Koecher · Krieg Elliptische Funktionen und Modulformen
Max Koecher · Aloys Krieg
Elliptische Funktionen und Modulformen Zweite, überarbeitete Auflage Mit 26 Abbildungen
123
Prof. Dr. Max Koecher † Prof. Dr. Aloys Krieg Lehrstuhl A für Mathematik Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen Templergraben 55 52062 Aachen E-mail:
[email protected] Internet: http://www.mathA.rwth-aachen.de
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Mathematics Subject Classification (2000): 11F11, 11F25, 11F27, 11F66, 30B50, 33E05
ISBN 978-3-540-49324-2 Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-63744-8 1. Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1998, 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Umschlaggestaltung: WMXDesign GmbH, Heidelberg Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3100YL - 5 4 3 2 1 0
9 : ( : ;( ! : ; < ;' (
= ' 4 8' ?@ ' 5 A ##6
: @ * 5 BB+B2 ' $
@ ! * 0* 12B23 ( $' 0C(35 'D' 0 3 A' 0 3 ! ( : ' 8 : < ; 8 ' 5 A 12B2 : 8 ( , *! ' E F 5 @ 4 $ * 4 * ; ' $ : ( 5 * )) @ < : * ) * 4 ( G ' 8 ( 0, |Re τ | ≤ |τ | ≥ 1# ω , ω ∈ C \ {0} Q < R5 ( ω /ω
' $# , Per f = {0}' Per f 5 1013 ω ∈ Per f $ 0 < |ω | = inf{|ω| ; 0 = ω ∈ Per f }' 0∗3 ; 0 |ω| ≥ ρ 0 = ω ∈ Ω' 4 J N , : 03 22 9 ' : '&
8 ( 4 ! ! ' 8 ( % ) Ω E ** : C ω , ω ∈ Ω < R5 : '& Ω ⊂ Qω + Qω ' 013 $#
1
1 1
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3
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t
1
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1
1
2
2
, : , N ∈ N : !
1 (Zω1 + Zω2 ). N ω ∈ Ω
Ω⊂
( 5 ''5 %" &8("& " U ∈ Mat(2; Z) 0/ 9
03 U ∈ GL (2; Z)' 03 det U = ±1' 03 U , ", Q U ∈ Mat(2; Z)# 0:3 -,, U : Z → Z , x → Ux ,7# 0:3 -,, U : Z → Z , x → Ux 7# 0:3 Q ' $# )* 03 ⇒ 03 ⇒ 0:3 ⇒ 0:3 =⇒ 03% $ u, v ∈ Z Uu = Uv = 5 '' UV = E V := (u, v)' det U · det V = 15 03' 03 =⇒ 03% : ( 1 d −b a b . U = U= c d det U −c a 2 −1
2
2
2
2
2
1 0
0 1
−1
9 H ** GL (2; Z) 9 SL (2; Z) := {U ∈ GL (2; Z) ; det U = 1} 03 : GL (2; Z)5 + ; ", Z' GL (2; Z) = SL (2; Z) ∪ SL (2; Z) ·
1 0 0 −1
SL (2; Z) ) GL (2; Z)' H ** GL (2; Z) ;(' SL (2; Z) N GJ O ; 0 $ 7 E : Z ' 4 - 8- ϕ : N → Z α : H ;( 5 α ( 5 < E ; 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; #'I'73 : ;1
0=ω∈Ω
−α
7
$ @ : ;! / )))''1' .4
03 G := G (Ω) := ω k ∈ Z, k ≥ 3 k
−k
k
0=ω∈Ω
: ' ω −ω ; Ω G5 1" n ω ∈ = 1 m1 , m2 , m3 ∈ Z" 2 " √ √ √ √ |m1 2 + m2 ( 3 + i 5) + m3 i 7| < 1 ∗ 3
/;
SL (2; Z) # * 1 * ( 11 01 ) ( 10 11 ) Ω = Zω1 + Zω2 + C δ :
? 3
@ :
δ(ω1 , ω2 ) = max{|ω1 + ω2 |, |ω1 − ω2 |}. 3
Ω = Zω1 + Zω2
:
3
Ω
@ 3
+
C
δ(ω1 , ω2 ) ≤ δ(ω1 , ω2 )
+
a, b ∈ R
C
τ := ω1 /ω2 ∈ C \ R , |τ | ≥ 1" |Re τ | ≤
) 7
(ω1 , ω2 )
$ * * 9 & 5 :
|e(ρ) − abπρ | ≤ cρ 2
)
Ω.
C ∈ R : ω1 , ω2 Ω !) ρ > 0 2 2 e(ρ) := (x, y) ∈ Z × Z ; xa + yb ≤ ρ
1 2
c > 0"
δ(ω1 , ω2 ) > C
ρ ≥ 1
5 # 6 *(A @ / #
1
:
n∈Z
1 6 *(A 3
Ω = Zω1 + Zω2
+
|ω|−α =
0=g∈Z
0=ω∈Ω
C
: )
α>2 Re (ω1 ω2 ) |ω1 |2 . S= 2 Re (ω1 ω2 ) |ω2 |
(g t Sg)−α/2 , 2
3 k ∈ Z , k > 2 5 Gk (Ω) = 0" √ Z 12 (1 + i 3) + Z k ≡ 0 (mod 6)
Ω = Zi + Z
k ≡ 0 (mod 4)
Ω =
8 * 5 ; H Ω C ! * 4 f Per f = Ω 0: ' 8 1'73' E ! $ ;
4 ! ( 8 4 ' $ ;!8 ( ( K7 ' ) D Ω = Zω + Zω H C' + " $ * 4 ! f C J * ; Ω5 ( Ω Per f D : f 0: ' 1'3 % Ω ⊂ Per f ' 013 D + ω = D ω ∈ Ω5 03 f (z + ω) = f (z) ω ∈ Ω z ∈ C \ D ' 1
f
2
f
f
"
) * 03 5 H z ω G 5 ( , : 5 013 4 : 03' 8 013 03 5 ( 8 : Ω ' $ ; K(Ω) ; Ω * 4 ' 4 0 = f ∈ M c ∈ C 0 ' - 5 H' " R##T5 1'1'73 %" ?: 4 f (z) =
an (z − c)n , am = 0, m ∈ Z,
n≥m
* E : c 5 * ; ! <J : ' ) f c ( 1'1073 ord f := m
4 f c res f := a ∗? + &!
1'
71
9 ,; . ; u!, : f m' , c ∈ P f (c) = u ' f 5 f (−c) = u ω ∈ Ω c = ω − c ∈ P ( f (c ) = u' ) 4 c = c ( f (c + z) = f (ω − c + z) = f (−c + z) = f (c − z)5 f (c + z) = −f (c − z) f (c) = 05 u ∈ f (N ) ' c c = ω − c : u!, : f D ' u ∈/ f (N ) - u!, @ 1' 03 f
℘# (0
ω2 > 0.
)
I7
℘
5 ω ω ' 1
2
, z ∈ C \ Ω#
3 ℘(z)
ω ∈ Ω , z ∈ + R z ∈ + iR . 03 3 " z ∈ + R, ω ∈ Ω ℘ (z) # " z ∈ + iR, ω ∈ Ω ω 2
$#
ω 2
0 #
ω 2
013
ω 2
℘ (z)
'
− ω) ∈ Ω ℘ ω2 + z = ℘ ω2 + z , ℘ ω2 + z = ℘ ω2 + z 1 (ω 2
073 D* "' ℘ ℘ 5 ℘ ℘ , ! ω ω +ω
;(' −∞
+∞? ,7 , , # ("&
& 0,
ω1 ............................................................................................................................................................ ω3 .. . •...... 2 ........ 2 •...... . ... . ... ..... ... ... ... ..... ... ... .... .... .... . ......... . . ..... ....... ... .... ... . . . . ..................... ... ...... ... ... ..... ... ... ... ... ..... ... .... ... .... ... ... .... ... .... ω ... .................. . 2 . . . . . . .................................................................................................................................................... ......... 2
@
0•
e1 •
e3 •
e2 •
............... .... ...... ........... .................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............... .... ....... ...........
•
' 2% : @ $# $ V ) @ ' 4 z = x + iy 0 < x ≤ ε 5 0 < y ≤ ε ε > 0 x − y − 2ixy 0∗ 3 ℘(z) = z + O(ε ) = + O(ε ). (x + y ) −2
2
2
2
2
2
2 2
II
℘(V ) ; < 5 *; D* ℘(V ) ⊂ H H := {w ∈ C ; Im w < 0}5 0∗∗3 ℘(z + ω/2) = ℘(−z − ω/2) = ℘(−z + ω/2)
℘ ω23 + V = ℘(V ) ⊂ H, = ℘ ω22 + V ⊂ H = {w ∈ C ; Im w > 0} = H, ℘ ω21 + V
H 0∗∗3 D* ,; '. ' 9 '7 ℘ (z) = 0 z ∈ V ' ℘ : V → H *' 4 ε > 0 f (y) := ℘(iy), 0 < y ≤ ε5 ( f (y) = i℘ (iy) = 2y + O(ε), f (y) > 0, ( ' Q ℘ = 4(℘ − e )(℘ − e )(℘ − e ) ℘ (iy) = 0
0 0 < y < ω /2i' f ) : ]]0, ω /2i]] ( - : ]] − ∞, e ]] ' 2 , : V J 0 ' 5 4 5 ( (0, ω , ω ) *: ' 0I3 01U3 063 ℘(z; ω , ω ) = ω · ℘(z/ω ; τ, 1) G (ω , ω ) = ω · G (τ, 1) k ≥ 3' F E : * 4 ; Ω ( $ < ω = 15 Ω = Zτ + Z τ ∈ H ' , < ,, H / H := {τ ∈ C ; Im τ > 0}' + bω aτ + b 0B3 τ := ωω = aω =
Im τ = |cτad +− d|bc · Im τ cω + dω cτ + d 1
2
Ω
k
1
2
k
k
1
2
1
1 2
1
1
2
1
−2
2
2
1
k
1
2
2
1
2
k
1
−k
2
k
2
1
2
2
2
1
1
1
k
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
−2 2
2
2
k
1
−k 2
2
k
2
1 2
1
2
1
2
2
= : 8 (τ, 1) : Ω ; 8 (τ , 1) H Ω τ ∈ H ; U = ( ) +
", Z5 SL (2; Z) := {U ∈ GL (2; Z) ; det U = 1}5 ; 0: ' 1'"033' 0I3 ( 03 01U3 4 aτ + b z ; , 1 = (cτ + d) · ℘(z; τ, 1) 023 ℘ cτ + d cτ + d ;(' aτ + b , 1 = (cτ + d) · G (τ, 1) k ≥ 4 01#3 G cτ + d
1 cτ +d
a b c d
2
k
k
k
I2
! "#$ %
( ' a, b, c, d ∈ Z ad − bc = 1' # A + ? G F $ ! ( : H 4 Ω = Zτ + Z Im τ > 05 τ ∈ H5 013 τ 5 ' ) 8 ; : 03 G (τ ) := G (τ, 1) = (mτ + n) , k ≥ 4 5 k
k
−k
k
m,n
( , , ; 5 D (0, 0) = (m, n) ∈ Z × Z
; ' 9 G !
H C Q ' ( @ , !D! ( % k
, " τ ∈ H + k ≥ 2
073
(τ + n)−k =
n∈Z
∞ (−2πi)k k−1 2πirτ · r e . (k − 1)! r=1
Q . !D ( 0: ' '
(
$#
- 5 H' " R##T5 ,; 11''13 1,
m=1
0I3
σs (m) :=
ds , s ∈ R .
d∈N,d|m
4 !" ε > 0 7 $ {τ ∈ H ; Im τ ≥ ε} , 0@ # Gk ! H !"
0"3
Gk
aτ + b cτ + d
= (cτ + d) · Gk (τ ) !" k
a b c d
∈ SL (2; Z) .
0I3 5 G k ≥ 4 : ( ' $# : ; : ;! 1'2 Ω = Zτ + Z 03 k
Gk (τ ) =
n−k +
n=0
(mτ + n)−k = 2ζ(k) + 2
∞
(mτ + n)−k .
m=1 n∈Z
m=0 n∈Z
A ; < D* 0. 8 ,; * 4 1
2
1
2
." c2 , c3 ∈ C c32 − 27c23 = 0
,
Ω
C
c2 = g2 (Ω) c3 = g3 (Ω). $#
9 ,; . H Ω j(Ω) =
3 c
(12c2)3 . − 27c23
c32
% j(Ω) = 05 g (Ω) = 0 , g (Ω) = 0' ( v, u ≡ v (mod 2)
4 ; f ( 1 0 P = (x, y) ∈ E N " 6J* x, y ) Q + ≤ N 2 @ E * (R/Z) × (R/Z) 3 Ω 8 & : ER := E ∩ (R × R) = {(℘(z), ℘ (z)) ; z ∈ ω2 + R \Ω, ω ∈ Ω}.
3
ER := ER ∪ {O}
*
(Z/2Z) × (R/Z)
1 9
E6 F
E
=
(x, y) A 9 & Y 2 = 4X 3 − 4f 2X " x H Q ν(x) : ν(y) ≡ 0 (mod 4) = 3 f ∈ N ; f :& * " # x B " x, x + f, x − f H Q ' f ∈ N + Ω * 6 Y 2 = 4X 3 − 4f 2 X 3
f
; :& *
6
) "
F D ζ ! σ!4 D ∆ = g − 27g ' , ( 5 ( ; :; ! : ,' % R12B6T5 *' 1B' ( ( D * ℘!4 ' $ Ω H C (ω , ω ) 8 : Ω' σ 8 9 D ; 0 ' - R122"T5 ,; 7'1'I3 : ;! 1'2 D z ( ) ·e 1− 013 σ(z) := σ(z; Ω) := z · ω - * : C <J : ' σ
; 4 5 , z ∈ Ω 9 1' C ;' ω −ω ; Ω < 5 σ # σ(z) ! ' 9 ; : σ ζ 5 1 1 1 z σ (z) + + , z∈ / Ω. 03 ζ(z) := ζ(z; Ω) := σ(z) = z + z−ω ω ω : < - F ; 5 * : 2 ! ' 3 2
2 3
1
2
z + 12 ω
z 2 ω
0=ω∈Ω
2
0=ω∈Ω
1 1 z z2 + + 2 = 2 z−ω ω ω ω (z − ω)
6"
( )
: 03 : ;! 1'2 - *! C5 H * +0 &! ?
, 1 C
ω0 := b1 + . . . + br − a1 − . . . − ar ∈ Ω : !
f (z) = C ·
σ(z − a1 − ω0 ) · σ(z − a2 ) · . . . · σ(z − ar ) . σ(z − b1 ) · . . . · σ(z − br )
( ℘!4 ( ." ; " z, w ∈ C \ Ω
℘(z) − ℘(w) = −
σ(z + w) · σ(z − w) . σ 2 (z) · σ 2 (w)
6B
, 2w ∈/ Ω ' , w ' ℘(z) − ℘(w) z = 0 D ;( C '70"3 z = ±w - 9 1' C ' 9 ?,; $#
℘(z) − ℘(w) = C · f (z)
f (z) :=
σ(z + w) · σ(z − w) σ 2 (z) · σ 2 (w)
C ' 1013 7'10I3 lim z 2 · f (z) = −1 , lim z 2 · (℘(z) − ℘(w)) = 1,
z→0
z→0
C = −1.
2
." - " z ∈ C\Ω
℘ (z) = −
σ(2z) . σ 4 (z)
*; : H ; w → z '
$#
1 z−w
2
." 6 " z ∈ C \ Ω ω ∈ Ω , ω/2 ∈ / Ω
℘(z) − ℘ (ω/2) = $#
2 σ (z − ω/2) eη(ω)z/2 · . σ(z) · σ (ω/2)
< w = ω/2 : ( 03 4 σ (z + ω/2) = −eη(ω)z · σ (z − ω/2) .
2
9 . ℘(z) − ℘ (ω/2) , ω ∈ Ω \ 2Ω5 V * 4 5 0I3
1 ω σ (z − ω/2) = +··· , ∈ / Ω, ℘(z) − ℘ (ω/2) := −eη(ω)z/2 · σ(z) · σ (ω/2) z 2
/ ' 5 0I3 * 4 ; H Ω ' $ - ." " ω0 ∈ Ω\2Ω
℘(z) − ℘(ω0 /2) := −eη(ω0 )z/2 ·
I
σ(z − ω0 /2) σ(z) · σ(ω0 /2)
) + 2Ω# ! Ω# , ! !
ω20 + Ω#
62
( )
9 ! D $! σ?4 ' 5 ω ∈ Ω $#
=
℘(z + 2ω) − ℘ (ω0 /2) ℘(z) − ℘(ω0 /2) · eη(ω0 )ω−η(ω)ω0
σ (z + 2ω − ω0 /2) = − eη(ω0 )(z+2ω)/2 · σ(z + 2ω) · σ (ω0 /2) = ℘(z) − ℘(ω0 /2),
( ; 05 013 ω = τ , ω = 15 ; ; ; 03 σ(z; τ ) := σ(z; Ω) , η(ω; τ ) := η(ω; Ω) ω ∈ Ω = Zτ + Z
η := η(1; τ ) = η(1; Ω)' 073 % ! 1 η · τ − η(τ ; τ ) = 2πi' 0I3 ( ; ( , !8 ; q := e τ ∈ H , w := e z ∈ C 0"3 √ √
' ,* ; q := e ;(' w := e ' 1
2
2πiτ
2πiz
πiτ
πiz
$ "
03
f (z) := e−ηz
2 /2
·
√ w · σ(z; τ )
!"
063
f (z + 1) = f (z) f (z + τ ) = −
$#
03 ; 0,
n=1
( N O 8 ; ;' 5 ( ( $ ; :;! 5 ( 5 ( *; 4
* ' F ; 03
∞ P := (1 − q n ) , 0 P1 :=
n=1 ∞
P2 :=
1 − q n−1/2 , P3 :=
n=1
∞
(1 + q n ) ,
n=1 ∞
1 + q n−1/2 .
n=1
5 D ( |q| < 1 : ' P0 P1 P2 P3 =
∞
(1 − q 2n ) ·
n=1
∞
(1 − q 2n−1 ) = P0
n=1
; @)% 5 ) . 5 6?BI3 ( .'H'A' '& 0# ( 5 1I1?1""3 ' : )))5 K' 1 ;A + " "* %"" 9 I'I013 ( ) : j(τ ) = (12g (τ )) /∆(τ ) , Im τ > 05 / ' H <J I'703
G
2
3
12g2 (τ ) = (2π)
4
∞
1 + 240 ·
σ3 (m) · e
2πimτ
,
m=1
"013 ∆(τ ) = (2π)12 e2πiτ ·
∞
(1 − e2πimτ )24 .
m=1
$ 2πiτ
e
· j(τ ) =
1 + 240 ·
∞
3 σ3 (m) · e
2πimτ
m=1
·
∞ m=1
∞
24 2πimnτ
e
.
n=0
4 *: "! Y; ' $ *! j(τ ) = e−2πiτ +
("&
∞
jm · e2πimτ ,
m=1
".1D+ jm j + 2 #
j / )))''I' m
BI
" # ; H Ω = Zτ +Z, τ ∈ H5 /
013
ϑ(z; τ ) :=
eπin
2 τ +2πinz
.
n∈Z
* ( : .'H'A' '& 1B2
># ( ? ; : * 4 : ( ' $ " 4 013 , 0@ ! C×H# "
! τ ∈ H ϑ(z; τ ) + z
# :
03
)
ϑ(z + 1; τ ) = ϑ(z; τ ) ϑ(z + τ ; τ ) = e−πiτ −2πiz · ϑ(z; τ ).
*5 ε > 0 Im τ 5
K ⊂ C×H |Im z| ≤ 1/ε (z, τ ) ∈ K $#
τ +1 2
|eπin
2 τ +2πinz
∞
|≤1+2·
e−πn
2 ε+2πn/ε
≥ ε
+Ω
< ∞.
n=1
n∈Z
: * <J C × H * z τ ' 013 ϑ(z + 1; τ ) = ϑ(z; τ ) ( ϑ(z + τ ; τ ) = e−πiτ −2πiz ·
τ +1
2
2 τ +2πi(n+1)z
eπi(n+1)
= e−πiτ −2πiz · ϑ(z; τ ).
n∈Z
ϑ
;τ = (−1)n eπin(n+1)τ = (−1)−m−1 eπi(−m−1)(−m)τ = −ϑ( τ +1 ; τ ), 2 n∈Z
ϑ( τ +1 ; τ) 2
m∈Z
' 03 n
' A ; ; m = n + 1 ; n n − 1 m n + 1' ζ(z + w) + ζ(z − w) − 2ζ(z) = ℘(z)−℘(w) ? 2ζ(2z) = ζ(z) + ζ (z + ω1 /2) + ζ (z + ω2 /2) + ζ (z − (ω1 + ω2 )/2) 1 ψ3 (z) = 3℘(z)℘ 2 (z) − 4 ℘ (z)2 ℘ (z)/℘ (z) = 2ζ(2z) − 4ζ(z) @ 3 f ∈ M f (z + ω) = c(ω) · f (z) ) ω ∈ Ω : ! & f 9 (
P 2 a1 , . . . , ar 9 b1 , . . . , br $ > : α, β ∈ C
= 3
* +
∗
f (z) = α ·
σ(z − a1 ) · . . . · σ(z − ar ) βz ·e . σ(z − b1 ) · . . . · σ(z − ar )
& ) 7 ! & ∗
f (z + ω) = c(ω) · f (z)
βω+η(ω)(b1 +···+br −a1 −···−ar ).
3
ω ω
c(ω) = e ω1 = U ω2 , U ∈ Mat(2; Z), Im (ω1 /ω2 ) > 0.
:
η(ω )ω − η(ω)ω = 2πi · det U. a ∈ C" a = 0, 1 B f 2 = (1 − f 2 )(1 − af 2 ) ) !) $ λ, µ : Ω → C '
! & *
Θ[λ, µ]
f"
:K
1 * ! &
f
5
f (z + ω) = e−πi(λ(ω)z+µ(ω)) · f (z)
Θ[λ, µ] CEL& Θ[λ, µ] · Θ[λ∗ , µ∗ ] ⊂ Θ[λ + λ∗ , µ + µ∗ ] 0 Θ[λ, µ] = {0}" λ : Ω → C
λ(ω)ω − λ(ω )ω ∈ 2Z,
Θ[λ, µ]
+
z ∈ C, ω ∈ Ω.
)
/ ! & 2 " #
0 !
Θ[λ, µ] = C · fa,b , Ω = Zτ + Z
τ ∈ H"
)
ϑ(·; τ ) ∈ Θ[λ, µ]
)
ω, ω ∈ Ω
µ(ω + ω ) − µ(ω) − µ(ω ) − λ(ω )ω ∈ 2Z.
λ(ω) = 2aω
0
)
a, b ∈ C
2
µ(ω) = aω + bω. fa,b (z) := e−πi(az
2
+bz)
.
E8
λ(mτ + n) = 2m, µ(mτ + n) = m2 τ.
0 = f ∈ K(Ω) a1 , . . . , al * 8 / C 9 Ω" " 7 9 f Ω * aν & aν & : I f aν #
cν,1 cν,lν + ···+ z − aν (z − aν )lν
= 3
f
lν
≥ 1
' 3 5B * 6
f (z) =
l
cν,1 ζ(z − aν ) +
ν=1
C
5
lν (−1)k cν,k ℘(k−2) (z − aν ) + C. (k − 1)!
k=2
0 ## : F 3
a1 , . . . , al ∈ C
# & Ω ! # I ( aν 3 # 6 )
2
5B * ! & *
Ω
Ω
I
9
a1 , . . . , al ∈ C
aν
*+ ℘", - $ $ % ' . /
) D ( 3 Ω = Z 2 (1 + i 3) + Z : ℘ 2 (1 + i 3)z; Ω = − 2 (1 + i 3) · ℘(z; Ω) 1 ? 3 Ω = Zτ + Z , Im τ > 0" + & B √ & ℘(τ z; Ω) 1 9C ℘(z; Ω)" # τ = i τ = 2 ±1 + i 3 ' 3 ) *# + Ω Ω C M; * $ < Ω Ω & " " : Ω ∩ Ω 0 B Ω Ω : : Ω ∩ Ω + C : 3 Ω + Ω + C 5 K(Ω) ∩ K(Ω ) = C
0 * , √ = 3
1#1
0+ 1
0+ 9 A
* 4 ' ' / 0' ' !25 722?I#63 12B 5 9 ℘!4 *; ' ; $ 8 ( %
4 ℘8
" τ ∈ H , Ω = Zτ + Z C + ℘. ℘(z; τ ) = ℘Ω (z)# $+ z ∈ C ℘(z; τ ) = 0 ,
√ ∞ log(5 + 2 6) 24i ξ · ∆(τ + iξ) 1 + 2 · z = mτ + n + ± dξ , m, n ∈ Z. 2 2πi π [g3 (τ + iξ)]3/2 0
$ @ 9 5 05 τ → τ +α τ → −1/τ ; ; ' : /; ; "? 0 µ τ = − λ − µ − (τ + λ) , λµ = 1 . −1 −1 −1
2
9 ,; 7 ; - τ ∈ H ' , ;( ; M, L ∈ SL(2; R) τ =
H " + #"
M ∈ SL(2; R)
τ
= Mi
11
%
5 (L M)i = i 10"3 10735 ''5 M = LK Ki = i' −1
Mi = Li K ∈ SL(2; R)
, " K ∈ SL(2; R) 0/ 9
03 Ki = i' α β 03 K = −β α α + β = 1' 03 K ∈ SO(2) := {M ∈ SL(2; R) S M
}' 0:3 " C := 11 −ii C · K · C = e0 e 0 ϕ ∈ R# 2
2
iϕ
−1
−iϕ
Ki = i αi + β = i(γi + δ) 5 4 K = ; δ = α γ = −β <M : ' XM : ; : 03 03 0:3 2 @ / ' $#
α β γ δ
E ** SO(2) : SL(2; R) V SL(2; R)/SO(2) := {L · SO(2) ; L ∈ SL(2; R)} 013 ' SO(2) 9 SL(2; R) 5 4 *! * 5 4 :' H ** SL(2; R) * Q : V 013% (M, L · SO(2)) −→ (ML) · SO(2) M ∈ SL(2; R)' 03 D* ; 5 SL(2; R)/SO(2) −→ H , L · SO(2) −→ Li ,
C* 03 : < 8- ' H∼ = SL(2; R)/SO(2) .
D* @ 1' 0∗3 ,; ,; 7 5 ϕ ∈ E ϕ(0) = 0 ϕ(Φ (τ )) ∈ ]]0, 1[[ ; / ' ' Mτ = i
Mτ = λi
C
116
# 2# #
F : M ∈ SL(2; R) λ > 1 M τ = i
M τ = λ i' Ki = i Kλi = λ i K = M M ∈ SL(2; R)' D* α β , α + β = 1 αλi + β = iλ (−βλi + α), K= −β α
2
−1
2
λ = λ K = ±E ' τ → Mτ 2 '
, M = ( ) ∈ GL(2; C)' τ ∈ P = C ∪ {∞} : M 5 ( Mτ = τ 5 ( 101#3 τ = ∞ : ( ' 4 τ ∈ C Mτ = τ <M : ;
cτ + (d − a)τ − b = 0' 013 ) M
5 τ τ H 5 4 M = ±E G τ ∈ H Mτ = τ '
! 1 ' 9 2 8 * 073 ,; '
$#
." ; 3 1 K H H*1 ,
H.' i
Di,r := {z ∈ H ; |z, i| ≤ r},
r > 0.
D* z → |z, i| 2 * K r ' D* ) : ;?8 ; 0I3 : 0 2 2 1 + s2 2sy er − 1 . (u − x)2 + v − y = , s= r 2 2 1−s 1−s e +1
063
F 0 5 - ' ." - (wk )k≥1 H z ∈ H (|z, wk |)k≥1 , 0 #
,+ (wk )k≥1 0 τ ∈ H D : Pos (2; R)
1 − < Re τ < 0'
: F ! 4 ' CQ ( F : H Re τ = ±
8 $ 5 : : C ! ' F F = {τ ∈ H ; | τ | ≤ , |τ | ≥ 1}, F = {τ ∈ H ; | τ | < , |τ | > 1} • ; ;(' ρ ρ i ◦ • Q : F' * ! i 03 ρ := + i√3 ρ = −1 G ; F5 ( 0, τ → M τ := 013 Mτ , det M < 0, H' $ 4 : H ; C* : 1 0 03 GL(2; Z) = Γ ∪ Γ · 0 −1
9 2
( ( ' / N 1 # :D ϕ K $ : a b ∈ K ; |b + c| ≤ a ≤ d , |b − c| ≤ 1 , det Z ≥ 1 . ϕ(F × F) = Z = 1 '
c
d
! 2 / ) D ( @ 5 ( 4 ! ; E ** ** ' $ ; ( Γ = SL(2; Z) ** Λ E ** : Γ' " "* % E + , ∆ ; 2#
H Mτ = τ M = ±E Γ[n]5 τ 4* : ' '7 τ = Li τ = Lρ
L ∈ Γ'
2 ( 0 Mz ∈ Kz,ε , M ∈ Λ
!" Mz = z #
$# 3
1I6
!+
λ ∈ R , λ > 1 : PΓ (λi) = F λ ∈ R , λ > 1 : PΓϑ (λi) = Fϑ $ = 3 Γ∞ = {± T n ; n ∈ Z} : PΓ∞ (z) = {τ ∈ H ; |Re (τ − z)| ≤ 1/2} ) 7 z ∈ H 5 & SL(2; R) */ cos(π/n) sin(π/n) * 2n 3 Gn , n > 2" 3
@ 3
− sin(π/n)
SL(2; R)
cos(π/n)
:
Fn := {τ ∈ H ; x ≤ 0 , τ τ + 2x cot(2π/n) ≥ 1} ! =
PΛ (z)
H(3
Gn
1 &
z
* 4 ( , ! : C5 0
2
e−π(n+t) y , t ∈ R,
ϕ(t) :=
n∈Z
"? 0' ! 2 4 ; ' $ 8 ( , / ;'8' ' R12B6T5 162?1B1' 8 - ; f (τ ) := ϑ (τ )5 0 Im τ > γ *? <J : ' ) Y; %" ? 0: ' ' - 5 H' " R##T5 1'1'73 ; 0I3
αf (m) =
w+1 f (τ ) · e−2πimτ dτ
5
w
( ) Im w > γ ;'8' < , : w w + 1 ; ' $ " " ! H 1 f = 0
0/ 9
03 f , ∞ # 03 : , γ > 0 ! : ! 9 03 f ! , {τ ∈ H ; Im τ > γ} # 03 : , m ∈ Z + 7 ε > 0 C , 0
1"I
/4 %
|f (τ )| ≤ C · e−2πm0 ·Im τ
!" τ
Im τ ≥ γ + ε#
, m0 ' m ∈ Z αf (m) = 0#
03 !" γ > 0# $# ( @ : fˆ E : 0 ; ! * % fˆ %" ? 4 035 ( ˆ ≤ C · |z| ' 2
0 {τ ∈ H ; Im τ ≥ γ} <J : ! ' M + '! k , 8 . & V ' $ ; f J + ! 0 % ! 35 ( f ∞ 9 5 ( α (0) = 0 ' @ ,*! ; : H ( k ( S ; ' Q S ⊂M ⊂V k ∈ Z' 0'7]3 α (0) = lim f (iy) f ∈ M ' 013 ) 7013 0 ˜ )=0 α (0) = 05 f ∈ S ' $ ; : w lim f(τ I' 3 ( f "? ( 8 ( : ,; " |α (m)| ≤ C · y ·e y > 0' , : y < 5 y = 1/m , m > 05
κ(f ) + 1 f (τ ) = ϑ(2τ ) 5= , B(H) A(H) ' f ∈ Mk D ! &
> : ! & ?
*
B(H)
κ(f ) = 0
Df (s) = 2ζ(2s)
f ∗ : H −→ C , τ −→ f (−τ ). ∈ Mk f ∗∗ = f : E6J* f " # f ∗ = f : E6J* f /" # f ∗ = −f Mk * * 1 (6J* @ f ∈ Mk 3 * " # * 7 γ > 0 6 α β " : f ∗
f ∈ Mk k ≡ 0 (mod 6) !) f ∈ Sk 3
|f (τ )| ≤ α · e−βy √ ρ = 12 (1 + i 3) 5
r∈Q
)
τ ∈H
f (i) = 0"
lim f (r + iy) = 0. y↓0
!)
f ∈ Mk " f ∈ / Sk " k > 0
r∈Q
lim |f (r + iy)| = ∞. y↓0
y ≥ γ.
k ≡ 0 (mod 4)"
f (ρ) = 0"
1"2
5
3 # 8 * ; *4
013 G (τ ) := (mτ + n) k ≥ 3 ;
−k
k
m,n
<J )'1'203 ;(' )'7'013' , , ; 5 , D (m, n) ∈ Z×Z (m, n) = (0, 0) ; ' C( ( $ G )'KI ( 5 : 8 ( ( % k
, 2 7 1 K H , 1 γ
δ γ · |mi + n| ≤ |mτ + n| ≤ δ · |mi + n| !" m, n ∈ R τ ∈ K#
0' 2
2
) ; )'1'2 1
2 −α
2
m,n
( ; ( ' ( 8 ( / 0' # ( &5 1163% E m +n ≥ |mn|
1
≤4
m≥1
−2α
m
+4
2
2
−α
m
≤ 4(ζ(2α) + ζ 2(α)) < ∞
m≥1
- E : (Z × Z) \ {(0, 0)}'
2
1#
/4 %
$ M
; 0: ' )'I'0"33 : ! ! ' "" $ " " k ∈ Z k ≥ 3 M ∈ Γ Gk |k M =
Gk # #
03
'
Gk (Mτ ) = (cτ + d)k · Gk (τ ) , τ ∈ H
$#
(m , n ) = (m, n) · M < XM : ;?,; )'1'" (m, n) (m , n ) D 2 ; F ' (m · Mτ + n) · (cτ + d) = m τ + n
M = −E 1
∞ (2πi)k k−1 · m · Qk,m (τ ) · e2πimw , τ, w ∈ H. (k − 1)! m=1
& 8
Rk,m (τ ) :=
(ατ 2 + 2βτ + γ)−k , S =
α
β
β
γ
, τ ∈ H"
S∈Sym(2;Z),detS=−m
& & E /- 5 Rk,m !) D
S ∈ Sym(2; R)
S
8
:= {M t SM ; M ∈ Γ}
Rk (τ ; S) := (
α β β γ
k
Vk = K(j )k/2
1 & 5 )
Mk
(ατ 2 + 2βτ + γ)−k
∆
k >1
&
, τ ∈ H"
§1
Rk (·, S) ∈ S2k
§2
& # :
L# +#
!)
)∈ S
& & E /- 5 @ !)
∈ S2k : (6J* Rk,m (τ )
§3
: * 2 (
# $
0 ) : F ;' ε ; ( 14" k L f ∈ Sk f (τ ) = 0
!B
D
g(τ ) := f (2τ ) · f (τ /2) · f (τ + 1)/2) g ∈ M3k $ f ∈ MZk g ∈ MZ3k 1 f g 3 * ∆∗ (2τ ) · ∆∗ (τ /2) · ∆∗ ((τ + 1)/2) = −∆∗ 3 (τ ) ∗ ∗ ∗3 ∗ G∗ 4 (2τ ) · G4 (τ /2) · G4 ((τ + 1)/2) = G4 (τ ) − 240 · 225 · ∆ (τ ) > 3 ℘(z; τ, 1) ℘E! & * + Zτ + Z /- 0 = : ℘ 1 ; τ, 1 + ℘ τ2 ; τ, 1 + ℘ τ +1 ; τ, 1 = 0 , 1 2 2 τ 2 τ +12 2 ℘ 2 ; τ, 1 + ℘ 2 ; τ, 1 + ℘ 2 ; τ, 1 = 30 · G4 (τ ) , 3 3 3 ℘ 12 ; τ, 1 + ℘ τ2 ; τ, 1 + ℘ τ +1 = 105 · G6 (τ ) . 2 ; τ, 1 :
'
f ∈ Mk
" C 9C
P (X, Y, Z)
τ + 1 τ 1 ; τ, 1 , ℘ ; τ, 1 , ℘ ; τ, 1 = f (τ ). P ℘ 2 2 2
+#
k/2
1B7
& /4
M * H C 9C ) C X, Y, Z X + Y + Z * 0 ? 3 Ω = Zτ +Z τ ∈ H n ∈ N 3 {v0 , . . . , vm } , m = n2 −1" L C 9 0 v0 = 0 ' f ∈ Mk C 9C P (X1 , . . . , Xm ) +# k/2 P (℘(v1 ; τ, 1), . . . , ℘(vm ; τ, 1)) = f (τ ) ) τ ∈ H 3 k ≥ 12 " k ≡ 2 (mod 12) : f ∈ Mk " ) E k 6J* αf (0) = 1 , αf (m) = 0 ) 1 ≤ m ≤ 12 0 f ∈ Mk αf (m) ∈ Q ) m ≥ 0" B λ ∈ N 5 λ · αf (m) ∈ Z ) m ≥ 0 @ G12 (i) = 0 G12 (ρ) = 0 ∞ ∞ 1 x12 k k 5 k=0 dim Mk · x = (1−x4 )(1−x6 ) " k=0 dim Sk · x = (1−x4 )(1−x6 ) ) |x| < 1 5 f ∈ Mk f (τ ) = 0 ) τ ∈ H" # k = 12l ) l ∈ N0 0 ! f (τ ) = c · ∆(τ )l ) 0 = c ∈ C : $
( /4
;( ( ! ( H ( 7'1 4 k = 0' A f = 05 0 = f ∈ K5 A 1 · ord f = 0. 013 ord w A ?
w
w∈F∗
$ " f ∈ K ! F∗
f #
$# 9 @ ; 4 f = 0 ord f ≥ 05 ord f = 0 013' f (w) = 0 w ∈ F ' f f − f (i) ; K G5 f ' 2 ∗
w
w
013 f − z : f 5 ("& f ∈ K
f F∗ # f i ρ
!" z ∈ C z = f (i) z = f (ρ) - + z *
F∗ - + F∗ >7 &! +0?#
;A + " "* %"" H <J 'I0135 'I073 ( ,; I'1 013 j = G /∆ , ord j = −1 ( ord j ≥ 0 w ∈ H' 4 z ∈ C ( H ( 1013 f := j − z ! 1 · ord (j − z) = 1. 03 ord w ∗3 4
∗
∞
w
w
w∈F
1BI
/4 %
("& ; j : H → C F 7 (
C #
9
3 3 0 12 = 1728 2 F \ {i, ρ}
) # 3 j − 1728 τ = i ) 2 j(τ ) = 1728 !" τ ∈ F \ {i}# 3 j τ = ρ ) 3 j(τ ) = 0 3
!" τ ∈ F \ {ρ}#
3 ( 3 w ∈ H G∗ 12 (w) = 0 : (2πi) · G12 = j 4 (j−1728)3 j 6 j ? (2πi)6 · ∆∗ = j 4 (j−1728)3 ∗ 5 τ ∈ F G∗3 4 (τ ) = ∆ (τ ) τ 1 ∗2 5 τ ∈ F G6 (τ ) = ∆∗ (τ ) τ / $
=
(2πi)2 · G∗4 =
τ1 , . . . , τn ∈ F
# α1 , . . . , αn ∈ C" f ∈ K f (τj ) = αj , j = 1, . . . , n 5 (& ! & C 7
@ 3
B
H
. ,
$ 3
f
g
* ! &
ef (z) + eg(z) = 1"
f
g
&
) η5
D ; : * 4 ' ) 4 ( ! 8 ( ' * ;* 8 D ( 8 ( G ' * + % + # 9 @ : H' 0: ' )'7'63 / : ? , τ ∈ H' G (τ ) := n + (mτ + n) 013 −2
2
n=0
−2
m=0
n∈Z
) ; ,; )'I' 0 H ; ; I'70133 ; 0
$#
!" 0 < m < t#
αf (m) = 0
'
4 t = 1 ' ) 4 t > 1 8
"? 5 γν ∈ Q / 5
12"
* /4 %
f = G∗k +
t−1
γν · G∗k−12ν · ∆∗ν
ν=1
023 ' 03 β (0) + α (t) = 0' ,; 8 * 5 $ I'1.' 2 k
f
3 $ β (0) = −196 560 β (−1) = 24' F β (m) −t < m ≤ 0 4 k ≡ 0 (mod 4) '' @; ' . β (m) / .'' 5 # -, &5 B6' 3 f (τ ) = G (τ ) − · ∆ (τ ) : H ( 1' ) @''6 ( 5 f (τ ) ? ; % ?H ' - +
12
12
k
k
∗ 12
65 520 691
∗
0 f ∈ Mk " , g(τ ) := k · f (τ ) · G2(τ ) + 2πi · f (τ ) * Mk+2 :
f 3 * · G∗k+2 = k · G∗k · G2 + 2πi · G∗k ) k = 4, 6, 8, 12 √ √ 1 = G2 (i) = π G2 (ρ) = 2π/ 3 ) ρ = 2 1 + i 3
G2 |2 M (τ ) = G2 (τ ) − 2πic/(cτ + d) ) M ∈ Γ > 0 n ∈ N g(τ ) := G2 (τ ) − n · G2 (nτ )" g|2 M = g ) M ∈ Γ0 [n] ? χ(M ) := η 2 |1 M (τ )/η 2 (τ ), M ∈ Γ" / τ ∈ H 5 χ12 (M ) = 1 χ 4 & Γ : 4 & Γ $ χj , 0 ≤ j < 12 5 βk (m) ∈ Z ) m ≥ −t @ 1 B 1 ) k = 12, 16, 18, 20, 22, 26 & & g
3 * " #
kπ 2 3
(6J* B
*
f ∈ Mk " , g := f /G∗k−12t+12 * M12(t−1) 0 f 3 * *# MZk " g 3 * *# MZ 12(t−1) 3 f ∈ Mk (6J* τ0 ∈ H f (τ0 ) = 0 : j(τ0 ) ) Q + ≤ Mk 0 j(τ0 ) " # G∗k (τ0 ) = Gk (τ0 ) = 0 3 f H ∞ 5 f |k M = ±f ) M ∈ Γ" # f ∈ Mk f ∈ η 12 · Mk−6 . = !) g(τ ) 5=> g = −4i · η(τ )6 0
* /4'
) ; $ ; ! ;
; ** : ** Γ ( ' - +B & .+ &+ ) *! : n ∈ Z 5 ( ( / < + (mod n) ))'7'03 Γ[n] := {M ∈ Γ ; M ≡ E (mod n)}' $ E ** Λ : Γ J 1 + 5 ( *: n ∈ Z
12
/4 %
Γ[n] ⊂ Λ' A
; ** ) 5 Γ' A H ** * χ : Λ −→ {z ∈ C ; |z| = 1}
J , % Λ' . 5 - M ∈ Λ 1 ! 5 J % ( : < 1 ; '
. χ J 5 *: m ∈ Z χ ≡ 1' 5 χ % mod n Λ 5 ( Γ[n] ⊂ Λ χ(M) = 1 M ∈ Γ[n] ' 8 * 5 F ( 5 ( m
013
Λ = Γ0 [p] ,
p>2
d χ(M) = p
D;,
% ?,
0: ' ))'7'7 @''63 ))'7'I M ∈ Γ[2] , 1, Λ = Γ , χ (M) = 03 −1, M ∈ Γ[2] . ϑ
ϑ
$ " Λ 1 + #
7 , % mod n
Λ % #
H ** 5 C m ' 9 ! ,; 4 ** L ∈ Γ[n] L ∈ Λ5 χ (L) = χ(L ) = 1' 2 , k ∈ Z , Λ
; ** χ . : Λ' $ 4 f : H → C J + '! k + 1 + Λ + % χ5 ( 0'13 f * H' 0'3 f | L = χ(L) · f L ∈ Λ' 0'73 f | M - M ∈ Γ ∞ *' M (Λ, χ) ; : H ( k ; Λ χ Q @ C' 4 : . (1
f ∈ Mk "
,
g(τ ) := f (nτ )
h(τ ) :=
n−1 j=0
Γ
5
f ((τ + j)/n)
Mk (Γ0 [n]) n ∈ Z , n > 1 : ! & f (τ ) := ∆(nτ )/∆(τ ) H ) f (M τ ) = f (τ ) ) M ∈ Γ0 [n] . # 3 * F > 3 Λ 6 * Γ k ∈ Z : Sp : Mk (Λ) −→ Mk *
3
6 = 7& L& ? 3
n ∈ Z , n > 1
: $
√ Φn : Mk (Γ0 [n]) −→ Mk (Γ0 [n]) , f (τ ) −→ ( nτ )−k · f (−1/nτ )" L&
Mεk (Γ0 [n])
Φn ◦ Φn = id
!)
ε = ±1
D
:= {f ∈ Mk (Γ0 [n]) ; Φn (f ) = εf }
: − Mk (Γ0 [n]) = M+ k (Γ0 [n]) ⊕ Mk (Γ0 [n])
!)
f ∈ Mk
5 * !)
q∈Q
f (τ ) + ε · nk/2 · f (nτ ) ∈ Mεk (Γ0 [n]) Fϑ ! Γϑ $
ordq f := ord∞ f |M,
M ∈Γ
= 3
0 = f ∈ Mk (Γϑ )
M ∞ = q.
: +#
2 ord∞ f + ord1 f +
1 2
ordi f +
ordw f =
k 4
w∈Fϑ ,w=i
3
p
9 *
f ∈ Mk
f (τ ) −
1 p
p−1
: ,
f (τ + j/p) =
αf (m)e2πimτ
m≥,p m
j=0
Mk (Γ0 [p2 ]) √ @ 3 G( p), p = 2, 3" E+ 00 = 1 D * , * √ √ √ 1 Mk (G( p))" Γ G( p) * : Mk (G( p)) + * Mk (Γ0 [p]) $ ? 3 f ∈ Mk , N ∈ SL(2; Q) n ∈ N" nN ** : , f |k N * Mk (Γ[n2 ]) 3 f ∈ Mk N ∈ 1 (2; Z) N = n > 0 : f |k N ∈ Mk (Γ[n]) 24 3 n ∈ N k = n+1 ∈ N : , (η(τ )η(nτ ))k * Sk (Γ0 [n]) = 3 n ∈ N 12 k = 12/n : , η 2k * Sk (Γ[n]) ∗ 3 n > 1, f ∈ Mk (Γ0 [n]), χ 4 & mod n χ(M ) := χ(d) *
3
fχ (τ ) :=
∞
χ(m)αf (m)e2πimτ .
m=0
χ(l)e−2πilr/n f (τ + r/n)
f − χ(τ ) =
fχ ∈ Mk (Γ0 [n ], χ ) χ " fχ (τ ) = c · r mod n χ(r)f (τ + r/n)
0
1 n
2
l,r mod n 2
Φn2 fχ = c˜ · fχ
#I > 3
/4 %
χ
4 & modN !) k > 2 , Ek (τ ; χ) :=
χ(m)(mτ + n)−k
m,n∈Z
*
Mk (Γ0 [N ], χ)
? !) 6 *
Λ
dim Mk (Λ) − dim Sk (Λ) ≤ [Γ : Λ]
!" $' 01BB6?12I63 1276 0' # ( 5 II?6#63 ! : ( / $ * T : M −→ M , n ∈ N5 @ ; : H ( k 0: ' )))'1'I3' 4
D; p : T f ∈ M 0: ' 1'10633% n
k
k
p
(Tp f )(τ ) := p
k−1
k
p 1 aτ + b . · f (pτ ) + · f p b=1 p
N ?C* O : *( ; : H : $ * : M ' = S ,*; ' ) 8 0 8 @ ; E ** ** 3 0, nm0 , ! m0 < 0.
,
αg (0) = σk−1 (n) · αf (0) αg (1) = αf (n).
4 ( *: d
(m, n) ; GJ : m n' $# 0"3 0I3
Tn(k) f (τ ) = nk−1 · d−k · (Ta,d f )(τ ) ad=n
= nk−1 ·
ad=n
=
ad=n
ak−1 ·
d1−k ·
αf (md) · e2πimaτ ,
m≥m0 /d
m≥am0 /n
αf (mn/a) · e2πimaτ .
#B
1
+ 6,
9 ma = r 0, a|n , a|r r ≥ a m /n ; ' a *: : (n, r) < 5 0, m > 0, nm , m < 0. 2 2
0
0
2
0
0
0
0
0
,* ; D; ( ." " + p
αTp(k) f (m) = - +
'
! p m, αf (mp) , k−1 αf (mp) + p · αf (m/p) , ! p| m.
: T
( f |T f | T !
(k) n f
(k) n
k n
"" n G + * / ?C* Tn ;; 2 × 2 ; !
n5 ? ( ? = ! n* ) % Γ := {M ∈ Mat(2; Z) ; det M = n} , n ∈ N. 013 CQ Γ = Γ ** ' * Γ * : : Γ 5 n
1
n
Γ · Γn = Γn = Γn · Γ .
$ V ⊂ Γ J 4 Γ Γ5 ( % 0 @'13 F - M ∈ Γ L ∈ Γ LM ∈ V' 0 @'3 , M , M ∈ V M = LM L ∈ Γ5 L = E ' 8 <M : ;
0 @3 Γ = ΓM - . n
n
n
1
2
1
2
n
M ∈V
G : : Γ Γ / ( ' n
#2
67
9 M M Γ 0/ 5 F M ∼ M 5 ( L ∈ Γ M = LM 5 - : : Γ Γ <M : ; ' 0 @'13 * : 0 0/ ' + # : ' ( : 5 1
1
2
n
1
2
2
n
V = Γ : Γn
; ( ' ) : 4 - *4 . % ("& '
03
Γ : Γn =
M=
a b ∈ Mat(2; Z) ; ad = n , d > 0, b (mod d) 0 d
4 Γn Γ#
0 @'13% , M = ( ) ∈ Γ ' ( 1 / ! c ∈ C Fn (c, c) = 0#
τ ∈ H j(τ ) = c 7 τ + 0 * / 2 #
$# $ ; : τ ,; )))'"' )'I'I.' 9 D*! c = j(τ ) 9 D F (X, j(τ ))5 j(τ ) = j(Mτ )
M ∈ Γ ' 9 ,; )))'"' )'I'I8 K ∈ Γ τ = KMτ ' n M 5 KM ∈ ZE ' : )'6'" G τ ;
2
5 −F2 (X, X) = (X − 123 ) · (X − 203 ) · (X + 153 )2 1 j(i 2) = 203 √ 1 # # j( 2 (1 + i 7)) = −153 ! 3
$ 56
"%/ % Tn " ! 2 m, n ∈ N
f ∈ V (H)
T f =T T f =T T f . 013 ( ( T T T T ; ' * @ : T T m, n 5 , : 013 m n ' (k) mn
(k) (k) m n
(k) (k) n m
m
m
n
n
n m
" #
12
67
8 ( *: s5 ( min(r, s + 1) = s + 1 ' ) 4 2 ; ν = s' ) : ' ' ;+ *" G " 9 ,; 1'7 ;(' 1'7 !C* T = T , n ≥ 15 $ * @ ! V 5 ( E M ; ' $ ; H : T = T , n ≥ 15 * @ : $ * : M ' / <J H ! 4 013 α T α ∈ C. min(r, s − 1) < ν ≤ min(r, s)
(k) n
n
k
k
k
(k) n
n
k
k
n n
n
n≥1
; End M C? $ * : M ' k
k
("& Hk 8 , End Mk C*- , : Tp !" + p + # " m, n ≥ 1
1
03
Tm Tn =
dk−1 · Tmn/d2 .
d|(m,n)
, 7 Tp p + #
n
*) Tn , n ∈ N
, 03 ( *: : m ; '
1
+ 6,
H *- , > k?# $# 03 , m n 5 03 ( *: 1 α(m) := σk−1 (m) !" 7 + p
m ≥ 1
$#
0∗ 3
α(p) · α(m) = α(mp) + pk−1 · α(m/p).
; ; 0, d n
; , - , J :
d = √n *: ' 2 * ; 0∗3 f = G ( ' - + : ? G )))''1013' 9 D* )))''1 G G ; @(H)' D* : 1'I ; 5 G $ % T G = σ (n) · G n ∈ N. !9 +"&&" + " + G " ) )))'I'I 5 Z? M ;(' S k ≥ 4 013 M = Z · g ⊕ S - g = G · G 4r + 6s = k ' 4 k > 0 0 + . , 2 ≤ t#
1'I
." 6 f ∈ Mk : ! αf (1) = 1#
"*1D+ αf (n)
≤ t
'
n ∈ N + , 2
) 4 k = 24, 28, 30, 32, 34 38 S )))'I'1 t = 2' ; 4 k = 24% $ ( q := e ;' 9 )))'I'I8
19 "
k
2πiτ
∗ g1 := G∗2 6 ·∆ =
α1 (m)q m ,
g2 := ∆∗2 =
m≥1
α2 (m)q m ,
q = e2πiτ .
m≥2
H ; : S ' )))''10113 )'I'703 Z 24
g1 = q − 23 · 3 · 43 · q 2 + 22 · 32 · 72 · 139 · q 3 + 26 · 31 · 5527 · q 4 + · · · , g 2 = q 2 − 24 · 3 · q 3 + 23 · 33 · 5 · q 4 + · · · .
9 1'1 "? Y; α (m) f
D; p α (pm) + p · α (m/p) , p | m, α (m) = α (pm) , p m. f
f
Tp f
f
23
f
" #
6
67
; 0.
013 H*& , & ' $# ) f H *5 8 4 ! f / |f | 0: ' ' - 5 H' " R##T5 )''75I3' 0. - +
k
k
f,g
k
f |M,g|M
f,g
, f, g ∈ Mk , k > 0#
3 : ϕ (Mτ ) = ϕ (τ ) !" M ∈ Γ τ ∈ H# 3 ϕ
! H , 0
f g + ! # $# 3 : ( 03 0'U3 )))'1'I' 3 |ϕ| = (f-g) 8 ; )))'1'"013 f g ∈ M 2 8 * ,; )))'1'' f,g
f,g
f,g
2k
M
k
× Sk → C
/ '
("& f, g ∈ Mk f g + !
073
f, g :=
f (τ ) · g(τ ) · (Im τ )k dv(τ ) F
7#
1
+ 6,
,
g, f = f, g' 0I3
f, g C*
f# 0"3 03 f, f ≥ 0 !" f ∈ S f, f = 0 !" f = 0. f, g * f g' $# : ; : 073 1 3 D* ' 8 * 0I3 03 M
; ' 2 8 '7 3 / - f : H → C
f = T f : H → C f (τ ) := f (−τ )' 063 f Q f H *' k
−1
$ " f ∈ Mk #
f + Mk #
"
*1D+
f
f = f ,+#
0
f = −f #
f f F < ' F 9( : f |M = f ,; ))''1 M = T M = J < ' ) 4 0 : ! ,+"
*)
αf (1) = 0 F αf (n)/αf (1) n ∈ N +* , * ", Q ≤ dim Sk #
) 8 8 f , . . . , f ,; @
: HE!/ L & $ 000 I, ε H < v(Vε ) = 2/ε2 ) ε > 0 (k−2)! !) m ∈ N f ∈ Sk f, Qk,m = (4πm)k−1 · αf (m) = 0 m ≥ 1 mE E6K* Qk,m 0" Qk,m = 0
!) m, n ≥ 1 nk−1 · αQk,n (m) = mk−1 · αQk,m (n).
E8 Qk,m , m ≥ 1"
8 Sk 3 * k ≥ 16 Qk,1 , . . . , Qk,t , t = dim Sk " Sk · f (−w) ? !) w ∈ H f ∈ Sk f, Pk (·, w) = ik 2k−3π (k−1) 3 k = 12 k ≥ 16 !) w ∈ H /; Pk (·, w) = 0 Pk (−w, w) = 0
> :
k = 12
!)
7B
1
+ 6,
Γw P12 (−w, w) = 0 P12 (τ, w) = P12 (−w, w) · ∆(τ )/∆(w) @ : E8 Pk (·, w) , w ∈ H" 8 Sk !) k = 12 k ≥ 16
# w1 , . . . , wt ∈ F \ {i, ρ} , t = dim Sk " Pk (·, w1 ), . . . , Pk (·, wt ) Sk
k
L !B
!)
τ, w ∈ H
1 @ *# > $ 7# # ) 3 7 (
E
5 3
k,
f ∈ Sk
1
Tn
5
k, , k − ≥ 4
{T f ; T ∈ Hk } = Sk f ∈ Sk g ∈ S
!)
∞ 2 f, G∗k− · g = (k − 1)! · αf (n)αg (n)(4πn)1−k . n=1
#
"8 '
) D ( ; * ; ;( ; ! ! 4 '
* 4 ' % # , (α ) m m≥1
013
D(s) :=
∞
αm · m−s ,
s ∈ C,
m=1
+ ! *4' , * - 2 !
03
ζ(s) :=
∞
m−s ,
m=1
; 4 α = 1, m ∈ N5 G' α = O(m ) χ ∈ R5 ( C > 0 5 |α | ≤ C · m m ≥ 1. : ;: : ! ! m
m
m
χ
χ
("& (αm )m≥1 +
!
*4 D(s) σ0 ∈ R ∪ {±∞} ! : ! 9 D(s) , !" σ = Re s > σ0 # D(s) , !" σ = Re s < σ0 # D(s) ! < ,, {s ∈ C ; Re s > σ0 }# " ρ ∈ R ρ > σ0 D(s) ! < ,, {s ∈ C ; Re s ≥ ρ} , 0@ , 0 #
03 03
σ , 1 + ,+ ! ?4 D(s)' 0
!
72
! 9 %
$#
4 s = σ + it |α
m
· m−s | = |αm | · m−σ
∞ σ0 := inf σ ∈ R ; |αm | · m−σ
' 8 *
:
.
m=1
4 ρ ∈ R ρ > σ 0
∞
|αm · m−s | ≤
m=1
∞
|αm | · mρ < ∞
Re s ≥ ρ.
m=1
- , D(s) ,; : 0: ' ' - 5 H' " R##T5 ,; B'I'3 * 2 Re s > σ ' 0
CQ σ ζ(s)'
0
=1
: ;; - F !
$ " (αm )m≥1 αm = O(mχ ) !" χ ∈ R !"
, 1 + ,+ σ0 +
σ0 ≤ χ + 1.
$#
$ C > 0 |α
m|
∞
≤ C · mχ
! *4 D(s)
m ≥ 1'
|αm | · m−σ ≤ C · ζ(σ − χ) < ∞
σ > χ + 1.
2
m=1
: ;: : ! ? / ;'8' ! / R12B1T5 §§1, 25 4 R126T5 *' 11' "" 4
χ ≥ 0 ; A 4 g : ]]0, ∞[[ → C $ g(y) = O(y ) σ > χ5 ''5 ; σ > χ C > 05 |g(y)| ≤ C · y y > 0' 013 CQ A C?@ ' 4 y → e G ; A ' - +
χ
−σ
σ
σ
−σ
−y
χ
, " g ∈ Aχ
03
∞ {s ∈ C ; σ = Re s > χ} → C, s → Mg (s) :=
g(y)y s−1 dy, 0
0 #
M (s) ?= ! g' g
0
I#
1
$#
+ 6,
4 χ < α < σ < β 013 1
1 |g(y) · y
s−1
| dy ≤ Cα ·
0
y σ−α−1 dy = Cα ·
1 , σ−α
y σ−β−1 dy = Cβ ·
1 . β−σ
0
∞
∞ |g(y) · y s−1| dy ≤ Cβ ·
1
1
) - @ {s ∈ C ; α + ε ≤ σ = Re s ≤ β − ε}, ε > 05 C : ) <J ' A ; : ( - 0: ' - - R122"T5 '7'13 ) ∞ g(y) · y
s−1
dy
1
1
∞ g(y) · y
s−1
dy =
0
g(1/y) · y −s−1 dy
1
5 M (s) {s ∈ C ; σ > χ} * ' g
2
9 ; ( 5 03 ' ;
; B * 4 f {s ∈ C ; σ = Re s > χ}5 ; α, β χ < α < β γ > 1 C > 0 $ 073 |f (s)| ≤ C · (1 + |t|) s = σ + it, α ≤ σ ≤ β. CQ B C?@ 5 C? ' 8 ! χ
−γ
χ
("& " f ∈ Bχ , χ ≥ 0, y > 0 σ > χ 0
(σ) := σ + iR
0I3
1 f (y) := · 2πi ∗
f (s) · y
−s
1 ds := · 2π
(σ)
∞
f (σ + it) · y −σ−it dt
−∞
,
3 f
,0 σ, σ > χ# 3 f ∈ A ' 3 " s ∈ C σ = Re (s) > χ ∗
∗
0"3
χ
∞ f (s) = Mf ∗ (s) = 0
f ∗ (y) · y s−1dy.
!
I1
! 9 %
$#
073 σ > χ γ > 1
0∗ 3
−s
|f (s) · y | · |ds| ≤ 2C · y
−σ
∞ 2C · y −σ . · (1 + t)−γ dt = γ−1 0
(σ)
) : 4 ) : ]]0, ∞[[ ' 3 9 #" $ ) ;
f (s) · y −s ds = 0
∂R
- * R {s ∈ C ; σ > χ}' < : 073 : ( ia ) D ; !
a → ∞, b → ∞' $ ∨ ∧
f (s) · y −s ds =
(α)
f (s) · y −s ds.
0 χ
(β)
3 : ( (∗)' 3 : 3 D*! M ' 9 3 χ < α < σ = Re s < β f ∗ (s) 0
∞
α
∨ −ib
β
∧
>
' "% ) (
0
f ∗ (y)y s0−1 dy
0
=
.............................................................................................. ... ..... ..... .... .... .... ... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... . ...........................................................................................
1 2πi
1 0
∞ 1 s −1 −s f (s)y −s ds y s0−1 dy + f (s)y ds y 0 dy . 2πi 1
(α)
(β)
0∗3 4k
∞
∞
|αf (m)| ·
m=1
e−2πmy y σ−1 dy < ∞.
0
9 ; ) 0B3 k k
∞
1 [f (iy) − αf (0)] · y
Df (s) =
s−1
[f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy
dy +
1
0
∞
∞ [f (iy) − αf (0)] · y s−1 dy +
= 1
1
∞
∞ [f (iy) − αf (0)] · y
=
[f (i/y) − αf (0)] · y −s−1 dy
1
∞
+ αf (0) ·
s−1
[f (iy) − αf (0)] · ik y k−s−1 dy
dy + 1
ik y k−s−1 − y −s−1 dy
1
∞ =
dy + αf (0) · [f (iy) − αf (0)] · y s + ik y k−s y
1
1 ik − , s−k s
03' $ f (iy) − α (0) = O (e ) [[1, ∞[[ )))'1'I' , : 03 - 0: ' - - R122"T5 '1'73 ; 4 - @ C < ' f
−2πy
I
1
+ 6,
03 i = 1 4 063' D (s) * :
D s = k s = 0' 70I3 2k
f
Df (s) = (2π)s ·
1 · Df (s). Γ(s)
Γ(s) , s = 0 D
1 5 ; D (s) ( 03 , s = 0 , 05 8 < , 5 α = O(m )' 4 f : H → C 0"3 *' 8 013 σ ≥ χ + ε, ε > 05 < 5 D ∈ B 7 03' ,; 7 J σ > χ 1 1 0∗3 2πi D(s)y ds = α Γ(s)(2πmy) ds = f (iy) − α , · 2πi + '! k $#
f
0
χ+ε
m
χ
∞
−s
−s
m
m=1
(σ)
0
(σ)
( @ : , ) ,; : - : ; 0: ' ' R1225 ))T5 2'1I3 ' 9 ) 1 I := 2πi
D(s)y
−s
................................................................................................................................................................ ... ..... ..... .... .... .... ... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... ..... .... .... .... . ...............................................................................................................................................................
ds
∨
∂R
*: *! R5 D 0 χ κ ,
013
∞
∞
! *4
γm · m−s
γm :=
m=1
αd βm/d
d|m
!" Re s > κ#
( ( *: d : m ' $# D : ;( : ∞
A(s) · B(s) =
αν βµ · (νµ)−s , Re s > κ,
ν,µ=1
' νµ = m ;
05 ; ( ! ' 4 τ = iy 4 013 *:
F ' 8 * 03 <M : ;
log η(i/y) = log η(iy) + log y ' 073 013 %" & ("& ? " "& " U ∈ Mat(n; Z)
0/ 9
03 U ∈ GL(n; Z)# 03 U ∈ GL(n; Z)# 03 det U = ±1' 0:3 U , >", Q? U ∈ Mat(n; Z)# 0:3 -,, U : Z → Z , g → Ug ,7# 0:3 -,, U : Z → Z , g → Ug 7# t
−1
n
n
n
n
"6
: /
$#
@ )* (i) ⇐⇒ (ii) ⇐⇒ (iv) 3 3 4
5 3 3
(v) =⇒ (vi) =⇒ (iii)
8 ' 0:3 =⇒ 03% ) e , . . . , e 8 : Z 5 @ v , . . . , v ∈ Z Uv = e 5 j = 1, . . . , n5 V = (v , . . . , v ) ∈ Mat(n; Z) UV = E ' det U = ±1' 03 =⇒ 0:3% : ( 1
1
n
n
n
n
j
j
1
U −1 =
n
1 U , det U
( - ;(' * T ⇐⇒ S − T ∈ Pos (n; R)' Pos (n; R) = {S ∈ Sym (n; R) ; S > 0}' 4 0 ( 1/2
A ∈ GL(n; R)
013
S>T
⇐⇒
λS + R > λT + R
⇐⇒
S[A] > T [A].
$ " " S, T ∈ Sym (n; R) S > T 0 = G ∈ Mat(n, m; R)
Sp S[G] > Sp T [G]. , S[g] > T [g] !" 0 = g ∈ Rn #
$#
1 , 69
, G = (g , . . . , g ) g 1
m
r
= 0
Sp S[G] − Sp T [G] = Sp(S − T )[G] =
' ( 70"3 m
(S − T )[gj ] ≥ (S − T )[gr ] > 0.
j=1
2
- *: / *: @ $ : ' , 2 S ∈ Pos (n; R) , α, β ∈ R : !
' $# ( 0:3 XM : ;?,; 7 D > βE 5 2 V V = E 013 8 * ' $ ( $ S > βE
j
j
t
("& S ∈ Pos (n; R) , t ∈ R m ≥ 1#
'
{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(S[G]) ≤ t} #
F S ( 0 S > βE D* '
$#
{G ∈ Mat(n, m; Z) ; Sp(Gt G) ≤ t/β}.
, G = (g )5 8 * νµ
Sp(Gt G) =
m n
2 gνµ .
ν=1 µ=1
4 05 |s | < · q' 2 ij
jj
n
jj
n
1
4 n(n−1)/2 3
n
sii sij sij sjj
ii jj
2 ij
ij
4 n(n−1)/2 3
3 n ≥ m 5 1 B G ∈ Mat(n, m; Z) (m) t
" #
H ∈ Mat(m, n; Z) HG = E 0 ! H 0 H G F !) q ≥ 1 */ 1 {G ∈ Mat(n; Z) ; det G = 0 , qG−1 ∈ Mat(n; Z)} A & & GL(n; Z) 1 B
1 , 69
= . * L 8 &
Mat(n; Z)
det A = 0
GL(n; Z)A
)
A ∈
F
!! !) S = (sij ) ∈ Pos (n; R) det S ≤ s11 · s22 · . . . · snn
+ * " #
S : B Sp(ST ) ≥ n · (det S)1/n · (det T )1/n ? E' % 1 B S ∈ Pos (n; R) * : ! S = D[B]" # D D : B B ∈ GL(n; R) > !)
S, T ∈ Pos (n; R)
:& B 5 : !)
S ∈ Pos (n; R)
1 ≤ m ≤ n D G = (g1 , . . . , gm ) ∈ Mat(n, m; Z) νm (S) := inf t ∈ R ; Rang G = m S[gj ] ≤ t ) j = 1, . . . , m
5 1 B
G ∈ Mat(n; Z)
det G = 0
S[G] = T = (tij ) , tmm = νm (S) , 1 ≤ m ≤ n :
νm (S)
6 )
: 1 B
S=
νm (S) ≤ µm (S)
#
det S ≤ ν1 (S) · . . . · νn (S) ≤ µ1 (S) · . . . · µn (S) 2E e (4) , e = (1, 1, 1, 1)t " Pos (5; R) et 5/2 " E = E
µm (S) = νm (S) = ν5 (S) = 2
)
1≤m≤4
#
)
µ5 (S) = 5/2
S = (sij ) ∈ Pos (2; R) s11 < s22 = µ2 (S) : 2|s12 | ≤ s11 + s11 = s22 F ' S ∈ Pos (n; Z) U ∈ GL(n; Z)" S[U ] = (tij ) tij = 0 ) |i − j| ≥ 2 @ 3
$
)
"
, 58 /4'
) D ( ; 2 + 2 ' ? Θ(·; S) ∈ M , k = n/25 ,; ' "? Y; + 1' (S, 0) = 1 , (S, 2m) = 0 , 1 ≤ m ≤ dim M = + 1 )))'I'1 k ≡ 0 (mod 4) ( 2 * ; )))''"' $#
n 24
k
k 12
k
k 12
$ 5 S ∈ Pos (n; Z) µ(S) = 2 + 2 ! ( ' ) G 5 H @ (V, σ)5 J G 5 ( ; G ? ! 5 '' σ(g, g) ≥ 2 + 2 g ∈ G , g = 0' n 24
n 24
6B
1 , 69
8 * ; S , S H L ' 8
8
⊕ S8
' 9 ,; 6 % ?
24
Θ(τ ; S) * 3 k ≡ 0 (mod 4) , k ≥ 12 : E8 Z S ∈ Pos (2k; Z) ZE1 Mk R ∈ Pos (24; Z) : ) .& E Tn , n ≥ 1" * , E8< 3 Θ(τ ; L24 ) + (R,2n) Tn Θ(τ ; R) = σ11 (n) − (R,2n) 720 720 Θ(τ ; S8 )
"
3
3
Θ(τ ; R) & 5 *) Tn (R, 2n) > 0 G∗k (τ ) ) k = 12, 16, 20 A & E8 S ∈ Pos (2k; Q) q ∈ Z" qS qS −1 : 1 q 1 0 = Θ(·, S) , Θ(·; S)|k = Θ(·; S). Θ(·, S)|k 0 1 q 1
> 3
χϑ
!)
n>1
= 1
000 D 4 &
:
(4k)
ϑ
? : $
Γϑ
= Θ(·; E ) ∈ M2k (Γϑ , χkϑ ) := id−1 " χ : Γ0 [4] → C , χ ac db 4k
4 & !)
k∈N
!)
m∈N
ϑ(2τ )2k = Θ(τ ; 2E (2k) ) ∈ Mk (Γ0 [4], χk )
(S8 , 2r) · (S8 , 2s) = 480 · σ7 (m) .
r+s=m
0 e A ∈ Sym(16, Z)" E = E (8) , A = −e ∈ Mat(8; Z)" S16 := 2E B At 4E e = (1, . . . , 1)t ∈ Z7 , B = i−j " D 7 1≤i,j∈7 5 (S16 , 2m) = 480 · σ7 (m) ) m ∈ N : 1 B
! 7 4 1
) D ,* ; < . + ( ( ' 4 k ≡ 0 (mod 4) ? ! ( ? ; 5 5 *: / M 4 ' 8 ( ( ?C* ' # " "+"+ " 4 q ∈ N A, B ∈ Mat(n, m; Z) / 1 + (mod q) 1 A ≡ B (mod q) ⇐⇒ (A − B) ∈ Mat(n, m; Z)5 013 q (
; - * ' E Q @! ; 4 A ≡ A (mod q) , B ≡ B (mod q) =⇒ AB ≡ A B (mod q)' 03
8 4
62
2
F 5 - : ; 5 ;
@ ;
; (mod q) ; ' , q ∈ N S = (sij ) ∈ Sym (n; Z) , n ≥ 2 q s11 ! #
, ' U ∈ GL(n; Z) ' R ∈ Sym(n − 1; Z) s11 0 (mod q). S[U] ≡ 0 R
$#
ggT(s , q) = 1 u ∈ Z s ' 8 * 11
2≤j≤n
j
U=
1 ut 0 E
11 uj
+ s1j ≡ 0 (mod q)
, ut = (u2 , . . . , un ).
2
) q D ; D;5 ( - @ ' ("& p + ∈ N S ∈ Sym (n; Z)#
,
U ∈ GL(n; Z)
D
S[U] ≡ D (mod p ).
, n > 1 S = 0' S S , δ(S) = ggT(s )5 ; 5 $ < δ(S) = 1 ' ) : S p 5 ( 2 + # H ∈ Mat(n; Z) | det H| = pk S[H] ≡ 0 (mod p)
3
pH −1 ∈ Mat(n; Z).
3 -,, h
{GAut Sj ; G ∈ D(S, pSj )} −→ Ap (S) ,
GAut Sj −→ GUn ,
j=1
$7 # -,,
3
h
{(Aut Sj )G ; G ∈ D(Sj , pS)} −→ Ap (S) ,
(Aut Sj )G −→ pG−1 Un ,
j=1
$7 #
3 , S[H] = pT ' 8 T ∈ U ' 8 ,; ? ;( ! < 5 - 013 N O ? ' 3 "? Y; : G ;; ' 4 n = 24 $ ; : 2 < ? 0 h > 13 ,;' , 1 < ' "+ "" : ( ( ! ? . 013 Θ (τ ; S) := e πiτ S[g+p]+2πiq t (g+p)
p,q
g∈Zn
Θ(τ ; S) = Θ
0,0 (τ ; S)
?9 ( '
2
1 , 69
$ " S ∈ Pos (n; Z) N ∈ N N · S −1 #
!" M = ( ac db ) ∈ Γ c = 0
% Θ(Mτ ; S) =
n τ + d/c 1 ·√ ϕS (M, q) · ΘS −1 q,0 (τ, S), · i det S q:Zn /SZn
,
03
%
ϕS (M, q) :=
t
eπi(aS[p]−2p q+dS
−1 [q])/c
.
p:Zn /cZn
$#
: ( F Mτ =
a 1 1 − · . c c2 τ + d/c
g ∈ Z 4 g = ch + p5 h ∈ Z 5 p : Z /cZ ; n
n
n
n
S[g] = c2 S[h] + 2cht Sp + S[p] ≡ S[p] (mod 2c).
Θ(Mτ ; S) =
eπiS[g]·M τ
g∈Z
n
=
2 ·1/(τ +d/c))
eπiS[ch+p]((a/c)−(1/c)
p:Zn /cZn h∈Zn πiaS[p]/c
=
e
=
πiaS[p]/c
e
p:Zn /cZn
=
τ +d/c i
eπiS[h+p/c]·(−1/(τ +d/c))
h∈Zn
p:Zn /cZn
·
n
·
√ 1 det S
· Θp/c,0
−1 ;S τ +d/c
·
n
eπiaS[p]/c · Θ0,−p/c (τ + d/c; S −1), n
p:Z /cZ
( ; , ? '7 ( ' 9 g ∈ Z 4 g = Sh + q5 h ∈ Z 5 q : Z /SZ ; n
n
=
n
eπiaS[p]/c · Θ0,−p/c (τ + d/c; S −1) n
p:Z /cZ
=
n
S −1 [g] = S[h] + 2ht q + S −1 [q].
n
eπiaS[p]/c+πiS
p:Zn /cZn q:Zn /SZn h∈Zn πiτ S[h+S −1 q]
e
q:Zn /SZn h∈Zn
·
−1 [Sh+q](τ +d/c)−2πipt (Sh+q)/c
p:Zn /cZn
t
eπi(aS[p]+dS[h]+2dh q+dS
−1 [q]−2pt Sh−2pt q)/c
.
!+ 2 % ;% 1 d = 0 ' 0
("& ; S ∈ Pos (n; Z) ! N > 1#
!"
M ∈ Γ0 [N]
Θ(Mτ ; S) = χS (M) ·
χS (M) =
−1/τ −c/d i
√
·
cτ + d
√
cτ + d
τ i
n
·
n
· Θ(τ ; S)
p:Zn /dZn
eπibS[p]/d .
9 : √cτ + d '
2B $#
1 , 69
) 4 c = 0 M = ±T 5 χ (M) = √d −n
m
S
Θ(Mτ ; S) = Θ(τ + m; S) = Θ(τ ; S),
8 * ' , c = 0'
b −a MJ = . d −c
Mτ = (MJ) −1/τ ,
9 I MJ M −1/τ τ ( ' $ Θ(Mτ ; S) = Θ(MJ −1/τ ; S) % = % =
n −1/τ − c/d 1 ·√ ΘS −1 q,0(−1/τ ; S) · ϕS (MJ, 0) · i det S q:Zn /SZn n
−1/τ − c/d · i
%
τ i
n
· ϕS (MJ, 0) ·
1 · det S
n
Θ0,−S −1 q (τ ; S −1 ), n
q:Z /SZ
( ; , ? '7 : ( ' g ∈ Z 4 g = Sh + p5 h ∈ Z 5 p : Z /SZ ; n
n
g tS −1 q ≡ pt S −1 q mod Z,
Θ0,−S −1 q (τ ; S −1 ) =
=
eπiτ S
−1 [g]−2πig t S −1 q
q:Zn /SZn g∈Zn
q:Zn /SZn
n
S −1 [g] = S[h + S −1 p].
n
eπiτ S[h+S
−1 p]
p:Zn /SZn h∈Zn
e−2πip S t
−1 q
.
q:Zn /SZn
; , < : @ q' $ ; q q + r5 r ∈ Z 5 n
0=
e−2πip S t
−1 q
· 1 − e−2πipt S −1 r .
q:Zn /SZn
, 0 J 4 p S r ∈ Z r ∈ Z 5 '' S p ∈ Z ' ) 4 - , 15 , t
−1
−1
n
n
(Zn /SZn ) = det S
1' ' ;'8' p = 0 ( 1"
L(χ, s) :=
∞
4 & mod
χ(m) · m−s , Re s > 1.
m=1
: 6 * * 3
χ
"
χ(−1) = 1"
2L(χ, s) = N
−s/2
N
χ(m) ·
∞ 8
m=1
L(χ, s)
L(χ, s) σ0 = 1 π −s/2 s L(χ, s) := N Γ 2 L(χ, s)
: 0 (
9 dy . y s/2 Θm/N,0 (iy; 1) + y (1−s)/2 Θ0,−m/N (iy; 1) y
1
* C ! * * ! &
s
) ! &(
L(χ, 1 − s) = εχ · L(χ, s) L(χ, s) @ !)
* ! &
u, v ∈ C" τ ∈ H
εχ ∈ C,
|εχ | = 1.
L(χ, −2n) = 0" n ∈ N0
Θ∗u,v (τ ) :=
(n + u)eπi(n+u)
2
τ +2πi(n+u)v
.
n∈Z
Θ∗−v,u (−1/τ ) = τ ·
τ /i · e−2πiuv · Θ∗u,v (τ ) π −s/2 s+1 Γ 2 · L(χ, s) 3 χ " χ(−1) = −1" L(χ, s) = N
:
:
0
∞ 8 N 9 dy √ . y (s+1)/2 Θ∗m/N,0 (iy) + iy 1−s/2 Θ∗0,−m,N (iy) 2L(χ, s) = N −s/2 π · χ(m) · y m=1 1
L(χ, s)
* C ! * * ! &
s
) ! &(
L(χ, 1 − s) = εχ · L(χ, s) L(χ, s)
* ! &
εχ ∈ C, |εχ | = 1.
L(χ, 1 − 2n) = 0" n ∈ N
7#
1 , 69
(+ n/2,
g∈Z
−s
n
2 ! ' * 15 5 0 Y; : g ' $ (g t g)−k .
ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n ·
g∈Nn
E ;(
g t g = γ12 + . . . + γn2 ≥ n(γ12 · . . . · γn2 )1/n .
ϕ(n; k) ≤ n · ϕ(n − 1; k) + 2n n−k · ζ (2k/n)n .
n/2'
2
&+
= 4 ")
7#7
: ;: F ("& 4 013 !" T ∈ Pos (n; R) s ∈ C Re s > n/2 ,
073
ζ(T [U]; s) = ζ(T ; s)
!" U ∈ GL(n; Z)#
9 D* 1'I ; T β > 0 T > βE ' : ; ' XM : ;?,; 1'1 2 E 073' F : , : 1'I0"3' ;") & + & : " ? '7 G ( 1013 F 0.
y > 0
013 013
|Θ(iy; T ) − 1| ≤ ϑ(iαy)n − 1.
y ≥ 1. 9 ? '7 ;(' )))'$'7073 ϑ(iαy) = (αy) · ϑ(i/αy) = O(y ) 0 < y ≤ 1. 013 n/2 ( D* : 5 n
∞
ξ(T ; s) =
e−πyT [g] · y s−1dy =
g∈Zn 0
∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy. 0
, y → 1/y n/2 1 (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1 dy +
ξ(T ; s) = 0
1
∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y
=
∞ (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy
−s−1
∞ dy + (Θ(iy; T ) − 1) · y s−1dy .
1
1
? '7 ∞ (Θ (i/y; T ) − 1) · y
−s−1
∞ dy =
1
Θ(iy; T −1)y n/2 (det T )−1/2 − 1 · y −s−1dy
1
∞ =
(Θ(iy; T 1
−1
) − 1)(det T )
−1/2
y
n −s−1 2
∞ dy +
y n/2 (det T )−1/2 − 1 y −s−1dy
1
∞ n (det T )−1/2 1 . = (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s−1 dy + − s − n/2 s 1
&+
= 4 ")
7#"
Re s > n/2 ∞
0I3
ξ(T ; s) = 1
dy n (Θ(iy; T −1) − 1) · (det T )−1/2 · y 2 −s + (Θ(iy; T ) − 1) · y s y
+
(det T )−1/2 1 − s − n/2 s
.
D* ) 0I3 s ∈ C ; 4 : s' ,;
) 0I3' : 9 : ζ(T ; s) 073 D H?4 <J )@'I'7' ξ(T ; s) s = 0
−1 Γ(s) s = 0 D
1 5 G D : ζ(T ; s) s = 0 ( ζ(T ; 0) = −1' 2 - +
0"3 ζ(T ; s) =
g∈Z2
3
(T [g])−s =
∞
(am2 + 2bmn + cn2 )−s , T =
m,n=−∞
a b > 0, b c
( ;
: ' 0( &5 I2"3 A 1BB2
: , : 1'I0"3 ' $ 5 ζ(T ; s) * s?$ s = 1 D 1' C ! H %" ? s = 1 0 +! 5 : ' !3' ,* 0 s ∈ C Re s > 1
4
013 7 & ! H 0 : !
03
|E(τ ; s)| ≤ C · y Re s
!" τ ∈ Vε .
" ! τ ∈ H E(τ ; s) s#
$# <J : ; V 03 )))''1 8 ( : ;? )))''1' : ;: ! 2 * ' ε
$ ( ;( <J 5 *
* 4 ; 5 / 1 y 1 · E(τ ; s) = 073 E (τ ; s) := . 2ζ(2s) 2 |mτ + n| s
∗
2
ggT(m,n)=1
8 ; ** ( Γ / 0I3 Γ := {±T ; n ∈ Z} = {M ∈ Γ ; c = 0}, ))'1'7013 ; )))''103 0"3 E (τ ; s) = (Im Mτ ) = ϕ| M(τ ), ϕ(τ ) := y . n
∞
∗
s
0
M :Γ∞ \Γ
s
M :Γ∞ \Γ
) M ∈ Γ 5 < L LM @ ! : Γ Γ ' ∞
%""& $ " s ∈ C Re s > 1 M ∈ Γ
E(Mτ ; s) = E(τ ; s) E ∗ (Mτ ; s) = E ∗ (τ ; s) !" τ ∈ H.
))'1'2013 / ; τ ∈ H
∈ Pos (2; R). 03 $ @ / |mτ + n| −n , = F [g] , g = 063 m y ( 0B3 F =F = F [J]. 063 023 E(τ ; s) = ζ(F ; s). 1 Fτ := y
1 −x −x x2 + y 2
2
τ
−1 τ
−1/τ
τ
τ
&+
7#6
= 4 ")
0B3 1073 k ( ) 6
I=
717 7
∗
f (τ ) · E (τ ; s + 1 − k) , g(τ ) .
f (τ )g(τ )y = O(e ) τ ∈ F ,; )))'1' : ; : I : ;? 7' / @ ! V : Γ Γ ' 70"3 D* )@'7' k
−2πy
∞
I =
y k f (τ )g(τ ) · F
=
(Im Mτ )s+1−k dv
M ∈V
f (Mτ )g(Mτ ) · (Im Mτ )s+1 dv =
M ∈V F
f (τ )g(τ ) · y s+1dv , F∞
( F 4 : Γ ' ) : Γ 5 )@'7'7 ;'8' ∞
∞
∞
F∞ = {τ ∈ H ; 0 ≤ x ≤ 1}
( 0.
n=1
: 1 * ! * sE5 2π : ! & ξo (s) := |D|s/2 (2π)−s Γ(s) · ζo (s) ) 9 s = 1 8 √ −D ! &
ξo (1 − s) = ξo (s).
$
&: 5 6 # HG 5 . 1B72' 4 :
, # ,* ?@ 5 8 !
? ?9 ( Z 126'
4 : ' ! , # '
W'5 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 122#' " : : # 5 *; 1B22' #$$: % *L # . E : D 5 . 1BB2?1B2BS 9 5 A 5 9 ( Z? 121' # : : ! # H ' ' 25 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 12B"' # : -
, , # ,* ?@ ! 5 8 ? ?9 ( Z 1227' ' #)$, ' : ' 7' W'5 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z 1222' - !: ( * # 8 ( 5 127#? 127S 9 5 . 5 9 ( Z 122' ' , "), ' : # <
, #
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,
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122'
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Z 1266' ' " % 5 ' H ?@5 D 1BBB5 1B2#' , - ": # 7' W'5 ,* ?@ 5 8 ? ?9 ( Z ###' - : : M - : @
) % : +0 '
8 ))5 5 *; 12#1?121'
'! # ( ! #
71B
>
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*; 1215 12'
#
5
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C 5 12"#'
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1B2'
2: = H & #
! / *
H ?@5 D 1BB?1B21'
: ! ! # 5 9 ( Z
121#S 9 5 : 5 9 ( Z 12"B' : ' ( # @ * 5 HG 12"2' ! & : -, * # ' W'5 ,* ?@ 5 8 ! ? ?9 ( Z 126#' ") *: ' ( # 8< 5 8 1275 1277' ") *, - #" : &
#
9 ( Z 12I'
",
I' W'5 ,* ?@ 5 8 ? ?
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Z 12B6'
1 &: : + 2 # 8)? : 5 !
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8 121?127'
, : ' !" ! $
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712
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1266'
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5 8 ? ?9 ( Z ##'
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