Matematica 2 3

Bloque 2 Matemática Unidad 3: Proporcionalidad Contenidos: 3.1. Proporcionalidad directa 3.2. Proporcionalidad inversa ...

Author: Bach

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Bloque 2 Matemática

Unidad 3: Proporcionalidad Contenidos: 3.1. Proporcionalidad directa 3.2. Proporcionalidad inversa 3.3. Usos (porcentaje, interés, etc.)

En la vida cotidiana y en la economía diaria existen funciones con características especiales y, como se presentan con mucha frecuencia, le daremos un estudio especial. Una de estas funciones es la función de proporcionalidad directa; otra es la función de proporcionalidad inversa. Veremos sus características y todas las formas de denominarlas en su uso cotidiano.

Le proponemos que: Reconozca la función de proporcionalidad directa y la función de proporcionalidad inversa en fórmulas, tablas y gráficos cartesianos. Reconozca, frente a un problema que describa una situación concreta, si dicha situación puede expresarse o no como una función de proporcionalidad directa. Resuelva problemas que pueden traducirse con una función de proporcionalidad directa y pueda interpretar dichos problemas como de regla de tres simple o como problemas de proporciones. Resuelva problemas que pueden interpretarse con funciones de proporcionalidad inversa. Reconozca los problemas de interés, porcentaje, descuentos, recargos, bonificaciones, etc., como situaciones cotidianas que pueden interpretarse o traducirse con una función de proporcionalidad directa.

Guía de lectura del libro 1

& Libro 1

En el capítulo 8 (Proporcionalidad directa e inversa) 1. Lea y responda las páginas 106 (Introducción) y 107 (Funciones de proporcionalidad directa). Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 1, 2 y 3

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Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

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2. Lea y responda la página 108 (Representación gráfica de funciones de

proporcionalidad directa). Resuelva los ejercicios 1 a 8 del pie de página, de las páginas 108 y 109. 3. Lea y responda la página 110 (Problemas de regla de tres simple directa). 4. Lea y responda la página 112 (Proporciones). Resuelva los ejercicios 9 y 12 del pie de página.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 4 y 5 5. Lea y responda la página 127 (Bancos y cajas de ahorro: Interés) 6. Resuelva los ejercicios 1 a 9 de las Actividades de la página 128.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad n° 6 7. Lea y responda la página 114 (Funciones de proporcionalidad inversa).

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 7 y 8 8. Resuelva los ejercicios 17, 18, 21, 22 y 25 del pie de página 114 y 115. 9. Lea y responda las páginas 116 y 117 (Representación gráfica de funciones de proporcionalidad inversa). Resuelva los ejercicios 26, 27 y 28 del pie de página.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad n° 9 10. Resuelva los ejercicios 1 a 6, 12, 13 y 15 de las Actividades de las páginas 118 a 121.

&

Libro 2

Guía de lectura del libro 2 En el capítulo 7 Funciones de Proporcionalidad 1. Lea las páginas 123 y 124 (Funciones de proporcionalidad)

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 1, 2 y 3 2. Lea las páginas 125 y 126 (Desde el título: Gráfico de funciones de proporcionalidad directa) 3. Lea las páginas 127 y128 (Regla de tres directa)


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4. Lea las páginas 128, 129 y 130 (Razones y proporciones). 5. Complete las tablas del ejercicio 7.1 teniendo en cuenta que x e y expresan medidas de magnitudes directamente proporcionales. 6. Para cada una de las funciones dadas en el ejercicio 7.2 de las páginas 277 y 278 indique la constante de proporcionalidad y piense alguna situación concreta que pueda ser interpretada con ella. 7. Resuelva los ejercicio 7.3 y 7.4, de la página 278. 8. Resuelva el ejercicio 7.28 de la página 287 indicando el precio del televisor en cada uno de los planes. Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 4 y 5

6

9. Lea la página 135 (Interés simple) Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad n° 6

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 7, 8 y 9

Bloque 2

10. Lea las páginas 137, 138 y 139 (Función de proporcionalidad inversa)

6

11. Lea las páginas 140 y 141 (Regla de tres inversa) 12. Complete las tablas del ejercicio 7.30 de la página 288, teniendo en cuenta que x e y expresan medidas de magnitudes inversamente proporcionales. 13. Para cada una de las funciones dadas en el ejercicio 7.31 de la página 288, indique la constante de proporcionalidad y piense alguna situación concreta que pueda ser interpretada con ella. 14. Resuelva los ejercicios 7.33 y 7.34 de la página 289. 15. Indique para cada una de la tablas del ejercicio 7.37 de la página 290, si x e y expresan medidas de magnitudes directamente proporcionales o inversamente proporcionales.


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Actividades sobre lo leído Actividad n° 1 Le pedimos que leyera de su libro un tema que se titula función de proporcionalidad directa. Usted ya sabía bastante de este tema. Por un lado, en la unidad 2 estudió todas las herramientas y el vocabulario que necesita para interpretar matemáticamente este tema. Y, por otro lado, en su vida cotidiana necesariamente debe manejarse con situaciones que son ejemplos de funciones de proporcionalidad directa. Nuevamente le pedimos que no abandone todo lo que le brinda la experiencia cotidiana, sino que la enriquezca conociendo cómo las denomina la matemática y aproveche las herramientas que ésta le brinda como para observar nuevos aspectos de las situaciones cotidianas y sistematizar su resolución. Una vez que interprete los conceptos matemáticos en las situaciones ya conocidas, podrá extenderlos a nuevas situaciones. Por eso tomaremos como ejemplos las situaciones de la unidad anterior, tales como: la lista de precios de café, las chapas de 1 m2 de superficie, las posiciones de un móvil y otras similares. 1. A continuación disponemos en un cuadro algunas de las situaciones concretas vistas en la unidad anterior. Le pedimos que, teniendo en cuenta lo leído en el libro, responda si la función cumple o no con la condición de ser una función de proporcionalidad directa. Situación

Función que interpreta la situación

¿Es una función de proporcionalidad directa?

1. La lista de precios de café

2. Planchas de

f definida de: 1 1 {1/4; 3/4; 1/2; 1; 1 2 ; 2; 2 2 ; 3} en {1,75 ; 5,25 ; 3,5 ; 7 ; 10,5 ; 14 ; 17,5 ; 21} tal que: y= f(x) = 7x f: {0,125 ; 0,25 ; 0,375; 0,5 ; 0,625, 0,75; 0,875 ; 1}

altura x y base y en R tal que:y= f(x) = 1/x de 1m2 de superficie. 3. Las g: {t Î R/ 0 £ t £ 40} ®{ y Î R/ 0 £ y £ 80} posiciones de un tal que y = g(t) = 2t móvil


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Situación

¿Es una función de

Función que interpreta la situación

proporcionalidad directa? 4. Las planchas de altura y y

g:{x Î R: 1 £ x £ 4} ®R tal que y = g(x) = 10 - x

base x 5. Las posiciones de

h: {t Î R/ 0 £ t £ 3} ®{ y Î R/ 0 £ y £ 9} tal que y = h(t) = t2

otro móvil 6. Temperatura promedio de la primera semana de julio de cierto año.

Día 1 Temp. 3

2 4

3 3

4 -2

5 0

6 2

7 4

Actividad n° 2

Bomba HTK En la siguiente tabla se describe la

Bomba FPD En la siguiente tabla se describe la

cantidad y de hl de combustible que tenía en el tanque, en los instantes t (en horas) en que se observó:

cantidad y de hl de combustible que tenía en el tanque, en los instantes t (en horas) en que se observó:

t y

t

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

y

0

1,5

3

4,5

6

7,5

9

0 0

0,5 1 0,25 1

1,5 2 2,25 4

2,5 3 6,25 9

A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se

A partir de la tabla, se representó gráficamente lo que ocurrió en el transcurso de las tres horas en que se

llenó el tanque

llenó el tanque

Bloque 2

En una empresa llenan semanalmente dos tanques con combustible para el uso de sus maquinarias. Cada tanque tiene una capacidad de 9 hectolitros ( ó hl) Para llenar uno de los tanques se usa una bomba denominada HTK y el otro se llena con la bomba FPD. Quieren controlar el funcionamiento de ambas bombas. A José le encargaron tomar información de la HTK y a Pedro de la FPD. Entre José y Pedro acordaron en llenar simultáneamente los tanques, llamar t = 0 hora al instante inicial y registrar cada media hora la cantidad de combustible que contenía el tanque. Al terminar, cada uno presentó un informe:


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y

y 9

9

6

6

4

4

3

3

2

2

1

1

0,25 0

0,25 0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

0

0.5 1 1.5 2 2.5 3

t

1. A simple vista, observando la tabla y los respectivos gráficos, ¿Ud. diría que los tanques se llenaron de la misma forma? ¿Por qué? 2. El jefe de José y Pedro les hizo algunas preguntas, respecto de la forma en que se llenaron los tanques, o de la forma en que actuaron las bombas para llenarlos. a. Para cada pregunta responda lo que diría José respecto del llenado del tanque con la bomba HTK y lo que diría Pedro respecto del tanque llenado con la bomba FPD ¿Qué cantidad de hl de combustible entró en el tanque durante la primera media hora de funcionamiento de la bomba? Y, ¿durante la segunda media hora? Y, ¿durante la tercera media hora? b. ¿Podría Ud. decir que en cada tanque entró la misma cantidad de hl de combustible por cada media hora que iba transcurriendo? c. Para responder la siguiente pregunta observe la tabla y el gráfico. ¿Podría decir que entró la misma cantidad de hl de combustible por cada hora transcurrida? Por ejemplo, entre la 0,5 horas y la 1,5 horas, ¿entró la misma cantidad que entre las 2 horas y las 3 horas? Indique qué cantidad fue la que entró al tanque en cada hora. d. ¿La relación que existe entre el tiempo t y la cantidad y de hl que tiene el tanque, es directamente proporcional? ¿Por qué? 3. A continuación hacemos ciertas afirmaciones que Ud. deberá comprobar si pueden ser aplicadas o no a cada una de las bombas. Para responder debe basarse sólo en lo que pueda deducir de la situación planteada. Si alguna expresión le resulta muy desconocida, trate de encontrarle sentido de acuerdo al contexto de la situación.


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Frases

¿Puede ser aplicada a la bomba HTK? bombaFPD?

a. La bomba llenó el tanque en tres horas b. La bomba llenó el tanque, es decir que a medida que pasaba el tiempo también aumentaba la cantidad de combustible que había en el tanque c. La bomba llenó el tanque de tal forma que: la relación entre el tiempo t y la cantidad y de hl que hay en el tanque puede expresarse mediante una función d. La bomba llenó el tanque en forma constante por hora e. La bomba llenó el tanque a velocidad constante

Bloque 2

f. La bomba llenó el tanque a razón de 3 hl por hora g. La bomba llenó el tanque enforma proporcional es decir que, por ejemplo: si en 1 hora llenó 3 hl, en 2 horas llenó 6 hl. Porque 3 es a 1 como 6 es 2 (Esto se escribe así: 13 = 26 ) h. La bomba llenó el tanque enforma proporcional porque, por ejemplo, para cualquier tiempo t, si la cantidad de tiempo t se cuadruplica, también se cuadruplica la cantidad y de hl que hay en el tanque i. La bomba llenó el tanque de manera que, cualquiera sea la cantidad de hl y dividida por el tiempo t correspondiente, en la función que describe el llenado, se mantiene constante; es decir y / t =k (para t distinto de cero) ó y = k.t j. La bomba llenó el tanque de manera que la relación entre el tiempo t y la cantidad y de hl que hay en el tanque puede expresarse mediante una función de proporcionalidad directa


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Actividad n° 3 1. Responda a las siguientes preguntas: a. Si por 3 kg de café se paga $21, ¿cuánto debe pagarse por

1 kg de café? 4

b. Si se vende café a razón de $7 el kg, ¿cuánto debe pagarse por 3 kg del mismo?

Nota: Posiblemente Ud. notó que las preguntas anteriores están vinculadas con la situación de la Lista de Precios de café de Don Juan. Volvamos a la lista de precios de café ( En realidad podríamos tomar cualquier lista de precios, la elegimos porque ya es muy conocida por Ud.) Ya sabe que: Esa situación puede ser descripta por una función de proporcionalidad directa. Dada una cantidad x de café puede obtener la cantidad y a pagar con la fórmula y = 7x. La constante o coeficiente de proporcionalidad es 7, es decir el precio unitario o precio por cada kg de café. Al representar los pares ordenados (x;y), que expresan cantidad de café; precio a pagar, resultan alineados, es decir que pertenecen a una recta y esta recta pasa por el origen de coordenadas ( por el punto (0;0)). Para responder a la primera pregunta, podemos seguir distintos caminos o planteos. Veamos algunos: Planteo Si por 3 kg de café se

Resolución

1. Del planteo de la pagan $21, con la cuenta izquierda puede 21/3 calculamos lo que se observarse que la paga por 1 kg. Esto suele constante de proporcionalidad es 7. anotarse así: Luego puede escribirse la 3kg ® $21 fórmula de la función 1kg ® $21 = $7 directamente 3 proporcional:

Nombre con que se lo identifica Si se resuelve como lo indicado en 1., se dice que se resolvió usando la función de proporcionalidad directa


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Planteo

Resolución

A partir de este planteo se puede tomar dos

Nombre con que se lo identifica

y= 7.x A partir de esta fórmula 1

obtenemos el precio de caminos de resolución 4 que se dan en la segunda kg así: y = 7.1/4 = 7/4. Es decir debe pagarse $ columna. 1,75 2. O puede completarse Si se resuelve como lo el planteo así: indicado en 2. se dice que 3 kg ® $21 se resolvió por regla de 1 kg ® $ 7 tres simple directa.

® $ 7.

1 4

Es decir debe pagarse $1,75 Para resolver hay que Si tenemos en cuenta que despejar x: para ello las cantidades de café sacamos las cuentas y los correspondientes indicadas: precios son x 1 proporcionales, puede 7= (Esto es como 4 plantearse la siguiente resolver una ecuación proporción: 21 = 1x con la incógnita x). 3

4

Si se resuelve de esta forma se dice que se resolvió por proporciones

Bloque 2

1 kg 4

Resulta: x= 7.1/4 O sea que debe pagarse $1,75.

En este momento queremos destacar que Ud. puede elegir cualquiera de los caminos, porque sólo son formas diferentes de expresar lo mismo. Lo importante es que reconozca cuándo una situación puede expresarse por una función de proporcionalidad directa porque las magnitudes que relaciona la función son directamente proporcionales. Y a partir de ello resolver.

Vuelva a la guía de lectura

6


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Actividad n° 4 En esta actividad le proponemos una serie de situaciones concretas cada una de las cuales pueden ser expresadas por una función. Cada una de estas funciones vinculan elementos x del conjunto de partida con elementos y del conjunto de llegada. Analice cada una de acuerdo a las siguientes consignas: a. Describa, en lenguaje coloquial, los elementos x del conjunto de partida y los elementos y del conjunto de llegada. b. Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad directa. c. En los casos en que puede expresarse con una función de proporcionalidad directa indique la constante o coeficiente de proporcionalidad. d. Responda la pregunta que aparece en cada enunciado. Enunciados de las situaciones: 1. Un móvil que se mueve a velocidad constante recorrió 80 km en 2 horas. ¿Puede Ud. determinar cuántos km recorrerá en 5 horas? 2. Un auto se desplaza de un pueblo a otro. La distancia entre los pueblos es de 500 km. Cuando pasaron 3 horas había recorrido 300 km. ¿Puede Ud. determinar cuánto tiempo le falta para llegar? 3. En el catálogo de una mueblería están indicadas las dimensiones de los muebles en metros. Se quiere modificar dicho catálogo indicando las dimensiones en centímetros. ¿Con qué fórmula puede calcularse la nueva medida y en cm a partir de la medida anterior x en m? 4. En un pueblo se distribuye el agua potable a través de una cooperativa. Cada casa de familia debe pagar una tarifa que consiste en: una cuota mensual de $20 más un monto proporcional a lo consumido en el mes. Una familia que consumió 100 hl en un mes pagó a la cooperativa un total de $60. ¿Cuál es la cifra correspondiente a una familia que consume 200 hl al mes? 5. En una ferretería hay un cartel que dice: Por cada 100 metros de manguera para riego que compre, le regalamos 2 metros. ¿Qué cantidad de metros le regalarán si compra 300 metros?


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Si en el cartel dijera: Le regalamos el 3% de la cantidad de metros de manguera para riego que Ud. compre. ¿Qué cantidad de metros le regalarían si compra 300 metros?

Nota: Si ya resolvió la Actividad n° 4, en especial el ítem 5., y controló sus respuestas, podrá darle sentido a esta nota. Por eso le recomendamos que, si aún no lo hizo, lo haga antes de seguir con la lectura de esta nota. Se podría hablar de la función que a cada elemento x del conjunto de partida le hace corresponder un valor y del conjunto de llegada, que es el 3% de x. La función PORCENTAJE DE es siempre una función de proporcionalidad directa.

Actividad n° 5 En un Banco le dicen que, si deposita $100 durante un año, le acreditan $3 en su cuenta.

Bloque 2

1. ¿La relación que vincula cantidad de pesos depositados con Cantidad de pesos acreditados al año es función? ¿Por qué? 2. En la siguiente tabla se indican una serie de depósitos y deberá completarla: Por un depósito de: $50 Al año le acreditan:

$100

$200

$300

$350

$380

$400

$C

3. ¿Con qué cuenta se puede calcular el dinero acreditado si el depósito fue de 400 pesos? 4. ¿Con qué cuenta o fórmula se puede calcular el dinero acreditado I si el depósito fue de C pesos? 5. La función que vincula el dinero depositado con el dinero acreditado, ¿es una función de proporcionalidad directa? ¿Por qué?


6


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Actividad n° 6 1. a. En la lectura de su libro se encontró con un vocabulario que se utiliza en los Bancos, y que seguramente Ud. ya conoce. Le pedimos que vincule los términos, Interés, Capital, razón o tasa de interés con la situación de la Actividad N° 5. En ésta, encontró la fórmula: I = 0,03.C. Para ello señale con una flecha, cada factor de la fórmula con su nombre correspondiente. I

Capital

0,03

Interés

C

Razón o tasa

b. ¿Cómo escribiría la fórmula que permite calcular el interés I que produce un capital C, en una cierta unidad de tiempo si la tasa de interés, para esa unidad de tiempo es r%? c. Traduzca la situación presentada en la Actividad n° 5 a estos nuevos términos. 2. Si tiene que calcular el interés que producirá un capital de $1200 en un mes, a razón de un 3% mensual, ¿cómo lo haría? 3. Un Banco da el 2% mensual por un cierto capital C. Si al cabo de un mes recibió 100 pesos en calidad de intereses, a. De acuerdo a lo enunciado, ¿qué datos o qué información tiene para reemplazar en la siguiente fórmula I = C.

r ? 100

b. ¿ Cómo podría expresar la fórmula anterior, si reemplaza los datos que tiene? c. ¿Cuál es el capital C que se depositó? (Sugerencia: cuando reemplace los datos en la fórmula le quedará una ecuación; si no recuerda cómo resolverla, acuda a la unidad 2 del bloque 1) 4. Con $1200 de capital se obtuvo 360 pesos de interés, ¿cuál fue la tasa de interés? (Tenga en cuenta lo hecho y sugerido en el ítem anterior)


68

6


Actividad n° 7 1. Revise el cuadro de la Actividad n° 1, analizando si algunas de las situaciones concretas dadas puede ser interpretada con una función de proporcionalidad inversa. Justifique su respuesta, de acuerdo a lo que leyó en su libro. 2. A partir de un rectángulo cuya base tiene una longitud de 1m y 1m2 de superficie, le pedimos que imagine que es posible estirar su base (como si fuera una masa) sin modificar la medida de su superficie. Para que se mantenga la misma medida de superficie, si la medida de la base aumenta, ¿qué debería ocurrir con la altura? 3. Si representáramos geométricamente lo imaginado en el ítem anterior así: 1 0,9

Bloque 2

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 x=1 x=2

a. ¿Cómo podría verificarse geométricamente que los rectángulos tienen igual superficie? b. ¿Con qué cuentas puede verificarse que los dos rectángulos tienen área 1? c. Teniendo en cuenta que: Si confeccionamos una tabla con las medidas de las bases y las medidas de las alturas correspondiente resulta: Medida x de la base 1er rectángulo 2do rectángulo

1 2

Medida y de la altura 1 0,5


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Complete la siguiente frase: Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se duplica, la medida de la altura debe_________________ 4. Le pedimos nuevamente que imagine que se puede estirar la base pero ahora: a. Que se estire de tal manera que de medir 1 pase a medir 3. b. Que se estire de tal manera que de medir 1 pase a medir 4. c. Responda lo solicitado en 3 - a d. Complete la siguiente tabla:

Medida x de la base 1er rectángulo 2do rectángulo 3er rectángulo 4to rectángulo

Medida y de la altura

1 2 3 4

Cálculo que verifica que el área es igual a 1

1 0,5

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

x=1 x=4 e. Complete las siguientes frases: Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se triplica, la medida de la altura debe ____________________ Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se cuadriplica, la medida de la altura debe _____________________


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Actividad n° 8 En esta actividad vamos a comparar dos funciones. La primera expresará la situación de los rectángulos de área 1, para bases de medidas x comprendidas entre 1 y 4 (incluyendo al 1 y al 4). Es decir: f: {xÎR/ 1£ x £ 4} ® R / f(x)= 1 y = cuya representación gráfica es:

x

1

y

1/2 1/3 1/4

x La otra función es g:{ xÎR: 1 £ x £ 4} ®R / g(x) = y = 10 -x, cuya representación gráfica es: y

Bloque 2

9

6

1 1

2

3

4

x

Esta función g es la que ya analizó en la unidad 2. La función g vincula la base x con la altura y de los rectángulos cortados de una plancha como la que indica el siguiente dibujo:

x 10 cm

y= 10 - x x


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Para realizar la comparación responda, para cada función, las siguientes preguntas indicadas en el cuadro: Preguntas

Respuesta respecto Respuesta respecto de de la función f, la función g, cuya cuya fórmula es: fórmula es: g(x)= y = 1 y= f(x)= 10 - x x

1. ¿El dominio de la función es: { xÎR: 1 £ x £ 4} ? 2. ¿La variable x expresa las medidas de las bases de rectángulos? 3. ¿La variable y expresa las medidas de las alturas de rectángulos? 4. ¿Si las medidas de las bases (x) aumentan, entonces las medidas de las alturas (y) disminuyen? 5. ¿Si las medidas de las bases (x) aumentan, entonces las medidas de las alturas (y) disminuyen, de tal forma que x.y = k (siendo k una constante distinta de 0)? 6. ¿Se trata de una función de proporcionalidad inversa?

& Libro 1 & Libro 2

Si Ud. tiene el libro 1, vuelva a la guía de lectura. Si tiene el libro 2, continúe con la siguiente actividad

Actividad n° 9 Cada una de las situaciones concretas que se dan a continuación puede ser expresada por una función. Estas funciones vinculan elementos x del conjunto de partida con elementos y del conjunto de llegada. Le pedimos que: a. Describa, en lenguaje coloquial, los elementos x del conjunto de partida y los elementos y del conjunto de llegada.


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b. Decida si la situación puede expresarse o no con una función de proporcionalidad inversa. c. En los casos en que puede expresarse con una función de proporcionalidad inversa indique qué representa la constante o coeficiente de proporcionalidad en dicha situación concreta y dé su valor. d. Responda a la pregunta que aparece en cada enunciado. Los enunciados de las situaciones son: 1. Un móvil se desplazó por una autopista entre un cierto lugar A y otro B.Lo realizó en 6 horas viajando a una velocidad constante de 120 Km por hora. Si en otro momento realiza el mismo viaje a 100 km/hora, ¿cuánto tiempo tardará en realizarlo?

Bloque 2

2. En una fábrica se elabora la misma cantidad de kg de un fertilizante por día. Cuando lo elaborado en un día se embala en bolsas de 250 g se emplean 170 bolsas. Si en otra oportunidad se embalaron 85 bolsas, ¿cuántos gramos contendrá cada bolsa en dicha oportunidad? 3. El alquiler de un ómnibus para realizar una excursión es de $130. La capacidad del mismo es de 40 pasajeros. Si sólo van 26 personas a la excursión, ¿Cuánto debe pagar cada uno para cubrir los gastos del alquiler? ¿Es posible que se logre que cada pasajero que concurra a la excursión abone $2,6? Justifique su respuesta. 4. En un experimento de laboratorio se midió, por cada minuto x que pasaba, la temperatura y que adquiría la sustancia con la que se experimentaba. Los datos se indicaron en la siguiente tabla Tiempo x (min) Temperatura y (ºC)

1 1/2

2 1 4

3 1/8

4 1/16

¿Podría indicar la temperatura de la sustancia a los 5 minutos?

Nota: En la Actividad n° 3 hicimos notar que, si una situación puede ser expresada por una función de proporcionalidad directa, para resolverla se acostumbra a realizar un planteo que se reconoce con el nombre de regla de tres simple directa


73

Del mismo modo, una situación que puede expresarse por una función de proporcionalidad inversa puede plantearse como una regla de tres simple inversa. Nuevamente Ud. elegirá su camino de resolución.

6


Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº 1 Situación ¿Es una función de proporcionalidad directa?

1. Sí

2. No

3. Sí

4. No

5. 6. No No

2. Para decidir si la función que expresa la situación dada es de proporcionalidad directa, se mira la fórmula, que debe ser de la forma y = k.x o se verifica en la tabla y si se cumple que y = kx o x = k. Porque si x e y cumplen con esa condición, es porque son medidas de magnitudes directamente proporcionales. 3. La representación gráfica de las funciones directamente proporcionales son rectas, segmentos o puntos de una recta que pasa por el origen de coordenadas (es decir, pasa por (0;0)).

Actividad n° 2 1. Si bien los tiempos de las dos tablas son los mismos, las imágenes y no son iguales. También puede observarse esto en el gráfico. Lo que ocurre es que no se llenaron de igual forma. 2. Las respuestas se las damos en paralelo para que sea más fácil comparar el comportamiento de cada una de las bombas. Para responder, sólo miramos la tabla de datos; también es posible obtener la información del gráfico.

Respuestas de: Pedro, respecto de la bomba FPD a. Durante: La primera media hora entraron: 0,25hl la primera media hora entraron: 1,5hl La segunda media hora entraron: 0,75hl la segunda media hora entraron: 1,5hl La tercera media hora entraron: 1,25hl la tercera media hora entraron : 1,5hl

José, respecto de la bomba HTK a. Durante:

b. Por cada media hora que funcionó la bomba NO entró la misma cantidad de agua

b. Por cada media hora que funcionó la bomba SI entró la misma cantidad de agua


74

José, respecto de la bomba HTK c. Entre

Pedro, respecto de la bomba FPD c. Entre las 0,5 horas y las 1,5 horas entraron: 3hl

las 0,5 horas y las 1,5 horas entraron: 2hl las 2 horas y las 3 horas entraron : 5hl

las 2 horas y las 3 horas entraron : 3hl Y si seguimos observando, todos los

Por lo tanto no entró la misma cantidad de combustible por cada hora transcurrida. d. La relación entre t e y NO es

períodos posibles de una hora veremos que entran 3hl por hora. d. La relación entre t e y SÍ es

y

y

directamente proporcional porque no directamente proporcional porque se t t se mantiene constante (para t¹0) mantiene constante, siempre igual a 3 (para t¹0) Frases Bomba HTK Bomba FPD

a. Sí Sí

b. Sí Sí

c. Sí Sí

d. No Sí

e. No Sí

f. No Sí

g. No Sí

h. No Sí

i. No Sí

j. No Sí

Bloque 2

Actividad n° 3 La respuesta está en la nota que está a continuación de esta actividad.

Actividad n° 4 1. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: las medidas de tiempo en horas Elementos y del conjunto de llegada: las medidas de espacios recorridos en km b. Si un móvil se mueve a velocidad constante, significa que recorre espacios y iguales en tiempos iguales es decir que es constante. Por eso la función que x

expresa esta situación es de proporcionalidad directa (Ud. ya vio en la unidad 2 el caso de un móvil que se mueve a velocidad constante y su representación gráfica es una recta que pasa por el origen) c. Como

y se mantiene igual para cualquier valor de x y su correspondiente y, en x

particular, para los datos que tenemos la constante o coeficiente de 80 40 , es decir que 40 es la constante de proporcionalidad resulta ser = 40 2 proporcionalidad y 40 km/hora es la velocidad del móvil.


75

d. Sabiendo la constante, podemos escribir la fórmula y = 40 x; y calcular y para x = 5 horas: 40.5 = 200 o sea 200 km (recuerde que lo puede plantear de otras formas, de acuerdo a lo que vimos en la Actividad n° 3) 2. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: las medidas de tiempo en horas Elementos y del conjunto de llegada: las medidas de espacios recorridos en km b. En este caso no se informa si el móvil se mueve a velocidad constante; luego no se puede afirmar que sea una función de proporcionalidad directa. c. No tiene respuesta por lo expresado en b. d. Tampoco puede responderse a la pregunta porque el tiempo que tarde dependerá de la velocidad del móvil. 3. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: las medidas de las dimensiones de los muebles en m Elementos y del conjunto de llegada: las medidas de las dimensiones de los muebles en cm b. Dado que 1 metro es equivalente a 100 cm, 2m a 200 cm, 3m a 300 cm; podemos decir que se mantiene constante y, por lo tanto, se trata de una función de proporcionalidad directa. c. La constante es 100 ya que

y = 100. ( x ¹ 0) x

d. La fórmula pedida es y = 100.x 4. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: medida en hl del agua consumida Elementos y del conjunto de llegada: valor de la tarifa a abonar en pesos


76

b. En la tarifa hay una parte que sí es proporcional a lo consumido, pero tiene otra parte que es fija. Es decir que: a la familia que consumió 100 hl de agua en el mes le correspondió una tarifa de $60. De este dinero, 20 pesos corresponden a la cuota fija y los 40 restantes son por el consumo de los 100 hl. Podemos calcular cuál es el precio por hl así: 40/100 = 0,40 . Es decir $0,40. Por lo tanto la fórmula de la tarifa es: y = 0,4.x +20 . No tiene la forma de una función de proporcionalidad directa. Su gráfica es una recta, pero no pasa por el origen. Pues si alguien no consume agua, igual deberá abonar los 20 pesos de cuota fija. c. No tiene respuesta porque no es de proporcionalidad directa. d. Además fíjese: el que consume 200 hl. abonará 0,4 . 200 +20 = 100. Es decir que la familia que consume 100 hl paga $60 y la que consume el doble (200 hl) no paga el doble sino que paga $100. Esto es una nueva verificación de que la función que expresa el vínculo entre x e y no es de proporcionalidad directa. 5.

Bloque 2

a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: medida en metros de la longitud de manguera comprada por el cliente. Elementos y del conjunto de llegada: medida en metros de la longitud de manguera que la ferretería le regala al cliente. b. Si por cada 100 metros le regalan 2, por una cantidad x de metros le regalarán x .2 ¿Se acuerda de las Actividades de aproximación de la Introducción? Pero 100 2 esto puede escribirse así x = 0,02 x. Es decir que y = 0,02 x, lo que significa que 100 es una función de proporcionalidad directa la que describe esta situación c. Por lo visto, la constante de proporcionalidad es 0,02. d. Si se compran 300 metros le regalarán 6 metros ya que : y = 0,02.300 = 6 m Teniendo en cuenta que decir 3% es otra forma de decir 3 cada 100, esta pregunta es similar a la anterior. En este caso le regalarían 9 metros ya que y = 0,03.300= 9.

Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia - Materia

77

Actividad n° 5 1. La relación que vincula cantidad de pesos depositados con Cantidad de pesos acreditados al año es función, porque para cada depósito existirá una acreditación y ésta es única. 2. Por un depósito de:

$50

$100

$200

$300

$350

$380

$400

$C

Al año le acreditan:

1,5

3

6

9

10,5

11,4

12

0,03.C

3. y 4. Están contestadas en la tabla. 5. La función que vincula cantidad de pesos depositados con Cantidad de pesos acreditados al año es de proporcionalidad directa porque su fórmula es I = 0,03.C

Actividad n° 6 1. a. I es el interés, C el capital y 0,03 es la tasa o razón. b. I =

r .C 100

c. En el Banco le dicen: Su capital tendrá un interés con una tasa o razón del 3%. 2. I =

3 r .1200 = 36. El interés es $36 .C ; para este caso es I = 100 100

3. a. Los datos son I = $100 , r% = 2%. r .C b. Si lo reemplazamos en la fórmula que vincula interés, capital y razón, I = 100 2 .C = 0,02.C. Es decir que nos queda la ecuación 100= 0,02. C tenemos : 100 = 100

c. Para responder hay que resolver la ecuación: 100= 0,02. C (Si lo necesita recurra a la unidad 2 del bloque 1 para resolver ecuaciones, lo que sigue tiene que ver con un recurso utilizado en ese momento). Para armar la ecuación : Entra C se lo multiplica por 0,02 y sale 0,02.C = 100 Para desarmar la ecuación : Entra 100 se lo divide por 0,02 y sale C. Luego C =

100 100 2 100 = 2 =100 : = 100 . = 5000 . El capital C es de $5000 0,02 100 2 100


78

4. Reemplazando los datos: 360=1200. r 100

360 Si resolvemos la ecuación: 360 = 12.r, resulta r = 12 = 30

Actividad n° 7 1. La situación de las planchas de altura x y base y de 1 m2 de superficie puede expresarse con una función de proporcionalidad inversa, dado que su fórmula tiene

k

la forma y = siendo la constante de proporcionalidad inversa: k = 1, en este x caso particular. 2. Para que se mantenga la misma superficie, si la medida de la base aumenta, la medida de la base debe disminuir. 3. a. Si superponemos el rectángulo ABCD sobre el rectángulo CEFG, vemos que coinciden. Es decir que lo que se aumentó por crecer la base, se disminuyó por reducirse la altura.

E

1

F

Bloque 2

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5

B

C

G

0,4 0,3 0,2 0,1 0

A

x=1

D x=2

b. Para verificar el valor de la superficie, multiplicamos la medida de la base por la medida de la altura: 2 x 0,5 = 1 . Como las medidas de la base y la altura están dadas en m, la superficie mide 1 m2. Es la misma medida que para el rectángulo inicial.

c. Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se duplica, la medida de la altura debe reducirse a la mitad. 4. a. b. c. Observe en el siguiente gráfico de qué forma se compensa la superficie al crecer la base y disminuir la altura. Complete el gráfico como le sea conveniente para ello.


79

1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

x=1 x=4 d.

Medida x de la base

Medida y de la altura

1er rectángulo

1

1

2do rectángulo 3er rectángulo 4to rectángulo

2 3 4

0,5 = 1/2 0,33 » 1/3 0,25 = 1/4

Cálculo que verifica que el área es igual a 1 1.1 =1 2. 1/2 = 1 3. 1/3 = 1 4. 1/4 = 1

e. Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se triplica, la medida de la altura debe reducirse a la tercera parte. Para que la superficie se mantenga constante, si la medida de la base se cuadruplica, la medida de la altura debe reducirse a la cuarta parte.

Actividad nº 8 Preguntas función f función g

1. Sí Sí

2. Sí Sí

3. Sí Sí

4. Sí Sí

5. Sí No

6. Sí No

Actividad n° 9 1. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: las medidas de la velocidad del móvil en km/h


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Elementos y del conjunto de llegada: las medidas de tiempo en horas b. Sí es una función de proporcionalidad inversa, porque: El recorrido que hace el móvil es siempre el mismo ( Esta es la constante k: distancia entre A y B) Si se desplaza a mayor velocidad el tiempo empleado será menor. Y el producto de la velocidad por el tiempo empleado da el espacio recorrido. Es decir que x.y = k. Por lo tanto para resolver, planteamos: 120.km/h .6 h = 100 km/h .y ó sea que : 720 km = 100 km/h .y c. La constante k es: k = 720, de acuerdo a lo hecho en el paso anterior (recorrido del móvil)

Bloque 2

d. La igualdad 720 km = 100 km/h .y es una ecuación con la incógnita y, que expresa el tiempo pedido. Si la resolvemos, resulta: y = 7,2 horas (como 0,2 horas es equivalente a 12 minutos, ya que 0,2 x 60 = 12, podemos decir que el tiempo empleado es de 7 horas 12 minutos). 2. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: cantidad de bolsas Elementos y del conjunto de llegada: capacidad de cada bolsa en gramos. b. Sí es una función de proporcionalidad inversa, porque: La cantidad de fertilizante producido cada día es la misma. Esta es la constante de proporcionalidad inversa. Si la capacidad de las bolsas aumenta, la cantidad de bolsas disminuye. El producto entre la capacidad de cada bolsa y la cantidad de bolsas da la cantidad de fertilizante producido. Es decir x. y = k, para los datos que tenemos: 250 g.170 bolsas = y .85 bolsas. c. El valor de k es 250.170 = 42500


81

d. Resolvemos la ecuación planteada anteriormente: y = 42500/85 =500. Cada bolsa contiene 500 g. 3. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: cantidad de pasajeros que realizan la excursión Elementos y del conjunto de llegada: cantidad de pesos que paga cada pasajero b. Sí es una función de proporcionalidad inversa, porque: El valor del alquiler se mantiene constante. O sea que k = 130 Si aumenta el número de pasajeros disminuye el precio a pagar por cada uno de ellos. El producto entre lo que paga cada pasajero y la cantidad de pasajeros da la cantidad de pesos a pagar, que en este caso es $130. c. Para los datos que tenemos 26. y = 130. d. Resulta y = 5 . En este caso cada pasajero paga $5 No, porque como máximo pueden viajar 40 pasajeros. Y si se completara el ómnibus cada pasajero pagaría $3,25. (Ya que 40. y = 130, por lo tanto y = 130: 40 = 3,25) 4. a. La situación concreta puede ser expresada por una función que vincula los elementos del conjunto de partida con los de llegada, que son: Elementos x del conjunto de partida: las medidas de tiempo en minutos Elementos y del conjunto de llegada: las medidas de temperatura en ° C b. No es una función de proporcionalidad inversa porque no se verifica que el producto del tiempo x por su correspondiente temperatura y se mantenga constante. Mirando la tabla puede observarse que la fórmula de esta función es y = (1/2)x, y para x = 5 es y = 1/32.


82

Bloque 2 Matemática

Autoevaluación integradora para las unidades 1, 2 y 3 Actividad n° 1 7  1 8  1 3 2 Calcule:  : 0,7  −  + 0,5  +  −  − 0,0016 : 0,9 + 0,2 ⋅ 3,3 = 2  2  2 4

Actividad n° 2 1. Exprese todos los números que aparecen en las cuentas que siguen en su forma fraccionaria y resuelva: a.  1 + 0 ,75  ⋅ 0 ,21 = 2  (

b. (0 ,21 + 0 ,112 )2 = c.

0 ,01 ⋅

25 = 9

2. Algunas de las cuentas dadas pueden resolverse de dos maneras distintas porque es posible aplicar propiedades de las operaciones entre números racionales. Para dichas cuentas, muestre la forma de resolución que no usó en 1).

Actividad n° 3 Un laboratorio elabora dos tipos de productos. Para eso utiliza la droga MT. Esta droga está envasada en paquetes que contienen "x gramos". En la elaboración de uno de los productos se necesita el 40 % de un paquete de MT y para el otro producto las tres cuartas partes de un paquete de dicha droga. Un día se abrieron y utilizaron dos paquetes de MT para elaborar un producto de cada tipo y sobraron 170 gramos de esa droga. ¿Cuántos gramos contiene cada paquete de MT?


83

Actividad n° 4 En un bar consumen, por mes, entre 3 y 6 litros de detergente. La siguiente función expresa el gasto "y" en pesos producido por un consumo de "x" litros de detergente: f : {x Î R / 3 £ x £ 6} ® R / y = f (x) =

2

1x

+2

1. Escriba la definición por comprensión de los conjuntos de partida, de llegada, el dominio y el conjunto imagen. 2. Represente la función f en un sistema coordenado cartesiano. 3. Determine f(5). 4. ¿Cuántos pesos se gastan si se consumen 3 litros de detergente? 5. Si en un mes se gastó $ 5 en el rubro "Detergente", ¿cuántos litros de detergente se consumieron?

Actividad n° 5 ¿Qué capital debería depositarse para que después de un año se obtenga un interés de $ 120, si la tasa de interés es de 4 % anual?

Actividad n° 6 Durante el tiempo que funciona una máquina, su temperatura aumenta a razón de 3º C por hora. La temperatura inicial es de 0° C. 1. Si la máquina funciona durante 4 horas, ¿qué temperatura alcanza? 2. Si con x se expresa el tiempo en horas y la temperatura se expresa con y, escriba la fórmula de la función que expresa la situación. 3. ¿Qué característica tiene la función que expresa la situación?

Actividad n° 7 1. Ud. dispone de $ 20 para comprar abono para plantas. Un kilogramo de abono para plantas vale $ 1,50. ¿Cuántos kilogramos de abono puede comprar? 2. Si "x" es el precio de venta del kilogramo de abono y con "y" se expresa la cantidad que puede adquirir con $ 20, ¿con qué cuenta puede calcular "y" a partir de saber "x"?


84

3. ¿Qué tipo de función expresa esta situación? 4. Si compró 2,5 kg de abono con los $ 20, ¿cuánto vale el kilogramo de ese producto?

Respuestas a la autoevaluación integradora Actividad n° 1 Para resolver este cálculo es necesario trabajar con una de las dos formas de expresar los números racionales: como fracción o mediante expresiones decimales. Elegimos expresar todos los números como fracciones. 9 2 1 7 5 1 16 = ; 0 ,0016 = = ; ; 0 ,5 = ; 0 ,9 = = 1; 0 ,2 = 10 5 10 10 2 10000 9 3 30 10 = 3 ,3 = 3 + 0 ,3 = 3 + = 9 9 3 Ahora calculamos :

0,7 =

8 2 7  1  1 3  : 0 ,7  ⋅  + 0 ,5  +  −  − 0 ,0016 : 0 ,9 + 0 ,2 ⋅ 3,3 = 2  2  2 4 2

2

Bloque 2

8

16 1 10  7 10  8  1  7 7  1 1 2 3 =  ⋅  ⋅1 +  −  :1 + ⋅  : ⋅ +  +  −  − 10000 5 3 2 7   2 10   2 2   4 4   4 4 10 1 1 2 6000 75 48 800 6827 − + = 5 ⋅1 + − + = + − + = 100 15 16 25 3 1200 1200 1200 120 1200

Actividad N° 2 1. Las expresiones en fracciones son: 75 3 1 = ;0,2 = 100 4 5 b. 0 ,21 = 21 = 7 ;0,12 = 12 99 33 100 1 c. 0 ,01 = 100

a. 0 ,75 = (

Los cálculos son estos:

(

1 1 3 1 2 3 1 5 1 1 a.  + 0 ,75  ⋅ 0 ,2 =  +  ⋅ =  +  ⋅ = ⋅ = 2  2 4 5 4 4 5 4 5 4 2 7 12   7 ⋅ 100 + 12 ⋅ 33  1096 274 b. (0 ,21 + 0 ,12 )2 =  + =  = = 33 ⋅ 100  32 100    3300 825

c.

0 ,01 ⋅

25 1 25 = ⋅ = 9 100 9

1 1 = 36 6


85

2. La primera cuenta también se puede resolver aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Así: 3 2 3 5 1 1 3 1 1 1 3 1 1 + = + = =  + ⋅ = ⋅ + ⋅ =  2 4  5 2 5 4 5 10 20 20 20 20 4

La tercera cuenta también se puede resolver aplicando la propiedad distributiva de la radicación respecto de la multiplicación. Así:

1 25 1 25 1 5 5 1 ⋅ = ⋅ = ⋅ = = 100 9 100 9 10 3 30 6

Ejercicio N° 3 Tenemos dos paquetes de MT que contienen "x gramos" de droga cada uno. Podemos representarlos y sombrear la parte que se usa de cada uno. Así:

x 2 .x 5

3 .x 4

x

El 40 % del contenido de un paquete de x gramos se puede expresar mediante la 2 40 siguiente expresión: ⋅ x ó también, simplificando: ⋅ .x 5 100 3 Las partes del contenido de un paquete de x gramos puede expresarse así: 4 Como se abrieron dos paquetes de MT, el total del contenido de ambos paquetes es de 2.x Además, se sabe que quedaron 170 g de MT. Entonces, podemos pensar que la cantidad total de MT está formada por lo que se gastó de cada paquete más lo que quedó. Esto nos permite plantear la siguiente ecuación: 2 ⋅ x = 2 ⋅ x + 3 ⋅ x + 170 5 4


86

Resolvemos esa ecuación: 2 3 40 8 40 − 8 − 15 2 ⋅ x − ⋅ x − ⋅ x = 170 → ⋅ x − ⋅ x = 170 → ⋅ x = 170 → 5 4 20 20 20 20 x = 170 ⋅ =. 200 Es decir que cada paquete de MT contiene 200 gramos de 17 droga.

Ejercicio N° 4 1. Definiciones por comprensión de: Conj. de partida = {x Î R / 3 £ x £ 6} Dominio = {x Î R / 3 £ x £ 6} Conjunto de llegada = R Conj. Imagen = {y Î R / 3,5 £ y £ 5} 2. La representación en un sistema coordenado de la función dada es: 5

Bloque 2

y ($)

4 3,5 3 2 1

0

1

2

3

4

5

6

x (litros)

3. Con f(5) simbolizamos "la imagen de 5 a través de la función f". Lo que se pide es determinar cuál es el número del conjunto de llegada que le corresponde al 5 del conjunto de partida. Lo hallamos mediante la fórmula de la función que nos indica qué cuentas debemos hacer con los valores x del conjunto de partida para hallar el correspondiente valor de y del conjunto de llegada. En este caso, es: y = f (5) =

1 5 9 ⋅ 5 + 2 = + 2 = = 4 ,5 2 2 2

4. Si se consumen 3 litros de detergente, se gastan $ 3,5. (Ya que

1 3 7 ⋅ 3 + 2 = + = = 3,5) 2 2 2


87

5. En este caso, el dato es el gasto en detergente. Es decir que sabemos el valor de y del conjunto de llegada y debemos hallar el valor de x del conjunto de partida que le corresponde. Entonces queda planteada la siguiente ecuación: 1 ⋅ x + 2 = 5 2 La resolvemos: 1 ⋅ x = 5 − 2 → x = 3⋅2 = 6 2 detergente.

O sea que ese mes se consumieron 6 litros de

Ejercicio N° 5 En las Atividades sobre lo leído de la Unidad 3, Ud. vio que, si se deposita un capital C al 4 % anual, el interés I obtenido al cabo de un año se puede calcular 4 ⋅ C . De esta expresión o fórmula, conocemos el valor de I, mediante I = 100 4 desconocemos el de C. Por lo tanto queda planteada la ecuación: 120 = ⋅C . 100 La solución de esta ecuación es C= 3000. Es decir que debe depositarse $ 3000.

Ejercicio N° 6 1. Alcanza los 12° C de temperatura. 2. La fórmula de la función es y = f(x) = 3.x (donde x representa el tiempo en horas e y representa la temperatura en °C). 3. Se trata de una función de proporcionalidad directa, ya que por cada hora que pasa la temperatura aumenta 3 °C en forma constante y a las 0 horas la temperatura es de 0 °C. Además, el tipo de fórmula hallada en 2. corresponde a este tipo de funciones.

Ejercicio N° 7 )

)

1. Se pueden comprar 13,3 Kg de abono (ya que 20:1,5= 13,3 ) 2. La cuenta o fórmula es: y =

20 x

3. Esta fórmula corresponde a una función de proporcionalidad inversa. 4. En este caso, el precio de un kilogramo de abono es de $ 8 (ya que 20:2,5=8).


88

MatemáBltoqiucea2

Unidad 4: Movimientos y cuadriláteros Contenidos : 4.1. Clasificación de cuadriláteros 4.2. Propiedades de cuadriláteros 4.3. Movimientos en el plano y sus propiedades

Bloque 2

A través de plegado de figuras geométricas en papel o cartulina reconoceremos ejes de simetría y propiedades que permitan clasificar e identificar a los cuadriláteros. A partir de esa actividad reconoceremos a la simetría axial como función con propiedades importantes que se extenderán a otros movimientos (simetría central, rotación, traslación). Analizaremos, además, otras propiedades de los cuadriláteros.

Le proponemos que: Reconozca la clasificación de cuadriláteros y las propiedades de los mismos. Aplique las propiedades de los cuadriláteros para dar respuesta a situaciones problemáticas concretas que pueden interpretarse con estos entes geométricos. Distinga los movimientos en el plano y reconozca las propiedades de los mismos.

Actividades previas a la lectura Mire las figuras representadas en la siguiente hoja. Todas tienen cuatro lados. Por esa razón reciben el nombre de cuadriláteros. Entre ellos hay tres grupos: Aquéllos que tienen dos pares de lados opuestos paralelos, llamados paralelogramos. Aquéllos que tienen un par de lados opuestos paralelos, llamados trapecios. Aquéllos que no tienen ningún par de lados opuestos paralelos, llamados trapezoides.


89

Paralelogramos

Trapecios

Trapezoides

Actividad n° 1 1. ¿Tiene a mano una tijera? Copie o calque todos los cuadriláteros de esta hoja y recórtelos. 2. Tome uno de los cuadriláteros recortados. Le pedimos que intente, si es posible, plegarlo en dos partes sobre sí mismo, de modo que las dos partes queden superpuestas, coincidiendo de manera exacta. 3. Investigue si es posible plegar la figura de "otras formas" de modo que se cumplan las condiciones pedidas en el ítem 2.. 4. Repita lo hecho en los ítems 2. y 3. para cada una de las figuras recortadas. 5. ¿Cuál o cuáles de los cuadriláteros recortados pudieron ser plegados del modo pedido? 6. ¿De cuántas formas puede hacer el "doblez" en cada uno de ellos de tal manera que coincidan las partes superpuestas?


90

Nota: Los cuadriláteros que pueden plegarse de modo que resulten coincidentes las partes superpuestas son:

Bloque 2

Fíjese, por ejemplo, para la siguiente figura: si la plegamos siguiendo la línea punteada, las partes superpuestas coinciden:

Pero también se cumple lo pedido si la plegamos por cualquiera de las otras líneas punteadas que se indican en los dibujos que siguen:

¿Coincide esto con lo que Ud. observó al doblar su figura? Y, en las otras figuras, ¿qué ocurre? La línea punteada indica el lugar por donde puede plegarse cada figura de modo que las partes que se superponen coincidan:


91

Actividad n° 2 Para los cuadriláteros que seleccionó en la actividad anterior, responda: 1. ¿Cómo son entre sí las medidas de los lados que se superponen al doblar la figura? 2. ¿Cómo son entre sí las medidas de los ángulos que se superponen al doblar la figura?

Nota: En todos ellos podemos observar, al doblarlos por la línea punteada, que las medidas de los lados que se superponen son iguales. Lo mismo ocurre con los ángulos; es decir: los ángulos que se superponen tienen igual medida. Por esta razón decimos que la recta que contiene a la línea punteada es eje de simetría de las figuras y que cada parte es simétrica respecto de la otra. Por ejemplo, en el trapecio: B

A

C

D

Después de plegarlo por el eje de simetría, podemos observar que: El lado AB coincide con el lado CD. Por ello decimos que los segmentos ABy CD son congruentes y que sus medidas son iguales. Para indicar que la medida de AB es igual a la medida de CD usamos la siguiente notación simbólica: | AB | = |CD | Para indicar que el segmento AB es congruente con el segmento CD, usamos la siguiente notación simbólica: AB=c CD El ángulo A coincide con el ángulo D y el ángulo B coincide con el ángulo C. Es decir, que los ángulos A y D son congruentes y que los ángulos B y C también son congruentes (Simbólicamente:

ˆ =c Dˆ y A

ˆ =c Cˆ ). B

También decimos que la medida del ángulo A es igual a la medida del ángulo D y que la medida del ángulo B es igual a la medida del ángulo C:

ˆ | = | Cˆ | ˆ ˆ|y|B En símbolos: | A | = | D


92

Actividad n° 3 1. Teniendo en cuenta lo observado en la nota anterior, le solicitamos para la figura dibujada abajo que: a. Busque en ella para cada eje de simetría: Los pares de lados que tienen igual medida entre sí. Los pares de ángulos que tienen la misma medida entre sí. b. Escriba sus observaciones en forma simbólica. B

C

A

D

Bloque 2

c. ¿Qué diría Ud. respecto de la validez del siguiente enunciado: "Esta figura tiene sus cuatro lados congruentes"? Argumente su respuesta. d. A partir de sus observaciones y de lo hecho en el ítem a) enuncie otra propiedad de esta figura , referida a sus ángulos. 2. a. Ahora le pedimos que responda lo indicado en 1.a. para la siguiente figura: B

C

A

D

b. ¿Qué diría Ud. respecto de la congruencia de los cuatro ángulos de esta figura? c. ¿Qué diría respecto de la congruencia de sus lados?


93

3. a. Repita para las siguientes figuras lo hecho en 1. a.: B

B

A

A

C

C

D D b. ¿Qué diría Ud. respecto de la congruencia de lados y ángulos de cada una de estas figuras? 4. Con las conclusiones obtenidas en los ítems 1., 2. y 3. complete una tabla con el siguiente encabezado: Propiedades de los ángulos en lenguaje: Figura

coloquial

Propiedades de los lados en lenguaje:

simbólico

coloquial

simbólico

Las figuras para las que debe completar la tabla son las que dibujamos a continuación. Observe que todas ellas tienen ejes de simetría.

B

C

B

D A

B

C A

A

B

B

C

A

C

C

D

A D

D D

Actividad n° 4 1. Si a Ud. le dicen que: Los cuadriláteros que tienen todos sus ángulos congruentes o de igual medida se llaman rectángulos. Los cuadriláteros que tienen todos sus lados congruentes se llaman rombos.


94

Los cuadriláteros que cumplen con las dos condiciones anteriores se llaman cuadrados. a. ¿Cuál o cuáles de las figuras de la tabla anterior son cuadrados? b. ¿Cuál o cuáles son rectángulos? c. ¿Cuál o cuáles son rombos? 2. Le agregamos la siguiente información: Los trapecios que tienen un par de lados congruentes se llaman trapecios isósceles. Los trapezoides que tienen dos pares de lados consecutivos congruentes se llaman romboides. Póngale nombre a cada una de las figuras con las que completó la tabla de la Actividad 3.

Bloque 2

Actividad n° 5 1. Tome una de las figuras recortadas al iniciar estas actividades. Trace en ella sus diagonales, es decir, los segmentos que unen vértices no consecutivos. Por ejemplo, en el cuadrado: B

C O

A

D

BD y AC diagonales Explore hasta encontrar qué podría hacer con la figura para averiguar: a. ¿Cómo resultan ser entre sí las medidas de las diagonales? b. ¿Cómo resultan ser entre sí los segmentos en que se dividen las diagonales al cortarse? Es decir, ¿cómo es la medida de AO respecto de la de OC ? ¿y la de BO respecto de la de OD?


95

Nota: Doblando el cuadrado por sus distintos ejes de simetría podemos observar que las diagonales son congruentes, es decir que las medidas de las diagonales son iguales. También se observa, al doblarlo por sus diagonales, que la medida de AO es la misma que la de OC y que la medida de BO es la misma que la de OD. Decimos, entonces que las diagonales se cortan mutuamente en segmentos congruentes, y que el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de ellas. 2. Repita con el rectángulo, el rombo, el trapecio isósceles y el romboide lo que hizo para el cuadrado. 3. Organice un cuadro con el siguiente encabezado: Propiedades de las diagonales en Figuras

lenguaje coloquial

lenguaje simbólico

Y complételo con las conclusiones obtenidas en los ítems anteriores respecto de las diagonales de los cuadriláteros. Las figuras que debe usar en la tabla son:B B B C B C A O C B C O O O O C A D A D A A D D

D

Actividad n° 6 Busque entre las figuras recortadas aquéllas que tienen como eje de simetría una o ambas diagonales. El cuadrado es una de ellas. Observe en el que dibujamos a continuación los ángulos señalados como A1 , A2 , B1 , B2 , C1 , C2 , D1 , D2 : B

A

B B1 2 A2 A1

O

C1 C C2 D D2 1

D


96

1. ¿Cómo son entre sí los ángulos A1 y A2 , B1 y B2 , C1 y C2 , D1 y D2? Doble las figuras de manera adecuada de modo que pueda observar lo necesario para responder.

Nota: Los cuadriláteros que tienen una o las dos diagonales como eje de simetría son B A

B C

B

C A

A

C

D

D

D

Como Ud. habrá observado, en el romboide sólo una de sus diagonales es eje de simetría de la figura. Dicha diagonal recibe el nombre de diagonal principal.

Bloque 2

ˆ ˆ En el cuadrado dibujado podemos ver que B1 y B2 son los ángulos en que la ˆ ˆ diagonal BD divide al ángulo B , y que D1 y D2 son los ángulos en que la misma diagonal divide al ángulo D. Al doblar la figura por la diagonal podemos observar que las dos partes del ˆ ˆ ˆ ˆ ángulo se superponen. En lenguaje simbólico: B1 =c B2 ; D1 =c D2 Es decir que la diagonal BD divide a los ángulos B y D en dos ángulos congruentes. Podemos decir entonces que la misma es bisectriz de dichos ángulos. Lo mismo ocurre, en el cuadrado, con la diagonal AC. 2. Repita el análisis anterior para el resto de las figuras que tienen una o dos de sus diagonales como eje de simetría. 3. Traslade estas nuevas conclusiones a la tabla de la actividad anterior.

Actividad n° 7 1. Busque entre las figuras recortadas el cuadrilátero


97

2. Trace en ella una línea punteada perpendicular a la diagonal BD (que forme con la diagonal un ángulo recto) que pase por el punto de intersección de las diagonales. Así: B

C

A

D

Doble primero la figura por la diagonal BD y a la figura doblada hágale un segundo doblez, por la línea punteada. 3. Observe en la figura los lados y ángulos que se superponen al doblarla y complete la línea de puntos con "=" ó "¹" según corresponda:

ˆ ....... Cˆ ; A

ˆ ........ Dˆ ; B

AB....... CD;

BO........ OD

ˆ ; ˆ ....... B A

Cˆ ........ Dˆ

4. Ahora trace una línea perpendicular a la diagonal AC , que pase también por el punto de intersección de las diagonales. Doble la figura por la diagonal AC y hágale un segundo doblez por la línea punteada. Observe en la figura los lados y ángulos que se superponen al doblarla y complete la línea de puntos con "=" ó "¹" según corresponda: BC ....... AD;

AB........AD ;

AO.......OC ;

AC .......BD

BC.......CD

5. Complete una tabla con las conclusiones obtenidas en los ítems anteriores respecto de esta figura. El encabezado de la tabla es:

Figura

Propiedades de los

Propiedades de los

Propiedades de las

ángulos

lados

diagonales

coloquial simbólico coloquial simbólico coloquial simbólico

B A

C D


98

Nota: Ud. ha observado, a partir del plegado de los cuadriláteros dibujados al iniciar esta actividad, que los enunciados expresan relaciones respecto de los lados, ángulos y diagonales de los mismos. La Matemática, a partir de observaciones parecidas a las suyas, elabora hipótesis que demuestra para transformarlas en afirmaciones generales. En el texto que Ud. va a leer a continuación se va a encontrar con las demostraciones de las propiedades observadas en esta actividad previa a la lectura. Le vamos a pedir que las lea, que trate de entender cada uno de los pasos que allí se hagan, pero queremos que sepa que no estamos esperando todavía que Ud. pueda hacer una demostración por sí mismo. Las demostraciones son una parte muy común del quehacer matemático con las que recién está empezando a vincularse y con las que irá familiarizándose a lo largo de todo su paso por la Matemática de la escuela media.

Bloque 2

En este momento, lo importante es que Ud. reconozca las propiedades que verifican los distintos cuadriláteros y que pueda aplicarlas en las actividades que se presenten. Tenga en cuenta el recurso de plegar figuras (utilizado para distinguir las propiedades de los cuadriláteros) y recurra a él cada vez que necesite utilizar alguna propiedad y no recuerde si la misma tiene validez o no.

Nota: Como el objetivo de estas actividades previas a la lectura es que Ud. pueda observar, mediante el plegado de figuras, las propiedades que verifican los cuadriláteros, las respuestas a todas las actividades se sintetizan en las tablas que Ud. fue completando en las actividades 3, 4, 5, 6 y 7. Le damos entonces la respuesta a cada una de ellas en una sola tabla:


99


Propiedades de los ángulos Figura

Coloquial

O A

D

B

C

B

Los ángulos interiores son congruentes.

Los ángulos interiores son congruentes y las diagonales los dividen en ángulos congruentes.

O

A

A

Simbólico

Coloquial

A =C B =C C =C D

Los lados opuestos son congruentes.

C

B

D

C O D

Los ángulos adyacentes a las bases son congruentes.

Propiedades de los lados

A =C B =C C =C D ; A 1 =C A 2 ; B1 =C B2 ;

C 1 =C C 2 ; D 1 =C D 2

B =C C ; A =C D

Propiedades de las diagonales

Simbólico

Coloquial

AB =C CD; BC =C AD

Las diagonales son congruentes y se cortan mutuamente en su pundo medio.

Las diagonales son congruentes AB =C CD; BC =C AD y se cortan mutuamente en su Todos los AB =C BC ; AD =C CD punto medio. lados son En consecuencia : Las diagonales congruentes. AB =C BC =C CD =C AD son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.

Los lados no paralelos son congruentes.

AB =C CD

Las diagonales son congruentes pero no se cortan en su punto medio.

Simbólico

AC =C BD BO =C OD AO =C OC

AC =C BD BO =C OD AO =C OC

AC =C BD BO „C OD AO „C OC

101


Propiedades de los lados

Propiedades de los ángulos Figura

Coloquial

B O

A

C

D

B O C

A

D

B A

C O D

Simbólico

Coloquial

Simbólico

Propiedades de las diagonales Coloquial

Simbólico

Los ángulos opuestos son A =C B =C C =C D ; congruentes. Las diagonales A1 =C A2 ; B1 =C B2 ; C 1 =C C 2 ; D 1 =C D 2 los dividen en ángulos congruentes

Las diagonales se cortan AB =C BC ; AD =C CD mutuamente en su BO =C OD Todos los BC =C CD; AB =C AD punto medio. lados son Las diagonales son AO =C OC En consecuencia : congruentes. AB =C BC =C CD =C AD bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen.

Los ángulos que une la diagonal no A =C C principal son B1 =C B2 ; D 1 =C D 2 ; congruentes. La diagonal A 1 „C A 2 ; C 1 „C C 2 principal divide a los ángulos que une en ángulos congruentes.

Tiene dos pares de lados consecutivos congruentes

Los ángulos opuestos son congruentes.

Los lados no opuestos son congruentes.

A =C C ; B =C D

Bloque 2

AB =C BC ; CD =C AD AB „C AD; BC „C CD

AB =C CD; BC =C AD

La diagonal principal corta a la otra por su punto medio y es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une.

AO =C OC BO „C OD

Las diagonales BO =C OD se cortan mutuamente por su AO =C OC punto medio

Libro 1

Guía de lectura del libro 1 En el capítulo 3: "Transformaciones en el plano" 1. Lea y responda las páginas 28, 29 y 30 (Introducción del capítulo. Simetrías". Simetría axial"). 2. Lea y responda desde la página 32 hasta la página 41 inclusive (Simetría central, rotación, traslación y sus propiedades) En el capítulo 12: Polígonos" 1. Lea las páginas 136, 137 y 138 (Introducción del capítulo. Cubrimiento de una superficie". Polígonos: definición y elementos") 2. Lea las páginas 140 y 141 (Angulos de un polígono") 3. Lea las páginas 144 y 145 (Cuadriláteros") 4. Resuelva la Actividad 17, al pie de la página 144. 5. Resuelva las actividades 20 y 21 al pie de la página 145. 6. Resuelva las actividades 4, ítems b. y d.; 5 y 7 de la página 146. En el capítulo 13: Paralelogramos" 1. Lea la introducción del capítulo en la página 148. 2. Lea la página 149 (Paralelogramos: definición") 3. Resuelva la Actividad 2 al pie de la página 149. 4. Lea las páginas 150 y 151 (Ángulos y lados del paralelogramo") 5. Resuelva las actividades 3, 4, 6 y 7 al pie de la página 150.

$

Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 1 6. Lea la página 152 (Diagonales del paralelogramo") 7. Resuelva las actividades 13, 18 y 19 de la página 153.

$

Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 2


102

8. Lea la página 154 (Bases medias del paralelogramo") 9. Resuelva la Actividad 42 de la página 157. 10. Resuelva las actividades 2, 6, 7 y 12 de la página 158. Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva las actividades nº 3 y 4

Guía de lectura del libro 2

$

Libro 2

En el capítulo 5: Funciones puntuales" 1. Lea desde la página 93 hasta el final del capítulo (Simetría axial, simetría

central, rotaciones, traslaciones y sus propiedades). Sugerencia: Al leer no se detenga ni se complique con la notación. Lo importante es que se quede con una idea respecto de las funciones puntuales y sus propiedades. Cuando en su lectura aparezca, por ejemplo, algo escrito como: SE ° SE debe leer SE

Bloque 2

compuesta con SE . Y se refiere a que se han efectuado dos funciones puntuales consecutivas, primero SE y al transformado se le aplicó SE En el capítulo 8: Polígonos"

1. Lea las páginas 145, 146, 147 y 148 (Concepto de polígono". Clasificación". Elementos de un polígono") 2. Lea las páginas 150 y 151 (Suma de los ángulos interiores". Suma de los

ángulos exteriores de un polígono") En el capítulo 9: Cuadrángulos" 1. Lea desde la páginas 157 hasta la página 165 (Clasificación" y

Paralelogramos") Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 2

$

2. Resuelva la Actividad 9.2 de la página 296. En ella debe hallar la medida de todos los ángulos señalados con letras griegas, cuyo valor se desconoce. 3. Resuelva la Actividad 9.3, ítems c., d. y e. de la página 296. En ellas, tiene que calcular la medida de todos los ángulos interiores del paralelogramo.


103

Previamente plantee la ecuación. 4. Resuelva la Actividad 9.4, ítems a. y b. de la página 297.

$

5. Lea desde el título Rectángulos" en la página 165 hasta la página 170:

Cuadrados". Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 1 6. Resuelva la Actividad 9.4, ítems d. y f. de la página 298. 7. Resuelva la Actividad 9.7 de la página 299.

$

8. Lea la página 170 a partir del título Trapecios" y las páginas 171, 172, 173 y 174. Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 3 9. Resuelva la Actividad 9.9, ítems c., d. y e. de la página 300.

$

10. Lea las páginas 175, 176 y 177 hasta el título Construcciones" (Trapezoides") Vaya a las "Actividades sobre lo leído" y resuelva la Actividad nº 4 11. Resuelva la Actividad 9.11, ítem b. de la página 301. En ella deberá calcular la medida de todos los ángulos interiores de la figura. 12. Resuelva la Actividad 9.12 ítem a. de la página 302. 13. Resuelva la Actividad 9.17 de la página 304.

Actividades sobre lo leído Actividad n°1 Resuelva las siguientes actividades: 1. Se construyó una pista de atletismo con forma de rombo. Para la inauguración de la misma se organizó una carrera en la que los participantes debían dar 4 vueltas a la pista. La distancia total a recorrer es de 1728 metros. ¿Cuántos metros de longitud tiene cada uno de los lados de la pista? 2. Un campo rectangular tiene 2 km de ancho por 5 km de largo. Calcule cuántos metros de alambre será necesario comprar para bordear todo el campo.


104

3. Se necesita enmarcar una lámina cuadrada de 32,5 cm de lado. ¿Cuánto cobran por el trabajo si el metro de marco elegido cuesta $ 5 colocado?

$


Actividad n°2 Utilizando las propiedades vistas para los paralelogramos, resuelva las actividades que le proponemos a continuación, referidas a paralelogramos ABCD: B A

C D

1. En cada uno de los siguientes casos, calcule la medida de todos sus ángulos interiores sabiendo que: a. El ángulo D mide 85°.

Bloque 2

ˆ | = x + 30° y | Bˆ |= 2x - 45° b. | D 2. Calcule la medida de sus diagonales sabiendo que el segmento BO tiene una longitud de 3 cm y que el segmento OC tiene una longitud de 4 cm (O es el punto donde se cortan las diagonales). Vuelva a la guía de lectura

$

Actividad n° 3 Nota: En las actividades previas a la lectura le presentamos los cuadriláteros llamados trapecios. Allí analizamos las propiedades del trapecio llamado isósceles. El resto de los trapecios reciben el nombre de trapecios escalenos (sus lados no paralelos no son congruentes). Dentro de este grupo, también se encuentran los trapecios rectángulos, que se distinguen del resto por tener dos ángulos rectos. Tenga en cuenta las propiedades observadas en las actividades previas a la lectura y lo dicho en la nota anterior respecto de los trapecios para resolver las actividades que siguen:


105

1. Para el trapecio isósceles ABCD: C

B

D

A

a. Calcule la medida de todos sus ángulos interiores sabiendo que el ángulo B mide 43°. b. Calcule la medida de sus lados no paralelos, sabiendo que los lados paralelos tienen una longitud de 5 cm y 8 cm cada uno y que el perímetro de la figura es de 20 cm. c. Calcule la medida de sus diagonales sabiendo que |AC | = 2x - 3 cm y | BD | = x + 4 cm. 2. Calcule la medida de todos los ángulos interiores de un trapecio rectángulo sabiendo que uno de sus ángulos interiores mide 120°.

Libro 1

Si tiene el libro 2, vuelva a la guía de lectura. Si tiene el libro 1 continúe en esta

sección con la resolución de la Actividad nº 4

Libro 2

Actividad n° 4 1. Para el romboide ABCD calcule la medida de todos sus ángulos interiores, sabiendo que los ángulos del triángulo BCD miden:

ˆ ˆ | B | = 45° , | C | = 110°

ˆ

B

, | D | = 25° A

C

D 2. Calcule la medida de los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 134 cm y que uno de sus lados mide 25 cm.


106

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº 1 1. Si se dan 4 vueltas a la pista totalizando 1728 metros de recorrido, cada vuelta tiene una longitud que podemos calcular haciendo la cuenta 1728 m : 4 = 432 m. Como la pista tiene forma de rombo, sus cuatro lados son congruentes (vea el cuadro hecho en la actividad previa a la lectura). Cada uno tiene una longitud que podemos calcular: 432m : 4 = 108 m 2. Los rectángulos tienen sus lados opuestos congruentes (vea el cuadro hecho en las actividades previas a la lectura), por lo tanto, dos de los lados del campo tienen una longitud de 5 km y los otros dos de 2 km. El contorno del campo tiene una longitud que podemos calcular haciendo la cuenta: 5 km + 5 km + 2 km + 2 km = 14 km. Teniendo en cuenta lo hecho en la unidad 1 de este bloque respecto de la conversión de unidades, sabemos que 14 km = 14000 m. Se necesitan, entonces, 14000 m de alambre para bordear todo el campo.

Bloque 2

3. Para enmarcar la lámina se necesitan 32,5 cm . 4 = 130 cm de marco. Es decir: 1,30 m. Van a cobrar 1,30 . 5, o sea $ 6,50.

Actividad nº 2 1. a. Como ABCD es un paralelogramo, tiene sus ángulos opuestos congruentes. Es ˆ ˆ ˆ ˆ decir que A=c C y B =c D . La suma de los ángulos interiores de todo cuadrilátero

ˆ ˆ ˆ ˆ es de 360°, por lo tanto, la suma de A y C es: 360° - ( B + D ) = 360° - ( 85° + 85°) ˆ ˆ ˆ ˆ = 360° - 170° O sea que A + C = 190° y como A y C tienen la misma medida,

cada uno de ellos mide: 190° : 2 = 95° b. Para poder hallar las medidas de todos los ángulos interiores debemos conocer primero el valor de x. Como los ángulos B y D son congruentes, por ser ángulos opuestos de un paralelogramo, para averiguar el valor de x podemos plantear la siguiente ecuación: x + 30° = 2x - 45° Y resolviendo la ecuación llegamos a averiguar que x = 75°.

ˆ

Por lo tanto | B | = 2 . 75° - 45° = 105°

ˆ

y | D | = 75° + 30° = 105°

ˆ ˆ Como la suma de los ángulos interiores es de 360°, la suma de A y C es: ˆ ˆ 360° - ( B + D ) = 360° - ( 105° + 105° ) = 360° - 210° = 150°.


107

Como los ángulos A y C son de la misma medida por ser también ángulos opuestos de un paralelogramo, la medida de cada uno de ellos es de 150° : 2 = 75° 2. Por las propiedades de los paralelogramos sabemos que sus diagonales se cortan en su punto medio. Entonces, si el segmento BO tiene una longitud de 3 cm, la diagonal BD tiene una longitud de 6 cm; y si el segmento OC tiene una longitud de 4 cm, la diagonal AC tiene una longitud de 8 cm.

Actividad nº 3 1.

ˆ

ˆ

a. Si ABCD es un trapecio isósceles, sabemos por sus propiedades que A =c D ˆ ˆ ˆ ˆ y C =c B . Si | B | = 43°, entonces | C | = 43°. La suma de todos los ángulos ˆ ˆ interiores es de 360°, por lo tanto, la suma A + D se puede calcular:

ˆ ˆ y Dˆ son 360° - ( Bˆ + C ) = 360° - (43° + 43°) = 360° - 86° = 274°. Como A congruentes, cada uno de ellos mide 274° : 2 = 137°. b. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles tienen la misma medida. Si el perímetro es de 20 cm, la suma de las longitudes de los cuatro lados es de 20 cm. Como los dos lados dados como dato tienen respectivamente una longitud de 5 cm y 8 cm, entonces la suma de los lados no paralelos es de: 20 cm 5 cm - 8 cm , es decir de 7 cm. Como los dos lados tienen la misma longitud, la longitud de cada uno es de: 7 cm : 2 = 3,5 cm c. Las diagonales del trapecio isósceles son congruentes. Para averiguar su medida primero debemos averiguar el valor de x. Para ello podemos plantear la siguiente ecuación: 2x - 3 = x + 4. De donde x = 7 cm. Calculamos ahora la medida de las diagonales que, ya sabemos, deben resultar iguales: |AC | = 2 . 7 - 3 = 11cm y | BD|= 7 + 4 = 11 cm 2. Si el trapecio es rectángulo, dos de sus ángulos interiores son rectos, es decir, que miden 90°. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es de 360° y la suma de los ángulos conocidos es de 90° + 90° + 120° = 300°. Entonces el cuarto ángulo mide: 360° - 300° = 60°

Actividad nº 4 1. Por las propiedades de los romboides, sabemos que la diagonal principal es bisectriz de los ángulos cuyos vértices une y que los ángulos A y C de la figura son

ˆ

congruentes. Por lo tanto, los ángulos del romboide ABCD son: | A | = 110°; ˆ ˆ | B | = 45° + 45° = 90°; | Cˆ | = 110°; | D | = 25° + 25° = 50° ¿Comprobó que sumando la medida de los cuatro ángulos el resultado es 360°?


108

2. Los romboides tienen dos pares de lados consecutivos de igual medida. Si sabemos que uno de sus lados mide 25 cm, debe haber otro lado, consecutivo a éste que mida lo mismo. Entre ambos suman una longitud de 50 cm. Los otros dos lados deben ser de la misma medida, por lo tanto, si el perímetro es de 134 cm, la suma de ellos es de 84 cm ( 134 cm 50 cm). Y como los dos tienen la misma

Bloque 2

medida, cada uno tiene una longitud de 42 cm (84 cm : 2).


109


110

MatemáBltoqiucea2

Unidad 5: Sistema métrico Contenidos : 5.1. Unidades del SIMELA 5.2. Escalas 5.3. Superficie y volumen: cálculo

Describiremos el sistema métrico legal argentino (SIMELA) para su uso en la resolución de problemas concretos. Aplicaremos nuevamente la función de proporcionalidad directa en escalas de medidas de diversas magnitudes del SIMELA. Presentaremos problemas de la vida real en los que deban aplicarse las fórmulas para calcular la superficie de figuras planas y el volumen en cuerpos del espacio.

Bloque 2

Le proponemos que: Reconozca las unidades básicas del SIMELA, múltiplos y submúltiplos Exprese la medida de una magnitud en diversas unidades (sólo las de uso más frecuente) Calcule, en problemas concretos, las medidas de la superficie y el volumen de entes geométricos expresando el resultado con las unidades de medida correspondientes

Actividades previas a la lectura: Comentario: En una actividad propuesta en la unidad 1, Ud. debió expresar las dimensiones de una mesa usando como unidad el metro a partir de conocer dichas dimensiones medidas en cm. Ese es sólo un ejemplo de situaciones en las que hay que expresar una misma longitud en distintas unidades de medida. Para resolver situaciones como éstas es necesario conocer las "equivalencias" entre las unidades de medida de longitud. En la unidad 1 ya trabajó con algunas de estas equivalencias.


111

Por ejemplo: " 1 km equivale a 1000 m" . Esto también lo expresamos diciendo " hay 1000 m en un km" ó " la cantidad de m que tiene 1 km es 1000" ó simplemente " 1 km = 1000 m". A partir de conocer esta equivalencia es posible, por ejemplo, decir cuántos m hay en 5 km, usando lo que estudió de funciones directamente proporcionales en la unidad 3. Teniendo en cuenta esto, podemos decir que 1000 es la constante de proporcionalidad directa entre una medida x de longitud dada en km y la medida y de esa longitud dada en m. Esta función tiene por fórmula :y = 1000.x.Si hacemos una tabla con algunos pares ordenados de esta función tenemos: Medida x en km Medida y en m

1 1000

2 2000

3,5 3500

5 5000

6,3 6300

De igual modo se pueden medir superficies y volúmenes con distintas unidades de medidas.

Actividad n°1 1. En la Unidad N° 1 de este Bloque, Ud. debió completar la siguiente tabla (a la que llamaremos Tabla I) 1km 1000 m =103 m

1hm 100 m =102 m

1dam 10 m =101 m

1m 1m =100 m

1dm 0,1 m =10-1 m

1cm 1mm 0,01 m 0,001 m =10-2 m =10-3 m

A partir de la observación de la tabla, le pedimos que busque las respuestas a las siguientes preguntas: a. ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de metros que hay en un kilómetro? b. ¿Qué cuenta hace para obtener el equivalente de un centímetro en metros? c. ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de metros que hay en un decámetro?


112

Nota: Como habrá observado, para saber cuántos metros hay: En 1 km, ó en 1 hm, ó en 1 dam, se multiplica al m por una potencia de 10 (103, 102 y 10, respectivamente. Estas potencias de 10 son las respectivas constantes de proporcionalidad directa).Por ejemplo: 1 km = 103 m En 1 dm, ó en 1 cm, ó en 1 mm, se divide al m por una potencia de 10 (10, 102 y

103, respectivamente). O también, podemos pensar que se multiplica por una potencia de 10 con exponente negativo (10-1, 10-2 y 10-3, respectivamente). Estas potencias de 10 son las respectivas constantes de proporcionalidad directa. Por ejemplo: 1 dm =

m 1 = m = 10−1m 10 10

Bloque 2

2. A partir de la tabla anterior (Tabla I), complete la siguiente tabla (a la que llamaremos Tabla II) en la que se muestran las equivalencias de 1 m. Para eso, tenga en cuenta que, por ejemplo: si un kilómetro es igual a 1000 m, entonces un metro es la milésima parte de un kilómetro. Si escribimos esto con símbolos 1 resulta: 1 km = 1000 m, entonces: 1m = km ó 1 m = 0,001 km ó 1000 -3 1 m = 10 km. Esta es la tabla II: 1m

1m

1m

1m

1m

1m

1m

0,001 km ......hm

0,1 dam

1m

...... dm

100 cm

...... mm

=10-3km

=10-1 dam

=100 m

=...dm

=102 cm

=... mm

=.... hm

3. a. Mire en la Tabla I que 1 hm = 100 m y en la Tabla II que 1 m = 10 dm, ¿cuántos decímetros hay en un hectómetro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de decímetros que hay en un hectómetro?


113

Nota: Como 1 hm = 102 m y 1 m = 10 dm, resulta que: 1 hm = 102 . 10 dm = 103 dm. Es decir que 1 hm = 103 dm = 1000 dm. O sea que para obtener la cantidad de decímetros que hay en un hectómetro se multiplica por una potencia de 10 (por 103) al dm. En este caso también podemos hablar de una función de proporcionalidad directa en la que x está medida en hm e y está medida en dm. La constante de proporcionalidad es 1000 y la fórmula de la función es y = 1000.x b. Observando las tablas I y II, puede ver que 1 dam = 10 m y que 1m = 1000 mm. ¿Cuántos milímetros hay en un decámetro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de milímetros que hay en un decámetro? (Tenga en cuenta lo dicho en la nota anterior). c. ¿Cuántos centímetros hay en un kilómetro? d. ¿Cuántos decámetros hay en un kilómetro?

Nota: Observe las primeras filas de las tablas I y II. Allí aparecen: km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Lo que hizo en el ítem 3. de la Actividad nº 1 es expresar unidades del cuadro utilizando unidades que están más a la derecha en el mismo. En la nota anterior, le hicimos notar que 1hm = 103 dm. Observe las posiciones relativas de la unidad hm y de la unidad dm en el siguiente esquema: por 103 km

hm por 10

dam por 10

m

dm

cm

mm

por 10


114

Para obtener cuántos milímetros hay en un decámetro se multiplica por una potencia de 10.Como 1 dam = 10 m y 1 m = 1000 mm, resulta que

1 dam = 10 . 1000 mm = 10000 mm = 104 mm. (Otra vez estamos multiplicando por una potencia de 10, por 104). Observe:

por 104 km

hm

dam

m

dm

cm

mm

Para obtener la cantidad de centímetros que hay en un kilómetro y la cantidad de decámetros que hay en un kilómetro, también se multiplica por potencias de 10 (1 km = 105 cm; 1km = 102 dam). por 102 hm

dam

m

dm

cm

mm

Bloque 2

km

por 105

Comentario: Vamos a tener en cuenta los gráficos hechos en la nota anterior sobre el cuadro correspondiente a la primera fila de las tablas I y II. En todos los casos vistos se observa que: Nos preguntamos ¿qué cantidad de una unidad "A" hay en otra unidad "B", estando la unidad "B" ubicada a la derecha de la unidad "A" en el cuadro? O, hablando en otros términos, expresamos una unidad "A" del cuadro utilizando una unidad "B" que está ubicada a su derecha en el mismo. Por eso decimos que para hacerlo nos "movemos de izquierda a derecha" en el cuadro. Para encontrar las equivalencias buscadas se multiplica por una potencia de 10 a la unidad que está ubicada a la derecha ("B"). El exponente de la potencia de 10 depende de la cantidad de columnas que nos "movamos de izquierda a derecha" en el cuadro.


115

4. 1

a. En la Tabla II, podemos ver que: 1 m = 100 hm = 0,01 hm = 10-2 hm ¿qué cuenta hace para obtener la cantidad de hectómetros equivalentes a un metro? 1

b. En la tabla I puede ver que 1 cm = 100 m = 10-2 m. ¿Qué fracción de un hectómetro es un centímetro? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de hectómetros que equivalen a un centímetro?

Nota: Como 1 cm=

1 1 1 1 m y 1 m= hm, resulta que: 1 cm = . hm , o también 100 100 00 100

que 1 cm = 10-2 . 10-2 = 10-4 hm.

O sea que para determinar cuántos hectómetros hay en un centímetro, se multiplica por una potencia de 10 con exponente negativo (por 10-4). En este caso también hablamos de una función de proporcionalidad directa de fórmula y = 10-4.x (con x en cm e y en hm). Observe que: por 10-1 km

hm

por 10-1 dam

por 10-1 m

por 10-1 dm

cm

mm

por 10-4 c. Si ahora le pedimos, por ejemplo, que indique qué fracción de un kilómetro es un centímetro, ¿qué información deberá leer de las tablas I y II? ¿Qué cuenta hace para calcular a cuántos kilómetros equivale un centímetro?

Nota: Para obtener la cantidad de hectómetros en un metro, la de hectómetros en un centímetro, la de kilómetros en un centímetro, se divide por una potencia de 10 (102, 104 y 105, respectivamente). También podemos decir que se multiplica por una potencia de 10 con exponente negativo (10-2, 10-4 y 10-5, respectivamente). También podemos visualizarlo considerando la primera fila de las tablas I y II. En estos casos estamos expresando unidades del cuadro utilizando unidades que están más a la izquierda en el mismo. Podemos observar que por cada columna (ó lugar) de la tabla que nos movemos de derecha a izquierda, debemos multiplicar por 10-1 (ó dividir por 10).


116

Por ejemplo, si se quiere expresar 1 mm en dam, resulta 1 mm = 10-4 dam. Vea el siguiente cuadro: por 10-4 km

hm

dam por 10-1

m

dm por 10-1

cm

por 10-1

mm por 10-1

Comentario sobre lo trabajado en el ítem 4 de esta actividad Vamos a tener en cuenta los gráficos hechos en las notas anteriores sobre el cuadro correspondiente a la primera fila de las tablas I y II. En todos los casos vistos se observa que:

Bloque 2

Nos preguntamos ¿qué fracción de una unidad "M" hay en la unidad "N", estando la unidad "N" ubicada a la izquierda de la unidad "M" en el cuadro? O, hablando en otros términos, expresamos una unidad "M" del cuadro utilizando una unidad "N" que está ubicada a su izquierda en el mismo. Por eso decimos que para hacerlo nos "movemos de derecha a izquierda" en el cuadro. Para encontrar las equivalencias buscadas se divide por una potencia de 10 a la unidad que está ubicada a la izquierda ("N"). Podemos decir también que se multiplica a dicha unidad por una potencia de 10 con exponente negativo. El exponente de la potencia de 10 depende de la cantidad de columnas que nos "movamos de izquierda a derecha" en el cuadro.

Actividad n° 2 1. Suponga que un salón cuadrado tiene lados que miden 1 dam. Por lo tanto, ese salón tiene una superficie de: 1 dam . 1 dam = 1 dam2. a. ¿Cuántos metros mide cada lado de ese salón? b. Se quiere cubrir el piso de ese salón con cartones cuadrados cuyos lados miden 1 m. ¿Cuántos de esos cartones se necesitan para cubrirlo totalmente?


117

c. Teniendo en cuenta que cada cartón tiene una superficie de 1 m2, complete: 1 dam2 = ... m2. d. Si la superficie de otro salón es de 4 dam2, ¿cuál es su área en m2? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de metros cuadrados que hay en un decámetro cuadrado? 2. Los lados de un campo cuadrado tienen 1 km de longitud. Por lo tanto, su superficie es de: 1 km . 1 km = 1 km2. a. ¿Cuánto miden los lados del campo en metros? b. ¿Cuál es el área del campo en m2? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad

de m2 que hay en 1 km2?

c. ¿Cuántos decámetros miden los lados del campo? d. ¿Cuál es el área del campo en dam2? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de dam2 que hay en 1 km2?

Nota: En esta actividad se vinculan unidades de superficie. En el ítem 1. de la actividad 2, para determinar cuántos metros cuadrados hay en un decámetro cuadrado se debe multiplicar por una potencia de 10 (en este caso, por 102). Como 1 dam = 10 m, 1 dam2 = 10 m . 10 m = 100 m2 = 102 m2. Podemos también, del mismo modo que con las unidades de longitud, escribir la fórmula de la función de proporcionalidad directa asociada: y = 100 . x (con x medida en dam2 e y medida en m2).

Consideremos un cuadro similar a los dados en la Actividad 1. La primera fila del mismo es la que figura debajo. Observe en ella las "posiciones relativas" entre dam2 y m2:

km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

por 102


118

En el ítem 2., para determinar cuántos metros cuadrados hay en un kilómetro cuadrado, o cuántos decámetros cuadrados hay en un kilómetro cuadrado, también

se debe multiplicar el m2 por potencias de 10 (106 y 104, respectivamente). Así es que resulta: 1 km2 = 106 m2 y 1km2 = 104 dam2. Observe: por 102 por 102 km2 por 102

por 102 hm2 por 102

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

por 102

por 106 En estos casos, los exponentes de las potencias de 10 son números pares (o múltiplos de 2). En todos los casos se observa que, para ir de izquierda a derecha en este

cuadro, se debe multiplicar por 102 por cada columna (o lugar) que nos movemos. 3. Una baldosa cuadrada tiene lados cuya longitud es de 1 dm.

Bloque 2

a. ¿Cuál es el área de cada baldosa en decímetros cuadrados (dm2)? b. ¿Cuál es la longitud de cada lado en metros? c. ¿Cuál es el área de una baldosa en metros cuadrados? d. ¿Cuántas baldosas se necesitan para cubrir un metro cuadrado de piso? e. ¿Qué fracción de 1 m2 es 1 dm2? ¿Qué cuenta hace para obtener a cuántos m2 equivale 1 dm2? 4. Teniendo en cuenta lo que contestó en los ejercicios 1. y 3. de esta Actividad, conteste: a. ¿Con cuántas baldosas se puede cubrir el piso del salón? b. ¿Qué fracción del salón ocupa una baldosa? Es decir, ¿qué fracción de 1 dam2 es 1 dm2?

c. ¿Qué cuenta hace con la cantidad de dam2 para obtener la cantidad equivalente de dm2?


119

Nota: Para obtener la cantidad de metros cuadrados equivalentes a un decímetro cuadrado, o la cantidad de decámetros cuadrados equivalentes a un decímetro

cuadrado, se debe dividir por potencias de 10 (102 y 104, respectivamente). O, lo que es lo mismo, se multiplica por potencias de 10 con exponente negativo (10-2 y 10-4, respectivamente). Observe que los exponentes son números pares. Consideremos el cuadro en el que la primera fila es: km2

hm2

dam2

m2

dm2

cm2

mm2

cm2

mm2

Para los ejemplos dados, observe el siguiente esquema: por 10-2 km2

hm2

dam2

m2

por 10-2

dm2 por 10-2

por 10-4 Vemos que, para movernos de derecha a izquierda en este cuadro, dividimos por 102 cada vez que nos desplazamos una columna. O, lo que es lo mismo, multiplicamos por 10-2 por cada columna (o lugar) que nos desplazamos. En este caso, ¿cuál es la fórmula de la función de proporcionalidad directa asociada?

Actividad n° 3 Un dado es, geométricamente, un cubo. Los cuadrados en los que están marcados los puntos se llaman caras del cubo. Por lo tanto, tiene 6 caras cuadradas iguales. (Vamos a suponer que no tiene los bordes redondeados). Los lados de las caras se llaman aristas del cubo. Por lo tanto, todas las aristas miden lo mismo.

} arista


120

Suponga que cada arista de un dado mide 1 cm. Entonces, el volumen de ese dado es de: 1 cm . 1 cm . 1 cm = 1 cm3.

1. ¿Cuántos de estos dados (o cubos) puede ubicar en un dado en el que cada arista mide 1dm, o sea 10 cm? 2. El dado que tiene 1 dm de arista tiene un volumen de: 1 dm . 1 dm . 1 dm = 1 dm3. De acuerdo con lo que contestó en 1.: ¿Cuántos cm3 hay en 1 dm3? ¿Qué cuenta hace para obtener la cantidad de cm3 que hay en 1 dm3? 3. ¿Qué parte o fracción de 1 dm3 es 1 cm3? ¿Qué cuenta hace para buscar la cantidad de decímetros cúbicos equivalentes a un centímetro cúbico?

Nota: En esta actividad se vinculan unidades de volumen.

Bloque 2

Para obtener la cantidad de cm3 que hay en 1 dm3, se multiplica por una potencia de 10 (103 ó sea, 1000). En cambio, para obtener la cantidad de dm3 equivalentes a 1 cm3, se divide 1 dm3 por una potencia de 10 (103 = 1000) o, lo que es lo mismo, se multiplica por una potencia de 10 con exponente negativo. Observe que, en estos casos los exponentes de las potencias de 10 son números múltiplos de 3. Si consideramos la primera fila de un cuadro similar al de la Actividad 1, ésta sería: km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Observe el siguiente cuadro, referido a los ejemplos anteriores: por 103 km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

por 10-3 Ahora, para movernos de izquierda a derecha, debemos multiplicar por 103 por cada columna o lugar de desplazamiento. En cambio, para movernos de derecha a izquierda, multiplicamos por 10-3 por cada lugar que nos desplazamos. En estos casos, también está asociada una función de proporcionalidad directa.


121

Guía de lectura del libro l En el capítulo 8 (La medida"): 1. Lea y responda las páginas 98 (Introducción) y 99 (Qué es medir"). Resuelva el ítem a del ejercicio 1 y el ejercicio 2 del pie de página. 2. Lea y responda la página 100 (La necesidad de establecer convenciones"). Resuelva el ejercicio 3 del pie de página. 2. Lea y responda la página 101 (El SIMELA"). 4. Lea y responda la página 103 (La velocidad: Una magnitud vectorial"). 5. Resuelva el ejercicio 4 de la página 96 (Actividades del capítulo 7). 6. En las "Actividades" de las páginas 104 y 105, resuelva los ejercicios 1, 2, 3, 6, 7, 8 y 13.

$

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 1 En el capítulo 15 (Área de figuras planas"): 1. Lea y responda las páginas 178 (Introducción) y 179 (Área de una figura"). 2. Lea y responda las páginas 181 (Área del rectángulo"), 182 y 183 (Área del paralelogramo") y 184 (Área del triángulo"). 3. Resuelva los ejercicios 19, 20 y 21 de la página 185. 4. En las Actividades" de la página 188, resuelva los ejercicios 13 y 14.

$

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 2 y 3

Guía de lectura del libro 2 En el capítulo 6 (SIMELA"): 1. Lea la página 111. 2. Lea la página 113 (a partir de dónde dice: El SIMELA ...."), las páginas 114 y 115 (hasta la frase encomillada). (Nota: En el cuadro de la página 114 hay un error: Donde dice "107", debe decir "101 ").


122

3. Lea las páginas 115, 116, 117 (Nota: En la página 117 hay un error. Debe decir: "1ha = 1hm2 "), 118, 119 y 120 (superficie, medidas agrarias, volumen, capacidad, masa, tiempo). 4. Lea la página 121 (Velocidad"). 5. Resuelva el ejercicio 6.1 de la página 271 (debe unir con flechas cada unidad de la Tabla 1 con la magnitud correspondiente de la Tabla 2). 6. Del ejercicio 6.4 de la página 273: Use el dato de la velocidad media en movimiento de traslación de la Tierra y exprésela en km/hora. Use el dato del radio medio y expréselo en metros. Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la Actividad nº 1

$

En el capítulo 10 (Superficies y polígonos equivalentes"): 1. Lea las páginas 183, 184, 185 y 186 (Superficie del rectángulo, paralelogramo y triángulo).

Bloque 2

2. Resuelva el ítem d del ejercicio 10.3 (página 312). 3. Con los datos del ejercicio 6.5 de la página 274, verifique la superficie cubierta y calcule la superficie semicubierta. Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades nº 2 y 3

$

Actividades sobre lo leído Actividad n° 1 Para resolver esta actividad, además de lo leído de su libro, tenga en cuenta lo trabajado en las Actividades Previas a la Lectura de esta Unidad. 1. Complete las siguientes tablas de equivalencias. a. Longitud Múltiplos

Unidad

Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro Símbolo m 2 Valor en 100= 10 1= 100 0,001= metros 10-3


123

b. Superficie Múltiplos

Unidad

Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetro milímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadra-cuadrado cuadrado cuadrado do m2

Símbolo Valor en m2

1=

100

0,01

=10-2

c. Volumen Múltiplos

Unidad

Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetromilímetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico 3 Símbolo m Valor en m3

1000000 =106

1= 100

d. Con los múltiplos y submúltiplos de la unidad de capacidad se da el mismo tipo de equivalencias que con los de longitud. Tenga en cuenta esta información para completar la siguiente tabla: Múltiplos Nombre kilolitro

hectolitro

Unidad decalitro

Símbolo

decilitro

centilitro mililitro

l

Valor en litros

litro

Submúltiplos

10

1= 100

2. a. Un terreno tiene una superficie de 3,75 hm2. ¿Cuál es el área del mismo en m2? b. La superficie de una baldosa es de 625 cm2. ¿Cuál es su área en m2?


124

c. La superficie de un azulejo cuadrado es de 4 dm2. ¿Con cuántos de esos azulejos se cubre una pared cuadrada cuya superficie es de 9 m2? d. La superficie de un campo es de 1200 hectáreas (ó hm2). ¿Cuál es el área del campo en km2? e. La superficie de una estancia es de 23,5 km2. ¿Cuál es su área en dam2? 3. En un diario se lee la siguiente información: "El temporal continúa haciendo estragos en varias provincias: 550 mil hectáreas del sudeste cordobés están bajo las aguas. Más de 700 milímetros de agua cayeron este mes en el sudoeste de Santa Fe." a. La superficie de la Ciudad de Buenos Aires es de unos 200 km2. ¿Cuántas "ciudades de Buenos Aires" estarían inundadas en el sudeste de Córdoba? b. ¿Cuántos metros de agua cayeron en el sudoeste santafesino? 4.

Bloque 2

a. Se cava un pozo para hacer una piscina. El volumen de tierra sacado es de 56 m3. ¿Con cuántos litros de agua se llena la pileta de natación? ¿Cuántos kilolitros de agua son necesarios para reponer la capacidad de la pileta? b. El volumen de un bidón es de 7500 cm3. ¿Con cuántos litros de agua se puede llenar ese bidón? ¿Cuántos mililitros llenan el bidón? c. En las Cataratas del Iguazú caen 1700 m3 de agua por segundo. ¿Cuántos litros de agua caen por minuto?

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Actividad n °2 1. Complete el siguiente cuadro de resumen de la forma de calcular áreas de algunas figuras. Figura Réctangulo Cuadrado Datos necesarios Fórmula

Paralelogramo Triángulo Longitudes de la base y de la altura

Base.altura


125

2. Calcule el área de cada uno de los salones cuyas formas y medidas se dan en los siguientes esquemas: a.

7,5 m

4,3 m

1,9 m 5m

b. 0,8 m

8,6 m

cuadrado

Actividad n°3 1. El lado de una habitación cuadrada tiene una longitud de 3,5 metros. a. ¿Cuál es el área en m2? b. ¿Cuántos centímetros mide cada lado? c. ¿Cuántos cm2 de área tiene la habitación? d. ¿Qué cuenta hace para obtener el área en cm2 a partir del área en m2? 2. Un campo rectangular tiene un ancho de 1350 m, y un largo de 2400 m. a. ¿Cuántos m2 de área tiene el campo? b. ¿Cuántos km mide cada lado del campo?


126

c. ¿Cuál es el área del campo en km2? d. ¿Qué cuenta hace para obtener el área en km2 a partir del área en m2? e. ¿Cuántos hm mide cada lado del campo? f. ¿Cuál es el área del campo en hm2? g. ¿Qué cuenta hace para obtener el área en hm2 a partir del área en m2? h. ¿Qué cuenta hace para obtener el área en hm2 a partir del área en km2?

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº I 1. Le damos las tablas completas.

Múltiplos

Unidad

Bloque 2

a. Longitud Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetromilímetro Símbolo km hm dam m dm cm mm 3 2 1 0 -1 -2 Valor en 1000=10 100= 10 100= 10 1= 10 0,1= 10 0,01=10 0,001= metros 10-3

b. Superficie Múltiplos

Unidad

Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetromilímetro cuadrado cuadrado cuadrado cuadra- cuadrado cuadrado cuadrado do 2 2 2 Símbolo km hm dam m2 dm2 cm2 mm2 Valor en 1000000= 10000= 104 100= 102 1= 100 0,01=10-2 0,0001= 0,000001 2 6 -4 m 10 10 = 10-6


127

c. Volumen Múltiplos

Unidad

Submúltiplos

Nombre kilómetro hectómetro decámetro metro decímetro centímetromilímetro cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico cúbico 3 3 3 3 3 Símbolo km hm dam m dm cm3 mm3 Valor en 1000000000 1000000 1000 1= 100 0,001 0,000001 0,000000001 3 9 6 3 -3 m =10 =10 = 10 ó 10 10-6 10-9 d. Capacidad Múltiplos Nombre kilolitro hectolitro Símbolo kl hl 3 Valor en 1000=10 100=102 litros

Unidad decalitro dal 10=101

litro l 1=100

Submúltiplos decilitro dl 0,1=10-1

centilitro mililitro cl ml -2 0,01=10 0,001=10-3

2. Comentario: Para el ítem a. siguiente, le daremos varias "formas de pensar" la resolución. Si ya trabajó con las unidades anteriores estará en condiciones de usar cualquiera de ellas. Pero Ud. elegirá la que le resulte más familiar. Cualquier camino que elija debe darle el mismo resultado. Compare sus resultados del resto de los ítems con los que se dan a continuación. a. Se le pide expresar la medida de un área usando al m2 como unidad de medida a partir de conocer la medida en hm2

Una forma: Para obtener la cantidad de m2 que hay en 1 hm2, multiplicamos el

m2 por 10000 (ó 104), pues 1 hm2 = 104 m2. "Nos movemos 2 columnas de izquierda a derecha en el cuadro de superficie". Por lo tanto, en 3,75 hm2 hay 3,75 . 10000 m2, o sea 37500 m2 (que es el área del terreno en m2). Otra forma: "Como regla de tres"

Luego y = (3,75 hm2. 104 m2): 1 hm2

1 hm2

→

104 m2

3,75 hm2

→

y m2

o sea

y = 3,75.104 m2 = 37500 m2

Una última forma: La fórmula de la función directamente proporcional que a la

medida x en hm2 de una superficie le hace corresponder su medida y en m2 es : y = 10 4 .x. Luego si x = 3,75, resulta que es y = 104 .3,75= 37500 m2


128

b. Para obtener la cantidad de m2 equivalentes a 1 cm2, dividimos por 10000 (ó 104) al m2. Pues 1cm2 = 10-4 m2 ("Nos movemos 2 columnas de derecha a

izquierda en el cuadro de superficie). Por eso, 625 cm2 = 625 : 10000 = 0,0625 m2 (que es el área de una baldosa en m2).

c. Para resolver este problema debemos expresar las dos medidas en la misma unidad (por ejemplo, en dm2). Para saber cuántos dm2 hay en 1 m2, multiplicamos por 100 (ó 102) al dm2. Por lo tanto, la superficie de la pared es de 900 dm2. Como cada azulejo tiene una superficie de 4 dm2, se necesitan 225 azulejos para cubrir la

pared, ya que 900 : 4 = 225. d. Para obtener la cantidad de km2 equivalentes a 1 hm2, ("dividimos por 100 (ó 102)"). Por lo tanto, el campo tiene una superficie de 12 km2. e. Para obtener la cantidad de dam2 que hay en 23,5 km2, multiplicamos a esta cantidad por 104 (ya que nos movemos 2 lugares de izquierda a derecha en el

cuadro). Por eso, resulta que: 23,5 km2 = 23,5 . 104 = 23,5 . 10000 = 235000 dam2. 3.

Bloque 2

a. Debemos trabajar en la misma unidad (por ejemplo, hectáreas ó hm2). Para pasar

de km2 a hm2, multiplicamos por 100. Por eso,( como 1hm2 = 1ha) la superficie de la Ciudad de Buenos Aires es de 20000 ha. ¿Cuántas veces cabe esta superficie en las 550000 ha inundadas? Como 550000 : 20000 = 27,5 , la zona inundada es 27 veces y media la superficie de la Capital Federal. b. Para obtener la cantidad de metros equivalente a 700 mm,(" dividimos por 1000 (ó 103)"). Luego, en el sudoeste de Santa Fe, cayeron 0,7 m de agua. 4. a. Sabemos que un litro es la capacidad de 1 dm3. Por lo tanto, para poder averiguar la cantidad de litros que llenan la pileta, debemos pasar de m3 a dm3. Para eso, multiplicamos la cantidad de m3 por 1000 (ó 103). Entonces, el volumen

del pozo es de 56000 dm3 y la piscina se llena con 56000 l de agua. Si dividimos

por 1000, obtenemos la cantidad de kl equivalente a esa cantidad de agua, o sea 56 kl. (Observe, entonces que 1 m3 es el volumen ocupado por 1 kl de agua). b. Debemos expresar un volumen en dm3 a partir de conocer su medida en cm3.

Para eso, dividimos por 1000 (ó 103) al cm3, o sea que el volumen del bidón es de 7,5 dm3. Por lo tanto, en él caben 7,5 l de agua. Para encontrar cuántos mililitros


129

caben en el bidón, multiplicamos por 1000. Es decir que caben 7500 ml de agua. (Observe que 1 cm3 es el volumen ocupado por 1 ml de agua). c. Si por las Cataratas del Iguazú caen 1700 m3 durante un segundo, en un minuto (o sea, 60 segundos) caen 1700 . 60 = 102000 m3 de agua. Si multiplicamos por 1000, obtenemos la cantidad de dm3, y con eso, la cantidad de litros. Por lo tanto, caen 102000000 litros por minuto.

Actividad nº 2 1. El cuadro completo es: Figura

Réctangulo

Cuadrado

Paralelogramo

Triángulo

Datos necesarios Longitudes

Longitud

Longitudes de la base

Longitudes

y de la altura

de la base y la altura base.altura

Fórmula

de la base y del lado de la altura Base.altura lado. lado

base. altura

dividido 2

2. a. Dividimos la figura en un rectángulo y en un triángulo. La superficie del rectángulo es de 7,5 m . 4,3 m = 32,25 m2. En el triángulo, la altura mide (4,3 + 1,9) m, o sea 6,2 m. La superficie del triángulo es de (6,2 m . 5 m): 2 = 15,5 m2. Por lo tanto la superficie de este salón es de (32,25 + 15,5) m2, o sea 47,75 m2. b. Podemos considerar a esta figura como un cuadrado al que se le han recortado 4 esquinas cuadradas. La superficie del cuadrado es de 8,6 m. 8,6 m = 73,96 m2 (sin recortes en las esquinas). Cada esquina recortada tiene una superficie de

0,8 m . 0,8 m = 0,64 m2. El total de las 4 esquinas recortadas es de 0,64 . 4 = 2,56 m2. Por lo tanto, el salón tiene una superficie de (73,96 2,56) m2, o sea 71,4 m2.

Actividad nº 3 1. a. El área es de 3,5 . 3,5 = 12,25. Es decir que la superficie es de 12,25 m2. b. Cada lado de la habitación mide 3,5m . 100 = 350 cm.


130

c. El área de la habitación en cm2 es de 350 . 350 = 122500. d. Como vimos, se multiplica por 10000 (ó 104) a la cantidad de m2. (Así es: 12,25 . 10000 = 12,25 . 104 = 122500). El área expresada en cm2 es 122500. Es decir su superficie es de 122500 cm2

2. a. El campo tiene una superficie de 1350 . 2400 = 3240000 m2. b. Dividiendo la medida de longitud (en metros) de cada lado del campo por 1000 (ó 103), obtenemos sus medidas de longitudes en kilómetros. Entonces, el ancho es de 1350 : 1000 = 1,350 km, y el largo es de 2400 : 1000 = 2,400 km. c. El área del campo en km2 es de 1,350 . 2,400 = 3,24. d. Para obtener el área en km2, conociendo el área en m2, se divide a ésta por 1000000 (ó 106).

Bloque 2

e. Como 1 hm = 100 m, para obtener las longitudes de los lados en hectómetros, dividimos por 100 (ó 102) las longitudes en metros. Por lo tanto, el ancho tiene una longitud de 13,50 hm, y el largo tiene 24 hm de longitud. f. El área del campo en hm2 es de 13,50 . 24 = 324 (ó 324 hectáreas). g. Si se sabe el área en m2, se la divide por 10000 (ó 104) para obtenerla en hm2. h. Para obtener el área en hm2, si se conoce el área en km2, se multiplica a esta por 100.


131

MatemáBltoqiucea2

Unidad 6: Circunferencia y polígonos Contenidos : 6.1. Polígonos: Elementos y propiedades 6.2. Polígonos regulares 6.3. Circunferencia: Noción 6.4. Ángulos en una circunferencia 6.5. Construcción de cuadriláteros

Bloque 2

Veremos polígonos regulares, su clasificación y propiedades. Miraremos a la circunferencia como un lugar geométrico muy especial que nos posibilita construir otros elementos geométricos tales como la mediatriz de un segmento, bisectriz de un ángulo, polígonos, etc. Veremos también los elementos de la circunferencia, arcos, ángulo central, sus mediciones (sistema sexagesimal) y construcción de cuadriláteros.

Le proponemos que: Reconozca y enuncie las propiedades de los polígonos regulares y su clasificación. Reconozca a la circunferencia y sus elementos como recurso para construcciones geométricas. Use las propiedades de los polígonos y otras propiedades geométricas para la construcción de cuadriláteros.

Libro 1

Guía de lectura del libro l En el capítulo 12: polígonos. 1. Relea las páginas 136, 137 y 138, que ya leyó al trabajar los temas de la unidad 4 (Introducción del capítulo. Cubrimiento de una superficie". Polígonos: definición y elementos").


133

2. Resuelva las actividades 2, 3 y 4 del pie de la página 137. 3. Relea las páginas 140 y 141 (Ángulos de un polígono"). 4. Resuelva la Actividad 8 del pie de la página 140. 5. Lea y responda la página 142 (Polígonos regulares"). 6. Resuelva las actividades 9, 14 y 16 de la página 143. 7. Resuelva las actividades 4, ítem c. y 8 de la página 146. En el capítulo 14: circunferencia. 1. Lea y responda la introducción del capítulo en la página 160 y la página 161 (Circunferencia y círculo"). 2. Lea y responda la página 162 (Algunos subconjuntos del círculo"). 3. Resuelva la Actividad 2 del pie de la página 162. 4. Lea y responda la página 163 (Ángulos inscriptos").

Para tener en cuenta al leer: A lo largo de esta página aparece una serie de preguntas que, como siempre, le pedimos que responda antes de seguir adelante con la lectura. Para hacerlo le sugerimos que construya los gráficos de las situaciones planteadas en las preguntas. Ellos le ayudarán a decidir su respuesta y le facilitarán la lectura posterior.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" y resuelva las actividades nº 1 y 2 5. Resuelva las actividades 3 y 4 del pie de la página 163. 6. Lea y responda las páginas 164 y 165 (Ángulo inscripto y ángulo central").

Para tener en cuenta al leer: En la página 164 donde dice arco APT, se refiere al arco AT que contiene al punto P. Y cuando dice arcoTPB, se refiere al arco TB que contiene al punto P. 7. Resuelva la Actividad 6 del pie de la página 165.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" y resuelva las actividades nº 3 y 4


134

8. Lea y responda la página 171 ( Correspondencia entre arcos y ángulos"). 9. Resuelva la Actividad 18 del pie de la página 171. 10. Resuelva las actividades 1, 6 y 7 ítems b. y c. de las páginas 176 y 177.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" y resuelva las actividades 5 y 6 11. Lea y responda las páginas 172, 173, 174 y 175 (Mediatrices, bisectrices, alturas y medianas de un triángulo"). En el capítulo 13. 1. Lea y responda las páginas 155 y 156 (Construcción de paralelogramos". Construcción de paralelogramos especiales"). 2. Resuelva las actividades 25 y 26 del pie de la página 155. 3. Resuelva las actividades 29, 31 y 32 del pie de la página 156.

Guía de lectura del libro 2:

Libro 2

En el capítulo 8: polígonos. 1. Relea las páginas 145, 146, 147 y 148, que ya leyó al trabajar los temas de la unidad 4 (Concepto de polígono". Clasificación". Elementos de un

polígono"). 2. Lea la página 149 (Número de diagonales de un polígono"). 3. Relea las páginas 150 y 151 (Suma de los ángulos interiores". Suma de los ángulos exteriores de un polígono"). 4. Resuelva la Actividad 8.2 de la página 293, ítems c.y d.. En ellos debe plantear la ecuación que le permita hallar el valor de x, y hallar luego la medida de cada uno de los ángulos interiores de los dos polígonos. 5. Resuelva la Actividad 8.3 de la página 294, ítem a.. En el capítulo 11: circunferencia y círculo.


135

Bloque 2

4. Resuelva la Actividad 1 de la página 158.

1. Lea desde la página 191 hasta la página 195, hasta el gráfico de la segunda circunferencia. 2. Resuelva la Actividad 2.1 de la página 313. En ella deberá vincular con una flecha cada uno de los gráficos del primer triángulo con el nombre correspondiente que se encuentra escrito en el segundo triángulo.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" a resolver las actividades nº 1 y 2 3. Lea desde la página 195 hasta la página 199 y los 5 primeros renglones de la página 200.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" a resolver las actividades nº 3 y 4 4. Resuelva las siguientes actividades: Actividad 11.5 de la página 314, ítems a. y b.. En ellos deberá plantear la ecuación que le permita hallar el valor de "x" y determinar las medidas de los ángulos señalados en el gráfico. Actividad 11.6 de la página 316, ítems a. y c.. En el ítem a. debe hallar la medida de los ángulos acb y cob. En el ítem c. debe hallar la medida del ángulo bac.

$

Vaya a "Actividades sobre lo leído" a resolver las actividades nº 5 y 6 5. Lea desde la página 203 a la página 208 (Puntos notables de un triángulo"). En el capítulo 9: Cuadrángulos. 1. Lea desde la página 177 hasta la página 182 (Construcciones"). 2. Resuelva la Actividad 9.18 de la página 305. Allí debe construir cada una de las figuras que se indican, utilizando los datos dados en cada caso.

Actividades sobre lo leído Actividad n°1 Arme un cuadro de modo que pueda leerse en él el nombre de cada uno de los entes geométricos que aparecen en las páginas que leyó, su representación gráfica y su notación simbólica (en caso de que la expresión tenga una notación simbólica en particular). Si le resulta necesario, recurra al libro nuevamente. Los entes


136

geométricos que deben figurar en el cuadro son: circunferencia, círculo, radio, cuerda, segmento circular, arco, ángulo central, sector circular, ángulo inscripto. Y lo puede organizar con el siguiente encabezado: Nombre

Representación gráfica

Notación simbólica

Actividad n° 2 1. Dibuje, para cada ángulo inscripto, el ángulo central correspondiente: a.

b.

.

A

.

P

x

O

.B

c.

.

A

.P

.

P x

O

d.

.B

.

A

x

O

.

B

x

.

A

O

.B

.P

Bloque 2

Nota: Para los casos como el ítem c. en que el ángulo central AOB, correspondiente con el ángulo inscripto APB, es un ángulo llano resulta que el otro ángulo central también es llano. En estos casos la cuerda AB pasa por el centro de la circunferencia y recibe el nombre de diámetro. 2. a. Para cada uno de los gráficos del ítem 1., mida con un transportador cada ángulo inscripto y su ángulo central correspondiente. Complete la siguiente tabla con los resultados de su medición: Ángulo inscripto

Bloque 2

Ángulo central


137

b. ¿Qué relación observa entre la medida de cada ángulo inscripto y la del ángulo central correspondiente?

Nota: Se observa que la medida de cada ángulo inscripto es igual a la mitad de cada ángulo central correspondiente


Actividad n° 3 Calcule la medida de los ángulos señalados en las figuras. Tenga en cuenta, para hacerlo, los datos indicados en cada ítem y que el punto O es el centro de cada circunferencia. 2.

.B .

Ox α M 55º

.A

.M α .

A

O 88º x

.

B

3.

.

4.

.

A

O x α 110º

. M

.B

B

.

A

O x

27 0º

1.

α

.

M

Actividad n° 4 1. a. Como hizo en las actividades previas a la lectura de la unidad 4: ¿es posible plegar un círculo, de modo que las partes que se superponen coincidan de manera exacta? Para responder recorte un círculo e intente hacer lo pedido. b. ¿Hay un único plegado posible que verifique las condiciones antedichas? 2. De acuerdo a los resultados obtenidos en 1., responda: a. ¿Tienen los círculos eje de simetría? b. ¿Cuántos ejes de simetría tienen? c. ¿Qué elemento del círculo está incluido en cada eje de simetría?


138

$


Actividad n° 5 M

.

1. Observe la construcción de la derecha: Le contamos cómo fue hecha:

A

Construimos el segmento AB.

.

B

N

Trazamos la circunferencia con centro en A y radio r, de modo que la medida de este último supere la mitad del segmento. En lenguaje simbólico: C (A, r). Trazamos la circunferencia con centro en B y del mismo radio que la anterior, es decir C (B, r). Determinamos los puntos M y N, que son los puntos donde se intersectan las dos circunferencias dibujadas.

Bloque 2

2. Dibuje en el gráfico anterior el cuadrilátero AMBN 3. En el cuadrilátero AMBN: a. ¿Cómo es la medida de AM respecto de la medida de MB ? ¿Por qué? b. ¿Cómo es la medida de MB respecto de la medida de BN ? ¿Por qué? c. ¿Cómo es la medida de BN respecto de la medida de AN ? ¿Por qué? 4. De acuerdo a lo respondido a las preguntas anteriores, ¿qué tipo de cuadrilátero es AMBN? 5. Los segmentos MN y AB, ¿qué son del cuadrilátero AMBN?, ¿qué propiedades verifican? Si no lo recuerda vuelva a la unidad 4 y revise las propiedades del cuadrilátero en cuestión. 6. De acuerdo a dichas propiedades, ¿qué puede decir del punto donde se cortan

MN y AB ?


139

Nota: El cuadrilátero AMBN es un rombo, ya que sus cuatro lados son congruentes. Esto se debe a que cada uno de ellos coincide con el radio de las circunferencias. Los segmentos MN y AB son las diagonales del rombo AMBN. Ud. ya sabe, por lo trabajado en la unidad 4, que las diagonales del rombo se cortan mutuamente en partes iguales y en forma perpendicular. Quiere decir, entonces, que el punto donde se cortan MN y AB es el punto medio de cada uno de ellos. Es decir, que la recta que contiene al segmento MN es perpendicular al segmento AB y pasa por su punto medio. Por ello recibe el nombre de mediatriz del segmento AB. En general, llamamos mediatriz de un segmento a la recta perpendicular al mismo, que pasa por su punto medio. 7. Teniendo en cuenta lo hecho en los ítems anteriores y en la nota, trate de decir, con sus palabras, cómo procedería para encontrar el punto medio de un segmento sin medir con una regla. 8. Trace la mediatriz del ladoBC en un triángulo ABC. Para ello dibuje un triángulo cualquiera.

Actividad n° 6 1. Observe la siguiente construcción:

O

.

. .M .B

A

Le contamos cómo fue hecha: Se construyó un ángulo de cualquier medida y vértice en O.


140

Se trazó una circunferencia de centro O y un radio r cualquiera. Se llamaron A y B a los puntos donde la misma corta a los lados del ángulo dibujado. Se trazó una circunferencia de centro A y radio r, siendo r el mismo que en la circunferencia anterior u otro. En lenguaje simbólico decimos que trazamos C (A, r). Se trazó una circunferencia de centro B y radio r, siendo r el mismo que en la circunferencia anterior. En lenguaje simbólico: se trazó C (B, r) Se determinaron los puntos M y O que son los puntos donde se intersectan las circunferencias con centro en A y B. 2. Dibuje en el gráfico anterior la figura AMBO 3. En la figura AMBO: a. ¿Cómo es la medida de AO respecto de la medida de OB ? ¿Por qué? b. ¿Cómo es la medida de AM respecto de la medida de MB ? ¿Por qué?

Bloque 2

4. De acuerdo a las respuestas a las preguntas anteriores, ¿qué tipo de figura es AMBO? 5. ¿Qué es el segmento OM de la figura AMBO? ¿Qué propiedades verifica? Si no las recuerda vuelva a lo hecho en la unidad 4 a revisarlo. 6. De acuerdo a dichas propiedades, ¿cómo son los ángulos AOˆ M y M Oˆ B?

Nota: La figura AMBO es un rombo ya que los lados AO y OB son congruentes por construcción, y los lados AM y MB también son congruentes por coincidir con los radios de las circunferencias. El segmento OM es la diagonal principal del romboide AMBO. Por lo tanto, entre otras propiedades, verifica ser la bisectriz de los ángulos O y M. Por lo tanto, los ángulos A Oˆ M y M Oˆ B son congruentes. Hemos encontrado, entonces, un recurso gráfico para dibujar la bisectriz de un ángulo.


141

7. Describa con sus palabras dicho recurso. 8. Trace la bisectriz del ángulo A del triángulo ABC del ítem 8. de la Actividad nº 5.

ˆ 9. Construya un rombo ABCD sabiendo que | B | = 30° y que la diagonal BD mide 6 cm.

$


Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad nº I

Representación gráfica

Círculo

Radio

Libro2

Libro 1

Libro 2

x

0

x

o

C (O, r)

C (o, R)

x

0

x

o

No hay

No hay

r

R

x

O

R

Circunferencia

Libro 1

r

Nombre


x

0


142

Representación gráfica Libro 1

Libro 2

A x

b x

0

A x

b

0

x

B x

Arco

Ángulo Central

x

0

b o

s S x

Sector

A

x

0

x

Circular

b

a

B

S

A

B

x

s

a

B x

0

Cuerda ab

No hay

No hay

Arco AB que contiene a S o arco AB que no contiene aS

Arco atb Arco asb

Ángulo que abarca el arco AB que contiene a S o que no contiene a S.

No hay

No hay

No hay

b o

Ángulo inscripto

s b x

p

ot

s

a

0

Ángulo P

o

t

a

S

A

Cuerda AB

a

A

Inscripto

o

B

Segmento Circular

Libro2

a B

Cuerda

Libro 1

Bloque 2

Nombre


o

en el arco AB que contiene a S

a pˆ b inscripto en el

o que no contiene a S

arco asb


143

Actividad nº 2 1. A

a.

.

P

.

.O

.

b. A

.B

.

P

.P

c.

.

x

O

B

.

A

x

O

.

d.

.

O

B A

.

.B

.P

2. a. Ángulo inscripto

50°

125°

90°

30°

Ángulo central

100°

250°

180°

60º

b. La respuesta está en la nota que sigue a la consigna de este ítem

Actividad nº3 1. En este caso, se conoce la medida del ángulo inscripto pero se desconoce la medida del ángulo central correspondiente. Sabemos que la misma es igual al doble ∧ de la medida del inscripto correspondiente, por lo tanto | α | = 55° . 2 = 110° 2. De acuerdo a lo leído, la medida de un ángulo inscripto es igual a la mitad de la ∧ medida del ángulo central correspondiente. Por lo tanto α mide 88° : 2 = 44° ∧

3. Cuidado. En este caso α no es el ángulo central correspondiente con el ángulo ˆ B. El ángulo central correspondiente con un ángulo inscripto debe abarcar el AM mismo arco que éste. El ángulo central correspondiente con el ángulo dado como dato mide 220° (porque mide el doble que él). Este ángulo es el ángulo que le falta ∧ a α para completar un giro, o sea para cubrir un ángulo de 360°. Por lo tanto: ∧

| α | = 360° - 220° = 140° ∧

∧

4. El ángulo central correspondiente con α mide 360° - 270° = 90°. Y α mide la ∧ mitad, es decir, | α | = 45°


144

Actividad nº4 1. a. y b. Sí, es posible plegar un círculo de modo que las partes superpuestas coincidan. Dicho plegado puede hacerse por cualquiera de sus diámetros. O sea que hay infinitos plegados posibles que verifican lo pedido. 2. Como consecuencia de lo anterior respondemos los ítems a., b. y c. diciendo que: los círculos tienen infinitos ejes de simetría y que cada uno de ellos incluye a un diámetro.

Actividad nº5 2. Tiene que unir con segmentos los puntos A, M, B y N señalados en el gráfico dado en el ítem 1. 3. a. b. y c. AM = C MB = C BN = C ANporque todos coinciden con los radios de las circunferencias dibujadas, y éstas fueron hechas con el mismo radio.

Bloque 2

4. El cuadrilátero es un rombo porque tiene todos sus lados congruentes. 5. Los segmentos MN y AB son las diagonales del rombo. Por sus propiedades sabemos que se cortan en forma perpendicular y en partes iguales; y además son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. 6. De acuerdo a las propiedades podemos decir que el punto donde se cortan es el punto medio de cada una de ellas. 7. Se trazan dos circunferencias del mismo radio, una con centro en uno de los extremos del segmento y la otra con centro en el otro extremo. El radio debe ser tal que permita que las circunferencias se corten en dos puntos. Luego se traza la recta que pasa por los dos puntos en los que se cortan las circunferencias. Como ya dijimos en la nota, esta recta es la mediatriz del segmento, o sea que lo corta en su punto medio. Y ya encontramos el punto buscado. 8. El procedimiento seguido para hacer el gráfico es el descripto en el ítem anterior, en este caso para el segmento BC correspondiente al lado del triángulo ABC.


145

.

B

A

.

C

Actividad nº6 2. Tiene que dibujar la figura delimitada por los segmentos que tienen por extremos los puntos indicados con las letras A, O, B, M 3. AO = C OB porque coinciden ambos con el radio de la C(O, r). AM =C MB porque coinciden ambos con el radio de las circunferencias C(A, r) y C(B,r) 4. 5. y 6. Están respondidos en la nota que sigue al enunciado del ejercicio 6.. 7. Para trazar la bisectriz de un ángulo debemos: Trazar una circunferencia con centro en el vértice del ángulo y un radio cualquiera que determine en los lados del ángulo dos puntos (A y B) Trazar dos circunferencias del mismo radio que se corten en dos puntos, una con centro en el punto que llamamos A y la otra con centro en el punto que llamamos B. Trazar la semirrecta que pasa por esos puntos y tiene origen en el vértice del ángulo. Esa semirrecta es la bisectriz del ángulo dibujado. 8. El procedimiento seguido en la construcción del gráfico es el descripto en el ítem anterior sólo que en este caso el ángulo por el que trazamos la bisectriz es el ángulo A del triángulo ABC B

A C


146

9. De acuerdo a las propiedades del rombo sabemos que la diagonal BD es bisectriz del ángulo B. Como uno de los datos es el ángulo B, en primer lugar dibujamos dicho ángulo, tomando su medida con un transportador. Para poder dibujar la diagonal debemos trazar la bisectriz de este ángulo, para lo cual seguimos el procedimiento descripto en el ítem 7. Una vez ubicada la bisectriz trazamos sobre ella la diagonal BD trasladando la medida que tenemos como dato. Determinamos así el vértice D del rombo. Sabemos, también por las propiedades de los rombos, que sus diagonales se cortan en forma perpendicular y por su punto medio. Usamos esta información para determinar los vértices A y C trazando la mediatriz del segmento BD.

Bloque 2

Los vértices A y C son los puntos de intersección entre la mediatriz trazada y los lados del ángulo B dibujado al comenzar el gráfico.

.

B

.

C

.

A

.

D


147

Autoevaluación integradora Actividad n°1

Solís

8 cm

El siguiente es el esquema de la forma de un terreno:

90º

90º Colón

Sobre dicho terreno se desea construir un complejo "Socio-cultural" proyectado para realizar distintas actividades. A partir de las pretensiones que tienen los organizadores del proyecto, le pedimos que bosqueje, usando regla y compás, el plano de este complejo. Se pretende construir: Un predio en forma de rombo, aprovechando el ángulo superior izquierdo, que llegue hasta la calle Colón. Un predio en forma de trapecio, destinado a una construcción, con entradas en las calles Solís y Colón, que abarque la zona libre hasta llegar al predio con forma de rombo. Jardín en la zona libre


148

Actividad n°2 1. En el predio con forma de trapecio se pretende construir un salón cuadrado y dentro de él un anfiteatro circular. Sobre el mismo bosquejo de la actividad n.o 1, dibuje el plano del salón con el anfiteatro. Para ello tenga en cuenta que: a. El círculo sea del mayor diámetro posible, y que tenga acceso a la calle Solís y a la calle Colón. b. El espacio que resta entre el predio en forma de trapecio y el salón cuadrado será destinado a jardín. 2. Además, en el anfiteatro, se construirá un escenario y una fuente de agua, de modo que: a. El espacio destinado a escenario sea un segmento circular. Para determinar este segmento circular le damos la siguiente información: su arco correspondiente es abarcado por un "ángulo inscripto" en la circunferencia que bordea el anfiteatro. Dicho ángulo inscripto debe medir 45°.

Bloque 2

b. La fuente de agua se ubique frente al escenario y que ambos ocupen totalmente el sector circular determinado por el ángulo central correspondiente al ángulo inscripto citado anteriormente c. Señale con claridad, en el bosquejo anterior, los espacios destinados dentro del anfiteatro al escenario, la fuente de agua y la zona para espectadores.

Actividad n° 3 Las medidas, en cm, del esquema dado en los ejercicios anteriores son:

8 cm 5 cm

11 cm


149

Teniendo en cuenta que el esquema anterior se ha construido de tal manera que 1cm equivale a 2 dam en el terreno. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Indíquelas en el gráfico que le damos abajo:

Actividad n° 4 Para hacer los cálculos del presupuesto correspondiente a este proyecto se necesita calcular la superficie del terreno y de algunas de sus partes. Le pedimos que: 1. a. Calcule la superficie total del terreno. b. La superficie que calculó en a., ¿con qué cantidad de cm2 está representada en el plano dibujado en la hoja? 2. Sabiendo que en el esquema dibujado por Ud., las diagonales del rombo miden 10 cm y 7,5 cm, calcule la superficie real del predio que tiene forma de rombo. 3. Calcule la superficie del salón cuadrado en el que se construyó el anfiteatro, en el esquema y en el terreno.

Solís

4. Sabiendo que la superficie del triángulo sombreado en el esquema, mide 13 dam2 en el terreno. Calcule el área total destinada a jardines.

Colón


150

Actividad n° 5 1. A partir de la información que se le da en cada caso deberá calcular el presupuesto correspondiente. a. Las empresas encargadas de armar jardines cobran su trabajo por m2 de jardín. Una empresa, cuando presentó su presupuesto indicó, a modo de ejemplo, que por 7 m2 cobraría $210. ¿Cuál será el presupuesto del proyecto para el armado total del jardín? b. La empresa de jardinería ofreció un servicio mensual por mantenimiento del jardín. El abono mensual pedido es un 8,5 % de lo invertido para el armado del jardín. ¿De cuánto es el abono mensual pedido por el mantenimiento del jardín? c. El anfiteatro va embaldosado. La forma irregular del piso a embaldosar encarece la mano de obra y además ocasiona desperdicio de material debido a los cortes que deben hacerse a las baldosas. Por ello, para calcular el presupuesto del embaldosado se considera que el gasto es equivalente al de embaldosar toda la

Bloque 2

superficie del salón cuadrado. Hay dos presupuestos y se elegirá el más económico: Presupuesto 1: Baldosas de 25 cm x 25 cm a $4 el m2 y $30 por la colocación de 100 baldosas. Presupuesto 2: Baldosas de 40 cm x 40 cm a $ 4,5 el m2 y $30 por la colocación de 100 baldosas. ¿Cuál será el presupuesto aprobado? 2. Un cuarto del total del predio con forma de rombo será alquilado a una empresa. Si pagará un alquiler de $70000 ¿a razón de cuántos pesos el metro cuadrado se cobrará el alquiler?

Observación: Ud. puede imaginar otras preguntas que podrían surgir vinculadas con este proyecto. En la evaluación que se le tome para la aprobación de la materia se le harán preguntas similares, aunque no correspondan a una sola situación concreta como en este caso.


151

Fíjese que, para responder, además de utilizar todos los recursos de que Ud. dispone para resolver situaciones en su vida cotidiana, debió: Reconocer cuadriláteros, sus características esenciales y propiedades. Dividir un ángulo en dos ángulos iguales (trazar la bisectriz) Construir cuadriláteros, con el uso de la circunferencia (y, como instrumento, el compás) Dividir un segmento en dos partes iguales (trazar la mediatriz) Dibujar un círculo y reconocer elementos de él y relaciones entre dichos elementos. Obtener el porcentaje de un cierto valor Expresar unidades del SIMELA en otras equivalentes. Calcular superficies. Reconocer fracciones y operar con números racionales. Aplicar funciones directamente proporcionales (cuando calcula precios y porcentaje). Aplicar una función inversamente proporcional (en el cálculo de la cantidad de baldosas) Esos logros de aprendizaje son los que se evaluarán en el examen. Si Ud. ha podido resolver este caso complejo, seguramente estará en condiciones de responder las preguntas y resolver los ejercicios que le pedirán en ese momento.

Respuestas a la autoevaluación integradora: Actividad nº 1 El gráfico del complejo es:


152

Colón


153

Bloque 2

Solís Jardín

Para dibujar el predio con forma de rombo usamos la información dada y las propiedades de los rombos vistas en la unidad 4. Si necesita ayuda, antes de seguir leyendo las respuestas, puede orientarse volviendo a revisar dicha unidad. De acuerdo a los datos, el ángulo superior izquierdo del esquema debe ser un ángulo del rombo y, además, el rombo dibujado debe llegar hasta la calle Colón. Es decir, que el ángulo opuesto al nombrado debe tener su vértice en esta calle. Una de las propiedades que verifican los rombos es que sus diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices unen. Trazamos, entonces, la bisectriz del ángulo superior izquierdo, para poder dibujar la diagonal y así detectar el otro vértice del rombo. Otra propiedad de los rombos es que sus diagonales se cortan mutuamente por su punto medio y en forma perpendicular. Teniendo en cuenta esto, trazamos una recta perpendicular a la diagonal dibujada en el paso anterior, que pase por su punto medio. Es decir, trazamos la mediatriz del segmento que es diagonal del rombo. De este modo detectamos el punto donde se cortan las diagonales. La otra diagonal pasa por este punto y tiene sus extremos en los bordes del predio. Al trazarla detectamos los otros dos vértices del rombo que queremos dibujar. Para dibujar el predio con forma de trapecio tuvimos en cuenta qué características tiene un cuadrilátero de esta forma y la información dada en el enunciado: el predio con forma de trapecio debe ocupar la zona libre del terreno hasta el rombo y tener acceso a las calles Solís y Colón.

Actividad nº 2 1. Agregando al bosquejo anterior las nuevas construcciones indicadas, el gráfico queda:


154

Bloque 2

Jardín

Jardín Colón


155

Para dibujar el salón cuadrado tenemos en cuenta que el cuadrado es un paralelogramo que tiene sus 4 lados congruentes y sus 4 ángulos rectos. En el predio con forma de trapecio dibujado en el ítem anterior ya hay dos ángulos rectos: el ángulo de la esquina de Solís y Colón y el ángulo cuyo vértice es común con el rombo. Podemos aprovechar estos ángulos como ángulos del cuadrado que queremos construir. Debemos determinar todavía los otros dos vértices del cuadrado. Para ello tomamos con un compás la medida entre el vértice del rombo (sobre la calle Colón) y la esquina de Solís y Colón y trasladamos esa medida sobre el lateral que da a la calle Solís y así determinamos otro vértice del cuadrado. Trazando la paralela a la calle Colón nos queda dibujado el cuadrado. Como el círculo debe estar incluido en el cuadrado y debe tener el mayor diámetro posible, la medida del diámetro debe ser igual a la medida del lado del cuadrado. Por esta razón, el centro del círculo debe ser el centro del cuadrado, o sea, el punto de intersección de sus diagonales. De acuerdo a esto, trazamos las diagonales del cuadrado para ubicar el centro del círculo. Una vez ubicado este punto colocamos el compás en él y tomamos como radio de apertura la distancia desde éste hasta la calle Solís o hasta la calle Colón (da lo mismo tomar cualquiera porque son iguales), de modo que el círculo dibujado llegue hasta ellas y tenga el mayor diámetro posible dentro del cuadrado. 2. Para dibujar el escenario tenemos en cuenta que, de acuerdo a la información dada, debe ser un segmento circular. ¿Qué es un segmento circular? Si tiene dudas, todavía está a tiempo de hacer una revisión de los temas de la unidad 6. Vamos a hacer previamente algunas observaciones: ¿Cuánto miden los ángulos determinados por las diagonales de un cuadrado? Como el cuadrado también es un rombo, sus diagonales se cortan en forma perpendicular, o sea, formando un ángulo recto o de 90°. Cada uno de estos ángulos es un ángulo central del círculo con centro en el punto de intersección de las diagonales del cuadrado, o sea, del círculo que hemos dibujado como anfiteatro. El arco correspondiente al segmento circular del escenario es abarcado por un ángulo de 45° inscripto en la circunferencia que bordea al anfiteatro. De cuerdo a la propiedad vista en la unidad 6 ¿a qué es igual la medida de un ángulo central correspondiente con un ángulo inscripto de 45°? La medida de cualquier ángulo inscripto en un arco de circunferencia es igual a la mitad del


156

ángulo central correspondiente. Por lo tanto, si el ángulo inscripto debe medir 45°, el ángulo central correspondiente debe medir 90°. Podemos asegurar, entonces, que el segmento circular correspondiente al escenario abarca el arco determinado por un ángulo central de 90°. Como cada uno de los cuatro ángulos determinados por las diagonales miden 90°, podemos elegir cualquiera de ellos para determinar los extremos del arco correspondiente al segmento circular donde se construirá el escenario. Elegimos éste sólo por comodidad, podríamos haber elegido cualquier otro ángulo de 90° que no fuese ninguno de estos cuatro ángulos. También podríamos haber dibujado el escenario construyendo un ángulo de 45° inscripto en la circunferencia que bordea al anfiteatro, utilizando el transportador . Nosotros no lo hemos hecho porque las observaciones que hicimos previamente nos ahorraron este trabajo. Si Ud. lo dibujó de esta manera, su procedimiento es igualmente válido.

Bloque 2

Dibujamos la fuente que, de acuerdo a los datos, está ubicada frente al escenario y ocupa junto con éste todo el sector circular.


157

Fuente

Zona de especta dores

Jardín Colón


158

5 cm

Escenario

Jardín

Actividad nº 3 Sabiendo que 1 cm en el esquema equivale a 2 dam del terreno, podemos calcular, a partir de todas las medidas del plano, las medidas reales del terreno. Por ejemplo: En el esquema, el lado que da a la calle Colón tiene una medida de 11 cm. Si cada uno de estos cm equivale a 2 dam en el terreno, este lado del terreno tiene una

10 dam

16 dam

medida real de 22 dam. En forma análoga calculamos la medida de todos los demás:

Bloque 2

22 dam

Actividad nº 4 1. a. Para poder calcular en forma sencilla la superficie del terreno lo dividimos en dos figuras, un rectángulo y un triángulo, de la siguiente forma:

Para calcular la superficie de un rectángulo y de un triángulo alcanza con saber la medida de su base y de su altura. El rectángulo del terreno tiene una base de 22 dam (12 dam + 10 dam) y una altura de 10 dam. Su superficie es de 22 dam x 10 dam = 220 dam2.


159

La base del triángulo rectángulo del terreno también es de 22 dam y su altura es de 6 dam (16 dam - 10 dam). La superficie es: 22dam.6dam = 66dam 2

2

2

La superficie total del terreno es de 220 dam + 66 dam2 = 286 dam2 b. Para calcular con qué cantidad de cm2 está representada la superficie del terreno en el plano dibujado podemos trabajar de dos formas. Una de ellas es análoga a lo hecho en el ítem anterior para calcular la superficie del terreno. Dividimos la figura en un rectángulo y un triángulo, por ejemplo, y calculamos la superficie de estos dos utilizando las medidas en cm dadas para el esquema. Para resolverlo de la otra forma debemos tener en cuenta la equivalencia dada en el ejercicio 3 entre las medidas del esquema y las medidas reales del terreno. Allí decimos que 1 cm del plano equivale a 2 dam del terreno. Por lo tanto, una superficie de 1 cm2 en la hoja equivale a una superficie de 4 dam2 en el terreno. Si la superficie del terreno es de 286 dam2, para calcular la superficie del plano de la hoja en cm2 dividimos a 286 por 4. La superficie del plano de la hoja es de 71,5 cm2. Si lo hizo por el otro camino tiene que haber llegado a este mismo resultado. 2. Vamos a convertir primero las medidas de las diagonales del esquema a las medidas reales de las diagonales en el terreno. Si cada cm equivale a 2 dam, la medida real de las diagonales es de 20 dam y 15 dam. Para calcular la superficie del rombo vamos a tener en cuenta que las diagonales se cortan mutuamente en partes iguales y que al trazarlas, la figura queda dividida en cuatro triángulos congruentes. Calculamos, entonces, la superficie de uno de ellos. Las medidas de la base y la altura son: 20 : 2 = 10 dam y 15 : 2 = 7,5 dam Su superficie es:

10dam.7,5dam = 37,5dam 2 2

La superficie del rombo es de 37,5 dam2 x 4 = 150 dam2 3. El salón cuadrado, en el esquema, tiene 5 cm de lado. Su superficie es de 5 cm x 5 cm = 25 cm2. Cada cm2 del esquema equivale a 4 dam2 del terreno. Por lo tanto 25 cm2 equivalen a 25 x 4 dam2 = 100 dam2. 4. Ya hemos calculado la superficie total del terreno, que es de 286 dam2; calculamos también que el predio con forma de rombo tiene una superficie de 150

dam2 y que el cuadrado tiene una superficie de 100 dam2. Si agregamos esta nueva información sobre la superficie del jardín señalado en la figura, podemos averiguar la superficie del otro triángulo destinado a jardines. Dicha superficie es: 286 dam2 - 150 dam2 - 100 dam2 - 13 dam2 = 23 dam2. Por lo tanto, la superficie total destinada a jardines es de: 13 dam2 + 23 dam2 = 36 dam2


160

Actividad nº 5 1. a. La empresa cobra $210 cada 7m2 de jardín, es decir que cobra $30 por cada m2 210 de jardín, ya que = 30 . O sea que la constante de proporcionalidad es 30 y la 7 fórmula de la función de proporcionalidad directa es y = 30 . x Los jardines planificados en el complejo cubren una superficie de 36 dam2, es

decir, de 3600 m2. El presupuesto para el jardín resulta de: 3600 . 30 = $108000 b. El mantenimiento del jardín cuesta mensualmente un 8,5 % de lo invertido para armarlo. O sea, cuesta el 8,5 % de 10800: 8 ,5 ⋅ 108000 = $9180 . 100

c. Como el gasto para embaldosar el anfiteatro es equivalente a embaldosar todo el salón cuadrado, vamos a calcular el presupuesto usando las dimensiones del salón cuadrado. La superficie de este salón es de 100 dam2. En m2 al área es de 10000.

Bloque 2

Presupuesto 1: Cobran $4 el m2 de baldosa, o sea que la constante de proporcionalidad es 4 y la fórmula de la función de proporcionalidad directa es y= 4 . x Como se deben embaldosar 10000 m2, van a cobrar: $ 4 x 10000 = $ 40000 en concepto de baldosas. Para colocarlas, el presupuesto es de $ 3 cada 100 baldosas. Para poder averiguar de cuánto va a ser el gasto de colocación, debemos calcular cuántas baldosas se van a usar. Las baldosas son cuadradas y miden 25 cm de lado.

Cada baldosa cubre, entonces, una superficie de 625 cm2, o sea de 0,0625 m2. Si la superficie a embaldosar es de 10000 m2, para hacerlo con baldosas de estas dimensiones, se necesitan 10000 : 0,0625 = 160000 baldosas. Dicho de otra forma:

160000 baldosas cubren la superficie del cuadrado ya que 160000 . 0,0625 = 10000. O sea, es como usar la fórmula y . x = 1000, que es la fórmula de una función de proporcionalidad inversa de constante 1000. Si cada 100 baldosas cobran $ 30, van a cobrar: 160000 ⋅ 30 = 48000 en colocación. 100

La función utilizada en este caso es una función de proporcionalidad directa de constante 0,3. El presupuesto total es de: $ 40000 + $48000 = $88000


161

Presupuesto 2: Cobran $ 4,5 el m2 de baldosa. Como se deben embaldosar 10000 m2, van a cobrar $ 4,5 x 10000 = $ 45000 en baldosas. Aquí hemos utilizado una función de proporcionalidad directa de constante 4,5. Para colocarlas, el presupuesto es de $ 30 cada 100 baldosas. Para poder averiguar de cuánto va a ser el gasto de colocación, debemos calcular cuántas baldosas se van a usar. Las baldosas son cuadradas y miden 40 cm de lado. Cada baldosa cubre, entonces, una superficie de 1600 cm2, o sea de 0,16 m2. Si la superficie a embaldosar es de 10000 m2, para hacerlo con baldosas de estas dimensiones, se necesitan: 10000 : 0,16 = 62500 baldosas. Dicho de otra forma: 62500 baldosas cubren la superficie del cuadrado ya que 62500 . 0,16 = 10000. Es como usar la fórmula y . x = 10000, que es la fórmula de una función de proporcionalidad inversa de constante 10000. Si cada 100 baldosas cobran $ 30, van a cobrar: 62500 . 30 = $ 18750 en 100 colocación. La función utilizada en este caso es una función de proporcionalidad directa de constante 0,3. El presupuesto total es de: $ 45000 + $ 18750 = $ 63750 El presupuesto aprobado será seguramente el presupuesto número 2, ya que resulta más económico. 1 de rombo es de 150 dam2 : 4 = 37,5 dam2, es decir de 3750 4 m2. Quiere decir que se cobrará por el alquiler de cada m2: 70000 : 3750 = $ 18,66.

2. La superficie de


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