Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure: Praxisorientierte Aufgaben mit Lösungen

Frank Preser Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure

Frank Preser

Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure Praxisorientierte Aufgaben mit Lösungen Mit 151 Abbildungen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

Prof. Dr.-Ing. Frank Preser lehrt an der HWTK Leipzig Wasserbau, Hydromechanik und Trinkwasserversorgung. E-Mail: [email protected] Internet: www.bauwesen.htwk-leipzig.de

1. Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg +Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Dipl.-Ing. Ralf Harms | Sabine Koch Vieweg +Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Satz/Layout: Annette Prenzer Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0788-5

V

Vorwort „Wer zur Quelle gehen kann, gehe nicht zum Wassertopf.“ Leonardo da Vinci (1452–1519)

Der Titel des vorliegenden Buches ist Programm, es verschafft einen Überblick über die wichtigsten Anwendungsbereiche der Hydromechanik in Form von Beispielen mit Lösungen und liefert damit einen wertvollen Beitrag für die fundierte Bachelor-/Masterausbildung für Studierende an deutschsprachigen Hochschulen. Keineswegs kann und soll das vorliegende Werk jedoch eine Vorlesung der Technischen Hydromechanik ersetzen, da die erforderlichen Grundlagen, wie beispielsweise Steiner’scher Anteil oder Flächenträgheitsmoment zur Nachvollziehbarkeit der Lösungswege als bekannt vorausgesetzt werden. Es stellt jedoch eine ideale Ergänzung für das Selbststudium und zur Klausurvorbereitung dar. Darüber hinaus wird den im Wasserwesen tätigen Ingenieuren mit diesem Buch ein zusätzliches Hilfsmittel zur Erfüllung der vielfältigen Aufgaben an die Hand gegeben, weil auch komplexe Fragestellungen nicht ausgeklammert wurden. Die Idee zu diesem Buch entstand im Jubiläumsjahr der 10. Late-Night-Vorlesung Hydromechanik. – Einmal jährlich findet an der HTWK Leipzig vor der Regelprüfung „Hydromechanik“ im Sommersemester eine Spätvorlesung zum Thema mit „offenem Ende“ statt. Dort stellt der Autor – im Hörsaal und mit Livestream-Unterstützung im Web – zur nächtlichen Stunde seinen Studierenden detailliert alte Klausuraufgaben und Lösungen zur Prüfungsvorbereitung vor. Das Buch beinhaltet somit den Extrakt aus einer 10-jährigen Sammlung von Klausuraufgaben der Strömungsmechanik.

Leipzig/Rodenberg a. D., September 2010

Frank Preser

Anmerkung zur Genauigkeit: Die Ergebnisse (Zahlenwerte) wurden mit einer akademischen Version von Mathcad® V14.0 (PTC) exakt berechnet, in der Lösung dargestellt sind i. d. R. nur maximal 3 Nachkommastellen (NKS). Bei der eigenen Nachrechnung mit 3 NKS kann es deshalb zu Rundungsdifferenzen kommen.

VII

Inhaltsverzeichnis 1

Hydrostatik........................................................................................................................ 1 1.1 Grundlagen im Überblick ........................................................................................... 1 1.1.1 Definition ........................................................................................................ 1 1.1.2 Hydrostatischer Druck und Druckhöhe ........................................................... 1 1.1.3 Bezugsdruck.................................................................................................... 2 1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen ................................................................... 2 1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen ........................................................ 15

2

Schwimmstabilität........................................................................................................... 29 2.1 Grundlagen im Überblick ......................................................................................... 29 2.1.1 Schwimmende Körper................................................................................... 29 2.1.2 Auftriebs- und Gewichtskraft........................................................................ 29 2.1.3 Schwimmstabilität......................................................................................... 29 2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung .............................................................. 30

3

Hydrodynamik idealer Fluide........................................................................................ 45 3.1 Grundlagen im Überblick ......................................................................................... 45 3.1.1 Definition ...................................................................................................... 45 3.1.2 Kontinuitätsgleichung ................................................................................... 45 3.1.3 Energiegleichung........................................................................................... 45 3.2 Rohrhydraulik........................................................................................................... 46 3.3 Gerinnehydraulik...................................................................................................... 55

4

Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide ....................................................... 87 4.1 Grundlagen im Überblick ......................................................................................... 87 4.1.1 Energiegleichung........................................................................................... 87 4.1.2 Reibungsverluste ........................................................................................... 87 4.1.3 Berechnung der kontinuierlichen Verluste .................................................... 88 4.2 Rohrhydraulik........................................................................................................... 89 4.3 Gerinnehydraulik.................................................................................................... 108

5

Impulsbilanz der Hydromechanik............................................................................... 133 5.1 Grundlagen im Überblick ....................................................................................... 133 5.2 Arbeitsschritte zur Anwendung des Stützkraftsatzes.............................................. 134 5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl.................................................................... 135 5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne ....................................................................... 152

VIII 6

Inhaltsverzeichnis Anhang ...........................................................................................................................173 6.1 Flächenträgheitsmomente um Schwereachsen........................................................173 6.2 Grenzwassertiefen und Grenzgeschwindigkeiten ...................................................174 6.3 Potenzreihen ...........................................................................................................176 6.4 Überfallbeiwerte nach Poleni..................................................................................177 6.5 Strickler-Beiwerte für die Fließformel nach Manning-Strickler.............................178 6.6 Moody-Diagramm ..................................................................................................179 6.7 Äquivalente Rauigkeiten ........................................................................................180 6.8 Örtliche Verlustbeiwerte.........................................................................................182 6.9 Abflusstabelle für voll durchströmte Kreisrohre ....................................................187 6.10 Abflusstabelle für beliebige Rohre und Gerinne.....................................................189 6.11 Rehbock-Pfeilerstau................................................................................................191

Literaturverzeichnis ..............................................................................................................193 Sachwortverzeichnis..............................................................................................................195

IX

Wichtige Formeln der Hydromechanik Wichte und Dichte:

γW = ρ ⋅ g Hydrostatischer Druck: p = ρW ⋅ g ⋅ h = γ W ⋅ h

Druck (allgemein): p=

m⋅ g F = A A

Archimedisches Prinzip (Auftriebskraft): FA = ρW ⋅ g ⋅ VV = γ W ⋅ VV

Kontinuitätsgleichung: Q = v ⋅ A = const .

Bernoulli-Gleichung ohne Energieverlust: hE = z +

p v2 + = hgeod + hD + hkin = const. ρW ⋅ g 2 g

Froude-Zahl: Fr =

v g ⋅ hm

v

=

g⋅

A bSp

Wellengeschwindigkeit:

c = g ⋅ hm Grenzwassertiefe, Grenzgeschwindigkeit und minimale Energiehöhe am Beispiel eines Rechteckgerinnes: 1

hgr = 3

Q

2

2g ⋅ b2

Q2 =  2g ⋅ b2

3   

v gr = g ⋅ hgr hE min =

3 ⋅ hgr 2

Weitere Gleichungen für explizite und implizite Grenzwassertiefen und ~geschwindigkeiten befinden sich im Anhang.

X

Wichtige Formeln der Hydromechanik

Konjugierte Wassertiefen im Rechteckgerinne und die zugehörigen Fr-Zahlen: hu 1

h 1 =  1 + 8 Fro2 − 1 bzw. o =  1 + 8 Fru2 − 1 ho 2 hu 2   v0 vu Fro = Fru = A A g⋅ o g⋅ u bSpo bSpu

Bernoulli-Gleichung mit Energieverlusten: z1 +

p2 v2 p1 v2 + 1 = z2 + + 2 +  hv ρW ⋅ g 2 g ρW ⋅ g 2 g

 hv =  hvkont. +  hvörtl.

L

v2 

 hvkont. =   λi ⋅ dii ⋅ 2ig 

i



hvörtl . =

 i



2 

 ξ ⋅ vi   i 2g  

Reynolds-Zahl: Re =

v ⋅ d hy

=

ν

v⋅ A

ν ⋅l U

Freispiegelgerinne:

v=

2 k St ⋅ rhy3

rhy =

1 ⋅ I E2

A lU

d hy = 4 ⋅ rhy

Impulssatz: FI = ρW ⋅ v ⋅ Q

Stützkraftsatz:

 F = FS1 − FS 2 i

mit:

FS i = ρW ⋅ vi ⋅ Q + pi ⋅ A1

Borda-Stoßverlust: 2

A  v2 hv = 1 − 1  ⋅ 1 A2  2 g

Wichtige Formeln der Hydromechanik

Wichtige Dimensionen 1000 l = 1 m 3

1N =1

kg ⋅ m

1 Pa = 1

s2 N m

2

=1

kg m ⋅ s2

1 bar = 105 Pa = 10 1 J =1

kg ⋅ m 2 s2

N m2

= 1 Nm

= 10 m WS

XI

1

1 Hydrostatik

1.1 Grundlagen im Überblick 1.1.1 Definition Die Hydrostatik ist die Lehre von den ruhenden Flüssigkeiten und den sich in ihnen ausbildenden Kräften. Aufgabe der Hydrostatik ist die Analyse der durch den hydrostatischen Druck auftretenden Erscheinungen sowie die Ermittlung der Kraftwirkungen. Hydrostatische Kräfte sind dabei von Behältern, Rohrleitungen und Bauwerken schadlos aufzunehmen und/oder in den Baugrund abzuleiten. – Die Berechnung von Auftriebskräften (vertikale Druckkräfte) auf in Fluide eingetauchte Körper wird in der Hydrostatik zur Untersuchung von Schwimmstabilitäten verwendet.

1.1.2 Hydrostatischer Druck und Druckhöhe Eine wichtige Größe in hydraulischen Berechnungen ist der Druck p, der häufig auch als Druckspannung bezeichnet wird. Er ist definiert als Quotient aus einer dem Betrag nach normal zu einer Flächeneinheit A in [m²] stehenden Kraft F in Newton [N]. Die Kraft F ist als das Produkt aus Masse m und Erdbeschleunigung g definiert. Die Erdbeschleunigung wird nachfolgend rechnerisch stets mit g = 9,80665 [m/s²] angesetzt. p

m˜ g A

F A

(1.1)

Der Druck p ist in jedem Punkt einer Flüssigkeit, eines Gases und auch im Dampf nach allen Richtungen gleich groß, man spricht deshalb auch von einer skalaren Größe. Die abgeleitete SI-Einheit des Drucks ist das Pascal [Pa].

1[ Pa] 1

[N ] 1 ˜ 10  5 >bar @ [m²]

(1.2)

Wegen der guten Anschaulichkeit hat sich auch der Begriff Druckhöhe hD bewährt. Die Druckhöhe hat die Einheit [m], früher und heute noch im Sprachgebrauch ist auch der Begriff Meter Wassersäule [mWS].

hD

p

U˜g

œ p

U ˜ g ˜ hD

J W ˜ hD

(1.3)

In dieser Gleichung steht g für die Erdbeschleunigung,  bezeichnet die Dichte des Fluids (hier Wasser). Die Dichte des Wassers ist sowohl temperaturabhängig als auch mit dem Feststoffoder Salzgehalt veränderlich. Sie erreicht für reines Wasser bei einer Temperatur von +4 [°C] ihr Maximum mit U = 1000 [kg/m³]. Für das spezifische Gewicht, auch Wichte genannt, wird hier unabhängig vom Gewässer und von der Temperatur W = 10 [kN/m³] angesetzt.

F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

2

1 Hydrostatik

1.1.3 Bezugsdruck In der Hydraulik wird allgemein der Atmosphärendruck po als Bezugsdruck gewählt. Ist der aktuelle Druck größer als der Referenzdruck po, so spricht man von Überdruck, im anderen Fall von Unterdruck oder besser von negativem Druck. Da in der Hydrostatik positiver Druck auftritt, wird meist für p der Begriff Druck anstelle von Überdruck verwendet.

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen Beispiel 1 – geneigte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1 [m] (Einheitsmeter). Das spezifische Gewicht der Flüssigkeit beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Fußpunkt A. Ruhewasserspiegel RWS

h = 3,50 [m]

D = 45° Fußpunkt A Lösung 1.1 – „Druck senkrecht zur gedrückten Fläche“

RWS Kraft FW

h sin D

Druck p

Hebelarm a

Behälterboden p

U ˜ g ˜ h J w ˜ h 10 ˜ 3,50 35,00

A

h ˜b sin D

FW a MA

3,50 ˜1,00 sin 45q

kN m2

4,950 m 2

1 1 ˜ p˜A ˜ 35,00 ˜ 4,950 86,621 kN 2 2 1 h 1 3,50 ˜ ˜ 1,650 m 3 sin D 3 sin 45q Fw ˜ a

86,621˜1,650 142,917 kNm

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

3

Anmerkung: Es wird unterstellt, dass der Druck auf den Behälterboden schadlos vom Baugrund aufgenommen werden kann und sich damit kein Gegenmoment zum Biegemoment im Fußpunkt A ergibt. Diese Annahme wird auf alle weiteren ähnlichen Behälterstatiken übertragen. Lösung 1.2 – „Aufteilung in horizontale und vertikale Komponenten“ aV FV RWS

hH

FH

aH p

p FH aH FV aV

MA

U ˜ g ˜ h J w ˜ h 10

hV kN m

3

˜ 3,50

35,00

kN m2

1 1 1 ˜ p˜ A ˜ p ˜ hH ˜ b ˜ 35,00 ˜ 3,50 ˜ 1,00 61,25 kN 2 2 2 1 ˜ hH 1,1 6 m 3 1 1 1 ˜ p˜ A ˜ p ˜ hV ˜ b ˜ 35,00 ˜ 3,50 ˜ 1,00 61,25 kN 2 2 2 1 ˜ h.V 1,1 6 m 3 FH ˜ ah  FV ˜ aV

2 ˜ 61,25 ˜ 1,16 142,917 kNm

Lösung 1.3 – „axiales Flächenträgheitsmoment“

RWS

z zS

FW

h sin D

h p

2

Breite b

1

r

S

a Schwerpunkt Angriffspunkt von FW mit einachsiger Ausmittigkeit e

e 1 2

h 2 ˜ sin D

4

1 Hydrostatik 1 1 ˜h ˜ 3,50 1,750 m 2 2 h 3,50 A ˜b ˜1,00 4,950 m 2 sin D sin 45q FW U ˜ g ˜ z S ˜ A J ˜ z S ˜ A 10 ˜1,75 ˜ 4,950 86,621 kN zS

3

§ h · § 3,50 · b ˜¨ 1,00 ˜ ¨ ¸ ¸ sin D ¹ sin 45q ¹ © © I S ,11 12 12 zS 1,75 rS 2,475 m sin D sin 45q I S ,11 10,106 e 0,825 m rS ˜ A 2,475 ˜ 4,950 a

MA

h e 2 ˜ sin D FW ˜ a

3

10,106 m 4

3,50  0,825 1,650 m 2 ˜ sin 45q 86,621 ˜1,65 142,917 kNm

Welcher der hier vorgestellten Lösungsansätze im Einzelfall zur Anwendung kommen sollte, ist vom hydrostatischen System sowie von der Neigung und Fähigkeit des Bearbeiters abhängig. Im Einzelnen werden nachfolgend Aufgaben und Lösungen vorgestellt, die sich leicht und schnell nach einem der drei Ansätze lösen lassen. Beispiel 2 – abgeknickte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1 [m] (Einheitsmeter). Das spezifische Gewicht der Flüssigkeit beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A, resultierende Kraft FRes und zugehöriger Hebelarm aRes. RWS

D = 60° h1 = 5,00 [m]

h2 = 3,00 [m]

A

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

5

Lösung 2 – „Druck senkrecht zur gedrückten Fläche“

RWS

E

FW1

FRes

FW1 p1

FW2 h1  h2 3 ˜ sin D

FW2

Kräfteparallelogramm

h2 ˜ cos  90q  D

FW3

a3

p1

p2

a2

a1

p3

p1

J W ˜  h1  h2 10

p2

J W ˜ h2

10

p3

p1  p2

50, 00

A1

h1  h2 ˜b sin D

A2

h2 ˜ b

a1 a2 a3

FW 1 FW 2 FW 3

kN m

3

kN m

3

˜  5, 00  3, 00 m

˜ 3, 00 m

30, 00

3, 00 ˜1, 00

20, 00

m2

kN m2

m2 2,309 m 2

3, 00 m 2

1 h h h2 ˜ cos(90q  D )  ˜ 1 2 3 sin D h2 3, 00 1,50 m 2 2 h2 1, 00 m 3

3, 00 ˜ cos 30q 

1 1 ˜ p1 ˜ A1 ˜ 20, 00 ˜ 2,309 23, 094 kN 2 2 p1 ˜ A2 2, 00 ˜ 30, 00 60, 00 kN 1 ˜ p2 ˜ A2 2

kN

kN

5, 00  3, 00 ˜1, 00 sin 60q

1 ˜ 30, 00 ˜ 3, 00 2

45, 00 kN

FW3

1 2 3 sin 60q

3,368 m

6

1 Hydrostatik

 cos 60q ˜ FW 1 2   sin 60q ˜ FW 1  FW 2  FW 3 2

6FV 2  6FH 2

FRe s

 cos 60q ˜ 23, 094 2   sin 60q ˜ 23, 094  60  45 2 E

MA

a tan

6FV 6FH

a tan

cos 60q ˜ FW 1 sin 60q ˜ FW 1  FW 2  FW 3

FW 1 ˜ a1  FW 2 ˜ a2  FW 3 ˜ a3

125,532 kN

5, 278q

23, 094 ˜ 3,368  60, 00 ˜ 1,50  45, 00 ˜1, 00

212, 778 kNm

MA

FRe s ˜ aRe s Ÿ aRe s

MA FRe s

212, 778 kNm 125,532 kN

1, 695 m

Beispiel 3 – Behälterwand mit veränderlicher Breite

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit unterschiedlicher Breite. Das spezifische Gewicht der Flüssigkeit beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. RWS

RWS

bSp = 4,85 [m] h1 = 5,00 [m]

b = 2,50 [m]

Vorderansicht

h2 = 3,00 [m]

Seitenansicht

A

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

7

Lösung 3 – „axiales Flächenträgheitsmoment“

RWS

RWS

z zS1

S1

e1

FW1

zS2

Fläche A1

a1 S2 e2

Fläche A2

FW2

a2 Vorderansicht

A1

 h1  h2 ˜

A2

b ˜ h2

b  bSp 2

 5, 00  3, 00 ˜

(h1  h2 ) (bSp  2b) ˜ 3 (bSp  b)

zS 2

h h1  h2  2 2

FW 2

2,50  4,85 2

7,35 m 2

7,50 m 2

2,50 ˜ 3, 00

z S1

FW 1

Seitenansicht

(5, 00  3, 00) (4,85  2 ˜ 2,50) ˜ 3 (4,85  2,50)

5, 00  3, 00 

3, 00 2

3,50 m

J W ˜ zS1 ˜ A1 10 ˜ 0,893 ˜ 7,35 65, 667 kN J W ˜ zS 2 ˜ A2 10 ˜ 3,50 ˜ 7,50 262,500 kN

Flächenträgheitsmomente um die Schwereachsen (vergl. Anhang): I S1



2 ( h1  h2 )3 b 2  2b ˜ bSp  bSp





36 b  bSp 3





2

(5, 00  3, 00) 2,50  2 ˜ 2,50 ˜ 4,85  4,852 36  2,50  4,85

IS 2

b ˜ h23 12

2,50 ˜ 3, 003 12

5, 625 m 4



1, 63 m 4

0,893 m

A

8

1 Hydrostatik

Einachsige Ausmittigkeiten: e1

I S1 zS1 ˜ A1

1, 63 0,893 ˜ 7,35

0, 249 m

e2

IS 2 zS 2 ˜ A2

5, 625 3,50 ˜ 7,50

0, 214 m

Hebelarme und Moment: a1

h1  zS1  e1

a2

h1  zS 2  e2

MA

5, 00  0,893  0, 249

3,858 m

5, 00  3,50  0, 214 1, 286 m

FW 1 ˜ a1  FW 2 ˜ a2

65, 667 ˜ 3,858  262,500 ˜1, 286

590,832 kNm

Beispiel 4 – Behälterwand mit symmetrischem Ausschnitt

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit kreisrundem Bullauge1. Das spezifische Gewicht der Flüssigkeit beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Resultierende Wasserdruckkraft FW auf das Fenster sowie deren Durchdringungspunkt (einachsig ausmittig). RWS

RWS

Bullauge h1 = 3,00 [m] h2 = 1,00 [m]

d = 1,00 [m]

h3 = 1,00 [m]

Vorderansicht

Seitenansicht

Lösung 4 – „axiales Flächenträgheitsmoment“

RWS

z

RWS

zS S

FW

e A

1

Im Bauwesen bezeichnet man mit Bullauge runde oder ovale Fenster.

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

A

S ˜d2

S ˜1, 02

4

4

zS

h1 2

FW

JW

9

0, 785 m2

3, 00 1,50 m 2 ˜ zS ˜ A 10 ˜1,50 ˜ 0, 785 11, 781 kN

Flächenträgheitsmoment um die Schwereachse (vergl. Anhang): IS

S ˜d4

S ˜1, 04

64

64

0, 049 m 4

Einachsige Ausmittigkeit: e

IS zS ˜ A

0, 049 1,50 ˜ 0, 785

0, 042 m

4, 2 cm

Beispiel 5 – Behälterwand mit unsymmetrischem Ausschnitt

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit einem Fenster in der Form eines unsymmetrischen und rechtwinkligen Dreiecks. Das spezifische Gewicht der Flüssigkeit beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Resultierende Wasserdruckkraft FW auf das Fenster sowie deren Durchdringungspunkt (zweiachsig ausmittig). RWS

RWS

Fenster h1 = 3,00 [m] h2 = 1,00 [m]

b = 1,50 [m]

h3 = 1,00 [m]

Vorderansicht

Seitenansicht

Lösung 5 – „Flächenträgheits- und Deviationsmoment (Zentrifugalmoment)“

RWS A

z zS

FW

S e f

RWS

10

1 Hydrostatik b ˜ h2 2

1,5 ˜1, 0 0, 75 m 2 2 2 ˜ h2 2 ˜1, 00 z S h1  h2  h3  3, 00  1, 00  1, 00  3 3 FW J W ˜ z S ˜ A 10 ˜1, 666 ˜ 0, 75 12,50 kN A

1, 66 m

Flächenträgheitsmoment um die Schwereachse (vergl. Anhang): IS

b ˜ h23 36

1,50 ˜1, 03 36

0, 042 m4

Zentrifugalmoment (vergl. Anhang): I SY

b 2 ˜ h22 72

1,52 ˜1, 02 72

0, 031 m 4

Ausmittigkeiten: e

IS zS ˜ A

f

I SY zS ˜ A

0, 042 1, 66 ˜ 0, 75 0, 031 1, 66 ˜ 0, 75

0, 033 m 0, 025 m

3,3 cm 2,5 cm

Beispiel 6 – mehrfach abgeknickte Trennwand

Gegeben: Trennwand gemäß Zeichnung mit unterschiedlichen Wasserständen zu beiden Seiten und konstanter Breite b = 2,00 [m]. Spezifisches Gewicht W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. b = 2,00 [m]

RWS 1,00 [m]

RWS

1,00 [m] h1 = 5,00 [m]

1,00 [m]

D = 45° h2 = 4,00 [m]

1,00 [m] 1,00 [m] A

Seitenansicht

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

11

Lösung 6.1 – „horizontale Komponenten“

RWS

RWS RWS

FRH1

RWS

pH1

= FH1

FRH2

FH2

hRH1 hRH2

pH1

Lösung 6.2a – „vertikale Komponenten (lks.)“

RWS

RWS Auflast

=

Auftrieb

FV1

Auftrieb

Lösung 6.2b – „vertikale Komponente (re.)“

RWS

RWS

Auftrieb Auflast

=

FV2

Auflast

12

1 Hydrostatik

Aus der Lösungsabbildung 6.1 ist zu entnehmen, dass sich die Horizontalkräfte teilweise gegenseitig aufheben:

J W ˜  h1  h2 10

pH 1 A1

b ˜1, 00 m

A2

b ˜ 4, 00 m

FRH 1 FRH 2

kN m

3

˜1, 00 m 10, 00

2, 00 m ˜1, 00 m

2, 00 m

RWS

kN m

2

RWS

2

8, 00 m2

2, 00 m ˜ 4, 00 m

V = 0

1 1 ˜ pH 1 ˜ A1 ˜10, 0 ˜ 2, 0 10 kN 2 2 pH 1 ˜ A2 10, 0 ˜ 8, 0 80 kN

Weiter ist aus der Überlagerung der Lösungen 6.2a und 6.2b zu erkennen, dass die Vertikalkräfte sich gegenseitig komplett aufheben (6V = 0). Für das Moment um A erhält man (rechtsdrehend positiv): MA

h 1 FRH 1 ˜ (h2  ˜1, 0)  FRH 2 ˜ 2 3 2

10 ˜ 4,3  80 ˜ 2, 0

203,3 kNm

Beispiel 7 – mehrfach abgeknickte Trennwand

Gegeben: Trennwand gemäß Zeichnung mit unterschiedlichen Wasserständen zu beiden Seiten und konstanter Breite b = 2,00 m. Spezifisches Gewicht W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A.

b = 2,00 [m] RWS

D = 45°

RWS 1,00 [m] 1,00 [m]

D = 45°

1,00 [m]

h2 = 5,00 [m]

h1 = 4,00 [m] 1,00 [m] 1,00 [m] A

Seitenansicht

1.2 Hydrostatischer Druck auf ebene Flächen

13

Lösung 7.1 – „horizontale Komponenten“

RWS

RWS RWS

RWS pH1

FRH1

= FRH2

hRH1

FH2

FH1

hRH2

pH1

Lösung 7.2a – „vertikale Komponenten (lks.)“

RWS

RWS

Auflast Auftrieb

=

FV1

Auftrieb

Lösung 7.2b – „vertikale Komponente (re.)“

RWS

RWS

Auftrieb Auflast

=

FV2

Auflast

14

1 Hydrostatik

Wie aus der Lösungsabbildung 7.1 zu entnehmen ist, heben sich auch hier die Horizontalkräfte teilweise gegenseitig auf:

J W ˜  h1  h2 10

pH A1

b ˜1, 00 m

A2

b ˜ 4, 00 m

FRH 1 FRH 2

kN m

3

˜1, 00 m 10, 00

2, 00 m ˜1, 00 m 2, 00 m ˜ 4, 00 m

kN m2

2, 00 m 2 8, 00 m 2

1 1 ˜ pH ˜ A1 ˜10, 0 ˜ 2, 0 10 kN 2 2 pH ˜ A2 10, 0 ˜ 8, 0 80 kN

Analog zur Lösung 6.2 heben sich auch in Lösung 7.2 die Vertikalkräfte gegenseitig komplett auf (6V = 0). Für das Moment um A erhält man (rechtsdrehend positiv): MA

h 1  FRH 1 ˜ (h2  ˜1, 0)  FRH 2 ˜ 2 3 2

10 ˜ 4,3  80 ˜ 2, 0

203,3 kNm

Beispiel 8 – mehrfach abgeknickte Behälterwand

Gegeben: Behälterwand gemäß Zeichnung mit Pendelstützen (Normalkraftstütze) in einem Abstand von b = 3,00 [m]. Spezifisches Gewicht W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A sowie Kraft FP in der Pendelstütze. RWS

Pendelstütze (alle 3 [m])

h1 = 3,00 [m]

h3 = 1,00 [m] h2 = 2,00 [m]

D = 45° Gelenk A Lösung 8 – „horizontale und vertikale Komponenten“ FP

RWS

FV2 ist weder eine Auflast- noch eine Auftriebskraft!

hH FH

FV1 aH

p1

p2 aV1

hV

aV2

FV2

FV2 dient der Reduktion von FV1 (Hebelarm von aV2 verzerrt)

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen kN

p1

J W ˜ h1 10

p2

J W ˜  h1  h2  h3 10

m

3

˜ 3, 00 m

AH

b ˜ h1

3, 00 m ˜ 3, 00 m

AV 1

AH

9, 00 m2 (D

AV 2

b ˜ h3

30, 00

kN 3

m

15

kN m2

˜ 2, 00 m

20, 00

kN m2

9, 00 m 2

45q)

3, 00 m ˜1, 00 m

3, 00 m2

1 1 3, 00 m hH h1 1, 00 m 3 3 3 1 1 3, 00 m aV 1 hV 1 h1 1, 00 m 3 3 3 1 1 aV 2 hV  h3 1,3 m D 45q 3 3 aH

FH FV 1 FV 2

MA

1 ˜ p1 ˜ AH 2 1 ˜ p1 ˜ AV 1 2 1 ˜ p2 ˜ AV 2 2

1 ˜ 30, 0 ˜ 9, 0 135, 00 kN 2 1 ˜ 30, 0 ˜ 9, 0 135, 00 kN 2 1 ˜ 20, 0 ˜ 3, 0 30, 00 kN 2

FH ˜ aH  FV 1 ˜ aV1  FV 2 ˜ aV2  FP ˜

h1 sin D

0

135, 00 kN ˜1, 00 m  135, 00 kN ˜1, 00 m  30 kN ˜1,3 m  FP ˜

FP

135, 00 kNm  135, 00 kNm  40, 00 kNm ˜

sin 45q 3, 00 m

3, 00 m sin 45q

0, 00 kNm Ÿ

54, 212 kN

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen Beispiel 9 – einfach gekrümmte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 1 [m] (Einheitsmeter). Spezifisches Gewicht W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Auflagerkraft FA.

16

1 Hydrostatik RWS

Auflager A

h = 3,50 [m]

Gelenk Lösung 9 – „horizontale und vertikale Komponenten“

RWS FA

s aV FH

S

FV1 aH

p

p

J W ˜ h 10

kN m

3

˜ 3,50 m

AH

b ˜ h 1, 00 m ˜ 3,50 m

FH

1 ˜ p˜ A 2

AV

1 ˜Sr2 4

V FV

AV ˜ b

kN m2

3,50 m 2

1 ˜ 35, 00 ˜ 3,50 2

61, 250 kN

1 ˜ S ˜ 3,502 m 2 4

9, 621 m 2

9, 621 m 2 ˜1, 00 m

VV ˜ J W

35, 00

9, 621 m3 ˜10

9, 621 m3 kN m3

96, 211 kN

1 ˜ h 1,166 m 3 4 2 4 2 ˜r ˜ 3,50 2,101 m s 3S 3S aV s ˜ sin 45q 1, 485 m aH

MA FA

0

FH ˜ aH  FV ˜ aV  FA ˜ h Ÿ FA

1

 FH ˜ aH  FV ˜ aV ˜ h

61, 25 kN ˜1,166 m  96, 211 kN ˜1, 485 m ˜ 3,501 m

61, 250 kN

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

17

Beispiel 10 – mehrfach gekrümmte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite b = 5 [m]. Spezifisches Gewicht der Flüssigkeit W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A.

RWS

b = 5,00 [m]

d1 = 1,20 [m] h = 3,00 [m] d2 = 1,80 [m] A Lösung 10 – „horizontale und vertikale Komponenten“

RWS

RWS aV1

Auflast

S

Auftrieb

FH

=

Auflast p p

A

J W ˜ h 10

A b˜h aH FH

AV 1 AV 2 aV 1 aV 2

kN m

3

˜ 3, 00 m

FV2 aH aV2

S

A 30, 00

kN m2

5, 00 m ˜ 3, 00 m 15, 00 m 2

1 ˜ h 1, 00 m 3 1 1 ˜ p˜ A ˜ 30, 00 ˜15, 00 2 2 1 S d12 ˜ 2 4

FH

FV1

1 ˜ S ˜1, 202 m 2 8

225, 00 kN

0,565 m 2

1 S d 22 1 ˜ ˜ S ˜1,802 m 2 1, 272 m2 2 4 8 4r1 2d1 2 ˜1, 20 m 0, 255 m 3S 3S 3S 4r2 2d 2 2 ˜1,80 m 0,382 m 3S 3S 3S

18

1 Hydrostatik V1

AV 1 ˜ b

0,57 m 2 ˜ 5, 00 m

2,827 m3

V2

AV 2 ˜ b 1, 27 m2 ˜ 5, 00 m

6,362 m3

FV 1

VV 1 ˜ J W

2,83 m3 ˜10

FV 2

VV 2 ˜ J W

6,36 m3 ˜10

MA

kN m3 kN

28, 274 kN

m3

63, 617 kN

FH ˜ aH  FV 1 ˜ aV 1  FV 2 ˜ aV 2 225, 00 ˜1, 00  28, 27 ˜ 0, 25  63, 62 ˜ 0,38

256,50 kNm

Beispiel 11 – mehrfach gekrümmte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite und einem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit von W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. RWS

b = 1,00 [m]

d1 = 1,80 [m] RWS h1 = 3,60 [m] h2 = 1,80 [m]

d2 = 1,80 [m] A Lösung 11 – „horizontale und vertikale Komponenten“

RWS

RWS Auftrieb Auflast

S

RWS FH1

= Auftrieb

A

RWS

FH1

FH2

Auflast

aV FV

FH2

aH1 p1

aH2

A

p2

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

p1

J W ˜ h1 10

p2

J W ˜ h2 10

kN 3

m kN m3

˜ 3, 60 m

36, 00

˜1,80 m 18, 00

A1

b ˜ h1 1, 00 m ˜ 3, 60 m

A2

b ˜ h2

3, 60 m

19

kN m2 kN m2

2

1, 00 m ˜1,80 m 1,80 m 2

1 ˜ h1 1, 20 m 3 1 ˜ h2 0, 60 m aH 2 3 1 1 ˜ p1 ˜ A1 ˜ 36, 00 ˜ 3, 60 64,80 kN FH 1 2 2 1 1 ˜18, 00 ˜1,80 16, 20 kN ˜ p2 ˜ A2 FH 2 2 2 aH 1

AV aV

1 S d12 1 ˜ ˜ S ˜1,802 m 2 1, 272 m2 2 4 8 4r1 2d1 2 ˜1,80 m 0,382 m 3S 3S 3S

VV

AV ˜ b 1, 27 m2 ˜1, 00 m 1, 272 m3

FV

VV ˜ J W

MA

1, 27 m3 ˜10

kN m3

12, 723 kN

FH 1 ˜ aH 1  FH 2 ˜ aH 2  FV ˜ aV 64,80 ˜1, 20  16, 20 ˜ 0, 60  12, 70 ˜ 0,38

72,900 kN

Beispiel 12 – kombinierte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite und einem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit von W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. RWS

b = 1,00 [m] h2 = 0,70 [m]

h1 = 2,10 [m] r = 49,5 [cm] h2 A

D = 45°

20

1 Hydrostatik

Lösung 12 – „horizontale und vertikale Komponenten“

RWS FV1 FH

E = 90° aH

D = 45°

p

A

J W ˜ h1 10

kN

p

m

3

aV1 aV2

˜ 2,10 m

21, 00

kN m2

A b ˜ h1 1, 00 m ˜ 2,10 m 2,10 m2 1 1 FH ˜ p˜ A ˜ 21, 00 ˜ 2,10 22, 050 kN 2 2 1 aH ˜ h1 0, 70 m 3 AV 1 AV 2

1 2 1 ˜ h1 ˜ 2,102 m2 2, 205 m2 2 2 1 1 ˜S ˜ r2 ˜ S ˜ 0, 4952 0,385 m2 2 2

V1

AV 1 ˜ b

2, 21 m2 ˜1, 00 m

2, 205 m3

V2

AV 2 ˜ b

0,38 m 2 ˜1, 00 m

0,385 m3

FV 1 V1 ˜ J W FV 2 aV 1 aV 2 MA

V2 ˜ J W

2, 21 m3 ˜10 0,38 m 3 ˜10

S FV2

=

kN m3 kN m3

22, 050 kN 3,849 kN

1 h1 a H 0, 70 m (wegen D = 45°) 3 2,10 4r 4 ˜ 0, 495 m 1, 48  sin D ˜  sin D ˜ 2 3S 3S

1,199 m

FH ˜ a H  FV 1 ˜ aV 1  FV 2 ˜ aV 2 22, 05 ˜ 0, 70  22, 05 ˜ 0, 70  3,85 ˜ 1, 20

35, 483 kNm

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

21

Beispiel 13 – kombinierte Behälterwand

Gegeben: Behälter gemäß Zeichnung mit konstanter Breite und einem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit von W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. RWS

b = 1,00 [m]

RWS h1 = 3,60 [m] h2 = 1,80 [m] r = 0,90 [m] A Lösung 13 – „horizontale und vertikale Komponenten“ RWS RWS Auflast Auftrieb RWS

FV

RWS

= FH1

FH1

aV aV

FH2

aH1 p1

A kN

p1

J W ˜ h1 10

p2

J W ˜ h2 10

A1

b ˜ h1 1, 00 m ˜ 3, 60 m

A2

b ˜ h2

FH 1 FH 2 aH 1 aH 2

3

m kN m3

˜ 3, 60 m

36, 00

˜1,80 m 18, 00

kN m2 kN m2

3, 60 m 2

1, 00 m ˜1,80 m 1,80 m 2

1 1 ˜ p1 ˜ A1 ˜ 36, 00 ˜ 3, 60 64,80 kN 2 2 1 1 ˜ p2 ˜ A2 ˜ 36, 00 ˜1,80 16, 20 kN 2 2 1 ˜ h1 1, 20 m 3 1 ˜ h2 0, 60 m 3

A

FH2 aH2 p2

22

1 Hydrostatik AV

r ˜  h1  h2

VV

AV ˜ b 1, 62 m 2 ˜1, 00 m 1, 62 m3

FV

VV ˜ J W

aV

r 2

MA

0,90 ˜1,80 1, 62 m2

1, 62 m3 ˜10

0,90 m 2

kN m3

16, 200 kN

0, 45 m

FH 1 ˜ a H 1  FH 2 ˜ a H 2  FV ˜ aV 64,80 ˜1, 20  16, 20 ˜ 0, 60  16, 20 ˜ 0, 45

75,330 kNm

Beispiel 14 – Drehsegment

Gegeben: Ein Drehsegment als Verschlussorgan mit konstanter Breite trennet zwei unterschiedliche Wasserspiegellagen. Das spezifische Gewicht der Flüssigkeiten beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Moment MA im Punkt A. RWS

b = 1,00 [m]

RWS h1 = 3,60 [m] h2 = 1,80 [m]

A Lösung 14 – „horizontale und vertikale Komponenten“

RWS

RWS Auflast Auftrieb RWS

FV S

= FH1

FH1

aV

FH2

A

aV RWS

aH1 p1

FH2

aH2

A

p2

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

23

Horizontale Komponenten: p1

J W ˜ h1 10

p2

J W ˜ h2 10

kN 3

m kN

˜ 3, 60 m

m3

˜1,80 m 18, 00

A1

b ˜ h1 1, 00 m ˜ 3, 60 m

A2

b ˜ h2

FH 1 FH 2 aH 1 aH 2

36, 00

3, 60 m

kN m2 kN m2

2

1, 00 m ˜1,80 m 1,80 m2

1 1 ˜ p1 ˜ A1 ˜ 36, 00 ˜ 3, 60 64,800 kN 2 2 1 1 ˜ p2 ˜ A2 ˜18, 00 ˜1,80 16, 200 kN 2 2 1 ˜ h1 1, 20 m 3 1 ˜ h2 0, 60 m 3

Vertikale Komponenten: AV

S ˜ r2 4

S ˜ 1,80 m

2

4

2,545 m2

VV

AV ˜ b

2,545 m2 ˜1, 00 m

FV

VV ˜ J W

2,545 m3 ˜10

s aV

kN m3

2,545 m3 25, 447 kN

4 2 ˜ r 1, 080 m 3S s ˜ sin  45q 1, 080 m ˜ sin  45q

0, 764 m

Moment um A: MA

FH 1 ˜ aH 1  FH 2 ˜ aH 2  FV ˜ aV 64,80 ˜1, 20  16, 20 ˜ 0, 60  25, 447 ˜ 0, 764 87, 480 kNm

Beispiel 15 – Wehrkörper mit Drehsegment

Gegeben: Wehranlage mit beweglichem (Druck-)Drehsegment gemäß Zeichnung und konstanter Breite B sowie einem spezifischen Gewicht der Flüssigkeit von W = 10 [kN/m³].

24

1 Hydrostatik

Gesucht: Komponenten der Wasserdruckkraft, Resultierende sowie die Lage der Angriffspunkte. RWS b = 1,00 [m] r = 1,28 [m] 50°

r

M

h1 = 3,50 [m]

65° Anmerkung: Zur Lösung sind nachfolgende Gleichungen eines Kreissegments erforderlich, nach [12]: h ASeg r s

D

S

s

§D · 2r ˜ sin ¨ ¸ ©2¹

ASeg

r

h

r2  ˜ D  sin D 2

xS

§D · 2 ˜ r ˜ sin 2 ¨ ¸ ©4¹ s3 12 ˜ ASeg

xS

Lösung 15 – „horizontale und vertikale sowie orthogonale Komponenten“

Zur Lösung dieser Fragestellung kommt ein kombinierter Ansatz zur Ausführung, der im Detail an vorhergehenden Beispielen bereits erläutert wurde. Es erscheint sinnvoll, das Drehsegment (grün) separat durch Aufteilung in horizontale und vertikale Druck- und Kraftkomponenten zu erfassen sowie den feststehenden Teil der Wehranlage (grau) mit dem axialen Flächenträgheitsmoment zu berechnen. a)

Drehsegment (horizontale und vertikale Komponente) FV1

r = 1,28 [m]

h1

FH1

x2 pH1

x1

r

65°

25°

50°

M

25°

y2

y1

s

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

25

Die Berechnung der blauen und roten Flächen geschieht durch vorheriges Lösen der Unbekannten h1 und y2, hierzu sind jedoch noch weitere Hilfsgrößen erforderlich. x2

h1  x1

sin 25q

Achtung:

x1 Ÿ r

x1

r ˜ sin 25q 1, 28 m ˜ sin 25q

y2

r ˜ cos 25q 1, 28 m ˜ cos 25q 1,160 m

x2

r ˜ sin 75q 1, 28 m ˜ sin 75q 1, 236 m

h1

x2  x1

1, 236 m  0,541 m

0, 695 m

y1

r ˜ cos 75q 1, 28 m ˜ cos 75q

0,331 m

0,541 m

r z y2

cos 25q

y2 Ÿ r x2 Ÿ r

sin  25q  75q

cos 75q

y1 Ÿ r

Auflastfläche (rot): AV 1

h1 ˜  y2  y1 2

h1 ˜  y2  y1

 ASeg

2



r2 2

§ S ˜ 50q · ˜¨  sin 50q¸ © 180q ¹

0, 70 ˜ 1,160  0,331 1, 282 § S ˜ 50q ·  ˜¨  sin 50q¸ © ¹ 2 2 180q 0, 288  0, 087

0, 201 m 2

Unter der Annahme einer Einheitsbreite von b = 1,00 m gilt für die Vertikalkraft: FV 1

AV 1 ˜ b ˜ J W

0,201 m 2 ˜1,00 m ˜ 10,00

kN m3

2,008 kN

Für die zugehörige Horizontalkraft (blau) gilt: p H1

W ˜ h1

FH 1

1 ˜ p H 1 ˜ AH 1 2

10 ,00

kN 3

˜ 0,695 m

m 1 ˜ p H 1 ˜ h1 ˜ b 2

6,954

kN m2

1 kN ˜ 6,954 ˜ 0,695 m ˜1,00 m 2 m2

2,418 kN

Resultierende auf das Drehsegment: RSeg

FV21  FH2 1

2,008 2 kN 2  2,418 2 kN 2

3,143 kN

Angriffspunkt der Resultierenden: Punkt M, die Lage ist durch die Koordinaten x2 und y2 berechnet worden.

26

1 Hydrostatik

Winkel der Resultierenden zur Horizontalen:

E

§F · a tan¨¨ V 1 ¸¸ © FH 1 ¹

§ 2,008 · a tan ¨¨ ¸¸ © 2,418 ¹

39,711q

b) feststehender Teil der Wehranlage (orthogonale Komponente)

h1

r

=

1,28

p1

pH1

65°

zS

M h FW

S

e ˜ sin 65q

e

p2

h  h1 sin 65q

h  h1 e 2 ˜ sin 65q

65°

Druck ist eine skalare Größe, sodass für den Anfangsdruck des Wehrkörpers gilt: p1 = pH1 p1

pH1

6,954

kN

m2 kN ˜ 3,50 m p 2 J W ˜ h 10,00 m3 h  h1 3,50  0,695 2,805 m zS

h1 

h  h1 2

0,695 

2,805 2

35,00

kN m2

2,098 m

Fläche des Wehres: AWehr

h  h1 ˜b sin 65q

2,805 ˜1,00 sin 65q

3,094 m 2

Resultierende Wasserdruckkraft: FW

J W ˜ z S ˜ AWehr

10,00 ˜ 2,098 ˜ 3,094

64,933 kN

1.3 Hydrostatischer Druck auf gekrümmte Flächen

27

Einachsige Ausmittigkeit: e

IS rs ˜ AWehr 3

IS rs e

§ 3,50  0,695 · § h  h1 · ¸¸ ¸¸ b ˜ ¨¨ 1,00 ˜ ¨¨ © sin 65q ¹ © sin 65q ¹ 12 12 zS 2,098 2,315 m sin 65q sin 65q 2,469 m 4 2,315 m ˜ 3,094 m 2

3

2,469 m 4

0,345 m

Angriffspunkt der Wasserdruckkraft vom RWS lotrecht gemessen: z S  e ˜ sin 65q 2,098m  0,345 m ˜ sin 65q 2,410 m

Angriffspunkt der Wasserdruckkraft von der Sohle, in Neigung des Wehrkörpers gemessen (siehe Skizze auf Seite 26): h  h1 e 2 ˜ sin 65q

3,094  0,345 1,202 m 2

29

2 Schwimmstabilität

2.1 Grundlagen im Überblick 2.1.1 Schwimmende Körper Die Schwimmstabilität ist ein Sonderfall der Hydrostatik und Hydrodynamik zugleich, denn bei ihr handelt es sich sowohl um einen statischen als auch bedingt dynamischen Prozess. In der technischen Mechanik wird zwischen folgenden Gleichgewichtslagen unterschieden: x

stabil,

x

indifferent,

x

instabil (labil).

Die Kraft, die einen Körper zum Schwimmen anregt, ist dabei die Auftriebskraft eines teils oder voll getauchten Volumenkörpers.

2.1.2 Auftriebs- und Gewichtskraft Auf in Fluide getauchte Körper wirken Druckkräfte. Die resultierende horizontale Druckkomponente ist dabei null (gilt näherungsweise für Grundwasserströmung und für Gewässer ohne Eigenströmung), diese Komponenten sind stets entgegengesetzt gerichtet und heben sich deshalb gegenseitig auf. Der sich dabei ebenfalls auswirkende vertikale Anteil des Drucks wird als Auftriebskraft FA bezeichnet und nach dem Archimedischem Prinzip berechnet. Der Auftrieb wirkt im Schwerpunkt SA des verdrängten Wasservolumens VA und entspricht der Gewichtskraft der Masse des verdrängten Wasser mW und ist stets nach oben gerichtet. FA

mW ˜ g

J W ˜ VA

(2.1)

Ein Körper ist also nur dann schwimmfähig, wenn ein Gleichgewicht zwischen Gewichtskraft des Körpers FG und der Gewichtskraft des verdrängten Wasservolumens FA herrscht, es gilt:

FA

FG

(2.2)

Das Gewicht mK wirkt im Massenschwerpunkt SK des Körpers (Index K) und ist nach unten gerichtet. Wenn Gleichung (2.2) erfüllt ist, bedeutet dieses, dass die mittlere Wichte des Körpers K kleiner sein muss als die der ihn umgebenden Flüssigkeit W.

2.1.3 Schwimmstabilität Um eine Aussage zur Stabilität des Schwimmverhaltens machen zu können, muss ein Körper in gekrängter Lage (Schräglage) betrachtet werden. Durch die Auslenkung verschiebt sich mit dem Auftriebsvolumen auch der Schwerpunkt SA des verdrängten Wassers, während der Massenschwerpunkt SK stets unverändert bleibt. Bei einem breiten Körper mit tief liegendem Schwerpunkt ergäbe sich nun ein aufrichtendes (wiederherstellendes) Moment, also eine stabile Schwimmlage, während bei einem eher schmalen Körper mit relativ hoch liegendem Schwerpunkt sich ein vergrößerndes (kippendes) Moment, also eine instabile Schwimmlage

F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_2, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

30

2 Schwimmstabilität

einstellen würde. Lediglich bei zylindrischen Körpern (Röhren), die mit ihrer Längsachse ins Wasser eintauchen, ergibt sich ungeachtet der Lage des Körperschwerpunktes eine indifferente Schwimmlage. Die Schwimmlage ist:

stabil, wenn hm ! 0 indifferent, wenn hm

0

(2.3)

instabil (labil), wenn hm  0 Die Berechnung der metazentrischen Höhe1 hm erfolgt für im Bauwesen allgemein zutreffende kleine Krängungswinkel näherungsweise mit der Formel (2.4): hm

Iy VA

 sG  s A

(2.4)

Dabei ist Iy das Flächenträgheitsmoment der Wasserlinienfläche, und VA ist das Volumen des verdrängten Wassers.

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung Beispiel 16 – homogener Quader

Gegeben: ein homogener rechtwinkliger Körper (gemäß Zeichnung), der auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. – Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Wichte des Schwimmkörpers sowie hm mit Schwimmstabilitätsnachweis. 2 RWS

f = 0,73 [m]

h

1 t = 1,13 [m]

1 2

b = 1,90 [m]

l = 5,35 [m] Lösung 16 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

1

FA

VA ˜ J W

FG

FA Ÿ J K

l ˜ b ˜ t ˜JW FA l ˜b ˜ h

5,35 m ˜1,90 m ˜1,13 m ˜10

kN m3

114,865 kN

114,865 kN 5,35 m ˜1,90 m ˜ 1,13 m  0,73 m

6,075

kN m3

Das Metazentrum eines schwimmenden Körpers ist der Schnittpunkt der Auftriebsvektoren zweier benachbarter Winkellagen, die Strecke vom Massenschwerpunkt zum Metazentrum heißt metazentrische Höhe.

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

31

Die Schwerpunkte von Körper~ und Auftriebsvolumen liegen, wegen der Symmetrie der Konstruktion in einer Achse. Es treten keine Ausmittigkeiten auf! Abstand Massenschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: h

f t

sG

h 2

1,13 m  0,73 m 1,86 m 0,93 m

Abstand Auftriebsschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: t 2

sA

0,565 m

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s A  sG

s

0,565  0,930

0,365 m

Auftriebsvolumen (= verdrängtes Wasservolumen): VA

l ˜b ˜t

5,35 m ˜1,90 m ˜1,13 m 11,486 m 3

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1: Iy

11

l ˜ b3 12

5,35 m ˜1,90 3 m 3 12

3,058 m 4

Flächenträgheitsmoment um die die Kippachse 2-2: Iy

22

b ˜l3 12

1,90 m ˜ 5,353 m 3 12

24,246 m 4

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1: hm11

I y11 VA

s

3,058 m 4 11,486 m 3

 0,365 m

0,099 m  0

Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2: hm2  2

I y2 2 VA

s

24,246 m 4 11,486 m 3

 0,365 m 1,746 m ! 0

Schwimmstabilität: Da die Konstruktion bereits in der Kippachse 1-1 instabil ist, ist die Schwimmlage des Körpers insgesamt als instabil bzw. labil zu bezeichnen.

Beispiel 17 – homogener Zylinder (liegend)

Gegeben: ein homogener zylindrischer Körper (gemäß Zeichnung), der auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. – Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Wichte des Schwimmkörpers sowie hm mit Schwimmstabilitätsnachweis.

32

2 Schwimmstabilität d = 2,20 [m]

2

t = 1,31 [m]

RWS 1

1 2 l = 4,45 [m]

Lösung 17 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

Berechnung des getauchten Querschnitts (Kreissegment/Kreisabschnitt, vergl. Anhang): t

d ˜ sin 2 D Ÿ D 202,012q ˜ S 180q



D

ASeg

4 ˜ a sin

t d

4 ˜ a sin

1,31 2,20

202,012q

3,526 Bogenmaß

d2  ˜ (D  sin D ) 8

2,20 2 ˜ >3,526  sin 202,012q @ 2,360 m 2 8

Auftriebskraft und Gewichtskraft FA

V ASeg ˜ J W

ASeg ˜ l ˜ J W

FG

FA Ÿ J K

FA AZyl ˜ l

2,360 ˜ 4,45 m ˜10 105,013 kN

S ˜ 2,20 4

2

kN m3

6,208

˜ 4,45 m

105,013 kN kN m3

Die Schwerpunkte von Körper~ und Auftriebsvolumen liegen, wegen der Symmetrie der Konstruktion in einer Achse. Es treten keine Ausmittigkeiten auf! Weil t > d/2 gilt für den Abstand Massenschwerpunkt bezogen auf die Wasserspiegellinie: sG

t

d 2

1,31 

2,20 2

0,210 m

Berechnung der Wasserspiegelbreite: bSp

§M · d ˜ sin ¨ ¸ ©2¹

2,20 ˜ sin(

202,012q ) 2

2,160 m

Abstand Auftriebsschwerpunkt bezogen auf die Wasserspiegellinie: sA

3 bSp

12 ˜ ASeg



d t 2

2,1603 2,20   1,31 0,566m 12 ˜ 2,360 2

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s

s A  sG

0,566  0,210

0,356 m

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

33

Auftriebsvolumen (= verdrängtes Wasservolumen): VA

2,360 m 2 ˜ 4,45 m 10,501 m 3

ASeg ˜ l

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1 Iy

l ˜ bSp 3 11

4,45 m ˜ 2,1603 m3 12

12

3,735 m 4

Flächenträgheitsmoment um die die Kippachse 2-2 Iy

bSp ˜ l 3 2 2

12

2,160 m ˜ 4,453 m3 12

15,858 m 4

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1 hm11

I y11 VA

s

3,735 m 4 10,501 m 3

 0,356 m

0,000 m

Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2 hm2  2

I y2  2 VA

s

15,858 m 4 10,501 m 3

 0,356 m 1,154 m ! 0

Schwimmstabilität: Die Konstruktion ist in der Kippachse 2-2 stabil sowie in der Achse 1-1 (erwartungsgemäß) indifferent. Beispiel 18 – homogener Zylinder (stehend)

Gegeben: ein homogener zylindrischer Körper (gemäß Zeichnung), der auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. - Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt W = 10 [kN/m³].

S

f = 1,75 [m]

RWS

S t = 2,25 [m] d = 2,52 [m] Gesucht: Wichte des Schwimmkörpers sowie hm mit Schwimmstabilitätsnachweis.

34

2 Schwimmstabilität

Lösung 18 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

S ˜d2

FA

VA ˜ J W

FG

FA Ÿ J K

S ˜ 2,52 2 m 2

˜ t ˜JW

4

4

FA

S ˜d 4

2

˜ 2,25 m ˜1,13 m ˜10

kN m3

112,221 kN 2

S ˜ 2,52 m

˜ t  f

4

2

112,221 kN 5,625

˜ 2,25 m  1,75 m

kN m3

Die Schwerpunkte von Körper~ und Auftriebsvolumen liegen, wegen der Symmetrie der Konstruktion, in einer Achse. Es treten keine Ausmittigkeiten auf! Abstand Massenschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: f  t 1,75 m  2,25 m h sG 2,00 m 2

h

4,00 m

Abstand Auftriebsschwerpunkt bezogen auf die Unterkante der Konstruktion: sA

t 2

1,125 m

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s A  sG

s

1,125  2,00

0,875 m

Auftriebsvolumen (= verdrängtes Wasservolumen): VA

S ˜d2

A˜t

4

˜ 2,25 m

S ˜ 2,52 2 4

˜ 2,25 m 11,222 m3

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse S-S: Iy

S S

S ˜d4

S ˜ 2,52 4 m 4

64

64

1,980 m 4

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1: hmS  S

I yS  S VA

s

1,980 m 4 11,222 m3

 0,875 m

0,699 m  0

Schwimmstabilität: Die Konstruktion besitzt nur eine Kippachse S-S, da die Wasserfläche einen Kreis darstellt. Die Schwimmlage ist instabil. Wenn dieser Schwimmkörper „kentert“, würde sich eine indifferente Schwimmlage (analog zu Beispiel 17) einstellen.

Beispiel 19 – Senkkasten

Gegeben: ein inhomogener rechtwinkliger Körper (gemäß Zeichnung), der auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. – Die spezifischen Gewichte von Wasser und Konstruktion betragen W = 10 [kN/m³] respektive K = 17 [kN/m³]. Gesucht: Tauchtiefe des Schwimmkörpers sowie Schwimmstabilitätsnachweis.

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

35 2

RWS

h = 2,63 [m] 1

1 2

b = 2,50 [m] l = 4,82 [m] d

Schnitt 2-2

Details Draufsicht d

d = 35 [cm] d

Lösung 19 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

Berechnung der Volumina: Vvoll

l ˜b˜h

Vhohl

 l  2d ˜  b  2d ˜  h  d  4,82  2 ˜ 0,35 ˜  2,50  2 ˜ 0,35 ˜  2, 63  0,35

Vhohl VK

4,82 ˜ 2,50 ˜ 2, 63 31, 692 m3

Vvoll  Vhohl

16,908 m3

31, 692  16,908 14, 783 m3

Kräftegleichgewicht: FG

VK ˜ J K

14,783 m ˜ 17

FA

FG Ÿ t

FA l ˜ b ˜ JW

kN m3

251,311 kN 251,311 kN

4,82 m ˜ 2,50 m ˜ 10

kN

2,086 m

m3

Auftriebsvolumen: VA

l ˜b˜t

4,82 ˜ 2,50 ˜ 2,086

25,131 m 3

Die Schwerpunkte von Körper- und Auftriebsvolumen liegen, wegen der Symmetrie der Konstruktion, in einer Achse. Es treten keine Ausmittigkeiten auf!

36

2 Schwimmstabilität

Der Abstand des Massenschwerpunktes bezogen auf die Unterkante der Konstruktion beträgt: h §hd · ˜ Vvoll  ¨  d ¸ ˜Vhohl 2 © 2 ¹ Vk

sG

2,63 m · § 2,63 m  0,35 m ˜ 31,692m 3  ¨  0,35 m ¸ ˜16,908 m 3 2 2 ¹ ©

sG

14,783 m 3

1,115 m

Der Abstand des Auftriebsschwerpunktes bezogen auf die Unterkante der Konstruktion beträgt: t 2

sA

2,086 2

1,043 m

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander ist: s

s A  sG

1,043  1,115

0,072 m

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1 Iy

11

l ˜ b3 12

4,82 m ˜ 2,503 m 3 12

6,276 m 4

Flächenträgheitsmoment um die die Kippachse 2-2 Iy

2 2

b ˜ l3 12

2,50 m ˜ 4,823 m3 12

23,329 m 4

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1 hm11

I y11 VA

s

6,276 m 4 25,131 m3

 0,072 m

0,178 m ! 0

Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2 hm22

I y 22 VA

s

23,329 m 4 25,131 m 3

 0,072 m

0,856 m ! 0

Schwimmstabilität: Da die Konstruktion bereits bei dem kleineren Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1 über Schwimmstabilität verfügt, ist der Nachweis für das größere Flächenträgheitsmoment um die Achse 2-2 entbehrlich. Merke: Grundsätzlich gilt diese Feststellung für alle Schwimmstabilitätsnachweise an getauchten Körpern mit zwei Kippachsen! Beispiel 20 – Symmetrischer Ponton (Schwimmkonstruktion)

Gegeben: eine Schwimmkonstruktion (gemäß Zeichnung), die auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. Auf dem Ponton befindet sich – mittig platziert – eine Röhre mit einer Gewichtskraft von 17 [kN]. – Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt W = 10 [kN/m³].

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

37

Gesucht: Tauchtiefe des Schwimmkörpers sowie Schwimmstabilitätsnachweis. FGRohr = 17 [kN]

je Zylinder: Flächengewicht 1,20 [kN/m²]

Platte: Flächengewicht 0,50 [kN/m²]

Rohr

s = 0,20 [m]

2

b = 5,00 [m]

d2 = 2,00 [m]

1

RWS 1

bSp

bSp

d1 = 1,50 [m]

2

Bezug

x2 = 2,75 [m]

d1 = 1,50 [m]

x1 = 5,50 [m] l = 7,00 [m] Lösung 20 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

Berechnung der Gewichtskräfte (bei den in der Zeichnung angegebenen Werten handelt es sich um Flächengewichte, d. h. für die beiden Schwimmzylinder sind je Zylinder 2-fach die Stirnund 1-fach die Mantelfläche anzusetzen): APlatte AZylinder FGRohr FGPlatte FGZylinder FG

l ˜b 2˜

7, 00 ˜ 5, 00

S ˜ d12 4

35, 00 m 2

 S ˜ d1 ˜ b

2˜

S ˜1,502 4

 S ˜1,50 ˜ 5, 00

27, 096 m2

17 kN APlatte ˜ 0,50

kN m

2

2 ˜ AZylinder ˜1, 20

35, 00 m2 ˜ 0,50 kN m

2

FGRohr  FGPlatte  FGZylinder

kN m2

17,50 kN

27, 096 m2 ˜1, 20

kN

65, 030 kN m2 17, 00  17,50  65, 030 99,530 kN

Kräftegleichgewicht: FA

FG

Auftriebsfläche eines teilgetauchten Zylinders (Kreissegment/Kreisabschnitt) (vergl. Anhang): AA

r12  D  sin D 2

2 d12  D  sin D 1,50 ˜ D  sin D 0,281 m 2 ˜ D  sin D 8 8

Auftriebskraft beider Zylinder:

38

2 Schwimmstabilität

FA

2 ˜ AA ˜ b ˜ J W Ÿ

 3,539 D  sin D

FA 2 ˜ b ˜ J W ˜ 0,281

Zur Lösung von D bedient man sich der Potenzreihenentwicklung der Sinus-Funktion, es gilt nach [12], (vergl. auch Anhang):    f D 2 n 1  D3 D5 sin D ¦  1 n D    D reell 2n  1 ! 3! 5! n 0 Somit ergibt sich für die unbekannte Größe D und die zu lösende Gleichung mit n = 3 (hinreichend genau):       D3 D5 a7   D 3 D 5 a7      3,539 D  D  3! 5! 7! 6 120 5040 Als Ergebnis erhält als man:  D 3,341 Ÿ D 191,419q Die Auftriebsfläche eines Schwimmkörpers beträgt demnach: AA

2 2 d12  D  sin D 1,50 m 3,341  sin 191,419q 0,995 m 2 8 8

Damit lässt sich auch die Tauchtiefe der zylindrischen Schwimmkörper angeben: t

§D · d1 ˜ sin ¨ ¸ ©4¹

2

§ 191,419q · 1,50 m ˜ sin ¨ ¸ 4 ¹ ©

2

0,825 m

Zur Berechnung der Schwimmstabilität ist nun in Abhängigkeit vom Mittelpunktwinkel die Wasserspiegelbreite (Sehnenlänge) an den Stirnflächen der zylindrischen Auftriebskörper zu berechnen (vergl. Anhang): bSp

s Seg

§ 191,419q · §D · d1 ˜ sin ¨ ¸ 1,50m ˜ sin ¨ ¸ 1,493 m 2 ¹ © ©2¹

Die Schwerpunkte von Körper~ und Auftriebsvolumen liegen, wegen der Symmetrie der Konstruktion, in einer Achse. Es treten keine Ausmittigkeiten auf! Berechnung der Vertikalschnitte und der Gesamtschnittfläche der Konstruktion: AS

ASRohr  ASPlatte  2 ˜ AS Zylinder

ASRohr ASPlatte ASZylinder AS

S ˜ d 22

S ˜ 2,00 2

4

4

l˜s

3,142 m 2

7,00 ˜ 0,20 1,400 m 2

S ˜ d12

S ˜1,50 2

4

4

1,767 m 2

3,142 m 2  1,400 m 2  2 ˜1,767 m 2

8,076 m 2

Berechnung des Massenschwerpunkts, Bezug – Unterkante der Auftriebskörper:

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

39

d · § § ASRohr ˜ ¨ d1  s  2 ¸  ASPlatte ˜ ¨ d1  2 © © ¹ AS

sG

d s· ¸  2 ˜ ASZylinder ˜ 1 2¹ 2

1,50 0,20 · 2,00 · § § 3,142 ˜ ¨1,50  0,20  ¸  2 ˜1,767 ˜ ¸  1,400 ˜ ¨1,50  2 2 ¹ 2 ¹ © © 8,076

sG

8,482 m 3  2,240 m 3  2,651 m 3

sG

1,656 m

8,076 m 2

Auftriebsvolumen (= verdrängtes Wasservolumen beider Auftriebkörper): 2 ˜ 0,995 m 2 ˜ 5,00 m

2 AA ˜ b

VA

9,953 m 3

Berechnung des Auftriebsschwerpunkts, Bezug – Unterkante der Auftriebskörper: 3 bSp

zS



12 ˜ AA

d t 2

1,4933 1,50   0 ,825 12 ˜ 0 ,995 2

0 ,353 m

t  z S 0,825  0,353 0,472 m

sA

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s A  sG

s

0,472  1,656

1,184 m

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1: Iy

11

2˜

bSp ˜ b 3

2˜

12

1,493 ˜ 5,003 12

31,095 m 4

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 2-2: Iy

2 2

I y2 2

b ˜ bSp 3

2˜ 2˜

12



 5,00 ˜1,493 ˜ 2,75

 b ˜ bSp ˜ x 22  x22

5,00 ˜1,4933 12

2

 2,75 2



115,646 m 4

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1: hm11

I y11 VA

s

31,095 m 4 9,953 m 3

 1,184 m 1,940 m ! 0

Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2: hm2  2

I y2 2 VA

s

115,646 m 4 9,953 m 3

 1,184 m 10,435 m ! 0

Schwimmstabilität: Die Konstruktion ist in beiden Kippachsen schwimmstabil. Auch hier hätte der Nachweis für das größere Flächenträgheitsmoment entfallen können.

40

2 Schwimmstabilität

Beispiel 21 – Unsymmetrischer Ponton

Gegeben: eine unsymmetrisch zusammengesetzte Schwimmkonstruktion gemäß Zeichnung, die auf Schwimmstabilität geprüft werden soll. Auf dem Ponton befindet sich – ausmittig platziert – eine Auflast FG1. - Das spezifische Gewicht des Wassers beträgt W = 10 [kN/m³]. Gesucht: Auflast FG1 nach Größe und Lage x1 sowie Schwimmstabilitätsnachweis. Platte: Flächengewicht p = 0,50 [kN/m²]

2

b = 5,00 [m]

RWS

f = 0,20 [m]

1

1 2

s2 = 0,80 [m]

s1 = 1,00 [m]

s3 = 1,20 [m]

Bezug 1

b1 =

s4 = 1,40 [m]

b2 = 80 [cm]

5,40 [m]

80 [cm]

Bezug 2

s5 =0,20 [m]

FG1

x1

1

FG1

FG2 = 4 [kN]

1

Draufsicht Kraftvektor

FG3 = 7 [kN]

Schwimmachse x2

Draufsicht

l = 7,00 [m] 2 FG1 Schwimmachse

s6 = 1,00 [m] FG

sG1 sA1

Bezug 2

sG b x1  1 2

Bezug 1

sA

FA b l  x1  2 2

sG2 sA2

Vorderansicht

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

41

Lösung 21 – vereinfachter Nachweis für kleine Krängungswinkel

Berechnung der Gewichtskräfte: FG

FG1  FG 2 Schwimmkörper (lks.)  FG 3Schwimmkörper ( re.)  FGPlatte

FGPLatte FG

l ˜b ˜ p

7,00 m ˜ 5,00 m ˜ 0,50

kN

17,500 kN m2 FG1  4,00 kN  7,00 kN  17,500 kN FG1  28,500 kN

Berechnung der Auftriebskräfte: FASchwimmkörper (lks.)

b1 ˜ s 2 ˜ b ˜ J W

0,80 m ˜ 0,80 m ˜ 5,00 m ˜10

FASchwimmkörper ( re.)

b2 ˜ s3 ˜ b ˜ J W

0,80 m ˜1,20 m ˜ 5,00 m ˜10

FA

FASchwimmkörper (lks.)  FAPSchwimmkörper ( re.)

kN m3 kN m3

32,000 kN 48,000 kN

32,00  48,00 80,000 kN

Aus dem für die Schwimmfähigkeit erforderlichen Kräftegleichgewicht folgt: FA

FG Ÿ 80,000 kN

28,500  FG1 Ÿ FG1

51,500 kN

Lage der Kippachse 2-2, Bezug 2 – linke Außenkante Schwimmkörper: FA ˜ x1

FASchwimmkörper (lks.) ˜

FASchwimmkörper ( lks.) ˜ x1 32,00 kN ˜ x1

b1 § b ·  FAPSchwimmkörper ( re.) ˜ ¨ l  2 ¸ 2 2 ¹ ©

b1 § b ·  FAPSchwimmkörper ( re.) ˜ ¨ l  2 ¸ 2 2 ¹ © FA

0,80 m 0,80 m · §  48,00 kN ˜ ¨ 7,00 m  ¸ 2 2 ¹ © 80,000 kN

4,120 m

Die Schwerpunkte von Körper- und Auftriebsvolumen liegen um das Maß x1 einachsig ausmittig in der vertikalen Schwimmachse! Berechnung des Auftriebsschwerpunkts, Bezug 1 – Unterkante tiefster Schwimmkörper: FA ˜ s A

sA

sA

s s · § FASchwimmkörper (lks.) ˜ ¨ s3  2 ¸  FAPSchwimmkörper ( re.) ˜ 3 2 ¹ 2 ©

s s · § FASchwimmkörper (lks.) ˜ ¨ s3  2 ¸  FAPSchwimmkörper ( re.) ˜ 3 2 2 © ¹ FA 0,80 m · 1,20 m § 32,00 kN ˜ ¨1,20 m  ¸  48,00 kN ˜ 2 ¹ 2 © 80,000 kN

0,680 m

42

2 Schwimmstabilität

Position des Auflast-Schwerpunkts, Bezug 2 – linke Außenkante Schwimmkörper: FG ˜ x1

FG1 ˜ x2  FG2 ˜

b1 l § b ·  FG3 ˜ ¨ l  2 ¸  FGPlatte ˜ 2 2 2 © ¹

b l § b · FG ˜ x1  FG2 ˜ 1  FG3 ˜ ¨ l  2 ¸  FGPlatte ˜ 2 2 ¹ 2 © FG1

x2

80,00 ˜ 4,120  4,00 ˜ x2

7,00 0,80 · 0,80 §  7,00 ˜ ¨ 7,00  ¸  17,50 ˜ 2 2 ¹ 2 © 51,50

4,283 m

Berechnung des Massenschwerpunkts, Bezug 1 – Unterkante tiefster Schwimmkörper: FG1 ˜ s 4  s5  s6  FG2 ˜ ( s 4 

FG ˜ sG

FG1 ˜ s4  s5  s6  FG2 ˜ ( s4  sG

s · s1 s § )  FG3 ˜ 4  FGPlatte ˜ ¨ s 4  5 ¸ 2 2 2¹ ©

s · s1 s § )  FG3 ˜ 4  FGPlatte ˜ ¨ s4  5 ¸ 2 2 2¹ © FG 1,00 1,40 0,20 · § )  7,00 ˜  17,50 ˜ ¨1,40  ¸ 2 2 2 ¹ © 80,00

51,50 ˜ 1,40  0,20  1,00  4,00 ˜ (1,40  sG sG

2,108 m

Der Abstand beider Schwerpunkte voneinander: s A  sG

s

0,680  2,108

1,428 m

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 1-1 mit b1 = b2: Iy

2˜

11

b1 ˜ b 3 12

2˜

0,80 m ˜ 5,00 3 m 3 12

16,667 m 4

Flächenträgheitsmoment um die Kippachse 2-2: Iy

2 2

I y 2 2 I y 2 2

2 2 ª§ b ˜ b13 b · § b · º  b ˜ b1 ˜ «¨ x1  1 ¸  ¨ l  x1  2 ¸ » 12 2¹ © 2 ¹ » «¬© ¼ 2 2 3 ª 5,00 ˜ 0,80 0,80 · § 0,80 · º § 2˜  5,00 ˜ 0,80 ˜ «¨ 4,120  ¸  ¨ 7,00  4,120  ¸ » 12 2 ¹ © 2 ¹ » «¬© ¼

2˜

80,382 m 4

Auftriebsvolumen: VA

b1 ˜ s2  b2 ˜ s3 ˜ b 0,80 ˜ 0,80  0,80 ˜1,20 ˜ 5,00

8,000 m 3

2.2 Einfache Schwimmstabilitätsuntersuchung

43

Metazentrische Höhe für die Kippachse 1-1: hm11

I y11 VA

s

16,667 m 4 8,000 m 3

 1,428 m

0,655 m ! 0

Metazentrische Höhe für die Kippachse 2-2: hm2  2

I y2  2 VA

s

80,382 m 4 8,000 m 3

 1,428 m

8,620 m ! 0

Schwimmstabilität: Die Konstruktion ist in beiden Kippachsen schwimmstabil.

45

3 Hydrodynamik idealer Fluide

3.1 Grundlagen im Überblick 3.1.1 Definition Die Hydrodynamik ist die Lehre von der Bewegung der Flüssigkeiten (Fluide) unter dem Einfluss von äußeren Kräften und Trägheitskräften. Äußere Kräfte sind z. B. Druckkräfte und Reibungskräfte. Trägheitskräfte entstehen durch die Erdanziehung (Fallbeschleunigung g). In diesem Kapitel werden ausschließlich stationäre Fließzustände sowie ideale Flüssigkeiten behandelt. Als ideale Fluide bezeichnet man eine idealisierte Modellvorstellung einer Flüssigkeit, deren Eigenschaften sind: x

Inkompressibilität,

x

keine innere Reibung der Flüssigkeitsmoleküle (verlustfrei),

x

keine Oberflächenspannung,

x

Schwerelosigkeit.

Obwohl es eine sehr starke Vereinfachung darstellt, lassen sich unter dieser Prämisse die Gesetzmäßigkeiten der Hydrodynamik verstehen und physikalisch beschreiben.

3.1.2 Kontinuitätsgleichung Der Begriff Stromlinie wird zur Beschreibung des Fließzustandes einer Flüssigkeit verwendet. Betrachtet man ein Bündel benachbarter Stromlinien, spricht man von einer Stromröhre. Die Stromröhre ist dadurch gekennzeichnet, dass die Flüssigkeit in ihr wie in einer festen Röhre strömt. Bei vielen Strömungsvorgängen, z. B. Abfluss durch Rohre oder Gerinne, ist es zulässig, den ganzen von Flüssigkeit erfüllten Raum als eine einzige Stromröhre mit einer mittleren Fließgeschwindigkeit v aufzufassen. Für den Volumenstrom (Durchfluss) Q gilt die Kontinuitätsgleichung (nachfolgend kurz „Konti“ genannt): Q

v ˜ A const.

(3.1)

Im Allgemeinen wird der Volumenstrom in der Dimension [m³/s] angegeben, sodass sich die Fließgeschwindigkeit in [m/s] sowie die durchströmte Querschnittsfläche A in [m2] ergibt.

3.1.3 Energiegleichung Eine weitere grundlegende Gleichung in der Hydrodynamik ist der Energieerhaltungssatz. Diese nach Bernoulli benannte Energiegleichung wird typischerweise so angegeben, dass alle Energieanteile über die Fallbeschleunigung und die Dichte des Fluids in Energiehöhen umgerechnet werden können. Die Summe der so definierten Geschwindigkeitshöhe, Druckhöhe und geodätischen Höhe ist für ideale Flüssigkeiten konstant.

F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_3, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

46

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Nur stationäre Fließzustände einer idealen Flüssigkeit, die lediglich der Schwerkraft unterworfen ist, zeichnet sich durch eine konstante Summe aus Geschwindigkeitshöhe v²/2g, Druckhöhe p/·g = p/W sowie geodätischer Höhe z aus. Sämtliche Höhen werden zumeist in [m] gemessen. hE

v2 p  z 2g U ˜ g

hkin  h pot  hgeod

const.

(3.2)

Diese Summe wird als Energiehöhe hE bezeichnet, sie besteht aus der kinetischen (hkin), potentiellen (hpot) und geodätischen Höhe (hgeod).

3.2 Rohrhydraulik Beispiel 22 – Behälterauslauf Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem Behälter ist eine Rohleitung gemäß Zeichnung angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³]. Gesucht: Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für ideale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafisch.

RWS

Behälter 0

Position 2

Position 1

Position 3

Auslauf Q ins = 0,22 [m³/s] Freie!

DN200

z2 = 5,40 [m] z0 = 2,10 [m] = z1

Bezugshorizont

z3 = 3,40 [m]

Bezugshorizont

3.2 Rohrhydraulik

47

Lösung 22 – Behälterauslauf über einen gleich bleibenden Rohrquerschnitt Rohrquerschnitt: A

S ˜d2

S ˜ 0,20 2

4

4

0,031 m 2

Geschwindigkeit aus Konti: Q

Q A

v˜ A Ÿ v

0,22 0,031

7,003

m s

Wegen des gleichbleibenden Querschnitts ist die Fließgeschwindigkeit v = v1 = v2 = v3, d. h. konstant, die Geschwindigkeitshöhe ist demnach: v2 2g

7,0032 2g

2,500 m

Zur Bestimmung der Energiehöhe nutzt man nun die Randbedingung hD3 = p3/(·g) = 0 [m], da der Druck des ausfließenden Wassers in den Atmosphärendruck übergeht und dieser bereits im Inneren der Rohrleitung sowie des Behälters herrscht. Dieser Druck wird als Referenzdruck zu null gesetzt. hE

z3 

hE3

v32 p  3 2g U ˜ g

z3 

v2 2g

3,40  2,500 5,900 m

Druckhöhe (Wasserspiegel) im Behälter (Position 0) mit der Randbedingung v0 = 0 [m/s]: hE

z0 

hE0

v02 p  0 2g U ˜ g

z0 

p0 U˜g

2,10 

p0 U˜g

5,900 m

Druckhöhe: p0 U˜g

hD0

5,900  2,10

3,800 m

bzw. Druck: p0

5,900  2,10 ˜ U ˜ g

37,277

kN m2

in Position 1: hE

hE1

z1 

p v2  1 U 2g ˜g

2,10 

p 7,0032  1 U 2g ˜g

5,900 m

Druckhöhe: 5,900  2,10  2,500 1,300 m

hD1

in Position 2: hE

h E2

z2 

p v2  2 2g U ˜ g

5,40  2,500 

p2

U˜g

5,900 m

48

3 Hydrodynamik idealer Fluide Druckhöhe: 5,900  5,40  2,500

hD2

2,000 m

Es herrscht Unterdruck in der Position 2! in Position 3: hE

hE3

z3 

p v2  3 2g U ˜ g

3,40 m  2,500 m 

p3 m U˜g

5,900 m

Kontrolle der Druckhöhe: hD3

5,900 m  3,40 m  2,500m

0,000 m

Grafischer Verlauf der Energieanteile: RWS

hE = 5,90 [m] hkin = 2,50 [m]

Energiehöhe hkin = 2,50 [m]

hD2 = -2,00 [m] Unterdruck

Geschwindigkeitshöhe

Druckhöhe hD1 = +1,30 [m] Überdruck geod. Höhe z0 = 2,10 [m] = z1

z2 = 5,40 [m] z3 = 3,40 [m]

Bezugshorizont

Bezugshorizont

Beispiel 23 – Behälterauslauf Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem Behälter ist eine Rohleitung gemäß Zeichnung angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³]. Gesucht: Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für ideale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafisch.

3.2 Rohrhydraulik

49

RWS

Behälter 0

Position 2

Position 1

Position 3

d2 = DN 200

d2 Auslauf

ins Freie!

d1= DN 500 z2 = 5,40 [m]

z0 = 2,10 [m] = z1

z3 = 3,40 [m] Bezugshorizont

Bezugshorizont

Lösung 23 – Behälterauslauf über veränderliche Rohrquerschnitte Rohrquerschnitte: A1

S ˜ d12

S ˜ 0,50 2

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,20 2

4

4

A2

0,196 m 2 0,031 m 2

Geschwindigkeiten aus Konti: Q v1˜ A1 v 2 ˜ A2 Ÿ v1

Q A1

0,22 0,196

Ÿ v2

Q A2

0,22 0,031

1,120

m s

7,003

m s

Geschwindigkeitshöhen:

v12 2g

1,120 2 2g

Q = 0,22

0,064 m

und

v22 2g

7,0032 2g

2,500 m

50

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Zur Bestimmung der Energiehöhe nutzt man nun die Randbedingung hD3 = p3/(·g) = 0 [m], da der Druck des ausfließenden Wassers in den Atmosphärendruck übergeht und dieser bereits im Inneren der Rohrleitung sowie des Behälters herrscht und als Referenzdruck – wie zuvor – zu null gesetzt wurde. hE

hE3

p v2 z3  2  3 2g U ˜ g

v2 z3  2 2g

3,40  2,500

5,900 m

Druckhöhe (Wasserspiegel) im Behälter (Position 0) mit der Randbedingung v0 = 0 [m/s]: hE

hE0

v2 p z0  0  0 2g U ˜ g

z0 

p0

U˜g

2,10 m 

p0

m

U˜g

5,900 m

Druckhöhe: p0 U˜g

hD0

5,900 m  2,10 m

3,800 m

in Position 1: hE

hE1

v2 p z1  1  1 2g U ˜ g

2,10 m  0,064 m 

p1

U˜g

m

5,900 m

Druckhöhe: 5,900 m  2,10 m  0,064m

hD1

3,736 m

in Position 2: hE

hE 2

z2 

v22 p  2 2g U ˜ g

5,40 m  2,500 m 

p2 m U˜g

5,900 m

Druckhöhe: 5,900 m  5,40 m  2,500m

hD2

2,000 m

Es herrscht Unterdruck in der Position 2! in Position 3: hE

hE3

z3 

p v22  3 2g U ˜ g

3,40 m  2,500 m 

Kontrolle der Druckhöhe: hD3

5,900 m  3,40 m  2,500m

0,000 m

p3

U˜g

m

5,900 m

3.2 Rohrhydraulik

51

Grafischer Verlauf der Energieanteile: RWS

hkin1= 0,06 [m]

hE = 5,90 [m] Energiehöhe

hkin2 hkin2 = 2,50 [m] = 2,50 [m] hD1 = 3,74 [m] Überdruck

Geschwindigkeitshöhe

hD2 = –2,00 [m] Unterdruck

Druckhöhe Auslauf ins Freie! geod. Höhe

z2 = 5,40 [m] z0 = 2,10 [m] = z1

z3 = 3,40 [m] Bezugshorizont

Bezugshorizont

Beispiel 24 – Rohrdurchfluss

Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem Behälter ist eine Rohleitung gemäß Zeichnung angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³]. Gesucht: Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für ideale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafisch.

20 Position 3

Position 1 15

Leitungsende

Position 2

Behälter 0 10

d1 = DN 110

d2 = DN 120 Bezug

0 Q = 0,22 [m³/s]

52

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Lösung 24 – Auslauf über veränderliche Rohrquerschnitte

Rohrquerschnitte: A1

S ˜ d12

S ˜ 0,112

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,12 2

4

4

A2

0,010 m 2 0,011 m 2

Geschwindigkeiten aus Konti: Q

v 1˜ A1

Ÿ v1

v 2 ˜ A2

Q A1

m3 s 0,010 m 2

Q A2

m3 s 0,011 m 2

Ÿ v2

0,22

23,150

m s

0,22

19,452

m s

Geschwindigkeitshöhen: v12 2g

23,150 2 2g

27,324 m

v22 2g

und

19,452 2 2g

19,293 m

Zur Bestimmung der Energiehöhe nutzt man nun die Randbedingung, dass am Leitungsende hD = p/(·g) = 0 [m] sein muss, da der Druck des ausfließenden Wassers in den Atmosphärendruck übergeht. Die geodätische Höhe wurde wegen des horizontalen Verlaufs des Rohrleitungssystems für alle Positionen zu null gewählt. hE

hE3

z3 

p v22  3 2g U ˜ g

v22 2g

19,293 m

Druckhöhe (Wasserspiegel) im Behälter (Position 0) mit der Randbedingung v0 = 0 [m/s] und z0 = 0 [m]: hE

hE0

z0 

v02 p  0 2g U ˜ g

19,293 m

Druckhöhe: hD0

hE 0

19,293 m

in Position 1: hE

v12 p  1 2g U ˜ g

27,324 

19,293  27,324

8,031 m

hE1

Druckhöhe: hD1

p1

U˜g

19,293 m

3.2 Rohrhydraulik

53

in Position 2: hE

hE2

v22 p  2 2g U ˜ g

19,293 

p2 U˜g

19,293 m

Druckhöhe: 19,293  19,293 0,000 m

hD2

in Position 3: hE

hE3

v22 2g

19,293 m

Kontrolle der Druckhöhe: hD3

hE3 

v23 2g

19,293  19,293 0,000 m

Grafischer Verlauf der Energieanteile:

20

Energiehöhe

15 hkin1 = 27,32 [m]

hkin2 = 19,29 [m]

Geschwindigkeitshöhe

10

0 hD1= –8,03 [m] Unterdruck

Druckhöhe

Beispiel 25 – Rohrdurchfluss

Gegeben: druckgefülltes Rohrleitungssystem mit konstantem Durchfluss gemäß Zeichnung. Die Energiehöhe hE beträgt 5,25 [m]. Im Standrohr wird ein Wasserspiegel von h2 = 3,75 [m] abgelesen. Gesucht: Für die dargestellte Rohrleitung ist der Durchfluss Q zu ermitteln, und der Drucklinienverlauf ist grafisch darzustellen.

54

3 Hydrodynamik idealer Fluide hE = 5,25 [m]

Energiehöhe h = 3,75 [m]

d2 = DN 150

d1 = DN 200

d3 = DN 175

Lösung 25 – Durchfluss über veränderliche Rohrquerschnitte

Rohrquerschnitte: A1 A2 A3

S ˜ d12

S ˜ 0,20 2

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,15 2

4

4

S ˜ d 32

S ˜ 0,175 2

4

4

0,031 m 2 0,018 m 2 0,024 m 2

Geschwindigkeit v2 aus der Bernoulli-Gleichung: h2

hD2

3,75 m

hE

hE2

v2 hD2  2 2g

v2

h

v22 2g

5, 45252 2g

E

5,75 m



 5, 75  3, 75 ˜ 2 ˜ 9,81

 hD2 ˜ 2 g 1,500

5, 424

m s

m s

Weitere Geschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeitshöhen aus Konti: Q

v2 ˜ A 2 5,424 ˜ 0,018

v1

Q A1

0,096 0,031

3,051

m s

0,096

m3 s

und

v3

Q A3

0,096 0,024

3,985

m s

3.3 Gerinnehydraulik v12 2g

3,0512 2g

55

0,475 m

v32 2g

und

3,985 2 2g

0,810 m

Zur Bestimmung der fehlenden Druckhöhen nutzt man die Energiehöhe. Die geodätische Höhe wurde wegen des horizontalen Verlaufs des Rohrleitungssystems für alle Positionen zu null gesetzt.

hD1

v12 p  1 0,475  hD1 2g U ˜ g 5,25  0,475 4,775 m

hE

hE 3

hE

hE1

hD1

5,25 m

v32 p  3 0,810 m  hD3 2g U ˜ g 5,25  0,810 4,440 m

5,25 m

hE = 5,25 [m] hkin1 = 0,48 [m]

Energiehöhe hkin2 = 1,50 [m]

hD1 = 4,77 [m]

hkin3 = 0,81 [m]

hD3 = 4,44 [m] hD2 = 3,25 [m]

Bezug

3.3 Gerinnehydraulik Beispiel 26 – Vollkommener Wehrüberfall

Gegeben: Rechteckgerinne mit einem rundkronigen Wehr. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 8,00 [m], die Wehrhöhe ist W = 2,00 [m]. Das Rechteckgerinne entspricht in seiner Wasserspiegelbreite dem des Wehrfelds. Zum Abfluss gelangen Q = 17,50 [m³/s]. Gesucht: Fließzustand auf der Wehrkrone sowie die korrespondierenden Wassertiefen im Oberwasser (OW) und im Unterwasser (UW) mit den zugehörigen Fließgeschwindigkeiten.

56

3 Hydrodynamik idealer Fluide OW Q hgr

v

h1 W z1=30 [cm]

h2

Bezug

UW

Bezug

Lösung 26 – Strömung über ein rundkroniges und waagerechtes Wehr

Auf der Krone des Wehres tritt ein Fließartenwechsel zwischen Strömen und Schießen ein, diese Stelle wird durch eine sogenannte Grenzwassertiefe gekennzeichnet. Aus der Zusammenstellung der Grenzwassertiefen verschiedener geometrischer Profile lassen sich neben hgr auch die Grenzfließgeschwindigkeit vgr und die minimale Energiehöhe hE,min entnehmen (s. Anhang). Für das Rechteckgerinne folgt: hgr

3

Q2 g ˜ b2

3

17,50 2 g ˜ 8,00 2

0,787 m

Die Grenzgeschwindigkeit auf der Wehrkrone (Rechteck) beträgt: v gr

g ˜ hgr

2 v gr

2,779 2 2g

2g

g ˜ 0,787

2,779

m s

0,394 m

Die minimale Energiehöhe beträgt: hE min

hgr 

2 v gr

hE min

oder für ein Rechteckgerinne hE min 2g 0,787  0,394 1,181 m bzw.

hE min

3 0,787 1,181 m 2

3 hgr 2

Die Energiebetrachtung liefert die Energiehöhe: hEmin  W  z1

hE

hE1

hE

1,181  2,00  0,30

hE2

3,481 m

Durch gemeinsame Verwendung von Bernoulli und Konti lässt sich nun die Wassertiefe im Oberwasser berechnen: hE

hE1

hE min  W  z1

hE 2

3,481 m

v2 h1  1  z1 2g

v2 h2  2 2g

3.3 Gerinnehydraulik

Q

Q1

Qü

57

Q2

17,50

m3 s

v1 ˜ A1

v2 ˜ A2

Ersetzt man nun die Querschnittsfläche A1 durch die Fläche des durchströmten Rechtecks mit der bekannten Breite b und substituiert anschließend in die Energiehöhengleichung hE1, erhält man: 3

m s

v1 ˜ b ˜ h1 Ÿ v1

v12

2,188

2

2g

2 g ˜ h12

17,50

3,481 m

h1 

17,50 b ˜ h1

17,50 8,00 ˜ h1

2,188

m2 s

h1

0,244 h12 v12  z1 2g

h1 

0,244 h12

 0,30

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten v1 und h1 konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten h1 reduziert werden. Durch Multiplikation der Gleichung mit h12 erhält man folgenden Polynom 3. Grades: 3,481h12

h13  0,244  0,30h12

h13  3,181h12  0,244

0

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (nach T. Simpson), dazu ist u. a. die erste Ableitung des Polynoms zu bilden (vergl. Gleichungen rechts unten). Die Ergebnisse eines Iterationsschrittes werden als Anfangswert des jeweiligen nächsten Iterationsschrittes übernommen, bis das Ergebnis eine nur noch geringe Abweichung vom vorangegangenen Rechenschritt aufweist.

2

hi 1

0

h1 3

hi 

f hi f ' hi

2

h1  3.181h1  0.244

f hi hi3  3,181hi2  0,244

2

f ' hi 3hi2  6,282hi2 4

0

2

4

h1

Als Startwert für die Wassertiefe h1 im Oberwasser wählt man sinnvollerweise einen Wert für die Iteration, der in etwa der Energiehöhe entspricht. Im OW herrscht eine strömende Fließart mit sehr geringer Fließgeschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe aber großer Wassertiefe!

58

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Startwert: hi  hE – z1  3,481 – 0,30  3,18 m i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

3,18 3,1568 3,1564

0,234784 0,003419 0,000001

10,106619 9,812786 9,808404

3,1568 3,1564 3,1564

Wie im Graphen auf der vorhergehenden Seite zu erkennen ist, verfügt das Polynom 3. Grades über 3 reelle Nullstellen, diese sind neben der obigen Lösung: x

+0,2905 und

x

–0,2660.

Beide Werte kommen nicht in Betracht, da lediglich eine Wassertiefe zutreffend sein kann, die selbst größer ist, als die Wehrhöhe. Die Wassertiefe im Oberwasser beträgt deshalb: h1

3,156 m

Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser beträgt damit: 17,50

m3 s

v12 2g

0,6932 2g

v1 ˜ b ˜ h1 Ÿ v1

17,50 b ˜ h1

17,50 8,00 ˜ 3,156

0,693

m s

0,024 m

Mit der sehr geringen Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser konnte bestätigt werden, dass die Annahme für den Startwert von h1 korrekt war! Die Wassertiefe im Unterwasser ist wegen z2 = 0 mit neuen Gleichungen zu berechnen: f hi hi3  3,481hi2  0,244 f ' hi 3hi2  6,962hi2

Im Unterwasser dominiert die Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe. Die Wassertiefe h2 ist zwar sehr viel kleiner als h1, aber größer als Null! Startwert: hi  0,25 [m] (fiktiv angenommen!), ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich. i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,25 0,2800 0,2755

0,042043 -0,006921 0,000699

-1,402954 -1,545958 -1,524938

0,2800 0,2755 0,2759

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt damit: h2

0,276 m

Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Unterwasser beträgt: 17,50

m3 s

v 2 ˜ b ˜ h2 Ÿ v1

17,50 b ˜ h2

17,50 8,00 ˜ 0,276

7,928

m s

3.3 Gerinnehydraulik v22 2g

7,928 2 2g

59

3,205 m

Grafischer Verlauf der Wassertiefen, Geschwindigkeitshöhen und Energiehöhen: v1/2g = 0,024[m]

hE = 3,481 [m] vgr/2g = 0,394 [m] hgr = 0,787 [m]

hEmin = 1,181 [m]

v2/2g = 3,205 [m]

h1 = 3,156 [m] W z1 =30 [cm]

h2 = 0,276 [m]

Bezug

Bezug

Beispiel 27 – Vollkommener Wehrüberfall

Gegeben: Parabelgerinne mit einem rundkronigen Wehr. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 8,00 [m], die Wehrhöhe ist W = 2,00 [m]. Das Parabelgerinne entspricht einem Öffnungsmaß von a = 0,05 [m-1], vor dem Wehrkörper wird eine Überfallhöhe von hü = 75 [cm] gemessen, für das Wehr gilt der theoretische Überfallbeiwert P. Gesucht: die korrespondierenden Wassertiefen im Oberwasser- (OW-Parabel) und im Unterwasserbereich (UW-Parabel) mit den zugehörigen Fließgeschwindigkeiten. OW Q hü

v

h1 W z1=30 [cm]

h2

Bezug

UW

Bezug

Lösung 27 – Strömung über ein rundkroniges und waagerechtes Wehr

Mit der Wassertiefe hÜ lässt sich mit einem Beiwert P die zugehörige Überfallwassermenge nach der Formel von Poleni bestimmen. Dieser Beiwert wird als Überfallbeiwert (s. Anhang) bezeichnet, er berücksichtigt die Verallgemeinerung der Energiegleichung infolge der konvex gekrümmten Stromlinien und des eigentlich erforderlichen Druckhöhenbeiwertes (Korrekturwert E). Der theoretische Überfallbeiwert P

1 3

ist ein brauchbarer Mittelwert und es gilt:

60

3 Hydrodynamik idealer Fluide 3

3

Qü

2 ˜ P ˜ b ˜ 2 g ˜ hü2 3

2 1 ˜ ˜ b ˜ 2 g ˜ hü2 3 3

Qü

2 1 ˜ ˜ 8,00 ˜ 2 g ˜ 0,75 2 3 3

3

8,857

m3 2

Obwohl es sich hier um ein Parabelgerinne handelt, sind die Grenzwassertiefe hgr, die Grenzfließgeschwindigkeit vgr und die minimale Energiehöhe hEmin, auf dem waagerechten Wehrüberfall, wie beim Rechteckgerinne zu bemessen. Die Gleichungen sind dem Anhang zu entnehmen: hgr

3

Q2

3

g ˜b2

8,857 2

0,500 m

g ˜ 8,00 2

Die Grenzgeschwindigkeit auf der Wehrkrone (Rechteck) beträgt: v gr

g ˜ hgr

2 v gr

2,214 2 2g

2g

g ˜ 0,500

2,214

m s

0,250 m

Die minimale Energiehöhe beträgt: hgr 

hE min

2 v gr

oder für ein Rechteckgerinne hE min

hE min

2g 0,500  0,250

hE min

3 0,500 2

3 hgr 2

0,750 m bzw.

0,750 m

Die Energiebetrachtung liefert die Energiehöhe: hE = hE1 = hEmin + W + z1 = hE2 hE = 0, 750 + 2, 00 + 0,30 = 3, 050 m

Durch gemeinsame Verwendung von Bernoulli und Konti lässt sich nun die Wassertiefe im Oberwasser berechnen: hE Q

hE min  W  z1

hE1 Q1

Qü

Q2

8,857

hE 2

m3 s

3,050 m

v1 ˜ A1

h1 

v12  z1 2g

h2 

v22 2g

v2 ˜ A2

Ersetzt man nun die Querschnittsfläche A1 durch die Fläche des durchströmten Parabelquerschnitts und substituiert anschließend in die Energiehöhengleichung hE1, erhält man: A1

2 3

h13 a

h13 2 ˜ 3 0,05

3

2,981 ˜ h12

3.3 Gerinnehydraulik m3 8,857 s v12 2g

61

3 v1 ˜ 2,981 ˜ h12

2,9712

h1 

8,857

2,971

3 2,981 ˜ h12

h12

3

0,450

§ 3· ¨ ¸ 2 g ˜ ¨ h12 ¸ ¨ ¸ © ¹

3,050 m

Ÿ v1

2

h13

v12  z1 2g

h1 

0,450 h13

 0,30

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten v1 und h1 konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten h1 reduziert werden. Durch Multiplikation der Gleichung mit h13 erhält man folgenden Polynom 4. Grades: 3,050h13

h14  0,450  0,30h13

h14  2,750h13  0,450

0

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 2

0

hi 1

h1 4

hi 

f hi f ' hi

3

h1  2.750h1  0.450 2

f hi hi4  2,750hi3  0,450 f ' hi 4hi3  8,250hi2

4

6

0

2

4

h1

Als Startwert für die Wassertiefe h1 im Oberwasser wählt man sinnvollerweise einen Wert für die Iteration, der in etwa der Energiehöhe entspricht. Im OW herrscht eine strömende Fließart mit sehr geringer Fließgeschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe aber großer Wassertiefe! Startwert: hi  hE – z1  3,050 – 0,30  2,75 [m]: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

2,75 2,7284 2,7278

0,450000 0,010539 0,000006

20,796875 19,826604 19,803058

2,7284 2,7278 2,7278

62

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Wie im Graphen auf der vorhergehenden Seite zu erkennen ist, verfügt das Polynom 4. Grades nur über 2 reelle Nullstellen, des Weiteren existieren noch 2 imaginäre Nullstellen, die hier nicht interessieren. Die Wassertiefe im Oberwasser beträgt wegen h1 > W: h1

2,728 m

Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser beträgt: m3 8,857 s v12 2g

3 v1 ˜ 2,981 ˜ h12

0,659 2 2g

Ÿ v1

8,857

8,857

3 2,981 ˜ h12

3 2,981 ˜ 2,728 2

0,659

m s

0,022 m

Mit der sehr geringen Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser konnte bestätigt werden, dass die Annahme für den Startwert von h1 korrekt war! Die Wassertiefe im Unterwasser ist, wegen z2 = 0, mit neuen Gleichungen zu berechnen: f hi hi4  3,050hi3  0,450 f ' hi 4hi3  9,150hi2 Startwert: hi  0,50 [m] (fiktiv angenommen!), ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich. i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,50 0,5734 0,5659

0,131250 -0,016965 -0,000185

-1,787500 -2,254473 -2,205329

0,5734 0,5659 0,5658

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt damit: h2

0,566 m

Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Unterwasser beträgt: m3 8,857 s v22 2g

3 v2 ˜ 2,981 ˜ h22

6,980 2 2g

2,484 m

Ÿ v2

8,857

8,857

3 2,981 ˜ h22

3 2,981 ˜ 0,566 2

6,980

m s

3.3 Gerinnehydraulik

63

Grafischer Verlauf der Wassertiefen, Geschwindigkeitshöhen und Energiehöhen: v1/2g = 0,022 [m]

hE = 3,050 [m] vgr/2g = 0,250 [m] hgr = 0,500 [m]

hEmin = 1,181 [m] h1 = 2,728 [m]

v2/2g = 2,484 [m] W

z1 = 30 [cm]

h2 = 0,566 [m]

Bezug

Bezug

Beispiel 28 – Vollkommener Wehrüberfall

Gegeben: symmetrisches Trapezgerinne mit einem scharfkantigen und belüfteten Wehr. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 5,00 [m], die Wehrhöhe ist W = 2,00 [m]. Das Trapezgerinne hat eine Böschungsneigung von 1:m = 1:3,5, die Sohlbreite des Gerinnes beträgt bS = 3,75 [m]. Vor dem Wehrkörper wird eine Überfallhöhe von hü = 65 [cm] gemessen, für das Wehr gilt der Überfallbeiwert P = 0,64 (gemäß Anhang). Gesucht: Fließzustand auf der Wehrkrone sowie die korrespondierenden Wassertiefen im Oberwasser- (OW-Trapez) und im Unterwasserbereich (UW-Trapez) mit den zugehörigen Fließgeschwindigkeiten. OW hü

Q

Luft

v h1 W h2 Bezug

UW

Bezug

Lösung 28 – Strömung über ein scharfkantiges und waagerechtes Wehr

Mit der Wassertiefe hÜ lässt sich auch mit einem Beiwert; die zugehörige Überfallwassermenge nach Poleni bestimmen. Der Beiwert für scharfkantige Wehre mit belüftetem Überfallstrahl beträgt P  0,64 (s. Anhang). 3

Qü

2 ˜ P ˜ b ˜ 2 g ˜ hü2 3

3

2 ˜ 0,64 ˜ 8,00 ˜ 2 g ˜ 0,65 2 3

4,951

m3 2

Obwohl es sich hier um ein symmetrisches Trapezgerinne handelt, sind die Grenzwassertiefe hgr, die Grenzfließgeschwindigkeit vgr und die minimale Energiehöhe hE min auf dem waage-

64

3 Hydrodynamik idealer Fluide

rechten Wehrüberfall, wie beim Rechteckgerinne, zu bemessen. Die Gleichungen sind dem Anhang zu entnehmen. hgr

3

Q2

3

g ˜ b2

4,9512

0, 464 m

g ˜ 5, 002

Die Grenzgeschwindigkeit auf der Wehrkrone (Rechteck) beträgt: g ˜ hgr

v gr 2 v gr

g ˜ 0,464

2,1332 2g

2g

2,133

m s

0,232 m

Die minimale Energiehöhe beträgt: hgr 

hEmin

2 v gr

oder für ein Rechteckgerinne hEmin

hEmin

2g 0,464  0,232

hEmin

3 0,464 2

3 hgr 2

0,696 m bzw.

0,696 m

Die Energiebetrachtung liefert die Energiehöhe: hEmin  W

hE

hE1

hE

0.696  2,00

h E2

2,696 m

Durch gemeinsame Verwendung von Bernoulli und Konti lässt sich nun die Wassertiefe im Oberwasser berechnen: hE Q

hEmin  W

hE1 Q1

Qü

Q2

hE 2

4,951

v2 h1  1 2g

2,696 m

m3 s

v1 ˜ A1

v2 h2  2 2g

v2 ˜ A2

Ersetzt man nun die Querschnittsfläche A1 durch die Fläche des durchströmten symmetrischen Trapezquerschnitts und substituiert anschließend in die Energiehöhengleichung hE1, erhält man: A1

bS ˜ h1  m ˜ h12

4,951 v12 2g



m3 s

2g ˜

2,696 m

3,75 ˜ h1  3,5 ˜ h12

v1 ˜ 3,75 ˜ h1  3,5 ˜ h12



4,9512



2 3,75 ˜ h1  3,5 ˜ h12

h1 

v12 2g

h1 

Ÿ

v1

4,951 3,75 ˜ h1  3,5 ˜ h12 1,250

14,063 ˜ h12

 26,250 ˜ h13  12,250 ˜ h14

1,250 14,063 ˜ h12

 26,250 ˜ h13  12,250 ˜ h14

3.3 Gerinnehydraulik

65





2,696 ˜ 14,063h12  26,250h13  12,250h14 h1 ˜ 14,063h12  26,250h13  12,250h14



1,250

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten v1 und h1 konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten h1 reduziert werden. Durch Multiplikation der gesamten Gleichung mit dem Nenner (siehe zuvor) erhält man folgenden Polynom 5. Grades: 37,915 ˜ h12  56,713 ˜ h13  6,779 ˜ h14  12,25 ˜ h15

1,250 0

37,915 ˜ h12  56,713 ˜ h13  6,779 ˜ h14  12,250 ˜ h15  1,250

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynom erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26).

2

h2

h1

1 2

3

4

5

37.915˜ h1  56.713˜ h1  6.779˜ h1  12.250˜ h1  1.250 0 1 2 2

1

0

1

2

3

h1

f hi 37,915 ˜ h12  56,713 ˜ h13  6,779 ˜ h14  12,250 ˜ h15  1,250 f ' hi 75,831 ˜ h1  170,139 ˜ h12  27,114 ˜ h13  61,25 ˜ h14 Als Startwert für die Wassertiefe h1 im Oberwasser wählt man sinnvollerweise einen Wert für die Iteration, der in etwa der Energiehöhe entspricht. Im OW herrscht eine strömende Fließart mit sehr geringer Fließgeschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe aber großer Wassertiefe! Startwert: hi  hE  2,696  2,70 [m] i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

2,70 2,6953 2,6952

-6,044925 -0,036372 -0,000002

-1276,334253 -1261,065145 -1260,972473

2,6953 2,6952 2,6952

Wie im Graphen auf der vorhergehenden Seite zu erkennen ist, verfügt das Polynom 5. Grades über 5 reelle Nullstellen, davon liegt aber nur eine im relevanten Bereich von h1, Die Wassertiefe im Oberwasser beträgt wegen h1 > W: h1

2,695 m

Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser beträgt: A1

bS ˜ h1  m ˜ h12

v1

Q A1

4,951 35,532

3,75 ˜ 2,695  3,5 ˜ 2,6952 0,139

v2 m bzw. 1 2g s

0,139 2 2g

35,532 m 2 0,001 m

66

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Mit der sehr geringen Geschwindigkeitshöhe im Oberwasser konnte bestätigt werden, dass die Annahme für den Startwert von h1 korrekt war! Die Wassertiefe h2 wird wegen des gleichen Bezugshorizontes mit denselben Gleichungen wie zuvor berechnet, allerdings mit einem wesentlich kleineren Startwert. 37,915 ˜ h12  56,713 ˜ h13  6,779 ˜ h14  12,25 ˜ h15

1,250 0

37,915 ˜ h12  56,713 ˜ h13  6,779 ˜ h14  12,250 ˜ h15  1,250

Startwert: hi  0,15 [m] (fiktiv angenommen!), ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich. i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,15 0,1633 0,1626

-0,203004 0,011445 0,000030

15,263279 16,994822 16,905672

0,1633 0,1626 0,1626

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt damit: h2

0,163 m

Dieser Wert stellt die 2. positive Nullstelle für das Polynom 5. Grades dar (vergl. Graphen auf vorhergehender Seite). Die zugehörige Geschwindigkeit bzw. Geschwindigkeitshöhe im Unterwasser beträgt: A2

bS ˜ h2  m ˜ h22

v2

Q A2

v22 2g

7,049 2 2g

4,951 0,702

3,75 ˜ 0,163  3,5 ˜ 0,1632 7,049

0,702 m 2

m s

2,553 m

Plausibilitätskontrolle: Bei identischer Gleichung f(hi) für Ober- und Unterwasser gilt stets folgende Ungleichung: hOW ! hgr ! hUW bzw. vOW  v gr  vUW bzw.

2 2 v gr vOW v2   UW 2g 2g 2g

Grafischer Verlauf der Wassertiefen, Geschwindigkeitshöhen und Energiehöhen:

v1/2g = 0,001 [m]

hE = 2,691 [m]

hEmin = 0,695 [m]

vgr/2g = 0,232 [m] hgr = 0,464 [m] v2/2g = 2,533 [m]

h1 = 2,695 [m] W

h2 = 0,163 [m] Bezug

Bezug

3.3 Gerinnehydraulik

67

Beispiel 29 – Wechselsprung im Rechteckgerinne

Gegeben: Rechteckgerinne mit einer Breite von b = 8,00 [m] und einem Volumenstrom von Q = 7,50 [m³/s]. Die vom Oberwasser kontrollierte Wassertiefe beträgt h1 = 0,85 [m], die beobachtete Wassertiefe im Unterstrom ist deutlich kleiner als die von h1. Gesucht: Findet in diesem Gewässerabschnitt ein Fließartenwechsel in Form eines Wechselsprungs statt? OW Q

Deckwalze

v h1 = 085 [m] UW h2 Bezug Lösung 29 – Wechselsprung zwischen Fließartenwechsel

Sofern hier ein Fließartenwechsel (Übergang vom strömenden zum schießenden Abfluss) vorliegt, müsste gelten: h1 ! hgr ! h2 bzw. v1  v gr  v2

Im Folgenden wird nun zuerst die Grenzwassertiefe für das Rechteckgerinne berechnet. hgr liegt in expliziter Gleichungsform vor (vergl. Anhang): hgr

3

Q2

3

g ˜ b2

7,502 g ˜ 8, 002

0, 488 m

Nun wird die konjugierte Wassertiefe h2 gesucht, die zugehörige Energiegleichung bzw. „Konti“ lautet: h1 

v12 2g

h2 

v22 bzw. v1 ˜ A1 2g

v2 ˜ A2

Darin lässt sich v1 aus Konti berechnen sowie v2 durch h2 substituieren: v1

Q A1

Q b ˜ h1

v2

Q A2

Q b ˜ h2

7,50 8,00 ˜ 0,85

1,103

7,50 8,00 ˜ h2

0,938 h2

m s

Ÿ

v12 2g

1,1032 2g

Ÿ

v22 2g

0,045

Die Wassertiefe im Unterwasser lässt sich damit quantifizieren: 0,85  0,062

0,912 m Ÿ h2 

0,045 h22

0,912 m

h22

0,062 m

68

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). .4

f h2 0,912h22  h23  0,045

h1 = 0,85m

h2

.2

0

f ' h2

1,824h2  3 ˜ h22 .2

.4 1

0

1

2

h2

Für h2 ist ein deutlich kleinerer Wert als für h1 zu wählen, gewählt wurde hi = 0,20 [m]: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,20 0,2675 0,2634

-0,016519 0,001114 0,000002

0,244800 0,273247 0,272303

0,2675 0,2634 0,2634

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt: h2

0,263 m

h1 ! h gr ! h2 Ÿ 0,85 m ! 0,488 m ! 0,263 m

Diese Ungleichung wird erfüllt, d. h. es liegt zwischen h1 und h2 ein Wechselsprung (Fließartenwechsel) vor. Beispiel 30 – Wechselsprung im Parabelgerinne

Gegeben: Parabelgerinne mit einer Wasserspiegelbreite von b = 8,00 [m] und einem Volumenstrom von Q = 7,50 [m³/s]. Das Öffnungsmaß der Parabel beträgt a = 0,01 [m–1]. Die vom Oberwasser kontrollierte Wassertiefe beträgt h1 = 0,85 [m], die beobachtete Wassertiefe im Unterstrom ist kleiner als die von h1. Gesucht: Findet in diesem Gewässerabschnitt ein Fließartenwechsel in Form eines Wechselsprungs statt? Abbildung: analog Aufgabe 29 Lösung 30 – Wechselsprung zwischen Fließartenwechsel

Bei Fließartenwechsel (Übergang vom strömenden zum schießenden Abfluss) gilt: h1 ! hgr ! h2 bzw. v1  v gr  v2

Im Folgenden wird nun zuerst die Grenzwassertiefe für das Parabelgerinne berechnet. hgr liegt in expliziter Gleichungsform vor (vergl. Anhang): hgr

4

27 ˜ a ˜ Q 2 8g

4

27 ˜ 0,01 ˜ 7,50 2 8g

0,663 m

3.3 Gerinnehydraulik

69

Nun wird die unterwasserseitige Wassertiefe h2 gesucht, die zugehörige Energiegleichung lautet: h1 

v12 2g

h2 

v22 bzw. v1 ˜ A1 2g

v2 ˜ A2

Darin lässt sich v1 aus Konti berechnen sowie v2 mit h2 substituieren: v1

v2

Q A1

Q A2

Q

7,50

h13 a

2 3

3˜Q ˜ a 2

2 0,853 3 0,01

1,436

3 ˜ 7,50 ˜ 0,01

h23

2

m s

Ÿ

v12 2g

1,436 2 2g

0,105 m

1,125

Ÿ

v22 2g

1,125 2

0,065

2 g ˜ h23

h23

h23

h23

Die Wassertiefe im Unterwasser lässt sich damit quantifizieren: 0,85  0,105

0,955 m Ÿ h2 

0,065

0,955 m

h23

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 0.4

f h2 h24  0,955h23  0,065

0.2

f ' h2 4h23  2,865h22

0

h2 0.2  0.5

0

h1 0.5

1

1.5

h2

Für h2 ist ein kleinerer Wert als für h1 zu wählen, gewählt wurde hi = 0,50 [m]: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,50 0,5353 0,5360

0,007645 0,000132 0,000000

-0,216306 -0,207451 -0,207213

0,5353 0,5360 0,5360

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt: h2

0,536 m

h1 ! hgr ! h2 Ÿ 0,85 m ! 0,663 m ! 0,536 m

Diese Ungleichung wird erfüllt, d. h. es liegt zwischen h1 und h2 ein Fließartenwechsel (Wechselsprung) vor.

70

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Beispiel 31 – Wechselsprung im symmetrischen Trapezgerinne

Gegeben: Symmetrisches Trapezgerinne hat eine Böschungsneigung von 1:m = 1:3,5 und eine Sohlbreite von bS = 3,75 [m]. Der Volumenstrom beträgt Q = 7,50 [m³/s]. Die vom Oberwasser kontrollierte Wassertiefe beträgt h1 = 0,85 [m], die beobachtete Wassertiefe im Unterstrom ist kleiner als die von h1. Gesucht: Findet in diesem Gewässerabschnitt ein Fließartenwechsel in Form eines Wechselsprungs statt? Abbildung: analog Aufgabe 29 Lösung 31 – Wechselsprung zwischen Fließartenwechsel

Bei Fließartenwechsel (Übergang vom strömenden zum schießenden Abfluss) gilt: h1 ! hgr ! h2 bzw. v1  v gr  v2

Im Folgenden wird nun versucht, die Grenzwassertiefe für das Trapezgerinne zu bestimmen. Die Berechnung ist nicht direkt möglich, da sich die Wasserspiegelbreite mit der Höhe ändert, d. h. hgr liegt hier nur in impliziter Gleichungsform vor (vergl. Anhang): 3

· m 3 ˜ hgr ¸¸ ˜ hgr b S ¹ © 2m 1 ˜ hgr bS

§ g ˜ bS2 ˜ ¨¨1  Q gr

Diese Gleichung lässt sich ebenfalls durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26) lösen. · 2m 2 §¨ ˜ ¨1  ˜ hgr ¸¸ Qgr bs ¹ © hgr

3

§ · m 3 ˜ hgr ¸¸ ˜ hgr g ˜ bS2 ˜ ¨¨1  b S © ¹

3 ª º § · bS 3 2 » « g ˜ bS2 ˜ ¨1  m ˜ hgr ¸ ˜ hgr  Q gr ˜ ¨ ¸ 2 « » 2m ˜ Q gr © bS ¹ ¬ ¼

Ausmultiplizieren und Zusammenfassen: hgr

3 º ª § 3,5 3,75 · 3 « g ˜ 3,75 2 ˜ ¨¨1  ˜ hgr ¸¸ ˜ hgr  7,50 2 » ˜ » 2 ˜ 3,5 ˜ 7,50 2 « © 3,75 ¹ ¼ ¬



3 0 1,313 ˜ hgr ˜ 1  0,933 ˜ hgr

3  hgr  0,536

Polynom 6. Grades:



f hgr

3 4 5 6 1,313hgr  3,677 hgr  3,432hgr  1,068hgr  hgr  0,536

2 3 4 5 f ' h2 3,940hgr  14,710hgr  17,162hgr  6,407 hgr 1

3.3 Gerinnehydraulik

71

Als Startwert wird hgr = 0,60 [m] gewählt: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,60 0,6102 0,6089

-0,058712 0,007885 -0,000698

5,750752 6,159056 6,106872

0,6102 0,6089 0,6090

Die Grenzwassertiefe ist mit hgr = 0,609 [m] kleiner als die Wassertiefe im Oberwasser. Nun wird noch die konjugierte Wassertiefe h2 gesucht, um die Ungleichung zu überprüfen. Die zugehörige Energiegleichung lautet: h1 

v12 2g

h2 

v22 bzw. v1 ˜ A1 2g

v2 ˜ A2

Darin lässt sich v1 aus Konti berechnen sowie v2 durch h2 substituieren: Q A1

v1

Q

v12 2g

1,312 2g

v2

Q A2

v22 2g

2g ˜

7,50

bS ˜ h1  m ˜ h12 2

3,75 ˜ 0,85  3,5 ˜ 0,85

m s

0,088 m Q

7,50

bS ˜ h2  m ˜ h22 2

3,75h 2 3,5h22



1,312

2

7,50

2,868



2 3,75h2  3,5h22

14 ,063h22

 26,250h23  12,250h24

Die Wassertiefe im Unterwasser lässt sich damit quantifizieren: 0,85  0,088

0,938 m Ÿ h2 

2,868 14 ,063h22

0,938 m

 26,250h23  12,250h24

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 4 f h2 12,250h25  14,762h24

2

 10,554h23  13,187 h22  2,868 h2 61,250h24  59,049h23  31,662h22  26,375h2

f '

4



0

h2

2 2

1

0 h2

Für h2 ist ein kleinerer Wert als für h1 zu wählen, gewählt wurde hi = 0,50 [m]: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,50 0,4553 0,4565

-0,442689 0,012630 0,000004

-9,893606 -10,366816 -10,360990

0,4553 0,4565 0,4565

h1 1

2

72

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Die Wassertiefe im Unterwasser beträgt: h2

0,457 m

h1 ! hgr ! h2 Ÿ 0,85 m ! 0,609 m ! 0,457 m

Diese Ungleichung wird erfüllt, d. h. es liegt zwischen h1 und h2 ein Fließartenwechsel (Wechselsprung) vor. Beispiel 32 – Sohlvertiefung

Gegeben: Rechteckgerinne mit einer Breite von b = 8,00 [m]. Die vom Oberwasser kontrollierte Wassertiefe beträgt h1 = 2,85 [m], die zugehörige Fließgeschwindigkeit beträgt im Mittel v1 = 4,75 [m/s]. Auf der Strecke ist – gemäß Zeichnung – eine Sohlvertiefung, mit gemäßigtem Übergang zu verzeichnen. Der Wasserspiegel unterscheidet sich an dieser Stelle von der Normalabflusshöhe h1. Gesucht: Wie groß ist der Volumenstrom Q und wie verändert sich der Wasserspiegel bezogen auf das Normalniveau? Tritt hier ggf. ein Wechselsprung auf? Lösung 32 – Rechteckgerinne mit Sohlvertiefung

RWS (Normalniveau)

h2

h1 = 2,85 [m]

Q v

'z = 0,65 [m]

Bezug

Bezug

Die Energiegleichung lautet hier: hE

hE1

v12  h1 2g

hE2 bzw.

v12  h1  'z 2g

v22  h2  'z 2g

v22  h2 2g

In Zahlen: 4,75 2  2,85  0,65 2g 4,650m

v22  h2 2g

v22  h2 2g

Durch die zusätzliche Verwendung der Konti-Gleichung lässt sich auch die Wassertiefe an der Stelle der Sohlvertiefung berechnen: Q

Q1

Q2

v1 ˜ A1

v2 ˜ A2

3.3 Gerinnehydraulik

73

Ersetzt man nun die Querschnittsfläche A2 durch die Fläche des durchströmten Rechtecks mit der bekannten Breite b und substituiert anschließend in die Energiehöhengleichung hE2, erhält man:

m m3 ˜ 8,00 m ˜ 2,85 m 108,300 2 s 108,300 13,538 108,300 v 2 ˜ A2 Ÿ v2 b ˜ h2 h2 v1 ˜ b ˜ h1

v22 2g

4,75

13,5382

9,344

2 g ˜ h22

h22

4,650 m

v2 h2  2 2g

h2 

9,344 h22

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten v2 und h2 konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten h2 reduziert werden. Durch Multiplikation der Gleichung mit h22 erhält man folgenden Polynom 3. Grades: 4,650 h22 0

h23  9,344

h23  4,650 h22  9,344

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 10

5

h2

f h2 h23  4,650h22  9,344

4 0

f ' h2 3h22  9,301h2

5

 10 2

0

2

4

h2

Das Polynom 3. Grades liefert hier zunächst 2 mögliche Nullstellen (der negative Wert ist physikalisch unbedeutend!), die Zuordenbarkeit wird deshalb mit der Grenzwassertiefe des Rechteckgerinnes überprüft: hgr

3

Q2 g ˜ b2

3

108,30 2 g ˜ 8,00 2

2,654 m

Eine der beiden positiven Nullstellen des Polynoms ist mit h = 1,816 [m] kleiner als die Grenzwassertiefe hgr. – Es ist aber zu beachten, dass bei gleich bleibendem Volumenstrom Q und mit zunehmender Wassertiefe die Geschwindigkeit bzw. die Geschwindigkeitshöhe abnehmen. Der in diesem Bereich langsamer abfließende Volumenstrom wird von dem aus dem Bereich h1 kommenden und schneller fließenden Volumen „überrollt“. Die Erklärung für dieses Phänomen liegt in der Definition der Konti-Gleichung. Es wird also eine Nullstelle zu suchen sein, die größer als hgr ist.

74

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Als Startwert wurde hi = 4,00 [m] gewählt (ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich!). i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

4,00 4,0984 4,0925

-1,062019 0,072060 0,000263

10,797061 12,271933 12,182258

4,0984 4,0925 4,0925

Die Wassertiefe an der Stelle der Sohlvertiefung beträgt h2 = 4,09 [m], damit sind sowohl h1 als auch h2 größer als hgr. Es liegt also hier kein Wechselsprung vor, jedoch beträgt die Anhebung des Wasserspiegels: 'h

h2  h1  'z

4,09  2,85  0,65

0.59 m

hE = 4,00 [m] v²1/2g

h1 = 2,85 [m]

Bezug

v²2/2g

'h = 0,59 [m]

Q v

h2 = 4,09 [m]

'z = 0,65 [m]

Bezug

Beispiel 33 – Sohlschwelle

Gegeben: Rechteckgerinne mit einer Breite von b = 8,00 [m]. Die vom Oberwasser kontrollierte Wassertiefe beträgt h1 = 2,85 [m], die zugehörige Fließgeschwindigkeit beträgt im Mittel v1 = 2,15 [m/s]. Auf der Strecke ist – gemäß Zeichnung – eine Sohlschwelle mit gemäßigtem Übergang zu verzeichnen. Der Wasserspiegel unterscheidet sich an dieser Stelle von der Normalabflusshöhe h1. Gesucht: Wie groß ist der Volumenstrom Q und wie verändert sich der Wasserspiegel bezogen auf das Normalniveau? Tritt hier ggf. ein Wechselsprung auf? RWS (Normalniveau)

h2

h1 = 2,85 [m]

Q v

'z = 0,65 [m] Bezug

Bezug

3.3 Gerinnehydraulik

75

Lösung 33 – Rechteckgerinne mit Sohlschwelle

Die Energiegleichung lautet hier: hE

hE1

v12  h1 2g

hE 2 bzw.

v12  h1  'z 2g

v22  h2  'z 2g

v22  h2 2g

In Zahlen: 2,15 2  2,85  0,65 2g 2,436 m

v22  h2 2g

v22  h2 2g

Durch die zusätzliche Verwendung der Konti-Gleichung lässt sich auch die Wassertiefe an der Stelle der Sohlvertiefung berechnen: Q

Q1

Q2

v1 ˜ A1

v2 ˜ A2

Ersetzt man nun die Querschnittsfläche A2 durch die Fläche des durchströmten Rechtecks mit der bekannten Breite b und substituiert anschließend in die Energiehöhengleichung hE2, erhält man:

v1 ˜ b ˜ h1

2,15

m ˜ 8,00 m ˜ 2,85 m s

49,020 v 2 ˜ A2 Ÿ v2

2,436 m

v2 h2  2 2g

49,020 8,00 ˜ h2

h2 

49,020

m3 2

v2 6,127 bzw. 2 h2 2g

6,127 2

1,914

2 g ˜ h22

h22

1,914 h22

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten v2 und h2 konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten h2 reduziert werden. Durch Multiplikation der Gleichung mit h22 erhält man folgenden Polynom 3. Grades: 2,436h22 0

h23  1,914

h23  2,436h22  1,914

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 4

f h2 h23  2,436 ˜ h22  1,914 4432

h2

f ' h2 3h22  4,871 ˜ h2 0

1

0

1 h2

2

3

76

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Das Polynom 3. Grades liefert hier zunächst 2 mögliche Nullstellen (negative Werte sind physikalisch unbedeutend!), die Zuordenbarkeit wird deshalb auch hier mit der Grenzwassertiefe des Rechteckgerinnes überprüft: hgr

3

Q2 g ˜b

3

2

49,02 2 g ˜ 8,00 2

1,564 m

Einer der beiden positiven Werte des Polynoms ist aber kleiner als die Grenzwassertiefe hgr, d. h. es tritt hier kein Wechselsprung auf und für h2 kann nur ein Wert zutreffen, der kleiner als h1 und größer als hgr ist. Als Startwert wurde hi = 2,00 [m] gewählt (ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich!). i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

2,00 1,9240 1,9123

0,171599 0,020159 0,000450

2,257272 1,732688 1,655462

1,9240 1,9123 1,9121

Die Wassertiefe h2 an der Stelle der Sohlvertiefung beträgt h2 = 1,91 m. Die Erklärung für dieses Phänomen liegt in der Konti-Gleichung. Mit abnehmender Wassertiefe und bei gleich bleibendem Volumenstrom Q steigen die Geschwindigkeit bzw. die Geschwindigkeitshöhe an, der hier schneller abfließende Volumenstrom „läuft“ dem langsameren, gleich großen Volumenstrom aus dem Bereich von h1 davon. Es liegt also auch hier kein Wechselsprung vor, die Absenkung des Wasserspiegels beträgt jedoch: 'h

h1  h2  'z

2,85  1,91  0,65

0.29 m

hE = 3,086 [m] v²1/2g

'h = 0,29 [m] h1 = 2,85 [m]

h2 = 1,91 [m]

v²2/2g Q v

'z = 0,65 [m] Bezug

Bezug

Beispiel 34 – Wehrüberströmung

Gegeben: Rechteckgerinne mit einem rundkronigen Wehr. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 8,00 [m], die Wehrhöhe ist W = 2,00 [m]. Die vor dem Wehrkörper gemessene Überfallhöhe beträgt hü = 0,75 [m]. Gesucht: lotrechte Wassertiefe in der Position der halben Wehrhöhe hinter der Wehrkrone.

3.3 Gerinnehydraulik

77

OW hü

Q hW

v

W/2

W UW

W/2 Bezug

Bezug

Lösung 34 – Wasserhöhe im Überströmungsbereich des Wehrs

Auch hier lässt sich aus der Überfallhöhe, die zugehörige Überfallwassermenge Qü bestimmen. Mit dem theoretischen Überfallbeiwert aus Beispiel 27 ergibt sich dafür: 3

3

Qü

2 ˜ P ˜ b ˜ 2 g ˜ hü2 3

2 1 ˜ ˜ b ˜ 2 g ˜ hü2 3 3

Qü

2 1 ˜ ˜ 8,00 ˜ 2 g ˜ 0,75 2 3 3

3

8,857

m3 2

Die Grenzwassertiefe hgr im Rechteckgerinne liefert die minimale Energiehöhe hEmin auf dem waagerechten Wehrüberfall. Die Gleichungen sind dem Anhang zu entnehmen. hgr

3

Q2 g ˜ b2

3

8,857 2

0,500 m

g ˜ 8,00 2

Die minimale Energiehöhe beträgt: 3 0,500 2

3 hgr bzw. hEmin 2

hEmin

0,750 m

Für die Position W/2 ist die Energiegleichung mit der minimalen Energiehöhe zu verwenden: 0,750 m

v2 W 2,00 Ÿ 0,750  hW  w  2g 2 2

1,750

v2 hW  w 2g

Wegen der Kontinuität gilt weiterhin für die Position W/2: Qü

Qw

v w ˜ Aw

8,857

m3 Ÿ vw 3

Qw b ˜ hw

8,857 8 ˜ hw

1,107 hw2

Ÿ

v w2 2g

0,062 hw2

Substituiert man nun den Ausdruck für vw²/2g in die Energiehöhengleichung hEmin, so erhält man: 1,750 m

hw 

v w2 2g

hw 

0,062 hw2

78

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Die ursprünglich vorliegenden 2 Gleichungen mit den 2 Unbekannten vw und hw konnten somit auf eine Gleichung mit einer Unbekannten hw reduziert werden. Durch Multiplikation der Gleichung mit hw2 erhält man folgenden Polynom 3. Grades: 1,750h22 0

h23  0,062

h23  1,750h22  0,062

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des New1 ton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26). 0.5

f h2 h23  1,750h22  0,062

hW 0

f ' h2 3h22  3,50h2

 0.5

1 1

0

1

2

h

Das Polynom 3. Grades liefert hier zunächst wieder 2 mögliche Nullstellen (negative Werte sind physikalisch unbedeutend!), die Zuordenbarkeit wird deshalb mit der Grenzwassertiefe des Rechteckgerinnes überprüft. Einer der beiden positiven Werte des Polynoms ist aber größer als die Grenzwassertiefe hgr. Da der Fließartenwechsel vom Strömen zum Schießen jedoch bei hgr auftritt, ist hier nur eine Wassertiefe hw kleiner als hgr zu erwarten. Als Startwert wurde hi = 0,20 [m] gewählt (ggf. sind weitere Iterationsschritte erforderlich!). i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

0,20 0,2009 0,2009

0,000500 -0,000001 0,000000

-0,580000 -0,581981 -0,581977

0,2009 0,2009 0,2009

Im schießenden Abflussbereich beträgt die Wasserhöhe bzw. Wassertiefe hw auf halber Wehrhöhe hw = 0,20 [m]. Beispiel 35 – Planschütz

Gegeben: Rechteckgerinne mit einem unterströmten Planschütz (Wehr). – Die Schützbreite beträgt b = 1,00 [m], die Wassertiefe unter dem Schütz ist hs = 0,25 [m], zum Abfluss gelangen Q = 2,50 [m³/s]. Gesucht: Wassertiefen h1 und h2. OW Q Wechselsprung

v

UW

h1 hs Bezug

h2 Bezug

3.3 Gerinnehydraulik

79

Lösung 35 – Konjugierte Wassertiefe eines Wechselsprungs

Die im Oberwasser ankommende Wassermenge entspricht der Wassermenge sowohl unterhalb des Planschützes als auch im Unterwasserbereich. Es gilt aus Gründen der Kontinuität: Q

Q1

Qs Q 2 4,50

m3 bzw. v1 ˜ b ˜ h1 v s ˜ b ˜ hs v 2 ˜ b ˜ h2 s v1 ˜ h1 v s ˜ hs v 2 ˜ h2

:b

Es ist zielorientiert, mit der Lösung der konjugierten Wassertiefe zu beginnen, hs und h2 verhalten sich nämlich wie konjugierte Wassertiefen, allgemein gilt (vergl. Formelanhang): hu ho Fro

ho 1§ · 2 ¨ 1  8Fro  1¸ bzw. 2© h ¹ u v0 Fru Ao g˜ bSpo

1§ · 2 ¨ 1  8 Fru  1¸ 2© ¹ vu g˜

Au bSpu

Hierbei steht der Index „o“ für die oberwasserseitige Wassertiefe bzw. der Index „u“ für die unterwasserseitige Wassertiefe vor und hinter dem Wechselsprung. Bezogen auf dieses Beispiel ergeben sich folgende Analogien: 1§ · 2 ¨ 1  8 Fro  1¸ 2© ¹

h2 hu h { Ÿ 2 hs ho hs vs

Q As

Qs b ˜ hs

2,50 1,00 ˜ 0,25

10,0

§ § v 1¨ s ¨ 1  8¨ ¨ g ˜h 2¨ s © ¨ ©

· 2 ¸ · ¸  1¸ ¸ ¸¸ ¹ ¹

m s

Durch Einsetzen der Zahlenwerte für vs und hs lässt sich nun die konjugierte Wassertiefe h2 berechnen: h2

· § 2 ¸ § 10,00 · 1¨ ¸ ¨  1¸ ˜ 0,25 ¨ 1 8 ¨ g ˜ 0,25 ¸ 2¨ ¸ ¹ © ¹ ©

2,136 m

Aus der Energiegleichung folgt nun zur Bestimmung von h1: hE1 h1 

hE s v12 2g

0,25 

5,349 h1

10,00 2 2g

10,00 2 2 g ˜ h12

h1 

5,349 m 0,319 h12

˜ h12 Ÿ 0

h13  5,349h12  0,319

Die zugehörigen Nullstellen dieses Polynoms erhält man durch die abstrakte Form des Newton’schen Iterationsverfahrens (siehe Beispiel 26).

80

3 Hydrodynamik idealer Fluide 10

f h2

0

h23  5,349h22  0,319

h1 10

f ' h2 3h22  10,697 h2 20

0

2

4

6

h1

Das Polynom 3. Grades liefert hier zunächst wieder 2 mögliche Nullstellen (negative Werte sind physikalisch unbedeutend!), die Zuordenbarkeit ist hier simpel, da der kleinere Wert die Wassertiefe unter dem Schütz darstellt. Der gesuchte Wert ist der größere positive Wert. Startwert für h1 = 5,00 [m]: i 0 1 2

hi

f (h i )

f '(h i )

h i+1

5,00 5,3902 5,3384

-8,395865 1,529279 0,028936

21,514189 29,503960 28,390129

5,3902 5,3384 5,3374

Der gesuchte Wert für den Aufstau vor dem Schütz beträgt h1 = 5,34 m! v²1/2g = 0,01 [m]

hE = 5,35 [m] Q v²s/2g = 5,10 [m]

v2/2g = 3,21 [m]

v

h1 = 5,34 [m] h2 =2,14 [m]

hs = 0,25 [m] Bezug

Bezug

Beispiel 36 – Unvollkommener Wehrüberfall

Gegeben: Rechteckgerinne mit einem rundkronigen Wehr mit r = 45 [cm]. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 2,50 [m], die Wehrhöhe beträgt WO = 2,00 [m] bzw. WU = 2,30 [m]. Das Rechteckgerinne entspricht in seiner Wasserspiegelbreite dem des Wehrfelds. OW

gewellter Abfluss hü = h

UW hu > 0

r

h1 WO

Q WU

v

h2

z1 = 30 [cm] Bezug

Bezug

3.3 Gerinnehydraulik

81

Zum Abfluss gelangen maximal Q = 3,50 [m³/s]. Durch den gewellten Abfluss auf der Wehrkrone zeichnet sich ein Wasserstand von hu = 50 [cm] ab. Gesucht: Wie groß sind die maximalen Wassertiefen im Ober- (OW) und Unterwasser (UW). Lösung 36 – Unvollkommende Strömung über ein rundkroniges Wehr

Bei diesem unvollkommenen Wehrüberfall wird der Abfluss durch den Unterwasserstand h2 beeinflusst. Die Strömungsverhältnisse sind komplex und werden sowohl von der Wehrform als auch vom Verhältnis hu/h bestimmt. Eine probate Methode ist es dennoch, die Berechnung des unvollkommenen Überfalls in Bezug auf den vollkommenen Überfall – zum Beispiel nach der Poleni-Gleichung – durchzuführen. Das Ergebnis wird dann je nach geometrischer Gegebenheit (z. B. rundkroniges Wehr) abgemindert. Aus der Poleni-Gleichung folgt mit hü = h und Qü = Q: 3

2 Q M ˜ ˜ P ˜ b ˜ 2g ˜ h 2 Ÿ h 3

2

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

Der Überfallbeiwert  ist funktional sowohl abhängig von der Überfallhöhe h als auch von der Abminderung . Der Abminderungsfaktor  stellt sich hierbei als Funktion vom Verhältnis hu/h dar. Für diese Gleichung wird eine iterative Lösungsweise vorgestellt. Als Startwert für den theoretischen Überfallbeiwert wird der Wert P 1/ 3 0,577 aus Beispiel 27 übernommen, für jeden weiteren Iterationsschritt gilt die Rehbock-Formel für Rechteckwehre mit ausgerundeter Krone [8]: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r¹ WO ©

Der Startwert für den Abminderungsbeiwert ist  = 1 (= keine Abminderung), danach muss für jeden Iterationsschritt  neu aus dem unterhalb stehenden Diagramm nach [10] bestimmt werden:

'hu h

breitkroniges Wehr Dachwehr rundkroniges Wehr mit

h WU

rundkroniges Wehr mit

h 1 WU

scharfkantiges Wehr

M

1

82

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Iterationsschritt 1:

P

0,577

M 1

h

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

2

0,877 m Ÿ

h WO

'hu h

0,439

0,570

Iterationsschritt 2: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r¹ WO ©

h

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

0,806

M

§ · h  1¸¸ 0,950 ¨¨ für WU © ¹

2

0,726 m Ÿ

h WO

'hu h

0,439

0,688

Iterationsschritt 3: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r W © ¹ O

h

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

0,775

M

§ · h  1¸¸ 0,922 ¨¨ für W U © ¹

2

0,761 m Ÿ

h WO

'hu h

0,363

0,657

Iterationsschritt 4: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r¹ WO ©

h

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

0,783

M

§ · h 0,931 ¨¨ für  1¸¸ WU © ¹

2

0,751 m Ÿ

h WO

'hu h

0,380

0,666

Iterationsschritt 5: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r¹ WO ©

h

§ ·3 3˜Q ¨ ¸ ¨ 2 ˜M ˜ P ˜ b ˜ 2g ¸ © ¹

0,781

M

· § h  1¸¸ 0,926 ¨¨ für WU © ¹

2

0,755 m Ÿ

h WO

0,375

'hu h

Iterationsschritt 6: 2

P

h· h § 0,312  0,30  0,01 ˜ ¨ 5  ¸  0,09 ˜ r W © ¹ O

0,781

P const.

0,662

3.3 Gerinnehydraulik

83

Die Iteration endet im 6. Schritt, als Oberwassertiefe erhält man: WO  h

h1

2,00  0,755

2,755 m

Die Unterwassertiefe beträgt: 'hu 0,662 Ÿ 'hu 0,662 ˜ 0,755 0,500 m h h2 WU  'hu 2,30  0,50 2,80 m

Anmerkung: Ein häufiger Fehler in der Berechnung unvollkommener Wehrüberfälle liegt im falschen Ansatz der Wehrhöhe. Wie im Diagramm zuvor zu sehen ist, geht für die Berechnung des Abminderungsfaktors  die unterwasserseitige Wehrhöhe WU ein und nicht, wie fast durchgängig in der Literatur zu finden, die oberwasserseitige Wehrhöhe. hu h

hu h

WU

WO

hu

WU

WO

h

WU

WO

Unvollkommene Wehrüberfälle bei konstantem Q (nach [8]):

Beispiel 37 – Unvollkommener Wehrüberfall

Gegeben: Zur Abflussmengenbestimmung wird ein Rechteckgerinne mit einem unvollkommenen, scharfkantigen, dreiecksförmig eingeengten Wehr genutzt. – Die Wehrfeldbreite beträgt b = 2,00 [m], die Überfallbreite ist bü = 1,55 [m] und die Wehrhöhe WO = 1,58 [m]. Der Öffnungswinkel für das Dreieckswehr ist D = 74°. Gesucht: Überfallwassermenge Q für h = 0,35 [m] und h2 = 2,58 [m]. b bü

OW h Q v + 30 [cm] Bezug

D

hu

h1 WO

h2 WU

84

3 Hydrodynamik idealer Fluide

Lösung 37 Strömung über ein scharfkantig senkrechtes dreieckförmig eingeengtes Wehr

Bei kleinen Durchflüssen bis 0,1 [m³/s] werden Thomson-Wehre (Dreiecksüberfall) den Rechteckwehren (bis 1,0 [m³/s]) vorgezogen, da sie genauere Ergebnisse liefern. Die entsprechende Durchflussformel für vollkommene und unvollkommene Überfälle nach [8] lautet: Überfallgleichung (vollkommener Überfall): 5

Q

8 §D · ˜ P ˜ tan¨ ¸ ˜ 2 g ˜ h 2 15 ©2¹

Überfallgleichung (unvollkommener Überfall): 5

Q M˜

8 §D · ˜ P ˜ tan¨ ¸ ˜ 2 g ˜ h 2 15 ©2¹

Die Strömungsverhältnisse sind komplex und werden auch hier sowohl von geometrischen als auch hydraulischen Faktoren bestimmt. Unter der Voraussetzung, dass h > 0,05 [m], WO > h sowie 20° < D < 110° ist, gilt in diesen Einsatzgrenzen für den Abminderungsfaktor [8]:

M

§ § 'h ¨1  ¨ u ¨ © h ©

· ¸ ¹

2,50 ·

0,385

¸ ¸ ¹

sowie für den Überfallbeiwert:

P

2· § · § ª §D · º ¸ ¨ ¸ 2 ¨ ˜ tan h ¸ ¨ ¸ 1 ¨ «« 0,66 2 ¹ »» ¸ ¨ © ¸ ˜ ¨1  ¸ ˜ ¨1  3 3 ¨ « 3b ˜ h  WO » ¸ ¨ ¸ » ¸ ¨ 1000h 2 ˜ tan§¨ D ·¸ ¸ ¨ «¬ ¸ ¨ ¼ © 2 ¹¹ © ¹ ©

Beide Faktoren sind ohne Iteration berechenbar. Für den Abminderungsfaktor gilt:

M

§ § 'h ¨1  ¨ u ¨ © h ©

· ¸ ¹

2,50 ·

¸ ¸ ¹

0,385

§ § 1,90  1,58  0,30 · 2,50 · ¨1  ¨ ¸ ¸¸ ¨ ¨© ¸ 0,35 ¹ © ¹

0,385

1,000 >@

Für den Überfallbeiwert erhält man unter der Beachtung, dass sich nur mit dem Zusatz in den eckigen Klammern am Ende der Gleichung mit den gegebenen Werten ein dimensionsloser Wert ergibt:

P

2· § · § ª §D · º ¸ ¨ ¨ h 2 ˜ tan¨ ¸ » ¸ ¨ « ¸ ª 3º ¨ ¸ 0,66 1 © 2 ¹ » ˜ ¨1  ¸ ˜ «m 2 » ˜ ¨1  « ¸ 3 3 ¨ « 3b ˜ h  WO » ¸ ¨ ¸ « » » ¸ ¨ 1000h 2 ˜ tan§¨ D ·¸ ¸ ¬ ¼ ¨ «¬ ¸ ¼ ¹ ¨ © © 2 ¹¹ ©

3.3 Gerinnehydraulik

P

85

2· § · § ª § 74q · º ¸ ¨ ¸ ¨ 2 ˜ 0 , 35 tan ¸ ¨ « » ¸ ¨ 0,66 1 ¨ « © 2 ¹ » ¸ ¨ ¸˜ 0,580 >@ ˜ ¨1  ¸ ˜ 1 3 ¸ 3 ¨ « 3 ˜ 2,00 ˜ 0,35  1,58 » ¸ ¨ » ¸ ¨ 1000 ˜ 0,35 2 ˜ tan§¨ 74q ·¸ ¸ ¨¨ « ¸ ¸ ¨ ¼ ¹ © ¬ © 2 ¹¹ ©

Mit diesen Werten ergibt sich ein Volumenstrom von: 5

8 §D · Q M ˜ ˜ P ˜ tan¨ ¸ ˜ 2 g ˜ h 2 15 ©2¹

5

8 § 74q · 1,000 ˜ ˜ 0,580 ˜ tan¨ ¸ ˜ 2 g ˜ 0,35 2 15 © 2 ¹

75

l s

Beispiel 38 – Unvollkommener Überfall an scharfkantigem Wehr

Gegeben: Zur Abflussmengenbestimmung wird ein Rechteckgerinne mit einem unvollkommenen, scharfkantigen Wehr genutzt. Das Wehr wird vom Wasser überströmt und erzeugt dabei einen sogenannten Wellstrahl. – Die Wehrfeldbreite und Überfallbreite betragen b = 2,00 [m], die Wehrhöhe ist WO = 1,58 [m]. Gesucht: Überfallwassermenge Q für h = 1,17 [m] und h2 = 2,44 [m]. OW UW h Q

hu

h1

v

WO

+ 15 [cm] Bezug

WU

h2

Lösung 38 – Wehrüberströmung mit Wellstrahl Die zugehörige Überfallformel für den unvollkommenen Überfall über scharfkantige Wehre lautet nach [8]: 3

Q

2 ˜ P ˜M ˜ b ˜ 2g ˜ h 2 3

Die Strömungsverhältnisse sind komplex und werden auch hier sowohl von geometrischen als auch hydraulischen Faktoren bestimmt. Unter der Voraussetzung, dass: 0,30 !

h  'hu ! 0,20 0,1 6 WU

gilt in diesen Einsatzgrenzen für den Überfallbeiwert:

P

0,6035  0,0813 ˜

h WO

sowie für den Abminderungsfaktor, sofern folgende Ungleichung erfüllt ist:

86

3 Hydrodynamik idealer Fluide f1 ! f 2

M

1 § W 0,40 ˜ ¨¨1  0,30 ˜ U 'hu ©

f1

§ 'h ˜¨¨1,08  0,18 ˜ u W U ©

f2

· ¸¸ ¹

h  'hu WU

· 'h ¸ ˜3 1 u ¸ h ¹

Beide Faktoren lassen sich ohne Iteration berechnen. Für den Überfallbeiwert gilt: h - ' hu > 0, 20 0,16 WU

0,30 >

WU = WO + 0,15 = 1, 73 m

mit

' hu = h2 - WU = 2, 44 - 1, 73 = 0, 71 m 0,30 !

1,17  0,71 ! 0,20  0,1 6 1,73

Ÿ

0,30 ! 0,266 ! 0,20  0,1 6

Damit wird die Ungleichung erfüllt und es gilt für den Überfallbeiwert:

P

0,6035  0,0813 ˜

1,17 1,58

0,664

Für den Abminderungsfaktor erhält man nach Prüfung der Ungleichung: f1 ! f 2

1

f1

1,73 · § 0,40 ˜ ¨1  0,30 ˜ ¸ 0,71 ¹ ©

1,444

f2

1,17  0,71 1,73

1,444 ! 0,266

Die Ungleichung wird ebenfalls erfüllt und es gilt für den Abminderungsfaktor:

P

0,6035  0,0813 ˜

1,17 1,58

0,664

Mit diesen Werten ergibt sich ein Volumenstrom von: 3

Q

2 ˜ P ˜M ˜ 2g ˜ h 2 3

3

2 ˜ 0,664 ˜1,134 ˜ 2 g ˜ h 2 3

5,625

m3 s

0,266

87

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

4.1 Grundlagen im Überblick Im Bauwesen trifft die Annahme einer idealen Flüssigkeit nicht zu, da nahezu alle Flüssigkeiten reibungsbehaftet sind (reale Fluide). Es tritt ein Verlust an Energiehöhe auf, der in einer Erweiterung der Bernoulli-Gleichung (Energiegleichung) ausgedrückt wird. Der Anteil an „verlorener“ Energie wird irreversibel in Schall und Wärme umgewandelt.

4.1.1 Energiegleichung In Fließrichtung kommt es zu einer Abnahme der Energiehöhe, d. h. zwischen zwei benachbarten Querschnitten tritt ein Energiehöhenverlust auf, der dem Energieliniengefälle in Strömungsrichtung entspricht. hE

v12 p  1  z1 2g U ˜ g

v22 p  2  z 2  6hv 2g U ˜ g

(4.1)

Die Summe wird weiterhin als Energiehöhe hE bezeichnet, sie besteht aus der kinetischen (hkin), potentiellen (hpot) und der geodätischen Höhe (hgeod). In Fließrichtung, am benachbarten Querschnitt, reduziert sich die Energiehöhe allerdings um das Maß der Summe aller Verlusthöhen (6hv) auf dem Fließweg.

hkin

h pot hgeod

v12 2g

Energielinie

hv

Wasserspiegel

v22 2g

Sohle

p2 U˜g

Normalnull

z2

RWS

p1 U˜g

Q, v

z1

1

L

hE

2

4.1.2 Reibungsverluste Energiehöhenverluste bzw. hydraulische Verluste werden in kontinuierliche und örtliche Verluste unterteilt. (4.2) hv hvkont .  hvörtl . Kontinuierliche Verluste treten entlang des Fließweges in Rohrleitungen und Gerinnen auf, sie werden sowohl als Folge innerer und äußerer Reibung durch Schubspannungen zwischen Flüssigkeit und Rohrwandung bzw. Gerinneböschung/Sohle als auch durch die sich unterschiedlich schnell bewegenden Wasserteilchen induziert. Weiterhin sind sie von der Beschaffenheit der festen Berandung (rau, glatt) und von der Art der Strömung (laminar, turbulent) abhängig und wachsen proportional zur Länge des Fließweges kontinuierlich an.

F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_4, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

88

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Neben den kontinuierlichen Verlusten treten an Armaturen (Schieber, Rückschlagklappe usw.) sowie an Formstücken (Krümmer, Rohrverengung oder -erweiterung usw.) durch Ablöseerscheinungen sog. örtlich konzentrierte Verluste auf, die rechnerisch punktuell berücksichtigt werden [7].

4.1.3 Berechnung der kontinuierlichen Verluste Aus empirischen Überlegungen an Rohrleitungen wurde aus dem allgemeinen Fließgesetz von Darcy-Weisbach das allgemeine Widerstandsgesetz abgeleitet. Die kontinuierliche Verlusthöhe errechnet sich zu: hv kont

O˜

L v2 ˜ d 2g

(4.2)

Um diese Gleichung sowohl für teilgefüllte Rohrleitungen als auch für beliebig geformte Gerinne anwenden zu können, wird der geometrische Durchmesser d in Gleichung (4.2) durch einen hydraulischen Durchmesser dhy ersetzt. A (4.3) d hy 4 ˜ rhy rhy lu Dabei ist lu der vom Wasser benetzte Umfang des durchströmten Querschnitts und es gilt allgemein für Leitungen und Freispiegelgerinne: hvkont

O˜

L v2 ˜ d hy 2 g

(4.4)

Der verwendete Reibungsverlust O weist im üblichen Anwendungsbereich eine Größenordnung von etwa 0,015 < O < 0,035 auf, für grobe Überschlagsrechnungen kann deshalb ein Wert von O | 0,025 angenommen werden! Der Reibungsbeiwert, auch Widerstandsbeiwert genannt, hängt von der Zähigkeit des Wassers (innerer Verlust) und der Rauheit der Leitung bzw. des Gerinnes (äußerer Verlust) ab. Die Zähigkeit wird mit der Reynoldszahl ausgedrückt, sie ist das rechnerische Kriterium zur Unterscheidung zwischen laminarer und turbulenter Strömung, die rechnerisch unbedeutende Grenze liegt bei Re = 2320. v ˜ d hy Re (4.5)

Q

Mit  im Nenner der Gleichung (4.5) wird die kinematische Viskosität des Fluids in der Dimension [m²/s] beschrieben, sodass die Reynoldszahl insgesamt dimensionslos ist. Für den Fall

laminare Strömung Re < 2320

Tracer

parallele

turbulente Strömung

Stromlinien

Re < 2320

Tracer ungeordnete Stromlinien

4.2 Rohrhydraulik

89

laminarer Strömung (Re < 2320) lässt sich der Widerstandsbeiwert O als ausschließliche Funktion der Reynoldszahl schreiben (vergleiche hierzu auch das Moody-Diagramm im Anhang). 64 O (4.6) Re

Das Prandtl-Colebrook Widerstandsgesetz (Gleichung 4.7) zur Ermittlung des Widerstandsbeiwertes ist geschlossen analytisch nicht lösbar, sodass häufig auch auf das bereits zitierte Moody-Diagramm zurückgegriffen wird. – Für den turbulenten Bereich des Widerstandsbeiwertes ist die relative Rauheit = k/dhy zu verwenden, k stellt die äquivalente Rauheit in [mm] dar (materialabhängige k-Werte befinden sich im Anhang). 1

O

k º ª « d hy » 2,51 » 2 log «  « Re˜ O 3,71 » « » ¬ ¼

ª 2,51 H º 2 log «  » ¬ Re˜ O 3,71¼

(4.7)

Analytisch löst man die Gleichung (4.7) iterativ, d. h. durch Schätzung eines Startwertes. Durch Vernachlässigung des Re-Terms im 1. Iterationsschritt ist die Gleichung analytisch eindeutig lösbar. Mit dem so ermittelten Wert für den Widerstandsbeiwert besteht im 2. Iterationsschritt die Möglichkeit, nun auch den Re-Term zu berechnen. Wiederholt man jetzt Schritt 2, so erhält man zumeist auf 4 Nachkommastellen genau den exakten Widerstandsbeiwert.

Schritt 1 :

Schritt 2 :

Schritt 3 :

1

O1

1

O2

1

O3

ª k º «d » hy » 2 log « « 3,71 » « » ¬ ¼

ª H º 2 log « » ¬ 3,71¼

k º ª « » d 2,51 hy » 2 log «  « Re˜ O1 3,71 » « » ¬ ¼ k º ª « » d 2,51 hy » 2 log «  « Re˜ O2 3,71 » « » ¬ ¼

ª 2,51 H º 2 log «  » ¬« Re˜ O1 3,71¼»

(4.7)

ª 2,51 H º 2 log «  » ¬« Re˜ O2 3,71¼»

Eine weitere, hier nicht verfolgte Möglichkeit zur Bestimmung des Widerstandsbeiwertes bietet das grafische Verfahren nach Mock mit den sogenannten Mock-Diagrammen.

4.2 Rohrhydraulik Beispiel 39 – Auslauf eines Behälters über ein Rohrleitungssystem

Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem

90

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Behälter ist eine Rohrleitung gemäß Zeichnung angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Die Rohrleitung ragt weit ins Innere des Behälters hinein und ist kantig, normal gebrochen, weiterhin ist die Leitung unterteilt in insgesamt 5 Teilstrecken L1 bis L5 und verfügt über 4 Krümmer (90°-Kr.), wobei für Kr1 gilt r = 2d sowie für die Krümmer Kr2 bis Kr4 r = d. Alle Krümmer verfügen über eine glatte Oberfläche. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³], die äquivalente Rauhigkeit des Rohres beträgt k = 1 [mm]. Gesucht: austretende Wassermenge sowie der Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für reale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafisch. RWS

Position 2

Position 1

Behälter 0

L1 = 3,90 [m] hD0 = 3,80 [m]

Position 3

L3 Kr2

L2 = 2,20 [m]

DN 200

Kr3

L3 = 1,00 [m] L4 = 1,20 [m] L5 = 1,40 [m]

L4 L2

Kr4

L1

L5

Auslauf ins Freie!

Kr1 z0 = 2,10 [m] = z1

z3 = 3,40 [m] z2 = 5,40 [m]

Bezugshorizont

Bezugshorizont

Lösung 39 – Rohrleitung mit konstantem Querschnitt

Die Energiehöhe für reale Flüssigkeiten verringert sich aufgrund von Reibungsverlusten auf dem Fließweg durch das Rohrleitungssystem. Für den Ausgangszustand im Behälter gilt mit v0  0 [m/s]: hE0 z 0  hD0 2,10  3,80 5,90 m Am Ende des Rohrleitungssystems hat sich die Ausgangsenergiehöhe hE0 um die Summe aller Verluste auf dem Fließweg reduziert, für die Energiehöhe hE3 gilt mit hD3 = 0: hE3

z3 

v2 2g

hE0  6hv Ÿ

'h

hE 0  z 3

v2  6hv 2g

Um aus dieser Gleichung die Fließgeschwindigkeit im Inneren der Rohrleitung berechnen zu können, wird nun in erster Näherung mit der äquivalenten Rauhigkeit der 1-Wert berechnet:

4.2 Rohrhydraulik

91

Schritt 1: ª º k 2 log « » «¬ d hy ˜ 3,71 »¼

1

O1

ª 1 º 2 log « » ¬ 200 ˜ 3,71 ¼

O1

5,74081

0,030343

Nunmehr ist die Geschwindigkeit in der ersten Näherung zu bestimmen, es gilt für die Summe aller Verluste am Rohrende: v2 2g

6hv

6L º ª «] ein  ] Kr1  3 ˜ ] Kr 2  O1 ˜ d » ¬ ¼

und damit für die Fließgeschwindigkeit: 'h ˜ 2 g

v

1 + ] ein + ] Kr1 + 3 ˜ ] Kr2  O1 ˜

6L d

Mit den weiteren Werten für die örtlichen Verluste aus dem Anhang:

] ein

0,6

] Kr1 (r

2d )

] Kr 2 ( r

0,14

d)

0,21

und der Summe der geraden Rohrelemente L1  L2  L3  L4  L5

L

9,70 m

berechnet sich die Fließgeschwindigkeit aus der verminderten Energiehöhe hE3 am Ende der Rohrleitung wie folgt:

5,90  3,40 ˜ 2 g

v

1 + 0,6 + 0,14 + 3 ˜ 0,21  0,030343 ˜

9,70 0,20

49,0333 3,8416

3,573

m s

Mit dieser Geschwindigkeit lassen sich nunmehr die Re-Zahl und somit der 2. und 3. Iterationsschritt für die -Werte durchführen. Re

v ˜ d hy

Q

3,573 ˜ 0,20 1,31 ˜10

6

5,454 ˜10 5 >@

Schritt 2: 1

O2 1

O2

ª 2,51 º k 2 log «  » «¬ Re˜ O1 d hy ˜ 3,71 »¼ 5,72395 Ÿ

O2

ª º 2,51 1 2 log «  » 5 «¬ 5,454 ˜10 ˜ 0,030343 200 ˜ 3,71 »¼

0,030522

Schritt 3: 1

O3 1

O3

ª 2,51 º k 2 log «  » «¬ Re˜ O2 d hy ˜ 3,71 »¼ 5,72400 Ÿ

O3

ª º 2,51 1 2 log «  » «¬ 5,454 ˜10 5 ˜ 0,030522 200 ˜ 3,71 »¼

0,030521

92

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Der Widerstandsbeiwert ist auf 4 Nachkommastellen genau genug bestimmt worden, alternativ könnte er auch direkt aus dem Moody-Diagramm (vergl. Anhang) abgelesen werden. Mit 3 wird die Geschwindigkeit nun neu berechnet:

5,90  3,40 ˜ 2 g

vneu

1 + 0,6 + 0,14 + 3 ˜ 0,21  0,030521 ˜

9,70 0,20

49,0333 3.8503

3,569

m s

Die Veränderung der von der Geschwindigkeit ebenfalls abhängigen Re-Zahl bewirkt allerdings keine weiter Veränderung des Widerstandsbeiwertes, und v sind damit hinreichend genau bestimmt worden. Über den konstanten Durchmesser der Rohrleitung und die zuvor neu berechnete Geschwindigkeit lässt sich nun der Volumenstrom bestimmen: Q

v neu ˜ A

3,569 ˜

S ˜ 0,20 2 4

0,112

m3 s

Wegen des gleich bleibenden Querschnitts ist die Fließgeschwindigkeit v = v1 = v2 = v3, d. h. auch konstant, die Geschwindigkeitshöhe beträgt damit: vneu 2 2g

3,569 2 2g

0,649 m

Zur Bestimmung des Energiehöhenverlaufs nutzt man nun die Anfangsbedingung hE0 und arbeitet sich unter Berücksichtigung der Teilverlusthöhen hv1 bis hv3 bis zum Ende der Rohrleitung vor. hE1

hE0  6hv1

hE1

5,90  0,776

h E2 hE2 hE3 hE3

vneu 2 2g 5,124 m

hE0 

L1 º ª «] ein  O3 ˜ d » ¼ ¬

v 2ª L  L2  L3 º hE0  neu «] ein  ] Kr1  ] Kr 2  O3 ˜ 1 » 2g ¬ d ¼ 5,90  1,320 4,580 m hE0  6hv2

v 2ª 6L º hE0  neu «] ein  ] Kr1  3 ˜ ] Kr 2  O3 ˜ » d ¼ 2g ¬ 5,90  1,851 4,049 m hE0  6hv

Druckhöhe in Position 1: hD1

v2 hE1  z1  neu 2g

5,124  2,10  0,649

2,375 m

in Position 2: hD2

v 2 hE2  z 2  neu 2g

4,580  5,40  0,649

1,470 m (Unterdruck!)

4.2 Rohrhydraulik

93

Kontrolle in Position 3: hD3

v 2 hE3  z 3  neu 2g

4,049  3,40  0,649

0,00 m

Wichtiger Hinweis! Unter der Annahme, dass am Ende der Rohrleitung kein Austrittsverlust auftritt (aus = 0), ist der Strahlinnendruck bereits vor dem Rohrende null! Grafischer Verlauf der Energieanteile: RWS

hydrostatische Druckhöhe hstat = 5,90 [m] 0,776 [m] 0,649 [m]

hD0 = 3,80 [m] + 2,375 [m]

1,851 [m] Verlusthöhe hv Energielinie hE 0,649 [m] Geschwindigkeitshöhe hkin 1,320 [m] h = 0 D3 Drucklinie hD 0,649 [m]  1,475 [m] geod. Höhe z

z0 = 2,10 [m] = z1

Bezugshorizont

z3 = 3,40 [m] z2 = 5,40 [m]

Bezugshorizont

Zur exakten Berechnung des hier nur qualitativ dargestellten Energielinienverlaufs sind detaillierte Ermittlungen der zunehmenden Verluste hv durchzuführen. Sie beginnen mit der lokalen Störstelle am Einlauf und werden dann ergänzt um den kontinuierlichen Verlust in der Strecke L1, gefolgt von dem ersten Krümmer, bis hin zur Summe aller Verluste auf der Fließstrecke am Ende (jedoch noch im Inneren der Rohrleitung). Dieser Verlauf ist durch vertikale Sprünge und durch unterschiedlich geneigte Linien gekennzeichnet. Beispiel 40 – Behälterauslauf über ein Rohrleitungssystem unterschiedlicher Nennweiten

Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem Behälter ist gemäß Zeichnung eine Rohrleitung in unterschiedlichen Durchmessern ø1 = 0,60 [m] und ø2 = 0,25 [m] mit einer äquivalenten Rauhigkeit k = 0,4 [mm] angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Für den Übergang zwischen den unterschiedlichen Nennweiten ist ein Reduzierstück (Red) mit einer konischen Verengung (D = 30°) vorgesehen. Der Einlauf vom Behälter in die Rohrleitung ist kantig und normal gebrochen, die 4 Krümmer (90°-Kr.) sind von glatter Oberfläche, für Kr1 ist r = 2d, für die übrigen Krümmer gilt r = d. Für den Auslauf gilt ]Aus = 1,00 [–]. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³].

94

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide RWS DN 250

DN 600 Position 1

Behälter 0

Position 2

Position 3

L1 = 2,30 [m] L2 = 1,00 [m]

L4

Kr2

L3 = 2,20 [m]

Kr3

L4 = 1,00 [m] L5

L5 = 1,20 [m]

L3

L6 = 1,40 [m] L1

Q

Kr4

L2

= 98 [l/s] Auslauf ins Freie!

L6 Kr1

Red z3 = 3,10 [m]

z0 = 1,95 [m] = z1 z2 = 5,00 [m]

Bezugshorizont

Bezugshorizont

Gesucht: Berechnung der Widerstandsbeiwerte in grober Näherung (Schritt 1) und grafische Verbesserung mittels Moody-Diagramm, Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für reale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafische Darstellung. Lösung 40 – Rohrleitung mit veränderlichen Querschnitten

Am Ende des Rohrleitungssystems hat sich die Ausgangsenergiehöhe hE = hE0 um die Summe aller Verluste auf dem Fließweg reduziert, für die Energiehöhe hE gilt mit hD3 = 0: hE

hE3  6hv

v 2 z3  2  6hv 2g

Die Verluste auf dem Fließweg ergeben sich als Summe der Teilverluste: 6hv

6hv1  6hv 2

v12 v2 ˜ 6] v1  2 ˜ 6] v 2 2g 2g

Zur Lösung sind sowohl die unterschiedlichen lokalen und kontinuierlichen Verluste als auch die unterschiedlichen Geschwindigkeiten im Vorfeld zu bestimmen, Widerstandsbeiwerte im Schritt 1: 1

O1 1

O2

ª º k 2 log « » ¬« d hy ˜ 3,71¼»

ª 0,4 º 2 log « » ¬ 600 ˜ 3,71¼

7,49093

Ÿ

O1

0,01782

ª º k 2 log « » ¬« d hy ˜ 3,71 ¼»

ª 0,4 º 2 log « » ¬ 250 ˜ 3,71 ¼

6,73051

Ÿ

O2

0,02208

0,0226 0,0200

2320

 [mm] 0,25 0,025 0,0025 0,0025 0,15 3,0 0,1 0,5 0,025 1,0

1,59·105

3,81·10

5

Moody - Diagramm

vollkommnen Turbulent

Widerstandsbeiwerte nach Prandtl-Colebrook (nach [3])

laminar turbulent Material Magerbeton Frischbeton, weich gezogenes Rohr Glas, Plastik, Plexiglas Eisenguss Kanalisation, alt Stahl mit Schleuderbeton Stahl, verrostet Stahl, geschmiedet Wasserleitungen, alt

laminare Strömung 64/Re

kritischer Übergangsbereich

hydraulisch glatt

6,67·10-4

1,60·10-3

4.2 Rohrhydraulik 95

Bestimmung der -Werte mittels Moody-Diagramm (Iterationsschritte 2 und 3):

96

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Zur Verwendung des Moody-Diagramms ist sowohl die Bestimmung der Reynoldszahlen als auch der relativen Rauhigkeiten erforderlich. Rohrquerschnitte: A1

S ˜ d12

S ˜ 0,60 2

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,252

4

4

A2

0,283 m 2 0,049 m 2

Geschwindigkeiten: m3 s 0,283 m 2

0,098

Q A1

Ÿ v1

Q A2

Ÿ v2

0,347

m s

1,996

m s

m3 s 0,049 m 2

0,098

Eingangswerte für das Moody-Diagramm, Reynoldszahlen und relative Rauhigkeiten: v1 ˜ d hy1 0,347 ˜ 0,60 0,4 k H1 1,587 ˜ 105 >@ 6,67 ˜ 10- 4 >@ Re1  6 Q d hy1 600 1,31 ˜ 10 Re 2

v2 ˜ d hy 2

1,996 ˜ 0,25

Q

1,31 ˜ 10

6

3,810 ˜ 105 >@

H2

k d hy 2

0,4 250

1,60 ˜ 10 -3 >@

Die Ablesewerte für die Widerstandsbeiwerte sind auf der vorangegangen Seite in das Diagramm bereits eingetragen, sie lauten: O1neu 0,0200 []

O2 neu

0,0226 []

Mit den Geschwindigkeitshöhen, v12 2g

0,347 2 2g

0,006 m

den lokalen Verlusten, ] ein 0,25

] Red | 0

v22 2g

und

1,996 2 2g

] Kr1 (r

2d )

0,203 m

0,14

] Kr 2 (r

d)

0,21

und den Teilsummen der geraden Rohrleitungselemente 6L1

L1

2,30 m

6L2

L2  L3  L4  L5  L6

6,80 m

lässt sich nun die Summe aller Verluste berechnen: 6hv

v12 2g

· § 6L 6L · v 2 § ˜ ¨¨ ] ein  O1neu ˜ 1 ¸¸  2 ˜ ¨¨ ] Kon  ] Kr1  3 ˜ ] Kr 2  O2 neu ˜ 2  ] aus ¸¸ d1 ¹ 2 g © d2 ¹ ©

4.2 Rohrhydraulik

97

§ · § 2,30 · 6,40 0,006 ˜ ¨¨ 0,25  0,0200 ˜  1,00 ¸¸ ¸¸  0,203 ˜ ¨¨ 0  0,14  3 ˜ 0,21  0,0226 ˜ 0,60 ¹ 0,20 © ¹ © 0,487 m

6hv 6hv

Nunmehr lässt sich auch die Ausgangsenergiehöhe unter Nutzung der Randbedingung hD3 = p3/(·g) = 0 [m] lösen: z3 

hE 0

v2 2  6hv 2g

3,10  0,203  0,487

3,790 m

Mit dieser Energiehöhe lässt sich die Druckhöhe (Wasserspiegel) sowohl im Behälter (Position 0) mit der Randbedingung v0 = 0 [m/s] ermitteln: hD0 hE0  z 0 3,790 m  1,95 m 1,840 m als auch in Position 1: hE  z1 

hD1

v12 § L · v2 § L · ¨¨ ] ein  O1 ˜ 1 ¸¸  2 ¨¨1  ] Re d  O2 ˜ 2 ¸¸ neu neu d1 ¹ 2 g © d2 ¹ 2g ©

2,30 · 1,00 · § § 3,790  1,95  0,006 ˜ ¨¨ 0,25  0,0200 ˜ ¸¸  0,203 ˜ ¨¨1  0  0,0226 ˜ ¸ 0,60 ¹ 0,25 ¸¹ © © 1,616 m

hD1 hD1

in Position 2: hD2

v2 § L · hE  z 2  1 ¨¨ ] ein  O1neu ˜ 1 ¸¸ d1 ¹ 2g © L  L3  L4 · v2 § ¸¸  2 ¨¨1  ] Re d  ] Kr1  ] Kr 2  O2 neu ˜ 2 d2 2g © ¹

hD 2

hD 2

§ 2,30 · 3,790 m  5,00 m  0,006 ˜ ¨¨ 0,25  0,0200 ˜ ¸ 0,60 ¸¹ © § 1,00  2,20  1,00 ·  0,203 ˜ ¨¨1  0  0,14  0,21  0,0226 ˜ ¸¸ 0,25 © ¹ 1,564 m Unterdruck!

und in Position 3: hD3

hE 

v22  z3  6hv 2g

3,790  0,203  3,10  0,487

0m

Zum exakten Verlauf der Energiehöhe wird ergänzend der komplette Verlauf der Verlusthöhenzunahme analytisch in folgender Reihenfolge ermittelt: 1. örtlicher Einlaufverlust 2.

wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L1

3.

wie zuvor, plus örtlicher Verlust am konzentrischen Reduzierstück (Red)

98

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide 4.

wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L2

5.

wie zuvor, plus örtlicher Verlust am Krümmer Kr1

6.

wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L3

7.

wie zuvor, plus örtlicher Verlust am Krümmer Kr2

8.

wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L4

9.

wie zuvor, plus örtlicher Verlust am Krümmer Kr3

10. wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L5 11. wie zuvor, plus örtlicher Verlust am Krümmer Kr4 12. wie zuvor, plus kontinuierlicher Rohrverlust der Strecke L6 13. wie zuvor, plus örtlicher Austrittsverlust in Zahlen: hv1

v12 ˜ ] ein 2g

hv2

hv1 

v12 L ˜ O1neu 1 2g d1

hv3

hv 2 

v22 ˜ ] Kon 2g

hv4

hv3 

v22 L ˜ O2neu 2 2g d2

hv5

hv4 

v22 ˜ ] Kr1 2g

hv6

hv5 

L v22 ˜ O2 neu 3 2g d2

hv7

hv6 

v22 ˜ ] Kr2 2g

hv8

hv7 

v22 L ˜ O2 neu 4 2g d2

hv9

hv8 

v22 ˜ ] Kr3 2g

hv10

hv9 

0,0015 m

0,0020 m

0,0020 m

0,0204 m

0,0489 m

0,0893 m

0,1320 m

0,1504 m

0,1931 m

L v22 ˜ O2 neu 5 2g d2

0,2152 m

4.2 Rohrhydraulik

99

hv11

hv10 

v22 ˜ ] Kr4 2g

hv12

hv11 

L v22 ˜ O2 neu 6 2g d2

hv13

hv12 

v22 ˜ ] Aus 2g

0,2579 m

0,2836 m 6hv

0,4868 m

hv13= 0,4868 [m]

hv8 = 0,1504 [m] hv10 = 0,2152 [m] hv11 = 0,2579 [m]

hv4 = 0,0204 [m] hv6 = 0,0893 [m] hv7 = 0,1320 [m]

hv2 = 0,0020 [m] hv3 = 0,0020 [m]

hv1 = 0,0015 [m]

Grafischer Verlauf der Energieanteile:

hydrostatische Druckhöhe hstat = 4,090 [m]

hv5 = 0,0204 [m]

Energielinie hE

hD0 = 1,840 [m]

hv9 = 0,1931 [m]

hD2 = –1,564 [m]

RWS

hD1 = 1,616 [m]

z0 = 1,95 [m] = z1 Bezugshorizont

hD3 = 0

Drucklinie hD

z2 = 5,00 [m]

Verlusthöhe hv Geschwindigkeitshöhe hkin

z3 = 3,10 [m]

Bezugshorizont

Beispiel 41 – Rohrdurchfluss

Gegeben: ein Wasser-Hochbehälter mit konstantem Ausfluss und konstanter Wasserspiegellage. Die Fließgeschwindigkeit im Inneren des Behälters ist näherungsweise Null. An diesem Behälter ist gemäß Zeichnung eine Rohrleitung in unterschiedlichen Durchmessern ø1 = 0,30 [m] und ø2 = 0,31 [m] mit einer äquivalenten Rauhigkeit k = 1,5 [mm] angeschlossen, aus der das Wasser ins Freie auslaufen kann. Für den Übergang zwischen den unterschiedlichen Nennweiten ist eine konische Aufweitung (D = 8°) vorgesehen. Der Einlauf vom Behälter in die Rohrleitung ist kantig und normal gebrochen, für den Auslauf gilt ]Aus = 1,00 [-]. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³]. Gesucht: Verlauf der Energie-, Druck- und Geschwindigkeitshöhen für reale Flüssigkeiten in den Positionen 0 bis 3, analytisch und grafisch.

100

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide 20 Position 3

Position 1

15

Leitungsende

Position 2

Behälter 0

10 DN 350

DN300

Q = 0,98 [m³/s] Bezug

0 L1 = 3,54 [m]

L2 = 4,18 [m]

Lösung 41 – Auslauf über veränderliche Rohrquerschnitte

Die Verluste auf dem Fließweg ergeben sich als Summe der Teilverluste: 6hv

6hv1  6hv 2

v12 v2 ˜ 6] v1  2 ˜ 6] v 2 2g 2g

Kontinuierliche Verluste im Rohr 1 (Schritt 1): ª º k » 2 log « «¬ d hy1 ˜ 3,71 »¼

1

O1

ª 1,5 º 2 log « » ¬ 300 ˜ 3,71 ¼

5,74081

O1

0,030343

Schritt 2: A1 1

O2 1

O2

S˜

2 d hy

1

4

0,071 m 2

v1

Q A1

ª 2,51 º k » 2 log «  «¬ Re1˜ O1 d hy1 ˜ 3,71 »¼ 5,73789

O2

13,864

m 2

Re1

v1 ˜ d hy1

X

3,175 ˜10 6

ª 2,51 1,5 º 2 log «  » «¬ 3,175 ˜10 6 ˜ 0,030343 300 ˜ 3,71 »¼

0,030374

Schritt 3: 1

O3 1

O3

ª 2,51 º k » 2 log «  «¬ Re1 ˜ O2 d hy1 ˜ 3,71 »¼ 5,73789

O3

ª 2,51 1,5 º 2 log «  » 6 ¬« 3,175 ˜10 ˜ 0,030374 300 ˜ 3,71 ¼»

0,030374

4.2 Rohrhydraulik

101

Kontinuierliche Verluste im Rohr 2 (Schritt 1): 1

O1

ª º k 2 log « » «¬ d hy2 ˜ 3,71 »¼

ª 1,5 º 2 log « » ¬ 350 ˜ 3,71 ¼

O1

5,76929

0,030044

Schritt 2: A2 1

O2 1

O2

S˜

2 d hy

2

4

0,075 m 2

v2

Q A2

ª 2,51 º k » 2 log «  «¬ Re 2 ˜ O1 d hy 2 ˜ 3,71 »¼

O2

5,76616

12,984

m 2

Re 2

v2 ˜ d hy2

X

3,073 ˜10 6

ª 2,51 1,5 º 2 log «  » «¬ 3,073 ˜10 6 ˜ 0,030044 310 ˜ 3,71 »¼

0,030076

Schritt 3: 1

O3 1

O3

ª 2,51 º k » 2 log «  «¬ Re 2 ˜ O2 d hy 2 ˜ 3,71 »¼

O3

5,76616

ª 2,51 1,5 º 2 log «  » 6 ¬« 3,073 ˜10 ˜ 0,030076 310 ˜ 3,71 ¼»

0,030076

Die Widerstandsbeiwerte der Rohre lauten damit: Rohr 1 – 1 = 0,030374 Rohr 2 – 2 = 0,030076 Im ersten Rohr beträgt die von der Geschwindigkeitshöhe abhängige Summe der Zeta-Werte: L 3,54 6] 1 ] Ein  O1 ˜ 1 0,25  0,030374 ˜ 0,608 > @ d1 0,30 Im benachbarten Rohr lautet die Summe der Zeta-Werte: 6] 2

] Kon  O2 ˜

L2  ] Aus d2

2

ª A º L c Kon «1  2 »  O2 ˜ 2  ] Aus A d 1¼ 2 ¬

Für die konzentrische Aufweitung wird gemäß Anhang ein Wert für cRed (D = 8°) zwischen 0,15 und 0,20 vorgeschlagen, gewählt cRed = 0,175. 2

6] 2

ª 0,075 º 4,18  0,030076 ˜  1,00 1,406 >@ 0,175 ˜ «1  » 0,31 ¬ 0,071 ¼

Nunmehr ist die Gesamtverlusthöhe am Ende des Rohres 2 berechenbar: 6hv

v12 v2 ˜ 6] 1  2 ˜ 6] 2 2g 2g

13,864 2 12,984 2 ˜ 0,608  ˜1,406 18,051 m 2g 2g

102

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Die Anfangs-Energiehöhe hE = hE0 im Behälter lautet unter den Bedingungen z0 = 0 und v0 = 0: hE

hE0

v2 2  6hv 2g

12,984 2  18,051 26,647 m 2g

Die Drückhöhe im Behälter (Position 0) beträgt ebenfalls wegen z0 = 0 und v0 = 0: hD0 hE0 26,647 m Druckhöhe in Position 1 (hd1 steht für den Anfangswert): hd1

v2 13,864 2 hE0  1 ˜ 1  ] Ein 26,647  ˜ 1  0,25 14,396 m 2g 2g

hD1

v2 13,864 2 hE0  1 ˜ 1  6] 1 26,647  ˜ 1  0,608 10,884 m 2g 2g

Druckhöhe in Position 2: v12 v2 ˜ 6] 1  2 ˜ 1  ] Kon 2g 2g

hD 2

hE0 

hD2

26,647 

13,864 2 12,984 2 ˜ 0,608  2g 2g

2 § ª 0,075 º ·¸ 12,081 m ˜ ¨1  0,175 ˜ «1  ¨ 0,071 »¼ ¸ ¬ © ¹

Druckhöhe in Position 3 (hd3 steht für den Anfangswert): v12 v2 ˜ 6] 1  2 2g 2g

hd3

hE0 

hd 3

26,647 

hD3

hE0 

hD3

26,647 

2 § ª A º L ˜ ¨¨1  c Kon «1  2 »  O2 ˜ 2 d2 ¨ ¬ A1 ¼ ©

13,864 2 12,984 2 ˜ 0,608  ˜1,406 8,596 m 2g 2g

v12 v2 ˜ 6] 1  2 ˜ 1  6] 2 2g 2g 12,984 2 13,864 2 ˜ 0,608  ˜ 2,406 2g 2g

Die Energiehöhe in Position 1: hE1

v12  hD1 2g

13,864 2  10,884 2g

v22  hD2 2g

12,984 2  12,081 20,677 m 2g

20,684 m

in Position 2: h E2

· ¸ ¸¸ ¹

0m

4.2 Rohrhydraulik

103

in Position 3: hE3

v22  hD3 2g

12,984 2  0 8,596 m 2g

Die Verluste im Detail: hv1

v12 ˜ ] ein 2g

hv2

hv1 

v12 L ˜ O1 1 2g d1

5,963 m

hv3

hv2 

v22 ˜ ] Kon 2g

5,970 m

hv4

hv3 

v22 L ˜ O2 2 2g d2

hv5

hv4 

v22 ˜ ] Aus 2g

2,450 m

9,455 m

18,051 m

6hv

Energielinie

0

hD2 = 12,081 [m]

hD1 = 10,884 [m]

10

hd1 = 14,396 [m]

Drucklinie

Bezug

hD3 = 0 hkin2 = 8,596 [m] hv5 = 18,051 [m]

hydrostatische Drucklinie hd3 = 8,596 [m] hkin2 = 8,596 [m] h = 9,455 [m] v4

hv2 = 5,963 [m]

hkin2 = 8,596 [m] hv3 = 5,970 [m]

15

hkin1 = 9,800 [m]

20

hkin1 = 9,800 [m]

25

hv1 = 2,45 [m]

Grafischer Verlauf der Energieanteile (es ist die Indexschreibweise hdi und hDi zu beachten): 30

104

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Beispiel 42 – Rohrdurchfluss

Gegeben: druckgefülltes Rohrleitungssystem mit konstantem Durchfluss gemäß Zeichnung. Im Rohr 2 werden mit einem Prandtl-Standrohr (Pitotrohr) im Druckrohr ein Wasserspiegel sowie im Staudruck die Summe aus Geschwindigkeitshöhe und statischem Druck abgelesen. Die Übergänge zwischen den verschiedenen Nennweiten erfolgen durch plötzliche Verengungen und Erweiterungen. Die äquivalente Rauhigkeit der Rohre beträgt einheitlich k = 1 [mm]. Die spezifische Dichte des Fluids beträgt  = 1000 [kg/m³]. Gesucht: Für die dargestellte Rohrleitung ist der Durchfluss Q zu ermitteln und der Energieund Drucklinienverlauf für reale Flüssigkeiten grafisch darzustellen. hE

hydrostatische Druckhöhe Prandtl-Staurohr

Q hE2 = 4,50 [m]

v

hD2 = 3,75 [m] d1 = DN 200

d3 = DN 175

d2 = DN 150

L2 = 0,75 [m] L1 = 3,54 [m]

L3 = 3,75 [m]

L4 = 3,50 [m]

Lösung 42 – Rohrdurchfluss über veränderliche Querschnitte

Rohrquerschnitte: A1 A2 A3

S ˜ d12

S ˜ 0,20 2

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,15 2

4

4

S ˜ d 32

S ˜ 0,175 2

4

4

0,031 m 2 0,018 m 2 0,024 m 2

Geschwindigkeit v2 aus dem Prandtl-Staurohr: hkin2 v2

v22 2g

hE2  hD2

0,75 ˜ 2 g

3,835

4,50  3,75 m 2

0,75m

4.2 Rohrhydraulik

105

Weitere Geschwindigkeiten bzw. Geschwindigkeitshöhen folgen aus Konti: Q

v2 ˜ A 2 3,835 ˜ 0,031 0,068

v1

Q A1

v12 2g

0,068 0,031

2,517 2 2g

2,157

m s

0,237 m

m3 s

und

v3

Q A3

und

v32 2g

2,818 2 2g

0,068 0,024

2,818

m s

0,405 m

Zur Bestimmung der fehlenden Druckhöhen nutzt man die Energiehöhe in der Position des Pitotrohres. Die geodätische Höhe wurde wegen des horizontalen Verlaufs des Rohrleitungssystems für alle Positionen zu null gewählt. Hierzu sind im Vorfeld alle drei Widerstandsbeiwerte zu bestimmen. Rohr 1 (Schritt 1): 1

O1

º ª k 2 log « » «¬ d hy1 ˜ 3,71 »¼

ª 1,0 º 2 log « » ¬ 200 ˜ 3,71 ¼

5,74081

O1

0,030343

Schritt 2: Re1 1

O2 1

O2

v1 ˜ d hy1

X

3,294 ˜10 5

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re1 ˜ O1 d hy1 ˜ 3,71 »¼

O2

5,71306

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » 5 «¬ 3,294 ˜10 ˜ 0,030343 200 ˜ 3,71 »¼

0,030638

Schritt 3: 1

O3 1

O3

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re1˜ O2 d hy1 ˜ 3,71 »¼

O R1

5,71319

O3

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » «¬ 3,294 ˜105 ˜ 0,030638 200 ˜ 3,71 »¼ 0,030637

Rohr 2 (Schritt 1): 1

O1

ª º k 2 log « » «¬ d hy2 ˜ 3,71 »¼

Schritt 2: Re 2

v2 ˜ d hy2

X

4,392 ˜10 5

ª 1,0 º 2 log « » ¬150 ˜ 3,71 ¼

5,49093

O1

0,033167

106

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide 1

O2 1

O2

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re 2 ˜ O1 d hy 2 ˜ 3,71 »¼

O2

5,47589

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » 5 ¬« 4,392 ˜10 ˜ 0,033167 150 ˜ 3,71 ¼»

0,033350

Schritt 3: 1

O3 1

O3

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re 2 ˜ O2 d hy 2 ˜ 3,71 »¼

O R2

5,475933

O3

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » 5 ¬« 4,392 ˜10 ˜ 0,033350 150 ˜ 3,71 ¼»

0,033349

Rohr 3 (Schritt 1): 1

O1

ª º k 2 log « » ¬« d hy3 ˜ 3,71 ¼»

ª 1,0 º 2 log « » ¬175 ˜ 3,71 ¼

5,62482

O1

0,031607

Schritt 2: Re 3 1

O2 1

O2

v3 ˜ d hy3

X

3,764 ˜10 5

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re 3 ˜ O1 d hy 3 ˜ 3,71 »¼

O2

5,60393

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » 5 «¬ 3,764 ˜10 ˜ 0,031607 175 ˜ 3,71 »¼

0,031843

Schritt 3: 1

O3 1

O3

º ª 2,51 k » 2 log «  «¬ Re 3 ˜ O2 d hy 3 ˜ 3,71 »¼

O R3

5,60400

O3

ª 2,51 1,0 º 2 log «  » 5 «¬ 3,764 ˜10 ˜ 0,031843 175 ˜ 3,71 »¼ 0,031842

Die Widerstandsbeiwerte der Rohre lauten damit: Rohr 1 – R1 = 0,030637 Rohr 2 – R2 = 0,033349 Rohr 3 – R3 = 0,031842 Die kontinuierlichen Verlusthöhen in den Rohren betragen: hv1

v12 L ˜ O R1 ˜ 1 2g d1

2,157 2 3,45 ˜ 0,030637 ˜ 2g 0,20

0,129 m

4.2 Rohrhydraulik

107

hv 2

v 22 L ˜ O R2 ˜ 2 d2 2g

3,835 2 0,75 ˜ 0,033349 ˜ 2g 0,15

0,125 m

hv3

L v22 ˜ O R2 ˜ 3 d2 2g

3,835 2 3,75 ˜ 0,033349 ˜ 2g 0,15

0,625 m

hv 4

v32 L ˜ O R3 ˜ 4 2g d3

2,818 2 3,50 ˜ 0,031842 ˜ 2g 0,175

0,276 m

Die lokalen Verlusthöhen an den plötzlichen Querschnittsänderungen ergeben sich zusammen mit den in Fließrichtung nachgeschalteten Geschwindigkeitshöhen (vergl. Anhang): 2

hvVer

§ A · v22 ˜ cVer ˜ ¨¨1  2 ¸¸ 2g A1 ¹ ©

hvErw

§ v32 A · ˜ c Erw ˜ ¨¨1  3 ¸¸ 2g © A2 ¹

§ 0,018 · 3,835 2 ˜ 0,45 ˜ ¨¨1  ¸¸ 2g © 0,031 ¹ 2

§ 0,024 · 2,818 2 ˜1,1 ˜ ¨¨1  ¸¸ 2g © 0,018 ¹

0,065 m

0,058 m

Für die plötzlichen Querschnittsveränderungen werden gemäß Anhang Werte für cVer zwischen 0,4 und 0,5 vorgeschlagen, gewählt cVer = 0,45, sowie für die Erweiterung Werte zwischen 1,1 und 1,2, gewählt cErw = 1,1 [–]. Der Verlauf der Verlusthöhen im Detail: 6hv1 hv1 0,129 m 6hv2

6hv1  hvVer

0,129  0,065

6hv3

6hv2  hv 2

6hv4 6hv5

6hv3  hv3 0,318  0,625 0,944 m 6hv4  hv Erw 0,944  0,058 1,002 m

6hv6

6hv5  hv 4

0,193  0,125

0,193 m 0,318 m

1,002  0,276 1,278 m

Grafischer Verlauf der Energiehöhenanteile

hkin2 = 0,750 [m] hE0 = 4,818 [m]

E-Linie D-Linie hkin3 = 0,750 [m]

1,278 [m]

hydrostatische Druckhöhe 1,002 [m]

6hv3 = 0,318 [m]

0,944 [m]

0,193 [m]

hkin1 = 0,237 [m]

0,129 [m]

hE = 4,818 [m]

hE2 = 4,50 [m] hD2 = 3,75 [m]

hE3 = 3,540 [m]

108

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

4.3 Gerinnehydraulik Anmerkung: Betrachtet wird stets ein gleichförmiger Abfluss (Normalabfluss), in dem die Geschwindigkeit zu jeder Zeit und an jedem Ort des Fließweges konstant ist. Das Gefälle der Energielinie, des Wasserspiegels und der Sohle ist gleich. Das Fließgewässer ist rückstaufrei und es gilt die Manning-Strickler-Gleichung! Beispiel 43 – Fließgesetze

Gegeben: Ein Fließgewässer im symmetrischen Trapezprofil, die Sohlbreite beträgt b = 7,00 [m] und die Böschungsneigung 1:m = 1:1. Die Wassertiefe im Gerinne beträgt h = 2,85 [m]. Das Sohlengefälle ist ISo = 0,35 ‰, die Wandrauhigkeit des Gewässers entspricht einem natürlichen Flussbett mit fester Sohle und ohne Unregelmäßigkeiten kSt = 40 [m1/3/s] (vergl. Anhang). Gesucht: Es ist die Durchflussmenge nach der Gleichung von Manning-Strickler, dem vereinfachten Fließgesetz sowie dem universellen Fließgesetz zu bestimmen. ISo

RWS

1:m

kSt

h

b Lösung 43 – Fließgesetze

Geometrische Größen des Trapezprofils: A b ˜ h  m ˜ h2 lU rhy

7,00 ˜ 2,85  1 ˜ 2,85 2

b  2h ˜ 1  m 2 A lU

28,073 m 2

7,00  2 ˜ 2,85 ˜ 1  12

28,073 1,864 m 15,061

d hy

15,061 m

4 ˜ rhy

7,456 m

Fließgeschwindigkeit nach der Manning-Strickler Gleichung: 2

v

1

k St ˜ rhy3 ˜ I E2

2

1

40 ˜1,864 3 ˜ 0,00035 2

1,113

m s

Q

v ˜ A 31,817

m3 s

Nach dem vereinfachten Fließgesetz und einem Formbeiwert f nach der Marchi-Definition (nach [11]) gilt parallel:

4.3 Gerinnehydraulik

1

O

109 1

· § k ¸ 2 ˜ log¨ ¨ f ˜ d hy ˜ 3,71 ¸ ¹ ©

f

§ rhy 1,130 ˜ ¨¨ © b

·4 h ¸ mit  1 ¸ b ¹

Trapez

Die Umrechnung geeichter Strickler-Beiwerte in absolute Rauigkeitsbeiwerte liefert mit folgender Gleichung nur bei relativ glatten Wänden und kSt > 35 m1/3/s zuverlässige Werte [1]:

25,68 k St

1 § ¨ 2 m ¨ 25,68 ¨ s ¨ k St ¨ ¨ ©

1 m2

s

Ÿ

1 k6

k

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

6

Diese Gleichung gilt im Bereich 10 < rhy/k < 100, wenn die relative Rauheit rhy/k kleiner 10 wird, sollte eher mit nachfolgender, in DIN EN 752-4 vorgeschlagener Umrechnung gearbeitet werden (k ist umrechnungsbedingt1 im Ergebnis dimensionslos, entspricht jedoch der Einheit [m]). Bei Werten für rhy/k größer 100 ist der Einfluss der Reynoldszahl zu beachten, d. h. es müsste mit dem Ansatz von Prandtl-Colebrook für den hydraulischen Übergangsbereich gerechnet werden. m s ˜ log ª14,84 ˜ rhy º « » k rhy ¬ ¼

17, 72 k St

6

Ÿ

k

10

6 1 ª º kSt ˜ rhy log «14,84 ˜ rhy » ˜ m ¬ ¼ m 17,72 s

˜ [ m]

Im Beispiel liefert das Verhältnis rhy/k einen Wert von 26,621, sodass nach der Umrechnung gemäß [1] vorgegangen wird:

k

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

f

§ rhy 1,130 ˜ ¨¨ © b

·4 ¸ ¸ ¹

1

O

1

6

1 § ¨ 2 ¨ 25,68 m ¨ s ¨ k St ¨ ¨ ©

§ 25,68 · ¸ ¨ © 40 ¹

6

0,070 m mit

1

26,621

k

1

§ 1,864 · 4 1,130 ˜ ¨¨ ¸¸ © 7,00 ¹

0,070 · § 2 ˜ log¨¨ ¸¸ © 0,812 ˜ 7,456 ˜ 3,16 ¹

rhy

0,812 mit

h b

0,407  1

5,01212

Logarithmus kann lediglich aus dimensionsloser Zahl berechnet werden.

110

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Fließgeschwindigkeit nach Darcy-Weisbach: 1 ˜ 2 g ˜ d hy ˜ I E 5,01212 ˜ 2 g ˜ 7,456 ˜ 0,00035 v

O

Q

v ˜ A 31,831

1,134

m s

m3 s

Als Ergebnis nach dem universellen Fließgesetz in Kombination mit dem Formbeiwert nach der Marchi-Definition für Trapezgerinne erhält man: v

v

Q

ª º 2,51 ˜Q k » ˜ 2 g ˜ rhy ˜ I E  4 ˜ log « « 2 ˜ f ˜ d hy ˜ 2 g ˜ rhy ˜ I E f ˜ d hy ˜ 3,71» ¬ ¼ ª º 2,51 ˜1,31 ˜10 6 0,07 » 4 ˜ log «  « 4 0,812 ˜ 7,456 ˜ 3,71 » ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ g 2 0 , 812 7 , 456 2 1 , 864 3 , 5 10 ¬ ¼ m ˜ 2 g ˜1,864 ˜ 3,5 ˜10  4 1,134 s v ˜ A 31,827

m3 s

Fazit: Alle drei Ansätze liefern hier eine hervorragende Übereinstimmung! Beispiel 44 – Einheitlicher Strickler-Reibungsbeiwert im eingliedrigen Querschnitt Gegeben: Ein Parabelgerinne mit einem Öffnungsmaß a = 0,025 [m-1] und einer Normalwas-

sertiefe von hn= 1,70 [m] sowie einem Strickler-Beiwert kSt für ein Betongerinne mit geglätteter Betonoberfläche. Das Sohlengefälle beträgt ISo = 0,4 ‰. Gesucht: Es ist die Durchflussmenge mit dem Widerstandsbeiwert nach Manning-Strickler zu ermitteln. ISo

RWS

hn

Lösung 44 – Einheitlicher Strickler-Reibungsbeiwert

Geometrische Größen der Parabel: A

2 h3 3 a

b=

h = a

2 1,703 3 0,025

9,346 m²

1, 70 = 8, 246 m 0, 025

kSt

4.3 Gerinnehydraulik

111

lU

2 · § 4h 2 16h 2 §b· 2 b ˜ ln¨¨   1 ¸¸ ¨ ¸  4˜ h  8h ¨ b ¸ ©2¹ b2 ¹ ©

lU

2 · § 4 ˜ 1,70 2 16 ˜ 1,70 2 § 8,246 · 2 8,246 ˜ ln¨¨   1 ¸¸ ¨ ¸  4 ˜1,70  8 ˜ 1,70 ¸ ¨ 8,246 © 2 ¹ 8,246 2 ¹ ©

A

rhy

9,346 9,103

lU

1,027 m

d hy

Reibungsbeiwert nach Strickler: 8g 8g

O St

2 1/ 3 k St ˜ rhy

90

2

1 ˜1,027 3

4rhy

4,107 m

0,00960 []

Fließgeschwindigkeit nach Darcy-Weisbach: 1 1 ˜ 2 g ˜ d hy ˜ I E ˜ 2 g ˜ 4,107 ˜ 0,0004 v O St 0,00960 Q

v ˜ A 17,120

9,103 m

1,832

m s

m3 s

Zum Vergleich - Fließgeschwindigkeit nach der Manning-Strickler Gleichung: v

2 k St ˜ rhy3

1 ˜ I E2

2 90 ˜1,027 3

1 ˜ 0,0004 2

1,832

m s

Q

v ˜ A 17,1120

m3 s

Auch hier wird zwischen beiden Formeln eine gute Übereinstimmung erzielt. Beispiel 45 Unterschiedliche Rauheiten/Rauhigkeitsbeiwerte im eingliedrigen Querschnitt Gegeben: ein Parabelgerinne mit einem Öffnungsmaß a = 0,025 [m-1] und einer Normalwas-

sertiefe von hn= 1,70 [m]. Das Gerinne ist auf der linken Böschung mit einer Steinschüttung d90 = 350 [mm] und rechts mit Gras und Stauden versehen. Die Sohle besteht aus Feinkies bis hin zu sandigem Kies.

ISo

RWS

hn lU,Bö,li

lU,Bö,re

kSt,li

kSt,re lU,So – kSt,mi

112

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Der benetzte Umfang der Sohle in Flussmitte beträgt lU,So = 4,963 [m] und die Böschungen verfügen jeweils über einen benetzten Umfang von lU,Bö = 2,07 [m]. Das Sohlengefälle beträgt ISo = 0,4 ‰. Gesucht: Es ist die Abflussmenge für den Normalabfluss bei vorgegebener Wassertiefe hn nach dem universellen Fließgesetz und dem Ansatz von Manning-Strickler zu ermitteln. Lösung 45 – Unterschiedliche Rauheiten

Geometrische Größen der Parabel analog Beispiel 44: A 9,346 m²

b

8,246 m

6lu ,i

9,103 m

A 6lU

rhy , ges

1,027 m

Die Summe der teilbenetzten Strecken entspricht dem Wert des komplett benetzten Umfangs dieser Parabel. Aus dem Anhang wurden für die beschriebenen Beschaffenheiten von Böschungen und Sohle folgende Rauheiten ermittelt: k Bö, li 350 mm k So 30 mm k Bö, re 200 m a) Berechnung der Abflussmenge nach dem universellen Fließgesetz Zur Berechnung einer mittleren Fließgeschwindigkeit wird im ersten Berechnungsschritt eine mittlere Rauheit für den Querschnitt nach folgender Gleichung bestimmt: km



6 lU2 ,i ˜ k i



2,07 2 ˜ 0,35  4,9632 ˜ 0,03  2,07 2 ˜ 0,20

6lU2 ,i

0,093 m

2,07 2  4,9632  2,07 2

Der Widerstandsbeiwert vereinfacht sich bei der Berechnung von Fließgewässern dadurch, dass der Re-Term vernachlässigbar klein wird, daraus folgt dann: 1

O

§ km 2 ˜ log¨ ¨ 3,71 ˜ d hy ©

· ¸ ¸ ¹

§ km 2 ˜ log¨ ¨ 14,84 ˜ rhy ©

· ¸ Ÿ O ¸ ¹

1 ª §k «2,343  2 ˜ log¨ m ¨ rhy «¬ ©

·º ¸» ¸» ¹¼

2

Einen ersten Ansatz für die mittlere Fließgeschwindigkeit erhält man mit dem vereinfachten Widerstandsbeiwert und der Darcy-Weisbach-Fließformel: 1 v ˜ 8 g ˜ rhy ˜ I E

O

In Zahlen erhält man: v

ª § 0,093 ·º ¸¸» ˜ 8 g ˜ 1,027 ˜ 0,0004 «2,343  2 ˜ log¨¨ © 1,027 ¹¼ ¬

0,795

m s

Zur Berechnung der querschnittsgemittelten Fließgeschwindigkeit wird der Querschnitt in Teilflächen unterteilt, bei denen die mittlere Fließgeschwindigkeit v bei gleichem Energieliniengefälle IE vorausgesetzt wird. Zur iterativen Bestimmung der hydraulischen Radien der Teilquerschnittsflächen wird als erste Annahme der gesamte hydraulische Radius rhy,ges angesetzt (Ansatz von Einstein (1934) und Horton (1933) in [4]):

4.3 Gerinnehydraulik

113 v2

rhy ,i ,r

ª § k 8 g ˜ I E ˜ «2,343  2 ˜ log¨ i ¨ rhy « © i ¬

·º ¸» ¸» ¹¼

2

Die Annahme wird mit folgender Wichtung verbessert und der so ermittelte Wert anschließende in die obige Gleichung wieder eingesetzt. Damit wird rhy,i neu berechnet, bis eine hinreichende Genauigkeit gegeben ist (diese Genauigkeit wird i. d. R. nach 3 Iterationsschritten erreicht): 2 ˜ rhy ,i ,r  rhy ,i 1 3

rhy ,i

rhy ,i  rhy ,i 1  0,03 rhy ,i 1

Genauigkeit

Hydraulischer Radius für die linke Böschung in Zahlen (1. Iterationsschritt): ri rhy , ges 1,027 m rhy , Bö,li

rhy , Bö,li,1

0,795 2 2

ª § 0,350 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ « 2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,027 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , Bö,li  rhy , ges 2 ˜1,873  1,027 3

3

1,873 m

1,591 m

2. Iterationsschritt: rhy , Bö,li,1 1,591 m 0,795 2

rhy , Bö,li

1,503 m 2 ª § 0,350 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,591 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , Bö,li  rhy , Bö,li,1 2 ˜1,503  1,591 rhy , Bö,li,2 1,533 m 3 3

3. Iterationsschritt: rhy , Bö,li ,2 1,533 m rhy , Bö,li

rhy , Bö,li ,3

0,795 2

1,530 m 2 ª § 0,350 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,533 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy, Bö,li  rhy , Bö,li ,2 2 ˜1,530  1,533 1,531 m 3 3

Genauigkeit: rhy ,i  rhy ,i 1 rhy ,i 1

 0,03

1,533  1,531 1,531

0,001  0,03

Ÿ

rhy , Bö, li

1,531 m

114

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Hydraulischer Radius für die Sohle des Gerinnes in Zahlen (1. Iterationsschritt): rhy , ges 1,027 m rhy , So

0,795 2 ª § 0,030 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨¨ ¸¸» © 1,027 ¹¼ ¬

2 ˜ rhy , So  rhy , ges

rhy , So,1

3

0,687 m

2

2 ˜ 0,687  1,027 3

0,800 m

2. Iterationsschritt: rhy , So,1 0,800 m rhy , So

rhy , So,2

0,795 2 2

ª § 0,030 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨¨ ¸¸» © 0,800 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , So  rhy , So,1 2 ˜ 0,745  0,800

3

0,745 m

0,764 m

3

3. Iterationsschritt: rhy , So,2 0,764 m rhy , So

rhy , So,3

0,795 2 2

ª § 0,500 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨¨ ¸¸» © 0,764 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy, So  rhy, So,2 2 ˜ 0,757  0,764

3

0,757 m

3

0,759 m

Genauigkeit: 0,759  0,764 0,764

0,006  0,03

Ÿ

rhy , So

0,759 m

Hydraulischer Radius für die rechte Böschung in Zahlen (1. Iterationsschritt): rhy , ges 1,027 m rhy , Bö,re

rhy , Bö,re,1

0,7952 2

ª § 0,200 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,027 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , Bö,re  rhy , ges 2 ˜1,402  1,027

2. Iterationsschritt: rhy , Bö, re,1 1,289 m

3

3

1,420 m

1,289 m

4.3 Gerinnehydraulik

rhy , Bö, re

rhy , Bö, re,2

115 0,795 2

1,282 m 2 ª § 0,200 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,289 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , Bö,re  rhy , Bö,re,1 2 ˜1,282  1,289 1,284 m 3 3

3. Iterationsschritt: rhy , Bö, re,2 1,284 m rhy , Bö ,re

rhy , Bö ,re,3

0,795 2

1,284 m 2 ª § 0,200 ·º 8 g ˜ 0,0004 ˜ «2,343  2 ˜ log¨ ¸» © 1,284 ¹¼ ¬ 2 ˜ rhy , Bö,li  rhy , Bö,li ,2 2 ˜ 1,284  1,284 1,284 m 3 3

Genauigkeit: rhy ,i  rhy ,i 1 rhy ,i 1

 0,03

1,284  1,284 1,284

0,000  0,03

Ÿ

rhy , Bö, re

1,284 m

Nunmehr wird die eingangs getroffene Annahme der mittleren Geschwindigkeit aufgrund des Flächenvergleichs überprüft und ggf. korrigiert. Die Geschwindigkeitsannahme muss ggf. nach dem folgenden Ansatz [4] verbessert werden. vneu

ª º v 2˜ A  1» ˜ alt « ¬« 6(lU ,i ˜ rhy ,i ) ¼» 3

v  vneu ­10 % Handrechnung ½ Genauigkeit : alt ® ¾ ˜ valt vneu ¯ 3 % Programm ¿

In Zahlen: vneu

ª º 0,795 2 ˜ 9,346 « 2,07 ˜ 1,531  4,963 ˜ 0,759  2,07 ˜ 1,284  1» ˜ 3 ¬ ¼

Genauigkeit: valt  vneu vneu

0, 795  0, 781 0, 781

0, 018

 10 % ˜ valt

0,781

m s

0, 0795

In diesem Fall ist kein Berechnungsgang mit neuer Annahme für die Geschwindigkeit und die Ermittlung der hydraulischen Teilradien erforderlich. Sofern er sich jedoch ergeben hätte, wäre als erste Annahme für die hydraulischen Radien rhy das Ergebnis dieses vorhergehenden Rechengangs zu benutzen gewesen. Die obige Ungleichung für die Fließgeschwindigkeit wird jedoch erfüllt und es ergibt sich für die mittlere Fließgeschwindigkeit:

116

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

v

0,781

m s

Der Abfluss beträgt nach der Konti-Gleichung damit: Q

v˜ A

0,781 ˜ 9,346

7,297

m3 s

b) Berechnung der Abflussmenge nach der Manning-Strickler-Gleichung Verwendet man die ursprünglich zugewiesenen Rauheiten abschnittsweise zur Umrechnung in die Manning-Strickler-Werte nach der ATV-Gleichung [1], so erhält man für die linke Böschung: 25,68 k St

1 m2

s

1 k6

1

Ÿ

k St , Bö, Li

25,68 1 0,350 6

m3 30,590 2

für die Sohle: 1

25,68

k St , So

1

m3 46,069 2

0,030 6

und für die rechte Böschung: k St , Bö, Re

25,68 1 0,200 6

33,581

1 m3

2

Der mittlere kSt-Wert errechnet sich nach der bekannten Umrechnungsgleichung für eingliedrige Querschnitte mit unterschiedlichen Rauigkeitsbereichen:

kSt , ges

§ ¨ ¨ 6lU ¨ l l l ¨ U , Bö; Li  U3, So  U3, Bö;Re ¨ 3 2 2 ¨ k2 © St , Bö , Li kSt , So kSt , Bö ,Re

2

·3 ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

in Zahlen: 2

kSt , ges

§ ·3 ¨ ¸ ¨ ¸ 9,103 ¨ 2, 070 4,963 2, 070 ¸ ¨ ¸   3 3 3 ¨ 2 2 2 ¸ 30,590 46, 069 33,581 © ¹

1

m3 38, 076 2

4.3 Gerinnehydraulik

117

Nach der Fließgleichung von Manning-Strickler erhält man für die Abflussmenge: 1

Q

v˜ A

2

2

k St , ges ˜ I E2 ˜ rhy3 ˜ A

38,076 ˜ 0,0004 ˜ 1,027 3 ˜ 9,346

7,243

m3 s

Die Anwendbarkeit der ATV-Gleichung ist durch die Genauigkeit von rhy/km = 11,011 und kSt,ges > 35 gegeben!

Beispiel 46 – Unterschiedliche Rauigkeitsbeiwerte im gegliederten Querschnitt

Gegeben: ein Parabelgerinne mit eingedeichten Vorländern, die nur temporär überflutet werden. Das Gefälle des Fließgewässers beträgt IS = 0,75 ‰. Gesucht: Es ist die Abflussmenge für den Normalabfluss bei vorgegebener Wassertiefe nach dem Ansatz von Manning-Strickler und dem universellen Fließgesetz zu ermitteln. Parabelöffnungsmaß a Vorland L kSt,L = 20 [m1/3/s]

RWS

kSt,Par = 28 [m1/3/s]

ISo

Vorland R kSt,R = 20 [m1/3/s]

hVor = 0,40 [m]

Trennfläche

2,70 [m] 1,05 [m]

hP = 0,75 [m]

bW,Par = 5,50 [m]

hF

Trennfläche

2,70 [m] 1,05 [m]

Der benetzte Umfang der Teilbereiche wird wegen der geringeren Geschwindigkeiten auf den Vorländern im Vergleich zum Parabelprofil durch vertikale Trennflächen vom Hauptstrom getrennt (siehe rote vertikale Linien in obiger Abbildung). Somit ergibt sich der gesuchte Gesamtabfluss aus der Summe: Q QVor , L  QFluss  QVor , R Für die entstandenen 3 Bereiche können so verschiedene Rauigkeitsbeiwerte bzw. auch Rauheiten angesetzt werden, wobei sich für das Hauptprofil in der Mitte des Gerinnes der benetzte Umfang um das Maß der Trennflächen (2fach!) vergrößert. Sofern über dem Vorland die Wassertiefe hVor > hF/3 ist, kann für die Trennflächen mit der Rauhigkeit der Sohle gerechnet werden. Für geringere Vorlandwassertiefen wird die Verwendung eines kSt,T -Wertes für die Trennflächen empfohlen, der dem 0,6fachen kSt,So -Wert der Sohle entspricht. k St ,T 0,6 ˜ k St , So Zur Berechnung einer derartigen Situation wird das Hauptprofil wie ein eingliedriger Querschnitt mit unterschiedlichen Rauigkeitsbeiwerten analog Beispiel 45, die Nebenprofile hingegen analog Beispiel 44 behandelt.

118

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Lösung 46 – Unterschiedliche Rauigkeiten

Zur Berechnung der geometrischen Größen des gegliederten Querschnitts ist es sinnvoll, diesen in ein symmetrisches Trapez und in eine Parabel aufzuteilen. Geometrische Größen des Trapezes: bTrapez , Sohle 2,70  5,50  2,70 10,90 m m

horiz. Länge Höhenunterschied

ATrapez

1,05 0,40

2,625

2 bTrapez , Sohle ˜ hVor  m ˜ hVor

10,90 ˜ 0,40  2,625 ˜ 0,40 2

4,78 m 2

Geometrische Größen der Parabel: hPar 0,75 a 0,025 m 1 2 2 bW , Par 5,50 AParabel

2 3

3 hPar a

2 0,753 3 0,025

2,750 m 2

Abflusswirksamer Querschnitt: A

ATrapez  AParabel

4,78  2,750

7,530 m 2

Berechnung der relevanten Querschnitte, der benetzten Umfänge sowie der hydraulischen Radien für die drei Teilabschnitte: A1

2,70 ˜ 0,40  0,381˜ 0,40 2

A2

A Parabel  hVorl ˜ bW , Par

A3

1,05 · § 2 0,40 ˜ ¨ 2,70  ¸ 1,290 m 2 ¹ ©

lU ,1 lU ,2 lU ,3 rhy ,1 rhy ,2 rhy ,3

2,70  0,40 2  1,05 2

1,290 m 2 2,750  0,40 ˜ 5,50

4,950 m 2

3,824 m

2 · § 4 ˜ 0,75 5,50 2 16 ˜ 0,75 2 § 5,50 · ¸  2 ˜ 0,40 2 1 ˜ ln ¨¨   ¨ ¸  4 ˜ 0,75  ¸¸ 8 ˜ 0,75 ¨ 8 ˜ 5,50 © 2 ¹ 5,50 2 ¹ ©

2,70  0,40 2  1,052 1,209 0,337 m 3,824 4,950 0,754 m 6,562 1,209 0,337 m 3,824

3,824 m

6,562 m

4.3 Gerinnehydraulik

119

a) Berechnung der Abflussmenge nach der Manning-Strickler-Gleichung Mit den hydraulischen Radien und den drei Teilquerschnitten lassen sich jetzt abschnittsweise die Geschwindigkeiten und die zugehörigen Abflussmengen berechnen, die zusammen den Gesamtabfluss liefern. v1

2 20 ˜ 0,337 3

1 ˜ 0,0075 2

0,265

m s

v2

2 28 ˜ 0,754 3

1 ˜ 0,0075 2

0,635

m s

2

1

v3

20 ˜ 0,337 3 ˜ 0,0075 2

0,265

m s

Q1

0,265 ˜ 1,290

0,342

m3 s

Q2

0,635 ˜ 4,950

3,145

m3 s

Q3

0,265 ˜ 1,290

0,342

m3 s

Der Gesamtabfluss beläuft sich damit auf: Q

Q1  Q2  Q3

0,342 ˜ 3,145  0,342

3,830

m3 s

Die mittlere Geschwindigkeit über den gesamten Querschnitt beträgt Q 3,830 m v 0,509 , A 7,530 s sie hat aber für die praktische Anwendung in gegliederten Querschnitten keine Bedeutung, da die Unterschiede auf dem Vorland und dem eigentlichen Fließabschnitt zum Teil erheblich sein können. b) Berechnung der Abflussmenge nach dem universellen Fließgesetz Die Umrechnung der Strickler-Beiwerte in äquivalente Rauheiten kann nach DIN EN 752-4, [2]2 erfolgen (vergl. auch [5]), da die relativen Rauheiten in allen drei Fällen < 10 sind, der Nachweis wird hier nicht aufgezeigt. Zur Dimension von k ist die Fußnote im Beispiel 43 zu beachten.

k 2

10

6 1 ª º k St ˜ rhy log «14,84 ˜ rhy » ˜ m ¬ ¼ m 17,72 s

˜ [ m]

Achtung: die in [2] abgedruckte Gleichung E.2 ist fehlerhaft, richtig lautet sie:

32 ˜ g § 3, 71 ˜ D · ˜ log ¨ ¸ D © k ¹ 3

k St

4˜ 6

ª mº 17, 72 ˜ « » ¬ s ¼ ˜ log § 14,84 ˜ rhy · ¨ ¸ rhy1/ 6 k © ¹

120

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

In Zahlen: kL k Par

kR

10

log>14,84 ˜ 0,337 @˜

10

10

20˜ 6 0,337 17,72

log >14,84 ˜ 0.754@˜

log >14,84 ˜ 0,337 @˜

˜m

28˜ 6 0,754 17,72

0,573 m

˜m

0,348 m

20˜ 6

0,337 17,72

˜m

0,573 m

Damit ergeben sich die die mittleren Fließgeschwindigkeiten je Abschnitt und man erhält mit dem vereinfachten Widerstandsbeiwert und der Darcy-Weisbach-Fließformel folgende Geschwindigkeiten in Zahlen: vL

v Par

vR

ª § 0,573 ·º ¸¸» ˜ 8 g ˜ 0,337 ˜ 0,00075 «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,337 ¹¼ ¬

0,265

ª § 0,348 ·º ¸¸» ˜ 8 g ˜ 0,754 ˜ 0,00075 «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,754 ¹¼ ¬ ª § 0,573 ·º ¸¸» ˜ 8 g ˜ 0,337 ˜ 0,00075 «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,337 ¹¼ ¬

m s

0,635

0,265

m s

m s

Die Umrechnung von k in kSt-Werte und umgekehrt ist bei der praktischen Anwendung der Fließformeln nicht immer wirklich sinnvoll, da die aus der Kornverteilungskurve abgeleiteten äquivalenten Sandrauheiten k in Abhängigkeit vom gewählten Umrechnungsansatz (ATV/DIN EN) sehr stark streuen. Dieses führt je nach Umrechnungsmethode zu einer ebenso starken Streuung der kSt-Werte, des Weiteren gelten die aus der Kornverteilungskurve ermittelten kWerte nur für die Gewässersohle, jedoch nicht für das gesamte Gewässerbett bzw. für die Vorländer oder Trennflächen. Beispiel 47 – Fließgewässer mit Großbewuchs im Überflutungsquerschnitt

Gegeben: ein Trapezgerinne mit einseitig eingedeichtem Vorland mit landwirtschaftlicher Nutzung (Obstplantage). Das Vorland wird nur temporär überflutet und verfügt neben den Obstbäumen über eine geschlossene Rasenfläche. Baumschulgehölz ax = 3,00 [m] ay = 3,00 [m] dB = 15 [cm]

obere Böschung (Rasen) bx = 7 [cm], by = 7 [cm], dS = 1 [cm]

bF = 7.21 [m] ay

ax

dB

ISo

RWS hVor = 0,40 [m]

Vorland (Rasen) k1 = 60 [mm] 1,05 [m]

hP = 1.13 [m]

hF

Trennflächenhöhe hT 4,21 [m]

k2 = 100 [mm] 1,07 [m]

2,83 [m]

1,55 [m]

2,83 [m]

Hauptgerinne (Böschungen und Sohle) d90 = 50 [mm]

4.3 Gerinnehydraulik

121

Die Obstbäume stehen in einem Rasterabstand in x-Richtung von 1,50 [m] und in y-Richtung von 2,00 [m], der mittlere Baumdurchmesser beträgt 5 [cm]. Die Böschungen der Flutrinne sowie die Sohle bestehen aus Feinkies mit d90 = 5 [mm]. Das Gefälle des Fließgewässers beträgt IS = 0,75 ‰. Gesucht: Es ist die Abflussmenge für den Normalabfluss bei vorgegebener Wassertiefe nach dem Ansatz von Mertens zu ermitteln. Beispiel 47 wurde in Anlehnung an Beispiel 4.7 in [4] gewählt, jedoch modifiziert und ausführlicher dargestellt. Lösung 47 – Großbewuchs

Das Verfahren von Mertens [6] berücksichtigt bei gegliederten Querschnitten mit Großbewuchs und separater Flutrinne die Trennflächen mit besonderen Rauheiten sowie den Einfluss von besonderen Strömungsbereichen. Der Bewuchsparameter B ergibt sich in den Grenzen 16 d B d 6000 aus nachfolgender Gleichung: 2

B

§ ax · ay ¨¨  1¸¸ ˜ © dB ¹ dB

Sofern der Abstand ay das 10fache des Durchmessers dB übersteigt, wird für ay/db = 10 gesetzt, der Abstand ax ist in Fließrichtung anzusetzen. Für den bewuchsabhängigen Parameter c gilt mit dem Bewuchsparameter: 1,5

c 1,2  0,3 ˜

B § B ·  0,06 ˜ ¨ ¸ 1000 © 1000 ¹

In Zahlen bedeutet dieses für das linke Ufer inklusive Vorland: ay 10 ˜ d B 10 ˜ 0,15 1,50 m  a y Ÿ 10 dB 2

BL

§ 3,00 ·  1¸¸ ˜10 ¨¨ © 0,15 ¹

3610 [ ]

und für das rechte Ufer: 10 ˜ d S 10 ˜ 0,01 0,10 m ! b y 2

BR

§ 0,07 · 0,07  1¸¸ ˜ ¨¨ © 0,01 ¹ 0,01

252 []

Der bewuchsabhängige Beiwert c ergibt sich dann für das linke Ufer zu: 1,5

cL

1, 2  0,3 ˜

BL § B ·  0, 06 ˜ ¨ L ¸ 1000 © 1000 ¹

1,5

1, 2  0,3 ˜

3610 § 3610 ·  0, 06 ˜ ¨ ¸ 1000 © 1000 ¹

1,2  0,3 ˜

252 § 252 ·  0,06 ˜ ¨ ¸ 1000 © 1000 ¹

0,529 [ ]

Für das rechte Ufer erhält man: 1,5

cR

1,2  0,3 ˜

BR § B ·  0,06 ˜ ¨ R ¸ 1000 © 1000 ¹

1,5

1,132 []

122

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Im Weiteren wird die Einflussbreite des (Groß-)Bewuchses nach dem Verfahren von Mertens abgeschätzt. Bei gegliederten Querschnitten mit Großbewuchs wird in Bereiche I bis IV unterteilt. Hierbei ist derjenige Bereich von besonderem Interesse, der sich durch die vom Großbewuchs induzierten Makroturbulenzen stark verzögernd auf die schnellere Strömung im bewuchsfreien Bereich des Flussprofils auswirkt. Dieses sind üblicherweise die Bereiche II und III. Da diese Breiten jedoch zu Beginn nicht bekannt sind, erfolgt zunächst eine Schätzung dieser Werte. Nachfolgend werden diese dann iterativ verbessert. Hierzu werden die linke und rechte Breite zunächst mit dem Wert der halben Hauptprofilbreite bF angesetzt. Die Hauptprofilbreite ist in der Skizze als horizontale rot gestrichelte Linie zu erkennen. bF bIII , L 2 bIII , R bF  bIII , L In Zahlen führt dieses zu folgendem Ergebnis: 2,83  1,55  2,83 bIII , L 3,605 m und 2

bIII , R

3,605 m

Die darüber hinaus benötigte mittlere Breite des Bereiches II ergibt sich über die Querschnittsfläche AII und die Trennflächenhöhe hT. AII bII , m hT Die Querschnittsfläche AII erhält man aus der Begrenzung durch Sohle, Wasserspiegel und Trennflächenhöhe hT sowie aus der maximalen Breite bII,max des Makroturbulenzbereiches II. Für die maximale Breite bII,max gelten in Abhängigkeit des Bewuchsparameters B nachfolgende Gleichungen [4]: bII , max bIII wenn B t 16 (lichter Bewuchs) bII , max

0,25 ˜ bIII ˜ B

wenn B  16 (dichter Bewuchs)

Da im vorliegenden Beispiel der Bewuchs lichte Abstände aufweist, gilt hier: bII ,max

bIII .

Somit lässt sich die Querschnittsfläche AII,L berechnen: AII , L

bIII , L ˜ hT

3,605 ˜ 0,40 1,442 m 2

Da auf der rechten Uferseite der verbleibende Gewässerabschnitt eine geringere Breite als bIII,R für lichten Bewuchs hat, wird für die Fläche die reale Breite angesetzt (vergl. Skizze). 1 1 AII , R ˜1,07 ˜ hT ˜1,07 ˜ 0,40 0,214 m 2 2 2 Somit ergeben sich die mittleren Breiten des Bereichs II wie folgt: bII , m, L

AII , L hT

1,442 0,40

3,605 m

bzw. bII , m, R

AII , R

Die Trennflächenrauheit erhält man über folgenden Ansatz [6]: kT c ˜ bm  1,5 ˜ d B

hT

0,214 0,40

0,535 m

4.3 Gerinnehydraulik

123

In Zahlen bedeutet dieses für die beiden Uferseiten: kT , L cL ˜ bII ,m, L  1,50 ˜ d B 0,529 ˜ 3, 605  1,50 ˜ 0,15 kT , R

c R ˜ bII , m, R  1,50 ˜ d S

2,130 m

1,132 ˜ 0,535  1,50 ˜ 0,01 0,621 m

Die Widersandsbeiwerte für die Trennflächen werden dann mit folgenden Variablen ermittelt: 1

OT

ª § kT «2,343  2 ˜ log¨¨ «¬ © bIII

·º ¸¸» ¹»¼

2

Für die beiden unsymmetrischen Böschungen gilt damit: 1 1

OT , L

OT , R

ª § kT , L «2,343  2 ˜ log¨ ¨ bIII , L «¬ © 1 ª § kT , R «2,343  2 ˜ log¨ ¨ bIII , R «¬ ©

·º ¸» ¸» ¹¼

2

ª § 2,120 ·º ¸» «2,343  2 ˜ log¨ © 3,605 ¹¼ ¬

2

0,128 [ ]

2

0,067 []

1 ·º ¸» ¸» ¹¼

2

ª § 0,621 ·º ¸» «2,343  2 ˜ log¨ © 3,605 ¹¼ ¬

Nunmehr lassen sich die vorerst geschätzten Breiten der Bereiche III links und rechts (Hauptprofil) nach folgenden Bedingungen neu berechnen: bF ˜ OT , L bIII , L und bIII , R bF  bIII , L OT , L  OT , R In Zahlen ergeben sich damit folgende Breiten: 7,21˜ 0,128 bIII , L 4,734 m und 0,128  0,067

bIII , R

7,21  4,734

2,476 m

Eine Lösung ist bei asymmetrischen, gegliederten Fließquerschnitten nur iterativ möglich, sodass mit dem zuvor gezeigten Lösungsansatz für bIII die Berechnung erneut beginnt, bis keine signifikante Veränderung der Breiten mehr eintritt. Iterationsschritt

bII,max[m]

linke Trennfläche 1

2

3

rechte Trennfläche 4

1

2

3

4

3,605

4,734

4,413

4,519

>1,07

>1,07

>1,07

>1,07

AII [m ]

1,442

1,893

1,765

1,808

0,214

0,214

0,214

0,214

bII,m[m]

3,605

4,734

4,413

4,519

0,535

0,535

0,535

0,535

kT[m]

2,130

2,727

2,558

2,614

0,621

0,621

0,621

0,621

T[-]

0,128

0,126

0,126

0,126

0,067

0,080

0,075

0,076

bIII[m]

4,734

4,413

4,519

4,486

2,476

2,797

2,691

2,724

2

124

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

Zwischen der 3. und 4. Iterationsschleife ergibt sich lediglich noch eine Korrektur von 0,79 Vomhundertsatz, die Veränderungen sind damit nicht mehr signifikant. Im nächsten Schritt sind die geometrischen Größen sowie die hydraulischen Radien des Gerinnes zu bestimmen, und zwar getrennt nach Vorland, Hauptgerinne und rechtem Böschungsbereich. Man erhält folgende Parameter: Vorland:

Fließquerschnitt

AVorl

4,21 ˜ 0,40 

1,05 ˜ 0,40 2

1,894 m 2

benetzter Umfang

lU Vorl

4,21  1,05 2  0,40 2

5,334 m

hydraulischer Radius

rhy

1,894 5,334

Vorl

0,355 m

AHaupt

1,13 ˜ 7,21  1,55  7,21 ˜ 0,40 2

AHaupt

7,833 m 2

benetzter Umfang

lU Haupt

1,55  2 ˜ 2,832  1,132

linke Trennflächenhöhe

hT L

0,40 m

rechte Trennflächenhöhe

hT R

0,40 m

hydraulischer Radius

rhy Haupt

Hauptgerinne: Fließquerschnitt

ABö

Böschung (re.): Fließquerschnitt

7,833 0,40  7,645  0,40

1,07 ˜ 0,40 2

0,928 m

0,214 m 2

benetzter Umfang

lU Bö

1,07 2  0,40 2

hydraulischer Radius

rhy

0,214 1,142

Bö

7,645 m

1,142 m

0,187 m

Das weitere Vorgehen nach Mertens geschieht schrittweise, zunächst wird die gewichtete Mittelung der Rauheiten vorgenommen und damit die Anfangsgeschwindigkeit (Index a) bestimmt, die es dann wiederum gilt, iterativ mit den zuvor ermittelten Breiten zu verbessern. Schritt a) km

¦ lU2 i ˜ ki ¦ lU2 i

va

ª § 0,0585 ·º ¸¸» ˜ 8 g ˜ 0,928 ˜ 0,00075 «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,928 ¹¼ ¬

0,40 2 ˜ 2,614  7,645 2 ˜ 0,05  0,40 2 ˜ 0.621 0,40 2  7.645 2  0,40 2 1,108

m s

0,0585m

4.3 Gerinnehydraulik

125

Schritt b) Nachfolgend werden die hydraulischen Radien, separat für die linke und rechte Trennfläche, berechnet. Dieses vollzieht sich iterativ mit dem Startwert aus der Tabellenkalkulation sowie dem dadurch veränderten hydraulischen Radius des Hauptprofils. Trennfläche L (Index T,L): rhyT ,L bIII L 4, 486 m

kTL

0a

rhyT ,L

0

rhyT , L

1,1082

1

rhyT ,L

2 ˜ rhyT , L  rhyT ,L

2

rhyT ,L

3

3

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ «2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 3, 254 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT , L  rhyT , L

1a

1

3

rhyH

2

3, 253 m

2

3, 252 m

1,1082 ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 3, 252 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,L  rhyT ,L

2a

2

3

3, 253 m 1,1082

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 3, 253 ¹ ¼ ¬ kT

0, 05 m

1,1082

1a

3, 251 m

3, 252 m

0a

0

2

3, 254 m

Hauptprofil (Index H): rhyH 0,928 m rhyH

2, 639 m

1,1082

3a

rhyT ,L

0a

0

2a

rhyT ,L

2

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ «2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 4, 486 ¹ ¼ ¬

1a

rhyT ,L

2, 614 m

ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,928 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyH  rhyH 0

3

0a

0,893 m

2

0,876 m

126

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide 1,1082

rhyH

ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,893 ¹ ¼ ¬

1

rhyH rhyH

rhyH rhyH

2 ˜ rhyH  rhyH 1

1a

0,888 m

2

0,889 m

2

0,890 m

0,890 m

3

2a

2

1,1082 ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,890 ¹ ¼ ¬

2

2 ˜ rhyH  rhyH 2

3a

2a

0,890 m

3

1,1082 ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,890 ¹ ¼ ¬

3

Trennfläche R (Index T,R): rhyT ,R bIII R 2, 724 m

kTR

0a

rhyT ,R

0

rhyT ,R

1,1082

1

rhyT ,R

2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

2

rhyT ,R

3a

rhyT ,R

3

0a

0

3

1,586 m

2

1,866 m

2

1,900 m

2

1,899 m

1,965 m 1,1082

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 1,965 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

1a

1

3

2a

rhyT ,R

2

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 2, 724 ¹ ¼ ¬

1a

rhyT ,R

0, 621 m

1,899 m 1,1082

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 1,899 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

2a

2

3

1,899 m 1,1082

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ 1,899 ¸¹ »¼ © ¬

4.3 Gerinnehydraulik

127

Schritt c) Mit den zuvor berechneten hydraulischen Radien wird die unter Schritt a) geschätzte mittlere Fließgeschwindigkeit mit der nachfolgenden Gleichung überprüft und ggf. verbessert. v neu

º va ª 2 ˜ AHaupt ˜«  1» 3 « ¦ (lU i ˜ rhyi ) » ¬ ¼

Bezogen auf dieses Beispiel erhält man in Zahlen: v neu

m 1,108 ª 2 ˜ 7,833 º ˜«  1» 1,022 s 3 ¬ 0,40 ˜ 3,252  7,645 ˜ 0,890  0,40 ˜1,899 ¼

Die neu ermittelte Geschwindigkeit weicht mehr als 7 % von va ab, sodass eine Neuberechnung ab Schritt b) mit vneu zu empfehlen ist. Neuer Schritt b) rhyT ,L bIII L

4, 486 m

kTL

0a

rhyT ,L

0

rhyT , L

1, 022 2

1

rhyT ,L

2 ˜ rhyT , L  rhyT ,L

2

rhyT ,L

3a

rhyT ,L

3

0a

0

3

2

2,934 m

2

2,962 m

2

2,958 m

2,993 m

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 2,993 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,L  rhyT ,L

1a

1

3

2,954 m 1, 022 2

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 2,954 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,L  rhyT ,L

2a

2

3

2,959 m 1, 0222

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 2,959 ¹ ¼ ¬

Hauptprofil (Index H): rhyH 0,928 m 0a

2, 246 m

1, 022 2

2a

rhyT ,L

2

ª § 2, 614 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 4, 486 ¹ ¼ ¬

1a

rhyT ,L

2, 614 m

kT

0, 05 m

128

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

rhyH

1, 0222

2 ˜ rhyH  rhyH 0

rhyH

0, 746 m

2

0, 785 m

2

0, 790 m

2

0, 790 m

0,807 m 1, 0222

rhyH

ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,807 ¹ ¼ ¬

1

2 ˜ rhyH  rhyH

1a

1

0, 792 m

3

2a

1, 0222

rhyH

2

rhyH

3a

rhyH

0a

3

1a

rhyH

2

ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0,928 ¹ ¼ ¬

0

ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0, 792 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyH  rhyH 2

2a

0, 791 m

3

1, 022 2 ª § 0, 05 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 0, 791 ¹ ¼ ¬

3

Trennfläche R (Index T,R): rhyT ,R bIII R 2, 724 m

kTR

0a

rhyT ,R

0

rhyT ,R

1, 0222

1

rhyT ,R

2a

rhyT ,R

2

2

1,350 m

2

1, 660 m

2

1, 710 m

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 2, 724 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

0a

0

3

1a

rhyT ,R

0, 621 m

1,808 m 1, 022 2

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 1,808 ¹ ¼ ¬ 2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

1a

1

3

1, 709 m 1, 022 2

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ 1, 709 ¸¹ »¼ © ¬

4.3 Gerinnehydraulik

129

2 ˜ rhyT ,R  rhyT ,R

rhyT ,R

2a

2

1, 710 m

3

3a

1, 022 2

rhyT ,R

ª § 0, 621 · º 8 g ˜ 0, 00075 ˜ « 2,343  2 ˜ log ¨ ¸» © 1, 710 ¹ ¼ ¬

3

2

1, 710 m

Neuer Schritt c) v

º 1,022 ª 2 ˜ 7,833 m ˜  1 1,016 3 «¬ 0,40 ˜ 2,958  7,645 ˜ 0,790  0,40 ˜1,710 »¼ s

Die Abweichung der Fließgeschwindigkeit beträgt jetzt noch 0,6 %, somit ist der Hauptabfluss im Schritt d) mit dieser Geschwindigkeit zu berechnen. Schritt d) Im Hauptprofil kommt somit folgender Volumenstrom zum Abfluss: AHaupt ˜ vneuer

QHaupt

7,833 ˜1,016

7,958

m3 s

Im Weiteren ist nun noch der Volumenstrom über das linke Vorland und der rechten Böschung zu bestimmen. Im linken Vorland kann der Widerstandsbeiwert für den (Groß-)Bewuchs wie folgt ermittelt werden:

OP

cW ˜

4 ˜ hVorl ˜ d B ˜ cos D ax ˜ a y

Hierin steht cW für die Widerstandszahl, die zwischen 0,6 und 2,4 liegt. Bei einzeln stehenden Bäumen – wie in Plantagen – wird cW = 1,2 [–], für Baume in Grüppchen wird cW = 1,5 [–] angesetzt. Des Weiteren gehen sowohl die mittlere Vorlandwassertiefe hVorl als auch der mittlere Querneigungswinkel D des Vorlandes in den Widerstandswert mit ein. Der Winkel ergibt sich aus der Verbindung des Schnittpunkts des Wasserspiegels mit der linken Böschung und dem Fußpunkt der linken Trennflächenhöhe. Die mittlere Fließgeschwindigkeit über das bewachsene Vorland ergibt sich dann zu: vVorl

8 g ˜ I E ˜ rhyVorl

O P  OVorl

Da der Widerstandsbeiwert So hierin auch vom hydraulischen Radius abhängt, wird diese Rechnung ebenfalls iterativ mit rhy = rhy,Vor gestartet. Der rechnerische sohlenbezogene hydraulische Radius ergibt sich daraus wie folgt: rhy

vVorl1 2 ˜ OVorl1 Vorl 1a

8g ˜ I E

Die Verbesserung der hydraulischen Radien erfolgt über folgenden Ansatz:

130

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide

rhy

rhy alt  6 ˜ rhy alt

verbessert

neu

7

Auf dem Vorland beträgt die mittlere Wassertiefe in Zahlen: AVorl 1,894 hVorl 0,360 m bSpVorl 1,05  4,21 Der mittlere Querneigungswinkel des Vorlandes ergibt sich aus dem Tangens des Steigungsverhältnisses der geneigten und gestrichelten roten Linie gemäß Skizze. 0,40 DVorl arctan 4,349q 1,05  4,21 Mit einem für Baumschulbäume gewählten cW = 1,2 (einzeln stehende Bäume) kann der Widerstandsbeiwert wie folgt berechnet werden: 4 ˜ 0,360 ˜ 0,15 ˜ cos 4,349q 0,029 [] O PVorl 1,2 ˜ 3,00 ˜ 3,00 Nunmehr kann die Iteration des zugehörigen hydraulischen Radius beginnen, der Startwert hierfür ist aus der geometrischen Zusammenstellung der Werte für das Vorland mit rhy,Vorl = 0,355 [m] zu entnehmen. Iterationsschritt 1:

OVorl1

vVorl1

1 ª § 0,060 ·º ¸» «2,343  2 ˜ log¨ © 0,355 ¹¼ ¬ 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,355 0,029  0,066

rhy

Vorl 1a

0,469 2 ˜ 0,066 8 g ˜ 0,00075

rhy

Vorl1

0,355  6 ˜ 0,248 7

2

0,066 []

0,469

m s

0,248 m 0,263 m

Iterationsschritt 2:

OVorl 2

vVorl 2 rhy

Vorl 2a

1 ª § 0,060 ·º ¸¸» «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,263 ¹¼ ¬ 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,355 0,029  0,076 0,447 2 ˜ 0,076 8 g ˜ 0,00075

2

0,076 []

0,447

0,258 m

m s

4.3 Gerinnehydraulik

rhy

131

0,263  6 ˜ 0,258 7

Vorl 2

0,258 m

Iterationsschritt 3: 1

OVorl3

ª § 0,060 ·º ¸¸» «2,343  2 ˜ log¨¨ © 0,258 ¹¼ ¬ 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,355 0,029  0,077

vVorl 3

rhy

Vorl 3a

0,447 2 ˜ 0,077 8 g ˜ 0,00075

rhy

Vorl 3

0,258  6 ˜ 0,260 7

0,077 []

2

0,447

m s

0,260 m 0,260 m

Die Übereinstimmung zwischen den letzten beiden Werten des hydraulischen Radius ist hinreichend genau, sodass die Iteration für das Vorland abgeschlossen werden kann. Für den Volumenstrom über das Vorland ergibt sich: QVorl

AVorl ˜ v Vorl

3

1,894 ˜ 0,447

0,846

m3 s

Im Weiteren steht die Berechnung der mittleren Wassertiefe für die Böschung an: ABö 0,214 hBö 0,200 m bSpBö 1,07 Der Neigungswinkel der Böschung ergibt sich zu: 0,40 DVorl arctan 20,490q 1,07 Mit einem gewählten cW = 1,5 (Schilf in Grüppchen) kann der Widerstandsbeiwert wie folgt berechnet werden. 4 ˜ 0,200 ˜ 0,01 ˜ cos 20,490q 2,294 [] O P Bö 1,2 ˜ 0,07 ˜ 0,07 Nunmehr kann die Iteration des zugehörigen hydraulischen Radius beginnen, der Startwert hierfür ist aus der geometrischen Zusammenstellung der Werte für die Böschung mit rhy,Bö = 0,187 [m] zu entnehmen. Iterationsschritt 1:

O Bö1

1 ª § 0,100 ·º ¸» «2,343  2 ˜ log¨ © 0,187 ¹¼ ¬

2

0,120 []

132

4 Hydrodynamik realer, reibungsbehafteter Fluide 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,187 2,294  0,120

v Bö1 rhy

Bö1a

0,068 2 ˜ 0,120 8 g ˜ 0,00075

rhy

Bö1

0,187  6 ˜ 0,009 7

0,068

m s

0,009 m 0,035 m

Iterationsschritt 2: 1

O Bö2

ª § 0,100 ·º ¸» « 2,343  2 ˜ log¨ © 0,035 ¹¼ ¬ 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,187 2,294  0,493

v Bö 2 rhy

Bö 2 a

0,0632 ˜ 0,493 8 g ˜ 0,00075

rhy

Bö 2

0,187  6 ˜ 0,033 7

0,493 []

2

0,063

m s

0,033 m

0,055 m

Iterationsschritt 3: 1

O Bö3

ª § 0,100 ·º ¸» «2,343  2 ˜ log¨ © 0,055 ¹¼ ¬ 8 g ˜ 0,00075 ˜ 0,187 2,294  0,300

v Bö 3 rhy

rhy

0,300 []

2

0,065

Bö 3a

0,0652 ˜ 0,300 8 g ˜ 0,00075

0,022 m

Bö 3

0,187  6 ˜ 0,022 7

0,045 m

m s

Die Übereinstimmung ist hinreichend, für den Volumenstrom über die Böschung ergibt sich: QBö

ABö ˜ v Vorl

3

0,214 ˜ 0,065

0,014

m3 s

Der Gesamtabfluss in diesem gegliederten Querschnitt mit einseitigem Großbewuchs entspricht der Addition der drei berechneten Teilvolumenströme: Q

QVorl  QHaupt  QBö

0,846  7,958  0,014 8,818

m3 s

133

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

5.1 Grundlagen im Überblick Die Anwendung der Impulsbilanz erfolgt in der Form des Stützkraftsatzes, dieser wird im Bauwesen häufig zur Ermittlung von hydrodynamischen Kräften auf Bauwerke eingesetzt. Um das Prinzip des Stützkraftsatzes besser zu verstehen, wird der Begriff „Kontrollraum“ eingeführt. Ein Kontrollraum ist ein beliebig abgegrenztes raumfestes, jedoch nicht ortsfestes Volumen, in dem ein je Zeiteinheit hineinfließendes Fluid dem an anderer Stelle wieder austretenden Fluid entspricht. Seine Oberfläche ist demnach massendurchlässig. Durch die Wahl eines geeigneten Kontrollraumes können sich hydrodynamische Berechnungen erheblich vereinfachen.

Prinzip des Stützkraftsatzes Um das Prinzip des Stützkraftsatzes in der Hydromechanik zu verdeutlichen, wird ein Stromröhrenabschnitt (vergl. Abschnitt 3.1) mit konstantem Durchfluss Q betrachtet, seitlich begrenzt wird er durch die Fließquerschnitte A1 und A2 sowie mit den jeweiligen Druckgrößen p und Geschwindigkeiten v. 1 FW1 = p1 · A1 (actio)

Kontrollraum

Fluideintritt A1; p1; v1

FR

2

Q = const.

1

–FW2 = p2 · A2 (reactio)

FG

Fluidaustritt

Kontrollschnitt

A2; p2; v2 Kontrollschnitt 2

Nach dem 3. Newton’schen Axiom gilt, dass Kräfte immer paarweise auftreten. Wirkt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt auch eine ebensolch große aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A (reactio). Auf den Stromröhrenabschnitt im Kontrollraum wirken folgende Kräfte: x

Gewichtskraft FG aus dem Eigengewicht des Fluidums im Kontrollabschnitt,

x

Wasserdruckkräfte FW an den Kontrollschnittflächen 1-1 und 2-2,

x

Resultierende aller äußeren Kräfte FR, z. B. Reibungskräfte.

F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_5, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

134

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Die vektorielle Summe aller Kräfte in diesem Stromröhrenabschnitt lautet: 6F

FW 1  FW 2  FR  FG

(5.1)

Vereinbarungsgemäß erfolgt kein Fluidaustausch durch den Strommantel, sodass auch kein Impulsaustausch stattfindet, d. h. für den Kontrollraum gilt der Impulssatz.

6 FI



U ˜ Q ˜ v2  v1



U ˜ Q ˜ v2  U ˜ Q ˜ v2

(5.2)

Aus den Gleichungen (5.1) und (5.2) folgt: FR  FG

FW 2  FI 2  FW1  FI1

FW 2  U ˜ Q ˜ v2  FW 1  U ˜ Q ˜ v1

(5.3)

Die Stützkräfte FS1 und FS2 ergeben sich damit zu:

FS1

FW 1  FI 1

FS 2

FW 2  FI 2

FW 1  U ˜ Q ˜ v1

(5.4)

FW 2  U ˜ Q ˜ v2

Die Stützkraft FS ist damit die Summe aus Druckkraft FW und Impuls FI an den jeweiligen Kontrollschnitten, analog zur Stabstatik werden sie als Schnittkräfte betrachtet. Der Impulsstromvektor zeigt dabei stets auf das Kontrollvolumen! Kontrollraum 2

1 RWS

FI1 FW1

FR1

Q v1

v2 FG

FI2 FW2

FR2

5.2 Arbeitsschritte zur Anwendung des Stützkraftsatzes x x

x x

Zunächst ist der Fluidkörper (Kontrollraum) zu definieren und dabei von allen Berandungen freizuschneiden. Es ist zu beachten, dass die Schnittführung an den Ein- und Ausströmquerschnitten senkrecht zu den Stromlinien erfolgt. Freigesetzte Schnittkräfte an den Schnittflächen eintragen: – hydrostatische Druckkräfte FW – Umfangskräfte FR – Gewichtskräfte FG – Impulsstromvektoren U·Q·v an den Ein- und Ausströmquerschnitten. Bilden des Kräftegleichgewichts: Summe aller Kräfte und Momente = 0 Auflösen nach der resultierenden Reaktionskraft F.

Für lokal begrenzte, kleine räumliche Betrachtungen können in der Regel die Umfangskräfte FR (z. B. Reibungskräfte entlang der Bauwerksränder) vernachlässigt werden, d. h. FR | 0.

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

135

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl Beispiel 48 – Widerlagerkraft eines horizontal liegenden Rohrkrümmers Gegeben: ein horizontal liegender Rohrkrümmer DN 1500 mit einem Krümmungswinkel von D = 48°. Unter einem konstanten Druck von p = 3,5 [kN/m²] durchfließt den Kontrollraum ein Volumenstrom von Q = 10 [m3/s]. An den Schnitten 1-1 und 2-2 werden die Vertikalkräfte schadlos aufgenommen.

2 Widerlager F

Widerlagerkraft

D

Q

v2

FW2

FI2

1 v1 FW1 FI1

1

2

Gesucht: Unter Verwendung des vorgegebenen Kontrollraumes ist die resultierende Reaktionskraft F im Widerlager zu ermitteln. Lösung 48 – Schrittweise Anwendung der Impulsbilanz (Stützkraftsatz) Die vorherrschenden Rohrreibungskräfte werden aufgrund des örtlich begrenzten Kontrollraums nicht mit berücksichtigt. Des Weiteren wirken sich sowohl die in diesem Rohr befindliche Wassermasse als auch das Eigengewicht des Rohrkrümmers nicht in der gesuchten Auflagerkraft aus, da es sich dabei ausschließlich um lotrechte Kräfte handelt. Zunächst werden die hydrostatischen Wasserdruckkräfte am Kontrollschnitt 1-1 und 2-2 ermittelt:

FW 1

FW 2

p˜ A

p˜

S ˜d2 4

3,50 ˜

S ˜1,50 2 4

6,185 kN

Die Impulskräfte, auch als Impulsströme bezeichnet, lassen sich mit der nach der Geschwindigkeit aufgelösten Kontinuitätsgleichung wie folgt berechnen: v

FI 1

Q A

FI 2

10,00 ˜ 4

S ˜ 2,50

2

5,659

m s

U ˜ Q ˜ v 103 ˜10, 00 ˜ 5, 659 56,588 kN

136

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Die resultierende Auflagerkraft ergibt sich somit aus der Summe der vektoriellen Addition von Wasserdruck- und Impulskraft: )& )))& )))&  F FS1  FS2 Der Betrag für die Auflagerkraft kann direkt aus dem Kosinussatz bestimmt werden: )))& )))& )))& FS1 FW 1  FI 1 6,185  56,588 62, 773 kN )))& ))))& )))& FS2 FW 2  FI 2 6,185  56,588 62, 773 kN )& F

)))& )))& )))& )))& FS21  FS22  2 ˜ FS1 ˜ FS2 ˜ cos D

)& F

))))))))& ))))))))& )))))))& )))))))& 62, 7732  62, 7732  2 ˜ 62, 773 ˜ 62, 773 ˜ cos 48q

917,842 N

Beispiel 49 – Aufprall eines freien stationären Strahles auf eine feste Wand

Gegeben: Ein freier Wasserstrahl trifft unter einem Winkel von D = 45° schräg auf eine feste Wand. Der mit Q1 = 350 [l/s] austretende und konstante Strahl teilt sich dabei in einen oberen (Q2) und unteren Ablauf (Q3). Der Kontrollschnitt 1-1 erfolgt unmittelbar hinter dem Rohrauslass mit einer Nennweite DN 110.

)))& FS2 2

Referenzdruck:

2

ablaufender Strahl

Q2 F

D Q1 austretender Strahl 1

))& FS1

1

Q3

3

)))& FS 3

3

ablaufender Strahl

Gesucht: Unter Verwendung des vorgegebenen Kontrollraumes ist die resultierende Normalkraftkomponente F auf die Wand zu ermitteln.

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

137

Lösung 49 – Anwendung der Impulsbilanz (Stützkraftsatz)

Da sowohl der austretende Wasserstrahl als auch die ablaufenden Wassermassen unter Atmosphärendruck stehen, gibt es im Kontrollraum gegenüber dem Referenzdruck keinen Druckunterschied. Damit entfallen in den Kontrollschnitten 1-1, 2-2 und 3-3 die Wasserdruckanteile in den jeweiligen Stützkräften komplett. Auch entlang der Wand verursachen die umgelenkten und ablaufenden Wassermassen keinerlei Normalkomponenten, sodass für die Normalkraft gilt: )& )))& F FS1 ˜ sin D Für die Stützkraft selbst ergibt sich unter Berücksichtigung der mittleren Fließgeschwindigkeit aus der Kontinuität am Rohraustritt: )))& FS1 U ˜ Q1 ˜ v1 v1 | v1 mit v1

Q1 A1

0,350

S ˜ 0,112

36,829

m s

4

Damit ist die gesuchte Normalkraftkomponente: )& )))& F FS1 ˜ sin D U ˜ Q ˜ v1 ˜ sin 45q 1000 ˜ 0,350 ˜ 36,829 ˜ 0, 707

9,115 kN

Beispiel 50 – Kräfte auf eine stationär durchströmte konische Rohrverjüngung

Gegeben: Eine horizontal verlegte Rohrleitung erfährt über ein konisches Reduzierstück eine Querschnittsverringerung. Der Nennweitenübergang erfolgt von DN 1000 auf DN 800. Um die Muffen der Rohrverbindung nicht zu stark zu belasten, ist ein Widerlager vorzusehen. Im Inneren des Rohrsystems fließen Q = 4,75 [m³/s]. Zu Beginn des Reduzierstückes herrscht ein Druck von p1 = 54 [kN/m²]. 1

2 Widerlager F/2 v1

FI1

Q

FW2

v2

FI2

FW1 F/2

Widerlager 1

2

Gesucht: Unter Verwendung des vorgegebenen Kontrollraumes ist die zu gleichen Teilen links und rechts am Widerlager anzusetzende resultierende Kraftkomponente F/2 zu ermitteln. Reibungskräfte sind zu vernachlässigen.

138

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Lösung 50 – Anwendung der Impulsbilanz (Stützkraftsatz)

Auch hier ist das Eigengewicht aus Reduzierstück und der Wassermasse für die Auflagerkraft nicht relevant, da sie eine um 90° zur Widerlagerkraft versetzte Wirkungslinie aufweist. Aus der Wassermenge und den Durchmessern werden zunächst die Geschwindigkeiten bzw. die Geschwindigkeitshöhen ermittelt: A1 A2

S ˜ d12

S ˜1, 002

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,802

4

4

0, 785 m2 0,503 m 2

v1

Q A1

4, 75 0, 785

6, 048 m o

v12 2g

v2

Q A2

4, 75 0,503

9, 450 m o

v22 2g

1,865 m

4,553 m

Aus der Energiegleichung lässt sich über die Druckhöhen hD1 und hD2 der Druck p2 bestimmen: v12 p  1 2g U ˜ g p2

1,865+

54 ˜103 103 ˜ g

§ v22 · ¨© hE  2 g ¸¹ ˜ U ˜ g

7,371 m

7,371  4,553 ˜103 ˜ g = 27,639

kN m2

Nunmehr lassen sich Wasserdruckkraft und Impuls berechnen: )))& FW1 U ˜ Q ˜ v1 103 ˜ 4, 75 ˜ 6, 048 28, 727 kN )))& FW2 U ˜ Q ˜ v2 103 ˜ 4, 75 ˜ 9, 450 44,887 kN ))& FI1 p1 ˜ A1 54 ˜ 103 ˜ 0, 785 42, 412 kN )))& FI 2 p2 ˜ A2 27, 639 ˜103 ˜ 0,503 13,893 kN Die Auflagerkräfte ergeben sich aus dem Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung: )& ))& )))& )))& )))& )& ))& )))& )))& )))& F 0 kN o F FI1  FW1  FI 2  FW2 FI1  FW1  FI 2  FW2  2 ˜ 2 )& F 42, 412  28, 727  13,893  44,887 12,359 = 6,180 kN 2 2 2 Beispiel 51 – Hydrodynamische Kräfte auf einen „schwebenden“ Ball

Gegeben: Ein Fußball mit einem Gewicht von m = 370 [gr] wird bei absoluter Windstille durch einen vertikalen Wasserstrahl am Schweben gehalten. Die aus der vertikalen Rohrleitung stationär austretende Wassermenge beträgt Q = 35 [l/s]. Zur Wasserstrahlbündelung weist die Rohrleitung am Ende eine Düse mit Nennweitenübergang von d1 = 250 [mm] zu d2 = 100 [mm] auf.

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

139

v3

v3 z

v2, A2 v1 ,p1, A1 Q

Gesucht: der Wasserdruck p1 unmittelbar vor dem Reduzierstück im Inneren der Rohrleitung sowie die Distanz z vom Wasseraustritt bis zur Ballunterkante, wenn die Reibung sowohl im Rohr als auch zwischen Wasser und Luft und Wasser und Ball vernachlässigt wird. Des Weiteren soll von einem punktuellen Auftreffen des Wasserstrahls ausgegangen werden, sodass in diesem Punkt eine horizontale Umlenkung der sich teilenden Wassermassen einsetzt. Lösung 51 – Anwendung von Energiegleichung und Impulsbilanz

Um den Fußball in Balance zu halten, muss seine Gewichtskraft gleich der entgegengesetzt wirkenden Impulskraft sein. Der Atmosphärendruck agiert hier wiederum als Referenzdruck und herrscht damit sowohl innerhalb als auch außerhalb der Leitung, er bleibt deshalb unberücksichtigt. FG

FI3L

v3

v3 v3

FI3R

FI3

Aus den Durchmessern ergeben sich die Querschnittsflächen und zusammen mit der Energiegleichung erhält man die Geschwindigkeiten: A1 A2

v1

S ˜ d12

S ˜ 0, 2502

4

4

S ˜ d 22

S ˜ 0,1002

4

4

Q A1

0, 035 0, 049

0, 713

0, 049 m 2 0, 008 m 2

v2 m o 1 s 2g

0, 026 m

140

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

v2

Q A2

0, 035 0, 008

4, 456

v2 m o 2 s 2g

1, 013 m

Aus der Energiegleichung ergeben sich nunmehr der Druck bzw. die Druckhöhe am Beginn des Reduzierstücks. Da beim Wasseraustritt der Atmosphärendruck herrscht und in der Düse die Reibung vernachlässigt werden darf, muss die Energiehöhe der kinetischen Höhe der Austrittsgeschwindigkeit entsprechen: hE =

v12 p  1 2g U ˜ g

v22 2g

p1

§ v22  v12 · ¨ ¸˜ U ˜ g © 2g ¹

1, 0132 2g

1, 013 m

§ 1, 0132  0, 7132 · 3 ¨ ¸ ˜10 ˜ g 2g © ¹

9, 675

kN m2

Die Geschwindigkeitshöhe, mit der das Wasser aus der Düse austritt, reduziert sich auf dem Weg zum Ball um das Maß z. Diese Maß ergibt sich über die Geschwindigkeit aus dem Kräftegleichgewicht und der Energiegleichung. FG v3

m˜ g

U ˜ Q ˜ v3 o 0,370 ˜ g 103 ˜ 0, 035 ˜ v3

0,370 ˜ g 103 ˜ 0, 035

0,104

m s

Mit v3 ergibt sich der Abstand zwischen Düsenaustritt und schwebendem Ball wie folgt: v22 2g

v32  'z o 'z 2g

v22  v32 2g

4, 4562  0,1042 2g

1, 012 m

Beispiel 52 – 90°-Krümmer

Gegeben: Im Rahmen einer Triebwasserversorgung werden zwei gegensinnig, vertikal hintereinander geschaltete 90°-Krümmer verwendet, Innendurchmesser DN 2000. Kontrollraum I

Q

Widerlager 2r

Q Kontrollraum II Widerlager

Die Wandstärken der Krümmer betragen t = 37 [mm], der für die Krümmer verwendete Stahl weist eine Dichte von St = 7850 [kg/m³] auf. Jeweils am oberen und unteren horizontalen

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

141

Übergang der Triebwasserleitung in die Krümmer sind Dehnungsbuchsen vorgesehen, die eine Längskraftübertragung in Fließrichtung verhindern. Am Übergang vom horizontalen Rohr in den oberen Krümmer herrscht eine Druckhöhe von hD = 45 [m], der Radius der Krümmung ist r = 2,00 [m]. Der Volumenstrom beträgt Q = 15 [m³/s]. Gesucht: Wie groß sind die durch die stationäre Fließbewegung auf die Krümmer ausgeübten Kräfte, wenn man die Reibungskräfte vernachlässigen darf. Lösung 52 – Anwendung von Energiegleichung und Impulsbilanz

154,05 kN

0 kN

Querkraftverlauf:

Normalkraftverlauf: 0 kN

Lastkombination: Wasser- und Eigengewicht

Lastkombination: Wasser- und Eigengewicht

0 kN

154,05 kN 0 kN (Statik wurde mit der Version AxisVM10, ©Inter-CAD Kft., 1991–2010 gerechnet.) Die Gewichtskraft des Wassers wirkt lotrecht zur Rohrachse, sodass an den Kontrollschnitten nur Kräfte im rechten Winkel zur Wasserdruckkraft angesetzt werden können. Sofern Kräfte in Achsrichtung wirken würden, wären diese bereits in der Wasserdruckkraft berücksichtigt und dürften nicht erneut in Rechnung gestellt werden. FGW 1

FGW 2

U ˜ g ˜ VW

U ˜ g ˜ A˜l

U˜g˜

S ˜ 2, 00 S ˜ 2, 00

S ˜d2 S ˜r 4

˜

2

2

FGW 1

FGW 2

103 ˜ g ˜

4

˜

2

96, 788 kN

Darüber hinaus wirken sowohl am Einlauf des oberen Krümmers als auch am Auslauf des unteren Krümmers je zur Hälfte die Eigengewichtskräfte der gegensinnig gekrümmten Rohrleitung. Die Dehnungsbuchsen am oberen und unteren Widerlager würden darüber hinaus Horizontalkräfte, beispielsweise aus Temperaturdehnung, vollständig aufnehmen. Flanschund Schraubverbindungen wurden bei der Eigenlastberechnung unberücksichtigt gelassen. Im Folgenden werden die Auflagerkräfte infolge Krümmer-Eigenlast ermittelt, Reibungskräfte zwischen Wasser und Rohrinnenseite des Krümmers werden vernachlässigt:

S ˜ ª d  2t  d 2 º S ˜ r ¬ ¼ 2

FGK 1

FGK 2

U St ˜ g ˜ VK

U St ˜ g ˜ AK ˜ l

U St ˜ g ˜

4

˜

2

142

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

S ˜ ª 2, 00  2 ˜ 0, 037  2, 002 º S ˜ 2, 00 ¬ ¼ 2

7850 ˜ g ˜

FGKi

˜

4

57, 264 kN

2

Für die Stützkräfte ergeben sich die Geschwindigkeitshöhen über die Rohrdurchmesser und die Druckhöhen aus der Energiegleichung: A

S ˜d2

S ˜ 2, 002

4

4

Q A

v

15, 00 3,142

3,142 m 2

4, 775

m v2 o s 2g

1,162 m

Aus der Energiegleichung ergibt sich nunmehr der Druck bzw. die Druckhöhe am Ende des ersten Krümmers (Schnitt 2-2). Da die Geschwindigkeitshöhe konstant ist, ergibt sich der Druckhöhenzuwachs durch schrittweise Addition des Krümmungsradius (vergl. Schnitt 4-4). hE =

v2  hD1  r 2g

hE =

v2  hD1  2 ˜ r 2g

v2  hD2 Ÿ hD2 2g

45, 00  2, 00

v2  hD3 Ÿ hD2 2g

47, 00 m

45, 00  4, 00

49, 00 m

Aus der Druckhöhe erhält man den für die Wasserdruckkraft erforderlichen Druck: ˜103 ˜ g ˜ 45, 00

44,130

kN m2

U ˜ g ˜ hD

2

˜103 ˜ g ˜ 47, 00

46, 091

kN m2

U ˜ g ˜ hD

3

˜103 ˜ g ˜ 49, 00

48, 053

kN m2

p1

U ˜ g ˜ hD

p2

p3

1

Nachfolgend sind die beiden Kontrollräume mit den anzusetzenden Kräften dargestellt, im Schnitt 2-2 und 3-3 wirkende Momente sind nicht eingetragen, da sie keine Auswirkung auf die jeweilige Reaktionskraft haben. FI3

1 FI1

FW1

p1

FW3

F1

FGK1

3 p2

2 FGW1 1

4 p2

3

F2

2 p3

FW2 FI2

FW4

4

FGK2 FGW2

FI4

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

143

Die Stützkräfte an den Schnitten 1-1 und 2-2 lassen sich wie folgt angeben: FS1

FW1  FI1

p1 ˜ A  U ˜ Q ˜ v 1386,382  71, 620 1458, 002 kN

FS2

FW2  FI2

p2 ˜ A  U ˜ Q ˜ v 1447,999  71, 620 1519, 619 kN

Analog ergeben sich die Stützkräfte an den Schnitten 3-3 und 4-4: FS3

FW4  FI4

FS2 und FS4

1509, 616  71, 620 1581, 236 kN

Durch die vektorielle Addition der einzelnen Kraftkomponenten lassen sich die einzelnen Reaktionskräfte auf die Krümmer sowie der Winkel gegenüber der Horizontalen bestimmen:





2

F1

FS21  FS2  FGK1  FGW1

F1

1458, 0022  1519, 619  57, 264  96, 788

F2

FS24  FS3  FGK2  FGW2

F2

1581, 236 2  1519, 619  57, 264  96, 788





2

2219, 672 kN

2

2

2089, 278 kN

Für diese hydrodynamischen Reaktionskräfte ergibt sich die Notwendigkeit zum Bau von weiteren Widerlagern, direkt in den 45°-Punkten beider Krümmer. Die Winkel der Reaktionskräfte gegenüber der Horizontalen ergeben sich aus dem Tangens von Vertikal- und Horizontalkraft: FS2  FGK1  FGW1

D

a tan

D

48,94 °

E

a tan

E

40,81 °

2 S1

F

FS3  FGK 2  FGW2 FS24

a tan

1519, 619  57, 264  96, 788 1458, 002

a tan

1519, 619  57, 264  96, 788 1581, 236

Kräfteplan der Reaktionskräfte (Krafteck): oberer 90°-Krümmer

Reaktionskraft F1

D Stützkraft FS1

Stützkraft FS2

Krümmergewichtskraft FGK1 Wassergewichtskraft FGW1

144

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Fortsetzung: unterer 90°-Krümmer

Reaktionskraft F2

Stützkraft FS3

Krümmergewichtskraft FGK2 Wassergewichtskraft FGW2

E

Stützkraft FS4

Werden F1 und F2 durch zusätzliche Auflagerkonstruktionen gehalten, so ergeben sich daraus keine weiteren Belastungskomponenten für die Druckleitung. Beispiel 53 – Neigungswechsel in einer Rohrleitung

Gegeben: Im Verlauf einer Druckleitung DN 800 kommt es zu einer Neigungsänderung um D = 10° gegenüber der Horizontalen. Die Rohrlängen betragen vor und hinter dem Knickpunkt jeweils 15 [m], der eingebaute 10°-Krümmer hat ein Gewicht von G = 185 [kg] sowie eine Bogenlänge von 35 [cm]. Am Anfang der noch horizontal verlaufenden Rohrleitung herrscht ein Druck von pA = 55 [kPa], die relative Rauheit der Rohrleitung beträgt kb = 0,4 [mm]. Der Volumenstrom beträgt Q = 4,15 [m³/s]. Gesucht: Wie groß sind die durch die stationäre Fließbewegung auf den Knickpunkt ausgeübten Kräfte, wenn man die Reibungskräfte mit zu berücksichtigen hat. Kontrollraum pA = 55 [kPa] D = 10°

Q Widerlager l1 = 2,5 [m]

l2 = 10 [m]

Widerlager

l3 = 2,5 [m] l1 = 2,5 [m]

l2 = 10 [m]

l3 = 2,5 [m]

Lösung 53 – Anwendung von Energiegleichung und Impulsbilanz

Die Gewichtskräfte der geradlinigen Rohre werden vollständig von den Widerlagen aufgenommen, Normalkräfte werden in den Dehnungsbuchsen abgebaut. Für die am Kontrollraum anzusetzenden Anteile der Gewichtskräfte gilt unter Vernachlässigung der Flansche und Schrauben:

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

145

G ˜ g 185 ˜ g 907,115 N 2 2 FGK 1 ˜ cos D 907,115 ˜ cos10q 893,334 N

FGK 1 FGK 2

Für die Kraft, die aus dem im Bogenstück befindlichen Wasser heraus resultiert, gilt analog:

S ˜ d 2 0,35

FGW 1

4

˜

2 FGW 1 ˜ cos D

FGW 2

˜U ˜g

S ˜ 0,802 0,35

˜ ˜103 ˜ g 4 2 862, 638 ˜ cos10q 849,533 N

862, 638 N

Zur weiteren Berechnung der Stützkräfte sind die Geschwindigkeit sowie die in Richtung der Rohrachse wirkenden Komponenten des Wassergewichts durch Bestimmung des Druckverlustes zu ermitteln. A v

S ˜d2

S ˜ 0,802

4

4

Q A

4,15 0,503

8, 256

0,503 m2 m v2 o s 2g

3, 475 m

Die Geschwindigkeit und auch die Geschwindigkeitshöhe sind konstant, anders verhält es sich mit dem Druck bzw. der Druckhöhe. Bei der Vorgabe von Volumenstrom, Geschwindigkeit, Nennweite und der betrieblichen Rauigkeit kann man zur Ermittlung der Verlusthöhe hv alternativ zum universellen Widerstandsgesetz auch Abflusstabellen für voll durchströmte Rohre, wie diese im Anhang des Buches, benutzen. Bei korrekter Anwendung und richtiger Interpolation erhält man für die Nennweite DN 800 und der nächstgelegenen Geschwindigkeit von vTab = 9,67 [m/s] ein Energieliniengefälle von IE = 10 % bei QTab = 4862 [l/s]. Da weder der Volumenstrom noch die Geschwindigkeit den Werten im vorliegenden Beispiel entspricht, ist nach folgender Gleichung zur Interpolieren (Q ist in [l/s] einzusetzen!): IE

§ Q · I ETab ˜ ¨ ¸ © QTab ¹

2

§ 4150 · 0,1 ˜ ¨ ¸ © 4862 ¹

2

0, 07286

7, 286 %

Die Verlusthöhe bis zum 10°-Krümmer errechnet sich damit wie folgt: hv

IE ˜ L

0, 07286 ˜15, 00 1, 093 m

Unter Verwendung der Energiehöhengleichung erhält man unmittelbar am Krümmer folgenden abgeminderten Druck: hE

pA v2  U ˜ g 2g

p1 v2   hv U ˜ g 2g

p1

§ · v2 h   hv ¸ ˜ U ˜ g ¨ E 2g © ¹

p1

 9, 084  3, 475  1, 093 ˜103 ˜ g

o hE

55 ˜103  3, 475 9, 084 m 103 ˜ g

44, 281 Pa

44, 281

kN m2

Nach der Druckminderung im Inneren des Krümmers ergibt sich am Ende des Krümmers folgender Druck:

146

5 Impulsbilanz der Hydromechanik 'hv

IE ˜ L

0, 07286 ˜ 0,35

0, 025 m

p2

§ · v2  hv  'hv ¸ ˜ U ˜ g ¨ hE  g 2 © ¹

p2

 9, 084  3, 475  1, 093  0, 026 ˜103 ˜ g

44, 033 Pa

kN m2

44, 033

Somit ist im Schnitt 1-1 des Kontrollraums folgende Stützkraft anzusetzen: p1 ˜ A  U ˜ v ˜ Q

FS1

FW1  FI1

FS1

44, 281 ˜ 0,503  103 ˜ 8, 256 ˜ 4,15 56,522 kN

Analog gilt für den Schnitt 2-2: p2 ˜ A  U ˜ v ˜ Q

FS2

FW2  FI2

FS2

44, 033 ˜ 0,503  103 ˜ 8, 256 ˜ 4,15 56,396 kN

1

2 Reaktionskraft F

D Stützkraft FS1 Stützkraft FS2

Gewichtskraft FG1 Gewichtskraft FG2 1

2

Die Gewichtskräfte aus Rohr und Wasser ergeben sich wie folgt: FG1

FGK 1  FGW 1

0,907  0,863 1, 770 kN

FG2

FGK 2  FGW 2

0,893  0,850 1, 743 kN

Die vektorielle Addition der vier Kräfte ergibt die resultierende Reaktionskraft im Krümmer: FH

FS1  FS2 ˜ cos D  FG2 ˜ sin D

FH

56,522  56,396 ˜ cos10q  1, 743 ˜ sin10q

FV

FG1  FS2 ˜ sin D  FG2 ˜ cos D

FV

1, 770  56,396 ˜ sin10q  1, 743 ˜ cos10q

F

FH2  FV2

0, 6802   6,307

2

0, 680 kN 6,307 kN

6,344 kN

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl FV FH

tan E

6,307 0, 680

147

83,848q

Grafische Überlagerung in Form des Kräfteplans (Krafteck): Reaktionskraft F Stützkraft FS2 E

Stützkraft FS1

Gewichtskraft FG1 FG2

Beispiel 54 – 90°-T-Stück mit Blindstutzen

Gegeben: An einem horizontalen T-Stück wurde in Anströmrichtung temporär ein Blindstutzen angebracht, der Bereich vor dem Stutzen wird nicht durchströmt (Totzone). Das Rohrleitungssystem führt Q = 6,7 [m³/s] Wasser und hat eine Nennweite DN 800. Am Eingang des TStücks herrscht ein Druck im Rohr von 65 [kPa]. Der Krümmungsradius beträgt das 1,5-fache der Nennweite der Rohrleitung. 3

1

Blindstutzen Q r = 1,20 [m] 2

2 Kontrollraum

1

3

Gesucht: Wie groß ist die durch die stationäre Fließbewegung auf den Blindstutzen ausgeübte Kraft, wenn die Reibungskräfte unberücksichtigt bleiben dürfen. Lösung 54 – Anwendung von Energiegleichung und Impulsbilanz

Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man bei stationären Verhältnissen die mittlere Fließgeschwindigkeit im Leitungsabschnitt. A v

S ˜d2

S ˜ 0,802

4

4

Q A

0,503 m2

6, 70 m 13,329 0,503 s

148

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Damit lassen sich die Stützkräfte je Schnittseite wie folgt ermitteln: Schnitt 1-1:

Schnitt 2-2:

Schnitt 3-3:

p ˜ A  U ˜v ˜Q

FS1

FW1  FI1

FS1

65, 00 ˜ 0,503  103 ˜13,329 ˜ 6, 70 89,338 kN

FS2

FW2  FI 2

FS2

0, 650 ˜ 0,503  103 ˜13,329 ˜ 6, 70 89,338 kN

FS3

FW3  FI3

FS3

0, 650 ˜ 0,503  103 ˜ 0, 00 ˜ 6, 70

p ˜ A  U ˜v ˜Q

p ˜ A  U ˜v ˜Q 0, 033 kN

Die Fließgeschwindigkeit im Blindstützen ist näherungsweise Null, d. h. FI3 = 0! Durch vektorielle Addition der drei Stützkräfte ergibt sich die resultierende Reaktionskraft: FH

FS1  FS3

FH

89,338  0, 033 89,306 kN

FV

FS2

FV

89,338 kN

F

FH2  FV2

tan E

FV FH

89,306 2  89,334 2

89,334 89,306

126,321 kN

45, 01q

Grafische Überlagerung in Form des Kräfteplans (Krafteck):

Reaktionskraft F Vertikalkraft FV

E

Horizontalkraft FH

Beispiel 55 – 90°-T-Stück DN 900/DN 600

Gegeben: An einem horizontalen T-Stück DN 900 ist im 90°-Winkel ein Anschlussstutzen DN 600 angebracht. Das Rohrleitungssystem führt Q = 7,5 [m³/s] Wasser, davon fließen 35 % im

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

149

kleineren Querschnitt. Am Eingang des T-Stücks herrscht ein Druck im Rohr von 65 [kPa]. Der Krümmungsradius ist r = 0,50 [m]. Gesucht: Berechnen Sie nach Betrag und Richtung die durch die stationäre Fließbewegung auf das T-Stück ausgeübte Kraft, wenn die Reibungskräfte unberücksichtigt bleiben. 1

Kontrollraum

2

Q

DN 900

DN 900

r = 0,50 [m] 3

3 2

1

DN 600 Lösung 55 – Anwendung der Impulsbilanz

Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man bei stationären Verhältnissen die mittlere Fließgeschwindigkeit im Leitungsabschnitt. A1

S ˜ d12 4

S ˜ 0,902

4 0, 636 m 2

A2

A1

A3

0, 283 m 2

v1

Q1 A1

v2 v3

7, 75 0, 636

0, 636 m 2

12,182

m s

m s m 9,594 s 7,918

Damit lassen sich die Stützkräfte je Schnittseite wie folgt ermitteln: Schnitt 1-1:

Schnitt 2-2:

Schnitt 3-3:

p ˜ A1  U ˜ v1 ˜ Q1

FS1

FW1  FI1

FS1

65, 00 ˜10 ˜ 0, 636  103 ˜12,182 ˜ 7, 75 135, 763 kN

FS2

FW2  FI2

FS2

65, 00 ˜103 ˜ 0, 636  103 ˜ 7,918 ˜ 5, 038 81, 240 kN

FS3

FW3  FI3

FS3

65, 00 ˜10 ˜ 0, 283  103 ˜ 9,594 ˜ 2, 712

3

p ˜ A2  U ˜ v2 ˜ Q2

p ˜ A3  U ˜ v3 ˜ Q3 3

44, 401 kN

Durch vektorielle Addition der drei Stützkräfte ergibt sich die resultierende Reaktionskraft:

150

5 Impulsbilanz der Hydromechanik FH

FS1  FS3

FH

135, 763  44, 401 91,363 kN

FV

FS2

FV

81, 240 kN

F

FH2  FV2

tan E

FV FH

91,3632  81, 2402

81, 240 91,363

122, 259 kN

41, 64q

Grafische Überlagerung in Form des Kräfteplans (Krafteck):

Reaktionskraft F Vertikalkraft FV

E

Horizontalkraft FH

Beispiel 56 – Rohrleitung mit plötzlicher Querschnittserweiterung

Gegeben: In einem horizontal verlaufenden Rohr findet ein hydraulisch ungünstiger Fließquerschnittswechsel von DN 600 auf DN 800 statt. Im Inneren kommt es beim Übergang in den größeren Querschnitt zu Ablöseerscheinungen. Die Strömungsvorgänge sind – wie dargestellt – von komplizierter Art! An der Stelle der plötzlichen Erweiterung löst sich die Strömung ab und es bildet sich ein Rückstrom- und Wirbelgebiet aus. Diese örtlichen Wirbel wandeln Strömungsenergie in Wärmeenergie um und es kommt zu Energieverlusten. Die Energieverluste beginnen an der Ablösungsstrecke und verlaufen über die Strecke des Ablösungsgebietes. Zum Abfluss gelangen stationär Q = 5,0 [m³/s] Wasser. An der Übergangsstelle herrscht ein Druck von 55 [kPa]. Weitere Reibungseinflüsse werden vernachlässigt.

5.3 Impulsbilanz für Rohre und Freistrahl

151 1

2

1

2

Kontrollraum Q

Gesucht: Ermitteln Sie die Energiehöhe am Schnitt 1-1, die Druckhöhenänderung und die Verlusthöhe im weiteren Verlauf der Rohrleitung sowie die Druckhöhe hD2. Lösung 56 – Anwendung von Energiegleichung und Impulsbilanz

Aus der Kontinuitätsgleichung erhält man bei stationären Verhältnissen, die mittlere Fließgeschwindigkeit bzw. die Geschwindigkeitshöhe je Leitungsabschnitt: A1

v1 A2 v2

S ˜ d12

S ˜ 0, 602

4

4

Q A1

0, 283 m 2

5, 00 m 17, 684 0, 283 s

S ˜ d 22

S ˜ 0,80 2

4

4

Q A2

5, 00 0,503

9,947

o

v12 2g

15,994 m

v22 2g

5, 045 m

0,503 m 2 m s

o

Bezogen auf den Kontrollraum wird angemerkt, dass dieser besonders sinnvoll so zwischen den Querschnitten 1-1 und 2-2 festzulegen ist, dass er den kompletten Ablösebereich einschließt. Der Schnitt 1 wird unmittelbar nach der Erweiterung gelegt. Hier wirkt noch der Druck p1 auf den Querschnitt A2, während die Fließgeschwindigkeit v1 noch derjenigen im engen Rohr entspricht. Der Schnitt 2 wird in ausreichendem Abstand am Ende der Wirbelbildung angeordnet. 1

0

2 hv

hkin1

hkin1

hv hkin2

hD hD2 hD1

hD1

Der Stützkraftsatz ergibt sich damit in folgender Form:

152

5 Impulsbilanz der Hydromechanik FS1

FS2

o p1 ˜ A2  U ˜ Q ˜ v1

p2 ˜ A2  U ˜ Q ˜ v2

Dividiert man diese Gleichung durch ·g·A2, so erhält man folgenden Ausdruck für den Druckunterschied hD: p1 Q ˜ v1  U ˜ g A2 ˜ g 'hD 'hD

p2 Q ˜ v2  U ˜ g A2 ˜ g

p2 p  1 U˜g U˜g

p1 v ˜v  1 2 U˜g g

o

p2 v2  2 U˜g g

v2 ˜  v1  v2

v1 ˜ v2  v22 g

g

9,947 ˜ 17, 684  9,947

7,848 m

g

Als Energiehöhe ergibt sich aus der Bernoulli-Gleichung: hE

hE1

hD1  hkin1

p1 v2  1 U ˜ g 2g

55, 00 ˜103  15,944 103 ˜ g

21,553 m

Des Weiteren folgt aus der Energiebetrachtung für die Verlusthöhe, als Borda-Verlusthöhe bezeichnet, folgender Zusammenhang: hv

hv

hkin1  'hD

v12 2v2 ˜  v1  v2  2g 2g

17, 684  9,947 2g

v12  2v1v2  v22 2g

 v1  v2

2

2g

2

3, 052 m

Für die Druckhöhe hD2 ergibt sich damit abschließend: hE1

hD2  hkin2  hv o hD2

hE1  hkin2  hv

hD2

21,553  5, 054  3, 052 13, 456 m

Kontrolle: hD1  'hD  hkin2  hv

5, 698  7,848  5, 054  3, 052

21,553 m

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne Beispiel 57 – Gerinne mit plötzlicher Querschnittsvergrößerung

Gegeben: ein trapezförmiger und symmetrischer Gerinneabschnitt unter Normalabfluss mit konstantem Sohlgefälle IS = 4,7 ‰. Der Querschnitt dieses Gerinnes vergrößert sich auf sehr kurzem Fließweg, wodurch es zu sehr turbulenten Verwirbelungen kommt. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt im Oberstrom (also in Fließrichtung noch vor den Verwirbelungen) v1 = 4,21 [m/s] bei einer Wassertiefe h1 = 1.05 [m] und einer Sohlbreite b1 = 1,80 [m]. Die Böschungsneigung ist ober- und unterstromseitig konstant 1: m = 1:1,5; die zugehörige Sohlbreite im Unterwasser beträgt b2 = 3,80 [m], der Strickler-Beiwert des Unterwassers ist kSt2 = 23 [m1/3/s].

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

153 2

1 Draufsicht

Q

b1

b2

Übergang Kontrollraum

kSt1

kSt2

Vertikalschnitt

h1N

1

2

h2N

Anmerkung: Trifft in einem Gerinne ein schießender Abfluss mit vom Oberwasserwasser vorgegebener Energiehöhe hE1 auf einen strömenden Abfluss mit vom Unterwasser vorgegebener Energiehöhe hE2 < hE1, ist der Übergang vom Schießen zum Strömen in Anpassung der verschiedenen Energiehöhen stets mit Wechselsprung verbunden. Die Wirbelbildung führt zu der notwendigen Umwandlung von Strömungsenergie in Wärmeenergie, also zum Auftreten einer Verlusthöhe hv. Die Berechnung ist wegen der komplizierten Strömungsverhältnisse im Inneren des Wechselsprungs mit der Energiegleichung nicht möglich! Zum Nachweis der Verlusthöhe bietet sich auch hier die Impulsgleichung bzw. der Stützkraftsatz für einen freigeschnittenen Bereich des Wechselsprunges an, da hierbei die Strömungsvorgänge im Inneren des Kontrollraumes gekapselt und damit an den Kontrollschnitten hydraulisch unwirksam sind. – Da innerhalb des Kontrollraums in Fließrichtung Kräfte nicht vom Gerinne aufgenommen werden, muss Gleichgewicht zwischen den Kräften FS1 und FS2 herrschen, wenn ein Wechselsprung an der gedachten Stelle auftreten soll. Gesucht: Es ist festzustellen, welcher kSt-Wert für das Oberwasser dieses Gewässer vorliegt. Wie groß ist der Normalbfluss Q? Tritt an der beobachteten Position ein Wechselsprung auf? Wenn „ja“, um welche Art von Wechselsprung handelt es sich? Prüfen Sie dazu, ob die konjugierte Wassertiefe h2K nach dem Wechselsprung der Normalwassertiefe h2N des Gerinnes entspricht.

154

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Lösung 57 – Anwendung der Impulsbilanz mit Wasserspiegelanalyse

Der Manning-Strickler Beiwert lässt sich aus der gemessen mittleren Geschwindigkeit im Oberwasser mit IE = IS wie folgt ableiten (Normalabfluss): 2

v

1

v

k St ˜ rhy 3 ˜ I E2 Ÿ k St

2 3

1

rhy ˜ I E2

Für den hydraulischen Radius gilt: A1

b1 ˜ h1 N  m ˜ h12N

lU1

b1  2h1N ˜ 1  m 2

rhy1

A1 lU1

3,544 5,586

1,80 ˜1, 05  1,5 ˜1, 052

3,544 m2

1,80  2 ˜1, 05 ˜ 1  1,52

5,586 m

0, 634 m

Nunmehr ergibt sich mit IE = IS wegen des Normalabflusses: 1

v1

k St1

2

4, 21 2

1

rhy 3 ˜ I E2

1

0, 634 3 ˜ 0, 0047 2

m3 | 83 s

Der Abfluss ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung zu: Q

v1 ˜ A1

1, 05 ˜ 3,544 14,919

m3 s

Der Grenzzustand für den ermittelten Abfluss wird durch die Grenztiefe festgelegt, diese ist jedoch nur iterativ zu ermitteln. Die Grenzwassertiefe kann aus der Gleichung für den Grenzabfluss mit Q = Qgr wie folgt aufgelöst werden: hgr

1 Q2 ˜3 ˜  b1  2m ˜ hgr b1  m ˜ hgr g

Mit einem Startwert von hgr = 1,10 [m] erhält man beim Einsetzen auf der rechten Gleichungsseite links hgr,neu = 1,413 [m], nach 5 weiteren gleichartigen Iterationsschritten wird hgr wie folgt bestätigt: hgr

1,337 m

Ob sich an der angedachten Position ein Wechselsprung einstellt, wird durch den Vergleich der Wassertiefen ermittelt: h1N  hgr Ÿ Fließart h1N "schießen"

Der Normalabfluss und die Fließart im Gerinne unterhalb der Aufweitungsstelle werden mit der Kontinuitätsgleichung und der Manning-Strickler Gleichung gelöst: 2

Q

v2 ˜ A2

1

k St 2 ˜ rhy3 2 ˜ I E2 ˜ A2

Diese Gleichung ist wiederum nur iterativ zu lösen, da die gesuchte Wassertiefe h2N verschachtelt in ihr vorkommt, wie die nachfolgende und gleichbedeutende Formel zeigt.

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

Q

§ b ˜ h  m ˜ h2 2N k St 2 ˜ ¨ 2 2 N ¨ b  2 ˜ h ˜ 1  m2 2N © 2

155

2

·3 1 ¸ ˜ I E2 ˜  b2 ˜ h2 N  m ˜ h22N ¸ ¹

Die iterative Lösung liefert folgenden Wert: h2 N

1,541 m

hgr ! h2 N Ÿ Fließart h2 "strömen"

Der Fließzustand ist oberhalb der Gerinneaufweitung schießend und unterhalb strömend. Dieser Fließartenwechsel geht mit einem Wechselsprung vor sich, der je nachdem, ob die zu h2 konjugierte Wassertiefe h2K kleiner oder größer ist als h1N, vor oder nach der Aufweitung liegt. Die konjugierte Wassertiefe h2K ist jene Wassertiefe, die mit derselben Stützkraft und der anderen Fließart auftritt. Unter Vernachlässigung der vertikalen Anteile aus der Wasserlast lautet der Stützkraftsatz eines offenen Gerinnes: FS

U ˜ g ˜ zS ˜ A  U ˜ Q ˜ v

FW  FI

Die Impulskraft wird analog zur Rohrhydraulik berechnet, die Größe der Wasserdruckkraft hingegen wird nach hydrostatischen Grundsätzen ermittelt. Sie ist das Produkt aus der Querschnittsfläche des Gerinnes und dem Druck im Flächenschwerpunkt. Die Formeln zur Berechnung dieses Schwerpunktabstandes sind dem Anhang entnommen, sie lauten: zS

h bSp  2b ˜ bzw. zS 3 bSp  b

h 3b  2h ˜ m ˜ 6 b  h˜m

In der Wassertiefe h = h1N erhält man mit b = b1 und für zS1: zS1

h1N 3b1  2 ˜ m ˜ h1N ˜ 6 b1  m ˜ h1N

1, 05 3 ˜1,80  2 ˜1,5 ˜1, 05 ˜ 6 1,80  1,5 ˜1, 05

0, 443 m

In der Wassertiefe h = h2N erhält man mit b = b2 und für zS2: z S2

h2 N 3b2  2 ˜ m ˜ h2 N ˜ 6 b2  m ˜ h2 N

1,541 3 ˜ 3,80  2 ˜1,5 ˜1,541 ˜ 6 3,80  1,5 ˜1,541

0, 673 m

Die für den Stützkraftsatz im Unterwasser repräsentative Geschwindigkeit ist: v2

Q A2

Q b2 ˜ h2 N  m ˜ h22N

14,919 3,80 ˜1,541  1,5 ˜1,5412

1,584

m s

Für die Stützkraft am Kontrollschnitt 1 gilt: FS1

U ˜ g ˜ z S ˜  b1 ˜ h1N  m ˜ h12N  U ˜ Q ˜ v1 1

FS1

103 ˜ g ˜ 0, 443 ˜ 1,80 ˜1, 05  1,5 ˜1, 052  103 ˜14,919 ˜ 4, 21

FS1

15, 407 kN  62,810 kN

78, 217 kN

156

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Für die Stützkraft am Kontrollschnitt 2 gilt: FS2

U ˜ g ˜ zS ˜  b2 ˜ h2 N  m ˜ h22N  U ˜ Q ˜ v2 2

FS2

10 ˜ g ˜ 0, 673 ˜  3,80 ˜1,541  1,5 ˜1,5412  103 ˜14,919 ˜1,584

FS2

62, 210 kN  23, 630 kN

3

85,839 kN

Fazit: FS2 ! FS1

Ÿ

Wechselsprung wandert!

Da die Stützkraft im Unterwasser größer ist als oberhalb, wird der Wechselsprung gegen die Fließrichtung, also in Richtung Oberstrom wandern. Die genaue Position des Wechselsprungs wird mittels konjugierter Wassertiefe bestimmt, für die ein Stützkräftegleichgewicht herrscht. Hierzu wird ein neuer Kontrollraum benötigt, der im Wasserdruck-/ImpulskräfteGleichgewicht zwischen der Normalabflusstiefe h2N und der konjugierten Tiefe h2K steht. Für den Kontrollschnitt auf der Seite der konjugierten Wassertiefe h2K gilt unter Berücksichtigung dieses Gleichgewichts und den allgemeinen Beziehungen für Fläche, Projektionsschwerpunkt und Kontinuitätsgleichung für das Trapez (vergl. vorhergehende Seiten): FS2,konj . FS2,konj .

FS2

85,840 kN

U ˜ g ˜ h2

2K

6

˜  3b2  2m ˜ h2 K 

U ˜ Q2 b2 ˜ h2 K  m ˜ h22K

Auch diese Gleichung kann nur iterativ nach der konjugierten Wassertiefe h2K gelöst werden, als Startwert wird die halbe Grenzwassertiefe hgr angesetzt. Die iterative Lösung liefert dann folgenden Wert (Kontrolle: FS2(h2k) = FS2(h2)): h2 K

0, 607 m

h1N ! h2 K Ÿ

Wechselsprung "eingestaut"

Die konjugierte Wassertiefe ist damit kleiner als die Normalwassertiefe oberhalb der Aufweitungsstelle. Die Abflusstiefe müsste in Fließrichtung von h1N am Querschnittsübergang auf das Maß von h2K vor dem Wechselsprung absinken, was physikalisch jedoch unmöglich ist. Die Stützkraft bei Normalabfluss unterhalb der Aufweitung ist – wie nachgewiesen – größer als jene bei Normalabfluss oberhalb, der Wechselsprung wird deshalb eingestaut. Der Wasserspiegel springt von dort von der Normaltiefe h1N auf die konjugierte Tiefe h1K und passt sich bei strömender Fließart der Normalwassertiefe h2N des Gerinnes unterhalb der Aufweitung an. Für den Kontrollschnitt auf der Seite der konjugierten Wassertiefe h1K gilt unter Berücksichtigung des Gleichgewichts sowie der allgemeinen Beziehung von Trapezfläche, Projektionsschwerpunkt und Kontinuitätsgleichung für das Trapez (vergl. vorhergehende Seiten): FS1,konj . FS1,konj .

FS1

78, 217 kN

U ˜ g ˜ h12K 6

˜  3b1  2m ˜ h1K 

U ˜ Q2 b1 ˜ h1K  m ˜ h12K

Auch diese Gleichung kann nur iterativ nach der konjugierten Wassertiefe h1K gelöst werden, als Startwert wird die Normalbflusstiefe h2N angesetzt. Die iterative Lösung liefert dann folgenden Wert (Kontrolle: FS1(h1k) = FS1(h1)):

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne h1K

157

1, 665 m

Um die Position des Wechselsprungs im Abstand von der Übergangsstelle der Aufweitungsstelle in Richtung Oberstrom zu berechnen, wird ein sogenanntes One-Step-Verfahren angesetzt, wobei ein einziger Schritt zur recht präzisen Abschätzung der horizontalen Projektionsstrecke genügt. – Zwischen dem Wechselsprung und der Aufweitung im Gerinne erfolgt der Abfluss strömend, es ist daher gegen die Fließrichtung zu rechnen. Die zugehörigen Geschwindigkeiten in der Normalabflusstiefe h2N und der konjugierten Wassertiefe h1K betragen: v2  h2 N

Q b2 ˜ h2 N  m ˜ h22N

v1  h1K

Q b1 ˜ h1K  m ˜ h12K

vm

14,919 3,80 ˜1,541  1,5 ˜1,5412 14,919 1,80 ˜1, 665  1,5 ˜1, 6652

v 2  h2 N  v1  h1K

1,584 2, 085

m s m s

1,584  2, 085 m 1,834 2 s

2

Entsprechend sind die Energiehöhen für beide Seiten des Kontrollraumes, der mittlere hydraulische Radius sowie das mittlere Energieliniengefälle zu ermitteln: hE2  h2 N

h2 N 

hE1  h1K

h1K 

rhym

2

2g

v1  h1K

=

1,541 

2

2g

A2  h2 N

rhy2  h2 N rhy1  h1K

v2  h2 N

1, 665 

1,5842 =1,669 m 2g

2, 0852 2g

1,887 m

3,80 ˜1,541  1,5 ˜1,5412

lU 2  h2 N 3,80  2 ˜ 1,541˜ 1  1,5 A1  h1K

=

2

1,80 ˜ 1.665  1,5 ˜ 1, 6652

lU 1  h1K 1,80  2 ˜ 1, 665 ˜ 1  1,5

rhy2  h2 N  rhy1  h1K 2

2

1, 007  0,917 2

9, 418 9,356

1, 007 m

7,155 7,803

0,917 m

0,962 m

2

k Stm

I Em

§ ·3 ¨ ¸ ¨ l h  l h ¸ U2 2N ¨ U1 1 K ¸ ¨ lU1  h1K lU 2  h2 N ¸  ¨ ¸ 3 3 ¨ k2 ¸ 2 kSt1 ¹ St2 © vm2

1,8342 4

k St2 m ˜ rhy3 m

4

2

§ ·3 ¨ ¸ ¨ 7,804  9,357 ¸ ¨ 7,804 9,357 ¸  ¨ ¸ 3 3 ¨ ¸ 83 2 ¹ © 23 2

2

1

m3 § 17,161 · 3 ¨ ¸ | 32 s © 0, 095 ¹

3, 46 ‰

322 ˜ 0,917 3

Die horizontale Entfernung des einsetzenden Wechselsprungs, gemessen vom Übergang zur Aufweitung in Richtung Oberstrom, beträgt:

158

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

'l x

hE1  h1K  hE2  h2 N I E  I Em

1,887  1, 669 | 176 m 0, 0047  0, 00346

Beispiel 58 – Gerinne mit Neigungswechsel

Gegeben: ein gleichförmiges Gerinne mit unsymmetrischem Trapezquerschnitt und der Sohlbreite bS = 2,45 [m] unter Normalabfluss. Bei dem Neigungswechsel kommt es zu turbulenten Verwirbelungen. – Die mittlere Geschwindigkeit beträgt im Oberstrom (also in Fließrichtung noch vor den Verwirbelungen) v1 = 4,21 [m/s], die Wasserriefe ist hier h1 = 1,05 [m]. Die Böschungsneigungen sind ober- und unterstromseitig stetig, sie betragen uferabhängig 1:m = 1:1,5 bzw. 1:n = 1:1,2. Das Sohlgefälle entspricht im Oberwasser 8,7 ‰ und im Unterwasser 1,7 ‰. Draufsicht 1 2

IS1

kSt

1:m

IS2

Q

bS

Kontrollraum 1:n

bSp1 1: n

Vertikalschnitte in 1 : m h1N Quer- und Längsrichtung

bSp2 1 : m h2 N

1: n

bS

bS

h1N h2N IS1 1

2 IS2

Gesucht: Es ist festzustellen, welcher kSt-Wert für dieses Gewässer vorliegt. Wie groß ist der Normalbfluss Q? Tritt an der beobachteten Position ein Wechselsprung auf? Wenn „ja“, um welche Art von Wechselsprung handelt es sich? Prüfen Sie dazu, ob die konjugierte Wassertiefe h2K nach dem Wechselsprung der Normalwassertiefe h2N des Gerinnes entspricht.

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

159

Lösung 58 – Anwendung der Impulsbilanz mit Wasserspiegelanalyse

Der Manning-Strickler Beiwert lässt sich aus der gemessenen Geschwindigkeit mit IE = IS (Normalabfluss!) wie folgt ableiten: 2

v

1

v

k St ˜ rhy 3 ˜ I E2 Ÿ k St

2 3

1

rhy ˜ I E2

Für den hydraulischen Radius gilt:

 m  n

A1

bS ˜ h1N 

lU1

bS  h1N ˜

lU1

2, 45  1, 05 ˜

rhy1

A1 lU1

2



˜ h12N

2, 45 ˜1, 05 

1  m2  1  n2

4, 061 5,983





1  1,52  1  1, 22

1,5  1, 2 ˜1, 052 2



4, 061 m 2

5,983 m

0, 679 m

Der Strickler-Beiwert ergibt sich damit zu: 1

v1

k St1

4, 21

2

2

1

rhy 3 ˜ I E2

1

0, 679 3 ˜ 0, 0087 2

m3 | 58 s

Der Abfluss nimmt damit folgende Größe an: Q

v1 ˜ A1

4, 21 ˜ 4, 061 17, 096

m3 s

Der Grenzzustand für den ermittelten Abfluss wird durch die Grenztiefe festgelegt, diese ist jedoch nur iterativ zu ermitteln. Die Grenzwassertiefe kann aus der Gleichung für den Grenzabfluss mit Q = Qgr wie folgt aufgelöst werden: 1

hgr b1 

hgr 2

˜ m  n

˜3

Q2 ˜  b1   m  n ˜ hgr g

Mit einem Startwert von hgr = h1N erhält man beim Einsetzen auf der rechten Gleichungsseite nach einigen Iterationsschritten hgr wie folgt bestätigt: hgr

1,330 m

Ob sich an der angedachten Position ein Wechselsprung einstellt, wird durch den Vergleich der Wassertiefen ermittelt: h1N  hgr Ÿ Fließart h1N "schießen" Der Normalabfluss und die Fließart im Gerinne unterhalb des Neigungswechsels werden mit der Kontinuitätsgleichung und der Manning-Strickler-Gleichung gelöst:

160

5 Impulsbilanz der Hydromechanik 2

Q

v2 ˜ A2

1

kSt 2 ˜ rhy3 2 ˜ I E2 ˜ A2

Diese Gleichung ist wiederum nur iterativ zu lösen, da die gesuchte Wassertiefe h2N verschachtelt in der Querschnittsfläche und im hydraulischen Radius vorkommt, wie die nachfolgende und gleichbedeutende Formel zeigt.

Q

§  m  n ˜ h2 bS ˜ h2 N  ¨ 2N 2 k St 2 ˜ ¨ ¨ bS  h2 N ˜ 1  m 2  1  n 2 ¨ ©



2



·3 1 ¸ § m  n 2 · ¸ ˜ I E2 ˜ ¨ bS ˜ h2 N  ˜ h2 N ¸ 2 ¸ © ¹ ¸ ¹

Die iterative Lösung liefert folgenden Wert: h2 N

1, 607 m

hgr  h2 N Ÿ Fließart h2 "strömen"

Der Nachweis des hier stattfindenden Fließartenwechsels wurde damit erfolgreich geführt. Nunmehr wird die Wasserdruckkraft nach hydrostatischen Grundsätzen über den Schwerpunktsabstand und der gerückten Fläche ermittelt: zS

h bSp  2b ˜ bzw. z S 3 bSp  b

h 3b  h  m  n ˜ 3 2b  h S  n

In der Wassertiefe h = h1N erhält man mit b = bS und für zS1: z S1

h1N 3bS  h1N  m  n ˜ 3 2bS  h1N S  n

1, 05 3 ˜ 2, 45  1, 05 ˜ 1,5  1, 2 ˜ 3 2 ˜ 2, 45  1, 05 ˜ 1,5  1, 2

0, 461 m

Analoges gilt für den Schwerpunktsabstand zS2: z S2

1, 607 3 ˜ 2, 45  1, 607 ˜ 1,5  1, 2 ˜ 3 2 ˜ 2, 45  1, 607 ˜ 1,5  1, 2

0, 678 m

Die für den Stützkraftsatz im Unterwasser repräsentative Geschwindigkeit beträgt nach der Konti-Gleichung: A2 v2

§ 1,5  1, 2 · 2 2, 45 ˜1, 607  ¨ ¸ ˜1, 607 2 © ¹ Q 17, 096 m 2,303 7, 425 A2 s

7, 425 m 2

Für die Stützkraft am Kontrollschnitt 1 gilt: FS1

U ˜ g ˜ z S ˜ A1  U ˜ Q ˜ v1

FS1

10 ˜ g ˜ 0, 461 ˜ 4, 061  103 ˜17, 096 ˜ 4, 21

FS1

18,353 kN  71,975 kN

1

3

90,328 kN

Für die Stützkraft am Kontrollschnitt 2 gilt: FS2

U ˜ g ˜ zS ˜ A2  U ˜ Q ˜ v2 2

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

161

FS2

103 ˜ g ˜ 0, 678 ˜ 7, 425  103 ˜17, 096 ˜ 2,303

FS2

49,349 kN  39,367 kN

88, 716 kN

Fazit: FS1 ! FS2

Ÿ

Wechselsprung wandert!

Da die Stützkraft im Oberwasser größer ist als unterhalb, wird der Wechselsprung in Fließrichtung, also in Richtung Unterstrom wandern. Die genaue Position des Wechselsprungs wird mittels konjugierter Wassertiefe bestimmt, für die ein Stützkräftegleichgewicht herrscht. Hierzu wird ein neuer Kontrollraum benötigt, der im Wasserdruck-/Impulskräfte-Gleichgewicht zwischen der Normalabflusstiefe h2N und der konjugierten Tiefe h2K steht. Für den Kontrollschnitt auf der Seite der konjugierten Wassertiefe h2K gilt unter Berücksichtigung dieses Gleichgewichts und der allgemeinen Beziehungen für Fläche, Projektionsschwerpunkt und Kontinuitätsgleichung für das unsymmetrische Trapez (vergl. vorhergehende Seiten): FS2,konj .

FS2

88, 716 kN

U ˜ g ˜ h2

FS2,konj .

2K

6

˜  3b2  2m ˜ h2 K 

U ˜ Q2 b2 ˜ h2 K  m ˜ h22K

Auch diese Gleichung kann nur iterativ nach der konjugierten Wassertiefe h2K gelöst werden, als Startwert wird die halbe Grenzwassertiefe hgr angesetzt. Die iterative Lösung liefert dann folgenden Wert: h2 K

1, 082 m

h1N  h2 K Ÿ

Wechselsprung "frei"

Die zur Normaltiefe h2N konjugierte Wassertiefe h2k ist damit größer als die Wassertiefe h1N oberhalb des Neigungswechsels. Der Wasserspiegel steigt in Fließrichtung von h1N an der Knickstelle auf das Maß h2K an, um von dort mit dem Wechselsprung auf das Maß h2N überzugehen. Um die Position zu ermitteln, an der der Wechselsprung nach dem Neigungswechsel im Gerinne auftritt, wird erneut das One-Step-Verfahren angesetzt. – Da im betrachteten Querschnitt die Sohlneigungen variieren, wird im Weiteren ein mittleres Gefälle angesetzt, welches beispielsweise über eine mittlere Geschwindigkeit und einem mittleren hydraulischen Radius gebildet wird (alternativ wäre eine arithmetische Mittelung beider Gefälle möglich). Die Geschwindigkeiten in der Normalabflusstiefe h1N und der konjugierten Wassertiefe h2K betragen: v  h1N

Q mn 2 bS ˜ h1N  ˜ h1N 2

v  h2 K

17, 096 1,5  1, 2 2, 45 ˜1, 082  ˜1, 0822 2

vm

v  h1N  v  h2 K 2

17, 096 1,5  1, 2 2, 45 ˜1, 05  ˜1, 052 2

4, 210  4, 039 2

4, 039

4,124

m s

m s

4, 210

m s

162

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Entsprechend sind die Energiehöhen für beide Seiten des Kontrollraumes, der mittlere hydraulische Radius sowie das mittlere Energieliniengefälle zu ermitteln: hE  h1N

v  h1N

h1N 

4, 0392 2g

1,914 m

= lU  h1N 2, 45  1, 05

rhy  h2 K =

4, 2102 =1,954 m 2g

1,5  1, 2 ˜1, 052 2 1  1,52  1  1, 2 2

2, 45 ˜1, 05 

A  h1N

rhy  h1N

I Em

1, 05 

2g

hE  h2 K 1, 082 

rhym

2



1,5  1, 2 ˜1, 0822 2 1  1,52  1  1, 22

2, 45 ˜1, 082  2, 45  1, 082



rhy  h1N  rhy  h2 K 2 vm2

0, 679  0, 695 2

4,1242 4 3 hym

kSt2 m ˜ r

4





4, 233 6, 092

4, 061 5,983

0, 679 m

0, 695 m

0, 687 m

8,35 ‰

582 ˜ 0, 687 3

Die horizontale Entfernung des einsetzenden Wechselsprungs, gemessen vom Neigungswechsel in Richtung Unterstrom, beträgt: 'lx

hE  h2 K  hE  h1N I E 2  I Em

1,914  1,954 0, 0017  0, 0083

5,97 m

Beispiel 59 – Anwendung des Impulssatzes an einer Tauchwand

Gegeben: Ein durch eine Tauchwand eingeschnürtes Rechteckgerinne mit einer Breite von b = 7,50 [m] sowie den Wassertiefen h1 = 3,70 [m] und hs = 1,40 [m] führt einen Volumenstrom von Q = 32 [m3/s] ab. 2 1 OW Q F

UW

h1 Kontrollraum hs

h2

Gesucht: Unter Verwendung des vorgegebenen Kontrollraumes ist die resultierende Reaktionskraft F auf die Tauchwand zu ermitteln.

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

163

Lösung 59 – Schrittweise Anwendung der Impulsbilanz (Stützkraftsatz)

Zunächst ist der Kontrollraum wie nachfolgend geschehen „freizuschneiden“ und alle freigesetzten Kräfte sind anzutragen. 1

FR1

2 F

FR4 FI1

FR3

FW1 FG

FI2

FW2

FR2

Sohlwasserdruck Zunächst werden die hydrostatischen Wasserdruckkräfte am Kontrollschnitt 1 und 2 ermittelt: FW 1

1 ˜ U ˜ g ˜ h12 ˜ b 2

1 3 ˜10 ˜ g ˜ 3, 702 ˜ 7,50 2

503, 449 kN

FW 2

1 ˜ U ˜ g ˜ hs2 ˜ b 2

1 3 ˜10 ˜ g ˜1, 402 ˜ 7,50 2

72, 079 kN

Die Reibungskräfte an Sohle/Böschung, Tauchwand und an der Grenze zwischen Wasserspiegel und Luft FR | 0 können vernachlässigt werden. Die Gewichtskraft FG und die Sohldruckkraft haben keine horizontalen Komponenten und wirken sich deshalb nicht in der resultierenden Wasserdruckkraft auf die vertikale Tauchwand aus. Die Impulskräfte – auch als Impulsströme bezeichnet – lassen sich mit der nach der Geschwindigkeit aufgelösten Kontinuitätsgleichung wie folgt berechnen: v1

Q A1

Q h1 ˜ b

32,00 3,70 ˜ 7,50

v2

Q As

Q hs ˜ b

32,00 1,40 ˜ 7,50

FI 1

U ˜ Q ˜ v1 103 ˜ 32, 00 ˜1,153 36,901 kN

FI 2

U ˜ Q ˜ vs

1,153

m s

3,048

m s

103 ˜ 32, 00 ˜ 3, 048 97,524 kN

Die Summe der Horizontalkräfte ist definitionsgemäß null, sodass weiter gilt: F

FW 1  FI 1  FW 2  FI 2

F

370, 747 kN

503, 449  36,901  72, 079  97,524

164

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Beispiel 60 – Rechteck-Trapez-Gerinne mit Pfeilerstau

Gegeben: In der Mitte eines Rechteck-Trapez-Gerinnes soll in trockener Baugrube ein Brückenpfeiler auf ebener Sohle errichtet werden. Zum Abfluss gelangen Q = 35,75 [m³/s]. Die vor Baubeginn vorherrschende Normalabflusstiefe beträgt hN = 2,15 [m] bei einer zugehörigen Wasserspiegelbreite von bSp = 10,00 [m]. Gesucht: Welche Fließart liegt vor Baubeginn vor? Wie breit darf die Spundwandumfassung werden, damit ein Wechselsprung (Fließartwechsel) vermieden wird? Wie groß ist die durch die Spundwand hervorgerufene Verlusthöhe? Wie groß ist die hydraulische Reaktionskraft auf den näherungsweise als scharfkantiges Rechteck bezeichneten Grundriss der Baugrubenwand. Die Gefahr eines Ausuferns besteht nicht. Die Reibungskräfte der Spundwand sollen vernachlässigt werden.

2

1 c

Kontrollraum

bSp = 10 [m] RWS

Q Draufsicht

hn

bGr

c 2

1

Baugrubenwand z

Vertikalschnitt

h1

h2

Lösung 60 – Pfeilerstau nach Rehbock, Impulsbilanz

Vor Baubeginn herrscht Normalbfluss bei einer Wassertiefe von hn = h1 = h2 = 2,15 [m]. Mit der aus der Kontinuitätsgleichung ermittelten Geschwindigkeit lässt sich die Froude-Zahl bestimmen: v

Q A

Q bSp ˜ hn

35, 75 m 1, 663 10, 00 ˜ 2,15 s

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne v

Fr

1, 663

g ˜ hn

165

0,362

g ˜ 2,15

Vor Baubeginn liegt im Gewässer eine strömende Fließart vor. Die Energiehöhe im Unterwasser beträgt mit hn = h2 und v = v2: hE2

v22 2g

h2 

2,15 

1, 6632 2g

2, 291 m

Ist im betrachteten Durchflussquerschnitt hE1ohne = hE2 > hEmin, dann sinkt die Wassertiefe im reduzierten Querschnitt nicht auf hgr ab, und die Strömung bleibt auch im Verbau durchgehend im strömenden Zustand. Bevorzugt wird in diesem praxisnahen Fall die Pfeilerstauformel nach Rehbock (in [13]): 'z

D G  D G  1 ˜  0, 4  D  9D 3 ˜ 1  Fr22 ˜

v22 2g

Hierin ist z = Aufstau, D = Verbauungsverhältnis (Restdurchflussbreite/ursprüngliche Breite) und = Formbeiwert für Pfeiler (vergl. Anhang).

D 1

b bSp

Setzt man für  3,9 (rechteckige Baugrube), so erhält man im Probierverfahren für D die maximal zulässige Baugrubenbreite bGr (Ziel hE2 = hEmin), die Restdurchflussbreite ist im Beispiel b ԑ 2c. Der Startwert für D ist kleiner 1, begonnen wird mit D = 0,6 wie in der Tabelle zu sehen:

D 0,6 0,5 0,4 0,395

bGr 6,00 5,00 4,00 3,95

b 4,00 5,00 6,00 6,05

z 0,608 0,396 0,240 0,234

hEmin 3,018 2,601 2,303 2,291

hE2 2,291 2,291 2,291 2,291

Demnach darf die Baugrube maximal bGr = 3,95 [m] breit werden, der verbleibende Bereich ist somit c = b/2 = 6,05/2 = 3,025 [m] breit. Zum weiteren Vergleich wird mit dem Aufstaumaß z die Froude-Zahl im Oberwasser berechnet: v1 Fr1

Q A1

Q bSp ˜  hn  'z v1 g ˜  hn  'z

35, 75 10, 00 ˜  2,15  0, 234 1, 449 g ˜ 2,384

1, 449

m s

0,310

Im Oberwasser herrscht damit ein strömender Abfluss (Fr < 1)! Des Weiteren wird die Verlusthöhe infolge des Baugrubenverbaus wie folgt bestimmt: hv

§ v12 · § v22 · h h    ¨ 1 ¸ ¨ 2 ¸ 2g ¹ © 2g ¹ ©

'z 

v12  v22 2g

166

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

In Zahlen: hv

0, 234 

1, 4992  1, 6632 2g

0, 208 m

Zur Kontrolle des Verbauungsmaßes D kann die Rehbock-Formel bei Vorgabe des Aufstaumaßes z durch das Newton-Verfahren iterativ nach D gelöst werden. Subtrahiert man z auf beiden Seiten der Formel und dividiert anschließend beide Seiten durch die letzten beiden Faktoren, bestehend aus Fr-Zahl und Geschwindigkeitshöhe, so erhält man die folgende Funktion von D sowie deren 1. Ableitung: f D

0, 4G ˜ D   0, 4  0, 6G ˜ D 2  1  G ˜ D 3  9G ˜ D 4   9  9G ˜ D 5 

f ' D

0, 4G   0,8  1, 2G ˜ D   3  3G ˜ D  36G ˜ D   45  45G ˜ D 2

3

'z ˜ 2 g

1  Fr ˜ v 2 2

2

4

Mit dem bekannten Ansatz von Newton (vergl. Kapitel 3) und einem Wert von z = 0,234 [m] sowie einem Startwert für D = 0,6 ergeben sich folgende Werte der Iteration: i 0 1 2 3 4

Di 0,6 0,445 0,339 0,395 0,395

f(Di) 2,3469 0,4325 0,0354 0,0003

f’(Di) 15,1296 9,5263 7,9876 7,8445

f(Di)/f’(Di) 0,1551 0,0454 0,0044 0,0000

Di+1 0,445 0,399 0,395 0,395

Bei dieser Kontrolle handelt es sich nicht um eine wirkliche Plausibilitätskontrolle, sie zeigt vielmehr auf, wie man bei bekannter Aufstauhöhe z, zu dem möglichen Verbauungsmaß gelangt. Abschließend wird nun mit den bekannten Geschwindigkeiten und Wassertiefen im Ober- und Unterwasser auf die hydraulische Reaktionskraft F der Stirnseite des Baugrubenverbaus geschlossen: 2

1

FW2

FI2

FW2

FI2

Q/2 FW1 FI1

F

Q/2

1

2

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

167

Zunächst werden die hydrostatischen Wasserdruckkräfte am Kontrollschnitt 1 und 2 ermittelt: FW 1 FW1 FW 2

1 2 ˜ U ˜ g ˜  hn  'z ˜ bSp 2 1 3 2 ˜10 ˜ g ˜  2,15  0, 234 ˜10, 00 2 1 ˜ U ˜ g ˜ hn2 ˜ b 2

278, 715 kN

1 3 ˜10 ˜ g ˜ 2,152 ˜ 3, 025˜ 68,563 kN 2

Die Reibungskräfte an Sohle/Böschung, Spundwand und an der Grenze zwischen Wasserspiegel und Luft werden hier vernachlässigt. Die Impulskräfte werden wie folgt berechnen: FI 1

U ˜ Q ˜ v1 103 ˜ 35, 75 ˜1, 499 53, 606 kN

FI 2

U˜

Q ˜ v2 2

103 ˜

35, 75 ˜1, 663 2

29, 722 kN

Die Summe der Horizontalkräfte ist definitionsgemäß null, sodass weiter gilt: F

FW 1  FI 1  2 FW 2  2 FI 2

F

135, 750 kN

278, 715  53, 606  2 ˜ 68,563  2 ˜ 29, 722

Die Spundwand wird an der Stirnseite von einer hydraulischen Kraft i. H. v. 135,750 kN beansprucht, seitlich wirkt der statische Wasserdruck (Reibungskräfte wurden nicht berücksichtigt). Beispiel 61 – Parabelgerinne mit Wechselsprung

Gegeben: ein parabelförmiger Gerinneabschnitt mit einem vom Oberwasser vorgegebenen schießenden Abfluss in einer Wassertiefe h1 = 0,65 [m]. Das Öffnungsmaß a der Parabel beträgt = 0,7 [m-1]. Zum Abfluss gelangen Q = 4,65 [m³/s]. Gesucht: Die zu h1 konjugierte Wassertiefe h2K des Wechselsprungs sowie die vom Wechselsprung dissipierte Verlusthöhe, die Länge des Wechselsprungs sowie die mittlere Wechselsprunglänge L. Wechselsprunglänge 1

Energielinie (EL) „Schießen“

hE1

2 hV

„Strömen“

v22/2g

2

EL

v1 /2g FI2 h1

FW1

FI1

FW2

h2K

hE2

168

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Lösung 61 – Parabelgerinne mit Wechselsprung

Wird aus dem dargestellten Parabel-Gerinne der Abschnitt 1-2 herausgetrennt, interessieren nur die Kräfte in Fließrichtung, d. h. auf die freigeschnittenen Kontrollflächen 1 und 2. Es werden hier angesetzt: Hydrostatische Druckkräfte und Impulskräfte aus der bewegten Flüssigkeit, (Reibungskräfte sind vernachlässigbar klein). Da in Fließrichtung keine Kräfte vom Gerinne aufnehmbar sind, muss Gleichgewicht zwischen den Kräften FS1 und FS2 herrschen, nur dann tritt der Wechselsprung an der gedachten Stelle auf. Der Nachweis des Wechselsprungs soll mittels Froude-Zahl erfolgen: h1 a

bSp1

0, 65 0, 7

A1

2 h13 3 a

v1

Q A1

Fr1

0,964 m

2 0, 653 3 0, 7

0, 418 m2

4, 65 m 11,136 0, 418 s v1

11,136

A g˜ 1 bSp1

0, 418 g˜ 0,964

5, 402 >  @

Der Abfluss im Oberwasser ist schießend. Sofern ein Wechselsprung an der angedachten Stelle auftritt, so ist dieses mittels Stützkraftsatz nachweisbar. Die Stützkraft im Oberwasser beträgt: FS1 FS1 FS1

U ˜ g ˜ zS ˜ A1  U ˜ Q ˜ v1 mit zS 1

1

2 ˜ h1 5

2 103 ˜ g ˜ ˜ 0, 65 ˜ 0, 418  103 ˜ 4, 65 ˜11,136 5 1, 064, 691 N  51.781, 682 N 52,846 kN

Sofern der Wechselsprung hier auftritt, muss die Stützkraft FS2 der Stützkraft FS1 entsprechen: FS2

FS1

52,846 kN

FS2

U ˜ g ˜ ˜ h2 K

2 5

2 h23K 3 ˜ U ˜ Q 2 ˜  3 a h3 2 ˜ 2K a

Wie bereits zuvor, so wird auch diese Gleichung iterativ nach der konjugierten Wassertiefe h2K gelöst, als Startwert wird die Grenzwassertiefe hgr angesetzt. Die iterative Lösung liefert dann folgenden Wert:

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

hgr

4

27 ˜ a ˜ Q 2 8g

Startwert: h2 K h2 K

4

27 ˜ 0, 7 ˜ 4, 652 8g

169

1,511 m

hgr

2,971 m

Zum Nachweis des Fließartenwechsels wird mit diesem Wert die Froude-Zahl berechnet: h2 K a

bSp 2

2,971 0, 7

A2

2 h23K 3 a

v2

Q A2

Fr2

2, 060 m

2 2,9713 3 0, 7

4, 65 4, 080 v2

1,140

m s

1,140

A g˜ 2 bSp2

4, 080 m 2

4, 080 g˜ 2, 060

0, 259 >  @

Der Nachweis des Fließartenwechsels konnte erfolgreich geführt werden, da für Fr1 ein schießender und für Fr2 ein strömender Abfluss nachgewiesen wurde. Des Weiteren soll zur Kontrolle die Stützkraft FS2 mit der konjugierten Wassertiefe h2K berechnet werden, sie muss der Stützkraft FS1 entsprechen: FS1 FS2

52,846 kN 2 2 2,9713 3 ˜103 ˜ Q 2 103 ˜ g ˜ ˜ 2,971 ˜  5 3 0, 7 2,9713 2˜ a

52,846 kN

Zur Bestimmung der vom Wechselsprung dissipierten hydraulischen Verlusthöhe hv ist der Energiehöhensatz zu verwenden: hv

hE  h1  hE  h2 K

hv

0, 65 

h1 

v12 v2  h2 K  2 2g 2g

11,136 2 1,1402  2,971  2g 2g

3,936 m

Fazit: Wenn sich bedingt durch das Unterwasser am Ende des Tosbeckens (Becken zur Energieumwandlung) eine Wassertiefe einstellt, die geringer ist als 2,971 [m], besteht Gefahr, dass der Wechselsprung weiter ins Unterwasser „auswandert“, also nicht mehr im Tosbecken verbleibt. Dieses kann zu starken Erosionserscheinungen im Gewässerbett führen. Geeignete Gegenmaßnahmen währen beispielsweise eine Vertiefung des Tosbeckens und/oder der Einbau von Rauigkeitselementen in das Tosbecken. Zur Bestimmung der erforderlichen Mindest-Beckenlänge bzw. der Wechselsprunglänge LW gibt es in der Literatur verschiedene, in Laborversuchen experimentell bestätige Bemessungs-

170

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

gleichungen, die entweder von oberwasser- oder unterwasserseitigen Verhältnissen abhängig sind. So wird in Abhängigkeit von der unterwasserseitigen Fließtiefe und dem dort herrschenden Gefälle folgende, durch Laborversuch bestätigte, Gleichung angeboten: LW LW

D  E ˜ I S ˜ h2 mit D # 6, 0 6,1  6, 0  4, 0 ˜ 0, 00 ˜ 2,971 17,825 m

und E # 4, 0

Des Weiteren sind in der Literatur auch Ansätze von Smetana und Woycicki in [9] zu finden, dort werden in Abhängigkeit von der oberwasserseitigen Fließtiefe die untere und obere Grenze der Wechselsprunglänge ermittelt. Die Unterschiede in den letztgenannten Gleichungen sind erheblich, weshalb auch vereinzelt vom Mittelwert beider Ergebnisse ausgegangen wird. Obere Grenze (Smetana): LW LW

 3˜ 3˜



8 ˜ Fr12  1  3 ˜ h1



8 ˜ 5, 4022  1  3 ˜ 0, 65

24, 008 m

Untere Grenze (Woycicki): LW LW



 

1 ˜ 81 ˜ Fr12  1  2 ˜ Fr12  241 ˜ h1 20 1 ˜ 81 ˜ 5, 4022  1  2 ˜ 5, 4022  241 ˜ 0, 65 20



4, 733 m

Mittelwert: LW

24, 008  4, 733 14,370 m 2

Beispiel 62 – Rechteckgerinne mit Wechselsprung

Gegeben: ein rechteckiger Gerinneabschnitt mit einem vom Oberwasser vorgegebenen schießenden Abfluss mit der Wassertiefe h1 = 0,65 [m] und h2 = 0,937 [m]. Die Gerinnebreite beträgt b = 2,10 [m]. Zum Abfluss gelangen Q = 4,65 [m³/s]. Wechselsprunglänge 1

Energielinie (EL) „Schießen“ hE1

2 hV

„Strömen“

v22/2g

v12/2g FI2 h1

FW1

FI1

FW2

h2K

EL

hE2

5.4 Impulsbilanz für Freispiegelgerinne

171

Gesucht: die zu h1 konjugierte Wassertiefe h2K des Wechselsprungs sowie die vom Wechselsprung dissipierte Verlusthöhe, die Länge des Wechselsprungs sowie die mittlere Wechselsprunglänge LW. Lösung 62 – Rechteckgerinne mit Wechselsprung

Wie zuvor wird aus dem Rechteckgerinne der Abschnitt 1-2 wieder herausgetrennt, und die Kräfte werden in Fließrichtung freigeschnitten. Der Nachweis des Wechselsprungs erfolgt mittels Froude-Zahl: A1

b ˜ h1

v1

Q A1

Fr1

2,10 ˜ 0, 65 1,365 m 2 4, 65 1,365

3, 407

v1

3, 407

g ˜ h1

g ˜ 0, 65

m s 1,349 >  @

Der Abfluss im Oberwasser ist schießend. Sofern ein Wechselsprung an der angedachten Stelle auftritt, so ist dieses mittels Stützkraftsatz nachweisbar. Die Stützkraft im Oberwasser beträgt: FS1

U ˜ g ˜ zS ˜ A1  U ˜ Q ˜ v1 mit zS

FS1

103 ˜ g ˜

FS1

1

h1 2

1

0, 65 ˜1,365  103 ˜ 4, 65 ˜ 3, 407 2 4,350 N  15,841 kN 20,191 kN

Für Rechteckgerinne können die konjugierten Wassertiefen auch direkt nach folgenden Gleichungen ermittelt werden: h1K



h2 h 2 2 ˜ h2 ˜ v22  2  2 4 g

bzw.

h2 K



h1 h 2 2 ˜ h1 ˜ v12  1  2 4 g

Damit ergibt sich die zu h1 konjugierte Wassertiefe h2K direkt: h2 K



h1 h 2 2 ˜ h1 ˜ v12  1  2 4 g

h2 K



0, 65 0, 652 2 ˜ 0, 65 ˜ 3, 407 2   2 4 g

0,957 m

In diesem Fall entspricht die Wassertiefe h2 der konjugierten Wassertiefe h2K, der Wechselsprung „steht“ an der Stelle. – Zur Kontrolle wird die Stützkraft FS2 berechnet, sie muss der Stützkraft FS1 entsprechen: FS1

20,191 kN

FS2

U ˜ g ˜b ˜

FS2

20,191 kN

h2 K 2 U ˜ Q 2 0,957 2 103 ˜ 4, 652  =103 ˜ g ˜ 2,10 ˜  2 b ˜ h2 K 2 2,10 ˜ 0,957

172

5 Impulsbilanz der Hydromechanik

Zum Nachweis des Fließartenwechsels wird die Froude-Zahl berechnet: hgr

3

Q2 g ˜ b2

4

4, 652 g ˜ 2,102

0, 794 m

Der Nachweis wurde erbracht, da: h1  hgr  h2

Zur Bestimmung der vom Wechselsprung dissipierten hydraulischen Verlusthöhe hv ist der Energiehöhensatz zu verwenden: v12 v2  h2 K  2 2g 2g

hv

h1 

hv

0, 65 

3, 407 2 2,3132  0,957  2g 2g

0, 012 m

In Abhängigkeit von der unterwasserseitigen Fließtiefe ergibt sich die Wechselsprunglänge wie folgt: Obere Grenze (Smetana):





LW

3˜

8 ˜ Fr12  1  3 ˜ h1

LW

2 § · § 3, 407 · ¨  1  3 ¸ ˜ 0, 65 1,843 m 3˜ 8˜¨ ¸ ¨ ¸ ¨ g ˜ 0, 65 ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹

Untere Grenze (Woycicki):



1 ˜ 81 ˜ 20 § 1 ¨ LW ˜ 81˜ 20 ¨¨ © LW  0 LW



Fr12  1  2 ˜ Fr12  241 ˜ h1 2 2 · § 3, 407 · § 3, 407 · ¨¨ ¸¸  1  2 ˜ ¨¨ ¸¸  241¸¸ ˜ 0, 65 0, 65 0, 65 g ˜ g ˜ ¸ © ¹ © ¹ ¹

Diese Wechselsprunglänge nach Woycicki ist physikalisch unbedeutsam, eine Mittelwertbildung entfällt deshalb hier. In verschiedenen experimentellen Studien bestätigt, wird häufig auch folgende Wechselsprunggleichung angewandt, die von der Unterwassertiefe h2 und dem dortigen Sohlengefälle I2 abhängt: LW

D  E ˜ I S ˜ h2 K

mit D # 6, 0 6,1 und E # 4, 0

In Zahlen ergäbe diese Gleichung für das Beispiel: LW

 6, 0  4, 0 ˜ 0, 00 ˜ 0,957

5, 743 m

173

6 Anhang

6.1 Flächenträgheitsmomente um Schwereachsen b

Rechteck

a

Trapez

h (a + b ) 2 h 3 a 2 + 2ab + b 2 IS = 36(a + b ) h(2a + b ) xs = 3(a + b ) A=

A = b⋅h

S

h s

s

b ⋅ h3 12

IS =

h

(

S xs

s

s

b

Viereck

Kreis A = h2

h S

s

s

Gleichschenkliges b Dreieck xs h

Rechtwinkliges Dreieck xs

s

b

ys

h4 12

S

d s

b⋅h A= 2 b ⋅ h3 IS = 36 h xs = 3

A=

b⋅h 2

IS =

S

s

s h

4

π ⋅d4 64

A=

I SY =

s

xs =

4⋅r 3π

b2 ⋅ h2 72

A=

xs h

S

s

s

π ⋅d 2

xs =

Halbellipse

s IS =

π ⋅ a ⋅ b3

4⋅r 3π

a s

A = π ⋅a ⋅b

16

I S ≈ 0,05488 ⋅ r 4 I SY ≈ 0,01647 ⋅ r 4

b ys = 3

a

S

8 I S = 0,11 ⋅ r 4

S

d = 2r s

π ⋅d2

Viertelkreis

Ellipse

s

IS =

s

xs

b ⋅ h3 36

h xs = 3

b

π ⋅d2

Halbkreis

S

s

IS =

A=

A=

b

S

4

π ⋅a ⋅b

2 I S = 0,11 ⋅ b ⋅ a 3 xs =

4⋅a 3π

s xs F. Preser, Klausurtrainer Hydromechanik für Bauingenieure, DOI 10.1007/978-3-8348-9888-3_6, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

)

174

6 Anhang

6.2 Grenzwassertiefen und Grenzgeschwindigkeiten Rechteckgerinne

h

lU

b

A = b ⋅ h lU = b + 2h rhy =

hgr = 3

zS =

Q2 g ⋅ b2

vgr =

hE ,min = hgr +

h 2

v gr2 2g

= g ⋅ hgr

3 ⋅ hgr 2

Grenzabfluss implizit Grenzabfluss implizitgegeben gegeben

bSp

3

Neigung 1: n

Q gr =

h 1: m

lU b

m+n 2 A = b⋅h + ⋅h 2 h bSp + 2b zS = ⋅ 3 bSp + b

lU = b + h ⋅ §¨ 1 + m 2 + 1 + n 2 ·¸ © ¹ bSp = b + h ⋅ (m + n )

v gr =

§ m+n · 3 ⋅ hgr ¸ ⋅ hgr g ⋅ b 2 ⋅ ¨1 + 2b © ¹ m+n ⋅ hgr 1+ b Q gr Agr

=

hE , min = hgr +

m+n 2 b⋅h + ⋅h A 2 rhy = = lU b + h ⋅ §¨ 1 + m 2 + 1 + n 2 ·¸ ¹ ©

zS SA

ϕ

A

b

3 Sp

d - +h 12 ⋅ A 2

2g

§ϕ· h = d ⋅ sin 2 ¨ ¸ ©4¹ §ϕ· bSp = d ⋅ sin ¨ ¸ ©2¹

)

(

h

lU

d2  ⋅ ( ϕ − sin ϕ ) 8

2 v gr

(

bSp

d

§ hgr m + n · ¸ ⋅ g ⋅ hgr ⋅ ¨¨1 + b 2 ¸¹ © 2hgr m + n ⋅ 1+ b 2

Grenzabfluss implizit gegeben Grenzabfluss gegeben  3 g ⋅ d 5 ϕ gr − sin ϕ gr Q gr = ⋅ 512 § ϕ gr · ¸ sin ¨¨ ¸ © 2 ¹  Q gr g ⋅ d ϕ gr − sin ϕ gr v gr = = ⋅ Agr 8 § ϕ gr · ¸ sin ¨¨ ¸ © 2 ¹

Kreisgerinne

zS =

Agr

A b⋅h = lU b + 2h

Unsymmetrisches Trapezgerinne

A=

=

Qgr

 d lU = ϕ ⋅ 2

hE ,min = hgr +

 A d ϕ − sin ϕ = ⋅ rhy =  ϕ lU 4

2 v gr

2g

ϕ = 4 ⋅ arc sin

h d

)

6.2 Grenzwassertiefen und Grenzgeschwindigkeiten

175

Dreieckgerinne bSp

hgr = 5

h

Neigung 1: m

v gr =

m2 ⋅ g

lU

A = m⋅h

lU = 2h ⋅ 1 + m

2

2

2 v gr

hE ,min = hgr +

bSp = 2 ⋅ m ⋅ h

2g

=

1 g ⋅ hgr 2

5 ⋅ hgr 4

A m⋅h = lU 2 ⋅ 1 + m 2

rhy =

Grenzabfluss implizit gegeben Grenzabfluss implizit gegeben!

Symmetrisches Trapezgerinne bSp

Neigung 1: m

3

1: m

lU b

zS = rhy =

lU

=

v gr =

lU = b + 2h ⋅ 1 + m 2

h bSp + 2b ⋅ 3 bSp + b A

§ m · 3 g ⋅ b 2 ⋅ ¨1 + ⋅ h gr ¸ ⋅ h gr b © ¹ 2m 1+ ⋅ h gr b

Q gr =

h

A = b ⋅h + m ⋅h2

bSp = b + 2h ⋅ m

Q gr Agr

2g

27 ⋅ a ⋅ Q 2 8g

h

Parabel -

hE ,min = hgr + lU

A = lU

2 v gr

Grenzabfluss implizit gegeben! gegeben Grenzabflu ss explizit

b = bSp

öffnungs maß a

rhy =

§ h gr ⋅ m · ¸ g ⋅ h gr ⋅ ¨¨1 + b ¸¹ © 2h gr ⋅ m 1+ b

b + 2h ⋅ 1 + m 2

hgr = 4

2 h3 ⋅ 3 a

=

hE ,min = h gr +

b ⋅h + m ⋅h2

Parabelgerinne

A=

2 ⋅Q2

zS =

2 ⋅h 5

b Sp =

h a

h = a ⋅b2

2 h3 ⋅ a 3 2 2 § 4h · b 16 h 2 §b· 2 ⋅ ln ¨ + + 1¸ ¨ ¸ + 4h + 2 ¨ b ¸ 8h b ©2¹ © ¹

2 v gr

2g

v gr = =

4 ⋅ hgr 3

2 g ⋅ hgr 3

176

6 Anhang

6.3 Potenzreihen ∞

sin x = ¦ (− 1)i i =o ∞

cos x = ¦ (− 1)i i =o

π

∞

x 2i x2 x4 = x− + − 2! 4! (2i )!

x reell

− a sin x

2

a tan x = x − ex =

x reell

1 x3 1 ⋅ 3 x5 1 ⋅ 3 ⋅ 5 x 7 + + + 2 3 2⋅4 5 2⋅4⋅6 7

a sin x = x + a cos x =

x 2i +1 x3 x5 = x− + − 3! 5! (2i + 1)!

xi

x

i =0

ln (1 + x ) =

x