Analysis auf Mannigfaltigkeiten 002

Analysis auf Mannigfaltigkeiten Jochen Merker 23. Januar 2006

2

Inhaltsverzeichnis 1 Untermannigfaltigkeiten des Rn 1.1

7

Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . n

7

1.2

Der Umkehrsatz im R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3

Der Satz u ¨ber implizit definierte Funktionen und die Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Immersierte Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.4

2 Mannigfaltigkeiten

15

2.1

Karten und Atlanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.2

Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3 Differentiation

23

3.1

Der Tangentialraum

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.2

Die Ableitung und das Tangentialb¨ undel . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

4 Vektorfelder

31

4.1

Eigenschaften von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

4.2

Integration von Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

5 Tensoren und Formen

35

5.1

Multilineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

5.2

Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

5.3

Die Lie-Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

5.4

Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

6 Mechanik

53

6.1

Newtonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

6.2

Lagrangesche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

6.3

Hamiltonsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3

7 Integration und der Satz von Stokes

63

7.1

Integration im Mehrdimensionalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

7.2

Integration von Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

7.3

Der Satz von Stokes

67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Allgemeine Relativit¨ atstheorie

71

8.1

Relativistische Mechanik von Punktteilchen . . . . . . . . . . . . . . .

71

8.2

Die Einsteinschen Feldgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

A Beispiele

75

4

Einleitung Eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Raum, der lokal genauso aussieht wie der Rd . Beispielsweise ist nat¨ urlich jeder Rd selbst eine d-dimensionale Mannigfaltigkeit, der Kreisrand S 1 ist eine 1-dimensionale Mannigfaltigkeit und die Kugeloberfl¨ache S 2 ist eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dies sind dar¨ uberhinaus sogar glatte Mannigfaltigkeiten, sie haben keine Ecken oder Kanten, im Gegensatz z.B. zur Begrenzung eines Quadrats. Ziel der Vorlesung ist es, die Analysis auf dem Rd zu einer Analysis auf glatten Mannigfaltigkeiten zu verallgemeinern. Insbesondere werden wir glatte Abbildungen, Vektorund Tensorfelder sowie Formen auf Mannigfaltigkeiten studieren und zugeh¨orige S¨atze wie den Satz u ¨ber implizite Funktionen, den Satz u ¨ber die Existenz und Eindeutigkeit von Integralkurven und den Satz von Stokes beweisen. Abschließend wenden wir uns der Geometrie auf glatten Mannigfaltigkeiten zu und diskutieren solche Begriffe wie Geod¨atische und Kr¨ ummung. All diese mathematischen Begriffe und Konstruktionen sind sehr hilfreich in der Physik und den Ingenieurswissenschaften. Einige Beispiele seien hier genannt: • Zustandsr¨aume klassischer mechanischer Systeme k¨onnen h¨aufig durch Mannigfaltigkeiten modelliert werden. Beispielsweise ist der Zustand eines Pendels in der Ebene eindeutig durch seine Position ∈ S 1 und seine Geschwindigkeit ∈ R bestimmt, der Raum aller Zust¨ande des Pendels kann also durch S 1 × R ∼ = T ∗S 1 modelliert werden. Allgemeiner kann man durch Kotangentialb¨ undel T ∗ Q die Zustandsr¨aume klassischer mechanischer Systeme mit Konfigurationsraum Q modellieren. • In der Quantenmechanik modellieren komplex-projektive R¨aume CPn die Zustandsr¨aume quantenmechanischer Systeme mit n Zust¨anden. • In der allgemeinen Relativit¨atstheorie werden Raum und Zeit durch eine 4-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit modelliert, und die Gravitation entspricht der Kr¨ ummung dieser Mannigfaltigkeit. Speziell treten dort auch hyperbolische Untermannigfaltigkeiten auf. • Lie-Gruppen, d.h. Mannigfaltigkeiten, die gleichzeitig eine Gruppe mit glatter Multiplikation und Inversion sind, spielen als Symmetriegruppen in allen Naturwissenschaften eine enorm wichtige Rolle. 5

¨ Da es zu dieser Vorlesung keine Ubungen gibt, in denen solche Beispiele genau durchgerechnet werden k¨onnen, gerade aber das konkrete Selber-Rechnen die vorgestellten Konzepte am besten ein¨ ubt (und einen insbesondere erkennen l¨aßt, was man noch nicht verstanden hat), sei folgende Alternative angeboten: Jeder Teilnehmer der Vorlesung bekommt eine Mannigfaltigkeit zugewiesen, f¨ ur die er der Experte ist. Die Aufgabe besteht dann darin, f¨ ur diese Mannigfaltigkeit die allgemein vorgestellten Konzepte und Begriffe zu konkretisieren, indem man z.B. Karten konstruiert oder die Geod¨atengleichung aufstellt und l¨ost. Optimal w¨are, wenn dadurch das die Vorlesung begleitende Skript um eine Vielzahl von Beispielen erg¨anzt w¨ urde. Dazu steht eine LATEX-Musterdatei zur Verf¨ ugung, in die jeder Experte die Ergebnisse f¨ ur seine Mannigfaltigkeit eintragen kann. Nach einer Korrektur wird diese Datei dann in das Skript eingef¨ ugt und allen Teilnehmern zug¨anglich gemacht. Zuletzt noch ein paar Worte zum Aufbau der Vorlesung: Da ein Einblick in viele Bereiche der Analysis auf Mannigfaltigkeiten gegeben werden soll, eine vollst¨andige Diskussion dieser Bereiche aber ein Vielfaches der zur Verf¨ ugung stehenden Zeit in Anspruch nehmen w¨ urde, ist nach einer Einf¨ uhrungsphase, die die ersten drei Kapitel umfasst, jede Vorlesung einem speziellen Thema gewidmet. Die Grundlagen dieses Themengebietes werden ausf¨ uhrlich geschildert und einige weitergehende Resultate werden angedeutet, aber in der n¨achsten Vorlesung beginnt dann ein neues Thema, das oft einigermaßen unabh¨angig vom zuvor geschilderten Themenbereich ist. Sollte ein Teilnehmer weitergehendes Interesse an einem speziellen Themengebiet haben, stehen dazu Literaturhinweise bereit.

6

Kapitel 1 Untermannigfaltigkeiten des Rn In dieser ersten Lektion wollen wir einerseits einige Begriffe und Resultate der Analysis auf dem Rn rekapitulieren, und andererseits u ¨ber den Begriff der Untermannigfaltigkeit des Rn die allgemeine Definition von Mannigfaltigkeiten motivieren.

1.1

Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Rn

Der Rn , die Menge aller n-Tupel (x1 , . . . , xn ) reeller Zahlen, kann mit einer Vielzahl von Strukturen versehen werden: • Durch die u ¨bliche Addition von Vektoren und die u ¨bliche skalare Multiplikation wird der Rn ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. • Der Rn kann normiert werden. Alle Normen k · k auf dem Rn sind ¨aquivalent, d.h. zu k·k, k·k0 gibt es c, C > 0 mit ckxk ≤ kxk0 ≤ Ckxk f¨ ur alle x. P Eine ausgezeichnete Norm ist die durch das euklidische Skalarprodukt < x, y >:= ni=1 xi yi induzierte √ kxkEuklid := < x, x >. • Insbesondere kann man im Rn u ¨ber Konvergenz und offene Mengen sprechen: Eine Menge U heißt offen, wenn es zu jedem x ∈ U eine offene Kugel B (x) := {y|ky − xk < } gibt mit B (x) ⊂ U . • Auf dem Rn kann man u ¨ber die Differenzierbarkeit von Abbildungen sprechen: Eine Abbildung f : U → Rn , U ⊂ Rm offen, heißt differenzierbar in x ∈ U , wenn es (x)−Ah eine stetige lineare Abbildung A : Rm → Rn gibt mit limh→0 f (x+h)−f = 0. khk In diesem Fall ist A eindeutig und man schreibt Df (x) := A. Ist f in jedem x ∈ U differenzierbar und Df : U → L(Rm , Rn ) ∼ = Rnm sogar stetig 1 , so heißt f stetig differenzierbar oder eine C 1 -Abbildung. Ein f ist bereits dann eine C 1 Abbildung, wenn alle partiellen Ableitungen ∂i fj existieren und stetig sind. Ist Df eine C k -Abbildung, so heißt f eine C k+1 -Abbildung, und ist f f¨ ur alle k ∈ N k ∞ eine C -Abbildung, so sagt man, f sei glatt oder eine C -Abbildung. 1

Hierbei wird der Vektorraum L(Rm , Rn ) der stetigen linearen Abbildungen u ¨blicherweise mit der kAxk Operatornorm kAk := supx6=0 kxk versehen.

7

Die letzten beiden Eigenschaften sind es, die den Rn zur glatten Mannigfaltigkeit machen. Unter einer glatten Mannigfaltigkeit sollte man sich abstrakt also ein Objekt vorstellen, bei dem man u ¨ber Konvergenz und Differenzierbarkeit sprechen kann, und konkret irgendwelche Kurven oder Fl¨achen ohne Ecken und Kanten im R3 . Bevor wir diese Vorstellung aber in eine mathematische Definition von Mannigfaltigkeiten einfließen lassen, wollen wir uns vorweg bereits einige Beispiele von Mannigfaltigkeiten anschauen, die Teilmengen des Rn sind, n¨amlich sogenannte Untermannigfaltigkeiten des Rn .

1.2

Der Umkehrsatz im Rn

Dazu ben¨otigen wir aber noch etwas Wissen u ¨ber diejenigen Abbildungen, die die Strukturen einer Mannigfaltigkeit, also die topologische und die differenzierbare Struktur, erhalten: Definition 1.1 Eine Abbildung φ : U → V heißt ein C k -Diffeomorphismus von der offenen Menge U ⊂ Rm auf die offene Menge V ⊂ Rn , wenn φ eine bijektive C k Abbildung ist, deren Umkehrabbildung φ−1 auch C k ist. Diffeomorphismen sind also Abbildungen, die nicht nur die topologische Struktur erhalten (sowohl φ als auch φ−1 sind stetig), sondern die auch noch die differenzierbare Struktur erhalten (sowohl φ als auch φ−1 sind C k ). Definition 1.2 Eine Abbildung φ heißt lokal C k -invertierbar bei x, wenn es offene Umgebungen U von x und V von φ(x) gibt, so daß φ : U → V ein C k -Diffeomorphismus ist. Lemma 1.3 Ist φ lokal C k -invertierbar bei x, so ist Dφ(x) ein Isomorphismus von Rm nach Rn , insbesondere gilt m = n. Beweis: Wegen φ−1 ◦φ = IdU , φ◦φ−1 = IdV gilt nach der Kettenregel Dφ−1 (φ(x))Dφ(x) = IdRm und Dφ(x)Dφ−1 (φ(x)) = IdRn , also ist die lineare Abbildung Dφ(x) invertierbar mit Inversem Dφ−1 (φ(x)). Da invertierbare lineare Abbildungen außerdem die Dimension erhalten, gilt m = n. 2 Satz 1.4 Eine Abbildung φ ist genau dann lokal C k -invertierbar bei x, wenn Dφ(x) invertierbar ist. Beweis: Die eine Richtung zeigt das vorige Lemma, die andere schauen wir uns jetzt an: OE d¨ urfen wir x = 0, φ(x) = 0 und Dφ(x) = Id annehmen (betrachte h 7→ −1 Dφ(x) (φ(x + h) − φ(x)) statt φ). Wir wollen φ nahe Null invertieren, also die Gleichung φ(x) = y l¨osen. Diese schreiben wir um in die Fixpunktgleichung hy (x) := x + y − φ(x), Fixpunkte x von hy sind dann L¨osungen von φ(x) = y. 8

Wegen Dhy (0) = Id − Id = 0 und der stetigen Differenzierbarkeit finden wir eine Kugel B2r (0) im Definitionsbereich von φ mit kDhy (x)k ≤ 1/2 f¨ ur alle x ∈ B2r (0). Somit ist hy auf B2r (0) Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante ≤ 1/2. Insbesondere gilt f¨ ur kyk ≤ r und kxk ≤ 2r wegen hy (0) = y dann auch khy (x)k ≤ khy (x)−hy (0)k+kyk ≤ 2r/2+r = 2r. Also ist hy f¨ ur jedes y ∈ Br (0) eine kontrahierende Selbstabbildung von B2r (0). Nach dem Fixpunktsatz gibt es daher zu jedem y ∈ Br (0) genau einen Fixpunkt x ∈ B2r (0) von hy . Setze ψ(y) := x, dann ist φ : U0 := φ−1 (Br (0)) ∩ B2r (0) → Br (0) also invertierbar mit Inversem ψ, und insbesondere ist U0 wegen der Stetigkeit von φ offen. Wir m¨ ussen nur noch zeigen, daß ψ eine C k -Abbildung ist. Zun¨achst einmal zeigen wir ur x := ψ(y), x0 := ψ(y 0 ) nat¨ urlich dazu, daß ψ stetig ist: Sei y, y 0 ∈ Br (0), dann gilt f¨ 0 0 0 x−x = h0 (x)−h0 (x )+φ(x)−φ(x ), und da h0 Lipschitz-stetig mit Lipschitz-Konstante 1/2 ist, folgt kx − x0 k ≤ kx − x0 k/2 + kφ(x) − φ(x0 )k. Wegen φ(x) = y, φ(x) = y 0 gilt also kψ(y) − ψ(y 0 )k ≤ 2ky − y 0 k, d.h. ψ ist sogar Lipschitz-stetig. Desweiteren ist ψ sogar C k . Dazu ein paar Vorbemerkungen: Dφ ist in jedem Punkt x ∈ U0 invertierbar, da nach Wahl von r ja k Id −Dφ(x)k = kDhy (x)k ≤ 1/2 gilt, also aus Dφ(x)v = 0 insbesondere kvk ≤ kvk/2 folgt, was nur bei v = 0 gelten kann, und somit Dφ(x) injektiv, also auch surjektiv und daher invertierbar ist (ein konstruktiver Beweis kann mittels der Neumannschen Reihe gef¨ uhrt werden, s.u.). Dar¨ uberhinaus ist wegen der Stetigkeit von Dφ und der Stetigkeit der Inversion von Matrizen Dφ−1 auf U0 beschr¨ankt: kDφ(x)−1 k ≤ C. Um zu zeigen, daß ψ eine C k -Abbildung ist, rechnen wir nun einfach nach, daß der Kandidat Dφ(ψ(y))−1 f¨ ur die Ableitung Dψ(y) wirklich diese Ableitung ist: Sei ψ(y) = 0 0 x, ψ(y ) = x , dann gilt kψ(y 0 ) − ψ(y) − Dφ(ψ(y))−1 (y 0 − y)k = kx0 − x − Dφ(x)−1 (φ(x0 ) − φ(x))k ≤ Ckφ(x0 ) − φ(x) − Dφ(x)(x0 − x)k ,

also ist mit φ auch ψ differenzierbar. Aber ψ ist sogar C k , denn aus der Gleichheit Dψ(y) = Dφ(ψ(y))−1 , aus der Glattheit der Inversion von Matrizen und da Dφ eine C k−1 -Abbildung ist, folgt induktiv, daß auch Dψ eine C k−1 -Abbildung ist 2 . 2 Der Beweis hat noch eine kleine L¨ ucke, denn wir haben noch nicht gezeigt, daß die Inversion von Matrizen eine glatte Abbildung ist. Dies geschieht aber in den Beispielen weiter unten.

2

Behauptung: Aus Dφ ∈ C k−1 folgt Dψ ∈ C k−1 . Induktionsanfang: Ist Dφ stetig, so wegen Dψ(y) = Dφ(ψ(y))−1 auch Dψ. Induktionsschluß: Ist Dφ ∈ C k−1 , so ist Dφ ∈ C k−2 und nach Induktionsvoraussetzung daher auch Dψ ∈ C k−2 , also ψ ∈ C k−1 . Aus der Gleichung Dψ(y) = Dφ(ψ(y))−1 folgt daher nach der Kettenregel, daß auch Dψ ∈ C k−1 ist.

9

1.3

Der Satz u ¨ ber implizit definierte Funktionen und die Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten im Rn

Nun kommen wir zur Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten des Rn , in die der Satz u ¨ber implizite Funktionen essentiell eingeht. Definition 1.5 Sei f : Rn → Rm eine differenzierbare Abbildung. Ein Punkt x ∈ Rn heißt regul¨arer Punkt von f , wenn Df (x) surjektiv ist. Ein Wert y ∈ Rm heißt regul¨arer Wert, wenn jedes x mit f (x) = y ein regul¨arer Punkt ist, oder mit anderen Worten, wenn das Urbild f −1 (y) nur aus regul¨aren Punkten besteht. Satz 1.6 F¨ ur eine nichtleere Teilmenge M ⊂ Rn sind ¨aquivalent: 1. Lokal ist M C k -diffeomorph zum Rd , d.h. f¨ ur jeden Punkt aus M gibt es eine offene Umgebung U ⊂ Rn und einen C k -Diffeomorphismus φ : U → V auf eine offene Teilmenge V ⊂ Rn mit φ(M ∩U ) = Rd ∩V , wobei wir Rd als den Unterraum {x|xd+1 = · · · = xn = 0} von Rn auffassen ( φ biegt die d-dimensionale Fl¨ache ” M gerade“). 2. Lokal ist M Urbild eines regul¨aren Wertes einer C k -Funktion vom Rn in den Rn−d , d.h. f¨ ur jeden Punkt aus M gibt es eine Umgebung U ⊂ Rn , eine C 1 -Funktion f : U → Rn−d und einen regul¨aren Wert ξ ∈ Rn−d von f mit M ∩ U = f −1 (ξ). 3. Lokal ist M der Graph einer C k -Funktion auf dem Rd , d.h. f¨ ur jeden Punkt aus M n gibt es eine Umgebung U , eine Zerlegung R = X × Y in einen d-dimensionalen linearen Unterraum X und einen (n − d)-dimensionalen linearen Unterraum Y von Rn sowie eine C k -Abbildung g : X ∩ U → Y ∩ U mit Graph(g) = M ∩ U , wobei Graph(g) := {(x, g(x))|x ∈ X ∩ U } den Graphen von g bezeichnet. Beweis: 1. ⇒ 2.: Ist φ wie angegeben, dann ist 0 ein regul¨arer Wert von f := (φd+1 , . . . , φn )|U und f −1 (0) = M ∩ U . 2. ⇒ 3.: Sei f wie angegeben. Definiere X := Ker(Df (ξ)) ∼ = Rd und w¨ahle ein n−d n ∼ ∼ Komplement Y = R von X in R = X × Y . Dann ist Df (ξ)|Y ein Isomorphismus von Y nach Z := Rn−d . Nun wenden wir den u ¨blichen Satz u ¨ber implizite Funktionen an: Satz 1.7 Ist f : U → Z, U ⊂ X × Y offen, eine C k -Abbildung und Df (x0 , y0 )|Y invertierbar, dann gibt es eine Umgebung U 0 von (x0 , y0 ) sowie eine C k -Abbildung g : X ∩ U 0 → Y ∩ U 0 mit f (x, y) = ξ ⇔ x = g(y) f¨ ur (x, y) ∈ U 0 . Mit diesen U 0 , g gilt dann n¨amlich f −1 (ξ) ∩ U 0 = Graph(g), was zu zeigen war. Es fehlt noch der Beweis des Satzes u ¨ber implizite Funktionen: 10

Beweis: Die Abbildung φ : X × Y → X ×Z, φ(x, y) := (x, f (x, y)) ist we IdX 0 gen Dφ(x0 , y0 ) = lokal bei (x0 , y0 ) ein C k -DiffeoDf (x0 , y0 )|X Df (x0 , y0 )|Y morphismus. Also gibt es Umgebungen U 0 von (x0 , y0 ) und V 0 von (x0 , ξ) derart, daß φ : U 0 → V 0 ein C k -Diffeomorphismus ist. Wegen der speziellen Form von φ hat die Umkehrabbildung φ−1 die Form φ−1 (x, η) = (x, h(x, η)). Somit gilt f (x, y) = ξ ⇔ y = h(x, ξ), und daher hat die C k -Funktion g(x) := h(x, ξ) die gew¨ unschte Eigenschaft. 2 3. ⇒ 1.: Ist g wie angegeben, so bildet φ(x, y) := x + g(x) − y den Graphen von g in den Unterraum X von Rn hinein ab und ist wegen Dφ(x, y) =  d-dimensionalen  IdX 0 ein lokaler C k -Diffeomorphismus. Dg(x) − IdY 2 Definition 1.8 Eine Teilmenge, die eine (und somit jede) der Eigenschaften im vorigen Satz hat, heißt d-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit des Rn . Untermannigfaltigkeiten sind also d-dimensionale Fl¨achen, die sich lokal geradebiegen lassen, oder ¨aquivalenterweise lokal Urbilder regul¨arer Punkte sind, oder ¨aquivalenterweise lokal Graphen sind. Beispiel: Jede offene Teilmenge U ⊂ Rn ist nach 1. in Satz 1.6 mit φ := IdU eine n-dimensionale glatte Untermannigfaltigkeit des Rn . Beispiel: Die Einheits-Sph¨are Sn := {x ∈ Rn+1 | kxk2Euklid = 1} im Euklidischen Rn+1 , P kxk2Euklid := ni=0 x2i , ist das Urbild des regul¨aren Wertes 1 unter der glatten Funktion f (x) := kxk2Euklid und somit eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Tats¨achlich ist 1 ein regul¨arer Wert, denn ist f (x) = 1, so gilt Df (x) = 2xT 6= 0 wegen kxkEuklid = 1, und somit ist Df (x) surjektiv. Beispiel: Die Einheits-Sph¨are von imagin¨aren Radius {x ∈ Rn+1 |kxk2M inkowsi = −1} P im Minkowski-Raum Rn+1 , kxk2M inkowski := −x20 + ni=1 x2i , ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn . In der Tat, sie ist das Urbild des Wertes −1 unter der glatten Funktion f (x) := kxk2M inkowski , und −1 P ist ein regul¨arer Wert, da Df (x) = 2 2(−x0 , x1 , . . . , xn ) ungleich 0 ist wegen x0 = 1 + ni=1 x2i ≥ 1 bei kxk2M inkowsi = −1. Man bemerke, daß diese Menge nicht zusammenh¨angend ist, denn die stetige Abbildung x 7→ x0 bildet sie auf (−∞, −1] ∪ [1, ∞) ab. Der n-dimensionale hyperbolische Raum Hn ist als Mannigfaltigkeit die Zusammenhangskomponente, die (1, 0, . . . , 0) enth¨alt.

11

Beispiel: W¨ahrend der Konfigurationsraum von n Punktteilchen im R3 der R3n ist (die Position jedes Punktteilchens im Raum wird durch drei Koordinaten beschrieben), ist der Konfigurationsraum eines Stabes, d.h. zweier Punkte, die in einem festem Abstand r miteinander verbunden sind, die 5-dimensionale Untermannigfaltigkeit {(x, y) ∈ (R3 )2 |kx − yk2Euklid = r2 }. Tats¨achlich ist dies eine 5-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R6 , denn r2 ist
regul¨arer Wert von f (x, y) := kx − yk2Euklid , da Df (x, y) = 2(x − y)T −2(x − y)T bei kx−yk2 = r2 ungleich Null und somit surjektiv ist. Allgemeiner hat jeder Roboter, der aus St¨aben und Drehgelenken zusammengebaut ist, eine Untermannigfaltigkeit als Konfigurationsraum. Beispiel: Die Gruppe der invertierbaren n × n-Matrizen GL(n) ist eine offene Teil2 menge des Rn , denn ist A invertierbar und kA − Bk < kA−1 k−1 , dann ist auch B invertierbar. Die Inverse B −1 ist dabei durch die Neumann-Reihe gegeben: Schreibe BP= A(Id −A−1 (A − B)), dann gilt mit M P := A−1 (A − B) die Gleichung B −1 = ∞ n ( n=0 M n ) A−1 , und die Neumannsche Reihe ∞ n=0 M konvergiert wegen kM k < 1. Die Inversion i : GL(n) → GL(n), i(A) := A−1 , von Matrizen ist dar¨ uberhinaus eine glatte Abbildung auf der offenen Menge GL(n) ⊂ M (n) der invertierbaren Matrizen. Denn f¨ ur den Beweis der Glattheit von i reicht es, die Differenzierbarkeit von i mit Di(A)H = −A−1 HA−1 zu zeigen. Aus dieser Gleichung folgt n¨amlich, daß Di denselben Grad ≥ 1 der Differenzierbarkeit hat wie i, so daß i glatt sein muß. Um Di(A)H = −A−1 HA−1 zu zeigen, reicht es, direkt nachzurechnen, daß −A−1 HA−1 die Bedingungen an das Differential erf¨ ullt:
(A − (−H))−1 − A−1 − A−1 (−H)A−1 = A−1 (Id −(−H)A−1 )−1 − Id −(−H)A−1 = ! ∞ X A−1 (−HA−1 )n ≤ CkHk2 . n=2

12

Beispiel: Die Gruppe der orthogonalen Matrizen O(n) := {A ∈ M (n)|AT A = En } ist 2 -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Rn (oder der GL(n), denn wegen eine n(n−1) 2 det(A)2 = det(AT A) = 1 ist jede orthogonale Matrix invertierbar). Denn O(n) ist das 2 Urbild von En unter der glatten Abbildung f (A) := AT A von M (n) ∼ = Rn in den Vektorraum der symmetrischen Matrizen S(n) ∼ = Rn(n+1)/2 , und En ist ein regul¨arer Wert dieser Abbildung. Tats¨achlich, AT A ist immer symmetrisch, und die Ableitung Df (A)H = AT H + H T A ist surjektiv f¨ ur A mit AT A = En , da die Gleichung AT H + H T A = S n¨amlich die L¨osung H = 12 AS hat.

1.4

Immersierte Untermannigfaltigkeiten

H¨aufig betrachtet man statt Untermannigfaltigkeiten auch einfach nur parametrisierte Fl¨achen, sogenannte immersierte Untermannigfaltigkeiten. Definition 1.9 Eine Teilmenge M heißt immersierte d-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit, falls es eine Immersion γ : U → Rn , U ⊂ Rd offen, gibt mit M = γ(U ). Dabei heißt γ Immersion, wenn Dγ(x) f¨ ur jedes x ∈ U injektiv ist. Korollar 1.10 Jede Immersion γ : U → Rn ist lokal injektiv, und f¨ ur jeden Punkt in 0 0 U existiert eine Umgebung U , so daß γ(U ) eine Untermannigfaltigkeit ist. Beweis: Entweder direkt oder mittels des Satzes u ¨ber implizite Funktionen, siehe [AbrahamMarsdenRatiu, 2.5] 2 Jedoch braucht eine nur immersierte Untermannigfaltigkeit global keine Untermannigfaltigkeit zu sein, selbst dann nicht, wenn γ global injektiv ist.

13

 cos(t) Beispiel: Die Kurve γ : (−π/2, π/2) → R , γ(t) := sin(2t) , ist eine injektive sin(t) Immersion, ihr Bild M (die obere H¨alfte des Kleeblatts) ist aber keine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, da durch Entfernen des Punktes 0 ∈ M jede kleine Umgebung von 0 ∈ M in vier Zusammenhangskomponenten zerf¨allt. W¨are M eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit, dann m¨ usste jede kleine Umgebung U ⊂ M von 0 ∈ M jedoch in zwei Zusammenhangskomponenten zerfallen, da f¨ ur einen Diffeomorphismus φ : U → (a, b) ⊂ R das Bild U \ {0} = φ−1 ((a, φ(0)) ∪ (φ(0), b)) aus zwei Zusammenhangskomponenten besteht. 2



Beispiel: Rotationsfl¨achen sind immersierte Untermannigfaltigkeiten des R3 , die durch Rotation einer ebenen immersierten Kurve 3 c : (a, b) → R2 um die z-Achse im R3 entstehen. Hat c die Form c(t) = (r(t), h(t)) (r =Radius, h =H¨ohe), so ist die zugeh¨orige Rotationsfl¨ache durch γ(t, φ) = (r(t) cos(φ), r(t)  sin(φ), h(t)) gegeben.  Bei r 6= 0 ist γ r˙ cos(φ) −r sin(φ) wirklich eine Immersion, denn Dγ(t, φ) =  r˙ sin(φ) r cos(φ)  ist dann wirklich h˙ 0 2 2 ˙ injektiv wegen r˙ + h 6= 0 und r 6= 0. W¨ahlt man allerding ein r, das irgendwo verschwindet, so k¨onnen noch allgemeinere Fl¨achen als immersierte Untermannigfaltigkeiten entstehen, n¨amlich Fl¨achen mit Singularit¨aten. F¨ ur h(t) = t und r(t) = 2 + sin(t), t ∈ (0, 2π), ist die enstehende Rotationsfl¨ache beispielsweise eine glatte Untermannigfaltigkeit (ein Kelch ohne Boden), w¨ahrend f¨ ur r(t) = t, t ∈ (−1, 1), ein Kegel ensteht, der wegen der Singularit¨at in 0 keine Untermannigfaltigkeit ist. 3

c ist genau dann eine Immersion, wenn f¨ ur jedes t ∈ (a, b) der Vektor c(t) ˙ := Null ist.

14

c(t+h)−c(t) h

ungleich

Kapitel 2 Mannigfaltigkeiten In der ersten Lektion hatten wir d-dimensionale Untermannigfaltigkeiten des Rn kennengelernt, d.h. Teilmengen M des Rn , die lokal zu einem Rd diffeomorph sind. Allerdings hat man oft das Bed¨ urfnis, abstrakt u ¨ber Mannigfaltigkeiten zu sprechen, ohne auf eine n spezielle Einbettung in einen R zur¨ uckgreifen zu m¨ ussen. Deswegen definieren wir im folgenden Mannigfaltigkeiten M abstrakt u ¨ber einen Atlas von Karten, der M mit einer differenzierbaren Struktur“ ausstattet. ”

2.1

Karten und Atlanten

Definition 2.1 Ein C k -Atlas A auf einer Menge M ist eine Menge von Bijektionen φ : Uφ → Vφ (Karten genannt), die eine Teilmenge Uφ ⊂ M auf eine offene Teilmenge Vφ ⊂ Rn abbilden, mit folgenden Eigenschaften: • F¨ ur jedes m ∈ M existiert ein φ ∈ A mit m ∈ Uφ ( die Karten u ¨berdecken M“). ” • Ist U := Uφ ∩Uψ 6= ∅, so ist ψ ◦φ−1 : φ(U ) → ψ(U ) ein C k -Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen des Rn ( Kartenwechsel sind C k -Diffeomorphismen“). ” Definition 2.2 Ist φ ∈ A und gilt m ∈ Uφ , so heißt φ auch Karte bei m. Zwei C k -Atlanten A, A0 auf einer Menge M werden ¨aquivalent genannt, wenn ihre Vereinigung wieder ein C k -Atlas ist. Ein C k -Atlas A heißt maximal, wenn er in keinem anderen C k -Atlas enthalten ist. Solch ein maximaler C k -Atlas wird manchmal auch C k -Struktur oder einfach differenzierbare Struktur genannt. Lemma 2.3 Jeder C k -Atlas ist in genau einem maximalen C k -Atlas enthalten. Beweis: Ist A ein C k -Atlas, dann sei Amax die Menge aller Karten ψ auf M , f¨ ur −1 die immer dann, wenn Uψ ein Uφ , φ ∈ A, schneidet, die Abbildung ψ ◦ φ schon ein C k -Diffeomorphismus zwischen offenen Mengen im Rn ist. 15

Es bleibt zu zeigen, das Amax der einzige maximale C k -Atlas ist, der A enth¨alt. Nat¨ urlich gilt A ⊂ Amax , und da die Karten aus A bereits M u ur ¨berdecken, stimmt dies auch f¨ 0 Amax . Sind ψ, ψ Karten aus Amax mit u ¨berlappendem Kartengebiet, und ist m ein Punkt in diesem Kartengebiet sowie φ ∈ A eine Karte bei m, so ist auch ψ 0 ◦ ψ −1 ein −1 lokaler Diffeomorphismus bei m, denn ψ 0 ◦ ψ −1 = (ψ 0 ◦ φ−1 ) ◦ (ψ ◦ φ−1 ) . Desweiteren ist Amax maximal und eindeutig, da jeder andere Atlas, der A enth¨alt, nat¨ urlich auch in Amax enthalten ist. 2 Definition 2.4 Eine (verallgemeinerte) d-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit ist eine mit einem maximalen C k -Atlas von Karten in den Rd versehene Menge M . Beispiel: Jede C k -Untermannigfaltigkeit M des Rn ist eine C k -Mannigfaltigkeit, wenn man sie als Menge ausstattet mit den Karten in den Rd aus der Charakterisierung in Satz 1.6[1.]. Bemerkung 2.5 • Der Definition nach muß eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit nicht unbedingt eine Realisierung als Untermannigfaltigkeit eines Rm haben, nach einem Satz von Whitney ist dies jedoch (zumindest unter gewissen Voraussetzungen) immer der Fall, siehe [tomDieck]. • Statt zu verlangen, daß Kartenwechsel C k sind, k¨onnte man auch verlangen, daß Kartenwechsel Lipschitzstetig, H¨olderstetig, . . . w¨aren, dann k¨ame man zum Begriff der Lipschitz-, H¨older-, . . . -Mannigfaltigkeit. • Im Endlichdimensionalen ist die Unterscheidung zwischen verschiedenen k ≥ 1 nicht so wesentlich, denn nach einem Satz von Whitney gibt es in jedem C k Atlas einen C ∞ - oder sogar C ω -Atlas, d.h. einen Atlas mit analytischen Kartenwechseln. Man nennt C ∞ -Mannigfaltigkeiten auch glatte Mannigfaltigkeiten, und C ω -Mannigfaltigkeiten auch analytische Mannigfaltigkeiten. • Die Definition von Mannigfaltigkeiten zeigt deutlich, worauf es in der Analysis auf Mannigfaltigkeiten ankommt, n¨amlich auf die Unabh¨angigkeit von speziellen Koordinaten: Man kann sich seine Koordinaten immer w¨ahlen wie es einem passt. In Bezug auf die Physik ist dies wichtig, da ein physikalisches Gesetz so beschaffen sein sollte, daß seine G¨ ultigkeit nicht von der Wahl der Koordinaten abh¨angt, physikalische Gesetze sollten also koordinatenunabh¨angig formuliert sein. Die wesentlichste Eigenschaft von Mannigfaltigkeiten ist, daß sie die Definition von C k -Abbildungen erlauben. Definition 2.6 Eine Abbildung f : M → N zwischen C k -Mannigfaltigkeiten M, N heißt eine C k -Abbildung bei m ∈ M , wenn f¨ ur Karten φ bei m, ψ bei f (m) die Abbildung ψ ◦ f ◦ φ−1 eine C k -Abbildung offener Teilmengen des Rn bei φ(m) ist. Ist f : M → N eine C k -Abbildung, bijektiv und die Umkehrabbildung auch C k , dann heißt f ein C k -Diffeomorphismus. 16

Es reicht, C k -Differenzierbarkeit bzgl. einer Karte bei m und einer Karte bei f (m) zu testen, denn sind φ0 , ψ 0 andere Karten bei m, f (m), so ist auch ψ 0 ◦ f ◦ (φ0 )−1 = (ψ 0 ◦ ψ −1 ) ◦ (ψ ◦ f ◦ φ−1 ) ◦ (φ ◦ (φ0 )−1 ) eine C k -Abbildung bei φ0 (m). Nun wollen wir einige Beispiele betrachten, die sich nicht so leicht als Untermannigfaltigkeiten darstellen lassen.

Beispiel: Die Menge R/Z ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die zu S 1 diffeomorph ist. ¨ ¨ Dabei besteht R/Z aus den Aquivalenzklassen x + Z, x ∈ R, bzgl. der Aquivalenzrelation x ∼ y :⇔ x − y ∈ Z, und die differenzierbare Struktur ist beispielsweise durch den folgenden Atlas aus zwei Karten gegeben: φ1 (x + Z) := x, wobei x ∈ (0, 1), und φ2 (x + Z) = x, wobei x ∈ (1/2, 3/2). Man beachte, daß φ1 ◦ φ−1 auf (1/2, 1) die Identit¨at 2 x 7→ x ist, und daß φ2 ◦ φ−1 auf (0, 1/2) die Verschiebung x 7→ x + 1 ist, beides sind 1 also Diffeomorphismen. Die Menge R/Z kann man u ¨ber die Abbildung f : x + Z 7→ e2πix ∈ S 1 ⊂ R2 ∼ = C 1 mit S identifizieren, denn diese Abbildung ist bijektiv (begr¨ unde dies genau!) und sogar ein Diffeomorphismus. In der Tat, mit den Karten ψ1 (e2πix ) = x f¨ ur x ∈ (0, 1) und −1 2πix 1 ψ2 (e ) = x f¨ ur x ∈ (1/2, 3/2) der S gilt ψ1 ◦f ◦φ1 = Id(0,1) , ψ2 ◦f ◦φ−1 2 = Id(1/2,3/2) , −1 und ψ1 ◦ f ◦ φ2 stimmt als Abbildung von (1/2, 1) ∪ (1, 3/2) nach (0, 1/2) ∪ (1/2, 1) auf (1/2, 1) mit x 7→ x sowie auf (1, 3/2) mit x 7→ x − 1 u ¨berein, all diese Abbildungen −1 sind also glatt. Analog m¨ ußte man nun noch ψ2 ◦ f ◦ φ1 ausrechnen und die Glattheit u ufen sowie dasselbe f¨ ur die Umkehrfunktion f −1 tun (oder einfach sehen, daß in ¨berpr¨ den Karten das Differential invertierbar ist, es ist n¨amlich = 1), dann h¨atte man die Diffeomorphie von f bewiesen. Allgemeiner ist in derselben Weise Rn /Zn eine glatte Mannigfaltigkeit, die man mit dem Torus T n := S 1 × · · · × S 1 identifizieren kann. 17

Beispiel: Der reelle n-dimensionale projektive Raum RPn besteht aus den Geraden im Rn+1 , seine Elemente sind also von der Form Rx, 0 6= x ∈ Rn+1 . Der Atlas ist dann beispielsweise durch folgende n + 1 Karten gegeben: φi (Rx) := (x0 , . . . , xˆi , . . . , xn ), wobei φi auf der Menge der Rx mit xi 6= 0 definiert ist, x mit xi = 1 gew¨ahlt wurde und ˆ· symbolisiert, daß die entsprechende Koordinate im Vektor ausgelassen wurde. Wiederum sind die Koordinatenwechsel glatt, da φj ◦ φ−1 eine rai tionale Funktion von der offenen Menge xj 6= 0 auf die offene Menge xi 6= 0 ist (beim Normieren der i-ten bzw. j-ten Koordinate auf 1 muß man Teilen, deswegen wird die Funktion nicht linear, sondern nur rational). Allgemeiner ist jede Grassmann-Mannigfaltigkeit Gnk , deren Punkte k-lineare Unterr¨aume des Rn sind, eine glatte Mannigfaltigkeit. Beispiel: Die Abbildung f : Rn+1 \ {0} → RPn , x 7→ Rx, ist glatt. Denn φi ◦ f ◦ IdRn+1 ist die glatte Abbildung Rn+1 \ {xi 6= 0} 3 (x0 , . . . , xn ) 7→ (x0 , . . . , xˆi , . . . , xn ) ∈ Rn .

2.2

Topologie

Um auf Mannigfaltigkeiten nicht nur u ¨ber C k -Funktionen, k ≥ 1, sondern auch u ¨ber stetige Funktionen (k = 0) und die Konvergenz von Punkten sprechen zu k¨onnen, braucht man eine Topologie. Definition 2.7 Eine Topologie auf einer Menge M ist eine Menge T von Teilmengen U ⊂ M (offen genannt) mit folgenden Eigenschaften: • ∅, M ∈ T , • U, U 0 ∈ T ⇒ U ∩ U 0 ∈ T , S • Ui ∈ T ⇒ i Ui ∈ T . 18

Komplemente offener Mengen heißen abgeschlossen. Jede Menge B von Teilmengen U mit der Eigenschaft, daß M und jeder Schnitt U ∩ U 0 von Mengen U, U 0 ∈ B sich S als S Vereinigung i Ui , Ui ∈ B, schreiben lassen, heißt Basis der Topologie T := { i Ui |Ui ∈ B} auf M . Eine Menge V heißt Umgebung von x ∈ M , wenn es eine offene Teilmenge U mit x ∈ U ⊂ V gibt. Eine Folge xn heißt konvergent gegen x, wenn es f¨ ur jede Umgebung V von x ein N mit xn ∈ V f¨ ur alle n > N gibt. Jede Teilmenge S ⊂ M eines topologischen Raumes M wird mit der Topologie, deren offene Mengen die Form U ∩ S haben, U ⊂ M offen, selbst wieder ein topologischer Raum. Definition 2.8 Die Topologie der Mannigfaltigkeit (M, A) sei diejenige, deren Basis die Menge aller Kartengebiete im maximalen Atlas A ist. Dies definiert wirklich eine Basis einer Topologie, denn M l¨aßt sich als Vereinigung von Kartengebieten darstellen, da diese M u ¨berdecken, und der Schnitt zweier Kartengebiete Uφ , Uψ ist selbst wieder ein Kartengebiet, da er entweder leer ist oder aufgrund der Maximalit¨at des Atlas und der Diffeomorphie von ψ ◦ φ−1 die Restriktionen von φ, ψ auf Uφ ∩ Uψ wieder Karten des Atlas sind. Als Konsequenz ergibt sich das folgende Lemma: Lemma 2.9 Die Karten einer Mannigfaltigkeit M sind bzgl. der definierten Topologie Hom¨oomorphismen, d.h. stetig mit stetiger Umkehrabbildung. Daher sieht nicht nur vom differenzierbaren, sondern auch vom topologischen Standpunkt jede Mannigfaltigkeit lokal so aus wie der Rn . Insbesondere ist die folgende Definition von Mannigfaltigkeiten ¨aquivalent zu unserer urspr¨ unglichen: Definition 2.10 Eine (verallgemeinerte) n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit M ist ein topologischer Raum, der mit einem maximalen C k -Atlas von Hom¨oomorphismen offener Mengen in den Rn versehen ist. Stetige Abbildungen Eine Abbildung f : M → N zwischen topologischen R¨aumen heißt stetig bei m ∈ M , wenn das Urbild f −1 (V ) jeder Umgebung V ⊂ N von f (m) eine Umgebung in M ist. Lemma 2.11 Jede C k -Abbildung f : M → N zwischen Mannigfaltigkeiten ist stetig. Beweis: Wir zeigen, daß f an jedem Punkt m ∈ M stetig ist. Sei dazu φ eine Karte bei m ∈ M und ψ eine Karte bei f (m) ∈ N . Da sowohl φ−1 als auch ψ Hom¨oomorphismen sind, ist f genau dann stetig bei m, wenn die Abbildung ψ ◦ f ◦ φ−1 stetig bei φ(m) ist. Nun ist aber f eine C k -Abbildung, also ist ψ ◦ f ◦ φ−1 eine C k -Abbildung zwischen reellen Vektorr¨aumen und daher insbesondere stetig. 2 19

2.2.1

Topologische Restriktionen an eine Mannigfaltigkeit

Wie im vorigen Abschnitt gesehen, ist eine verallgemeinerte C k -Mannigfaltigkeit ein topologischer Raum, der lokal so aussieht wie der Rn und f¨ ur den die Wechsel zwischen k Karten C sind. Um von verallgemeinerten Mannigfaltigkeiten zum Begriff der Mannigfaltigkeit zu kommen, muß man noch einige topologische Restriktionen machen, die bewirken, daß die topologischen Unterschiede zum Rn nicht zu gewaltig werden. Zusammenhangseigenschaften: Ein topologischer Raum M heißt zusammenh¨angend, wenn M und ∅ die einzigen offenen und abgeschlossenen Mengen sind. Er heißt lokal zusammenh¨angend, wenn jeder Punkt eine zusammenh¨angende Umgebung besitzt. Da der Rn zusammenh¨angend (und daher auch lokal zusammenh¨angend) ist, und da stetige Abbildungen zusammenh¨angende Mengen auf zusammenh¨angende Mengen abbilden, ist jede verallgemeinerte Mannigfaltigkeit lokal zusammenh¨angend, denn φ−1 (Vφ ) ist zusammenh¨angend bei zusammenh¨angendem Vφ ⊂ Rn , da φ−1 stetig ist. Aber nat¨ urlich muß eine Mannigfaltigkeit nicht zusammenh¨angend sein. ¨ Kompaktheit: Ein topologischer Raum M heißt kompakt, wenn man aus jeder Uberdeckung von M Smit offenen Mengen Ui immer schon endlich viele ausw¨ahlen kann, die n Mu ¨berdecken: k=1 Uik = M . Er heißt lokal kompakt, wenn jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt, d.h. wenn es zu jedem x eine kompakte Teilmenge K ⊂ M gibt, deren Inneres x enth¨alt. Da der Rn lokal kompakt (aber nicht kompakt) ist, und da stetige Abbildungen kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbilden, ist auch jede verallgemeinerte Mannigfaltigkeit lokal kompakt, denn φ−1 (K) ist kompakt bei kompaktem K ⊂ Rn , da φ−1 stetig ist. Aber nat¨ urlich muß eine Mannigfaltigkeit nicht kompakt sein.

Trennungseigenschaften: Ein topologischer Raum heißt Hausdorffsch, wenn es zu je zwei Punkten x, x0 offene Mengen U, U 0 mit x ∈ U , x0 ∈ U 0 und U ∩ U 0 = ∅ gibt, wenn also je zwei Punkte durch offene Mengen getrennt werden k¨onnen. Der Rn ist wie jeder metrische Raum Hausdorffsch, eine verallgemeinerte Mannigfaltigkeit braucht dies aber nicht zu sein. Beispiel: Sei M := R ∪ {00 } die verallgemeinerte Mannigfaltigkeit, deren Atlas aus Karten φ1 : M \ {00 } = R → R, φ1 := IdR , und φ2 : M \ {0} → R, φ2 (x) = x f¨ ur x ∈ R, φ2 (00 ) = 0 besteht. Dies ist wirklich ein C ∞ -Atlas denn der Kartenwechsel ist die Identit¨at auf R \ {0}. Sind jedoch U, U 0 offene Umgebungen von 0, 00 , dann gilt immer U ∩ U 0 6= ∅. Denn sowohl φ1 (U ) als auch φ2 (U 0 ) sind dann offene Umgebungen der 0 ∈ R und besitzen als solche auch gemeinsame Punkte a 6= 0. F¨ ur diese gilt dann a ∈ U ∩ U 0 . Somit ist die Topologie von M nicht Hausdorffsch. 20

Abz¨ ahlbarkeitseigenschaften: Ein topologischer Raum gen¨ ugt dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom, wenn er eine abz¨ahlbare Basis besitzt. Der Rn besitzt wie jeder metrische Raum mit einer abz¨ahlbaren dichten Menge eine abz¨ahlbare Basis seiner Topologie, denn die Menge der Kugeln von rationalem Radius um Punkte in Qn ist eine solche. Aber nicht jede verallgemeinerte Mannigfaltigkeit hat diese Eigenschaft. Beispiel: Der R2 , u ¨ber φx2 : (x1 , x2 ) 7→ x1 aufgefasst als eindimensionale Mannigfaltigkeit M , gen¨ ugt nicht dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom. Denn die Topologie von M besteht aus den Mengen U × {r}, U ⊂ R offen und r ∈ R. Insbesondere muß jede Basis genauso m¨achtig oder m¨achtiger als R und somit u ¨berabz¨ahlbar sein. Um die Unterschiede zum Rn nicht zu groß werden zu lassen, definiert man nun Mannigfaltigkeiten wie folgt: Definition 2.12 Eine (nicht verallgemeinerte) C k -Mannigfaltigkeit ist eine verallgemeinerte C k -Mannigfaltigkeit mit einer Hausdorffschen und dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom gen¨ ugenden Topologie. Diese beiden zus¨atzlichen Eigenschaften sind deshalb so wichtig, weil sie die Existenz einer Zerlegung der Eins garantieren. Diese kann man dazu benutzen, C k -Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten zu konstruieren. Zerlegung der Eins: Satz 2.13 Jede glatte Mannigfaltigkeit M besitzt Zerlegungen der Eins, d.h. zu jeder ¨ offenen Uberdeckung von M mit Kartengebieten gibt es glatte Funktionen i : M → R+ 0, deren Tr¨ ager supp(i ) := {m ∈ M |i (m) 6= 0} komplett in einem Kartengebiet liegt und P f¨ ur die i i = 1 gilt, wobei die i lokal an jedem Punkt nur f¨ ur endlich viele i nicht identisch 0 sind. Beweis: Den Beweis wollen wir hier nicht f¨ uhren, man findet ihn [BrickellClark, 3.4] oder [AbrahamMarsdenRatiu, 6.5]. 2

21

22

Kapitel 3 Differentiation Nachdem wir in der letzten Lektion die abstrakte Definition von Mannigfaltigkeiten kennengelernt und Eigenschaften der induzierten Topologie diskutiert haben, wollen wir nun lernen, wie man Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten differenzieren kann. Wie bereits erw¨ahnt, nennt man eine Abbildung f : M → N zwischen C k -Mannigfaltigkeiten M, N eine C k -Abbildung, wenn f¨ ur alle m ∈ M und ein (und somit auch jedes) Paar von Karten φ bei m, ψ bei f (m), die Abbildung ψ ◦ f ◦ φ−1 eine C k -Abbildung offener Teilmengen des Rn ist. Automatisch ist dann f auch stetig bzgl. der Topologien der Mannigfaltigkeiten M, N . Um auch von der Ableitung einer C k -Abbildung f sprechen zu k¨onnen, definieren wir zun¨achst den Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit. Dieser ist ein Vektorraum, und seine Elemente geben die m¨oglichen Richtungen an, in die man an dem gegebenen Punkt innerhalb der Mannigfaltigkeit laufen kann. Die Ableitung einer Abbildung wird dann eine lineare Abbildung zwischen den Tangentialr¨aumen bei m und f (m) werden.

3.1

Der Tangentialraum

Sei M eine n-dimensionale C k -Mannigfaltigkeit. Eine C k -Kurve durch m ∈ M ist eine auf einem offenen Intervall I ⊂ R mit 0 ∈ I definierte C k -Abbildung c : I → M ¨ mit c(0) = m. Auf der Menge aller C k -Kurven durch m kann eine Aquivalenzrelation d d ur eine (und dann definiert werden durch c ∼m d, wenn dt (φ ◦ c)(0) = dt (φ ◦ d)(0) f¨ 1 jede) Karte φ bei m gilt . Tats¨achlich, die Relation ist trivialerweise reflexiv (c ∼m c), symmetrisch (c ∼m d ⇔ d ∼m c) und transitiv (c ∼m d, d ∼m e ⇒ c ∼m e), also eine ¨ ¨ Aquivalenzrelation. Außerdem h¨angt die Aquivalenzrelation ∼m nicht von der Wahl der Karte bei m ab, denn ist ψ eine weitere Karte bei m, dann gilt nach der Kettenregel D(f ◦ g)(x) = Df (g(x)) ◦ Dg(x) auch 1

Es sei daran erinnert, daß f¨ ur eine Kurve h : I → Rn , t 7→ h(t) das Symbol h(t)−h(0) limt→0 ∈ Rn bezeichnet, dieser ist identisch mit Dh(0)1. t

23

d dt h(0)

den Vektor

d d (ψ ◦ c)(0) = D(ψ ◦ φ−1 )(φ(m)) (φ ◦ c)(0) = dt dt d d D(ψ ◦ φ−1 )(φ(m)) (φ ◦ d)(0) = (ψ ◦ d)(0) . dt dt ¨ ¨ Die Aquivalenzklassen bzgl. dieser Aquivalenzrelation bezeichnen wir mit [c]m . Definition 3.1 Der (kinematische) Tangentialraum Tm M einer C k -Mannigfaltigkeit ¨ M im Punkt m ∈ M sei die Menge der Aquivalenzklassen [c]m von C k -Kurven durch ¨ m bez¨ uglich der Aquivalenzrelation ∼m . Lemma 3.2 Ist φ eine Karte, so ist dφ(m) : Tm M → Rn , [c]m 7→ dtd (φ ◦ c)(0), eine Bijektion. ¨ Beweis: Die Abbildung ist aufgrund der Definition der Aquivalenzrelation ∼m wohldefiniert und injektiv. Sie ist außerdem aber auch surjektiv, denn definiert man zu v ∈ Rn die Kurve c(t) := φ−1 (φ(m) + tv), dann gilt dφ(m)([c]m ) = v. 2 Macht man die Menge Tm M mittels dieser Abbildung durch λ · [c]m := dφ(m)−1 (λdφ(m)([c]m )) sowie [c]m + [d]m := dφ(m)−1 (dφ(m)([c]m ) + dφ(m)([c]m )) zu einem Vektorraum, so h¨angen · und + wiederum nicht von der Wahl der Karte φ ab, denn f¨ ur eine weitere Karte ψ bei m gilt nach der Kettenregel dψ(m) = D(ψ ◦ φ−1 )(φ(m)) ◦ dφ(m) mit der linearen Abbildung D(ψ ◦ φ−1 )(φ(m)). Wir halten fest: Korollar 3.3 Der (kinematische) Tangentialraum Tm M im Punkt m ∈ M ist unabh¨angig von der Wahl der Karten ein Vektorraum der gleichen Dimension, wie sie die Mannigfaltigkeit M hat. Der Tangentialraum an Untermannigfaltigkeiten und Quotienten: Man betrachte eine d-dimensionale C k -Untermannigfaltigkeit M des Rn , die lokal bei m ∈ M das Urbild des regul¨aren Wertes ξ ∈ Rn−d unter der C k -Abbildung f : Rn → Rn−d ist. Dann kann man den Tangentialraum Tm M mit dem linearen Unterraum Ker(Df (ξ)) von Rn identifizieren. In der Tat, genau dann verl¨auft eine C k -Kurve c : I → Rn durch m in M , wenn (f ◦ c)(t) = ξ f¨ ur alle gen¨ ugend kleinen t ∈ I gilt, und da dies Df (m) dtd c(0) = 0 impliziert sowie zwei Kurven c, d durch m ∈ Rn genau dann ¨aquivalent sind, wenn dtd c(0) = dtd d(0) gilt, entspricht jeder Vektor aus dem d-dimensionalen linearen Unterraum Ker(Df (m)) von Rn genau einem Element aus Tm M . Beispiel: Die Einheitssph¨are Sn ⊂ Rn+1 hat im Punkt x, kxk = 1, den Tangentialraum Tx Sn ∼ = {y| < x, y >Euklid = 0}, denn die Abbildung f (x) = kxk2Euklid = xT x hat in x die Ableitung Df (x) : y 7→ 2 < x, y >Euklid . Also besteht der Tangentialraum in x aus den zu x orthogonalen Vektoren. 24

Beispiel: Der n-dimensionale hyperbolische Raum hat in x ∈ Hn den P Tangentialraum 2 n ∼ 0}, denn die Abbildung f (x) = −x0 + ni=1 x2i hat die Tx H = {y| < x, y >M inkowski = P Ableitung Df (x)h = −2x0 h0 + ni=1 2xi hi = 2 < x, h >M inkowski , und diese bildet die zu x Minkowski-orthogonalen Vektoren auf 0 ab. Beispiel: Der Konfigurationsraum M := {(x, y) ∈ R6 |kx − yk = r} eines Stabes hat in (x, y) den Tangentialraum T(x,y) M ∼ = {(hx , hy ) ∈ R6 | < x − y, hx − hy >= 0}. Anschaulich: Die Eckpunkte x, y eines Stabes k¨onnen sich nur in Richtungen hx , hy bewegen, deren Differenz auf der Richtung x − y des Stabes senkrecht steht. Beispiel: Die orthogonale Gruppe O(n) hat in Id den Tangentialraum TId O(n) ∼ = T T {H | H = −H }, denn die Abbildung f (A) = A A hat in Id die Ableitung Df (A) : H 7→ H + H T . Ist ι : U → Rn (U ⊂ Rd offen) eine Immersion und das Bild M := γ(U ) nicht nur eine immersierte Untermannigfaltigkeit, sondern sogar eine Untermannigfaltigkeit des Rn , dann kann man den Tangentialraum Tι(u) M mit dem Bild von Rd unter Dι(u) identifizieren. Tats¨achlich verl¨auft eine Kurve c : I → Rn durch ι(u) genau dann innerhalb von M , wenn es eine Kurve d : I → Rd gibt mit c = ι ◦ d (ι ist lokal injektiv und nat¨ urlich eine Surjektion auf ihr Bild), und daher gibt es zu jedem Tangentialvektor d c(0) an M genau einen Vektor v ∈ Rd mit Dι(u)v = dtd c(0) (Eindeutigkeit folgt aus dt der Injektivit¨at von Dι(u)) Beispiel: Ist M ⊂ R3 eine durch die Kurve (r(t), h(t)) erzeugte Rotationsfl¨ache, so besteht  γ(t, φ) = (r(t) cos(φ), r(t) sin(φ), h(t)) aus den Vekto der Tangentialraum in r˙ cos(φ)v1 − r sin(φ)v2 ren r˙ sin(φ))v1 + r cos(φ)v2 , v1 , v2 ∈ R beliebig, denn diese bilden gerade das Bild ˙ 1 hv 2 ¨ Dγ(t, φ)(R kann man diese Vektoren als diejenigen beschreiben,  ). Aquivalenterweise  ˙h cos(φ) die auf  h˙ sin(φ)  bzgl. des Euklidischen Skalarproduktes senkrecht stehen. −r˙ Ein anderes Beispiel liefern Quotienten von Mannigfaltigkeiten. Beispiel: Der projektive Raum RPn ensteht ja durch die Projektion der Punkte in Rn+1 \ {0} auf die durch sie und den Ursprung verlaufenden Geraden. Entsprechend l¨aßt sich jede Kurve in RPn durch Rx als Bild einer Kurve c im Rn durch einen Punkt auf der Geraden Rx schreiben. Allerdings hat man hier eine Mehrdeutigkeit, weswegen der Tangentialraum TRx RPn nur mit dem Quotientraum Rn+1 /Rx identifiziert werden kann: Die Kurve π ◦ (x + tv) : I → RPn durch x ist konstant genau dann, wenn v ∈ Rx gilt.

25

Der operationelle Tangentialraum: Wie der Zusatz kinematisch“ schon besagt, ” gibt es auch einen anderen Zugang zum Tangentialraum, den sogenannten operationel” len“. Bei diesem betrachtet man statt Kurven R ⊃ I → M durch m nun C k -Funktionen M ⊃ U → R auf Umgebungen U von m, nennt solche Funktionen f, g ¨aquivalent, wenn ¨ es eine Umgebung U von m mit f |U = g|U gibt, und bezeichnet die Menge der Aquivalenzklassen mit F(m). Die skalare Multiplikation, Addition und Multiplikation von Funktionen macht F(m) zu einer R-Algebra. Definition 3.4 Der (operationelle) Tangentialraum Tm M einer Mannigfaltigkeit M im Punkt m ∈ M sei der Vektorraum der linearen Abbildungen Xm : F(m) → R, die die Produktregel Xm (f g) = f (m)Xm (g) + g(m)Xm (f ) erf¨ ullen (solche linearen Abbildungen heißen Derivationen). W¨ahrend man beim kinetischen Tangentialraum die Vektorraumstruktur nur mittels Karten (aber trotzdem im Endeffekt kartenunabh¨angig) definieren konnte, k¨onnen Element des operationellen Tangentialraums einfach punktweise mit Skalaren multipliziert und addiert werden, bilden also offensichtlich einen Vektorraum. ¨ Derivationen Xm am Punkt m haben dar¨ uberhinaus die Eigenschaft, daß sie (Aquivalenzklassen von) Funktionen, die konstant auf einer Umgebung von m sind, auf Null abbilden. Denn Xm (c) = Xm (c1) = cXm (1) gilt, aber Xm (1) = Xm (1 · 1) = 1 · Xm (1) + 1 · Xm (1) impliziert Xm (1) = 2Xm (1) und somit Xm (1) = 0. Sind xi : M ⊃ U → R die einzelnen Koordinatenfunktionen eine Karte x bei m, so bezeichne mit xi : R ⊃ (−, ) → U ⊂ M die einzelnen Kurven, die aus der Inversen x−1 durch xi (t) := x−1 (x1 (m), . . . , xi (m) + t, . . . , xn (m)) entstehen. F¨ ur festes i kann man eine Derivation durch ∂x∂ i |m : f 7→ dtd (f ◦ xi )(m) definieren (dies kann man nat¨ urlich auch f¨ ur jede andere Kurve c statt xi machen oder auch nur f¨ ur kinematische Tangentialvektoren [c]m , denn auch dann ist die Abbildung noch wohldefiniert: dtd (f ◦ c)(0) = dtd (f ◦ d)(0) bei c ∼ d). Lemma 3.5 Ist M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit, dann bilden die Derivationen ∂x∂ i |m , i = 1, . . . , n, eine Basis des operationellen Tangentialraums Tm M . Insbesondere sind der ∂ operationelle und kinematische Tangentialraum isomorph durch [c]m 7→ ∂c . Beweis: Vorbemerkung: Sei x eine Karte bei m und f eine C k -Funktion bei m, dann C ∞ -Funktionen hi , i = 1, . . . , n, bei x(m) ∈ Rn mit f (m0 ) = f (m) + Pn gibt es 0 0 ur alle m0 . i=1 (xi (m ) − xi (m))hi (m ) f¨ In der Tat, sei y die durch y := x − x(m) definierte Karte, und F die Restriktion von f ◦ y −1 auf einen auf eine kleine Kugel um 0. Dann gilt f¨ ur jeden Punkt z in der Kugel Z 1 n Z 1 n X X d F (z) − F (0) = F (sz)ds = ∂i F (sz)zi ds = zi Hi (z) 0 ds i=1 0 i=1 R1 mit Hi (z) := 0 ∂i F (sz)ds, und da F eine C ∞ -Abbildung ist, ist auch Hi eine C ∞ Abbildung. Somit sind hi := Hi ◦ y die gesuchten Funktionen. 26

Aus der Vorbemerkung l¨aßt sich nun leicht folgern, daß die Derivationen 1, . . . , n, eine Basis bilden. Sei n¨amlich Xm eine Derivation bei m, dann gilt ! n X Xm (f ) = Xm m0 7→ f (m) + (xi (m0 ) − xi (m))hi (m0 ) =

∂ , ∂xi

i =

i=1

Xm (f (m)) +

n X

(xi (m) − xi (m))Xm (hi ) + Xm (x)hi (m) =

i=1

n X

Xm (xi )hi (m) .

i=1

Da außerdem ∂x∂ i |m xj = δij gilt, also nur P1 wird bei i = j, gilt nach der vorigen Gleichung f¨ ur die Derivation ∂x∂ i auch ∂x∂ i |m f = ni=1 δij hi (m) = hi (m). Somit haben wir Xm (f ) =

n X

Xm (xi )hi (m) =

i=1

n X i=1

Xm (xi )

∂ |m f ∂xi

,

Pn ∂ ∂ also Xm = i=1 Xm (xi ) ∂xi |m . Daher spannen die Vektoren ∂xi |m den operationelurlich auch linear unlen Tangentialraum auf, und sie sind wegen ∂x∂ i |m xj = δij nat¨ abh¨anging. Um abschließend noch die Isomorphie des operationellen und kinematischen Tangentialb¨ undels einzusehen, bemerke man einfach, daß dx(m)−1 (ei ), wobei ei die Standardbasis des Rn bezeichnet, eine Basis des kinematischen Tangentialraumes bildet und ∂f ∂f gleichzeitig ∂dx(m) 2 −1 (e ) = ∂xi gilt. i Es sei darauf hingewiesen, daß hier wesentlich die Glattheit eingeht, f¨ ur nichtglatte k C -Mannigfaltigkeiten, k < ∞, gilt das Resultat i.a. nicht mehr. Abschließend eine anschauliche Deutung: W¨ahrend die kinematischen Tangentialvektoren am Punkt m Geschwindigkeitsvektoren von Kurven sind, die durch m laufen, und somit Richtungen angeben, in die man an der Stelle m innerhalb von M laufen kann, sind die operationellen Tangentialvektoren Funktionale, die sich wie das partielle Ableiten von Funktionen in eine bestimmte Richtung verhalten.

3.2

Die Ableitung und das Tangentialbu ¨ ndel

Ist nun f : M → N eine C k -Abbildung, so ist die Abbildung Tm f : Tm M → Tf (m) N , [c]m 7→ [f ◦ c]m , eine wohldefinierte lineare Abbildung zwischen den kinematischen Tangentialr¨aumen. Denn mit Karten φ bei m, ψ bei f (m), gilt Tm f = dψ(f (m))−1 ◦ D(ψ ◦ f ◦ φ−1 )(φ(m)) ◦ dφ(m). Definition 3.6 Die lineare Abbildung Tm f : Tm M → Tf (m) N heißt die Ableitung von f an der Stelle m. Will man statt der kinematischen die operationellen Tangentialr¨aume benutzen, so muß man f¨ ur eine Derivation Xm bei m ∈ M die Derivation Tm f (Xm ) bei f (m) ∈ N als diejenige definieren, die eine Funktion h bei f (m) ∈ N auf die Zahl Xm (h ◦ f ) abbildet. 27

Die operationelle Sichtweise hat den Vorteil, daß man die Tangentialabbildung Tm f leicht in Koordinaten darstellen kann: Ist x eine Karte bei m, y eine Karte bei f (m), P ) dann l¨aßt sich ja jede Derivation Xm ∈ Tm M als Xm = dim(M Xm (xi ) ∂x∂ i |m in der i=1 durch die Karte x induzierten Basis darstellen, also braucht man nur zu wissen, wohin Tm f die Tangentialvektoren ∂x∂ i abbildet. Nun bildet Tm f den Vektor ∂x∂ i aber auf die Derivation Ym : h 7→ ∂x∂ i (h ◦ f ), h : N → R, P ) ab. Diese Derivation Ym besitzt wiederum die Basis-Darstellung dim(N Ym (yj ) ∂y∂ j |f (m) , j=1 also bildet Tm f die Basisvektoren folgendermaßen ab: dim(N ) X ∂(yj ◦ f ) ∂ ∂ → 7 | i j f (m) ∂xi ∂x ∂y j=1

Da Tm f linear ist und man die Wirkung auf eine Basis kennt, kennt man dadurch also Tm f komplett. Das Tangentialbu ¨ ndel als Menge: Wie man im Rn nicht nur von der Ableitung Df (x) einer Funktion f : Rn → Rm an einer Stelle x ∈ Rn sprechen will, sondern die Ableitung auch als Abbildung Df : Rn → L(Rn , Rm ) auffassen will, so sucht man auch hier nach einem Weg, die Ableitungen Tm f an verschiedenen Punkten m ∈ M zu einer Abbildung zusammenzufassen. S Dies gelingt mittels des Tangentialb¨ undels: Sei T M die ˙ disjunkte Vereinigung T M := m∈M Tm M der Tangentialr¨aume und πT M : T M → M die Abbildung, die einen Tangentialvektor v ∈ Tm M auf seinen Fußpunkt m abbildet, dann lassen sich die Ableitungen Tm f zu einer Abbildung T f : T M → T N , vm 7→ Tm f (vm ), zusammenf¨ ugen. Diese Abbildung hat die Eigenschaft πT N ◦ T f = f ◦ πT M , man nennt daher T f eine faserweise lineare B¨ undelabbildung u ¨ber f . Die Kettenregel: Lemma 3.7 Seien f : M → N , g : N → P zwei C k -Funktionen zwischen C k Mannigfaltigkeiten, dann gilt die Kettenregel T (g ◦ f ) = T g ◦ T f , bzw. an einem Punkt m ∈ M gilt Tm (f ◦ g) = Tf (m) g ◦ Tm f . Beweis: Mit drei Karten φ bei m, ψ bei f (m) und χ bei g(f (m)) gilt nach Definition der Tangentialabbildung Tm (f ◦ g) = dχ(g(f (m)))−1 ◦ D(χ ◦ (g ◦ f ) ◦ φ−1 ) ◦ dφ(m)−1 =

dχ(g(f (m)))−1 ◦ D(χ ◦ g ◦ ψ −1 ) ◦ dψ(f (m)) ◦ dψ(f (m))−1 ◦ D(ψ ◦ f ◦ φ−1 ) ◦ dφ(m)−1 = Tf (m) g ◦ Tm f . 2 Die Mannigfaltigkeitsstruktur des Tangentialbu undel ¨ ndels: Das Tangentialb¨ T M einer C k -Mannigfaltigkeit M ist bisher ja nur eine Menge, die disjunkte Vereinigung der Tangentialr¨aume Tm M . Wir wollen nun diese Menge selbst zu einer C k−1 Mannigfaltigkeit machen. Dazu bemerken wir, daß wir jedem Tangentialvektor X ∈ T M 28

seinen Fußpunkt zuweisen k¨onnen, also den Punkt m ∈ M , an dem X ∈ Tm M gilt. Denn diese Abbildung, die wir fortan mit π bezeichnen und die Projektion des Tangentialb¨ undels nennen, ist wohldefiniert, da die Tangentialr¨aume an verschiedenen Punkten disjunkt sind. Bezeichne mit T M |U das Urbild π −1 (U ). Lemma 3.8 Sei φ : M ⊃ U → V ⊂ Rn eine Karte von M , dann ist die Abbildung φ˜ : X 7→ (φ(π(X)), dφ(π(X))X) eine Bijektion von T M |U auf U × Rn ⊂ R2n . Ist desweiteren ψ eine Karte, deren Kartengebiet U schneidet, dann ist ψ˜ ◦ φ˜−1 ein faserweise linearer C k−1 -Diffeomorphismus. Beweis: Sowohl die Abbildung φ auf U als auch die Abbildungen dφ(m) : Tm M → Rn auf jeder Faser sind Bijektionen, also ist auch φ˜ eine Bijektion. Außerdem ist 



−1 ˜ ˜ ψ◦φ (u, h) = ψ(φ−1 (u)), dψ(φ−1 (u)) dφ(φ−1 (u))−1 h

offensichtlich ein in h linearer C k−1 -Diffeomorphismus, wobei die Reduktion der Ordnung k um Eins dadurch bewirkt wird, daß dφ bzw. dψ nur C k−1 -Abbildungen sind. 2 ˜ φ Karte von M , nutzen, um T M mit einem C k−1 Also kann man die Abbildungen φ, Atlas auszustatten, d.h. zu einer C k−1 -Mannigfaltigkeit zu machen. Und nicht nur dies: Die gew¨ahlten Karten auf den Fasern sind linear, daher nennt man T M ein Vektorb¨ undel und kann von faserweise linearen Abbildungen auf T M sprechen. Wir wollen noch die Frage beantworten, ob f¨ ur ein Hausdorffsches M , das dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom gen¨ ugt, auch T M Hausdorffsch ist und dem zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom gen¨ ugt. Dies ist der Fall, denn T M kann mit genausovielen Kartengebieten 0 u ¨berdeckt werden wie M , und sind Xm 6= Xm 0 zwei Vektoren, dann findet man bei 0 m 6= m zwei trennende Umgebungen, da M Hausdorffsch ist, und bei m = m0 zwei trennende Umgebungen, da die Faser Rn Hausdorffsch ist. Das Produkt zweier Mannigfaltigkeiten: Sind M und N zwei C k -Mannigfaltigkeiten, dann bezeichnet M × N die C k -Mannigfaltigkeit, deren Elemente alle Paare (m, n), m ∈ M , n ∈ N , sind und die mit den Karten (φ, ψ) : (m, n) 7→ (φ(m), ψ(n)), φ Karte von M , ψ Karte von N , ausgestattet wurde. Tats¨achlich sind dann Kartenwechsel C k -Diffeomorphismen, die Umkehrabbildung zu (φ, ψ) ist n¨amlich (φ−1 , ψ −1 ), und also ist M × N wirklich eine C k -Mannigfaltigkeit. Dar¨ uberhinaus sind die Projektionen k πM : (m, n) 7→ m, πN : (m, n) 7→ n, automatisch C -Abbildungen. Lemma 3.9 Die Abbildung (T πM , T πN ) : T (M × N ) → T M × T N ist ein faserweise linearer C k−1 -Diffeomorphismus. Beweis: Definiere die beiden C k -Abbildungen in : m 7→ (m, n) und im : n 7→ (m, n) (Warum sind diese C k -Abbildungen?). Die C k−1 -Abbildung f : (Xm , Yn ) 7→ T in (Xm ) + T im (Yn ) ist dann ein Inverses zu (T πM , T πN ), denn wegen πM ◦in = IdM , πN ◦im = IdN 29

und πM ◦ im = const, πN ◦ im = const gilt nach der Kettenregel

(T (πM

((T πM , T πN ) ◦ f ) (Xm , Yn ) = ◦ in )(Xm ) + T (πM ◦ im )(Yn ), T (πN ◦ in )(Xm ) + T (πN ◦ im )(Yn )) = (Xm + 0, 0 + Ym ) = (Xm , Ym ) ,

also (T πM , T πN ) ◦ f = IdT M ×T N . Die Gleichheit f ◦ (T πM , T πN ) = IdT (M ×N ) folgt dann daraus, daß beide Abblidungen auf jeder Faser lineare Abbildungen zwischen Vektorr¨aumen gleicher Dimension waren. 2

30

Kapitel 4 Vektorfelder In der letzten Lektion hatten wir gesehen, wie man das Tangentialb¨ undel T M einer nk k−1 dimensionalen C -Mannigfaltigkeit M zu einer 2n-dimensionalen C -Mannigfaltigkeit machen kann, und sogar, da die Kartenwechsel linear auf den Fasern waren, zu einem C k−1 -Vektorb¨ undel u undels studieren, ¨ber M . Nun wollen wir Schnitte dieses Vektorb¨ sogenannte Vektorfelder.

4.1

Eigenschaften von Vektorfeldern

Betrachte das Vektorb¨ undel T M u ¨ber M mit seiner Projektion π : T M → M . Eine Abbildung X : M → T M heißt Vektorfeld (oder auch Schnitt von π), wenn π ◦ X = IdM gilt. Ein Vektorfeld X ordnet also jedem Punkt m ∈ M einen Tangentialvektor X(m) ∈ Tm M am selben Punkt (und nicht an einem anderen Punkt!) zu. Anschaulich gibt ein Vektorfeld also an jedem Punkt m einen Richtungsvektor vor, daher der Name. Durch (X + Y )(m) := X(m) + Y (m) kann man Vektorfelder X, Y addieren, und durch (f X)(m) := f (m)X(m) mit Funktionen f : M → R multiplizieren. ˜ : Rn → Rn , wobei In lokalen Koordinaten entspricht ein Vektorfeld einer Abbildung X man allerdings die Elemente des Definitionsbereichs als Ortsvektoren und die Elemente des Bildbereichs als Richtungsvektoren zu deuten hat. Tats¨achlich, ist φ eine Karte mit Kartengebiet U , so ist φ˜ eine Karte von T M , und in dieser Karte hat ein Vektorfeld ˜ ˜ : Rn ⊃ U → Rn , denn die erste lokal die Form u 7→ (u, X(u)) mit einer Abbildung X Komponente ist wegen π ◦ X = IdM die Identit¨at auf U . Wenden wir uns der operationellenPSichtweise zu, dann k¨onnen wir mit einer Karte x lo˜ i (x(m)) ∂ i |m schreiben, denn die Derivationen kal das Vektorfeld X als X(m) = ni=1 X ∂x ∂ | bilden eine Basis des operationellen Tangentialraumes. ∂xi m Beiden Darstellungen sieht man an, daß ein Vektorfeld X genau dann eine C k−1 ˜ eine C k−1 -Abbildung ist bzw. die einzelnen Komponenten X ˜i Abbildung ist, wenn X k−1 jeweils C -Funktionen sind. 31

Polarkoordinaten : Um zu lernen, wie Kartenwechsel die Koordinatendarstellung eines Vektorfeldes beeinflussen, betrachten wir das Beispiel von Polarkoordinaten auf M := Rn \ {x ∈ Rn | x1 ≤ 0} . Nat¨ urlich kann man auf der offenen Teilmenge M ⊂ Rn einfach die kartesischen Koordinaten w¨ahlen, also die Karte x = (x1 , . . . , xn ) : M → Rn betrachten. Gerade in Situationen, wo Drehsymmetrie eine Rolle spielt, ist es h¨aufig aber hilfreich, zu den sogenannten Polarkoordinaten u ¨berzugehen. Diese sind durch −1 die Karte (r, φ1 , . . . , φn−1 ) = Pn ◦ x gegeben mit dem glatten Diffeomorphismus Pn : R+ × (−π, π) × (−π/2, π/2)n−2 → {x ∈ Rn | x1 ≤ 0}, der durch   Pn−1 (r, φ1 , . . . , φn−2 ) cos(φn−1 ) Pn (r, φ1 , . . . , φn−1 ) := r sin(φn−1 ) und P1 (r) := r rekursiv definiert ist. Die Abbildung ist tats¨achlich ein lokaler Diffeomorphismus offener Mengen im Rn , denn die Determinante der Ableitung ist r cos(φ2 ) · · · · · cosn−2 (φn−1 ) und somit ungleich 0 auf R+ ×(−π, π)×(−π/2, π/2)n−2 . Durch das direkte Angeben einer Umkehrabbildung kann man sogar globale Diffeomorphie nachweisen 1 . ∂ Beispiel: Wie lautet die kartesische Darstellung des in Polarkoordinaten durch r ∂r gegebenen Vektorfeldes auf M ? Die Polarkoordinaten auf R2 sind x = r cos(φ), y = ∂ wirkt auf Funktionen f (x, y) durch r sin(φ). Die partielle Ableitung r ∂r

∂f ∂f ∂x ∂f ∂y =r +r = ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂f ∂ ∂ ∂f r cos(φ) + r sin(φ) = x +y ∂x ∂y ∂x ∂y r

∂ ∂ ∂ also gilt r ∂r = x ∂x + y ∂y . ∂ Beispiel: Wie lautet ∂φ in kartesischen Koordinaten ? Die partielle Ableitung auf Funktionen f (x, y) durch

∂ ∂φ

wirkt

∂f ∂f ∂x ∂f ∂y = + = ∂φ ∂x ∂φ ∂y ∂φ ∂f ∂f ∂ ∂ (−r sin(φ)) + r cos(φ) = −y +x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ also gilt r ∂r = x ∂x + y ∂y .

1

Dar¨ uberhinaus gilt f¨ ur festes r ∈ R+ sogar kPn (r, . . . )kEuklid = r, deshalb kann man mit Polarkoordinaten auch die Sph¨ aren Sn−1 bis auf einen Punkt koordinatisieren. Anschaulich erinnere man sich an einen Weltatlas, indem es ja auch einerseits Darstellungen gibt, in denen L¨angen- und Breitengrade senkrecht aufeinander und also kartesische Koordinaten genutzt wurden (zumeist bei kleinen Ausschnitten, z.B. Luxemburg), andererseits aber auch Darstellungen, wo Polarkoordinaten genutzt werden (z.B. wenn die ganze obere/unter Halbkugel der Erde abgebildet wird).

32

4.2

Integration von Vektorfeldern

Da ein Vektorfeld X ja an jedem Punkt m ∈ M eine Richtung vorgibt, kann man sich fragen, ob es auch eine Kurve c : R → M gibt, die beginnend beim Punkt m immer in die vorgegebene Richtung l¨au ¨ft. Wir pr¨azisieren diese Fragestellung folgendermaßen: Zu einer C k -Kurve c in M bezeichne c(t) ˙ den kinematischen Tangentialvektor [c(· + t)], der von c am Punkt c(t) induziert wird. Dann stellt sich also die Frage, ob es zu einem C k−1 -Vektorfeld X : M → T M genau eine zumindest nahe 0 definierte C k -Kurve c gibt mit c˙ = X ◦ c , c(0) = m . In lokalen Koordinaten ist dieses Problem ein Anfangswertproblem f¨ ur eine gew¨ohnliche (zeitunabh¨angige) Differentialgleichung erster Ordnung. Tats¨a
chlich, mit der iden∂ |t und daher tischen Karte t auf R und einer Karte x bei m gilt c(t) ˙ = T c ∂t c(t) ˙ =

n X ∂(xi ◦ c) ∂ | i c(t) ∂s ∂x i=1

w¨ahrend X ◦c=

n X i=1

,

˜ i (x ◦ c) ∂ |c(t) X ∂xi

gilt. Ein Vergleich der Komponenten liefert daher, daß mit C := x ◦ c die Gleichung ˜ c˙ = X ◦ c zu dtd C(t) = X(C(t)) ¨aquivalent ist, also unter C(0) = x(m) ein Anfangswertproblem f¨ ur eine gew¨ohnliche (zeitunabh¨angige) Differentialgleichung erster Ordnung auf dem Rn darstellt. Daher nennen wir Gleichungen von der Form c˙ = X ◦ c mit einem Vektorfeld X auf einer Mannigfaltigkeit auch gew¨ohnliche Differentialgleichungen erster Ordnung, und L¨osungen c nennen wir Integralkurven von X. Um die lokale L¨osbarkeit von c˙ = X ◦ c, c(0) = m zu beweisen, reicht es also, die L¨osbarkeit von GDGLen im Rn zuzusichern. Dort gilt der Satz: Satz 4.1 Jedes lokal Lipschitz-stetige Vektorfeld besitzt lokal zu einem Anfangspunkt x eine eindeutige C 1 -Integralkurve c : [0, T ] → Rn mit c(0) = x. Man bemerke, daß dies nicht f¨ ur C 0 -Vektorfelder gilt, dort geht die Eindeutigkeit verloren. Modifizieren wir die Situation ein wenig, indem wir nur solche C k -Abbildungen betrachten, deren k-te Ableitung lokal Lipschitz-stetig ist, dann erhalten wir das gew¨ unschte Resultat auch auf Mannigfaltigkeiten: Satz 4.2 Jedes C k−1 -Vektorfeld mit lokal Lipschitz-stetiger (k −1)-ter Ableitung besitzt lokal zu einem Anfangspunkt m ∈ M eine eindeutige C k -Integralkurve c : [0, T ] → M mit c(0) = m. Sehr n¨ utzlich ist das folgende Korollar, daß f¨ ur kompakte Mannigfaltigkeiten sogar die globale L¨osbarkeit sichert: 33

Korollar 4.3 Jedes Anfangswertproblem einer GDGL erster Ordnung auf einer kompakten Mannigfaltigkeit besitzt eine eindeutige, f¨ ur alle Zeiten existierende L¨osung. Beweis: Zu jedem Punkt m gibt es eine Umgebung Um , innerhalb derer eine L¨osung zu einem Startwert ∈ Um mindestens im Zeitintervall [0, T ] existiert. Nun u ¨berdecken schon endlich viele Um wegen der Kompaktheit die Menge M , also gibt es auch eine minimale Zeit Tmin , bis zu der jede L¨osung zu einem Anfangswert ∈ M existiert. Mittels der eindeutigen L¨osung des Problem d˙ = X ◦ d, d(0) = c(Tmin ) kann man also jede L¨osung c von c˙ = X ◦c, c(0) = m, mit Existenzintervall [0, Tmin ] zu einer eindeutigen L¨osung mit Existenzintervall [0, 2Tmin ] fortsetzen, und sukzessive Anwendung liefert das Resultat. 2

34

Kapitel 5 Tensoren und Formen Nachdem wir in den bisherigen Lektionen Funktionen und Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten kennengelernt haben, wollen wir nun Tensoren und Formen auf Mannigfaltigkeiten diskutieren. Wie Vektorfelder sind diese Objekte Schnitte von Vektorb¨ undeln u undels ¨ber der Mannigfaltigkeit, nur nicht mehr unbedingt Schnitte des Tangentialb¨ selbst, sondern Schnitte anderer aus dem Tangentialb¨ undel hervorgegangener Vektorraumb¨ undel. Deswegen wollen wir uns zun¨achst die Konstruktion dieser Vektorb¨ undel an einem Punkt anschauen, d.h. Tensoren und Formen auf Vektorr¨aumen diskutieren, bevor wir zu Tensor- und Formenb¨ undeln sowie ihren Schnitten u ¨bergehen, den Tensorfeldern und Differentialformen.

5.1

Multilineare Algebra

Sei X ∼ ur endlichdimensionale = Rn ein n-dimensionaler reeller Vektorraum. Bezeichne f¨ k Vektorr¨aume X1 , . . . , Xk , Y mit L (X1 , . . . , Xk ; Y ) die k-linearen Abbildungen von X1 × · · · × Xk nach Y . Dabei heißt eine Abbildung f : X1 × · · · × Xk → Y k-linear, wenn f (x1 , . . . , axm + bx0m , . . . , xk ) = af (x1 , . . . , xm , . . . , xk ) + bf (x1 , . . . , x0m , . . . , xk ) gilt, m = 1, . . . , k. Nat¨ urlich kann man k-lineare Abbildungen punktweise addieren und mit Skalaren multiplizieren, Lk (X1 , . . . , Xk ; Y ) ist also ein Vektorraum. Beispiel: Die Abbildung f : ((x1 , x2 ), x3 ) 7→ 5x1 x3 + 4x2 x3 ist eine bilineare Abbidlung von R2 × R nach R, denn f (a(x1 , x2 ) + b(x01 , x02 ), x3 ) = 5(ax1 + bx01 )x3 + 4(ax2 + bx02 )x3 = af ((x1 , x2 ), x3 ) + bf ((x01 , x02 ), x3 ) = und f ((x1 , x2 ), ax3 + bx03 ) = af ((x1 , x2 ), x3 ) + bf ((x1 , x2 ), x03 ) gilt. Bezeichne mit X ∗ := L(X, R) den Dualraum von X, d.h. den Raum der stetigen linearen Abbildungen von X nach R. Ist e1 , . . . , en eine Basis von X, dann gibt es eine eindeutige 35

Basis e1 , . . . , en von X ∗ mit ei ej = δij (genannt die duale Basis), wobei δij das KroneckerDelta bezeichnet mit der Eigenschaft, daß δij = 1 genau dann gilt, wenn i = j, und sonst δij = 0 ist. Beispiel: Ist R2 der Raum der Spaltenvektoren mit zwei Komponenten, so entspricht (R2 )∗ dem Raum der Zeilenvektoren mit 2-Komponenten.    

1 0 F¨ ur die Basis e1 = , e2 = , ist die duale Basis e1 = 1 0 , e2 = 0 1 . 0 1    

1 0 F¨ ur die Basis e1 = , e2 = , ist die duale Basis e1 = 1 0 , e2 = 1 −1 . 1 −1    
1 1 F¨ ur die Basis e1 = , e2 = , ist die duale Basis e1 = 1/2 1/2 , e2 = 1 −1
1/2 −1/2 . Bekanntlich ist dar¨ uberhinaus j : X → X ∗∗ , x 7→ (α 7→ α(x)), ein linearer Isomorphismus, X kann also mit seinem Doppeldual X ∗∗ identifiziert werden. Beweis: Die Abbildung j ist offensichtlich linear und auch injektiv, denn gilt j(x) = j(y), dann gilt α(x) = α(y) f¨ ur alle α ∈ X ∗ und damit auch x = y. Somit ist j eine injektive lineare Abbildung zwischen R¨aumen gleicher Dimension und daher auch eine Bijektion. 2 Deswegen macht es Sinn, in der folgeden Definition nur X und X ∗ (und nicht noch weitere Iterationen der Dualr¨aume) zu betrachten: Definition 5.1 Die Elemente des Raumes Tsr := Lr+s (X ∗ , . . . , X ∗ , X, . . . , X; R) (r Kopien von X ∗ , s Kopien von X) heißen r-fach kontravariante und s-fach kovariante Tensoren auf X. • T00 = R per Definition. • T01 = X, denn L(X ∗ , R) = x∗∗ ∼ = X, also ist ein (1, 0)-Tensor einfach nur eine Richtung in X. • T10 = X ∗ , denn L(X, R) = X ∗ , also ist ein (0, 1)-Tensor einfach nur eine Linearform auf X. • Die (0, 2)-Tensoren g ∈ T20 sind die bilinearen Abbildungen von X × X nach R. Eine solche Abbildung g heißt symmetrisch, wenn g(x1 , x2 ) = g(x2 , x1 ) gilt, und positiv definit bzw. ein Skalarprodukt, wenn zus¨atzlich noch g(x, x) > 0 gilt f¨ ur alle x 6= 0. • Ganz allgemein heißt ein Tensor symmetrisch, wenn er unter beliebigen Permutationen seiner X- sowie seiner X ∗ -Komponenten invariant ist, und antisymmetrisch, wenn eine Vertausuchung von zwei Komponenten sein Vorzeichen ¨andert. • Ein Beispiel f¨ ur einen (1, 1)-Tensor ist ein dyadisches Produkt xx∗ interpretiert als bilineare Abbildung (y ∗ , y) 7→ y ∗ (x)x∗ (y). Allgemeiner kann man jede lineare Abbildung A : X → X als (1, 1)-Tensor auffassen durch (x∗ , x) 7→ x∗ (Ax). 36

• Ein (0, n)-Tensor ist die Determinante det aufgefasst als Abbildung von n-Spaltenvektoren nach R. Diese ist sogar antisymmetrisch, bei Vertauschung von zwei Komponenten ¨andert sich das Vorzeichen. Definiere das Tensorprodukt der Tensoren t1 ∈ Tsr11 , t2 ∈ Tsr22 als den Tensor t1 ⊗ t2 ∈ +r2 , der durch Tsr11+s 2 (x∗1 , . . . , x∗r1 +r2 , x1 , . . . , xs1 +s2 ) 7→ t1 (x∗1 , . . . , x∗r1 , x1 , . . . , xs1 ) · t2 (x∗r1 +1 , . . . , x∗r1 +r2 , xs1 +s2 ) gegeben ist. Lemma 5.2 Die Elemente ei1 ⊗· · ·⊗eir ⊗ej1 ⊗· · ·⊗ejs , i1 , . . . , ir , j1 , . . . , js ∈ {1, . . . , n}, bilden eine Basis des Raumes Tsr . Beweis: Wir m¨ ussen beweisen, daß die Vektoren ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs linear unabh¨angig sind und ganz Tsr aufspannen. Zun¨achst zur linearen Unabh¨angigkeit: Angenommen, eine Linearkombination X j1 js r λij11,...,i ,...,js ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ e ⊗ · · · ⊗ e = 0 i1 ,...,ir ,j1 ,...,js

verschwindet. Dann ergibt die Auswertung in ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs , daß auch der r Koeffizient λij11,...,i ur dessen Indizes wird der Koeffizient mit Eins ,...,js = 0 ist, denn genau f¨ multipliziert, w¨ahrend f¨ ur alle anderen Indizes die Auswertung Null ergibt. Wertet man nun nacheinander f¨ ur alle Index-Kombinationen aus, so ergibt sich das Verschwinden aller Koeffizienten. Dadurch haben wir die lineare Unabh¨angigkeit bewiesen. Abschließend ist noch zu zeigen, daß Tsr durch die Vektoren ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs aufgespannt wird. Dazu bemerke man einfach, daß f¨ ur jeden (r, s)-Tensor t die Gleichheit X
t= t ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs ei1 ⊗ · · · ⊗ eir ⊗ ej1 ⊗ · · · ⊗ ejs = 0 i1 ,...,ir ,j1 ,...,js

2

gilt.

Pullback und Pushforward: Hat man nun Tensoren zur Verf¨ ugung, so stellt sich die Frage, wie sich Tensoren unter linearen Abbildungen f : X → Y transformieren. Dazu sei zun¨achst angemerkt, daß jede lineare Abbildung eine duale Abbildung f ∗ : Y ∗ → X ∗ induziert durch f ∗ (y∗) : x 7→ y ∗ (f (x)). Beispiel: Wird f : Rn ∼ = X → Y ∼ = Rm bzgl. einer Basis durch eine Matrix A : Rn → Rm dargestellt, dann wird f ∗ bzgl. der dualen Basis durch das Transponierte A∗ : Rm → Rn dargestellt. In der Tat, es gilt y ∗ (Ax) = (A∗ y ∗ )(x). Die duale Abbildung beschreibt also, wie sich (0, 1)-Tensoren unter einer linearen Abbildung transformieren. Dies kann man nat¨ urlich weiter verallgemeinern: 37

Definition 5.3 Die lineare Abbildung f∗ : T0r (X) → T0r (Y ), t 7→ ((y1∗ , . . . , yr∗ ) 7→ t(f ∗ (y1∗ ), . . . , f ∗ (yr∗ ))) heißt das Pushforward von f . Die lineare Abbildung f ∗ : Ts0 (Y ) → Ts0 (X), t 7→ ((x1 , . . . , xr ) 7→ t(f (x1 ), . . . , f (xr ))) heißt das Pullback von f . Ist f invertierbar, dann kann man nicht nur induzierte Abbildungen auf den (r, 0)Tensoren und den (0, s)-Tensoren betrachten, sondern analog sogar auf den (r, s)Tensoren. Nun muß man nat¨ urlich noch wissen, wie man mit Pullback und Pushforward rechnen kann: Lemma 5.4

• Es gilt (f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗ und (f ◦ g)∗ = g ∗ ◦ f ∗ ,

• Ist f invertierbar, so auch f∗ und f ∗ . • Auf Tensorprodukten wirken f∗ und f ∗ komponentenweise: f∗ (t⊗t0 ) = f∗ (t)⊗f∗ (t0 ) und f ∗ (t ⊗ t0 ) = f ∗ (t) ⊗ f ∗ (t0 ). Beweis: Einfach durch Anwenden der Definitionen.

5.2

2

Tensorfelder auf Mannigfaltigkeiten

Die in der multilinearen Algebra definierten R¨aume von Tensoren auf einem Vektorraum kann man an jedem Punkt m einer Mannigfaltigkeit M auf dem Tangentialraum Tm M betrachten und erh¨alt dadurch ein Vektorb¨ undel u undel der Tensoren. ¨ber M , das B¨ Bisher haben wir ja den Begriff des Vektorb¨ undels eher informell benutzt, deswegen sei hier zun¨achst eine pr¨azisere Definition angegeben: Definition 5.5 Sei Y = Rm ein m-dimensionaler Vektorraum und M eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Ein glattes m-dimensionales Vektorb¨ undel u ¨ber M ist eine glatte Mannigfaltigkeit E zusammen mit einer surjektiven glatten Abbildung π : E → M , bei der der Atlas von E aus Karten von der Form φ : E ⊃ π −1 U → U × Y , U ⊂ M offen, besteht und Kartenwechsel zus¨atzlich linear auf den Fasern sind: F¨ ur Karten φ, ψ −1 aus dem Atlas von E ist (ψ ◦ φ )(m, ·) : Y → Y eine lineare invertierbare Abbildung. Vektorb¨ undel sind also gerade so gemacht, daß man auf den Fasern Em := π −1 (m) eine Vektorraumstruktur hat, man kann addieren und mit Skalaren multiplizieren. Dar¨ uberhinaus kann man von faserweise linearen glatten Abbildungen sprechen, w¨ahrend man bei Mannigfaltigkeiten nur von glatten Abbildungen sprechen kann. Das wichtigste Vektorb¨ undel ist nat¨ urlich das Tangentialb¨ undel T M : F¨ ur Karten φ, ψ ˜ ψ˜ auf T M faserweiauf M waren die Kartenwechsel ψ˜ ◦ φ˜−1 der induzierten Karten φ, se linear. Dar¨ uberhinaus ist die Tangentialabbildung T f : T M → T N einer glatten Abbildung f : M → N sogar faserweise linear. 38

Nun ist ja der Tangentialraum Tm M an eine Mannigfaltigkeit ein Vektorraum, man kann also (r, s)-Tensoren auf diesem Raum betrachten. Die Menge all dieser Tensoren undel zu einem sei mit (Tsr )m M bezeichnet. Analog dazu, wie man das Tangentialb¨ Vektorraum-B¨ undel gemacht hatte, kann man auch diese R¨aume von Tensoren zu einem Vektorraum-B¨ undel vereinigen: Definition 5.6 Mit Tsr MSbezeichne das Vektorraum-B¨ undel u ¨ber M , das als Menge r die disjunkte Vereinigung m∈M (Ts )m M ist, und mit der Projektion auf den Fußpunkt m sowie mit dem Atlas aus Karten φ˜ ausgestattet sei, der von Karten φ auf M , deren Ableitung dφ und dem dualisierten dφ∗ induziert wird. Wie wir schon festgestellt hatten, bilden f¨ ur eine Karte x bei m die Vektoren ∂x∂ i |m eine Basis des Tangentialraumes Tm M . Die duale Basis von Tm M ∗ , dem Raum der linearen Abbildungen von Tm M nach R, bezeichnen wir mit dxi |m . Bemerkung 5.7 Die Symbole dxi |m bezeichnen nicht nur die duale Basis, sondern man kann sie auch direkt als Ableitung der i-ten Komponente der Karte x in m deutetn: Ist x : M → Rn eine Karte bei m, dann hatten wir ja dx(m) : Tm M → Rn als ur Kurven c durch m definiert und zu einem linearen Isomorphismus [c] 7→ dtd (x ◦ c)(0) f¨ gemacht. Konsequenterweise ist jede der Komponentenfunktionen dxi (m) eine Linearform auf Tm M . Diese Linearformen bilden sogar die duale Basis von Tm M ∗ . Denn die ¨ Aquivalenzklassen der Kurven xi durch m, die aus x−1 : Rn → M durch festhalten aller Komponenten bis auf die i-te Komponente entstehen, bilden die Basis von Tm M , und wegen x ◦ x−1 = IdM gilt dxi (m)([xj ]) = δij , so daß dxi (m) wirklich die duale Basis ist. ¨ Nach unseren Uberlegungen zur multilinearen Algebra bilden dann die Vektoren ∂ ∂ |m ⊗ · · · ⊗ ir |m ⊗ dxj1 |m ⊗ · · · ⊗ dxjs |m i 1 ∂x ∂x eine Basis von (Tsr )m M . Und analog dazu, wie Vektorfelder Schnitte des Tangentialb¨ undels waren, definieren wir nun Tensorfelder. Definition 5.8 Eine (r, s)-Tensor(feld) t auf M ist ein Schnitt des B¨ undels Tsr M , d.h. r jedem Punkt m ∈ M weist t einen Tensor tm ∈ (Ts )m M auf dem Tangentialraum Tm M am Punkt m zu. Kosequenterweise kann man einen Tensor t im Kartengebiet einer Karte x als t=

X i1 ,...,ir ,j1 ,...,js =1n

r tij11,...,i ,...,js ◦ x


∂ ∂ ⊗ · · · ⊗ ir ⊗ dxj1 ⊗ · · · ⊗ dxjs i 1 ∂x ∂x

r n schreiben mit reellwertigen Funktionen tij11,...,i ,...,js : R → R.

39

Beispiel: Bezeichnet x die identische Karte auf M := Rn , dann hat ein (r, s)-Tensorfeld nicht nur lokal, sondern sogar global die angegebene Form. So l¨aßt sich Pnbeispielswein se das Euklidische Skalarprodukt auf dem R als (0, 2)-Tensor durch i=1 dxi ⊗ dxi auffassen (die Koeffizienten sind δ ). Variiert man dagegen die Koeffizienten, z.B. ij Pn 1 n i=1 1+x2i dxi ⊗ dxi , so liefert dieses Tensorfeld zwar noch an jedem Punkt m ∈ R ein Skalarprodukt auf dem Tangentialraum Tm Rn , nicht mehr aber ein Skalarprodukt auf der Mannigfaltigkeit“ Rn . ” Transformation der Basis bei Koordinatenwechseln: Sind x, y zwei Karten bei m, dann hat der Tangentialvektor ∂x∂ i |m in den Koordinaten y die Darstellung n

X ∂yj ∂ ∂ | = |m j |m m i i ∂x ∂x ∂y j=1

.

In der Tat, ist f : M → R eine Funktion nahe m, dann gilt ∂f d d |m = (f ◦ xi )(0) = (f ◦ y −1 ◦ y ◦ xi )(0) = i ∂x dt dt n n X X d ∂yj ∂f d i j (yj ◦ x )(0) (f ◦ y )(0) = |m |m . dt dt ∂xi ∂y j j=1 j=1 Daher wissen wir nun, wie sich Basen von Tm M bei Koordinatenwechseln transformieren. Analog hat die duale Basis dxi |m in den Koordianten y die Darstellung n X ∂xi |m dyj |m . dxi |m = ∂y j j=1 Denn n X ∂xi j=1

∂y j

 |m dyj |m

∂ |m ∂xk



n X d d = (xi ◦ y j )(0) (yj ◦ xk )(0) = dt dt j=1

d d ∂xi (xi ◦ y −1 ◦ y ◦ xk )(0) = (xi ◦ xk )(0) = |m = δik dt dt ∂xk P ∂xi ∂ besagt, daß nj=1 ∂y j |m dyj |m genau dieselbe Wirkung auf die Basis ∂xk |m von Tm M hat wie dxi |m . Beispiel: Das Euklidische Skalarprodukt auf Rn+1 induziert durch Einschr¨ankung auf S n ⊂ Rn+1 einen (0, 2)-Tensor g auf S n . Wir wollen f¨ ur den einfachsten Fall n = 1 den Tensor g in Polarkoordinaten ausrechnen: Das Eukliische Skalarprodukt auf dem R2 mit Koordinaten (x, y) aufgefasst als (0, 2)Tensor ist dx ⊗ dx + dy ⊗ dy. In Polarkoordianten x = r cos(φ), y = r sin(φ), gilt ∂x ∂x dx = dr + dφ = cos(φ)dr − r sin(φ)dφ ∂r ∂φ ∂y ∂y dy = dr + dφ = sin(φ)dr + r cos(φ)dφ . ∂r ∂φ 40

Also gilt g = (cos(φ)dr − r sin(φ)dφ) ⊗ (cos(φ)dr − r sin(φ)dφ) + (sin(φ)dr + r cos(φ)dφ) ⊗ (sin(φ)dr + r cos(φ)dφ) =
2 cos (φ) + sin2 (φ) dr ⊗ dr + (cos(φ)(−r sin(φ)) + sin(φ)r cos(φ)) dr ⊗ dφ+
((−r sin(φ)) cos(φ) + r cos(φ) sin(φ)) dφ ⊗ dr + (−r sin(φ))2 + (r cos(φ))2 dφ ⊗ dφ = dr ⊗ dr + r2 dφ ⊗ dφ . ∂ Mit anderen Worten: ∂r hat die L¨ange Eins, senkrecht aufeinander.

∂ ∂φ

hat die L¨ange r, und

∂ , ∂ ∂r ∂φ

stehen

Insbesondere ist in Polarkoordinaten der auf S 1 induzierte (0, 2)-Tensor gerade dφ⊗dφ.

Beispiel: F¨ ur die hyperbolische Ebene H2 := {x| < x, x >M inkowski = −1} ⊂ R3 ist der vom Minkowski-Skalarprodukt auf R3 induzierte (0, 2)-Tensor sogar positiv definit (im Gegensatz zum Minkowski-Skalarprodukt). Tats¨achlich, in kartesischen Koordinaten gilt Tx H2 = {X ∈ R3 | < X, x >M inkowski = 0} bei x ∈ H2 , und aus < x, x >M inkowski = −1 folgt daher < X, X >M inkowski > 0 f¨ ur 2 0 6= X ∈ Tx H . 2 Man kann die hyperbolische Ebene   mittels der Einbettung γ : {x ∈ R | kxkEuklid < λ(x)r − 1 1} → R3 , γ(x) := , λ(x) := 1−kxk22 auch als Innere des Einheitsλ(x)x Euklid Kreises im R2 auffassen, die Metrik wird dann zu dem (0, 2)-Tensor, der in kartesischen 4 (dx ⊗ dx + dy ⊗ dy) gegeben ist. Koordinaten durch (1−k(x,y)k 2 )2 Euklid

Pullback und Pushforward: Mannigfaltigkeiten, so ist Tm f auch Tm f ∗ : Tf∗(m) N → Tm∗ M f∗ : T0r M → T0r N (genannt das

Ist f : M → N eine glatte Abbildung zwischen glatten : Tm M → Tf (m) N linear und man kann insbesondere bilden. Diese Abbildungen induzieren eine Abbildung Pushforward von (r, 0)-Tensoren) durch

tm 7→ ((β1 , . . . , βr ) 7→ tm (Tm f ∗ (β1 ), . . . , Tm f ∗ (βr )))

,

sowie eine Abbildung f ∗ : Ts0 N → Ts0 M (genannt das Pullback von (0, s)-Tensoren) durch tm 7→ ((X1 , . . . , Xs ) 7→ tm (Tm f (X1 ), . . . , Tm f (Xs ))) . Beispiel: Beschreibt die Mannigfaltigkeit M mit dem (0, 2)-Tensor g ein von elastischer Materie gef¨ ulltes Gebiet und ist f : M → N ein Diffeomorphismus, der eine Deformation der Materie beschreibt, dann heißt C := f ∗ g der Cauchy-Green Tensor der Deformation. C gibt an, wie sich L¨angen und Winkel unter der Deformation f ¨andern. 41

Existenz von Tensorfeldern mit bestimmten Eigenschaften: Ist M eine Mannigfaltigkeit, so kann man zwar lokal innerhalb eines Kartengebietes durch die Koordinatendarstellung Tensorfelder leicht definieren. Global auf der gesamten Mannigfaltigkeit ist es aber nicht einfach, Tensorfelder zu definieren, denn auf zwei sich u ¨berlappenden Kartengebieten m¨ ussen die Koordinatendarstellungen bzgl. der beiden Karten u ¨bereinstimmen. Insbesondere, wenn man zus¨atzliche Eigenschaften verlangt, ist die globale Existenz von Tensorfeldern mit diesen Eigenschaften nicht gesichert. Beispielsweise gilt Satz 5.9 Auf Sph¨aren gerader Dimension nimmt jedes Vektorfeld an mindestens einem Punkt den Wert 0 an. Also gibt es auf Sph¨aren gerader Dimension keine nirgendwo verschwindenden Vektorfelder. Nun gibt es aber Eigenschaften, bei denen die lokale Existenz auch die globale Existenz von Tensorfeldern mit der gew¨ unschten Eigenschaft impliziert. Definition 5.10 Eine Eigenschaft von Tensorfeldern heißt konvex, wenn mit t, t0 auch das Tensorfeld (1 − λ)t + λt0 f¨ ur λ ∈ (0, 1) diese Eigenschaft hat. Lemma 5.11 Existieren lokal in Kartengebieten Tensorfelder mit einer konvexen Eigenschaft, so existiert auch global ein Tensorfeld mit dieser Eigenschaft. Beweis: Seien ti : M ⊃ Ui → Tsr M |Ui lokal in Kartengebieten Ui gegebene Tensoren, die eine konvexe Eigenschaft besitzen. Sei i eine zu den Kartengebieten Ui subordinierte Zerlegung der Eins (Satz 2.13). P Dann ist t := i i ti ein global definiertes (r, s)-Tensorfeld und hat auch dieselbe konP vexe Eigenschaft wie jedes ti , denn die Summe i i ti ist eine Konvexkombination an jedem Punkt. 2 Korollar 5.12 Auf jeder Mannigfaltigkeit M gibt es ein symmetrisches und positiv definites (0, 2)-Tensorfeld g, genannt Riemansche Metrik. Beweis: W¨ahlt man im Gebiet Ui ⊂ M einer Karte xi : Ui → Rn als (0, 2)-Tensor gi = x∗ < ·, · >Euklid das von der Euklidischen Metrik induzierte Tensorfeld, so ist dieses positiv definit und symmetrisch. Positive Definitheit und Symmetrie sind dar¨ uberhinaus konvexe Eigenschaften. Also existiert nach dem vorigen Lemma auch global ein positiv definites und symmetrisches (0, 2)-Tensorfeld, d.h. eine Riemannsche Metrik auf M . 2 Dagegen gibt es nicht auf jeder Mannigfaltigkeit eine Lorentz-Metrik der vorgegebenen Signatur (− + + · · · +). Die Eigenschaft, solch eine Signatur zu haben, ist n¨amlich nicht konvex.

42

5.3

Die Lie-Ableitung

Es stellt sich die Frage, wie man Tensorfelder ableiten kann. Die Lie-Ableitung gibt die Antwort darauf. Wie beim Tangentialraum gibt es auch hier einen geometrischen und einen operationellen Zugang zur Lie-Ableitung, wir besch¨aftigen uns zun¨achst mit dem operationellen und nehmen dazu wieder an, daß M eine C ∞ -Mannigfaltigkeit ist. Definition 5.13 Die Lie-Ableitung LX f einer Funktion f : M → R in Richtung eines Vektorfeldes X : M → T M ist die Funktion m 7→ Xm f (wobei man hier den Tangentialvektor Xm an der Stelle m als Derivation auffasst). Definition 5.14 Die Lie-Ableitung LX Y eines Vektorfeldes Y in Richtung eines Vektorfeldes ist das Vektorfeld, das am Punkt m durch die Derivation [X, Y ]m f := X(Y f )(m)− Y (Xf )(m) gegeben ist. Nachzuweisen hat man dabei, daß [X, Y ]m wirklich eine Derivation ist, was aber direkt aus X(Y (f g)) − Y (X(f g)) = X(f Y (g) + gY (f )) − Y (f X(g) + gX(f )) = X(f )Y (g) + f X(Y (g)) + X(g)Y (f ) + gX(Y (f )) − Y (f )X(g) − f Y (X(g)) − Y (g)X(f ) − gY (X(f )) = f (X(Y (g)) − Y (X(g))) + g(X(Y (f )) − Y (X(G))) zu ersehen ist. Man bemerke, daß LX in dem Sinne lokal ist, daß (LX Y )|U = (LX Y 0 )|U f¨ ur alle Y, Y 0 gilt, die auf der offenen Menge U u ¨bereinstimmen. Denn [X, Y ]m h¨angt nur davon ab, wie X und Y nahe m definiert sind. Dar¨ uberhinaus hat LX die Derivationseigenschaften LX (f g) = f · (LX g) + g · (LX f ) und LX (f Y ) = (LX f ) · Y + f · (LX Y ), das letztere wegen [X, f Y ]g = X(f Y (g))−f Y (X(g)) = X(f )Y (g)+f (X(Y (g)))−f Y (X(g)) = X(f )Y (g)+f [X, Y ](g) Somit hat man die Lie-Ableitung LX von Funktionen und Vektorfeldern in Richtung eines vorgegebenen Vektorfeldes X definiert. Um LX auf beliebige (r, s)-Tensorfelder auszudehnen, verlangt man, daß LX eine Tensor-Derivation ist, d.h. LX (t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys )) = r X (LX t)(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys ) + t (α1 , . . . , LX αi , . . . , αr , Y1 , . . . , Yr ) + i=1 s X

t (α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , LX Yj , . . . , Yr )

j=1

erf¨ ullt, und lokal ist, d.h. (LX t)|U = (LX t0 )|U erf¨ ullt, wenn t und t0 auf der offenen Menge U u ¨bereinstimmen. Dies legt LX eindeutig fest. Beispielsweise erhalten wir aus LX (α(Y )) = (LX α)(Y ) + α(LX Y ), daß LX auf (0, 1)-Tensoren α durch (LX α)(Y ) = LX (α(Y )) − α(LX Y ) = X(α(Y )) − α([X, Y ]) gegeben ist. Wir halten fest: 43

Satz 5.15 Die Lie-Ableitung LX auf Tensorfeldern ist die eindeutige lokale TensorDerivation, die durch LX f = Xf auf Funktionen und LX Y = [X, Y ] auf Vektorfeldern gegeben ist. Als Konsequenz daraus, daß LX eine Tensor-Derivation ist, ergibt sich: Korollar 5.16 Es gilt LX (t ⊗ t0 ) = LX t ⊗ t0 + t ⊗ LX t0 . Beweis: Dies liest man direkt ab aus ((LX t)(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys ) +

r X

t(α1 , . . . , LX αi . . . , αr , Y1 , . . . , Ys )+

i=1 s X

t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , LX Yj , . . . , Ys )) · t0 (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )+

j=1

t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys ) · ((LX t0 )(αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )+ 0

r X

0

t0 (αr+1 , . . . , LX αr+i . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 ) +

i=1

s X

t0 (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , LX Ys+j , . . . , Ys+s0 )) =

j=1 0

LX (t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys )) · t (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )+ t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys ) · LX (t0 (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )) = LX (t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys )t0 (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )) = LX ((t ⊗ t0 )(α1 , . . . , αr+r0 , Y1 , . . . , Ys+s0 )) = (LX (t ⊗ t0 )) (α1 , . . . , αr+r0 , Y1 , . . . , Ys+s0 ) + ! r s X X t(α1 , . . . , LX αi . . . , αr , Y1 , . . . , Ys ) + t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , LX Yj , . . . , Ys ) · i=1

j=1 0

t (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 )+ t(α1 , . . . , αr , Y1 , . . . , Ys )· 0

r X

0

t0 (αr+1 , . . . , LX αr+i . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , Ys+s0 ) +

i=1

s X

! t0 (αr+1 , . . . , αr+r0 , Ys+1 , . . . , LX Ys+j , . . . , Ys+s0 )

j=1

2 Korollar 5.17 Es gilt LX δ = 0 f¨ ur das (1, 1)-Tensorfeld δ(α, Y ) = α(Y ), das man Kronecker’s Delta nennen k¨onnte, da δ(dxi , ∂x∂ j ) gerade 1 bei i = j und ansonsten 0 ist. Beweis: Es gilt LX (δ(α, Y )) = (LX δ)(α, Y ) + δ(LX α, Y ) + δ(α, LX Y ) , also (LX δ)(α, Y ) = LX (α(X)) − (LX α)(Y ) − α(LX Y ) = 0 nach der Definition der Lie-Ableitung auf (0, 1)-Tensorfeldern α. 44

2

Die Lie-Ableitung hat (im Gegensatz zu anderen lokalen Tensor-Derivationen) dar¨ uberhinaus die Eigenschaft, d¨as sie mit Pushforwards von Diffeomorphismen f kommutiert: f∗ (LX t) = Lf∗ X (f∗ t). Wegen f ∗ = (f −1 )∗ u ur ¨bertr¨agt sich dies auch auf Pullbacks. F¨ einen Beweis sei auf [AbrahamMarsdenRatiu, Proposition 6.3.5] verwiesen. P Die Lie-Ableitung in Koordinaten Ist x eine Karte bei m und X = ni=1 Xi ∂x∂ i mit Funktionen Xi : M → R, so ist die Lie-Ableitung einer Funktion f bei m gerade LX f =

n X

Xi

i=1

∂f ∂xi

,

und gilt f¨ ur das Vektorfeld Y bei m die Gleichung Y = LX Y =

n n X X i=1

∂Yi ∂Xi Xj j − Yj j ∂x ∂x j=1

Pn

i=1

!

∂ ∂xi

Yi ∂x∂ i , so ergibt sich .

Da LX eine Tensor-Derivation ist, ergeben sich daraus auch alle anderen Koordinatendarstellungen. So ist beispielsweise die Lie-Ableitung des (0, 1)-Tensorfeldes α = Pn i=1 αi dxi gegeben durch ! n n X X ∂Xj ∂αi LX α = Xj j + αj i dxi . ∂x ∂x i=1 j=1 Beispiel: Auf dem R2 ist die Lie-Ableitung in Richtung des Vektorfeldes   cos(x1 + x2 ) X : x 7→ sin(x1 x2 ) ∂f ∂f auf Funktionen durch LX f = cos(x1 + x2 ) ∂x ur die 1 + sin(x1 x2 ) ∂x2 gegeben, also z.B. f¨ 2 Funktion f (x1 , x2 ) = x1 + x1 x2 + 5x2 durch

LX f = (2x1 + x2 ) cos(x1 + x2 ) + (x1 + 5) sin(x1 x2 ) .

Beispiel: Seien auf einer 2-dimensionalen Mannigfaltigkeiten die Koordinaten x und y gew¨ahlt. Dann gilt   ∂ ∂ L∂ x ⊗ dx ⊗ ydy = ⊗ dx ⊗ ydy ∂x ∂y ∂y sowie  Lx ∂

∂y

∂ x ⊗ dx ⊗ ydy ∂y

 =

∂ ⊗ dx ⊗ (xdy + ydx) . ∂y

45

Beispiel: Ist g eine Riemannsche Metrik auf M , so heißt ein Vektorfeld X KillingVektorfeld, falls LX g = 0 gilt. P P Ist in Koordinaten X = ni=1 Xi ∂x∂ i und g = ni,j=1 gij dxi ⊗ dxj , so gilt LX g =

n X

(LX gij )dxi ⊗ dxj + gij (LX dxi ) ⊗ dxj + gij dxi ⊗ (LX dxj ) =

i,j=1 n X i,j=1

n X

∂Xk ∂Xk ∂gij + gik j Xk k + gkj i ∂x ∂x ∂x k=1

! dxi ⊗ dxj

,

Also sind genau die Vektorfelder X Killing-Vektorfelder, die n X k=1

Xk

∂gij ∂Xk ∂Xk + g + g =0 kj ik ∂xk ∂xi ∂xj

f¨ ur alle i, j erf¨ ullen.

Der geometrische Zugang zur Lie-Ableitung Ist X ein Vektorfeld, so erzeugt dies zumindest lokal einen Fluß Φ : R × M → M , den L¨osungsoperator zum Anfangswertproblems c˙ = X ◦ c, c(0) = m, d.h. die Kurve s 7→ Φs (m) ist die L¨osung dieses Anfangswertproblems. Nun ist jede der Abbildungen Φs : M → M zumindest f¨ ur kleine s und auf kompakten Mengen ein Diffeomorphismus, da Φ0 = IdM gilt und somit Φs f¨ ur kleine s eine kleine St¨orung des Diffeomorphismus IdM ist. Daher kann man das Pullback (Φs )∗ t eines Tensors t auf M bilden. Satz 5.18 Es gilt

d (Φs )∗ t ds

= (Φs )∗ LX t

Beweis: Es reicht, dies an der Zeit s = 0 zu zeigen, wir wollen also d s ∗ (Φ ) t|s=0 = LX t ds beweisen. Nun ist die linke Seite als Operator auf Tensoren g¨ unstigerweise eine lokale Tensor-Derivation, denn das Ableiten nach s hat die Derivations-Eigenschaft. Somit muß man nur noch nachweisen, daß die linke Seite mit der Lie-Ableitung auf Funktionen und Vektorfeldern u ¨bereinstimmt. Dies ist aber wahr wegen   d s ∗ d d s s (Φ ) f |s=0 = (f ◦ Φ )|s=0 = TΦs (·) f ◦ Φ (·) |s0 = ds ds ds TΦs (·) f ◦ (X ◦ Φs ) |s0 = T f ◦ X = Xf = LX f 46

f¨ ur Funktionen f und  
d d s ∗ (Φ ) Y |s=0 f = L(Φs )∗ Y (Φs )∗ ((Φ−s )∗ f ) |s=0 = ds ds

d s ∗ d (Φ ) LY (Φ−s )∗ f |s=0 = (Φs )∗ LY (Φ−s )∗ f |s=0 = ds ds  

d −s ∗ −s ∗ s ∗ LX LY (Φ ) f |s=0 + (Φ ) LY (Φ ) f |s=0 = ds LX (LY (f )) + LY (−LX (f )) = X(Y (f )) − Y (X(f )) = [X, Y ]f = (LX Y )(f ) f¨ ur Vektorfelder Y , aufgefasst als auf Funktionen f wirkende Derivationen.

2

Somit ist die Lie-Ableitung eines Tensors t in Richtung des Vektorfeldes X nichts weiter als die Ableitung von t in Richtung des von X erzeugten Flusses. Eine direkte Anwendung ist das folgende Korollar. Korollar 5.19 Killing-Vektorfelder auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit (M, g) sind genau die Vektorfelder, deren Fluß aus Isometrien besteht. d (Φs )∗ g = 0 und somit (Φs )∗ g = g Beweis: Genau die X mit LX g = 0, d.h. mit ds s ∗ sind Killing-Vektorfelder. Die Bedingung (Φ ) g = g besagt aber gerade, daß der von X erzeugte Fluß Φs die Riemannsche Metrik erh¨alt: Jede Abbildung Φs ist eine Isometrie. 2

5.4

Formen

(Differential-)Formen treten in vielf¨altiger Weise sowohl innerhalb der Mathematik als auch innerhalb der Physik auf. In diesem Abschnitt wollen wir einige Eigenschaften von Formen kennenlernen als auch den nat¨ urlichen Differentialoperator d, mittels dessen Hilfe man Formen ableiten kann. Die Ableitung d verallgemeinert dabei die Differentialoperatoren grad , rot sowie div auf dem R3 . Verwiesen sei hier auch schon auf das Kapitel 7, indem die Integration von k-Formen u ¨ber k-dimensionale Untermannigfaltigkeiten definiert wird. Definition 5.20 Eine k-Form ist ein schiefsymmetrischer (0, k)-Tensor. Genauer ist ein (0, k)-Tensor ω auf der Mannigfaltigkeit M schiefsymmetrisch und somit eine k-Form, wenn die durch ω an jedem Punkt m ∈ M gegebene k-lineare Abbildung ωm : TM × · · · × Tm M → R unter einer Vertauschung von zwei Komponenten ihr Vorzeichen wechselt, ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xk ) = −ω(X1 , . . . , Xj , . . . , Xi , . . . , Xk ) , oder ¨aquivalenterweise bei Einsetzen des gleichen Tangentialvektors in zwei Komponenten verschwindet ω(X1 , . . . , X, . . . , X, . . . , Xk ) = 0 1 . ¨ Beweis der Aquivalenz: ω(X1 , . . . , Xi + Xj , . . . , Xi + Xj , . . . , Xk ) = 0 gen ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xi , . . . , Xk ) = 0 und ω(X1 , . . . , Xj , . . . , Xj , . . . , Xk ) = 1

47

ist we0 a¨qui-

Dies kann man auch anders formulieren, n¨amlich mit Hilfe der Gruppe Sk von Permutationen auf der Indexmenge {1, . . . , k}. Jede Permutation σ ∈ Sk kann man n¨amlich als Produkt von Vertauschungen zweier Indizes schreiben. Die Anzahl der dabei ben¨otigten Vertauschungen ist entweder gerade oder ungerade, so daß man dadurch einen Gruppenhomomorphismus sign : Sk → {1, −1} = Z2 definieren kann als sign(σ) = 1, falls man zur Darstellung von σ eine gerade Anzahl von Vertauschungen ben¨otigt, und als sign(σ) = −1, falls man eine ungerade Anzahl von Vertauschungen ben¨otigt. Beispiel: Bezeichne (ij) die Vertauschung von i und j, und allgemeiner (i1 i2 . . . ik ) die Permutation, bei der i1 auf i2 , i2 auf i3 , . . . , und schließlich ik auf i1 u ¨bergeht, so ist die Permutation σ := (13) auf {1, 2, 3} ungerade, erf¨ ullt also sign(σ) = −1, w¨ahrend sich die Permutation σ 0 := (321) als σ 0 = (12)(13) schreiben l¨aßt, also gerade ist und somit sign(σ 0 ) = 1 erf¨ ullt. Ein (0, k)-Tensor t ist daher genau dann schiefsymmetrisch, wenn

t(Xσ(1) , . . . , Xσ(k) ) = sign(σ)t(X1 , . . . , Xk )

oder kurz t ◦ σ = sign(σ)t f¨ ur alle Permutationen σ ∈ Sk gilt. Beispiel: Da die Gruppe der Permutationen auf der leeren Menge und der einelementigen Menge trivial ist, ist jeder 0-Tensor, d.h. jede Funktion f : M → R, und jeder 1-Tensor, d.h. jeder Schnitt α : M → T M ∗ des Kotangentialb¨ undels, auch eine Form. P Beispiel: Ein (0, 2)-Tensor t, der in lokalen Koordinaten durch t = i,j tij dxi ⊗ dxj gegeben ist, ist genau dann eine 2-Form, wenn tij
= −tji und insbesondere tii = 0 gilt.
∂ ∂ ur alle i, j erf¨ ullen. Denn eine 2-Form muß t ∂xi , ∂xj = −t ∂x∂ j , ∂x∂ i f¨ Bezeichnet man die Menge der k-linearen schiefsymmetrischen Abbildungen Tm M ×· · ·× S k ∗ k ∗ Tm M → R mit Λ (Tm M ), dann wird die Vereinigung Λ (T M ) := m∈M Λk (Tm M ∗ ) wie schon zuvor das Tensorb¨ undel Tsr M ein Vektorraumb¨ undel u ¨ber M , indem man k ∗ Λ (T M ) mit den von Karten φ auf M und ihren Ableitungen dφ induzierten Koordinaten versieht. Dies erlaubt einem, Formen als Schnitte von Λk (T M ∗ ) zu interpretieren. Zu jedem (0, k)-Tensor t kann man eine k-Form durch

Alt(t)(X1 , . . . , Xk ) =

1 X sign(σ)t(Xσ(1) , . . . , Xσ(k) ) k! σ∈S k

valent zu ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xk ) + ω(X1 , . . . , Xj , . . . , Xi , . . . , Xk ) ω(X1 , . . . , Xi , . . . , Xj , . . . , Xk ) = −ω(X1 , . . . , Xj , . . . , Xi , . . . , Xk )

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=

0,

d.h.

zu

definieren, die die Alternation von t genannt wird. Tats¨achlich ist Alt(t) eine k-Form, denn wegen sign(σ 2 ) = sign(σ)2 = 1 gilt die Gleichung (Alt(t) ◦ σ) (X1 , . . . , Xk ) = Alt(t ◦ σ)(X1 , . . . , Xk ) = 1 X sign(ρ)t(Xρσ(1) , . . . , Xρσ(k) ) = k! ρ∈S K 1 X sign(σ) sign(ρσ)t(Xρσ(1) , . . . , Xρσ(k) ) = k! ρ∈S K X 1 sign(σ) sign(ρ)t(Xρ(1) , . . . , Xρ(k) ) = sign(σ) Alt(t)(X1 , . . . , Xk ) , k! ρ∈S K

d.h. Alt(t)◦σ = sign(σ) Alt(t). Da außerdem f¨ ur jede k-Form ω offensichtlich Alt(ω) = ω gilt, projeziert Alt also (0, k)-Tensoren auf k-Formen. W¨ahrend das Tensorprodukt ω ⊗ ω 0 einer k-Form ω und einer k 0 -Formen ω 0 im allgemeinen nur einen (0, k + k 0 )-Tensor liefert 2 , ist Alt(ω ⊗ ω 0 ) selbst wieder eine (k + k 0 )-Form. Daher definiert (k + k 0 ) Alt(ω ⊗ ω 0 ) ω ∧ ω 0 := k!k 0 ! ein Produkt auf dem Raum der Formen, genannt das Dachprodukt. 0

Lemma 5.21 Das Dachprodukt ∧ ist bilinear und erf¨ ullt ω ∧ ω 0 = (−1)kk ω 0 ∧ ω f¨ ur 0 0 eine k-Form ω und eine k -Form ω . Beweis: ⊗ ist bilinear und Alt ist linear, deshalb ist auch ∧ bilinear. Desweiteren folgt mit der Permutation σ(1, . . . , k + k 0 ) := (k + 1, . . . , k + k 0 , 1, . . . , k), 0 die das Vorzeichen sign(σ) = (−1)kk hat, aus den Gleichungen α ⊗ α0 = (α0 ⊗ α) ◦ σ 0 und A(t ◦ σ) = sign(σ)A(t) auch Alt(α ⊗ α0 ) = (−1)kk Alt(α0 ⊗ α), was zu zeigen war. 2 Satz 5.22 Eine Basis von Λk (Tm M ∗ )
ist dxi1 |m ∧ · · · ∧ dxik |m , 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n.
Insbesondere ist dim Λk (Tm M ∗ ) = nk . Beweis: Eine Basis von (Tk0 )m M ist dxi1 |m ⊗ · · · ⊗ dxik |m , i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n} beliebig. Da Alt auf die k-Formen projeziert und dabei bis auf einen Faktor ∧ = Alt ◦⊗ sowie Alt(t ◦ σ) = sign(σ) Alt(t) f¨ ur jede Permutation σ ∈ Sk erf¨ ullt, bilden diejenigen Elemente dxi1 |m ∧ · · · ∧ dxik |m eine Basis von Alt((Tk0 )m M ) = Λk (Tm M ), bei denen man nur noch
geordnete Tupel von Indizes 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n zul¨aßt. Dies sind offenbar genau nk Elemente. 2 F¨ ur eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit M ist somit Λk (Tm M ∗ ) bei k > n der Nullvektorraum. Insbesondere ist im Gegensatz zur mit dem Tensorprodukt ausgestatteten Algebra der kovarianten Tensoren, die an jedem Punkt m ∈ M der unendlichdimenP∞ 0 sionale Raum k=0 (Tk )m M ist, die mit dem Dachprodukt ausgestattete Algebra der 2

Beispielsweise gilt f¨ ur ω = dx1 nat¨ urlich ω ⊗ ω = dx1 ⊗ dx1 . Daher ist ω11 = 1 und nicht identisch Null, wie es f¨ ur eine 2-Form eigentlich sein m¨ ußte.

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P Formen Λ(Tm M ∗ ) := nk=0 Λk (Tm M ∗ ) an jedem Punkt m ∈ M ein endlichdimensionaler die ¨außere Algebra auf Tm M . Genauer hat Λ(Tm M ∗ ) die Dimension
genannt PnRaum, n n k=0 k = 2 . Beispiel: Eine n-Form ω auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit M , die bei jedem m ∈ M ungleich Null ist, d.h. ω(X1 , . . . , Xn ) 6= 0 f¨ ur linear unabh¨angige X1 , . . . , Xn ∈ Tm M erf¨ ullt, heißt Volumenform auf M . Nicht auf jeder Mannigfaltigkeit M existiert eine Volumenform, ungleich Null zu sein ist keine konvexe Eigenschaft. Bei Existenz einer Volumenform heißt M orientierbar. Da Λn (Tm M die Dimension 1 hat, l¨aßt sich mit einer Volumenform ω jede andere n-Form ω 0 als ω 0 = ρω mit einer Funktion ρ : M → R schreiben, genannt Dichte. F¨ ur M = Rn ist die Eindimensionalit¨at von Λn (Tm M ) gerade der bekannte Satz, daß es genau eine schiefsymmetrische n-lineare Abbildung det mit det(En ) = 1 gibt, die Determinante. Hierbei interpretiert man die Einheitsmatrix als das n-Tupel der Einheitsvektoren (e1 , . . . , en ). Lemma 5.23 F¨ ur eine 1-Form θ und eine k-Form α gilt θ ∧ α = 0 genau dann, wenn es eine (k − 1)-Form β mit α = θ ∧ β gibt. Beweis: Einerseits folgt aus θ ∧ θ = 0 nat¨ urlich θ ∧ α = θ ∧ θ ∧ β = 0. ∗ Gilt andererseits Pθ ∧ α = 0, dann w¨ahle eine Basis dxi von Tm M mit dx1 = θ und stelle α dar als i1