ϕ erzeugte Funktion v aus (4.11), wobei wir annehmen k¨ onnen, daß mit der Zahl k > 0 aus (4.10) auch |ϕ (t)| ≤

k 2

(4.13)

f¨ ur > 0 und t ∈ R besteht. Es ist v ∈ C 2 (RN ), wobei unter dem Integralzeichen differenziert werden kann. Wir schreiben ∂2 ∂2 v (x) = f (y) [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk Ω ∂2 = [f (y) − f (x)] [ϕ (|x − y|)S(x, y)] dy + f (x)T (x) ∂xi ∂xk mit

Ω

∂2 T (x) := ∂xi ∂xk

ϕ (|x − y|)S(x, y) dy . Ω

Es sei B eine zu B konzentrische Kugel mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und nunmehr 0 0 und N ≥ 2 gibt es C(N, D), so daß f¨ ur alle nichtleeren Ω ⊂⊂ RN mit diam Ω ≤ D, alle f ∈ CbH (Ω), alle g ∈ C 0 (∂Ω) und alle L¨ osungen u von (4.15) die folgende Absch¨ atzung f¨ ur alle x ∈ Ω besteht: |u(x)| + dist(x, ∂Ω)|∇u(x)| ≤ C(N, D) max |g| + sup |f | . ∂Ω

Ω

Beweis. Es sei v das Newtonpotential zu Ω und f . Dann ist u−v ∈ C 0 (Ω) und in Ω harmonisch, also aufgrund des schwachen Maximumprinzips (s. Korollar 2.3.5 und nachfolgende Bemerkung) |u(x) − v(x)| ≤ max |u(y) − v(y)| ≤ max |g| + max |v| y∈∂Ω

∂Ω

∂Ω

f¨ ur x ∈ Ω, und die innere A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 2.1.7 liefert √ dist(x, ∂Ω) |∇[u(x) − v(x)]| ≤ N N max |u − v| ∂Ω √ ≤ N N max |g| + max |v| . ∂Ω

∂Ω

Die Behauptung folgt nun aus Bemerkung 4.1.3 b) und Ungleichung (4.9).

4.3 Petrinis Gegenbeispiel

115

Korollar 4.2.10 (Stabilit¨ atssatz). Zu Ω ⊂⊂ RN gibt es eine Zahl c(N, D), die allein durch N und D := diam Ω bestimmt ist, so daß folgendes gilt: F¨ ur i = 1, 2 seien ui Lösungen der Dirichletpobleme −Δui = fi in Ω mit fi ∈ CbH (Ω),

ui |∂Ω = gi ∈ C 0 (∂Ω) .

Gilt zudem f¨ ur ein > 0, daß |f1 − f2 | ≤ in Ω und |g1 − g2 | ≤ auf ∂Ω, so ist f¨ ur alle x ∈ Ω: |u1 (x) − u2 (x)| ≤ c(N, D),

und

|∇u1 (x) − ∇u2 (x)| ≤

c(N, D) . dist(x, ∂Ω)

Bemerkung 4.2.11. Eine weitere Folgerung ist, daß die Lösungen ul von aßig konvergieren, wenn die Folgen −Δul = fl in Ω, ul |∂Ω = gl , auf Ω gleichm¨ aßig konvergieren. (ul ) konvergiert aber im allgemeinen (fl ) und (gl ) gleichm¨ nicht gegen eine L¨ osung u von −Δu = liml→∞ fl . Da aufgrund des Weierstraßschen Approximationssatzes jede auf Ω stetige Funktion gleichmäßiger Limes einer Folge beschr¨ ankter, h¨ olderstetiger Funktionen ist, w¨ urde dies Bemerkung 4.3.2 widersprechen. Man muß also entweder von der rechten Seite mehr voraussetzen oder den L¨ osungsbegriff abschwächen (s. Aufgabe 10.1).

4.3 Petrinis Gegenbeispiel Es blieb lange unklar, ob das Newtonpotential schon unter der Voraussetzung der Stetigkeit der Dichte f zweimal differenzierbar ist. Daß dem nicht so ist, hat erst der schwedische Mathematiker Petrini [251] durch ein Beispiel f¨ ur N = 2, 3 belegt. Satz 4.3.1. Es sei R < 1, B := BR (0) ⊆ RN , ferner i, k ∈ {1, . . . , N }. Gegeben sei die stetige Funktion ⎧ yy ⎨ 2i k f¨ ur y ∈ B \ {0} |y| | ln |y|| , f (y) := ⎩ 0 f¨ ur y = 0 und es sei v das Newtonpotential zu B und f . Dann existiert vxi xk (0) nicht. Beweis. Wir nehmen widerspruchshalber an, das sei doch der Fall. Ist dann ur 0 < h < R ek := (δk1 , . . . , δkN ), so ist f¨ 1 [vx (hek ) − vx (0)] = 1 |vx (hek )| ≤ konst. (4.16) i i h h i Nach Satz 4.2.4 und (ii) in Bemerkung 4.1.3 a) ist ja 1 yi vxi (0) = f (y) N dy = 0 , ωN |y| B


116

da der Integrand ungerade ist und B bei der Ersetzung von y durch −y unge¨ andert bleibt. Es sei nun m > 0, ferner h > 0 so, daß mh < R. Wegen hδki − yi m+1 1 −1 ωN f (y) dy ≤ (h| ln R|) |hek − y|1−N dy = h |hek − y|N | ln R| Bmh (0)

B(m+1)h (hek )

folgt daher aus (4.16) die Beschr¨ anktheit von ⎛ R hδki − yi 1 ⎜1 1 f (y) dy = ⎝ h |hek − y|N | ln r| h mh

mh0

h ek − η N r

N dS(η) − 2h

1

1

h − h ek − η N ek + η N r r

|η|=1 ηk >0

| hr ek +η|

2

|

|

2 h r ek −η

ηi2 ηk dS(η)

t

−1− N 2

dt ηi2 ηk dS(η) .

2 h h2 hηk F¨ ur |η| = 1 ist ek ± η = 1 + 2 ± 2 , und es folgt r r r 2 2 2 2 2 h − 1 ≤ h ek ± η ≤ h + 1 und h ek + η − h ek − η = 4 hηk . r r r r r r Das ergibt die Absch¨ atzung −N 1 h N 4h I(h, r) ≤ − 1 δik ηi2 dS(η) − r r 2h r |η|=1

⎛

−N 1 ⎜ h ≤ ⎝ − 1 r r

|η|=1

−2−N h ek + η ηk2 ηi2 dS(η) r

|η|=1 ηk >0

⎞ −2−N h ⎟ δik ηi2 dS(η) − N + 1 ηk2 ηi2 dS(η)⎠ . r |η|=1

4.3 Petrinis Gegenbeispiel

117

Die Integrale u are lassen sich mit dem Gaußschen Inte¨ber die Einheitssph¨ gralsatz leicht berechnen. Man beachte auch δik yi yk = δik yk2 . Es ist ωN , ηi2 dS(η) = yi νi (y) dS(y) = (yi )yi dy = dy = N |η|=1

|y|=1

|y|≤1

ηk2 ηi2 dS(η) = |η|=1

(yk2 yi )yi dy = (2δik + 1) |y|≤1

|y|≤1

yk2 dy

|y|≤1

1 ηk2 dS(η)rN +1 dr =

= (2δik + 1) Mithin ist ωN I(h, r) ≤ r

0 |η|=1

1 N

(2δik + 1) ωN . N +2 N

−N −2−N h h 1 − 1 + 1 δik − (2δik + 1) . r N + 2 r

Zu 0 < < 1 l¨ aßt sich jetzt m > 0 so fixieren, daß f¨ ur h/r < 1/m die N h 2+N h 1 1 ≤ 1− bestehen. Dann ist Ungleichungen r − 1 ≥ 1+ und r + 1 % 1 + 2(1 − ) 1− ωN − δik − I(h, r) ≤ r N N +2 N +2 f¨ ur hm < r < R, so daß man tats¨ achlich > 0 vorgeben kann, daß (4.17) gilt. Wenn man will, kann man sich nun, ausgehend von der Funktion f aus Satz 4.3.1, mittels des Hankelschen Prinzips von der Verdichtung der Singularit¨ aten, das Du Bois-Reymond in Zusammenhang mit der Divergenz von Fourierreihen stetiger Funktionen verwendete [56, S. 100 ff.], eine auf B stetige und beschr¨ ankte Funktion verschaffen, so daß die zweiten Ableitungen des Newtonpotentials zu B und auf einer in B dichten Teilmenge nicht existieren. Bemerkung 4.3.2. Zu dem f aus Satz 4.3.1 gibt es kein u ∈ C 2 (B) mit −Δu = f in B. F¨ ur ein solches u w¨ are ja Δu auf einer konzentrischen Kugel ankt, also nach Lemma 4.2.1 B S(·, y)f (y) dy ∈ C 2 (B ), was B ⊂⊂ B beschr¨ Satz 4.3.1 widerspricht. Nat¨ urlich folgt aus all dem nicht, daß die H¨ olderstetigkeit von f notwendig f¨ ur die zweimalige Differenzierbarkeit des Newtonpotentials ist. Tatsächlich kann man den Beweis von Satz 4.2.6 bereits unter der schwächeren Voraussetzung f¨ uhren, daß lokal |f (x)−f (y)| ≤ ω(|x−y|) gilt, wobei ω eine monoton wachsende stetige Funktion mit der Eigenschaft 1 0

ω(t) dt < ∞ t

118


ist. Dies geht auf Morera [210] zur¨ uck. Auch diese Forderung an den Stetigkeitsmodul entstammt der Theorie der Fourierreihen; sie wurde dort von Dini [50] eingef¨ uhrt. Wir werden auf das Gegenbeispiel von Petrini bei der Abschwächung des klassischen L¨ osungsbegriffs in Korollar 10.2.6 zur¨ uckkommen.

4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem Bei der L¨ osung des Dirichletproblems (4.1), (4.2) mit Hilfe des Newtonpotentials v ben¨ otigt man nach Bemerkung 4.1.1 eine harmonische Funktion h mit h = g − v auf ∂Ω. H¨ atte man anstelle von v eine Lösung w der Poissongleichung mit w|∂Ω = 0, so brauchte man diese nur zu der Lösung des Dirichletproblems f¨ ur die Laplacegleichung zu addieren, um die Lösung des Problems f¨ ur die Poissongleichung zu erhalten. Wir machen f¨ ur w, das man auch Greenpotential zu Ω und f nennt, den Ansatz w(x) = G(x, y)f (y) dy Ω

und suchen G herzustellen (zur Historie siehe das auf S. 10 ff. Gesagte). Wegen der Forderung w|∂Ω = 0 ist es naheliegend, von G zu verlangen, daß G(x, ·) = 0 ist f¨ ur x ∈ ∂Ω. Da −Δw = f sein soll und das Newtonpotential v schon diese Eigenschaft besitzt, ist es nicht unplausibel, die Harmonizität von G(·, y) − S(·, y) f¨ ur y ∈ Ω zu verlangen. Dies f¨ uhrt uns (die Forderung (iii) wird durch den Wunsch nach Eindeutigkeit motiviert) zu Definition 4.4.1. Es sei Ω ⊆ RN offen. Man nennt G : Ω×Ω → R Greensche Funktion f¨ ur Ω (genauer: f¨ ur Ω und den Laplaceoperator mit Dirichletscher Randbedingung [sofern ∂Ω nichtleer ist] oder auch Greensche Funktion 1. Art f¨ ur Ω und den Laplaceoperator), wenn f¨ ur jedes y ∈ Ω folgendes gilt: (i) G(·, y) − S(·, y) ist stetig auf Ω und harmonisch auf Ω; (ii) G(·, y) = 0 auf ∂Ω; ur n → ∞ gilt (iii) f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ f¨ lim inf G(xn , y) = 0 n→∞

und lim sup G(xn , y) n→∞

0 ein δ > 0, so daß |H(x, y1 ) − allt f¨ ur alle x ∈ ∂Ω und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ. H(x, y2 )| < ausf¨ Da aber H(·, y1 ) und H(·, y2 ) auf Ω stetige und in Ω harmonische Funktionen ur alle x ∈ Ω sind, folgt aus dem Stabilit¨ atssatz 3.1.2 |H(x, y1 )−H(x, y2 )| ≤ f¨ und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ. Bemerkung 4.4.6. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion, so ist G(x, ·) stetig auf Ω \ {x} f¨ ur x ∈ Ω (nach Lemma 4.4.5) und besitzt eine u ¨ber Ω integrierbare Majorante (nach Lemma 4.4.4 in Verbindung mit Bemerkung 4.1.3), so daß f¨ ur meßbares und beschr¨ anktes f : Ω → R das Greenpotential

4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem

121

w(x) :=

G(x, y)f (y) dy ,

x∈Ω,

(4.18)

Ω

existiert. Das Problem, diese Funktion zweimal zu differenzieren, wird bei dem nachfolgenden Beweis auf das in Abschnitt 4.2 gelöste Problem verschoben, das Newtonpotential zweimal zu differenzieren. Eine Beweisvariante wird in Aufgabe 4.9 vorgestellt, wo auf der Basis der Sätze 4.7.1 und 4.7.2 f¨ ur das Greenpotential das Analogon zu Relation (4.12) hergestellt werden soll. Daß die Greensche Funktion die Voraussetzungen dieser Sätze erf¨ ullt, wird sich aus Lemma 4.5.4 ergeben, das auf der Symmetrie der Funktion H := G − S beruht (Satz 4.5.2). Teil c) des nachfolgenden Satzes wird nur im Beweis der Sätze 6.2.1 und 10.3.9 verwendet. ur Ω. Satz 4.4.7. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G die Greensche Funktion f¨ a) Ist f : Ω → R meßbar und beschränkt, so ist das Greenpotential (4.18) zu urlich w = 0 auf ∂Ω). Ω und f aus C 0 (Ω) (und nat¨ b) Ist f ∈ CbH (Ω) (s. Definition 4.1.5), so ist u ¨berdies w ∈ C 2 (Ω) und −Δw = f in Ω . ur die Δσ beschränkt ist, so ist das Greenc) Ist σ ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, f¨ potential w zu Ω und Δσ aus C 2 (Ω) und −Δw = Δσ

in Ω .

Beweis. a) Es seien x0 ∈ Ω, n ∈ N und wn (x) := G(x, y)f (y) dy ,

x∈Ω.

Ω\B 1 (x0 ) n

Die Stetigkeit von wn im Punkte x0 ergibt sich aufgrund der in Lemma 4.4.4 gegebenen Abschätzung mit Hilfe des Satzes A.5. Es gen¨ ugt daher zu zeigen, aßig gegen w konvergiert. Dazu zerlegen wir daß (wn ) auf Ω gleichm¨ w(x) − wn (x) = G(x, y)f (y) dy = I1 (x) + I2 (x) Ω∩B 1 (x0 ) n

mit

I1 (x) := Ω1

I2 (x) := Ω2

G(x, y)f (y) dy , Ω1 := y ∈ B n1 (x0 ) : |y − x| < |y − x0 | ∩ Ω , G(x, y)f (y) dy , Ω2 := y ∈ B n1 (x0 ) : |y − x| ≥ |y − x0 | ∩ Ω .

122


Nach Lemma 4.4.4 und Bemerkung 4.1.3 haben wir f¨ ur geeignetes R > 0 und M := sup |f | die Absch¨ atzungen |I1 (x)| ≤ M cN R, 12

|x − y| 2 −N dy = M cN (R, 12 ) 3

1 |y−x|< n

|I2 (x)| ≤ M cN (R,

|x − y|

1 2)

3 2 −N

2 ωN 3

dy ≤ M cN (R,

1 2)

32 1 , n

|y − x0 | 2 −N dy , 3

1 |y−x0 |< n

Ω2

woraus sofort das Gew¨ unschte folgt. b) Wir setzen H := G − S und schreiben w(x) = v(x) + h(x) f¨ ur x ∈ Ω, wobei v das Newtonpotential zu Ω und f und h(x) := H(x, y)f (y) dy Ω

ist. Im Hinblick auf den H¨ olderschen Satz 4.2.6 zusammen mit Korollar 4.2.7 gen¨ ugt es zu zeigen, dass h in Ω harmonisch ist. Dazu sei Br (x0 ) ⊂⊂ Ω. Auf Br (x0 ) × Ω ist die Funktion (x, y) → [H(x0 , y) − H(x, y)] f (y) nach Lemma 4.4.5 stetig und daher insbesondere meßbar. Ferner existiert das Integral |H(x0 , y) − H(x, y)| |f (y)| dy dx , Br (x0 )

Ω

da f beschr¨ ankt ist und in dem inneren Integral H nach Lemma 4.4.4 durch die Singularit¨ atenfunktion majorisiert werden kann. Nach Fubini-Tonelli ist daher [h(x0 ) − h(x)] dx = [H(x0 , y) − H(x, y)] dx f (y) dy . Br (x0 )

Ω

Br (x0 )

Der Ausdruck in der Klammer ist aber Null, da f¨ ur y ∈ Ω die Funktion H(·, y) harmonisch ist, also die Mittelwerteigenschaft besitzt. Gemäß Satz 2.1.1 beweist dies die Harmonizit¨ at von h. c) F¨ ur x ∈ Ω schreiben wir wieder w(x) = S(x, y)Δσ(y) dy + H(x, y)Δσ(y) dy . Ω

Ω

Der zweite Summand ist in Ω harmonisch nach b), wo nur Beschränktheit und Meßbarkeit von f ben¨ utzt wurden. Die Behauptung folgt daher aus Lemma 4.2.1.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion

123

Korollar 4.4.8. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel BR (0) ⊂⊂ ur alle x ∈ BR (0) RN . Dann gilt f¨ 1 (R2 − |x|2 ) . G(x, y) dy = 2N BR (0)

Beweis. Beide Seiten l¨ osen das Dirichletproblem −Δu = 1 in BR (0), u = 0 auf ∂BR (0). aquivalent. Satz 4.4.9. F¨ ur Ω ⊂⊂ RN sind die folgenden Aussagen ¨ (i) Es existiert die Greensche Funktion f¨ ur Ω. (ii) Jeder Punkt von ∂Ω ist regul¨ ar. ur jedes f ∈ CbH (Ω) (iii) Das Dirichletproblem −Δu = f in Ω, u|∂Ω = g hat f¨ 0 und jedes g ∈ C (∂Ω) eine Lösung. Beweis. Die Implikationen (ii)⇒(i)“ und (iii)⇒(i)“ ergeben sich aus Satz ” ” 4.4.3 bzw. seinem Beweis. Wir zeigen zun¨ achst (i)⇒(ii)“. Sei x0 ∈ ∂Ω. Dann ” ist 1 |x − x0 |2 + G(x, y) dy , x ∈ Ω , b(x) := 2N Ω

eine Barriere f¨ ur Ω im Punkt x0 . Es ist ja b ∈ C 0 (Ω) nach Satz 4.4.7 a) und Δb(x) = 1 + Δ G(x, y) dy = 0 , x ∈ Ω , Ω

ur alle nach Satz 4.4.7 b). Ferner gilt b(x0 ) = 0, und aus Lemma 4.4.4 folgt f¨ 1 |x − x0 |2 > 0. Die Implikation (ii)⇒(iii)“ haben x ∈ Ω \ {x0 }, daß b(x) ≥ 2N ” wir bereits in Bemerkung 4.2.8 abgehandelt.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion Die Symmetrie der Greenschen Funktion wurde bei Green [86, § 6] aus phy¨ sikalischen Uberlegungen erschlossen und von Kirchhoff [140] gegen einen Einwand verteidigt; Maxwell betont sie in einem Anhang zu Greens Gesammelten Abhandlungen. Heutzutage wird sie in nahezu jedem Buch mit Hilfe des Gaußschen Satzes hergeleitet, was aber Kenntnisse von ∇x G(x, y) in Randn¨ ahe und eine gewisse Glattheit des Randes bedingt1 , es sei denn, man 1

Lyapunov zeigt, daß der regul¨ are Anteil von G auf den nach ihm benannten Fl¨ achen eine Normalenableitung besitzt und beweist damit die Symmetrie von G in so berandeten Gebieten [185, § 24]. F¨ ur glattberandete Gebiete gewinnt P. Lax [169] Existenz und Symmetrie der Greenschen Funktion mit dem Satz von Hahn-Banach u ¨ber die Erweiterung stetiger linearer Funktionale auf normierten R¨ aumen.


124

verwendet den Satz von Giesecke, Satz 3.7.1. Etwas anders argumentiert Kellogg in seinem klasssischen Werk u ¨ber Potentialtheorie [136, pp. 238 ff.]. Er wendet den Gaußschen Satz auf die Niveauflächen G(x, y) = const an, ˆ cher beim Beweis seines Satzes u was schon fr¨ uher Bo ¨ber das Verhalten harmonischer Funktionen in der N¨ ahe einer isolierten Singularität getan hatte (s. Abschnitt 5.2). In der Ebene ist dies aufgrund eines Resultates von Osgood [245, p. 588] gerechtfertigt. F¨ ur h¨ ohere Dimensionen scheint er sich auf seine Arbeit [137] zu berufen, ohne dies allerdings zu detaillieren (vgl. [273]). utzt allein die Eigenschaften von G, die in ihDer nachfolgende Beweis2 ben¨ rer Definition 4.4.1 niedergelegt sind, sowie die direkt aus ihnen folgenden Lemmata 4.4.4 und 4.4.5. Einen anderen einfachen Zugang zur Symmetrie von G werden wir in Satz 10.3.4 kennenlernen. Es sei daran erinnert, daß die Singularit¨ atenfunktionen S zum Laplaceoperator in Definition 4.1.2 auf der Diagonalen zu Null erkl¨ art wurde. Wir beginnen mit einem Hilfssatz. ur x ∈ Ω Lemma 4.5.1. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . F¨ ist H(x, ·) := G(x, ·) − S(x, ·) harmonisch in Ω. Beweis. Es sei Br (y0 ) ⊂⊂ Ω. Die Funktion h(x) := [H(x, y0 ) − H(x, y)] dy,

x∈Ω,

Br (y0 )

ist stetig, da der Integrand nach Lemma 4.4.5 auf Ω ×Ω stetig ist. Wir zeigen, daß h in Ω harmonisch und Null auf ∂Ω ist. Aufgrund des Maximumprinzips, Korollar 2.3.5, ist daher h identisch Null, nach Satz 2.1.1 H(x, ·) also harmonisch in Ω. F¨ ur den Nachweis, daß h die zweite Mittelwerteigenschaft besitzt, sei B (x0 ) ⊂⊂ Ω. Dann gilt [h(x0 ) − h(x)] dx (4.19) B (x0 )

{[H(x0 , y0 ) − H(x0 , y)] − [H(x, y0 ) − H(x, y)] } dx dy ,

= Br (y0 )

B (x0 )

denn aufgrund der Stetigkeit des Integranden ist die Vertauschung der Integrationsreihenfolge auf kompakten Mengen unproblematisch. Die rechte Seite von (4.19) ist aber Null, da H(·, y0 )−H(·, y) nach Definition 4.4.1 harmonisch ist. Also ist h in der Tat harmonisch in Ω. Da G(·, y) auf ∂Ω Null ist, haben wir f¨ ur x ∈ ∂Ω [−S(x, y0 ) + S(x, y)] dy h(x) = Br (y0 )

und dies ist Null, da S(x, ·) harmonisch in Ω ist. 2

Wienholtz hat ihn am 24.1.1995 in seinem Oberseminar in M¨ unchen vorgef¨ uhrt.

4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion

125

Satz 4.5.2. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . Dann ist H := G − S auf Ω × Ω symmetrisch, insbesondere also G(x, y) = G(y, x)

f¨ ur (x, y) ∈ Ω × Ω .

Beweis. Es sei y ∈ Ω und x ∈ Ω\{y}. Nach Lemma 4.4.4 ist dann G(x, y) ≥ 0, also H(x, y) − H(y, x) ≥ −S(x, y) − H(y, x) = − [S(y, x) + H(y, x)] = −G(y, x) . Ist daher (yj ) eine Folge aus Ω, die gegen einen Punkt z ∈ ∂Ω konvergiert, so haben wir aufgrund der Stetigkeit von G(·, x) auf Ω lim inf [H(x, yj ) − H(yj , x)] ≥ lim inf [−G(yj , x)] = −G(z, x) = 0 . j→∞

j→∞

Da H(x, ·)−H(·, x) harmonisch ist – f¨ ur H(x, ·) hatten wir dies gerade in Lemma 4.5.1 gezeigt, f¨ ur H(·, x) ist dies definitionsgemäß der Fall –, ist aufgrund des Randminimumprinzips, Satz 2.3.8, H(x, y) − H(y, x) ≥ 0 . Vertauscht man die Rollen von x und y, so ergibt sich die Behauptung.

Zusammen mit Lemma 4.4.5 erhalten wir u ¨berdies Korollar 4.5.3. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN . Dann besitzt H := G − S eine stetige Fortsetzung auf (Ω × Ω) ∪ (Ω × Ω), und diese ist symmetrisch. F¨ ur x ∈ Ω ist G(x, ·) harmonisch in Ω \ {x} und stetig fortsetzbar auf Ω \ {x}. Diese Fortsetzung ist Null auf ∂Ω. Des weiteren werden in den Abschnitten 4.6 und 4.8 noch die folgenden Aussagen ben¨ otigt. Lemma 4.5.4. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und H := G − S. a) Es sei x ∈ Ω. Dann sind Hxi (x, ·) und Hxi xk (x, ·) harmonisch in Ω und stetig fortsetzbar auf Ω. Gxi (x, ·) und Gxi xk (x, ·) sind harmonisch in Ω \ {x} und stetig fortsetzbar auf Ω \ {x}. Diese Fortsetzungen sind Null auf ∂Ω. b) Es sind Hxi , Hxi xk ∈ C 0 (Ω × Ω). Beweis. a) Es seien x, z ∈ Ω. Man w¨ ahle , r > 0 mit B2 (x) ⊂⊂ Ω und Br (z) ⊂⊂ Ω. Wegen Lemma 4.4.5 existiert M := max{|H(w, y)| : w ∈ B2 (x), y ∈ Br (z)} < ∞ .

126


Die A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 2.1.7 liefert wegen der Harmonizität von H(·, y) dann f¨ ur alle w ∈ B (x), y ∈ Br (z) und 1 ≤ i ≤ N |Hxi (w, z)| ≤

NM .

Wir k¨ onnen daher die nach Lemma 4.5.1 geltende Relation [H(x, z) − H(x, y)] dy = 0 Br (z)

unter dem Integral nach xi differenzieren, was die Harmonizität von Hxi (x, ·) ur in Ω beweist. Ist B ⊂⊂ Ω eine Kugel mit x ∈ B und PB der Poissonkern f¨ B, so haben wir nach Satz 3.2.3 die Darstellung PB (x, y)H(y, z) dS(y) . H(x, z) = ∂B

Diese Darstellung gilt f¨ ur alle z ∈ Ω, da f¨ ur solche z die Funktion H(z, ·) gem¨ aß Lemma 4.5.1 auf Ω harmonisch ist und dort nach Korollar 4.5.3 H(z, ·) ¨ mit H(·, z) u darf rechts unter dem Integralzeichen ¨bereinstimmt. Uberdies differenziert werden: ∂ PB (x, y)H(y, z) dS(y) . (4.20) Hxi (x, z) = ∂xi ∂B

Erneute Anwendung von Korollar 4.5.3 zeigt, daß f¨ ur x ∈ Ω die Funktion Hxi (x, ·) auf Ω stetig ist. F¨ ur z ∈ ∂Ω ergibt sich mit der Symmetrie von H und S nunmehr H(x, z) = H(z, x) = −S(z, x) = −S(x, z) , also Hxi (x, z) = −Sxi (x, z) .

(4.21)

ur Damit sind dann auch die Behauptungen bez¨ uglich Gxi (x, ·) bewiesen. F¨ die 2. Ableitungen schließt man entsprechend. b) Der Beweis der Aussage f¨ ur Hxi folgt aus der Darstellung (4.20) von ur x ∈ B, z ∈ Ω und Korollar 4.5.3. Die Behauptung f¨ ur die Hxi (x, z) f¨ 2. Ableitungen ergibt sich nat¨ urlich analog.

4.6 Absch¨ atzungen fu ¨r die Ableitungen der Greenschen Funktion Da die Singularit¨ atenfunktion S das Verhalten der Greenschen Funktion G in der N¨ ahe der Diagonalen bestimmt, liegt die Vermutung nahe, daß sich

4.6 Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitungen der Greenschen Funktion

127

die Ableitungen von G auch durch die Ableitungen von S abschätzen lassen, aber es zeigt sich, daß Beweise schwieriger als erwartet ausfallen. Weyl [339] ´vy [183] gelangten u und P. Le ¨ber die Untersuchung einer Fredholmschen Integralgleichung f¨ ur G zu Aussagen u ¨ber deren erste Ableitungen. Genauer betrachtet Weyl die Elastizit¨ atsgleichungen und untersucht deren Greenschen Tensor; diese Arbeit dient Mizohata als Modell f¨ ur eine Abschätzung von Gxi in seinem Buch [208, p. 425 ff.]. Die Arbeit [183] wird in [60, 61] kritisiert. Eine Satz 4.6.2 (ii) vergleichbare Aussage wurde in elementarer Weise zum erstenmal von Rosenblatt [288] im 2. Teil des Gedenkbandes f¨ ur Lichtenstein bewiesen. Rosenblatt greift einen Gedanken von Zaremba [351, p. 817] auf, ¨ G zur Greenschen Funktion f¨ ur das Außere von Kreisscheiben in Beziehung zu setzen. Absch¨ atzungen der ersten beiden Ableitungen der Greenschen Funk¨ tion in der H¨ oldernorm k¨ undigt Schauder in dem Ubersichtsartikel [295] an, aber zu einer ausf¨ uhrlichen Darstellung ist es kriegsbedingt nicht mehr gekommen. Absch¨ atzungen der Ableitungen von G f¨ ur sogenannte Lyapunovgebiete ´˘idus [60, 61]. Widman [343] und Gr¨ stammen von E uter-Widman [88] beweisen Satz 4.6.2, zum Teil unter schw¨ acheren Voraussetzungen an den Rand, f¨ ur die Greensche Funktion allgemeinerer Gleichungen. Zhao [357] verwendet die Poissonsche Integralformel, um Absch¨ atzungen von G und Gxi nach unten f¨ ur C 1,1 -Gebiete (vgl. Definition 7.1.1) zu erhalten. onnen wir die Abschätzungen aus Ist Ω ⊂⊂ RN und D := diam Ω, so k¨ Lemma 4.4.4 f¨ ur die Greensche Funktion vereinheitlichen, indem wir schreiben: f¨ ur x ∈ Ω, y ∈ Ω, x = y, gilt x y , . (4.22) 0 ≤ G(x, y) ≤ D2−N S D D Formulierung und Beweis von Satz 4.6.2 werden durch diese geschlossene Schreibweise erleichtert; allerdings ist die Information nicht mehr ganz so gut abzulesen. Zum Beispiel lautet Aussage (4.25) explizit folgendermaßen: ⎧ 6N −2 D ⎪ ⎪ ⎪ c (N ) 1 + |x − y|1−N f¨ ur N ≥ 3 4 ⎨ R (N − 2)ωN . |∇x G(x, y)| ≤ ⎪ −1 |x − y| D ⎪ ⎪ ln f¨ ur N = 2 ⎩ c4 (2) 1 + R 2π|x − y| 6D Die folgende Hilfsfunktion spielt beim Beweis von Satz 4.6.2 eine wichtige Rolle. Lemma 4.6.1. Es seien Br und B2r konzentrische Kugeln in RN mit Radien r bzw. 2r und Mittelpunkt a. Dann ist durch ⎧ 2−N r − |x − a|2−N ⎪ ⎪ f¨ ur N ≥ 3 ⎨ 2−N r − (2r)2−N ur (x) := ⎪ ⎪ ⎩ − ln r − ln |x − a| f¨ ur N = 2 ln 2

128


eine in der Kugelschale B2r \ B r harmonische Funktion ur ∈ C 0 B 2r \ Br definiert, f¨ ur die ur |∂B2r = 1 und ur |∂Br = 0 ist und die |∇ur (x)| ≤

c(N ) r

f¨ ur r < |x − a| < 2r

erf¨ ullt. Beweis. Von der G¨ ultigkeit der Absch¨ atzung u ¨berzeugt man sich durch Differenzieren; die anderen Behauptungen sind klar. Satz 4.6.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige äußere Kugeleigenschaft3 , d.h. es gebe ein R > 0 und zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine Kugel BR mit Radius R, die Ω uhrt: Ω ∩ B R = {x0 }. Es sei D := diam Ω (wir k¨ onnen o.B.d.A. nur in x0 ber¨ R < D annehmen) und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω 4 . Dann gibt es allein ur 0 < α ≤ 1 und f¨ ur x, y ∈ Ω, durch N bestimmte Zahlen ci (N ), so daß f¨ x = y, mit δ(x) := dist(x, ∂Ω) gilt: x y δ(y) α D D2−N S , , (4.23) 0 ≤ G(x, y) ≤ c2 (N ) 1 + R 3D 3D |x − y| 2 x y δ(x)δ(y) α D 2−N , D S , (4.24) 0 ≤ G(x, y) ≤ c3 (N ) 1 + R 9D 9D |x − y|2 x y 1 D D2−N S , , (4.25) |∇x G(x, y)| ≤ c4 (N ) 1 + R 6D 6D |x − y| 2 x y δ(y)α D , |∇x G(x, y)| ≤ c5 (N ) 1 + D2−N S , (4.26) R 18D 18D |x − y|1+α 2 x y D 1 , D2−N S . (4.27) |Gxi yk (x, y)| ≤ c6 (N ) 1 + R 36D 36D |x − y|2 Beweis. Es sei x ∈ Ω. Es sei P (x, ·) eine in Ω \ {x} harmonische und auf Ω \ {x} stetige Funktion mit P (x, ·) = 0 auf ∂Ω, die der Ungleichung |P (x, y)| ≤ f (x)Q(|x − y|)

f¨ ur alle y ∈ Ω \ {x}

(4.28)

mit f ≥ 0 und monoton fallendem Q : (0, D) → (0, ∞) gen¨ ugt. F¨ ur solches P beweisen wir α D |x − y| δ(y) f (x) Q , (4.29) |P (x, y)| ≤ c0 (N ) 1 + R 3 |x − y| |a − b| 1 D f (b) Q . (4.30) |∇y P (b, a)| ≤ c1 (N ) 1 + R 6 |a − b| Aufgrund von Korollar 4.5.3 und (4.22) gilt (4.28) mit P = G, x Ungleichung y . Im Hinblick auf (4.29) haben wir daher ,D f = 1 und Q(|x−y|) = D2−N S D 3 4

Dieser Begriff geht auf Andrade [4] zur¨ uck. Sie existiert aufgrund der S¨ atze 3.4.2 und 4.4.9.


129

(4.23) bewiesen, w¨ ahrend (4.25) aus (4.30) folgt, da aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.5.2) ∇x G(a, b) = ∇y G(b, a)

(4.31)

gilt. Des weiteren folgt aufgrund der Symmetrie von G aus (4.23) auch x y δ(x) α D D2−N S , . 0 ≤ G(x, y) ≤ c2 (N ) 1 + R 3D 3D |x − y| D δ(x)α und (N ) 1 + Wir gen¨ ugen (4.28) dadurch, daß wir P = G, f (x) = c 2 R x y 1 2−N S 3D , 3D |x−y|α spezialisieren, und es folgen mit (4.29) Q(|x − y|) = D und (4.30) jetzt die Behauptungen (4.24) und (4.26) (bei (4.26) ist noch (4.31) zu beachten). F¨ ur den Beweis von man in (4.27) spezialisiert 2−N durch x(4.28) y 1 und Q(|x − y|) = D S , P = Gxi , f (x) = c4 (N ) 1 + D R 6D 6D |x−y| , was wegen Lemma 4.5.4 a) und (4.25) zul¨ assig ist, und erhält vermöge (4.30) die gew¨ unschte Behauptung. I. Zum Beweis von (4.29) unterscheiden wir drei Fälle. 1.Fall: δ(y) ≥ R; dann ist α D δ(y)α |x − y|α δ(y)α ≤ f (x) Q(|x − y|) |P (x, y)| ≤ f (x) Q(|x − y|) α α |x − y| R R |x − y|α |x − y| δ(y)α D ≤ f (x) Q . R 3 |x − y|α 2. Fall: δ(y) ≥

|x−y| 6 ;

dann ist

δ(y)α |x − y| 6α δ(y)α ≤ 6f (x) Q . |P (x, y)| ≤ f (x) Q(|x − y|) |x − y|α 3 |x − y|α 3. Fall: δ(y) < R und δ(y) < |x−y| 6 . Zur Behandlung dieses Falles benutzen wir die Existenz von y0 ∈ ∂Ω mit |y − y0 | = δ(y) und von der Kugel BR mit B R ∩ Ω = {y0 }. Mit dem Radius r := min |x−y| 6 , R gibt es dann Br ⊆ BR mit B r ∩Ω = {y0 }. Es ist δ(y) < r. Wenn daher B2r mit Br konzentrisch ist, dann ist y ∈ B2r , und somit ist |y − z| ≤ 4r f¨ ur alle z ∈ ∂B2r . Folglich gilt |y − x| ≤ 4r + |z − x| ≤

2 |y − x| + |z − x| . 3

Also ist 13 |y − x| ≤ |z − x| f¨ ur z ∈ ∂B2r . Wir bringen jetzt die Kugelschale B2r \B r zum Schnitt mit Ω und erhalten uhren wir die Ωr := Ω ∩ B2r \ B r . Es ist ∂Ωr ⊆ ∂Ω ∪ ∂B2r . Zu B2r \ B r f¨ harmonische Funktion ur wie in Lemma 4.6.1 ein. Wir vergleichen ±P (x, ·) ur z aus jenem Teil von ∂Ωr , der zu und f (x) Q(|x − y|/3)ur (·) auf ∂Ωr . F¨ ∂Ω geh¨ ort, ist ±P (x, z) ≤ f (x) Q(|x − y|/3)ur (z), weil links Null steht. Auf

130


dem Rest von ∂Ωr ist z ∈ ∂B2r und daher ur (z) = 1 und |x − z| ≥ 13 |x − y|; also folgt aus der Monotonie von Q die Abschätzung |x − y| ur (z) . ±P (x, z) ≤ |P (x, z)| ≤ f (x) Q(|x − z|) ≤ f (x) Q 3 In Ωr sind ±P (x, ·) und f (x) Q(|x − y|/3)ur (·) harmonisch und auf Ω r stetig. F¨ ur ±P (x, ·) gilt dies, weil es auf Ω \ {x} harmonisch und auf Ω \ {x} stetig / B 2r . ist und weil x ∈ / Ω r ist; denn es ist y ∈ B2r und |x − y| ≥ 6r, also x ∈ Nach dem Maximumprinzip f¨ ur harmonische Funktionen folgt |x − y| ur (z) ±P (x, z) ≤ f (x) Q 3 ur z = y. Wegen ur (y0 ) = 0 haben wir daher f¨ ur z ∈ Ωr , insbesondere f¨ |x − y| (ur (y) − ur (y0 )) |P (x, y)| ≤ f (x) Q 3 c(N ) |x − y| δ(y)α |x − y| δ(y) ≤ c(N )f (x) Q , ≤ f (x) Q 3 r 3 rα letzteres aufgrund von Lemma 4.6.1 und weil δ(y)/r < 1 ist. Wenn r = ist, dann gilt |x − y| δ(y)α |P (x, y)| ≤ 6 c(N )f (x) Q . 3 |x − y|α

|x−y| 6

Wenn r = R ist, haben wir |x − y| δ(y)α Dα |P (x, y)| ≤ c(N )f (x) Q ; 3 Rα |x − y|α stets ist

|x − y| δ(y)α D f (x) Q , |P (x, y)| ≤ 6 c(N ) 1 + R 3 |x − y|α

und Ungleichung (4.29) ist damit bewiesen. II. Zum Beweis von (4.30) sei r := min{|x − y|, δ(y)}. Dann ist Br (y) ⊆ Ω und P (x, ·) ist in der Kugel Br (y) harmonisch. Wir schätzen nun Pyi (x, ·) im Mittelpunkt y von Br/2 (y) nach Satz 2.1.7 ab: |Pyi (x, y)| ≤

2N sup |P (x, z)| : z ∈ Br/2 (y) . r

F¨ ur z ∈ Br/2 (y) ist δ(z) ≤ δ(y) + r/2 ≤ 32 δ(y) und 1 |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| ≤ |x − z| + r/2 ≤ |x − z| + |x − y| , 2


131

also |x − z| ≥ 12 |x − y|. Wenn r = |x − y| ist, verwenden wir |x − y| |x − y| ≤ f (x) Q , |P (x, z)| ≤ f (x) Q(|x − z|) ≤ f (x) Q 2 6 so daß |Pyi (x, y)| ≤ 2N f (x) Q(|x − y|/6)|x − y|−1 resultiert. Wenn r = δ(y) ist, ersetzen wir die allgemeine Variable y in (4.29) durch z, wählen α = 1 und haben |x − z| δ(z) D f (x) Q |P (x, z)| ≤ c0 (N ) 1 + R 3 |x − z| |x − y| δ(y) D f (x) Q , ≤ 3 c0 (N ) 1 + R 6 |x − y| so daß in diesem Falle

D |Pyi (x, y)| ≤ 6N c0 (N ) 1 + R

|x − y| 1 f (x) Q 6 |x − y|

ist. In beiden F¨ allen gilt (4.30).

Satz 4.6.3. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichmäßige ¨ außere Kugeleigenschaft, wobei wir wie in Satz 4.6.2 ohne Beschr¨ ankung der Allgemeinheit f¨ ur den Kugelradius R < D := diam Ω annehmen. Es gibt eine allein durch N , R und D bestimmte Zahl k derart, daß die Greensche Funktion G f¨ ur Ω f¨ ur 0 < α ≤ 1, x , x ∈ Ω, y ∈ Ω \ {x , x } den Ungleichungen y 1 x 2−N , S |G(x , y) − G(x , y)| ≤ kD 6D 6D |x − y|α y 1 x , |x − x |α , +S 6D 6D |x − y|α y 1 x 2−N , S |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ kD 36D 36D |x − y|1+α y 1 x , |x − x |α +S 36D 36D |x − y|1+α f¨ ur i = 1, . . . , N gen¨ ugt. Beweis. A) Nach (4.22) ist f¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, b a b a 2−N 2−N , ≤D , . S S 0 ≤ G(a, b) ≤ D D D 6D 6D Wir betrachten zuerst den Fall |x −y| ≤ 2|x −x |. Wegen |x −y| ≤ 3|x −x | haben wir dann

132


y x y x , +S , S |G(x , y) − G(x , y)| ≤ D 6D 6D 6D 6D y 3α 3α x x y 2−N , , S |x − x |α . +S ≤D 6D 6D |x − y|α 6D 6D |x − y|α

2−N

Den komplement¨ aren Fall |x − y| > 2|x − x | behandeln wir zunächst unter der Zusatzannahme, daß δ(x ) := dist(x , ∂Ω) ≤ δ(x ) ist. a) Es sei δ(x ) ≤ |x − x |. Da aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.5.2) nach (4.23) f¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, die Abschätzung α b δ(a) a 2−N , S (4.32) 0 ≤ G(a, b) ≤ cD 3D 3D |a − b| mit c := c2 (N ) 1 + D R besteht, haben wir dann α y |x − x | x |G(x , y) − G(x , y)| ≤ cD2−N S , 6D 6D |x − y| α y |x − x | x , . +S 6D 6D |x − y| b) Es sei δ(x ) > |x − x |. Wir setzen % 1 |x − y|, δ(x ) r := min 2 und M :=

sup

(4.33)

G(x, y) .

x∈Br (x )

Man beachte, daß in dem derzeit behandelten Fall |x −x | < r gilt. Weiter ist G(·, y) auf Br (x ) harmonisch, da jedes z ∈ Br (x ) der Ungleichung |z − y| ≥ ugt. Satz 2.1.7 und Lemma 4.4.4 liefern |x − y| − |x − z| > r gen¨ √ N N r |∇x G(z, y)| ≤ M f¨ ur alle z mit |z − x | < . r 2 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung f¨ uhrt zu √ √ |x − x | ≤ N NM |G(x , y) − G(x , y)| ≤ N N M r

|x − x | r

α

f¨ ur |x − x | < 2r . F¨ ur 2r ≤ |x − x | < r verwenden wir, daß G(·, y) auf Br (x ) nur Werte in [0, M ] annimmt: α √ |x − x | |x − x | ≤ N NM . |G(x , y) − G(x , y)| ≤ M ≤ 2M r r Da nach obiger Bemerkung x ∈ Br (x ) gilt, haben wir die Abschätzung


√ |G(x , y) − G(x , y)| ≤ N N M

|x − x | r

133

α

etabliert. Im Falle r = 12 |x − y| ist nach (4.22) M ≤ D2−N

sup x∈Br (x )

S

x y y x , ≤ D2−N S , , D D 6D 6D

denn f¨ ur x ∈ Br (x ) gilt ja |x − y| ≥ |x − y| − |x − x| ≥

1 1 |x − y| ≥ |x − y| . 2 6

Im Falle r = δ(x ) haben wir nach (4.32) x y δ(x) α , 3D 3D |x − y| x∈Br (x ) α y (4r) x , ≤ cD2−N S , 6D 6D |x − y|α

M ≤ cD2−N

sup

S

denn f¨ ur x ∈ Br (x ) ist ja δ(x) ≤ δ(x ) + |x − x | ≤ 2r und wegen δ(x ) ≤ 1 |x − y| 2 |x − y| ≥ |x − y| − r = |x − y| − δ(x ) ≥

1 |x − y| . 2

Beidesmal ergibt sich mit einer nur von N , R und D abhängenden Zahl k α y |x − x | x 2−N , S , |G(x , y) − G(x , y)| ≤ kD 6D 6D |x − y| und wir haben damit auch den Fall δ(x ) > |x − x | abgeschlossen. Wir befreien uns nun von der Zusatzannahme δ(x ) ≤ δ(x ). Im Falle a) braucht uhrt eine man hierzu nur die Rollen von x und x zu vertauschen. Im Falle b) f¨ solche Vertauschung gerade auf den zweiten Summanden der rechten Seite der zu beweisenden Ungleichung. B) Der Beweis der 2. Ungleichung verl¨ auft ganz ähnlich, so daß wir uns etwas k¨ urzer fassen k¨ onnen. F¨ ur alle a, b ∈ Ω, a = b, haben wir wegen (4.31) D 2 nach (4.25) bzw. (4.26) mit d1 := c4 (N ) 1 + D R bzw. d2 := c5 (N ) 1 + R b 1 a 2−N , , (4.34) |Gyi (b, a)| = |Gxi (a, b)| ≤ d1 D S 6D 6D |a − b| b δ(b)α a , . (4.35) |Gyi (b, a)| = |Gxi (a, b)| ≤ d2 D2−N S 18D 18D |a − b|1+α Im Falle |x − y| ≤ 2|x − x | ergibt sich aus (4.34) sofort

134


y 3α x , S |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ d1 D 36D 36D |x − y|1+α y 3α x , |x − x |α . +S 36D 36D |x − y|1+α

2−N

Im komplement¨ aren Fall liefert (4.35) f¨ ur δ(x ) ≤ δ(x ) ≤ |x − x | y 1 x , |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ d2 D2−N S 36D 36D |x − y|1+α y 1 x , |x − x |α . +S 36D 36D |x − y|1+α Nun machen wir von der Tatsache Gebrauch, daß wegen (4.31) und Lemma ur a ∈ Ω harmonisch in Ω \ {a} ist. 4.5.4 a) die Funktion Gyi (·, a) = Gxi (a, ·) f¨ In dem verbleibenden Fall haben wir daher bei der alten Wahl von r in (4.33) α √ |x − x | |Gyi (x , y) − Gyi (x , y)| ≤ 2N N M r mit M := supz∈Br (x ) |Gxi (y, z)|. Im Falle r = 12 |x − y| liefert uns (4.34) y 6 x 2−N M ≤ d1 D , ; S 36D 36D |x − y| im Falle r = δ(x ) erhalten wir aus (4.35) y 2(4r)α x 2−N , S , M ≤ d2 D 36D 36D |x − y|1+α womit dann alles bewiesen ist.

Eine analoge Ungleichung f¨ ur |Gxi (x , y) − Gxi (x , y)| scheint sich den hier verwendeten elementaren Beweismitteln zu entziehen; sie ergibt sich jedoch u ¨ber eine von Campanato stammende Charakterisierung derjenigen quadratisch integrierbaren Funktionen, die auf einer Kugel hölderstetig sind ( [36], [310, p. 2–4]; vgl. auch [43, § 1]).

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale Schaut man die in Abschnitt 4.2 gegebenen Beweise der Differenzierbarkeitseigenschaften des Newtonpotentials genauer an, so sieht man, daß sie gar nicht von der speziellen Gestalt der Singularit¨ atenfunktion S f¨ ur den Laplaceoperator, sondern nur von gewissen Absch¨ atzungen von S und ihren Ableitungen Gebrauch machen. Sie u ¨bertragen sich daher auf Potentiale, die von der Greenschen Funktion (wenn f¨ ur sie – wie in Abschnitt 4.6 – solche Abschätzungen

4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde singul¨ are Integrale

135

vorliegen), von den Singularit¨ atenfunktionen anderer Differentialgleichungen wie z.B. der Helmholtzschen Schwingungsgleichung (Abschnitt 4.9) oder von Funktionen, die den Begriff der Singularit¨ atenfunktion verallgemeinern (sog. Parametrices, s. Bemerkung 9.2.2), erzeugt werden. Besonders leicht ist die Verallgemeinerung von Satz 4.2.4. Satz 4.7.1. Es seien Ω ⊂⊂ RN , U ⊆ RN offen und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem y ∈ Ω ist P (·, y) : U \ {y} → R stetig differenzierbar, und bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt Zahlen b > 0 und α ∈ (0, 1) mit |P (x, y)| ≤ b|x − y|2−N −α ,

|Pxi (x, y)| ≤ b|x − y|1−N −α

f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω und i = 1, . . . , N . Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Dann existiert v(x) := P (x, y)f (y) dy

(4.36)

Ω

f¨ ur x ∈ U und definiert eine Funktion v ∈ C 1 (U ). Bei festem x ∈ U sind Pxi (x, ·), i = 1, . . . , N , u ¨ber Ω integrierbar, und es gilt vxi (x) = Pxi (x, y)f (y) dy . (4.37) Ω

Ist M eine Schranke f¨ ur |f |, so besteht |vxi (x)| ≤ c(Ω, α)M b,

x∈U ,

(4.38)

mit einer allein durch Ω und α bestimmten Konstanten c(Ω, α). Beweis. Bei festem x ∈ U sind die Pxi (x, ·) als Limites der meßbaren 1 atzung h [P (x + hei , ·) − P (x, ·)] meßbar, und wegen der geforderten Absch¨ sind sie u ¨ber Ω integrierbar. Damit hat P alle diejenigen Eigenschaften, die beim Beweis von Satz 4.2.4 von der Singularit¨ atenfunktion S benutzt wurden. Die Absch¨ atzung f¨ ur (4.37) lautet nunmehr |x − y|1−N −α dy + 11−N −α dy , |vxi (x)| ≤ M b Ω∩B1 (x)

so daß sich (4.38) aus Bemerkung 4.1.3 b) ergibt.

Ω

Bei der Untersuchung der 2. Ableitungen des Newtonpotentials wurde die starke Singularit¨ at der 2. Ableitungen von S durch die lokale Hölderstetigkeit der Dichte f abgemildert. Entsprechendes geschieht in dem nachfolgenden Satz, der den H¨ olderschen Satz 4.2.6 verallgemeinert. F¨ ur die Notation erinnern wir an Definition 4.1.5.

136


Satz 4.7.2. Es seien Ω ⊂⊂ RN , U ⊆ Ω offen und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem y ∈ Ω ist P (·, y) : U \ {y} → R stetig differenzierbar, und bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit |P (x, y)| ≤ b|x − y|1−N (1 + | ln |x − y||) , |Pxi (x, y)| ≤ b|x − y|−N (1 + | ln |x − y||) f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω und i = 1, . . . , N . Ferner sei f ∈ CbH (Ω). a) Sei x0 ∈ U . Dann existiert

[f (y) − f (x0 )]P (x, y) dy

w(x) :=

(4.39)

Ω

f¨ ur x ∈ U . Die Funktion w ist an der Stelle x0 differenzierbar, und es gilt (4.40) wxi (x0 ) = [f (y) − f (x0 )]Pxi (x0 , y) dy, i = 1, . . . , N . b) Es sei

Ω

Ω

P (·, y) dy ∈ C 1 (U ). Dann ist durch v(x) := P (x, y)f (y) dy, x ∈ U , Ω

ein v ∈ C 1 (U ) definiert, und f¨ ur i = 1, . . . , N ist ∂ P (x, y) dy, vxi (x) = [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy + f (x) ∂xi Ω

x∈U .

Ω

Beweis. a) Die Existenz von |P (x, y)| dy Ω

f¨ ur x ∈ U folgt sofort aus Bemerkung 4.1.3 b). Sei 0 < r0 < 1 so gewählt, daß Br0 (x0 ) ⊂⊂ U . Dann gibt es nach Voraussetzung eine Hölderschranke c und einen H¨ olderexponenten α ∈ (0, 1), so daß f¨ ur alle x, y ∈ Br0 (x0 ) |f (y) − f (x)| |Pxi (x, y)| ≤ bc|x − y|α−N (1 + | ln |x − y||)

(4.41)

ausf¨ allt. Das Integral (4.40) ist daher nach Bemerkung 4.1.3 b) absolut konvergent (auf Ω \ Br0 (x0 ) ist der Integrand ja sogar beschränkt; die Pxi (x, ·) sind meßbar als Limites meßbarer Funktionen).


137

Es sei nun ei := (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) mit 1 an der i-ten Stelle und 0 < ur |t| < r40 . F¨ 1 I(t) := [w(x0 + tei ) − w(x0 )] − [f (y) − f (x0 )]Pxi (x0 , y) dy t Ω 1 [P (x0 + tei , y) − P (x0 , y)] − Pxi (x0 , y) dy = [f (y) − f (x0 )] t Ω

ist zu zeigen, daß I(t) → 0 f¨ ur t → 0. Wir zerlegen dieses Integral in ein Integral I1 (t), das sich u ¨ber B2|t| (x0 ), und ein Integral I2 (t), das sich u ¨ber Ω \ B2|t| (x0 ) erstreckt. Es ist dann α 1 |I1 (t)| ≤ c(2|t|) |P (x0 + tei , y)| dy + |P (x0 , y)| dy |t| B2|t| (x0 ) B2|t| (x0 ) |f (y) − f (x0 )||Pxi (x0 , y)| dy , + B2|t| (x0 )

und wir erhalten wegen (4.41), wenn wir die beiden ersten Integrale u ¨ber |y − (x0 + tei )| ≤ 3|t| bzw. |y − x0 | ≤ 3|t| erstrecken, 3|t|

|I1 (t)| ≤ b c ωN

2α |t|α−1 2

2|t|

(1 + | ln r|) dr + 0

rα−1 (1 + | ln r|) dr

.

0

Die rechte Seite geht in der Tat f¨ ur t → 0 gegen Null. F¨ ur das Integral I2 (t) liefert uns der Mittelwertsatz mit geeignetem t∗ mit |t∗ | < |t| die Darstellung I2 (t) = [f (y) − f (x0 )][Pxi (x0 + t∗ ei , y) − Pxi (x0 , y)] dy . Ω\B2|t| (x0 )

Sei nun 0 < δ < 14 r0 . Wir zerlegen Ω \B2|t| (x0 ) in die Mengen 2|t| ≤ |y −x0 | ≤ δ und Ω \ Bδ (x0 ). Das Integral I21 (t) u ¨ber das Ringgebiet können wir wegen |x0 + t∗ ei − y| ≥ |x0 − y| − |t| ≥ 12 |y − x0 | wie folgt abschätzen: |f (y) − f (x0 )| (|Pxi (x0 + t∗ ei , y)| + |Pxi (x0 , y)|) dy |I21 (t)| ≤ 2|t|≤|y−x0 |≤δ

≤ b c ωN

δ

r 2N rα−1 1 + ln + rα−1 (1 + | ln r|) dr . 2

0

Zu vorgegebenem > 0 l¨ aßt sich daher δ > 0 so klein wählen, daß f¨ ur 0 < |t| < 2δ gilt |I21 (t)| < 2 . Das verbleibende Integral I22 (t) schätzen wir in der Form

138


|I22 (t)| ≤

|f (y) − f (x0 )||Pxi (x0 + t∗ ei , y) − Pxi (x0 , y)| dy

(4.42)

Ω\Bδ (x0 )

ab. F¨ ur y ∈ Ω \ Bδ (x0 ) ist die Funktion Pxi (·, y) an der Stelle x0 stetig. Der Integrand in (4.42) konvergiert also bei festem y f¨ ur t → 0 gegen Null und hat f¨ ur |t| < 2δ die integrierbare Majorante 2 1 −N δ δ −N 1 + ln + δ (1 + | ln δ|) . 2b sup |f | 2 2 Aufgrund des Lebesgueschen Grenzwertsatzes gibt es daher ein δ1 ∈ 0, 2δ mit |I22 (t)| < 2 f¨ ur alle 0 < |t| < δ1 . b) Die Differenzierbarkeit von v an einer fixierten Stelle x0 ∈ U ergibt sich sofort aus v(x) = [f (y) − f (x0 )]P (x, y) dy + f (x0 ) P (x, y) dy Ω

Ω

aufgrund von a). Zu zeigen bleibt also nur noch die Stetigkeit von ϕ : x → [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy Ω

an jeder Stelle x0 ∈ U . Dazu bilden wir mit 0 < < r0 < 12 min{dist(x0 , ∂U ), 1} ϕ (x) := [f (y) − f (x)]Pxi (x, y) dy , Ω |y−x0 |≥

und es gen¨ ugt, die folgenden zwei Punkte zu zeigen: aßig f¨ ur x ∈ Br0 (x0 ); (i) lim →0 ϕ (x) = ϕ(x) gleichm¨ (ii) bei festem ist ϕ : Ω → R stetig an der Stelle x0 . √ (i) F¨ ur 0 < < 1 und x ∈ Br0 (x0 ) erhalten wir im Falle |x − x0 | ≤ 2 aufgrund der Absch¨ atzung (4.41), daß |f (y) − f (x)| |Pxi (x, y)| dy |ϕ(x) − ϕ (x)| ≤ |y−x0 |
2 , so kann der Integrand f¨ ur |y − x0 | ≤ < 1 −N 2 2b sup |f | 1 + 2 | ln | abgesch¨ atzt werden, woraus sich

√

durch


|ϕ(x) − ϕ (x)| ≤ 2b sup |f |

ωN N 2 N

139

1 1 + | ln | 2

ergibt. Aus diesen beiden Ungleichungen folgt die behauptete gleichmäßige Konvergenz. (ii) ergibt sich aus dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale. F¨ ur seine Untersuchung der inneren Regularität der Lösungen elliptischer Gleichungen, die wir in Abschnitt 9.2 darstellen werden, benötigte E. Hopf [123] detailliertere Aussagen u ¨ber die Qualität von Funktionen der Gestalt (4.36) oder (4.39), deren Beweis eine Verfeinerung der traditionellen Technik verlangt. Der nachfolgende Hilfssatz hat vorbereitenden Charakter. Wir verweisen auch auf Aufgabe 5.4, die f¨ ur den Beweis von Satz 5.6.6 a) von Bedeutung ist. Lemma 4.7.3. Es seien Ω ⊂⊂ RN , D := diam Ω, U ⊆ Ω offen, α ∈ (0, 1] und P : U × Ω → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem x ∈ U ist P (x, ·) : Ω → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit f¨ ur (x, y) ∈ U × Ω , 1 1 |P (x , y) − P (x , y)| ≤ b |x − x |α + |y − x |N |y − x |N

|P (x, y)| ≤ b|x − y|α−N

f¨ ur x , x ∈ U, y ∈ Ω mit 2|x − x | ≤ |y − x |. Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt mit |f | ≤ M . Dann existiert v(x) := P (x, y)f (y) dy, x ∈ U , Ω

und es gilt |v(x ) − v(x )| ≤ c(Ω, α, γ)bM ωN |x − x |γ f¨ ur alle x , x ∈ U und alle γ ∈ (0, α) mit 2 5 + Dα−γ . c(Ω, α, γ) := α (α − γ)e Beweis. Zu zeigen ist nur noch die H¨ olderabschätzung. Es seien x , x ∈ U , h := |x − x | > 0. Dann gilt |v(x ) − v(x )| ≤ M (I1 + I2 + I3 ) mit

(4.43)

140


|P (x , y)| dy ≤ b ωN

I1 :=

Ω |y−x |≤2h

|P (x , y)| dy ≤

I2 :=

Ω |y−x |≤2h

(2h)α , α |P (x , y)| dy ≤ b ωN

Ω |y−x |≤3h

|P (x , y) − P (x , y)| dy ≤ b hα

I3 :=

Ω |y−x |≥2h

(3h)α , α

(4.45)

(|y − x |−N + |y − x |−N ) dy

Ω 2h≤|y−x |≤D

≤ bh

(4.44)

−N

α 2h≤|y−x |≤2D

|y − x |

γ

= 2 b ωN Dα (h/D) (D/h) α

γ−α

dy + h≤|y−x |≤D

−N

|y − x |

dy

ln(D/h) .

(4.46)

γ

Da hα = Dα (h/D) ≤ Dα (h/D) ist und die Funktion t → tγ−α ln t ihr Maximum an der Stelle e1/(α−γ) annimmt, ist das die Behauptung. Lemma 4.7.4 (E. Hopf). Es seien Ω ⊂⊂ RN , α ∈ (0, 1) und K : Ω × RN → R eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (i) bei festem x ∈ Ω ist K(x, ·) : RN → R meßbar; (ii) es gibt ein b > 0 mit ur (x, z) ∈ Ω × RN , |K(x, z)| ≤ b|z|−N f¨ |K(x , z) − K(x , z)| ≤ b|z|−N |x − x |α f¨ ur x , x ∈ Ω, z ∈ RN , |K(x, z ) − K(x, z )| ≤ b |z |−N −1 + |z |−N −1 |z − z | f¨ ur x ∈ Ω und z , z ∈ RN mit 2|z − z | ≤ |z | . Ferner sei f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, und g : Ω → R sei gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetig, d.h. es gibt eine Konstante Cg mit |g(x) − g(y)| ≤ Cg |x − y|α f¨ ur alle x, y ∈ Ω (vgl. Definition 5.3.1). Dann gilt: a) Das Integral

[g(x) − g(y)] K(x, x − y)f (y) dy

w(x) := Ω

existiert f¨ ur alle x ∈ Ω, und es gibt f¨ ur jedes γ ∈ (0, α) eine Konstante ur alle x , x ∈ Ω. C > 0 mit |w(x ) − w(x )| ≤ C|x − x |γ f¨ b) Hat K die zus¨ atzliche Eigenschaft, daß es Ω0 ⊂⊂ Ω und positive Zahlen c0 , δ0 gibt mit K(x, x − y) dy ≤ c0 Ω |y−x|>δ


141

f¨ ur alle x ∈ Ω0 und δ ∈ (0, δ0 ), und existieren β ∈ (0, 1), Cf > 0 mit ur alle x, y ∈ Ω, so existiert eine Konstante |f (x) − f (y)| ≤ Cf |x − y|β f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 . A > 0 mit |w(x ) − w(x )| ≤ A|x − x |α f¨ Beweis. a) wird in Aufgabe 4.6 gezeigt. b) Es seien x , x ∈ Ω0 , h := |x − x | > 0, D := diam Ω und P (x, y) := [g(x) − g(y)]K(x, x − y). Wir ersetzen die Abschätzungen (4.43)–(4.46) durch 5 α h +I , α wobei wir wieder M := sup |f | abgek¨ urzt haben und I := [P (x , y) − P (x , y)]f (y) dy |w(x ) − w(x )| ≤ bCg M ωN

Ω |y−x |>2h

altiger behandeln, indem wir von der Identität f¨ ur h < δ0 sorgf¨ [P (x , y) − P (x , y)]f (y) = [g(x ) − g(y)][K(x , x − y) − K(x , x − y)]f (y) + [g(x ) − g(y)][K(x , x − y) − K(x , x − y)]f (y) + [g(x ) − g(x )]K(x , x − y)[f (y) − f (x )] + [g(x ) − g(x )]K(x , x − y)f (x ) (4.47) Gebrauch machen. Die Voraussetzungen an K, f und g liefern f¨ ur h ∈ (0, δ0 ) die Absch¨ atzung Cg |x − y|α b|x − y|−N hα dy

I≤M Ω |y−x |>2h

Cg |x − y|α b |x − y|−(N +1) + |x − y|−(N +1) h dy

+ Ω |y−x |>2h

1 + M

−N

Cg h b|x − y| α

β

Cf |y − x | dy + Cg h (c0 + bωN ln 3) . α

Ω |y−x |>2h

Hinsichtlich des letzten Summanden beachte man, daß wir wegen |K(x, z)| ≤ b|z|−N K(x , x − y) dy − K(x , x − y) dy Ω |y−x |>2h

≤

Ω |y−x |>h

|K(x , x − y)| dy

Ω h |y − x | . Mithin ist

1

I ≤ Cg M h

α

D

b ωN

r

α−1

dr + h

2h

Cf + M

r

β−1

r

dr + ln 3 + c0

α−2

D

α

dr + 2

2h

'

2

D

D

1−α

r

α−2

dr

h

,

h

und die geschweifte Klammer kann durch eine von h unabhängige Zahl abgesch¨ atzt werden (f¨ ur α = 1 w¨ are das nicht möglich). F¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | ≥ δ0 ist |w(x ) − w(x )| ≤ 2 sup |w|

|x − x |α , δ0α

wobei die Beschr¨ anktheit von w nach a) gew¨ ahrleistet ist.

In Lemma 4.7.4 begegnen uns zum erstenmal gleichmäßig α-hölderstetige Funktionen (vgl. Definition 5.3.1). Diese sind – wie wir ab dem Abschnitt 5.3 sehen werden – f¨ ur die klassische L¨ osungstheorie elliptischer Differentialgleichungen von großer Bedeutung.

4.8 Das Dirichletproblem fu ¨r −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f Wie zu Beginn von Abschnitt 4.4 erw¨ ahnt, l¨ aßt sich f¨ ur die Poissongleichung das Dirichletproblem mit u|∂Ω = g durch Addition einer passenden harmouckf¨ uhren. Das nischen Funktion auf das Randwertproblem mit u|∂Ω = 0 zur¨ Entsprechende w¨ are bei dem allgemeineren Problem − Δv +

N

ai (x)vxi + a(x)v = f˜(x)

f¨ ur x ∈ Ω,

v|∂Ω = g

(4.48)

i=1

nur dann sinnvoll, wenn wir die Dirichletsche Randwertaufgabe f¨ ur (4.48) mit f˜ = 0 beherrschen w¨ urden, was aber nat¨ urlich nicht der Fall ist. Wir können ¨ u = v − h und allenfalls harmonische h mit h|∂Ω = g heranziehen. Uber f = f˜ −

N

i=1

sind dann die Probleme (4.48) und

ai hxi − ah

4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f

− Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u = f (x)

f¨ ur x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0

143

(4.49)

i=1

a ¨quivalent. Das Beispiel der in Aufgabe 3.20 betrachteten harmonischen Funktion, deren Ableitung am Rand der Einheitskreisscheibe unbeschränkt ist, zeigt, daß man nun im allgemeinen mit Differentialgleichungen konfrontiert wird, deren rechte Seiten am Rand unbeschr¨ ankt sind; lediglich wenn die ai = 0 sind oder kompakten, in Ω gelegenen Tr¨ ager haben, tritt diese Schwierigkeit nicht auf. Da aufgrund der inneren A-Priori-Absch¨ atzung harmonischer Funktionen ur x ∈ Ω beschränkt ist, betrachten wir aus Satz 2.1.7 dist(x, ∂Ω)hxi (x) f¨ nun in Verallgemeinerung von Satz 4.4.7 Greenpotentiale, deren Dichten die Eigenschaften (4.50) haben und mit deren Hilfe wir dann in Abschnitt 6.3 zeigen k¨ onnen, daß (4.49) einem Integralgleichungsproblem äquivalent ist. Die Kompaktheit der dann auftretenden Integraloperatoren wird sich aus Korollar 4.8.5 ergeben. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Lemma 4.8.1. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ Satz 4.6.2), und es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). Es sei f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft M := sup |δ(y)f (y)| < ∞ .

(4.50)

Dann existiert f¨ ur alle x ∈ Ω das Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy

(4.51)

y∈Ω

Ω

zu Ω und f und definiert eine Funktion w ∈ C 0 (Ω). F¨ ur x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) ist |w(x)| ≤ c(Ω, γ)M δ(x)1−γ

(4.52)

mit einer allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten c(Ω, γ). Beweis. Unter Ber¨ ucksichtigung von Bemerkung 4.1.3 (i) ergeben sich aus (4.23) und (4.24) f¨ ur x ∈ Ω, y ∈ Ω, x = y, und γ ∈ (0, 1) die Abschätzungen 0 ≤ G(x, y) ≤ const |x − y|1−N −γ δ(y) , 0 ≤ G(x, y) ≤ const |x − y|−N −γ δ(x)δ(y) mit allein von Ω und γ bestimmten Konstanten. Mit Hilfe der ersten Ungleichung erschließt man die Stetigkeit von w wie im Beweis von Satz 4.4.7 a). Verwenden wir die erste Ungleichung f¨ ur |y − x| ≤ δ(x) und die zweite f¨ ur |y − x| > δ(x), so erhalten wir mit Bemerkung 4.1.3 b)

144


|w(x)| ≤ M const

|x − y|1−N −γ dy + δ(x)

|y−x|≤δ(x)

≤ M ωN const

|x − y|−N −γ dy

|y−x|>δ(x)

δ(x)1−γ + δ(x) 1−γ

D r

−γ−1

dr

,

δ(x)

wenn D := diam Ω ist. Dies beweist die Behauptung, da die Abhängigkeit der Konstanten von N durch die Angabe von Ω ber¨ ucksichtigt ist. Lemma 4.8.1 impliziert, daß das durch (4.51) definierte Greenpotential w auf ∂Ω verschwindet. Zusammen mit dem nun folgenden Satz ist dann die Existenz einer L¨ osung von −Δu = f in Ω, u|∂Ω = 0 in dem Fall gezeigt, daß aßige ¨ außere Kugeleigenschaft besitzt und f eine auf Ω Ω ⊂⊂ RN die gleichm¨ lokal h¨ olderstetige Funktion ist, die der Bedingung (4.50) gen¨ ugt. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, und Satz 4.8.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). a) Ist f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so ist das Greenpotential (4.51) aus C 1 (Ω), und es gilt (4.53) wxi (x) = Gxi (x, y)f (y) dy, x ∈ Ω . Ω

F¨ ur alle x ∈ Ω, γ ∈ (0, 1) und i = 1, . . . , N besteht |wxi (x)| ≤ d(Ω, γ)M δ(x)−γ

(4.54)

mit einer allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten d(Ω, γ). b) Ist f ∈ C H (Ω) (s. Definition 4.1.5) eine Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so ist w ∈ C 2 (Ω) und −Δw = f

in Ω .

Beweis. a) Wir zeigen zun¨ achst die Existenz des Integrals in (4.53) und seine Absch¨ atzung (4.54). Aufgrund der Ungleichungen (4.25) und (4.26) haben wir (wieder unter Ber¨ ucksichtigung von Bemerkung 4.1.3 (i)) f¨ ur alle x, y ∈ Ω, x = y und γ ∈ (0, 1) |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|1−N −γ , |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|−N −γ δ(y)

(4.55)

mit allein durch Ω und γ bestimmten Konstanten. Wegen δ(x) ≤ δ(y)+|x−y| besteht im Falle |x − y| ≤ 12 δ(x) die Ungleichung δ(x) ≤ 2δ(y), so daß δ(x)|Gxi (x, y)f (y)| ≤ M const

ur |x − y| ≤ 12 δ(x) 2|x − y|1−N −γ f¨ δ(x)|x − y|−N −γ

f¨ ur |x − y| > 12 δ(x)

4.8 Das Dirichletproblem f¨ ur −Δu = f bei am Rand unbeschr¨ anktem f

145

resultiert, woraus sich wie beim Beweis von Lemma 4.8.1 δ(x) |Gxi (x, y)f (y)| dy ≤ d(Ω, γ)M δ(x)1−γ Ω

ergibt. Zum Nachweis der stetigen Differenzierbarkeit von w sei Ω0 ⊂⊂ Ω und 0 < t < 12 dist(Ω0 , ∂Ω). Dann ist Ω0 ⊂⊂ Ωt := {y ∈ Ω : δ(y) > t} . F¨ ur x ∈ Ω0 schreiben wir w(x) = v(x) + h(x) mit v(x) := G(x, y)f (y) dy ,

(4.56)

Ωt

h(x) :=

G(x, y)f (y) dy .

(4.57)

Ω\Ωt

Es gen¨ ugt zu zeigen, daß v und h auf Ω0 stetig differenzierbare Funktionen definieren und daß die Differentiation unter dem Integralzeichen erfolgen kann. Im Falle von h folgt dies nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale aus (4.50) und (4.55) zusammen mit der Beobachtung, daß f¨ ur y ∈ Ω \Ωt ein y0 ∈ ∂Ω existiert mit |y − y0 | ≤ t und somit f¨ ur alle x ∈ Ω0 gilt |x − y| ≥ |x − y0 | − |y0 − y| ≥ dist(Ω0 , ∂Ω) − t >

1 dist(Ω0 , ∂Ω) . 2

(4.58)

Im Falle der Funktion v folgt das Gew¨ unschte aus Aufgabe 4.7, die man auf die Funktion ft := f XΩt anwendet, wobei XΩt die charakteristische Funktion aß Bemerkung 2.1.5 a) ist δ stetig und somit der Menge Ωt bezeichnet. Gem¨ atzung |ft (y)| ≤ Mt f¨ ur alle y ∈ Ω folgt, ist Ωt offen. Da aus (4.50) die Absch¨ ankt. ft meßbar und beschr¨ b) Wir werden zeigen, daß die in (4.56) und (4.57) definierten Funktionen auf Ω0 zweimal stetig differenzierbar sind und die zweiten Ableitungen durch ∂2 wxi xk (x) = Gxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] + f (x) G(x, y) dy (4.59) ∂xi ∂xk Ω

Ω

gegeben sind. Wegen Δx G(x, y) = 0 f¨ ur x = y und wegen Satz 4.4.7 b) mit f = 1 folgt dann −Δw = f auf Ω0 . Da Ω0 ⊂⊂ Ω beliebig gewählt war, ist dies die Behauptung. Wir wenden uns zun¨ achst der in (4.56) definierten Funktion v zu und benutzen wiederum, daß die Einschr¨ ankung von f auf Ωt beschränkt ist und damit f |Ωt ∈ CbH (Ωt ). Aussage c) aus Aufgabe 4.9 liefert die zweimalige stetige Differenzierbarkeit von v auf Ω0 ⊂⊂ Ωt sowie die Darstellung (4.59) f¨ ur vxi xk mit Integrationsbereichen Ωt anstelle von Ω.

146


Die Harmonizit¨ at von Gxi (·, y) und die Abschätzungen (4.55) und (4.58) f¨ uhren gem¨ aß Satz 2.1.7 auf |Gxi xk (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω0 und y ∈ Ω \ Ωt , wobei die Konstante allein durch Ω und dist(Ω0 , ∂Ω) bestimmt ist. Die Funktion h aus (4.57) kann folglich auch ein zweites Mal nach dem Standardsatz u ¨ber Parameterintegrale differenziert werden, und wir erhalten f¨ ur x ∈ Ω0 hxi xk (x) = Gxi xk (x, y)f (y) dy . Ω\Ωt

2 Ebenso gilt ∂x∂i ∂xk Ω\Ωt G(·, y) dy = Ω\Ωt Gxi xk (·, y) dy, und wir gewinnen f¨ ur hxi xk ebenso eine Darstellung von der Form (4.59), wobei die Integrationsbereiche nun durch Ω \ Ωt anstelle von Ω gegeben sind. Addition von hxi xk (x) und vxi xk (x) liefert somit (4.59). Lemma 4.8.3. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Ist f : Ω → R eine meßbare Funktion mit der Eigenschaft (4.50), so gibt es zu angende Zahl C jedem Ω0 ⊂⊂ Ω und γ ∈ (0, 1) eine von Ω0 , Ω und γ abh¨ derart, daß die ersten Ableitungen des Greenpotentials (4.51) zu Ω und f f¨ ur x , x ∈ Ω0 der Ungleichung |wxi (x ) − wxi (x )| ≤ M C|x − x |γ f¨ ur alle i = 1, . . . , N gen¨ ugen. Beweis. Wir erinnern zun¨ achst an die Notation Ωs := {y ∈ Ω : δ(y) > s} aus dem Beweis von Satz 4.8.2. Wir setzen t := 14 dist(Ω0 , ∂Ω) > 0 und zerlegen w = v + h wie in (4.56) und (4.57) angegeben. Offensichtlich gen¨ ugt es, entsprechende H¨ olderschranken f¨ ur hxi und vxi herzuleiten. ur x ∈ Ω0 und y ∈ a) Wir betrachten zun¨ achst den Fall |x − x | ≥ t. F¨ ur alle x ∈ Ω0 Ω \ Ωt gilt |x − y| ≥ 3t. Ungleichung (4.55) liefert dann f¨ |hxi (x)| ≤ |Gxi (x, y)| |f (y)| dy ≤ M C1 (Ω, γ, t) , Ω\Ωt

und wir erhalten somit f¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | ≥ t γ |x − x | . |hxi (x ) − hxi (x )| ≤ 2M C1 (Ω, γ, t) t angt, ist dies die gew¨ unschte Abschätzung. Da t nur von Ω0 und Ω abh¨ Um den Fall |x − x | < t zu behandeln, bemerken wir zunächst, daß wir aufgrund von (4.55), der Harmonizit¨ at von Gxi (·, y) und Satz 2.1.7 Konstanten finden k¨ onnen, die nur von Ω, γ und t abh¨ angen, so daß

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion f¨ ur −Δ + 1

147

|Gxi (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω2t , y ∈ Ω \ Ωt , |∇x Gxi (x, y)| ≤ const δ(y) f¨ ur alle x ∈ Ω3t , y ∈ Ω \ Ωt . Somit gilt |∇x hxi (x)| ≤

|∇x Gxi (x, y)| |f (y)| dy ≤ M C2 (Ω, γ, t) Ω\Ωt

f¨ ur alle x ∈ Ω3t . Da Ω0 ⊆ Ω4t nach Definition von t, liegt f¨ ur x , x ∈ Ω0 mit |x − x | < t auch die Strecke zwischen x und x ganz in Ω3t und wir erhalten |hxi (x ) − hxi (x )| ≤ M C2 (Ω, γ, t)|x − x | ≤ M C2 (Ω, γ, t)t1−γ |x − x |γ . b) Aufgabe 4.11 mit U := Ω0 erlaubt uns die Anwendung von Lemma 4.7.3, wobei wir anstelle von f die abgeschnittene Funktion f XΩt einsetzen, ankt wird. Da die Konstante b gemäß Aufgabe 4.11 welche durch Mt beschr¨ angt, ist die von Lemma 4.7.3 gelieferte Abschätzung nur von Ω0 und Ω abh¨ f¨ ur x , x ∈ Ω0 von der Form |vxi (x ) − vxi (x )| ≤ C3 (Ω, Ω0 , γ, t)M |x − x |γ .

Bemerkung 4.8.4. Die sich aus unserem Beweis ergebende Konstante C in der Formulierung von Lemma 4.8.3 h¨ angt in komplizierter Weise von Ω und Ω0 ab. So gehen zum Beispiel Schranken an die zweiten Ableitungen von ahltem Ω1 (Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ Ω) f¨ ur H = G − S auf Ω 1 × Ω mit geeignet gew¨ die Bestimmung der Konstanten b in Aufgabe 4.11 ein. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Korollar 4.8.5. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ Es sei M > 0 und % F := g : Ω → R : g ist meßbar und sup |δ(y)g(y)| ≤ M . y∈Ω

Dann ist

% Gxi (·, y)f (y) dy : f ∈ F, i ∈ {1, . . . , N }

Ω

eine Menge auf Ω definierter stetiger Funktionen, die auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichgradig gleichm¨ aßig stetig ist.

4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion fu ¨r −Δ + 1 Wir wollen hier die Resultate der Abschnitte 4.2 und 4.4–4.6 auf die Gleichung − Δu + λu = f

(4.60)

148


ausdehnen. Dazu m¨ ussen wir zun¨ achst einmal λ > 0 voraussetzen; im Falle λ < 0 gibt es ein Problem, das in Bemerkung 5.5.7 kurz gestreift und in Abschnitt 6.2 n¨ aher behandelt wird (vgl. insbesondere Satz 6.2.8). Sucht man L¨ osungen von (4.60) mit f = 0 in der Form u(x) = U (|x|) (aufgrund der Translationsinvarianz des Laplaceoperators ist dann bei festem y ∈ RN auch U (|x − y|) f¨ ur x = y eine L¨ osung), so wird man auf die gewöhnliche Differentialgleichung gef¨ uhrt, die wir bereits in Bemerkung 2.5.1 kennengelernt haben. Wir k¨ onnen in der dortigen Gleichung (2.15) λ = 1 setzen, also N −1 U (r) − U (r) = 0 (4.61) r √ betrachten, denn wenn wir r durch λr in dem Argument von U ersetzen, erhalten wir eine L¨ osung der allgemeineren Gleichung. Durch die Substitution y(r) := r(N −1)/2 U (r) geht (4.61) in (N − 1)(N − 3) y=0 (4.62) y − 1 + 4r2 U (r) +

u ur ¨ber. Man kann also erwarten, daß (4.62) und damit auch (4.61) eine f¨ r → ∞ exponentiell fallende und eine exponentiell wachsende Lösung besitzt [98, p. 381]. Wir suchen daher f¨ ur (4.61) eine Lösung der Gestalt ∞ U (r) =

e−rt ϕ(t) dt

1

mit einer h¨ ochstens polynomial wachsenden Funktion ϕ. Zweimalige Differentiation unter dem Integralzeichen liefert ∞

U (r) − U (r) =

e−rt (t2 − 1)ϕ(t) dt ,

(4.63)

1

und mit

t sϕ(s) ds

φ(t) := 1

erhalten wir durch partielle Integration

∞

U (r) = −

e

−rt

∞ tϕ(t) dt = −r

1

e−rt φ(t) dt .

1

Gleichung (4.61) ist somit erf¨ ullt, wenn (t2 − 1)ϕ(t) = (N − 1)φ(t) gilt, was uns u ¨ber

(4.64)


149

t ϕ (t) = (N − 3) 2 ϕ(t) t −1 auf die Wahl ϕ(t) = (t2 − 1) ∞ U (r) :=

N −3 2

f¨ uhrt. Man u ¨berzeugt sich leicht, daß wir mit

e−rt (t2 − 1)(N −3)/2 dt,

r>0,

(4.65)

1

eine L¨ osung der gew¨ unschten Art gefunden haben. Ein anderer und vielleicht etwas systematischerer Weg h¨ atte darin bestanden, (4.61) oder (4.62) als Differentialgleichung der modifizierten Besselfunktion zu identifizieren (s. Bemerkung 4.9.2 b)). Die Funktion (4.65) wurde f¨ ur N = 2 erstmals von Riemann [281] betrachtet. Um das Verhalten von U f¨ ur r → 0 und r → ∞ zu untersuchen, machen wir in (4.63), (4.64) (mit ϕ(t) = (t2 − 1)(N −3)/2 ) und (4.65) die Variablentransformation s = r(t − 1), was e−r U (r) = N −2 r

∞

e−s (2sr + s2 )(N −3)/2 ds ,

(4.66)

0

e−r U (r) = − (N − 1)rN −1

U (r) = U (r) +

−r

e rN

∞

∞

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds ,

(4.67)

0

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds

(4.68)

0

liefert. F¨ ur m ∈ N0 ist ∞ e

−s

2

(2sr + s )

m 2

∞ ds ≤

0

e 0

≤

m

m i r (r + s) ds = e−s sm−i ds i i=0 ∞

−s

m

0

const const rm

f¨ ur 0 < r < 1 f¨ ur r ≥ 1

.

(4.69)

F¨ ur N = 2 haben wir ∞

e−s (2sr + s2 )−1/2 ds ≤

1 (2r)1/2

0

∞

e−s s−1/2 ds,

r>0,

(4.70)

0

was f¨ ur r ≥ 1 eine gute Absch¨ atzung ist. F¨ ur N = 2 und r ∈ (0, 1) empfiehlt es sich, in (4.64) die Substitution s = rt zu machen: 1 U (r) = − r

∞ r

e−s

s2 − r2 ds .


150

Mit der stetigen Funktion

∞

g(r) := 1 −

e−s

s2 − r2 ds

r

ist

Wegen

∞ 0

1 g(r) . U (r) = − + r r se−s ds = 1 k¨ onnen wir r g(r) =

se

−s

∞ ds + r

0

schreiben. Der erste Term ist ≤ s−

e−s s − s2 − r2 ds

1 2 2r ,

s2 − r2 =

der zweite ≤ r, denn f¨ ur s ≥ r ist ja r2 √ ≤r. s + s2 − r2

Also gilt im Falle N = 2 f¨ ur 0 < r < 1 1 U (r) = − + g1 (r) , r U (r) = − ln r + g2 (r)

(4.71) (4.72)

mit stetigen und beschr¨ ankten Funktionen g1 und g2 . Wir bemerken noch, daß aus (4.67) lim r

r→0

N −1

1 U (r) = − N −1

∞

e−s sN −1 ds = −

0

Γ (N ) = −(N − 2)! (4.73) N −1

folgt. Mit der Funktion U in (4.65) haben wir eine Funktion gefunden, die f¨ ur −Δ + 1 die gleiche Rolle spielt wie die Singularitätenfunktion aus Definition 4.1.2 f¨ ur −Δ. Definition 4.9.1. F¨ ur x, y ∈ RN sei ⎧ ∞ ⎪ ⎪ 1 ⎨ e−|x−y|t (t2 − 1)(N −3)/2 dt , falls x = y . S(x, y) := (N − 2)!ωN ⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 , falls x = y S heißt die Singularit¨ atenfunktion oder die Grundlösung zu −Δ + 1. Bemerkung 4.9.2. a) S ist außerhalb der Diagonalen beliebig oft differenzierbar. F¨ ur x, y ∈ RN ist S(x, y) = S(y, x), ferner f¨ ur x = y Sxi (x, y) = −Syi (x, y) , (−Δx + 1)S(x, y) = 0 .

(4.74) (4.75)

Es gibt eine Zahl c(N ) und f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1) eine Zahl c(N, γ), so daß f¨ ur alle x, y ∈ RN mit x = y


151

(i) 0 < S(x, y) ≤ c(N, γ)|x − y|2−N −γ e− 2 |x−y| , 1

(ii) |Sxi (x, y)| ≤ c(N )|x − y|1−N e− 2 |x−y| , 1

(iii) |Sxi xk (x, y)| ≤ c(N )|x − y|−N e− 2 |x−y| . 1

(i) folgt aus (4.66), (4.69) und (4.70) und schwächt das f¨ ur N = 2 in (4.72) Erreichte ab, um eine Fallunterscheidung bez¨ uglich N zu vermeiden. (ii) ergibt sich aus (4.67) und (4.69). (iii) erh¨ alt man schließlich aus (4.68) und (4.69) in Kombination mit der Absch¨ atzung (i). Das exponentielle Abklingen und die Tatsache, daß die Absch¨ atzung (i) außerhalb der Diagonalen in ganz RN ×RN gilt, unterscheiden diese Singularit¨ atenfunktion in angenehmer Weise von der zu −Δ. Die lokale Singularit¨ at bei x = y ist von der gleichen Art. b) Unter Verwendung der modifizierten Besselfunktion 2. Art Kν der Ordnung ν := (N − 2)/2 kann S in der Form S(x, y) =

1 Kν (|x − y|) (2π)N/2 |x − y|ν

geschrieben werden [331, p. 172]. F¨ ur ungerade N kann Kν durch elementare Funktionen ausgedr¨ uckt werden [331, p. 80], was mit Hilfe partieller Integration auch unmittelbar aus der Definition von S erschlossen werden kann. F¨ ur die Singularit¨ atenfunktion S zu −Δ + λ mit λ > 0 hat man die Normierung √ ν √ √ √ 1 λ Kν λ|x − y| = λν S λx, λy Sλ (x, y) = 2π 2π|x − y| zu treffen, um analog zu Lemma 4.9.4 b) (−Δ + λ) Sλ (x, y) dy = 1 Ω

zu erhalten. Speziell f¨ ur N = 3 ist Sλ (x, y) =

√ 1 e− λ|x−y| . 4π|x − y|

Wir k¨ onnen nun sehr schnell ein Analogon zu dem Hölderschen Satz 4.2.6 beweisen, indem wir uns auf Hilfsmittel aus Abschnitt 4.7 st¨ utzen. Wir beginnen mit einer Satz 4.2.4 entsprechenden Aussage. Lemma 4.9.3. Es seien S die Singularitätenfunktion zu −Δ + 1, Ω ⊆ RN offen und f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt. Dann ist v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN , (4.76) Ω

ur x ∈ RN aus C (R ), und es gilt f¨ vxi (x) = Sxi (x, y)f (y) dy . 1

N

Ω

(4.77)


152

Beweis. Die Existenz des Integrals in (4.76) folgt sofort aus der Abschätzung (i) in Bemerkung 4.9.2 a). F¨ ur den Beweis von v ∈ C 1 (RN ) seien B ⊂⊂ B ⊂⊂ N ugt, v ∈ C 1 (B ) zu zeigen. In der Zerlegung R und x ∈ B ; es gen¨ v(x) = S(x, y)f (y) dy + S(x, y)f (y) dy (4.78) Ω\B

Ω∩B

kann der erste Term nach dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale beliebig oft unter dem Integralzeichen differenziert werden. Auf den zweiten Term k¨ onnen wir Satz 4.7.1 mit U = B und Ω ∩ B anstelle des dortigen Ω anwenden, da seine Voraussetzungen aufgrund von Bemerkung 4.9.2 a) erf¨ ullt sind. In Analogie zu Korollar 4.2.2 und Lemma 4.2.5 haben wir Lemma 4.9.4. Es sei S die Singularitätenfunktion zu −Δ + 1. a) Ist B ⊂⊂ RN eine Kugel, so gilt f¨ ur x ∈ B ∂2 S(x, y) dy = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂xi ∂xk B

∂B

Dabei ist νi (y) die i-te Komponente der ¨ außeren Einheitsnormalen an ∂B im Punkte y. b) Ist Ω ⊆ RN offen, so gilt ∞ S(·, y) dy ∈ C (Ω) und (−Δ + 1) S(·, y) dy = 1 f¨ ur x ∈ Ω . Ω

Ω

Beweis. a) Sei x ∈ B und B (x) ⊂⊂ B. Wir haben (4.77) mit f = 1 zur Verf¨ ugung, und mit (4.74) gilt Syi (x, y) dy − Syi (x, y) dy , vxi (x) = − Syi (x, y) dy = − B

B\B (x)

B (x)

wobei das zweite Integral aufgrund der Absch¨ atzung (ii) in Bemerkung 4.9.2 a) f¨ ur → 0 gegen Null geht. Das erste Integral läßt sich nach dem Gaußschen Satz B.6 in ein Oberfl¨ achenintegral verwandeln: xi − yi S(x, y) dS(y) . Syi (x, y) dy = νi (y)S(x, y) dS(y) + |x − y| B\B (x)

∂B

∂B (x)

Da das zweite Integral nach der Absch¨ atzung (i) in Bemerkung 4.9.2 a) f¨ ur → 0 gegen Null geht, resultiert


153

vxi (x) = −

νi (y)S(x, y) dS(y) .

∂B

Da die rechte Seite aus C ∞ (B) ist und unter dem Integralzeichen beliebig oft differenziert werden darf, ist also v ∈ C ∞ (B) und insbesondere vxi xk (x) = − νi (y)Sxk (x, y) dS(y) . ∂B

b) In (4.78) sei speziell f = 1 und B = Br (x) ⊂⊂ Ω. Anwendung von −Δ + 1 auf das erste Integral liefert wegen (4.75) Null. Nach Beweisteil a) haben wir y−x · ∇ S(x, y) dS(y) + S(x, y) dy (−Δ + 1) S(x, y) dy = x |y−x| Br (x)

=−

∂Br (x)

1 (N − 2)! ωN

Br (x)

U (|x − y|) dS(y) +

∂Br (x)

S(x, y) dy .

Br (x)

Die Behauptung folgt nun aus (4.73), da das zweite Integral f¨ ur r → 0 ja gegen Null geht. Nun sind wir in der Lage, ein dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 entsprechendes Resultat zu beweisen. Satz 4.9.5. Es seien Ω ⊆ RN offen, S die Singularitätenfunktion zu −Δ + 1 und f ∈ CbH (Ω) (s. Definition 4.1.5). Dann ist v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN , Ω

aus C 2 (Ω), und f¨ ur x ∈ Ω gilt vxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy + f (x) Ω

∂2 ∂xi ∂xk

S(x, y) dy . (4.79) Ω

Beweis. Es sei B ⊂⊂ Ω eine Kugel. F¨ ur x ∈ B ⊂⊂ B haben wir wegen (4.77) die Zerlegung Sxi (x, y)f (y) dy + Sxi (x, y)f (y) dy . vxi (x) = Ω\B

B

Die Ableitung nach xk in dem ersten Integral ist wieder unproblematisch. Auf das zweite Integral k¨ onnen wir Satz 4.7.2 b) mit U = Ω = B anwenden, denn es ist ja

154


∂ ∂xi

Sxi (·, y) dy ∈ C 1 (B)

S(·, y) dy = B

B

(Lemma 4.9.3 und Lemma 4.9.4 b)). Die anderen Voraussetzungen von Satz 4.7.2 b) sind aufgrund von Bemerkung 4.9.2 a) erf¨ ullt. Es ist also v ∈ C 2 (Ω) und f¨ ur x ∈ B vxi xk (x) = Sxi xk (x, y)f (y) dy + [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy Ω\B 2

+f (x)

∂ ∂xi ∂xk

B

S(x, y) dy . B

Da wir dies in der Form vxi xk (x) = f (x) Sxi xk (x, y) dy + [f (y) − f (x)]Sxi xk (x, y) dy Ω\B 2

+f (x)

∂ ∂xi ∂xk

Ω

S(x, y) dy B

schreiben und in dem ersten Integral die Ableitungen vor das Integral ziehen k¨ onnen, ist damit (4.79) bewiesen. In Kombination mit Lemma 4.9.4 b) folgt sofort aus (4.79) und (4.75) Korollar 4.9.6. Unter den Voraussetzungen von Satz 4.9.5 gilt auf Ω (−Δ + 1)v = f . In Analogie zu Definition 4.4.1 treffen wir die Definition 4.9.7. Es sei Ω ⊆ RN offen und S die Singularit¨ atenfunktion zu ur Ω und den −Δ + 1. Man nennt G : Ω × Ω → R Greensche Funktionen f¨ Operator −Δ + 1 (mit Dirichletscher Randbedingung), wenn f¨ ur jedes y ∈ Ω folgendes gilt: ullt (i) G(·, y) − S(·, y) ist aus C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) und erf¨ (−Δx + 1)[G(x, y) − S(x, y)] = 0

f¨ ur x ∈ Ω ;

(ii) G(·, y) = 0 auf ∂Ω; ur n → ∞ gilt (iii) f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit |xn | → ∞ f¨ lim G(xn , y) = 0 .

n→∞


155

Bemerkung 4.9.8. a) Im Falle Ω = RN hat die Singularitätenfunktion S offensichtlich alle von G verlangten Eigenschaften, diesmal f¨ ur alle N ≥ 2. b) Die Forderung (iii) entf¨ allt, wenn Ω beschränkt ist. c) Es gibt, wenn u ¨berhaupt, genau eine Greensche Funktion. Sei y ∈ Ω. Die Differenz G zweier Greenscher Funktionen gen¨ ugt nämlich auf Ω der Gleichung (−Δx + 1)G(·, y) = 0 . F¨ ur x ∈ ∂Ω ist G(x, y) = 0, ferner limn→∞ G(xn , y) = 0 f¨ ur |xn | → ∞. Da G(·, y) nach Aufgabe 2.18 in Ω kein positives Maximum und kein negatives Minimum annehmen kann, ist also G(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ Ω. d) Daß die Greensche Funktion f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und −Δ + 1 existiert, wenn jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar ist im Sinne von Definition 3.3.8, wird mit Satz 6.2.7 gezeigt werden. Wir weisen nun nach, daß sich die aus den Abschnitten 4.4–4.6 f¨ ur die Greensche Funktion zu −Δ bekannten Grundeigenschaften u ¨bertragen. ur Ω und Lemma 4.9.9. Es sei Ω ⊆ RN offen und G Greensche Funktion f¨ −Δ + 1. Ist y ∈ Ω, so gilt 0 ≤ G(x, y)

f¨ ur x ∈ Ω \ {y} ;

genauer: es ist 0 < G(x, y), wenn sich x und y in derselben Zusammenhangskomponente von Ω befinden und x = y ist, und 0 = G(x, y), wenn x und y in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. Weiter gilt G(x, y) ≤ S(x, y) f¨ ur alle x ∈ Ω, y ∈ Ω mit x = y. Beweis. Sei y ∈ Ω. Liegt x ∈ Ω in einer Zusammenhangskomponente X von Ω, die y nicht enth¨ alt, so gilt wegen (4.75) (−Δx + 1)G(·, y) = 0

(4.80)

auf X. Auf ∂X ⊆ ∂Ω ist G(·, y) = 0. Ferner gilt f¨ ur unbeschränktes X, daß ur jede Folge (xn ) aus X, die gegen Unendlich strebt. G(xn , y) → 0 strebt f¨ Da G(·, y) nach Aufgabe 2.18 in X weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum haben kann, ist also G(x, y) = 0 f¨ ur jedes solche x ∈ X. Nun sei Y diejenige Zusammenhangskomponente von Ω, die y enthält. Dann besteht dank (4.75) die Gleichung (4.80) auf Y \ {y}. Nach Aufgabe 2.18 kann G(·, y) also dort kein negatives Minimum annehmen. Es ist also G(x, y) ≥ 0 f¨ ur x ∈ Y \ {y}. G¨ abe es ein x0 ∈ Y \ {y} mit G(x0 , y) = 0, so w¨ are nach Aufgabe 2.19 schon G(x, y) = 0 f¨ ur alle x ∈ Y \ {y}, also aufgrund der Eigenschaft (i) in Definition 4.9.7 −S(·, y) in einer Umgebung von y beschr¨ ankt.

156


Die auf Ω stetige Funktion G(·, y) − S(·, y) ist auf ∂Ω negativ. Wäre sie positiver Werte f¨ ahig, so bes¨ aße sie in Ω ein positives Maximum, was nach Aufgabe 2.18 nicht sein kann. Dies beweist die letzte Behauptung. ur Ω und −Δ+1, Lemma 4.9.10. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion f¨ so gilt H := G − S ∈ C 0 (Ω × Ω) . Beweis. Ganz wie im Beweis von Lemma 4.4.5 gen¨ ugt es zu zeigen, daß die Funktion H(x, ·) auf jedem Ω0 ⊂⊂ Ω stetig ist, und zwar gleichmäßig bez¨ uglich x ∈ Ω. Aufgrund von 4.9.7 (ii) gilt H|∂Ω×Ω 0 = −S|∂Ω×Ω 0 , wobei die Funktion rechts gleichm¨ aßig stetig ist. Insbesondere gibt es also ur alle zu jedem > 0 ein δ > 0, so daß |H(x, y1 ) − H(x, y2 )| < ausfällt f¨ x ∈ ∂Ω und alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 −y2 | < δ. Es löst u := H(·, y1 )−H(·, y2 ) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) die Gleichung (−Δ + 1)u = 0 in Ω, so daß nach Aufgabe 2.9 a) − ≤ H(x, y1 ) − H(x, y2 ) ≤ ur alle y1 , y2 ∈ Ω0 mit |y1 − y2 | < δ gilt. f¨ ur alle x ∈ Ω und f¨

Bemerkung 4.9.11. Ist Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1, so ist G(x, ·) f¨ ur x ∈ Ω stetig auf Ω \ {x} (nach Lemma 4.9.10) und besitzt eine u ¨ber Ω integrierbare Majorante (nach Lemma 4.9.9 in Verbindung mit Absch¨ atzung (i) aus Bemerkung 4.9.2 a)), so daß f¨ ur meßbares und beschr¨ anktes f : Ω → R (4.81) w(x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

existiert. Satz 4.9.12. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. a) Ist f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, so definiert (4.81) eine Funktion urlich ist w(x) = 0 f¨ ur x ∈ ∂Ω.) w ∈ C 0 (Ω). (Nat¨ b) Ist f ∈ CbH (Ω), so gilt u ¨berdies w ∈ C 2 (Ω) und (−Δ + 1)w = f

in Ω .

Beweis. a) wird wie in Satz 4.4.7 a) bewiesen, wobei nunmehr lediglich Lemma 4.9.9 in Kombination mit der Ungleichung (i) in Bemerkung 4.9.2 a) heranzuziehen ist. b) Wir setzen H := G − S und schreiben w(x) = v(x) + h(x) f¨ ur x ∈ Ω mit


v(x) :=

157

S(x, y)f (y) dy, Ω

h(x) :=

H(x, y)f (y) dy . Ω

Da nach Korollar 4.9.6 (−Δ + 1)v = f ist, bleibt also nur (−Δ + 1)h = 0 auf Ω

(4.82)

zu zeigen. F¨ ur jedes y ∈ Ω hat H(·, y) auf Ω definitionsgemäß die Eigenschaft ur (−Δx + 1)H(·, y) = 0, so daß nach Bemerkung 2.5.1 und Aufgabe 2.13 a) f¨ alle Br (x0 ) ⊂⊂ Ω die zweite Mittelwertrelation [RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)] dx = 0 (4.83) Br (x0 )

besteht. Dabei ist RN (r) :=

N rN

r

φ(N, 1; )N −1 d

(4.84)

0

und φ(N, 1; ·) die stetige und positive Funktion aus (2.17).5 Auf Br (x0 ) × Ω ist die Funktion (x, y) → [RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)]f (y) nach Lemma 4.9.10 stetig, insbesondere also meßbar. Ferner existiert das Integral (|RN (r)H(x0 , y)| + |H(x, y)|) |f (y)| dy dx , (4.85) Br (x0 )

Ω

da f beschr¨ ankt ist und |H| nach Lemma 4.9.9 durch S majorisiert werden kann. Nach Fubini-Tonelli ist daher [RN (r)h(x0 ) − h(x)] dx Br (x0 )

[RN (r)H(x0 , y) − H(x, y)] dx f (y) dy = 0 ,

= Ω

Br (x0 )

so daß nach Aufgabe 2.14 b) die Gleichung (4.82) besteht. Die hierf¨ ur benötigte Stetigkeit von h in jedem Punkte x0 ∈ Ω ergibt sich aus dem Standardsatz A.5 u ¨ber Parameterintegrale, wobei die Majorante in der Nähe von x0 gemäß Lemma 4.9.10 konstant gew¨ ahlt werden kann und f¨ ur den verbleibenden Integrationsbereich |H| ≤ S genutzt werden kann. 5

Mit ν := (N − 2)/2 hat man φ(N, λ; ) = Γ N2 (2/)ν Iν (), wobei Iν die modifizierte Besselfunktion 1. Art der Ordnung ν ist [331, p. 77]. Speziell ist φ(3, 1; ) = (sinh )/ [331, p. 80]. Vgl. Aufgabe 2.13 b).

158


Die Symmetrie der Greenschen Funktion beweisen wir ähnlich wie fr¨ uher (Lemma 4.5.1 und Satz 4.5.2). Einen anderen Beweis werden wir in Aufgabe 10.10 kennenlernen. Lemma 4.9.13. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ+ osung von 1. F¨ ur x ∈ Ω ist H(x, ·) := G(x, ·) − S(x, ·) L¨ (−Δ + 1)u = 0

in Ω .

(4.86)

Beweis. Es sei Br (y0 ) ⊂⊂ Ω und RN (r) wie in (4.84). Die Funktion h(x) := [RN (r)H(x, y0 ) − H(x, y)] dy, x ∈ Ω , Br (y0 )

ist stetig, da der Integrand nach Lemma 4.9.10 auf Ω×Ω stetig ist. Wir zeigen, daß h der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt und auf ∂Ω Null ist. Aus den Aufgaben 2.14 b) und 2.18 folgt dann, daß h in Ω weder ein positives Maximum noch ein negatives Minimum annehmen kann, also identisch Null ist. Mithin gen¨ ugt H(x, ·) f¨ ur x ∈ Ω auf Ω der 2. Mittelwertrelation, was nach Aufgabe 2.14 b) das Bestehen von (4.86) impliziert. F¨ ur B (x0 ) ⊂⊂ Ω gilt (Vertauschung der Integrationsreihenfolge ist unproblematisch) [RN ()h(x0 ) − h(x)] dx B (x0 )

[RN ()H(x0 , y0 ) − H(x, y0 )] dx

RN (r)

= Br (y0 )

B (x0 )

−

[RN ()H(x0 , y) − H(x, y)] dx Br (y0 )

dy

dy .

B (x0 )

Die beiden inneren Integrale sind aber nach (4.83) Null, so daß h in der Tat der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt. F¨ ur x ∈ ∂Ω ist G(x, y) = 0, mithin [−RN (r)S(x, y0 ) + S(x, y)] dy . h(x) = Br (y0 )

Dies ist aber Null, denn aus (4.75) und der Symmetrie von S folgt ja (−Δy + 1)S(x, ·) = 0 , so daß S(x, ·) nach Bemerkung 2.5.1 und Aufgabe 2.13 a) der 2. Mittelwertrelation gen¨ ugt. Satz 4.9.14. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. Dann ist H := G − S auf Ω × Ω symmetrisch, insbesondere also G(x, y) = G(y, x)

f¨ ur (x, y) ∈ Ω × Ω .


159

Beweis. Es sei x ∈ Ω und y ∈ Ω \ {x}. Die Funktion u(y) := H(x, y) − H(y, x),

y∈Ω,

ist nach 4.9.7 (i) und Lemma 4.9.13 L¨ osung von (4.86). Wegen G(x, y) ≥ 0 (nach Lemma 4.9.9) und der Symmetrie von S ist u(y) ≥ −[S(x, y) + H(y, x)] = −[S(y, x) + H(y, x)] = −G(y, x)

f¨ ur x = y .

F¨ ur jede Folge (yi ) aus Ω, die gegen einen Punkt z ∈ ∂Ω konvergiert, gilt daher wegen 4.9.7 (i) und (ii) lim inf u(yi ) ≥ 0 . i→∞

Da u nach Aufgabe 2.18 in Ω kein negatives Minimum annehmen kann, ist also u(y) ≥ 0. Vertauscht man die Rollen von x und y, so ergibt sich die Behauptung. Wir zeigen nun noch, wie man sich unter zusätzlichen Voraussetzungen an die Qualit¨ at des Randes von Ω Absch¨ atzungen f¨ ur die Ableitung der Greenschen Funktion verschaffen kann. Lemma 4.6.1, das im Fall des Laplaceoperators hilfreich war, wird ersetzt durch Lemma 4.9.15. Es seien Br und B2r konzentrische Kugeln in RN mit Radien r bzw. 2r und Mittelpunkt a, ferner U die Funktion aus (4.65). Dann wird durch U (r) − U (|x − a|) , r ≤ |x − a| ≤ 2r , ur (x) := U (r) − U (2r) eine nichtnegative, stetige, in der Kugelschale B2r \ B r beliebig oft differenzierbare Funktion mit ur |∂B2r = 1, ur |∂Br = 0 und (−Δ + 1)ur = 0

in B2r \ B r

erkl¨ art, die der Absch¨ atzung |∇ur (x)| ≤ 2N −1

er r

f¨ ur r < |x − a| < 2r

(4.87)

gen¨ ugt. Beweis. Wir k¨ onnen uns auf den Beweis der Abschätzung beschränken. F¨ ur geeignetes ∈ (r, 2r) ist nach (4.67) re− U (r) − U (2r) = −rU () = (N − 1)N −1

≥

−2r

re (N − 1)(2r)N −1 −r

=

re |U (r)| . 2N −1

∞ 0

∞

e−s (2s + s2 )(N −1)/2 ds

0

e−s (2sr + s2 )(N −1)/2 ds

160


Aus (4.68) folgt, daß U streng monoton w¨ achst. Aus r < |x − a| < 2r folgt daher |∇U (|x − a|)| = |U (|x − a|)| = −U (|x − a|) < −U (r) = |U (r)| ,

was (4.87) beweist.

Den beim Beweis von Satz 4.6.2 verwendeten Mechanismus stellen wir nun in folgendem Hilfssatz heraus. Lemma 4.9.16. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige äußere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2); es seien D := diam Ω und R < D ein entsprechender Kugelradius. F¨ ur x ∈ Ω sei P (x, ·) ∈ C 2 (Ω \ {x}) ∩ C 0 (Ω \ {x}) eine Funktion mit (−Δy + 1)P (x, ·) = 0 in Ω \ {x},

P (x, ·) = 0 auf ∂Ω ,

die f¨ ur y ∈ Ω \ {x} der Ungleichung |P (x, y)| ≤ f (x)Q(|x − y|)

(4.88)

mit f ≥ 0 und monoton fallendem Q : (0, ∞) → (0, ∞) gen¨ ugt. Dann gibt es ur 0 < α ≤ 1 und allein von N abh¨ angende Zahlen c0 (N ) und c1 (N ), so daß f¨ f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y, mit δ(y) := dist(y, ∂Ω) α δ(y) |x − y| D , (4.89) |P (x, y)| ≤ c0 (N ) 1 + eR f (x)Q R 3 |x − y| 1 |x − y| D (4.90) |∇y P (x, y)| ≤ c1 (N ) 1 + eR f (x)Q R 6 |x − y| gilt. Beweis. Die Argumentation im Beweis von Satz 4.6.2 ist nur an den beiden Stellen zu ver¨ andern, an denen von der Harmonizität der fr¨ uheren Funktion P Gebrauch gemacht wurde. Beim Beweis von (4.89) kommt es allein auf den Fall an, daß δ(y) < r := min(|x−y|/6, R) gilt. Wie fr¨ uher sei y0 ∈ ∂Ω so, daß |y−y0 | = δ(y). Weiter sei Br eine Kugel mit Radius r mit B r ∩ Ω = {y0 }, die wegen r ≤ R ja existieren muß. Die Kugel B2r mit Radius 2r sei konzentrisch zu Br , und ur bezeichne die gem¨ aß Lemma 4.9.15 auf B 2r \ Br definierte zugehörige Funktion. Wir setzen Ωr := Ω ∩ (B2r \ B r ). Die alte Argumentation zeigt, daß die Funktionen |x − y| ur (z) ∓ P (x, z), z ∈ Ω r , f (x)Q 3 auf ∂Ωr nichtnegativ sind. Aus Aufgabe 2.9 a) folgt, daß sie dann auch auf onnen wir mit (4.87) Ωr nichtnegativ sind. Wegen ur (y0 ) = 0 k¨

4 Aufgaben

161

|x − y| (ur (y) − ur (y0 )) 3 er |x − y| δ(y)2N −1 ≤ f (x)Q 3 r

|P (x, y)| ≤ f (x)Q

uher. folgern. Wir sch¨ atzen nun er durch eR ab und schließen im u ¨brigen wie fr¨ Zum Beweis von (4.90) sei r := min(|x − y|, δ(y)). Wir können Bemerkung 2.5.3 auf die Funktion P (x, ·) anwenden und erhalten |Pyi (x, y)| ≤

4N r

sup

|P (x, z)| .

z∈Br/2 (y)

F¨ ur r = |x − y| k¨ onnen wir nun das alte Argument verwenden. Im Falle r = δ(y) ben¨ utzen wir, daß nach (4.89) f¨ ur alle z ∈ Br/2 (y) δ(z) |x − z| D R f (x)Q |P (x, z)| ≤ c0 (N ) 1 + e R 3 |x − z| ist, und nun verl¨ auft wieder alles wie fr¨ uher.

Satz 4.9.17. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, und es sei G die Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1.6 Dann gibt es eine allein durch Ω bestimmte Zahl c(Ω), so daß |∇x G(x, y)| ≤ c(Ω)S

x y 1 , 6 6 |x − y|

f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y. Beweis. G gen¨ ugt nach Lemma 4.9.9 der Ungleichung (4.88) mit f = 1 und Q(|x − y|) = S(x, y) und hat nach Aufgabe 4.13 die u ¨brigen in Lemma 4.9.16 verlangten Eigenschaften. Aufgrund der Symmetrie von G (Satz 4.9.14) ist ∇x G(a, b) = ∇y G(b, a) f¨ ur alle a, b ∈ Ω mit a = b, so daß die Behauptung aus (4.90) folgt.

Aufgaben 4.1. Man beweise die Behauptungen in Bemerkung 4.1.3. 4.2. Sei Ω ⊆ RN offen. Man zeige folgende Aussagen u ¨ber den Raum C H (Ω) der lokal h¨ olderstetigen Funktionen. a) Sind f, g ∈ C H (Ω), so gilt auch f · g ∈ C H (Ω). 6

Sie existiert nach den S¨ atzen 3.4.2 und 6.2.7.

162


b) Eine Funktion f : Ω → R liegt genau dann in C H (Ω), wenn es zu jedem x0 ∈ Ω positive Zahlen C, r und ein α ∈ (0, 1] gibt mit |f (x) − f (y)| ≤ ur alle x, y ∈ Br (x0 ). C|x − y|α f¨ c) Jede auf Ω stetig differenzierbare Funktion liegt in C H (Ω). 4.3. Es sei N ≥ 3, und B ⊂⊂ RN sei eine Kugel und ν(y) die äußere Einheitsnormale an B im Punkte y ∈ ∂B. Man zeige, daß die Singularitätenfunktion S zum Laplaceoperator f¨ ur x ∈ B B

1

2 i=1 N

S(x, y) dy =

νi (y)(yi − xi )S(x, y) dS(y)

∂B

erf¨ ullt. 4.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN , f : Ω → R stetig und (un ) sei eine Folge von Lösungen der Poissongleichung − Δu = f in Ω .

(4.91)

Man zeige aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω, so ist u ebenfalls a) Konvergiert un → u gleichm¨ L¨ osung von (4.91) (vgl. Satz 2.1.6). ankte Folge, so besitzt sie eine Teilfolge, die gegen eine b) Ist (un ) beschr¨ L¨ osung von (4.91) konvergiert und zwar gleichmäßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω (vgl. Satz 2.1.10). c) Ist Ω zusammenh¨ angend und f¨ allt (un ) monoton, so ist entweder limn→∞ un (x) = −∞ f¨ ur alle x ∈ Ω, oder es konvergiert (un ) gegen eine Lösung von (4.91), und zwar gleichm¨ aßig auf jedem Ω ⊂⊂ Ω (vgl. Satz 2.2.4). 4.5. Man u ¨bertrage den ersten Harnackschen Satz, Korollar 3.1.3, auf Lösungen von (4.91) mit stetigem f : Ω → R. 4.6. Man beweise Teil a) des Lemmas 4.7.4 von Hopf. aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2), 4.7. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ und es bezeichne G die Greensche Funktion zu Ω und −Δ. Weiter sei die Funktion f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt, und w bezeichne das zugehörige Greenpotential w(x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω . Ω

Man zeige mit Hilfe von Satz 4.7.1, daß w auf Ω stetig differenzierbar ist mit ur x ∈ Ω und i = 1, . . . , N . wxi (x) = Ω Gxi (x, y)f (y) dy f¨ Zudem weise man nach, daß es eine allein durch Ω bestimmte Zahl c(Ω) gibt mit |∇w(x)| ≤ c(Ω) sup |f | f¨ ur alle x ∈ Ω .

4 Aufgaben

163

4.8. Sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ. Man zeige mit Hilfe der in Abschnitt 4.5 gewonnenen Ergebnisse f¨ ur beliebige U ⊂⊂ Ω: a) Die Funktion P : U ×Ω → R, P (x, y) = G(x, y) erf¨ ullt die Voraussetzungen des Satzes 4.7.1. ullen die Vorausb) Die Funktionen Pk : U × Ω → R, Pk (x, y) = Gxk (x, y) erf¨ setzungen des Satzes 4.7.2 f¨ ur k = 1, . . . , N . 4.9. Sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ, Ω ⊆ Ω offen ankt. Es sei v(x) := Ω G(x, y)f (y) dy f¨ ur und f : Ω → R meßbar und beschr¨ x ∈ Ω . Man zeige:

a) v ∈ C 1 (Ω ) mit vxi (x) = Ω Gxi (x, y)f (y) dy f¨ ur x ∈ Ω . Hinweis: Man verwende Satz 4.7.1 und Aufgabe 4.8 a).

b) Ω G(·, y) dy ist auf Ω beliebig oft differenzierbar. Hinweis: Man zerlege G = S + H und verwende Korollar 4.2.2 bzw. die Beweisidee von Satz 4.4.7 b). c) Gilt zus¨ atzlich f ∈ CbH (Ω ), so ist v ∈ C 2 (Ω ) mit Gxi xk (x, y)(f (y) − f (x)) dy + f (x)

vxi xk (x) = Ω

∂2 ∂xi ∂xk

G(x, y) dy Ω

Hinweis: Satz 4.7.2 und Aufgabe 4.8 b). 4.10. a) Es sei Ω ⊂⊂ RN , und die Funktion K : Ω × RN → R gen¨ uge den Voraussetzungen (i) und (ii) von Lemma 4.7.4. Ferner existiere ein α ∈ ur alle x, y ∈ Ω. Man (0, 1] und ein C > 0 mit |g(x) − g(y)| ≤ C|x − y|α f¨ zeige, daß P (x, y) := [g(x) − g(y)]K(x, x − y) die Voraussetzungen von Lemma 4.7.3 erf¨ ullt, indem man die Identität (4.47) mit f = 1 verwende. b) Man zeige, daß unter den Voraussetzungen des Hölderschen Satzes 4.2.6 die 2. Ableitungen des Newtonpotentials v zu Ω und f in C H (Ω) liegen, ur B ⊂⊂ Ω das indem man in der Darstellungsformel (4.12) f¨ ur vxi xk f¨ erste Integral rechts in die Anteile Sxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] dy, x ∈ Ω , ϕ(x) := Ω\B

und

Sxi xk (x, y)[f (y) − f (x)] dy,

ψ(x) :=

x∈Ω,

B

zerlege und auf ψ|B Teil a) und Lemma 4.7.3 anwende.


164

4.11. Es sei G die Greensche Funktion zu Ω ⊂⊂ RN und −Δ. Man zeige f¨ ur jedes U ⊂⊂ Ω und i = 1, . . . , N , daß P : U × Ω → R, P (x, y) = Gxi (x, y) die Voraussetzungen von Lemma 4.7.3 f¨ ur α = 1 erf¨ ullt mit einer Konstanten b, die nur von Ω und U abh¨ angt. ur Sxi sind die Abschätzungen Hinweis: Man zerlege Gxi = Sxi + Hxi . F¨ elementar. F¨ ur Hxi verwende man Lemma 4.5.4, wobei die Hölderabschätzung u ¨ber Schranken an die zweiten Ableitungen von H hergeleitet werden kann (vgl. die Begr¨ undung der H¨ olderabsch¨ atzung f¨ ur hxi im Teil a) des Beweises von Lemma 4.8.3). 4.12. Es seien S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ+1, Ω ⊆ RN offen, f : Ω → R meßbar und beschr¨ ankt und (4.92) v(x) := S(x, y)f (y) dy, x ∈ RN . Man zeige:

Ω

a) Es gibt eine Zahl cN mit |v(x)| + |vxi (x)| ≤ cN sup |f |,

x ∈ RN .

b) Zu Ω ⊂⊂ RN gibt es ein c(Ω) mit |v(x)| + |vxi (x)| ≤ c(Ω)(sup |f |) e− 2 |x| , 1

x ∈ RN .

c) Es sei Ω = RN in (4.92) und k ∈ N0 . Klingt f ∈ C k (RN ) mit allen Ableitungen der Ordnung ≤ k im Unendlichen exponentiell ab, so gilt S(x, y)Dα f (y) dy, x ∈ RN , Dα v(x) = RN

f¨ ur alle Multiindizes α mit |α| ≤ k. Gilt mit geeigneten M, λ > 0 |Dα f (x)| ≤ M e−λ|x| ,

x ∈ RN , f¨ ur alle diese α, so gibt es zu N und 0 < β < min 12 , λ ein cN (β) mit ∂ α D v(x) ≤ cN (β)M e−β|x| f¨ ur alle x ∈ RN . |Dα v(x)| + ∂xi 4.13. Es sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1. Es sei x ∈ Ω. Man zeige, daß G(x, ·) ∈ C 2 (Ω \ {x}) ∩ C 0 (Ω \ {x}) ist und (−Δy + 1)G(x, ·) = 0 in Ω \ {x}, gilt.

G(x, ·) = 0 auf ∂Ω

5 Die Greensche Funktion fu ¨ r die Kugel mit Anwendungen

Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel wird ben¨ utzt, um zu zeigen, daß bei der Kugel die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung bei gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetiger rechter Seite gleichmäßig α-hölderstetige zweite Ableitungen besitzt (Satz 5.3.4). Mit Hilfe der Kontinuitätsmethode von Bernstein wird dieses Resultat in den S¨ atzen 5.5.5 und 5.5.6 auf Gleichungen ausgedehnt, deren Hauptteil wenig vom Laplaceoperator abweicht. Diese Sätze bilden die Basis f¨ ur den in Kapitel 7 gegebenen Beweis des Satzes von Kellogg und damit f¨ ur die Herleitung der Schauderschen Abschätzungen in Kapitel 8. Unter Heranziehung des Fixpunktsatzes von Leray-Schauder wird in Satz 5.6.6 das Dirichletproblem in der Kugel f¨ ur eine semilineare Gleichung behandelt.

5.1 Die Greensche Funktion fu ¨r den Halbraum, die ¨ Kugel und ihr Außeres ¨ Aufgrund der in Satz 4.4.9 genannten Aquivalenzen u ¨berrascht es nicht, daß es nur bei sehr spezieller Geometrie von Ω m¨ oglich ist, die Greensche Funktion f¨ ur Ω explizit anzugeben. Besonders einfach ist dies f¨ ur den oberen Halbraum N N := {x ∈ R : x > 0}. Wir spiegeln x ∈ R an der Hyperebene xN = 0 RN N + + x − y| > 0 f¨ ur und erhalten x ˜ := (x1 , . . . , xN −1 , −xN ). Bei festem y ∈ RN + ist |˜ N N N x ∈ R+ , also x → S(˜ x, y) stetig auf R+ und harmonisch in R+ . Es erf¨ ullt also G(x, y) := S(x, y) − S(˜ x, y) ,

N x ∈ RN + , y ∈ R+ ,

alle in Definition 4.4.1 gestellten Bedingungen. Im Falle der Kugel BR (0) ⊆ RN spiegeln wir wie in Abschnitt 3.6 die are ∂BR (0) – hierzu m¨ ussen wir zwischenzeitlich Punkte x ∈ BR (0) an der Sph¨ 2 x = 0 voraussetzen– und erhalten x ˜ := (R/|x|) x. Wir wissen aus Korollar x, y) f¨ ur 3.6.10, daß bei festem y ∈ RN die Kelvintransformierte (|x|/R)2−N S(˜ x ˜ = y harmonisch in x ist. Es liegt nun nahe, die Greensche Funktion gleich E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 5,

166

5 Die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel mit Anwendungen

S(x, y) − (|x|/R)2−N S(˜ x, y)

(5.1)

zu w¨ ahlen, da man sich leicht u ¨berlegt, daß x, y) = S(x, y) f¨ ur alle x ∈ ∂BR (0) (|x|/R)2−N S(˜ und somit die Bedingung (ii) aus Definition 4.4.1 erf¨ ullt ist. Es bleibt dann x, y) f¨ ur y = 0 eine harnur noch zu zeigen, daß die Funktion (|x|/R)2−N S(˜ monische Fortsetzung in x = 0 besitzt, bzw. daß im Fall des Außenraumes ullt der Kugel Ω = RN \ BR (0) die Bedingung (iii) aus Definition 4.4.1 erf¨ ist. F¨ ur N ≥ 3 ist dies der Fall. F¨ ur N = 2 hingegen sind beide Bedingungen verletzt. Dieser Mangel kann jedoch sowohl im Fall der Kugel als auch im Fall des Außenraumes dadurch behoben werden, daß man zu (5.1) noch 1 ln(|x|/R) hinzuaddiert. Um die letztgenannten die harmonische Funktion 2π Behauptungen nachzuweisen, verwende man, daß 2−N 2−N R |x| |x| 1 S(˜ x, y) = (N −2)ω − y im Falle N ≥ 3 , x R |x| R N 2−N R |x| |x| 1 1 im Falle N = 2 , S(˜ x, y) − 2π ln |x| R R = − 2π ln x |x| − y R zusammen mit der Tatsache, daß 1/2 ϕ(x, y) := R2 − 2x · y + R−2 |x|2 |y|2

(5.2)

die Funktion |x(R/|x|) − y(|x|/R)| in x = 0 stetig fortsetzt. Mit dem Hebbarkeitssatz (Korollar 3.5.3) ergibt sich unmittelbar die Harmonizität in x = 0. Im Fall des Außenraums verifiziere man ϕ(x, y) → ∞ und

|y| ϕ(x, y) → >1 |x − y| R

f¨ ur |x| → ∞ ,

woraus Eigenschaft 4.4.1 (iii) folgt. Zusammenfassend erhält man die folgende ¨ Darstellung der Greenschen Funktion f¨ ur die Kugel und ihr Außeres. Bemerkung 5.1.1. a) Es sei ϕ(x, y) wie in (5.2) definiert. Dann ist die f¨ ur x ∈ BR (0), y ∈ BR (0) bzw. x ∈ RN \ BR (0), y ∈ RN \ BR (0) durch G(x, y) := S(x, y) +

1 − (N −2)ω [ϕ(x, y)]2−N f¨ ur N ≥ 3 N 1 2π

ln ϕ(x, y)

f¨ ur N = 2

definierte Funktion die Greensche Funktion f¨ ur BR (0) bzw. RN \ BR (0). b) Eine Besonderheit bei der Kugel bzw. bei deren Außenraum ist, daß der in der Zerlegung G = S + H auftretende Anteil H durch eine Funktion dargestellt wird, die f¨ ur 0 < < R auf BR− (0) × BR2 /(R− ) (0) und auf N (R \ BR2 /(R− ) (0)) × (RN \ BR− (0)) beliebig oft differenzierbar ist; denn f¨ ur |x||y| = R2 ist ϕ(x, y) > 0, also ϕ > 0, wenn (x, y) einem dieser Gebiete

¨ 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr Außeres

167

angeh¨ ort. F¨ ur x ∈ BR− (0) besitzt somit H(x, ·) eine glatte Fortsetzung u ¨ber BR (0) hinaus. Speziell k¨ onnen wir daher aufgrund der Symmetrie von H bei ur x ∈ BR (0) in stetigem und beschr¨ anktem f : BR (0) → R f¨ h(x) := H(x, y)f (y) dy = H(y, x)f (y) dy BR (0)

BR (0)

Ableitungen und Integration vertauschen. Wir hatten beim Beweis von Lemma 4.2.1 die Greensche Darstellungsformel (4.7) hergeleitet. F¨ uhrt man den Beweis anstelle von S mit der Greenschen Funktion G = S + H f¨ ur B := BR (0) durch, so ergibt sich aufgrund des in Bemerkung 5.1.1 b) u ur alle x ∈ B ¨ber H Gesagten f¨ [G(x, y)∇σ(y) − σ(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y) σ(x) = ∂B

f¨ ur jede Funktion σ ∈ C 0 (B), die auf B harmonisch ist und deren erste Ableitungen eine stetige Fortsetzung auf ∂B besitzen (ν(y) = y/|y| die aüßere Einheitsnormale im Punkt y ∈ ∂B). Aufgrund der Symmetrie von G ist nun aber G(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ B, y ∈ ∂B, mithin σ(x) = − [ν(y) · ∇y G(x, y)] σ(y) dS(y) ∂B

f¨ ur jedes derartige σ. Andererseits haben wir aufgrund der Poissonschen Integralformel (Satz 3.2.1) in Verbindung mit dem Eindeutigkeitssatz 3.1.1 f¨ ur alle x ∈ B R2 − |x|2 1 σ(y) dS(y) . σ(x) = RωN |y − x|N ∂B

Ein Vergleich der letzten beiden Formeln legt den Schluß nahe, daß f¨ ur x ∈ B und y ∈ ∂B die Relation − ν(y) · ∇y G(x, y) = −

y 1 R2 − |x|2 · ∇y G(x, y) = |y| RωN |y − x|N

(5.3)

gilt. In der Tat kann man (5.3) f¨ ur alle y ∈ ∂BR (0) und x ∈ RN \ {y} durch einfaches Ausrechnen verifizieren (s. Aufgabe 5.1). Ber¨ ucksichtigen wir zudem Satz 4.4.7 und Satz 3.2.1, so erhalten wir Bemerkung 5.1.2. Es seien B := BR (0) ⊂⊂ RN , f ∈ CbH (B) und g ∈ ur B ist dann die Lösung des DiC 0 (∂B). Mit der Greenschen Funktion G f¨ richletproblems

168


−Δu = f in B , durch

u(x) =

⎧ ⎪ ⎪ G(x, y)f (y) dy − ⎨ B ⎪ ⎪ ⎩ g(x)

∂B

u = g auf ∂B

y · ∇y G(x, y)g(y) dS(y) |y|

f¨ ur x ∈ B , f¨ ur x ∈ ∂B

gegeben. Satz 5.1.3. Es seien B := BR (0) ⊂⊂ RN und f ∈ CbH (B). Dann ist das Greenpotential (5.4) w(x) := G(x, y)f (y) dy , x ∈ B , B

ur x ∈ B gilt zu B und f aus C 2 (B), und f¨ 1 wxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy − f (x)δik . N B

Beweis. Die erste Behauptung folgt aus Satz 4.4.7 oder alternativ aus dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 zusammen mit Bemerkung 5.1.1 b). Des weiteren haben wir mit den dortigen Funktionen h und H hxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Hxi xk (x, y) dy + f (x) Hxi xk (x, y) dy , B

B

was zusammen mit der Relation (4.12) f¨ ur das Newtonpotential ∂2 wxi xk (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy + f (x) G(x, y) dy ∂xi ∂xk B

B

liefert, so daß die Behauptung aus Korollar 4.4.8 folgt.

Bemerkung 5.1.4. Aus der expliziten Kenntnis und dem u ¨bersichtlichen Aufbau der Greenschen Funktion G f¨ ur die Kugel B werden wir unmittelbar mit Definition (5.4) Informationen u ¨ber das Verhalten der 1. und 2. Ableitungen von w(x) bei Ann¨ aherung von x an den Rand ∂B gewinnen. Das geschieht im Abschnitt 5.3, zu dem man im Anschluß an den nachfolgenden Satz 5.1.5 direkt u ¨bergehen kann. Dieser Satz wird vorbereitet durch die Abschätzung ϕ(x, y) ≥ |x − y| , die sich sofort aus der Identit¨ at

f¨ ur alle |x| ≤ R , |y| ≤ R ,

(5.5)

¨ 5.1 Die Greensche Funktion f¨ ur den Halbraum, die Kugel und ihr Außeres 2

[ϕ(x, y)] = |x − y|2 +

169

1 2 R − |x|2 R2 − |y|2 R2

ergibt. F¨ ur x = 0 k¨ onnen wir ϕ(x, y) =

R2 |x| |˜ x − y| mit x ˜ := x R |x|2

schreiben. Da ϕ symmetrisch in x und y ist, haben wir f¨ ur y = 0 dann auch ϕ(x, y) =

R2 |y| |x − y˜| mit y˜ := 2 y . R |y|

(5.6)

Satz 5.1.5. In der Notation von Bemerkung 5.1.1 f¨ ur die Greensche Funktion G = S +H f¨ ur die Kugel BR (0) bestehen auf BR (0)×BR (0) die Ungleichungen |Hxi | ≤ const ϕ1−N , |Hxi xk | ≤ const ϕ−N , Hxi xk xj ≤ const ϕ−(N +1) . Insbesondere gilt f¨ ur alle x, y ∈ BR (0) mit x = y |Gxi (x, y)| ≤ const |x − y|1−N , |Gxi xk (x, y)| ≤ const |x − y|−N , Gx x x (x, y) ≤ const |x − y|−(N +1) . i k j Die Konstanten h¨ angen nur von N ab. Beweis. Es ist Hxi = wegen (5.6)

1 ωN

ϕ1−N ϕxi . Wir nehmen zunächst y = 0 an. Dann gilt 2 |y| (x − y˜)i , also R ϕ(x, y) 2 |y| 1 = (x − y˜)i ϕ−N ; ωN R

ϕxi (x, y) = Hxi mithin Hxi xk

1 = ωN

|y| R

1

2 ϕ

−N

δik − N

|y| R

2

(x − y˜)i (x − y˜)k ϕ2

2 ,

und schließlich, wieder ohne Beteiligung h¨ oherer Ableitungen von ϕ, Hxi xk xj =

1 ωN

|y| R

2

|y| R

4

(x − y˜)i (x − y˜)k (x − y˜)j ϕ3 ' 2 |y| δik (x − y˜)j + δkj (x − y˜)i + δji (x − y˜)k . −N R ϕ ϕ−(N +1)

Wegen (5.6) haben wir daher

N (N + 2)

170


|Hxi | ≤

N (N + 5) −(N +1) ϕ1−N N + 1 −N , |Hxi xk | ≤ ϕ , Hxi xk xj ≤ ϕ . ωN ωN ωN

Diese Absch¨ atzungen gelten aus Stetigkeitsgr¨ unden auch f¨ ur y = 0. Wegen (5.5) und der entsprechenden Absch¨ atzungen der Singularitätenfunktion in Bemerkung 4.1.3 ergibt das die behaupteten Abschätzungen der Greenschen Funktion. Man k¨ onnte an dieser Stelle unter Verwendung von Aufgabe 5.4 b) mit der Methode der sukzessiven Approximation (s. Bemerkung 5.4.4 a)) das semilineare Dirichletproblem f¨ ur eine gen¨ ugend kleine Kugel lösen. Wir verzichten darauf, da die Methode, die wir in Abschnitt 5.6 vorstellen, ohne eine solche Kleinheitsvoraussetzung auskommt. Erw¨ ahnt sei abschließend noch, daß das Ellipsoid ein Gebiet ist, f¨ ur das die Greensche Funktion zwar nicht durch elementare Funktionen darstellbar, aber dennoch besonders gut untersucht ist. Seit Newtons Zeiten bis zu Ende des 19. Jahrhunderts diente speziell das Rotationsellipsoid als ein bevorzugtes Modell f¨ ur die Gestalt der Erde. Ausgedehnte historische Hinweise findet der Leser bei [325]; f¨ unf klassische Arbeiten sind in [330] abgedruckt und kommentiert. F¨ ur eine neuere Darstellung verweisen wir auf [305].

5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at Der nachfolgende Satz, der von dem amerikanischen Mathematiker Maxime ˆ cher [19] stammt, enth¨ Bo alt als Spezialfall den Hebbarkeitssatz, Korollar 3.5.3. Er geriet erst 20 Jahre sp¨ ater durch eine Publikation von Picard [257], die offenbar ohne Kenntnis dieses Satzes erfolgte, wieder in das Blickfeld der Mathematiker. Der hier gegebene Beweis, der die Greensche Funktion f¨ ur ¨ das Außere einer Kugel ben¨ otigt, dann aber sehr elementar verläuft, stammt ahnlichen Beweis gab Raynor [273], der auf eine von Stoz˙ ek [317]1 . Einen ¨ L¨ ucke in Bôchers urspr¨ unglichem Argument hinwies, worauf wir bereits in Abschnitt 4.5 eingegangen sind. Ein Beweis von Kellogg [135] verwendet eine Reihenentwicklung nach Kugelfunktionen. Das Buch [9] enthält auf den Seiten 50–54 einen eigenen Beweis der Autoren und gibt auf den Seiten 197– ¨ 200 eine Aquivalenz mit der Liouville-Eigenschaft harmonischer Funktionen. Satz 5.2.1 (Bˆ ocher). Es sei S die Singularitätenfunktion zum Laplaceoperator. Jede in der punktierten Kugel B˙ 1 (0) := {x ∈ RN : 0 < |x| < 1} atzung nach unharmonische Funktion u, die f¨ ur alle x ∈ B1 (0) einer Absch¨ ten 1

Stoz˙ ek geh¨ orte zu dem Kreis von Mathematikern um Banach, der sich regelm¨ aßig im Schottischen Café in Lemberg (Lw´ ow) traf. Er wurde 1941 von Deutschen erschossen.

5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten Singularit¨ at

171

u(x) > −[c1 + c2 S(x, 0)] ugt, ist von der Form mit von x unabh¨ angigen positiven Zahlen c1 , c2 gen¨ u(x) = aS(x, 0) + h(x) mit einer eindeutig bestimmten Zahl a und einer eindeutig bestimmten auf ganz B1 (0) harmonischen Funktion h. Beweis. Bei zwei derartigen Darstellungen ist (a1 − a2 )S(·, 0) = h2 − h1 . Die linke Seite ist aber dann und nur dann auf ganz B1 (0) harmonisch, wenn a1 = a2 gilt. Wenn sich von der positiven Funktion v := u+c1 +c2 S(·, 0) die behauptete Darstellung beweisen l¨ aßt, hat auch u eine solche. Daher darf man u > 0 ahlen 0 < R < r < 1 so, daß B (x) ⊂⊂ annehmen. Sei B (x) ⊂⊂ B˙ r (0). Wir w¨ achst und dann R gegen Null schicken. Br (0) \ BR (0) gilt. Wir werden zun¨ urlich Es sei G = S + H die Greensche Funktion f¨ ur RN \ BR (0); sie hängt nat¨ von R ab. Da u und G(x, ·) in W := Br (0) \ (BR (0) ∪ B (x)) harmonisch sind, liefert der Gaußsche Satz B.6 0 = [G(x, y)Δu(y) − u(y)Δy G(x, y)] dy W

[G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y) ,

= ∂W

¨ wobei ν die in das Außere von W (also in das Innere von B (x) und BR (0) weisende) Einheitsnormale bezeichnet. Da die Funktionen u, H(x, ·), uyi und Hyi (x, ·) in einer Umgebung von x stetig sind, gilt lim [G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y)

→0 ∂B (x)

= lim

→0 ∂B (x)

[S(x, y)∇u(y) − u(y)∇y S(x, y)] · ν(y) dS(y)

= −u(x) , letzteres aufgrund von Bemerkung 4.1.3. Gemäß Aufgabe 5.1 gilt f¨ ur y ∈ ∂BR (0) G(x, y) = 0 ,

−

y 1 R2 − |x|2 · ∇y G(x, y) = |y| RωN |y − x|N

(anders als in (5.3) ist dies nunmehr gleich ν(y) · ∇y G(x, y)), so daß

172


[G(x, y)∇u(y) − u(y)∇y G(x, y)] · ν(y) dS(y)

u(x) = ∂Br (0)

−

1 RωN

(5.7)

R2 − |x|2 u(y) dS(y) |y − x|N

∂BR (0)

resultiert. Wegen u > 0 k¨ onnen wir auf das zweite Integral den Mittelwertsatz der Integralrechnung anwenden. Es gibt also ein y ∗ ∈ ∂BR (0) mit 1 R2 − |x|2 1 R2 − |x|2 u(y) dS(y) = u(y) dS(y) , I(R) := RωN |y − x|N RωN |y ∗ − x|N ∂BR (0)

∂BR (0)

und das verbleibende Integral kann f¨ ur N ≥ 3 nach Aufgabe 2.5 durch c0 R + d0 RN −1 u(y) dS(y) = 2−N ∂BR (0)

mit geeigneten Zahlen c0 , d0 ausgedr¨ uckt werden. Es ist also lim I(R) =

R→0

c0 |x|2−N . (N − 2)ωN

ur R → 0 Da im Falle N ≥ 3 gleichm¨ aßig in y ∈ ∂Br (0) f¨ N −2 2 G(x, y) = S(x, y) − (R/|x|) S (R/|x|) x, y → S(x, y) N −2

∇y G(x, y) = ∇y S(x, y) − (R/|x|)

2

(R/|x|) x − y 2

ωN | (R/|x|) x − y|N

→ ∇y S(x, y)

gilt, erhalten wir aus (5.7) im Limes R → 0 [S(x, y)∇u(y) − u(y)∇y S(x, y)] · ν(y) dS(y) − c0 S(x, 0) . u(x) = ∂Br (0)

Das Integral h¨ angt f¨ ur r > |x| gar nicht von r ∈ (0, 1) ab und definiert eine auf B1 (0) harmonische Funktion. Den Fall N = 2 stellen wir als Aufgabe 5.7.

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials fu ¨r die Kugel Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel. Wir wissen aufgrund des Hölderschen Satzes 4.2.6, daß das Newtonpotential v f¨ ur B und eine hölderstetige Dichte f die Poissongleichung l¨ ost. Es liegt nahe zu vermuten, daß dann auch die 2. Ableitungen von v die Qualit¨ at von f haben. Wir werden sogleich sehen, daß dies im Falle eines H¨ olderexponenten α ∈ (0, 1) richtig (Satz 5.3.4), aber im

5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials f¨ ur die Kugel

173

Falle α = 1 falsch ist (Satz 5.3.8). Diese Informationen u ¨ber die 2. Ableitungen sind deswegen so wichtig, weil sie die M¨ oglichkeit eröffnen, funktionalanalytische Methoden in die Theorie einzuf¨ uhren, die es gestatten, die Lösbarkeit allgemeiner linearer elliptischer Differentialgleichungen mit variablen Koeffizientn und sogar nichtlineare elliptische Differentialgleichungen zu untersuchen. ur die Kreisscheibe bewies, daß bei Korn2 [151] war der erste, der f¨ gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigem f die 2. Ableitungen des Newtonpotentials ebenfalls gleichm¨ aßig h¨ olderstetig sind mit demselben α ∈ (0, 1). Auch f¨ ur ihn war dies nur ein Hilfsmittel, eine nichtlineare Differentialgleichung zu untersuchen, nämlich durch sukzessive Approximation zu zeigen, daß die Minimalflächengleichung eine Lösung besitzt, wenn die berandende Kurve wenig von einer ebenen Kurve abweicht, ein Problem, um dessen Lösbarkeit sich Poisson um 1832 vergeblich bem¨ uht hatte. M¨ untz [216]3 beobachtete, daß es bei diesem Problem bequemer ist, mit dem Greenpotential anstelle des Newtonpotentials zu arbeiten. 40 Jahre nach M¨ untz konnte Simoda [308] mit Lemma 5.3.3 einen neuen beweisvereinfachenden Gedanken einbringen. Im Anschluß an Bemerkung 5.3.6 zum Hauptresultat dieses Abschnitts, Satz 5.3.4, kann der Leser direkt zu Abschnitt 5.4 u ¨bergehen, um einen ersten Eindruck von einer Anwendungsm¨ oglichkeit dieses Satzes zu gewinnen. Weitere Anwendungen, das Dirichletproblem f¨ ur −

N

aik (x)uxi xk = f

i,k=1

in der Kugel, wenn die Koeffizienten aik nur wenig von δik abweichen, und das f¨ ur die semilineare Differentialgleichung −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) , finden sich in den Abschnitten 5.5 bzw. 5.6. Einen Beweis von Satz 5.3.4, der das Newtonpotential f¨ ur den Halbraum in Kombination mit der Kelvintransformationsformel verwendet, findet man in [83, § 4.3, 4.4]. Auf eine Ausdehnung von Satz 5.3.4 auf allgemeinere glattberandete Gebiete werden wir in Kapitel 7 zu sprechen kommen. Bei all den genannten Problemen ist es erforderlich, einen Hölderexponenten vorzugeben. Wir erg¨ anzen daher Definition 4.1.5 in folgender Weise. 2

3

Arthur Korn erscheint bei uns nur als Urheber einiger recht spezieller potentialtheoretischer Ergebnisse. Er war ein außergew¨ ohnlich vielseitiger Mathematiker und Physiker, auch technischer Physiker. U. a. hat er das – erst sehr viel sp¨ ater so genannte – Fax erfunden [195]. Es ist dies seine bei H.A. Schwarz angefertigte Dissertation. M¨ untz, dessen Verallgemeinerung des Weierstraßschen Approximationssatzes heute zum klassischen Bestand der Approximationstheorie geh¨ ort, gelang es nicht, sich in Deutschland zu habilitieren. Einzelheiten u ¨ber sein Leben sind erst seit kurzem durch [243] leicht zug¨ anglich.

174


Definition 5.3.1. Es sei Ω ⊆ RN offen und nicht leer. F¨ ur u ∈ C 0 (Ω) und α ∈ (0, 1] definiert man Hα;Ω (u) := sup x,y∈Ω x =y

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

Wenn dies endlich ist, nennt man diese Zahl eine (α-) Hölderschranke von u auf Ω. Es ist C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω (u) < ∞} der Vektorraum der auf Ω gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen Funktionen (im Falle α = 1 spricht man auch von gleichm¨ aßig lipschitzstetigen Funktionen). Weiter setzen wir noch C 0,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u beschr¨ ankt und u ∈ C (α) (Ω)} , C 1,α (Ω) := {u ∈ C 1 (Ω) : u, uxi beschr¨ ankt, uxi ∈ C (α) (Ω)} , C 2,α (Ω) := {u ∈ C 2 (Ω) : u, uxi , uxi xk beschr¨ ankt, uxi xk ∈ C (α) (Ω)} , wobei die Indizes i, k die Menge {1, . . . , N } durchlaufen. Bemerkung 5.3.2. a) Jede Funktion u ∈ C (α) (Ω) mit 0 < α ≤ 1 ist gleichm¨ aßig stetig und kann daher eindeutig zu einer stetigen Funktion auf Ω fortgesetzt werden. b) F¨ ur beschr¨ ankte Mengen Ω sind alle Funktionen u ∈ C (α) (Ω) bereits beschr¨ ankt und es gilt C (α) (Ω) = C 0,α (Ω). c) Ist Ω konvex und ist u ∈ C 1 (Ω) eine beschränkte Funktion mit beschr¨ anktem Gradienten, so folgt u ∈ C 0,1 (Ω) aus dem Mittelwertsatz. d) Aus den Aussagen in a) und c) folgt, daß f¨ ur konvexe Mengen Ω ⊆ RN sich jede Funktion u ∈ C m,α (Ω) mit m ∈ {0, 1, 2}, α ∈ (0, 1], eindeutig zu aßt. einer stetigen Funktion auf Ω fortsetzen l¨ Lemma 5.3.3 (Simoda). Seien B ⊂⊂ RN eine Kugel und F ∈ C 0 (B). Gibt es dann Zahlen c > 0 und α ∈ (0, 1] mit |F (x ) − F (x )| ≤ c|x − x |α f¨ ur alle x , x ∈ B mit B2|x −x | (x ) ⊆ B, so gilt 1 + 2α |F (x) − F (y)| ≤ 1 + c|x − y|α 1 − 2−α

f¨ ur alle x, y ∈ B .

Beweis. Wir d¨ urfen B = BR (0) annehmen. Es seien x, y ∈ B und h := |x − y| > 0. Man w¨ ahle zwei Punktfolgen (xi ) und (yi ) in B, die gegen x bzw. y konvergieren und zus¨ atzlich den folgenden Bedingungen gen¨ ugen:


h , 2i B2|xi −xi+1 | (xi ) ⊆ B ,

h , 2i B2|yi −yi+1 | (yi ) ⊆ B ,

|xi+1 − xi | ≤

|yi+1 − yi | ≤ 2

175

|x0 − y0 | ≤ h , B2|x0 −y0 | (x0 ) ⊆ B .

Eine explizite Definition solcher Folgen wird am Ende des Beweises vorgenommen. Wir k¨ onnen nun F (xn ) − F (yn ) durch eine Teleskopsumme ausdr¨ ucken, F (x0 ) − F (y0 ) +

n−1

{[F (xi+1 ) − F (xi )] − [F (yi+1 ) − F (yi )]} ,

i=0

und gewinnen so die Absch¨ atzung |F (xn ) − F (yn )| ≤ |F (x0 ) − F (y0 )| + (1 + 2α ) ≤

1+

1 + 2α 1 − 2−α

α ∞

h c i 2 i=0

chα .

Aus der Stetigkeit von F folgt dann 1 + 2α c|x − y|α . |F (x) − F (y)| ≤ 1 + 1 − 2−α Daß solche Folgen (xi ), (yi ) existieren, belegen wir durch explizite Angabe. 1. Fall: |x| ≤ 2h; dann sei xi := 1 − 2−i x , yi := 1 − 2−i y. 2. Fall: 2h < |x|; dann sei xi := 1 − 21−i h/|x| x , yi := 1 − 21−i h/|x| y. Satz 5.3.4. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, 0 < α < 1 und f ∈ C (α) (B). Dann hat die L¨ osung u ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) des Dirichletproblems −Δu = f in B ,

u|∂B = 0

ur alle i, k = 1, . . . , N ; die Qualit¨ at u, uxi ∈ C (1) (B), uxi xk ∈ C (α) (B) f¨ insbesondere ist u ∈ C 2,α (B). Es gibt eine Zahl k > 0, die allein durch B und α bestimmt ist, mit Hα;B (uxi xk ) ≤ kHα;B (f )

f¨ ur alle i, k = 1, . . . , N .

Beweis. Da f nach Bemerkung 5.3.2 b) beschr¨ ankt ist, ist die Lösung u nach Satz 5.1.3 durch das Greenpotential zu B und f gegeben: ur x ∈ B , u(x) = G(x, y)f (y) dy f¨ B

und f¨ ur x ∈ B gilt

[f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy −

uxi xk (x) = B

1 f (x)δik . N

176


Das Problem besteht nun darin, Hα;B (uxi xk ) ≤ c(N, α)Hα;B (f ) mit einer allein von N und α abh¨ angenden Zahl c(N, α) zu zeigen (die restlichen Behauptungen folgen dann mit Bemerkung 5.3.2 c). Es gen¨ ugt, die Funktion F (x) = [f (y) − f (x)]Gxi xk (x, y) dy B

abzusch¨ atzen, wobei man sich dank Lemma 5.3.3 auf Punkte x , x ∈ B mit anken darf. Dann ist 2h < R, wobei 0 < h := |x − x | und B2h (x ) ⊆ B beschr¨ R den Radius von B bezeichnet. Setzen wir noch Q(x, y) := Gxi xk (x, y), so haben wir F (x ) − F (x ) Q(x , y)(f (y) − f (x )) dy − = B2h (x )

+

Q(x , y)(f (y) − f (x )) dy

B2h (x )

(Q(x , y) − Q(x , y))(f (y) − f (x )) dy −

B\B2h (x )

Q(x , y)(f (x ) − f (x )) dy

B\B2h (x )

= I1 − I2 + I3 − I4 . onnen problemlos abgesch¨ atzt werden. Aufgrund von Satz 5.1.5 I1 und I2 k¨ und der H¨ olderstetigkeit von f haben wir |I1 | ≤ c(N ) Hα;B (f )

−N +α

|y − x |

2h rα−1 dr

dy = c(N ) Hα;B (f ) ωN

|y−x |≤2h

0

= c1 (N, α) Hα;B (f ) hα , |y − x |−N +α dy |I2 | ≤ c(N ) Hα;B (f ) |y − x |−N +α dy ≤ c(N ) Hα;B (f ) |y−x |≤2h

|y−x |≤3h

= c2 (N, α) Hα;B (f ) hα . F¨ ur die in I3 vorkommenden y ist |x − y| ≥ 2h = 2|x − x |, also f¨ ur t ∈ [0, 1] |tx + (1 − t)x − y| ≥ |x − y| − (1 − t)h ≥

1 |x − y| . 2

Insbesondere ist daher Q(·, y) auf der Strecke zwischen x und x differenzierbar, und nach dem Mittelwertsatz gibt es ein ϑ ∈ (0, 1) derart, daß mit x∗ := ϑx + (1 − ϑ)x |Q(x , y) − Q(x , y)| ≤ |∇x Q(x∗ , y)||x − x | gilt. Aufgrund der Absch¨ atzung der 3. Ableitungen von G in Satz 5.1.5 haben wir daher


177

|x − x ||y − x |−N −1+α dy

|I3 | ≤ c(N ) Hα;B (f )

2h≤|y−x |≤2R

2R

rα−2 dr ≤ c3 (B, α) Hα;B (f ) hα .

= c(N ) Hα;B (f ) ωN h 2h

Setzen wir f¨ ur x ∈ B mit |x − x | < ψ(x , x) :=

h 2

Gxi xk (x, y) dy ,

B\B2h (x )

angig von x und x zu beschränken. Wählen so verbleibt es, ψ(x , x ) unabh¨ wir |x − x | < h/2 und y ∈ B \ B2h (x ), so ist |y − x| = |y − x + x − x + x − x| ≥ 2h − h − also ∂2 ψ(x , x) = ∂xi ∂xk

G(x, y) dy −

B

1 ∂2 = − δik − N ∂xi ∂xk

h h = , 2 2

G(x, y) dy B2h (x )

G(x, y) dy , B2h (x )

letzteres nach Korollar 4.4.8. Gem¨ aß Bemerkung 5.1.1 b) ist also nur noch ∂2 S(x, y) dy + Hxi xk (x, y) dy (5.8) ∂xi ∂xk B2h (x ) B2h (x ) f¨ ur x = x zu betrachten. Das erste Integral ist nach Lemma 4.2.5 gleich yi − xi Sx (x, y) dS(y) . − |y − x | k ∂B2h (x )

aßt sich also nach Bemerkung 4.1.3 durch Sein Betrag an der Stelle x = x l¨ 1 1 1−N |x − y|1−N dS(y) ≤ h ωN (2h)N −1 ωN ωN |y−x |=2h

majorisieren. F¨ ur das zweite Integral in (5.8) haben wir nach Satz 5.1.5 die Absch¨ atzung ϕ(x , y)−N dy . (5.9) c(N ) B2h (x )

Wegen B2h (x ) ⊆ B ist aber |x | ≤ R − 2h, also |x | ≤ R − h, mithin 1/2 |y| ≥h, ϕ(x , h) ≥ R2 − 2|x ||y| + R−2 |x |2 |y|2 = R − |x | R so daß auch (5.9) eine alleine von N abh¨ angende Schranke besitzt.

178


Die beiden folgenden Bemerkungen stellen einen ersten Bezug zu funktionalanalytischen Begriffsbildungen her. Bemerkung 5.3.5. Es sei Ω ⊆ RN offen und α ∈ (0, 1]. Da f¨ ur alle konstanten Funktionen u der Ausdruck Hα;Ω (u) verschwindet, bildet Hα;Ω (·) nur eine Halbnorm auf C 0,α (Ω). Zu einer Norm gelangt man, wenn man uΩ;0,α := sup |u| + Hα;Ω (u)

(5.10)

Ω

setzt. Entsprechend werden C 1,α (Ω) und C 2,α (Ω) durch uΩ;1,α := sup |u| + Ω

uΩ;2,α := sup |u| + Ω

N

sup |uxi | +

N

Hα;Ω (uxi )

i=1 Ω

i=1

N

N

sup |uxi | +

i=1 Ω

i,k=1

sup |uxi xk | + Ω

(5.11) N

Hα;Ω (uxi xk )

i,k=1

zu normierten R¨ aumen (vgl. Aufgabe 5.8), und wir können Satz 5.3.4 folgendermaßen erweitern: Zur Kugel B ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1) gibt es ein c(B, α) mit uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α

(5.12)

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0.4 Da ja Δu ∈ C 0,α (B) ist, existiert genau ein v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit −Δv = −Δu in B und v|∂B = 0. Aufgrund der in Bemerkung 4.1.1 formulierten Eindeutigkeitsaussage gilt somit u = v. Satz 5.3.4 ergibt mit f = −Δu unmittelbar die Abschätzungen Hα;B (vxi xk ) ≤ c1 (B, α) Hα;B (Δu) . Weiter gilt mit Lemma 4.4.4 und Korollar 4.4.8 (R Radius von B) R2 sup |Δu| . |v(x)| = G(x, y)Δu(y) dy ≤ 2N B B Gem¨ aß Satz 4.2.4, Bemerkung 5.1.1 b) und Satz 5.1.5 ist |vxi (x)| = Gxi (x, y)Δu(y) dy ≤ c(N )ωN 2R sup |Δu| . B

B

Schließlich nutzen wir die Darstellung aus Satz 5.1.3 f¨ ur die zweiten Ableitungen von v und erhalten mit Satz 5.1.5 4

Konvention: Mit u ∈ C 2,α (B), u|∂B = 0“ ist gemeint, daß die gem¨ aß Bemerkung ” 5.3.2 d) eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung von u auf B auf dem Rand Null ist.


|vxi xk (x)| ≤

179

δik (2R)α sup |Δu| + c(N )ωN Hαi B (Δu) . N B α

Diese Absch¨ atzungen gelten gleichm¨ aßig f¨ ur alle x ∈ B. Hieraus ergibt sich ur eine geeignete Konstante c(B, α), und wegen vB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α f¨ u = v ist (5.12) bewiesen. In Bemerkung 5.3.7 werden wir f¨ ur Ω ⊂⊂ RN eine Ungleichung der Form (5.12) aus dem Banachschen Satz u ¨ber die Stetigkeit der inversen Abbildung gewinnen. Abschließend stellen wir fest, daß die Konstante c(B, α) in (5.12) nicht von angt. Ist n¨ amlich τ : RN → RN eine Translation der Lage der Kugel in RN abh¨ und B := τ B, so gilt uB ;2,α = u ◦ τ B;2,α ≤ c(B, α)Δ(u ◦ τ )B;0,α = c(B, α)(Δu) ◦ τ B;0,α = c(B, α)ΔuB ;0,α . Bemerkung 5.3.6. Ist BR ⊂⊂ RN eine Kugel mit Radius R, so werden durch uBR ;0,α := sup |u| + Rα Hα;BR (u) , BR

uBR ;1,α := sup |u| + R

N

BR

uBR ;2,α

:= sup |u| + R

i=1 BR N

BR

+R2+α

sup |uxi | + R1+α sup |uxi | + R

i=1 BR

N

N

Hα,BR (uxi ) ,

i=1 2

N

i,k=1

sup |uxi xk | BR

Hα,BR (uxi xk )

i,k=1

Normen definiert, die zu (5.10) bzw. (5.11) jeweils mit Ω = BR äquivalent sind. Zum Beispiel ist ja min{1, Rα }uBR ;0,α ≤ uBR ;0,α ≤ max{1, Rα }uBR ;0,α . Ein Vorteil dieser neuen Normen liegt in ihrer Invarianzeigenschaft uBR (x0 );m,α = u ◦ QB1 (0);m,α = u ◦ QB1 (0);m,α ,

m = 0, 1, 2 ,

wenn Q : RN → RN eine Transformation ist, die sich aus der Dilatation λ : x → Rx und der Translation τ : x → x + x0 zusammensetzt, Q := τ ◦ λ. Die Transformation Q f¨ uhrt die Kugel B1 (0) in die Kugel BR (x0 ) u ¨ber. Zum Beweis der Invarianzeigenschaft bemerken wir (u ◦ Q)xi = R(uxi ◦ Q) , und beispielsweise

(u ◦ Q)xi xk = R2 (uxi xk ◦ Q)

180


Hα;B1 (0) ((u ◦ Q)xi xk ) = R2 Hα;B1 (0) (uxi xk ◦ Q) = R2

|uxi xk (Rx + x0 ) − uxi xk (Rx + x0 )| |x − x |α x ,x ∈B1 (0) sup

x =x

=R

2+α

Hα;BR (x0 ) (uxi xk ) .

Wegen Δ(u ◦ Q) = R2 (Δu) ◦ Q erhalten wir daher anstelle von (5.12): Zu N und α ∈ (0, 1) gibt es ein c(N, α), n¨ amlich c(N, α) := c(B1 (0), α), so daß ur alle u ∈ C 2,α (B) ∩ C 0 (B) mit f¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ RN mit Radius R und f¨ u|∂B = 0 uB;2,α ≤ c(N, α)R2 ΔuB;0,α ausf¨ allt. Bemerkung 5.3.7. Der Zusammenhang zwischen Satz 5.3.4 und der Ungleichung (5.12) wird durch die folgende Aussage deutlicher. Es sei Ω ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1). Wenn das Dirichletproblem −Δu = f in Ω ,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) eine L¨ osung in C 2,α (Ω) hat, so gibt es eine allein durch Ω und α bestimmte Zahl c(Ω, α) mit uΩ;2,α ≤ c(Ω, α)ΔuΩ;0,α f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Da aufgrund des Banachschen Satzes von der offenen Abbildung bei einer linearen Bijektion T zwischen zwei Banachr¨ aumen X, Y die Stetigkeit von T die von T −1 impliziert (s. z.B. [289, p. 48 f.] oder [337, S. 152 f.]), ergibt sich die obige Aussage wie folgt. Es sind X := u ∈ C 2,α (Ω) : u|∂Ω = 0 und Y := C 0,α (Ω) , versehen mit den Normen · Ω;2,α bzw. · Ω;0,α , Banachräume (vgl. Satz 5.4.1). Die Bedingung u|∂Ω = 0 in der Definition des Raumes X ist so zu verstehen, daß die stetige Fortsetzbarkeit von u auf Ω zusammen mit der Bedingung u|∂Ω = 0 gefordert wird. Man u ¨berlegt sich leicht, daß dadurch ein abgeschlossener Unterraum von C 2,α (Ω) definiert wird, der dann selbst wieder Banachraum ist. Die Abbildung T: X →Y ,

u → −Δu

ist linear und nach Voraussetzung surjektiv, ferner aufgrund des Eindeutigkeitssatzes 3.1.1 injektiv. Ihre Stetigkeit folgt aus − ΔuΩ;0,α ≤

N

i,k=1

uxi xk Ω;0,α ≤ uΩ;2,α .


181

Mithin gibt es eine Konstante c(X, Y, T ), so daß T −1 f Ω;2,α ≤ c(X, Y, T )f Ω;0,α f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω). Da X, Y und T allein durch Ω, α und Δ bestimmt sind, ist das die Behauptung. Nat¨ urlich sichert der Banachsche Satz nur die Existenz einer solchen Zahl c(Ω, α), w¨ ahrend eine Zahl c(B, α), f¨ ur die (5.12) besteht, explizit angegeben werden k¨ onnte, wenn man sich die M¨ uhe machen w¨ urde, die Konstanten aller im Beweis von Satz 5.3.4 auftretenden Abschätzungen genau zu verfolgen. Schauder [293, p. 281] war der erste, der einen Zusammenhang zwischen A-Priori-Absch¨ atzungen bei partiellen Differentialgleichungen und dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung herstellte. Wenn in Satz 5.3.4 die rechte Seite f ∈ C 0,1 (B) ist, liefert die Abschätzung von I3 |I3 | ≤ const H1;B (f ) h ln

R , h

w¨ ahrend die erhaltenen Absch¨ atzungen f¨ ur die drei anderen Terme mit α = 1 bestehenbleiben. Also ist die L¨ osung u des Dirichletproblems aus C 2,β (B) f¨ ur jedes β ∈ (0, 1). Das folgende Beispiel belegt, daß man u ∈ C 2,1 (B) im allgemeinen nicht erreichen kann. Satz 5.3.8. Es sei R < 1, B := BR (0) ⊆ RN , ferner ⎧ y12 ⎪ ⎨ f¨ ur y ∈ B \ {0} 2 (y) := |y| | ln |y|| ⎪ ⎩ 0 f¨ ur y = 0 und x1 f (x) := (t, x2 , . . . , xN ) dt f¨ ur x ∈ B . 0

Dann gilt: a) f ist gleichm¨ aßig lipschitzstetig auf B, insbesondere also f ∈ C 0,1 (B). b) Die L¨ osung u ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) des Dirichletproblems −Δu = f in B,

u = 0 auf ∂B

hat die Eigenschaft ux1 x1 ∈ / C (1) (B). Beweis. a) Schreiben wir y ∈ B \ {0} in der Form y = (t, z1 , . . . , zN −1 ), so gilt 1 −4t2 z 1+ , ∇z (t, z) = 2 (t + |z|2 )2 | ln(t2 + |z|2 )| | ln(t2 + |z|2 )|

182


also |∇z (t, z)| ≤

4|z| 2 (t + |z|2 )| ln R2 |

1+

1 | ln R2 |

,

1 so daß 0 |∇z (t, z)| dt unabh¨ angig von z majorisiert werden kann. F¨ ur x , x ∈ B haben wir x1 f (x ) − f (x ) = (t, x2 , . . . , xN ) dt x 1

x 1

+

[(t, x2 , . . . xN ) − (t, x2 , . . . , xN )] dt .

0

Aufgrund der Stetigkeit von kann das erste Integral durch const |x1 − x1 | abgesch¨ atzt werden. Das zweite Integral k¨ onnen wir nach Anwendung des Mittelwertsatzes durch const |(x2 , . . . , xN ) − (x2 , . . . , xN )| majorisieren. Hieraus folgt sofort die Behauptung. b) Da die L¨ osung u durch das Greenpotential zu B und f gegeben ist, brauchen wir aufgrund von Satz 5.1.3 nur zu zeigen, daß f¨ ur F (x) := [f (y) − f (x)] Gx1 x1 (x, y) dy , x ∈ B , B

der Differenzenquotient h1 [F (he1 ) − F (0)] f¨ ur h → 0 unbeschränkt ist. Nach Bemerkung 5.1.1 b) ist der Anteil H in der Zerlegung G = S + H auf B R (0) × 2 B2R (0) beliebig oft differenzierbar, so daß die Funktion x → Hx1 x1 (x, y)f (y) dy − f (x) Hx1 x1 (x, y) dy B

B

auf B R (0) gleichm¨ aßig lipschitzstetig ist. Es verbleibt also nur die Untersu2 chung von [f (y) − f (x)] Sx1 x1 (x, y) dy = lim [f (y) − f (x)] Sy1 y1 (x, y) dy . B

→0 B\B (x)

Hierf¨ ur gewinnen wir durch partielle Integration wegen x1 − y1 [f (y) − f (x)] Sy1 (x, y) dS(y) ∂B (x) |x − y| const |x − y|2−N dS(y) = const ≤ ωN ∂B (x) den Ausdruck


183

ν1 (y) [f (y) − f (x)] Sy1 (x, y) dS(y) −

Sy1 (x, y)(y) dy . B

∂B

Das Randintegral stellt wieder eine auf B R (0) gleichmäßig lipschitzstetige 2 Funktion dar. Hingegen hat 1 x1 − y1 φ(x) := Sy1 (x, y)(y) dy = (y) dy ωN |x − y|N B

B

die Eigenschaft, daß h1 [φ(he1 ) − φ(0)] = h1 φ(he1 ) f¨ ur h 0 nicht beschränkt bleibt, wie wir beim Beweis von Satz 4.3.1 gezeigt haben. Wir beschließen diesen Paragraphen mit einem Satz, dessen Beweis nur eine kleine Variante des Beweises von Satz 5.3.4 ist; verwendet wird er erst in den Abschnitten 7.2 und 7.3. ur B, Satz 5.3.9. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, G die Greensche Funktion f¨ α ∈ (0, 1) und k ∈ {1, . . . , N }. Dann existiert U (x) := Gyk (x, y)f (y) dy , x ∈ B , B

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) und definiert U ∈ C 1 (B) mit Uxi ∈ C 0,α (B) f¨ ur i ∈ {1, . . . , N }. Es existiert eine allein durch B und α bestimmte Konstante c˜(B, α), mit U B;1,α ≤ c˜(B, α)f B;0,α ist (vgl. Bemerkung 5.3.5). Beweis. Nach Aufgabe 5.3 ist U ∈ C 1 (B), und es ist Uxi (x) = (f (y) − f (x)) Gyk xi (x, y) dy . B

Analog zu den Rechnungen in Bemerkung 5.3.5 lassen sich die Terme supB |U | und supB |Uxi | leicht durch c1 (B, α)f B;0,α abschätzen, wobei nun Aufgabe 5.2 anstelle von Satz 5.1.5 zu verwenden ist. Eine Schranke f¨ ur Hα;B (Uxi ) gewinnt man, indem Q(x, y) := Gyk xi (x, y) gewählt wird und Uxi (x ) − Uxi (x ) = I1 − I2 + I3 − I4 auf dieselbe Weise wie F (x ) − F (x ) im Beweis des Satzes 5.3.4 zerlegt wird. Ganz wie dort gilt |I1 | + |I2 | + |I3 | ≤ c2 (B, α)Hα;B (f )hα ; denn nach Aufgabe 5.2 gen¨ ugen Q und ∇x Q denselben Abschätzungen, die im Beweis von Satz 5.3.4 aus Satz 5.1.5 gewonnen wurden. Nur die Abschätzung von I4 muß anders gestaltet werden. Es bezeichne Ψ das Analogon zu ψ im Beweis von Satz 5.3.4:

184


Ψ (x , x ) =

νk (y)Gxi (x , y) dS(y)

Gyk xi (x , y) dy =

B\B2h (x )

=

∂(B\B2h (x ))

νk (y)Gxi (x , y)dS(y) +

νk (y)Gxi (x , y) dS(y) .

∂B2h (x )

∂B

Das Randintegral u ur y ∈ ∂B. ¨ber ∂B verschwindet, denn in B ist G(·, y) = 0 f¨ Es ist also νk (y)Gxi (x , y) dS(y) , Ψ (x , x ) = ∂B2h (x )

und hierin ist |x − y| ≥ h; also ist der Betrag des Integranden ≤ c(N )h−N +1 . Daraus folgt |Ψ (x , x )| ≤ 2N −1 c(N )ωN . Das Lemma 5.3.3 von Simoda vermittelt dann ein c3 (B, α), mit |Uxi (x ) − Uxi (x )| ≤ c3 (B, α)Hα;B (f )|x − x |α

f¨ ur alle x , x ∈ B .

Mithin ist Uxi ∈ C 0,α (B). Zusammenfassend ergibt sich die Behauptung mit c˜(B, α) = (N + 1)c1 (B, α) + N c3 (B, α).

5.4 Eine erste Anwendung: Die lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems Das Problem, ein analytisches Fl¨ achenst¨ uck in R3 konform in die Ebene abzubilden, wurde von Gauss in seiner Kopenhagener Preisschrift 1822 gelöst [80]. Ist das Fl¨ achenst¨ uck nicht mehr notwendig analytisch und seine Metrik durch die Gaußschen Fundamentalgr¨ oßen E, F und G mit g := EG − F 2 > 0 gegeben, so wird man auf das System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung ψx1 1 ϕx1 F (x) G(x) =√ (5.13) g −E(x) −F (x) ϕx2 ψx2 gef¨ uhrt, welches in engem Zusammenhang mit dem in Bemerkung 3.6.8 eingef¨ uhrten Beltrami-Operator steht. Der erste, der die Existenz einer Lösung des Beltrami-Systems (5.13) im Kleinen bewies, wenn die Koeffizienten nur lipschitzstetig sind, war Lichtenstein [186]. Mit Hilfe des Newtonpotentials, f¨ ur das er ¨ ahnliche Resultate bewies, wie sie Korn bereits in seiner in Abschnitt 5.3 genannten Arbeit erhalten hatte, u uhrte er (5.13) in eine ¨berf¨ Integralgleichung, die durch sukzessive Approximation gelöst wurde. Angeregt durch die Kornsche Arbeit [152], bei der das Verfahren der sukzessiven Approximation direkt auf Differentialgleichungen 2. Ordnung mit hölderstetigen Koeffizienten angewandt wurde, konnte er dann in [189] die Voraussetzung der Lipschitzstetigkeit durch H¨ olderstetigkeit ersetzen. L¨ ost u eine semilineare elliptische Gleichung der Gestalt

5.4 Lokale L¨ osbarkeit des Beltrami-Systems

185

Eux1 x1 + 2F ux1 x2 + Gux2 x2 = f (x1 , x2 , u, ux1 , ux2 ) und ist ϕ, ψ eine L¨ osung von (5.13), deren Funktionaldeterminante ϕx1 ψx1 = 0 d := det ϕx2 ψx2 ist, so ist die Koordinatentransformation ξ1 = ϕ(x1 , x2 ), ξ2 = ψ(x1 , x2 ) lokal injektiv und v(ξ) = u(x) gen¨ ugt einer Gleichung der Form vξ1 ξ1 + vξ2 ξ2 = g(ξ1 , ξ2 , v, vξ1 , vξ2 ) (s. etwa [107, II.1]). Allerdings wird man eine solche Vereinfachung des Hauptteils kaum als erstrebenswert ansehen, wenn sie mit der Lösung einer neuen partiellen Differentialgleichung erkauft wird, zumal es, wie wir sehen werden, Methoden gibt, Gleichungen mit einem allgemeinen Hauptteil zu behandeln, die nicht auf zwei Dimensionen beschr¨ ankt sind. Bei der Untersuchung von (5.13) ist fast selbstverständlich, daß wir g = 1 und E > 0 annehmen d¨ urfen. Ist x → y = M (x − p) eine injektive, affine Koordinatentransformation und M t die zu M transponierte Matrix, so erhalten wir mit den Setzungen Φy1 Ψy1 Φ(y) = ϕ(x) , Ψ (y) = ψ(x) , D := Φy2 Ψy2 d = det D det M , also d = 0 genau dann, wenn det D = 0 ist, ferner t −1 F (x) G(x) M t ∇Ψ (y) . ∇Φ(y) = M −E(x) −F (x) Definiert man daher neue Funktionen a, b, c durch −1 F (x) G(x) b c Mt , (y) = M t −E(x) −F (x) x=M −1 y+p −a −b so erreicht man mit der Wahl t −1 1 1 F (p) −E(p) 0 −1 , also M , = M= 1 0 E(p) E(p) E(p) F (p) daß a(0) = E(p)G(p) − F 2 (p) = 1 ,

c(0) = 1 ,

b(0) = 0

wird. In den neuen Koordinaten ergibt sich also das System Ψy1 Φy1 − Ψy2 b(y) c(y) − 1 = , 1 − a(y) −b(y) Φy2 + Ψy1 Ψ y2

186


das f¨ ur y = 0 in die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u ¨bergeht. F¨ ur eine Verallgemeinerung solcher Systeme beweisen wir nun einen lokalen Existenzsatz, indem wir Satz 5.3.4 mit einem ganz einfachen funktionalanalytischen Hilfsmittel kombinieren, n¨ amlich dem Banachschen Fixpunktsatz, demzufolge eine strikt kontrahierende Abbildung eines vollständigen Raumes in sich genau einen Fixpunkt besitzt. Zun¨ achst zeigen wir die Vollst¨ andigkeit der von uns in Definition 5.3.1 und in Bemerkung 5.3.5 gew¨ ahlten normierten R¨ aume gleichmäßig hölderstetiger Funktionen. Satz 5.4.1. F¨ ur nichtleeres offenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m ∈ {0, 1, 2} m,α (Ω), versehen mit der Norm · Ω;m,α , einen Banachraum. bildet C Beweis. Wir beschr¨ anken uns auf den Fall m = 1 und zeigen nur, daß der lineare und normierte Raum C 1,α (Ω) vollst¨ andig ist, also zu jeder Folge (ui ) aus C 1,α (Ω) mit ur i, k → ∞ ui − uk Ω;1,α → 0 f¨

(5.14)

ein u ∈ C 1,α (Ω) mit ui − uΩ;1,α → 0 existiert. Dazu zerlegen wir uΩ;1,α in uΩ;1 := sup |u| + Ω

N

sup |uxi |

und HΩ;1,α (u) :=

i=1 Ω

N

Hα;Ω (uxi ) .

i=1

Aus (5.14) folgt nun zum einen ui − uk Ω;1 → 0 f¨ ur i, k → ∞. Es konur jeden Multiindex μ mit |μ| = 1 die vergieren also die Folge (ui ) und f¨ Folge (Dμ ui ) gegen stetige Funktionen u bzw. vμ . Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich sofort, daß die vμ die partiellen Ableitungen von u, also u stetig differenzierbar ist. Zu > 0 gibt es ein N > 0 ur i, k > N . Sei nun i > N . Zu x ∈ Ω gibt es dann ein mit ui − uk Ω;1 < 2 f¨ k > N mit

|Dμ uk (x) − Dμ u(x)| < , |uk (x) − u(x)| + 2 |μ|=1

was uΩ;1 < ∞ und ui − uΩ;1 ≤ impliziert. ur i, k → ∞, so daß es ein C > 0 Zum anderen gilt HΩ;1,α (ui − uk ) → 0 f¨ ur alle i ∈ N. Wir m¨ ussen noch die beiden folgenden gibt mit HΩ;1,α (ui ) ≤ C f¨ Aussagen zeigen: HΩ;1,α (u) < ∞ , ur i → ∞ . HΩ;1,α (ui − u) → ∞ f¨

(5.15) (5.16)

Zu (5.15): F¨ ur |μ| = 1 und x, y ∈ Ω kann |Dμ u(x) − Dμ u(y)| abgeschätzt werden durch


187

|Dμ u(x) − Dμ ui (x)| + |Dμ ui (x) − Dμ ui (y)| + |Dμ ui (y) − Dμ u(y)| ≤ 2ui − uΩ;1 + C|x − y|α . Zu jedem Paar x, y ∈ Ω, x = y, l¨ aßt sich i so groß wählen, daß 2ui − uΩ;1 ≤ |x − y|α wird. Folglich ist u ∈ C 1,α (Ω). Zu (5.16): F¨ ur |μ| = 1 und x, y ∈ Ω gilt |Dμ (ui − u)(x) − Dμ (ui − u)(y)| ≤ |Dμ (ui − uk )(x) − Dμ (ui − uk )(y)| + |Dμ (uk − u)(x) − Dμ (uk − u)(y)| , also uk − uΩ;1 |Dμ (ui − u)(x) − Dμ (ui − u)(y)| ≤ HΩ;1,α (ui − uk ) + 2 . |x − y|α |x − y|α Zu > 0 existiert ein N > 0 mit HΩ;1,α (ui − uk ) < /2 f¨ ur i, k > N , und zu x, y ∈ Ω, x = y, gibt es k > N mit 4uk − uΩ;1 < |x − y|α . Bemerkung 5.4.2. Es sei α ∈ (0, 1). Manchmal begegnet man dem Fehler, andigung von C ∞ (Ω) unter der daß der Raum C m,α (Ω) mit der Vervollst¨ achlich liefert die Vervollständigung Norm · Ω;m,α gleichgesetzt wird. Tats¨ jedoch einen echten Teilraum von C m,α (Ω). Besonders einfach ist dies im Falle des H¨ olderraums C 0,α (Ω) zu sehen, dessen Norm durch (5.10) gegeben ist. 1 Zum Beispiel gilt u ∈ C 0, 2 (B1 (0)), wenn u(x) := |x| ist. Wir nehmen widerspruchshalber an, daß es zu = 14 ein ϕ ∈ C ∞ (B1 (0)) mit u − ϕB1 (0);0, 12 < gibt. F¨ ur 0 < δ < 1 gilt dann auch uBδ (0);0, 12 − ϕBδ (0);0, 12 < . Nun ist aber f¨ ur x ∈ Bδ (0) \ {0} uBδ (0);0, 12 ≥ H 12 ;Bδ (0) ≥

|u(x) − u(0)| =1 |x − 0|1/2

und ϕBδ (0);0, 12 =

sup |ϕ(x)| + x∈Bδ (0)

|ϕ(x) − ϕ(y)| |x − y|1/2 x,y∈Bδ (0) sup x =y

≤

sup |ϕ(x) − u(x)| + x∈Bδ (0)

√

δ+

sup

|x − y|1/2 |∇ϕ(z)| ,

x,y,z∈Bδ (0) x =y

√ √ also 1 − − δ − 2δ supz∈Bδ (0) |∇ϕ(z)| < , was f¨ ur gen¨ ugend kleines δ den gew¨ unschten Widerspruch liefert.

188


Satz 5.4.3. Es sei Ω ⊆ R2 eine offene Menge mit 0 ∈ Ω, und es sei α ∈ (0, 1). Es seien A, B, C : Ω → R(2,2) matrixwertige Funktionen mit A(0) = B(0) = C(0) = 0, deren Eintr¨ age in C (α) (Ω) liegen. Dann gibt es eine Kreisscheibe B := BR (0) und ϕ, ψ ∈ C 1,α (B), die auf B ϕx1 − ψx2 ϕx1 ψx1 ϕ (5.17) = A(x) + B(x) + C(x) ψ ϕx2 + ψx1 ϕx2 ψx2 und

ϕx1 ψx1 det ϕx2 ψx2

>0

(5.18)

erf¨ ullen. Beweis. Aufgrund von Satz 5.4.1 und Bemerkung 5.3.6 ist auch C 1,α (B) × C 1,α (B), versehen mit der Norm (ϕ, ψ) := ϕB;1,α + ψB;1,α , urzen wir die rechte Seite von (5.17) ein Banachraum. F¨ ur ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) k¨ mit (f, g) ab. Dann liegen nach Bemerkung 5.3.2 b) und Aufgabe 5.10 die Funktionen f und g in C 0,α (B). Nach Satz 5.3.4 sind die Greenpotentiale zu B und f bzw. g s(x) := G(x, y)f (y) dy , t(x) := G(x, y)g(y) dy , x ∈ B , B

B

aus C 2,α (B), mithin die Funktionen u := −sx1 − tx2 ,

v := sx2 − tx1

aus C 1,α (B). Es definiert also K : (ϕ, ψ) → (u, v) eine lineare und f¨ ur jedes x ∈ R2 L(ϕ, ψ)(x) := x + K(ϕ, ψ)(x) eine affine lineare Abbildung L von C 1,α (B) × C 1,α (B) in sich, und wegen (x1 + u)x1 − (x2 + v)x2 = ux1 − vx2 = −Δs = f , (x1 + u)x2 + (x2 + v)x1 = ux2 + vx1 = −Δt = g hat (5.17) sicher dann eine L¨ osung, wenn L einen Fixpunkt besitzt. Wir m¨ ussen also versuchen zu erreichen, daß f¨ ur geeignetes R > 0 die lineare Abbildung K eine strikte Kontraktion wird. Nun ist

K(ϕ, ψ) = − (sx1 + tx2 )B;1,α + sx2 − tx1 B;1,α


189

und beispielsweise sx1 B;1,α = sup |sx1 | + R B

≤

2

sup |sx1 xi | + R1+α

i=1 B

2

Hα;B (sx1 xi )

i=1

1 1 sB;2,α ≤ c(N, α)R2 ΔsB;0,α , R R

wobei wir Bemerkung 5.3.6 verwendet haben. Daher ist K(ϕ, ψ) ≤ 2c(N, α)R f B;0,α + gB;0,α und weiter 2 f B;0,α = i=1 (A1i ϕxi + B1i ψxi ) + C11 ϕ + C12 ψ

B;0,α

.

Nach Aufgabe 5.10 haben wir z.B. A11 ϕx1 B;0,α ≤ A11 B;0,α ϕx1 B;0,α . Nun ist aufgrund der Voraussetzung an die Elemente der Matrixfunktion A A11 B;0,α = sup |A11 | + Rα Hα;BR (A11 ) BR

= sup |A11 (x) − A11 (0)| + Rα Hα;BR (A11 ) |x| 0 so, daß f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) und R < 1

190


f B;0,α + gB;0,α ≤

l α−1 R ϕB;1,α + ψB;1,α , 2

(5.19)

mithin K(ϕ, ψ) ≤ l c(N, α)Rα (ϕ, ψ) ausf¨ allt. F¨ ur geeignetes R ∈ (0, 1) ist daher etwa K(ϕ, ψ) ≤ 12 (ϕ, ψ), woraus folgt, daß L strikte Kontraktion auf C 1,α (B) × C 1,α (B) ist. Es sei (Φ, Ψ ) Fixpunkt von L, also L¨ osung von (5.17). Wir zeigen nun, daß es gegebenenfalls durch weitere Verkleinerung von R gelingt, (5.18) zu erreichen. Sind S, T die Greenpotentiale zu B und den beiden Zeilen der rechten Seite von (5.17), gebildet mit Φ, Ψ , so erhält man aus (Φ, Ψ )(x) = x + K(Φ, Ψ )(x) Φx1 Ψx2 − Φx2 Ψx1 = (1 − Sx1 x1 − Tx1 x2 ) (1 + Sx2 x2 − Tx2 x1 ) −(−Sx2 x1 − Tx2 x2 )(Sx1 x2 − Tx1 x1 ) . Es bleibt also nur zu zeigen, daß |Sxi xk (x)| + |Txi xk (x)| gleichmäßig in x ∈ BR klein werden, wenn R klein wird. Nun gilt aber f¨ ur alle ϕ, ψ ∈ C 1,α (B) und alle x ∈ B nach Bemerkung 5.3.6 f¨ ur die zugehörigen Funktionen s und t 1 sB;2,α + tB;2,α 2 R ≤ c(N, α) f B;0,α + gB;0,α ,

|sxi xk (x)| + |txi xk (x)| ≤

und dies ist nach (5.19) ≤

l c(N, α)Rα−1 (ϕ, ψ) . 2

Speziell ergibt sich f¨ ur den Fixpunkt 1 (Φ, Ψ ) = (x1 , x2 ) + K(Φ, Ψ ) ≤ (x1 , x2 ) + (Φ, Ψ ) , 2 also (Φ, Ψ ) ≤ 2(x1 , x2 ) und daher l c(N, α)Rα−1 2 x1 B;1,α + x2 B;1,α 2 l ≤ c(N, α)Rα−1 2 · 4R . 2

|Sxi xk (x)| + |Txi xk (x)| ≤

Bemerkung 5.4.4. a) Wie jeder u ¨ber das Kontraktionsprinzip gewonnene Fixpunkt l¨ aßt sich (Φ, Ψ ) als geometrische Reihe darstellen (welche, wenn es sich um die L¨ osung einer Integralgleichung handelt, im Hinblick auf die auf S. 15 ff. beschriebene L¨ osungsmethode von C. Neumann [225] gerne Neumannsche Reihe genannt wird), deren Partialsummen also eine sukzessive

5.5 Kleine Abweichungen des Hauptteils vom Laplaceoperator

191

Ann¨ aherung an die L¨ osung darstellen. Dieses Verfahren der sukzessiven Approximation hat eine lange Geschichte, z.B. in der Störungsrechnung der astronomischen Bahnbestimmung und in der iterativen Approximation von Lösungen numerischer Gleichungen. Liouville wandte von 1830 ab Iterationsverfahren auf spezielle gew¨ ohnliche Differentialgleichungen an (diese und Arbeiten von Cauchy werden in [198, pp. 446–448] diskutiert). H.A. Schwarz gewann in seiner Weierstraß zum 70. Geburtstag gewidmeten Schrift Lösungen der Minimalfl¨ achengleichung durch sukzessive Approximation [303]. Picard, der mit diesem Verfahren prim¨ ar assoziiert wird, obwohl er sich auf Schwarz beruft, behandelte mit ihm elliptische und hyperbolische Differentialgleichungen 2. Ordnung sowie nichtlineare Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen [253] – etwas fr¨ uher hatte Peano lineare Systeme so behandelt – und zeigte auf diese Weise, daß die L¨ osungen linearer elliptischer Gleichungen 2. Ordnung mit analytischen Koeffizienten analytisch sind [254]. b) Aufgrund des engen Bezuges zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und wegen vielf¨ altiger Anwendungen ist die Literatur u ¨ber elliptische Systeme der Form (5.17) außerordentlich umfangreich; wir verweisen auf [336].

5.5 Das Dirichletproblem fu ¨r die Kugel bei kleiner Abweichung des Hauptteils vom Laplaceoperator Das Dirichletproblem f¨ ur einen linearen Differentialoperator 2. Ordnung, Lu := −

N

aik uxi xk +

N

ai uxi + au ,

(5.20)

i=1

i,k=1

dessen Hauptteil, also −

N

aik uxi xk ,

i,k=1

nur wenig von −Δu abweicht, wurde von Korn in der schon im Abschnitt 5.4 genannten Arbeit [152] mit dem Verfahren der sukzessiven Approximation gel¨ ost. Wir folgen hier der von Schauder in [293, p. 278 f.] gegebenen Anregung, stattdessen die von S.N. Bernstein [18, p. 83] in allgemeinerem Zusammenhang eingef¨ uhrte Kontinuit¨ atsmethode mit geeigneten APriori-Absch¨ atzungen zu kombinieren. Anstelle des einen Operators L werde f¨ ur t ∈ [0, 1] die Schar von Operatoren N N

[taik + (1 − t)δik ] uxi xk + t ai uxi + au Lt u := − i,k=1

i=1

betrachtet. Es bezeichne τ die Menge derjenigen t ∈ [0, 1], f¨ ur welche das Dirichletproblem

192


Lt u = f in B,

u|∂B = 0

bei jeder Wahl von f ∈ C 0,α (B) mit u ∈ C 2,α (B) eindeutig lösbar ist. Nach Satz 5.3.4 ist 0 ∈ τ ; das Ziel ist es, 1 ∈ τ zu zeigen. Der Grundgedanke ist nun der, das Intervall [0, 1] mit endlichvielen Intervallen einer festen Länge zu u ¨berdecken, welche so geartet sind, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn einer seiner Punkte zu τ geh¨ ort. Dies geschieht mit Hilfe des Banachschen Fixpunktsatzes unter Verwendung einer A-Priori-Abschätzung, die aus dem Bernsteinschen Lemma 2.3.6, der Ungleichung (5.12) aus Bemerkung 5.3.5 und einer nun noch herzuleitenden Interpolationsungleichung besteht, bei der die Norm von C 1,α (B) durch die von C 2,α (B) und die Supremumsnorm abgesch¨ atzt wird. Erinnert sei daran, daß wir f¨ ur m ∈ {0, 1, 2} den H¨ olderraum C m,α (Ω) definiert hatten durch ur jeden Multiindex μ mit |μ| ≤ m ist Dμ u beschränkt, {u ∈ C m (Ω) : f¨ und f¨ ur alle |μ| = m gilt zudem Hα;Ω (Dμ u) < ∞} und mit der Norm uΩ;m,α :=

sup |Dμ u| +

|μ|≤m

Ω

Hα;Ω (Dμ u)

|μ|=m

versehen hatten (s. Definition 5.3.1 und Bemerkung 5.3.5). F¨ ur konvexes Ω ⊂⊂ RN hat man aufgrund des Mittelwertsatzes sofort die Inklusion C 2,α (Ω) ⊆ C 1,α (Ω). Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung legt es nahe, 1. Ableitungen einer Funktion durch 2. Ableitungen und die Funktionswerte selbst abzusch¨ atzen (Nirenberg [238] spricht in diesem Zusammenhang von calculus ” inequalities“ oder einem calculus lemma“). Ist zum Beispiel u eine Funktion ” ur alle n ∈ N die Identität in C 2 ([a, b]), so besteht f¨

y

(b − a)u (y) = a

(x − a)n+1 u (x) dx − (y − a)n ⎡

+ n(n + 1) ⎣−

y a

b y

(b − x)n+1 u (x) dx (b − y)n

(x − a)n−1 u(x) dx + (y − a)n

b y

⎤ (b − x)n−1 u(x) dx⎦ , (b − y)n

wie man durch einmalige partielle Integration in jedem der vier Integrale sieht. Also ist


193

⎡ y ⎤ b n+1 n+1 (x − a) (b − x) (b − a) max |u | ≤ ⎣ dx + dx⎦ max |u | (y − a)n (b − y)n ⎡ + n(n + 1) ⎣

a

y a

y

(x − a)n−1 dx + (y − a)n

b y

⎤ (b − x)n−1 ⎦ dx max |u| (b − y)n

(b − a)2 max |u | + 2(n + 1) max |u| . ≤ n+2 ur alle u ∈ C 2 ([a, b]) Es gibt also zu jedem > 0 ein d > 0, so daß f¨ max |u | ≤ max |u | + d max |u| ist. Ungleichungen dieses Typs lassen sich f¨ ur höhere Ableitungen oder andere Normen in einer oder in h¨ oheren Dimensionen herleiten. In Zusammenhang mit einer solchen Ungleichung, der von Ehrling [59], machte nun Fichera [65, p. 27 f.] die bemerkenswerte Beobachtung, daß ihr eine einfache abstrakte Beziehung, kompakte Operatoren betreffend, zugrunde liegt. Sind X, Y normierte R¨ aume, so heißt ein (nicht notwendig linearer) Operator K : X → Y kompakt, wenn f¨ ur jede beschr¨ ankte Folge (xn ) aus X die Folge (Kxn ) eine konvergente Teilfolge besitzt. Ist K linear, so folgt aus der Kompaktheit automatisch die Stetigkeit von K. Die nachfolgende Aussage wird auch gerne als Ehrlingsches Lemma bezeichnet, obwohl diese abstrakte Version in [59] nicht vorkommt. Lemma 5.5.1. Es seien X, Y , Z normierte R¨ aume. Es sei K : X → Y linear und kompakt, ferner T : Y → Z linear, stetig und injektiv. Dann gibt es zu jedem > 0 eine Zahl d(, K, T ) > 0, so daß KxY ≤ xX + d(, K, T )T KxZ

f¨ ur alle x ∈ X .

Beweis. Andernfalls g¨ abe es ein 0 > 0 und zu jedem n ∈ N ein xn ∈ X mit Kxn Y > 0 xn X + nT Kxn Z . Wir d¨ urfen xn = 1 annehmen. Wegen der Kompaktheit von K enthält die Folge (Kxn ) eine konvergente Teilfolge: Kxn → y ∈ Y . Es folgt T Kxn Z → 0, also T y = 0 wegen der Stetigkeit von T und dann y = 0 wegen der Injektivit¨ at. Daher gilt Kxn → 0 im Widerspruch zu Kxn Y > 0 . Satz 5.5.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere, konvexe Menge und α ∈ (0, 1]. Dann ist der Einbettungsoperator K : C 2,α (Ω) → C 1,α (Ω), u → u kompakt. Beweis. Es sei (un ) eine Folge aus C 2 (Ω) mit

sup |Dμ un | + Hα;Ω (Dμ un ) ≤ const |μ|≤2

Ω

|μ|=2

194


f¨ ur n ∈ N. Aufgrund des Mittelwertsatzes (in Verbindung mit der Konvexität von Ω) sind dann f¨ ur |μ| ≤ 2 die (Dμ un ) Folgen gleichgradig gleichmäßig stetiger Funktionen, die somit auf Ω stetig fortsetzbar sind. Speziell kann also (un ) als eine auf dem Kompaktum Ω definierte beschränkte Folge gleichgradig gleichm¨ aßig stetiger Funktionen angesehen werden. Nach dem Satz von Arzel` a und Ascoli (s. auch den Beweis von Satz 2.1.10) besitzt sie daur jeden her eine gleichm¨ aßig konvergente Teilfolge (un ). Gleichermaßen hat f¨ Multiindex μ mit 1 ≤ |μ| ≤ 2 die Folge (Dμ un ) gleichmäßig konvergente Teilfolgen. F¨ ur |μ| = 2 verwende man die Beschränktheit der Hα;Ω (Dμ un ), um die gleichgradige gleichm¨ aßige Beschr¨ anktheit der Folgen nachzuweisen. Durch sukzessive Teilfolgenbildung k¨ onnen wir eine Teilfolge (un ) von (un ) ur alle |μ| ≤ 2 eine Cauchyfolge bez¨ uglich der so herstellen, daß (Dμ un ) f¨ Supremumsnorm darstellt. Die Konvexit¨ at und Beschränktheit von Ω ausnutzend, zeigt man nun mit dem Mittelwertsatz, daß (un ) Cauchyfolge in C 1,α (Ω) bez¨ uglich der Norm · Ω;1,α ist. Die Vollständigkeit des Raumes (Satz 5.4.1) impliziert nun die gew¨ unschte Konvergenzaussage. Da die Einbettung T von C 1,α (Ω) in C 0 (Ω), versehen mit der Supremumsnorm, ersichtlich stetig und injektiv ist, haben wir Korollar 5.5.3. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere, konvexe Menge und α ∈ (0, 1]. Dann gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, α) > 0 mit uΩ;1,α ≤ uΩ;2,α + d(, Ω, α) sup |u|

(5.21)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω). Bemerkung 5.5.4. a) Wie in Bemerkung 5.3.5 sieht man, daß die Konstante in (5.21) f¨ ur solche Ω und Ω , die durch eine Translation auseinander hervorgehen, dieselbe ist. b) Die Voraussetzung der Konvexit¨ at im Satz 5.5.2 kann wesentlich abgeschw¨ acht werden. Wir werden im Abschnitt 7.3 darauf zur¨ uckkommen (vgl. auch Bemerkung 7.3.6 und die auf Bemerkung C.2 folgende Diskussion in Anhang C und dort insbesondere Satz C.5). Satz 5.5.5 (A-Priori-Absch¨ atzung). Es sei L linearer Differentialoperator wie in (5.20) angegeben. Weiter seien B ⊂⊂ RN eine Kugel, α ∈ (0, 1) und b > 0. Es sei c(B, α) wie in Ungleichung (5.12) von Bemerkung 5.3.5 und % 1 1 1 , aik − δik B;0,α ≤ n(B, α) := min 2 c(B, α) N f¨ ur alle aik ∈ C 0,α (B), i, k ∈ {1, . . . , N }. Dann gilt: (i) Es gibt zu jedem > 0 eine Zahl d(, B, α) > 0, so daß


− Δu − LuB;0,α ≤

1 c(B, α)−1 + 4b uB;2,α 2 +2b(d(, B, α) + 1) max |u| ,

195

(5.22)

B

sowie eine Zahl c(B, α, b) > 0, so daß uB;2,α ≤ c(B, α, b) LuB;0,α + max |u| B

f¨ ur alle diese aik , alle ai und a aus C 0,α (B) mit ai B;0,α ≤ b, aB;0,α ≤ b und alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0. (ii) Es gibt eine Zahl c˜(B, α, b) > 0 derart, daß f¨ ur alle aik , ai , a und u mit den in (i) genannten Eigenschaften uB;2,α ≤ c˜(B, α, b)LuB;0,α besteht, wenn zus¨ atzlich a ≥ 0 vorausgesetzt wird. Beweis. Zun¨ achst u ur u ∈ C 2,α (B) in ¨berzeugen wir uns davon, daß Lu f¨ 0,α C (B) liegt. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ersieht man C 2,α (B) ⊆ C 1,α (B) ⊆ C 0,α (B), so daß u, uxi , uxi xk in C 0,α (B) liegen, und es folgt Lu ∈ C 0,α (B) aus Aufgabe 5.10. Zu (i): Aufgrund der Eigenschaft von c(B, α) haben wir uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α ≤ c(B, α) ( − Δu − LuB;0,α + LuB;0,α )

(5.23)

und mit Aufgabe 5.10 a) − Δu − LuB;0,α ≤

N

aik − δik B;0,α uxi xk B;0,α

i,k=1

+

N

ai B;0,α uxi B;0,α + aB;0,α uB;0,α

i=1

1 uB;2,α + buB;1,α + bHα;B (u) 2c(B, α) 1 uB;2,α + 2buB;1,α + 2b sup |u| , ≤ 2c(B, α) B

≤

letzteres, da f¨ ur x, y ∈ B mit |x − y| ≥ 1 |u(x) − u(y)| ≤ 2 sup |u| |x − y|α B und f¨ ur x, y ∈ B mit 0 < |x − y| < 1 aufgrund des Mittelwertsatzes

196


|(x − y) · ∇u(x∗ )|

|u(x) − u(y)| ≤ ≤ sup |uxi | |x − y|α |x − y|α i=1 B N

ist. Mit Korollar 5.5.3 ergibt dies die Behauptung (5.22). Setzt man die Absch¨ atzung (5.22) in (5.23) ein und w¨ ahlt 0 < = (B, α, b) hinreichend klein, so erh¨ alt man schließlich die zweite Behauptung. ur alle ξ ∈ RN und x ∈ B Zu (ii): Wegen n(B, α)N ≤ 12 haben wir f¨ N

aik (x)ξi ξk =

i,k=1

N

[aik (x) − δik ] ξi ξk + |ξ|2 ≥

i,k=1

1 2 |ξ| , 2

so daß aufgrund des Bernsteinschen Lemmas 2.6.3 max |u| ≤ c0 (B, 12 , b) sup |Lu| B

B

ist. Zusammen mit (i) ergibt das die Behautptung.

Satz 5.5.6 (Existenz und Eindeutigkeit). Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel, α ∈ (0, 1) und n(B, α) die in Satz 5.5.5 definierte Zahl. F¨ ur i, k ∈ {1, . . . N } seien aik ∈ C 0,α (B) Funktionen mit aik − δik B;0,α ≤ n(B, α), ferner ai ∈ C 0,α (B) und 0 ≤ a ∈ C 0,α (B). Es sei f ∈ C 0,α (B). Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in B,

u|∂B = 0

(5.24)

genau eine L¨ osung u ∈ C 0 (B) ∩ C 2 (B), und es ist u ∈ C 2,α (B). Beweis. Die Strategie des Beweises ist eingangs erläutert worden; wir verwenden auch die dort eingef¨ uhrten Bezeichnungen. F¨ ur jedes t ∈ [0, 1] hat das Dirichletproblem Lt u = f in B,

u|∂B = 0

(5.25)

nach dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3 h¨ ochstens eine Lösung u ∈ C 0 (B) ∩ 2 ur die ai B;0,α und f¨ ur aB;0,α , so gilt nach C (B). Ist b > 0 eine Schranke f¨ Satz 5.5.5 (ii) f¨ ur alle t ∈ [0, 1] und u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 wegen taik + (1 − t)δik − δik B;0,α = t(aik − δik )B;0,α ≤ n(B, α) , tai B;0,α ≤ b, taB;0,α ≤ b sowie ta ≥ 0 , daß uB;2,α ≤ c˜(B, α, b)Lt uB;0,α .

(5.26)

ur jedes Offensichtlich sind Lt u = f und Lt0 u = f + (Lt0 − Lt ) u äquivalent. F¨ v ∈ C 2,α (B) ist

5.6 Der semilineare Fall und die Methode von Leray und Schauder

(Lt0 − Lt ) v = (t0 − t)(L1 − L0 )v ,

197

(5.27)

und die rechte Seite ist in C 0,α (B). Sei nun f ∈ C 0,α (B) und t0 ∈ τ , also Element der Menge der t ∈ [0, 1], f¨ ur welche (5.25) f¨ ur jede rechte Seite aus C 0,α (B) eindeutig l¨ osbar ist. Wir betrachten die (von t0 , t und f abhängende) Abbildung T : C 2,α (B) → z ∈ C 2,α (B) : z|∂B = 0 v → das w ∈ C 2,α (B) mit w|∂B = 0 und Lt0 w = f + (Lt0 − Lt ) v . Wir zeigen, daß es ein allein durch B, α, b bestimmtes δ > 0 gibt, so daß f¨ ur |t0 −t| < δ die Abbildung T einen Fixpunkt u besitzt. Es ist dann u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = T u|∂B = 0, ferner Lt0 u = Lt0 (T u) = f + (Lt0 − Lt ) u, also u L¨ osung von (5.25), mithin t ∈ τ . Wir haben dann also unser eingangs genanntes Ziel erreicht, das Intervall [0, 1] mit endlichvielen Intervallen einer festen L¨ ange zu u ¨berdecken, welche so geartet sind, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn einer seiner Punkte zu τ gehört. Es bleibt zu zeigen, daß T eine strikte Kontraktion ist. F¨ ur v1 , v2 ∈ C 2,α (B) haben wir aufgrund der Linearit¨ at der Operatoren Lt0 und Lt Lt0 (T v1 − T v2 ) = Lt0 T v1 − Lt0 T v2 = (Lt0 − Lt ) (v1 − v2 ) = (t0 − t)(L1 − L0 )(v1 − v2 ) in B ,

(5.28)

letzteres wegen (5.27). Ferner ist (T v1 − T v2 )|∂B = 0. Aus Satz 5.5.5 (ii) folgt T v1 − T v2 B;2,α ≤ c˜(B, α, b)Lt0 (T v1 − T v2 )B;0,α , was sich wegen (5.22) und (5.28) absch¨ atzen läßt durch 1 + 2b + 2bd(1, B, α) + 2b v1 − v2 B;2,α . |t0 − t| c˜(B, α, b) 2c(B, α) Es gibt also in der Tat ein δ = δ(B, α, b) > 0, so daß f¨ ur |t − t0 | < δ die Abbildung T eine strikte Kontraktion ist. Bemerkung 5.5.7. Wenn die Voraussetzung a ≥ 0 nicht mehr erf¨ ullt ist, kann es nichttriviale u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 und Lu = 0 geben, so daß man nicht mehr erwarten kann, Lv = f f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) eindeutig lösen zu k¨ onnen. Am einfachsten sieht man dies am Beispiel der Helmholtzschen Schwingungsgleichung −Δu+λu = 0, die f¨ ur λ < 0 nichttriviale Lösungen hat, die f¨ ur geeignetes r > 0 auf ∂Br (0) Null sind (vgl. die Bemerkung im Anschluß an Gleichung (2.17)). Dieses Problem wird in Kapitel 6 eigens behandelt.

5.6 Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des semilinearen Dirichletproblems in der Kugel Wir behandeln nun das semilineare Dirichletproblem

198


−Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B := BR (0) ⊂⊂ RN ,

u|∂B = 0

anhand einer Schlußweise, die f¨ ur die Behandlung vieler nichtlinearer Probleme typisch ist. Man spricht von einem semilinearen Problem, wenn, wie hier, in den Termen, die die h¨ ochsten Ableitungen enthalten, die gesuchte Funktion nur linear auftritt. Die Idee ist schnell skizziert: Bemerkung 5.6.1. Gegeben seien 0 < α < 1 und ein nicht notwendig beur jedes Q ⊂⊂ R × RN . schr¨ anktes f : B × R × RN → R mit f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ 2,α Es soll eine L¨ osung u ∈ C (B) gefunden werden (zur Notation s. Definition 5.3.1). Man fixiert ein γ ∈ (0, 1) und setzt in die rechte Seite f beliebige Funktionen v ∈ C 1,γ (B) ein. Nach Aufgabe 5.9 c) ist dann x → f (x, v(x), ∇v(x)) undet jeweils eine Funktion aus C (αγ) (B). Wie in Bemerkung 5.3.2 b) begr¨ wurde, gilt C (αγ) (B) = C 0,αγ (B). Nach Satz 5.3.4 hat das lineare Dirichletproblem −Δw(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

w|∂B = 0

eine L¨ osung w in C 02,αγ (B) := u ∈ C 2,αγ (B) : u|∂B = 0 . Der Subindex 0 bringt zum Ausdruck, daß wir nur solche u ∈ C 2,αγ (B) betrachten, deren eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung auf ∂B verschwindet (vgl. Bemerkung 5.3.2 d)). Es ist w eindeutig bestimmt. Die Zuordnung v → w definiert daher eine Abbildung S : C 1,γ (B) → C 02,αγ (B) ⊆ C 1,γ (B) .

(5.29)

Die Inklusion ergibt sich sofort aufgrund des Mittelwertsatzes, da B beschr¨ ankt und konvex ist. Wir haben nach Definition −Δ(Sv)(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

(Sv)|∂B = 0 .

Wenn S einen Fixpunkt h¨ atte, also wenn es ein u ∈ C 1,γ (B) gäbe mit Su = u, 2,αγ dann w¨ are u = Su ∈ C 0 (B) und −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Nun tritt ein Regularisierungseffekt ein: u ∈ C 2,αγ (B) ⊆ C 1,1 (B) hat nach Aufgabe 5.9 c) zur Folge, daß f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (B) ist, und daher liegt u in C 2,α (B) nach Satz 5.3.4. Der Fixpunktsatz, den wir jetzt verwenden, wurde von Leray und Schauder [179] im Rahmen ihrer Verallgemeinerung des Brouwerschen Abbildungsgrades bewiesen. Man gewinnt ihn am einfachsten aus dem Schauderschen Fixpunktsatz [291]. Wir erinnern an die Definition eines kompakten Operators, die vor der Formulierung von Lemma 5.5.1 gegeben wurde.


199

Satz 5.6.2 (Fixpunktsatz von Schauder). Es sei M eine nichtleere, beschr¨ ankte, abgeschlossene und konvexe Teilmenge eines Banachraums. Ist dann T : M → M kompakt und stetig, so besitzt T einen Fixpunkt. Satz 5.6.3 (Fixpunktsatz von Leray-Schauder). Es seien X ein Banachraum und die Abbildung S : X → X kompakt und stetig. Weiter nehmen wir an, daß ein A > 0 existiert derart, daß alle x ∈ X, welche die Gleichung x = σS(x) f¨ ur ein σ ∈ (0, 1) erf¨ ullen, der Absch¨ atzung x ≤ A gen¨ ugen. Dann hat S einen Fixpunkt. F¨ ur einen Beweis dieser S¨ atze verweisen wir auf [356, p. 56 f., p. 245]. Man beachte, daß anders als beim Kontraktionsprinzip die Eindeutigkeit des Fixpunktes im allgemeinen nicht mehr gegeben sein wird. Der nachfolgende Satz 5.6.5 ist hinsichtlich seiner Voraussetzungen auf die des Leray-Schauderschen Fixpunktsatzes zugeschnitten und reduziert das Problem der Existenz einer L¨ osung des semilinearen Dirichletproblems auf das des Beweises einer A-Priori-Ungleichung. Auf dieses wird dann in Satz 5.6.6 eingegangen. Bemerkung 5.6.4. Wir ben¨ otigen noch zwei leichte Modifikationen des Einbettungssatzes 5.5.2, die in noch allgemeinerem Rahmen in Anhang C (s. Satz C.5) bewiesen werden: Es sei Ω ⊂⊂ RN konvex und nichtleer. a) F¨ ur a, β ∈ (0, 1] ist die Einbettung von C 2,β (Ω) in C 1,α (Ω) kompakt. b) F¨ ur α ∈ (0, 1] und m ∈ {1, 2} (nur von diesen Werten von m machen wir hier Gebrauch) ist die Einbettung von C m,α (Ω) in C m (Ω) := u ∈ C m (Ω) : uΩ;m := |μ|≤m supΩ |Dμ u| < ∞ kompakt. Der Raum C 1 (Ω) trat implizit bereits beim Beweis von Satz 5.4.1 in Erscheinung. Satz 5.6.5. Es sei B := Br (0) ⊂⊂ RN , 0 < α < 1, und f : B × R × RN → R ur jedes Q ⊂⊂ R × RN . Es gebe ein γ ∈ (0, 1) und erf¨ ulle f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ein A > 0 derart, daß f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (B), zu dem es ein σ ∈ (0, 1) mit −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

v|∂B = 0

gibt, die Ungleichung vB;1,γ ≤ A

(5.30)

besteht. Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (B) mit −Δu = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Beweis. Es sei γ ∈ (0, 1), und es sei S wie in (5.29). In Satz 5.4.1 wurde gezeigt, daß C 1,γ (B) ein Banachraum ist. Bei festem σ ∈ (0, 1) sind dann die drei Aussagen

200


(1) v ∈ C 1,γ (B) , σSv = v ; (2) v ∈ C 2,αγ (B) , −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B, 2,α ur x ∈ B, (3) v ∈ C (B) , −Δv(x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨

v|∂B = 0 ; v|∂B = 0

¨ zueinander a ahrend sich die Aquivalenz von (1) und (2) unmittel¨quivalent. W¨ bar aus der Definition von S ergibt und (3) trivialerweise (2) impliziert, folgt (3) aus (2) mit dem in Bemerkung 5.6.1 geschilderten Regularisierungseffekt. Aufgrund von Satz 5.6.3 ist also nur zu zeigen, daß die Abbildung S kompakt und stetig ist. Zun¨ achst die Kompaktheit: Es sei (vn ) eine in C 1,γ (B) beschränkte Folge. Aus Bemerkung 5.6.1 wissen wir Svn ∈ C 02,αγ (B). Nach Bemerkung 5.3.7 gibt es daher eine allein von B und αγ abh¨ angende Zahl c(B, αγ) mit Svn B;2,αγ ≤ c(B, αγ)f (·, vn (·), ∇vn (·))B;0,αγ , so daß die Folge (Svn ) nach Aufgabe 5.12 a) eine in C 2,αγ (B) beschränkte Folge ist. Da die Einbettung von C 2,αγ (B) in C 1,γ (B) nach Bemerkung ur die (Svn ) in C 1,γ (B) 5.6.4 a) kompakt ist, gibt es also eine Teilfolge (vn ), f¨ konvergiert. Was die Stetigkeit anbetrifft, so machen wir von der Tatsache Gebrauch, daß eine Abbildung F : X → Y (X, Y normierte Räume) genau dann stetig in x ∈ X ist, wenn jede Folge (xn ) aus X mit xn → x eine Teilfolge (xn ) besitzt mit F (xn ) → F (x). Sei nun (vn ) eine Folge in C 1,γ (B), die in der Norm dieses Raumes gegen ein v konvergiert. Sie ist dann insbesondere in C 1,γ (B) beschr¨ ankt, und wie soeben gezeigt wurde, ist auch die in C 02,αγ (B) ankt. Nach Bemerkung 5.6.4 b) existiert eine in liegende Folge (Svn ) beschr¨ C 2 (B) konvergente Teilfolge (Svn ). Ihr Limes sei w; es ist dann w ∈ C 2 (B) und w|∂B = 0. Nach Definition von S gilt −ΔSvn (x) = f (x, vn (x), ∇vn (x)) f¨ ur x ∈ B,

Svn |∂B = 0 ,

und wegen der Konvergenz von (Svn ) in C 2 (B), der von (vn ) in C 1,γ (B) und der Stetigkeit von f folgt −Δw(x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ B,

w|∂B = 0 .

Nach Aufgabe 5.12 a) ist f (·, v(·), ∇v(·)) ∈ C 0,αγ (B). Aus Satz 5.3.4 ergibt sich w ∈ C 2,αγ (B). Die Definition von S liefert nun w = Sv. Mithin enthält jede Folge vn → v in C 1,γ (B) eine Teilfolge (vn ) mit Svn → Sv in C 2 (B) ⊆ C 1,γ (B). Der nachfolgende Satz gibt zwei Antworten auf die naheliegende Frage, wann denn die Voraussetzung (5.30) von Satz 5.6.5 erf¨ ullt ist; die zweite ist inspiriert durch ein Resultat in [148, p. 43]. Satz 5.6.6. Es sei B := Br (0) ⊂⊂ RN und α ∈ (0, 1). f : B × R × RN → R gen¨ uge entweder der Bedingung


201

a) f ∈ C 0,α (B × R × RN ) oder b) erf¨ ulle die Voraussetzungen ur alle Q ⊂⊂ R × RN ; (i) f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ (ii) f¨ ur x ∈ B ist f (x, ·, ·) ∈ C 1 (R × RN ); ur alle (x, z, p) ∈ B × R × RN gilt (iii) es gibt c1 , c2 , c3 > 0 derart, daß f¨ |f (x, z, p)| ≤ c1 + c2 (|z| + |p|), fz (x, z, p) ≤ 0, |∇p f (x, z, p)| ≤ c3 . Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (B) mit −Δu(x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ B,

u|∂B = 0 .

Beweis. Wir m¨ ussen nur zeigen, daß die Voraussetzung (5.30) von Satz 5.6.5 erf¨ ullt ist. Sei γ ∈ (0, 1). Nach Aufgabe 5.4 b) gibt es eine Zahl c(B, γ) mit wB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |Δw| B

f¨ ur alle w ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit w|∂B = 0. Im Falle der Voraussetzung a) ist M := sup |f | < ∞, also f¨ ur alle in Satz 5.6.5 genannten v vB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |f (x, v(x), ∇v(x))| ≤ c(B, γ)M . x∈B

Im Falle der Voraussetzung b) gilt f¨ ur alle in Satz 5.6.5 genannten v zunächst vB;1,γ ≤ c(B, γ) c1 + c2 sup |v| + sup |∇v| ≤ c(B, γ)(c1 + c2 vB;1 ) . B

B

Nach Bemerkung 5.6.4 b) in Verbindung mit Lemma 5.5.1 gibt es zu jedem > 0 ein d(, B, γ) > 0 mit wB;1 ≤ wB;1,γ + d(, B, γ) sup |w| B

f¨ ur alle w ∈ C 1,γ (B). Es existiert daher ein K(B, γ) so, daß die v aus Satz 5.6.5 die Ungleichung vB;1,γ ≤ K(B, γ)(1 + sup |v|) = K(B, γ)(1 + max |v|) B

B

erf¨ ullen. Wegen 1 −Δv(x) − σf (x, 0, 0) = σ 1 1 =σ

d f (x, tv(x), t∇v(x)) dt dt

0

fz (x, tv(x), t∇v(x))v(x) + 0

N

i=1

2 fpi (x, tv(x), t∇v(x))vxi (x) dt

202


gen¨ ugt v der linearen Differentialgleichung Lv(x) := −Δv(x) +

N

bi (x)vxi (x) + b(x)v(x) = σf (x, 0, 0)

i=1

mit

1

b(x) := −σ

fz (x, tv(x), t∇v(x)) dt ≥ 0 , 0

bi (x) := −σ

1

fpi (x, tv(x), t∇v(x)) dt . 0

Aufgrund des Bernsteinschen Lemmas 2.6.3 gibt es daher eine Zahl c0 (B, 1, c3 ) mit max |v(x)| ≤ c0 (B, 1, c3 ) c1 . x∈B

Hieraus ergibt sich (5.30) mit A := K(B, γ)(1 + c0 (B, 1, c3 ) c1 ).

Aufgaben 5.1. Es bezeichne G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel BR (0). Durch Rechnung weise man nach, daß f¨ ur alle y ∈ ∂BR (0) und x ∈ RN \ {y} gilt 1 |x|2 − R2 y · ∇y G(x, y) = . |y| RωN |y − x|N 5.2. Man zeige, daß die Greensche Funktion G f¨ ur die Kugel B ⊂⊂ RN den folgenden Absch¨ atzungen mit allein durch N bestimmten Konstanten gen¨ ugt: |Gyk (x, y)| ≤ const |x − y|1−N , |Gxi yk (x, y)| ≤ const |x − y|−N , Gx y x (x, y) ≤ const |x − y|−(N +1) i k

j

f¨ ur alle x, y ∈ B mit x = y und alle i, k, j ∈ {1, . . . , N }. ur B und k ∈ 5.3. Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel, G die Greensche Funktion f¨ {1, . . . , N }. Man zeige, daß f¨ ur f ∈ CbH (B) durch U (x) := Gyk (x, y)f (y) dy , x ∈ B , B

eine Funktion U ∈ C (B) definiert wird und daß Uxi (x) = [f (y) − f (x)] Gyk xi (x, y) dy 1

B

f¨ ur x ∈ B und i ∈ {1, . . . , N } gilt.

5 Aufgaben

203

5.4. a) Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel B := BR (0) und sei ankt, b ∈ C 0 (B) beschr¨ u(x) := G(x, y)b(y) dy , x ∈ B , B

und γ ∈ (0, 1). Man zeige: Es gibt Konstanten c(N ) und c(N, γ), so daß f¨ ur i ∈ {1, . . . , N } und x ∈ B bzw. x , x ∈ B gilt uxi (x) = Gxi (x, y)b(y) dy , B

|u(x)| ≤ c(N )R dist(x, ∂B) sup |b| ≤ c(N )R2 sup |b| , |uxi (x)| ≤ c(N )R sup |b| ,

|uxi (x ) − uxi (x )| ≤ c(N, γ)R1−γ (sup |b|) |x − x |γ . b) Man folgere aus a): Es sei B ⊂⊂ RN eine Kugel mit Radius R und γ ∈ (0, 1). Dann gibt es Konstanten c(N ) und c(N, γ), so daß f¨ ur alle u ∈ ur alle i ∈ {1, . . . , N } gilt (f¨ ur die C 2 (B) ∩ C 0 (B) mit u|∂B = 0 und f¨ Notation s. Definition 5.3.1): sup |u| ≤ c(N )R dist(x, ∂B) sup |Δu| ≤ c(N )R2 sup |Δu| , sup |uxi | ≤ c(N )R sup |Δu| , Hγ;B (uxi ) ≤ c(N, γ)R1−γ sup |Δu| . 5.5. Es sei G die Greensche Funktion f¨ ur die Kugel B := BR (0). Man zeige: Ist v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) derart, daß v|∂B = 0 und ∇v in B beschränkt ist, so gilt − lim G(x, y)Δv(y) dy = v(x) f¨ ur alle x ∈ B . R B (0)

5.6. F¨ ur offenes und nichtleeres Ω ⊆ RN und α ∈ (0, 1] ergänzen wir Definition 5.3.1 in der folgenden Weise. Es ist ur jedes Ω0 ⊂⊂ Ω C (α) (Ω) := u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω0 (u) < ∞ f¨ der Vektorraum der auf Ω lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen bzw. lokal gleichm¨ aßig lipschitzstetigen Funktionen. ur ein α ∈ (0, 1) und u ∈ C 2 (Ω) eine Funktion mit Es sei f ∈ C (α) (Ω) f¨ −Δu = f in Ω . Man zeige uxi xk ∈ C (α) (Ω) f¨ ur i, k ∈ {1, . . . N }. Diese Eigenschaft der Lösungen der Poissongleichung nennt man innere Regularit¨ at.

204


Anleitung: Man u achst, daß es gen¨ ugt, uxi xk ∈ C 0,α (B) ¨berlege sich zun¨ f¨ ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zu zeigen. In einer Kugel B mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω l¨ ose man dann −Δw = f mit w|∂B = 0 und addiere dazu die harmonische Funktion h mit h|∂B = u|∂B . 5.7. Man vollende f¨ ur N = 2 den Beweis des Bôcherschen Satzes 5.2.1. 5.8. Man zeige f¨ ur offenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m = 0, 1, 2, daß C m,α (Ω) ein linearer Raum ist, auf dem · Ω;m,α eine Norm definiert. 5.9. Es seien Ω ⊆ RN offen und α, β ∈ (0, 1]. Man zeige: a) C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω), falls β ≤ α und Ω ⊂⊂ RN ; b) C 1 (Ω) ⊆ C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω) ⊆ C H (Ω) ⊆ C 0 (Ω), falls β ≤ α; c) sind Ω, U ⊂⊂ RN , f ∈ C (α) (U ) und liegen die Komponenten von ϕ : Ω → U in C (β) (U ), so ist f ◦ ϕ ∈ C (αβ) (Ω). 5.10. Es sei α ∈ (0, 1]. Man beweise: ur Ω ⊂⊂ RN und f, g ∈ C 0,α (Ω); a) f gΩ;0,α ≤ f Ω;0,α gΩ;0,α f¨ ur alle Kugeln BR ⊂⊂ RN und f¨ ur b) f gBR ;0,α ≤ f BR ;0,α gBR ;0,α f¨ 0,α N ur Ω ⊂⊂ R , d := alle Funktionen f, g ∈ C (BR ). Hierzu weise man f¨ diam Ω, β ∈ (0, 1], λ := min{α, β} und f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω), g ∈ C 0,β (Ω) die folgenden drei Aussagen nach: (i) f g ∈ C 0,λ (Ω), (ii) Hλ;Ω (f g) ≤ Hα;Ω (f ) dα−λ sup |g| + Hβ;Ω (g) dβ−λ sup |f |, (iii) f gΩ;0,λ ≤ (sup |f |)(sup |g|) + Hλ;Ω (f g) ≤ max{1, d|α−β| }f Ω;0,α gΩ;0,α . Zur Notation siehe Definition 5.3.1 sowie die Bemerkungen 5.3.5 und 5.3.6. ur x ∈ 5.11. Es sei Ω ⊆ RN offen, 0 < α < 1, u ∈ C 0,α (Ω), u(x) = 0 f¨ Ω \ B2/3 (x0 ). Man zeige: uΩ;0 = uΩ∩B (x0 );0 , ⎧ ur x, y ∈ Ω ∩ B (x0 ) ⎪ Hα;Ω∩B (x0 ) (u) f¨ |u(x) − u(y)| ⎨ 0 f¨ u r x, y ∈ Ω \ B2/3 (x0 ) ≤ ⎪ |x − y|α ⎩ uΩ∩B (x0 );0 f¨ ur x ∈ Ω ∩ B2/3 (x0 ), y ∈ Ω \ B (x0 ) (/3)α und folgere uΩ;0,α ≤ uΩ∩B (x0 );0,α + (/3)−α uΩ∩B (x0 );0 . 5.12. Es sei B := BR (0) ⊂⊂ RN , α ∈ (0, 1), und f : B × R × RN → R erf¨ ulle f ∈ C 0,α (B × Q) f¨ ur jedes Q ⊂⊂ R × RN .

5 Aufgaben

205

a) Es seien γ ∈ (0, 1], λ > 0, Q(λ) := {(z, p) ∈ R×RN : |z| < λ, |p| < λ} und D := max{1, diam B}. Man zeige: F¨ ur alle v ∈ C 1,γ (B) mit vB;1 ≤ λ gen¨ ugt Fv := f (·, v(·), ∇v(·)) der Ungleichung α/2 Fv B;0,αγ ≤ f B×Q(λ);0 + D(1−γ)α 1 + v2B;1,γ Hα;B×Q(λ) (f ) . b) Man folgere im Falle f ∈ C 0,α (B × R × RN ), daß es eine Zahl k(B, α, γ) mit Fv B;0,αγ ≤ k(B, α, γ)f B×R×RN ;0,α (1 + v2B;1,γ )α/2 f¨ ur alle v ∈ C 1,γ (B) gibt.

6 Die Fredholmsche Alternative fu ¨ r das Dirichletproblem

Es wird gezeigt, daß bei einem beschr¨ ankten Gebiet mit regulärem Rand die Greensche Funktion zu −Δ einen kompakten Integraloperator definiert (Lemma 6.2.2). Hieraus ergibt sich, daß das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ+a−λ)u = f genau dann f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist, wenn die homogene Gleichung nur die triviale L¨ osung besitzt (Satz 6.2.5). Wichtige Folgerungen sind die Existenz der Greenschen Funktion f¨ ur −Δ+1 (Satz 6.2.7), die Existenz unendlichvieler Eigenwerte f¨ ur −Δ (Satz 6.2.8) sowie die stetige Abhängigkeit der Lösung des Dirichletproblems von den Koeffizienten (Satz 6.2.9). Unter etwas stärkeren Voraussetzungen an den Rand wird in Abschnitt 6.3 eine etwas allgemeinere Gleichung betrachtet. Die Behandlung der allgemeinen linearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung erfolgt in Abschnitt 8.3.

6.1 Die S¨ atze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung. Resolvente und Spektrum. Wir hatten in Bemerkung 5.5.7 am Beispiel der Helmholtzschen Schwingungsgleichung darauf hingewiesen, daß das Dirichletproblem − Δu + a(x)u = f (x) in Ω ⊂⊂ RN ,

u|∂Ω = g

(6.1)

im Falle a < 0 nicht eindeutig l¨ osbar zu sein braucht, da es möglich ist, daß dann das homogene Problem (d.h. f = 0 und g = 0) eine nichttriviale L¨ osung besitzt. F¨ ur lineare Gleichungssysteme Ax = b zwischen Vektoren osungen zur Folge, daß es Vektoren in RN hat die Existenz nichttrivialer L¨ b gibt, f¨ ur welche das Gleichungssystem Ax = b keine Lösung besitzt. Wir werden sehen, daß auch das Dirichletproblem (6.1) genau dann f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist, wenn das homogene Problem nur die triviale Lösung hat. Daß die Entsprechung zu endlichdimensionalen linearen Gleichungssystemen so weit geht, ist keineswegs selbstverst¨ andlich und liegt daran, daß mittels der Greenschen Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator die Lösung des Problems E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 6,

208

6 Die Fredholmsche Alternative f¨ ur das Dirichletproblem

(6.1) ¨ aquivalent ist der L¨ osung einer Fredholmschen Integralgleichung (auch Integralgleichung 2. Art genannt), n¨ amlich der Gleichung (6.7) unten. Geleitet durch den Gedanken, bei vorgegebenen stetigen Funktionen k und f die Integralgleichung 1 k(x, y)u(y) dy = f (x), x ∈ [0, 1] , (6.2) u(x) + λ 0

durch ein lineares Gleichungssystem zu approximieren1 , gelangte Fredholm 1900 zu seiner ber¨ uhmten Alternative: Entweder ist (6.2) f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar (die L¨ osung kann dann in Analogie zur Cramerschen Regel als Quotient zweier Funktionen geschrieben werden, die ganze Funktionen in dem Parameter λ ∈ C sind), oder die homogene Gleichung hat eine nichttriviale L¨ osung [71]. In zwei Comptes-Rendus-Noten und der abschließenden Arbeit [72] bewies er erg¨ anzend: Die homogene Gleichung hat höchstens endlichviele linear unabh¨ angige L¨ osungen. Ist r ihre Maximalzahl, so besitzt auch die homogene Gleichung f¨ ur den transponierten Kern kt (x, y) := k(y, x) genau r linear unabh¨ angige L¨ osungen ψ1 , . . . , ψr , und (6.2) ist genau dann lösbar, wenn 1 f (x)ψi (x) dx = 0 0

f¨ ur alle i = 1, . . . , r gilt. Ein direkter Nachweis der Berechtigung des Grenz¨ ubergangs von einem endlichen System linearer Gleichungen zu (6.2) stammt von Hilbert [114], der die erste Fredholmsche Arbeit durch einen Vortrag von Holmgren in G¨ ottingen im Fr¨ uhjahr 1901 kennenlernte. In seiner determinantenfreien Theorie der quadratischen Formen von unendlichvielen Variablen kristallisierte sich als Haupteigenschaft einer Abbildung, f¨ ur die noch eine Analogie zur Hauptachsentransformation in der linearen Algebra besteht, die Kompaktheit (in Hilberts Terminologie: Vollstetigkeit) heraus [115, S. 201]. 1916 ¨ bewies F. Riesz [286] auf eine elegante Weise, die nahezu ohne Anderung in die Lehrbuchliteratur u ¨bernommen werden konnte (wir nennen beispielhaft [154, Chapter 3]), den folgenden Satz 6.1.1 (Fredholmsche Alternative). Es seien X ein normierter Raum und K : X → X ein linearer kompakter Operator. Dann hat T := 1 − K (wir schreiben 1“ f¨ ur die Identit¨ at auf X) einen endlichdimensionalen Nullraum ” ¨ und einen abgeschlossenen Wertebereich. Uberdies gilt: Entweder ist die Gleichung T u = f f¨ ur alle f ∈ X l¨ osbar oder T u = 0 hat nichttriviale L¨ osungen. 1

Etwa gleichzeitig versuchte Hadamard mehrere Jahre vergeblich, diesen Gedanken auf die Integralgleichung 1. Art anzuwenden, bei der der Term u(x) in (6.2) fehlt. Das sei, schreibt er in [95, p. 52, p. 128], ein Mißerfolg gewesen, den er besonders bedauere, der aber durch die Tatsache gemildert werde, daß seine Deter¨ minantenabsch¨ atzung f¨ ur die Fredholmschen Uberlegungen wesentlich sei.

6.1 Die S¨ atze von Fredholm. Resolvente und Spektrum.

209

(Mit anderen Worten: Der Operator T ist genau dann surjektiv, wenn er injektiv ist.) Dieser Satz wurde 1930 von Schauder [292] durch die Aussage ergänzt, daß ein linearer Operator A von dem Banachraum X in den Banachraum Y genau dann kompakt ist, wenn der Operator A von dem topologischen Dualraum Y in den Raum X diese Eigenschaft hat. Man spricht daher auch häufig von der Riesz-Schauder-Theorie. In Zusammenhang mit dem Dirichletproblem ist es jedoch nicht zweckm¨ aßig, den normierten Raum der stetigen Funktionen zu verlassen und zum Dualraum u ¨berzugehen. Vielmehr bietet es sich an, unabh¨ angig von der Norm noch ein Skalarprodukt einzuf¨ uhren und den transponierten Operator zu betrachten, der sich bez¨ uglich dieses Skalarprodukts ergibt. Eine abstrakte Theorie, die dem, aber auch dem urspr¨ unglichen Schauderschen Resultat Rechnung tr¨ agt, wurde in den 60er Jahren von Heuser, J¨ orgens, Kreß und Wendland entwickelt und basiert auf dem folgenden Begriff (vgl. auch [155]). Definition 6.1.2. Es seien X, Y normierte R¨ aume (¨ uber K, dem K¨ orper der reellen oder dem der komplexen Zahlen) und b : X ×Y → K eine nichtentartete Bilinearform (d.h. zu jedem x ∈ X \ {0} gibt es ein y ∈ Y \ {0} mit b(x, y) = 0 und umgekehrt zu jedem y ∈ Y \ {0} ein x ∈ X \ {0} mit dieser Eigenschaft). Dann heißt (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ uglich b. Bemerkung 6.1.3. Ist (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ uglich b und A : X → X ein linearer Operator, so gibt es h¨ ochstens einen Operator At : Y → Y mit b(Ax, y) = b(x, At y) f¨ ur alle x ∈ X, y ∈ Y . Er ist notwendigerweise linear und heißt der zu A transponierte Operator . Die nachfolgenden Aussagen a), b) werden vielfach 1. bzw. 2. Fredholmscher Satz genannt. Satz 6.1.4. Es sei (X, Y ) ein Dualsystem bez¨ uglich b. Weiter seien die beiden Operatoren K : X → X, K t : Y → Y linear und kompakt. Dann gilt: a) Die Nullräume von T := 1 − K, T t = 1 − K t sind endlichdimensional und haben die gleiche Dimension. b) Ist f ∈ X, so ist die Gleichung T u = f genau dann lösbar, wenn b(f, ψ) = 0 ist f¨ ur alle ψ aus dem Nullraum N (T t ) des transponierten Operators. F¨ ur einen Beweis und weitere Literaturhinweise sei auf [154, Chapter 4] verwiesen. Sind X, Y normierte R¨ aume u ¨ber K, also u ¨ber R oder C, und A ein linearer Operator mit Definitionsbereich D(A) ⊆ X und Wertebereich W (A) ⊆ Y , so versteht man unter seiner Resolventenmenge (oder Resolventmenge) (A) die Menge alle λ ∈ K mit den beiden folgenden Eigenschaften (anstelle von λ id schreiben wir λ):

210


(i) R := W (A − λ) ist dicht in Y , d.h. zu jedem > 0 und f ∈ Y gibt es ein u ∈ D(A) mit f − (A − λ)uY < ; (ii) (A − λ)−1 : R → X existiert und ist beschränkt, d.h. es gibt ein α > 0 ur alle ϕ ∈ R. mit (A − λ)−1 ϕX ≤ αϕY f¨ Der stetige lineare Operator R(A, λ) := (A − λ)−1 : R → X heißt dann die Resolvente von A an der Stelle λ ∈ (A). F¨ ur jedes ϕ ∈ R löst ja u := R(A, λ)ϕ die Gleichung (A − λ)u = ϕ, und jedes f ∈ Y kann durch ein solches ϕ approximiert werden. Begriff und Namengebung stammen von Hilbert [115], desgleichen der Name Spektrum f¨ ur das Komplement σ(A) := K \ (A). Bemerkenswerterweise zeigte sich mehr als zwei Jahrzehnte später, daß f¨ ur gewisse Operatoren A der Quantenmechanik σ(A) in der Tat das Spektrum von Atomen oder Molek¨ ulen beschreibt. Speziell gehören nat¨ urlich Eigenwerte von A, also λ, zu denen es u ∈ D(A), u = 0, mit Au = λu gibt, zum Spektrum von A, da f¨ ur diese ja (A − λ)−1 nicht existiert. Es wird sich zeigen, daß die von uns betrachteten Differentialoperatoren die Besonderheit haben, daß ihr Spektrum genau aus Eigenwerten besteht (s. Korollar 6.2.6). Der nachfolgende Satz stammt ebenfalls von F. Riesz [286]; er verallgemeinert den historisch fr¨ uheren, aber hier nachgestellten Satz 6.1.7. Satz 6.1.5 (Spektralsatz f¨ ur kompakte Operatoren). Es seien X ein unendlichdimensionaler normierter Raum und K : X → X ein linearer kompakter Operator. Dann ist 0 ∈ σ(K) und σ(K) \ {0} besteht aus h¨ ochstens abz¨ ahlbar vielen Eigenwerten. Sie haben endliche Vielfachheit und 0 als einzigen m¨ oglichen H¨ aufungspunkt. Bemerkung 6.1.6. Es gibt einfache Beispiele linearer kompakter Operatoren K, die keine Eigenwerte besitzen. F¨ ur solche Operatoren gilt σ(K) = {0}. F¨ ur einen Beweis von Satz 6.1.5 und der Aussage aus Bemerkung 6.1.6 verweisen wir wieder auf [154, Chapter 3]. Es sei nun X ein Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, also ein Pr¨ ahilbertraum (im endlichdimensionalen Fall spricht man auch von einem euklidischen Raum (K = R) oder von einem unit¨ aren Raum (K = C)) und K : X → X ein linearer Operator mit der Eigenschaft Kx, y = x, Ky f¨ ur alle x, y ∈ X , also ein symmetrischer Operator . Er besitzt, wenn er kompakt ist, wenigstens einen (notwendigerweise reellen) Eigenwert. Dieses von Hilbert [114, p. 78] stammende Resultat verallgemeinert den Satz, daß jede symmetrische Matrix wenigstens einen Eigenwert besitzt. Allgemeiner gilt folgender ebenfalls auf Hilbert zur¨ uckgehender und von Erhard Schmidt [297] von einer u ¨berfl¨ ussigen Voraussetzung befreiter Satz 6.1.7 (Spektralsatz f¨ ur symmetrische kompakte Operatoren). Es seien X ein Prähilbertraum und K : X → X ein symmetrischer kompakter

6.2 Das Dirichletproblem f¨ ur (−Δ + a − λ)u = f

211

Operator mit unendlichdimensionalem Wertebereich. Dann besitzt K abz¨ ahlbar unendlichviele von Null verschiedene Eigenwerte. Sie haben alle endliche Vielfachheit und 0 als einzigen H¨ aufungspunkt. F¨ ur einen Beweis dieses Satzes, der meistens f¨ ur vollständige Räume betrachtet wird, verweisen wir auf [320, p. 335 f.].

6.2 Das Dirichletproblem fu ¨r (−Δ + a − λ)u = f Es sei Ω ⊂⊂ RN . Anstelle des Dirichletproblems (−Δ + a − λ)v = f˜ in Ω,

v|∂Ω = g

(6.3)

u|∂Ω = 0

(6.4)

k¨ onnen wir das Problem (−Δ + a − λ)u = f in Ω,

betrachten, indem wir wie zu Beginn von Abschnitt 4.8 vorgehen: Ist g stetig und jeder Randpunkt von Ω regul¨ ar, so gibt es nach Satz 3.3.9 genau ein ¨ u = v − h und f = harmonisches h ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit h|∂Ω = g. Uber f˜ − (a − λ)h sind dann (6.3) und (6.4) ¨ aquivalent. Bei der Poissongleichung −Δu = f konnten wir uns auf reellwertige f und u beschr¨ anken, weil der komplexwertige Fall nur das Bestehen der beiden ungekoppelten Gleichungen −Δ Re u = Re f und −Δ Im u = Im f bedeutete. Wollte man aber bei den Gleichungen (6.3) oder (6.4) mit komplexwertigen Koeffizienten und L¨ osungen Real- und Imagin¨ arteil trennen, so bekäme man ein gekoppeltes System von Gleichungen f¨ ur Re u und Im u. Daher empfiehlt es sich hier, gleich alles im Komplexen zu behandeln. W¨ ahrend wir im Falle a − λ ≥ 0 aufgrund des Bersteinschen Lemmas 2.6.3 bereits wissen, daß das Dirichletproblem (6.4) mit f = 0 nur die triviale L¨ osung hat, kann es bei a − λ < 0 oder komplexwertigen a oder λ auch nichttriviale L¨ osungen geben. Wir werden jedoch sehen, daß dies bei vorgegebenem a nur f¨ ur diskret liegende Werte von λ ∈ C der Fall sein kann. Dies entspricht bei dem Gleichungssystem (A − λ)x = 0 im Vektorraum RN , daß det(A − λ) = 0 nur endlichviele Nullstellen hat. Einerseits ist man bei vielen Problemen an der Existenz solcher Eigenwerte interessiert; andererseits hat die Existenz solcher λ zur Folge, daß das inhomogenen Problem nicht mehr f¨ ur jede rechte Seite l¨ osbar ist. F¨ ur offenes Ω ⊆ RN setzen wir C 0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : u ist beschränkt} . Versehen mit der Norm u∞ := sup |u(x)| , x∈Ω

(6.5)

212


wird C 0 (Ω, C) f¨ ur nichtleeres Ω zu einem Banachraum (Aufgabe 6.1 a)). Das nun folgende Resultat bildet die Basis f¨ ur die Anwendung der Sätze 6.1.1 und 6.1.4 sowie 6.1.5 und 6.1.7 auf unser Dirichletproblem in Satz 6.2.5. Die Kompaktheit des Integraloperators in (6.7) wird in Lemma 6.2.2 gezeigt. Ein Problem erw¨ achst noch aus der Tatsache, daß das Dirichletproblem aufgrund des in Satz 4.3.1 genannten Gegenbeispiels von Petrini nicht f¨ ur alle f ∈ C 0 (Ω, C) klassisch l¨ osbar ist (s. Bemerkung 4.3.2). Immerhin haben wir aber die L¨ osbarkeit auf einer Menge, die nach Lemma 6.2.4 dicht in C 0 (Ω, C) liegt. ¨ Satz 6.2.1 (Aquivalenzsatz). Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar (s. Definition 3.3.8), so daß nach Satz 4.4.9 die Greensche Funktion G f¨ ur Ω und den Laplaceoperator existiert. Ferner seien a, f ∈ CbH (Ω, C) (vgl. Definition 4.1.5) und λ ∈ C. Dann sind das Differentialgleichungsproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) −Δu(x) + [a(x) − λ]u(x) = f (x),

x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0 ,

(6.6)

und das Integralgleichungsproblem ψ ∈ C 0 (Ω, C) ,

ψ(x) + [a(x) − λ] Ω G(x, y)ψ(y) dy = f (x),

x∈Ω,

(6.7)

in folgendem Sinne ¨ aquivalent: Wenn f¨ ur u die Aussage (6.6) zutrifft, dann erf¨ ullt ψ := −Δu die Aussage (6.7); wenn f¨ ur ψ die Aussage (6.7) zutrifft, dann hat das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

osung ist gegeben durch genau eine osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C). Diese L¨

L¨ ullt zudem (6.6). Ferner haben u(x) = Ω G(x, y)ψ(y) dy, x ∈ Ω, und sie erf¨ (6.6) und (6.7) im Falle f = 0 gleichviel linear unabh¨ angige L¨ osungen. Beweis. a) Wenn u die Eigenschaft (6.6) hat, so liegt insbesondere ψ := −Δu in C 0 (Ω, C). Da u das Dirichletproblem −Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

l¨ ost, ist G(x, y)ψ(y) dy

u(x) =

f¨ ur x ∈ Ω .

Ω

Nach Satz 4.4.7 a) und c) l¨ osen ja G(x, y) Re ψ(y) dy und Ω

G(x, y) Im ψ(y) dy Ω


213

dasselbe Dirichletproblem wie Re u bzw. Im u. Die Funktion ψ = −Δu erf¨ ullt daher in der Tat (6.7). b) Sei ψ eine L¨ osung von (6.7). Aufgrund der Beschränktheit von ψ folgt dann aus Satz 4.4.7 a) zun¨ achst, daß u := G(·, y)ψ(y) dy Ω

ankt ist. Nach Aufgabe 4.9 ist u ∈ C 1 (Ω, C) aus C (Ω, C) und somit beschr¨ und liegt gem¨ aß Aufgabe 4.2 c) in CbH (Ω, C). Aufgrund der Gleichung in (6.7) und Aufgabe 4.2 a) ist dann ψ ∈ CbH (Ω, C), woraus nach Satz 4.4.7 b) folgt, daß u ∈ C 2 (Ω, C) ist und das Dirichletproblem 0

−Δu = ψ in Ω,

u|∂Ω = 0

l¨ ost. Die Gleichung in (6.7), der ψ gen¨ ugt, schreibt sich daher wie in (6.6) angegeben. angige Lösungen von (6.6) mit c) Es seien nun u1 , . . . , ur linear unabh¨ f = 0. Dann sind ψ1 := −Δu1 , . . . , ψr := −Δur Lösungen von (6.7). Sie sind auch linear unabh¨ angig. G¨ abe es n¨ amlich eine nichttriviale Linearkombination are c1 ψ1 + . . . + cr ψr = 0, so w¨ −Δ(c1 u1 + . . . + cr ur ) = 0 in Ω,

(c1 u1 + . . . + cr ur )|∂Ω = 0 ,

also c1 u1 +. . .+cr ur = 0 auf Ω. Umgekehrt seien ψ1 , . . . , ψr linear unabhängige L¨ osungen von (6.7). F¨ ur i ∈ {1, . . . , r} ist die Lösung ui von −Δu = ψi in Ω,

u|∂Ω = 0

auch L¨ osung von (6.6). G¨ abe es eine nichttriviale Linearkombination c1 u1 + are auch −Δ(c1 u1 +. . .+cr ur ) = 0, also c1 ψ1 +. . .+cr ψr = . . .+cr ur = 0, so w¨ 0. arer Kern Ist K ⊆ RN ein Kompaktum, so erzeugt ein schwach singul¨ einen kompakten Operator in C 0 (K) [154, p. 21]. Diese Aussage und ihr Beweis bleiben g¨ ultig f¨ ur unseren Integraloperator in (6.7). Beim Beweis macht man am bequemsten von einer elementaren Aussage u ¨ber Folgen kompakter ur jedes Operatoren Gebrauch: Ist X ein Banachraum und An : X → X f¨ n ∈ N ein linearer kompakter Operator und konvergiert (An ) in der Operatornorm gegen einen Operator A : X → X, so ist A ein linearer kompakter Operator [154, p. 18]. Lemma 6.2.2. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ R regul¨ ar und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator. Dann wird durch Γ f (x) := G(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

ein linearer kompakter Operator Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) definiert.

214


Beweis. a) Wir zeigen, daß f¨ ur k ∈ C 0 (Ω × Ω) durch Kf (x) := k(x, y)f (y) dy, x ∈ Ω , Ω

ein (nat¨ urlich linearer) kompakter Operator K : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) defiankte Folge in C 0 (Ω, C), mit geeignetem niert wird. Es sei (fn ) eine beschr¨ ur alle n ∈ N. Aufgrund der gleichmäßigen SteM > 0 also fn ∞ ≤ M f¨ ur alle tigkeit von k auf Ω × Ω gibt es zu jedem > 0 ein δ > 0, so daß f¨ (x, y), (w, z) ∈ Ω × Ω gilt: |(x, y) − (w, z)| < δ ⇒ |k(x, y) − k(w, z)|
0. Nach Arzelà-Ascoli enth¨ alt daher (Kfn ) eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. b) Es sei ϕ die Abschneidefunktion aus dem Beweis von Satz 4.2.4. F¨ ur n ∈ N und x, y ∈ Ω setzen wir kn (x, y) := ϕ(n|x − y|)ϕ(n dist(y, ∂Ω))G(x, y) . Nach Korollar 4.5.3 ist kn ∈ C 0 (Ω × Ω), und gemäß a) definiert Kn f (x) := kn (x, y)f (y) dy Ω

ur jedes n ∈ einen linearen kompakten Operator Kn : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) f¨ N. Wir betrachten nun zun¨ achst den Fall N ≥ 3. Lemma 4.4.4 f¨ uhrt f¨ ur atzung f ∈ C 0 (Ω, C) und x ∈ Ω auf die Absch¨ |(Kn − Γ )f (x)| ≤ f ∞ |kn (x, y) − G(x, y)| dy Ω

≤ f ∞

G(x, y) dy

Ωn,x

≤ f ∞

S(x, y) dy

Ωn,x

mit Ωn,x := Ωn ∪ (Ω ∩ B2/n (x)) und Ωn := y ∈ Ω : dist(y, ∂Ω) ≤ Konvergenzsatz von Lebesgue liefert

2 n

. Der


vol(Ωn,x ) ≤

ωN (2/n)N + vol(Ωn ) =: Vn → 0 N

f¨ ur n → ∞ ,

215

(6.8)

und wir erhalten mit der in Aufgabe 6.2 definierten Funktion EN f¨ ur alle x ∈ Ω: |(Kn − Γ )f (x)| ≤ EN (Vn )f ∞ . Somit ist Kn − Γ ∞ := sup{(Kn − Γ )f ∞ : f ∞ ≤ 1} ≤ EN (Vn ). Aus ur n → ∞, d.h. (Kn ) ist eine (6.8) und Aufgabe 6.2 folgt Kn − Γ ∞ → 0 f¨ Folge linearer kompakter Operatoren in C 0 (Ω, C), die in der Operatornorm gegen Γ konvergiert. Also ist Γ kompakt. Im Falle N = 2 f¨ uhrt Lemma 4.4.4 mit obiger Argumentation auf Kn − Γ ∞ ≤ E2 (Vn ) +

Vn ln(diam Ω) → 0 f¨ ur n → ∞ . 2π

Somit ist die Kompaktheit von Γ auch in diesem Falle bewiesen.

Bemerkung 6.2.3. Das Produkt aus einem linearen beschränkten und einem linearen kompakten Operator ist wieder kompakt. Ist speziell Γ der kompakte Operator aus Lemma 6.2.2 und a ∈ C 0 (Ω, C), so ist aΓ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) kompakt. Wir ben¨ otigen noch die Dichtheit von CbH (Ω, C) in C 0 (Ω, C); sie folgt aus Lemma 6.2.4. Ist Ω ⊆ RN offen und nicht leer, so ist C ∞ (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) dicht in C 0 (Ω, C). ¨ von Ω und (ψn ) eine Beweis. Es sei (Ωn ), n ∈ N0 , eine offene Uberdeckung ¨ ur Ω bez¨ uglich dieser Uberdeckung (s. Satz A.13). C ∞ -Zerlegung der Eins f¨ Sei n ∈ N0 und f ∈ C 0 (Ω, C). Wegen supp ψn ⊂ Ωn gibt es ein ˆn > 0 so, daß ager von j ∗ (f ψn ), der Glättung von f ψn , noch f¨ ur ∈ (0, ˆn ) auch der Tr¨ in Ωn liegt (vgl. Satz A.6). Ferner konvergiert j ∗ (f ψn ) nach Satz A.6 (iv) aßig gegen f ψn . Zu jedem η > 0 gibt es daher ein f¨ ur → 0 auf Ωn gleichm¨ ur x ∈ Ωn n > 0 so, daß en := j n ∗ (f ψn ) in Cc∞ (Ωn , C) liegt und f¨ |f (x)ψn (x) − en (x)| ≤

η 2n+1

ausf¨ allt. Es ist e :=

∞

en

n=0

aus C ∞ (Ω, C), denn f¨ ur jedes Ω ⊂⊂ Ω sind h¨ ochstens endlichviele Summanden dieser Reihe von Null verschieden. Ferner ist f=

∞

n=0

f ψn ,

216


also |f (x) − e(x)| ≤ η

∞

1 =η; n+1 2 n=0

mithin ist e beschr¨ ankt und f − e∞ ≤ η.

Es sei D := {u ∈ C (Ω, C) ∩ C (Ω, C) : Δu ∈ u|∂Ω = 0}. onnen wir gem¨ aß Aufgabe 4.2 einen linearen Operator L F¨ ur a ∈ CbH (Ω, C) k¨ definieren durch 2

CbH (Ω, C),

0

L : D → CbH (Ω, C)

,

u → −Δu + au ,

(6.9)

¨ den wir im Hinblick auf das auf dem Aquivalenzsatz 6.2.1 beruhenden Korollar 6.2.6 als einen Operator in dem Banachraum (C 0 (Ω, C), · ∞ ) ansehen. In diesem Banachraum definieren wir ein Skalarprodukt durch u(x)v(x) dx . u, v := Ω

(Es ist dann (C 0 (Ω, C), ·, ·) ein Pr¨ ahilbertraum; mit der von dem Skalarurden wir den normierten Raum produkt erzeugten Norm · 2 := ·, ·1/2 w¨ andig ist.) Die Vollständigkeit von (C 0 (Ω, C), · 2 ) erhalten, der nicht vollst¨ (C 0 (Ω, C), · ∞ ) wurde beim Beweis von Lemma 6.2.2 und wird bei dem von Satz 6.2.9 ben¨ utzt. Aufgrund des Satzes von Giesecke (in der Version von Aufgabe 3.17) gilt f¨ ur alle u, v ∈ D (∇u · ∇v + auv) , Lu, v = Ω

ohne daß die Qualit¨ at der Berandung von Ω ⊂⊂ RN eine Rolle spielt. Speziell ist also (|∇u|2 + a|u|2 ) (6.10) Lu, u = Ω

und

Lu, v − u, Lv =

(a − a)uv .

(6.11)

Ω

Ist λ ein Eigenwert von L und u eine zugehörige Eigenfunktion, so folgt aus (6.10) 2 2 (Re λ) |u| = |∇u| + (Re a)|u|2 , Ω Ω Ω 2 2 (Im λ) |u| = (Im a)|u| .

Ω

Ω

Gilt Ω |∇u| = 0, so ist u auf jeder Zusammenhangskomponente von Ω kononnen mögliche Eigenwerte von L stant, wegen u|∂Ω = 0 also Null. Folglich k¨ nur in dem Streifen 2


S := {λ ∈ C : Re λ > inf Re a, | Im λ| ≤ sup | Im a|}

217

(6.12)

liegen. Ist a reellwertig, so ersieht man aus (6.11), daß L ein symmetrischer Operator ist. Satz 6.2.5 (Fredholmsche Alternative). Jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN sei regulär (s. Definition 3.3.8), a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

osung u aus f¨ ur jedes f ∈ CbH (Ω, C) und jedes g ∈ C 0 (∂Ω, C) eine L¨ osung u = 0 in C 2 (Ω, C) ∩ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), oder es gibt eine L¨ ur das homogene Problem C 0 (Ω, C) f¨ −Δu + a(x)u − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des Operators L aus (6.9). b) L hat h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und keinen endlichen H¨ aufungspunkt und liegen in dem Streifen (6.12). ¨ Beweis. a) Aufgrund der Aquivalenz der Probleme (6.3) und (6.4) (mit der dortigen harmonischen Funktion h gilt gemäß Aufgabe 4.2 (a − λ)h ∈ ugt es, den Satz unter der Annahme g = 0 zu beweisen. Wir CbH (Ω, C)) gen¨ ¨ befinden uns damit in der Situation des Aquivalenzsatzes 6.2.1. Nach Lemma 6.2.2 und Bemerkung 6.2.3 ist der Operator Kλ := (λ − a)Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) , mit dem sich die Gleichung (6.7) in der Form (1 − Kλ )ψ = f

(6.13)

schreibt, kompakt. Wenn also (6.6) f¨ ur alle f aus der nach Lemma 6.2.4 in C 0 (Ω, C) dichten Menge CbH (Ω, C) l¨ osbar ist, so gilt dies auch f¨ ur (6.13). Da der Wertebereich von 1 − Kλ nach Satz 6.1.1 abgeschlossen ist, ist also (6.13) osbar, so daß wieder nach Satz 6.1.1 f¨ ur alle f ∈ C 0 (Ω, C) l¨ (1 − Kλ )ψ = 0

(6.14)

¨ nur die triviale L¨ osung besitzt. Aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 hat daher die Gleichung (6.6) mit f = 0 nur die triviale L¨ osung, d.h. λ ist kein Eigenwert von L. Die eindeutige L¨ osbarkeit des Dirichletproblems ist klar, da L − λ ja injektiv ist. Umgekehrt: Wenn λ kein Eigenwert von L ist, so hat nach Satz 6.2.1 die Gleichung (6.14) nur die triviale L¨ osung. Nach Satz 6.1.1 ist daher (6.13) f¨ ur

218


¨ alle f ∈ C 0 (Ω, C), insbesondere also f¨ ur f ∈ CbH (Ω, C) lösbar. Der AquivaH lenzsatz 6.2.1 garantiert daher die L¨ osbarkeit von (6.6) f¨ ur alle f ∈ Cb (Ω, C). b) Ist S der in (6.12) definierte Streifen und λ0 ∈ C\S, so ist λ0 kein Eigenwert von L, also der beschr¨ ankte Operator 1 − Kλ0 nach Satz 6.1.1 bijektiv, mithin nach dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung (wir haben ihn schon in Bemerkung 5.3.7 verwendet) auch (1 − Kλ0 )−1 : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) beschr¨ ankt. Sei nun λ ein Eigenwert von L. Wir schreiben die dann bestehende Gleichung (6.14) in der Form 0 = (λ0 − λ)Γ ψ + (1 − Kλ0 )ψ . Es ist also μ := (λ − λ0 )−1 ein Eigenwert des nach Bemerkung 6.2.3 kompakur jeden von Null verschiedenen ten Operators (1 − Kλ0 )−1 Γ . (Umgekehrt ist f¨ Eigenwert μ dieses Operators λ := λ0 + μ1 ein Eigenwert von L.) Der Spektralsatz 6.1.5 f¨ ur kompakte Operatoren liefert nun in Verbindung mit dem ¨ Aquivalenzsatz 6.2.1 die Behauptung. Als Korollar zu dem Beweis von Satz 6.2.5 halten wir fest: ar, a ∈ CbH (Ω, C) Korollar 6.2.6. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ und L = −Δ + a der in (6.9) definierte Operator. Dann gilt: a) Ist λ kein Eigenwert von L, so ist der Wertebereich (L − λ)(D) von L − λ gleich CbH (Ω, C). b) Das Spektrum σ(L) von L besteht nur aus Eigenwerten. Beweis. a) Die komplexe Zahl λ sei kein Eigenwert von L. Wie im Beweis von Satz 6.2.5 a) folgt, daß zu jedem f ∈ CbH (Ω, C) ein u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) existiert mit −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = 0 .

aß Aufgabe 4.2 auch Δu ∈ CbH (Ω, C), also u ∈ D Wegen a ∈ CbH (Ω, C) ist gem¨ mit (L − λ)u = f . Da mit Aufgabe 4.2 zudem (L − λ)(D) ⊆ CbH (Ω, C) gezeigt werden kann, ist Aussage a) bewiesen. b) Sei λ ∈ C kein Eigenwert von L. Aus a) und Lemma 6.2.4 folgt unmit¨ telbar, daß der Wertebereich von L − λ in C 0 (Ω, C) dicht liegt. Dem Aquivalenzsatz 6.2.1 entnehmen wir folgende Darstellung der Resolvente: (L − λ)−1 f = Γ (1 − Kλ )−1 f

f¨ ur f ∈ CbH (Ω, C) .

Die Beschr¨ anktheit der Resolvente und damit die Zugehörigkeit von λ zur Resolventenmenge (L) ergibt sich aus der Beschränktheit von (1 − Kλ )−1 (s. Beweis von Satz 6.2.5 b)) und der Kompaktheit von Γ . Eine weitere bemerkenswerte Konsequenz von Satz 6.2.5 ist folgender ar. Dann existiert die Satz 6.2.7. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ Greensche Funktion zu Ω und −Δ + 1 (s. Definition 4.9.7).


219

Beweis. F¨ ur a = 1 ist λ = 0 nicht in der zugeh¨ origen Menge S enthalten, und folglich ist 0 kein Eigenwert von L = −Δ + 1. Somit besitzt das Problem −Δu + u = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0

nur die triviale L¨ osung (vgl. auch Aufgabe 2.9 a) oder Lemma 2.6.3), so daß nach Satz 6.2.5 das Problem −Δu + u = 0 in Ω,

u|∂Ω = g

f¨ ur jedes stetige g : ∂Ω → R genau eine L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) besitzt. Sei S die Singularit¨ atenfunktion zu −Δ + 1 (s. Definition 4.9.1). Dann gibt es also zu jedem y ∈ Ω ein H(·, y) ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit −Δx H(x, y) + H(x, y) = 0 f¨ ur x ∈ Ω,

H(x, y) = −S(x, y) f¨ ur x ∈ ∂Ω ,

und G := S + H ist die gesuchte Greensche Funktion.

Satz 6.2.8. Es sei jeder Randpunkt der nichtleeren Menge Ω ⊂⊂ RN regul¨ ar. a) Das Problem u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω),

−Δu = λu in Ω,

u|∂Ω = 0

(6.15)

besitzt abz¨ ahlbar unendlichviele Eigenwerte. Sie sind positiv, haben endliche Vielfachheit und +∞ als einzigen H¨ aufungspunkt. b) Es seien λ ein Eigenwert des Problems (6.15) und f ∈ CbH (Ω). Dann ist das Problem u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω),

−Δu − λu = f (x), x ∈ Ω,

u|∂Ω = 0

genau dann l¨ osbar, wenn f (x)v(x) dx = 0

(6.16)

Ω

f¨ ur alle v mit der Eigenschaft (6.15) gilt. Beweis. a) F¨ ur jede L¨ osung u von (6.15) gilt wegen Aufgabe 4.2 c), daß −Δu = λu ∈ CbH (Ω). Mithin ist u aus dem Definitionsbereich des Operators L aus (6.9), den wir f¨ ur a = 0 betrachten. Aus (6.12) folgt sofort, daß Eigenwerte von L notwendigerweise auf der positiven reellen Achse liegen. Gleichung (6.14) lautet nun einfach Γψ =

1 ψ. λ

Es ist also λ genau dann Eigenwert von L, wenn λ1 Eigenwert des kompakten Operators Γ ist. Dieser ist nach Aufgabe 6.3 b) symmetrisch, so daß die Behauptung aus dem Spektralsatz 6.1.7 folgt. Daß der Wertebereich von Γ

220


unendlichdimensional ist, ergibt sich aus dim CbH (Ω) = ∞ und aus der Injektivit¨ at von Γ |CbH (Ω) , die ihrerseits aus Satz 4.4.7 b) folgt. b) Nach Aufgabe 6.3 a) gilt Γ t = Γ bez¨ uglich der dortigen Bilinearform b. Nach Satz 6.1.4 b) ist daher T ψ = (1 − λΓ )ψ = f genau dann l¨ osbar, wenn f¨ ur alle ψ ∈ N (T ) fψ 0 = b(f, ψ) =

(6.17)

Ω

¨ gilt. Aufgrund des Aquivalenzsatzes 6.2.1 besteht zwischen den Lösungen der Gleichung (6.7) mit f = 0 und den L¨ osungen v der Gleichung (6.6) mit f = 0 der Zusammenhang −Δv = ψ, so daß (6.17) in der Tat zu (6.16) äquivalent ist. H.A. Schwarz bewies in seiner wegen der Methode der sukzessiven Approximation bereits in Bemerkung 5.4.4 a) genannten Schrift [303] aus dem Jahre 1885, daß das Problem (6.15) einen kleinsten Eigenwert und eine zugeh¨ orige, in Ω nullstellenfreie Eigenfunktion besitzt (er betrachtet eine etwas allgemeinere Gleichung, aber N = 2). Zum Nachweis der Konvergenz der Iterierten leitet er die nach ihm benannte Ungleichung her [303, Art. 15]; daß Bunyakovski˘i sie schon 1859 gefunden hatte, war unbemerkt geblieben. ´ [261, 262] bewies dann die Existenz von unendlichvielen EigenPoincare werten. Erhard Schmidt [297] bediente sich der Schwarzschen Iterierten beim Beweis des (so nat¨ urlich noch nicht formulierten) Satzes 6.1.7. Hil¨ bert [115] war der erste, der u ¨ber eine Greensche Funktion die Aquivalenz des Dirichletproblems f¨ ur eine partielle Differentialgleichung mit einer Fredholmschen Integralgleichung herstellte und dann zum Nachweis der Existenz unendlichvieler Eigenwerte seinen Satz u ¨ber Eigenwerte kompakter symmetrischer Operatoren heranzog. Der Gedanke, nur mit der Greenschen Funktion f¨ ur den Laplaceoperator zu arbeiten, findet sich bei [256]. In Bemerkung 3.1.5 hatten wir beim Dirichletproblem f¨ ur harmonische Funktionen auf die Bedeutung der stetigen Abhängigkeit der Lösungen von den Randdaten hingewiesen. Wir wollen nun analog die Abh¨ angigkeit der Lösung u des Dirichletproblems −Δu + a(x)u = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

von den vorgegebenen Daten f und g untersuchen. Um von einer eindeutigen L¨ osung des Dirichletproblems sprechen zu k¨ onnen, darf gemäß Satz 6.2.5 Null kein Eigenwert des in (6.9) definierten Operators L sein. Wegen Korollar 6.2.6 wissen wir sogar, daß 0 ∈ (L) und L(D) = CbH (Ω, C). Somit existiert ein α > 0 mit


L−1 f ∞ ≤ αf ∞

f¨ ur alle f ∈ CbH (Ω, C) .

221

(6.18)

Seien nun f¨ ur j = 1, 2 die Funktionen fj ∈ CbH (Ω, C) und gj ∈ C 0 (∂Ω, C) gegeben, und es bezeichne uj ∈ C 2 (Ω, C)∩C 0 (Ω, C) die eindeutig bestimmten L¨ osungen von −Δu + a(x)u = fj (x) in Ω,

u|∂Ω = gj .

Weiter seien hj ∈ C 2 (Ω, C)∩C 0 (Ω, C) die harmonischen Funktionen mit hj = gj auf ∂Ω. Man u ¨berlegt sich leicht, daß wj := uj − hj im Definitionsbereich D des Operators L liegt mit Lwj = fj − ahj . Verwendet man schließlich (6.18) und die aus dem schwachen Maximumprinzip (s. Satz 2.3.4 und Korollar 2.3.5) folgende Relation h1 − h2 ∞ = unschte Abschätzung g1 − g2 ∞ , so ergibt sich die gew¨ u1 − u2 ∞ < αf1 − f2 ∞ + (1 + αa∞ )g1 − g2 ∞ . Etwas schwieriger gestaltet sich der Nachweis der stetigen Abhängigkeit der L¨ osungen von den Koeffizienten a, λ. Satz 6.2.9 (Stabilit¨ at bez¨ uglich der Koeffizienten). Es sei jeder Randar, ferner a0 ∈ CbH (Ω, C) und λ0 ∈ C. Das homopunkt von Ω ⊂⊂ RN regul¨ gene Dirichletproblem w ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δw + a0 (x)w − λ0 w = 0 in Ω,

w|∂Ω = 0

(6.19)

habe nur die triviale L¨ osung. Dann gibt es ein allein von a0 , λ0 und Ω ur alle a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C mit abh¨ angendes δ0 > 0, so daß f¨ a − a0 ∞ + |λ − λ0 | < δ0 das Dirichletproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δu + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

(6.20)

osbar ist. Es sei u0 die L¨ osung im f¨ ur alle f ∈ CbH (Ω, C) und g ∈ C 0 (∂Ω, C) l¨ ur Falle a = a0 , λ = λ0 . Dann gibt es zu jedem > 0 ein δ ∈ (0, δ0 ), so daß f¨ alle a ∈ CbH (Ω, C) und λ ∈ C a − a0 ∞ + |λ − λ0 | < δ ⇒ u − u0 ∞ ≤ (f ∞ + g∞ ) besteht.

(6.21)

222


Beweis. Wir behandeln zun¨ achst den Fall g = 0. Ist Γ der lineare kompakte Operator aus Lemma 6.2.2, so setzen wir K0 := (λ0 − a0 )Γ

,

K := (λ − a)Γ .

¨ Da (6.19) nur die triviale L¨ osung hat, trifft dies aufgrund des Aquivalenzsatzes orende homogene Gleichung zu. Es 6.2.1 auch auf die zu (1 − K0 )ψ0 = f geh¨ ist also der lineare und beschr¨ ankte Operator 1 − K0 : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) nach Satz 6.1.1 bijektiv, so daß es aufgrund des Banachschen Satzes von der offenen Abbildung ein α0 > 0 gibt, das von a0 , λ0 und u ¨ber die Greensche Funktion von Ω abh¨ angt, mit (1 − K0 )−1 ϕ∞ ≤ α0 ϕ∞

f¨ ur alle ϕ ∈ C 0 (Ω, C) .

(6.22)

Speziell gilt also f¨ ur ψ0 = (1 − K0 )−1 f ψ0 ∞ ≤ α0 f ∞ . Um zu zeigen, daß auch (1 − K)ψ = f

(6.23)

eine L¨ osung besitzt, wenn a, λ nur wenig von a0 bzw. λ0 abweichen, schreiben wir diese Gleichung in der Form [1 − K0 − (K − K0 )]ψ = f oder [1 − (1 − K0 )−1 (K − K0 )]ψ = (1 − K0 )−1 f = ψ0 . Zun¨ achst ist wegen (6.22) f¨ ur ψ ∈ C 0 (Ω, C) (1 − K0 )−1 (K − K0 )ψ∞ ≤ α0 (K − K0 )ψ∞ . Aus

(6.24)

(K − K0 )ψ(x) = [a0 (x) − a(x) + λ − λ0 ]

G(x, y)ψ(y) dy,

x∈Ω,

Ω

folgt mit den Absch¨ atzungen aus Lemma 4.4.4 und Bemerkung 4.1.3 |(K − K0 )ψ(x)| ≤ (a − a0 ∞ + |λ − λ0 |)ψ∞ c(Ω, N )|x − y|3/2−N dy |y−x| 0 und alle n ∈ N. Wir setzen in C∗0 (Ω, C) mit fn ∗ ≤ M f¨ un := G(·, y)fn (y) dy . Ω

Auf jeder kompakten Teilmenge von Ω ist die Folge (∂xi un ) nach Satz 4.8.2 a) gleichgradig beschr¨ ankt und nach Korollar 4.8.5 gleichgradig gleichmäßig stetig, besitzt also dort nach Arzel` a-Ascoli eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Sei nun Ω0 ⊂⊂ Ω1 ⊂⊂ . . . ⊂⊂ Ω eine abzählbare Ausschöpfung von Ω. Es gibt dann eine Teilfolge (∂xi u0n ), die auf Ω 0 gleichmäßig konvergiert; sie enth¨ alt ihrerseits eine Teilfolge (∂xi u1n ), die auf Ω 1 gleichmäßig konvergiert usw. Die Diagonalfolge (∂xi unn ) ist dann auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichm¨ aßig konvergent. Wir zeigen, daß sie Cauchyfolge in C∗0 (Ω, C) und daher konvergent ist. Es sei d(Ω, 1/2) die Konstante aus Satz 4.8.2 a) mit ur alle n, m ∈ N γ = 12 . Zu > 0 gibt es dann ein t > 0 so, daß f¨ 1/2 < sup |δ(x)∂xi [unn (x) − um m (x)]| ≤ 2d(Ω, 1/2)M t x∈Ω δ(x)0,

(6.35)

ergibt sich nun die Integrierbarkeit der linken Seite von (6.35) und aus (6.34) schließlich die von a|u|2 . Wenn nun A endlich ist, so folgt aus (6.32) und (6.35) (mit = 2) B |u|2 ≥ A − |u|2 . (Re λ) 4 Ω Ω Satz 6.3.4 (Fredholmsche Alternative). Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige außere Kugeleigenschaft. Es seien a ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), a1 , . . . , aN ∈ ¨ CbH (Ω, C) und λ ∈ C. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem −Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g

i=1

f¨ ur jedes f ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und jedes g ∈ C 0 (∂Ω, C) eine L¨ osung osung u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) mit ∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ), oder es gibt eine L¨ ur das homogene u = 0 in C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C) mit ∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ) f¨ Problem −Δu +

N

ai (x)uxi + a(x)u − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

i=1

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des Operators L aus (6.31).

6.3 −Δu+

N i=1

ai uxi +(a−λ)u = f mit am Rand unbeschr¨ ankten a und f

229

b) Sei inf Re a endlich. Dann hat L h¨ ochstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und keinen endlichen H¨ aufungspunkt und liegen in der Halbebene (6.33). ¨ Beweis. a) Aufgrund der Aquivalenz der Probleme (4.48) und (4.49) aus Abschnitt 4.8 und wegen Satz 2.1.7 braucht nur der Fall g = 0 behandelt zu ¨ werden, so daß wir uns auf den Aquivalenzsatz 6.3.1 st¨ utzen können. Nach Lemma 6.3.2, Bemerkung 6.2.3 und Aufgabe 6.6 ist der Operator Kλ := (λ − a)Γ −

N

ai Γi : C∗0 (Ω, C) → C∗0 (Ω, C) ,

i=1

mit dem sich die Gleichung (6.28) in der Form (1 − Kλ )ψ = f schreibt, kompakt. Die Argumentation ist nun die gleiche wie beim Beweis des Teils a) von Satz 6.2.5; die dortigen R¨ aume C 0 (Ω, C) und CbH (Ω, C) sind 0 H lediglich durch C∗ (Ω, C) bzw. C (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) zu ersetzen. b) Auch der Beweis des Teils b) von Satz 6.2.5 u ¨berträgt sich nahezu wortw¨ ortlich, wenn man beachtet, daß die Rolle des Streifens S aus (6.12) nun von der Halbebene H aus (6.33) u ¨bernommen wird. Der Beweis des nachfolgenden Satzes ergibt sich durch eine sinngemäße ¨ Ab¨ anderung des Beweises von Satz 6.2.9 und sei daher als eine Ubungsaufgabe gestellt. Satz 6.3.5 (Stabilit¨ at bez¨ uglich der Koeffizienten). Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft. Es seien a ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), a1 , . . . , aN ∈ CbH (Ω, C) und λ0 ∈ C. Das homogene Dirichletproblem w ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δw +

N

∇w ∈ C∗0 (Ω, CN ) ,

ai (x)wxi + a(x)w − λ0 w = 0 in Ω,

w|∂Ω = 0 ,

i=1

habe nur die triviale L¨ osung. Dann gibt es ein allein von a, a1 , . . . , aN , λ0 und ur alle b ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), b1 , . . . , bN ∈ Ω abh¨ angendes δ0 > 0, so daß f¨ H Cb (Ω, C) und λ ∈ C mit b − a∗ +

N

bi − ai ∞ + |λ − λ0 | < δ0

i=1

das Dirichletproblem u ∈ C 2 (Ω, C) ∩ C 0 (Ω, C), −Δu +

N

i=1

∇u ∈ C∗0 (Ω, CN ) ,

bi (x)uxi + b(x)u − λu = f (x) in Ω,

u|∂Ω = g ,

230


f¨ ur alle f ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) und g ∈ C 0 (∂Ω, C) l¨ osbar ist. Es sei u0 die L¨ osung im Falle b = a, bi = ai , λ = λ0 . Dann existiert zu jedem > 0 ein ur alle b ∈ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), b1 , . . . , bN ∈ CbH (Ω, C) δ ∈ (0, δ0 ), so daß f¨ und λ ∈ C mit b − a∗ +

N

bi − ai ∞ + |λ − λ0 | < δ

(6.36)

i=1

folgender Sachverhalt besteht: F¨ ur alle x ∈ Ω und γ ∈ (0, 1) gilt mit einer (aus den Absch¨ atzungen in Lemma 4.8.1 und Satz 4.8.2 resultierenden) Zahl c0 (Ω, γ) |u(x) − u0 (x)| + δ(x)|∇u(x) − ∇u0 (x)| ≤ c0 (Ω, γ)δ(x)1−γ (f ∗ + g∞ ) . ur alle Insbesondere gibt es also zu jedem > 0 ein δ ∈ (0, δ0 ) derart, daß f¨ Koeffizienten mit der Eigenschaft (6.36) u − u0 ∗,1 ≤ (f ∗ + g∞ ) gilt.

Aufgaben 6.1. a) Es sei Ω ⊆ RN offen und nicht leer. Man zeige, daß der Vektorraum C 0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : u ist beschr¨ ankt}, versehen mit der Norm andig ist. u∞ := sup |u|, vollst¨ b) Man zeige, daß der Banachraum aus a) bez¨ uglich der Bilinearform b(u, v) := u(x)v(x) dx, u, v ∈ C 0 (Ω, C) , Ω

ein Dualsystem bildet. 6.2. Es bezeichne S die Singularit¨ atenfunktion in Definition 4.1.2. Man zeige, daß f¨ ur jedes N ≥ 2 eine Funktion EN : R+ 0 → R existiert mit limv→0 EN (v) = 0 und S(x, y) dy ≤ EN (vol(M )) M N ur alle meßbaren f¨ ur alle x ∈ R und f¨

Mengen M ⊆ R endlichen Volumens. Hinweis: Man w¨ ahle EN (v) := Br (0) S(0, y) dy, wobei der Radius r so gew¨ ahlt sei, daß v = vol(Br (0)) gilt. N

6.3. Es sei jeder Randpunkt von Ω ⊂⊂ RN regulär, ferner a ∈ C 0 (Ω, C) und λ ∈ C. Es sei Γ der Operator aus Lemma 6.2.2.

6 Aufgaben

231

a) Man bestimme den zu K := (λ − a)Γ : C 0 (Ω, C) → C 0 (Ω, C) transponierten Operator K t bz¨ uglich der Bilinearform aus Aufgabe 6.1 b) und zeige, daß dieser kompakt ist. b) Man zeige, daß Γ ein symmetrischer Operator ist, wenn man C 0 (Ω, C) mit dem Skalarprodukt u, v := u(x)v(x) dx Ω

versieht. 6.4. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und δ(x) := dist(x, ∂Ω) f¨ ur x ∈ Ω. Man zeige, daß die Vektorr¨ aume C∗0 (Ω, C) := {u ∈ C 0 (Ω, C) : δ · u ist beschränkt} , ur alle i = 1, . . . , N } C∗1 (Ω, C) := {u ∈ C 1 (Ω, C) : u, δ · uxi beschränkt f¨ vollst¨ andig sind, wenn sie mit den Normen u∗ := supx∈Ω |δ(x)u(x)| bzw. N u∗,1 := supx∈Ω |u(x)| + i=1 supx∈Ω |δ(x)uxi (x)| versehen werden. 6.5. Man zeige, daß C ∞ (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C) dicht in C∗0 (Ω, C) ist. 6.6. Es seien die Voraussetzungen von Lemma 6.3.2 erf¨ ullt und a ∈ C∗0 (Ω, C). Man zeige, daß mittels Γ : f → G(·, y)f (y) dy Ω

ein Operator aΓ :

C∗0 (Ω, C)

→

C∗0 (Ω, C)

definiert wird, der kompakt ist.

6.7. Es seien Ω, a und a1 , . . . , aN wie in Satz 6.3.4, und es bezeichne L den in (6.31) definierten zugeh¨ origen Operator. Man zeige: a) Ist λ ∈ C kein Eigenwert von L, so ist der Wertebereich von L − λ gegeben durch C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C). b) Das Spektrum von L besteht ausschließlich aus Eigenwerten. ur j ∈ {1, 2} sei fj ∈ 6.8. Es seien Ω, a und a1 , . . . , aN wie in Satz 6.3.4. F¨ C H (Ω, C) ∩ C∗0 (Ω, C), gj ∈ C 0 (∂Ω, C) und uj Lösung von −Δuj +

N

ai (uj )xi + auj = fj in Ω,

uj |∂Ω = gj .

i=1

Man zeige: Ist Null kein Eigenwert des Operators L aus (6.31) (vgl. Aufgabe 6.7), so gibt es ein c > 0 mit u1 − u2 ∗,1 ≤ c(f1 − f2 ∗ + max |g1 − g2 |) . 6.9. Man beweise Satz 6.3.5.

7 Der Kelloggsche Satz

Zur Vorbereitung der Schauderschen Absch¨ atzungen in Kapitel 8 wird gezeigt, daß die L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung bei gleichmäßig α- h¨ olderstetiger rechter Seite gleichm¨ aßig α-hölderstetige Ableitungen bis zur Ordnung 2 besitzt, wenn der Rand des beschränkten Gebietes diese Qualität hat (Satz 7.2.1 bzw. Korollar 7.2.2). Der Beweis geschieht in der Weise, daß ein Diffeomorphismus angegeben wird, der den Rand des Gebietes lokal auf einen Teil der Oberfl¨ ache der Kugel abbildet, wobei der Laplaceoperator in einen allgemeinen elliptischen Operator 2. Ordnung u uhrt wird, dessen ¨berf¨ Hauptteil sich nur wenig von diesem unterscheidet, so daß auf die Sätze 5.3.4 und 5.5.6 zur¨ uckgegriffen werden kann. Des weiteren werden f¨ ur die Schauderabsch¨ atzungen noch die Interpolationsungleichungen aus Lemma 7.3.3 und Korollar 7.3.4 ben¨ otigt. Kellogg [138] untersuchte 1931 das Verhalten harmonischer Funktionen in der N¨ ahe eines Randst¨ ucks z.B. der Qualtität C 2,α (s. Definition 7.1.1), indem er das Poissonintegral f¨ ur eine den Rand von innen her ber¨ uhrende Kugel betrachtete. Vielfach heißt aber seit langem die folgende Aussage (zur Definition der H¨ olderr¨ aume s. Definition 5.3.1) Kelloggscher Satz (s. Korollar 7.2.2): ur ein α ∈ (0, 1). Es seien Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α und f ∈ C 0,α (Ω) f¨ Dann hat das Dirichletproblem −Δu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

eine L¨ osung u ∈ C 2,α (Ω). Der Grund f¨ ur die Namengebung ergibt sich aus folgendem Beweisgedanken, den man auf p. 337 der amerikanischen Ausgabe von [46] findet. Ist B ⊃ Ω eine Kugel, so hat f eine Fortsetzung f˜ ∈ C 0,α (B) mit Träger in B (einen Beweis findet man in [83, § 6.9]). Ist v das Newtonpotential zu B und f˜, so besitzt die harmonische Funktion h, die auf ∂Ω gleich v ist, aufgrund der Kelloggschen Untersuchungen [138] die gew¨ unschte Qualität, und es ist u := v −h die gesuchte L¨ osung. E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 7,

234


Der Kelloggsche Satz wurde von Schauder [293] mit Hilfe seiner ber¨ uhmten A-Priori-Absch¨ atzung bewiesen. Mit der Bernsteinschen Kontinuitätsur methode zeigte er dann die L¨ osbarkeit des Dirichletproblems in C 2,α (Ω) f¨ allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung und mit dem Leray-Schauderschen Fixpunktsatz f¨ ur gewisse nichtlineare elliptische Gleichungen. Darauf werden wir in Kapitel 8 n¨ aher eingehen. Ein in sich abgeschlossener und direkter, also die nicht leicht herzuleitende A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder vermeidender Beweis wurde von Manfred K¨ onig gegeben [146]. Gleichzeitig zeigte König in [147], eine Bemerkung von Schauder in [293, p. 281] aufgreifend (wir haben bereits in Bemerkung 5.3.7 auf sie verwiesen), wie man bei Verwendung des Kelloggschen Satzes mit Hilfe des Banachschen Satzes von der offenen Abbildung zu der Schauderschen A-Priori-Absch¨ atzung gelangen kann. Wir werden darauf ebenfalls in Kapitel 8 zur¨ uckkommen. Wie es in der Literatur u ¨blich ist, bedeutet die C 2,α -Regularität von ∂Ω, daß wir zu jedem Randpunkt eine in RN offene Umgebung U und einen C 2,α onnen, der U ∩ Ω in den HalbDiffeomorphismus φ : U → D ⊆ RN finden k¨ raum RN + und den Rand U ∩ ∂Ω in die den Halbraum begrenzende Hyperur ebene RN −1 × {0} abbildet (s. Definition 7.1.1 und Bemerkung 7.1.4). F¨ den Beweis des Kelloggschen Satzes werden wir jedoch nicht diese Diffeomorphismen verwenden, sondern solche, die den Rand ∂Ω lokal auf einen Teil einer Kugeloberfl¨ ache transformieren. Dabei geht der Laplaceoperator in einen linearen elliptischen Differentialoperator 2. Ordnung u ¨ber, dessen Hauptteil nur wenig von −Δ abweicht. F¨ ur diesen Operator kennen wir die Lösbarkeit des Dirichletproblems in der Klasse C 2,α (B) aufgrund der Sätze 5.3.4 und 5.5.6. Allerdings machen wir auch noch von einer Eigenschaft des Gradienten des Greenpotentials f¨ ur −Δ und Ω Gebrauch (s. den Beweis von Korollar 7.2.2), die uns in Aufgabe 4.7 nur f¨ ur den Fall zur Verf¨ ugung steht, daß Ω die gleichm¨ aßige a ußere Kugeleigenschaft besitzt (s. Satz 4.6.2). Dies ist jedoch, ¨ wie wir sehen werden, f¨ ur alle Ω ⊂⊂ RN mit C 2,α -Rand der Fall.

7.1 Vorbereitungen Wir beginnen mit der Definition der C 2,α -Regularität f¨ ur den Rand einer offenen Teilmenge des RN . Definition 7.1.1. F¨ ur offenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] bedeute ∂Ω ∈ C 2,α , daß zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine in RN offene Umgebung U existiere, die x0 enthält, und eine Abbildung η ∈ C 2,α (U ) mit ∇η(x0 ) = 0 und U ∩ Ω = {x ∈ U : η(x) > 0} .

(7.1)

Bemerkung 7.1.2. a) F¨ ur Ω ⊂⊂ RN und 0 < β < α ≤ 1 ergibt sich aus Aufgabe 5.9 a) und Definition 7.1.1, daß ∂Ω ∈ C 2,α bereits ∂Ω ∈ C 2,β impliziert.

7.1 Vorbereitungen

235

b) Zus¨ atzlich zu den in Definition 7.1.1 geforderten Eigenschaften, können wir stets annehmen, daß U so gew¨ ahlt ist, daß ∇η(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ U gilt. Dann gilt η(x) < 0 f¨ ur jedes x ∈ U \ Ω, da im Falle η(x) = 0 die Funktion η in jeder Umgebung von x auch positive Werte annimmt, und somit jede Umgebung von x einen nichtleeren Schnitt mit Ω besitzt. Wegen ∂Ω = Ω \ Ω ist η(x) = 0 f¨ ur alle x ∈ U ∩ ∂Ω. Da jedes x ∈ U genau einer der drei Mengen ort, folgt U ∩ Ω, U ∩ ∂Ω oder U \ Ω angeh¨ U ∩ ∂Ω = {x ∈ U : η(x) = 0} , U \ Ω = {x ∈ U : η(x) < 0} . Es ist eine unmittelbare Konsequenz des Satzes u ¨ber implizite Funktionen, daß sich C 2,α -R¨ ander lokal als Graphen von C 2,α -Funktionen darstellen lassen. Dies wird in folgendem Lemma formuliert, wobei wir zudem eine Wahl des Koordinatensystems treffen, die sich f¨ ur die weiteren Betrachtungen als vorteilhaft erweisen wird. Lemma 7.1.3. Die offene Menge Ω ⊆ RN besitze einen Rand ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann existieren zu jedem x0 ∈ ∂Ω eine Zahl r > 0, eine orthogonale N ×N Matrix T und eine Abbildung ϕ ∈ C 2,α (B ), B := Br (0) ⊆ RN −1 , mit den Eigenschaften ϕ(0) = 0 , ∇ϕ(0) = 0 , J(∂Ω ∩ Br (x0 )) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )} , J(Ω ∩ Br (x0 )) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} . Hierbei beschreibt J(x) := T (x − x0 ), x ∈ RN , die Wahl eines geeigneten kartesischen Koordinatensystems. Beweis. Zu x0 ∈ ∂Ω seien U ⊆ RN , η ∈ C 2,α (U ) gewählt wie in Definition 7.1.1. Wegen ∇η(x0 ) = 0 existiert eine orthogonale N × N Matrix T mit ur ein λ > 0. Es bezeichne J die isometrische Abbildung T ∇η(x0 ) = λeN f¨ J(x) = T (x − x0 ). Weiter sei Q : J(U ) → R , Q(x) := η J −1 (x) . F¨ ur die stetig differenzierbare Funktion Q gilt t Q(0) = η(x0 ) = 0 , ∇Q(0) = η (x0 )T −1 = T ∇η(x0 ) = λeN . Der Satz u ¨ber implizite Funktionen liefert nun eine Zahl r > 0 und eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : B → R mit B = {x ∈ RN −1 : |x| < r} und {(x , xN ) ∈ B × (−r, r) : Q(x , xN ) = 0} = {(x , ϕ(x )) : x ∈ B } . (7.2) Aus Q(0) = 0 folgt ϕ(0) = 0. Differenzieren der Identität Q(x , ϕ(x )) = 0 f¨ uhrt auf

236


ϕxk (x ) = −

Qxk (x , ϕ(x )) QxN

f¨ ur 1 ≤ k ≤ N − 1 und x ∈ B . Wegen ∇Q(0) = λeN gilt somit ∇ϕ(0) = 0. Da Q zweimal stetig differenzierbar ist, gilt auch ϕ ∈ C 2 (B ) mit Qx x Qxk QxN xl + Qxl Qxk xN Qxk Qxl QxN xN (x , ϕ(x )) − ϕxk xl (x )= − k l + QxN Q2xN Q3xN f¨ ur 1 ≤ k, l ≤ N − 1 und x ∈ B . Aus der Konvexität von B folgt C 1 (B ) ⊆ C (λ) (B ) f¨ ur jedes λ ∈ (0, 1]. Da wir zudem die Beschränktheit von 1/QxN auf B durch Verkleinerung von r stets erreichen können, ergibt sich aus Q ∈ C 2,α (J(U )) mit Hilfe der Aufgaben 5.9 c) und 5.10 a), daß ϕ ∈ C 2,α (B ). Man beachte, daß J −1 die Kugel Br (0) auf Br (x0 ) ⊆ U abbildet. Gemäß Bemerkung 7.1.2 b) gilt Br (x0 ) ∩ Ω = {x ∈ Br (x0 ) : η(x) > 0} , Br (x0 ) ∩ ∂Ω = {x ∈ Br (x0 ) : η(x) = 0} . Hieraus folgt unmittelbar J(Br (x0 ) ∩ Ω) = {x ∈ Br (0) : Q(x) > 0} , J(Br (x0 ) ∩ ∂Ω) = {x ∈ Br (0) : Q(x) = 0} . Da Br (0) ⊆ Z := B × (−r, r) ist, gilt mit (7.2) {x ∈ Br (0) : Q(x) = 0} = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )} . Da Z± := {(x , xN ) ∈ Z : 0 < ±(xN − ϕ(x ))} zusammenhängende Mengen sind, die keine Nullstellen von Q enthalten, und QxN (0) = λ > 0 gilt, nimmt Q auf Z+ nur positive und auf Z− nur negative Werte an. Folglich ist {x ∈ Br (0) : Q(x) > 0} = Br (0) ∩ Z+ = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} . Bemerkung 7.1.4. Eine andere Art, die C 2,α -Regularität des Randes einer ur jedes x0 ∈ ∂Ω die offenen Menge Ω ⊆ RN zu definieren, besteht darin, f¨ Existenz einer offenen Umgebung U von x0 , einer offenen Menge D ⊆ RN , sowie eines C 2,α -Diffeomorphismus φ : U → D (d.h. φ ist bijektiv und alle Komponenten von φ und φ−1 sind C 2,α -Funktionen) zu fordern mit der zus¨ atzlichen Eigenschaft φ(U ∩ Ω) = D ∩ RN +,

N wobei RN + := {x ∈ R : xN > 0} .

ullt, Man beachte, daß dann η := φN die Bedingungen von Definition 7.1.1 erf¨ wobei ∇η(x0 ) = 0 aus der Invertierbarkeit von φ (x0 ) folgt. Insbesondere gilt gem¨ aß Bemerkung 7.1.2 b)

7.1 Vorbereitungen

237

φ(U ∩ ∂Ω) = D ∩ RN −1 × {0} . Mit Hilfe des Satzes u ¨ber implizite Funktionen kann man zeigen (vgl. Aufgabe 7.1), daß aus der Existenz einer Funktion η mit den in Definition 7.1.1 geforderten Eigenschaften auf die Existenz eines C 2,α -Diffeomorphismus φ mit den oben beschriebenen Eigenschaften geschlossen werden kann. Die obige Definiat ist somit ¨ aquivalent zu der Definition 7.1.1. tion der C 2,α -Regularit¨ Bemerkung 7.1.5. Wir k¨ onnen in Bemerkung 7.1.4 die Menge U so wählen, daß D zu einer offenen Kugel um φ(x0 ) wird. Dann ist D ∩ RN + zusammenh¨ angend und somit auch U ∩ Ω. Dies bedeutet, daß es zu jedem Punkt x0 eines C 2,α -Randes ∂Ω eine offene Umgebung U gibt, welche nur eine Zusammenhangskomponente von Ω schneidet. Diese Beobachtung hat folgende n¨ utzliche Konsequenzen. ur ein α ∈ (0, 1]. Dann gilt: Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ a) Ω besteht aus endlichvielen Zusammenhangskomponenten. b) Es gibt ein δ > 0 derart, daß |x − y| ≥ δ f¨ ur alle x und y, die in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. c) Es bezeichne Ω1 , . . . , Ωk die Zusammenhangskomponenten von Ω. Weiter ur alle seien m ∈ N0 , β ∈ (0, 1] und u : Ω → R mit u|Ωp ∈ C m,β (Ωp ) f¨ p = 1, . . . , k. Dann gilt schon u ∈ C m,β (Ω) und uΩ;m,β ≤ (1 + δ −β )

k

u|Ωp Ωp ;m,β .

p=1

Die ersten beiden Aussagen beweisen wir indirekt. Angenommen, Ω enthält unendlichviele Zusammenhangskomponenten Ωp , p ≥ 1. Wähle xp ∈ ∂Ωp ⊆ ∂Ω beliebig. Da ∂Ω kompakt ist, enth¨ alt die Folge (xp )p≥1 einen Häufungspunkt x0 ∈ ∂Ω. Jede Umgebung von x0 schneidet somit unendlichviele Zusammenhangskomponenten, was den gew¨ unschten Widerspruch liefert. Um Aussage b) zu beweisen, nehmen wir an, es gäbe eine Folge von Paaur j → ∞, wobei xj und yj jeweils in ren (xj , yj )j≥1 mit |xj − yj | → 0 f¨ verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen. Da es nur endlichviele Zusammenhangskomponenten gibt, k¨ onnen wir annehmen, daß xj ∈ Ω und yj ∈ Ω f¨ ur alle j ≥ 1, wobei Ω und Ω zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten von Ω bezeichnen. Aus der Beschränktheit von Ω folgt, daß die Folgen (xj )j≥1 , (yj )j≥1 einen gemeinsamen Häufungspunkt x0 besitzen, der dann notwendig in ∂Ω ∩ ∂Ω ⊆ ∂Ω liegt. Somit schneidet jede Umgebung von x0 mindestens zwei Zusammenhangskomponenten von Ω, was im Widerspruch zu der zu Beginn dieser Bemerkung gemachten Beobachtung steht. Aussage c) folgt schließlich aus den leicht zu verifizierenden Ungleichungen uΩ;m ≤

k

p=1

uΩp ;m

(7.3)

238


und Hβ;Ω (D u) ≤ μ

k

μ

Hβ;Ωp (D u) + δ

−β

k

sup |Dμ u| ,

p=1 Ωp

p=1

wobei δ die positive Konstante aus Aussage b) bezeichnet. Das folgende Lemma zeigt, daß es f¨ ur jeden Punkt x0 eines C 2,α -Randes ¨ ∂Ω Kugeln gibt, die im Inneren bzw. im Außeren von Ω liegen und den Rand uhren. Zudem wird nachgewiesen, daß nur in dem vorgegebenen Punkt x0 ber¨ der Radius dieser Kugeln lokal konstant gew¨ ahlt werden kann. Lemma 7.1.6. Sei Ω ⊆ RN offen mit C 2,α -Rand f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann gibt ur alle x ∈ Br (x0 ) ∩ ∂Ω es zu jedem x0 ∈ ∂Ω positive Zahlen r und R so, daß f¨ Kugeln BxI , BxA vom Radius R existieren mit I

B x ∩ (RN \ Ω) = {x}

,

A

B x ∩ Ω = {x} .

Beweis. Die Isometrie der Abbildung J in Lemma 7.1.3 erlaubt es, sich ohne uckzuziehen mit Beschr¨ ankung der Allgemeinheit auf den Fall x0 = 0 zur¨ Ω ∩ B (0) = {(x , xN ) ∈ B (0) : xN > ϕ(x )}

(7.4)

f¨ ur geeignetes > 0 und ϕ ∈ C 2,α (B (0)). Wir wollen nun die Aussage des Lemmas f¨ ur % 1 , , C := sup |Hϕ(x )| r := , R := min 2 4 C +1 x ∈B (0) beweisen, wobei C eine obere Schranke an die mit der euklidischen Vektornorm vertr¨ agliche Matrixnorm (|A| = sup|x|≤1 |Ax|) der Hessematrix Hϕ = (ϕxk xl ) ˆ = (ˆ x , ϕ(ˆ x )). Als Mittelpunkt bezeichnet. Sei nun x ˆ ∈ Br (0)∩∂Ω und somit x I ahlen wir mI := x ˆ + v, wobei f¨ ur die Kugel Bxˆ w¨ −∇ϕ(ˆ x ) R v := 1 1 + |∇ϕ(ˆ x )|2 der Vektor der L¨ ange R ist, der senkrecht auf dem Tangentialraum zu ∂Ω im Punkt x ˆ steht und vN > 0 erf¨ ullt. Der Punkt x ˆ liegt somit auf dem Rand der Kugel BxÎ := BR (mI ) . û Die Tangentialr¨ aume zu ∂Ω und ∂BxÎ stimmen in dem Punkt x ¨berein. Es x} in Ω enthalten ist. Zunächst gilt |mI | ≤ |ˆ x|+|v| < bleibt zu zeigen, daß B Ixˆ \{ˆ ugt es, r + R ≤ 3/4, und somit haben wir B Ixˆ ⊆ B (0). Wegen (7.4) gen¨ x } nachzuweisen: folgende Ungleichung f¨ ur alle x ∈ B R (mI ) \ {ˆ

7.1 Vorbereitungen

h(x ) := (mI )N −

7

R2 − |x − mI | − ϕ(x ) > 0 . 2

239

(7.5)

7 2 Man beachte, daß {(x , (mI )N − R2 − |x − mI | ) : |x −mI | ≤ R} die Menge der auf der unteren Halbkugel befindlichen Randpunkte von BxÎ beschreibt. Nach Konstruktion liegt x ˆ wegen vN > 0 auf der unteren Hälfte von ∂BxÎ , und ¨ der Tangentialräume zu ∂Ω und es gilt h(ˆ x ) = 0. Aus der Ubereinstimmung ˆ folgt ∇h(ˆ x ) = 0. Die Funktion h läßt sich demgemäß auf ∂BxÎ im Punkt x B R (mI ) darstellen durch h(x ) =

1

(1 − t)(x − x ˆ ) · [Hh(ˆ x + t(x − x ˆ ))(x − x ˆ )] dt .

0

Die gew¨ unschte Relation (7.5) ist nun eine Konsequenz der positiven Definitheit der Hessematrix Hh. Diese folgt wegen C < R−1 aus einer einfachen (mI ) und y ∈ RN −1 \ {0} gilt nämlich Rechnung. F¨ ur x ∈ BR −1/2 2 |y| − y · [Hϕ(x )y] y · [Hh(x )y] ≥ R2 − |x − mI |2 1 ≥ |y|2 − C|y|2 > 0 . R Somit ist (7.5) gezeigt, was die gew¨ unschten Eigenschaften von BxÎ nachweist. A ˆ − v. Die geforderte InAnalog definiert man Bxˆ := BR (mA ) mit mA := x N \ {ˆ x } ⊆ R \ Ω kann nachgewiesen werden, indem man die aus klusion B A x ˆ Lemma 7.1.3 unmittelbar folgende Relation B (0) ∩ (RN \ Ω) = {(x , xN ) ∈ B (0) : xN < ϕ(x )} ˜ ) der auf benutzt sowie die negative Definitheit der Hessematrizen H h(x B R (mA ) definierten Funktion 7 ˜ ) := (mA )N + R2 − |x − m |2 − ϕ(x ) . h(x A Korollar 7.1.7. Jede Teilmenge Ω ⊂⊂ RN mit C 2,α -Rand f¨ ur ein α ∈ (0, 1] erf¨ ullt die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft (s. Satz 4.6.2). Beweis. F¨ ur jedes x0 ∈ ∂Ω bezeichne r(x0 ), R(x0 ) die in Lemma 7.1.6 be¨ stimmten positiven Zahlen. Es ist (Br(y) (y)) mit y ∈ ∂Ω eine offene Uberdeckung der kompakten Menge ∂Ω, die folglich eine endliche Teil¨ uberdeckung ahle R := min1≤j≤k R(yj ) > 0. Sei (Br(yj ) (yj )) mit j = 1, . . . , k besitzt. W¨ y ∈ ∂Ω und 1 ≤ j ≤ k so gew¨ ahlt, daß y ∈ Br(yj ) (yj ). Gemäß Lemma 7.1.6 existiert eine Kugel ByA mit Radius R(yj ) so, daß ByA ∩ Ω = {y} gilt. Wegen ˜ A mit Radius aßt sich dann auch eine in ByA enthaltene Kugel B R ≤ R(yj ) l¨ y uhrt. R finden, die ebenfalls Ω nur in dem Punkt y ber¨

240


Wir f¨ uhren nun eine weitere Regularit¨ atsbedingung f¨ ur die Berandung offener Mengen ein. Diese zielt darauf ab, den Rand lokal durch C 2,α -Diffeomorphismen auf Teile einer Kugeloberfl¨ ache abzubilden. Zudem werden Bedingungen gestellt, die daf¨ ur sorgen, daß der Hauptteil der mit Hilfe dieser Diffeomorphismen transformierten Poissongleichung sich nur wenig von −Δ unterscheidet. Um den lokalen Charakter des Kelloggschen Satzes (s. Satz 7.2.1) zum Ausdruck bringen zu k¨ onnen, formulieren wir die nun folgende Regularit¨ atsbedingung auch f¨ ur Teilmengen Γ des Randes ∂Ω. Definition 7.1.8. F¨ ur offenes Ω ⊆ RN , Γ ⊆ ∂Ω und α ∈ (0, 1] bedeute Γ ∈ K 2,α , daß zu jedem x0 ∈ Γ eine offene Kugel B ⊆ Ω mit x0 ∈ ∂B und positive ur jedes h ∈ (0, h0 ) eine stetige AbZahlen h0 , c existieren derart, daß es f¨ bildung ψh : B → RN mit ψh (x0 ) = x0 und eine Zahl h > 0 mit folgenden Eigenschaften gibt: (i) ψh (B) ⊆ Ω ∪ Γ . (ii) Jede Komponente (ψh )k von ψh liegt in C 2,α (B). (iii) Ω ∩ Bh (x0 ) ⊆ ψh (B). ur 1 ≤ k ≤ N (s. Bemerkung 5.6.4 b)). (iv) (ψh )k B;2 ≤ c f¨ (v) limh→0 supB |ψh − I| = 0 (ψh ist die Jacobimatrix von ψh und I die N -dimensionale Einheitsmatrix). Um ein Gef¨ uhl f¨ ur diese Definition zu vermitteln, zeigen wir zunächst, daß at des Randes die K 2,α -Regularität impliziert. die C 2,α -Regularit¨ Lemma 7.1.9. F¨ ur offenes Ω ⊆ RN und α ∈ (0, 1] folgt aus ∂Ω ∈ C 2,α 2,α bereits ∂Ω ∈ K . Beweis. Gem¨ aß Lemma 7.1.3 beschr¨ anken wir uns zunächst auf den Fall, daß x0 = 0 und Ω ∩ Br (0) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN > ϕ(x )} , ∂Ω ∩ Br (0) = {(x , xN ) ∈ Br (0) : xN = ϕ(x )}

(7.6)

f¨ ur ein r > 0 und ϕ ∈ C 2,α (Br (0)) mit ϕ(0) = 0 und ∇ϕ(0) = 0 ist. Man w¨ ahle wie im Beweis von Lemma 7.1.6 % 1 r , . (7.7) C := sup{|Hϕ(x )| : |x | < r} und R := min 4 C +1 Dann ist B0I aus Lemma 7.1.6 gegeben durch B := BR ((0, R)) und besitzt die Eigenschaft B ∩ (RN \ Ω) = {0}. Insbesondere gilt B ⊆ Ω und 0 ∈ ∂B. Wir definieren nun eine Abbildung

7.1 Vorbereitungen

ψ : B → RN

,

ψ(x , xN ) := x , xN + ϕ(x ) − R +

R2 − |x |2

241

.

Man beachte, daß diese Abbildung die Randpunkte (x , R − R2 − |x |2 ), alfte der Kugel B auf (x , ϕ(x )) und somit auf ∂Ω |x | ≤ R, der unteren H¨ ur solche abbildet. Die Abbildungen ψh gewinnt man nun dadurch, daß man f¨ ur |x | > 2h x = (x , xN ) mit |x | < h die Abbildung ψ verwendet, während f¨ die Abbildung durch die Identit¨ at gegeben wird. Die glatte Fortsetzung dieser Abbildung auf ganz B wird durch folgende Definition gewährleistet. Sei φ ∈ C ∞ (R) mit φ(t) =

1

f¨ ur |t| < 1

0

f¨ ur |t| > 2

eine Abschneidefunktion. Dann sei ψh : B → RN gegeben durch |x | 2 2 ϕ(x ) − R + R − |x | . ψh (x , xN ) := x , xN + φ h Offensichtlich gilt ψh (0) ur jedes = 0. Nach Wahl von R (s. Lemma 7.1.6) gilt f¨ ur jedes 0 < |x | ≤ R, daß R − R2 − |x |2 > ϕ(x ). Dies hat zur Folge, daß f¨ x = (x , xN ) ∈ B die Ungleichungen xN ≥ (ψh )N (x) ≥ ϕ(x ) ur beliebige erf¨ ullt sind. Aus (7.6) und B ⊆ Ω folgt ψh (B) ⊆ Ω = Ω ∪ ∂Ω f¨ h > 0. Bedingung (i) ist somit gezeigt. F¨ ur den Nachweis der verbleibenden vier Bedingungen (ii)-(v) w¨ ahlen wir h0 > 0 so, daß 4h0 < R

und

C 2 h + h0 ≤ R 2 0

(7.8)

gelten (s. (7.7) f¨ ur die Definition von C und R). Durch diese Wahl ist sichergeur |x | > R2 mit der Identität stellt, daß f¨ ur alle h ∈ (0, h0 ) die Abbildung ψh f¨ u amtliche Komponenten von ψh in C 2,α (B). Als ¨bereinstimmt. Damit liegen s¨ ullt ist. Dazu bemern¨ achstes zeigen wir, daß Bedingung (iii) mit h := h erf¨ ken wir zun¨ achst, daß wegen ϕ(0) = 0, ∇ϕ(0) = 0 und der Setzungen in (7.7) und (7.8) f¨ ur alle |x | < h0 gilt: ϕ(x ) + R ≥ R −

C 2 C |x | ≥ R − h20 ≥ h0 . 2 2

(7.9)

F¨ ur h ∈ (0, h0 ) gilt dann mit (7.6) und (7.9), daß Ω ∩ Bh (0) = Ω ∩ Bh (0) ⊆ {(x , xN ) ∈ RN : |x | < h und ϕ(x ) < xN < h} ⊆ {(x , xN ) ∈ RN : |x | < h und ϕ(x ) < xN < ϕ(x ) + R} ⊆ ψh (B) .

242


Die letzte Inklusion ergibt sich aus den folgenden Relationen f¨ ur |x | < h < h0 < R/4: B ∩ ({x } × R) = {x } × R − R2 − |x |2 , R + R2 − |x |2 , ψh (B ∩ ({x } × R)) = ψ(B ∩ ({x } × R)) = {x } × ϕ(x ), ϕ(x ) + 2 R2 − |x |2 , 2 R2 − |x |2 ≥ 2 R2 − (R/4)2 > R . Um die letzten beiden Bedingungen (iv) und (v) nachzuweisen, schreiben wir f¨ ur x ∈ B |x | f (x ) mit f (x ) := ϕ(x ) − R + R2 − |x |2 . ψh (x) = x + 0, φ h Weil f (0) = 0 und ∇f (0) = 0 gilt, gibt es D > 0 derart, daß f¨ ur alle |x | ≤ gilt |f (x )| ≤ D|x |2

,

|∇f (x )| ≤ D|x | ,

R 2

|Hf (x )| ≤ D .

ur |x | > 2h identisch verschwindet und weDa die Funktion x → φ (|x |/h) f¨ gen 2h < 2h0 < R/2 erhalten wir schließlich die verbleibenden Eigenschaften (iv) und (v). Die zu Beginn des Beweises gew¨ ahlte Beschränkung auf die spezielle Situation (7.6) l¨ osen wir dadurch auf, daß wir im allgemeinen Fall Lemma 7.1.3 zu Hilfe nehmen und ψh ersetzen durch ψ˜h : J −1 (B) → RN

,

ψ˜h (x) := J −1 ψh (Jx) ,

wobei J die in Lemma 7.1.3 eingef¨ uhrte Isometrie bezeichnet. Es ist nicht amtliche gew¨ unschten Eigenschaften beschwer zu sehen, daß (ψ˜h )0 0 so gew¨ ahlt werden, daß zus¨ atzlich zu den dortigen Aussagen und denen von Lemma 7.1.11 f¨ ur h ∈ (0, h0 ) folgendes besteht. Ist w ∈ C 2 (ψh (B)) ∩ 0 ugt vh := w ◦ ψh auf B einer Differentialgleichung der C (ψh (B)), so gen¨ Form ⎤ ⎡ N N 2

∂ ∂ ⎦ vh (y) = −(Δw)(ψh (y)) , (7.13) ⎣− ahik (y) + ahk (y) ∂yi ∂yk ∂yk i,k=1

k=1

deren Koeffizienten allein durch ψh bestimmt sind und die die Eigenschaften α) ahik ∈ C 1,α (B) , ahik B;1 ≤ c ; β) ahk ∈ C 0,α (B) , sup ahk ≤ c ; B γ) lim ahik − δik B;0,α = 0 h→0

besitzen. Beweis. Die Differentialgleichung wurde bereits in Bemerkung 7.1.10 hergeleitet. Die Aussagen in α) folgen aus (7.11) und Lemma 7.1.11 b), die in β)

7.1 Vorbereitungen

245

aus (7.12) zusammen mit (ii), (iv) in Definition 7.1.8 sowie Lemma 7.1.11 b) und α). Da f¨ ur α < 1 die Einbettung von C 1 (B) ⊆ C 0,α (B) in C 0,α (B) kompakt (s. Satz C.5) und die von C 0,α (B) in C 0 (B), versehen mit der Supremumsnorm, injektiv und stetig ist, gibt es nach dem Ehrlingschen Lemma 5.5.1 zu jedem > 0 ein d() > 0, so daß h aik − δik ≤ ahik − δik B;1 + d() sup ahik − δik . B;0,α B

Der zweite Term rechts geht wegen (7.11) und Lemma 7.1.11 c) f¨ ur h → 0 gegen Null, w¨ ahrend der erste Term rechts nach α) beschränkt bleibt. Damit ist dann auch γ) bewiesen. Die letzte Aussage des nachfolgenden Lemmas spricht das Ziel an, das mit der Transformation ψh erreicht werden soll: Wenn die rechte Seite von (7.13), also die Funktion −Δw aus (7.10), in C 0,α (ψh (B)) liegt (dies nachzuweisen wird das Kernproblem unseres Beweises des Kelloggschen Satzes sein), so folgt mit Satz 5.5.6 f¨ ur kleine h > 0, daß vh ∈ C 2,α (B), also w = ϕu und damit u 2,α aus C (ψh (B)) ist. Lemma 7.1.13. In der Situation von Definition 7.1.8 kann h0 > 0 so gew¨ ahlt werden, daß zus¨ atzlich zu den bisherigen Aussagen folgendes gilt: (i) ψh−1 (x ) − ψh−1 (x ) ≤ 2|x − x | , x , x ∈ ψh (B); (ii) s¨ amtliche Komponenten von ψh−1 liegen in C 2,α (ψh (B)); (iii) f¨ ur n ∈ {1, 2} folgt aus w : ψh (B) → R, vh := w ◦ ψh und vh ∈ C n,α (B), daß auch w ∈ C n,α (ψh (B)).

Beweis. (i) F¨ ur y , y ∈ B ist

1

ψh (y ) − ψh (y ) = 0

=

1

d ψh (ty + (1 − t)y ) dt dt ψh (ty + (1 − t)y )(y − y ) dt

0

= y − y +

1

[ψh (ty + (1 − t)y ) − I] (y − y ) dt ,

0

mithin |ψh (y ) − ψh (y )| ≥

1 − sup |ψh − I| |y − y | . B

Da nach (v) in Definition 7.1.8 supB |ψh − I| ≤ 12 f¨ ur kleine h > 0 ausfällt, ist das die Behauptung. (ii) Aus (ii) und (iv) in Definition 7.1.8 folgt nach den klassischen Regeln der Differentiation einer Umkehrfunktion zunächst, daß die Umkehrfunktion

246


Xh := ψh−1 aus C 2 (ψh (B)) ist und zwischen den Jacobimatrizen Xh und ψh die Beziehung Xh (x) = [ψh (Xh (x))]

−1

x ∈ ψh (B) ,

,

besteht. In Kombination mit Lemma 7.1.11 b) besagt dies, daß die Einträge der Matrixfunktion Xh Kompositionen von C 1,α (B)-Funktionen mit Xh sind. Unterdr¨ ucken wir wieder den Index h, so haben wir Xixk (x) = f ik (X (x)) mit gewissen f ik ∈ C 1,α (B) . Es ist also Xixk xl (x) =

N

fyikm (X (x))Xmxl (x) =

m=1

N

fyikm (X (x))f ml (X (x)) .

m=1

Da X nach (i) lipschitzstetig ist, folgt mit Aufgabe 5.9 c) und Aufgabe 5.10 a), daß die 2. Ableitungen von X zu C (α) (ψ(B)) gehören. (iii) Wir unterdr¨ ucken wieder den Index h und schreiben w = v ◦ X , so daß wxk (x) =

N

vyi (X (x))Xixk (x) ,

i=1

wxk xl (x) =

N

vyi yj (X (x))Xixk (x)Xjxl (x) +

i,j=1

N

vyi (X (x))Xixk xl (x)

i=1

f¨ ur x ∈ ψ(B) gilt. Hieraus ergibt sich die Behauptung wieder u ¨ber (i), Aufgabe 5.9 c) und Aufgabe 5.10 a).

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes Um den lokalen Charakter der Regularit¨ atsaussage des Kelloggschen Satzes st¨ arker herauszustellen, formulieren wir ihn wie folgt. Satz 7.2.1. Es seien Ω ⊆ RN offen, Γ ⊆ ∂Ω und α ∈ (0, 1), ferner ω ⊆ Ω offen, nichtleer und beschränkt, ω \ Γ ⊆ Ω und ω ∩ Γ ∈ K 2,α , wobei in Definition 7.1.8 Ω durch ω ersetzt wird. Es sei u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω ∪ Γ ),

u|Γ = 0 und Δu ∈ C 0,α (Ω) .

Gilt dann u ∈ C 1 (ω), so ist u ∈ C 2,α (ω) .

7.2 Umformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes

247

Korollar 7.2.2. Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1). Dann hat das Dirichletproblem −Δu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) genau eine L¨ osung in C 2,α (Ω). Beweis. Wir wissen schon seit Bemerkung 4.2.8 und Satz 3.4.2, daß es genau eine L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) gibt, weil gemäß Korollar 7.1.7 Ω die gleichm¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft besitzt. Mit Aufgabe 4.7 gilt zudem u ∈ C 1 (Ω). Die Behauptung folgt daher aus Satz 7.2.1 mit ω = Ω und Γ = ∂Ω. Der Beweis von Satz 7.2.1 wird darin bestehen nachzuweisen, daß die Voraussetzungen des nachfolgenden Hilfssatzes erf¨ ullt sind. Lemma 7.2.3. Es seien ω ⊂⊂ RN , u : ω → R, n ∈ {1, 2} und 0 < α < 1. Zu jedem x0 ∈ ω existiere eine (in RN offene) Umgebung Ux0 , so daß u in C n,α (ω ∩ Ux0 ) liegt. Dann ist u ∈ C n,α (ω). Beweis. Es seien x0 und Ux0 wie angegeben und r(x0 ) > 0 so gewählt, daß ¨ (Br(x0 ) (x0 )), x0 ∈ ω, von B2r(x0 ) (x0 ) ⊆ Ux0 . Das offene Uberdeckungssystem ¨ ω besitzt ein endliches Uberdeckungssystem (Br(xk ) (xk )) mit 1 ≤ k ≤ p. Es ur 1 ≤ k ≤ p, bezeichne Bk := B2r(xk ) (xk ) ∩ ω f¨ C := max u|Bk Bk ;n,α 1≤k≤p

r := min r(xk ) . 1≤k≤p

8p Wegen ω = k=1 Bk gilt u ∈ C n (ω) mit uω;n ≤ C. Sei nun x = y ∈ ω und μ Multiindex mit |μ| = n. Ist |x − y| < r, so existiert ein k ∈ {1, . . . , p} mit x, y ∈ Bk . Folglich ist |Dμ u(x) − Dμ u(y)| ≤ Hα;Bk (Dμ u|Bk ) ≤ C . |x − y|α F¨ ur |x − y| ≥ r gilt andererseits 2uω;n 2C |Dμ u(x) − Dμ u(y)| ≤ ≤ α |x − y|α rα r Zusammenfassend haben wir Hα;ω (Dμ u) ≤ C max(1, 2r−α ) f¨ ur jedes |μ| = n gezeigt. Der Beweis von Satz 7.2.1 erfolgt nun in vier Schritten. 1. Schritt. Es sei x0 ∈ ω. Wegen ω = (ω \ Γ ) ∪ (ω ∩ Γ ) ⊆ Ω ∪ (ω ∩ Γ ) ist dann entweder x0 ∈ Ω oder x0 ∈ ω ∩ Γ . Im ersten Fall gibt es Kugeln BR := BR (x0 ) ⊂⊂ B2R := B2R (x0 ) ⊂⊂ Ω. Sei ϕ ∈ Cc∞ (B2R ) eine Funktion

248


mit der Eigenschaft ϕ|BR = 1. Es ist dann w := ϕu ∈ C 2 (B2R ) ∩ C 0 (B 2R ) L¨ osung des Dirichletproblems −Δw = F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) in B2R ,

w|∂B2R = 0 .

Nach Voraussetzung ist ϕΔu ∈ C 0,α (B2R ), und es ist 2∇ϕ·∇u+uΔϕ sogar in Cc1 (B2R ), mithin F ∈ C 0,α (B2R ) und daher nach Satz 5.3.4 w ∈ C 2,α (B2R ). F¨ ur n ∈ {1, 2} ist daher u ∈ C n,α (BR ) und folglich

u ∈ C n,α (ω ∩ Ux0 ) mit Ux0 := BR (x0 ) .

Wir haben damit die innere Regularit¨ at der L¨ osung bewiesen. Mit einer etwas anderen Schlußweise geschah dasselbe bereits in Aufgabe 5.6. Im Falle x0 ∈ ω ∩ Γ gibt es nach Definition 7.1.8 (ω und ω ∩ Γ u ¨bernehmen ur h ∈ (0, h0 ) nun die Rolle von Ω bzw. Γ ) eine Kugel B ⊆ ω mit x0 ∈ ∂B und f¨ eine Abbildung ψh : B → ω ∪ (ω ∩ Γ ) und eine Zahl h mit den dort genannten Eigenschaften. Nach (iii) in Definition 7.1.8 ist dann insbesondere ω ∩ Ux0 ⊆ ψh (B) mit Ux0 := B 41 h (x0 ) . Sei ϕh ∈ C ∞ (RN ) eine Funktion mit ϕh (x) =

1

f¨ ur |x − x0 | < 14 h

0

f¨ ur |x − x0 | > 12 h

.

Da auf Ux0 die Funktionen u und ϕh u u ur n ∈ ¨bereinstimmen, haben wir f¨ {1, 2} nach Lemma 7.2.3 also die gew¨ unschte Beziehung u ∈ C n,α (ω), sofern nur ϕh u ∈ C n,α (ψh (B))

(7.14)

ist. Wir zeigen im n¨ achsten Schritt, daß es tats¨ achlich gen¨ ugt, (7.14) f¨ ur n = 1 zu beweisen. 2. Schritt. Sei h ∈ (0, h0 ) und wh := ϕh u. Wegen ψh (B) ⊆ ω ⊆ Ω und ψh (B) = ψh (B) ⊆ ω ∪ (ω ∩ Γ ) ⊆ ω ∪ Γ ⊆ Ω ∪ Γ

(7.15)

ist wh ∈ C 2 (ψh (B)) ∩ C 0 (ψh (B)). Des weiteren gilt −Δwh = Fh := −(ϕh Δu + 2∇ϕh · ∇u + uΔϕh ) in ψh (B) , wh |∂ψh (B) = 0 .

(7.16)

Letzteres ergibt sich wie folgt. Wegen (iii) in Definition 7.1.8 und (7.15) ist ∂ψh (B) = ψh (B) \ ψh (B) ⊆ (ω ∪ Γ ) \ (ω ∩ Bh (x0 )) ⊆ Γ ∪ (ω \ Bh (x0 )) . Nach Voraussetzung ist u auf Γ Null, und konstruktionsgemäß verschwindet ϕh außerhalb B 21 h (x0 ). Nach Lemma 7.1.12 ist daher vh := wh ◦ψh ∈ C 2 (B)∩ osung des Dirichletproblems C 0 (B) L¨


N 2 N − i,k=1 ahik (y) ∂y∂i ∂yk + k=1 ahk (y) ∂y∂k vh (y) = Fh (ψh (y)), y ∈ B , vh |∂B = 0

249

(7.17)

mit Koeffizienten ahik ∈ C 1,α (B), ahk ∈ C 0,α (B). Der Parameter h > 0 kann so klein gew¨ ahlt werden, daß % h 1 aik − δik (7.18) ≤ min n(B, α), B;0,α 2N 2 c˜(B, α) wird, wobei n(B, α) bzw. c˜(B, α) die in Satz 5.5.5 bzw. Satz 5.3.9 auftretenden Zahlen sind. Nach Satz 5.5.6 w¨ are vh ∈ C 2,α (B) ⊆ C 1,α (B) und mit Lemma 7.1.13 (iii) auch (7.14) bewiesen, wenn wir w¨ ußten, daß Fh ◦ ψh ∈ C 0,α (B) 1 ist. Da die Komponenten von ψh aus C (B) und daher lipschitzstetig sind, erhalten wir aus den Voraussetzungen an u in Kombination mit den Aufgaben 5.9 c) und 5.10 b) (ϕh Δu) ◦ ψh = (ϕh ◦ ψh )(Δu) ◦ ψh ∈ C 0,α (B) , (uΔϕh ) ◦ ψh = [(Δϕh ) ◦ ψh ] u ◦ ψh ∈ C 1 (B) ⊆ C 0,α (B) . Es verbleibt der Term (∇ϕh · ∇u) ◦ ψh in (7.16); er ist sicher dann in C 0,α (B), wenn u ∈ C 1,α (ω) ist. Diese Eigenschaft – sie ergibt sich noch nicht direkt aus Abschnitt 4.6 – werden wir nun in den n¨ achsten beiden Schritten herleiten. 3. Schritt. Wir w¨ ahlen ein h ∈ (0, h0 ) so, daß (7.18) besteht, und lassen in der Folge den so fixierten Index h fort, um die Notation zu entlasten. Mit ik (y) := aik (y) − δik schreibt sich dann (7.17) − Δv(y) −

N

ik (y)vyi yk (y) +

i,k=1

N

ak (y)vyk (y) = F (ψ(y)),

y ∈ B .(7.19)

k=1

Wegen u ∈ C 1 (ω) und Δu ∈ C 0,α (Ω) ist F auf ω stetig und beschränkt, also F ◦ ψ auf B stetig und beschr¨ ankt; ebenso ist vyk (y) =

N

wxl (ψ(y))ψlyk (y)

l=1

auf B stetig und beschr¨ ankt, also v ∈ C 2 (B) ∩ C 0 (B) ∩ C 1 (B). Wir multiplizieren (7.19) mit der Greenschen Funktion f¨ ur B und integrie⊂⊂ B: ren u ber eine mit B konzentrische Kugel B ¨ N

− G(x, y)Δv(y) dy − Tik (x) (7.20) i,k=1

B

1 G(x, y) F (ψ(y)) −

= B

N

k=1

2 ak (y)vyk (y) dy .

250


Dabei ist (zun¨ achst Aussparung der Singularität durch eine kleine Kugel wie beim Beweis von Lemma 4.2.1) (7.21) Tik (x) := G(x, y)ik (y)vyi yk (y) dy B

G(x, y)ik (y)vyi (y)νk (y) dS(y) −

=

vyi (y)

∂ [G(x, y)ik (y)] dy . ∂yk

B

∂B

Da aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion G(x, y) f¨ ur festes x ∈ B gleichm¨ aßig in y ∈ ∂B gegen Null geht, wenn gegen den Radius B von B ankt ist, geht das Oberflächenintegral in (7.21) f¨ ur strebt, und ik vyi beschr¨ ubergang → B gegen Null. Da das Integral links in (7.20) bei diesem Grenz¨ nach Aufgabe 5.5 gegen v(x) strebt, erhalten wir f¨ ur x ∈ B v(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)vyi (y) dy = F˜ (x) :=

i,k=1 B

G(x, y)b(y) dy B

mit b(y) := F (ψ(y)) −

N

ak (y)vyk (y) −

k=1

N

vyi (y)

i,k=1

∂ ik (y) . ∂yk

Wegen ak ∈ C 0,α (B), ik ∈ C 1,α (B) ist b ∈ C 0 (B) beschränkt, mithin nach Aufgabe 5.4 a) F˜ ∈ C 1,α (B). 4. Schritt. Wir behaupten jetzt: (I) Die Gleichung z(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)zyi (y) dy = F˜ (x),

x∈B,

(7.22)

i,k=1 B

hat eine L¨ osung z ∈ C 1,α (B). ochstens eine Lösung. (II) Die Gleichung hat in C 1 (B) h¨ osung ist, folgt aus (I) und (II) v ∈ C 1,α (B). Nach Da v ∈ C 1 (B) ja eine L¨ Lemma 7.1.13 (iii) besteht daher (7.14) mit n = 1, und das Ziel u ∈ C 1,α (ω) ist erreicht. Beweis von (I). Mit z ∈ C 1,α (B) ist ik zyi ∈ C 0,α (B). Nach Satz 5.3.9 ist ugt also zu zeigen, daß die daher das Integral in (7.22) aus C 1,α (B). Es gen¨ Abbildung T : C 1,α (B) → C 1,α (B),

z → F˜ −

N

i,k=1 B

Gyk (·, y)ik (y)zyi (y) dy


251

einen Fixpunkt besitzt. Wir beweisen, daß T kontrahierend ist. Mit der Konstanten c˜(B, α) aus Satz 5.3.9 gilt f¨ ur z1 , z2 ∈ C 1,α (B) T (z1 − z2 )B;1,α ≤ c˜(B, α)

N

ik (z1 − z2 )yi B;0,α .

i,k=1

Da nach Aufgabe 5.10 a) ik (z1 − z2 )yi B;0,α ≤ ik B;0,α (z1 − z2 )yi B;0,α ist, haben wir wegen (7.18) in der Tat N z1 − z2 B;1,α T (z1 − z2 )B;1,α ≤ c˜(B, α) ik B;0,α i,k=1 ≤

1 z1 − z2 B;1,α . 2

Beweis von (II). Die Differenz z zweier L¨ osungen von (7.22) gen¨ ugt der Gleichung z(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)zyi (y) dy = 0 f¨ ur alle x ∈ B .

(7.23)

i,k=1 B

z ∈ C 1 (B) hat eine stetige Fortsetzung auf B. Wir zeigen zunächst, daß diese ugt zu zeigen, daß auf ∂B Null ist. Sei x0 ∈ ∂B. Es gen¨ |Gyk (x, y)| dy = |Gyk (x, y)| dy + |Gyk (x, y)| dy (7.24) B

{y∈B : |y−x0 |≤δ}

{y∈B : |y−x0 |>δ}

gegen Null geht, wenn x ∈ B gegen x0 strebt. Das erste Integral in (7.24) kann aufgrund der ersten Absch¨ atzungen in Aufgabe 5.2 durch Wahl von δ > 0 kleiner als /2 gemacht werden, wobei δ unabhängig von x ∈ B gewählt werden kann. Da nach dem Mittelwertsatz Gyk (x, y) = Gyk (x, y) − Gyk (x0 , y) = (x − x0 ) · ∇x Gyk (ξ, y) ist, wird aufgrund der zweiten Absch¨ atzung in Aufgabe 5.2 das zweite Integral in (7.24) f¨ ur hinreichend kleine |x − x0 | ebenfalls kleiner als /2. Sei nun φ ∈ C 2,α (B) und φ|∂B = 0. Dann folgt aus (7.23) nach Vertauschung der Integrationsreihenfolge ⎛ ⎞ N

z(x)Δφ(x) dx + ik (y)zyi (y) ⎝ Gyk (x, y)Δφ(x) dx⎠dy = 0.(7.25) B

i,k=1 B

B

Da die Greensche Funktion symmetrisch ist, haben wir

252


∂ Gyk (x, y)Δφ(x) dx = ∂yk

B

∂ G(x, y)Δφ(x) dx = ∂yk

B

G(y, x)Δφ(x) dx B

(vgl. etwa Aufgabe 5.4 a)). Des weiteren ist G(y, x)Δφ(x) dx = −φ(y) , B

denn es gen¨ ugen beide Seiten demselben Dirichletproblem (vgl. Satz 4.4.7 b)). Wegen ik zφyk ∈ C 1 (B) kann gem¨ aß Bemerkung 5.3.2 a) und Satz B.5 − ik (y)zyi (y)φyk (y) dy B

partiell bez¨ uglich yi integriert werden, wobei das Oberflächenintegral verschwindet, weil z|∂B = 0 gilt. Also kann (7.25) in die Form ⎤ ⎡ N

0 = z(y) ⎣Δφ(y) + (ik (y)φyk (y))yi ⎦ dy B

= B

⎡ z(y) ⎣

i,k=1 N

i,k=1

aik (y)φyi yk

⎤ N N

∂ + aik (y) φyk (y)⎦ dy ∂yi i=1 k=1

gebracht werden. Aufgrund der in (7.18) getroffenen Wahl der aik gibt es nach ur das die eckige Klammer gleich z(y) wird. Also Satz 5.5.6 ein φ ∈ C 2,α (B), f¨ ist tats¨ achlich z = 0.

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel und α, γ ∈ (0, 1). In Kapitel 5 hatten wir gesehen, daß es Zahlen c(B, α) und c(B, γ) gibt, so daß f¨ ur alle u ∈ C 2,α (B) mit u|∂B = 0 uB;2,α ≤ c(B, α)ΔuB;0,α

(vgl. (5.12))

gilt und f¨ ur alle u ∈ C (B) mit u|∂B = 0 2

uB;1,γ ≤ c(B, γ) sup |Δu|

(vgl. Aufgabe 5.4 b))

(7.26)

besteht. Die erste Ungleichung ergab sich entweder durch direkte Abschätzung des Greenpotentials zu B und Δu (Bemerkung 5.3.5) oder durch Kombination von Satz 5.3.4 mit dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung, wie in Bemerkung 5.3.7 erl¨ autert. Da die dort vorausgesetzte Lösbarkeit des Dirichletproblems nunmehr dank Korollar 7.2.2 f¨ ur ∂Ω ∈ C 2,α gewährleistet ist, haben wir

7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen Satzes

253

Satz 7.3.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1). Dann gibt es eine allein durch Ω und α bestimmte Konstante c(Ω, α), so daß uΩ;2,α ≤ c(Ω, α)ΔuΩ;0,α

(7.27)

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Die in Bemerkung 5.3.7 definierte lineare injektive und stetige Abbildung T ist nach Korollar 7.2.2 auch surjektiv. Nach dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung ist daher auch die lineare Abbildung T −1 stetig, also beschr¨ ankt. Wie in Abschnitt 5.5 f¨ ur die Kugel erl¨ autert, könnte man nun auf der Basis der A-Priori-Ungleichung (7.27) das Dirichletproblem in Ω f¨ ur allgemeine lineare elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung, deren Hauptteil wenig vom Laplaceoperator abweicht, l¨ osen. Wir werden im nächsten Kapitel jedoch sehen, daß man tats¨ achlich ohne eine solche Kleinheitsbedingung auskommt. Ungleichung (7.26) wurde in Aufgabe 5.4 b) durch Abschätzung des Greenpotentials zu B und Δu gewonnen. Eine A-Priori-Ungleichung dieses Typs spielte bei der in Abschnitt 5.6 erl¨ auterten Lösung des semilinearen Dirichletproblems nach der Methode von Leray-Schauder eine Rolle. Wir wollen nun das Analogon zu (7.26) f¨ ur Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α u ¨ber die Integralgleichung (7.22) herleiten, die bei unserem Beweis des Kelloggschen Satzes eine zentrale Rolle spielte. Hierzu und f¨ ur ähnliche Zwecke in Kapitel 8 ben¨ otigen wir Einbettungsresultate wie in Satz 5.5.2 oder Bemerkung 5.6.4 f¨ ur allgemeinere als konvexe Gebiete. Die folgende Klasse von Gebieten, die in anderem Zusammenhang von Whitney [342] eingef¨ uhrt wurde, gestattet es, die H¨ olderschranke einer Funktion durch die Funktion und ihre Ableitung abzusch¨ atzen. angend. Ω heißt ein Gebiet von Definition 7.3.2. Es sei Ω ⊆ RN zusammenh¨ endlicher L¨ ange, wenn es eine Zahl ω ≥ 1 gibt, so daß sich je zwei Punkte x, y ∈ Ω durch einen stetig differenzierbaren Weg innerhalb Ω verbinden lassen, dessen L¨ ange ≤ ω|x − y| ist. Bei den nachfolgenden Resultaten interessieren uns primär die Fälle m ∈ {1, 2}. ange, Lemma 7.3.3. Es seien Ω ⊆ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ ω wie in Definition7.3.2 und m ∈ N. Dann gilt f¨ ur alle γ ∈ (0, 1] und u ∈ C m (Ω)

Hγ;Ω (Dμ u) ≤ N ω sup |Dμ u| |μ|=m−1

m−1≤|μ|≤m

Ω

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es ein ω ≥ 1 und zu x, y ∈ Ω, x = y, eine stetig differenzierbare Funktion ϕ : [0, 1] → Ω mit ϕ(0) = x, ϕ(1) = y und

254


1

|ϕ (t)| dt ≤ ω|x − y| .

0

Ist μ ein Multiindex mit |μ| = m − 1, so gilt daher aufgrund der Schwarzschen Ungleichung 1 1 d μ μ μ μ D u(ϕ(t)) dt = ∇D u(ϕ(t)) · ϕ (t) dt |D u(x) − D u(y)| = 0 dt 0 1N 2 21/2 1 1

∂ μ μ sup |∇D u(ϕ(t))| |ϕ (t)| dt ≤ D u(x) |ϕ (t)| dt , ≤ ∂x i 0 0 i=1 x∈Ω also

⎧ N ⎪ ∂ μ ⎪ ⎨ω sup ∂x D u(x) , falls |x − y| ≤ 1 i

|Dμ u(x) − Dμ u(y)| i=1 x∈Ω ≤ ⎪ |x − y|γ ⎪ 2 sup |Dμ u(x)| ⎩ x∈Ω

Mithin ist

Hγ;Ω (Dμ u) ≤ 2ω

|μ|=m−1

.

, falls |x − y| > 1

sup |Dμ u| + N ω

|μ|=m−1

sup |Dμ u| .

|μ|=m

Aus Lemma 7.3.3 folgt unmittelbar, daß f¨ ur jedes m ∈ N0 der Raum C m+1 (Ω) m,1 (Ω) enthalten und der zugeh¨ orige Einbettungsoperator stetig ist (vgl. in C (C.19)). Daß die Voraussetzung an Ω, ein Gebiet endlicher Länge zu sein, nicht einfach fortgelassen werden darf, belegen die Aufgaben 7.3 und 7.4, in denen zu beliebigen 0 < α, β ≤ 1 Funktionen u konstruiert werden mit u ∈ C 1,β (Ω) ur beliebige offene und u ∈ / C 0,α (Ω). Es ist nicht schwer zu zeigen, daß f¨ N Ω ⊆ R , m ∈ N0 und 0 < β < α ≤ 1 die stetigen Inklusionen C m,α (Ω) ⊆ C m,β (Ω) ⊆ C m (Ω) gelten (s. (C.16)–(C.18)). F¨ ur Gebiete Ω ⊆ RN von endlicher Länge ergibt sich somit die Stetigkeit folgender Einbettungen f¨ ur m, n ∈ N und 0 < α, β ≤ 1: C m (Ω) ⊆ C n (Ω), C m (Ω) ⊆ C n,β (Ω), C m,α (Ω) ⊆ C n (Ω), C m,α (Ω) ⊆ C n,β (Ω),

falls falls falls falls

m≥n, m>n, m≥n, m > n oder (m = n und α ≥ β) .

All diese Aussagen werden in Satz C.4 bequem zusammengefaßt, indem den aumen C m,α (Ω) der Grad m + α R¨ aumen C m (Ω) der Grad m und den R¨ zugeordnet wird (s. Definition C.3).


255

In Anhang C wird mit Satz C.5 noch mehr gezeigt: Ist Ω ein beschränktes Gebiet von endlicher L¨ ange, so sind die oben genannten Einbettungen schon kompakt, wenn der Grad des einzubettenden Raumes echt größer ist als der Grad des Raumes, in den eingebettet wird. Spezialfälle dieses Satzes sind uns bereits in Satz 5.5.2, Bemerkung 5.6.4 und im Beweis von Lemma 7.1.12 begegnet. Eine einfache Folgerung aus Satz C.5 und dem Ehrlingschen Lemma 5.5.1 ist wegen der Injektivit¨ at der Einbettung von C m (Ω) in C k (Ω), 0 ≤ k < m, das folgende Korollar 7.3.4. Es seien Ω ⊂⊂ RN ein Gebiet von endlicher L¨ ange, m ∈ N und γ ∈ (0, 1]. Dann gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, m, γ) > 0 mit uΩ;m ≤ uΩ;m,γ + d(, Ω, m, γ)uΩ;k f¨ ur alle u ∈ C m,γ (Ω) und 0 ≤ k < m. Wir zeigen nun, daß jedes Gebiet mit glattem Rand (in unserem Fall C 2,α Rand) ein Gebiet endlicher L¨ ange ist. Satz 7.3.5. Es sei Ω ⊂⊂ RN zusammenhängend und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1]. Dann ist Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange. Beweis. Wir u achst, daß zu jedem y ∈ Ω ein r(y) > 0 so ¨berzeugen uns zun¨ gew¨ ahlt werden kann, daß B2r(y) (y)∩Ω ein Gebiet von endlicher Länge ist mit ω ≤ 2 (ω wie in Definition 7.3.2). Im Falle y ∈ Ω wähle man hierzu r(y) > 0 ur y ∈ ∂Ω verwende man Lemma 7.1.9 und wähle mit B2r(y) (y) ⊆ Ω. F¨ ur die gem¨ aß Definition 7.1.8 zu dem Randpunkt r(y) := h /2 mit h := h0 /2 f¨ origen Gr¨ oßen h0 und h . Daß B2r(y) (y) ∩ Ω in diesem Fall ein x0 = y geh¨ Gebiet endlicher L¨ ange ist, folgt aus Bh (y) ∩ Ω ⊆ ψh (B) (s. (iii) in Definition ur alle x ∈ B, was gemäß (v) in Definition 7.1.8 7.1.8) und aus |ψh (x)| ≤ 2 f¨ durch Verkleinerung von h stets erreicht werden kann. Es bildet (Br(y) (y)), ¨ der kompakten Menge Ω. Wir wählen yj ∈ Ω, y ∈ Ω, eine offene Uberdeckung 1 ≤ j ≤ k, derart, daß (Br(yj ) (yj )), 1 ≤ j ≤ k, ebenfalls Ω u ¨berdeckt. Es bezeichne δ := min1≤j≤k r(yj ) > 0. Wir zeigen nun, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist. Sind x = y ∈ Ω mit |x − y| < δ, so findet sich ein j ∈ {1, . . . , k} mit x ∈ Br(yj ) (yj ) und folglich y ∈ B2r(yj ) (yj ). Gemäß Konstruktion wissen wir, daß in Ω ein stetig differenzierbarer Weg der L¨ ange ≤ 2|x − y| existiert, der x und y miteinander verbindet. Seien schließlich x, y ∈ Ω mit |x − y| ≥ δ. Wie im Beweis von Satz 2.2.5 erl¨ autert, l¨ aßt sich x und y durch eine Kugelkette, bestehend aus Kugeln Br(yj ) (yj ), miteinander verbinden. Hieraus kann man einen x und y verbindenden stetig differenzierbaren Weg in Ω konstruieren, dessen L¨ ange innerhalb jeder der in der Kette auftretenden Kugeln Br(yj ) (yj ) ankt ist. Trivialerweise kann die Kette so gewählt werden, durch 4r(yj ) beschr¨ daß jede Kugel h¨ ochstens einmal vorkommt. Die Gesamtlänge des verbindenk den Weges l¨ aßt sich somit durch 4 j=1 r(yj ) abschätzen. Wir haben also gezeigt, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist mit

256


%

4 k ω ≤ max 2, r(yj ) δ j=1

.

Bemerkung 7.3.6. Satz C.5 u ¨ber die Kompaktheit von Einbettungen läßt ur ein sich gem¨ aß Satz 7.3.5 auch auf Gebiete Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ α ∈ (0, 1] u ¨bertragen. In Aufgabe 7.5 soll mit Hilfe von Bemerkung 7.1.5 andern auf die Voraussetzung des gezeigt werden, daß in dem Fall von C 2,α -R¨ Zusammenhangs verzichtet werden kann: ur ein α ∈ (0, 1]. Weiter seien Sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } . Ist der Grad von X kleiner als der Grad von Y , so ist die Einbettung T : Y → X kompakt. ur ein α ∈ (0, 1]. Satz 7.3.7. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ Dann gibt es f¨ ur jedes γ ∈ (0, 1) eine allein von Ω und γ abh¨ angende Zahl c(Ω, γ) mit uΩ;1,γ ≤ c(Ω, γ) sup |Δu|

(7.28)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Wegen Bemerkung 7.1.5 gen¨ ugt es, den Fall zusammenhängender Ω zu betrachten. Gem¨ aß Satz 7.3.5 k¨ onnen wir somit annehmen, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Zu jedem x0 ∈ ∂Ω gibt es eine Kugel B ⊆ Ω ur jedes h ∈ (0, h0 ) eine mit x0 ∈ ∂B und Zahlen h0 , c > 0 derart, daß f¨ Abbildung ψh und eine Zahl h > 0 mit den in Definition 7.1.8 genannten Eigenschaften (i)–(v) existieren. Nach Lemma 7.1.12 gibt es ein h ∈ (0, h0 ) und Funktionen ahik ∈ C 1,α (B) mit % h 1 1 aik − δik , . (7.29) ≤ min n(B, α), B;0,α 2N 2 c˜(B, α) 2N 2 c˜(B, γ) Dabei ist n(B, α) die in Satz 5.5.5 definierte Zahl, und die Zahlen c˜(B, α), c˜(B, γ) sind wie in Satz 5.3.9 angegeben. Man beachte, daß wir wegen Bemerkung 7.1.2 a) α < 1 annehmen k¨ onnen. Da B durch x0 und Ω bestimmt ist und α durch Ω, ist die Wahl von h urlich im folgenden fixiert allein durch x0 , Ω und γ bestimmt. Da Ω und γ nat¨ angig. Wir umgeben jetzt jedes sind, ist also r(x0 ) := 18 h allein von x0 abh¨ x0 ∈ ∂Ω mit der Kugel Br(x0 ) (x0 ) und jedes x0 ∈ Ω mit Bd(x0 ) (x0 ), wobei ¨ d(x0 ) := 1 dist(x0 , ∂Ω) ist. Dies liefert uns ein offenes Uberdeckungssystem 8

S von Ω, welches nach dem Satz von Heine-Borel ein endliches Teilsystem alt, das Ω u (Bσj (xj )), 1 ≤ j ≤ q, enth¨ ¨berdeckt; es ist allein durch Ω und γ bestimmt, da dies ja auf S zutrifft. Dies gilt also insbesondere f¨ ur q und die xj


257

und σj und daher f¨ ur := min{σ1 , . . . , σq } sowie f¨ ur die Abbildung ψhj : B → Ω, die zu dem Punkt xj geh¨ ort, falls dieser ein Randpunkt ist. Setzen wir h := hj und hik := ahik − δik , wobei die ahik gemäß (7.11) durch ψh gegeben sind, so sind die hik B;0,α allein durch Ω und γ bestimmte Zahlen, die der Ungleichung (7.29) gen¨ ugen. Desgleichen haben dann auch die in Definition 7.1.8 (iv), Lemma 7.1.12 (α), (β) und Aufgabe 7.2 auftretenden Zahlen diese Eigenschaft. Wir u ugt, die Existenz einer allein ¨berzeugen uns nun davon, daß es gen¨ von Ω und γ abh¨ angenden Zahl k(Ω, γ) zu beweisen, mit der uΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ k(Ω, γ) (uΩ;1 + supΩ |Δu|)

(7.30)

f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , q} und f¨ ur alle u ∈ C 2 (Ω) mit u|∂Ω = 0 besteht. Es seien x, y ∈ Ω. Dann gibt es ein j ∈ {1, . . . , q} mit x ∈ Bσj (xj ). Im Falle |x − y| < ur x = y sind dann x, y ∈ Ω ∩ B2σj (xj ), so daß f¨ |uxk (x) − uxk (y)| ≤ uΩ∩B2σj (xj );1,γ |x − y|γ gilt. Im Falle |x − y| ≥ ist 2 |uxk (x) − uxk (y)| ≤ γ uΩ;1 . γ |x − y| Es ist dann also u ∈ C 1,γ (Ω) und uΩ;1,γ = uΩ;1 +

N

Hγ;Ω (uxk )

(7.31)

k=1

2N ≤ 1 + γ + N k(Ω, γ) uΩ;1 + N k(Ω, γ) sup |Δu| . Ω Aus Korollar 7.3.4 (Ω ist gem¨ aß der zu Beginn des Beweises gemachten Bemerkung ein Gebiet endlicher L¨ ange) ergibt sich, daß zu jedem > 0 ein d(, Ω, 1, γ) > 0 existiert, so daß uΩ;1 ≤ uΩ;1,γ + d(, Ω, 1, γ) max |u|

(7.32)

Ω

f¨ ur alle u ∈ C 1,γ (Ω). Des weiteren ist nach dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3 max |u| ≤ c0 (Ω, 1, 1) sup |Δu| , Ω

(7.33)

Ω

so daß die gew¨ unschte Ungleichung (7.28) aus (7.31), (7.32) und (7.33) folgt. F¨ ur den Beweis von (7.30) unterscheiden wir zwei Fälle. 1. Fall. Eines der xj ist aus Ω. Dann gilt Bj := B4σj (xj ) = B4d(xj ) (xj ) ⊂⊂ Ω, und es l¨ ost die mit der Abschneidefunktion ϕ ∈ Cc∞ (Bj ), 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ(x) = 1 f¨ ur x ∈ B2σj (xj ) gebildete Funktion w := ϕu das Dirichletproblem

258


−Δw = F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) in Bj ,

w|∂Bj = 0 ,

so daß wegen (7.26) die Ungleichung uΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ wBj ;1,γ ≤ c(Bj , γ) sup |F | Bj

besteht. Da es eine Zahl k > 0 mit sup |∇ϕ| ≤ Bj

k σj

,

sup |Δϕ| ≤ Bj

k σj2

gibt und σj ≥ ist, beweist dies (7.30). 2. Fall. Eines der xj ist aus ∂Ω. Zu jedem solchen xj gibt es dann eine Kugel B ⊆ Ω mit xj ∈ ∂B, und mit der zu xj gehörenden Abbildung ψhj besteht insbesondere die Inklusion Ω ∩ B2σj (xj ) ⊆ ψhj (B) ⊆ Ω. Wie im 1. Schritt des Beweises des Kelloggschen Satzes 7.2.1 wählen wir nun ein ϕhj ∈ C ∞ (RN ) mit ϕhj (x) =

f¨ ur |x − xj | < 14 hj = 2σj

1

f¨ ur |x − xj | > 12 hj = 4σj und bilden whj := ϕhj u ∈ C 2 (ψhj (B)) ∩ C 0 ψhj (B) . Wir unterdr¨ ucken nun den Index hj und beachten 0

uΩ∩B2σj (xj );1,γ = wΩ∩B2σj (xj );1,γ ≤ wψ(B);1,γ , so daß es offensichtlich gen¨ ugt, wψ(B);1,γ ≤ k(Ω, γ)(uΩ;1 + sup |Δu|)

(7.34)

Ω

zu beweisen. Wir setzen v := w ◦ ψ und X := ψ −1 , so daß also v ◦ X ψ(B);1,γ abzusch¨ atzen ist. Zun¨ achst haben wir N

vyi (X (x))Xixk (x) sup |wxk (x)| = sup x∈ψ(B) x∈ψ(B) i=1

≤ max sup |Xlxk | l

ψ(B)

N

sup |vyi | .

i=1 B

F¨ ur x , x ∈ ψ(B), x = x , schreiben wir vyi (X (x ))Xixk (x ) − vyi (X (x ))Xixk (x ) = Xixk (x )

vyi (X (x )) − vyi (X (x )) |X (x ) − X (x )|γ |X (x ) − X (x )|γ

+ vyi (X (x )) [Xixk (x ) − Xixk (x )] ,


259

woraus sich wegen Lemma 7.1.13 (i) Hγ;B ((vyi ◦ X )Xixk ) ≤ 2γ sup |Xixk |Hγ;B (vyi ) + sup |vyi |Hγ;ψ(B) (Xixk ) , B

ψ(B)

also N

Hγ;B ((vyi ◦ X )Xixk )

i=1

N N

≤ 2 max sup |Xlxk | Hγ;B (vyi ) + max Hγ;ψ(B) (Xlxk ) sup |vyi | γ

l

ψ(B)

l

i=1

i=1 B

ergibt. Es ist somit wψ(B);1,γ = v ◦ X ψ(B);1,γ ≤ 2γ

N

ψl−1 ψ(B);1,γ vB;1,γ ,

(7.35)

l=1

wobei die ψl−1 ψ(B);1,γ nach Aufgabe 7.2 durch eine Konstante abgeschätzt werden k¨ onnen, die, wie eingangs begr¨ undet, allein durch Ω und γ bestimmt ist. Wir sind damit zu dem Problem gelangt, eine Ungleichung der Form ˜ (7.36) vB;1,γ ≤ k(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| Ω

herzustellen. Wir hatten zu Ende des 3. Schrittes im Beweis von Satz 7.2.1 gesehen, daß v f¨ ur x ∈ B der Integralgleichung v(x) +

N

Gyk (x, y)ik (y)vyi (y) dy =

i,k=1 B

G(x, y)b(y) dy B

mit b(y) := F (ψ(y)) −

N

k=1

ak (y)vyk (y) −

N

vyi (y)

i,k=1

∂ ik (y) ∂yk

gen¨ ugt, wobei die ak durch (7.12) definiert sind und F := −(ϕΔu + 2∇ϕ · ∇u + uΔϕ) ist. Bei den nachfolgenden Absch¨ atzungen bezeichnen wir der Einfachheit halber mit c(Ω, γ) immer wieder neue Konstanten, die aber alle die Eigenschaft haben, allein durch Ω und γ bestimmt zu sein. Zunächst ist (7.37) sup |F ◦ ψ| ≤ sup |F | ≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| , B

Ω

dann nach Definition 7.1.8 (iv)

Ω

260


sup |vyk | ≤ B

N

l=1

sup |wxl ◦ ψ| sup |ψlyk | B

B

≤ c(Ω, γ)wΩ;1 ≤ c(Ω, γ)uΩ;1 .

(7.38)

Aus (7.37) und (7.38) ergibt sich zusammen mit Lemma 7.1.12 α), β) sup |b| ≤ sup |F ◦ ψ| + B

B

N

sup |ak | sup |vyk | +

k=1

B

B

≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| ,

N

i,k=1

sup |(ik )yk | sup |vyi | B

B

Ω

mithin nach Aufgabe 5.4 a) G(·, y)b(y) dy B

≤ c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| . Ω

B;1,γ

Wegen vyi ∈ C 1 (B) ⊆ C 0,γ (B) und ik ∈ C 1,α (B) ⊆ C 0,γ (B) (s. Satz C.4) ist auch ik vyi ∈ C 0,γ (B) (s. Aufgabe 5.10 b)), so daß wir mit der Konstanten c˜(B, γ) aus Satz 5.3.9 nach nochmaliger Anwendung von Aufgabe 5.10 b) Gy (·, y)ik (y)vyi (y) dy ≤ c˜(B, γ)ik vyi B;0,γ k B

B;1,γ

% ≤ c˜(B, γ) sup |ik | sup |vyi | + Hγ;B (vyi ) + Hγ;B (ik ) sup |vyi | B

B

B

erhalten. Insgesamt ergibt sich also aufgrund unserer Wahl in (7.29) N N sup | | v + H ( ) v vB;1,γ ≤ c˜(B, γ) ik B;1,γ B;1 i,k=1 i,k=1 γ;B ik B + c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu| Ω

1 N ≤ vB;1,γ + H ( ) c(Ω, γ)uΩ;1 γ;B ik i,k=1 2 + c(Ω, γ) uΩ;1 + sup |Δu|

.

Ω

N Da auch i,k=1 Hγ;B (ik ) eine Zahl ist, die allein durch Ω und γ bestimmt ist, haben wir daher (7.36) und damit u ur die ¨ber (7.34) und (7.35) auch die f¨ angestrebte Absch¨ atzung (7.28) hinreichende Beziehung (7.30) bewiesen.

Aufgaben ¨ 7.1. Man zeige die Aquivalenz der in 7.1.1 und 7.1.4 gegebenen Definitionen 2,α at des Randes einer offenen Menge Ω ⊆ RN . f¨ ur die C -Regularit¨

7 Aufgaben

261

7.2. Man zeige, daß in der Situation von Definition 7.1.8 h0 , c > 0 so gewählt werden k¨ onnen, daß zus¨ atzlich zu den Aussagen der Lemmata 7.1.11–7.1.13 f¨ ur alle h ∈ (0, h0 ) −1 ψ ≤c h ψ(B);1,1 gilt. 7.3. Es ist Ω := {x ∈ R2 : 1 < |x| < 2} \ {x ∈ R2 : x = (0, x2 ), x2 > 0} ein geschlitzter Kreisring in der Ebene, und es sei l¨ angs der positiven x2 -Achse −1 , wenn x1 < 0, x2 > 0, u ∈ C 2 (Ω) mit u(x) = +1 , wenn x1 > 0, x2 > 0. Man beweise f¨ ur 0 ≤ α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω) ist, aber u ∈ / C 0,α (Ω). 7.4. a) Es sei −2 Ωk := (x1 , x2 ) ∈ R × R+ : 3 > |x1 | > e−x2 , 2−k < x2 < 3 · 2−k−1 8∞ und Ω := k=1 Ωk . Da die Ωk paarweise disjunkt sind, ist die Definition ur (x1 , x2 ) ∈ Ω sinnvoll. u(x1 , x2 ) := 2−k sgn x1 , wenn (x1 , x2 ) ∈ Ωk , f¨ Hierbei bezeichnet sgn die Signumfunktion, welche 0 auf 0 abbildet und x = 0 den Wert x/|x| zuordnet. Man zeige f¨ ur 0 < α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω), aber u ∈ / C 0,α (Ω) ist. b) Man mache Ω aus a) zusammenh¨ angend, indem man Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R × R : 2 < |x1 | < 3, −1 < x2 < 1} und Ω := {(x1 , x2 ) ∈ R × R : − 3 < x1 < 3, x2 < 0} hinzunimmt, also Ω :=

∞ &

Ωk ∪ Ω ∪ Ω

k=1

definiert. Es bezeichne φ ∈ C 2 (R \ {0}) eine feste Funktion mit φ(x1 ) = ur |x1 | < 1, φ(x1 ) = 0 f¨ ur |x1 | > 2, und es sei sgn x1 f¨ −k 2 φ(x1 ) , falls (x1 , x2 ) ∈ Ωk , u(x1 , x2 ) := 0 , falls (x1 , x2 ) ∈ Ω ∪ Ω . Man beweise f¨ ur 0 < α, β ≤ 1, daß u ∈ C 1,β (Ω), aber u ∈ / C 0,α (Ω). Zudem zeige man, daß u gleichm¨ aßig stetig ist. 7.5. Man leite die Aussage der Bemerkung 7.3.6 aus den Sätzen C.5 und 7.3.5 und der Bemerkung 7.1.5 ab.

8 Die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder und ihre Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme

In der Klasse der h¨ olderstetigen Funktionen wurde das Dirichletproblem f¨ ur die allgemeine lineare elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung von Schauder [293, 294] gel¨ ost. Dabei war es seine erkl¨ arte Absicht, die von Giraud in zahlreichen umfangreichen Arbeiten1 verwendete Methode der Konstruktion einer Grundl¨ osung in Kombination mit der Lösung einer Integralgleichung durch A-Priori-Absch¨ atzungen zu ersetzen, die dann auch f¨ ur die Lösung nichtlinearer Probleme mit topologischen Mitteln eine entscheidende Rolle spielen. Zur Herleitung seiner A-Priori-Ungleichung bezog sich Schauder auf nicht leicht zu beweisende und in der ben¨ otigten Form nicht bequem zur Verf¨ ugung stehende potentialtheoretische Hilfss¨ atze, f¨ ur die er auf Lichtensteins Enzyklop¨ adieartikel [190, S. 286 f.] und damit auf die dort auf S. 200 zitierte Literatur verwies, was sp¨ atere Lehrb¨ ucher mitunter zu der Taktik verleitete, verk¨ urzt und ohne Beweis zu referieren. Erste detailliertere Bearbeitungen des Schauderschen Beweises stammen von Barrar [11] (im Anschluß an ein Seminar von E.M. Rothe aus dem Jahre 1951) und Graves [85]. Diese Darstellungen sowie die in Gilbarg-Trudinger [83, Chapter 6] und [290, Kap. IX, 4–7] (diese Abschnitte gehen auf eine Vorlesung von E. Heinz aus dem Jahre 1976 zur¨ uck) beruhen auf der Untersuchung einer Lösung der Poissongleichung auf dem Schnitt einer Kugel mit einem Halbraum, die auf dem Hyperebenenteil des Randes verschwindet. Etwa zur gleichen Zeit wie Schauder (aber nach dessen Besprechung von [33] im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 9, S. 68, 1934, von ihm nicht ganz unabh¨ angig2 ) publizierte Caccioppoli in der kurzen Arbeit [33] ein ähnli1

2

Diese waren von vorneherein auf eine allgemeinere Fassung des Dirichletproblems ausgelegt, z.B. auf Gleichungen mit auf Ausnahmemengen oder am Rande unbeschr¨ ankten Koeffizienten. Wir verweisen auf [207, Ch. III, IV.26, V.36], wo auf einige seiner Arbeiten eingegangen wird. Das Verh¨ altnis von Schauder zu Caccioppoli war gespannt, da dieser in [32] zwei Vorarbeiten Schauders f¨ ur [291] nicht erw¨ ahnt hatte [67]. [32] enth¨ alt u ¨brigens


264

8 Absch¨ atzung von Schauder – Lineare und quasilineare Dirichletprobleme

ches Resultat. Eine detailliertere Darstellung gab Miranda erstmals in der 1. Auflage seines Buches [207]. Die Entwicklungslinie f¨ ur den hier gegebenen Beweis wurde schon zu Beginn der Abschnitte 5.5 und 7 angedeutet. Wir beweisen die A-PrioriAbsch¨ atzung von Satz 8.2.1 auf der Basis der A-Priori-Abschätzung von Satz 7.3.1, die ihrerseits einer Verbindung des Kelloggschen Satzes, Korollar 7.2.2, mit dem Banachschen Satz von der offenen Abbildung entspringt. Satz 7.3.1 ben¨ utzt und verallgemeinert die in Satz 5.3.4 gegebene Abschätzung des Greenpotentials f¨ ur die Kugel.

8.1 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten Es soll zun¨ achst eine Absch¨ atzung wie in Satz 7.3.1 f¨ ur den Fall gewonnen werden, daß anstelle des Laplaceoperators −Δ ein Differentialoperator L0 := −

N

aik

i,k=1

∂2 ∂xi ∂xk

mit konstanten Koeffizienten aik steht, die Elemente einer symmetrischen und positiv definiten Matrix A sind. Die Eigenwerte λ1 , . . . , λN von A sind dann positiv, und es gibt eine orthogonale Matrix U mit ⎛ ⎞ 0 λ1 ⎜ ⎟ U t AU = ⎝ . . . ⎠. 0

λN

Die symmetrische und positiv definite Matrix ⎛√ ⎞ λ1 0 ⎜ ⎟ .. B := U t ⎝ ⎠U . √ 0 λN hat dann die Eigenschaft B 2 = A. Ist Q : RN → RN ,

x → Bx

(8.1)

und u ∈ C 2 (RN ), so liefert die Argumentation in Aufgabe 2.2 sofort (L0 u) ◦ Q = −Δ(u ◦ Q) .

(8.2)

die Beobachtung, daß die lineare Struktur eines normierten Raumes f¨ ur das Kontraktionsprinzip unwesentlich ist, dieses also in jedem vollst¨ andigen metrischen Raum gilt. F¨ ur Caccioppolis Vorreiterrolle beim Begriff der schwachen L¨ osung s. Abschnitt 10.3. Es existiert nur sp¨ arliches biographisches Material u ¨ber Schauder, ¨ der 1943 von Deutschen ermordet wurde (s. [67,68,180]). Uber Caccioppoli hingegen gibt es eine Biographie [326] und sogar einen Film, Morte di un matematico napolitano, von Mario Martone (1992).

8.1 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

265

Lemma 8.1.1. Es seien Ω ⊂⊂ RN , k ∈ N0 und α ∈ (0, 1], ferner Q : RN → RN linear, symmetrisch und positiv definit. Es gilt u◦Q ∈ C k,α (Q−1 Ω) genau dann, wenn u ∈ C k,α (Ω) ist, und mit einer allein von Q, k und α bestimmten Zahl c(Q, k, α) ist dann u ◦ QQ−1 Ω;k,α ≤ c(Q, k, α)uΩ;k,α , uΩ;k,α ≤ c(Q, k, α)u ◦ QQ−1 Ω;k,α .

(8.3) (8.4)

Beweis. 1. Wir behandeln zun¨ achst den Fall k = 0. Trivialerweise gilt sup |u ◦ Q| = sup |u| .

Q−1 Ω

Ω

ur y , y ∈ Q−1 Ω mit Sei nun α ∈ (0, 1] und u ∈ C 0,α (Ω). Dann besteht f¨ y = y |u(Qy ) − u(Qy )| |Q(y − y )|α |u(Qy ) − u(Qy )| = |y − y |α |Qy − Qy |α |y − y |α

(8.5)

≤ Hα;Ω (u)|Q| , α

wenn |Q| die mit der euklidischen Vektornorm verträgliche Matrixnorm bezeichnet. F¨ ur α ∈ (0, 1] und u ∈ C 0,α (Ω) ist also u ◦ Q ∈ C 0,α (Q−1 Ω) und u ◦ QQ−1 Ω;0,α ≤ (1 + |Q|α )uΩ;0,α bewiesen. Mit Q ist auch Q−1 linear, symmetrisch und positiv definit. Ersetzen wir daher u : Ω → R durch u ◦ Q : Q−1 Ω → R und Q durch Q−1 , so können wir aus u ◦ Q ∈ C 0,α (Q−1 Ω) folgern, daß u ∈ C 0,α (Ω) ist und uΩ;0,α ≤ (1 + |Q−1 |)u ◦ QΩ −1 ;0,α gilt. 2. Es sei jetzt k ∈ N und u ∈ C k,α (Ω). Aufgrund der Kettenregel ist (u ◦ Q)xj eine Linearkombination der uxi ◦ Q mit Koeffizienten, die allein durch Q bestimmt sind, mithin u ◦ QQ−1 Ω;1 ≤ c(Q)uΩ;1 . Entsprechendes gilt f¨ ur die h¨ oheren Ableitungen. Es ist also mit einer allein durch k und Q bestimmten Konstanten u ◦ QQ−1 Ω;k ≤ c(k, Q)uΩ;k .

(8.6)

Wenden wir nun (8.5) auf alle Ableitungen von u der Ordnung k an, so ergibt sich u ◦ Q ∈ C k,α (Q−1 Ω) und mit (8.6) die Behauptung (8.3). Wieder kann man nun u◦Q anstelle von u und Q−1 anstelle von Q nehmen, was den Beweis des Lemmas vollendet.

266


Lemma 8.1.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1], ferner Q : RN → RN linear, symmetrisch und positiv definit. Dann ist QΩ ⊂⊂ RN und ∂(QΩ) ∈ C 2,α . Beweis. Die Abbildung Q ist ein Hom¨ oormophismus, woraus QΩ ⊂⊂ RN folgt. Zudem gilt ∂(QΩ) = Q(∂Ω). Sei nun y0 ∈ ∂(QΩ) und η ∈ C 2,α (U ) die gem¨ aß Definition 7.1.1 zum Punkt x0 := Q−1 y0 ∈ ∂Ω gehörige Funktion. aß Lemma 8.1.1 die Kriterien von Dann erf¨ ullt η˜(y) := η(Q−1 y), y ∈ QU , gem¨ Definition 7.1.1 f¨ ur y0 . Satz 8.1.3. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1), ferner A eine symmetrische und positiv definite N × N -Matrix. Dann gibt es eine allein durch Ω, α und A bestimmte Konstante c(Ω, α, A) mit N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, A) i,k=1 aik uxi xk Ω;0,α

f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Wir betrachten die Abbildung Q aus (8.1). Es ist (u◦Q)|∂(Q−1 Ω) = 0. Lemma 8.1.1 vermittelt u ◦ Q ∈ C 2,α (Q−1 Ω). Nach Lemma 8.1.2 mit Q−1 statt Q ist Q−1 Ω ⊂⊂ RN und ∂(Q−1 Ω) ∈ C 2,α , so daß nach Satz 7.3.1 u ◦ QQ−1 Ω,2,α ≤ c(Q−1 Ω, α)Δ(u ◦ Q)Q−1 Ω;0,α gilt. Mit (8.4), (8.2) und (8.3) haben wir daher uΩ;2,α ≤ c(Q, 2, α)u ◦ QQ−1 Ω;2,α ≤ c(Q, 2, α)c(Q−1 Ω, α)(L0 u) ◦ QQ−1 Ω;0,α ≤ c(Q, 2, α)c(Q−1 Ω, α)c(Q, 0, α)L0 uΩ;0,α . Da Q allein durch A bestimmt ist, ist das die Behauptung.

Satz 8.1.3 hat noch den Mangel, daß die Zahl c(Ω, α, A) von der individu¨ ellen Matrix A abh¨ angt. Man gewinnt aber mit einem Uberdeckungsargument daraus den folgenden Satz, der eine Konstante aufstellt, die f¨ ur eine Klasse von Matrizen A gilt. Satz 8.1.4 (A-Priori-Absch¨ atzung bei konstanten Koeffizienten). Es ur ein α ∈ (0, 1), ferner 0 < m < M . Dann sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ gibt es eine Zahl c(Ω, α, m, M ), so daß f¨ ur alle symmetrischen Matrizen A, deren Elemente m|ξ|2 ≤

N

aik ξi ξk ≤ M |ξ|2

f¨ ur alle ξ ∈ RN

i,k=1

erf¨ ullen, und alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M ) i,k=1 aik uxi xk

Ω;0,α

gilt.

(8.7)

8.2 Variable Koeffizienten

267 2

Beweis. Jede reelle N × N -Matrix A = (aik ) fassen wir als Punkt in RN auf. 2 Es ist bequem, RN mit der Norm |A|∞ := max{|aik | : 1 ≤ i, k ≤ N } zu versehen. Die Menge der symmetrischen Matrizen A mit der Eigenschaft 2 (8.7) bildet eine kompakte Teilmenge Pm,M von RN . Wir definieren nun eine Funktion 1 φ : Pm,M → R , A → [1 + c(Ω, α, A)]−1 , 2 wobei c(Ω, α, A) die in Satz 8.1.3 auftretende Zahl ist. F¨ ur A ∈ Pm,M sei 2 Wφ(A) (A) der (offene) Quader in RN mit Mittelpunkt A und Seitenlänge ¨ 2φ(A). Das offene Uberdeckungssystem S := (Wφ(A) (A)), A ∈ Pm,M , von Pm,M besitzt ein endliches Teilsystem (Wφ(Aj ) (Aj )), 1 ≤ j ≤ q, welches Pm,M u ¨berdeckt. Es ist allein bestimmt durch Pm,M und S, also durch m, M und φ und daher durch m, M , Ω und α; die Abh¨ angigkeit von N wird schon durch die Angabe von Ω ber¨ ucksichtigt. Zu A ∈ Pm,M gibt es ein j ∈ {1, . . . , q} mit |A − Aj |∞ < φ(Aj ) . F¨ ur Aj besteht nach Satz 8.1.3 f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 die Absch¨ atzung N uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, Aj ) i,k=1 ajik uxi xk Ω;0,α N N j . ≤ c(Ω, α, Aj ) i,k=1 (aik − aik )uxi xk + i,k=1 aik uxi xk Ω;0,α

Nun ist

N j i,k=1 (aik − aik )uxi xk

Ω;0,α

≤ |A − Aj |∞ uΩ;2,α ≤

und folglich uΩ;2,α ≤ 2

max

j∈{1,...,q}

Ω;0,α

1 [1 + c(Ω, α, Aj )]−1 uΩ;2,α 2

N c(Ω, α, Aj ) i,k=1 aik uxi xk

Ω;0,α

.

Dies ist die behauptete A-Priori-Absch¨ atzung, da q und A1 , . . . , Aq allein durch Pm,M und S, also durch Ω, α, m und M bestimmt sind.

8.2 Variable Koeffizienten Satz 8.2.1 (Globale A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder). Es sei ur ein α ∈ (0, 1), ferner 0 < m < M und Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ b > 0. Dann gibt es eine Zahl c(Ω, α, m, M, b), so daß

268


uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M, b)(LuΩ;0,α + supΩ |u|) ist f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0 und alle Differentialoperatoren des Typs Lu(x) := −

N

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) + a(x)u(x) ,

i=1

i,k=1

wenn nur aik = aki , ai , a ∈ C 0,α (Ω) sind, N

m|ξ|2 ≤

aik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN gilt und aik Ω;0,α ≤ b,

ai Ω;0,α ≤ b,

aΩ;0,α ≤ b

(8.8)

f¨ ur i, k ∈ {1, . . . , N } ist. Beweis. Wegen Bemerkung 7.1.5 gen¨ ugt es, den Fall zusammenhängender Ω zu betrachten. Gem¨ aß Satz 7.3.5 k¨ onnen wir somit annehmen, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Ist c(Ω, α, m, M ) die Zahl aus Satz 8.1.4 und −1 , := 1 + [b(1 + 2c(Ω, α, m, M ))]1/α so gilt nach Voraussetzung (8.8) f¨ ur x, x0 ∈ Ω mit |x − x0 | < |aik (x) − aik (x0 )| ≤ b|x − x0 |α ≤ bα ≤

1 . 1 + 2c(Ω, α, m, M )

(8.9)

¨ Es ist S := (B/3 (x0 )), x0 ∈ Ω, ein offenes Uberdeckungssystem von Ω, und es ist v¨ ollig bestimmt durch Ω und , also durch Ω, α, m, M und b. Gleiches gilt dann f¨ ur ein endliches Teilsystem (B/3 (xj )), 1 ≤ j ≤ q, das Ω u ¨berdeckt. Sei X ∈ C ∞ (R), 0 ≤ X ≤ 1 und 1 f¨ ur t < 12 X (t) = 0 f¨ ur t > 23 und K ≥ 1 so, daß |X (t)| + |X (t)| + |X (t)| ≤ K Auf Ω ∗ := durch

8q j=1

f¨ ur alle t ∈ R .

B/2 (xj ) ⊇ Ω definieren wir eine endliche Zerlegung der Eins

ϕj := ψj /

q

m=1

ψm

mit

ψj (x) := X (|x − xj |/) .


Auf Ω ∗ ist dann 1 ≤ j ∈ {1, . . . , q} gilt

q m=1

269

ψm ≤ q und 0 ≤ ϕj ≤ 1. F¨ ur k ∈ {0, 1, 2} und

ϕj ∈ C k,α (Ω),

ϕj Ω;k,α ≤

Kc(q, Ω) k+1

(8.10)

mit einer allein von q und Ω abh¨ angenden Zahl c(q, Ω). Wir zeigen dies f¨ ur k = 0 und verweisen f¨ ur k ∈ {1, 2} auf Aufgabe 8.1. Wegen ∇ψj (x) =

1 x − xj X (|x − xj |/) |x − xj |

gilt f¨ ur x ∈ Ω die Ungleichung |∇ψj (x)| ≤ |∇ϕj | ≤ |∇ψj | +

q

K ,

so daß

|∇ψm | ≤

m=1

1 K(1 + q)

folgt. Seien x, y ∈ Ω. Im Falle 0 < |x − y| < liefert der Mittelwertsatz |ϕj (x) − ϕj (y)| 1 ≤ |x − y|1−α |∇ϕj (ξ)| ≤ α K(1 + q) , α |x − y| w¨ ahrend f¨ ur |x − y| ≥ 1 1 |ϕj (x) − ϕj (y)| ≤ α |ϕj (x) − ϕj (y)| ≤ α |x − y|α ist. Dies beweist (8.10) f¨ ur k = 0. ¨ Uber Aufgabe 5.10 a) folgt nun ϕj u ∈ C 2,α (Ω) und daher q q uΩ;2,α = j=1 ϕj u ≤ j=1 ϕj uΩ;2,α . Ω;2,α

Wegen ϕj u|∂Ω = 0 haben wir mit der Zahl c(Ω, α, m, M ) aus Satz 8.1.4 die Absch¨ atzung N , (8.11) ϕj uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M ) i,k=1 aik (xj )(ϕj u)xi xk Ω;0,α

denn es ist ja (aik (xj )) eine konstante symmetrische Matrix mit der Eigenschaft (8.7). Wir schreiben3 −

N

aik (xj )(ϕj u)xi xk = −

i,k=1

N

[aik (xj ) − aik (x)] (ϕj u)xi xk + ϕj Lu

i,k=1

−2

N

i,k=1

−

N

aik (x)ϕjxi uxk −

N

aik (x)ϕjxi xk u

i,k=1

ai (x)ϕj uxi − a(x)ϕj u .

i=1 3

Dieser Kunstgriff wird h¨ aufig Einfrieren der Koeffizienten genannt; er geht auf Korn zur¨ uck [152].

270


Nach Aufgabe 5.11 ist [aik (xj ) − aik ](ϕj u)xi xk Ω;0,α ≤ [aik (xj ) − aik ](ϕj u)xi xk Ω∩B (xj );0,α + (/3)−α

|(ϕj u)xi xk | .

sup Ω∩B (xj )

Der erste Summand gestattet nach (8.9) sowie (iii) und (ii) in Aufgabe 5.10 b) die Absch¨ atzung 1 (ϕj u)xi xk Ω;0,α + sup |(ϕj u)xi xk | Hα;Ω (aik ) . 1 + 2c(Ω, α, m, M ) Ω Aus (8.11) folgt daher wegen (8.8) ϕj uΩ;2,α ≤

c(Ω, α, m, M ) ϕj uΩ;2,α 1 + 2c(Ω, α, m, M ) 6 +c(Ω, α, m, M ) ((3/)α b + b)T1 + l=2 Tl .

Die verbleibenden sechs Terme sch¨ atzen wir wie folgt ab. Wegen (8.10) ist T1 :=

N

i,k=1

sup |(ϕj u)xi xk | Ω

N

sup |ϕjxi xk | sup |u| + 2 sup |ϕjxi | sup |uxk | + sup |ϕj | sup |uxi xk | ≤ i,k=1

≤

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

N N

2Kc(q, Ω)

Kc(q, Ω) sup |u| + sup |u | + sup |uxi xk | x k 3 2 Ω Ω Ω k=1

≤

Ω

i,k=1

2Kc(q, Ω) uΩ;2 , 3

denn wir k¨ onnen ohne weiteres c(q, Ω) ≥ 1 annehmen. Unter Verwendung von Aufgabe 5.10 erhalten wir mit (8.8) und (8.10) T2 := ϕj LuΩ;0,α ≤ T3 := 2

N

Kc(q, Ω) LuΩ;0,α ,

aik ϕjxi uxk Ω;0,α

i,k=1

≤ 2

N

(aik Ω;0,α ϕjxi Ω;0,α uxk Ω;0,α )

i,k=1

≤ 2bϕj Ω;1,α uΩ;1,α ≤

2bKc(q, Ω) uΩ;1,α , 2


T4 :=

N

N

aik ϕjxi xk uΩ;0,α ≤

i,k=1

271

(aik Ω;0,α ϕjxi xk Ω;0,α uΩ;0,α )

i,k=1

bKc(q, Ω) uΩ;0,α , 3 N

bKc(q, Ω) T5 := uΩ;1,α , ai ϕj uxi Ω;0,α ≤ i=1 ≤

T6 := aϕj uΩ;0,α ≤

bKc(q, Ω) uΩ;0,α .

Insgesamt ergibt sich daher 1 ϕj uΩ;2,α ≤ c0 (Ω, α, m, M, b) (uΩ;2 + LuΩ;0,α + uΩ;1,α + uΩ;0,α ) . 2 Gem¨ aß Lemma 7.3.3 (wie zu Beginn des Beweises begr¨ undet, betrachten wir den Fall, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist) haben wir f¨ ur ein geeignetes ω ≥ 1 N

Hα,Ω (uxi ) ≤ N ωuΩ;2 , Hα,Ω (u) ≤ N ωuΩ;1 , i=1

also u2;Ω,α ≤

q

ϕj uΩ;2,α

j=1

≤ 2qc0 (Ω, α, m, M, b) LuΩ;0,α + 2(1 + N ω)uΩ;2 + sup |u| . Ω

Nach Korollar 7.3.4 (Ω ist ein Gebiet von endlicher Länge) gibt es zu jedem > 0 ein d(, Ω, 2, α) > 0 mit uΩ;2 ≤ uΩ;2,α + d(, Ω, 2, α) sup |u| . Ω

Wir w¨ ahlen nun > 0 so klein, daß 4qc0 (Ω, α, m, M, b)(1 + N ω) =

1 2

ausf¨ allt. und damit d(, Ω, 2, α) sind dann allein durch Ω, α, m, M und b bestimmt, und es resultiert die behauptete Abschätzung. Korollar 8.2.2. Wenn zus¨ atzlich a ≥ 0 ist, so gilt mit einer allein durch Ω, α, m, M und b bestimmten Konstanten uΩ;2,α ≤ c(Ω, α, m, M, b)LuΩ;0,α f¨ ur alle u ∈ C 2,α (Ω) mit u|∂Ω = 0. Beweis. Im Falle a ≥ 0 k¨ onnen wir supΩ |u| = maxΩ |u| aufgrund des Bern steinschen Lemmas 2.6.3 durch supΩ |Lu| abschätzen.

272


8.3 Die Kontinuit¨ atsmethode zur L¨ osung des 2,α allgemeinen linearen Dirichletproblems in C (Ω). Die Fredholmsche Alternative. Wir hatten bereits in Abschnitt 5.5 die Kontinuitätsmethode vorgestellt und in Satz 5.5.6 auf das Dirichletproblem in der Kugel B angewendet, wenn der Hauptteil der Differentialgleichung wenig von −Δ abweicht. Entscheidendes Hilfsmittel daf¨ ur war die A-Priori-Absch¨ atzung aus Satz 5.5.5 gewesen, die sich daraus ergab, daß wir f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (B) das Dirichletproblem −Δu = osen konnten (vgl. Bemerkung 5.3.7). f in B, u|∂B = 0 in der Klasse C 2,α (B) l¨ Wir leiten jetzt auf dem gleichen Wege aus dem Kelloggschen Satz (Korollar 7.2.2) und aus der A-Priori-Absch¨ atzung von Korollar 8.2.2 den folgenden Satz ab. ur ein α ∈ (0, 1), Satz 8.3.1 (Schauder). Es sei Ω ⊂⊂ RN mit ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ferner m > 0. Es sei L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein linearer Differentialoperator mit Koeffizienten aik = aki ,

ai ,

und m|ξ|2 ≤

0 ≤ a ∈ C 0,α (Ω)

N

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN . Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in Ω,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) genau eine L¨ osung u ∈ C 2,α (Ω). Beweis. Die Eindeutigkeit folgt bereits aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Wegen Bemerkung 7.1.5 und Satz 7.3.5 gen¨ ugt es wiederum, den Fall zu betrachten, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist. Zum Nachweis der Existenz betten wir L, wie eingangs von Abschnitt 5.5 erläutert, in eine Schar von Operatoren Lt := −(1 − t)Δ + tL,

0≤t≤1,

ein. Dann ist L0 = −Δ und L1 = L. Die Koeffizienten von Lt sind aus C 0,α (Ω) und erf¨ ullen − (1 − t)δik − taik Ω;0,α ≤ 1 + aik Ω;0,α , tai Ω;0,α ≤ ai Ω;0,α ,

taΩ;0,α ≤ aΩ;0,α ,

8.3 Das allgemeine lineare Dirichletproblem in C

2,α

(Ω)

273

so daß ein b > 0 existiert, welches diese Gr¨ oßen gleichmäßig beschränkt. Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung hat dann M := N b die Eigenschaft N


i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN . Wir d¨ urfen m ≤ 1 ≤ M annehmen. Dann ist auch m|ξ|2 ≤ (1 − t + tm)|ξ|2 ≤

N

[(1 − t)δik + taik (x)] ξi ξk ≤ (1 − t + tM )|ξ|2

i,k=1

≤ M |ξ|2 . Schließlich ist ta ≥ 0. Es sei τ die Menge derjenigen t ∈ [0, 1], f¨ ur welche das Dirichletproblem Lt u = f in Ω,

u|∂Ω = 0

f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) mit u ∈ C 2,α (Ω) eindeutig lösbar ist. Nach Korollar 7.2.2 ist 0 ∈ τ , und es ist 1 ∈ τ zu beweisen. Wenn t0 ∈ τ ist, so ist das Dirichletproblem Lt0 w = f + (Lt0 − Lt )v in Ω,

w|∂Ω = 0

(8.12)

osbar, so daß wir die (von t0 , t und f f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (Ω) eindeutig l¨ abh¨ angende) Abbildung T : C 2,α (Ω) → {z ∈ C 2,α (Ω) : z|∂Ω = 0} , v → das w mit der Eigenschaft (8.12) betrachten k¨ onnen. Wenn T f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) einen Fixpunkt besitzt, so ist t ∈ τ . Wir wollen daher nun nachweisen, daß die Abbildung T bei geeigneter ur v1 , v2 ∈ C 2,α (Ω) Einschr¨ ankung von |t − t0 | eine strikte Kontraktion ist. F¨ ist T v1 − T v2 ∈ C 2,α (Ω), (T v1 − T v2 )|∂Ω = 0 und Lt0 (T v1 − T v2 ) = (Lt0 − Lt )(v1 − v2 ) = (t0 − t)(Δ + L)(v1 − v2 ) . Daher gibt es nach Korollar 8.2.2 eine von t0 und t unabhängige Zahl c(Ω, α, m, M, b) mit T v1 − T v2 Ω;2,α ≤ |t0 − t|c(Ω, α, m, M, b)(Δ + L)(v1 − v2 )Ω;0,α . F¨ ur w := v1 − v2 erhalten wir nun mit Aufgabe 5.10 a) und Lemma 7.3.3 (wie zu Beginn des Beweises begr¨ undet, betrachten wir den Fall, daß Ω ein Gebiet von endlicher L¨ ange ist) f¨ ur ein geeignetes ω ≥ 1 die Abschätzung

274


(Δ + L)wΩ;0,α ≤ (1 + b)

N

sup |wxi xk | + Hα,Ω (wxi xk )

N

i,k=1

+b

Ω

sup |wxi | + Hα,Ω (wxi ) + sup |w| + Hα,Ω (w)

i=1

Ω

Ω

≤ (1 + b) [wΩ;2,α + N ω(wΩ;2 + wΩ;1 )] ≤ (1 + b)3N ωwΩ;2,α . F¨ ur |t0 − t| < δ :=

1 [1 + c(Ω, α, m, M, b)](1 + b)3N ω

hat daher T nach dem Banachschen Satz einen Fixpunkt. Wir können also [0, 1] mit endlichvielen Intervallen der L¨ ange δ (sie hängt nicht von f , t0 oder t ab) u ¨berdecken, die alle die Eigenschaft haben, daß jedes von ihnen schon dann ganz zu τ geh¨ ort, wenn dies f¨ ur einen seiner Punkte zutrifft. Mit 0 ist daher auch in der Tat 1 aus τ . Bemerkung 8.3.2. a) Wenn u|∂Ω = g sein soll, dann ist das kein neues Problem, solange g : ∂Ω → R eine Fortsetzung g˜ : Ω → R mit g˜ ∈ C 2,α (Ω) besitzt (eine solche existiert, wenn g ∈ C 2,α (∂Ω) ist [83, p. 137]). Da nach Satz 8.3.1 zu f ∈ C 0,α (Ω) genau ein v ∈ C 2,α (Ω) mit Lv = f − L˜ g in Ω,

v|∂Ω = 0

existiert, l¨ ost u := v + g˜ Lu = f in Ω,

u|∂Ω = g .

b) W¨ ahrend die L¨ osbarkeit des linearen Dirichletproblems in der Klasse C 2,α (Ω) f¨ ur die Behandlung nichtlinearer Probleme von entscheidender Wichtigkeit ist, bleibt es f¨ ur das lineare Problem aber eine nat¨ urliche Frage, ob L¨ osungen u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) existieren mit u|∂Ω = g, wenn von g : ∂Ω → R nur noch die Stetigkeit vorausgesetzt wird. Ein solches g läßt sich nach einem klassischen Erweiterungssatz, dem von Tietze [337, p. 472], zu einer Funktion g˜ fortsetzen, die auf einem Ω enthaltenden Quader in RN stetig ist. Nach Weierstraß l¨ aßt sich daher g gleichm¨ aßig durch eine Folge von Polynomen Pn approximieren. Nach Teil a) dieser Bemerkung existiert daher f¨ ur jedes n eine L¨ osung un ∈ C 2,α (Ω) mit Lun = f in Ω,

un |∂Ω = Pn |∂Ω .

Die Folge (un ) konvergiert gleichm¨ aßig auf Ω gegen ein u ∈ C 0 (Ω). Dies folgt aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Nat¨ urlich ist dann u|∂Ω = g. Es ist aber trotz der globalen A-Priori-Absch¨ atzung nicht klar, ob u ∈ C 2 (Ω)

8.3 Das allgemeine lineare Dirichletproblem in C

2,α

(Ω)

275

und Lu = f ist. Dazu m¨ ussen vielmehr neue A-Priori-Abschätzungen lokaler Natur, die inneren“ Absch¨ atzungen vom kommenden Kapitel 9, herangezo” gen werden. Daher behandeln wir das allgemeine Dirichletproblem mit nur stetigen Randdaten erst im Kapitel 9. Satz 8.3.3 (Fredholmsche Alternative). Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ ur ein α ∈ (0, 1), ferner m > 0. Die Koeffizienten in L := −

N

i,k=1

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

m¨ ogen aik = aki ,

ai ,

und m|ξ|2 ≤

N

a ∈ C 0,α (Ω)

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN erf¨ ullen. Ferner sei λ ∈ R. Dann gilt: a) Entweder hat das Dirichletproblem Lu − λu = f in Ω,

u|∂Ω = g

f¨ ur alle f ∈ C 0,α (Ω) und g ∈ C 2,α (Ω)4 eine L¨ osung u ∈ C 2,α (Ω), oder es 2,α ur das homogene Problem gibt eine L¨ osung u = 0 in C (Ω) f¨ Lu − λu = 0 in Ω,

u|∂Ω = 0 .

Im ersten Fall ist u eindeutig bestimmt; im zweiten Fall ist λ ein Eigenwert des linearen Operators L : C 02,α (Ω) → C 0,α (Ω),

u → Lu ,

wobei C 02,α (Ω) = {u ∈ C 2,α (Ω) : u|∂Ω = 0} als Unterraum des Banachraums C 0,α (Ω) aufgefaßt wird. b) L hat höchstens abz¨ ahlbar viele Eigenwerte. Sie haben endliche Vielfachheit und +∞ als einzig m¨ oglichen H¨ aufungspunkt. Beweis. a) Wegen Bemerkung 8.3.2 a) d¨ urfen wir uns auf den Fall g = 0 ur alle x ∈ Ω gilt. beschr¨ anken. Wir fixieren ein λ0 ∈ R so, daß a(x) − λ0 > 0 f¨ Nach Satz 8.3.1 gibt es dann zu jedem f ∈ C 0,α (Ω) genau ein w ∈ C 2,α (Ω) mit (L − λ0 )w = f in Ω, 4

0,α

w|∂Ω = 0 ,

Nach Bemerkung 7.3.6 ist g in C (Ω) enthalten und damit gleichm¨ aßig stetig. Folglich kann g in eindeutiger Weise zu einer stetigen Funktion auf Ω fortgesetzt werden.

276


so daß der Operator L − λ0 insbesondere injektiv ist. Nach Korollar 8.2.2 ist die lineare Abbildung (L − λ0 )−1 : C 0,α (Ω) → C 02,α (Ω),

f → w

beschr¨ ankt, d.h. es gilt (L − λ0 )−1 f Ω;2,α ≤ cf Ω;0,α mit einer allein durch Ω, α, λ0 und die Koeffizienten von L bestimmten Zahl c > 0. Da nach Bemerkung 7.3.6 die Einbettung I : C 02,α (Ω) → C 0,α (Ω),

u → u

kompakt ist, ist daher auch K := I(L − λ0 )−1 : C 0,α (Ω) → C 0,α (Ω) ein linearer kompakter Operator. F¨ ur λ ∈ R und f ∈ C 0,α (Ω) sind nun die Gleichungen u ∈ C 2,α (Ω),

(L − λ)u = f,

u|∂Ω = 0

(8.13)

und ψ ∈ C 0,α (Ω),

[1 − (λ − λ0 )K]ψ = f

(8.14)

in folgendem Sinne ¨ aquivalent. Gen¨ ugt u den Bedingungen von (8.13), so ist ψ := (L − λ0 )u aus C 0,α (Ω) und ψ − (λ − λ0 )Kψ = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )Iu = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )u = f . osung von (8.14), so ist u := (L − λ0 )−1 ψ aus Ist umgekehrt ψ ∈ C 0,α (Ω) L¨ C 02,α (Ω) und f = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )Iu = (L − λ0 )u − (λ − λ0 )u . Auf (8.14) l¨ aß sich nun die in Satz 6.1.1 formulierte Fredholmsche Alternative anwenden. Daher haben wir auch f¨ ur unser Dirichletproblem die in a) behauptete Alternative. b) Ist λ ∈ R ein Eigenwert von L, so ist λ > λ0 (im Falle λ ≤ λ0 wäre ja auch a − λ ≥ 0, so daß nach Satz 8.3.1 (L − λ)u = 0 nur die triviale Lösung bes¨ aße), und es besitzt (8.14) mit f = 0 eine nichttriviale Lösung. Es ist also μ := (λ − λ0 )−1 ein Eigenwert des kompakten Operators K. (Umgekehrt ur jeden Eigenwert μ = 0 von K ein Eigenwert von L.) ist λ := λ0 + μ−1 f¨ Die Behauptung in b) folgt daher aus dem Spektralsatz 6.1.5 f¨ ur kompakte Operatoren. Zudem folgt aus der Injektivit¨ at von L − λ0 , daß die Dimension des Nullraumes von L − λ nicht gr¨ oßer sein kann als die von K − μ. Sämtliche Eigenwerte von λ sind daher gem¨ aß Satz 6.1.5 von endlicher Vielfachheit.

8.4 Quasilineare elliptische Differentialgleichungen nach Leray-Schauder

277

8.4 Ausblick: Das Dirichletproblem fu ¨r die quasilineare elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von Leray-Schauder Man spricht von einer quasilinearen Differentialgleichung 2. Ordnung, wenn die Koeffizienten der 2. Ableitungen von u Funktionen allein von x, u und den 1. Ableitungen von u sind. Der Beweis des nachfolgenden Satzes gestaltet sich ganz ¨ ahnlich wie der von Satz 5.6.5. ur ein α ∈ (0, 1), ferner Satz 8.4.1. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ 0 < m < M . Es seien aik = aki : Ω × R × RN → R Funktionen mit der Eigenschaft m|ξ|2 ≤

N

aik (x, z, p) ≤ M |ξ|2

(8.15)

i,k=1

f¨ ur alle (x, z, p) ∈ Ω × R × RN und ξ ∈ RN , ferner die aik aus C 0,α (Ω × R × ulle f ∈ C 0,α (Ω ×Q) f¨ ur jedes Q ⊂⊂ R×RN . Es RN ). f : Ω ×R×RN → R erf¨ gebe schließlich ein γ ∈ (0, 1) und ein A > 0 derart, daß f¨ ur jedes v ∈ C 2,α (Ω), zu dem ein σ ∈ (0, 1) mit N

−

aik (x, v(x), ∇v(x))vxi xk (x) = σf (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ Ω, v|∂Ω = 0

i,k=1

existiert, die Ungleichung vΩ;1,γ ≤ A

(8.16)

besteht. Dann gibt es ein u ∈ C 2,α (Ω) mit N

−

aik (x, u(x), ∇u(x))uxi xk (x) = f (x, u(x), ∇u(x)) f¨ ur x ∈ Ω, u|∂Ω = 0 .

i,k=1

Beweis. Sei γ ∈ (0, 1) und v ∈ C 1,γ (Ω). Nach Aufgabe 5.9 c), Bemerkung 5.3.2 b) und Aufgabe 8.2 sind dann die Funktionen x → aik (x, v(x), ∇v(x)) und x → f (x, v(x), ∇v(x)) aus C 0,αγ (Ω). Nach Bemerkung 7.1.2 a) ist auch ∂Ω ∈ C 2,αγ . Nach dem Schauderschen Satz 8.3.1 besitzt daher das lineare Dirichletproblem −

N

aik (x, v(x), ∇v(x))wxi xk (x) = f (x, v(x), ∇v(x)) f¨ ur x ∈ Ω, w|∂Ω = 0

i,k=1

genau eine L¨ osung w in C 02,αγ (Ω) = u ∈ C 2,αγ (Ω) : u|∂Ω = 0 . Wie in Abschnitt 5.6 k¨ onnen wir daher die Abbildung

278


S : C 1,γ (Ω) → C 02,αγ (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω),

v → w

betrachten, wobei die Inklusion nunmehr auf Bemerkung 7.3.6 beruht. Wenn S einen Fixpunkt u besitzt, so ist Su = u ∈ C 02,αγ (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω), mithin nach Aufgabe 5.9 c) f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (Ω), so daß nach Satz 8.3.1 u ∈ C 2,α (Ω) ¨ ist. Ebenso erh¨ alt man f¨ ur σ ∈ (0, 1) die Aquivalenz der folgenden Aussagen (i) und (ii): (i) v ∈ C 1,γ (Ω), (ii) v ∈ C 02,α (Ω),

σSv = v ; N − i,k=1 aik (·, v(·), ∇v(·))vxi xk = σf (·, v(·), ∇v(·)) .

Daß S einen Fixpunkt besitzt, folgt nun aufgrund unserer Voraussetzung (8.16) sofort aus dem Leray-Schauderschen Fixpunktsatz 5.6.3, sobald gezeigt ist, daß S kompakt und stetig ist. ankte Folge, so ist (Svn ) aus C 02,αγ (Ω), Ist (vn ) eine in C 1,γ (Ω) beschr¨ also nach Korollar 8.2.2 (denn nach Bemerkung 7.1.2 a) ist ∂Ω ∈ C 2,αγ ) Svn Ω;2,αγ ≤ c(Ω, αγ, m, M, b)f (·, vn (·), ∇vn (·))Ω;0,αγ (b sei eine Schranke f¨ ur die C 0,α (Ω × R × RN )-Norm der aik ), so daß (Svn ) ankte Folge ist. Die Einbettung von nach Aufgabe 8.2 eine in C 2,αγ (Ω) beschr¨ C 2,αγ (Ω) in C 1,γ (Ω) ist nach Bemerkung 7.3.6 kompakt. Es gibt also eine ur die (Svn ) in C 1,γ (Ω) konvergiert. Teilfolge (vn ), f¨ Zum Beweis der Stetigkeit von S sei (vn ) eine in C 1,γ (Ω) konvergente Folge mit Grenzwert v. Sie ist dann insbesondere in C 1,γ (Ω) beschränkt. Wie wir gerade gesehen haben, ist dann aber (Svn ) eine in C 2,αγ (Ω) beschränkte Folge. Da die Einbettung von C 2,αγ (Ω) in C 2 (Ω) nach Bemerkung 7.3.6 kompakt ist, existiert also eine in C 2 (Ω) konvergente Teilfolge (Svn ) mit Grenzwert w, so daß aus −

N

aik (·, vn (·), ∇vn (·))(Svn )xi xk = f (·, vn (·), ∇vn (·)),

Svn |∂Ω = 0 ,

i,k=1

aufgrund der Stetigkeit der Funktionen aik und f −

N

aik (·, v(·), ∇v(·))wxi xk = f (·, v(·), ∇v(·)),

w|∂Ω = 0 ,

i,k=1

folgt. Nach Aufgabe 8.2 ist f (·, v(·), ∇v(·)) ∈ C 0,αγ (Ω), so daß wegen ∂Ω ∈ C 2,αγ nach dem Schauderschen Satz 8.3.1 w ∈ C 2,αγ (Ω) ist. Die Definition von S liefert nun Sv = w. Jede Folge (vn ) mit vn → v in C 1,γ (Ω) hat also eine Teilfolge (vn ) mit Svn → Sv in C 2 (Ω) ⊆ C 1,γ (Ω). Das schwierige Problem der Herstellung einer A-Priori-Ungleichung der Form (8.16) wurde f¨ ur beliebiges N erstmals von Cordes gelöst, und zwar unter einer sp¨ ater nach ihm benannten Bedingung an den Hauptteil, der die

8 Aufgaben

279

Elliptizit¨ atsforderung (8.15) im Falle N ≥ 3 verschärft [43,44]. F¨ ur die Resultate von Ladyzhenskaya und Ural’tseva verweisen wir auf [83, Chapter 12] und die dort zitierte Literatur sowie auf [157]. Eine kritische W¨ urdigung der Pionierarbeiten von S.N. Bernstein findet man in [304, pp. 443, 473, 491 f.].

Aufgaben 8.1. Man zeige, daß die Aussage (8.10) im Beweis von Satz 8.2.1 f¨ ur k ∈ {1, 2} gilt. 8.2. Man beweise die Aussage von Aufgabe 5.12 f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α anstelle von B. 8.3. Man beweise die Aussage von Satz 5.6.6 mit Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α anstelle von B.

9 Innere Absch¨ atzungen und innere Regularit¨ at

Aus der globalen A-Priori-Absch¨ atzung von Schauder (Satz 8.2.1) wird eine innere Absch¨ atzung hergeleitet (Satz 9.1.1) und aus dieser die Existenz einer L¨ osung des Dirichletproblems f¨ ur die allgemeine lineare elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung bei nur stetigem Randdatum gefolgert (Satz 9.1.2). Mit Hilfe der in (9.12) definierten Parametrix wird gezeigt, daß jede Lösung lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetige Ableitungen bis zur 2. Ordnung besitzt, wenn die Koeffizienten und die rechte Seite lokal gleichmäßig α-hölderstetig sind (Satz 9.2.5 von E. Hopf). Satz 9.2.6 dehnt diese innere Regularitätsaussage auf L¨ osungen quasilinearer elliptischer Gleichungen aus.

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung Im Gefolge der Kelloggschen Untersuchungen [138] gewann Schauder [293] als Vorstufe f¨ ur die globale A-Priori-Absch¨ atzung von Satz 8.2.1 Abschätzungen, die den Abstand des inneren Bereichs“ vom Rand involvieren. Ein ver” einfachter Beweis wurde von Douglis und Nirenberg gegeben und auf Systeme ausgedehnt [53]. Auf innere Absch¨ atzungen gr¨ undet J.H. Michael [202] eine Behandlung des Dirichletproblems in C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω), die die 2,α Ω -Theorie vermeidet. Dabei wird die stetige Annahme der Randwerte a¨hnlich wie bei der in Abschnitt 3.3 dargestellten Perronschen Methode mittels Barrieren bewiesen (vgl. auch [83, pp. 112–116]). Wir leiten hier umgekehrt eine lokale Absch¨ atzung, Ungleichung (9.2), aus der globalen Abschätzung von Satz 8.2.1 ab, was nurmehr uns schon vertraute Argumentationen verlangt, sich aber doch verzwickter gestaltet, als man zunächst erwarten w¨ urde. F¨ ur die Untersuchung von L¨ osungen im Inneren von Ω ist es g¨ unstig, aßig α-h¨ olderstetiger Funktionen durch entspredie R¨ aume C m,α (Ω) gleichm¨ chende R¨ aume lokal gleichm¨ aßiger H¨ olderr¨ aume zu ersetzen. Sei m ∈ N0 und α ∈ (0, 1]. Wir definieren f¨ ur offene und nichtleere Mengen Ω ⊆ RN E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 9,

282


C m,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u|K ∈ C m,α (K) f¨ ur alle K ⊂⊂ Ω} .

(9.1)

Daß solche R¨ aume f¨ ur die Formulierung innerer Regularitätseigenschaften von L¨ osungen der Poissongleichung geeignet sind, haben wir bereits in Aufgabe 5.6 gesehen, wobei selbstredend C (α) (Ω) = C 0,α (Ω) gilt. Satz 9.1.1 (Innere A-Priori-Absch¨ atzung). Es sei Ω ⊆ RN offen, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und b > 0. Es sei L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein Differentialoperator mit Koeffizienten aik = aki , ai , a ∈ C 0,α (Ω), die m|ξ|2 ≤

N


i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN sowie aik Ω;0,α ≤ b,

ai Ω;0,α ≤ b,

aΩ;0,α ≤ b

f¨ ur i, k ∈ {1, . . . , N } erf¨ ullen. Dann gibt es eine Zahl c(N, α, m, M, b) derart, daß f¨ ur je zwei konzentrische Kugeln BR ⊂⊂ B4R ⊂⊂ Ω mit Radius R bzw. atzung 4R < 1 und alle u ∈ C 2,α (Ω) die Absch¨ (9.2) uBR ;2,α ≤ c(N, α, m, M, b) R2 LuB4R ;0,α + sup |u| B4R

besteht. (Die mit dem Strich versehenen Normen wurden in Bemerkung 5.3.6 eingef¨ uhrt.) Beweis. Sind R und u wie angegeben, so setzen wir x := ur x ∈ B4R und Bx := Bx (x) f¨

1 4

dist(x, ∂B4R ),

U (x) := uBx ;2,α . Es gibt dann ein x1 ∈ B4R , f¨ ur das U (x1 ) ≥

1 sup U 2 B4R

gilt. Mit R1 := x1 und BR1 := BR1 (x1 ) besteht daher uBx ;2,α ≤ 2uBR1 ;2,α

(9.3)

f¨ ur alle x ∈ B4R . W¨ ahlen wir speziell f¨ ur x den Mittelpunkt der Kugel B4R , so ist x = R, also

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung

uBR ;2,α ≤ 2uBR1 ;2,α . Nat¨ urlich h¨ angt R1 von u ab. Sei nun X ∈ C ∞ (R), 0 ≤ X ≤ 1, und 1 f¨ ur t < X (t) = 0 f¨ ur t >

1 2 2 3

283

(9.4)

.

Wir legen jetzt um BR1 die konzentrische Kugel BR2 := B2R1 (x1 ) und setzen ϕ := X (|·−x1 |/R2 ). Es gibt dann eine allein durch die Wahl von X bestimmte Zahl K ≥ 1 mit sup |ϕxi | ≤

K , R2

sup |ϕxi xk | ≤

K , R22

sup |ϕxi xk xl | ≤

K . R23

(9.5)

Ist Q : RN → RN , Qx := R2 x + x1 , eine affine Transformation, die die Kugel uhrt, so haben wir aufgrund der in Bemerkung B1 (0) in die Kugel BR2 u ¨berf¨ 5.3.6 erl¨ auterten Invarianzeigenschaft unserer Norm uBR1 ;2,α ≤ ϕuBR2 ;2,α = (ϕu) ◦ QB1 (0);2,α .

(9.6)

Auf die rechte Seite k¨ onnen wir Satz 8.2.1, die globale A-Priori-Abschätzung von Schauder, anwenden, und zwar f¨ ur N

˜ := − L

i,k=1

∂2 ∂ + a ˜i +a ˜ ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

a ˜ik

mit a ˜ik := aik ◦ Q,

a ˜i := R2 ai ◦ Q,

a ˜ := R22 a ◦ Q

anstelle des dortigen L. Die Voraussetzungen dieses Satzes sind erf¨ ullt, denn aufgrund der Invarianzeigenschaft der Norm und wegen R2 < 1 haben wir ˜ aik B1 (0);0,α = aik BR2 ;0,α ≤ aik BR2 ;0,α ≤ b , ˜ ai B1 (0);0,α = R2 ai BR2 ;0,α ≤ R2 ai BR2 ;0,α ≤ b , ˜ aB1 (0);0,α = R22 aBR2 ;0,α ≤ R22 aBR2 ;0,α ≤ b sowie m|ξ|2 ≤

N

a ˜ik (x)ξi ξk ≤ M |ξ|2

f¨ ur alle x ∈ B1 (0) und ξ ∈ RN .

i,k=1

Also ist (ϕu) ◦ QB1 (0);2,α ≤ c1

˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α + sup |(ϕu) ◦ Q| B1 (0)

mit c1 := c(B1 (0), α, m, M, b). Wegen

(9.7)

284


((ϕu) ◦ Q)xi = R2 (ϕu)xi ◦ Q,

((ϕu) ◦ Q)xi xk = R22 (ϕu)xi xk ◦ Q

haben wir ˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α = R22 (L(ϕu)) ◦ QB1 (0);0,α = R22 L(ϕu)BR2 ;0,α N

aik ϕxi xk uBR2 ;0,α + 2aik ϕxi uxk BR2 ;0,α ≤ R22 ϕLuBR2 ;0,α + i,k=1

+

N

ai ϕxi uBR2 ;0,α

.

i=1

Nun folgt aus (9.5) ϕBR2 ;0,α = sup |ϕ| + R2α Hα;BR2 (ϕ) BR2

sup |∇ϕ|

≤ 1+

R2α

≤ 1+

K R2α

BR2

√

N

R2

sup

x ,x ∈BR2

|x − x |1−α

√ (2R2 )1−α ≤ 3K N

und analog ϕxi BR2 ;0,α

√ 3K N ≤ , R2

ϕxi xk BR2 ;0,α

√ 3K N ≤ , R22

also wegen Aufgabe 5.10 b) √ ˜ L((ϕu) ◦ Q)B1 (0);0,α ≤ 3K N R22 LuBR2 ;0,α N

√ +3bK N N 2 uBR2 ;0,α + 2N R2 uxi BR2 ;0,α +N R2 uBR2 ;0,α

i=1

.

Im Hinblick auf (9.6) und (9.7) haben wir daher wegen BR2 ⊆ B4R und R2 ≤ 2R < 1 die Ungleichung √ uBR1 ;2,α ≤ c1 12K N R2 LuB4R ;0,α + sup |u| B4R

N

√ +6bKN N N uBR2 ;0,α + R2 uxi BR2 ;0,α i=1

gewonnen. Wir wollen nun die Normen in der runden Klammer durch

9.1 Eine innere A-Priori-Absch¨ atzung und ihre Anwendung

uBR2 ;2 := sup |u| + R2 BR2

N

N

sup |uxi | + R22

i=1 BR2

i,k=1

sup |uxi xk |

285

(9.8)

BR2

absch¨ atzen. Wegen Hα;BR2 (u) ≤ (2R2 )1−α

N

k=1

ist uBR2 ;0,α

≤ sup |u| + 2R2 BR2

N

k=1

ferner

uxi BR2 ;0,α ≤ sup |uxi | + 2R2 BR2

sup |uxk |

BR2

sup |uxk | ≤ 2uBR2 ;2 ,

BR2

N

k=1

sup |uxi xk |

BR2

⎛ ⎞ N N

2 ⎝

R2 sup |uxk | + R22 sup |uxi xk |⎠ ≤ R2 BR2 BR2 k=1

i,k=1

2 uBR2 ;2 , ≤ R2 insgesamt also N

N uBR2 ;0,α + R2

uxi BR2 ;0,α ≤ 4N uBR2 ;2 .

i=1

Da f¨ ur x ∈ BR2 4x = dist(x, ∂B4R ) ≥ dist(x1 , ∂B4R ) − R2 = 4R1 − R2 = R2 ist, gilt beispielsweise

R2 sup |uxi | ≤ sup BR2

x∈BR2

≤ 4 sup

x∈BR2

R2 sup |uxi | ≤ 4 sup x sup |uxi | Bx

uBx ;2

x∈BR2

Bx

,

so daß wir die Norm (9.8) ihrerseits durch uBR2 ;2 ≤ (1 + 4N + 16N 2 ) sup uBx ;2 x∈BR2

majorisieren k¨ onnen. Bei festem x ∈ BR2 sei nun T : RN → RN , T y := x y + x, eine affine Transformation, die die Kugel B1 (0) in die Kugel Bx u uhrt. Da es nach ¨berf¨ Korollar 7.3.4 zu jedem > 0 eine Zahl d := d(, B1 (0); 2, α) > 0 mit u ◦ T B1 (0);2 ≤ u ◦ T B1 (0);2,α + d sup |u ◦ T | B1 (0)

286


gibt, ist uBx ;2 = u ◦ T B1 (0);2 ≤ uBx ;2,α + d sup |u| , Bx

also wegen (9.3) uBR2 ;2

≤ 21N

2

2uBR1 ;2,α

+ d sup |u| , B4R

mithin

√ uBR1 ;2,α ≤ c1 12K N R2 LuB4R ;0,α + sup |u| B4R √ 2 2 . +24bKN N 21N 2uBR1 ;2,α + d sup |u| B4R

Wenn wir daher > 0 so w¨ ahlen, daß √ 1 c1 24bKN 2 N 21N 2 2 = 2 ist, so ergibt sich wegen (9.4) die behauptete Abschätzung.

Als eine unmittelbare Konsequenz innerer A-Priori-Abschätzungen resultiert ur ein α ∈ (0, 1), ferner m > 0. Satz 9.1.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN und ∂Ω ∈ C 2,α f¨ Die Koeffizienten in L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

m¨ ogen aik = aki , ai , 0 ≤ a ∈ C 0,α (Ω) und m|ξ|2 ≤

N

aik (x)ξi ξk

i,k=1

f¨ ur x ∈ Ω und ξ ∈ RN erf¨ ullen. Dann hat das Dirichletproblem Lu = f in Ω,

u|∂Ω = g

osung u aus f¨ ur jedes f ∈ C 0,α (Ω) und jedes stetige g : ∂Ω → R genau eine L¨ C 2,α (Ω) ∩ C 0 (Ω). Beweis. Die Eindeutigkeit folgt sofort aus dem Bernsteinschen Lemma 2.6.3. Sei (un ) die in Bemerkung 8.3.2 b) definierte Funktionenfolge aus C 2,α (Ω). Sie konvergiert nach dem Bernsteinschen Lemma gegen ein u ∈ C 0 (Ω), welches ullt. Nach Satz 9.1.1 gibt es eine allein durch N , α und die u|∂Ω = g erf¨ Koeffizienten von L bestimmte Zahl c > 0 mit

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen nach E. Hopf

287

un − um BR ;2,α ≤ c sup |un − um | B4R

f¨ ur alle n, m ∈ N und alle konzentrischen Kugeln BR ⊂⊂ B4R ⊂⊂ Ω mit 4R < 1. Es konvergiert also (un ) mitsamt Ableitungen erster und zweiter Ordnung lokal gleichm¨ aßig in Ω gegen ein u ∈ C 2,α (Ω), und es folgt Lu = f . Bez¨ uglich der Fredholmschen Alternative l¨ aßt sich mit den bisherigen Mitteln kein Analogon zu Satz 8.3.3 gewinnen, das in C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) gilt. Als wesentliches Bindeglied fehlt, daß die obige Folge (un ) auch dann gleichmäßig konvergiert, wenn die Funktion a negativer Werte fähig ist.

9.2 Innere Regularit¨ at von C 2 -L¨ osungen linearer und quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf Wenn man den globalen Existenzsatz 8.3.1 von Schauder zur Verf¨ ugung hat, ist es leicht zu zeigen, daß im Falle α ∈ (0, 1) jede Lösung u ∈ C 2 (Ω) von Lu := −

N

∂u ∂2u + ai + au = f ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik

i,k=1

(9.9)

tats¨ achlich in C 2,α (Ω) liegt, sofern die Funktionen aik = aki , ai , a und f aus 0,α C (Ω) sind und u ¨berdies a ≥ 0 und N

aik (x)ξi ξk > 0

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN \ {0} gilt. Dies nennt man innere Regularit¨ at der L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen. Der Grundgedanke des Beweises war bereits in Aufgabe 5.6 enthalten. Es ur jede Kugel B ⊂⊂ Ω zu zeigen. Sei B eine Kugel mit gen¨ ugt, u ∈ C 2,α (B) f¨ B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und ϕ ∈ Cc∞ (B ) eine Funktion mit ϕ|B = 1. Es ist dann osung des Dirichletproblems v := ϕu ∈ C 2 (B ) ∩ C 0 (B ) L¨ Lv = f˜ in B , f¨ ur f˜ := ϕf −

N

i=1

2

N

k=1

v|∂B = 0

aik uxk − ai u ϕxi −

N

aik ϕxi xk u .

i,k=1

Wegen f˜ ∈ C 0,α (B ) ist nach Satz 8.3.1 v ∈ C 2,α (B ), mithin u ∈ C 2,α (B). Nun wird man fragen, ob es sachgem¨ aß ist, lokale Eigenschaften einer L¨ osung aus einem globalen Existenzsatz zu gewinnen. Insbesondere stellt sich die Frage, ob die Voraussetzung a ≥ 0, die der globalen Theorie entstammt,

288


f¨ ur lokale Regularit¨ atsfragen von Bedeutung ist (vgl. Satz 9.2.5). Tatsächlich hat Eberhard Hopf [123] einige Jahre vor Entstehung der Schauderschen Absch¨ atzungen die innere Regularit¨ at von L¨ osungen nicht notwendig linearer elliptischer Gleichungen mit rein lokalen Methoden bewiesen, die wir jetzt darstellen wollen. Dazu betrachten wir wie zu Beginn von Abschnitt 8.1 eine konstante symmetrische und positiv definite Matrix A und die Abbildung Q : RN → RN

,

z → A1/2 z .

Es sei S die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators aus Definition 4.1.2 und N ≥ 3. Aufgrund von Aufgabe 2.2 und der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale haben wir dann f¨ ur alle x ∈ RN und ϕ ∈ Cc2 (RN ) N

(det A−1 )1/2 [A−1 (x − y) · (x − y)](2−N )/2 aik ϕyi yk (y) dy (N − 2)ωN i,k=1 N R −1 = (det Q ) S(Q−1 x, Q−1 y)(Δ(ϕ ◦ Q))(Q−1 y) dy =

RN

S(Q−1 x, y )(Δ(ϕ ◦ Q))(y ) dy ,

Q−1 RN

was wegen Q−1 RN = RN nach Korollar 4.2.3 gleich −(ϕ ◦ Q)(Q−1 x) ist. Dies f¨ uhrt uns zu Bemerkung 9.2.1. Ist N ≥ 3, Ω ⊆ RN offen und A : Ω → RN ×N eine symmetrische und positiv definite Matrixfunktion, so hat die durch H(x, z) :=

[det A−1 (x)]1/2 −1 [A (x)z · z](2−N )/2 (N − 2)ωN

(9.10)

definierte Funktion H : Ω × (RN \ {0}) → R die Eigenschaft H(x0 , x − y)

− RN

N

aik (x0 )ϕyi yk (y) dy = ϕ(x)

(9.11)

i,k=1

f¨ ur x0 ∈ Ω, x ∈ RN und ϕ ∈ Cc2 (RN ). Da mit A auch A−1 symmetrisch ist, haben wir Hzn (x, z) = −

1 [det A−1 (x)]1/2 (A−1 (x)z)n , ωN [A−1 (x)z · z]N/2

(9.12)

(A−1 (x)z)n (A−1 (x)z)m [det A−1 (x)]1/2 −1 Hzn zm (x, z) = − (A (x))nm N A−1 (x)z · z ωN [A−1 (x)z · z]N/2 (9.13)


289

Im Falle N = 2 ist die rechte Seite von (9.10) durch −

[det A−1 (x)]1/2 ln[A−1 (x)z · z]1/2 2π

zu ersetzen. Bei den hier angestrebten Regularit¨ atsaussagen ist eine Fallunterscheidung bez¨ uglich N u ussig, weil man aus jeder L¨ osung u in der Ebene durch die ¨berfl¨ osung in Ω × R f¨ ur den um −∂ 2 /∂x23 Setzung w(x1 , x2 , x3 ) := u(x1 , x2 ) eine L¨ erg¨ anzten Differentialausdruck L machen kann, die ihre Regularität mit der von u teilt. Wir k¨ onnen in der Folge daher o.B.d.A. N ≥ 3 annehmen. Bemerkung 9.2.2. Es seien aik = aki ∈ C 1 (Ω), ai , a ∈ C 0 (Ω) und bi := N ∂ 1 ur u ∈ C 2 (Ω) und ϕ ∈ Cc2 (Ω) k=1 ∂xk aik + ai ∈ C (Ω). Dann erhalten wir f¨ durch zweimalige partielle Integration (s. Bemerkung A.1) uLϕ = ϕL∗ u , Ω

Ω

wobei L∗ u := −

N

i,k=1

∂ ∂xi

aik

∂u ∂xk

−

N

∂ (bi u) + au ∂x i i=1

ist. (L∗ u nennt man den zu (9.9) adjungierten Differentialausdruck.) Gilt zus¨ atzlich mit geeigneten 0 < m < M m|ξ|2 ≤

N


i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN und sind die ai und a beschränkt, so haben wir mit ur L erhalten, d.h. eine Funktion P (x, y) := H(y, x − y) eine Parametrix 1 f¨ P : (Ω × Ω) \ {(x, x) : x ∈ Ω} → R mit folgenden Eigenschaften: F¨ ur jedes y ∈ Ω ist die Funktion P (·, y) aus C 2 (Ω \ {y}), und es gilt |P (x, y)| dx < ∞ , |Lx P (x, y)| dx < ∞ Ω

sowie

Ω

[P (x, y)L∗ ϕ(x) − ϕ(x)Lx P (x, y)] dx = ϕ(y)

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc2 (Ω). Eine Parametrix Γ mit der zusätzlichen Eigenschaft 1

Solche Funktionen traten zuerst bei Hilbert [116] und E.E. Levi [182] auf. Die Namengebung stammt von Hilbert [117].

290


Lx Γ (x, y) = 0

f¨ ur x, y ∈ Ω, x = y ,

heißt Grundlösung 2 der Gleichung Lu = 0. In Analogie zum Newtonpotential erh¨ alt man dann eine L¨ osung von Lu = f durch Faltung von f mit Γ . Eine solche Grundl¨ osung kann man sich nach E.E. Levi u ¨ber eine Lösung der Integralgleichung (9.14) γ(x, y) − Lx P (x, z)γ(z, y) dz = Lx P (x, y) Ω

verschaffen. Da aus (9.13) N

i,k=1

folgt, kann N

i,k=1

aik (x)

aik (y)

∂2 P (x, y) = 0 ∂xi ∂xk

N

∂2 ∂2 P (x, y) = [aik (x) − aik (y)] P (x, y) ∂xi ∂xk ∂xi ∂xk i,k=1

im Falle aik ∈ C (α) (Ω) durch konst. |x − y|α−N abgeschätzt werden, so daß es sich bei (9.14) um eine Fredholmsche Integralgleichung 2. Art mit einem schwach singul¨ aren Kern handelt (vgl. S. 213 in Abschnitt 6.2). F¨ ur Einzelheiten und weitere Informationen sei auf [129] verwiesen. Wir machen hier nur von Bemerkung 9.2.1 Gebrauch. Wir leiten in Lemma 9.2.4 eine Integralgleichung f¨ ur die 2. Ableitungen einer Lösung u von Lu = f her. Die H¨ olderstetigkeit von uxi xk ergibt sich dann in Satz 9.2.5 u ¨ber den Hopfschen Hilfssatz 4.7.4. Daß die Voraussetzungen dieses Hilfssatzes erf¨ ullt sind, wird durch folgendes Lemma sichergestellt. Lemma 9.2.3. Es seien B ⊂⊂ RN eine Kugel , α ∈ (0, 1), 0 < m < M , ferner A : B → RN ×N eine symmetrische und positiv definite Matrixfunktion mit Elementen aik ∈ C 0,α (B) und m|ξ|2 ≤ A(x)ξ · ξ ≤ M |ξ|2

(9.15)

f¨ ur alle x ∈ B und ξ ∈ RN , schließlich H die Funktion aus (9.10). 1. Es gibt eine allein von m, M und N abh¨ angende Zahl b und eine allein durch m, M , N und die H¨ olderkoeffizienten Hα;B (aik ) der aik bestimmte Zahl c mit folgenden Eigenschaften: a) F¨ ur alle x, x , x ∈ B, z ∈ RN \ {0} und n ∈ {1, . . . , N } ist |H(x, z)| ≤ b|z|2−N ,

|Hzn (x, z)| ≤ b|z|1−N ;

|Hzn (x , z) − Hzn (x , z)| ≤ c|z| 2

1−N

α

|x − x | .

(9.16) (9.17)

Dieser Begriff geht auf Picard [255, p. 687] zur¨ uck. Weitere Hinweise auf die fr¨ uhe Literatur findet man bei Hadamard [93].


291

b) F¨ ur alle x, x , x ∈ B, z, z , z ∈ RN \ {0} und n, m ∈ {1, . . . , N } gilt mit K(x, z) := Hzn zm (x, z) (9.18) |K(x, z)| ≤ b|z|−N ; −N α (9.19) |K(x , z) − K(x , z)| ≤ c|z| |x − x | ; −(N +1) |K(x, z ) − K(x, z )| ≤ b|z | |z − z | f¨ ur 2|z − z | ≤ |z |. (9.20) ur alle x ∈ B0 2. Ist B0 ⊂⊂ B, δ0 := dist(B0 , ∂B) und K wie in b), so gilt f¨ und δ ∈ (0, δ0 ) K(x, x − y) dy ≤ b0 B |y−x|>δ

mit einer allein von m, M , N , δ0 und von dem Radius von B abh¨ angenden Zahl b0 . Beweis. 1. Aus (9.15) folgt 1 1 2 |ξ| ≤ A−1 (x)ξ · ξ ≤ |ξ|2 M m

(9.21)

f¨ ur alle x ∈ B und ξ ∈ RN , so daß die Eigenwerte von A−1 (x) zwischen M −1 und m−1 liegen. Da die Determinante einer symmetrischen Matrix gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte ist, erhalten wir M −N ≤ det A−1 (x) ≤ m−N . Ferner ist −1 A (x) := max A−1 (x)ξ = max A−1 (x)ξ · ξ ≤ 1 . m |ξ|=1 |ξ|=1 Die Absch¨ atzungen in (9.16) ergeben sich nun sofort aus (9.10) bzw. (9.12). Zum Beweis der Absch¨ atzung (9.17) setzen wir 1/2 d(x) := det A−1 (x) ,

N/2 (x, z) := A−1 (x)z · z

und schreiben Hzn (x , z) − Hzn (x , z) = − [ωN (x , z)(x , z)]

−1

T ,

wobei wir T := d(x )(x , z) A−1 (x )z n − d(x )(x , z) A−1 (x )z n in drei Summanden zerlegen:

292


T1 := (d(x ) − d(x ))(x , z) A−1 (x )z n , T2 := d(x )(x , z) A−1 (x ) − A−1 (x ) z n , T3 := d(x ) A−1 (x )z n ((x , z) − (x , z)) . aßige α-Hölderstetigkeit von d sofort Da det A ≥ mN ist, folgt die gleichm¨ aus der von det A, die ja aus Summen und Produkten der aik ∈ C 0,α (B) besteht. Die Elemente von A−1 bestehen aus mit (det A)−1 multiplizierten ur s, t ≥ 0 Unterdeterminanten von A, sind also ebenfalls aus C 0,α (B). Da f¨ aufgrund des Mittelwertsatzes N N N N N 2 s − t 2 ≤ |s − t| max s 2 −1 , t 2 −1 2 ist, haben wir |(x , z) − (x , z)| ≤

N −1 A (x ) − A−1 (x ) z · z · 2 N −1 N −1 · max A−1 (x )z · z 2 , A−1 (x )z · z 2

und damit die gleichm¨ aßige α-H¨ olderstetigkeit auch des letzten Terms, so daß sich (9.17) u ugung stehende Abschätzung von A−1 ergibt. ¨ber die zur Verf¨ Ungleichung (9.18) resultiert sofort aus (9.13) und (9.21), während der Beweis von (9.19) v¨ ollig analog zu dem von (9.17) verläuft. Auf die Differenz aßt sich f¨ ur 2|z − z | ≤ |z | der Mittelwertsatz anwenden, K(x, z ) − K(x, z ) l¨ weil dann die Strecke zwischen z und z in RN \ {0} liegt, wo K(x, ·) stetig differenzierbar ist. Es gilt also |K(x, z ) − K(x, z )| ≤ |z − z | |∇z K(x, z ∗ )| ≤ const |z ∗ |−(N +1) |z − z | und mit geeignetem t∗ ∈ [0, 1] |z ∗ | = |(1 − t∗ )z + t∗ z | ≥ |z | − |z − z | ≥

1 |z | . 2

Dies beweist (9.20). 2. F¨ ur x ∈ B0 und δ ∈ (0, δ0 ) gilt aufgrund des Gaußschen Satzes B.6 I := Hyn ym (x, x − y) dy = Hyn (x, x − y)νm (y) dS(y) B |y−x|>δ

|y−x|=δ

+

Hyn (x, x − y)νm (y) dS(y) ,

∂B

wenn νm die m-te Komponente des jeweiligen äußeren Einheitsnormalenfeldes bezeichnet. Wegen (9.16) haben wir daher


|I| ≤ b δ 1−N ωN δ N −1 + δ01−N

293

dS(y) ,

∂B

womit auch die letzte Behauptung bewiesen ist.

Lemma 9.2.4. Es seien B ⊂⊂ R eine Kugel, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und aik = aki ∈ C 0,α (B) Funktionen mit N

m|ξ|2 ≤

N


i,k=1

f¨ ur x ∈ B und ξ ∈ RN . Es sei v ∈ Cc2 (B) eine Funktion mit der Eigenschaft N

−

aik vxi xk =: F ∈ C 0,α (B) .

i,k=1

Dann gilt f¨ ur alle x ∈ B und n, m ∈ {1, . . . , N } mit der Funktion H aus (9.10) − vxn xm (x) = I1 (x) + I2 (x) + I3 (x) , wobei I1 , I2 , I3 gegeben sind durch N

[aik (x) − aik (y)]vyi yk (y) dy , I1 (x) := Hzn zm (x, x − y)

(9.22)

(9.23)

i,k=1

B

Hzn zm (x, x − y)[F (x) − F (y)] dy ,

I2 (x) := B

(9.24)

Hzm (x, x − y)νn (y) dS(y) .

I3 (x) := F (x)

(9.25)

∂B

Beweis. Sei x0 ∈ B. F¨ ur v haben wir nach (9.11) die Darstellung N

aik (x0 )vyi yk (y) dy, x ∈ B . v(x) = − H(x0 , x − y) i,k=1

B

Nach Satz 4.7.1, dessen Voraussetzungen wegen (9.16) erf¨ ullt sind, können wir unter dem Integral differenzieren und erhalten N

aik (x0 )vyi yk (y) dy vxn (x) = − Hzn (x0 , x − y)

i,k=1

B

Hzn (x0 , x − y)

= B

N

[aik (y) − aik (x0 )]vyi yk (y) dy

i,k=1

Hzn (x0 , x − y)F (y) dy .

+ B

294


Nach Satz 4.7.2 a), dessen Voraussetzungen aufgrund der Abschätzungen (9.16) und (9.18) gegeben sind, liefert die Differentiation des ersten Terms nach xm an der Stelle x0 Hzn zm (x0 , x0 − y)

N

[aik (y) − aik (x0 )]vyi yk (y) dy .

i,k=1

B

Auf den zweiten Term k¨ onnen wir wegen3 ∂ Hzn (x0 , · − y) dy = − H(x0 , · − y) dy ∂yn B B = − H(x0 , · − y)νn (y) dS(y) ∈ C ∞ (B) ∂B

Satz 4.7.2 b) anwenden und erhalten dann f¨ ur die Ableitung des zweiten Summanden nach xm an der Stelle x0 Hzn zm (x0 , x0 − y)[F (y) − F (x0 )] dy − F (x0 ) Hzm (x0 , x0 − y)νn (y) dS(y) . B

∂B

Da x0 ∈ B keiner weiteren Einschr¨ ankung unterlag, ist damit die behauptete Darstellung erreicht. Nun sind wir in der Lage zu zeigen, daß jede C 2 -Lösung einer linearen oder quasilinearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung mit hölderstetigen Koeffizienten bereits h¨ olderstetige 2. Ableitungen besitzt. Um diese Aussage durch Induktion auf h¨ ohere Ableitungen ausdehnen zu können, ist es wichtig, die nachfolgende Information u ¨ber den C 3 -Charakter einer Lösung zu haben. Satz 9.2.5 (E. Hopf ). Es sei Ω ⊆ RN offen, α ∈ (0, 1), aik = aki , ai , a, f ∈ C 0,α (Ω) und N

aik (x)ξi ξk > 0 (9.26) i,k=1

osung u ∈ C 2 (Ω) von f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN \ {0}. Dann ist jede L¨ −

N

i,k=1

aik (x)uxi xk (x) +

N

ai (x)uxi (x) + a(x)u(x) = f (x),

x∈Ω,

i=1

aus C 2,α (Ω). Gilt aik = aki , ai , a, f ∈ C 1,α (Ω) und (9.26), so ist u ∈ C 3 (Ω). 3

Ist x ∈ B, so integriere man zun¨ achst u ¨ber B \ B (x) und lasse gegen Null gehen, wobei man Lemma 9.2.3 verwendet.


295

Beweis. Es sei BR eine Kugel mit BR ⊂⊂ B2R ⊂⊂ Ω und ϕ ∈ Cc∞ (B2R ) eine Funktion mit ϕ|BR = 1. a) Was die erste Behauptung betrifft, so gen¨ ugt es zu zeigen, daß die gleichm¨ a ßig α-hölderstetig sind. Die zweiten Ableitungen von v := ϕu auf B R N Funktion v erf¨ ullt die Gleichung − i,k=1 aik vxi xk = F , wobei ⎞ 1 2 ⎛ N N N

F := ϕf − 2ϕxi aik uxk + ai uxi ϕ − ⎝ aik ϕxi xk + aϕ⎠ u i=1

k=1

i,k=1

aus C 0,α (B2R ) ist. Nach Lemma 9.2.4 besteht daher die Darstellung (9.22)(9.25) mit B = B2R . Aufgrund des Hopfschen Lemmas 4.7.4 a) (dessen Voraussetzungen nach ur jedes γ ∈ (0, α) Teil 1 von Lemma 9.2.3 erf¨ ullt sind) ist die Funktion I1 f¨ ahrend die Funktion I2 nach Lemma gleichm¨ aßig γ-h¨ olderstetig auf B2R , w¨ 4.7.4 b) (hier ben¨ otigen wir Teil 2 von Lemma 9.2.3) auf BR gleichmäßig αh¨ olderstetig ist. F¨ ur x , x ∈ BR und y ∈ ∂B2R schreiben wir Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) = Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) + Hzm (x , x − y) − Hzm (x , x − y) . Die ersten beiden Terme k¨ onnen nach (9.17) durch b|x − y|1−N |x − x |α ≤ bR1−N |x − x |α abgesch¨ atzt werden, wobei in die Zahl b nur Schranken der aik und die Dimension N eingehen. F¨ ur x ∈ BR ist x → Hzm (x , x − y) stetig differenzierbar, also sogar gleichm¨ aßig lipschitzstetig. Insgesamt ergibt sich, daß I3 auf aßig α-h¨ olderstetig ist. Damit ist vxn xm |BR ∈ C 0,γ (BR ) f¨ ur jedes BR gleichm¨ γ ∈ (0, α), also u ∈ C 2,γ (Ω) erreicht. Mit dieser neuen Information folgt nun aber verm¨ oge Lemma 4.7.4 b), daß die Funktion I1 auf BR sogar gleichmäßig α-h¨ olderstetig ist. Das ergibt vxn xm |BR ∈ C 0,α (BR ). b) Wir zeigen nun, daß die Funktionen I1 , I2 und I3 unter den verschärften ur I3 ergibt sich das sofort, da nunmehr Voraussetzungen aus C 1 (BR ) sind. F¨ F ∈ C 1,α (B2R ) gilt und mit Aufgabe 9.1 folgt, daß das Randintegral in (9.25) onnen wir in I2 partiell integrieren aus C 1 (BR ) ist. Wegen supp F ⊆ B2R k¨ (vgl. auch die Fußnote auf S. 294): ∂ Hz (x, x − y)[F (x) − F (y)] dy (9.27) I2 (x) = − ∂ym n B2R = − Hzn (x, x − y)Fym (y) dy − F (x) Hzn (x, x − y)νm (y) dS(y) . B2R

∂B2R

Die stetige Differenzierbarkeit des zweiten Terms auf B2R folgt aus Aufgabe 9.1. Teil b) von Satz 4.7.2 sichert nun, daß auch der erste Term in C 1 (B2R ) liegt, denn es ist ja

296


−

∂ H(·, · − y) dy ∂yn

Hzn (·, · − y) dy =

B2R

B2R

H(·, · − y)νn (y) dS(y) ∈ C 1 (B2R ) ,

= ∂B2R

und die u ullt. ¨brigen Voraussetzungen dieses Satzes sind nach Aufgabe 9.1 erf¨ In gleicher Weise k¨ onnen wir mit Satz 4.7.2 b) I1 ∈ C 1 (B2R ) erschließen, sofern nur Hzn zm (·, · − y)[aik (·) − aik (y)] dy ∈ C 1 (B2R ) I := − B2R

ist. Dies ist aber der Fall, denn f¨ ur x ∈ B2R liefert der Gaußsche Satz (vgl. die Fußnote auf S. 294) ∂ I(x) = Hzn (x, x − y) [aik (x) − aik (y)] dy ∂ym B2R = Hzn (x, x − y)[aik (x) − aik (y)]νm (y) dS(y) ∂B2R

Hzn (x, x − y)

+

∂ aik (y) dy . ∂ym

B2R

Das Oberfl¨ achenintegral ist ersichtlich stetig differenzierbar; das zweite Integral ist vom gleichen Typ wie der erste Summand in (9.27), also ebenfalls aus C 1 (B2R ). Mit Satz 9.2.5 lassen sich nun leicht innere Regularitätsaussagen auch im quasilinearen Fall beweisen. Satz 9.2.6 (E. Hopf ). Es sei Ω ⊆ RN offen, α ∈ (0, 1), 0 < m < M und n ∈ N0 . Es seien aik = aki , f ∈ C n,α (Ω × R × RN ) und m|ξ|2 ≤

N

aik (x, z, p)ξi ξk ≤ M |ξ|2

i,k=1

f¨ ur (x, z, p) ∈ Ω × R × RN und ξ ∈ RN . Dann ist jede L¨ osung u ∈ C 2 (Ω) von −

N

aik (x, u(x), ∇u(x))uxi xk (x) = f (x, u(x), ∇u(x)),

x∈Ω,

(9.28)

i,k=1

aus C n+2,α (Ω). Insbesondere ist also u beliebig oft differenzierbar, wenn die aik und f diese Eigenschaft haben.


297

Beweis. Aus u ∈ C 2 (Ω) folgen u, uxi ∈ C 0,1 (Ω), also vermöge Aufgabe 5.9 c) ur n = 0 folgt die Behauptung aik (·, u(·), ∇u(·)), f (·, u(·), ∇u(·)) ∈ C 0,α (Ω). F¨ ur die die Behauptung wahr daher aus Satz 9.2.5. Sei nun n ∈ N0 eine Zahl, f¨ ur den Induktionsschritt haben wir ist. Es ist dann also u ∈ C n+2,α (Ω), und f¨ ugung. F¨ ur jeden die Voraussetzungen aik , f ∈ C n+1,α (Ω × R × RN ) zur Verf¨ Multiindex μ mit |μ| = n k¨ onnen wir daher Dμ auf (9.28) anwenden. Rechts haben wir dann eine Summe von Produkten von Ableitungen von f und u der Ordnung ≤ n bzw. ≤ n + 1 (f¨ ur eine explizite Formel s. [69]); entsprechend links, wobei wir zus¨ atzlich noch die Leibnizsche Regel anwenden m¨ ussen. Es resultiert, daß Dμ u einer linearen elliptischen Gleichung −

N

aik (x, u(x), ∇u(x))(Dμ u)xi xk (x)

i,k=1

= F (x, u(x), ux1 (x), . . . , uxn (x), . . . , Dμ ux1 (x), . . . , Dμ uxn (x)) mit Koeffizienten und rechter Seite in C 1,α (Ω) gen¨ ugt. Nach Satz 9.2.5 ist daher u ∈ C n+3 (Ω), was aber zur Folge hat, daß wir (9.28) auch (n + 1)ugt also f¨ ur |μ| = n + 1 einer linearen mal differenzieren d¨ urfen. Dμ u gen¨ elliptischen Gleichung mit Koeffizienten in C 0,α (Ω), so daß nach Satz 9.2.5 Dμ u ∈ C 2,α (Ω) ist. Mithin ist u ∈ C (n+1)+2,α (Ω), was zu zeigen war. Die S¨ atze 9.2.5 und 9.2.6 waren f¨ ur E. Hopf Mittel zur Lösung eines noch tieferliegenden Problems. Wir hatten in Bemerkung 5.4.4 a) erwähnt, daß Picard [254] mit Hilfe der Methode der sukzessiven Approximation bewies (Korrekturen wurden sp¨ ater von ihm selbst und von Dini vorgenommen), daß die L¨ osungen linearer elliptischer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit analytischen Koeffizienten analytisch sind. Hilbert vermutete, daß die Elliptizit¨ at und nicht die Linearit¨ at hierf¨ ur entscheidend sind, und stellte auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongreß 1900 in Paris die Frage Sind ” die L¨ osungen regul¨ arer Variationsprobleme stets notwendig analytisch?“ (In der gedruckten Version seines Vortrags [111] ist dies das 19. seiner ber¨ uhmten 23 Probleme.) Schon 1903 konnte S.N. Bernstein [17] zeigen, daß jede C 3 -Lösung von φ(x, u(x), ∇u(x), D2 u(x)) = 0,

x ∈ Ω ⊆ RN ,

(9.29)

im Falle N = 2 f¨ ur elliptisches und analytisches φ analytisch ist (sein Beweis – er wird in [3] analysiert – bedurfte allerdings noch späterer Verbesserungen). Schon in [18, p. 132] vermutete Bernstein, daß es möglich sein m¨ usse, die ucken. Dies gelang dann LichAusgangsannahme u ∈ C 3 auf u ∈ C 2 zu dr¨ tenstein [188] im quasilinearen Fall durch eine Differenzenapproximation. Diesen Kunstgriff kann man auch ben¨ utzen, um den zweiten Teil von Satz 9.2.5 zu beweisen; man findet das in [83, p. 104 f.] dargestellt. Satz 9.2.5 diente E. Hopf als Hilfsmittel zu zeigen, daß f¨ ur beliebiges N osung von (9.29) (φ elliptisch und analytisch) analytisch ist. Nijede C 2,α -L¨ renberg bewies schließlich in [236], daß in dieser Situation jede C 2 -Lösung

298


schon aus C 2,α ist. (F¨ ur N = 2 hatte dies bereits Caccioppoli angek¨ undigt; s. jedoch Schauders Besprechung dieser Arbeit im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 13, 164, 1936.) Die Analytizit¨ at verallgemeinerter Lösungen regulärer Variationsprobleme wurde schließlich unabh¨ angig voneinander von De Giorgi [47] und Nash [218], dem sp¨ ateren Nobelpreisträger f¨ ur Wirtschaftswissenschaften, bewiesen. Weitere Literaturangaben findet man in [207, § 44].

Aufgaben 9.1. Zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Lemma 9.2.3 werde angenommen, ankte Ableitungen besitzen. Sei y ∈ RN . daß die aik ∈ C 1 (B) sind und beschr¨ Man zeige, daß H(·, · − y),

Hzn (·, · − y),

Hzn zm (·, · − y) ∈ C 1 (B \ {y})

gilt und daß es eine allein durch m, M , N und Schranken der aik und ihrer Ableitungen bestimmte Zahl c gibt mit ∂ −N f¨ ur alle x ∈ B \ {y} . ∂xj Hzn (x, x − y) ≤ c|x − y| 9.2. Man zeige: Ist n ∈ N0 und gilt zus¨ atzlich zu den Voraussetzungen von Satz 9.2.5 aik , ai , a, f ∈ C n,α (Ω), so ist jede Lösung u ∈ C 2 (Ω) aus C n+2,α (Ω).

10 Schwache L¨ osungen

Daß das Newtonpotential bei beschr¨ ankter Grundmenge und integrierbarer Dichte eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, wird in Satz 10.2.5 gezeigt. Das schwach formulierte Dirichletproblem f¨ ur diese Gleichung wird unter der notwendigen und hinreichenden Voraussetzung (A) auf S. 310 mit Hilfe des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz gelöst (Satz 10.2.13). Die Regularit¨ at schwacher L¨ osungen von (−Δ + a)u = f nach Maßgabe der Regularit¨ at der Koeffizienten a und f wird in Satz 10.3.10 und seinem Korollar behandelt. Der Prototyp solcher S¨ atze, der Fall a = f = 0 (Satz 10.3.2), wird f¨ ur einen Beweis der Symmetrie der Greenschen Funktion des Laplaceoperators herangezogen (Satz 10.3.4). Im Falle a = 0 wird auch das Problem der Randregularit¨ at schwacher L¨ osungen behandelt, und zwar wird Satz 3.7.1 von Giesecke ben¨ utzt, um zu zeigen, daß jede klassische Lösung des Dirichletproblems auch das schwach formulierte Dirichletproblem löst (Satz 10.2.12). F¨ ur die Umkehrung werden zwei Beweise gegeben; der eine ben¨ utzt die Perronsche Methode in vollem Umfang (Satz 10.4.1), der andere eine Abschätzung des Gradienten der Greenschen Funktion (Satz 10.4.2). Das Dirichletsche Prinzip wird auf zwei Arten gerechtfertigt: einmal u ¨ber den Nachweis, daß jede Minimalfolge konvergent ist (Satz 10.5.2), alternativ u ¨ber eine Variante des Projektionssatzes (Satz 10.5.4).

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung In Satz 4.3.1 hatten wir das Petrinische Beispiel einer stetigen Funktion kennengelernt, deren Newtonpotential keine zweiten Ableitungen besitzt. Petrini zeigte in [249], daß das Newtonpotential v einer stetigen Dichtefunktion f jedoch einer Poissongleichung gen¨ ugt, in der der Laplaceoperator durch eine Differenzenapproximation ersetzt ist, die erste Ableitungen von v enthält, und er gab in [250] notwendige und hinreichende Bedingungen f¨ ur die Existenz zweiter Ableitungen von v. Wenig sp¨ ater ersetzte Zaremba [350] die Poissongleichung durch E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 10,

300


− lim Δh u = f ,

wobei

h→0

Δh u(x) :=

(10.1)

N 1

[u(x + hei ) + u(x − hei ) − 2N u(x)] h2 i=1

ist. F¨ ur N = 1 ist limh→0 Δh u die nach B. Riemann oder H.A. Schwarz benannte symmetrische zweite Ableitung, die in der Theorie der Fourierreihen eine Rolle spielt. Zaremba zeigte nicht nur, daß f¨ ur f ∈ C 0 (Ω), Ω ⊆ RN offen und nichtleer, das Newtonpotential zu Ω und f (10.1) erf¨ ullt; aus seinen Betrachtungen ergibt sich auch, daß jedes u ∈ C 0 (Ω), dessen Ableitungen ugen, uxi xi , i = 1, . . . , N , in Ω existieren und dort der Gleichung Δu = 0 gen¨ eine im Sinne der auf S. 19 gegebenen Definition harmonische Funktion ist [122, 350]. (In [122] findet man auch eine von Blaschke 1916 gegebene und 1927 von Wiener erneut gefundene scheinbare Abschwächung des Begriffes harmonisch, die sich dem Zarembaschen Satz unterordnet.) In einer Fußnote in [338, S. 182] definierte Weyl als Laplaceoperator von ˜ ∈ u ∈ C 1 (Ω) die (im Falle ihrer Existenz eindeutig bestimmte) Funktion Δu 0 ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω C (Ω), mit welcher f¨ ˜ ν · ∇u Δu = B

∂B

˜ = gilt (ν das ¨ außere Einheitsnormalenfeld auf ∂B). F¨ ur u ∈ C 2 (Ω) ist ja Δu 0 Δu aufgrund des Gaußschen Satzes. Ist f ∈ C (Ω), so kann man zeigen, daß das Newtonpotential zu Ω und f f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω der Gleichung ˜ = Δu f − B

B

˜ = f auch punktweise auf Ω besteht. gen¨ ugt, so daß −Δu ˆ Bocher hatte – f¨ ur die Ebene – in der vor Satz 2.1.1 zitierten Arbeit [20] gezeigt, daß eine Funktion u ∈ C 1 (Ω), die ν · ∇u = 0 ∂B

f¨ ur alle Kugeln B ⊂⊂ Ω erf¨ ullt, harmonisch in Ω ist. F¨ ur seinen Sch¨ uler G.C. Evans war dies der Ausgangspunkt, einen verallgemeinerten Gradienten und verallgemeinerte L¨ osungen der Poissongleichung in der Ebene und der eindimensionalen W¨ armeleitungsgleichung zu definieren. Auf diese Arbeiten wird in [197, §§ 31–35] und [318, § 2.1] eingegangen. In einer umfangreichen Abhandlung aus dem Jahre 1894 versuchte Poin´ das dritte Randwertproblem care − Δu = f in Ω ,

hu + ν · ∇u = g auf ∂Ω

(10.2)

zu l¨ osen, indem er u als Potenzreihe in h ansetzte. Da er aber die Existenz von ∇u nur in Ω zeigen konnte, ersetzte er (10.2) durch das Problem, ein u ∈ C 0 (Ω) mit der Eigenschaft

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung

fϕ +

[u(hϕ + ν · ∇ϕ) − gϕ]

uΔϕ =

Ω

301

Ω

(10.3)

∂Ω

f¨ ur ϕ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit auf Ω stetig fortsetzbaren ersten Ableitungen zu finden [262, pp. 100, 121]. Zu (10.2) sei dieses modifizierte Problem (10.3) évidemment équivalente. . . au point de vue physique“. Kurze Zeit später ” konnte Zaremba [349] zeigen, daß der von Poincaré eingeschlagene Weg unter geeigneten Voraussetzungen tats¨ achlich sogar zu einer Lösung von (10.2) f¨ uhrt, und das modifizierte Problem geriet in Vergessenheit. Nat¨ urlich war die Poissongleichung nicht die einzige Gleichung, f¨ ur die es unter Umst¨ anden w¨ unschenswert erschien, den Lösungsbegriff zu verallgemeinern. In Zusammenhang mit dem 20. seiner 23 mathematischen Probleme schreibt Hilbert [111], daß der Grundgedanke, der ihn zur Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips f¨ uhrte, uns dann vielleicht in den Stand setzen ” wird, der Frage n¨ aherzutreten, ob nicht jedes regul¨ are Variationsproblem eine L¨ osung besitzt, sobald hinsichtlich der gegebenen Grenzbedingungen gewisse Annahmen . . . erf¨ ullt sind und n¨ otigenfalls der Begriff der L¨ osung eine sinngem¨ aße Erweiterung erf¨ ahrt.“ Die Gleichung f¨ ur die schwingende Saite uxx − utt = 0 ,

(10.4)

von der man seit D’Alembert und Euler weiß, daß ihre Lösungen die Gestalt u(x, t) = f (x − t) + g(x + t) haben, m¨ ochte man aus physikalischen Gr¨ unden auch Funktionen f oder g zulassen, die nicht zweimal stetig differenzierbar sind. Gleichung (10.4) motivierte Wiener zu der Definition, daß die Gleichung Lu := −

N

aik uxi xk +

N

ai uxi + au = 0

(10.5)

i=1

i,k=1

eine L¨ osung in einem verallgemeinerten Sinne habe, wenn es eine Lebesgueintegrierbare Funktion v mit der Eigenschaft vL∗ ϕ = 0 (10.6) Ω

Cc∞ (Ω)

gibt [347, § 8]. Hat man n¨ amlich eine Lösung u im u f¨ ur alle ϕ ∈ ¨blichen Sinne, so ergibt sich f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) aus 0= Lu · ϕ Ω

durch partielle Integration die Relation (10.6) mit v = u; L∗ ist der in Bemerkung 9.2.2 definierte zu L adjungierte Differentialausdruck. In der genannten Arbeit von Wiener [347] (dort geht es um die Rechtfertigung der

302


Heavisideschen Methode zur L¨ osung von Differentialgleichungen wie der Telegraphengleichung) steht diese Definition v¨ ollig isoliert da, so daß sie in der sehr ausf¨ uhrlichen Besprechung im Jahrbuch u ¨ber die Fortschritte der Mathematik (52, 416–418, 1926 [1935]) gar nicht erw¨ ahnt wird. Wiener selbst kam auch nie wieder auf sie zur¨ uck.1 Erst durch die Untersuchungen von Leray, Sobolev und Friedrichs, die unabh¨ angig von Wiener erfolgten, wurde sie zu der heute u ¨blichen Definition der schwachen Ableitung (diese Namengebung stammt von Friedrichs [74, p. 524]) einer lokal integrierbaren Funktion (vgl. Definitionen 10.2.1 und 10.2.3). In der 1934 erschienenen Arbeit [178], einer bahnbrechenden Untersuchung zeitabh¨ angiger L¨ osungen der Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen, trifft Leray die folgende Definition. Eine Funktion u ∈ L2 (R3 ) besitzt eine Quasi-Ableitung bez¨ uglich der Variablen xi , wenn es eine Funktion ur alle a ∈ C 1 (R3 ) mit a, axi ∈ L2 (R3 ) die ui ∈ L2 (R3 ) gibt derart, daß f¨ Beziehung (uaxi + ui a) = 0 R3

besteht. Er zeigt unter anderem, daß bei glatten Anfangsbedingungen die mit Quasi-Ableitungen ausgestatteten L¨ osungen f¨ ur ein gewisses kompaktes Zeitintervall eindeutig bestimmte glatte L¨ osungen sind. Wenig sp¨ ater betrachtet S.L. Sobolev [311] Lösungen der hyperbolischen Differentialgleichung Lu − utt = f , L wie in (10.5), als lineare Funktionale auf einem Vektorraum glatter Funktionen mit kompaktem Tr¨ ager (den Ausdruck Testfunktionen f¨ ur solche Funktionen scheint Bochner [22, p. 203] gepr¨ agt zu haben) und gibt dann die heute u ¨bliche Definition der schwachen Ableitung einer (lokal) integrierbaren ater in der Distributionstheorie von Funktion.2 Hier deutet sich an, was sp¨ Laurent Schwartz st¨ arker in den Vordergrund gestellt wird, nämlich, daß es n¨ utzlich sein kann, nicht nur den Begriff der Ableitung, sondern auch den der Funktion zu verallgemeinern [131]. Sobolevs Arbeit [312] enth¨ alt im wesentlichen bereits seinen ber¨ uhmten Einbettungssatz : Hat u ∈ L2 (Ω) schwache Ableitungen bis zur Ordnung l ≥ m := [N/2] + 1, die allesamt in L2 (Ω) liegen, so stimmt u fast u ¨berall mit einer Funktion aus C l−m (Ω) u ¨berein. In [313, § 6] macht er die folgende 1

2

Kurz zuvor hatte er durch die vor Satz 3.3.6 und in Bemerkung 3.3.11 genannten Arbeiten, aus denen hervorgeht, daß eine harmonische Funktion eine stetige Randvorgabe in einem nichtregul¨ aren Randpunkt nicht annehmen kann (vgl. Satz 3.5.8), der Potentialtheorie eine neue Richtung gegeben. Sie findet sich auch auf S. 469 f. des heute klassischen Werkes von CourantHilbert [46]. Die auf S. 469 angek¨ undigte Arbeit von Friedrichs ist [74].

10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung

303

Beobachtung: Es sei I ⊆ R ein offenes Intervall, und u ∈ L1loc (I) besitze eine schwache erste Ableitung, also ein v ∈ L1loc (I) mit uϕ = − vϕ I

I

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (I). Hieraus folgt durch partielle Integration, wenn V eine Stammfunktion von v ist, (u − V )ϕ = 0 I

f¨ ur alle diese ϕ. Nach einer Verallgemeinerung des von Du Bois-Reymond stammenden Fundamentallemmas der Variationsrechnung [23, S. 28 f.] (vgl. Satz A.11 b)) gibt es dann eine Konstante, mit der u − V fast u ¨berall u ¨bereinstimmt. Umgekehrt hat f¨ ur jedes C ∈ R und jedes v ∈ L1loc (I) die durch x v(t) dt , x, x0 ∈ I , u(x) := C + x0

definierte stetige Funktion die schwache Ableitung v. In einer Dimension haben also genau die Funktionen eine schwache erste Ableitung, die lokal absolutstetig sind. In einer Dimension wird man also zwangsläufig auf die Funktionenklasse gef¨ uhrt, die in der Lebesgueschen Integrationstheorie die Rolle der stetig differenzierbaren Funktionen u ¨bernimmt. Im Rahmen seiner Untersuchungen u ¨ber die Fortsetzung eines symmetrischen Operators zu einem selbstadjungierten Operator in einem Hilbertraum betrachtete Friedrichs Cauchyfolgen glatter Funktionen und ihrer Ableitungen [73, speziell S. 687 ff.]. Eine solche Betrachtung wird auch durch die Behandlung von Rand- und Eigenwertproblemen mit Methoden der Variationsrechnung nahegelegt; vgl. Kapitel 7 von [46], das einer Zusammenarbeit von Courant und Friedrichs entstammt [274, p. 198 f.]. In [74] bezeichnete er ihre Grenzelemente als starke Ableitungen und zeigte im Falle von Operatoren der Gestalt −Δ+a(x) in L2 (RN ), daß starke und schwache Ableitungen u ¨ber¨ einstimmen. Uberdies bewies er eine Variante des Sobolevschen Einbettungssatzes, bei der nicht alle schwachen Ableitungen bis zur Ordnung l existieren m¨ ussen. Prim¨ ar f¨ ur das Dirichletsche und das Neumannsche Randwertproblem bei der Poissongleichung gab Cimmino [40, 41] eine Verallgemeinerung des L¨ osungsbegriffs, die ebenfalls auf der Verwendung approximierender Folgen beruhte. In ¨ ahnlicher Weise hatte D.C. Lewis [184] bereits etwas fr¨ uher ein spezielles Anfangs-Randwertproblem f¨ ur die schwingende Saite mit nichtlinearer rechter Seite behandelt. Diese Arbeiten wurden durch die von Friedrichs und Sobolev in Gang gesetzte Entwicklung u ¨berschattet. Als einflußreich erwies sich ein Gedanke von Zaremba, der in engem Zusammenhang mit Hilberts Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips steht.

304


Es sei Ω ⊂⊂ RN ein glattberandetes Gebiet, und g : ∂Ω → R lasse sich zu einer Funktion aus C 1 (Ω)∩C 0 (Ω) mit endlichem Dirichletintegral (vgl. (10.13)) fortsetzen. Ferner sei u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) eine Lösung des Problems Δu = 0 in Ω ,

u|∂Ω = g ,

die ein endliches Dirichletintegral besitzt. Dann gilt aufgrund des Gaußschen Satzes f¨ ur alle auf Ω harmonischen Funktionen h mit endlichem Dirichletintegral ∇h · ∇(u − g) . 0 = − (u − g)Δh = Ω

Ω

Dies motivierte Zaremba in [353, 355] dazu, ein von ihm transformiertes ” Dirichletproblem“ genanntes Problem zu l¨ osen, nämlich zu vorgegebenem 1 1 ur alle auf Ω harmonischen g ∈ C (Ω) ein u ∈ C (Ω) zu finden, so daß f¨ Funktionen h ∇h · ∇(u − g) = 0 Ω

besteht, wobei g, u und h ein endliches Dirichletintegral besitzen sollen. Geometrisch ist u die orthogonale Projektion von g – orthogonal hinsichtlich der von dem Dirichletintegral erzeugten Form (vgl. (10.12)) – auf die harmonischen Funktionen mit endlichem Dirichletintgral. Diese Interpretation des Zarembaschen Problems wurde aber erst von Nikodym [234, 235] gegeben, und gr¨ oßere Aufmerksamkeit erlangte diese Methode der orthogonalen Projektion erst durch eine auch im Hinblick auf die Regularität schwacher Lösungen vielzitierte Arbeit von Weyl [340].

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen Die in C 2 (Ω) liegenden L¨ osungen, die wir bis einschließlich Kapitel 9 betrachtet haben, werden h¨ aufig auch als klassische L¨ osungen bezeichnet, um sie von den nachfolgend definierten schwachen L¨ osungen (s. Def. 10.2.3) zu unterscheiden. Schwache L¨ osungen, die zudem in einem gewissen Sinne ein Randwertproblem l¨ osen, werden uns in Definition 10.2.9 und in (10.17) begegnen. Wir bezeichnen diese als L¨ osungen eines verallgemeinerten Dirichletproblems. ¨ Am Anfang unserer Uberlegungen steht der in der Einleitung 10.1 motivierte Begriff der schwachen Ableitung. Definition 10.2.1. Es seien Ω ⊆ RN offen, μ ein Multiindex der Ordnung |μ| und u ∈ L1loc (Ω). Eine Funktion v ∈ L1loc (Ω) heißt schwache μ-te Ableitung von u, wenn |μ| v(x)ϕ(x) dx = (−1) u(x)Dμ ϕ(x) dx Ω

f¨ ur alle ϕ ∈

Cc∞ (Ω)

Ω

besteht.

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen

305

Bemerkung 10.2.2. Existiert die μ-te schwache Ableitung von u, so ist diese wegen Satz A.11 b) fast u ¨berall eindeutig bestimmt und wir bezeichnen sie mit wμ (u). Ist u ∈ C m (Ω), so liefert partielle Integration (s. Bemerkung A.1) sofort, daß s¨ amtliche schwachen Ableitungen von u bis zur Ordnung m existieren. F¨ ur alle |μ| ≤ m gilt dann Dμ u = wμ (u) fast u ¨berall auf Ω. Aus diesem Grund k¨ onnen wir f¨ ur die schwachen Ableitungen wieder die f¨ ur die partiellen Ableitungen glatter Funktionen u ¨blichen Notationen verwenden. Der Begriff der schwachen L¨ osung einer Differentialgleichung Lu = f entspricht dem der schwachen Ableitung Dμ u = f , wenn man Dμ durch den Differentialoperator L ersetzt und dann partiell integriert. F¨ ur Differentialoperatoren L der Form (10.5) ist u schwache L¨ o sung von Lu = f , wenn

∗ ∞ ∗ f ϕ = uL ϕ f¨ u r alle ϕ ∈ C (Ω) gilt, wobei L der in Bemerkung 9.2.2 c Ω Ω erkl¨ arte adjungierte Differentialausdruck ist, dessen Definition gewisse Regularit¨ atsanforderungen an die Koeffizienten mit sich bringt. Wir präzisieren dies nun in dem Spezialfall L = −Δ + a. Definition 10.2.3. Es seien Ω ⊆ RN offen und a, f ∈ L1loc (Ω). Eine Funktiosung von on u ∈ L1loc (Ω) heißt schwache L¨ − Δu + au = f , wenn au ∈ L1loc (Ω) ist und

(10.7)

u(−Δϕ + aϕ) =

Ω

fϕ .

(10.8)

Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) besteht. Bemerkung 10.2.4. Sind a, f (mindestens) lokal integrierbar und ist u ∈ C 2 (Ω) eine Funktion, die (10.7) erf¨ ullt, also eine klassische Lösung dieser Gleichung, so ersieht man nach Multiplikation mit ϕ ∈ Cc∞ (Ω) und partieller Integration, die nach Bemerkung A.1 nur den Satz von Fubini beansprucht, daß u auch eine schwache L¨ osung ist. Umgekehrt folgt aus (10.8) f¨ ur eine schwache L¨ osung, von der man die Zusatzinformation hat, daß sie einer Funkaquivalent ist, tion aus C 2 (Ω) ¨ (−Δu + au − f )ϕ = 0 Ω

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω), so daß (10.7) wegen Satz A.11 b) fast u ¨berall auf Ω gilt. Im Falle a = 0 erhalten wir f¨ ur eine große Klasse rechter Seiten mit dem Newtonpotential eine schwache L¨ osung von (10.7). Satz 10.2.5. Es seien Ω ⊂⊂ RN , S die Singularit¨ atenfunktion zum Laplaceoperator (s. Definition 4.1.2) und f ∈ L1 (Ω). Dann existiert

306


v(x) :=

S(x, y)f (y) dy

(10.9)

Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω und definiert eine Funktion aus L1 (Ω) (sie heißt wieder Newtonpotential zu Ω und f ), die schwache L¨ osung der Poissongleichung ist. Beweis. Aus unseren Voraussetzungen und Bemerkung 4.1.3 b) folgt, daß T : (x, y) → S(x, y)f (y) eine auf Ω × Ω definierte meßbare Funktion ist, f¨ ur die |T (x, y)|dx dy Ω

Ω

exisitert. Nach Tonelli ist daher T ∈ L1 (Ω × Ω), so daß nach Fubini (10.9) f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) definiert. Ebenso hat man nach Fubini-Tonelli f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) v(x)Δϕ(x) dx = S(x, y)Δϕ(x) dx f (y) dy . Ω

Ω

Ω

Das innere Integral ist aufgrund der Symmetrie von S nach Korollar 4.2.3 gleich −ϕ(y). Korollar 10.2.6. Speziell ist das Newtonpotential zur Kugel B und dem Petrinischen Beispiel f aus Satz 4.3.1 eine schwache Lösung der Poissongleichung. Entsprechend kann man f¨ ur konstantes und positives a verfahren, da dann gem¨ aß Definition 4.9.1 und Bemerkung 4.9.2 b) eine zu S analoge Singularit¨ atenfunktion oder Grundl¨ osung zur Verf¨ ugung steht. F¨ ur a = 1 soll das in Aufgabe 10.3 ausgef¨ uhrt werden. Erw¨ ahnt sei, daß jede lineare partielle Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten eine Grundlösung besitzt. F¨ ur diesen Satz, der um 1954 unabh¨ angig voneinander von Ehrenpreis und Malgrange bewiesen wurde, sei auf [244] und die dort zitierte Literatur verwiesen. F¨ ur nichtkonstantes a bietet die in Bemerkung 9.2.2 angedeutete Integralgleichungsmethode eine M¨ oglichkeit, sich eine solche Grundlösung zu verschaffen. Wir wenden uns nun einer ganz anderen Methode zu, die Existenz schwacher L¨ osungen nachzuweisen. Sie ist von bestechender Einfachheit und baćhet-Riesz in Hilbertsiert auf dem fundamentalen Darstellungssatz von Fre r¨ aumen, liefert aber keine explizite Darstellung der Lösung u ¨ber ein Integral. Dazu und auch im Hinblick auf eine Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips in Abschnitt 10.5 f¨ uhren wir nun zwei Arten von Funktionenräumen ein, die den Einsatz funktionalanalytischer Hilfsmittel gestatten, da ihre Elemente – anders als die aus Definition 10.2.3 – global integrierbar sind. Im Hinblick auf einige sp¨ atere Bemerkungen beginnen wir etwas allgemeiner als unbedingt erforderlich; ben¨ otigt wird in den beiden nachfolgenden Definitionen nur der Fall m = 1 und p = 2.


307

Definition 10.2.7. Es seien Ω ⊆ RN offen und nichtleer, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. Mit H m,p (Ω) werde die Menge bzw. der Vektorraum aller u ∈ Lp (Ω) bezeichnet, zu denen Folgen (un ) aus C ∞ (Ω) mit der Eigenschaft existieren, daß f¨ ur jeden Multiindex μ mit |μ| ≤ m p |Dμ un | < ∞ Ω

ist und

un − up → 0 ,

Dμ un − Dμ um p → 0

f¨ ur n, m → ∞ besteht. Es bezeichne v das Grenzelement von (Dμ u n ) in Lp (Ω) f¨ ur ein |μ| ≤ m. Da

μ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) nach Bemerkung A.1 Ω (D un )ϕ = (−1)|μ| Ω un Dμ ϕ f¨ gilt, folgt im Falle p = 1 sofort und f¨ ur p > 1 aufgrund der Hölderschen Ungleichung vϕ = (−1)|μ| uDμ ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

Somit ist v ∈ L (Ω) ⊆ schwache μ-te Ableitung von u und nach Bemerkung 10.2.2 eindeutig (als Element von Lp (Ω)) durch u und μ bestimmt. Insbesondere h¨ angt der Limes der Folge (Dμ un ) nicht von der Wahl der approximierenden Folge (un ) ab. In der Terminologie von Friedrichs [74] ist limn→∞ Dμ un (im Lp -Sinne) die starke μ-te Ableitung von u, die wir mit sμ (u) oder auch wieder mit Dμ u bezeichnen (vgl. Bemerkung 10.2.2). Der Raum H m,p (Ω), versehen mit der Norm p

L1loc (Ω)

um,p :=

1/p Dμ upp

,

(10.10)

|μ|≤m

stellt einen Banachraum3 dar. Zudem kann man zeigen, daß jedes u ∈ C m (Ω) ur alle |μ| ≤ m in H m,p (Ω) liegt, wobei die klassische mit Ω |Dμ u|p < ∞ f¨ asentanten von sμ (u) darstellt (s. Aufgabe partielle Ableitung Dμ u einen Repr¨ 10.4 b)). Definition 10.2.8. F¨ ur offenes und nichtleeres Ω ⊆ RN , m ∈ N und 1 ≤ p < ∞ wird die Abschließung von Cc∞ (Ω) in der Norm (10.10) mit H0m,p (Ω) bezeichnet. ur Ersichtlich ist H0m,p (Ω) ein abgeschlossener Teilraum von H m,p (Ω). F¨ beschr¨ anktes Ω ist H0m,p (Ω) sogar ein echter Unterraum von H m,p (Ω). Dies wird in Aufgabe 10.5 f¨ ur einen Spezialfall, der aber typisch ist, gezeigt. 3

Mitunter (so in [66, p. 220]) versteht man unter H m,p (Ω) die Abschließung von ∞ C (Ω) in der Norm (10.10). In diesem Fall besteht die Gleichung (10.37) nur unter Glattheitsvoraussetzungen an den Rand von Ω, z.B. der Segmentbedingung [66, p. 221 f.].

308


Nunmehr sei m = 1 und p = 2. Wir setzen H01 (Ω) := H01,2 (Ω)

H 1 (Ω) := H 1,2 (Ω) ,

und · f¨ ur die L2 -Norm · 2 . Die Norm (10.10) schreibt sich dann 1/2 N u1,2 := u2 + i=1 uxi 2 . Ist ·, · das Skalarprodukt in L2 (Ω) und ∇u · ∇v , D(u, v) :=

(10.11)

(10.12)

Ω

so werden H 1 (Ω) und H01 (Ω), versehen mit dem Skalarprodukt u, v1,2 := u, v + D(u, v) , zu Hilbertr¨ aumen. Schließlich setzen wir noch zur Vereinfachung der Notation D(u) := D(u, u)

(10.13)

f¨ ur das Dirichletintegral, das uns bereits in Abschnitt 3.7 auf S. 95 begegnet ist. Funktionen aus H01 (Ω) lassen sich in der ·1,2 -Norm durch glatte Funktionen approximieren, deren Tr¨ ager kompakt in Ω enthalten ist, und die somit auf ∂Ω verschwinden. Damit ist aber nicht unmittelbar klar, welches Verhalten die Funktionen aus H01 (Ω) nahe des Randes von Ω haben können. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, daß jede L2 -Funktion beliebig uglich der L2 -Norm approximiert werden kann. gut durch Cc∞ -Funktionen bez¨ Wir werden aber in Abschnitt 10.4 sehen, daß die Approximierbarkeit durch uglich der · 1,2 -Norm eine stärkere Bedingung darstellt. Cc∞ -Funktionen bez¨ Die beiden S¨ atze von Abschnitt 10.4 zeigen n¨ amlich, daß die Randbedingung allen durch die Forderung u − g ∈ H01 (Ω) u|∂Ω = g in den betrachteten F¨ ersetzt werden kann. Hierbei wird vorausgesetzt, daß sich das auf ∂Ω definierte vorgegebene Randdatum g zu einer H 1 -Funktion auf Ω fortsetzen läßt. Die Formulierung der Randvorgabe macht insbesondere von der Existenz der schwachen Ableitungen erster Ordnung der L¨ osung Gebrauch. Es ist deshalb nat¨ urlich, bei der Formulierung der Differentialgleichung nur eine Ableitung auf die Testfunktion u alzen. Die hierbei auftretenden Bilinearformen ¨berzuw¨ (vgl. (10.16)) sind f¨ ur die funktionalanalytische Betrachtungsweise vorteilhaft. Im Fall des Laplaceoperators ist diese Bilinearform gerade durch D aus (10.12) ¨ gegeben. F¨ ur die Poissongleichung erhalten wir mit diesen Uberlegungen folgende Aufgabenstellung: Definition 10.2.9. Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere offene Menge, f ∈ ost das verallgemeinerte L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Wir sagen, u ∈ H 1 (Ω) l¨ Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung, wenn (i) und (ii) gilt mit


309

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

(i) D(u, ϕ) = f, ϕ (ii) u − g ∈ H01 (Ω) .

Jedes u ∈ H 1 (Ω) mit der Eigenschaft (i) ist eine schwache Lösung der Poissongleichung im Sinne von Definition 10.2.3, denn es ist ja u ∈ L1loc (Ω), und f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt fϕ = ∇u · ∇ϕ = u(−Δϕ) , Ω

Ω

Ω

wobei die zweite Umformung durch Bemerkung A.1 gerechtfertigt wird, wenn u durch C ∞ -Funktionen approximiert wird. Bemerkung 10.2.10. L¨ ost u das verallgemeinerte Dirichletproblem f¨ ur die ullt Poissongleichung, so ist v := u − g aus H01 (Ω) und erf¨ D(v, ϕ) = f, ϕ − D(g, ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) .

Hat man umgekehrt ein v ∈ H01 (Ω) mit dieser Eigenschaft, so ist u := v + g ullt (i), (ii). aus H 1 (Ω) und erf¨ Wir wollen nun zeigen, daß im Fall der Poissongleichung klassische Lösungen des Dirichletproblems auch das verallgemeinerte Dirichletproblem lösen. Dazu ben¨ otigen wir folgendes Lemma 10.2.11. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer und w ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) eine Funktion mit den Eigenschaften ∇w ∈ L2 (Ω, RN ) und w|∂Ω = 0. Dann liegt w in H01 (Ω). Beweis. Es bezeichne φn die zu Beginn des Beweises von Satz 3.7.1 eingef¨ uhrte Hilfsfunktion, und es sei w(x) φn (t) dt . wn (x) := 0

Die auf diese Weise definierte Funktion wn ist stetig differenzierbar mit Träger supp wn ⊆ {x ∈ Ω : |wn (x)| ≥ n1 } ⊆ Ω. Folglich liegt wn in Cc1 (Ω). Aus der Beschr¨ anktheit von Ω und aus 2 |w(x) − wn (x)| ≤ , |∇w(x) − ∇wn (x)| = [1 − φn (w(x))]|∇w(x)| n f¨ ur alle x ∈ Ω folgt mit dem Lebesgueschen Konvergenzsatz w − wn 1,2 → 0 f¨ ur n → ∞. Zu vorgegebenem > 0 existiert somit w ˜ = wn0 ∈ Cc1 (Ω) mit attungsschar (vgl. Definition A.3). w − w ˜ 1,2 < /2. Es bezeichne (jδ ) eine Gl¨ Da der Tr¨ ager von w ˜ kompakt in Ω enthalten ist, gibt es ein δ0 > 0 so, daß ˜ ∈ Cc∞ (Ω) f¨ ur δ < δ0 . Gem¨ aß Satz A.6 konvergieren zudem w ˜δ w ˜δ := jδ ∗ w und ∇w ˜δ gleichm¨ aßig gegen w ˜ und ∇w, ˜ da die Träger all dieser Funktionen kompakt in Ω enthalten sind. Aus der Beschränktheit von Ω folgt nun, daß onnen mit w ˜δ1 − w ˜ 1,2 < 2 . Zusammenfassend gilt wir ein δ1 < δ0 finden k¨ ∞ ˜δ1 1,2 < , wobei > 0 beliebig vorgegeben war. w ˜δ1 ∈ Cc (Ω) mit w − w Dies beweist w ∈ H01 (Ω).

310


N Satz 10.2.12. f ∈ C 0 (Ω) und g ∈ C 1 (Ω) ∩

Es2 seien Ω ⊂⊂ R nichtleer, 0 2 C (Ω) mit Ω |f | < ∞ und Ω |∇g| < ∞. Ist dann u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) klassische L¨ osung des Dirichletproblems

−Δu = f in Ω ,

u = g auf ∂Ω ,

so gilt u ∈ H 1 (Ω) und D(u, ϕ) = f, ϕ


u − g ∈ H01 (Ω) .

Beweis. Partielle Integration gem¨ aß Bemerkung A.1 liefert ∇u · ∇ϕ = − (Δu)ϕ = f ϕ = f, ϕ D(u, ϕ) = Ω

Ω

Ω

Cc∞ (Ω).

Wendet man nun den Satz 3.7.1 von Giesecke mit v = f¨ ur alle ϕ ∈

u − g an, so folgt aus Ω |∇g|2 < ∞ und Ω | − (Δu)v| ≤ f u − g < ∞ aß Aufgabe 10.4 b) liegt u in H 1 (Ω), und Lemma auch Ω |∇u|2 < ∞. Gem¨ 1 10.2.11 liefert u − g ∈ H0 (Ω). Wir f¨ uhren nun folgende zun¨ achst etwas willk¨ urlich erscheinende Annahme ein: ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt. Es gibt ein C > 0, so daß ϕ2 ≤ CD(ϕ) f¨

(A)

Hieraus folgt sofort, daß sogar f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) u2 ≤ CD(u) und daher D(u) ≤ u21,2 ≤ (C + 1)D(u) gilt. Es ist also D(·) eine Norm auf H01 (Ω), die zu der Norm (10.11) äquivalent ist. Insbesondere ist daher (H01 (Ω), D(·, ·)) ein Hilbertraum. Unter der Voraussetzung (A) erhalten wir nun m¨ uhelos die Existenz (genau) einer L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleićhet-Riesz, demzufolge zu jedem chung u ¨ber den Darstellungssatz von Fre stetigen linearen Funktional l auf einem Hilbertraum H genau ein v ∈ H mit l(u) = u, v f¨ ur alle u ∈ H existiert. (Die Norm des Elements v ist dann gleich der Norm von l [337, S. 197].) Das Problem wird dann darin bestehen zu untersuchen, inwieweit eine L¨ osung im Sinne von Definition 10.2.9 noch Eigenschaften einer klassischen L¨ osung des Dirichletproblems besitzt. Diesem Problem werden wir uns in den beiden folgenden Abschnitten zuwenden und dabei sehen, daß zu seiner Bearbeitung Techniken und Resultate ben¨ otigt werden, wie wir sie vor allem in den Kapiteln 3, 4 und 9 vorgestellt haben. Andererseits ist jedoch zu sagen, daß viele numerische Verfahren nicht auf dem klassischen Lösungsbegriff, sondern auf dem von Definition 10.2.9 basieren.


311

Satz 10.2.13. Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere offene Menge, f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Unter der Voraussetzung (A) hat dann das verallgemeinerte Dirichletproblem f¨ ur die Poissongleichung genau eine L¨ osung. Beweis. Durch l : (H01 (Ω), D(·, ·)) → R ,

w → f, w − D(g, w)

wird ein lineares Funktional definiert. Mit √ K := Cf + D(g)1/2 gilt f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) aufgrund der Schwarzschen Ungleichung |l(w)| ≤ f w + D(g)1/2 D(w)1/2 ≤ KD(w)1/2 . Es ist also l stetig, so daß nach Fréchet-Riesz genau ein v ∈ H01 (Ω) mit D(v, w) = f, w − D(g, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) existiert. Mit Bemerkung 10.2.10 ist die Existenz gezeigt. Da l stetig ist und Cc∞ (Ω) in H01 (Ω) dicht liegt, ergibt sich die Eindeutigkeit aus der Eindeutigkeitsaussage des Satzes von Fréchet-Riesz. Aus dem nachfolgenden Resultat ergibt sich, daß insbesondere f¨ ur jede beschr¨ ankte offene Menge Ω die Annahme (A) richtig ist. Lemma 10.2.14. Es sei Ω ⊆ RN eine offene Menge, die in einer Koordinatenrichtung beschränkt ist, also etwa Ω ⊆ x = (x , xN ) ∈ RN −1 × R : |xN | ≤ α f¨ ur ein α > 0 erf¨ ullt. Dann gilt f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) u2 ≤ (2α)2 D(u) .

(10.14)

Beweis. Es gen¨ ugt, die Behauptung f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) zu beweisen. Wir setzen N ϕ auf R \ Ω durch Null fort. Anwendung der Schwarzschen Ungleichung auf xN ϕ(x) = 1 · ϕxN (x , t) dt −α

liefert

|ϕ(x , xN )| ≤

α

2

α

2

1 dt −α

−α

|ϕxN (x , t)| dt ≤ 2α

α

2

−α

|∇ϕ(x , t)|2 dt ,

so daß wir durch zweimalige Anwendung des Satzes von Fubini

312


|ϕ| =

|ϕ| = α

2

α

2

RN

Ω

≤ 2α

−α α

|ϕ(x , xN )| dx dxN % 2 |∇ϕ(x , t)| dt dx dxN

RN −1 α

RN −1

−α

|∇ϕ|2 dxN

= 2α −α

−α

2

Ω

erhalten, und dies ist die gew¨ unschte Ungleichung f¨ ur ϕ.

Ungleichung (10.14) kann man als mehrdimensionales Analogon der Ungleichung 2 b b π 2 u ≤ (u )2 b−a a a ansehen, die von Scheeffer f¨ ur u ∈ C 1 ([a, b]) mit u(a) = u(b) = 0 bewiesen wurde; sie findet sich auf S. 207 seiner postum erschienen Arbeit [296]. F¨ ur N = 2 bewies H.A. Schwarz eine Ungleichung des Typs (10.14) im Rahmen seiner im Anschluß an Satz 6.2.8 genannten Untersuchung. Meist wird ´ benannt, der in [260, p. 258] eine solche Ungleichung aber nach Poincare und [262, Abschnitt III] eine Ungleichung der Gestalt (10.14) f¨ ur beschränkte konvexe Gebiete des R3 und Funktionen mit Mittelwert Null bewies, also eine Ungleichung der Form 2 2 2 . |u| ≤ const |∇u| + u Ω

Ω

Ω

¨ Die am Ende unseres historischen Uberblicks in 10.1 genannten Arbeiten von Zaremba stehen in enger Beziehung zu den Betrachtungen dieses Abschnitts, und in [353, p. 223 f.] wird (10.14) f¨ ur beschr¨ anktes Ω und Funktionen, die am Rand von Ω verschwinden, bewiesen. Daß die Voraussetzung (A) in einer gewissen Weise auch notwendig f¨ ur die L¨ osbarkeit des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung ist, ergibt sich aus der nachfolgenden Beobachtung. Bemerkung 10.2.15. Wir nehmen an, daß zu jedem vorgegebenem f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω) ein v ∈ H01 (Ω) existiert mit D(v, ψ) = f, ψ − D(g, ψ)

f¨ ur alle ψ ∈ Cc∞ (Ω) .

Speziell ist dann f¨ ur alle ψ ∈ Cc∞ (Ω) mit D(ψ) = 1 aufgrund der Schwarzschen Ungleichung, die auch f¨ ur semidefinite symmetrische Bilinearformen gilt (s. Aufgabe 10.13 a)), |f, ψ| = |D(v + g, ψ)| ≤ D(v + g)1/2 =: Kv , d.h. der beschr¨ ankte lineare Operator


Tψ : L2 (Ω) → R ,

313

f → f, ψ

erf¨ ullt |Tψ (f )| ≤ Kv . Aufgrund des Satzes von Banach-Steinhaus [337, S. 141] gibt es daher ein C > 0 mit √ Tψ ≤ C f¨ ur alle obigen ψ. Nun ist die Operatornorm Tψ das Infimum aller k ≥ 0, f¨ ur die f¨ ur alle f ∈ L2 (Ω) |Tψ (f )| ≤ kf besteht. Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung ist aber |f, ψ| ≤ f ψ, wobei das Gleichheitszeichen genau dann gilt, wenn f und ψ linear abhängig sind. Also ist Tψ = ψ, mithin √ D(ϕ)−1/2 ϕ ≤ C f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) mit D(ϕ) = 0, also mit ϕ = 0. Im verbleibenden Teil dieses Abschnitts u ¨bertragen wir die Definition 10.2.9 des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur die Poissongleichung auf allgemeine lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung. Wie im Fall der klassischen L¨ osungen werden wir sehen, daß die Elliptizität des Differentialoperators wesentlich f¨ ur den Nachweis der Existenz von Lösungen ist. Es sei nun L := −

N

∂2 ∂ + ai (x) + a(x) ∂xi ∂xk i=1 ∂xi N

aik (x)

i,k=1

ein Differentialoperator mit Koeffizienten aik ∈ C 1 (Ω), ai , a ∈ C 0 (Ω). Ist osung von dann f ∈ C 0 (Ω) und u ∈ C 2 (Ω) L¨ Lu = f , so erhalten wir mit bi :=

N

∂ aik + ai ∂xk

k=1

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) durch partielle Integration f, ϕ = Lu, ϕ =

N Ω

i,k=1

aik uxi ϕxk +

N

i=1

bi uxi ϕ + auϕ . (10.15)

314


Durch (10.15) wird uns die Definition einer Bilinearform

N N

aik uxi vxk + bi uxi v + auv b(u, v) := Ω

(10.16)

i=1

i,k=1

1

auf H (Ω) nahegelegt, und wir nennen in Analogie zu Definition 10.2.9 eine osung des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur Funktion v ∈ H 1 (Ω) L¨ Lu = f ,

u|∂Ω = g

zu vorgegebenen f ∈ L (Ω), g ∈ H (Ω), wenn 2

b(u, ϕ) = f, ϕ

1

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω) .

(10.17)

Wie in Bemerkung 10.2.10 beschrieben, ist dieses Problem äquivalent dazu, ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω). ein v ∈ H01 (Ω) zu finden mit b(v, ϕ) = f, ϕ − b(g, ϕ) f¨ Anders als die Dirichletform D ist die Bilinearform b im allgemeinen nicht symmetrisch, so daß man f¨ ur sie nicht mehr wie im Beweis von Satz 10.2.13 mit dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz argumentieren kann. Man kann diesen und den f¨ ur einen abgeschlossenen Teilraum L eines Hilbertraums H geltenden Zerlegungssatz H = L ⊕ L⊥

(10.18)

jedoch dazu ben¨ utzen, folgenden Darstellungssatz [170] f¨ ur allgemeine beschr¨ ankte Bilinearformen herzuleiten. F¨ ur den einfachen Beweis sei auf [66, p. 249] verwiesen (s.a. [119]). Lemma 10.2.16 (Lax-Milgram). Es sei H ein Hilbertraum und weiter sei b : H × H → R eine Bilinearform mit der Eigenschaft, daß ein c > 0 mit |b(u, v)| ≤ cuv

f¨ ur alle u, v ∈ H

existiert. Man nennt dann b eine beschr¨ ankte Bilinearform. Dann gilt: (i) Es gibt genau einen Operator A : H → H mit b(u, v) = u, Av f¨ ur alle u, v ∈ H. A ist linear und A ≤ c. (ii) Wenn zus¨ atzlich ein d > 0 existiert mit |b(u, u)| ≥ du2

f¨ ur alle u ∈ H ,

so ist der Operator A aus (i) bijektiv und A−1 ≤ d1 . Korollar 10.2.17. Die Bilinearform b erf¨ ulle die Voraussetzungen von Lemma 10.2.16. Es sei l ein stetiges lineares Funktional auf H und h ∈ H das nach Fréchet-Riesz existierende Element mit l(w) = w, h f¨ ur w ∈ H. Dann ist v := A−1 h das eindeutig bestimmte Element mit l(w) = b(w, v)

f¨ ur alle w ∈ H .


315

Wir definieren nun eine Klasse von Bilinearformen, welche die in (10.16) angegebenen beinhaltet, und diskutieren, unter welchen Bedingungen die Voraussetzungen von Lemma 10.2.16 erf¨ ullt sind. Unter der generellen Annahme ur i, k ∈ {1, . . . , N } sind Ω ⊆ RN ist offen und nichtleer, und f¨ ankt aik , bi , ci , a : Ω → R meßbar und beschr¨ betrachten wir nun f¨ ur u, v ∈ H 1 (Ω) die Bilinearform

N N

aik uxi vxk + (bi uxi v + ci uvxi ) + auv . B(u, v) := Ω

(B1)

(10.19)

i=1

i,k=1

Aufgrund der Schwarzschen Ungleichung gibt es dann ein K > 0 mit |B(u, v)| ≤ Ku1,2 v1,2

f¨ ur alle u, v ∈ H 1 (Ω) .

(10.20)

Um auch noch die zweite Voraussetzung in Lemma 10.2.16 befriedigen zu k¨ onnen, machen wir folgende weitere Annahme: Die Bilinearform (10.19) ist koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), d.h. es gibt k1 > 0 und k2 ≥ 0 mit B(u) := B(u, u) ≥

k1 u21,2

− k2 u f¨ ur alle u ∈ 2

H01 (Ω)

(B2) .

B heißt streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), wenn diese Ungleichung mit k2 = 0 gilt. Satz 10.2.18. Es gelte (B1), und die Bilinearform B aus (10.19) sei streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω). Sind dann f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω), so gibt es genau ein v ∈ H01 (Ω) mit B(v, ϕ) = f, ϕ − B(g, ϕ)

f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) .

Beweis. Auf dem Hilbertraum (H01 (Ω), · 1,2 ) definieren wir ein lineares Funktional durch l(w) := f, w − B(g, w) . Wegen (10.20) ist f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) |l(w)| ≤ wf + Kw1,2 g1,2 ≤ (f + Kg1,2 )w1,2 , ¨ also l stetig. Uberdies gibt es nach Voraussetzung ein k > 0 mit |B(u)| ≥ B(u) ≥ ku21,2 f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω). Nach Korollar 10.2.17 existiert daher genau ein v ∈ H01 (Ω) mit l(w) = B(v, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) , womit die Existenz gezeigt ist. Da l und B beschränkt sind, folgt aus l(ϕ) = B(v, ϕ) f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω), daß auch l(w) = B(v, w) f¨ ur alle w ∈ H01 (Ω) gilt. Dies beweist die Eindeutigkeit.

316


Ersetzt man in Satz 10.2.18 die Voraussetzung der strengen Koerzitivität durch Koerzitivit¨ at, so zeigt folgende Bemerkung f¨ ur den Fall g = 0, daß noch die Fredholmsche Alternative gilt, welche wie im Fall klassischer Lösungen (vgl. Bemerkung 5.5.7 und Satz 6.2.5) besagt, daß die Existenz von nichttrivialen L¨ osungen der homogenen Gleichung die uneingeschränkte Lösbarkeit der inhomogenen Gleichung zerst¨ ort. Bemerkung 10.2.19. Sei Ω ⊂⊂ RN und B : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R eine beschr¨ ankte und koerzitive Bilinearform. Dann gilt: Entweder gibt es zu jedem f ∈ L2 (Ω) genau ein u ∈ H01 (Ω) mit B(v, ϕ) = f, ϕ


(10.21)

oder es gibt eine maximale Zahl d ∈ N derart, daß in H01 (Ω) linear unabhängiur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) und ge Elemente u1 , . . . , ud existieren mit B(ϕ, uj ) = 0 f¨ j ∈ {1, . . . , d}. Im 2. Fall ist (10.21) genau dann l¨ osbar, wenn f, uj = 0 ist f¨ ur alle j ∈ {1, . . . , d}. Die in Bemerkung 10.2.19 formulierte Aussage ist ein Spezialfall von S¨ atzen, die unabh¨ angig voneinander etwa zeitgleich von F.E. Browder [30], G˚ arding [78] und M.I. Viˇ sik [327] bewiesen wurden. Ihr Beweis (s. etwa [66, p. 249 ff.]) beruht darauf, daß f¨ ur Ω ⊂⊂ RN die Einbettung von H01 (Ω) 2 in L (Ω) kompakt ist [337, S. 192]. Den Anstoß zu einem solchen Resultat gab Rellich [275], der unter gewissen Voraussetzungen an den Rand von Ω ⊂⊂ R2 zeigte, daß aus jeder Menge von Funktionen, die in der · 1,2 -Norm beschr¨ ankt ist, eine in L2 (Ω) konvergente Folge ausgewählt werden kann. Eine systematische Einbeziehung von Sobolevr¨ aumen wurde dann von Sobolevs Sch¨ uler V.I. Kondraˇ sov beschrieben [144, 145]. Beide Satztypen – Komur Ω ⊂⊂ RN und Kompaktheit paktheit der Einbettung H01 (Ω) in L2 (Ω) f¨ 1 2 ur Ω ⊂⊂ RN unter einer Voraussetder Einbettung von H (Ω) in L (Ω) f¨ zung an ∂Ω (z.B. der Segmentbedingung) sowie deren Verallgemeinerungen – werden heute nach Rellich und Kondraˇsov benannt. Wir zeigen nun, daß Elliptizit¨ at zusammen mit (B1) die Koerzitivität bereits impliziert. Lemma 10.2.20. Es sei die Voraussetzung (B1) erf¨ ullt. Wenn es dann ein δ > 0 mit N

aik (x)ξi ξk ≥ δ|ξ|2

(10.22)

i,k=1

f¨ ur alle x ∈ Ω und ξ ∈ RN gibt, so ist die Bilinearform (10.19) koerzitiv u ¨ber H 1 (Ω) und daher erst recht u ¨ber H01 (Ω). Beweis. Da es Zahlen C1 > 0 und C2 > 0 mit

10.2 Existenz schwacher L¨ osungen N

(bi + ci )uuxi ≥ −2C1 |∇u||u| ≥ −C1

i=1

1 |∇u| + u2 2

317

,

au2 ≥ −C2 u2 f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω) und > 0 gibt, haben wir (δ − C1 )|∇u|2 − −1 C1 + C2 u2 B(u) ≥ Ω

= (δ − C1 )u21,2 − δ − C1 + −1 C1 + C2 u2 , so daß die Behauptung f¨ ur 0 < < δC1−1 folgt.

Eine Ungleichung, wie sie in (B2) gefordert wird, nennt man gerne G˚ ardingsche Ungleichung. Diese Namengebung ist vielleicht etwas erklärungsbed¨ urftig, da eine solche Ungleichung ja unter der Elliptizitätsbedingung (10.22), wie wir gerade gesehen haben, sofort elementar herstellbar ist. Zu beachten ist jedoch, daß unsere Bilinearform (10.19), die nur Ableitungen h¨ ochstens erster Ordnung enth¨ alt, nicht typisch f¨ ur den Fall ist, daß Ableitungen bis zur Ordnung m ≥ 2 auftreten. Es zeigt sich dann, daß eine zu (10.22) analoge Bedingung notwendig und hinreichend f¨ ur Koerzitivität u ¨ber H0m,2 (Ω) ist (s. [78], insbesondere Beweis von Theorem 2.1; Koerzitivität u ¨ber H m,2 (Ω) ist i.a. nicht mehr gegeben). Wir beschließen diesen Abschnitt, indem wir einige Situationen diskutieren, in denen strenge Koerzitivit¨ at gilt. ullt Bemerkung 10.2.21. a) Zus¨ atzlich zu (B1) gelte (B2) mit k2 > 0. Erf¨ dann Ω die Voraussetzung von Lemma 10.2.14, so gilt aufgrund dieses Hilfssatzes f¨ ur alle u ∈ H01 (Ω) B(u) ≥ [k1 − (2α)2 k2 ]u21,2 , d.h. im Falle 0 < α < 12 k1 /k2 ist B streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω). b) Es m¨ ogen die Voraussetzungen von Lemma 10.2.14 gelten und die Koeffizienten der Bilinearform (10.19) den Voraussetzungen (B1) und (10.22) gen¨ ugen. Dann ist diese Bilinearform streng koerzitiv u ¨ber H01 (Ω), wenn α 1 klein“ ist (siehe a)) oder die bi , ci aus C (Ω) sind, beschränkte Ableitungen N ” haben und a ≥ 12 i=1 (bi + ci )xi gilt. Letzteres ergibt sich mit Bemerkung A.1 aus folgender Identit¨ at f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω): N

i=1

1

1

[(bi + ci )ϕ2 ]xi − (bi + ci )xi ϕ2 . 2 i=1 2 i=1 N

(bi + ci )ϕϕxi =

N

318


10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen Am Beispiel der Gleichung −Δu + au = f wollen wir untersuchen, unter welchen Voraussetzungen an a und f von einer schwachen Lösung dieser Gleichung (im Sinne von Definition 10.2.3) gezeigt werden kann, daß diese auch osung darstellt. eine in C 2 (Ω) liegende klassische L¨ Ein Ergebnis der nachfolgenden Untersuchungen wird sein, daß im Falle osung von (10.7) einer Funktion aus C ∞ (Ω) a, f ∈ C ∞ (Ω) jede schwache L¨ a quivalent ist. Dieser Satz stammt im wesentlichen von Friedrichs. Seine ¨ ur die verallgemeinerten L¨ osungen sind allerdings Funktionen u ∈ L2loc (Ω), f¨ ∇u und Δu im schwachen Sinne existieren und in L2loc (Ω) liegen. Er beweist mit seiner Variante des Sobolevschen Einbettungssatzes u.a., daß im Falle a, f ∈ C l (Ω), l ≥ m := N2 + 1, jede seiner verallgemeinerten Lösungen von (10.7) einer Funktion aus C l−m (Ω) ¨ aquivalent ist [74, Theorem 15.3]. Der Grundgedanke seines Beweises, mit Hilfe der Glättungsoperatoren aus Satz A.7 eine Integraldarstellung f¨ ur die schwachen Lösungen herzustellen, die die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators enthält, wird beim Beweis von Lemma 10.3.5 beibehalten, der daraus resultierende Regularitätssatz 10.3.10 dann aber mit Ergebnissen von E. Hopf kombiniert, um eine Dimensionsabh¨ angigkeit bei den Glattheitsvoraussetzungen an die Koeffizienten der Gleichung zu vermeiden (Korollar 10.3.11). Wir beginnen mit dem Spezialfall a = f = 0, Satz 10.3.2, der einen besonders einfachen Beweis und direkt eine interessante Anwendung in Satz 10.3.4 gestattet. Satz 10.3.2 stammt in der Substanz von Caccioppoli [34,35], wurde von diesem aber anders formuliert. In seiner Untersuchung der Poissongleichung auf Riemannschen Fl¨ achen zeigt er, daß gewisse stetige lineare Funktionale genau dann Null sind, wenn sie von harmonischen Funktionen erzeugt werden. Satz 10.3.2 wird meist Lemma von Weyl genannt nach [340, Lemma 2]. Unter dem Einfluß von [77] hat es sich sogar eingeb¨ urgert, jede Aussage u at schwacher L¨ osungen elliptischer Gleichungen als ein ¨ber die Regularit¨ Weylsches Lemma zu bezeichnen, ein Sprachgebrauch, der historisch ungl¨ ucklich, aber vermutlich kaum noch zu ¨ andern ist. Es ist bequem, die folgende einfache Beobachtung an den Anfang zu stellen. Lemma 10.3.1. Sei Ω ⊆ RN offen und u ∈ L1loc (Ω). Wenn es zu jeder Kugel B ⊂⊂ Ω ein v ∈ C 0 (B) mit (u − v)ϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (B) , (10.23) B

also mit u(x) = v(x) f¨ ur fast alle x ∈ B gibt (s. Satz A.11), so ist u einer Funktion aus C 0 (Ω) äquivalent. Beweis. Seien B1 , B2 ⊂⊂ Ω zwei Kugeln mit B1 ∩ B2 = ∅ und zugehörigen ur die (10.23) besteht. Dann gilt f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (B1 ∩ B2 ) v1 , v2 , f¨

10.3 Innere Regularit¨ at schwacher L¨ osungen

(v1 − v2 )ϕ =

B1 ∩B2

319

(u − v2 )ϕ −

B2

(u − v1 )ϕ = 0 . B1

Aufgrund der Stetigkeit von v1 und v2 ist dann (v1 − v2 )|B1 ∩B2 = 0. ahlung der Punkte in Ω mit rationalen Koordinaten Sei nun (xj ) eine Abz¨ und rj := Dann gilt Ω =

8∞ j=1

1 2

dist(xj , ∂Ω) , falls ∂Ω = ∅

1

, falls ∂Ω = ∅

.

Brj (xj ), und f¨ ur j ∈ N wird durch v(x) := vj (x)

,

x ∈ Brj (xj ) ,

eine Funktion v ∈ C 0 (Ω) definiert. Auf jeder solchen Kugel stimmt u fast u ahlbare Vereinigung von Nullmengen wieder ¨berall mit vj u ¨berein. Da die abz¨ eine Nullmenge ist, stimmt u fast u ¨berall mit v u ¨berein. Den eleganten und einfachen Beweis des nachfolgenden Satzes präsentierte Simader seit Anfang der 70er Jahre in Vortr¨ agen, veröffentlichte ihn aber erst sp¨ at in [306]. Den gleichen Beweis gab unabh¨ angig Folland in der 1. Auflage seines Buches [66]. Satz 10.3.2. Sei Ω ⊆ RN offen und u ∈ L1loc (Ω) eine Funktion mit der Eigenschaft uΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . (10.24) Ω

Dann gibt es eine harmonische Funktion h : Ω → R, mit der u fast u ¨berall u ¨bereinstimmt. Beweis. Sei x0 ∈ Ω und R :=

1 2

dist(x0 , ∂Ω) , falls ∂Ω = ∅

1

, falls ∂Ω = ∅

.

ur x ∈ BR (x0 ) und ∈ (0, R] liegt dann j (x − ·), der Kern des GlättungsF¨ operators aus Definition A.3, in Cc∞ (Ω). Er kann daher als Testfunktion in (10.24) eingesetzt werden, und wir erhalten mit Satz A.6 (10.25) Δu (x) = u(y)Δx j (x − y) dy = 0 , Ω

attung von u, auf BR (x0 ) harmonisch, besitzt also nach d.h. es ist u , die Gl¨ Satz 2.1.1 die zweite Mittelwerteigenschaft. F¨ ur alle r, ∈ (0, R] gilt daher

320


N |u (x) − u (x)| = N r ωN ≤

N rN ω

N

[u (y) − u (y)] dy Br (x) |u (y) − u (y)| dy . Br (x)

Nach Satz A.11 strebt die rechte Seite f¨ ur , → 0 gegen Null. Es ist also aßig konvergent, strebt also dort gegen eine stetige (u ) auf BR (x0 ) gleichm¨ Funktion h0 . Andererseits gibt es nach dem Lemma von Riesz eine Nullfolge (j ) mit lim u j = u

j→∞

fast u ¨berall auf BR (x0 ) .

Mithin stimmt u fast u ¨berall auf BR (x0 ) mit h0 u ¨berein. Aus N u (y) dy u (x) = N r ωN Br (x)

folgt die Relation N h0 (x) = N r ωN

h0 (y) dy . Br (x)

Nach Satz 2.1.1 ist also die Funktion h0 , mit der u fast u ¨berall auf BR (x0 ) u ¨bereinstimmt, harmonisch. Mit Lemma 10.3.1 ergibt sich nun die Behauptung. Korollar 10.3.3. Hat u ∈ C 0 (Ω) die Eigenschaft (10.24), so ist u selbst harmonisch auf Ω. Satz 10.3.2 gestattet in Kombination mit dem Randminimumprinzip (Satz 2.3.8), Lemma 4.4.4–4.4.5 und Satz 4.4.7 c) einen anderen Beweis f¨ ur die Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2). ur Ω und den LaplaSatz 10.3.4. Sei Ω ⊂⊂ RN und G Greensche Funktion f¨ ceoperator mit Dirichletscher Randbedingung (s. Definition 4.4.1). Dann gilt f¨ ur alle (x, y) ∈ Ω × Ω G(x, y) = G(y, x) . Beweis. Es gen¨ ugt, G(y, x) ≤ G(x, y) f¨ ur je zwei Punkte x, y ∈ Ω zu beweisen. Sei H := G − S und x ∈ Ω. Da die Singularit¨ atenfunktion S symmetrisch ist, erhalten wir f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) − G(z, x)Δϕ(z) dz = − S(x, z)Δϕ(z) dz − H(z, x)Δϕ(z) dz . Ω

Ω

Ω


321

Das erste Integral rechts ist nach Korollar 4.2.3 gleich ϕ(x); das zweite Integral ist Null, denn wir k¨ onnen zweimal partiell integrieren (wozu nach Bemerkung A.1 nur der Satz von Fubini ben¨ otigt wird), und H(·, x) ist harmonisch auf Ω. Des weiteren ist ϕ(x) = − G(x, z)Δϕ(z) dz , Ω

denn nach Satz 4.4.7 c) l¨ osen beide Seiten das Dirichletproblem −Δϕ = −Δϕ in Ω , Also ist

ϕ|∂Ω = 0 .

[G(x, z) − G(z, x)]Δϕ(z) dz = 0 . Ω

Da G(x, ·) − G(·, x) = G(x, ·) − S(x, ·) − [G(·, x) − S(·, x)] nach Lemma 4.4.5 aus C 0 (Ω) ist, folgt mit Korollar 10.3.3 die Harmonizität von G(x, ·) − G(·, x) auf Ω. Das Randminimumprinzip 2.3.8 liefert nun G(x, y) − G(y, x) ≥ 0 f¨ ur alle y ∈ Ω, denn f¨ ur jede Folge (xn ) aus Ω mit xn → z ∈ ∂Ω und xn = x gilt wegen G(x, xn ) ≥ 0 (Lemma 4.4.4) lim inf [G(x, xn ) − G(xn , x)] ≥ lim inf [−G(xn , x)] = − lim G(xn , x) = 0 . n→∞

n→∞

n→∞

Wir erschließen, wie eingangs angedeutet, die innere Regularität schwacher L¨ osungen von (10.7) aus einer Integralidentit¨ at. Lemma 10.3.5. Es seien Ω ⊆ RN offen, B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω konzentrische ur y ∈ B , F ∈ L1loc (Ω) und Kugeln, ζ ∈ Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ 1 u ∈ Lloc (Ω) so, daß ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . (10.26) − uΔϕ = F ϕ f¨ Ω

Ω

Mit der Singularit¨ atenfunktion S des Laplaceoperators gilt dann f¨ ur fast alle x ∈ B u(x) = S(x, y)ζ(y)F (y) dy (10.27) Ω

u(y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

+ Ω

322


Beweis. Sei x ∈ B . Dann gilt nach Korollar 4.2.3 f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ϕ(x) = − S(x, y)Δϕ(y) dy .

(10.28)

Ω

Ist 0 < < dist(B, ∂Ω) und y ∈ B, so liegt j (y − ·), der Kern des Glättungsoperators, in Cc∞ (Ω), und aus (10.26) erhalten wir anstelle von (10.25) nunmehr F (y) = F (z)j (y − z) dz = − u(z)Δy j (y − z) dz = −Δu (y) . Ω

Ω

Aus (10.28) mit ϕ = u ζ ergibt sich daher u (x) = − S(x, y)[u (y)Δζ(y) + 2∇u (y) · ∇ζ(y) − F (y)ζ(y)] dy . Ω

In dem mittleren Integral k¨ onnen wir die Ableitung von u durch partielle Integration u alzen, da sich die Integration nur u ¨berw¨ ¨ber B \ B erstreckt: u (x) = S(x, y)F (y)ζ(y) dy (10.29) Ω

u (y)[S(x, y)Δζ(y) + 2∇y S(x, y) · ∇ζ(y)] dy .

+ Ω

Hieraus resultiert die Behauptung (10.27) im Limes → 0 wie folgt. Zunächst ist nach Satz A.11 lim |u − u| = 0 ,

→0

B

so daß es nach dem Lemma von Riesz (vgl. [62, VI.2.5]) eine Nullfolge (j ) und eine Funktion U ∈ L1 (B) gibt derart, daß fast u ¨berall auf B lim u j = u und u j ≤ U j→∞

f¨ ur alle j ∈ N gilt. Die linke Seite von (10.29) konvergiert daher auf dieser Nullfolge f¨ ur fast alle x ∈ B gegen u(x). Da nach Satz 10.2.5 S(x, y)U (y)Δζ(y) dy Ω

f¨ ur fast alle x ∈ B existiert, liefert der Satz von der majorisierten Konvergenz lim S(x, y)u j (y)Δζ(y) dy = S(x, y)u(y)Δζ(y) dy j→∞

Ω

Ω


323

f¨ ur fast alle x ∈ B . Entsprechend folgt u j (y)∇y S(x, y) · ∇ζ(y) dy = u(y)∇y S(x, y) · ∇ζ(y) dy lim j→∞

Ω

Ω

f¨ ur fast alle x ∈ B . Wegen limj→∞ B F j − F = 0 garantiert das Lemma von Riesz die Existenz einer Nullfolge (jk ) und einer Funktion Φ ∈ L1 (B) mit lim F jk = F und F jk ≤ Φ , k ∈ N , k→∞

fast u ¨berall auf B. Auf dieser Nullfolge konvergiert dann das verbleibende Integral rechts in (10.29) gegen den gew¨ unschten Term. Wir behandeln zun¨ achst den einfacheren Fall a = 0 in (10.7). Satz 10.3.6. Ist Ω ⊆ RN offen, f ∈ C ∞ (Ω) und u ∈ L1loc (Ω) eine schwache L¨ osung der Poissongleichung, so ist u einer Funktion v ∈ C ∞ (Ω) mit −Δv = f ¨ aquivalent. Beweis. Nach Lemma 10.3.1 gen¨ ugt es zu zeigen, daß u auf jeder Kugel B ⊂⊂ Ω einer solchen Funktion v ¨ aquivalent ist. Sei B eine zu B konzentrische Kugel ur y ∈ B . mit B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω und ζ ∈ Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ Nach Lemma 10.3.5 gen¨ ugt u f¨ ur fast alle x ∈ B der Identität (10.30) u(x) = S(x, y)ζ(y)f (y) dy B

+


B\B

Der erste Term rechts definiert nach Korollar 4.2.3 eine Funktion aus C ∞ (B ), w¨ ahrend der zweite Term nach dem Standardsatz A.5 aus C ∞ (B ) ist. Es ist aquivalent. Die letzte Behauptung also u in der Tat einer Funktion v ∈ C ∞ (Ω) ¨ ist nun klar aufgrund des zweiten Teils von Bemerkung 10.2.4. Bemerkung 10.3.7. a) Aus Satz 10.3.6 folgt insbesondere, daß die Lösung des verallgemeinerten Dirichletproblems aus Satz 10.2.13 einen Repräsentanten aus C ∞ (Ω) besitzt, wenn f diese Eigenschaft hat (vgl. Bemerkung nach Definition 10.2.9). b) Wenn man zeigen m¨ ochte, daß f¨ ur f ∈ C H (Ω) (s. Definition 4.1.5) jede schwache L¨ osung der Poissongleichung einer klassischen Lösung äquivalent ist, so muß man den tieferliegenden H¨ olderschen Satz 4.2.6 heranziehen, demzufolge der erste Term rechts in (10.30) in C 2 (B ) liegt (es ist dann ja ζf ∈ CbH (B)). Aufgrund des Hopfschen Satzes 9.2.5 b) sind u ¨berdies die zweiten Ableitungen lokal h¨ olderstetig mit Exponent α ∈ (0, 1), wenn f lokal den H¨ olderexponenten α besitzt.

324


Bemerkung 10.3.8. Es ist bemerkenswert, daß man die Polynome in N komur jedes plexen Ver¨ anderlichen P (z1 , . . . , zN ), die die Eigenschaft haben, daß f¨ osung von f ∈ C ∞ (Ω) jede schwache L¨ ∂ ∂ u=f , . . . , −i P −i ∂x1 ∂xN aquivalent ist, durch ihre Nullstellenmannigfaleiner Funktion aus C ∞ (Ω) ¨ tigkeit charakterisieren kann. Dies gelang H¨ ormander in seiner Dissertation [124], f¨ ur die er 1962 auf dem Internationalen Mathematikerkongreß in Stockholm die Fieldsmedaille erhielt. Solche Polynome bzw. die zugehörigen Differentialgleichungen heißen hypoelliptisch. Zu ihnen gehören speziell die Polynome vom Grad zwei, deren Hauptteil definit oder semidefinit ist (vgl. Bemerkung 2.6.2). Zur Namengebung s. [299, p. 288]. Bemerkung 10.3.7 b) gestattet es, einen anderen Beweis f¨ ur Satz 4.8.2 b) zu geben. außere Kugeleigenschaft (s. Satz 10.3.9. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichmäßige ¨ Satz 4.6.2), und es sei δ(y) := dist(y, ∂Ω). Es sei f ∈ C H (Ω) eine Funktion mit der Eigenschaft supy∈Ω |δ(y)f (y)| < ∞ und G die Greensche Funktion f¨ ur Ω und −Δ. Dann ist das Greenpotential G(x, y)f (y) dy , x ∈ Ω , w(x) := Ω 2

ullt zu Ω und f aus C (Ω) und erf¨ −Δw = f

in Ω .

Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, daß w schwache Lösung der Poissongleichung ist, denn dann ist ja w nach Bemerkung 10.3.7 b) einer klassischen Lösung v aquivalent. Nach Lemma 4.8.1 ist aber w ∈ C 0 (Ω), mithin w = v. ¨ Der Beweis, daß w eine schwache L¨ osung der Poissongleichung ist, verläuft analog zu dem von Satz 10.2.5. Sei ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Dann existiert |G(x, y)f (y)| dy |Δϕ(x)| dx Ω

Ω

aufgrund von Absch¨ atzung (4.52). Ferner ist die Funktion (x, y) → G(x, y)f (y)Δϕ(x) meßbar, nach Fubini-Tonelli daher w(x)Δϕ(x) dx = f (y) G(x, y)Δϕ(x) dx dy . Ω

Ω

Ω

Das innere Integral ist aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion (Satz 4.5.2 oder Satz 10.3.4) nach Satz 4.4.7 c) gleich −ϕ(y).


325

Nun zu der allgemeinen Gleichung (10.31). Satz 10.3.10. Es seien Ω ⊆ RN offen und a, f ∈ C H (Ω). Ist dann u eine Funktion in L1loc (Ω) mit der Eigenschaft u(−Δϕ + aϕ) = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) , (10.31) Ω

Ω

so ist u einer klassischen L¨ osung von (−Δ + a)u = f ¨ aquivalent. Beweis. F¨ ur j ∈ N seien Bj+1 ⊂⊂ Bj ⊂⊂ Ω konzentrische Kugeln und ∞ ur y ∈ Bj+1 . Nach Lemma 10.3.5 ζ ∈ Cc (Bj ) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ der Gleichung gen¨ ugt u f¨ ur fast alle x ∈ Bj+1 u(x) = − S(x, y)ζ(y)a(y)u(y) dy + S(x, y)ζ(y)f (y) dy (10.32) Bj

Bj

+


Bj \Bj+1

Das letzte Integral ist nach dem Standardsatz aus C ∞ (Bj+1 ), während das H olderschen Satz 4.2.6 aus C 2 (Bj+1 ) mittlere wegen ζf ∈ Cb (Bj ) nach dem H¨ urde ist. Wenn wir w¨ ußten, daß u fast u ¨berall auf Bj beschränkt ist, so w¨ aus Satz 4.2.4 folgen, daß das erste Integral in (10.32) aus C 1 (RN ) ist. Mit dieser Information w¨ are dann aber ζau ∈ CbH (Bj ), mithin die rechte Seite von 2 (10.32) aus C (Bj+1 ) und damit nach Lemma 10.3.1 alles bewiesen. Es gen¨ ugt also zu zeigen, daß man zu jedem x ∈ Ω eine x umgebende Kugel finden kann, auf der u fast u ankt ist. Betrachten wir (10.32) ¨berall beschr¨ , so sind das zweite und das dritte Integral auf einer Kugel Bj+1 ⊂⊂ Bj+1 dort beschr¨ ankt. Das erste Integral k¨ onnen wir gemäß Bemerkung 4.1.3 a) absch¨ atzen. F¨ ur alle γ ∈ (0, 1) und f¨ ur jedes j ∈ N existiert also ein aj > 0, so daß f¨ ur fast alle x ∈ Bj+1 |u(y)| |u(x)| ≤ aj dy + 1 (10.33) N −(2−γ) Bj |x − y|

ausf¨ allt. Wir w¨ ahlen γ irrational, um sicherzustellen, daß N − j(2 − γ) = 0 ist f¨ ur alle j ∈ N, und behaupten, daß es f¨ ur jedes j ∈ N ein bj > 0 gibt, so daß f¨ ur fast alle y ∈ Bj+1 im Falle N − j(2 − γ) > 0 |u(z)| dz + 1 (10.34) |u(y)| ≤ bj N −j(2−γ) B1 |y − z| und im Falle N − j(2 − γ) < 0

|u(y)| ≤ bj B1

|u(z)| dz + 1

(10.35)

326


gilt. Der Induktionsanfang ist mit j = 1 in (10.33) gemacht. Sei also j ∈ N eine Zahl, f¨ ur die (10.34) besteht (im Fall (10.35) ist nichts mehr zu beweisen). F¨ ur alle x ∈ Bj+2 folgt daher aus (10.33) ' bj |u(z)| dz + 1 dy + 1 |u(x)| ≤ aj+1 N −(2−γ) N −j(2−γ) Bj+1 |x − y| B1 |y − z| dy = aj+1 bj |u(z)| dz N −(2−γ) |y − z|N −j(2−γ) B1 Bj+1 |x − y| dy + aj+1 bj +1 . (10.36) N −(2−γ) Bj+1 |x − y| Im Falle N − (j + 1)(2 − γ) > 0 kann das innere Integral in (10.36) nach Aufgabe 10.11 a) durch cj |x − z|2−γ−N +j(2−γ)−N +N abgesch¨ atzt werden, w¨ ahrend das zweite Integral ≤ dj ist; cj und dj hängen außer von j nur noch von N und γ ab. Die Ungleichung (10.34) besteht daher auch f¨ ur j + 1. Ist N − (j + 1)(2 − γ) < 0, so ist das innere Integral in (10.36) nach Aufgabe 10.11 b) beschr¨ ankt, und wir haben Relation (10.35) mit j + 1 anstelle von j erreicht. Die schwache L¨ osung ist daher fast u ¨berall auf der Kugel Bj+1 beschränkt, sobald j > N/(2 − γ) ist. In Kombination mit dem Hopfschen Satz 9.2.5 bzw. Aufgabe 9.2 ergibt sich Korollar 10.3.11. Sind a, f ∈ C n,α (Ω) (s. (9.1)) f¨ ur ein n ∈ N0 und α ∈ osung aus (0, 1), so ist jedes u ∈ L1loc (Ω) mit der Eigenschaft (10.31) einer L¨ aquivalent. Insbesondere ist also im Falle a, f ∈ C ∞ (Ω) u einer C n+2,α (Ω) ¨ aquivalent. L¨ osung aus C ∞ (Ω) ¨ ¨ Bemerkung 10.3.12. Ohne gr¨ oßere Anderung der Beweise von Lemma 10.3.5 und Satz 10.3.10 k¨ onnte man auch Terme mit Ableitungen erster Ordnung einbeziehen. Will man aber Aussagen u ¨ber die Regularität schwacher Lösungen der allgemeinen elliptischen Gleichung −

N

i,k=1

aik uxi xk +

N

ai uxi + au = f

i=1

machen, so empfiehlt sich die Ben¨ utzung der Parametrix aus Bemerkung 9.2.2 anstelle der Singularit¨ atenfunktion f¨ ur den Laplaceoperator. Dies hat Wienholtz in [107, S. 189–196] ausgef¨ uhrt.


327

Schwache L¨ osungen, deren Existenz aus Satz 10.2.13 oder aus Satz 10.2.18 gefolgert wird, sind mit verallgemeinerten Ableitungen erster Ordnung ausgestattet. Die Formulierung der zugrunde liegenden Differentialgleichung beinhaltet jedoch zweite Ableitungen. Es liegt daher nahe, auch noch einen anderen Typus als den klassischer innerer Regularität zu untersuchen. Als Spezialfall eines Satzes von J. Kadlec [128] erwähnen wir hier nur folgendes Resultat: Ist Ω ⊂⊂ RN konvex und f ∈ L2 (Ω), so ist die nach Satz 10.2.13 existierende Funktion u ∈ H01 (Ω) mit D(u, ϕ) = f, ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) aus H 2 (Ω). F¨ ur einen Beweis verweisen wir auf [314], wo man weitere Hinweise auf die umfangreiche Literatur findet. Zum Abschluß dieses Abschnitts zeigen wir noch, wie Satz 10.3.10 zur Behandlung eines anderen Problems herangezogen werden kann. Während die Arbeiten von Friedrichs wesentlich durch die Funktionenräume aus Definition 10.2.7 bestimmt sind, betrachtet Sobolev in [313] zu vorgegebenem m ∈ N ur alle Multiindizes μ der Ordnung m zun¨ achst Funktionen u ∈ L1 (Ω), die f¨ eine in Lp (Ω) liegende schwache μ-te Ableitung haben. Solche Funktionen m¨ ussen nicht notwendig schwache Ableitungen niedriger Ordnung besitzen. Um die Funktionenr¨ aume, die sich aus den verschiedenen Zugängen von Friedrichs (starke Ableitungen) und Sobolev (schwache Ableitungen) ergeben, besser miteinander vergleichen zu k¨ onnen, schließen wir anders als Sobolev, aber wie heute in der Literatur u ¨blich [2, 3.2], die Existenz sämtlicher Ableitungen der Ordnung ≤ m in die Definition mit ein. Definition 10.3.13. Es seien Ω ⊆ RN offen und nichtleer, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. Mit W m,p (Ω) werde die Menge bzw. der Vektorraum aller ur alle Multiindizes μ mit |μ| ≤ m eine schwache u ∈ Lp (Ω) bezeichnet, die f¨ μ-te Ableitung wμ (u) ∈ Lp (Ω) besitzen. Versehen mit der Norm · m,p aus (10.10), wird W m,p (Ω) zu einem Banachraum. Im Falle p = 2 wird diese Norm in nat¨ urlicher Weise von einem Skalarprodukt ·, ·m,2 erzeugt, mit welchem W m (Ω) := W m,2 (Ω) zu einem Hilbertraum wird. Den Definitionen 10.2.7 und 10.3.13 (inklusive der nach Definition 10.2.7 begr¨ undeten Bemerkung, daß starke Ableitungen auch schwache Ableitungen sind) entnimmt man sofort die Inklusion H m,p (Ω) ⊆ W m,p (Ω). Satz 10.3.14. Es sei Ω ⊆ RN offen und nichtleer. Dann gilt H 1 (Ω) = W 1 (Ω). Beweis. Zu w ∈ W 1 (Ω) existieren aufgrund des Zerlegungssatzes (10.18) eindeutig bestimmte Elemente v ∈ H 1 (Ω) und u ∈ H 1 (Ω)⊥ mit w = v + u.

328


F¨ u r alle ϕ ∈ C c∞ (Ω) ⊆ H 1 (Ω) gilt − Ω uϕxi = Ω wi (u)ϕ und somit auch − Ω uϕxi xi = Ω wi (u)ϕxi , mithin N uϕ + i=1 wi (u)ϕxi = u(1 − Δ)ϕ . 0 = u, ϕ1,2 = Ω

Ω

Nach Satz 10.3.10 (oder Aufgabe 10.12 in Verbindung mit Aufgabe 2.11 b)) aquivalent und damit auch u ∈ H 1 (Ω). ist u einer Funktion aus C ∞ (Ω) ¨ T. Kasuga [132] zeigte auf diese Weise allgemein H m,p (Ω) = W m,p (Ω)

(10.37)

f¨ ur p = 2; die Idee, den Zerlegungssatz zu ben¨ utzen, entnahm er der Arbeit [217]. F¨ ur beliebiges p ≥ 1 wurde dann (10.37) von N.G. Meyers und J. Serrin [201] mit einer Zerlegung der Eins wie in Satz A.13 bewiesen. Es war ihnen unbekannt, daß J. Deny und J.L.Lions eine solche Zerlegung der Eins bereits benutzt hatten, um die Dichtheit der C ∞ (Ω)-Funktionen in einem etwas allgemeineren Raum als H m,p (Ω) zu zeigen [48, Théorème 2.3].

10.4 Randregularit¨ at fu osungen verallgemeinerter ¨ r L¨ Dirichletprobleme Wir wollen die Frage, unter welchen Voraussetzungen die Lösung eines verallgemeinerten Dirichletproblems (s. Definition 10.2.9 bzw. (10.17)) auch klassische L¨ osung des zugeh¨ origen Dirichletproblems ist, am Beispiel des Operators L = −Δ+a diskutieren. Es sei daran erinnert, daß im Falle Ω ⊂⊂ RN die Existenz von L¨ osungen des verallgemeinerten Dirichletproblems f¨ ur beschränkte und meßbare a ≥ 0 bereits aus Satz 10.2.18 und Lemma 10.2.14 folgt. Nimmt a auch negative Werte an, so vermittelt die Fredholmsche Alternative (vgl. Bemerkung 10.2.19) Kriterien, welche die Existenz von Lösungen gewährleisten. Sei nun u ∈ H 1 (Ω) mit ∇u · ∇ϕ + auϕ = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ; u − g ∈ H01 (Ω) Ω

Ω

zu vorgegebenen f ∈ L2 (Ω) und g ∈ H 1 (Ω). Approximation von u durch eine Folge (un ) in C ∞ (Ω) mit u − un 1,2 →

0 und Anwendung partieller Integration im Sinne von Bemerkung A.1 auf Ω ∇un · ∇ϕ ergibt unmittelbar, daß u schwache L¨ osung von −Δu + au = f ist (s. Definition 10.2.3), d.h. u(−Δϕ + aϕ) = f ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme

329

Wir k¨ onnen somit die Ergebnisse aus Abschnitt 10.3 zur inneren Regularität schwacher L¨ osungen anwenden. So folgt zum Beispiel aus Satz 10.3.10 f¨ ur offene Ω ⊆ RN und a, f ∈ C H (Ω), daß u klassische Lösung von −Δu+au = f in Ω ist. Das zentrale Thema des gegenw¨ artigen Abschnitts ist jedoch die Randregularit¨ at der L¨ osung, d.h. die Frage, ob u auf ganz Ω stetig fortsetzbar ist und ob gegebenenfalls u auf ∂Ω mit dem Randdatum g u ¨bereinstimmt. ˇˇ V.A. Il’in und I.A. Si smarev [127] zeigen – endlich, wie der Referent im Zentralblatt f¨ ur Mathematik 98, 302, 1963 schreibt –, daß die Lösung aus Satz 10.2.18 mit g = 0 unter minimalen Voraussetzungen an die Koeffizienten und an ∂Ω auch eine klassische L¨ osung ist. Es war eine Motivation f¨ ur die Arbeit von Giesecke, den dabei verwendeten komplizierten Ausschöpfungsprozeß von Ω durch glattere Gebiete zu vermeiden. Wir beschr¨ anken uns hier zun¨ achst auf den Fall der Poissongleichung (a = 0) und zeigen, wie mit Hilfe von Satz 10.2.12, dessen Beweis ja gerade auf dem Satz von Giesecke fußte, die Randregularität f¨ ur Lösungen des verallgemeinerten Dirichletproblems nachgewiesen werden kann. Satz 10.4.1. Jeder Randpunkt der nichtleeren Menge Ω ⊂⊂ RN sei regul¨ ar (s. Definition 3.3.8). Es sei f ∈ CbH (Ω) (s. Definition 4.1.5), und ulle Ω |∇g|2 < ∞. Dann hat die (nach Satz 10.2.13 g ∈ C 1 (Ω) ∩ C 0 (Ω) erf¨ und Lemma 10.2.14 existierende) L¨ osung u ∈ H 1 (Ω) des verallgemeinerten Dirichletproblems D(u, ϕ) = f, ϕ


u − g ∈ H01 (Ω)

einen Repr¨ asentanten aus C 0 (Ω), der auf ∂Ω gleich g ist. Beweis. Die Perronsche Methode garantiert nach Satz 3.3.9 in Kombination mit dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 (s. auch Bemerkung 4.2.8) die Existenz (genau) einer Funktion v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) mit −Δv = f in Ω ,

v = g auf ∂Ω .

Nach Satz 10.2.12 ist v eine L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems. Dieses besitzt nach Satz 10.2.13 genau eine Lösung u, da Voraussetzung (A) nach Lemma 10.2.14 erf¨ ullt ist. Also ist v ein Repräsentant von u. Ein Randpunkt, der regul¨ ar f¨ ur den Laplaceoperator ist, ist es unter gewissen Voraussetzungen an die Koeffizienten auch f¨ ur die allgemeine elliptische Differentialgleichung 2. Ordnung. Im Falle einer Gleichung in Divergenzform bewiesen dies Littman, Stampacchia und Weinberger [196] f¨ ur meßbare und beschr¨ ankte Koeffizienten, wobei eine L¨ osung dann nat¨ urlich im schwachen Sinne zu verstehen ist. Satz 10.4.1 kann auch als Spezialfall dieses sehr allgemeinen Resultates aufgefaßt werden. Man kann es als einen Nachteil des Beweises von Satz 10.4.1 ansehen, daß die Resultate von Abschnitt 3.3 in vollem Umfang ben¨ utzt werden. Dies

330


kann man vermeiden, indem man Teile der Perronschen Methode f¨ ur H 1 (Ω)Funktionen neu darstellt [307]. Ein anderer Weg wird in [118] beschritten. Dort wird die Auswahl einer Minimalfolge mit dem Balayage-Verfahren verkn¨ upft, was an das in der Bemerkung nach Satz 10.5.4 erwähnte Vorgehen von Zaremba erinnert. Auch bei diesen Zug¨ angen ergibt sich jedoch das folgende vielleicht etwas kurios anmutende Bild. Zwar kann durch den Einsatz einfacher funktionalanalytischer Hilfsmittel die Existenz von Lösungen verallgemeinerter Dirichletprobleme auf elegantem Wege hergeleitet werden; ist man jedoch an klassischen L¨ osungen interessiert, so werden zumindest f¨ ur den Nachweis der Randregularit¨ at Ideen verwendet, wie sie f¨ ur den Existenzbeweis klassischer L¨ osungen entwickelt wurden. Etwas anders gestaltet sich die Situation, wenn man die Frage der Randregularit¨ at mit Hilfe der Sobolevschen Einbettungssätze angeht. Dieser Zugang basiert auf einer Arbeit von Friedrichs [76], in der er in sehr allgemeinen F¨ allen innere Regularit¨ at beweisen konnte, indem er zeigte, daß die Lösung lokal f¨ ur gen¨ ugend großes m in H m (Ω) lag. Nirenberg [237] beweist dies global, indem er die Gl¨ attungsoperatoren durch Differenzenapproximationen ersetzt, ein Kunstgriff, den, wie am Ende von Abschnitt 9.2 erwähnt, Lichtenstein zur Regularit¨ atsverbesserung verwendet hatte. Ein Sobolevscher Einbettungssatz liefert dann Regularit¨ at bis zum Rande. Die Methode liefert dimensionsabh¨ angige und daher keine scharfen Resultate, aber sie ist sehr allgemein verwendbar. Man findet sie in [64, 6.3.2] und [66, Ch. 7 F] dargestellt. Wir beschließen diesen Abschnitt, indem wir wie angek¨ undigt Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme zu dem Differentialausdruck −Δ + a beweisen. Hierbei wird wiederum von den Ergebnissen der klassischen Theorie f¨ ur den Laplaceoperator Gebrauch gemacht, die wir in den Kapiteln 3 und 4 behandelt haben. Genauer gesagt, wird die Greensche Funktion G zum Laplaceoperator, deren Existenz die Perronsche Methode liefert, dazu ben¨ utzt, um stetige Annahme der Randwerte zu zeigen. Die Argumentation ist ganz a ur Satz 10.3.10. ¨hnlich wie die f¨ aßige ¨ außere Kugeleigenschaft, (s. Satz 10.4.2. Ω ⊂⊂ RN habe die gleichm¨ asenSatz 4.6.2), und es seien a, f ∈ CbH (Ω). g ∈ H 1 (Ω) besitze einen Repr¨ tanten, dessen schwache Ableitungen 1. Ordnung beschr¨ ankt sind und der zu einer Funktion aus C 0 (Ω) fortsetzbar ist. Dann hat jede Funktion u ∈ H 1 (Ω) mit den Eigenschaften (∇u · ∇ϕ + auϕ) = f, ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) , (10.38) Ω

u − g ∈ H01 (Ω)

(10.39)

einen Repr¨ asentanten aus C 0 (Ω), der auf ∂Ω mit g u ¨bereinstimmt. Beweis. Nach Satz 4.4.3 existiert die Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator.

10.4 Randregularit¨ at f¨ ur L¨ osungen verallgemeinerter Dirichletprobleme

1. Wir zeigen zun¨ achst, daß durch g0 (x) := g(x) + G(x, y)f (y) dy − ∇y G(x, y) · ∇g(y) dy Ω

331

(10.40)

Ω

eine Funktion aus C 0 (Ω) definiert wird und u f¨ ur fast alle x ∈ Ω der Integralgleichung (10.41) u(x) = g0 (x) − G(x, y)a(y)u(y) dy Ω

gen¨ ugt. Der mittlere Term in (10.40), das Greenpotential zu Ω und f , ist nach Satz ur den rechten Term ist zu beachten, daß wir aufgrund 4.4.7 a) aus C 0 (Ω). F¨ der Relation (4.31) (die der Symmetrie der Greenschen Funktion entspringt) und der Ungleichung (4.25) die Absch¨ atzung |∇y G(x, y)| ≤ const |x − y| 2 −N 1

(10.42)

haben, so daß f¨ ur ihn der Beweis von Satz 4.4.7 a) in Kraft bleibt. Ferner beobachten wir, daß das Integral in (10.41) nach Tonelli-Fubini f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert, denn aufgrund von Lemma 4.4.4 existiert ja |a(y)u(y)| |G(x, y)| dx dy . Ω

Ω

Sei nun ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Aufgrund der Symmetrie der Greenschen Funktion k¨ onnen wir Satz 4.4.7 auf G(x, y)ϕ(x) dx , y ∈ Ω , φ(y) := Ω

anwenden, demzufolge φ ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) ist und die Eigenschaft − Δφ = ϕ

in Ω

(10.43)

besitzt. Ferner ist nat¨ urlich φ(y) = 0 f¨ ur y ∈ ∂Ω. Da ∇φ nach Aufgabe 4.7 beschr¨ ankt ist, erhalten wir mit Lemma 10.2.11 die Information φ ∈ H01 (Ω), was es uns gestattet, φ in (10.38) einzusetzen. Bezeichnen wir die rechte Seite von (10.41) mit v(x), so erhalten wir durch Vertauschung der Integrationsreihenfolge vϕ = gϕ + fφ − ∇g(y) ∇y G(x, y)ϕ(x) dx dy − auφ , Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

wobei sich die Integrierbarkeit von |∇y G(·, y)| aus (10.42) ergibt. Da wir nach Aufgabe 4.7 Differentiation und Integration vertauschen d¨ urfen, ergibt sich

332


vϕ =

(f − au)φ −

gϕ + Ω

Ω

=

Ω

∇g · ∇φ Ω

∇(u − g) · ∇φ ,

gϕ + Ω

Ω

wobei wir (10.38), ausgedehnt auf H01 (Ω)-Funktionen, verwendet haben. Wegen (10.39) kann u − g durch eine Folge (ϕn ) aus Cc∞ (Ω) in der · 1,2 -Norm approximiert werden. Partielle Integration (s. Bemerkung A.1) und Relation (10.43) liefern nun ∇(u − g) · ∇φ = lim ∇ϕn · ∇φ = − lim ϕn Δφ n→∞ Ω n→∞ Ω Ω = lim ϕn ϕ = (u − g)ϕ n→∞

und damit

Ω

Ω

vϕ = Ω

uϕ , Ω

was mit Satz A.11 b) die G¨ ultigkeit von (10.41) f¨ ur fast alle x ∈ Ω beweist. 2. Da g0 ∈ C 0 (Ω) ist und die Greensche Funktion nach Lemma 4.4.4 durch die Singularit¨ atenfunktion abgesch¨ atzt werden kann, folgt aus (10.41) und (10.42), daß es zu jedem γ ∈ (0, 1) eine allein von γ, Ω, a, f und g abh¨ angende Zahl c > 0 mit |x − y|2−γ−N |u(y)| dy |u(x)| ≤ c 1 + Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω gibt. Durch Iteration dieser Ungleichung kann die Singularit¨ at im Integranden abgebaut werden, wie wir dies am Ende des Beweises von Satz 10.3.10 ausf¨ uhrlich dargelegt haben, und es ergibt sich schließlich, daß u fast u ankt ist. Mit dieser Information sagt uns Satz 4.4.7 a), ¨berall auf Ω beschr¨ ur daß auch der rechte Term in (10.41) aus C 0 (Ω) ist. Wegen G(·, y)|∂Ω = 0 f¨ ur y ∈ Ω folgt, ist die rechte Seite von y ∈ Ω, woraus auch ∇y G(·, y)|∂Ω = 0 f¨ (10.41) auf ∂Ω gleich g. Unter milden Voraussetzungen an die Koeffizienten der allgemeinen linearen elliptischen Gleichung 2. Ordnung bewies Wienholtz im Falle ∂Ω ∈ C 3 in [107, S. 174–185] stetige Annahme der Randwerte, wobei er eine Parametrix verwandte, die auf einer Hyperebene Null ist.

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips Mit dem Dirichletschen Prinzip wurde der Wunsch ausgesprochen, die Lösung u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 0 (Ω) des Problems − Δu = 0 in Ω ,

u = g auf ∂Ω ,

(10.44)

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips

333

durch Minimierung des Integrals |∇u|2

D(u) =

(10.45)

Ω

zu gewinnen. Die Beispiele von Prym und Hadamard (s. Aufgabe 3.20) belegten, daß es selbst bei glattem Ω ⊂⊂ RN einer u ¨ber die Stetigkeit von g : ∂Ω → R hinausgehenden Voraussetzung bedarf, um u ¨berhaupt die Existenz des Integrals (10.45) sicherzustellen. Mit Satz 10.2.13 und Lemma 10.2.14 hatten wir gesehen, daß das Dirichletproblem in der schwachen Formulierung von Definition 10.2.9, in die die Existenz des Dirichletintegrals eingearbeitet war, f¨ ur Ω ⊂⊂ RN genau eine Lösung besaß. Wir wollen nun einen Beweis des Spezialfalls f = 0 von Satz 10.2.13 geben, bei dem die L¨ osung als die das Dirichletintegral minimierende Funktion erscheint. Basis dieses Beweises ist die nachfolgende Ungleichung (10.46), die von Beppo Levi stammt [181, p. 330 f.]; sie zeigt, daß jede Minimalfolge ur das Dirichletinte f¨ gral eine Cauchyfolge in der Norm oder Halbnorm D(·) ist. Lemma 10.5.1. Es sei V Vektorraum u ¨ber R und b : V × V → R eine symmetrische Bilinearform. Wenn es eine Menge S ⊆ V mit den Eigenschaften su + tv ∈ S f¨ ur alle s, t ∈ R mit s + t = 0 , s+t (ii) es gibt ein d ≥ 0 mit b(u) := b(u, u) ≥ d f¨ ur alle u ∈ S

(i) u, v ∈ S ⇒

gibt, so gilt [b(u − v)]1/2 ≤ [b(u) − d]1/2 + [b(v) − d]1/2

f¨ ur alle u, v ∈ S . (10.46)

Beweis. Wir zeigen [b(u, v) − d]2 ≤ [b(u) − d][b(v) − d] .

(10.47)

Hieraus folgt dann sofort

[b(u) − d]1/2 + [b(v) − d]1/2

2

− b(u − v)

= b(u) + b(v) − 2d − [b(u) + b(v) − 2b(u, v)] + 2[b(u) − d]1/2 [b(v) − d]1/2 ≥ 2(|b(u, v) − d| + b(u, v) − d) ≥ 0 . ≥ d, also f¨ ur alle s, t ∈ R F¨ ur s + t = 0 haben wir b su+tv s+t 0 ≤ b(su + tv) − (s + t)2 d = s2 [b(u) − d] + 2st[b(u, v) − d] + t2 [b(v) − d] . Folglich ist die Diskriminante dieser quadratischen Form in s und t nichtnegativ, d.h. es gilt (10.47).

334


F¨ ur offenes Ω ⊆ RN und u, v ∈ H 1 (Ω) setzen wir wie fr¨ uher D(u, v) = ∇u · ∇v , D(u) = D(u, u) . Ω

Satz 10.5.2 (Das Dirichletsche Prinzip). Es seien Ω ⊆ RN eine nichtleere offene Menge, g ∈ H 1 (Ω), und es sei die Voraussetzung (A) auf Seite ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω). 310 erf¨ ullt, d.h. es gibt ein C > 0 mit ϕ2 ≤ CD(ϕ) f¨ 1 Dann gibt es genau ein u ∈ H (Ω) mit D(u, ϕ) = 0


u − g ∈ H01 (Ω) .

(10.48)

Es ist u die einzige Minimumstelle des Dirichletintegrals D(·), eingeschr¨ ankt auf die Menge S := {w ∈ H 1 (Ω) : w − g ∈ H01 (Ω)}, also D(u) = min D(v) . v∈S

Beweis. Aufgrund der Voraussetzung (A) ist D(·) eine Norm auf H01 (Ω), die zu der Norm · 1,2 = [ · 2 + D(·)]1/2 ¨ aquivalent ist (s. Seite 310). a) Zum Nachweis der Eindeutigkeit brauchen wir nur zu zeigen, daß jedes v ∈ H01 (Ω) mit D(v, ϕ) = 0


fast u ¨berall auf Ω gleich Null ist. Dazu betrachten wir eine Folge (vj ) aus Cc∞ (Ω) mit D(vj − v) → 0. Aus D(v) = D(v, v − vj ) folgt dann D(v) = 0, mithin v = 0 fast u ¨berall auf Ω. b) Das Dirichletintegral ist stets ≥ 0 und somit existiert d := inf v∈S D(v). Es gibt dann eine Folge (uj ) in S mit limj→∞ D(uj ) = d. Wegen Lemma 10.5.1 ist [D(uj − g − (uk − g))]1/2 ≤ [D(uj ) − d]1/2 + [D(uk ) − d]1/2 , so daß durch vj := uj − g eine Cauchyfolge in (H01 (Ω), D(·)) definiert wird. Sei v ihr Grenzelement. Dann ist u := v + g aus S und aufgrund der Stetigkeit des Skalarprodukts D(u) = D(v + g) = lim D(vj + g) = d . j→∞

Sei nun ϕ ∈ Cc∞ (Ω). F¨ ur h ∈ R wird dann durch f (h) := D(u + hϕ) = D(u) + h2 D(ϕ) + 2hD(u, ϕ) eine differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft f (h) ≥ f (0) definiert. Also ist f (0) = 0, womit auch (10.48) bewiesen ist.

10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips

335

Die Beweismethoden f¨ ur Satz 10.2.13 und Satz 10.5.2, der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz und die Verwendung einer Minimalfolge, sind eng miteinander verwandt. Zwei g¨ angige Beweise des Darstellungssatzes – sie stammen beide von Riesz [287] – beruhen auf der L¨ osbarkeit einer Variationsaufgabe: Man beweist, daß |l(w)| auf w = 1 ein Maximum besitzt, oder zeigt, daß es ein z0 = 0 gibt, welches auf dem Nullraum N (l) des linearen Funktionals l senkrecht steht, was auf den Nachweis hinausläuft, daß minw∈N (l) v0 − w / N (l) existiert, also der Projektionssatz gilt. f¨ ur v0 ∈ Der Darstellungssatz von Fréchet-Riesz l¨ aßt aber eine weitergehende Verallgemeinerung zu als das Dirichletsche Prinzip. Minimiert nämlich u ∈ C 2 (Ω) die quadratische Form B(v) :=

N Ω

i,k=1

aik vxi vxk +

N

ai vxi v + av 2 ,

i=1

so gilt f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) mit f (h) := B(u + hϕ) 0 = f (0) =

N Ω

i,k=1

aik (uxi ϕxk + uxk ϕxi ) +

N

ai (uxi ϕ + uϕxi ) + 2auϕ ,

i=1

d.h. es ist −

N

i,k=1

2 1 N

∂u(x) ∂ ∂ai (x) (aik (x) + aki (x)) + 2a(x) − u(x) = 0 . ∂xk ∂xi ∂xi i=1

u ist also L¨ osung einer speziellen linearen Differentialgleichung 2. Ordnung, n¨ amlich einer, die Divergenzstruktur (vgl. Bemerkung 3.7.5) besitzt. Wir hatten jedoch gesehen, daß das Lemma von Lax-Milgram, Lemma 10.2.16, welches auf dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz basiert, Bilinearformen zu behandeln gestattet, die von einer allgemeinen (nat¨ urlich elliptischen) linearen Differentialgleichung 2. Ordnung herr¨ uhren. Bemerkung 10.5.3. Erw¨ ahnt sei folgende Beweisvariante f¨ ur Satz 10.5.2. Ist (uj ) Minimalfolge und vj := uj − g, so gilt D(vj − vk ) = D(uj − uk ) ≤ D(uj − uk )4 [D ((uj + uk )/2) − d] = D(uj − uk ) + D(uj + uk ) − 4d = 2[D(uj ) + D(uk )] − 4d , so daß (vj ), wie gew¨ unscht, Cauchyfolge ist. Dieser Beweis ist ganz ähnlich einem Beweis des Projektionssatzes [337, S. 194 f.]. Wir stellen nun die Verbindung zu Zarembas transformiertem Dirichletproblem [353, 355] her, das wir am Ende von Abschnitt 10.1 erwähnt haben. Dabei w¨ ahlen wir eine etwas abstraktere Version, welche das verallgemeinerte

336


Dirichletproblem durch orthogonale Projektion löst (vgl. Satz 10.5.4) und die in ihrem wesentlichen Gehalt von Nikodym [235] stammt. Hierbei benötigen wir eine etwas allgemeinere Version des Projektionssatzes f¨ ur Hilberträume, die der Tatsache Rechnung tr¨ agt, daß das Dirichletintegral D zumindest im Fall beschr¨ ankter Ω keine Norm auf H 1 (Ω) darstellt, da aus D(u) = 0 nur folgt, daß u lokal konstant ist (s. Aufgabe 10.7). Seien also Ω ⊂⊂ RN , V := H 1 (Ω) und W := H01 (Ω), und es bezeichne D : V × V → R das Dirichletintegral, das eine positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform auf V darstellt. Allerdings gilt wegen Lemma 10.2.14 die Bedingung (A), und (W, D|W ×W ) ist Hilbertraum. In dieser Situation gilt der Zerlegungssatz ur alle w ∈ W } V = W ⊕ W ⊥ mit W ⊥ := {z ∈ V : D(z, w) = 0 f¨ (vgl. Aufgabe 10.13). Zerlegt man entsprechend g ∈ H 1 (Ω), so ist der Anteil osung des verallgemeinerten Dirichletproblems, da ja D(u, ϕ) = 0 u in W ⊥ L¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt und da g − u ∈ f¨ ur alle ϕ ∈ W = H01 (Ω) und somit f¨ 1 onnen wir die L¨ osung u als orthogonale Projektion von W = H0 (Ω). Zudem k¨ ur alle h ∈ g auf W ⊥ interpretieren, da u − g ∈ W und somit D(u − g, h) = 0 f¨ onnen wir den Raum W ⊥ noch besser charakterisieren. W ⊥ gilt. Schließlich k¨ Zun¨ achst gilt W ⊥ = Cc∞ (Ω)⊥ , wobei die nichttriviale Inklusion Cc∞ (Ω)⊥ ⊆ ⊥ ∞ 1 ¨ W aus der Dichtheit von Cc (Ω) in H0 (Ω), der Aquivalenz der Normen D(·) und ·1,2 und aus der Schwarzschen Ungleichung (s. Aufgabe 10.13 a)) folgt. ur alle h ∈ H 1 (Ω) und ϕ ∈ Cc∞ (Ω) die Relation D(h, ϕ) =

Zudem gilt f¨ − Ω hΔϕ (man approximiere h durch C ∞ -Funktionen und wende Bemerkung A.1 an). Mit Satz 10.3.2 ergibt sich daher hΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω)} H01 (Ω)⊥ = {h ∈ H 1 (Ω) : Ω

= {h ∈ H (Ω) : h besitzt einen harmonischen Repräsentanten} . 1

¨ Wir fassen unsere Uberlegungen zusammen: Satz 10.5.4. Es seien Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge und g ∈ H 1 (Ω). Dann gibt es genau ein u ∈ H 1 (Ω) mit D(u, ϕ) = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ;

u − g ∈ H01 (Ω) .

Es ist dies die orthogonale Projektion von g auf 1 ⊥ 1 H0 (Ω) = {h ∈ H (Ω) : hΔϕ = 0 f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω)} , Ω

den Raum der harmonischen Funktionen mit endlichem Dirichletintegral. Nachdem die Existenz einer L¨ osung des verallgemeinerten Dirichletproblems durch das Dirichletsche Prinzip nachgewiesen ist, wenden wir uns der

10 Aufgaben

337

Frage zu, unter welchen Bedingungen an g und Ω gezeigt werden kann, daß diese L¨ osung auch klassische L¨ osung von (10.44) ist. Die Harmonizität eines Repr¨ asentanten von u folgt bereits aus Satz 10.3.2, da, wie oben begr¨ undet,

ur alle u ∈ H 1 (Ω) und ϕ ∈ Cc∞ (Ω) gilt. Es verbleibt das D(u, ϕ) = − Ω uΔϕ f¨ Problem zu diskutieren, ob dieser Repr¨ asentant von u auf Ω stetig fortgesetzt werden kann und dort mit dem vorgegebenen Randdatum u ¨bereinstimmt. F¨ ur sein transformiertes Dirichletproblem zeigte Zaremba dies in jedem Punkt von ∂Ω, der einer ¨ außeren Kegelbedingung gen¨ ugt, wobei er sich des Balayage-Verfahrens von Poincaré bediente [353]. F¨ ur die Lösung des ebenfalls noch mit klassischen Ableitungen formulierten Dirichletschen Prinzips wird in [46, S. 495 ff.] f¨ ur N = 2 ein Beweis gegeben, wenn die Randkurve stetig ist, w¨ ahrend Kamke und Lorentz [130] recht allgemeine Ω ⊂⊂ RN zulassen. Lax beweist stetige Annahme des Randwertes f¨ ur die Lösung von Satz 10.5.4, wenn der Rand von Ω ⊂⊂ R2 die gleichmäßige innere und äußere Kugeleigenschaft besitzt [168]. Wir k¨ onnen zur Beantwortung der Frage nach der Randregularität nat¨ urlich unseren Satz 10.4.1 heranziehen. Dieser garantiert, daß die Lösungen aus Satz 10.5.2 schon einen Repr¨ asentanten in C 0 (Ω) besitzt, der auf ∂Ω mit g u von Ω ⊂⊂ RN regulär ist und g ∈ ¨bereinstimmt, falls jeder Randpunkt

1 0 2 ugt. C (Ω) ∩ C (Ω) der Bedingung Ω |∇g| < ∞ gen¨ Wir schließen mit einer Bemerkung, die Aufschluß dar¨ uber gibt, ob zu einer auf ∂Ω definierten Funktion eine Fortsetzung in H 1 (Ω) existiert. Bemerkung 10.5.5. Von Aronszajn [7] stammt der Satz, daß etwa unter der Voraussetzung ∂Ω ∈ C 1 eine Funktion G ∈ L2 (∂Ω) genau dann eine Fortsetzung g ∈ H 1 (Ω) besitzt, wenn |G(x) − G(y)| dS(x) dS(y) < ∞ (10.49) |x − y|N ∂Ω ∂Ω ist. (Dieser Raum wird in der Literatur meist mit H 1/2 (∂Ω) bezeichnet.) Ist Ω die Einheitskreisscheibe E und G ∈ L2 (0, 2π), so gilt (10.49) genau dann, wenn die Fourierkoeffizienten (ak ), (bk ) von G die Eigenschaft ∞

k(a2k + b2k ) < ∞

(10.50)

k=1

besitzen (s. [203, S. 351 ff.]) – in Einklang mit dem in Aufgabe 3.20 behandelten Hadamardschen Gegenbeispiel. Einen direkten Beweis, daß G ∈ L2 (0, 2π) genau dann eine Fortsetzung g ∈ H 1 (E) besitzt, wenn (10.50) besteht, findet man in [204, pp. 200–203].

Aufgaben 10.1. Sei Ω ⊆ RN offen. F¨ ur l ∈ N sei fl ∈ C 0 (Ω) und ul ∈ C 2 (Ω) eine Funktion mit −Δul = fl in Ω. Man zeige:

338


a) Sind (ul ), (fl ) in Ω lokal gleichm¨ aßig konvergent mit Grenzfunktion u bzw. f , so ist u schwache L¨ osung von −Δu = f . b) Ist zus¨ atzlich Ω beschr¨ ankt und gilt Hα;Ω (fk − fl ) → 0

f¨ ur k, l → ∞

f¨ ur ein α ∈ (0, 1) (s. Definition 5.3.1), so ist u klassische Lösung. 10.2. Es seien Ω ⊂⊂ RN , S die Singularit¨ atenfunktion des Laplaceoperators, ur fast alle x ∈ Ω das Integral i ∈ {1, . . . , N } und f ∈ L1 (Ω). Man zeige, daß f¨ vi (x) := Sxi (x, y)f (y) dy Ω

existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) definiert, die schwache Ableitung des Newtonpotentials v aus Satz 10.2.5 bez¨ uglich der Variablen xi ist, d.h. es gilt vϕxi = − vi ϕ f¨ ur alle ϕ ∈ Cc∞ (Ω) . Ω

Ω

atenfunktion zu −Δ+1 (s. Definition 10.3. Sei Ω ⊆ RN offen, S die Singularit¨ 4.9.1) und f ∈ L1 (Ω). Man zeige, daß v(x) := S(x, y)f (y) dy Ω

f¨ ur fast alle x ∈ Ω existiert und eine Funktion aus L1 (Ω) definiert, die schwache L¨ osung von (−Δ + 1)u = f ist. 10.4. Sei Ω ⊆ RN offen, m ∈ N und 1 ≤ p < ∞. a) Man zeige, daß Ccm (Ω) in H0m,p (Ω) enthalten ist. ur alle b) Man beweise, daß jede Funktion u ∈ C m (Ω) mit Dμ u ∈ Lp (Ω) f¨ |μ| ≤ m bereits in H m,p (Ω) liegt. Hinweis: F¨ ur Teilaufgabe a) verwende man die Glättungsoperatoren aus Anhang A. F¨ ur Teilaufgabe b) benutze man zusätzlich eine Zerlegung der Eins auf Ω. 10.5. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge mit Durchmesser d und Volumen V . Man zeige, daß f (x) := 1, x ∈ Ω, in H 1 (Ω), aber nicht in H01 (Ω) liegt, indem man f¨ ur ϕ ∈ Cc∞ (Ω) f − ϕ1,2 ≥ V 1/2 − df − ϕ1,2 beweise.

10 Aufgaben

339

10.6. Es sei Ω ⊂⊂ RN eine nichtleere Menge mit Durchmesser d. Man bewiese die folgende Variante von Lemma 10.2.14, ϕ2 ≤

2d N

2 D(ϕ) ,

ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

indem man von ϕ2 =

N 1

∂ ϕ2 (x) (xi − yi ) dx , N i=1 Ω ∂xi

y∈Ω,

ausgehe. 10.7. Es sei Ω ⊆ RN offen und zusammenh¨ angend. Man zeige f¨ ur v ∈ H 1 (Ω): |∇v|2 = 0 ⇒ v = const fast u ¨berall auf Ω . Ω

10.8. Es sei Ω ⊂⊂ RN nichtleer, und es bestehe die Poincarésche Ungleichung, d.h. es gebe ein C > 0 mit 2 f¨ ur alle u ∈ H 1 (Ω) . u2 ≤ C |∇u|2 + u (10.51) Ω

Ω

Ω

Man zeige: a) Der Vektorraum (·, · bezeichnet das Skalarprogukt in L2 (Ω)) N := {w ∈ H 1 (Ω) : w, 1 = 0} , versehen mit

∇v · ∇w ,

D(v, w) := Ω

ist ein Hilbertraum. b) Zu jedem f ∈ L2 (Ω) gibt es genau ein u ∈ N mit D(u, ϕ) = f, ϕ

f¨ ur alle ϕ ∈ N .

angend, und die Einbettung von H 1 (Ω) 10.9. Es sei Ω ⊂⊂ RN zusammenh¨ 2 in L (Ω) sei kompakt. Man zeige durch einen Widerspruchsbeweis, daß dann die Poincarésche Ungleichung (10.51) besteht. 10.10. Sei Ω ⊆ RN offen. Man erschließe die Symmetrie der Greenschen Funktion f¨ ur Ω und −Δ + 1 (s. Definition 4.9.7) wie beim Beweis von Satz 10.3.4.

340


10.11. a) Es seien α, β Zahlen mit α < N , β < N und α + β > N . Man zeige I dy = f¨ ur x, z ∈ RN , x = z , |x − y|α |y − z|β |x − z|α+β−N RN

mit

I := RN

dw , |w − e|α |w|β

e :=

x−z . |x − z|

Zum Nachweis der Existenz von I mache man die Fallunterscheidungen |w| ≥ 2, 12 < |w| < 2, |w| ≤ 12 . b) Es seien Ω ⊂⊂ RN und α, β ∈ (0, N ) Zahlen mit α + β < N . Man zeige, daß es ein c > 0 mit dy ≤ c f¨ ur alle x, z ∈ RN |x − y|α |y − z|β Ω

gibt. 10.12. Es sei Ω ⊆ RN offen, f ∈ C H (Ω) und u ∈ L1loc (Ω) eine schwache L¨ osung von (−Δ+1)u = f . Man zeige, ohne sich auf Satz 10.3.10 zu beziehen, daß u einer Funktion v ∈ C 2 (Ω) mit (−Δ+1)v = f äquivalent ist, indem man folgendermaßen vorgehe. Es seien B ⊂⊂ B ⊂⊂ Ω konzentrische Kugeln, ζ ∈ ur y ∈ B , S die Singularitätenfunktion Cc∞ (B) eine Funktion mit ζ(y) = 1 f¨ ∞ zu −Δ + 1, ϕ ∈ Cc (B ) und S(x, y)ϕ(x) dx f¨ ur y ∈ B . ψ(y) := ζ(y) B

Dann gilt:

a) Es ist B u(−Δ + 1)ψ = B f ψ. b) F¨ ur x ∈ B wird durch S(x, y)ζ(y)f (y) dy − v(x) := B

B\B

u(y)(−Δy + 1)[S(x, y)ζ(y)] dy

2 eine Funktion aus

C (B ) definiert.

c) Es ist B vϕ = B ψf − B\B u(−Δ + 1)ψ. d) u stimmt fast u ¨berall auf B mit v u ¨berein.

10.13. Sei V reeller Vektorraum und B : V × V → R eine positiv semidefinite, symmetrische Bilinearform. Weiter sei W Untervektorraum von V und (W, B|W ×W ) sei Hilbertraum. Man zeige: a) Es gilt die Schwarzsche Ungleichung |B(u, v)| ≤ B(u)B(v) f¨ ur alle u, v ∈ V , wobei B(u) := B(u, u) bezeichnet.

10 Aufgaben

341

Sei nun v ∈ V . Die folgenden zwei Teilaufgaben dienen dem Ziel zu zeigen, ur daß es genau ein w0 ∈ W gibt mit v − w0 ∈ W ⊥ = {z ∈ V : B(z, w) = 0 f¨ alle w ∈ W }. Damit ist dann der Zerlegungssatz V = W ⊕ W ⊥ bewiesen. b) Seien w0 , w1 ∈ W mit v − w0 , v − w1 ∈ W ⊥ . Man schließe w0 = w1 , indem man nachweist, daß w0 − w1 ∈ W ∩ W ⊥ gilt. c) Warum existiert d := inf w∈W B(v − w)? Man zeige wie im Beweisteil b) von Satz 10.5.2, daß ein w0 ∈ W existiert mit B(v − w0 ) = d, und man folgere hieraus v − w0 ∈ W ⊥ .

A Partielle Integration. Gl¨ attungsoperatoren.

Ein besonders einfacher Fall einer partiellen Integration bei mehrdimensionalen Integralen, der zum Begriff des adjungierten Differentialausdrucks f¨ uhrt (vgl. Bemerkung 9.2.2), kommt schon bei Lagrange [158, § 45] vor und besagt, daß fxk g = − f gxk f¨ ur alle k ∈ {1, . . . , N } (A.1) Ω

Ω

ist, wenn eine der Funktionen am Rand von Ω Null ist. Wir präzisieren dies in der nachfolgenden Bemerkung, die wir zum Beweis von Satz A.6 (iii) benötigen. Bemerkung A.1. Seien Ω ⊆ RN offen und f, g ∈ C 1 (Ω). Dann gilt (A.1), wenn f g außerhalb einer Menge Ω ⊂⊂ Ω Null ist. In diesem Fall kann f g zu einer Funktion F ∈ C 1 (RN ) fortgesetzt werden, die auf RN \ Ω verschwindet. Der Satz von Fubini erlaubt koordinatenweise Integration und wir erhalten Fxk (x) dx = (f g)xk = (f g)xk . 0= Ω

RN

Ω

Bemerkung A.1 kann leicht noch etwas verschärft werden. Satz A.2. Es sei Ω ⊂⊂ RN , k ∈ {1, . . . , N } und f ∈ C 0 (Ω) in Ω nach xk partiell stetig differenzierbar, ferner fxk u ¨ber Ω integrierbar und f |∂Ω = 0. Dann gilt fxk (x) dx = 0 . Ω

Beweis. Es gen¨ ugt, k = N zu betrachten. Der Satz von Fubini liefert fxN (x) dx = Ω

RN −1

fxN (x, t) dt

dx ,

(A.2)

T (x)

E. Wienholtz et al., Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009 DOI 10.1007/978-3-540-45721-3 BM2,

344


wobei f¨ ur x ∈ RN −1 T (x) := {t ∈ R : (x, t) ∈ Ω} gesetzt ist. Dies ist eine offene und beschr¨ ankte Menge in R, also, wenn nichtleer, h¨ ochstens abz¨ ahlbare disjunkte Vereinigung von nichtleeren, beschränkten, offenen Intervallen in R, mithin 8 T (x) = j (aj , bj ) mit (x, aj ), (x, bj ) ∈ ∂Ω . ur solche x Das innere Integral in (A.2) existiert f¨ ur fast alle x ∈ RN −1 , und f¨ haben wir aufgrund der σ-Additivit¨ at des Lebesgueintegrals

bj fxN (x, t) dt = fxN (x, t) dt . T (x)

j

aj

F¨ ur x ∈ RN −1 ist aber f (x, ·) stetig auf [aj , bj ] und stetig differenzierbar auf (aj , bj ), also nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

bj

fxN (x, t) dt = f (x, bj ) − f (x, aj ) = 0 ,

aj

letzteres wegen f |∂Ω = 0.

Zum Beweis seines ber¨ uhmten Satzes, daß jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion gleichm¨ aßig durch Polynome approximiert werden kann, ging Weierstraß [335] von der Beobachtung aus, daß f¨ ur jede stetige und beschr¨ ankte Funktion f : R → R mit x−y 1 f (y) dy (A.3) ψ F (x, k) := 2kω R k lim F (x, k) = f (x) (A.4) k→∞

gilt, und zwar gleichm¨ aßig auf jedem kompakten Teilintervall. Hierbei ist ψ eine nichtnegative stetige und beschr¨ ankte gerade Funktion, f¨ ur die ∞ ψ(x) dx ω := 0

existiert. Ersetzt man die Forderung der Stetigkeit durch die, daß in jedem Punkt x ∈ R rechts- und linksseitiger Grenzwert f+ (x) bzw. f− (x) existieren, so gilt anstelle von (A.4) lim F (x, k) =

k→0

1 [f+ (x) + f− (x)] . 2

(A.5)

1 ψ k· hat bereits fast alle Eigenschaften, die unten in Die Funktion 2kω Definition A.3 von einem Gl¨ attungskern verlangt werden – nur noch keinen


345

kompakten Tr¨ ager. Motiviert war Weierstraß durch die Funktion s → e−s , also durch x−y 2 x−y 1 1 ψ = √ e −( k ) , (A.6) 2kω k k π √ in welchem Falle u(x, t) := F x, 2 t die Eigenschaft ut = uxx hat, also eine L¨ osung der eindimensionalen W¨ armeleitungsgleichung ist. Zur gleichmäßigen Approximation einer stetigen Funktion N Veränderlichen nahm Weier xNvon −yN 1 · . . . · ψ , und zum Beweis seines Satstraß die Funktion ψ x1 −y k k zes, daß jede stetige periodische Funktion durch trigonometrische Polynome gleichm¨ aßig approximiert werden kann, betrachtete er komplexwertige ψ. Aus der F¨ ulle von Untersuchungen in der Nachfolge der Weierstraßschen Arbeit (s. etwa [70, S. 1146–1153]) greifen wir drei heraus. L. Maurer [199] machte die Beobachtung, daß die durch 2

f0 (x) = f (x) ,

1 fn (x) = 2h

h

−h

fn−1 (x + t) dt

(A.7)

√ ur rekursiv definierte Folge arithmetischer Mittel bei der Wahl h = 32 k/ n f¨ 2 n → ∞ gegen (A.3) strebt mit ψ(s) = e−s . Lebesgue [171] gab notwendige und hinreichende Bedingungen daf¨ ur, daß eine Funktion durch Faltungsintegrale approximiert werden kann. Die von ihm betrachteten Kerne enthalten als Spezialf¨ alle den Weierstraßschen Kern (oder Wärmeleitungskern) (A.6), den ur die Gerade sowie die in der Theorie Poissonkern s → [πn(s2 + ( n1 )2 )]−1 f¨ der Fourierreihen wichtigen Kerne von Fourier-Dirichlet bzw. Fejér1 sin(n + 12 )s 2 sin 2s

bzw.

1 2n

sin ns 2 sin 2s

2 .

Die Arbeit von Ogura [241, pp. 110 f., 119–126] – er betrachtet auch Kerne mit kompaktem Tr¨ ager – inspirierte Friedrichs [74] zu den häufig nach ihm benannten Gl¨ attungsoperatoren, nachdem er in [73, § 5] Mittelungen des Typs (A.7) betrachtet hatte. Kurz zuvor hatten gleiche Glättungen in Lerays Untersuchung der Navier-Stokes-Gleichungen bereits eine wichtige Rolle gespielt [178, p. 206]. S.L. Sobolev gelangte durch seinen Lehrer N.M. G¨ unter zu den Gl¨ attungsoperatoren. G¨ unter seinerseits war beeinflußt von V.A. Steklov, der in [316, p. 6] Mittelungen der Gestalt (A.7) bei Entwicklungen nach orthogonalen Funktionen verwandt hatte (in dem von V.I. Smirnov und S.L. Sobolev verfaßten biographischen Anhang zu [89] findet man diesbez¨ ugliche Arbeiten von G¨ unter zitiert). In der russischen Literatur spricht man daher meist von Mittelungskernen und Mittelfunktionen oder Steklov-Funktionen. 1

All diese Kerne sowie die aus Definition A.3 approximieren Diracs improper ” function“ δ und sind daher der Vorgeschichte der Distributionstheorie zuzuordnen (s. [197, 318]).

346


Beginnend mit der Arbeit [75], verwendet Friedrichs den Ausdruck mollifiers“ ” (to mollify = bes¨ anftigen; hierzu gibt es eine anekdotische Bemerkung von P. Lax in seinem Kommentar zu [75] in den Selecta von Friedrichs). Schließlich sei noch erw¨ ahnt, daß sich eine fr¨ uhe Anwendung von Glättungsoperatoren bei Bray [25] findet, der sie zum Beweis einer Version der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale unter abgeschw¨ achten Voraussetzungen verwendet. Definition A.3. Eine Familie von Funktionen (j ) >0 heißt Glättungsschar, wenn f¨ ur jedes > 0 die Funktion j die Eigenschaften (α) 0 ≤ j ∈ C ∞ (RN ) , ur |x| ≥ , (β) j (x) = 0 f¨

(γ) j (x) dx = 1 RN

attungskern. Gelegentlich kann es bequem oder erforbesitzt. j selbst heißt Gl¨ derlich sein, zus¨ atzlich (δ)

j (x) = j (−x)

f¨ ur x ∈ RN

zu fordern (z.B. wenn man – nach Faltung mit einer Funktion f – eine Relation wie (A.5) herstellen m¨ ochte). Bemerkung A.4. Ausgangspunkt f¨ ur die Konstruktion einer Glättungsschar ist meist das von Cauchy stammende Beispiel ϕ(s) :=

e−1/s , falls s > 0 0

, falls s ≤ 0

f¨ ur eine beliebig oft differenzierbare Funktion, die nicht reell-analytisch ist. Man zeigt leicht, daß es f¨ ur jedes n ∈ N ein Polynom Pn vom Grad ≤ 2n mit 1 (n) ϕ(s) ϕ (s) = Pn s f¨ ur s > 0 gibt. Hieraus folgt ϕ ∈ C ∞ (R) und ϕ(n) (0) = 0. Setzt man dann 1 ϕ(1 + τ )ϕ(1 − τ ) dτ , j(t) := ϕ(1 + t)ϕ(1 − t) , c := c R so hat man eine Funktion, die (α)-(δ) f¨ ur N = 1 und = 1 erf¨ ullt. ur N = 1 a) Sind j1 , . . . , jN Funktionen, die den Forderungen (α), (β), (γ) f¨ und = 1 gen¨ ugen, so definiert x 1 x1 N . . . jN , > 0, x ∈ RN , j (x) := N j1 eine Gl¨ attungsschar, wobei Eigenschaft (β) in nur leicht modifizierter Form gilt.

b) Ist j(t) := k1 ϕ(1 − t2 ) mit k := RN ϕ(1 − |x|2 ) dx, so definiert


347

j (x) := −N j(|x|/) f¨ ur > 0 und x ∈ RN eine radialsymmetrische Glättungsschar. Daß eine lokal integrierbare Funktion durch Faltung mit einem Glättungskern beliebig oft differenzierbar wird, ergibt sich sofort aus dem nachfolgenden Satz u angige Integrale, den wir ohne Beweis notieren (er ¨ber parameterabh¨ folgt unmittelbar aus dem Lebesgueschen Grenzwertsatz; vgl. [149, S. 282 f.]). Satz A.5 (Standardsatz u ¨ ber Parameterintegrale). Es seien X ⊆ Rm , n Y ⊆ R und f : X × Y → R. Dann ist die durch f (x, y) dy, x ∈ X , F (x) := Y

definierte Funktion stetig, falls folgendes gilt: (i) Bei festem x ∈ X ist die Funktion f (x, ·) u ¨ber Y integrierbar. (ii) F¨ ur fast alle y ∈ Y ist f (·, y) ∈ C 0 (X). (iii) Es gibt eine u ¨ber Y integrierbare Funktion b mit |f (x, y)| ≤ b(y)

f¨ ur alle x ∈ X und fast alle y ∈ Y .

Ist X offen, so ist F stetig differenzierbar und fxi (x, y) dy, x ∈ X, i ∈ {1, . . . , m} , Fxi (x) = Y

falls zus¨ atzlich zu (i) gilt: (ii) F¨ ur fast alle y ∈ Y ist f (·, y) ∈ C 1 (X). (iii) Es gibt eine u ¨ber Y integrierbare Funktion b mit |fxi (x, y)| ≤ b(y),

i ∈ {1, . . . , m} ,

f¨ ur alle x ∈ X und fast alle y ∈ Y . Satz A.6 (Lokal definierte Gl¨ attungsoperatoren). Sei Ω ⊆ RN offen attungsschar. F¨ ur > 0 sei und (j ) eine Gl¨ Ω := {x ∈ Ω : B (x) ⊂⊂ Ω} . ur x ∈ Ω

Ist dann f ∈ L1loc (Ω), so existiert f¨ f (x) := (j ∗ f )(x) := j (x − y)f (y) dy und hat folgende Eigenschaften:

(A.8)

Ω

(i) supp f ⊆ Ω2 ⇒ supp f ⊆ Ω . ur jeden Multiindex μ und alle x ∈ Ω gilt (ii) Es ist f ∈ C ∞ (Ω ), und f¨ Dμ f (x) = ((Dμ j ) ∗ f ) (x) .

(A.9)

348


(iii) Ist μ ein Multiindex und f ∈ C |μ| (Ω), so gilt Dμ f (x) = (Dμ f ) (x),

x ∈ Ω .

ur alle Multiindizes μ mit (iv) Ist k ∈ N0 , f ∈ C k (Ω) und Ω0 ⊂⊂ Ω, so gilt f¨ |μ| ≤ k lim max |Dμ f − Dμ f | = 0 .

→0 Ω 0

(v) Sei Ω0 ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω. Gibt es dann Zahlen α ∈ (0, 1] und c > 0 mit |f (x ) − f (x )| ≤ c|x − x |α ,

x , x ∈ Ω ,

so gilt |f (x ) − f (x )| ≤ c|x − x |α f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 und alle 0 < < dist(Ω0 , ∂Ω ). Beweis. Ist x ∈ Ω , so erstreckt sich wegen j (x − y) = 0 f¨ ur |x − y| ≥ die Integration in (A.8) h¨ ochstens u ¨ber B (x) ⊂⊂ Ω, so daß f wohldefiniert ist. Zu (i): Wenn f kompakten Tr¨ ager besitzt, wird dieser durch die Faltung h¨ ochstens um einen Streifen der Breite vergrößert. Zu (ii): Aufgrund der Eigenschaften (α), (β) des Glättungskerns gibt es eine allein von und μ abh¨ angende Zahl C(, μ) mit |Dμ j (z)| ≤ C(, μ)

f¨ ur alle z ∈ RN .

(A.10)

Mithin existiert f¨ ur jedes Ω ⊂⊂ Ω ein allein von abhängendes Kompaktum K ⊆ Ω mit |Dxμ j (x − y)f (y)| ≤ C(, μ)|f (y)| ur |μ| = 1 folgen f ∈ C 1 (Ω ) und (A.9) daher f¨ ur alle x ∈ Ω und y ∈ K . F¨ aus Satz A.5. Die allgemeine Behauptung ergibt sich dann durch vollständige Induktion. Zu (iii): Wir schreiben (A.9) als μ |μ| f (y)Dyμ j (x − y) dy , D f (x) = (−1) Ω

was nach |μ|-maliger Anwendung von Bemerkung A.1 (−1)|μ| (−1)|μ| j (x − y)Dμ f (y) dy Ω

liefert.


349

Zu (iv): Sei Ω0 ⊂⊂ Ω ⊂⊂ Ω und μ wie angegeben. Dann existiert zu jedem η > 0 ein δ > 0, so daß f¨ ur alle x, y ∈ Ω mit |x − y| < δ |Dμ f (x) − Dμ f (y)| ≤ η ur y ∈ Ω \ Ω ausf¨ allt. Sei nun 0 < < min{dist(Ω0 , ∂Ω ), δ} und x ∈ Ω 0 . F¨ ist dann j (x − y) = 0, also aufgrund der Eigenschaft (γ) j (x − y) dy = 1 Ω

und daher wegen (iii) Dμ f (x) − Dμ f (x) =

j (x − y) [Dμ f (y) − Dμ f (x)] dy , Ω

mithin

|D f (x) − D f (x)| ≤ η μ

j (x − y) dy = η .

μ

Ω

Zu (v): Ist wie angegeben und x ∈ Ω0 , so gilt j (x − y) = 0 f¨ ur y ∈ Ω \ Ω , mithin f¨ ur alle x , x ∈ Ω0 f (x ) − f (x ) = [j (x − y) − j (x − y)] f (y) dy Ω

=

j (z) [f (x − z) − f (x − z)] dz ,

|z|<

woraus sofort die Behauptung folgt.

Satz A.7 (Global definierte Gl¨ attungsoperatoren). Sei Ω ⊆ RN offen atttungsschar. Sei > 0, 1 ≤ p < ∞ und f ∈ Lp (Ω). Dann und (j ) eine Gl¨ existiert j (x − y)f (y) dy (A.11) f (x) := (j ∗ f )(x) := Ω

f¨ ur alle x ∈ RN und hat folgende Eigenschaften: (i) Es ist f ∈ Lp (RN ) und f Lp (RN ) ≤ f Lp (Ω) . (ii) Es ist f ∈ C ∞ (RN ); f¨ ur jeden Multiindex μ gilt Dμ f = (Dμ j ) ∗ f ∈ Lp (RN ) ,

und mit c(μ, , N ) := RN |Dμ j (z)| dz besteht Dμ f Lp (RN ) ≤ c(μ, , N )f Lp (Ω) .

(A.12)

350


Beweis. F¨ ur jedes x ∈ RN erstreckt sich die Integration in (A.11) u ¨ber die beschr¨ ankte Menge Ω∩B (x), u ¨ber die |f | im Falle p = 1 voraussetzungsgemäß und im Falle p > 1 aufgrund der H¨ olderschen Ungleichung integrierbar ist. p gilt ja Mit q := p−1 1/q

|f (y)| dy ≤

1/p |f (y)| dy p

dy

Ω∩B (x)

Ω∩B (x)

Zu (i): F¨ ur p > 1 und q := mit

p p−1

.

Ω∩B (x)

ergibt die H¨ oldersche Ungleichung, zusammen 1

1

j (x − y) = [j (x − y)] q [j (x − y)] p , |f (x)| ≤

p/q j (x − y) dy

p

≤

j (x − y)|f (y)|p dy

Ω

(A.13)

Ω

j (x − y)|f (y)|p dy , Ω

nachdem wir die erste Integration rechts in (A.13) u ¨ber RN erstreckt haben. F¨ ur p = 1 ist die erhaltene Ungleichung nat¨ urlich trivial. F¨ ur p ≥ 1 haben wir daher, wenn wir nach Fubini-Tonelli die Integrationsreihenfolge rechts vertauschen, p p |f (x)| dx ≤ |f (y)| j (x − y) dx dy , RN

RN

Ω

was (i) beweist. Zu (ii): Die Aussage f ∈ C ∞ (RN ) und die erste Behauptung in (A.12) folgen wie fr¨ uher aus der Absch¨ atzung (A.10) in Kombination mit dem Standardsatz oldersche Ungleichung an, so erhalten A.5. Wenden wir auf (Dμ j ) ∗ f die H¨ wir p/q μ p μ |Dx j (x − y)| dy |Dxμ j (x − y)||f (y)|p dy |D f (x)| ≤ Ω Ω ≤ [c(μ, , N )]p/q |Dxμ j (x − y)||f (y)|p dy Ω

und daher |Dμ f (x)|p dx ≤ [c(μ, , N )]p/q |f (y)|p RN

Ω

womit auch die letzte Behauptung bewiesen ist.

RN

|Dxμ j (x − y)| dx

dy ,

Bemerkung A.8. Sei k ∈ N. Selbst im Falle f ∈ C k (Ω) und Dμ f ∈ Lp (Ω) f¨ ur alle Multiindizes μ mit |μ| ≤ k vertauscht die Ableitung Dμ mit der Gl¨ attung i.a. nur auf Ω (s. Satz A.6), denn diese Vertauschung fußt ja auf einer partiellen Integration mit einer Funktion, die ihren Träger in Ω hat.


351

Wir hatten in Satz A.6 (iv) gesehen, daß die Faltung einer stetigen Funktion mit einer Gl¨ attungsschar diese Funktion lokal gleichmäßig approximiert. Wir wollen nun zeigen, daß f¨ ur f ∈ Lp (Ω) die Glättung f die Funktion f in der p-Norm approximiert (Satz A.11 a)). Dabei machen wir von der in den meisten Einf¨ uhrungen in die Theorie des Lebesgue-Integrals vorkommenden Aussage Gebrauch, daß die Treppenfunktionen mit Träger in Ω dicht in Lp (Ω) liegen. Teil b) von Satz A.11 ist eine Variante des Fundamentallemmas der Variationsrechnung. Lemma A.9. Sei (j ) eine Glättungsschar, Q ⊂⊂ RN ein Quader und 1 ≤ p < ∞. Dann gilt lim j ∗ XQ − XQ Lp (RN ) = 0 .

→0

ur z ∈ RN Beweis. Sei x ∈ RN und > 0. Setzen wir f¨ X˜Q (x, z) := |XQ (x − z) − XQ (x)| , so haben wir

j (x − y)[XQ (y) − XQ (x)] dy |j ∗ XQ (x) − XQ (x)| = N R ≤ j (z)X˜Q (x, z) dz RN

und im Falle p > 1 nach H¨ older ¨ ahnlich wie in (A.13) p p j (z) X˜Q (x, z) dz , |j ∗ XQ (x) − XQ (x)| ≤ RN

also f¨ ur alle p ≥ 1 |j ∗ XQ (x) − XQ (x)|p dx ≤ RN

j (z) B (0)

RN

p X˜Q (x, z) dx dz .

Nun gibt es zu jedem η > 0 ein δ > 0, so daß f¨ ur alle z ∈ Bδ (0) p X˜Q (x, z) dx ≤ η p RN

ausf¨ allt. F¨ ur ∈ (0, δ] ist daher j ∗ XQ − XQ Lp (RN ) ≤ η . Da die Gl¨ attung gem¨ aß Satz A.7 eine lineare Operation ist, haben wir

352


Korollar A.10. Ist Ω ⊆ RN offen und t eine Treppenfunktion mit supp t ⊆ Ω, so gilt lim t − tLp (Ω) = 0 .

→0

Satz A.11. Sei Ω ⊆ RN offen. a) Ist 1 ≤ p < ∞, f ∈ Lp (Ω) und (f ) wie in Satz A.7, so gilt lim f − f Lp (Ω) = 0 .

→0

b) Ist f ∈ L1loc (Ω) und fϕ = 0

f¨ ur alle 0 ≤ ϕ ∈ Cc∞ (Ω) ,

Ω

so ist f = 0 fast u ¨berall auf Ω. Beweis. a) Sei η > 0. Wie eingangs vor Lemma A.9 erwähnt, gibt es dann eine Treppenfunktion t mit Tr¨ ager in Ω und t − f Lp (Ω) ≤

η . 3

Nach Korollar A.10 existiert ein 0 > 0 mit t − tLp (Ω) ≤

η 3

f¨ ur alle ∈ (0, 0 ] .

Nach Satz A.7 (i) ist f − t Lp (Ω) = (f − t) Lp (Ω) ≤ f − tLp (Ω) , mithin f − f Lp (Ω) ≤ η

f¨ ur alle ∈ (0, 0 ] .

b) Sei x ∈ Ω0 ⊂⊂ Ω. und 0 < < dist(Ω0 , ∂Ω). Dann ist 0 ≤ j (x − ·) ∈ Cc∞ (Ω), also 0 = j (x − y)f (y) dy = f (x) . Ω

Nach a) ist daher f L1 (Ω0 ) = 0, also f = 0 fast u ¨berall in Ω0 und dann auch fast u ¨berall in Ω. H¨ aufig und in recht unterschiedlichen Situationen stellt sich das Problem, die charakteristische Funktion einer Menge durch glatte Funktionen zu approximieren, deren Tr¨ ager in vorgegebenen Mengen liegen. Eine einfache Version einer solchen Zerlegung der Eins stammt von Wiener [348, Lemma II b]. F¨ ur


353

seinen Fortsetzungssatz beweist Whitney [341] schon eine komplizierte derartige Zerlegung (in dieser Arbeit findet sich auch erstmals die MultiindexSchreibweise f¨ ur Differentialoperatoren). Die Arbeiten von Bochner [21] und Dieudonné [49], mit denen man die Technik der Zerlegung der Eins oft assoziiert, erschienen zeitgleich etwas sp¨ ater. Wir beginnen mit einer einfachen und f¨ ur sich schon sehr n¨ utzlichen Aussage. Lemma A.12. Es seien A ⊂⊂ RN , B ⊆ RN nichtleere Mengen mit δ := dist(A, B) > 0. Dann gibt es eine Funktion ψ ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ψ ≤ 1 sowie eine nur von N abh¨ angige Zahl c mit ψ(x) =

1 f¨ ur x ∈ A 0 f¨ ur x ∈ B

und |ψxi (x)| ≤

c f¨ ur x ∈ RN und i ∈ {1, . . . , N } . δ

attungsschar. Man wähle := 3δ und Ω0 := {x ∈ Beweis. Es sei (j ) eine Gl¨ δ N R : dist(x, A) < 2 }. Dann ist j (x − y)XΩ0 (y) dy, x ∈ RN , ψ(x) := RN

nach Satz A.7 aus C ∞ (RN ). Im Falle x ∈ A liegt jedes y ∈ RN mit |x − y| ≤ in Ω0 , so daß ψ(x) = j (x − y) dy = 1 |x−y|<

ist. Im Falle x ∈ B und y ∈ Ω0 ist |x − y| ≥ 2δ > , also j (x − y) = 0. Gemäß ahlt werden, daß ein C > 0 existiert mit Bemerkung A.4 kann (j ) so gew¨ ∂ −N −1 ∂xi j (x) ≤ C f¨ ur alle x ∈ RN , 1 ≤ i ≤ N und > 0. Da auch die Ableitungen von j außer halb von B (0) verschwinden, folgt die letzte Behauptung aus Satz A.7 (ii). Satz A.13 (Zerlegung der Eins). Sei Ω ⊆ RN offen und nichtleer. Dann ¨ gibt es eine offene Uberdeckung (Ωn ), n ∈ N0 , von Ω mit der Eigenschaft, daß ur höchstens endlichviele n ∈ N0 einen nichtleeren Schnitt jedes Ω ⊂⊂ Ω f¨ mit Ωn besitzt. Weiter existiert eine Funktionenfolge (ψn ) aus C ∞ (RN ) mit (i) 0 ≤ ψn ≤ 1 , (ii) supp ψn ⊆ Ωn , ∞ (iii) n=0 ψn (x) = 1

f¨ ur alle x ∈ Ω .

354


Beweis. 1. F¨ ur n ∈ N ist Mn := x ∈ Ω : n−1 < dist(x, ∂Ω), |x| < n ur alle n ∈ N0 eine beschr¨ ankte offene Menge. Mit M0 := ∅ gilt f¨ Mn ⊂⊂ Mn+1 ⊂⊂ Ω

und Mn+2 \ M n+1 ⊂⊂ Mn+3 \ M n =: Ωn .

F¨ ur jedes x ∈ Ω gibt es ein kleinstes k ∈ N mit x ∈ M k . Im Falle k = 1 ist x ∈ M 1 ⊆ M3 = Ω0 , im Falle k ≥ 2 gilt x ∈ M k ⊆ Mk+2 \ M k−1 = Ωk−1 . Daher ist Ω⊆

∞ &

Ωn ⊆ Ω .

n=0

Ist Ω ⊂⊂ Ω, so gilt Ω ⊆ Mn f¨ ur geeignetes n ∈ N0 . F¨ ur alle n ≥ n ist dann wegen M n ⊆ M n Ω ∩ Ωn = Ω ∩ Mn+3 \ M n ⊆ Mn ∩ Mn+3 \ M n = ∅ . 2. F¨ ur jedes n ∈ N gibt es eine Menge Un mit Mn+2 \M n+1 ⊂⊂ Un ⊂⊂ Ωn und nach Lemma A.12 ein ϕn ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ϕn ≤ 1 und ϕn (x) =

1

f¨ ur x ∈ Mn+2 \ M n+1

0

f¨ ur x ∈ RN \ Un

.

F¨ ur n = 0 w¨ ahle man M2 ⊂⊂ U0 ⊂⊂ Ω0 und ein entsprechendes ϕ0 ∈ C ∞ (RN ) mit 0 ≤ ϕ0 ≤ 1, ϕ0 |M2 = 1 und Träger in RN \ U0 . Da jedes nichtleeren Schnitt mit nur endlichvielen der Ωn besitzt, Ω ⊂⊂ Ω einem ∞ ∞ definiert φ := n=0 ϕn auf jedem Ω ⊂⊂ Ω eine C -Funktion. Aus der ur alle x ∈ M n+2 \ M n+1 f¨ ur n ≥ 1 Stetigkeit der ϕn folgt zudem ϕn (x) = 1 f¨ ur alle x ∈ M 2 . Da und ϕ0 (x) = 1 f¨ 8∞ Ω ⊆ M 2 ∪ n=1 M n+2 \ M n+1 ist, gilt φ(x) ≥ 1 f¨ ur alle x ∈ Ω. Die Funktionen ψn := ϕn /φ haben daher alle gew¨ unschten Eigenschaften.

B Integration u aren ¨ ber Sph¨

Ein Großteil der Untersuchung von Gauß u ¨ber die Anziehung eines homogenen Ellipsoids auf einen Punkt in R3 ist der Reduktion eines Volumenintegrals auf ein Integral u ache gewidmet [79]. Zur Geschichte solcher ¨ber die Randfl¨ Integrals¨ atze, die man als mehrdimensionale Versionen der Formel der partiellen Integration und damit letztlich des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung ansehen kann und die an die Namen von Gauß, Green und Ostrogradski˘i gekn¨ upft sind, sei auf [133] verwiesen. Obwohl wir bei der Behandlung des Dirichletproblems allgemeine Ränder einbeziehen, wird die Problematik, wie allgemein der Rand bei der Verwendung dieser Integrals¨ atze sein darf, vermieden,1 denn es wird stets nur u ¨ber Sphären integriert. Wir gewinnen die entsprechende Version des Gaußschen Satzes, Satz B.5, aus der Transformationsformel f¨ ur Gebietsintegrale, die f¨ ur N > 3 ebenfalls auf Ostrogradski˘i zur¨ uckgeht (zur Historie dieser Formel s. [134]). Wir formulieren sie wie folgt und verweisen f¨ ur einen Beweis auf [62, S. 210]. Satz B.1 (Transformationsformel, Substitutionsregel in RN ). Es sei Ω ⊆ RN offen, h : Ω → RN injektiv und stetig differenzierbar, ferner f : h(Ω) → R. Mit ∂hi (x) , x∈Ω, h (x) = ∂xk 1≤i,k≤N gilt dann: Wenn eines der zwei Integrale f (y) dy und f (h(x))| det h (x)| dx h(Ω)

Ω

(als Lebesgue-Integral) existiert, dann existieren beide und sind gleich. 1

Eine recht allgemeine Version des Gaußschen Satzes wird in [149, S. 387–392] bewiesen.

356

B Integration u aren ¨ber Sph¨

Wir ziehen aus diesem Satz drei wichtige Folgerungen, indem wir Polarkoordinaten in RN \ {0} betrachten. Sei U := {u ∈ RN −1 : |u| < 1} . Dann ist die Funktion h : (0, ∞) × U → RN

,

y → ru, r 1 − |u|2

injektiv und stetig differenzierbar und ihre Jacobimatrix h (r, u) gleich ⎛ ⎞ r ... 0 u1 ⎜ ⎟ 0 ... 0 u2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ .. .. .. ⎜ ⎟ . . . . ⎜ ⎟ ⎜ uN −1 ⎟ 0 ... r ⎝ ⎠ ru ru N −1 1 1 − |u|2 − √ −√ 2 2 1−|u|

1−|u|

Addiert man f¨ ur i ∈ {1, . . . , N −1} das ui / 1 − |u|2 -fache der i-ten zur letzten Zeile, so ergibt sich | det h (r, u)| =

rN −1 1 − |u|2

.

Sei R > 0. Mit + BR (0) := {y ∈ RN : |y| < R, yN > 0}

gilt daher

f (y) dy =

+ BR (0)

(0,R)×U

rN −1 f ru, 1 − |u|2 d(r, u) =: I+ , 1 − |u|2

falls eines dieser beiden Integrale existiert. ur fast alle r ∈ (0, R) Wenn I+ existiert, so existiert nach Fubini f¨ rN −1 f (y) dS(y) = f ru, r 1 − |u|2 du , 1 − |u|2 Sr+

U

was als Integral u are Sr+ := {y ∈ RN : |y| = r und ¨ber die obere Hemisph¨ N yN > 0} mit Radius r in R definiert oder identifiziert werden kann, und es ist R f (y) dS(y) dr . I+ = 0

Sr+

+ (0) → R meßbar und existiert eines der Integrale Umgekehrt: Ist f : BR


R rN −1 du dr , f ru, r 1 − |u|2 1 − |u|2 0 U R rN −1 2 dr du , f ru, r 1 − |u| 1 − |u|2 0 U

357

(B.1) (B.2)

so existiert nach Tonelli auch das Integral I+ , und daher existieren nach Fubini beide Integrale (B.1), (B.2). − (0) verfahEntsprechend kann man nat¨ urlich f¨ ur die untere Halbkugel BR + − ren. Da sich BR (0) ∪ BR (0) und BR (0) nur um eine Nullmenge unterscheiden ur r ∈ (0, R), erhalten wir und ebenso Sr+ ∪ Sr− relativ ∂Br (0) f¨ rN −1 f (ru, r 1 − |u|2 ) + f (ru, −r 1 − |u|2 ) f (y) dS(y) = du , 1 − |u|2 ∂Br (0)

U

(B.3) mithin nach Anwendung einer Translation die Folgerung B.2. Sei BR (x) ⊂⊂ RN . Ist f : BR (x) → R meßbar, so existiert

R

|f (y)| dy genau dann, wenn 0 ( ∂B (x) |f (y)| dS(y)) d existiert, und BR (x) es ist dann R

f (y) dy = BR (x)

R f (y) dS(y) d =

0 ∂B (x)

N −1 f (x + η) dS(η) d .

(B.4)

S N −1

0

Speziell gilt f¨ ur meßbares f : (0, R) → R R

f (|y|) dy = ωN

N −1 f () d ,

(B.5)

0

BR (0)

wenn eines der Integrale existiert. Dabei ist 1 dS(η) ωN := S N −1

der Fl¨ acheninhalt der Einheitssph¨ are in RN . Folgerung B.3. Sei BR (x) ⊂⊂ RN und f ∈ C 0 (BR (x)). Dann gilt f¨ ur alle r ∈ (0, R):

a) Die durch V (r) := Br (x) f (y) dy definierte Funktion ist stetig differenzierbar und N −1 f (x + rη) dS(η) . V (r) = r S N −1

358


b) F¨ ur jede orthogonale Transformation A : RN → RN ist f (x + rη) dS(η) = f (Ax + rAη) dS(η) . S N −1

S N −1

Beweis. In der Tat ergibt sich a) sofort aus (B.4), wenn wir dort R durch r ersetzen und differenzieren. F¨ ur b) brauchen wir nur zu beachten, daß aufgrund der Transformationsformel und wegen | det A| = 1 f (z) dz = f (Ay)| det A| dy = f (Ay) dy ABr (x)

Br (x)

ist. Das Integral links ist aber gleich sich nun aus a).

Br (x)

Br (x)

f (z) dz. Die Behauptung ergibt

Folgerung B.4. Sei BR (x) ⊂⊂ RN und f ∈ C 1 (BR (x)) eine beschränkte Funktion, deren partielle Ableitungen beschr¨ ankt sind. Dann ist die durch f (x + rη) dS(η), r ∈ (0, R) , φ(r) := S N −1

definierte Funktion stetig differenzierbar und η · ∇f (x + rη) dS(η) f¨ ur alle r ∈ (0, R) . φ (r) =

(B.6)

S N −1

Beweis. Wir k¨ onnen uns auf den Fall x = 0 beschränken, da dies durch eine Translation zu erreichen ist. Nach (B.3) ist 1 f ru, r 1 − |u|2 + f ru, −r 1 − |u|2 du . φ(r) = 1 − |u|2 U

Wegen

U

du 1 − |u|2

0 und ϕ ∈ C 1 (R) eine Funktion mit 0 ≤ ϕ ≤ 1 und ϕ (t) =

0

f¨ ur t ≤ 1

1

f¨ ur t ≥ 1 +

.

Die Existenz einer solchen Funktion erh¨ alt man u ¨ber Lemma A.12. Wir setzen

360


f (y) :=

f (y)ϕ (|y − x1 |/r1 ) ϕ (|y − x2 |/r2 )

f¨ ur y ∈ Ω

0

sonst

und Bi := B(1+ )ri (xi ). Dann ist fyk (y) dy = lim

→0

Ω

B0 \(B 1 ∪B 2 )

fyk (y) dy

(f )yk (y) dy −

= lim

→0

B0

2

' (f )yk (y) dy

.

Bi

i=1

Auf jedes dieser Integrale l¨ aßt sich Satz B.5 anwenden, und die Behauptung folgt im Limes → 0 aufgrund der Stetigkeit von f . Der Gaußsche Satz f¨ ur die Kugel gestattet es, Folgerung B.4 zu ergänzen. ur Lemma B.7. Es seien Ω ⊆ RN offen, BR (x) ⊂⊂ Ω und u ∈ C 2 (Ω). F¨ r ∈ (0, R) gilt dann mit φ(r) := S N −1 u(x + rη) dS(η) Δu(y) dy (B.7) rN −1 φ (r) = Br (x)

sowie

r

ωN u(x) = φ(r) −

1−N

0

Δu(y) dy

d .

(B.8)

B (x)

Beweis. Sei ∈ (0, R). Dann gilt nach Satz B.5 Δu(y) dy = B (x)

N

k=1 N −1

=

uyk yk (y) dy =

B (x) N

k=1

S N −1

N

k=1

uyk (y)νk (y) dS(y)

∂B (x)

uyk (x + η)ηk dS(η) ,

was wegen (B.6) die Relation (B.7) beweist. Wir integrieren nun φ () = 1−N Δu(y) dy B (x)

von s bis r. Ber¨ ucksichtigen wir, daß der Grenzwert von φ(s) f¨ ur s gegen 0

existiert und gleich S N −1 u(x) dS(η) = ωN u(x) ist (dies folgt aus (B.3) in Kombination mit dem ersten Teil von Satz A.5), so erhalten wir (B.8). Wie Satz B.5 kann auch die nachfolgende Aussage als ein mehrdimensionales Analogon des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung angesehen werden.


361

Satz B.8. Sei Ω ⊆ RN offen, r > 0 und Ωr := {x ∈ Ω : Br (x) ⊂⊂ Ω} . Im Falle f ∈ C 0 (Ω) ist dann die durch F (x) := f (y) dy,

x ∈ Ωr ,

Br (x)

definierte Funktion aus C 1 (Ωr ), und f¨ ur k ∈ {1, . . . , N } gilt (y − x)k . Fxk (x) = f (y)νk (y) dS(y) mit νk (y) := |y − x| ∂Br (x) Beweis. Es gen¨ ugt, daß wir die Differenzierbarkeitsaussage in der Umgebung eines beliebigen Punktes x0 ∈ Ωr beweisen. F¨ ur geeignetes R > r ist BR (x0 ) ⊂⊂ Ω, und es reicht aus, die x mit Br (x) ⊂⊂ BR (x0 ) zu betrachten. Wenn wir zus¨ atzlich f ∈ C 1 (BR (x0 )) voraussetzen, ist F (x) = f (x + z) dz Br (0)

nach dem Standardsatz A.5 stetig differenzierbar und ∂ ∂ f (x + z) dz = f (x + z) dz . Fxk (x) = Br (0) ∂xk Br (0) ∂zk Das letzte Integral kann nach dem Gaußschen Satz B.5 zu zk f (x + z) dS(z) = f (y)νk (y) dS(y) |z| ∂Br (0) ∂Br (x) umgeformt werden. Ohne die Zusatzvoraussetzung ist f immerhin auf BR (x0 ) stetig, und daher gibt es eine Funktionenfolge (fn ) aus C 1 (BR (x0 )), die auf Br (x) gleichmäßig gegen f konvergiert. Dazu kann man sich auf Satz A.6 (iv) oder auf den Weierstraßschen Approximationssatz berufen. Aus fn (y) dy F (x) = lim n→∞

Br (x)

und aus der gleichm¨ aßigen Konvergenz der Ableitungen ∂ fn (y) dy = fn (y)νk (y) dS(y) −→ f (y)νk (y) dS(y) ∂xk Br (x) ∂Br (x) ∂Br (x) folgt die stetige Differenzierbarkeit von F und die behauptete Formel f¨ ur Fxk (x).

C H¨ olderstetigkeit

Wir fassen in diesem Anhang die Definitionen und Ergebnisse u ¨ber hölderstetige Funktionen zusammen, die in dem Buch verwendet werden. Der Ausgangspunkt f¨ ur die Einf¨ uhrung h¨ olderstetiger Funktionen ist das Gegenbeispiel von Petrini (vgl. Abschnitt 4.3), welches belegt, daß das Newtonpotential einer stetigen und beschr¨ ankten Funktion nicht zweimal differenzierbar zu sein braucht. Wie in Bemerkung 4.3.2 ausgef¨ uhrt wird, ist Hölderstetigkeit keineswegs eine minimale Forderung, um die zweimalige Differenzierbarkeit des Newtonpotentials zu erreichen. Die Ergebnisse, die ab Kapitel 5 erzielt werden, zeigen aber in vielf¨ altiger Weise, daß hölderstetige Funktionen außerst zweckm¨ aßig sind f¨ ur die Betrachtung klassischer Lösungen allgemeiner ¨ elliptischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Der Grundgedanke bei der Einf¨ uhrung der Hölderstetigkeit ist, eine n¨ utzliche Absch¨ atzung f¨ ur die Abweichung der Funktionswerte in Abhängigkeit von dem Abstand der Urbildpunkte in die Hand zu bekommen. Konkret wird f¨ ur Funktionen u : Ω → R, Ω ⊆ RN offen, gefordert, daß eine Ungleichung der Form1 |u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|α

(C.1)

bestehen soll. Damit diese Absch¨ atzung nichttrivial und damit n¨ utzlich sein kann, muß festgelegt werden, in welcher Weise die Hölderschranke C und der H¨ olderexponent α von x, y ∈ Ω abh¨ angen d¨ urfen. Die minimale Forderung ist, daß C und α nur lokal gleichm¨ aßig in x und y zu sein brauchen. Dies f¨ uhrt auf den Raum ur jedes K ⊂⊂ Ω gibt es Zahlen c > 0 und C H (Ω) := {u : Ω → R : f¨ ur x, y ∈ K} (C.2) α ∈ (0, 1] mit |u(x) − u(y)| ≤ c|x − y|α f¨ in Definition 4.1.5 (vgl. auch Aufgabe 4.2 b)). Man beachte, daß nur Werte α > 0 von Interesse sind, da wir ja an einer Verschärfung der Stetigkeitsbe1

In [156, p. 4] wird der Begriff der H¨ olderstetigkeit etwas weiter gefaßt.

364


dingung interessiert sind. Andererseits impliziert eine lokal gleichmäßig bestehende Absch¨ atzung (C.1) f¨ ur α > 1, daß der Gradient von u verschwindet und u somit lokal konstant ist. Es kommen also nur Hölderexponenten α ∈ (0, 1] in Frage, wobei im Fall α = 1 der Begriff der Lipschitzstetigkeit anstelle der Hölderstetigkeit gebr¨ auchlich ist. Mit dem H¨ olderschen Satz 4.2.6 wird das ur beschränkte eingangs erw¨ ahnte Ergebnis erreicht, daß f¨ ur Ω ⊂⊂ RN und f¨ orige Newtonpotential zweimal stetig differenf ∈ C H (Ω) das zu Ω und f geh¨ zierbar ist. Um die stete Voraussetzung der Beschränktheit von f nicht eigens erw¨ ahnen zu m¨ ussen, wird in Definition 4.1.5 noch CbH (Ω) := {u ∈ C H (Ω) : u ist beschränkt}

(C.3)

eingef¨ uhrt. Beginnend mit Kapitel 5 werden haupts¨ achlich solche hölderstetigen Funktionen betrachtet, deren H¨ olderexponent α in ganz Ω einheitlich gewählt werden kann. Dazu f¨ uhren wir f¨ ur u : Ω → R, α ∈ (0, 1] und V ⊆ Ω, die α-Hölderschranke Hα;V (u) := sup x,y∈V x =y

|u(x) − u(y)| . |x − y|α

(C.4)

ein, (vgl. Definition 5.3.1), welche die bestm¨ ogliche Konstante C angibt, mit der (C.1) f¨ ur alle x, y ∈ V erf¨ ullt ist. Der Raum der lokal gleichmäßig α-hölderstetigen, beziehungsweise im Fall α = 1 der lokal gleichmäßig lipschitzstetigen Funktionen auf Ω wird dann durch C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;K (u) < ∞

f¨ ur jedes K ⊂⊂ Ω}

(C.5)

in Aufgabe 5.6 eingef¨ uhrt (vgl. auch (9.1) und Bemerkung C.2 e)). Räume lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetiger Funktionen sind gut geeignet, um die innere Regularit¨ at von L¨ osungen elliptischer Differentialgleichungen zu formulieren. osung der Poissongleichung −Δu = f f¨ ur ein Ist z.B. u ∈ C 2 (Ω) klassische L¨ f ∈ C (α) (Ω), so liegen die zweiten Ableitungen von u ebenfalls in C (α) (Ω) (vgl. Aufgabe 5.6). Dieses Ergebnis wird in Kapitel 9 auf allgemeine elliptische Differentialgleichungen 2. Ordnung verallgemeinert. Man kann sich mit Hilfe des Mittelwertsatzes leicht u ¨berlegen, daß die bislang definierten Funktionenr¨ aume zwischen den Räumen der stetigen und der stetig differenzierbaren Funktionen interpolieren. Genauer wird mit Aufgabe 5.9 b) gezeigt, daß f¨ ur Ω ⊆ RN offen und 0 < β < α ≤ 1 gilt: C 1 (Ω) ⊆ C (α) (Ω) ⊆ C (β) (Ω) ⊆ C H (Ω) ⊆ C 0 (Ω) .

(C.6)

Aus funktionalanalytischer Sicht sind diejenigen Funktionenräume zu bevorzugen, deren Elemente die Ungleichung (C.1) nicht nur mit einem festen H¨ olderexponenten sondern auch mit einer festen Hölderschranke C gleichm¨ aßig f¨ ur alle x, y ∈ Ω erf¨ ullen. Dies f¨ uhrt auf


C (α) (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : Hα;Ω (u) < ∞} ,

365

(C.7)

den Vektorraum der auf Ω gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetigen (im Falle α = 1: gleichm¨ aßig lipschitzstetigen) Funktionen (s. Definition 5.3.1). Da f¨ ur jede konstante Funktion u gilt Hα;Ω (u) = 0, stellt Hα;Ω keine Norm auf C (α) (Ω) dar. Einen normierten Raum erh¨ alt man jedoch, wenn man C (α) (Ω) mit dem 0 ankten Funktionen schneidet. Wir setzen Raum C (Ω) der stetigen und beschr¨ deshalb C 0,α (Ω) := {u ∈ C 0 (Ω) : u beschr¨ ankt und u ∈ C (α) (Ω)} .

(C.8)

Dieser Raum wird mit uΩ;0,α := sup |u| + Hα;Ω (u)

(C.9)

Ω

zum normierten Raum (s. Definition 5.3.1, Bemerkung 5.3.5 und Aufgabe 5.8). Man beachte, daß im Fall beschr¨ ankter Mengen Ω jede Funktion in C (α) (Ω) (α) beschr¨ ankt ist und somit C (Ω) = C 0,α (Ω) gilt (vgl. Bemerkung 5.3.2 b)). F¨ ur die funktionalanalytische Betrachtungsweise elliptischer Differentialoperatoren (siehe z.B. Bemerkung 5.3.7 f¨ ur den Laplaceoperator) benötigen wir noch R¨ aume stetig differenzierbarer Funktionen, deren sämtliche Ableitungen von einem vorgegebenem Grad m gleichmäßig α-hölderstetig sind. Basierend auf den Banachr¨ aumen (C m (Ω), · Ω;m ) mit C m (Ω) := u ∈ C m (Ω) : uΩ;m := |μ|≤m supΩ |Dμ u| < ∞ (C.10) (s. Bemerkung 5.6.4), definieren wir f¨ ur alle m ∈ N0 C m,α (Ω) := {u ∈ C m (Ω) : Hα;Ω (Dμ u) < ∞ f¨ ur alle |μ| = m} (C.11) und versehen diese R¨ aume mit der Norm (vgl. Aufgabe 5.8)

Hα;Ω (Dμ u) . uΩ;m,α := uΩ;m +

(C.12)

|μ|=m

Man u ¨berzeuge sich, daß diese Definition die oben gegebene Definition von (C 0,α , · Ω;0,α ) im Fall m = 0 beeinhaltet (vgl. auch Definition 5.3.1, Bemerkung 5.3.5 und die Einleitung zu Abschnitt 5.5). Als erstes Resultat u ¨ber die in (C.11), (C.12) definierten normierten Räume halten wir deren Vollst¨ andigkeit fest. Satz C.1. F¨ ur nichtleeres, offenes Ω ⊆ RN , α ∈ (0, 1] und m ∈ N0 bildet m,α C (Ω), versehen mit der Norm · Ω;m,α , einen Banachraum. Im dem Satz 5.4.1 wird diese Aussage f¨ ur m = 0, 1, 2 formuliert und f¨ ur m = 1 bewiesen. Der Beweis u agt sich unmittelbar auf den Fall be¨bertr¨ liebiger m ∈ N0 . Eine erste einfache funktionalanalytische Konsequenz der Vollst¨ andigkeit dieser R¨ aume wird bereits in Bemerkung 5.3.7 diskutiert.

366


Bemerkung C.2. a) Produkte und Verkettungen hölderstetiger Funktionen sind wieder h¨ olderstetig. Konkrete Aussagen hierzu finden sich in den Aufgaben 4.2 a), 5.9 c) und 5.10. b) Im Fall, daß Ω = BR (x0 ) eine Kugel mit Radius R > 0 ist, wird in Bemerkung 5.3.6 f¨ ur m = 0, 1, 2 eine Norm · BR (x0 );m,α auf C m,α (BR (x0 )) definiert, welche zu der Standardnorm · BR (x0 );m,α äquivalent ist. Die Setzungen in Bemerkung 5.3.6 folgen den allgemeinen Definitionen

R|μ| sup |Dμ u| , (C.13) uBR (x0 );m := |μ|≤m

BR (x0 )

uBR (x0 );m,α := uBR (x0 );m + Rm+α

Hα;BR (x0 ) (Dμ u) , (C.14)

|μ|=m

deren wesentlicher Vorteil in der Invarianzeigenschaft uBR (x0 );m,α = u ◦ QB1 (0);m,α = u ◦ QB1 (0);m,α

(C.15)

liegt, wobei Q(x) := Rx + x0 eine Abbildung des RN bezeichne, welche B1 (0) auf BR (x0 ) abbildet. c) Aussagen dar¨ uber, wie in verschiedenen Situationen globale Höldernormen durch lokale H¨ oldernormen abgesch¨ atzt werden können, finden sich in Aufgabe 5.11, Bemerkung 7.1.5 und im Beweis von Lemma 7.2.3. d) In Lemma 6.2.4 wird gezeigt, daß C ∞ (Ω) ∩ C 0 (Ω) in C 0 (Ω) dicht liegt bez¨ uglich der Supremumsnorm · Ω;0 . In Bemerkung 5.4.2 wird darauf verwiesen, daß eine analoge Aussage f¨ ur H¨ olderräume C m,α (Ω) mit 0 < α < 1 nicht gilt und die beliebig oft differenzierbaren Funktionen in diesen nicht dicht liegen. Belegt wird diese Aussage dort am Beispiel des Raums C 0,1/2 (B1 (0)). e) F¨ ur nichtleeres und offenes Ω ⊆ RN , m ∈ N0 , α ∈ (0, 1] wird der Raum C m,α (Ω) der Funktionen, deren Ableitungen vom Grad m allesamt lokal gleichm¨ aßig α-h¨ olderstetig sind, in (9.1) eingef¨ uhrt. Diese Räume sind f¨ ur die Formulierung von Resultaten zur inneren Regularität (vgl. Kapitel 9) von besonderem Interesse. Wir kommen nun zu der Frage, welche Inklusionsrelationen zwischen den verschiedenen R¨ aumen C m (Ω), C n,α (Ω) gelten. Wir orientieren uns zunächst an der Inklusionskette (C.6). Es ist nicht schwer zu sehen, daß f¨ ur m ∈ N0 und 0 < β < α ≤ 1 gilt: C m,α (Ω) ⊆ C m,β (Ω) ⊆ C m (Ω) .

(C.16)

Zudem sind die zugeh¨ origen Einbettungsoperatoren stetig, da uΩ;m ≤ uΩ;m,β uΩ;m,β ≤ 3uΩ;m,α

f¨ ur alle u ∈ C m,β (Ω) ,

(C.17)

f¨ ur alle u ∈ C

(C.18)

m,α

(Ω) .

Daß die erste Inklusion von (C.6) keine Entsprechung f¨ ur Räume gleichmäßig h¨ olderstetiger Funktionen zu haben braucht, entnimmt man den Beispielen


367

der Aufgaben 7.3 und 7.4. Dort werden f¨ ur spezielle Ω ⊆ RN Funktionen konstruiert, die zwar f¨ ur jedes β ∈ (0, 1] in C 1,β (Ω) und damit in C 1 (Ω) liegen, aber f¨ ur kein α ∈ (0, 1] in C 0,α (Ω) enthalten sind. Ein wesentliches Konstruktionsmerkmal dieser Beispiele ist, daß es Folgen von Punktepaaren (xn , yn ) ∈ Ω × Ω gibt, deren Abstand gegen Null konvergiert, die aber entweder in verschiedenen Zusammenhangskomponenten von Ω liegen, oder aber die Eigenschaft haben, daß das Infimum ln der Längen aller in Ω liegenden Wege, die xn mit yn verbinden, beliebig groß wird im Vergleich zu |xn − yn |α , ur n → ∞. In diesen Fällen liefert der Mittelwertsatz d.h. ln /|xn − yn |α → ∞ f¨ keine gleichm¨ aßigen H¨ olderschranken f¨ ur den Hölderexponent α. Um Beispiele dieser Art auszuschließen, wird in Definition 7.3.2 der Begriff des Gebiets endlicher L¨ ange eingef¨ uhrt. Dort wird gefordert, daß eine Zahl ω ≥ 1 existiert mit der Eigenschaft, daß sich zwei Punkte x, y des Gebiets stets durch einen in dem Gebiet verlaufenden stetig differenzierbaren Weg verbinden lassen, dessen L¨ ange ≤ ω|x − y| ist. Man beachte, daß konvexe Mengen diese Eigenschaft mit ω = 1 erf¨ ullen. In Lemma 7.3.3 wird mit Hilfe des Mittelwertsatzes f¨ ur Gebiete Ω ⊆ RN endlicher Länge und ω wie oben eine Absch¨ atzung gewonnen, aus der unmittelbar die stetige Einbettbarkeit ur alle m ∈ N und γ ∈ (0, 1] folgt mit von C m (Ω) in C m−1,γ (Ω) f¨ uΩ;m−1,γ ≤ (1 + N ω)uΩ;m

f¨ ur alle u ∈ C m (Ω) .

(C.19)

Um die gerade beschriebenen Resultate (C.17)–(C.19) zur stetigen Einbettbarkeit pr¨ agnant zu formulieren, f¨ uhren wir den Begriff des Grades f¨ ur die R¨ aume C m (Ω) und C m,α (Ω) ein. Definition C.3. Seien m ∈ N0 , α ∈ (0, 1] und Ω ⊆ RN eine offene, nichtleere Menge. Dann ordnen wir dem Raum C m (Ω) den Grad m zu und dem Raum C m,α (Ω) den Grad m + α. Die Absch¨ atzungen (C.17)–(C.19) zusammen mit uΩ;m ≤ uΩ;n

f¨ ur alle u ∈ C n (Ω)

im Falle m ≤ n beweisen folgenden Satz. Satz C.4. Sei Ω ⊆ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ ange. a) Seien X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } mit Grad X < Grad Y . Dann gilt Y ⊆ X, und der Einbettungsoperator T : Y → X, u → u ist stetig. orige Einbetb) F¨ ur m ∈ N0 gilt C m+1 (Ω) ⊆ C m,1 (Ω), und der zugeh¨ tungsoperator ist stetig. Weiß man in der Situation von Satz C.4 a) noch zusätzlich, daß Ω beschr¨ ankt ist, so folgt sogar schon die Kompaktheit des Einbettungsoperators T : Y → X. Dies bedeutet, daß jede in Y beschränkte Folge eine in X konvergente Teilfolge besitzt. Wir formulieren diesen häufig verwendeten Sachverhalt, der in einem Spezialfall bereits in Satz 5.5.2 bewiesen wurde, in

368


Satz C.5. Sei Ω ⊂⊂ RN ein Gebiet von endlicher L¨ ange und seien X, Y ∈ {C m,γ (Ω) : m ∈ N0 , 0 < γ ≤ 1} ∪ {C m (Ω) : m ∈ N0 } mit Grad X < Grad Y . Dann ist der Einbettungsoperator T : Y → X kompakt. Da Kompositionen von kompakten und stetigen Operatoren wieder kompakt sind, gen¨ ugt es wegen Satz C.4, folgenden Spezialfall zu betrachten. Lemma C.6. Es seien Ω ⊂⊂ RN ein nichtleeres Gebiet von endlicher L¨ ange ur 0 < β < γ ≤ 1 die Einbettung von C m,γ (Ω) in und m ∈ N0 . Dann ist f¨ C m,β (Ω) kompakt. Beweis. Sei (un ) beschr¨ ankte Folge in C m,γ (Ω). Wir zeigen zunächst, daß f¨ ur jeden Multiindex |μ| ≤ m der Satz von Arzel` a und Ascoli auf die Folge (Dμ un ) angewendet werden kann. Die gleichgradige Beschränktheit dieser Folgen ergibt sich unmittelbar aus der Beschr¨ anktheit der un Ω;m,γ . Zudem können wir die gleichgradige gleichm¨ aßige Stetigkeit der (Dμ un ) auf Ω und damit anktheit der (Hγ;Ω (Dμ un )) folauch auf Ω im Falle |μ| = m aus der Beschr¨ gern und im Falle |μ| < m aus der wegen Satz C.4 geltenden Beschränktheit ankt vorausgesetzt wurde und Ω somit der (H1;Ω (Dμ un )). Da Ω als beschr¨ kompakt ist, vermittelt der Satz von Arzel` a und Ascoli durch sukzessive Teilfolgenbildung die Existenz einer Teilfolge (un ), von (un ) mit der Eigenschaft, ur jeden Multiindex |μ| ≤ m auf Ω gleichmäßig konvergiert. daß (Dμ un ) f¨ Insbesondere stellt (un ) somit eine Cauchyfolge in C m (Ω) dar. Wegen der ugt es zu zeigen, daß Vollst¨ andigkeit des Raumes C m,β (Ω) (s. Satz C.1) gen¨ f¨ ur |μ| = m Hβ;Ω (Dμ uk − Dμ un ) → 0

f¨ ur k, n → ∞

(C.20)

gilt. Um dies einzusehen, betrachten wir die Identität

|u(x) − u(y)| |x − y|β

γ

= |u(x) − u(y)|

γ−β

|u(x) − u(y)| |x − y|γ

β ,

welche f¨ ur u ∈ C 0,γ (Ω) auf die Ungleichung Hβ;Ω (u)γ ≤ (2uΩ;0 )γ−β Hγ;Ω (u)β f¨ uhrt. W¨ ahlt man u = Dμ uk − Dμ un f¨ ur ein |μ| = m, so ergibt sich aus der bereits gezeigten Konvergenz ur k, n → ∞ Dμ uk − Dμ un Ω;0 → 0 f¨ die gew¨ unschte Aussage (C.20).


369

Bemerkung C.7. a) Im Beweis von Lemma C.6 wurde die Voraussetzung, daß Ω ein Gebiet endlicher L¨ ange ist, nur dazu benutzt, um f¨ ur |μ| < m die Beschr¨ anktheit der Folge (Dμ un ) in C 0,1 (Ω) und damit deren gleichgradige gleichm¨ aßige Stetigkeit nachzuweisen. Die Aussage, daß C 0,γ (Ω) kompakt in 0,β C (Ω) enthalten ist f¨ ur 0 < β < γ ≤ 1, gilt somit f¨ ur beliebige Ω ⊂⊂ RN . b) Die Aussage von Satz C.5 gilt auch, wenn von Ω ⊂⊂ RN vorausgesetzt wird, daß der Rand ∂Ω hinreichend regul¨ ar ist. F¨ ur uns ist hier insbesondere der Fall ∂Ω ∈ C 2,α interessant. In Bemerkung 7.3.6 wird darauf hingewiesen, daß in diesem Fall die Aussage von Satz C.5 g¨ ultig ist. Man kann dies begr¨ unden, indem man zun¨ achst mit Bemerkung 7.1.5 a) und Satz 7.3.5 u ¨berlegt, daß Ω aus endlichvielen Zusammenhangskomponenten besteht, die alle Gebiete endlicher L¨ ange sind. Wendet man nun Satz C.5 sukzessive auf jede dieser Zusammenhangskomponenten an, so folgt mit Bemerkung 7.1.5 c), daß jede in Y beschr¨ ankte Folge eine in X konvergente Teilfolge besitzt.

Symbolverzeichnis

∂ ∂ξ ∂ ∂ν

·, · ·, ·1,2 f, gΩ a·b |·| · Ω;m · B;m · Ω;m,α · B;m,α · ∞ · ∗ · ∗,1 · · p · m,p f ∗g A ⊂⊂ B ∇ O Δ (A) σ(A) XA ωN

Differentiation in Richtung des Vektors ξ 99 Differentiation in Richtung der äußeren Einheitsnormalen 8 308 Standardskalarprodukt auf L2 (Ω) 1,2 Standardskalarprodukt auf H (Ω) = H 1 (Ω) 308

f (x)g(x) dx 48 Ω 8 Standardskalarprodukt im RN 3 Euklidische Norm in RN Norm auf C m (Ω) 199 Norm auf C m (B) mit Invarianzeigenschaft; B ⊆ RN Kugel 366 Norm auf C m,α (Ω) 192 Norm auf C m,α (B) mit Invarianzeigenschaft; B ⊆ RN Kugel 366 Supremumsnorm auf C 0 (D, C) 211 Norm auf C∗0 (D, C) 224 Norm auf C∗1 (Ω, C) 227 308 Abk¨ urzung f¨ ur die Norm · 2 auf L2 (Ω) Norm auf Lp (Ω) 307 Norm auf H m,p (Ω) 307 Faltung der Funktionen f und g 347 A kompakt enthalten in B 8 Gradient 2 Landausymbol 3 Laplaceoperator 19 Resolventenmenge des Operators A 209 Spektrum des Operators A 210 Charakteristische Funktion der Menge A 145 Fl¨ acheninhalt der Einheitssphäre in RN 357

372

Symbolverzeichnis

Br (x) B˙ R (x) Br (x, CN ) C 0 (D) C 0 (D, C) C 0 (D, C) C∗0 (D, C) C∗1 (Ω, C) C k (Ω) Cck (Ω) C m (Ω) C k (Ω, C) C ∞ (Ω) C ∞ (Ω, C) Cc∞ (Ω) Cc∞ (Ω, C) C H (Ω) CbH (Ω) C H (Ω, C) CbH (Ω, C) C (α) (Ω) C (α) (Ω) C m,α (Ω)

C m,α (Ω)

offene Kugel in RN mit Mittelpunkt x und Radius r > 0 21 punktierte Kugel BR (x) \ {x} 54 offene Kugel in CN mit Mittelpunkt x und Radius r > 0 38 Raum der auf D stetigen Funktionen 9 Raum der auf D stetigen, komplexwertigen Funktionen 100 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C 0 (D, C) 211 Raum der Funktionen u aus C 0 (D, C), f¨ ur die u · dist(·, ∂D) beschr¨ ankt ist 224 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C 1 (Ω, C), f¨ ur die ur alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung uxi · dist(·, ∂Ω) f¨ beschr¨ ankt ist 227 Raum der auf Ω k-mal stetig differenzierbaren Funktionen; 9 Ω ⊆ RN offen Raum der Funktionen in C k (Ω) mit kompaktem Träger, der in Ω enthalten ist 48 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m beschränkt sind 199 Raum der auf Ω k-mal stetig differenzierbaren, komplexwer100 tigen Funktionen; Ω ⊆ RN offen Raum der auf Ω beliebig oft differenzierbaren Funktionen; 21 Ω ⊆ RN offen Raum der auf Ω beliebig oft differenzierbaren, komplexwer215 tigen Funktionen; Ω ⊆ RN offen Raum der Funktionen in C ∞ (Ω) mit kompaktem Träger, der in Ω enthalten ist 11 Raum der Funktionen in C ∞ (Ω, C) mit kompaktem Träger, der in Ω enthalten ist 215 Raum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen Funktionen 106 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C H (Ω) 106 Raum der auf Ω lokal h¨ olderstetigen, komplexwertigen Funktionen 225 Raum der beschr¨ ankten Funktionen in C H (Ω, C) 212 Raum der auf Ω lokal gleichmäßig α-hölderstetigen Funktionen 203 Raum der auf Ω gleichm¨ aßig α-hölderstetigen Funktionen 174 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen der Ordnung m lokal gleichmäßig α-hölderstetig sind 282 Raum der Funktionen in C m (Ω), deren partiellen Ableitungen bis zur Ordnung m beschränkt sind, wobei die Ablei192 tungen der Ordnung m s¨ amtlich in C (α) (Ω) liegen

Symbolverzeichnis

C 0m,α (Ω) C 2,α D(·) D(·, ·) D(A) Dα Dk diam Ω dist(A, B) dist(x, A) div F E G G Grad grad Hf Hα;Ω (u) H 1 (Ω) H01 (Ω) H m,p (Ω) H0m,p (Ω) Iν Jν K Kν K 2,α K (m,n) Lp (Ω) L1loc (Ω) Nν N (A) PB QB R(A, λ) S S

373

Raum der Funktionen in C m,α (Ω), die sich stetig auf Ω fortsetzen lassen und deren Fortsetzung auf ∂Ω verschwindet 198 Regularit¨ atsbedingung an den Rand einer offenen Teilmenge 234 des RN Dirichletintegral 95 zum Dirichletintegral geh¨ orende Bilinearform 308 Definitionsbereich des Operators A 209 partielle Ableitung zum Multiindex α ∈ NN 164 0 beliebige partielle Ableitung der Ordnung k 23 Durchmesser der Menge Ω 46 Abstand zwischen den Mengen A und B 24 Abstand des Punktes x von der Menge A 24 Divergenz des Vektorfeldes F 92 offene Einheitskreisscheibe in der Ebene 62 Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Laplaceoperator 118 Greensche Funktion f¨ ur Ω und den Operator −Δ + 1 154 Maß f¨ ur die Differenzierbarkeitsordnung der Räume C m (Ω) 367 und C m,α (Ω) Gradient 2 Hessematrix der Funktion f 239 α-H¨ olderschranke von u auf Ω 174 Abk¨ urzung f¨ ur H 1,2 (Ω) 308 Abk¨ urzung f¨ ur H01,2 (Ω) 308 Sobolevraum 307 Abschließung von Cc∞ (Ω) in (H m,p (Ω), · m,p ) 307 modifizierte Besselfunktion 1. Art 157 Besselsche Funktion ν-ter Ordnung 40 K¨ orper der reellen oder der komplexen Zahlen 209 modifizierte Besselfunktion 2. Art 151 Regularit¨ atsbedingung an den Rand einer offenen Teilmenge 240 des RN Raum der m × n Matrizen mit Einträgen 188

in K Raum der Funktionen in L1loc (Ω) mit Ω | f |p < ∞ 307 Raum der auf Ω lokal Lebesgue-integrierbaren Funktionen 304 Neumannsche Funktion ν-ter Ordnung 40 Nullraum des Operators A 209 Poissonkern f¨ ur B 66 Operator, der f¨ ur die Perronsche Methode wesentlich ist 67 Resolvente des Operators A an der Stelle λ ∈ (A) 210 Singularit¨ atenfunktion, Grundlösung zum Laplaceoperator 104 Singularit¨ atenfunktion, Grundlösung zu −Δ + 1 150

374

Symbolverzeichnis

S N −1 Spur (M ) sμ (u) supp f Mt vol(Ω) W (A) W m,p (Ω) wμ (u)

Einheitssph¨ are in RN 357 Summe der Diagonaleintr¨ age von M 55 starke μ-te Ableitung von u 307 Tr¨ ager von f = {x : f (x) = 0} 108 zu M transponierte Matrix 185 Volumen von Ω 214 Wertebereich des Operators A 209 Sobolevraum 327 schwache μ-te Ableitung von u 305

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Personenverzeichnis

Abel, N.H., 63 Andrade, J., 128 Apollonios von Perge, 45 Aronszajn, N., 337 Arzel` a, C., 12, 194 Ascoli, G., 194 Bacharach, M., 7 Banach, S., 180, 234 Barrar, R.B., 263 Bauer, H., 1 Beer, A., 15 Beltrami, E., 90 Bernoulli, D., 2 Bernstein, S.N., 33, 46, 191, 192, 234, 279, 297 Blaschke, W., 300 Bˆ ocher, M., 21, 28, 88, 124, 170, 300 Bochner, S., 302, 353 Bouligand, G., 73 Bray, H.E., 346 Brelot, M., 70 Brill, A., 12 Brouwer, L.E.J., 198 Browder, F.E., 316 Bunyakovski˘i, V.Ya., 220 Burkhardt, H., 7 Caccioppoli, R., 263, 264, 298, 318 Calder´ on, A., 107 Campanato, S., 134 Carleman, T., 47, 48 Cauchy, A.-L., 28, 191 Christoffel, E.B., 78

Cimmino, G., 303 Cordes, H.O., 48, 278 Coulomb, C.A., 6 Courant, R., 302, 303 D’Alembert, J., 301 De Giorgi, E., 298 Deny, J., 328 Dieudonné, J., 353 Dini, U., 61, 118, 297 Dirac, P., 345 Dirichlet, G. Lejeune, 11 Doob, J.L., 1 Douglis, A., 281 Du Bois-Reymond, P., 45, 63, 117, 303 Earnshaw, S., 31 Ehrenpreis, L., 306 Ehrling, G., 193, 245, 255 ´ ıdus, D.M, 127 E˘ Euler, L., 5, 301 Evans, G.C., 300 Fatou, P., 66 Fejér, L., 62 Fichera, G., 193 Folland, G.B., 319 Fredholm, I., 16, 208, 217 Friedrichs, K.O., 302, 303, 307, 318, 327, 330, 345 Frostman, O., 13 G˚ arding, L., 316, 317

396

Personenverzeichnis

Gauß, C.F., 6, 7, 10–12, 15, 21, 31, 37, 106, 184, 355 Giesecke, B., 92, 96, 124, 216, 228, 329 Gilbarg, D., 263 Giraud, G., 263 Graves, L.M., 263 Green, G., 7, 10, 11, 15, 106, 123, 355 Gr¨ uter, M, 127 G¨ unter, N.M., 345 Hadamard, J., 13, 61, 208, 290, 333 Hankel, H., 117 Harnack, A., 20, 24, 28, 29, 60 Hartogs, F., 69 Hathaway, A.S., 2 Hattendorff, K., 10 Hayman, W.K., 37 Heine, E., 12 Heinz, E., 48, 75, 93, 263 Hellwig, G., 45 Helmholtz, H. von, 15, 39 Helms, L.L., 1 Heuser, H., 209 Hilbert, D., 12, 13, 208, 210, 220, 289, 297, 301–303 H¨ older, O., 6, 7, 106, 111 Holmgren, E., 208 Hopf, E., 45, 46, 139, 140, 281, 287, 288, 290, 294, 296, 297, 300, 318 H¨ ormander, L., 48, 324 Il’in, V.A., 329 J¨ orgens, K., 209 Kadlec, J., 327 Kamke, E., 337 Kasuga, T., 328 Kellogg, O.D., 1, 35, 124, 170, 233, 281 Kirchhoff, G., 11, 123 Kiselman, C.O., 37 Klein, F., 12, 39 Koebe, P., 21 Kondraˇsov, V.I., 316 K¨ onig, M., 234 Korn, A., 17, 106, 173, 184, 191, 269

Kreß, R., 209 Kronecker, L., 12 Ladyzhenskaya, O.A., 279 Lagrange, J.L., 2, 5, 343 Laplace, P.S., 2, 4, 5 Lax, P.D., 123, 314, 335, 337 Lebesgue, H., 16, 69, 73, 79, 81, 95, 345 Leray, J., 47, 198, 199, 234, 277, 302, 345 Levi, B., 333 Levi, E.E., 289, 290 Lévy, P., 127 Lewis, D.C., 303 Lichtenstein, L., 7, 106, 107, 127, 184, 263, 297 Lions, J.L., 328 Liouville, J., 28, 89, 191 Lipschitz, R., 6 Littman, W., 329 Lord Kelvin, siehe Thomson, W. Lorentz, G.G., 337 Lyapunov, A.M., 16, 123 Malgrange, B., 306 Maurer, L., 345 Maxwell, J.C., 19, 123 Meyer, W.F., 7 Meyers, N.G., 328 Michael, J.H., 281 Mikhlin, S.G., 107 Milgram, A.N., 314, 335 Miranda, C., 264 Mizohata, S., 127 Monna, A.F., 16 Morera, G., 118 Moser, J., 31 M¨ uller, Cl., 47, 53 M¨ untz, Ch., 173 Murphy, R., 7, 13, 19 Nash, J., 298 Neumann, C., 10, 12, 13, 15–17, 20, 29, 40, 190 Neumann, E.R., 17 Neumann, F., 8, 10 Newton, I., 2 Nikodym, O., 304, 336

Personenverzeichnis Nirenberg, L., 192, 281, 297, 330 Noether, M., 12 Ogura, K., 345 Ole˘ınik, O.A., 70 Osgood, W.F., 124 Ostrogradski˘i, M.V., 355 Painlevé, P., 24 Paraf, A., 32, 45 Peano, G., 191 Perron, O., 17, 69, 70, 281 Petrini, H., 6, 115, 118, 299, 306 ´ 28, 170, 191, 290, 297 Picard, E., Pockels, F., 39 Poincaré, H., 16, 17, 69, 73, 75, 220, 300, 301, 312 Poisson, S.D., 6, 7, 10, 63, 108, 173 Protter, M.H., 45 Prym, F.E., 12, 13, 333 Rademacher, H., 106 Rad´ o, T., 69, 70 Raynor, G.E., 170 Rellich, F., 316 Remak, R., 69 Riemann, B., 10, 11, 21, 31, 64, 149, 300 Riemann, J., 20 Riesz, F., 69, 70, 208–210, 335 Robin, G., 10, 16 Rosenblatt, A., 127 Rothe, E.M., 263 Schauder, J., 47, 127, 181, 191, 198, 199, 209, 234, 263, 264, 267, 272, 277, 281, 298 Scheeffer, L., 312 Schmidt, E., 210, 220 Schober, G., 16 Schwartz, L., 302 Schwarz, H.A., 10, 13, 16, 17, 28, 29, 35, 37, 63, 64, 78, 80, 191, 220, 300, 312 Serrin, J., 328 Simader, C.G., 319 Simoda, S., 173, 174 ˇ smarev, I.A., 329 Siˇ Sobolev, S.L., 302, 303, 327, 345

Stampacchia, G., 329 Steinlein, H., 76 Steklov, V.A., 345 Sto˙zek, W., 170 Tautz, G., 70 Thieme, G.A., 12 Thomson, W., 7, 10, 11, 20, 89 Tietze, H., 274 Todhunter, J., 7 Trudinger, N.S., 263 Ural’tseva, N.N., 279 Viˇsik, M.I., 316 Vitali, G., 74 Voigt, J., 76 Volterra, V., 74 Weber, H., 12, 13, 39 Weierstraß, K., 12, 24, 344 Weinberger, H.F., 45, 329 Wendland, W., 209 Weyl, H., 127, 300, 304 Whitney, H., 253, 353 Widman, O., 127 Wiener, N., 70, 73, 300, 301, 352 Zaremba, S., 10, 75, 79, 81, 127, 299–301, 303, 304, 312, 335, 337 Zhao, Z., 127 Zygmund, A.S., 107

397

Sachverzeichnis

A-Priori-Absch¨ atzung, 47, 114, 234 globale, 33 innere, 25 Ableitung schwache, 302, 304 starke, 303, 307 alternierendes Verfahren von Schwarz, 13, 17, 79, 80 außere Kegeleigenschaft, 76, 81 ¨ außere Kugeleigenschaft, 76 ¨ gleichm¨ aßige, 128 Außenraum, 83, 100 Außenraumproblem, 88 Banach-Steinhaus, Satz von, 313 Banachscher Fixpunktsatz, 186, 192, 264, 274 Banachscher Satz u ¨ber die Stetigkeit der Inversen, 179 Banachscher Satz von der offenen Abbildung, 180, 234, 252, 264 Barriere, 72, 73, 75 Beltrami-Operator, 90, 184 Beltrami-System, 184 Bernstein, Lemma von, 33, 43, 46, 192, 196, 271, 272, 274 Bilinearform beschr¨ ankte, 314 koerzitive, 315 streng koerzitive, 315 Bˆ ocher, Satz von, 28, 88, 124, 170

calculus inequalities, 192 Carleman-Ungleichungen, 47 Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen, 20, 47, 53, 186, 191 Darstellungssatz von Fréchet-Riesz, 310, 314, 335 Differentialgleichung elliptische, 45 selbstadjungierte, 96 hyperbolische, 45 parabolische, 45 quasilineare, 277 semilineare, 198 Dirichletintegral, 95, 304 Dirichletproblem, 9, 10, 59, 73 semilineares, 197 transformiertes, 304, 335 verallgemeinertes, 304, 308 Dirichletsches Prinzip, 10, 11, 95 Doppelschichtpotential, 15 Dualsystem, 209 Ehrling, Lemma von, 193 Einbettungssatz, 193, 199 eindeutige Fortsetzbarkeit, 47 schwache, 37, 48 starke, 37, 47 Einfrieren der Koeffizienten, 269 Fixpunktsatz von Leray-Schauder, 199 Fortsetzungssatz von Tietze, 274

400

Sachverzeichnis

Fredholm, Satz von erster, 209 zweiter, 209 Fredholmsche Alternative, 208, 217, 228, 275, 316 Fundamentallemma der Variationsrechnung, 303, 351 Gebiet von endlicher L¨ ange, 253, 367 Giesecke, Satz von, 92 Gl¨ attungskern, 346 Gl¨ attungsoperator, 345 Gl¨ attungsschar, 346 Greenpotential, 118 Greensche Darstellungsformel, 108, 167 Greensche Funktion, 10, 118, 154 Grundl¨ osung, 104, 150, 290 harmonisch (Definition), 5, 19, 300 Harnack, Satz von erster, 14, 15, 24, 29, 55, 60 zweiter, 29, 42 Harnackabsch¨ atzung, 28, 30, 42, 56 Harnackungleichung, 28 klassisch, 98 Helmholtzsche Schwingungsgleichung, 39 H¨ olderbedingung, 6 H¨ olderexponent, 106, 363 H¨ olderschranke, 106, 174, 363 h¨ olderstetig, 6, 363 gleichm¨ aßig α-, 174, 365 lokal, 106 lokal gleichm¨ aßig α-, 203, 364 hypoelliptisch, 324 innere Regularit¨ at, 139, 203, 248, 287 Integralgleichung 1. Art, 208 2. Art, 208 Fredholmsch, 208 Integralkern, schwach singul¨ arer, 213 Interpolationsungleichung, 192 Kellogg, Satz von, 233, 246, 247 Kelvintransformation, 28, 83, 89, 90 bez¨ uglich ∂BR (0), 91 Kompaktheitssatz, 27

Kontinuit¨ atsmethode, 191 Kontraktionsprinzip, 186, 192, 264, 274 Konvergenz, lokal gleichm¨ aßige, 24 Laplace-Beltrami-Operator, 90 Laplacegleichung, 4, 7, 19, 59, 73 Laplaceoperator, 4, 19 Lax-Milgram, Lemma von, 314, 335 Lebesguescher Dorn, 81 Lemma von Bernstein, 33, 46 Ehrling, 193 Lax-Milgram, 314 Weyl, 318, 319 Lichtenstein-Trick, 106 Liouville, Satz von, 28 Liouville-Eigenschaft, 28, 74 lipschitzstetig, 364 gleichm¨ aßig, 174, 365 lokal gleichm¨ aßig, 203, 364 L¨ osung klasssische, 304 partikul¨ are, 104 schwache, 304, 305 Maximumprinzip, 14 schwaches, 33 Methode der arithmetischen Mittel, 16 der elektrischen Bilder, 89 der orthogonalen Projektion, 304, 336 der reziproken Radien, 89 Méthode de balayage, 17, 69, 73 Minimalfolge, 299, 335 Minimumprinzip schwaches, 20, 32, 43, 64, 68 starkes, 31, 45, 68 Mittelfunktion, 345 Mittelungskern, 345 Mittelwerteigenschaft, 20–22, 28 eingeschr¨ ankte, 73, 98 Mittelwertrelation, 40 zweite, 55 mollifier, 346 Neumannsche Reihe, 190, 223 Newtonpotential, 105, 306

Sachverzeichnis Operator kompakter, 193 symmetrischer, 210 transponierter, 209 Parametrix, 135, 289 Perronsche Methode, 67, 83, 85 Poincaré, Ungleichung von, 339 Poissonformel, 13 Poissongleichung, 6, 7 Poissonintegral, 20, 28 Poissonkern, 66 Poissonsche Integralformel, 64 Potential, 2, 4 Potentialtheorie, 1, 5, 7, 8, 10, 16, 70 Pr¨ ahilbertraum, 210 Projektionssatz, 299, 335, 336 quasilinear, 277 Radialableitung, 48, 99 Randmaximumprinzip, 34 Randminimumprinzip, 34 Randpunkt, regul¨ arer, 72 Randwertproblem, 10 Dirichletsches, erstes, 9, 10 Neumannsches, zweites, 8, 10 Robinsches, drittes, 10 Zaremba-Problem, 10 Resolvente, 210 Resolventenmenge, 209 Richtungsableitung, 99 Riemannscher Hebbarkeitssatz, 78 Satz von Banach-Steinhaus, 313 Banach (Fixpunktsatz), 186 Banach (offene Abbildung), 180 Bˆ ocher, 170 Fréchet-Riesz, 310 Fredholm, 209 Giesecke, 92 Harnack erster, 24, 60 zweiter, 29 Kellogg, 233, 246, 247 Leray-Schauder (Fixpunktsatz), 199 Riemann (Hebbarkeitssatz), 78

401

Sobolev (Einbettungssatz), 302 Tietze, 274 semilinear, 184, 197 Singularit¨ at behebbar, 78 isoliert, 80 Singularit¨ atenfunktion, 104, 150 Sobolev, Einbettungssatz von, 302 Spektrum, 210 Spiegelung an einer Sph¨ are, 89 Stabilit¨ atss¨ atze, 60, 221, 229 Steklov-Funktion, 345 superharmonisch, 68 Testfunktion, 302 Ungleichung von Poincaré, 339 Unterhalbstetigkeit, 97, 101 Weyl, Lemma von, 318, 319 Zerlegung der Eins, 352, 353 Zerlegungssatz, 314

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Eine Einführung mit historischen Bemerkungen

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine Einführung mit historischen Bemerkungen

Korruption als Ordnung zweiter Art

Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung

Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

Differentialgleichungen mit Mathcad und Matlab

Angewandte Funktionalanalysis: Funktionalanalysis, Sobolev-Räume und elliptische Differentialgleichungen German

Differentialgleichungen mit MATHCAD und MATLAB German

Numerik partieller Differentialgleichungen: Eine anwendungsorientierte Einführung

Eine Hexe mit Geschmack

Eine Termlogik mit Auswahloperator

Eine Hexe mit Geschmack

Eine Nacht mit Folgen

Eine Hexe mit Geschmack

Eine Nacht mit Folgen

Eine Kindheit mit Gurdjieff

Eine Hexe mit Geschmack

Eine Hexe mit Geschmack

Elliptische Randwertprobleme 001

Bemerkungen zur Mondmagie

Elliptische Kurven I 002

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Gewoehnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Die Ordnung der Dinge: Eine Archäologie der Humanwissenschaften

Zur Ordnung des Wirtschaftslebens: Plädoyer für eine präskriptive Ökonomik

Meromorphe Differentialgleichungen

Uber den historischen Materialismus

Elliptische Kurven II 001

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: Eine Einführung mit historischen Bemerkungen

Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine Einführung mit historischen Bemerkungen

Korruption als Ordnung zweiter Art

Variationsrechnung und Partielle Differentialgleichungen Erster Ordnung

Partielle Differentialgleichungen: Elliptische (und parabolische) Gleichungen

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Elliptische Kurven I 002

Partielle Differentialgleichungen

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Partielle Differentialgleichungen

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