Matematica 4

4

Geometría En esta unidad trabajaremos contenidos de geometría. Nos interesa que reconozca cuándo dos figuras son semejantes y que utilice los teoremas de Thales y de Pitágoras en la resolución de situaciones concretas de la vida cotidiana.

Propósitos de la Unidad En relación con los contenidos de esta Unidad le propondremos que:

UNIDAD 4

UNIDAD

• Reconozca las características de dos figuras semejantes. • Obtenga una figura semejante a otra a través de una homotecia. • Describa y aplique las condiciones que cumplen los triángulos semejantes entre sí. • Reconozca la propiedad que enuncia el teorema de Thales y las que se deducen de ella para aplicarla en distintas situaciones. • Interprete geométricamente la propiedad conocida como teorema de Pitágoras. • Aplique el teorema de Pitágoras en diversas situaciones problemáticas.

ACTIVIDAD Nº. 1: "FICHAS PARA JUEGOS INFANTILES" En una fábrica de juguetes infantiles se disponen a confeccionar las fichas de un juego. El juego tiene cinco fichas básicas, que se muestran a continuación:

1

3

2

4

5

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

147

También tiene un conjunto de fichas de distintos colores, que se obtienen variando el tamaño de las fichas básicas, pero sin que se deformen. Es decir, que son más grandes o más pequeñas, pero mantienen la forma o las proporciones de las fichas básicas. La fábrica cuenta con moldes para confeccionar las fichas. Algunos de dichos moldes son:

A C

E

F

G J

I

H

L K

N

M

Q Ñ O

148

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

P

Parte A Imagine que usted participa en el trabajo de confección de fichas en la fábrica de juguetes: Teniendo en cuenta que los moldes deben respetar las formas y proporciones de las fichas básicas, ¿cuáles de los moldes mostrados anteriormente elegiría para confeccionar las fichas de este juego? Exprese brevemente, qué tiene en cuenta para tomar la decisión.

Parte B 1. Tenga en cuenta las fichas básicas y los moldes correspondientes a cada ficha básica. Detenga su atención, por ejemplo, en la ficha básica 4 y los moldes utilizables correspondientes a ella:

B

C A

4

F

A'

D

L

F'

E

B''

D' E'

C''

A'' F''

C'

B'

H

D''

E''

Observe los ángulos de la ficha básica y de los respectivos moldes. A partir de dicha observación responda: ^ ^ ^ a. ¿Cómo son entre sí los ángulos B, B' y B'' de las figuras que representan las fichas? ^ ^ ^ b. Compare el ángulo C con sus correspondientes C' y C'' en los respectivos moldes. ¿Cómo son entre sí las medidas de dichos ángulos?

c. Cuando se achica o se agranda la figura básica, sin perder la forma, ¿cómo resultan entre sí los ángulos correspondientes?

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

149

Orientaciones: Si representamos la ficha básica y los moldes superpuestos, como lo indicamos a continuación:

Es fácil observar que las medidas de los ángulos interiores correspondientes son iguales entre sí, pues al ser los lados de las figuras respectivamente paralelos, si se superponen los ángulos entre sí, éstos resultan coincidentes. La igualdad de las medidas de los ángulos correspondientes se escribe simbólicamente así: ^ ^ ^ C  = C' = C''  ^ ^ ^ F  = F' = F'' 

^ = B'' ^  B^  = B' ^ ^ ^ E  = E'  = E'' 

^ ^ ^ D  = D' = D''  ^ = A'' ^  A^  = A'

Parte C Verifique que lo observado, respecto de los ángulos correspondientes para la ficha básica 4 y sus posibles moldes, también vale para las otras fichas básicas y sus moldes. Superponga las figuras como se indicó en la orientación anterior.

Parte D Se decide agregar una nueva ficha o figura básica al juego. A continuación se presenta la nueva ficha básica y un diseño incompleto de uno de sus posibles moldes.

D

C

C' A

B

E

F

G

150

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

B' A'

D'

1. En la fábrica de juguetes le piden que: a. Sobre el gráfico incompleto que presentamos, complete el diseño del molde, teniendo en cuenta las características que deben tener las fichas de este juego. A este molde que usted va a completar lo llamaremos Molde 1. b. Complete la siguiente tabla con las dimensiones de la nueva ficha básica, y las del molde que usted diseñó. Medidas, en cm, de la Ficha Básica

AB  BC  CD  DE  EF  FG  GA 

Medidas, en cm, del Molde 1

A‘B‘  B‘C‘  C‘D‘ D‘E‘  E‘F‘  F‘G‘  G‘A‘ 

1

0,5

1,5

2

1,5

2

3

4

0,75

2. A un compañero suyo le pidieron diseñar el Molde 2 a partir de los datos que se encuentran en la tabla. Le solicitan que usted la complete: Medidas, en cm, de la Ficha Básica

AB  BC  CD  DE  EF  FG  GA 

Medidas, en cm, del Molde 2

A‘B‘  B‘C‘  C‘D‘ D‘E‘  E‘F‘  F‘G‘  G‘A‘ 

1

1,5

2

1,5

2

3

4

2

3. Si le dicen que el Molde 3 es de mayor tamaño que la ficha básica, de tal manera que cada lado se triplica, ¿ puede usted determinar cuánto miden los lados C‘D‘ y G‘A‘ del Molde 3?

Orientaciones En lo que acaba de realizar se está utilizando un concepto estudiado en el Bloque 2, el concepto de proporcionalidad. Si no le resulta familiar, le recomendamos revisar o estudiar nuevamente la Unidad 3 de la Guía de estudio de Matemática correspondiente al Bloque 2, porque lo necesitará para resolver las actividades que siguen. Más específicamente, busque la página 57 de la Guía de Estudio de Matemática Bloque 2, y:

• lea lo indicado en la Guía de lectura. • resuelva las actividades nº. 1, 2 y 3 de las Actividades sobre lo leído (páginas 60 a 65)

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

151

Parte E 1. Ahora le piden que diseñe el Molde 4 de tal manera que

A'B'  B'C'  = =4 AB  BC 

¿De qué medida deberá dibujar el lado D'E' del Molde 4? 2. Si el Molde 5 es de menor tamaño que la ficha básica, de tal manera que cada lado se reduce a la mitad, es decir que la constante de proporcionalidad es igual a 0,5 ¿Cuánto miden los lados C'D' y G'A' del molde 5? Orientaciones En los cinco casos anteriores se observa que los lados de cada uno de los moldes son proporcionales a los lados correspondientes de la figura básica. Cuando dos figuras, como por ejemplo las representadas a continuación: A' A

B'

B

C

D D'

C'

cumplen con las siguientes condiciones: 1.

Las medidas de los ángulos correspondientes son iguales.

2.

Las medidas de los lados correspondientes son proporcionales.

se dice que son figuras semejantes. Por eso diremos que cada ficha básica es semejante a cada uno de sus moldes y recíprocamente.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FIGURAS SEMEJANTES Las figuras geométricas ABCD y A'B'C'D' A' A

B'

B

C

D D'

152

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

C'

son semejantes porque cumplen: ^

^

^

^

^

^

^

^

1. A = A' ; B = B' ; C = C' ; D = D' , es decir, la igualdad de las medidas

de los ángulos correspondientes. 2.

A'B'  B'C'  C'D'  D'A'  = = = , es decir la proporcionalidad de las meAB  BC  CD  DA 

didas de los lados correspondientes.

Parte F En la Parte A de esta actividad usted descartó algunos moldes porque consideró que no servían para confeccionar las fichas que exigía el juego. Observe los moldes descartados e indique uno de ellos para cada uno de los casos expresados a continuación: 1. No cumple con la condición de igualdad de las medidas de los ángulos correspondientes. 2. No cumple con la condición de proporcionalidad de las medidas de los lados correspondientes. 3. No cumple ninguna de las condiciones de semejanza.

Orientación Le ofrecemos algunos ejemplos a tener en cuenta para analizar sus respuestas a las consignas de la Parte F . Por ejemplo:

• Las medidas de los ángulos del molde Ñ no son iguales a las medidas de los ángulos correspondientes en la ficha básica 4.

• Las medidas de los lados del molde D no son proporcionales a las medidas de los lados correspondientes en la ficha básica 5.

• El molde M no cumple con ninguna de las condiciones de semejanza respecto de la ficha básica 2.

ACTIVIDAD Nº. 2: "EL RECORRIDO DE MARTÍN EL CARTERO" Esa mañana, Martín, el cartero, llegó al correo del pueblo para empezar con su trabajo diario. Después de los saludos, su jefe le dijo: "Mire, Martín, hoy le toca ir hasta la esquina donde se juntan las calles 1, 20, 30 y 200. De ahí, debe ir a seis casas. Una de ellas está sobre la calle 1 a 150 metros al este de la esquina. Otra está a 50 metros por la calle 30. Por la calle 200, yendo hacia el noreste, tiene que entregar correspondencia en dos casas: una a 100 metros y otra a 300 metros. Otra casa está sobre la calle 1 a 250 metros al oeste y la sexta casa está sobre la calle 20 a 150 metros de la esquina". Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

153

Martín siguió la explicación de su jefe con mucha atención, pero pensó que se iba a olvidar de tantas indicaciones. Buscó un plano del pueblo y representó lo siguiente:

G

N E

D

F

C A

calle 1

O

E

B

S correo

1. La representación hecha por Martín, ¿expresa lo indicado por su jefe? 2. ¿Con qué letra se identifica cada casa descripta en las instrucciones del jefe? 3. Si consideramos que todas las flechas que dibujó Martín empiezan en el

punto A: a. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con B y A con C? ¿Con qué

aspecto de lo indicado por el jefe relaciona esta observación? b. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con D y A con C? ¿Con qué

aspecto de lo indicado por el jefe relaciona esta observación? c. ¿Qué observa sobre las flechas que unen A con F y A con G? ¿Con qué

aspecto de lo indicado por el jefe relaciona esta observación? d. Por la calle 200, una de las casas está a 100 metros de A y otra a 300

metros. ¿Cómo se manifiesta este aspecto en las flechas?

Orientaciones Las flechas que representó Martín en el plano del pueblo le brindan la misma información que le dio su jefe en forma oral o coloquial. Cada una de ellas le indica cuántos metros deberá desplazarse para llegar a cada casa desde la esquina representada con el punto A, sobre qué calle deberá desplazarse y hacia qué lado deberá hacerlo. Las flechas que unen A con B y A con C tienen la misma medida ya que Martín debe desplazarse la misma cantidad de metros para ir desde la esquina representada con la letra A a las casas representadas con las letras B y C. Las flechas que unen A con D y A con C están incluidas en la misma recta. Tienen sentidos contrarios porque las casas representadas con las letras D y C se encuentran sobre la misma calle, pero una al oeste y la otra al este de la esquina representada con la letra A. 154

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Las flechas que unen A con F y A con G también están incluidas en la misma recta. En este caso tienen el mismo sentido porque ambas casas se encuentran hacia el noroeste por la calle 200. Tienen distinta medida porque deberá desplazarse distinta cantidad de metros para llegar a cada una de las casas en las que debe entregar correspondencia.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: "VECTORES" En Matemática, a flechas como las dibujadas por Martín las llamamos vectores. Los vectores tienen: • una longitud llamada módulo. En este caso, el módulo indica cuántos metros debe desplazarse Martín. • una dirección. En este caso indica sobre qué calle debe desplazarse. • un sentido. En este caso, el sentido del vector le indica a Martín hacia qué lado debe desplazarse en una calle.

Busque el libro y señale de algún modo lo que le indicamos para leer: Libro 1 En el capítulo 5: • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 83 a 88 (no resuelva los ejercicios de "Manos a la obra") • Lea y resuelva las actividades propuestas desde el título "Multiplicación de un vector por un número real", en la página 90 hasta "Descomposición de vectores" en la página 91. • En Manos a la obra de las páginas 92 y 93 resuelva las actividades número 8 y 9. • En Final de obra de las páginas 97 a 100, resuelva la actividad 22. Libro 2 Tal como lo señaláramos al indicar la Bibliografía, este libro no cuenta con el tema vectores. Para realizar el estudio de este tema usted deberá recurrir a otro libro. Si le fuera posible disponer del libro 1 (puede solicitar el mismo en el CRM de las Sedes) podría realizar la lectura del tema utilizando la Guía de lectura anterior.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

155

ACTIVIDAD Nº. 3: “UN RECURSO PARA DISEÑAR LOS MOLDES" Uno de los directivos de la fábrica de juguetes llegó un día con un recurso para diseñar los moldes de las fichas básicas. Convocó a sus empleados para contarles en qué consiste dicho recurso. Preste atención a las indicaciones dadas por el directivo de la fábrica como para que usted pueda utilizar el recurso que va a describir. Si por ejemplo la ficha básica es: B C A

y se quiere diseñar un molde de mayor tamaño, que tenga razón 2 entre las medidas de sus lados, se hace lo siguiente: • Se determina un punto O que no pertenezca a la figura. • Se elige un punto cualquiera de la figura, por ejemplo el punto B y se grafica el vector OB. A partir de él se obtiene el vector OB' = 2. OB, es decir se determina el punto B' como lo indica el gráfico de abajo. B' B O A

C

• Para determinar cada punto del molde se repite lo hecho con el punto B.

Parte A 1. Encuentre los puntos A' y C' a partir de A y C respectivamente, siguiendo el ejemplo dado para el punto B. Es decir determine: OA' = 2. OA y OC' = 2. OC . Complete un gráfico como el dado anteriormente. 2. Complete el diseño del molde A'B'C'. Si le resulta necesario elija otros puntos de la figura y repita el procedimiento anterior.

156

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones Compare lo que obtuvo con lo que le damos a continuación: B'

B

O

C A

C' A'

Para completar el diseño del molde es suficiente aplicar este recurso a cada vértice de la ficha básica. Observe que se obtuvo para cada punto de la figura ABC uno y sólo un punto de la figura A'B'C' . Es decir que este recurso determina una función definida de un conjunto de puntos del plano (figura ABC) en otro conjunto de puntos del plano (figura A'B'C'). A esta función la llamaremos homotecia de centro O y razón 2.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: "HOMOTECIA" A la función que a cada elemento A de un conjunto de puntos del plano le hace corresponder un punto A' del plano, de tal manera que OA' = r . OA, siendo r un número real distinto de cero, la llamaremos homotecia de centro O y razón r. Lo anotaremos así H (O ; r ) Dado que al punto A le corresponde el punto A', a través de la homotecia, diremos que A' es la imagen de A, o que A' es el correspondiente de A, o también que A' es el homólogo de A.

Parte B Le pedimos que resuelva las siguientes actividades para aplicar dicho recurso a distintas figuras. Además aprovecharemos para usar el lenguaje matemático. 1. Aplique H(O ; ½) a un cuadrado ABCD, siendo O un punto cualquiera exterior al cuadrado. 2. Aplique H(O ; 3) a la figura ABCD dada a continuación:

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

157

C

O

.

B

D

A 3. Encuentre la figura imagen o correspondiente de un triángulo ABC a través de la homotecia de centro en el vértice A y razón 2. 4. Encuentre el triángulo correspondiente al triángulo ABC a través de una homotecia de centro O y razón r = -2, siendo O un punto cualquiera exterior al triángulo.

Parte C De acuerdo a lo que obtuvo en cada una de las homotecias aplicadas a distintas figuras en la Parte B, ¿cree que este recurso sirve para diseñar los moldes requeridos para el juego mencionado con anterioridad? O, dicho en términos matemáticos, ¿cree que las figuras que se corresponden a través de una homotecia son semejantes entre sí? Utilice todos los recursos que estén a su alcance para decidir su respuesta.

Orientación Es posible que a partir de resolver lo solicitado en la Parte B usted haya observado que las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes entre sí. Queremos destacar en este momento, como lo hicimos en otras oportunidades, que la Matemática utiliza un recurso lógico, conocido como demostración, para afirmar que las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes entre sí. Y lo hace en general, no sobre casos particulares. Es decir que no le alcanza con una simple observación sobre algunos casos particulares para decidir la validez de una propiedad. En este curso no haremos demostraciones matemáticas, pero sí nos interesa que Usted pueda verificar la validez de las propiedades, aunque sea para algunos casos particulares.

158

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: "HOMOTECIA Y SEMEJANZA" Diremos que una homotecia de centro O y razón r, en símbolos H(O ; r), aplicada a una figura geométrica tiene por imagen otra figura geométrica de tal forma que: • Sus lados homólogos son paralelos. • Sus ángulos homólogos son iguales. • Sus lados homólogos son proporcionales y la constante de proporcionalidad o razón es r. Como consecuencia de lo dicho anteriormente: “las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes entre sí”.

ACTIVIDAD N°. 4: “POSTES PARA CONSTRUIR UN QUINCHO” Se deben colocar dos postes de 3 y 4,5 metros de altura para sostener el techo de un quincho. El primero se coloca a 10 m de distancia de un punto de referencia que llamaremos O. El segundo poste debe colocarse de tal manera que los extremos superiores de ambos postes queden alineados con el punto O. Puede esquematizarse lo dicho de la siguiente manera: B'

B 3m O

10 m

A

4,5 m A'

AB y A'B' representan a cada uno de los postes.

Parte A 1. Calcule a qué distancia del punto de referencia O debe colocarse el segundo poste. Justifique lo que utiliza para responder. 2. ¿Cómo son entre sí los triángulos OAB y OA'B'? ¿Por qué? 3. Si no pudo responder antes el ítem 1., hágalo ahora teniendo en cuenta su respuesta al ítem 2.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

159

Orientaciones Los triángulos OAB y OA'B' son semejantes entre sí por corresponderse en una homotecia de centro O y razón 4,5 3 OA'  Luego se verifica que = 1,5 pero OA  es un dato y es igual a 10 OA  Por lo tanto OA'  = 1,5 10 Esta igualdad es una ecuación donde la incógnita es OA'  , por lo tanto para resolverla se multiplica por 10 a ambos miembros de la igualdad y resulta que OA' = 1,5 . 10 = 15 Luego el segundo poste hay que ubicarlo a 15 m del punto de referencia O. Para resolver situaciones como la anterior y otras en las que se usa la semejanza de figuras geométricas deberá trabajar con proporciones. Usted ya trabajó con proporciones en el Bloque 2, pero vamos a recordar y/o agregar algo más respecto de este tema en lo que sigue. Luego podrá utilizar lo aquí analizado.

Algo más sobre proporciones La siguiente es una proporción genérica porque la hemos representado con letras: a = c , donde las letras a, b, c y d representan números reales distintos de cero.

b

d

Por las posiciones que ocupan la proporción .

a y d se llaman extremos y b y c se llaman medios de

1. Una equivalencia importante Se verifica que a . d = b . c, es decir el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Esto es así porque se mantiene la igualdad si:

•

se multiplica por

b.d

•

ó se pasa multiplicando al otro miembro de la proporción lo que está dividiendo.

a ambos miembros de la proporción

Por lo tanto se dice que las expresiones

a c = y a . d = b . c son equib d

valentes entre sí. Es decir, si se verifica una se verifica la otra y recíprocamente.

2. Las proporciones tienen propiedades. Una de ellas es: Si se verifica a = c también se verifica la siguiente proporción a + b = c + d b d b d

•

Para interpretar la propiedad vamos a mostrar un ejemplo y verificaremos que en ese caso se cumple. Partimos de la proporción:

14 = 42 . 3 9

Esta proporción es cierta o verdadera porque 14 . 9 = 3 . 42 (por lo dicho en 1.) Entonces, de acuerdo con la propiedad, tiene que ser cierta la siguiente proporción:

160

14 + 3 42 + 9 17 = 51 . Verificamos que es cierta, = o sea 3 9 3 9

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

pues: 17 . 9 = 3 . 51 ya que 153 = 153

•

Ahora, vamos a verificar esta propiedad utilizando la notación genérica. Observe que los caminos son similares. Partimos de la proporción: decir que se cumple que

a c = b d

, que aseguramos que es verdadera, es

a.d=b.c

De acuerdo con la propiedad tiene que ser cierta la siguiente proporción : a+b =c+d Para ello, debe verificarse que (a + b) .

b

d = b . (c + d)

d

Si aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, en cada miembro de la igualdad anterior, resulta que

a . d + b . d = b . c + b . d. Al cancelar bd,

dado que está sumando en ambos

miembros de la igualdad, resulta que llegamos a esta igualdad:

a.d= b.c

que la supusimos verdadera. Por lo tanto hemos verificado la propiedad.

3. Otras propiedades: c b d • Si ab = dc

•

Si a =

es verdadera también lo es la siguiente proporción a - b = c - d

b d b d es verdadera también lo es la siguiente proporción = a c

Si combina esta última propiedad con las anteriores puede obtener nuevas propiedades. Una vez que haya comprendido lo que se presentó en este recuadro acerca de las proporciones siga con el trabajo que a continuación le proponemos.

Parte B 1. El siguiente gráfico representa los resultados de aplicar las homotecias H(A ; r) y H(A ; k) al triángulo ABC.

B'

B''

B

A

C

C'

C''

• El triángulo AB'C' se obtiene al aplicar H(A , r) al triángulo ABC. • El triángulo AB''C'' se obtiene al aplicar H(A , k) al triángulo ABC. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

161

a. ¿Cómo son entre sí los triángulos ABC y AB'C'? ¿Por qué? b. ¿Qué puede decir de los triángulos ABC y AB''C'' por corresponderse a través de una homotecia? c. ¿Cómo son entre sí las rectas que contienen los segmentos BC, B'C' y B''C''? 2. En el cuadro que sigue se han escrito proporciones posibles entre segmentos del gráfico presentado en la Parte B. Estas proporciones se pueden basar o justificar con las homotecias aplicadas y las siguientes propiedades de las proporciones: a c = es verdadera también lo es la siguiente proporción a - b = c - d b d b d a c b d b. Si b = d es verdadera también lo es la siguiente proporción a = c a. Si

En el cuadro algunas de las proporciones están incompletas y faltan algunas justificaciones. Complete todo lo que falta. La proporción:

Justificación de la veracidad de la proporción

AB'  = AC'  ... AB 

Por la homotecia H(A ; r ) aplicada al triángulo ABC

... = AC''  AB  AC 

Por la homotecia H(A ; k ) aplicada al triángulo ABC

BB'  = CC'  AB  AC 

Por la homotecia H(A ; k ) aplicada al triángulo ABC y por propiedad a

BB''  CC''  = AB  AC 

Por la homotecia H (A ; r ) aplicada al triángulo ABC y propiedad b AB  = AB' 

... ...

AB  = BB' 

... ...

AB  = AB'' 

... ...

... ...

162

=

AC  CC'' 

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones En el cuadro anterior están las siguientes proporciones, justificadas como verdaderas por las homotecias y propiedades de las proporciones: BB'  CC'  BB''  CC''  = y = AB  AC  AB  AC  Observe en el gráfico cada uno de dichos segmentos. A partir de la observación le resultará útil reconocer la validez de esta proporción. Pero, además queremos que descubra otra proporción válida a partir de las dadas arriba. Los números que intervienen en las razones representan medidas de segmentos, por lo tanto son todos números distintos de cero. Podemos, con tranquilidad dividir miembro a miembro cada una de las igualdades dadas arriba y resulta: BB'  AB  BB''  AB 

=

CC'  AC  CC''  AC 

Efectuando la división queda:

BB'  CC'  = BB''  CC'' 

Esta proporción nos servirá para interpretar una propiedad conocida como teorema de Thales que enunciaremos a continuación.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: "TEOREMA DE THALES" Si dos rectas r y p son cortadas por tres o más paralelas, por ejemplo, como indica el dibujo: r

p C

B

C' B'

C''

B''

se cumple que las medidas de los segmentos determinados por B, B' y B'' en la recta r son proporcionales a las medidas de los segmentos determinados por C, C' y C'' en la recta p. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

163

Por ejemplo: BB'  = CC'  BB''  CC'' 

Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema de Thales.

Parte C 1. En el gráfico que sigue es BC // B'C' // B''C'' C C' C''

B

B'

B'' Y la razón

BB'  = 1. B'B'' 

a. ¿Qué puede decir de los segmentos BB' y B'B''? b. Si BB' = 10 cm y C'C'' = 6 cm, ¿cuánto miden B'B'' y CC'? 2. En una ciudad, la empresa Telecable debe efectuar, a partir de su sede, el tendido de cables sobre dos avenidas, una de las cuales es diagonal. En cada avenida, debe ubicar los postes en forma equidistante uno del otro (es decir que, en cada avenida, debe haber la misma distancia entre dos postes cualesquiera). A continuación se muestra:

• la ubicación de 7 de los postes en una de las avenidas (P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7). • la ubicación de la sede de la empresa. • la ubicación del séptimo poste sobre la avenida diagonal (P´7). sede

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P'7 a. ¿Se verifica el objetivo de la empresa sobre la avenida? b. Trace el segmento P7 P´7. 164

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

P7

avenida

c. Trace rectas paralelas a P7 P´7, pasando por cada uno de los otros 6 puntos y ubique así los postes sobre la diagonal. d. Mida y compare las distancias que hay entre postes sobre la diagonal. ¿Se cumple con el objetivo de la empresa?

Orientaciones De acuerdo con lo hecho en 1., si la razón entre dos segmentos BB’ y B’B’’ es 1, las medidas de los dos segmentos son iguales. Además, por el teorema de Thales, también son iguales las medidas de los segmentos determinados sobre la otra recta. Es decir, CC’  = C’C’’  Usaremos esta conclusión para justificar que los postes ubicados sobre la diagonal se encuentran también a igual distancia uno de otro. En el gráfico dado los postes ubicados sobre la avenida están a igual distancia uno de otro, es decir, los segmentos determinados sobre la misma tienen la misma medida. Al trazar las rectas paralelas al segmento P7 P’7, los segmentos determinados sobre la diagonal también tienen la misma medida. Por lo tanto, los postes ubicados sobre la diagonal también equidistan entre sí. El recurso utilizado en 2., nos sirve para dividir un segmento en partes iguales.

Libro 1 En el capítulo 9: • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 184, 185, 186 y 187, hasta el título "Atando cabos". • Continúe su lectura en la página 188, desde el título "Conservar las formas" hasta el título "Manos a la obra". • Lea en la página 190 desde el título "Paseando por el plano" hasta el título "Los espejos". • En las páginas 191 y 192 lea desde el título "Escalas" hasta el título "Gulliver y la semejanza". • En "Final de obra" de las páginas 194 a 198, resuelva las actividades número 5, 7, 8, 9 y 18. Libro 2 En el capítulo 6: • Lea y resuelva las actividades propuestas en la Situación 1, páginas 140 a 142. • Resuelva los problemas P1, P2, P3 y P4 de las páginas 142 y 143. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

165

• Lea y resuelva las actividades propuestas en la Situación 2, página 144. • Resuelva el problema P6 de la página 144. • Resuelva el ejercicio E1 de la página 145. • Resuelva los problemas P7 y P8 de la página 145. No deje de leer el recuadro celeste de la derecha. • Resuelva el problema P10 de la página 146. • Resuelva los problemas P13, P14, P15 y P16 de las páginas 147 y 148. ACTIVIDAD N°. 5: “DISEÑOS A PARTIR DE TRIÁNGULOS” Como parte de un diseño se dibujó, a partir de un triángulo rectángulo como el CAB, la siguiente figura:

B

a C

c b

A

A los cuadrados de lados b y c se los pintó de azul y al cuadrado de lado a se lo pintó de rojo. 1. Si el lado a mide 5 cm, el lado b mide 4 cm y el lado c mide 3 cm: a. ¿Cuánto mide el área pintada de azul? b. ¿Cuánto mide el área pintada de rojo? c. ¿Cómo son entre sí las áreas pintadas de cada color? 2. Responda las preguntas anteriores si el lado a mide 13 cm, el lado b mide

12 cm y el lado c mide 5 cm. 166

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones En los dos casos anteriores el área pintada de rojo es igual al área pintada de azul, ya que: ítem 1.

ítem 2.

Área pintada de azul

32 + 42 = 25

122 + 52 = 169

Área pintada de rojo

52 = 25

132 = 169

En ambos casos, para las medidas de a, b y c indicadas, se verifica que a2=b2+c2

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: "TEOREMA DE PITÁGORAS" En un triángulo ABC rectángulo, al lado opuesto al ángulo recto se lo llama hipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos. B

a

C

b

c A

En todo triángulo rectángulo se verifica que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. En símbolos: a 2 = b 2 + c 2 Esta propiedad es conocida como teorema de Pitágoras. Usted ya verificó esta propiedad en la actividad anterior. Como ya mencionamos en otras oportunidades, para la Matemática no es suficiente la verificación de una propiedad sólo para algunos casos particulares, sino que debe demostrarlo en forma general. No forma parte del alcance del curso la demostración matemática de la propiedad, pero sí nos interesa que usted pueda verificar la validez de la misma para algunos casos particulares.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

167

Busque el libro y señale de algún modo, lo que le indicamos para leer: Libro 1 En el capítulo 10: 1. Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 205 a 207, hasta el

título "Las coordenadas polares". 2. En "Final de obra", en la página 209, resuelva la actividad 4.

Si usted viene trabajando con el Libro 2, este no cuenta con lectura adicional del tema. Puede ampliar lo trabajado puede recurrir a otro libro. Si le fuera posible disponer del libro 1 (puede solicitar el mismo en las Bibliotecas de las Sedes) podría realizar la lectura del tema utilizando la Guía de lectura anterior. Lo invitamos a realizar los ejercicios de integración de la Unidad.

168

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Ejercicios de integración MATEMATICA

Ejercicio n.º 1 A continuación se representan 3 rectas (r, s y t ) paralelas entre sí y 2 rectas (u y v ) transversales.

A

r

E

s t

B C F

D

G

u v 1. Complete las siguientes proporciones: AB  AE  AD  ... = ; = ; ... BD  DC  GF  BD  = AB 

... ...

;

... EF  BC  AG  = ; = ; ... AD  ... AB  2. Además de las proporciones del ítem anterior, escriba alguna otra proporción posible entre los segmentos determinados en la representación dada.

Ejercicio n.º 2 Un carpintero de muebles finos necesita cortar un listón labrado en 5 partes iguales y no tiene con qué medir. De acuerdo a lo trabajado en la Parte C de la Actividad n°. 4 de esta Unidad, determine los cortes del listón para que el mismo quede dividido en 5 partes iguales.

Ejercicio n.º 3 Teniendo en cuenta lo trabajado en la Parte C de la Actividad n°. 4 de esta Unidad, ubique los números racionales 3 , 2 y 13 en la siguiente recta. Utilice las líneas en color co7 7 7 mo líneas auxiliares para responder lo pedido.

-1

0

1

2

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

169

Ejercicio n.º 4 A una determinada hora del día, la sombra que proyectan tres postes alineados terminan en el mismo punto del suelo. La distancia entre ese punto y cada uno de los postes (medida sobre el piso) es de 3 m, 6 m y 10 m respectivamente. El primer poste mide 0,8 m. Los postes están enterrados perpendicularmente al suelo (horizontal). a. Ubique los datos anteriores en el siguiente esquema:

sol

fin de sombras

1er poste

2do poste

3er poste

b. Calcule las alturas del segundo y tercer postes.

Ejercicio n.º 5 Halle gráficamente el punto D para que CD  verifique la proporción PA  = PC  AB  CD 

P A

C

B

Ejercicio n.º 6 Determine gráficamente el punto M, en el segmento AB, de manera que se cumpla que AM  2 = . Tenga en cuenta lo hecho en el Ejercicio n°. 2 de los Ejercicios de Integración AB  3 de esta Unidad.

A

170

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

B

Ejercicio n.º 7 Construya un polígono A´B´C´D´E´F´ semejante al polígono ABCDEF; de manera que A’B’  = 2. AB  C

D

B

E

A

F

Ejercicio n.º 8 Encuentre los valores de x en las siguientes proporciones: 1.

2. 2x - 3 = 8 3 x+3

3 = 2 7,2 x

8 3. 42 = 3,6 x-2

Ejercicio n.º 9 El patio de una escuela tiene forma de trapecio. Sobre los lados paralelos del trapecio se ubican las aulas; sobre uno de los lados no paralelos están la dirección, secretaría, sala de maestros y baños; el cuarto lado da a la calle. El patio está dividido por una línea en el suelo que es paralela a las líneas de las aulas. Esa línea separa la zona que pueden usar los niños de 1° a 3° grado de la que pueden usar los alumnos más grandes. A continuación le presentamos el esquema correspondiente: aulas

D

A

N

M B

aulas

C

El punto M está 12 metros más cerca de B que de A. El lado que da a la calle mide 80 metros y la distancia entre N y C es de 25 metros. ¿Cuál es la distancia desde M hasta A? ¿Y desde M hasta B?

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

171

Ejercicio n.º 10 1. Un plano de una casa está hecho con una escala de 1:250, es decir, una unidad del plano representa a 250 unidades de la casa. En ese plano, el comedor rectangular mide 3 cm de largo y 2,2 cm de ancho. ¿Cuáles son las dimensiones reales del comedor en metros? ¿Cuál es el área ocupada por el comedor? 2. La distancia entre Buenos Aires y Mendoza es de 1.000 km. En un mapa hecho con una escala de 1:10.000.000, ¿Cuántos cm separan la ubicación de ambas ciudades? 3. Para representar un insecto en un libro de biología se usa una escala de 20:1. ¿Cuánto mide una pata de ese insecto si en el dibujo del libro mide 3,6 cm?

Ejercicio n.º 11 1. Se quiere sostener un árbol debilitado por una tormenta. Para eso, se apoya un poste en el tronco del árbol a una altura de 2 m. Dicho poste se apoya en el suelo a 3 m de la base del tronco y se logra que el mismo quede perpendicular al suelo. a. Complete el siguiente diagrama con las longitudes dadas.

tronco

suelo b. Calcule la longitud del poste. 2. Para cargar y descargar un camión de transporte de automóviles se usa una rampa que mide 4 m de largo. Sobre el suelo (horizontal) la distancia que hay entre el punto de apoyo de la rampa y la proyección vertical del extremo del camión es de 3,9 m. a. Ubique las longitudes dadas en el siguiente diagrama.

camión

altura del camión

b. Calcule la altura del camión.

172

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

suelo

Ejercicio n.º 12 a. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática del Bloque 3. b. Lea los contenidos de la Unidad 4, y para cada uno de ellos identifique:

• ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado? • ¿En qué parte del libro (capítulo, situación y/o páginas) fue tratado? c. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem b.

Contenidos de la Unidad

Actividades de la Guía de estudio

Referencia del Libro

d. Relea los Propósitos de la Unidad 4.¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

• Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 5. • Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem c. de este ejercicio.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

173

174

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones acerca de los ejercicios de integración MATEMATICA

Recuerde que estas orientaciones le permiten verificar su trabajo con los ejercicios de integración. No dude en volver a releer la Guía y el texto si cometió errores o si no recordó algún concepto o procedimiento de resolución. Recuerde que puede asistir a las consultorías para resolver dudas y compartir su trabajo con otros compañeros. Ejercicio n.º 1 1. Las proporciones completas son:

AB  AE  AD  AG  BD  EG  = ; = ; = ; BD  EG  DC  GF  AB  AE 

EF  BC  AG  AD  = ; = . AG  AD  AE  AB 

2. Otra posible proporción es:

AF  AC  = EG  BD 

Ejercicio n.º 2 Teniendo en cuenta lo trabajado en la Parte C, Actividad nº. 4, "Postes para construir un quincho", trazamos el segmento AB que representa al listón labrado. Para dividirlo en 5 partes iguales sin usar instrumentos de medición, recurrimos al Teorema de Thales como se hizo para ubicar los postes de la compañía Telecable. Comenzamos trazando una recta r que pasa por A. Sobre la recta r , marcamos 5 segmentos iguales usando una medida cualquiera y determinamos los puntos P, Q, R, S y T. Trazamos la recta que pasa por T y B y las rectas paralelas a ellas que pasan por P, Q, R y S. Así quedan determinados 5 segmentos iguales sobre el AB (el listón). El siguiente gráfico muestra lo descripto:

r

T S R Q P A

P'

Q'

R'

S'

B

Ejercicio n.º 3 Para ubicar los números racionales sobre la recta usamos las rectas auxiliares dadas. En cada recta auxiliar determinamos 7 segmentos iguales usando una unidad cualquiera (por ejemplo: 0,3 cm). Aplicamos el Teorema de Thales como en el Ejercicio anterior y en la Parte C de la Actividad nº. 4 para dividir en 7 partes iguales cada unidad de la recta sobre la que hay que representar los números. Teniendo en cuenta que 3 está entre 0 y 1, que - 2 está 7 7 entre -1 y 0 y que 13 está entre 1 y 2, resulta el siguiente gráfico: 7 -2 7

-1

0

3 7

1

13 7

2

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

175

Ejercicio n.º 4 Ubicamos los datos en el gráfico abajo:

• Los triángulos ABC y ADE son semejantes por corresponderse a través de una homotecia de centro A y razón 2, ya que AD  = 2. Por lo tanto, el lado ED y su homólogo BC veriAB  fican que ED  = 2. Así resulta que ED = 2 . BC = 2 . 0,8m = 1,6m. Entonces, el 2° BC  poste mide 1,6 m. sol

G E C 0,8 m

A

B

D

F

3m 6m 10 m

• De manera similar, para los triángulos ABC y AFG, podemos plantear que AF  = 10

3 AB  GF  10 10 10 . BC = . 0,8 m = 2,66 m. Entonces, y también = . Por lo tanto, GF  = 3 3 3 BC  el tercer poste mide 2,66 m.

Ejercicio n.º 5 Teniendo en cuenta el Teorema de Thales, para que se cumpla la proporción dada, los segmentos PA y AB deben estar determinados entre las mismas rectas paralelas que determinan los segmentos PC y CD. Por lo tanto, trazamos la recta r que pasa por A y C. Luego, por B trazamos una recta paralela a r. Así determinamos el punto D pedido.

P A

C

r B

D

Ejercicio n.º 6 AM  = 2 resulta que AM = 2 . AB . Es decir que el punto M es el que divide a 3 3 AB  AB en sus dos terceras partes. Para determinar M gráficamente, procedemos como hicimos

Si

176

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

en los Ejercicios nº. 2 y 3 de integración. Por A trazamos una recta r en la que determinamos 3 segmentos iguales usando una unidad cualquiera (por ejemplo 1,5 cm). Trazamos una recta entre C y B, y después trazamos rectas paralelas a ella por los otros puntos. Así dividimos al AB en 3 partes iguales, lo que nos permite determinar el punto M pedido como se muestra en el gráfico de la derecha.

r C

A

M

B

Ejercicio n.º 7 A partir de lo trabajado en la Actividad nº. 3: "Un recurso para diseñar los moldes" las figuras que se corresponden en una homotecia son semejantes entre sí. Por lo tanto, si al polígono ABCDEF le aplicamos una homotecia de razón 2, obtendremos el polígono A'B'C'D'E'F' pedido. El centro de homotecia puede ser un punto cualquiera del plano; en el gráfico de abajo elegimos el punto A. C'

D'

B'

E' C

B

A

D E

F

F'

Ejercicio n.º 8 Para encontrar el valor de x en una proporción se puede usar la "equivalencia importante" dada en la Actividad nº. 4: “Postes para construir un quincho” y luego se resuelve la ecuación que queda planteada. 3 = 2 → 3 . 7,2 = 2x → 3.7,2 = x → 10,8 = x 2 x 7,2 2 x 3 2. = 8 → (2 . x - 3). 3 = 8 . (x + 3) → 6 . x - 9 = 8 . x + 24 → 6 . x - 8 . x = 24 + 9 → x+3 3 → -2 . x = 33 → x = 33 : (-2) → x = -16,5.

1.

8 → 4,2 . (x -2) = 8 . 3,6 → 4,2 . x - 8,4 = 28,8 → 4,2 . x = 37,2 → x = 37,2 : 4,2 3. 4,2 = 3,6 x - 2 → x ≅ 8,8571 Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

177

Ejercicio n.º 9 Si tenemos en cuenta lo dicho en el enunciado, en este caso, hay 3 rectas paralelas entre sí (las que tienen a las aulas y la que divide el patio). Por lo tanto se puede aplicar el Teorema de Thales. Ubicamos los datos en el gráfico: aulas

A

D

x x -12

N

M B

aulas

25 cm

C

Observe que si la distancia entre A y M la representamos con x, la distancia entre M y B (12 metros menos) es x - 12. Entonces planteamos una proporción que nos permita usar los datos. ND  AM  80 - 25 x . Podría ser: = . Si reemplazamos por los datos, resulta: = 25 x -12 NC  MB  55 x Resolvemos esta proporción: = 25 x -12 Usamos la propiedad dada como "una equivalencia importante" en la Actividad nº. 4: “Postes para construir un quincho” y resulta: 55 . (x - 12) = 25. x 55 . x - 660 = 25 . x 55. x - 25 . x = 660 30. x = 660 x = 660 : 30 = 22

Distribuimos:

(No olvide los paréntesis) y resolvemos la ecuación

Resulta entonces, que desde M hasta A hay 22 metros, y desde M hasta B hay 10 metros.

Ejercicio n.º 10 1. La escala del plano es de 1:250, por lo tanto 1 cm del plano representa 250 cm de la casa. Entonces el largo real del comedor es de 3 . 250 = 750 cm y el ancho es de 2,2 . 250 = 550 cm. Si pasamos estas medidas a metros resulta que el comedor mide 7,5 m de largo y 5,5 m de ancho. Área del comedor = 7,5m . 5,5m = 41,25 m2. 2. La escala de 1 : 10.000.000 significa que 1 cm del plano representa 10.000.000 cm (o 100 km) de la realidad. Si entre Buenos Aires y Mendoza hay 1.000 km, en el mapa, esa distancia está representada por 10 cm. 3. La escala de 20 : 1 expresa que 20 cm del dibujo representan 1 cm del insecto. Por lo tanto, la pata del insecto mide 3,6 : 20 = 0,18 cm ó 1,8 mm.

178

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Ejercicio n.º 11 1. a. El diagrama con los datos es el de abajo:

2m

tronco •

suelo 3m b. Se observa que el triángulo formado por el tronco, el suelo y el poste es rectángulo. De dicho triángulo se saben las medidas de sus catetos y se debe averiguar cuánto mide la hipotenusa (el poste). Para eso, aplicamos el Teorema de Pitágoras y resulta: x 2 = 32 + 22 donde x es la medida del poste. Calculamos: x 2 = 9 + 4 → x 2 = 13 → x = √13 ≅ 3,61. El poste mide 3,61 m (aproximadamente). 2. a. Abajo, se muestra el diagrama con los datos:

camión

3,9 m

suelo

b. El triángulo formado por la rampa, el suelo y la altura del camión es rectángulo. Los datos son la hipotenusa y uno de los catetos de dicho triángulo. Si aplicamos el Teorema de Pitágoras, queda: 42 = h 2 + 3,9 2 donde h expresa la altura del camión. Despejamos h y resulta: 42 - 3,9 2 = h 2 →16 - 15,21 = h 2 → 0,79 = h 2 → √0,79 = h. Luego, la altura del camión es de 0,89 m (aproximadamente).

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 4

179

180

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

5

Trigonometría En esta unidad retomaremos la idea de semejanza de triángulos para introducir el concepto de razones trigonométricas de un ángulo en un triángulo rectángulo. Usaremos esas razones para calcular las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo.

Propósitos de la Unidad En relación con los contenidos de esta unidad le proponemos que:

UNIDAD 5

UNIDAD

• Reconozca las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. • Utilice dichas razones para calcular las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo. • Resuelva situaciones concretas utilizando razones trigonométricas. ACTIVIDAD N°. 1: "RAMPAS DE ACCESO" Una empresa fue contratada para colocar rampas de acceso a varios edificios. Las entradas de dichos edificios están a diferentes alturas respecto del nivel de la vereda. Por contrato, el ángulo que forma la rampa con respecto a la vereda (horizontal) es de 20°. Lo descripto puede esquematizarse de la siguiente manera: C altura de la entrada 20º

A

B

A continuación se representan varias posibles rampas de acceso con sus respectivas medidas, construidas de acuerdo a las condiciones dadas: C2 C1 40 cm

30 cm A1

20º

82,42 cm

B1

A2

20º

109,9 cm

B2

C3 20 cm A3

20º

54,95 cm

B3 Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

181

Parte A 1. a. Los triángulos se clasifican según sus ángulos en: acutángulos, rectángulos y obtusángulos. Teniendo en cuenta esta clasificación, ¿Qué tipo de triángulos son los representados atrás? b. ¿Cómo resultan ser entre sí los lados y los ángulos correspondientes de los tres triángulos representados? c. En consecuencia, ¿cómo son entre sí los triángulos A1B1C1, A2B2C2 y A3B3C3? d. Teniendo en cuenta sus respuestas a los itemes b. y c., ¿como será cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de 20°, respecto de los anteriores? e. Los triángulos A4B4C4, A5B5C5 y A6B6C6 representan otras posibles rampas con las condiciones dadas: C4 A4

C5

20º

B4

20º

A5

B5 C6

A6

20º

B6

Teniendo en cuenta lo respondido en el ítem d. complete las siguientes proporciones entre las alturas de entrada a los edificios y las longitudes de rampa: I.

B4C4  A4C4 

=

B5C5 

II.

B4C4 

...

=

B6C6 

...

III.

...

B5C5 

...

=

... A6C6 

2. Se calculó que en un edificio cuya entrada tiene 10 cm de altura, la rampa de acceso mide 29,24 cm aproximadamente. En otro edificio se sabe que la altura de la entrada es de 15 cm, ¿cuál será la medida de la rampa? Responda teniendo en cuenta las proporciones planteadas en el ítem e. 3. El encargado de la empresa quiere tabular posibles alturas de entradas de edificios y las medidas de sus respectivas rampas. Suponga que usted es empleado de esta empresa y le solicitan el trabajo. Complete la siguiente tabla: Altura de la entrada del edificio (en cm)

10

15

Medida de la rampa (en cm)

29,24

43,85

22

25

35

4. ¿Cuánto vale en cada caso el cociente entre la altura de la entrada al edificio y el largo de la rampa? Realice el cálculo utilizando 2 decimales. 182

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones Los triángulos que representan a las rampas de acceso a los edificios son triángulos rectángulos. En ellos, la altura de la entrada al edificio es uno de sus catetos y la rampa es la hipotenusa. Al cateto que representa la altura de la entrada al edificio lo llamaremos cateto opuesto al ángulo de 20°. Parte B a. En los triángulos dados, ¿cuánto valen los cocientes o razones: medida del cateto opuesto al ángulo de 20° ? medida de la hipotenusa b. Si consideramos otros triángulos semejantes a los dados, ¿cuánto valen los cocientes o razones: medida del cateto opuesto al ángulo de 20° ? medida de la hipotenusa Orientaciones Todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de 20° son semejantes. Por lo tanto, los cocientes o razones entre la medida del cateto opuesto al ángulo de 20° y la medida de la hipotenusa valen lo mismo para cualquiera de esos triángulos. Es decir que: medida del cateto opuesto al ángulo de 20° = valor constante = 0,34 medida de la hipotenusa Esa constante es una razón trigonométrica que recibe el nombre de seno de 20°. Simbólicamente lo escribimos sen 20°. O sea que: sen 20° = medida del cateto opuesto al ángulo de 20° = 0,34 medida de la hipotenusa Se puede averiguar el valor sen 20° con la calculadora científica utilizando la tecla SIN. En este Bloque trabajaremos con ángulos medidos en grados sexagesimales, por eso, debe usar su calculadora en MODE DEG (verifique que en la pantalla aparezca una letra D o la abreviatura DEG). Parte C Verifique, utilizando su calculadora, que los cocientes que calculó en la Parte B coinciden con el valor sen 20° (aproximadamente).

Parte D 1. Teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos dados complete las siguientes proporciones: a.

A4B4  A4C4 

=

A5B5 

...

b.

A4B4 

...

=

A6B6  A6C6 

c.

... A5C5 

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

=

A6B6  A6C6 

183

2. El encargado de la empresa quiere confeccionar una nueva tabla con los valores de x e y , siendo x la distancia entre el punto de apoyo de la rampa en la vereda y la base del escalón; e y el largo de la rampa. En el esquema de la derecha se indican los lados del triángulo designados como x e y.

y 20º

x

Complete la tabla:

x

80

y

85,13

60

90

Orientación El lado del triángulo rectángulo que representa la distancia entre el punto de apoyo de la rampa en la vereda y la base del escalón, por su ubicación respecto del ángulo de 20°, se llama cateto adyacente al ángulo de 20°. Parte E Calcule los cocientes o razones: medida del cateto adyacente al ángulo de 20° medida de la hipotenusa

Orientación Por ser todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de 20° semejantes entre sí, los cocientes o razones: medida del cateto adyacente al ángulo de 20° medida de la hipotenusa valen lo mismo. Su valor aproximado es de 0,94. Esta constante es otra razón trigonométrica que recibe el nombre de coseno del ángulo de 20°. Simbólicamente cos 20°. Resulta entonces que: cos 20° =

medida del cateto adyacente al ángulo de 20°

= 0,94

medida de la hipotenusa También puede calcular este valor con la calculadora científica, usando la tecla COS.

Parte F Verifique usando su calculadora que los cocientes calculados en la Parte E. coinciden todos con cos 20°. 184

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

100

ACTIVIDAD N°. 2: “RAMPAS PARA CARGA Y DESCARGA” Otra empresa es contratada para fabricar rampas de carga y descarga de camiones de transporte de mercaderías. El ángulo que debe formar cada rampa con el piso (horizontal) es de 30°. El gerente de producción de la empresa quiere prever los largos de las rampas de acuerdo con las distintas alturas de los camiones.

Parte A 1. Ubique, en el siguiente esquema, el lado del triángulo que representa a la altura del camión, el que representa a la rampa y el que representa al piso. Indique también el ángulo de 30°.

camión

2. Teniendo en cuenta las razones trigonométricas del ángulo de 30°, ¿cuánto vale el cociente entre la altura del camión (cateto opuesto al ángulo de 30°) y el largo de la rampa (hipotenusa)? Escriba dicho cociente. 3. Se sabe que la altura de un camión es de 0,6 m. Utilice el cociente que planteó en el ítem 2. para calcular el largo de la rampa que debe prever el gerente.

Orientaciones Si se tiene en cuenta que sen 30° = altura del camión y llamamos x al largo largo de rampa de la rampa, podemos escribir sen 30° = 0,6 m , y como sen 30° = 0,5

x

resulta 0,5 = 0,6 m

x

De allí despejamos el valor de x: 0,5 . x = 0,6

x = 0,6 : 0,5 = 1,2 m

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

185

Parte B En el depósito de la empresa quedó una rampa que mide 2 m de largo. 1. El gerente quiere averiguar cuál debería ser la altura del camión para el que podría servirle la rampa disponible. a. ¿Qué igualdad puede plantear que le permita averiguarlo? b. Calcule la altura de ese camión. 2. ¿A qué distancia del camión apoya la rampa sobre el piso? Plantee la igualdad que le permite calcularlo. Orientaciones Se puede averiguar cuál es la altura del camión a partir de la ecuación: sen 30° =

x

2m 0,5 . 2 m = 1 m.

, siendo x la altura del camión. Así: x = sen 30° . 2 m =

z , siendo z la distancia desde el 2m camión hasta el punto de apoyo de la rampa sobre la calle, se puede

A partir de la ecuación cos 30° =

averiguar dicha distancia. Así z = cos 30° . 2m = 0,86 . 2m = 1,72 m. Observamos entonces que, el sen 30° permite hallar la medida de la hipotenusa del triángulo si se conoce la medida del cateto opuesto al ángulo de 30°. Y que también permite hallar la medida del cateto opuesto al ángulo de 30° si se sabe cuánto mide la hipotenusa. Por otro lado, el cos 30°, permite hallar la medida de la hipotenusa del triángulo si se conoce la medida del cateto adyacente al ángulo de 30°. También permite hallar la medida del cateto adyacente al ángulo de 30° si se conoce cuánto mide la hipotenusa.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO. En las actividades anteriores hemos trabajado con razones (o cocientes) trigonométricas que se dan en triángulos rectángulos. Las hemos llamado seno y coseno de un ángulo. En el esquema que sigue le mostramos un triángulo rectángulo ABC cualquiera, en el que destacamos un ángulo α (no recto) y los nombres de los catetos del triángulo en relación con ese ángulo.

186

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

C cateto opuesto ^ aα

^ α A

cateto adyacente α a^

B

Por ejemplo, los triángulos ABC y A1B1C1 son semejantes. Todos los triángulos rectángulos que tienen un ángulo de medida α^ son semejantes. C C1

^ α A

B

A1

^ α

B1

Por lo tanto, se puede afirmar que la razón (o cociente) entre la medida del cateto opuesto al ángulo α y la medida de la hipotenusa, es una constante. A ^. dicha constante la llamamos seno del ángulo α, y la simbolizamos sen α Entonces definimos: ^ sen α = medida del cateto opuesto a α^ medida de la hipotenusa También es constante la razón (o cociente) entre la medida del cateto adyacente al ángulo α y la medida de la hipotenusa. A dicha constante la llamamos coseno del ángulo α y la simbolizamos cos α. Definimos: ^ ^ cos α = medida del cateto adyacente a α medida de la hipotenusa ^ y cos α, ^ para los distintos ángulos α posibles, se pueden Los valores sen α determinar con la calculadora científica. ^ y cos α, ^ se puede definir otra razón De manera similar a lo visto para sen α ^ trigonométrica llamada tangente de α, que podrá estudiar en el libro a partir de las indicaciones de lectura que presentaremos como parte de esta Unidad.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

187

Parte C Quedó otra rampa en el depósito. Mide 2,5 metros de largo. La compra el dueño de un camión que mide 0,9 metros de altura. Por razones de seguridad, hay una reglamentación para el uso de estas rampas que estipula que el ángulo que forma la rampa con el suelo no puede ser mayor a 31°. Se quiere averiguar si se puede usar esta rampa sin cometer una infracción a la reglamentación. Es decir, se quiere averiguar cuánto mide el ángulo que forma la rampa con el suelo. 1. Ubique los datos y la incógnita en un esquema como el siguiente:

camión

suelo 2. Respecto del ángulo α que se quiere averiguar, ¿qué lugar ocupan los lados del triángulo que son datos? 3. ¿Con qué razón trigonométrica podría vincular los datos con la incógnita? Plantee la igualdad que le permita averiguar el valor de dicha incógnita. 4. Determine, en forma aproximada, la medida del ángulo α utilizando su calculadora. Tenga en cuenta los valores sen 20° y sen 30° calculados anteriormente.

Orientaciones Del triángulo rectángulo formado por la altura del camión, la rampa y el suelo, se tienen las medidas del cateto opuesto al ángulo α y de la hipotenusa. Se puede plantear entonces la siguiente igualdad: 0,9 = 0,36 α= sen ^ 2,5 Teniendo en cuenta que sen 21° = 0,358 y sen 22° = 0,374, puede estimarse ^ mide algo más de 21°. Podemos calcular cuánto mide α ^ en forma que α exacta usando la calculadora científica (en MODE DEG). Observe en su calculadora que sobre la tecla SIN aparece sin-1, que es la operación que permite hallar la medida del ángulo si se sabe el valor del seno del mismo. Para utilizar la tecla sin -1 debe apretar la tecla SHIFT o INV. Realizando ^ = 21,1° = 21° 6'. dicho cálculo resulta α También si se sabe el valor del coseno de un ángulo o de la tangente de un ángulo, se puede averiguar la medida de ese ángulo usando cos-1 o tan-1 en su calculadora. 188

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Busque el libro y señale de algún modo lo que le indicamos para leer. Libro 1 En el capítulo 10: • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 202 a 204. • Lea y resuelva las actividades propuestas en la página 207, bajo el título "Las coordenadas polares". • En Final de obra de la página 211, resuelva las actividades 16, 17, 18, 20 y 21. Libro 2 En el capítulo 6: • Lea y resuelva las actividades propuestas en la Situación 3, páginas 149 y 150. • Resuelva P.18 y P.19 en la página 151. • Resuelva P.20, P.21 y P.22 en la página 152.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

189

Ejercicios de integración MATEMATICA Ejercicio n.º 1 ^ Dado el triángulo rectángulo MNP, determine los valores de: sen α sen ^ β 15

N

^ cos α cos ^ β

^ tg α tg ^ β

P ^ α

8 ^ β M Ejercicio n.º 2 Como vimos en la Actividad n°. 2, si en un triángulo rectángulo se tiene como dato la medi^ con la calculadora científica. Si da de un ángulo α, se puede averiguar el valor de sen α ^ además se conoce la medida del cateto opuesto a α, se puede averiguar la medida de la hipotenusa. Por lo tanto si se tienen como datos el ángulo α y la medida del cateto opuesto α , y se quiere averiguar la medida de la hipotenusa, se debe usar la razón trigonométria^ α. El siguiente cuadro tiene 3 columnas. En la primera se indican los datos de un ca sen ^ problema, en la segunda la incógnita del mismo, y en la tercera, la razón trigonométrica a usar para resolver el problema. Le pedimos que lo complete, (le damos la primera fila a modo de ejemplo). Datos

Incógnita

Razón trigonométrica

^ ^ α, cateto opuesto a α

hipotenusa

sen ^ α

^ ^ α, cateto opuesto a α

^ cateto adyacente a α hipotenusa

cos ^ α

^ α

tg ^ α

^, cateto adyacente a α ^ α ^, hipotenusa α

tg ^ α cateto opuesto a ^ α

^, hipotenusa α cateto adyacente a ^ α, hipotenusa

190

cos ^ α ^ α

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Ejercicio n.º 3 1. Usando únicamente razones trigonométricas, calcule las medidas de los lados de los siguientes triángulos rectángulos: a.

b.

C

E

F

^ β

^ α

B

A

D

^ α  = 25°

^ β = 72°

AC  = 18 cm

EF = 25 cm

2. Calcule las medidas de los ángulos de los siguientes triángulos rectángulos: a.

b. B

B ^ β

A

^ β ^ α C ^ α

C

A AC  = 12 cm

BC  = 3 cm

BC  = 16 cm

AB  = 4 cm

Ejercicio n.º 4 B

Datos:

C

ABCD trapecio rectángulo AD // BC

28º

A

E

D

CE ⊥ AD ^ ACD = 90° Calcule el perímetro del trapecio ABCD.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

191

Ejercicio n.º 5 1. Un poste de 25 m de altura está sujeto al piso por un cable de 40 m de largo. ¿Cuál es el ángulo de inclinación del cable? 2. La rampa de acceso de un nivel a otro de un estacionamiento tiene un ángulo de elevación de 25°. Calcule la medida de la rampa sabiendo que entre un nivel y otro del estacionamiento hay 4,5 m de altura.

Ejercicio n.º 6 a. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática del Bloque 3. b. Lea los contenidos de la Unidad 5, y para cada uno de ellos identifique:

• ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado? • ¿En qué parte del libro (capítulo, situación y/o páginas) fue tratado? c. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem b.

Contenidos de la Unidad

Actividades de la Guía de estudio

Referencia del Libro

d. Relea los Propósitos de la Unidad 5.¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

• Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem c. de este ejercicio.

192

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Orientaciones acerca de los ejercicios de integración MATEMATICA

Recuerde que estas orientaciones le permiten verificar su trabajo con los ejercicios de integración. No dude en volver a releer la Guía y el texto si cometió errores o si no recordó algún concepto o procedimiento de resolución. Recuerde que puede asistir a las consultorías para resolver dudas y compartir su trabajo con otros compañeros. Ejercicio n.º 1 Para determinar los valores pedidos calculamos las razones (o cocientes) correspondientes: α= sen ^

^= cos α α= tg ^

MN 

= 8 = 0,47 17 MP  NP 

= 15 = 0,88 17 MP  MN 

= 8 = 0,53 15 NP 

sen ^ β= cos ^ β=

NP  MP  MN  MP 

= 15 = 0,88 17 = 8 = 0,47 17

^ = NP  = 15 = 1,87 tg β 8 MN 

Ejercicio n.º 2 La tabla completa es: Datos

Incógnita

Razón trigonométrica

^ ^ α, cateto opuesto a α

hipotenusa

sen ^ α

^ ^ α, cateto opuesto a α

^ cateto adyacente a α

tg ^ α

^, cateto adyacente a α ^ α

hipotenusa

cos ^ α

^, cateto opuesto a α ^ cateto adyacente a α

^ α

tg ^ α

^, cateto adyacente a α ^ α

α cateto opuesto a ^

tg ^ α

^, hipotenusa α

cateto opuesto a ^ α

sen ^ α

^, hipotenusa α

cateto adyacente a ^ α

cos ^ α

^, cateto adyacente a α hipotenusa

^ α

α cos ^

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

193

Ejercicio n.º 3 1. a. Queremos calcular las medidas de los lados del triángulo utilizando razones ^ trigonométricas, y tenemos como datos la medida de α y la medida de la hipotenusa. α podemos averiguar la medida de CB y utilizando el cos ^ α podeUtilizando el sen ^ mos calcular la medida de AB : CB  AB  sen 25° = cos 25° = 18 cm 18 cm 0,42 . 18 cm = CB 

0,91 . 18 cm = AB 

7,56 cm = CB 

16,38 cm = AB 

b. Pensando del mismo modo que en a., en este caso tenemos como dato la medida del ^ ^ ángulo β y la medida del cateto opuesto a β. Podemos determinar la medida de ED ^ ^: utilizando la tg β y la medida de DF utilizando sen β tg 72° =

25 cm ED 

sen 72° =

25 cm DF 

tg 72° . ED  = 25 cm

sen 72° . DF = 25 cm

ED  = 25 cm = 25 cm = 8,124 cm tg 72º 3,077

DF = 25 cm = 25 cm = 26,28 cm sen 72º 0,951

2. a. Para calcular los ángulos necesitamos vincular los lados dados como datos a través de una razón trigonométrica. El lado AC es adyacente al ángulo α y el lado BC es la hipotenusa del triángulo. Por lo tanto, podemos calcular la medida de α utilizando el cos α. A su vez, como el lado AC es opuesto al ángulo β, podemos calcular su valor usando la razón sen β. ^ = AC  = = 0,75 cos α BC  12 cm ^ = 0,75 16 cm cos α Con la calculadora científica, usando la tecla sen -1 con SHIFT o INV, calculamos ^ α = 41,41° = 41° 24' 35". ^ = AC  = 12 = 0,75 sen β 16 BC  ^ ^ sen β = 0,75. Por lo tanto, β = 48,59° = 48° 35' 25". b. En este caso, el lado AB es cateto opuesto al ángulo α y el lado BC es adyacente a α usando tangente de ^ α. Así: dicho ángulo. Por lo tanto, calculamos la medida de ^  AB  α= = 4 cm = 1,3. tg ^ 3 cm BC  ^ = 53,13º = 53º 7´ 48”. Con la calculadora científica, usando la tecla tan -1, calculamos α Con respecto al ángulo β, el lado BC es cateto opuesto y el lado AB es cateto adyacente. β= Por eso tg ^

BC 

= 3 cm = 0,75. 4 cm AB  ^ Con la calculadora, hallamos β = 36,87º = 36º 52´ 12”.

194

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Ejercicio n.º 4 Para hallar el perímetro del trapecio ABCD debemos averiguar cuál es la medida de cada uno de sus lados. El triángulo ACD es rectángulo, por lo tanto podemos calcular las medidas de los lados CD y AD utilizando razones trigonométricas del ángulo de 28°. El lado AC es adyacente al ángulo de 28° y el lado CD es opuesto a este ángulo, por lo tanto podemos calcular la medida de CD usando la tg 28°. Por otra parte, el lado AD es la hipotenusa del triángulo. Podemos calcular la medida de AD usando el cos 28°. tg 28° =

CD  AC 

=

CD 

30 m

tg 28° . 30 m = CD  0,531 . 30 m = CD  15,93 m = CD 

cos 28° =

AC  AD 

=

30 m AD 

cos 28° . AD = 30 m 30 m AD = cos 28º AD = 30 m 0,882 AD = 34,01 m

Las medidas de los lados AB y BC del trapecio coinciden con las medidas de los segmentos CE y AE. Como CE es perpendicular a AD, el triángulo ACE también es rectángulo. Podemos usar razones trigonométricas para calcular las medidas de los lados CE y AE. El lado AC, que es dato, es la hipotenusa de este triángulo. El lado CE es opuesto al ángulo de 28° y el lado AE es adyacente a este ángulo. Podemos, entonces, usar el sen 28° para calcular la medida de CE y cos 28° para calcular la medida de AE. CE  AE  sen 28° = cos 28° = 30 m 30 m sen 28° . 30 m = CE 

cos 28° . 30 m = AE 

0,469 . 30 m = CE 

0,882 . 30 m = AE 

14,07 m = CE 

26,46 m = AE 

El lado BC del trapecio tiene la misma medida que el lado AE, por lo que: BC = 26,46 m El lado AB del trapecio tiene la misma medida que el lado CE, por lo que: AB = 14,07 m El perímetro entonces resulta: AB + BC + CD  + AD = 14,07 m + 26,46 m + 15,93 m + 34,01 m = 90,47 m

P = 90,47 m

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 5

195

Ejercicio n.º 5 ^ es el ángulo de incli1. Podemos esquematizar lo enunciado de la siguiente forma donde α nación del cable B

poste

^ α

C

A

El triángulo ABC es rectángulo. El lado AB, que representa al poste, es opuesto al ánguα; el lado BC, que representa al cable, es la hipotenusa del triángulo. Podemos utilizar lo ^ α para calcular el valor del ángulo: sen ^ ^ = AB  = 25 cm = 0,625 sen α 40 cm BC  ^ = 38,68° = 38° 40' 55'' α 2. Podemos esquematizar lo enunciado del siguiente modo: B

4,5 m 25º C

A

Podemos vincular los datos con la incógnita a través de la razón trigonométrica sen 25°: sen 25° =

4,5 m AB 

sen 25° .  AB  = 4,5 m 4,5 m 4,5 m  AB  = sen 25º = 0,422

196

= 10,66 m

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Actividades de autoevaluación MATEMATICA

Actividad n.º 1

Una fábrica de juguetes produce, entre otros, juegos de piezas para encastrar entre sí. En el siguiente gráfico se muestra la forma de una de las piezas de uno de esos juegos de encastres para niños. Para poder armar el juego, se quiere que esa pieza cumpla los siguientes requisitos:

• El lado AB mida 0,2 cm menos que el A

B

doble de lo que mida AG.

• El perímetro del rectángulo ABEG sea de 5 cm.

G

C

D

H

^ α

E

F

• El triángulo BDC sea rectángulo en D. • El lado BC mida 1,7 cm y el lado DC mida 1,5 cm. HE  • = 3 2 HG 

• En el triángulo GEF, el ángulo α mida 25° y HF sea la altura correspondiente al lado GE.

1. Halle las dimensiones (medidas de los lados) de la pieza. 2. Calcule el perímetro de la pieza. 3. Se desea pintar las piezas en ambas caras con una pintura de la que se usan un mililitro (1 ml) por cada 2 cm2. ¿Cuántas latas de pintura de un litro se necesitan para pintar 1000 de estas piezas? 4. Escriba una función f que permita calcular la cantidad y (en ml) de pintura que hacen falta para pintar una superficie x (en cm2) de estas piezas. Para otro juego se usan piezas semejantes a las anteriores pero en las que el lado B'C' correspondiente al lado BC mide 5,1 cm. 5. Escriba la fórmula de una función que permite calcular la medida y de los lados de la nueva pieza a partir de la medida x de los lados de las piezas anteriores. 6. ¿Cuánta pintura se necesita para pintar 1000 de estas piezas en ambas caras?

Actividad n.º 2 Una chacra tiene la misma forma que las piezas descriptas anteriormente, es decir, es semejante a dichas piezas. En esa chacra, el lado que hemos llamado CD mide 150 metros. 1. ¿Cuántos metros de alambrado se necesitan para cercar la chacra? Se quiere destinar la sexta parte de esa chacra a la siembra de cereales, las 2/5 partes a pasturas, la octava parte a árboles frutales y el resto estará ocupado por la vivienda. Matemática • Bloque 3 • AUTOEVALUACIÓN

197

2. ¿Cuál es el área que se destinará a cada tipo de uso? 3. Dibuje un plano de la chacra usando una escala de 1 : 2000. Una de las zonas destinadas a cereales es una parte del triángulo BDC limitada por los puntos C, M (en el lado BC) y N (en el lado DC). La recta que une a M con N es paralela a la recta que une los puntos B y D. Se cumple que M está 16 metros más cerca del punto C que del punto B. En este sector se sembrará trigo. 4. ¿Cuál es el área del sector que se destinará a sembrar trigo?

198

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

Respuestas a las actividades de autoevaluación MATEMATICA

Actividad n.º 1

1. Hallaremos las medidas de los lados de la pieza. Sobre el rectángulo ABEG se tiene una relación entre la medida del lado AB (que llamaremos x) y la medida del lado AG (que llamaremos y). La podemos traducir usando la ecuación x = 2y - 0,2. Además se sabe que el perímetro del rectángulo debe ser de 5 cm. Por lo tanto, planteamos la ecuación 2x + 2y = 5. Con las dos ecuaciones anteriores formamos un sistema:

x = 2y - 0,2 2x + 2y = 5 La solución de este sistema de ecuaciones resulta x = 1,6; y = 0,9. Por lo tanto, el lado AB de la pieza mide 1,6 cm y el lado AG mide 0,9 cm. Las medidas de los lados BC y CD son datos. Para hallar la medida de DE, calculamos la medida de BD. Teniendo en cuenta que el ángulo D del triángulo BDC es recto, aplicamos el teorema de Pitágoras. Así: BC 2 = BD 2 + DC 2 → BD = √1,72 - 1,52 = 0,8 cm. En el rectángulo ABEG, el lado AG mide lo mismo que el lado BE (0,9 cm). Por lo tanto, el lado DE de la pieza mide 0,1 cm. Teniendo en cuenta que HG  + HE = GE  y que GE = 1,6 cm (ya que el lado GE mide lo mismo que el lado AB), resulta HE = 1,6 - HG . Si reemplazamos esta expresión en la proporción

HE 

1,6 - HE  = 3 , resulta = 1,5 → 1,6 - HG = 1,5 . HG  2 HG  HG 

→ 1,6 = 2,5 . HG  → HG = 0, 64 cm y HE = 1,5 . 0,64 = 0,96 cm.

Para hallar la medida del lado FE de la pieza, usamos el triángulo EHF en el que el ángulo H es recto por ser HF la altura correspondiente al lado GE. Usando razones trigonométricas, podemos hallar las medidas del lado EF y de la altura HF. ^ = HE  , resulta FE = 0,96 = 1,06. El lado FE de la pieza miA partir de cos α cos 25º FE  de 1,06 cm. ^ = HE  ,resulta HF = 0,96 . tg 25º = 0,45 cm. (También podría obteA partir de tg α FE  nerse la medida de la altura HF utilizando el teorema de Pitágoras). Si consideramos el triángulo GHF en el que el ángulo H es recto podemos usar el teorema de Pitágoras para hallar la medida del lado GF. Así: GF  = √ GH 2 + HF 2. Por lo tanto, el lado GF de la pieza mide 0,78 cm. 2. El perímetro de la pieza es, p = AB  + BC  + CD  + DE  + EF  + FG  + GA . Resulta de 7,64 cm. 3. Se necesita averiguar el área de una cara de la pieza. Para eso se la puede dividir en 3 partes: el rectángulo ABEG, y los triángulos BDC y GEF. Área del rectángulo ABEG = AB  . AG = 1,44 cm2.

Matemática • Bloque 3 • AUTOEVALUACIÓN

199

Área del triángulo BDC = DC . BD  = 0,6 cm2. 2  GE  . HF  = 0,36 cm2. Área del triángulo GEF = 2 Por lo tanto, cada cara de la pieza tiene una superficie de 2,4 cm2. Las dos caras de cada pieza miden 4,8 cm2. La superficie a pintar en 1000 piezas es de 4800 cm2. Si se usa 1 ml de pintura cada 2 cm2, para pintar 4800 cm2, se necesitarán 2400 ml. Como en un litro hay 1000 ml, se necesitan 2,4 litros de pintura. Por lo tanto se necesitarán 3 latas de pintura. 4. Tenemos en cuenta que las posibles superficies x a pintar son números reales mayores que cero (el dominio de la función es R > 0 ), que como conjunto de llegada se puede elegir al conjunto de números reales R (ya que en él estarán todas las imágenes o posibles cantidades y de pintura) y que la fórmula que permite calcular y a partir de x es y = 1 . x . Entonces la función pedida puede ser: f : R > 0 → R / y = f (x) = 1 . x . 2 2 5. Si en estas nuevas piezas, el lado B'C' correspondiente al lado BC mide 5,1 cm, la razón 5,1 B‘C‘  = = 3. Como son figuras (piezas) semejantes entre sí, cada lado de la nueva 1,7 BC  pieza mide el triple de lo que mide cada lado de la pieza anterior. Por lo tanto, la fórmula que permite calcular las medidas y de los lados de las nuevas piezas a partir de las medidas x de los lados de las piezas anteriores es y = 3x. 6. Calculamos el área de una cara de esta nueva pieza. Área del rectángulo A'B'E'G' = A‘B‘ . A‘G‘ = 4,8 cm . 2,7 cm = 12,96 cm2. Área del triángulo B'D'C' = D‘C‘ . B‘D‘  = 4,5 cm . 2,4 cm = 5,4 cm2. 2 2 Área del triángulo G'E'F' = G‘E‘ . H‘F‘  = 4,8 cm . 1,35 cm = 3,24 cm2. 2 2 2 El área de cada cara de una pieza es de 21,6 cm . (Observe que la superficie de cada cara de esta nueva pieza es 9 veces (o 32 veces) la superficie de cada cara de la pieza anterior). Procediendo como en el caso anterior, se calcula que se necesitarán 21,6 litros de pintura para pintar 1000 piezas en ambas caras. Se necesitarán 22 latas de pintura.

Actividad n.º 2 1. Si se tiene en cuenta la semejanza entre la chacra y una pieza del juego, la razón de semejanza es 150 m = 150 m = 10000. Esto es: cada lado de la chacra mide 10000 ve1,5 cm 0,015 m ces lo que mide cada lado correspondiente de la primera pieza. Por lo tanto, los lados de la chacra miden: AB, 160 m; BC, 170 m; CD, 150 m; DE, 10 m; EF, 106 m; FG, 78 m y AG, 90 m. El perímetro es de 764 m que es la cantidad de alambrado que se necesitará.

200

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

2. La superficie de la chacra es de 24000 m2. (El cálculo es similar al hecho en los casos anteriores). 1 . 24000 = 4000 m2. 6 Para pasturas se destina 2 . 24000 = 9600 m2. 5 1 Para árboles frutales . 24000 = 3000 m2. 8 Para vivienda quedan 24000 - (4000 + 9600 + 3000) = 7400 m2. Para sembrar cereales se destina

3. Una escala de 1 : 2000 significa que 1 cm del plano representa 2000 cm (ó 20 m) de la chacra. Por lo tanto, las dimensiones que debe tener el plano son: AB = 8 cm; BC = 8,5 cm; CD = 7,5 cm; DE = 0,5 cm; EF = 5,3 cm; FG = 3,9 cm; GA = 4,5 cm. En el plano, el ángulo α mide 25° ya que en las semejanzas, las amplitudes de los ángulos se mantienen. Teniendo en cuenta estas medidas, controle el plano que haya hecho. 4. Representamos la zona a sembrar con trigo:

x + x - 16 = 170 m → 2x = 186 m → x = 93 m.

B M

O sea que BM mide 93 m y MC mide 77 m

D

Teniendo en cuenta el teorema de Thales, podemos plantear:

C

N

BC  MC 

=

DC  NC 

, o sea

170 m = 150 m , entonces NC = 150 . 77 = 67,94 m. 77 m 170 NC  ^ Teniendo en cuenta que el triángulo MNC es rectángulo ( N es recto) podemos aplicar el teorema de Pitágoras para hallar MN . Así: MN = √772 - 67,942 = 36,24 m. Por lo tanto, el área del triángulo MNC = 67,94 . 36,24 = 1231,07. Es decir que el área del sector con 2 trigo es de 1231,07 m2.

Matemática • Bloque 3 • AUTOEVALUACIÓN

201