Grundlagen des Operations Research: Mit Aufgaben und Lösungen (Springer-Lehrbuch)

Springer-Lehrbuch Brigitte Werners Grundlagen des Operations Research Mit Aufgaben und Læsungen Mit 117 Abbildungen...

Author: Brigitte Werners

107 downloads 1890 Views 4MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Springer-Lehrbuch

Brigitte Werners

Grundlagen des Operations Research Mit Aufgaben und Læsungen

Mit 117 Abbildungen und 41 Tabellen

12

Professor Dr. Brigitte Werners Ruhr-Universitåt Bochum Fakultåt fçr Wirtschaftswissenschaft Lehrstuhl fçr Betriebswirtschaftslehre, insbes. Unternehmensforschung und Rechnungswesen Universitåtsstraûe 150 44801 Bochum [email protected]

ISBN-10 ISBN-13

3-540-32621-9 Springer Berlin Heidelberg New York 978-3-540-32621-2 Springer Berlin Heidelberg New York

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet çber abrufbar. Dieses Werk ist urheberrechtlich geschçtzt. Die dadurch begrçndeten Rechte, insbesondere die der Ûbersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfåltigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfåltigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulåssig. Sie ist grundsåtzlich vergçtungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de ° Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006 Printed in Germany Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wåren und daher von jedermann benutzt werden dçrften. Umschlaggestaltung: Design & Production, Heidelberg SPIN 11679189

42/3153-5 4 3 2 1 0 ± Gedruckt auf såurefreiem Papier

Vorwort

Ziel dieses Buches ist die Vermittlung grundlegender Kenntnisse des Operations Research, also der Entwicklung und des Einsatzes quantitativer Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Damit lassen sich komplexe reale Probleme strukturiert analysieren, erfassen und modellieren, quantitative Ergebnisse werden ermittelt und eine möglichst optimale Lösung bestimmt. Charakteristisch für das Operations Research ist die Interdisziplinarität der Anwendungsbereiche und der eingesetzten Methoden und Theorien, vor allem der Wirtschaftswissenschaft, der Mathematik, der Informatik und der Ingenieurwissenschaften. Gestützt durch die Entwicklungen der Informationstechnologie und aufgrund des zunehmenden Bedarfs an Verbesserung und Optimierung in vielfältigen Bereichen findet Operations Research wachsende Verbreitung und viele Fachdisziplinen integrieren seine Methoden. Das vorliegende Lehrbuch ist begleitend zu einer einführenden Veranstaltung oder auch zum selbstständigen Studium besonders für Studierende der Wirtschaftswissenschaft geeignet. Es wird als ergänzende Lektüre zu der Vorlesung „Grundlagen des Operations Research“ für Studierende der wirtschaftswissenschaftlichen Fakultät der Ruhr-Universität Bochum eingesetzt. Auch für andere Leser wie Studierende des Ingenieurwesens, der Informatik und der Mathematik wird es empfohlen, wenn diese sich besonders für die Lösung wirtschaftlicher Problemstellungen interessieren. Die vorgestellten Modelle und Methoden werden mit zahlreichen Anwendungsbeispielen und Übungen veranschaulicht. So finden in einem separaten Kapitel vielfältige Gestaltungs- und Einsatzmöglichkeiten von Optimierungsmodellen in den Bereichen Produktion und Logistik, Investition und Finanzierung, Marketing, Personalplanung, Innovationsmanagement und Krankenhausplanung Berücksichtigung. Graphen werden mit Beispielen der Logistik und besonders der Projektplanung motiviert. Anhand der Anwendungen Anlagenbelegung, Warteschlangen und Risikoanalyse wird die Entscheidungsunterstützung mittels Simulation gezeigt. Die grundlegenden Methoden der Optimierung, Graphentheorie und Simulation werden jeweils nach ausführlichen, einleitenden Beispielen formal mathematisch beschrieben, um die Allgemeinheit der Aussagen zu gewährleisten und die Abstraktionsfähigkeit zu fördern. Über die üblichen schulischen Kenntnisse hinaus werden keine mathematischen Anforderungen gestellt, auf Beweise wird durchgängig verzichtet. Die hier angesprochenen Modelle und Methoden dienen einerseits der Analyse von Problemen, andererseits der Optimierung. Die für die

VI

Vorwort

Lösung der vorgestellten Modelle erforderlichen, grundlegenden algorithmischen Kenntnisse werden ebenfalls vermittelt und auf OR-Software wird hingewiesen. Leser sollen in die Lage versetzt werden, komplexe Problemstellungen der Realität systematisch zu analysieren, selbstständig zu modellieren und zu lösen. Voraussetzung dazu ist eine angemessene Durchdringung des Problems, eine Erfassung der Ziele und relevanten Zusammenhänge, die Ermittlung der Konsequenzen von Entscheidungen über Handlungsalternativen und auf dieser Basis die Auswahl der besten verfügbaren Alternativen. Darüber hinaus soll auch gezeigt werden, dass die Information über Ziele, Strukturen und Konsequenzen dabei hilft, neue Alternativen zu generieren, um eine weitere Verbesserung zu erreichen. Dazu ist Übung und Training anhand vielfältiger Beispiele erforderlich. Dies wird durch die sehr zahlreichen Übungsaufgaben gefördert. Deren detaillierte Lösungen im abschließenden Kapitel des Buches verhelfen zu vertieften Einblicken in Problemstrukturen, algorithmische Vorgehensweisen und Modellierungsmöglichkeiten. Insgesamt fördert die Auseinandersetzung mit den angebotenen Beispielen den strukturierten Umgang mit Problemen und das analytische Denkvermögen, welches durch die vielfältigen Abstraktionsgelegenheiten konsequent trainiert wird. So wird über die Methodenkompetenz hinaus eine besondere Problemlösungskompetenz erreicht. Für die weiterführende Beschäftigung mit dieser Thematik wird das virtuelle Studienfach Operations Research / Management Science VORMS unter www.vorms.org empfohlen, dessen von uns entwickelte multimediale Übungsmodule eine besonders gute Ergänzung darstellen. Allen, die an der Entwicklung dieses Buches Anteil hatten, danke ich sehr herzlich. Dies gilt besonders für meine Mitarbeiterinnen und Mitarbeiter, die mit vielfältigen Beiträgen unterstützten. Für ihren intensiven Einsatz, mannigfaltige Anregungen, Verbesserungsvorschläge und interessanten Beispiele vornehmlich zu erwähnen sind Dipl.-Ök. Niels Becker, Dipl.-Math. Mathias Einck, Dr. Stephanie Freiwald und Dipl.-Ök. Jens Wiggershaus. Besonders danke ich ebenfalls meiner stets engagiert und umsichtig unterstützenden Sekretärin Frau Inge Spieker. Zu großem Dank verpflichtet bin ich darüber hinaus den studentischen Mitarbeiterinnen und Mitarbeitern Felix Frühauf, Hendrik Hemke, Jens Kanacher, Sonja Kassenböhmer, Ann-Kristin Klas, Jennifer Neuhaus, Stefanie Reinhart, Christine Stockey und Thomas Wülfing, die während der vergangenen Monate mit größtem Engagement die Umsetzung und Verbesserung des Manuskripts realisiert haben. Bochum, im März 2006

Brigitte Werners

Inhaltsverzeichnis

1 Quantitative Entscheidungsunterstützung ....................................................1 1.1

1.2

Operations Research: Strukturierte Problemlösung ..................................1 1.1.1 Modelle, Methoden, Algorithmen.................................................1 1.1.2 Inhalt des Buches........................................................................12 Entscheidungsunterstützung ...................................................................15 1.2.1 Entscheidungstheoretische Grundlagen ......................................15 1.2.2 Aufgaben ....................................................................................30

2 Grundlagen linearer Optimierung ...............................................................33 2.1 2.2

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung ..............................33 Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells ...............................44 2.2.1 Grundmodell der linearen Optimierung......................................44 2.2.2 Lösung des Grundmodells mittels Simplexalgorithmus .............53 2.2.3 Lösungsbesonderheiten...............................................................59 2.2.4 Aufgaben ....................................................................................74

3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse ...........................77 3.1

3.2

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle................................77 3.1.1 Ermittlung einer zulässigen Ausgangslösung .............................77 3.1.2 Modellmodifikationen und Variablentransformation .................89 3.1.3 Aufgaben ....................................................................................96 Interpretation, Dualität und Sensitivität ..................................................97 3.2.1 Modellierung und Interpretation .................................................97 3.2.2 Dualität .....................................................................................101 3.2.3 Sensitivitätsanalyse...................................................................108 3.2.4 Aufgaben ..................................................................................116

4 Anwendungen linearer Optimierung .........................................................119 4.1 4.2

4.3

Rechnereinsatz......................................................................................119 Produktion und Logistik .......................................................................123 4.2.1 Produktionsprogrammplanung..................................................123 4.2.2 Supply Chain Planning .............................................................125 4.2.3 Standortplanung........................................................................129 4.2.4 Aufgaben ..................................................................................133 Investition und Finanzierung ................................................................136

VIII

4.4

Inhaltsverzeichnis

4.3.1 Dynamische Investitionsrechnung............................................ 136 4.3.2 Simultane Investitions- und Finanzierungsplanung.................. 142 4.3.3 Aufgaben .................................................................................. 149 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen........................... 152 4.4.1 Revenue Management .............................................................. 152 4.4.2 Sonstige Einsatzbereiche .......................................................... 154 4.4.3 Aufgaben .................................................................................. 162

5 Graphentheorie............................................................................................ 165 5.1

5.2

Strukturmodellierung mittels Graphen ................................................. 165 5.1.1 Einführendes Beispiel Autobahnnetz NRW ............................. 165 5.1.2 Gerichtete und ungerichtete Graphen ....................................... 167 5.1.3 Repräsentationsformen von Graphen........................................ 178 5.1.4 Aufgaben .................................................................................. 183 Bewertete Graphen und kürzeste Wege................................................ 185 5.2.1 Bewertung und Entfernung....................................................... 185 5.2.2 Kürzeste-Wege-Algorithmus von Dijkstra ............................... 189 5.2.3 Aufgaben .................................................................................. 197

6 Projektplanung ............................................................................................ 201 6.1

6.2

6.3

Modellierung der Projektstruktur.......................................................... 201 6.1.1 Grundlagen der Projektplanung................................................ 201 6.1.2 Strukturanalyse ......................................................................... 203 6.1.3 Aufgaben .................................................................................. 210 Zeitliche Planung des Projektablaufs.................................................... 214 6.2.1 Zeitanalyse für Vorgangspfeilnetzpläne ................................... 214 6.2.2 Zeitanalyse für Vorgangsknotennetzpläne................................ 219 6.2.3 Pufferzeiten und Flexibilitätsreserve ........................................ 222 6.2.4 Aufgaben .................................................................................. 233 Kapazitäts- und Kostenplanung ............................................................ 236 6.3.1 Kapazitätsbedarf im Zeitablauf................................................. 236 6.3.2 Projektkostenoptimierung......................................................... 238 6.3.3 Aufgaben .................................................................................. 244

7 Simulation und Warteschlangensysteme ................................................... 247 7.1

7.2

Deterministische Simulation................................................................. 247 7.1.1 Systeme und Modellexperimente.............................................. 247 7.1.2 Anwendungsbeispiel Simulation zur Produktionsplanung ....... 258 7.1.3 Aufgaben .................................................................................. 261 Stochastische Simulation ...................................................................... 265 7.2.1 Modellierung stochastischer Einflüsse ..................................... 265 7.2.2 Zufallszahlen und Verteilungen................................................ 271 7.2.3 Warteschlangensysteme und Risikoanalyse ............................. 285 7.2.4 Aufgaben .................................................................................. 292

Inhaltsverzeichnis

IX

8 Lösungen.......................................................................................................297 8.1 8.2 8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

Quantitative Entscheidungsunterstützung.............................................297 Grundlagen linearer Optimierung .........................................................300 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse ......................308 8.3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle..................308 8.3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität ....................................316 Anwendungen linearer Optimierung.....................................................323 8.4.1 Produktion und Logistik ...........................................................323 8.4.2 Investition und Finanzierung ....................................................329 8.4.3 Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen ...............333 Graphentheorie .....................................................................................336 8.5.1 Strukturmodellierung mittels Graphen .....................................336 8.5.2 Bewertete Graphen und kürzeste Wege ....................................339 Projektplanung......................................................................................343 8.6.1 Modellierung der Projektstruktur..............................................343 8.6.2 Zeitliche Planung des Projektablaufs........................................352 8.6.3 Kapazitäts- und Kostenplanung ................................................358 Simulation.............................................................................................363 8.7.1 Deterministische Simulation.....................................................363 8.7.2 Stochastische Simulation ..........................................................372

Abbildungsverzeichnis ......................................................................................379 Tabellenverzeichnis ...........................................................................................383 Literaturverzeichnis ..........................................................................................385 Sachverzeichnis..................................................................................................393

1 Quantitative Entscheidungsunterstützung

1.1 Operations Research: Strukturierte Problemlösung 1.1.1 Modelle, Methoden, Algorithmen Dieses Buch vermittelt die Grundlagen des Operations Research, d. h. der Entwicklung und des Einsatzes quantitativer Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung. Dieser Begriff, wie auch Operational Research oder in Deutschland Unternehmensforschung, wurde Mitte des vorigen Jahrhunderts geprägt, die typischen Vorgehensweisen und Methoden sind teilweise wesentlich älter. Ähnliche Bezeichnungen sind Management Science oder quantitative Betriebswirtschaftslehre, sie beinhalten die Methoden des Operations Research und stellen wirtschaftswissenschaftliche Fragestellungen in den Vordergrund. Die Problemlösungsansätze des Operations Research sind durch ihre Interdisziplinarität gekennzeichnet, wobei vor allem Methoden und Anwendungen der Mathematik, der Wirtschaftswissenschaft, der Informatik und der Ingenieurwissenschaften von Bedeutung sind. Charakteristisch für die Vorgehensweise des Operations Research ist das Bestreben, für komplexe reale Situationen optimale Handlungsvorschläge zu ermitteln. Optimalität wird entscheidungstheoretisch fundiert und die unter den zu berücksichtigenden Bedingungen und gemessen an der Zielanforderung beste Alternative ausgewählt. Auf Schwierigkeiten bei der Ermittlung einer optimalen Lösung, die z. B. auf mangelnden Informationen, Risiko oder zu rechenaufwändigen Methoden basieren, wird reagiert, indem in solchen Situationen eine möglichst gute Lösung oder mehrere effiziente Lösungen bestimmt werden. Operations Research ist hervorragend geeignet, bei der Verfolgung des ökonomischen Prinzips zu unterstützen, welches besonders in den beiden folgenden Formen zum Ausdruck kommt:

y Maximumprinzip: Mit einem gegebenen Einsatz an knappen Gütern ist ein maximales Ergebnis zu erreichen.

y Minimumprinzip: Ein bestimmtes Ergebnis ist mit minimalem Einsatz knapper Güter zu erreichen. Damit erklärt sich auch die besondere Bedeutung des Operations Research im Rahmen einer entscheidungsorientierten Betriebswirtschaftslehre. Hier liegt der anwendungsbezogene Haupteinsatzbereich in der Planung und Entscheidungsvor-

2

Quantitative Entscheidungsunterstützung

bereitung, aber auch in der Kontrolle und Steuerung unterschiedlicher Unternehmensbereiche und -aktivitäten sowie übergreifender Projekte und Prozesse. Darüber hinaus nutzen viele andere Disziplinen und Fachgebiete die Methoden des Operations Research und tragen zu deren Weiterentwicklung bei. Die Vielfalt der Möglichkeiten kann entsprechenden Sammelwerken entnommen werden (z. B. Fleuren et al. 2005, Werners u. Gabriel 1994). Entscheidungen sollten durch Planung vorbereitet werden. Mit Planung wird ein vom Planungsträger durchgeführter, systematischer und rationaler Prozess zur Ermittlung von Maßnahmen zur zukünftigen Erreichung von Zielen bezeichnet, auch unter Berücksichtigung von unsicheren Umwelteinflüssen oder rationalen Gegenspielern (vgl. beispielsweise Berens et al. 2004, Domschke u. Scholl 2005). Neben der Ermittlung von Alternativen, die die Erreichung eines angestrebten Ergebnisses ermöglichen, kann auch das Aufzeigen anzustrebender Ergebnisse als Aufgabe der Planung betrachtet werden. Planung wird quantitativ genannt, wenn mathematische Modelle und Methoden zur Anwendung gelangen. Gerade für die Lösung komplexer Fragestellungen sind quantitative Methoden von großer Bedeutung. Durch die damit verbundene strukturierte Herangehensweise an ein Problem und die Entwicklung eines geeigneten Modells ergeben sich bereits wertvolle Einsichten. Diese werden nach der Lösung des Modells noch vergrößert, indem entweder bereits ein optimaler Vorschlag festgestellt wird oder Hinweise auf eine Ergebnisverbesserung abgeleitet werden können.

Verbales Modell Problem Realität

Mathem. Modell spezieller Struktur

Lösungsalgorithmus/ IT-Einsatz

Lösung für reales Problem

Lösung für mathem. Modell

Lösung für verbales Modell Abb. 1.1. Problemlösungsprozess

Operations Research: Strukturierte Problemlösung

3

Ein wesentliches Charakteristikum des Operations Research besteht darin, den relevanten Ausschnitt der betrachteten Realität abstrahiert in einem zu entwickelnden quantitativen Modell adäquat abzubilden. Aus dem Modell werden quantifizierte Aussagen gewonnen. Z. B. wird unter Einsatz eines auf die spezielle Modellstruktur abgestimmten Algorithmus und geeigneter Informationsverarbeitungstechnologien eine optimale Lösung des Modells ermittelt. Diese ist zu interpretieren und dient als Entscheidungsgrundlage für die reale Situation. Damit lässt sich die Problemlösung grob wie in Abb. 1.1 darstellen. Es ist zu beachten, dass der dargestellte Prozess nicht nur einmal durchlaufen wird, um die Lösung des realen Problems zu bestimmen. Vielmehr wird durch die Strukturierung, die für die Aufstellung eines Modells erforderlich ist, das reale Problem besser analysiert. Eine erste optimale Modelllösung wird in vielen Fällen für die Umsetzung in der Realität noch nicht geeignet sein. Eine auf sie gestützte Diskussion mit den Anwendern liefert ggf. Hinweise, welche wichtigen realen Zusammenhänge noch nicht ausreichend im Modell berücksichtigt wurden und in einer modifizierten Modellversion abzubilden sind. Auf diese Weise trägt ein wiederholter Modellierungs- und Lösungsprozess zu einer zunehmend besseren Erfassung der Problematik und schließlich zu einer real umsetzbaren, möglichst optimalen Lösung bei. Das Operations Research hat vielfältige Modellstrukturen für verschiedene Anwendungsbereiche mit Algorithmen zur Ermittlung der Lösungen entwickelt, um Planung und Entscheidung in komplexen Situationen zu unterstützen. Zunächst werden einige allgemeine Grundlagen zur Modellierung und zur Beschreibung und Beurteilung von Algorithmen vorgestellt, bevor diese in den folgenden Kapiteln für spezielle Strukturen konkretisiert werden. Modelle

y Ein Modell ist ein zweckorientiertes, ggf. vereinfachtes Abbild eines Ausschnitts der Realität, welches hinsichtlich der interessierenden Zusammenhänge strukturähnlich oder strukturgleich ist. Modelle lassen sich hinsichtlich ihres Zwecks unterscheiden in Beschreibungsmodelle, Erklärungs- oder Prognosemodelle und Entscheidungsmodelle. Beschreibungsmodelle dienen der Abbildung der realen Situation zur Feststellung bestimmter Sachverhalte, wie etwa die systematische Erfassung der Kosten und Erlöse im betrieblichen Rechnungswesen zur Feststellung der Wirtschaftlichkeit vergangener Aktivitäten. Erklärungs- und Prognosemodelle unterstützen bei der Untersuchung von Konsequenzen geplanter Aktivitäten (What-If-Analyse). Entscheidungsmodelle dienen der Ermittlung von Aktivitäten, die unter Berücksichtigung der Möglichkeiten und äußeren Einflüsse und der Bewertung der Ergebnisse zu möglichst optimalen Entscheidungen führen.

4


Modell

Beschreibungsmodell

Erklärungsmodell

Entscheidungsmodell

Information über Ausgangssituation

Prognosemodelle Zweck-Mittel-Analyse

Festlegung durchzuführender Aktionen

Kostenerfassung betriebliches Rechnungswesen

Kostenplanung mit kostentheoretischen Modellen

Produktionsprogrammplanung

Abb. 1.2. Modelle strukturiert nach ihrem Zweck

Beispiel Fertigteilelager Modelle können sehr unterschiedliche Ausschnitte der Realität abbilden, wie das Beispiel Fertigteilelager zeigt. Für ein Fertigteilelager kann als spezielles Beschreibungsmodell ein Standortplan gezeichnet werden, der die Warenträger bzw. Regale mit den ihnen zugeordneten Produkten enthält. Entsprechen die räumliche Anordnung und die Entfernungen der Realität, so kann hinsichtlich der zweidimensionalen räumlichen Verhältnisse aufgrund der strukturellen Gleichheit vom Modell auf die Realität geschlossen werden.

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 1

Produkt 4

Produkt 2

Produkt 2

Produkt 3

Produkt 5

Abb. 1.3. Beschreibungsmodell Standortplan

Ein anderes Beschreibungsmodell des Fertigteilelagers ist das Inventar, in dem die Produkte mit vorhandener Stückzahl, Wert pro Stück und Gesamtwert erfasst sind. Auch hier ist eine strukturelle Ähnlichkeit zwischen Modell und Realität


5

gegeben, sodass der Wert des Lagers im Modell ermittelt werden kann und in der Realität Gültigkeit besitzt, sofern das Modell aktuell und hinsichtlich der Daten zutreffend ist.

Produkt 1

2,00 €

52 Stück

104,00 €

Produkt 2 12,00 €

16 Stück

192,00 €

400 Stück

480,00 €

Produkt 3

1,20 €

… Abb. 1.4. Beschreibungsmodell Inventar

Wird der Platzbedarf von Produkt 1 mit 0,1 m3 pro Einheit festgestellt, dann erklärt das folgende kleine mathematische Modell den Gesamtplatzbedarf GP in funktionaler Abhängigkeit von der Anzahl der Produkteinheiten und kann zur „Prognose“ hinsichtlich des Platzbedarfs später einzulagernder Mengen verwendet werden. Aus dem Erklärungsmodell Gesamtplatzbedarf GP a

f (a)

a 0,1

errechnet man den Platzbedarf z. B. für 100 Stück zu f (100) 10 . Ist der verfügbare Lagerplatz auf 400 m3 begrenzt und soll so viel wie möglich von Produkt 1 eingelagert werden, kann die optimale Lösung mit dem folgenden kleinen Entscheidungsmodell ermittelt werden: max x s.d . 0 ,1 x d 400 wobei x ' eine Variable ist, die die gesuchte Stückzahl erfasst. Die optimale Lösung ist unmittelbar ersichtlich und lautet x 0 4000 , also können maximal 4000 Stück von Produkt 1 eingelagert werden. Typisch für ein Entscheidungsmodell ist, dass von allen möglichen Alternativen, die in diesem Fall implizit durch die d -Bedingung festgelegt sind, die hinsichtlich des Zielkriteriums, hier größtmögliche Anzahl, die beste Bewertung erreicht. Damit Modellergebnisse auf die Realität zurück übertragen werden können, müssen die Elemente und ebenfalls die Strukturen zwischen Modell und Realität auf eine bestimmte Art ähnlich oder sogar gleich sein. Für quantitative Modelle kommt diese Strukturähnlichkeit bzw. -gleichheit darin zum Ausdruck, dass der Zusammenhang zwischen der Realität und dem Modell bzw. deren Elementen und auch den betrachteten Strukturen, also Relationen oder Rechenvorschriften,

6


mittels einer Funktion beschreibbar ist, die spezielle Eigenschaften aufweist. Die Abbildung sollte ein Homomorphismus, d. h. vergröbernd und strukturerhaltend, oder sogar ein Isomorphismus, d. h. eineindeutig und strukturgleich, sein. Ein Homomorphismus ist eine Funktion, die Elemente einer Menge A in eine Menge B abbildet und zwar so, dass strukturelle Eigenschaften und Beziehungen, ggf. vergröbert, erhalten bleiben.

Realität A 3

Modell

2

6

1 4

a 5

7

B b

d

c

Abb. 1.5. Homomorphismus

In der Abbildung werden die Elemente des Ausschnitts der Realität A ^1,..., 7` abgebildet auf das Modell mit B â,b,c,d ` . Die Struktur in A sind die existierenden Verbindungen zwischen den Elementen, entsprechend in B. Die Funktion f , die 1 auf a, 2, 3, 4 auf b, 5, 6 auf c und 7 auf d abbildet, ist ein Homomorphismus, der vergröbert. 1 ist mit keinem Element aus A in Verbindung, entsprechendes gilt für a. 6 ist von 2 aus erreichbar, entsprechend ist c f 6 von b f 2 erreichbar. Die Teilmengen, die durch den Homomorphismus auf dasselbe Element in B abgebildet werden, bilden eine so genannte Äquivalenzklasse. Sollen Resultate des Modells auf die Realität zurück übertragen werden, ist das bei Vorliegen eines Homomorphismus möglich. Wenn wie hier b und d miteinander – indirekt – verbunden sind, gilt das auch in der Menge A für jedes Element, das auf b abgebildet wurde, mit jedem Element, das auf d abgebildet wurde. Also sind z. B. 3 und 6 miteinander verbunden. Eine formale Charakterisierung eines Homomorphismus liefert die folgende Definition.

y A, ist eine Menge A mit einer Struktur und B, eine Menge B mit einer Struktur . Eine Abbildung f : A o B ist ein Homomorphismus, falls für alle a1 ,a2 A gilt f a1 a2 f a1 f a2 bzw. a1 a2 f a1 f a2 .

Gilt f A B , dann ist B, eine Vergröberung der Menge A mit ähnlicher, vergröberter Struktur, es liegt also eine durch f definierte Strukturähnlichkeit vor. Die beiden Mengen mit ihren Strukturen A, und B,


7

werden als homomorph bezeichnet. Die Elemente von A, die auf dasselbe b abgebildet werden, bilden eine Äquivalenzklasse. Strukturgleichheit liegt vor, wenn sowohl die beiden Mengen wie auch die beiden Strukturen bis auf ihre Bezeichnungen übereinstimmen. Für quantitative Modelle lässt sich Strukturgleichheit mathematisch mittels eines Isomorphismus beschreiben.

y Eine Funktion f : A o B ist ein Isomorphismus genau dann, wenn gilt

i. f ist bijektiv, d. h. eineindeutig und f A B , und ii. f ist ein Homomorphismus und iii. die Umkehrfunktion f 1 ist ein Homomorphismus. Falls ein Isomorphismus zwischen zwei Mengen mit ihren Strukturen existiert, heißen diese zueinander isomorph.

Aus der Definition ist unmittelbar ersichtlich, dass ein Isomorphismus ein spezieller Homomorphismus ist. Beispiel Homomorphismus Wir betrachten die reellen Zahlen mit der darauf definierten Relation d und die ganzen Zahlen ' , ebenfalls mit der d -Relation. Damit entsprechen , d der Struktur A, und ', d der Struktur B, . Die Funktion f ist eine vergröbernde Abbildung, die jeder reellen Zahl eine ganze Zahl zuordnet, die „größte ganze Zahl d x “1: x o

> x@

beispielsweise 1,8 o

1

f :

2,9 o 2 3, 6 o 4

Die Funktion f ist ein Homomorphismus zwischen den Mengen mit ihren Strukturen , d und ', d , da für beliebige Zahlen a1 ,a2 gilt a1 d a2 Beispiel:

> a1 @ d > a2 @

1,8 d 2 ,9 1 d 2

Umgekehrt lässt sich ableiten, wenn b1 > a1 @ und b2 > a2 @ ist und b2 t b1 ist, dann gilt entweder a2 t a1 oder a1 und a2 sind in derselben Äquivalenzklasse,

> x @ : größte ganze Zahl d x . Diese Vorschrift rundet, indem für nichtnegative Zahlen die Nachkommastellen abgeschnitten werden und für negative Zahlen ebenfalls die ganze Zahl „links“ von x zugeordnet wird. 1

8


d. h., sie weichen nur nach dem Komma voneinander ab. Da also 5 d 7 ist, ist auch 5,9 d 7, 2 . Betrachtet man dagegen (, ) und (', ) , also übereinstimmende Mengen mit anderen Strukturen, nämlich jeweils der Addition, und dieselbe Abbildung f : x o > x @ , dann zeigt sich, dass die Mengen mit diesen Strukturen nicht homomorph sind, die Funktion f hier also keinen Homorphismus darstellt. Es gilt: >1,8 2,9@ > 4,7@ 4 z >1,8@ > 2,9@ 1 2 3 . Aus 1 2 3 kann also nicht geschlossen werden, dass auch 1,8 + 2,9 einen Wert besitzt, der in der Äquivalenzklasse zu >3@ , also von 3 bis unter 4 liegt. Damit können Aussagen, die in der vergröberten Struktur ', ermittelt werden, nicht in die Struktur , zurück übertragen werden, denn hier ist f kein Homomorphismus. Modelle bilden unterschiedliche Ausschnitte der Realität ab, wie das Beispiel Fertigteilelager zeigt. Quantitative Methoden unterstützen dabei, reale Probleme strukturiert zu erfassen, zu modellieren, quantitative Ergebnisse zu ermitteln und die optimale Lösung zu finden. Damit diese Aussagen, die für die Modelle gewonnen werden, Bedeutung für die Realität haben, ist die Strukturähnlichkeit zu dem betrachteten Teil der Realität einschließlich der wichtigen Zusammenhänge sicherzustellen. So macht es im Beispiel Inventar Sinn, den durchschnittlichen Wert eines Stücks im Lager aus den Produktstückzahlen multipliziert mit den Einzelwerten zu ermitteln. Es ist jedoch nicht sinnvoll, aus den Produktnummern ein durchschnittliches Produkt zu berechnen. Methoden Operations Research befasst sich insbesondere mit Entscheidungsmodellen und der Ermittlung einer optimalen Lösung. Darüber hinaus werden auch quantitative Erklärungsmodelle zur Entscheidungsunterstützung eingesetzt, die zu einer Ergebnisermittlung und Bewertung jeweils einzelner Alternativen beitragen. Unter einer Methode wird in diesem Zusammenhang meist das Vorgehen einschließlich Modellierung und Problemlösung unter Einsatz von Algorithmen verstanden, gelegentlich werden Methode und Algorithmus synonym verwendet. Unter Optimierung versteht man die Ermittlung derjenigen zulässigen Handlungsalternative, die einem vorgegebenen Ziel am besten von allen Alternativen entspricht. Damit setzt eine Optimierung voraus, dass alle zulässigen Handlungsalternativen berücksichtigt werden, die Zielvorstellung muss bekannt sein, die Handlungsalternativen sind bezüglich dieser Zielvorstellung zu bewerten und die Bewertungsergebnisse müssen miteinander vergleichbar sein. Entscheidungstheoretische Anforderungen an die Bestimmung der besten Alternativen werden in Kap. 1.2 ausführlich behandelt. Sind nur wenige Handlungsalternativen zu berücksichtigen, kann eine vollständige Enumeration durchgeführt, d. h. alle Alternativen explizit aufgestellt und bewertet und dann die optimale ausgewählt werden. Bei einer Vielzahl von Alter-


9

nativen ist dieses Vorgehen zu aufwändig. Dann wird angestrebt, alle Handlungsalternativen mittels eines mathematischen Optimierungsmodells implizit zu erfassen und unter Einsatz eines Optimierungsalgorithmus die beste Alternative zu berechnen. Bei einigen Modellstrukturen, etwa wenn alle Zusammenhänge linear sind, stehen sehr effiziente, geeignete Lösungsalgorithmen zur Verfügung. Ist eine Optimierung nicht möglich oder aufgrund der Modellstruktur oder -größe zu aufwändig, können ggf. Heuristiken geeignet sein, eine gute Lösung zu ermitteln. Unter einer Heuristik versteht man eine Vorgehensweise oder einen Algorithmus, mit der durch ein systematisches Vorgehen eine möglichst gute Lösung gefunden wird, wobei die Optimalität jedoch meist nicht erreicht wird und in der Regel nicht beweisbar ist. Typisch für Heuristiken ist, dass nicht alle Alternativen berücksichtigt werden. Mit den klassischen Heuristiken wird unter Verwendung sinnvoller Regelungen teilweise nur eine einzige Alternative entwickelt. Gebräuchliche Regeln zeigen häufig gute Ergebnisse. Moderne Heuristiken entwickeln und bewerten teilweise sehr schnell sehr viele unterschiedliche Alternativen und haben ihre Qualität bei der Lösung vielfältiger, sehr komplexer Probleme bereits gezeigt. Zur Beurteilung der Qualität der Problemlösung steht bei optimierenden Verfahren der Aufwand zur Berechnung bis zur optimalen Lösung im Vordergrund, während für Heuristiken zusätzlich die Abweichung von dem Ergebnis bei optimaler Lösung bzw. der Vergleich der Ergebnisse verschiedener Heuristiken relevant ist. Algorithmus In Entscheidungsmodellen ist die optimale Lösung zu ermitteln, daher spricht man auch von einem Entscheidungsproblem und einer Problemlösung. Dazu werden Algorithmen verwendet, die in Computerprogramme umgesetzt werden.

y Unter einem Algorithmus kann ganz allgemein eine Verarbeitungsvorschrift zur Lösung eines Problems verstanden werden. Eine sehr detaillierte Darstellung der Verarbeitungsvorschrift kann durch ein ablauffähiges Programm in einer Programmiersprache geschehen. Zur Darstellung von Programmabläufen und von Algorithmen stehen als Visualisierungsmöglichkeiten insbesondere der Programmablaufplan und das Struktogramm zur Verfügung (z. B. Balzert 2005, Ernst 2003). Diese werden in unterschiedlichen Detaillierungen verwendet und unterstützen den Programmentwurf und die Kommunikation zwischen verschiedenen Beteiligten, wie beispielsweise Entwickler und Programmierer. Die darzustellenden Kontrollstrukturen sind Sequenz, Auswahl, Wiederholung und Aufruf. Der Programmablaufplan, auch Flussdiagramm oder Ablaufdiagramm genannt, ist in der DIN 66001 genormt. Die Programmablaufplan-Notation verbindet grafische Symbole durch Linien. Sie wird noch eingesetzt, lässt jedoch Sprünge zu und unterstützt damit nicht, im Unterschied zum Struktogramm, die strukturierte Programmierung. Struktogramme, nach ihren Entwicklern auch Nassi-Shneiderman-Diagramme genannt, sind in

10


der DIN 66261 normiert. Die wichtigsten Sinnbilder mit ihrer Anwendung für die Darstellung des Programmablaufs sind im Folgenden aufgeführt. Eine Verarbeitung V bzw. Anweisung wird durch ein Rechteck gekennzeichnet. V

Eine Sequenz oder Folge ist eine Aneinanderreihung von Anweisungen, die von oben nach unten durchgeführt werden. V1 V2 V3

Wiederholungen werden danach unterschieden, ob eine Bedingungsprüfung B vorangeht, nachfolgt oder nicht vorhanden ist. B

V V

B

nachfolgende Bedingungsprüfung

vorausgehende Bedingungsprüfung

V

ohne Bedingungsprüfung Einfache oder mehrfache Alternativen werden in Abhängigkeit von Bedingungen durchgeführt.

B1 V2

G G

B2 V1

Ein Abbruch der Bearbeitung wird ebenfalls sinnbildlich dargestellt.


11

N

Beispiel Prüfungstraining Im Rahmen Ihrer Klausurvorbereitung bearbeiten Sie die zwei Kapitel Ihrer Unterlagen nacheinander. Anschließend prüfen Sie mittels Internet-Test, ob Sie ausreichend gut vorbereitet sind. Falls nicht, bearbeiten Sie erneut beide Kapitel. Dies wiederholen Sie solange, bis Ihr Ergebnis ausreichend gut ist. Anschließend unterziehen Sie sich der Prüfung. Sind Sie nicht erfolgreich, bearbeiten Sie noch einmal beide Kapitel und lassen sich nachprüfen. Nach erfolgreicher Prüfung treten Sie Ihren wohlverdienten Urlaub an. Kap. 1 lernen Kap. 2 lernen Testergebnis: gut vorbereitet Prüfung

nicht nicht bestanden bestanden

bestanden

Kap. 1 lernen

Urlaub

Kap. 2 lernen nicht bestanden

bestanden

Urlaub Abb. 1.6. Struktogramm Prüfungstraining

Mit derartigen Struktogrammen lassen sich strukturierte Programme entwickeln, dazu erfolgt die Erfassung sehr detailliert. Eine aggregiertere Darstellung ist geeignet, um Algorithmen oder Vorgehensweisen zu veranschaulichen und wird zur Beschreibung einiger Algorithmen in folgenden Kapiteln verwendet. Effizienz von Algorithmen Eine Beurteilung von Entscheidungsmodellen und zu deren Lösung geeigneten Algorithmen geschieht hinsichtlich ihrer Effizienz. Im Rahmen der Komplexitätstheorie werden allgemeine Aussagen über Laufzeit und Speicherbedarf von Algorithmen getroffen, sodass deren Effizienz verglichen werden kann. Hier unterscheidet man Aussagen über die worst case Komplexität, also das Laufzeitverhalten im denkbar ungünstigsten Fall, von denen hinsichtlich der average case Komplexität, also dem Laufzeitverhalten, welches im Mittel zu beobachten ist. Für den praktischen Einsatz ist letzteres von größerer Bedeutung.

12


Die maximale Laufzeit von Algorithmen in Abhängigkeit von Parametern der Problemgröße wird häufig mittels Landau-Symbol bzw. O-Notation („groß-O“) beschrieben. Die häufig verwendete Angabe f O g für Funktionen f , g : o bedeutet, dass die Funktion f asymptotisch nicht schneller wächst als die Funktion g, d. h. f n g n d C für eine Konstante C und für alle n t n0 gilt. Die Schreibweise f O g ist formal nicht korrekt, da sich sehr viele Funktionen durch eine Funktion g nach oben abschätzen lassen, O g also eine Menge von Funktionen ist. Dennoch ist obige Schreibweise gebräuchlicher, obwohl zutreffender die Darstellung f O g ist mit Og :

^f

es gibt ein C t 0 und ein n0 ,

sodass für alle n t n0 gilt: f n d C g n

`

Beispielsweise wächst die Funktion f1 : o mit f1 n 2n 2 n 5 quadratisch, d. h., sie lässt sich bis auf einen Parameter durch eine quadratische Funktion abschätzen. Die Funktion f1 gehört zu O n 2 , da mit g n n 2 und C = 4 für n t n0 3 gilt:

f1 n

2n 2 n 5 d 2 n 2 n 2 n 2

4n 2

4 g n

Wie ein beliebiges Polynom 2. Grades zu O n 2 gehört, gehört auch z. B. ein beliebiges Polynom 5. Grades zu O n5 oder ein Polynom k. Grades zu O n k .

Komplexitätsuntersuchungen von Algorithmen und Entscheidungsmodellen sind Gegenstand der Komplexitätstheorie. Für den praktischen Einsatz bedeutend ist neben dem worst case Verhalten besonders das durchschnittliche Laufzeitverhalten (average case), welches sich bei üblichem praktischem Einsatz zeigt und bei einigen Algorithmen sehr viel kürzer sein kann. Bei einigen der später vorzustellenden Algorithmen wird auf das Laufzeitverhalten eingegangen. 1.1.2 Inhalt des Buches Die vorliegenden Ausführungen schaffen die Grundlage dafür, komplexe Problemstellungen der Realität systematisch zu analysieren und zu lösen, indem Handlungsalternativen, äußere Einflüsse und Zielvorstellungen erfasst und voneinander abgegrenzt werden. Dazu gehören die Entwicklung geeigneter quantitativer Modelle zur Repräsentation der Realität und der Einsatz von Algorithmen zu deren möglichst optimaler Lösung. Voraussetzung dazu ist eine angemessene Durchdringung des Problems, eine Erfassung der Ziele und relevanten Zusammenhänge, die Ermittlung der Konsequenzen von Entscheidungen über Handlungsalternativen und auf dieser Basis die Auswahl der besten verfügbaren Möglichkeit. Dazu sind Kenntnisse verschiedener Modellstrukturen und der zur Lösung geeigneten Algorithmen erforderlich, die dargestellt und beispielhaft vertieft werden. Die hier angesprochenen Modelle und Methoden dienen einerseits der


13

Analyse von Problemen, andererseits der Optimierung. Zu den meisten Teilkapiteln wird der Inhalt mit vielen Übungsaufgaben aufgegriffen, zu denen am Ende des Buches die Lösungen mit ausführlichem Lösungsweg angegeben sind. Eine Fülle der Realität angelehnter Beispiele gibt einen Eindruck von der vielfältigen Einsatzbreite der dargestellten Methoden. Im folgenden Teil des ersten Kapitels werden grundlegende Begriffe der Entscheidungstheorie eingeführt, da Operations Research gerade zur Entscheidungsunterstützung Anwendung findet und derartige Basiskenntnisse unbedingt erforderlich sind. Im zweiten Kapitel werden die Grundlagen der linearen Optimierung vorgestellt. Zunächst wird mittels eines Beispiels zur kurzfristigen Produktionsprogrammplanung ein typischer Einsatzbereich linearer Optimierungsmodelle erläutert und mit einem Zahlenbeispiel detailliert die Problemstellung und die Lösung mittels Simplexalgorithmus vermittelt. Ergebnis ist ein deckungsbeitragsoptimales Produktionsprogramm, welches mit verfügbaren, knappen Produktionskapazitäten herstellbar ist. Anschließend wird der Simplexalgorithmus in seiner einfachsten Form zur Lösung des Grundmodells linearer Optimierung theoretisch behandelt. Es wird bewusst eine formale Darstellungsform verwendet, einerseits um den Leser mit einer derartigen mathematischen Beschreibungssprache vertraut zu machen, andererseits um die Aussagen verallgemeinern zu können. Auf Beweise wird durchgängig verzichtet. Manche lineare Optimierungmodelle besitzen genau eine optimale Lösung, während andere keine, mehrere oder sogar unendlich viele optimale Lösungen aufweisen. Beispiele dafür und wie man diese unterschiedlichen Situationen bei Einsatz des Simplexalgorithmus erkennt, werden ebenfalls ausführlich dargestellt. Kapitel drei behandelt die Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle, sodass die Beschränkungen auf das Grundmodell schrittweise aufgehoben werden. So werden Methoden angegeben, mit denen eine zulässige Lösung linearer Gleichungssysteme mittels Simplexalgorithmus ermittelt wird, wenn diese nicht einfach ablesbar ist. Auch Minimierungsprobleme und unbeschränkte Variablen lassen sich im Modell erfassen und entsprechende Probleme lösen. Ausführlich wird die Interpretation der mittels Simplexalgorithmus erzielbaren Lösungen erörtert. Dazu gehört die Umsetzung der Informationen des optimalen Endergebnisses in unterschiedlichen Anwendungssituationen und erste Vorschläge für eine Modellierung. Zu einem linearen Modell lässt sich stets das zugehörige duale Modell angeben. Dessen optimale Lösung liefert weitere Einblicke in die Problematik und erlaubt die Ermittlung von Opportunitätskosten und Schattenpreisen für die optimale Lösung. Weiterführende Betrachtungen werden im Rahmen der Sensitivitätsanalyse durchgeführt. Eine systematische, auf den Simplexalgorithmus gestützte Behandlung liefert zusätzliche Informationen über die optimale Lösung und deren Veränderung, falls bestimmte Angaben hinsichtlich der Ausgangssituation zu modifizieren sind, wie es etwa in Entscheidungssituationen unter Unsicherheit erforderlich ist.

14


Im vierten Kapitel steht der Einsatz der bis dahin behandelten Modelle und Methoden in unterschiedlichen Anwendungssituationen im Mittelpunkt. Zunächst wird auf die Möglichkeit der Rechnerunterstützung eingegangen, um auch große Probleme behandeln zu können. Teilweise sind Studentenversionen verfügbar, auf die hingewiesen wird. Ein Teilkapitel enthält umfangreichere Anwendungsmöglichkeiten der linearen Optimierung im Bereich der Produktion und Logistik. Besonders werden Modelle und Lösungen zum Supply Chain Planning und zur Standortplanung vorgestellt. Bevor im nächsten Teilbereich auf die simultane Investitions- und Finanzierungsplanung eingegangen wird, erfolgt eine kurze Einführung in die Methoden der dynamischen Investitionsrechnung. Weitere wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen wie Revenue Management, FallmixOptimierung im Krankenhaus, Personaleinsatzplanung und Forschungs- und Entwicklungsprogrammauswahl geben einen Eindruck von der Vielfalt der realen Problemstellungen, für die eine wertvolle Unterstützung und Lösung mittels linearer Optimierungsmethoden erfolgt. In den anschließenden Kapiteln wird auf andere, ebenfalls klassische Methoden des Operations Research mit ihren Einsatzmöglichkeiten eingegangen. Kapitel fünf behandelt die Grundlagen der Graphentheorie. Gerade Graphen mit ihren Visualisierungsmöglichkeiten sind hervorragend geeignet, komplexe Sachverhalte strukturiert zu erfassen, zu analysieren und daraus Erkenntnisse über die Realität abzuleiten. Zunächst wird die abstrakte mathematische Struktur eines Graphen, bestehend aus zwei Mengen und deren Zusammenhang, definiert und anhand des einführenden Beispiels Autobahnnetz NRW erläutert. Eine solche mathematische Struktur kann auf spezielle Eigenschaften hin untersucht werden, die Rückschlüsse auf die Realität zulassen. Insbesondere quantifizierbare Sachverhalte sind von Interesse, die etwa in Form von bewerteten Graphen Beachtung finden. Vertieft wird die Behandlung von Entfernungen zwischen verschiedenen Orten, repräsentiert als Knoten, und die daraus ableitbaren Ermittlungen kürzester Wege unter Einsatz des Algorithmus von Dijkstra. Die quantitativen Methoden der Projektplanung basieren auf graphentheoretischen Modellen und werden in Kapitel sechs näher vorgestellt. Zunächst wird auf die Grundlagen der Projektplanung eingegangen und eine Strukturanalyse durchgeführt. Darauf baut die zeitliche Planung des Projektablaufs auf, die getrennt für Vorgangspfeil- und Vorgangsknotennetzpläne behandelt wird. Neben der Projektdauer werden auch Pufferzeiten und Flexibilitätsreserven ermittelt, die von besonderer Bedeutung für die Projektsteuerung sind. Auch hier sind ggf. knappe Kapazitäten zu berücksichtigen, weiter sind die Projektkosten, welche von dem zeitlichen Ablauf des Projektes abhängen, zu beachten und zu optimieren. Die im siebten Kapitel behandelte Simulation basiert auf einem gegenüber den bis dahin vorgestellten Modellen und Methoden unterschiedlichen Konzept. Anstatt ein geschlossenes Modelle zu entwickeln, zu analysieren und ggf. zu optimieren werden hier zwar auch mathematische Modelle verwendet, jedoch bestehen diese meist aus einzelnen Komponenten und werden zur Durchführung von Experimenten eingesetzt. Auch die so erzielten Ergebnisse dienen der Ent-

Entscheidungsunterstützung

15

scheidungsunterstützung, jedoch ist nur in Ausnahmensituationen eine optimale Lösung zu ermitteln. Das erste Teilkapitel behandelt die deterministische Simulation und die Grundlagen, die ebenfalls für die stochastische Simulation gelten. Anhand eines umfangreichen Anwendungsbeispiels wird das Potenzial der Simulation zur Produktionsplanung aufgezeigt. Im Rahmen der stochastischen Simulation lassen sich Entscheidungssituationen unter Risiko behandeln. Hierzu werden einige statistische Grundlagen vermittelt und dargestellt, wie sich Zufallszahlen für spätere Experimente generieren lassen. Wie bei der deterministischen Simulation gilt auch für die stochastische Simulation, dass sie im Vergleich zu analytischen Methoden meist wesentlich aufwändiger ist und keine allgemeinen Lösungen liefert. Falls verfügbar und einsetzbar, sind daher stets analytische Ansätze vorzuziehen. Ein bedeutender Einsatzbereich der Simulation umfasst komplizierte Warteschlangensysteme. Um bei einfacheren Systemen analytisch Ergebnisse ermitteln zu können, werden die entsprechenden theoretischen Grundlagen und Resultate kurz vorgestellt. Weiter wird die Einsatzmöglichkeit der Simulation zur Risikoanalyse behandelt. Nach Bearbeitung dieser Unterlagen sollten Leser die grundlegenden Methoden und Algorithmen des Operations Research beherrschen und anhand kleinerer Anwendungen einsetzen können. Über die enthaltenen umfangreichen Übungen mit Lösungen hinaus besteht zusätzlich die Möglichkeit, im Rahmen des virtuellen Studienfachs Operations Research & Management Science VORMS an einem Internet-basierten Übungsbetrieb teilzunehmen oder zusätzliche inhaltliche Aspekte zu vertiefen. VORMS ist ein virtuelles Wissensnetzwerk, bestehend aus interaktiven multimedialen Lernmodulen, nähere Informationen dazu finden Sie über die Internetseiten www.ruhr-uni-bochum.de/or oder www.vorms.org.

1.2 Entscheidungsunterstützung 1.2.1 Entscheidungstheoretische Grundlagen Entscheidungstheoretische Ergebnisse können genutzt werden, das Entscheidungsverhalten von Entscheidungsträgern zu unterstützen und zu verbessern bzw. zu prognostizieren und darauf zu reagieren. Da die Methoden des Operations Research der Entscheidungsunterstützung dienen, werden im Folgenden einige entscheidungstheoretische Grundlagen behandelt. Weiterführende Erkenntnisse sind spezialisierter Literatur zu entnehmen (u. a. Bamberg u. Coenenberg 2004, Dinkelbach u. Kleine 1996, Eisenführ u. Weber 2003, Laux 2005, Rommelfanger u. Eickemeier 2002, Schneider 1995).

y Die Entscheidungstheorie ist mit der logischen und empirischen Analyse des rationalen oder intendiert rationalen Entscheidungsverhaltens befasst. Sie gliedert sich in die vorschreibende, präskriptive und die beschreibende, deskriptive Entscheidungstheorie.

16


y Die präskriptive Entscheidungstheorie, auch normative Entscheidungstheorie oder decision analysis bezeichnet, untersucht die Entscheidungslogik. Ihre zentrale Fragestellung lautet: Wie sind Entscheidungen bei gegebenen Entscheidungsprämissen zu treffen, sodass sie dem Postulat subjektiver Formalrationalität entsprechen? Dazu werden Annahmen über ein rationales Entscheidungsverhalten getroffen und daraus Konsequenzen für eine Entscheidung abgeleitet und empfohlen.

y Die deskriptive Entscheidungstheorie, die auch empirisch-kognitive Entscheidungstheorie genannt wird, untersucht das Entscheidungsverhalten. Ihre Hauptfragestellung ist: Wie werden Entscheidungen in der Wirklichkeit getroffen und warum werden sie so und nicht anders getroffen? Auf diese Weise wird versucht, Entscheidungsverhalten zu erklären und Verhaltensannahmen abzuleiten. Die Ergebnisse der präskriptiven und deskriptiven Entscheidungstheorie haben wechselseitigen Einfluss auf die Weiterentwicklungen beider Richtungen, sodass Phänomene der Realität untersucht und beurteilt werden können. Die präskriptive Entscheidungtheorie entwickelt Regeln zur Bewertung von Aktionsresultaten, sodass ein Verhalten als rational bezeichnet werden kann. Es werden Anforderungen gestellt, die bei Rationalität erwartet werden. Dazu gehört die Forderung nach formaler Rationalität, d. h., der Entscheidungsträger verfügt über ein in sich widerspruchsfreies Zielsystem und verhält sich diesem gemäß. Die subjektive Rationalität unterstellt ein subjektiv wahrgenommenes Situationsbild, welches der rationalen Entscheidung zugrunde liegt. Von objektiver Rationalität, bei der das Situationsbild des Entscheidungsträgers mit der Wirklichkeit übereinstimmt, die ein objektiver Beobachter wahrnehmen würde, wird abgesehen, da sie unrealistisch ist. Die präskriptive Entscheidungstheorie analysiert Entscheidungen unter der Voraussetzung subjektiver Formalrationalität. Zur Entwicklung von Entscheidungsmodellen, die für das Operations Research besondere Bedeutung haben, sind die wichtigsten Elemente und ihre Zusammenhänge in der Realität zu erkennen und im Modell abzubilden. Um die Frage zu beantworten, welche Handlungsalternative in einer Situation optimal ist, sind folgende wesentliche Bereiche zu untersuchen: Welche Handlungsalternativen stehen zur Wahl? Die Handlungsalternativen resultieren aus den Möglichkeiten, die dem Entscheidungsträger zur Verfügung stehen. Handlungsalternativen sollten vollständig und überschneidungsfrei ermittelt werden. Die Beschreibung kann explizit durch Auflistung oder implizit durch Anforderungen erfolgen. Beispiel Würfeln Ihnen wird die Beteiligung an einem Würfelspiel angeboten, dazu müssten Sie 1.000 € für die Teilnahme an dem Spiel bezahlen und einen beliebigen Betrag bis zu 1.000 € setzen. Dann wird gewürfelt und für jeden eingesetzten Euro bekommen Sie 6 € bei der Augenzahl 6, 5 € bei 5 und 4 € bei 4.


17

Fällt eine 1, 2 oder 3, zahlen Sie pro eingesetzten Euro 4 €. Die vollständige Liste der Handlungsalternativen, die hier implizit beschrieben wird, lautet: Sie beteiligen sich nicht oder Sie beteiligen sich mit einem Betrag von x € mit 0 < x 1.000. Welche Umweltzustände können eintreten und welche Informationen liegen dem Entscheidungsträger darüber vor? Es ist festzustellen, welche äußeren Einflüsse das Ergebnis der Auswahl einer Handlungsalternative beeinflussen, die – zumindest in der betrachteten Situation – nicht durch den Entscheidungsträger zu beeinflussen sind. Eventuell ist bekannt, mit welcher Wahrscheinlichkeit diese unterschiedlichen Umweltzustände eintreten können. Beispiel Würfeln In diesem Beispiel sind sechs Umweltzustände möglich: Der Würfel kann die Augenzahl 1, 2 usw. bis 6 anzeigen. Alle Zustände sind gleich wahrscheinlich mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 . Welche Ergebnisse werden erreicht? Durch das Zusammentreffen einer Handlungsalternative und eines Umweltzustands resultiert je ein Ergebnis. Jedoch ist bei Auswahl einer Handlungsalternative nicht bekannt, welcher Zustand und damit welches Ergebnis eintreten wird. Ergebnisse können mehrwertig sein, so verfügt ein auszuwählender PKW über viele Eigenschaften wie Benzinverbrauch, Höchstgeschwindigkeit usw. Beispiel Würfeln Die folgende Übersicht enthält alle Handlungsalternativen, Umweltzustände und Ergebnisse des Beispiels. Tabelle 1.1. Ergebnisse des Würfelbeispiels

Umweltzustände Alternativen

x

0

0 x d 1000

1

2

3

4

5

6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

1/ 6

0

0

0

0

0

0

-1000 -4x

-1000 -4x

-1000 -4x

-1000 +4x

-1000 +5x

-1000 +6x

Welche Ziele werden verfolgt? Von entscheidender Bedeutung für die Beurteilung von Ergebnissen und Handlungsalternativen ist die Zielvorstellung des Entscheidungsträgers. Rational handelnde Individuen werden bei einem erwünschten Merkmal höhere Ausprägungen gegenüber niedrigeren bevorzugen. So wird ein zu erhaltender Betrag

18


umso besser beurteilt, je höher er ist. Umgekehrt wird ein abzugebender Betrag umso besser beurteilt, je niedriger er ist. Bei einigen Merkmalen kann daher direkt von einer Maximierungszielvorstellung bzw. einer Minimierungszielvorstellung ausgegangen werden. Schwieriger wird die Entscheidungssituation, wenn Unsicherheit, zeitliche Abweichungen oder mehrere Ziele zu berücksichtigen sind. Dann sind zusätzliche Präferenzinformationen erforderlich, aus denen der Nutzen der Ergebnisse abgeleitet werden kann. Derartige Fragestellungen sind Beschäftigungsgegenstand der Entscheidungstheorie, auf die hier kurz eingegangen wird. Beispiel Würfeln Das Ziel des Entscheidungsträgers besteht darin, ein möglichst hohes Ergebnis zu erzielen. So ist der Nutzen von 1000 6 1000 5000 , der bei einem Einsatz von 1000 im günstigsten Fall eintritt, also wenn der Würfel 6 zeigt, höher als 1000 4 1000 3000 bei dem Wurf 4. Dies ist jedoch nicht vom Entscheidungsträger auszuwählen. Er kann nur über seinen Einsatz entscheiden, nicht über den Umweltzustand. Daher sind zusätzliche Informationen über die Vorstellungen des Entscheidungsträgers hinsichtlich seines Verhaltens in Entscheidungssituationen unter Risiko notwendig, um geeignete Bewertungen der Alternativen vornehmen zu können. Ist er risikoneutral, bewertet er die Alternative mit dem jeweiligen Erwartungswert der Ergebnisse bzw. Zielerreichungen und wählt diejenige mit höchstem Erwartungswert aus. Bei einem Einsatz von 0 ist das erwartete Ergebnis 0, welches mit Sicherheit, also unabhängig vom Umweltzustand, eintrifft. Für einen Betrag x mit 0 x 1000 ist das erwartete Ergebnis 1000 12 4 x 16 4 x 16 5 x 16 6 x 1000 12 x . Dieses ist selbst für den höchstmöglichen Einsatz x 1000 mit 500 negativ. Daher sollte sich ein risikoneutraler Entscheidungsträger nicht an diesem Spiel beteiligen. Grundmodell der Entscheidungstheorie Vor einer Entscheidung oder für die Aufstellung eines Entscheidungsmodells ist stets detailliert zu analysieren, welche wesentlichen Entscheidungskomponenten zu berücksichtigen sind und in welchem Zusammenhang sie stehen. Das Grundmodell der Entscheidungstheorie bietet eine Hilfestellung zur Strukturierung der Entscheidungssituation. Möglichkeiten, externe Einflüsse und Konsequenzen der realen Situation sollten entsprechend analysiert und den Elementen des Grundmodells zugeordnet werden. Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

A

â1 ,..., am `

Z ^ z1 ,..., zn ` p1 ,..., pn

eij uij

Menge der Handlungsalternativen Menge der Umweltzustände Eintrittswahrscheinlichkeiten (probabilities) der Umweltzustände, falls bekannt Ergebnis, falls Handlungsalternative i gewählt wird und Umweltzustand j eintritt Nutzen (utility) bei Zusammentreffen von Handlungsalternative i und Umweltzustand j


19

Tabelle 1.2. Grundmodell der Entscheidungstheorie

Ergebnismatrix …

zn

p1

p2

…

pn

a1

e11

e12

…

e1n

a2

e21

…

…

am

em1

…

z2

z1

…

emn

Nutzenfunktion Entscheidungsmatrix

zn

p1

p2

…

pn

a1

u11

u12

…

u1n

a2

u21

am

um1

…

…

…

z2

…

z1

…

umn

Für eine endliche Zahl von Handlungsalternativen und Umweltzuständen lässt sich eine Matrix mit den jeweils resultierenden Ergebnissen aufstellen, die Ergebnismatrix. Unter Angabe des Nutzens zu jedem Ergebnis wird die Entscheidungsmatrix aufgestellt. Diese stellt die Basis für die Auswahl der „besten“ Handlungsalternative dar, für die zusätzliche Präferenzinformationen vorliegen müssen. Eine vergleichbare Strukturierung der Entscheidungssituation wird auch für unendlich viele Handlungsalternativen oder ein Kontinuum von Umweltzuständen vorgenommen, lässt sich dann jedoch nicht explizit in Form einer Matrix, sondern implizit mittels mathematischer Funktionen beschreiben. Beispiel Wochenhändler Der Händler eines Wochenmarktes hat zu entscheiden, wie viele Kilogramm der leicht verderblichen Erdbeeren er auf dem Großmarkt einkaufen und auf dem Wochenmarkt anbieten soll. Aufgrund der festen Gebindegrößen stehen als Alternativen 50 kg, 70 kg oder 90 kg zur Auswahl. Die Nachfrage auf dem Wo-

20


chenmarkt im Laufe des Tages wird, u. a. beeinflusst durch die Wetterlage, entweder 30 kg, 50 kg, 70 kg oder 90 kg betragen. Tagsüber nicht abgesetzte Erdbeeren lassen sich später nicht mehr verkaufen. Der Verkaufspreis V beträgt 3 € pro kg Erdbeeren und wird als nicht beeinflussbar angenommen. Die Einkaufspreise Ei , i 1, 2,3 sind nach Gebinde gestaffelt und betragen für 50 kg 1,60 €/kg, für 70 kg 1,40 €/kg und für 90 kg 1,25 €/kg. Der Händler ist an einem möglichst hohen Gewinn interessiert. Zur Strukturierung der Entscheidungssituation werden zunächst die Handlungsalternativen ai zusammengestellt, wobei die Möglichkeit, nichts einzukaufen, mit berücksichtigt wird. Die vier alternativen Umweltzustände z j sind bekannt, jedoch nicht ihre Eintreffenswahrscheinlichkeiten. In einer Ergebnismatrix können die durch das Zusammentreffen von je einer Handlungsalternative und einem Umweltzustand resultierenden absetzbaren Mengen erfasst werden. Tabelle 1.3. Ergebnismatrix Wochenhändler

Nachfrage z j

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0 kg

0 kg

0 kg

0 kg

50 kg

30 kg

50 kg

50 kg

50 kg

70 kg

30 kg

50 kg

70 kg

70 kg

90 kg

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

Angebot ai

Der zu erzielende Gewinn wird aus dem Erlös für die abgesetzte Menge abzüglich der Einkaufskosten für die beschaffte Menge ermittelt: Gewinn (ai , z j ) = min âi , z j ` V ai Ei

Entspricht der Gewinn dem Nutzen des Entscheidungsträgers, wird damit die Entscheidungsmatrix aufgestellt. Tabelle 1.4. Entscheidungsmatrix Wochenhändler

Nachfrage z j

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0€

0€

0€

0€

50 kg

10 €

70 €

70 €

70 €

70 kg

-8 €

52 €

112 €

112 €

90 kg

-22,5 €

37,5 €

97,5 €

157,5 €

Angebot ai


21

Zur Strukturierung einer Entscheidungssituation mit dem Ziel der Auswahl der besten Alternative sind hinsichtlich der einzelnen Elemente des Entscheidungsmodells detaillierte Sachverhalte und wesentliche Prinzipien zu beachten, um eine rationale Entscheidung treffen zu können, die im Folgenden etwas ausführlicher erörtert werden. Alternativenraum Die in einer Situation zur Wahl stehenden Alternativen sind vollständig zu erfassen und zu berücksichtigen. Sind die Alternativen in realen Situationen nicht vollständig vorab bekannt, sind diese zu generieren, was häufig Kreativität und einen umfangreichen Suchprozess erfordert. Auch eine Entscheidung hinsichtlich des Abbruchs der Suche ist Bestandteil des Entscheidungsproblems. So geht dem Kauf eines gebrauchten Pkws ein relativ umfangreicher Suchprozess voraus. Zur Anlagenkonstruktion, zur Entwicklung von Finanzderivaten und ggf. zur Studienplanung ist ein kreativer Prozess der Alternativengenerierung ratsam. Aufgrund von Zeit- und Budgetrestriktionen muss der Suchprozess geeignet abgebrochen werden. Wenn im zeitlichen Verlauf bisherige Alternativen wegfallen, so sind jeweils Weitersuch- oder Stopp-Entscheidungen zu treffen. Zur Zusammenstellung der Handlungsalternativen ist das Prinzip der vollkommenen Alternativenstellung zu berücksichtigen.

y Prinzip der vollkommenen Alternativenstellung Die Auswahl einer Alternative erfolgt aus der vollständigen Menge sich gegenseitig ausschließender Alternativen. Die Angabe geschieht derart, dass eine der Alternativen ergriffen werden muss und nur eine Alternative realisiert werden kann. Damit sind auch die Unterlassungsalternative und die Gewinnung zusätzlicher Informationen zu berücksichtigen Beispiel Anlagemöglichkeiten Das Guthaben auf Ihrem Sparkonto beträgt 5.000 €. Sie erhalten von Ihrer Bank folgende Angebote auf Beteiligung an Unternehmen, die jeweils genau einmal möglich sind und sich nicht gegenseitig ausschließen: Beteiligung an Unternehmen A mit einem Betrag von 5.000 € Beteiligung an Unternehmen B mit einem Betrag von 3.000 € Beteiligung an Unternehmen C mit einem Betrag von 1.000 € Mit diesen drei Vorschlägen leiten Sie die Menge vollkommener Alternativen ab. Wollen Sie keine zusätzlichen Angebote berücksichtigen, bestehen 5 Alternativen, von denen genau eine gewählt werden muss. Hinsichtlich der Alternativenstellung ist der Zeitbezug mit zu berücksichtigen. Stets ist zu prüfen, welche Alternativen bereits zum Zeitpunkt der Planung festgelegt werden müssen und über welche Teilaspekte erst zu einem späteren Zeitpunkt zu entscheiden ist, wenn

22


evtl. zusätzliche Informationen verfügbar sind. Die Auswirkungen der Teilentscheidungen auf spätere Handlungsmöglichkeiten sind ebenfalls zu beachten. Tabelle 1.5. Vollkommene Alternativenstellung Anlagen

a1

Sparkonto

5.000 €

a2

Beteiligung A

5.000 €

a3

Beteiligung B

3.000 €

Sparkonto

2.000 €

a4

Beteiligung C

1.000 €

Sparkonto

4.000 €

a5

Beteiligung B

3.000 €

Sparkonto

1.000€

Beteiligung C

1.000 €

Zustandsraum Die Umwelt beeinflusst das Ergebnis einer Aktion oder Handlungsalternative und wird – zumindest hinsichtlich des Betrachtungshorizonts – als durch den Entscheidungsträger nicht zu beeinflussend angesehen. Ein Umweltzustand ist eine denkbare Konstellation relevanter Umweltfaktoren. Je nach den möglichen Umweltzuständen und den darüber vorliegenden Informationen lassen sich Entscheidungssituationen klassifizieren. Von einer Entscheidungssituation unter Sicherheit spricht man, wenn nur ein Umweltzustand eintreten wird, der bekannt ist, also sichere Erwartungen hinsichtlich der Zukunft vorliegen, andernfalls spricht man von Unsicherheit. Unsicherheitssituationen werden weiter differenziert nach Entscheidungssituationen unter Risiko, für die die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der verschiedenen Umweltsituationen angenommen werden können, und Entscheidungssituationen unter Ungewissheit, bei denen nur die möglichen Umweltzustände, nicht jedoch deren Eintrittswahrscheinlichkeiten bekannt sind. Zu berücksichtigen ist, dass auch Situationen vorkommen mit unvermuteten Umweltzuständen, die jedoch entscheidungstheoretisch kaum behandelbar sind.

Entscheidungssituation

Unsicherheit

Sicherheit

Risiko Abb. 1.7. Klassifikation von Entscheidungssituationen

Ungewissheit

?


23

Die in einer Entscheidungssituation relevante Umweltzustandsmenge ist abhängig vom Zielsystem und sollte ebenfalls vollständig und überschneidungsfrei erfasst werden. Handelt es sich um wenige Zustände bzw. Ereignisse, können diese explizit aufgelistet werden. Andernfalls werden sie implizit beschrieben, wozu gerade bei mit Risiko behafteten Umweltzuständen Zufallsvariablen verwendet werden. Beispiel Ausschussanteil Der Ausschussanteil einer Lieferung kann zwischen 0 und 100 % schwanken, sodass alle Zustände dieses Intervalls möglich sind. Hat der konkrete Ausschussanteil Einfluss z. B. auf die Produktionskosten, sind sehr viele Umweltzustände zu erfassen und die Konsequenzen z. B. mittels einer Kostenfunktion k ( z ) abzuleiten. Sind für den Entscheidungsträger nur bestimmte Bereiche von Interesse, kann die Zahl der relevanten Umweltzustände reduziert werden. Wird z. B. die Lieferung zurückgewiesen, falls mehr als 5 % defekt sind, können die vielen Zustände auf zwei relevante Zustände, Ausschussanteil aus [0; 5] oder aus (5; 100], reduziert werden, mit den Konsequenzen Zurückweisung oder Annahme. Gerade für strategische Entscheidungen werden zur besseren Handhabung aus Einzeleinflüssen zusammengesetzte Umweltzustände zu Szenarien zusammengefasst. Die Modellierung der Unsicherheit geschieht dann durch Szenario-Analysen, die auf Hauptszenarien reduziert werden. In Entscheidungssituationen unter Risiko mit einer endlichen Menge von Zuständen ist jedem Zustand zi eine Wahrscheinlichkeit pi mit i=1,...,n zugeordnet. Wahrscheinlichkeiten sind sämtlich größer oder gleich null. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt eins und die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines von mehreren einander ausschließenden Zuständen ist gleich der Summe deren Einzelwahrscheinlichkeiten. Zur Untersuchung von Entscheidungen unter Risiko sind Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich, die hier und in Kap. 7 kurz dargestellt und in einführender Literatur ausführlich behandelt werden (Bamberg u. Baur 2002, Reichardt u. Reichardt 2002). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand x eintritt, wird mit p x bezeichnet, der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit. p x, y ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeit, dass Zustand x und y eintreffen. Allgemein gilt die Additionsregel zur Erfassung der Wahrscheinlichkeit, dass x oder y eintreffen p x oder y p x p y p x, y . Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Zustandes y unter der Bedingung, dass Zustand x eingetreten ist, ist für p(x) > 0 definiert mit p y x

p ( x, y ) . p ( x)

24


Zwei Zustände x, y sind stochastisch unabhängig, wenn p y x p y gilt. Äquivalent dazu ist, dass p x y p x oder dass für die gemeinsame Wahrscheinlichkeit p x, y p x p y gilt. Ergebnisraum Ein Ergebnis ist die Konsequenz aus der Kombination einer bestimmten Handlungsalternative mit einem bestimmten Umweltzustand. Zu einer endlichen Alternativenmenge und einer endlichen Umweltzuständemenge lassen sich die Ergebnisse explizit in Matrixform angeben. Diese Ergebnisse können auch mehrwertig sein. Eine auszuwählende berufliche Position ist mit einer bestimmten Vergütung, wöchentlichen Arbeitszeit, Einsatzart und Aufstiegschancen verbunden, die für den Entscheider mehr oder weniger attraktiv sind. Die Ermittlung von Ergebnissen geschieht ggf. durch Wirkungsmodelle. Beispielsweise ist der Umsatz das Produkt aus Preis und abgesetzter Menge, wobei die abgesetzte Menge abhängt von der Nachfrage und der angebotenen Menge ist. Zielsystem Entscheidungstheoretisch bezeichnet ein Ziel eine Eigenschaft mit Angabe der Präferenz bez. dieser Eigenschaft. Andere Bezeichnungen für Eigenschaft sind Attribut, Zielgröße oder Zielvariable. Bestandteile eines Zielsystems sind die Zielgröße oder Zielvariable, das Zielausmaß oder die Zielvorschrift und die Zieldauer. Ziele sind meist nicht gegeben, sondern zu erarbeiten, wobei die inhaltliche Beurteilung der Ziele nicht Gegenstand der Entscheidungstheorie ist, sondern aus dem Kontext, hier zumeist aus dem wirtschaftswissenschaftlichen Zusammenhang heraus, erfolgt. Die Entwicklung von Zielen resultiert beispielsweise aus der Feststellung von Mängeln, dem Vergleich vorliegender Alternativen, aus den Erfordernissen strategischer Ziele heraus oder durch externe Vorgaben. Ohne die Verschaffung von Klarheit über die Ziele ist keine vernünftige Entscheidung möglich (Keeney 1996). Präferenzen sind Einstellungen des Entscheiders zu Konsequenzen bzw. zu Handlungsalternativen. Man unterscheidet a E b strikte Präferenz, a b Indifferenz und a \ b schwache Präferenz. Im Falle strikter Präferenz wird eine Handlungsalternative a einer anderen b strikt vorgezogen. Indifferenz zwischen zwei Alternativen liegt vor, wenn beide dem Entscheidungsträger gleich lieb sind, er also mit der einen genauso zufrieden bzw. unzufrieden ist wie mit der anderen. Schwache Präferenz ist gegeben, wenn die eine Alternative vorgezogen oder gleich geschätzt wird. Besteht keine derartige Relation zwischen zwei Alternativen, sind diese unvergleichbar. Die normative Entscheidungstheorie setzt voraus, dass ein rationaler Entscheidungsträger in der Lage ist, je zwei Alternativen miteinander zu vergleichen und dass er sich konsistent verhält. Dies führt zu den beiden folgenden Anforderungen an Präferenzrelationen auf einer Alternativenmenge:


25

y Vollständigkeit, d. h., je zwei Alternativen sind miteinander vergleichbar, also für je zwei Alternativen gilt a \ b oder b \ a . Transitivität der Präferenzrelationen, d. h. a \ b und b \ c a \ c. Obwohl Transitivität sehr plausibel klingt, wird sie nicht immer eingehalten. So gibt es durchaus Personen, die zwar einen Apfel gegenüber einer Birne bevorzugen und eine Birne lieber hätten als eine Banane, sich bei der Wahl zwischen Apfel und Banane jedoch für die Banane entscheiden.

y Wird möglichst viel oder möglichst wenig oder ausreichend viel angestrebt, kann dies durch die Höhenpräferenzrelation zum Ausdruck gebracht werden. Weiter sind folgende Präferenzrelationen besonders bedeutsam:

y Artenpräferenzrelation, die sich auf unterschiedliche Ziele bezieht, z. B. Gewinn ist wichtiger als Umsatz oder Marktanteil,

y Zeitpräferenz, die Ergebnisse zu unterschiedlichen Zeitpunkten differenziert beurteilt, z. B. eine Einzahlung sollte lieber früher als später erfolgen,

y Risiko- bzw. Unsicherheitspräferenz, die die Risikoeinstellung eines Entscheidungsträgers zum Ausdruck bringt, z. B. ein sicherer Gewinn wird einer Lotterie vorgezogen. Ein Zielsystem ist charakterisiert durch die Menge der verfolgten Zielgrößen und Präferenzrelationen des Entscheidungsträgers bez. der Merkmalsausprägungen der Aktionsresultate. Folgende Anforderungen werden an ein Zielsystem gestellt: Das Zielsystem sollte vollständig und redundanzfrei sein. Die einzelnen Ziele sollten sich operationalisieren lassen und koordinationsgerecht sein. Eine formale Behandlung setzt häufig Präferenzen voraus, die unabhängig voneinander sind. Zur Unterstützung von Entscheidungen mittels mathematischer Modelle werden Präferenzen durch Funktionen abgebildet. Eine Funktion bzw. Darstellung von Präferenzen wird als Bewertungsfunktion, Entscheidungsregel oder Präferenzfunktional auf den Alternativen bezeichnet, wenn jeder Alternative a A eine reelle Zahl zugeordnet werden kann, sodass für je zwei Alternativen ai und ak gilt: ak \ ai ) ak t ) ai

Präferenz

ak ; ai ) ak ! ) ai

strikte Präferenz

ak ai ) ak

Indifferenz

) ai

Mit einem Präferenzfunktional lässt sich eine optimale Entscheidung a charakterisieren durch ) a max ) a , und ggf. ermitteln. Eine Nutzenfunktion ist im Unterschied zu einer Entscheidungsregel eine Bewertungsfunktion u auf den Ergebnissen und bildet diese jeweils auf eine reelle

26


Zahl ab. Häufig findet man eine Normierung der Nutzenwerte auf das Intervall >0, 1@ . Nicht jede Präferenzrelation ist durch eine numerische Bewertungsfunktion u zu repräsentieren, sondern nur solche Präferenzrelationen, die vollständig und transitiv sind. Es werden zwei Arten von Nutzenfunktionen unterschieden:

y Eine ordinale Nutzenfunktion gibt an, ob ein Ergebnis gegenüber einem anderen präferiert wird, nicht, in welchem Maße dies gilt. Sie ist eindeutig bis auf monoton steigende Transformation.

y Eine kardinale Nutzenfunktion, auch Höhenpräferenzfunktion oder messbare Wertfunktion, gibt an, ob der Präferenzunterschied zwischen zwei Alternativen a und b größer ist als zwischen zwei anderen c und d . Sie ist eindeutig bis auf monoton steigende lineare Transformationen. Wird den Ergebnissen einer Ergebnismatrix ihr Nutzen zugeordnet, erhält man die so genannte Nutzenmatrix oder Entscheidungsmatrix. Zur Unterstützung von Entscheidungen lassen sich stattdessen auch Schadensmatrix, oder Opportunitätskostenmatrix betrachtet. Beispiel Wochenhändler Entspricht der Gewinn dem Nutzen des Wochenhändlers, ist die Nutzenmatrix bereits bekannt. Eine Normierung der Nutzenwerte auf > 0, 1@ liefert folgende Entscheidungsmatrix mit gerundeten Nutzenwerten: Nachfrage

Menge vom Großmarkt

30 kg

50 kg

70 kg

90 kg

0 kg

0,13

0,13

0,13

0,13

50 kg

0,18

0,51

0,51

0,51

70 kg

0,08

0,41

0,75

0,75

90 kg

0

0,33

0,67

1

Zieht der Entscheidungsträger einen höheren Gewinn einem niedrigeren vor, trifft jedoch keine Aussagen über die Stärke der Vorziehungswürdigkeit, sind ordinale Nutzenfunktionen zur Beschreibung seiner Präferenzen geeignet, die in jeder der beiden folgenden Entscheidungsmatrizen gleichermaßen erfasst sind, da sie bis auf monoton steigende Transformation übereinstimmen:


27

Entscheidungsmatrix (ordinale Nutzenfunktion)

U1

§3 ¨ ¨4 ¨2 ¨¨ ©1

3 7 6 5

3 3· ¸ 7 7¸ 9 9¸ ¸ 8 10 ¸¹

U2

5 · §5 5 5 ¨ ¸ ¨ 6 10 10 10 ¸ ¨ 1 9 50 50 ¸ ¨¨ ¸¸ © 0 7 30 1000 ¹

Mit reellen Zahlen, die eine ordinale Präferenz zum Ausdruck bringen, sind nur wenige Berechnungen sinnvoll. Das liegt daran, dass sie Bewertungsabstände gerade nicht strukturähnlich abbilden. Zulässig sind Minimierung und Maximierung, jedoch nicht z. B. Durchschnittsbildung, was für kardinale Nutzenfunktionen zulässig ist. In Entscheidungssituationen unter Unsicherheit ist eine Handlungsalternative mit mehreren möglichen Ergebnissen je nach eintreffendem Umweltzustand verbunden. Ähnlich können für die Wahl einer Handlungsalternative mehrere Zielkriterien relevant sein, die im Konflikt zueinander stehen. In derartigen Situationen sind zusätzliche Präferenzinformationen durch den Entscheidungsträger hinsichtlich seiner Risikopräferenz bzw. seiner Artenpräferenz zu geben, um eine Unterstützung zu ermöglichen. Unabhängig von der individuellen Präferenz wird von einem rationalen Entscheidungsträger erwartet, dass er sich nicht für eine Alternative entscheidet, wenn er sich noch verbessern kann. Dies wird im Dominanzprinzip formalisiert. Dominanzprinzip y Dominanz (Vergleich mit einer Alternative) Eine Handlungsalternative ai dominiert eine Alternative a j , wenn ai bez. keines Kriteriums schlechter und mindestens bez. eines Kriteriums besser als a j ist. a j wird dann von ai dominiert.

y Effizienz (Vergleich mit allen anderen Alternativen)

Eine Alternative a , die von keiner anderen Alternative aus A dominiert wird, heißt in A undominiert. Eine undominierte Alternative a wird als effizient (vektoroptimal, funktionaleffizient) in A bezeichnet, wenn verschiedene Ziele betrachtet werden; als zeitlich effizient, wenn unterschiedliche Zeiten zu berücksichtigen sind; als pareto-optimal, wenn verschiedene Entscheidungsträger mit unterschiedlichen Präferenzen zu beachten sind und als effizient, wenn verschiedene Umweltzustände auftreten können.

y Das Dominanzprinzip verlangt von einem rationalen Entscheidungsträger, ausschließlich undominierte bzw. effiziente Handlungsalternativen zu wählen. Unter Berücksichtigung des Dominanzprinzips lassen sich Alternativen mit mehrwertigen Ergebnissen daraufhin überprüfen, welche für eine Wahl geeignet sind, nämlich gerade die nicht dominierten, also die effizienten bzw. paretooptimalen in der Menge aller zulässigen Alternativen.

28


Beispiel Investitionsalternativen Es sind vier unterschiedliche Investitionsalternativen durch ihre Zahlungsreihen, also Auszahlungen zu Beginn und Einzahlungen nach dem 1. und dem 2. Jahr, angegeben. Über die Zeitpräferenzen des Entscheidungsträgers liegen keine Informationen vor. Es kann davon ausgegangen werden, dass der Nutzen umso größer ist, je höher eine Einzahlung und je geringer eine Auszahlung ist. Tabelle 1.6. Investitionsalternativen Zahlungen Beginn

1. Jahr

2. Jahr

a1

-10.000

5.000

5.000

a2

-8.000

5.000

6.000

a3

-10.000

6.000

5.000

a4

-8.000

6.000

5.500

Alternativen

Ohne Kenntnisse der Zeitpräferenz können nur Aussagen hinsichtlich der Dominanz getroffen werden. Alternative a1 wird von a2 , a3 und a4 dominiert. Die Alternativen a2 und a4 sind nicht vergleichbar. a4 dominiert a3 . a2 und a3 sind nicht vergleichbar. Damit werden in der Menge aller betrachteten Alternativen a2 und a4 nicht dominiert. Sie sind die einzigen effizienten Alternativen in der Menge der erwogenen Investitionen, ein rationaler Entscheidungsträger sollte sich für eine der beiden entscheiden. Sind zusätzliche Zeitpräferenzen des Entscheidungsträgers bekannt, kann eine weitere Unterstützung bei der Auswahl erfolgen, wie in Kapitel 4 ausführlich beschrieben wird. Beispiel Wochenhändler Aufgrund der bei der Entscheidung noch unbekannten Nachfrage und der fehlenden Risikopräferenzinformation lassen sich die Alternativen nur hinsichtlich ihrer Dominanz untersuchen. Die Alternative, nichts auf dem Großmarkt zu kaufen, wird von der Alternative „50 kg“ dominiert. Diese Aussage ist sowohl auf der Grundlage einer ordinalen als auch einer kardinalen Nutzenfunktion möglich. Die übrigen Alternativen sind nicht miteinander vergleichbar. Ist der Entscheidungsträger risikoneutral und kann davon ausgegangen werden, dass alle Nachfragen gleich wahrscheinlich sind, wählt er diejenige Alternative, die den höchsten Erwartungswert der Ergebnisse, die hier den Nutzen entsprechen, aufweist.


0 kg : 50 kg : 70 kg : 90 kg :

4 0 1 10 3 70 4 1 8 52 112 112 4 1 22,5 37,5 97,5 157,5 4 1

4

29

0€ 55 € 67 € 67,5 €

Damit sollte sich der risikoneutrale Wochenhändler für den Kauf von 90 kg auf dem Großmarkt entscheiden. Ist er sehr risikoavers und will auf jeden Fall einen Verlust vermeiden, kommt nur die Alternative „50 kg“ für ihn in Betracht – „0 kg“ nicht, da diese dominiert wird. Die Ermittlung des Erwartungswerts ist nur für kardinale Nutzenbewertungen sinnvoll. Liegt eine Entscheidungssituation unter Sicherheit vor, dann ist der Umweltzustand bekannt. Damit kann jeder Handlungsalternative das Ergebnis eindeutig zugeordnet werden. Sind außerdem die Präferenzen hinsichtlich der Ergebnisse bekannt, bleibt zur Entscheidungsunterstützung übrig, die Handlungsalternative mit dem besten Ergebnis zu ermitteln. Dies kann aufgrund der Fülle der Möglichkeiten und der zu berücksichtigenden Interdependenzen problematisch sein. Eine Unterstützung durch quantitative Modelle und Methoden ist hier hilfreich. So wurde eine Vielfalt von deterministischen Entscheidungsmodellen entwickelt, die unterschiedliche mathematische Strukturen aufweisen. Weiterhin existieren zu speziellen mathematischen Strukturen zugehörige exakte Algorithmen, die sehr effizient eingesetzt werden können und optimale Lösungen ermitteln. Zur Lösung anderer Modelle sind Heuristiken entwickelt worden, die auf die Optimalität zugunsten eines beschleunigten Problemlösungsprozesses verzichten. Wird die Entscheidungsfindung aufgrund der vorhandenen Unsicherheit über das Eintreffen möglicher Umweltzustände schwieriger, bieten Modelle und Methoden des Operations Research bei der Analyse der Situation und dem Aufzeigen günstiger Alternativen wertvolle Unterstützung. Die Berücksichtigung zusätzlicher Präferenzinformationen wird im Rahmen von Operations Research Methoden ebenfalls unterstützt, hier sind insbesondere stochastische Optimierungsansätze (z. B. Birge u. Louveaux 1999), Robuste Optimierung (z. B. Scholl 2001), Vektoroptimierungsmethoden (z. B. Ehrgott 2005) und Ansätze auf der Grundlage unscharfer Mengen (z. B. Zimmermann 2001) zu nennen, die über den Rahmen einer Einführung hinausgehen. In diesem Buch werden ausgewählte grundlegende Modelle und Methoden zur Entscheidungsunterstützung vorgestellt. Es wird besonderer Wert auf die Anwendung der theoretischen Grundlagen zur Lösung betriebswirtschaftlicher Planungsund Entscheidungsprobleme gelegt, daher werden vielfach anwendungsbezogene Beispiele herangezogen, um über eine Methodenkompetenz hinaus die Anwendungskompetenz zu erreichen.

30


1.2.2 Aufgaben Aufgabe 1.2.1 In einem Auswahlverfahren soll darüber entschieden werden, welcher Schüler der „optimale“ Schüler ist. Die Schüler haben folgende Noten: Schüler

Deutsch

Mathematik

Englisch

a1

3

4

2

a2

1

3

1

a3

5

2

4

a4

3

3

3

Eine Note ist bekanntermaßen umso besser, je kleiner die Zahl ist. Nehmen Sie zur Richtigkeit der folgenden Aussagen Stellung. a) Schüler a2 dominiert Schüler a1 . b) Die Schüler a2 und a3 sind effiziente Schüler. c) Es gibt keinen effizienten Schüler. d) Schüler a4 und a1 sind gleich gut. e) a2 ist der beste Schüler. Aufgabe 1.2.2 In folgender Matrix sind die ordinalen Nutzenwerte der Alternativen a1 bis a4 hinsichtlich der Zielerreichung der Ziele k1 bis k4 angegeben. Sortieren Sie die Alternativen im Hinblick auf ihre Vorziehenswürdigkeit. k1

k2

k3

k4

a1

10

5

8

15

a2

5

5

7

7

a3

7

9

10

12

a4

7

8

9

11

Aufgabe 1.2.3 Ein risikoneutraler Verleger plant die Auflagenhöhe des neuen Romans „Hogwards Geheimnisse“. Je nachdem, ob das Konkurrenzwerk „Der Ring“ vorher,


31

gleichzeitig oder später erscheinen wird, erwartet er eine unterschiedliche Nachfrage, die in folgender Tabelle angegeben ist. Jede der Situationen sieht er als gleichwahrscheinlich an.

Nachfrage

Ring erscheint vorher

Ring erscheint gleichzeitig

Ring erscheint nachher

100

200

400

Mit dem Druck sind Fixkosten in Höhe von 100 GE und variable Kosten von 1 GE pro Stück verbunden. Der Erlös für jedes abgesetzte Buch beträgt 2 GE. Stellen Sie die Ergebnismatrix für die Auflagenhöhen 0, 100, 200 und 400 auf. Aufgabe 1.2.4 Setzten Sie sich strukturiert mit der Entscheidungssituation „Wahl einer Pauschalreise für den zweiwöchigen Weihnachtsurlaub“ auseinander. Geben Sie jeweils zwei konkrete Beispiele für die folgenden Begriffe an und erläutern Sie diese kurz: Zielvorstellungen, Handlungsalternativen, Umweltzustände und Ergebnisse. Stellen Sie zu den gewählten Konkretisierungen den Ausschnitt einer passenden Ergebnismatrix auf. Aufgabe 1.2.5 Wolfgang Optimax steht vor der Entscheidung, seinen Lottogewinn in Höhe von 10.000 € gewinnbringend anzulegen. Ihm stehen zwei Möglichkeiten zur Verfügung. Er kann die Mittel auf seinem Sparbuch anlegen, bei dem er nach einem Jahr 2 % erhält. Die zweite Möglichkeit ist eine Investition in Staatsanleihen des Staates Optinien, die in beliebiger Höhe getätigt werden kann. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % erbringt diese Anlage nach einem Jahr einen um 10 % erhöhten Auszahlungsbetrag, mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % ist das Geld verloren. Strukturieren Sie das Problem auf Basis des Grundmodells der Entscheidungstheorie. Für welche Handlungsalternative sollte sich Wolfgang Optimax, der risikoneutral ist, entscheiden?

2 Grundlagen linearer Optimierung

2.1 Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung Das Unternehmen Optima stellt die Produkte A und B her, die hervorragenden Absatz finden. Die aktuelle Nachfrage ist so hoch, dass die derzeitige Produktionskapazität nicht ausreicht den Bedarf zu decken. Daher ist kurzfristig zu entscheiden, wie viel von welchem Produkt im nächsten Monat produziert werden soll. Dazu sind zunächst einige Informationen zu sammeln. Der Erlös für Produkt A beträgt 8 Geldeinheiten (GE) pro Mengeneinheit (ME), der für Produkt B beträgt 9 GE je ME. Damit wird je ME von Produkt B ein höherer Erlös erzielt als je ME von Produkt A. Jedoch lässt sich den Daten des Rechnungswesens entnehmen, dass die variablen Kosten für die Produktion von Produkt A mit 5 GE/ME niedriger sind als die für Produkt B mit 7 GE/ME. Unter kurzfristigen Wirtschaftlichkeitsgesichtspunkten sollten diejenigen Produkte produziert werden, welche einen positiven Deckungsbeitrag aufweisen. Dieser errechnet sich aus dem Erlös abzüglich der variablen Kosten. Fixe Kosten sind kurzfristig nicht zu beeinflussen, daher hier nicht entscheidungsrelevant und somit nicht zu berücksichtigen. Für Produkt A ergibt sich der Deckungsbeitrag mit 8 5 3, für Produkt B mit 9 7 2. Damit ist kurzfristig die Produktion beider Produkte wirtschaftlich und es sollte soviel wie absetzbar von beiden Produkten produziert werden, falls ausreichende Produktionskapazitäten verfügbar sind. Da Produkt A einen höheren Deckungsbeitrag aufweist, ist zu vermuten, dass in einer Knappheitssituation nur Produkt A produziert wird. Tabelle 2.1. Produktionskoeffizienten Optima Produktionsstufen 1

2

3

Produkt A

2

1

4

Produkt B

1

2

1

Anlagenverfügbarkeit

22 ZE

23 ZE

40 ZE

34

Grundlagen linearer Optimierung

Bei Optima hat sich nun gezeigt, dass die Produktionskapazität nicht ausreicht den Bedarf zu erfüllen. Daher erfolgt eine eingehende Betrachtung der Produktion. Es handelt sich um einen dreistufigen Produktionsprozess, der von beiden Produkten A und B durchlaufen wird. Die jeweiligen Bearbeitungsdauern für die verschiedenen Produkte auf den Anlagen in Zeiteinheiten (ZE) je ME, also die Produktionskoeffizienten, und die Verfügbarkeit der Anlagen der Produktionsstufen 1 bis 3 sind Tabelle 2.1 zu entnehmen. Aufgrund der knappen Anlagenkapazitäten sollten nicht nur die Deckungsbeiträge der beiden Produkte berücksichtigt werden, sondern die Deckungsbeiträge relativiert werden um die Inanspruchnahme der knappen Kapazität. Eine Analyse der ersten Produktionsstufe zeigt, dass die Anlagenverfügbarkeit 22 ZE beträgt, die Inanspruchnahme der Kapazität durch Produkt A 2 ZE/ME, durch Produkt B 1 ZE/ME. Der Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf auf Produktionsstufe 1 ergibt sich für Produkt A: 3 [GE/ME] : 2 [ZE/ME] = 1,5 [GE/ZE] und für Produkt B: 2 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] = 2 [GE/ZE].

Wird ausschließlich Produktionsstufe 1 berücksichtigt, lautet das günstigste Produktionsprogramm: Es sollte nichts von Produkt A und so viel wie möglich, also 22 ME, von Produkt B produziert werden. Der Gesamtdeckungsbeitrag beträgt damit 22 [ME] 2 [GE/ME] = 44 GE.

Der relative Deckungsbeitrag pro Einheit Kapazitätsbedarf der zweiten Produktionsstufe ist für Produkt A: 3 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] = 3 [GE/ZE]

und für

Produkt B: 2 [GE/ME] : 2 [ZE/ME] = 1 [GE/ZE].

Bei der Kapazität der Anlage der zweiten Stufe von 23 ZE ist der günstigste Vorschlag unter ausschließlicher Berücksichtigung dieser Stufe, 23 ME von Produkt A und nichts von Produkt B zu produzieren mit einem Gesamtdeckungsbeitrag von 69 GE. Die Betrachtung der dritten Produktionsstufe zeigt, der Deckungsbeitrag je in Anspruch genommene ZE der Anlage beträgt für Produkt A: 3 [GE/ME] : 4 [ZE/ME] = 0, 75 [GE/ZE] Produkt B: 2 [GE/ME] : 1 [ZE/ME] =

und für

2 [GE/ZE].

Hier sollte nichts von Produkt A und 40 ME von Produkt B produziert werden, um mit 80 GE den für diese Stufe günstigsten Gesamtdeckungsbeitrag zu erzielen. Bei genauer Betrachtung zeigt sich, dass die Vorschläge für jeweils eine Produktionsstufe auf den anderen überwiegend nicht durchgeführt werden können, da sie dort unzulässig viel Zeit in Anspruch nehmen. Etwa die 23 ME von Produkt A aus Stufe 2 beanspruchen auf Stufe 3 92 ZE, jedoch steht die Anlage nur 40 ZE

Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung

35

zur Verfügung. Die 40 ME von Produkt B auf Stufe 3 benötigen auf Stufe 1 40 ZE, verfügbar sind nur 23 ZE. Um das optimale Produktionsprogramm zu ermitteln, müssen alle Produktionsstufen gleichzeitig betrachtet werden. Der technische Leiter von Optima ist ohnehin der Ansicht, dass ohne Kapazitätserweiterung die bisherige Produktion nicht erhöht werden kann, da mit dem derzeitigen Produktionsprogramm von 9 ME des Produktes A und 4 ME des Produktes B die Anlagenkapazitäten von zwei Produktionsstufen bereits zu 100 % ausgeschöpft sind. Dies zeigt auch die folgende Darstellung der bisherigen Anlagenbelegung und Kapazitätsauslastung. Damit stellt aus seiner Sicht dieses Produktionsprogramm, mit dem ein Gesamtdeckungsbeitrag von 35 GE erzielt wird, eine optimale Ausnutzung der vorhandenen Produktionskapazität dar. 22

23

40

Stufe 1

Stufe 2

Stufe 3

Abb. 2.1. Derzeitige Anlagenbelegung Optima

Der Leiter des Controllings empfiehlt, zunächst eine simultane Berücksichtigung aller drei Produktionsstufen mit allen möglichen Produktionsprogrammalternativen durchzuführen und daraus das optimale Produktionsprogramm auszuwählen. Produktionsprogrammalternativen sind alle Kombinationen von Mengen der Produkte A und B, die mit den verfügbaren Anlagekapazitäten produziert werden können. Bewertet werden die Alternativen mit dem erzielbaren Gesamtdeckungsbeitrag, der möglichst hoch sein sollte. Aufgrund der unendlich vielen möglichen Alternativen erfolgt ihre Erfassung implizit mittels Variablen, deren Ausprägungen durch Restriktionen beschränkt werden. Ihre Bewertung erfolgt durch die Zielfunktion, sodass das folgende Modell die Situation bei Optima mit den kurzfristigen Produktionsprogrammmöglichkeiten erfasst. Einschließlich der Dimension der Koeffizienten lautet die Zielfunktion: max z [GE] = 3 [GE/ME] x A [ME] + 2 [GE/ME] xB [ME]

Auch für die Restriktionen sind die Dimensionen stimmig, z. B. gilt für die erste Restriktion: 4 [ZE/ME] x A [ME] + 1 [ZE/ME] xB [ME] d 40 [ZE]

36


Insgesamt sind im folgenden linearen Optimierungsmodell alle Anforderungen an das optimale Produktionsprogramm erfasst. Lineares Optimierungsmodell Optima Zunächst werden die Variablen definiert, über deren Ausprägungen zu entscheiden ist. x A : zu produzierende ME von Produkt A xB : zu produzierende ME von Produkt B Die Zielfunktion lautet: Maximiere den Gesamtdeckungsbeitrag max z = 3 x A + 2 xB

Folgende Restriktionen sind zu beachten: Einhaltung der Kapazitätsgrenzen auf allen Produktionsstufen

s.d.

2 xA + 1 xB d 22 Produktionsstufe 1 1 xA 2 xB d 23 Produktionsstufe 2 4 xA 1 xB d 40 Produktionsstufe 3

Eine negative Produktion ist nicht möglich x A ,xB t 0

Nichtnegativitätsbedingung

Dieses Modell ist in Abb. 2.2 veranschaulicht. Zulässige Lösung: Jedes Produktionsprogramm, welches mit den vorhandenen Kapazitäten produziert werden kann, ist eine zulässige Lösung. Die Gesamtmenge aller zulässigen Lösungen ist in Abb. 2.2 schraffiert dargestellt. Optimale Lösung: Dasjenige von allen zulässigen Produktionsprogrammen mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag ist die optimale Lösung. Werden Isozielfunktionslinien wie hier mittels unterbrochener Linien dargestellt, geht in diesem Beispiel diejenige mit dem höchsten Gesamtdeckungsbeitrag gerade durch die äußerste Ecke rechts oben, die hier mit 7 ME von Produkt A und 8 ME von Produkt B dem optimalen Produktionsprogramm mit maximalem Gesamtdeckungsbeitrag von 37 GE entspricht. Die Produktionsstufen 1 und 2 bilden die Engpässe, in der dritten Produktionsstufe besteht noch freie Kapazität von 4 ZE. Auch ohne Erweiterung der Produktionskapazität ist damit eine Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags gegenüber der bisherigen Produktion möglich.


37

Abb. 2.2. Zulässigkeitsbereich Optima

Für dieses Anwendungsbeispiel wird im Folgenden schrittweise die Lösung unter Einsatz des Simplexalgorithmus ermittelt, bevor im anschließenden Abschnitt der Simplexalgorithmus theoretisch dargestellt wird. Aufgrund der mathematischen Struktur kann eine vorhandene optimale Lösung gefunden werden, wenn man sich auf die Ecken des Zulässigkeitsbereichs beschränkt. Der Simplexalgorithmus startet in einer Ecke und geht so lange wie möglich zu benachbarten Ecken mit höherem Zielfunktionswert über. Kann keine Verbesserung mehr erreicht werden, ist eine optimale Lösung ermittelt. Aufstellung eines äquivalenten Gleichungssystems Zunächst wird zu dem Restriktionensystem mit d -Restriktionen ein äquivalentes Gleichungssystem formuliert, indem die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der drei Produktionsstufen jeweils durch eine weitere Variable erfasst werden. Die Variablen x A und xB des Modells, deren Ausprägungen gesucht werden, werden als Strukturvariablen bezeichnet. Schlupfvariablen heißen hingegen diejenigen Variablen, die die nicht ausgeschöpften Kapazitäten der Produktionsstufen aufnehmen. Produktionsstufe 3 :

4 x A 1 xB s3

40

Das Produktionsprogramm xA 7 und xB 8 beansprucht die Kapazität der dritten Produktionsstufe im Umfang von 36 ZE, damit sind 4 ZE nicht ausgeschöpft und für die Lösung gilt s3 4 . Derartige Schlupfvariablen werden für jede

38


Restriktion hinzugefügt. Da die Kapazität zwar unter-, jedoch nicht überschritten werden darf, müssen diese Variablen größer oder gleich null sein, also ebenfalls die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Da die nicht ausgeschöpften Kapazitäten den Gesamtdeckungsbeitrag nicht beeinflussen, wird in der Zielfunktion der zugehörige Koeffizient gleich null gesetzt. Auf diese Weise erhält man die folgende, zu der vorherigen Darstellung äquivalente Formulierung. Äquivalentes lineares Optimierungsmodell max z = 3 xA 2 xB 0 s1 0 s2 0 s3 s.d.

2 x A 1 xB 1 x A 2 xB

s1

22

4 x A 1 xB

s2

23

s3

40

x A , xB , s1 , s2 , s3 t 0

Statt dieser ausführlichen Darstellung kann auch die folgende Matrixdarstellung gewählt werden.

max 3 2 0 0

§2 1 1 0 ¨ s.d . ¨ 1 2 0 1 ¨4 1 0 0 © x A , xB , s1 , s2 , s3

§ xA · ¨ ¸ ¨ xB ¸ 0 ¨ s1 ¸ ¨ ¸ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3¹ § xA · ¨ ¸ 0 · ¨ xB ¸ ¸ 0 ¸ ¨ s1 ¸ ¨ ¸ 1 ¸¹ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3¹ t0

§ 22 · ¨ ¸ ¨ 23 ¸ ¨ 40 ¸ © ¹

Damit sind die zulässigen Produktionsprogramme x A , xB genau den Lösungen des Gleichungssystems zu entnehmen, die zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Gesucht wird nun die optimale Lösung dieses linearen Gleichungssystems, d. h. diejenige zulässige Lösung, die von allen zulässigen den maximalen Zielfunktionswert aufweist. Dies kann unter Anwendung des Simplexalgorithmus geschehen.


39

Simplexalgorithmus Aufgrund der mathematischen Struktur eines derartigen linearen Optimierungsmodells ist bekannt: Wenn eine optimale Lösung existiert, ist mindestens eine Ecke des Zulässigkeitsbereichs optimal. Gibt es mehrere optimale Lösungen, ist mindestens eine davon eine Ecke. Folglich reicht es aus, nur die Ecken des Zulässigkeitsbereichs zu untersuchen, um eine optimale Lösung zu finden. Die Ecken in der Grafik entsprechen gerade den Basislösungen des linearen Gleichungssystems, also werden nur Basislösungen untersucht. Basislösungen sind einer Basis zugeordnet und haben die Eigenschaft, dass die Werte der so genannten Nichtbasisvariablen gleich null gesetzt und die zu einer Basis gehörigen Variablen dann aus dem Gleichungssystem ermittelt werden. Das Gleichungssystem wird gegebenenfalls jeweils so transformiert, dass die Lösung für die Basisvariablen direkt ablesbar ist, wenn Nichtbasisvariablen den Wert null annehmen. Beispielsweise entsprechen dem Punkt 10, 0 die Basisvariablen x A 10, s1 2 und s2 3 , die Nichtbasisvariablen sind xB s3 0 . Eine detaillierte Darstellung folgt in Kapitel 2.2. Als Ausgangsbasis wird die Einheitsmatrix mit den zugehörigen Basisvariablen s1 , s1 und s3 gewählt. Die Nichtbasisvariablen x A und xB werden gleich null gesetzt. Dann gilt etwa, dass für die erste Gleichung 2 x A 1 xB s1 s1

22

22 unmittelbar ablesbar ist.

Zur Strukturierung der Vorgehensweise wird eine Tableaudarstellung benutzt. Dort wird die Information bezüglich jeweils einer Basis aktualisiert dargestellt. Als Ausgangsbasis wird die Einheitsmatrix I gewählt, deren Inverse wieder I ist. In der ersten Spalte sind die aktuellen Basisvariablen mit ihren Zielfunktionskoeffizienten genannt. Werden die Nichtbasisvariablen null gesetzt, sind die Werte der Basisvariablen in der rechten Spalte RS ablesbar. Die Werte der ' z -Zeile beziehen sich auf die Zielfunktion. Mit 1 multipliziert geben sie die Erhöhung des Zielfunktionswertes an, wenn die zugehörige Variable um eine Einheit erhöht wird. Der rechte Wert in der ' z -Zeile entspricht dem aktuellen Zielfunktionswert.

aktuelle Basisvariablen mit Zielfunktionskoeffizienten

Zielfunktionskoeffizienten Variablen

RS

aktuelle Koeffizientenmatrix

aktuelle rechte Seite

aktuelle Kriteriumswerte

Aktueller Zielfunktionswert

40


Dem folgenden Tableau 1 ist ein erstes zulässiges Produktionsprogramm entnehmbar. Die Strukturvariablen sind nicht in Basis, haben folglich den Wert null. So wird nichts produziert, die freien Kapazitäten der drei Produktionsstufen sind mit s1 22 , s2 23 und s3 40 ablesbar. Der mit diesem zulässigen Produktionsprogramm erzielbare Deckungsbeitrag ist null. Simplextableau 1 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

0

s1

2

1

1

0

0

22

0

s2

1

2

0

1

0

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

'z

-3

-2

0

0

0

0

In der ' z -Zeile ist ablesbar, welche Verbesserungen des Deckungsbeitrags möglich sind: Wird ausgehend von der vorliegenden Lösung eine zusätzliche Einheit von Produkt A produziert, erhöht sich der Deckungsbeitrag um 3 Einheiten, wird eine zusätzliche Einheit von Produkt B produziert, steigt der Deckungsbeitrag um 2 Einheiten. Da die Erhöhung des Deckungsbeitrags bei zusätzlicher Produktion von Produkt A größer als bei B ist, sollte die Produktion von Produkt A möglichst weit erhöht werden. Daher wird x A neu in die Basis aufgenommen um einen Wert größer als null anzunehmen. Aufnahmekriterium Von allen bisherigen Nichtbasisvariablen, die zu einer Erhöhung der Zielfunktion führen, erkennbar am negativen Wert in der ' z -Zeile, wird jeweils diejenige mit niedrigstem Wert zur Aufnahme in die Basis ausgewählt. Die zugehörige Spalte im Tableau wird Pivotspalte genannt. 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

10

'z

-3

-2

0

0

0

0

min

min


41

Von Produkt A wird nun möglichst viel produziert, jedoch sind die Produktionskapazitäten zu berücksichtigen. Wie der Pivotspalte zu entnehmen ist, beansprucht eine Einheit Produkt A in der ersten Produktionsstufe 2 ZE. Hier können folglich maximal 22 : 2 11 Einheiten produziert werden, dann ist diese Kapazität ausgeschöpft. In der zweiten Produktionsstufe können höchstens 23 :1 = 23 und in der dritten Produktionsstufe höchstens 40 : 4 10 Einheiten von Produkt A produziert werden. Also kann x A nun höchstens den Wert min ^11, 23, 10` 10 annehmen. Dann ist die freie Kapazität der dritten Produktionsstufe auf null gesunken, d. h. s3 0 . Damit wird s3 aus der Basis entfernt und ist im nächsten Tableau Nichtbasisvariable mit Wert null. x A wird im nächsten Schritt den Wert 10 annehmen. Eliminationskriterium Diejenige Variable ist aus der Basis zu eliminieren, die bei Erhöhung der aufzunehmenden Variablen als erstes auf den Wert null absinkt, also den kleinsten 4 Wert besitzt. Die zugehörige Zeile im Tableau wird als Pivotzeile bezeichnet. Das Element im Schnittpunkt von Pivotzeile und Pivotspalte ist das Pivotelement. Um die Basistransformation durchzuführen werden erlaubte Transformationen angewandt, sodass die Pivotspalte entsprechende Einheitsspalte mit „1“ an der Stelle des Pivotelements wird, die neue Basislösung ist wieder der rechten Seite zu entnehmen. Simplextableau 2 xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

1/

2

1

0

-1/2

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

-1/4

13

52/

3 xA

1

1/

4

0

0

1/

4

10

40

'z

0

-5/4

0

0

3/

4

30

7

Das nun vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet 10 Einheiten von Produkt A und keine Einheit von Produkt B. Die dritte Produktionsstufe ist jetzt Engpass und es bestehen freie Kapazitäten in der ersten Produktionsstufe in Höhe von 2 und in der zweiten Produktionsstufe in Höhe von 13, jeweils erkennbar an den Werten der Schlupfvariablen s1 , s2 und s3 . Eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes ist durch zusätzliche Produktion von Produkt B möglich, jedoch muss dazu die Produktion von Produkt A reduziert werden, da die Kapazität der dritten Produktionsstufe ausgeschöpft ist.

42


Wenn eine zusätzliche Einheit von Produkt B produziert wird, müssen 1 4 Einheiten von Produkt A weniger produziert werden, wie der Pivotspalte zu entnehmen ist. Die Konsequenz auf den Gesamtdeckungsbeitrag beträgt also 2 1 3 1 4 5 4 , wie auch der ' z -Zeile zu entnehmen ist. Durch Berechnung der 4 -Werte mit 2 : 1 2 4 , 13 : 7 4 52 7 und 10 : 1 4 40 wird das Minimum bei s1 festgestellt. Daher ist s1 aus der Basis zu eliminieren. Die entsprechenden Tableautransformationen führen zu folgendem Tableau. Simplextableau 3

xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

2 xB

0

1

2

0

-1

4

-

0 s2

0

0

-7/2

1

3/

2

6

4

3 xA

1

0

-1/2

0

1/

2

9

18

'z

0

0

5/

0

- 1 /2

35

2

Das hier vorgeschlagene Produktionsprogramm lautet x A 9 und xB 4 und erzielt einen Gesamtdeckungsbeitrag von 35 GE. Diese Lösung stimmt mit dem gegenwärtigen Produktionsprogramm überein. Auch die hiermit auftretenden Kapazitätsauslastungen in den Produktionsstufen 1 und 3 sind durch die Schlupfvariablen s1 s3 0 erkennbar. Die Aufnahme von s3 in Basis erlaubt eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes. Durch Erhöhung von s3 wird xB ebenfalls erhöht, beschränkt folglich nicht die Höhe von s3 und wird bei Ermittlung von 4 unberücksichtigt gelassen. Aus der Basis zu eliminieren ist s2 und die Transformation führt zu folgendem Tableau. Simplextableau 4: Optimales Endtableau

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/

3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/

3

1/ 3

0

37

Eine weitere Verbesserung ist nicht möglich, denn für alle Nichtbasisvariablen hat aufgrund der positiven Werte in der ' z-Zeile die Aufnahme in die Basis


43

negative Auswirkungen auf die Zielfunktion. Damit liegen das optimale Endtableau und eine optimale Lösung vor. Optimalitätskriterium Sind alle Werte in der ' z -Zeile nichtnegativ, ist eine optimale Lösung gefunden. Es gibt keine zulässige Lösung, die einen höheren Zielfunktionswert erreicht. Es wird vorgeschlagen, 7 Einheiten von Produkt A und 8 Einheiten von Produkt B zu produzieren. Damit kann der maximale Deckungsbeitrag in Höhe von 37 GE erzielt werden. Engpässe stellen die ersten und zweiten Produktionsstufen dar, da s1 s2 0 . In der dritten Produktionsstufe wird die Kapazität bis auf 4 Einheiten genutzt, sie ist damit zu (40 4) : 40 90 % ausgelastet. Es zeigt sich also, dass trotz ausgelasteter Kapazitäten auf zwei Produktionsstufen das deckungsbeitragsoptimale Produktionsprogramm entgegen der Annahme des technischen Leiters mit der gegenwärtigen Produktion von 9 ME von Produkt A und 4 ME von Produkt B noch nicht erreicht ist, sondern auch ohne Kapazitätserweiterung durch optimale Produktion der Gesamtdeckungsbeitrag um 2 GE auf 37 GE gesteigert werden kann. Die Anlagenbelegung des optimalen Produktionsprogramms zeigt Abb. 2.3. 22

23

40

Stufe 1

Stufe 2

Stufe 3

Abb. 2.3. Optimale Anlagenbelegung Optima

Betrachtet man das Beispiel der kurzfristigen Produktionsprogrammplanung als Entscheidungsproblem, so lässt sich feststellen, dass von einer Entscheidungssituation unter Sicherheit ausgegangen wird. Alle relevanten Parameter und Beziehungen der einzigen zu berücksichtigenden Umweltsituation werden als bekannt angenommen. Konkret wird die Umweltsituation beschrieben durch die Gesamtheit der Angaben: die Deckungsbeiträge in der Zielfunktion, die Produktionskapazitäten der unterschiedlichen Anlagen, die Produktionskoeffizienten und der jeweilige, im Modell erfasste Zusammenhang. Die Handlungsalternativen, zwischen denen der Entscheidungsträger auswählen kann, sind alle zulässigen Produktionsprogramme, also alle produzierbaren Kombinationen von Produktionsmengen der Produkte A und B. Da es unendlich viele Handlungsalternativen gibt,

44


werden diese nicht einzeln aufgelistet, sondern implizit durch die Restriktionen beschrieben. Beispiele sind 0; 0 , 2,5;1 , 9; 4 also jede zulässige Ausprägung von x A und xB . Ergebnisse der Handlungsalternativen sind u. a. die erzielbaren Deckungsbeiträge und die Kapazitätsauslastungen der verschiedenen Anlagen. Der Nutzen einer Handlungsalternative wird als umso höher angesehen, je größer der zugeordnete Gesamtdeckungsbeitrag ist. Die Höhe der Kapazitätsauslastung selbst ist dagegen nicht von Bedeutung, wenn sie in dem Zielkriterium nicht berücksichtigt ist. Da es sich um eine Entscheidung unter Sicherheit handelt und nur ein Zielkriterium vorliegt, wird die Präferenz des Entscheidungsträgers durch die Zielfunktion ausreichend erfasst. Durch die Modellformulierung sind somit alle Handlungsalternativen, Anforderungen, Bewertungen und Nutzenvorstellung formuliert und damit steht die optimale Handlungsalternative fest. Durch einen geeigneten Algorithmus, hier der Simplexalgorithmus, wird der Entscheidungsträger im Auffinden der optimalen Alternativen unterstützt. Nachdem nun anhand eines Beispiels der Einsatz des Simplexalgorithmus zur Ermittlung einer optimalen Lösung eines linearen Optimierungsmodells beschrieben wurde, werden im folgenden Abschnitt Voraussetzungen und Grundlagen der linearen Optimierung auch theoretisch behandelt, um beliebige lineare Optimierungsmodelle zu lösen.

2.2 Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells 2.2.1 Grundmodell der linearen Optimierung Der Simplexalgorithmus mit seinen Erweiterungen und Modifikationen ist der bekannteste und am stärksten verbreitete Algorithmus zur Lösung linearer Optimierungsmodelle. Mit linearer Optimierung oder auch linearer Programmierung wird die Aufstellung und Lösung eines linearen Optimierungsmodells bezeichnet, wobei häufig an die Lösung mittels Simplexalgorithmus gedacht ist. Das lineare Optimierungsmodell wird auch als LP-Modell oder kurz LP bezeichnet. Nachdem anhand eines Beispiels die einzelnen Schritte des Simplexalgorithmus zum Auffinden einer optimalen Lösung beschrieben wurden, erfolgt nun die allgemeine Darstellung des Algorithmus. Hierzu wird von dem Grundmodell der linearen Optimierung, hier bezeichnet mit (P), ausgegangen. Modellmodifikationen erlauben Anpassungen an vielfältige reale Situationen. Wie Modellerweiterungen mittels Simplexverfahren behandelt werden, wird in Kapitel 3 erläutert.

y Das Grundmodell der linearen Optimierung ist dadurch charakterisiert, dass eine lineare Zielfunktion unter Einhaltung linearer Restriktionen zu maximieren ist. Es liegen ausschließlich d -Restriktion vor, die rechte Seite b weist ausschließlich Werte größer oder gleich null auf. Für alle Variablen ist die Nichtnegativitätsbedingung einzuhalten. Formal dargestellt:

Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells

max z s.d .

ct x Ax d b x t 0

45

(P)

c,x n , b m , b t 0 , A mxn

y Die folgenden Bezeichnungen sind üblich: z ct x c, c t A b x Ax d b xt0

Zielfunktion Vektor der Zielfunktionskoeffizienten bzw. seine Transponierte1 Koeffizientenmatrix Kapazitätenvektor (rechte Seite) Strukturvariablen Restriktionen, Nebenbedingungen Nichtnegativitätsbedingungen

Statt mit dieser sehr kompakten Matrixdarstellung kann das gleiche Modell etwas ausführlicher beschrieben werden mit x j , c j , aij , bi , bi t 0 : n

¦

max z =

cj xj

j 1 n

¦

s.d .

aij x j d bi

i 1,..., m

(P)

j 1

xj t 0

j 1,..., n

Die Indizes j 1,..., n werden meist für die Variablen und zugeordneten Parameter, die Indizes i 1,..., m für die Restriktionen und zugehörigen Parameter verwendet. Die ganz detaillierte folgende Form findet insbesondere dann Verwendung, wenn die Parameter ci , bi und aij mittels Zahlen konkretisiert werden. max z s.d .

c1 x1 c2 x2 ... cn xn a11 x1 a12 x2 ... a1n xn d b1 # am1

#

# # # x1 am 2 x2 ... amn xn d bm

(P)

x1 ,x2 ,...,xn t 0

y Der Lösungsraum L P des linearen Programmierungsmodells P, d. h. die Menge der zulässigen Lösungen oder der Zulässigkeitsbereich, ist durch die Restriktionen und die Nichtnegativitätsbedingungen für alle Variablen eindeu-

1

Transponiert bedeutet: Spiegelung einer Matrix an der Hauptdiagonalen bzw. hier Zeilenvektor statt Spaltenvektor. Ein Vektor ohne weitere Angabe ist stets als Spaltenvektor zu verstehen.

46


tig festgelegt. Er ist ein abgeschlossenes2, konvexes3 Polyeder (Vieleck) und beschrieben durch:

L P

^x

n

| A x d b, x t 0`

X

Jede einzelne Restriktion und jede einzelne Nichtnegativitätsbedingung definieren einen Halbraum des n . Da alle Restriktionen und Nichtnegativitätsbedingungen des Optimierungsmodells erfüllt sein müssen, ergibt sich der Lösungsraum als Durchschnitt dieser Halbräume. Der Lösungsraum kann unbeschränkt oder beschränkt sein, d. h. in mindestens einer Richtung ist der Bereich bis unendlich ausgedehnt oder eben nicht. Abb. 2.4 stellt im schraffierten Teil einschließlich Rand ein beschränktes bzw. unbeschränktes, jeweils abgeschlossenes, konvexes Polyeder dar. Beide Polyeder können Zulässigkeitsbereichen linearer Optimierungsmodelle entsprechen.

Abb. 2.4. Abgeschlossene, konvexe Polyeder

y Wie bereits bei dem vorangehenden Beispiel gezeigt, wird statt des Ungleichungssystems ein äquivalentes Gleichungssystem betrachtet, indem das System P geeignet um Schlupfvariablen s1 ,...,sm t 0 erweitert wird. Für die j-te Restriktion wird also statt der d -Restriktion a j1 x1 a j 2 x2 ... a jn xn d b j

die äquivalente Gleichheitsrestriktion a j1 x1 a j 2 x2 ... a jn xn s j 2

bj

Eine Menge ist abgeschlossen genau dann, wenn alle Randpunkte zu dieser Menge gehören. 3 Eine Menge M n ist konvex genau dann, wenn für je zwei beliebige Elemente aus M auch alle Elemente der verbindenden Strecke zu M gehören. Also x, y M gilt: O x 1 O y M O > 0 ,1@ .


47

berücksichtigt, wobei sj jeweils den Wert

sj

b j a j1 x1 a j 2 x2 ... a jn xn

annimmt. Die Zielfunktionswerte aller Lösungen sollen durch diese Maßnahme unverändert bleiben, daher werden die zu den Schlupfvariablen gehörenden Zielfunktionskoeffizienten null gesetzt. Insgesamt ergibt sich dann das folgende zugehörige lineare Optimierungsmodell mit Gleichheitsrestriktionen. n

max z =

¦ j 1

m

c j x j ¦ 0 si i 1

n

s.d .

¦

aij x j si

bi

i 1,..., m

j 1

x j , si t 0

j 1,..., n

i 1,..., m

Wird mit I m die mxm -Einheitsmatrix, mit 0t die Nullzeile und mit A die mxn -Koeffizientenmatrix des Ausgangsmodells bezeichnet, lautet die entsprechende Matrixform max c t x 0t s s.d . A x I m s

b

x,s t 0 si

Ist für eine Lösung des Gleichungssystems der Wert einer Schlupfvariablen 0 , ist die Restriktion mit Gleichheit erfüllt, d. h., die Restriktion ist bindend.

Beispiel Das folgende lineare Optimierungsmodell weist alle Eigenschaften auf, die das Grundmodell charakterisieren. Zu ermitteln sind die optimalen Werte der drei Strukturvariablen x1 , x2 und x3 . max

x1 2 x2

s.d .

x1 4 x1

x3 d 12

x2

x2 2 x3 d 24 x1 ,x2 ,x3 t 0

max

x1 2 x2

s.d .

x1 4 x1

x3 s1

x2 x2 2 x3

12 s2

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

24

48


Das zugehörige äquivalente Modell mit Gleichheitsrestriktionen, wobei die mit null multiplizierten Variablen nicht aufgeführt sind, ergibt sich durch Hinzufügung der beiden Schlupfvariablen s1 und s2 . Die Darstellung in Matrixform lautet:

max

1

§1 s.d . ¨ ©4

§ x1 · § s1 · ¨ ¸ 1 ¨ x2 ¸ 0 0 ¨ ¸ © s2 ¹ ¨x ¸ © 3¹ § x1 · 0· ¨ ¸ § 1 0 · § s1 · § 12 · ¸ ¨ x2 ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ ¸ 2¹ ¨ ¸ © 0 1 ¹ © s2 ¹ © 24 ¹ x © 3¹ § x1 · § s1 · ¨ ¸ ¨ x2 ¸ t 0, ¨ s ¸ t 0 © 2¹ ¨x ¸ © 3¹

2

1 1

Grundmodell und zugehöriges lineares Optimierungsmodell mit Gleichheitsrestriktionen sind zwar nicht identisch, jedoch bezüglich des Lösungsraums und der optimalen Lösungen äquivalent, da allgemein gilt: Ist x 0t , s 0t zulässige bzw. sogar optimale Lösung des Modells mit Gleichheitsrestriktionen, dann ist x 0 zulässige bzw. optimale Lösung von P . Ist x 0 zulässige bzw. optimale Lösung von P , dann lässt sich s 0 bestimmen, sodass x0t , s 0t zulässige bzw. optimale Lösung des Modells mit Gleichheitsrestriktionen ist. Die Zielfunktionswerte stimmen jeweils überein. Im Folgenden werden die Schlupfvariablen nicht immer gesondert hervorgehoben, sondern ebenfalls die anschließende allgemeine Darstellung verwendet, wobei x dann neben den Strukturvariablen auch Schlupfvariablen enthalten kann und die Matrix A gegebenenfalls auch die Einheitsmatrix als Teilmatrix enthält. max z

ct x

s.d . A x b xt0

(1)

Die zulässigen Lösungen dieses Modells sind also gerade alle Lösungen des Gleichungssystems, die zusätzlich die Nichtnegativitätsbedingungen erfüllen. Für das Gleichungssystem x1 x2

s1

4 x1 x2 2 x3

12 s2

24

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

ist beispielsweise s1 12 , s2 24 und x1 x2 x3 0 eine solche Lösung, die sich leicht ermitteln lässt, indem x1 , x2 und x3 null gesetzt werden und dann


49

aufgrund der vorliegenden Einheitsmatrix s1 und s2 unmittelbar abgelesen werden können. Bezeichnen wir jetzt die gesamte Koeffizientenmatrix mit A , also

§1 A ¨ ©4

1

0

1

1

2

0

0· ¸, 1¹

so besteht A aus der Einheitsmatrix I und dem restlichen Teil N mit

§1 ¨ ©4

N

1

0· ¸. 2¹

1

Eine andere Lösung erhält man, wenn das Gleichungssystem mit erlaubten Transformationen so umgeformt wird, dass die Einheitsmatrix zu den ausgewählten Variablen x3 und s1 gehört und die Variablen x1 , x2 und s2 gleich null gesetzt werden. Erlaubte Transformationen eines Gleichungssystems, wie Multiplikation einer Zeile mit einer reellen Zahl ungleich null oder Addition zweier Zeilen, ändern die Lösungsmenge nicht. Das folgende Ergebnis kann dann abgelesen werden: x1 2 x1

s1

x2 1

2

x2 x3

12

1 2

s2

12

x1 ,x2 ,x3 ,s1 ,s2 t 0

Diese Lösung lautet x3 12 , s1 12 und x1 mierten Matrix und transformierten rechten Seite §1 ¨ ©2

1 1

2

0 1

1

0

0

1 2

x2

s2

0 mit der transfor-

12 · ¸ 12 ¹

Eine Lösung eines Gleichungssystems lässt sich einfach ablesen, falls die Einheitsmatrix I in der Koeffizientenmatrix enthalten ist.

y Ein Gleichungssystem D x b mit x n , b m und D mxn hat kanonische Form, falls die Einheitsmatrix I Teilmatrix von D ist. Ausgehend von dem Grundmodell linearer Optimierung liegt nach Hinzufügung der Schlupfvariablen das äquivalente Gleichungssystem stets in kanonischer Form vor.

y Lösungen des Gleichungssystems lassen sich mittels Basen bzw. deren Inversen darstellen. Jede nichtsinguläre4 mxm -Teilmatrix B von A ist eine Basis des Modells (1). Der Nichtbasisteil von A wird hier mit N bezeichnet.

4

Eine quadratische Matrix D ist nichtsingulär genau dann, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Genau dann existiert die Inverse D 1 der Matrix, sodass gilt D -1D D D 1 I .

50


Da zu jeder Basis B die Inverse B 1 existiert, lässt sich durch Linksmultiplikation mit der Basisinversen das Gleichungssystem in kanonischer Form darstellen. Beispiel Zu dem Gleichungssystem mit

§1 A ¨ ©4

1

0

1

1

2

0

0· ¸, 1¹

B

§0 1 · ¨ ¸ © 2 0¹

§ 12 · ¨ ¸ © 24 ¹

b

kann die Basis

als nichtsinguläre Teilmatrix gewählt werden. Die Spalten sind den Variablen x3 und s1 zugeordnet. Basisinverse zu B ist 1 · 2

§0 ¨ ©1

B 1

¸. 0¹ b von links mit B 1

Durch Multiplikation des Gleichungssystems A x B 1 A x

§2 mit B 1 A ¨ ©1

B 1b

1 2

1

0

1 · 2

1

0

1

¸ 0¹

s2

12

erhält man das Gleichungssystem 2 x1 x1

1

2 x2

x3

x2

1

2

s1

12 ,

welches in kanonischer Form vorliegt. Die Einheitsmatrix I ist den Variablen x3 und s1 , den Basisvariablen, zugeordnet, deren Werte nach Festlegung der Werte von x1 , x2 und s2 ermittelt werden können über

x3

12 2 x1

s1

12

x1

1 2

x2

1

2

s2

x2

Werden die Nichtbasisvariablen mit Wert null gewählt, sind x3 12 und 12 direkt ablesbar. Wird die Matrix A in die Teile B und N zerlegt mit A B,N , dann gilt für B 1 A B 1 ( B, N ) ( I , B 1 N ). Damit steht die Basis in der Ausgangsmatrix s1


51

immer in den Spalten, in denen sich in dem transformierten Tableau die Einheitsspalten befinden und zwar in übereinstimmender Reihenfolge. Die Transformation des Gleichungssystems mittels erlaubter Transformation von Zeilen und Spalten, bis die zu den Basisvariablen gehörenden Spalten Einheitsspalten sind, liefert das gleiche Ergebnis wie die Multiplikation mit der Basisinversen von links.

y Ist B Basis von (1), so wird sie zulässige Basis von (1) genannt genau dann, wenn B 1 b t 0 ist. Ist B Basis von (1), so werden die Nichtbasisspalten mit N bezeichnet, entsprechend mit xB , xN , cB , cN die aufgeteilten Teilvektoren von x und c . Modell (1) kann dann dargestellt werden als: max z s.d .

§x · cNt ¨ B ¸ © xN ¹ §x · B N ¨ B ¸ b © xN ¹ xB , x N t 0

c

t B

Nach Multiplikation mit B 1 erhält man die folgende Form. max z

cBt xB

cNt xN

s.d .

I x B B 1 N x N

B 1 b

xB , x N t 0

Diese Gleichungssysteme werden jeweils verkürzt mittels eines Tableaus dargestellt, welches nach geeigneter Spaltenvertauschung folgende Darstellung hat. c Bt

c Nt

x Bt

x Nt

RS

cB xB

B -1 A

B -1 b

ǻz

-c t + c Bt B -1 A

c Bt B -1 b

bzw. c Bt

c Nt

t B

x Nt

RS

B -1 N

B -1 b

x cB

xB ǻz

I

-c t + c Bt B -1 A

c Bt B -1 b

52


Bei dem Grundmodell der linearen Optimierung enthält das erste Gleichungssystem die Einheitsmatrix I , deren Inverse I 1 wieder I ist. Damit ist auch I 1 A IA A und I 1 b Ib b, das Ausgangstableau lässt sich folglich einfach angeben. §x ·

y Eine Lösung ¨ B ¸ des Gleichungssystems heißt Basislösung, falls alle Nicht© xN ¹ B 1b und xN

basisvariablen gleich null gesetzt sind. Dann gilt xB

y Eine Basislösung ist zulässig, falls xB

0.

B 1b t 0 gilt.

Eine zulässige Basislösung erfüllt folglich sowohl die Restriktionen als auch die Nichtnegativitätsbedingungen. Eine Basis ist also genau dann zulässig, wenn die zugehörige Basislösung zulässig ist. Beispiel Folgende 2x2 -Teilmatrizen B sind bis auf Spaltenvertauschung die Basen der Matrix A §1 A ¨ ©4 B1 B4 B7

§1 ¨ ©0 §1 ¨ ©4

0· ¸ 1¹ 1· ¸ 0¹ §1 1 · ¨ ¸ ©1 0 ¹

B2 B5 B8

1

0

1

1

2

0

§1 ¨ ©4 §1 ¨ ©4

1· ¸ 1¹ 0· ¸ 1¹ §1 0 · ¨ ¸ ©1 1 ¹

0· ¸ 1¹

B3 B6 B9

§1 ¨ ©4 §1 ¨ ©1

0· ¸ 2¹ 0· ¸ 2¹ §0 1· ¨ ¸ © 2 0¹

§ 0 0· ¨ ¸ ist keine Basis, da die Spalten linear abhängig sind © 2 1¹ und somit die Determinante gleich null ist und keine Inverse existiert. Die Teilmatrix D

Zu den übrigen Matrizen lauten die Inversen wie folgt.

B11

§ 1 0· ¨ ¸ © 0 1¹

B41

§0 ¨ ©1

1

4· ¸ 1 4¹

B21 B51

1 · § 13 3 ¨ 4 1 ¸ 3¹ © 3 § 1 0· ¨ ¸ © 4 1 ¹

B31 B61

§ 1 0· ¨ 1 ¸ © 2 2 ¹ § 1 0· ¨ 1 1 ¸ © 2 2¹


B71

§ 0 1· ¨ ¸ © 1 1¹

B81

§ 1 0· ¨ ¸ © 1 1 ¹

B91

§0 ¨ ©1

1

53

2·

¸ 0¹

Werden jeweils die Nichtbasisvariablen gleich null gesetzt, errechnen sich die §12 · Basisvariablenwerte mit B 1 ¨ ¸ für die unterschiedlichen Basen zu © 24 ¹ §s · B1 : ¨ 1 ¸ © s2 ¹ § x1 · B4 : ¨ ¸ © s1 ¹ §x · B7 : ¨ 2 ¸ © s1 ¹

§x · § x · § 4· §12 · B2 : ¨ 1 ¸ ¨ ¸ B3 : ¨ 1 ¸ ¨ ¸ © 24 ¹ © x2 ¹ © 8 ¹ © x3 ¹ § x1 · § 12 · § x2 · §6· B5 : ¨ ¸ ¨ ¨ ¸ ¸ B6 : ¨ ¸ ©6¹ © s2 ¹ © 24 ¹ © x3 ¹ § x2 · § 12 · § x3 · § 24 · ¨ ¸ B8 : ¨ ¸ ¨ ¸ B9 : ¨ ¸ © 12 ¹ © s2 ¹ © 12 ¹ © s1 ¹

§ 12 · ¨ ¸ © 12 ¹ § 12 · ¨ ¸ © 6¹ § 12 · ¨ ¸ © 12 ¹

Zulässige Basen mit zulässigen Basislösungen sind folglich B1 , B2 , B4 , B6 , B8 und B9 . Die erreichbaren Zielfunktionswerte sind: B1 : 0

B2 : 20

B4 : 6

B6 : 30

B8 : 24

B9 : 12

Die zulässigen Basislösungen sind gerade sämtliche Ecken des Zulässigkeitsbereichs. Die Basislösung mit dem höchsten Zielfunktionswert von 30 ist x2 12 und x3 6 und x1 s1 s2 0 . Die Theorie und Lösung linearer Gleichungssysteme ist Gegenstand der linearen Algebra und wird in Einführungen in die Mathematik behandelt, besonders in solchen, die sich an Wirtschaftswissenschaftler wenden (z. B. Jaeger u. Wäscher 1998, Luderer u. Würker 2005, Ohse 2005, Schwarze 2005, Sydsaeter u. Hammond 2004, Tietze 2005). Entsprechende Kenntnisse werden genutzt, um darauf aufbauend das Vorgehen des Simplexalgorithmus zu erläutern. 2.2.2 Lösung des Grundmodells mittels Simplexalgorithmus Das Simplexverfahren ist das bekannteste und am weitesten verbreitete Verfahren zur Lösung linearer Optimierungsmodelle. Es wurde ab 1947 von George Dantzig entwickelt und propagiert und seitdem fortlaufend verbessert. Die Bezeichnung leitet sich ab von Simplex, einem n -dimensionalen Polytop5 mit n 1 Ecken, z. B. Strecke, Dreieck, Tetraeder, und nimmt Bezug auf das Untersuchen des Lösungsraums eines linearen Modells.

5

Ein Polytop ist die konvexe Hülle einer endlichen Punktmenge, also ein beschränktes Polyeder.

54


Die Erforschung und den frühen Einsatz des Simplexverfahrens zur Entscheidungsunterstützung haben neben Dantzig (1963) insbesondere von Neumann, Kantorovich, Leontief und Koopmans maßgeblich vorangetrieben, wie dem kurzen geschichtlichen Überblick von Dantzig (2002) zu entnehmen ist. Die Untersuchung linearer Ungleichungssysteme ist noch älter und die ersten linearen Optimierungsansätze 1939 von Kantorovich wurden zunächst nicht bekannt (Goldfarb u. Todd 1989). Idee des Simplexalgorithmus Es lässt sich zeigen, dass, wenn genau eine optimale Lösung eines linearen Optimierungsmodells existiert, diese in einer Ecke des zulässigen Polyeders liegt. Existieren mehrere optimale Lösungen, liegt mindestens eine von ihnen in einer zulässigen Ecke. Daher müssen nur Ecken hinsichtlich ihrer Optimalität untersucht werden. Es wird von einer zulässigen Basislösung eines linearen Optimierungsmodells ausgegangen. Diese entspricht einer Ecke des Zulässigkeitsbereichs. Durch Übergang von einer zulässigen zu einer benachbarten zulässigen Basislösung – durch Basistausch – wird schrittweise eine Verbesserung der Lösung bezüglich der Zielfunktion erreicht. In jedem Schritt wird eine aktuelle Basisvariable durch eine bisherige Nichtbasisvariable ersetzt. Die Aufnahmeregel sorgt dafür, dass in jedem Schritt eine Erhöhung des Zielfunktionswertes erreicht wird. Die Eliminationsregel stellt sicher, dass die nächste Basislösung zulässig ist. Mittels Optimalitätskriterium wird geprüft, ob eine weitere Verbesserung möglich ist oder ob eine optimale Lösung gefunden wurde. Aufnahme Ausgehend von einem Simplextableau wird die ' z -Zeile daraufhin überprüft, ob eine Verbesserung der Zielfunktion möglich ist. Im Einzelnen sind die Werte der ' z -Zeile wie folgt bezeichnet: m

ǻzj

c j ¦ cBi a*ij

Kriteriumswert der Variable x j

i 1

cBi ist der Zielfunktionskoeffizient der i-ten Basisvariablen. a*ij das Element im aktuel-

len Tableau. * bezeichnet die bereits durchgeführte Multiplikation mit der aktuellen Basisinversen bzw. die durchgeführte Transformation. -' z j , also der mit 1 multiplizierte ' z j -Wert, gibt an, um wie viele Einheiten sich der Zielfunktionswert erhöht, wenn die Nichtbasisvariable x j um eine Einheit erhöht wird. Das Ausmaß der möglichen Erhöhung der Nichtbasisvariablen x j ist gemäß Eliminationskriterium begrenzt und kann null betragen. Eine Verbesserung der Zielfunktion ist nur durch Aufnahme solcher Nichtbasisvariablen x j möglich, für die ' z j 0 gilt. Wird das Minimum für mehrere Variablen angenommen, wird eine beliebige davon ausgewählt.


55

y Aufnahmekriterium xl wird in Basis aufgenommen, falls gilt

' zl

min ^' z j | j 1,..., n, ' z j 0` .

Kann in einem Schritt keine weitere Verbesserung erreicht werden, ist eine optimale Lösung gefunden.

y Optimalitätskriterium Gilt für alle (Nichtbasis-) Variablen x j

ǻ z j t 0,

j = 1,..., n ,

dann ist die zulässige Basis optimal und die zugehörige Basislösung ist eine optimale Basislösung bzw. optimale Lösung des Modells. Elimination Wird die Variable xl in Basis aufgenommen, muss eine bisherige Basisvariable aus der Basis eliminiert werden. xl beansprucht ebenfalls Anteile der knappen „Kapazitäten“, und zwar ail* Einheiten der i-ten Kapazität, von der aktuell bi* Einheiten verfügbar sind. xl wird gegen diejenige Basisvariable xk ausgetauscht, deren „Kapazität“ als erstes ausgeschöpft ist. xl wird im nächsten Schritt dann den Wert

bk* annehmen. akl*

Achtung: Ist a*il d 0 , wird keine Kapazität verbraucht, sondern eventuell sogar freigesetzt. In diesem Fall könnte xl beliebig erhöht werden, ohne dass es hier zu einem Engpass kommt. Die zugehörige Basisvariable sinkt nicht auf null ab und kann somit nicht aus der Basis entfernt werden.

y Eliminationskriterium xk wird aus der Basis eliminiert, falls gilt bk* a*kl

b* ½ min ® i* | i 1,...,m,a*il ! 0 ¾ . ¯ ail ¿

Wird das Minimum für mehrere Basisvariablen angenommen, wird davon eine beliebige als Nichtbasisvariable gewählt. Die übrigen sind dann mit Wert null in Basis. Nimmt mindestens eine der Basisvariablen den Wert null an, spricht man von primaler Entartung. Ein Austausch gegen eine Nichtbasisvariable würde zu einer neuen Basis und gegebenenfalls einem anderen Tableau, aber der gleichen Lösung führen.

56


Basistausch Durch Aufnahme- und Eliminationskriterium ist die neue Basis bestimmt. Die lSpalte wird neu in die Basis aufgenommen an der Position, an der die zu eliminierende Spalte steht. Es bleibt, den Basistausch im Gleichungssystem zu realisieren. Das bedeutet, dass eine Transformation des Gleichungssystems so vorgenommen wird, dass die l-te Spalte Einheitsspalte wird mit der Eins in der k-ten Zeile. Dies geschieht zweckmäßig durch Pivotisierung im Simplextableau, wie im Folgenden beschrieben wird. Pivot bezeichnet einen Drehpunkt bzw. „sich drehen“. Bezeichnungen: a*ij

Element der i-ten Zeile und j-ten Spalte

a*il

i-tes Element der Pivotspalte l

* kj

j-tes Element der Pivotzeile k

* kl

Pivotelement

* i

i-tes Element der rechten Seite

a a

b

Die entsprechenden Elemente des nächsten Tableaus werden jeweils durch gekennzeichnet, z. B. a*ij neu .

c1

x1

#

#

ci

xi

#

#

ck

xk

#

#

cm

xm

'z

c1 ! ci ! ck ! cm ! cm+1 ! cj ! cl

!

x1 ! xi ! xk ! xm ! xm+1 ! xj ! x l

!

RS

al*,m +1 ! al*, j ! al*,l

!

bl*

1 %

#

#

ai*,m +1 ! ai*, j ! ai*,l

1

#

%

#

#

% 1

!

#

!

* am ,l

bk* #

#

* am , j!

bi* #

#

ak* ,m +1 ! ak* , j ! ak* ,l

1

#

#

"

* bm

' zm+1 ! ' zj " ' zl "

z*

* am , m +1 !

Pivotspalte

Pivotzeile

neu


57

y Transformation akl ist Pivotelement.

Die Pivotspalte wird Einheitsspalte:

i

1 ® ¯0

a*il neu

k

i 1,...,m

sonst

'zineu

0

bk*neu

bk* akl*

Die Pivotzeile wird durch das Pivotelement dividiert: akj*

akj*neu

j 1,..., n

akl*

4k

Die Kreisregel gilt für alle übrigen Transformationen: a*kj a*il

i 1,...,m

izk

a

j 1,...,n

jzl

bk* a*il a*kl

i 1,...,m

izk

j 1,...,n

j z1

a*ij neu

a*ij

bi* neu

bi*

' z neu j

' zj

z* neu

z*

* kl

a*kj ' zl a*kl

bk* ' zl a*kl

Beispiel Nach Hinzufügung der Schlupfvariablen enthält A eine Einheitsmatrix und wegen I 1 A A und I 1 b b kann das erste Simplextableau direkt aufgestellt werden: 1 x1

2 x2

1 x3

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

1

1

0

1

0

12

12

0

s2

4

1

2

0

1

24

24

'z

-1

-2

-1

0

0

0

Basisvariablen sind s1 und s2 mit den aktuellen Werten 12 bzw. 24. Die Nichtbasisvariablen sind gleich null. Der aktuelle Zielfunktionswert ist 0 12 0 24 0 und die ' z -Werte bestimmen sich mit

58


' zj

c j cBt B 1a j

c j cBt a j

und wegen cBi 0 für die beiden Basisvariablen jeweils zu c j für die Strukturvariablen bzw. 0 für die Schlupfvariablen. n

min ^' z j | z j 0` j 1

min ^1, 2, 1`

2

Damit wird x2 in die Basis aufgenommen, die zugehörige Spalte ist Pivotspalte. So wird sichergestellt, dass die nächste Lösung einen höheren Zielfunktionswert aufweist als die vorliegende. Aufgrund des Eliminationskriteriums mit m b ½ min ® i ,ai 2 ! 0 ¾ i 1 ¯ ai 2 ¿

12 24 ½ min ® , ¾ 12 ¯1 1 ¿

wird s1 aus der Basis eliminiert. Die erste Zeile ist Pivotzeile und a12 ist Pivotelement. Mittels Pivotisieren erhält man das transformierte Tableau mit der aktuellen Lösung x2 12 und s2 12 sowie dem Zielfunktionswert 24. Die aktuelle Basis §1 0 · ¨ ¸ , die ©1 1 ¹ zugehörige aktuelle Basisinverse steht im aktuellen Tableau dort, wo im Aus§ 1 0· gangstableau die Einheitsspalte stand, also unter s1 und s2 mit B81 ¨ ¸. © 1 1 ¹

findet sich im Ausgangstableau unter den Basisvariablen mit B8

x1

x2

x3

s1

s2

RS

4

2 x2

1

1

0

1

0

12

-

s2

3

0

2

-1

1

12

6

'z

1

0

-1

2

0

24

0

Nur die Aufnahme von x3 führt zu einer weiteren Verbesserung der Zielfunktion, daher wird x3 in Basis aufgenommen. x3 beansprucht keine Kapazität hinsichtlich der ersten Restriktion, wohl jedoch 2 Einheiten je Einheit von der aktuellen rechten Seite der zweiten Restriktion. Damit können maximal 6 Einheiten von x3 in Lösung sein, s2 nimmt dann genau den Wert null an und wird Nichtbasisvariable.


x1

x2

x3

s1

s2

RS

2 x2

1

1

0

1

0

12

1 x3

1,5

0

1

-0,5

0,5

6

'z

2,5

0

0

1,5

0,5

30

59

Da alle ' z -Werte größer oder gleich null sind, ist das Optimalitätskriterium erfüllt und die vorliegende Basislösung ist optimal. Also wird der optimale Zielfunktionswert 30 erreicht mit x2 12 , x3 6 und x1 s1 s2 0 . Für die optimale Lösung sind alle Restriktionen mit Gleichheit erfüllt, da die Schlupfvariablen sämtlich den Wert null annehmen. Damit sind alle Restriktionen bindend. Eine andere optimale Lösung gibt es für dieses Beispiel nicht, da die Erhöhung eines Wertes einer anderen, d.h. einer Nichtbasisvariablen, jeweils zu einer Verringerung des Zielfunktionswertes führt. Die optimale Basis ist also unter x2 , x3 im Ausgangstableau abzulesen und §1 0 · 1 ¨ ¸ . Die Basisinverse B6 1 2 © ¹ Endtableau zu entnehmen.

lautet B6

0 · § 1 ¨ ¸ ist dem optimalen © 0,5 0 ,5 ¹

Der ' z -Zeile des optimalen Endtableaus sind weitere Informationen zu entnehmen. Würde etwa eine Einheit von x1 produziert, könnte aufgrund der knappen Kapazitäten eine Einheit weniger von x2 und 1,5 Einheiten weniger von x3 produziert werden. Der Gesamtdeckungsbeitrag würde folglich um 2,5 Einheiten, dem ' z -Wert von x1 , sinken, den Opportunitätskosten von Produkt 1. Eine Aufnahme einer Einheit von s1 ließe den Deckungsbeitrag um 1,5 Einheiten, dem ' z -Wert von s1 , sinken. Würde die zugehörige Kapazität um eine Einheit erhöht, könnte der Gesamtdeckungsbeitrag entsprechend um 1,5 Einheiten steigen. Die ' z -Werte der Schlupfvariablen im Grundmodell der linearen Optimierung entsprechen den Schattenpreisen der Restriktionen. Detailliertere Ausführungen zu den Opportunitätskosten und Schattenpreisen erfolgen im Zusammenhang mit den Dualitätsbetrachtungen und Sensitivitätsanalysen in Kapitel 3.

2.2.3 Lösungsbesonderheiten Bei den bisher behandelten Beispielen war stets die Situation gegeben, dass genau eine optimale Lösung existierte, die dann mittels Simplexalgorithmus ermittelt wurde. Dies ist jedoch nicht immer so, wie im Folgenden gezeigt wird.

60


Zulässige, keine optimale Lösung Es kann der Fall auftreten, dass es zwar zulässige Lösungen gibt, jedoch keine optimale Lösung existiert, da zu jeder zulässigen Lösung noch eine bessere gefunden werden kann. Diese Situation ist dadurch charakterisiert, dass der Zulässigkeitsbereich in Richtung steigender Zielfunktionswerte unbeschränkt ist. Beispiel max z s.d .

2 x1

4 x2

2 x1

3 x2

d 12

x1

3 x2

d 18

x1 , x2 t 0

In diesem Beispiel können x1 und x2 unter Einhaltung der Restriktionen beliebig hohe Werte annehmen. Damit kann auch der Zielfunktionswert unendlich groß werden. Der unbeschränkte Zulässigkeitsbereich ist in Abb. 2.5 zu erkennen. Ausgehend von der Ecke im Nullpunkt ist durch schrittweisen Übergang zu einer t benachbarten Ecke eine Erhöhung der Zielfunktion möglich bis zur Ecke 6, 8 . Darüber hinaus ist eine beliebige Erhöhung des Zielfunktionswerts möglich, z. B. t durch Wahl geeigneter Punkte auf der Geraden R2 . Etwa 9 , 9 erzielt den Zielfunktionswert 54.

Abb. 2.5. Unbeschränkter Zulässigkeitsbereich


61

Bei Anwendung des Simplexalgorithmus lässt sich dieser Fall daran erkennen, dass die Optimalitätsbedingung nicht erfüllt werden kann: In einem Tableau tritt mindestens ein ' zl 0 auf, jedoch ist die Elimination einer bisherigen Basisvariablen nicht möglich, da ail d 0 für alle i 1,..., m gilt. Der Simplexalgorithmus bricht ab mit der Information, dass zulässige, jedoch keine optimalen Lösungen existieren.

Beispiel Das Modell wird um die Schlupfvariablen erweitert, das Ausgangstableau aufgestellt und der Simplexalgorithmus angewandt. 2 x1

4 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

-2

3

1

0

12

4

0

s2

-1

3

0

1

18

6

'z

-2

-4

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

4

- 2 /3

1

1/

3

0

4

-

s2

1

0

-1

1

6

6

'z

-14/3

0

4/

0

16

4 x2 0

3

x1

x2

s1

s2

RS

4

4 x2

0

1

-1/3

2/ 3

8

-

2 x1

1

0

-1

1

6

-

'z

0

0

-10/ 3

14/ 3

44

Keine Pivotzeile bestimmbar

s1 sollte in die Basis aufgenommen werden, da jede zusätzliche Einheit von s1 den Zielfunktionswert um 10 3 Einheiten erhöht. Dies führt jedoch nicht zu einer Verringerung von x1 oder x2 , sondern vielmehr zu deren Erhöhung. Die Gleichungen lauten x2 x1

1 3 s1 2 3 s2 s1 s2

8 6

62


Mit der Nichtbasisvariablen s2 s1 auch x1 und x2 steigen.

0 zeigt sich unmittelbar, dass bei steigendem

x2 x1

8 1 3 s1 s1 6

Keine der beiden Variablen nimmt bei wachsendem s1 den Wert null an. Der Zielfunktionswert kann also beliebig hoch steigen. Ist es in einem Simplextableau möglich, eine Pivotspalte l zu bestimmen, jedoch keine Pivotzeile, da alle ail d 0 sind, so zeigt dies, dass der Lösungsraum in Richtung Zielfunktionsverbesserung unbeschränkt ist und keine optimale Lösung existiert. Das Aufnahmekriterium zeigt hier an, welche Variable zusätzlich zu den Basisvariablen beliebige positive Werte annehmen und so die Zielfunktion unendlich verbessern kann. Da in der Praxis unendlich hohe Zielfunktionswerte üblicherweise nicht zu erreichen sind, ist ein derartiges Ergebnis meist ein Zeichen dafür, dass begrenzende Bedingungen der Realität in dem Modell noch nicht ausreichend berücksichtigt sind.

Mehrere Lösungen sind optimal Gelegentlich gibt es nicht nur eine, sondern mehrere optimale Lösungen, die dann denselben Zielfunktionswert besitzen. Aufgrund der mathematischen Struktur des linearen Optimierungsmodells liegen die optimalen Lösungen auf dem Rand des Zulässigkeitsbereichs. Daher sind bei mehreren optimalen Lösungen in einem beschränkten Zulässigkeitsbereich mindestens zwei Ecken, d. h. Basislösungen, optimal und alle Punkte auf ihrer Verbindung. Ist der Zulässigkeitsbereich unbeschränkt, können mehrere optimale Lösungen auch bei nur einer optimalen Basislösung vorkommen. Beispiel Optima Bei Optima hat sich herausgestellt, dass der Deckungsbeitrag für Produkt B nur 1,5 statt 2 GE pro Stück beträgt. Optima modifiziert daher die Zielfunktion aus dem ersten Beispiel. Lineares Optimierungssystem Optima II max z

3 x A 1,5 xB

Modifizierte Zielfunktion

s.d .

2 xA

xB d 22

Produktionsstufe 1

xA

2 xB d 23

Produktionsstufe 2

4 xA

xB d 40

Produktionsstufe 3

x A ,xB t 0

NNB


63

Abb. 2.6. Optima II: mehrere optimale Lösungen

Abb. 2.6 zeigt, dass die Isozielfunktionslinien nun parallel zu Restriktion R1 verlaufen. Es gibt nun unendlich viele optimale Lösungen, und zwar die zwei Eckpunkte und alle Punkte auf der Strecke dazwischen. Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert nach zwei Iterationen ein optimales Endtableau.

3 xA

3/

xB

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

2

0

s1

2

1

1

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

40

10

'z

-3

- 3 /2

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

13

52/

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

10

40

'z

0

-3 /4

0

0

3/

4

30

3

7

64


Optimales Endtableau:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

0

1

2

0

-1

4

s2

0

0

- 7 /2

1

3/

2

6

3 xA

1

0

- 1 /2

0

1/

2

9

'z

0

0

3/

0

0

3/ x 2 B

0

2

33

Die optimale Lösung ist ablesbar mit x A 9, xB 4, s2 6 für die Basisvariablen und s1 s2 0 für die Nichtbasisvariablen. Der erreichte Zielfunktionswert ist mit 33 aufgrund des verringerten Deckungsbeitrags von xB nun geringer als der optimale Wert von 37 in dem Ausgangsbeispiel. Eine genaue Betrachtung des Tableaus zeigt, dass ein ' z -Wert von null auch bei der Nichtbasisvariablen s3 auftritt, diese also in Basis aufgenommen werden kann, ohne den Zielfunktionswert zu verändern. Für die Aufnahme von s3 ist s2 zu eliminieren und das neue Tableau zu berechnen. Weiteres optimales Endtableau:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

0

1

- 1 /3

2/

3

0

8

s3

0

0

- 7 /3

2/

3

1

4

3 xA

1

0

2/

3

- 1 /3

0

7

'z

0

0

3/

2

0

0

33

3/ x 2 B

0

Dieses zweite optimale Endtableau zeigt die zweite optimale Basislösung mit x A 7, xB 8, s3 4 und s1 s2 0, auch diese wieder mit dem Zielfunktionswert 33. Außerdem sind alle Punkte dazwischen optimal, sodass die Menge der optimalen Lösungen für dieses Modell lautet

L

§ x A · °¨ ¸ °¨ xB ¸ °¨ ¸ ® s1 °¨ s ¸ °¨ 2 ¸ °¯¨© s3 ¸¹

§ xA · ¨ ¸ ¨ xB ¸ ¨ s1 ¸ ¨ ¸ ¨ s2 ¸ ¨s ¸ © 3 ¹

½ §9· §7· ° ¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ 4¸ ¨8 ¸ ° O ¨ 0 ¸ 1 O ¨ 0 ¸ , O > 0, 1@¾ ¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨6¸ ¨0¸ ° ¨0¸ ¨ 4¸ °¿ © ¹ © ¹

Mit O 12 ist z. B. auch x A 8, xB 6, s1 0, s2 3 und s3 2 eine optimale Lösung, die keine Basislösung ist. Da diese keine der Kapazitäten der 2.


65

und 3. Produktionsstufen vollständig ausschöpft, wird sie in der Praxis möglicherweise den extremen Ausprägungen vorzuziehen sein. Es gibt unendlich viele optimale Produktionsprogramme, von denen eines auszuwählen ist. Die Existenz mehrerer optimaler Lösungen eines linearen Optimierungsmodells ist dem optimalen Endtableau zu entnehmen. Ist der zu einer Nichtbasisvariablen gehörende ' z -Wert gleich null, kann diese in Basis aufgenommen werden und der Austausch führt ebenfalls zu einer optimalen Lösung. Außer für den Sonderfall, dass der neue Wert der Variablen nach Aufnahme in die Basis null bleibt, erhält man eine andere optimale Basislösung. In diesem Fall existieren unendlich viele optimale Lösungen. Sind x1 ,..., x k optimale Basislösungen, dann sind auch alle Konvexkombinationen optimale Lösungen des Modells

L

k

n ®x | x ¯

¦ O x , O >0, 1@ i

i

i

k

mit

i 1

¦O

i

i 1

½ 1¾ ¿

Ist in einem optimalen Endtableau der ' z -Wert mindestens einer Nichtbasisvariablen gleich null, bezeichnet man dies als duale Entartung. Diese ist notwendige Voraussetzung für die Existenz mehrerer optimaler Lösungen. Damit ist eine optimale Lösung x 0 n , für die im optimalen Tableau keine Nichtbasisvariablen ' z -Werte gleich null aufweisen, einzige optimale Lösung, also L ^ x 0 ` .

Mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmen eine Ecke Im 2 bestimmen zwei unterschiedliche Geraden eindeutig den Schnittpunkt, im 3 drei unterschiedliche Flächen usw. Möglicherweise ist eine Ecke durch mehr als die jeweils notwendige Anzahl Restriktionen bestimmt. Dies ist bei Anwendung des Simplexalgorithmus daran erkennbar, dass das Eliminationskriterium die Elimination mehrerer Basislösungen gleichermaßen erlaubt, da das Minimum der 4 -Werte nicht eindeutig ist. Meist wird im Laufe der nächsten Iterationen diese Ecke des Zulässigkeitsbereichs wieder verlassen, wenn sie noch nicht optimal ist. Beispiel Optima III Ergänzend wird eine weitere Restriktion zu dem Ausgangstableau Optima I hinzugefügt, die den Zulässigkeitsbereich im Punkt 9, 4 berührt. max z s.d .

3 xA

2 xB

2 xA

1 xB

d

22

Produktionsstufe 1

1 xA

2 xB

d

23

Produktionsstufe 2

4 xA

1 xB

d

40

Produktionsstufe 3

d

21

zusätzliche Restriktion 1

2 xA

3

4 xB

x A ,xB t 0

NNB

66


Abb. 2.7. Zulässigkeitsbereich Optima III

Die Berechnung führt zunächst zu folgenden zwei Tableaus:

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

40

10

0

s4

2

3/

4

0

0

0

1

21

21/

'z

-3

-2

0

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

2

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

0

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

0

13

52/

3

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

0

10

40

0

s4

0

1/

4

0

0

- 1 /2

1

1

4

'z

0

- 5 /4

0

0

3/

0

30

4

7


67

Aufzunehmen ist die Variable xB , das Eliminationskriterium ist für mehrere Basisvariablen erfüllt. Bei Aufnahme von xB mit 4 Einheiten nehmen sowohl s1 als auch s4 den Wert null an. Eine beliebige der beiden Variablen, hier s1 , wird aus der Basis eliminiert. Die andere bleibt dann in Basis mit Wert null, wie das nächste Tableau zeigt. In einem weiteren Simplexschritt erhält man das optimale Endtableau. xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

2

xB

0

1

2

0

-1

0

4

-

0

s2

0

0

-7/2

1

0

6

4

3

xA

1

0

-1/2

0

0

9

18

0

s4

0

0

-1/2

0

1

0

-

'z

0

0

5/ 2

0

3/ 2 1/ 2 1 - /4 -1/2

0

35

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

2 xB

0

1

-1/3

0

0

8

0

s3

0

0

1

0

4

3

xA

1

0

0

0

7

0

s4

0

0

0

1

1

'z

0

0

0

0

37

2/ 3 7 2 - /3 /3 2/ -1/3 3 -13/12 1/6 4/ 1/ 3 3

Ist eine Ecke des Lösungsraums durch Restriktionen überbestimmt, existieren für dieselbe Ecke unterschiedliche Basisdarstellungen. Da die Basislösungen jedoch übereinstimmen, bedeutet dies, dass jeweils mindestens eine der Basisvariablen den Wert null besitzt. Ist mindestens eine Variable mit Wert null in Basis, spricht man von primaler Entartung. Bei der Lösung von Modellen realer Probleme mittels Simplexalgorithmus kann u. U. aufgrund des Eliminationskriteriums die Ecke nicht verlassen werden, da nur zwischen verschiedenen Basen gewechselt wird. Standardprogramme zur linearen Optimierung verhindern ein solches Kreisen in einer Ecke und gehen zu einer besseren benachbarten Ecke weiter.

68


Mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmen eine optimale Ecke Tritt die Situation auf, dass nicht eine beliebige, sondern die optimale Ecke des Lösungsraums durch mehr als die erforderlichen Restriktionen bestimmt ist, können unterschiedliche Basisdarstellungen dennoch für dieselbe, einzige optimale Lösung stehen. Beispiel Optima IV Ausgehend von dem Grundmodell wird eine andere zusätzliche Restriktion 2 hinzugefügt, die den Lösungsraum in der optimalen Ecke schneidet. max z s.d .

3 xA

2 xB

2 xA

1 xB

d

22

Produktionsstufe 1

1 xA

2 xB

d

23

Produktionsstufe 2

4 xA

1 xB

d

40

Produktionsstufe 3

3 xA

3,5 xB

d

49

zusätzliche Restriktion 2

x A ,xB t 0

Abb. 2.8. Zulässigkeitsbereich Optima IV

NNB


Es ergeben sich folgende Berechnungen:

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

40

10

0

s4

3

7/

2

0

0

0

1

49

49/

'z

-3

-2

0

0

0

0

0

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

3

0

s1

0

1/

2

1

0

- 1 /2

0

2

4

0

s2

0

7/

4

0

1

- 1 /4

0

13

52/

3

xA

1

1/

4

0

0

1/

4

0

10

40

0

s4

0

0

0

- 3 /4

1

19

0

11/ 4 5 - /4

0

0

3/

4

0

30

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

4

'z

76/

11

2

xB

0

1

2

0

-1

0

4

-

0

s2

0

0

- 7 /2

1

3/

2

0

6

4

3

xA

1

0

- 1 /2

0

1/

2

0

9

18

0

s4

0

0

-11/2

0

2

1

8

4

'z

0

0

5/

0

- 1 /2

0

35

2

7

69

70


Eines der optimalen Endtableaus:

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/

3

0

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/

3

1

0

4

3

xA

1

0

2/

3

- 1 /3

0

0

7

0

s4

0

0

-5/6

- 4 /3

0

1

0

'z

0

0

4/

1/

0

0

37

3

3

Wäre im vorherigen Schritt an Stelle von s2 die Schlupfvariable s4 aus der Basis eliminiert worden, hätte man das folgende optimale Endtableau erhalten.

xA

xB

s1

s2

s3

s4

RS

1/ 2 3 - /4 -1/4 1/ 2 1/ 4

8

2

xB

0

1

-3/4

0

0

0

s2

0

0

1

0

3

xA

1

0

0

0

0

s3

0

0

0

1

'z

0

0

5/ 8 7/ 8 11 - /4 9/ 8

0

0

0 7 4 37

Beide optimale Endtableaus zeigen die primale Entartung der optimalen Lösung, d. h. dass eine andere Basisdarstellung dieser Ecke möglich ist. Da in beiden Fällen für alle Nichtbasisvariablen die ' z -Werte ungleich null sind, wird auch angezeigt, dass die ermittelte optimale Lösung die einzige ist. Die Menge aller Lösungen besteht nur aus einem Element. L

^ 7, 8, 0, 0, 4 ` t

Nachdem nun die verschiedenen Situationen bei Lösung des Grundmodells linearer Optimierung vorgestellt sind, fasst das Struktogramm in vergröberter Form den Ablauf des Simplexalgorithmus zusammen. Da von dem Grundmodell ausgegangen wird, ist die Existenz mindestens einer zulässigen Lösung, nämlich x 0 , s b , sichergestellt.


71

Struktogramm des Simplexalgorithmus für das Grundmodell

Initialisierung: Ausgangsgleichungssystem Ax = b, x t 0 Zielfunktion ct x, j = 1,…,n Variablenindizes Wähle eine zulässige Ausgangsbasislösung (Strukturvariablen = 0) Bestimme ' zj für alle Nichtbasisvariablen Existiert mindestens ein ' zj < 0?

Ja Aufnahmeregel: Bestimme Index l

Aktuelle Basislösung ist optimal

n

mit ' zl

Nein

min ^' z j ` j 1

l-te Spalte: Pivotspalte Gibt es ail* > 0? Ja Eliminationsregel: Bestimme m b* ½ Ĭk = min ® i* ,a*il > 0¾ i=1 ¯ ail ¿

k-te Zeile: Pivotzeile

Nein Es existiert keine optimale Basislösung, der Lösungsraum ist in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt

Pivotisieren: Bestimme neues Tableau

Ein weiteres Beispiel behandelt die Aufstellung und Lösung eines Modells zur Entscheidungsunterstützung im primären Wirtschaftssektor, in Kapitel 4 werden vielfältige weitere Einsatzgebiete linearer Optimierungsmodelle vorgestellt.

Beispiel Landwirtschaft Ein Landwirt beabsichtigt, seinen 1 ha = 10.000 qm großen Acker teils mit Blumen und teils mit Gemüse zu bestellen. Er erwartet, pro qm Blumen einen Deckungsbeitrag von 2,5 GE zu erzielen, pro qm Gemüse 1 GE. Die Beschaffung des

72


Saatguts erfordert Mittel in Höhe von 1 GE pro zu bepflanzendem qm Blumen und 0,5 GE pro qm Gemüse, wofür insgesamt maximal 8000 GE verwendet werden sollen. Wie viel Acker soll mit Blumen und wie viel mit Gemüse bepflanzt werden, um ein optimales Ergebnis zu erreichen? Entscheidungsvariablen sind x1 für die mit Blumen zu bestellenden qm und x2 für die mit Gemüse zu bepflanzenden qm. Unter ökonomischen Gesichtspunkten ist der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag zu maximieren. 2 ,5 x1

max

1 x2

Zu beachten ist die Maximalgröße des Ackers, der verfügbar ist. 1 x1

1 x2 d 10.000

Weiterhin muss das Budget eingehalten werden. 1 x1 0,5 x2 d

8.000

Natürlicherweise sind die Nichtnegativitätsbedingungen einzuhalten. x1 ,x2 t 0

Die Lösung des linearen Optimierungsmodells erfolgt in einer Iteration, wie den beiden Tableaus zu entnehmen ist. 2,5 x1

1 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-2,5

-1

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

s1

0

0,5

1

-1

2000

2,5 x1

1

0,5

0

1

8000

'z

0

0,25

0

2,5

20000

0

Der optimale erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 20.000 GE. Es werden nur Blumen und kein Gemüse angebaut. Die Schlupfvariable s1 mit Wert 2.000 in Basis zeigt, dass nicht die gesamte Fläche bepflanzt wird, vielmehr 2.000 qm brach liegen werden. Den Engpass stellt das knappe Budget dar. Könnte dieses


73

erhöht werden, würde ein weiterer Teil der verfügbaren Fläche mit Blumen bepflanzt und pro Einheit ein zusätzlicher Deckungsbeitrag von 2,5 erzielt werden.

Abb. 2.9. Zulässigkeitsbereich Beispiel Landwirtschaft

Wird verlangt, dass die gesamte Fläche bepflanzt wird, reduziert sich der Zut t lässigkeitsbereich erheblich auf die Linie von 6000, 4000 bis 0, 10000 . Die optimale Bepflanzung besteht dann aus 6.000 qm Blumen und 4.000 qm Gemüse. Das zugehörige lineare Optimierungsmodell lautet: max z s.d .

2,5 x1

x2

x1

x2

x1 0 ,5 x2

10.000 d

8.000

x1 ,x2 t 0

Da hier das Grundmodell der linearen Optimierung aufgrund der -Restriktion nicht vorliegt, ist mit dem bisher beschriebenen Algorithmus eine Lösung nicht möglich, da nicht direkt eine zulässige Ausgangsbasislösung angegeben werden kann. Die sonst übliche Nullalternative, d. h. weder Gemüse noch Blumen anzubauen, ist hier nicht zulässig, da die Gesamtfläche bepflanzt werden muss. Im Folgenden werden Erweiterungen und Modellmodifikationen vorgestellt, mit denen beliebige lineare Optimierungsmodelle mittels Simplexalgorithmus gelöst werden können bzw. der Nachweis geführt wird, dass keine Lösung bzw. keine optimale Lösung existiert.

74


2.2.4 Aufgaben

Aufgabe 2.2.1 Bei der Krümelmonster GmbH soll für die beiden Produkte klassische Butterkekse, Variable x1, und Butterkekse mit Schokoladenüberzug, Variable x2, das deckungsbeitragsmaximale Produktionsprogramm ermittelt werden. Das zugehörige lineare Programm ist bereits formuliert: max z = 8 x1 28 x2 s.d .

x1 2 x2 d 54 d 21

x1

x2 d 33 x1 , x2 t 0 Ermitteln Sie die Menge aller optimalen Lösungen mit Hilfe des Simplexalgorithmus. Wie hoch ist der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag? Ist es vorteilhaft, die Kapazität der ersten Produktionsstufe zu erhöhen? Welche Konsequenzen hat die Produktion einer weiteren Einheit klassischer Butterkekse?

Aufgabe 2.2.2 Der Betreiber eines mobilen Heißgetränkeverkaufs beabsichtigt vor der Mensa einer Universität Kaffee und Espresso anzubieten. Da sein Mini Cooper nur über begrenzte Kapazität verfügt und sehr viele Studierende die Mensa täglich aufsuchen, kann er davon ausgehen, dass seine Absatzzahlen nur von seinen Vorräten an Wasser, Bechern und Plätzchen begrenzt werden. a) Lohnt sich der Verkauf, wenn das folgende Modell seine tägliche Situation beschreibt und gleichzeitig die Universität 20 € Standgebühr pro Tag erhebt? Wie viel Kaffee x1 und Espresso x2 sollte pro Tag verkauft werden, um den Deckungsbeitrag zu maximieren? max z = 0, 2 x1 0, 4 x2 s.d .

0, 2 x1 0,1 x2 d x1

Deckungbeitrag 50

Wasser

x2 d 300

Becher

x2 d 100

Plätzchen

x1 , x2 t 0

b) Wie lautet das beste Angebot, falls Wasser, Becher und Plätzchen in beliebiger Kombination bis zur Erreichung der Mini Cooper-Kapazität mitgenommen werden, wobei der Platzbedarf für 1 Liter Wasser dem von 10 Bechern bzw. 20 Plätzchen entspricht?


75

Aufgabe 2.2.3 Ein Unternehmen bietet vier Produkte an, die sämtlich drei Produktionsstufen durchlaufen. Aufgrund knapper Produktionskapazitäten ist zu entscheiden, wie viel von welchem Produkt in der nächsten Periode zur Erzielung eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbeitrags zu fertigen ist. Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen des folgenden Modells: max z = 20 x1 40 x2 35 x3 80 x4 s.d .

x1 4 x2 2 x3

5 x4 d 60

3 x1 6 x2 3 x3

3 x4 d 72

3 x1

2 x4 d 76

x2 2 x3

x1 , x2 , x3 , x4 t

Aufgabe 2.2.4 Lösen Sie die folgenden linearen Optimierungsmodelle mittels Simplexalgorithmus, geben Sie alle Lösungen an und erläutern Sie die Lösungen. Gehen Sie auf Besonderheiten ein. Sollte der Simplexalgorithmus keine optimale Lösung ermitteln, geben Sie die beste festgestellte Lösung an. a)

max z =

x1 2 x2

s.d .

x1 2 x2 d 10 x1 4 x2 d 16 d

x1

5

x1 , x2 t 0

b)

x1 2 x2

max z =

2 x1

s.d .

0,5 x1

x2 d

15

x2 d 2,5 x2 d

5

x1 , x2 t 0

c)

x1 2 x2

max z =

x2 d 10

s.d . 2 x1 2

5

x1

x2 d

5

x2 d

8

x1 , x2 t 0

d)

max z = s.d .

x1

x2

2 x1 2 x2 d x1 , x2 t 0

4

3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle 3.1.1 Ermittlung einer zulässigen Ausgangslösung Nicht immer weist das lineare Optimierungsmodell, welches eine reale Entscheidungssituation adäquat abbildet, die für das Grundmodell charakteristischen Eigenschaften auf. Damit ist der bisher vorgestellte Simplexalgorithmus zur Lösung nicht unmittelbar einsetzbar. Mittels welcher Maßnahmen dennoch effizient eine optimale Lösung ermittelt werden kann, wird im Folgenden behandelt. Beispiel kurzfristige Produktionsprogrammplanung Optima Bei Optima hat sich ergeben, dass bei der Ermittlung des optimalen Produktionsprogramms zusätzliche Anforderungen zu berücksichtigen sind. Dem Kundendienst wurde zugesagt, dass mindestens 5 Einheiten produziert werden, wobei die Kombination der Produkte A und B beliebig ist. Aufgrund technischer Gegebenheiten ist zusätzlich folgender Produktionszusammenhang zwischen den Produkten A und B zu gewährleisten:

xA

6

1 3

xB

Damit ist das ursprüngliche lineare Optimierungsmodell um eine t -Restriktion und eine -Restriktion zu ergänzen. Das neue Modell ist nicht in Standardform und die Alternative, nichts zu produzieren, erfüllt die beiden zusätzlichen Anforderungen nicht. Abb. 3.1 veranschaulicht den resultierenden Zulässigkeitsbereich. Die Schraffuren deuten für jede d - und t -Restriktion den zulässigen Halbraum an. Da die Gleichheitsrestriktion R5 nur durch die auf der entsprechenden Geraden liegenden Punkte erfüllt ist, ist der Zulässigkeitsbereich stark eingeschränkt und umfasst nur noch den fettgezeichneten Teil dieser Geraden.

78

Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse

Lineares Optimierungsmodell Optima V max z = 3 x A 2 xB s.d.

2 xA

1 xB

d 22

R1 : Produktionsstufe1

1 x A 2 xB

d 23

R2 : Produktionsstufe 2

4 xA

d 40

R3 : Produktionsstufe 3

t 5

R4 : Kundendienst

1 xB

1 xA

1 xB 1 x A 13 xB

6

R5 : Produktionsbedingung

xA , xB t 0

NNB

Abb. 3.1. Zulässigkeitsbereich Optima V

Zur Ermittlung einer optimalen Lösung wird auch für dieses Modell zunächst durch Hinzufügung von Schlupfvariablen ein äquivalentes Gleichungssystem aufgestellt. Alle Schlupfvariablen müssen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen, daher ist die Kundendienst-Schlupfvariable s4 mit negativem Vorzeichen einzufügen und erfasst die Produktionsmenge, die über die Mindestanforderung des Kundendienstes von 5 ME hinausgeht. x A xB s4

5

Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle

79

Die fünfte Restriktion ist bereits als Gleichung formuliert, sodass das resultierende äquivalente Gleichungssystem lautet: 2 xA 1

x A 2 xB

4 xA 1 1

1 xB s1 1 xB

x A 1 xB xA

1 3

22

s2

23

s3

40

s4

xB

5 6

x A , xB , s1 , s2 , s3 , s4 t 0

Da dieses Gleichungssystem nicht in kanonischer Form vorliegt, d. h. keine Einheitsmatrix enthalten ist, kann nicht unmittelbar eine zulässige Ausgangslösung abgelesen werden. Der Simplexalgorithmus ist somit nicht direkt anwendbar, vielmehr ist zunächst eine zulässige Basislösung zu ermitteln, von der aus dann, wie bekannt, durch schrittweise Verbesserung bei Übergang zu einer benachbarten Basislösung die optimale Lösung bestimmt wird. Groß-M-Methode Auch für das Auffinden einer ersten zulässigen Lösung lässt sich der Simplexalgorithmus einsetzen. Zunächst wird ein Hilfsmodell formuliert, zu welchem eine Ausgangslösung einfach angegeben werden kann. Zu diesem wird eine optimale Lösung durch Einsatz des Simplexalgorithmus ermittelt. Falls diese zulässig bezüglich des Ausgangsmodells ist, ist sie auch optimale Lösung des ursprünglichen Modells. Das Hilfsmodell wird aufgestellt, indem der Zulässigkeitsbereich durch das Hinzufügen von Hilfsvariablen zunächst künstlich vergrößert wird, sodass im Nullpunkt gestartet werden kann. Diese Hilfsvariablen werden in der Zielfunktion mit sehr hohen Strafkosten (Groß-M) versehen, da diese Variablen unbedingt sämtlich den Wert null annehmen sollen. Durch schrittweise Verbesserung der Zielfunktion bei Anwendung des Simplexalgorithmus wird erreicht, dass die Hilfsvariablen aus der Basis entfernt werden, d. h. den Wert null annehmen, und damit der Zulässigkeitsbereich wieder reduziert wird. Lässt sich die Entfernung der Hilfsvariablen aus der Basis auf diese Weise nicht erreichen, dann ist sie überhaupt nicht möglich. Das bedeutet dann, dass zu dem ursprünglichen Modell keine zulässige Lösung existiert, die Anforderungen folglich nicht alle gleichzeitig erfüllbar sind. Im Beispiel wird nun für die vierte und fünfte Gleichung jeweils eine Hilfsvariable eingefügt, die ebenfalls die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen müssen. Die Strafkosten je Einheit der Hilfsvariablen werden mit –M in die Zielfunktion aufgenommen. M steht für eine sehr große reelle Zahl, die ggf. problemabhängig zu konkretisieren ist.

80


max z

3 x A 2 xB 0 s1 0 s2 0 s3 0 s4 M h4 M h5

s.d .

2 x A 1 xB 1 x A 2 xB 4 x A 1 xB

s1

22

s2

23

s3

1 x A 1 xB 1 xA

1

3

xB

40

s4

h4

5

h5

6

x A , xB , s1 , s2 , s3 , s4 , h4 , h5 t 0

Die Hinzufügung der Hilfsvariablen h4 hat denselben Effekt wie eine Verschiebung der t -Restriktion. Beispielsweise für h4 5 lautet die resultierende Anforderung an die Strukturvariablen x A xB t 0 und lässt damit den Nullpunkt zu. Positive Werte von h5 lassen entsprechende Unterschreitungen der rechten Seite zu. Damit wird der Zulässigkeitsbereich der fünften Restriktion künstlich auf einen Halbraum, also wie bei einer d -Restriktion, ausgedehnt. Abb. 3.2 zeigt den gegenüber dem Ausgangsmodell wesentlich vergrößerten Zulässigkeitsbereich des Hilfsmodells.

Abb. 3.2. Zulässigkeitsbereich Hilfsmodell Optima V

Zu beachten ist, dass nicht alle Lösungen des Hilfsmodells zulässig für das Ausgangsmodell, jedoch alle Lösungen des Ausgangsmodells zulässig bezüglich


81

des Hilfsmodells sind. Der ursprüngliche Zulässigkeitsbereich stellt also eine Teilmenge des Zulässigkeitsbereichs des Hilfsmodells dar. Dieses Hilfsmodell besitzt kanonische Form, sodass die erste zulässige Basislösung unmittelbar ablesbar ist. Sie lautet x A xB s4 0 , s1 22 , s2 23 , s3 40 , h4 5 , h5 6 . Diese positiven Werte der Hilfsvariablen weisen auf das Ausmaß der Verletzung der ursprünglichen Restriktionen hin. 3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

-M h4

-M h5

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

0

0

40

10

-M h4

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

5

-M h5

1

- 1/ 3

0

0

0

0

0

1

6

6

0

0

0

M

0

0

-11M

'z

-2M-3 -2/3M-2

Der Zielfunktionswert mit -11M zeigt ebenso wie die in der Basis enthaltenen Hilfsvariablen an, dass diese Lösung bezüglich des ursprünglichen Modells nicht zulässig ist. Aufgrund des Aufnahmekriteriums wird x A in die Basis aufgenommen. Das Eliminationskriterium bestimmt als zu eliminierende Variable h4 . xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

-1

1

0

0

2

-2

0

12

6

0

s2

0

1

0

1

0

1

-1

0

18

18

0

s3

0

-3

0

0

1

4

-4

0

20

5

3

xA

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

-

-M h5

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

1

'z

0

4/ M+1 3

0

0

0

-M-3 2M+3 0

-M+15

Die Hilfsvariable h4 wurde aus der Basis eliminiert und hat als Nichtbasisvariable den Wert null. Die Mindestanforderung des Absatzbereichs wird nun mit der Produktion von 5 Einheiten Produkt A erfüllt. Damit ist die Ausweitung des Lösungsraums durch „Verschiebung von Restriktion 4“ nicht mehr notwendig und wird auch später nicht wieder vorgenommen. Folglich wird die Hilfsvariable h4 nie mehr aufgenommen und die Spalte könnte aus dem Tableau gestrichen wer-

82


den. Dies wird deshalb hier nicht vorgenommen, um auch weiterhin die aktuelle Basisinverse ablesen zu können. Diese ist dort zu entnehmen, wo im Ausgangstableau die Einheitsmatrix steht, was für die Hilfsvariablen gerade gilt. Da weiterhin h5 mit einem Wert 1, also größer als null, in Basis ist, ist die Zulässigkeit noch nicht erreicht. Dies belegt auch der Zielfunktionswert, der noch mit Strafkosten von M den Gesamtdeckungsbeitrag von 15 GE schmälert, der bei dieser Lösung mit Produkt A erzielt wird. Eine Verbesserung der Zielfunktion wird durch Aufnahme von s4 in Basis erreicht, zu eliminieren ist h5 . xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

7

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

7

3

xA

1

-1 /

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

'z

0

-3

0

0

0

0

M M+3

18

Sämtliche Hilfsvariablen sind aus der Basis entfernt. Sie sind nun überflüssig, da die erste zulässige Basislösung für das Ausgangsmodell gefunden wurde und der Zulässigkeitsbereich des Ausgangsmodells nicht mehr verlassen wird. Die Hilfsvariablen werden, auch aufgrund ihres hohen negativen Zielkoeffizienten, im Rahmen des Aufnahmekriteriums nicht wieder aufgenommen. Die erste ermittelte zulässige Lösung des Ausgangsmodells lautet somit x A 6 , xB 0 , s1 10 , s2 17 , s3 16 und s4 1 mit Zielfunktionswert 18. Der aktuelle Zielfunktionswert enthält keine Strafkosten mehr, jedoch ist durch Aufnahme von xB in Basis eine Verbesserung möglich. xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

2

xB

0

1

3/

5

0

0

0

0

-6 /5

6

0

s2

0

0

-7 /5

1

0

0

0

9/

5

3

0

s3

0

0

-7 /5

0

1

0

0

-6 /5

2

3

xA

1

0

1/

5

0

0

0

0

3/

5

8

0

s4

0

0

4/

5

0

0

1

-1

-3 /5

9

'z

0

0

9/

5

0

0

0

M

M-3/5

36


83

Die optimale Lösung für das Hilfsmodell ist gefunden. Da diese für das ursprüngliche Modell ebenfalls zulässig ist, liegt somit auch die optimale Lösung für das ursprüngliche Modell vor. Es sind 8 Einheiten von Produkt A und 6 Einheiten von Produkt B zu produzieren, der erzielbare Deckungsbeitrag beträgt 36 GE. Diese Reduktion des Zielfunktionswertes erklärt sich aus den zusätzlichen Anforderungen, welche zu einer Verkleinerung des Zulässigkeitsbereichs führen. Insbesondere der Produktionszusammenhang, modelliert mittels -Restriktion, wirkt hier einschränkend. Freie Kapazitäten sind in der zweiten und dritten Produktionsstufe vorhanden, während die erste Produktionsstufe vollständig ausgelastet ist. Mit s4 9 wird die Forderung des Kundendienstes um 9 Einheiten überschritten.

t -Restriktionen Zur Lösung eines linearen Optimierungsmodells, welches nicht in Standardform vorliegt, da t -Restriktionen zu berücksichtigen sind, führt das folgende Vorgehen zu einer optimalen Lösung, falls diese existiert. Ausgehend von dem Modell max z s.d .

ct x A x tb x t0

mit b t 0 wird durch Hinzufügen von Schlupfvariablen s t 0 ein äquivalentes System mit Gleichheitsrestriktionen aufgestellt. Da die Schlupfvariablen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen sollen, ist die entsprechende Koeffizientenmatrix nicht die Einheitsmatrix I , sondern I . Das äquivalente Modell mit Gleichheitsrestriktion lautet max z

ct x 0t s

s.d .

A,

§ x· I ¨ ¸ b ©s¹ x, s t 0

Um als Ausgangsbasis die Einheitsmatrix zu erhalten, werden zusätzliche Hilfsvariablen eingefügt und ein Hilfsmodell formuliert, in welchem die Hilfsvariablen mit sehr hohen negativen Werten in der Zielfunktion berücksichtigt werden. Das zugehörige Hilfsmodell liegt in kanonischer Form vor. M bezeichnet den geeignet dimensionierten Vektor, dessen Komponenten sämtlich gleich M sind. max z s.d .

c t x 0t s M t h § x· ¸ A, I , I ¨¨ s ¸ b ¨ h¸ © ¹ x, s , h t 0

84


Anschließend wird der Simplexalgorithmus auf das Hilfsmodell zur Optimierung der Hilfszielfunktion bis zur Erreichung des optimalen Endtableaus angewandt. Sind in der optimalen Lösung Hilfsvariablen mit Wert echt größer als null in Basis, existiert keine zulässige Lösung des ursprünglichen Modells. Dessen Zulässigkeitsbereich ist leer. Andernfalls ist die optimale Lösung des Hilfsmodells – reduziert um die Hilfsvariablen – optimale Lösung des ursprünglichen Modells. Diese Vorgehensweise wird als Groß-M-Methode bezeichnet, nach den sehr hohen Strafkosten M für die Hilfsvariablen. -Restriktionen Bei Gleichheitsrestriktionen sind keine Schlupfvariablen erforderlich, da Gleichungen bereits vorhanden sind. Es werden nur entsprechende Hilfsvariablen zur Formulierung des Hilfsmodells eingeführt, um eine Einheitsmatrix als Ausgangsbasis wählen zu können. Diese werden wie bei t -Restriktionen mittels Groß-MMethode berücksichtigt und durch den Simplexalgorithmus eliminiert, falls das möglich ist, d. h. mindestens eine zulässige Lösung des Ausgangsmodells existiert. 2-Phasen-Methode Eine vergleichbare Vorgehensweise zum Auffinden zunächst einer zulässigen Basislösung und dann einer optimalen Lösung sowohl für t - wie für Restriktionen ist die 2-Phasen-Methode. Hier wird gleichermaßen der durch Hilfsvariablen vergrößerte Zulässigkeitsbereich behandelt, das Vorgehen gliedert sich jedoch in zwei Phasen. In der ersten Phase wird eine Hilfszielfunktion maximiert, die nur auf die Elimination der Hilfsvariablen aus der Basis abstellt. m

max z h

¦ h

i

i 1

Die erste Phase endet mit Erreichen der optimalen Lösung bezüglich der Hilfszielfunktion. Ist der erreichte Zielfunktionswert gleich null, enthält die Basis keine Hilfsvariablen mit Wert größer als null mehr und die erste zulässige Lösung des Ausgangsmodells ist gefunden. Andernfalls können die Hilfsvariablen nicht eliminiert werden und folglich existiert keine einzige zulässige Lösung des Ausgangsmodells. Dessen Zulässigkeitsbereich ist also leer, da nicht alle Anforderungen erfüllbar sind. Wurde die erste Phase mit Auffinden einer zulässigen Basislösung des Ausgangsmodells abgeschlossen, werden in der zweiten Phase die Hilfsvariablen nicht mehr beachtet und die ursprüngliche Zielfunktion wird zugrunde gelegt. Konkret werden die aktuellen ' z -Werte ermittelt und der Simplexalgorithmus weiter angewandt bis zum Auffinden einer optimalen Lösung. Die Groß-M-Methode und die Zwei-Phasen-Methode stimmen nicht nur hinsichtlich der ermittelten Lösung überein. Vielmehr sind in der Regel auch sämtli-


85

che Schritte und sämtliche Tableaus bis auf die ' z - bzw. ' zh -Zeile gleich. Unterschiedliche Iterationen können dann vorkommen, wenn in der ersten Phase der 2-Phasen-Methode die aufzunehmende Variable nicht eindeutig festgelegt ist. Beispiel Optima V mit 2-Phasen-Methode Bei Lösung des Modells Optima V mit der 2-Phasen-Methode stimmt das Gleichungssystem mit dem der Groß-M-Methode überein. In der ersten Phase wird die Hilfszielfunktion h4 h5

max z H

für die Optimierung verwendet und das entsprechende Ausgangstableau lautet für die erste Phase 0 xA

0 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

-1 h4

-1 h5

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

0

0

0

22

11

0

s2

1

2

0

1

0

0

0

0

23

23

0

s3

4

1

0

0

1

0

0

0

40

10

-1 h4

1

1

0

0

0

-1

1

0

5

5

-1 h5

1

-1 /3

0

0

0

0

0

1

6

6

' zH

-2

- 2 /3

0

0

0

1

0

0

-11

Unter Anwendung des Simplexalgorithmus werden Iterationen durchgeführt, bis die optimale Lösung bezüglich der Hilfszielfunktion erreicht ist. Dies ist im Beispiel in zwei Schritten der Fall, die Hilfsvariablen konnten eliminiert werden, wie dem folgenden Endtableau der ersten Phase zu entnehmen ist. xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

0

xA

1

-1/

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

-4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

' zH

0

0

0

0

0

0

1

1

0

7 7

86


Die erste zulässige Lösung des Ausgangsmodells ist gefunden und es wird mit der zweiten Phase begonnen. Nun wird die ursprüngliche Zielfunktion verwendet. Dazu werden die aktuellen ' z -Werte ermittelt, z. B. ' z xB 2 3 ( 13 ) 3 und in das Tableau aufgenommen. Anschließend wird der Simplexalgorithmus angewandt. Die Hilfsvariablen können gestrichen werden, ihre Aufnahme würde zu Unzulässigkeit führen. Sie werden nur noch mitgeführt, um Informationen bezüglich der Basis zu erhalten.

3 xA

2 xB

0 s1

0 s2

0 s3

0 s4

0 h4

0 h5

RS

4

0

s1

0

5/

3

1

0

0

0

0

-2

10

6

0

s2

0

7/

3

0

1

0

0

0

-1

17

51/

7

0

s3

0

7/

3

0

0

1

0

0

-4

16

48/

7

3

xA

1

-1/

3

0

0

0

0

0

1

6

-

0

s4

0

- 4 /3

0

0

0

1

-1

1

1

-

'z

0

-3

0

0

0

0

0

3

18

xA

xB

s1

s2

s3

s4

h4

h5

RS

2

xB

0

1

3/

5

0

0

0

0

- 6 /5

6

0

s2

0

0

- 7 /5

1

0

0

0

9/

5

3

0

s3

0

0

- 7 /5

0

1

0

0

- 6 /5

2

3

xA

1

0

1/

5

0

0

0

0

3/

5

8

0

s4

0

0

4/

5

0

0

1

-1

- 3 /5

9

'z

0

0

9/

5

0

0

0

0

- 3 /5

36

Das optimale Endtableau stimmt mit dem der Groß-M-Methode bis auf die ' z -Werte der Hilfsvariablen überein, die jetzt lauten ' zh 0 und ' zh 35 . Für die Optimalität der Lösung ist dieser negative Wert ohne Bedeutung, da die Hilfsvariable nicht mehr aufgenommen werden darf. Er liefert jedoch eine Information über die zugehörige Dualvariable, wie im Abschnitt über die Dualität gezeigt wird. 4

5


87

Beispiel Landwirtschaft Mit einer der beiden vorgestellten Vorgehensweisen kann das Landwirtschaftsbeispiel gelöst werden, wobei im Modell zu gewährleisten ist, dass die Gesamtfläche bestellt wird, d. h. die erste Restriktion mit Gleichheit zu erfüllen ist. Hier wird die Groß-M-Methode eingesetzt. max z

2,5 x1

x2

x1

s.d .

x1

x2 1

2

10.000

x2 d 8.000

x1 , x2 t 0

2,5 x1

1 x2

-M h1

0 s2

RS

4

-M

h1

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-M-2,5

-M-1

0

0

-10000M

x1

x2

h1

s2

RS

4

-M

h1

0

0,5

1

-1

2000

4000

2,5

x1

1

0,5

0

1

8000

16000

'z

0

-0,5M+0,25

0

M+2,5

-2000M +20000

x1

x2

h1

s2

RS

1

x2

0

1

2

-2

4000

2,5

x1

1

0

-1

2

6000

'z

0

0

M-0,5

3

19000

Optimal ist es 6.000 qm mit Blumen und 4.000 qm mit Gemüse zu bepflanzen. Ist eine Brachfläche aus landwirtschaftlichen Gründen nicht zulässig, sinkt der andernfalls erzielbare Deckungsbeitrag um 1.000 GE, also um 5 %. Hinweis: Bei der Abbildung der Realität in einem Modell wirkt die Formulierung von -Restriktionen stark einschränkend auf den Zulässigkeitsbereich. Da-

88


durch verringert sich unter Umständen der andernfalls erreichbare Zielfunktionswert beträchtlich oder es existiert möglicherweise keine zulässige Lösung. Daher sollte stets geprüft werden, ob zwingend die Gleichheit verlangt werden muss. Wird im Beispiel die Brachfläche nur deshalb nicht zugelassen, weil deren Pflege Kosten verursacht, die 0,1 Einheiten pro qm Brache betragen, sollte dies im Modell durch Aufnahme einer Variablen x3 mit negativem Deckungsbeitrag abgebildet werden. So lautet das modifizierte Modell 2,5 x1

max z

x2 0,1 x3

x1

s.d .

x1

x2 1

2

x3

10.000 d 8.000

x2

x1 , x2 , x3 t 0

Trotz dieser Gleichheitsrestriktion ist der Zulässigkeitsbereich für die Variablen x1 und x2 nun größer als bei dem vorherigen Modell. Zudem ist bei der Aufstellung des Ausgangstableaus hier die Hinzufügung einer Hilfsvariablen nicht erforderlich, da bereits eine Einheitsmatrix vorhanden ist und x3 mit Wert 10.000 und s2 8.000 als Basisvariablen eine zulässige Ausgangsbasislösung bilden.

2,5 x1

1 x2

-0,1 x3

0 s2

RS

4

-0,1

x3

1

1

1

0

10000

10000

0

s2

1

0,5

0

1

8000

8000

'z

-2,6

-1,1

0

0

-1000

x1

x2

x3

s2

RS

-0,1

x3

0

0,5

1

-1

2000

2,5

x1

1

0,5

0

1

8000

'z

0

0,2

0

2,6

19800

Die optimale Lösung besteht darin, 2.000 qm als Brachfläche vorzusehen und 8.000 qm mit Blumen zu bestellen. Der Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 19.800 Einheiten, also 800 Einheiten mehr als bei Verzicht auf die Brache. Beachtenswert ist, dass es trotz des negativen Deckungsbeitrags optimal ist, 2.000 qm Brache vorzusehen. Durch die gesamten simultan zu beachtenden Anforderungen ermöglichen positive Ausprägungen von x3 hier höhere Werte von x1 .


89

3.1.2 Modellmodifikationen und Variablentransformation Das Grundmodell der linearen Optimierung besitzt einige weitere Eigenschaften, die für den vorgestellten Simplexalgorithmus vorausgesetzt werden. Für reale Problemstellungen können durchaus auch abweichende Modellformulierungen sinnvoll sein. Zur Lösung sind grundsätzlich zwei Wege möglich. Zum einen kann der Simplexalgorithmus jeweils geeignet modifiziert und dann Modelltyp spezifisch angewandt werden. Zum anderen können die unterschiedlichen Modelle auf Grundmodelltyp umformuliert, dann mit dem Simplexalgorithmus gelöst und anschließend die Lösung für das Ausgangsmodell abgeleitet werden. Die zweite Vorgehensweise wird für zwei Voraussetzungen des Grundmodells näher erläutert. Negative rechte Seite Ist mindestens einer der Koeffizienten der rechten Seite echt kleiner als null, ist die Anwendung des Simplexalgorithmus nicht unmittelbar möglich, da die Ausgangsbasislösung die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllt, also nicht zulässig ist. In diesem Fall werden die entsprechenden Restriktionen mit 1 multipliziert und dann wie bekannt weiter berücksichtigt. Da die Multiplikation mit 1 eine erlaubte Transformation ist, ändert sich nur die Darstellung der Ungleichung, ein Einfluss auf die Lösungsmenge ist nicht gegeben. Beispielsweise wird statt einer Restriktion x1 2 x2 d 2

die äquivalente Restriktion x1 2 x2 t 2

in das Restriktionensystem übernommen und so eine nichtnegative rechte Seite erreicht. Minimierungszielfunktion In realen Problemstellungen kann die Situation eintreten, dass bestimmte Anforderungen mit minimalen Kosten zu erfüllen sind, beispielsweise wenn die vorhandene Nachfrage mit minimalen Beschaffungs- und Produktionskosten zu erfüllen ist. Ein entsprechendes Modell wird mit Minimierungs- statt der bisher betrachteten Maximierungszielfunktion formuliert und der Simplexalgorithmus ist nicht unmittelbar anwendbar. Jedoch lässt sich der bekannte Zusammenhang zwischen Minimierung und Maximierung ausnutzen, ein modifiziertes Modell anzugeben, dieses mit dem Standardsimplexalgorithmus zu lösen und das optimale Ergebnis für das Minimierungsproblem davon abzuleiten.

90


Für eine beliebige Funktion f : X n o gilt die folgende Übereinstimmung:

min f x x X

max f x x X

Wird das Minimum von f über X für x 0 X angenommen, wird auch das Maximum von f für x 0 angenommen. Der umgekehrte Zusammenhang gilt ebenfalls. Statt ein Minimierungsmodell min z s.d .

ct x A x

b

xt0

zu lösen, wird ein entsprechend formuliertes Maximierungsmodell gelöst und der damit erreichte optimale Zielfunktionswert anschließend mit (-1) multipliziert: max z s.d .

ct x Ax

b

xt0

Ist x 0 optimale Lösung des Maximierungsmodells mit Zielfunktionswert ct x 0 , dann ist x 0 ebenfalls optimale Lösung des Minimierungsmodells und der Zielfunktionswert ist (ct x 0 ) ct x 0 . Beispiel 3.1 Gelöst werden soll das Minimierungsmodell min z

2 x1 3 x2

s.d

x1

x2 d 1

x1

x2 d 8 x1 , x2 t 0

Die Lösung erfolgt nicht direkt, stattdessen wird die Zielfunktion mit multipliziert und das entsprechende Maximierungsmodell gelöst. max z

2 x1 3 x2

s.d

x1 x1

1

x2 d 1 x2 d 8 x1 , x2 t 0

Der Simplexalgorithmus wird auf das Ausgangstableau für das Maximierungsmodell angewandt, bis die optimale Lösung erreicht ist.


-2 x1

3 x2

0 s1

0 s2

RS

4

0

s1

-1

1

1

0

1

1

0

s2

1

1

0

1

8

8

'z

2

-3

0

0

0

x1

x2

s1

s2

RS

4

3

x2

-1

1

1

0

1

-

0

s2

2

0

-1

1

7

3,5

'z

-1

0

3

0

3

x1

x2

s1

s2

RS

3

x2

0

1

0,5

0,5

4,5

-2

x1

1

0

-0,5

0,5

3,5

'z

0

0

2,5

0,5

6,5

91

Die einzige optimale Lösung des Maximierungsmodells ist dem Tableau zu entnehmen mit x10 , x20 , s10 , s20 3,5; 4,5; 0; 0 , die den maximalen Zielfunktionswert z 0 6,5 erreicht. Diese Lösung ist auch die optimale Lösung des ursprünglichen Modells, also des Minimierungsmodells, und erzielt dort den minimalen Zielfunktionswert z 0 6,5 . Vorzeichenunbeschränkte Variable Wird von einer bestehenden Situation ausgegangen und beispielsweise eine Erhöhung oder eine Reduktion der gegenwärtigen Produktion erwogen, können Variablen sowohl positive als auch negative Werte annehmen. Die im Standardmodell vorausgesetzte Nichtnegativitätsbedingung x t 0 für alle Variablen ist aus algorithmischen Gründen notwendig. Auf ihr basiert das Eliminationskriterium des Simplexalgorithmus. Um den Simplexalgorithmus zur Lösung auch derartiger Modelle einsetzen zu können, wird ein geeignet modifiziertes Modell entwickelt, welches nur Variablen enthält, die die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen. Dies gelingt, indem eine Va-

92


riablensubstitution durchgeführt wird. Alle unbeschränkten Variablen xi werden in ihren positiven Teil xi und ihren negativen Teil xi wie folgt zerlegt: xi

xi xi

mit xi x

i

max ^ xi , 0` t 0 max ^ xi , 0` t 0

Zerlegt man reelle Zahlen entsprechend, erhält man beispielsweise für xi 5 die Substitution xi xi mit xi 5 und xi 0 , für xi 3 entsprechend mit xi 0 und xi 3 . Von den beiden Variablen xi und xi kann jeweils höchstens eine in Basis sein, da die beiden zugehörigen Spalten linear abhängig sind. Das Modell max z s.d .

ct x A x db

x

unbeschränkt

wird dann durch das folgende Standardmodell ersetzt max z

ct x ct x

s.d .

A x A x d b x , x t 0

Beispiel 3.2 Gelöst werden soll ein lineares Optimierungsmodell, für welches die Variable x1 unbeschränkt ist, also die Nichtnegativitätsbedingung nicht erfüllen muss. max z s.d .

x1 x2 x1 x2 d 4 0,5 x1 x2 d 2 x1

d 2 x2 t 0

Abb. 3.3 zeigt den Zulässigkeitsbereich und diejenige Isozielfunktion, die die optimale Ecke (2; 1) berührt.


93

Abb. 3.3. Zulässigkeitsbereich Beispiel 3.2

Zur Anwendung des Simplexalgorithmus wird die Variable x1 im Modell durch die Differenz der beiden nichtnegativen Variablen x1 und x1 substituiert, sodass das resultierende Modell in Standardform ist und mittels Simplexalgorithmus gelöst werden kann. x1

max z

1

s.d .

x

x1 x2

x1 x2 d 4

0,5 x1 0,5 x1 x2 d 2 x1

d 2

x1

x1 , x1 , x2 t 0

Mit folgenden Iterationen wird die optimale Lösung ermittelt.

-1 x1 +

1 x1 -

1 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

-1

1

1

0

0

4

-

0

s2

-0,5

0,5

1

0

1

0

2

4

0

s3

-1

1

0

0

0

1

2

2

'z

1

-1

-1

0

0

0

0

94


x1 +

x1 -

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0

0

1

1

0

1

6

6

0

s2

0

0

1

0

1

-0,5

1

1

1 x1 -

-1

1

0

0

0

1

2

-

'z

0

0

-1

0

0

1

2

x1 +

x1 -

x2

s1

s2

s3

RS

0

s1

0

0

0

1

-1

1,5

5

1

x2

0

0

1

0

1

-0,5

1

1 x1 -

-1

1

0

0

0

1

2

'z

0

0

0

0

1

0,5

3

Die optimale Lösung lautet x10 x10 x10 0 2 2 , x20 1 , s1 5 , s2 s3 0 mit dem optimalen Zielfunktionswert z 0 3 . Damit ist tatsächlich der optimale Wert der Variablen x1 negativ. Das optimale Endtableau zeigt bei x1 einen ' z -Wert von null an, sodass es möglich erscheint, x1 in der Basis durch x1 zu ersetzen. Ein entsprechender Versuch scheitert jedoch aufgrund des Eliminationskriteriums, welches wegen der nicht positiven Werte der zugehörigen Spalte keine Elimination einer Basisvariablen zulässt. Damit ist die ermittelte optimale Lösung die einzige optimale. Wie die bisherigen Ausführungen gezeigt haben, lassen sich beliebige lineare Optimierungsmodelle geeignet umformulieren oder erweitern, sodass ein Grundmodell linearer Optimierung vorliegt, auf welches der Simplexalgorithmus in der vorgestellten Standardversion zur Ermittlung einer optimalen Lösung angewandt werden kann. Diese Modifikationen des Modells sind in Tabelle 3.1 übersichtlich zusammengefasst. Eigenschaften, die für das Grundmodell gelten, sind entsprechend gekennzeichnet. Bei Verwendung von Software zur Lösung linearer Optimierungsmodelle sollte stets geprüft werden, welche Modellformen zugelassen sind. Es ist zu beachten, dass bei Standardsoftware häufig standardmäßig vorausgesetzt wird, dass alle Variablen die Nichtnegativitätsbedingung erfüllen sollen. Wenn dies aufgrund der Anwendung nicht gewünscht ist, muss dann eine explizite Angabe, z. B. der Unbeschränktheit, erfolgen. Meist fehlen bei der Lösungsausgabe Hinweise auf weitere optimale Lösungen, selbst wenn solche existieren. Daher sollte man die ' z -Werte auf entsprechende Hinweise hin untersuchen.


95

Tabelle 3.1. Maßnahmen zur Modellmodifikation

Modellstruktur

Maßnahmen

Zielfunktion max ct x

Grundmodell

t

max c t x

min c x

rechte Seite bi t 0

Grundmodell

bi 0

Multiplikation der Zeile mit (-1)

Restriktionen d

Schlupfvariable, Grundmodell

t

Schlupf- und Hilfsvariable Hilfsvariable Hilfsvariablen müssen entfernt werden!

Variablen xi t 0

Grundmodell

xi d 0 xi unbeschränkt

xi xi

xi , xi t 0

xi xi , xi , xi t 0

Darstellungen des Simplexalgorithmus zur Lösung linearer Optimierungsmodelle sind in jeder Operations Research Einführung enthalten (z. B. Corsten et al. 2005, Domschke und Drexl 2005, Ellinger et al. 2003, Kistner 2003, Neumann und Morlock 2002, Suhl und Mellouli 2005, Zimmermann 2005). Weitere Übungen findet man dort ebenfalls oder z. B. bei Dinkelbach (1992), Domschke et al. (2005). Die Vorgehensweise ist ziemlich einheitlich, jedoch findet man gelegentlich eine Tableaudarstellung, in der die ' z -Zeile der ersten Zeile zu entnehmen ist. Gelegentlich sind alle ' z -Werte mit 1 multipliziert ausgewiesen, in diesem Fall führt die Aufnahme von Variablen mit positiven ' z -Werten zu Erhöhungen der Zielfunktion. Das Aufnahmekriterium ist dann entsprechend modifiziert.

96


3.1.3 Aufgaben Aufgabe 3.1.1 Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen der folgenden linearen Optimierungsmodelle. Geben Sie jeweils an, in welchem Tableau eine erste zulässige Lösung des Ausgangsproblems erreicht ist. Weisen Sie auf Besonderheiten hin. a)

min z = 3 x1 4 x2 s.d .

6 x3

2 x1

x2

4 x3

d 120

x1

x2

t

2 x1

x2

3 x3

x3

20 48

x1 , x2 , x3 t 0

b)

max z = s.d .

2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 2 x3

d 45

2 x2

x3

t 20

x2

x3

30

x1

x1 ,

c)

x2 , x3 t 0

max z =

x1

x2

s.d .

x1

x2

t 15

x1 3 x2

d 25

2 x1

x2

d 20

x1 , x2 t 0

d)

max z =

x1

x2

s.d .

x1

x2

t 12

x1 3 x2

d 25

2 x1

x2

d 20

x1 , x2 t 0

Aufgabe 3.1.2 Die Chemo AG stellt die Produkte A, B und C her, wobei A und B Kuppelprodukte sind, die auf der ersten Anlage durch Aufspaltung im Verhältnis 2:1 entstehen. Alle Produkte durchlaufen zwei Anlagen. Das entsprechende lineare Optimierungsmodell zur Ermittlung des deckungsbeitragsoptimalen Produktionsprogramms liegt vor, wobei die Variablen x A , xB und xC die jeweils zu produzierenden Mengen bezeichnen. Ermitteln Sie alle optimalen Lösungen und geben Sie

Interpretation, Dualität und Sensitivität

97

die Schattenpreise der beiden Anlagen an. Ist auch eine andere Modellformulierung möglich, die effizienter zu berechnen ist? max z = 5 x A 8 xB 4 xC s.d .

2 xA

xB

xC d 20

x A 2 xB 2 xC d 25 x A 2 xB

0

x A , xB , xC t 0

3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität 3.2.1 Modellierung und Interpretation Typisch für Optimierungsmodelle ist, dass sehr konsequent die Maximierung bzw. Minimierung der Zielfunktion angestrebt wird. Das Optimum wird stets in einer Ecke des Lösungsraums angenommen, das bedeutet, dass stets einige der Restriktionen bis an die Grenze ausgeschöpft werden. Aufgrund der speziellen Struktur werden nur Basislösungen ermittelt. Damit ist die Anzahl derjenigen Variablen, die Werte ungleich null annehmen, durch die Zahl der Restriktionen beschränkt. Dies ist bei der Modellierung zu berücksichtigen. Sobald das Modell formuliert ist, steht die optimale Lösung fest, auch wenn sie noch nicht bekannt ist und erst durch Anwendung eines Algorithmus zu ermitteln ist. Beispiel Opti-Shop Ein Einzelhändler kauft Blusen und Hosen für seinen Jeans Shop. Unterschiedliche Ausführungen werden ihm zu verschiedenen Preisen angeboten. Er kennt seine Kunden gut und entwickelt unmittelbar Preisvorstellungen, zu denen er problemlos die eingekaufte Ware absetzen kann. Die entsprechenden Daten sind übersichtlich zusammengestellt. Blusen Preis

Bw

Br

Bb

Bg

Bs

Bk

weiß

rot

blau

grün

gestreift

kariert

Einkaufspreis

20

22

22

22

24

24

Verkaufspreis

42

45

45

45

49

49

98


Jeans Preis

Js

Jb

Jw

schwarz

blau

weiß

Einkaufspreis

32

30

32

Verkaufspreis

67

62

65

Außerdem möchte er nicht mehr Hosen als Blusen einkaufen, sein Budget von 8.000 € nicht überschreiten und einen optimalen Einkauf tätigen. Der Einzelhändler strebt die Maximierung seines Deckungsbeitrags an und formuliert ein lineares Optimierungsmodell, wobei die Variablen Bw die Anzahl zu beschaffender weißer Blusen, J s die Anzahl zu beschaffender schwarzer Jeans usw. bezeichnen. Alle Variablen genügen der Nichtnegativitätsbedingung. Da die sonstigen variablen Kosten für Beschaffung und Verkauf von Blusen und Jeans übereinstimmen, wählt der Einzelhändler die Differenz zwischen Verkaufs- und Einkaufspreis als entscheidungsrelevante Parameter der Zielfunktion. Eine Ganzzahligkeitsbedingung wird bei den folgenden Betrachtungen nicht berücksichtigt. Das lineare Optimierungsmodell für Opti-Shop lautet damit max 22 Bw 23 Br 23 Bb 23 Bg 25 Bs 25 Bk 35 J s 32 J b 33 J w s.d . 20 Bw 22 Br 22 Bb 22 Bg 24 Bs 24 Bk 32 J s 30 J b 32 J w d 8000 Bw

Br

Bb

Bg

Bs

Bk

Js

Jb

Jw t

0

Bw , Br , Bb , Bg , Bs , Bk , J s , J b , J w t 0

Da die rechte Seite der t -Restriktion null beträgt, vereinfacht hier die Multiplikation dieser Zeile mit 1 das Modell, für das folgendes Ausgangstableau aufgestellt wird.

22 23 23 Bw Br Bb

23 Bg

25 Bs

25 Bk

35 32 33 0 0 Js Jb Jw s1 s2

RS

4

0

8000

250

0

1

0

0

-22 -23 -23 -23 -25 -25 -35 -32 -33 0

0

0

0

s1

20 22

22

22

24

24

32 30 32 1

0

s2

-1 -1

-1

-1

-1

-1

1

'z

1

1

Nach vier Iterationen – 1. Aufnahme von J s mit Wert null, 2. Aufnahme von Bs , 3. Aufnahme von Bw , Elimination von Bs , 4. Elimination von J s , Aufnahme s2 – erhält man das folgende optimale Endtableau.


s1 s2

RS

22 Bw

1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,6 1,5 1,6 0,05 0

400

0 s2

0 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 2,6 2,5 2,6 0,05 1

400

'z

0 1,2 1,2 1,2 1,4 1,4 0,2 1,0 2,2 1,1 0

8800

Bw Br

Bb

Bg

Bs

Bk

Js

Jb

Jw

99

Die optimale Lösung besteht für den Einzelhändler darin, trotz des geringen Deckungsbeitrags von nur 22 € pro Stück 400 weiße Blusen zu verkaufen. Dies ist darin begründet, dass der relative Deckungsbeitrag in Bezug auf die knappe Kapazität Budget bei den Blusen mit 22 : 20 1,1 pro Einheit Budget am höchsten ist. Jeans werden nicht eingekauft. Der Händler kann so einen maximalen Gesamtdeckungsbeitrag von 8.800 € erzielen. Die zweite Restriktion ist nicht bindend. Dieses Beispiel demonstriert überspitzt die extreme Lösung, die bei Optimierung eines Zielkriteriums insbesondere in Verbindung mit einer geringen Anzahl weiterer Anforderungen zwangsläufig resultiert. Diese Tatsache ist unabhängig von dem verwendeten Lösungsalgorithmus und gilt allgemein bei linear beschreibbaren Zusammenhängen. Dies sollte daher stets berücksichtigt werden, wenn ein Ziel zur Verhaltenssteuerung vorgegeben wird, das mit knappem finanziellem und zeitlichem Budget zu erreichen ist. Dann zeichnet sich effizientes Verhalten durch den ausschließlichen Fokus auf die Engpassfaktoren aus. Bei einem linearen Optimierungsmodell ist zu beachten, dass die Anzahl der Variablen und damit insbesondere auch die der Strukturvariablen in Basis, also mit Wert größer oder gleich null, höchstens gleich der Zahl der Restriktionen sein kann. Aus dem optimalen Endtableau ist weiterhin ersichtlich, welchen zusätzlichen Deckungsbeitrag der Händler erwirtschaften könnte, wenn er sein Budget marginal erhöhen würde. Der ' z -Wert in der s1 -Spalte beträgt 1,1. Dies bedeutet, dass eine Erhöhung seines Budgets um 1 € eine Erhöhung des Deckungsbeitrags um 1,1 € nach sich zieht. Dies gilt jedoch in der Regel nicht unbegrenzt, d. h. für beliebige Budgeterhöhungen, da möglicherweise andere Beschränkungen relevant werden, die im Rahmen einer Sensitivitätsanalyse festgestellt werden, auf die später näher eingegangen wird. Ein Anstieg des Verkaufspreises der weißen Blusen hat keine Auswirkung auf die optimale Einkaufsmenge, jedoch erhöht sich der Deckungsbeitrag entsprechend. Sinkt hingegen der Verkaufspreis der weißen Blusen, so kann direkt keine Aussage über die Konsequenzen getroffen werden. Auch hierzu ist eine Sensitivitätsanalyse durchzuführen. Würde der Einzelhändler eine rote Bluse einkaufen, verringerte sich wegen der notwendigen Reduktion weißer Blusen sein Deckungsbeitrag um 1,2 €, den zu Br gehörenden Opportunitätskosten. Die Beschaffung einer schwarzen Jeans ist mit Opportunitätskosten von 0,2 € verbunden.

100


Beispiel Opti-Shop II Da das gesamtdeckungsbeitragsoptimale Sortiment dem Einzelhändler zu einförmig ist, stellt er die zusätzliche Anforderung, dass mindestens zwanzig farbige Blusen und mindestens zehn Jeans zu beschaffen sind. Dies wird mittels zweier zusätzlicher Restriktionen abgebildet. Die eine lautet etwa J s J b J w t 10 . Das neue Modell wird unter Anwendung des Simplexalgorithmus gelöst. Da zusätzliche Anforderungen den Zulässigkeitsbereich im Allgemeinen einschränken, jedoch auf keinen Fall vergrößern, wird das optimale Ergebnis im günstigsten Fall gleich gut, vermutlich jedoch geringer als das ohne diese zusätzlichen Anforderungen erzielbare Ergebnis ausfallen. Das optimale Endtableau für das Modell mit zusätzlichen Restriktionen wird ermittelt zu

22 23 23 23 25 25 35 32 33 0 0 0 -M 0 -M Bw Br Bb Bg Bs Bk Js Jb Jw s1 s2 s3 h3 s4 h4

RS

22 Bw

1 0 0 0 0,1 0,1 0 -0,1 0 0,05 0 1,1 -1,1 1,6 -1,6

362

35 Js

0 0 0 0

10

0 s2

0 0 0 0 0,1 0,1 0 -0,1 0 0,05 1 0,1 -0,1 2,6 -2,6

23 Br

0 1 1 1

'z

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

-1

0 0 0 0 0,2 0,2 0 0,8 2 1,1 0 1,2

0

1

-1

0

1

0

MM0,2 1,2 0,2

372 20 8774

Die optimale Lösung besteht in der Beschaffung von 362 weißen Blusen, 20 roten Blusen und 10 schwarzen Jeans. Es wird wiederum eine optimale Lösung ermittelt, die konsequent den Gesamtdeckungsbeitrag unter strikter Einhaltung der Restriktionen maximiert und jetzt 8.774 € erreicht. Beide zusätzlichen Restriktionen sind bindend. Dem Tableau ist in der ' z -Zeile beispielsweise zusätzlich zu entnehmen, dass eine Aufnahme von s3 in Basis den Zielfunktionswert um 1,2 reduziert. Das bedeutet, eine Lockerung der zugehörigen Restriktion, mindestens 20 farbige Blusen zu beschaffen, um eine Einheit auf die Forderung nach 19 farbigen Blusen erhöht den Gesamtdeckungsbeitrag um 1,2 €. Die Reduktion des Gesamtdeckungsbeitrags gegenüber dem vorherigen Modell beträgt gerade 10 0, 2 20 1, 2 26 und ist aufgrund der Opportunitätskosten im optimalen Endtableau Opti Shop I auch ohne Neuberechnung bereits ableitbar. Dies gilt jedoch nur in diesem Beispiel Opti Shop I aufgrund der Tatsache, dass nur die Kapazitätsrestriktion bindend ist. In der ' z -Zeile finden sich Nullelemente bei den Nichtbasisvariablen Bb und Bg . Das bedeutet, dass diese Variablen alternativ in Basis aufgenommen werden können und ebenfalls zu einer optimalen Lösung führen. Der entsprechende Basis-


101

tausch ist hier unmittelbar ersichtlich. Die Gesamtmenge optimaler Lösungen lautet

L

§ Bw · °¨ ¸ °¨ Br ¸ °¨ Bb ¸ °¨ ¸ °¨ Bg ¸ °¨ ¸ ®¨ Bs ¸ °¨ B ¸ °¨ k ¸ °¨ J s ¸ °¨ ¸ °¨ J b ¸ °¨¨ J ¸¸ ¯°© w ¹

§ 362 · § 362 · § 362 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 20 0 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 20 ¸ ¨0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 20 ¸ O1 ¨ 0 ¸ O2 ¨ 0 ¸ O3 ¨ 0 ¸ mit O1 , O2 , O3 > 0,1@ , O1 O2 O3 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨ 10 ¸ ¨10 ¸ ¨ 10 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨0 ¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ©0 ¹ ©0 ¹ ©0 ¹

½ ° ° ° ° ° ° 1¾ ° ° ° ° ° ° ¿°

Damit ist neben den 362 weißen Blusen und 10 schwarzen Jeans jede Kombination von 20 farbigen Blusen außer gestreift und kariert ebenfalls optimale Lösung. Aus diesem Spektrum kann nun eine gewünschte Zusammenstellung gewählt werden. 3.2.2 Dualität Über die optimale Lösung eines Modells hinaus können dem optimalen Endtableau des Simplexalgorithmus weitere Informationen wie Opportunitätskosten und Schattenpreise entnommen werden. Dies ist durch die Dualitätstheorie begründet, die hier kurz angesprochen wird. Zu einem linearen Optimierungsmodell kann stets ein zugehöriges duales lineares Optimierungsmodell angegeben werden. x Das zu dem primalen linearen Optimierungsmodell max z = ct x s.d .

A x d b xt0 n

mit x, c und A mxn Matrix, b m

zugehörige duale lineare Optimierungsmodell lautet min Z = bt y s.d .

At y t c yt0 m

mit y und c, b, A wie oben

102


Die Variablen x werden als Primalvariablen, die Variablen y als Dualvariablen bezeichnet. Zur besseren Unterscheidung wird der duale Zielfunktionswert mit Z bezeichnet. Die Dualisierung eines derartigen Modells, welches bis auf den Verzicht auf die Nichtnegativität von b mit dem Grundmodell linearer Optimierung übereinstimmt, geschieht mittels der folgenden Dualisierungsregeln vom primalen zum dualen Modell: 1. Einem primalen Maximierungsmodell ist ein duales Minimierungsmodell zugeordnet. 2. Zu jeder primalen Restriktion gehört eine duale Strukturvariable. Für eine d -Restriktion gilt die Nichtnegativität der dualen Variablen. 3. Jeder Variablen im primalen ist eine Restriktion im dualen Modell zugeordnet. Gilt für die Variable die Nichtnegativitätsbedingung, handelt es sich um eine t -Restriktion. 4. Der Matrix A im primalen ist die transponierte Matrix At im dualen Modell zugeordnet. 5. Der Zielfunktionsvektor des primalen Modells wird die rechte Seite im dualen Modell. 6. Der Kapazitätenvektor des primalen Modells wird Zielfunktionsvektor im dualen Modell. Andere lineare Modelltypen werden zunächst auf die Grundform gebracht und anschließend unter Anwendung der Regeln dualisiert. Beispiel Optima Das Produktionsplanungsprogramm Optima wird als primales Modell aufgefasst. Es liegt in Grundform vor. max z = 3 x A 2 xB s.d.

2 x A 1 xB d 22 1 x A 2 xB d 23 4 x A 1 xB d 40 x A , xB t 0

Das zu diesem Modell zugehörige duale Modell lautet min Z = 22 y1 23 y2 40 y3 s.d .

2 y1 1 y2 4 y3 t 3 1 y1 2 y2 1 y3 t 2 y1 , y2 , y3 t 0


103

Zur Lösung wird das Modell umformuliert und mit dem bereits behandelten Simplexalgorithmus, dem primalen Simplexalgorithmus, gelöst. Alternativ könnte der duale Simplexalgorithmus zur Lösung verwendet werden, der an anderer Stelle beschrieben wird (z. B. Zimmermann 2005). -max 22 y1 23 y2 40 y3 2 y1

s.d .

1 y2 4 y3 t 3

1 y1 2 y2 1 y3 t 2 y1 , y2 , y3 t 0

Zu diesem Modell ermittelt man das optimale Endtableau, dessen Lösung bis auf den Zielfunktionswert, der mit 1 zu multiplizieren ist, mit der Lösung des dualen Modells übereinstimmt.

y1

y2

y3

s1

h1

s2

h2

RS

y1

1

0

7/

- 2 /3

2/

1/

- 1 /3

4/

3

y2

0

1

- 2 /3

1/

- 1 /3

- 2 /3

2/

1/

3

'Z

0

0

4

7

M-7

8

M-8

3

3

3

3

3

-37

Die optimale Lösung ist folglich y1 4 3 , y2 13 und y3 s1 s2 0 mit optimalem Zielfunktionswert 37. Vergleicht man dieses Tableau mit dem optimalen Endtableau des primalen Modells, erkennt man einige Zusammenhänge. Optimales Endtableau des primalen Modells:

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/ 3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/ 3

1/ 3

0

37

Die optimalen Werte der Strukturvariablen des primalen Modells, x A 7 und xB 8 , stimmen mit den ' Z -Werten der dualen Schlupfvariablen, ' Z s1 7 und ' Z s2 8 , überein. Die optimalen Werte der primalen Schlupfvariablen, s1 s2 0 , s3 4 , stimmen mit den ' Z -Werten der dualen Strukturvariablen, ' Z y1 ' Z y2 0 , ' Z y3 4 überein. Entsprechend lassen sich die ' z -Werte des

104


primalen optimalen Endtableaus im optimalen dualen Endtableau wiederfinden: die optimalen Werte y1 4 3 , y2 13 und y3 0 entsprechen den ' z -Werten der primalen Schlupfvariablen und die optimalen dualen Schlupfvariablenwerte s1 s2 0 stimmen mit den ' z -Werten der primalen Strukturvariablen überein. Damit lassen sich sowohl die optimalen Lösungen des primalen wie des dualen Modells jedem der beiden optimalen Endtableaus entnehmen. Die optimalen Variablen des dualen Modells geben Auskunft über die Knappheit im primalen Modell. Die dualen Strukturvariablen sind den primalen Restriktionen zugeordnet. Ihr optimaler Wert ist der Schattenpreis der Restriktion und zeigt die Erhöhung des primalen Zielfunktionswertes an, wenn die Restriktion um eine Einheit erhöht werden kann und keine andere Restriktion bindend wird. Die dualen Schlupfvariablen sind den primalen Strukturvariablen zugeordnet und ihre optimalen Werte geben die Opportunitätskosten bei Aufnahme einer Einheit dieser Variablen in Basis an, wenn dadurch nur Basisvariablen reduziert werden, jedoch kein Basistausch erforderlich ist. Diese Interpretation korrespondiert mit den Dimensionen der Variablen im dualen Modell, wie beispielhaft gezeigt wird. Die Ermittlung allgemeiner Opportunitätskosten behandeln Domschke u. Klein (2004) ausführlicher. Beispiel Optima Im primalen Modell haben die Zielfunktionskoeffizienten die Dimension Deckungsbeitrag pro Stück, diese bilden im dualen Modell die rechte Seite. Die Koeffizienten der Matrix A sind mit Zeit pro Stück dimensioniert. Damit eine duale Restriktion, z. B. 2 y1 1 y2 4 y3 t 3 inhaltlich sinnvoll ist, müssen die Variablen yi die Dimension Deckungsbeitrag pro Zeiteinheit der knappen Kapazität besitzen 2[ZE/St] y1 [DB/ZE]+1[ZE/St] y 2 [DB/ZE]+ 4[ZE/St] y3 [DB/ZE] t 3[DB/St]

Die Schlupfvariablen haben, um geeignet in die Restriktion eingefügt werden zu können, die Dimension Deckungsbeitrag pro Stück, wobei die Dimension Stück sich auf das entsprechend zugeordnete Produkt bezieht. Damit gibt y1 4 3 an, dass eine Zeiteinheit der Kapazität der Produktionsstufe 1 aufgrund des bestehenden Engpasses einen „Wert“ von 4 3 € hat, während mit y3 0 für die optimale Situation eine Zeiteinheit von Produktionsstufe 3 einen Schattenpreis von 0 aufweist, d. h. eine Erhöhung keinen Wert bezüglich des optimalen Produktionsprogramms besitzt. Zwischen einem primalen und dem zugehörigen dualen linearen Optimierungsmodell bestehen allgemein die folgenden Zusammenhänge: x Das duale des dualen Modells ist das primale Modell. Da das duale des dualen Modells das primale Modell ist, kann beispielsweise bei der Dualisierung eines Minimierungsmodells mit t -Restriktionen und Nicht-


105

negativitätsbedingung für alle Variablen dieses als das duale eines Maximierungsmodells mit d -Restriktionen und Nichtnegativitätsbedingung für alle Variablen, also dem primalen Modell, aufgefasst werden. So ist eine schrittweise Vereinfachung nicht erforderlich und das duale Modell direkt angebbar. x Für optimale Lösungen x 0 des primalen und y 0 des dualen Modells gilt ct x 0 bt y 0 . Damit stimmen die optimalen Zielfunktionswerte überein. x Komplementaritätsbedingung: Sind x eine zulässige Lösung des primalen und y eine zulässige Lösung des dualen Modells und xs und ys die zugehörigen Schlupfvariablen, dann gilt: x und y sind jeweils optimal, genau dann wenn gilt x j ys j

0 für alle j 1,..., n und

yi xsi

0 für alle i 1,..., m

Ist der optimale Wert einer Strukturvariablen positiv, die Variable folglich in Basis, dann ist die zugehörige duale Schlupfvariable, die den Opportunitätskosten entspricht, gleich null. Ist eine Strukturvariable nicht in der optimalen Basis und besitzt somit den optimalen Wert null, kann der zugehörige optimale Wert der Dualvariablen positiv sein. Damit wäre in einem Produktionsprogramm die Produktion dieses Produkts mit Opportunitätskosten verbunden. Ist eine primale Schlupfvariable mit positivem Wert in Basis, die Restriktion folglich nicht bindend, muss die zugehörige duale Strukturvariable gleich null sein, die dem Schattenpreis für die Kapazität entspricht. Positive Schattenpreise für Restriktionen können nur dann auftreten, wenn die zugehörige Schlupfvariable gleich null ist, die Restriktion also einen Engpass für die optimale Lösung darstellt. x Ist das primale Modell in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt, besitzt das duale keine zulässige Lösung. Besitzt das primale Modell keine zulässige Lösung, ist das duale in Richtung der Zielfunktion unbeschränkt. Liegt das primale Modell in Grundform vor, dann gelten weiterhin die folgenden Zusammenhänge, die bei Abweichungen vom Grundmodell entsprechend zu modifizieren sind. x Ist x eine beliebige zulässige Lösung des primalen Modells und y beliebig zulässig für das duale, dann gilt c t x d bt y .

Folglich ist der Zielfunktionswert einer beliebigen zulässigen Lösung des dualen Modells eine obere Schranke für die Zielfunktionswerte aller primal zulässigen Lösungen. x Die optimale Lösung des dualen Modells ist dem optimalen Endtableau des primalen Modells zu entnehmen. Die dualen Strukturvariablenwerte sind die

106


' z -Werte der primalen Schlupfvariablen, die dualen Schlupfvariablenwerte sind die ' z -Werte der primalen Strukturvariablen. Da die optimale Lösung des dualen Modells im optimalen primalen Endtableau enthalten ist und umgekehrt, reicht die Optimierung eines der beiden Modelle zur Ermittlung beider optimaler Lösungen aus. Es kann folglich das einfacher zu lösende Modell ausgewählt werden, auch wenn man an dessen Lösung selbst nicht interessiert ist. Zu einem beliebigen linearen Optimierungsmodell lässt sich das zugehörige duale Modell ermitteln, indem das primale zunächst auf Grundform gebracht wird, anschließend dualisiert und dann umgeformt wird, bis die Matrix At vorliegt. Beispiel Das primale Modell aus Beispiel 3.2 soll dualisiert und die optimale Lösung des dualen Modells angegeben werden. max z s.d .

x1 x2 x1 x2 d 4 0,5 x1 x2 d 2 x1

d 2 x2 t 0

Da x1 unbeschränkt ist, ist zunächst durch geeignete Transformation die Nichtnegativitätsbedingung für alle Variablen sicherzustellen max z s.d .

x1 x1

x1 x2 x1 x2 d 4

0,5 x 0,5 x1 x2 d 2 1

x1

d 2

x1

x , x , x2 t 0 1

1

Nun kann unter Anwendung der Regeln hinsichtlich des Grundmodells dieses primale Modell dualisiert werden: min Z = 4 y1 s.d .

2 y2 2 y3

y1 0,5 y2

y3 t 1

y1 0,5 y2

y3 t 1

y1

y2

t 1 y1 , y2 , y3 t 0

Die zweite Restriktion wird mit 1 multipliziert: y1 0,5 y2 y3 d 1


107

Da weiterhin die 1. Restriktion gilt y1 0,5 y2 y3 t 1

folgt daraus insgesamt y1 0,5 y2 y3 1

Das duale Modell lautet also: min Z = 4 y1 s.d .

2 y2 2 y3

y1 0,5 y2 y1

1

y3

t 1

y2

y1 , y2 , y3 t 0

Für dieses Bespiel und auch allgemein gilt, dass zu einer unbeschränkten Variablen im primalen Modell eine Gleichheitsrestriktion im dualen Modell gehört. Die optimale Lösung dieses dualen Modells ist dem optimalen Endtableau in Beispiel 3.2 zu entnehmen: y1 0 , y2 1 und y3 0,5 . Der optimale Schlupfvariablenwert ist s2 0 . Ein positiver Schlupf ist für die Gleichheitsrestriktion nicht zulässig, eine Schlupfvariable wird nicht eingeführt. Die ' z -Werte zu x1 und x1 im primalen Endtableau sind entsprechend jeweils gleich null. Beispiel Optima V Zu dem linearen Optimierungsmodell Optima V, welches gegenüber dem Grundmodell um eine t -Restriktion und eine -Restriktion erweitert ist, wird das duale Modell ermittelt und gelöst. Dazu wird ein äquivalentes Modell in Grundform aufgestellt. max z = 3 x A 2 xB s.d.

2 xA

1 xB

d 22

1 x A 2 xB

d 23

4 xA

1 xB

d 40

1 x A

1 xB

d 5

1 x A 13 xB 1 x A 13 xB

d

6

d 6

xA , xB t 0

Dieses Modell wird dualisiert zu dem folgenden dualen Modell, wobei zunächst die Variablen mit yic bezeichnet werden, um später ein passendes Modell zu formulieren.

108


min Z s.d .

22 y1c 23 y2c 40 y3c 5 y4c 6 y5c 6 y6c 2 y1c 1 y2c 4 y3c 1 y4c 1 y5c 1 y6c t 3 1 y1c 2 y2c

1 y3c 1 y4c 13

y5c 13 y6c t 2

y1c, y2c , y3c , y4c , y5c , y6c t 0

Mittels entsprechender Variablenumbenennung bzw. -transformation y1 y1c , y2 y2c , y3 y3c , y4 y4c , y5 y5c y6c erhält man das duale des Ausgangsmodells, für das die Matrix A und die Vektoren c und b übereinstimmen. y4 ist kleiner oder gleich null, da y4c größer oder gleich null ist. y5 ist unbeschränkt, da y5 sich aus der Differenz von y5c a y5 und y6c a y5 ergibt. min Z s.d .

22 y1 23 y2 40 y3 5 y4 6 y5 2 y1 1 y2 4 y3 1 y4 1 y5 t 3 1 y1 2 y2 1 y3 1 y4 13 y5 t 2 y1 , y2 , y3 t 0 y4 d 0 y5 unbeschränkt

Die optimale Lösung des dualen Modells lautet y1 9 5 , y2 y3 y4 0 , y5 35 und s1 s2 0 . Sie kann durch Lösung des obigen Modells oder direkt aus dem optimalen Endtableau des primalen Modells abgeleitet werden, wobei y5 dem ' z -Wert der Hilfsvariablen h5 abzüglich M zu entnehmen ist. Damit führt eine Erhöhung der rechten Seite der Gleichheitsrestriktion im primalen Modell zu einer Erhöhung des Zielfunktionswertes um 35 , d. h. zu einer Verringerung um 3 . Der „Schattenpreis“ der Gleichheitsrestriktion ist hier negativ, damit ist eine 5 Verringerung der rechten Seite in diesem Fall günstig. 3.2.3 Sensitivitätsanalyse Zum Zeitpunkt der Planung ist nicht immer genau bekannt, welche exakten Daten zukünftig eintreten werden. Lineare Optimierungsmodelle setzen eine Entscheidungssituation unter Sicherheit voraus, bei der der eintretende Umweltzustand und die daraus resultierenden Zusammenhänge, die Werte für die Zielkoeffizienten, die Aktivitätenmatrix und die rechte Seite exakt angegeben werden können. Die so resultierenden Festlegungen zulässiger Lösungen werden im Rahmen der Optimierung teilweise extrem ausgeschöpft. Daher ist es häufig sinnvoll zu untersuchen, ob geringfügige Änderungen einzelner Parameter zu anderen als den vorgeschlagenen optimalen Lösungen führen. Wichtige Hinweise hierzu liefert die Sensitivitätsanalyse, mittels derer festgestellt wird, welche Parameteränderungen ohne Einfluss auf die Optimalität einer ermittelten Basis bleiben. Ausgehend von den Informationen im optimalen Endtableau eines linearen Optimierungsmodells ist


109

die Sensitivität der Ergebnisse auf Abweichungen der Modellparameter ableitbar, wie im Folgenden zunächst beispielhaft, dann allgemein demonstriert wird. Die Optimierung des kurzfristigen Produktionsprogramms bei Optima lieferte den Vorschlag, 7 Einheiten von Produkt A und 8 Einheiten von Produkt B herzustellen, womit der Gesamtdeckungsbeitrag von 37 GE erzielbar ist. Das optimale Endtableau lautet

xA

xB

s1

s2

s3

RS

2

xB

0

1

-1/3

2/ 3

0

8

0

s3

0

0

-7/3

2/ 3

1

4

3

xA

1

0

2/ 3

-1/3

0

7

'z

0

0

4/ 3

1/ 3

0

37

In der Produktionsbesprechung stellt sich heraus, dass die Daten der Verkaufsabteilung hinsichtlich des erzielbaren Preises von Produkt B möglicherweise nicht zutreffen. Es ist nicht ausgeschlossen, dass der erzielbare Preis etwas niedriger, aber eventuell auch etwas höher festgelegt wird als 2 GE, was direkte Auswirkungen auf den Stückdeckungsbeitrag hat. Ist das vorgeschlagene Produktionsprogramm auch bei Preisänderungen noch optimal? Wie wird der Gesamtdeckungsbeitrag beeinflusst? Angenommen, der Stückdeckungsbeitrag weicht um den noch unbekannten Wert O vom bisher berücksichtigten Wert 2 ab, d. h. c cxB 2 O . Diese Änderung hat bezüglich des optimalen Endtableaus zunächst nur Auswirkungen auf die linke Spalte, die Basisvariablen-Zielkoeffizienten, und auf die ' z -Zeile. Die sonstigen Parameter, wie die rechte Seite des optimalen Endtableaus, bleiben durch diese Modifikation unverändert. Die neuen ' z c -Werte errechnen sich gemäß Definition zu ' z c c ct cBct B 1 A und der neue Zielfunktionswert zu z c cBc t B 1b . Um die Werte der ' z - bzw. ' z c -Zeile einzeln benennen zu können, wird folgende Schreibweise vereinbart: ' z ( x A ) bzw. ' zc( x A ) entsprechen dem Wert von ' z bzw. ' z c in der zu x A gehörenden Spalte. Nach Änderung von c xB in c cxB 2 O berechnen sich die neuen Werte wie folgt: Für die Basisvariablen ergibt sich keine Änderung, die Werte lauten weiterhin ' z c( x A ) ' z c( x B ) ' z c( s3 ) 0 . Für die übrigen Werte gilt:

110


' z c( s1 )

0 (2 O ) ( 13) 0 ( 7 3) 3 2 3 0 2 ( 1 3) 0 ( 7 3) 3 2 3 O ( 1 3)

' z ( s1 ) O ( 13) ' z c( s2 )

' z ( s2 ) O 2 3

1

4

3

O

1

3

2 3 O 3

Damit die Optimalität erhalten bleibt, muss weiterhin ' z c t 0 gelten, also 4 1

3

O

0

Od4

und

3

O 23 t 0

O t 12

,

1

3t

also O ª¬ 1 2 ; 4 º¼ und damit c cxB >1,5; 6@ . Der Deckungsbeitrag von Produkt B kann also um bis zu 0,5 GE abnehmen oder um bis zu 4 GE steigen, ohne die Optimalität der vorgeschlagenen Lösung zu beeinträchtigen. Also sind auch bei abweichenden Preisen für Produkt B, die von 1,5 GE bis 6 GE reichen, die vorgeschlagenen Produktionsmengen optimal. Der mit der optimalen Lösung erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag ändert sich jedoch proportional zur Preisänderung. Das Ausmaß der Änderung ist dem optimalen Endtableau zu entnehmen und beträgt 37 O 8 . Steigt der erzielbare Preis für Produkt B bspw. um 2 GE, bleibt das vorgeschlagene Produktionsprogramm optimal und der Deckungsbeitrag erhöht sich um 16 GE. Ein anderes Problem beschäftigt die Produktionsplaner ebenfalls. Es ist nicht sichergestellt, dass die Anlagen auf Produktionsstufe 1 zuverlässig einsetzbar sind. Möglicherweise ergeben sich während der Produktion Probleme, die zu einer Reduktion der verfügbaren Kapazität auf dieser Stufe führen. Es stellt sich daher die Frage, welche Auswirkungen Abweichungen auf die optimale Lösung haben. Beträgt die Kapazität der ersten Produktionsstufe nicht 22, sondern 22 O ZE mit O , hätte im Ausgangstableau die rechte Seite gelautet (22 O , 23, 40)t . Diese rechte Seite läge dann im vorliegenden Endtableau mit der optimalen Basisinversen von links multipliziert vor. Die aktuelle rechte Seite lautet folglich § 22 O · ¸ 1 ¨ B ¨ 23 ¸ ¨ ¸ © 40 ¹

§O· 1 1 ¨ ¸ B b B ¨0 ¸ ¨ ¸ ©0 ¹

§ 8 · § 13 2 3 0 · § O · ¸¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 7 2 ¨ 4 ¸ ¨ 3 3 1¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ © 7 ¹ © 2 3 13 0 ¹ © 0 ¹

§ 8 · § 13 O · ¨ ¸ ¨ 7 ¸ ¨ 4¸ ¨ 3 O ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ © 7 ¹ © 23 O ¹

B 1 ist die aktuelle, also optimale Basisinverse. Sie ist im optimalen Tableau an der Position ablesbar, an der im Ausgangstableau die Einheitsmatrix steht, also hier unter den Schlupfvariablen. Weiterhin ändert sich der Gesamtdeckungsbeitrag zu 2 (8 13 O ) 0 (4 7 3 O ) 3 (7 2 3 O ) 37 4 3 O . Es bleibt zu prüfen, für welche Werte für O die rechte Seite größer oder gleich null bleibt, d. h. die vorgeschlagene Lösung zulässig ist. Da die ' z -Zeile durch die Modifikation der rechten Seite nicht beeinflusst ist, bleibt dann auch für die ermittelten Lösungen die Optimalität erhalten.


111

Die rechte Seite ist größer oder gleich null, falls die drei folgenden Bedingungen sämtlich erfüllt sind. 8 13 O t 0 4 73 O t 0

O d 12 7 und

7 23 O t 0

O t 21 2

O d 24

und

Für alle O mit 21 2 d O d 12 7 und folglich 11,5 d b1c d 23 5 7 bleibt die Optimalität der Basis erhalten, d. h., es ist weiterhin optimal, gerade die vorgeschlagenen Produkte und keine anderen zu produzieren. Die Mengen müssen jedoch der verringerten bzw. erweiterten Kapazität angepasst werden und lauten 7 2 3 O von Produkt A und 8 13 O von Produkt B, mit dem Gesamtdeckungsbeitrag von 37 4 3 O . Eine Reduktion der Kapazität auf der ersten Produktionsstufe um 3 ZE, also O 3 , führt folglich zu dem neuen optimalen Produktionsprogramm 5 Einheiten von Produkt A und 9 Einheiten von Produkt B mit einem Gesamtdeckungsbeitrag von 33 GE. Ist die Reduktion höher als 10,5 Einheiten, also O 10,5 , kann die Konsequenz nicht aus dem vorliegenden Tableau abgeleitet werden, da zunächst eine andere, für die geänderte Situation optimale Basis zu ermitteln ist. Sensitivität der optimalen Lösung eines LP-Modells Bei einer Sensitivitätsanalyse im Rahmen der linearen Optimierung wird untersucht, welche Auswirkungen eine Parametermodifikation auf die optimale Lösung hat. Dazu wird zunächst die Optimalität der Basis analysiert. Für die Bereiche, für die die Basis optimal bleibt, bleiben wesentliche Teile des optimalen Endtableaus unverändert und daraus sind Aussagen über die Sensitivität der optimalen Lösung ableitbar. Daher werden stets zunächst die Bereiche für mögliche Abweichungen der Parameter ermittelt, innerhalb derer die bisher optimale Basis optimal bleibt. Ist ein Basiswechsel erforderlich, um die Optimalität bei Parametervariation wieder herzustellen, sind Aussagen über Konsequenzen nur nach Neuberechnung möglich. Derartige systematische Untersuchungen werden im Rahmen einer parametrischen Optimierung durchgeführt, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Weiterführende Behandlungen sind etwa Gal und Greenberg (1997) zu entnehmen. Mit Bezug auf die Dualitätstheorie lässt sich die Optimalität einer Lösung bzw. einer Basis eines linearen Optimierungsmodells modifiziert definieren.

y Eine Lösung ist optimal, wenn sie zulässig ist (primale Zulässigkeit), d. h. xB (0) B 1b t 0 und wenn die ' z -Zeile nichtnegativ ist (duale Zulässigkeit)

' zj

cBt B 1a j c j t 0

j 1,..., n .

Genau dann ist auch die Basis B optimal.

112


Sensitivitätsanalysen können sich auf die Änderung eines oder mehrerer Parameter eines linearen Optimierungsmodells beziehen. Hier werden nur die Variation eines Zielfunktionskoeffizienten bzw. eines Parameters der rechten Seite in ihren Auswirkungen untersucht. In einem ersten Schritt wird geprüft, welches der beiden Kriterien, Zulässigkeit oder nichtnegative ' z -Zeile, eventuell durch die Modifikation betroffen ist. Dieses wird anschließend detaillierter betrachtet. Variation eines Zielfunktionskoeffizienten Eine Veränderung von Koeffizienten der Zielfunktion hat keine Auswirkung auf die rechte Seite und damit auf die primale Zulässigkeit. Die Nichtnegativität der ' z -Zeile, also die duale Zulässigkeit, muss geprüft werden. Eine Änderung der Komponente ck im Umfang von O zu ckc ck O verletzt die Nichtnegativität der ' z -Zeile der ermittelten Lösung nicht, solange ' z cj t 0 für j 1,..., n erhalten bleibt mit ' z cj cBct B 1a j ccj . Ist die zugehörige Variable xk nicht in Basis, ist nur eine eventuelle Aufnahme dieser Variablen in Basis zu prüfen, also ob gilt cBt B 1ak ck'

' zk'

cBt B 1ak ck O

' zk O t 0 d. h. O d ' zk

Solange also die Änderung des Zielfunktionskoeffizienten einer Nichtbasisvariablen geringer als der zugehörige Wert von ' z ist, bleibt der optimale Wert der Nichtbasisvariablen xk null. Damit ist eine Aufnahme dieser Variablen in die Basis erst vorteilhaft, wenn O den Wert ' zk überschreitet. Ist xk in Basis, sind die ' z cj aller Nichtbasisvariablen zu prüfen, d. h. für alle Nichtbasisvariablen zu untersuchen, wann eine Aufnahme in die Basis vorteilhaft wird. Für alle Basisvariablen gilt weiterhin ' z cj 0 . ' z 'j

c 'tB B 1a j c j

cBt B 1a j O a*kj c j

' z j O a*kj t 0

Also bleibt das Optimalitätskriterium erfüllt, solange ° ' z j °½

j 1,..., n, für akj ! 0 ¾ und °¯ akj °¿

O t max ® j

° ' z j ½°

j 1,..., n, für akj 0 ¾ gelten. ¯° akj ¿°

O d min ® j


113

Beispiel Opti-Shop Ausgehend von dem Endtableau Opti-Shop 1 lassen sich gewünschte Sensitivitätsuntersuchungen durchführen.

22 23

23

23

25

25

35 32 33

Bw Br

Bb

Bg

Bs

Bk

Js

0

0

s1 s2

RS

22 Bw

1 1,1 1,1 1,1 1,2 1,2 1,6 1,5 1,6 0,05 0

400

0 s2

0 0,1 0,1 0,1 0,2 0,2 2,6 2,5 2,6 0,05 1

400

'z

0 1,2 1,2 1,2 1,4 1,4 0,2 1,0 2,2 1,1 0

8800

Jb

Jw

Der Einzelhändler interessiert sich dafür, welchen Preis für schwarze Jeans die Kunden mindestens akzeptieren müssten, damit er aufgrund des Deckungsbeitrags auch schwarze Jeans beschaffen sollte. Der Deckungsbeitrag für schwarze Jeans beträgt 35 GE, eine Aufnahme in die Basis ist nur optimal, wenn der Deckungsbeitrag um mindestens O ' z ( J schw ) 0, 20 , die Opportunitätskosten, steigt, der Verkaufspreis also mindestens 67,20 € beträgt. Außerdem möchte der Einzelhändler wissen, ab welcher Änderung des Verkaufspreises weißer Blusen besser andere Teile beschafft werden sollten. Sinken der Verkaufspreis und damit der Deckungsbeitrag der weißen Blusen um O , ändern sich ggf. die ' z -Werte der Nichtbasisvariablen. ' z c( Br ) 1, 2 O 1,1 t 0 O d 1, 09

' z c( Bb )

' z c( Bg )

' z c( Bs ) 1, 4 O 1, 2 t 0 O d 1,17 ' z c( Bk ) ' z c( J s ) 0, 2 O 1, 6 t 0 O d 0,125 ' z c( J b ) 1, 0 O 1,5 t 0 O d 0, 67 ' z c( J w )

2, 2 O 1, 6 t 0 O d 1,375

Solange O d 0,125 gilt, sind nur weiße Blusen optimal. Sinkt der Verkaufspreis unter 42 0,125 | 41,87 €, sollten stattdessen schwarze Jeans eingekauft werden. Jedoch werden nicht ausschließlich schwarze Jeans zur Beschaffung vorgeschlagen, da zu berücksichtigen ist, dass mindestens so viele Blusen wie Jeans einzukaufen sind, also dann auch die zweite Restriktion relevant wird. Zur Ermittlung einer neuen optimalen Lösung sind weitere Simplexschritte erforderlich. Wie bereits dargestellt, führt die Erhöhung des Budgets pro € zu einer Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags um 1,1 €. Bis zu welcher Erhöhung gilt diese Tatsache? Unter der Annahme, dass das Modell die Realität zutreffend beschreibt und keine weiteren Restriktionen, wie beispielsweise Absatzrestriktionen, zu berück-

114


sichtigen sind, kann dies mittels Sensitivitätsanalyse festgestellt werden. Die aktuelle Basis bleibt optimal, solange die aktualisierte rechte Seite größer oder gleich null ist.

§ 400 · § 0, 05 0 ·§ O · ¨ ¸¨ ¸¨ ¸ © 400 ¹ © 0, 05 1 ¹© 0 ¹

§ 400 0, 05 O · ¨ ¸ t 0 für O t 0 © 400 0, 05 O ¹

Da für beliebig große positive Werte von O die Zulässigkeit nicht verletzt ist, gilt in diesem Fall die entsprechende Erhöhung des Gesamtdeckungsbeitrags bei Erhöhung des Budgets unbegrenzt, was hier auf das etwas konstruierte Beispiel zurückzuführen ist, da nur ein geringer Teil der realen Bedingungen im Modell Berücksichtigung findet. Variation der rechten Seite Der Einfluss von Änderungen der k-ten Komponente der ursprünglichen rechten Seite zu bkc bk O , O auf die optimale Lösung wird im Folgenden dargestellt. Die ' z -Zeile, also die duale Zulässigkeit, ist durch diese Änderung nicht berührt, alle Werte bleiben nichtnegativ, jedoch ist die primale Zulässigkeit zu prüfen. Daher wird zunächst die modifizierte, mit der optimalen Basisinversen B 1 aktualisierte rechte Seite des Modells ermittelt und geprüft, für welche Werte von O sie zulässig bleibt, also

B 1bc

§ §0 ·· ¨ ¨ ¸¸ ¨ ¨# ¸ ¸ 1 ¨ B b Ö ¸¸ ¨ ¨ ¸¸ ¨ ¨# ¸ ¸ ¨ ¨0 ¸¸ © © ¹¹

B 1b O B 1 t 0 k

gilt, wobei ( B 1 ) k die k-te Spalte der Inversen von B 1 bezeichnet. Ist bi die i-te Komponente der rechten Seite im optimalen Endtableau und bik1 die i-te Komponente der k-ten Spalte der Inversen von B , dann muss gelten: bi O bik1 t 0

für alle

1d i d m

und damit bi ½ i 1,..., m, bik1 ! 0 ¾ 1 ¯ bik ¿

b ½ O d min ® i 1 i 1,..., m, bik1 0 ¾ . b ¯ ik ¿

O t max ®


115

Für alle O , die diese Bedingungen erfüllen, bleibt die Basis B optimal. Die optimale Lösung ist anzupassen und lautet

b* O ( B 1 ) k

xBc (0)

xic

bzw.

bi O bik1 .

Auch der optimale Zielfunktionswert ändert sich entsprechend zu

cBt (b O ( B 1 ) k )

z ( xBc )

z ( xB ) O cBt ( B 1 ) k .

Beispiel Optima Ändert sich das optimale Produktionsprogramm von Optima, falls die Kapazität der zweiten Produktionsstufe von 23 ZE abweicht? Die ursprüngliche rechte Seite ist gleich (22, 23, 40)t . Die optimale rechte Seite b ist (8, 4, 7)t mit der optimalen Lösung xA 7 , xB 8 und s3 4 .

Mit der aktuellen Basisinversen B

1

§ 13 ¨ 7 ¨ 3 ¨ 2 © 3

O ( B 1 ) 2

2

0· ¸ 1 ¸ ist 0 ¸¹

3

2

3 1 3

§ 23 · ¨ ¸ O ¨ 23 ¸ . ¨ 1 ¸ © 3¹

Zu untersuchen bleibt b1 b121 O

2

1 22

3

1 32

b b O b b O

8 23 O t 0 O t 43

und

4 23 O t 0 O t 23

und

7

1 O 3

7

t0Od 3

.

Ergebnis: Die Optimalität der Basis bleibt für alle Modifikationen O auf der zweiten Produktionsstufe mit 2 3 d O d 7 3 und 21 2 3 d b2c d 25 13 erhalten. Die optimale Lösung ist dann § xB · ¨ ¸ ¨ s3 ¸ ¨x ¸ © A¹

§8 23 O · ¨ ¸ 2 ¨ 4 3 O ¸ und s1 ¨7 1 O ¸ 3 ¹ ©

s2

0

mit dem Zielfunktionswert 37 13 O . Führt man eine entsprechende Sensitivitätsuntersuchung bezüglich der Veränderung der dritten Produktionsstufe durch, zeigt sich, dass für alle O t 4 die Lösung zulässig und die Basis folglich optimal bleiben.

116


§0 · ¨ ¸ B b B ¨0 ¸ Ö¸ © ¹ 1

1

§8 · § 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 4¸ ¨ O ¸ t 0 ¨7¸ ¨0 ¸ © ¹ © ¹

Somit bleibt das optimale Produktionsprogramm mit 7 Einheiten Produkt A und 8 Einheiten Produkt B unverändert, nur die nicht ausgeschöpfte Kapazität der dritten Produktionsstufe erhöht sich. Dieses Ergebnis ist unmittelbar dem optimalen Endtableau zu entnehmen, da s3 mit Wert 4 in Basis ist. Diese Produktionsstufe stellt folglich keinen Engpass dar und eine Erhöhung dieser Kapazität kann keine positive Wirkung haben. Auch die Reduktion der Kapazität um bis zu 4 Einheiten ändert nur die zugehörige Schlupfvariable, erst größere Reduktionen beeinflussen das optimale Produktionsprogramm. Die ausführliche Berechnung wäre folglich hier zur Sensitivitätsanalyse nicht erforderlich gewesen. Wenn mehrere Parameter gleichzeitig schwanken, sind umfangreichere Sensitivitätsanalysen möglich, auf die Darstellung wird hier verzichtet. Für die Ermittlung von Konsequenzen bei größeren Abweichungen ist etwa mittels dualem Simplexalgorithmus, der unter Beibehaltung der dualen Zulässigkeit zusätzlich die primale Zulässigkeit und damit die Optimalität anstrebt, eine neue optimale Lösung zu ermitteln. Eine Beschreibung des dualen Simplexalgorithmus geben beispielsweise Hadley (1980), Zimmermann (2005). 3.2.4 Aufgaben Aufgabe 3.2.1 Ermitteln Sie zu folgenden linearen Optimierungsmodellen jeweils das zugehörige duale Modell. a)

max z = s.d .

x1 2 x2 2 x1

x2

10

x1 3 x2 d 12 x1 ,x2 t 0

b)

min z = s.d .

x1 2 x2 2 x3 6 x4 4 x1 7 x2 x1 4 x2

x3

x4

2

x3 3 x4 t

3

x3

5

x4 t

x1 , x2 , x3 , x4 t 0


117

Aufgabe 3.2.2 Die Garibaldi GmbH stellt Schnellkochtöpfe aus Edelstahl in den drei unterschiedlichen Varianten „Single“, „Standard“ und „Silberpfeil“ her. Da der Stahlpreis derzeit auf hohem Niveau schwankt, möchte die Geschäftsleitung gerne wissen, in welchem Preisintervall das aktuelle Produktionsprogramm optimal bleibt. Die relevanten Rahmenbedingungen sind durch ein lineares Optimierungsmodell zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags beschrieben: x1 ~ Produktionsmenge der Variante „Single“ x2 ~ Produktionsmenge der Variante „Standard“ x3 ~ Produktionsmenge der Variante „Silberpfeil“ max z = 18 x1 20 x2 25 x3 s.d .

4 x1 5 x2

Gesamt-Deckungsbeitrag

8 x3

d 900

Rohstoffrestriktion

x2

x3

d 220

Produktion

x1 2 x2

2 x3

d 280

Nachbearbeitung

3 x1 2 x2

x3

d 675

Endmontage

x1

x1 , x2 , x3 t 0

Der Geschäftsleitung liegt das folgende optimale Endtableau der Planungsabteilung vor, dem die Daten zur aktuell realisierten Produktion entnommen werden können: x1

x2

x3

s1

s2

s3

s4

RS

x2

0

1

4

1

-4

0

0

20

x1

1

0

-3

-1

5

0

0

200

s3

0

0

-3

-1

3

1

0

40

s4

0

0

2

1

-7

0

1

35

'z

0

0

1

2

10

0

0

4000

a) In welchem Bereich darf der Deckungsbeitrag des „Standard“-Kochtopfs schwanken, ohne dass das aktuelle Programm seine Optimalität verliert? Wie ändert sich der jeweils erreichbare Deckungsbeitrag? b) Wie ändert sich die optimale Lösung (einschließlich Deckungsbeitrag), wenn aufgrund plötzlicher Lieferengpässe 20 Einheiten Rohmaterial weniger zur Verfügung stehen? c) Formulieren Sie das zugehörige duale Modell und geben Sie seine optimale Lösung an – möglichst ohne zu rechnen.

118


d) Zeigen Sie für dieses Beispiel das Vorliegen der Komplementaritätsbedingung. Aufgabe 3.2.3 Für den kommenden Monat liegen für die drei Produkte A, B und C Aufträge in Höhe von 100 Einheiten, 50 Einheiten und 70 Einheiten vor, die mit minimalen Kosten zu erfüllen sind. Die Produktion erfolgt auf einer Produktionsstufe, auf der 200 Einheiten pro Monat hergestellt werden können. Durch Überstunden sind weitere Einheiten zu realisieren, die zusätzliche Kosten in Höhe von 150 Geldeinheiten pro Produkteinheit erfordern. Alternativ können Produkte gleicher Qualität kurzfristig zugekauft werden, dafür entstehen Kosten in Höhe von 150 Geldeinheiten für A, 170 Geldeinheiten für B und 165 Geldeinheiten für C. Die Einsatzfaktoren für A, B und C kosten 20, 25 bzw. 30 Geldeinheiten, die variablen Produktionskosten betragen jeweils 5 Geldeinheiten. Schlagen Sie vor, welche Produkte in welchem Umfang selbst gefertigt bzw. fremdbezogen werden sollen und ermitteln Sie das optimale Ergebnis. Wie weit sind die zusätzlichen Überstundenkosten pro Produkteinheit zu reduzieren, damit aus Kostengründen ausschließlich selbst gefertigt werden sollte? Welche Kostenreduktion ist mit einer Erweiterung der monatlichen Kapazität um eine Einheit verbunden?

4 Anwendungen linearer Optimierung

4.1 Rechnereinsatz Für die bisherigen Beispiele war eine manuelle Ermittlung der optimalen Lösung möglich. Selbstverständlich ist bei realistischen Problemgrößen eine Rechnerunterstützung notwendig. Vielfältige Entwicklungen von Hard- und Software und von Algorithmen haben dazu beigetragen, dass heute sehr effiziente LP-Standardsoftware-Systeme zur Lösung linearer Optimierungsmodelle selbst für den PC verfügbar sind. Diese sind teilweise mit für den Anwender komfortablen Benutzeroberflächen versehen. Die in den vorherigen beiden Kapiteln behandelten Problemstellungen verlangten stets, dass die Variablen unter Berücksichtigung der Restriktionen und ggf. Nichtnegativitätsbedingungen beliebige reelle Werte annehmen können. Dann führt der Simplexalgorithmus zu einer optimalen Lösung, sofern diese existiert. Dürfen Variablen nur ganzzahlige, natürliche oder binäre Werte annehmen, z. B. wenn über die Beschaffung von zwei, drei oder vier zusätzlichen Maschinen entschieden werden soll, müssen im Allgemeinen andere Algorithmen zur Lösung eingesetzt werden, auf die hier nicht näher eingegangen wird. Sind Zielfunktion und alle Restriktionen linear, spricht man dann von (rein-) ganzzahliger oder gemischt-ganzzahliger linearer Programmierung (mixed-integer linear programming, MILP). Solche Probleme sind wesentlich aufwändiger zu lösen und kommen in der Praxis sehr häufig vor. Moderne Standardsoftware zur linearen Programmierung umfasst meist die Berücksichtigung von gemischt-ganzzahligen Optimierungsmodellen und auch einige nichtlineare Modellstrukturen, wie quadratische Optimierungsmodelle, deren Lösung sich auf die Verwendung spezieller linearer Optimierungsmodelle stützt. Sind die Variablen kontinuierlich wie in den bisherigen Beispielen, sind fast beliebig große Probleme lösbar. Jedoch auch Problemstellungen mit mehreren hundert ganzzahligen Variablen sind häufig selbst mittels PC optimierbar. Methoden und Software zur linearen und gemischt-ganzzahligen Optimierung und die eingesetzte Hardware werden ständig weiterentwickelt und verbessert. Die Steigerung der Geschwindigkeit der gemischt-ganzzahligen linearen Optimierung ist teilweise auf eine Beschleunigung der Rechner zurückzuführen. Zusätzlichen Anteil hat die Verbesserung der Lösungsalgorithmen, von denen einige erst aufgrund der gestiegenen Speicherkapazität realisierbar sind. Über die Entwicklung

120

Anwendungen linearer Optimierung

der Lösungsgeschwindigkeiten gibt Bixby (2002) einen detaillierten Überblick. Er zeigt, dass die Steigerung der Rechengeschwindigkeit den Simplexalgorithmus in den letzten 20 Jahren um einen Faktor zwischen 500 und 1000 beschleunigt hat; Weiterentwicklungen der Lösungsalgorithmen führen problemabhängig zu zusätzlichen Verbesserungen um Faktoren bis über 1000. Beide Faktoren zusammen erlauben heute das Lösen realistischer Modelle mit mehreren zehntausend Zeilen und Spalten unter Einsatz von Standardsoftware auf einem PC innerhalb weniger Minuten. Der Rechenaufwand zur Lösung eines linearen Optimierungsmodells hängt einerseits von der Anzahl der bis zum optimalen Ergebnis erforderlichen Iterationen, zum anderen von der Zahl der Berechnungen für eine Iteration ab. Zur Durchführung eines Simplexschritts sind nicht alle Daten eines Tableaus erforderlich, vielmehr reicht die Kenntnis jeweils der aktuellen Basisinversen, der rechten Seite, der ' z -Zeile einschließlich Zielfunktionswert und der aufzunehmenden Spalte aus, um mit den Daten des Ausgangstableaus die für den Simplexalgorithmus erforderlichen Informationen bei Bedarf zu ermitteln. Der entsprechende Algorithmus wird als revidierter Simplexalgorithmus bezeichnet und ist meist in Standardsoftware implementiert. Der Rechenaufwand für eine Iteration ist stark reduziert und insbesondere von der Größe der Basis abhängig. Zusätzlich wird meist die Basisinverse als Produkt von Elementarmatrizen dargestellt, was weitere rechentechnische und Stabilitätsvorteile bringt. Ansatzpunkte zur weiteren Verbesserung des Laufzeitverhaltens bestehen durch Reduktion der Größe der Basis. Diese ist abhängig vom Minimum der Gesamtzahl der Variablen und der Restriktionen. Gelingt die Vermeidung von Restriktionen bei der Modellierung, sind ggf. in jeder Iteration die Basis und damit der Rechenaufwand reduziert. Eine derartige Maßnahme besteht in der separaten Berücksichtigung von unteren und oberen Schranken einzelner Variablen, welche nicht als reguläre Restriktion formuliert, sondern mit einem modifizierten Vorgehen behandelt werden. Soll beispielsweise für die Variable x1 die Restriktion x1 t 5 gelten, besteht also eine untere Schranke, wird diese Variable durch x1c x1 5 substituiert, sodass die äquivalente Restriktion für x1c lautet: x1c t 0 . Dies entspricht gerade der Nichtnegativitätsbedingung, welche ohne Vergrößerung der Basis stets implizit berücksichtigt wird. Der zusätzliche Aufwand besteht in der einmaligen Modellmodifikation zu Beginn und der Rücktransformation am Ende der Berechnungen. Auch die Berücksichtigung einer oberen Schranke einer Variablen kann ohne Vergrößerung der Basis erfolgen. Das algorithmische Vorgehen ist jedoch etwas komplizierter, daher wird auf die Darstellung verzichtet (vgl. etwa Hadley 1980). Spezialisierte Software zur linearen Optimierung sieht daher üblicherweise die Möglichkeit der Angabe von unteren und oberen Schranken (lower, upper bound LB, UB) für die Variablen vor, die vorteilhafterweise anstelle einer expliziten Restriktion xi t LB oder xi d UB verwendet werden sollte.

Rechnereinsatz

121

Aus dem Internet frei herunterladbar ist die Studentenversion von ClipMOPS£, ein von Suhl, FU Berlin, entwickeltes System zur Lösung linearer und gemischtganzzahliger Optimierungsmodelle, welches ein Add-In zu Excel£ ist (Suhl 2000). Mit dieser Version lassen sich Probleme mit maximal 50 stetigen Variablen und 30 Restriktionen lösen. Eine Kurzeinführung dazu ist verfügbar (Werners 2004). Beispiel Optima Die folgenden Abbildungen zeigen Eingabe und Ergebnisausgabe in Anlehnung an die ClipMOPS£–Bildschirme am Beispiel der Produktionsprogrammplanung von Optima. Ein derartiges MPS-Format ist weitgehend für Optimierungssoftware standardisiert. Die Variablen sind kontinuierlich (Typ: CON) und nicht nach oben beschränkt (UB: INF), d. h., die obere Schranke ist unendlich. Die Nichtnegativitätsbedingungen gelten (LB: ), d. h., die unteren Schranken sind null. Standardmäßig wird Nichtnegativität unterstellt, sodass die Einträge leer bleiben können und als 0 interpretiert werden.

Optima

xA

MAX

xB 3

TYP

RHS

2

LB UB

INF

INF

TYP

CON

CON

Stufe 1

2

1 min ./ Pers.@ bzw. | 0,30 > Pers.@

Es ist zu beachten, dass die erzielten durchschnittlichen Ergebnisse stark von den hier zufällig realisierten Zwischenankunftszeiten und Bediendauern abhängen. Ein erneuter Simulationslauf würde zu abweichenden durchschnittlichen Ergebnissen führen. Die Ergebnisse stellen folglich jeweils eine Realisation der vielen zufällig eintretenden Möglichkeiten dar. Mehrere solcher Realisationen bilden eine Stichprobe, mittels derer die tatsächlich zugrunde liegende Verteilung bzw. deren charakteristische Parameter geschätzt werden. Um eine gewünschte Genauigkeit der Schätzung zu erreichen, ist die Stichprobe, also die Simulationsuntersuchung, ausreichend umfangreich zu wählen. Zur Beurteilung sind die entsprechenden statistischen Methoden zu verwenden. Außerdem ist der Schalter zu Beginn frei und keine Schlange vorhanden. Ein stationärer Zustand, der sich im Mittel nicht ändert, wird, wenn überhaupt, erst allmählich erreicht. Im Rahmen der diskreten Simulation, sowohl der deterministischen als auch der stochastischen, werden Zustandsänderungen, also Ereignisse, im zeitlichen Ver-

270

Simulation und Warteschlangensysteme

lauf beobachtet und ihre Konsequenzen festgehalten. Die Dynamik des Modells ist durch die Kette von Ereignissen E1 , E2 ,... und die zwischen diesen liegenden Zeiten beschrieben. Der Ablauf dieser Ereignisse ist für eine Simulation zu steuern. Die Ablaufsteuerung kann zeitorientiert erfolgen, d. h., in festen Zeitabständen wird festgestellt, welche Ereignisse inzwischen eingetreten sind und welche Konsequenzen sich daraus ergeben. E1

E2 E3

E4

E5

E6

Modellzeit T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

Abb. 7.14. Zeitorientierte Ablaufsteuerung

Bei kurzen zeitlichen Abständen ist der Aufwand hoch, bei langen zeitlichen Abständen sinkt die Genauigkeit und evtl. ist die korrekte Abfolge von Ereignissen nicht sichergestellt. Eine weitere Möglichkeit stellt die ereignisorientierte Ablaufsteuerung dar. Hier ist zu prüfen, welches Ereignis als nächstes eintritt, was zu einer aufwändigen Ereignisverwaltung führen kann.

E1

E2 E3

E4

E5

E6 Modellzeit

T1

T2 T3

T4

T5

T6

Abb. 7.15. Ereignisorientierte Ablaufsteuerung

Für die Simulation des Beispiels Auftragsdurchlauf wurde eine zeitorientierte Ablaufsteuerung gewählt und jeweils nach einer Zeiteinheit die Zustandsänderungen bzw. die Ereignisse festgestellt. Die Ablaufsteuerung der PostschalterSimulation erfolgte dagegen ereignisorientiert. Durch spezialisierte Simulations-Software wird insbesondere die Ablaufsteuerung unterstützt. Weitere wesentliche Bestandteile sind die Generierung, Sammlung und Auswertung insbesondere auch der Daten, die zufallsabhängig sind. Für die Modellierung wird häufig auf Modellierungskonzepte zurückgegriffen, die von Standardsoftware zur Simulation in unterschiedlichem Umfang unterstützt werden. Sehr weite Verbreitung hat die Unterscheidung in bewegliche und feste Elemente gefunden. Feste Elemente und ihre Verbindungen bestimmen die Struktur des Modells, die gelegentlich durch einen gerichteten Graphen repräsentiert wird. Die festen Elemente sind selbst aktiv und wirken auf die beweglichen Elemente ein. Die beweglichen Elemente, auch als Transactions bezeichnet, werden durch das System aus festen Elementen geleitet. Sie sind selbst passiv und bestimmen die Modelldynamik.

Stochastische Simulation

271

Beispiel Postschalter Die festen Elemente beschreiben die Struktur des Warteschlangensystems gemäß Abb. 7.16. Ankunft

Warteschlange

Schalter

Abgang

Abb. 7.16. Feste Elemente des Postschalter-Systems

Die Kunden als bewegliche Elemente durchlaufen dieses System. Die festen Elemente wirken auf die Kunden ein, so erzeugt die Ankunft Kunden, die Warteschlange sammelt sie, der Schalter bedient sie und der Abgang entfernt sie aus dem System. Da Ankunft und Bedienzeit zufällig schwanken, sind auch z. B. die Länge der Warteschlange und der Zeitpunkt des Verlassens des Schalters zufällig. Dazu werden jeweils umfangreiche Daten gesammelt. Beispiel Maschinenbelegung Die festen Elemente des Auftragsdurchlaufs sind Abb. 7.3 zu entnehmen. Die beweglichen Elemente sind die Aufträge, die Lager und Maschinen durchlaufen. Hier sind alle Daten bekannt, die Aufträge liegen vor. Bei vorgegebener Reihenfolge stehen alle Ergebnisse, wie die Gesamtdurchlaufzeit, nach der Modellierung bereits fest und müssen nur noch ermittelt und geeignet ausgegeben werden. 7.2.2 Zufallszahlen und Verteilungen Um mittels Simulation das zufällige Eintreten von Ereignissen oder zufällige Bearbeitungsdauern nachbilden zu können, müssen geeignete Realisationen generierbar sein, wobei Simulationssoftware unterstützt. Es werden Folgen von Zahlenwerten benötigt, die die Eigenschaften von Realisationen bestimmter Verteilungen aufweisen. Im Postschalter-Beispiel sind das etwa die Zwischenankunftszeiten und die Bediendauern, die konkreten diskreten Verteilungen entsprechen sollen. Die Erzeugung derartiger Zufallszahlenfolgen geschieht in der Regel so, dass gleichverteilte Zufallszahlen im Intervall [0,1] generiert werden und daraus mit geeigneten Methoden Realisationen anderer Verteilungen abgeleitet werden. Es sind echte Zufallszahlengeneratoren im Einsatz, die mit physikalischen Mitteln arbeiten und echte Zufallszahlenfolgen produzieren. Im wirtschaftswissenschaftlichen Bereich werden überwiegend Pseudozufallszahlengeneratoren eingesetzt, die Pseudozufallszahlenfolgen errechnen, welche hinsichtlich ihrer Eigenschaften von echten Zufallszahlenfolgen kaum zu unterscheiden sind. Der bekannteste (Pseudo-) Zufallszahlengenerator ist der lineare Kongruenzgenerator.

272


Linearer Kongruenzgenerator y Mit der Berechungsvorschrift xi 1

(a xi c) mod m

mit i , a , m positive ganze Zahlen mit a m , c nichtnegative ganze Zahl mit c m , und einem Startwert x0 wird eine Folge von Zahlen der Menge ^0 ,...,m 1` generiert. Nach Division dieser Zahlen durch m 1 erhält man eine Folge von Werten in dem Intervall > 0 ,1@ .1 mod m ist die Funktion, die einer ganzen Zahl ihren Rest bei Teilung durch m zuweist, z. B. gilt 5 mod 3 2 und 22 mod 6 4 . Je größer m ist, in desto feinerem Abstand können die errechneten Zahlen in > 0 ,1@ auftreten. Pseudozufallszahlenfolgen sind stets periodisch, d. h., Teilfolgen wiederholen sich. Sobald eine Zahl zum zweiten Mal ermittelt wird, stimmen alle folgenden Zahlen mit den vorher berechneten überein. Gute (Pseudo-)Zufallszahlenfolgen zeichnen sich beispielsweise durch eine lange Periodenlänge aus, die möglichst länger als die notwendige Anzahl von Zufallszahlen für die Simulationsstudie ist. Außerdem sollten die Realisationen gleichmäßig im Intervall > 0 ,1@ verteilt auftreten und “zufällig“ aufeinander folgen. Dies kann durch geeignete Parameterwahl oder auch andere Generatoren erzielt und mittels Testmethoden geprüft werden.

Beispiel linearer Kongruenzgenerator mit unterschiedlichen Parametern Parameter a 4, c 0, m 5 Startwert x0 4 : x1 (4 4) mod 5 1 x2 (4 1) mod 5 4 x3 (4 4) mod 5 1... Startwert x0 3 : x1 (4 3) mod 5 2 x2 (4 2) mod 5 3 Startwert x0 0 : x1 (4 0) mod 5 Parameter a

3, c

2, m

Periode der Länge 2


0

2

3


8

Startwert x0 4 : x1 (3 4 2) mod 8 6 x2 (3 6 2) mod 8 4...

1

Eine Division durch m würde dazu führen, dass der Wert 1 nicht angenommen wird.


Startwert x0 7 : x1 (3 7 2) mod 8

273

7...

Bei anderer Wahl der Parameter kann die maximal mögliche Anzahl unterschiedlicher Zahlen, nämlich m , tatsächlich angenommen werden und zwar unabhängig vom Startwert. Parameter a

5, c

3, m

23

8

Startwert x0 = 4: x1

(5 4 3) mod 8

7

x2

(5 7 3) mod 8

6

x3

(5 6 3) mod 8

1

x4

(5 1 3) mod 8

0

x5

(5 0 3) mod 8

3

x6

(5 3 3) mod 8

2

x7

(5 2 3) mod 8

5

x8

(5 5 3) mod 8

4

Die Qualität von Zufallszahlengeneratoren wird bestimmt durch die Güte der statistischen Eigenschaften der erzeugten Pseudozufallszahlenfolge und dem mit ihrer Erzeugung verbundenen Aufwand. Wesentliche Anforderungen sind im Folgenden zusammenfassend aufgeführt (siehe z. B. Law, Kelton 2006, Liebl 1995):

y Da die Zufallszahlen einer in > 0, 1@ definierten Gleichverteilung entsprechen sollen, sollte die Folge als Realisation einer Verteilung mit dieser Eigenschaft auffassbar sein. Dies gilt nicht nur für die Folge in ihrer gesamten Länge, sondern auch jeweils einzelne Abschnitte der Folge sollten diese Eigenschaft besitzen.

y Die Zufallszahlenfolge sollte in dem Intervall > 0, 1@ eine möglichst hohe Besetzungsdichte aufweisen. Das bedeutet, dass zwischen den verschiedenen Zahlen nur möglichst geringe Abstände auftreten sollten und zwar sowohl im Durchschnitt als auch maximal.

y Die Folge sollte sich wie zufällig erzeugt verhalten und aufeinanderfolgende Elemente sollten voneinander unabhängig wirken. Insbesondere sollten keine seriellen Autokorrelationen nachweisbar sein.

y Die Periodenlänge der erzeugten Zufallszahlenfolge sollte ausreichend groß sein, dies hat auch Einfluss auf die Besetzungsdichte.

y Der Generator sollte effizient sein, d. h., die Zahlenfolge sollte schnell und mit geringem Speicherbedarf erzeugbar sein.

274


y Die erzeugte Folge sollte einfach reproduzierbar sein. Dies ist besonders bedeutsam zur Programmverifikation, jedoch auch für den Einsatz einiger varianzreduzierender Methoden zum Vergleich unterschiedlicher Systeme von Interesse. Bei Pseudozufallszahlenfolgen ist die Reproduzierbarkeit bei Kenntnis der Parameter und des Startwertes grundsätzlich gegeben.

y Der Zufallszahlengenerator sollte portabel sein, damit auf verschiedenen Rechnern identische Folgen erzeugt werden können.

y Es sollte die Möglichkeit bestehen, mehrere unterschiedliche Zufallszahlenfolgen zu erzeugen, zwischen denen keine Korrelationen bestehen. Das Vorliegen der geforderten Eigenschaften kann zum Teil durch Anwendung statistischer Tests überprüft werden. Insbesondere Tests auf Vorliegen einer Gleichverteilung und die Tests auf Unabhängigkeit sind von Bedeutung. Außerdem sind der Literatur viele Ergebnisse zu entnehmen, die über die Qualität der Zufallszahlengeneratoren bzw. der verwendeten Algorithmen informieren. Aussagen über die Periodenlänge einer Zufallszahlenfolge lassen sich aus den theoretischen Ergebnissen über die Eigenschaften des verwendeten Generators ableiten. So gilt der folgende Satz (Knuth 1981, Mathar u. Pfeifer 1990).

y Die Periodenlänge der Zufallszahlenfolge eines linearen Kongruenzgenerators xi 1

(a xi c ) mod m ist gleich dem Modul m genau dann, wenn gilt

c und m sind teilerfremd, a mod p 1 für alle Primfaktoren2 von p von m und a mod 4 1 , wenn 4 Teiler von m ist. Beispiel Der lineare Kongruenzgenerator mit den Parametern a 5, c 3, m 23 8 erfüllt diese Bedingungen, da 3 und 8 teilerfremd sind, 5 mod 2 1 für den einzigen Primfaktor 2 von 8 ist und 5 mod 4 1 gilt. Letzteres ist zu prüfen, da 4 Teiler von 8 ist. Wie die Berechnungen zeigen, ist die Periodenlänge 8 m . Wählt man a und c gleich und m 2 k für beliebiges k , sind die Eigenschaften ebenfalls erfüllt und eine entsprechend große Periodenlänge ist erreichbar, z. B. für 210 1.024 oder 220 1.048.576 Verteilungen Für die Modellierung von Zufallsphänomenen sind einige Standardverteilungen besonders geeignet, da sie bestimmte Gegebenheiten repräsentieren und nach Ermittlung weniger charakteristischer Parameter angebbar sind. Im Zusammen-

2

Ein Primfaktor von m ist eine Primzahl, die Teiler von m ist.


275

hang mit Simulationsstudien kommen allgemeine diskrete Zufallsvariablen, Gleichverteilung, Normalverteilung, Exponentialverteilung und Poissonverteilung häufig zur Anwendung. Sie werden im Folgenden kurz vorgestellt, wobei jeweils Wahrscheinlichkeits- bzw. Dichtefunktion f ( x ) , ggf. Verteilungsfunktion F( x ) und Erwartungswert P E( X ) und Varianz V 2 V ( X ) angegeben werden. Für eine detailliertere Darstellung der statistischen Grundlagen wird auf entsprechende Literatur verwiesen (beispielsweise Bamberg u. Baur 2002, Reichardt u. Reichardt 2002, Sachs 2004). Diskrete Zufallsvariable Eine diskrete Zufallsvariable X liegt dann vor, wenn X nur endlich oder abzählbar unendlich viele Werte {x1 ,..., xn ,..} annehmen kann, jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit pi , i = 1,...,n,..., wobei die Summe aller pi gleich 1 ist. Man nennt X dann auch diskret verteilt. Die zugehörige Verteilungsfunktion weist an den Stellen xi Sprünge der Höhe pi auf und ist dazwischen konstant, sie wird gelegentlich auch als Treppenfunktion bezeichnet. Die Funktion f : o [0,1] mit f ( x)

P( X

x)

pi falls x ® ¯0 sonst

xi

bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. Für die Verteilungsfunktion F einer diskreten Zufallsvariable gilt F(x)

P( X d x)

¦ f (x ) ¦ p i

i xi d x

i

.

i xi d x

Beispiel Beim Würfeln mit einem gleichmäßigen Würfel kann jede der Augenzahlen von 1 bis 6 mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/6 eintreffen. Dies lässt sich durch eine diskrete Zufallsvariable X abbilden, die durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion charakterisiert ist:

f ( x)

P( X

x)

° 1 ® 6 °¯0

falls x {1, 2,..., 6} sonst

Abb. 7.17 zeigt die graphische Darstellung der zugehörigen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion.

276


1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0

0 1

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6

Abb. 7.17. Diskrete Gleichverteilung Würfeln

Beispiel unregelmäßige diskrete Zufallsvariable Die möglichen Ergebnisse müssen nicht alle gleichwahrscheinlich sein oder positive Werte annehmen. So ist auch durch folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung eine diskrete Zufallsvariable beschrieben:

f ( x)

1 ° 4 °1 ° 12 ° ®1 ° 2 °1 ° 6 °¯0

x

1,5

x

0, 25 F ( x)

x 1,3 x

x 1,5 0 °1 ° 4 1,5 d x 0, 25 °° ® 1 3 0, 25 d x 1,3 ° ° 5 6 1,3 d x 2,5 ° 2,5 d x °¯1

2,5

sonst

Die zugehörigen graphischen Darstellungen sind Abb. 7.18 zu entnehmen. f (x)

F (x)

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 -2

-1

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

0

1

2

3

-2

-1

0

1

2

3

Abb. 7.18. Unregelmäßige diskrete Zufallsvariable

Die Eigenschaften von Zufallsvariablen werden durch bestimmte Angaben näher charakterisiert. Von besonderer Bedeutung sind der Lageparameter Erwartungswert und die Streuungsparameter Varianz und Standardabweichung, die wichtige Angaben zu der Lage und Abweichungen einer Zufallsvariablen ermöglichen.


277

y Der Erwartungswert E ( X ) einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert3 durch f

f

¦x

E( X )

¦x

f ( xi )

i

pi

i

i 1

i 1

y Die Varianz V ( X ) einer diskreten Zufallsvariable misst die mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert und ist definiert3 durch f

V (X )

2

¦ > x E ( x) @ i

f

2

¦ > x E ( x) @

f ( xi )

i

i 1

pi .

i 1

y Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel aus der Varianz V ( X ) , sie wird üblicherweise mit V bezeichnet. Direkte Transformation Durch direkte Transformation lässt sich eine endliche, diskrete Verteilung, für die die Ausprägungen xi , i 1,...,k jeweils mit Wahrscheinlichkeit pi angenommen werden, aus einer in > 0, 1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge generieren. Der funktionale Zusammenhang wird hier durch die folgende, stückweise definierte Funktion g hergestellt:

g (u )

x1 °x ° 2 ° ® ° ° ° xk ¯

d u p1

für

0

für

p1 d u p1 p2

. . .

k 1

für

¦p

i

i 1

k

d u d

¦p

i

1.

i 1

Diese Methode lässt sich graphisch veranschaulichen. Das Einheitsintervall wird in Abschnitte jeweils der Länge pi , i 1,..., k aufgeteilt. Aufgrund der Gleichverteilung treffen die Realisationen u mit Wahrscheinlichkeiten, die der jeweiligen Länge entsprechen, in die entsprechenden Abschnitte. Dadurch sind die zugeordneten Realisationen gemäß der geforderten diskreten Zufallsvariablen verteilt. Für die Realisation u wird geprüft, in welchen Abschnitt sie trifft. Dann wird die dem Abschnitt zugeordnete Ausprägung xi als Zufallsrealisation x festgehalten. Beispiel Die Schulnoten 1 bis 5 werden in einer Klausur erfahrungsgemäß mit folgenden Wahrscheinlichkeiten erreicht: 3

Betrachtet wird hier nicht die Ausnahmesituation, dass die Summenfolge nicht konvergiert.

278


Note Wahrscheinlichkeit

1

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

Es sollen Zufallszahlen gemäß dieser empirisch ermittelten, diskreten Verteilung erzeugt werden. Eine geeignete Transformationsfunktion für Standardzufallszahlen lautet dann:

g (u )

d u 0,1 für 0,1 d u 0,3 für 0,3 d u 0, 6 für 0, 6 d u 0,9

1 °2 °° ®3 °4 ° °¯5

für

0

für 0,9 d u d

1.

In Abb. 7.19 ist die Aufteilung des Intervalls > 0 ,1@ in entsprechende Abschnitte dargestellt. Für jede Standardzufallszahl u ist eine Schulnote entsprechend der zugrunde liegenden diskreten Verteilung zuordenbar. x=4 xi:

1

2

3

4

5

pi:

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

0

0,1

0,3

0,6

0,9

1

u = 0,67 Abb. 7.19. Direkte Transformation von Zufallszahlen

Stetige Gleichverteilung in dem Intervall [a, b] Die Gleichverteilung modelliert die Situation, bei der gleichermaßen alle Werte von a bis b auftreten können. Die Dichtefunktion f ( x ) und Verteilungsfunktion F ( x ) der Gleichverteilung lauten:

f ( x)

1 ° ®b a °¯0

ad xdb F ( x)

sonst

0 °xa ° ® °b a °¯1

xa ad xdb sonst


f (x)

F (x)

1

1

279

0,8 0,6 1 b-a

0,4 0,2 x 0

a

x 0

b

a

b

Abb. 7.20. Gleichverteilung in [a, b]

Erwartungswert P und Varianz V 2 werden mit den Parametern a und b berechnet zu:

P

ba 2

und

V2

(b a) 2 12

Aus einer im Intervall > 0 ,1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge lassen sich mittels einer speziellen Transformationsfunktion Zahlen errechnen, die wie eine Folge im Intervall > a,b @ gleichverteilter Realisationen wirkt. Diese Transformationsfunktion g lautet g( u ) a ( b a ) u , die angewendet wird auf die Elemente u der in > 0 ,1@ gleichverteilten Zufallszahlenfolge. Beispiel Die Kunden treffen gleichverteilt alle 1 bis 5 Minuten an einer Bedienstation ein. Die „zufällige“ Ankunftszeit der nächsten 6 Kunden ist zu generieren. Mittels des linearen Kongruenzgenerators mit den Parametern a 5 , c 3 , m 8 werden die Zahlen 6, 1, 0, 3, 2, 5 erzeugt. Division durch 7 ergibt die Pseudozufallszahlenfolge 6 7 , 17 , 0, 37 , 2 7 , 5 7 im Intervall > 0 ,1@ . Die Zuordnungsvorschrift g (u ) 1 (5 1) u liefert die auf eine Nachkommastelle gerundeten Zwischenankunftszeiten a1 4 , 4 , a2 1, 6 , a3 1 , a4 2 ,7 , a5 2,1 , a6 3,9 . Daraus ergeben sich die „zufälligen“ Ankunftstermine t1 4, 4 , t2 6 , t3 7 , t4 9, 7 , t5 11,8 und t6 15, 7 . Normalverteilung N ( P , V 2 ) Die Normalverteilung modelliert Situationen, in denen geringe Abweichungen von einem Erwartungswert häufig und große Abweichungen selten sind. Sie ist durch die beiden Parameter P und V eindeutig bestimmt, die Erwartungswert bzw. Standardabweichung der Normalverteilung sind. Die Dichtefunktion lautet

280


f ( x)

1

V 2S

e

1 § xP · ¨ ¸ 2© V ¹

2

für alle x .

Die Dichtefunktionen lassen sich in Form von so genannten Glockenkurven darstellen, die für unterschiedliche Erwartungswerte und Standardabweichungen durch Lage und „Breite“ voneinander abweichen. Abb. 7.21 zeigt die Dichtefunktion der Normalverteilungen N (1,1) , N (1,22 ) und N (1,23 ) im Vergleich.

0.5

N (1, 1) N (1, 22) N (1, 32)

-7

-5

-3

-1

1

3

5

7

Abb. 7.21. Dichtefunktionen von Normalverteilungen

11

1

1

0.5 0, 5

N(0, 1)

0

0,5 0.5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-4

4

-3

-2 -1

0

1

2

3

4

Abb. 7.22. Standardnormalverteilung

Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung wird üblicherweise mit dem Buchstaben ) bezeichnet, also x

) ( x)

³

f

1 2S

e

t2 2

dt

Werte der Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung N (0,1) sind häufig tabelliert, da sich daraus die Werte der Verteilungsfunktionen beliebiger Normalverteilungen ermitteln lassen mittels der Transformation


FN ( P ,V 2 ) ( x)

§ xP · )¨ ¸. © V ¹

Tabelle 7.4. Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung 0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

.5000 .5398 .5792 .6179 .6554

.5079 .5477 .5870 .6255 .6627

.5159 .5556 .5948 .6330 .6700

.5239 .5635 .6025 .6405 .6772

.5318 .5714 .6102 .6480 .6843

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

.6914 .7257 .7580 .7881 .8159

.6984 .7323 .7642 .7938 .8212

.7054 .7389 .7703 .7995 .8263

.7122 .7453 .7763 .8051 .8314

.7190 .7517 .7823 .8105 .8364

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4

.8413 .8643 .8849 .9031 .9192

.8461 .8686 .8887 .9065 .9221

.8508 .8728 .8925 .9098 .9250

.8554 .8769 .8961 .9130 .9278

.8599 .8810 .8997 .9162 .9305

1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

.9331 .9452 .9554 .9640 .9712

.9357 .9473 .9572 .9656 .9725

.9382 .9494 .9590 .9671 .9738

.9406 .9515 .9607 .9685 .9750

.9429 .9535 .9624 .9699 .9761

2.0 2.1 2.2 2.3 2.4

.9772 .9821 .9860 .9892 .9918

.9783 .9829 .9867 .9898 .9922

.9793 .9838 .9874 .9903 .9926

.9803 .9846 .9880 .9908 .9930

.9812 .9853 .9886 .9913 .9934

2.5 2.6 2.7 2.8 2.9

.9937 .9953 .9965 .9974 .9981

.9941 .9956 .9967 .9975 .9982

.9944 .9958 .9969 .9977 .9983

.9947 .9960 .9971 .9978 .9984

.9950 .9963 .9972 .9980 .9989

3.0 3.1 3.2 3.3 3.4

.9986 .9990 .9993 .9995 .9996

.9987 .9990 .9993 .9995 .9996

.9988 .9991 .9994 .9995 .9997

.9988 .9992 .9994 .9996 .9997

.9989 .9992 .9994 .9996 .9997

3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

.9997 .9998 .9998 .9999 .9999

.9997 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

.9998 .9998 .9999 .9999 .9999

281

282


Tabelle 7.4 enthält die Werte der Verteilungsfunktion ) , die mittels Mathematica 3.01® ermittelt wurden. Beispielhaft wird das Ablesen eines Wertes erläutert. Soll die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden, dass die Realisation einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen kleiner oder gleich dem Wert 1,42 ist, also der Wert der Verteilungsfunktion an der Stelle 1,42, wird dieser als Schnittpunkt der Zeile 1,4 mit der Spalte 0,02 abgelesen: ) 1, 42 0, 9221 . Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert 1,42 unterschritten wird, ist demnach 92,21 %. Umgekehrt lässt sich der Wert ermitteln, der durch eine Realisation der Standardnormalverteilung mit Wahrscheinlichkeit 0,9515 unterschritten wird. 0,9515 steht im Schnittpunkt von 1,6 und 0,06, also ist )(1,66)=0,9515. Der Wert, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 95,15 % unterschritten wird, ist folglich 1,66. Auf Grundlage einer Normalverteilung lassen sich Ergebnisse von Simulationsstudien bei Vorliegen entsprechender Voraussetzungen hinsichtlich ihrer Genauigkeit abschätzen. Exponentialverteilung Ex(O) Mit der Exponentialverteilung kann häufig die Wartezeit zwischen je zwei Ereignissen oder eine technische Lebensdauer beschrieben werden. Sie ist eindeutig durch ihren Erwartungswert bestimmt. Die Dichte- und die Verteilungsfunktion lauten f ( x)

O e O x ® ¯0

xt0 sonst

Erwartungswert und Varianz sind P 6 5 4 3 2 1 0

F ( x)

bzw. 1

O

bzw. V 2

1

Ex(6)

1 e O x ® ¯0 1 . 2

xt0 sonst

O

O =6

0,8 0,6 0,4

Ex(3)

O =3

0,2 0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Abb. 7.23. Exponentialverteilungen mit O

0 3 bzw. O

0,2

0,4

0,6

0,8

1

6

Poissonverteilung P(O) Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung und zur Beschreibung des Auftretens seltener Ereignisse geeignet. Sie ist ebenfalls eindeutig durch ihren Erwartungswert bestimmt.


283

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet

f ( x)

O x ° e O ® x! °0 ¯

für x {0,1,..., n,...} und O > 0 sonst

Der Erwartungswert ist P O und die Varianz V 2 O . Zwischen Poissonverteilung und Exponentialverteilung besteht der folgende wichtige Zusammenhang: Beschreibt P (O ) das Ankunftsverhalten seltener Ereignisse, d. h. im Mittel treffen O Ereignisse pro ZE ein, dann beschreibt Ex O die Zwischenankunftszeit zwischen diesen Ereignissen und umgekehrt. Dann ist der Abstand zwischen zwei Ereignissen im Mittel 1O . Exponential- und Poissonverteilung werden häufig verwendet, um realitätsnah das Ankunftsverhalten und die Bedienzeit in Warteschlangensystemen zu modellieren. Zentraler Grenzwertsatz und Konfidenzintervall Führt man eine stochastische Simulation durch, erhält man bei jedem Simulationslauf ein Ergebnis, welches als Realisation einer noch unbekannten Zufallsvariablen aufgefasst werden kann. Die Ergebnisse von n Simulationsläufen lassen sich als Stichprobe des Umfangs n aus einer Grundgesamtheit auffassen. Diese Stichprobe kann nun verwendet werden, um die unbekannten Parameter der Grundgesamtheit zu schätzen. Beispielsweise kann der Mittelwert der Beobachtungen verwendet werden, um den unbekannten Erwartungswert der Grundgesamtheit, aus der die Realisationen stammen, zu schätzen. Aufgrund des Gesetzes der großen Zahl gilt, dass der Mittelwert voneinander unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen X 1 ,..., X n stochastisch gegen deren gemeinsamen Erwartungswert P konvergiert, d. h. sich mit wachsendem n immer stärker dem Erwartungswert annähert. Der zentrale Grenzwertsatz gibt zusätzlich die Verteilungsfunktion der Mittelwerte unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen X 1 ,..., X n mit Erwartungswert P und Standardabweichung V an: Die Verteilungsfunktion des Mittelwertes kann mit zunehmendem n immer 2 besser durch die Normalverteilung N ( P , V n ) , also mit Erwartungswert P und V Standardabweichung , angenähert werden. n Intervallschätzung Da ein unbekannter Parameter einer Grundgesamtheit aufgrund einer Stichprobenerhebung nicht exakt ermittelbar ist, was entsprechend auch für die Ergebnisse einer Simulationsstudie gilt, soll mittels einer Intervallschätzung ein Intervall bestimmt werden, in dem der unbekannte Parameter der Grundgesamtheit mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit liegt. Ein derartiges Intervall wird als Konfidenzintervall bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Wert in

284


diesem Konfidenzintervall liegt, nennt man Konfidenzniveau oder Vertrauenswahrscheinlichkeit. Will man Aussagen über den Erwartungswert einer Normalverteilung mit bekannter Varianz V 2 treffen, kann man in folgenden Schritten vorgehen (etwa Bamberg, Baur 2002): -

Festlegen des Konfidenzniveaus 1 D Bestimmung des 1 D 2 - Fraktils c der Standardnormalverteilung, also Bestimmung von c mit ) (c) 1 D 2

-

Ermittlung des Stichprobenmittelwertes x : x

-

Ermittlung von c V

-

Bestimmung des Konfidenzintervalls zu

1 n ¦ xi ni1

n

ªx c V ¬

n

,

x c V

º.

n¼

Man kann dann davon ausgehen, dass der unbekannte Erwartungswert mit Wahrscheinlichkeit 1 D in diesem Intervall liegt. Eine Verschärfung des Intervalls bei gegebenem Vertrauensniveau ist durch eine geeignete Erhöhung des Stichprobenumfangs n möglich. Soll die Länge des Intervalls oder die Abweichung vom Erwartungswert einen bestimmten vorgegebenen Wert L bzw. A nicht überschreiten, kann der hierzu erforderliche Stichprobenumfang ermittelt werden mit § 2 cV · n t ¨ ¸ © L ¹

2

2

§ cV · n t ¨ ¸ . © A ¹

bzw.

Direkt ableitbar ist, dass eine Halbierung der Länge des Konfidenzintervalls, damit folglich eine Verdoppelung der Genauigkeit des Ergebnisses, mit dem vierfachen Stichprobenumfang erreichbar ist. Soll ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert ermittelt werden, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt, die Varianz jedoch nicht bekannt, sondern ebenfalls aus der Stichprobe zu schätzen ist, ist obiges Vorgehen zu modifizieren, indem im zweiten Schritt das 1 D 2 -Fraktil der Student-t-Verteilung mit n 1 Freiheitsgraden zu ermitteln ist. Weiterhin wird die unbekannte Standardabweichung V der Grundgesamtheit durch die Schätzung s der Standardabweichung aus der Stichprobe in allen betroffenen Formeln V ersetzt mit s

1 n 1

n

¦ (x

i

x )2 .

i 1

Da die Dichtefunktion der Student-t-Verteilung für wachsendes n gegen die der Normalverteilung konvergiert, können für n ! 30 auch bei unbekannter Varianz die Fraktile der Normalverteilung verwendet werden (vgl. beispielsweise Bam-


285

berg, Baur 2002). Daher wird hier auf die Student-t-Verteilung nicht weiter eingegangen. Ist die Verteilung der Grundgesamtheit nicht bekannt, erhält man für n ! 30 bei obigem Vorgehen für praktische Fälle meist ausreichend genaue Ergebnisse, da aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes dann mit ausreichender Genauigkeit angenommen werden kann, dass der Mittelwert entsprechend normalverteilt ist. Solche allgemeinen statistischen Aussagen werden zur Auswertung von Simulationsstudien eingesetzt. Realisationen entsprechen Zufallsstichproben, sodass Schätzungen und Tests damit durchgeführt werden können. Sollen mittels einer Simulationsstudie Aussagen über einen unbekannten Erwartungswert abgeleitet werden, kann dieser durch den Mittelwert der Ergebnisse der Realisationen geschätzt und die Genauigkeit über das Konfidenzintervall angegeben bzw. gezielt durch weitere Simulationsläufe gesteigert werden. Sollen zwei Alternativen, z. B. drei oder vier Kassen, miteinander verglichen werden, ist die Abweichung der beobachteten Ergebnisse, wie z. B. durchschnittliche Wartezeit der Kunden, zum einen durch die unterschiedliche Kassenzahl und zum anderen durch die Zufälligkeit der generierten Realisationen bedingt. Um aussagekräftige Ergebnisse mit möglichst geringem Simulationsaufwand zu erzielen, sollten die für die Simulation geeigneten Methoden zum Simulationsdesign und zur Auswertung eingesetzt werden (u. a. Banks 1998, Bratley et al. 1987, Fishman 2001, Kleijnen 1987, Law u. Kelton 2006, Liebl 1995, Pidd 2004 und Watson u. Blackstone 1989) 7.2.3 Warteschlangensysteme und Risikoanalyse Die stochastische Simulation lässt sich sehr vielfältig in den verschiedenen Anwendungsbereichen einsetzen. So kann die Untersuchung eines Produktionsprozesses zusätzlich stochastische Einflüsse berücksichtigen. Die vorgestellte Anwendung in der Kunststoff verarbeitenden Industrie ließe sich etwa um zufällig eintretende Störungen der Anlagen erweitern, für die dann Konsequenzen für den Produktionsablauf ermittelt werden könnten, um den Kapazitätsreduktionen begegnen zu können. Geschäftsprozesse lassen sich mittels stochastischer Simulation untersuchen und verbessern (Völkner 1998, Völkner u. Werners 2000). Die Projektsteuerung kann in risikobehafteten Situationen durch simulationsbasierte Ansätze untersucht werden (Werners u. Wolf 2004, Wolf 2005). Eine Fülle weiterer Anwendungen ist der Simulationsliteratur zu entnehmen. Die Simulation wird häufig zur Untersuchung des Verhaltens von Warteschlangensystemen verwendet, die in verschiedensten Anwendungssituationen zu finden sind, wie etwa bei Callcentern, in der Produktion, in Service-Einrichtungen oder im Gesundheitswesen. Zwischenankunft der Kunden und Bedienung durch die Station in realen Warteschlangensystemen lassen sich oft durch Exponentialverteilungen angemessen modellieren. Für solche und weitere Systeme wurden im Rahmen der Warteschlangentheorie umfangreiche analytische Ergebnisse entwickelt, von denen im Folgenden einige grundlegende vorgestellt werden. Vor Durchfüh-

286


rung einer Simulationsstudie sollte stets geprüft werden, ob analytische Methoden verfügbar sind, die eine geschlossene, exakte Untersuchung erlauben. Diese sind dann vorzuziehen, da Simulationsuntersuchungen sehr aufwändig sind, besonders wenn präzise Ergebnisse mit ausreichender Genauigkeit gewünscht werden. Nur wenn die Realität sich als so komplex erweist, dass analytische Modelle nicht geeignet sind, sollte Simulation eingesetzt werden. Selbst dann sind Abschätzungen aus analytischen Untersuchungen gröberer Modelle häufig wertvoll, um sinnvolle Alternativen auszuwählen und durchzuführende Simulationsstudien festzulegen. Warteschlangensysteme Warteschlangenmodelle werden in der Literatur klassifiziert, indem die jeweiligen Eigenschaften in der Reihenfolge Ankunftsprozess, Bedienprozess, Anzahl der Kanäle, Größe des Warteraums und Abfertigungsregel angegeben werden. Häufig wird von einem beliebig großen Warteraum und der Abfertigungsregel FIFO ausgegangen, dies wird nicht extra angegeben, sondern die verbleibenden drei Merkmale reichen zur Klassifikation aus. Praxisrelevant sind besonders (M, M, s) Systeme, wobei M für Markov-Prozess steht und s die Anzahl der Bedieneinheiten darstellt. Ein Markov-Prozess ist durch diskrete Zustände charakterisiert, deren Änderungen in exponentialverteilten Zeitdauern erfolgen, die unabhängig von früheren Änderungen sind. Damit ist die Zahl der Zustandsänderungen pro Zeiteinheit poissonverteilt. Im Folgenden werden die Ergebnisse für s 1 angegeben. Analytische Aussagen beziehen sich auf den stationären Zustand des Systems, d. h. auf ein langfristig gleichmäßiges Verhalten. Die Warteschlange vor einem Postschalter ist bei Eintreffen des ersten Kunden leer und wird sich erst allmählich aufbauen. Nach einiger Zeit wird die übliche Warteschlangenlänge zu beobachten sein, vorausgesetzt, die Bedienung erfolgt ausreichend zügig. Nur dieses durchschnittliche Verhalten ist analytisch erfasst. Mittels Simulation kann auch das Einschwingverhalten beobachtet werden, jedoch ist ebenso zu beachten, dass diese erste Phase die durchschnittlichen Ergebnisse beeinflusst. Mit

U

Ankunftsrate Abfertigungsrate

O P

lässt sich die durchschnittliche Verkehrsdichte U , also die durchschnittliche Auslastung der Bedieneinheit ermitteln, wenn die Ankunftsrate O , also die durchschnittliche Anzahl zugehender Einheiten pro Zeiteinheit und die Abfertigungsrate P , also die durchschnittliche Anzahl abzufertigender Einheiten pro Zeiteinheit bekannt sind.


287

Die durchschnittliche Leerzeit W einer Bedienstation je Zeiteinheit ist

W

P O P

1 U

Leerzeiten können nur auftreten, wenn U 1 ist. Nur in diesem Fall kann das Warteschlangensystem (M, M, 1) einen stationären Zustand erreichen, anderenfalls wird die Schlange immer länger. Für den stationären Zustand lassen sich u. a. folgende Ergebnisse ermitteln. Die mittlere Zahl der Elemente im System ist

U

n

O P O

1 U

Die durchschnittliche Länge der Warteschlange (ohne Bedienung) ist nq

U2 1 U

U n

Die durchschnittliche Anzahl nb der in Bedienung befindlichen Einheiten ist n nq

nb

U

Die mittlere Zeit im System t beträgt n

t

O

1 P O

Die mittlere Wartezeit in der Schlange ist tq

U P 1 U

O P P O

U t

Mit zunehmender Auslastung U steigt die Wartezeit extrem an. Die durchschnittliche Zeit tb in der Bedienstation ist erwartungsgemäß tb

t tq

1 O P O P ( P O )

1

P

Beispiel Postschalter (M, M, 1) Die Zahl der ankommenden bzw. pro Zeiteinheit bedienten Kunden des Postschalters werden nun mit einer Poissonverteilung, d. h. die Dauern mit einer Exponentialverteilung, beschrieben, im Unterschied dazu wurde im früheren Simulationsbeispiel Gleichverteilung unterstellt. Die mittlere Zwischenankunftszeit beträgt 3 Minuten, damit kommen pro halbe Stunde im Mittel 10 Kunden an, also O 10 . Damit wird hier als betrachtete Zeiteinheit eine halbe Stunde gewählt. Diese wird konsequent bei den folgenden Berechnungen zugrunde gelegt. Auch für jede

288


andere Wahl stimmen die interpretierten Endergebnisse überein. Die Abfertigung dauert im Mittel 2 Minuten, also werden P 15 Kunden im Mittel pro halbe Stunde bedient. Die durchschnittliche Verkehrsdichte, also die durchschnittliche Auslastung des Schalters, beträgt somit

U

10

66 , 66%

15

und damit die durchschnittliche Leerzeit des Schalters

W

1

1 U

33,33% .

3

Die durchschnittliche Länge der Warteschlange (ohne Bedienung) ist

23

nq

U

2

1 23

4

1,33 .

3

Da die durchschnittliche Anzahl der in Bedienung befindlichen Kunden 2 ist, ist die durchschnittliche Anzahl der Kunden im System also 2. 3 Die mittlere Wartezeit in der Schlange beträgt

O P P O

tq

2

15

> ZE @

Da in diesem Beispiel von 1 ZE = 30 min ausgegangen wurde, beträgt die mittlere Wartezeit in der Schlange also 2

15 30

min

4 min .

Obwohl also der Postschalter nur zu ca. 67% ausgelastet ist, müssen die Kunden recht lange warten. Hinsichtlich weiterer analytischer Ergebnisse der Warteschlangentheorie wird auf die Literatur verwiesen (z. B. Chen und Yao 2001, Hillier und Lieberman 1997, Zimmermann und Stache 2001). Risikoanalyse Weit verbreitet ist die Simulation bei Untersuchungen im Rahmen des Risikomanagements. Bekannt ist die von Hertz (1964) vorgeschlagene Risikoanalyse, für die die Simulation zur Ermittlung des Risikoprofils eines Investitionsvorhabens eingesetzt wird. Dazu werden die zufälligen Einflüsse, die die zukünftigen Einund Auszahlungen des Investitionsprojekts beeinflussen, durch Expertenbefragungen ermittelt und dann entsprechende zufällige Realisationen generiert. Daraus werden jeweils die Zahlungsreihen und daraus die Realisationen der Kapitalwerte berechnet und die Ergebnisse mittels des Risikoprofils der Investitionsalternativen grafisch dargestellt. Das Risikoprofil entspricht 1 F ( x) , wenn F ( x) die Verteilungsfunktion des unsicheren Kapitalwertes ist, und ist für Nichtexperten anschaulicher als die Verteilungsfunktion.


289

1-F (x) 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Kapitalwert 0

1000

2000

3000

4000

Abb. 7.24. Risikoprofil eines Investitionsvorhabens

Die Werte des Risikoprofils geben jeweils die Wahrscheinlichkeit an, einen bestimmten Kapitelwert mindestens zu erreichen. So ist das Projekt, zu dem obiges Risikoprofil ermittelt wurde, mit Sicherheit erfolgreich, da mit Wahrscheinlichkeit 1 der Kapitalwert größer oder gleich null ist. Mit 50%iger Wahrscheinlichkeit liegt der Kapitalwert über 2.100. Zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit mehrerer mit Risiko behafteter Investitionsalternativen im Vergleich sind weiterführende, entscheidungstheoretisch fundierte Ansätze zu berücksichtigen. Beispiel Risikoprofil I1 Die Anlageninvestition I1 ist mit einer Zahlungsreihe beschreibbar, jedoch sind die Einzahlungsüberschüsse zu den Zeitpunkten 1 bis 3 mit Unsicherheit behaftet. Es kann davon ausgegangen werden, dass sie unabhängig voneinander gleichverteilt in den angegebenen Intervallen schwanken, sodass die Zahlungen Z1 , Z 2 und Z 3 in den angegebenen Intervallen gleichverteilte Zufallsvariablen sind. Zeitpunkt Zahlungen

t

0

-2.100

t 1 [900, 1100]

t

2

[850, 1150]

t

3

[830, 1230]

Unter Einsatz der Simulation soll das Risikoprofil für diese Investition ermittelt werden. Zur Illustration wird das Vorgehen wieder manuell mit sehr wenigen Werten durchgeführt. Zunächst werden 30 Zufallszahlen in > 0 ,1@ generiert mit dem linearen Kongruenzgenerator xi

(5 xi 1 3) mod 64 .

290


Mit dem Startpunkt x0 x0

4, x1

23, x2

4 erhält man die Folge 54, 17, 24, 59, 42, 21, 44, 31, 30, 25, 0, 3, 18, 29,

20, 39, 6, 33, 40, 11, 58, 37, 60, 47, 46, 41, 16, 19.

Diese Folge wirkt wie zufällig auf den Zahlen von 0 bis 63 gleichmäßig verteilt. Nach Division durch 63 resultiert eine gleichverteilte Pseudozufallszahlenfolge in > 0 ,1@ . Alle folgenden Angaben sind auf 2 Stellen gerundet, die Berechnungen wurden sämtlich mit den exakten Werten durchgeführt: 0, 06; 0, 37; 0,86; 0, 27; 0,38; 0, 94; 0, 67; 0, 33; 0, 70; 0, 49;...

Mittels der geeigneten Transformationsfunktionen werden daraus gleichverteilte Zufallszahlen in den gewünschten Intervallen errechnet; für die Berechung wurden die ungerundeten Werte verwendet. Die ersten zehn Zufallszahlen werden zur Ermittlung der zehn Zahlungen zum Zeitpunkt 1 unter Einsatz der Transformationsfunktion g1 (u ) ermittelt:

>900;1100@ : g1 ( u )

900 200 u.

Entsprechend werden zur Erzeugung der Zahlungen der Zeitpunkte 2 und 3 die folgenden Transformationsfunktionen eingesetzt:

>850;1150@ : g 2 ( u )

850 300 u.

>830;1230@ : g3 ( u )

830 400 u

Tabelle 7.5. Generierte Zahlungsfolgen und Kapitalwerte

Realisation

Z3

K 01

Z1

Z2

1

912,70

992,86

1083,97

364,67

2

973,02

969,05

899,84

261,49

3

1071,43

850,00

1198,25

476,77

4

953,97

864,29

1064,92

281,62

5

976,19

935,71

1210,95

470,57

6

1087,30

988,10

1128,41

552,86

7

1033,33

945,24

1122,06

463,61

8

966,67

1035,71

1090,32

453,92

9

1039,68

878,57

931,59

271,17

10

998,41

1007,14

950,63

354,22


291

Für jeweils eine Kombination von Ausprägungen zu den drei Zeitpunkten wird nun der Kapitalwert mit einem Kalkulationszins von 10 % ermittelt. Eine Übersicht ist in Tabelle 7.5 zu finden: K 01

2.100 912, 70 (1,1) 1 992,86 (1,1) 2 1083,97 (1,1) 3

364, 67.

Die zweite Realisation des Kapitalwertes wird bestimmt zu K 01

2.100 973, 02 (1,1) 1 969, 05 (1,1) 2 899,84 (1,1) 3

261, 49.

Mit diesen Daten wird das Risikoprofil dieser Investitionsalternative approximiert. Dazu werden die Werte der Größe nach sortiert und jeweils von einer Wahrscheinlichkeitssteigerung von 0 ,1 ausgegangen. Verteilung F (x)

1 0,8 0,6 0,4 0,2

100

200

300

400

500

Kapitalwert

Abb. 7.25. Risikoprofil I1 nach 10 Simulationsläufen

Da die Annäherung aufgrund der geringen Zahl der Simulationsläufe noch sehr grob ist, werden die tatsächlichen Werte nicht unbeträchtlich von diesen abweichen. Der mittels Simulation bestimmte durchschnittliche Kapitalwert für dieses Vorhaben beträgt 395,09, die geschätzte Standardabweichung 56,96. Eine sehr grobe Abschätzung des Konfidenzintervalls zeigt, dass der beobachtete mittlere Wert von 395,09 mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr als 35,30 vom tatsächlichen Erwartungswert des Kapitalwertes abweicht. Dazu wurde eine bekannte Standardabweichung vorausgesetzt, die tatsächlich geschätzt wurde, was die mögliche Abweichung noch vergrößert. Eine Fülle weiterer Einsatzgebiete der Simulation findet man in unterschiedlichsten Anwendungsbereichen. So wird die Risikoanalyse auch in anderen Einsatzgebieten häufig simulationsbasiert durchgeführt. Simulation wird auch zur

292


Nachbildung der zeitlichen Entwicklung von ggf. korrelierten Aktienkursen verwendet, um darauf aufbauend das Marktrisiko der Haltung von Wertpapierhandelsbeständen schätzen zu können. Die Ermittlung des Value at Risk eines Portfolios, ein Maß für die Verlustobergrenze, geschieht häufig simulationsbasiert. 7.2.4 Aufgaben Aufgabe 7.2.1 Der Pharmakonzern NitroBey beabsichtigt die Einführung eines neuartigen Medikamentes zur Blutdrucksenkung. Die Forschungs- und Entwicklungsvorhaben im Bereich der Pharmaindustrie unterliegen jedoch einem hohen Risiko, da sowohl die technische Realisierung als auch die spätere Markteinführung sowie die Akzeptanz des Produktes mit Unsicherheit behaftet sind. Daher verfolgt das Management ein dreistufiges Vorgehen. Sobald eine Stufe nicht zufrieden stellend abgeschlossen wurde, wird das gesamte Projekt abgebrochen. Die erreichten Erkenntnisse sind dennoch von Wert für das Unternehmen. Die erste Stufe stellt das Ende der Forschungstätigkeit dar und wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % positiv beendet. Daraus resultiert eine Wertsteigerung von 60.000 € ± 10 %. Mit dem Ende der zweiten Stufe ist die Entwicklung des Medikamentes abgeschlossen. Hierbei kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % zu einem positiven Ergebnis und einer weiteren Wertsteigerung von 80.000 € ± 25 %. Nach positiver Forschungs- und Entwicklungstätigkeit werden als dritte Stufe die Markteinführung und der Absatz des Medikamentes während des ersten Jahres betrachtet. Ein zufrieden stellendes Ergebnis wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 75 % erwartet, welches zu zusätzlichen Wertsteigerungen in Höhe von 450.000 € ± 25 % führen wird. Die voraussichtlichen Wertsteigerungen sind mit Unsicherheit behaftet und liegen jeweils zwischen den Minimal- und Maximalwerten. Sie sind durch eine stetige Gleichverteilung beschreibbar. a) Geben Sie analytisch die Wahrscheinlichkeit für eine erfolgreiche Markteinführung an. b) Führen Sie manuell mehrere Simulationsläufe durch. Geben Sie zunächst die zu verwendenden Transformationsfunktionen an. Verwenden Sie zur Bestimmung der Eintrittswahrscheinlichkeiten bzw. Ergebnisverbesserungen der Reihe nach sämtliche folgende in [0; 1] gleichverteilte, gerundete Pseudozufallszahlen: 0,3; 0, 7; 0, 6; 0,1; 0, 4; 0,8; 0,5; 0, 2; 0,9; 0,8; 0,3; 0, 7

Aufgabe 7.2.2 Der Student Felix Vorms beginnt mit der Literaturrecherche für seine Diplomarbeit im Fach Operations Research. Er wählt sich von zu Hause über das Internet in den Katalog der Universitätsbibliothek ein und gibt die Daten der benötigten Bücher ein. In 80 % der Fälle findet das System das gesuchte Buch und Felix


293

erhält die Information, wo das Buch verfügbar ist. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % befindet sich das Buch in der Fakultätsbibliothek, zu 10 % in der Universitätsbibliothek und zu 50 % in einer Universität einer anderen Stadt. Als nächstes prüft er die Verfügbarkeit der angezeigten Bücher an den jeweiligen Standorten. Dabei stellt sich heraus, dass er 60 % der Bücher sofort ausleihen bzw. einsehen kann, 35 % der Bücher bereits ausgeliehen sind und 5 % der Bücher nicht aufzufinden und daher mit einem Vermisst-Vermerk versehen sind. Erzeugen Sie sechs unterschiedliche, in dem Intervall > 0, 1@ gleichverteilte (Pseudo-) Zufallszahlen unter Anwendung eines linearen Kongruenzgenerators. Geben Sie für die drei Stufen des Suchprozesses eines Buches je eine geeignete Transformationsfunktion an und setzen Sie die erzeugten Zufallszahlen ein, um Realisationen der Literaturrecherche zu bestimmen. Führen Sie hierbei zwei Simulationsläufe durch und geben Sie die Ergebnisse explizit an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Felix Vorms das gesuchte Buch in der Fakultätsbibliothek findet und dort einsehen kann? Vergleichen Sie das analytisch ermittelte Ergebnis mit dem der Simulation. Aufgabe 7.2.3 Die Landesregierung in NRW plant, für ca. 3,5 Mrd. € auf der Strecke DortmundDüsseldorf den Metrorapid zu bauen. Dadurch soll die Reisezeit zwischen Dortmund und Düsseldorf von 57 Minuten mit bisherigen Zügen auf 39 Minuten verkürzt werden. Gleichzeitig sollen jedoch die Regionalexpress-Linien RE 1 und RE 11 Bielefeld-Düsseldorf sowie die Interregio-Linie IR 20 Erfurt-Düsseldorf statt bis Düsseldorf nur noch bis Dortmund geführt werden. Kritiker bemängeln, dass Zeitgewinne für diejenigen Fahrgäste, die aus der Richtung Bielefeld bzw. Erfurt nach Düsseldorf reisen, aufgrund erforderlicher Umsteigezeiten in Dortmund nur marginal sind und daher eine derartige Investition nicht zu rechtfertigen ist. Für Vorabüberlegungen zur Beratung politischer Gremien über die Reisezeiten betrachten Sie den Zeitraum zwischen 12.00 h und 13.00 h eines beliebigen Wochentags. Die Zahl der Fahrgäste, die pro Zug, RE 1, RE 11 oder IR 20, in Dortmund ankommen und nach Düsseldorf weiterfahren, kann als diskret gleichverteilt im Intervall >50, 54@ angesehen werden. Aussteiger für andere Städte, die der Metrorapid bedienen soll, und Einsteiger in Dortmund werden nicht berücksichtigt. Bielefeld g ur i sb u D

n se Es

um ch o B

d un tm r Do

RE 1 RE 11

Metrorapid bisheriger Endbahnhof für RE 1, RE 11, IR 20

Düsseldorf

geplanter Endbahnhof für RE 1, RE 11, IR 20

IR 20 Erfurt

294


Erzeugen Sie eine Folge von sechs unterschiedlichen, im Intervall [0,1] gleichverteilten Pseudozufallszahlen. Benutzen Sie diese sechs Zahlen zur Bestimmung von sechs Realisationen der Fahrgastzahlen, die pro Zug in Dortmund ankommen und nach Düsseldorf weiterfahren möchten. Ermitteln Sie auf Basis der sechs Realisationen für zwei Simulationsdurchläufe den durchschnittlichen Zeitgewinn pro Fahrgast mit Fahrtziel Düsseldorf für den Abschnitt Dortmund-Düsseldorf im Vergleich zur bisherigen Fahrzeit bei durchgehenden Zügen. Beginnen Sie mit der Ankunftszeit in Dortmund. Beziehen Sie bei Ihrer Berechnung die Wartezeit in Dortmund und den Zeitgewinn durch den Metrorapid ein.

Ankunft in Dortmund

Anschluss durch Metrorapid zur Weiterfahrt nach Düsseldorf

Linie

12.13 h

RE 1 aus Bielefeld

12.20 h

12.19 h

IR 20 aus Erfurt

12.30 h

12.45 h

RE 11 aus Bielefeld

12.50 h

Aufgabe 7.2.4 Die Simulation des folgenden Netzplans mit stochastischen, in den angegebenen Intervallen gleichverteilten Dauern soll durchgeführt werden.

> 2,3@

>3, 4@

>5, 6@ Geben Sie die minimal bzw. maximal mögliche Dauer des zugrunde liegenden Projektes an. Ermitteln Sie ausgehend von den auf > 0,1@ gleichverteilten Zufallszahlen: 0,4; 0,7; 0,5; 0,2; 0,3; 0,1; 0,9; eine Realisation des Projektes und die zugehörige Dauer. Nach der Durchführung von 100 Simulationsläufen erhalten Sie für die Projektdauer den beobachteten Mittelwert 6,12 und die beobachtete Standardabweichung 0,2. Wie genau ist der beobachtete Mittelwert? Sie wollen mit 95%iger Sicherheit eine maximale Abweichung des unbekannten Erwartungswertes der Projektdauer von Ihrem Simulationsergebnis von 0,01 erreichen. Geben Sie an, wie viele Simulationsläufe dazu durchzuführen sind.


295

Aufgabe 7.2.5 Das Bahnbetriebswerk in Dortmund ist für die Wartung kompletter Hochgeschwindigkeitszüge verantwortlich. Da teilweise sehr lange Wartezeiten bei der Wartung entstehen, obwohl das Betriebswerk durchgehend arbeitet, werden Untersuchungen zur Ermittlung möglicher Verbesserungsmaßnahmen durchgeführt. Das Ankunftsverhalten der Züge kann durch eine Exponentialverteilung mit einem Erwartungswert von 15 Stunden für die Zwischenankunftszeiten beschrieben werden. Die Wartung je eines kompletten Zuges wird als exponentialverteilt mit einer erwarteten Dauer von 12 Stunden angesehen. Es kann zeitgleich nur ein Zug gewartet werden. Die Opportunitätskosten für einen Zug, der außer Betrieb ist, betragen 250 GE je Stunde. Ermitteln Sie mit Hilfe warteschlangentheoretischer Untersuchungen, wie hoch die mittlere Schlangenlänge und die mittlere Wartezeit ist. Wie hoch sind die durchschnittlichen Opportunitätskosten pro Zug, die allein aufgrund der Wartezeit anfallen? Aufgabe 7.2.6 Beim Einwohnermeldeamt einer Kleinstadt im Sauerland bildet sich regelmäßig eine Schlange vor der Personalausweisbearbeitungsstelle. Die Öffnungszeiten sind vormittags von 10.00 Uhr bis 12.00 Uhr. Eine erste Untersuchung zeigt, dass das Ankunftsverhalten der Kunden durch eine Poissonverteilung mit einer mittleren Ankunftsrate von 1,5 Bürgern je 10 Minuten annähernd beschrieben werden kann. Die Antragsbearbeitungsdauer durch den einzigen Sachbearbeiter kann als exponential verteilt angenommen werden mit einem Mittelwert von 5 Minuten. Geben Sie auf Grund warteschlangentheoretischer Überlegungen an, wie hoch die Auslastung der Halbtagskraft ist, wie viele Bürger im Mittel warten müssen und wie lang die mittlere Wartezeit ist. Aufgabe 7.2.7 Der Supermarkt OptiSpar möchte die Servicefreundlichkeit an der Wursttheke weiter erhöhen. Untersuchungen haben ergeben, dass das Ankunftsverhalten der Kunden an der Wursttheke durch eine Poissonverteilung mit einer mittleren Ankunftsrate von 3 Kunden je 15 Minuten annähernd beschrieben werden kann. Der gesamte Bedienvorgang durch die einzige Fleischfachverkäuferin kann als exponential verteilt angenommen werden mit einem Mittelwert von 3 Minuten. Bestimmen Sie den prozentualen Anteil der Zeit, in der die Verkäuferin unbeschäftigt ist. Geben Sie die durchschnittliche Länge der Warteschlange vor der Wursttheke und die durchschnittliche Wartezeit der Kunden an. Aufgabe 7.2.8 Für ein Investitionsvorhaben wurde mittels Risikoanalyse in 400 Simulationsläufen ein durchschnittlicher Kapitalwert von 350 GE beobachtet, die Standardab-

296


weichung der beobachteten Kapitalwerte beträgt 45. In welchem Bereich wird der Erwartungswert des Kapitalwertes mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit liegen? In welchem mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit? Müssen zur Sicherstellung einer maximalen Abweichung von 1 % weitere Simulationsläufe durchgeführt werden?

8 Lösungen

8.1 Quantitative Entscheidungsunterstützung 1.2.1 a) Schüler a2 dominiert Schüler a1 , da a2 in allen Fächern eine bessere Note als a1 hat. b) Eine so allgemeine Effizienzaussage ist nicht sinnvoll, da es sicher Schüler gibt, die hinsichtlich aller aufgeführten Noten besser sind. Die Aussage ist wahr in Bezug auf die betrachtete Schülermenge. Die Schüler a2 und a3 werden von keinem anderen Schüler dominiert, sie sind demnach effizient bez. a1 ,..., a4 . c) Da die Schüler a2 und a3 effiziente Schüler sind (vgl. 2), ist diese Aussage falsch. d) Diese Aussage ist falsch. Schüler a4 ist im Fach Mathematik besser und in Englisch schlechter als Schüler a1 . Damit ist ein Vergleich nicht möglich, ohne zusätzliche Präferenzkriterien zu kennen, auch keine Aussage über die Indifferenz. e) Schüler a2 und a3 sind nicht miteinander vergleichbar, daher kann a2 nicht bester Schüler sind. Da er nicht dominiert wird, also effizient ist, gehört er jedoch zur Menge der besten Schüler, ebenso wie a3 . 1.2.2 a2 [ a1 , a2 [ a4 , a2 [ a3 , a4 [ a3 , d. h. die Alternative a2 wird von allen anderen dominiert. Alternative a4 wird von a3 dominiert. Alternative a1 ist weder mit a3 noch mit a4 vergleichbar. a1 und a3 sind undominiert, also effizient bez. der betrachteten Menge von vier Alternativen, und kommen für eine Auswahl in Betracht. Dennoch kann nicht argumentiert werden, dass a1 besser sei als a4 . 1.2.3 Als Ergebnis wird jeweils der Erlös abzüglich der fixen und variablen Kosten bestimmt.

298

Lösungen

Nachfrage

100

200

400

0

0

0

0

100

0

0

0

200

-100

100

100

400

-300

-100

300

Auflage

Die Alternative, nicht zu produzieren oder eine Auflagenhöhe von 100 festzulegen, sind vergleichbar und führen mit Sicherheit weder zu einem Gewinn noch zu einem Verlust. Beide Alternativen sind mit den anderen beiden und diese auch gegenseitig zunächst jeweils unvergleichbar. Da bekannt ist, dass der Verleger risikoneutral ist, kann der Erwartungswert der Ergebnisse als Kriterium zur Beurteilung der Handlungsalternative herangezogen werden. Der erwartete Gewinn des Verlegers beträgt bei einer Wahrscheinlichkeit von 1 für jeden Umweltzustand für die Handlungsalternative: 3 E (0)

0, E (100)

0, E (200)

33, 3, E (400)

33, 3

Damit sollte der risikoneutrale Verleger als Auflagenhöhe 200 wählen mit einem erwarteten Gewinn von 33, 3 GE. Es ist jedoch zu beachten, dass später trotz guter Planung die ungünstige Situation eintreten kann, dass „Der Ring“ vorher erscheint und der Verleger einen Verlust von 100 GE hinnehmen muss. 1.2.4 Zielvorstellungen beschreiben die Präferenzen bez. der mit der Wahl des Urlaubsziels verbundenen Handlungskonsequenzen. Beispielsweise kann ein minimaler Reisepreis und eine maximale Urlaubsbräune angestrebt werden. Alle konkret buchbaren bzw. organisierbaren Urlaubsreisen während der Weihnachtszeit, wie z. B. achttägiger Aufenthalt auf Mallorca oder Gran Canaria mit Flug und konkretem Hotel, stellen die zu wählenden Handlungsalternativen dar. Umweltzustände haben einen Einfluss auf das Ergebnis, allerdings hat der Entscheidungsträger keinen Einfluss auf die Umweltzustände. Mögliche Umweltzustände sind in dieser Entscheidungssituation beispielsweise gutes bzw. schlechtes Wetter auf Mallorca bzw. Gran Canaria und Verfügbarkeit günstiger Last-MinuteAngebote. Ergebnisse in der Entscheidungssituation sind die Konsequenzen je einer Handlungsalternative bei Eintreten je eines Umweltzustands. Im Folgenden wird ein Ausschnitt der Ergebnismatrix dargestellt. Da das Wetter auf Mallorca und Gran Canaria voneinander abweichen kann, sind alle möglichen Kombinationen zu berücksichtigen, also vier Umweltzustände. Die Preise für die Last-MinuteAngebote werden als abhängig von der Nachfrage, die auch von den Wetterbedin-


299

gungen beeinflusst wird, angenommen. Als Ergebnisse werden die Wettersituation und der Reisepreis angegeben.

Wetter auf Mallorca gut

Wetter auf Mallorca schlecht

Wetter auf Mallorca gut

Wetter auf Mallorca schlecht

Wetter auf Gran Canaria gut

Wetter auf Gran Canaria schlecht

Wetter auf Gran Canaria schlecht

Wetter auf Gran Canaria gut

Mallorca

Gut / 300

Schlecht / 250

Gut / 350

Schlecht / 250

Gran Canaria

Gut / 500

Schlecht / 600

Schlecht / 450

Gut / 450

Um eine gute Entscheidung treffen zu können, müssen der Nutzen der Ergebnisse, die Artenpräferenz hinsichtlich der beiden Zielvorstellungen niedriger Reisepreis und tiefe Bräune und die Unsicherheitspräferenz des Entscheidungsträgers bekannt sein. 1.2.5 Wolfgang Optimax kann einen Betrag von x auf sein Sparbuch legen mit 0 d x d 10.000 . Den restlichen Betrag investiert er in optinische Staatsanleihen mit 0 d y d 10.000 . Da ihm keine weiteren Alternativen zur Verfügung stehen, muss gelten x y 10.000 bzw. x 10.000 y . Es sind zwei Umweltzustände zu berücksichtigen: Optinische Staatsanleihen behalten ihren Wert mit 90 %iger Wahrscheinlichkeit oder haben einen Wert von 0 mit 10 %iger Wahrscheinlichkeit. Die „Ergebnismatrix“ lautet für die möglichen Handlungsalternativen x > 0;10.000@ : Opt. Staatsanleihen behalten Wert

Opt. Staatsanleihen verlieren Wert

pi

0,9

0,1

x > 0;10.000@

x 1, 02 10.000 x 1,1

x 1, 02

Ist der Entscheidungsträger risikoneutral und strebt er einen möglichst hohen Betrag zum Ende des Jahres an, sollte er den Erwartungswert der Auszahlungen maximieren und seine Alternative x entsprechend wählen. max

x> 0, 10.000@

^0,9 x 1, 02 10.000 x 1,1 0,1 x 1, 02 `

300

Lösungen

max

^ x 1, 02 0,9 1,1 10.000 x `

max

^ x 1, 02 0,99 9.900`

x> 0, 10.000@

x> 0, 10.000@

Das Maximum wird für x 10.000 angenommen, d. h., der gesamte Betrag sollte auf das Sparbuch eingezahlt werden.

8.2 Grundlagen linearer Optimierung Simplexalgorithmus zur Lösung des Grundmodells 2.2.1 Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus: 8 x1

28 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

2

1

0

0

54

27

0

s2

1

0

0

1

0

21

-

0

s3

0

1

0

0

1

33

33

'z

-8

-28

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

0,5

1

0,5

0

0

27

28 x2 0

s2

1

0

0

1

0

21

0

s3

-0,5

0

-0,5

0

1

6

'z

6

0

14

0

0

756

Alle Werte der ' z-Zeile im Endtableau sind nichtnegativ, das Endtableau liefert also für dieses Modell eine optimale Lösung. Da alle Nichtbasisvariablen echt positive Werte aufweisen, ist diese Lösung die einzige optimale. Der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag von 756 Geldeinheiten wird erreicht, wenn 27 Einheiten des Produkts Butterkekse mit Schokoladenüberzug hergestellt werden. Klassische Butterkekse werden nicht hergestellt.


301

Die erste Produktionsstufe stellt einen Engpass dar, da s1 0 gilt. Eine Kapazitätserhöhung der ersten Produktionsstufe ist sinnvoll, da so die Produktionsmenge vergrößert und der Gesamtdeckungsbeitrag um 14 Geldeinheiten pro Einheit Kapazitätserhöhung gesteigert werden kann, wie der zu s1 gehörige Schattenpreis zeigt. Die Produktion einer weiteren, d. h. hier überhaupt einer Einheit klassischer Butterkekse reduziert den Gesamtdeckungsbeitrag um 6 Geldeinheiten, den Opportunitätskosten, entnehmbar der ' z-Zeile unter x1. Wie in Kapitel 3 ausführlicher dargestellt wird, gelten diese Aussagen nur für marginale Erhöhungen und unter der hier vorliegenden Voraussetzung, dass das Ausgangsmodell die Grundmodellstruktur aufweist. 2.2.2 a) Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert folgende Tableaus: 0,2 x1

0,4 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

0,2

0,1

1

0

0

50

500

0

s2

1

1

0

1

0

300

300

0

s3

0

1

0

0

1

100

100

0

0

0

0

'z

-0,2 -0,4 x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

0,2

0

1

0

-0,1

40

200

0

s2

1

0

0

1

-1

200

200

0,4 x2

0

1

0

0

1

100

-

-0,2

0

0

0

0,4

40

x1

x2

s1

s2

s3

RS

0,2 x1

1

0

5

0

-0,5

200

s2

0

0

-5

1

-0,5

0

0,4 x2

0

1

0

0

1

100

'z

0

0

1

0

0,3

80

'z

0

302

Lösungen

Die ' z-Zeile weist nur positive Werte auf, daher ist die gefundene Lösung optimal. Der maximale Deckungsbeitrag von 80 Geldeinheiten lässt sich erzielen, wenn täglich 200 Becher Kaffee und 100 Becher Espresso verkauft werden. Der Stand lohnt sich eventuell, da der Deckungsbeitrag auch nach Abzug der fixen Kosten von 20 Geldeinheiten mit 60 Geldeinheiten noch positiv ist. Zu berücksichtigen sind jedoch noch weitere Kosten wie kalkulatorischer Unternehmerlohn, Kosten für die Bereitstellung und Betrieb des Mini Coopers u. a., bevor eine nicht nur auf das kurzfristige Produktionsprogramm abstellenden Wirtschaftlichkeitsaussage getroffen werden kann. Da s2 mit Wert null in Basis ist, also eine primale Entartung vorliegt, existiert eine weiteres optimales Endtableau. Dieses wäre nach Elimination von s2 im vorherigen Tableau erzielt worden. Die zugehörigen Basisvariablen sind s1 , x1 und x2 , wobei s1 mit Wert null in Basis ist. Die beiden Lösungen stimmen überein. b) Zunächst ist aus den vorherigen Angaben die Kapazität des Mini Coopers zu ermitteln: 50 l Wasser + 300 Becher + 100 Plätzchen: 50 l + 30 l +5l = 85 l

Als nächstes wird der Platzbedarf in Litern für eine Einheit Kaffee bzw. Espresso bestimmt: Kaffee: Espresso:

0,2 l + 0,1 l = 0,3 l 0,1 l + 0,1 l + 0,05 l = 0,25 l

Das neue Optimierungsmodell lautet dann: max z = 0, 2 x1 0, 4 x2 0,3 x1 0, 25 x2 d 85

s.d .

x1 , x2 t 0 Da nur ein Engpass besteht, ist es optimal, möglichst viel Espresso, also 340 Tassen, zu verkaufen, da Espresso mit 0,4/0,25 = 1,6 gegenüber Kaffee mit 0,2/0,3 = 0,67 den höheren relativen Deckungsbeitrag aufweist. Der Simplexalgorithmus liefert dieselbe optimale Lösung mit dem optimalen Endtableau: x1

x2

s3

RS

0,4 x2

1,2

1

4

340

'z

0,28

0

1,6

136

2.2.3 Unter Anwendung des Simplexalgorithmus ergeben sich folgende Tableaus:


303

20 x1

40 x2

35 x3

80 x4

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

1

4

2

5

1

0

0

60

12

0

s2

3

6

3

3

0

1

0

72

24

0

s3

3

1

2

2

0

0

1

76

38

'z

-20

-40

-35

-80

0

0

0

0

x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

4

80 x4

1/

5

4/

5

2/

5

1

1/

0

0

12

60

0 s2

12/

5

18/

5

9/

5

0

-3/

5

1

0

36

15

0 s3

13/

5

-3/

5

6/

5

0

-2/

5

0

1

52

20

'z

-4

24

-3

0

16

0

0

960

x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

4

80 x4

0

1/

2

1/

4

1

1/

-1/

0

9

36

20 x1

1

3/

2

3/

4

0

-1/

0

15

20

0 s3

0

-9/

0

1/

1

13

-

'z

0

30

0

15

0

1020

2

-3/

4

0

5

4 4

4

12

5/

12 -13/ 12 5/ 3

Im optimalen Endtableau ist x3 Nichtbasisvariable, der Wert von x3 in der ' zZeile ist jedoch gleich null, es liegt also eine duale Entartung vor. Zur Ermittlung der vollständigen Lösung ist noch ein Basiswechsel erforderlich, der x3 an Stelle von x1 in die Basis aufnimmt. Damit kommt man zu folgendem weiteren optimalen Endtableau: x1

x2

x3

x4

s1

s2

s3

RS

80 x4

-1/ 3

0

0

1

1/ 3

-2/ 9

0

4

35 x3

4/ 3

2

1

0

-1/ 3

0

20

0 s3

1

-3

0

0

0

1

28

'z

0

30

0

0

15

5/ 9 -2/ 3 5/ 3

0

1020

304

Lösungen

Die Menge aller optimalen Lösungen ist folglich:

L

§ x1 · § x1 · ½ § 15 · §0 · °¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ x x 0 0 °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ °¨ x3 ¸ ¨ x3 ¸ ° ¨0¸ ¨ 20 ¸ °¨ ¸ ¨ ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ ®¨ x4 ¸ | ¨ x4 ¸ O ¨ 9 ¸ 1 O ¨ 4 ¸ , O > 0, 1@¾ °¨ s ¸ ¨ s ¸ ° ¨0¸ ¨0 ¸ °¨ 1 ¸ ¨ 1 ¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ °¨ s2 ¸ ¨ s2 ¸ ° ¨0¸ ¨0 ¸ °¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ° ¨ ¸ ¨ ¸ 13 28 s s © ¹ © ¹ ¯°© 3 ¹ © 3 ¹ ¿°

Mit jeder der optimalen Lösungen wird der Gesamtdeckungsbeitrag von 1020 erzielt. Damit sind die optimalen Produktionsprogramme alle obigen Kombinationen der Produktionsmengen von x1 , x3 und x4 . 2.2.4 a) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 2 0 0 x1 x2 s1 s2

0 s3

RS

4

0 s1

1

2

1

0

0

10

5

0 s2

1

4

0

1

0

16

4

0 s3

1

0

0

0

1

5

-

'z

-1

-2

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0 s1

0,5

0

1

-0,5

0

2

4

2 x2

0,25

1

0

0,25

0

4

16

0 s3

1

0

0

0

1

5

5

-0,5

0

0

0,5

0

8

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

1 x1

1

0

2

-1

0

4

-

2 x2

0

1

-0,5

0,5

0

3

6

0 s3

0

0

-2

1

1

1

1

'z

0

0

1

0

0

10

'z


305

Alle Werte der ' z-Zeile sind nichtnegativ, d. h., das optimale Endtableau ist erreicht. Da jedoch s2 in die Basis aufgenommen werden kann, ohne dass sich der Zielfunktionswert ändert, existiert eine zweite optimale Basislösung: x1

x2

s1

s2

s3

RS

1 x1

1

0

0

0

1

5

2 x2

0

1

0,5

0

-0,5

2,5

0 s2

0

0

-2

1

1

1

'z

0

0

1

0

0

10

§ x1 · § x1 · § 4· § °¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ x x 3 °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ° ®¨ s1 ¸ | ¨ s1 ¸ O ¨ 0 ¸ 1 O ¨ ¨ ¸ ¨ °¨ s ¸ ¨ s ¸ ¨ 0¸ ¨ °¨ 2 ¸ ¨ 2 ¸ ¨1¸ ¨ °¯¨© s3 ¸¹ ¨© s3 ¸¹ © ¹ ©

L

½ 5 · ° ¸ 2,5 ¸ ° ° 0 ¸ , O > 0, 1@¾ ¸ ° 1 ¸ ° 0 ¸¹ ¿°

Der optimale Zielfunktionswert ist jeweils 10. b) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 x1

2 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

2

1

1

0

0

15

15

0

s2

-0,5

1

0

1

0

2,5

2,5

0

s3

0

1

0

0

1

5

5

'z

-1

-2

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

2,5

0

1

-1

0

12,5

5

2

x2

-0,5

1

0

1

0

2,5

-

0

s3

0,5

0

0

-1

1

2,5

5

'z

-2

0

0

2

0

5

306

Lösungen

x1

x2

s1

s2

s3

RS

1

x1

1

0

0,4

-0,4

0

5

2

x2

0

1

0,2

0,8

0

5

0

s3

0

0

-0,2

-0,8

1

0

'z

0

0

0,8

1,2

0

15

Es liegt eine primale Entartung vor, da s3 sich mit Wert null in Basis befindet, in der optimalen Basis sind alle drei Restriktionen bindend. Weitere optimale Basen sind möglich und führen z. B. zu folgendem Tableau, welches mittels dualem Simplexalgorithmus ermittelt werden kann, auf den hier nicht eingegangen wird (siehe dazu z. B. Hadley 1980, Zimmermann 2005). x1

x2

s1

s2

s3

RS

1

x1

1

0

0,5

0

-0,5

5

2

x2

0

1

0

0

1

5

0

s2

0

0

0,25

1

-1,25

0

'z

0

0

0,5

0

1,5

15

Die einzige optimale Lösung ist x1 tionswert 15.

5 und s1

x2

s2

s3

0 mit Zielfunk-

c) Anwendung des Simplexalgorithmus: 1 x1

2 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

0

s1

0

1

1

0

0

10

10

0

s2

-2

1

0

1

0

5

5

0

s3

- 2/5

1

0

0

1

8

8

'z

-1

-2

0

0

0

0


x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

0

s1

2

0

1

-1

0

5

5/2

2

x2

-2

1

0

1

0

5

-

0

s3

8/ 5

0

0

-1

1

3

15/8

'z

-5

0

0

2

0

10

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

- 5/4

5/

4

5

0

s1

0

0

1

1/

2

x2

0

1

0

- 1 /4

5/

4

35/ 4

-

1

x1

1

0

0

- 5 /8

5/

8

15/ 8

-

'z

0

0

0

- 9 /8

25/ 8

155/ 8

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

4

0

s2

0

0

4

1

-5

5

-

2

x2

0

1

1

0

0

10

-

1

x1

1

0

5/

2

0

- 5 /2

5

-

'z

0

0

9/

2

0

- 5 /2

25

307

Im letzten Tableau sind nicht alle Werte der ' z-Zeile nichtnegativ, d. h., eine optimale Lösung ist noch nicht erreicht. Der Simplexalgorithmus bricht hier ab, da s3 nicht in die Basis aufgenommen werden kann. Eine beliebige Erhöhung von s3 ist möglich, führt zu einer Erhöhung von x1 und verbessert den Zielfunktionswert. Es gilt:

x2

5 5 2 s3 10

z

25 5 2 s3

x1

Folglich ist der Lösungsraum in Richtung einer Zielfunktionsverbesserung unbeschränkt und es gibt unendlich viele zulässige, jedoch keine optimale Lösung. Die beste im Tableau festgestellte Lösung ist x1 = 5, x2 = 10, s2 = 5 und s1 = s3 = 0

308

Lösungen

mit dem Zielfunktionswert 25, zu der jedoch unendlich viele bessere Lösungen angegeben werden können. d) Die Anwendung des Simplexalgorithmus liefert: 1 x1

-1 x2

0 s1

RS

4

0 s1

2

-2

1

4

4

'z

-1

1

0

0

x1

x2

s1

RS

x1

1

-1

0,5

2

'z

0

0

0,5

2

Eine optimale Basislösung ist x1 2 , x2 s1 0 mit Zielfunktionswert 2. Das optimale Endtableau zeigt mit ' z2 0 an, dass mit Aufnahme von x2 weitere optimale Lösungen existieren können. Wegen a12* 1 kann x2 Werte unbeschränkter Höhe annehmen, ohne dass die Zulässigkeit verletzt wird, wenn x1 entsprechend erhöht wird. Der Zielfunktionswert bleibt jeweils 2, z. B. für 10, 8 , 100, 98 usw. Hier ist ein unbeschränkter Lösungsraum mit ausnahmsweise unendlich vielen optimalen Lösungen zu beobachten!

8.3 Modellerweiterungen, Dualität und Sensitivitätsanalyse 8.3.1 Lösung allgemeiner linearer Optimierungsmodelle 3.1.1 a) Die Minimierungszielfunktion wird umformuliert zu der äquivalenten Form max z = 3 x1 4 x2 6 x3

Anschließend wird das Ausgangstableau zu dem Hilfsmodell aufgestellt, in das zwei Hilfsvariablen aufgenommen werden. Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus:


309

3 x1

-4 x2

6 x3

0 s1

0 s2

-M h2

-M h3

RS

4

0 s1

2

1

4

1

0

0

0

120

30

-M h2

1

1

1

0

-1

1

0

20

20

-M h3

2

1

3

0

0

0

1

48

16

-3M -3

-2M +4

-4M -6

0

M

0

0

-68M

'z

x1

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

-2/3

-1/3

0

1

0

0

-4/3

56

-

-M h2

1/

3

2/

3

0

0

-1

1

-1/3

4

6

6 x3

2/

3

1/

3

1

0

0

0

1/

16

48

0

0

M

0

4/ M 3

'z

-1/3M -2/3M +1 +6

3

+2

-4M +96

h3

RS

4

2

- 3 /2

58

-

2

- 1 /2

6

12

- 1 /2

1/

14

28

M-9

M+5

60

s2

h2

h3

RS

1

-2

2

-2

64

0

0

-3

3

-1

12

-1

1

0

2

-2

1

8

4

0

0

3

x1

x2

x3

s1

s2

h2

0 s1

- 1 /2

0

0

1

- 1 /2

1/

-4 x2

1/

2

1

0

0

- 3 /2

3/

6 x3

1/

2

0

1

0

1/

'z

-2

0

0

0

9

x1

x2

x3

s1

0 s1

0

1

0

3 x1

1

2

6 x3

0

'z

0

2

2

M-3 M+3

84

Im dritten Tableau sind die Hilfsvariablen erstmalig aus der Basis entfernt und damit ist die erste zulässige Lösung gefunden. Durch Aufnahme von x2 in die

310

Lösungen

Basis anstelle von x1 ist jedoch noch eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes möglich. Im Endtableau sind alle Werte der ' z -Zeile, die zu Nichtbasisvariablen gehören, echt positiv, d. h., es liefert die einzige optimale Lösung mit x1 12 , x3 8 , s1 64 und x2 s2 0 . Der maximale Zielfunktionswert lautet 84. b) Da die Variable x1 unbeschränkt ist, ist sie im Modell durch x1 x1 zu substituieren. Für das Hilfsmodell sind zwei Hilfsvariablen in das Ausgangstableau aufzunehmen. Der Simplexalgorithmus liefert folgende Tableaus:

2 x1 +

-2 x1-

3 x2

4 x3

0 s1

0 s2

-M h2

-M h3

RS

4

0 s1

1

-1

2

2

1

0

0

0

45

45/

-M h2

0

0

2

1

0

-1

1

0

20

10

-M h3

-1

1

1

1

0

0

0

1

30

30

'z

M -2

-M +2

0

M

0

0

-50M

x1 +

x1 -

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

1

-1

0

1

1

1

-1

0

25

-

3 x2

0

0

1

0

10

-

-M h3

-1

1

0

1

20

20

'z

M -2

-M +2

0

0

-20M +30

x1+

x1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

0 s1

0

0

0

3/ 2

1

3/ 2

- 3/2

1

45

30

3 x2

0

0

1

0

- 1/2 1/2

0

10

20

-2 x1-

-1

1

0

1/ 2 1/ 2

0

1/ 2

- 1/2

1

20

40

0

0

0

- 7/2

0

- 5/2

M

M

'z

-3M -2M -4 -3

1/ 2 0 1/ 2 0 -1/2M 0 -5/2

-1/2

1/ 2 1/ -1/2 2 -1/2M 3/2M -3/2 +3/2

+ 5/2 -2

-10

2


311

x 1+

x 1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

RS

4

s1

0

0

-3

0

1

3

-3

1

15

5

4 x3

0

0

2

1

0

-1

1

0

20

-

-2 x1-

-1

1

-1

0

0

1

-1

1

10

10

'z

0

0

7

0

0

-6

x1+

x1-

x2

x3

s1

s2

h2

h3

s2

0

0

-1

0

1/ 3

1

-1

1/ 3

5

4 x3

0

0

1

1

0

0

-1

1

0

0

0

0

1/ 3 2/ 3

25

-2 x1-

1/ 3 1 - /3

0

0

1

0

2

0

M

M

90

0

0

'z

M+6 M-2

60

RS

5

Die erste zulässige Lösung ist nach Entfernung der Hilfsvariablen aus der Basis im dritten Tableau erreicht. Da im dritten Tableau aber noch mehrere Werte der ' z -Zeile negativ sind, ist eine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes möglich. Im Endtableau ist die optimale Lösung erreicht, da alle Werte der ' z Zeile echt positiv sind. Der maximale Zielfunktionswert von 90 wird erreicht, wenn x3 25 , s2 5 und x1 5 folglich x1 5 sind. Zwar ist auch für die Nichtbasisvariable x1 der ' z -Wert gleich null, jedoch ist die Aufnahme in Basis nicht möglich. Daher existiert nur eine optimale Lösung. c) Zur Aufstellung des Modells ist eine Hilfsvariable aufzunehmen.

1 x1

1 x2

0 s1

0 s2

0 -M s3 h1

RS

4

-M h1

1

1

-1

0

0

1

15

15

0 s2

1

3

0

1

0

0

25

25

0 s3

2

1

0

0

1

0

20

10

M

0

0

0

-15M

' z -M-1 -M-1

312

Lösungen

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

-M h1

0

0,5

-1

0

-0,5

1

5

10

0 s2

0

2,5

0

1

-0,5

0

15

6

1 x1

1

0,5

0

0

0,5

0

10

20

'z

0

-0,5M -0,5

M

0

0,5M M +0,5

-5M+10

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

-M h1

0

0

-1

-0,2

-0,4

1

2

1 x2

0

1

0

0,4

-0,2

0

6

1 x1

1

0

0

-0,2

0,6

0

7

'z

0

0

M

0

-2M+13

0,2M 0,4M +0,2 +0,4

Im letzten Tableau sind alle Werte der ' z -Zeile nichtnegativ, also kann keine weitere Verbesserung des Zielfunktionswertes erreicht werden und das Hilfstableau ist optimal gelöst. h1 ist in Basis mit Wert echt größer als null und kann nicht eliminiert werden. Daher existiert für das ursprüngliche Problem keine zulässige Lösung, d. h., die mit den Restriktionen modellierten Anforderungen an eine Lösung sind nicht erfüllbar. d) Nach Hinzufügen einer Hilfsvariablen liefert der Simplexalgorithmus die folgenden Tableaus.

1 x1

1 x2

0 s1

0 s2

0 s3

-M h1

RS

4

-M h1

1

1

-1

0

0

1

12

12

0 s2

1

3

0

1

0

0

25

25

0 s3

2

1

0

0

1

0

20

10

' z -M-1 -M-1

M

0

0

0

-12M


x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

-M h1

0

0,5

-1

0

-0,5

1

2

4

0 s2

0

2,5

0

1

-0,5

0

15

6

1 x1

1

0,5

0

0

0,5

0

10

20

'z

0

-0,5M -0,5

M

0

0,5M +0,5

0

-2M+10

x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

4

1

x2

0

1

-2

0

-1

2

4

-

0

s2

0

0

5

1

2

-5

5

1

1

x1

1

0

1

0

1

-1

8

8

'z

0

0

-1

0

0 M+1

313

12

Diesem Tableau ist die erste für das ursprüngliche Modell zulässige Lösung zu entnehmen, die noch nicht optimal ist. x1

x2

s1

s2

s3

h1

RS

1 x2

0

1

0

0,4

-0,2

0

6

0 s1

0

0

1

0,2

0,4

-1

1

1 x1

1

0

0

-0,2

0,6

0

7

'z

0

0

0

0,2

0,4

M

13

Das letzte Tableau liefert die einzige optimale Lösung mit x1 s1 1 und x3 s2 0 . Der maximale Zielfunktionswert lautet 13.

7 , x2

6,

3.1.2 Nach Einfügung einer Hilfsvariablen kann mittels Simplexalgorithmus die Lösung ermittelt werden.

314

Lösungen

5 xA

8 xB

4 xC

0 s1

0 s2

-M h3

RS

4

0

s1

2

1

1

1

0

0

20

10

0

s2

1

2

2

0

1

0

25

25

-M h3

1

-2

0

0

0

1

0

0

-4

0

0

0

0

'z

-M-5 2M-8

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

4

0

s1

0

5

1

1

0

-2

20

4

0

s2

0

4

2

0

1

-1

25

61/4

5 xA

1

-2

0

0

0

1

0

-

'z

0

-18

-4

0

0

M+5

0

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

4

8 xB

0

1

1/

1/

5

0

-2/5

4

20

0 s2

0

0

1 1 /5

-4/5

1

3/

9

7 1 /2

5 xA

1

0

2/

2/

5

0

1/

8

20

'z

0

0

-2/5

33/5

0

5 M-21/

xA

xB

xC

s1

s2

h3

RS

8 xB

0

1

0

1/ 3

-1/6

-1/2

21/2

4 xC

0

0

1

-2/ 3

5/ 6

1/ 2

71/2

5 xA

1

0

0

-1/3

0

5

'z

0

0

0

2/ 3 31/3

1/ 3

M-2

75

5

5

5

5

72

Es ist optimal, von Produkt A 5 und von Produkt B 2,5 Einheiten zu produzieren, außerdem von Produkt C 7,5 Einheiten. Der erzielbare Gesamtdeckungsbeitrag beträgt 75 Einheiten. Da s1 s2 0 ist, sind beide Anlagen vollständig


315

ausgelastet. Die Schattenpreise sind der ' z -Zeile zu entnehmen und betragen 3 13 für Anlage 1, 13 für Anlage 2. Ein kleineres Modell für die vorliegende Entscheidungssituation lässt sich aufstellen, indem mit dem festen Zusammenhang x A 2 xB eine Variablensubstitution durchgeführt wird und auf die Gleichheitsrestriktion verzichtet wird. max

5 2 xB 8 xB 4 xC

s.d .

2 2 xB

xB

xC d 20

1 2 xB 2 xB 2 xC d 25 xB , xC t 0 18 xB 4 xC

max

5 xB

s.d .

xC d 20

4 xB 2 xC d 25 xB , xC t 0

Das optimale Endtableau erhält man bereits nach zwei Iterationen. 18 xB

4 xC

0 s1

0 s2

RS

4

0 s1

5

1

1

0

20

4

0 s2

4

2

0

1

25

61/4

-18

-4

0

0

0

xB

xC

s1

s2

RS

4

18 xB

1

1/ 5

1/ 5

0

4

20

0 s2

0

11/5

-4/5

1

9

71/2

'z

0

-2/5

33/5

0

72

xB

xC

s1

s2

RS

xB

1

0

1/ 3

-1/6

21/2

xC

0

1

-2/3

5/ 6

71/2

'z

0

0

31/3

1/ 3

75

'z

316

Lösungen

Die optimale Lösung mit xB , xC und s1 , s2 und dem Zielfunktionswert 75 ist dem Tableau zu entnehmen. Mit x A 2 xB lässt sich daraus die optimale Produktionsmenge von Produkt A x A 5 ableiten. Die Schattenpreise der Anlagen sind ebenfalls zu entnehmen und auch der Zielfunktionswert stimmt mit dem vorherigen überein. 8.3.2 Interpretation, Dualität und Sensitivität 3.2.1 a) Das Modell ist zunächst auf die Form des Grundmodells zu bringen. max z = s.d .

x1 2 x2 2 x1

x2 d

2 x1

10

x2 d 10

x1 3 x2 d

12

x1 ,x2 t 0

Anschließend wird entsprechend der Regeln die Dualisierung durchgeführt. min Z = 10 y1c 10 y2c 12 y3c s.d .

2 y1c

2 y2c

y3c

t 1

y1c

y2c

3 y3c

t 2

y1c , y2c , y3c t 0

Dann erfolgen die Variablentransformationen y1 y1c y2c und y2 y3c , sodass die Matrix A und die Vektoren b und c des primalen Modells erkennbar sind. Der Gleichheitsrestriktion im primalen Modell ist eine unbeschränkte Variable im dualen Modell zugeordnet. min Z = 10 y1

12 y2

s.d .

2 y1

y2 t 1

y1

3 y2 t 2

y1 , y2 t 0

b) Das Modell ist zunächst auf die Form des Grundmodells zu bringen.


317

-max z = x1 2 x2 2 x3 6 x4 s.d .

4 x1 7 x2

x3

x4

d 2

4 x1 7 x2

x3

x4

d 2

x1 4 x2

x3 3 x4

d 3

x3

d 5

x4

x1 , x2 , x3 , x4 t 0

Anschließend wird das zum Grundmodell duale Modell ermittelt und der Zielfunktion 1 vorangestellt: -min Z =

2 y1c

2 y2c 3 y3c 5 y4c

s.d .

4 y1c

4 y2c

7 y1c y1c y1c

y3c

t 1

7 y2c 4 y3c y2c

t

2

y3c

y4c t 2

y2c 3 y3c

y4c t 6

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Dann wird zunächst die Zielfunktion angemessen transformiert. max Z = 2 y1c 2 y2c s.d .

4 y1c 4 y2c

3 y3c

5 y4c

y3c

t 1

7 y1c 7 y2c

4 y3c

y1c

y2c

y3c

y4c

t 2

y1c

y2c

3 y3c

y4c

t 6

t

2

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Im nächsten Schritt erfolgt die Variablensubstitution derart, dass die Zielfunktionskoeffizienten mit der rechten Seite des Ausgangsmodells übereinstimmen. Es wird gesetzt y1 y1c y2c , y2 y3c , y3 y4c . max Z = 2 s.d .

4 7

y1 3 y2 5 y3 y1

y1 4 y2 y1

y2

t 1 t 2

y2

y3 t 2

y1 3 y2

y3 t 6

y1

y2 , y3 t 0

318

Lösungen

Durch Multiplikation einiger Zeilen mit 1 erhält man die „passende“ rechte Seite. Dadurch „passen“ auch die Koeffizienten von A t und das duale Modell liegt in der angestrebten Form vor. max Z = 2 y1 3 y2 5 y3 4 y1

s.d .

y2

7 y1 4 y2

y1

d

1

d 2

y2

y3 d

2

y1 3 y2

y3 d

6

y1 y2 , y3 t 0

Der folgende alternative Lösungsweg ist ggf. effizienter. Da bekannt ist, dass das duale des dualen Modells wieder das primale Modell ergibt, besteht stets die Möglichkeit, ein Modell als duales Modell aufzufassen und das dazu primale Modell als sein duales anzugeben. In diesem Beispiel ist nur eine Transformation notwendig, um das duale Grundmodell zu erreichen. Im Modell der Aufgabenstellung ist die erste Restriktion in zwei t -Restriktionen zu zerlegen. min z =

x1

2 x2 2 x3 6 x4

4 x1

7 x2

x3

x4 t

4 x1

7 x2

x3

x4 t 2

x1

4 x2

s.d .

2

x3 3 x4 t

3

x3

5

x4 t

x1 , x2 , x3 , x4 t 0

Das zu diesem Modell duale ist sein primales Modell, das im Folgenden angegeben und dessen Variablen hier mit yi bezeichnet werden. max Z = 2 y1c 2 y2c 3 y3c 5 y4c 4 y1c 4 y2c

s.d .

y3c

7 y1c 7 y2c 4 y3c

d

1

d 2

y1c

y2c y3c

y4c d

2

y1c

y2c 3 y3c

y4c d

6

y1c , y2c , y3c , y4c t 0

Mittels Variablentransformation y1 y1c y2c , y2 y3c und y3 y4c erhält man genau das gewünschte, auch mit dem anderen Vorgehen bestimmte, duale Modell des Ausgangsmodells.


319

3.2.2 a) Es ist optimal, 20 Einheiten des Topfes Modell „Standard“ zu produzieren. Da x2 im optimalen Endtableau in Basis ist, sind zur Beantwortung der Frage alle ' z -Werte der Nichtbasisvariablen hinsichtlich der Nichtnegativität zu untersuchen, da es sein könnte, dass bei Preisschwankungen alternative Produkte produziert werden sollten. x3 : 1

4 O t 0 !

s1 : 2

O t 0, 25

O t 0 ! O t 2

s2 : 10 4 O t 0 !

O d

2 5

Die ' z -Werte bleiben somit größer oder gleich null für O > 0, 25;2,5@ . Das aktuelle Produktionsprogramm muss nicht geändert werden, solange der Deckungsbeitrag des „Standard“-Kochtopfes zwischen 19,75 und 22,5, jeweils einschließlich, schwankt. Der Gesamtdeckungsbeitrag schwankt dann entsprechend zwischen 4000 0, 25 20

3995 und

4000 + 2,5 20 = 4050

b)

§ 20 · ¨ ¸ ¨ 200 ¸ ¨ 40 ¸ ¨¨ 35 ¸¸ © ¹

§ 1 4 0 ¨ ¨ 1 5 0 ¨ 1 3 1 ¨¨ 1 7 0 ©

0· ¸ 0¸ 0¸ ¸ 1 ¸¹

§ 20 · ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ 0¸ ¨¨ 0 ¸¸ © ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 220 ¸ ¨ 60 ¸ ¨¨ 15 ¸¸ © ¹

Eine Reduktion der Rohmaterialmenge um 20 Einheiten führt dazu, dass nur noch der Kochtopf „Single“ hergestellt wird und dessen Produktionsmenge um 20 Kochtöpfe gesteigert wird. Die Basis bleibt optimal, jedoch liegt eine primale Entartung vor. c) Das zugehörige duale Modell ist unmittelbar angebbar, da das primale Modell bereits in der Grundform vorliegt. min Z s.d .

900 y1 220 y2 280 y3 675 y4 4 y1

y2

y3

3 y4 t 18

5 y1

y2

2 y3

2 y4 t

20

8 y1

y2

2 y3

y4 t

25

y1 , y2 , y3 y4 t 0

Die optimale Lösung ist dem optimalen primalen Endtableau zu entnehmen: y1 2 , y2 10 , y3 y4 0 mit Zielfunktionswert 4000 und Schlupfvariablen ys1 ys2 0 und ys3 1 .

320

Lösungen

d) Die Komplementaritätsbedingung besagt für die optimalen Lösungen des primalen und dualen Problems, dass jeweils das Produkt der einander zugeordneten optimalen Variablen den Wert null ergibt. Dies ist im Beispiel erfüllt. x1 ys1

200 0

0

s1 y1

0 2

0

x2 ys2

20 0

0

s2 y 2

0 10

0

x3 ys3

01

0

s3 y3

40 0

0

s4 y 4

35 0

0

3.2.3 Zunächst ist das Problem zu modellieren und das lineare Optimierungsmodell aufzustellen. Dazu werden folgende Variablen verwendet: x1s ~ x2s ~ x3s ~ x1 f x2f x3f xü

~ ~ ~ ~

selbsterstellte Menge von Produkt A selbsterstellte Menge von Produkt B selbsterstellte Menge von Produkt C fremdbezogene Menge von Produkt A fremdbezogene Menge von Produkt B fremdbezogene Menge von Produkt C Anzahl notwendiger Überstunden

Für die Eigenfertigung sind in der zu minimierenden Zielfunktion die Kosten der Einsatzfaktoren und die variablen Produktionskosten zu berücksichtigen, für den Fremdbezug die Kosten für die Beschaffung. Etwaige Überstunden erhöhen die Produktionskapazität auf 200 xü , sind jedoch mit Kosten von 150 pro Stunde verbunden, die ebenfalls in der Zielfunktion erfasst werden. Die erste Restriktion modelliert die Einhaltung der um etwaige Überstunden erweiterten Kapazität. Die weiteren Restriktionen sichern die Erfüllbarkeit der Nachfrage. Die Nichtnegativitätsbedingungen sind einzuhalten. min z = 25 x1s 150 x1 f 30 x2 s 170 x2 f 35 x3s 165 x3 f 150 xü s.d .

x1s x1s

x2s

x3s

xü d 200 t 100

x1 f x2s

t 50

x2f x3s

x3f

t 70

x1s , x1 f , x2s , x2f , x3s , x3f , xü t 0

Mit zu maximierender Zielfunktion und nach Einfügen der Hilfsvariablen ergeben sich folgende Tableaus.


-25 -150 -30 -170 -35 -165 -150 0 0 0 0 -M -M -M x1s x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

321

RS

4

0

s1

1

0

1

0

1

0

-1 1 0 0 0 0 0 0

200

200

-M

h2

1

1

0

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0 0

100

100

-M

h3

0

0

1

1

0

0

0 0 0 -1 0 0 1 0

50

-

-M

h4

0

0

0

0

1

1

0 0 0 0 -1 0 0 1

70

-

'z

-M -M -M -M -M -M 150 0 M M M 0 0 0 -220M +25 +150 +30 +170 +35 +165

x1s 0

x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

s1

0

-1

1

0

1

0

-1 1 1 0 0 -1 0 0

100

100

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1 0 0

100

-

-M h3

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0

50

50

-M h4

0

0

0

0

1

1

0

0 0 0 -1 0 0 1

70

-

'z

0

125

x1s x1f

-M -M -M -M M -120M 150 0 25 M M 0 0 +30 +170 +35 +165 -25 -2500

x2s

x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

s1

0

-1

0

-1

1

0

-1 1 1 1 0 -1 -1 0

50

50

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1

0 0

100

-

-30 x2s

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0

1 0

50

-

-M h4

0

0

0

0

1

1

0

0 0 0 -1 0

0 1

70

70

0

140

'z

0 125

-M -M M M -70M 150 0 25 30 M 0 +35 +165 -25 -30 -4000

322

Lösungen

x1s x1f x2s x2f x3s x3f

xü

s1 s2 s3 s4 h2 h3 h4

RS

4

-35 x3s

0

-1

0

-1

1

0

-1

1 1 1 0 -1 -1 0

50

-

-25 x1s

1

1

0

0

0

0

0

0 -1 0 0 1 0 0

100

100

-30 x2s

0

0

1

1

0

0

0

0 0 -1 0 0 1 0

50

-

-M h4

0

1

0

1

0

1

1

-1 -1 -1 -1 1 1 1

20

20

'z

0

-M -M -M -M M M M -20M 0 0 M 10 5 0 +160 +175 +165 +185 -35 -10 -5 -5750

x1s x1f x2s x2f x3s x3f xü s1 s2 s3 s4 h2 h3

h4

RS

-35 x3s

0

0

0

1 0 0

0

0 -1

0

0

1

70

-25 x1s

1

0

0 -1 0 -1 -1 1

0

1

1

0

-1

-1

80

-30 x2s

0

0

1

1

0

0 0 0

0 -1 0

0

1

0

50

-150 x1f

0

1

0

1

0

1 1 -1 -1 -1 -1

1

1

1

20

0

0

0 15 0

'z

0

1

5 25 125 150 155160

M M M -8950 -150 -155 -160

Unter den gegebenen Voraussetzungen ist es optimal, von Produkt A 80 Einheiten selbst zu fertigen und 20 Einheiten zuzukaufen. Produkt B und Produkt C werden in Höhe der vorliegenden Aufträge selbst gefertigt, d. h. 50 Einheiten von Produkt B und 70 Einheiten von Produkt C. Um aus Kostengründen ausschließlich selbst zu fertigen, wäre eine Reduktion der zusätzlichen Überstundenkosten pro Produkteinheit um mindestens 25 Geldeinheiten nötig, erkennbar an ' z xü 25 . Eine Erweiterung der monatlichen Kapazität um eine Einheit, also eine Erhöhung der rechten Seite der ersten Restriktion um eins, führt zu einer Erhöhung der dem berechneten Modell zugrunde liegenden Maximierungszielfunktion um 125. Für das Ausgangsmodell mit Minimierungszielfunktion ist die „Erhöhung“ mit 1 zu multiplizieren. Folglich führt die Erweiterung der monatlichen Kapazität zu einer Senkung der Produktionskosten um 125 Geldeinheiten. Dies ist plausibel, da von der Einsparung der Kosten des Fremdbezugs von 150 die Kosten der Eigenfertigung von 25 zu subtrahieren sind.


323

8.4 Anwendungen linearer Optimierung 8.4.1 Produktion und Logistik 4.2.1 Als Variablen werden x1 und x2 gewählt in den Bedeutungen x1 : Menge an 2,5-kg-Paketen in Einheiten von 100 Stück, x2 : Menge an 5-kg-Paketen in Einheiten von 100 Stück.

Das entsprechende lineare Optimierungsmodell lautet max

25 x1

40

x2

s.d .

0,5 x1

2

3

x2

d 60

250 x1 500

x2

d 35.000

x2

d 50

x1 , x2 t 0

Die Anwendung des Simplexalgorithmus führt zu folgenden Tableaus 25 x1

40 x2

0 s1

0 s2

0 s3

RS

4

2/

3

1

0

0

60

90

0

s1

1/

0

s2

250

500

0

1

0

35.000

70

0

s3

0

1

0

0

1

50

50

'z

-25

-40

0

0

0

0

x1

x2

s1

s2

s3

RS

4

2

0

s1

1/ 2

0

1

0

- 2/3

80/ 3

160/ 3

0

s2

250

0

0

1

-500

10.000

40

0

1

0

0

1

50

-

-25

0

0

0

40

2.000

40 x2

'z

324

Lösungen

20/

20

s1

s1

0

0

1

25 x1

1

0

0

4/ 1000

-2

40

-

40 x2

0

1

0

0

1

50

50

'z

0

0

0

-10

3.000

x1

x2

s1

s2

s3

RS

s3

0

0

3

- 6/1000

1

20

25 x1

1

0

6

- 8/1000

0

80

40 x2

0

1

-3

6/

1000

0

30

'z

0

0

30

4/ 100

0

3.200

0

s3

4

x2

0

s2

RS

x1

- 2/1000 1/3

1/

10

3

Es sollten 8000 2,5 kg-Pakete und 3000 5 kg-Pakete MegaClean hergestellt werden, um den maximalen Deckungsbeitrag von 3200 € zu erzielen. Abb. 9.1 sind der schattierte Zulässigkeitsbereich und die optimale Lösung zu entnehmen.

Abb. 8.1. Optimale Waschpulverproduktion


325

4.2.2 Als Entscheidungsvariablen werden xijk mit folgender Bedeutung und Indizierung gewählt: xijk Menge des Vorproduktes, die von Zulieferer i beschafft, in Werk j weiterverarbeitet und an Markt k geliefert wird 2 : Zulieferer B, i 1: Zulieferer A, i j 1: Kanada, j 2 : Polen, k 1: Asien, k 2 : Nordamerika, k = 3: Europa

Die Parameter sind wie folgt angegeben: ai Kosten je Einheit Vorprodukt von Zulieferer i (13.000; 16.000) bij Kosten je Einheit für den Transport von Zulieferer i zu Werk j j 1

cj d jk

pi qj dk

j

2

i 1

1.400

2.900

i

2.500

3.200

2

Kosten je Einheit für die Weiterverarbeitung Vorprodukt zu Endprodukt in Werk j (3.800; 4.100) Kosten je Einheit Transport von Werk j zu Kunden k

k 1

k

j 1

3.100

1.900

2.500

j

3.300

2.200

1.400

2

2

k

3

Kapazität Zulieferer i (50; 40) Kapazität Werk j (40; 65) Nachfrage Kundengebiet k (23; 33; 29)

Die Zielfunktion wird für die Anwendung konkretisiert: 2

Min z

2

3

¦¦¦

(ai bij c j d jk ) xijk

i 1 j 1 k 1

also Min z

21.300 x111 20.100 x112 20.700 x113 23.300 x121 22.200 x122 21.400 x123 25.400 x211 24.200 x212 24.800 x213 26.600 x221 25.500 x222 24.700 x223

326

Lösungen

Die Restriktionen berücksichtigen die vorliegenden Anforderungen. 1) Kapazität der Zulieferer Die Menge, die von einem Zulieferer versandt wird, muss kleiner oder gleich der Kapazität des Zulieferers sein. 2

3

¦¦

xijk d pi

i 1, 2

j 1 k 1

für i 1 : x111 x112 x113 x121 x122 x123 d 50 2) Kapazität der Werke Die Menge, die in einem Werk verarbeitet wird, muss kleiner oder gleich der Kapazität des Werkes sein. 2

3

¦¦

xijk d q j

j 1, 2

i 1 k 1

3) Befriedigung der Nachfrage Die nachgefragte Menge eines jeden Kunden muss befriedigt werden. 2

2

¦¦

xijk

dk

k

1, 2, 3

i 1 j 1

4) Nichtnegativitätsbedingung xijk t 0

i 1, 2

j 1, 2

k

1, 2, 3

Die Lösung dieses Modells mittels ClipMops ergibt folgende Bildschirmausgabe:

SCM

x111 x112 x113 x121 x122 x123 x211 x212 x213 x221 x222 x223

MAX

21300 20100 20700 23300 22200 21400 25400 24200 24800 26600 25500 24700

TYP RHS

LB UB

INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF INF

TYP KapZul1

CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON CON 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0;1@¾ , z ¨1 ¸ ¨3¸ ° ¨0¸ ¨ 2¸ ° ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸ ° ©0¹ ©0¹ ¿°

360

In der Realität sind nur ganzzahlige Lösungen möglich, man sollte also entweder 2 Hasen und 3 Zebras, 4 Hasen und 2 Zebras oder 6 Hasen und 1 Zebra einsetzen. Alle drei Lösungen sind umsetzbar und optimal.

8.5 Graphentheorie 8.5.1 Strukturmodellierung mittels Graphen 5.1.1 a) Nachbarnliste

§0 1 1· ¨ ¸ ¨1 0 1¸ ¨1 1 0¸ © ¹

Knoten

Nachbarn

1

2, 3

2

1, 3

3

1, 2

Der vorliegende ungerichtete Graph ist ein Kreis und damit nicht kreisfrei. Da je zwei Knoten benachbart sind, ist der Graph vollständig, also insbesondere zusammenhängend. b) Nachbarnliste

§0 ¨ ¨1 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 1 0 0¸ ¸ 0 0 0 ¸¹

Knoten

Nachbarn

1

2

2

1, 3

3

2

4

-

Graphentheorie

337

Dieser ungerichtete Graph ist nicht kreisfrei, da er einen Kreis mit den Knoten 1 und 2 enthält. Die beiden Kanten, die Knoten 1 und 2 verbinden, sind parallel. Ferner ist Knoten 4 isoliert, der Graph ist also nicht zusammenhängend. c) Vorgängerliste

§0 ¨ ¨0 ¨1 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 0 0 0· ¸ 0 1 0 0¸ 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0¸ 0 0 1 0 ¸¹

Knoten

Vorgänger

1

3

2

1

3

2

4

5

5

-

Der Graph ist gerichtet und nicht schwach zusammenhängend. Da er mit 1-2-31 nicht zyklenfrei ist, kann er nicht topologisch sortiert werden. Er besitzt eine Quelle, nämlich Knoten 5, und eine Senke, das ist Knoten 4. d) Vorgängerliste

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨1 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 0 0 0 0 0 0 0· ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ ¸ 1 1 0 1 1 1 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸¹

Knoten

Vorgänger

1

4

2

4

3

4

4

-

5

4

6

4

7

4

8

5

9

5

Dieser gerichtete Graph ist nicht topologisch sortiert. Da er zyklenfrei ist, ist eine topologische Sortierung möglich. Er ist semikreisfrei und zusammenhängend und daher Baum. Knoten 4 ist die einzige Quelle, also ist dieser Baum ein Wur-

338

Lösungen

zelbaum mit Wurzel 4. Die Blätter sind die Senken, nämlich Knoten 1, 2, 3, 6, 7, 8 und 9. 5.1.2 a)

2

3

1

4

Der zugrunde liegende Graph ist wegen des vorhandenen Zyklus nicht topologisch sortierbar.

2

1

b)

4

5

3

Da dieser Graph nicht gerichtet ist, ist eine topologische Sortierung nicht definiert.

4

c)

5

1

2

3

6

Dieser gerichtete Graph ist topologisch sortierbar, da er keine Zyklen enthält. Durch Umnummerierung der Knoten erhält man beispielsweise folgenden isomorphen, topologisch sortierten Graphen. Da eine topologische Sortierung nicht eindeutig ist, sind auch andere Möglichkeiten richtig, z. B. die Vertauschung der Nummern 2 und 3.

Graphentheorie

2

339

4

6

1

3

5

5.1.3 Es ist davon auszugehen, dass die hierarchische Darstellung eine Richtung ausdrückt, als Modell folglich ein gerichteter Graph geeignet ist. Die Zuordnung der Knotennummern erfolgt von oben nach unten, auf einer Stufe von links nach rechts. Damit erhält man die folgende Mengendarstellung.

Knotenmenge V Kantenmenge E

^1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9` , ^(1, 2);(1,3);(2, 4);(2,5);(2, 6); (2, 7);(3,8);(3,9)`

Da der gerichtete Graph schlicht ist, muss die Inzidenzabbildung nicht explizit angegeben werden. Grafische Darstellung: 4 5 2 1

6 7

3

8 9

Der Graph ist zusammenhängend und semikreisfrei und daher ein Baum. Da er gerichtet ist und nur eine Quelle aufweist, ist er ein Wurzelbaum mit der Wurzel 1 und den Blättern 4, 5, 6, 7, 8 und 9. 8.5.2 Bewertete Graphen und kürzeste Wege 5.2.1 Die Anwendung des Algorithmus von Dijkstra führt zu folgender Übersicht:

340

Lösungen

1

2

3

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

2

4

1

4

1

4

1

3

2

1

4

4

1

3

3

5

f

0

f

0

6

6

f

0

f

0

7

f

0

f

0

Knoten

5

6

dj

qj

dj

qj

4

6

4

6

4

6

4

5

2

f

0

9

2

8

6

dj

qj

8

6

1

L

{1, 3}

{1, 3, 4}

{1, 2, 3, 4}

{1, 2, 3, 4, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

M

{4, 2}

{2, 5, 6}

{5, 6, 7}

{5, 7}

{7}

Kürzeste Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten:

Knoten j

Kürzester Weg von 1 nach j

Weglänge

2

(1, 2)

4

3

(1, 3)

2

4

(1, 3, 4)

3

5

(1, 3, 4, 5)

6

6

(1, 2, 6)

5

7

(1, 2, 6, 7)

8

5.2.2 Der Algorithmus von Dijkstra liefert folgendes Tableau:

Graphentheorie

1 Knoten

2

3

341

4

dj

qj

dj

qj

dj

qj

2

11

1

11

1

8

3

3

11

1

6

5

4

f

0

f

0

11

3

5

3

1

L

{1, 5}

{1, 3, 5}

M

{2, 3}

{2, 4}

dj

qj

11

3

1

{1, 2, 3, {1, 2, 3, 4, 5} 5} {4}

Kürzeste Wege von Knoten 1 zu allen anderen Knoten:

Knoten j

Kürzester Weg von 1 nach j

Entfernung

2

(1, 5, 3, 2)

8

3

(1, 5, 3)

6

4

(1, 5, 3, 4)

11

5

(1, 5)

3

Knoten 4 kann auch über (1, 5, 3, 2, 4) von 1 aus mit Entfernung 11 erreicht werden. Der Algorithmus liefert nur eine optimale Alternative, auch wenn mehrere existieren. 5.2.3 Adjazenzmatrix: Bo § 0 ¨ Le ¨ 0 Ha ¨ 0 ¨ Mt ¨ 0 Si ¨ 0 ¨ F ¨© 0

1 1 0 0 0· ¸ 0 0 1 1 0¸ 0 0 0 1 0¸ ¸ 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 ¸¹

342

Lösungen

Die Adjazenzmatrix ist eine obere Dreiecksmatrix, somit ist der Graph topologisch sortiert. Sollten Sie eine andere Reihenfolge der Knoten gewählt haben, lässt sich die obere Dreiecksmatrix durch Umsortierung erreichen. Ergebnisse des Algorithmus von Dijkstra: 1

Knoten

2

3

dj

qj

dj

qj

60

1

4

5

dj

qj

dj

qj

159

2

231

5

BO

1

LE

2

60

1

HA

3

30

1

MT

4

f

0

f

0

159

2

SI

5

f

0

102

3

102

3

F

6

f

0

f

0

f

0

dj

qj

231

5

L

{1, 3}

{1, 2, 3}

{1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4, 5}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

M

{2, 5}

{4, 5}

{4, 6}

{6}

Der kürzeste Weg ist 1-3-5-6 mit der Länge 231, man muss also von Bochum über Hagen und Siegen nach Frankfurt fahren, wenn man den kürzesten Weg wählt. 5.2.4 Zur Anwendung des Algorithmus von Dijkstra ist zunächst ein neues Modell zu formulieren, in welchem die kürzesten Wege zu allen Knoten bestimmt werden. Dazu wird für sämtliche Pfeile die Orientierung geändert und man erhält Gu .

2 1

3

2

3

1

2

4

1

4

5

6 5

3

Auf Gu wird der Algorithmus von Dijkstra angewendet.

Projektplanung

1 Knoten

2

3

dj

qj

dj

qj

2

2

1

2

1

3

1

1

4

f

0

f

5

f

0

6

f

0

4

343

5

dj

qj

dj

qj

0

5

2

5

2

6

3

4

2

f

0

f

0

7

5

dj

qj

6

4

1

L

{1, 3}

{1, 2, 3}

{1, 2, 3, 5}

{1, 2, 3, 4, 5}

M

{2, 5}

{4, 5}

{4, 6}

{6}

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Das Ergebnis kann nun bez. G uminterpretiert werden und man erhält folgende kürzeste Entfernungen von allen Knoten zu Knoten 1.

Knoten j

Kürzester Weg von j nach 1

Entfernung

2

(2, 1)

2

3

(3, 1)

1

4

(4, 2, 1)

5

5

(5, 2, 1)

4

6

(6, 4, 2, 1)

6

8.6 Projektplanung 8.6.1 Modellierung der Projektstruktur 6.1.1 a) Vorgangspfeilnetzplan:

344

Lösungen

F

2

6 G

A C

1

E

3

S2

7

S1 B 4

D

H 5

Der Scheinvorgang S1 ist notwendig, um die Parallelität der Pfeile B und C zu verhindern. Ohne Scheinvorgang S2 ist die Abhängigkeit von G bzw. H von ihren Vorgängern in einem Vorgangspfeilnetzplan nicht abbildbar. Knoten 1 ist einzige Quelle, Knoten 7 einzige Senke, der gerichtete, schlichte Graph ist endlich, zusammenhängend und zyklenfrei. Es liegt eine topologische Sortierung vor. Die zugehörige Vorgänger- und Nachfolgerliste lauten: Knoten (Ereignis)

direkte Vorgänger

Knoten (Ereignis)

direkte Nachfolger

1

-

1

2, 3, 4

2

1

2

5, 6

3

1

3

4

4

1, 3

4

5

5

2, 4

5

6, 7

6

2, 5

6

7

7

5, 6

7

-

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ©

1 1 1 0 0 0· ¸ 0 0 0 1 1 0¸ 0 0 1 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 1 0 0¸ 0 0 0 0 1 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 0 0 ¸¹

Projektplanung

345

Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, ist der Netzplan topologisch sortiert und daher zyklenfrei. Vorgangsknotennetzplan: A/2

F/7 G/8

Anfang/1

E/6

B/3

Ende/10 H/9

D/5

C/4

Die Vorgängerliste entspricht direkt der Vorgangsliste nach Umbenennung in Zahlen statt Buchstaben, die Nachfolgerliste lautet: Knoten (Vorgang)

direkte Nachfolger

Anfang

1

2, 3, 4

A

2

6, 7

B

3

5

C

4

5

D

5

8, 9

E

6

8, 9

F

7

8

G

8

10

H

9

10

Ende

10

-

346

Lösungen

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨0 ¨ ¨0 ¨ ¨0 ¨¨ 0 ©

1 1 1 0 0 0 0 0 0· ¸ 0 0 0 0 1 1 0 0 0¸ 0 0 0 1 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 1 0 0 0 0 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 1 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 1 1 0¸ 0 0 0 0 0 0 1 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 1¸ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ¸¸¹

Da es sich um eine obere Dreiecksmatrix handelt, ist der Netzplan topologisch sortiert und daher zyklenfrei. b) Vorgangspfeildarstellung:

A 1

B 3

2

C

D 4

Dieser Digraph ist kein Netzplan, da er nicht zyklenfrei ist. Eine topologische Sortierung ist nicht möglich. Außerdem besitzt dieser Graph keine Senke. Eine Hinzufügung im Modell ist aufgrund des Zyklus nicht sinnvoll. Würde so ein reales Projekt erfasst, könnte dieses niemals abgeschlossen werden. Die zugehörige Vorgänger- bzw. Nachfolgerliste lauten: Knoten (Ereignis)

direkte Vorgänger

Knoten (Ereignis)

direkte Nachfolger

1

-

1

2

2

1, 4

2

3

3

2

3

4

4

3

4

2

Projektplanung

347

Adjazenzmatrix: §0 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 0 0 1¸ ¸ 1 0 0 ¸¹

Vorgangsknotendarstellung: A/1

B/2

C/3

D/4

Adjazenzmatrix und Nachfolgerliste:

§0 ¨ ¨0 ¨0 ¨¨ ©0

1 0 0· ¸ 0 1 0¸ 0 0 1¸ ¸ 1 0 0 ¸¹

Knoten (Vorgang)

direkte Nachfolger

A

1

2

B

2

3

C

3

4

D

4

2

Aufgrund der Struktur des speziellen Graphen und der gewählten Nummerierung stimmen die beiden Graphen zufällig überein, weichen jedoch hinsichtlich der Interpretation voneinander ab. 6.1.2 a) Mittels der Vorgangsliste werden alle einzelnen Aktivitäten des realen Projektes auf dem gewählten Abstraktionsniveau identifiziert und die direkten Abhängigkeitsbeziehungen zwischen ihnen ausgewiesen.

Vorgangsliste mit Dauern zur Vorbereitung der Indienrundreise:

348

Lösungen

Vorgang

direkte Vorgänger

Dauer

V

Visabeschaffung

-

28

R

Reiseroute festlegen

-

21

F

Flüge buchen

R

14

W

Wohnmobil buchen

R

2

A

Ausrüstung planen

W

14

b) Die Vorgangsliste dient als Grundlage für die Erstellung eines Netzplans, also eines geeigneten graphentheoretischen Modells. Für einen Vorgangspfeilnetzplan werden den Vorgängen Pfeile zugeordnet.

Vorgangspfeilnetzplan:

V

1 R

4 F

2

A W 3

V - Visabeschaffung: R - Reiseroute festlegen: W - Wohnmobil buchen: F - Flüge buchen: A – Ausrüstung planen:

(1, 4) (1, 2) (2, 3) (2, 4) (3, 4)

Dieser Netzplan kann auch in Mengendarstellung angegeben werden und lautet dann Graph

G V E

V , E mit ^1, 2,3, 4` und ^1, 2 , 1, 4 , 2,3 , 2, 4 , 3, 4 `

Die Vorgängerliste bezieht sich auf den Netzplan bzw. ist der Netzplan in anderer Darstellung und beschreibt die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Knoten.

Projektplanung

349

Vorgängerliste: Knoten/ Ereignisse

direkte Vorgänger

1

-

2

1

3

2

4

1, 2, 3

Für einen Vorgangsknotennetzplan werden die Vorgänge des realen Projektes den Knoten eines Netzplans zugeordnet. Vorgangsknotennetzplan:

V/1

Anfang

Ende F/3 R/2 W/4

Vorgang 1

Visabeschaffung

2

Reiseroute festlegen

3

Flüge buchen

4

Wohnmobil buchen

5

Ausrüstung planen

A/5

350

Lösungen

Zur Festlegung eines eindeutigen Anfangs und Endes sind zusätzliche Knoten in das Modell zu integrieren. Die Vorgängerliste gibt wiederum die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Knoten des Netzplans an, die nun den Vorgängen entsprechen. Vorgangsliste: Knoten/ Vorgang

direkter Vorgänger

Anfang

-

1

Anfang

2

Anfang

3

2

4

2

5

4

Ende

1, 3, 5

6.1.3 a) Vorgangsliste: Nr.

Vorgang

Vorgänger

Dauer

A

1

Fahrrad säubern

-

1

B

2

Fahrrad reparieren

A

3

C

3

Probefahrt

B

0,5

D

4

Strecke planen

B

2

E

5

Satteltasche ausleihen

B

1

F

6

Fahrt zur Oma

C, D, E

8

Projektplanung

351

b) Vorgangspfeilnetzplan:

4 C A 1

D

B 2

F 6

3

7

E 5 Die Scheinvorgänge sind erforderlich, um die Parallelität der zu C, D und E gehörenden Pfeile zu vermeiden. Sie könnten alternativ auch an anderer Stelle hinzugefügt werden, z. B. statt nach C nach D oder auch vor D. Vorgangsknotennetzplan:

C/3

A/1

B/2

D/4

F/6

E/5

6.1.4 Scheinvorgang S1 wird aufgrund einer technischen Abhängigkeit eingeführt, denn H ist unabhängig von C. I hängt dagegen von C und G ab. Da die Vorgänge D und E parallel durchgeführt werden können und parallele Pfeile in einem Netzplan nicht zulässig sind, muss ein weiterer Scheinvorgang S2 eingefügt werden.

352

Lösungen

G

3

H

7 S1

B

I

N

8

11

C

1

A

D

2

10

P

4

12 M S2

E

Q

5

F

K

9

13 R

L

6

14

8.6.2 Zeitliche Planung des Projektablaufs 6.2.1 a) Das Ergebnis der Zeitanalyse im Vorgangspfeilnetz nach der Ermittlung aller frühesten und spätesten Ereigniszeiten ist den Knoten zu entnehmen.

V/28

1

4 37 37

0 0 F/14

R/21

A/14 2 21 21

W/2

3 23 23

Die Ereigniszeiten wurden ermittelt, daraus lassen sich die charakteristischen Vorgangszeiten ableiten. Weiterhin werden die folgenden Puffer berechnet.

Projektplanung

353

Vorgang

d

FA

FE

SA

SE

GP

FP

FRP

UP

V

28

0

28

9

37

9

9

9

9

R

21

0

21

0

21

0

0

0

0

F

14

21

35

23

37

2

2

2

2

W

2

21

23

21

23

0

0

0

0

A

14

23

37

23

37

0

0

0

0

Die Zeitanalyse auf Basis des Vorgangsknotennetzplans führt zu folgendem Ergebnis für die frühesten und spätesten Anfangstermine der Vorgänge, nachdem die Pfeile jeweils mit den Dauern des Anfangsknotens bewertet wurden.

1 0

0

0

0

0

0 28

28 9

21 0

2

6 37

14

3 21

0 37

14 23

0

14

21 0 21

4 21 2 21

2

5 23

i FAi

14 23

di SAi

Die charakteristischen Vorgangszeiten stimmen mit denen der Tabelle überein, die Puffer ebenfalls, jedoch ist nur die Ermittlung der Gesamtpuffer unmittelbar abzuleiten. Das früheste Projektende ist 37, d. h., die Vorbereitungen müssen spätestens 37 Tage vor Urlaubsbeginn starten. b) Der kritische Weg ist in der Vorgangknotendarstellung hervorgehoben. Er enthält die kritischen Vorgänge 2, 4 und 5, d. h. die Aktivitäten „Reiseroute festlegen“, „Wohnmobil buchen“ und „Ausrüstung planen“ sind kritisch, da sie einen Gesamtpuffer von null besitzen.

354

Lösungen

1

0

28 9 0

0

0

0

6 37

3 21

0 37

14 23 2

0

21 0 4 21

5 23

2 21

14 23

c) Das Gantt-Diagramm wird hier bezogen auf die frühestmöglichen Anfangszeiten dargestellt, eine andere Lage ist für die nicht kritischen Vorgänge, also Visabeschaffung und Flüge buchen, möglich.

Visabeschaffung Reiseroute festlegen Flüge buchen Wohnmobil buchen Ausrüstung planen 5

10

15

20

25

30

35

t

Die Länge der zu den einzelnen Vorgängen gehörenden Balken entspricht den Dauern der jeweiligen Vorgänge. d) Verlängert sich die Ausstellung der Visa um 7 Tage auf insgesamt 35 Tage, so hat dies keine Auswirkungen auf die Projektdauer, da der Vorgang Visabeschaffung in der ursprünglichen Planung einen Gesamtpuffer von 9 Tagen hatte. Dieser Puffer kann die Verlängerung kompensieren, schrumpft durch die neuen Annahmen jedoch auf 2 Tage. Verlängert sich die Buchung der Flüge von 14 auf 21, also um 7 Tage, so verschiebt sich das Projektende um 5 Tage nach hinten. Zwar ist der Vorgang „Buchung der Flüge“ nicht kritisch, jedoch kann der Gesamtpuffer von 2 die Verlängerung nicht in vollem Maße auffangen, sodass eine Verlängerung um 5 Tage resultiert.

Projektplanung

355

6.2.2 a) Zeitanalyse des Vorgangspfeilnetzplans: 4 4,5 6 C/0,5 1 0 0

2 1 1

A/1

S1

3 4 4

B/3

6 6 6

D/2

E/1

F/8

7 14 14

S2 5 5 6

Dieses Projekt kann frühestens innerhalb von 14 Tagen beendet werden, d. h., die gemeinsame Feier in 12 Tagen kann so nicht stattfinden. Zeitanalyse des Vorgangsknotennetzplans:

3

4

0,5 5,5

0,5

3 1

0

1

0

1

2

1

3

1

3

4

4

2

4

3

2

6

6

8

6

8

Ende 14 0

14

1 5

4

1

5

Dieses Projekt kann innerhalb von 14 Tagen beendet werden. Da Mona mindestens 14 Tage für ihr Projekt benötigt, schafft sie es so nicht, rechtzeitig zu dem Geburtstag ihrer Großmutter in 12 Tagen anzukommen. Aufgrund der Notwendigkeit der Hinzufügung von Scheinvorgängen errechnet man für die Vorgänge C und D freie bzw. unabhängige Puffer von 0, obwohl beide Vorgänge über Flexibilitätsreserven verfügen. Diese wird bei den Scheinvorgängen ausgewiesen. Hier ist eine anschließende Zurechnung der freien Puffer z. B. von S1 zu C sinnvoll. Die für den Vorgangspfeilnetzplan ermittelten charakteristischen Zeiten und Pufferzeiten sind folgender Tabelle zu entnehmen:

356

Lösungen

Vorgang

d

FA

FE

SA

SE

GP

FP

FRP

UP

A

1

0

1

0

1

0

0

0

0

B

3

1

4

1

4

0

0

0

0

C

0,5

4

4,5

5,5

6

1,5

0

1,5

0

D

2

4

6

4

6

0

0

0

0

E

1

4

5

5

6

1

0

1

0

F

8

6

14

6

14

0

0

0

0

S1

0

4,5

4,5

6

6

1,5

1,5

0

0

S2

0

5

5

6

6

1

1

0

0

b) Gantt-Diagramm, bezogen auf die frühestmöglichen Anfangszeiten: Fahrrad säubern Fahrrad reparieren Probefahrt machen Strecke planen Satteltasche ausleihen Fahrt zur Oma 5

10

15

t

In dem obigen Diagramm wurde jeder Vorgang zu seinem frühestmöglichen Zeitpunkt eingetragen. 6.2.3 a) Früheste und späteste Ereigniszeitpunkte sind der Grafik zu entnehmen.

Projektplanung

Legende:

357

i FZi SZi

G 7

3 61 61

B

60

68 68

H 120

S1 0

I

7

10 188188

N 14 30

8

11

121158

202202

C 120

P 1 M

1 0 0

A 1

2 1 1

4

2

12

D 30

31 144

203203

E

S2 0

Q 30

60

5

9

13

61 144

131186

233233

F 90

K 2

L

R 7 40

6

14

91 146

240240

b) Der erste Zug kann frühestens nach 240 Tagen bereitgestellt werden. Der einzige kritische Weg ist fett hervorgehoben, kritische Aktivitäten sind A, B, G, H, N, P, Q und R. c) Die maximale Zeitreserve entspricht dem Gesamtpuffer, der für Vorgang L GPL SZ 9 FZ 5 d L 186 91 40 55 und für Vorgang M GPM SZ10 FZ 9 d M 188 131 2 55 beträgt. Gemäß Definition des Gesamtpuffers wird bereits der spätestmögliche Beginn aller nachfolgenden Vorgänge unterstellt, daher ist eine weitere Verschiebung des Starts von Vorgang M um mehr als 55 Tage nicht möglich, ohne das Projektende zu gefährden. Eine Kompensation ist also nicht vollständig möglich, vielmehr verzögert sich der Projektabschluss aufgrund des verzögerten Starts in Erlangen um 5 Tage auf 245 Tage.

358

Lösungen

6.2.4 a) i FAi

R

di SAi

21 56

56

21 Ende 77 0

77

5 E

1

30

30 20 1

G

1

A

0

1

0

1 1

31

1

50

1

5

14 3

1

14 14

3

14

1

N

21

3

45

51

3 3

I

18

P

48

3

31

3

48

3

H 15 3

C

Q 51

1

14 31 B

1

L

28

M 34

14

14 34

10

10 18 3

1

D

1

30

1

F

1

14 34

30

K

31

3

31

14

b) Die frühesten und spätesten Anfangszeitpunkte sind der Grafik zu entnehmen. c) Nach frühestens 77 Tagen kann der erste AIRTRAIN 007 an den Besteller übergeben werden. Die Vorgänge A, D, K, M, P, Q und R sind dabei kritisch. 8.6.3 Kapazitäts- und Kostenplanung 6.3.1 Folgendes Balkendiagramm zeigt die Lage aller Vorgänge, wenn sie zum jeweils frühesten Anfangstermin beginnen, und dahinter den Kapazitätsbedarf der einzelnen Vorgänge.

Projektplanung

(6,7)

359

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3)

1

(1,2)

1 5

10

Abb. 8.2. Balkendiagramm, früheste Anfangstermine

Daraus lässt sich unter Beachtung des Kapazitätsbedarfs je Vorgang der Kapazitätsbedarf je Zeiteinheit bei frühesten Anfangsterminen ableiten:

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Abb. 8.3. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei frühesten Zeitpunkten

Entsprechend wird der Kapazitätsbedarf bei spätesten Anfangsterminen ermittelt:

360

Lösungen

(6,7)

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3)

1

(1,2)

1 5

10

Abb. 8.4. Balkendiagramm, späteste Anfangstermine

6 5 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

Abb. 8.5. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei spätesten Zeitpunkten

Sind nur drei Personen verfügbar, lassen sich die Vorgänge zeitlich so planen, dass das Projekt mit drei Personen rechtzeitig nach neun Zeiteinheiten abgeschlossen werden kann. 3 2 1 1

2

3

4

5

6

Abb. 8.6. Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei drei Personen

7

8

9

Projektplanung

361

Das korrespondierende Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei verfügbare Personen zeigt die Lage der entsprechenden Aktivitäten. (6,7)

1

(5,7)

1

(4,7)

2

(3,6)

2

(2,5)

2

(2,4)

1

(1,5)

2

(1,3) (1,2)

1 1 5

10

Abb. 8.7. Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei Personen

6.3.2 Das folgende Balkendiagramm veranschaulicht die Einsatzzeiten für die eingeteilten Personen, wenn alle Vorgänge zum frühestmöglichen Zeitpunkt beginnen. Andreas

B

G

Björn Iris

C

G

Julia

D

Marco

H

A

Olga Patrick

F

E

H

A

C

E

D

Violetta

B 5

F 10

15

20

25

30

35

40

Abb. 8.8. Balkendiagramm mit Personalzuordnung

Julia kommt erst nach 20 Tagen von ihrem Praktikum zurück und kann daher nicht wie geplant mit Vorgang D zum Zeitpunkt 8 beginnen. Eine Verschiebung der Aktivität ist ohne Verzögerung des frühesten Projektendes auf den Beginn 20 möglich, jedoch sind von der Verschiebung weitere Vorgänge und damit Studierende betroffen, sodass insgesamt ein neues Balkendiagramm resultiert. Da Julia nur eine Aufgabe übernehmen kann, muss dann auch H verschoben werden und beginnt zum Zeitpunkt 26. Marco ist dann ebenfalls verfügbar und die Verschiebung von H ist unter Einhaltung des geplanten Projektendes möglich.

362

Lösungen

Andreas

B

G

Björn

C

Iris

F

E

G

Julia

D

Marco

A

Olga

H

A

Patrick

H

C

E

D

Violetta

B 5

F 10

15

20

25

30

35

40

Abb. 8.9. Personalzuordnung unter Berücksichtigung des Praktikums

6.3.3 Der kritische Weg führt über 1, 2, 3, 4 und 5, nur die Beschleunigung von Vorgängen auf dem kritischen Weg reduziert die Projektdauer. Die günstigsten mittleren Beschleunigungskosten der kritischen Vorgänge liegen bei (3, 4) mit 20 vor, daher wird (3, 4) um 2 Einheiten auf 1 Einheit gekürzt. Dann hat (3, 4) Minimaldauer erreicht, d. h. die weiteren Verkürzungskosten werden auf f gesetzt. Vorgang (2, 4) wird zusätzlich kritisch. Die Projektverkürzung auf 10 ist mit Beschleunigungskosten von insgesamt 2 * 20 40 verbunden. 3 4 1

3

0 0

2

7 7

1

5

4 8 8

3 3

2

5 10 10

Vor einer weiteren Verkürzung muss der minimale Schnitt ermittelt werden, der hier durch die Kombination (2, 3) und (2, 4) mit mittleren Beschleunigungskosten von 30 10 40 pro Zeiteinheit gegeben ist. Mit 2 Einheiten Verkürzung erreicht (2, 3) seine Minimaldauer und die Projektdauer kann mit Beschleunigungskosten von 40 2 * 20 120 auf 8 Zeiteinheiten reduziert werden. 3 2 1 0 0

3

2 3 3

5 5 3

1 4 6 6

2

5 8 8

Simulation

363

Im nächsten Schritt kann Vorgang (1, 2) auf 1 Zeiteinheit mit 2 * 50 100 Kosteneinheiten reduziert werden. Damit ist die minimale Projektdauer von 6 Zeiteinheiten erreicht.

200

150

K1 + K2 100 K1

50 K2

6 7 Minimaldauer

8

9

10

11 12 Normaldauer = optimale Dauer

Aufgrund der verhältnismäßig geringen Verlängerungskosten K2 ist es in diesem Fall optimal, das Projekt in Normaldauer durchzuführen, d. h. innerhalb von 12 Zeiteinheiten.

8.7 Simulation 8.7.1 Deterministische Simulation 7.1.1 Die Einlastungsreihenfolge ist durch die Kundenprioritäten vorgegeben. Die Systemzustandsänderungen werden zeitorientiert verfolgt. Die Zustände in den Zeitperioden zwischen den Ereignissen sind der Übersicht zu entnehmen.

364

Lösungen

Periode

Lager 1

Anlage 1

Lager 2

Anlage 2

Endlager

A1 ,..., A5 1

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

2

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

3

A2 ,..., A5

A1

-

-

-

4

A2 , A4 , A5

A3

-

A1

-

5

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

6

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

7

A2 , A4 , A5

A3

-

-

A1

8

A2 , A5

A4

-

A3

A1

9

A5

A2

-

A4

A1 , A3

10

-

A5

A2

A4

A1 , A3

11

-

A5

A2

A4

A1 , A3

12

-

-

A2 , A5

A4

A1 , A3

13

-

-

A5

A2

A1 , A3 , A4

14

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

15

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

16

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

17

-

-

-

A5

A1 ,..., A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 17 Zeiteinheiten. Die Auslastung sowohl in Werk 1 wie auch in Werk 2 ist 1117 64, 7 % . Der Systemzustand ändert sich zu den Zeitpunkten 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13 und 17. 7.1.2 a) Zunächst ist die Auftragsreihenfolge gemäß Kriterium „kürzeste Operationszeit“ aus den gegebenen Daten abzuleiten.

Anschließend erfolgen die Einlastung und die zeitorientierte Simulation mit Beschreibung der Zustände.

Simulation

365

Bearbeitungsdauern Auftrag

Walzstraße

Verzinkerei

Lackiererei

Summe

Reihenfolge

A1

2

1

3

6

3

A2

4

1

2

7

4

A3

3

1

1

5

2

A4

2

1

1

4

1

Walzstraße

Verzinkerei

Lackiererei

Endlager

Periode

Eingangslager A1 ,..., A4

1

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

2

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

3

A1 , A2

A3

A4

-

-

4

A1 , A2

A3

-

A4

-

5

A1 , A2

A3

-

-

A4

6

A2

A1

A3

-

A4

7

-

A1

-

A3

A4

8

-

A2

A1

-

A3 , A4

9

-

A2

-

A1

A3 , A4

10

-

A2

-

A1

A3 , A4

11

-

A2

-

A1

A3 , A4

12

-

-

A2

-

A1 , A3 , A4

13

-

-

-

A2

A1 , A3 , A4

14

-

-

-

A2

A1 , A3 , A4

-

-

-

A1 ,..., A4

366

Lösungen

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 14 ZE. Die Walzstraße ist zu 1114 | 78, 6 % ausgelastet, die Verzinkerei zu 414 | 28, 6 % und die Lackiererei zu 714 50 % . b) Wählt man eine geschickte Reihenfolge, erst A2 , dann A1 auf der ersten Walzstrasse und zunächst A3 , dann A4 auf der zweiten, lassen sich die Aufträge ohne Unterbrechung in der Verzinkerei bearbeiten. Ein Lager vor der Lackiererei wird modelliert, was bei den Daten in Teil a) nicht erforderlich war.

Periode

Eingangslager

Walz I

Walz II

Verzinkerei

Lager

Lackirerei

Endlager

A1 ,..., A4 1

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

2

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

3

A1 , A4

A2

A3

-

-

-

-

4

A1

A2

A4

A3

-

-

-

5

-

A1

A4

A2

-

A3

-

6

-

A1

-

A4

-

A2

A3

7

-

-

-

A1

A4

A2

A3

8

-

-

-

-

A1

A4

A2 , A3

9

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4

10

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4

11

-

-

-

-

-

A1

A2 , A3 , A4 A1 ,..., A4

Die Gesamtdurchlaufzeit verkürzt sich auf 11 Zeiteinheiten, jedoch sind die Walzstraßen nur zu 611 bzw. 511 , also insgesamt nur zu 50% ausgelastet. In einem größeren Kontext mit vielen Aufträgen können diese parallelen Walzstraßen zu einer Verbesserung der Auslastung führen. 7.1.3 Aus den verfügbaren Daten wird zunächst die Bearbeitungsreihenfolge abgeleitet.

Simulation

Auftrag

A1

A2

A3

A4

A5

Bearbeitungsdauer

5

6

5

2

3

Liefertermin

8

12

9

7

5

Differenz

3

6

4

5

2

367

Für die zeitorientierte Ablaufsimulation werden das Eingangslager L1 , ein Zwischenlager L2 und das Endlager L3 berücksichtigt. Periode

L1

M1

L2

M2

L3

Ausgeliefert/ Verspätung

A1 ,..., A5 1

A1 ,..., A4

A5

-

-

-

2

A2 , A3 , A4

A1

-

A5

-

3

A2 , A3 , A4

A1

-

A5

-

4

A2 , A3 , A4

A1

-

-

A5

5

A2 , A4

A3

-

A1

A5

6

A2 , A4

A3

-

A1

7

A2 , A4

A3

-

-

A1

8

A2

A4

-

A3

A1

9

-

A2

A4

A3

A1 / 0

10

-

A2

-

A4

A3 / 0

11

-

A2

-

-

A4 / 3

12

-

A2

-

-

13

-

-

-

A2

14

-

-

-

A2

-

-

-

-

A5 / 0

A2 / 2

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 14 Zeiteinheiten. Die folgende Übersicht zeigt die vereinbarten im Vergleich zu den erreichten Lieferterminen und die jeweiligen Überschreitungen.

368

Lösungen

Auftrag

A1

A2

A3

A4

A5

Erreichter Liefertermin

6

14

9

10

3

Vereinbarter Liefertermin

8

12

9

7

5

Lieferterminüberschreitung

-

2

-

3

-

Die Summe der Lieferterminüberschreitungen beträgt 5 Zeiteinheiten. Für die erste Maschine gibt es 5 4 3 2 1 120 Reihenfolgen. Dies sind die Handlungsalternativen, die für eine optimale Entscheidung hinsichtlich einer Einlastung mit minimaler Summe der Lieferterminüberschreitungen zu untersuchen wären. 7.1.4 a) Periode

Lager 1

Auszubildender

Lager 2

Meister

Endlager

A1 ,..., A4 1

A1 , A2 , A3

A4

-

-

-

2

A1 , A3

A2

-

A4

-

3

A1 , A3

A2

-

A4

-

4

A3

A1

A2

A4

-

5

A3

A1

-

A2

A4

6

A3

A1

-

A2

A4

7

-

A3

-

A1

A2 , A4

8

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

9

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

10

-

A3

-

-

A1 , A2 , A4

11

-

-

-

A3

A1 , A2 , A4

12

-

-

-

A3

A1 , A2 , A4

-

-

-

-

A1 ,.., A4

Simulation

369

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 12 Zeiteinheiten. Die Auslastung des Auszubildenden ist 1012 | 83,3% , die des Meisters 812 | 66, 7 % . b) Wenn die Aufträge in derselben Reihenfolge durch den Meister wie durch den Auszubildenden bearbeitet werden sollen, gibt es 4 3 2 1 24 unterschiedliche Bearbeitungsreihenfolgen für die Aufträge. Diese müssten sämtlich explizit oder implizit hinsichtlich der Gesamtdurchlaufzeit bewertet werden, um die minimale Gesamtdurchlaufzeit zu ermitteln. Eine Abschätzung der mindestens erforderlichen Durchlaufzeit ist möglich. So stellt die Summe der Bearbeitungsdauern für jeden der beiden Akteure je eine untere Schranke dar. Die Bearbeitungszeiten des Auszubildenden betragen 10 Zeiteinheiten, die des Meisters 8 Zeiteinheiten. Eine untere Schranke für die Gesamtdurchlaufzeit ist folglich das Maximum der beiden Werte, also 10 Zeiteinheiten. Diese untere Schranke kann noch erhöht werden. Nach Abschluss der Bearbeitung durch den Auszubildenden muss mindestens der letzte Auftrag noch durch den Meister fertig gestellt werden. Im günstigsten Fall ist das derjenige Auftrag mit der kürzesten Bearbeitungsdauer auf Stufe 2, also A1 mit Dauer 1. Diese Zeit kommt mindestens noch zu den 10 Zeiteinheiten der Stufe 1 hinzu. Somit kann die Gesamtdurchlaufzeit nicht unter 11 Zeiteinheiten betragen. Bevor der Meister seine Arbeit beginnen kann, muss zumindest der Auftrag mit kürzester Bearbeitungsdauer auf Stufe 1 durch den Auszubildenden bearbeitet worden sein, also A4 mit einer Zeiteinheit. Damit ist eine untere Schranke 8 ZE plus 1 ZE, also 9 ZE, die jedoch niedriger ist als die bereits festgestellten 11 ZE. Damit kann die mittels Heuristik ermittelte Reihenfolge mit 12 Zeiteinheiten günstigstenfalls noch um 1 Zeiteinheit verkürzt werden. Ob dies in diesem Beispiel möglich ist, kann in diesem Fall aufgrund der geringen Größe des Problems ermittelt werden. Eine weitere Analyse der Alternativen ergibt, dass die kürzeste Gesamtdurchlaufzeit 11 Zeiteinheiten beträgt und z. B. mit der Reihenfolge A4 , A3 , A2 , A1 erreicht wird. 7.1.5 a) Folgende Tabelle beschreibt die Systemzustände bei Einlastung gemäß der kürzesten Operationszeit, Rüstvorgänge werden mit R bezeichnet.

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 20 Zeiteinheiten, die Rüstzeit auf Maschine 1 9 Zeiteinheiten.

370

Lösungen

Periode

Lager

Maschine 1

Lager 2

Maschine 2

Endlager

A1 ,..., A5 1

A1 , A2 , A4 , A5

A3

-

-

-

2

A1 , A2 , A4 , A5

R

-

A3

-

3

A1 , A2 , A5

A4

-

A3

-

4

A1 , A2 , A5

R

A4

A3

-

5

A1 , A2 , A5

R

-

A4

A3

6

A1 , A2 , A5

R

-

-

A3 , A4

7

A1 , A2 , A5

R

-

-

A3 , A4

8

A2 , A5

A1

-

-

A3 , A4

9

A2 , A5

A1

-

-

A3 , A4

10

A2 , A5

R

-

A1

A3 , A4

11

A5

A2

-

A1

A3 , A4

12

A5

A2

-

-

A1 , A3 , A4

13

A5

A2

-

-

A1 , A3 , A4

14

A5

R

-

A2

A1 , A3 , A4

15

A5

R

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

16

A5

R

-

-

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4 A1 , A2 , A3 , A4

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

A5

A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

17 18 19 20

b) Wird jeweils der Auftrag mit kürzester Rüstzeit als nächstes eingeplant, resultiert der folgende Ablauf.

Simulation

Periode

Lager

Maschine 1

Lager 2

Maschine 2

Endlager

371

A1 ,..., A5 1

A2 , A3 , A4 , A5

A1

-

-

-

2

A2 , A3 , A4 , A5

A1

-

-

-

3

A2 , A3 , A4 , A5

R

-

A1

-

4

A3 , A4 , A5

A2

-

A1

-

5

A3 , A4 , A5

A2

-

-

A1

6

A3 , A4 , A5

A2

-

-

A1

7

A3 , A4 , A5

R

-

A2

A1

8

A4 , A5

A3

-

-

A1 , A2

9

A4 , A5

R

-

A3

A1 , A2

10

A5

A4

-

A3

A1 , A2

11

A5

R

A4

A3

A1 , A2

12

-

A5

-

A4

A1 , A2 , A3

13

-

A5

-

-

A1 , A2 , A3 , A4

14

-

-

-

-

A5 -

-

A5

A1 , A2 , A3 , A4 A1 , A2 , A3 , A4

-

-

-

-

A1 ,..., A5

15

Die Gesamtdurchlaufzeit beträgt 15 Zeiteinheiten, die Rüstzeit auf Maschine 1 4 Zeiteinheiten. Eine Gegenüberstellung der beiden Ergebnisse ist in der folgenden Tabelle zu finden. Die Verkürzung der Durchlaufzeit ist hier auf die Einsparung von Rüstzeit zurückzuführen, ggf. sind zusätzlich notwendige Rüstvorgänge zu Beginn der Produktion zu beachten. Heuristik

Gesamte Durchlaufzeit

Rüstzeit

Kürzeste Bearbeitungszeit

20 ZE

9 ZE

Geringste Rüstzeit

15 ZE

4 ZE

372

Lösungen

8.7.2 Stochastische Simulation 7.2.1 Das Problem lässt sich mittels Zustandsbaum, dieser entspricht einem Entscheidungsbaum ohne Handlungsalternative, strukturieren. 1.Stufe 1

0,5 2.Stufe 2

0,75 Erfolg

0,6 3.Stufe 3

4 M lg fo

lg

lg fo

fo er

er iss

iss

er iss

M

M

25 0,

5

4 0,

0,

a) Die Wahrscheinlichkeit einer erfolgreichen Markteinführung errechnet sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten für den erfolgreichen Abschluss aller 22, 5% Stufen, also: 0, 5 0, 6 0, 75 0, 225 b) Die Transformationsfunktionen lauten wie folgt: T1 (u )

Stufe1positiv für 0 d u d 0,5 ® ¯Stufe1negativ für 0,5 u d1

T2 (u ) 54.000 12.000 u T3 (u )

Stufe 2 positiv ® ¯Stufe 2 negativ

für 0 d u d 0, 6 für 0, 6 u d 1

T4 (u ) 60.000 40.000 u T5 (u )

Stufe 3erfolgreich für 0 d u d 0, 75 ® für 0, 75 u d 1 ¯Stufe 3negativ

T6 (u ) 337.500 225.000 u

Unter Verwendung der vorgegebenen Zufallszahlen werden die Transformationen einzeln durchgeführt und liefern folgende Teilergebnisse für zwei Simulationsläufe: T1 (0,3) Stufe1positiv

T1 (0,5) Stufe1positiv

T2 (0, 7) 62.400 €

T2 (0, 2) 56.400 €

T3 (0, 6) Stufe 2 positiv

T3 (0,9) Stufe 2 negativ Abbruch

T4 (0,1) 64.000 € T5 (0, 4) Stufe 3positiv T6 (0,8) 517.500 €

Simulation

373

Im ersten Fall resultiert eine Wertsteigerung von insgesamt 643.900 €, im zweiten von 56.400 €. Durch viele derartige Simulationsläufe ließe sich die Verteilungsfunktion für die Wertsteigerung ermitteln. 7.2.2 Der folgende lineare Kongruenzgenerator wird hier beispielhaft gewählt:

xi 1 (5 xi 3) mod 16 Mit Startwert x0 4 errechnet man folgende Pseudozufallszahlenfolge: x1

( 5 4 3) mod 16

7

x2

( 5 7 3) mod 16

6

x3

( 5 6 3) mod 16 1

x4

( 5 1 3) mod 16

x5

( 5 8 3) mod 16 11

x6

( 5 11 3) mod 16 10

8

Nach Division durch 15 erhält man die Pseudozufallszahlen in > 0;1@ :

1 ; 8 ; 11 ; 10 . 15 15 15 15

7 ; 6 ; 15 15

Folgende Transformationsfunktionen sind zur Erzeugung von Realisationen gemäß den gewünschten Verteilungen geeignet: für 0 d u d 0,8

T1 (u )

Treffer im Katalog ® ¯kein Treffer

T2 (u )

Buch in Fakultätsbibliothek ° ®Buch in Universitätsbibliothek °Buch auswärts ¯

T3 (u )

Buch verfügbar ° ®Buch entliehen °Buch vermisst ¯

für 0,8 u d 1

für 0,5 u d1

für 0,6 u d 0,95 für 0,95 u d 1

Treffer im Katalog

T2 ( 615)

Buch in Fakultätsbibliothek

T3 ( 115)

Buch verfügbar

T1 ( 815) T2 (1115) T3 (1015)

Treffer im Katalog

Buch entliehen

für 0,4 u d 0,5

für 0 d u d 0, 6

T1 (715)

Buch auswärts

für 0 d u d 0, 4

374

Lösungen

Aufgrund der zwei Simulationsläufe ergibt sich eine mittlere Wahrscheinlichkeit von 0,5, das Buch in der Fakultätsbibliothek zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Buch in der Fakultätsbibliothek verfügbar ist, ergibt sich analytisch aus dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten zu 0,8 0, 4 0, 6 0,192 19, 2 . Dieser Wert ist richtig und schnell zu ermitteln, während die Simulation für ein relativ präzises Ergebnis aufwändig wird. Sie ist für komplexere Situationen besser geeignet, für die die analytische Berechnung nicht so einfach möglich ist. 7.2.3 Entsprechend der Aufgabe 7.2.2 werden die sechs Zufallszahlen 715 ; 615 ; 8 ; 11 ; 10 15 15 ermittelt. 15 Die Transformationsfunktion zur Ermittlung der Fahrgastzahlen lautet:

T (u )

1 ; 15

bzw. T (u ) 50 5u mit entsprechender Rundung.

50 für 0 d u d 0, 2 °51 für 0, 2 u d 0, 4 °° ®52 für 0, 4 u d 0, 6 °53 für 0, 6 u d 0,8 ° °¯54 für 0,8 u d 1

Für die Zufallszahlenfolge resultieren die Werte T (715) 52 , T (615) 51 , T ( 115) 50 , T (815) 52 , T (1115) 53 , T (1015) 53 . Um 12.13 h treffen Fahrgäste mit dem RE 1 aus Bielefeld ein. Sie sparen durch den Metrorapid 57 - 39 = 18 Minuten Fahrzeit, müssen jedoch umsteigen und benötigen zusätzlich 7 Minuten bis zur Abfahrt des Metrorapid. Die tatsächliche Zeitersparnis beträgt somit 11 Minuten. Für Fahrgäste des IR 20 aus Erfurt ergibt sich eine Zeitersparnis von 18 Minuten Fahrzeit minus 11 Minuten Wartezeit, also 7 Minuten. Fahrgäste des RE 11 aus Bielefeld sparen 18 Minuten abzüglich 5 Minuten, also 13 Minuten. Der Zeitgewinn pro Tag wird durch 2 Simulationsläufe mit den Realisationen der Kundenzahlen ermittelt: 1. Lauf

2. Lauf

Kunden

Ersparnis

Kunden

Ersparnis

RE 1

52

572

52

572

IR 20

51

357

53

371

RE 11

50

650

53

689

Die untersuchte Anzahl an Fahrgästen beträgt 311, insgesamt wurde ein Zeitgewinn von 3211 Minuten beobachtet. Dies ergibt einen durchschnittlichen Zeitgewinn je Fahrgast von 10,32 Minuten.

Simulation

375

7.2.4

Die minimale Dauer wird erreicht, wenn sämtliche Vorgänge minimale Vorgangsdauern aufweisen. Sie beträgt 5 = min ^2 3, 5` . Die maximale Dauer ist 7 = max ^3 4, 6` Zeiteinheiten. Sie wird angenommen, wenn alle Vorgänge ihre maximale Vorgangsdauer benötigen. Mit den entsprechenden Transformationsfunktionen für

> a, b @: g u

a b a u

und der angegebenen Zufallszahlenfolge erhält man für die erste Simulation der Projektdauer d1 2, 4 , d 2 3, 7 und d3 5,5 . Die Projektdauer ist hierfür 6,1.

d1 > 2,3@

d 2 >3, 4 @

d 3 >5, 6 @

Mit einem beobachteten Mittelwert von 6,12 und einer Standardabweichung von 0,2 kann das Konfidenzintervall für das Vertrauensniveau von 95 % angenähert angegeben werden durch die Grenzen 6,12 r 1,96 0,2

100

6,12 r 0, 04

Da die maximale Abweichung nur 0,01 betragen soll, ist die Zahl der Simulationsläufe zu ermitteln, für die gilt 1,96 0,2

n

d 0, 01 n t 1,96 0,2 0,01

2

| 1.537

Damit sind zur Einhaltung der vorgegebenen Genauigkeit 1.537 Simulationsläufe durchzuführen, also weitere 1.437. 7.2.5 Zunächst ist ein geeignetes Zeitintervall festzulegen, welches konsequent einzuhalten ist. Unabhängig von dieser Wahl erhält man dann die zutreffenden Ergebnisse. Die Verkehrsdichte wird hier bezogen auf einen Tag:

U

mittlere Anzahl ankommender Züge Anzahl von Zügen, die im Mittel abgefertigt werden können 24 15 24 12

1, 6 2

0,8

O P

376

Lösungen

Die mittlere Wartezeit ergibt sich zu tw

U P (1 U )

0,8 2 0, 2

2

>Tag / Zug @

Die mittlere Schlangenlänge ist

U2 1 U

ns

0,82 0, 2

0, 64 0, 2

3, 2

Im Mittel wartet jeder Zug zwei Tage, dazu bildet sich eine Warteschlange mit im Durchschnitt 3,2 Zügen. Die Kosten pro Zug, die aufgrund der Wartezeit anfallen, betragen 250 GE pro Stunde. Da die mittlere Wartezeit 2 Tage bzw. 48 Stunden beträgt, sind die Opportunitätskosten der durchschnittlichen Wartezeit 48 250 12.000 GE pro Zug. 7.2.6 Die Auslastung entspricht der Verkehrsdichte und beträgt bezogen auf je 10 Minuten:

U

O P

1,5 2

0, 75

75%

Die mittlere Schlangenlänge ist ns

U2 1 U

0, 752 0, 25

2, 25

Die durchschnittliche Wartezeit errechnet sich zu tw

U P (1 U )

0, 75 1,5 2 0, 25

ª10Minuten Person º ¬ ¼ ª¬ Minuten Person º¼

15

Der Schalter ist zu 75 % ausgelastet. Im Mittel stehen 2,25 Bürger in der Schlange vor dem Schalter. Die durchschnittliche Wartezeit pro Bürger beträgt 15 Minuten. 7.2.7 Die Verkehrsdichte und damit die Auslastung der Fleischfachverkäuferin wird auf Basis der durchschnittlichen Ankünfte und Bedienung je Stunde ermittelt:

U

O P

12 20

0, 6

60%

Simulation

Die Verkäuferin ist 1 0, 6

0, 4

377

40% der Zeit unbeschäftigt.

Die mittlere Schlangenlänge errechnet sich zu ns

U2 1 U

0, 62 0, 4

0,9

Die mittlere Wartezeit beträgt tw

U P (1 U )

0, 6 20 0, 4

0,075 ª¬Std.Person º¼ 4,5

ª¬ Min.Person º¼

Im Mittel stehen 0,9 Kunden in der Schlange und warten dort durchschnittlich 4,5 Minuten. 7.2.8 Der Mittelwert der beobachteten Kapitalwerte kann aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes als annähernd normalverteilt NV 350, 452 angenommen werden. Da die Stichprobe mit 400 ausreichend groß ist, kann das Konfidenzintervall mit der geschätzten Standardabweichung und dem Fraktil der Normalverteilung bestimmt werden. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt der Erwartungswert in dem Konfidenzintervall

ª V V º , P ) 0,975 « P ) 0,975 » n n¼ ¬

Für die konkreten Werte und mit ) 0,975 1,96 ergibt sich mit 45 45 º ª , 350 1,96 «350 1,96 » 400 400 ¼ ¬ das Konfidenzintervall zu >345,59; 354, 41@ . In diesem Bereich wird der Erwartungswert des Kapitalwertes mit 95 %iger Wahrscheinlichkeit liegen. Die Abweichung von 350 beträgt somit 4,41, also etwa 1,2 %. Daher sind weitere Simulationsläufe erforderlich um eine Abweichung unter 1 %, d. h. 3,5, zu erzielen. Für deren Anzahl n muss gelten 1,96

2

§ 1,96 45 · d 3,5 n t ¨ ¸ | 635 n © 3,5 ¹

45

Also sind zusätzlich zu den bisherigen 400 noch weitere 235 Simulationsläufe durchzuführen.

378

Lösungen

Das Konfidenzintervall, in dem mit Wahrscheinlichkeit 99 % der Erwartungswert des Kapitalwertes liegt, wird über ) 0,995 2,58 ermittelt zu >344,195; 355,805@ . Also beträgt die Abweichung von 350 jetzt 5,8, also 1,66 %. Um auch mit 99 %iger Wahrscheinlichkeit eine Abweichung vom erwarteten Kapitalwert von 1 % zu ermitteln, sind insgesamt 1100, also 700 weitere Simulationsläufe notwendig, wie der folgende Zusammenhang zeigt: 2

§ 2,58 45 · nt¨ ¸ | 1100 . © 3,5 ¹

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1.1. Abb. 1.2. Abb. 1.3. Abb. 1.4. Abb. 1.5. Abb. 1.6. Abb. 1.7.

Problemlösungsprozess ........................................................................2 Modelle strukturiert nach ihrem Zweck ...............................................4 Beschreibungsmodell Standortplan ......................................................4 Beschreibungsmodell Inventar .............................................................5 Homomorphismus ................................................................................6 Struktogramm Prüfungstraining .........................................................11 Klassifikation von Entscheidungssituationen.....................................22

Abb. 2.1. Abb. 2.2. Abb. 2.3. Abb. 2.4. Abb. 2.5. Abb. 2.6. Abb. 2.7. Abb. 2.8. Abb. 2.9.

Derzeitige Anlagenbelegung Optima .................................................35 Zulässigkeitsbereich Optima ..............................................................37 Optimale Anlagenbelegung Optima ...................................................43 Abgeschlossene, konvexe Polyeder....................................................46 Unbeschränkter Zulässigkeitsbereich.................................................60 Optima II: mehrere optimale Lösungen..............................................63 Zulässigkeitsbereich Optima III .........................................................66 Zulässigkeitsbereich Optima IV .........................................................68 Zulässigkeitsbereich Beispiel Landwirtschaft ....................................73

Abb. 3.1. Zulässigkeitsbereich Optima V ..........................................................78 Abb. 3.2. Zulässigkeitsbereich Hilfsmodell Optima V ......................................80 Abb. 3.3. Zulässigkeitsbereich Beispiel 3.2 .......................................................93 Abb. 4.1. Abb. 4.2. Abb. 4.3. Abb. 4.4. Abb. 4.5. Abb. 4.6. Abb. 4.7. Abb. 4.8. Abb. 4.9. Abb. 4.10.

Eingabemaske Optima Produktionsprogramm .................................121 Erweiterte Ergebnisanzeige..............................................................122 Kosten für OptiMasch AG ...............................................................126 Ergebnisausgabe Supply Chain Management ..................................129 Beispiel Feuerwehrwachen...............................................................130 Optimale Verteilung der Feuerwehrwachen.....................................132 Optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm......................144 Optimales Endtableau Investition und Finanzierung (gerundet) ......147 Flugpreis und Nachfrage ..................................................................152 Projekt-Programm Struktur ..............................................................161

Abb. 5.1. Abb. 5.2. Abb. 5.3. Abb. 5.4.

Beispiel Autobahnnetz NRW ...........................................................166 Alternative Darstellung des Beispiels Autobahnnetz NRW .............167 Ungerichteter Graph G1 ....................................................................168 Gerichteter Graph G2 ........................................................................169

380


Abb. 5.5. Abb. 5.6. Abb. 5.7. Abb. 5.8. Abb. 5.9. Abb. 5.10. Abb. 5.11. Abb. 5.12. Abb. 5.13. Abb. 5.14. Abb. 5.15. Abb. 5.16. Abb. 5.17. Abb. 5.18. Abb. 5.19. Abb. 5.20. Abb. 5.21. Abb. 5.22.

Parallelität ........................................................................................171 Graph G3 als Modell von Kommunikationsbeziehungen .................172 Eigentümerstruktur der Bankgesellschaft Zentral ............................172 Beispiel eines vollständigen Graphen mit 4 Knoten ........................173 Beispiel eines symmetrischen Graphen mit 5 Knoten......................173 Symmetrischer gerichteter Graph Autobahnnetz NRW ...................174 Ungerichteter Graph G4 mit Kreis....................................................175 Digraph G5 mit Zyklus .....................................................................176 Äquivalente Darstellungen desselben Baums ..................................177 Wurzelbaum mit Wurzel 1 ...............................................................178 Eigentümerstruktur als gerichteter Graph ........................................180 Bewerteter ungerichteter Graph Autobahnnetz NRW......................186 Netzwerk ..........................................................................................188 Bewerteter Graph G9 ........................................................................190 Schrittweiser Aufbau eines Baums für Graph G9 .............................193 Autobahnnetz NRW mit Fahrtdauern in Minuten ............................193 Graph G10 .........................................................................................195 u Modifizierter Graph G10 ..................................................................195

Abb. 6.1. Abb. 6.2. Abb. 6.3. Abb. 6.4. Abb. 6.5. Abb. 6.6. Abb. 6.7. Abb. 6.8. Abb. 6.9. Abb. 6.10. Abb. 6.11. Abb. 6.12. Abb. 6.13. Abb. 6.14. Abb. 6.15. Abb. 6.16. Abb. 6.17. Abb. 6.18. Abb. 6.19. Abb. 6.20. Abb. 6.21. Abb. 6.22. Abb. 6.23. Abb. 6.24. Abb. 6.25.

Beispielhafter Netzplan ....................................................................202 Vorgangspfeilnetzplan 1 Klausurtraining.........................................204 Vorgangspfeilnetzplan 2 Klausurtraining.........................................205 Vorgangsknotennetzplan 1 Klausurtraining .....................................205 Vorgangsknotennetzplan 2 Klausurtraining .....................................206 Vorgangsknotennetzplan GC-Uni-Party ..........................................210 Vorgangspfeilnetzplan GC-Uni-Party..............................................210 Frühestmögliche Ereigniszeitpunkte Projekt 1.................................215 Spätesterlaubte Ereigniszeitpunkte Projekt 1 ...................................216 Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst früh ....................218 Projekt 1, Gantt-Diagramm, Vorgänge möglichst spät ....................218 Bewerteter Vorgangsknotennetzplan Projekt 1 ................................220 Projekt 1 mit frühestem und spätestem Vorgangsanfang .................221 Vorgangspfeilnetzplan Projekt 1 mit kritischem Weg .....................222 Pufferzeiten und Lage der Vorgänge................................................224 Gantt-Diagramm mit Gesamtpuffern zu Projekt 1 ...........................225 Vorgangspfeilnetzplan, GC-Uni-Party.............................................227 Ausschnitt des Gantt-Diagramms GC-Uni-Party .............................228 Netzplan zu Projekt 2 .......................................................................229 Kritischer Weg für Projekt 1 im Vorgangsknotennetzplan ..............231 Vorgangsknotennetzplan für Projekt 2.............................................232 Kapazitätsbedarf bei frühestem Beginn der Vorgänge Projekt 1 .....236 Kapazitätsbedarf bei spätestem Beginn der Vorgänge Projekt 1......237 Gantt-Diagramm zur Reduzierung der Zeit mit Spitzenbedarf ........237 Kapazitätsbedarf zu Gantt-Diagramm in Abb. 6.24 .........................238


381

Abb. 6.26. Abb. 6.27. Abb. 6.28. Abb. 6.29. Abb. 6.30. Abb. 6.31. Abb. 6.32.

Zusammenhang zwischen Projektkosten und Projektdauer..............239 Projekt 3 mit Normaldauer ...............................................................240 Projekt 3 mit Minimaldauer .............................................................241 Projekt 3 reduziert auf Dauer 7 ........................................................241 Projekt 3 reduziert auf Dauer 5 ........................................................242 Projekt 3 reduziert auf Dauer 4 ........................................................242 Zusammenhang zwischen Projektdauer und Kosten ........................243

Abb. 7.1. Abb. 7.2. Abb. 7.3. Abb. 7.4. Abb. 7.5. Abb. 7.6. Abb. 7.7. Abb. 7.8. Abb. 7.9. Abb. 7.10. Abb. 7.11. Abb. 7.12. Abb. 7.13. Abb. 7.14. Abb. 7.15. Abb. 7.16. Abb. 7.17. Abb. 7.18. Abb. 7.19. Abb. 7.20. Abb. 7.21. Abb. 7.22. Abb. 7.23. Abb. 7.24. Abb. 7.25.

Modellklassifikation.........................................................................247 Produktionsbereich als offenes, dynamisches System......................249 Auftragsdurchlauf.............................................................................251 Maschinenbelegung, Reihenfolge gemäß Nummerierung................253 Lagerbestand im zeitlichen Ablauf...................................................253 Maschinenbelegung, „KOZ“-Reihenfolge auf 1. Maschine.............255 Maschinenbelegung „Kürzeste Gesamtbearbeitungszeit“ ................256 Optimale Maschinenbelegung ..........................................................256 Auftragseinlastung ...........................................................................257 Produktionssystem eines Unternehmens ..........................................259 Warteschlangensystem .....................................................................266 Diskrete Gleichverteilung Zwischenankunftszeit.............................267 Diskrete Gleichverteilung Bediendauer............................................267 Zeitorientierte Ablaufsteuerung........................................................270 Ereignisorientierte Ablaufsteuerung.................................................270 Feste Elemente des Postschalter-Systems ........................................271 Diskrete Gleichverteilung Würfeln ..................................................276 Unregelmäßige diskrete Zufallsvariable...........................................276 Direkte Transformation von Zufallszahlen.......................................278 Gleichverteilung in [a, b] .................................................................279 Dichtefunktionen von Normalverteilungen ......................................280 Standardnormalverteilung ................................................................280 Exponentialverteilungen mit O 3 bzw. O 6 ..................................282 Risikoprofil eines Investitionsvorhabens..........................................289 Risikoprofil I1 nach 10 Simulationsläufen........................................291

Abb. 8.1. Abb. 8.2. Abb. 8.3. Abb. 8.4. Abb. 8.5. Abb. 8.6. Abb. 8.7. Abb. 8.8. Abb. 8.9.

Optimale Waschpulverproduktion....................................................324 Balkendiagramm, früheste Anfangstermine .....................................359 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei frühesten Zeitpunkten ..................359 Balkendiagramm, späteste Anfangstermine .....................................360 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei spätesten Zeitpunkten ..................360 Kapazitätsbedarf Aufg. 6.3.1 bei drei Personen ...............................360 Balkendiagramm bei Beschränkung auf drei Personen ....................361 Balkendiagramm mit Personalzuordnung ........................................361 Personalzuordnung unter Berücksichtigung des Praktikums............362

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1.1. Tabelle 1.2. Tabelle 1.3. Tabelle 1.4. Tabelle 1.5. Tabelle 1.6.

Ergebnisse des Würfelbeispiels .....................................................17 Grundmodell der Entscheidungstheorie.........................................19 Ergebnismatrix Wochenhändler.....................................................20 Entscheidungsmatrix Wochenhändler............................................20 Vollkommene Alternativenstellung Anlagen.................................22 Investitionsalternativen..................................................................28

Tabelle 2.1.

Produktionskoeffizienten Optima ..................................................33

Tabelle 3.1.

Maßnahmen zur Modellmodifikation ............................................95

Tabelle 4.1. Tabelle 4.2. Tabelle 4.3. Tabelle 4.4. Tabelle 4.5. Tabelle 4.6. Tabelle 4.7. Tabelle 4.8. Tabelle 4.9. Tabelle 4.10. Tabelle 4.11. Tabelle 4.12. Tabelle 5.1.

Kapazität der Werke und Lager ...................................................127 Nachfrage in den Kundengebieten...............................................127 Standorte, von denen aus i innerhalb der Frist erreichbar ist .......131 Ergänzungsinvestitionen I1 .........................................................138 Ergänzungsinvestitionen I 2 .........................................................140 Zahlungsreihen der Investitionen I1 bis I 3 .................................141 Kennzahlen bei unterschiedlichem Soll- und Habenzins.............141 Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten ............................142 Verfügbare Mittel Optima............................................................146 Investitions- und Finanzierungsmöglichkeiten Optima ...............146 Preise und Nachfragen .................................................................153 Optimale Sitzplatzkontingente.....................................................154 Iterationen des Algorithmus von Dijkstra für den Graphen G9 ....191


Kürzeste Wege und kürzeste Entfernungen .................................192 Dijkstra-Iterationen Beispiel Entfernungen NRW .......................194 Kürzeste Wege und Entfernungen von Bochum aus....................194 Dijkstra-Tableau ..........................................................................196 u Entfernungen von Knoten 1 aus für Graph G10 ..........................196 Entfernungen zu Knoten 1 hin für Graph G10 ..............................197


Vorgangsliste Klausurtraining .....................................................204 Vorgangsliste GC-Uni-Party........................................................209 Charakteristische Vorgangszeiten Projekt 1 ................................217 Vorgangspuffer Projekt 1.............................................................225 Vorgangsdauern GC-Uni-Party ...................................................227 Charakteristische Vorgangszeiten und Puffer Projekt 2 ..............230

384

Tabellenverzeichnis

Tabelle 6.7. Tabelle 6.8. Tabelle 6.9.

Zusammenhang der Vorgangsbezeichnungen Projekt 2 ..............232 Minimaldauern und MBK Projekt 3 ............................................240 Vorgangsliste GC-Uni-Party .......................................................245

Tabelle 7.1. Tabelle 7.2. Tabelle 7.3. Tabelle 7.4. Tabelle 7.5.

Auftragsbearbeitungsdauern ........................................................251 Simulation der Auftragsbearbeitung............................................252 Simulation des Postschalters........................................................268 Verteilungsfunktion ) der Standardnormalverteilung ...............281 Generierte Zahlungsfolgen und Kapitalwerte ..............................290

Literaturverzeichnis

Adam D (2001) Produktionsmanagement. 9. Aufl, Nachdruck, Gabler, Wiesbaden Altrogge G (1996) Netzplantechnik. 3. Aufl, Gabler, München Balzert H (2005) Lehrbuch Grundlagen der Informatik - Konzepte und Notationen in UML, Java und C++, Algorithmik und Software-Technik, Anwendungen. 2. Aufl, Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, Berlin Bamberg G, Baur F (2002) Statistik. 12. Aufl, Oldenbourg, München Bamberg G, Coenenberg AG (2004) Betriebswirtschaftliche Entscheidungslehre. 12. Aufl, Vahlen, München Banks J (ed) (1998) Handbook of Simulation: Principles, Methodology, Advances, Applications and Practice. Wiley, New York Berens W, Delfmann W, Schmitting W (2004) Quantitative Planung, Grundlagen, Fallstudien, Lösungen. 4. Aufl, Schäffer-Poeschel, Stuttgart Birge JR, Louveaux F (1999) Introduction to Stochastic Programming. 2 edn, Springer, New York Bixby RE (2002) Solving real–world linear programs: A decade and more of progress. Operations Research 50: 3–15 Blazewicz JW, Domschke W, Pesch E (1996) The job shop scheduling problem: Conventional and new solution techniques. European Journal of Operational Research 33: 1–33 Blochliger I (2004) Modeling staff scheduling problems. A tutorial. European Journal of Operational Research 158: 533–542 Blohm H, Lüder K, Schaefer C (2006) Investition. 9. Aufl, Vahlen, München Bratley P, Fox BL, Schrage LE (1987) A Guide to Simulation. 2. edn, Springer, New York Breuer W (2002) Investition I. 2. Aufl, Gabler, Wiesbaden Brotcorne L et al (2003) Ambulance location and relocation models. European Journal of Operational Research 147: 451–461 Brucker P (2004) Scheduling Algorithms. 4. edn, Springer, Berlin Burghardt M (2002) Einführung in Projektmanagement – Definition, Planung, Kontrolle, Abschluss. 4. Aufl, Publicis MCD, Erlangen Busse von Colbe W, Pellens B (1998) Lexikon des Rechnungswesens. 4. Aufl, Oldenbourg, München

386


Busse von Colbe W, Laßmann G (1990) Betriebswirtschaftstheorie 3, Investitionstheorie. 3. Aufl, Springer, Berlin Chen H, Yao D (2001) Fundamentals of Queueing Networks. Springer, New York Corsten H, Corsten H (2000) Projektmanagement – Einführung. Oldenbourg, München Corsten H, Gössinger R (2001) Einführung in das Supply Chain Management. Oldenbourg, München Corsten H, Gössinger R (2005) Kapazitätssteuerung im Revenue Management. ZfB-Special 1: 31–52 Corsten H, Corsten H, Sartor C (2005) Operations Research. Vahlen, München Dantzig GB (1963) Linear Programming and Extensions. Princeton University Press, Princeton NJ Dantzig GB (2002) Linear Programming. Operations Research 50: 42–47 De Boer SV, Freling R, Piersma N (2002) Mathematical programming for network revenue management revisited. European Journal of Operational Reserach 137: 72–92 Demeulemeester EL, Herroelen WS (2002) Project Scheduling: A Research Handbook, International Series in Operations Research & Management Science. Kluwer, Boston Dempster MA (ed) (1982) Deterministic and Stochastic Scheduling. Kluwer, Dordrecht Deutsches Institut für Normung e.V. (Hrsg) (1983) Informationsverarbeitung – Sinnbilder und ihre Anwendung. DIN 66001, Beuth, Berlin Deutsches Institut für Normung e.V. (Hrsg) (1985) Informationsverarbeitung – Sinnbilder für Struktogramme nach Nassi-Shneiderman. DIN 66261, Beuth, Berlin Deutsches Institut für Normung e.V. (Hrsg) (1987) Projekt und Projektmanagement. DIN 69901, Beuth Berlin Diestel R (2005) Graduate Texts in Mathematics – Graph Theory, 3. edn, Springer, Berlin Dinkelbach W (1992) Operations Research – Ein Kurzlehr- und Übungsbuch. Springer, Berlin Dinkelbach W, Kleine A (1996) Elemente einer betriebswirtschaftlichen Entscheidungslehre. Springer, Berlin Dodin B, Elimam AA, Rolland E (1998) Tabu search in audit scheduling. European Journal of Operational Research 106: 373–392 Domschke W (1995) Logistik: Transport, Grundlagen, lineare Transport- und Umladeprobleme. 4. Aufl, Oldenbourg, München Domschke W (1997) Logistik: Rundreisen und Touren. 4. Aufl, Oldenbourg, München


387

Domschke W, Drexl A (1996) Logistik – Bd 3, Standorte. 4. Aufl, Oldenbourg, München Domschke W, Drexl A (1996) Logistik: Standorte. 4. Aufl, Oldenbourg, München Domschke W, Klein R (2004) Bestimmung von Opportunitätskosten am Beispiel des Produktionscontrolling. Zeitschrift für Planung & Unternehmenssteuerung 15: 275–294 Domschke W, Drexl A (2005) Einführung in Operations Research, 6. Aufl, Springer, Berlin Domschke W, Scholl A (2005) Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre. 3. Aufl, Springer, Berlin Domschke W, Drexl, A, Klein R, Scholl A., Voß S (2005) Übungen und Fallbeispiele zum Operations Research. 5. Aufl, Springer, Berlin Drezner Z (1995) Facility Location, A Survey of Applications and Methods. Springer, New York Dyckhoff H, Spengler T (2005) Produktionswirtschaft – Eine Einführung für Wirtschaftsingenieure. Springer, Berlin Ehrgott M (2005) Multicriteria Optimization. 2 edn, Springer, Berlin Eisenführ F, Weber M (2003) Rationales Entscheiden. 4. Aufl, Springer, Berlin Ellinger T, Beuermann G, Leisten R (2003) Operations Research. 6. Aufl, Springer, Berlin Ernst H (2003) Grundkurs Informatik – Grundlagen und Konzepte für die erfolgreiche IT-Praxis – Eine umfassende, praxisorientierte Einführung. 3. Aufl, Vieweg, Wiesbaden Ernst AT, Jiang H, Krishnamoorthy M, Sier D (2004) Staff scheduling and rostering: A review of applications, methods and models. European Journal of Operational Research 153: 3–27 Fishman GS (2001) Discrete Event Simulation: Modeling, Programming, and Analysis. Springer, New York Fleuren H, den Hertog D, Kort P (eds) (2005) Operations Research Proceedings 2004. Springer Berlin Forrester JW, (1999) Industrial Dynamics. New edn, Pegasus Communications, Waltham, MA Freiwald S (2005) Supply Chain Design: Robuste Planung mit differenzierter Auswahl der Zulieferer. Bochumer Beiträge zur Unternehmensführung 72, Lang, Frankfurt Gal T (Hrsg) (1992) Grundlagen des Operations Research 2 – Graphen und Netzwerke, Netzplantechnik, Transportprobleme, Ganzzahlige Optimierung. 3. Aufl, Springer, Berlin Gal T, Greenberg HJ (eds) (1997) Advances in Sensitivity Analysis and Parametric Programming. Kluwer, Boston

388


García-Flores R, Wang XZ (2002) A multi-agent system for chemical supply chain simulation and management support. OR Spectrum 24: 343–370 Garus S (2000) Evolutionäre Algorithmen in der simulationsunterstützten Produktionsprozessplanung – Einsatz in der chemischen Industrie. DUV/Gabler, Wiesbaden Goldfarb D, Todd MJ (1989) Linear Programming. In: Nemhauser J, Rinnoy Kan AHG, Todd MJ (eds) Optimization. Handbooks in Operations Research and Management Science vol 1, North-Holland, Amsterdam, pp 73–170 Grunow M, Günther HO, Lehmann M (2002) Campaign planning for multi-stage batch processes in the chemical industry. OR Spectrum 24: 281–314 Günther HO, Tempelmeier H (2005) Produktion und Logistik. 6. Aufl, Springer, Berlin Günther HO, Mattfeld DC, Suhl L (Hrsg) (2005) Supply Chain Management und Logistik, Optimierung, Simulation, Decision Support. Physica, Heidelberg Gupta JND, Stafford EF Jr. (2006) Flowshop scheduling research after five decades. European Journal of Operational Research 169: 699–711 Hadley G (1980) Linear Programming. 10. print, Addison-Wesley, Reading, MA Hertz DB (1964) Risk analysis in capital investment. Harvard Business Review 42: 95–103 Hillier F, Lieberman G (1997) Operations Research. 5. Aufl, Oldenbourg, München Jaeger A, Wäscher G (1998) Mathematische Propädeutik für Wirtschaftswissenschaftler – Lineare Algebra und lineare Optimierung. Oldenbourg, München Kallrath J (2002) Combined strategic and operational planning – an MILP success story in chemical industry. OR Spectrum 24: 315–341 Keeney RL (1996) Value-Focused Thinking: A Path to Creative Decisionmaking. Harvard University Press, Cambridge, MA Kimms A, Klein R (2005) Revenue Management im Branchenvergleich. ZfBSpecial 1: 1–30 Kistner KP (2003) Optimierungsmethoden – Einführung in die Unternehmensforschung für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Aufl, Physica, Heidelberg Kistner KP, Steven M (2001) Produktionsplanung. 3. Aufl, Physica, Heidelberg Kistner KP, Steven M (2002) Betriebswirtschaftslehre im Grundstudium 1 – Produktion, Absatz, Finanzierung. 4. Aufl, Physica, Heidelberg Kleijnen JPC (1987) Statistical Tools for Simulation Practitioners. Marcel Dekker, New York Klein R (2000) Scheduling of Resource-Constrained Projects. Kluwer, Boston Klein R (2001) Revenue Management: Quantitative Methoden zur Erlösmaximierung in der Dienstleistungsproduktion. Betriebswirtschaftliche Forschung und Praxis 53: 245–259


389

Klophaus R (1998) Revenue Management: Wie die Airline Ertragswachstum schafft. Absatzwirtschaft: 146–152 Knolmayer G, Mertens P, Zeier A (2000) Supply Chain Management auf Basis von SAP-Systemen. Perspektiven der Auftragsabwicklung für Industriebetriebe. Springer, Berlin Knuth DE (1981) The Art of Computer Programming 2: Seminumerical Algorithms. 2. edn, Reading MA Kolisch R (1995) Project Scheduling under Resource Constraints – Efficient Heuristics for Several Problem Classes. Physica, Heidelberg Krumke SO, Noltemeier H (2005) Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen. Teubner, Wiesbaden Laux H (2005) Entscheidungstheorie. 6. Aufl, Springer, Berlin Law AM, Kelton WD (2006) Simulation Modeling and Analysis. 4. edn, McGraw-Hill, Boston Leung JYT (2004) Handbook of Scheduling: Algorithms, Models, and Performance Analysis. Chapman & Hall, Boca Raton Liebl F (1995) Simulation: problemorientierte Einführung. 2. Aufl, Oldenbourg, München Luderer B, Würker U (2005) Einstieg in die Wirtschaftsmathematik. 6. Aufl, Teubner, Stuttgart Mathar R, Pfeifer D (1990) Stochastik für Informatiker. Teubner, Stuttgart Meadows DL, Meadows D, Zahn E, Milling P (1994) Die Grenzen des Wachstums – Berichte des Club of Rome zur Lage der Menschheit. 16. Aufl, Deutsche Verlags-Anstalt, München Meadows DH, Meadows DL, Randers J, (2001) Die neuen Grenzen des Wachstums. 5. Aufl, Rowohlt, Reinbek Meredith JR, Mantel SJ (2006) Project Management – A Managerial Approach. 6. edn, Wiley, Hoboken, NJ Meyer M, Harfner A (1999) Spezialisierung und Kooperation als Strukturoptionen für deutsche Krankenhäuser im Lichte computergestützter Modellrechnungen. Zeitschrift für Betriebswirtschaft 69, Ergänzungsheft 5: 147–166 Milling P (Hrsg) (2002) Entscheiden in komplexen Systemen. Wissenschaftliche Jahrestagung der Gesellschaft für Wirtschafts- und Sozialkybernetik vom 29. und 30. September 2000 in Mannheim – Wirtschaftskybernetik und Systemanalyse 20, Duncker & Humblot, Berlin Nance RE, Sargent RG (2002) Perspectives on the evolution of simulation. Operations Research 50: 161–172 Neumann K (1990) Stochastic Project Networks – Temporal Analysis, Scheduling and Cost Minimization. Springer, Berlin Neumann K, Morlock M (2002) Operations Research. 2. Aufl, Hanser, München

390


Neumann K, Schwindt C, Trautmann N (2002) Advanced production scheduling for batch plants in process industries. OR Spectrum 24: 251–279 Neus W (2005) Einführung in die Betriebswirtschaftslehre aus institutionenökonomischer Sicht. 4. Aufl, Mohr Siebeck, Tübingen Ohse D (2005) Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Bd 2 – Lineare Wirtschaftsalgebra. 5. Aufl, Vahlen, München Pidd M (2004) Computer Simulation in Management Science. 5. edn, Wiley, Chichester Pinedo ML (2005) Planning and Scheduling in Manufacturing and Services. Springer, New York Pritsker AAB (1994) Introduction to Simulation and SLAM II. 4. edn, Wiley, New York Pritsker AAB, O’Reilly JJ (1999) Simulation with Visual Slam and Awesim. 2. edn, Wiley, New York Reichardt H, Reichardt A (2002) Statistische Methodenlehre für Wirtschaftswissenschaftler. 11. Aufl, Gabler, Wiesbaden Rommelfanger HJ, Eickemeier SH (2002) Entscheidungstheorie. Springer, Berlin Sachs L (2004) Angewandte Statistik. 11. Aufl, Springer, Berlin Schelle H, Reschke H, Schnopp R, Schub A (Hrsg) in Zusammenarbeit mit GPM Deutsche Gesellschaft f. Projektmanagement e.V. (2004) Projekte erfolgreich managen – Grundwerk mit Ergänzungslieferungen. TÜV, Köln Schmidt RH, Terberger E (2003) Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie. 4. Aufl, Gabler, Wiesbaden Schneeweiß C (2002) Einführung in die Produktionswirtschaft. 8. Aufl, Springer, Berlin Schneider D (1995) Informations- und Entscheidungstheorie. Oldenbourg, München Schneider D (1997) Betriebswirtschaftslehre, Bd 2: Rechnungswesen. Oldenbourg, München Scholl A (2001) Robuste Planung und Optimierung, Grundlagen - Konzepte und Methoden - Experimentelle Untersuchungen. Physica, Heidelberg Schöneborn, F (2003) Strategisches Controlling mit System Dynamics. Physica, Heidelberg Schwarze J (2001) Projektmanagement mit Netzplantechnik. 8. Aufl, Neue Wirtschafts-Briefe, Herne, Berlin Schwarze J (2005) Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Bd 3, Lineare Algebra, Lineare Optimierung und Graphentheorie. 12. Aufl, NWB Studienbücher, Herne Stadtler H, Kilger C (eds) (2005) Supply Chain Management and Advanced Planning Concepts, Models, Software and Case Studies. 3. edn, Springer, Berlin


391

Steger A (2002) Diskrete Strukturen 1, Kombinatorik, Graphentheorie, Algebra. 1., korr. Nachdruck, Springer, Berlin Steude V (2003) PPS-Systeme auf Basis von Simulation. Josef Eul, Lohmar, Köln Steven M (2004) Hierarchical planning structures in supply chain management. In: Fandel G, Backes-Gellner U, Schlüter M, Staufenbiel JE (eds) Modern Concepts of the Theory of the Firm: Managing Enterprises of the New Economomy. Springer, Berlin, pp 301–312 Suhl L, Mellouli T (2006) Optimierungssysteme. Springer, Berlin, Heidelberg Suhl U (2000) MOPS – Mathematical OPtimization System. OR News 8: 11–16 Sydsaeter K, Hammond P (2004) Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler – Basiswissen mit Praxisbezug. Pearson Studium, München Thorn J (2002) Taktisches Supply Chain Planning – Planungsunterstützung durch deterministische und stochastische Optimierungsmodelle. Bochumer Beiträge zur Unternehmensführung 65, Lang, Frankfurt Tietze J (2005) Übungsbuch zur angewandten Wirtschaftsmathematik – Aufgaben, Testklausuren und Lösungen. 5. Aufl, Vieweg, Wiesbaden Turau V (2004) Algorithmische Graphentheorie. 2. Aufl, Oldenbourg, München Völkner P (1998) Modellbasierte Planung von Geschäftsprozessabläufen – Entwicklung eines Entscheidungsunterstützungssystems auf Grundlage objektorientierter Simulation. Bochumer Beiträge zur Unternehmungsführung und Unternehmensforschung 54, Gabler, Wiesbaden Völkner P, Werners B (2000) A Decision Support System for Business Process Planning. European Jornal of Operational Research 125: 633–647 Watson HJ, Blackstone Jr. JH (1989) Computer Simulation. 2. edn, Wiley, Chichester Weber R, Werners B, Zimmermann HJ (1990) Planning models for research and development. European Journal of Operational Research 48: 175–188 Wegener I (2003) Komplexitätstheorie – Grenzen der Effizienz von Algorithmen. Springer, Berlin Werners B (2000) Projektsteuerung durch die Zuweisung von Vorgangspuffern. WiSt Wirtschaftswissenschaftliches Studium 29: 422–427 Werners B (2002) Simulation zur operativen und strategischen Produktionsplanung in einem kunststofferzeugenden Unternehmen. In: Biethan J (Hrsg) Proceedings zum 8. Symposium Simulation als betriebliche Entscheidungshilfe – Neuere Werkzeuge und Anwendungen aus der Praxis. Eigenverlag, Göttingen, S 145–158 Werners B (2004) Kurzeinführung in Clipmops V3.6.7 – Standardsoftware zur Lösung linearer und (gemischt-)ganzzahlig linearer Programmierungsmodelle. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universität Bochum

392


Werners B (2006) Kurzeinführung in XPRESS-Ive, Standardsoftware zur Lösung linearer kontinuierlicher und (gemischt-)ganzzahliger Programmierungsmodelle. Fakultät für Wirtschaftswissenschaft, Ruhr-Universität Bochum Werners B, Gabriel R (Hrsg) (1994) Operations Research, Reflexionen aus Theorie und Praxis, Festschrift zum 60. Geburtstag von Hans-Jürgen Zimmermann. Springer Berlin Werners B, Thorn J (2002) Berücksichtigung von Unsicherheit in Advanced Planning Systems. Industrie Management 18: 53–56 Werners B, Thorn, J (2003) Collaborative Supply Chain Planning. WiSt Wirtschaftswissenschaftliches Studium 32: 590–595 Werners B, Wolf A (2004) Simulationsbasierte Steuerung risikobehafteter Projekte. In: Biethahn J (Hrsg) Proceedings zum 9. Symposium: Simulation als betriebliche Entscheidungshilfe - Neuere Werkzeuge und Anwendungen aus der Praxis. Eigenverlag, Göttingen, S 95–114 Werners B, Steude V, Thorn J (1999) Unterstützung der Produktionsplanung mittels Simulation in einer kunststofferzeugenden Unternehmung. Zeitschrift für Planung 10: 407–429 Werners B, Drawe M, Thorn J (2001) Standortplanung für das Rettungswesen. WiSt Wirtschaftswissenschaftliches Studium 12: 653–658 Werners B, Thorn J, Freiwald, S (2003a) Performance-Kriterien für das Supply Chain Design. Supply Chain Management 3: 7–16 Werners B, Thorn J, Hagebölling D (2003b) Standortplanung in Bochum: Wohin mit den Rettungswachen? Rettungsdienst 26: 29–33 Wolf A (2005) Dynamische Projektsteuerung unter Risiko: Entscheidungsunterstützung mit Anpassung an die vorliegende Risikoeinstellung – Betriebswirtschaftslehre 1. Europäischer Universitätsverlag, Berlin Zäpfel G, Braune R (2005) Moderne Heuristiken der Produktionsplanung. Vahlen, München Zimmermann HJ (2001) Fuzzy Set Theory – and Its Applications. 4 edn, Kluwer, Norwell, MA Zimmermann HJ (2005) Operations Research. Vieweg, Wiesbaden Zimmermann W, Stache U (2001) Operations Research – Quantitative Methoden zur Entscheidungsvorbereitung. 10. Aufl, Oldenbourg, München

Sachverzeichnis

A Abbruch 10 Abfertigungsrate 286 Ablaufplan 238 Ablaufsteuerung 270 ereignisorientierte 270 zeitorientierte 270 Absatzrestriktion 124 adjazent 169 Adjazenzmatrix 178 Algorithmus 9 Alternative 10, 21 Anfang 209 Anfangsknoten 170 Anfangszeit frühestmögliche 217 spätesterlaubte 217 Ankunftsrate 286 Ankunftsverhalten 266 Anlagenbelegungsplanung 251, 258 Annuität 138 Annuitätenfaktor 138 Anordnungsbeziehung 202 Äquivalenzklasse 6, 7 Artenpräferenz 25 Attribut 24 Aufnahmekriterium 40, 55 Ausgangsgrad 170 Ausgangslösung zulässige 77 Auslastung 269 Auswahlordnung 266 B Balkendiagramm 217 Barwert 138 Basis 49 zulässige 51 Basisdarstellung 67 Basislösung 52

optimale 55 zulässige 52, 54 Basistausch 56 Baum 177 Beschleunigungskosten mittlere 240 Beschreibungsmodell 3 Bewertungsfunktion 25, 185 Bewertungsmatrix 186 Blatt 177 C ClipMOPS£ 121 D Deckungsbeitrag 99, 123, 133, 157 Digraph 171 Dijkstra 189 Dominanz 27 Dominanzprinzip 27 dominiert 27 Dualität 102 Dualvariable 103 E Effizienz 11, 27 Eingabedaten 121 Eingangsgrad 170 Elemente bewegliche 270 feste 270 Eliminationskriterium 41, 55 Ende 210 frühestmögliches 217 spätesterlaubtes 217 Endknoten 170, 177 Endvermögen 149 Endwert 138, 144 Entartung

394

Sachverzeichnis

duale 65 primale 55, 67 Entfernung 187 Entscheidungslogik 16 Entscheidungsmatrix 19, 26 Entscheidungsmodell 3 Entscheidungsregel 25 Entscheidungssituation 22, 254 Entscheidungstheorie 15, 16, 18 Entscheidungsverhalten 16 Enumeration vollständige 8 Ereignis 202, 250 kritisches 222 Ereignisknotennetzplan 203 Ergebnis 17, 24 Ergebnisanzeige 121 Ergebnismatrix 19 Erklärungsmodell 3 Erreichbarkeit 176 Erwartungswert 277 Experiment 248 Exponentialverteilung 282, 285 F Fallmix-Optimierung 157 Flussdiagramm 9 Folge 10 Form kanonische 49 G Gantt-Diagramm 217 Gesamtdurchlaufzeit 251 Gleichgewicht finanzielles 143 Gleichungssystem äquivalentes 46 Grad 170 Graph bewerteter 185 endlicher 170 gerichteter 168 kreisfreier 174 schlichter 171 symmetrischer 173 ungerichteter 167 vollständiger 173 zusammenhängender 177 zyklenfreier 175

Grenzwertsatz zentraler 283 Grundmodell 18, 44 H Habenzins 140 Handlungsalternative 16 Hilfsvariable 79 Höhenpräferenz 25 Höhenpräferenzfunktion 26 homomorph 7 Homomorphismus 6 I Indifferenz 24 Information 17 Investition 136 Investitionsrechnung dynamische 136 inzident 169 negativ 170 positiv 170 Inzidenzabbildung 167 isoliert 170 isomorph 7 Isomorphismus 6, 7 K Kalkulationszinssatz 137 Kante 167 gerichtete 168 parallele 171 Kantenfolge 174 geschlossene 174 Länge 187 offene 174 Kapazitätenvektor 45 Kapazitätsplanung 236 Kapazitätsrestriktion 125 Kapitalwert 137, 160 kardinal 26 Kette 174 Knoten 130, 167 verbundene 176 Koeffizientenmatrix 45 Komplementaritätsbedingung 106 Konfidenzintervall 283 Kosten 127, 152, 157 Kreis 174

Sachverzeichnis Kreisregel 57 Kürzeste-Wege-Algorithmus 189 L Lagerbilanzgleichung 125 Lagerhaltung 124 Landau-Symbol 12 Laufzeit 12 maximale 12 Leerzeit 287 lineare Optimierung 44 lineare Programmierung 44 ganzzahlige 119 gemischt-ganzzahlige 119 linearer Kongruenzgenerator 272 Lösung optimale 8, 36, 55 zulässige 36 Lösungsraum 45 M Markierungsalgorithmus 189 Maximumprinzip 1 Methode 2-Phasen- 84 Groß-M- 79 Minimaldauer 239 Minimierung 90 Minimumprinzip 1 Modell 3, 247 N Nachbar 169 Nachfolger 170 Nachfolgerliste 180 Nebenbedingung 45 Netzplan 202 Netzwerk 185 Nichtbasisteil 49 Nichtnegativitätsbedingung 44, 45, 89, 121 Normaldauer 239 Normalverteilung 279 Nutzenfunktion 25 Nutzenmatrix 26 O ökonomisches Prinzip 1

395

O-Notation 12 Opportunitätskosten 59, 102, 123 Optimalität 1 Optimalitätskriterium 43, 55 Optimierung 8, 254 Optimierungsmodell duales lineares 102 primales lineares 102 quadratisches 119 ordinal 26 P pareto-optimal 27 Personaleinsatzplanung 155, 163 Pfad kritischer 222, 230 Pfeil paralleler 171 Pfeilfolge 175, 187 Pivotelement 57 Pivotisierung 56 Pivotspalte 40, 57 Pivotzeile 57 Planung 2 Poissonverteilung 282 Präferenz 24 schwache 24 strikte 24 Präferenzfunktional 25 Primalvariable 103 Problemlösung 3 Produktionsplanung 135, 258 Produktionsprogrammplanung 33, 121, 123 Prognosemodell 3 Programm 9 Programmablaufplan 9 Projekt 201 Projektauswahl 160 Projektdauer kostenoptimale 239 Projektkostenoptimierung 238 Projektplanung 201 Puffer freier 223, 231 freier Rückwärts- 224, 231 Gesamt- 223, 231 Pfad- 226 unabhängiger 224, 231 Pufferzeiten 222

396

Sachverzeichnis

Q quantitativ 2 Quelle 170 R rational 16 Realisation 285 Rechenaufwand 120, 193 reduced cost 122 Restriktion 44, 45 Risiko 22 Risikoanalyse 288 Risikopräferenz 25 Risikoprofil 289, 291

Strukturanalyse 203 strukturgleich 3 Strukturvariable 37, 45, 122 duale 122 Supply Chain Management 125 System 248 dynamisches 248 Szenario 23 T topologisch sortieren 176 Transformation 277 Transformationsfunktion 279 Transitivität 25 Transportplan 127

S

U

Schattenpreis 59, 102, 123 Scheinvorgang 207 Schlinge 170 Schlupfvariable 37, 46 Schranke 120 obere 120 untere 120 Semikreis 175 Semipfeilfolge 175 Senke 170 Sensitivitätsanalyse 109, 112 Sequenz 10 Serviceeinrichtung 266 Servicezeit 266 Sicherheit 22 Simplexalgorithmus 39, 53, 71 primaler 104 Simulation 249 diskrete 250 dynamische 249 Monte-Carlo 265 stetige 250 stochastische 249, 265 Software 119 Sollzins 140 Standardabweichung 277 Standardnormalverteilung 281 Standardverteilung 274 Standortplanung 129 Status 122 stochastisch 24 Struktogramm 9, 11, 71 strukturähnlich 3

Umweltzustand 17, 22 unabhängig 24 undominiert 27 Ungewissheit 22 Unsicherheit 22 Unsicherheitspräferenz 25 Unternehmensforschung 1 V Variable vorzeichenunbeschränkte 92 Varianz 277 Verarbeitung 10 Verkehrsdichte 286 Vollständigkeit 25 Vorgang 202 kritischer 222 Vorgänger 170 Vorgängerliste 180 Vorgangsknotennetzplan 203 Vorgangspfeilnetzplan 203 W Wahrscheinlichkeit 23 bedingte 23 gemeinsame 23 Warteschlange 266 Warteschlangensystem 266, 285 Weg kritischer 222, 230 kürzester 185

Sachverzeichnis Wertfunktion 26 Wiederholung 10 Wurzel 177 Wurzelbaum 177 Z Zahlungsreihe 136, 149 Zeitanalyse 214, 219 Zeitpräferenz 25 Zeitpunkt frühestmöglicher 214 spätesterlaubter 214 Ziel 17, 24 Zielfunktion 45 Zielfunktionskoeffizient 45 Zielgröße 24 Zielsystem 24, 25

Zielvariable 24 Zufallsstichprobe 285 Zufallsvariable diskrete 275 Zufallszahl 271 Zulässigkeit duale 112 primale 112 Zulässigkeitsbereich 45 zusammenhängend schwach 177 stark 177 Zustand 248 stationärer 269, 286, 287 Zwischenankunftszeit 267 Zyklus 175

397

Grundlagen des Operations Research: Mit Aufgaben und Lösungen (Springer-Lehrbuch)

Grundlagen des Operations Research

Investitionsrechnung: Grundlagen - Aufgaben - Lösungen

Molekülphysik und Quantenchemie: Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen: mit 43 Tabellen und 133 Aufgaben

Optik: mit 125 Aufgaben und vollständigen Lösungen

Möglichkeiten, Aufgaben und Grenzen des OP-Managements

Grundlagen und Methodik der Mehrkörpersimulation: mit Anwendungsbeispielen

Operations Research Calculations Handbook (Operations Research Series)

Operations research

Operations Research

Uebungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie: Aufgaben mit Loesungen

Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler: Mit Aufgaben und Lösungen

Übungsbuch zur Linearen Algebra und analytischen Geometrie: Aufgaben mit Lösungen

C++ mit dem Borland C++ Builder Aufgaben und Lösungen

Grundlagen der Strahlungsphysik und des Strahlenschutzes

Physik für technische Berufe physikalisch-technische Grundlagen, Formelsammlung, Versuchsbeschreibungen, Aufgaben mit ausführlichen Lösungen; mit 35 Tabellen

Grundlagen und Technologien des Ottomotors - Der Fahrzeugantrieb

Festigkeitslehre: Aufgaben und Losungen GERMAN

Prufungstrainer Rechnernetze: Aufgaben und Losungen

Introduction to Operations Research

Operations research applications

Kapitalgesellschaftsrecht: Mit Grundzügen des Konzern- und Umwandlungsrechts

Sieben Wunder der Informatik: Eine Reise an die Grenze des Machbaren mit Aufgaben und Lösungen

Operations research calculations handbook

Operations Research, 2nd Edition

Gerthsen Physik Aufgaben Und Losungen

Operations Research Calculations Handbook, Second Edition (Operations Research Series)

Photovoltaik Solarstrahlung und Halbleitereigenschaften, Solarzellenkonzepte und Aufgaben

Operations Research Calculations Handbook

Operations Research Methodologies

Operations Research Proceedings 2010

Grundlagen des Operations Research: Mit Aufgaben und Lösungen (Springer-Lehrbuch)