Matematica 3 1

1 Funciones En esta unidad retomaremos la idea de relación y función. El concepto de función forma parte de los conteni...

Author: Bach

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1

Funciones En esta unidad retomaremos la idea de relación y función. El concepto de función forma parte de los contenidos correspondientes al Bloque 2. Sin embargo, como ya lo anticipamos, dedicaremos parte de esta primera unidad a revisar estos temas. Nos interesa ahora profundizar esas nociones e incorporar conceptos nuevos vinculados con las funciones como crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de funciones; funciones biyectivas. Entre las funciones nos interesa especialmente la función lineal, por tratarse de una función muy vinculada a diferentes procesos de la vida cotidiana, de la economía, de la física, etc.

UNIDAD UNIDAD 1

UNIDAD

Propósitos de la Unidad En relación con los contenidos de esta Unidad le propondremos que: • Represente en el plano funciones de fórmulas sencillas. • Distinga relaciones funcionales expresadas a través de gráficos, tablas o fórmulas. • Reconozca, interprete y utilice la simbología matemática asociada a las relaciones funcionales. • Reconozca, en una función dada en forma gráfica, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos. • Describa situaciones concretas a través de relaciones y funciones. • Reconozca las características de las funciones biyectivas. • Reconozca la ecuación de una recta, su pendiente y ordenada al origen. Nuestra intención es favorecer su comprensión de nociones matemáticas proponiéndole un camino que, partiendo de situaciones concretas, y de sus propios saberes y experiencias, le permita alcanzar los propósitos de esta Unidad. Lo invitamos entonces a seguir ese camino, comenzando con el desarrollo de la Unidad.

Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

21

ACTIVIDAD N.° 1: “JUAN DISEÑA ESTAMPADOS SOBRE TELA CON AYUDA DE LA COMPUTADORA” Una empresa utiliza un sistema computarizado para crear figuras que serán estampadas sobre tela. Juan, uno de los operadores de la empresa, está estudiando el manual de la computadora para aprender a usar el sistema. ¡Tarea nada fácil la de aprender su uso sólo con las indicaciones del manual! Pero él está decidido a enfrentar todas las dificultades. Lo invitamos a acompañarlo a Juan en esta tarea. Hasta ahora, Juan obtuvo la siguiente información: • En una pantalla se visualiza lo que se va creando y lo que resultará luego en la tela. • Las figuras o dibujos se hacen por partes. • Se inicia el trabajo pintando algunos puntos que servirán de guía para el trazado del dibujo. • Para ubicar los puntos a pintar, la computadora utiliza un sistema de referencia que ocupa toda la pantalla. El sistema es como el que sigue: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

El operador empieza a probar y le queda la siguiente pantalla:

22

EDUCACIÓN ADULTOS 2000 • Matemática

9 8

v =3

7 6

h =5

5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Para pintar el punto que aparece en la pantalla, el operador introdujo a la computadora el siguiente código: (v ; h ) = ( 3 ; 5) De acuerdo con el manual, este código le indica a la máquina que debe pintar el punto de intersección entre la vertical 3 (v = 3) y la horizontal 5 (h = 5). Juan sigue investigando y obtiene la siguiente pantalla: 9 8 7 6

A

5 4

B

3 2 1

-9 -8 -7

-6 -5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3

C

D

-4 -5 -6 -7 -8 -9


23

Parte A Le pedimos que se ponga en el lugar del operador y responda las siguientes preguntas: 1. Escriba los códigos que debió introducir a la computadora para obtener cada uno de los puntos que se visualizan en la pantalla anterior. 2. Dibuje en su cuaderno una pantalla vacía (tal como la que presentamos en la pág. 22) y señale qué puntos serán pintados si se introducen a la computadora los siguientes códigos:

• • • • •

(v ; h ) = (6,5 ; 6,5) (v ; h ) = (-2 ; -2,5) (v ; h ) = (0 ; 0) (v ; h ) = (-7 ; 0) (v ; h ) = (0 ; -6)

Orientaciones Le damos la siguiente información para que compare con lo que usted ya pensó o respondió. Los códigos pedidos en el ítem 1., que son los que el operador debió introducir para obtener la pantalla dada, son: Para el punto indicado con A: (v ; h ) = (3 ; 5), para el indicado con B: (v ; h ) = (-2 ; 3,5), para el C: (v ; h ) = (-4 ; -5) y para el D: (v ; h ) = (4,5 ; -3) Los puntos pintados por los códigos dados en el ítem 2. se visualizan en la siguiente pantalla: v =-7

v =-2

v =6,5

v =0

9 8 7

h =6,5

6 5 4 3 2 1

h =0 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

6

7

8

9

h =-2,5

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

24


h =-6

Parte B Le proponemos seguir acompañando a Juan en los diferentes desafíos a los que lo enfrenta su trabajo. Veamos qué situación se le presenta ahora: El operador sigue leyendo, y se entera de que la computadora tiene una tecla especial. Acerca de esa tecla el manual dice: "Al apretar esta tecla, se pintará toda la pantalla, salvo que, antes de oprimirla, se le dé una instrucción que restrinja la zona a pintar". 1. Teniendo en cuenta esta nueva información, señale en una pantalla como las que viene utilizando, la zona que corresponde pintar si le damos a la computadora la siguiente instrucción: v = 3, es decir se restringe la zona a pintar sólo a la vertical 3. 2. Muestre en una pantalla como las anteriores (puede utilizar la misma que dibujó para resolver el ítem 1. de la Parte B), qué zona de la pantalla se verá pintada si la instrucción es h = -2. 3. Dibuje en su cuaderno una nueva pantalla y señale en ella la zona que corresponde pintar si le damos a la computadora la siguiente instrucción: h = v. Si le resulta complejo pensar en toda la zona a pintar que surge de esta instrucción le sugerimos pensarlo del siguiente modo: Imagine uno de los puntos de la pantalla que resultaría pintado si se da a la computadora esta instrucción. Suponga que quisiera pintar ese punto utilizando el código que hemos empleado hasta ahora: (v ; h) = ( ; ). Sabiendo que v = h , ¿qué código sería? Haga lo mismo para otros puntos pintados con esta instrucción. 4. Señale en una nueva pantalla, la zona que resultaría pintada para la instrucción h = 2v. (Tenga presente la sugerencia que le hemos presentado para la resolución del ítem 3.)

Orientaciones Si a la computadora se le da la instrucción v = 3, se le está indicando que no pinte toda la pantalla sino sólo lo que indica la instrucción, es decir pintará los puntos de la vertical 3. Por eso la pantalla se ve así:

9 8

v =3

7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9


25

Cuando la instrucción es h = -2, la pantalla resulta: 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

9

h =-2

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Si la instrucción es h = v, los puntos pintados serán, por ejemplo el (3 ; 3), el (4 ; 4), etc.. Es decir, la vertical y la horizontal que los determinan toman los mismos valores. Entonces la pantalla queda así: h =v

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

26


6

7

8

9

Compare lo que usted hizo para la instrucción h = 2v con la pantalla que le damos a continuación: h = 2v

9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7

-6

-5 -4

-3 -2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9

Parte C Represente ahora en nuevas pantallas las imágenes que resultan para cada una de las instrucciones que siguen: a. h = 3v

b. h = -2v

e. h + 2v = 0

f. h > 2v

c. h > 3

d. v < 5

Orientaciones Compare los gráficos que usted construyó para las instrucciones de la Parte C. con los que le presentamos a continuación. h= - 2 v

h =3v 9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 -9

-8 -7 -6

-5 -4

-3

-2

-1

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-9

-8 -7 -6

-5 -4

-3

-2

-1

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

-6

-6

-7

-7

-8

-8

-9

-9


1

2

3

4

5

6

7

8

9

27

9

9

8

8

h>3

7 6

7 6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 -9

-8 -7 -6

-5 -4

-3

-2

-1

1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-9

-8 -7 -6

-5 -4

-3

-2

-1

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-7

0

-8 -9

9

9

8

8

7

7

6

6

5

5

-2

-1

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 2

1 -3

4

4

h > 2v

2

-5 -4

3

-7

-9

3

-8 -7 -6

2

-6

-8

4

-9

1

-5

v3 v 2v • Al conjunto de puntos que verifican una ecuación o inecuación lo llamaremos conjunto solución. EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SISTEMA DE EJES COORDENADOS CARTESIANOS Observe que el sistema de referencia utilizado por la computadora es similar al sistema de ejes coordenados cartesianos para representar puntos en el plano. Seguramente, usted ya conoce este sistema de representación, donde, 28


por ejemplo, los pares ordenados (3 ; 5), (-2 ; 3,5), (-4 ; -5), (4,5 ; -3), son las coordenadas de los puntos A, B, C y D respectivamente representados en el siguiente gráfico: y

eje de ordenadas 6

A

5 4

B

3 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

5

-1

6

x eje de abscisas

-2 -3

D

-4

C

-5 -6

La primera componente de los pares se llama abscisa y la segunda, ordenada. Por ejemplo, en las coordenadas de A = (3 ; 5) decimos que la abscisa x es 3 y la ordenada y es 5, o que A tiene abscisa 3 y ordenada 5. Al conjunto de todos los puntos (x ; y) del plano lo llamamos R2. Parte D 1. Represente en el plano el conjunto solución de las siguientes ecuaciones, usando como referencia un sistema de ejes coordenados cartesianos: a. y = 4x

b. y - 4x= 0

c. y = 1 x 2

2. Represente en el plano, usando como referencia un sistema de ejes cartesianos, el conjunto solución de las siguientes inecuaciones: a. y > 4x.

b. y < 1 x 2 Lo invitamos ahora a abordar una nueva situación que representará el camino propuesto para el aprendizaje de nuevos conceptos

ACTIVIDAD N°. 2: “EL CONTROL DE UN PROCESO INDUSTRIAL" En un laboratorio se estudia un proceso industrial. Para ello es necesario realizar ciertas mediciones y efectuar diversos controles. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

29

Por ejemplo, se desea controlar diariamente la temperatura de una sustancia mientras es sometida al proceso en cuestión. Daremos el nombre de "hora cero" a la hora de inicio del proceso. Se confecciona la siguiente tabla o planilla para registrar los datos diariamente. Tiempo en horas

0

1

2

3

4

Temperatura de la sustancia en º C

Al iniciar las mediciones, el encargado de esta tarea se distrajo un poco, y, como consecuencia de ello, en el primer día obtuvo los siguientes datos: Planilla de registros de la temperatura de la sustancia respecto del tiempo. Primer día Tiempo en horas

0

1

2


-2

-1

0

3

4 2

Parte A Responda las preguntas que siguen a partir de la planilla de registros de temperatura correspondiente al primer día. Léala como si leyera una revista o un diario. No necesita usar lenguaje matemático para responder. 1. ¿En qué horas se ha previsto realizar los registros de temperatura? 2. ¿En qué horas se concretó el registro? 3. ¿Cuáles fueron las temperaturas registradas? 4. ¿Para qué hora/s de la tabla no se obtuvo registro? 5. ¿Qué temperatura tenía la sustancia al iniciarse el proceso? 6. ¿Qué temperatura tenía la sustancia en la hora 4? 7. ¿Para qué hora la temperatura era de 0º C?

Parte B Al día siguiente, pasó algo muy extraño ya que el instrumento de medida de la temperatura no indicó los valores negativos. Por ello la planilla de registros resultó así:

30


Planilla de registros de la temperatura de la sustancia respecto del tiempo. Segundo día Tiempo en horas

0

1


2

3

4

0

1

2

Responda cada una de las preguntas formuladas en la Parte A de acuerdo con la planilla o tabla de registros de temperatura de la sustancia respecto del tiempo, del segundo día.

Orientaciones Para responder a las preguntas anteriores, no necesitó utilizar términos matemáticos ni simbología especial. Trate ahora de responder las preguntas que siguen en la Parte C de la actividad. Si tiene dificultades para hacerlo o la simbología utilizada no le resulta familiar, siga las indicaciones que le presentamos a continuación de las consignas.

Parte C Llamaremos h a la relación dada por la planilla de registros del primer día, es decir, a la relación que vincula al conjunto de las horas t con el conjunto de las temperaturas y de la sustancia registradas el primer día. Simbólicamente lo escribimos así: h: {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} → {-2 ; -1 ; 0 ; 2} Responda para la relación h : 1. ¿Cuál es el conjunto de partida? 2. ¿Cuál es el dominio? 3. ¿Cuál es el conjunto imagen? 4. ¿Existe h (3)? En caso afirmativo, indique a qué es igual. 5. ¿A qué es igual h (0)? 6. ¿Existe h (4)? Si existe, indique su valor. 7. ¿Existe h -1(0)? En caso afirmativo, indique su valor. 8. ¿Cuáles son los pares ordenados que definen a esta relación? Escríbalos. 9. ¿Cuál es la representación gráfica que describe a esta relación? Represéntela en un sistema coordenado cartesiano. Si los términos y simbología que aparecen en las preguntas anteriores le resultan:

•

totalmente desconocidos, le recomendamos que lea y trabaje este tema con las actividades dadas en la Unidad 2 de la Guía de estudio correspondiente al Bloque 2 de Matemática. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

31

•

•

conocidos, pero no tanto como para responder totalmente a lo solicitado. En este caso tiene dos opciones:

•

Resolver lo que pueda y luego leer las orientaciones para la resolución de las preguntas. Al leerlas podrá determinar si con ello le alcanza para reconocer los conceptos y la simbología que intervienen.

•

Recurrir al Bloque 2 directamente como en el caso anterior.

conocidos como para responder a lo solicitado, continúe con su trabajo.

Orientaciones Si comparamos las respuestas a las preguntas de la Parte A con las de las preguntas de la Parte C, veremos que están estrechamente vinculadas. Por ejemplo:

• La respuesta a la pregunta 1. de la Parte A es: Las horas previstas para realizar los registros de temperatura, de acuerdo a la planilla confeccionada, son las horas 0 , 1 , 2 , 3 y 4.

• La respuesta a la pregunta 1. de la Parte C es: El conjunto de partida de la relación h es {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. Observe que en el primer caso se responde en términos de la situación concreta planteada, mientras que en el segundo se responde usando términos y simbología matemática.

A usted seguramente le resulta más familiar expresarse en términos de la situación concreta, pero ahora deberá, además, adquirir el lenguaje y la simbología matemática. Le resultará más fácil aprender el lenguaje matemático si lo asocia con lo conocido, ya que desde lo concreto pone en juego toda su experiencia cotidiana. Quizá usted se pregunte ¿cómo voy a adquirir el lenguaje y la simbología matemática? Para poder incorporar el lenguaje matemático, del mismo modo que cuando usted se dispone a aprender cualquier otro lenguaje, deberá usarlo. A partir de ello, podrá reflexionar sobre cómo y para qué lo usa, qué palabras y símbolos nuevos va aprendiendo. Por ejemplo, al encontrarse con los conceptos matemáticos en diferentes oportunidades, podrá asociarlos a situaciones concretas que le resulten familiares, darles nombres a dichos conceptos y escribirlos en su lenguaje simbólico. Este trabajo le permitirá familiarizarse progresivamente con los conceptos y el lenguaje asociado a ellos.

A continuación le presentamos un cuadro para que compare lo que usted respondió en las Partes A y C, y para ejemplificar lo que acabamos de decir respecto del lenguaje simbólico.

32


Cuadro comparativo de las Partes A y C en términos de la situación concreta y en términos matemáticos En la Parte A “En términos de la situación concreta”

En la Parte C “En términos matemáticos”

2.

Se concretó el registro en las horas 0, 1, 2 y 4.

El dominio de h, es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que tienen imagen es: Dom h = {0 ; 1 ; 2 ; 4}

3.

Las temperaturas registradas en grados centígrados fueron -2, -1, 0, 2.

El conjunto imagen de la función h, es decir, el formado por los elementos del conjunto de llegada que son imágenes es: Im h = {-2 ; -1 ; 0 ; 2}

4.

No se obtuvo registro para la hora 3.

La imagen de 3 no existe o h (3) no existe.

5.

Al iniciarse el proceso, en la hora cero, la sustancia tenía -2º C de temperatura.

La imagen de cero através de h es -2, ó h (0) = -2

6.

A la hora 4 la sustancia tenía una temperatura de 2º C.

Existe h (4) y h (4) = 2.

7.

La sustancia tenía 0º C a la hora 2.

La preimagen de 0 a través de h existe y es 2 ó h -1 (0) = 2.

Ítem

Escribir la relación como un conjunto de pares ordenados o graficar la relación son actividades propias de la Matemática. El gráfico es una herramienta matemática muy útil para interpretar situaciones concretas y matemáticas. La relación h expresada como el conjunto de sus pares ordenados es: h = { (0 ; -2) ; (1 ; -1) ; (2 ; 0) ; (4 ; 2) } y el gráfico es:

y 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2


33

Parte D Llamaremos m a la relación dada por la planilla de registros del segundo día. Es decir, a la relación que vincula al conjunto de las horas t con el conjunto de las temperaturas y de la sustancia registradas el segundo día. En símbolos:

m : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} → {0 ; 1 ; 2}

Responda para la relación m: 1. ¿Cuál es el conjunto de partida? 2. ¿Cuál es el dominio? 3. ¿Cuál es el conjunto imagen? 4. ¿Existen m (0); m (4) y m -1 (-2)? Indique su valor, cuando sea posible. Compare las respuestas dadas en las Partes B y D del mismo modo que lo hicimos con las Partes A y C.

Parte E Después de muchas observaciones y nuevas mediciones, en el laboratorio pudieron comprobar que la temperatura y para cada hora t , puede expresarse con la fórmula y = t - 2. Por lo tanto puede describirse la situación con la siguiente relación: p : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} → {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} / p (t ) = t - 2 que también puede escribirse: p : A → B / p (t ) = t - 2 siendo A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} y B = {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} y se lee: "La relación p definida de A en B tal que p (t ) = t - 2, siendo A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} y B = {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} ". 1. Escriba los pares ordenados de la relación p. 2. Escriba el conjunto de partida y el dominio de la relación p. 3. Represente gráficamente la relación p. 4. Observe los pares ordenados de cada una de las relaciones dadas en las distintas partes de esta actividad: h, m y p. A partir de ello, ¿diría que estas relaciones son iguales entre sí? ¿Por qué? 5. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las relaciones h, m y p? Para responder, tenga en cuenta los pares que observó en la pregunta anterior, los conjuntos de partida y de llegada, el dominio y el conjunto imagen.

34


Orientaciones Las relaciones que hay que comparar son:

• h : A → C, siendo A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} y C = {-2 ; -1 ; 0 ; 2}, dada por la tabla, siendo sus pares ordenados: h = {(0 ; -2) ; (1 ; -1) ; (2 ; 0) ; (4 ; 2)} • m : A → D, siendo A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} y D = {0 ; 1 ; 2}, dada por la tabla, siendo sus pares ordenados: m = {(2 ; 0) ; ( 3; 1) ; (4 ; 2)} • p : A → B / p (t ) = t - 2 siendo A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} y B = {-2 ; -1 ; 0 ; 1; 2}, siendo sus pares ordenados: p = {(0 ; -2) ; (1 ; -1) ; (2 ; 0) ; ( 3; 1) ; (4 ; 2)} Puede verse que las relaciones son distintas porque están formadas por distintos pares. Le dejamos a usted que analice los parecidos y diferencias pedidas en el ítem 5.

Parte F Decida, para cada una de las relaciones que hemos analizado hasta ahora, esto es, h, m y p, si es función o no. Justifique su respuesta. •

Si no recuerda la noción de función puede revisar las actividades de la Unidad 2 del Bloque 2 de Matemática.

Orientaciones Si recuerda el concepto y analizó cuidadosamente cada una de las tres relaciones h, m y p habrá podido advertir que sólo p es función ya que sólo para esta última se cumple que cada elemento de A tiene imagen, y además que esta imagen es única.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: EL CONCEPTO DE FUNCIÓN Una función es una relación en la que cada elemento del conjunto de partida debe tener una única imagen en el conjunto de llegada. Debido a que para que una relación sea función cada elemento del conjunto de partida debe tener imagen, el conjunto de partida y el dominio de una función coinciden.

Parte G 1. Escriba los pares de la función: r : {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4} → {-5 ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ;2 ; 3 ; 4 ; 5} / y = t - 2 2. La función r y la función p que hemos venido analizando, ¿son iguales?


35

3. La función r ¿puede describir la situación de la temperatura de la sustancia sometida al proceso industrial que describe la función p? 4. ¿Cómo resultarían entre sí las representaciones gráficas de las funciones r y p? Orientaciones Las funciones p y r son distintas por tener distintos conjuntos de llegada. Pero ambas son expresadas por el mismo conjunto de pares ordenados y el mismo gráfico. Además, las dos describen la situación de la temperatura de la sustancia en función del tiempo dada anteriormente. Observe, entonces que en una función, el conjunto de llegada puede tener más elementos que el conjunto imagen.

Parte H En el laboratorio, siguieron estudiando el comportamiento de la temperatura de la sustancia. Pudieron comprobar que en cualquier instante t del intervalo de tiempo entre la hora 0 y la hora 4 durante el cual se analiza el proceso, puede calcularse la temperatura de la sustancia con la fórmula o cuenta y=t-2 1. Escriba simbólicamente una función s que describa la situación para cualquier instante t del intervalo de tiempo en el que es analizado el proceso. 2. Observe el conjunto de partida de la función s que escribió en el ítem anterior. Dicho conjunto, ¿permite calcular la temperatura de la sustancia en cualquier instante t del intervalo de tiempo entre la hora 0 y la hora 4? Por ejemplo, ¿permite calcular la temperatura de la sustancia en t = 0,5 ó en t = 3,7? Si su respuesta es negativa, describa el conjunto de partida de modo que la función s permita calcular la temperatura en cualquier instante t del intervalo entre la hora 0 y la hora 4. 3. Represente gráficamente la función s. Orientaciones Para que la función s describa el proceso analizado en cualquier instante t del intervalo de tiempo entre la hora 0 y la hora 4, el conjunto de partida debe contener a cualquier número real entre 0 y 4. Este conjunto se representa de la siguiente forma: [0; 4]. Si no reconoce esta notación [0 ; 4], le recordamos que es un intervalo cerrado. (Este tema está trabajado en la actividad n°. 3 de las Actividades sobre lo leído de la Unidad 2 de la Guía de Estudio del Bloque 2. Si le resulta necesario vaya a ver lo dicho allí al respecto) . 36


El intervalo cerrado [0 ; 4] es el conjunto de los números reales (R) entre 0 y 4, es decir: [0 ; 4] = {x ∈ R / 0 ≤ x ≤ 4}. El conjunto {x ∈ R / 0 < x < 4}, es decir, el conjunto de números reales entre 0 y 4, al que no pertenecen ni el cero ni el cuatro, se llama intervalo abierto y se escribe simbólicamente así (0 ; 4). De este modo, una función posible s capaz de describir la situación s: [0 ; 4] → R / s (t ) = t - 2. planteada en la Parte H es: Decimos "posible" porque podríamos cambiar el conjunto de llegada por cualquier otro con tal de que contenga al conjunto imagen. En este caso elegimos el más grande posible, porque pusimos al conjunto R de los números reales. Recuerde que este conjunto está integrado por los números naturales, enteros, fraccionarios e irracionales. La representación gráfica de s es:

y 2 1 -6

-5

-4

-3

-2

-1 0

1

2

3

4

5

6

x

-1 -2

A partir de lo que trabajó en las actividades anteriores usted está en condiciones de leer algunos temas de su libro. Le indicaremos precisamente lo que debe leer. Por tratarse de la primera indicación de lectura de texto que le presentamos, le haremos algunas recomendaciones para encarar este trabajo: • No es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado, porque podría encontrarse con situaciones que pueden resultarle demasiado complejas o confusas. • Busque el libro y señale de algún modo, lo que le indicamos para leer. • Si usted trabaja con el Libro 1 ( N. Camus / L. Massara : Matemática 3. Ed. Aique): Lea, en el capítulo 2, desde la página 28 hasta la página 31 inclusive. En "Manos a la obra", resuelva las actividades 1, 2 y 3. • Si usted trabaja con el Libro 2 (R. Ferragino / G. Rey Lorenzo: Modelando Funciones. Ed. Un Problema Resuelto): Lea, en el capítulo 3, Situación 1: Las tardes de Nicolás, páginas 62 y 63. Responda las preguntas que le plantea el texto. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

37

En los ejercicios de Integración que se presentan al finalizar la Unidad retomaremo el trabajo realizado hasta aquí

s

.

ACTIVIDAD N° . 3: “ANÁLISIS PARA OPTIMIZAR EL RENDIMIENTO DE UNA PLANTA INDUSTRIAL" En una planta industrial se utilizan varios tanques para efectuar las distintas etapas del proceso de elaboración de una sustancia. El jefe de la planta desea disminuir el tiempo de elaboración. Para lograr su propósito, piensa comprar nuevas bombas para llenar y descargar los tanques de la planta. Para efectuar la compra debe expresar con precisión lo que necesita. Por ello, inicia un análisis descriptivo de lo que ocurre con los tanques de la planta. Como primer paso, decide graficar lo que ocurre en algunos de los tanques, durante un período importante de la producción. Este período es un intervalo de 3 horas. Le presentamos a continuación los gráficos realizados por el jefe. Cada uno de ellos expresa la función que describe la cantidad de hectolitros de sustancia que contiene un tanque, instante a instante, del período analizado. y = f (t )

y = r (t )

y = h (t )

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

1

2

3

4

5

6

t

0

1

2

3

4

5

hora s

6

t

0

1

2

3

4

5

hora s

Tanque 1

t

hora s

Tanque 2

y = j (t )

6

Tanque 3

y = n (t )

y = k (t )

6 5

3 2 1 0

9 8 7 6 5 4 3 2 1

9 8 7 6 5 4 3 2 1

4

1

2

3

4

5

6

t

0

1

2

3

4

5

hora s

Tanque 4 38

6

t

0

1

2

3

4

5

hora s

Tanque 5


6

t

hora s

Tanque 6

y = p (t )

y = g (t )

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

t

0

y = m (t )

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4

5

horas

Tanque 7

6

t

0

1

2

3

4

5

horas

Tanque 8

6

t

horas

Tanque 9

Parte A A continuación, le proponemos que responda algunas preguntas cuyas respuestas seguramente son de interés para el jefe de la planta. Nosotros usaremos términos matemáticos: aquellos que ya hemos presentado y otros nuevos que iremos agregando a medida que avancemos en el análisis de la situación. 1. A partir de la observación del gráfico correspondiente al tanque 1 y sin perder de vista la situación concreta que representa, responda: a. ¿Cuál es el dominio de la función que describe lo que ocurre en el tanque 1? ó ¿A qué es igual Dom f ? ¿Por qué? b. ¿Entre qué valores y de hectolitros de sustancia varía el contenido del tanque 1 en el intervalo de tiempo [0 ; 3]? c. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función f ? ó ¿A qué es igual Im f ? ¿Por qué? 2. Teniendo en cuenta que, en cada una de las funciones dadas en esta actividad, el conjunto de llegada es el conjunto imagen de las mismas, le pedimos que complete las siguientes notaciones simbólicas:

• f : [0 ; 3] → [2 ; 3,5] / y = f (t )

(Tanque 1)

• r : [0 ; 3] → .......... / y = r (t )

(Tanque 2)

• h : [0 ; 3] → .......... / y = h (t )

(Tanque 3)

• j : [0 ; 3] → .......... / y = j (t )

(Tanque 4)

• n : [0 ; 3] → .......... / y = n (t )

(Tanque 5)

• k : [0 ; 3] → .......... / y = k (t )

(Tanque 6)

• p : [0 ; 3] → ........ / y = p (t )

(Tanque 7)

• g : [0 ; 3] → { 2 } / y = g (t )

(Tanque 8)

• m : [0 ; 3] → ......... / y = m (t )

(Tanque 9)


39

Orientaciones Teniendo en cuenta que la consigna indica que el conjunto de llegada debe ser el conjunto imagen de cada una de las funciones, por ejemplo, para el tanque 6, resulta:

k : [0 ; 3] → [0 ; 8] / y = k (t ) Si no tuviéramos que cumplir con este requisito podríamos haber definido otra función que represente lo que ocurre en el tanque 6, por ejemplo:

z : [0 ; 3] → [0 ; 10] / y = z (t ) Pero en esta función el conjunto de llegada tiene otros elementos además de los del conjunto imagen. Por ejemplo, el 9 está en el conjunto de llegada y no es imagen de ningún elemento del dominio. También describe lo que ocurre en el tanque 6 la siguiente función:

b : [0 ; 3] → R / y = b (t ) En este caso, el conjunto de llegada R también contiene al conjunto imagen, pero tiene elementos que no se corresponden con algún elemento del conjunto de partida o dominio.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN SURYECTIVA O SOBREYECTIVA En las funciones dadas en esta actividad, el conjunto de llegada es igual al conjunto imagen. Es decir, todos los elementos del conjunto de llegada son imagen de algún elemento del conjunto de partida. Podemos decir también que no hay elementos en el conjunto de llegada que no sean imagen de algún elemento del conjunto de partida. Las funciones que tienen dicha característica se llaman funciones suryectivas o sobreyectivas.

Parte B Observe el gráfico correspondiente al tanque 1. Lea de él la siguiente información: 1. ¿Qué cantidad de hectolitros de sustancia tiene el tanque 1 al iniciarse la medición, o sea en t = 0 horas? ¿Y en la hora 1? ¿Y en la hora 2? 2. Complete la siguiente tabla: Tiempo t, en horas Cantidad y de hectolitros de sustancia del tanque 1 40


0

1

2

3

3. Teniendo en cuenta la información que le proporciona la tabla, este tanque, ¿se está llenando o vaciando? 4. A medida que pasa el tiempo, ¿qué ocurre con la cantidad de sustancia que contiene el tanque 1? 5. Observando que: La hora 1 y la hora 2 pertenecen al intervalo de observación del tanque, y que la hora 1 está antes que la hora 2, ¿qué puede decir de la cantidad de sustancia que contiene el tanque en la hora 1 respecto de la cantidad de sustancia que contiene en la hora 2? 6. Lea los símbolos y responda: 1 y 2 ∈ [0 ; 3] , 1 < 2 entonces: ¿Cómo son entre sí f (1) y f (2)? 7. Si t 1 y t 2 son dos tiempos cualesquiera del intervalo [0 ; 3] de tal manera que t 1 < t 2, ¿cómo son entre sí f ( t 1) y f ( t 2)? 8. Observe cada uno de los otros gráficos de esta Actividad n.º 3. Indique, a partir de su observación, cuál o cuáles de los tanques:

• se está llenando durante las tres horas observadas. • se está vaciando en el intervalo de tiempo entre las 0 y las 3 horas. • durante las tres horas de observación, en algún intervalo de tiempo se está llenando y en otro intervalo de tiempo se está vaciando. En este caso, exprese en qué intervalo se está llenando y en cuál se está vaciando. 9. ¿Cómo describiría lo que ocurre con el tanque 8? ¿Qué cantidad de hectolitros tiene en la hora 1? ¿Y en la hora 2? ¿Y en la hora 3?

Orientaciones Al observar el gráfico del tanque 1, notamos que a medida que pasa el tiempo el tanque tiene cada vez más cantidad de sustancia. Es decir que el tanque 1 se está llenando.

• En el tanque 2 está entrando sustancia durante las 3 horas descriptas. • En el tanque 3 está entrando sustancia durante las 3 horas descriptas. • En el gráfico correspondiente al tanque 4 , puede leerse que a medida que pasa el tiempo, el tanque tiene cada vez menos cantidad de sustancia. Es decir el tanque 4 se está vaciando.

• En el tanque 5 está saliendo sustancia durante las 3 horas descriptas. • En el tanque 7 está saliendo su contenido durante las 3 horas observadas. • El tanque 6 se está vaciando durante las dos primeras horas y en el intervalo de tiempo entre la hora 2 y la hora 3 se está llenando.

• El tanque 9 se está vaciando entre la hora 1 y la hora 2. El resto del tiempo se está llenando.

• El tanque 8 tiene siempre la misma cantidad de sustancia. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

41

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN CRECIENTE Y FUNCIÓN DECRECIENTE Si expresamos en símbolos matemáticos lo que ocurre, por ejemplo, en el tanque 1 respecto de la cantidad de hectolitros de sustancia que tiene en cada instante t del intervalo [0 ; 3], resulta que: Si t1 y t2 son dos tiempos cualesquiera del intervalo [0 ; 3] de tal manera que t1 < t2, entonces ocurre que f (t1) < f (t2). Por eso, decimos que la función f es estrictamente creciente en el intervalo de tiempo [0 ; 3]. Las funciones r y h, de los tanques 2 y 3 respectivamente, también son estrictamente crecientes en [0 ; 3]. Si expresamos en símbolos matemáticos lo que ocurre, por ejemplo, en el tanque 4 respecto de la cantidad de hectolitros de sustancia que contiene en cada instante t del intervalo [0 ; 3] , resulta que: Si t1 y t2 son dos tiempos cualesquiera del intervalo [0 ; 3] de tal manera que t1 < t2, entonces ocurre que j (t1) > j (t2). Por eso, decimos que la función j es estrictamente decreciente en el intervalo de tiempo [0 ; 3]. Las funciones n y p, de los tanques 5 y 7, también son estrictamente decrecientes en el intervalo [0 ; 3]. De acuerdo con lo dicho anteriormente, y lo observado en los gráficos, podemos decir que: • La función k es estrictamente decreciente en [0 ; 2] y estrictamente creciente en [2 ; 3] • La función que describe lo sucedido en el tanque 9 es: • estrictamente creciente en [0 ; 1] y en [2 ; 3]. • estrictamente decreciente en [1 ; 2]. • La función g no es estrictamente creciente ni estrictamente decreciente, porque no cumple las condiciones para ello.

Parte C 1. En el gráfico que sigue se han superpuesto los gráficos correspondientes al tanque 3 y al tanque 8.

y 6

y = h (t )

5 4 3

y = g (t )

2 1 0

1

2

3

4

5

6

t horas

42


A partir de este gráfico responda: a. De acuerdo con la situación concreta planteada, ¿qué interpretación le daría al hecho de que los gráficos tienen un punto en común? b. ¿En qué hora los tanques tienen igual cantidad de sustancia? c. ¿Cuál es la preimagen de 2 para la función h? 2. Observe ahora solamente el gráfico de la función h, que describe lo que ocurre en el tanque 3, y responda: a. Este tanque, ¿tiene en dos momentos distintos la misma cantidad de sustancia? b. ¿Algún elemento del conjunto imagen de la función h tiene más de una preimagen?

Parte D En el gráfico que sigue, se han superpuesto los gráficos correspondientes al tanque 6 y al tanque 8: A partir de lo graficado aquí responda: 1. Los tanques 6 y 8, ¿tienen igual cantidad de sustancia en algún momento del período analizado? En caso afirmativo, indique cuándo ocurre.

y 8

y = k (t )

7 6 5 4 3

y = g (t )

2 1 0

1

2

3

4

5

6

t horas

2. Observe ahora sólamente el gráfico de la función k, que describe lo ocurrido en el tanque 6, y responda: a. Este tanque, ¿tiene en dos momentos distintos la misma cantidad de sustancia? b. ¿Algún elemento del conjunto imagen de la función k tiene más de una preimagen?


43

Orientaciones Veamos nuevamente los gráficos:

y 8

y = k (t )

7

y 6

6

y = h (t )

5

5

4

4

3

3

y = g (t )

2

1

1 0

y = g (t )

2

1

2

3

4

5

t

6

0

1

2

3

4

5

t

6

horas

horas

En este gráfico vemos que:

En este gráfico vemos que:

• El tanque 3 y el tanque 8

• El tanque 6 y el tanque 8 tienen

tienen igual cantidad de sustancia sólo en la hora 1. Esa cantidad es de 2 hl de sustancia. También puede leerse, en términos matemáticos, que 2 tiene una única preimagen según la función h , y esa preimagen es 1.

igual cantidad de sustancia en la hora 1 y en la hora 3. Esa cantidad es de 2 hl de sustancia. En términos matemáticos podemos decir que 2 tiene dos preimágenes a través de la función k, y estas preimágenes son 1 y 3. También podemos decir que, siendo 1 ≠ 3, resulta que k (1) = k (3).

• El tanque 3 no contiene, durante el período analizado, la misma cantidad de sustancia en momentos distintos.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIÓN INYECTIVA Y FUNCIÓN BIYECTIVA Observe que para la función h, cualquiera sea el elemento del conjunto imagen, éste tiene una única preimagen. O lo que es lo mismo, dos elementos distintos del dominio no tienen la misma imagen. Las funciones que tienen esta característica se llaman inyectivas. En cambio la función k, tiene elementos del conjunto imagen con más de una preimagen (por ejemplo 2). O también podemos decir que dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen. Por lo tanto la función k no es inyectiva. Las funciones que son inyectivas y suryectivas se llaman biyectivas. 44


Parte E La función s expresa la cantidad de agua que tiene un tanque durante un período de control. 1. Indique para cuáles de las siguientes situaciones s resultaría inyectiva. a. Si representa una situación en la que el tanque se está llenando durante todo el período de control. b. Si representa una situación en la que el tanque se está descargando mientras dura el período de control. c. Si representa una situación en la que el tanque durante un intervalo de tiempo se está llenando y en otro se está descargando. d. Si representa una situación en la que el tanque mantiene la misma cantidad de agua durante el tiempo de control. 2. Exprese cómo debe ser la función s, en términos de crecimiento y decrecimiento estricto en su dominio, para que sea inyectiva.

Parte F Analice observando los gráficos correspondientes a los tanques 1, 8, 4, 9, 5 y 2 las funciones f , g , j , m , n , y r y determine si son funciones biyectivas o no.

Parte G 1. Indique en cada diagrama de Venn los elementos que se relacionan entre sí, de acuerdo con cada una de las funciones:

• h : {-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2} → {0 ; 1 ; 4} / h (x ) = x2 • g : {1; 2 ; 3} → {2 ; 4 ; 6 ; 8} / g (x ) = 2x • f : {1; 2 ; 3} → {2 ; 4 ; 6} / f (x ) = 2x h

A

• • • • •

B

f

A

B

-2 -1 0 1 2

• 0 • 1 • 4

g

A

• 1 • 2 • 3

B

• • • •

• 1 • 2 • 3

• 2 • 4 • 6

2 4 6 8


45

2. Indique, para cada una de las funciones dadas en 1., de qué tipo es: a. Inyectiva

b. Suryectiva

c. Biyectiva

Justifique cada caso.

Parte H Para cada una de los siguientes relaciones mostradas por sus gráficos: 1. ¿Cuáles representan funciones y cuáles no? 2. ¿Cuáles representan funciones biyectivas y cuáles no?

y

y

5

5

4

4

3

3

2

2 1

1

[ 0

1

x

] 2

3

4

5

[

6

-3

g : [1 ; 4] → [2 ; 5] / y = g (x )

y

5

5

4

4

3

3

2

2

[ 0

1

2

3

4

5

[

6

0

h : [0 ; 5] → [0 ; 4] / y = h (x )

0

1

2

3

1

x

]

x

] -1

n : [-2 ; 2] → [1 ; 5] / y = x 2 + 1

y

1

x

] 1

2

3

4

5

6

m : [0 ; 2] → [1 ; 5] / y = x 2 + 1

y

y

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

[ 0

x

] 1

2

3

4

5

6

j : [0 ; 4] → [3 ; 11] / y = 2x + 3 46

-2


11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

[ 0

x

] 1

2

3

4

5

6

k : [0 ; 4] → R / y = 2x + 3

y 5 4 3 2 1

x -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -2

f : R → R / y = f (x ) Orientaciones Sólo las relaciones g y h, graficadas anteriormente, no son funciones. Las funciones m y j son biyectivas. Para explicarse por qué, le sugerimos volver a mirar los gráficos para ver cómo se expresan allí las correspondientes definiciones.

A partir de lo que trabajó en las actividades anteriores usted está en condiciones de continuar leyendo algunos temas de su libro. Nuevamente le indicaremos en forma precisa lo que debe leer. No se olvide que no es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado, porque podría encontrarse con situaciones que no está en condiciones de resolver. • Si usted trabaja con el Libro 1: Lea, en el capítulo 2, desde la página 33 hasta la página 36. En "Manos a la obra" resuelva las actividades: 5, 6, 7, 8 y 9. • Si usted trabaja con el Libro 2: Lea, en el capítulo 3: • Situación 1: Responda todas las preguntas que se plantean en "¿Saldremos a flote?", páginas 64 y 65. Resuelva P.2 y P.3 de la página 66. • Situación 2: Resuelva todas las actividades, páginas 67 a 69. Ahora que ya tiene señalado en el libro lo que debe leer en este momento de su tarea, comience con la lectura señalada. Suerte con esta tarea.


47

ACTIVIDAD N°. 4: "EN LA BÚSQUEDA DE MAYORES PRECISIONES " El jefe de la planta industrial que protagonizó la situación con la que trabajamos en la Actividad n.º 3 sigue analizando el comportamiento de los tanques. Obsesionado con el tema, quiere cada vez más detalles. Se plantea muchas preguntas a partir de observar los gráficos que realizó anteriormente. Nosotros se las planteamos a usted. Busque en la Actividad n.º 3 los gráficos que confeccionó el jefe para describir lo que ocurre en cada tanque porque en lo que sigue deberá responder a partir de esa observación.

Parte A Observe los gráficos. Considere los tanques que se están llenando durante todo el período de estudio y responda: 1. ¿Cuáles de los gráficos muestran que el contenido del tanque aumentó un valor constante por unidad de tiempo? ¿Qué características tienen estos gráficos? 2. ¿En cuáles la velocidad de aumento del contenido del tanque no se mantiene constante? ¿Cómo se manifiesta en el gráfico?

Parte B Identifique ahora los gráficos de los tanques que se están descargando durante todo el período de control y observe: 1. ¿En cuáles sale del tanque la misma cantidad de hectolitros por hora durante el período analizado?, es decir, ¿cuáles tienen velocidad de disminución constante? ¿Qué característica del gráfico se lo indica? 2. ¿En cuáles la velocidad de disminución no es constante? ¿Qué característica del gráfico se lo indica?

Parte C Por ahora, el jefe se interesa sólo en los tanques que están variando su contenido a velocidad constante, durante todo el período de control. 1. ¿En cuál de ellos la variación por unidad de tiempo del contenido del tanque es de una disminución de 3 hectolitros por hora? O, dicho de otra forma, ¿en qué caso la velocidad con que varía el contenido del tanque es de -3 hl/h? 2. ¿En cuál de los tanques se modifica el contenido a razón 0,5 hl por hora? Es decir, ¿en cuál varía el contenido a una velocidad de 0,5 hl/h? 48


3. Encuentre otro tanque en el que se modifique su contenido:

• a una velocidad positiva y encuentre el número que indica dicha velocidad. • a una velocidad negativa y encuentre el número que expresa dicha velocidad. 4. a. Trate de explicar con sus palabras, lo más precisamente que pueda, lo que se debe observar en los gráficos que estamos analizando para poder determinar, si la velocidad con que se modifica el contenido del tanque es positiva o negativa. b. Trate de explicar con sus palabras, lo más precisamente que pueda, lo que se debe observar y/o calcular para poder determinar en los gráficos que estamos analizando, cuál es el número que indica dicha velocidad.

Parte D El jefe de la planta industrial, dio una nueva vuelta de tuerca al tema de la descripción de los tanques. En esta actividad descubrirá de qué se trata. Para ello responda lo que sigue. 1. Vuelva a completar la tabla que completó en la Parte B de la Actividad n.º 3 para el tanque 1. Antes de completarla, formúlese las siguientes preguntas:

• ¿Cuál es la velocidad con que varía su contenido? • ¿Qué cantidad de hectolitros de sustancia tenía el tanque al iniciar el control? • ¿Qué puede decirse de su contenido una hora después de iniciado el control? ¿Y dos horas después?

• ¿Con qué cuenta o fórmula se puede calcular la cantidad y de hectolitros de sustancia que contiene el tanque 1 en cada instante t ? Con los datos que le proporcionan sus respuestas, complete ahora la tabla:

Tiempo t, en horas

0

1

2

3

Cantidad y de hectolitros de sustancia del tanque 1

t y=

2. Repita lo que analizó para el tanque 1 en el ítem anterior, para los tanques 3, 4 y 7. Es decir, encuentre una fórmula que le dé la cantidad y de hectolitros que tiene cada tanque para cada instante t del período de control. 3. En las fórmulas que usted halló en los ítems anteriores, ¿dónde aparece expresado el valor de las velocidades de variación del contenido de los tanques?


49

Parte E Para armar un informe, el jefe de la planta industrial, confeccionó una tabla con las fórmulas que él obtuvo. (Puede controlar las fórmulas que usted escribió al resolver la Parte D contrastándolas con las del jefe de la planta).

4

Tanque:

1

3

Fórmula que da la cantidad y de hl de la sustancia para cada instante t

y= 1t+2

y = 2t

2

7

y = -t + 3 y = -3t + 9

Para un tanque cualquiera

y=m.t+b

1. En las fórmulas que usted y el jefe hallaron: a. ¿Dónde aparece expresado el valor de las velocidades de variación del contenido de los tanques? b. ¿Dónde aparece expresada la cantidad de hectolitros que tiene el tanque en el momento de iniciar el control? 2. Si la fórmula que da la cantidad de hectolitros y que contiene "un tanque cualquiera" en cada instante t es y = m . t + b : a. ¿Qué indica m? b. ¿Qué indica b? Orientaciones La fórmula o ecuación que da la cantidad y de hectolitros de sustancia para cada instante t , por ejemplo en el tanque 7, es y = -3t + 9. En esta fórmula aparece expresado el valor de la velocidad de variación del contenido del tanque en el número -3, porque ese tanque se está vaciando a razón de 3 hl por hora. El número 9, expresa la cantidad de hectolitros que contiene el tanque en el momento inicial, es decir, en t = 0.

y 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

50

1

2

3

4

5

6

t


EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: ECUACIÓN DE UNA RECTA. FUNCIÓN LINEAL Las ecuaciones que, en este caso, indican la cantidad y de hectolitros de sustancia para cada instante t, cuando el contenido está variando en forma constante, tienen como representación gráfica una recta. Por eso diremos que la ecuación del tipo y = m t + b, es la ecuación de una recta. Al número m lo llamaremos pendiente de la recta. y

y=m.t+b

b

t Y al número b, lo llamaremos ordenada al origen. A las funciones del tipo f : R → R / y = f (x) = m x + b, se las llama funciones lineales.

Busque el libro y señale de algún modo, lo que indicamos para leer. • Si trabaja con el libro 1 lea: • En el capítulo 3: Las funciones y sus fórmulas, páginas 43 a 46. En "Manos a la obra", página 47: resuelva las actividades 1 y 2. • En el capítulo 2: En "Final de obra", páginas 37 a 40: resuelva las actividades 10, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 23 y 25 • Si usted trabaja con el libro 2: • En el capítulo 3, lea y resuelva las actividades de la Situación 4, en las páginas 72 a 75. Ahora que ya tiene señalado en el libro lo que debe leer en este momento de su tarea, comience con la lectura señalada. Una vez que haya completado el trabajo con los textos lo invitamos a realizar los ejercicios de integración.


51

Ejercicios de integración

MATEMATICA A través de estos ejercicios le propondremos:

• relacionar las situaciones concretas analizadas con los conceptos matemáticos que es posible aplicar para su resolución y el lenguaje matemático a través del cual se expresan esos conceptos;

• aplicar los conceptos estudiados a nuevas situaciones que puedan ser resueltas matemáticamente.

Ejercicio n.º 1 Cada uno de los temas que hemos trabajado en la Unidad introduce un vocabulario específico. Para presentar cada tema hemos partido de situaciones de la vida cotidiana, hemos dado ejemplos numéricos y hemos introducido un lenguaje simbólico que permite expresar la situación matemáticamente. La actividad que le proponemos le ayudará a vincular vocabulario, simbología, situaciones concretas y ejemplos numéricos de los temas tratados. a. Póngale nombre a cada uno de los elementos del gráfico de la columna de la derecha, utilizando los términos que aparecen en la columna de vocabulario:

Tema

Vocabulario Ejes coordenados

Elementos del gráfico

y A

5

Abscisa Sistema coordenado cartesiano

4 3

Ordenada

2 1

x

Origen de coordenadas 0

1

2

3

Coordenadas de un punto

b. Teniendo en cuenta la secuencia de trabajo que le presentamos en la Actividad n º. 2 "El control de un proceso industrial" para estudiar el tema funciones, complete en el siguiente cuadro los casilleros en que falten datos:

52


Ejemplos

Tema

Función f:A→B/ f = (x ) Una función es ......................... (complete la línea punteada)

Vocabulario

En situaciones concretas

Numéricos para f : {-1 ; 0 ; 1} → {-4 ; 0 ; 4 ; 8} / y = -4x

Conjunto de partida

Para la Actividad nº. 2, posibles horas de registro de temperatura

A = {-1 ; 0 ; 1}

A

B = {4 ; 0 ; -4 ; 8}

B

Simbología

Imagen de a, para a ∈ A Preimagen de b, para b ∈ B

b = f (a) 4 es preimagen de 2 porque en la hora 4 se registró 2º C Dom f

Conjunto Imagen Par ordenado Conjunto de pares ordenados

(hora, temperatura) {( , ),( , ),( , )}

Tabla

y = f (x )

Fórmula

y Gráfico

x

c. Teniendo en cuenta la secuencia de trabajo que presentamos a través de la Actividad nº. 3 "Análisis para optimizar el rendimiento de una planta industrial”, complete el siguiente cuadro en todos los casos en que falten datos: Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

53

Ejemplos Tema

Función f:A→B

Vocabulario


Estrictamente creciente

Tanque 1 de la Actividad nº. 3

En gráficos o diagramas de Venn

y = n (t ) 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Estrictamente decreciente 0

1

2

3

t

horas

Inyectiva A

B

• • •

Sobreyectiva o suryectiva

• •

Biyectiva d. Teniendo en cuenta la secuencia de trabajo presentada a través de la Actividad nº. 4 "En la búsqueda de mayores precisiones", complete el siguiente cuadro en todos los casos en que falten datos: Ejemplos

54

Tema

Vocabulario

Función cuya fórmula es la ecuación de una recta

Función lineal

En situaciones concretas: Un tanque que Numéricos en tiene 2 litros f : [0;3] → [-7;-1] / empieza a llenarse a razón y = f (x ) = -2x - 1 de 3 litros por minuto durante 10 minutos

Ecuación de la recta Pendiente Ordenada al origen


Simbología

f:R→R/y= f (x ) = mx + b

Ejercicio n.º 2 Represente el conjunto solución de las siguientes ecuaciones e inecuaciones en sistemas de ejes coordenados cartesianos: a. y = 1,5x

b. y > 1,5x

c. y = 2x - 3

d. y = -3x

e. y < -3x

f. y = 4

Ejercicio n.º 3 En la siguiente tabla se muestran para cada año de un colegio secundario, los promedios obtenidos por los alumnos. Año x

1

2

3

4

5

Promedio de notas y

5,5

6,3

6,2

5,8

5,2

a. Si la tabla anterior describe a cada una de las relaciones que se dan a continuación, ¿cuál o cuáles de ellas son funciones? ¿Por qué? Recordamos que: Con la letra N se simboliza el conjunto de los números naturales, es decir, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... , 358, ... , 23545, ....}. Con la letra Q se simboliza al conjunto de los números racionales, es decir todos aquellos que se pueden escribir usando fracciones, o expresados con desarrollos decimales finitos o de infinitas cifras periódicas. Con la letra R simbolizamos al conjunto de números reales. Este conjunto tiene a todos los números racionales y a los números irracionales (que son números no racionales que se pueden expresar con un desarrollo decimal de infinitas cifras no periódicas).

1. f : N → R / y = f (x ) 2. g : {1; 2; 3; 4; 5} → Q / y = g (x ) 3. h : {1; 2; 3; 4; 5} → R / y = h (x ) 4. j : {1; 2; 3; 4; 5} → [0; 10] / y = j (x ) b. Indique el dominio y el conjunto imagen de las relaciones que identificó como funciones en el ítem anterior (que a cada año le hace corresponder su promedio.) c. A partir de la tabla, determine, si existen, los valores de la imagen de 3 y las preimágenes de 5,8 y 6,4.


55

Ejercicio n.º 4 Don Gregorio es repartidor de plaguicidas líquidos en el campo. Lleva los plaguicidas desde la fábrica hasta las granjas, chacras y estancias de sus clientes. Cobra $ 3 por cada litro de plaguicida, y por el servicio a domicilio cobra $ 4. Por limitaciones legales en el medio de transporte no puede llevar más de 100 litros por viaje. a. ¿Cuánto le cobra Don Gregorio a un cliente que le compra 17 litros de plaguicida? b. ¿Cuánto le cobra a un cliente que le pide 65 litros? c. ¿Y a uno que le pide 30,5 litros? d. Pasa una vez por mes por el establecimiento de cada cliente. Si un mes, al visitar a un cliente, este le dice que no necesita plaguicida, ¿cuánto le cobra? e. ¿Y si un cliente le pide 100 litros? f. Si llamamos x a la cantidad de litros de plaguicida que compra un cliente de Don Gregorio y llamamos y al importe a pagar por dicha compra, escriba una fórmula que le permita calcular y a partir de x. g. Defina una función f que describa la situación concreta planteada. Es decir, la función que relaciona la cantidad de plaguicidas que puede vender Don Gregorio a cada cliente con el importe a pagar. h. Dé el dominio de la función que definió en el ítem g. i. Si por una compra un cliente le paga $ 46 a Don Gregorio, ¿cuántos litros de plaguicida compró? j. Para la función definida anteriormente, halle f (65) y f

-1

(46).

k. Represente la función que definió anteriormente en un sistema de ejes coordenados cartesianos. l. A partir del gráfico que hizo en el ítem anterior, dé el conjunto imagen de dicha función.

Ejercicio n.º 5 Don Hilario, amigo de Don Gregorio, se dedica a repartir palas en el campo. Lleva las palas desde la fábrica hasta las granjas, chacras y estancias de sus clientes. Cobra $ 3 por cada pala, y por el servicio a domicilio cobra $ 4. Por limitaciones de espacio en el medio de transporte no puede llevar más de 100 palas. a. ¿Cuánto le cobra Don Hilario a un cliente que le compra 17 palas? b. ¿Cuánto le cobra a un cliente que le pide 65 palas? c. Y a uno que le pide 30,5 palas, ¿qué le dice? d. Defina una función g que describa la situación concreta planteada. Es decir, la función que relaciona la cantidad de palas que puede vender Don Hilario a cada cliente con el importe a pagar. 56


e. Dé el dominio de la función que definió en el ítem d. f. Represente la función que definió anteriormente en un sistema de ejes coordenados cartesianos. g. Dé el conjunto imagen de dicha función expresado en lenguaje coloquial. h. Identifique semejanzas y diferencias entre las respuestas que usted dió en este ejercicio y las que dió en el ejercicio n.º 4.

Ejercicio n.º 6 1. Entre las 14 horas y las 15 horas de un determinado día, la temperatura en la ciudad aumentó. Si llamamos y = f (t ) a la temperatura en cualquier instante t : a. ¿Cómo resulta f (14) con respecto a f (15)? b. Complete con < , > ó =, la siguiente expresión simbólica: Si 14 .......... 15, entonces f (14) .......... f (15). c. Si se entera de que entre las 15 horas y las 16 horas, la temperatura siguió aumentando, complete: Si 15 .......... 16, entonces f (15) .......... f (16). d. La función que da la temperatura para cada instante t en el intervalo [14; 16] es estrictamente creciente. Teniendo en cuenta esta caracterización complete la línea punteada con el símbolo que corresponda para que la afirmación que damos sea verdadera: Si a dicha función la llamamos f : [14; 16] → R / y = f (t ) y tomamos dos instantes t1 y t 2 cualquiera del intervalo [14; 16], siendo t1 < t 2, resulta que f (t1) .......... f (t2). e. Complete la afirmación que sigue colocando el símbolo que corresponda: En general, si f : [a; b] → R / y = f (x) es una función estrictamente creciente en el intervalo [a; b] y se toman x1 ∈ [a; b] y x2 ∈ [a; b], siendo x1 .......... x 2, entonces resulta que f ( x1) .......... f ( x 2). 2. Entre las 18 horas y las 19 horas de un determinado día, la temperatura en la ciudad descendió. Si llamamos y = f (t) a la temperatura en cualquier instante t : a. ¿Cómo resulta f (18) con respecto a f (19)? b. Complete con < , > ó =, la siguiente expresión simbólica: Si 18 .......... 19, entonces f (18) .......... f (19). c. Si se entera que entre las 19 horas y las 20 horas, la temperatura siguió bajando, complete: Si 19 .......... 20, entonces f (19) .......... f (20). d. La función que da la temperatura para cada instante t en el intervalo [18; 20] es estrictamente decreciente. Teniendo en cuenta esta caracterización complete las líneas punteadas con los símbolos que correspondan para que las afirmaciones que damos a continuación resulten verdaderas:


57

Si a dicha función la llamamos f : [18; 20] → R / y = f (t) y tomamos dos instantes t1 y t2 cualquiera del intervalo [18; 20], siendo t1 < t 2, resulta que f (t 1) .......... f (t 2). En general, si f : [a; b] → R / y = f (x ) es una función estrictamente decreciente en el intervalo [a; b] y se toman x 1 ∈ [a; b] y x 2 ∈ [a; b], siendo x 1 .......... x 2, entonces resulta que f (x 1) .......... f (x 2). 3. a. Si un compañero suyo le pidiera que le explique con sus palabras "lo más sencillo posible" cuándo se dice que una función es estrictamente creciente en un intervalo, ¿qué le diría? b. Si otro compañero suyo le pidiera que le explique con sus palabras "lo más sencillo posible" cuándo se dice que una función es estrictamente decreciente en un intervalo, ¿qué le diría?

Ejercicio n.º 7 El siguiente gráfico muestra la evolución de la temperatura (en °C) de un paciente de un centro médico desde el comienzo de su tratamiento, considerado con t = 0, hasta su alta.

y = f (t ) (en ºC) 41 40 39 38 37 36 35

8

12

20 24

34

42 46 50 54

60

70

72

t

(en horas)

a. ¿Cuánto tiempo este paciente estuvo bajo tratamiento? b. Si el gráfico anterior representa a la función que relaciona el tiempo con la temperatura del paciente, ¿cuál es el dominio de dicha función? c. Si llamamos f a la función que relaciona tiempo con la temperatura del paciente, dé los valores de f (20), f (0), f (50). d. Determine, si existen, los valores de las preimágenes de 40, 38 y 36. 58


e. ¿Cuál es el conjunto imagen de la función definida anteriormente? f. Indique los intervalos de crecimiento de la función. g. El paciente recibe una medicación para disminuir su fiebre. Indique en qué períodos le hace efecto. h. Indique cuándo la temperatura del paciente fue mínima. ¿Cuál fue esa temperatura? i. ¿Está de acuerdo con que se le haya dado el alta al paciente? ¿Por qué?

Ejercicio n.º 8 Entre el conjunto de los habitantes de la República Argentina y el conjunto de números naturales N se establecen las siguientes relaciones: a. A cada habitante se le hace corresponder su edad en años. b. A cada habitante se le hace corresponder su número de DNI. c. A cada habitante se le hace corresponder la cantidad de hermanos que tiene. Para cada una de las relaciones definidas anteriormente, responda: 1. ¿Son funciones? ¿Por qué? 2. Si son funciones, ¿son biyectivas? ¿Por qué?

Ejercicio n.º 9 Indique si las siguientes funciones son biyectivas. Justifique sus respuestas. a. f : {7; 12; 17; 22} → N / f (x ) = x + 5 b. f : {0; 2; 4; 6; 8; 10} → {0; 1; 2; 3; 4; 5} / f (x ) = x : 2 c. f : {1; 3; 5; 7; 9} → {2; 4; 6; 8; 10} / d. f : R → R / f (x ) = x : 2

x

1

3

5

7

9

f (x )

8

2

4

6

10

e. f : R → R / f (x ) = 3x + 4 Ejercicio n.º 10 Le pedimos que vuelva a la Parte H de la Actividad nº. 3 "Análisis para optimizar el rendimiento de un planta industrial", aquella en la que el jefe de una planta industrial desea comprar nuevas bombas para llenar y descargar los tanques de la planta. Explique por qué: a. Las relaciones g y h no son funciones. b. Las funciones n, k y f no son biyectivas.


59

Ejercicio n.º 11 En el siguiente gráfico se ha representado la demanda d de un producto en función del precio p de venta por unidad.

d (kg) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

p ($)

a. Cuando el precio de venta de cada unidad del producto es de $1, o sea p =1, ¿qué cantidad d del producto es demandado? b. Si el precio de venta es 6 pesos la unidad, ¿cuál es la demanda? c. Si aumenta el precio de venta unitario, ¿qué ocurre con la demanda? d. ¿A qué velocidad disminuye la demanda? e. Encuentre una fórmula que permita calcular la demanda d para cada precio de venta unitario p. f. Escriba una función que describa la situación concreta planteada.

Ejercicio n.º 12 Un móvil se desplaza de manera que la posición y (en metros) en función del tiempo t (en minutos) está dada por la función r : [0 ; 10] → R / y = 2t + 5. a. Represente gráficamente la función r . b. ¿Con qué velocidad se desplaza el móvil? c. ¿Cuál es su posición inicial? (O sea la posición para t =0) d. Indique la pendiente y la ordenada al origen de la recta cuya ecuación es: y = 2.t + 5. Ejercicio n.º 13 Un tanque de agua que contiene 10 litros se desagota a razón de 4 litros por minuto. a. Exprese una fórmula que le permita calcular la cantidad y de litros que tiene el tanque en cada instante t (en minutos). b. Escriba la función f que describe la situación planteada.

60


Ejercicio n.º 14 a. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática del Bloque 3. b. Lea los contenidos de la Unidad 1, y para cada uno de ellos identifique:

• ¿En qué actividades de la Guía de estudio fue tratado? • ¿En qué parte del libro (capítulo, situación y/o páginas) fue tratado? c. Confeccione un cuadro con el encabezado que le damos a continuación y complételo teniendo en cuenta lo que pensó en el ítem b.

Contenidos de la Unidad

Actividades de la Guía de estudio

Referencia del Libro

d. Relea los Propósitos de la Unidad 1. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

• Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 2. • Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem c. de este ejercicio. El propósito de este ejercicio consiste en favorecer la construcción de una especie de "mapa del recorrido por la Unidad". Este trabajo le será de gran utilidad por dos razones fundamentales:

• le ayudará, a través del cuadro, a tener ubicados los temas para realizar el repaso o revisión que necesite

• lo ayudará a identificar sus logros y dificultades promoviendo la reflexión sobre su propio proceso de aprendizaje teniendo en cuenta los propósitos de la Unidad. Por esto le aconsejamos especialmente que realice este ejercicio. No le presentaremos en este caso orientaciones pues las respuestas suponen un proceso individual de reconocimiento y reflexión en relación con el propio trabajo. Encontrará un ejercicio como este al finalizar los ejercicios de integración de cada una de las Unidades del Bloque.


61

Orientaciones acerca de los ejercicios de integración MATEMATICA Le ofrecemos aquí las orientaciones que le permiten verificar su trabajo con los ejercicios de integración. No dude en volver a releer la Guía y el texto si cometió errores o si no recordó algún concepto o procedimiento de resolución. Recuerde que puede asistir a las consultorías para resolver dudas y compartir su trabajo con otros compañeros Ejercicio n.º 1 a. El primer cuadro completo es: Tema

Vocabulario

Nombres de los elementos del gráfico

Ejes coordenados

y A = (2 , 3)

ordenada 3

Abscisa

coordenadas del punto A

2

Sistema coordenado cartesiano

Ordenada

1

x

eje de las abscisas

Origen de coordenadas

origen de coordenadas

Coordenadas de un punto

0

1

2

abscisa

eje de las ordenadas

b. El segundo cuadro completo es: Ejemplos

Tema

Vocabulario

En situaciones concretas para la Actividad n.º 2

Numéricos para f : {-1 ; 0 ; 1} → {4 ; 0 ; -4 ; 8} / y = -4x

Simbología

Conjunto de partida

Posibles horas de registro de temperatura

A = {-1 ; 0 ; 1}

A

Conjunto de llegada

Las posibles temperaturas

B = {4 ; 0 ; -4 ; 8}

B

Función

f:A→B/ y = f (x ) Una función es “ Una relación de A en B que cumple con dos condiciones: • cada elemento de A tiene un correspondiente en B. • cada elemento de A tiene un único correspondiente en B.”

62

Imagen de a, para a ∈ A

Preimagen de b, para b ∈ B

2 es imagen de 4 f (1) = -4 por ser 2º C la -4 es imagen de temperatura de 1 a través de f la hora 4 4 es preimagen de 2 porque en la hora 4 se registró 2º C


f

b = f (a)

-1

(-4) = 1 1 es preimagen de -4 a través de f

a=f

-1

(b )

Ejemplos

Tema

Función f:A→B/ y = f (x )

Vocabulario


Numéricos para f : {-1 ; 0 ; 1} → {4 ; 0 ; -4 ; 8} / y = -4x

Simbología

Dominio

Horas para las cuales se registraron temperaturas. Por ser función coincide con el conjunto de partida.

Dom f = A ó Dom f = {-1 ; 0 ; 1}

Dom f

Conjunto Imagen

Temperaturas que se registraron Im f = {4 ; 0 ; -4}

Im f

Par ordenado

(hora, temperatura)

(-1 ; 4), (0 ; 0) ó (1 ; -4)

(a ; b )

Conjunto de pares ordenados

{(0 ; -2), (1 ;-1), (2 ; 0), (3 ; 1), (4 ; 2)}

{(-1 ; 4), (0 ;0), (1 ; -4)}

{(a ; b ),(c ; d),...}

Tabla

Tabla de registro de temperaturas

x -1 0 1 y 4 0 -4

x a c ... y b d ...

Fórmula

y = f (t ) = t - 2

y = f (x ) = -4x

y = f (x )

f (t)

f (x)

2

y

4

1

t

Gráfico 0 1 2 3 4

x -1

0

1

x

-1 2

-4


63

c. El cuadro completo queda: Ejemplos Tema

Función f:A→B/ y = f (x )

Vocabulario


En gráficos o diagramas de Venn

y Estrictamente creciente


x y = n (t )

Estrictamente decreciente

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Tanque 4 de la Actividad nº. 3 0

1

2

3

t

horas

A Inyectiva

B

• • •


• • • •

A Sobreyectiva o suryectiva


B

• • •

• •

• • • •

• • • •

A Biyectiva

64



B

d. Así queda el cuadro: Ejemplos

Tema

Vocabulario

Función cuya fórmula es la ecuación de una recta

Función lineal

En situaciones concretas: Un tanque que Numéricos en tiene 2 litros f : [0;3] → [-7;-1] / empieza a llenarse a razón y = f (x ) = -2x - 1 de 3 litros por minuto durante 10 minutos

Simbología

f:R→R/y= f (x ) = mx + b y = f (x ) = y = f (x ) = -2x - 1 mx + b

Ecuación de la recta

y = 3x + 2

Pendiente

3

-2

m

Ordenada al origen

2

-1

b

Ejercicio n.º 2 Se pidieron representaciones similares a estas en la Actividad n°. 1 "Juan diseña estampados sobre tela con ayuda de una computadora" con las restricciones que se deben dar a la computadora (ecuaciones o inecuaciones). Puede tomar dichas representaciones como guía. a. Buscamos algunos pares ordenados que verifican la ecuación y = 1,5x. Por ejemplo, si tomamos x = 0, obtenemos que y = 1,5 . 0 = 0, por lo tanto, el par (0; 0) responde a la ecuación dada. De la misma manera, si x = 2, resulta y = 1,5 . 2 = 3, por eso, otro par que verifica la ecuación es (2; 3). Otro par es (-2; -3), ya que -3 = 1,5 . (-2). Tenemos así, 3 pares que verifican la ecuación dada. Así podríamos seguir buscando más pares (infinitos) que responden a la ecuación y = 1,5x. Al representar esos infinitos pares ordenados en un sistema de ejes coordenados cartesianos resulta el gráfico de una recta:

y 3 2 1

x -3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1 -2 -3


65

b. Como vio en los casos de los diseños en las telas, el conjunto solución de las inecuaciones de este tipo se representan mediante un semiplano. El borde del semiplano, en este caso, es la recta de ecuación y = 1,5 x , representada en el ítem a. Conocer el borde del semiplano buscado nos servirá de guía. Por ejemplo, el par (0 ; 0) pertenece al borde, luego el (0 ; 3) verifica la desigualdad y > 1,5 x ya que si reemplazamos las coordenadas en la desigualdad, esta se verifica porque 3 > 1,5 . 0. Del mismo modo, sabemos que el punto de coordenadas (2 ; 3) pertenece al borde, luego el punto de coordenadas (2 ; 6) está en el semiplano buscado ya que verifica la desigualdad 6 > 1,5. 2 = 3. A partir de saber que (-2; -3) está en el borde del semiplano pedido, podemos pensar que (-2; -1) verifica la inecuación y > 1,5 x. Es así, ya que -1 > 1,5.(-2) = -3. Busque otros pares que verifiquen la inecuación dada. Por lo tanto, los pares (0 ; 3) , (2 ; 6) y (-2 ; -1) son las coordenadas de algunos de los infinitos puntos que, representados en un sistema de ejes coordenados estarán, entonces, dentro de la siguiente región sombreada:

y (1 ; 5)

(0 ; 3)

x (-1 ; 0)

• Pensando como en los ítems a. y b., contestamos los ítems c., d., e. y f. en la tabla: Ítem

c.

d.

e.

f.

Algunos pares

(0 ; -3), (1 ; -1), (2 ; 1)

(0 ; 0), (-1 ; 3), (1 ; -3)

(0 ; -2), (1 ; -4), (-1 ; 1)

(-2 ; 4), (0 ; 4), (3 ; 4)

y

y

1

x 0

Gráfico de la región

1

y

3

3

2

2

1

2

x

-1 -2 -3

-1

0

1

(-1 ; 1)

y 4

1

-1

x 0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

1

(0 ; -2)

(1 ; -4)

66


x 0

Ejercicio n.º 3 a. 1. f : N → R / y = f (x) no es función porque hay números naturales (los mayores que 5) del conjunto de partida que no tienen imagen en el conjunto de llegada. 2. g : {1; 2; 3; 4; 5} → Q / y = g (x) es función porque la imagen de cada número del conjunto de partida es un número racional (expresado en forma decimal finita). 3. h : {1; 2; 3; 4; 5} → R / y = h (x) es función porque la imagen de cada número del conjunto de partida es un número real. 4. j : {1; 2; 3; 4; 5} → [0; 10] / y = j(x) es función porque la imagen de cada elemento del conjunto de partida es un número del intervalo [0; 10]. b. El dominio, en las funciones coincide con el conjunto de partida. Por lo tanto,el dominio de cualquiera de las funciones del ítem anterior es el conjunto {1; 2; 3; 4; 5}. El conjunto imagen de cualquiera de ellas es {5,2; 5,5; 5,8; 6,2; 6,3}. c. Observando la tabla, resulta:

• La imagen de 3 es 6,2. • La preimagen de 5,8 es 4. • No existe la preimagen de 6,4 ya que 6,4 no es imagen de ningún elemento del dominio. Ejercicio n.º 4 a. Don Gregorio le cobra $ 55, ya que le cobra $ 3 por cada litro de plaguicida ($3 . 17) más los $ 4 por el servicio a domicilio: $ 3 . 17 + $ 4 = $ 55. b. $ 199 ya que 3 . 65 + 4 = 199. c. $ 95,5 ya que 3 . 30,5 + 4 = 95,5. d. $ 4 ya que 3 . 0 + 4 = 4. e. $ 304 ya que 3 . 100 + 4 = 304. f. Observe que en todos los casos anteriores se hicieron las mismas cuentas. Para obtener el importe y, multiplicamos por 3 a la cantidad x de litros de plaguicida comprada por un cliente y le sumamos 4. La fórmula pedida es, entonces, y = 3x + 4 que generaliza los cálculos mencionados. g. Para definir la función pedida debemos indicar el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la forma de relacionar los elementos de ambos conjuntos. En este caso, el conjunto de partida es el de las posibles cantidades de plaguicida a comprar por un cliente. Es decir, el conjunto de partida es el intervalo [0 ; 100] ya que de acuerdo a la restricción impuesta no puede cargar más de 100 litros en cada viaje. El conjunto de llegada debe tener a los posibles importes a pagar por esas compras. La forma de relacionar los elementos de dichos conjuntos es la fórmula dada en el ítem f. Por lo tanto, una posible función que describe la situación concreta planteada es f : [0; 100] → R / f(x) = 3x + 4. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

67

(Decimos que es una posible función porque Ud. podría haber elegido el conjunto R como conjunto de llegada, o cualquier otro que contenga a todas las imágenes de los elementos del conjunto de partida, por ejemplo al intervalo [4 ; 304] ó [0 ; 500], etc). h. En las funciones, el dominio coincide con el conjunto de partida, por eso resulta Dom f = [0; 100]. i. En este caso, el dato es el importe y a pagar. Se desconoce la cantidad x de plaguicida comprado. Se puede plantear la ecuación 3x + 4 = 46, cuya solución es x = 14. (Si no recuerda cómo resolver este tipo de ecuaciones puede recurrir a la Unidad 2 del Bloque 1). Por lo tanto, si pagó $ 46, el cliente compró 14 litros de plaguicida. Este no es el único camino de resolución. Usted pudo haber utilizado otro igualmente válido. j. Cuando se pide f (65), o imagen de 65 a través de f, se está pidiendo el importe a pagar por una compra de 65 litros de plaguicida, ya que se debe averiguar qué elemento del conjunto de llegada corresponde al 65 del conjunto de partida. La respuesta es la hallada en el ítem b.: f (65) = 199. Si se pide f -1 (46), o preimagen de 46 a través de f, se quiere averiguar qué elemento (o elementos) del conjunto de partida le corresponde al 46 del conjunto de llegada. En términos de la situación concreta le estamos pidiendo que averigue cuántos litros se compraron si se pagaron $ 46. Esto es lo averiguado en i., por lo tanto, f -1 (46) = 14. Observe que en este ítem le estábamos pidiendo en forma simbólica lo mismo que le habíamos pedido, en forma coloquial y referida a la situación concreta, en b. y en i. k. El gráfico de la función definida es:

y = f (x) 304

4

100

x

l. Observando el gráfico, podemos decir que Im f = [4; 304]. Ejercicio n.º 5 Los ítems a. y b. se responden como en la Actividad n°. 4. Las respuestas son distintas para: c. Si un cliente le pide 30,5 palas, Don Hilario le podría contestar de varias formas. Una manera educada sería explicar amablemente que no puede partir las palas.

68


d. Teniendo en cuenta que las palas no se pueden fraccionar, el conjunto de partida de la función debe ser el conjunto de números naturales entre 0 y 100. Podemos expresar la función que describe la situación concreta planteada así: g : {x / x ∈ N y 0 ≤ x ≤ 100} → R / g (x) = 3x + 4 e. Dom g = {x / x ∈ N y 0 ≤ x ≤ 100} f. Representamos algunos puntos del gráfico de esta función:

y = g(x) 40 37 34 31 28 25 22 19 16 13 10 7 4 1 2

3 4

5

6

7 8

9 10 11 12

x

g. En el conjunto imagen de esta función están los números naturales desde 4, saltando de a 3, hasta 304.

Ejercicio n.º 6 1. a. f (14) es menor que f (15). b. Completamos: Si 14 < 15, entonces f (14) < f (15). c. Completamos: Si 15 < 16, entonces f (15) < f (16). d. Completamos: Siendo t 1 < t 2, resulta que f (t 1) < f (t 2). e. Completamos: Siendo x 1 < x 2, entonces resulta que f (x 1) < f (x 2). 2. a. f (18) es mayor que f (19). b. Si 18 < 19, entonces f (18) > f (19). c. Si 19 < 20, entonces f (19) > f (20). d. Siendo t 1 < t 2, resulta que f (t 1) > f (t 1). Siendo x 1 < x 2, entonces resulta que f (x 1) > f (x 2).


69

3. a. Le podría decir que si una función f es estrictamente creciente en un intervalo, a medida que aumenta x, también aumentan los correspondientes valores de f (x). b. En cambio, si una función f es estrictamente decreciente en un intervalo, al aumentar el valor de x, los valores de f (x) disminuyen. Ejercicio n.º 7 a. El gráfico muestra lo ocurrido en todo el tratamiento del paciente. Allí podemos ver que el tratamiento duró 72 horas (3 días). b. El dominio de la función es el intervalo [0 ; 72]. c. A partir del gráfico se puede leer que: f (20) = 38,5 ; f (0) = 40 ; f (50) = 38. d. Las preimágenes de 40 son 0, 12 y 34. Las preimágenes de 38 son 24, 42, 50 y 60. La única preimagen de 36 es 70. e. El conjunto imagen de f es Im f = [36; 41]. f. La función f crece en los intervalos [0 ; 8], [24 ; 34], [46 ; 54] y [70 ; 72]. g. La medicación le hace efecto en los intervalos [8 ; 24], [34 ; 46] y [54 ; 70] que son los lapsos en los que la temperatura del paciente disminuye. h. La temperatura mínima del paciente se registró a las 70 horas de tratamiento y fue de 36° C. También se registraron mínimos de temperatura a las 24 horas (con 38° C) y a las 46 horas (con 37° C). i. No estaría de acuerdo con el alta del paciente ya que su temperatura está aumentando cuando es dado de alta.

Ejercicio n.º 8 a. La relación que a cada habitante de la República Argentina le hace corresponder su edad en años es función ya que cada habitante tiene una sola edad. No es función biyectiva porque no es sobreyectiva (hay números naturales del conjunto de llegada que no son imagen de ningún elemento del conjunto de partida, por ejemplo, nadie tiene 3467 años), y tampoco es inyectiva (hay muchos habitantes distintos que tienen la misma edad en años). b. La relación entre habitantes y números de DNI es función ya que cada uno debe tener su número único de DNI. No es una función biyectiva ya que no es sobreyectiva (hay muchos números naturales que no son números de DNI, por ejemplo, el 45673737738949) aunque sí es inyectiva (dos habitantes distintos deben tener distintos números de DNI). c. Esta relación es función. No es biyectiva (no es ni inyectiva ni sobreyectiva). La explicación es similar a la del ítem a.

70


Ejercicio n.º 9 a. No es biyectiva porque no es sobreyectiva (hay muchos números naturales del conjunto de llegada que no son imagen de ningún elemento del dominio, por ejemplo 890). b. Es función biyectiva ya que es sobreyectiva (el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada) e inyectiva (dos números distintos del conjunto de partida tiene distinta imagen por tener distinta mitad). c. Es función biyectiva. Es sobreyectiva (todos los elementos del conjunto de llegada son imágenes) y es inyectiva (dos elementos distintos del dominio tienen distinta imagen). d. Es función biyectiva. (Es un caso generalizado de la función del ítem b.). e. Es función biyectiva. (Es una función lineal. En ella todos los números reales son imagen de algún número real del dominio y a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas).

Ejercicio n.º 10 a.

• Si observamos el gráfico de la relación g : [1 ; 4] → [2 ; 5] / y = g(x), podemos ver que los elementos del conjunto de partida [1 ; 4] tienen dos imágenes en el conjunto de llegada [2 ; 5]. Por esa razón la relación g no es función.

• En el gráfico de la relación h : [0 ; 5] → [0 ; 4] / y = h(x) vemos que los números mayores que 3 del conjunto de partida [0 ; 5] no tienen imagen en el conjunto de llegada [0 ; 4]. Por eso la relación h no es función. b.

• La función n : [-2 ; 2] → [1 ; 5] / y = x 2 + 1 no es biyectiva ya que no es inyectiva. A partir del gráfico podemos ver que dos elementos distintos del dominio tienen la misma imagen. Por ejemplo, 1 y -1 tienen por imagen al 2.

• En el gráfico de la función k : [0 ; 4] → R / y = 2 x + 3, podemos ver que los números del conjunto de llegada que son menores que 3 no son imagen de ningún elemento del conjunto de partida. Por lo tanto, la función k no es sobreyectiva, ya que el conjunto de llegada no coincide con el conjunto imagen. Al no ser sobreyectiva, la función k tampoco es biyectiva.

• La función f : R → R / y = f (x) no es biyectiva ya que no es inyectiva. En el gráfico vemos que hay elementos distintos de su dominio que tienen la misma imagen. Por ejemplo 2 y -2 tienen imagen 0.

Ejercicio n.º 11 a. A partir del gráfico vemos que si p = 1, resulta d = 10. b. En el gráfico se observa que si el precio es 6, la demanda es de 0 unidades (no hay demanda). Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 1

71

c. Vemos que a medida que el precio aumenta, la demanda disminuye. d. La representación gráfica muestra un segmento de recta. Por lo tanto la velocidad con que disminuye la demanda es constante. Disminuye 2 unidades por cada $1 de aumento del precio, es decir, disminuye 2 unidades/$. e. La demanda es de 12 unidades si el precio p = 0. Esto es la ordenada al origen de la recta. La pendiente o velocidad es -2 (como vimos en el ítem anterior). Entonces, la fórmula de la recta que permite calcular la demanda d para cada precio de venta unitario p es: d = 12 - 2p ó d = -2p + 12. f. El conjunto de partida o dominio de la función debe ser el intervalo [0 ; 6] para que tenga sentido el problema concreto. El conjunto de llegada puede ser el conjunto imagen que es el intervalo [0 ; 12] o cualquier otro conjunto que lo contenga. La forma de mostrar la relación de los datos de ambos conjuntos puede ser la fórmula dada en el ítem e. Por lo tanto, una función que describe la situación concreta planteada es: d : [0 ; 6] → [0 ; 12] / d (p) = -2p + 12 Ejercicio n.º 12 a.

y (en m.) 25 20 14 9 7 5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t (en min.)

b. El móvil se desplaza a 2 m/min ya que por cada minuto que pasa recorre 2 metros. c. Su posición inicial es y = 5 m, ya que para el instante t = 0 resulta y = 2.0 + 5 = 5. d. La pendiente de la recta cuya ecuación es y = 2t + 5 es 2 (coincide con el valor de la velocidad), y su ordenada al origen es 5 (coincide con la posición inicial).

Ejercicio n.º 13 a. Se sabe la cantidad inicial de agua del tanque (10 litros) y la velocidad con que se vacía (-4 l/min). Con estos datos se saben la pendiente y la ordenada al origen de la recta. Por lo tanto la fórmula que permite calcular la cantidad y de litros que tiene el tanque en cada instante t es y = -4t + 10. b. La función f : [0 ; 2,5] → R / y = f (t) = -4t + 10 describe la situación planteada. 72


2

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas En esta Unidad seguiremos trabajando con funciones cuya fórmula es la ecuación de una recta. Nos interesa ahora poder determinar el (o los) puntos de intersección entre dos rectas en forma gráfica y analítica; e interpretar su significado en diversas situaciones concretas.

Propósitos de la Unidad

UNIDAD 2

UNIDAD

En relación con los contenidos de esta Unidad le proponemos que: • Reconozca las características de los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. • Clasifique estos sistemas de acuerdo con el tipo de solución. • Adquiera habilidad para utilizar distintos métodos de resolución. • Reconozca qué situaciones problemáticas pueden resolverse a través de dichos sistemas. • Escriba correctamente el conjunto solución de un sistema de ecuaciones.

ACTIVIDAD Nº. 1: “NUEVAS INSTRUCCIONES PARA REALIZAR DISEÑOS DE ESTAMPADOS SOBRE TELAS" ¿Recuerda la Actividad nº. 1 de la Unidad 1: "Juan diseña estampados sobre tela con ayuda de la computadora"? Le proponemos volver a analizar el trabajo de uno de los diseñadores de esta empresa. Horacio trabaja como diseñador de figuras para estampar telas y utiliza para ello el sistema computarizado que utilizaba Juan. Inicia el trabajo dando las siguientes órdenes a la computadora: • Pintar de color amarillo, la zona restringida por la instrucción y=- 2 x+6 3 • Pintar de color azul la zona restringida por la instrucción y= 1 x+3 3


73

En respuesta a estas instrucciones la pantalla muestra un gráfico como el siguiente:* y recta amarilla 6

recta azul

5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

Como interesa observar especialmente lo que ocurre en un cuadrado de 6 unidades de lado, el diseñador se lo indica a la computadora, y ésta lo destaca con líneas punteadas, de la siguiente forma:* y 6

recta azul

5 4 3

recta amarilla

2 1 0

1

2

3

4

5

6

x

Parte A 1. Imagine por un momento que no puede observar la pantalla y necesita saber si algunos puntos fueron pintados o no. El dato de que dispone es la instrucción que Horacio dio a la computadora, esto es:

• Pintar de color amarillo la zona abarcada por todos los puntos que verifiquen la igualdad y = - 2 x + 6 3 • Pintar de color azul la zona abarcada por todos los puntos que verifiquen la instrucción y = 1 x + 3 3 Si necesita saber si los puntos de coordenadas: (0 ; 6) , (6 ; 5) , (1 ; 2) , (3 ; 4), fueron pintados de amarillo, de azul, o no fueron pintados de acuerdo a las instrucciones dadas ¿Cómo lo decidiría? Escriba todas las cuentas que necesite para justificar su respuesta. (tenga en cuenta que el primer valor de cada uno de los pares representa

* Como no podemos utilizar aquí los colores indicados, los señalamos en el gráfico como referencias. 74


un valor de x y el segundo un valor de y, por ejemplo en el primer caso x = 0 e y = 6) 2. Mirando la pantalla y teniendo en cuenta sólo el cuadrado de observación que determinó el diseñador, responda: a. ¿Para qué valores de x los puntos amarillos están más arriba que los puntos azules? b. ¿Para qué valores de x los puntos azules están más arriba que los puntos amarillos? c. ¿Para qué valores de x los puntos amarillos están a la misma altura que los puntos azules? d. ¿Hay algún punto de los indicados arriba que esté pintado de los dos colores? Si la respuesta es afirmativa indique sus coordenadas. e. ¿Cuántos puntos estarán pintados de los dos colores, teniendo en cuenta las instrucciones dadas? ¿Por qué?

Orientaciones

• El punto de coordenadas (0 ; 6) está pintado de amarillo porque 2 2 responde a la instrucción y = - 3 x + 6 ya que 6 = - 3 . 0 + 6, es decir, verifica la ecuación.

• El punto de coordenadas (1 ; 2) no está pintado porque no verifica ninguna de las dos instrucciones dadas.

• El punto de coordenadas (6 ; 5) está pintado de azul porque responde 1 1 a la instrucción y = 3 x + 3 , dado que 5 = 3 . 6 + 3. • El punto de coordenadas (3 ; 4) quedó pintado de verde porque fue alcanzado por la pintura azul y la amarilla. Pues (3 ; 4) verifica las dos instrucciones: 4 = -2 3

.3 + 6 = -2 + 6

y

4=1 3

.3 + 3 = 1 + 3

Para indicar que necesitamos encontrar cuáles son los valores de x y de y que satisfacen a las dos ecuaciones lo indicaremos así: 2

y=- 3 x+6 1

y= 3 x+3 y lo llamaremos sistema de ecuaciones.


75

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS En general, diremos que:

y = ax + c y = mx + d

es un sistema de ecuaciones. En particular, como estas ecuaciones son lineales y tienen las incógnitas x e y, diremos que es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Al conjunto formado por los pares (x ; y) que verifiquen a las dos ecuaciones lo llamaremos conjunto solución de dicho sistema. En la situación que estamos trabajando, (x ; y) = (3 ; 4) es el único par que satisface a las dos ecuaciones. Diremos que el conjunto S = {(3 ; 4)} es el conjunto solución del sistema de ecuaciones dado.

Parte B Represente, como en la pantalla de la computadora, las siguientes instrucciones (como siempre, dé valores a x y encuentre los valores de y correspondientes):

• y=- 2 x+6 3

• 3y + 2x = 18

Orientaciones Habrá observado que en la pantalla quedó representada una única recta. Esto es porque la ecuación y = - 2 x + 6 y la ecuación 3y + 2x = 18 expre3 san los mismos puntos del plano, o de la tela.

Parte C A continuación le presentamos los caminos para obtener la ecuación 3y + 2x = 18 a partir de y = - 2 x + 6 y su recíproco. 3 1. Lea atentamente cada paso indicado en la tabla y lo que se aplica para lograrlo. 2. Compare la tercera columna de cada uno de los caminos. ¿Qué puede decir de lo que se aplica en los pasos 1, 2 y 3 del primer camino respecto de lo que se aplica en los pasos 3, 2 y 1 del segundo camino?

76


Camino de y = - 2 x + 6 3 Paso

A partir de

1

y=- 2 x+6

2

3

y = -2x +18 3

3y + 2x = 18

a

Aplicando

Resulta

Sacando común denominador 3

y = - 2 x + 18 = -2x +18 3

3

y = -2x +18 3

3

Multiplicando por 3 a ambos miembros de la igualdad

3 . y = 3 . -2x +18 3

3y = -2x + 18

Sumando 2x a ambos miembros

3

3y = -2x + 18

de la igualdad

Camino de 3y + 2x = 18 Paso

3y + 2x = 18

3y + 2x = -2x + 18 + 2x

A partir de

a

y=- 2 x+6 3

Aplicando

Resulta

Restando 2x a ambos miembros

1

3y + 2x = 18

de la igualdad

3y = -2x + 18

3y + 2x - 2x = -2x + 18

2

3y = -2x + 18

3

y = -2x +18 3

Dividiendo por 3 ambos miembros de la igualdad

3y = -2x +18 3 3 Distribuyendo el denominador común 3

y = -2x + 18 3 3

y = -2x +18 3

y=- 2 x+6 3

Orientaciones Al comparar los pasos aplicados en ambos caminos, vemos que lo que se "hace" en el primer camino se "deshace" en el segundo. Le sugerimos ver en la Actividad 4 de las Actividades sobre lo leído correspondientes a la Unidad 2, en la Guía de Estudio del Bloque 1 de Matemática (página 48) los operadores directos que "arman" o "hacen" ecuaciones y los operadores inversos que "desarman" o "deshacen" ecuaciones.


77

ACTIVIDAD Nº. 2: “PUNTOS AZULES, AMARILLOS Y VERDES" En tres oportunidades distintas, el diseñador usó fórmulas lineales como instrucciones para la máquina diseñadora. En cada una de estas oportunidades, el diseñador introdujo dos instrucciones, con la indicación de que los puntos obtenidos con una de ellas se pinten de color amarillo y los puntos obtenidos con la otra se pinten de color azul. Como en cada oportunidad se introdujeron instrucciones distintas, se observaron diferentes diseños en la pantalla: • En la primera oportunidad no hubo puntos verdes. • En la segunda oportunidad hubo infinitos puntos verdes. • Y, en la tercera hubo un único punto verde.

Parte A 1. Teniendo en cuenta que cada instrucción es una fórmula lineal, ¿qué característica tendrá la zona del plano restringida por cada instrucción?, es decir, ¿qué tipo de representación gráfica resultará con cada instrucción? 2. Cada par de instrucciones dadas a la computadora determinó diferencias en la cantidad de puntos verdes obtenidos en cada oportunidad. Construya los gráficos que representarían cada situación de las descriptas, tal como usted los imagina. 3. Para una situación como la planteada anteriormente, con dos instrucciones lineales, con la orden de pintar de azul una y de amarillo la otra, ¿cuáles son todas las posibilidades de obtención de puntos verdes?

Parte B Las instrucciones dadas por el diseñador en cada una de las tres oportunidades anteriores fueron:

• 2y - x = 6

• y-x=1

• 3y - x = 6

• y - 21 x = 3

• y+x=5

• y - 1 x = 12 3

1. Para cada uno de los pares de instrucciones dados represente el diseño que resulta en pantalla y determine:

• Si hay un único punto verde. • Si hay infinitos puntos verdes. • Si no hay puntos verdes. 78


2. Para cada uno de los sistemas de ecuaciones dados a continuación indique: 2y - x = 6

y-x=1

3y - x = 6

y - 12 x = 3

y+x=5

y - 31 x = 12

a. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto solución? b. ¿Cuál es el conjunto solución?

Orientaciones

• El sistema de ecuaciones 2y - x = 6

y - 21 x = 3 tiene infinitas soluciones. Las representaciones gráficas de sus dos ecuaciones coinciden en todos sus puntos. Cada par (x ; y) que verifica una ecuación también verifica la otra. Se trata de rectas coincidentes. En este caso, el conjunto solución es: S = {(x ; y) ∈ R2 / y - 1 x = 3 } siendo R2 el conjunto de todos los pares de 2 números reales. O también S = {(x ; y) ∈ R2 / 2y - x = 6} Es decir, que el conjunto solución está formado por todos aquellos puntos del plano que pertenecen a la recta cuya ecuación es y - 1 x = 3. 2 Este sistema de ecuaciones interpretado gráficamente es:

y 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

x

• El sistema de ecuaciones y-x=1 y+x=5 tiene una única solución, su conjunto solución es S = {(2 ; 3)}. Las repreMatemática • Bloque 3 • UNIDAD 2

79

sentaciones gráficas de sus ecuaciones coinciden en el punto (2 ; 3). El par (2 ; 3) es el único cuyas coordenadas verifican ambas ecuaciones. La interpretación gráfica es:

y 5

y-x=1

4 3 2

y+x=5

1 0

1

2

3

4

x

5

• El sistema de ecuaciones 3y - x = 6

y - 1 x = 12 2

no tiene solución. Las representaciones gráficas de sus ecuaciones no tienen puntos en común. Es decir que no hay puntos cuyas coordenadas verifiquen ambas ecuaciones. Por lo tanto, el conjunto solución es el conjunto vacío, en símbolos: S = φ. Se trata de rectas paralelas. Su interpretación gráfica es:

y

y - 1 x = 12

14

2

12

3y - x = 6

4 2 0

1

2

3

4

5

6

x

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES A los sistemas de ecuaciones que tienen: • una única solución los llamaremos compatibles determinados • infinitas soluciones los llamaremos compatibles indeterminados • como solución al conjunto vacío los llamaremos incompatibles. 80


Parte C 1. Represente gráficamente las ecuaciones del siguiente sistema:

y = -4x + 2 y = -10x + 4 2. De acuerdo al tipo de solución, ¿cómo clasificaría a este sistema? 3. Escriba el conjunto solución del sistema.

Orientaciones El sistema de ecuaciones dado anteriormente es compatible determinado: el sistema tiene una única solución pues se trata de ecuaciones que corresponden a dos rectas que tienen un único punto de intersección.. ¿Pudo escribir el conjunto solución? Con sólo mirar el gráfico es imposible leer con precisión las coordenadas del punto de intersección de las rectas que forman el sistema. Por eso, la Matemática sólo usa el recurso gráfico para visualizar o para verificar un resultado, pero no para obtenerlo en forma precisa o exacta. Veremos a continuación un recurso no gráfico para obtener la solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Retomemos el sistema anterior.

y = -4x + 2 y = -10x + 4 Supongamos que sus ecuaciones son instrucciones dadas a la computadora y que además, en un caso se le indicó pintar de azul y en el otro de amarillo. Buscar la solución del sistema es encontrar todos los pares (x ; y ) que satisfacen las dos ecuaciones. Para nuestra situación, el conjunto solución está formado por los puntos que resultan pintados de color verde. En este caso, ya sabemos a partir de la representación gráfica anterior que la solución es única. Llamemos (x ; y ) a las coordenadas del punto verde. Ese punto verifica las dos ecuaciones, o sea que:

y = -4x + 2 y = -10x + 4


81

No sabemos cuáles son los valores de x e y, pero sí sabemos que representan el mismo valor en ambas ecuaciones. Luego podemos afirmar que si el valor de y es el mismo en las dos ecuaciones, resulta que la expresión -4x + 2 es igual a la expresión -10x + 4. O sea: -4x + 2 = -10x + 4 Esta igualdad es una ecuación con una sola incógnita, la x. Si resolvemos esta ecuación resulta: 10x - 4x = 4 - 2 6x = 2 x = 31 A partir de x = 1 , obtenemos el valor de y correspondiente reempla3 zando este valor de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Por ejemplo, si usamos la primera ecuación, resulta:

y = -4 . 1 + 2 = -4 + 6 = 2

3 3 3 También, si reemplazamos en la segunda ecuación, resulta:

y = -10 . 1 + 4 = -10 3+ 12 = 32 3 1 ; 2 3 3 En general, cuando uno empieza a resolver un sistema puede no saber si el mismo tiene una, infinitas o ninguna solución, pero se procede de igual forma. Verá más ejemplos en el libro y en las Actividades de integración al final de la Unidad.

Luego el conjunto solución de este sistema es S =

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: MÉTODO DE IGUALACIÓN El método utilizado para resolver el sistema de ecuaciones lineales anterior, se llama método de igualación. Después de lo trabajado hasta aquí continúe trabajando con este tema en su libro de texto. Es importante que siga las indicaciones de lectura que le presentamos. No olvide que no es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado, porque podría encontrarse con situaciones que no está en condiciones de resolver. Si Usted trabaja con el libro 1: En el capítulo 6: • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 113 a 117, desde el 82


título "Esperando en la parada" hasta "Sacando conclusiones" inclusive. • En "Final de obra", páginas 119 a 122, resuelva las actividades número 14, 15 (no resuelva el ítem c.) 22, 24 y 25). En el capítulo 7: • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 125 a 132, hasta la frase "El resto del trabajo queda a cargo de la computadora". • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 137 a 139. En la página 137 lea en el título "La operación determinante" hasta el determinante que es igual a 7. Luego continúe su lectura desde el título "Los determinantes y los sistemas de ecuaciones" en adelante. Resuelva también las actividades 4 y 5 de "Manos a la obra" en la página 139. • Lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 140 a 144. Resuelva la actividad 7 de "Manos a la obra" en la página 146. Si Usted trabaja con el libro 2: En el capítulo 2, lea y resuelva las actividades propuestas en la: • Situación 1, páginas 36 a 38. Resuelva, en la página 40, el problema P.3 sólo hasta el ítem e) inclusive. • Situación 2, páginas 41 a 47. No resuelva P.13. • Situación 3, páginas 48 y 49. No resuelva P.15. • Situación 4, páginas 50 a 52. • Situación 5, páginas 53 a 58. No resuelva los ítems a., d. e i. de P.19. Una vez que haya concluido el trabajo con el texto le proponemos realizar las actividades de integración de esta Unidad.


83

Ejercicios de integración MATEMATICA Ejercicio n.º 1

Complete el siguiente cuadro:

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

1 + 2y = 3x y - 23 x = - 12

4y + 2x = 8 2y + x = 2

y 6

y-x=1 Interpretación gráfica

8 3

y + 2x = 6

1 0

5 3

x

3

Conjunto solución Tipo de sistema de acuerdo a la solución

Compatible indeterminado

Ejercicio n.º 2 Resuelva cada uno de los sistemas que le indicamos a continuación utilizando 3 métodos no gráficos distintos. Indique en cada caso el conjunto solución. a.

-3x + 2y = -1

b.

2x - y = 10

x - 1 y=5

x+y=7

2

c.

y + 3x = 1 6x + 2y = 4

Ejercicio n.º 3 Resuelva cada uno de los siguientes problemas. Para ello, plantee en cada caso un sistema de ecuaciones cuya resolución le permita dar respuesta al problema. 1. Hoy un juego de muebles de dormitorio vale $ 720 y su precio aumenta a razón de $ 10 por mes. Ignacio tiene posibilidad de ahorrar $ 50 por mes y hoy tiene $ 80. ¿Cuántos meses tendrá que esperar para poder comprar ese juego de muebles? ¿Cuánto costarán los muebles entonces? 2. En un partido de básquet, el equipo Embogol anotó 3 tantos menos del doble de lo que anotó el equipo Errogol. En el partido hubo 156 tantos. ¿Cuál fue el resultado del partido? 84


3. En una librería, una carpeta cuesta $ 2 y un cuaderno vale $ 3. Por compras al por mayor, se hace un descuento de $ 10. Los padres de los alumnos de un curso se organizan para realizar una compra comunitaria y beneficiarse con el descuento. En total, deben comprar 60 artículos y recaudaron $ 128. ¿Cuántas carpetas y cuántos cuadernos podrán comprar usando exactamente el dinero recaudado?

Ejercicio n.º 4 Verifique que S = {(2 ; 6)} es el conjunto solución del sistema de ecuaciones que se da a continuación:

-2x + y = 2

x - y = -4 y = -2x + 10

Ejercicio n.º 5 En el siguiente sistema de ecuaciones:

ax + 3y = 5 3x + 2y = 12

falta determinar el valor de a. Halle el valor de a para que el conjunto solución del sistema dado sea S = {(2 ; 3)}.

Ejercicio n.º 6 1. En la Unidad 1, usted describió el comportamiento de tanques que se llenaban o vaciaban usando ecuaciones lineales. Imagine que en cada uno de los sistemas dados a continuación, cada ecuación representa la cantidad y de litros de agua que tiene un tanque en cada instante x, en minutos.

y = 3x + 2

y = 5x + 1

y = 6x +1

y = 3x + 6

y = 4x + 2

y = 6x +1

Indique y justifique: a. ¿En qué casos los tanques se llenan a igual velocidad y en cuáles no? b. Si en algún caso, los tanques

• tienen igual cantidad de agua para cada instante x. • en ningún instante x tienen igual cantidad de agua. • tienen igual cantidad de agua para un solo instante x. c. En la situación concreta planteada, ¿qué representa la solución del sistema de ecuaciones?


85

2. a. Indique la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las rectas que representan las ecuaciones de los sistemas dados en el ítem 1. b. Describa, sin representar, cómo son entre sí las rectas que representan las ecuaciones de cada uno de los sistemas. c. Si no pudo contestar lo que se pide en el ítem b., o si quiere verificar lo que respondió, represente las rectas cuyas ecuaciones se dan en cada sistema. (Haga un gráfico para cada sistema). d. A partir de lo que respondió en el ítem b. o en el ítem c., clasifique los sistemas dados de acuerdo al tipo de solución.

Ejercicio n.º 7 1. Compruebe si el par (1 ; 3) pertenece al conjunto solución de cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones; a.

-2x + y = 1

b.

2x + y = 5

y - 2x = 1

c.

2y - 4x = 2

y - 2x = 1 2y - 4x = 4

2. Indique, para cada uno de los sistemas dados, si se trata de un sistema compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Ejercicio n.º 8 a. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática del Bloque 3. b. Lea los contenidos de la Unidad 2, y para cada uno de ellos identifique:





d. Relea los Propósitos de la Unidad 2. ¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

• Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 3. • Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem c. de este ejercicio.

86


Orientaciones acerca de los ejercicios de integración MATEMATICA

Le ofrecemos aquí las orientaciones que le permiten verificar su trabajo con los ejercicios de integración de la Unidad 2. No dude en volver a leer la Guía y el texto si cometió errores o si no recordó algún concepto o procedimiento de resolución. Recuerde que puede asistir a las consultorías para resolver dudas y compartir su trabajo con otros compañeros.

Ejercicio n.º 1 El cuadro completo es: Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

4y + 2x = 8 2y + x = 2

1 + 2y = 3x y- 3 x=- 1 2 2

y + 2x = 6 y-x=1 y 6

y

y-x=1 Interpretación gráfica

8 3

y 2 1

5 2

y + 2x = 6

1 0

1 2 3 4

x

0

5 3

3

Conjunto solución

{ }=φ

5 ; 8 3 3

Tipo de sistema de acuerdo a la solución

Incompatible

Compatible determinado

1

x

- 1 2

1

x

{(x ; y) ∈ R2 / y= 3 x- 1 } 2 2 Compatible indeterminado

Ejercicio n.º 2 En la Parte C de la Actividad n°. 2: "Puntos azules, amarillos y verdes", usted trabajó uno de los métodos no gráficos de resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: el método de igualación. Trabajó también, en su libro, otras formas posibles de resolución. En este Ejercicio le proponemos que utilice estas formas en la resolución de cada uno de los sistemas dados. En la práctica esto no es necesario. Para hallar el conjunto solución de un sistema es suficiente con la utilización de una única forma de resolución, verificando luego que la solución hallada sea correcta. En esta oportunidad le pedimos que lo haga porque nos interesa que usted se familiarice con las distintas formas de resolución de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Nosotros resolveremos sólo el primer sistema utilizando los


87

cuatro métodos vistos. En los otros dos casos sólo utilizaremos uno de ellos para que usted pueda verificar su respuesta. a.

-3x + 2y = -1

x+y=7 Vamos a resolver en primer lugar utilizando el método de igualación. Para poder resolver de esta forma el sistema, necesitamos expresar ambas ecuaciones de otro modo, es decir, escribir un sistema equivalente al dado. Cada una de las ecuaciones de un sistema equivalente a otro sigue expresando al mismo conjunto de puntos, por lo tanto la solución de un sistema equivalente a otro es también solución del sistema dado. La ecuación -3x + 2y = -1 es equivalente a 2y = -1 + 3x que es equivalente a y = -1 + 3 x 2 2 La ecuación x + y = 7 es equivalente a y = 7 - x Por lo tanto el sistema

-3x + 2y = 1

es equivalente al sistema

x+y=7

y = -1 + 3 x 2

2

y=7-x

Para hallar el conjunto solución igualamos las dos ecuaciones del sistema: - 1 + 3 x=7-x 2 2 De donde obtenemos el valor de x : 3 x+x=7+ 1 2 2

→

5 x = 15 → x = 15 : 5 = 15 . 2 = 15 = 3 → x = 3 2 2 2 2 2 5 5

Si el valor de x es igual a 3, entonces, si lo reemplazamos en la ecuación y = 7 - x , obtenemos el valor de y que es: y = 7 - 3 = 4. Utilizando la otra ecuación llegamos al mismo valor de y. Así: y = 1 + 3 . 3 = - 1 + 9 = 8 = 4 2 2 2 2 2 El conjunto solución del sistema es: S = {( 3 ; 4 )} Veamos si la solución hallada es correcta. Para eso, reemplazamos los valores hallados de x y de y en las ecuaciones dadas en el sistema. Así, en -3x + 2y = -1 resulta -3 . 3 + 2 . 4 = -9 + 8 = -1 y, en x + y = 7 resulta 3 + 4 = 7. Se verifican las dos ecuaciones, por lo tanto podemos estar seguros de que la solución hallada es la solución del sistema. Buscaremos ahora nuevamente el conjunto solución del sistema utilizando otras formas posibles de resolución:

• Si usted utiliza el libro 1, trabajó la forma de resolución que utilizaremos ahora, al resolver el problema b, en las páginas 116 y 117. Si usted utiliza el libro 2, lo hizo en la Situación 3 (página 48). Allí le dieron a esta forma de resolución el nombre de método de sustitución. De ahora en más, cada vez que utilicemos este método, lo nombraremos de este modo.

88


Para resolver el sistema utilizando este método escribimos la ecuación: y = 7 - x que es equivalente a la ecuación: x + y = 7. Reemplazamos el valor de la incógnita y , así expresada, en la primera ecuación del sistema: -3x + 2 . (7 - x ) = -1 De donde podemos obtener el valor de x: -3x + 14 - 2x = -1 → -5x + 14 = -1 → -5x = -1 - 14 → -5x = -15 → x = -15 → x = 3 -5 Este es el mismo valor que habíamos hallado cuando resolvimos el sistema utilizando el método de igualación. Del mismo modo que en ese caso, buscamos el valor de y : y = 7 - 3 = 4. Es decir, S = {( 3 ; 4 )} (No lo verificamos pues ya lo hicimos al resolver el sistema usando el método de igualación).

• Resolveremos el sistema utilizando el método que el libro 2 nombra como método de reducción en la Situación 4 (página 50). Si usted utiliza el libro 1, trabajó este método al resolver el problema a. en el título "Dos problemas más" en la página 116. De ahora en más utilizaremos este nombre cada vez que nos refiramos a esta forma de resolución de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. En este sistema, los coeficientes de ambas incógnitas son distintos en las dos ecuaciones. Para poder resolver el sistema utilizando el método de reducción necesitamos escribir un sistema equivalente al dado, de modo que el coeficiente de alguna de las dos incógnitas sea el mismo en las dos ecuaciones. Así, si se multiplica por 2 cada miembro de la segunda es equivalente al sistema -3x + 2y = -1 ecuación, el sistema -3x + 2y = -1

x+y=7

2x + 2y = 14

Si restamos miembro a miembro las dos igualdades del sistema tenemos: -3x + 2y = -1 2x + 2y = 14 -5x + 0y = -15 O sea, -5x = -15 → x = -15 = 3 -5 Del mismo modo que en los dos casos anteriores, ahora hallamos el valor de y utilizando cualquiera de las ecuaciones del sistema: 3 + y = 7 entonces y = 7 - 3 = 4. Nuevamente vemos que: S = {( 3 ; 4 )}.

• Vamos a resolver ahora utilizando el método de determinantes. Si usted utiliza el libro 1, trabajó con este método en las páginas 137 a 139 del mismo, en las actividades que se encuentran debajo del título "Los determinantes y los sistemas de ecuaciones". Si usted trabaja con el libro 2, utilizó este método al resolver la Situación 5 en las páginas 53 y 54.


89

Para buscar el valor de la incógnita x calculamos: x =

Para hallar el valor de y, calculamos: y =

-3

-1

1

7

-3

2

1

1

=

-1

2

7

1

-3

2

1

1

= -1.1 - 7.2 = -15 = 3 -3.1 - 1.2 -5

-3.7 - 1.(-1) = -20 = 4 -3.1 - 1.2 -5

Llegamos a S = {( 3 ; 4 )}.

b. Vamos a resolver utilizando el método de igualación: El sistema

2x - y = 10


y = -10 + 2x

x - 1 y =5

y = 2x - 10 2 Igualando ambas ecuaciones, queda: -10 + 2x = 2x - 10 → 2x - 2x = -10 + 10 → 0 . x = 0 Esta igualdad se verifica cualquiera sea el valor de x que utilicemos, ya que la cuenta 0 . x da resultado 0 siempre. Es decir, hay infinitos valores de x que verifican la ecuación. Como el valor de y depende del valor de x, también habrá infinitos valores posibles de y, pero, para verificar el sistema, los mismos deben ser de la forma y = 2x - 10. Por ejemplo, para x = 1 resulta y = -8. Si reemplazamos estos valores en las ecuaciones del sistema dado, resulta: 2 . 1 - ( -8 ) = 2 + 8 = 10 y 1 - 1 . ( -8 ) = 1 + 4 = 5 2 Las dos igualdades se verifican, por lo tanto el punto ( 1 ; -8 ) es solución del sistema. Pero lo mismo ocurre con el punto (3 ; -4), o con el punto (-1 ; -12) (Verifíquelo), o con cualquier otro punto (x ; y ) que sea de la forma (x ; 2x - 10 ). El conjunto solución es: S = (x ; y ) ∈ R2 / y = 2x - 10}. Si al utilizar los otros métodos de resolución, obtuvo la misma respuesta, entonces puede considerar que el manejo de los métodos utilizados es adecuado. c. Resolveremos este sistema utilizando el método de sustitución El sistema

y + 3x = 1


6x + 2y = 4

y = 1 - 3x 6x + 2y = 4

Sustituyendo el valor de y en la segunda ecuación, nos queda: 6x + 2 . (1 - 3x ) = 4 → 6x + 2 - 6x = 4 → 0.x = 2 Y dicha igualdad no es válida para ningún valor de x, ya que cualquiera que sea el valor que le asignemos a x , al multiplicarlo por 0 el resultado siempre será 0 y nunca 2.

90


Por lo tanto, no hay ningún valor de x que verifique la ecuación anterior. En consecuencia tampoco hay ningún par (x ; y) que verifique el sistema y + 3x = 1 6x + 2y = 4 El conjunto solución es el conjunto vacío, es decir : S = { } = ∅.

Ejercicio n.º 3 1. Para poder escribir el sistema de ecuaciones que traduce el enunciado, debemos definir cuáles son sus incógnitas. Una de ellas es el tiempo que deberá pasar hasta que Ignacio pueda comprar su juego de muebles y la otra es el precio que tendrá dicho juego en el momento de la compra. Llamaremos x a la incógnita que representa el tiempo, medido en meses; e y a la incógnita que representa al precio, medido en $. El enunciado dice que el juego de muebles hoy vale $ 720 y que su precio aumenta a razón de $ 10 por mes. Traduciendo esta información a una ecuación podemos escribir que el precio y del juego de muebles luego de transcurridos x meses será: y = 10 . x + 720 Además nos dice que Ignacio cuenta hoy con $ 80 y que es capaz de ahorrar $ 50 por mes. Es decir que la cantidad y de pesos que deberá juntar es: y = 50 . x + 80 El sistema que nos queda es:

y = 10x + 720 y = 50x + 80

Por la forma en que quedaron escritas ambas ecuaciones el método de igualación resulta el más conveniente de usar para la resolución del sistema, pero cualquiera que usted haya usado le permite llegar al conjunto solución buscado. En este caso, resulta x = 16, y = 880. Por lo tanto, deberán transcurrir 16 meses hasta que Ignacio pueda ahorrar el dinero para comprar el juego de muebles, que le costará $ 880. 2. Definimos las incógnitas del problema. Llamaremos x a la cantidad de tantos del equipo Embogol e y a la cantidad de tantos del equipo Errogol. Las ecuaciones que traducen el enunciado son: x + y = 156, ya que en el partido se hicieron 156 tantos; 2y - 3 = x, ya que la cantidad de tantos del equipo Embogol es el doble que la del equipo Errogol menos 3. El sistema que debemos resolver para dar respuesta al problema es:

x + y = 156 2y -3 = x

En este caso, resulta más cómodo utilizar el método de sustitución, pero por cualquier otro podría haber llegado al resultado correcto. Resulta x = 103, y = 53. El partido terminó 103 a 53 con el triunfo de Embogol sobre Errogol.


91

3. Utilizaremos la letra a para representar a la cantidad de carpetas y b para representar a la cantidad de cuadernos. En total se compraron 60 artículos entre cuadernos y carpetas, es decir que: a + b = 60. Esta es una de las ecuaciones del sistema. Además el enunciado dice que cada carpeta vale $ 2 , que cada cuaderno vale $ 3 y que se gastaron $ 128 con un descuento de $ 10. La ecuación que traduce lo dicho es: 2 . a + 3 . b - 10 = 128. Queda el sistema:

a + b = 60

que es equivalente al sistema:

2a + 3b - 10 = 128

a + b = 60 2a + 3b = 138

La solución de este sistema es a = 42, b = 18. Se compraron 42 carpetas y 18 cuadernos. Ejercicio n.º 4 Si el conjunto S = {(2 ; 6)} es el conjunto solución del sistema de ecuaciones dado quiere decir que se trata de un sistema compatible determinado. Las coordenadas de ese punto deben verificar todas las ecuaciones dadas. Esto ocurre en este caso, ya que si reemplazamos x = 2 e y = 6 en las 3 ecuaciones del sistema, vemos que:

• En -2x + y = 2, resulta -2 . 2 + 6 = -4 + 6 = 2. • En x - y = -4, resulta 2 - 6 = -4. • En y = -2x + 10, resulta 6 = -2 . 2 + 10 = -4 + 10. También se debe verificar que las ecuaciones que forman el sistema no representan rectas coincidentes, ya que en ese caso el conjunto solución tendría, además del punto (2 ; 6) infinitos puntos más que verificarían las dos ecuaciones (se trataría de un sistema de ecuaciones compatible indeterminado). Y no se trata de las mismas rectas ya que, por ejemplo, si despejamos y en la primera ecuación, se obtiene la expresión y = 2x + 2. Si comparamos esta ecuación con la tercera, vemos que son distintas.

Ejercicio n.º 5 Para que S = {(2 ; 3)} sea el conjunto solución del sistema de ecuaciones dado, deben verificarse las dos ecuaciones si se usan las coordenadas del punto (2 ; 3). Si se reemplazan dichas coordenadas en ambas ecuaciones, queda:

• En ax + 3y = 5, resulta: a . 2 + 3 . 3 = 5. • En 3x + 2y = 12, resulta: 3 . 2 + 2 . 3 = 6 + 6 = 12. Observamos que la segunda ecuación queda verificada, mientras que la primera solo se verificará para el valor de a que resuelva la ecuación con incógnita a que queda planteada. La resolvemos y resulta a = -2.

92


Ejercicio n.º 6 1. a. Los tanques se llenan a igual velocidad en el primer y tercer caso. En el primer caso, los dos tanques se llenan a razón de 3 litros por minuto. En el tercer caso, ambos tanques se llenan a razón de 6 litros por minuto. En cambio, en el segundo caso, uno de los tanques se llena 5 litros por minuto y el otro recibe 4 litros por minuto. b. En el tercer caso, los dos tanques tienen igual cantidad de agua para cada instante x ya que los dos se llenan a la misma velocidad e inicialmente tienen los dos la misma cantidad de litros. En el primer caso, en ningún instante x los dos tanques tiene la misma cantidad de agua porque se llenan a la misma velocidad, pero con contenidos iniciales distintos (2 y 6 litros, respectivamente). En el segundo caso, los dos tanques tienen la misma cantidad de agua sólo para un instante x. Uno de los tanques comienza con un contenido de un litro de agua y se llena a razón de 5 litros por minuto. El otro empieza con más cantidad de agua (2 litros), pero se llena más despacio (a razón de 4 litros por minuto). Por lo tanto, en algún momento ambos tanques tienen la misma cantidad de agua. Como se siguen llenando, hay un solo instante en el que tienen el mismo contenido de agua. c. En la situación concreta planteada, la solución de cada sistema de ecuaciones representa los instantes en que ambos tanques tiene la misma cantidad de agua. 2. a. b. d.

• En el sistema

y = 3x + 2

y = 3x + 6, las dos rectas tienen pendiente 3, las ordenadas al origen son 2 y 6, respectivamente. Por lo tanto, se trata de rectas paralelas. El sistema de ecuaciones es incompatible ya que el conjunto solución es el conjunto vacío. • En el sistema

y = 5x + 1 y = 4x + 2, la primera recta tiene pendiente 5 y ordenada

al origen 1; la segunda recta tiene pendiente 4 y ordenada al origen 2. Se trata de rectas que se cortan en un punto. El sistema de ecuaciones es compatible determinado ya que el conjunto solución tiene un solo elemento (el punto de intersección de las dos rectas).

• En el sistema

y = 6x + 1

y = 6x + 1, para ambas rectas la pendiente es 6 y la ordenada al origen es 1. Es decir que se trata de rectas coincidentes. El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado ya que el conjunto solución tiene como elementos a los infinitos puntos de esa recta.


93

c. Los gráficos correspondientes a cada uno de los sistemas de ecuaciones dados son:

y

y y = 3x + 6 12

y = 3x + 2

y = 6x + 1

y

y = 5x + 1

13

y = 4x + 2

11 10

9 8 7 6 5

6

2

2 1 0

1

2

x

1 0

1

2

x

0

1

2

x

Ejercicio n.º 7 1. Para comprobar que el par (1 ; 3) pertenece al conjunto solución de cada sistema, reemplazamos sus coordenadas en cada ecuación. Si se verifican ambas ecuaciones, el par pertenece al conjunto solución. Si alguna de las dos ecuaciones no se verifica, el par no forma parte del conjunto solución. Haciendo estas cuentas podemos comprobar que el par (1 ; 3) pertenece al conjunto solución de los sistemas de los ítems a. y b. El par (1 ; 3) no pertenece al conjunto solución del sistema dado en c. porque una de las ecuaciones que lo componen no se verifica al reemplazar sus coordenadas. 2. Para clasificar cada sistema de ecuaciones por el tipo de solución que tienen se pueden hacer los gráficos de las dos rectas cuyas ecuaciones componen cada sistema o resolverla en forma analítica. Cuando clasificamos un sistema a través del gráfico observamos si se trata de rectas paralelas, coincidentes o de rectas que se cortan en un solo punto. Para construir el gráfico de las rectas del sistema, despejamos y en cada una de las ecuaciones. Para hacer la clasificación sería suficiente comparar las ecuaciones del sistema una vez despejada y, sin llegar a hacer el gráfico. a. En

-2x + y = 1

si despejamos y en cada ecuación, resulta:

2x + y = 5

y = 2x + 1 y = -2x + 5

Se observa que se trata de dos rectas con pendientes distintas. Por lo tanto, dichas rectas se cortan en un solo punto y el sistema de ecuaciones es compatible determinado. b. A partir de y - 2x = 1 2y - 4x = 2

se obtiene y = 2x + 1 2y = 4x + 2

y luego y = 2x + 1

y = 2x + 1

Se puede ver que las dos expresiones obtenidas son las mismas. Por lo tanto, se trata de rectas coincidentes y el sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.

94


c. De manera similar a lo hecho en el ítem b., a partir de:

y - 2x = 1 2y - 4x = 4

se obtiene:

y = 2x + 1 y = 2x + 2

Son las ecuaciones de dos rectas paralelas entre sí. Por lo tanto, no hay puntos comunes entre ambas. El sistema de ecuaciones es incompatible.


95

96


3

Funciones Polinómicas En esta Unidad continuaremos trabajando conceptos vinculados a la idea de función, como ceros de una función, positividad y negatividad de una función, máximos y mínimos de una función. Analizaremos funciones polinómicas, especialmente funciones cuadráticas, y trabajaremos con las diferentes formas de expresar sus fórmulas.

Propósitos de la Unidad

UNIDAD 3

UNIDAD

En relación con los contenidos de esta Unidad le propondremos que: • Reconozca las características de una función cuadrática. • Reconozca los ceros o raíces de una función. • Reconozca las características de una función polinómica. • Resuelva operaciones entre polinomios. • Factorice polinomios. Para abordar estos contenidos es fundamental haber completado la tarea propuesta en las Unidades anteriores, ya que las nociones que ahora le presentaremos se asientan en el conocimiento de los conceptos y el lenguaje matemático trabajados.

ACTIVIDAD N°. 1: "PRESUPUESTOS EN UN TALLER DE ARTESANÍAS" Dada la difícil situación económica del momento, un taller de artesanías decide ofrecer sus servicios a los comerciantes de la zona para incrementar las ventas. Un primer cliente solicita la decoración de chapas cuadradas de diferentes dimensiones. El trabajo consiste en pintar una cara de cada chapa de lado x (en cm) y colocarle un listón de cobre como indica el siguiente dibujo:

x

listón Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

97

Para presupuestar el trabajo, el dueño del taller realiza una serie de cálculos y averiguaciones: • Las chapas tienen medidas de lado que varían entre 2 y 12 cm. La medida del lado siempre es un número entero. • El costo de pintar la chapa es de $ 3 el cm2. • El listón de cobre vale $ 2 el cm. • El costo de mano de obra es de $ 4 por cada chapa. Como el precio a cobrar por el trabajo depende de la medida x del lado de la chapa, necesita organizarse para realizar los cálculos. Para ello, confecciona la tabla que sigue, considerando distintos rubros: Si la medida (en cm) del lado de la chapa es:

El área de la chapa es:

El gasto en pintura es:

2

22

3.22

El listón vale:

El costo por mano de obra es:

El total a cobrar, o tarifa, por esta chapa es:

3.22 + 2.2 + 4

2.5

5 7

3.72 + 2.7 + 4

10

x

3.x 2

y=

Parte A Le pedimos que ayude al dueño del taller a organizar su presupuesto respondiendo a las consignas que siguen: 1. Complete en la tabla anterior los casilleros que el dueño del taller dejó en blanco. 2. Escriba una función que exprese la tarifa y a cobrar por cada chapa de lado x de la situación descripta.

Orientaciones Luego de completar la tabla le habrá resultado más sencillo escribir la fórmula de la función que expresa la tarifa y . La función es:

f : {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} → R / y = f(x) = 3 x 2 + 2x + 4

98


Si ponemos atención en la fórmula de la función anterior, vemos que la variable x está elevada al cuadrado. Por esa razón decimos que la función tiene una fórmula cuadrática. Le proponemos ahora analizar una nueva situación

ACTIVIDAD N°. 2: "TRABAJOS EN UN LABORATORIO" En un laboratorio se somete una barra metálica a distintas condiciones físicas. En cada caso se mide la temperatura de la barra durante los primeros 6 minutos de prueba. Los gráficos que siguen representan funciones que expresan, para distintos casos, la temperatura y (en °C) en función del tiempo t (en minutos) durante los 6 minutos de prueba. Las fórmulas de las funciones graficadas son cuadráticas y están indicadas en cada uno de los gráficos. CASO I

CASO II

y

y

5

9

4

8

3

7

2

6

1

5

CASO III y

4 3 2 1 -1

0

1

2

3

4

5

6

x

-1

3

-2

2

-3

1

-4

1

2

3

4

5

6

t

4

0

1

2

3

4

5

6

t -12

y = f(t) = t 2 - 6t + 5

y = f(t) = t 2 - 6t + 9

y = f(t) = -t 2 + 8t - 12


99

CASO IV

CASO V

y

y 1

2

3

4

5

6 11

t

-1

-5

2 -10

1 0

y = f(t) = -t 2 + 6t - 10

1

2

3

4

5

t

6

y = f(t) = t 2 - 6t + 11

Parte A En el laboratorio se quiere confeccionar un informe sobre lo observado en cada uno de los casos anteriores. Le pedimos a usted que colabore en la confección del informe completando la tabla que le presentamos a continuación. Para hacerlo, observe los gráficos y sus fórmulas como si usted fuese el jefe del laboratorio. Caso Temperatura inicial ó f (0) Instantes "t " en los que la temperatura es de 0°C ó valores de "t " para los que f (t) = 0 Instantes "t " en los que la temperatura es mayor que 0 ó valores de "t " para los que f (t) > 0 Instantes "t " en los que la temperatura es menor que 0 ó valores de "t " para los que f (t) < 0 Instante "t " en el que la temperatura alcanza un máximo o un mínimo Valor máximo o mínimo de temperatura Instantes "t " en los que la temperatura aumenta o crece Instantes "t " en los que la temperatura disminuye o decrece 100


I

II

III

IV

V

Parte B El jefe del laboratorio lee la información proporcionada por la tabla anterior y obtiene las conclusiones que se dan a continuación. Determine la verdad o falsedad de cada una de las afirmaciones enunciadas por esta persona. (Si le resulta difícil leer los símbolos y, por lo tanto, interpretar las frases que siguen, le recomendamos buscar estos temas y simbologías en la Unidad 1).

• En el caso I, entre los minutos 1 y 5 la temperatura de la barra fue negativa. • En el caso I, la temperatura de la barra fue de 0 °C en el minuto 1 y en el minuto 5. • En el caso III, f (2) = 0, y también, f (6) = 0. • En el caso III, si t pertenece al intervalo abierto (2 ; 6) entonces f (t) > 0, es decir, la temperatura es mayor que 0.

• En el caso II, f (3) = 0. • En el caso V, f (t) > 0 para todo el período observado. • En el caso IV, f (t) < 0, es decir, la temperatura es menor que 0, durante los 6 minutos de observación.

• En el caso III, la barra alcanzó la temperatura máxima, que fue de 4 °C, en el instante t = 4 min. • En el caso II, la temperatura mínima de la barra se produjo en el instante t = 3 y fue de 0° C.

• En el caso IV la temperatura de la barra nunca fue de cero grados. • En el caso I, el punto de coordenadas (3; -4) indica que a los 3 minutos de iniciadas las pruebas la barra alcanzó la temperatura mínima de -4 °C.

Orientaciones Una lectura adecuada de los gráficos le habrá permitido inferir que todas las afirmaciones son verdaderas. A partir de ellas podrá verificar si completó correctamente la tabla dada en la Parte A.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: PARÁBOLA. FUNCIÓN CUADRÁTICA • A las funciones del tipo f : R → R/ f (x) = a x 2 + b x + c , con a ≠ 0 y a, b , c números reales, se las llama funciones cuadráticas. • A las representaciones gráficas de aquellas funciones cuyas fórmulas son cuadráticas, como las dadas en esta actividad, se las llama parábolas. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

101

• Al punto (t ; f (t)) de la parábola, para el cual f (t) es el máximo o mínimo valor de la función, se lo llama vértice de la parábola. Por ejemplo, el punto de coordenadas (3; -4) del caso I, que indica que a los 3 minutos de iniciadas las pruebas, la barra alcanzó la temperatura mínima de -4 °C, se llama vértice de la parábola de ecuación f (t) = t 2 - 6t + 5. • Los valores de t para los cuales f (t) = 0 son los ceros de la función. Un cero de la función es el valor de t donde la gráfica corta o toca al eje de abscisas. (En todos los casos nos referiremos a los ceros que son números reales.) Por ejemplo, de lo observado en los gráficos de las funciones cuadráticas presentadas en la Actividad n°. 2, diremos que: • la función graficada en el caso I tiene dos ceros distintos, el 1 y el 5. • la función graficada en el caso II, tiene dos ceros iguales o un cero doble que es el 3. • las funciones graficadas en los casos IV y V no tienen ceros.

ACTIVIDAD N°. 3: “NUEVOS TRABAJOS PARA EL TALLER DE ARTESANÍAS" Parte A Al taller de artesanías llega un nuevo trabajo. Éste se debe realizar con placas de diferentes tamaños y materiales. El trabajo se inicia a partir de placas cuadradas que pueden ser de distintas dimensiones. Cada placa inicial es de cierto material que llamaremos A. A la placa inicial se deben soldar otras placas de materiales diferentes de tal modo que se obtenga una nueva placa cuadrada. Una vez armada la placa final se la debe barnizar. A continuación se ha hecho un esquema, en el que se representa la placa inicial y las partes soldadas. Con las letras A, R y D distinguimos el tipo de material de cada parte de la placa final. Las medidas son en cm.

3

R

D

x

A

R

3 102


Nuevamente, el encargado del taller deberá organizar el cálculo del presupuesto para cada trabajo que le sea solicitado a partir de la medida de lado x de la placa inicial. Esta vez pide ayuda a Pedro, uno de sus colaboradores. Para comenzar, calcula algunos valores que necesitará para poder armar su presupuesto. Póngase ahora en el lugar del encargado, es decir, suponga que es usted el que tiene que hacer el presupuesto. Para comenzar con esta tarea, responda las siguientes preguntas basándose en la información que le proporciona el esquema. 1. De acuerdo con el dibujo, ¿cómo puede calcular la medida del lado de la placa final? Escriba la expresión que permite calcular dicha medida para cualquier valor de x. 2. ¿Cómo puede calcular el área que deberá barnizar, teniendo en cuenta la medida del lado de la placa final? Escriba la expresión que permite calcular el área a barnizar para cualquier valor de x. 3. ¿Cómo puede calcular el área de la placa inicial de material A? Escriba la expresión correspondiente. 4. ¿Cómo puede calcular el área de cada una de las placas de material R? Escriba la expresión correspondiente. 5. ¿Cómo puede calcular el área de la placa de material D? Escriba su valor.

Parte B Al formularse las mismas preguntas que usted acaba de responder, se produjo una pequeña discusión entre el encargado del taller y su colaborador. El encargado dice: "El área a barnizar es lado por lado, o sea: (x + 3) . (x + 3) o, lo que es igual, (x + 3)2" El colaborador dice: "El área a barnizar es el área de material A, más el área de material R, más el área de material D. Es decir que para Pedro el área es: x 2 + ( 3x + 3x) + 32 = x 2 + 2. 3x + 32. 1. Suponga que usted debe funcionar como árbitro en esta discusión; por lo tanto deberá juntar algunas pruebas antes de tomar partido. Para esto le proponemos realizar algunos cálculos. Si por ejemplo, las dimensiones de la placa inicial fueran 4 cm x 4 cm, ¿qué área se barnizaría según el encargado? ¿Y según Pedro? Compare los resultados obtenidos por el encargado y por Pedro para los siguientes valores de x :

x

(x + 3) . (x + 3)

x 2 + 6x + 9

1 2 3 5 8 Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

103

2. ¿Qué diría de los resultados dados por el encargado respecto de los de Pedro? ¿Qué opina que sucedería si damos a x otros valores? 3. A partir de las pruebas que ha obtenido, ¿cómo terminaría la discusión?

Orientaciones A partir de las pruebas realizadas en la tabla anterior para varios valores de x, podemos observar que los cálculos del área a barnizar hechos por Pedro y por el encargado coinciden. Cada uno de ellos utilizó distintos caminos para calcularla, y ambos son correctos. Podríamos decir, entonces, que: (x + 3)2 = x 2 + 3x + 3x + 32 Más adelante veremos que esta igualdad es válida para cualquier valor de x. La igualdad anterior también se puede escribir así: (x + 3)2 = x 2 + 2.3x + 32 = x 2 + 6x + 9

Parte C Por suerte, llega al taller un tercer trabajo. A partir de chapas cuadradas de distintas dimensiones, se deben pintar algunas zonas de rojo (indicadas en el esquema con una R) y otra de dorado (indicada en el esquema con una D). Sobre la zona que queda sin pintar se hace un grabado especial. El siguiente esquema describe el trabajo. Las medidas son en cm.

3

R

D

Grabado especial

R

x

3 1. Teniendo en cuenta lo que pasó con el trabajo anterior, ¿cómo cree que calcularía el encargado del taller el área a grabar en función de la medida x? 2. El colaborador planteó las siguientes cuentas:

x 2 - [3(x - 3) + 3(x - 3) + 32 ] = x 2 - 3x - 3x + 32

104


Indique qué parte de la chapa representa cada una de las cuentas indicadas en la siguiente tabla. Le damos una respuesta a modo de ejemplo:

3. (x - 3)

32

[3 . (x - 3) + 3 . (x - 3) + 32]

x2

(x 2 - [3 . (x - 3) + 3 . (x - 3) + 32]

Área total de la chapa

3. a. Si la medida del lado de la chapa fuera de 5 cm, es decir x = 5, calcule el área a grabar como lo haría el encargado del taller y como lo haría su colaborador. Compare los resultados. b. Compare los resultados para otros valores de x . Por ejemplo: x = 4; x = 7 y x = 10. c. ¿Qué podría decir respecto de las dos formas de calcular el área grabada?

Orientaciones Del mismo modo que en el trabajo anterior, los resultados obtenidos por Pedro y el encargado para calcular el área a grabar coinciden. Podríamos decir, entonces, que: (x - 3)2 = x 2 - 3x - 3x + 32 Más adelante usted podrá demostrar que esta igualdad es válida para cualquier valor de x. La igualdad anterior también se puede escribir así: (x - 3)2 = x 2 - 2.3x + 9 = x 2 - 6x + 9

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS. CUADRADO DE UN BINOMIO. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. A partir de lo visto en esta actividad, agregaremos a su vocabulario matemático algunos nombres nuevos: • A la expresión x + 3 por tener dos términos o sumandos, la llamaremos binomio. Por eso diremos que (x + 3)2 es un binomio al cuadrado. • A la expresión x 2 + 6x + 32 por tener tres términos o sumandos, la llamaremos trinomio. Y por ser igual a (x + 3)2 se lo llama trinomio cuadrado perfecto. • Como (x + 3)2 es una multiplicación de los factores (x + 3) y (x + 3), diremos que la expresión (x + 3)2 está factorizada. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

105

• En cambio la expresión x 2 + 6x + 9 es una suma cuyos sumandos o términos son: x 2, 6x y 9, por lo tanto, la expresión x 2 + 6x + 9 no está factorizada. Si escribimos en forma más general lo dicho y trabajado anteriormente, diremos que: El binomio al cuadrado (x + a)2 es igual al trinomio cuadrado perfecto x 2 + 2ax + a 2 o sea: (x + a)2 = x 2 + 2ax + a 2 . (x + a)2 es la expresión factorizada de x 2 + 2ax + a 2

a

x

a

a x

El binomio al cuadrado (x - a)2 es igual al trinomio cuadrado perfecto x 2 - 2ax + a 2 o sea: (x - a)2 = x 2 - 2ax + a 2 . (x - a)2 es la expresión factorizada de x 2 - 2ax + a 2

a

Parte D El encargado del taller se interesó por saber algo más de Matemática a partir de las diferencias surgidas con Pedro en la forma de calcular. Se preguntó: "¿Cómo puedo pasar de la fórmula que yo uso a la que usa Pedro?" "¿Y de la de Pedro a la mía?" En un libro encontró que:

La expresión 1: b (x + c) y la expresión 2: bx + bc

son iguales porque es válida la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Ya que :

• b (x + c ) es una multiplicación de factores b y (x + c ), donde uno de los factores es una suma. • bx + bc es una suma de términos bx y bc , que resulta de distribuir el factor b a cada uno de los términos dentro del paréntesis (x + c ), es decir a x y a c.

106


A partir de la expresión 1 se puede obtener la expresión 2 y recíprocamente. O sea:

• b (x + c) = bx + bc. Acá , a partir de b (x + c ) se distribuye el factor b y se obtiene bx + bc. • bx + bc = b (x + c ). Acá, a partir de bx + bc, se extrae el factor común b y se obtiene b (x + c ). Además, la expresión 1 está factorizada y la expresión 2 no está factorizada. ¿Comprendió lo que leyó el encargado del taller en el libro de Matemática? Si le parece que no le quedó demasiado claro vuelva a leerlo atentamente. 1. Teniendo en cuenta lo que leyó, escriba para cada uno de los siguientes casos otra expresión igual a la dada: a. 3 (x + 1) =

c. (x + 3)(x + 3) =

b. 5x + 10 =

d (x + 1)(x + 2) =

Orientaciones El trabajo que realizó en la Parte D de la actividad le permitirá leer e interpretar lo que descubrió el encargado del taller a partir de preguntarse "¿Cómo puedo pasar de la fórmula que yo uso a la que usa Pedro?" "¿Y de la de Pedro a la mía?"

Camino de (x + 3) . (x + 3) A partir de (x + 3) . (x + 3)

=

a

x 2 + 6x + 9

Resulta

Aplicando

(x + 3) . x + (x + 3) . 3

Propiedad distributiva. Se distribuye el factor (x + 3) en cada uno de los términos de la suma ( x + 3) Propiedad distributiva. En el pimer término, se distribuye el factor x en cada uno de los términos de la suma (x + 3). En el segundo término, se distribuye el factor 3 en cada uno de los términos de la suma (x + 3).

(x + 3) . x + (x + 3) . 3

=

x 2 + 3x + 3x + 3 . 3

x 2 + 3x + 3x + 9

=

x 2 + 6x + 9

Propiedad asociativa.Se asociaron los términos 3x + 3x


107

Camino de x 2 + 6x + 9

a

(x + 3) . (x + 3) o camino de factorización

A partir de

Resulta

Aplicando Propiedad asociativa

x 2 + 6x + 9

=

x 2 + 3x + 3x + 9

x 2 + 3x + 3x + 9

=

(x 2 + 3x ) + (3x + 9)

Propiedad asociativa.

x . (x + 3) + 3 . (x + 3)

Propiedad distributiva extrayendo factor común. En el término x 2 + 3x se extrajo x como factor común, en el término 3x + 9 se extrajo 3.

(x + 3) . (x + 3)

Propiedad distributiva extrayendo factor común. Se extrajo ( x + 3) como factor común de ambos términos.

(x 2 + 3x ) + (3x + 9)

x . (x + 3) + 3 . (x + 3)

=

=

al escribir a 6x como 3x + 3x.

Parte E Fue un mes muy productivo para el taller de artesanías. Este es el último trabajo del mes. Nuevamente el trabajo se hace sobre chapas cuadradas de distintas dimensiones. Sobre ella se deben pintar las siguientes zonas: 3 Verde

x Azul

2 1. Usted ya adquirió experiencia al colaborar con el encargado del taller en los trabajos anteriores. Por eso, creemos que está en condiciones de completar la siguiente tabla: (le damos una respuesta a modo de ejemplo) La cuenta o fórmula con la que, a partir de la medida x del lado de la chapa, se puede calcular: el área total de la chapa, es:

el área pintada de rojo, es:

el área pintada de amarillo, es:

el área pintada de verde, es:

el área pintada de azul, es:

2 . (x - 3)

2. Escriba la fórmula que le permite calcular el área pintada de azul a partir de la medida x, en forma: 108


a. Factorizada b. No factorizada. 3. Calcule el área y pintada de azul cuando x = 5 con las fórmulas: a. y = (x - 2)(x - 3) b. y = x 2 - 5x + 6 4. A partir de la fórmula y = (x - 2)(x - 3) calcule el valor de y a. cuando x = 3 b. cuando x = 2 5. A partir de la fórmula y = x 2 - 5x + 6 calcule el valor de y a. cuando x = 3 b. cuando x = 2 6. ¿En cuál de las fórmulas anteriores le resultó más fácil calcular lo solicitado? 7. a. ¿Cuáles son los ceros de las siguientes funciones?

f : R → R / y = f(x) = (x - 2) (x - 3)

y

g: R → R / y = g(x) = x 2 - 5x + 6

b. ¿Cómo son entre sí las funciones f y g ?

Orientaciones Las funciones f y g son iguales entre sí, porque tienen igual dominio, conjunto de llegada y fórmula. En ambas se cumple que:

• f (3) = 0 y f (2) = 0 • g (3) = 0 y g (2) = 0 Por lo tanto, x = 3 y x = 2 son los ceros de f y de g.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: CEROS DE UNA FUNCIÓN. RAÍCES DE UNA ECUACIÓN Para encontrar los ceros de la función f ó g, buscamos los valores de x para los cuales f (x) = 0, ó g (x)= 0, es decir, buscamos los valores de x que verifiquen la ecuación (x - 2)(x - 3) = 0 ó la ecuación x 2 - 5x + 6 = 0. A esos valores los llamamos soluciones o raíces de la ecuación cuadrática. En este caso, las raíces de la ecuación son x = 2 y x = 3. Por lo tanto los ceros de la función f ó g son x = 2 y x = 3. Para encontrar los ceros de una función f cualquiera, cuya fórmula es y = f (x), buscamos los valores de x para los cuales f (x) = 0.


109

Parte F 1. Verifique que x = -1 y x = 2 son los ceros de la función cuadrática

h : R → R / y = h (x) = 2x 2 - 2x - 4 2. Dadas las funciones:

h : R → R / y = h (x) = 2x 2 - 2x - 4 y j : R → R / y = j (x) = 2(x + 1)(x - 2) ¿Cómo son entre sí las funciones h y j? Justifique su respuesta, teniendo en cuenta sus respuestas a la Parte E y las orientaciones correspondientes a la Parte E. 3. Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifique su respuesta. "La expresión 2 (x + 1) (x - 2) es la expresión factorizada de 2x 2 - 2x - 4".

Orientaciones De acuerdo con lo visto en la Parte E , la expresión factorizada de g (x) = x 2 - 5x + 6 es (x - 2) (x - 3). O sea que: x 2 - 5x + 6 = (x - 2) (x - 3) En la Parte F, la expresión factorizada de h (x) = 2x 2 - 2x - 4 es 2 (x + 1)(x - 2). Es decir que 2x 2 - 2x - 4 = 2 (x + 1)(x - 2).

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS Si m y n son los ceros de la función f : R → R / f (x) = ax 2 + bx + c, con a ≠ 0, la expresión factorizada de ax 2 + bx + c es a (x - m) (x - n). También podemos decir que si las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 son m y n, la expresión factorizada de ax 2 + bx + c es a (x - m)(x - n).

Parte G 1. Encuentre las dos raíces de la ecuación cuadrática x 2 - 9 = 0. Para hacerlo pruebe, dándole a x distintos valores numéricos, hasta encontrar las raíces. 2. A partir de las raíces encontradas en el ítem anterior, factorice la expresión x 2 - 9.

Orientaciones La expresión x 2 - 9 puede escribirse así x 2 - 32. Por esa razón decimos que es una diferencia de cuadrados. Además, escrita así es fácil de ver que x = 3 y x = -3 son raíces de la ecuación x 2 - 9 = 0. Por lo tanto su expresión factorizada es (x - 3) (x + 3).

110


EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES CUADRÁTICAS: DIFERENCIA DE CUADRADOS En forma general podemos escribir una diferencia de cuadrados así: x 2 - b 2, siendo su expresión factorizada (x - b) . (x + b). O sea que x 2 - b 2 = (x - b) . (x + b).

A partir de lo que trabajó en las actividades anteriores usted está en condiciones de continuar leyendo algunos temas de su libro. Nuevamente le indicaremos en forma precisa lo que debe leer. No se olvide que no es conveniente que se extienda en la lectura más allá de lo indicado, porque podría encontrarse con situaciones que no está en condiciones de resolver. Busque el libro y señale de algún modo, lo que le indicamos para leer: • Si usted trabaja con el Libro 1: Lea y resuelva las actividades propuestas desde la página 43 a la página 51. En "Manos a la obra" no resuelva los ejercicios 3 y 4. • Si usted trabaja con el Libro 2: • En el capítulo 4, lea y responda todas las actividades propuestas en la: • Situación 1, páginas 82 a 84. • Situación 2, páginas 84 a 88. • Situación 3, hasta E.4 inclusive, páginas 89 y 90. • Situación 4, hasta E.6 inclusive, páginas 92 y 93. • En el capítulo 5, lea y responda todas las actividades propuestas en la Situación 1, páginas 110 a 112 hasta el ejercicio E.2 inclusive. Ahora que ya tiene señalado en el libro lo que debe hacer en este momento de su tarea, comience con la lectura señalada. Una vez que finalice con ella continúe resolviendo las actividades que siguen. EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: FUNCIONES POLINÓMICAS Usted acaba de reconocer en su libro a las funciones polinómicas como aquellas que tienen como fórmula un polinomio. Entre ellos usted ya conocía a los polinomios de grado uno, f (x) = m . x + b con m ≠ 0 y a los de grado dos, g (x) = a . x 2 + bx + c con a ≠ 0. Por ejemplo, la expresión f (x) = (x - 2)2 = x 2 - 4x + 4 es un polinomio expresado como "binomio al cuadrado" y como "trinomio cuadrado perfecto". Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

111

ACTIVIDAD N°. 4: “EL TALLER DE ARTESANÍAS CAMBIA SUS PRECIOS" ¿Se acuerda del primer cliente del taller de artesanías? Volvió por el taller para solicitar nuevas chapas con las mismas características. El encargado del taller le aclaró que los precios se habían modificado, ya que se habían producido aumentos en todos los rubros. Y le detalló: • La pintura aumentó a razón de $ 0,5 el cm2. • La barra de cobre aumentó $ 1 el cm. • La mano de obra aumentó $ 2 por cada chapa.

Parte A 1. Si la chapa tiene 6 cm de lado, o sea x = 6, ¿cuánto pagará el cliente de aumento por esa chapa? 2. Escriba una fórmula que exprese el aumento de precio p para cada chapa cuadrada de lado x. 3. Teniendo en cuenta el aumento, ¿con qué fórmula se calcularía el importe a pagar por cada chapa en función del lado x de la misma? Encuentre dicha fórmula a partir de saber que:

• la fórmula que da el precio y a pagar inicialmente en función del lado x de la chapa es y = f (x) = 3x 2 + 2x + 4 • la fórmula que da el aumento de precio p en función del lado x de la chapa es p = p (x) = 0,5 x 2 + 1x + 2. Orientaciones Si llamamos f a la función que da el precio inicial de cada chapa en función del lado x , y p a la función que da el aumento de precio por cada chapa en función del lado x , estas funciones son:

f : {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} → R / f (x) = 3x 2 + 2x + 4

y

p :{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} → R / p (x) = 0,5x 2 + 1x + 2 La función que da el nuevo precio por cada chapa, con el aumento es la función g = f + p. O sea:

g : {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} → R / g (x) = f (x) + p (x) = 3,5x 2 + 3 x + 6

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Observe que:

f (x) = 3x 2 + 2x + 4 p (x) = 0,5x 2 + 1x + 2 g (x) = f (x) + p (x) = 3,5x 2 + 3x + 6 La función g , suma de f y p, tiene por fórmula a un polinomio que es la suma de las fórmulas polinómicas de segundo grado de las funciones f y p. ¿Cómo sumar las fórmulas f (x) con p (x)? De acuerdo a la situación concreta, sumamos cada rubro entre sí. Es decir sumamos:

• El precio inicial por la pintura de la chapa y el correspondiente aumento de la pintura entre sí. Estos precios están en función de x 2 porque dependen de la superficie de la chapa a pintar.

• El precio inicial del listón de cobre y el correspondiente aumento del listón entre sí. Estos precios están en función de x porque dependen de la longitud del lado de la chapa.

• El costo inicial de mano de obra y el aumento de la misma entre sí. Estos valores no están en función de x porque son independientes de las dimensiones de la chapa.

Parte B Volvamos a la situación planteada en la Parte A. Si las variaciones de precios, en lugar de ser de aumento fueran descuentos en cada uno de los rubros, ¿cuál sería la fórmula que da el precio y a pagar en función de x con el descuento incluido?

Parte C En la Parte E de la Actividad n°. 3, se calculó el área de chapas rectangulares que se pintarían de color azul. Llamaremos y = b (x) a la fórmula que expresa la medida de la base de estos rectángulos en función de la medida x del lado del cuadrado; e y = h (x) a la fórmula que expresa la medida de la altura de estos rectángulos en función de la medida x del lado del cuadrado. Es decir, y = b (x) = x - 2 e y = h (x) = x - 3. Ambas fórmulas son polinomios de grado uno. 1. Escriba la fórmula y = a (x) que da el área de los rectángulos que serán pintados de azul de acuerdo al valor x del lado del cuadrado. 2. La fórmula y = a (x), ¿es un polinomio? ¿Por qué? 3. Si y = a (x) es un polinomio, ¿cuál es su grado? Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

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Orientaciones La fórmula solicitada en el ítem anterior es a (x) = (x - 2 ). ( x - 3) ó a (x) = x 2 - 5 x + 6, que es un polinomio de segundo grado.

a (x) = b (x) . h (x) = x 2 - 5x + 6 es el polinomio que se obtiene de multiplicar al polinomio b (x) = x - 2 con el polinomio h (x) = x - 3. Para hacerlo, aplicó la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. En general, si usted debe multiplicar dos polinomios, deberá aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, como lo hizo anteriormente.

Busque el libro y señale de algún modo, lo que le indicamos para leer: • Si usted trabaja con el Libro 1: En el capítulo 3, lea y resuelva lo solicitado desde la pág. 54 hasta la pág. 59. En "Manos a la obra" no resuelva los ejercicios 8 y 14. • Si usted trabaja con el Libro 2: - En el capítulo 5, lea y resuelva P.1, E.3, P.2, P.3, P.4, P.5, P.6 y E.4 en las páginas 112 a 115. - En el capítulo 5, lea y resuelva lo solicitado en la Situación 5, páginas 128 y 129. No resuelva el E.8 y siguientes. Orientaciones En función de lo que le hemos indicado, usted acaba de leer en su libro cómo operar con polinomios y ha efectuado sumas, restas, multiplicaciones y divisiones entre polinomios. Como habrá podido advertir, en el texto se vinculan "las operaciones entre polinomios" con las "operaciones entre números enteros" porque estas últimas son las operaciones que usted ya conoce. Le proponemos retomar este vínculo para favorecer una correcta interpretación de cada uno de los términos o nombres que vamos a utilizar. 1. a. En una multiplicación entre números, por ejemplo: 2 . 5 = 10 Decimos que: 2 y 5 son factores de 10, y que 10 es el producto de 2 por 5. Además, de 2 . 5 = 10 se implica que 10 : 2 = 5 y que 10 : 5 = 2 Decimos también que 5 y 2 son divisores de 10, y que 10 es divisible por 2 y por 5.

114


b. Con polinomios p (x) y q (x), si p (x) . q (x) = t (x); entonces p (x) y q (x) son factores y divisores de t (x). Además, t (x) es el producto de p (x) por q (x). 2. a. En la división 10 : 5 = 2, decimos que se trata de una división exacta, porque el resto de la misma es cero, ya que 2 . 5 = 10. En cambio, la división 11: 5 no es exacta ya que el resto es distinto de cero: 11 5 En este caso se verifica que 11 = 2 . 5 + 1 10 2 1 En la división anterior el 11 es el dividendo; el 5 es el divisor; el 2 es el cociente y el 1 es el resto. (El resto es menor que el divisor). b. En una división entre polinomios: D (x) d (x)

R (x) C (x) Se llama dividendo al polinomio D (x); divisor al polinomio d (x); cociente al polinomio C (x) y resto al polinomio R (x). Los polinomios deben verificar la igualdad:

D (x) = d (x) . C (x) + R (x) y además el grado del polinomio R (x) debe ser menor que el grado del polinomio d (x). En el caso particular que el resto sea igual a cero, el polinomio R (x) = 0, nos queda D (x) = d (x) . C (x) En este caso decimos que:

• • • •

La división del polinomio D (x) por el polinomio d (x) es exacta. El polinomio d (x) es divisor del polinomio D (x). El polinomio d (x) es factor del polinomio D (x). El polinomio D (x) es divisible por el polinomio d (x).

Parte D Se desea efectuar la división del polinomio D (x) = 5x 3 - 2x 2 + x 4 + 1 por el polinomio d (x) = 2x + 1 + x 2. 1. a. ¿Qué grado tiene el polinomio dividendo? b. ¿Qué grado tiene el polinomio divisor? c. Decimos que un polinomio está ordenado cuando sus términos están ordenados desde la mayor hasta la menor potencia de x. El polinomio dividendo y el polinomio divisor ¿están ordenados en este caso?


115

d. Para realizar una división de polinomios resulta necesario completar los términos del dividendo con ceros en caso de que falte alguno. (Recuerde los ejemplos que se presentan en el libro de texto). ¿Hace falta completar el polinomio dividendo en este caso? 2. a. Complete la división planteada a continuación:

x 4 + 5x 3 - 2x 2 + 0x + 1 x 4 + 2x 3 + x 2 0x 4 + 3x 3 - 3x 2 + 0x + 1

x 2 + 2x + 1 x 2 + 3x .....

................. .................

Observe que para poder realizar el cálculo, colocamos dividendo y divisor en forma ordenada y completamos los términos que faltan en el dividendo.

b. ¿Qué grado tiene el polinomio cociente? c. ¿Qué grado tiene el resto? 3. Verifique que los polinomios C (x) = x 2 + 3x - 9 y r (x) = 15x + 10 son los polinomios cociente y resto, respectivamente, de la división anterior.

Orientaciones Para verificar lo solicitado en el ítem anterior, debe comprobarse la igualdad

D (x) = C (x) . d (x) + r (x), o sea: D (x) = (x 2 + 2x + 1). (x 2 + 3x - 9) + (15x + 10) Para efectuar la multiplicación (x 2 + 2x + 1) . (x 2 + 3x - 9) aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición, y, por comodidad, lo disponemos de la siguiente manera:

+

x 2 + 2x + 1 x 2 + 3x - 9 x 4 + 2x 3 + x 2 3x 3 + 6x 2 + 3x - 9x 2 - 18x - 9 x 4 + 5x 3 - 2x 2 - 15x - 9

x 2 . (x 2 + 2x + 1) 3x . (x 2 + 2x + 1)

-9 . (x 2 + 2x + 1)

Entonces D (x) = x 4 + 5x 3 - 2x 2 - 15x - 9 + (15x + 10) = x 4 + 5x 3 - 2x 2 + 1 que es lo que queremos verificar.

116


Parte E 1. Considere la división entre D (x) = x 3 + 3x + 1 y d (x) = x - 2. a. Indique el grado del polinomio dividendo y del polinomio divisor. b. Estime, sin hacer la cuenta, el grado del polinomio cociente y del polinomio resto. 2. a. Realice la división D(x) : d(x). Recuerde que los polinomios deben estar ordenados y completos. b. Verifique si el cociente y el resto obtenidos son correctos.

Parte F a. ¿Qué condición debe cumplir una división para poder ser resuelta utilizando la regla de Ruffini? b. ¿Cuál de las divisiones anteriores podría resolverse utilizando la regla de Ruffini?

Parte G 1. Tres personas dividen el polinomio D (x) = x 3 + x + 1 por el polinomio d (x) = x - 3 y a cada una de ellas le da un resultado distinto. Decida cuál es el resultado correcto, sin efectuar la división. Es decir, verifique cuál es el cociente y cuál el resto de dividir D (x) por d (x). Los resultados obtenidos por cada uno de ellos son:

• C (x) = x 2 + 3x + 10 y R (x) = 0 • C (x) = x - 2 y R (x) = 10x + 1 • C (x) = x 2 + 3x + 10 y R (x) = 31 2. ¿Es cierto que, siendo:

• • • •

D (x) = x 3 + x + 1 d (x) = x - 3 C (x) = x 2 + 3x + 10 R (x) = 31, se verifica que x 3 + x + 1 = (x 2 + 3x + 10) (x - 3) + 31? ¿Por qué? ¿Para qué valores de x se verifica la igualdad anterior? Recuerde que x es una variable, como por ejemplo las posibles medidas de los lados de las chapas que decora el artesano.

3. a. Complete el siguiente cuadro, teniendo en cuenta lo que respondió en el ítem anterior. Le damos una fila completa a modo de ejemplo.


117

Si x es D(x) = x 3 + x + 1 C(x) = x 2 + 3x + 10 d(x) = x - 3 R(x) = 31 igual a 1

D (1) = 13 + 1 + 1 C (1) = 12 + 3.1 + 10 d (1) = 1 - 3 R (1) = 31 =3 = 14 = -2

2

D (2) =

C (2) =

d (2) =

R (2) =

3

D (3) =

C (3) =

d (3) =

R (3) =

4

D (4) =

C (4) =

d (4) =

R (4) =

D(x) = C(x) . (x - 3) + R(x) 3 = 14 . (-2) + 31

b. ¿Qué ocurre cuando x = 3? Describa lo que observa. 4. Suponga que le dicen que se verifica la igualdad x 2 + 2x + 3 = C (x) . (x - 2) + 11, que resulta al realizar una división entre polinomios. a. ¿Cuál es el polinomio dividendo D (x)? b. ¿Cuál es el polinomio divisor d (x)? c. ¿Cuál es el resto R (x)? d. ¿Para qué valor de x resulta ser el valor del dividendo igual al valor del resto? (Si no puede responder esta pregunta no se preocupe, continúe con las siguientes.) e. ¿Cuánto vale C (x) . (x - 2) cuando x = 2? f. ¿Cuál es la raíz del divisor d (x) = x - 2? g. ¿Cuánto vale el dividendo cuando x = 2? Es decir, ¿a qué es igual D (2)? h. Si no respondió anteriormente la pregunta del ítem d., hágalo ahora. 5. Ahora, le dicen que: x 4 - 2x + 3 = C (x) . (x + 2) + 23 a. ¿Cuál es el polinomio dividendo D (x)? b. ¿Cuál es el polinomio divisor d (x)? c. ¿Cuál es el resto R (x)? d. ¿Cuál es la raíz del divisor? e. ¿Para qué valor de x resulta ser el valor del dividendo igual al valor del resto?

Orientaciones En la Parte G 1., al dividir el polinomio D (x) = x 3 + x + 1 por el polinomio d (x) = x - 3 se obtuvo como resto, el polinomio de grado cero, R (x) = 31. Además, en la Parte G 3., en el cuadro, se puede observar que: Para x = 3, o sea para la raíz del divisor d (x) = (x - 3), se verifica que D (3) = C (3) . (3 - 3) + R (3), es decir D (3) = C (3) . 0 +31 = 31. Observe que C (3).0 = 0, pues cero por cualquier número es igual a cero. Por lo tanto D (3) = 31, esto es: El valor del polinomio dividendo para x = 3 es igual al resto, siendo x = 3 la raíz del polinomio divisor. 118


En la Parte G 4. para la división (x 2 + 2x + 3) : (x - 2) , resulta que para el cero del divisor, o sea para x = 2, D(2) = 22 + 2.2 + 3 = 11 es igual al resto de la división (verifíquelo). En la Parte G 5. si x = -2, o sea la raíz de d (x) = x + 2, vemos que:

• Por un lado , D (-2) = (-2) 4 - 2 . (-2) + 3 = 16 + 4 + 3 = 23 • Por otro, D (-2) = C (-2) . (-2 + 2) + 23 Podemos decir que en estas divisiones el resto es igual al valor del polinomio dividendo D (x) cuando el valor de x es tal que el divisor d (x) resulta 0.

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS. TEOREMA DEL RESTO Al dividir un polinomio D (x) por otro de la forma (x - a), se verifica que D (a) = R (x), siendo R (x) el valor del resto, y x = a la raíz del divisor. Observe que a partir de D (x) = C (x) . (x - a) + R (x), para x = a es: D (a) = C (a) . (a - a) + R (a) D (a) = C (a) . 0 + R (a) (Recuerde que la multiplicación por cero es igual a cero) D (a) = 0 + R (a) donde R (a) es una constante o sea un polinomio de grado cero. D (a) = R (a) = R. Esta propiedad se conoce con el nombre del teorema del resto. Veamos un ejemplo para verificar el teorema del resto: Si a = -3, entonces, d (x) = x - (-3) = (x + 3). Y si D (x) = 2x 2 + 4x - 8, la división es: 2x 2 + 4x - 8 2x 2 + 6x 0x 2 - 2x - 8 - 2x - 6 0x - 2

x+3 2x - 2

La raíz del polinomio d (x) = x + 3 es x = -3. Se verifica el teorema del resto ya que: D ( -3) = 2( -3)2 + 4( -3) - 8 = 18 - 12 - 8 = -2.


119

Parte H 1. Calcule, sin efectuar la división, el resto de la división: D (x) = x 3 + 4x 2 + 5x + 8 por d (x) = x + 2. Justifique. 2. Decida, sin efectuar la división, si la división D (x) = x 2 - 2x + 1 por d (x) = x - 1 es exacta. Justifique. 3. a. ¿El polinomio D (x) = x 3 + 2 x 2 - 1 es divisible por d (x) = ( x + 1)? ¿Por qué? ¿Cómo lo justifica sin resolver la división? b. ¿A qué es igual D (-1)? ¿Por qué? c. ¿Qué es x = -1 del polinomio D (x)? ¿Por qué? 4. Si D (3) = 0 ó x = 3 es una raíz de D (x): a. ¿Cuál es el resto de la división D (x) por x - 3? ¿Por qué? b. ¿D (x) es divisible por x - 3? ¿Por qué? c. ¿Es exacta la división D (x) : (x - 3)? ¿Por qué?

EN TÉRMINOS MATEMÁTICOS: DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Si en la división de un polinomio D (x) por d (x) = (x - a), ocurre que D (a) = 0, se puede observar lo siguiente: • Por ser D (a) = 0, x = a es un cero del polinomio D (x). • Por ser D (a) = 0 y teniendo en cuenta que, por el teorema del resto, D (a) = R, resulta que el resto R = 0. • Por ser el resto igual a cero decimos que D (x) es divisible por x - a. Por lo tanto podemos afirmar que: “Si x = a es un cero de un polinomio D (x), entonces D (x) es divisible por x - a ”. Observe que al ser D (x) divisible por (x - a), se puede escribir: D (x) = C (x) . (x - a) + 0 = C (x) . (x - a). D (x) queda factorizado como el producto del cociente por el divisor. Puede ocurrir que C (x) admita otros factores. Esta conclusión es muy importante porque nos va a permitir "factorizar" polinomios de distintos grados.

120


Parte I a. Factorice el polinomio P (x) = x b. Verifique que x

2

2

+ 3x - 4 sabiendo que x = 1 es una raíz de P (x).

+ 3x - 4 = (x - 1) . (x + 4).

c. Factorice Q (x) = 2x de Q (x).

2

+ 4x - 6, para ello verifique previamente que x = -3 es una raíz

Orientaciones Por ser x = -3 una raíz de Q (x), resulta que Q (x) es divisible por x + 3. Si hacemos la división resulta: 2x 2 + 4x - 6 2x 2 + 6x

x+3 2x - 2

0x 2 - 2x - 6 - 2x - 6 0 Luego 2x 2 + 4x - 6 = (2x - 2).(x + 3). Esta expresión no está completamente factorizada ya que el factor (2x - 2) puede seguir factorizándose: 2x - 2 = 2 . (x - 1). Decimos que la expresión (2x - 2) no es irreducible. La expresión completamente factorizada del polinomio Q (x) es 2 . (x - 1) . (x + 3), donde los factores (x - 1) y (x + 3) son factores irreducibles. Además las expresiones (x -1) y (x + 3) son expresiones mónicas porque el número que multiplica a x es 1. También es mónico el pólinomio p (x) = x 2 + 3x - 4 porque el número que multiplica a x 2 es 1. En cambio la expresión (2x - 2) no es una expresión mónica porque el número que multiplica a x es distinto de 1 tampoco es mónico el polinomio q (x) = 2x 2 + 4x - 6 porque el número que multiplica a x 2 es distinto de 1.

Parte J Para el polinomio P (x) = 2x 3 -6x 2 - 8x + 24 a. Verifique que x = 3 es raíz del polinomio. b. Verifique que P (x) es divisible por (x - 3), sin realizar la división. c. Halle C (x) para P (x) : (x - 3). d. Escriba P (x) = C (x) . (x - 3).


121

e. El polinomio P (x) no está completamente factorizado porque el polinomio C (x) tiene raíces. Encuentre las raíces de C (x). f. Factorice completamente el polinomio P (x), es decir, encuentre todos los factores mónicos e irreducibles de P (x).

Orientaciones A continuación mostramos una forma de factorizar completamente al polinomio P (x) = 2x 3 - 6x 2 - 8x + 24. Podemos pensar en los pasos a seguir para hacerlo:

• Hallar una de sus raíces. En este caso se verifica que x = 3 es raíz de P (x), ya que P ( 3) = 2.3 3 - 6.3 2 - 8.3 + 24 = 54 - 54 - 24 + 24 = 0. • Dividir a P (x) por (x - 3), de donde se obtiene P (x) = (x - 3). (2x 2 - 8). Acá, P (x) no está factorizado completamente porque (2x 2 - 8) no es irreducible, es decir que puede seguir factorizándose.

• Factorizar C (x) = 2x 2 - 8 de la misma forma que lo hicimos con P (x), es decir buscando una raíz, por ejemplo x = 2, ya que C (2) = 2(2)2 - 8 = 2. 4 - 8 = 0; y dividir a C (x) por x - 2, de donde se obtiene C (x) = (x - 2) . ( 2.x + 4) • Como (2x + 4) no es mónico, es decir que tiene a 2 como coeficiente de la x, sacamos al 2 como factor común. Entonces, resulta 2x + 4 = 2.(x + 2). De este procedimiento surge que: C (x) = (x - 2) . 2 . (x + 2). Escribimos la factorización completa de P (x):

P (x) = (x - 3).(2x 2 - 8) = (x - 3).(x - 2).2.(x + 2) = 2.(x - 3) .(x - 2).(x + 2). Esta es la factorización completa de P (x), ya que los factores (x - 2), (x + 2) y (x - 3) son polinomios primos, es decir, mónicos e irreducibles. Con este mismo recurso podrá factorizar polinomios de grados mayores que 3, siguiendo el mismo proceso.

Busque el libro y señale de algún modo, lo que le indicamos para leer: • Si usted trabaja con el Libro 1: • En el capítulo 3: - Lea y resuelva las actividades propuestas desde la página 60 hasta la página 63. - En "Final de obra" resuelva los ejercicios 18, 19, 23, 25, 27, 29, 30, 32 y 35.

122


• En el capítulo 4: - Lea y resuelva las actividades propuestas desde la página 69 a la página 73, hasta llegar al título "Con ayuda de la calculadora". - Lea y resuelva las actividades propuestas desde la página 75 a la página 77, hasta llegar al título "Usemos lo aprendido". - En "Final de obra" resuelva los ejercicios 6, 7, 10, 12, 13, 16 y 17. (Sugerencia: en los ejercicios 10 y 17, para comenzar la factorización de cada polinomio, busque una posible raiz de cada uno de ellos) • Si usted trabaja con el Libro 2: • En el capítulo 5: - En la Situación 1, resuelva los problemas P.7 (no resuelva u(p)); P.8; y P.10, en las páginas 116 y 117. (Sugerencia: en el P. 7, para comenzar la factorización de cada polinomio, busque una posible raiz de cada uno de ellos). - En la Situación 2, lea y resuelva las actividades propuestas en las páginas 118 y 119. Resuelva también los problemas P.13; P.14 y P.15 de la página 121. - En la Situación 5, resuelva el ejercicio E.8 en las páginas 129 y 130; y el problema P.27 de las páginas 130, 131 y 132. Una vez que haya completado el trabajo con el texto le proponemos realizar los ejercicios de integración correspondientes a esta unidad.


123

Ejercicios de integración MATEMATICA Ejercicio n.º 1 En la siguiente tabla, en la columna de la derecha, escriba un ejemplo de lo que se indica en la columna de la izquierda. Un polinomio p(x) que sea:

Un ejemplo es:

de grado 3

p (x) =

de grado cero

p (x) =

de grado 4 con término independiente 6

p (x) =

de grado 5 con coeficiente principal -2

p (x) =

de grado 2 con coeficientes todos iguales entre sí

p (x) =

una diferencia de cuadrados

p (x) =

un trinomio cuadrado perfecto

p (x) =

el cuadrado de un binomio

p (x) =

mónico factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a x = 2; x = -1; x = 3

p (x) =

de coeficiente principal 3, factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a x = 2; x = -1; x = 3

p (x) =

Ejercicio n.º 2 Complete el siguiente cuadro, respondiendo con SÍ o NO, según corresponda. El polinomio p(x) es :

p(x) = mónico 3x - 9

x2+1 x+6 4x 2 + 4

x2-9

124


irreducible

Ejercicio n.º 3 Con cada una de las expresiones que se dan a continuación se calcula un área asociada con el cuadrado dibujado a su derecha:

• (x + 2)2

• (x - 4)2

1. Para cada caso, le pedimos que indique sobre la figura cuadrada: a. ¿A qué medida de la figura se la llama x? b. Todas las medidas de la figura cuadrada que sean necesarias. c. El área que se calcula con dicha expresión. Para ello, sombree la superficie correspondiente. 2. A partir de lo indicado sobre las figuras cuadradas, escriba las expresiones no factorizadas de las expresiones dadas.

Ejercicio n.º 4 Resuelva las operaciones indicadas a continuación: 1. Dados los polinomios: p (x) = -5x 4 + 2x 2 - 1 2 a. p (x) + q (x)

y q (x) = 3 x 4

3

- x 2 + 2x + 5, halle:

b. p (x) - q (x) 2. Halle t (x) . s (x) siendo t (x) = 1 x 3 - 2x 2 + 3 y s (x) = x 2 + 2x -1 2 3. Dados los polinomios: z (x) = -5x 5 + 3x 3 - 2x 2 + 1 x + 1, y h (x) = -x 3 + 2x 2 - 4 y 2 j (x) = x -2: a. Halle z (x) : h (x) b. Halle z (x) : j (x) c. Resuelva la división planteada en el ítem b. utilizando la regla de Ruffini. Para cada una de las divisiones que resolvió en los ítems a. y b., verifique si el polinomio cociente y el resto son los correctos.


125

Ejercicio n.º 5 Para las siguientes divisiones de polinomios: a. (x 3 + x 2 + x) : (x 2 + 1)

c. (x 5 + x 3 + 2x 2 + 3) : (x + 2)

b. (x 6 + 2x 2 + 1) : (x 3 + 2x )

d. (x 3 + 2x - 3) : (x - 1)

1. Decida, sin resolver la división, el grado del polinomio cociente. 2. ¿Qué debe tener en cuenta para saber si terminó de realizar todos los pasos de la división? ó ¿Qué grado puede tener el polinomio resto?

Ejercicio n.º 6 Factorice completamente las siguientes expresiones polinómicas e indique en cada caso lo que tiene en cuenta para factorizar. 1. 4x - 12

5. x 3 + 2x 2 + x + 2

2. 5x 2 - 25x

6. 2x 2 - 18

3. x 2 - 1 9 4. x 2 - 6x + 9

7. 4x 2 + 8x + 4

Ejercicio n.º 7 1. Aplique la propiedad distributiva para calcular el cubo del binomio (x + 2), es decir: (x + 2)3 = (x + 2) . (x + 2) . (x + 2) = [(x + 2) . (x + 2)] . (x + 2) 2. Teniendo en cuenta que a los polinomios no factorizados que provienen de elevar un binomio al cubo se los llama cuatrinomios cubo perfecto, obtenga el cuatrinomio cubo perfecto correspondiente a: a. (x - 2)3

c. (x - a)3

b. (2x + 1)3

d. (x + a)3

3. Decida si las siguientes expresiones polinómicas son cuatrinomios cubos perfectos: a. x 3 + 6x 2 + 12x + 8

c. x 3 - 6x 2 + 12x - 8

b. x 3 + 2x 2 + 6x + 8

d. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1

4. Factorice los cuatrinomios cubos perfectos del ítem 3.

Ejercicio n.º 8 Para el polinomio p (x) = x 4 - x 3 - 19x 2 - 11x + 30 indique, sin efectuar la división: 1. El resto de dividir a p (x) por (x - 3).

126


2. Si el polinomio p (x) es divisible por: a. (x + 2) b. (x - 4) 3. Si (x - 5) es un factor en la factorización de p (x). 4. El valor de p (-3). 5. Algún cero del polinomio p (x). 6. Si la división entre p (x) y (x - 1) es exacta o no. Justifique su respuesta.

Ejercicio n.º 9 Se dan los siguientes polinomios:

p (x) = (x - 1) . (x 2 - x - 2) q (x) = (x 2 + 1) . (x - 2) r (x) = (x + 1) . (x 4 + 16) s (x) = 4 . (x 2 - 4) . (x 2 + 4) t (x) = (-1) . (x 2 - x - 6) . (x + 3) 1. Indique cuáles de los polinomios dados están completamente factorizados. 2. En aquellos casos en que no todos los factores sean mónicos e irreducibles, continúe la factorización del polinomio. 3. Indique todas las raíces de cada uno de los polinomios dados. 4. Los siguientes polinomios son factores de algunos de los polinomios dados:

• x2+1 • x 4 + 16 • x2+4 a. ¿Qué diría respecto de las raíces de cada uno de ellos? b. Para cada uno de ellos, indique si son o no:

• mónicos • irreducibles 5. Un compañero le pregunta cómo determinar si un polinomio está completamente factorizado. Respóndale de la forma más precisa posible.


127

Ejercicio n.º 10 Busque posibles raíces enteras de los polinomios dados a continuación y factorice en forma completa: 1. p (x) = x 4 - 16

4. t (x) = 3x 2 - 3x - 6

2. q (x) = x 5 - 32

5. s (x) = 4x 3 + 4x - 4x 2 - 4

3. r (x) = x 7 + 1

Ejercicio n.º 11 A continuación se dan las fórmulas de funciones polinómicas de primero, segundo y tercer grado con sus respectivas representaciones gráficas.

• f (x) = 1/6 (x + 2)(x - 3)2 = 1/6 (x + 2)(x - 3)(x - 3) y 3 2 1 -2

-1

0

1

2

x

3

• g (x) = -1/2 (x + 1)(x - 2)(x - 5)

• m (x) = 2x - 8

y

y 1

5 4

-1

3 2 1 -1

1 -1

2

3

4

5

x

-2 -3

-8

-4 -5

128


2

3

4

x

• t (x) = (x + 2)2

• p (x) = -2(x + 2)(x - 4) y

y 18

4 3 2 1 -4

-3

-2

x

-1

• h (x) = (x - 2)3 -2

y 1

-1

1

2

3

4

x

2

-1

x

-8

1. Para cada una de ellas encuentre, cuando sea posible, lo solicitado a continuación. Escriba lo pedido utilizando toda la simbología matemática que conoce. a. La imagen de cero. b. La imagen de 3. c. Los ceros. d. Dominio y conjunto de llegada. e. Un intervalo donde la función es creciente. f. Un intervalo donde la función es decreciente. 2. Para las funciones de fórmulas y = m (x), y = t (x), y = p (x), y = h (x), encuentre, cuando sea posible: a. El valor de x para el cual la función tiene un máximo y el valor del máximo correspondiente. b. El valor de x para el cual la función tiene un mínimo y el valor del mínimo correspondiente. 3. Para cada una de las funciones polinómicas de segundo grado ó función cuadrática, halle las coordenadas del vértice de su representación gráfica. Matemática • Bloque 3 • UNIDAD 3

129

Ejercicio n.º 12 a. Busque en esta Guía de estudio el programa de Matemática del Bloque 3. b. Lea los contenidos de la Unidad 3, y para cada uno de ellos identifique:





d. Relea los Propósitos de la Unidad 3.¿Cree que ha logrado lo que ahí le proponemos?

• Si su respuesta es afirmativa en todos los casos, puede empezar a estudiar la Unidad 4. • Si su respuesta es negativa en alguno de los casos, le indicamos que busque cuáles son los contenidos involucrados en dichos propósitos y que rehaga las actividades que trataron esos contenidos. Le servirá de ayuda el cuadro que confeccionó en el ítem c. de este ejercicio.

130


Orientaciones acerca de los ejercicios de integración MATEMATICA Recuerde que estas orientaciones le permiten verificar su trabajo con los ejercicios de integración. No dude en volver a releer la Guía y el texto si cometió errores o si no recordó algún concepto o procedimiento de resolución. Recuerde que puede asistir a las consultorías para resolver dudas y compartir su trabajo con otros compañeros. Ejercicio n.º 1 Las respuestas dadas a continuación son sólo UN ejemplo de lo que se pide en cada caso, excepto en los dos últimos polinomios (en esos casos es el único que cumple las condiciones pedidas). Un polinomio p(x) que sea:

Un ejemplo es:

p (x) = x 3 - 5x - 2

de grado 3

p (x) = 8

de grado cero

p (x) = x 4 + 3x 2 - 5x + 6

de grado 4 con término independiente 6

p (x) = -2x 5 + 3x 4 + x 3 - 8x 2 + 2x - 7

de grado 5 con coeficiente principal -2 de grado 2 con coeficientes todos iguales entre sí

p (x) = 3x 2 + 3x + 3 p (x) = x 2 - 81

una diferencia de cuadrados

p (x) = x 2 - 8x + 16

un trinomio cuadrado perfecto

p (x) = (2x + 1)2

el cuadrado de un binomio mónico factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a x = 2; x = -1; x = 3 de coeficiente principal 3, factorizado completamente y que tenga como únicas raíces a x = 2; x = -1; x = 3

p (x) = (x - 2) . (x + 1) . (x - 3)

p (x) = 3 . (x - 2 ) . (x + 1) . (x - 3)

Ejercicio n.º 2 El cuadro completo es: El polinomio p(x) es :

p(x) = mónico

irreducible

3x - 9

NO

SÍ

x2+1

SÍ

SÍ

x+6

SÍ

SÍ

4x 2 + 4

NO

SÍ

x2-9

SÍ

NO


131

Ejercicio n.º 3 Para responder a esta actividad tenemos en cuenta lo hecho en la Actividad n.º 3: "Nuevos trabajos para el taller de artesanías"

• Para (x + 2)2: 1. 2

x

x

2

x+2 2. La región sombreada se puede formar con un cuadrado de lado x, 2 rectángulos cuyos lados miden 2 y x, y un cuadrado de lado 2. Por lo tanto, el área de esa región se puede calcular sumando las áreas de esas 4 figuras como sigue: x 2 + 2x + 2x + 22 = x 2 + 4x + 4. Este trinomio cuadrado perfecto es la expresión no factorizada de (x + 2)2 = (x + 2) . (x + 2), que también expresa el área de la región sombreada. Por lo tanto se puede escribir que (x + 2)2 = x 2 + 4x + 4.

• Para (x - 4)2: 1.

4

x

x-4

4

x 2. La región sombreada se puede formar sacándole a un cuadrado de lado x , 2 rectángulos cuyos lados miden 4 y (x - 4) y un cuadrado de lado 4. Por eso, el área de esa región se puede calcular así: x 2 - 4 . (x - 4) - 4 . (x - 4) - 42. Si distribuimos y operamos en esta expresión, queda: x 2 - 4x + 16 - 4x + 16 - 16 = x 2 - 8x + 16.

132


Pero el área de la región cuadrada sombreada también se puede calcular mediante (x - 4)2. Por lo tanto, el trinomio cuadrado perfecto x 2 - 8x + 16, que no está factorizado, es equivalente a la expresión factorizada (x - 4)2 = (x - 4) . (x - 4). Y entonces se puede escribir la siguiente igualdad: (x - 4)2 = x 2 - 8x + 16.

Ejercicio n.º 4 1. a. Tenemos en cuenta lo comentado en la actividad del taller de artesanías, en la que se producía un aumento en los distintos rubros. Sólo sumamos entre sí las cantidades correspondientes a un mismo rubro. Por lo tanto, el cálculo se puede organizar de la siguiente manera:

p (x) →

- 5x

+ q (x) →

3 x 4 - 5x 4 + 3 x 4

p (x) + q (x) =

- 1 2

+ 2x 2

4

3

3

- x 2 + 2x + 5 + x 2 + 2x + 9 2

b. Si en lugar de producirse aumento de precios, los mismos disminuyesen, igualmente deberíamos agrupar por rubros para resolver la resta. Así resulta: p (x) - q (x) = - 5x 4 - 3 x 3 + 3x 2 - 2x - 11 4 2 2. Aplicando la propiedad distributiva, resolvemos la multiplicación. Organizando el cálculo como lo hicimos en las orientaciones dadas a la Parte D de la Actividad nº. 4 resulta que: t (x) . s (x) = 1 x 5 - x 4 - 7 x 3 + x 2 + 6x + 3 2 2 5 4 3 - x 3 + 2x 2 - 4 + 3x - 2x 2 + 1 x + 1 3. a. - 5x + 0x 2 - 20x 2 5x 2 + 10x + 17 - 5x 5 + 10x 4 - 10x

4

+ 3x

- 10x

4

+ 20x

3

+ 18x

2

3

- 17x

3

+ 18x

2

- 17x

3

+ 34x

2

- 16x

2

+ 1 x 2 - 40x + 81 x + 1 2 - 68

+ 81 x + 69 2

Por lo tanto z (x) : h (x) da un cociente c (x) = 5x 2 + 10x + 17 y un resto r (x) = - 16x 2 + 81 x + 69. 2 Para verificar, debe ser z (x) = h (x) . c (x) + r (x). Resolvemos h (x) . c (x) aplicando la propiedad distributiva y resulta h (x) . c (x) = - 5x 5 + 3x 3 + 14x 2 - 40x - 68. Le sumamos r (x) y resulta: h (x) . c (x) + r (x) = - 5x es z (x) y así queda comprobado.

5

+ 3x

3

- 2x

2


+ 1 x + 1 que 2

133

b. Operando como en el ítem a., z (x) : j (x) resulta un cociente c (x) = - 5x 4 - 10x 3 - 17x 2 - 36x - 143 y un resto r (x) = - 142. 2 c. Resolvemos aplicando la regla de Ruffini: 1 -5 0 3 -2 2 2 -5

-10

-20

-34

-10

-17

-36

c (x) = - 5x 4 - 10x 3 - 17x 2 - 36x -

-72 -143 2

143 2

1 -143 -142

r (x)

Operando como lo dicho en el ítem a., se llega a comprobar que z (x) = j (x) . c (x) + r (x).

Ejercicio n.º 5 1. Observe en las divisiones ya resueltas que el grado del polinomio cociente es siempre la diferencia entre el grado del polinomio dividendo y el del polinomio divisor. Por eso: a. El grado del cociente es 1, ya que el dividendo es de grado 3 y el divisor es de grado 2, y 3 - 2 = 1. b. El cociente tiene grado 3 (ya que 6 - 3 = 3). c. Se obtiene un cociente de grado 4. d. El cociente es de grado 2. 2. Para terminar la división se debe llegar a un resto cuyo grado sea menor que el grado del polinomio divisor. (Obsérvelo en las divisiones que realizó anteriormente).

Ejercicio n.º 6 1. 4x - 12 = 4(x - 3)

(se extrajo a 4 como factor común)

2. 5x 2 - 25x = 5x (x - 5) 1 3. x 2 - 9 = x 2 - 1 3

2

(se extrajo a 5x como factor común)

= x+ 1 3

x - 31

(diferencia entre los cuadrados de x y de 1 ) 3

4. x 2 - 6x + 9 = x 2 - 3x - 3x + 9 = x (x - 3) - 3(x - 3) = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)2 (hay un trinomio cuadrado perfecto, revea la situación del taller de artesanías) 5. x 3 + 2x 2 + x + 2 = x 2 (x + 2) + 1 (x + 2) (sacando x 2 como factor común entre los dos primeros términos y 1 como factor común entre los dos últimos) = (x 2 + 1)(x + 2) (sacando (x + 2) como factor común)

134


6. 2x 2 -18 = 2 (x 2 - 9) = 2 (x - 3 ) 2

2

(sacando 2 como factor común) (diferencia entre los cuadrados de x y 3)

= 2(x - 3)(x + 3) 7. 4x 2 + 8x + 4 = 4(x 2 + 2x + 1)

(sacamos a 4 como factor común)

= 4(x 2 + x + x + 1) = 4[x (x + 1) + 1(x + 1)] = 4(x + 1)(x + 1)

(sacamos a x y a 1 como factor común)

(sacamos a (x + 1) como factor común)

Ejercicio n.º 7 1. (x + 2)3 = [(x + 2)(x + 2)](x + 2) = (x 2 + 2x + 2x + 4)(x + 2) = (x 2 + 4x + 4)(x + 2) = x 3 + 2x 2 + 4x 2 + 8x + 4x + 8 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8 (cuatrinomio cubo perfecto) 2. a. (x - 2)3 = [(x - 2)(x - 2)](x - 2) = (x 2 - 2x - 2x + 4)(x - 2) = (x x 3 - 2x 2 - 4x 2 + 8x + 4x - 8 = x 3 - 6x 2 + 12x - 8

2

- 4x + 4)(x - 2) =

b. (2x + 1)3 = [(2x + 1)(2x + 1)](2x + 1) = (4x 2 + 2x + 2x + 1)(2x + 1) = (4x 2 + 4x + 1) (2x + 1) = 8x 3 + 4x 2 + 8x 2 + 4x + 2x + 1 = 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 c. (x - a)3 = [(x - a)(x - a)](x - a) = (x 2 - ax - ax + a 2)(x - a) = (x 2 - 2ax + a 2)(x - a) = x 3 - ax 2 - 2ax 2 + 2 a 2x + a 2x - a 3 = x 3 - 3 ax 2 + 3 a 2x - a 3 d. (x + a)3 = [(x + a)(x + a)](x + a) = (x 2 + ax + ax + a 2)(x + a) = (x 2 + 2ax + a 2) ( x + a) = x 3 + ax 2 + 2ax 2 + 2 a 2x + a 2x + a 3 = x 3 + 3 ax 2 + 3 a 2x + a 3 3. Si observamos las expresiones polinómicas dadas y las comparamos con las obtenidas en los ítems 1. y 2., podemos concluir que las expresiones dadas en a., c. y d. son cuatrinomios cubo perfectos. En cambio la expresión dada en b. no es cuatrinomio cubo perfecto. Teniendo en cuenta lo hecho en los ítems 1. y 2., las factorizaciones son: a. x 3 + 6x 2 + 12x + 8 = (x + 2)3 c. x 3 - 6x 2 + 12x - 8 = (x - 2)3 d. 8x 3 + 12x 2 + 6x + 1 = (2x + 1)3

Ejercicio n.º 8 1. Teniendo en cuenta el teorema del resto, como x = 3 es raíz del polinomio divisor, el valor de p (3) es el resto de la división de p (x) por (x - 3). Como p (3) = 34 - 33 - 19.32 - 11.3 + 30 = 81 - 27 - 19.9 - 33 + 30 = -120, éste es el valor del resto de la división planteada. 2. Para que un polinomio sea divisible por otro, el resto debe ser cero. Usando el teorema del resto calculamos p (-2) y p (4) para averiguar los restos de las divisiones de p (x) por (x + 2) y (x - 4) respectivamente.


135

a. p (-2) = (-2)4 - (-2)3 - 19.(-2)2 - 11.(-2) + 30 = 0, por lo tanto p (x) es divisible por (x + 2). b. p (4) = 44 - 43 - 19.42 - 11.4 + 30 = -126 ≠ 0, por lo tanto p (x) no es divisible por (x - 4). 3. Para que (x - 5) sea un factor en la factorización de p (x), el polinomio p(x) debe ser divisible por (x - 5). Es decir, el resto de la división de p (x) por (x - 5) debe ser cero. Por el teorema del resto, calculamos p (5) = 54 - 53 - 19.52 - 11.5 + 30 = 0. Como el resto es cero, (x - 5) es un factor de p (x). 4. p (-3) = (-3)4 - (-3)3 - 19.(-3)2 - 11.(-3) + 30 = 0 5. Por lo hallado en los ítems anteriores podemos decir que x = -2, x = 5 y x = -3 son ceros de p (x). 6. Si el resto de la división entre p (x) y (x - 1) es cero, la división es exacta. Calculamos el resto por el teorema: p (1) = 14 - 13 - 19.12 - 11.1 + 30 = 0. La división es exacta. Por eso, x = 1 es otro cero de p (x).

Ejercicio n.º 9 1. Los polinomios q (x) y r (x) están totalmente factorizados. 2. En los demás polinomios vamos a continuar la factorización.

• En el polinomio p (x), el factor (x 2 - x - 2) no es irreducible. Como (x 2 - x - 2) se anula con x = 2 y con x = -1, podemos escribir que x 2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x - 2)(x + 1). Por lo tanto, resulta p (x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1). • En s (x), el factor (x 2 - 4) no es irreducible. Teniendo en cuenta que ese factor es una diferencia de los cuadrados de x y de 2, resulta (x 2 - 4) = (x + 2)(x - 2). Por lo tanto, es s (x) = 4(x + 2)(x - 2)(x 2 + 4). • En t (x) el factor (x 2 - x - 6) no es irreducible. Probando se encuentra que x = -2 y x = 3 anulan a (x 2 - x - 6) y se puede escribir que x 2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3). Entonces resulta t (x) = (-1)(x + 2)(x - 3)(x + 3). 3. Teniendo en cuenta las factorizaciones podemos dar las raíces de cada polinomio:

• p (x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1), las raíces son x = 1, x = 2 y x = -1. • q (x) = (x 2 + 1)(x - 2), la única raíz real es x = 2. • r (x) = (x + 1)(x 4 + 16), la única raíz real es x = -1. • s (x) = 4(x + 2)(x - 2)(x 2 + 4), las raíces reales son x = -2 y x = 2. • t (x) = (-1)(x + 2)(x - 3)(x + 3), las raíces son x = -2, x = 3 y x = -3. 4. a. Ninguno de esos factores tiene raíces reales. b. Son polinomios mónicos e irreducibles.

136


5. Un polinomio está completamente factorizado cuando cada uno de sus factores tiene a 1 como coeficiente del término de mayor grado (es mónico) y además no se puede factorizar más (es irreducible).

Ejercicio n.º 10 1. Probando se encuentra que x = 2 y x = -2 son raíces de p (x). Por lo tanto el polinomio p (x) es divisible por (x - 2) y por (x + 2). Lo dividimos sucesivamente por estos divisores y nos queda que p (x) = x 4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x 2 + 16). Usted también puede llegar a este resultado pensando a p (x) como la diferencia entre los cuadrados de x 2 y 4. 2. Se encuentra que x = 2 es raíz de q (x). Por lo tanto el polinomio q (x) es divisible por (x - 2). Lo dividimos por este divisor y nos queda que q (x) = x 5 - 32 = (x - 2)(x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16). 3. Se encuentra que x = -1 es raíz de r (x). Por lo tanto el polinomio r (x) es divisible por (x + 1). Lo dividimos por este divisor y nos queda que r (x) = x 7 + 1 = (x + 1)(x 6 - x 5 + x 4 - x 3 + x 2 - x + 1). 4. Como el polinomio t (x) = 3x 2 - 3x - 6 no es mónico; primero lo factorizamos sacando factor común 3. Entonces nos queda: t (x) = 3(x 2 - x - 2). Se encuentra que x = -1 y x = 2 son raíces de la expresión que queda entre paréntesis. Por lo tanto, dicha expresión es divisible por (x + 1) y por (x - 2). La dividimos sucesivamente por estos divisores y nos queda que t (x) = 3x 2 - 3x - 6 = 3(x 2 - x - 2) = 3(x + 1)(x - 2). 5. Como el polinomio s (x) = 4x 3 + 4x - 4x 2 - 4 no es mónico primero lo factorizamos sacando factor común 4. Entonces nos queda: s (x) = 4(x 3 + x - x 2 - 1). Se encuentra que x = 1 es raíz de la expresión que queda entre paréntesis. Por lo tanto, dicha expresión es divisible por (x - 1). La dividimos por este divisor y nos queda que s (x) = 4x 3 + 4x - 4x 2 - 4 = 4(x 3 + x - x 2 - 1) = 4(x - 1)(x 2 + 1).

Ejercicio n.º 11 1. y 2. Función

f

g

m

t

p

h

a. imagen de cero

f (0) = 3

g (0) = -5

m (0) = -8

t (0) = 4

p (0) = 16

h (0) = -8

b. imagen de 3

f (3) = 0

g (3) = 4

m (3) = -2

t (3) = 25

p (3) = 10

h (3) = 1

f -1(0) = -2; f -1(0) = 3

g -1(0) = -1; g -1(0) = 2; g -1(0) = 5

m -1(0) = 4

t -1(0) = -2

p -1(0) = -2; p -1(0) = 4

h -1(0) = 2

c. ceros


137

Función

f

g

m

t

p

h

d. dominio Dom f = R Dom g = R Dom m = R Dom t = R Dom p = R Dom h = R conjunto de llegada e. ejemplo de un intervalo donde la función es creciente

f. ejemplo de un intervalo donde la función es decreciente

R

R

R

R

R

R

(-3 ; -1)

(1 ; 3)

R

(-2 ; 5)

(-2 ; 1)

R

(0 ; 3)

(-2 ; 0)

No hay

(-7 ; -2)

(1 ; 7)

No hay

No hay

No hay

-1

No hay

2.a. x para el cual la función tiene un máximo

Valor del máximo

18 No hay

2.b. x para

-2

No hay

No hay

el cual la función tiene un mínimo

Valor del mínimo

0

3. Son funciones cuadráticas:

• t : R → R / t (x) = (x + 2)2 ; su vértice es (-2 ; 0) (es el mínimo de la función). • p : R → R / p (x) = -2.(x + 2)(x - 4); su vértice es (1 ; 18) (es el máximo de la función).

138


Autoevaluación MATEMATICA

Actividad n.º 1

La empresa Maurex y Cía S.A. tiene a su cargo el análisis de la evolución de un proceso químico innovador. Un equipo de ingenieros de la empresa tuvo como tarea, durante una semana, el análisis de la evolución de la temperatura de las 3 sustancias básicas que intervienen en el proceso y de las alteraciones que ocurren en el volumen ocupado por cada una de ellas a medida que se modifican sus temperaturas. Transcurrido el plazo destinado a su tarea, el equipo elaboró un informe en el que llamaron A, B y C a las 3 sustancias básicas que intervienen en el proceso: En la primera parte del informe dice:

• La función que expresa la evolución de la temperatura (en °C) de la sustancia A durante el período de observación es:

f : [0 ; 7] → R / f (t) = 1 t + 5 4

• La representación gráfica de la función g , que expresa la evolución de la temperatura de la sustancia B, es:

T (ºC) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

t (días)

• La sustancia C no modificó su temperatura de 6° C a lo largo de todo el período de observación. Llamamos h a la función que expresa lo ocurrido con esta sustancia. A partir de los datos ofrecidos por el primer informe le proponemos realizar el siguiente trabajo: Parte A 1. ¿Cuál fue la temperatura de la sustancia A al terminar el tercer día de observación? 2. La sustancia B, ¿alcanzó algún día una temperatura de 4°C?¿Cuándo?

Matemática • Bloque 3 • AUTOEVALUACIÓN

139

3. Traduzca a lenguaje matemático las dos preguntas anteriores. 4. Indique f

-1

(5,5); g (3) y h (5).

5. ¿Cuál es el dominio de cada una de las funciones anteriores? 6. Escriba Im f . Parte B 1. Exprese la función f en forma gráfica. 2. Elija entre las fórmulas que le damos a continuación aquella que puede utilizarse para expresar la evolución de la temperatura de la sustancia B:

y=-t+2

y=2t+1

y=t +2

3. Escriba una función h que exprese lo ocurrido con la temperatura de la sustancia C durante el período de observación. Parte C 1. ¿Con qué velocidad se modificó la temperatura de la sustancia A durante el período de observación? ¿Cuál fue la temperatura de la sustancia en el momento de inicio de las observaciones? 2. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de la función g que describe lo observado para la sustancia B? 3. Escriba su respuesta a la pregunta anterior en términos de la situación de la observación de la temperatura de la sustancia B. 4. La función j : R → R / j (t) = t + 5 , ¿Qué similitudes y qué diferencias tiene con la función f ? 5. Represente gráficamente el conjunto solución de la inecuación y < 1 t + 5 4 Parte D 1. Resuelva en forma gráfica y analítica, el siguiente sistema de ecuaciones:

y= 1 t+5 4

y=t+2 2. Escriba el conjunto solución del sistema de ecuaciones anterior. 3. Clasifique dicho sistema de ecuaciones. 4. Teniendo en cuenta la situación concreta de la observación de las temperaturas de las sustancias A y B, ¿qué significado tiene el conjunto solución hallado en el ítem 1.?

140


Actividad n.º 2 La segunda parte del informe elaborado por los ingenieros de la empresa Maurex y Cía S.A. presenta los siguientes datos:

• La variación del volumen (en cm3) de la sustancia B en función de la temperatura x a la que es sometida (en °C), puede expresarse con la función:

k : [2; 9] → R / k (x) = -x 2 + 12 x + 13

cuya representación gráfica es:

V (m ) 3

49

40 33

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x (ºC)

• En la sustancia A no se distingue una modificación significativa del volumen inicial a medida que su temperatura se va modificando.

• El volumen de la sustancia C tampoco se modifica durante todo el proceso. Resuelva los ejercicios que le planteamos a continuación respecto de la función k: Parte A 1. ¿Qué tipo de fórmula es la que expresa lo ocurrido con el volumen de la sustancia B al variar su temperatura? 2. Indique k (8). 3. De acuerdo a la representación gráfica de la función k: a. ¿Bajo qué temperaturas aumenta el volumen de la sustancia? b. ¿En qué intervalo de temperaturas la función es decreciente? c. ¿A qué temperatura la sustancia alcanza su volumen máximo? ¿Cuál es ese volumen?


141

Parte B 1. ¿Qué diferencias y similitudes existen entre la función k y la función m : R → R / m (x) = -x 2 + 12 x + 13? 2. Sabiendo que x = 13 es un cero de la función m , factorice en forma completa su fórmula. 3. Indique todos los ceros de la función m. 4. Calcule, sin hacer la división, el resto de dividir a m (x) por ( x + 3). 5. Determine, sin hacer la división, si m (x) es divisible por ( x - 5).

142


Respuestas a las actividades de autoevaluación MATEMATICA

Actividad n.º 1 Parte A

1. Podemos calcular la temperatura de la sustancia A al terminar el tercer día de observaciones utilizando la fórmula de la función f para t = 3:

f (3) = 1 . 3 + 5 = 3 + 5 = 23

4 4 4 2. Podemos observar en el gráfico que muestra la evolución de la sustancia B, que T = 4 cuando t = 2. Es decir que la temperatura fue de 4° C al terminar el segundo día de observación del proceso. 3. En el ítem 1. buscamos la imagen de 3 a través de la función f. En símbolos f (3). En el ítem 2. buscamos la preimagen de 4 a través de la función g . En símbolos g

-1

(4).

(5,5) = 2 (ya que 5,5 = 1 . t + 5 → 5,5 - 5 = 1 . t → 0,5 . 4 = t → t = 2) 4 4 g (3) = 5 (puede obtener este valor usando el gráfico de la función g )

4. f

-1

h (5) = 6 (ya que la temperatura de la sustancia C fue de 6° C durante todo el período de observación) Dom g = [0 ; 7] Dom h = [0 ; 7] 5. Dom f = [0 ; 7] (ya que la observación de la evolución de la temperatura de las 3 sustancias se realizó durante 7 días) 6. Im f =

5 ; 27 4

Parte B 1.

T (ºC) 7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

t (días)

2. La fórmula es y = t + 2 3. h : [0 ; 7] → R / h (t) = 6 La fórmula h (t) = 6 indica que en cualquier instante t del período de observación (o del dominio de la función) la temperatura fue de 6° C.


143

Parte C 1. La temperatura se modificó a una velocidad de 0,25 °C/día. En el momento de inicio de las observaciones la temperatura fue de 5° C. 2. La pendiente es 1 y la ordenada al origen es 2. 3. La temperatura de la sustancia fue de 2° C al comienzo del período de observaciones y aumentó a razón de 1° C/día. 4. Tienen la misma fórmula y el mismo conjunto de llegada, pero tienen distinto dominio. En la función f el dominio es el intervalo de números reales [0 ; 7], y en la función j el dominio es el conjunto de todos los números reales R. Gráficamente la función f resulta un segmento de recta, mientras que la función j es una recta. 5.

y 5 4 3 2 1 -1

1

2

3

4

t

Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de los ejercicios anteriores, revise los temas correspondientes en la Unidad n.° 1.

Parte D 1. y 2. Para resolver el sistema en forma analítica puede utilizar cualquiera de los métodos de resolución trabajados en la Unidad n.° 2. Nosotros lo resolveremos utilizando el método de igualación que es el que resulta más cómodo en este caso (si Ud. resolvió el sistema utilizando otro método, verifique que su resultado coincida con el nuestro). 1 t+5=t+2 → 5-2=t - 1 t → 3= 3 t 4 4 4 y= 1 .4+5=6 ó y=4+2 → y=6 4 El conjunto solución es { ( 4 ; 6 ) }

144


→

t=4

La solución gráfica es la siguiente:

y

y=t+2 y = 41 . t + 5

6 5 4 3 2 1 -2

-1

0

1

2

3

4

5

x

3. El sistema es compatible determinado, ya que tiene como única solución al punto (4 ; 6). 4. Las fórmulas del sistema son las mismas que las de las funciones f y g respectivamente. Por lo tanto podemos decir que al finalizar el cuarto día de observación la temperatura de las dos sustancias es de 6° C. Si tuvo dificultades para responder alguno de los ítems de este ejercicio, revise los temas correspondientes en la Unidad n.° 2.

Actividad n.º 2 Parte A 1. La fórmula es cuadrática. 2. k (8) = - 82 + 12 . 8 + 13 = - 64 + 96 + 13 = 45 → k (8) = 45 3. En el gráfico de la función k podemos observar que: a. El volumen de la sustancia aumenta cuando la temperatura de la misma sube de 2° C a 6° C. b. La función es decreciente en el intervalo de temperaturas (6 ; 9). c. La sustancia alcanza su volumen máximo de 49 cm3 cuando la temperatura es de 6° C. Parte B 1. Tienen el mismo conjunto de llegada y la misma fórmula. El conjunto de partida es diferente. En la función k, el conjunto de partida es un intervalo de números reales, mientras que en la función m, el conjunto de partida es todo el conjunto de los números


145

reales. Gráficamente la representación de m es una parábola y la representación de k es un trozo de esa parábola. 2. Si x = 13 es un cero de la función m, entonces (x - 13) es un factor en la factorización de m (x) y a su vez, (x - 13) es un divisor de m (x). Para factorizar la fórmula en forma completa resolvemos la división m (x) : (x - 13), que nos da (-x -1) como cociente y como resto da 0. De acuerdo a este resultado podemos escribir a m (x) en forma factorizada como:

m (x) = (x - 13) . (-x - 1) Como el factor (-x - 1) no es mónico, sacamos factor común (-1) y obtenemos la factorización completa de m (x):

m (x) = (-1) . (x - 13) . (x + 1) 3. De acuerdo a lo hecho en el ítem 2., podemos concluir que la función m tiene dos ceros: x = 13 y x = -1. 4. Para calcular el resto de dividir a m (x) por (x + 3) sin hacer la división, recurrimos al teorema del resto, calculando m (-3) = -32. Por lo tanto, el resto de dividir a m(x) por (x + 3) es -32. 5. Para determinar si m (x) es divisible por (x - 5) sin resolver la división, recurrimos también al teorema del resto, calculando en este caso m (5). Como m (5) = 48 ≠ 0 entonces m (x) no es divisible por (x - 5). (Para serlo el resto de la división debe ser cero).

146


Matematica 3 1

Matematica Aplicada 3

Matematica 2 3

Matematica 3 Guia

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Analisi matematica 1

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Matematica 1 Cou

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Matematica 1 2

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1-3, 1-3, 1-3

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Esercitazioni di matematica Vol. 1, Pt.1

Matematica numerica (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 1

Matematica 4

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Logica matematica

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Cartomagia Matematica

Analisi matematica

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Matematica liofilizzata

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Matematica Aplicada 4

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