´ MATEMATICA APLICADA II
Segundo cuatrimestre 2003
Licenciatura en F´ısica, Universidad Nacional de Rosario
Teor´ıa de la medida e integral de Lebesgue1 1.
Introducci´ on
Una de las caracter´ısticas m´as molestas de la teor´ıa de los espacios funcionales es que surgen problemas con la integral de Riemann, problemas que no permiten llegar a ciertos teoremas indispensables. Queremos aclarar que no hay nada equivocado con la integral de Riemann, de hecho en f´ısica siempre nos manejamos con funciones que son integrables seg´ un Riemann y usamos el m´etodo de Riemann para calcular integrales concretas. Los problemas surgen cuando tratamos de hacer interactuar a la integral de Riemann con otras operaciones, especialmente con operaciones de l´ımite (por ejemplo, el l´ımite de una sucesi´on de funciones integrables puede no ser integrable). Necesitamos entonces renovar la manera en que pensamos acerca de la integral. De estas notas nadie emerger´a con la habilidad de poder calcular m´as integrales, sino, esperamos, con un mayor entendimiento del significado del signo integral. Los problemas de la integral de Riemann pueden solucionarse mediante la generalizaci´on conocida como integral de Lebesgue2 . Este nuevo concepto de integral permite integrar clases generales de funciones, permite integrar en espacios m´as abstractos que R (o Rn ), y m´as importante a´ un, se comporta mucho m´as civilizadamente en combinaci´on con otras operaciones. Hay un ejemplo muy simple de una funci´on que es integrable seg´ un Lebesgue pero no lo es seg´ un Riemann, esta es la funci´on de Dirichlet: ½ 1 si x es racional f (x) = 0 si x es irracional Una forma simple de ilustrar la diferencia entre la integral de Lebesgue y la de Riemann es la siguiente analog´ıa. Supongamos que tenemos una bolsa llena de monedas y que queremos saber cu´anta plata tenemos en la bolsa. Podemos contar las monedas de dos formas distintas: (a) Sacamos las monedas una a una y vamos sumando sus valores; (b) Agrupamos las monedas de la bolsa de acuerdo a sus valores, formando un grupo de monedas de 5 centavos, otro de 10 centavos, etc. Contamos cu´antas monedas tenemos en cada grupo, multiplicamos por sus valores y sumamos. La segunda forma de contar (que corresponde a la integral de Lebesgue) es mucho m´as eficiente que la primera (correspondiente a la integral de Riemann), pero, por supuesto, ambas formas de contar nos dar´an el mismo valor total. N´otese que para describir (b) tuvimos que usar un lenguaje un poco m´as elaborado que el usado para describir (a). Como veremos m´as adelante, la definici´on de la integral de Lebesgue tambi´en implica de hecho un poco m´as de conceptualizaci´on que la definici´on de la integral de Riemann. El m´etodo a utilizar para introducir la integral de Lebesgue se asienta en el concepto de medida. Una medida no es m´as que una funci´on que a ciertos subconjuntos A les asocia un n´ umero no negativo µ(A), llamado su medida o volumen, que da una idea de su ’tama˜ no’ . Si consideramos 1 Notas
preparadas por Luis O. Manuel, E-mail:
[email protected] integral de Lebesgue fue creada por el matem´ atico franc´ es Henri Leon Lebesgue(1875-1941). Hasta fines del siglo diecinueve, el an´ alisis matem´ atico estaba limitado a las funciones continuas, en gran parte debido al m´ etodo de integraci´ on de Riemann. A partir de trabajos de Emile Borel y Camille Jordan, Lebesgue desarroll´ o en 1901 su teor´ıa de la medida. Un a˜ no despu´ es extendi´ o el concepto de integral. 2 La
2 COLECCIONES DE SUBCONJUNTOS
2
una funci´on f : [a, b] → R que toma un n´ umero finito de valores, la definici´on de la integral de Riemann corresponde esencialmente a dividir el intervalo [a, b] en subintervalos, multiplicar el valor que la funci´on toma en cada subintervalo por su longitud y sumar: Z
b
f (x)dx = a
n X
f (xk )(xk − xk−1 ).
k=1
Por otro lado, para la integral de Lebesgue, determinamos primero cu´al es la preimagen Ek ⊂ [a, b] de cada valor yk que la funci´on asume, multiplicamos la medida de la preimagen por el valor de la funci´on y sumamos. Z
b
f dµ = a
m X
yk µ(Ek ).
k=1
Est´a claro que estos dos m´etodos deben darnos el mismo valor de la integral. En pocas palabras, podemos decir que la diferencia entre ambas integrales es que para la integral de Riemann conciernen los valores que toma la funci´on que est´a siendo integrada, mientras que en la integral de Lebesgue importa m´as el tama˜ no de subconjuntos en el dominio del integrando. Esta noci´on de medida o tama˜ no es la que vamos a tratar ahora. Para poder adoptar el camino de Lebesgue, necesitamos definir una funci´on que a cada subconjunto de R le asocie un tama˜ no o medida µ(A). Esta funci´on debe satisfacer ciertas propiedades que parece natural imponer. Por ejemplo, nos gustar´ıa que Para un segmento A = [a, b] la medida est´e dada por su longitud, µ(A) = b − a; P∞ Si A es la uni´on de conjuntos A1 , A2 , ... disjuntos dos a dos, entonces µ(A) = k=1 µ(Ak ); Si A es un conjunto con medida µ(A) entonces su traslaci´on x + A = {x + y : y ∈ A} deber´a tener la misma medida µ(x + A) = µ(A). ¡Desafortunadamente no existe tal funci´on! En 1905 Vitali demostr´o que existen conjuntos muy extra˜ nos para los cuales no son v´alidas estas propiedades que parecen obvias3 . Para solucionar este problema debemos modificar nuestra noci´on de tama˜ no o bien restringirnos a poder medir u ´nicamente una colecci´on m´as peque˜ na de subconjuntos de R. La u ´ltima opci´on es la m´as adecuada ya que veremos que los subconjuntos de R medibles incluyen a cualquier subconjunto ’normal’, que pueda ser aproximado por intervalos. Tales colecciones de subconjuntos se llaman sigma-´algebras y los presentaremos en la pr´oxima secci´on.
2.
Colecciones de subconjuntos Definici´ on4 : Una colecci´on no vac´ıa Σ de subconjuntos de X es un ´ algebra si satisface i) X ∈ Σ,
ii) Si A ∈ Σ entonces A¯ ∈ Σ, iii) Si A, B ∈ Σ entonces A ∪ B ∈ Σ. 3 La paradoja de Banach-Tarski es un resultado a´ un m´ as asombroso: es posible cortar una arveja en una cantidad finita de piezas y reacomodar las piezas para que formen una pelota del tama˜ no del sol. 4 Notaci´ on: Dados los conjuntos A y B, denotaremos A − B al conjunto {x ∈ A : x ∈ / B}, diferencia sim´ etrica ¯ al complemento de A (A ¯ = X − A donde X es el conjunto universo considerado). Dada A4B a (A − B) ∪ (B − A) y A S una familia de conjuntos {Ai } decimos que i Ai es una uni´ on disjunta si Ai ∩ Aj = ∅ para i 6= j. 2X simboliza el conjunto de todos los subconjuntos de X.
3 MEDIDA
3
Definici´ on: Σ es un σ-´ algebra si es un ´algebra cerrado respecto a las uniones numerables, es ⊂ Σ entonces ∪∞ decir, si {Ai }∞ i=1 Ai ∈ Σ. i=1 Teorema 2.1: La intersecci´ on de cualquier colecci´ on no vac´ıa de ´ algebras o σ-´ algebras es, respectivamente, un ´ algebra o un σ-´ algebra. Corolario 2.2: Dada una colecci´ on D de subconjuntos de X existe un σ-´ algebra minimal que contiene a D, Σ(D). Es minimal en el sentido que si Σ es un σ-´ algebra que contiene a D, entonces Σ(D) ⊂ Σ. Demostraci´ on: Simplemente proponemos Σ(D) como la intersecci´on de todos los σ-´algebras que contienen a D. Esta es una intersecci´on no vac´ıa, ya que para todo X no vac´ıo siempre existe el σ-´algebra 2X que contiene a D. Decimos que Σ(D) es el σ-´algebra generado por D. ♣ Ahora vamos a introducir el σ-´algebra en R que utilizaremos para definir la medida de Lebesgue, a cada uno de sus elementos podremos asignarle un ’tama˜ no’ a partir de la definici´on natural de longitud de un intervalo. Sea O ⊂ 2R la colecci´on de los conjuntos abiertos de R, queremos construir el σ-´algebra m´as peque˜ no que contenga a O. De acuerdo al u ´ltimo corolario, para ello debemos realizar la intersecci´on de todos los σ-´algebras que contienen a todos los subconjuntos abiertos. Definici´ on: Llamaremos ´algebra de Borel, B, al σ-´algebra generado por todos los subconjuntos abiertos de la recta real. Los elementos de B ser´an llamados conjuntos de Borel de R. Generalmente, no es trivial dar la forma de un conjunto de Borel cualquiera. Sin embargo, algunos ejemplos simples de conjuntos de Borel son los siguientes: los intervalos abiertos acotados (a, b), los semiabiertos (a, b], los cerrados [a, b], los puntos x ∈ R, los intervalos no acotados cerrados [a, ∞) o abiertos (a, ∞), los racionales Q, y otros m´as ex´oticos como los conjuntos de Cantor.
3.
Medida
¿C´omo podemos medir el tama˜ no de un conjunto? La longitud es una buen camino para medir intervalos en el eje real. ¿Pero qu´e pasa si queremos manejarnos con conjuntos de n´ umeros reales que no son intervalos, o conjuntos de n´ umeros naturales o conjuntos m´as abstractos a´ un? A continuaci´on vamos a desarrollar la teor´ıa de la medida, v´alida para un universo X arbitrario. Sea X un conjunto y Σ un σ-´algebra en X. Definici´ on: Una funci´on µ : Σ → [0, +∞] se llamar´a medida si i) (Positividad) µ(A) ≥ 0 para todo A ∈ Σ y µ(∅) = 0, ii) (σ-aditividad) Si {Ei }i∈N es una familia disjunta de conjuntos de Σ, entonces µ(
∞ [ i=1
Ei ) =
∞ X
µ(Ei ).
i=1
Ejemplo: La medida de Lebesgue ser´a la que nos permita generalizar la integral de Riemann. Esta medida se define en primer lugar para los conjuntos de Borel, usando la definici´on natural de longitud de un intervalo. M´as adelante veremos c´omo extender la medida para que pueda aplicarse a otros conjuntos no borelianos. Teorema 3.1:Una medida µ satisface las siguientes propiedades:
3 MEDIDA
4
i) (Monotonicidad) Si A, B ∈ Σ y B ⊂ A entonces µ(B) ≤ µ(A), ii) (Substractividad) Si A, B ∈ Σ, B ⊂ A y µ(B) < +∞ entonces µ(A − B) = µ(A) − µ(B), iii) (Subaditividad) Si {Ei }i∈N ⊂ Σ entonces ∞ [
µ(
Ei ) ≤
∞ X
i=1
µ(Ei ).
i=1
Demostraci´ on: i) A = (A − B) ∪ B, siendo A − B y B disjuntos, lo que permite escribir µ(A) = µ(A − B) + µ(B) por la propiedad de aditividad de µ. Como µ(A − B) ≥ 0, resulta µ(A) ≥ µ(B). ii) Si µ(B) < +∞ obtenemos de i) µ(A) − µ(B) = µ(A − B). iii) Probemos en primer lugar que µ(
n [
Ei ) ≤
i=1
n X
µ(Ei ).
i=1
Sn Sn Sk−1 Notemos que los conjuntos B1 = E1 , Bk = Ek − l=1 El , k ≥ 2, son disjuntos y i=1 Bi = i=1 Ei . Adem´as como Bi ⊂ Ei se cumple µ(Bi ) ≤ µ(Ei ). Entonces µ(
n [
Ei ) = µ(
i=1
n [
i=1
Bi ) =
n X
µ(Bi ) ≤
i=1
n X
µ(Ei ).
i=1
Podemos repetir el mismo argumento para una familia infinita de conjuntos usando la propiedad de σ-aditividad de la medida. ♣ Teorema 3.2: (Continuidad de la medida) Sea Σ un σ-´ algebra y {En }n∈N ⊂ Σ una sucesi´ on mon´ otonamente creciente, En ⊂ En+1 . Entonces µ(
∞ [ i=1
Ei ) = l´ım µ(En ). n→∞
on: Si para alg´ un n0 , µ(En0 ) = +∞ entonces µ(En ) = +∞ para todo n ≥ n0 y SDemostraci´ ∞ µ( i=1 Ei ) = +∞. Consideremos que µ(Ei ) < +∞ para todo i. Entonces µ(
∞ [
Ei ) = µ(E1 ∪ (E2 − E1 ) ∪ · · · ∪ (En − En−1 ) ∪ · · ·) =
i=1
µ(E1 ) + l´ım
n→∞
3.1.
n X i=2
(µ(Ei ) − µ(Ei−1 )) = l´ım µ(En ). ♣ n→∞
Medida exterior
Sea Σ un σ-´algebra de subconjuntos de X y µ una medida definida en Σ. Nuestro prop´osito es lograr usar la medida µ para la mayor cantidad de elementos de 2X como sea posible. Un conjunto arbitrario A ⊂ X puede siempre cubrirse por conjuntos pertenecientes a Σ, es S∞ decir, podremos siempre encontrar E1 , E2 , · · · ∈ Σ tal que A ⊂ i=1 Ei . La familia {Ei } es llamada Σ-cubrimiento de A.
3 MEDIDA
5
Definici´ on: Para A ⊂ X su medida exterior est´a definida por µ∗ (A) = inf
∞ X
µ(Ei )
i=1
donde el ´ınfimo est´a tomado sobre S todos los posibles Σ-cubrimientos del conjunto A, es decir, todas ∞ las colecciones {Ei } ⊂ Σ con A ⊂ i=1 Ei . Nota: la medida exterior siempre existe puesto que µ(E) ≥ 0 para cada E ∈ Σ. Teorema 3.3: Para A ∈ Σ vale µ∗ (A) = µ(A), es decir, µ∗ es una extensi´ on de µ. Demostraci´ on: A es su propio cubrimiento, lo que implica µ∗ (A) ≤ µ(A). on de ´ınfimo, para cualquier ² > 0 existe un Σ-cubrimiento {Ei } de A tal que P Por definici´ ∗ µ(E ) < µ (A) + ². Notemos que i i à ! [ [ A=A∩ Ei = (A ∩ Ei ). i
i
Usando consecuentemente la σ-aditividad y monotonicidad de µ obtenemos X X µ(A) ≤ µ(A ∩ Ei ) ≤ µ(Ei ) < µ∗ (A) + ². i
i ∗
Como ² es arbitrario, concluimos que µ (A) = µ(A). ♣ Teorema 3.4:(Monotonicidad de la medida exterior) Si A ⊂ B entonces µ∗ (A) ≤ µ∗ (B). Demostraci´ on: Cualquier cubrimiento de B es un cubrimiento de A. ♣ Teorema 3.5:(σ-subaditividad de la medida exterior) Para una familia {Ai } ⊂ 2X , vale Ã∞ ! ∞ [ X ∗ Ai ≤ µ µ∗ (Ai ). i=1
i=1
Demostraci´ on: Si la serie en el miembro derecho diverge no hay nada para probar. Asumimos entonces que es convergente. Por Sdefinici´on de medida exterior para cualquier ² > 0 y para cualquier i existe un Σ-cubrimiento Ai ⊂ k Eki tal que ∞ X ² µ (Eki ) < µ∗ (Ai ) + i . 2 k=1
Como
∞ [
Ai ⊂
i=1
∞ [
Eki ,
k,i=1
la definici´on de medida exterior implica Ã∞ ! ∞ [ X ∗ µ µ(Eki ) Ai ≤ i=1
y por lo tanto ∗
µ
̰ [ i=1
k,i=1
! Ai
0, obtenemos la propiedad de subaditivadad de la medida exterior. ♣
3 MEDIDA
3.2.
6
Conjuntos medibles
Sea Σ un σ-´algebra de subconjunto de X, µ una medida definida en Σ y µ∗ la medida exterior definida en la secci´on anterior. Definici´ on: Se dice que A ⊂ X es un conjunto medible si para cualquier E ⊂ X vale la siguiente relaci´on: ¯ µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A). ¯ la propiedad de subaditividad de la medida Notas: i) Puesto que E = (E ∩ A) ∪ (E ∩ A), exterior nos dice que la desigualdad ¯ µ∗ (E) ≤ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A) es v´alida siempre. Basta entonces demostrar la desigualdad contraria, para todo E ⊂ X, para probar si A es o no un conjunto medible. ii) Una forma equivalente de introducir el concepto de conjuntos medibles consiste en definir la medida interior de A mediante µ∗ (A) = µ(I) − µ∗ (I − A) donde I ∈ Σ satisface I ⊃ A. Entonces se dice que A es medible si sus medidas exterior e interior son iguales, µ∗ (A) = µ∗ (A). Compruebe que ambas definiciones de conjuntos medibles son equivalentes. ¯ a la colecci´on de todos los conjuntos que son medibles seg´ Definici´ on: Llamemos Σ un la ¯ es decir, µ ¯ → definici´on anterior, y µ ¯ a la restricci´on de la medida exterior µ∗ al conjunto Σ, ¯:Σ [0, +∞]. ¯ es un σ-´ ¯ Teorema 3.6: Σ algebra que contiene a Σ y µ ¯ es una medida en Σ. Demostraci´ on: Vamos a dividir la demostraci´on en varios pasos. ¯ entonces A ∪ B ∈ Σ. ¯ 1- Si A, B ∈ Σ ¯ Si usamos E ∩ A Por definici´on de conjunto medible tenemos µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ B) + µ∗ (E ∩ B). en lugar de E obtenemos ¯ µ∗ (E ∩ A) = µ∗ (E ∩ A ∩ B) + µ∗ (E ∩ A ∩ B) y usando E ∩ A¯ en lugar de E, ¯ = µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B) + µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B). ¯ µ∗ (E ∩ A) Sumando las dos u ´ltimas expresiones: ¯ + µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B) + µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B). ¯ µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ A ∩ B) + µ∗ (E ∩ A ∩ B) Sustituyendo E ∩ (A ∪ B) por E en la u ´ltima ecuaci´on, tenemos ¯ µ∗ (E ∩ (A ∪ B)) = µ∗ (E ∩ A ∩ B) + µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B) + µ∗ (E ∩ A ∩ B). De las u ´ltimas dos ecuaciones arribamos al resultado buscado: µ∗ (E) = µ∗ (E ∩ (A ∪ B)) + µ∗ (E ∩ (A ∪ B)). ¯ entonces A¯ ∈ Σ. ¯ 2- Si A ∈ Σ ¯ La definici´on de conjunto medible es sim´etrica respecto a A y A. ¯ es un ´algebra de conjuntos. Hasta ahora demostramos que Σ ¯ 3- Σ es un σ-´algebra.
3 MEDIDA
7
¯ son disjuntos, entonces de la pen´ Notemos que si A, B ∈ Σ ultima ecuaci´on del apartado 1- se deduce ¯ = µ∗ (E ∩ B) + µ∗ (E ∩ A). µ∗ (E ∩ (A ∪ B)) = µ∗ (E ∩ A¯ ∩ B) + µ∗ (E ∩ A ∩ B) Por inducci´on se puede extender el resultado anterior para una colecci´on finita de conjuntos Bj ¯ disjuntos de Σ: n n [ X µ∗ E ∩ Bj = µ∗ (E ∩ Bj ). j=1
S∞
j=1
S∞
Sj−1 ¯ Luego A = Sea A = j=1 Aj , Aj ∈ Σ. j=1 Bj , Bj = Aj − k=1 Ak y Bi ∩ Bj = ∅ (i 6= j). ¯ es decir que Σ ¯ es un σ-´algebra, Para demostrar que la uni´on numerable infinita A pertenece a Σ, tenemos que probar que A es medible, y para ello basta probar que ∞ ∞ [ [ µ∗ (E) ≥ µ∗ E ∩ Bj + µ∗ E ∩ Bj j=1
j=1
ya que en el teorema 3.5 hab´ıamos visto que la medida exterior µ∗ es σ-subaditiva y ello implica siempre la desigualdad opuesta a la de arriba. ¯ y vale entonces ¯ es un ´algebra, entonces Sn Bj ∈ Σ Σ j=1 µ∗ (E) ≥ µ∗ E ∩
n [
Bj + µ∗ E ∩
j=1
n [
Bj
j=1
para todo n ≥ 1. ´ ³S ´ ³S ∞ n B ⊂ B Como E ∩ j=1 j j=1 j y debido a la monotonicidad de la medida exterior y a la u ´ltima desigualdad n X ¯ µ∗ (E) ≥ µ∗ (E ∩ Bj ) + µ∗ (E ∩ A). j=1
P∞
¯ Debido a la σ-subaditividad Pasando al l´ımite obtenemos µ (E) ≥ j=1 µ∗ (E ∩ Bj ) + µ∗ (E ∩ A). ∗ de µ ∞ ∞ ∞ [ [ X µ∗ (E ∩ Bj ). µ∗ (E ∩ A) = µ∗ (E ∩ Bj ) = µ∗ (E ∩ Bj ) ≤ ∗
j=1
j=1
j=1
Comparando con la pen´ ultima ecuaci´on: ¯ µ∗ (E) ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A). ¯ es decir, Σ ¯ es un σ-´algebra. Por lo tanto A ∈ Σ, ¯ es una medida. 4- µ ¯ = µ∗ restringida a Σ S∞ Tenemos que probar u ´nicamente la σ-aditividad. Sea E = j=1 Aj . De la ecuaci´on µ∗ (E) ≥ P∞ ∗ ∗ ¯ j=1 µ (E ∩ Bj ) + µ (E ∩ A) obtenida en el item 3- obtenemos µ∗
∞ [ j=1
Aj ≥
∞ X j=1
µ∗ (Aj ).
3 MEDIDA
8
La desigualdad contraria resulta del car´acter σ-subaditivo de la medida exterior µ∗ . ¯ 5- Σ ⊂ Σ. Sea A ∈ Σ, E ⊂ X. Necesitamos probar: ¯ µ∗ (E) ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A), ¯ Si E ∈ Σ la desigualdad anterior es clara es decir, que A es medible y pertenece por lo tanto a Σ. ya que E ∩ A y E ∩ A¯ son disjuntos y ambos pertenecen a Σ, donde µ∗ = µ y por lo tanto es aditiva. Para E ⊂ X y para cualquier ² > 0 existe un Σ-cubrimiento {Ei } de E tal que µ∗ (E) + ² >
∞ X
µ(Ei ).
i=1
¯ tenemos Ahora, como Ej = (Ej ∩ A) ∪ (Ej ∩ A) ¯ µ(Ej ) = µ(Ej ∩ A) + µ(Ej ∩ A) y adem´as E∩A⊂
∞ [
(Ej ∩ A),
j=1
E ∩ A¯ ⊂
∞ [
¯ (Ej ∩ A).
j=1
Por monotonicidad y σ-subaditividad µ∗ (E ∩ A) ≤
∞ X
µ(Ej ∩ A),
j=1
¯ ≤ µ∗ (E ∩ A)
∞ X
¯ µ(Ej ∩ A).
j=1
¯ ≤ P∞ µ∗ (Ej ) < Sumando las dos u ´ltimas desigualdades obtenemos µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A) j=1 µ∗ (E) + ². Como ² > 0 es arbitrario probamos que ¯ ♣ µ∗ (E) ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A). Teorema 3.7: Sea µ una medida en un σ-´ algebra Σ de subconjuntos de X, µ∗ la correspondiente ¯ yµ medida exterior. Si µ∗ (A) = 0 para un conjunto A ⊂ X entonces A ∈ Σ ¯(A) = 0. ¯ Vimos tambi´en que s´olo es necesario Demostraci´ on: Claramente, basta probar que A ∈ Σ. ¯ Esto u demostrar que µ∗ (E) ≥ µ∗ (E ∩ A) + µ∗ (E ∩ A). ´ltimo se deduce de la monotonicidad de µ∗ : ¯ ≤ µ∗ (E). ♣ µ∗ (E ∩ A) ≤ µ∗ (A) = 0 y µ∗ (E ∩ A) Definici´ on: Una medida µ en un σ-´algebra Σ es completa si B ⊂ A, A ∈ Σ, µ(A) = 0 implica que B ∈ Σ y µ(B) = 0. Nota: µ ¯ es una medida completa. Definici´ on: Una medida µ en un σ-´algebra Σ se llama S∞ finita si µ(X) < +∞. Se llama σ-finita si existe una sucesi´on creciente {Fi } ⊂ Σ tal que X = j=1 Fj y µ(Fj ) < +∞, ∀j.
3 MEDIDA
3.3.
9
Medida de Lebesgue en R
Medida de Lebesgue de conjuntos acotados de R Sea U el ´algebra de todas las uniones finitas de intervalos semiabiertos de R, es decir, todos los conjuntos de la forma k [ A= [aj , bj ). j=1
Definimos una funci´on µ : U → R mediante µ(A) =
k X
(bj − aj ).
j=1
Teorema 3.8: µ es una medida. Demostraci´ on: Todas las propiedades incluida la aditividad (finita) son obvias. Lo u ´nico que hay que probar es la σ-aditividad. S∞ Sea {Aj } ⊂ U una uni´on disjuntaS infinita tal que A = j=1 Aj ∈ U La condici´on A ∈ U significa queS Aj es una uni´on finita P de intervalos semiabiertos. P∞ n n Para P cualquier entero n positivo i=1 Ai ⊂ A, por lo tanto i=1 µ(Ai ) ≤ µ(A) y i=1 µ(Ai ) = n l´ımn→∞ i=1 µ(Ai ) ≤ µ(A). ² Sea A un conjunto obtenido a partir de A mediante la siguiente construcci´on. Tome una componente conectada de A, esta ser´a un segmento de la forma [s, t). Mueva levemente hacia la izquierda su extremo derecho para obtener un segmento cerrado. Haga lo mismo con todas las componentes conectadas de A, de forma tal que µ(A) < µ(A² ) + ². Aplique un procedimiento similar a cada uno de los semi-intervalos moviendo su extremo izquierdo hacia la izquierda y obtenga intervalos abiertos, A²j tal que µ(A²j ) < µ(Aj ) + 2²j . Por construcci´on, A² es un conjunto compacto y {A²j } su cubrimiento abierto. Por lo tanto, existe un n´ umero entero positivo n tal que A⊂
n [
A²j .
j=1
Por lo tanto, µ(A² ) ≤
n X
µ(A²j ).
j=1
Utilizando las ecuaciones anteriores encontramos µ(A) ≤
n X j=1
as´ı µ(A)
c} ∈ Σ
4 FUNCIONES MEDIBLES
11
para todo c ∈ R. Demostraci´ on: Sea A la colecci´on de los intervalos semi-infinitos (c, +∞] para todo c ∈ R. En un ejercicio anterior demostramos que Σ(A) = B. Usando la definici´on de Σ-medible encontramos f −1 (B) ⊂ Σ ⇔ f −1 (Σ(A)) ⊂ Σ ⇔ Σ(f −1 (A)) ⊂ Σ (pru´ebelo!) ⇔ f −1 (A) ⊂ Σ (porque Σ es un σ − algebra) ⇔ f −1 ((c, +∞]) ⊂ Σ
∀c ∈ R, (por definicion de A) ⇔
{x : f (x) > c} ∈ Σ ∀c ∈ R. ♣ Nota: El teorema anterior es usualmente considerado la definici´on de Σ-medible. Teorema 4.2: Sean f, g : X → R∗ Σ-medibles y a, b ∈ R. Entonces: i) af es Σ-medible, ii) {x ∈ X : f (x) > g(x)} ∈ Σ, iii) {x ∈ X : f (x) = g(x)} ∈ Σ, iv) en el conjunto de x donde est´ a definida, af + bg es Σ-medible, v) f g es Σ-medible, vi) en el conjunto de x donde est´ a definida, f /g es Σ-medible, vii) m´ax(f, g) y m´ın(f, g) son Σ-medibles, viii) | f | es Σ-medible. Demostraci´ on: Queda como ejercicio. Teorema 4.3:Sea fn una sucesi´ on de funciones Σ-medibles. i) Las funciones sup fn e inf fn son Σ-medibles. ii) Las funciones l´ım inf n→∞ fn y l´ım supn→∞ fn
5
son Σ-medibles.
iii) El conjunto de x ∈ X para los cu´ ales l´ımn→∞ fn (x) existe es un conjunto medible. iv) En el conjunto de x para los cu´ ales l´ımn→∞ fn (x) existe la funci´ on l´ımite es Σ-medible. Demostraci´ on: i) Sea c ∈ R. Para cualquier sucesi´on de n´ umeros reales {xn } se cumple que sup(xn ) = − inf(−xn ) y sup(xn ) > c s´ı y s´olo si existe i tal que xi > c. Por lo tanto, {x : sup fn (x) > c} = {x : existe i para el cual fi (x) > c} = [ {x : fi (x) > c} ∈ Σ i≥1
ya que cada fi es Σ-medible y Σ es cerrado respecto a uniones numerables. Por lo tanto sup fn es Σ-medible. Para el ´ınfimo sabemos que inf fn = − sup(−fn ) es Σ-medible. 5 Si {x } es una sucesi´ on de n´ umeros reales, se define l´ım supn→∞ xn = l´ımn→∞ [sup{xk : k ≥ n}] y n l´ım inf n→∞ xn = l´ımn→∞ [inf{xk : k ≥ n}].
5 FUNCIONES SIMPLES
12
ii) Sabemos que l´ım inf fn = sup( inf fr ) y l´ım sup fn = inf(sup fr ). n→∞
r≥n
n→∞
r≥n
Por el item i) obtenemos el resultado. iii) Sabemos que {x ∈ X : l´ım fn (x) existe} = {x ∈ X : l´ım inf fn (x) = l´ım sup fn (x)}. n→∞
n→∞
n→∞
Por lo tanto nuestro conjunto es el de puntos en el cual dos funciones Σ-medibles son iguales. Por teorema 4.3 tal conjunto pertenece a Σ. iv) Sea A = {x ∈ X : l´ımn→∞ fn (x) existe}, entonces {x ∈ A : l´ım fn (x) > c} = {x ∈ A : l´ım inf fn (x) > c} n→∞
n→∞
(ya que l´ım inf fn = l´ım n→∞
n→∞
en A)
= A ∩ {x ∈ A : l´ım inf fn (x) > c} n→∞
(ya que l´ım inf fn est´a definido en todo X) ∈ Σ, n→∞
usando los items ii) y iii). ♣
5.
Funciones simples
Definici´ on: Una funci´on f : X → R es simple si s´olo toma un n´ umero finito de valores diferentes. Nota: Estos valores deben ser finitos. Escribi´endolos como ai , 1 ≤ i ≤ N , y siendo Ai = {x ∈ X : f (x) = ai }, podemos expresar N X f= a i χ Ai , i=1
donde χA es la funci´on caracter´ıstica de A, es decir, χA (x) = 1 si x ∈ A y 0 si x ∈ / A. Lema 5.1: Las funciones simples respecto a la suma ySmultiplicaci´ n. SoM PN son cerradas P N M B = X. Demostraci´ on: Sea s = i=1 Ai = j=1 j=1 bj χBj donde i=1 ai χAi y t = ³S j ´ SM M Definimos Cij = Ai ∩ Bj . Luego, Ai ⊂ X = j=1 Bj y por lo tanto Ai = Ai ∩ = j=1 Bj SN SM Cij . Similarmente, Bj = i=1 Cij . Como los Cij son disjuntos, podemos escribir χAi = Pj=1 PM M j=1 χCij y χBj = i=1 χCij . En consecuencia, s+t=
N X M N X M X X (ai + bj )χCij y st = ai bj χCij i=1 j=1
son funciones simples.
i=1 j=1
♣
Sea Σ un σ-´algebra en X. Supongamos que para una funci´on simple f tenemos Ai ∈ Σ para todo i. Entonces [ Ai ∈ Σ {x : f (x) > c} = ai >c
5 FUNCIONES SIMPLES
13
para todo c ∈ R. Por lo tanto, f es Σ-medible. Por otro lado, asumamos que f es Σ-medible. Ordenemos los valores que toma f como a1 < a2 < a3 · · · < aN . Dado 1 ≤ j ≤ N tomamos aj−1 < c1 < aj < c2 < aj+1 . Entonces à ! à ! [ [ Aj = Ai − Ai = {x : f (x) > c1 } − {x : f (x) > c2 } ∈ Σ. ai >c1
ai >c2
Por lo tanto demostramos el siguiente lema Lema 5.2: Si f : X → R es una funci´ on simple entonces f es Σ-medible s´ı y s´ olo si Ai ∈ Σ para todo 1 ≤ i ≤ N. ♣ Corolario 5.3: Las funciones simples Σ-medibles son cerradas respecto a la suma y la multiplicaci´ on. Demostraci´ on: Simplemente notemos, en la demostraci´on del lema 5.1, que Ai , Bj ∈ Σ implica Cij ∈ Σ. ♣ Teorema 5.4:Sea f una funci´ on no negativa Σ-medible. Existe entonces una sucesi´ on de funciones simples Σ-medibles sn tal que s1 ≤ s2 ≤ · · · y l´ımn→∞ sn = f. Demostraci´ on: Hagamos una partici´on del rango de f usando los puntos en Dn = { 2mn : 0 ≤ m ≤ n2n }. Tenemos Dn ⊂ Dn+1 . Definimos sn (x) = m´ax{p ∈ Dn : p ≤ f (x)}. Dn ⊂ Dn+1 significa que para un dado x {p ∈ Dn : p ≤ f (x)} ⊂ {p ∈ Dn+1 : p ≤ f (x)} y en consecuencia sn (x) ≤ sn+1 (x). Esto es v´alido para todo x, se cumple entonces sn ≤ sn+1 . Esto significa tambi´en que existe l´ımn→∞ sn (x) (usando la definici´on extendida de l´ımite si es necesario). Consideremos primeramente aquellos x para los cuales f (x) es finito. Para todo n para los cuales n ≥ f (x) tenemos sn (x) = 2mn para el entero m, 0 ≤ m ≤ n2n , que satisface m m+1 ≤ f (x) < , n 2 2n
es decir sn (x) ≤ f (x) < sn (x) +
1 . 2n
De arriba concluimos que l´ımn→∞ sn (x) = f (x). Veamos ahora aquellos x para los cuales f (x) = +∞. sn (x) = n para todo n. Por lo tanto, l´ımn→∞ sn (x) = f (x) = +∞. Concluimos que para todo x se cumple l´ımn→∞ sn = f. Finalmente X m sn (x) = χ (x) n Am,n 2 n 0≤m≤n2
donde ½ Am,n =
x:
m m+1 ≤ f (x) < 2n 2n
¾
½ =
x : f (x)
0. Si 0 ≤ s ≤ cf es una funci´on simple medible entonces tambi´en lo ser´a 0 ≤ 1c s ≤ f. De all´ı µ ¶ Z 1 1 f dµ ≥ IE s = IE (s) c c E R por R el teorema 6.1(i). Entonces c E f dµ es una cota superior R para I(cf, R E), conjunto para el cual cf dµ es la menor de las cotas superiores. Por lo tanto c f dµ ≥ cf dµ. E E E Si 0 ≤ s ≤ f es una funci´ o n simple medible, tambi´ e n lo ser´ a 0 ≤ cs ≤ cf y obtenemos R cf dµ ≥ I (cs) por definici´ o n de la integral y a su vez I (cs) = cI E E E E R R (s) por el teorema 6.1(i). Por lo tanto 1c E cf dµ es una cota superior para I(f, E) para el cual f dµ es la menor de todas E R R R R las cotas superiores. Se deduce 1c E cf dµ ≥ E f dµ, es decir E cf dµ ≥ c E f dµ. Combinando las dos desigualdades llegamos al resultado buscado. ii) Sea 0 ≤ s ≤ g una funci´on simple medible. Entonces, ya que g ≤ hRse cumple trivialmente R R que 0 ≤ s ≤ h y de aqu´ı IE (s) ≤ E hdµ por definici´ o n de la integral . hdµ es una cota E E R R superior para I(g, E). Como en el item i) tenemos E hdµ ≥ E gdµ. iii) Sea 0 ≤ s ≤ fR una funci´on simple medible. Entonces R IE1 (s) ≤ IE2 (s) por teorema 6.1(iii) y a su vez, IE2 (s) ≤ E2 f dµ por definici´on de la integral. E2 f dµ es entonces una cota superior R para I(f, E1 ) y resulta mayor o igual a la menor de todas las cotas superiores, es decir E2 f dµ ≤ R f dµ. ♣ E1 R Lema 6.4: Asumamos que E ∈ Σ, f ≥ 0 es medible y E f dµ < ∞. Sea A = {x ∈ E : f (x) = +∞}. Entonces A ∈ Σ y µ(A) = 0. Demostraci´ on: Como f es medible vale f −1 ({∞}) ∈ Σ y por lo tanto E ∩ f −1 ({∞}) ∈ Σ. Definamos ½ n si x ∈ A sn (x) = 0 si x ∈ / A.
´ 6 INTEGRACION
16
Como A es medible deducimos que sn es una funci´on simple medible. Adem´as sn ≤ f y por lo tanto Z µ(A) = IE (sn ) ≤ f dµ < +∞. E
Lo anterior es v´alido para todo n lo que significa que µ(A) = 0. ♣
R Lema 6.5:Si f es medible y no negativa en E ∈ Σ y µ(E) = 0 entonces E f dµ = 0. PN Demostraci´ on: Sea 0 ≤ s ≤ f una funci´on simple medible. Es decir, s = n=1 an χAn para algunos an ≥ 0, An ∈ Σ. Luego, IE (s) =
N X
an µ(An ∩ E).
n=1
Pero µ es mon´otona, lo que significa que µ(An ∩ E) ≤ µ(E) = 0 para R todo n y por lo tanto IE (s) = 0 para todas las funciones simples s. Entonces I(f, E) = {0} y E f dµ = sup I(f, E) = 0. R Lema 6.6: Si g ≥ 0 y E gdµ = 0 entonces µ{x ∈ E : g(x) > 0} = 0. Demostraci´ on: Sea A = {x ∈ E : g(x) > 0} y An = {x ∈ E : g(x) > n1S}. Entonces los ∞ conjuntos An = E ∩ {x ∈ E : g(x) > n1 } ∈ Σ satisface A1 ⊂ A2 ⊂ · · · con A = n=1 An . Por la propiedad de continuidad de la medida tenemos µ(A) = l´ımn→∞ µ(An ). Usando ½ 1 x ∈ An n sn (x) = 0 para otros valores de x, por lo tanto sn ≤ g en An y tenemos 1 µ(An ) = IAn (sn ) ≤ n
Z
Z gdµ ≤ An
gdµ = 0. E
Entonces µ(An ) = 0 para todo n y µ(A) = 0. ♣ Definici´ on: Si una propiedad P vale para todos los puntos de E − A donde µ(A) = 0 diremos que P vale para casi todo punto, seg´ un la medida µ, en E y lo escribiremos P vale en c.t.p. en E. Suelen simbolizarse tambi´en como p.p. (del franc´es presque partout) ´o a.e. (del ingl´es almost everywhere). En particular, se dice que dos funciones son equivalente cuando son iguales en c.t.p. R Lema 6.7: el lema anterior puede ser reescrito si g ≥ 0 y E gdµ = 0 entonces g = 0 en c.t.p. en E. Teorema 6.8: Si g, h : X → R+ son medibles y g ≤ h en c.t.p. entonces Z Z gdµ ≤ hdµ. E
E
Demostraci´ on: Por hip´otesis existe D ⊂ E, de medida cero, tal que para todo x ∈ E − D tenemos g(x) ≤ h(x). Sea 0 ≤ s ≤ g una funci´on simple medible, que puede escribirse como s=
N X i=1
ai χAi ,
N [
Ai = E.
i=1
El problema aqu´ı es que puede no ser cierto que s ≤ h. Definamos ½ N X s(x) si x ∈ /D ∗ s (x) = = ai χAi ∩D¯ . 0 si x ∈ D i=1
´ 6 INTEGRACION
17
s∗ es una funci´on simple medible. Para x ∈ E − D tenemos s∗ (x) = s(x) ≤ g(x) ≤ h(x), mientras para x ∈ D tenemos s∗ (x) = 0 ≤ h(x). O sea, s∗ (x) ≤ h(x) para todo x ∈ E. ¯ ∪ (Ai ∩ D) es una uni´on disjunta y en ese caso µ(Ai ) = µ(Ai ∩ D) ¯ + Notemos que Ai = (Ai ∩ D) ¯ µ(Ai ∩D). Pero Ai ∩D ⊂ D y entonces µ(Ai ∩D) ≤ µ(D) = 0. En consecuencia µ(Ai ) = µ(Ai ∩ D). Luego N N X X ¯ = IE (s∗ ) = ai µ(Ai ∩ D) ai µ(Ai ) = IE (s). i=1
i=1
R
R Por lo tanto IE (s) = IE (s R) ≤ E hdµ por definici´on de integral. E hdµ resulta ser una cota superior para R I(g, E) R mientras E gdµ es la menor de esas cotas superiores. Llegamos as´ı al resultado buscado, E hdµ ≤ E gdµ. ♣ ∗
Corolario 6.9: Si g, h : X → R+ son medibles y g = h en c.t.p. en E entonces Z Z gdµ = hdµ. E
E
Demostraci´ on: Por hip´otesis existe un conjunto D ⊂ E de medida cero tal que para todo x ∈ E − D tenemos g(x) = h(x). En particular, para esos valores tenemos g(x) ≤ h(x) y h(x) ≤ g(x). En consecuencia, g ≤ h en c.t.p. en E y h ≤ g en c.t.p. en E. El resultado entonces se deriva de la aplicaci´on del teorema 6.8. ♣ Nota: Una funci´on puede tener sus valores alterados en un conjunto de medida nula sin cambiar el valor de su integral. En particular, por el lema 6.4 podemos asumir que una funci´on integrable no negativa toma siempre valores finitos. Ejemplo: En el espacio R de medida de Lebesgue ([0, 1], M, m) la funci´on de Dirichlet f (x) = χQ es 0 en m-c.t.p. y resulta [0,1] f dm = 0. Teorema 6.10: Desigualdad de Chebychev Sea f una funci´ on medible no negativa. Entonces, para c > 0 tenemos Z 1 µ{x : f (x) > c} ≤ f dµ. c X Demostraci´ on: Sea C = {x : f (x) > c} ∈ Σ. Luego Z Z Z f dµ ≥ f dµ > cdµ = cµ(C). ♣ X
6.3.
C
C
Intercambiando integrales con otras operaciones
Teorema 6.11: Convergencia mon´ otona de Lebesgue Sea A ∈ Σ y sea 0 ≤ f1 ≤ f2 ≤ · · · una sucesi´ on creciente de funciones no negativas medibles definidas en A. Entonces Z Z l´ım
n→∞
fn (x)dµ = A
l´ım fn (x)dµ.
A n→∞
Demostraci´ on: Puesto que para x ∈ A, {fn (x)} es una sucesi´on creciente, el l´ımite siempre existe (posiblemente ∞). Para cada x ∈ A definimos f (x) = l´ımn→∞ fn (x).
´ 6 INTEGRACION
18
Del teorema 4.3(iv) se deduce que f es medible en A y existe entonces para todo n y por lo tanto Z Z f dµ ≥ fn dµ A
R A
f dµ. Adem´as f ≥ fn
A
por el teorema 6.3(ii). Pero {fn } es una sucesi´on creciente, lo que implica que el l´ımite existe y satisface Z Z f dµ ≥ l´ım fn dµ. n→∞
A
A
Ahora necesitamos encontrar la desigualdad en el otro sentido. Tomemos una funci´on medible s, que satisface 0 ≤ s ≤ f , y un n´ umero fijo c tal que 0 ≤ c < 1. Sea An = {x ∈ A : fn (x) > cs(x)} ∈ Σ, se cumple A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · . Si x ∈ A entonces f (x) ≥ s(x) > cs(x) y podemos encontrar un m para el cual fS m (x) > cs(x), lo que significa que S x ∈ Am . Entonces A ⊂ n An . Pero An ⊂ A, por lo tanto A = n An . Luego, Z Z Z fn dµ ≥ fn dµ > cs(x)dµ = cIAn (s) A
An
An
R
y entonces l´ımn→∞ A fn dµ ≥ cIER (s) por Teorema 6.1 (iv). Lo anterior es v´alido para cualquier c < 1 lo que significa que l´ımn→∞ RA fn dµ ≥ IE (s). Por lo tanto l´ımn→∞ fn dµ es una cota superior para I(f, E) conjunto para el cual A f dµ es la menor de todas las cotas superiores. En consecuencia vale la desigualdad Z Z l´ım fn dµ ≥ f dµ. n→∞
A
A
Combinando las desigualdades llegamos al resultado que quer´ıamos probar. ♣ Nota: El teorema de Beppo Levi es una versi´on modificada del teorema anterior (se pide que las integrales de fn est´en acotadas por una constante K). Ejemplo: Enumeremos los racionales en [0, 1] como r1 , r2 , · · ·. Sea ½ 1 si x = ri para 1 ≤ i ≤ n gn (x) = . 0 para otros valores de x Las funciones gn satisfacen las condiciones del teorema de la convergencia mon´otona, adem´as R1 son integrables seg´ un Riemann con (R) 0 gn dx = 0 para todo n. Sin embargo ½ 1 si x ∈ Q ∩ [0, 1] l´ım gn (x) = 0 para otros valores de x n→∞ no es integrable seg´ un Riemann. La integraci´on de Riemann requiere entonces condiciones extras para que l´ımn→∞ gn sea integrable seg´ un Riemann (exige convergencia uniforme). Teorema 6.12: Sean f, g : X → R+ funciones medibles y E ∈ Σ. Entonces Z Z Z (f + g)dµ = f dµ + gdµ. E
E
E
Ejercicio: Demuestre el teorema anterior. Corolario 6.13: Sea {fn } una sucesi´ on de funciones medibles no negativas definidas en E ∈ Σ. Entonces Z X ∞ ∞ Z X fn dµ. fn dµ = E n=1
n=1
E
´ 6 INTEGRACION
19
Demostraci´ on: Sea Hk =
Pk n=1
fn . Por inducci´on basada en el teorema 6.12, Z k Z X Hk dµ = fn dµ E
E
n=1
para P∞todo k ≥ 1. Como fn ≥ 0 para todo n vemos que Hk es una sucesi´on creciente que converge a n=1 fn . Por lo tanto Z Z Z X ∞ fn dµ = l´ım Hk dµ = (teorema 6.11) l´ım Hk dµ = E k→∞
E n=1
l´ım
k→∞
k Z X
k→∞
n=1
fn dµ =
E
∞ Z X n=1
E
fn dµ. ♣
E
Podemos extender el teorema de convergencia mon´onotona a sucesiones que no sean crecientes: Lema 6.14: Fatou: Si {gn } es una sucesi´ on de funciones medibles no negativas y E ∈ Σ, entonces Z Z l´ım inf gn dµ ≤ l´ım inf gn dµ. E n→∞
n→∞
E
Demostraci´ on: La funci´on l´ım inf n→∞ gn es medible por el teorema 4.3(ii). Recordemos que l´ım inf n→∞ gn = l´ımn→∞ (inf r≥n gr ). Sea hn = inf r≥n . {hn } es una sucesi´on creciente de funciones. Por lo tanto podemos aplicar el teorema de la convergencia mon´otona y se deduce Z Z Z l´ım hn dµ = l´ım hn dµ = l´ım inf gn dµ. n→∞
E
R
E n→∞
E n→∞
R
Tambi´en hn = inf r≥n gr ≤ gn y entonces E hn dµ ≤ E gn dµ. Por lo tanto Z Z Z l´ım hn dµ = l´ım inf hn dµ < l´ım inf gn dµ. n→∞
n→∞
E
n→∞
E
E
Combinando las desigualdad obtenemos el lema de Fatou. ♣
6.4.
Integraci´ on de funciones medibles
Sea (X, Σ, µ) un espacio de medida. Si f es medible podemos escribir f = f + − Rf − donde − + Rf =− m´ax(f, 0) y f = − m´ın(f, 0) son funciones medibles no negativas. Por definici´on E f dµ y f dµ existen para todo conjunto E ∈ Σ. E R R Definici´ on: Si al menos una de las integrales E f + dµ o E f − dµ es finita, definimos la integral de f sobre E relativa a µ como Z Z Z + f dµ = f dµ − f − dµ. +
R
E
E
E
Si E f dµ es finita diremos que f es integrable (seg´ un µ) sobre E. El conjunto de todas las funciones integrables sobre E se simbolizar´a LE (µ). R R De la definici´on f es integrable s´ı y s´olo si E f + dµ y E f − dµ son finitas, es decir, si | f |= f + + f − es integrable. En consecuencia, si f ∈ LE (µ) entonces | f |∈ LE (µ). Esta condici´on es m´as restrictiva que para el caso de la integraci´on seg´ un Riemann. Funciones cuyas integrales son condicionalmente convergentes seg´ un Riemann no ser´an integrables seg´ un Lebesgue. Teorema 6.15: Sean f, g ∈ L(µ) ≡ LX (µ) y A ∈ Σ. Entonces
´ 6 INTEGRACION
20
i) f ∈ LA (µ), R af dµ = a X f dµ para todo a ∈ R, R R R f + g ∈ L(µ) y X (f + g)dµ = X f dµ + X gdµ, R Si f = 0 en c.t.p. entonces X f dµ = 0, R R Si f ≤ g en c.t.p. entonces X f dµ ≤ X gdµ, R R Si f = g en c.t.p. entonces X f dµ = X gdµ.
ii) af ∈ L(µ) y iii) iv) v) vi)
R
X
Demostraci´ on: R ± i) f ∈ L(µ) implica que X f ± dµ sonR finitas. Pero R f± son no negativas y podemos aplicar ± entonces el teorema 6.3(ii) y concluir que A f dµ ≤ X f dµ < ∞. Por lo tanto, f ∈ LA (µ). ii) Supongamos que a ≥ 0. Entonces (af )± = af ± y Z Z Z (af )± dµ = af ± dµ = (teorema 6.3(i)) a f ± dµ < ∞. X
X
X
R
R Puesto que f ∈ L(µ) ambas integrales X f ± dµ son finitas, de all´ı se deduce que ambas X (af )± dµ son finitas y por lo tanto af ∈ L(µ). Adem´as µZ ¶ Z Z Z Z Z af dµ = (af )+ dµ − (af )− dµ = a f + dµ − f − dµ = a f dµ. X
X
X
X
X
X
Supongamos que a = −1, entonces (−f )± = f ∓ , esto significa que −f es integrable y Z Z Z Z Z Z (−f )dµ = (−f )+ dµ − (−f )− dµ = f − dµ − f + dµ = − f dµ. X
X
X
X
X
X
Supongamos ahora que a < 0, af = −|a|f y por lo tanto Z Z Z Z Z af dµ = −|a|f dµ = − |a|f dµ = −|a| f dµ = a f dµ. X
X
X
X
X
iii) Es f´acil mostrar que m´ax(a + b, 0) ≤ m´ax(a, 0) + m´ax(b, 0) para cualquier par de reales a, b. De ellos se deduce que (f + g)± ≤ f ± + g ± y Z Z Z Z (f + g)± dµ ≤ (f ± + g ± )dµ = f ± dµ + g ± dµ < ∞, X
X
X
X
ya que f y g son integrables. Entonces f + g es integrable. Escribamos (f + g)+ + f − + g − = (f + g)− + f + + g + . Ambos miembros son sumas de funciones medibles y por el teorema 6.12, las integrales de las sumas es igual a las sumas de las integrales. De ello deriva el resultado buscado. iv) La hip´otesis de f = 0 en c.t.p. significa que existe D de medida cero tal que para todo x ∈ X − D tenemos f (x) = 0. En particular f ± (x) = 0 para tales x, yR entonces f ± = 0 en c.t.p. Luego por el corolario 6.9 vemos que sus integrales son nulas y de all´ı X f dµ = 0. v) f ≤ g en c.t.p. implica que g − f ≥ 0 en c.t.p. y en tal caso (g − f )− = 0 en c.t.p. Escribamos g = f + (g − f ) Z Z Z Z gdµ = f dµ + (g − f )+ dµ − (g − f )− dµ = X
X
X
X
´ 6 INTEGRACION
21 Z
Z
Z (g − f )+ dµ ≥
f dµ + X
f dµ
X
X
ya que (g − f )+ ≥ 0. vi) f = g en c.t.p. implica que Rg − f = 0 en c.t.p. y R Inmediatamente resulta X gdµ = X f dµ. ♣ Teorema 6.16:Si g ∈ L(µ) entonces Z Z | gdµ |≤ X
R X
(g − f )dµ = 0 de acuerdo al item (iv).
| g | dµ
X
siendo v´ alida la igualdad s´ı y s´ olo si g ≤ 0 en c.t.p. o g ≥ 0 en c.t.p. Demostraci´ on: Ya hemos visto que | g |∈ L(µ). Tambi´en Z Z Z Z Z + − + | gdµ| =| g dµ − g dµ |≤ g dµ + g − dµ X
X
X
X
Z
X
Z (g + + g − )dµ =
=
| g | dµ.
X
X
Sabemos que la igualdad | a − b |≤ R a + b, a, b ≥ 0R es v´alida si y s´olo si a = 0 o b = 0. En el presente caso esto significa que X g + dµ = 0 o X g − dµ = 0. Del lema 6.6 se deduce que µ{x : g + (x) > 0} = 0 o µ{x : g − (x) > 0} = 0, es decir, o g ≤ 0 en c.t.p. o g ≥ 0 en c.t.p. ♣ Corolario 6.17: Si g es medible y existe h ∈ L(µ) con | g |≤ h en c.t.p. entonces g ∈ L(µ). De aqu´ı se deduce que toda funci´ on acotada es integrable en un intervalo de medida finita Demostraci´ on: Puesto que g ± ≤| g | tenemos Z Z Z g ± dµ ≤ | g | dµ ≤ hdµ < ∞. X
X
X
Luego, g ∈ L(µ). ♣ Teorema 6.18: Convergencia dominada de Lebesgue Si {gn } es una sucesi´ on de funciones medibles tal que l´ımn→∞ gn = g en c.t.p. y si | gn |≤ h para todo n ≤ 1, donde h es una funci´ on integrable, entonces Z Z l´ım gn dµ = gdµ. n→∞
X
X
Demostraci´ on: Por el corolario anterior gn ∈ L(µ) para todo n. Adem´as | gn |≤ h implica que | g |≤ h en c.t.p. y por lo tanto g ∈ L(µ). Consideremos la sucesi´on {h + gn } de funciones integrables no negativas. El lema de Fatou implica Z Z (h + g)dµ ≤ l´ım inf (h + gn )dµ n→∞
X
y en consecuencia
Z
X
Z gdµ ≤ l´ım inf
X
n→∞
gn dµ. X
Consideremos ahora la sucesi´on {h − gn } de funciones integrables no negativas. El lema de Fatou implica que Z Z (h − g)dµ ≤ l´ım inf (h − gn )dµ X
n→∞
X
´ 6 INTEGRACION
22
y entonces
Z
Z
−
gdµ ≤ l´ım inf
o
(−gn )dµ
n→∞
X
X
Z
Z gdµ ≥ l´ım sup n→∞
X
Luego,
gn dµ. X
n→∞
n→∞
X
gdµ
gn dµ ≤
gm dµ ≤ l´ım sup
gdµ ≤ l´ım inf X
Z
Z
Z
Z
X
X
y R as desigualdades se convierten en igualdades. En particular, l´ımn→∞ gdµ. ♣ X
R X
gn dµ existe y es igual a
Teorema 6.19: Sea {fn } una sucesi´ on de funciones integrables que satisfacen ∞ Z X n=1
Entonces
P∞ n=1
|fn |dµ < ∞.
X
fn converge en c.t.p., su suma es integrable y ∞ Z X
fn dµ =
Z X ∞
X
n=1
fn dµ.
X n=1
Demostraci´ on: Podemos aplicar el corolario 6.13 a la sucesi´on de funciones |fn |, y obtener Z X ∞
|fn |dµ =
X n=1
∞ Z X n=1
|fn |dµ < ∞.
X
P∞ P∞ Por el lema 6.4 encontramos que n=1 |fn | < ∞ en c.t.p. En particular n=1 fn converge en c.t.p. Para aquellos x en los cuales converge tenemos |
∞ X
fn (x)| ≤
n=1
∞ X
|fn (x)| mientras
n=1
∞ X
|fn | ∈ L(µ).
n=1
P∞ Luego por el corolario 6.17 deducimos que n=1 fn ∈ L(µ), es decir, es integrable. Finalmente, P∞ Pk usando la notaci´on del teorema 6.18, tenemos gk = n=1 fn y h = n=1 |fn |, y el teorema de convergencia dominada implica ∞ Z X n=1
l´ım
k→∞
Z X k X n=1
fn dµ = l´ım
X
k→∞
k Z X n=1
fn dµ =
(por teorema 6.15(iii))
X
Z fn dµ =
(teorema 5.19)
l´ım
k X
X k→∞ n=1
fn dµ =
Z X ∞ X n=1
fn dµ. ♣
´ 6 INTEGRACION
6.5.
23
Comparaci´ on de las integrales de Riemann y de Lebesgue
De An´ alisis Matem´ atico: Sea f : [a, b] → R acotada. Sea D una partici´on de [a, b] tal que D = {a = x0 < x1 < · · · < xn = b}. Sean mi = inf{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi } Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi }. Definimos las funciones escal´on (por lo tanto, funciones simples ya que asumimos que f est´ a acotada y por lo tanto Mi < ∞ para todo i). αD (x) = mi en [xi−1 , xi )
para todo 1 ≤ i ≤ n,
βD (x) = Mi en [xi−1 , xi )
para todo 1 ≤ i ≤ n.
Se cumple αD (x) ≤ f (x) ≤ βD (x) para todo x ∈ [a, b]. Usando la notaci´on de las integrales de funciones simples tenemos I(αD ) =
n X
mi (xi − xi−1 )
y
I(βD ) =
i=1
n X
Mi (xi − xi−1 ),
i=1
que son normalmente conocidas como las sumas inferior y superior de Darboux-Riemann en la teor´ıa de integraci´on de Riemann. Obviamente tenemos I(αD ) ≤ I(βD ) para cualquier partici´on D, y si D0 ⊂ D entonces I(αD0 ) ≤ I(αD ) y I(βD ) ≤ I(βD0 ). Sean Z
Z
b
f (x)dx = sup I(αD ) a
b
y
f (x)dx = inf I(βD ).
D
a
D
Entonces f es integrable seg´ un Riemann si y s´olo si Z
Z
b
b
f (x)dx = a
Al valor comun lo simbolizamos (R)
Rb a
f (x)dx. a
f (x)dx.
Teorema 6.20: Si f es integrable seg´ un Riemann en un intervalo finito [a, b] entonces f es integrable seg´ un Lebesgue y los valores de las integrales coinciden. Demostraci´ on: Para cada n ≥ 1 podemos encontrar, por definici´on de supremo, una partici´on Dnα tal que Z b 1 0≤ f (x)dx − I(αDnα ) < , n a y
Z I(αDnα ) →
b
f (x)dx al tender n → ∞. a
Similarmente seleccionamos una sucesi´on de particiones Dnβ tal que Z I(βDnβ ) →
b
f (x)dx cuando n → ∞. a
´ 6 INTEGRACION
24
Hagamos Dn = Dnα ∪ Dnβ resultando Z I(αDnα ) ≤ I(αDn ) ≤ y
b
f (x)dx a
Z I(βDnβ ) ≥ I(βDn ) ≥
b
f (x)dx. a
Por lo tanto Z I(αDn ) →
Z
b a
f (x)dx y I(βDn ) →
b
f (x)dx cuando n → ∞. a
Reemplazando la sucesi´on D1 , D2 , · · · por D1 , D1 ∪ D2 , D1 ∪ D2 ∪ D3 , · · · y renombr´ando podemos asumir que Dn ⊂ Dn+1 para todo n ≥ 1 mientras la u ´ltima ecuaci´on sigue siendo v´alida. Dn ⊂ Dn+1 significa que αDn (x) ≤ αDn+1 (x) y βDn (x) ≥ βDn+1 (x) ∀n, ∀x, En particular {αDn } es una sucesi´on creciente acotada superiormente por f . Por lo tanto l´ımn→∞ αDn = g existe, y satisface g ≤ f . Similarmente {βDn } es una sucesi´on decreciente acotada inferiormente por f . Por lo tanto l´ımn→∞ βDn = h existe, y satisface h ≥ f . Ahora {αDn − αD1 } es una sucesi´on creciente de funciones simples no negativas medibles que tiende a g − αD1 . Por lo tanto por el teorema de convergencia mon´otona de Lebesgue tenemos Z b Z b (L) (g − αD1 )dm = l´ım I(αDn − αDn+1 ) = f (x)dx − I(αD1 ). n→∞
a
a
Rb
Como αD1 es una funci´on simple tenemos (L) a αD1 dm = I(αD1 ) y entonces Z b Z b (L) gdm = f (x)dx. a
a
Similarmente, examinando βD1 − βDn encontramos que Z (L)
Z
b
hdm = a
b
f (x)dx. a
Rb Por lo tanto, si f es integrable seg´ un Riemann, (L) a (g − h)dm = 0. h − g ≥ 0, esto implica que h = g c.t.p. en [a, b]. Pero g ≤ f ≤ h resultando f = g c.t.p. en [a, b]. En consecuencia sus integrales Rb seg´ un Lebesgue son iguales y coinciden a su vez con la integral seg´ un Riemann (R) a f (x)dx. ♣ Nota sobre integrales impropias: Las funciones no acotadas no son integrables seg´ un Riemann, pero muchas de ellas son integrables seg´ un Lebesgue. En particular cualquier funci´on f (x) ≥ 0 para la cual la integral de Riemann Z b (R) f (x)dx a+²
existe para cada ² > 0 y tiene un l´ımite finito I para ² → 0, es integrable en [a, b] seg´ un Lebesgue y Z Z b (L) f (x)dm = l´ım (R) f (x)dx. [a,b]
²→0
a+²
´ 6 INTEGRACION
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Si una funci´on se considera en toda la recta su integral de Riemann s´olo puede existir en el sentido impropio. Si esta integral converge absolutamente, tambi´en existir´a en este caso la correspondiente integral de Lebesgue teniendo el mismo valor. Si una integral de Riemann Rconverge condicionalmente, por ejemplo R∞ ∞ (R) −∞ senx x dx = π (pero (R) −∞ | senx x |dx = ∞) la funci´on no ser´a integrable seg´ un Lebesgue. Esto se debe a que en la teor´ıa de Lebesgue f es integrable s´ı y s´olo si |f | tambi´en lo es.
6.6.
Reducci´ on de integral m´ ultiple a integrales simples
Teorema 6.21: Fubini Sea f (x, y) sumable en R2 , si fijamos el valor de una variable, la funci´ on considerada como funci´ on de la otra es, salvo posiblemente para un conjunto de valores de medida nula de la variable fija, sumable en R y se tiene ¸ ¸ Z ·Z Z ·Z Z Z f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy = f (x, y)dy dx. R2
R
R
R
R
Demostraci´ on: p´agina 359 del Kolmog´orov. Nota: Si la funci´on f (x, y) es no negativa, la existencia de una cualquiera de las tres integrales de la f´ormula anterior implica la existencia de las otras dos (teorema de Tonelli).
