Matematica 1 2

Matemática Guía de estudio 2 del Bloque 1 Educación Adultos 2000 Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación ...

Author: Bach

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Matemática

Guía de estudio 2 del Bloque 1

Educación Adultos 2000

Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación Proyecto Educación Adultos 2000 Coordinador pedagógico: Lic. Roberto Marengo Equipo técnico-pedagógico: Lic. Ayelén Attías Lic. Valeria Cohen Lic. Daniel López Lic. Norma Merino Lic. Noemí Scaletzky Lic. Alicia Zamudio EQUIPO DE EDICIÓN: Coordinadora de producción de materiales: Lic. Norma Merino Procesamiento didáctico: Lic. Mónica Benavídes Especialista en Contenidos: Prof. Beatriz Marelli Prof. Dora Guil Prof. Ernesto José Maqueda Colaboración en la edición: Lic. Sandra Muler (pedagógica) Dra. Fabiana Leonardo (legal) Diseño gráfico: Alejandro Cácharo Ilustración de portada: Obras de Arquímedes, en la edición de París, 1615

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

Índice

Matem Maá tet miác ticaa

Introducción Unidad 4: números enteros

91

4.1. Idea de número entero 4.2. Operaciones 4.3. Ecuaciones Sección Sección Sección Sección

A - Guía de lectura para el libro 1 B - Guía de lectura para el libro 2 C - Actividades sobe lo leído D - 1° Autoevaluación integradora

Unidad 5: ángulos y triángulos 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

92 94 95 107

111

Clasificación de ángulos Propiedades de ángulos Clasificación de triángulos Propiedades de triángulos Construcción de triángulos

Sección A - Guía de lectura para el libro 1 Sección B - Guía de lectura para el libro 2 Sección C - Actividades sobe lo leído

113 114 116


Unidad 6: números racionales

125

6.1. Números racionales 6.2. Representación de números racionales 6.3. Operaciones Sección Sección Sección Sección

A - Guía de lectura para el libro 1 B - Guía de lectura para el libro 2 C - Actividades sobe lo leído D - 2° autoevaluación integradora

126 128 129 142


Introducción

Matem Maá tet miác ticaa

Volvemos a encontrarnos para el estudio de la parte 2 del Bloque 1 de Matemática. Iremos orientandolo en la lectura del libro y sugiriéndole actividades para afianzar su comprensión de los distintos temas.

Sobre la organización de esta guía El Programa de estudio, tal como Ud. sabe, está dividido en 6 unidades. En esta Guía de estudio 2 encontrará en desarrollo de la unidades 4, 5 y 6.


MatemáBltoqiucea1

Unidad 4: números enteros Contenidos y propósitos para esta unidad:

4.1. Idea de número entero 4.2. Operaciones 4.3. Ecuaciones A partir del conjunto de números naturales ya conocido anteriormente veremos, en primer lugar la necesidad de la existencia de los números enteros. Y, luego, la revisión de cada una de las operaciones, con sus respectivas propiedades, pero teniendo en cuenta este nuevo conjunto de números. Le proponemos que: Reconozca los números enteros y opere con ellos en diversas situaciones concretas Resuelva problemas que pueden interpretarse con ecuaciones e inecuaciones en el conjunto de números enteros.


91

& Libro 1 Sección A - guía de lectura para el libro 1 En el capítulo 12 ("El conjunto de los números enteros"): 1. Lea y responda las páginas 126 (Introducción) y 127 ("Los números enteros"). Resuelva el ejercicio 1 del pie de página. 2. Lea la página 128 ("Representación gráfica de los números enteros"). Resuelva los ejercicios 2 y 3 del pie de página. 3. Lea las páginas 129 ("El cero: Una referencia") y 130 ("Relación de orden en Z"). Resuelva el ejercicio 7 y los ítems a. y b. del ejercicio 8 del pie de página. 4. Lea la página 131 ("Números opuestos. Módulo de un número entero"). Resuelva el ítem a. del ejercicio 9 del pie de página. 5. Resuelva los ejercicios 1, 2, 3, 5, 12 y 13 de las "Actividades" de las páginas 132 y 133.

6

Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 1 En el capítulo 13 ("Adición y sustracción de números enteros"): 1. Lea y responda las páginas 134 (Introducción) y 135 ("Adición de números enteros"). Resuelva los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5 del pie de página. 2. Lea y responda las páginas 136 ("Propiedades de la adición de números enteros") y 137 ("Representación gráfica de la suma de números enteros"). Resuelva los ejercicios 9, 10 y 11 del pie de página.

6

Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 2


92

Bloque 1

3. Lea y responda la página 138 ("Sustracción de números enteros"). Resuelva los ítems a. a g. del ejercicio 12 del pie de página. 4. Lea y responda la página 139 ("Propiedades de la sustracción en Z"). Resuelva el ejercicio 13 del pie de página. Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 3

6

5. Lea y responda la página 140 ("Sumar números enteros o restar la suma de sus opuestos"). Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 4

6

6. En las "Actividades" de las páginas 144 y 145, resuelva los ejercicios: -1

-2

-3

-4

-6

-7

-8

- 11

- 12 sólo los ítems a), b) y e)

- 13 sólo los ítems a), b) y d)

- 15

- 16 sólo los ítems a) y b) - 18 sólo los ítems a), b), c), ch), h), i) En el capítulo 15 ("Multiplicación y división de números enteros"): 1. Lea y responda las páginas 160 (Introducción) y 161 ("Multiplicación en Z"). Resuelva el ejercicio 1 del pie de página. 2. Lea y responda la página 162 ("Los desplazamientos en la recta"). Resuelva los ejercicios 2, 3 y 4 del pie de página. 3. Lea la página 163 ("Propiedades de la multiplicación en Z"). Resuelva los ejercicios 6, 8 y 9 del pie de página. Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

93

4. Lea la página 164 ("Propiedades de la multiplicación en Z"). Resuelva los ejercicios 10 y 11 del pie de página. 5. Lea y responda la página 165 ("División en Z"). Resuelva ejercicios 14 y 15 del pie de página. 6. Lea y responda la página 166 ("Propiedad distributiva de la división"). Resuelva el ejercicio 18 del pie de página.

6 & Libro 2

Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva las Actividades n° 5 y 6

Sección B - guía de lectura para el libro 2 En el capítulo 6 ("Números enteros"): 1. Lea la "Introducción" en las páginas 116 y 117. 2. Resuelva los problemas 1 y 2 ("Para expresar posiciones") de la página 120. Lea la página 121 ("Representación y orden de números enteros. Valor absoluto") y los recuadros de la página 122.

6

Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 1 3. Resuelva los problemas 5 y 6 ("Para calcular") de las páginas 124 y 125. Lea las páginas 126 y 127 a partir del título "Operaciones elementales con números enteros".

6

Vaya a: Sección C actividades sobre lo leído y resuelva las Actividades n° 2, 3 y 4 4. Resuelva los problemas 7 y 8 de las páginas 125 y 126. Lea las páginas 128 y 129.

6



94


Bloque 1

5. En las páginas 129 y 130, resuelva los ejercicios 9, 10, 13, 14 y 15 ("Para utilizar lo aprendido sobre representación y operaciones con números enteros").

6

6. En la página 136 ("Para utilizar lo aprendido sobre ecuaciones y fórmulas con números enteros"), resuelva los ítems a), c) y f) del ejercicio 20 y el ejercicio 28. 7. Resuelva el ejercicio 34 de la página 138.

Sección C - actividades sobre lo leído Actividad nº 1 En el dibujo que sigue se han representado posiciones de algunos objetos que están sobre el nivel del mar y otros que están debajo de ese nivel. A

F

nivel del mar N M

F representa el extremo más alto de un faro que mide 12 m, A representa el extremo de una antena de una radio de 8 m, M y N las posiciones de dos submarinos, que se encuentran a una profundidad de 10 y 12 m.


95

1. Usando números enteros, represente en una recta los puntos A, F, M y N. 2. Nombre al menos dos situaciones concretas en las que tenga sentido expresarse usando números enteros. 3. Represente, en la recta, los números enteros pertenecientes al conjunto A: A = {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} 4. En la siguiente tabla se indican las fechas y las temperaturas promedios de dichas fechas. Indique el día que hizo más frío y que hizo menos frío.

& Libro 1 & Libro 2

Fecha

3/2

3/6

3/7

3/12

Temperatura en °C

30

-3

-1

25

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura Actividad nº 2 1- Complete el siguiente cuadro como lo hizo en las "Actividades sobre lo leído" de la Unidad 2.

Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?¿Cuál?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Número entero Valor absoluto o módulo de un entero

No se usó situación de la vida cotidiana

Adición de números enteros


Propiedad asociativa de la adición


Propiedad conmutativa de la adición


Propiedad del elemento neutro para la adición


Propiedad del elemento opuesto para la adición



96

Nota: · Fíjese que las propiedades conmutativa y asociativa de la adición se cumplen tanto para números naturales como para números enteros. · En el conjunto de los números naturales (N), los elementos no tienen opuestos. Esta es una característica del conjunto de los números enteros (Z). · El valor absoluto o módulo de un número no tiene sentido distinguirlo en el conjunto N, en cambio sí lo tiene en Z.

Bloque 1

2. Compare este cuadro con el que hizo en la primera actividad de las "Actividades sobre lo leído" de la Unidad 2 tratando de rescatar similitudes y diferencias.

$

3. Imagine cada uno de estos casos: a. Juan se desplaza en su bicicleta por una ruta. El 0 indica la posición de inicio. · Cada Km que se desplaza al oeste se lo representa con ← y con el número entero -1. · Cada Km que se desplaza al este, se representa con → y con el número entero +1 o simplemente 1 · Y se quiere saber, después de que realiza dos movimientos, cuál es su posición final. b. Pedro anota "sus bienes". · Para indicar que tiene, por ejemplo, dos pesos lo indica así: +2 o simplemente 2. · Y para anotar que debe dos pesos lo escribe con el número entero -2. · Cada dos anotaciones calcula cuál es su situación financiera.


97

Se han anotado en el siguiente cuadro algunas posibles situaciones de estos casos. Le pedimos que complete el cuadro. Para ello, "traduzca" las sumas de enteros a cada uno de los casos concretos dados y los casos concretos dados a "sumas de enteros". Interpretación del desplazamiento de la bicicleta de Juan sobre la ruta Como suma Resultado de enteros de la suma 3+5

8

(-3) + (-5)

-8

Movimientos 3km 3km

5km

Interpretación respecto de los bienes de Pedro 1ra oport. 2da oport. Su situación es:

Posición final 0

8

|

|

Tiene $3

Tiene $5

Tiene $8

Debe $3

Debe $5

Debe $8

0

5km

| 0

7 + (-5)

Tiene $7

| 0

5 + (-7)

Debe $7

| 8

0

2km

Tiene $8

| 0

6km 2km

| 0 |

Debe $8

Tiene $2

Debe $6

0 8 + (-4)

|

$

Nota: Le sugerimos que siempre tenga algún recurso "concreto", el que le resulte más cómodo, para interpretar la suma de enteros. 4. Use las propiedades de la adición de enteros, y sin hacer cálculos dé la respuesta de las siguientes cuentas: -5 + 5 + 10= -8 + 12 + 8 + (-12) =

& Libro 1

Si Ud. tiene el libro 1, ahora vuelva a la guía de lectura

& Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, continúe con las actividades 3 y 4


98

Bloque 1

Actividad nº 3 1. Vamos a retomar varios puntos de los leídos: a. Por ejemplo, una situación como la planteada en la Actividad anterior: "Juan se mueve 6 Km al este y luego 4 Km al oeste". Puede expresarse: · así: 6 + (-4) =2, como una adición; · ó así : 6 - 4 =2, como una sustracción. b. "Sumar dos números enteros es lo mismo que restarle al primero el opuesto del segundo" Para el ejemplo anterior 6 + (-4) = 6 - 4 sumo al 6 el -4

resto al 6 el opuesto de -4 , es decir 4

· "Restar dos números enteros es lo mismo que sumar el primero más el opuesto del segundo" Para el ejemplo anterior: 6 - 4 = 6 + (-4) resto al 6 el 4

sumo al 6 el opuesto de 4 , es decir -4

c. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, le pedimos que escriba como sustracción cada una de las adiciones del cuadro de la Actividad anterior. ¿Puede indicar las respuestas de cada una de las sustracciones que le quedaron? ¿Por qué? d. Si un compañero suyo dijera: "Como yo sé sumar números enteros, también puedo restar números enteros". ¿En qué cree que se basa para hacer dicha afirmación? Exprese brevemente su respuesta. 2. a. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones pueden expresar que "Juan se movió 8 km. al este, luego 3 km. al oeste y, por último, 2 km. al oeste"? 8-3-2 8 + (-3 - 2) 8 - (3 + 2)


99

o coloque el símbolo "=" o "≠", según corresponda: · 8 - 3 - 2 o 8 + (-3 - 2) · 8 - 3 - 2 o 8 - (3 + 2) · 8 + (-3 - 2) o 8 - (3 + 2) b. En cada

3. Resuelva las siguientes sustracciones: a. 30 - 12 = b. -40 - 10 = c. 20 - (-9) = d. -20 - (- 7) = e. 15 - 20 = f. 15 - 2 - 3 = g. 15 - (2 + 3) = h. 15 - (2 - 3) =

& Libro 1

Si Ud. tiene el libro 1, ahora vuelva a la guía de lectura. Actividad nº 4 1. Pedro (el de la Actividad nº 2, ítem 3) tiene $ 15. En dos oportunidades sucesivas, gasta $3 y $7. ¿Cuánto dinero le queda? 2. La tabla siguiente muestra los movimientos efectuados en una cuenta durante el mes de Julio. El saldo inicial (al comenzar el mes) es de $ 60. Día Movimiento

2/7

5/7

15/7

17/7

19/7

25/7

deposita

extrae

deposita

paga cuentas

extrae

extrae

$ 350

$ 100

$ 400

por $ 100

$ 350

$170


100

Bloque 1

a. ¿Cuál o cuáles de las siguientes cuentas permiten calcular el saldo de la cuenta a fin de julio? 60 + 350 - 100 + 400 - 100 - 350 -170 60 + 350 + (-100) + 400 + (-100) + (-350) + (-170) 60 + [350 + (-350)] + (-100) + 400 + (-100) + (-170) 60 + 0 + (-100) + 400 + (-100) + (-170) 60 + (-100) + 400 + (-100) + (-170) 60 + 400 + [(-100) + (-100) + (-170)] 460 + (-370) b. Todas las cuentas dadas permiten calcular el saldo de la cuenta a fin de julio. Indique cuáles son las propiedades de la adición que se usaron para obtener cada forma de cálculo. c. Calcule el saldo a fin de julio. Piense, alguna forma de resolver más fácilmente y con menos posibilidades de error cuentas como las que resultan en este planteo.

$

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura

& Libro 1 & Libro 2

Actividad nº 5: 1. a. Confeccione una lista de temas vistos en esta unidad. b. Compare su lista con los temas indicados en el cuadro de la Actividad nº 2 anterior. Para los temas que no están en dicho cuadro, arme uno similar. 2. En cada caso, complete el

o con el símbolo "=" o "≠", según

corresponda. En los casos que complete con "=", indique la propiedad que está usando.


101

o 18 b. 24 : (-3 + 8) o 24 : (-3) + 24 : 8 c. 3 - 8 o 8 - 3 d. (-3).(5 + (-2)) o (-3).5 + (-3).(-2) e. -45 + 38 + 0 o 38 + (-45) f. -5 + (-2) + 8 o -5 + 6 a. 18 + (-3) + 3

3. Teniendo en cuenta la convención acordada sobre el orden en que se resuelven las operaciones, calcule: a. -3 - [5 + 2.(-3)] = b. 48 : (-2 + 6) - 5.(-4) = c. 17 - (5 - 8) - 3.(5 - 8) + 3 : (5 - 8) = d. (-8 - 2).(4 + 5) + 38 : (-2) =

& Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura Actividad nº 6 Vamos a retomar los "operadores directos" ("hacer") y los "operadores inversos"("deshacer") utilizados en la unidad 2 para resolver ecuaciones con números naturales. Nos interesa resolver ecuaciones en las que intervienen números enteros. Ahora, los operadores "hacen cuentas" con números enteros. Para cada una de las ecuaciones que siguen, dibuje los operadores que "arman" la ecuación y los operadores que "desarman" la misma. Calcule el valor de x que verifica la ecuación dada. 1. -2x + 7 = -23


102

Bloque 1

2. -15 - 4x = 1 3. (x + 5):(-3) = -2 4. x:2 + 27 = 5 5. -2x - 5 = x + 7 6. -5x + 2x - 8 = -x - 12

Respuestas a las actividades sobre la lectura Actividad nº 1 1. Las posiciones en la recta de los puntos N, M, A y F son: M -12

|

|

N -10

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

-1 0

1

|

|

|

A 8

|

|

|

|

|

|

|

F 12

|

|

|

|

2. Le damos un par de ejemplos para que contraste con los suyos: Los informes meteorológicos con temperaturas sobre cero y bajo cero Las posiciones de un ascensor en un edificio con varios pisos y subsuelos 3. -5 -4 -3 -2 -1 0 1

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

2

3

4

5

|

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|

|

|

|

4. Hizo más frío el 3 de junio y menos frío el 3 de febrero.


103

Actividad nº 2 1. Tema

En el libro, ¿se usó alguna situación de la vida cotidiana para mostrar este tema?

Vocabulario

Ejemplo numérico

Lenguaje simbólico

Número entero

Almacenero. Movimiento bursátil.

N° entero N° positivo N°negativo

-2; 0; 36

Z

Valor absoluto o módulo de un entero


Distancia Valor absoluto Módulo

|50| = 50 |-6| = 6 |0| = 0

|a| a∈Z

Adición de números enteros


Término o sumando Suma

-2 + 4 = 2

a, b, c ∈ Z a+b=c

Propiedad asociativa de la adición


Asociar Paréntesis

-2+(3+4)= (-2+3)+4

a+(b+c)=(a+b)+c

Propiedad conmutativa de la adición


Conmutar

-2+5=5+(-2)

a, b ∈ Z a+b=b+a

Propiedad del elemento neutro para la adición


Cero Elemento neutro

-6 + 0 = -6

a ∈ Z, 0 ∈ Z a+0=a

Propiedad del elemento opuesto para la adición


Opuesto Neutro

-2 + 2 = 0

a ∈ Z, -a ∈ Z a + (-a) = 0

2 es opuesto de -2

a, b, c ∈ Z

-a es opuesto de a

3. Interpretación del desplazamiento de la bicicleta de Juan sobre la ruta Como suma Resultado de enteros de la suma

Movimientos 3km

3+5

8

(-3) + (-5)

-8

7 + (-5)

2

5km

5 + (-7)

-2

5km

6+2

8

(-6) + (-2)

-8

2km

(-8) + 2

-6

2km

3km

0

8

|

|

-8

0

|

|

0

2

|

|

-2

0

|

|

7km 7km

2km

6km 6km

0

8

|

|

-8

0

|

|

8km 8km 8 + (-4)

4

4km

1ra oport. 2da oport. Su situación es:

Posición final

5km 5km

Interpretación respecto de los bienes de Pedro

-6

0

|

|

0

4

|

|

Tiene $3

Tiene $5

Tiene $8

Debe $3

Debe $5

Debe $8

Tiene $7

Debe $5

Tiene $2

Tiene $5

Debe $7

Debe $2

Tiene $6

Tiene $2

Tiene $8

Debe $6

Debe $2

Debe $8

Debe $8

Tiene $2

Debe $6

Tiene $8

Debe $4

Tiene $4


104

Bloque 1

4. Para la cuenta -5+5+10: Como -5 y 5 son opuestos entre sí, la suma entre ellos da cero. Y como el cero es el elemento neutro de la adición, el resultado de la cuenta es 10. Para la cuenta -8+12+8+(-12): Por ser asociativa la adición, podemos asociar los dos primeros términos entre sí y luego asociar los dos restantes. Así: (-8+12) + (8+(-12)). Como el opuesto de (-8 +12) es -(-8 +12) o sea (8 +(-12)), resulta que esa suma da cero. También, se puede aplicar las propiedades conmutativa y asociativa de la adición: (-8+8) + (12+(-12)) y luego la propiedad de los opuestos, resultando cero. Actividad nº 3 1. a. Las adiciones del cuadro de la Actividad nº 2 escritas como sustracciones, quedan: 3-(-5); (-3)-5; 7-5; 5-7; 6-(-2); -6-2; (-8)-(-2) y 8-4. Los resultados de las sustracciones son los mismos que obtuvimos como respuestas para las adiciones del cuadro. b. La afirmación se basa en lo dicho sobre la relación entre la adición y la sustracción. 2. a. Las tres expresiones expresan el movimiento de Juan. b. En los 3 casilleros

o va el símbolo =.

3. Los resultados son: a. 18, b. -50, c. 29, d. -13, e. -5, f. 10, g. 10, h. 16. Actividad nº 4 1. Le quedan $5. Ud. pudo haber calculado así: 15 - 3 - 7, o así: 15 + (-3) + (-7), o así: 15 - (3 + 7). Es decir que "sumar números enteros es lo mismo que restar la suma de sus opuestos". 2. a. Todas las cuentas dadas permiten calcular el saldo de la cuenta a fin de julio. Las propiedades aplicadas se indican debajo de cada una:


105

60 + 350 - 100 + 400 - 100 - 350 -170 60 + 350 + (-100) + 400 + (-100) + (-350) + (-170) Se expresaron las restas en sumas 60 + [350 + (-350)] + (-100) + 400 + (-100) + (-170) Asociativa y conmutativa de la adición 60 + 0 + (-100) + 400 + (-100) + (-170) Elemento opuesto de la adición 60 + (-100) + 400 + (-100) + (-170) Elemento neutro de la adición 60 + 400 + [(-100) + (-100) + (-170) ] Asociativa y conmutativa de la adición 460 + (-370) b. Las propiedades usadas son: "Sumar 2 números enteros es lo mismo que restarle al primero el opuesto del segundo". Propiedad conmutativa "Sumar números enteros es lo mismo que restar la suma de sus opuestos". Propiedad conmutativa y asociativa. c. El saldo a fin de julio es de $ 90. Actividad nº 5 1. La lista de temas que debe tener su cuadro es: Sustracción de números enteros, multiplicación de números enteros, propiedad asociativa de la multiplicación, propiedad conmutativa de la multiplicación, propiedad del elemento neutro de la multiplicación, propiedad del elemento inverso de la multiplicación, división de números enteros, propiedades distributivas de la multiplicación y la división respecto de la adición y sustracción.


106

Bloque 1

2. a. 18 + (-3) + 3 = 18 (Propiedad asociativa y del elemento neutro de la adición) b. 24 : (-3 + 8) ≠ 24 : (-3) + 24 : 8 c. 3 - 8 ≠ 8 - 3 d. (-3).(5 + (-2)) = (-3).5 + (-3).(-2) (Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición) e. -45 + 38 + 0 = 38 + (-45) (propiedad conmutativa y del elemento neutro de la adición) f. -5 + (-2) + 8 = -5 + 6 (Propiedad asociativa de la adición) 3. Los resultados son:

a. -2

b. 32

c. 28

d. -109.

Actividad nº 6 Las soluciones de las ecuaciones son: 4. x =-44 5. x = -4 6. x = 2

1. x = 15

2. x = -4

3. x =1

Primera autoevaluación integradora Actividad nº 1 1. Escriba "por extensión" cada uno de los siguientes conjuntos: A = {q ∈ N / q < 5}

y

B= {q ∈ Z / q < 5}

2. Indique, para cada caso, en expresión dada.

o -2 ∈ Bo op5 ∈ Bo -2 ∈ A

o V o F según sea verdadera o falsa la

o A∪ B={0,1,2,3,4}o A∩ B=Φo A∩ B={0,1,2,3,4}

o A⊂ No A⊂ Zo

A ∩B=A

o B ⊂ No B ⊂ Zo

A ∪ B= B


107

Actividad nº 2 1. Exprese como adición de números enteros la siguiente situación: Al iniciar el día, en el depósito de una fábrica tienen 100 bolsas del producto que fabrica. En la mañana se venden 30 bolsas, pero se incorporan las 60 bolsas elaboradas antes del medio día. Con los productos elaborados por la tarde se arman 70 bolsas que se incorporan al stock del depósito. A última hora de ese día se llevan un pedido de 80 bolsas. 2. Calcule el stock de la fábrica al finalizar el día. Actividad nº 3 Conecte con una flecha las expresiones que son iguales entre sí e indique qué propiedades usa para determinarlo. 7 -3= ( 2-6).(-2)=

=3.(-4 + 6 -1) =3 - 7

(-5) + (-7) + 20=

=12:6 -24:6

3. (-4) + 3. 6 + 3. (-1)=

=20 - (5+7)

(12-24): 6= 24: (3-4)=

=24:3 - 24: 4 =2.(-2) + (-2).(-6)

Actividad nº 4 Resuelva : a. (

2 1 - ). 30 + 20: (-3 + 8) = b. 35 : 32 + (-7) .3 + 20 - (-3 +6) = 5 3

Actividad nº 5 Resuelva: a. -5 x - 8 = -18 b. 4x - 8 + 2x = 16 -2x


108

Bloque 1

Respuestas a la autoevaluación integradora Actividad nº 1 1. El conjunto A definido por extensión es: A ={0,1,2,3,4}. El conjunto B definido por extensión es B ={........-6 ,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 2.

o v -2 ∈ Bo v op5 ∈ Bo -2 ∈ A F

v o F A∪B={0,1,2,3,4}o F A∩B=Φo A∩B={0,1,2,3,4}

v o v A⊂ No v A⊂ Zo

A ∩B=A

v o F B ⊂ No v B ⊂ Zo

A ∪ B= B

Actividad nº 2 1. y 2. 100 + (-30) + 60 + 70 + ( -80) = 120 Actividad nº 3 Las expresiones iguales son: ( 2-6).(-2) = 2.(-2)+(-2).(-6) (propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición) (-5) + (-7) + 20=20 - (5+7) (propiedades asociativa y conmutativa) 3. (-4) + 3. 6 + 3. (-1)= 3.(-4 + 6 -1) (propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición) (12-24): 6 =12:6 -24:6 (propiedad distributiva de la división respecto de la sustracción) Actividad nº 4 Los resultados son: a. 6; b. 4. Actividad nº 5 Las raíces de las ecuaciones dadas son: a. x = 2 ; b. x = 3.


109

MatemáBltoqiucea1

Unidad 5: ángulos y triángulos Contenidos y propósitos para esta unidad:

5.1. Clasificación de ángulos 5.2. Propiedades de ángulos 5.3. Clasificación de triángulos 5.4. Propiedades de triángulos 5.5. Construcción de triángulos En esta unidad se presentarán diversas clasificaciones de ángulos planos, relaciones entre ellos y propiedades para que, a partir de ellas, pueda dar solución a problemas de la vida diaria y también le sirvan para probar, posteriormente, propiedades de triángulos y otras figuras geométricas. También se clasificarán triángulos y se verificarán propiedades de los mismos. Y veremos recursos para construir triángulos a partir de ciertos datos. Le proponemos que: Reconozca distintos tipos de ángulos, pueda construirlos y medirlos y verifique sus propiedades esenciales. Reconozca distintos tipos de triángulos, sus elementos y propiedades. Construya triángulos a partir de condiciones dadas. Resuelva situaciones concretas en las que un recurso de solución sea darle una interpretación geométrica (en este caso ángulos y triángulos) y usar las propiedades estudiadas.


111

Sección actividades previas a la lectura En esta unidad se trabaja con figuras geométricas y sus propiedades. Las figuras a las que nos referimos son ángulos y triángulos, que seguramente le resultarán "familiares" o al menos no desconocidos. Le sugerimos, una vez más, que tenga presente los recursos que le brinda su libro para interpretar intuitivamente los conceptos y propiedades. O también, si lo prefiere, puede usar "tijera" y "papel" para verificar algunas propiedades. s γ Le mostraremos un ejemplo: β α δ Al cortarse dos rectas, r y s, determinan ^ ^,β ^,^ r 4 ángulos, α γ y δ. ^ ^ A los ángulos α y β se los llama: "opuestos por el vértice". ^ ^ Y el otro par, γ y δ también son "opuestos por el vértice". Los ángulos opuestos por el vértice son iguales o congruentes entre sí. Ahora, Ud. debe verificar la frase anterior. Es decir, debe verificar que ^ ^=^ α β y ^ γ=δ. Le sugerimos cómo hacerlo: Reproduzca en un papel la figura de la derecha. Recorte cada uno de los ángulos sombreados en la misma. Luego, superpóngalos y podrá verificar que ambos ángulos tienen la misma forma y el mismo tamaño. Es decir, son iguales o congruentes.


112

Bloque 1

Con este procedimiento, Ud. únicamente ha verificado la propiedad. La Matemática no se limita a verificar las propiedades, sino que usa recursos lógicos para demostrarlas. Pero, en este momento, solamente pretendemos que Ud. reconozca las propiedades y pueda aplicarlas a situaciones concretas. En su libro tiene al menos un ejemplo de cómo se demuestra una propiedad.

Sección A - guía de lectura para el libro 1

Libro 1

En el capítulo 10 ("Ángulos"): 1. Lea y responda las páginas 96 (Introducción), 97 ("Giros o rotaciones"), 98 ("Ángulo llano. Ángulo recto") y 99 ("Ángulos adyacentes"). Resuelva el ejercicio 3 y los ítems a., b., c. y ch. del ejercicio 4 del pie de la página 99. 2. Lea la página 100 ("Un método para fijar posiciones"). 3. Lea la página 102 ("Ángulos correspondientes"). Resuelva los ítems a., c. y ch. del ejercicio 14 del pie de página. 4. Lea y responda la página 103 ("Ángulos alternos internos entre paralelas"). 5. Lea y responda la página 104 ("Suma de los ángulos interiores de un triángulo"). Resuelva los ítems a. y b. del ejercicio 16 y los ejercicios 19 y 20 de la página 105. 6. Resuelva el ejercicio 10 de la página 107 de las "Actividades". Vaya a Sección C: Actividades sobre lo leído para resolver las actividades 1 y 2

$

En el capítulo 14 ("Triángulos"): 1. Lea y responda la página 147 ("Triángulos: Notación y clasificación"). Resuelva el ejercicio 1 del pie de página.


113

2. Lea y responda la página 148 ("Triángulos congruentes"). Resuelva los ítems a., b., c., ch. y f. del ejercicio 2 del pie de página. 3. Lea y responda las páginas 149, 150 y 151 ("Construcción de triángulos"). Resuelva el ejercicio 7 del pie de página. 4. Lea y responda las páginas 152 ("Construcción de triángulos") y 153 ("Criterios de congruencia"). Resuelva el ejercicio 11 del pie de página. 5. Lea las páginas 154 ("Alturas y medianas de un triángulo"), 155 ("Propiedades del triángulo isósceles"), 156 ("Relaciones entre las medidas de los lados de un triángulo") y 157 ("Relaciones entre lados y ángulos de un mismo triángulo").

$ Libro 2

Vaya a Sección C: Actividades sobre lo leído para resolver las actividades 3 y 4

Sección B - guía de lectura para el libro 2 En el capítulo 4 ("Congruencia"): 1. Lea la "Introducción" de las páginas 80 y 81. 2. Resuelva los ejercicios 1 y 2 ("Para copiar modelos") de la página 82. Lea "Figuras congruentes" en las páginas 82 y 83. 3. Resuelva el ejercicio 3 ("Para reconocer figuras congruentes") de la página 83. Lea las "Condiciones que alcanzan para reconocer congruencias" en las páginas 84 y 85 (hasta el recuadro del compás inclusive). 4. Resuelva los ejercicios 5, 6 y 7 ("Para saber explicar cómo se hace") de las páginas 85 y 86. En la página 87, lea "¿Qué es un procedimiento?". 5. Resuelva el ejercicio 8 ("Para dividir ángulos") de la página 87. Lea "Bisectriz de un ángulo" en la página 88.


114

Bloque 1

6. Resuelva los ejercicios 10, 11 y 13 ("Para utilizar lo aprendido sobre congruencia") en las páginas 88 y 89. 7. Resuelva los ejercicios 15 y 16 ("Para que dos triángulos sean congruentes") de las páginas 89 y 90. Lea las páginas 91 y 92 ("Congruencia de triángulos"). 8. Resuelva los ejercicios 17 y 18 ("Para explicar por qué") de las páginas 92 y 93. Lea "Una propiedad de los isósceles" en la página 93. 9. Resuelva el ejercicio 19 ("Para que exista triángulo") de la página 93. Lea la "Propiedad triangular" en la página 94. En el capítulo 7 ("Perpendicularidad y paralelismo"): 1. Lea la condición de rectas perpendiculares en el recuadro de la página 144. 2. Resuelva el ejercicio 6 ("Para caminar menos") de la página 146. En esa página lea "Distancia entre un punto y una recta". 3. En la página 147, resuelva el ejercicio 7 y lea "Alturas de un triángulo". En el capítulo 10 ("Ángulos, rotaciones, traslaciones"): 1. Lea la "Introducción" en la página 204. 2. Resuelva los ejercicios 1, 2 y 3 ("Para girar") de la página 206. Lea "Giros o rotaciones" en la página 207. 3. Vuelva por un momento a la página 23 para leer el recuadro "Recuerden cómo se mide un ángulo". 4. Resuelva los ejercicios 4 y 5 ("Para descubrir algunas relaciones entre ángulos") de las páginas 207 y 208. Lea "Ángulos consecutivos, adyacentes, suplementarios y complementarios" en las páginas 208 y 209.


115

5. Lea "Para identificar ángulos según su posición" en la página 209 y resuelva los ejercicios 6 y 7 de la página 210. Lea "Ángulos entre dos rectas cortadas por una tercera" en la página 210. 6. Resuelva los ejercicios 14 y 15 ("Para trasladar figuras") de la página 212. En las páginas 212 y 213, lea "Traslaciones. Concepto de vector". 7. Resuelva los ejercicios 16 y 17 ("Para relacionar parejas de ángulos entre paralelas") de la página 213. Lea las "Propiedades de los ángulos que determinan dos rectas paralelas cortadas por una secante" en la página 214. 8. Resuelva el ejercicio 18 ("Para calcular las medidas de los ángulos de un triángulo") de la página 214. Lea "Medidas de ángulos de un triángulo" en la página 215. 9. Resuelva el ejercicio 27 de la página 218.

$

Vaya a Sección C: Actividades sobre lo leído para resolver todas las actividades.

Sección C - Actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Le pedimos que complete un cuadro cuyo encabezado sea como el que le damos a continuación. Para hacerlo es posible que necesite remitirse nuevamente a lo leído en su libro para rescatar aquellas ideas que deberá volcar en él. A modo de ejemplo le mostramos la primera fila del cuadro.


116

Representación gráfica o geométrica. Expresión simbólica

Propiedades y/o características más importantes Enunciado

Símbolos

Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes o iguales

^ α = ^ β

γ β

α Ángulos opuestos por el vértice

Bloque 1

Tema

δ

^α opuesto por el vértice a ^β ^γ opuesto por el vértice a ^δ

^γ = ^δ

Los temas con los que deberá armar el cuadro son: Ángulos adyacentes - bisectriz de un ángulo - ángulos correspondientes entre paralelas - ángulos alternos internos entre paralelas - ángulos alternos externos entre paralelas. Actividad nº 2 1. El plano de la casa de la familia Blanco es el que se reproduce a continuación: Pasillo Dormitorio principal

Living

Comedor

Cocina

Dormitorio

Baño

El carpintero construyó una biblioteca a medida. La misma está empotrada en el ángulo marcado en el living, pero la familia ha decidido cambiarla de lugar.


117

a. ¿En qué otro u otros lugares de la casa podría ubicarla? b. ¿De qué manera nombra la Matemática a cada uno de los pares de ángulos determinados entre cada nueva ubicación posible y la antigua ubicación del mueble ? 2. Calcule en cada uno de los casos que siguen la medida del ángulo α: a.

65°

m

b.

n

120°

α

a 30°

n

a

m//n c.

α

m

b

m//n ; a//b b

m n α

r

m//n//r ; a//b

Libro 1


Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, continúe con el resto de las actividades Actividad nº 3 Ud. ya leyó todo lo referente a triángulos. Ahora le pedimos que "organice" lo que leyó, de la forma que le resulte más cómoda. Para ayudarlo le decimos cuáles son los temas y lo que no debe faltar de cada uno de ellos en la organización pedida: 1. Clasificación de triángulos según sus lados. No deben faltar: Los nombres de los triángulos según las características de sus lados.


118

Bloque 1

Un ejemplo gráfico de cada uno. Y la característica que distingue a cada uno de ellos. 2. Igual al anterior, pero que la clasificación sea según los ángulos. 3. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. No debe faltar: Representación geométrica. Notación simbólica. Enunciado de la propiedad. 4. Igual al anterior pero respecto de la propiedad de un ángulo exterior de un triángulo. 5. Condiciones suficientes o criterios para determinar si dos triángulos son iguales o congruentes. No debe faltar: Representación geométrica. Condición suficiente o criterio. Notación simbólica. 6. Propiedad de los triángulos isósceles. No debe faltar: Representación geométrica. Notación simbólica. Enunciado de la propiedad. 7. Distancia de un punto a una recta. No debe faltar: Representación gráfica. Notación simbólica. Condición que la describe. 8. Alturas de un triángulo. No debe faltar: Representación gráfica de las alturas en un triángulo de cada tipo de las clasificaciones vistas. Notación simbólica. Actividad nº 4 1- Un señor que trabaja en albañilería debe colocar un piso combinando cerámica con madera. El siguiente dibujo se repite en todo el piso:

La figura sombreada es de madera. Y el ángulo señalado es de 20°.


119

Para obtener las partes de madera, este señor cuenta con placas de madera como la que se dibuja abajo. Sobre una placa ha marcado por dónde va a realizar los cortes. De esta manera:

β

α a. ¿Con qué medida de la figura de madera habrá decidido determinar el corte horizontal? b. ¿Cuánto debe medir el ángulo que da la inclinación del primer corte? O ¿cuánto debe medir el ángulo α? ^ c. ¿Cuánto debería medir β para que, al hacer el segundo corte, resulte la figura deseada? Para responder use las propiedades vistas en esta unidad y use el vocabulario o términos matemáticos. 2. Una escalera de dos pies tiene un ángulo máximo de apertura de 30°. Calcule cuánto mide cada uno de los ángulos que determinan cada uno de los pies de la escalera con el piso cuando la misma se encuentra abierta en su ángulo máximo.

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividades 1 y 3 Como el objetivo de estas actividades es que Ud. organice los temas leídos, no le escribimos las respuestas. Pero para ayudarlo, le decimos en qué páginas de su libro está tratado cada uno de los temas a los que nos referimos en estas actividades.


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Bloque 1

Actividad nº 1: Ángulos adyacentes: página 99 del libro 1 y página 209 del libro 2. Bisectriz de un ángulo: página 99 del libro 1 y página 88 del libro 2. Ángulos correspondientes entre paralelas, ángulos alternos internos entre paralelas, ángulos alternos externos entre paralelas, página 103 del libro 1, páginas 213 y 214 del libro 2. Actividad nº 3: 1. Clasificación de triángulos según sus lados: página 147 del libro 1, página 93 del libro 2. 2. Clasificación de triángulos según sus ángulos: página 147 del libro 1, página 215 del libro 2. 3. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo: página 104 del libro 1, página 215 del libro 2 (en el recuadro de la derecha). 4. Propiedad de un ángulo exterior de un triángulo: página 104 del libro 1, página 215 del libro 2 (en el mismo recuadro anterior). 5. Criterios de congruencia de triángulos: página 153 del libro 1, página 91 del libro 2. 6. Propiedad de los triángulos isósceles: página 155 del libro 1, página 93 del libro 2. 7. Alturas de un triángulo: página 154 del libro 1, página 147 del libro 2 8. Distancia de un punto a una recta: página 157 del libro 1, página 146 del libro 2.


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Actividad nº 2 1. a. En el plano se marcaron todos los lugares donde podría reubicarse la biblioteca.

Living

Dormitorio principal

Comedor

Dormitorio

Cocina

Baño

b. Los ángulos del comedor y de la cocina son correspondientes con el del living. El ángulo del living y el ángulo del dormitorio principal son alternos internos. El ángulo del living es opuesto por el vértice con el ángulo del otro dormitorio. 2. a. El ángulo α es correspondiente con el ángulo β: δ=65°

m

β

n α Como la recta m es paralela a la recta n, el ángulo α es congruente ^ ^ = β con su correspondiente. Es decir, α El ángulo β es adyacente con el ángulo δ = 65°.


122

Bloque 1

Como los ángulos adyacentes suman un llano, podemos plantear la siguiente ecuación: ^ ^ ^ β + δ = β + 65° = 180° y resolviendo la ecuación resulta: ^ = 180° - 65° = 115°, por lo tanto ^ β α = 115° b. El ángulo α es correspondiente con el

α

m

ángulo β, entre la recta m paralela a la recta n (ver gráfico de la derecha). ^ Sabemos entonces, que ^ α y β son congruentes o iguales.

γ=120°

β

δ

n

b

a

El ángulo β también es correspondiente con el ángulo δ, entre la recta a paralela a la recta b (ver gráfico de la derecha). Por lo tanto también son congruentes. El ángulo δ es adyacente con γ que es conocido ya que fue dado como dato. Como la suma de los ángulos adyacentes es de 180°, podemos plantear la siguiente ecuación: ^ ^ ^ ^ δ + γ = δ + 120° = 180°, o sea, δ = 180° - 120° = 60°. ^ = β^ = ^ ^ = 60°. Como α δ , entonces α c. El ángulo conocido es correspondiente entre paralelas con el ángulo β (ver gráfico); y el ángulo β es correspondiente entre paralelas con el ^ = β^ = 30° ángulo α, por lo tanto α a 30°

β

b

m n α

r


123

Actividad nº 4 1. a. Tiene que haber usado la longitud de la altura del triángulo. b. Consideramos al triángulo de madera dividido en 2 triángulos rectángulos. En cada triángulo tenemos la amplitud de 2 ángulos: el recto (de 90°) y el dato (de 20°). Teniendo en cuenta la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo, podemos plantear la ecuación: ^ + 90° + 20° = 180° , o sea: α ^ + 110° = 180°, por lo tanto: α ^ = 180° - 110° = 70°. α c. El triángulo de madera es isósceles, por lo tanto, el ángulo de la base que llamaremos γ también mide 70°. El ángulo β es exterior al triángulo. Por lo tanto su amplitud es la suma de los dos ángulos interiores que no son adyacentes a él. ^+^ O sea que β^ = α γ = 70° + 70° = 140°. 2. Cuando la escalera se abre, sus pies forman un triángulo en el que el tercer lado es el piso. Como los pies de la escalera son iguales, el triángulo determinado es isósceles. El ángulo de "arriba" mide 30°. Teniendo en cuenta la propiedad de los ángulos interiores de un triángulo, quedan 150° para repartir entre los otros 2 ángulos. Por la propiedad de los ángulos de los triángulos isósceles, sabemos que esos dos ángulos son congruentes. Por lo tanto, cada ángulo determinado por los pies de la escalera y el piso mide 150° : 2 = 75°.

Respecto de la autoevaluación de esta unidad: Para autoevaluarse, puede imaginarse una evaluación que contenga cualquiera de los ejercicios que le propone su libro. Considere sólo los ejercicios que le indicamos que resuelva en la guía de lectura.


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MatemáBltoqiucea1

Unidad 6: números racionales Contenidos y propósitos para esta unidad:

6.1. Números racionales 6.2. Representación de números racionales 6.3. Operaciones En esta unidad extenderemos lo visto en Números fraccionarios y presentaremos los números racionales y sus operaciones. Le proponemos que: Opere con números racionales usando las propiedades correspondientes. Represente los números racionales en la recta numérica. Distinga las propiedades específicas de este conjunto numérico.


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& Libro 1 Sección A - guía de lectura para el libro 1 Comentario: Esta unidad está muy vinculada con la Unidad N° 3 (Fracciones). Por lo tanto, ante cualquier dificultad que se le presente en la lectura, vuelva a lo leído y trabajado en esa oportunidad. Al leer tenga presente las interpretaciones concretas hechas en aquel momento y preste atención a la simbología utilizada y a las definiciones que aparezcan. En el capítulo 17 ("El conjunto de los números racionales"): 1. Lea y responda las páginas 182 (Introducción), 183 ("Números racionales. Definición") y 184 ("Fracciones equivalentes. Fracciones irreducibles"). Resuelva los ejercicios 1 y 2 del pie de página. (Nota: En la edición 1988, el último recuadro rosado de la derecha de la página 183, debe decir "N ⊂ Z ⊂ Q"). 2. Lea y responda la página 185 ("Orden en Q. Módulo de un número racional"). Resuelva el ejercicio 3 del pie de página. 3. Lea y responda la página 186 ("Adición en Q"). Resuelva los ejercicios 5 y 6 del pie de página. 4. Lea y responda la página 187 ("Sustracción en Q"). Resuelva los ejercicios 7, 8 y los ítems a. y e. del ejercicio 9 del pie de página. 5. Lea y responda la página 188 ("Multiplicación en Q"). Resuelva el ejercicio 10 del pie de página. 6. Lea y responda la página 189 ("División en Q"). Resuelva los ejercicios 12 (ítems a., b. y e.), 13, 14 y 15 (ítems a. y b.) del pie de página. 7. Lea y responda la página 190 ("Propiedades distributivas"). Resuelva el ejercicio 18 del pie de página. 8. Lea y responda la página 192 ("Densidad en Q. Lenguaje simbólico"). Resuelva el ejercicio 23 del pie de página.


126

Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver las actividades 1 y 2

Bloque 1

9. Lea y responda la página 193 ("Ecuaciones en Q"). Resuelva el ejercicio 25 de esa página.

6

10. Vuelva al capítulo 15 para leer y responder la página 169 ("Potenciación en Z"). Resuelva el ejercicio 24 del pie de página. 11. En el capítulo 17, lea la página 195 ("Potenciación en Q"). Resuelva los ejercicios 29, 30 y 31 del pie de página. Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver la actividad nº 3

6

12. En las "Actividades" de las páginas 196 y 197, resuelva los ejercicios 2, 3, 5, 8, 9, 12, 13, 16, 21, 23 y 24. En el capítulo 16 ("La operación radicación"): 1. Lea y responda las páginas 172 (Introducción), 173 ("Propiedad de Pitágoras"), 174 ("Demostración de la propiedad de Pitágoras") y 175 ("Raíz cuadrada de un número"). Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver la actividad nº 4

6

2. Lea y responda la página 177 ("Raíz cúbica de un número"). Resuelva los ejercicios 9 y 12 del pie de página. 3. Lea la página 178 ("La operación radicación"). Resuelva los ejercicios 18 y 20 del pie de página. 4. Resuelva los ejercicios 7 y 22 de las "Actividades" de las páginas 180 y 181. Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver la actividad nº 5

6


127

& Libro 2

Sección B - guía de lectura para el libro 2 Comentario: Esta unidad está muy vinculada con la Unidad N° 3 (Fracciones). Por lo tanto, ante cualquier dificultad que se le presente en la lectura, vuelva a lo leído y trabajado en esa oportunidad. Al leer tenga presente las interpretaciones concretas hechas en aquel momento y preste atención a la simbología utilizada y a las definiciones que aparezcan. En los capítulos 8 y 9 ("Números racionales y operaciones elementales con números racionales") 1. Lea la "Introducción" del capítulo 8 ("Números racionales"): páginas 162 a 165. 2. Relea las páginas señaladas en la guía de lectura de la Unidad N° 3, prestando especial atención a los recuadros rosados de las páginas 167, 168, 174, 184, 185 y 186. También revea los ejercicios que resolvió en aquella oportunidad.

6

Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver las actividades 1 y 2 En el capítulo 11 ("Potencias y raíces"): 3. Relea el ejercicio 1 y resuelva el ejercicio 2 de la página 228 ("Para abreviar"). Lea las páginas 229 y 230 ("Potenciación en el conjunto de los racionales no negativos"). 4. Resuelva los ejercicios 3 y 4 de la página 230 ("Para calcular aplicando la definición y propiedades"). Lea "Potenciación en el conjunto de los racionales" en las páginas 230 y 231. 5. Resuelva el ejercicio 5 ("Para calcular el cuadrado de una suma") en la página 231. Lea la página 232 ("Cuadrado de una suma"). 6. Resuelva los ítems a., b. y d. del ejercicio 10 de la página 236.


128

6

Bloque 1

Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver la actividad nº 3 7. Resuelva los ejercicios 15 y 16 ("Para encontrar la base") de la página 237. Lea "Radicación en el conjunto de los racionales" en las páginas 237, 238 y 239. 8. Resuelva el ejercicio 17 ("Para usar en Geometría") de la página 239. Lea el "Teorema de Pitágoras" en la página 240. 9. Resuelva el ejercicio 21 de la página 243, los ejercicios 29 y 30 de la página 244 y el ejercicio 35 de la página 245. Vaya a Sección C - Actividades sobre lo leído para resolver las actividades 4 y 5

6

Sección C - actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Lo que Ud. acaba de leer está muy vinculado con lo que ya trabajó en la unidad 3. La diferencia fundamental está en que ahora se trabaja también con las fracciones negativas. La interpretación intuitiva y los cálculos de las distintas operaciones con fracciones que hizo en la unidad 3, pueden extenderse al conjunto de números racionales. Antes de leer los temas correspondientes a la unidad 6, le dijimos que prestara más atención a la simbología y a las definiciones. Y, ahora le preguntamos: 1. a. ¿Qué puede decir de las fracciones

3 6 y ? 7 14

a b. Si es un número racional y 'n' es un número entero distinto de b a na cero, ¿qué puede decir de y de ? b nb −4 c. Encuentre una fracción equivalente a . 7


129

3 ( −5 ) + 7 14 a .d + b. c b. Si a ∈ Q y c ∈ Q , ¿qué operación se define así: ? b. d b d

2. a. Calcule

c. Muestre un ejemplo numérico donde se usa la definición anterior. 3. a. Resuelva la siguiente división de números racionales: b. Si

a c ∈Qy ∈ Q, b d

indique, en forma genérica, a qué es igual:

3 (5) : 7 14

a c =: b d

c. Dé un ejemplo de división de dos números racionales y exprese en lenguaje coloquial lo que hace para obtener el resultado.

Actividad nº 2 Le pedimos que, siempre que ello sea posible, para cada uno de los conjuntos dados: Los exprese por extensión, es decir que nombre todos sus elementos. Represente todos sus elementos en las rectas dadas. Conjuntos: 1. A = {x ∈ N : x < 4} -5 -4 -3 -2 -1 0 1

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2

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4

5

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1

2

3

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1

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3

4

5

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2. B = {x ∈ Z : -3 < x < 4} |

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3. C = {x ∈ Q : -3 < x < 4} |

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130

Bloque 1

Para tener en cuenta sobre los temas que Ud. leyó: Vamos a prestar atención a los conjuntos A, B y C de la Actividad anterior. Los elementos x del conjunto A pertenecen a N, es decir al conjunto de los números naturales. El conjunto de números naturales fue el primer conjunto numérico que vio en este curso. Es el conjunto N = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6...}. Como, además dice que x < 4, el conjunto A está formado por A = {0; 1; 2; 3 } Los elementos x del conjunto B, pertenecen a Z, es decir al conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros es Z = {... -7; -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8.....} Es decir, que para formar el conjunto de los enteros se le agregaron los números negativos al conjunto de los números naturales. Por eso decimos que los números naturales también son números enteros, o sea que N ⊂ Z. Por lo tanto, el conjunto B pedido en esta Actividad es: B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} Los elementos x del conjunto C, pertenecen a Q, es decir al conjunto de los números racionales. Los números racionales son los que se pueden expresar como cociente de números enteros, por ejemplo: − 5 ; 3 ; 4 ; − 8 . En este momento queremos observar dos 4 2 1 1 cosas: -En primer lugar: cualquier número entero puede expresarse como el cociente entre ese número entero y el divisor 1, o sea que los números enteros también son números racionales. Por eso podemos escribir que Z ⊂ Q y de acuerdo a lo que dijimos anteriormente resulta que: N ⊂ Z ⊂ Q. -En segundo lugar: cuando se divide la unidad (¿se acuerda de los lotes de la unidad 3?) puede hacerse por 2, por 3, por 4; por 5, por 6, por..., por 100, por 1000, es decir por cualquier número natural.


131

¿Se imagina cuántas fracciones pueden obtenerse? Si extiende esta idea a los números racionales puede comprender que el conjunto C tiene infinitos elementos, por lo cual, no puede expresarse por extensión. Una última cosa: aunque los números racionales son infinitos, no son los únicos que hay. Los que faltan se los presentaremos en el bloque 2.

& Libro 1 & Libro 2

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura Actividad nº 3 Le damos a continuación una situación similar a la que Ud. vio en su libro, para la presentación de la operación llamada potenciación. Imagine que se transmite un mensaje de la siguiente manera: "Un día a las 0 horas una persona tiene un mensaje para transmitir. Se sabe que al transcurrir una hora, tres nuevas personas ya tienen el mensaje. Al transcurrir una hora más cada una de esas 3 personas transmitió el mensaje a otras tres. Y, se siguió transmitiendo de la misma forma hasta la hora 6." 1. Complete un diagrama de árbol, similar al que sigue, que represente la situación planteada.

0

1

2


132

Bloque 1

2. En la primera hora 3 personas fueron informadas, es decir, recibieron el mensaje. Cada una de ellas da el mensaje a otras tres durante la segunda hora. ¿Qué cuenta hay que hacer para saber cuántas personas fueron informadas en el transcurso de la segunda hora? 3. Si cada una de las 9 personas informadas durante la segunda hora transmiten el mensaje a otras tres, ¿con qué cuenta se calcula la cantidad de personas que reciben el mensaje en el transcurso de la tercera hora? 4. Complete una tabla como la siguiente: En la hora La cantidad de personas que recibieron el mensaje

0

1

2

3

4

1

3

9

27

5

6

5. Ud. pudo haber llegado a los resultados del cuadro anterior de distintas formas. Ahora le solicitamos que complete este nuevo cuadro, que contiene todas esas formas de responder. En la hora Exprese la cantidad de personas que recibieron el mensaje como:

0

1

2

Multiplicación

3

4

5

6

3.3.3

Potencia

30

Resultado de las cuentas

1

34

3

9

36

27

6. Ud. leyó la definición de potenciación de números naturales en su libro. Esta dice: Si a ∈ N y n ∈ N es: a0 = 1, (a ≠0) a1 an

=a = a.a.a.... a n veces

Recuerde que

an base

exponente


133

Mire cada una de las potencias que expresó en la fila "como potencias". Le preguntamos: ¿Cada una de esas potencias, cumple con la definición? 7. Use la definición de potenciación para calcular: Si a, b y c son números naturales, c≠0: a. a4 = b. b1 = c. c0 = 8. La definición de potenciación dada anteriormente para un número natural 'a', también vale si 'a' es entero o si 'a' es racional. Es decir que: Si a ∈ Z y n ∈ N es:

Si a ∈ Q y n ∈ N es:

a0 = 1, (a ≠0)

a0 = 1, (a ≠0)

a1 = a

a1 = a

an = a.a.a.....a

an = a.a.a.....a n veces

n veces

Utilice dichas definiciones para calcular: a. (-5)1 = −1  e.  =  128  0

$

b. (-2)3 = 3

1 f.   =  2

c. (-2)4 = 2

2 g.   =  7

d. (-876)0 =

−1 h.   =  3 2

−1 i.   =  3 3

Para tener en cuenta sobre temas que ud. leyó: Fíjese que la potenciación con exponente natural no es más que una forma abreviada de expresar una multiplicación donde los factores son todos iguales. Por eso si Ud. sabe multiplicar números racionales, por ejemplo, también sabrá resolver ejercicios de potenciación de números racionales.


134

Bloque 1

9. Complete el siguiente cuadro. Para ello tenga presente la definición de potenciación. Exprese lo indicado en la primera columna como: Para :

Multiplicación y / ó división de factor a

Una sola potencia de base a

Una propiedad o "regla". En símbolos y su nombre.

a ∈ Q , a2 . a 3 a ∈ Q, ( a2 )3 a ∈ Q, a5 : a2 a ∈ Q, a2 : a5

Para tener en cuenta sobre temas que ud. leyó: Queremos destacar algo, aunque ya lo leyó en su libro, porque es importante. Es referente a la potenciación en Q. Veamos: En el cuadro anterior, se pide expresar de varias maneras la división de a2 2 5 potencias de igual base: a : a . Esto puede escribirse así: 5 . a Si expresamos las potenciaciones como multiplicaciones, es decir, de a .a acuerdo a su definición, resulta: . a .a.a .a.a Como "una a que multiplica y una a divide" se pueden cancelar, 1 1 resulta: = 3. a.a.a a Por otro lado, si aplicamos la propiedad del cociente de potencias de igual base, nos queda una potencia de exponente negativo. Por eso 1 1 escribimos que = 3 = a − 3. a.a.a a Esta última igualdad nos indica que podemos resolver una potencia de exponentes negativos si estamos trabajando con números racionales (fracciones).


135

Por lo tanto, la definición dada para la operación potenciación en Q puede extenderse a potencias con exponente negativo. Es decir, que se acepta que el exponente n ∈ Z.

& Libro 1 & Libro 2

Tanto si Ud. tiene el libro 1 como si tiene el libro 2, ahora vuelva a la guía de lectura Actividad nº 4 1. a. Para indicar la medida del lado de una habitación cuadrada, se usó x. Así: x

Si x = 5 m, ¿qué superficie tiene la habitación? b. ¿Y si la pregunta hubiera sido al revés? Es decir: le dicen que una habitación cuadrada tiene una superficie de 25 m2. ¿Cuánto mide cada lado x de la habitación?

$

Para tener en cuenta sobre temas que ud.leyó: Para responder la primer pregunta de la situación anterior, Ud. debió calcular: x.x = x² = 5.5 m² = 25 m². Y para la segunda, Ud. pudo haber planteado la ecuación: x2 = 25 y preguntarse: "¿Qué número elevado al cuadrado resulta 25?". Es decir, calcular 25 . A partir de este ejemplo queremos destacar algunos aspectos importantes respecto a este tema: ¿Se acuerda de los operadores que "hacen" y "deshacen"? Fíjese que:

5 à Eleva al cuadrado à 25

25àExtrae raíz cuadrada à 5


136

Bloque 1

Piense en varios números que entran en la primera máquina y sus correspondientes de salida. Por ejemplo, si entra -5, ¿qué número sale? ¿Puede salir un número negativo de esta máquina? ¿Podrá entrar un número negativo a la segunda máquina? Teniendo en cuenta lo planteado anteriormente, resulta que a la segunda máquina no pueden entrar números negativos, por eso en la definición de raíz cuadrada de un número a, se le exige que a ≥ 0. Ud. ya leyó en su libro dicha definición que es: Si a,b ∈ Z; a = b , a ≥ 0 , b ≥ 0 si b2=a La definición de raíz cuadrada tiene otra condición además de a ≥ 0 observada anteriormente; que es b ≥ 0. Al respecto veamos lo que sigue. Suponga que se plantea la ecuación: x2 = 25, para resolver el problema dado, donde 'x' simboliza la longitud de cada lado de la habitación. En la situación concreta la respuesta es x = 5, pero la ecuación x2 = 25 admite a x = 5 y x= -5 como solución (Verifíquelo). Por eso, cuando escribimos 25 estamos dando sólo la solución positiva de la ecuación x2 = 25, de acuerdo a la definición de 25, por eso, si queremos escribir el conjunto solución de la ecuación dada debemos hacerlo así { 25 ; - 25 } .Es decir, la 25 y su opuesto, o también podemos anotar que las soluciones son: 5 y su opuesto que es el -5, así: {5; - 5}. 2. a. ¿Hay algún número positivo que elevado al cuadrado dé b. Calcule:

49 1 25 ; ; 36 64 16

9 ? 4

Nota: Para responder el ejercicio 2, Ud. debió considerar que la

$

definición de raíz cuadrada de un número entero, se extiende también a los números racionales. 3. ¿Es posible encontrar algún número que elevado al cuadrado dé -4? 1 ¿y -25? ¿y − ? 4 Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

137

& Libro 1


& Libro 2

Si Ud. tiene el libro 2, continúe con la siguiente actividad Actividad nº 5 1. Coloque en cada el signo '=' ó '≠', según corresponda, para los valores de a y b indicados en cada caso: a. (a + b)2

a2 + b2

a−b

b.

c. ( a . b )3 d.

3

a:b

e. a5 : b5 f.

a . b

3

para a = 5 y b = 3

a- b

para a = 25 y b = 16

a3 . b3

para a = 5 y b = 2

a :

b

para a = 27 y b = 8

( a : b )5

para a = 10 y b = 5

3

a .b

para a = 9

y b=4

2. De acuerdo a las igualdades o desigualdades obtenidas en el ejercicio anterior, Ud. ha podido "verificar", con un ejemplo, que: a. La potenciación es distributiva respecto de ..................................................................... b. La potenciación no es distributiva respecto de ................................................................. c. La radicación es distributiva respecto de ..................................................................... d. La radicación no es distributiva respecto de................................................................. 3. Si a Ud. le piden, dentro de un tiempo, que resuelva la cuenta (a + b)2 y le surge la duda sobre si puede o no hacer a2 + b2. ¿ Qué podría hacer para verificar si es válida o no dicha acción?


138

Bloque 1

Nota: Este recurso, de asignar valores particulares a las letras para poder decidir si una igualdad es válida o no, le va a ser siempre de mucha utilidad. Téngalo presente y recurra a él cada vez que le surja alguna duda sobre si puede o no resolver una cuenta de determinada manera. En este caso particular, también tiene un recurso geométrico para determinar que no son iguales. Este recurso lo tiene en la página 84 del libro 1, ó en la página 232 del libro 2.

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº 1 1.a. Las fracciones dadas son equivalentes ya que

3 3.2 6 . = = 7 7.2 14

b. Si se generaliza lo hecho en el ítem anterior, podemos decir que a n.a . Es decir que las fracciones dadas son equivalentes entre sí. = b n.b − 12 − 20 − 40 −4 , , c. Por ejemplo: son equivalentes a . 21 35 70 7 2. a.

3 − 5 6 − 5 6 + ( −5 ) 1 + = + = = 7 14 14 14 14 14

b. La adición se puede definir así: a + c = a.d + b.c b d b.d c. Por ejemplo:

3.a.

b.

− 2 5 − 2.4 + 3.5 − 8 + 15 7 + = = = 3 4 3.4 12 12

3 ( −5 ) 3 14 42 6 42 6 : = ⋅ = =− (Por simplificación: =− ) 7 14 7 ( −5 ) − 35 5 5 − 35

a c a d a.d : = ⋅ = b d b c b.c

2 1 2 ⋅ 5 10 = c. Por ejemplo: : = . Coloquialmente: En el numerador se 3 5 3⋅1 3 multiplica al numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda; en el denominador, se multiplica al denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda. Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

139

Actividad nº 2 Vea la nota que está al terminar el enunciado de esta actividad. -5 -4 -3 -2 -1 0 1

1. A = {0; 1; 2; 3}

|

|

2. B = {-2; -1; 0; 1; 2; 3}

|

|

|

2

3

4

5

|

|

|

|

|

|

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

2

3

4

5

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

|

3. El conjunto C no se puede definir por extensión porque no se puede nombrar sus infinitos elementos. (Revea la nota "para tener en cuenta sobre temas que Ud. leyó"). Actividad nº 3 2. y 3. Observe que cada dato de la segunda fila del cuadro dado en d. (completado abajo) puede obtenerse multiplicando por 3 el anterior. 4. En la hora La cantidad de personas que recibieron el mensaje

0

1

2

3

4

5

1

3

9

27

81

243

6 729

5. En la hora Exprese la cantidad de personas que recibieron el mensaje como:

0

Multiplicación

1

2

3

4

5

6

3

3.3

3.3.3

3.3.3.3

3.3.3.3.3

3.3.3.3.3.3

Potencia

30

31

32

33

34

35

36

Resultado de las cuentas

1

3

9

27

81

243

729

6. Todas cumplen con la definición dada. 7. a4 = a.a.a.a ; b1 = b ; c0 = 1


140

|

1 4 1 1 ; ; ;− 8 49 9 27

Bloque 1

8. Los resultados son: -5; -8; 16; 1; 1; 9.

Exprese lo indicado en la primera columna como: Para :

a ∈ Q , a2 . a 3

Multiplicación y / ó

Una sola potencia de

división de factor a

base a

a.a.a.a.a

a5

Una propiedad o "regla". En símbolos y su nombre. a2.a3=a2+3 producto de potencias de igual base

a ∈ Q, ( a2 )3

a2.a2.a2 = a.a.a.a.a.a

a6

a ∈ Q, a5 : a2

a.a.a.a.a a.a a.a a.a.a.a.a

a3

a ∈ Q, a2 : a5

(a2)3=a2.3 potencia de potencia a5:a2=a5-2 cociente de potencias de igual base

1 a3

a2:a5=a2-5=a-3 cociente de potencias de igual base

Actividad nº 4 1. Está respondido en la nota "para tener en cuenta sobre temas que Ud. leyó", que sigue al ítem 1 de esta Actividad nº 4. 5 1 7 2. Los resultados son: a. 3 ; b. ; ; . 4 6 8 2 3. No es posible porque no hay números (de los conjuntos vistos hasta ahora) que elevados al cuadrado den números negativos. Es decir que no se puede calcular la raíz cuadrada de números negativos. (Revea la definición de raíz cuadrada y sus condiciones. También tenga en cuenta qué números pueden entrar en la máquina que "deshace", es decir la que "extrae raíz cuadrada"). Actividad nº 5 1. a. (5 + 3)2 ≠ 52 + 32 ya que 82 = 64 ≠ 25 + 9 b. 25 − 16 ≠ 25 − 16 ya que

9 = 3 ≠ 5−4

c. (5 . 2)3 = 53 . 23 ya que 103 = 1000 y 125 . 8 = 1000 d.

3

27 : 8 = 3 27 : 3 8 ya que

3

27 3 3 27 = = 3 8 2 8


141

e. 105 : 55 = (10 : 5)5 ya que 100000 : 3125 = 32 y 25 = 32 f.

9 ⋅ 4 = 9 ⋅ 4 ya que 3 . 2 = 6 =

36

2. Las frases a. y c. se completan con: "la multiplicación (o la división)"; la b. y la d. con: "la adición (o la sustracción)". 3. Se puede probar como se hizo en el ítem 1. a. de esta actividad.

Segunda autoevaluación integradora Actividad nº 1 Resuelva los siguientes cálculos: 1. 23 - 2 . 9 - ( 5 - 2 ) : 3 + ( -3 + 2 ) = 2. (- 1 + 4 ) - (3 - 1 ) . 5 + (- 1 )3 5 2 2

3

−8 =

Actividad nº 2 Resuelva las cuentas que se indican a continuación. En el caso que existan dos formas distintas de resolver, muestre la otra forma de resolución y nombre la propiedad asociada a esa posibilidad. Cuenta

Resolución

. forma de resolución . y Otra propiedad utilizada

(3-1).5 ( - 3 + 2 )2 ( ½ . (- 3) )3


142

Resolución


Bloque 1

Cuenta 9 + 16

3

5

8.27

2 32 : 243 =    3

5

5

Actividad nº 3 Una persona que no tenía herederos decidió repartir entre sus amigos, empleados más queridos y otros, un terreno de 4800 m2. Lo hizo de la siguiente manera: El 20% del terreno para la iglesia del pueblo. De lo que queda reparte: Un tercio para su amigo Juan. Un doceavo para cada uno de sus 4 empleados que le atienden su casa. Un sexto para su secretaria. Y lo que queda para su amigo Pedro. Indique qué cantidad de terreno recibirá cada uno de los destinatarios del regalo. Actividad nº 4 Un señor depositó una cantidad x de pesos en un banco y otra cantidad igual en otro banco. Después de un cierto tiempo, en uno de los bancos se duplicó dicho capital. Si retira todo el dinero de este banco y saca 1/3 de x del otro, suma una cantidad de 700 pesos ¿cuál era la cantidad inicial x?


143

Actividad nº 5 Un poste de luz quedó inclinado después de una tormenta. Su inclinación respecto de la horizontal es de 75°. Fue sostenido con otro poste inclinado 45° respecto del piso.

Poste de luz inclinado

Poste sostén

75°

45°

1. ¿Cuál es la inclinación del poste de luz respecto de la vertical? 2. ¿Cuánto mide el ángulo determinado entre ambos postes?

Respuestas a la evaluación integradora Actividad nº 1 Para resolver este tipo de ejercicios debe tener presente: Si hay paréntesis debe resolver primero las cuentas que se encuentren dentro de ellos. El convenio establecido por la Matemática respecto del orden en que deben resolverse las operaciones. (Resolvemos: Primero, potencias y raíces; luego, multiplicaciones y divisiones y, por último, sumas y restas) Nos queda, entonces: 1. 8 - 2 . 3 - 3 : 3 + ( -1 ) = 8 - 2 . 3 - 3 : 3 - 1= 8-6-1-1=8-(6+1+1)=8-8=0


144

Bloque 1

2. 7/2 - 14/5 . 5 + ( - 1/8 ) - ( - 2 ) = Cálculos auxiliares para 2.

7/2 - 14 - 1/8 + 2 =

-1/2 + 4 = 7/2 3 - 1/5 = 14/5 (-1/2)3 = -1/8 3 − 8 = −2 porque 3 −2 = −8

7/2 - 1/8 - 14 + 2 = (por propiedad conmutativa)

( )

7/2 - 1/8 -12 = 28/8 - 1/8 - 96/8 = -69/8

Actividad nº 2 Cuenta

Resolución

(3-1).5

2.5=10

( - 3 + 2 )2

(-1)2=1

( ½ . (- 3) )3

(-3/2)3=-27/8

9 + 16

25 = 5

3

5

3

8.27

2 32 : 243 = 5    3

5

2

  3

5 =

(3.5-1.5)=10

Distributiva de la multiplicación respecto de la sustracción.

(1/2)3.(-3)3=-27/8

Distributiva de la potenciación respecto de la multiplicación.

3

216 = 6

5 


3 8 . 27 = 2.3 = 6

2

5 5 2

3

5 5 3

=

2 3

Distributiva de la radicación respecto de la multiplicación.

Distributiva de la radicación respecto de la división y de la potenciación respecto de la división.


145

Actividad nº 3 Para la Iglesia se donó el 20% del terreno, es decir, el 20 % de 4800 m2. Dicha cantidad es: 20 . 4800/100 = 960 Luego la Iglesia recibe 960 m2. Juan recibe 1/3 de lo que quedó después de la donación a la iglesia. Como el terreno era de 4800 m2, restan 3840 m2 ( 4800 - 960 = 3840 ). Es decir, que Juan recibe 1/3 de 3840 m2: 1/3 . 3840 m2 = 1280 m2 Cada empleado de su casa recibe 1/12 de 3840 m2, o sea, 1/12 . 3840 m2 = 320 m2. Su secretaria recibe 1/6 de 3840 m2. Dicha cantidad es: 1/6 . 3840 m2 = 640 m2. Pedro recibe lo que queda. Vamos a calcular primero cuántos m2 se repartieron entre Juan, los 4 empleados de la casa y la secretaria: 1280 m2 + 4 . 320 m2 + 640 m2 = 1280 m2 + 1280 m2 + 640 m2 = 3200 m2 Por lo tanto, Pedro recibe 3840 m2 - 3200 m2 = 640 m2 Actividad nº 4 Si en el primer banco se duplicó el capital depositado y se llamó x a dicha cantidad, se retira una cantidad igual a 2.x. Si se extrae del otro banco una cantidad igual a 1/3 . x, en total se retira una cantidad igual a 2.x + 1/3.x. Nos informan, además, que dicha suma es igual a 700 pesos. Podemos, entonces, averiguar el valor de x planteando la siguiente ecuación: 2.x + 1/3 . x = 700 Para resolverla tenga en cuenta las actividades de ecuaciones que resolvió en la unidad 2. Sumando nos queda: 7/3 . x = 700 Y "desarmando" la ecuación anterior: x = 700 : 7/3


146

Bloque 1

x = 700 . 3/7 x = 300 O sea que el depósito inicial fue de $300. Actividad nº 5 1. Podemos imaginarnos en el gráfico una recta paralela al piso que pase por el punto de intersección de ambos postes, y una recta vertical que pase por dicho punto: m

β α

75°

δ

45°

n

El ángulo α, marcado en el gráfico, es el ángulo pedido en este ítem. El ángulo β es congruente con el ángulo de 75°, por ser alternos internos entre paralelas ( m // n ). El ángulo β y el ángulo α deben sumar 90° por ser el ángulo formado entre la vertical y la horizontal. Por lo tanto, α = 90° - β. Es decir: α = 90° - 75° = 15°. 2. Vamos a usar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Podemos plantear la ecuación: 75° + 45° + δ = 180° Entonces: 120° + δ = 180° y δ = 180° - 120° y δ = 60° O sea que el ángulo determinado entre ambos postes es de 60°.

Hasta aquí la Guía del Bloque 1. Vuelva a trabajarla cuantas veces lo considere necesario para afianzar su aprendizaje y prepararse bien para rendir el examen. Lo esperamos en la Guía del bloque 2.


147

Jefe de Gobierno Dr. Aníbal Ibarra Vicejefa de Gobierno Lic. Cecilia Felgueras Jefe de Gabinete Lic. Raúl Enrique Fernández Secretario de Educación Lic. Daniel Filmus Subsecretaria de Educación Lic. Roxana Perazza Subsecretario de Coordinación de Recursos y Acción Comunitaria Lic. Luis Quevedo Directora General Prof. Haydeé Chiochio de Caffarena Director del Área de Educación del Adulto y Adolescente Prof. Mario Orlando

149

Matematica 1 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 1

Matematica 1 Guia

Analisi matematica 1

Analisi matematica ABC: 1

Matematica 3 1

Analisi matematica, Vol. 2

Matematica 1 Cou

Analisi matematica, Vol. 1

Matematica 2 3

Analisi matematica. Vol. 2

Matematica 2 Guia

Matematica Aplicada 2

Analisi Matematica Volume 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 2

Esercizi di analisi matematica 1

Esercitazioni di matematica Vol. 1, Pt.1

Matematica numerica (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Matematica 4

Analisi matematica

Logica matematica

Esercizi e complementi di analisi matematica: 1

Cartomagia Matematica

Analisi matematica

Matematica Discreta

Matematica liofilizzata

Esercizi di finanza matematica (UNITEXT La Matematica per il 3+2) Italian

Elementi di Logica Matematica

Fondamenti di matematica

Matematica Aplicada 4

Matematica Estas Ahi

Matematica 1 2

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Matematica Aplicada 2

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