Skriptum zur Vorlesung Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Peter Wagner VO 4 SoSe 1993 und 2004 ¨ Letzte Anderung: 22. ...
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Skriptum zur Vorlesung Differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Peter Wagner VO 4 SoSe 1993 und 2004 ¨ Letzte Anderung: 22. 6. 2005
Institut fu ¨ r Technische Mathematik, Geometrie und Bauinformatik Baufakult¨ at, Universit¨ at Innsbruck
Inhaltsverzeichnis § 1 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen . . . . . . . . . § 2 Tangentialvektoren und Vektorfelder . . . . § 3 Tensoren auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . § 4 Borelmaße, Radonmaße, n-Formen und Orientierung . . . . . . . . . § 5 d, ∂, de Rham und Stokes . . . . . . . . . . § 6 Kanonisches Volumsmaß, Sternoperator . . . § 7 Geod¨atische Kurven und Normalkoordinaten § 8 Zusammenhang und kovariante Ableitung . § 9 Der Kr¨ ummungstensor . . . . . . . . . . . .
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1 16 39 53 71 85 98 115 130
Kap. I: Tensorrechnung auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten §1
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen
Def.: M sei ein topologischer Raum. M heißt n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit: ⇐⇒ (i) M hausdorffsch (d.h. ∀x 6= y ∈ M : ∃ Umgebung U von x, V von y : U ∩ V = ∅) (ii) M erf¨ ullt 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom (d.h. ∃ abz¨ahlbare Basis der Topologie) und (iii) M lokal hom¨oomorph zu Rn (d.h. ∀x ∈ M : ∃ offene Umgebung U von x : ∃V ⊂ Rn offen: ∃ϕ : U −→V ˜ Hom¨oomorphismus). x1 . Bsp.: 1) Rn mit u ¨blicher Topologie. Ich schreibe x = .. = (x1 , · · · , xn )T ∈ Rn xn ( T“= transponiert). ” 2) Sn := x ∈ Rn+1 : |x| = 1 ist n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit mit der Spurtopologie. n j Zu (iii): F¨ ur j ∈ {1, ·· · , n + 1} sei Uj,+ 0}, Uj,− := −Uj,+ , := {x ∈ S1 : x >j−1 n ϕj,± : Uj,± −→ V := x ∈ R : |x| < 1 : x 7−→ (x , · · · , x , xj+1 , · · · , xn+1 )T . ϕj,+ und ϕj,− sind Hom¨oomorphismen, sind p die Umkehrabbildungen 1 j−1 j n 2 V −→ Uj,± : x 7−→ x , · · · , x , ± 1 − |x| , x , · · · , x . Da jedes x ∈ Sn in einem Uj,+ oder einem Uj,− enthalten ist, ist (iii) bewiesen. Bemerkung: Es l¨asst sich zeigen, dass eine topologische Mannigfaltigkeit nicht zugleich n und p-dimensional sein kann, wenn n 6= p. Dies folgt aus dem nicht trivialen invariance ” of domain theorem“: ∅ 6= U ⊂ Rn offen, V ⊂ Rp offen, U hom¨oomorph V =⇒ n = p. (Brouwer, 1911) Def.: M sei n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. 1) Eine Karte auf M ist ein Hom¨omorphismus ϕ : U −→ V, wobei U ⊂ M offen, V ⊂ Rn offen. 2) Eine S Menge A = {ϕα : Uα −→ Vα : α ∈ A} von Karten auf M heißt Atlas von M : ⇐⇒ Uα = M. α∈A
3) Ein Atlas A heißt C k -Atlas, k ∈ {0, 1, · · · , ∞} :⇐⇒ ∀ϕα , ϕβ ∈ A : Uα ∩ Uβ 6= ∅ =⇒ k ϕα ◦ ϕ−1 β : ϕβ (Uα ∩ Uβ ) → ϕα (Uα ∩ Uβ ) ist C (d.h. k-mal stetig differenzierbar). Bemerkung: Jeder Atlas ist C 0 . Jeder C k -Atlas ist auch C l f¨ ur l ≤ k. 1
Bsp.: 1) M ⊂ Rn offen =⇒ A = {id : M −→ M } ist C ∞ -Atlas. 2) M = Sn ; A := ϕj,+ , ϕj,− : j ∈ {1, · · · , n + 1} ist C ∞ -Atlas, denn f¨ ur j < k gilt p −1 1 n T 1 k−1 k n T ϕj,+ ◦ ϕk,+ : (x , · · · , x ) 7−→ x , · · · , x , 1 − |x|2 , x , · · · , x ) 7−→ p 1 j−1 j+1 k−1 (x , · · · , x , x , · · · , x , 1 − |x|2 , xk , · · · , xn )T ist C ∞ auf ϕk (Uj,+ ∩ Uk,+ ) ⊂ V = n x ∈ R : |x| < 1 und in den F¨allen j ≥ k und − statt + ist es analog.
Def.: M sei eine topologische Mannigfaltigkeit, A1 , A2 C k -Atlanten auf M. A1 , A2 heißen C k -¨aquivalent: ⇐⇒ A1 ∪ A2 C k -Atlas. ¨ ¨ Hilfssatz: 1) C k -Aquivalenz ist eine Aquivalenzrelation auf der Menge der C k -Atlanten. ¨ 2) In jeder Aquivalenzklasse [A] ∃! maximaler C k -Atlas Amax , d.h. einer, der jeden C k ¨aquivalenten Atlas enth¨alt.
Beweis: 1) a) A1 , A2 C k −¨aquivalent ⇐⇒ ∀(ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , ∀(ϕ2 : U2 −→ V2 ) ∈ k A2 : U1 ∩ U2 6= ∅ =⇒ ϕ1 ◦ ϕ−1 2 : ϕ2 (U1 ∩ U2 ) −→ ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ist C . k k b) Es seien A1 , A2 C -¨aquivalent und A2 , A3 C -¨aquivalent und (ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , (ϕ3 : U3 −→ V3 ) ∈ A3 und x ∈ ϕ3 (U1 ∩ U3 ) ⊂ Rn . A2 Atlas =⇒ ∃(ϕ2 : U2 −→ −1 V2 ) ∈ A2 mit ϕ−1 3 (x) ∈ U2 =⇒ x ∈ ϕ3 (U2 ∩ U3 ) und ϕ2 ϕ3 (x) ∈ ϕ2 (U1 ∩ U2 ) =⇒ bei −1 −1 −1 k x ist ϕ1 ϕ3 = ϕ1 ϕ2 ◦ ϕ2 ϕ3 auch C . ¨ Somit sind auch A1 , A3 C k -¨aquivalent. Also ist C k -Aquivalenz transitiv. Der Rest ist klar. S k k 2) Wenn A C -Atlas, so ist Amax := {A1 : A1 , A C -¨aquivalent} auch ein C k -Atlas. Amax ist C k -¨aquivalent zu A und maximal mit dieser Eigenschaft. Bsp.: M = R, A1 := {id : R −→ R} und A2 := {R −→ R : x 7−→ x3 } sind 2 C ∞ -Atlanten, die nicht C 1 -¨aquivalent sind. Def.: M n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, k ∈ {0, 1, 2, · · · , ∞}. ¨ 1) Eine Aquivalenzklasse [A] von C k -Atlanten auf M heißt C k -Struktur auf M . k 2) Wenn [A] C -Struktur auf M , so heißt das Paar M, [A] eine C k -Mannigfaltigkeit. k Oft schlampig: k M C -Mannigfaltigkeit (so wie ”M topologischer Raum“). 3) M, [A] C -Mannigfaltigkeit. Wenn ϕ : U −→ V im maximalen Atlas von [A] enthalten ist, so heißt ϕ Karte auf M, [A] oder Karte der Mannigfaltigkeit M, [A] .
Bemerkung: W¨ahrend es auf M nur eine C 0 -Struktur gibt, gibt es f¨ ur k ≥ 1 unendlich viele verschiedene C k -Strukturen. Die Kenntnis der Topologie allein ist also nicht ausreichend f¨ ur die Mannigfaltigkeitsstruktur, wenn k ≥ 1. Notation: F¨ ur eine Karte ϕ schreibt man ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T . (EigentT lich m¨ usste es x 7−→ ϕ(x)1 , · · · , ϕ(x)n heißen.) Eine zweite Karte wird ψ : U 0 −→ 0 0 V 0 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T geschrieben.
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Bsp.: 1) Rn , Sn mit Atlanten wie oben sind C ∞ -Mannigfaltigkeiten. Die entsprechenden C ∞ -Strukturen heißen Standardstrukturen. k 2) M, [A] C -Mannigfaltigkeit, U ⊂ M offen. A U := ϕ U ∩U1 : (ϕ : U1 −→ V1 ) ∈ A ist C k -Atlas auf U und A U h¨angt nur von [A] ab. A U heißt induzierte C k -Struktur auf U. 3) Pn := Rn+1 \{0} modulo R, wobei xRy ⇐⇒ ∃λ ∈ R : x = λy. Pn ist der ¨ n-dimensionale projektive Raum. Ich schreibe [x] f¨ ur die Aquivalenzklasse von x ∈ Rn+1 . 1 F¨ ur j ∈ {1, · · · , n + 1} sei Uj := [x , · · · , xn+1 ] ∈ Pn : xj 6= 0 und ψj : Uj −→ Rn : 1 T x xj−1 xj+1 xn+1 . ,··· , j , j ,··· , j [x] 7−→ xj x x x n Alle ψj sind Karten auf P und A := ψ : j ∈ {1, · · · , n + 1} ist ein C ∞ -Atlas von Pn . j Damit ist Pn , [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit. 4) V endlich dimensionaler R-Vektorraum, ϕ : V −→R ˜ n Koordinatenabbildung bzgl. einer Basis, A := {ϕ}. Dann ist [A] von der gew¨ahlten Basis unabh¨angig und [A] heißt wieder Standardstruktur auf V . Def.: Mi , [Ai ] ni -dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, l ≤ k, x0 ∈ U ⊂ M1 offen, f : U −→ M2 stetig in x0 . 1) f heißt C l in x0 :⇐⇒ ∃(∀)(ϕi : Ui−→ Vi ) ∈ Ai mit x0 ∈ U1 und f (x0 ) ∈ U2 : −1 ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 (U2 ) −→ V2 ist C l in ϕ1 (x0 ). 1 : ϕ1 U ∩ U 1 ∩ f
2) f heißt C l :⇐⇒ ∀x ∈ U : f stetig und C l in x.
3) f C k -Diffeomorphismus :⇐⇒ f bijektiv, f, f −1 C k . Hilfssatz: 1) M C k -Mannigfaltigkeit =⇒ id : M −→ M ist C k . 2) M1 , M2 , M3 C k Mannigfaltigkeit, f : M1 −→ M2 C k , g : M2 −→ M3 C k =⇒ g ◦ f : M1 −→ M3 C k . Beweis: leicht. Bemerkung: Die Menge der C k -Mannigfaltigkeiten bildet also eine Kategorie. Schreibweise und Definition: M1 , M2 C k -Mannigfaltigkeiten, f : M1 −→ M2 C k , k ≥ 1, ϕ1 : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T C k -Karte auf M1 , ϕ2 : U2 −→ V2 : y 7−→ −1 (y 1 , · · · , y p )T C k -Karte auf M2 . F¨ ur die Abbildung ϕ2 ◦ f ◦ ϕ−1 (U2 ) −→ V2 1 : ϕ 1 U1 ∩ f 1 n T 1 p T schreibe ich f : x 7−→ y(x) oder f : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y ) . Dies heißt Koordinatendarstellung von f bzgl. ϕ1 , ϕ2 .
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∂y 1 ∂y 1 i ∂x1 · · · ∂xn . ∂y .. .. Die Jacobi-Matrix ist dann = . . ∂xj p ∂y p ∂y · · · ∂x1 ∂xn i ∂y Wenn x ∈ U1 ∩ f −1 (U2 ), so heißt Rgx f := Rg der Rang von f in x. ∂xj Rgx f ist von den gew¨ahlten Karten ϕ1 , ϕ2 unabh¨angig, denn wenn 0 0 0 0 ψ1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T , ψ2 : y 7−→ (y 1 , · · · , y p )T andere Karten sind, so ist i0 i i0 i0 k l ∂y ∂y ∂y ∂y ∂x ∂y = A B, wobei A, B 0 = 0 (Summenkonvention!), d.h. 0 j k l j j ∂x ∂y ∂x ∂x ∂x ∂xj invertierbare p × p- bzw. n × n-Matrizen sind.
Hilfssatz: M1 , M2 C k -Mannigfaltigkeiten der Dimension n bzw. p, k ≥ 1, ¨ f : M1 −→ M2 C k . Aquivalent sind: k (i) f C -Diffeomorphismus (ii) f bijektiv und ∀x ∈ M1 : Rgx f = n = p. Beweis: a) Erinnerung Satz u ¨ber implizite Funktionen (SIF) U ⊂ Rn sei Umgebung von 0, k ≥ 1, f : U −→ i ∂f n k (0) 6= 0). Dann existiert U1 ⊂ U offen, sodass 0 ∈ R C , Rg0 f = n (d.h. det ∂xj U1 , f (U1 ) offen, f1 : U1 −→ f (U1 ) : x 7−→ f (x) bijektiv und f1−1 C k . Bemerkung: Beachte, dass f in einer Umgebung von 0 C k sein muss. Differenzierbar allein ist auch nicht genug, man braucht stetig differenzierbar. b) (i) =⇒ (ii): xi , y j Koordinaten wie oben, d.h. i ∂y f : (xi ) 7−→ (y j ) =⇒ Rgx f = Rg ≤ min{n, p}. j i i ∂x i i ∂y ∂y ∂y ∂x −1 f ◦f = idM1 =⇒ · = I =⇒ Rgx f = Rg = dim im ≥ n, j j j j ∂y ∂x ∂x ∂x i ∂y wobei die Matrix als lineare Abbildung von Rn in Rp aufgefasst wird und im“ ” ∂xj den Bildraum bezeichnet. Ebenso: f ◦ f −1 = idM2 =⇒ Rgx f ≥ p. c) (ii) =⇒ (i): Es sei x0 ∈ M1 . Rgx0 f = n = p =⇒ (SIF) f −1 ist bei f (x0 ) C k . Bemerkung: Die Invarianz der Dimension ist also bei C k -Diffeomorphismus, k ≥ 1, relativ leicht zu zeigen; vgl. die Bemerkung in S. 1 zum Fall k = 0.
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Bsp.: 1) f : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] ist C ∞ , denn z.B. in den Karten ϕ1,+ von Sn und ψ2 auf Pn gilt: f - Pn Sn p hp i 1 − |x|2 , x1 , · · · , xn 7−→ 1 − |x|2 , x1 , · · · , xn ∪ ∪ U1,+ U2 6 o ϕ1,+
?
x ∈ Rn : |x| < 1
o ψ2
?
?
Rn
(x1 , · · · , xn )
p 1 − |x|2 x2 xn , 1,··· , 1 x1 x x
ist C ∞ auf ϕ1,+ U1,+ ∩ f −1 (U2 ) . 3 2) Die 2 Atlanten A1 = {id : R −→ R} und R} sind zwar nicht A2 = {x : R −→ ∞ ¨aquivalent auf R,d.h. R, [A1 ] und R, [A√ 2 ] sind verschiedene C -Mannigfaltigkeiten, aber f : R, [A1 ] −→ R, [A2 ] : x 7−→ 3 x ist ein C ∞ -Diffeomorphismus, denn f ist bijektiv und in Koordinaten gilt f : x 7−→ x. Beachte aber, dass g : R −→ N bzgl. [A1 ] C k sein kann und bzgl. [A2 ] nicht f¨ ur k ≥ 1. k Hilfssatz und Definition: M , [A ] , M , [A ] C -Mannigfaltigkeiten. 1 1 2 2 A1 × A2 := (ϕ1 , ϕ2 ) : U1 × U2 −→ V1 × V2 : (ϕi : Ui −→ Vi ) ∈ Ai . Dann ist A1 × A2 ein C k -Atlas auf M1 × M2 und die C k -Mannigfaltigkeit M1 × M2 , [A1 × A2 ] h¨angt nur von [A1 ], [A2 ] ab. Sie heißt direktes Produkt von M1 , [A1 ] , M2 , [A2 ] . Beweis: leicht.
1 Bsp.: S · · × S}1 heißt n-dimensionaler Torus. | × ·{z n
Def.: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit, M sei Gruppe. 1) M heißt Liegruppe :⇐⇒ M × M −→ M : (x, y) 7−→ xy −1 ist C ∞ (bzgl. [A × A] auf M × M und [A] auf M ). 2) M, N Liegruppen, f : M −→ N heißt Liegruppenhomomorphismus :⇐⇒ f C ∞ und Gruppenhomomorphismus. Bsp.: 1) R V endlich dimensionaler Vektorraum =⇒ V ist Liegruppe bzgl. + und Standard C ∞ -Struktur. 2) R V endlich dimensionaler Vektorraum, gl R (V ) := {A : V −→ V linear}. GlR (V ) := A ∈ glR (V ) : A invertierbar ⊂ glR (V ) offen =⇒ GlR (V ) ist C ∞ Mannigfaltigkeit (induziert von der Standardstruktur auf glR (V )). GlR (V ) mit ◦ ist Liegruppe, da (A, B) 7−→ A◦ B −1 in Koordinaten durch aik · (B ad )kj (aij ), (bij ) 7−→ (aij ) · (B −1 )ij = gegeben ist. det (B) 5
Def.: M, [A] sei eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, N ⊂ M, 0 ≤ p ≤ n. N heißt p − dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit von M :⇐⇒ ∀x0 ∈ N : 1 p p T ∃(ϕ : U −→V ˜ ) ∈ A max mit x0 ∈ U und ϕ(U ∩ N ) = V ∩ R := (x , · · · , x , 0, · · · , 0) ∈ V : x1 , · · · , x p ∈ R . Bild:
U ∪ U ∩N
ϕ
ϕ
U ∩N
-
V ∪ V ∩ Rp
Bemerkung: Wenn M, N, x0 , ϕ wie in der Definition sind und ψ ∈ Amax eine beliebige bei x0ist, ψ ◦ ϕ−1 : x 7−→ y, so ist Rg (ψ ◦ ϕ−1 ) = n und daher Karte k1 ∂(y , · · · , y kp ) det ϕ(x ) 6= 0 f¨ ur geeignete 1 ≤ k1 < · · · < kp ≤ n. 0 ∂(x1 , · · · , xp ) Nach SIF lassen sich dann (auf U1 ⊂ U offen mit x0 ∈ U1 ) y j als C k -Funktionen von y k1 , · · · , y kp , xp+1 , . . . , xn schreiben (vgl. auch den Beweis des n¨achsten Satzes). Speziell auf U1 ∩ N sind dann y j C k -Funktionen von (y k1 , · · · , y kp ) ∈ W ⊂ Rp offen. o n 1 x, |x| : x ∈ R =: N ist eine C 0 -, aber keine C 1 - Untermannigfaltigkeit von Bsp.:
R2 , denn wenn wir in der letzten Bemerkung die Karte ψn = id verwenden, so oist f¨ ur 1 2 1 1 x0 = (0, 0) ∈ U1 ⊂ R offen, U1 ∩ N weder von der Form y , f (y ) : y ∈ W noch o n von der Form f (y 2 ), y 2 : y 2 ∈ W mit 0 ∈ W ⊂ R offen und f : W −→ R C 1 . Hilfssatz und Definition: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, N p-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit. Dann gilt: N ist mit der Spurtopologie eine p-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und k p p B := ϕ U ∩N : U ∩ N −→ V ∩ R : ϕ ∈ Amax , ϕ(U ∩ N ) = V ∩ R ist ein C -Atlas auf N. [A] N := [B] heißt die auf N induzierte Mannigfaltigkeitsstruktur. Beweis: (ϕi : Ui −→ Vi ) ∈ A, i = 1, 2, mit ϕi (Ui ∩ N ) = Vi ∩ Rp und U1 ∩ U2 ∩ N 6= ∅. Es sei ψi := ϕi Ui ∩N −→ Vi ∩ Rp . ψ2 ◦ ψ1−1 : ψ1 (U1 ∩ U2 ∩ N ) −→ ψ2 (U1 ∩ U2 ∩ N ) ist dann die Einschr¨ankung von ϕ2 ◦ ϕ−1 1 auf ϕ1 (U1 ∩ U2 ) ∩ Rp und daher auch C k . Bemerkung: Auch wenn N ⊂ M keine C k -Untermannigfaltigkeit ist, l¨asst sich mit ” Gewalt“ eine C k -Struktur auf N definieren. Allerdings ist diese unter Umst¨anden nicht ¨ 1.4): kanonisch“, wie z.B. bei einer Lemniskate (Ub. ”
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M = R2
(Hier ist N nicht einmal eine topologische Mannigfaltigkeit in der Spurtopologie.) Satz M, [A]) n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, 1 ≤ p ≤ n, f : M −→ Rp C k , N := f −1 (0), ∀x ∈ N : Rgx f = p. Dann ist N eine (n − p)-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit. Beweis: Es sei x0 ∈ N und (ϕ : U −→ V ) ∈ Amax mit x0 ∈ U und ϕ(x0 ) = 0. f ◦ ϕ−1 : V −→ Rp : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T hat Rang p in ϕ(x0 ) = 0. OEdA sei ∂y i det (0) 6= 0 (sonst Umordnung der Koordinaten x1 , · · · , xn , d.h. Verwen∂xj i=1,··· ,p j=1,··· ,p dung eines anderen ϕ). Dann ist ψ : V −→ Rn : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p , xp+1 , · · · , xn )T bei 0 C k und hat Rang n. Nach SIF (S. 4) ist dann ψ bei 0 bijektiv und ψ −1 ist auch C k bei 0. Also ist auch (ψ ◦ ϕ : U1 −→ V1 ) ∈ Amax f¨ ur ein U1 ⊂ U offen mit x0 ∈ U1 . Weiters gilt: f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 = f ◦ ϕ−1 ◦ ψ −1 : (y 1 , · · · , y p , xp+1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T , d.h. f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 : V1 −→ Rp ist die Projektion auf die ersten p Koordinaten. Daher ist x1 ∈ U1 ∩ N ⇐⇒ x1 ∈ U1 , f (x1 ) = 0 ⇐⇒ x1 ∈ U1 , f ◦ (ψ ◦ ϕ)−1 ◦ (ψ ◦ ϕ)(x1 ) = 0 ⇐⇒ (ψ ◦ϕ)(x1 ) = (0, · · · , 0, xp+1 , · · · , xn ) mit geeigneten xp+1 , · · · , xn ∈ R ⇐⇒ (ψ ◦ϕ)(x1 ) ∈ V1 ∩ Rn−p . (Genaugenommen m¨ usste man noch durch eine Permutation die 0-en nach hinten bringen.) Also: (ψ ◦ ϕ)(U1 ∩ N ) = V1 ∩ Rn−p . Bemerkung: F¨ ur die Behauptung des Satzes gen¨ ugt es auch, wenn N in der Umgebung ur ein C k fx mit Rgx fx = p). jeden Punktes x ∈ N sich durch fx−1 (0) darstellen l¨asst (f¨ Bsp.: M = Rn (mit Standardstruktur), f : M −→ R1 : x 7−→ |x|2 − 1, N = f −1 (0) = ∂f ∂f , · · · , n = Rg(2x1 , · · · , 2xn ) = 1, da x 6= 0. Sn−1 3 x =⇒ Rgx f = Rg 1 ∂x ∂x n−1 ∞ Also ist S eine C -Untermannigfaltigkeit von Rn . Die induzierte C ∞ -Struktur ist dieselbe wie in S. 1, denn wenn U := {x ∈ Rn : xj > 0} f¨ ur ein j ∈ {1, · · · , n}, so ist n−1 1 j−1 j+1 ϕ : U −→ V ⊂ R × (−1, ∞) : x 7−→ (x , · · · , x , x , · · · , xn , |x|2 − 1)T eine Karte n auf R und ϕ(U ∩ N ) = V ∩ Rn−1 . Die Karte ϕ U ∩N der induzierten C ∞ -Struktur ist ¨ 1.8, S. 14). Daher nennen wir diese gerade ϕj,+ von S. 1. Analog f¨ ur ϕj,− . (Vgl. auch Ub. ∞ n−1 C -Struktur auf S auch Standardstruktur auf Sn−1 . 7
Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit, N ⊂ M p-dimensonale C k -Untermannigfaltigkeit (mit induzierter Struktur). Dann ist die Inklusionsabbildung i : N ,→ M C k und hat u ¨berall Rang p. Beweis: In Koordinaten entsprechend der Definition in S. 6 gilt i = (x1 , · · · , xp )T − 7 → 1 p T k (x , · · · , x , 0, · · · , 0) . Das ist C und hat Rang p. Bemerkung: Die Umkehrung“ gilt leider nicht, siehe unten. ” Def.: M sei n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, N p-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, f : N −→ M C k , k ≥ 1. 1) f heißt Immersion :⇐⇒ ∀x ∈ N : Rgx f = p.
2) f heißt Einbettung :⇐⇒ (i) f Immersion, (ii) f injektiv. 3) f heißt regul¨are Einbettung :⇐⇒ (i) f Einbettung, (ii) f (N ) C k -Untermannigfaltigkeit von M.
Bemerkung: Manche Autoren haben einen anderen Sprachgebrauch. Unsere Untermannigfaltigkeit heißt dort regul¨are Untermannigfaltigkeit“ oder eingebettete Unter” ” mannigfaltigkeit“, w¨ahrend mit Untermannigfaltigkeit“ das Bild f (N ) einer Einbettung ” f : N −→ M bezeichnet wird. cos x 1 Bsp.: 1) f : R −→ S : x 7−→ ist eine Immersion, aber keine Einbettung. sin x 2) Beispiele nicht regul¨arer Einbettungen sind die entsprechend dem Bild in S. 7 parametrisierten Lemniskaten oder der folgende Teil eines Cartesischen Blattes: T 3t2 3t 2 f : (−1, ∞) −→ R : t 7−→ , , 1 + t3 1 + t3 Bild:
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3) A1 = {id : R −→ R}, A2 = {x3 : R −→ R}, f : R, [A1 ] −→ R, [A2 ] : x 7−→ x ist C ∞ und bijektiv, aber keine Immersion, da Rg0 f = 0. 4) Die stereographische Projektion 1 2x · P : R −→ S : x 7−→ 2 |x|2 − 1 |x| + 1 n
n
ist eine regul¨are Einbettung. Bild:
|x|2 −1
1 |x|2 +1 (Beachte, dass = .) |x| |x| − |x|2|x| 2 +1
Denn: a) P injektiv: P(x 1 ) = P (x2 ) =⇒ |x1 | = |x2 | =⇒ x1 = x2 . 0 .. u . n n b) P (R ) = S \ , denn: ∈ Sn , u ∈ Rn , v ∈ R1 , |u|2 + v 2 = 1, v 6= 1 =⇒ v 0 1 T |u|2 − (1 − v)2 2uT (1 − v) u u = = , . P 2 2 2 2 v 1−v |u| + (1 − v) |u| + (1 − v) Also ist P (Rn ) ⊂ Sn offen und damit eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit von Sn . c) P hat u ur |x| 6= 1 nachgepr¨ uft. Dann liegt P (x) in ¨berall Rang n. Dies werde z.B. f¨ 2x Un+1,± und in den Karten ϕn+1,± (vgl. S. 1) gilt P : x 7−→ =: y. |x|2 + 1 i ∂y muss rotationsinvariant sein (denn f¨ ur A : Rn −→ Rn orthogonal, ist det ∂xj i ∂ y(Ax) ∂y i y(Ax) = Ay(x) =⇒ = (Ax) · akj . j k ∂x ∂x i k k ∂ Ay(x) ∂y i j i ∂y i ∂y = a (x) =⇒ (Ax) = b a (x), wobei A−1 = (bij ) =⇒ k l k j j l j ∂x ∂x ∂x ∂x i i ∂y ∂y (Ax) = det (x)) und folglich gilt det j j ∂x i ∂x ∂y ∂y i det (x) = det |x|, 0, · · · , 0 = ∂xj ∂xj 9
1 − |x|2 2 0 2 |x|2 + 1 −1 0 2 |x|2 + 1 = det .. ... .
···
2 |x|2 + 1
−1
2 = 2n · 1 − |x| n+1 6= 0. |x|2 + 1
F¨ ur |x| = 1 wird eine Karte ϕj,± verwendet. Dies ist etwas m¨ uhsamer. Hilfssatz: M, [A] , N, [B] m- bzw. p-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k≥ 1, f : N −→ M regul¨are Einbettung. Dann ist f1 : N, [B] −→ f (N ), [A] f (N ) ein C k -Diffeomorphismus. Beweis: Es sei x0 ∈ N, (ϕ : U −→ V ) ∈ B mit x0 ∈ U, (ψ : U1 −→ V1 ) ∈ Amax mit f (x0 ) ∈ U1 und ψ f (N ) ∩ U1 = V1 ∩ Rq , q = dim f (N ). OEdA f (U ) ⊂ U1 . In den Karten ϕ und ψ ist f gegeben durch f : (x1 , · · · , xp ) 7−→ (y 1 , · · · , y q , 0, · · · , 0). Da ψ f (N ) ∩ U1 = V1 ∩ Rq , ist f1 : (x1 , · · · , xp ) 7−→ (y 1 , · · · , y q ) bei ϕ(x0 ) C k und injektiv und hat Rang p (weil f Einbettung) =⇒ p ≤ q. Weil N eine abz¨ahlbare Basis ∞ S f (Wj ), Wj Kartengebiet in N. der Topologie hat, ist f (N ) ∩ U1 = f f −1 (U1 ) = j=1
∞ S W¨are p < q, so h¨atten ψ f (Wj ) und daher auch V1 ∩ Rq = ψ f (Wj ) Lebesguemaß j=1 −1 k 0. Also ist p = q und nach SIF f1 C bei ψ f (x0 ) . Somit ist f1 ein Diffeomorphismus.
Def.: G Liegruppe, H ≤ G Untergruppe. H heißt Lieuntergruppe :⇐⇒ H ist C ∞ Untermannigfaltigkeit von G. Hilfssatz: Eine Lieuntergruppe ist mit der induzierten Mannigfaltigkeitsstruktur eine Liegruppe. Beweis: Zu zeigen ist, dass f : H × H −→ H : (x, y) 7−→ xy −1 C ∞ ist. Wenn man Koordinaten wie in der Definition in S. 6 w¨ahlt, so gilt: f : (x1 , · · · , xp ), (y 1 , · · · , y p ) 7−→ (z 1 , · · · , z p ), wobei z 1 (x, y), · · · , z p (x, y) die ersten p Komponenten der Koordinatendarstellung von F : G × G −→ G : (x, y) 7−→ xy −1 sind. Bsp.: 1)R V n-dimensionaler Vektorraum, det : glR (V ) −→ R hat Rang 1 in jedem ∂det A ∈ GlR (V ), denn in Koordinaten A = (aij ) gilt (A) = (Aad )ji und Aad = 0 ⇐⇒ i ∂aj Rg (A) ≤ n − 2 =⇒ A ∈ 6 Gl (V ). R Also ist SlR (V ) := A ∈ glR (V ) : det A = 1 eine (n2 − 1)-dimensionale Lieuntergruppe von GlR (V ). 10
2) R V sei n-dimensionaler euklidischer Vektorraum mit innerem Produkt h , i. -dimensionale OR (V ) := A ∈ GlR (V ) : ∀x, y ∈ V : hx, yi = hAx, Ayi ist eine n(n−1) 2 Lieuntergruppe von GlR (V ). T ∗ Beweis: AT : x∗ 7−→ x 7−→ Wenn A ∈ glR (V ), so ist A ∗ ∈ glR (V ) definiert durch ∗ ∗ x (Ax) . Verm¨oge h , i wird V mit V identifiziert: V −→V ˜ : x 7−→ y 7−→ hx, yi . Dann erhalten wir ATneu ∈ glR (V ) definiert durch ∀x, y ∈ V : hx, Ayi = hAT x, yi. Wenn auf V und glR (V ) Koordinaten mit einer ONB-Basis gew¨ahlt werden, so ist A = (aij ), AT = (bij ) mit ∀i, j : bij = aji . (Sonst bij = akl · gkj g il , siehe sp¨ater). A ∈ OR (V ) ⇐⇒ AT A = I ⇐⇒ ∀i, k : bij · ajk = δki . Es sei f = (fki )1≤i≤k≤n : glR (V ) −→ Rn(n+1)/2 , wobei ∀i ≤ k : fki (A) = bij · ajk − δki = n P aji · ajk − δki . j=1
n(n + 1) Zu zeigen ist also: ∀A ∈ OR (V ) : RgA f = . 2 0 : i 6= l, k 6= l, i m ∂fk ak : i = l 6= k, ∀i, k, m, l : m = m : k = l 6= i, a ∂al im 2al : i = k = l. i ∂fk × n2 -Matrix. ist eine n(n+1) 2 ∂am 1≤i≤k≤n l 1≤m,l≤n
n(n + 1) Ihr Rang ist < ⇐⇒ die 2
n(n+1) 2
n × n-Matrizen
∂fki ∂am l
1≤m,l≤n
, 1 ≤ i ≤ k ≤ n,
sind linear abh¨angig ⇐⇒ ∃cki ∈ R, 1 ≤ i ≤ k ≤ n, nicht alle 0 : ∀m, l : Die letzte Gleichung ergibt:
n P
k=l+1
k am k ·cl +
l−1 P
∂fki k · ci = 0. ∂am l
m l l am i ·ci +2 al · cl = 0, ∀m, l ⇐⇒ A·D = 0, | {z } i=1 nicht
summieren! k c : 1 ≤ l < k ≤ n, l l k 2c (nicht summieren) : l = k, wobei dl = ll ck : 1 ≤ k < l ≤ n. Wenn A ∈ GlR (V ), folgt daraus D = 0, i.e. ∀i, k : cki = 0. n(n + 1) f¨ ur A ∈ GlR (V ) ⊃ OR (V ). Somit ist RgA f = 2 3) R V wie in 2); SOR (V ) := OR (V ) ∩ SlR (V ) ⊂ OR (V ) offen, da det A ∈ {+1, −1} -dimensionale Lieuntergruppe von f¨ ur A ∈ OR (V ) =⇒ SOR (V ) ist auch eine n(n−1) 2 GlR (V ). Bezeichnungen: Wenn V = Rn mit Standardskalarprodukt, dann schreibe ich gln (R) statt glR (V ), und analog sind Gln (R), Sln (R), On (R), SOn (R) zu verstehen.
11
¨ Ubungen ¨ 1.1 a) Es sei S := Rn ∪{∞} ˙ mit folgender Topologie: Ub. U ⊂ S offen: ⇐⇒ (U ⊂ Rn offen) ∨ (S\U ⊂ Rn kompakt). Zeige, dass S eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist. b) Zeige, dass A = id : Rn −→ Rn , ϕ : S\{0} −→ Rn mit 0 : x=∞ ϕ : x 7−→ ein C ∞ -Atlas auf S ist, und dass S, [A] diffeox : sonst |x|2 n morph zu S (mit der Standardstruktur) ist. Hinweis: Verwende die stereographische Projektion. ¨ 1.2 Es sei f : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] (vgl. S. 5) und g : Pn −→ M, M, [A] C k Ub. Mannigfaltigkeit. Zeige: g C k ⇐⇒ g ◦ f Ck. ur j ∈ {1, · · · , n + 1} und Hinweis: Zeige zuerst, dass f Uj, : Uj, −→ f (Uj, ) f¨ ∈ {+, −} Diffeomorphismen sind.
¨ 1.3 Es sei X = (3, 5)×{0, 1} ⊂ R2 und auf X die Relation (a, b)R(c, d) :⇐⇒ a = c > 4 Ub. gegeben. X trage die Spurtopologie von R2 und Y := X/R die Quotiententopologie. Zeige, dass Y (ii) und (iii), nicht aber (i) in der Definition einer eindimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit erf¨ ullt. Hinweis: Zeige, dass die Projektion p : X −→ Y offen ist und dass p (3,5)×{i} , i ∈ {0, 1}, Hom¨oomorphismen auf die jeweiligen Bilder sind. T t(1 + t2 ) t(1 − t2 ) 2 ¨ Ub. 1.4 a) Zeige, dass f± : R −→ R : t 7−→ C ∞ -Einbettungen ,± 1 + t4 n 1 + t4 o x 2 2 2 2 2 2 ∈ R : (x + y ) = x − y sind, die als Bild beide die Lemniskate L = y haben. b) Zeige, dass L in der Spurtopologie keine topologische Mannigfaltigkeit ist. c) Zeige, dass die durch f+ und f− auf L u ¨bertragenen Topologien (und umso mehr ∞ die C -Strukturen) untereinander verschieden sind, und dass beide Topologien von der Spurtopologie verschieden sind. ¨ 1.5 a) Es werde R3 mit dem Standardskalarprodukt h−, −i und der StandardorientieUb. rung (und damit mit dem u ¨blichen ×-Produkt) betrachtet. Zeige, dass die Drehung Ax0 ,ϕ im R3 um die Achse λx0 , x0 ∈ R3 , |x0 | = 1, λ > 0, um den Winkel ϕ im Rechtsdrehsinn durch Ax0 ,ϕ x = x0 hx, x0 i(1 − cos ϕ) + x cos ϕ + x0 × x sin ϕ gegeben ist.
12
b) Mi , [Ai ] , i = 1, 2, seien C k -Mannigfaltigkeiten, k ≥ 1, N ⊂ M2 eine Untermannigfaltigkeit mit induzierter Struktur, f : M1 −→ N, f1 : M1 −→ M2 : x 7−→ f (x). Zeige: (f C k ⇐⇒ f1 C k ) und (∀x ∈ M1 : Rgx f = Rgx f1 ). Speziell: f Immersion ⇐⇒ f1 Immersion. 2
1
c) Zeige, dass f : S × S −→ SO3 (R) : (x0 , y0 ) 7−→ Ax0 ,ϕ , wobei y0 =
surjektiv und C ∞ ist. Wo ist Rg f < 3? F¨ ur welche xi , yi gilt f (x0 , y0 ) = f (x1 , y1 )?
cos ϕ , sin ϕ
0 Hinweis zu c): W¨ahle eine ONB im R3 , sodass x0 = 0 und betrachte f1 : 1 2 1 S × S −→ gl3 (R) entsprechend b). Verwende bei x0 die Karte ϕ3,+ und auf S1 den Winkel zur positiven x1 -Achse als Koordinate. ¨ 1.6 Es soll gezeigt werden, dass eine zusammenh¨angende 1-dimensionale C k -MannigUb. faltigkeit M, [A] diffeomorph zu S1 oder zu R1 (mit den Standardstrukturen) ist. a) Zeige, dass es einen zu A ¨aquivalenten Atlas B = (ϕi : Ui −→ Vi ) : i ∈ I mit endlichem oder abz¨ahlbarem I gibt, sodass: (i) ∀i ∈ I : Vi ⊂ R offenes Intervall, (ii) ∀i ∈ I : Ui ⊂ M kompakt, (iii) ∀K ⊂ M kompakt: {i ∈ I : Ui ∩ K 6= ∅} ist endlich, (iv) ∀i ∈ I : ∃(ψi : Ui0 −→ Vi0 ) ∈ Amax mit Ui ⊂ Ui0 und ϕi = ψi Ui . b) Es sei B wie in a) und (ϕi : Ui −→ Vi ), (ϕj : Uj −→ Vj ) ∈ B. Wenn U := Ui ∩ Uj 6= ∅ und Ui 6⊂ Uj , Uj 6⊂ Ui , Vi = (a, b), Vj = (c, d) ⊂ R, dann gilt entweder n (i) ∃a < α < b, ∃c < γ < d : ϕi (U ) = (a, α) ∨ ϕi (U ) = (α, b) ∧ ϕj (U ) = o (c, γ) ∨ ϕj (U ) = (γ, d) n oder (ii) ∃a < α < β < b, ∃c < γ < δ < d : ϕi (U ) = (a, α) ∪ (β, b) ∧ ϕj (U ) = o (c, γ) ∪ (δ, d) . Hinweis: Wegen a) haben Ui und Uj jeweils 2 Randpunkte. c) Es sei (ii) in b) erf¨ ullt. Zeige, dass dann M = Ui ∪ Uj und M zu S1 diffeomorph ist. 3π Hinweis: Zeige, dass Ui ∪ Uj abgeschlossen ist. W¨ahle a = 0, b = , c = −π, d = 2 π und ¨andere ϕi so ab, dass es auf Ui ∩ Uj mit ϕj bzw. mit 2π + ϕj u ¨bereinstimmt. 2
13
cos ϕλ (x) f¨ ur x ∈ Uλ , λ ∈ {i, j}. Setze dann f : M −→S ˜ : x 7−→ sin ϕλ (x) d) Es sei B = (ϕi : Ui −→ Vi ) : i ∈ I wie in a) und I sei strikt geordnet, d.h. I = {1, · · · , N } oder I = N. Definiere k(1) := 1, k(2) := min{i ∈ I : Ui 6= Ui ∩ Uk(1) 6= ∅}, · · · , k(n + 1) := min i ∈ I : Ui 6= U i ∩ (Uk(1) ∪ · · · ∪ Uk(n) ) 6= ∅ , · · · . Zeige, dass B0 := (ϕk(i) : Uk(i) −→ Vk(i) ) : i = 1, 2, · · · ein zu B a¨quivalenter Atlas ist. 1
e) Nehme an, dass M nicht diffeomorph zu S1 ist. Zeige, dass M diffeomorph zu R1 ist. := := ϕk(1) , · · · , ψ U Hinweis: Definiere ψ : M −→R ˜ 1 rekursiv durch ψ U k(n+1) k(1) ϕk(n+1) nach Ab¨anderung von ϕk(n+1) auf Uk(n+1) ∩ (Uk(1) ∪ · · · ∪ Uk(n) ). Verwende hier, dass b) (i) gilt. ¨ 1.7 Es sei Gn,k := {V ≤ Rn k-dimensionaler Untervektorraum} f¨ Ub. ur k ∈ {0, · · · , n}. n−1 n (Offenbar ist Gn,0 = {0} , Gn,1 = P , Gn,n = {R }.) Weiters sei Fn,k := (x1 , · · · , xk ) : {x1 , · · · , xk } ⊂ Rn linear unabh¨angig und p : Fn,k −→ Gn,k : (x1 , · · · , xk ) 7−→ R hx1 , · · · , xk i.
a) Zeige, dass Fn,k ⊂ Rnk offen ist und dass Gn,k mit der Finaltopologie bzgl. p eine k · (n − k)-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist. Verwende dazu die folgenden Hom¨oomorphismen: 0 Es sei j = (j1 , · · · , jk ) ∈ Nk , 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n, 1 ≤ j10 < · · · < jn−k ≤ j 0 0 l n, {1, · · · , n} = {j1 , · · · , jk , j1 , · · · , jn−k }, Uj := x ∈ Fn,k : det (xi ) i=1,··· ,k 6= 0 , l=1,··· ,k j0 −1 j10 j1 1 x1 · · · x k x1 · · · xjk1 . ··· ··· ϕj : p(Uj )−→R ˜ k(n−k) : hx1 , · · · , xk i 7−→ 0 0 jk jk jn−k jn−k x1 · · · x k x1 · · · x k b) Zeige, dass durch ϕj : p(Uj ) −→ Rk(n−k) : 1 ≤ j1 < · · · < jk ≤ n ein C ∞ -Atlas auf Gn,k gegeben ist. (Gn,k mit dieser C ∞ -Struktur heißt Grassmann-Mannigfaltigkeit.) ¨ 1.8 Es sei N ⊂ M eine C k -Untermannigfaltigkeit, k ≥ 1 und A = (ϕi : Ui −→ Vi ) : Ub. i ∈ I eine Menge ∀i ∈ I : Ui ⊂ N offen, Vi ⊂ Rn offen, S von Abbildungen mit (i) −1 Ui = N ; (iii) ∀i ∈ I : ϕi : Vi −→ M ist C k -Immersion. ϕi bijektiv; (ii) i=I
¨ Zeige, dass dann A ein C k -Atlas auf N ist, dessen Aquivalenzklasse die von M induzierte Struktur ist. Hinweis: Beachte den Hilfssatz in S. 10. 14
¨ 1.9 Es sei X := (cos(2ϑ), sin(2ϑ), u cos ϑ, u sin ϑ)T ∈ R4 : u, ϑ ∈ R . Ub. 4 a) Zeige, dassXeine Untermannigfaltigkeit von R ist. r r cos 2ϑ v r sin 2ϑ Hinweis: ψ : ur r 6= 0 lokal diffeomorph. u 7−→ u cos ϑ − v sin ϑ ist f¨ ϑ u sin ϑ + v cos ϑ
¨ b) Zeige, dass die induzierte C ∞ -Mannigfaltigkeitsstruktur die Aquivalenzklasse −1 −1 ∞ des C -Atlas {ϕ1 , ϕ2 } ist, wobei ϕ1 : (0, π) × R −→ im (ϕ1 ) ⊂ X, ϕ−1 : 2 −1 −1 π π T − 2 , 2 ×R −→ im (ϕ2 ) ⊂ X mit ϕj (ϑ, u) = cos(2ϑ), sin(2ϑ), u cos ϑ, u sin ϑ) . (X heißt M¨obius-Band.) ¨ 1.10 Seien M, [A] , N, [B] C k -Mannigfaltigkeiten, k ≥ 1, und f : N −→ M eine EinUb. f −1
bettung und f (N ) −→ N stetig. Zeige, dass dann f (N ) eine C k -Untermannigfaltigkeit von M ist, d.h. f eine regul¨are Einbettung ist.
15
§2
Tangentialvektoren und Vektorfelder
Definition und Hilfssatz: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, x0 ∈ M, W ⊂ R offen, 0 ∈ W. 1) x(t) : W −→ M C k mit x(0) = x0 heißt C k -Kurve durch x0 . (Zur Unterscheidung von Punkten x ∈ M schreibe ich x(t) f¨ ur Kurven, obwohl prinzipiell das Symbol x gen¨ ugen w¨ urde.) 2) x(t), y(t) C k -Kurven bei x0 . x(t), y(t) heißen tangential in x0 :⇐⇒ ∃(∀)(ϕ : U −→ d .) V ) ∈ A mit x0 ∈ U : (ϕ ◦ x)0 (0) = (ϕ ◦ y)0 (0) ∈ Rn . (0 steht hier f¨ ur dt ¨ ¨ 3) Die Menge der Aquivalenzklassen von C k -Kurven durch x0 bez¨ uglich der Aquivalenzrelation tangential in x0“ heißt Tangentialraum an M in x0 bzw. Tx0 M . ” ¨ Wenn [−]nwieder einmal die Aquivalenzklassen o bezeichnet, so ist also k Tx0 M = x(t) : x(t) C -Kurve durch x0 . (Wegen ∃ ⇐⇒ ∀ in 2) h¨angt Tx0 M nur von der C k -Struktur [A], nicht vom speziellen Atlas A ab.)
Beweis von ∃ ⇐⇒ ∀ in 2): (ψ : U1 −→ V1 ) ∈ A mit x0 ∈ U1 , A := Jacobi-Matrix von ψ ◦ ϕ−1 in ϕ(x0 ) =⇒ (Kettenregel) (ψ ◦ x)0 (0) = (ψ ◦ ϕ−1 ◦ ϕ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ y)0 (0) = (ebenso) = (ψ ◦ y)0 (0), wenn x(t), y(t) tangential sind. Hilfssatz und Definition: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, (ϕ : U −→ V ) ∈ A, x0 ∈ U. 1) Tx0 ϕ : Tx0 M −→ Rn : x(t) −→ (ϕ ◦ x)0 (0) ist bijektiv.
2) Wir betrachten Tx0 M als R-Vektorraum so, dass ∃(∀)(ϕ : U −→ V ) ∈ A mit x0 ∈ U : Tx0 ϕ R-Vektorraum-Isomorphismus. (Wegen (∃ ⇐⇒ ∀) ist die Vektorraumstruktur unabh¨angig von der Wahl von ϕ.)
Beweis: 1) Tx0 ϕ ist wohldefiniert und injektiv nach Definition. Wenn ξ ∈ Rn , so ist ur ein > 0 wohldefiniert, C k , und x(t) : (−, ) −→ M : t 7−→ ϕ−1 ϕ(x0 ) + ξt f¨ Tx0 ϕ x(t) = ξ. Also ist Tx0 ϕ auch bijektiv.
2) Wenn (ψ : U1 −→ V1 ) eine weitere C k -Karte mit x0 ∈ U1 ist und A := JacobiMatrix von ψ ◦ ϕ−1 in ϕ(x0 ), so gilt f¨ ur eine C k -Kurve x(t) durch x0 : (ψ ◦ x)0 (0) = A · (ϕ ◦ x)0 (0), d.h. Tx0 ψ = A ◦ Tx0 ϕ. Daher gilt: Tx0 ϕ linear ⇐⇒ Tx0 ψ linear. Also ist die R-Vektorraumstruktur von der Wahl der Karte ϕ unabh¨angig.
16
1 n T Notation: ϕ : U −→ V : x 7−→ eine Karte (in A) mit x0 ∈ U (vgl. (x , · · · , x ) sei 0 1 .. 0 S. 3 f¨ ur die Schreibweise). e1 = .. , · · · , en = . sei die Standardbasis im Rn . 0 . 1 0 ∂ := (Tx0 ϕ)−1 (ej ) ∈ Tx0 M f¨ Man definiert ur j ∈ {1, · · · , n}. (Manchmal schreibe ich j ∂x ∂ genauer .) ∂xj x0 ∂ ∂ , · · · , n eine Basis in Tx0 M. F¨ ur j ∈ {1, · · · , n} ist Nach dem letzten Hilfssatz ist 1 ∂x ∂x ∂ ¨ die Aquivalenzklasse x(t) aller C k -Kurven durch x0 f¨ ur die (ϕ◦x)0 (0) = ej also ∂xj x0 gilt. Eine spezielle solche Kurve ist z.B. die Koordinatenlinie“ t 7−→ ϕ−1 ϕ(x0 ) + tej . ” ∂ h¨angt von der gesamten Karte ϕ ab und ¨andert seine Be(Vorsicht: Das Symbol ∂xj deutung auch dann, wenn sich nur x1 , · · · , xj−1 , xj+1 , · · · , xn ¨andern. Das ist ebenso wie ∂ bei den partiellen Ableitungen, und als solche wird in S. 20 interpretiert.) ∂xj
Wenn v ∈ Tx0 M und (Tx0 ϕ)(v) = (v 1 , · · · , v n )T = v j ej ∈ Rn , so ist h i ∂ v = v j j = ϕ−1 ϕ(x0 ) + tv j ej . ∂x 0 0 Wenn ψ : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T eine urlich C k ) mit x0 ∈ U1 Karte (nat¨ zweite i0 ∂x ϕ(x ) , so gilt: ist, und A :=(Jacobi-Matrix von ψ ◦ ϕ−1 ) = 0 ∂xj i,j=1,··· ,n ∂ = (Tx0 ϕ)−1 (ej ) = (A−1 Tx0 ψ)−1 (ej ) = (Tx0 ψ)−1 (Aej ) = ∂xj i0 0 ∂ ∂xi −1 ∂x = (Tx0 ψ) ei = · i0 . j j ∂x ∂x ∂x i0 ∂x ∂ ∂ = · i0 , wie wenn man formal k¨ urzen w¨ urde. Also: j j ∂x ∂x ∂x 0 ∂xi ∂ ∂ ϕ(x0 ) · (Genauer: = .) j j ∂x x0 ∂x ∂xi0 x0 0 i0 ∂xi ∂ ∂ i0 ∂ i0 j ∂x = v mit v = v . Allgemein: v = v j j ∈ Tx0 M =⇒ v = v j j ∂x ∂x ∂xi0 ∂xi0 ∂xj In der Physik fasst man manchmal einen Tangentialvektor v als einen von der Karte i0 1 n T n i0 j ∂x abh¨angigen Vektor (v , · · · , v ) ∈ R auf, so dass bei Kartenwechsel gilt v = v . ∂xj Redeweise: Der Vektor transformiert sich kontravariant“. ” 17
Bsp.: 1) V n-dimensonaler R-Vektorraum mit x0 ∈ V. Dann kann Standardstruktur, man Tx0 V mit V identifizieren: Tx0 V −→V ˜ : x(t) 7−→ x0 (0) ∈ V. Bildlich wird v ∈ Tx0 V als Vektor in x0 dargestellt. Speziell f¨ ur V = Rn heißt das: mit Anfangspunkt ∂ Tx0 Rn −→R ˜ n : v i i 7−→ (v 1 , · · · , v n )T . (Oder allgemeiner, in einer linearen Karte ∂x ϕ bzgl. einer Basis e1 , · · · , en ∈ V, d.h. ϕ : V −→ Rn : v i ei 7−→ (v 1 , · · · , v n )T ist dann ∂ Tx0 V −→V ˜ : v i i 7−→ v i ei .) ∂x 2) N ⊂ M Untermannigfaltigkeit, x0 ∈ N. Da C k -Kurven auf N durch x0 auch solche auf M sind und x(t), y(t) tangential in x0 auf N ⇐⇒ detto auf M , erhalten wir eine injektive lineare Abbildung Tx0 N ,→ Tx0 M. Im Fall x0 ∈ N ⊂ Rn Untermannigfaltigkeit ergibt sich der u ¨bliche Tangentialraum, wenn man Tx0 N parallel nach x0 verschiebt. Speziell, wenn x0 ∈ U ⊂ M offen, so ist Tx0 U = Tx0 M. r sin ϑ cos ϕ 3) Die Kugelkoordinaten ψ : R3 −→ R3 : (r, ϑ, ϕ)T 7−→ r sin ϑ sin ϕ liefern die C ∞ r cos ϑ −1 3 2 1 Karte ψ : U := {x ∈ R : x 6= 0 oder x > 0} ' (0, ∞) × (0, π) × (−π, π) auf M = R3 . ∂ ∂ ∂ ∂ Wenn x0 ∈ U und v ∈ Tx0 R3 , v = v i i , so gilt bzgl. ψ −1 : v = vr + vϑ + vϕ . ∂x ∂r ∂ϑ ∂ϕ Die Umrechnung geschieht entweder mit der Jacobi-Matrix, d.h. 3 v j xj P ∂xi ∂ xi0 ∂ ∂ 0 j ∂r = (x0 ) i = etc., vr = v (x0 ) = etc., i j ∂r ∂r ∂x r0 ∂x ∂x j=1 r0 ∂ ¨ ist die Aquivalenzklasse des Weges ψ(r0 +t, ϑ0 , ϕ0 ), wenn ψ −1 (x0 ) = oder geometrisch: ∂r " # xi ∂ t ∂ = 0 etc. = x0 1 + (r0 , ϑ0 , ϕ0 )T =⇒ ∂r r0 r0 ∂xi 4) Es sei M = S2 , x0 ∈ U3,+ ∩ U1,+ . Wir wollen die Karten ϕ3,+ : (x1 , x2 , x3 )T 7−→ 0 0 (x1 , x2 )T und ϕ1,+ : (x1 , x2 , x3 )T 7−→ (x2 , x3 )T =: (x1 , x2 )T vergleichen. Zun¨achst zu p T ∂ ϕ3,+ . Dann ist 1 = x(t) ∈ Tx0 S2 , wobei x : t 7−→ x10 +t, x20 , 1 − (x10 + t)2 − (x20 )2 ∈ ∂x S2 . Wenn wir S2 ⊂ R3 als Untermannigfaltigkeit auffassen und Tx0 S2 ⊂ Tx0 R3 ' R3 wie T T ∂ x10 x20 ∂ und ebenso ur die in 1), 2) so gilt also = 1, 0, − 3 = 0, 1, − 3 . F¨ ∂x1 x ∂x2 x T T 0 20 3 ∂ x x ∂ Karte ϕ1,+ folgt ebenso − 10 , 1, 0 , − 01 , 0, 1 . Beachte, dass 0 = 0 = 1 2 ∂x x0 ∂x x0 ∂ ∂ ∂ 0 6= , da von der gesamten Karte abh¨angt. zwar x1 = x2 , aber ∂x10 ∂x2 ∂xi Def.: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, x0 ∈ M, x0 ∈ U1 , U2 ⊂ M offen, fi : Ui −→ R C k . 1) f1 , f2 stimmen bei x0 u ¨berein :⇐⇒ ∃U ⊂ U1 ∩ U2 offen mit x0 ∈ U : f1 = f2 . U
18
U
¨ ¨ 2) Eine Aquivalenzklasse bzgl. der Aquivalenzrelation in 1) heißt C k -Funktionskeim in x0 und wird (wieder einmal) mit [−] bezeichnet. k k + -Funktionskeime in x0 } ist eine R-Algebra (wobei λ[f1 ] . µ[f2 ] = Cx0 (M ) := {C ur λ, µ ∈ R, U := U1 ∩ U2 ). (λf1 +. µf2 ) U f¨
3) D : Cxk0 (M ) −→ R heißt Derivation (in x0 ) :⇐⇒ (i) D linear, (ii) ∀[f ], [g] ∈ Cxk0 (M ) : D [f ] · [g] = f (x0 )D [g] + g(x0 )D [f ] . Derx0 (M ) := {D Derivation} ist ein R-Vektorraum. Hilfssatz: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit, x0 ∈ M. Dann ist F : Tx0 (M ) −→ Derx0 (M ) : x(t) 7−→ [f ] 7−→ (f ◦ x)0 (0) ein VektorraumIsomorphismus.
Beweis: a) F ist wohldefiniert, denn in Koordinaten ϕ : x 7−→ (xi ) gilt: d(ϕ ◦ x1 )i ∂(f ◦ ϕ−1 ) α) [f ] = [g], x1 (t) = x2 (t) =⇒ (f ◦ x1 )0 (0) = ϕ(x ) · (0) = 0 ∂xi dt d(ϕ ◦ x2 )i ∂(g ◦ ϕ−1 ) ϕ(x ) · (0) = (g ◦ x2 )0 (0) nach der Kettenregel und da = 0 ∂xi dt ∂(f ◦ ϕ−1 ) 0 0 ϕ(x ) schreibt man (ϕ ◦ x1 ) (0) = (ϕ ◦ x2 ) (0) = (Tx0 ϕ) xi (t) . F¨ ur 0 ∂xi ∂f (schlampigerweise) einfach (x0 ). ∂xi ! ∂f ∂ [f ] = Mit dieser Schreibweise gilt dann F (x0 ), denn nach S. 17 ist j ∂x x0 ∂xj d(ϕ ◦ x) ∂ = x(t) mit (0) = ej . j ∂x dt 0 0 β) (f · g) ◦ x (0) = (f ◦ x) · (g ◦ x) (0) = f (x0 )(g ◦ x)0 (0) + g(x0 ) · (f ◦ x)0 (0) nach der Produktregel =⇒ F x(t) ∈ Derx0 (M ).
∂f [f ] = v i i (x0 ), vgl. a). ∂x j j i ∂ [x ] = v j und somit c) F ist injektiv, denn speziell f¨ ur f = x gilt F v i ∂x ∂ i ∂ = 0 ⇐⇒ v i i = 0. F v i ∂x ∂x ∂ b) F ist linear, da F v ∂xi i
d) F ist surjektiv: Es sei D ∈ Derx0 (M ), [f ] ∈ Cx∞0 (M ), f : U −→ R. In Koordinaten ist f (x1 , · · · , xn ) = Z1 d = f (x0 ) + f x10 + t(x1 − x10 ), · · · , xn0 + t(xn − xn0 ) dt = dt 0
19
Z1
∂f 1 x0 + t(x1 − x10 ), · · · , xn0 + t(xn − xn0 ) dt . i ∂x 0 | {z } gi (x) C ∞ bei x0 Wenn 1 die konstante Funktion ist, so ist D [1] = D [1] · [1] = D[1] + D [1] =⇒ =⇒ D [1] = 0 =⇒ D [f ] = D f (x0 ) + D [xi − xi0 ] · gi (x) = ∂f i i i i ∂ = 0 + gi (x0 )D [x − x0 ] = (x ) · D [x ] = F v [f ] , 0 i i ∂x ∂x wenn v i := D [xi ] ∈ R, i = 1, · · · , n. = f (x0 ) + (xi − xi0 )
∂ also ihre ∂xj u ¨bliche Bedeutung einer partiellen Ableitung, vgl. die Formel in a) des Beweises. In ∂ ∂ .) . (Genauer: (∂i )x0 = Zukunft schreibe ich auch ∂i := ∂xi ∂xi x0 Bemerkung: Als Derivationen aufgefasst, haben die Tangentialvektoren
Hilfssatz: M Menge, I beliebige Indexmenge, A = {ϕi : Ui −→ Vi : i ∈ I} erf¨ ulle S (i) (∀i ∈ I : Ui ⊂ M ) und ( Ui = M ), I1 ⊂ I abz¨ahlbar; i∈I1
(ii) ∀i ∈ I : Vi ⊂ Rn offen;
(iii) ∀i ∈ I : ϕi bijektiv; (iv) ∀x 6= y ∈ M : (∃i ∈ I : x, y ∈ Ui ) ∨ (∃i, j ∈ I : x ∈ Ui , y ∈ Uj , Ui ∩ Uj = ∅); (v) ∀i, j ∈ I : Ui ∩ Uj 6= ∅ =⇒ ϕi ◦ ϕ−1 : ϕj (Ui ∩ Uj ) −→ ϕi (Ui ∩ Uj ) ist ein j Hom¨oomorphismus von offenen Mengen. Ui trage die Initialtopologie bzgl. ϕi und es sei (U ⊂ M offen) :⇐⇒ (∀i ∈ I : U ∩Ui ⊂ Ui offen). Dann ist M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und A ein C 0 -Atlas auf M. S Beweis: a) Offenbar gilt (Uα ⊂ M offen, α ∈ A =⇒ Uα ⊂ M offen), (U, U 0 ⊂ M α∈A
offen ⇐⇒ U ∩ U 0 ⊂ M offen) und (∅, M ⊂ M offen). Also ist auf M eine Topologie erkl¨art. b) Ui, Sp sei Ui mit der von M induzierten Spurtopologie, Ui, Ini sei Ui mit der Initialtopologie bzgl. ϕi . Dann ist U ⊂ Ui, Sp offen ⇐⇒ U = W ∩ Ui , W ⊂ M offen =⇒ (nach Definition der Topologie auf M ) =⇒ U ⊂ Ui, Ini offen. Umgekehrt: U ⊂ Ui, Ini offen ⇐⇒ U = ϕ−1 i (V ), V ⊂ Vi offen =⇒ ϕj (U ∩ Uj ) = −1 ⊂ ϕj (Ui ∩ Uj ) offen =⇒ ϕj (U ∩ Uj ) ⊂ Rn V ∩ ϕ (U ∩ U ) ϕj ϕ−1 ϕ (U ∩ U ) = ϕ ϕ i j i j j i i | {z i } ⊂Rn offen
20
offen =⇒ U ∩ Uj ⊂ Uj, Ini offen =⇒ U ⊂ M offen =⇒ U ⊂ Ui, Sp offen. Also ist Ui, Sp = Ui, Ini und Ui ⊂ M offen. Klarerweise ist dann M lokal euklidisch. c) M erf¨ ullt das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom, da I1 endlich oder abz¨ahlbar ist und M ist Hausdorffsch wegen (iv). k Definition und Hilfssatz: M, [A] C -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. T M := (x, v) : x ∈ M, v ∈ Tx M heißt Tangentialraum zu M . F¨ ur ϕ : U −→ V : i n i 1 x 7−→ (x ) ∈ Amax sei T ϕ : T U −→ V × R : (x, v ∂i ) 7−→ (x , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T . Dann ist (i)–(v) oben erf¨ ullt und damit T M eine 2n-dimensionale topologische Mannigk−1 faltigkeit. Weiters ist B := {T ϕ : ϕ ∈ A} ein C -Atlas auf T M (∞ − 1 := ∞). k−1 Die C -Mannigfaltigkeit T M, [B] h¨angt nur von [A], nicht von A ab. p : T M −→ M : (x, v) 7−→ x heißt Projektionsabbildung. Beweis: Es gelten (i)–(v) des vorigen Hilfssatzes. 0 Speziell zu (v): ϕ1 : x 7−→ (xi ), ϕ2 : x 7−→ (xi ) seien 2 Karten in A mit U1 ∩ U2 6= ∅. Dann ist 0 0 0 0 T ϕ2 ◦ (T ϕ1 )−1 : (x1 , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T 7−→ (x, v i ∂i ) 7−→ (x1 , · · · , xn , v 1 , · · · , v n )T , 0 k wobei xi (x1 , · · · , xn ), d.h. die Komponenten von ϕ2 ◦ ϕ−1 1 , C sind und 0 ∂xi 0 v i = v j j (x1 , · · · , xn ) C k−1 sind. Daher ist B ein C k−1 -Atlas. ∂x Wenn A1 ⊂ A2 , so ist B1 ⊂ B2 . Also: [A1 ] = [A2 ] =⇒ [B1 ] = [B2 ]. Bemerkung: T M wird immer in dieser Weise als C k−1 -Mannigfaltigkeit aufgefasst. Bsp.: 1) V n-dimensionaler R-Vektorraum. Dann ist T V −→V ˜ ×V : x0 , x(t) 7−→ x0 , x(0) ˙ ein C ∞ -Diffeomorphismus. (V ⊕V als Vektorraum mit Standardstruktur ergibt u ¨brigens dieselbe Mannigfaltigkeit wie V × V nach S. 5.) 2) F : T S1 −→ S1 ×R : x0 , x(t) 7−→ x0 , det x0 , x(0) ˙ ist ein C ∞ -Diffeomorphismus. (Beachte, dass wie in S. 18 Tx0 S1 ⊂ Tx0 R2 ' R2 : x(t) 7−→ x(0), ˙ det ist die u ¨bliche Determinante auf R2 .) Denn z.B. in den Karten T ϕ2,+ und ϕ2,+ × id gilt: T U2,+ 6
(T ϕ2,+ )−1
F
- U 2,+ × R
ϕ2,+ × id ?
(−1, 1) × R
(−1, 1) × R
21
!! v a √ , −a √ v 1 − a2 1 − a2
-
F
6
vgl. S. 18
(a, v)
−v x0 , √ 1 − a2
?
−v a, √ , 1 − a2
a √ . Daher ist F in dieser Karte (und ebenso in den u wobei x0 = ¨brigen 3 1 − a2 Karten) C ∞ und bijektiv. F - 1 kommutiert und dass F auf den Außerdem gilt, dass S × R1 T S1
@
p@
R @
S
1
pr1
Fasern“ Tx0 S1 linear ist. Diese Eigenschaften lassen sich mittels der Mannigfaltigkeits” struktur von T S1 allein nicht beschreiben. Daher: Def.: M1 sei eine n1 -dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, M2 , [A2 ] eine n2 dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, n1 ≥ n2 , p : M1 −→ M2 stetig, surjektiv. 1) Ein C k -Atlas A1 auf M1 heißt Vektorraum-B¨ undelatlas bzgl. p :⇐⇒ (i) ∀(ϕ1 : U1 −→ −1 V1 ) ∈ A1 : U1 = p p(U1 ) und ∃ ϕ2 : p(U1 ) −→ V2 ∈ A2,max : V1 = V2 × Rn1 −n2 und ϕ1 U1 V1 (x1 , · · · , xn1 )T p
?
p(U1 )
pr1
ϕ2
?
- V 2
kommutiert;
?
(x1 , · · · , xn2 )T
0 (ii) ∀(ϕ1 : U1 −→ V1 ), (ψ1 : U10 −→ V10 ) ∈ A1 mit U1 ∩U10 6= ∅ : ψ1 ◦ϕ−1 1 : ϕ1 (U1 ∩U1 ) −→ ψ1 (U1 ∩U10 ) ist f¨ ur festes x1 , · · · , xn2 linear in den hinteren n1 −n2 Komponenten. (Beach0 0 0 0 −1 te, dass ψ1 ◦ϕ1 : (x1 , · · · , xn1 ) 7−→ (x1 , · · · , xn1 ), wobei x1 , · · · , xn2 nur von x1 , · · · , xn2 0 0 1 n2 abh¨angen, da (x1 , · · · , xn2 ) = ψ2 ◦ ϕ−1 ur ϕ2 , ψ2 wie in (i)). 2 (x , · · · , x ) f¨ 2) Wenn A1 wie in 1), so heißt ϕ ∈ A1 Vektorraumb¨ undelkarte. 3) Zwei Vektorraumb¨ undelatlanten A1 , A01 heißen ¨aquivalent :⇐⇒ A1 ∪ A01 Vektorraumb¨ undelatlas. ¨ 4) M1 mit einer Aquivalenzklasse [A1 ] von Vektorraumb¨ undelatlanten heißt C k -Vektorraumb¨ undel bzgl. p. undel und x0 ∈ M2 tr¨agt die Faser p−1 (x0 ) ka5) F¨ ur M1 , [A1 ] C k -Vektorraumb¨ ¨ nonisch die Struktur eines (n1 − n2 )-dimensionalen R-Vektorraums durch Ubertragung
22
bzgl. ϕ1 p−1 (x0 ) : p−1 (x0 ) −→ ϕ2 (x0 ) × Rn1 −n2 , ϕ1 , ϕ2 wie in 1), (i). n1 −n2 6) M2 ×R , [B] mit B := {ϕ×id : ϕ ∈ A2 } heißt triviales Vektorraumb¨ undel u ¨ber n1 −n2 n1 −n2 M2 mit Faser R . (F¨ ur p : M2 × R −→ M2 ist die Projektion zu nehmen.) 7) M1 bzw. N1 seien Vektorraumb¨ undel u ¨ber M2 bzw. N2 ; F1 : M1 −→ N1 C k heißt k C -Vektorraumb¨ undel-Homomorphismus :⇐⇒ (i) ∃F2 : M2 −→ N2 C k sodass M1
F1
p0
p
?
M2
- N 1
F2
?
kommutiert;
- N 2
0 (ii) ∀x0 ∈ M2 : F1 p−1 (x0 ) : p−1 (x0 ) −→ p −1 F2 (x0 ) ist R-linear (bzgl. der Vektorraumstruktur von 5)).
Bemerkung: Beachte, dass wegen 1) (i) p immer C k und offen ist. k Bsp.: 1) Offenbar ist f¨ ur eine C -Mannigfaltigkeit M T M, [B] (mit B wie in S. 21)
ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel bzgl. p : T M −→ M. Es heißt Tangentialb¨ undel. 2) Das Bsp. 2) in S. 21 liefert einen Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus von T S1 mit dem trivialen B¨ undel S1 × R1 . n
3) Wenn p = pr1 : M1 = R2 −→ R1 = M2 , so sind A1 = {idR2 } und A01 = ϕ : R2 −→ o 2 1 2 1 2 R : (x , x ) 7−→ x , sinh (x ) 2 C ∞ -Vektorraumb¨ undelatlanten, die nicht ¨aquivalent ∞ 0 undel sind. Dennoch istdie C -Struktur [A1 ] = [A1 ]. (Auch sind die 2 Vektorraumb¨ 0 2 2 R , [A1 ] und R , [A1 ] isomorph.)
4) Wir wollen das Tangentialb¨ undel von On (R) betrachten. Da On (R) ⊂ gln (R) eine Untermannigfaltigkeit ist (vgl. S. 11), k¨onnen wir f¨ ur A ∈ On (R) TA On (R) als Unterraum von gln (R) auffassen. B ∈ TA On (R) ⇐⇒ ∃A(t) : (−1, 1) −→ On (R) C ∞ mit A(0) = A, A0 (0) = B. d A(t) ∈ On (R) =⇒ A(t)T A(t) = I =⇒ dt anwenden, t = 0) =⇒ AT B + B T A = 0 =⇒ (AT B)T =−AT B. Es sei on (R) := C ∈ gln (R) : C T = −C . Dann ist AT B ∈ on , B ∈ A · on , d.h. TA On (R) ⊂ A · on (R). Hier gilt =, denn wenn C ∈ on (R), so setze ∞ Dn P eD := , eD1 · eD2 = eD1 +D2 falls D1 D2 = D2 D1 ; n=0 n! T T A(t) := A · eCt =⇒ A(t)T A(t) = (eCt )T |A{z A} eCt = e(C +C)t = I und A(t) = A · C ∈ I
TA On (R).
23
Daher ist F : T On (R) −→ On (R)×on (R) : (A, B) 7−→ (A, AT B) jedenfalls wohldefiniert und bijektiv. F ist C ∞ , da es die Einschr¨ankung einer ebenso definierten C ∞ -Abbildung auf T gln (R) ist. Aus demselben Grunde ist auch F −1 : (A, C) 7−→ (A, AC) C ∞ . Also ¨ ist F ein C ∞ -Diffeomorphismus. Uberdies ist F offenbar ein C ∞ -Vektorraumb¨ undelIsomorphismus. Wie f¨ ur S1 ist auch f¨ ur On (R) das Tangentialb¨ undel isomorph zu einem trivialen B¨ undel und das liegt daran, dass beide Liegruppen sind (siehe S. 36). Def.: 1) p : M1 −→ M2 C k -Vektorraumb¨ undel. k s : M2 −→ M1 heißt Schnitt :⇐⇒ (i) s C (ii) p ◦ s = idM2 . k 2) M, [A] C -Mannigfaltigkeit. Ein Schnitt des C k−1 -Vektorraumb¨ undels p : T M −→ M heißt Vektorfeld auf M . 1 T (M ) := {X Vektorfeld auf M }. ∂ = (∂i )x0 bzgl. (ϕ : U −→ V ) ∈ A gilt also f¨ ur Bemerkung: In der Basis ∂xi x0 X ∈ T 1 (M ) : X(x0 ) = v i (x0 )(∂i )x0 , x0 ∈ U, wobei v i : U −→ R C k−1 . (Genaugenommen ist X(x0 ) = (x0 , v) mit v ∈ Tx0 M, aber man bezeichnet schlampigerweise die 2. Komponente v ebenfalls mit X(x0 ).) Bsp.: 1) M = Rn als C ∞ -Mannigfaltigkeit. X ∈ T 1 (Rn ) ⇐⇒ ∃(v 1 , · · · , v n ) : Rn −→ Rn C ∞ mit X(x) = v i (x)∂i . Hier braucht man nur die eine Karte id und kann daher die v i (x) global“ (d.h. auf ganz M ) definieren. ” 2) N ⊂ M C k -Untermannigfaltigkeit. Nach S. 18 ist f¨ ur x0 ∈ N Tx0 N ≤ Tx0 M. Daher gilt T 1 (N )−→ ˜ X : N −→ T M C k−1 : ∀x0 ∈ N : X(x0 ) ∈ Tx0 N .
Speziell sei N = Sn ⊂ Rn+1 . Dann ist ein C k -Vektorfeld X auf Sn (mit der Standard C k+1 -Struktur) also gegeben Sn −→ Rn+1 C k mit ∀x0 ∈ Sn : X(x0 ) ⊥ x0 . X : durch − sin ϑ cos ϑ ein C ∞ -Vektorfeld. Eine andere Dar7−→ Z.B. ist X : S1 −→ R2 : cos ϑ sin ϑ d stellung von X ist X = in den Karten dϑ cos a cos ϑ 1 ϕa : S \ −→ (a, a + 2π) : 7−→ ϑ f¨ ur ϑ ∈ (a, a + 2π) denn in sin a sin ϑ d − sin ϑ0 cos ϑ0 cos a 0 −1 1 = ϕa (ϑ0 + t) (0) = . T x0 S , x 0 = 6= gilt cos ϑ0 sin ϑ0 sin a dϑ x0 d 1 6= 0. Beachte, dass ∀x0 ∈ S : X(x0 ) = dϑ x0 Der B¨ undelisomorphismus F : T S1 −→ S1 × R in S. 22 l¨asst sich auch so interpretie ren: F x0 , vX(x0 ) = (x0 , v). Wie wir sp¨ater sehen werden, gibt es f¨ ur gerades n kein 1 n n X ∈ T (S ) mit ∀x0 ∈ S : X(x0 ) 6= 0 (vgl. S. 80). 24
Def.:
M, [A] C k -Mannigfaltigkeit.
1) C k (M ) := {f : M −→ R C k } ist eine kommutative R-Algebra mit (f +. g)(x) := f (x)+. g(x). 2) D : C k (M ) −→ C k−1 (M ) heißt Derivation (auf M ) :⇐⇒ (i) D R-linear, (ii) ∀f, g ∈ C k (M ) : D(f g) = f D(g) + gD(f ). 3) Der(M ) := D : C k (M ) −→ C k−1 (M ) Derivation ist ein C k−1 (M )-Modul mit der Definition (f D)(g) := f · D(g) ∈ C k−1 (M ). Bemerkung: So wie Tangentialvektoren Derivationen in x0 entsprechen (vgl. S. 19), so entsprechen den Vektorfeldern Derivationen auf M (zumindest f¨ ur k = ∞) : Hilfssatz: M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1 in 1), k = ∞ in 2).
1) T 1 (M ) ist ein C k−1 (M )-Modul mit der Definition (f · X)(x0 ) := f (x0 )X(x0 ) ∈ Tx0 (M ) (f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), X ∈ T 1 (M ), x0 ∈ M ). 2) F : T 1 (M ) −→ Der (M ) : X 7−→ f 7−→ x0 7−→ X(x0 ) [f ] ist ein C ∞ (M )Modul-Isomorphismus. Dabei ist [f ] der C ∞ -Funktionskeim von f in0 x0 , f ∈ C ∞ (M ), und X(x ) ∈ T (M ) ' Der (M ), d.h. X(x ) [f ] = (f ◦ x) (0) wenn x0 x0 0 0 X(x0 ) = x(t) .
Beweis: 1) Mit Hilfe von Karten sieht man, dass f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), X ∈ T 1 (M ) auch f · X : M −→ T M C k−1 ist. Der Rest ist klar. 2) a) X ∈ T 1 (M ), f, g ∈ C ∞ (M ), x0 ∈ M =⇒ F X(f · g) (x ) = X(x ) [f g] = da 0 0 X(x0 ) ∈ Derx0 (M ) = f (x0 )X(x0 ) [g] +g(x0 )X(x0 ) [f ] =⇒ F X(f ·g) = f ·F X(g)+ ¨ g · F X(f ) =⇒ F ist wohldefiniert. Ahnlich sieht man, dass F C ∞ (M )-linear ist. b) F injektiv: F (X) = 0 ⇐⇒ ∀f ∈ C ∞ (M ) : ∀x0 ∈ M : X(x0 ) [f ] = 0. Wenn x0 ∈ U und (ϕ : U −→ V ) ∈ A, so gibt es χ : V −→ R C ∞ mit χ = 1 bei ϕ(x0 ) und χ = 0 außerhalb einer Kugel K um ϕ(x0 ) mit K ⊂ V. Dann l¨asst sich (χ ◦ ϕ) · ϕ durch 0 außerhalb von U fortsetzen, d.h. (χ ◦ ϕ) · ϕ : M −→ Rn C ∞ , (χ ◦ ϕ) · ϕ = ϕ in einer Umgebung von x0 . = X(x0 ) [xj ] = v j , Wenn ϕ : x 7−→ (x1 , · · · , xn ), so ist 0 = X(x0 ) (χ ◦ ϕ) · ϕj | {z } ∈C ∞ (M )
j
wenn X(x0 ) = v ∂j . Somit ist X(x0 ) = 0 f¨ ur x0 ∈ M, d.h. X = 0. c) F surjektiv: Es sei D ∈ Der (M ) und [f ] ein C ∞ -Funktionskeim bei x0 ∈ M. Mittels einer Funktion χ wie in b) k¨onnen wir fdurch f1 ∈ C ∞ (M ) ersetzen, sodass [f ] = [f1 ]. Definiere Dx0 auf Cx∞0 (M ) durch Dx0 [f ] := D(f1 )(x0 ), wobei [f ] = [f1 ], f1 ∈ C ∞ (M ). Dies ist wohldefiniert, denn wenn f1 , f2 ∈ C ∞ (M ) bei x0 u ¨bereinstimmen, so ist auf M 25
f1 − f2 = (f1 − f2 ) · χ, wobeiχ ∈ C ∞ (M ), χ = 2 bei x0 , χ = 1 wo f1 6= f2 =⇒ D(f1 − f2 )(x0 ) = D (f1 − f2 )χ (x0 ) = χ(x0 ) D(f1 − f2 )(x0 ) + (f1 − f2 )(x0 ) D(χ)(x0 ) = {z } | {z } | 2
0
2D(f1 − f2 )(x0 ) =⇒ D(f1 −f2 )(x0 ) = 0. Weiters gilt dann Dx0 [f · g] = D(f1 · g1 )(x0 ) = f1 (x0 )D(g1 )(x0 ) + g1 (x0 )D(f1 )(x0 ) = f (x0 )Dx0 [g] + g(x0 )Dx0 [f ] . Also ist Dx0 ∈ Derx0 (M ) ' Tx0 (M ). Definiere X : M −→ T M : x0 7−→ Dx0 . Es bleibt noch zu zeigen, dass X C ∞ ist, denn 1 dann gilt offenbar X ∈ T (M ) und F (X)(f )(x0 ) = X(x0 ) [f ] = Dx0 [f ] = D(f )(x0 ), d.h. F X = D. Es sei (ϕ : U −→ V ) ∈ A, x0 ∈ U, χ wie in b). Dann ist dort wo χ ◦ ϕ = 1, d.h. f¨ ur x bei x0 : X(x) = v j (x)∂j , wobei v j (x) = X(x) [xj ] = Dx [xj ] = D (χ ◦ ϕ) · ϕj (x) ∈ C ∞ . Somit ist X C ∞ bei x0 und daher auch auf M. Bemerkung: F¨ ur eine C ∞ -Mannigfaltigkeit M, [A] identifiziere ich T 1 (M ) und Der (M ), d.h. ich schreibe wieder X f¨ ur F X, X ∈ T 1 (M ). Bsp.: 1) F¨ ur ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A bezeichnet man mit ∂j das Vektorfeld in T 1 (U ), das durch x0 7−→ (∂j )x0 ∈ Tx0 U gegeben ist. F¨ ur k = ∞ k¨onnen wir ∂j auch als Element von Der (U ) auffassen und dann wirkt es wie die partielle Ableitung nach xj , wenn f in Koordinaten geschrieben wird, d.h. ∂f ∂f ◦ ϕ−1 ∂j : C ∞ (U ) −→ C ∞ (U ) : f 7−→ (d.h. genaugenommen ◦ ϕ, vgl. S. 19). ∂xj ∂xj Beachte, dass ∂j sowohl f¨ ur ein Vektorfeld in T 1 (U ) als auch f¨ ur einen speziellen Tangentialvektor in Tx0 M steht (weil man ungern (∂j )x0 schreibt). ¨ Ubrigens ist (auch f¨ ur k < ∞) T 1 (U ) ein freier C k−1 (U )-Modul mit der Basis ∂1 , · · · , ∂n , denn X ∈ T 1 (U ) ⇐⇒ ∃v 1 , · · · , v n ∈ C k−1 (U ) : X = v i ∂i . ∞ (R1 ) := f : R −→ R C ∞ : ∀ϑ ∈ R : f (ϑ + 2π) = f (ϑ) 2) C ∞ (S1 ) kann mit Cper identifiziert werden: cos ϑ ∞ 1 ∞ 1 Cper (R )−→ ˜ C (S ) : f 7−→ 7−→ f (ϑ) . sin ϑ Wenn X ∈ T 1 (S1 ) wie in S. 24, so gilt X
C ∞ (S1 ) −→ C ∞ (S1 ) |o |o ∞ 1 ∞ Cper (R ) −→ Cper (R1 ) f 7−→ f0 wenn X als Derivation aufgefasst wird. 26
Bemerkung: Wir wissen, dass die Tangentialb¨ undel von S1 und von On (R) isomorph zu den entsprechenden trivialen B¨ undeln sind. Diese Eigenschaft soll durch Vektorfelder charakterisiert werden. Hilfssatz und Definition: Es sei M eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann sind a¨quivalent: (i) ∃ C k−1 Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus F : T M −→ M × Rn (= triviales B¨ undel) (ii) ∃X1 , · · · , Xn ∈ T 1 (M ) : ∀x0 ∈ M : X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) sind in Tx0 M linear unabh¨angig; (iii) T 1 (M ) ist ein freier C k−1 (M )-Modul. Wenn (i)-(iii) erf¨ ullt sind, heißt M parallelisierbar. Beweis: (i) =⇒ (ii): Es sei e1 , · · · , en die Standardbasis im Rn und Xj : M −→ T M : x0 7−→ F −1 (x0 , ej ), j = 1, · · · , n. Dann sind die Xj C k−1 und p ◦ Xj = id, d.h. Xj ∈ T 1 (M ). Außerdem sind X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) f¨ ur x0 ∈ M eine Basis in Tx0 M, da F (x0 , −) : Tx0 M −→ Rn linear und invertierbar ist (F Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus!) 1 (ii) =⇒ (iii): X1 , · · · , Xn ∈ T (M ) seien wie in (ii). Dann sind sie auch u ¨ber C k−1 (M ) linear unabh¨angig, denn f i Xi = 0, f i ∈ C k−1 (M ) ⇐⇒ ∀x0 : f i (x0 )Xi (x0 ) = 0 ⇐⇒ ∀x0 : ∀i : f i (x0 ) = 0 ⇐⇒ ∀i : f i = 0. Um zu zeigen, dass X1 , · · · , Xn ein Erzeugendensystem des C k−1 (M )-Moduls T 1 (M )
sind, nehme X ∈ T 1 (M ). Dann gilt: X(x0 ) ∈ Tx0 M = X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) =⇒ ∃f i : M −→ R : ∀x0 ∈ M : X(x0 ) = f i (x0 )Xi (x0 ). Noch zu zeigen ist, dass ∀i : f i ∈ C k−1 (M ). In einer Karte ϕ : U −→ V gilt Xj = vji ∂i mit vji : U −→ R C k−1 .Da Xj (x0 ) eine Basis von Tx0 M = Tx0 U ist f¨ ur x0 ∈ U, folgt: ∀x0 ∈ U : det vji (x0 ) 6= 0. Dann ist auch (vji )−1 =: (wji ) : U −→ Rn×n C k−1 und ∂j = wji · Xi . Wenn daher X = uj ∂j ∈ T 1 (U ), so ist X = uj wji · Xi =⇒ f i = uj wji sind C k−1 auf U und daher auf ganz M. (Dieser Beweisschritt l¨asst sich auch so formulieren: Wenn X1 , · · · , Xn wie in (ii), so T ist T U −→ V × Rn : x0 , f i (x0 )Xi 7−→ ϕ(x0 ), f 1 (x0 ), · · · , f n (x0 ) eine Vektorraumb¨ undelkarte im maximalen B¨ undelatlas von T M ). (iii) =⇒ (i): Es seien X1 , · · · , Xm ∈ T 1 (M ) eine Basis von T 1 (M ) u ¨ber C k−1 (M ). Ich zeige zuerst, dass dann f¨ ur x0 ∈ M auch X1 (x0 ), · · · , Xm (x0 ) eine Basis in Tx0 (M ) sind (und speziell m = n gelten muss). Jedes v ∈ Tx0 M l¨asst sich als X(x0 ) f¨ ur X ∈ T 1 (M ) schreiben (unter Verwendung einer Abschneidefunktion wie in S. 25) =⇒ v = X(x0 ) = f i (x0 )Xi (x0 ) f¨ ur gewisse
i k−1 f ∈ C (M ) =⇒ R X1 (x0 ), · · · , Xm (x0 ) = Tx0 M. Nach eventueller Umnummerierung ist daher X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) eine Basis in Tx0 M. Wenn Xj = vji ∂i wie in (ii) =⇒ (iii), so ist also det (vji )i,j=1,··· ,n (x0 ) 6= 0 und folglich 27
auch det (vji )i,j=1,··· ,n (x) 6= 0 f¨ ur x bei x0 . Annahme: m > n =⇒ (wie in (ii) =⇒ (iii)) bei x0 gilt Xn+1 (x) =
n P
f i (x)Xi (x) mit
i=1
f i C k−1 . Wenn χ ∈ C k−1 (M ), χ = 1 bei x0 , χ = 0 außerhalb einer gen¨ ugend kleinen Umgebung von x0 , so w¨are also χ · Xn+1 ∈ T 1 (M ) auf 2 Weisen durch Xi , i = 1, · · · , m, darstellbar =⇒ .
Man definiert F : T M −→ M × Rn : x0 , v i Xi (x0 ) 7−→ (x0 , v 1 , · · · , v n )T . Offenbar ist F bijektiv und linear in den Fasern. Dass F und F −1 C k−1 sind, sieht man in einer Karte wie in (ii) =⇒ (iii). Bemerkung: Der letzte Satz l¨asst sich ebenso f¨ ur beliebige Vektorraumb¨ undel formulieren und beweisen. Bsp.: Wir wollen zeigen, dass S3 parallelisierbar ist und S2 nicht, bzw. noch schlimmer: ∀X ∈ T 1 (S2 ) : ∃x0 ∈ S2 : X(x0 ) = 0 (= 0-Vektor im Vektorraum Tx0 M !). Beides gilt f¨ ur die Standard C k -Struktur auf Sn mit beliebigem k ≥ 1. Wenn wir S2 ⊂ R3 als Untermannigfaltigkeit auffassen, so heißt das letztere (vgl. S. 24): ∀X : S 2 −→ R3 stetig und ∀x0 ∈ S2 : X(x0 ) ⊥ x0 : ∃x0 ∈ S2 : X(x0 ) = 0. Volkst¨ umlich formuliert man das auch so: Ein Igel l¨asst sich nicht k¨ammen“. ” a) Wir betrachten zun¨achst allgemein Sn aber in der Form S = Rn ∪˙ {∞} mit den x : S \ {0} −→ 2 Karten ϕ = id : Rn −→ Rn : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T und ψ = |x|2 1 0 0 ¨ 1.1, S. 12. In dieser DarstelRn : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T = (x1 , · · · , xn )T , vgl. Ub. |x|2 lung von Sn ist X ∈ T 1 (S) gegeben durch X(x) = v i (x1 , · · · , xn )∂i f¨ ur x ∈ Rn und ∂ 0 0 0 f¨ ur x ∈ S \ {0}. X(x) = v i (x1 , · · · , xn )∂i0 , ∂i0 = ∂xi 0 0 v1 v1 .. .. ur x ∈ S \ {0, ∞} = . und . sind also gew¨ohnliche“ Vektorfelder am Rn . F¨ ” 0 n n v v i i0 n n δj P P 2xi xj i0 j 0 n i0 j ∂x j i 0 2 j . R \ {0} gilt (vgl. S. 17): v = v |x | − 2x x = v − δ = v j ∂xj |x|2 |x|4 j=1 j=1 10 0 n P x xn i0 j 0 i 0 2 j i0 10 n0 f¨ ur x0 ∈ Rn \ {0}. |x | − 2x x δ v , · · · , Genauer: v (x , · · · , x ) = j 0 2 0 2 |x | |x | j=1 X ∈ T 1 (S) ist offenbar durch v 1 , · · · , v n schon festgelegt (in ∞ erhalten wir X(∞) als Limes f¨ ur x0 → 0.) Nach dem letztenSatzgilt also: Sn ist als C k -Mannigfaltigkeit vj1 .. parallelisierbar ⇐⇒ ∃ Vektorfelder Xj = . ∈ T 1 (Rn ), j = 1, · · · , n, sodass: vjn 28
i α) ∀x ∈ Rn : det(v j )(x) 6= 0; 0 10 1 vn v1 .. .. β) . , · · · , . lassen sich zu linear unabh¨angigen C k−1 -Vektorfeldern in x0 = 0 0 0 vnn v1n fortsetzen. Wenn wir (X1 , · · · , Xn ) =: B als Matrix auffassen, so heißt das also: α) ∀x ∈ Rn : det B(x) 6= 0; 0 x 0 β) A(x )B ist in x0 = 0 C k−1 fortsetzbar und hat dort Determinante 6= 0, wobei |x0 |2 0 0 die Matrix A(x0 ) = (aij )i,j=1,··· ,n (x0 ) durch aij (x0 ) = δji |x0 |2 − 2xi xj gegeben ist. b) Nun sei n = 3. Wir bestimmen die Matrix B(x) durch die lineare Abbildung B(x) : R3 −→ R3 : t 7−→ 1 − |x|2 t + 2hx, tix + 2x × t, d.h. B(x) = 1 + (x1 )2 − (x2 )2 − (x3 )2 2x1 x2 − 2x3 2x1 x3 + 2x2 . 2x1 x2 + 2x3 1 + (x2 )2 − (x1 )2 − (x3 )2 2x2 x3 − 2x1 = 1 3 2 2 3 1 3 2 1 2 2 2 2x x − 2x 2x x + 2x 1 + (x ) − (x ) − (x ) x Wenn t1 , t2 , t3 eine positiv orientierte ONB-Basis im R3 mit t1 = ist, so gilt |x| B(x) : t1 7−→ |x|2 + 1)t1 , t2 7−→ 1 − |x|2 )t2 + 2|x|t3 , t3 7−→ 1 − |x|2 )t3 − 2|x|t2 3 =⇒ det B(x) = 1 + |x|2 6= 0. 0 Wegen A(x0 ) :t 7−→ |x0 |2 t − 2hx0 , tix gilt außerdem 0 2 1 2 x : t 7−→ 1 − 0 2 t + 0 4 hx0 , tix0 + 0 2 x0 × t 7−→ A(x0 )B 0 2 |x | |x | |x | |x | 2 1 4 7−→ |x0 |2 − 1 t + 0 2 hx0 , tix0 + 2x0 × t − 2 1 − 0 2 hx0 , tix0 − 0 2 hx0 , tix0 = |x | |x | |x | = |x0 |2 − 1 t − 2hx0 , tix0 + 2x0 × t. Daher sind α) und β) in a) erf¨ ullt. c) Schließlichwerde n = 2 betrachtet. 1 v (x) v1 1 2 2 6= 0; Annahme: ∃ 2 ∈ T (R ) mit α) ∀x ∈ R : v 2 (x) v ! 20 2 1 x0 0 0 0 v |x0 |2 (x ) − (x1 )2 −2x1 x2 β) lim existiert und ist 6= 0. 0 0 20 0 2 0 2 1 1 2 −2x x (x ) − (x ) x0 →0 v 2 |xx0 |2
α) ist nat¨ urlich ohne weiters erf¨ ullbar, das Problem Zur Abk¨ urzung sei R2 −→C ˜ : 0 ist β). 0 x x 0 0 0 0 (x1 , x2 )T 7−→ z := x1 + ix2 und w(z) := v 1 − iv 2 , z 2 = z · z! 0 2 |x | |x0 |2 −Re (z 2 ) −Im (z 2 ) Re w(z) β) bedeutet dann, dass lim existiert und ist 6= 0, 2 Re (z 2 ) −Im w(z) z→0 −Im (z ) 29
bzw. 0 6= a := lim z 2 · w(z) existiert. z→0
w
tz 1−t
Es sei s : (0, 1) × S1 −→ S1 : (t, z) 7−→ . tz w 1−t Wegen α) ist s wohldefiniert und stetig. F¨ ur t % 1 geht s(t, z) gleichm¨aßig (bzgl. z ∈ S1 ) b ur t & 0 gilt gegen , wobei b := v 1 (0) − iv 2 (0), f¨ |b| a 1 w(tz) (tz)2 1 = lim s(t, z) = lim · , gleichm¨aßig bzgl. z ∈ S1 . · 2 t&0 t&0 |a| z 2 w(tz) |tz|2 z Also k¨onnen wir s stetig auf [0, 1] × S1 fortsetzen und s ist eine Homotopie der geschlosa b senen Wege s(0, −) und s(1, −). Die Wege s(0, −) : z 7−→ und s(1, −) : z 7−→ 2 |a|z |b| 1 sind aber nicht homotop, da π1 (S )−→Z ˜ : s(0, −) 7−→ ±2, s(1, −) 7−→ 0. Daher Widerspruch zur Annahme. (Wenn man s durch s˜(t, z) := s(t, z) s(t, 1) ersetzt, so erh¨alt man Wege mit festem Anfangs- und Endpunkt 1, d.h. man ist in π1 (S1 , 1). Wenn man X C 1 voraussetzt, so kann die topologische ¨berZ Betrachtung am Schluss u dζ haupt vermieden werden, indem man setzt ν(t) := = Umlaufzahl von s(t, −) 2πiζ s(t,−)
und beachtet, dass ν(t) ∈ Z, ν(t) stetig, ν(0) = −2, ν(1) = 0 =⇒ Hilfsatz und Definition: M, [A] C ∞ -Mannigfaltigkeit.
)
1) Der (M ) (und damit T 1 (M )) wird durch [−, −] :Der (M )×Der (M ) −→ Der (M ): (X1 , X2 ) 7−→ X1 ◦ X2 − X2 ◦ X1 =: [X1 , X2 ] : f 7−→ X1 (X2 (f ) − X2 X1 (f ) eine Liealgebra u ¨ber R, d.h. (i) [−, −] ist R-bilinear, (ii) ) : [X1 , X2 ] = −[X2 , X1 ] und X1 , [X2 , X3 ] + X2 , [X3 , X1 ] + ∀Xi ∈ Der(M X3 , [X1 , X2 ] = 0. (Das letztere heißt Jacobi-Identit¨at.)
2) In einer Karte ϕ ∈ A gilt:
[v1i ∂i , v2j ∂j ] = v1i ∂i (v2j ) − v2i ∂i (v1j ) ∂j .
3) F¨ ur X1 , X2 ∈ T 1 (M ) heißt [X1 , X2 ] Lieklammer von X1 , X2 . Beweis: a) [−, −] ist wohldefiniert: In einer Karte ϕ ∈ A gilt Xi = vij ∂j , i = 1, 2, vij ∈ C ∞ (U ) =⇒ ∀f ∈ C ∞ (M ) : ∀x0 ∈ U : (X1 ◦ X2 − X2 ◦ X1 )(f )(x0 ) = X1 (v2j ∂j f )(x0 ) − X2 (v1j ∂j f )(x0 ) = = v1i ∂i (v2j ∂j f ) (x0 ) − v2i ∂i (v1j ∂j f ) (x0 ) = 30
= v1i ∂i (v2j )(∂j f ) (x0 ) + v1i v2j (∂i ∂j f ) (x0 ) − v2i v1j (∂i ∂j f ) (x0 ) − v2i ∂i (v1j )∂j f (x0 ) = = (X3 f )(x0 ), wobei X3 = v1i ∂i (v2j ) − v2i ∂i (v1j ) ∂j . X3 ist offenbar wieder eine Derivation. Damit ist auch 2) gezeigt. b) [−, −] ist klarerweise R-bilinear und schiefsymmetrisch. Die Jacobi-Identit¨at gilt allgemein f¨ ur Homomorphismen einer Gruppe G in sich, d.h. wenn f1 , f2 : G −→ G und [f1 , f2 ] := f1 ◦ f2 − f2 ◦ f1 definiert wird. (Hier ist G = C ∞ (M ) mit der Addition.) ! w1 v1 i 1 i 1 v ∂ w − w ∂ v i i . Bsp.: 1) Wenn X = ... , Y = ... ∈ T 1 (Rn ), so ist [X, Y ] = .. . n n w v 1 1 2 1 2 x (x ) (x ) Z.B. x2 , (x2 )2 = (x2 )2 . x3 (x3 )2 (x3 )2 3 2 x x 1 0 ∈ T 1 (S2 ) berechnen. 2) Wir wollen z.B. [X, Y ] f¨ ur X = −x , Y = −x1 0 1 x 2 1 2 3 T In der Karte ϕ3,+ : U3,+ −→ x ∈ R , |x| < 1 : (x , x , x ) 7−→ 2 , vgl. S. 1, gilt: x 1 0 ∂1 = 0 , ∂2 = 1 ∈ Tx0 S2 , x0 ∈ U3,+ =⇒ −x10 /x30 −x20 /x30 p =⇒ X = x2 ∂1 − x1 ∂2 , Y = x3 ∂1 = 1 − (x1 )2 − (x2 )2 ∂1 =⇒ 1 [X, Y ] = (x2 ∂1 − x1 ∂2 )(x3 )∂1 − (x3 ∂1 )(x2 )∂1 + (x3 ∂1 )(x = )∂2 ! 1 2 0 x x = x2 − 3 − x 1 − 3 ∂1 − 0 + x 3 ∂2 = x 3 ∂2 = x 3 . x x −x2 1 3 Das gibt dasselbe, wie wenn man [X, Y ] in T (R ) ausrechnet und keineswegs aus Zufall, ¨ 2.8, S. 37. vgl. Ub. k Definition und Hilfssatz: M , [A ] C -Mannigfaltigkeit, f : M1 −→ M2 C k . i i T f : T M1 −→ T M2 : x0 , x(t) 7−→ f (x0 ), f x(t) ist wohldefiniert und heißt : Tx0 M1 −→ Tf (x0 ) M2 heißt Differential von Tangentialabbildung zu f . Tx0 f := T f T x0 M 1
f in x0 (und wird manchmal mit dx0 f bezeichnet). Es gilt:
1) T f ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Homomorphismus;
2) wenn k = ∞ und v ∈ Tx0 M1 ' Derx0 (M1 ), so ist (Tx0 f )(v) [g] = v [g ◦ f ] f¨ ur ∞ [g] ∈ Cf (x) (M2 );
31
1 n T 3) in Koordinaten 7 → (y 1 , · · · , y m )T (vgl. S. 3) gilt f : (x , j· · · , x ) − ∂ ∂y ∂ (Tx0 f ) v i i = v i i (x0 ) j ∈ Tf (x0 ) M2 . Speziell ist Rgx0 f = Rg(Tx0 f ); ∂x ∂x ∂y
4) T ist ein Funktor von der Kategorie der C k -Mannigfaltigkeit, in die der C k−1 Vektorraumb¨ undel, d.h. (i) T idM = idT M , (ii) T (g ◦ f ) = T g ◦ T f f¨ ur g : M2 −→ M3 C k . Bemerkung: Beachte, dass die Bezeichnungen Tx0 ϕ in S. 16 und T ϕ in S. 21 bereits entsprechend gew¨ahlt wurden. Auch f¨ ur i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit wurde (und wird) verm¨oge T i : T N ,→ T M identifiziert. Beweis: a) In Koordinaten ϕ1 : U1 −→ V1 : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A1 , ∂ ϕ2 : U2 −→ V2 : y 7−→ (y 1 , · · · , y m )T ∈ A2 gilt f¨ ur x(t) = v i i ∈ Tx0 M1 : Def. ∂x T f x0 , x(t) = f (x0 ), Tx0 f x(t) = f (x0 ), f ◦ x(t) = −1 = f (x0 ), (Tf (x0 ) ϕ2 )−1 (ϕ2 ◦ f ◦ ϕ1 ) ϕ1 (x(t)) 0 (0) {z } | T y 1 (ϕ1 (x(t))),··· ,y m (ϕ1 (x(t))) ! j ∂y Kettenregel = = f (x0 ), (Tf (x0 ) ϕ2 )−1 ej i ϕ1 (x0 ) v i ∂x j ∂ i ∂y = f (x0 ), v ϕ1 (x0 ) . Daher ist T f wohldefiniert, ein B¨ undelhomomorphis∂xi ∂y j h i = mus und gilt 3). 4) folgt aus T g ◦ T f x0 , x(t) = g f (x0 ) , g f x(t) = T (g ◦ f ) x0 , x(t) . b) Zu 2): Wenn v = x(t) ∈ Tx0 M1 und [g] ∈ Cf∞(x0 ) (M2 ), so gilt (Tx0 f )(v) [g] = h i = f x(t) [g] = (g ◦ f ◦ x)0 (0) = v [g ◦ f ] .
Bsp.: Wir wollen T P f¨ ur die stereographische Projektion P : Rn −→ Sn (vgl. S. 9) berechnen. Wenn z.B. x0 ∈ Rn , |x0 | > 1, so k¨onnen wir die Karten id auf Rn , und ϕn+1,+ von Sn verwenden. In diesen Karten ist P : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y n )T = n P 2 2δ ij 4xi0 xj0 ∂ i 1 n T i ∂ v = = (x , · · · , x ) , (Tx0 P ) v − 2 2 i 2 2+1 |x| + 1 ∂x |x0 | + 1 ∂y j i=1 |x | 0 n P n+1 ∂ i j ∂ i = v (1 − y0 ) i − y0 y0 j . ∂y ∂y i=1 −1 ∂ n i 1 ) = + t, · · · , y , · · · , y = ϕ (y Wenn wir T Sn ⊂ T Rn+1 auffassen, so ist n+1,+ 0 0 0 ∂y i 32
p T i = y01 , · · · , y0i + t, · · · , y0n , 1 − (y01 )2 − · · · − (y0i + t)2 − · · · − (y0n )2 0 i-te Stelle .. . n P 1 v i y0i gilt: = ∈ Ty0 Sn , d.h. mit hv, ~y0 i := 0 i=1 .. . =
h
−y0i /y0n+1
(Tx0 P )(v i ∂i ) =
v 1 (1 − y0n+1 ) .. .
y01 .. .
= n+1 − hv, ~ y i n 0 v n (1 − y ) y0 0 n+1 1 2 n 2 1 − (y0 ) + · · · + (y0 ) /y0 hv, ~y0 i 1 − n+1 {z } | y 0
(y0n+1 )2 − 1 y0n+1
v 1 (1 − y0n+1 ) − y01 hv, ~y0 i .. . = n ∈ Ty0 Sn ⊂ Ty0 Rn+1 ' Rn+1 . n+1 n v (1 − y0 ) − y0 hv, ~y0 i (1 − y0n+1 )hv, ~y0 i ¨ Das war zur Ubung im Rechnen in Karten. Man kommt nat¨ urlich schneller ans Ziel, wenn man gleich die Tangentialabbildung von |x|2 − 1 2x n n n+1 , , R −→ S ,→ R : x 7−→ P |x|2 + 1 |x|2 + 1
d.h. die Jacobi-Matrix berechnet. Unser Ergebnis zeigt auch neuerlich, dass P eine Immersion ist, denn dies heißt: ∀x0 ∈ Rn : Tx0 P ist injektiv. Wegen y0n+1 < 1 auf P (Rn ) ist aber Tx0 P (v i ∂i ) = 0 =⇒ hv, ~y0 i = 0 =⇒ ~v = 0. Definition und Hilfssatz: G, [A], · Liegruppe, I := Einselement von G, x0 ∈ G, lx0 : G −→ G : x 7−→ x0 · x, rx0 : G −→ G : x 7−→ x · x0 . 1) X ∈ T 1 (G) heißt links- (bzw. rechts-) invariant :⇐⇒ ∀x0 ∈ G : l x0
G
- G
X
?
TG
X
Tl
x0
?
kommutiert,
- TG
d.h. ∀x0 , x1 ∈ G : X(x0 x1 ) = (T lx0 ) X(x1 ) (bzw. T r x0 ◦ X = X ◦ r x0 ). 33
2) Die links- bzw. rechts- invarianten Vektorfelder bilden Untervektorr¨aume Tl 1 (G) bzw. Tr1 (G) von T 1 (G) und die Abbildungen L : TI G −→ Tl 1 (G) : v7−→ x0 7−→ T lx0 (v) = TI lx0 (v) und R : TI G −→ Tr1 (G) : v 7−→ x0 7−→ T rx0 (v) sind wohldefiniert und Vektorraum-Isomorphismen. 3) Tl 1 (G) und Tr1 (G) sind jeweils unter [ , ] invariant (d.h. Lieunteralgebren von T 1 (G)). Verm¨oge L bzw. R wird dann TI G eine Liealgebra mit [v1 , v2 ]L := L−1 [Lv1 , Lv2 ] und ¨ahnlich bzgl. R. Wenn J : G −→ G : x 7−→ x−1 , so ist TI J : TI G −→ TI G ein LiealgebraIsomorphismus von TI G mit [ , ]L auf TI G mit [ , ]R .
Beweis: 1) Beachte, dass l x0 und rx0 C ∞ sind, da lx0 : G −→ G × G −→ G : x 7−→ −1 −1 (x0 , x) 7−→ x0 · x und ¨ahnlich r x0 . Wegen (lx0 )−1 = lx0 , (rx0 )−1 = rx0 sind lx0 , rx0 Diffeomorphismen. x0 x0 Fasern linear sind und 2) a) Tl 1 (G) und Tr1 (G) sind Vektorr¨aume, dai T l , T r in den x0 i i x0 daher (T l ◦ λ Xi )(x1 ) = λ T l Xi (x1 ) = λ Xi (x0 · x1 ) = (λi Xi ) ◦ lx0 (x1 ). b) L ist wohldefiniert: Die Multiplikationsabbildung m : G × G −→ G : (x, y) 7−→ x · y sei in Koordinaten durch (x1 , · · · , xn , y 1 , · · · , y n )T 7−→ (z 1 , · · · , z n )T gegeben. Dann ist lx0 : T (y 1 , · · · , y n )T 7−→ z 1 (x0 , y), · · · , z n (x0 , y) und T lx0 : (y 1 , · · · , y n , v 1 , · · · , v n )T 7−→ T ∂z 1 1 n j z (x0 , y), · · · , z (x0 , y), j (x0 , y)v , · · · und folglich L(v) C ∞ und L linear. ∂y L bildet TI (G) in Tl 1 (G) ab, da T lx0 ◦ L(v) (x1 ) = T lx0 ◦ T lx1 (v) = (T Funktor) = T lx0 ·x1 (v) = L(v)(x0 x1 ). Weil L(v)(I) = v, ist L injektiv. L ist surjektiv: Es sei X ∈ Tl 1 (G), v := X(I) =⇒ ∀x0 ∈ G : X(x0 ) = (T lx0 )(v) =⇒ X = L(v). Ebenso f¨ ur R. 1 3) a) Allgemein, wenn C∞ (G), so ist X ∈ T (G), x0 , x1 ∈ G und f ∈ x0 x0 (T l ◦ X)(x1 ) [f ] = (S. 31, 2)) = X(x1 ) [f ◦ l ] = X(f ◦ lx0 )(x1 ) und {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | ∈Derx0 x1 (G)
∈Cx∞0 x1 (G)
∈Derx1 (G)
∈Cx∞1 (G)
∈C ∞ (G)
(X ◦ lx0 )(x1 ) [f ] = X(x0 x1 ) [f ] = X(f )(x0 x1 ) = X(f ) ◦ lx0 )(x1 ). {z } | {z } | {z } | ∈Derx0 x1 (G)
∈Cx∞0 x1 (G) ∈ Tl 1 (G) x0
∈C ∞ (G) x0
Daher ist X ⇐⇒ ∀x1 : (T lx0 ◦ X)(x1 ) = (X ◦ l )(x1 ) ⇐⇒ ∀f ∈ C ∞ (G) : x0 X(f ◦ l ) = X(f ) ◦ l in C ∞ (G). Speziell, wenn X, Y ∈ Tl 1 (G), f ∈ C ∞ (G), x0 ∈G, so ist [X, Y ](f ◦l x0 ) = X Y (f ◦lx0 ) − Y X(f ◦ lx0 ) = X Y (f ) ◦ lx0 − Y X(f ) ◦ lx0 = [X, Y ](f ) ◦ lx0 , d.h. [X, Y ] ∈ Tl 1 (G). Daher ist Tl 1 (G) (und analog Tr1 (G)) eine Lieunteralgebra von T 1 (G). b) Wenn X ∈ Tl 1 (G), so ist J(X) := T J ◦ X ◦ J ∈ Tr1 (G), denn T r x0 ◦ T J ◦ X ◦ J = −1
−1
T ( r|x0{z◦ J}) ◦ X ◦ J = T J ◦ T lx0 ◦ X ◦ J = T J ◦ X ◦ lx0 ◦ J = T J ◦ X ◦ J ◦ r x0 . −1
J◦lx0
34
Außerdem ist das Diagramm TI (G)
L
TI J
?
TI (G)
R
- T 1 (G) : X l ? ? - T 1 (G) : J(X) r
−1 x−1 0 (v) = T (J ◦ l x0 )(v) = T r x0 T J(v) = kommutativ, da T J ◦ L(v) ◦ J (x ) = T J ◦ T l 0 I R (TI J)(v) (x0 ) f¨ ur v ∈ TI G. Es bleibt nur noch zu zeigen, dass J(X), J(Y ) = J [X, Y ] f¨ ur X, Y ∈ T 1 (G). Dies gilt etwas allgemeiner, vgl. das folgende Lemma. Lemma: M, N C ∞ -Mannigfaltigkeiten, f : M −→ N Diffeomorphismus. Dann ist T 1 (M ) −→ T 1 (N ) : X 7−→ T f ◦X◦f −1 =: f (X) ein Liealgebren-Isomorphismus. Beweis: Wegen f (X) : y0 7−→ f −1 (y0 ) 7−→ X f −1 (y0 ) 7−→ Tf −1 (y0 ) f X f −1 (y0 ) ∈ ¨ Ty0 N ist f (X) ∈ T 1 (N ). Offenbar ist f bijektiv. Ahnlich wie im Beweis 3) a) oben giltf¨ ur −1 ∞ −1 g ∈ C (N ), dass f (X)(g) = X(g◦f )◦f denn: f (X)(g)(y0 ) = (T f ◦X◦f )(y0 ) [g] = −1 X f (y ) [g ◦ f ] = X(g ◦ f )(f−1 (y0 )) und daher: 0 f (X), f (Y ) (g) = f (X) f (Y )(g) − f (Y ) f (X)(g) = = X Y (g ◦ f ) ◦ f −1 − Y X(g ◦ f ) ◦ f −1 = f [X, Y ] (g).
Bemerkung: Beachte, dass es f¨ ur allgemeine, nicht invertierbare f : M −→ N keine M¨oglichkeit gibt, kanonisch eine zugeh¨orige Abbildung T 1 (M ) −→ T 1 (N ) zu konstruieren.
Bsp.: Es sei G = Gln (R). Wir wollen die Liealgebrastruktur auf TI (G) ∼ = gln (R) bestimmen. Wenn L wie in S. 34 und B ∈ gln (R) ' TI (G), so ist das linksinvariante Vektorfeld L(B) ∈ Tl 1 (G) gegeben durch Gln (R) −→ T Gln (R) ' Gln (R) × gln (R) : A A 7−→ T l [I + tB] = A · (I + tB) 7−→ (A, A · B). id
In der Karte Gln (R) −→ Rn×n : A 7−→ (aij ) ist also ∂ L(B) = (A · B)ij i f¨ ur B ∈ gln (R) ' TI G. ∂aj Nach S. 30, 2) folgt dann ∂ ∂ ∂ i ∂ k L(B1 ), L(B2 ) = (AB1 )ij i (A · B2 )kl − (AB ) = (A · B ) 2 1 j l ∂aj ∂aij ∂akl ∂akl ∂ ∂ ∂ = (AB1 )ij i akr (B2 )rl − · · · = (AB1 )ij δik (B2 )jl k − · · · = k ∂aj ∂al ∂al ∂ ∂ = (AB1 B2 )il i − (AB2 B1 )il i , d.h. L(B1 ), L(B2 ) = L(B1 B2 − B2 B1 ) bzw. ∂al ∂al 35
[B1 , B2 ]L = B1 B2 − B2 B1 . ¨ 2.9). Ebenso sieht man, dass [B1 , B2 ]R = −[B1 , B2 ]L (vgl. Ub. Folgerung: Jede Liegruppe G ist parallelisierbar. Beweis: e1 , · · · , en sei eine Basis in TI G, Xi := L(ei ) ∈ Tl 1 (G), d.h. Xi (x0 ) = −1 TI lx0 (ei ). TI lx0 ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit Inverser Tx0 lx0 =⇒ ∀x0 : X1 (x0 ), · · · , Xn (x0 ) ist eine Basis in Tx0 G =⇒ G parallelisierbar. Bemerkung: Entsprechend S. 28 w¨are F : T G−→G ˜ × Rn : x0 , v i Xi (x0 ) 7−→ 1 n T x0 , (v , · · · , v ) . Der B¨ undel-Isomorphismus T G−→G ˜ × TI G : (x0 , v) 7−→ x−1 x0 , Tx0 l 0 (v) ist sogar von der Wahl der Basis e1 , · · · , en unabh¨angig.
Bsp.: Wenn G = On (R), TI G = on (R) und wir erhalten T On (R) ' On (R) × on (R) : −1 (A, B) 7−→ A, TA lA (B) = (A, A−1 B) = (A, AT B) wie in S. 23. ¨ Ubungen
¨ 2.1 a) Stelle f¨ Ub. ur Kugelkoordinaten wie in S. 18 ∂ ∂ ∂ ∂ , i = 1, 2, 3, dar. , , durch ∂r ∂ϑ ∂ϕ ∂xi b) Was ist vr , vϑ , vϕ f¨ ur v = v i ∂i ∈ T R3 ? c) Spezialisiere auf x0 = (1, 2, 2)T , v = 4∂1 − 2∂2 ∈ Tx0 R3 und gib eine C ∞ -Kurve ¨ bei x0 an, deren Aquivalenzklasse v ist. ¨ 2.2 a) Mi −→ Ni , [Bi ] seien C k -Vektorraumb¨ Ub. undel, i = 1, 2. Zeige, dass pi M1 × M2 −→ N1 × N2 , [{ϕ1 × ϕ2 : ϕi ∈ Bi , i = 1, 2}] ebenfalls ein C k p1 ×p2
Vektorraumb¨ undel ist. k b) M, N C -Mannigfaltigkeiten, Zeige, dass T (M × N ) −→ T M × T N : k ≥ 1. (x0 , y0 ), x(t), y(t) 7−→ x0 , x(t) , y0 , y(t) ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus ist. ¨ 2.3 Es sei sln (R) := C ∈ gln (R) : tr C = 0 . Zeige ¨ahnlich wie in Bsp. 4, S. 23, dass Ub. T Sln (R) −→ Sln (R) × sln (R) : (A, B) 7−→ (A, A−1 B) ein C ∞ -Vektorraumb¨ undelIsomorphismus ist. Hinweis: tr“ = Spur. Verwende und ur eine C 1 -Kurve A(t) in gln (R) zeige, dass f¨ ” 0 ad 0 gilt det A(t) = tr A (t) · A (t) .
¨ 2.4 Zeige, dass [f X, gY ] = f g[X, Y ] + f X(g) · Y − gY (f ) · X f¨ Ub. ur X, Y ∈ T 1 (M ), f, g ∈ ∞ ∞ C (M ), M C -Mannigfaltigkeit. 36
¨ 2.5 Es seien X1 = ∂x + ∂y , X2 = (x)2 ∂x + (y)2 ∂y ∈ T 1 (R2 ). Ub. a) In welchen Punkten (x0 , y0 ) ∈ R2 sind X1 , X2 (x0 , y0 ) eine Basis von T(x0 ,y0 ) R2 ? b) Dr¨ ucke [X1 , X2 ] f¨ ur x0 + y0 6= 0 durch X1 und X2 aus. n+1 P i i ¨ 2.6 Es seien v 1 , · · · , v n+1 , f ∈ C ∞ (Sn ) mit ∀x ∈ Sn : Ub. x v (x) = 0. Wenn, wie u ¨blich, i=1 T T Sn ⊂ T Rn+1 , so ist also X : Sn −→ T Sn : x 7−→ v 1 (x), · · · , v n+1 (x) ∈
T 1 (Sn ). n a) Was ergibt X(f ), wenn manX ∈ Der (S ) auffasst? x Hinweis: Dr¨ ucke X(f ) mittels g : x 7−→ f ∈ C ∞ Rn+1 \ {0} aus. |x| 1 2 3 b) Was ist speziell (x ∂2 − x ∂1 )(x ) ? 2 (Bzw. genauer: Was ist X(x3 ) f¨ ur X =(−x ˆ , x1 , 0, · · · , 0)T ?)
¨ 2.7 N ⊂ M sei eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit und X1 ∈ T 1 (M ) mit ∀x0 ∈ N : Ub. X1 (x0 ) ∈ Tx0 N (⊂ Tx0 M ). Es sei g ∈ C ∞ (M ), f := g N . Zeige, dass X(f ) = X1 (g) N , wenn X : N −→ T N : x 7−→ X1 (x) ∈ T 1 (N ). ¨ 2.6 zu tun? Was hat dies mit Ub.
¨ 2.8 N ⊂ M sei eine C ∞ -Untermannigfaltigkeit, X1 , Y1 ∈ T 1 (M ) mit X1 (N ), Y1 (N ) ⊂ Ub. T N (⊂ T M ). X := X1 N , Y := Y1 N . a) Zeige, dass X, Y ∈ T 1 (N ). b) Zeige, dass [X1 , Y1 ](N ) ⊂ T N und [X, Y ] = [X1 , Y1 ] N . c) Folgere, dass sich f¨ ur eine Lieuntergruppe H ≤ G die Liealgebra TI H bzgl. 1 LH : TI H −→T ˜ l (H) als Lieunteralgebra von TI G bzgl. LG : TI G−→T ˜ l 1 (G) ergibt. Was bedeutet dies speziell f¨ ur On (R) und Sln (R) ? ¨ 2.9 G sei eine Liegruppe, J : G −→ G : x 7−→ x−1 . Ub. −1 −1 a) Zeige, dass f¨ ur x ∈ G : Tx J = −TI lx ◦ Tx rx . b) Folgere, dass TI J = −id : TI G −→ TI G und dass ∀v1 , v2 ∈ TI G : [v1 , v2 ]R = [v2 , v1 ]L . ¨ 2.10 Wenn R V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum ist, so auch glR V. Daher ist Ub. kanonisch T glR (V )−→gl ˜ R (V ) × glR (V ) : A, A(t) 7−→ A, A0 (0) . Weil GlR (V ) ⊂ glR (V ) offen ist, ist auch T GlR V −→Gl ˜ 7−→ A, A0 (0) . R (V ) × glR (V ) : A, A(t) Andererseits liefert die Parallelisierung in S. 36 T GlR V −→Gl ˜ ˜ R V × TI GlR V −→Gl R V × glR V : 37
−1 7−→ A, A−1 A0 (0) . A, A(t) 7−→ A, TA lA A(t) ¨ Uberlege warum, und ob dieses Ph¨anomen bei OR (V ) und SlR (V ) auch auftritt! ¨ 2.11 Bestimme die Gestalt der 3 Vektorfelder, welche in den Spalten von B(x) in S. 29 Ub. stehen, in der u ¨blichen Darstellung von S3 ⊂ R4 , d.h. berechne P (Xj ), wenn ¨ 1.1, S. 12 und P (Xj ) wie im B = (X1 , X2 , X3 ), P : S −→S ˜ 3 wie in S. 9 und Ub. Lemma in S. 35. Hinweis: Berechne die lineare Abbildung TP −1 (y) P · B(P −1 y) f¨ ur y ∈ S3 mittels der Formel f¨ ur T P in S. 33. ¨ 2.12 Gib ein nirgends verschwindendes Vektorfeld auf Sn , n ungerade, an. Ub. Hinweis: Betrachte entweder eine Spalte von B(x) in S. 29 oder die Vektorfelder ¨ 2.11. P (Xj ) in Ub. ¨ 2.13 Zeige, dass S7 parallelisierbar ist. Ub. Hinweis: Betrachte die folgenden 7 Vektorfelder S7 −→ T S7 : y 7−→ 2 3 4 5 6 7 8 y y y y y y y −y 1 −y 4 y 3 −y 6 y 5 −y 8 y 7 4 1 2 7 8 5 6 y −y −y −y y y −y 3 2 1 8 7 6 5 −y y −y y y −y −y 6 , 7 , 8 , 1 , 2 , 3 , 4 ∈ T y S7 ⊂ T y R 8 . y y −y −y −y −y y 5 8 7 2 1 4 3 −y −y −y y −y y y 8 5 6 3 4 1 2 y −y y y −y −y −y −y 1 y2 −y 3 −y 4 y5 y6 −y 7 ¨ 2.14 Betrachte R, {id} als C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Ub. 3/2
Es sei |x| ], [fλ ] : λ ∈ Λ eine Basis von C01 (R), sodass R [fλ ] : λ ∈ Λi C02 (R) enth¨alt. (Mittels des Zornschen Lemmas l¨asst sich eine solche Basis finden.) F¨ ur 3/2 1 . [f ] ∈ C0 (R) sei D [f ] der Koeffizient von [f ] bez¨ uglich des Basiselementes |x| Zeige, dass D eine Derivation ist! L¨asst sich D durch einen Tangentialvektor darstellen? ¨ 2.15 Es sei M := [0, 2π) × R und A = {ϕ1 , ϕ2 }, wobei Ub. ϕ1 = id : (0, 2π) × R −→ (0, 2π) × R und ϕ2 : [0, 2π) \ {π} × R −→ (−π, π) × R : (t, u) : 0 ≤ t < π a) Zeige, dass A die Bedingungen (i), (t, u) 7−→ (t − 2π, −u) : π < t < 2π. (ii), (iii), (v) in S. 20 erf¨ ullt und dass M, [A] eine C ∞ -Mannigfaltigkeit ist. cos t b) Zeige, dass M −→ S1 : (t, u) 7−→ ein C ∞ -Vektorraumb¨ undel ist. sin t ¨ 1.9, S. 15. Zeige, dass M −→ X : (t, u) 7−→ c) X sei das M¨obiusband aus Ub. T cos t, sin t, u cos 2t , u sin 2t ein Diffeomorphismus ist. 38
§3
Tensoren auf Mannigfaltigkeiten
Hilfssatz und Definition: p : M1 , [A1 ] −→ M2 , [A2 ] C k -Vektorraumb¨ undel. −1 −1 Dann hat p (x) f¨ ur x ∈ M2 die Struktur eines R-Vektorraums S. 22). p (x)∗ sei (vgl. k ∗ −1 ∗ undel der Dualraum. Dann ist M1 := (x, ω) : x ∈ M2 , ω ∈ p (x) ein C -Vektorraumb¨ ∗ ˜ mit der Projektion p : (x, ω) 7−→ x und dem Vektorraumb¨ undelatlas A1 := {ϕ˜1 : ϕ1 ∈ A1 }, wobei f¨ ur (ϕ1 : U1 −→ V1 ) ∈ A1 , mit ϕ2 : p(U1 ) −→ V2 ∈ A2 und U1
ϕ1
p
?
p(U1 )
- V = V × Rn1 −n2 1 2
pr1
ϕ2
?
- V 2
˜1 := (x, ω) ∈ M1∗ : x ∈ p(U1 ) , ϕ˜1 : U˜1 −→ V1 : (x, ω) 7−→ (vgl. S. 22) definiert wird: U ϕ2 (x), (ϕ1 p−1 (x) )T −1 (ω) . (Dabei ist ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x) −→ Rn1 −n2 ein Vektorraum T −1 Isomorphismus und daher ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x)∗ −→ (Rn1 −n2 )∗ ' Rn1 −n2 eben ˜ 1 ] h¨angt nur von [A1 ] ab und p∗ : M ∗ −→ M2 heißt das duale B¨ falls.) [A undel 1 zu p : M1 −→ M2 . Beweis: M1∗ wird eine topologische Mannigfaltigkeit nach dem Hilfssatz in S. 20. Nach˜ ein Vektorraumb¨ zupr¨ ufen ist nur, dass A undelatlas ist. 1 0 0 f ] .) ˜ (Dann folgt auch [A1 ] = [A1 ] =⇒ [A1 ] = [A 1 ˜ (i) und (ii) in S. 22 sind offenbar erf¨ ullt. Dass A1 C k ist, sieht man in Koordinaten: −1 1 n1 T 1 ψ1 ϕ1 : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y n2 , a1j xn2 +j , · · · , ajn1 −n2 xn2 +j )T , wobei y 1 , · · · , y n2 , a1j , · · · , ajn1 −n2 von x1 , · · · , xn2 abh¨angige C k -Funktionen sind. 1 n1 T 1 n2 1 n2 +j Dann ist ψ˜1 ϕ˜−1 , · · · , bnj 1 −n2 xn2 +j )T mit 1 : (x , · · · , x ) 7−→ (y , · · · , y , bj x B = AT −1 ebenfalls C k , wenn A = (aij ) ∈ R(n1 −n2 )×(n1 −n2 ) . Bemerkung: Wie sich sp¨ater zeigen wird, gibt es immer einen (allerdings nicht kanonischen) Vektorraumb¨ undel-Isomorphismus: F : M1 −→ M1∗ (vgl. S. 89). Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) (T M )∗ =: T ∗ M heißt Cotangentialraum zu M . Es ist also T ∗ M = (x, ω) : x ∈ M, ω ∈ (Tx M )∗ =: Tx∗ M .
2) Ein Schnitt in T ∗ M heißt lineare Differentialform oder 1-Form. T1 M := {1-Formen} = {Ω : M −→ T ∗ M C k−1 : p∗ ◦ Ω = idM }. Notation: M, [A] n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Wenn ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A, so ist T ϕ : T U −→ V × Rn : 39
(x0 , v i ∂i ) 7−→ (x10 , · · · , xn0 , v 1 , · · · , v n )T im B¨ undelatlas von T M. Dann ist ∗−1 ∗ n f g T ϕ : T U = p (U ) = T U −→ V × R : (x0 , ω) 7−→ x10 , · · · , xn0 , (Tx0 ϕ)T −1 (ω) . Wenn e1 , · · · , en wieder die Standardbasis in Rn ' (Rn )∗ ist, so definiert man dxi := (Tx0 ϕ)T (ei ) (manchmal schreibe ich genauer dx0 xi ). Dann gilt also Tfϕ : (x0 , ωi dxi ) 7−→ (x10 , · · · , xn0 , ω1 , · · · , ωn )T . dx0 x1 , · · · , dx0 xn ∈ Tx∗0 M ist also die duale Basis zu (∂1 )x0 , · · · , (∂n )x0 , d.h. h∂j , dxi i = δji . (Wenn V ein RVektorraum, so ist h , i : V × V ∗ −→ R die Auswertung.) ∂xj i0 Daher gilt bei Kartenwechsel: dxj = (als ob man k¨ urzen w¨ urde, vgl. S. 17). 0 dx i ∂x Aus dieser Gleichung folgt, dass dx0 xj = dx0 x˜j , wenn xj = x˜j bei x0 . Im Unterschied zu ∂j (vgl. S. 17, 18) h¨angt dxj also nur von der Funktion xj selber, nicht von x1 , · · · , xj−1 , xj+1 , · · · , xn ab. ∂xj 0 F¨ ur die Koordinaten gilt ω = ωj dxj = ωi0 dxi ∈ Tx∗0 U =⇒ ωi0 = ωj i0 . Der Vektor ∂x (ω1 , · · · , ωn ) transformiert sich kovariant“. ” k−1 In der Karte Tfϕ ist Ω ∈ T1 M gegeben durch eine C -Funktion n U −→ R : x 7−→ ω1 (x), · · · , ωn (x) , d.h. Ω(x) = ωi (x) dxi (eigentlich genaugenommen Ω(x) = x, ωi (x)dxi ), vgl. S. 24). Wenn wieder T1 (M ) als C k−1 (M )-Modul aufgefasst wird (s.u.), so ist also T1 (U ) ein freier C k−1 (U )-Modul mit der Basis dx1 , · · · , dxn . Bsp.: 1) V n-dimensionaler R-Vektorraum mit Standardstruktur. Dann ist T ∗ V ' V × V ∗ , wenn wie in S. 18 Tx0 V mit V identifiziert wird. Speziell f¨ ur V = Rn identifizieren wir weiters Rn∗ mit Rn und folglich ist T ∗ U ' U × Rn f¨ ur U ⊂ Rn offen. 2) Wenn N ⊂ M Untermannigfaltigkeit, so ist nicht T ∗ N ⊂ T ∗ M wie beim Tangentialraum, sondern wir erhalten einen kanonischen B¨ undelepimorphismus (x, ω) ∈ T ∗ M : x ∈ N −→ T ∗ N : (x, ω) 7−→ (x, ω T ). xN
3) F¨ ur Kugelkoordinaten U −→ R3 : x 7−→ (r, ϑ, ϕ) wie in S. 18 ist 3 ∂r 1P 1 ∂xj i i i dr = dx = = ωj xj etc. x dx , ω = ω r j ∂xi r i=1 ∂r r 4) Man kann T ∗ Sn nach 2) zwar nicht kanonisch, aber dennoch in folgender Weise in T ∗ Rn+1 einbetten: F¨ ur x0 ∈ Sn sei F : Tx∗0 Sn ,→ Tx∗0 Rn+1 die duale Abbildung zu Tx0 Rn+1 o
?
Rn+1
- T Sn x0
-
o
?
w ∈ Rn+1 : hx0 , wi = 0 : v 7−→ v − x0 hx0 , vi 40
(wobei hx0 , vi =
n+1 P i=1
xi0 v i ).
Wir wollen sehen, was in den Karten ϕn+1,+ : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T auf Sn und id auf n P Rn+1 passiert. Wenn x0 ∈ Un+1,+ , d.h. xn+1 > 0, so identifizieren wir w = wi ∂i mit 0 i=1 T 1 ∈ Tx0 Rn+1 ' Rn+1 (vgl. etwa S. 18), d.h. w1 , · · · , w n , − n+1 (w1 x10 + · · · + w n xn0 ) x0 n P {w ∈ Rn+1 : hx0 , wi = 0} ' Tx0 Sn : w 7−→ w i ∂i . i=1
Wenn daher i ∈ {1, · · · , n}, v ∈ Rn+1 , so ist
i F (dxi ) , |{z} = dx , v − x0 hx0 , vi = wi = v i − xi0 hx0 , vi, v | {z } | {z } n+1 ∈Tx∗0 Rn+1 ∈Tx0 R
d.h. F (dx0 xi ) = dx0 xi − xi0
=w∈Tx0 Sn
n+1 P j=1
xj0 dx0 xj ∈ Tx∗0 Rn+1 .
Mit den gleich folgenden Definitionen kann man schreiben: ! x . F : T ∗ Sn ,→ T ∗ Rn+1 : (x0 , dx0 g) 7−→ x0 , dx0 g |x| Hilfssatz und Definition: M sei C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. 1) T1 (M ) ist ein C k−1 (M )-Modul, wenn (f ·Ω)(x0 ) := f (x0 )Ω(x0 ) f¨ ur f ∈ C k−1 (M ), Ω ∈ T1 (M ) gesetzt wird. (Allgemeiner ist der Vektorraum der Schnitte eines C k -Vektorraumb¨ undels p : M1 −→ M2 ein C k (M2 )-Modul.) 2) d : C k (M ) −→ T1 (M ) : f 7−→ x0 7−→ dx0 f = T f Tx M : Tx0 M −→ Tf (x0 ) R ' R 0 x(t) 7−→ (f ◦ x)0 (0) ∂f dxi . ist R-linear und erf¨ ullt d(f · g) = f · dg + g · df. In Koordinaten gilt df = ∂xi (Speziell sind die fr¨ uheren Bezeichnungen dxi , dx0 xi konsistent.) 3) Allgemeiner, wenn auch N C k und f : M −→ N C k , so ist f ∗ : T1 (N ) −→ T1 (M ) :
Ω 7−→ ( x0 7−→ v 7−→ (Tx0 f ) (v), Ω f (x0 ) (oder anders geschrieben ∈M
∗
∈Tx0 M
(f Ω)(x0 ) = (Tx0 f )
T
Ω f (x0 )
∈Tf (x0 ) N
∈Tf∗(x ) N 0
) wohldefiniert und linear. Es gilt:
(i) g ∈ C k−1 (N ), Ω ∈ T1 (N ) =⇒ f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ (Ω); (ii) g ∈ C k (N ) =⇒ f ∗ (dg) = d(g ◦ f ). Speziell gilt in Koordinaten, wenn f : (x1 , · · · , xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y p )T : f ∗ (ωi dy i ) 41
∂y i j dx . 2) ergibt sich folgendermaßen als Spezialfall: ∂xj df = f ∗ (dt), wenn t die Koordinate auf R1 bezeichnet, d.h. dt ∈ T1 (R), dt : R −→ T ∗ R ' R × R : t 7−→ (t, 1).
= (ωi ◦ f )d(y i ◦ f ) = (ωi ◦ f )
Beweis: In Koordinaten ist 1) klar. 2) F¨ ur f ∈ C k (M ), x0 ∈ M, x(t) ∈ Tx0 M und Koordinaten x1 , · · · , xn bei x0 gilt: ∂f 0 i 0 i (x0 )(x ) (0) und dx x(t) = (nach S. 40) = (df )(x ) x(t) = (f ◦ x) (0) = | {z 0} ∈Tx0 M ∂xi ∈Tx∗0 M
i
∂f = (xi )0 (0). Also: df = dxi . i ∂x D E = g f (x0 ) · f ∗ (Ω)(x0 )(v) =⇒ 3) (i) f ∗ (g · Ω)(x0 )(v) = (T f )(v), (g · Ω) f (x0 ) f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ Ω. D E (ii) f ∗ (dg)(x0 ) x(t) = (T f ) x(t) , (dg) f (x0 ) = (g◦f ◦x)0 (0) = d(g◦f )(x0 ) x(t) | {z }
(Tx0 ϕ)
x(t)
f ◦x(t)
∗
=⇒ f (dg) = d(g ◦ f ).
∂y i j dx . ∂xj i (Vorsicht: In der letzten Formel steht y i f¨ ur y i ◦f bzw. genaugenommen f¨ ur (ϕ2 ◦f ◦ϕ−1 1 ) , vgl. S. 3.) Aus der Darstellung in Koordinaten sehen wir, dass f ∗ (Ω) ∈ T1 (M ) f¨ ur Ω ∈ T1 (N ).
Daher ist f ∗ (ωi dy i ) = (ωi ◦ f )d(y i ◦ f ) = (ωi ◦ f )
Bemerkung: F¨ ur f ∈ C k (M ), v ∈ Tx0 M kann man dx0 f (v) als Richtungsableitung von f entlang v bezeichnen. dx0 f ∈ Tx∗0 M hat die Bedeutung des Gradienten von f in x0 . (Im Rn schreibt man ∇f als Spaltenvektor, weil man T Rn und T ∗ Rn identifiziert, vgl. § 6.) x Bsp.: Nochmals zu T ∗ Sn . Die Abbildung f : Rn+1 \ {0} −→ Sn : x 7−→ liefert |x| ! x x ∗ n n+1 . d g f : T1 (S ) −→ T1 (R \ {0}) : hdg 7−→ h |x| |x| Vorsicht: Das gibt nicht unmittelbar das F von S. 40. T1 (Sn ) und T ∗ Sn sind ganz verschiedene Dinge. Im allgemeinen gibt es auch kein T ∗ f : T ∗ N −→ T ∗ M. Hier haben wir noch zus¨atzlich die Abbildung i : Sn ,→ Rn+1 mit f ◦ i = id zur Verf¨ ugung und damit ∗ n ∗ n+1 kann man definieren G : T S −→ T R : (x0 , ω) 7−→ i(x0 ), (Ti(x0 ) f )T ω(i(x0 )) . Das liefert (mit (ii), S. 41, und!wenn wir wieder i(x0 ) = x0 setzen): x G(x0 , dx0 g) = x0 , dx0 g f¨ ur x0 ∈ Sn , g ∈ Cxk0 (Sn ). |x| 42
n+1 P j xi Speziell G(x0 , dx0 x ) = dx0 x0 dx0 xj = F (dx0 xi ), d.h. F = G. = dx0 xi − xi0 |x| j=1 cos ψ cos(ϕ + ψ) liefert eine andere Einbettung von 7−→ f˜ : R2 \ {0} −→ S1 : eϕ sin ψ sin(ϕ + ψ) ¨ 3.2, S. 51). T ∗ S1 in T ∗ R2 (vgl. Ub. i
↑
→
G = F : T ∗ Sn ,→ T ∗ Rn+1 wie oben ergibt sich jedoch kanonisch, wenn wir zus¨atzlich die u ¨bliche Riemannsche Metrik auf Rn+1 zugrunde legen (siehe S. 89). Hilfssatz: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. T 1 (M )∗ sei der zu T 1 (M ) duale C k−1 (M ) 1 ∗ 1 Modul, d.h. T (M ) := h : T (M ) −→ C k−1 (M ) C k−1 (M )-linear . Dann ist
F : T1 (M ) −→ T 1 (M )∗ : Ω 7−→ V1 7−→ x 7−→ V (x), Ω(x) ∈T (M )
∈M
|
ein C k−1 (M )-Modulisomorphismus.
∈Tx M ∈Tx∗ M
| {z ∈R {z
∈C k−1 (M )
}
}
Beweis: a) V (x) = v i (x)∂i , Ω(x) = ωi (x)dxi (lokal in einer Karte) =⇒
=⇒ V (x), Ω(x) = v i (x)ωi (x) ist C k−1 =⇒ F ist wohldefiniert und offenbar ein C k−1 (M )-Modulhomomorphismus. b) F ist injektiv: Wie Abschnitt b) in S. 25. c) F ist surjektiv: Wie Abschnitt c) in S. 25, 26. Bsp.: 1) Da der duale Modul eines freien Moduls wieder frei ist, existiert eine Basis in T1 (Sn ) genau dann, wenn Sn parallelisierbar ist (wie man zeigen kann f¨ ur n ∈ {1, 3, 7}). ¨ 3.4, S. 52. Z.B. f¨ ur n = 1 ist dϑ eine Basis, vgl. S. 24, f¨ ur n = 3 siehe Ub. 43
Wegen f ∗ : T1 (Sn ) ,→ T1 (Rn+1 \ {0}) ist aber jedenfalls (vgl. S. 42) Ω ∈ T1 (Sn ) =⇒ f ∗ (Ω) = ωi (x)dxi , Ω = i∗ f ∗ (Ω) = ωi (x)dxi , d.h. dx1 , · · · , dxn+1 ist ein Erzeugendensy n+1 P j j 1 stem von T1 (Sn ) u = x dx . ¨ber C k−1 (Sn ). Es gilt 0 = d 2 j=1
2) F¨ ur X ∈ T 1 (M ), f ∈ C k (M ) gilt hX, df i = X(f ), wenn rechts X als Derivation ∂f aufgefasst wird, denn in Koordinaten ist X = v i ∂i =⇒ hX, df i = v i i = X(f ). ∂x (Auch f¨ ur k < ∞ ist F : T 1 (M ) −→ Der (M ) : X 7−→ f 7−→ X(f ) wohldefiniert und ¨ 2.14, S. 38). injektiv, aber nicht mehr surjektiv, vgl. Ub.
Operationen mit endlichdimensionalen Vektorr¨ aumen V, W, V1 , · · · , Vm seien endlichdimensionale Vektorr¨aume u ¨ber dem K¨orper K. Dann lassen sich folgende neue Vektorr¨aume und folgende kanonische Abbildungen definieren: 1) V1 × · · · × Vm =: V1 ⊕ · · · ⊕ Vm . 2) HomK (V1 , V2 ) := {f : V1 −→ V2 K-linear}, speziell: V ∗ := HomK (V, K).
3) HomK (V1 , V2 ) ' HomK (V2∗ , V1∗ ) : f 7−→ f T : v2∗ 7−→ v1 7−→ f (v1 ), v2∗ , speziell: V ' HomK (K, V ) ' HomK (V ∗ , K ∗ ) ' V ∗∗ - v ∗ 7−→ hv, v ∗ i . v
4) MulK (V1 , · · · , Vm | W ) := {f : V1 × · · · × Vm −→ W K-multilinear}, speziell: MulK (V1 , · · · , Vm ) := MulK (V1 , · · · , Vm | K) und MulK (V1 , · · · , Vm | W ) ' MulK (V1 , · · · , Vm , W ∗ )
- (v1 , · · · , vm , w ∗ ) 7−→ f (v1 , · · · , vm ), w ∗ f und HomK (V1 , V2 ) = MulK (V1 | V2 ) ' MulK (V1 , V2∗ ). 5) V1 ⊗ · · · ⊗ Vm := MulK (V1∗ , · · · , Vm∗ ),
∗ i : V1 × · · · × Vm −→ V1 ⊗ · · · ⊗ Vm : (v1 , · · · , vm ) 7−→ (v1∗ , · · · , vm ) 7−→
m Q
j=1
hvj , vj∗ i
ist K-multilinear. i(v1 , · · · , vm ) wird mit v1 ⊗· · ·⊗vm bezeichnet. Da i(V1 ×· · ·×Vm ) den Vektorraum V1 ⊗ · · · ⊗ Vm aufspannt, ist ein Homomorphismus von V1 ⊗ · · · ⊗ Vm nach W schon durch Angabe der Bilder von v1 ⊗ · · · ⊗ vm , vi ∈ Vi , bestimmt. (Da die Menge der v1 ⊗· · ·⊗vm nicht linear unabh¨angig ist, muss man allerdings separat zeigen, dass so ein Homomorphismus wohldefiniert ist.) Speziell nach 4): V1∗ ⊗V2 ' HomK (V1 , V2 ) : ∗ ∗ v1 ⊗ v2 7→ v1 7→ v2 hv1 , v1 i . 3) entspricht V1 ⊗ V2 ' V2 ⊗ V1 : v1 ⊗ v2 7−→ v2 ⊗ v1 . 44
6) Universelle Eigenschaft von ⊗ : MulK (V1 , · · · , Vm | W ) ' HomK (V1 ⊗ · · · ⊗ Vm , W ) - v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ f (v1 , · · · , vm ) f 7) Assoziativit¨at: (V1 ⊗ · · · ⊗ Vk ) ⊗ (Vk+1 ⊗ · · · ⊗ Vm ) ' V1 ⊗ · · · ⊗ Vm (v1 ⊗ · · · ⊗ vk ) ⊗ (vk+1 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ v1 ⊗ · · · ⊗ vm 8) Verj¨ ungung: V1 ⊗ · · · ⊗ Vm ⊗ Vm∗ −→ V1 ⊗ · · · ⊗ Vm−1 ∗ ∗ v1 ⊗ · · · ⊗ v m ⊗ v m 7−→ hvm , vm iv1 ⊗ · · · ⊗ vm−1 , ∗ ∗ speziell: V1 ⊗ · · · ⊗ Vm ' (V1 ⊗ · · · ⊗ Vm )∗ m Q ∗ 7−→ v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ v1∗ ⊗ · · · ⊗ vm hvj , vj∗ i j=1
9) Kommutativit¨at: σ ∈ Sm := Permutationen von {1, · · · , m} σ : V1 ⊗ · · · ⊗ Vm −→V ˜ σ(1) ⊗ · · · ⊗ Vσ(m) : v1 ⊗ · · · ⊗ vm 7−→ vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m) .
10) Tensorpotenzen, symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren: Ab hier sei char K = 0. V ⊗0 := K, V ⊗m := V · · ⊗ V}, | ⊗ ·{z
m S m (V ) := w ∈ V ⊗m : ∀σ ∈ Sm : σ(w) = w , Λm (V ) := w ∈ V ⊗m : ∀σ ∈ Sm : σ(w) = sign (σ)w 1 P S : V ⊗m −→ S m (V ) : w 7−→ σ(w). m! σ∈Sm 1 P sign (σ)σ(w). A : V ⊗m −→ Λm (V ) : w 7−→ m! σ∈S m Es ist S S m (V ) = idS m (V ) , A Λm (V ) = idΛm (V ) . P Man schreibt v1 ∧ · · · ∧ vm := m!A(v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) = sign (σ)vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m) . σ∈Sm
Wenn {e1 , · · · , en } eine Basis in V ist, so ist {ei1 ∧· ··∧eim : 1 ≤ i1 < · · · < im ≤ n} n : 0≤m≤n m eine Basis in Λm (V ) und daher gilt dim Λm (V ) = 0 : m > n. m In S (V ) ist hingegen S(ei1 ⊗ ·· · ⊗ eim ) : 1 ≤ i1 ≤ · · · ≤ im ≤ n eine Basis und n+m−1 daher dim S m (V ) = . m Speziell: m = 0 : S 0 (V ) = Λ0 (V ) = K, m = 1 : S 1 (V ) = Λ1 (V ) = V, m = 2 : S 2 (V ) ⊕ Λ2 (V) ' V ⊗2 S(w), A(w) w 45
(F¨ ur m ≥ 3 zerf¨allt V ⊗m in Sm -invariante Unterr¨aume entsprechend den Youngtableaus.) 11) Die Algebra der schiefsymmetrischen Tensoren: bilinear Wir wollen ∧ : Λm1 (V ) × Λm2 (V ) −→ Λm1 +m2 (V ) so definieren, dass f¨ ur vi ∈ V gilt (v1 ∧ · · · ∧ vm1 ) ∧ (vm1 +1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 ) = v1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 . (Dann ist ∧ automatisch assoziativ, d.h. (w1 ∧ w2 ) ∧ w3 = w1 ∧ (w2 ∧ w3 ) f¨ ur wi ∈ Λmi (V ). Dazu sei w1 ∧ w2 := cm1 ,m2 A(w1 ⊗ w2 ) f¨ ur wi ∈ Λmi (V ) mit cm1 ,m2 ∈ K, A wie in S. 45, 10).PDann gilt f¨ ur w1 = v1 ∧ · · · ∧ vm1 , w2 = vm1 +1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 : w1 ∧ w2 = cm1 ,m2 · sign (σ)sign (τ ) · A(vσ(1) ⊗ · · · ⊗ vσ(m1 ) ⊗ vm1 +τ (1) ⊗ · · · ⊗ vm1 +τ (m2 ) ) = σ∈Sm1 τ ∈Sm2
= (wegen Aσ(w) = sign (σ)A(w)) = cm1 ,m2 m1 !m2 !A(v1 ⊗ · · · ⊗ vm1 +m 2 ) = m1 !m2 ! m1 + m 2 A(w1 ⊗ w2 ). · v1 ∧ · · · ∧ vm1 +m2 . Daher: w1 ∧ w2 := cm1 ,m2 m1 (m1 + m2 )! −1 m 1 + m2 ˜ w2 := Vorsicht: Manchmal wird statt ∧ auch w1 ∧ · w1 ∧ w2 gem1 nommen. Dann ist also z.B. f¨ ur v1 , v2 ∈ V v1 ∧ v2 = v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1 aber 1 ˜ v2 = (v1 ⊗ v2 − v2 ⊗ v1 ) = A(v1 ⊗ v2 ). v1 ∧ 2 In beiden F¨allen ist ∧ assoziativ und es gilt f¨ ur w1 ∈ Λm1 (V ), w2 ∈ Λm2 (V ) : w1 ∧ w2 = (−1)m1 m2 w2 ∧ w1 . n=dim(V L ) m Λ(V ) := Λ (V ) ist also eine assoziative Algebra. (Die obige Definitim=0
on von ∧ hat folgenden Vorteil: Wenn e1 , · · · , en eine Basis von V, e1 , · · · , en die duale Basis in V ∗ ist, so gilt e1 ∧ · · · ∧ en ∈ Λn V ∗ ⊂ MulK (V, · · · , V ) mit n Q P (e1 ∧ · · · ∧ en )(e1 , · · · , en ) = sign (σ) hei , eσ(i) i = 1, d.h. e1 ∧ · · · ∧ en : i=1
σ∈Sn
V × · · · × V −→ K ist die zur Basis e1 , · · · , en geh¨orende Determinantenabbildung.)
Hilfssatz und Definition: p : M −→ N, pi : Mi −→ N seien C k -Vektorraumb¨ undel, i = 1, · · · , m. T (M ) bezeichne den C k (N )-Modul der Schnitte von p. 1) Den obigen Vektorraumbildungen entsprechen C k -Vektorraumb¨ undel u ¨ber N, in−1 dem man f¨ ur x ∈ N Vi := pi (x) setzt. Diese B¨ undel werden mit M1 ⊕ · · · ⊕ ∗ Mm , M , HomR (M1 , M2 ), M1 ⊗ · · · ⊗ Mm , Mul(M1 , · · · , Mm−1 | Mm ), M ⊗m , S m (M ), Λm (M ), Λ(M ) bezeichnet. (Vorsicht: HomR (M1 , M2 ) ist ein Vektorraumb¨ undel, kein B¨ undelhomomorphismus!) 2) Den obigen linearen Abbildungen entsprechen B¨ undelhomomorphismen, den multilinearen Abbildungen multilineare B¨ undelmorphismen“ (die also in den Fasern ” 46
multilinear sind), z.B. M1 ⊗ M2 ' M2 ⊗ M1 : (x0 , v1 ⊗ v2 ) 7−→ (x0 , v2 ⊗ v1 )
F G : M1 ⊕ · · · ⊕ Mm −→ M1 ⊗ · · · ⊗ Mm : x0 , (v1 , · · · , vm ) 7→ (x0 , v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) H : Λ(M ) ⊕ Λ(M ) −→ Λ(M ) : x0 , (w1 , w2 ) 7−→ (x0 , w1 ∧ w2 ) (F ist linear, G, H sind multilinear.)
3) Die obigen linearen Abbildungen liefern durch Zusammensetzung Abbildungen der Schnitte, z.B. T (M1 ⊗ M2 ) ' T (M2 ⊗ M1 ) : X 7−→ F ◦ X, T (M1 ) × · · · × T (Mm ) ' T (M1 ⊕ · · · ⊕ Mm ) −→ T (M1 ⊗ · · · ⊗ Mm ) (X1 , · · · , Xm ) 7−→ X1 ⊗ · · · ⊗ Xm : x0 7−→ X1 (x0 ) ⊗ · · · ⊗ Xm (x0 ) ∈p−1 ∈p−1 m (x0 ) 1 (x0 ) T Λ(M ) ×T Λ(M ) −→ T Λ(M ) : (X1 , X2 ) 7→ X1 ∧X2 : x0 7→ X1 (x0 )∧X2 (x0 )
Beweis: Wie f¨ ur M ∗ in S. 39.
Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, m, q ∈ {0, 1, 2, · · · }.
m ⊗m ∗ ⊗q 1) Das Vektorraumb¨ u ndel T M := (T M ) ⊗ (T M ) = (x, t) : x ∈ M, t ∈ q ⊗m ∗ ⊗q heißt B¨ undel der Tensoren vom Typ (m, q) bzw. der Tx M ⊗ Tx M m-fach kontra- und q-fach kovarianten Tensoren.
2) Tqm (M ) := T (Tqm M ) 3 X heißt Tensorfeld vom Typ (m, q). dim QM q Ω (M ) Ωq (M ) := T Λq (T ∗ M ) 3 Ω heißt q-Form, Ω(M ) := T Λ(T ∗ M ) = q=0
heißt Raum der Differentialformen.
Notation: Es sei p : Tqm M −→ M das Tensorb¨ undel vom Typ (m, q). 1 n T Wenn ϕ : U −→ V : x − 7 → (x , · · · , x ) eine Karte auf M ist und x0 ∈ U, so ist j1 jq (∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dx ⊗ · · · ⊗ dx )x0 : i1 , · · · , im , j1 , · · · , jq ∈ {1, · · · , n} eine Basis von Tx0 M ⊗m ⊗ Tx∗0 M ⊗q . Daher schreibt sich t ∈ p−1 (x0 ) so: i1 ···im j1 jq m t = tji11···i ···jq (∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dx ⊗ · · · ⊗ dx )x0 mit tj1 ···jq ∈ R, die sich bei Basiswechsel i1 0 ∂xim 0 ∂xl1 ∂xlq k1 ···km ∂x m0 · · · · · · , vgl. S. 17 und S. 40. so transformieren: tji11···i = t ···jq l1 ···lq ∂xk1 ∂xkm ∂xj1 0 ∂xjq 0 Im folgenden wird, wie in der Physik u ¨blich, die Basis oft weggelassen, d.h. ich schreibe m m m ). Wenn X ∈ T (M ), so heißt das, dass f¨ ur x0 ∈ U gilt: X(x0 ) = tji11···i t = (tji11···i q ···jq (x0 ) ···jq q ∗ m mit C k−1 -Funktionen tji11···i ···jq . Wenn x0 ∈ U und ω ∈ Λ (Tx0 M ), so ist ω =
P
1≤j1 j. 1···j − 1 j j + 1···n Dann ist τ = σ ◦ (eingeschr¨ankt auf {1, · · · , n} \ {j}) =⇒ 2···j 1 j + 1···n n P P xj (−1)j−1 sign (τ ) dxτ (1) ⊗ · · · ⊗ dxˆτ (j) ⊗ sign(τ ) = (−1)j−1 sign (σ) =⇒ L = j=1
· · · ⊗ dxτ (n) =
n P
j=1
(j)
τ ∈Sn−1
(−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dxj−1 ∧ dxj+1 ∧ · · · ∧ dxn .
L heißt Leray’sche Differentialform und h¨angt also nur von der Festlegung von det ab. Offenbar ist L(x) 6= 0 f¨ ur x 6= 0. Definition und Hilfssatz: F¨ ur eine Tensorbildung mit nachfolgender Verj¨ ungung (vgl. ¨ Bsp. 5) oben) schreibe ich h , i (man nennt dies auch manchmal Uberschiebung“). Man ” 0 0 erh¨alt also so f¨ ur 0 ≤ q ≤ m, 0 ≤ m ≤ q : 0 bilinearer - T m−q0 (M ) q−m B¨ undelmorphismus i1 ···im−q0 k1 ···kq0 i1 ···im0 l1 ···lm0 m ) x0 , sji11···i , (t − 7 → x , s ) · t =: x0 , hs, ti 0 ···jq j1 ···jq0 j1 ···jq−m0 l1 ···lm0 k1 ···kq0 | {z } | {z } 0
Tqm (M ) ⊕ Tqm0 (M )
s
t
0 m−q 0 x0 7−→ S(x0 ), T (x0 ) =: und analog Tqm (M ) × Tqm 0 (M ) −→ Tq−m0 (M ) : (S, T ) 7−→ hS, T i. Speziell sich so: ergibt m 1 Tq (M ) ' h : T (M )q × T1 (M )m −→ C k−1 (M )-multilinear : T , Ω1 , · · · , Ωm ) 7−→ hT, X1 ⊗ · · · ⊗ Xq ⊗ Ω1 ⊗ · · · ⊗ Ωm i und Ωq (M ) ' 7−→ 1 (X1 ,q · · · , Xqk−1 h : T (M ) −→ C (M ) C k−1 (M )-multilinear und alternierend . Beweis: Analog zu S. 43.
Hilfssatz und Definition: (vgl. S. 31 und 41) Mi C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, f : M1 −→ M2 C k . (T m Mi := T0m Mi , Tq Mi := Tq0 Mi ) 1) T m f : T m M1 −→ T m M2 : (x0 , v1 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ {z } | v f (x0 ), (Tx0 f )(v1 ) ⊗ · · · ⊗ (Tx0 f )(vm ) ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel-Homomor| {z } =:(Txm0 f )(v)
phismus bzgl. f : M1 −→ M2 .
49
ist wohldefiniert 2) f ∗ : Tq M2 −→ Tq M1 : Ω 7−→ x0 7−→ (Txq0 f )T Ω f (x0 ) und erf¨ ullt f ∗ (g · Ω) = (g ◦ f ) · f ∗ (Ω). Weiters gilt f ∗ : Ωq M2 −→ Ωq M1 und in Koordinaten ist f ∗ (ωi1 ···iq dy i1 ⊗· · ·⊗dy iq ) = (ωi1 ···iq ◦f )d(y i1 ◦f )⊗· · ·⊗d(y iq ◦f ) = ∂y i1 ∂y iq (ωi1 ···iq ◦ f ) j1 · · · jq dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjq . ∂x ∂x Ganz pr¨azise ausgedr¨ uckt heißt das: Wenn Ω = ωi1 ···iq dy i1 ⊗ · · · ⊗ dy iq in einer Umgebung von y0 = f (x0 ), so ist f ∗ (Ω) wie oben bei x0 .) Weiters gilt: f ∗ (Ω1 ⊗ Ω2 ) = f ∗ (Ω1 ) ⊗ f ∗ (Ω2 ) f¨ ur Ωi ∈ Tqi (M2 ) und f ∗ (Ω1 ∧ Ω2 ) = ∗ ∗ qi f (Ω1 ) ∧ f (Ω2 ), Ωi ∈ Ω (M2 ) 3) f : M1 −→ M2 , g : M2 −→ M3 C k =⇒ (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g ∗ . Beweis: Analog zu S. 32, 42. Bemerkung: Rein kovariante Tensorfelder lassen sich also zur¨ uckziehen“. F¨ ur kontra” variante Tensorfelder ist es nur bei Diffeomorphismen ebenso einfach, siehe unten. Bsp.: 1) Wenn i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit, so erhalten wir also i∗ : Tq M −→ ∗ Tq N. Speziell, wenn g1 , · · · , gq : M −→ R C k , so ist dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq ∈ Tq M und i (dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq ) = d(g1 ◦ i) ⊗ · · · ⊗ d(gq ◦ i) = d g1 |N ⊗ · · · ⊗ d gq |N . Allerdings schreibt man f¨ ur gj |N meistens wieder gj , sodass sich in dieser schlampigen Schreibweise i∗ (dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq ) = dg1 ⊗ · · · ⊗ dgq“∈ Tq (N ) ergibt. Dieses Schreibungsproblem tritt auch manchmal ” bei anderen Abbildungen f statt i auf. Ebenso: dg1 ∧ · · · ∧ dgq ∈ Ωq N. n+1 P ˆj ∧ (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx 2) Speziell f¨ ur i : Sn ,→ Rn+1 ist i∗ (L) = (schlampig) = j=1 ∗ · · · ∧ dxn+1 . i∗ (L) ist rotationsinvariant, denn wenn A ∈ SOn+1 , so ist A|Sn i∗ (L) = ∗ i ◦ A|Sn L = (A ◦ i)∗ L = i∗ A∗ L = i∗ L nach S. 49. Um zu zeigen, dass i∗ L 6= 0, k¨onnen wir etwa x0 = (0, · · · , 0, 1)T ∈ Sn betrachten: i∗ (L)(x0 ) = (−1)m dx0 x1 ∧ · · · ∧ dx0 xn 6= 0. Da es ∀x0 , x1 ∈ Sn ein A ∈ SOn+1 mit Ax0 = x1 gibt, sind alle rotationsinvarianten Volumsformen auf Sn folglich durch c · i∗ (L), c ∈ R, gegeben. Eine ¨ahnliche Situation herrscht bei Liegruppen: Hilfssatz und Definition: 1) (Vgl. S. 35) f : M1 −→ M2 sei ein C k -Diffeomorphismus, k ≥ 1. Dann induziert dies Tqm f : Tqm M1 −→ ˜ Tqm M2 : (x0 , t) 7−→ f (x0 ), (Tx0 f )⊗m ⊗ (Tf (x0 ) f −1 )⊗qT t und B¨ undeliso.
f : Tqm M1 −→ ˜ Tqm M2 : X 7−→ (Tqm f ) ◦ X ◦ f −1 =: f (X). VR-Iso
2) (Vgl. S. 33) G sei eine Liegruppe. X ∈ Tqm (G) heißt links- (bzw. rechts-) invariant : ⇐⇒ ∀x0 ∈ G : lx0 (X) = X (bzw. r x0 (X) = X). Wenn I = 1G und Tq,lm bzw. r und Ωql bzw. r die Vektorr¨aume der links- bzw. rechtsinvarianten Tensorfelder und Formen sind, so sind 50
m Tq,I (G) ' Tq,lm bzw. r (G) : t 7−→ x0 7−→ (Tqm lx0 )(t) bzw. (Tqm rx0 )(t) und Λq (TI∗ G) ' Ωql bzw. r Isomorphismen von R-Vektorr¨aumen. Beweis: Analog S. 34–35. Bemerkung: Speziell f¨ ur m = 0, q = 1, ω = dI g, g ∈ C ∞ (U ), U Umgebung von I, −1 0 0 (G) ' T1,l (G) = Ω1l (G) : ω = dI g 7−→ x0 7−→ T10 lx0 (ω) = (Tx0 lx0 )T (dI g) = folgt T1,I =TI∗ G
= (l
x−1 0
)∗ (dg)(x0 ) = dx0 g(x−1 0 x) .
Bsp.: Wenn G p-dimensional ist, so sind also Ωpl (G) und Ωpr (G) eindimensional. Wir 2 wollen ein Basiselement in Ωnl Gln (R) ausrechnen. Dazu nehmen wir die Karte id : 2 Gln (R) −→ Rn : A 7−→ (aij ) und ω = da11 ∧ · · · ∧ dan1 ∧ da12 ∧ · · · · · · ∧ da1n ∧ · · · ∧ dann ∈ 2 2 ur Λn TI∗ Gln (R) . Diesem ist nach dem Hilfssatz Ω ∈ Ωnl Gln (R) zugeordnet, wobei f¨ j −1 A0 ∈ Gln (R) (entspricht dem x0 oben) mit A0 = (bi ) gilt: jn j1 −1 n 1 n 1 Ω(A0 ) = (vgl. die Bemerkung) = d(A−1 0 A)1 ∧· · ·∧d(A0 A)n = (bj1 da1 )∧· · ·∧(bjn da1 )∧ P 1 j j (b1jn+1 da2n+1 ) ∧ · · · · · · ∧ (bnjn2 dann2 ) = bσ1 (1) · · · bnσ1 (n) sign (σ1 )da11 ∧ · · · ∧ dan1 ∧ · · · ∧ σ1 ∈Sn X 1 n 1 bσn (1) · · · bσn (n) sign (σn ) dan ∧ · · · ∧ dann = σn ∈Sn
|
{z
det(A−1 0 ) −n det(A0 ) da11 ∧ · · · ∧
}
dan1 ∧ da12 ∧ · · · · · · ∧ dann . ¨ 3.5, S. 52. Zu G = Sln (R) vgl. Ub. ¨ Ubungen ¨ 3.1 Betrache die C ∞ -Karte auf R2 : ϕ : R2 \ (x, 0)T : x ≤ 0 −→ (0, ∞) × (−π, π) : Ub. r cos ϑ . Stelle dx1 , dx2 durch dr, dϑ und umgekehrt dar. 7−→ r ϑ sin ϑ ¨ 3.2 Bestimme die Form der Einbettung T ∗ S1 ⊂ T ∗ R2 , welche sich aus der Abbildung Ub. f˜ in S. 43 ergibt. ¨ 3.1 und H : T ∗ S1 −→ T ∗ R2 : Hinweis: Berechne H(x0 , dϑ|S1 ), wennϑ wie in Ub. T (x0 , ω) 7−→ i(x0 ), (Ti(x0 ) f˜ ) ω(i(x0 )) . ¨ 3.3 M, [A] C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1, f : M −→ Rn−p C k , N = f −1 (0), ∀x ∈ N : Ub. Rgx f = n − p ( =⇒ N ⊂ M Untermannigfaltigkeit). Es sei weiters ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A und bzgl. f : (x1 , · · ·, xn )T 7−→ (y 1 , · · · , y n−p )T . ϕ sei ∂(y 1 , · · · , y n−p ) Schließlich sei x0 ∈ U ∩ N und det (x0 ) 6= 0. ∂(xi1 , · · · , xin−p ) a) Zeige, dass dx0 (xj1 |N ), · · · , dx0 (xjp |N ) eine Basis in Tx∗0 N ist, wenn 51
{i1 , · · · , in−p , j1 , · · · , jp } = {1, · · · , n}. b) Was bedeutet das z.B. f¨ ur M = Rn+1 , N = Sn ? ¨ 3.4 a) Bestimme eine Basis des freien C ∞ (S3 )-Moduls T1 (S3 ), vgl. S. 43. Ub. b) Stelle d(x1 |S3 ), · · · , d(x4 |S3 ) durch diese Basis dar, wenn S3 ,→ R4 : x 7−→ (x1 , · · · , x4 )T . ¨ 2.11, S. 38 bestimmte Basis von T 1 (S3 ) und Hinweis zu a): Verwende die in Ub. den folgenden Vektorraumb¨ undelisomorphismus T S3 ' T ∗ S3 : F¨ ur x0 ∈ S3 sei Tx0 S3 ,→ Tx0 R4 ' Tx∗0 R4 −→ Tx∗0 S3 ∂j −→ dxj 7−→ d(xj |S3 ). (Dies ist die Einschr¨ankung der Riemannschen Standardmetrik von R4 auf S3 .) ¨ 3.5 a) Zeige, dass da11 , · · · , dan1 , da12 , · · · · · · , da1n , · · · , dan−1 eine Basis in TI∗ Sln (R) ist. Ub. n 1 b) Zeige, dass Ω(A) = da11 ∧ · · · ∧ da1n ∧ da12 ∧ · · · ∧ da1n ∧ · · · ∧ dann−1 ∈ ad n (A ) n 2 Ωln −1 Sln (R) f¨ ur (Aad )nn 6= 0. Ist Ω auch rechtsinvariant?
sign (σ) : j1 = iσ(1) , · · · , jm = iσ(m) ; m ¨ 3.6 Zeige, dass εji1 ···i j1 , · · · , jm sind paarweise verschieden, σ ∈ Sm ; Ub. := 1 ···jm 0 : sonst ein Tensorfeld in Tmm (M ) definiert (dessen Koordinaten also vom Punkt und von der Karte unabh¨angig sind). Welche lineare Abbildung entspricht ur x ∈ M ? ε ∈ Tx (M )⊗m ⊗ Tx∗ (M )⊗m ' HomR Tx (M )⊗m , Tx (M )⊗m f¨ Was ergibt sich f¨ ur m = 1 und f¨ ur m = 2 ?
¨ 3.7 a) Zeige, dass da12 , da23 , da31 eine Basis in TI∗ SO3 (R) bildet. Ub. b) Es sei Ω ∈ Ω3l SO3 (R) mit Ω(I) = da12 ∧ da23 ∧ da31 und f : S2 × S1 −→ SO3 (R) ¨ 1.5 c), S. 13. Zeige, dass f ∗ (Ω) ∈ Ω3 (S2 × S1 ) die Form g(ϕ) L ∧ dϕ wie in Ub. haben muss, wobei L = x1 dx2 ∧ dx3 + x2 dx3 ∧ dx1 + x3 dx1 ∧ dx2 ∈ Ω2 (S2 ) und ϕ die Winkelvariable in S1 ist. Hinweis: F¨ ur A ∈ SO3 (R) kommutiert das Diagramm S2 × S 1
A × id
? 2
S ×S
1
f
- SO (R) 3
B
? ? - SO (R) ABA−1 3
f ¨ 7.5, S. 113). Verwende, dass Ω3l SO3 (R) = Ω3r SO3 (R) (s. Ub. c) Berechne g ! 0 Hinweis: Nach b) k¨onnen wir x0 = 0 ∈ S2 setzen. In Tx∗0 S2 gilt 1 dx3 = d(x1 x2 ) = d(x2 x2 ) = 0. 52
Kap. II: Integration auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten §4
Borelmaße, Radonmaße, n-Formen und Orientierung
Def.: X Menge, P(X) := Potenzmenge von X 1) Σ ⊂ P(X) heißt σ-Algebra :⇐⇒ (i) ∅ ∈ Σ (ii) A ∈ Σ =⇒ X \ A ∈ Σ ∞ S (iii) Ai ∈ Σ, i ∈ N =⇒ Ai ∈ Σ. i=1
2) Σ σ-Algebra; µ : Σ −→ [0, ∞] heißt Maß :⇐⇒ (i) µ(∅) = 0 (ii) A i ∈ Σ, i ∈ ∞ ∞ S P N, Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j =⇒ µ( Ai ) = µ(Ai ) (wobei ∞ + a := ∞). i=1
i=1
Bemerkung: Wenn X ein topologischer Raum ist, m¨ochte man, dass Σ alle offenen Mengen enth¨alt. Außerdem sollen Maße durch ihre Integrale u ¨ber stetige Funktionen mit kompaktem Tr¨ager festgelegt sein. Schließlich will man noch, dass die Menge der Maße einen Vektorraum bildet. All das funktioniert f¨ ur einen lokalkompakten topologischen Hausdorff-Raum (=: LCH). Def.: X LCH. 1) B(X) := kleinste σ-Algebra, die {U ⊂ X : U offen} enth¨alt. B(X) heißt Borel σ-Algebra. 2) µ : B(X) −→ [0, ∞] heißt (lokalendliches) Borelmaß :⇐⇒ µ Maß ∧ ∀K ⊂ X kompakt: µ(K) < ∞. 3) µ : A ∈ B(X) : A kompakt −→ R heißt signiertes Borelmaß :⇐⇒ ∃µ1 , µ2 Borelmaße: µ = (µ1 − µ2 ) {A∈B(X):A kompakt} . 4) f : X −→ R; supp f := x : f (x) 6= 0 heißt Tr¨ager von f . 5) K(X) := f ∈ C(X) : supp f kompakt .
6) λ : K(X) −→ R heißt Radonmaß :⇐⇒ (i) λ linear; (ii) ∀K ⊂ X kompakt: ∃C > 0 : ∀f ∈ K(X) mit supp f ⊂ K : λ(f ) ≤ C max f (x) . x∈X
7) K0 (X) := λ : K(X) −→ R Radonmaß . 53
8) λ ∈ K0 (X) heißt positiv :⇐⇒ ∀f ∈ K(X) mit (∀x ∈ X : f (x) ≥ 0) : λ(f ) ≥ 0. 9) K0 (X)+ := λ ∈ K0 (X) : λ positiv .
Bemerkung: 1) Die Eigenschaft (ii) in 6) bedeutet, dass λ stetig ist bzgl. einer gewissen lokalkonvexen Topologie auf K(X). ¨ 4.1, S. 67. 2) Aus 6) (i) und der Positivit¨at 8) folgt die Stetigkeit 6) (ii), vgl. Ub. 1 : x0 ∈ B Bsp.: 1) Wenn x0 ∈ X, so ist δx0 : B(X) −→ [0, ∞) : B 7−→ 0 : sonst ein Borelmaß. Das zugeh¨orige Radonmaß (vgl. n¨achster Satz) ist K(X) R −→ R : f 7−→ f (x0 ). 1 n n 2) Wenn g ∈ Lloc (R ), d.h. g : R −→ R messbar und |g(x)| dx < ∞ f¨ ur alle K ⊂ Rn K R kompakt, so ist µ : A ∈ B(Rn ) : A kompakt −→ R : A 7−→ g(x) dx das signierte A R Borelmaß g dx“. Das zugeh¨orige Radonmaß ist K(Rn ) −→ R : f 7−→ f (x)g(x) dx. ” Rn R dx 1 3) B(R ) −→ [0, ∞] : B 7−→ |x| ist ein Maß auf der Borel σ-Algebra von R, aber kein B Borelmaß, da µ [0, 1] = ∞ und [0, 1] kompakt ist.
Satz (Version des Darstellungssatzes von F. Riesz, 1909) X lokalkompakter Hausdorffraum, der das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt (d.h. abz¨ahlbare Basis der Topologie). Dann gilt: R {Borelmaße auf X} ' K0 (X)+ : µ 7−→ f 7−→ f (x)µ(x) und R 0 {signierte Borelmaße auf X} ' K (X) : µ 7−→ f 7−→ f (x)µ(x) . Beweise: Berberian: Measure and Integration, Th. 1, p. 227; Weir: General Integration & Measure, Th. 4, p. 181, Ex. 8, p. 183; Janssen & Steen: Integration Theory, p. 138, Ex. 5, p. 144; Dieudonn´e (13.3.6); Rudin: R & C Analysis, 2.14/18, p. 40, 48; Malliavin: Int. et probabilit´es, 2.2., p. 62 und 5.3.3, p. 86.
Ab nun sei X LCH und erf¨ ulle das 2. Abz¨ahlbarkeitsaxiom, z.B. X Mannigfaltigkeit. Wir unterscheiden nicht mehr zwischen Borel- und Radonmaßen. Def.: 1) X topologische Gruppe. λ ∈ K0 (X)+ heißt (links-)Haarmaß :⇐⇒ (∗) ∀x0 ∈ X : ∀f ∈ K(X) : λ f (x0 · x) = λ(f ). Wenn λ ∈ K0 (X) (∗) erf¨ ullt, so heiße es signiertes (links-)Haarmaß. 2) Wenn X = V n-dimensionaler R-Vektorraum, so wird Haar“ durch Lebesgue“ ” ” ersetzt. (Da ist links“ bzw. rechts“ hier u ussig.) ¨berfl¨ V kommutativ, ” ” L(V )+ := λ ∈ K0 (V )+ Lebesguemaß}, L(V ) := {λ ∈ K0 (V ) signiertes Lebesguemaß}. 54
R Bsp.: V = Rn . Dann ist λ : K(Rn ) −→ R : f 7−→ f (x) dx1 · · · dxn in L(Rn )+ und L(Rn ) = {c · λ : c ∈ R}, denn wenn λ1 ∈ L(Rn ) mit λ1 {x ∈ Rn : 0 ≤ xi 0. Eine Orientie| {z } F ∈Λn (V )\{0}
rung auf V ist daher auch durch eine angeordnete Basis e1 , · · · , en von V bestimmt.
55
3) Vˆ := V × O(V ) / ∼, wobei (v1 , o1 ) ∼ (v2 , o2 ) :⇐⇒ (v1 , o1 ) = ±(v2 , o2 ), heißt Raum der Pseudovektoren (oder axialen Vektoren) zu V. Vˆ ist ein R-Vektorraum mit α[v1 , o] + β[v2 , o] := [αv1 + βv2 , o]. Es gilt Vc∗ ' Vˆ ∗ : [v ∗ , o∗ ] 7−→ v, F −1 (o∗ ) 7−→ hv, v ∗ i , wobei F wie in 2). ¨ 4) Ahnlich definiert man zu V : d ˆ R := R × O(V ) / ∼, V ⊗m := V ⊗m × O(V ) / ∼ und cm (V ) := Λm (V ) × O(V ) / ∼ (Pseudoskalare, Pseudotensoren etc.) Λ d ⊗m etc. [ Beachte, dass V ⊗m 6= V e1 , · · · , en eine Basis von V ist, so nennt man v i1 ···im die Koordinaten von Wenn d bzgl. der geordneten Basis v i1 ···im ei1 ⊗ · · · ⊗ eim , F −1 [e1 ∧ · · · ∧ en ] ∈ V ⊗m e1 , · · · , e n .
Bsp.: 1) [ x1n ∗ ∧ · · · ∧ xn ] nennt man Standardorientierung auf Rn . Beachte, dass es ∈(R )
auf R V keine Standardorientierung gibt. |D| : o = [D], D 6= 0 ∗ n c −|D| : o = −[D], D 6= 0 2) Λ (V ) ' L(V ) : [D, o] 7−→ 0 : D=0 In Worten: Den signierten Lebesguemaßen entsprechen die schiefsymmetrischen n-fach kovarianten Pseudotensoren (kurz: Pseudo-n-kovektoren). Der Abbildung | · | in S. 55 entspricht cn (V ∗ ) : D 7−→ D, [D] . dann | · | : Λn (V ∗ ) −→ Λ 3) Wenn e1 , · · · , en eine Basis in V, e1 , · · · , en die duale Basis in V ∗ , o := [e1 ∧ · · · ∧ en ] ∈ O(V ) und v = v i ei ∈ V, so hat w := [v, o] ∈ Vˆ bzgl. e1 , · · · , en die Koordinaten v i . 0 0 Bei Basiswechsel gilt ei = aji ej 0 , v = aji v i ej 0 = v j ej 0 =⇒ v j = aji v i , o0 = sign det (akl ) o 0 0 =⇒ w = [v j e0j , o] = v j sign det(akl ) , o0 , d.h. die Koordinaten von w ∈ Vˆ bzgl. der angeordneten Basis e01 , · · · , e0n sind aji v i sign det (akl ) . Beachte, dass e1 , · · · , en und e01 , · · · , e0n keine Basen in Vˆ sind ! Bez¨ uglich Basen in Vˆ gilt nat¨ urlich die u ¨bliche Formel. ∼ 4) F¨ ur eine gew¨ahlte Orientierung o auf V erh¨alt man V −→ Vˆ : v 7−→ [v, o]. Das Paar (V, o) heißt orientierter Vektorraum. 5) R V sei ein 3-dimensionaler euklidischer Raum, d.h. h , i ∈ S 2 (V ∗ ) positiv definit sei gegeben. e1 , e2 , e3 sei eine ONB und e1 , e2 , e3 die duale Basis in V ∗ , D := e1 ∧ e2 ∧ e3 ∈ Λ3 (V ∗ ). Dann ist D bis auf das Vorzeichen eindeutig (daA ∈ OR (V ) =⇒ det A = ±1) und folglich das Kreuzprodukt V × V −→ Vˆ : (u, v) 7−→ w, [D] =: u × v wohldefiniert, wobei D(x, u, v) = hw, xi, ∀x ∈ V. 6) Allgemeiner sei R V ein n-dimensionaler euklidischer Raum, e1 , · · · , en ONB, e1 , · · · , en cn (V ∗ ) unabh¨angig von duale Basis, D := e1 ∧ · · · ∧ en . Dann ist wiederum D, [D] ∈ Λ der Wahl der ONB. Es entspricht dem Lebesguemaß µ = |D| ∈ L(V ) (vgl. 2), oben). Wenn v1 , · · · , vn beliebige Vektoren in V sind, so ist (vgl. S. 55) 56
p µ {xi vi : 0 ≤ xi < 1} = D(v1 , · · · , vn ) = det (hvi , ej i) = det (hvi , vj i) . Wie in 5) ergibt sich auch ein Kreuzprodukt V · · × V} −→ Vˆ . | × ·{z n−1
cn (V ∗ ) entspricht, so entsprechen den RaSo wie den Lebesguemaßen L(V ) der Raum Λ cn (T ∗ M ). Die n¨achste Definition donmaßen auf einer Mannigfaltigkeit M Schnitte von Λ bereitet dies vor und entspricht S. 39 bzgl. der Tensoren.
Hilfssatz und Definition: p : M1 −→ M2 sei ein C k -Vektorraumb¨ undel. Dann ist S S −1 −1 ˙ −1 \ ˆ [v, o] : v ∈ p (x), o ∈ O p (x) wieder ein C k -Vektorraump (x) = M1 := x∈M2
x∈M2
b¨ undel mit folgenden Karten:
F¨ ur
U1
ϕ1
p
pr1
?
p(U1 )
- V = V × Rn1 −n2 1 2
ϕ2
? - V2
wie in S. 22 sei ˆ 1 und ϕˆ1 : Uˆ1 −→ V1 Uˆ1 := [v, o] : v ∈ U1 ⊂ M [v, o] 7−→ ϕ1 (v) ∼ wenn x = p(v) und o verm¨oge ϕ1 p−1 (x) : p−1 (x) −→ Rn1 −n2 der Standardorientierung auf Rn1 −n2 entspricht. ur x ∈ p(U1 ) ∩ Beweis: ϕ1 , ϕ2 seien wie oben und ψ1 : U10 −→ V10 eine 2. Karte. F¨ 0 0 p(U1 ) seien o(x) bzw. o (x) jeweils die Orientierungen, die sich aus p−1 (x) −→ ϕ1 bzw. ψ1
2 Rn1 −n2 ergeben. Wenn e1 , · · · , en1 −n2 die Standardbasis in Rn1 −n ist z.B. o(x) ist, so −1 −1 −1 durch die geordnete Basis ϕ1 ϕ2 (x), e1 ), · · · , ϕ1 ϕ2 (x), en1 −n2 von p (x) gegeben. −1 ϕ (x), e mit C k Da M ein C k -Vektorraumb¨ undel ist, gilt ψ1−1 ψ2 (x),ei = aji (x)ϕ 2 j 1 Funktionen aji auf p(U1 ∩ U10 ). Daher: o0 (x) = sign det aji (x) o(x) =⇒ auf jeder Zusammenhangskomponente von p(U1 ∩ U10 ) ist entweder o = o0 oder o = −o0 . Wenn −1 1 n1 T 10 n1 0 T 1 n1 T ˆ ψ1 ◦ ϕ−1 ) , so 1 : (y , · · · , y ) 7−→ (y , · · · , y ist also ψ1 ◦ ϕˆ1 : (y , ··· , y ) 7−→ 0 0 1 n2 wieder C k . (y 1 , · · · , y n2 0 , y n2 +1 , · · · , y n1 0 )T mit := sign det aji (ϕ−1 2 (y , · · · , y ))
d c ˆ 1∗ ' M d1∗ und werden M1⊗m Bemerkung: Analog zu S. 55, 56 gilt M , Λm (M1 ) definiert.
cq (T ∗ M ) = S x, [ω, o] : [ω, o] ∈ Λ cq (Tx∗ M ), Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Λ x∈M
57
d.h. ω ∈ Λq (Tx∗ M ), o ∈ O(Tx M ) ist ein C k−1 -Vektorraumb¨ undel (analog dem Hilfssatz in S. 57). cq (T ∗ M ) 3 Ω ˆ heißt Pseudo-q-Form oder ungerade q-Form (vgl. S. 66). ˆ q (M ) := T Λ Ω ˆ ˆ ∈Ω ˆ q (M ) die Darstellung Ω(x) Bemerkung: In Koordinaten hat Ω = ωi1 ···iq (x) dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxiq , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] mit in den Indices schiefsymmetrischen C k−1 -Funktionen ωi1 ···iq (x) bzw. (vgl. S. 47) i h X ˆ Ω(x) = ωi1 ···iq (x) dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] . {z } | i1 N : K ∩ Vn = ∅. Wenn wir Vi
statt Ui nehmen, so folgt also wegen supp χi ⊂ Ui (ii) aus (iii). OEdA sei daher im folgenden Ui durch Vi ersetzt, d.h. U i so, dass ∀K ⊂ M kompakt: ∃N : ∀n > N : K ∩ Un = ∅. c) ∀x ∈ M : ∃ ϕx : Wx −→ y ∈ Rn : |y| < 1 ∈ Amax mit x ∈ Wx , ϕx (x) = 0 und Wx ⊂ Ui f¨ ur ein i ∈I = N. ˜ x := ϕ−1 y ∈ Rn : |y| < 12 und χ : y ∈ Rn : |y| < 1 −→ [0, ∞) mit Es sei W x ∞ C
χ(y) = 1 f¨ ur |y| ≤ 12 , χ(y) = 0 f¨ ur |y| ≥ 34 .
nk S ˜x . W U k kompakt =⇒ ∃xk,1 , · · · , xk,nk ∈ U k so, dass U k ⊂ k,l l=1 P χ ◦ ϕxk,l . Es sei ψi := Wxk,l ⊂Ui
59
Diese Summen sind endlich, denn Wxk,l ⊂ Ui =⇒ Ui ∩ Uk 6= ∅ (da xk,l ∈ Wxk,l ∩ U k ⊂ Ui ∩ U k ) =⇒ k beschr¨ankt nach b). Daher ist ψi ∈ C k (Ui ) mit supp ψi ⊂ Ui kompakt. ∞ P Weiters ist die Summe ψ(x) := ψi (x) lokalendlich nach b) und daher auch C k . Wegen
M =
∞ S
k=1
i=1
nk ∞ S S ˜ x ist auch: ∀x ∈ M : ∃k, l : x ∈ W ˜ x . Wenn Wx ⊂ Ui , so ist W Uk = k,l k,l k,l k=1 l=1
also ψi (x) ≥ 1. Also ist ∀x ∈ M : ψ(x) ≥ 1 und χi := ψi /ψ erf¨ ullt alle Bedingungen des Lemmas. ˆ ∈Ω ˆ n (M ), n = dim M, einem Radonmaß auf M mit Im n¨achsten Satz sehen wir, dass Ω C k−1 -Dichte entspricht. Def.: M C k -Mannigfaltigkeit, l ≤ k. Kl0 (M ) := λ ∈ K0 (M ) : ∀(ϕ : U −→ V ) ∈ A : R ∃g ∈ C l (V ) : ∀f ∈ K(U ) : λ(f ) = g(x)(f ◦ϕ−1 )(x) dx heißt Raum der Radonmaße mit V
C l -Dichte.
Bsp.: 1) F¨ ur x0 ∈ M ist δx0 ∈ K0 (MR) \ K00 (M ). ∼ l n 2) C (R ) −→ Kl0 (Rn ) : g 7−→ f − 7 → f (x)g(x) dx . Rn
Satz M n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann gilt: ∼ 0 ˆ n (M ) −→ ˆ 7−→ λ, wobei Ω Kk−1 (M ) : Ω ˆ = g(x)dx1 ∧ · · · ∧ ∀ ϕ : U −→ V : x 7− → (x1 , · · · , xn )T ∈ A : ∀f ∈ K(U ) : Ω(x) dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] auf U Z =⇒ λ(f ) = g(x1 , · · · , xn )f (x1 , · · · , xn ) dx1 · · · dxn . V
1
n
(Beachte: g(x , · · · , x ) ist kurz f¨ ur g ◦ ϕ−1 (x1 , · · · , xn ) etc., vgl. S. 3) 0 Beweis: 1) Das oben definierte λ ist offenbar in Kk−1 (U ) (denn g ∈ C k−1 (U )). Wenn 0 0 10 n0 T Karte ist und f ∈ K(U ∩ U 0 ), so ist ψ : U −→ V : x 7−→ (x , · · · , x ) eine 2. ! k ∂x 1 0 10 n0 g (x) dx ∧ · · · ∧ dx = sign det =⇒ g(x) dx · · ∧ dxn} | ∧ ·{z ∂xl 0 k =det
∂x
dx1 0 ∧···∧dxn0
0 ∂xl ∂xk =⇒ g 0 (x) = g(x) det (vgl. auch S. 58) ∂xl 0 Z 0 0 0 ur mehrfa=⇒ g 0 (x1 , · · · , xn0 )f (x1 , · · · , xn0 ) dx1 · · · dxn0 = (Transformationssatz f¨
V0
che Integrale) =
Z
g(x1 , · · · , xn )f (x1 , · · · , xn ) dx1 · · · dxn .
V
60
0 Also ist λ nach dem Hilfssatz in S. 58 in Kk−1 (M ). 0 2) Umgekehrt, wenn λ ∈ Kk−1 (M ), so l¨asst sich seine Einschr¨ankung auf das Kartengebiet U mittelsR eines g ∈ C k−1 (U ) wie oben ausdr¨ ucken. g ist eindeutig, denn wenn ∀f ∈ K(U ) : (g1 − g2 ) · f dx = 0 und etwa (g1 − g2 )(x0 ) > 0, so g¨abe es eine V
Umgebung von x0 , wo g1 − g2 > 0 und 0 6≡ f ≥ 0 mit Tr¨ager in dieser Umgebung R =⇒ (g1 − g2 ) · f dx > 0 . ˆ Die Rechnung in 1) zeigt, dass dann Ω(x) := g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn , [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] von ˆ ∈Ω ˆ n (M ) und entspricht λ. der gew¨ahlten Karte unabh¨angig ist. Offenbar ist Ω Bsp.: 1) Das Lebesguemaß dx1 · · ·dxn auf Rn = M korrespondiert also der Pseudo-nForm dx1 ∧· · ·∧dxn , [dx1 ∧· · ·∧dxn ] . Beachte, dass hier, im Gegensatz zu dx1 ∧· · ·∧dxn , die Reihenfolge der Koordinaten keine Rolle spielt ! ¨ 2) Ahnlich wie in S. 55 l¨asst sich einer n-Form immer der Betrag zuordnen: Z n 0 | · | : Ω (M ) −→ K0 (M ) : Ω 7−→ |Ω| : f 7−→ g(x) f (x) dx , V
wobei Ω(x) = g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxn bzgl. (ϕ : U −→ V ) ∈ A. Allerdings ist |Ω| i.A. nicht mehr differenzierbar. Das Lebesguemaß dx1 · · · dxn auf Rn k¨onnte also auch als |dx1 ∧ · · · ∧ dxn | geschrieben werden. (Wenn wir M als C 1 -Mannigfaltigkeit betrachten ˆ n (M ) und K00 (M ) identifizieren, so ist | · | oben so gegeben: und Ω 0 : Ω(x) = 0 n n ˆ | . | : Ω (M ) −→ Ω (M ) : Ω 7−→ (x 7−→ .) Ω(x), [Ω(x)] : Ω(x) 6= 0 n+1 P
dj ∧· · ·∧dxn+1 ∈ Ωn (Sn ) (der K¨ (−1)j−1 xj dx1 ∧· · ·∧ dx urze halber L statt R ˆ n (Sn ) u i∗ (L), vgl. S. 49, 50). Wir wollen |L| ∈ Ω ¨ber Sn integrieren, d.h. |L|(1) = |L| Sn p 0 1 n T n+1 0 2 berechnen. In der Karte ϕn+1,+ ist x = 1 − |x | , x := (x , · · · , x ) =⇒ j n P dj ∧ · · · ∧ − x dxj + (−1)n xn+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn = (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx =⇒ L = xn+1 j=1 n j 2 n+1 P (x ) (−1) dx1 ∧ · · · ∧ dxn = n+1 dx1 ∧ · · · ∧ dxn =⇒ = (−1)n n+1 x j=1 x Z dx0 n n+1 p =⇒ |L| {x ∈ S : x > 0} = und |L|(1) w¨are das Doppelte. 1 − |x0 |2 {x0 ∈Rn :|x0 | 0} : [z] 7−→ |z| √ Z∞ n π Γ 2 λ = |P ∗ L|. rn−1 (1 + r2 )−(n+1)/2 dr = . 2Γ n+1 2
Hinweis: P :
[z] ∈ Pn : z n+1 > 0
0
¨ 4.5 Es sei G = SO3 (R) und λ = |Ω|, Ω ∈ Ω3l (G) mit Ω(I) = da12 ∧ da23 ∧ da31 und Ub. ¨ 3.7, S. 52 ist f ∗ (Ω) = −2(1−cos ϕ)L∧dϕ ∈ f : S2 ×S1 −→ G wie in S. 13. Nach Ub. 3 2 1 Ω (S × S ). a) Berechne λ(1) =
Z
λ.
G Hinweis: f S2 ×{x∈S1 :x2 >0} ist injektiv.
b) Es sei λ1 := λ/λ(1) (= normalisiertes Haarmaß). Begr¨ unde theoretisch und 1 1 2 1 verifiziere durch Rechnung, dass λ1 (A 7−→ a1 ) = 0, λ1 A 7−→ (a1 ) = 3 .
c) Berechne λ1 (A 7−→ etA ), t ∈ R, und – durch Differenzieren – λ1 (A 7−→ An ), n ∈ N. Hinweis: Berechne λ1(A 7−→ etA y) ∈ R3 f¨ ur y ∈ R3 mittels der Formel et Ax,ϕ y = iϕ iϕ iϕ xhy, xi et − Re (et e ) + yRe (et e ) + (x × y)Im (et e ). Verwende die Substitution z = eiϕ und den Residuensatz zur Berechnung des ϕ-Integrals. ¨ 4.6 Es sei M := x ∈ R3 : |x| < π und h : M −→ SO3 (R) Ub. x A |x| ,|x| : x 6= 1 x 7−→ I : x=1 wobei Ay,ϕ , y ∈ S2 , ϕ ∈ R, wie in S. 13. 68
a) Zeige, dass h C ∞ und injektiv und dass SO3 (R) \ h(M ) Maß 0 bzgl. λ hat. b) Bestimme das Maß auf M, das λ1 h(M ) entspricht.
¨ 4.7 a) Zeige, dass daij , 1 ≤ i < j ≤ n, eine Basis in TI∗ SOn (R) bildet. Es sei Ω(n) ∈ Ub. n(n−1)/2 SOn (R) mit Ω(n) (I) = da12 ∧ da13∧ da23 ∧ da14 ∧ da24 ∧ da34 ∧ · · · ∧ da1n ∧ Ωl · · · ∧ dan−1 und λ(n) := |Ω(n) ∈ K0 SOn (R) . n n P xi y i und f¨ ur x, y ∈ Sn−1 mit x + y 6= 0 sei b) F¨ ur x, y ∈ Rn sei hx, yi = i=1 hx, yi y − x x+y Ax,y u := u+hu, xi y + −hu, yi . Zeige, dass Ax,y ∈ SOn (R) hx, yi + 1 hx, yi + 1 mit Ax,y x = y.
0 0 .. x 0 n−1 ; e := . ∈ Rn und c) F¨ ur x ∈ Rn sei x = n , x ∈ R x 0 1 0 0 x Bx SOn−1 (R) ,→ SOn (R) : B 7−→ 7−→ . n x xn Zeige, dass f : Sn−1 \ {−e} × SOn−1 (R) −→ SOn (R) : (x, B) 7−→ Ae,x · B C ∞ und injektiv ist und dass SOn (R) \ im(f ) eine Nullmenge bzgl. λ ist. d) Zeige, dass f ∗ (Ω(n) ) = (−1)n−1 Ω(n−1) ∧ L, L ∈ Ωn−1 (Sn−1 ) (S. 62). Hinweis: f −1 : im(f ) −→ Sn−1 \ {−e} × SOn−1 (R) : C 7−→ (Cn , A−1 e,Cn C), wobei 1 cn .. Cn := . ∈ Rn . Zeige, dass (f −1 )∗ (Ω(n−1) ∧ L) linksinvariant ist. cnn Z (n) (n) e) Berechne λ (1) = λ(n) ! Es sei λ1 := λ(n) /λ(n) (1). (n) Berechne λ1 Zπ
A 7−→
SOn (R) (aij )k
f¨ ur k ∈ N.
cos2l ϑ sinn−2 ϑ dϑ =
Hinweis:
0
Γ
n−1 2
Γ l+ n Γ 2 +l
1 2
, l = 0, 1, 2, · · · , n ≥ 2.
¨ 4.8 Es sei Ω = ω1 dx2 ∧dx3 +ω2 dx3 ∧dx1 +ω3 dx1 ∧dx2 ∈ Ω2 (R3 ) und i : M ,→ R3 eine Ub. zweidimensionale Untermannigfaltigkeit mit Orientierung O ∈ O(M ). Schreibe R ∗ I := i Ω als Integral u ¨ber V an, wenn ϕ : U −→ V : x 7−→ uv eine Karte (U,O|U )
69
auf M ist. Wie l¨asst sich I als Durchflussintegral interpretieren? ¨ 4.9 a) Zeige, dass eine Mannigfaltigkeit genau dann orientierbar ist, wenn es einen Ub. Atlas A gibt, sodass ∀ ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T , ψ : U 0 −→ V 0 : x 7−→ 0 ∂(x1 , · · · , xn0 ) 0 10 n0 T (x , · · · , x ) ∈ A : ∀x ∈ U ∩ U : det > 0. ∂(x1 , · · · , xn ) b) Zeige, dass Pn , n ungerade, orientierbar ist mittels a). Hinweis: Berechne die Funktionaldeterminante von T n 1 y −1 ψj ψn+1 : (y 1 , · · · , y n )T 7−→ yyj , · · · , ybjj , · · · , yyj , y1j und setze A := (−1)j−1 ψj : j = 1, · · · , n + 1 , wobei ψj wie in S. 3.
c) Zeige, dass eine Mannigfaltigkeit genau dann nicht orientierbar ist, wenn es N ∈ N und Karten ϕi : Ui −→ Vi : x 7−→ (x1i , · · · , xni )T , i = 1, · · · , N + 1 gibt und mit ϕ1 = ϕN +1 ; ∀i : Ui zusammenh¨angend; ∀i ∈ {1, · · · , N } : Ui ∩ Ui+1 6= ∅; ∀x ∈ Ui ∩ Ui+1
∂(x1i+1 , · · · , xni+1 ) : det ∂(x1i , · · · , xni )
> 0 : i = 1, · · · , N − 1, < 0 : i = N.
d) Zeige mittels c), dass Pn , n gerade, nicht orientierbar ist. Hinweis: Setze ϕ1 = ψn+1 , ϕ2 = ψn {[x]:xn 0} .
e) Zeige, dass das M¨obiusband (vgl. S. 15, 38) nicht orientierbar ist. ¨ 4.10 Zeige, dass f¨ Ub. ur jede Mannigfaltigkeit M, [A] die Mannigfaltigkeiten T ∗ M und T M kanonisch orientierbar sind. Hinweis: a) Es seien ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T ∈ A und Tfϕ : T ∗ U −→ V × Rn : (x, ω) 7−→ (x1 , · · · , xn , ω1 , · · · , ωn )T wie in S. 40. Zeige, dass Ω := dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∧ dω1 ∧ · · · ∧ dωn von der Karte unabh¨angig ist. b) Definiere O ∈ O(T M ) lokal durch O T U = [dx1 ∧ · · · ∧ dxn ∧ dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ n ], wenn T ϕ : T U −→ V × Rn : (x, ξ) 7−→ (x1 , · · · , xn , ξ 1 , · · · , ξ n )T , und konstruiere O wie in S. 66, 3).
70
§5
d, ∂, de Rham und Stokes
∂f F¨ ur f ∈ C k (M ) ist df ∈ T1 (M ) = Ω1 (M ) in Koordinaten durch df = dxi gegeben ∂xi m ∈ Tqm (M ) versuchen, dX durch (vgl. S. 41). Wir k¨onnten allgemeiner f¨ ur X = tji11···i ···jq m ∂tji11···i ···iq ∂i1 ⊗ · · · ⊗ ∂im ⊗ dxj0 ⊗ · · · ⊗ dxjq zu definieren. Wenn dies ein Tensorfeld in j0 ∂x m (M ) w¨are, so m¨ usste bei Kartenwechsel gelten (vgl. S. 47): Tq+1 m ∂tji11···i ···jq
∂xj0 0 In Wahrheit ist aber m ∂tji11···i ···jq
∂xj0 0
0
0
=
···km ∂tlk11···l q
∂xl0
0
0
∂xi1 ∂xim ∂xl0 ∂xlq · · · · · · · =: a. 0 ∂xk1 ∂xkm ∂xj0 ∂xjq 0
0 k1 ···km ∂xi1 0 ∂xlq ∂xim ∂xl1 ∂xl0 ∂ tl1 ···lq ∂xk1 · · · ∂xkm ∂xj1 0 · · · ∂xjq 0 = · = ∂xl0 ∂xj0 0 i1 0 0 ∂x ∂xim ∂xl1 ∂ ∂xlq k1 ···km · · · km = a + tl1 ···lq · j 0 ··· j 0 . ∂x ∂xj1 0 ∂x 0 ∂xk1 ∂x q {z } | b
Der Term b sollte verschwinden, worauf wir sp¨ater allgemein zur¨ uckkommen. Nun sei speziell X ∈ Tq (M ), d.h. rein kovariant. Dann ist l1 ∂xlq ∂x ∂ ··· j 0 . b = bj0 ···jq = tl1 ···lq j 0 ∂x 0 ∂xj1 0 ∂x q P sign (σ)bjσ(0) ···jσ(q) = 0. Der schiefsymmetrische Anteil von b verschwindet, d.h. σ∈Sq+1 1
(Hier Sq+1 = Permutationsgruppe von {0, · · · , q}.) Denn wenn f , · · · , f q C 2 -Funktionen von y 0 , · · · , y q sind, so tritt Summe in der 1 P ∂f q ∂f q ∂2f i ∂f ∂f 1 ∂ · · · · · · · · · S = mit der Term sign (σ) σ(0) ∂y ∂y σ(1) ∂y σ(q) ∂y k1 ∂y k0 ∂y ki ∂y kq σ∈Sq+1 k1 =σ(1), · · · , ki\ = σ(i), · · · , k q = σ(q) zweimal auf, undzwar multipliziert mit 0 1 ··· i ··· q 0···q und k¨ urzt sich also weg. bzw. mit sign sign ki k1 · · · k 0 · · · k q k0 · · · k q Daher ist S = 0. Also ist auch f¨ ur X = (tj1 ···jq ) ∈ Tq (M ) und x0 ∈ M ∂tjσ(1) ···jσ(q) 1 P dx0 X := dX := dxj0 ⊗ · · · ⊗ dxjq sign (σ) q! σ∈Sq+1 ∂xjσ(0) ∂tj ···j 1 P = sign(σ) 1 j0 q dxjσ(0) ⊗ · · · ⊗ dxjσ(q) q! σ∈Sq+1 ∂x 1 ∂tj1 ···jq 1 = dxj0 ∧ · · · ∧ dxjq = dtj1 ···jq ∧ dxj1 ∧ · · · ∧ dxjq ∈ j 0 q! ∂x q! 71
∈ Λq+1 (Tx∗0 M ) unabh¨angig von den gew¨ahlten Koordinaten. Bei der Summenbildung bzgl. j bleibt nur der schiefsymmetrische Anteil von X erhalten. Wir k¨onnen daher gleich mit Ω ∈ Ωq (M ) starten: X ωi1 ···iq dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq = ωi1 ···iq dxi1 ⊗ · · · ⊗ dxiq Ω= i1 0 : h(x)v
¨ Da P : Sn −→ Pn : x 7−→ [x] die universelle Uberlagerung von Pn ist, l¨asst sich f zu f1 : Sn −→ Sn mit f = P ◦ f1 liften (Topologie). Dies ist aber im Widerspruch zu Bsp. 3) in S. 80. Auf jeder Mannigfaltigkeit gibt es aber eine Riemannsche Metrik: Lemma M C k -Mannigfaltigkeit, k ≥ 1. Dann existiert eine Riemannsche Metrik auf M. ¨ Beweis: Ui , i ∈ I, sei eine Uberdeckung von M durch Kartengebiete und ϕi : Ui −→ 1 n T Vi : x 7−→ (xi , · · · , xi ) ∈ Amax Karten, χi eine lokalendliche C k -Zerlegung der 1 zu Ui n P P χi · dxji ⊗ dxji ∈ T2 (M ) wohldefiniert und symmetrisch. (S. 59). Dann ist g := i∈I
j=1
g ist positiv definit, denn ∀x ∈ M : ∀v ∈ Tx M : g(x)(v, v) =
∂ v = vij j 6= 0. ∂xi
P
i∈I
χi (x)
n P
j=1
(vij )2 > 0, wenn
Bemerkung: Es existiert also immer ein Vektorraumb¨ undelisomorphismus T M ' T ∗ M. ur beliebige Vektorraumb¨ undel M1 −→ M2 . Ebenso zeigt man, dass M1 ' M1∗ f¨ p
Nach S. 56 existiert in einem euklidischen Vektorraum V ein kanonisches 1positivesnHaar1 n 1 n ˆ maß: e1 , · · · , en ONB in V, e , · · · , e duale Basis, D := |e ∧· · ·∧e | = e ∧· · ·∧e , [e1 ∧ 89
cn (V ∗ )+ ' L(V )+ . · · · ∧ en ] ∈ Λ Nun sei g allgemeiner ein inneres Produkt auf V, d.h. g ∈ S 2 (V ∗ ). g induziert innere Produkte auf V ⊗m m Q 0 g(vi , vi0 ) g ⊗m : V ⊗m × V ⊗m −→ R : (v1 ⊗ · · · ⊗ vm , v10 ⊗ · · · ⊗ vm ) 7−→ i=1
und damit auch auf Λm (V ) ≤ V ⊗m . Dabei gilt: Λm g = g ⊗m Λm (V )×Λm (V ) : Λm (V ) × Λm (V ) −→ R
0 mit Λm g(v1 ∧ · · · ∧ vm , v10 ∧ · · · ∧ vm )=
= m!
P
σ∈Sm
sign (σ)
m Q
i=1
P
σ,τ ∈Sm
sign (στ )
g(vσ(i) , vi0 ) = m! det g(vi , vj0 ) .
m Q
i=1
g(vσ(i) , vτ0 (i) ) =
Wenn n = dim V, so ist Λn (V ) eindimensional. Wenn allgemein W ein 1-dimensionaler R-Vektorraum, so l¨asst sich S 2 (W ∗ ) kanonisch (d.h. basisunabh¨angig) identifizieren mit d∗ : W bijektiv ∗ w1∗ ⊗ w1∗ : w1∗ = λw2∗ , λ ≥ 0 ∼ 2 ∗ ∗ ∗ d W −→ S (W ) : w1 , [w2 ] 7−→ −w1∗ ⊗ w1∗ : w1∗ = λw2∗ , λ ≤ 0. |{z} |{z} NICHT linear ∈W ∗
∈O(W )' O(W ∗ )
n (V )∗ ' Λ\ n (V ∗ ) ' Λ ˆ ∈ Λ\ cn (V ∗ ), das Λn g entspricht, und zwar ist Daher gilt also: ∃!D ˆ = [D, o], D ∈ Λn (V ∗ ), o ∈ O(V ) mit dann D D ⊗ D : D = 0 oder o = [D] n Λ g= −D ⊗ D : D = 0 oder o = −[D].
Wenn wir den Faktor n! weglassen und vi = vi0 setzen, so ergibt sich: ˆ = [D, o] ∈ Λ cn (V ∗ ) : ∀v1 , · · · , vn ∈ V : ∃! D +1 : o = [D] 2 det g(vi , vj ) = D(v1 , · · · , vn ) · −1 : sonst.
ˆ = 0 ⇐⇒ rg (g) < n und (o = [D], d.h. D ˆ ∈Λ cn (V ∗ )+ ⇐⇒ l in S. 86 Offenbar ist D n ∗ ist gerade). Da D ∈ Λ (V ) schon durch seinen Wert auf einer Basis festgelegt ist, gilt: Wenn v1 , · · · , vn eine gij = g(vi , vj ), v 1 , · · · , v n die duale Basis in V ∗ , so ist p Basis in V, ˆ = [D, o], D = |det(gij )| v 1 ∧ · · · ∧ v n ∈ Λn (V ∗ ), D sign det(gij ) [v 1 ∧ · · · ∧ v n ] : det(gij ) 6= 0 ∈ O(V ). o= beliebig : sonst
90
Definition und Hilfssatz: ˆg ∈ Λ cn (V ∗ ) sei wie oben definiert. 1) (V, g) IPR. D
2) (M, g) Pseudo-Riemannscher Raum. Dann heißt ˆ g : x 7−→ D ˆ g(x) ∈ Λ cn (Tx∗ M ) ∈ Ω ˆ n (M ) ' K0 (M ) Ω k−1 das kanonische Volumsmaß in M. In Koordinaten gilt: p ˆ g (x) = |det g| dx1 ∧ · · · ∧ dxn , [g dx1 ∧ · · · ∧ dxn ] , wobei Ω det g := det gij (x) und g := sign (det g).
3) (M, g) Pseudo-Riemannscher Raum, i : N ,→ M p-dimensionale Untermannigfalˆ i∗ g ∈ Ω ˆ p (N ) heißt Oberfl¨achenmaß auf N (bzgl. g) und wird manchmal tigkeit. Ω ˆ i∗ g nur mit dσ bezeichnet. (Vorsicht: In Punkten, in denen i∗ g ausgeartet ist, ist Ω p 1 ˆ i∗ g ∈ Ω ˆ (N als C -Mannigfaltigkeit).) ein stetiges Maß, d.h. Ω
ˆ g C k−1 . Beweis zu 2): Da g nicht ausgeartet ist, ist det g 6= 0 und daher Ω
ˆ g wird oft als -Pseudo-Tensor“ und in der Relativit¨atstheorie als LeviBemerkung: Ω ” ” Civit`a-Symbol“ bezeichnet. Bsp.: 1) Das Oberfl¨achenmaß in Koordinaten: i : N ,→ M Untermannigfaltigkeit, ϕ : U −→ V : x 7−→ (x1 , · · · , xn )T Karte auf M, ψ : U 0 −→ V 0 : x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ p )T Karte auf N. Dann ist q p ∂xi ∂xj ˆ i∗ g = Ω |det i∗ g| dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ p , [i∗ g dξ 1 ∧ · · · ∧ dξ p ] = i∗ g det gij ∂ξ k ∂ξ l k,l dξ, vgl. S. 87. Z.B. auf S2 ergibt sich das Oberfl¨achenmaß dσ = sin ϑ dϑdϕ. Wenn N eine Kurve ist, d.h. p = 1, so erhalten wir in einer Parametrisierung (a, b) −→ N : t 7−→ x als Z Zb q ˆ i∗ g = gij x(t) x˙ i (t)x˙ j (t) · sign(gij x˙ i x˙ j ) dt. Z.B. ergibt sich f¨ Kurvenl¨ange ur Ω a
N
die Kurvenl¨ange von raumartigen Kurven etwas Negatives im Minkowskiraum 3 P (R4 , dx0 ⊗ dx0 − dxi ⊗ dxi ). i=1
ˆ i∗ g durch das Kreuz2) Im Fall einer (n−1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit kann Ω produkt ausgedr¨ uckt werden. Dazu sei zun¨achst (V, g) ein IPR, g nicht ausgeartet. ˆ g = [D, o] und Es sei D V × · · · × V −→ Vˆ : (v1 , · · · , vn−1 ) 7−→ [v0 , o] =: v1 × · · · × vn−1 , wobei v0 := g˜−1 x 7−→ D(x, v1 , · · · , vn−1 ) , d.h. ∀x ∈ V : D(x, v1 , · · · , vn−1 ) = g(x, v0 ), | {z } ∈V ∗
vgl. auch S. 56.
91
1 n−1 Es seien v1 , · · · , vn−1 ∈ V linear unabh¨ ∈ angig, W := R hv1 , · · · , vn−1 i. Wenn v , · · · , v ∗ ∗ W die duale Basis ist und i g := g W ×W , so ist
ˆ i∗ g = D
hq i 1 det g(vi , vj ) v ∧ · · · ∧ v n−1 , [i∗ g v 1 ∧ · · · ∧ v n−1 ] . i,j=1,··· ,n−1
2 Andererseits ist g(v0 , v0 )2 = D(v , · · · , v ) = det g(v , v ) = weil 0 n−1 g i j i,j=0,··· ,n−1 = g(v0 , vi ) = 0, i = 1, · · · , n − 1 = g g(v0 , v0 ) det g(vi , vj ) i,j=1,··· ,n−1 ∗ = g i g sign g(v0 , v0 ) |g(v0 , v0 )| · det g(vi , vj )i,j=1,··· ,n−1 i hq 1 1 n−1 n−1 ˆ ∗ |g(v0 , v0 ) v ∧ · · · ∧ v , g sign g(v0 , v0 ) v ∧ · · · ∧ v ] . =⇒ Di g =
Auf der (n − 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit N eines Pseudo-Riemannschen T Raumes M gilt also in einer Karte ψ : x 7−→ (ξ 1 , · · · , ξ n−1 ) mit ∂ ˆ i∗ g = ∂ × · · · × ∂ g dξ, wobei vi = i ∈ Tx N =: W : dσ = Ω ∂ξ 1 ∂ξ ∂ξ n−1 ∂ ∂ × · · · × n−1 das Kreuzprodukt bzgl. g(x) ist und 1 ∂ξ ∂ξ p |g(v, v)| . | · | : T[ x M −→ R : [v, o] 7−→ sign g(v, v)
F¨ ur M = Rn entfallen nat¨ urlich alle Signa und ergibt sich dσ wie in S. 82. 3) Wir wollen untersuchen, f¨ ur welche (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeiten N n ∗ von R |i L| mit dσ u ¨bereinstimmt. In einer Karte ψ wie oben gilt: n P dj ∧ · · · ∧ dxn | = (vgl. S. 82) |i∗ L| = | (−1)j−1 xj dx1 ∧ · · · ∧ dx j=1 ∂x ∗ dξ und dσ = ∂x1 × · · · × ∂x = x, ∂ξ1 × · · · × ∂ξ∂x n−1 n−1 dξ, d.h. |i L|(x) = dσ(x) ⇐⇒ ∂ξ ∂ξ |x| sin ](x, Tx N ) = 1. Das gilt z.B. f¨ ur N = Sn−1 . Das ×-Produkt kann als Spezialfall des ∗-Operators angesehen werden. Es sei wieder ∼ ˆg ∈ Λ cn (V ∗ ) wie oben. g˜ : V −→ (V, g) ein n-dimensionaler nicht ausgearteter IPR, D V∗ ∼ ˆ n−p (V ∗ ). liefert f¨ ur 0 ≤ p ≤ n : ∗ : Λp (V ∗ ) p−→ Λp (V ) ' Λ −1 Λ (˜ g
ˆgi h ,D
)
ˆ g = [D, o] =⇒ ∗(v1∗ ∧ · · · ∧ vp∗ ) = Genauer: D
D ,o g˜−1 (v1∗ ) ∧ · · · ∧ g˜−1 (vp∗ ), |{z} {z } ∗⊗n |
|
∈V ⊗p
{z
∈V ∗⊗(n−p)
∈V
}
wobei g˜−1 (v1∗ ) ∧ · · · ∧ g˜−1 (vp∗ ), D : V n−p −→ R (v1 , · · · , vn−p ) 7−→ D g˜−1 (v1∗ ), · · · , g˜−1 (vp∗ ), v1 , · · · , vn−p (und genau genommen h , ihier = p !−1 h , i von S. 49). 1 In Koordinaten: e1 , · · · , en Basis in V, ep , · · · , en duale Basis, gij = g(ei , ej ), det g = det (gij ), g = sign (det g), D = |det g| e1 ∧ · · · ∧ en , o = [g e1 ∧ · · · ∧ en ] =⇒ 92
∗(ei1 ∧ · · · ∧ eip ) = [η, o], η ∈ V ∗⊗(n−p) mit η(ej1 , · · · , ejn−p ) = p = |det g| (e1 ∧ · · · ∧ en )(g i1 k1 ek1 , · · · , g ip kp ekp , ej1 , · · · , ejn−p ) = p n . = |det g| g i1 k1 · · · g ip kp sign k11 ···kp...j1 ···jn−p (Beachte: sign = 0, wenn in der unteren Zeile gleiche Indices vorkommen; u ¨ber 1 ≤ k1 , · · · , kp ≤ Pn ist zu summieren.) Wenn also ω = ωi1 ···ip ei1 ∧ · · · ∧ eip ∈ Λp (V ∗ ), so ist 1≤i1