Matematica 2 Guia

Matemática Guía de estudio del Bloque 2 Educación Adultos 2000 Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación Pr...

Author: Bach

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Matemática

Guía de estudio del Bloque 2

Educación Adultos 2000

Secretaría de Educación Subsecretaría de Educación Proyecto Educación Adultos 2000 Coordinador pedagógico: Lic. Roberto Marengo Equipo técnico-pedagógico: Lic. Ayelén Attías Lic. Valeria Cohen Lic. Daniel López Lic. Norma Merino Lic. Noemí Scaletzky Lic. Alicia Zamudio EQUIPO DE EDICIÓN: Coordinadora de producción de materiales: Lic. Norma Merino Procesamiento didáctico: Lic. Mónica Benavídes Especialistas en Contenidos: Prof. Beatriz Marelli Prof. Dora Guil Prof. Ernesto José Maqueda Colaboración en la edición: Lic. Sandra Muler (pedagógica) Dra. Fabiana Leonardo (legal) Diseño gráfico: Alejandro Cácharo

Ilustración de portada: Obras de Arquímedes, en la edición de París, 1615

MATEMÁTICA BLOQUE 2 Copyright Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Subsecretaría de Educación Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Proyecto Educación ADULTOS 2000 Av. Díaz Velez 4265 (C1200AAJ) - Ciudad Autónoma de Buenos Aires Buenos Aires, Julio de 2002 Queda hecho el depósito que establece la ley 11.723 ISBN 987-549-036-9

Índice

MatemáBltoqiucea2

Introducción

7

Sobre la organización de esta guía

7

Sobre las actividades que le vamos a proponer

8

Sobre el libro con el que trabjará

8

Una aproximación a la lectura del libro de matemática

10

Unidad 1: números racionales

11

Guía de lectura para el libro 1

12


15

Actividades sobe lo leído

17

Respuestas a las actividades sobre lo leído

27

Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática - Matemática

3

Unidad 2: Relaciones y funciones

35

Actividades previas a la lectura

36


42


42

Actividades sobre lo leído

43


51

Unidad 3: Proporcionalidad

57


57


58


60


74

Autoevaluación integradora para las unidades 1, 2 y 3

81

Respuestas a la Autoevaluación integradora

85


4

Unidad 4: Movimientos y cuadriléteros

89


89


102


103


104


107

Unidad 5: Sistema métrico

111


111


122


122


122


127


5

Unidad 6: Circunferencia y polígonos

133


133


135


136


142

Autoevaluación integradora

148


6

Introducción

Bloque 2 Matemática

Vamos a comenzar el estudio del Bloque 2 de Matemática. Iremos orientandolo en la lectura del libro y sugiriendole actividades para afianzar su comprensión de los distintos temas.

Sobre la organización de esta guía Esta guía está dividida en las 6 unidades de acuerdo al programa. Para cada unidad, iremos enfocando los diferentes temas haciendo un camino de ida y vuelta entre:

Bloque 2

una guía para la lectura de esos temas en el libro que Ud. haya elegido para estudiar, parte por parte. Como los libros propuestos, entre los cuales Ud. eligió uno son bastante diferentes, hemos necesitado preparar una guía de lectura específica para cada uno. una propuesta de actividades sobre lo leído que iremos sugiriéndole a medida que avance en el estudio. Resolverlas le permitirá: decidir si está en condiciones de seguir avanzando con la lectura o si necesita detenerse un rato más en lo anterior; orientarse respecto de cuáles son los temas más importantes y cuáles no; agregar alguna cosa que no se encuentra en el libro y que está en el programa. En todas las unidades habrá una propuesta de actividades para aplicar lo leído. Además, en algunas ocasiones, incluiremos actividades previas al trabajo con el libro. Cada unidad está dividida en: Actividades previas a la lectura: propuesta de actividades previas al trabajo con el texto. Esta sección aparecerá en algunos casos exclusivamente. Guía de lectura para el libro 1 (así llamaremos desde ahora el libro de P. Sadovsky, M. Kass, M. G. Panissa, M. I. Reyna. Matemática 2. Editorial Santillana) Guía de lectura para el libro 2 (así llamaremos desde ahora al libro de V. Lozano, Laura Ghiglione. Matemática 2. Editorial CME Métodos S.A., de la Colección Métodos Creativos) Actividades sobre lo leído. Al final de esta sección, encontrará nuestras respuestas para comparar.


7

Dentro del texto, Ud. encontrará recuadros donde le daremos algunas indicaciones referidas al uso de la calculadora científica. Esto no es obligatorio y no será evaluado en los exámenes, pero se lo ofrecemos para el caso de que disponga de esa herramienta y quiera aprovechar su utilización en cálculos complejos. También le presentaremos dos propuestas de autoevaluación (después de la unidad 3 y después de la unidad 6) que le permitirán comprobar en que medida ha logrado los aprendizajes necesarios para continuar con la unidad siguiente y, finalmente, decidir si está preparado para rendir el examen correspondiente a este bloque. Antes de comenzar con la tarea, queremos hacerle algunas recomendaciones que, creemos, lo ayudarán a organizarse y lograr mejores resultados

Sobre las actividades que le vamos a proponer Siempre intente contestar. Si no puede hacerlo, es probable que necesite volver a revisar lo que ya leyó. Vuelva a leer para ver si hay alguna cuestión vinculada al ejercicio que se le pasó por alto la primera vez. Luego intente responder nuevamente. Después de haber agotado todos sus recursos, puede controlar su respuesta con la que le proponemos. Controlar su respuesta significa ya haber podido dar una. Quizá podría estar pensando: "si no puedo dar una respuesta, al menos miro lo que hicieron e intento entenderlo". Puede hacerlo, pero no le servirán nuestras respuestas si Ud. solo no pudo hacer un camino. Recuerde que son las situaciones y sus propias estrategias las que le irán dando sentido a cada concepto. En todo caso, siga con otra actividad, y vaya construyendo una lista con dudas para cuando tenga tiempo de preguntarle al consultor. Él lo guiará para que pueda resolver la situación.

Sobre el libro con el que trabajará Las guías de lectura para el trabajo con el Bloque N° 2 se referirán a los siguientes libros:

& Libro 1

Libro 1: P. Sadovsky, M. Kass, M. G. Panissa, M. I. Reyna. Matemática 2. Editorial Santillana, Edición 1989 (y posteriores). Libro 1


8

Libro 2: V. E. Lozano, L. H. Ghiglione, Matemática 2, Editorial Métodos, Edición 1995 (y posteriores). Libro 2

&

Libro 2

Tenga en cuenta que, si no tiene ninguno de los libros propuestos, puede encontrarlos en la Sede del Proyecto Educación Adultos 2000. Si va a guiarse por algún otro libro, el índice le será de mucha utilidad. En cada caso busque en él los temas de la unidad del programa que necesite. En este caso, no va a contar con el recurso de la Guía de lectura. Pero sí podrá usar los otros (Actividades previas a la lectura, actividades sobre lo leído y autoevaluación). Estos últimos le permitirán autoevaluar su lectura y su aprendizaje.

Comentarios sobre el libro 1

& Libro 1

Bloque 2

En general, en este libro los temas van presentándose con algunas situaciones concretas. A medida que se van desarrollando dichas situaciones, en el texto van apareciendo preguntas que debe ir contestando. Por eso, verá que en las guías de lectura, las consignas serán del tipo "Lea y Responda". Al pie de algunas páginas hay ejercicios. En los casos que sea necesario resolverlos, se lo indicaremos en la guía de lectura. Al final de cada capítulo hay "Actividades". De ellas, hemos seleccionado algunas para que las resuelva. Se las indicaremos en la guía de lectura. Tanto los ejercicios de los pies de página como las actividades tienen sus respuestas al final del libro (páginas 192 y siguientes). Además, este libro tiene un "Breve Diccionario de Matemática" en las páginas 190 y 191. Puede recurrir a él so lo necesita.

Comentarios sobre el libro 2

&

Libro 2

Este libro presenta los temas a través de algunos ejemplos en la parte que se denomina "Marco Conceptual" (MC). Preste atención a dichos ejemplos, ya que son los que le permitirán encarar la resolución de ejercicios y problemas que se le propongan. Los ejercicios o problemas se encuentran al final del libro (páginas 209 en adelante), en la parte que se llama "Materiales para el Trabajo Creativo" (MTC). En la guía de lectura le indicaremos cuáles de esas actividades deberá resolver.


9

Algunas de dichas actividades no tienen enunciado; en esos casos, le indicaremos lo que debe hacer en la guía de lectura.

Una aproximación a la lectura del libro de Matemática Tome el libro que eligió para estudiar y busque el índice. Fíjese qué partes contiene. Recorra los distintos capítulos identificando los temas del programa que corresponden a cada uno. Generalmente los libros están divididos en capítulos y cada uno de ellos tiene un título principal y varios subtítulos. Algunos libros tienen índice alfabético de temas, otros no. En las últimas hojas de los libros aparecen respuestas a las actividades que se proponen; éstas le servirán de autoevaluación de las actividades que haya resuelto. Sólo recurra a ellas una vez que haya finalizado con cada actividad. Después de estas recomendaciones, le proponemos comenzar a trabajar.


10


Unidad 1: números racionales Contenidos de esta unidad: 1.1. Conjunto de números racionales 1.2. Operaciones 1.3. Expresiones decimales 1.4. Idea de número real 1.5. Cálculo aproximado

Bloque 2

En esta unidad repasaremos todas las operaciones y propiedades en el conjunto de los números racionales, correspondientes al bloque anterior. También veremos todas las formas en que puede expresarse un número racional y cómo pasar de una forma de expresión a otra. Presentaremos la existencia de los números irracionales para completar el conjunto de números reales. Destacaremos la importancia de la aproximación, ante la imposibilidad de trabajar con todos los decimales de un número real, de acuerdo a las necesidades concretas en las que se utilice dicho número. Le proponemos que: Reconozca cómo está formado el conjunto de los números reales. Represente números racionales en la recta numérica y reconozca que la recta se completa con los números reales. Exprese un número racional en su expresión decimal conociendo una fracción que lo representa y recíprocamente. Opere con números racionales expresados en su notación decimal y como fracción. Resuelva problemas en los que sea necesario dar como respuesta un valor aproximado.


11

Un comentario previo Ya habrá notado que este tema se relaciona con el de "Fracciones" y con el de "Números racionales". Si Ud. completó el Bloque N° 1 en el Proyecto Adultos 2000, recordará que éstos son los nombres de la Unidades 3 y 6. Por lo tanto, los contenidos de la Unidad que vamos a tratar se basan en los de las unidades mencionadas del Bloque N° 1. En esta Unidad, se retomarán algunas cuestiones tratadas en aquella oportunidad, ampliándolas, y se agregarán otros temas vinculados con lo ya visto. Por lo tanto, su tarea puede verse facilitada por lo que ya ha trabajado sobre estos contenidos. Además, deberá tener en cuenta lo tratado en la Unidad 1 del Bloque 1 en cuanto a lenguaje simbólico; y, en la Unidad 2, la parte referida a "Ecuaciones". Si Ud. no ha debido estudiar los contenidos del Bloque 1, porque ya los sabía y tenía aprobado ese tramo, podrá encarar directamente los temas de esta Unidad. En ambos casos, Ud. puede recurrir al material impreso del Bloque N° 1 ante cualquier duda. Tenga en cuenta, especialmente, las Actividades Previas a la lectura de la Unidad 3.

Guía de lectura del libro 1 En el capítulo 4 ("El conjunto de los números racionales"): 1. Lea y responda las páginas 46 (Introducción), 47 ("El problema de las jarras y las tazas") y 48 ("El conjunto de los números racionales"). Resuelva los ejercicios 5 y 6 del pie de página. 2. Lea y responda las páginas 49 y 50 ("Racionales positivos, racionales negativos"). Resuelva el ítem a) del ejercicio 8 del pie de página. 3. Lea y responda la página 51 ("Representación gráfica de números racionales"). Resuelva el ejercicio 9 del pie de página. 4. Lea y responda las páginas 52 y 53 ("Expresiones decimales"). Resuelva el ejercicio 11 del pie de página. 5.Lea y responda las páginas 54 ("Expresiones decimales de una fracción") y 55 ("Expresiones finitas y expresiones periódicas"). Resuelva los ejercicios 12 y 14 del pie de página.


12

6. Lea y responda la página 56 ("¿Finita o periódica?"). Resuelva los ejercicios 16 y 17 del pie de página, y los ejercicios 23, 25 y los ítems a), b), c) y e) del ejercicio 27 de la página 57. 7. De las "Actividades" de las páginas 58 y 59, resuelva los ejercicios 2, 5, 9, 11, 12, 14 y 19. En el capítulo 5 ("Operaciones con números racionales"): 1.Lea las páginas 60 (Introducción) y 61 ("Adición de números racionales"). Resuelva los ejercicios 1, 3, 4 y 5 del pie de página. 2. Lea y responda la página 62 ("Propiedades de la adición"). Resuelva los ejercicios 6 y 7 del pie de página. 3. Lea y responda la página 63 ("Sustracción de números racionales"). Resuelva los ejercicios 8 y 9 del pie de página.

Bloque 2

4. Lea y responda la página 64 ("Adición y sustracción de decimales"). Resuelva los ejercicios 10, 11, 12, 13 y 14 del pie de página. 5. Lea y responda las páginas 65 ("Multiplicación en Q") y 66 ("Propiedades de la Multiplicación en Q"). Resuelva los ejercicios 17 y 18 del pie de página. 6. Lea y responda las páginas 67 ("División de números racionales") y 68 ("División de expresiones decimales"). Resuelva los ejercicios 19, 20 y 21 del pie de página. 7. Lea y responda la página 69 ("Propiedades de la división en Q"). Resuelva los ejercicios 22 y 23 del pie de página. Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades N° 1 y 2

6

8. Lea y responda la página 70 ("Lenguaje simbólico"). Resuelva los ejercicios 24 y 25 del pie de página. 9. Lea y responda la página 71 ("Ecuaciones en Q"). 10. De las "Actividades" de las páginas 74 y 75, resuelva los ejercicios 2, 3, 4, 7, 8, 12 y 16.


13

En el capítulo 6 ("El cálculo aproximado"): 1. Lea y responda las páginas 76 ("Introducción") y 77 ("Redondeo de números"). Resuelva el ejercicio 1 del pie de página. 2. En la página 78, lea el párrafo que figura bajo el título "Error absoluto" y el recuadro correspondiente de la derecha. 3. Lea y responda la página 79. Resuelva el ejercicio 4 del pie del pie página. 4. Lea y responda la página 80 ("Truncamiento de números"). Resuelva los ejercicios 8, 9 y 10 del pie de página. 5. Lea y responda la página 81 ("Error relativo"). Resuelva los ejercicios 13 y 14 del pie de página. 6. Lea y responda la página 84 ("Conversión de decimal periódico a fracción"). Resuelva los ejercicios 17 y 18 del pie de página. 7. Lea la página 85 ("El mismo perro con distinto collar"). 8. De las "Actividades" de las páginas 86 y 87, resuelva los ejercicios 3, 6, 8, 9, 10, 11, 14 y 18. En el capítulo 7 ("Potenciación y radicación en Q"): 1. Lea y responda las páginas 88 ("Introducción") y 89 ("La operación potenciación"). Resuelva os ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 9.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades N° 3 y 4 2. Lea y responda la página 91 ("Notación científica"). 3. Lea y responda la página 92 ("Radicación en Q"). Resuelva los ejercicios 11, 12 y 13 del pie de página.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades N° 5 y 6 4. Lea y responda las páginas 93 ("Valor aproximado de una raíz cuadrada"), 94 ("Los números irracionales") y 95 ("Los números reales"). Resuelva el ejercicio 15 del pie de página.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades N° 7 y 8 5. De las "Actividades" de las páginas 96 y 97, resuelva los ejercicios 5, 7, 8, 9, 10, 14 y 15.


14

Guía de lectura del libro 2 En el capítulo 1 ("Conjuntos numéricos"): 1. Lea las páginas 9, 10, 11 y 12 para repasar los conjuntos de números naturales y de números enteros. 2. Lea las páginas 13 y 14 ("Números racionales; expresión fraccionaria"), las páginas 15 y 16 ("Fracciones equivalentes"), las páginas 16 y 17 ("Cómo se comparan fracciones"). 3. Resuelva el ejercicio 1.13 de la página 216, indicando cuál es el número más grande de cada par dado. 4. Resuelva el ejercicio 1.14 de la página 217, ubicando en la recta los números dados. 5. Resuelva el ejercicio 1.15 de la página 217, simplificando las fracciones (si es posible).

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva las actividades N° 1 y 2

Bloque 2

6. Lea las páginas 18, 19, 20, 21, 22, 23 y 24 ("Operaciones con fracciones").

6

7. Resuelva el ejercicio 1.17 de la página 218, dando ejemplos que muestren que no se verifican las propiedades enunciadas. 8. Resuelva el ejercicio 1.18 de la página 218, justificando los pasos que se hacen en la resolución de las cuentas de ambas tarjetas. 9. Lea las páginas 24, 25, 26, 27 y 28 (Potenciación y radicación). 10. Resuelva las operaciones dadas en el ejercicio 1.19 de las páginas 218 y 219. 11. Resuelva los ítems a) y b) del ejercicio 1.22 de la página 220. En el capítulo 2 ("Expresiones decimales"): 1. Lea las páginas 29, 30 y 31 ("Expresión decimal de los números racionales. Expresiones decimales exactas"). 2. Lea las páginas 31, 32, 33, 34, 35, 36 y 37 ("Operaciones con expresiones decimales exactas").


15

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 3 3. Resuelva las operaciones dadas en el ejercicio 2.3 de la página 222. 4. Resuelva las ecuaciones b) y d) del ejercicio 2.4 de la página 222. 5. Lea las páginas 38, 39, 40 y 41 ("Expresiones decimales periódicas"). 6. Resuelva los ítems a), c) y f) del ejercicio 2.8 de la página 226, transformando las expresiones decimales en fracciones para resolver las operaciones. 7. Resuelva el crucigrama del ejercicio 2.10 de las páginas 227 y 228.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 6 8. Lea las páginas 41, 42 y el primer párrafo de la página 43 ("Números irracionales").

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 7 9. Lea las páginas 43, 44 y 45 ("Valor aproximado de un número")

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 4 10. Lea las páginas 46, 47, 48 y 49 ("Notación científica").

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 5 11. Resuelva el ejercicio 2.13 de la página 230. Exprese los números dados con notación científica para calcular el total de toneladas de sal de los mares interiores. 12. En el ejercicio 2.14 de la página 230, calcule el total de reservas de agua dulce en el mundo. 13. En el ejercicio 2.15 de la página 231, ordene a los animales desde el más pesado hasta el más liviano.

6

Vaya a las Actividades sobre lo leído y resuelva la actividad N° 8


16

Actividades sobre lo leído Actividad N° 1 1. Complete el siguiente cuadro mostrando las operaciones y sus propiedades. Dé el vocabulario relacionado con esa propiedad, un ejemplo numérico y la correspondiente expresión simbólica. Le mostramos una fila del cuadro completa como ejemplo. (Sugerencia: Para contestar, puede revisar los cuadros similares a éste que se pidieron en las Unidades N° 2 y N° 4 del Bloque N°1). Operación o propiedad

Vocabulario

Adición en Q

Sumandos o términos - Suma

Ejemplo numérico 3 -2 -1 + = 5 3 15

Expresión simbólica

c a ˛ Q, ˛ Q , d b a c a.d + b.c + = b d b.d

La adición es cerrada en Q La adición tiene elemento neutro La adición es asociativa

Bloque 2

La adición es conmutativa Existencia de opuesto o inverso aditivo Sustracción en Q Multiplicación en Q La multiplicación es cerrada en Q La multiplicación es asociativa La multiplicación es conmutativa Exista elemento neutro de la multiplicación Existencia de inverso multiplicativo División en Q La multiplicación es distributiva con respecto a la adición y a la sustracción La división es distributiva con respecto a la adición y a la sustracción


17

2. Indique cuáles de las propiedades analizadas son válidas en Q, pero no lo son en Z (conjunto de los números enteros).

Actividad N° 2 1. a. Si Ud. compra 1 kilo y medio de pan, ¿cuántos paquetes de medio kilogramo de pan puede armar? Es decir, ¿cuántos medios kilogramos de pan adquiere? b. Resuelva la siguiente suma: 1 +

1 2

2. a. Si Ud. pide 2 kg. y 3/4 de carne, ¿cuantos cuartos kilogramos de carne le dan? b. Resuelva la suma: 2 +

3 4

7

3. a. En una familia comen 1 de pizza, es decir, una pizza y 7/8 de otra. 8 ¿Cuántos octavos de pizza comen? b. Resuelva la suma: 1 +

7 8

Nota: En el ejercicio 1 de esta actividad se adquieren 3 medios kilogramos de pan ya que en 1 kg hay dos medios kilogramos y además compra otro medio kilogramo. 1 Esto es lo mismo que calcular el resultado de 1 + . 2 1 1 Este pedido de pan se puede escribir así: 1 kg. y debe interpretarse como 1 + . 2 2 3 3 Asimismo, en el ejercicio 2, el pedido de carne es de 2 = 2 + ; y en el ejercicio 3, se 4 4 7 7 consumen 1 = 1 + de pizza. 8 8 b En genera, si aparecen expresiones del tipo a se deben interpretar como la suma c b b del número entero 'a' y la fracción b . Es decir que a = a + c c c

Uso de la calculadora científica: Si Ud. tiene una calculadora científica, verá que tiene una tecla en la que figura la expresión a b . Dicha tecla se usa para operar con c fracciones. Indicaremos acá cómo se carga una fracción, por ejemplo 7 en su 16

calculadora: Teclee '7', después la tecla ' a b ', por último, teclee '6'. Aparecerá en la c pantalla la escritura 7_6, con lo cual ese número está cargado en su máquina, listo para operar con cualquier otro que Ud. desee. b

b

Si quiere cargar el número 2 3 , debe teclear sucesivamente: '2', ' a ', '3', 'a ', '4'. c c 4 Aparecerá en pantalla: "2_3_4" y estará listo para ser usado en la operación que Ud. desee.


18

6

Vuelva a la guía de lectura de su libro.

Actividad N° 3 1. Un decímetro es una décima parte de un metro. Simbólicamente podemos escribir así: 1dm =

1 m O también 1 dm= 0,1m, ó 1dm= 10-1m 10

a. Un centímetro (1cm) es una centésima parte de un metro ¿Cómo puede escribir esto simbólicamente? Para ello, use fracciones, expresiones decimales y como potencias de 10 como se hizo en el ejemplo anterior. b. Un decámetro (1 dam.) es equivalente a 10 metros. ¿Cómo puede expresar esto con símbolos? c. Cien metros forman un hectómetro (1 hm). ¿Cómo puede expresarlo simbólicamente?

Bloque 2

d. En un kilómetro (1km) hay 1000 metros. Expréselo simbólicamente. 2. Tenga en cuenta las equivalencias dadas en el ejercicio 1 de esta actividad para responder: a. ¿Cuántos centímetros hay en un decímetro? Expréselo simbólicamente. b. ¿Qué fracción de un hectómetro es un metro? Expréselo con símbolos usando fracciones, expresiones decimales y potencias de 10. c. ¿En cuantas partes hay que dividir a un kilómetro para obtener un metro? Para contestar, complete: 1m= km. (Complete con una fracción, con su expresión decimal equivalente y como potencias de10). 3. Un milímetro (1mm) es una décima parte de un centímetro. ¿Qué fracción de un metro es un milímetro? Exprese simbólicamente. 4. Complete la siguiente tabla, teniendo en cuenta lo trabajado en los ejercicios anteriores: 1km.

1hm.

1dam.

1m.

1dm.

1cm.

1mm.

.....m

....m

m

m

.m

.m

.m


19

5. Resuelva los siguientes problemas prestando atención (o registrando) a las operaciones que hace en cada caso. Tenga en cuenta las equivalencias trabajadas en los ejercicios anteriores. a. Una mesa rectangular tiene 60 cm. de ancho y 140 cm. de largo. ¿Cuáles son esas dimensiones expresadas en metros? b. ¿Cuáles son las dimensiones (en milímetros) de la mesa del ítem anterior? c. Para cercar un terreno se necesitan 190 metros de alambrado. Si cada rollo de alambre tiene un decámetro de longitud, ¿cuántos rollos se necesitan? d. En el cuadro tarifario de un colectivo se lee que una sección tiene 3,200 km. Si Ud. recorre esa sección de punta a punta ¿cuántos metros tiene su viaje? 6. a. En una habitación cuadrada de 3 metros de lado, ¿cuántos cartones cuadrados de un metro de lado se pueden disponer cubriendo el piso? b. Cada cartón cuadrado de un metro de lado tiene una superficie de 1 m2. ¿Cuál es el área de la habitación en m2? c. Si cada cartón cuadrado de 1 m de lado está cubierto por cuadraditos de papel de 1 cm. de lado, ¿cuántos de esos cuadraditos caben? d. Cada cuadradito de 1 cm. de lado tiene una superficie de 1 cm2 ¿Cuál es el área de cada cartón en cm2? Es decir, ¿ cuántos cm2 hay en 1 m2? e. ¿Cuál es el área de la habitación en cm2? f. ¿Qué cuenta se hace para obtener el área en cm2 conociendo el área en m2? Puede tener en cuenta lo que respondió en los ítems b) y e) para responder esta pregunta.

& Libro 1

Si Ud. sigue el libro 2, vuelva a la guía de lectura. Si sigue el libro 1, continúe con

&

la Actividad Nº 4.

Libro 2


20

Actividad N° 4 1. Calcule las potencias de 10 que se piden en las siguientes tablas. (Como ayuda, se completó una columna de cada cuadro). Potencia

102

101

100

de10

103

Cálculo

10 . 10 . 10

Resultado

1000

Potencia de10

10-1

10-2

10-3

10-4

10-5

105

108

10-6

10-10

1 Ł10 ł

Resultado escrito como fracción

1 100

Resultado escrito con expresión decimal

0 ,01

Bloque 2

2

Cálculo

2. Calcule: a. 3 . 104

c. 8,02 . 1012

b. 3,21 . 107

d. 1,002 . 1010

Nota: Observe que los números dados en el ejercicio anterior están expresados como una multiplicación. Los factores que intervienen en dicha multiplicación son un número mayor

$

ó igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10 (con exponente entero positivo). 3. Escriba los siguientes números mediante una multiplicación de un número mayor ó igual que 1 y menor que 10, por potencia de 10. (Los números dados en el ítem 2 de esta actividad están expresados de esta manera. Es decir que le pedimos que haga un proceso inverso al que hizo para resolver el ejercicio anterior). a. 2.000.000

c. 1.040.000.000.000

b. 49.000.000.000

d. 8.902.000.000


21

4. Calcule, escribiendo el número decimal correspondiente:

$

a. 4 . 10-5

c. 2,001 . 10-12

b. 3,69 . 10-8

d. 9,99 . 10-10

Nota: Observe que los números dados en el ejercicio anterior, también están expresados como una multiplicación. Los factores que intervienen en dicha multiplicación son un número mayor ó igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10 (en estos casos, con exponente entero negativo). 5. Escriba los siguientes números mediante una multiplicación de un número mayor o igual que 1 y menor que 10, por una potencia de 10. (Los números en el ítem 4 de esta actividad están expresados de esta manera. Es decir que le pedimos que haga un proceso inverso al que hizo para resolver el ejercicio anterior).

6

a. 0,00007

c. 0,000000000103

b. 0,000000065

d. 0,0000000099

Vuelva a la guía de lectura de su libro.

Actividad N° 5 1. Si cuenta con una calculadora científica, calcule: a. 8730000000. 439100000

$

b. 0,000000564: 32000000

Nota: Al resolver los cálculos anteriores su calculadora le devolvió resultados como los siguientes: - Para a.: 3.8334318. Este número está escrito con notación científica. Ud. debe interpretar el siguiente resultado: 3,83343 . 1018 (que es 3833343000000000000).

- Para b.: 1.7625-14.Este número debe interpretarse como1,7625 . 10-14 (que es 0,000000000000017625). 2. a. Intente resolver con su calculadora científica: 367000000000000 + 566600000000

¿Qué es lo que ocurre? ¿Puede introducir todas las cifras de cada número en la máquina?


22

Un desafío: En la mayoría de las calculadoras comunes, se pueden cargar números de hasta 10 ó 12 cifras. Es decir que los números dados para operar anteriormente no se pueden cargar en esas máquinas. Entonces, ¿cómo hacer para operar con este tipo de números? b. Escriba la operación del ejercicio anterior expresando los números dados usando notación científica. Nota: La operación dada para resolver queda escrita así: . ¿Cómo podemos hacer para operar con la calculadora cargando los números expresados de esta manera

$

(notación científica)? Si Ud. quiere usar su calculadora científica para trabajar con números escritos usando notación científica, debe usar la tecla 'EXP'. Por ejemplo, si quiere introducir en su calculadora el número 3,67 . 1014, debe teclear: 3,67 à EXP à 14 y aparecerá en pantalla escrito así: 3,67 . 1014.

Si Ud. sigue el libro 2, vuelva a la guía de lectura. Si sigue el libro 1, continúe con la Actividad Nº 6.

& Libro 1 &

Libro 2

Actividad N° 6 1. Una máquina está programada para que, al darle dos números, calcule el promedio entre esos números. Pero no se detiene en ese primer paso. Sigue así: toma el primer número y el promedio obtenido en el primer paso, y calcula nuevamente el promedio entre estos dos números. Pero tampoco se detiene allí. Sigue tomando el primer número y el promedio obtenido en el paso anterior, y calcula el promedio entre esos dos números. Así sigue, salvo que Ud. le pida que se detenga. ¿Entendió cómo funciona la máquina? Si no, relea lo anterior y después vea el siguiente ejemplo: Si le da los números 2 y 6, ¿qué número devuelve? Es decir, ¿cuál es el promedio entre 2 y 6?


23

Bloque 2

c. Usando su calculadora, termine de hacer el cálculo pedido en este ejercicio.

Como el promedio que devolvió la máquina es 4, la próxima cuenta que hace es: 2 + 4 ¿Cuál es el resultado? 2

En el siguiente paso hace: 2 + ... Complete la línea de puntos. 2

Y sigue. a. Le pedimos que siga Ud. completando la tabla que se da a continuación. Para eso, utilice su calculadora y tenga en cuenta lo dicho: La máquina se detiene si no puede hacer la cuenta o si Ud. se lo indica. Esta es la tabla que pedimos que complete: Primer número

Segundo número

Promedio

2

6

4

2

4

3

2

3

2 2 . . . .

agregue Ud. 12 filas más .

2 2 b. ¿Hay algún motivo para que la máquina se detenga? c. Represente los promedios que va obteniendo la máquina en la siguiente recta numérica: 2

6

2. De acuerdo con lo que leyó: a. ¿Qué tipo de expresión decimal tienen los números que devuelve la máquina, es decir, los promedios sucesivos?


24

b. Por lo tanto, ¿a qué conjunto de números pertenecen esos promedios? c. Se puede decir que entre 2 números racionales distintos siempre se puede encontrar otro número racional? Nota: La respuesta a la última pregunta es que entre dos números racionales distintos se puede encontrar siempre otro número racional. Esta es una propiedad

$

del conjunto de los números racionales; se dice que el conjunto Q es denso. Con la máquina del ejercicio 1, Ud. pudo comprobar esta propiedad, ya que el promedio entre dos números racionales distintos se encuentra entre los dos números dados. Si representa en la recta, cada promedio queda ubicado entre los dos números dados. Y este proceso se puede seguir, y seguir, y seguir, Pero: ¿Esto permite decir que con los números racionales se cubren todos los puntos de la recta? Vuelva a la guía de lectura y a su libro a ver si encuentra una respuesta a esta pregunta.

Vuelva a la guía de lectura de su libro

6 Bloque 2

Actividad N° 7 Ud. leyó en su libro que hay números que no son racionales, son los números que forman el conjunto de los números irracionales. También leyó que: Los números irracionales tienen expresiones decimales con infinitas cifras no periódicas. Un ejemplo de número irracional es 2 . 1. a. Encuentre un número racional que esté entre 1,4142 y 1,4143. b. Encuentre un número racional que esté entre 1,41421 y 1,41422. c. Encuentre un número racional que esté entre 1,414213 y 1,414214. d. Los números hallados, ¿se pueden representar en la recta? ¿Cómo queda ubicado cada número con respecto a los dos números dados en cada caso? 2. a. Encuentre un número irracional que esté entre 1,414213 y 1,414214. b. ¿Se puede representar ese número en la recta? ¿Cómo queda ubicado ese número con respecto a los dos números dados?


25

3. a. Un ejemplo posible que responde al ejercicio 2 de esta actividad es el número 2 . De acuerdo con lo que leyó, ¿puede representarse este número en la recta? b. Teniendo en cuenta que

2 es un número irracional, y que puede

representarse en la recta, ¿qué contesta a la pregunta planteada en la Nota de la Actividad N° 6? ¿Se cubre toda la recta con los números racionales? c. ¿Con los elementos de qué conjunto de números se puede cubrir toda la recta? Puede buscar la respuesta en su libro.

& Libro 1

Si sigue el libro 2, vuelva a la guía de lectura. Si sigue el libro 1, continúe con la

&

Actividad N° 8

Libro 2

Actividad N° 8 1. Resuelve los siguientes cálculos combinados, teniendo en cuenta el convenio sobre el orden en que se efectúan las operaciones. a. 3. 7 - 3 + 1 : 2 + - 4 4

b.

2

0

3 Ł 5ł

2

=

2

1 1 4 2 - 2 ,5 - 4 - .(- 2 )- - 2 + 3 8 Ł3 ł Ł 3ł Ł4 ł

2. Resuelva los siguientes cálculos combinados usando la forma fraccionaria de los números racionales.

a. 1,3 2 ,5 - 0 ,86 + 1 - 0 ,5 =

2

1

b. 0,6 -1 2 2 -1,6 : 5 = Ł

ł

3. Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique las soluciones halladas. (Sugerencia: Tenga en cuenta los operadores directos e inversos que se trabajaron en la Unidad N°2 del Bloque N°1). a.

2 4 x - = -2 3 5

b. 2 x -1,3 = 4 x + 5 2


26

4. Plantee una ecuación que le permita resolver cada problema de los que siguen, resuélvala y verifique la solución que halle. b. Los dos tercios de un terreno están edificados. Si la parte edificada ocupa 320 m2, ¿cuál es la superficie del terreno? c. Pedro gasta los tres quintos de su sueldo mensual durante 3 semanas. Le quedan $130 ¿Cuál es el sueldo de Pedro?

6

Vuelva a la guía de lectura de su libro

Respuestas de las actividades sobre lo leído Actividad N° 1

En el libro 1: páginas 62, 63, 66, 67 y 69.

& Libro 1

En el libro 2: páginas 18, 19, 20, 21, 22 y 23.

&

Libro 2

Actividad N° 2 1. a. Tres medios kilogramos de pan (en símbolos: 3 kg de pan). 2

1 2

2 2

1 2

b. 1 + = + =

3 2

2. a. Como en cada kg hay 4 "cuartos", en 2 kg hay 8 "cuartos"; en total hay 11 "cuartos" kilogramos de carne. b. 2 + 3 = 8 + 3 = 11 4

4

4

4

3. a. Comen los 8 "octavos" de la pizza entera y los 7 de la otra. En total, 15 de 8 8 pizza. b. 1 + 7 = 8 + 7 = 15 8

8

8

8


27

Bloque 2

Le indicamos las páginas de los libros en las cuáles puede buscar para completar el cuadro.

Actividad N° 3 1 m = 0,01m = 10 -2 m 100

1. a.

1cm =

c.

1hm = 100m = 10 2 m

b.

1dam = 10m = 101 m

d.

1km = 1000 m = 10 3 m

2. a. 1dm = 10cm b. Un metro es una centésima parte de un hectómetro. En símbolos: 1m = 1 hm = 0,01hm = 10 -2 hm 100

c. A un kilómetro hay que dividirlo en 1000 partes iguales para tener un metro. En 1 símbolos, podemos expresar: 1m = km = 0,001km = 10 -3 km 1000

3. Si dividimos a 1 cm en 10 partes iguales tenemos 1 mm. Como 1 cm es una centésima parte de un metro, al dividirlo en 10 partes, tenemos una milésima parte de un metro. (Ya que 1 : 10 = 1 . 1 = 1 ). 100

100 10

1000

Expresamos simbólicamente: 1mm = 1 m = 0,001m = 10 -3 m 1000

4. La tabla completa es: 1km

1hm

1dam

1m

1dm

1cm

1mm

1000 m = 103 m

100 m = 102 m

10 m = 101 m

1 m = 100 m

0,1 m = 10-1 m

0,01 m = 10-2 m

0,001 m = 10-3 m

5. a. Las dimensiones de la mesa son: 0,60 m de ancho y 1,40 m de largo. Para obtener la cantidad de metros a partir de la longitud en centímetros, se divide a esta por 100 (o 102). b. Teniendo en cuenta que 1 cm = 10 mm, las dimensiones de la mesa son: 600 mm de ancho y 1400 mm de largo. Es decir, que para obtener la longitud en mm, a partir de la longitud en cm, se multiplica a esta por 10. c. Teniendo en cuenta que 1 dam = 10 m, cada rollo tiene 10 m de alambre. Por lo tanto, se necesitan 19 rollos de alambrado (ó 19 dam de alambre). Para obtener la cantidad de decámetros, sabiendo la cantidad de metros, se divide a esta por 10. d. Como 1 km = 1000 m, debemos multiplicar por 1000 (ó 103) para obtener la cantidad de metros a partir de conocer la cantidad de kilómetros. En este caso, recorremos una sección de 3200 m.


28

1. a. Se pueden disponer 3.3=9 cartones cuadrados de 1 m de lado. b. Por lo tanto, la superficie de la habitación es de 9 m2. c. En un cartón cuadrado de un metro de lado caben 100.100 cuadraditos de 1 cm de lado, es decir 10000 cuadraditos. d. Cada cartón tiene una superficie de 10000 cm2. Es decir que 1 m2 = 10000 cm2. e. La superficie de la habitación es de 90000 cm2. f. Como 9 m2 = 90000 cm2, para calcular el área en cm2 a partir del área en m2, se debe multiplicar por 10000 (ó 104).

Actividad N° 4

Potencia de 10

100

101

102

103

105

108

Cálculo

1

10

10.10

10.10.10

10.10.10.10.10

10.10.10.10.10.10.10.10

Resultado

1

10

100

1000

100000

100000000

Potencia de 10 Cálculo

10-1

10-2 1

1 Ł10 ł

10-1 2

3

10-4

10-5 4

10-6 5

Bloque 2

1. Los cuadros completos son:

10-10 6

10

1 Ł10 ł

1 Ł10 ł

1 Ł10 ł

1 Ł10 ł

1 Ł10 ł

1 Ł10 ł

Resultado escrito como fracción

1 10

1 100

1 1000

1 10000

1 100000

1 1000000

1 10000000000

Resultado escrito con expresión decimal

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

0,0000000001

2. a. 3 . 104 = 3.10000 = 30000 b. 3,21 . 107 = 3,21 . 10000000 = 32100000 (la coma se corre 7 lugares a la derecha, agregando los ceros necesarios) c. 8,02 . 1012 = 8,02 . 1000000000000 = 8020000000000 (la coma se corre 12 lugares a la derecha, se agregan los ceros necesarios).


29

b. 1,002 . 1010 = 1,002 . 10000000000 = 10020000000 (la coma se corre 10 lugares a la derecha). 3. Pensando en este ejercicio es "al revés" del anterior, completamos: a. 2000000 = 2 . 1000000 = 2 . 106 b. 49000000000 = 4.9 . 1010 c. 1040000000000 = 1,04 . 1012 d. 8902000000 = 8,902 . 109 1 4 = = 4 : 100000 = 0 ,00004 100000 100000 1 = 3,69 = 3,69 : 100000000 = 0 ,0000000369 100000000

4. a. 4 . 10-5 = 4. -8

b. 3,69 10 lugares a la izquierda, agregando los ceros necesarios)

(la coma se corre 8

1

-12

= 2 ,001 : 1000000000000 = 0 ,000000000002001 c. 2,001 10 = 2 ,001 1000000000000 (la coma se corre 12 lugares a la izquierda, se agregan los ceros necesarios) -10

1

d. 9 ,99 10 = 9 ,99 10000000000 = 9 ,99 : 10000000000 = 0 ,000000000999 (la coma se corre 10 lugares a la izquierda) 5. Este ejercicio es "al revés" del anterior, lo tenemos en cuenta para responder. a. 0,00007 = 7 : 100000 = 7 . 10-5 b. 0,000000065 = 6,5 : 10000000 = 6,5 . 10-8 c. 0,000000000103 = 1,03 : 10000000000 = 1,03 . 10-10 d. 0,0000000099 = 9,9 : 1000000000 = 9,9 . 10-9

Actividad N° 5 1. Esta respondidó en la Nota posterior al enunciado. 2. a. En mi calculadora, no pude cargar esos números. b. La respuesta está en la Nota posterior al enunciado. c. Si en la pantalla de su calculadora apareció "3.675666 14", este resultado debe ser interpretado como 3,675666.1014 (o su equivalente: 367566600000000).


30

Actividad N° 6 1. Si los resultados de sus promedios no coinciden con los nuestros, se puede deber a un mal uso de su calculadora. Cuando hace el promedio entre 2 y 2,5 (por ejemplo), la cuenta a resolver es (2+2,5):2. Por lo tanto, por la convención en cuanto al orden en que se resuelven las operaciones, debemos sumar lo que está entre paréntesis antes de dividir. Con la calculadora, esto se consigue usando las teclas'[(' y ')]'. Por ejemplo, para resolver (2 + 2,5):2, debe teclear sucesivamente: '[('à '2' à '+' à '2,5' à ')]' à ':' à '2' à '=' y aparecerá en la pantalla el resultado "2,25". a. La tabla completa es: Segundo número

Promedio

2

6

4

2

4

3

2

3

2,5

2

2,5

2,125

2

2,125

2,0625

2

2,0625

2,03125

2

2,000030517578

2,000015258789

2

2,000015258789

2,000007629395

Bloque 2

Primer número

b. La máquina puede seguir sacando promedios eternamente, sin detenerse. c. En la representación gráfica en la recta, vemos que los sucesivos promedios van "metiéndose" entre los dos números entre los cuáles saca el promedio. 2,0625 2,125 2,25

2

2,5

3

4

6


31

2. a. Los números que devuelve la máquina "promediadora" tienen expresión decimal finita (como las nombra el libro 1) o exacta (como las nombra el libro 2). b. Por lo tanto, esos promedios pertenecen al conjunto de números racionales (Q). c. Sí, es lo que ocurre con los promedios. El promedio entre dos números racionales distintos es otro número racional que queda ubicado entre los dos números dados.

Actividad N° 7 1. De acuerdo con lo trabajado en la Actividad anterior, una forma de encontrar un número racional que esté entre dos número dados, es hallar el promedio entre esos números. Pensando en los promedios, respondemos: a. Entre 1,4142 y 1,4143 tenemos al 1,41425. b. Entre 1,41421 y 1,41422 está el 1,414215. c. Entre 1,414213 y 1,414214 está el 1,4142135. d. Los números hallados se pueden representar en la recta (como vimos en la Actividad N°6). Quedan ubicados entre los dos números dados en cada caso. 2. a. Un número irracional que está ubicado entre 1,414213 y 1,414214 es 2 , por ejemplo. (Tenemos en cuenta que, por ser un número irracional, 2 tiene una expresión decimal de infinitas cifras no periódicas, de las cuáles las primeras son 1,41421356237) b. El número 1,414214.

2 se puede representar en la recta; queda "metido" entre 1,414213 y

3. a. Está respondido en el ejercicio 2. b. Teniendo en cuenta lo analizado en esta actividad, podemos decir que con los números racionales no se cubren todos los puntos de la recta, ya que hay muchos de esos puntos que representan a números irracionales. c. Con los elementos del conjunto de números reales (que se simboliza con R y es la unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales) se puede cubrir toda la recta. Hay un número real para cada punto de la recta y un punto de la recta para cada número real.


32

Actividad N° 8 1. a. 3

0

7 3 1 2 4 + : + = 4 2 2 3 Ł 5ł

3 7 3 1 3 21 3 3 21 6 3 21 9 21 3 + +1 = + +1 = + +1 = +1 = - +1 = 4 2 2 2 4 2 4 4 4 4 4 4 4 2 21 6 4 19 - + = 4 4 4 4

b. Para poder resolver, expresamos todos los números racionales usando una

25

5

misma forma. Por eso pasamos, el número decimal 2,5 a fracción. Es 2,5 = = 10 2 (donde se ha simplificado). El cálculo queda resuelto así: 2

4 2 5 - 4(- 2)- 1 - 2 + 3 - 1 = 8 Ł3 2 ł Ł 3 ł Ł4 ł 2

2

2 2 -5 3 4 3-4 (- 2)- 1 - 2 4 + - 1 = - 11 - 8 (- 2)- - 7 - 1 = Ł 2 3 ł Ł 3 ł Ł 4 ł Ł 2ł Ł 6 ł 3 Ł 4ł 2 121 16 7 1 121 192 63 18 358 179 + + - = + + = = 36 3 4 2 36 36 36 36 36 18

a. 1,3 = 1 + 0 ,3 = 1 +

Bloque 2

2. Transformamos en fracciones los números expresados con su desarrollo decimal, y después operamos. 86 - 8 78 13 5 5 3 12 4 = = ; 2,5 = ; 0 ,86 = = = ; 0 ,5 = 2 9 9 3 90 90 15 9

La resolución del cálculo es: 1,3 .2 ,5 - 0 ,86 + 1 - 0 ,5 = 5 10 13 9 - 5 10 13 4 10 13 2 12 13 60 13 47 4 5 13 - + 1- = - + = - + = - + = - = - = 9 3 15 9 3 15 9 3 15 3 3 15 15 15 15 3 2 15

b. 0 ,6 =

1 3 1 6 2 6 15 5 = ; 1 = 1 + = ; 1,6 = 1 + = = 2 2 2 9 3 9 9 3

La resolución del cálculo es: 2 1 0 ,6 - 1 2 - 1,6 : = 2 Ł 5ł 2 3 5 2 2 3 5 5 2 3 25 2 3 2 6 - 25 2 3 13 2- : = 2= 2= = = 3 2 Ł 3 5ł 3 2 Ł 3 2ł 3 2 Ł 6 ł 3 2 Ł 6 ł 3 2 Ł 6 ł 2 39 8 39 47 + = + = 3 12 12 12 12


33

3. a.

2 3

x-

4 5

= -2 fi

2 3

x = -2 +

4 5

=-

6 5

fi x = -

5

6 5

:

2 3

=-

6 3 5 2

=-

18 10

fi x = -

9 5

4

b. 2 x - 1,3 = 4 x + . Primero expresamos 1,3 en fracción. Es . Resolvemos la 2 3 ecuación: 4 5 4 5 -4 2 - 3 5 23 = 4 x + fi - - = 4 x - 2 x fi = 2 x fi = 2 x fi 3 2 3 2 3 2 6 - 23 - 23 1 - 23 : 2 = x fi = x fi =x 6 6 2 12

2 x-

4. a. Llamamos x a la superficie total del terreno. Los dos tercios de esa cantidad 2 (es la parte edificada) se expresa así: x , y es igual a 320. Por lo tanto, podemos 3 plantear la siguiente ecuación: 2 x = 320 .

3 2 2 3 La resolvemos: x = 320 fi x = 320 : = 320 = 480 3 3 2

Entonces, la superficie del terreno es de 480 m2 b. Llamamos x a la incógnita (el sueldo de Pedro). Si gastó tres quintos de ese sueldo, le quedan dos quintos del mismo. Lo que le queda es $130. Entonces podemos plantear la siguiente ecuación: . La resolvemos:

2 5 x = 130 fi x = 130 = 325 5 2

Por lo tanto el sueldo de Pedro es de $325.


34


Unidad 2: Relaciones y funciones Contenidos de esta unidad: 2.1. Noción de relación 2.2. Elementos de una relación 2.3. Noción de función 2.4. Formas de expresión de funciones

Dado que en la vida cotidiana es necesario vincular elementos de distinta naturaleza o distintos conjuntos (por ejemplo: "cantidades de metros de tela" y "sus precios"; "temperatura de un día" y "horario en que alcanzó dicha temperatura", etc.), nos interesa estudiar lo que en matemática se llama "Relaciones entre conjuntos". Entre ellas, trataremos una relación particular que se llama función. Es decir que describiremos a las "Relaciones" y veremos todos los recursos con los que cuenta para representarlas.

Le proponemos que: Distinga, entre las relaciones, cuáles son funciones y cuáles no. Exprese una función a través de tablas, fórmulas o gráficos y pueda expresarla en una de esas formas a partir de otra de ellas. Reconozca elementos de una relación: dominio, conjunto imagen, par ordenado, imagen y conozca sus notaciones simbólicas. Interprete gráficos y tablas que definan a una función que describe una situación concreta de la vida cotidiana.


35

Actividades previas a la lectura Para resolver lo propuesto a continuación solo necesita lo que trabajo en la unidad 1 de este bloque y lo que la vida cotidiana le muestra.

Actividad Nº 1 1. Don Juan vende café en grano a $7 el kg. Quiere confeccionar una lista de precios, teniendo en cuenta las cantidades de café que le compran frecuentemente. Complete la tabla de Don Juan, indicando las cuentas necesarias para el cálculo del precio. Cantidad de café en Kg.

Precios en pesos

1 4 1 2 3 4 1 1

21 3 = 5 ,25 7= 4 4 7

1 2 2

2

1 2 3

2. Entre otros trabajos, en un taller cortan placas metálicas con as dimensiones que los clientes soliciten. Por ejemplo, un empleado debe responder al siguiente pedido: "8 planchas como la dibujada a la derecha:

}x

La altura x de cada plancha, debe ser respectivamente: 0,125 m; 0,25 m; 0,375 m; 0,5 m; 0,625 m; 0,75 m; 0,875 m y 1 m. Cada una de las planchas debe tener una superficie igual a 1 metro cuadrado".


36

El empleado, antes de comenzar los cortes empezó a calcular y pensó: "Si bien no me dieron la medida y de la base, el área de la placa debe ser x.y=1" a. ¿Está de acuerdo con lo que pensó el empleado? ¿Cree que podrá obtener medidas de las bases a partir de esa información? Justifique lo que responde. b. El empleado puso los datos que tenía en una tabla como la que sigue y expresó cada uno de los valores de x como una fracción, y luego escribió la medida de la base correspondiente. Le pedimos que complete los datos que faltan en la tabla: Medida de la altura N en metros. 0 ,125 =

Medida de la base O en metros

1 8

0 ,25

4

0 ,375

8 3

1 2

Bloque 2

0 ,5 =

0 ,625 = 0 ,75 = 0 ,875 = 1=

1 1

Nota: Siga trabajando, después podrá verificar si completó bien la tabla.

Actividad Nº 2 Ahora vamos a utilizar lo que Ud. ya resolvió en la Actividad Nº 1 para repasar algunos temas del Bloque anterior, más específicamente de la Unidad 1 del Bloque 1. Intente responder y, si no puede hacerlo, busque ayuda en la Guía de estudio del Bloque 1 correspondiente a la unidad 1. 1. A partir de la "lista de precios" de Don Juan, escriba:


37

a. Las cantidades x de café como elementos de un conjunto A. Es decir: defina por extensión el conjunto de las cantidades de café de la lista de precios. b. Los precios y como elementos de un conjunto B. O sea: defina por extensión el conjunto de precios de dicha lista. 2. En los siguientes diagramas de Venn, complete las flechas que faltan indicando para cada cantidad de café de la lista su precio correspondiente:

A

B

3

7

1 4 1 1 2

3 4

1 1 2 2

21

1,75

10 ,5 14

2

5,25

17 ,5

1 2

3,5

3. Observe en la tabla de la lista de Don Juan las cuentas que hizo para calcular los precios y luego responda: ¿Con qué cuenta puede calcularse el precio y a pagar por una compra de x kg. de café, en el negocio de Don Juan? En la nota que figura a continuación, le explicamos cómo, a partir de la situación planteada y lo que respondió respecto de la lista de precios, puede incorporar a su lenguaje nuevos términos matemáticos. Más adelante, deberá reconocer dichos términos y aplicarlos a nuevas situaciones. Nota: En la situación de la "lista de precios" se vinculó "cantidades x de kg. de café" con "cantidades y de pesos a abonar por ello". Por ejemplo, decimos que por ¼ kg. de café se debe abonar $1,75. Se estableció con absoluta claridad lo que se debe abonar por cada uno de los elementos del que llamamos conjunto A y consideramos dichos precios en el conjunto B. Es decir: 1 2

1 2

A={1/4; 3/4; 1/2; 1; 1 ; 2; 2 ; 3} y B={1,75; 5,25; 3,5; 7; 10,5; 14; 17,5; 21} 1) En términos matemáticos diremos que se estableció una relación o correspondencia entre los conjuntos A y B y para simplificar la expresión diremos que es una relación R de A en B.


38

Al conjunto A lo llamaremos conjunto de partida de la relación R. Al conjunto B lo llamaremos conjunto de llegada de la relación R. En el caso del ejemplo, 1,75 es la imagen de 1 a través de esta relación. 4

2) Fíjese que, si mira la Lista de precios, o tabla de valores de x e y, puede decir qué valor y le corresponde a cada x. Pero dicha correspondencia también puede verse en el diagrama Venn o calcularse con la cuenta o fórmula y=7x que Ud. encontró en el ejercicio 3 de esta actividad. 3) La tabla, el diagrama y la fórmula son alguna de las formas de guardar la información: "cantidad x de kg. de café - cantidad y de pesos a abonar por ello". Le mostramos ahora otras formas de hacerlo: Como par ordenado: Por ejemplo (1;7) Cantidad de café Precio a abonar

Bloque 2

Si escribimos todos los pares ordenados de la relación, la estamos identificando. Ellos son: R={(¼; 1,75); (½; 3,5); (¾; 5,25); (1;7); (1½; 10,5); (2;14); (2½; 17,5); (3; 21)} Como gráfico, donde se representan los pares ordenados de la relación R. Es el siguiente: Precio en $

21

17,5 14 10,5

7 5,25 3,5 1,75 1/4 1/2 3/4

1

11/2

2

21/2

3

Cantidad de café en kg


39

Actividad Nº 3 Volvamos a la situación 2. de la Actividad Nº 1. Para la relación R1 que vincula medida de la altura x con medida de la base y de las placas de superficie 1 m2, escriba: a. Conjunto de Partida y de Llegada. b. La fórmula que permite encontrar y a partir de x. c. R1 como un conjunto de los pares ordenados que dan la información: ("medida de la altura x" ; "medida de la base y"). d. Los pares ordenados de R1 en un gráfico. Nota: Para que controle sus respuestas le damos la siguiente información: 1

La fórmula y = es la que permite calcular la base y de la placa a partir de la altura x x. Su gráfico es el que se ve a continuación. Tanto los pares ordenados de esta relación: (1/8; 8); (1/4; 4); (3/8; 8/3); (1/2; 2); (5/8; 8/5); (3/4; 4/3); (7/8; 8/7) y (1; 1) como el conjunto de partida y el de llegada pueden leerse en el gráfico dado). bases y

8

6

4

2

1/8

1/4

3/8

1/2

5/8

3/4

7/8

1

alturas x


40

Actividad Nº 4 Un día, Don Juan, el que vende café, estaba preocupado porque había vendido muy poco. Describió, con términos matemáticos lo que ocurrió ese día: "R2 es una relación de A en B". El conjunto de partida es A= {¼; ¾; ½; 1; 1½; 2; 2½,3} y el de llegada es B= {1,75; 5,25; 3,5; 7; 10,5; 14; 17,5; 21} La relación R2 está formada por los pares ordenados que informan las "ventas" de ese día: R2= {(3/4; 5,25); (1/2; 3,5); (1;7)} 1. ¿Cuántas ventas realizó? Exprese lo que tiene en cuenta para responder. 2. En cada venta, a. ¿Qué cantidad de café vendió? ¿De dónde saca esta información?

Bloque 2

b. ¿Qué cantidad de dinero recibió? ¿De dónde saca esta información? 3. Indique la relación R2 en los siguientes diagramas de Venn.

A

B

3

7

1 4 1

1 1 2

3 4

1 2 2

21

1,75

10 ,5 14

2 1 2

5,25

17 ,5 3,5

Nota: Seguramente observó que al indicar con flechas la relación R2 en los diagramas de Venn, de algunos elementos del conjunto de partida no parte ninguna flecha. Esto sucede porque esas cantidades de café no fueron vendidas ese día. En cambio, sí fueron vendidas ese día o sí forman parte de los pares ordenados de esa relación los siguientes elementos del conjunto A: ¾; ½ y 1.


41

Al conjunto formado por estos elementos lo llamaremos dominio de la relación R2 y lo anotaremos así: Dom R2= {3/4; ½; 1} Y al conjunto de los precios, correspondientes a las ventas de ese día, lo llamaremos conjunto imagen y lo escribiremos así: Im R2= {5,25; 3,5; 7}. Ahora que pudo comprobar cómo usa estos conceptos en la vida cotidiana, está en mejores condiciones de leer el texto para profundizar su conocimiento.

& Libro 1

Guía de lectura del libro 1 En el capítulo 1 (Relaciones) 1. Lea y responda las páginas 6 y 7 (Relaciones entre dos conjuntos) 2. Lea y responda las páginas 9, 10, 11 y 12 (Representación de relaciones) En el capítulo 2 (Funciones) 3. Lea y responda las páginas 20, 21 y 22. Resuelva los ejercicios 1, 2, 3 y 4 de pie de página. 4. Resuelva el ejercicio 5 a), b), c) y d) de las actividades de las páginas 26 y 27.

6 &

Libro 2

Vaya a "actividades sobre lo leído" y resuelva las "Actividades" Nº 1 a 6

Guía de lectura del libro 2 En el capítulo 4 (Funciones) 1. Lea las páginas 71 a 74 (Sin clasificación de funciones). 2. Lea las páginas 78 a 83 (Funciones numéricas). 3. Lea de las páginas 253, 254 y 255 del "Material para el trabajo creativo" la información extraída de los diarios y defina al menos 5 funciones. Para cada una de las funciones que defina, indique su conjunto de partida y el de llegada.

6

Vaya a "actividades sobre lo leído" y resuelva las "Actividades" Nº 1 a 6


42

Actividades sobre lo leído Actividad N° 1 Represente en el sistema cartesiano dado los siguientes pares ordenados: A= (0;1); B=(0;3); C=(0;-3); D=( 1;0); E=(3;0); F=(2;4); G=(-2;4); H=(3;-4); I=(-4;-3)

O 4 3 2 1

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-1

N

Bloque 2

-

-2 -3 -4

Actividad N° 2 La relación R de A en B dada en la tabla vincula "día de la primera semana de julio de un cierto año con la temperatura promedio de dicho día"

Día

1

2

3

4

5

6

7

3

4

3

-2

0

2

4

Temperatura promedio °C


43

1. Teniendo en cuenta que A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} y B=R (Nota: R es el conjunto de los números reales que le presentamos en la unidad 1 de este bloque) ¿Esta relación es función? Justifique su respuesta. 2. Represente la relación dada en un sistema cartesiano.

Actividad N° 3 1. Se controlan las posiciones de un móvil en una ruta. En el instante en que se produce el primer control t=0 min., se puso en parcha un cronómetro. A la posición correspondiente a ese instante se le asignó km cero o posición y = 0. Para describir los registros que se hicieron, se indicaron en el gráfico los pares ordenados (tiempo; posición del móvil), dados en minutos y km respectivamente. y (en km) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

t (en minutos)

a. Indique el dominio y el conjunto imagen de la función f: A'B que describe lo registrado respecto de este móvil. b. Escriba por extensión el conjunto de partida A y el conjunto de llegada B.


44

c. Indique cuál es la imagen de 20. d. Confeccione una tabla con los valores registrados. e. ¿Con qué cuanta podría calcularse la posición y del móvil a partir de conocer el tiempo t transcurrido? Para responder tenga en cuenta los datos que escribió en la tabla. f. ¿Cree Ud. que la función f:{0; 10; 20; 30; 40} à {0; 20; 40; 60; 80} tal que y=f(t)=2t describe los registros realizados a este móvil? Justifique su respuesta. 1. En el ejercicio anterior, se observó el cronómetro cuando señalaba t=0 min.; t=10 min.; t=20 min.; t=30 min. y t=40 min., pero, entre t=0 min. y t=40 min. el tiempo fue transcurriendo, y a la vez el móvil fue tomando todas las posiciones intermedias entre el km cero y el km 80. Si quisiéramos representar en la recta numérica "todas las cantidades t entre 0 y 40 resultaría:

0

Bloque 2

tiempo t 40

Es decir que serían todos los números reales comprendidos entre 0 y 40. Esto, escrito en símbolos, es: C={t ? R/ 0 < t < 40} En forma similar podemos pensar que el móvil pasó desde el km 0 al km 80, tomando todas las posiciones intermedias. Las posiciones podrían representarse en la recta numérica así: posiciones y 0

80

y escribirse así: D={y ? R/ 0 < y < 80} Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, podríamos definir una función g que describa la relación tiempo - posición, ya no sólo para los valores de t observados sino para cada instante t comprendido entre 0 y 40 minutos.


45

Y, por supuesto, pensando que en cada instante se comporta de manera si similar que en los instantes observados, es decir que se verifica que y=2t. Sea entonces la función g: C à D tal que y=g(t)=2t. Represente la función g en el sistema cartesiano dado a continuación. y (en km) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0

10

20

30

40

50

60

t (en minutos)

3. Represente en un sistema cartesiano la función h: R à R tal que h(t)=2t 4. a. ¿Qué tienen en común las funciones f, g y h dadas anteriormente? b. ¿En qué se diferencian las funciones f, g y h dadas anteriormente?

Nota: Queremos observar que las funciones f, g y h presentadas en la Actividad N° 3 tienen en común la fórmula "y=2t" pero se diferencian entre sí porque no están definidas en los mismos conjuntos. Esta diferencia se hace más visible en sus respectivas representaciones gráficas: (Aclaración: el símbolo " / " se lee "tal que")


46

f: A'B / y = f(t)=2t A={0; 10; 20; 30; 40}

g: C'D / y = g(t)=2t C={t ? R/ 0 < t < 40}

h: R'R / h(t)=2t R es el conjunto de los

B={0; 20; 40; 60; 80}

D={y ? R/ 0 < t < 80}

números reales

y (en km)

y (en km)

y (en km)

t (min)

t (min)

t (min)

Bloque 2

Fíjese que aunque los gráficos de g y h representan infinitos pares ordenados, conociendo algunos de ellos nos alcanza para representarlos a todos.

Actividad N° 4 1. a. Represente en un sistema cartesiano las posiciones y de un móvil para cada uno de los instantes t registrados en la siguiente tabla:

Tiempo t (seg)

0

1

2

3

Posición y (m)

0

1

4

9

b. Indique dominio y conjunto imagen de la función f definida con la tabla dada. 2. Represente en un sistema cartesiano las posiciones de un móvil que están dadas por la función g:{t ? R/ 0 < t < 3}' {y ? R/ 0 < y < 9}/ y=g(t)=t2


47

3. Para la función h representada a continuación, indique su dominio y su fórmula:

y (en km) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3

-2

-1

0

0

1

2

3

t (en segundos)

Si el gráfico representara las posiciones y (en metros) de un móvil a través del tiempo t (en segundos):

a. ¿Qué representaría el par ordenado (2;4)? b. ¿Podría decirse, de acuerdo al gráfico, que el móvil se encontraba en la posición 9 m en el instante t=3 seg? ¿Por qué? c. A partir de la fórmula, y si quiere usando la calculadora, encuentre las posiciones del móvil para los valores de t indicados en la tabla que sigue: Tiempo t

1,5

3

1,9

7 3

2,6

Posición y

Verifique si esos pares (t;y) que resultaron al completar la tabla pertenecen al gráfico dado.


48

Actividad N° 5 1. Volvamos a la relación que llamamos R1 en la Actividad N° 3 de las Actividades Previas a la Lectura y responda: a. ¿Esa relación es función? Justifique su respuesta. b. Represente dicha relación en un sistema cartesiano. (Si lo necesita, busque ayuda en la nota a continuación de la Actividad N° 3 de las Actividades Previas a la Lectura). 2. Escriba el conjunto de partida, el conjunto imagen y la fórmula correspondiente a la función f representada a continuación: y= f(x) 6 5

Bloque 2

4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

x

3. En el taller donde cortan chapas tienen que hacer cálculos para un nuevo pedido. Las chapas tienen medida x como base y medida y por altura. Las bases pueden medir valores entre 1 cm y 4 cm. Los cortes se hacen como indica el dibujo: x 10m y=10-x

y

x Ees decir que la medida de la altura y se puede calcular con la fórumla y=10-x


49

a. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, defina una función g que describa todos los pares ordenados "(medida de la base x; medida de la altura y)" posibles respecto de las chapas a cortar. b. Represente en un sistema cartesiano la función g.

Actividad N° 6 Teniendo en cuenta lo que leyó en su libro y las Actividades que resolvió, complete la siguiente tabla: EJEMPLOS Tema

Función f:AàB/ y=f(x) Una función es:........................ (complete)

Vocabulario

Simbología

En situaciones concretas

Conjunto de

Cantidades

partida

vendidas de café

Conjunto de llegada

precios del café

Numéricos para f:AàB/ y=2x A={2;3}

B= {4;6;7}

Dominio Conjunto Imagen

Im(f) = {4;6}

Imagen de a, para a ˛A

b= f(a)

7 es imagen de 1 Por ser $7 el precio de 1kg de café

Lista de precios de Don Juan

Tabla

Fórmula

y= f(x)

Cuenta para calcular los precios

Par ordenado

(a;b)

(cant. de café; precio a pagar)

y

x y

eje de ordenadas

50

Gráfico-Sistema coordenado

40 30 20 10

eje de abscisas

0 10

20

x


50

Respuestas a las actividades sobre lo leído Actividad n° 1 y

G

F

4 3

B

2 1 -5

-4

-3

-2

-1

0 -1

A D 0

E 1

2

3

4

5

x

-2 C -3 H

Bloque 2

-4

Actividad n° 2 1. La relación R de A en B, que se presenta en esta actividad, es función porque para cada uno de los días de la primera semana de julio se registró la temperatura promedio. Además para cada día la temperatura existe y el promedio es único. 2.

temperatura promedio 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1

0 1 -1

2

3

4

5

6

7

8

días

-2 -3 -4


51

Actividad N° 3 1. a. Dom(f)={0;10;20;30;40}

Im(f)= {0;20;40;60;80}

b. En este caso, por ser f función, el conjunto de partida coincide con el dominio de la función, o sea que A= Dom(f) y "casualmente" Im(f)=B. (En algunas funciones puede ocurrir que el conjunto de llegada no coincida con el conjunto imagen). c. La imagen de 20 es 40 d. Tiempo t (seg)

0

10

20

30

40

Posición y (m)

0

20

40

60

80

e. Observando la tabla, vemos que para cada caso: y es el doble que t. Por eso la cuenta que me permite calcular y a partir de t es y=2t f. La relación f considerada sí es función porque en cada instante, de los registrados, el móvil estaba en alguna posición. Además el móvil no puede estar en más de una posición en el mismo instante. Luego, para cada valor de t hay una y solo una posición y. 2., 3. y 4. Siga respondiendo. Después podrá verificar si lo que hizo es correcto o no.

Actividad n°4 1. a. y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 -1

2

3

4

5

6

7

8

x

-2


52

b. Dom(f)={0;1;2;3} Im(f)= {0;1;4;9} 2.

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 -1

2

3

4

5

6

7

x

8

-2

3. Dom(h)=R; y h(t)=t2

Bloque 2

Si el gráfico representara las posiciones y (en metros) de un móvil a través del tiempo t (en segundos): a. El par ordenado (2;4) informaría que el móvil estaba en la posición y= 4 m en el instante t= 2 seg. b. Sí puede afirmarse que cuando el tiempo transcurrido era de t= 3 seg el móvil se encontraba en la posición y= 9 m porque el punto de coordenadas (3;9) pertenece al gráfico. c. Tiempo t

1,5

Posición y

2,25

3

3

9 1,9 = 1 + = 2 9

4

7 3

49/9

6 2 2,6 = 2 + = 2 + = 9 3

64/9

¿Verificó si los puntos pertenecen al gráfico?

Actividad n° 5 a. La relación R1 que vincula medidas de altura x con medidas de base y de las

placas de 1 m2 de superficie, es función. Dado que para cada medida de altura x hay una y sólo una medida de base y que hace que el rectángulo de dimensiones x metros por y metros tenga una superficie igual a un metro cuadrado.


53

y (medidas de las bases en m) 8

7

6

5

4

3

2

1

0 0

1/8

2/8

3/8

4/8

5/8

6/8

7/8

1

x (medidas de las alturas en m)

2. El conjunto de partida es A = {x ˛ R : 1 £ x £ 6} 6 1 El conjunto de imagen es B = {y ˛ R : £ y £ 6} 6 1 Y la fórmula es y = f(x) = x 3. a. La función pedida es: g : {x ˛ R £ x £ 4} fi R/y = g(x) = 10 - x


54

b.

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2 -1 0 1 -1

2

3

4

5

6

7

x

8

-2

Tema

Vocabulario

Simbología

En situaciones concretas

Numéricos para f:AàB/ y=2x

Función

Conjunto de partida

A

Cantidades vendidas de café

A={2;3}

f:AàB/ y=f(x)

Conjunto de llegada

B

precios del café

B= {4;6;7}

Dominio

Dom (f)

Por se función es igual al conjunto de partida

Dom (f) = A

Conjunto Imagen

Im (f)

precios del café que figuran en la lista de precio

Im(f) = {4;6}

Una función es: Una relación de A en B que cumple con dos

condiciones: cada elemento de A tiene un Imagen de a, para a ˛A correspondiente en B. cada elemento de A tiene un único correspondiente en B

7 es imagen de 1 f(2) =4 Por ser $7 el precio 4 es imagen de 2 de 1kg de café

b= f(a)

Tabla

x

2

3

y

4

6

Lista de precios de Don Juan

x

2

3

y

4

6

Fórmula

y= f(x)

Cuenta para calcular los precios

y=f(x)=2x

Par ordenado

(a;b)

(cant. de café; precio a pagar)

(2;4);(3;6)

y

eje de ordenadas

50

Gráfico-Sistema coordenado

40 30 20 10

eje de abscisas

0 10

20

x

Bloque 2

EJEMPLOS

Acitividad nº 6

Busque ayuda en la nota de la actividad nº 2 previa a la lectura

y

eje de ordenadas

6 5 4 3 2 1

eje de abscisas

0 1

2

3 x


55


56

Matematica 2 Guia

Matematica 1 Guia

Matematica 3 Guia

Analisi matematica, Vol. 2

Matematica 2 3

Analisi matematica. Vol. 2

Matematica Aplicada 2

Matematica 1 2

Analisi Matematica Volume 2

Guia De Practica Clinica - 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 2

Matematica numerica (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Guia de Metal Gear Solid 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 1

Matematica 4

Analisi matematica

Logica matematica

Cartomagia Matematica

Analisi matematica

Matematica Discreta

Matematica liofilizzata

Esercizi di finanza matematica (UNITEXT La Matematica per il 3+2) Italian

Elementi di Logica Matematica

Fondamenti di matematica

Matematica Aplicada 4

Analisi matematica 1

Matematica Estas Ahi

Logica matematica per l'informatica

Guia del Autoestopista Galactico

Guia De Auto Cad

Matematica 2 Guia

Matematica 1 Guia

Matematica 3 Guia

Analisi matematica, Vol. 2

Matematica 2 3

Analisi matematica. Vol. 2

Matematica Aplicada 2

Matematica 1 2

Analisi Matematica Volume 2

Guia De Practica Clinica - 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 2

Matematica numerica (UNITEXT La Matematica per il 3+2)

Guia de Metal Gear Solid 2

Esercitazioni di matematica Vol. 2, Pt. 1

Matematica 4

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Cartomagia Matematica

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Matematica liofilizzata

Esercizi di finanza matematica (UNITEXT La Matematica per il 3+2) Italian

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