Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen Vom Fachbereich Maschinenbau an der Technischen...

Author: Marc Gugau

43 downloads 1079 Views 8MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen Vom Fachbereich Maschinenbau an der Technischen Universität Darmstadt zur Erlangung des Grades eines Doktor-Ingenieurs (Dr.-Ing.) genehmigte

Dissertation vorgelegt von Dipl.-Ing. Marc Gugau aus Eberbach

Berichterstatter: Mitberichterstatter: Tag der Einreichung: Tag der m¨ undlichen Pr¨ ufung:

Prof. Dr.-Ing. B. Stoffel Prof. Dr. rer. nat. M. Schäfer 01.12.2003 20.01.2004

Darmstadt 2004 D 17

Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik der Technischen Universität Darmstadt zwischen Dezember 1998 und November 2003. Die Thematik war eingebunden in das von der Deutschen Forschungsgemeinschaft unterst¨ utzte Graduiertenkolleg Modellierung und ” numerische Beschreibung technischer Strömungen“ , dem ich als Kollegiat angehören durfte. An erster Stelle gilt mein herzlicher Dank Herrn Prof. Dr.-Ing. B. Stoffel, Leiter des Fachgebietes Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik, f¨ ur die Anregung zu dieser Arbeit, deren Fortgang er jederzeit kritisch und wohlwollend unterst¨ utzt und zu deren Gelingen er durch zahlreiche wertvolle fachliche Diskussionen wesentlich beigetragen hat. Herrn Prof. Dr. rer. nat. M. Schäfer, Leiter des Fachgebietes Numerische Berechnungs¨ verfahren im Maschinenbau, möchte ich f¨ ur die bereitwillige Ubernahme des Koreferates sowie die kritische Durchsicht der Arbeit danken. Herrn Prof. Dr.-Ing. R. Schilling, Leiter des Lehrstuhls f¨ ur Fluidmechanik an der TU M¨ unchen, gilt mein Dank f¨ ur die freundliche Bereitstellung des Navier-Stokes Programms NS3D im Quellcode, wodurch wichtige Teile der vorliegenden Arbeit erst ermöglicht wurden. Mein besonderer Dank gilt seinem Mitarbeiter, Herrn Dr.-Ing. Romuald Skoda, f¨ ur seine stete fachliche Unterst¨ utzung und große Hilfsbereitschaft in allen Fragen zum Code. Allen meinen Kolleginnen und Kollegen während meiner gesamten Zeit am Fachgebiet darf ich f¨ ur die ausgesprochen gute Zusammenarbeit und die hervorragende Arbeitsatmosphäre danken. Besonderer Dank geb¨ uhrt den Herren Dr.-Ing. Alberto Tamm und Dipl.-Ing. Stephan Meschkat f¨ ur die Bereitstellung ihrer experimentellen Daten sowie die damit verbundenen zahlreichen fachlichen Diskussionen, die ich sehr zu schätzen weiß, sowie meinen Studien- und Diplomarbeitern f¨ ur ihren unterst¨ utzenden Einsatz.

Hiermit versichere ich an Eides statt, die vorliegende Arbeit selbständig und nur unter Verwendung der genannten Hilfsmittel angefertigt zu haben.

Marc Gugau

Darmstadt, 28. November 2003

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen und Abk¨ urzungen

iii

Abbildungsverzeichnis

ix

Tabellenverzeichnis

xii

1. Einleitung 1.1. Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Stand des Wissens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Zielsetzung und Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2 5

2. Fehler bei CFD f¨ ur Turbomaschinen 8 2.1. Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2. Modellierungsfehler bei Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3. Numerikfehler bei Turbomaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Beschreibung turbulenter Str¨ omungen 3.1. Erhaltungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Ansätze zur Turbulenzbeschreibung . . . . . . . . . . . 3.3. Statistische Turbulenzmodelle - RANS“ . . . . . . . . ” 3.3.1. Reynoldsmittelung und Modellierungsansätze . 3.3.2. RANS-Modelle und Instationarität - URANS“ ” 3.3.3. Lineare Wirbelviskositätsmodelle . . . . . . . . 3.3.4. Erweiterte Wirbelviskositätsmodelle . . . . . . . 3.4. Wandbehandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Sekundärströmungen, Rotation, Stromlinienkr¨ ummung 4. Numerik 4.1. Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Anfangs- und Randbedingungen . . . . . . 4.4. Gittergenerierung . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Implementierung des KC-Turbulenzmodells

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . in NS3D

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . .

18 18 21 23 23 28 29 38 42 44

. . . . .

47 48 52 54 56 57

5. Validierung der Turbulenzmodelle 5.1. Rechteckkanal mit 180◦ -Kr¨ ummer . . . 5.2. Drallströmung in Modellbrennkammer 5.3. Asymmetrischer Diffusor . . . . . . . . 5.4. R¨ uckspringende Stufe . . . . . . . . . . 5.5. Bewertung der Validierungsergebnisse .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

60 61 63 65 67 69

6. Modellbildung der Pumpen 70 6.1. Laufrad einer nS 28 Radialpumpe mit Ringdiffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. nS 20-Radialpumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgehäuse . . . . . . . . . . . . . . 74 6.3. nS 26-Radialpumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgehäuse . . . . . . . . . . . . . 79 7. Bestimmung von Kennlinien 7.1. Bestimmung integraler Größen bei Kreiselpumpen 7.2. Laufradkennlinien der nS 28 Radialpumpe . . . . . 7.3. Kennlinien der nS 20 Radialpumpe . . . . . . . . . 7.3.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung . . 7.3.2. Einfluss des Turbulenzmodells . . . . . . . 7.4. Kennlinien der nS 26 Radialpumpe . . . . . . . . . 7.4.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung . . 7.4.2. Einfluss des Turbulenzmodells . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

83 83 87 92 92 96 102 102 105

8. Analyse innerer Str¨ omungsvorg¨ ange 108 8.1. Strömungsprofile der nS 28 Radialpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2. Strömung an den Laufradaustritten der Gesamtpumpen . . . . . . . . . . . . . . 112 8.3. Strömung in den Messebenen der Gesamtpumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 9. Zusammenfassung und Ausblick

140

ANHANG

140

A. Validierung der Turbulenzmodelle 143 ◦ A.1. Rechteckkanal mit 180 -Kr¨ ummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 A.2. Asymmetrischer Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 B. Kennlinien und Wirkungsgrade

145

C. Str¨ omungsprofile im Diffusor nS 28

146

D. Laufradkanalaustritt nS 20 und nS 26

147

E. Messebene der Pumpen nS 20 und nS 26 150 E.1. Wechselwirkungen Laufradkanal-Messebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 E.2. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD/EXP nS 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 ” E.3. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD nS 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 ” i

Literaturverzeichnis

156

ii

Formelverzeichnis und Abku ¨rzungen Lateinische Buchstaben A

Koeffizientenmatrix

A

Flächeninhalt [A] = m2 / Eintrag in Koeffizientenmatrix

a

Schallgeschwindigkeit [a] =

~a

Beschleunigung [~a] =

aij

Anisotropietensor

b2

Laufradaustrittsbreite [b] = m

C1 - C 7

Modellkoeffizienten LCL-Modell [58]

Cµ ,C²1 ,C²2

Modellkoeffizienten im k-²-Modell [55]

m s

m s2

Cµf ,Cp1 ,Cp2 ,Cp2 ,... Modellkoeffizienten im KC-Modell [49] Cf

Wandschubspannungskoeffizient

Cp

Wanddruckbeiwert

CpR

Druckr¨ uckgewinnungsfaktor im Diffusor

~c

Absolutgeschwindigkeit (Vektor) [~c] =

cr

Radialkomponente der Absolutgeschwindigkeit

cu

Umfangskomponente der Absolutgeschwindigkeit

cax

Axialkomponente der Absolutgeschwindigkeit

cp

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck [cp ] =

cv

spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen [cv ] =

D

Durchmesser [D] = m

E

Deformationsgeschwindigkeitstensor in Symbolschreibweise

E F

m s

J kgK J kgK

Mittelpunkt des Kontrollvolumens im Osten der betrachteten Zelle C

/F

D

konvektive / diffusive Fl¨ usse

f1 ,f2 ,fµ

Low-Reynolds-Koeffizienten im k-²-Modell [58]

g

Ortsbeschleunigung [g] =

H

Förderhöhe [H] = m

Hv

Förderhöhenverlust [Hv ] = m

h

Enthalpie [h] =

I

Einheitstensor in Symbolschreibweise

m s2

J kgK

iii

m2 s2

k ~k

turbulente kinetische Energie [k] = Volumenkräfte [~k] = N3

L M

charakteristisches Längenmass [L] = m Moment [M ] = N m

m ˙

Massenstrom [m] ˙ =

n

Drehzahl [n] =

~n

Normalenvektor

P

Leistung [P ] =

Pk

Produktion turbulenter kinetischer Energie

p

Statischer Druck [p] = P a

p0 oder ptot

Totaldruck [p0 ] = P a

Q

Volumenstrom einer Pumpe [Q] =

R

allgemeine Gaskonstante R =

r

Radius [r] = m

~r

Ortsvektor im beschleunigten Bezugssystem

S

Quelle

Sij

Deformationsgeschwindigkeitstensor

s

Axialposition im Radialdiffusor [s] = m

s0

Breite des Radialdiffusors

T T

charakteristisches Zeitmass [T ] = s Spannungstensor in Symbolschreibweise [T] =

t

Zeit [t] = s

U u+

charakteristisches Geschwindigkeitsmass [U ] = ms dimensionslose wandtangentiale Geschwindigkeit

uτ

Wandschubspannungsgeschwindigkeit [uτ ] =

u2

Umfangsgeschwindigkeit am Laufradaustrtitt [u2 ] =

~u, ui

Geschwindigkeitsvektor allgemein [~u] =

ui uj · ρ V˙

Reynoldsspannungstensor [ui uj · ρ] =

w, ~ wi

Relativgeschwindigkeit (Vektor) [w] ~ =

~x, xi

Ortsvektor im Inertialsystem

x, y, z

kartesische Raumrichtungen im Inertialsystem

x/H

dimensionslose Lauflänge

y

Wandnormalenrichtung

y z

m

+

Volumenstrom

kg s

1 s Nm s

/ Mittelpunkt des Kontrollvolumens

m3 s J 287.1 kgK

m3 s

iv

·

kg m3

m s

dimensionsloser Wandnormalenabstand Schaufelanzahl

m s

m s

m2 s2

N m2

m s

Griechische Buchstaben α

Abströmwinkel / Unterrelaxationsfaktor

β

Partitionsgrenze im KC-Modell

Γ

Diffusionskoeffizient

δij

Kronecker-Delta

ε

Dissipationsrate [²] =

εij

Dissipationsterm in der Transportgleichung des Reynolds-Spannungs-Tensors

²ijk

Permutationstensor

η

Wirkungsgrad

µ

molekulare oder dynamische Viskosität [µ] =

ν

kinematische Viskosität [ν] =

νt

turbulente Wirbelviskosität [νt ] =

ρ

Dichte [ρ] =

σk ,σ²

Modellkonstanten im k-²-Modell

σkp ,σkt ,σ²p ,σ²t

Modellkonstanten im KC-Modell

τij

Spannungstensor in Indexnotation

τW

Wandschubspannung [τW ] =

φ

skalare Strömungsvariable oder Laufraddrehwinkel

Φ

Spiralumfangswinkel

ψ0

Druckzahl

ψth

theoretische Druckzahl

ω

turbulente Dissipationsrate oder Drehfrequenz [ω] =

Ωij ~ Ω

Rotationsgeschwindigkeitstensor

ωred

reduzierte Frequenz

m2 s3

m2 s m2 s

kg m3

N m2

1 s

~ = Winkelgeschwindigkeit eines rotierenden Bezugssystems [Ω]

Subskripte 1 2 A a amb ax d E e

kg ms

Laufradeintritt Laufradaustritt Bilanzebene am Austritt einer Pumpe Absolutkomponente Umgebung Axialkomponente deterministisch Bilanzebene am Eintritt einer Pumpe Ostseite eines Kontrollvolumens v

1 s

ef f F G h / hyd i i, j, k, l in K KL La ME max mech min N out P p r ref rsr S Sp sek t th tot / 0 u vol W

effektiv Fluid auf die Gesamtpumpe bezogen hydraulisch auf das innere der Pumpe bezogen Zählindex Eintrittsrand des CFD-Rechengebietes Kolmogorov Kato-Launder bez¨ uglich des Laufrades bez¨ uglich der Messebene maximal mechanisch minimal Nennbetriebszustand / Knotenanzahl / Nabe Austrittsrand des CFD-Rechengebietes Mittelpunkt der wandnächsten Zelle Produktionsbereich im KC-Modell Radialkomponente Referenzstelle Radseitenraum Saugmund bez¨ uglich der Spirale sekundär turbulent / Dissipationsbereich im KC-Modell / translatorisch theoretisch Totalgröße Umfangskomponente volumetrisch Wand bei Strömungsvariable / Welle bei Moment

Superskripte φ0 φ∗ φn φm φneu

Schwankungsgröße / Korrekturgröße vorläufige Größe / Zeitgröße als Ortsgröße dargestellt Größe zum Zeitschritt n Größe zum Iterationsschritt m Größe zum neuen Iterationsschritt

vi

Symbole φ¯ φ φ˜ ∆φ / δφ D φ Dt ∂ φ ∂t dV dS £ ∇

gemittelte Größe Orts- und zeitgemittelte Größe modifizierte Größe / zeitperiodische Größe Differenz Materielle Ableitung Partielle Ableitung Volumenintegral Flächenintegral Auswerteoperator Nabla-Operator

Kennzahlen ∆t CF L = v ∆x

Ma = Re =

c a U ·L ν

nS = n N ·

Courant-Friedrichs-Levy-Zahl Machzahl Reynoldszahl

0.5 QN 0.75 HN

spezifische Drehzahl [nS ] =

1 min

Abku ¨rzungen AB AIAA AiF ATL BEP BP CDS CFL CFD DGL DNS DS / SS ERCOFTAC EVM FR FVM HOT

Turbulenzmodell nach Abid [1] American Institute of Aeronautics and Astronautics Arbeitsgemeinschaft industrieller Forschungsvorhaben Abgasturbolader Best Efficiency Point, optimaler Betriebspunkt einer Pumpe Betriebspunkt einer Pumpe Central Differencing Scheme Courant-Friedrichs-Levy Computational Fluid Dynamics Differentialgleichung Direkte Numerische Simulation Druckseite / Saugseite (des Pumpenlaufradkanals) European Research Community on Flow, Turbulence and Combustion Eddy Viscosity Modell, LEVM / NLEVM Linear∼ / Nonlinear∼ Frozen Rotor Finite Volumen Methode Higher Order Terms vii

IAHR KA KC KV LCL LES LDV LowRe / LR LU ME MINMOD MP MPI NS3D QUICK RANS RB RKE RNG RRF RSM RSR RST SM / TR SP SIMPLE SIP SKE SST TFA TKE ¨ TL / UL TM UDS URANS VDMA WG WF

International Association of Hydraulic Research Laufradkanal mehrskaliges k-²-Turbulenzmodell nach Kim und Chen Kontrollvolumen nichtlineares k-²-Turbulenzmodell nach Lien, Chen und Leschziner Large Eddy Simulation Laser-Doppler-Velocimetrie Low Reynolds Number Lower Upper Messebene Diskretisierungsverfahren nach Harten [34] Mixing Plane Message Passing Interface Navier-Stokes 3 Dimensional Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics Reynolds-Averaged-Navier-Stokes Randbedingungen Realizable-k-² - Turbulenzmodell Renormalization-Group - Turbulenzmodell Rotating Reference Frame Reynoldsspannungsmodell Radseitenraum Reynoldsspannungstensor Sliding-Mesh, bzw. transiente Laufrad-Spirale Kopplung Staupunkt der Laufradschaufel Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Strongly Implicit Procedure Standard-k-² - Turbulenzmodell Shear-Stress-Transport - Turbulenzmodell Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik Turbulente Kinetische Energie ¨ Teillast / Uberlast (Betriebszustände einer Pumpe) Turbulenzmodell Upwind Differencing Scheme Unsteady Reynolds-Averaged-Navier-Stokes Verband Deutscher Maschinen- und Anlagenbau Wirkungsgrad Wandfunktion

viii

Abbildungsverzeichnis

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6.

Ursachen und Einteilung von Fehlern bei CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kopplung zwischen Laufrad und Spiralgehäuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modellierung eines einzelnen Laufradkanals ohne Kopplung . . . . . . . . . . . Modellierung der Laufrad-Spiralgehäuse Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode Rechengitter nS 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Werte (links) und Richardson-Extrapolation (rechts) . . . .

. . . . . .

9 11 13 14 16 17

3.1. Energiespektrum (links) und Modellvariablen nach Kim und Chen [49] (rechts) 28 3.2. Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.1. Entwicklungsfelder Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2. Kontrollvolumen und Notation eines dreidimensionalen kartesischen strukturierten Gitters (West, East, North, South, Bottom, Top) . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3. Schematischer Ablauf eines sequentiellen Lösungsalgorithmus . . . . . . . . . . . 53 5.1. Schema des Rohrkr¨ ummers und typisches Strömungsbild . . . . . . . . . . . . 5.2. Druckbeiwerte Cp beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite . . . . . . . 5.3. Schubspannungskoeffizient Cf beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite 5.4. Cµ -Faktor Kanalkr¨ ummer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Stromlinien bei Brennkammer Drallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Rezirkulation und Axialgeschwindigkeit bei Drallströmung . . . . . . . . . . . 5.7. Cµ -Faktor Drallströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. Stromlinien beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Begrenzung des Ablösegebietes beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . 5.10. Koeffizienten Cp und Cf beim asymmetrischen Diffusor an unterer Seite . . . . 5.11. Typisches Strömungsbild und Rechengitter (Jeder 5. Gitterknoten) . . . . . . 5.12. Begrenzung des Ablösegebietes bei r¨ uckspringender Stufe . . . . . . . . . . . . 5.13. Koeffizienten Cp und Cf bei r¨ uckspringender Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14. Rechenzeitvergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

61 61 62 62 63 64 64 65 65 66 67 68 68 69

6.1. Pumpe frei abströmend in schaufellosen Ringdiffusor (links) nach Aysheshim [3] und modelliertes Rechengebiet (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2. Blocktopoloie nS 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.3. Modellierte Diffusorbreite und zugehöriges WF-Rechengitter im Bereich Schaufelhinterkante f¨ ur beide Rechengebiete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ix

6.4. Rechengitter im Bereich Schaufelvorderkante links f¨ ur Wandfunktionen, mitte und rechts f¨ ur LowRe-Wandbehandlung . . . . + 6.5. Dimensionsloser Wandabstand y bei Q/QN = 1.2 mit WF (links) und LR (rechts) entlang Schaufelsehnenlänge an DS und SS . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Versuchspumpe nS 20: Pr¨ ufstand, 3D-CAD Modell und CFD-Domain . . . . . . 6.7. Geometriedaten der Radialpumpe nS 20 f¨ ur CFD-Modellierung . . . . . . . . . . 6.8. Rechengitter im Bereich Spiralsporn (links), Laufradhinterkante (mitte) und Laufradvorderkante (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9. Blocktopologie des Rechengitters der Radialpumpe nS 20 mit RSR . . . . . . . . 6.10. Versuchspumpe nS 26: Pr¨ ufstand, 3D-CAD-Modell und CFD-Domain . . . . . . 6.11. Rechengitter im Bereich Laufradvorderkante, -hinterkante und Spiralsporn . . . 6.12. Geometriedaten der Radialpumpe nS 26 f¨ ur CFD-Modellierung und Einteilung der Fluid-Zonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. 7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9.

Druckzahlen auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2 . . . . . . . . . . . . . . Laufradwirkungsgrade auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2 . . . . . . . . Druckzahlen auf Gittern WF-1 und LR-2 - Einfluss der Wandbehandlung . . . . Druckzahlen auf Gittern WF-3 und LR-4 - Einfluss der Wandbehandlung . . . . Mi ns 28-Laufradkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor, Gitter 1/3 (Tab.6.2) . . . . . . . . Förderhöhe und inneres Moment nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE . . . . . . Sekundärwirkungsgrade nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE . . . . . . . . . . . Hydraulische Wirkungsgrade nS 20-Pumpe (RKE), berechnet in ME (links) und Laufradaustritt R2 (rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.10. Innerer Wirkungsgrad nS 20-Pumpe, Vergleich SM und FR (links) und Vergleich verschiedener Berechnungsmethoden aus transienten Ergebnissen (rechts) . . . . 7.11. Förderhöhe nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . 7.12. Inneres Moment nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . 7.13. Innerer Wirkungsgrad aus Moment nS 20-Pumpe, FR/SM, verschiedene TM . . . 7.14. ηh aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.15. Innerer Wirkungsgrad aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM . . . . . . . . . . . . . 7.16. Förderhöhe und inneres Moment ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.17. ηsek ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.18. Laufrad-Druckzahlen ψ0 und ψth transient ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . 7.19. Innere Wirkungsgrade ns 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.20. Kennlinien ns 26-Pumpe, Parameter Turbulenzmodell und Kopplungsart . . . . .

73 74 74 75 76 78 79 80 81 88 89 89 90 90 91 93 94 94 95 97 97 98 100 100 103 103 104 105 106

8.1. Strömungsprofile cr /u2 , cu /u2 und T u der ns 28-Pumpe in der Messebene . . . . 108 8.2. Strömung um Schaufelvorderkante bei Q/QN = 1.0 mit SKE-WF (links) und SKE-LR (mitte und rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 8.3. Druckbeiwert Cp bei Q/QN = 1.2 entlang Schaufelsehnenlänge an DS und SS und Umströmung der Schaufelhinterkante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 x

8.4. Feld der Faktoren Cµ und β bei Q/QN = 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Kanalbezeichnung und Massenströme durch Laufradkanal nS 20-Pumpe . . . . . 8.6. Massenströme durch Laufradkanäle nS 20-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7. FR-Varianten nS 20-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8. Kanalbezeichnung und Massenströme durch Laufradkanal nS 26-Pumpe . . . . . 8.9. Massenströme durch Laufradkanäle nS 26-Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10. Schwankung des Kanalmassenstroms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.11. Strömungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . . 8.12. Sekundärströmungen im Spiralquerschnitt der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . 8.13. Sekundärströmung am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . 8.14. Strömungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . . 8.15. Sekundärströmungen im Spiralquerschnitt der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . 8.16. Sekundärströmung am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . 8.17. Typisches Strömungsfeld am Laufradaustritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.18. Strömungsprofile in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 . . . . . . . . 8.19. Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe . . . . . . . . 8.20. Mittlere Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 26-Pumpe . . . . 8.21. Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe . . . . . . . . 8.22. Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 20-Pumpe . . . . . . . . . 8.23. Querschnittsverlauf der nS 20-Spirale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.24. Wechselwirkungen der Radialkomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) . . . . . . . 8.25. Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) . . . . . . 8.26. Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 1.3) . . . . . . 8.27. Geschwindigkeitsfeld CFD der nS 26-Pumpe, ortsfest“ Φ = 0◦ und zeitfest“ ” ” φ = 24◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.28. Radialgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 26-Pumpe ortsfest“ Φ = 0◦ . . . . . . . ” 8.29. Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 . . . . . . . . . . 8.30. Absolutgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 20-Pumpe ortsfest“ an Φ = 270◦ . . . ” 8.31. Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 . . . . . . . . . .

xi

111 112 113 114 115 116 116 117 118 120 120 121 122 123 125 126 127 128 129 129 131 131 132 134 135 136 137 138

Tabellenverzeichnis

2.1. Einzelgitter f¨ ur Gitterunabhängigkeitsstudie der Radialpumpe nS 26 . . . . . . . 16 3.1. 3.2. 3.3.

Modellkoeffizienten und Dämpfungsfunktionen von k-²-Modellen . . . . . . . . . 32 Modellkoeffizienten LCL-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ¨ Ubersicht der Anwendung von Turbulenzmodellen auf Pumpentestfälle . . . . . 46

4.1. Beiträge zu Koeffizientenmatrix und Quelltermvektor . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.1. Länge des Ablösegebietes beim asymmetrischen Diffusor . . . . . . . . . . . . . 66 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7.

Maschinendaten, Versuchsparameter und Meridianschnitt nS 28 . . . . . . . . . . Gittergrößen Radialpumpe nS 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 20 . . . . . . . . . Gittergröße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 20 Aufteilung und maximale Blockgröße pro Zone der nS 20 Radialpumpe . . . . . . Gittergröße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 26 Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 26 . . . . . . . . .

71 73 76 77 77 81 82

8.1. Einschwingweg der Kanalströmungsfelder längs Spiralumfang in Kanalumfangslängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

xii

1

1. Einleitung 1.1. Einfu ¨hrung Die Strömung in Turbomaschinen ist generell durch eine hohe Komplexität gekennzeichnet. Einfl¨ usse von Rotation, Druckgradient, Instationarität, Turbulenz, möglicher Mehrphasigkeit bei hydraulischen Maschinen sowie Instabilitäten bei extremen Lastzuständen machen eine genaue Vorhersage der Strömung zu einer sehr anspruchsvollen Aufgabe. Aus diesem Grund waren die Möglichkeiten der rechnergest¨ utzten Simulation, kurz CFD (Computational Fluid Dynamics), f¨ ur Turbomaschinen schon immer sehr attraktiv. Ein immer höheres Niveau der physikalischen Modellierungsebene einhergehend mit rasant steigender Leistungsfähigkeit der Rechner und verbesserter Effizienz numerischer Methoden haben die CFD in den letzten Jahren zu einem wirtschaftlichen und dem Experiment gleichwertigen Entwicklungswerkzeug gemacht. Die Potenziale der numerischen Berechnung liegen bei hydraulischen Turbomaschinen einerseits bei der Vorhersage des Betriebsverhaltens sowie andererseits bei der Analyse innerer Strömungsvorgänge, die experimentell gar nicht oder nur sehr aufwändig zugänglich wären. Ein großer Vorteil gegen¨ uber der Messung ist somit die gleichzeitige Verf¨ ugbarkeit des gesamten Strömungsfeldes. Weiterhin bietet sich die schnelle und kosteng¨ unstige Durchf¨ uhrung von Parameterstudien an, z.B. Geometrie- oder Lastvariationen. Obwohl die CFD bei Radialpumpen, hydraulischen Turboarbeitsmaschinen radialer Bauart, schon auf einem sehr hohen Entwicklungsstand angelangt ist, kann man bisher keinesfalls auf experimentelle Untersuchungen verzichten. Diese sollten zusammen mit der CFD eine optimale Kombination bei der Entwicklung darstellen. Der in diesem Zusammenhang oft genannte Numerische ” Pr¨ ufstand“ als u ¨bergeordnetes Entwicklungsziel bedarf noch einiger Entwicklungs- und vor allem Validierungsarbeit. Letztere ist als der Prozess des Nachweises der korrekten Berechnung physikalischer Zusammenhänge mit einem CFD-Code zu verstehen. Aufgrund der starken Wechselwirkungen zwischen rotierenden und stillstehenden Bauteilen einer Turbomaschine besteht größtenteils Einigkeit u ¨ber die Notwendigkeit der gekoppelten Berechnung aller Bauteile. Der Einfluss des Grades der Vereinfachung bei der Modellierung dieser Kopplung auf das numerische Ergebnis ist allerdings von mehreren Faktoren abhängig, nicht zuletzt von der Bauart der Maschine. Neben diesem wird heute als wichtigster Einflussfaktor auf die G¨ ute einer numerischen Berechnung die Modellierung der Turbulenz angesehen. In der Literatur ist kein universelles, f¨ ur alle Anwendungsfälle gleichermaßen gut geeignetes Turbulenzmodell bekannt. Die korrekte Modellierung der in allen Pumpenbauteilen turbu1

1.2. STAND DES WISSENS

2

lenten Strömung ist daher ein noch ungelöstes Problem. Die somit erforderliche Validierung verf¨ ugbarer und als geeignet erscheinender Turbulenzmodelle kann anhand der Quantifizierung des Einflusses auf das Gesamtergebnis erfolgen.

1.2. Stand des Wissens Die Anwendung rechnergest¨ utzter numerischer Methoden ist sehr eng mit der Leistungsfähigkeit der verf¨ ugbaren Computer gekoppelt. Obwohl die mathematischen Methoden der heutigen numerischen Strömungsberechnung schon lange zuvor bekannt waren, ist der anwendungstechnische Durchbruch der CFD erst der Bereitstellung der f¨ ur ein ausreichendes Niveau physikalischer Modellierung notwendigen Rechner ab Mitte der achtziger Jahre zu verdanken. Die seither stetig zunehmende Popularität lässt sich z.B. anhand einer Statistik von Ruprecht [84] an der seit 1986 stetig steigenden Anzahl der Beiträge zum IAHR-Symposium aus dem Gebiet der Numerik oder auch dem seit Beginn der neunziger Jahre stetigen Zuwachs der Kundenanzahl kommerzieller CFD-Anbieter belegen (Quelle: FLUENT Anwendertreffen 2003). Während zu Beginn der industriellen Anwendung bis gegen Ende der neunziger Jahre die Numerik-Codes fast ausschließlich auf sehr teuren Workstations“ zum Einsatz kommen ” konnten, geht die Entwicklung der letzten Jahre im Zusammenhang mit einer sehr effektiven Parallelisierung der Codes hin zu kosteng¨ unstigen, meist linuxbasierten PC-Clustern“ . Dies ” macht die Methode nicht nur schneller, sondern auch aus finanzieller Sicht attraktiver, wodurch die Weiterentwicklung sicherlich noch beschleunigt wird. Bei der Auslegung von Kreiselpumpen bedient man sich noch heute mit gutem Erfolg grundlegender, in der Fachliteratur [73],[114],[109] beschriebener theoretischer Methoden und Gestaltungsrichtlinien. Mit einer eindimensionalen Betrachtung unter Verwendung empirischer Ansätze f¨ ur Verluste kann bereits das Betriebsverhalten der Maschine recht genau simuliert werden, wie z.B. von Patel [72] oder Lauer [56] umgesetzt. Mit dem Ziel der genaueren Vorhersage der dreidimensionalen Laufradströmung wurden zunächst Potenzialverfahren unter Vernachlässigung der Reibung und mit rotationsfreiem Geschwindigkeitsfeld eingesetzt. Die Theorie von Wu [121] ermöglicht die Anwendung eines quasi-3d Euler-Verfahrens, indem mehrere 2d-Stromebenen in Meridian- und Schaufelschnitt einander u ¨berlagert werden. Eine Vereinfachung dieser Methode nach Schilling [90] benutzt unter der Annahme der Rotationssymmetrie nur eine repräsentative Meridianstromfläche. Mit einem reibungsfreien 3d-Euler Verfahren kann auch die durch viskose Effekte beeinflusste Strömung in Turbomaschinen [54],[35] schon recht genau berechnet werden. Diese Methode bietet sich bereits zur Untersuchung von Stufen-Wechselwirkungen an, wie z.B. Riedel [80] bei einer Pumpe oder Fatsis et al. [23] bei einem Turboverdichter zeigen. Zur Berechnung der dreidimensionalen und reibungsbehafteten Strömung in Pumpen m¨ ussen Navier-Stokes Verfahren eingesetzt werden, die durch Erweiterung zu den Reynoldsgemittelten Navier-Stokes Gleichungen auch turbulente Effekte mit ber¨ ucksichtigen können. Diese Verfahren sind heute Stand der Technik und bereits Gegenstand vielfältiger numerischer Untersuchungen. Reibungsbehaftete turbulente Laufradströmungen untersuchen z.B. Ritzinger [81] sehr detailliert oder Shuliang [98] und erhalten Erkenntnisse u ¨ber Druckverteilung und 3d-Geschwindigkeitsfeld im Laufrad. Die reibungsbehaftete, rotationssymetrische Strömung nur im Radseitenraum berechnet Schenkel [88]. 2


3

Diese Arbeiten zeigen aber auch das grundsätzliche Problem der Wahl der Randbedingungen bei der numerischen Berechnung einzelner Bauteile oder Stufen einer Turbomaschine, wodurch auch erhebliche Konvergenzproblemen auftreten können. Die gekoppelte Berechnung mehrerer oder aller Bauteile der Maschine als logische Konsequenz ermöglicht zudem erst die Berechnung von Wechselwirkungen zwischen den Bauteilen. Eine grundsätzliche Fragestellung bei der gekoppelten Berechnung ist die numerische Modellierung der Relativbewegung von Laufrad und Leiteinrichtungen. Die beiden möglichen quasi-stationären“ Ansätze der direkten Kopplung, kurz FR (Frozen Rotor ) und der Stu” fenmittelung, kurz MP (Mixing Plane), die in Kapitel 2 ausf¨ uhrlich beschrieben werden, vernachlässigen die instationären Terme der Navier-Stokes Gleichungen, wodurch im Modell keine Relativbewegung stattfindet. Trotz dieser Vernachlässigung benutzen viele Autoren diese Ansätze, welche zunächst einen deutlichen Zeitvorteil gegen¨ uber instationären Methoden haben. Sedlar et al. vergleichen beide Methoden bei einer Radial- [94] und einer Axialpumpe [95], Muggli et al. untersuchen eine Pumpturbine [67] und verschiedene Autoren simulieren eine Laufraddrehung durch Mittelung verschiedener einzelner Relativpositionen, z.B. v.Hoyningen-Huene [37] oder Chen [14]. Sekundärströmungen bei gekoppelter stationärer Berechnung untersucht Majidi [60], den Einfluss der Radseitenräume bei Optimierung des Spiralgehäuses ber¨ ucksichtigt Zimnitzki [123]. Obwohl manche der aus Stufenwechselwirkungen resultierenden Effekte ausreichend genau mit den quasi-stationären Ansätzen bestimmt werden können, muss man bei genauerer Untersuchung auf die instationäre Kopplung zur¨ uckgreifen. Insbesondere die großen Trägheitskräfte in einer Kreiselpumpe machen dies erforderlich, wie Treutz [115] an einer Kunststoffpumpe mit sehr großer Spaltweite zeigt. Diese sehr anwendungsnahe Untersuchung einer nS 35-Pumpe liefert in hervorragender Weise das Betriebsverhalten der Maschine. Instationäre Wechselwirkungen in Stufen und Radseitenräumen hydraulischer Maschinen untersucht ebenfalls Fritz [26]. Sowohl Potenzial-Interaktion als auch die Effekte instationärer Nachläufe zwischen Laufrad und beschaufeltem Radialdiffusor analysiert Shi [96]. Einen Vergleich der verschiedenen Kopplungsmethoden präsentieren Dick [16] f¨ ur eine Radialpumpe und Kaechele et al. [43] f¨ ur eine Pumpturbine in beiden Anwendungsarten. Als zusammenfassendes Resultat zeigt sich unter den quasi-stationären Ansätzen die direkte Kopplung (FR) bei Radialmaschinen, insbesondere bei Turbinen als vorteilhaft, während die Stufenmittelung (MP) eher f¨ ur Axialmaschinen geeignet ist. Dies kann aus eigenen Untersuchungen einer ATL-Turbine [30] und eines ATL-Verdichters [31] bestätigt werden, bei dem aufgrund der großen radialen Erstreckung des unbeschaufelten Diffusors aber auch die Stufenmittelung erfolgreich ist. Besonders bei Radialpumpen mit kleiner radialer Diffusorweite ist die Methode der Stufenmittelung ungeeignet. Die direkte Kopplung wird auch häufig im Zusammenhang mit einer Mittelung einzelner Resultate aus verschiedenen Relativpositionen als tauglich eingestuft, was vor dem physikalischen Hintergrund des Modells zweifelhaft erscheint. Die quasi-stationären Ansätze werden beim Vergleich mit instationärer Kopplung immer eher kritisch bewertet und letztere Methode vor dem Hintergrund der Genauigkeit deutlich bevorzugt.

3


4

Nur sehr wenige numerische Untersuchungen an Radialpumpen beschäftigen sich mit dem Thema der Turbulenzmodellierung, obwohl diese häufig als Ursache eines nicht zufriedenstellenden Resultates genannt wird. Sämtliche oben genannten Arbeiten beschränkten sich auf ein einziges Turbulenzmodell, welches sicherlich eher nach praktikablen als physikalischtheoretischen Kriterien ausgewählt wurde. Neben dem Standard-k-²-Modell finden sich nur wenige Ausnahmen, wie z.B. bei Treutz [115], der das SST-Modell (Shear Stress Transport) nach Menter [61] einsetzt und seine guten Ergebnisse bez¨ uglich Kennlinien auch darauf zur¨ uckf¨ uhrt. Neben der Aussage von Ng und Tan [68], die f¨ ur Turbomaschinenanwendungen zumindest Zweigleichungsmodelle empfehlen, sowie zahlreichen grundsätzlichen Bemerkungen zur theoretischen Vorhersagefähigkeit von Turbulenzmodellen, findet sich in der Literatur noch die Untersuchung von Ojala et al. [69], in welcher der Einfluss der Ber¨ ucksichtigung von Rotationseffekten im Turbulenzmodell durch drei mögliche Varianten beschrieben wird. Diese drei Modellvarianten liefern allerdings nur unwesentliche Unterschiede bez¨ uglich Förderhöhe und Geschwindigkeitsprofilen, deutliche Abweichungen aber bei der turbulenten Viskosität. Ausf¨ uhrliche Gegen¨ uberstellungen der Ergebnisse verschiedener Turbulenzmodelle am realen Anwendungsfall Radialpumpe sind in der Literatur nicht zu finden. Die grundsätzliche Problematik und Herausforderung der Validierung von Turbulenzmodellen bei Pumpen läßt sich wie folgt zusammenfassen: • Turbulenzmodellierung wird allgemein als Hauptursache eingeschränkter Voraussagefähigkeit numerischer Methoden bei Turbomaschinen angesehen. • Einfache“ Turbulenzmodelle (TM) liefern bereits brauchbare Ergebnisse. ” • Theoretisch besser geeignete“ Modelle liefern nicht zwangsläufig bessere Ergebnisse. ” • Es gibt wenige Aussagen, welches TM f¨ ur Pumpen bez¨ uglich Ergebnis, Konvergenz, Schnelligkeit, Handhabbarkeit, etc., das am besten geeignete ist. • Es besteht noch deutlicher Validierungsbedarf, beispielsweise auch bez¨ uglich des Zusammenhangs zwischen TM, Wandbehandlung und berechneten Verlusten. ¨ Einen guten Uberblick vorhandener Arbeiten zu dieser Thematik gibt Casey [11]. Ein zusätzliches Problem stellt die Abhängigkeit vom verwendeten Code dar. Iaccarino [39] demonstriert dies mit der Berechnung eines 2d-achsensymmetrischen Diffusors mit drei unterschiedlichen kommerziellen CFD-Programmen. Trotz identischer Berechnungsparameter erhält er mit gleichem TM (k-²-Modell mit Launder-Sharma Erweiterung) unterschiedliche Ergebnisse, was auf unterschiedliche Implementierung des Modells oder der Diskretisierungsverfahren hinweist. Ein Turbulenzmodell-Vergleich mit unterschiedlichen CFD-Codes ist demnach ebenfalls problematisch. Während der starke Einfluss der Turbulenzmodellierung bei axialen Turbomaschinen mit vergleichsweise kleinem Druckgradienten schon lange Gegenstand der Forschung ist, da hier die korrekte Vorhersage der sehr stark vom TM abhängigen Transitionslage und -länge ein wichtiges Thema ist, gibt es bei radialen Turbomaschinen erst wenige Erkenntnisse auf diesem Gebiet. Aussagen zum Stand der Technik der Turbulenzmodellvalidierung an radialen Turbomaschinen lassen sich wie folgt zusammenfassen: 4

1.3. ZIELSETZUNG UND VORGEHENSWEISE

5

• Viele der wichtigen Effekte sind nicht viskoser Natur, daher liefern Euler-Methoden auch gute Ergebnisse und die Notwendigkeit der TM-Validierung besteht nicht in gleicher Art wie bei Axialmaschinen. • Statistische Zweigleichungsmodelle mit Wandfunktionen werden u ¨berwiegend eingesetzt. • Es gibt bislang keine Validierung nichtlinearer k-²-basierter Modelle. • In der Literatur sind keine Anwendungen von LowRe Modellen bei Pumpen zur Auflösung der Wandgrenzschicht bekannt. • Der Einfluss von Modifikationen k-²-basierter Modelle zur Ber¨ ucksichtigung von Rotationseinfluss auf das Betriebsverhalten ist gering [69]. • Es gibt keine Aussagen u ¨ber die Problematik der deterministischen Instationarität bei Reynoldsmittelung. Neben den statistischen Turbulenzmodellen gibt es bislang keine Literaturhinweise auf Anwendung höherwertiger Modellierungen wie Grobstruktursimulation (Large Eddy Simulation) oder Direkte numerische Simulation bei Pumpen. In der vorliegenden Arbeit kommen ausschließlich die auf absehbare Zeit f¨ ur den industriellen Einsatz interessanten statistischen Turbulenzmodelle zum Einsatz.

1.3. Zielsetzung und Vorgehensweise Wie oben genannt sind zwei der wichtigsten Einflussfaktoren bei der numerischen Berechnung radialer Turbomaschinen erstens die Art der Laufrad-Spirale Kopplung und zweitens die Turbulenzmodellierung. Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zum besseren Verständnis der relativen Wichtigkeit beider Einfl¨ usse liefern. Dies soll durch einen qualitativen sowie insbesondere auch quantitativen Vergleich der mit unterschiedlichen Ansätzen bzw. Modellen berechneten Ergebnisse erreicht werden. Die Validierung erfolgt hierbei nicht nur im direkten Vergleich numerischer Ergebnisse, sondern auch mit experimentellen Daten, die f¨ ur alle berechneten Maschinen in unterschiedlicher Form vorliegen. Die Vorhersagefähigkeit der Kopplungsarten wird anhand des berechneten Betriebsverhaltens und der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen bewertet. Turbulenzmodelle werden vor allem anhand der berechneten Kennlinien und Geschwindigkeitsverteilungen verglichen. Ein weiterer wichtiger Aspekt dieser Arbeit sind die Möglichkeiten der Darstellung von Wechselwirkungen relativ zueinander bewegter Bauteile. Die dynamischen Wechselwirkungen werden ebenso dargestellt wie zeitgemittelte Verteilungen von Strömungsgrößen. Im direkten Vergleich mit Messungen zeigen sich hier in besonders beeindruckender Art und Weise, wie die Möglichkeiten der CFD zum besseren Verständnis der Strömungsvorgänge im Inneren der Maschine beitragen können.

5


6

Im folgenden Kapitel werden zunächst die beiden zu validierenden Einfl¨ usse detailliert erklärt und in den Kontext der möglichen Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen eingeordnet. Die in dieser Arbeit benutzten Turbulenzmodelle wurden unter anwendungsorientierten Gesichtspunkten ausgewählt und in Kapitel 3 ausf¨ uhrlich beschrieben. Es werden statistische Wirbelviskositätsmodelle getestet, die eine geringe Sensitivität gegen¨ uber den bei Turbomaschinen selten bekannten turbulenten Eintrittsrandbedingungen aufweisen. Der kommerzielle Strömungssimulationscode FLUENT [25] stellt einige bekannte Turbulenzmodelle dieser Klasse zur Verf¨ ugung und bietet weiterhin die verschiedenen Möglichkeiten der Laufrad-SpiraleKopplung an. Das Programm kann daher direkt als Werkzeug f¨ ur die in dieser Arbeit angestrebten Untersuchungen eingesetzt werden. Neben den von FLUENT angebotenen und im industriellen Einsatz befindlichen Turbulenzmodellen werden zusätzlich das nichtlineare LCL-Modell [58] sowie das KC-Modell mit variablem Zeitmaß [49] eingesetzt, die beide k-²basiert sind. Somit können zusätzliche, f¨ ur Pumpen wichtige Effekte in den Turbulenzmodellen erfasst werden. Als Werkzeug wird daher ein zweiter Numerikcode mit der Möglichkeit des direkten Eingriffs benötigt. Der am Lehrstuhl f¨ ur Fluidmechanik der TU M¨ unchen entwickelte Navier-Stokes Code NS3D konnte im Rahmen dieser Arbeit um das mehrskalige KC-Modell erweitert werden. Der Einfluss der Auflösung des wandnahen Bereichs wird anhand eines Vergleichs von Wandfunktionen und LowRe-Wandbehandlung untersucht. Dies erfolgt mit dem NS3D-Code, in den verschiedene LowRe-Modelle u.a. im Zuge vorangegangener Arbeiten am Fachgebiet TFA [9],[113] implementiert wurden. Die numerischen Grundlagen, bezogen auf den hier vorliegenden speziellen Anwendungsfall, und Besonderheiten der beiden verwendeten CFD-Codes werden in Kaptitel 4 vorgestellt. Das in NS3D neu implementierte KC-Turbulenzmodell wird anhand einiger Testfälle, die pumpenspezifische Strömungsphänomene abdecken, in Kapitel 5 validiert. Kapitel 6 behandelt die detaillierte Beschreibung der ausgewählten Pumpen und deren numerische Modellierung. Die insgesamt drei Radialpumpen mit unterschiedlichen Merkmalen sind alle am Fachgebiet TFA experimentell untersucht worden, so dass umfangreiche Messergebnisse vorlagen. Aufgrund der Auswahl dieser Maschinen können die zu treffenden Aussagen und Schlussfolgerungen auf eine breitere Basis gestellt werden. Ausgehend von einer speziellen, frei abströmenden Versuchspumpe, die sich wegen des fehlenden Spiralgehäuses und der daraus resultierenden vereinfachten Modellierung optimal zur Validierung der Turbulenzmodellierung mit Variation der Wandbehandlung eignet, sollen nachfolgend die Laufrad-Spirale Wechselwirkungen an zwei kompletten Kreiselpumen untersucht werden. F¨ ur alle Maschinen wurden neben Kennlinien auch Strömungsgrößen im Radialdiffusor bestimmt, welche zum Vergleich mit den numerischen Ergebnissen herangezogen werden. Die ausgewählten Pumpen sind • nS 28 Radialpumpe : Pumpe frei abströmend im Luftversuch • nS 26 Radialpumpe : Pumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgehäuse, Fluid Luft • nS 20 Radialpumpe : Pumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgehäuse, Fluid Wasser

Das aus Sicht des Anwenders zunächst wichtigste Merkmal, das berechnete Betriebsverhalten dieser Maschinen, wird ausf¨ uhrlich in Kapitel 7 diskutiert. Detaillierte Untersuchungen zu 6


7

Laufrad-Spirale Wechselwirkungen f¨ ur den quasi-stationären und transienten Fall werden abschließend in Kapitel 8 präsentiert. Zusätzlich erfolgt der Vergleich dynamischer Messungen im Radialdiffusor mit transienten CFD-Ergebnissen. Zusammengefasst soll die vorliegende Arbeit auf zwei Gebieten neue Erkenntnisse liefern, die in der präsentierten Art und Weise noch nicht untersucht bzw. dargestellt wurden. Zum einen wird der direkte Einfluss des Turbulenzmodells und der damit verbundenen Wandbehandlung bez¨ uglich Vorhersagefähigkeit integraler Kenngrößen an verschiedenen Pumpen analysiert. Weiterhin f¨ uhrt die Anwendung quasi-stationärer oder transienter Modellierung der Laufrad-Spirale-Kopplung zu deutlich voneinander abweichenden charakteristischen Resultaten, die mit Hilfe unterschiedlicher Darstellungsmöglichkeiten aufgearbeitet werden. Die Validierung der transienten numerischen Ergebnisse im Vergleich mit instationären Messdaten im Radialdiffusor stellt die wesentlich größere Herausforderung an die Numerik dar als die Vorhersage von Kennlinien und wird ausf¨ uhrlich untersucht. Die Resultate der Arbeit sollen dem Anwender eine Entscheidungshilfe f¨ ur die Auswahl des Turbulenzmodells und der Kopplungsmodellierung sein. Die Möglichkeiten und Grenzen der quasi-stationären Kopplung in Abhängigkeit der zu berechnenden Maschine sowie die Vorteile und die Notwendigkeit der Anwendung transienter Kopplung in Abhängigkeit der zu erzielenden Ergebnisse sollen besser abzuschätzen und einzuordnen sein. Schließlich kann die Kenntnis der Wirkung dieser Einflussfaktoren von großem Nutzen bei der Interpretation der Ergebnisse sein.

7

8

2. Fehler bei CFD fu ¨r Turbomaschinen Berechnungsfehler in der CFD können zu teilweise beträchtlichen Abweichungen der Ergebnisse von der realen Strömung f¨ uhren. Die Forderung, beim Vergleich numerisch ermittelter Ergebnisse einer realen Strömung mit Messdaten derselben f¨ ur beide Vergleichswerte eine Bandbreite des abgeschätzten Fehlers mit anzugeben, ist daher legitim. Bei der Darstellung der Messwerte ist dies mit einem gewissen Aufwand verbunden, aber mit den Methoden der Fehlerrechnung [17] grundsätzlich möglich. Das häufige Ausbleiben dieses Fehlerbalkens bei numerischen Werten hängt mit der Schwierigkeit zusammen, diesen in vergleichbarer Weise auch nur annähernd zu bestimmen, wobei der notwendige Aufwand von untergeordneter Rolle ist. Als Ursache sind die vielfältigen Einflussfaktoren zu sehen, die ein numerisches Ergebnis verfälschen können. Nur eine einzige dieser Fehlerquellen, der Diskretisierungsfehler, kann mit mathematisch fundierten Methoden tatsächlich bestimmt werden. Die Angabe eines Fehlerbalkens eines numerischen Wertes nur aufgrund dieses Fehlers ist demnach zweifelhaft, zumal der Einfluss anderer Fehlerquellen deutlich größer sein kann. Zur Abschätzung einer Fehlerbandbreite numerischer Ergebnisse ist es somit unerlässlich, zum einen sämtliche mögliche Fehlerquellen zu kennen und zum anderen f¨ ur einen speziellen Anwendungsfall die jeweiligen Einfl¨ usse gegenseitig wichten zu können. In diesem Kapitel werden daher zunächst die allgemeinen Fehlerquellen bei CFDBerechnungen vorgestellt, danach die f¨ ur Turbomaschinen bedeutenden und zum Gegenstand der Untersuchungen in der vorliegenden Arbeit gewordenen Modellierungsfehler vorgestellt. Abschließend wird am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals die Abschätzung des Diskretisierungsfehlers diskutiert.

2.1. Fehlerquellen bei CFD-Berechnungen Eine Diskussion um Fehler und Unsicherheiten des Simulationswerkzeuges CFD sowie um die Möglichkeiten zu deren Abschätzung erfordert eine einheitliche Terminologie. Dies wird umso wichtiger, je vielfältiger die Anwendungsgebiete des Werkzeuges sind. Die in dieser Arbeit verwendeten Definitionen gehen zur¨ uck auf Roache [78] sowie eine Richtlinie der AIAA [2]. Die Tatsache, dass beide Veröffentlichungen erst aus dem Jahr 1998 datieren, zeigt die schwierige Zugänglichkeit des Fehlerbegriffes in der CFD. Die benötigten Definitionen lauten Fehler: Der Gesamtfehler ist der Unterschied zwischen numerisch berechnetem Wert und dem der realen Strömung; Unterteilung in Modellierungsfehler und Numerikfehler Verifikation: Prozess der Bestimmung der Numerikunsicherheit 8

2.1. FEHLERQUELLEN BEI CFD-BERECHNUNGEN

9

Validierung: Prozess der Bestimmung der Modellierungsunsicherheit Da es nahezu unmöglich ist, bei einer technischen Anwendung die jeweiligen Fehler genau zu bestimmen, wird in diesem Zusammenhang auch von Unsicherheit gesprochen. Die Fehlerquellen, die das Ergebnis einer CFD-Berechnung beeinflussen, sind in Abb.2.1 entsprechend des Zeitpunktes ihres Einflusses in der chronologischen Abfolge des Prozesses einer CFDBerechnung aufgef¨ uhrt. Auf Vollständigkeit wird kein Anspruch erhoben, die wichtigsten

Abbildung 2.1.: Ursachen und Einteilung von Fehlern bei CFD

Faktoren in Bezug auf Turbomaschinen sind enthalten. Der Gesamtfehler lässt sich nach Abb.2.1 unterteilen in Modellierungsfehler, Diskretisierungsfehler und Lösungsfehler, wobei die Summe der letzten beiden als Numerikfehler bezeichnet wird. Modellierungsfehler Der Modellierungsfehler ist der Unterschied zwischen tatsächlichem Wert Φreal und der exakten Lösung Φ(~xP , tn ) des die Strömungsphysik beschreibenden Satzes von Differentialgleichungen. Dieser Fehler entsteht vor der Anwendung numerischer Methoden und ist teilweise vom Benutzer beeinflussbar. Er umfasst sämtliche Vereinfachungen und Annahmen, die bei der mathematischen Modellbildung entstehen können, wie beispielsweise • Festlegung der geometrischen Ränder und der Randbedingungen • Annahmen bez¨ uglich Stoffwerte 9

2.2. MODELLIERUNGSFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

10

• Wahl der Gleichungen zur Berechnung der Turbulenz • Ber¨ ucksichtigung zeitabhängiger Vorgänge Diese Fehlerquellen sind nur sehr schwer oder gar nicht quantifizierbar und können eigentlich nur aufgrund von Erfahrungswerten f¨ ur spezielle Anwendungsgebiete und großer Genauigkeit bez¨ uglich des ersten Punktes minimiert werden. Numerikfehler Den Unterschied zwischen exakter Lösung der DGL Φ(~xP , tn ) am Ort ~xP zum Zeitpunkt tn und der exakten Lösung des diskreten linearen Gleichungssystems ΦnP nennt man Diskretisierungsfehler. Er entsteht, da die diskreten Gleichungen eben nur Approximationen der DGL sind. Bei einem konsistenten Diskretisierungsschema muss dieser Fehler f¨ ur immer feinere Rechengitter und kleinere Zeitschritte gegen Null gehen. Eine Abschätzung dieses Fehlers ist mit einer Richardson-Extrapolation möglich und wird zum Abschluss dieses Kapitels diskutiert. Bei der Beschreibung der diskreten Punkte im Raum, der Gittergenerierung, m¨ ussen die in Kapitel 4 benannten Qualitätsmerkmale beachtet werden, um den Diskretisierungsfehler aufgrund schlechter Netzqualität zu minimieren. Sämtlichen in dieser Arbeit vorgestellten Rechnungen liegt eine Studie zur Gitterunabhängigkeit des verwendeten Rechennetzes zugrunde. Durch die Verwendung iterativer Lösungsverfahren ist die exakte Lösung der diskreten Gleichungen nie das tatsächliche Ergebnis einer numerischen Berechnung. Den Unterschied fn bezeichnet man daher als Lösungsfehler, die Sumzwischen ΦnP und der berechneten Lösung Φ P me aus Lösungsfehler und Diskretisierungsfehler als Gesamtnumerikfehler. Der Lösungsfehler entsteht aufgrund • Abbruch der iterativen Lösung (Konvergenzkriterium) • Rundungsfehler durch endliche Darstellung der Zahlen im Rechnerspeicher • Fehler im Programm-Code Den Iterationsfehler kann man recht gut u ¨ber den Verlauf der Residuen der Lösungsvariablen kontrollieren. Rundungsfehler können durch Zahlendarstellungen im Speicher des Rechners entstehen. Bei Unsicherheit diesbez¨ uglich empfiehlt sich eine doppelt genaue Darstellung mit 16 Bit. Der Einfluss dieses Fehlers ist aber eher vernachlässigbar und kann mit einer geeigneten Wahl der Referenzwerte f¨ ur die Berechnung minimiert werden. Fehler im Programmcode können vor allem bei neuen Code-Versionen nie ausgeschlossen werden.

2.2. Modellierungsfehler bei Turbomaschinen Unter Validierung von CFD-Berechnungen f¨ ur radiale Turbomaschinen ist nach oben genannter Definition die Abschätzung des Einflusses verschiedener Ursachen f¨ ur Modellierungsfehler zu verstehen. Als bedeutender Faktor ist die Turbulenzmodellierung separat ausf¨ uhrlich in Kapitel 3 beschrieben. Die exakte Abbildung der Geometrie wird bei den sehr komplexen Bauteilen Laufrad und Spiralgehäuse häufig vereinfacht, indem beispielsweise die Schaufelvorderkante mit der gewählten Netzauflösung nicht sauber abgerundet ist oder Kanten und 10


11

Abbildung 2.2.: Kopplung zwischen Laufrad und Spiralgehäuse

Hinterschneidungen vernachlässigt werden. Ein solcher Einfluss bez¨ uglich einer Diffusorbreite wird in Kapitel 7 diskutiert. Einen vernachlässigbaren Fehler macht man mit der Festlegung konstanter Stoffwerte bei der Berechnung hydraulischer Maschinen. Die Annahmen konstanter Dichte und dynamischer Viskosität ist f¨ ur das Fluid Wasser gerechtfertigt und wird daher angewendet. Es ist zwar bekannt, dass auch bei Pumpen ein leichter Temperaturanstieg aufgrund von Strömungsverlusten auftritt, dennoch ist er vernachlässigbar gering und rechtfertigt nicht die zusätzliche Lösung der Enthalpiegleichung. Die richtige Wahl der Randbedingungen ist f¨ ur jede numerische Berechnung von grundlegender Bedeutung. Bei elliptisch/parabolischem Charakter der instationären Bewegungsgleichungen können Vorgänge im Inneren des Strömungsgebietes, z.B. eine Staupunktwirkung durch die Schaufelvorderkante, bis zum Eintrittsbereich r¨ uckwirken. Es ist daher neben der physikalisch korrekten Angabe der Eintrittsrandbedingung erforderlich, das geometrische Rechengebiet deutlich vor den eigentlich interessierenden Bereich auszudehnen. Es hat sich bei Pumpen als sinnvoll erwiesen, vor dem Laufrad den Zuströmkanal in einer Länge von ein bis drei Saugmunddurchmessern in die Modellierung einzubeziehen. Als Randbedingung wird der gemessene Volumenstrom in eine konstante Geschwindigkeit umgerechnet. Die bei Pumpen u ¨bliche Austrittsrandbedingung konstanter Druck kann ebenfalls ein Modellierungsfehler sein. Die bei realen Pumpenanlagen vorhandene Druckrohrleitung kann auf die Druckpulsationen aus der Laufrad-Spirale Kopplung dämpfend wirken. Durch eine konstante Druckrandbedingung ist dies nicht möglich, die Druckpulsationen sind daher im gesamten Rechengebiet im Druckfeld deutlich zu sehen, nicht jedoch in den Geschwindigkeitsfeldern. Die dennoch vorgenommene Verlängerung des Druckstutzens kann trotz numerischer Dissipation diese R¨ uckwirkung nicht verhindern. Der u.a. von M¨ unch [64] nachgewiesene Einfluss der Wandrauhigkeit auf Pumpenkennlinien wird in dieser Arbeit vernachlässigt, alle Berechnungen wurden bei ideal glatter Wand mit Haftbedingung durchgef¨ uhrt. Insbesondere f¨ ur die möglichst korrekte Berechnung der Laufrad-Spirale-Wechselwirkungen ist die mathematische Beschreibung der Kopplung zwischen rotierendem Laufrad und stillstehendem Spiralgehäuse von entscheidender Bedeutung. Die vorhandenen Möglichkeiten sowie deren Vor- und Nachteile werden nachfolgend erläutert und diskutiert. Zunächst soll kurz auf die grundlegende Bedeutung dieser Instationarität eingegangen werden. 11


12

Modellierung der Laufrad-Spirale Kopplung Die Strömung in einer Turbomaschine ist immer periodisch instationär und wird durch die Interaktion zwischen sich drehendem Laufrad und stillstehenden Bauteilen wie Saugrohr und Spiralgehäuse der Strömung von außen aufgeprägt. Jede Strömung dieser Art kann durch zwei charakteristische Zeitmaße beschrieben werden, die Konvektionszeit tC (Convection) und die Zeit der periodischen Instationarität tD (Disturbance). Bei Turbomaschinen steht tC f¨ ur die Zeit, die sich ein Fluidteilchen im Rotor aufhält, während tD f¨ ur die periodisch instationäre Störung der Rotorströmung durch stromab des Rotors befindliche, stillstehende Bauteile steht. Diese können eine Nachleitbeschaufelung oder ein Spiralgehäuse sein. Aus dem Verhältnis dieser Zeitmaße folgt nach Hodson [36] die Kenngröße der reduzierten Frequenz ωred f¨ ur axiale Turbomaschinen. Angewendet auf radiale Turbomaschinen erhält man mit der Anzahl der Leitradschaufeln zS und der Drehzahl n ([n] = 1s ) die Beziehung ωred =

lR · z S · n tC = tD w¯R

(2.1)

wobei lR und w¯R f¨ ur die mittlere Länge einer Stromlinie durch den Rotor und die mittlere Relativgeschwindigkeit eines Partikels entlang dieser Bahn stehen. Die Kenngröße ωred macht allgemein eine Aussage u ¨ber die relative Wichtigkeit oder den Einfluss der instationären Effekte. Es ist allerdings nicht möglich, aus der reduzierten Frequenz bereits auf die quantitativen Auswirkungen der Instationarität zu schließen. Um aus ωred bei einer Turbomaschine zu einer Aussage u ¨ber die mögliche numerische Modellbildung der Rotor-Stator bzw. Laufrad-Spirale Kopplung zu gelangen, ist die Bedeutung wie folgt: • ωred ≈ 1 : Die Zeit, die sich ein Fluidteilchen im Rotorkanal aufhält ist genauso groß wie die Zeit zum Passieren einer Statorteilung. Bei einer Radialmaschine ohne Leiteinrichtung im Diffusor wäre die Anzahl der Statorschaufeln zS = 1 und somit gleichbedeutend mit dem Spiralensporn. Das heißt f¨ ur diesen Fall, ein Fluidteilchen passiert, während es sich im Laufrad befindet, jeden Umfangspunkt des Spiralgehäuses genau einmal. • ωred < 1 : Ein Fluidteilchen durchläuft den Rotorkanal schneller, als sich der Rotor an einer Statorteilung vorbeibewegt. Bei der Radialmaschine mit Spirale verlässt das Fluidteilchen das Laufrad noch bevor sich dieses einmal gedreht hat. • ωred > 1 : Ein Fluidteilchen hält sich länger im Rotorkanal auf, als der Rotor f¨ ur die Passage einer Statorteilung benötigt. Bei der Radialmaschine mit Spirale passiert ein Fluidteilchen im Laufrad jeden Punkt im Spiralgehäuse genau ωred -mal. F¨ ur den Fall ωred ¿ 1 spricht man auch von einer quasi-stationären Strömung. Dies bedeutet, ¨ die Konvektionszeit ist sehr klein und Einfl¨ usse der zeitlichen Anderung werden kaum bemerkt. Die Strömung verhält sich dann stationär, obwohl ein Zeiteinfluss vorhanden ist. Wie im folgenden noch gezeigt wird, liegt die reduzierte Frequenz bei radialen Turbomaschinen in einem Größenbereich, der eigentlich keine quasi-stationäre Berechnung zulässt. Dennoch werden solche Methoden in der Praxis oft eingesetzt. Die Gr¨ unde liegen vor allem im deutlich 12


13

Abbildung 2.3.: Modellierung eines einzelnen Laufradkanals ohne Kopplung

höheren Aufwand f¨ ur eine transiente Berechnung, verglichen mit einem quasi-stationären Ansatz. Die in der Literatur bekannten und in dieser Arbeit verwendeten Methoden der numerischen Laufrad-Spirale Kopplung werden nachfolgend in der Reihenfolge ansteigender Komplexität vorgestellt. Einzelner Laufradkanal ohne Kopplung Bei dieser einfachsten dreidimensionalen Berechnungsmethode eines Laufrades wird nur ein einzelner rotationsperiodischer Laufradkanal, wie in Abb.2.3 dargestellt, betrachtet. Der separierte Laufradkanal wird von periodischen Rändern eingegrenzt, der Diffusorbereich wird radial verlängert, um eine numerisch einwandfreie Druck-Austrittsrandbedingung zu ermöglichen. Bei diesem Ansatz wird eine stationäre Lösung berechnet, die Gleichungen werden im rotierenden Bezugssystem gelöst, daher die Bezeichnung RRF-Ansatz (Rotating Reference Frame). Die Drehung des Laufrades bewirkt zusätzliche Scheinkräfte in den Impulsgleichungen im Relativsystem, wie in Kapitel 3 beschrieben. Die Anwendbarkeit dieser Methode setzt allerdings eine in Umfangsrichtung gleichmäßige Druckverteilung am Austritt voraus, was bei realen Turbomaschinen mit Spiralgehäuse nicht der Fall ist. Dennoch ist der Vorteil dieses Ansatzes offensichtlich die Einsparung eines Großteils des Laufrades, was ihn f¨ ur Parameterstudien prädestiniert. Von Aysheshim [3] wurde am Fachgebiet TFA eine frei abströmende Pumpe vermessen, um f¨ ur numerische Parameterstudien mit diesem Ansatz eine experimentelle Datenbasis zu schaffen. Im frei abströmenden Fall wird das Spiralgehäuse weggelassen, um eine rotationsperiodische, zeitunabhängige Druckverteilung im Diffusor zu erhalten. Bei Pumpen, die mit Spiralgehäuse vermessen wurden, ist dieser Ansatz nur f¨ ur Studien zur Gitterunabhängigkeit geeignet. Das Rechengitter jeder der in dieser Arbeit vorgestellten Turbomaschinen wurde auf diese Art u uft. Es ist zu beachten, dass die Anwendung f¨ ur ¨berpr¨ den Fall einer gesamten Pumpe mit konstanter Druckrandbedingung einen deutlichen Modellierungsfehler darstellt. Eine gute Möglichkeit zur separaten Untersuchung der Laufradströmung bietet dieser Ansatz unter Verwendung des zeitperiodischen Druckes als Austrittsrandbedingung, sofern dieser bekannt ist. Zum Studium der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen benötigt man eine der nachfolgenden Methoden

13


14

Abbildung 2.4.: Modellierung der Laufrad-Spiralgehäuse Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode

Kopplung mit Frozen-Rotor -Methode Bei relativ zueinander bewegten Bauteilen in einem Modell stellt sich zunächst die Frage der minimalen Größe des Rechengebietes. Die bei axialen Turbomaschinen mit ungleicher Rotor-Stator Schaufelanzahl oft angewendete Praxis der Skalierung von Rotor und Stator, um ein möglichst kleines rotationsperiodisches Rechengebiet zu erhalten, ist mit Spiralgehäusen nicht möglich. Bei Modellierung von Laufrad und Spirale muss bei radialen Turbomaschinen mit Spiralgehäuse zwingend die gesamte Maschine berechnet werden. Bei der Frozen-Rotor -Kopplung (FR) werden Laufrad und Spirale in verschiedenen Bezugssystemen jeweils stationär berechnet, die Kopplung erfolgt, wie in Abb.2.4 angedeutet, in jedem Knoten der Netz-Ber¨ uhrebene (Interface) durch einfache Transformation des Geschwindigkeitsvektors vom Relativsystem des Laufrades in das Absolutsystem des Spiralgehäuses. Es findet keine Rotation des Laufradnetzes statt, d.h. die Relativposition zwischen Laufrad und Spirale bleibt während der Rechnung unverändert (“frozen“). Diese numerisch recht robuste Methode liefert theoretisch ein Strömungsbild vergleichbar einer Momentaufnahme der realen Strömung. Da allerdings auf die instationären Terme der Navier-Stokes Gleichungen verzichtet wird, kann der Einfluss von Trägheitskräften nicht wirksam werden. Ist dieser Einfluss jedoch groß, nimmt die Strömung einen nicht realen Zustand an. Dann wird auch bei tatsächlich transienten Rechnungen das Ergebnis einer FR-Rechnung zu keinem Zeitpunkt erreicht. Mit dem FR-Ansatz ist es grundsätzlich möglich, eine Wechselwirkung zwischen Laufrad und Leitrad zu ber¨ ucksichtigen. Bei radialen Turbokraftmaschinen liefert der Ansatz ein deutlich besseres Ergebnis und ist hier geeigneter als bei Turboarbeitsmaschinen. Kopplung mit Mixing-Plane-Methode Nur der Vollständigkeit halber wird die zweite quasi-stationäre Methode kurz beschrieben. Bei der Mixing-Plane-Kopplung werden beide Teilbereiche des Rechengebietes gemäß Abb.2.4 ¨ stationär im jeweiligen Bezugssystem berechnet. Die Kopplung erfolgt durch Ubergabe der zuvor f¨ ur jeden Teilbereich stufengemittelten Werte am Interface als Randbedingung f¨ ur den jeweils anderen Teilbereich. Theorie und Anwendung dieses Ansatzes wird z.B. von Galpin et.al. [28] f¨ ur radial und axial durchströmte Kopplungsebenen detailliert erläutert. Erfolgreich eingesetzt wird der Ansatz bei mehrstufigen axialen Turbomaschinen, da hier pro Stufe nur eine oder wenige Teilungen im Modell ber¨ ucksichtigt werden m¨ ussen. Bei radialen 14

2.3. NUMERIKFEHLER BEI TURBOMASCHINEN

15

Turbomaschinen ohne Nachleiteinrichtung mit kleinen radialen Abständen zwischen Laufrad und Spiralsporn und großen Schwankungen der Strömungsgrößen in Umfangsrichtung ist der Ansatz nur bedingt bis gar nicht geeignet und wird daher in dieser Arbeit nicht verwendet. Kopplung mit Sliding-Mesh-Methode Die transiente Berechnung der Gesamtmaschine unter Verwendung der Sliding-Mesh-Kopplung (SM) ist der realen Physik am nächsten und stellt im Vergleich zu den zuvor vorgestellten Kopplungsmethoden keinen Modellierungsfehler dar. Beide Teilbereiche werden direkt u ¨ber eine Hilfsfläche gekoppelt im Absolutsystem berechnet. Die Hilfsfläche wird zu jedem Zeitschritt ¨ neu berechnet und ermöglicht die konservative Ubergabe der Fl¨ usse am Interface. Der Gitterbereich des Laufrades dreht sich mit jedem Zeitschritt relativ zum Gitter des Spiralgehäuses um einen der Größe des Zeitschrittes entsprechenden Winkel. Zu jedem neuen Zeitschritt wird dann eine neue Lösung berechnet. Durch Zusammenf¨ ugen der einzelnen Zeitschritt-Lösungen erhält man eine zeitabhängige Gesamtlösung, integrale Werte m¨ ussen u ¨ber eine Umdrehung gemittelt werden. Der Vorteil des SM-Ansatzes ist die Darstellung der tatsächlich instationären Physik der Maschine. Als Nachteil ist der im Gegensatz zu den quasi-stationären Ansätzen erhöhte Bedarf an Rechen- und vor allem Auswertezeit zu nennen. Einen Vorschlag zur Einsparung von Rechenleistung bei transienter Berechnung eines radialen Turboverdichters mit SM-Ansatz macht Hillewaert [35] mit der Speicherung und phasenverschobenen Abfrage periodischer Randbedingungen bei nur einem vorhandenen und rotierenden Laufradkanal. Der Vorschlag stellt eine interessante Alternative zur Berechnung des kompletten Laufrades dar. Die bei diesem Modell erforderliche Speicherung der Randbedingungen an den periodischen Rändern (vgl. Abb.2.3) zu jedem Zeitschritt ist allerdings auch aufwändig, zusätzlich m¨ usste noch die Einhaltung der Kontinuitätsgleichung zu jedem Zeitschritt u uft und gegebenenfalls ¨berpr¨ korrigiert werden. Das Modell wird in dieser Arbeit nicht eingesetzt, bei allen transienten Berechnungen wurde die Gesamtmaschine mit SM-Ansatz modelliert.

2.3. Numerikfehler bei Turbomaschinen Die Methodik zur Abschätzung des Numerikfehlers ist bei allen numerischen Berechnungen gleich. Die Minimierung des Lösungsfehlers kontrolliert man u ¨ber den Verlauf der Residuen ¨ und charakteristischer integraler Werte. Die notwendige Uberpr¨ ufung der Konsistenz eines Diskretisierungsverfahrens liefert direkt den Diskretisierungsfehler. Ein konsistentes Diskretisierungsverfahren liefert auf feiner werdendem Gitter einen immer kleineren Diskretisierungsfehler. Die Methodik zur Bestimmung des Diskretisierungsfehlers nach Sch¨ afer [87] wird nachfolgend am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals gezeigt. Das Verfahren basiert auf der mehrmaligen Berechnung eines identischen Testfalles auf mindestens drei systematisch verfeinerten Gittern. Die ohnehin erforderliche Bestimmung eines Rechennetzes, das eine gitterunabhängige Lösung liefert, kann mit dem Ansatz von Richardson [79] zur Quantifizierung des Fehlers genutzt werden. Als Diskretisierungsverfahren wird ein upwind -Verfahren zweiter Ordnung gewählt. Die in dieser Arbeit berechnete nS 26-Radialpumpe wird mit sechs Rechengittern bei systematisch 15


grob ↓ ↓ ↓ ↓ fein

Gitter 1 2 3 4 5 6

Anzahl a 0.75 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0

Abstand h 16/3 4.0 8/3 2.0 4/3 1.0

Gesamtknoten 5054 12630 34554 79322 248610 604569

16 Gesamtelemente 3940 10512 30352 71918 232560 575344

Knoten Elemente

1.2827 1.2015 1.1384 1.1030 1.0690 1.0508

Tabelle 2.1.: Einzelgitter f¨ ur Gitterunabhängigkeitsstudie der Radialpumpe nS 26

verkleinertem Knotenabstand h bzw. vergrößerter Knotenanzahl a in einer Raumrichtung vernetzt. Die Größenverhältnisse der einzelnen Gitter zueinander sind in Tabelle 2.1 angegeben. In Abb.2.5 ist der Kanaleintrittsbereich mit Gitter 4 dargestellt. Eine Verdopplung der Knotenanzahl a in eine Raumrichtung bewirkt bei einem dreidimensionalen Gitter etwa eine 8-fache Knotenanzahl. Der blockstrukturierte Aufbau des Rechennetzes lässt nicht immer eine exakte Verdoppelung bzw. Halbierung zu, daher die leichten Abweichungen in den Knotenanzahlen zwischen den Gittern 2, 4 und 6 sowie 1, 3 und 5. F¨ ur die Berechnung des Diskretisierungsfehlers eh mittels Richardson-Extrapolation nach Gleichung (2.2) benötigt man die Lösungen Φh , Φ2h und Φ4h auf drei Rechengittern mit jeweils verdoppeltem Abbildung 2.5.: Rechengitter nS 26 Knotenabstand h, 2h und 4h. Die Ordnung p des angewendeten Diskretisierungsverfahrens wird zuvor bestimmt. ´ ³ −Φ4h log ΦΦ2h Φh − Φ2h h −Φ2h eh = (2.2) p= log2 2p − 1 Zur Bestimmung der Ordnung p des Verfahrens werden die f¨ ur das Problem charakteristischen 2∆p0 2c2u integralen Werte ψ0 = ρu2 2 und ψth = u2 sowie der daraus resultierende Laufradwirkungsgrad ηh,La = ψψth0 direkt am Laufradaustritt bestimmt. Die Ergebnisse sind in Abb.2.6 links dargestellt. Alle drei Werte zeigen asymptotische Konvergenz und streben einem Grenzwert, der gitterunabhängigen Lösung zu. Somit kann p1 mit allen drei Lösungen der Gitter 2, 4 und 6 sowie p2 mit den Lösungen der Gitter 1, 3 und 5 bestimmt werden. Die erhaltenen Ordnungen und die damit berechneten Diskretisierungsfehler eh1 und eh2 sind in Abb.2.6 rechts dargestellt. Den höchsten Wert f¨ ur die Ordnung p1 = 1.79 erhält man aus dem Wirkungsgrad auf den Gittern 2, 4 und 6, der Mittelwert beträgt p ≈ 1.4 f¨ ur alle sechs Balken im Diagramm. Itter [40] berechnet f¨ ur einen Laufradkanal einen Wert von p ≈ 1.6. Die vom Programm angegebene zweite Ordnung wird demnach nicht erreicht. Der mittlere Diskretisierungsfehler aus allen sechs Balken in Abb.2.6 rechts beträgt nur etwa eh ≈ 0.2%. Es muss allerdings angemerkt werden, 16


17

Abbildung 2.6.: Charakteristische Werte (links) und Richardson-Extrapolation (rechts)

dass die hier angegebenen Werte nicht mit allen bestimmbaren integralen Werten der Pumpe, wie z.B. der Druckdifferenz berechnet werden können. Trotz dieser Einschränkung liegt der ¨ Wert f¨ ur p in einem sinnvollen Bereich. F¨ ur die Ubertragung des Diskretisierungsfehlers auf den Gesamtkontext kann demnach von einem sehr geringen Einfluss auf den Gesamtfehler ausgegangen werden. Weiterhin ist es bemerkenswert, dass trotz der sechs sehr unterschiedlich feinen Netze nahezu konstante integrale Werte berechnet werden. Der Einfluss der Netzauflösung auf die bei Pumpenberechnungen in erster Linie interessierenden Daten ist demnach gering, wenn die Wandbehandlung f¨ ur die eingesetzte Turbulenzmodellierung den wichtigsten Regeln entspricht, welche in Kapitel 3 erläutert werden.

17

18

3. Beschreibung turbulenter Str¨ omungen In diesem Kapitel wird ausgehend von den grundlegenden Möglichkeiten, turbulente Strömungen zu beschreiben, die Theorie aller in dieser Arbeit eingesetzten Turbulenzmodelle ausf¨ uhrlich erklärt. Die speziellen Eigenschaften und theoretischen Fähigkeiten dieser Modelle werden im Kontext der Gesamtthematik Turbulenzmodellierung herausgestellt. Technische Strömungen werden mathematisch vollständig durch die unten angegebenen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse, Impuls und Energie beschrieben. Sie gelten sowohl f¨ ur laminare als auch turbulente Strömungen. Analytische Lösungen dieses gekoppelten, nichtlinearen Gleichungssystems sind allerdings nur f¨ ur wenige Spezialfälle bekannt, so beispielsweise ¨ f¨ ur einige laminare Schichtenströmungen [106]. Den Ubergang von laminarer zu turbulenter Strömungsform bestimmt die Reynoldszahl, die definiert ist als Re =

U ·L ν

(3.1)

mit einer das Strömungsproblem charakterisierenden Geschwindigkeit U und einer makroskopischen Länge L sowie der kinematischen Viskosität. Sie stellt das Verhältnis von Trägheits- zu Zähigkeitskräften dar, d.h. je größer Re, desto geringer ist der Einfluss der Viskosität. Ab einem bestimmten Wert von Re, der oft aus Versuchen bekannt ist, liegt eine turbulente Strömung vor. Analytische Lösungen der Erhaltungsgleichungen f¨ ur turbulente Strömungen können mit Aus¨ nahme einiger wichtiger Ahnlichkeitslösungen [42],[112] nicht bestimmt werden. F¨ ur technisch ¨ relevante Strömungen, die meist turbulent sind, sind Ahnlichkeitslösungen wenig praktikabel. Eine wesentlich g¨ unstigere Methode ist die Anwendung numerischer Berechnungsverfahren zur Bestimmung möglichst genauer Näherungslösungen.

3.1. Erhaltungsgleichungen Die Erhaltungsgleichungen werden zunächst im Inertialsystem dargestellt, danach f¨ ur ein rotierendes Bezugssystem, das f¨ ur die Berechnung von Strömungen in Turbomaschinen von großer Bedeutung ist. Inertialsystem Zur Beschreibung von kompressiblen und reibungsbehafteten Strömungen steht das folgende Gleichungssystem, bestehend aus den differentiellen Erhaltungsgleichungen f¨ ur Masse (3.2), 18

3.1. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN

19

Impuls (3.3) und Energie (3.4) zur Verf¨ ugung. D% ∂% = + ∇ · (%~u) = 0 Dt ∂t

(3.2)

∂ ∂% + (%uj ) = 0 ∂t ∂xj

(3.2b)

D (%~u) = −∇p + %~k + ∇ · T Dt

(3.3)

∂ ∂p ∂ ∂ (%ui ) + (%ui uj ) = − + %ki + τij ∂t ∂xj ∂xi ∂xj

(3.3b)

D (%h0 ) = ∇p + %~k · ~u + ∇ · (~u · T) − ∇ · ~q Dt

(3.4)

∂(%h0 ) ∂%uj h0 ∂p ∂ui ∂ + = + %ki ui + τij − qi ∂t ∂xj ∂t ∂xj ∂xi

(3.4b)

Diese Gleichungen sind in Vektorschreibweise in jedem Koordinatensystem g¨ ultig, in der jeweils auch angegebenen Indexschreibweise (b) jedoch nur in kartesischen Koordinatensystemen. Die Energiegleichung wird in der häufig gebrauchten Form der Erhaltung der Totalenthalpie angegeben und nur bei kompressiblem Fluid benötigt. Die thermische Zustandsgleichung p = p(%, t) und die kalorische Zustandsgleichung h = h(%, t) kommen f¨ ur diesen Fall noch hinzu, der Wärmestromvektor ~q wird aus dem Fourierschen Wärmeleitungsgesetz ~q = −λ∇T gewonnen. In dieser Arbeit wird bei allen Berechnungen von inkompressiblem Fluid ausgegangen, die Energiegleichung demnach nicht gelöst. Der Tensor T in den Erhaltungsgleichungen wird im allgemeinen als Spannungstensor bezeichnet. F¨ ur Fluide mit newtonschem Materialverhalten und unter Annahme verschwindender Druckzähigkeit (Stokessche Hypothese; ausf¨ uhrliche Herleitung in Schlichting [92]) lautet der Spannungstensor im allgemeinen kompressiblen Fall 2 T = 2µE − µ(∇~u) · I 3 µ ¶ ∂ui ∂uj 2 ∂uk τij = µ + δij − µ ∂xj ∂xi 3 ∂xk

(3.5) (3.5b)

In dieser Gleichung steht µ f¨ ur die molekulare oder dynamische Viskosität des Fluids, E ist der Deformationsgeschwindigkeitstensor und I der Einheitstensor. Der Tensor T wird auch oft als Reibungsspannungstensor bezeichnet, so z.B. von Spurk [106], da er nicht den Druck, sondern nur Anteile aus den viskosen Reibungsspannungen enthält. Trotzdem soll in dieser Arbeit weiterhin T nach Gleichung (3.5) als Spannungstensor bezeichnet werden.

19

3.1. ERHALTUNGSGLEICHUNGEN

20

Rotierendes Bezugssystem Werden die Bewegungsgleichungen im rotierenden Bezugssystem gelöst, dann m¨ ussen die durch die Rotation hervorgerufenen Beschleunigungen durch zusätzliche Terme in den Momentengleichungen ber¨ ucksichtigt werden [5]. Wenn das Relativsystem gegen¨ uber dem Inertialsystem eine Translation mit der Geschwindigkeit v~t und eine Rotation mit der Winkelgeschwinigkeit ~ ausf¨ Ω uhrt, dann gilt mit dem Ortsvektor ~r im Relativsystem f¨ ur die Relativgeschwinigkeit w ~ und die Absolutgeschwindigkeit ~c im Inertialsystem ~ × ~r ~c = v~t + w ~ +Ω

(3.6)

wobei f¨ ur die Berechnung von Turbomaschinen v~t verschwindet. Die differentielle Form des Impulssatzes lautet dann f¨ ur ein beschleunigtes Bezugssystem unabhängig vom gewählten Koordinatensystem " # ~ d Ω Dw ~ ~ × w) ~ × (Ω ~ × ~r) + % + ~a + 2(Ω ~ +Ω × ~r = −∇p + %~k + ∇ · T (3.7) Dt dt Die gegen¨ uber dem Impulssatz im Inertialsystem zusätzlichen Terme in Gleichung (3.7) wirken wie Volumenkräfte, die zu den äußeren Kräften hinzukommen. Man bezeichnet sie auch als Scheinkräfte, weil sie nicht auf äußere Kräfte zur¨ uckzuf¨ uhren sind und nur f¨ ur den Beobachter im Relativsystem wirken. Die einzelnen Kräfte pro Volumeneinheit in Gleichung (3.7) bezeichnet man wie folgt: Die F¨ uhrungskraft des Relativsystems selbst ist %~a = % DDtv~t , also gleich Null, wenn der Ursprung des Relativsystems sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt oder in Ruhe ist. Letzteres ist bei Turbomaschinen der Normalfall. Den zweiten zusätzlichen Term ~ × w) %(Ω ~ bezeichnet man als Corioliskraft. Dieser Term verschwindet nur dann, wenn das ~ = 0) oder f¨ Relativsystem keine Rotation ausf¨ uhrt (d.h. Ω ur solche materielle Punkte, die im rotierenden System ruhen. Beides ist f¨ ur Turbomaschinenströmungen auszuschließen, daher erfährt jedes Fluidteilchen in einem Turbomaschinenlaufrad eine Corioliskraft. Diese Kraft wirkt bei radialen Turboarbeitsmaschinen entgegen der Drehrichtung und etwa in tangentialer Richtung. Ein Fluidteilchen wird also, angenommen es wirke nur die Corioliskraft, zur ~ × (Ω ~ × ~r) stellt die Zentrifugalkraft dar und Schaufeldruckseite hin abgelenkt. Der Term %Ω wirkt immer radial nach außen. Dieser Term wird nur dann zu Null, wenn das Relativsystem nicht rotiert, daher ist die Zentrifugalkraft bei Turbomaschinen immer vorhanden. Der letzte Term auf der linken Seite von Gleichung (3.7) ist nur dann von Null verschieden, wenn sich die Rotationsgeschwindigkeit zeitlich ändert. Bei Turbomaschinenberechnungen mit konstanter Drehzahl kann man diesen Term daher vernachlässigen. Mit diesen Vereinfachungen werden die Kontinuitäts- und Impulsgleichung im rotierenden Bezugssystem f¨ ur die Berechnung von Turbomaschinen zu

%

D% ∂% = + ∇ · (%w) ~ =0 Dt ∂t

(3.8)

Dw ~ ~ × w) ~ × (Ω ~ × ~r) + ∇ · T = −∇p + %~k − 2%(Ω ~ − %Ω Dt

(3.9)

20

¨ 3.2. ANSATZE ZUR TURBULENZBESCHREIBUNG

21

Da f¨ ur diese Gleichungen keine analytischen Lösungen der technisch relevanten turbulenten Strömungen möglich sind, muss man numerische Näherungslösungen des Gleichungssystems bestimmen. Zur numerischen Berechnung turbulenter Strömungen gibt es verschiedene Ansätze der Beschreibung der Turbulenz.

3.2. Ans¨ atze zur Turbulenzbeschreibung Turbulente Strömungen werden charakterisiert durch eine stochastische Verteilung aller Strömungsgrößen in Raum und Zeit. Dies impliziert direkt die Dreidimensionalität und Instationarität jeder turbulenten Strömung, die zudem stark rotationsbehaftet und dissipativ ist. Turbulente Bewegungen erstrecken sich u ¨ber einen großen Bereich von Längenskalen. Die größten Skalen, durch das integrale Längenmaß Lt gekennzeichnet, sind maximal von der Größenordnung des Srömungsgebietes und vor allem diffusiv bestimmt. Die kleinsten 3 turbulenten Skalen sind die Kolmogorov-Skalen f¨ ur Länge ηK = ( ν² )0,25 , Geschwindigkeit υK = (ν · ²)0,25 und Zeit τK = ( ν² )0,5 . Sie sind stark dissipativ bestimmt, d.h. sie dissipieren die turbulente kinetische Energie, die von den großen Skalen u ¨ber die Energiekaskade zugef¨ uhrt wird. Diese Charakteristika turbulenter Strömungen m¨ ussen von den Ansätzen zur numerischen Berechnung beachtet werden. Nachfolgend sind die wichtigsten Methoden vor dem Hintergrund der Anwendbarkeit f¨ ur Turbomaschinen in der Reihenfolge abnehmender Genauigkeit und zunehmender Modellierung kurz beschrieben und diskutiert.

DNS - Direkte Numerische Simulation Der naheliegendste Ansatz aus mathematischer Sicht ist die direkte Lösung der instationären Erhaltungsgleichungen (3.2), (3.3) und (3.4). Das numerische Berechnungsgebiet muss hierzu allerdings räumlich und zeitlich so fein diskretisiert werden, dass die kleinsten auftretenden turbulenten Skalen noch aufgelöst werden. Die zur räumlichen Diskretisierung erforderliche Knotenanzahl N f¨ ur eine Raumrichtung ergibt sich nach Tennekes und Lumley [112] aus dem Verhältnis des integralen turbulenten Längenmaßes Lt zum Kolmogorov Längenmaß nach N≥

3 Lt = Ret4 ηK

(3.10)

Dieses Verhältnis kann unter der Voraussetzung der Gleichheit dissipierter und produzierter turbulenter Energie, durch die turbulente Reynoldszahl Ret (siehe Gleichung (3.30)) ausgedr¨ uckt werden. Diese wird aus der mittleren Geschwindigkeit und dem integralen Längenmaß ´ [24] etwa zwei Größenordnungen kleiner als die gebildet und ist nach Ferziger und Peric makroskopische Reynoldszahl. Da eine turbulente Strömung immer dreidimensional ist, wird die erforderliche Knotenanzahl proportional zu N 3 . Die Bedingung f¨ ur die erforderliche zeitliche Auflösung M kann aus dem Verhältnis der f¨ ur die Simulation erforderlichen Zeit T zum Kolmogorov-Zeitmaß ermittelt werden: M≥

1 T = Ret2 τK

21

(3.11)

¨ 3.2. ANSATZE ZUR TURBULENZBESCHREIBUNG

22

¨ Uber die f¨ ur numerische Stabilität erforderliche CFL-Zahl wird die zeitliche der räumlichen Auflösung zugeordnet. Man erhält schließlich eine Abhängigkeit der f¨ ur die Simulation notwen3 digen Rechenoperationen N M von Ret nach N 3 M ∼ Re3t

(3.12)

Pope [75] gibt beispielsweise eine Näherungsformel N 3 M ∼ 160 · Re3t an. Der Aufwand f¨ ur eine DNS steigt also proportional zur dritten Potenz der turbulenten Reynoldszahl. Aufgrund der somit enorm hohen Anforderungen an Speicher- und Rechenkapazität bleibt das Anwendungsgebiet der DNS daher vorerst auf Strömungen relativ kleiner Reynoldszahl beschränkt. Diese Art von Berechnungen sind allerdings von großer Bedeutung, da sie als eine Art numerisches Experiment eine hervorragende Datenbasis liefern, an denen Ansätze zur Modellierung der Turbulenz validiert und verbessert werden können. Eine in dieser Absicht durchgef¨ uhrte DNS von Kalitzin, Wu und Durbin [44] eines Niederdruckturbinenkanals bei Re = 1.48 · 105 liefert hervorragende Aussagen u ¨ber die Entwicklung turbulenter Größen im Kanal und zeigt den enorm hohen Aufwand mit 86 Millionen Gitterpunkten sowie die Schwierigkeit, Randbedingungen f¨ ur die turbulenten Schwankungsbewegungen zu formulieren. Auf dieses Problem weist auch Janicka [42] hin, was die Methode auch unter der Annahme ausreichender Rechnerkapazität f¨ ur beliebige technische Anwendungen recht unpraktikabel macht. Ein weiterer Aspekt beim Gleichstellen einer DNS Datenbasis mit experimentellen Daten ergibt sich aus der grundlegenden Forderung einer Ensemble-Mittelung letzterer, die eigentlich auch f¨ ur DNS Berechnungen erforderlich wäre. F¨ ur die ökonomische numerische Berechnung technischer Strömungen ist es daher noch unabdingbar, die Turbulenz nicht aufzulösen, sondern mit geeigneten Ansätzen zu modellieren. Die wichtigsten sind nachfolgend kurz erläutert.

LES - Large Eddy Simulation Die globale Struktur einer Strömung wird vor allem von den energietragenden großskaligen Wirbeln des Turbulenzspektrums bestimmt, welche f¨ ur Transportvorgänge verantwortlich sind. Das Verhalten der kleinskaligen Wirbel hingegen ist viel universeller, d.h. nahezu unabhängig vom betrachteten Strömungsproblem. Weiterhin weisen sie viel eher isotrope Turbulenz auf, eine Eigenschaft, die sie der statistischen Modellierung erst zugänglich macht (vgl. auch unten). Eine Tiefpassfilterung der Erhaltungsgleichungen trennt die räumlichen Skalen, so dass das erhaltene Gleichungssystem auf einem größtenteils gröberen Gitter als bei einer DNS berechnet werden kann. Die großen Turbulenzwirbel werden hierbei dreidimensional und instationär simuliert, während die herausgefilterten kleinen Wirbel mit einem geeigneten Ansatz modelliert werden (SGS, Sub-Grid Scale Model ). Hierbei wählt man einfache statistische Modelle, beispielsweise das algebraische Modell nach Smagorinsky [103], oder dynamische Modelle, die den Vorteil haben, dass die Filterweite nicht konstant ist, sondern während der Berechnung aus den aktuellen Ergebnissen dynamisch angepasst wird. LES-Simulationen sind schon heute in der industriellen Anwendung vertreten. Anwendungsgebiete sind vor allem solche Strömungsprobleme, die grundsätzlich eine instationäre Betrachtung erfordern, die weiterhin von möglichst wenigen verschiedenen Längenskalen beschrieben werden und nur wenig von 22

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ”

23

Wandeinfl¨ ussen geprägt sind. Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist folglich die Verbrennungssimulation. Turbomaschinen hingegen weisen einige Merkmale auf, die sich ung¨ unstig auf die Anwendbarkeit auswirken. Einerseits treten sehr verschiedene Längenmaße auf, andererseits wird die Strömung stark von Wandeinfl¨ ussen dominiert, was eine hohe räumliche Auflösung in diesem Bereich erfordert [42]. Vor diesem Hintergrund werden in j¨ ungster Zeit hybride Verfahren mit statistischer Behandlung des wandnahen Bereiches entwickelt, wie beispielsweise von Spalart [104] vorgeschlagen. Als Eintrittsrandbedingung einer LES werden auch räumlich und zeitlich korrelierte Daten der turbulenten Variablen benötigt. Diese kann man einerseits separat aus einer zusätzlichen, verlängerten Zulaufströmung berechnen, andererseits ist die Vorgabe randomer Verteilungen möglich. Eine vereinfachte und vielversprechende Möglichkeit zur Bereitstellung pseudo-turbulenter“ Randbedingungen aus randomen Daten wird von ” Klein [52] vorgestellt. Der starke Einfluss der Eintrittsrandbedingungen ist vor allem bei nicht wanddominierten Strömungen erkennbar, daher bleibt die Wandbehandlung bei LES f¨ ur Turbomaschinen als noch wichtigstes Problem.

3.3. Statistische Turbulenzmodelle - RANS“ ” Bei der numerischen Berechnung von Turbomaschinen ist man primär an integralen Größen interessiert und somit an zeitlichen Mittelwerten auch turbulenter Größen. Aufgrund der gegen¨ uber den zuvor beschriebenen Modellierungsansätzen niedrigeren Modellierungsebene statistischer Turbulenzmodelle erhält man mit diesen direkt den gesuchten Einfluss: Die Wirkung der Turbulenz im zeitlichen Mittel auf die mittleren Strömungsgrößen Druck und Geschwindigkeit. Trotz einiger im folgenden herauszuarbeitenden Nachteile statistischer Modelle werden sie noch einige Zeit Stand der Technik sein, wie beispielsweise Durbin [19] betont. Statistische Turbulenzmodelle beruhen auf einem Ansatz, der von Reynolds bereits 1895 vorgeschlagen wurde, der Aufteilung einer Strömungsgröße φ in einen mittleren Anteil φ und in einen fluktuierenden Anteil φ0 φ(xi , t) = φ(xi , t) + φ0 (xi , t)

(3.13)

Da alle statistischen Modelle auf diesem Ansatz beruhen, werden sie auch als RANS“ -Modelle ” (Reynolds-Averaged-Navier-Stokes) bezeichnet. Den Arbeitsbereich der statistischen Modelle zeigt Abbildung 3.1. Im dargestellten Energiespektrum, d.h. Energiedichte eines turbulenten Wirbels in Abhängigkeit von der Wellenzahl, modellieren statistische Modelle den gesamten Frequenzbereich, während die LES nur die großskaligen Wirbel und die DNS das gesamte Frequenzspektrum direkt berechnen.

3.3.1. Reynoldsmittelung und Modellierungsans¨ atze Die Durchf¨ uhrung der Reynoldsmittelung, Grundlage aller statistischen Turbulenzmodelle, ist abhängig von der Art der Strömung. Die allgemein g¨ ultige Art und Weise der Reynoldsmittelung zur Bestimmung von φ ist eine Ensemble-Mittelung“ . Hierbei wird eine Strömungsgröße ” φ n-mal an einem festen Ort xi immer zum gleichen Zeitpunkt des gleichen Experiments, bzw. 23


24

bei zeitperiodischen Vorgängen immer nach Ablauf einer Periode, gemessen und anschliessend durch die Anzahl der Messungen geteilt. Ã n ! 1 X (k) φ(xi , t) = lim φ (xi , t) (3.14) n→∞ n k=1 Diese Art der Reynoldsmittelung muss auf Strömungen angewendet werden, die im zeitlichen Mittel instationär sind, beispielsweise periodisch instationäre Strömungen in Turbomaschinen. F¨ ur Strömungen, die im zeitlichen Mittel stationär sind, kann man auch u ¨ber einen ausreichend großen Zeitraum messen und u ¨ber diesen mitteln. In diesem Fall stellt die Reynoldsmittelung eine echte Zeitmittelung dar, im Fall der Ensemble-Mittelung nicht. Wird eine Zeitmittelung auf eine periodisch instationäre Strömung angewendet, so muss der Zeitraum, u ¨ber den gemittelt werden soll, einerseits deutlich größer als das turbulente Zeitmaß, andererseits aber deutlich kleiner als das Zeitmaß der periodischen Instationarität der Hauptströmung sein. Dies f¨ uhrt bei Turbomaschinen schnell zu Problemen, daher ist hier immer von einer Ensemble-Mittelung auszugehen. Dieser Mittelwert ist dann gleichbedeutend mit der Summe aus einem zeitgemittelten Wert und der periodischen Fluktuation der Hauptströmung. Nur der Vollständigkeit halber wird hier noch erwähnt, dass man bei sehr seltenen Strömungen mit homogener Turbulenz, also turbulenten Schwankungen unabhängig von der Raumrichtung, auch eine räumliche Mittelungsvorschrift anwenden kann. Die Zerlegung nach Gleichung 3.14 wird nun in die im Rahmen dieser Arbeit verwendeten inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen eingesetzt. Man erhält nach Mittelwertbildung sowie unter Vernachlässigung zusätzlicher Volumenkräfte, der Annahme konstanter Dichte und Viskosität und Anwendung der Regeln f¨ ur die Mittelung korrelierter Größen [106] die reynoldsgemittelten Navier-Stokes Gleichungen ∂ui =0 ∂xi

(3.15)

∂ui ∂ui 1 ∂p ∂ 2 ui ∂ + uj =− +ν − (u0 u0 ) ∂t ∂xj % ∂xi ∂xk ∂xk ∂xj i j

(3.16)

Diese unterscheiden sich in der Struktur nicht vom Gleichungssystem der Momentanwerte (kompressible Gleichungen (3.2b) und (3.3b), alle Gleichungen werden ab hier nur noch in Indexschreibweise angegeben), es erscheint lediglich als neue Unbekannte der Tensor u0i u0j . Diese Korrelation der Schwankungswerte wird, multipliziert mit der Dichte, als Reynoldsspannungstensor (im folgenden RST) bezeichnet. Durch diesen zusätzlichen Term läßt sich das Gleichungssystem mathematisch nicht mehr schließen, was man auch als Schließungsproblem der Turbulenz“ be” zeichnet. Die Beschreibung oder Modellierung des RST durch bekannte Strömungsgrößen und mit Hilfe empirischer Korrelationen kann man demnach im weitesten Sinne als statistische Turbulenzmodellierung bezeichnen. Ein ideales Turbulenzmodell sollte hierbei so wenig komplex wie möglich sein, dennoch aber die wesentlichen physikalischen Phänomene beschreiben können. Um den RST zu beschreiben, gibt es grundsätzlich zwei Möglichkeiten: • Bereitstellen einer Transportgleichung f¨ ur den RST 24


25

• direkte Modellierung des RST

Reynoldsspannungsmodelle Die Transportgleichung des RST gewinnt man durch Einsetzen der Aufspaltung der Strömungsgröße nach Gleichung 3.13 in die Navier-Stokes-Gleichung und anschließende Subtraktion der reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen. Das Ergebnis sind die Transportgleichungen der Schwankungsbewegungen. Nach weiteren Rechenschritten, die ausf¨ uhrlich 0 0 bei Janicka [42] dargestellt sind, erhält man die Transportgleichung f¨ ur ui uj wie folgt µ µ ¶ ¶ ∂u0i u0j ∂u0i u0j p0 ∂u0i ∂u0j 0 0 ∂uj 0 0 ∂ui + uk = − u i uk + u j uk + + ∂t ∂xk ∂xk ∂xk ρ ∂xj ∂xi {z } | | {z } Produktion

−

∂ ∂xk |

Ã

u0i u0j u0k +

Druck-Scher-Korrelation

(3.17)

!

p0 u0j ∂u0i u0j p0 u0i ∂u0i ∂u0j δik + δik − ν − 2ν · ρ ρ ∂xk ∂xk ∂xk {z } {z } | Dissipation

Diffusiver Transport

Die Transportgleichungen des RST beinhalten nun selbst Tripelkorrelationen der unbekannten Schwankungsbewegungen, das Schließungsproblem wird also auf eine höhere Ebene verlagert. Auch hier m¨ ussen Modelle f¨ ur die Terme des diffusiven Transports, u.a. der Tripelkorrelation, sowie f¨ ur die Druck-Scher-Korrelation und den Dissipationstensor bereitgestellt werden. Man spricht von Reynolds-Spannungs-Modellen“ (RSM), die durch die Beschrei” bung jeder einzelnen Komponente des RST mit einer eigenen Transportgleichung die Physik der Turbulenz bez¨ uglich Unterschieden in den Komponenten des RST nat¨ urlich wesentlich besser ber¨ ucksichtigen können. Aus numerischer Sicht sind diese Modelle allerdings deutlich aufwändiger. Einerseits m¨ ussen die zusätzlichen Gleichungen gelöst werden, andererseits sind RSM numerisch weit weniger robust als algebraische Turbulenzmodelle, die man bei direkter Modellierung des RST erhält. Da in der vorliegenden Arbeit kein Turbulenzmodell auf der Basis eines RSM verwendet wurde, wird hier auf eine weitere Diskussion der Modellierungsansätze verzichtet und lediglich auf eines der bekanntesten RSM nach Launder, Reece und Rodi [57] verwiesen. Eine f¨ ur die nachfolgend vorgestellten Wirbelviskositätsmodelle wichtige Größe ist die der turbulenten kinetischen Energie k, welche u ¨ber die Spur der reynoldsschen Spannungen definiert ist: 1 k ≡ u0i u0i 2

(3.18)

Eine exakte Transportgleichung f¨ ur die turbulente kinetische Energie k erhält man aus der Kontraktion der Bilanzgleichung des RST (3.17) zu ¸ · 1 0 0 ∂k ∂k ∂ 1 0 0 0 ∂k ∂u0 ∂u0i 0 0 ∂ui ν + uj = −ui uj + − ui ui uj − p uj − ν i ∂t ∂xj ∂x ∂xj ∂xj 2 % ∂xk ∂xk | {z } | {z j} ²

Pk

25

(3.19)


26

wobei mit Pk die exakte Produktion und mit ² die Dissipation turbulenter kinetischer Energie k bereits definiert sind.

Wirbelviskosit¨ atsmodelle Wirbelviskositätsmodelle (EVM - Eddy Viscosity Models) bilden in der praktischen Anwendung von Turbulenzmodellen noch die größte Gruppe. Sie basieren auf der direkten Modellierung des RST unter der Annahme der Existenz einer turbulenten Wirbelviskosität. Grundlage hierf¨ ur ist die von Boussinesq [8] postulierte Analogie zwischen molekularen und turbulenten Spannungen. In Anlehnung an das Materialgesetz Newtonscher Fluide werden die Reynoldsspannungen proportional der Scherrate angenommen: µ ¶ ∂ui ∂ui 0 0 (3.20) −ui uj ∼ νt + ∂xj ∂xj Die turbulente Wirbelviskosität νt ist keine Stoffeigenschaft, sondern eine vom momentanen, lokalen Strömungszustand abhängige Größe. Unter der Vorraussetzung des turbulenten Gleichgewichts und der Isotropie lässt sich mit Hilfe der Dimensionsanalyse nachweisen, dass νt nur von je einem charakteristischen Geschwindigkeitsmaß Ut und Längenmaß Lt abhängt [42]. Als turbulentes Geschwindigkeitsmaß dient die Quadratwurzel der bereits oben definierten (3.18) turbulenten kinetischen Energie k. Eine Einteilung der Wirbelviskositätsmodelle kann nun nach der Anzahl der benötigten Transportgleichungen zur Bestimmung der turbulenten Viskosität bzw. von Ut und Lt vorgenommen werden. Verwendet man ausschließlich algebraische Beziehungen, so spricht man von Nullgleichungs-Modellen, wie beispielsweise der Prandtlsche Mischungswegansatz. Entsprechend lösen Eingleichungmodelle genau eine Transportgleichung, wie im Falle des f¨ ur aerodynamische Strömungen entwickelten Modells von Spalart und Allmaras. Zweigleichungsmodelle lösen f¨ ur beide charakteristischen turbulenten Maße je eine Transportgleichung. Die bekanntesten Zweigleichungsmodelle sind das Standard-k-²-Modell und das k-ω-Modell. Auch die Definition der die Turbulenz beschreibenden Geschwindigkeits- und Längenmaße ist ein wichtiges Unterscheidungsmerkmal. Ein anderer Ansatz zur Klassifizierung von Wirbelviskositätsmodellen liegt in der Tensorordnung der im Modell ber¨ ucksichtigten Terme einer allgemeinen algebraischen Gleichung f¨ ur 0 0 ui uj , womit man in lineare und nichtlineare Modelle unterteilen kann. Der Modellierungsansatz einer algebraischen Gleichung f¨ ur u0i u0j beruht auf der Annahme einer nahezu homogenen Turbulenz bei hohen Reynoldszahlen. Wie beispielsweise von Pope [76] gezeigt, lässt sich dann herleiten, dass der RST eine lokale, d.h. nur an einem bestimmten Ort zu einem bestimmten Zeitpunkt g¨ ultige Funktion des mittleren Geschwindigkeitsgradienten, eines Zeit- und eines Längenmaßes ist. Benutzt man f¨ ur das Zeit- und Längenmaß die turbulente kinetische Energie k und deren Dissipation ² gemäß 3

k Tt = ²

k2 Lt = ² 26

(3.21)


27

so erhält man die funktionale Abhängigkeit u0i u0j

·

∂ui =F , Lt , T t ∂xj

¸

(3.22)

Unter Anwendung der Invariantentheorie sowie mit Hilfe des Cayley-Hamilton-Theorems zeigt ∂ui gibt. NachLumley [59], dass es 18 voneinander unabhängige Invarianten des Tensors k² ∂x j dem weiterhin die von den unabhängigen Invarianten abhängigen Koeffizienten bestimmt sind, folgt die allgemeine algebraische Beziehung f¨ ur die lokale Beschreibung des RST, die hier in dimensionsbehafteter Form und nur bis zu quadratischen Termen angegeben wird: u0i u0j 1 = δij 2k 3 µ k ∂ui ∂uj + + a2 ² ∂xj ∂xi µ 2 k ∂ui ∂uk + a4 2 · ² ∂xk ∂xj µ k 2 ∂ui ∂uj · + a6 2 ² ∂xk ∂xk µ k 2 ∂uk ∂uk · + a7 2 ² ∂xi ∂xj

¶ 2 ∂ui − δij 3 ∂xi ¶ ∂uj ∂uk 2 ∂ui ∂uj + · − · δij ∂xk ∂xi 3 ∂xj ∂xi ¶ 1 ∂ui ∂ui − · δij 3 ∂xj ∂xj ¶ 1 ∂ui ∂ui − · δij (+HOT ) 3 ∂xj ∂xj

(3.23)

Eine genaue Herleitung dieser Gleichung sowie die restlichen Terme höherer Ordnung finden sich bei Bauer [6]. Es wird nochmals darauf hingewiesen, dass Gleichung (3.23) nur lokal unter der Annahme homogener Turbulenz gilt, was eine starke Vereinfachung bez¨ uglich tatsächlicher technischer Strömungen darstellt. Wirbelviskositätsmodelle lassen sich je nach der Ordnung der im Modell ber¨ ucksichtigten Terme der allgemeinen algebraischen Beziehung (3.23) zur Berechnung des RST unterteilen in lineare und nichtlineare, meist quadratische oder kubische Wirbelviskositätsmodelle. Ein u ¨bersichtliches Schema zur Hierarchie statistischer Turbulenzmodelle gibt Jones [117], wobei er entsprechend der in den Modellen enthaltenen Physik in unterschiedliche Modellierungsebenen einteilt.

Turbulentes Energiespektrum Die oben eingef¨ uhrte Annahme der Existenz genau eines, f¨ ur das komplette Turbulenzspektrum g¨ ultigen charakteristischen turbulenten Geschwindigkeits- und Längenmaßes stellt eine idealisierte Vorstellung dar. Tatsächlich sind die Skalen, auf denen der Energieaustausch in idealer turbulenter Strömung erfolgt, auf ein breites Frequenzspektrum verteilt. Unter idealer Turbulenz wird hier eine homogene, statistisch stationäre und isotrope Turbulenz vorausgesetzt. In diesem Fall stellt sich das turbulente Energiespektrum, d.h. die Energiedichte E turbulenter Strukturen in Abhängigkeit einer Wellenzahl κ, wie im linken Teil der Abbildung 3.1 doppeltlogarithmisch aufgetragen dar. Das Energiespektrum lässt sich in drei Gebiete unterteilen. Bei kleinen Frequenzen finden sich die großen, energietragenden Wirbel (Bereich 1 in Abbildung 3.1), die direkt Energie von der Hauptströmung erhalten und diese u ¨ber 27


28

Abbildung 3.1.: Energiespektrum (links) und Modellvariablen nach Kim und Chen [49] (rechts)

Wirbelstreckung hin zu kleineren Skalen bei größeren Frequenzen u ¨bertragen. Produktion turbulenter kinetischer Energie findet bei diesen großskaligen Wirbelstrukturen statt, welche u ¨ber die integralen turbulenten Zeit- und Längenskalen Tt und Lt charakterisiert sind. Im Dissipationsbereich (Bereich 3) wird die turbulente kinetische Energie schließlich dissipiert. Dieser Bereich wird auch Gleichgewichtsbereich genannt, da nur hier ein Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie vorliegt. Der Energietransfer von großskaligen zu kleinskaligen Turbulenzstrukturen, auch als Energiekaskade bezeichnet, bewirkt einen zeitlichen und räumlichen Unterschied zwischen Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie. Alle Zweigleichungs-Wirbelviskositätsmodelle, die wie oben beschrieben von einem f¨ ur das komplette Turbulenzspektrum g¨ ultigen charakteristischen turbulenten Geschwindigkeits- und Längenmaß ausgehen, können somit keine Mechanismen der Energiekaskade ber¨ ucksichtigen. Dies ist nur dann möglich, wenn die turbulente Wirbelviskosität mittels verschiedener turbulenter Zeitmaße berechnet wird. In dieser Arbeit wird zu diesem Zweck ein Wirbelviskositätsmodell mit variablen Zeitmaßen eingesetzt, welches vier Gleichungen zur Berechnung von νt benutzt.

3.3.2. RANS-Modelle und Instationarit¨ at - URANS“ ” Bei der Anwendung von RANS-Turbulenzmodellen auf instationäre Strömungen muss lediglich die Zeitableitung in den das Modell beschreibenden Transportgleichungen mit ber¨ ucksichtigt werden. Instationaritäten können dabei entweder extern aufgeprägt sein, wie die f¨ ur diese Arbeit wichtige Relativbewegung zwischen Rotor und Stator bei Turbomaschinen, oder aus internen Strömungsvorgängen entstehen, wie beispielsweise Kavitation oder der Wirbelzopf im Diffusor einer Francis-Turbine [85]. Dies ist eine zunächst gerechtfertigte Vorgehensweise, wobei die erhaltenen Ergebnisse Interpretationsspielraum lassen. Ursache ist die zurecht fraglich erscheinende Zeitintegration zuvor zeitgemittelter Größen, insofern die Reynoldsmittelung als eine solche angesehen wird. Spalart [104] spricht in diesem Zusammenhang von UR” ANS“ (Unsteady RANS) und fordert f¨ ur eine korrekte Anwendung eine Trennung der Zeitskalen der kohärenten Grundströmung und der u ¨berlagerten, stochastischen turbulenten Schwankung. Dies bedeutet, die Frequenz einer periodischen Instationarität in der Grundströmung fd m¨ ußte 28


29

im turbulenten Energiespektrum deutlich vom Frequenzspektrum der turbulenten Schwankungen ft getrennt sein, nämlich eine deutlich niedrigere Frequenz aufweisen, was in der Literatur als Spectral-Gap-Problem bekannt ist. Wie die Ausf¨ uhrungen von Eulitz [22] zeigen, kann dies insbesondere bei axialen Turbomaschinen nicht immer eingehalten werden. Vielmehr liegt die deterministische Frequenz in Abhängigkeit der Drehzahl und der Reynoldszahl sehr häufig genau im Bereich maximaler turbulenter Energie. Obwohl die Frequenz der periodischen Schwankungen bei Pumpen i.a. niedriger sein wird als bei axialen Turbomaschinen, ist dieses Problem grundsätzlich auch bei Pumpen relevant. Aufgrund zahlreicher erfolgreicher Anwendungen von URANS auf Strömungen, bei denen die deterministische Frequenz genau im turbulenten Energiespektrum liegt, bewertet Durbin [19] diese Modelle auf eine andere Art und Weise. Unter der Voraussetzung, dass die Reynoldsmittelung keine Zeit- sondern eine Ensemblemittelung darstellt, was sie tatsächlich ist und wodurch sich die Form der reynoldsgemittelten Transportgleichungen nicht ändert, setzt er als Bedingung f¨ ur die Anwendbarkeit von URANS lediglich die Existenz eines die deterministische Schwankung darstellenden, ausgeprägten engen Sprungs im Turbulenzspektrum voraus, unabhängig von dessen Frequenz. URANS-Modelle liefern auch dann gute Ergebnisse, wenn fd ≈ ft gilt, was nach oben gesagtem eigentlich ein SpectralGap-Problem ist. Es zeigt sich einerseits, dass URANS-Modelle, ebenso wie RANS-Modelle, stationäre Lösungen liefern, wenn das Frequenzspektrum der Strömung nicht diese ausgeprägte Frequenz einer deterministischen Schwankung aufweist, wie beispielsweise bei der Umströmung einer Kugel oder der r¨ uckspringenden Stufe, die in Kapitel 5 untersucht wird. Andererseits ist es äußerst schwierig, mit URANS-Modellen stationäre Lösungen f¨ ur Probleme mit ausgeprägter deterministischer Frequenz zu berechnen, wie z.B. bei massiver Ablösung am Profil [118]. Die Modelle liefern also statistisch gesehen korrekte Ergebnisse. F¨ ur die Anwendung bedeutet dies, dass eine Strömungsgröße φ nicht in zeitgemittelten Wert ¯ φ und periodischen Wert φe aufgeteilt werden muss, sondern nur als Ensemble-Mittelwert φ angesehen werden kann, der beide Anteile enthält, und den turbulenten Schwankungswert φ0 . Die Aufgabe des Turbulenzmodells besteht also darin, geeignete Schließungsansätze f¨ ur die Be0 rechnung der turbulenten Schwankungen φ zu finden. Eine Zeitmittelung u ¨ber die betrachtete Rechenzeit T aller Ensemble-Mittelwerte φ sollte dann ein Schritt des Postprocessing sein, um zeitliche Mittelwerte der Größe φ zu bestimmen: Z 1 φT = φ(¯ x, t)dt (3.24) T Diese Vorgehensweise ist direkt auf Pumpenberechnungen mit der deterministischen Frequenz fd = n · zB (Drehzahl · Schaufelzahl) u ¨bertragbar und rechtfertigt somit die Anwendung von URANS-Modellen.

3.3.3. Lineare Wirbelviskosit¨ atsmodelle Lineare Wirbelviskositätsmodelle beruhen auf dem bereits erwähnten Ansatz von Boussinesq [8]. Die Annahme der Proportionalität turbulenter Spannungen zur Scherrate der Hauptströmung resultiert im Gradientenflussansatz (3.25), oder auch Wirbelviskositätsansatz, in dem die turbulente Wirbelviskosität νt in der Funktion eines Proportionalitätsfaktors eingef¨ uhrt 29


30

wird. −u0i u0j

= νt

µ

∂ui ∂uj + ∂xj ∂xi

¶

2 − kδij 3

(3.25)

Das Problem der Berechnung des RST wird somit auf die Notwendigkeit der Berechnung der turbulenten Viskosität νt reduziert, welche wiederum u ¨ber ein charakteristisches integrales Zeitund Längenmaß bestimmt werden kann. Die Gleichung des Gradientenflussansatzes (3.25) lässt sich auch aus der allgemeinen konstitutiven Gleichung des RST (3.23) gewinnen, indem man nur die linearen Terme ber¨ ucksichtigt. Durch die lineare Kopplung des RST mit dem Deformationsgeschwindigkeitstensors Sij (3.26) entsprechen sich die Hauptachsen beider Tensoren. Somit kann die in den meisten technischen Strömungen vorhandene Anisotropie des RST mit linearen Wirbelviskositätsmodellen nicht erfasst werden. µ ¶ 1 ∂ui ∂uj + (3.26) Sij = 2 ∂xj ∂xi ¨ In Strömungen mit plötzlichen Anderungen von Sij liefern diese Modelle demzufolge schlechte 0 0 Ergebnisse, da sich ui uj in diesen Fällen anders verhält, als mit Gleichung (3.25) berechnet. Somit sind Strömungen, welche die folgenden Eigenschaften aufweisen, f¨ ur die Anwendung linearer Wirbelviskositätsmodelle theoretisch schlecht geeignet: • plötzliche Querschnittsänderungen • Stromlinienkr¨ ummungen und allgemein starke Dreidimensionalität • starker Einfluss von Rotation • Grenzschichteffekte wie z.B. Ablösung Alle diese Eigenschaften weisen Strömungen in Turbomaschinen auf. Dennoch werden lineare Wirbelviskositätsmodelle nach wie vor mit gutem Erfolg bei der Berechnung von Pumpen eingesetzt. Die Vorhersagefähigkeit f¨ ur Pumpenströmungen einiger der wichtigsten linearen Zweigleichungsmodelle, die im folgenden vorgestellt werden, soll im Rahmen der vorliegenden Arbeit bewertet werden.

Standard-k-²-Modell (SKE) Das k-²-Modell, das in seiner Standard-Form bereits 1972 von Launder und Spalding [55] vorgeschlagen wurde, ist mit großer Wahrscheinlichkeit das Turbulenzmodell, dessen Stärken und Schwächen am hinlänglichsten bekannt sind. Da die Vorteile des Modells vor allem in guter numerischer Stabilität aufgrund seiner dissipativen Eigenschaften, einem hohen KostenNutzen-Effekt und seiner guten Anwendbarkeit auf unterschiedlichste technische Strömungen begr¨ undet sind, wird es trotz seiner bekannten Mängel noch immer sehr häufig eingesetzt. Die turbulente Viskosität wird nach Gleichung (3.27) mit Hilfe der turbulenten kinetischen Energie k und deren Dissipation ² berechnet, welche gemäß den Gleichungen (3.21) das 30


31

turbulente Zeit- und Längenmaß repräsentieren. νt = C µ · fµ ·

k2 ²

(3.27)

Hierzu m¨ ussen Transportgleichungen f¨ ur k und ² gelöst werden. Aus der exakten Transportgleichung f¨ ur k (3.19) werden die unbekannten Korrelationen (zweiter Term der rechten Seite) mittels eines Gradientenflussansatzes modelliert, indem die diffusiven Fl¨ usse proportional zum Gradienten von k angenommen werden. Eine analoge Vorgehensweise f¨ uhrt zu einer exakten Gleichung der Dissipation ², deren Modellierung zur Transportgleichung (3.29) f¨ uhrt. Eine ausf¨ uhrliche Herleitung ist beispielsweise bei Wilcox [119] nachzulesen. Da beide Gleichungen unter der Voraussetzung einer vollausgebildeten turbulenten Strömung bei hoher Re-Zahl modelliert wurden, sind sie in der Nähe fester Wände, wo viskose Effekte gegen¨ uber turbulenten Spannungen dominieren, nicht g¨ ultig. Um sie dennoch in diesem Bereich anwenden zu können, gibt es die folgenden Möglichkeiten: ¨ • Uberbr¨ uckung der viskosen Unterschicht der Grenzschicht mittels Wandfunktionen • Erweiterung der Gleichungen mittels Dämpfungsfunktionen f¨ ur Low-Reynolds-Number Bereiche ( LowRe-Modelle“ ) ” Die Transportgleichungen mit Low-Reynolds-Erweiterungen (3.28),(3.29) sowie die Gleichung der turbulenten Viskosität (3.27) beinhalten die Dämpfungsfunktionen f1 , f2 und fµ . ·µ ¶ ¸ νt ∂k ∂k ∂ ∂k ν+ + Pk − ² + uj = ∂t ∂xj ∂xj σk ∂xj ·µ ¶ ¸ νt ∂² ² ∂² ²2 ∂ ∂² ν+ + C ²1 f 1 P k − C ²2 f 2 + uj = ∂t ∂xj ∂xj σe ∂xj k k

(3.28) (3.29)

Setzt man die Dämpfungsfunktionen zunächst zu 1, dann beschreiben die Gleichungen (3.28),(3.29) und (3.27) das nur f¨ ur hohe Reynoldszahlen g¨ ultige Standard-k-²-Modell. Dieses muss dann in Wandnähe mit Wandfunktionen die viskose Unterschicht u ucken, was zu ¨berbr¨ besonderen Randbedingungen f¨ ur k und ² f¨ uhrt (siehe Kapitel 4). Die Verwendung der Dämpfungsfunktionen erweitert die G¨ ultigkeit des Modells f¨ ur Strömungsbereiche in Wandnähe, indem sie die Wirkung der Turbulenz in diesem Bereich dämpfen“ . Grenzbetrachtungen des asymptotischen Verhaltens turbulenter Strömungsgrößen ” in Wandnähe liefern die z.B. bei Unger [116] angegeben Bedingungen, welche durch Wahl der Dämpfungsfunktionen gegeben sein m¨ ussen. Beispielsweise wird ein mit dem Wandabstand kubisches Anwachsen der turbulenten Viskosität gefordert. Realisiert wird dies mit dem Faktor fµ in Gleichung (3.27), der von seinem Maximalwert 1 in vollturbulenter Strömung bei Annäherung an eine Wand dieses asymptotische Verhalten gewährleisten soll. In ähnlicher Weise wirken die Funktionen f1 und f2 , um die Größen k und ² zu dämpfen. In der Literatur existieren eine Vielzahl vorgeschlagener LowRe-Modelle, die sich hauptsächlich in der Formulierung der Dämpfungsfunktionen unterscheiden. In den meisten Modellen werden 31

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ” Koeffizient Cµ σk σ² C ²1 C ²2

SKE 0.09 1.0 1.3 1.44 1.92

fµ

1.0

f1

1.0

f2

1.0

Pk0

LowRe-k-² Abid 0.09 1.0 1.4 1.45 1.83 µ (tanh (0, 008 · Rey )) · 1 +

Ã

1 − 92 e h

µ

1.0

Re2 − 36t

¶!

µ

· 1−e

2 = 1.33 1 − 0.3e(−Ret )

iµ

³

−

32 LowRe LCL 2/3 ¯ ¯ 1.25+S+0.9 Ω

4

3 Ret4

Rey 12

1.0 1.3 1.44 (1 + Pk0 /Pk ) 1.92 ¢ ³ ¡ 1 − e(−0.0198Rey ) · 1 +

¶

1.0

´¶

k Pk + 2ν 2 y

5.29 Rey

¶

´

³ ´ 2 1 − 0.3e(−Ret ) 2

e−0.00375Rey

(3.33)

Tabelle 3.1.: Modellkoeffizienten und Dämpfungsfunktionen von k-²-Modellen

diese Funktionen in Abhängigkeit der turbulenten Reynoldszahlen Ret und Rey sowie des dimensionslosen Wandabstands y + ausgedr¨ uckt. k2 ν² √ ky Rey = ν r yuτ y τW + y = = ν ν ρ Ret =

(3.30) (3.31) (3.32)

¨ Einen guten Uberblick der bekanntesten Modelle sowie der Wirkung der Dämpfungsfunktionen im einzelnen geben Patel [70] oder Unger [116]. In der vorliegenden Arbeit soll keine Bewertung der unterschiedlichen LowRe-Modelle untereinander erfolgen, sondern ein Vergleich gegen¨ uber Modellen mit Wandfunktionen. Daher wird nur das LowRe Modell nach Abid [1] ausgewählt, dessen Tauglichkeit f¨ ur transitionale Strömungen einerseits von Unger [116] nachgewiesen wurde und das andererseits ausreichend gutes Konvergenzverhalten aufweist. Weiterhin sind die Dämpfungsfunktionen dieses Modells nicht von geometrischen Größen abhängig, was f¨ ur die Anwendbarkeit in komplexen Geometrien wie Pumpen von Vorteil ist. In Tabelle 3.1 sind die Modellkoeffizienten sowie die Dämpfungsfunktionen des Standard-k-²-Modells, des LowRe-k-²-Modells nach Abid und eines erst im nächsten Kapitel vorgestellten nichtlinearen Wirbelviskositätsmodells angegeben. Der Term Pk in Gleichung (3.28) repräsentiert die Produktion turbulenter kinetischer Energie, dessen exakte Berechnung aus der exakten Gleichung von k (3.19) folgt. Unter Verwendung des Boussinesq-Ansatzes und mit der Definition des Deformationsgeschwindigkeitstensors nach

32


33

Gleichung(3.26) vereinfacht sich die Berechnung des Produktionsterms von k zu ¢ ¡ 2 2 2 2 2 2 Pk = 2νt Sij Sij = 2νt S11 + S22 + S33 + 2S12 + S13 + S23

(3.34)

Kato-Launder Modifikation

Der Produktionsterm Pk des k-²-Modells nach Gleichung (3.34) berechnet in Strömungsgebieten mit dominierenden Normalkomponenten von Sij eine deutlich zu große Produktion turbulenter kinetischer Energie. Dies trifft insbesondere auf Staupunkte zu, also Schaufelvorderkanten und ¨ Spiralzunge in Turbomaschinen. Bei Profilumströmungen kann die Uberproduktion zu falschen Ergebnissen bez¨ uglich Grenzschicht und Profilnachlauf f¨ uhren, wie von Kistner [51] gezeigt wurde. Abhilfe bringt die Berechnung von Pk mit Hilfe des antisymmetrischen Rotationsgeschwindigkeitstensors nach Gleichung (3.35), der in Staupunktnähe verschwindet. µ ¶ 1 ∂ui ∂uj Ωij = (3.35) − 2 ∂xj ∂xi Diesen Umstand nutzen Kato und Launder [45] in ihrer Produktionsterm-Modifikation und schlagen vor, Pk in Abhängigkeit von Sij und Ωij gemäß Gleichung (3.36) zu berechnen. Pk,KL = 2νt

p p Sij Sij Ωij Ωij

(3.36)

Diese Modifikation bringt in Staupunkten deutlich realistischere Produktionsraten f¨ ur k als der Standard-Ansatz nach Gleichung (3.34), wie sich am Beispiel einer ebenen Potenzialströmung auch leicht im Vergleich mit der exakten Produktionsgleichung nachweisen lässt. Allerdings ist die Wirkung der Kato-Launder Modifikation selbstverständlich nicht nur auf Staupunkte beschränkt. Nachteilig wirkt sich insbesondere aus, dass mit Pk,KL keine k-Produktion in rotationsfreier Scherströmung vorausgesagt wird, jener Strömung, f¨ ur die das Standard-k-²Modell kalibriert wurde. Weiterhin wird fälschlicherweise verstärkte k-Produktion in einfachen rotierenden oder wirbelbehafteten Strömungen vorausgesagt. Da diese Strömungsformen in radialen Turbomaschinen auftreten, erscheint der Einsatz der Kato-Launder Modifikation hier als nicht unbedingt sinnvoll. Eine gute Zusammenfassung der Staupunkt-Problematik gibt Durbin [20]. Zur Umgehung des bei Turbomaschinen dennoch zu beachtenden Staupunktproblems bietet sich die Möglichkeit, ein vor dem Hintergrund physikalischer Realisierbarkeit modifiziertes k-²-Modell einzusetzen.

Realisierbares“ k-²-Modell (RKE) ” Der Zusatz realisierbar“ beim k-²-Modell bezieht sich auf eine Erweiterung des Standard” Modells, um physikalischen Realisierbarkeits-Bedingungen zu gen¨ ugen. Realisierbarkeit ist eine der grundlegenden Anforderungen an Turbulenzmodelle. Damit ein Turbulenzmodell physikalisch sinnvolle Ergebnisse liefert, sind die folgenden Bedingungen, die von Schumann

33


34

[93] u ¨bersichtlich dargestellt werden, einzuhalten (nicht u ¨ber Indizes summieren): k ≥ 0, ² ≥ 0

(3.37)

u0α u0α ≥ 0 ¡ ¢2 u0α u0β ≤ u0α u0α · u0β u0β

(α = 1, 2, 3)

(3.38)

(α 6= β ∨ α, β = 1, 2, 3)

(3.39)

Direkt einsichtig ist Bedingung (3.37), nach der sowohl die turbulente kinetische Energie als auch deren Dissipation nicht negativ sein können. Die etwas stärkere Bedingung (3.38) fordert dar¨ uberhinaus, dass die turbulenten Normalspannungen nicht negativ werden können. Zusätzlich muss nach Bedingung (3.39) die Schwarz’sche Ungleichung erf¨ ullt sein, nach der das Quadrat einer turbulenten Scherspannung immer kleiner oder höchstens gleich dem Produkt der zugehörigen turbulenten Normalspannung sein muss. Noch stärkere Anforderungen an Realisierbarkeit stellt Lumley [59], der anstatt Bedingungen f¨ ur den RST zu formulieren, mit u0 u0

einem Invariantendreieck des zugehörigen Anisotropietensors aij = ik j − 23 δij die physikalisch möglichen Zustände der Turbulenz grafisch darstellt. Hierauf soll im Rahmen dieser Arbeit nicht näher eingegangen werden. Wichtig f¨ ur Turbomaschinenanwendungen ist allerdings die Tatsache, dass der BoussinesqAnsatz bei gen¨ ugend großen Beschleunigungsraten negative turbulente Normalspannungen produzieren kann, wie Ungleichung (3.40) zeigt. ∂u1 ² > ∂x1 k · 3Cµ

(3.40)

Moore und Moore [66] weisen darauf hin, dass diese kritische Beschleunigungsrate bei Turbomaschinen sehr schnell erreicht werden kann. Bei konstantem Faktor Cµ bewirkt dann die negative turbulente Normalspannung eine zu hohe k-Produktion. Demzufolge zielen alle Ansätze zur Ber¨ ucksichtigung der Realisierbarkeit darauf ab, die oben genannten Bedingungen einzuhalten und somit zu große Verhältnisse von Pk /² und damit verbunden ein unkontrolliertes Wachstum turbulenter kinetischer Energie zu verhindern. Erreicht wird dies durch eine Reduzierung der turbulenten Viskosität, indem der Faktor Cµ in der Gleichung (3.27) zur Berechnung der turbulenten Viskosität nicht mehr konstant gehalten wird, sondern abhängig ist ¯ des Deformations- und des Rotationsgeschwindigkeitstensors. von den Invarianten S¯ und Ω q kp k ¯ ¯ ˜ ij Ω ˜ ij ˜ ij = Ωij − ²ijk ωk S= 2Sij Sij Ω= 2Ω Ω (3.41) ² ² wobei mit ωk (~ω ) die Drehfrequenz im rotierenden Bezugssytem benannt wird. Die in der vorliegenden Arbeit verwendete Modifikation des Standard-k-²-Modells zur Einhaltung der Realisierbarkeits-Bedingungen basiert auf der Arbeit von Shih et al. [97]. Der Koeffizient wird berechnet nach Cµ,r =

1 √ ¯2 4 + 1, 732 S¯2 + Ω

34

(3.42)


35

Dieser Ansatz ist implementiert in NS3D als auch in leicht abgeänderter Form in FLUENT und nur g¨ ultig f¨ ur hohe Reynoldszahlen. Die zusätzlich in NS3D implementierte Erweiterung nach Moore und Moore [66] auf LowRe Strömungen lautet Cµ,r =

1 ¢1 ¯ 2,4 2,4 2, 74 + 1, 9 S¯2,4 + Ω ¡

(3.43)

wonach f¨ ur Cµ der kleinere Wert nach Gleichung (3.43) oder nach Cµ · fµ eingesetzt wird. Das realizable-k-²-Modell in FLUENT beinhaltet außerdem im Vergleich zum Standard-k-²-Modell eine Modifikation der ²-Gleichung, durch welche die Aufweitungsrate eines runden Freistrahles deutlich verbessert berechnet werden kann [25]. Im Vergleich zu Gleichung (3.29) werden andere Quellen- und Senkenterme f¨ ur die Dissipation ² verwendet. Der Quellterm ist nicht mehr linear abhängig von Pk sondern wird in Abhängigkeit von S¯ angegeben, was eine verbesserte Trennung des spektralen Energietransfers bewirken soll [25], weiterhin wird im Senkenterm die Singularität an festen Wänden durch k im Nenner (3.29) vermieden. Diese Modifikation der ²-Gleichung in FLUENT ist vermutlich die Ursache eines bei radialen Turbomaschinen schlechteren Konvergenzverhaltens gegen¨ uber dem Standard-k-²-Modell. Als Hauptunterschiede zwischen Standard-k-²-Modell und seiner realizable-Modifikation lassen sich ein variabler Koeffizient Cµ , sowie in FLUENT veränderte Quellen- und Senkenterme der ²-Gleichung zusammenfassen. Die Gleichung f¨ ur k (3.28) ist in beiden Modellvarianten identisch.

Renormalization Group - Modell (RNG) Dieses Modell lässt sich bei den linearen Zweigleichungs-EVM einordnen, obwohl es nicht von den reynoldsgemittelten Navier-Stokes-Gleichungen abgeleitet wurde. In der Renormalization-Theorie werden ausgehend von den Navier-Stokes-Gleichungen der Momentanwerte iterativ enge Frequenzbänder der kleinskaligen, isotropen turbulenten Schwankungen abgeschnitten. In den erhaltenen neuen k-²-Gleichungen erscheint eine modifizierte, effektive Viskosität, die von integralen turbulenten Skalen abhängig ist. F¨ ur eine detaillierte Ableitung dieser Theorie wird auf die grundlegende Arbeit von Yakhot und Orszag [122] verwiesen. Das in FLUENT implementierte Modell auf der Grundlage der RNG-Theorie wird ausf¨ uhrlich beschrieben von Choudhury [15]. Die analytisch abgeleitete Differentialgleichung zur Berechnung der effektiven Viskosität νef f = ν + νt ist f¨ ur große und kleine Reynoldszahlen g¨ ultig, das Modell benötigt demnach keine LowRe-Erweiterungen.   ν ³ν ´ 1, 72 efν f νef f k ef f = ∂  q  = q¡ (3.44) ∂ ²ν νef f ¢3 ν ν − 99 ρ3 ν

F¨ ur hohe Reynoldszahlen vereinfacht sich Gleichung (3.44), so dass die turbulente Viskosität wie im Standard-k-²-Modell nach Gleichung (3.27) mit Cµ = 0, 0845 als konstantem Koeffizienten berechnet wird. Es ist beachtenswert, dass mit diesem völlig anderen Ansatz eine nahezu identische Gleichung f¨ ur νt bei hoher Re-Zahl erhalten wird. Die Transportgleichungen der 35

3.3. STATISTISCHE TURBULENZMODELLE - RANS“ ” turbulenten Größen k und ² lauten f¨ ur das RNG-k-²-Modell · ¸ ∂k ∂k ∂k ∂ αk (ν + νt ) + Pk − ² + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj · ¸ ∂² ∂² ² ∂ ²2 ∂² α² (ν + νt ) + C²1 Pk − C²∗2 + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj k k

36

(3.45) (3.46)

Die Modellkonstanten sind nicht experimentell bestimmt, sondern lassen sich ebenfalls aus der RNG-Theorie analytisch ableiten. Die inversen effektiven turbulenten Prandtl-Zahlen werden mit αk = α² = 1, 393 angegeben. Allerdings ist nur der Koeffizient C²1 im Quellterm der ²Gleichung konstant, im Koeffizienten des Senkenterms steckt nach Gleichung (3.47) ein Zusatzterm, der eine Verbesserung gegen¨ uber dem Standard-k-²-Modell in Strömungen mit raschen Scherungen bringen soll. ³ ´ η Cµ ρη 3 1 − 4,38 kp C²∗2 = 1, 68 + 2Sij Sij mit η= (3.47) 3 1 + 0, 012η ²

Der zweite Summand in Gleichung (3.47) ist in funktionaler Abhängigkeit des Schubparameters η und wirkt je nach dessen Größe wie ein zusätzlicher Quell- oder Senkenterm. Eine Vergrößerung des mit C²2 multiplizierten Senkenterms bewirkt eine verminderte Dissipation und somit eine erhöhte turbulente Viskosität. Dies trifft zu, wenn η < 4, 38 ist. Andererseits wird die turbulente Viskosität gedämpft, wenn η > 4, 38 wird, also bei hohen Scherraten. Der Zusatzterm bewirkt somit eine νt -Reduzierung bei hohen Scherraten, dennoch wird darauf hingewiesen, dass das RNG-Modell im Sinne der oben angegebenen Bedingungen nicht realisierbar ist. Eine verbesserte Sensitivität des Modells gegen¨ uber Stromlinienkr¨ ummung verglichen mit dem Standard-k-²-Modell wird von FLUENT [25] angegeben, trotzdem kann man aus der Theorie nicht pauschal die bessere Eignung f¨ ur radiale Turbomaschinen ableiten. Aufgrund der bemerkenswerten theoretischen Eigenschaften des Modells, seiner relativen Einfachheit und seiner Verwandschaft zum Standard-k-²-Modell wird es innerhalb dieser Arbeit als eines der zu vergleichenden Modelle ausgewählt.

Shear Stress Transport - Modell (SST) Dieses Modell geht zur¨ uck auf die grundlegende Arbeit von Menter [61], der durch Kombination der beiden Zweigleichungsmodelle k-² und k-ω ein Baseline Blending Modell vorschlägt. Die Idee hierbei ist, die Vorteile beider Modelle aus aerodynamischer Sicht zu nutzen sowie die jeweiligen Nachteile zu vermeiden. Als wesentliche Schwäche des k-²-Modells wird diesbez¨ uglich ¨ die schlechte Sensitivität bei ung¨ unstigem Druckgradienten angesehen. Durch Uberproduktion turbulenter Viskosität kann es in aerodynamischen Strömungen dieser Art zu verspäteter oder gar ganz ausbleibender Ablösung der Grenzschicht kommen, wie beispielsweise von Kline et al. [53] berichtet oder in der vorliegenden Arbeit in Kapitel 5 ausf¨ uhrlich untersucht. Als Hauptursache wird die Längenmaß-Gleichung in Wandnähe angesehen, die außerdem im 36


37

Falle der LowRe Erweiterung bei Integration durch die viskose Unterschicht wegen Steifheit numerische Probleme bereitet. Das k-ω-Zweigleichungsmodell von Wilcox [120] löst neben der k-Gleichung eine zweite, die spezifische turbulente Dissipationsrate ω = k² (oder auch turbulente Frequenz) beschreibende Gleichung. Der große Vorteil dieses Modells ist seine relativ einfache Formulierung innerhalb der viskosen Wandschicht. Im Gegensatz zur ²-Gleichung, die nur mittels Dämpfungsfunktionen bis zur Wand integriert werden kann, benötigt die ω-Gleichung diese nicht, sondern beinhaltet Dirichlet-Randbedingungen (vgl. Kapitel 4), was aus numerischer Sicht einen Stabilitätsgewinn bringt. Der wichtigste Nachteil des k-ω-Modells liegt in der starken Abhängigkeit der turbulenten Viskosität von Randbedingungen f¨ ur ω in der freien Strömung. Im Baseline Blending Modell werden nun die Vorteile verkn¨ upft, indem der innere Teil der Grenzschicht mit dem k-ω-Modell und der äußere Teil der Grenzschicht sowie der Rest des Strömungsgebietes mit dem k-²-Modell berechnet werden. F¨ ur die Formulierung des Modells werden die k-² Gleichungen in eine k-ω-Form u uhrt, wobei zusätzlich der Cross-Diffusion¨berf¨ Term Dkω entsteht. Beide Gleichungen werden dann mit einer blending-Funktion multipliziert und anschließend addiert. Die Gleichungen haben danach folgende Form: · ¸ ∂k ∂ ∂k ∂k (ν + σk νt ) + Pk − β ∗ kω (3.48) + uj = ∂t ∂xj ∂xj ∂xj · ¸ ∂ω ∂ ∂ω ∂ω ω + uj = (3.49) (ν + σω νt ) + α Pk − βω 2 + Dkω ∂t ∂xj ∂xj ∂xj k Die turbulente Viskosität wird berechnet nach νt =

k ω

(3.50)

Alle in den Gleichungen (3.48) und (3.49) vorhandenen Koeffizienten werden mit Hilfe einer blending-Funktion aus den Koeffizienten-Sätzen der beiden Grundmodelle (Indizes 1 und 2) gemäß Gleichung (3.51) f¨ ur einen beliebigen Koeffizienten φ berechnet. φ = F1 φ1 + (1 − F1 ) φ2

(3.51)

Die in FLUENT [25] benutzten Koeffizientensätze sowie deren exakte Berechnung differiert hierbei leicht von den Angaben im Basismodell nach Menter [61]. Auf eine Angabe der Koeffizienten wird an dieser Stelle verzichtet und auf die entsprechende Literatur verwiesen. Der in Gleichung (3.49) neu hinzugekommene Term Dkω berechnet sich nach Gleichung (3.52) Dkω = 2 (1 − F1 ) ρσω2

1 ∂k ∂ω ω ∂xj ∂xj

(3.52)

Die eigentliche blending-Funktion F1 wird definiert gemäß Gleichung (3.53). Sie muss ausgehend vom Wert 1 an einer festen Wand innerhalb eines gewissen Wandnormalenabstandes die Gleichungen des k-ω-Modells bereitstellen und zum Grenzschichtrand hin gegen 0 gehen sowie

37


38

außerhalb der Grenzschicht verschwinden. ¡

¢ F1 = tanh Φ4

Ã

mit

Φ = min max

Ã √

500ν k , 2 0, 09ωy y ω

!

4ρkσω2 , Dkω y 2

!

(3.53)

Das noch immer ung¨ unstige Verhalten dieses Basismodells bei stark ung¨ unstigen Druckgradienten soll mit einer Erweiterung zum Shear Stress Transport - Modell verbessert werden. ¨ Hintergrund ist die deutliche Uberlegenheit von Turbulenzmodellen, welche eine Transportgleichung f¨ ur turbulente Schubspannung beinhalten. Die Annahme, dass turbulente Schubspannung innerhalb einer Grenzschicht proportional zu k sein muss, ist bei Zweigleichungsmodellen, die auf dem Boussinesq-Ansatz beruhen, nicht gegeben. Abhilfe schafft eine modifizierte Berechnung der turbulenten Viskosität gemäß Gleichung (3.54), mit der sichergestellt wird, dass νt in Bereichen mit großer Schubspannung nicht schneller anwächst als k.   νt =

k ω

 · 

max

·

1 , α∗

1 √

2Ωij Ωij F2 a1 ω

 ¸ 

(3.54)

Die Wirkung dieser Modifizierung wird durch die Funktion F2 , die ähnlich F1 definiert ist und hier nicht angegeben wird, auf Strömungsbereiche in Wandnähe beschränkt, so dass νt im u ¨brigen Strömungsgebiet nach Gleichung (3.50) berechnet wird. Der Faktor α ∗ ist eine zusätzlich in FLUENT [25] eingef¨ uhrte Dämpfungsfunktion. ¨ Die Uberlegenheit des SST-Modells im Vergleich zum Basismodell, zu k-² und k-ω zeigt ¨ Menter [62] f¨ ur transsonische Außenströmungen. Das Modell zeigt seine Uberlegenheit bei Strömungen mit ung¨ unstigem Druckgradienten und bei Ablösungen, obwohl darauf hingewiesen wird, dass die Vorhersagefähigkeit bez¨ uglich Wiederanlegebereichen abgelöster Strömungen nicht entscheidend verbessert wird. Grundsätzlich erfordert das Modell keinen nennenswert erhöhten Rechenzeitbedarf gegen¨ uber den zuvor vorgestellten Zweigleichungsmodellen. Zudem wurde das Modell von Treutz [115] mit sehr gutem Erfolg zur Berechnung von Pumpenkennlinien eingesetzt. Aus diesen Gr¨ unden wird es innerhalb dieser Arbeit als eines der zu vergleichenden Turbulenzmodelle ausgewählt.

3.3.4. Erweiterte Wirbelviskosit¨ atsmodelle Nachdem das vorige Kapitel den wesentlichen Merkmalen der grundlegenden linearen Wirbelviskositätsmodelle vorbehalten war, sollen nachfolgend zwei Variationen dieser Modellklasse vorgestellt werden.

Nichtlineare Wirbelviskosit¨ atsmodelle ¨ Trotz der fundamentalen Uberlegenheit der Reynoldsspannungsmodelle (RSM) gegen¨ uber den linearen Wirbelviskositätsmodellen (LEVM) werden sie in der Praxis eher selten angewendet. Ursachen sind mit Sicherheit die vergleichsweise komplexe Form der Gleichungen und die damit verbundenen, größeren numerischen Schwierigkeiten bei der Lösung. Die Vernachlässigung 38


39

der Anisotropie des RST in LEVM bedingt die Unfähigkeit dieser Modelle, Einfl¨ usse von Stromlinienkr¨ ummung oder Systemrotation auf die Turbulenz zu beschreiben. Eine Alternative bieten nichtlineare Wirbelviskositätsmodelle (NLEVM), welche die Wirtschaftlichkeit von LEVM, aufgrund der Einfachheit des Boussinesq-Ansatzes und numerischer Robustheit, mit der Möglichkeit verbinden, die Anisotropie des RST berechnen zu können. Wirbelviskositätsmodelle werden als nichtlinear bezeichnet, wenn zur Berechnung des RST außer der im Boussinesq-Ansatz vorhandenen linearen Abhängigkeit vom Deformationsgeschwindigkeitstensor Sij auch höherwertige Kombinationen von Invarianten von Sij und Ωij herangezogen werden. Bei der Herleitung dieser Modelle gibt es zwei verschiedene Ansätze, die beide zur allgemeinen konstitutiven Gleichung (3.23) zur Berechnung des RST f¨ uhren, wie von Pope [76] in einer grundlegenden Arbeit dargestellt. Je nachdem, bis zu welchem Grad nichtlineare Terme aus Gleichung (3.23) zur Berechnung des RST ber¨ ucksichtigt werden, spricht man von quadratischen oder kubischen Wirbelviskositätsmodellen. Durch Einbeziehung der höherwertigen Terme können die folgenden Eigenschaften turbulenter Strömungen erfasst werden, wie exemplarisch an geeigneten, einfachen Strömungskonfigurationen von Bauer und Haag [7] gezeigt. • Quadratische Terme Nur die quadratischen Terme können die Anisotropie des RST berechnen. Dies wird im Kapitel zu Sekundärströmungen näher erläutert. • Kubische Terme Auswirkungen von Systemdrehung und Stromlinienkr¨ ummung auf Turbulenz können nur mit Hilfe der kubischen Terme berechnet werden. Um wesentliche, die Turbulenz beeinflussende Effekte der in Turbomaschinen anzutreffenden Strömung erfassen zu können, sollten also sowohl quadratische als auch kubische Terme ber¨ ucksichtigt werden. F¨ ur diese Arbeit wird daher das kubische Wirbelviskositätsmodell nach Lien, Chen und Leschziner [58], im folgenden LCL genannt, ausgewählt. Dieses Modell basiert auf einem quadratischen Modell von Shih et al., das f¨ ur hohe Reynoldszahlen entwickelt wurde und den Realisierbarkeitsbedingungen gen¨ ugt. Lien erweiterte dieses Modell um kubische Terme und f¨ ur LowRe Anwendungen, um die Wirkung bei gekr¨ ummten Grenzschichtströmungen zu untersuchen. Die Transportgleichungen des LCL-Modells entsprechen denen f¨ ur k (3.28) und ² (3.29), entsprechend berechnet sich die turbulente Viskosität nach Gleichung (3.27). Die Koeffizienten des Modells sind in Tabelle (3.1) angegeben. Die Realisierbarkeitsbedingung erkennt man an der Formulierung von Cµ , durch S¯ im Nenner reduziert sich νt in nahezu rotationsfreien Strömungen mit großen Scherraten. Die Koeffizienten der allgemeinen konstitutiven Gleichung C1 bis C7 werden in Tabelle 3.2 angegeben. Die Wirkung der nichtlinearen Terme ist gegeben durch die verschiedenen einzelnen Terme des C1 3/4 Cµ (1000+S¯3 )

C2 15/4 Cµ (1000+S¯3 )

C3 19/4 Cµ (1000+S¯3 )

C4 −10Cµ2

C5 0

C6 −2Cµ2

Tabelle 3.2.: Modellkoeffizienten LCL-Modell

39

C7 2Cµ2


40

RST bei der Berechnung der Produktion von k, die nach der exakten Gleichung (vgl. Gleichung 3.18) erfolgt. Weiterhin bestehen direkte Interaktionen zwischen individuellen Termen des RST und Geschwindigkeitsgradienten der Hauptströmung [6].

Nichtlineares Wirbelviskosit¨ atsmodell mit variablem Zeitmaß Alle bisher beschriebenen Wirbelviskositätsmodelle gehen von der Annahme aus, dass das komplette turbulente Energiespektrum mit einem einzigen Zeitmaß abgebildet wird. Somit ¨ werden Anderungen im großskaligen Produktionsbereich auch immer sofort im kleinskaligen Dissipationsbereich wirksam. Entsprechend der Theorie der turbulenten Energiekaskade geschieht dies aber mit einer zeitlichen Verzögerung. Insbesondere bei sich schnell entwickelnden ¨ instationären Strömungen bzw. bei schnellen zeitlichen oder räumlichen Anderungen von Randbedingungen, wie bei Turbomaschinen der Fall, reagieren nur die großen Skalen schnell, während die kleinen Skalen erst mit einer gewissen Verzögerung antworten [107]. Die folgerichtige Idee der Aufspaltung des Turbulenzspektrums in unterschiedliche Zeitmaß-Bereiche geht ´ [33], der eine feste Partitionsgrenze vorschlägt, und Schiestel [89], der zur¨ uck auf Hanjalic das Spektrum in mehrere Intervalle unterteilt, aber auch feste Partitionsgrenzen annimmt. Die Besonderheit des in der vorliegenden Arbeit eingesetzten Turbulenzmodells nach Kim und Chen [49], nachfolgend KC-Modell genannt, ist die lokal variable, d.h. lösungsabhängige Partitionierung des Turbulenzspektrums. Neben der Produktion und Dissipation von TKE, die auch in den meisten klassischen Modellen ber¨ ucksichtigt wird, berechnet dieses Modell zusätzlich eine lokal im Strömungsfeld variable Energiekaskade und somit eine zeitlich verzögerte Dissipation. Der Energiefluss“ der TKE von Produktion u ¨ber die Energiekaskade zur Dissipation ist ” rechts in Abb.3.1 schematisch dargestellt. Die Schließung des Modells wird demnach erreicht durch 4 Transportgleichungen f¨ ur die turbulenten kinetischen Energien im Produktions- und Dissipationsbereich, die Energietransferrate und die Dissipation: ·µ ¶ ¸ ∂kp ∂kp ∂ νt ∂kp + uj − ν+ = P k − ²p (3.55) ∂t ∂xj ∂xj σkp ∂xj ·µ ¶ ¸ νt ∂kt ∂kt ∂kt ∂ ν+ = ²p − ²t (3.56) + uj − ∂t ∂xj ∂xj σkt ∂xj ·µ ¶ ¸ ²2p ∂²p ∂ νt ∂²p P2 P k ²p ∂²p + uj − ν+ = Cp1 k + Cp2 − Cp3 (3.57) ∂t ∂xj ∂xj σep ∂xj kp kp kp ·µ ¶ ¸ ²2p νt ∂²t ∂²t ∂ ²p ²t ²2 ∂²t ν+ = Ct1 + Ct2 + uj − − Ct3 t (3.58) ∂t ∂xj ∂xj σet ∂xj kt kt kt

Die Partitionierung des Turbulenzspektrums, wie rechts in Abb.3.1 dargestellt, wird festgelegt u ¨ber das Verhältnis des Anteils der turbulenten kinetischen Energie im Produktionsbereich zum Anteil im Dissipationsbereich, beschrieben durch die beiden skalaren Größen kp und kt . Die Transportgleichungen f¨ ur den Anteil der Energietransferrate ²p und der Dissipationsrate ²t 40


41

schließen das Gleichungssystem. Vergleicht man dieses Modell mit dem Standard-k-²-Modell, so beschreibt die Summe aus kp und kt die gleiche physikalische Größe wie k, während ²t der Dissipationsrate ² entspricht. Die Produktion von TKE wird entsprechend dem SKE-Modell berechnet und ist die Quelle von kp , welches gemäß Gleichung (3.57) dissipiert wird als Energietransferrate ²p . TKE im kleinskaligen Bereich des Energiespektrums wird beschrieben durch kt , erhält Energie aus der Energietransferrate und dissipiert diese als ²t . Die Gleichungen (3.57) und (3.58) enthalten als Quellterme sogenannte variable Energietransfer-Funktionen“ , jeweils der erste Term der ” ´ [33] verwendet wurden. Bei verstärkter Produktion Pk rechten Seite, die bereits von Hanjalic wird auch der Energietransfer ²p größer, dementsprechend muss auch mehr dissipiert werden, daher wächst ²t u ¨ber ein größeres ²p mit. Die jeweils zweiten Terme der rechten Seite von (3.57) und (3.58) sind die eigentlichen Quellterme dieser Gleichungen und werden (ganz analog zu den entsprechenden Termen im SKE-Modell) mit dem jeweiligen Zeitmaß in der Dimension konsistent gemacht. Gleiches gilt f¨ ur die Senkenterme, die jeweils dritten Terme der rechten Seite mit negativem Vorzeichen. Die turbulente Viskosität wird ähnlich dem SKE-Modell berechnet, wobei die Dissipationsrate durch die Energietransferrate ersetzt wird und der Koeffizient Cµf = 0, 09 dem des SKE-Modells entspricht. νt = Cµf ·

(kp + kt )2 ²p

(3.59)

Der effektive Koeffizient Cµ zur Berechnung der turbulenten Viskosität aus TKE und Dissipationsrate ist somit keine Konstante, sondern ergibt sich implizit aus der Lösung nach Cµ = Cµf ·

²t ²p

bzw.

ν t = Cµ ·

(kp + kt )2 ²t

(3.60)

Der so berechnete, lokal variable, effektive Koeffizient Cµ wird somit, wie z.B. in experimentellen Untersuchungen von Rodi [83] nachgewiesen, kleiner, wenn das Verhältnis aus Produktion zu Dissipation groß ist und umgekehrt. Die Trennung des Turbulenzspektrums wird demnach f¨ ur Pk > ²t zu hohen Wellenzahlen in den Dissipationsbereich verschoben, und f¨ ur Pk < ²t in den Bereich kleiner Wellenzahlen in den Produktionsbereich. Die lokale, variable Partitionsgrenze des Turbulenzspektrums kann man anhand der skalaren Feldgröße β ablesen, die das Verhältnis zwischen kt und kp darstellt und sich aus der Lösung ergibt. κ2 kt q −1 =β= kp σep · Cµf ²²pt · (Cp3 − Cp2 − Cp1 )

(3.61)

Im Falle der Gleichgewichtsturbulenz, also Pk ≈ ²t gilt auch ²p = ²t bzw. Cµ = Cµf und somit wird die Partitionsgrenze von den in Gleichung (3.61) angegebenen Modellkoeffizienten bestimmt. Mit dem von den Autoren angegebenen Koeffizientensatz ergibt sich f¨ ur turbulente Strömungen im Gleichgewichtszustand ein Wert β = 0, 25. Die Koeffizienten werden wie folgt angegeben: 41

3.4. WANDBEHANDLUNG

42

σkp = 0, 75 Cp1 = 0, 21 Ct1 = 0, 29

σkt = 0, 75 Cp2 = 1, 24 Ct2 = 1, 28

σep = 1, 15 Cp3 = 1, 84 Ct3 = 1, 66

σet = 1, 15 κ = 0, 41

Die exakte Herleitung und Kalibrierung dieser Modellkoeffizienten ist bei Kim und Chen [50] nachzulesen. Die Gleichung der turbulenten Viskosität (3.59) ist kompatibel mit der wandnahen Theorie der Mischungsweglänge und der in Kapitel 3.4 beschriebenen numerischen Methode der Wandfunktionen. Die Wand-Randbedingungen dieses Modells werden gemäß der Standard-Wand-Funktionen-Analyse abgeleitet und werden zur Berechnung von kW und ²W dort angegeben. Da diese Gleichungen unter der Annahme der Gleichgewichtsturbulenz im wandnahen Bereich abgeleitet wurden, muss gelten ²t,W = ²p,W = ²W sowie Gleichung (3.61) f¨ ur die Aufteilung von kW auf kp,W und kt,W (vgl. Kapitel 4.5). Der offensichtliche Nachteil des KC-Modells liegt im leicht erhöhten Rechenaufwand, da zur Bestimmung der turbulenten Viskosität vier Transportgleichungen gelöst werden m¨ ussen. Eine Quantifizierung dieses Mehraufwandes wird bei den Validierungstestfällen in Kapitel 5 genannt.

3.4. Wandbehandlung Die korrekte Behandlung turbulenter Größen an festen Wänden hat einen entscheidenden Einfluss auf die Qualität numerischer Ergebnisse. Dies gilt im Besonderen f¨ ur die Simulation von Turbomaschinen, deren Strömung deutlich von Wandeffekten dominiert wird. Die hohe lokale Reynoldszahl in der Kernströmung sinkt innerhalb der Wandgrenzschicht mit steilem Geschwindigkeitsgradienten bei Annäherung an die feste Wand stark ab. In gleichem Maße verschiebt sich die Dominanz turbulenter Spannungen in der freien Strömung hin zu verstärktem Einfluss ¨ viskoser Spannungen. Dieser Ubergang innerhalb der Grenzschicht kann in drei verschiedene Bereiche aufgeteilt werden, wie in Abb.3.2 dargestellt. Im kleinen viskosen Bereich in direkter Wandnähe f¨ ur y + < 5, innerhalb dessen der Einfluss turbulenter Spannungen verschwindet, gilt der lineare Zusammenhang u+ = y + zwischen den dimensionslosen Größen wandtangentiale Geschwindigkeit u+ und Wandnormalenabstand y + , die nach Gleichung (3.62) definiert sind. r r u ρ τW y y + + u = (3.62) =u y = uτ = uτ τW ν ρ ν Die³ Wandschubspannungsgeschwindigkeit uτ folgt aus der Wandschubspannung τW = ´ du ¨ ρν dy . Nach einem Ubergangsbereich folgt der Bereich der G¨ ultigkeit des logarithmiW

schen Wandgesetzes nach Gleichung (3.63), das den Zusammenhang zwischen u+ und y + in einem Gebiet etwa zwischen 30 < y + < 500 beschreibt. u+ =

1 · ln(y + ) + C κ

(κ ≈ 0, 4

C ≈ 5)

(3.63)

Die Grenzen dieses Bereiches sind in der Literatur nicht einheitlich festgelegt und numerisch teilweise Erfahrungswerte, es finden sich Angaben f¨ ur die obere Grenze zwischen 200 und bis u ¨ber 42

3.4. WANDBEHANDLUNG

43

Abbildung 3.2.: Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe

500. Die in diesem Kapitel vorgestellten Turbulenzmodelle wurden f¨ ur hohe Reynoldszahlen entwickelt, ihr G¨ ultigkeitsbereich innerhalb der Grenzschicht endet im logarithmischen Bereich. F¨ ur die numerische Behandlung des wandnahen Bereiches ergeben sich somit grundsätzlich verschiedene Möglichkeiten. Unter Verwendung der oben beschriebenen Dämpfungsfunktionen können die Gleichungen bis zur Wand integriert werden. Die turbulente kinetische Energie verschwindet an der Wand, die Dissipationsrate dagegen weist einen endlichen Wert ³ 2 auf. ´ Die korrekte aber numerisch schwied k rige Randbedingung an der Wand lautet ²W = ν dy2 und wird nach einem Vorschlag von W

Chapman und Kuhn [13] f¨ ur das in dieser Arbeit verwendete Modell nach Abid durch die einfachere Bedingung (3.64) ersetzt. ²W = ν ·

4kP − ²P yP2

(3.64)

Mit Index W ist der Wert direkt an der Wand, mit Index P der Zellmittelpunkt der wandnächsten Zelle gemeint. Aufgrund sehr steiler Gradienten von k und ² sowie lokaler Maxima in unmittelbarer Wandnähe ist bei Verwendung von LowRe Erweiterungen ein sehr feines Rechengitter in Wandnormalenrichtung erforderlich. Im Zellmittelpunkt P muss ein Wandnormalenabstand der Größenordnung y + ≈ 1 eingestellt werden und weiterhin m¨ ussen etwa 20 − 30 Knotenpunkte innerhalb der Grenzschicht liegen. Diese hohen Anforderungen an die Netzauflösung kann man mit Hilfe von Wandfunktionen umgehen. Diese u ucken den wandnahen Bereich, indem die Variablen k und ² im ¨berbr¨ wandnächsten Punkt P berechnet werden, der in diesem Fall innerhalb des logarithmischen Bereiches liegen muss (yP+ > 20 ÷ 30). Unter der Voraussetzung eines lokalen Gleichgewichts zwischen turbulenter Produktion Pk und Dissipation ² in der logarithmischen Schicht folgt nach Durbin und Pettersson Reif [21] f¨ ur die Wandschubspannungsgeschwindigkeit eine Abhängigkeit von k gemäß Gleichung (3.65). uτ = Cµ0.25 · k 0.5 43

(3.65)

¨ ¨ ¨ 3.5. SEKUNDARSTR OMUNGEN, ROTATION, STROMLINIENKRUMMUNG

44

Der Zusammenhang zwischen Wandschubspannung τW , die als Randbedingung f¨ ur die Impulsgleichungen benötigt wird, und der Geschwindigkeit im Punkt P folgt aus Gleichung (3.65) zu τW

uP κρCµ0.25 kP0.5 yP = · yP ln(y + ) + κC

(3.66)

Die Produktion Pk,P und die Dissipationsrate ²P berechnen sich gemäß den Gleichungen (3.67) Pk,P = τW ·

Cµ0.25 kP0.5 κyP

²P =

Cµ0.75 kP1.5 κyP

(3.67)

Die Gleichung der Dissipation wird hierbei nicht an der Wand gelöst, sondern im Punkt P berechnet und als Randbedingung gesetzt. Als Forderung an das Rechennetz bei der Verwendung von Wandfunktionen sollten neben des passenden y + -Wertes des wandnächsten Zellenmittelpunktes noch mindestens f¨ unf weitere Gitterpunkte innerhalb der Grenzschicht liegen, wenn Grenzschichteffekte wie Wärme¨ ubergang oder Ablösung berechnet werden sollen. Die Abschätzung des beim Netz einzustellenden yP Wertes vor der Gittergenerierung ist anzustreben, aber nur bei einfachen Anwendungsfällen W möglich. Die damit umgeschriebene mit bekanntem Wandschubspannungskoeffizient Cf = 2τ ρu2 Gleichung (3.62) liefert als Bedingung f¨ ur den Wandabstand yP ν yP = y + U∞

s

2 Cf

(3.68)

Formeln f¨ ur den Koeffizient Cf in ausgebildeter turbulenter Rohrströmung oder ebener Platte finden sich z.B. bei Schlichting [92]. Das recht breite Band möglicher yP+ -Werte kommt der Berechnung von Pumpen entgegen, hier muss meist die gesamte Bandbreite ausgenutzt werden.

3.5. Sekund¨ arstr¨ omungen, Rotation, Stromlinienkru ¨mmung F¨ ur die Bestimmung der Strömungsverluste durch Reibung ist die korrekte Berechnung der ¨ Sekundärströmungen erforderlich. Einen guten Uberblick der in Turbomaschinen auftretenden Sekundärströmungen gibt Lakshminarayana [54]. Sie werden grundsätzlich in zwei Arten unterteilt. Sekund¨ arstr¨ omungen erster Art sind die Folge von Druckunterschieden und Grenzschichteffekten [77, 92] und treten bei Wirkung von Scheinkräften (Coriolis- oder Zentrifugalkräfte) sowohl in laminaren als auch turbulenten Strömungen auf. Zentrifugalkräfte bewirken im Pumpenlaufrad eine Strömung in der Kanalmitte zur konkaven Schaufelseite hin. Einen größeren Einfluss bei u ¨blichen Drehzahlen hat die Wirkung der Corioliskraft, die eine Strömung in der Kanalmitte entgegen der Drehrichtung verursacht. Beide Effekte können sich bei radialen Turbomaschinen abhängig von der Schaufelform verstärken oder entgegengesetzt wirken. Die Turbulenzmodellierung hat keinen Einfluss auf die korrekte Vorhersage von Sekundärströmungen erster Art.

44


45

Sekund¨ arstr¨ omungen zweiter Art dagegen treten grundsätzlich nur in turbulenten Strömungen auf und sind die Folge der Anisotropie des Reynoldsschen Spannungstensors, wie z.B. von Gessner [29] analytisch nachgewiesen. Diese Art der Sekundärströmungen wurde von mehreren Autoren experimentell beschrieben, z.B. von Yokosawa [27], sowie von Huser und Biringen [38] numerisch mittels DNS eines viertel Rechteckkanals berechnet, bei dem sich die typischen Eckenwirbel mit Richtung von der Kanalmitte diagonal zur Ecke hin einstellen. Die treibende Kraft ist hierbei die Differenz der turbulenten Normalspannungen im Kanalquerschnitt. Aus Gleichung (3.23) erhält man f¨ ur die Normalkomponenten des Reynoldsspannungstensors bei Ber¨ ucksichtigung nur der linearen Terme 2 u01 u01 = u02 u02 = u03 u03 = k 3

(3.69)

Dies bedeutet aber, dass Wirbelviskositätsmodelle die Sekundärströmungen zweiter Art nicht berechnen können. Nur mit höherwertigen Turbulenzmodellen, welche auch quadratische oder kubische Terme zur Bestimmung des RST nutzen, können diese berechnet werden, wie z.B. Speziale [105] zeigt. Nachweisbar ist dies mit der analytischen Berechnung der Differenz der turbulenten Normalspannungen in der Ebene der Sekundärströmungen, unter Ber¨ ucksichtigung auch quadratischer Terme aus Gleichung (3.23), womit folgt "µ ¶ µ ¶2 # µ ¶2 2 ∂u k ∂u k ∂u 0 0 0 0 + C 3 νt u3 u3 − u 2 u2 = C 1 ν t − (3.70) ² ∂z ∂y ² ∂z Die resultierende von Null verschiedene Differenz ist somit die treibende Kraft in einer Ebene senkrecht zur Hauptströmungsrichtung (Index 1). Die Wirkung gekru ¨ mmter Stromlinien und von Systemrotation auf turbulente Strömungen sind in der Literatur hinlänglich bekannt und von vielen Autoren beschrieben. Beide Einflussfaktoren sind f¨ ur Turbomaschinenanwendungen von Bedeutung. Turbulenz wird infolge der Wirkung der Zentrifugalkraft bei der Durchströmung eines gekr¨ ummten Kanals auf der konkaven Seite angefacht und der konvexen Seite gedämpft. Der Druckgradient wirkt in Richtung der konvexen Seite, verhindert somit das Anwachsen turbulenter Wirbel an dieser und vergrößert das turbulente Längenmaß an der konkaven Seite. Die Wirkung der Systemrotation auf die Turbulenz bedingt eine Dämpfung auf der vorauslaufenden Kanalseite durch Corioliskräfte. Bei Pumpen ist im Normalfall die Saugseite konkav gekr¨ ummt und im Sinne der Betrachtung eines einzelnen, umlaufenden Laufradkanals die vorauslaufende Seite. Somit wirken in diesem Fall beide Einfl¨ usse entgegengesetzt. Aufgrund hoher Drehzahlen dominiert der Einfluss der Corioliskraft, somit wirkt die Pumpensaugseite dämpfend auf Turbulenz und die Druckseite anfachend. Bei der Ber¨ ucksichtigung dieser Effekte in Turbulenzmodellen ist einerseits der Erhöhung des turbulenten Längenmaßes auf der die Turbulenz anfachenden Seite und andererseits der ausgeprägten Anisotropie des RST Rechnung zu tragen. Letzteres ist wie oben dargelegt nur mit nichtlinearen Wirbelviskositätsmodellen zu erreichen. Zur Beeinflussung des Längenmaßes finden sich in der Literatur unterschiedliche Ansätze, die entweder mit Modifikationen des 45


46

Verhältnisses von Produktion zu Dissipation oder direkt der turbulenten Viskosität arbeiten. Einige der oben beschriebenen Modelle beinhalten bereits solche Modifikationen, insgesamt lassen sich die folgenden Ansätze unterscheiden: ¯ • Ber¨ ucksichtigung der Realisierbarkeit durch Abhängigkeit des Cµ -Faktors von S¯ und Ω • Modelle mit variablem Zeit- bzw. Längenmaß • Längenmaßmodifikation u ¨ber eine Richardson-Zahl • Modifikation des ²-Senkenterms u ¨ber eine Richardson-Zahl ¯ abhängig, wobei Die Richardson-Zahl ist ein Stabilitätsparameter, idealerweise von S¯ und Ω verschiedene Definitionen bekannt sind, z.B. von Khodak [46]. Demnach bewirkt ein negativer Wert erhöhte Produktion und ein positiver Wert erhöhte Dissipation der Turbulenz. Somit bietet sich die Möglichkeit, mit diesem Parameter die Dissipation oder direkt den Faktor Cµ zu beeinflussen. Beide Ansätze im Standard-k-²-Modell implementiert sowie eine realisierbare Erweiterung nach Shih vergleichen Ojala et al. [69] am Beispiel eines Pumpenlaufradkanals im Bestpunkt. Obwohl die Modelle deutlich unterschiedliche Verteilungen turbulenter Viskosität zwischen DS und SS liefern, ist der Einfluss auf die Förderhöhe und die Geschwindigkeiten am Austritt des Kanals eher vernachlässigbar. Die Autoren vermuten deutlichere Abhängigkeiten ¨ vom eingesetzten Turbulenzmodell in Teil- oder Uberlastbetriebszust¨ anden. Insbesondere unterscheiden sich die Erweiterungen mit Ri-Zahl nicht vom Shih-Modell, weshalb in dieser Arbeit von Untersuchungen mit Ri-Modifikationen abgesehen wird. Abschließend sind alle der in diesem Kapitel ausf¨ uhrlich beschriebenen Turbulenzmodelle in Tabelle 3.3 bez¨ uglich ihrer Anwendung in dieser Arbeit zusammengefasst. Die nS 20-Pumpe wird beispielsweise unter Verwendung der FR-Kopplung und von Wandfunktionen mit f¨ unf verschiedenen Turbulenzmodellen berechnet, wobei sowohl FLUENT als auch NS3D als Werkzeug benötigt werden. Pumpe nS 28 Wandbehandlung WF LR Kopplungsart SKE o o RKE o RNG SST LCL o o KC o o NS3D x FLUENT

nS 20 WF WF FR SM x x x x x x x x

nS 26 WF WF FR SM x x x x x x x x

o

spezielle Modelleigenschaft Standard-k-² (Referenzmodell) Realisierbare Erweiterung des SKE auf anderer Grundlage basierend Kombination k-² / k-ω nichtlineare Berechnung des RST mehrskaliges Viergleichungsmodell

¨ Tabelle 3.3.: Ubersicht der Anwendung von Turbulenzmodellen auf Pumpentestfälle

46

47

4. Numerik Zu den drei wichtigsten Einflussfaktoren auf die G¨ ute einer numerischen Berechnung zählen neben dem Gebiet der Turbulenzmodellierung auch die Erzeugung numerischer Rechengitter und die verwendeten numerischen Verfahren zur Diskretisierung und Lösung der strömungsbeschreibenden Differentialgleichungen. Die meisten Entwicklungsarbeiten auf dem Gebiet der Numerik beschäftigen sich mit einem dieser drei Bereiche, die sich gegenseitig bedingen und beeinflussen, vgl. Abbildung 4.1. In dieser Arbeit wurde auf dem Gebiet der numerischen Verfahren keine Validierungsarbeit geleistet, sondern es wurden bekannte und f¨ ur den Anwendungsfall Radialpumpen geeignete Verfahren ausgewählt und eingesetzt. Diese numerischen Verfahren und die Vorgehensweise bei der Gittergenerierung sollen in diesem Kapitel vorgestellt werden. Hierbei soll auch vor allem auf die Verfahren eingegangen werden, die in den beiden verwendeten Programmen implementiert sind. Zum Einsatz kamen der Strömungslöser des kommerziellen Softwarepakets FLUENT (Version6.0) und der am Lehrstuhl f¨ ur Fluidmechanik der TU M¨ unchen speziell f¨ ur Turbomaschinenanwendungen entwickelte Navier-Stokes Code NS3D, der im Rahmen einer inzwischen mehrjährigen Institutskooperation f¨ ur diese Arbeit im FORTRAN-Quelltext zur Verf¨ ugung gestellt wurde. Der Beitrag des Fachgebietes TFA der TU Darmstadt besteht hierbei vor allem in der Implementierung und Validierung von Turbulenzmodellen speziell f¨ ur Turbomaschinenanwendungen, wie beispielsweise im Zusammenhang mit der Transitionsmodellierung bei Thurso [113] oder Breitbach [9]. Details zur im Rahmen dieser Arbeit erfolgten Implementierung des mehrskaligen Turbulenzmodells nach Kim und Chen [49] in NS3D werden zum Abschluss dieses Kapitels vorgestellt. Beide genannten Codes basieren auf der Methode der Finiten Volumen (FVM), ein Dis-

Abbildung 4.1.: Entwicklungsfelder Numerik

47

4.1. DISKRETISIERUNG

48

kretisierungsverfahren, das sich aufgrund seiner Konservativität f¨ ur strömungstechnische Anwendungen größtenteils durchgesetzt hat. Bei konservativen Verfahren erf¨ ullen auch die diskreten Gleichungen noch das Erhaltungsprinzip der zugrundeliegenden DGL’s, weitere wichtige Eigenschaften der FVM-Diskretisierungsverfahren können bei Sch¨ afer [87] nachgelesen werden. Der inkompressible Code NS3D arbeitet mit einer nichtversetzten Anordnung der Lösungsvariablen auf blockstrukturierten, nicht-orthogonalen Gittern. Details zum Aufbau des Codes und der implementierten numerischen Methoden finden sich bei Ritzinger [81] oder ´ Skoda [99], insgesamt basieren große Teile auf den Ausf¨ uhrungen von Ferziger und Peric [24]. Nachfolgend eine kurze Zusammenfassung der in der vorliegenden Arbeit verwendeten numerischen Methoden.

4.1. Diskretisierung ¨ Die Diskretisierung umfasst zum Einen die Uberf¨ uhrung der DGL’s in ein f¨ ur diskrete Punkte g¨ ultiges lineares Gleichungssystem und zum Anderen die geometrische Erzeugung dieser Punkte im Raum. Letzteres wird im Unterkapitel Gittergenerierung behandelt. Die zu diskretisierenden Erhaltungsgleichungen lassen sich nach Janicka [42] alle in die allgemeine Form der Gleichung (4.1) f¨ ur die skalare Variable Φ u uhren. ¨berf¨ µ ¶ ∂Φ ∂ ∂ ∂ (4.1) ΓΦ + SΦ (ρΦ) + (ρuj Φ) = |{z} ∂xj ∂xj ∂xj |∂t {z } {z } Quelle | {z } | instation¨ arer Term

Konvektion

Diffusion

Die Gleichung (4.1) ist in integraler Form der Ausgangspunkt der Diskretisierung nach der FVM. Die konvektiven und diffusiven Terme werden u ¨ber den Gauß’schen Integralsatz in Oberflächenintegrale umgewandelt. Die erhaltene Gleichung (4.2) gilt dann f¨ ur ein beliebiges Kontrollvolumen (KV) im Gitterverband. Ein dreidimensionales KV eines strukturierten Gitters wird u ¨blicherweise gemäß Abbildung 4.2 benannt. Z Z Z Z ∂ ∂Φ ρΦ dV + ρΦuj nj dS = ΓΦ nj dS + SΦ dV (4.2) ∂t ∂xj V

S

S

V

Die Gleichung enthält Oberflächenintegrale der konvektiven und diffusiven Terme sowie Volumenintegrale des Quellterms und des instationären Terms. Diskretisierung der Oberfl¨ achenintegrale Die Diskretisierungsverfahren sollen nun durch geeignete Approximationen f¨ ur die Oberflächenintegrale die Werte der Variablen Φ auf den Seiten der Kontrollvolumina berechnen. ¨ Uber den Mittelwertsatz der Integralrechnung lassen sich zunächst die Fl¨ usse der Oberflächenintegrale durch die jeweiligen Seitenmittelwerte ausdr¨ ucken, wobei noch keine Näherung gemacht wurde. Die f¨ ur den Mittelwertsatz benötigten, unbekannten Größen auf den KVSeiten werden jetzt u ¨ber Approximationsverfahren bestimmt, die gebräuchlichsten sind die Mittelpunktsregel, Trapezregel oder Simpson’sche Regel [87],[24]. Die sowohl in FLUENT als 48


49

Abbildung 4.2.: Kontrollvolumen und Notation eines dreidimensionalen kartesischen strukturierten Gitters (West, East, North, South, Bottom, Top)

auch NS3D implementierte und von zweiter Ordnung genaue Mittelpunktsregel approximiert das Oberflächenintegral u ¨ber eine KV-Seite durch das Produkt aus Wert in der Seitenmitte und der Fläche der entsprechenden Seite. Der Wert in der Seitenmitte muss aus den bekannten Werten in den KV-Zentren approximiert werden. Bei den hierf¨ ur gebräuchlichen Verfahren unterscheidet man zwischen konvektiven und diffusiven Termen der Gleichung (4.2). • Diffusive Terme Die Diskretisierung der diffusiven Fl¨ usse (F D ) ergibt exemplarisch f¨ ur die Ostseite (e) des KV der Abbildung 4.2 im Falle eines orthogonalen Gitters die folgende Approximation ¶ ¶ µ µ Z ∂Φ ∂Φ ΦE − ΦP D Fe = ΓΦ nj dSe ≈ ΓΦ · nj · δSe ≈ ΓΦ · nj · δSe (4.3) ∂xj ∂xj e xE − x P Se

Der Gradient auf der KV-Seite (e) wird demnach durch Werte in den benachbarten Gitterpunkten P und E interpoliert. Dieses CDS-Verfahren (Central Differencing Scheme) ist von zweiter Ordnung genau und kann daher sinnvoll zusammen mit der Mittelpunktsregel angewendet werden. Sowohl FLUENT als auch NS3D diskretisieren diffusive Fl¨ usse mit diesem Verfahren. In NS3D ist zusätzlich f¨ ur nicht-orthogonale Gitter ein DeferredCorrection-Schema [24] u ¨berlagert. Die Interpolation des Gradienten nach Gleichung (4.3) wird hierbei implizit behandelt, die Differenz aus Interpolation u ¨ber den Normalenvektor der KV-Seite und u ¨ber direkter Verbindungslinie der Zellmittelpunkte explizit. Einzelheiten zur Implementierung finden sich bei Ritzinger [81]. • Konvektive Terme F¨ ur die Darstellung der konvektiven Fl¨ usse (F C ) wird ebenfalls die KV-Seite e gewählt. Die Diskretisierung bei Anwendung des UDS-Verfahrens (Upwind-Differencing-Scheme) liefert Z C (4.4) Fe = ρuj Φnj dSe ≈ ρuj nj δSe Φe ≈ ρuj nj δSe ΦP | {z } Se

m ˙j

Der Variablenwert auf der KV-Seite e wird bei positivem m ˙ (Massenstrom durch Seite e von Punkt P nach Punkt E gerichtet) durch den Wert im KV-Zentrum P approxi49


50

miert, bei negativem m ˙ durch den Wert im KV-Zentrum E. Es wird also jeweils stromauf (upwind ) interpoliert. Das UDS-Verfahren ist von erster Ordnung genau und hat somit die g¨ unstige Eigenschaft uneingeschränkter Stabilität, es weist allerdings eine hohe numerische Diffusivität auf. Aus diesem Grund kann es optimal zur Berechnung einer ersten Näherungslösung eingesetzt werden, zur Berechnung der endg¨ ultigen Lösung empfehlen sich höherwertige Verfahren. Die Verwendung des zweiter Ordnung genauen CDSVerfahren f¨ ur konvektive Terme ist ung¨ unstig, da es in Abhängigkeit der lokalen PecletZahl zu oszillierenden Lösungen kommen kann. In NS3D ist ein Flux-Blending-Verfahren als Linearkombination eines UDS und CDS Verfahrens implementiert, das mit Hilfe eines konstanten Faktors β den Fluss nach Gleichung (4.5) berechnet. Φ = βΦCDS + (1 − β)ΦU DS

(4.5)

Die Genauigkeit des Verfahrens wird allerdings durch die Wahl des unbekannten Faktors β limitiert, der klein genug f¨ ur eine noch stabile Lösung sein muss. Ein Verfahren zweiter Ordnung ist das QUICK-Verfahren (Quadratic Upwind Interpolation for Convective Kinematics) in Verbindung mit der Mittelpunktsregel. Dieses Verfahren benutzt neben P und E noch einen dritten Punkt stromauf zur Approximation von Φe . Es interpoliert zwischen CDS und einem UDS zweiter Ordnung mittels Wichtungsfaktor, der das Verfahren zu einem upwindorientierten Verfahren macht. Dennoch zeigt es in der Anwendung gelegentlich Oszillationen und schlechtere Konvergenz als reine UDS-Verfahren. Da auch keine verbesserten Ergebnisse zu erzielen sind, wird es in dieser Arbeit nicht eingesetzt. Ein UDS-Verfahren zweiter Ordnung f¨ ur strukturierte und unstrukturierte Gitter ist in FLUENT implementiert und wird als Basis der Berechnungen mit FLUENT in dieser Arbeit verwendet. Das Verfahren zeigt sich stabiler als das QUICK-Verfahren und f¨ uhrt zu Lösungen gleicher Qualität. Mit Hilfe einer Richardson-Extrapolation gemäß Sch¨ afer [87] wurde eine Ordnung dieses Verfahrens von 1, 65 bestimmt. Das Verfahren berechnet den Wert der Variablen Φ auf KV-Seite e nach Gleichung (4.6) aus der Summe des Wertes im stromaufliegenden Punkt und des Gradienten dieses Wertes. Φe = ΦP + ∇ · ΦP · 4~x

(4.6)

Mit 4~x wird der Abstandsvektor des Punktes P zur Zellseitenfläche e bezeichnet. Der Gradient von ΦP berechnet sich aus den flächengewichteten Werten von Φ auf den Flächen des KV, die Flächenwerte selbst werden als Mittelwerte mit den angrenzenden KV-Zentrenwerten approximiert. Somit wird Φe im dreidimensionalen Fall aus den KVZentrenwerten von vier KV bei Tetraedern und sechs KV bei Hexaedern berechnet. Diskretisierung der Volumenintegrale Beim Volumenintegral der Quellterme in Gleichung (4.2) ist keine weitere Interpolation notwendig, die Mittelpunktsregel liefert direkt die Approximation u ¨ber das Produkt aus Variablenwert

50


51

im KV-Zentrum und Zellvolumen. Z

SΦ dV ≈ SΦ,P · δVP

(4.7)

V

Diskretisierung des instation¨ aren Terms Im Gegensatz zu den rein stationären weisen die instationären reynoldsgemittelten Impulsgleichungen, welche nur die erste Zeitableitung enthalten, einen parabolischen Charakter auf. Dies f¨ uhrt zum Kausalitätsprinzip der Zeitkoordinate, die eine eindeutige Richtung aufweist, wodurch keine R¨ uckwirkungen zuk¨ unftiger Ereignisse eintreten können. F¨ ur die Berechnung eines instationären Transportvorganges wird demnach lediglich eine Anfangsverteilung φ(~x, t 0 ) der gesuchten Variablen φ zum Zeitpunkt t0 benötigt. Bei instationären Berechnungen von Turbomaschinen hat sich hier das Ergebnis einer quasi-stationären Berechnung bewährt. Die Techniken der Zeitdiskretisierung unterscheiden sich nach Sch¨ afer [87] in der Art der Approximation der Zeitableitung, der Anzahl der hierbei verwendeten Zeitebenen und im Zeitpunkt der Auswertung der Ortsdiskretisierung (£(φn ), Superskript n steht f¨ ur den aktuellen Zeitschritt). F¨ ur die Approximation der Zeitableitung werden meist finite Differenzen eingesetzt. Entsprechend des Auswertezeitpunktes der Ortsdiskretisierung (konvektive und diffusive Terme sowie Volumenintegral) teilt man in explizite und implizite Verfahren auf. Die expliziten Verfahren verwenden zur Bestimmung der Variablenwerte zum neuen Zeitpunkt tn+1 nur Ortslösungen bereits bekannter Zeitschritte. Das einfachste explizite Verfahren ist das Euler-Verfahren nach Gleichung (4.8), Z ¢ ¡ δVP ∂ (4.8) ρΦ dV ≈ ρP · φn+1 − φnP {= £(φnP )} P ∂t ∆tn V

welches mit einer Vorwärtsdifferenz erster Ordnung einen bekannten Zeitschritt zur Approximation benutzt. Ein höherwertiges explizites Verfahren ist beispielsweise das Runge-Kutta Verfahren. Charakteristisch f¨ ur explizite Verfahren ist die vollständige Entkopplung der Gleichungen n+1 f¨ ur φ an verschiedenen Gitterpunkten. Sie sind daher genauer als implizite Verfahren bei kompressiblen Vorgängen wie Schallwellenausbreitung oder Verdichtungsstößen. Nachteilig ist ¨ die langsame örtliche Informations-Ausbreitung bei Anderung von Randbedingungen. Dies hängt mit der direkten Kopplung von Gitterweite und Zeitschrittweite zusammen. Notwendige Bedingung f¨ ur numerische Stabilität ist die Einhaltung der Courant-Friedrichs-Levy Bedingungen, wonach ∆t maximal so groß sein darf, dass konvektiver Transport pro Zeitschritt nur bis zur nächsten Zelle kommt. Da hier die kleinste Zelle im Gesamtgitter ausschlaggebend ist, kommt dieses Verfahren bei der Berechnung von Pumpen, bei denen f¨ ur eine zeitkonvergente Lösung mindestens drei Laufraddrehungen zu rechnen sind, nicht in Frage. Hier sind aus mehreren Gr¨ unden implizite Zeitdiskretisierungsverfahren zu bevorzugen. Der Mehraufwand an Rechnerleistung f¨ ur implizite Verfahren wird durch die unbedingte Stabilität deutlich ausgeglichen, es gibt keine numerischen Einschränkungen bei der Wahl der Zeitschrittweite. Das implizite Euler-Verfahren nach Gleichung (4.9) verwendet f¨ ur die Zeitapproximation drei Zeitebenen und

51

¨ 4.2. LOSUNGSVERFAHREN

52

ist zweiter Ordnung genau: ∂ ∂t

Z

V

ρΦ dV ≈

© ª δVP 3φn+1 − 4φnP + φn−1 P ρP · P = £(φn+1 P ) ∆tn 2

(4.9)

Die Ortsdiskretisierung erfolgt zum unbekannten Zeitschritt, somit sind alle Variablen der neuen ¨ Zeitebene gekoppelt. Anderungen in Randbedingungen wirken sich ohne zeitliche Verzögerung in jedem Gitterpunkt aus. Da dies bei inkompressiblen Strömungen auch vom mathematischen Typ der Strömung her der Fall ist, eignet sich das Verfahren hier besser als ein explizites. Das implizite Euler-Verfahren unterscheidet sich vom stationären Problem lediglich durch einen zusätzlichen Quellterm in der Ortsdiskretisierung und einen Zusatzterm in der Koeffizientenmatrix und geht f¨ ur ∆t → ∞ in ein stationäres Problem u ¨ber. Alle instationären Berechnungen von Pumpen in der vorliegenden Arbeit wurden aus den oben genannten Gr¨ unden mit einem impliziten Euler-Verfahren zweiter Ordnung in der Zeit diskretisiert. Der entscheidende Vorteil ¨ ist die freie Wahl des Zeitschrittes, der nur aufgrund physikalischer Uberlegungen erfolgen kann.

4.2. L¨ osungsverfahren Bei dem in dieser Arbeit f¨ ur alle Berechnungen sowohl mit FLUENT als auch mit NS3D angewendeten Lösungsalgorithmus werden die Transportgleichungen der einzelnen Variablen sequentiell und iterativ gelöst. F¨ ur das Gesamtfeld jeder Variablen wird ein implizites lineares Gleichungssystem aufgestellt, das entkoppelt von allen anderen Variablen iterativ gelöst wird. Als äußere Iteration wird hierbei der Gesamtprozeß der einmaligen sequentiellen Lösung aller Variablen bezeichnet, eine innere Iteration ist die Lösung des linearen Gleichungssystems einer einzelnen Variablen. Der Ablauf des beschriebenen Lösungsalgorithmus ist schematisch in Abbildung 4.3 dargestellt. Aus der Diskretisierung folgt f¨ ur alle zu berechnenden Transportgleichungen sowie f¨ ur die Druckkorrekturgleichnug eine lineare algebraische Gleichung (4.10) f¨ ur die Variable Φ in einem beliebigen KV. X Ai Φi = SP (4.10) AP ΦP + i

Die Koeffizienten A folgen aus den oben vorgestellten Diskretisierungsverfahren, der Index i läuft in Abhängigkeit des verwendeten Diskretisierungsschemas u ¨ber die das KV umgebenden Zellen. Das zu lösende lineare Gleichungssystem erhält man aus der Aufstellung der Gleichungen aller KV, wobei sich eine Koeffizientenmatrix A ergibt, die f¨ ur das Lösungsverfahren g¨ unstig nur auf der Hauptdiagonalen und wenigen symmetrisch angeordneten Nebendiagonalen besetzt ist. Als Lösungsverfahren dieses Gleichungssystems haben sich iterative Verfahren bewährt, das Gauß-Seidel-Verfahren in FLUENT und das auf einer unvollständigen LU-Zerlegung der Koeffizientenmatrix basierte SIP-Verfahren (Strongly Implicit Procedure) nach Stone [110] in NS3D. Die Koeffizientenmatrix ändert sich mit jeder äußeren Iteration, somit ist eine sehr genaue Lösung der inneren Iteration nicht notwendig und eine relativ geringe Anzahl Iterationen ist hier deshalb ausreichend. Die Anzahl der äußeren Iterationen ist durch ein zu definierendes 52

¨ 4.2. LOSUNGSVERFAHREN

53

Abbildung 4.3.: Schematischer Ablauf eines sequentiellen Lösungsalgorithmus

Abbruchkriterium festzulegen, bei stationären Strömungen meist das Abfallen des Summenresiduums aller Gleichungen um etwa drei Größenordnungen. Zur Verbesserung der Stabilität des Verfahrens werden u.a. die in den inneren Iterationen berechneten neuen Lösungen Φneu der Variablen Φ unterrelaxiert. Die Lösung zum neuen Iterationsschritt Φm wird gemäß Gleichung (4.11) mit einem Faktor α zwischen alter und neuer Lösung interpoliert. Φm = (1 − α) · Φ(m−1) + α · Φneu

(4.11)

Druckkorrektur In kompressiblen Strömungen steht mit der Kontinuitätsgleichung eine Möglichkeit zur Verf¨ ugung, das Dichtefeld direkt zu bestimmen und u ¨ber eine Zustandsgleichung auch das Druckfeld zu erhalten. In inkompressibler Strömung fehlt eine Gleichung f¨ ur den Druck, nur der Druckgradient ist in den Impulsgleichungen enthalten. Dies erfordert die Bestimmung des Druckfeldes mittels iterativer Druckkorrekturverfahren. Der Druck wird hier als Parameter behandelt, der nach jeder äußeren Iteration solange variiert wird, bis mit dem erhaltenen Druck- und Geschwindigkeitsfeld sowohl Kontinuitäts- als auch Impulsgleichungen erf¨ ullt ∗ sind. Dies ist f¨ ur die erste Lösung der Impulsgleichungen (ui ) zum neuen Iterationsschritt m+1 mit einem geschätzten Druck (z.B. pm aus der letzten Iteration) zunächst nicht der Fall. Mit der Definition der Korrekturgrößen u0i nach Gleichung (4.12) derart, dass um+1 die i 53

4.3. ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN

54

Kontinuitätsgleichung erf¨ ullt, kann man eine Bestimmungsgleichung f¨ ur die Druckkorrektur p0 m+1 herleiten, da ui gleichzeitig die Impulsgleichung erf¨ ullen muss. um+1 = u∗i + u0i i

pm+1 = pm + p0

(4.12)

Bei der anschließenden Bestimmung des Druckfeldes wird die Druckkorrektur noch unterrelaxiert. Das SIMPLE-Verfahren (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) nach Patankar [71] vernachlässigt in der Bestimmungsgleichung f¨ ur p0 die Geschwindigkeitskorrekturen in den Nachbarzellen der betrachteten Zelle. Im erweiterten SIMPLEC-Verfahren (Consistent) werden diese Werte mit ber¨ ucksichtigt. Beide Verfahren stehen in FLUENT und NS3D zur Verf¨ ugung. Es konnten jedoch in dieser Arbeit keine Vorteile des SIMPLEC-Verfahrens festgestellt werden, daher wurden alle vorgestellten Berechnungen mit dem SIMPLE-Verfahren durchgef¨ uhrt. Konvergenzkriterien Als konvergent bezeichnet man im strengen Sinne ein Diskretisierungsverfahren, das auf feiner werdenden Rechengittern ein numerisches Ergebnis liefert, das der Lösung der Differentialgleichung immer näher kommt. Eine Aussage u ¨ber die Konvergenz eines Verfahrens erhält man nur u ¨ber die Analyse dessen Konsistenz und Stabilität durch Gitterunabhängigkeitsbetrachtungen. In der Praxis wird, eigentlich nicht ganz richtig, eine iterative Lösung mit gewissen Eigenschaften auch häufig als konvergent bezeichnet. In der vorliegenden Arbeit wird im Sinne dieser nicht korrekten Bezeichnung eine stationäre Lösung als konvergent angesehen, wenn die Summenresiduen aller Gleichungen um mindestens zwei Größenordnungen gefallen sind. Als zusätzliches Kriterium wird der iterative Verlauf mehrerer integraler Größen beobachtet. ¨ Bei stationären Rechnungen wird eine weitere Anderung unter 1% aller wichtigen Größen als Kriterium bewertet. Bei Pumpen sind dies z.B. der Massendefekt zwischen Ansaug- und Druckstutzen sowie die massengewichteten Dr¨ ucke in diesen Ebenen. Bei zeitechten Simulationen ist der zeitliche Verlauf insbesondere der Massenströme aus dem Laufrad ein Kriterium f¨ ur eine periodische Lösung. Die Summenresiduen der Gleichungen innerhalb eines Zeitschrittes m¨ ussen dabei um mindestens zwei Größenordnungen fallen.

4.3. Anfangs- und Randbedingungen Die stationären, inkompressiblen reynoldsgemittelten Impulsgleichungen haben einen elliptischen Charakter, es werden daher Randbedingungen auf allen Rändern im Raum benötigt. Bei zusätzlicher Instationarität u ¨berlagert sich ein parabolischer Charakter. Die iterative Lösung der diskretisierten DGL’s erfordert Randbedingungen auf allen Rändern und eine Anfangsverteilung aller zu lösenden Variablen. Bei instationärer Rechnung wird die stationäre Lösung als Anfangsbedingung zum Zeitpunkt t = t0 eingesetzt. Nachfolgend eine Beschreibung der f¨ ur Pumpen erforderlichen Randbedingungen: • Eintrittsrand Der Eintrittsrand sollte bei elliptischen Problemen nicht zu nah am eigentlich interessie54

4.3. ANFANGS- UND RANDBEDINGUNGEN

55

renden Strömungsgebiet liegen. Bei Pumpen befindet er sich mindestens um eine Saugmunddurchmesserlänge stromauf vor der saugseitigen Messebene. Es werden feste Geschwindigkeiten oder Profile als Dirichlet-RB vorgegeben. F¨ ur die Turbulenzgrößen hat sich aufgrund meist fehlender Messdaten die Angabe eines geschätzten Turbulenzgrades von T u = 5% und ein Längenmaß von L = 1/10 des Saugmunddurchmessers bewährt. Die turbulenten RB haben bei den in dieser Arbeit verwendeten Turbulenzmodellen keinen nennenswerten Einfluss auf das Ergebnis. Die Umrechnung von Tu und L auf k und ² erfolgt bei isotroper Turbulenz nach kin =

3 (T u · Uin )2 2

3

²in = Cµ4 ·

1.5 kin L

(4.13)

• Austrittsrand Am Austrittsrand wird f¨ ur den Druck eine Dirichlet-RB vorgegeben, wobei ein mittlerer Flächendruck angenommen wird. Wegen konstanter Dichte ist der Absolutwert des Druckes unwichtig, es wird nur u ¨ber Druckdifferenzen bilanziert. Gefordert wird allerdings eine ausreichende Distanz des Austrittsrandes von der Spiralgehäusezunge, um mögliche R¨ uckwirkungen zu minimieren. Im Falle einer R¨ uckströmung, die nicht ganz auszuschließen ist, werden Eintrittsrandbedingungen gesetzt. F¨ ur Geschwindigkeiten und Turbulenzgrößen sind Neumann-RB vorgesehen, d.h. diese werden nicht vorgegeben, sondern aus dem Strömungsgebiet extrapoliert. • Symmetrierand Symmetrieränder können als reibungsfreie Wände“ angesehen werden. Die Normalkom” ponente der Geschwindigkeit beträgt Null, die Komponente parallel zum Rand sowie die skalaren Größen weisen einen verschwindenden Gradienten auf. • Feste Wände An undurchlässigen Wänden werden aufgrund der Haftbedingung Geschwindigkeiten relativ zur Bewegung der Wand zu Null gesetzt. Auch turbulente kinetische Energien sowie deren Gradient in Wandnormalenrichtung verschwinden. Die Dissipationsrate hat an der Wand einen endlichen, von Null verschiedenen Wert und wird entsprechend der gewählten Wandbehandlung, wie in Kapitel 3.4 beschrieben, bestimmt. • Periodischer Rand Diese sind hilfreich bei sich periodisch wiederholenden Berechnungsgebieten, wie die Schaufelteilung bei Turbomaschinen. Periodische Ränder treten immer paarweise auf, wobei eine exakt identische Knotenverteilung auf beiden Rändern vorausgesetzt wird. Der Fluss, der den einen Rand verlässt, wird auf der entsprechenden Zellfläche des zweiten Randes eintreten und umgekehrt. Diese Randbedingung wird immer benötigt, wenn nur ein Schaufelkanal einer Pumpe separat berechnet wird. • Stationäres Interface Block Interfaces werden in NS3D an allen sich ber¨ uhrenden Blöcken benötigt. Es sind Matching oder Non-Matching Interfaces möglich, je nachdem ob die Knotenverteilung 55

4.4. GITTERGENERIERUNG

56

auf den beiden benachbarten Blockseiten identisch ist oder nicht. Bei ungleichen Knotenverteilungen ist jedoch darauf zu achten, dass zumindest eine der Indexrichtungen eine identische Knotenverteilung aufweist. Die Zuordnung der Indexrichtungen zweier Blöcke ist dabei frei wählbar, was eine f¨ ur Pumpen sehr wichtige Option darstellt. Die numerische Implementierung des Informationsaustausches ist konservativ, Einzelheiten finden ´ [24]. sich bei Ferziger und Peric Da FLUENT nicht blockstrukturiert aufgebaut ist, finden sich dort keine MatchingInterfaces, angrenzende Fluidzonen werden bei identischer Knotenverteilung zu einer Einzelnen zusammengezogen. Bei der Verwendung von Non-Matching-Interfaces muss nicht gegenseitig auf die Knotenverteilung geachtet werden, diese ist völlig frei wählbar. Bei allen Rechengittern, die f¨ ur beide Codes zugänglich zu machen waren, musste allerdings auf die strengere Bedingung von NS3D geachtet werden. • Bewegtes Interface Ein Interface zwischen relativ zueinander bewegten Blöcken ist f¨ ur die zeitechte Berechnung von Rotor-Stator-Interaktionen bei Pumpen erforderlich. In FLUENT und NS3D ist dies mit der Sliding-Mesh-Methode implementiert, die mit einer lokal unstrukturierten Datenverwaltung arbeitet und Konservativität gewährleistet. Bei NS3D wird wie beim stationären Non-Matching-Interface eine Matching-Knotenverteilung in einer der beiden Indexrichtungen gefordert.

4.4. Gittergenerierung Die in dieser Arbeit benutzten Gitter gen¨ ugen den allgemein u ¨blichen Gitter-Qualitätskriterien, die z.B. von Casey und Wintergerste [12] in zusammenfassender Form dargestellt werden. Die Qualitätskriterien in abnehmender Bedeutung sind • Skewness ( Schräge“) ” Maß f¨ ur die geometrische Verzerrung (Abweichung vom Idealzustand) einer Einzelzelle • Aspect Ratio ( Seitenverhältnis“) ” Längenverhältnisse der Seiten einer einzelnen Rechteckszelle • Smoothness ( Sanftheit“) ” Größenunterschiede benachbarter Zellen im Gitterverband • Clustering ( Anhäufung“) ” Verteilung der Knotendichte im Gitterverband Die ersten beiden Kriterien gelten f¨ ur eine Einzelzelle und sind leicht messbar, wogegen die beiden letzten Kriterien f¨ ur einen Zellenverband gelten, demnach nur schlecht objektiv messbar sind und somit mittels subjektiver Einschätzung beurteilt werden m¨ ussen. Dies gilt insbesondere f¨ ur das letzte angegebene Kriterium, das wohl aus diesem Grund auch selten als solches benutzt wird. Die f¨ ur die berechneten Turbomaschinen erzeugten Rechengitter werden in Kapitel 6 vorgestellt, die Gitter der Validierungstestfälle in Kapitel 5 bei den jeweiligen Fällen. Als 56

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D

57

Werkzeug wurde in allen Fällen der kommerzielle Gittergenerierer GAMBIT benutzt, der am Fachgebiet im Rahmen der FLUENT-Lizenz verf¨ ugbar war. Das Programm ist sehr flexibel und ermöglicht neben der Erzeugung hochwertiger elliptischer Rechengitter den Aufbau der kompletten zugrundeliegenden Geometrie. Da fast alle erzeugten Rechennetze sowohl FLUENT als auch NS3D zugänglich gemacht werden mussten, war es dringend erforderlich, die Geometrien blockstrukturiert aufzubauen, was insbesondere bei radialen Turbomaschinen einen enormen Arbeitsaufwand bedeutet. F¨ ur NS3D muss jeder Einzelblock des blockstrukturierten Gesamtnetzes im TECPLOT-Punktformat vorliegen. Hierzu wird zunächst die TECPLOTBlockformat Schnittstelle (ASCII) von GAMBIT genutzt und jeder Block einzeln exportiert. Als sehr nachteilig erwies sich die Tatsache, dass die von GAMBIT vorgenommene und nicht beeinflussbare Zuordnung der ijk-Richtungen eines Blocks zufällig war. Um unnötig großen Speicherbedarf zu vermeiden war es aber zwingend notwendig, diese Zuordnung im Nachhinein zu verändern, um beispielsweise große Knotenanzahlen verschiedener Blöcke immer auf die gleiche Index-Richtung zu legen. Hierzu wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Schnittstelle programmiert, um jede beliebige Indexausrichtung eines vorhandenen Blockes erzeugen zu können und anschließend in TECPLOT-Punktformat zu u ¨bersetzen. Damit ist es möglich, beliebige 3D-Rechennetze mit GAMBIT zu erzeugen und NS3D zugänglich zu machen.

4.5. Implementierung des KC-Turbulenzmodells in NS3D Das Turbulenzmodell nach Kim und Chen berechnet ein lösungsabhängiges Feld β, das die lokale Verschiebung der variablen Partitionsgrenze im Energiespektrum repräsentiert. Es benötigt hierzu und zur Bestimmung der turbulenten Viskosität vier Transportgleichungen, die sequentiell nach Lösung der Druckkorrektur berechnet werden (vgl. Abb.4.3). Die Lösungsreihenfolge der Variablen ist hierbei kP , kt , ²P , ²t . Danach wird die neue turbulente Viskosität entsprechend Gleichung (3.59) sowie ein neues Feld β nach Gleichung (3.61) berechnet. Das Feld der Partitionsgrenze wird nicht f¨ ur die iterative Lösung benötigt, es dient lediglich der Kontrolle der Rechnung und lässt sich daher auch in einfacher Weise aus den vorhandenen Variablen im ¨ Nachhinein bestimmen. Der besseren Ubersichtlichkeit wegen und aufgrund der offensichtlichen ¨ Ahnlichkeit der Gleichungen f¨ ur kP und ²P mit den Gleichungen f¨ ur k und ² des Standard-k-²Modells werden die vorhandenen Variablenbezeichnungen innerhalb des Codes NS3D direkt f¨ ur kP und ²P genutzt. Die Abweichungen sind an den entsprechenden Stellen zu implementieren. Neue Variablen m¨ ussen f¨ ur die Gleichungen f¨ ur kt und ²t definiert werden. Die konvektiven und diffusiven Terme der vier Transportgleichungen des Modells haben bis auf unterschiedliche Koeffizienten im Diffusionsterm die gleiche Form. Es können daher sehr einfach die im Code vorhandenen numerischen Schemata genutzt werden. Bei der numerischen Behandlung der Werte, die physikalisch nur positive Werte annehmen können, ist zwischen Quell- und Senkentermen zu unterscheiden. Quellen, d.h. Terme mit positivem Vorzeichen in der Transportgleichung, sollen explizit behandelt werden. Dies bedeutet, ihr Anteil geht als bekannter Wert der vorherigen Iteration in den Quellterm der aktuellen Iteration ein. Senkenterme, mit negativem Vorzeichen, werden implizit behandelt, d.h. ihr Anteil wird der Koeffizientenmatrix der aktuellen Iteration zugerechnet. Diese Vorgehensweise fördert die Diagonaldominanz der Koeffizientenmatrix A und somit die Konvergenz und Stabilität des numerischen Verfah57

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D Gleichung

Beitrag zur Koeffizientenmatrix A

kPm ktm

Beitrag zum Quelltermvektor S

(m−1) ²P (m−1) kP (m−1) ²t (m−1) kt (m−1) ²P p3 km P (m−1) ²t t3 km t

²m P

C

²m t

C

58

Pkm (m−1)

²P Cp1 Ct1

Pkm 2 m + kP 2 ²m P (m−1)

kt

(m−1)

Pk m ·²P m kP (m−1) ²m ² Ct2 P ktm t

Cp2

+

Tabelle 4.1.: Beiträge zu Koeffizientenmatrix und Quelltermvektor

rens [87],[24]. Die Terme der Transportgleichungen werden gemäß Tabelle 4.1 zum Vektor der Quellterme und zur Koeffizientenmatrix aufgeteilt. Die Superskripte bedeuten m f¨ ur die aktuelle Iteration und (m − 1) f¨ ur die vorherige Iteration. Als Vorgabe f¨ ur die Implementierung der Randbedingungen war darauf zu achten, dass f¨ ur die Anwendung des Modells im Vergleich zum Standard-k-²-Modell möglichst wenige zusätzliche Einstellungen vorgenommen werden m¨ ussen. Die Umsetzung erfolgte derart, dass nur zwei Parameter als Eingabeoption hinzukommen, die f¨ ur die Aufteilung von k und ² auf kp und kt bzw. ²P und ²t zuständig sind. Am Eintrittsrand wird wie gewohnt nur ein Turbulenzgrad und ein Längenmaß benötigt. Mit der Annahme eines turbulenten Gleichgewichtszustandes (Pk ≈ ²) gelten die Beziehungen nach Gleichung (4.14). kP ≈4 kt

²P ≈1 ²t

(4.14)

Das Verhältnis zwischen kp und kt ist in NS3D nicht fest, sondern als Eingabeparameter einstellbar und bedingt die Aufteilung der vorgegebenen Werte kin und ²in auf kP,in und kt,in bzw. ²P,in und ²t,in . Die gleiche Bedingung (4.14) wird f¨ ur die Randbedingungen an festen Wänden benutzt. F¨ ur die Gleichungen kp und kt gelten Haftbedingungen an der Wand und verschwindender Gradient in Wandnormalenrichtung. Analog zur Theorie der Wandfunktionen wird zunächst die Produktion von kP im wandnächsten Zellmittelpunkt wie folgt berechnet:

Pk,P = τW

Cµ0.25

´0.5 ³ 1 (kP,P + kt,P ) 1+βP κ · yP

(4.15)

In die Produktion geht nur der Anteil des Produktionsbereiches der turbulenten kinetischen Energie ein. Dazu muss zuvor der aktuelle Wert βP in der wandnächsten Zelle bestimmt werden. Ebenso folgerichtig aus Gleichung (3.67) berechnet sich die Energietransferrate ² P nach ²P,P

Cµ0.75 (kP,P + kt,P )1.5 = κ · yP

(4.16)

Wie im Kapitel Wandbehandlung beschrieben, wird ²P,P direkt als Quelle im Punkt P vorgeschrieben, die Koeffizientenmatrix zu Null gesetzt. Die gleiche Vorgehensweise wird f¨ ur die 58

4.5. IMPLEMENTIERUNG DES KC-TURBULENZMODELLS IN NS3D

59

Wandrandbedingung von kt und kP gewählt, beide werden nach Gleichung (4.17) bestimmt und als Quelle in Punkt P direkt vorgeschrieben. kt,P = (kP,P + kt,P ) ·

βP 1 + βP

²t,P = ²P,P

(4.17)

Diese Implementierung erwies sich als numerisch sehr stabil mit einem Konvergenzverhalten ähnlich dem des Standard-k-²-Modells. Die Initialisierung der Felder erfolgt aus den angegebenen Feldern f¨ ur k und ², wobei die Aufteilung von sehr geringem Einfluss auf die Rechnung ist. Es wird der Ansatz (4.18) gewählt, der im CFD-Code PHOENICS [74] vorgeschlagen wurde und auf der Annahme des Abfalls homogener Turbulenz beruht. kP = 0.4k

kt = 0.6k

²P = 0.4²

²t = ²

(4.18)

Bei Aufsetzen einer neuen Lösung mit KC-Modell auf eine konvergierte Lösung mit k-²-Modell werden die Variableninitialisierungen ebenso vorgenommen. Alle restlichen Randbdingungen bed¨ urfen keiner gesonderten Behandlung f¨ ur das KC-Modell. Die Implementierung in NS3D läuft sehr stabil bei gutem Konvergenzverhalten. Die Validierung des Modells anhand ausgewählter Testfälle erfolgt im nächsten Kapitel.

59

60

5. Validierung der Turbulenzmodelle ¨ Validierung ist definiert als der Prozess der Uberpr¨ ufung der Modellierungsunsicherheit eines physikalischen Modells. Dies kann zweckmäßig durch den Vergleich der mit dem Modell erhaltenen Ergebnisse mit experimentellen Daten erfolgen. Verifikation dagegen bedeutet die ¨ Bestimmung der Numerikunsicherheit, d.h. die Uberpr¨ ufung der korrekten Implementierung eines mathematischen Modells derart, dass das numerische Ergebnis korrekt die konzeptionelle Beschreibung der Physik durch das Modell wiedergibt. Vor diesem Hintergrund ist die Verifikation und Validierung jedes neu in einen numerischen Code implementierten Turbulenzmodells unerlässlich, bevor es f¨ ur konkrete Anwendungsfälle eingesetzt werden kann. Eine reine Verifikation eines Modells muss gemäß den Erläuterungen in Kapitel 2 an einem Strömungsproblem mit analytisch bestimmbarer Lösung erfolgen. Da diese Fälle technisch meist uninteressant sind, werden Verifikation und Validierung des KC-Modells hier gemeinsam durchgef¨ uhrt. Es wird hierzu an geometrisch einfachen Konfigurationen getestet, f¨ ur die möglichst genaue experimentelle oder numerische DNS-Daten vorliegen. Einerseits wird damit die korrekte Implementierung, andererseits gleich die Vorhersagefähigkeit bestimmter Strömungsphänomene u uft. Zu diesem Zweck stehen eine Vielzahl von dokumentierten ¨berpr¨ Standard-Testfällen inklusive Messdaten zur Verf¨ ugung. F¨ ur diese Arbeit wurden f¨ unf Testfälle aus der ERCOFTAC-Datenbank vor dem Hintergrund der Relevanz des jeweiligen Falls f¨ ur Strömungen in Turbomaschinen ausgewählt. Die Testfälle decken die Strömungsklassen stationäre und instationäre ablösende und wiederanlegende sowie drallbehaftete Strömungen ab. Eine ausf¨ uhrliche Dokumentation der numerischen Berechnung dieser Testfälle ist bei Schaad [86] zu finden, während im Rahmen der vorliegenden Arbeit nur die wichtigsten Ergebnisse kurz dargestellt werden. Eine Validierung des KC-Modells soll nicht nur im Vergleich mit Messdaten erfolgen, sondern im Vergleich mit den bereits im Code vorhandenen Modellen SKE, RKE und LCL soll die Leistungsfähigkeit des Modells eingeordnet werden. Obwohl die LowRe-Versionen des SKE- und des LCL-Modells bei diesen Testfällen teilweise besser abschneiden, werden im Hinblick auf den Anwendungsfall Pumpe hier ausschliesslich die Varianten mit Wandfunktionen ber¨ ucksichtigt. F¨ ur eine Berechnung mit einer LowRe Variante des KC-Modells sei wiederum auf die Arbeit von Schaad [86] verwiesen. Es bietet sich somit die Möglichkeit des direkten Vergleichs der Potenziale der vier verschiedenen, aber verwandten Turbulenzmodelle. Nachfolgend werden die einzelnen Testfälle und die berechneten Ergebnisse sequentiell beschrieben.

60

¨ 5.1. RECHTECKKANAL MIT 180◦ -KRUMMER

61

5.1. Rechteckkanal mit 180◦-Kru ¨mmer Der ebene Kanal mit Rechteckquerschnitt stellt aufgrund der turbulenzinduzierten Eckenwirbel schon alleine einen schwierigen Testfall dar. Bei zusätzlichem 180◦ -Kr¨ ummer ist vor allem der Ablösebereich hinter dem Kr¨ ummer von Interesse und Hauptaspekt des nachfolgenden Vergleiches. Aus diesem Grund wird die Strömung als zweidimensional betrachtet. Die Geometrie und das typische Strömungsbild mit Ablösung ist in Abb.5.1 dargestellt. Experimentelle Un-

Abbildung 5.1.: Schema des Rohrkr¨ ummers und typisches Strömungsbild

tersuchungen an dieser Konfiguration mit begleitenden numerischen Berechnungen wurden von Monson et al. [65] durchgef¨ uhrt. Das numerische Rechengitter wurde daran angelehnt mit 241 · 71 · 3 Knoten aufgelöst, in Kanalbreitenrichtung wurde an den äußeren Knoten ei¨ ne Symmetrierandbedingung aufgeprägt. Uber die Eintrittsgeschwindigkeit 32 ms und eine um eine Größenordnung erhöhte Dichte wird eine Reynoldszahl von 106 eingestellt. Die Modelle 1

1

C − Kanalwand innen

C − Kanalwand aussen

p

0.5

p

0.5

0 −0.5

0

−1 −0.5

−1.5

SKE KC RKE LCL EXP

−2 −2.5 −3

−5

0

5

10

15

20

SKE KC RKE LCL EXP

−1

−1.5

25

x/H

−5

0

5

10

15

20

25

x/H

Abbildung 5.2.: Druckbeiwerte Cp beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite werden anhand der dimensionslosen Kenngrößen Druckbeiwert Cp = 2(pW − pref )/ρu20 und Schubspannungskoeffizient Cf = 2τW /ρu20 auf beiden Kr¨ ummerseiten verglichen. Beide sind in den Abbildungen 5.2 und 5.3 jeweils u ¨ber der dimensionslosen Lauflänge x/H auf der inneren 61

¨ 5.1. RECHTECKKANAL MIT 180◦ -KRUMMER

62

und äußeren Kanalwand aufgetragen. Anfang und Ende des Kr¨ ummerbogens sind als senkrechte gestrichelte Linien erkennbar. Die Ablösung ist in den Cp -Verläufen am leichten Knick erkennbar, da der Druck in der Ablösung kaum ansteigt. Nur mit den Modellen RKE und KC erhält man eine Ablösung, auch das experimentell bestimmte kleine Minimum auf der konkaven Seite stimmt bei KC am besten. Sehr deutlich zu sehen ist das Versagen des SKE und des −3

15

x 10

−3

15

x 10

C − Kanalwand innen

C − Kanalwand aussen

f

f

10

10

5

5

SKE KC RKE LCL EXP

0

−5 −10

−5

0

5

10

15

SKE KC RKE LCL EXP

0

−5 −10

20

−5

0

x/H

5

10

15

20

25

x/H

Abbildung 5.3.: Schubspannungskoeffizient Cf beim Rohrkr¨ ummer, konvexe und konkave Seite

62

09 0. 0.09

0. 08

09 0.

0.08

0.09

0.09

00.0 .00980.0. 6 08

0.08 0.07

0.04

00.1.1

0. 09

0.08 05 0.0.04

LCL Modells bei den Cf -Verläufen, die im Bereich der Ablösung negativ werden m¨ ussen. Die zugehörigen Profile von Geschwindigkeit und TKE sind im Anhang enthalten. Sie zeigen sehr schön die Fähigkeit des KC- und des RKE-Modells, auf der konkaven Seite des Kr¨ ummerbogens eine größere TKE als auf der konvexen Seite zu berechnen. Diese lokal unterschiedliche Verteilung von Produktion und Dissipation turbulenter kinetischer Energie stellt 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 eines der wichtigsten Vorteile des 0.09 0.09 0.09 8 0.1 0 . 0 0.06 KC-Modells dar. Sie lässt sich gra04 0. 0. 1 fisch entweder durch den in Kapitel 0.1 0889 0406700.70. .0 0.09 0.09 0.00..00.0 0 6 0.09 0.09 0.0.08 0 3 vorgestellten β-Faktor oder auch 5 0.0 anschaulich durch den direkt mit 0.07 diesem korrelierten Cµ -Faktor dar0.0 90 0.1 0.1 .10 0.1 0.09 2.120.1 0.1 stellten. Der Cµ -Faktor folgt direkt 0.1 0.1 0.1 0.0 0.11 90 aus der Rechnung als Verhältnis von 0.11 .09 0.0 9 .1 0.1 0 ²t zu ²p multipliziert mit dem kon0.09 stanten Faktor 0.09 (vgl. Kapitel 3) und ist in Abb.5.4 dargestellt. Beim Abbildung 5.4.: Cµ -Faktor Kanalkr¨ ummer SKE-Modell gilt Cµ = 0.09 = const, beim RKE-Modell wird der Faktor u ¨ber die Realizibility-Bedingungen angepasst. Bereiche mit Cµ ≤ 0.09 haben demnach mehr Produktion als Dissipation, bei Cµ ≥ 0.09 entsprechend

¨ 5.2. DRALLSTROMUNG IN MODELLBRENNKAMMER

63

umgekehrt. Diese Aussage bezieht sich allerdings nur auf das Verhältnis von Produktion Pk zu Dissipation ²t , das in einem Gebiet niedriger absoluter Turbulenzproduktion dennoch hoch sein kann. Während der Faktor im Wandbereich immer der Konstanten des SKEModells entspricht, befinden sich Gebiete mit vergrößertem Verhältnis Pk /²t auf der konvexen Kr¨ ummerseite, besonders im Bereich des Eintritts in den Kr¨ ummer. Im Nachlauf der Ablösung befindet sich ein Gebiet mit verhältnismäßig mehr Dissipation als Produktion. Als Fazit dieses Testfalls ist festzuhalten, dass nur das RKE- und das KC-Modell in der ¨ Lage sind, die Ablösung bei guter Ubereinstimmung mit dem Experiment zu berechnen. Vom SKE-Modell ist bekannt, dass es bei diesem Testfall versagt, das schlechte Ergebnis des LCL-Modells ist eventuell auf das zweidimensionale Rechengebiet zur¨ uckzuf¨ uhren, da die Stärken dieses Modells in der Erfassung der Anisotropie des RST liegen. Bei Verwendung des LowRe-Originalmodells erhält man auch die Ablösung.

5.2. Drallstr¨ omung in Modellbrennkammer Strömungen in Kreiselpumpen sind insbesondere im Spiralgehäuse stark drallbehaftet. Die Vorhersagefähigkeit von Turbulenzmodellen bei Drallströmungen ist vor allem in der Verbrennungstechnik wichtig, daher wird der ERCOFTAC Testfall einer Modellbrennkammer ausgewählt (Workshop TU Darmstadt, 2001), zu der von Roback und Johnson [82] durchgef¨ uhrte Messungen vorliegen. Im typischen Strömungsprofil der Abb.5.5 erkennt man zwei rotationssymmetrische Rezirkulationszonen. Am Einströmrand in der unteren Hälfte des linken Randes wird

Abbildung 5.5.: Stromlinien bei Brennkammer Drallströmung

einer zentralen axialen Komponente im inneren Teil eine tangentiale Komponente im äußeren Teil u ¨berlagert. An der oberen Hälfte des linken Randes hinter der Einströmkante bildet sich sofort eine kleine Ablösung mit Rezirkulation. Die zweite, deutlich größere Rezirkulationszone bildet sich dann weiter stromab. Vergleichskriterium der Turbulenzmodelle ist die axiale Erstreckung der großen Rezirkulationszone. ´ [41] u Die Geometrie und das Eintrittsprofil wurden von Jakirlic ¨bernommen. Die Geometrie wird mit 141 · 71 · 6 Knoten diskretisiert, wobei ein Zylindersegment von 10◦ mit 6 Knoten in Umfangsrichtung mit Rotationsperiodizität an den Seiten gewählt wird. Bei einer Drallzahl von 0.45 beträgt die Reynoldszahl 47.500. Das Rechengebiet erstreckt sich nicht ganz bis zur Zylinderachse, um ein strukturiertes Rechengebiet zu ermöglichen. Als Vergleichskriterium wird hier die Größe der berechneten Rezirkulationszonen gewählt. Diese sind in Abb. 5.6 im linken Diagramm mit unterschiedlicher Achsenskalierung zu erkennen, 63

¨ 5.2. DRALLSTROMUNG IN MODELLBRENNKAMMER

64

bestimmt mit der Methode verschwindender Axialgeschwindigkeit. Man sieht also nicht die Größe der Rezirkulationszonen, sondern genau deren Mitte, während die Kurven zum Wiederanlegepunkt f¨ uhren. Am besten spiegelt das SKE-Modell die experimentellen Daten wieder, 0.06

1

Rezirkulationszonen

Cax Kanalmitte

0.05 0.04

0.5

r [m]

0.03 0.02

0

SKE KC RKE LCL EXP

0.01 0 0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

−0.5 0

0.1

0.2

z [m]

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

z [m]

Abbildung 5.6.: Rezirkulation und Axialgeschwindigkeit bei Drallströmung

0.09

´ [41] u dies stimmt mit den Erfahrungen von Jakirlic ¨berein, nicht aber mit denen von Kim und Chen [49]. Das KC-Modell bestimmt eine deutlich zu große Rezirkulationszone. Auch im Diagramm der Axialgeschwindigkeit in der Kanalmitte (Abb.5.6 rechts) haben alle Modelle Probleme, nach Wiederanlegen der Strömung das sich ausgleichende Strömungsprofil vorherzusagen. Insbesondere die Resultate des LCL-Modells sind nicht zufriedenstellend, obwohl gerade dieses Modell den Rotationseinfluss im TM theoretisch am besten abbildet. Das Feld des Cµ -Faktors ist in Abb.5.7 wegen der besseren 0.04 0.09 0.14 ¨ Ubersichtlichkeit nur im Eintrittsbereich der Modellbrennkammer bis zu einer axialen Länge von etwa 0.15m dargestellt. Bei großem Verhältnis 0.0 9 9 0.0 9 0.0 Produktion zu Dissipation turbu9 0.0 lenter kinetischer Energie wird der 0.09 Koeffizient Cµ lokal kleiner und um0.09 gekehrt. Die größten Werte f¨ ur Cµ 0.09 sind im engen inneren Bereich der radial nach außen abgelenkten KernAbbildung 5.7.: Cµ -Faktor Drallströmung strömung mit etwa 0.12 zu finden. Dieser schmale Streifen wird von einem Band mit kleinerem Cµ umschlossen, in dem sich die die Rezirkulation antreibende Scherschicht befindet. Grundsätzlich ist der Faktor klein bei starken Scherschichten und groß bei ausgeglichenen Strömungen. Auf die Darstellung von Geschwindigkeitsprofilen wird aufgrund der stark streuenden Messdaten verzichtet. Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass bei diesem Testfall das SKEModell am besten abschneidet, während die drei höherwertigen Modelle allesamt Schwächen 0.09

0.09 0.09

64

5.3. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR

65

zeigen. Das KC-Modell ist wiederum das am wenigsten dissipative Modell und berechnet die größte Rezirkulationszone. Wie schon beim Kr¨ ummer kann die rotationsperiodisch gewählte Geometrie eine Ursache des schlechten Ergebnisses des LCL-Modells sein.

5.3. Asymmetrischer Diffusor Die vom positiven Druckgradienten geprägte Strömung in ebenen Diffusoren neigt ab einem ¨ bestimmten Offnungswinkel zum Ablösen. Beim ERCOFTAC Testfall des asymmetrischen Diffusors (Workshop Universität Helsinki, 1999) löst die Strömung an der unteren, um 10o geneigten Wand ab, während an der oberen, geraden Wand keine Ablösung gefunden wird. F¨ ur diesen Fall liegen Messdaten von Buice und Eaton [10] vor. Ein typisches Strömungsfeld mit ansteigendem Druck und Ablösegebiet ist in Abb.5.8 zu sehen. Die Strömung ist zweidimensio-

Abbildung 5.8.: Stromlinien beim asymmetrischen Diffusor nal und eignet sich daher gut als numerischer Testfall. Die Geometrie wird mit 171·51·3 Knoten diskretisiert mit Symmetrierandbedingungen in Kanaltiefenrichtung. Das Eintrittsprofil wird als ausgebildete Kanalströmung vorgegeben, die Reynoldszahl gebildet mit der Geschwindigkeit in der Kanalmitte beträgt Re=20.000. Der Vergleich mit den Modellen erfolgt anhand Schubspannungskoeffizient und Druckbeiwert auf beiden Wänden und der Darstellung des Ablösegebietes. Nur das RKE- und das KC-Modell

Abbildung 5.9.: Begrenzung des Ablösegebietes beim asymmetrischen Diffusor können die Ablösung an der unteren Wand berechnen. F¨ ur beide Modelle sind in Abb.5.9 die das Ablösegebiet einh¨ ullenden Kurven dargestellt. Anders als bei der Drallströmung werden diese Kurven aus Integration in Wandnormalenrichtung der wandparallelen Geschwindigkeiten ermittelt. Das KC-Modell berechnet sowohl Ablösepunkt als auch Wiederanlegepunkt am besten, wie Tabelle 5.1 verdeutlicht. Druckbeiwert und Schubspannungskoeffizient an der unteren 65

5.3. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR Modell Ablösepunkt Wiederanlegepunkt

66 EXP 7 28

SKE -

RKE 9.5 24

KC 7.5 29

LCL -

Tabelle 5.1.: Länge des Ablösegebietes beim asymmetrischen Diffusor

Kanalwand in Abb.5.10 bestätigen das gute Abschneiden des KC-Modells. Die Ablösung ist anhand des verzögerten Druckanstiegs bzw. des negativen Schubspannungskoeffizienten zu erkennen. Beim RKE-Modell ist die Ablösung noch deutlich erkennbar, während SKE und LCL ¨ fast identisch und abweichend von den Messdaten verlaufen. Ahnlich den zuvor besprochenen −4

10

1

x 10

Cp − Kanalwand unten

Cf − Kanalwand unten

0.8

5

0.6 0.4

0 −10

0

SKE KC RKE LCL EXP

0.2

0

10

20

30 x/H

40

50

60

−5 −10

70

SKE KC RKE LCL EXP 0

10

20

30

40

50

60

70

x/H

Abbildung 5.10.: Koeffizienten Cp und Cf beim asymmetrischen Diffusor an unterer Seite

Testfällen hat das KC-Modell auch hier Probleme mit der Vorhersage der sich ausgleichenden Strömung nach der Ablösung. Dies ist entweder im dort zu flachen Cf -Verlauf oder in den im Anhang enthaltenen Geschwindigkeitsprofilen zu sehen. Während im Bereich der Ablösung sowohl Geschwindigkeit als auch TKE vom KC-Modell sehr gut wiedergegeben werden, wird die ¨ Ubereinstimmung mit der Messung bei Axialpositionen stromab der Wiederanlegung schlechter. Dennoch sind die Ergebnisse der u ¨brigen untersuchten Modelle in allen Punkten dem KC-Modell unterlegen. Auf die Darstellung des Cµ Faktors wird ab jetzt verzichtet. Wie schon beim Testfall des Kr¨ ummers können das SKE- und LCL-Modell mit WF-Wandbehandlung die Ablösung nicht vorhersagen. Es muss dennoch darauf hingewiesen werden, dass insbesondere das LCL-Modell in seiner urspr¨ unglichen LowRe-Formulierung bei diesem Testfall ein deutlich besseres Ergebnis liefert, wie z.B. von Skoda [100] gezeigt. Von den untersuchten Turbulenzmodellen liefert das KC-Modell beim asymmetrischen Diffusor bez¨ uglich aller Kriterien die deutlich besten Ergebnisse.

66

¨ 5.4. RUCKSPRINGENDE STUFE

67

5.4. Ru ¨ckspringende Stufe Die r¨ uckspringende Stufe zeichnet sich im Gegensatz zum Rohrkr¨ ummer und dem asymmetrischen Diffusor durch den an der Stufenkante geometrisch festgelegten Ablösepunkt aus. Als Vergleichskriterium bietet sich somit die vorhergesagte Länge der Rezirkulationszone hinter der Stufe an. Experimentelle Referenzdaten lieferten die Messungen von Driver und Seegmiller [18]. Diese untersuchten das Verhalten der an der r¨ uckspringenden Stufe abgelösten

H

7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 710-611-512-413-31 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 x/H

x/H

Abbildung 5.11.: Typisches Strömungsbild und Rechengitter (Jeder 5. Gitterknoten)

xH

Strömung unter verschiedenen Druckgradienten, welche u ¨ber eine im Winkel variabel einstellbare Gegenkontur erzeugt wurden. Die Strömung kann durch das relativ große Verhältnis von Kanalhöhe (12H) zu Absatzhöhe (H) als zweidimensional angesehen werden, die Reynoldszahl liegt bei 3.7 · 104 . Bei der Aus- und Bewertung dieser Art Strömung ist zu ber¨ ucksichtigen, dass die Wiederanlegelänge experimentell als Ensemblemittelwert bestimmt wurde, da keine stationäre Strömung vorliegt. Zudem weist die Instationarität keine ausgeprägte Frequenz auf, weshalb numerisch mit URANS-Modellen keine zeitperiodische Lösung ermittelt werden kann. Die Lösung schwingt sich immer auf eine stationäre Lösung ein, was von Durbin [19] postuliert und f¨ ur diesen Fall von Schaad [86] auch u uft wurde. Folgerichtig sind auch hier, wie bei ¨berpr¨ den vorangegangenen Testfällen, ausschließlich stationäre Berechnungen durchgef¨ uhrt worden. Die Darstellungen in der vorliegenden Arbeit beschränken sich auf den Fall der geraden Ge´ [41] verwiesen. genkontur, f¨ ur weitere Parameterstudien wird auf Schaad [86] oder Jakirlic Das typische Strömungsfeld mit Stromlinien und Druckkonturlinien ist in Abb.5.11 links dargestellt, das zugrundeliegende Rechengitter mit jedem f¨ unften Gitterknoten rechts. Die beiden Blöcke des Rechengebietes werden mit 31 · 81 · 3 und 121 · 121 · 3 Knoten diskretisiert, womit der dimensionslose Wandabstand zu y + ≈ 25 eingestellt wird. Die Bestimmung der Ausdehnung des Rezirkulationsgebietes erfolgt gemäß der Beschreibung beim asymmetrischen Diffusor. Diese Zone ist in Abb.5.12 dargestellt. Der aus den mit LDV gemessenen Geschwindigkeitsprofilen ermittelte Anlegepunkt liegt bei einer Lauflänge von x/H ≈ 5.3. Das SKE- und das LCL-Modell, deren Ergebnisse wieder sehr ähnlich sind, liegen diesem Wert am nächsten, während mit RKE ein Wert x/H > 6 und mit KC sogar 67

xH

¨ 5.4. RUCKSPRINGENDE STUFE

68

x/H ≈ 7 berechnet wird. Vergleicht man diese Darstellung mit den Kurven der Kennzahlen C p (obere und untere Wand)und Cf (untere Wand) in Abb.5.13, die mit einer anderen Messtechnik bestimmt wurden, so fällt zunächst eine Diskrepanz zwischen den gemessenen Werten auf. Beim Cf -Verlauf ist der Wiederanlegepunkt bei der Lauflänge x/H ≈ 6 zu finden, die Ausdehnung der Rezirkulation ist demnach größer als mit der Geschwindigkeitsmessung bestimmt. Die Autoren [18] weisen darauf hin und begr¨ unden dies mit einer sehr wandnahen Ausdehnung SKE KC RKE LCL EXP

Ablösegebiet 1

y/H

0.5 0 0

1

2

3

4

5

6

x/H Abbildung 5.12.: Begrenzung des Ablösegebietes bei r¨ uckspringender Stufe

der R¨ uckströmung, die mit der LDV-Messung nicht erfasst werden kann. Jedoch konnte weder mit den hier vorgestellten Berechnungen noch mit einer LowRe-Wandbehandlung ein solches Phänomen festgestellt werden. −3

x 10 0.25

0.25

C − Kanalwand oben p

0.2

0.2

0.15

Cp − Kanalwand unten

4

0.15

3

0.1

2

0.1

Cf − Kanalwand unten

0.05 0.05 SKE KC RKE LCL EXP

0 −0.05 −0.1 −5

0

5

10

15 x/H

20

25

30

35

1

0

SKE KC RKE LCL EXP

−0.05 −0.1 −5

0

5

10

15 x/H

20

25

30

35

SKE KC RKE LCL EXP

0 −1 −5

0

5

10

15

20

25

30

35

x/H

Abbildung 5.13.: Koeffizienten Cp und Cf bei r¨ uckspringender Stufe

Beim qualitativen Vergleich der vier Turbulenzmodelle zeigt sich erneut das schon bekannte Verhalten. SKE und LCL unterscheiden sich nur geringf¨ ugig, während RKE bez¨ uglich der Wiederanlegung zwischen den beiden zuvor genannten und dem KC-Modell liegt. In der sich ausgleichenden Strömung nach der Wiederanlegung sind keine Unterschiede zwischen den Modellen zu erkennen, was vermutlich auf das sehr große Stufenverhältnis zur¨ uckzuf¨ uhren ist.

68

5.5. BEWERTUNG DER VALIDIERUNGSERGEBNISSE

69

5.5. Bewertung der Validierungsergebnisse Zusätzlich zu den oben diskutierten Testfällen wurde eine r¨ uckspringende Stufe mit einer extern aufgeprägten Instationarität durch periodische Masseneinblasung direkt an der Stufenkante untersucht (ERCOFTAC-Testfall beim Workshop Universität Darmstadt, 2001). Weiterhin wurde die Lauffähigkeit der implementierten LowRe-Version des KC-Modells am Testfall der stationär angeströmten Stufe nachgewiesen, die jedoch aufgrund der schlechten Konvergenzeigenschaften nicht weiter verfolgt wurde. F¨ ur Details dieser Untersuchungen sei auf die Arbeit von Schaad [86] verwiesen, auf eine Vorstellung hier wird verzichtet. Die korrekte Implementierung des Modells wurde somit an mehreren Testfällen mit den f¨ ur eine Pumpe wichtigen numerischen Anforderungen Multiblock, Instationarität und Wandfunktionen nachgewiesen. Die Leistungsfähigkeit des KC-Modells zeigt sich vor allem bei den aufgrund des Druckgradienten zur Ablösung neigenden Strömungen. Hervorragende Ergebnisse erhält man beim Rohrkr¨ ummer und beim asymmetrischen Diffusor sogar mit einfacher WF-Wandbehandlung. Die beim SKE-Modell zu große Produktion turbulenter Viskosität in Scherschichten läßt diese immer zu stark wachsen, wodurch einerseits eine Ablösung verhindert wird und andererseits eine fr¨ uhzeitige Wiederanlegung bei der Stufe erfolgt. Das urspr¨ unglich f¨ ur LowRe konzipierte LCLModell ist in seiner WF-Version trotz der nichtlinearen Berechnung der turbulenten Viskosität keine Verbesserung zum SKE-Modell. Das RKE-Modell dagegen liefert deutlich bessere Ergebnisse, während das KC-Modell von den getesteten die geringste turbulente Viskosität erzeugt. Interessant ist hier auch ein Vergleich der einzelnen Rechenzeiten, der in Abb.5.14 dargestellt ist. Hierzu wurde ohne Konvergenzkriterien eine identische Anzahl von Iterationen gerechnet. Mit dem SKE-Modell als Referenz Rechenzeit in % liegen die drei erweiterten Modelle LCL allesamt höher. Die algebraische KC ¨ Uberpr¨ ufung und eventuelle AnRKE passung des Cµ -Faktors im RKESKE Modell benötigt 9.5% zusätzliche 0 20 40 60 80 100 120 140 Rechenzeit, die Lösung der beiden zusätzlichen Transportgleichungen Abbildung 5.14.: Rechenzeitvergleich des KC-Modells 25%. Am längsten mit +35% dauert die nichtlineare Bestimmung der turbulenten Viskosität im LCL-Modell. Die um etwa ein Viertel erhöhte Rechenzeit des KC-Modells gegen¨ uber dem SKE-Modell bewegt sich somit in einem annehmbaren Rahmen. Als deutlicher Vorteil des KC-Modells gegen¨ uber dem RKE-Modell ist die ähnlich verminderte Berechnung einer turbulenten Viskosität zu nennen, ohne dass eine rein algebraische Limitierungsfunktion eingef¨ uhrt werden muss. Das KC-Modell erf¨ ullt zwar nicht die physikalischen Regeln der Realisierbarkeit, kann aber dennoch die Ursachen, die zur Formulierung dieser Regeln f¨ uhren, von sich aus vermeiden. Es ist damit sogar auf einer höheren physikalischen Modellierungsebene einzuordnen als das RKE-Modell. Weiterhin zeigt sich die numerische Implementierung als ähnlich robust wie das SKE-Modell, bei gleich guter und schneller Konvergenz f¨ ur die hier untersuchten Testfälle.

69

70

6. Modellbildung der Pumpen Die als Anwendungstestfälle ausgewählten Maschinen werden in diesem Kapitel vorgestellt. Es handelt sich um drei Versuchspumpen radialer Bauart mit unterschiedlicher spezifischer Drehzahl. F¨ ur alle drei Maschinen liegen detaillierte Messdaten vor, die am Fachgebiet TFA im Rahmen experimenteller Forschungsarbeiten entstanden sind. Neben den wichtigsten Daten zu den Maschinen wird jeweils die Umsetzung in numerische Modelle erläutert.

6.1. Laufrad einer nS 28 Radialpumpe mit Ringdiffusor Die Versuchspumpe mit der spezifischen Drehzahl nS 28 wurde im Rahmen eines VDMAForschungsvorhabens in verschiedenen Konfigurationen von Aysheshim [3] aufgebaut und untersucht. Die Versuchsvariante des in einen unbeschaufelten Ringdiffusor frei abströmenden Laufrades ist im Schnittbild in Abb.6.1 dargestellt. Die experimentellen Untersuchungen wa-

Abbildung 6.1.: Pumpe frei abströmend in schaufellosen Ringdiffusor (links) nach Aysheshim [3] und modelliertes Rechengebiet (rechts)

ren Teil eines Verbundprojektes zur Bereitstellung von Messwerten zur Validierung des parallel entwickelten Codes NS3D. Messergebnisse und Referenzdaten aus grundlegenden numerischen Berechnungen zu diesem Testfall wurden von Aysheshim [4] bzw. Skoda [101] veröffentlicht. Der Versuch wurde f¨ ur die Betriebspunkte 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 aus messtechnischen Gr¨ unden mit Luft durchgef¨ uhrt. Die wesentlichen Geometriedaten der Maschine und die f¨ ur die Simulation wichtigen Parameter sind in Tabelle 6.1 angegeben. Die Pumpe wurde speziell im Hinblick auf die Verwendung der Messwerte als Validierungsdaten numerischer Berechnungen eines einzelnen Laufradkanals konzipiert. Aufgrund des schaufellosen Ringdiffusors kann von 70

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR Bezeichnung Nabendurchmesser Saugmunddurchmesser Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene 2 Austrittsdurchmesser CFD Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Schaufelanzahl Dichte statische Temperatur dynamische Viskosität Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

71

Wert DN = 135mm DS = 227mm D2 = 390mm DM E2 = 397mm Dout = 450mm b2 = 28mm s0 = 30mm z=7 kg ρ = 1, 154 m 3 Tamb = 15K kg µ = 1.773 · 10−5 ms 3 V˙ = 993 mh Uin = 10.55 ms 1 n = 4000 min

Tabelle 6.1.: Maschinendaten, Versuchsparameter und Meridianschnitt nS 28

rotationsperiodischen Bedingungen ausgegangen werden. Die in Kapitel 2 beschriebene Berechnungsmethode eines einzelnen Laufradkanals kann demnach angewendet werden. Sowohl im Versuch als auch in der Simulation kann bei den erreichten Machzahlen von inkompressibler Strömung ausgegangen werden. Die charakteristischen Strömungsgrößen der Pumpe sind f¨ ur den Bestpunkt (BEP, Best Efficiency Point) nachfolgend angegeben. V˙ N0.5 0.75 HN

spezifische Drehzahl

nS = n ·

Re am Laufradeintritt

Rein,N =

Re am Laufradaustritt

Reu2 =

Machzahl am Laufradeintritt

M ain,N =

Machzahl am Laufradaustritt M au2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 26.8 min

· Uin (DS − DN ) = 63000

· u2 · D2 = 2.07 · 106 √Uin κRT

√ u2 κRT

= 0, 032

= 0, 24

Im Rahmen dieser Arbeit wird die beschriebene Versuchsvariante zur Simulation einer reinen Laufradströmung mit dem Ziel der Validierung des Einflusses der Turbulenzmodellierung und der Wandbehandlung benutzt. Die Berechnung eines Pumpenlaufradkanals mit numerischer Auflösung der Wandgrenzschicht ist hier von besonderem Interesse. Der durchgef¨ uhrte Vergleich beider Wandbehandlungen f¨ ur einen einzelnen Laufradkanal bzw. gar eine gesamte Pumpe ist in der Literatur noch nicht dokumentiert. Das zu modellierende Rechengebiet ist in Abb.6.1 rechts und in Tabelle 6.1 im Meridianschnitt dargestellt. In der Messebene ME1 stromauf des Laufrades liegt eine ausgeglichene Rohrströmung vor. Von Skoda [101] wurde nachgewiesen, dass die verk¨ urzte Modellierung des Saugrohres keinen signifikanten Einfluss hat. Es wird daher wie in Abb.6.1 rechts dargestellt mit verk¨ urztem Saugrohr gerechnet. Als Eintrittsrandbedingung wird eine aus dem Volumenstrom des Betriebspunktes bestimmte konstante Axialgeschwindigkeit vorgegeben. Da keine 71

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR

72

Turbulenzgrößen am Eintritt bekannt sind, wird ein Turbulenzgrad von 5% und ein Längenmaß L = 0.1 · DS angenommen, woraus man mit den in Kapitel 4 angegebenen Gleichungen kin und ²in bestimmen kann. Der Radialdiffusor wird bis zu einem Radius von Dout = 450mm modelliert. Die dem blockstrukturierten Rechengitter zugrundeliegende Blocktopologie wurde von Skoda und Einzinger [102] entwickelt und f¨ ur diese Arbeit zur Verf¨ ugung gestellt. Die Schaufel wird von einem C-Netz umschlossen, das sich gut f¨ ur eine gleichmäßige Wandauflösung eignet. Die abgedrehte Laufradhin6 5 terkante hat sich f¨ ur diesen Fall als optima4 le Geometrie erwiesen [101]. F¨ ur die beab1 2 sichtigte Auswertung in dieser Arbeit musste die vorhandene Blocktopologie leicht modifiziert werden, so dass alle verwendeten Rechengit3 ter eine Blocktopologie gemäß Abb.6.2 aufweisen. Zum einen wird ein zusätzlicher Block eingef¨ ugt, um am Radius der Messebene eine durch einen Blocklaufindex definierte Ebene zu erhalAbbildung 6.2.: Blocktopoloie nS 28 ten (Blockgrenze zwischen 5 und 6). Die Auswertung kann damit exakt am Radius RM E2 erfolgen. Weiterhin wird ein geometrischer Modellierungsfehler weitgehend vermieden, indem die reale Diffusorbreite ab der Messebene modelliert wird. Direkt hinter dem Laufradaustritt weitet sich die axiale Breite um je 1 mm von b2 auf s0 , was im Originalgitter durch den automatisierten Gittergenerierer nicht ber¨ ucksichtigt war. Im Modell weitet sich das Netz ab der Messebene auf die reale Diffusorbreite, da bedingt durch den C-Netz Block eine der Realität entsprechende Aufweitung direkt ab Laufradaustritt nicht möglich war. In Abb.6.3 sind die beiden WF-Rechengittervarianten mit verschiedenen Diffusorbreiten dargestellt. F¨ ur jede der beiden Modellvarianten werden je zwei Rechengit-

Abbildung 6.3.: Modellierte Diffusorbreite und zugehöriges WF-Rechengitter im Bereich Schaufelhinterkante f¨ ur beide Rechengebiete

72

6.1. LAUFRAD EINER NS 28 RADIALPUMPE MIT RINGDIFFUSOR

73

ter, f¨ ur Wandfunktionen und LowRe-Wandbehandlung erzeugt. Auf dem groben Netz wird ein dimensionsloser Wandabstand von y + ≈ 30 ÷ 40 und auf dem feinen y + ≈ 1 ÷ 2 eingestellt. Die y + -Verläufe entlang der mittleren Schaufelsehnenlänge auf DS und SS sind f¨ ur beide Gitter in Abb.6.5 dargestellt. Das C-Netz um die Schaufeloberfläche muss beim feinen Netz, wie in Abb.6.2 angedeutet, wegen der hohen Knotenanzahl in zwei Blöcke unterteilt werden, während beim groben Netz ein Block gen¨ ugt. Die Bezeichnung der einzelnen Gitter und deren Größe sind in nachfolgender Tabelle zusammengefasst. Die Gitter in der mittleren StromebeGitter WF-1 LR-2 WF-3 LR-4

Diffusor A A B B

Wandbehandlung WF LowRe WF LowRe

Knotenanzahl 85425 803403 88774 898195

Knoten Nabe-Decks. 17 51 17 51

Tabelle 6.2.: Gittergrößen Radialpumpe nS 28

ne zwischen Nabe und Deckscheibe sind in Abb.6.4 dargestellt. Deutlich zu erkennen ist die Blockaufteilung und die extrem feine Vernetzung in Wandnormalenrichtung f¨ ur LowRe. Bei

Abbildung 6.4.: Rechengitter im Bereich Schaufelvorderkante links f¨ ur Wandfunktionen, mitte und rechts f¨ ur LowRe-Wandbehandlung

diesem Anwendungsfall wird bez¨ uglich der Relativbewegung kein Modellierungsfehler gemacht. Der Einfluss der realen Diffusorgeometrie wird untersucht. Insgesamt bleiben im Vergleich zur realen Strömung die folgenden Modellierungsfehler bestehen und m¨ ussen bei der Ergebnisbewertung ber¨ ucksichtigt werden. • Nichtber¨ ucksichtigung der Radseitenraum-Spalte der Maschine • Deckscheibe ist an Stirnseite real abgerundet (vgl. Abb.6.1) • ideal glatte Wände werden angenommen • reale Diffusorbreite erst ab Radius der Messebene

73

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE 80

4

y+ Schaufelmitte

70

3

50

2.5

40

2

30

1.5

20

1

10 0.2

0.5

DS SS

BP:120 SP

0.4

0.6

y+ Schaufelmitte

3.5

60

0.8

DS SS

BP:120

HK

74

SP

0.2

0.4

0.6

0.8

HK

Abbildung 6.5.: Dimensionsloser Wandabstand y + bei Q/QN = 1.2 mit WF (links) und LR (rechts) entlang Schaufelsehnenlänge an DS und SS

6.2. nS 20-Radialpumpe mit Kreisquerschnitt-Spiralgeh¨ ause Als erste von zwei kompletten radialen Turbomaschinen wird eine Kreiselpumpe mit der spezifischen Drehzahl von nS 20 als Anwendungsfall ausgewählt. Es handelt sich um eine im Rahmen eines AiF-Forschungsvorhabens am Fachgebiet TFA von Tamm [111] speziell entwickelte Versuchspumpe zur Erforschung des Wirkungsgradpotenzials von Kreiselpumpen. Die Pumpe im experimentellen Versuchsaufbau ist in Abb.6.6 dargestellt. Zielsetzung war die Quantifizierung

Abbildung 6.6.: Versuchspumpe nS 20: Pr¨ ufstand, 3D-CAD Modell und CFD-Domain des Einflusses verschiedener, den Gesamtwirkungsgrad bestimmender Parameter. Durch die dazu notwendigen konstruktiven Besonderheiten des Versuchsstandes sowie die Messungen von Teilwirkungsgraden eignet sich die Pumpe gut f¨ ur eine numerische Validierung. Die Wände der Maschine sind f¨ ur eine der Versuchskonfigurationen poliert und somit als hydraulisch glatt anzusehen. Dies entspricht der Modellierung der Wandfunktionen in Turbulenzmodellen. Die Pumpe kann durch Variation des druckseitigen Dichtspaltes entlastet oder unentlastet betrieben werden. Der unentlastete Fall ist hierbei numerisch einfacher zu modellieren, da fehlerfrei auf diesen Spalt verzichtet werden kann. Die radiale Höhe des saugseitigen Dichtspaltes des Radseitenraumes kann definiert eingestellt werden und aufgrund der sehr steifen Ausf¨ uhrung der Lagerung als im Betrieb konstant angesehen werden. Das Spiralgehäuse hat eine Symmetrieebene normal zur Drehachse des Laufrades, was f¨ ur die ohnehin aufwändige blockstrukturierte 74

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

75

Vernetzung dieses Bauteiles von Vorteil ist. Die f¨ ur die Modellerstellung wesentlichen Geometriedaten sind in Tabelle 6.3 angegeben und in Abb.6.7 bezeichnet. Die Pumpe wird im Wasserversuch betrieben. Mit den eingestellten Stoffwerten gelten f¨ ur die Pumpe im Bestpunkt die folgenden Kennzahlen: - spezifische Drehzahl nS = n ·

V˙ N0.5 0.75 HN

- Re am Laufradeintritt Rein,N = - Re am Laufradaustritt Reu2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 19.03 min

· Uin · DS = 3.3 · 105

· u2 · D2 = 7.4 · 106

- Reduzierte Frequenz nach Gleichung (2.1) ωred ≈ 0.8 Da die Pumpe sowohl mit FLUENT als auch mit NS3D mit dem gleichen Rechennetz berechnet werden sollte, mussten bei der Gittergenerierung die Anforderungen beider Codes ber¨ ucksichtigt werden. Die von NS3D geforderte blockstrukturierte Gitteranordnung ist somit diesbez¨ uglich maßgeblich. Das gesamte Rechengebiet wurde in 36 strukturierte Teilblöcke zerlegt, die Aufteilung und die maximale Knotenanzahl eines Blockes innerhalb einer Fluidzone sind in Tabelle 6.5 angegeben. Der blockstrukturierte Aufbau des gesamten Rechennetzes der Pumpe ist der Abb.6.9 zu entnehmen. F¨ ur eine effektive blockstrukturierte Topologie von Saugrohr und Saugmund ist es erforderlich, einen willk¨ urlichen inneren Durchmesser Di einzuf¨ uhren (vgl. Abb.6.7). Der dadurch entstehende Modellierungsfehler ist vernachlässigbar, da die Eintrittsgeschwindigkeit nur unwesentlich um 1% erhöht werden muss. Bei der Berechnung

Abbildung 6.7.: Geometriedaten der Radialpumpe nS 20 f¨ ur CFD-Modellierung mit dem unstrukturierten Solver von FLUENT können mehrere Teilblöcke vereinfachend zu Fluidzonen zusammengefasst werden. Dies erfolgt zweckmäßig derart, dass Blöcke mit identischen Randbedingungen eine separate Fluidzone bilden. Das Gesamtmodell wird nach Abb.6.7 in insgesamt sechs Fluidzonen (F1 bis F6) aufgeteilt. Sämtliche relativ zum Inertialsystem rotierenden Bauteile der Pumpe sind Teil der Fluidzone F2 des Laufrades. Der Anschluss an die angrenzenden Fluidzonen (F1, F2, F5 und F6) erfolgt mittels Grid-Interfaces, entlang derer die angrenzenden Fluidzonen bei transienter Rechnung aneinander vorbeigleiten (Sliding-Mesh). 75

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Bezeichnung Saugmunddurchmesser aussen Saugmunddurchmesser innen (f¨ ur Gitterblockstruktur) Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Laufradaustrittswinkel Schaufelanzahl Dichte dynamische Viskosität Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

76

Wert DS = 100mm Di = 10mm D2 = 260mm DM E = 266mm b2 = 16.5mm s0 = 25mm β2 = 27.7o z=6 kg ρ = 998.2 m 3 kg µ = 1.003 · 10−3 ms 3 V˙ = 93.55 mh Uin = 3.35 ms 1 n = 2000 min

Tabelle 6.3.: Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 20

F2 wird beim FR-Ansatz in einem rotierenden System berechnet, alle angrenzenden Wände rotieren relativ zur Fluidzone, so dass sich insgesamt die tatsächliche Rotationsbewegung im Inertialsystem ergibt. Die Aufteilung des Gesamtgitters in Fluidzonen ist in Tabelle 6.4 angegeben. Da f¨ ur das blockstrukturierte Rechengitter ausschliesslich Hexaederzellen verwendet wurden, konnte eine sehr gute Gitterqualität mit einem mittleren Skewness-Wert von 0.183 erzielt werden. Die Maximalwerte liegen bei 0.836 und finden sich im Laufradaustrittsbereich. Das Rechengitter in den interessantesten Bereichen ist in Abb.6.8 dargestellt. Gut zu erkennen ist die gewählte Blocktopologie sowie die resultierende Zellenverteilung mit optimierter Gitterqualität.

Abbildung 6.8.: Rechengitter im Bereich Spiralsporn (links), Laufradhinterkante (mitte) und Laufradvorderkante (rechts)

Die Relativbewegung zwischen Laufrad und restlichen Bauteilen wird mit dem FR-Ansatz und transient mit bewegtem Laufrad modelliert. Beide Ansätze werden bez¨ uglich ihrer Vorhersagefähigkeit bewertet. Die Anwendung des MP-Ansatzes ist f¨ ur diese Pumpe nicht zu empfehlen. Der unbeschaufelte Radialdiffusor dieser Pumpe weist eine so geringe radiale 76

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Nummer F1 F2 F3 F4 F5 F6 -

Fluidzone Saugrohr Laufrad Spiralgehäuse Druckstutzen vorderer Radseitenraum hinterer Radseitenraum Gesamtpumpe (incl. Interfaces)

Knotenanzahl 90.000 382.157 136.011 10.777 132.000 137.440 896.079

77

Zellenanzahl 82.800 393.744 126.720 9.504 90.720 96.320 799.808

Tabelle 6.4.: Gittergröße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 20 Bauteil Saugrohr Interfaceblock Saugrohr-RSR Laufrad-Saugmund Laufrad-Kanäle Diffusor rotierend Diffusor stationär Spiralgehäuse mit Druckstutzen Radseitenraum hinten Radseitenraum vorne

Anzahl der Bl¨ ocke 2 1 6 6 1 1 6 6 6

max. Knotenanzahl (i · j · k) 26 · 91 · 21 7 · 181 · 21 30 · 51 · 21 27 · 51 · 17 27 · 181 · 8 27 · 182 · 5 25 · 199 · 8 12 · 181 · 16 32 · 181 · 9

Tabelle 6.5.: Aufteilung und maximale Blockgröße pro Zone der nS 20 Radialpumpe

Erstreckung auf, dass eine ausgeglichene Strömung, d.h. vor allem ohne R¨ uckströmung, f¨ ur keinen Betriebspunkt gegeben ist. Um eine möglichst realistische Modellierung zu gewährleisten, wurden die Radseitenräume bei dieser Pumpe ber¨ ucksichtigt. Am Eintritt des Rechengebietes wird die Geschwindigkeit normal zum Einströmrand, also ohne Drall, entsprechend dem Betriebspunkt eingestellt, die Kennlinie wird zwischen 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.3 berechnet. Als Austrittsrandbedingung am um 2 Austrittsdurchmesser verlängerten Druckstutzen wird ein Gegendruck vorgegeben. Turbulenzgrößen am Eintritt wurden nicht gemessen und daher mit den Formeln aus Kapitel 4 bestimmt. Die zur Validierung der Turbulenzmodellierung an dieser Pumpe herangezogenen Modelle arbeiten alle mit Wandfunktionen. Die erforderliche Gittergröße f¨ ur eine LowRe-Wandbehandlung wurde im vorherigen Kapitel verdeutlicht und ist zum Zeitpunkt dieser Arbeit mit den vorhandenen Ressourcen f¨ ur eine gesamte Pumpe nicht wirtschaftlich durchf¨ uhrbar. Bei dem verwendeten + Gitter wurden dimensionslose Wandabstände von 30 < y < 500 eingestellt. Als Turbulenzmodelle wurden neben dem Standard-k-²-Modell als Referenz dessen realisierbare Variante, das RNG-Modell sowie das SST-Modell mit FLUENT berechnet. Zur Gegen¨ uberstellung wird eine Lösung mit dem KC-Modell unter NS3D berechnet. Eine stationäre Lösung mit FR-Ansatz benötigt insgesamt etwa 1000 Iterationen und kann dann als Initialisierungsfeld f¨ ur die transiente Berechnung genutzt werden. Die Zeitschrittweite wurde so festgelegt, dass sich das Laufrad mit jedem Zeitschritt um 2◦ dreht. Bei jedem 77

¨ 6.2. NS 20-RADIALPUMPE MIT KREISQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

78

Zeitschritt werden zwischen 5 und 7 Iterationen benötigt, um ein Abfallen der Residuen auf den Ausgangswert zu erreichen. Die Konvergenz der transienten Berechnung wird u ¨ber den Verlauf des Massenstromes durch einen Laufradkanal, durch den statischen Druck am Eintritt und das Rotormoment kontrolliert. Nach 2 bis maximal 3 Laufraddrehungen stellt sich eine zeitperiodische Lösung ein, die zur Auswertung erforderlichen Daten werden während der darauf folgenden letzten Umdrehung gesichert. Bei Variationen wesentlicher Lösungsparameter der transienten Berechnung zeigt sich eine leicht merkbare Abhängigkeit von der Anzahl der Iterationen pro Zeitschritt, wogegen die Zeitschrittweite in weiteren Grenzen variiert werden kann, ohne dass sich das Ergebnis a¨ndert. Mit den berechneten Lösungen dieser Pumpe kann

Abbildung 6.9.: Blocktopologie des Rechengitters der Radialpumpe nS 20 mit RSR zunächst der Einfluss des verwendeten Turbulenzmodells auf integrale Pumpenkenngrößen direkt quantifiziert werden. Zusätzlich können Auswirkungen auf Strömungsgrößen im Inneren der Maschine verglichen werden und somit Aussagen u ¨ber den tatsächlichen Nutzen theoretisch besser geeigneter Turbulenzmodelle getroffen werden. Weiterhin bietet insbesondere die Datenmenge der transienten Lösungen eine Vielzahl von Möglichkeiten, die Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spiralgehäuse darzustellen und zu bewerten. Die CFD-Daten können, entsprechend aufbereitet, zum erweiterten Verständnis der komplexen Strömungsvorgänge im Kopplungsbereich beitragen. Im Vergleich mit den Ergebnissen der quasi-stationären FR-Berechnung lassen sich deutlich die Vor- und Nachteile der jeweiligen Methoden zur Berechnung der Laufrad-Spirale Kopplung zeigen. Abschließend seien die bei der Modellierung der nS 20-Pumpe verbleibenden Modellierungsfehler genannt, die bei der Bewertung der Ergebnisse bedacht werden m¨ ussen. • Hohlraum an Nabeinnendurchmesser, um blockstrukturierte Netztopologie zu ermöglichen (real: normales Rohr) • Schaufelvorderkante spitz zulaufend, vgl. Abb.6.8) (real: runde Vorderkante mit sehr kleinem Radius) • Konstanter Gegendruck als Austrittsrandbedingung (real: Druckschwankungen in Druckleitung) 78

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE

79

6.3. nS 26-Radialpumpe mit Trapezquerschnitt-Spiralgeh¨ ause Die zweite im Rahmen dieser Arbeit vollständig modellierte Radialpumpe ist eine Spiralgehäusepumpe, die als konstruktive Besonderheit einen trapezförmigen Spiralenquerschnitt aufweist. Der Versuchsstand wurde von Meschkat [63] am Fachgebiet TFA aufgebaut, wobei mit dem Fluid Luft gemessen wurde, so dass kein geschlossener Kreislauf notwendig war und die Pumpe direkt in die Umgebung fördert. Ziel der Messungen war die Bereitstellung integraler sowie instationärer Daten, die zur Validierung numerischer Berechnungen zur Verf¨ ugung stehen sollen. Der Versuchsstand, die Pumpe im CAD-Modell sowie das daraus resultierende CFD-Modell sind in Abbildung 6.10 zu sehen. Der sehr kurz ausgef¨ uhrte Druckstutzen (im

Abbildung 6.10.: Versuchspumpe nS 26: Pr¨ ufstand, 3D-CAD-Modell und CFD-Domain Foto links in Abb.6.10) ermöglicht ein einfaches, stufenloses und sehr genaues Positionieren der jeweiligen Messsonden (Traversiervorrichtung im CAD-Modell in Abb.6.10) am Spiralumfang durch Drehen des Spiralgehäuses. Die somit gewonnenen Daten, insbesondere in 5◦ Umfangswinkelabstufungen im Bereich des Sporns, eignen sich optimal zum Vergleich mit numerischen Ergebnissen. Sowohl bei den Messungen als auch aus den numerischen Ergebnissen wurde schnell eine Verschiebung des Bestpunktes hin zu kleineren Volumenströmen erkannt. Dies wird später ausf¨ uhrlicher diskutiert, an dieser Stelle werden aber bereits die Kennzahlen der Maschine im Betriebspunkt Q/QN = 0.8, der dem Bestpunkt am nächsten kommt, angegeben. - spezifische Drehzahl nS = n ·

V˙ N0.5 0.75 HN

- Re am Laufradeintritt Rein,0.8 = - Re am Laufradaustritt Reu2 =

ρ µ

ρ µ

1 = 25.4 min

· Uin · DS = 7.2 · 104

· u2 · D2 = 1.8 · 106

- Reduzierte Frequenz nach Gleichung (2.1) ωred ≈ 1.0 Die Reynoldszahlen liegen etwas niedriger als bei der nS 20-Pumpe, von vollturbulenter Strömung kann in beiden Fällen ausgegangen werden. Die wesentlichen geometrischen Daten der Pumpe sowie die wichtigsten Parameter und Stoffgrößen sind in Tabelle 6.7 angegeben. Die Pumpe wird ohne Radseitenräume modelliert, da der Schwerpunkt der Untersuchungen hier auf den instationären Laufrad-Spirale Wechselwirkungen liegt. Motivation zur numerischen Simulation war unter anderem ein zu Beginn der Messungen nicht erklärbares zeitliches 79


80

Verhalten des Abströmwinkels im Spornbereich, das aber nicht durch RSR-Einfl¨ usse verursacht werden konnte. Die Vernachlässigung der RSR erfolgte unter diesen Gesichtspunkten, sie muss aber bei Darstellung der Kennlinien ber¨ ucksichtigt werden. Die sonstige Vorgehensweise

Abbildung 6.11.: Rechengitter im Bereich Laufradvorderkante, -hinterkante und Spiralsporn bei der Modellerstellung entspricht in weiten Teilen der nS 20-Pumpe. Der rechteckige Austrittsquerschnitt des Spiralgehäuses wird um das dreifache der größeren Seite verlängert, um die in diesem Bereich auftretenden Strömungsablösungen vom Austrittsbereich fernzuhalten. In gleicher Absicht wird das Saugrohr um drei Durchmesser verlängert. Obwohl eigentlich nicht f¨ ur diese Arbeit benötigt, wurde das komplette Rechengitter, um es grundsätzlich einer Berechnung mit NS3D zugänglich zu machen, wiederum blockstrukturiert aufgebaut. Das Saugrohr wurde zu diesem Zweck, wie schon oben geschildert, innen hohl modelliert. Obwohl der Trapezquerschnitt des Spiralgehäuses strömungstechnisch eher ung¨ unstig ist, erleichtert er das blockstrukturierte Vernetzen erheblich. Die Laufradvorderkante wird im Gegensatz zur nS 20-Pumpe tatsächlich rund und somit geometrisch korrekt modelliert. Dadurch werden f¨ ur das gesamte Laufrad mehr Blöcke benötigt, was die Einsparung bei der Spirale aufgrund des Trapezquerschnittes kompensiert. Die Blocktopologie und die erreichte Gitterqualität ist in den Ausschnitten des Rechengitters in Abbildung 6.11 gut erkennbar, die schlechtesten Zellen finden sich wiederum im Bereich des druckseitigen Laufradaustritts. F¨ ur die Berechnung der Pumpe mit dem Solver FLUENT konnten wieder Einzelblöcke, f¨ ur die gleiche Randbedingungen gelten, zu einer Fluidzone zusammengefasst werden. Ohne die RSR konnte mit vier Fluidzonen (F1 bis F4), wie in Abbildung 6.12 dargestellt, gearbeitet werden. Fluidzone F2 wird von allen relativ zum Inertialsystem rotierenden Wänden begrenzt. Die Trennung zwischen F3 und F4 ist aus Gr¨ unden der Modellrandbedingungen nicht notwendig, sondern ist eine Folge der nachträglichen Verlängerung des Spiraldruckstutzens. Die Größe der einzelnen Fluidzonen ist in Tabelle 6.6 angegeben. Die Gesamtzahlen von Knoten und Zellen entsprechen ungefähr denen der nS 20-Pumpe und hängen vor allem vom erforderlichen Wandabstand der ersten Zelle, Anforderungen an die Gitterqualität sowie subjektiven Qualitätskriterien ab. Die Gesamtknotenanzahl ergibt sich nicht wie die Gesamtzellenanzahl aus der Summe der Einzelteile, da FLUENT f¨ ur die Gitter-Interfaces zwischen rotierenden und stillstehenden Fluidzonen zusätzliche Hilfsflächen benötigt. Die Kopplung dieser Fluidzonen wird bei der nS 26-Pumpe entsprechend der nS 20-Pumpe sowohl mit dem FR-Ansatz als auch transient berechnet, auf den MP-Ansatz wird aus oben genannten Gr¨ unden verzichtet. Die Eintrittsrandbedingung 80


81

Abbildung 6.12.: Geometriedaten der Radialpumpe nS 26 f¨ ur CFD-Modellierung und Einteilung der Fluid-Zonen Nummer F1 F2 F3 F4 -

Fluidzone Saugrohr Laufrad Spiralgehäuse Druckstutzen Gesamtpumpe (incl. Interfaces)

Knotenanzahl 96.390 394.331 178.066 19.136 698.112

Zellenanzahl 88.704 358.400 164.252 17.050 628.406

Tabelle 6.6.: Gittergröße der einzelnen Fluidzonen und des gesamten FLUENT-Modells nS 26

errechnet sich aus der zum Betriebspunkt gehörigen drallfreien Geschwindigkeit, die Kennlinie wird zwischen 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.2 berechnet. Die verwendeten Turbulenzmodelle in FLUENT sind wiederum SKE, RKE, RNG und SST, jeweils mit Wandfunktionen. Die Vorgehensweise bei der Berechnung, d.h. Initialisierung, Konvergenz, Anzahl der Iterationen etc. ist entsprechend der nS 20-Pumpe. Die wichtigsten Ziele der Berechnung dieser Pumpe sind vor allem die Untersuchung der instationären Strömungsphänomene im Bereich der Spiralzunge aufgrund der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen. Zusätzlich kann der Einfluss des verwendeten Turbulenzmodells auf die Kennlinien quantifiziert werden. Zur Untersuchung dieser Zusammenhänge stehen somit insgesamt zwei Pumpen unterschiedlicher Bauart zur Verf¨ ugung. Abschließend seien auch f¨ ur diese Pumpe die verbleibenden Modellierungsfehler genannt, die bei der Bewertung der Ergebnisse bedacht werden m¨ ussen: • Hohlraum an Nabeinnendurchmesser, um blockstrukturierte Netztopologie zu ermöglichen (real: normales Rohr) • Konstanter Gegendruck als Austrittsrandbedingung (real: Druckschwankungen in Druckleitung) • Verzicht auf RSR 81

¨ 6.3. NS 26-RADIALPUMPE MIT TRAPEZQUERSCHNITT-SPIRALGEHAUSE Bezeichnung Saugmunddurchmesser aussen Saugmunddurchmesser innen (f¨ ur Gitterblockstruktur) Laufradaußendurchmesser Durchmesser Messebene Laufradaustrittsbreite Diffusorbreite Schaufelanzahl Dichte dynamische Viskosität Volumenstrom im BEP Eintrittsgeschwindigkeit im BEP Drehzahl

82

Wert DS = 246mm Di = 20mm D2 = 405mm DM E = 417mm b2 = 29.15mm s0 = 34.3mm z=7 kg ρ = 1.205 m 3 −5 kg µ = 1.7 · 10 ms 3 V˙ = 879.31 mh Uin = 5.1732 ms 1 n = 3000 min

Tabelle 6.7.: Maschinendaten und Versuchsparameter der Radialpumpe nS 26

• Verlängerung des Spiraldruckstuztens (real: frei ausblasend, vgl. Foto in Abb.6.10)

Bedarf an Rechnerressourcen Sämtliche in dieser Arbeit vorgestellten Berechnungen wurden auf dem fachgebietsinternen Linux-Rechnercluster durchgef¨ uhrt. Das mit der Zeit gewachsene heterogene PC-Cluster besteht momentan aus sechs 700 MHz AMD-Athlon Rechenknoten mit je 500 MB Arbeitsspeicher, weiteren sechs 1GHz AMD-Athlon Rechenknoten mit je 1GHz Arbeitsspeicher, einer 1.5 GHz AMD-Athlon Doppelprozzesor-Maschine mit 2GHz Arbeitsspeicher und einer 2.6 GHz Intel-Xeon Doppelprozessor-Maschine mit 4GHz Arbeitsspeicher. Somit stehen 14 Prozessoren unterschiedlicher Leistungsfähigkeit als Rechenknoten zur Verf¨ ugung. Die Parallelisierung des NS3D FORTRAN Codes erfolgt u ¨ber MPI-Bibliotheken, wodurch jeder Block des Rechengebietes einen eigenen Prozess benötigt. Idealerweise wird daher einem Gitterblock genau ein PC-Prozessor zugeordnet. F¨ ur den ung¨ unstigen Fall, dass die Anzahl der Gitterblöcke die verf¨ ugbaren Prozessoren u ussen Pro¨bersteigt, wie bei den beiden Pumpen nS 20 und nS 26, m¨ zessoren mehrfach belegt werden. Die maximale Anzahl der Gitterblöcke ist daher so gering wie möglich zu halten. Bei Rechnungen mit FLUENT ist dieses Problem nicht vorhanden, da das gesamte Rechengebiet wahlweise auf einem oder mehreren Prozessoren verteilt werden kann. Hier ist eher die Speicherbelegung als Grenze zu sehen, die messbar unterhalb des maximalen Arbeitsspeichers liegen muss. Die blockstrukturierte Vernetzung der beiden Pumpen macht sich in diesem Zusammenhang positiv bemerkbar, da das Verhältnis von Knoten zu Zellen jeweils etwa eins beträgt (vgl. Tabelle 6.4 und 6.6). Unstrukturierte Netze weisen ein Verhältnis deutlich kleiner als eins auf, wodurch der Arbeitspeicherbedarf erheblich ansteigt. Beide Pumpen erreichen bei je einem Rechenknoten eine Speicherauslastung von etwa 600 MB bei instationärer Rechnung.

82

83

7. Bestimmung von Kennlinien Das wichtigste Ergebnis der numerischen Simulation einer Kreiselpumpe sind aus anwendungsorientierter Sicht die berechneten Kennlinien. In diesem Kapitel soll daher die Vorhersagefähigkeit von CFD-Rechnungen bez¨ uglich integraler Pumpenkenngrößen untersucht werden. Ausgehend von der Definition der betrachteten integralen Größen sowie einer grundsätzlichen Diskussion der numerischen und experimentellen Zugänglichkeit und somit Vergleichbarkeit dieser Größen werden sequentiell die Ergebnisse der berechneten Radialpumpen vorgestellt. Ziel der Untersuchungen ist eine Validierung der Einfl¨ usse der beiden oben beschriebenen Modellierungsunsicherheiten Turbulenzmodellierung und numerische Behandlung der Laufrad-Spirale Kopplung. Am Beispiel des ns 28-Laufradkanals werden zudem Turbulenzmodelle mit Auflösung der Wandgrenzschicht zum Vergleich mit Wandfunktionen herangezogen.

7.1. Bestimmung integraler Gro ¨ßen bei Kreiselpumpen Zur Beurteilung der G¨ ute einer Kreiselpumpe dienen in erster Linie die messtechnisch erfassbaren integralen Größen Förderhöhe H, Drehmoment M und Wirkungsgrad η. F¨ ur verschiedene Betriebszustände aufgetragen ergeben diese die Kennlinien der Maschine. Beim Vergleich experimentell und numerisch ermittelter Kennlinien ist eine vergleichbare Auswertung von entscheidender Bedeutung, daher soll an dieser Stelle näher auf die Bestimmung eingegangen werden. Der Wirkungsgrad einer Pumpe lässt sich nach Stoffel [109] in mehrere Teilwirkungsgrade aufteilen, die alle anteilig den Gesamtwirkungsgrad der Maschine ηG beeinflussen, wie z.B. M¨ unch [64] und Tamm [111] experimentell quantitativ zeigen. ηG = ηi · ηmech = ηh,La · ηh,Sp · ηrsr · ηvol · ηmech

(7.1)

Der mechanische Wirkungsgrad ηmech ergibt sich aus dem Verhältnis des inneren, d.h auf das Fluid wirksamen Momentes Mi zum messbaren Wellenmoment MW . Die Differenz beider Momente ist das messtechnisch nur aufwändig zu bestimmende Reibmoment in Lagern und Dichtungen. Das numerisch durch Summation der Umfangskomponenten der viskosen Kräfte und Druckkräfte u ¨ber alle Wandzellflächen der rotierenden Oberflächen erhaltene Moment entspricht dem inneren Moment Mi . Somit ist der numerisch berechnete Wirkungsgrad der Pumpe ein innerer Wirkungsgrad ηi , der multipliziert mit dem unbekannten ηmech den Gesamtwirkungsgrad liefern w¨ urde. 83

¨ 7.1. BESTIMMUNG INTEGRALER GROSSEN BEI KREISELPUMPEN

84

Zur Bestimmung des inneren Wirkungsgrades gibt es unterschiedliche Möglichkeiten. Die erste und einfachere Methode bildet nach Gleichung (7.2) das Verhältnis zwischen hydraulischer Leistung Ph und innerer Wellenleistung Pi durch eine Gesamtbilanz u ¨ber die Maschine. Die Leistung Pi folgt direkt aus Drehzahl und innerem Moment. ηi =

Ph ρ · g · V˙ · H = Pi ω · Mi

(7.2)

Die Förderhöhe H bestimmt man hierbei numerisch aus den massenstromgewichteten Totaldruckdifferenzen u ¨ber die dem Experiment entprechenden Bilanzflächen an Ein- und Austritt. Bei instationären Rechnungen muss noch arithmetisch u ¨ber alle Zeitschritte einer Laufraddrehung gemittelt werden. Die geodätischen Höhendifferenzen werden im Experiment wie in der Numerik nicht ber¨ ucksichtigt. Die experimentell zum Totaldruck beitragenden Geschwindigkeiten bestimmt man aus dem Volumenstrom und den Querschnittsflächen der Messebenen, die Dr¨ ucke sind statische Wanddr¨ ucke, daher spricht man in diesem Zusammenhang auch von statischen Kennlinien. H=

ptot,A − ptot,E ρ·g

(7.3)

Bei der zweiten Möglichkeit zur Bestimmung des inneren Wirkungsgrades ηi bildet man das Produkt der Teilwirkungsgrade entsprechend der Aufteilung in Gleichung (7.4). ηi = ηh,La · ηh,Sp · ηrsr · ηvol

(7.4)

Diese Teilwirkungsgrade sind experimentell oft unbekannt, da nur aufwändig zu ermitteln. Numerisch liegen sämtliche Teilwirkungsgrade vor, wenn die gesamte Maschine inklusive RSR berechnet wird. Die experimentellen Teilwirkungsgrade liegen bei der berechneten n s 20-Pumpe vollständig vor, bei der ns 26-Pumpe sind diese unbekannt, auch daher wird auf die Modellierung der RSR hier verzichtet. Da die Strömung im Radseitenraum der Pumpe ein Reibmoment verursacht, folgt ηrsr aus dem Anteil des Radseitenraummomentes Mrsr am inneren Moment. Das im Laufrad tatsächlich auf das Fluid u ¨bertragene Moment MF wird also um mechanisches Reibmoment und Radseitenraummoment vermindert. Der Volumenstrom durch das Laufrad einer Pumpe ist immer größer als außerhalb der Pumpe gemessen, da der Volumenstrom V˙ rsr durch den RSR mitgefördert werden muß, somit ist ηV ol das Verhältnis von außen gemessenem zu Laufrad-Volumenstrom. Beide fasst man auch zum Sekundärwirkungsgrad ηsek zusammen, der gemäß Gleichung (7.5) numerisch einfach bestimmbar ist. ηsek = ηrsr · ηvol =

Mi − Mrsr V˙ · Mi V˙ + V˙ rsr

(7.5)

Der hydraulische Wirkungsgrad der Maschine ist das Produkt aus beiden Teilwirkungsgraden in Laufrad (ηh,La ) und Spiralgehäuse (ηh,Sp ). Die Bestimmung von ηh,La liefert genauere Informationen zur Beurteilung der Energieumwandlung im Laufrad. Diesen Teilwirkungsgrad ermittelt 84


85

man recht aufwändig aus Messungen so nahe dem Laufradaustritt wie möglich. Hierbei werden an mehreren, jeweils festen Spiral-Umfangspositionen (Zähler i) Totaldruck und Abströmwinkel α ensemble-gemittelt gemessen und der Position des drehenden Laufrades zugeordnet. Alle ucke werden als Differenz zum jeweiligen Druck vor dem Laufrad erfasst. örtlich gemessenen Dr¨ Man erhält die typischen Weg-Zeit-Diagramme“ des Laufradaustritts bei Pumpen, bei denen ” man aus Kenntnis der Abtastfrequenz eine Zeit einem Drehwinkel φ des Laufrades zuordnen kann. Dies wird f¨ ur mehrere Axialpositionen s durchgef¨ uhrt und man erhält die Felder ptot,i (φ, s) und αi (φ, s). Aus Totaldruck, statischem Druck und Abströmwinkel berechnet man nun die Absolutgeschwindigkeit ca gemäß s ptot,i (φ, s) − pi (φ, s) ca,i (φ, s) = (7.6) 0, 5 · ρ Hiermit ergeben sich die Felder der Umfangs- und Radialgeschwindigkeit gemäß den nachfolgenden Gleichungen, wobei aufgrund der meist kleinen α-Winkel die u ¨ber den Kosinus berechnete Umfangskomponente die weniger fehlerbehaftete ist. cu,i (φ, s) = ca,i (φ, s) · cos αi (φ, s)

cr,i (φ, s) = ca,i (φ, s) · sin αi (φ, s)

(7.7) (7.8)

Die entsprechenden Felder des statischen Drucks folgen bei Verwendung einer EinlochZylindersonde direkt aus der Kalibration der Sonde [3],[111]. Bei numerischen Berechnungen liegen mit dem Ergebnis sämtliche Felder aller Stömungsgrößen vor. Es muss allerdings betont werden, dass die Größe φ des numerisch berechneten Feldes cu,i (φ, s) sofort eine echte Ortsgröße ist, wogegen in Gleichung (7.7) mit φ eine umgerechnete Zeitgröße gemeint ist. In Kapitel 8 wird hierauf noch genauer eingegangen, da dies beim ortsaufgelösten Vergleich der Strömungsgrößen im Diffusor von entscheidender Bedeutung ist. Beim Vergleich integraler Größen spielt dies keine Rolle. Um aus den Feldern der Strömungsgrößen die Kennlinien des Laufrades bestimmen zu können, m¨ ussen geeignete Mittelungsverfahren einen integralen Wert in der Messebene liefern. Die experimentellen Daten werden nach Gleichung (7.9) massenstromgewichtet u ¨ber die Breite s des Diffusors und u ¨ber den Umfang φ einer Schaufelteilung oder des gesamten Umfanges 2π gemittelt. Bei Mittelung u ¨ber den gesamten Umfang muss das zeitabhängige Drucksignal der Messung zunächst in einen Drehwinkel umgerechnet werden und danach eine geeignete Mittelung aller Messpositionen erfolgen, so dass schließlich eine Verteilung f¨ ur einen festen Zeitpunkt u ¨ber eine gesamte Laufraddrehung vorliegt. R R (c2u (φ, s) · c2r (φ, s)) ∂φ∂s s φ R R (7.9) c2u = (c2r (φ, s)) ∂φ∂s s φ

Die numerischen Ergebnisse werden ebenso massengewichtet u ¨ber den gesamten Umfang gemittelt, zusätzlich muss eine Flächenwichtung durchgef¨ uhrt werden, da die Größenunterschiede der Zellen dies erforderlich machen. Dies wird f¨ ur jeden Zeitschritt einer Laufradumdrehung durchgef¨ uhrt, da f¨ ur jeden Zeitschritt das gesamte Strömungsfeld vorliegt. Anschliessend wird eine arithmetische Mittelung u uhrt. Mit den derart gemittelten ¨ber alle Zeitschritte durchgef¨ 85


86

Größen in der Messebene kann der Laufradwirkungsgrad unter der Voraussetzung einer drallfreien Laufradzuströmung (c1u = 0) nach Gleichung (7.10) aus dem Verhältnis von Druckzahl ψ0,La (7.11) zu theoretischer Druckzahl ψth,La (7.11) bestimmt werden. ηh,La =

ψ0,La

ψ0 ptot,2 − ptot,E = ψth ρ · u2 · c2u

¡ ¢ 2 · ptot,2 − ptot,E = ρ · u22

ψth,La =

(7.10)

2 · c2u u2

(7.11)

Die Druckzahlen sind dimensionslose Kennzahlen, die mit dem Faktor (u22 )/(2g) in Laufradförderhöhen (HLa bzw. Hth,La ) umgerechnet werden können. Die experimentelle Bestimmung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades erfolgt in der Messebene im Diffusor. Der Radius dieser Messebene ist festgelegt durch den minimal möglichen radialen Abstand zur Laufradhinterkante bei voller Funktionsfähigkeit der eingesetzten Messonde. Dieser Abstand beträgt meist zwischen 3 und 5 mm. Die Messungen von Hambrecht [32] zeigen eine sehr deutliche Abhängigkeit der f¨ ur die Kennlinien wichtigen gemittelten Daten f¨ ur p0 und cu vom gewählten radialen Abstand. Die Umfangskomponente nimmt mit zunehmendem radialen Abstand demnach schneller ab als der Totaldruck. Der in der Messebene experimentell bestimmte hydraulische Laufradwirkungsgrad wird somit nach Gleichung (7.10) zu groß sein. Aus den numerischen Ergebnissen ist es möglich, ηh,La sowohl in der dem Experiment entsprechenden Messebene als auch direkt am Laufradaustritt zu ermitteln. Bei Vergleichen ist es somit wichtig zu wissen, an welcher Radialposition die Daten ermittelt wurden. Der hydraulische Wirkungsgrad der Spirale ηh,Sp schließlich wird dann aus der berechneten Laufradförderhöhe HLa (bzw. ψ0,La ), welche der Summe aus Gesamtförderhöhe H und Förderhöhenabfall im Spiralgehäuse HV,Sp entspricht, und der Gesamtförderhöhe H nach Gleichung (7.12) bestimmt. ηh,Sp =

H ptot,A − ptot,E H = = HLa H + HV,Sp ptot,2 − ptot,E

(7.12)

Je nach radialer Auswerteposition (r2 oder rM E ) von ηh,La ändert sich somit auch ηh,Sp , und zwar abnehmend bei zunehmendem Radius.

86

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE

87

7.2. Laufradkennlinien der nS 28 Radialpumpe Die in Kapitel 6 vorgestellte ns 28-Radialpumpe wird in der Konfiguration frei abströmendes Laufrad untersucht. Das CFD-Modell wurde ohne RSR erstellt. Aufgrund der rotationssysmmetrischen Strömungsbedingungen im schaufellosen Radialdiffusor muss nur ein Laufradkanal mit passendem Diffusorteil berechnet werden. Dies bietet die Möglichkeit der Analyse des Einflusses der Wandbehandlung. Ergebnisse werden daher nur mit dem NS3D-Code vorgestellt, da mit diesem eine numerische Auflösung der Wandgrenzschicht erfolgen kann. Zum Vergleich mit den experimentellen Daten werden die in Kapitel 5 zur Anwendung gekommenen Turbulenzmodelle herangezogen. Zusätzlich wird die LowRe Erweiterung nach Abid des SKE Modells (nachfolgend und in Diagrammen SKE-LR) und die LowRe-Version des LCL Modells (dito LCL-LR) verwendet. Alle Berechnungen wurden quasi-stationär im rotierenden Bezugssystem durchgef¨ uhrt. Konvergenz wird nach 5000 Iterationen erreicht, bei Teillast-Betriebszuständen ist die Konvergenz schlechter, es muss konservativer unterrelaxiert werden. Dies zeigt sich bei manchen Ergebnissen f¨ ur Q/QN = 0.8, wenn es in der Austrittsebene zu partieller R¨ uckströmung kommt. Das LCL-LR Modell konvergiert nur bei sehr starker Unterrelaxation zu Beginn der Rechnung, wobei zusätzlich eine Startlösung eines anderen Turbulenzmodells notwendig ist. Die konvektiven Terme werden mit dem MINMOD-Verfahren nach Harten [34] diskretisiert. Dieses Flux-Limiter -Verfahren begrenzt lokal den konvektiven Fluss auf der Zellfläche, der kein neues Maximum sein darf, bei gleichzeitiger globaler Erhaltung der Ordnung des Verfahrens. Stabile Bereiche eines Diskretisierungsschemas lassen sich grafisch in einem Normalized Variable Diagram ablesen, in der sich das MINMOD-Verfahren als bereichsweise Kombination stetiger, linearer Funktionen darstellen läßt [100]. Zusätzlich wurde mit einem Flux-Blending-Verfahren dem konvektiven Fluss ein UDS-Beitrag u ¨berlagert, wobei der Faktor β nahe eins gewählt wird. Kennlinien werden entsprechend dem Versuch im Bereich von 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 bestimmt. Messtechnisch werden die Kennlinien mit Hilfe einer Einloch-Zylindersonde ermittelt. In einer stationären Messung werden die benötigten Größen vor dem Laufradeintritt gemessen, während in der Messebene die Größen instationär erfasst werden. Eine Ensemblemittelung und anschließende massenstromgewichtete Mittelung u ¨ber den Umfang, wie oben beschrieben, liefert die nach Gleichung (7.11) benötigten Mittelwerte. Die Vorgehensweise bei der Auswertung der numerischen Daten ist entsprechend. Da bei diesem Anwendungsfall keine Laufrad-Spirale Wechselwirkung stattfindet, beschränkt sich die Darstellung von Kennlinien dementsprechend auf das Laufrad. Integrale Größen in Diagrammen werden der einfacheren Vergleichbarkeit wegen jeweils auf die gleiche Art dargestellt wie bei der zugehörigen experimentellen Arbeit [3]. Die Zuordnung der vier benutzten Gittervarianten erfolgt in Tabelle 6.2. In Abbildung 7.1 sind die nach Gleichung (7.11) berechneten dimensionslosen Druckzahlen des Laufradkanals f¨ ur die Gittervarianten WF-1 und WF-3 dargestellt. Die beiden oberen Diagramme resultieren aus dem Gitter mit vereinfachter Diffusorbreite b2 , die beiden unteren Diagramme aus dem Gitter mit realer Diffusorbreite s0 ab ME. Man erkennt zunächst die recht genaue Bestimmung der theoretischen Druckzahl ψth des Laufrades (auf den Index La wurde hier verzichtet) in den beiden linken Diagrammen. 87

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE 1.25

1.2

88

ψ

ψ

0

th

1.15

1.2

1.1 1.15 1.05 1.1

1.05

1

EXP ske rke KC LCL

0.8

0.95

Gitter : 1 0.9

1.0

1.1

1.2

EXP ske rke KC LCL

0.8

Gitter : 1 0.9

Q/QN

1.0

1.1

1.2

1.1

1.2

Q/QN

1.25

1.2

ψth

ψ0

1.15

1.2

1.1 1.15 1.05 1.1

1.05

0.8

1

EXP ske rke KC LCL

0.95

Gitter : 3 0.9

1.0

1.1

1.2

0.8

Q/QN

EXP ske rke KC LCL

Gitter : 3 0.9

1.0

Q/QN

Abbildung 7.1.: Druckzahlen auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2

Der Einfluss des Turbulenzmodells ist eher gering, alle Modelle liefern eine höchstens 1- bis 2-prozentige Abweichung von den experimentellen Daten, die als Punkte (EXP) eingetragen sind. Der mit dem LCL-Modell berechnete Wert bei BP Q/QN = 0.8 ist auf ein schlecht konvergiertes Ergebnis mit deutlicher R¨ uckströmung am Austritt zur¨ uckzuf¨ uhren. Die gewählte Diffusorbreite beeinflusst mit WF nicht den Wert von ψth . Deutlichere Abweichungen von den experimentellen Ergebnissen sieht man bei den tatsächlichen Druckzahlen ψ0 in den beiden rechten Diagrammen. Es ist auffällig, daß ψ0 unabhängig vom Turbulenzmodell f¨ ur alle BP zwischen 5 und 10% zu ¨ hoch berechnet wird. Bei Uberlast werden Unterschiede zwischen den TM deutlicher, wobei das SKE Modell den Messwerten noch am nächsten ist. Die resultierenden hydraulischen Laufradwirkungsgrade nach Gleichung (7.10) sind in Abb.7.2 dargestellt. Folgerichtig sind die berechneten Werte allesamt etwa 5% zu groß. Auch hier ist kein deutlicher Einfluss des TM zu ¨ wo wiederum das SKE-Modell etwa 2% näher bei der Messung liegt als erkennen, außer bei UL, seine theoretisch besser geeignete realizable-Variante RKE. Die beiden anderen TM, LCL und KC, liegen f¨ ur alle gezeigten Diagramme meist in der Mitte zwischen SKE- und RKE-Modell. Eine nennenswerte Beeinflussung der numerischen Ergebnisse durch die Vereinfachung der realen Diffusorbreite kann bei Verwendung von WF nicht nachgewiesen werden. In den nachfolgenden Diagrammen wird auf den Einfluss der Wandbehandlung eingegangen. 88

7.2. LAUFRADKENNLINIEN DER NS 28 RADIALPUMPE 1.05

1.05

η

h,LA

1

0.95

0.9

0.9

0.85

0.85

0.75

0.8

EXP ske rke KC LCL

0.8 0.75

Gitter : 1 0.9

1.0

η

h,LA

1

0.95

0.8

89

1.1

1.2

0.8

EXP ske rke KC LCL

Gitter : 3 0.9

Q/QN

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.2.: Laufradwirkungsgrade auf Gittern WF-1 und WF-3, vgl. Tab.6.2

Druckzahlen und Wirkungsgrade werden hierzu f¨ ur die beiden verwendeten LowRe-Modelle zusammen mit ihren entsprechenden WF-Varianten dargestellt. Abbildung 7.3 zeigt die Ergebnisse auf den Gittern mit vereinfachter Diffusorbreite f¨ ur die LowRe-Version des LCL Modells (LCL-LR im Diagramm), das k-²-LowRe Modell nach Abid (SKE-LR) sowie die jeweiligen Modelle mit WF (LCL-WF und SKE-WF). Die Kennlinien aus den LowRe Rechnungen liegen in 1.3

ψ

ψ

1.3

0

th 1.2

1.2 1.1 1.1

1

0.8

1 EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

0.9

Gitter : 1 / 2 1.0

1.1

1.2

0.8

Q/QN

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

Gitter : 1 / 2 1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.3.: Druckzahlen auf Gittern WF-1 und LR-2 - Einfluss der Wandbehandlung beiden Diagrammen deutlich zu hoch, wobei das LCL-LR Modell noch die besseren Ergebnisse liefert. Die tatsächlichen Druckzahlen ψ0 sind numerisch schwieriger zu bestimmen als ψth , da hier die Verluste eingehen. Verluste im Laufrad werden beispielsweise verursacht durch Mischungsverluste, die infolge von Strömungsablösungen oder R¨ uckströmungen auftreten. Zusätzlich wichtig sind Reibungsverluste, die im Navier-Stokes-Rechencode ber¨ ucksichtigt werden und deren korrekte Bestimmung stark von der gewählten Wandbehandlung abhängt. Auch Sekundärströmungen liefern einen Beitrag zu erhöhten Reibungsverlusten. Dies wird numerisch am Beispiel eines einfach durchströmten Rechteckkanals, der experimentell von Huser und Biringen [38] zur Validierung von nichtlinearen Turbulenzmodellen untersucht wurde, mit dem 89


90

1.3

ψ

ψ

1.3

0

th 1.2

1.2 1.1 1.1

1

0.8

1 EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

0.9

Gitter : 3 / 4 1.0

1.1

1.2

0.8

Q/Q

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR 0.9

Gitter : 3 / 4 1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.4.: Druckzahlen auf Gittern WF-3 und LR-4 - Einfluss der Wandbehandlung

SKE-Modell getestet. Beim Vergleich der Druckverluste u ¨ber die Kanallänge konnte ein höherer Druckverlust bei Verwendung der LowRe-Variante nachgewiesen werden, obwohl mit diesem linearen Modell keine turbulenzinduzierten Eckenwirbel entstehen (vgl. Kapitel 3). Der erhöhte Druckverlust kann demnach nur auf eine größere Wandreibung zur¨ uckgef¨ uhrt werden. Die Abhängigkeit des Schaufelmomentes Mi 0.5 inneres Moment Mi [Nm] von der gewählten Wandbehandlung ist in 0.45 nebenstehender Abb.7.5 dargestellt (keine Messdaten vorhanden). Das Schaufelmoment 0.4 ist bei LowRe-Wandbehandlung (die beiden oberen Kurven) größer als bei WF, somit 0.35 können die Beobachtungen am RechteckkaSKE WF 0.3 LCL WF nal bestätigt werden. Neben der erhöhten SKE LR Gitter 1/2 Wandreibung bei LowRe treten zusätzlich starLCL LR 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 ke Sekundärströmungen und Ablösungen im Q/QN Diffusor auf. Diese tragen noch stärker zu größerer Druckdifferenz und damit verbunden Abbildung 7.5.: Mi ns 28-Laufradkanal größerem Moment und kleinerem ψ0 bei. Die LowRe-Wandbehandlung kann demnach als Verbesserung bez¨ uglich Berechnung von Verlusten gegen¨ uber der WF-Wandbehandlung angesehen werden. Negativ ist allerdings die ungenaue Vorhersage der theoretischen Laufradkennlinie. Die resultierenden Laufradwirkungsgrade sind im Anhang enthalten, wobei alle Kurven verglichen mit den experimentellen Daten zu hoch sind. Außerdem ist kein deutlicher Einfluss der Wandbehandlung oder der gewählten Diffusorbreite zu erkennen. Letztere macht sich dennoch beim Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR des Diffusors bemerkbar, ein Maß f¨ ur die G¨ ute des Diffusors. In einem radialen Diffusor berechnet sich CpR nach Lakshminarayana [54] aus dem Verhältnis von tatsächlicher Druckerhöhung zu idealer Druckerhöhung bei reibungsfreier Strömung. Bei der vorliegenden Konfiguration kann man CpR f¨ ur das kurze Diffusorst¨ uck aus den berechneten Daten in der Messebene (Index ME), dem Austritt des Strömungsgebietes (Index out) und den 90


91

Referenzdaten am Eintritt (Index E) nach Gleichung (7.13) berechnen. CpR =

pout − pM E pout − pM E = ρ 2 A2 ρu2 2 c (p0,E − pE ) A2E + 8 2 · ψth 2 ME

(7.13)

ME

Experimentelle Vergleichsdaten stehen hier nicht zur Verf¨ ugung, die numerisch mit WF ermittelten CpR -Werte sind in Abbildung 7.6 dargestellt, ein Vergleich zwischen WF und LR Werten im Anhang. Es ist deutlich zu erkennen, dass CpR bei Teillast absinkt, vor allem 0.3

0.3

C

pR

Diffusor

C

pR

0.25

0.25

0.2

0.2

0.15

0.15 ske rke KC LCL

Gitter 1 0.8

Diffusor

0.9

1.0 Q/QN

1.1

ske rke KC LCL

Gitter 3

1.2

0.8

0.9

1.0 Q/QN

1.1

1.2

Abbildung 7.6.: Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor, Gitter 1/3 (Tab.6.2)

bei realer Diffusorbreite. Dies liegt an den ung¨ unstigen Strömungsbedingungen mit Ablösung am Diffusoreintritt in Teillast. Bei LowRe-Wandbehandlung neigt die Strömung noch stärker zur Ablösung, eine gerichtete Strömung liegt dann teilweise nicht mehr vor. Dies erklärt die schlechten CpR -Werte in Teillast und bei LowRe. Als Fazit dieser Untersuchungen kann einmal die verbesserte Berechnung der tatsächlichen Laufradkennlinie mit LowRe-Wandbehandlung und zum anderen die bessere Bestimmung der theoretischen Kennlinie mit WF-Wandbehandlung festgehalten werden. Beim Wirkungsgrad sind die Unterschiede verschwindend, auch die Vernachlässigung der realen Diffusorbreite wirkt sich nicht negativ auf diesen aus. Trotz der eigentlich optimalen Eignung dieses Testfalls f¨ ur die Anwendung des numerischen Modells werden Schwierigkeiten mit ablösender und umkehrender Strömung bei Teillast festgestellt. Um diese zu vermeiden, m¨ usste der Radialdiffusor experimentell und numerisch noch wesentlich ausgedehnt werden, um an der der Stelle der Druckrandbedingung eine ausgeglichene Strömung ohne Ablösung oder R¨ uckströmung gewährleisten zu können.

91

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE

92

7.3. Kennlinien der nS 20 Radialpumpe Die in Kapitel 6 vorgestellte nS 20-Radialpumpe wurde experimentell mit einer Vielzahl von Parametervariationen untersucht. Als f¨ ur die Berechnung am besten geeignete Konfiguration wurde die Variante mit der maximalen radialen Spaltweite von 5/10mm im saugseitigen RSR-Spalt bei druckseitig unentlastetem Betrieb ausgewählt. Modellierungsfehler mit einem druckseitigen Leckagestrom wurden somit ausgeschlossen, außerdem ist der numerisch oft mit Problemen verbundene Radialspalt maximal. Eine polierte Oberfläche aller Pumpenbauteile, einschließlich des eigens zu diesem Zweck achsensymmetrisch teilbar ausgef¨ uhrten Spiralgehäuses, gewährleistet eine zweifelsfreie Anwendung der Wandfunktionen bei glatten Oberflächen f¨ ur turbulente Strömung in der Numerik. Die statischen Kennlinien der Maschine (vgl. Gleichung (7.3) und (7.4)) werden mittels Drehmomentmesswelle, magnetisch induktiven Durchflußmessern und statischen Drucksensoren an Ein- und Austritt der Pumpe aufgenommen. Eine dynamische Einloch-Zylindersonde wird eingesetzt, um unter Verwendung der oben beschriebenen Mittelungsverfahren den hydraulischen Laufradwirkungsgrad (vgl. Gleichung (7.10)) zu bestimmen. Zur Bestimmung des inneren, mit CFD-Berechnungen vergleichbaren Momentes diente eine spezielle Versuchsanordnung, in der u ¨ber ein hydrostatisches Lager als Teil einer Doppellagerung die Lagermomente der eigentlichen Lagerung der Pumpenwelle an einem Dehnungsmessstreifen abgelesen werden konnte. Das Reibmoment in den Gleitringdichtungen wird in einem Vorversuch ohne Laufrad mit Hilfe einer externen K¨ uhlwasserversorgung der Gleitringdichtung gemessen. Die experimentelle Bestimmung der vom Radseitenraum verursachten Sekundärwirkungsgrade einer Pumpe (vgl. Gleichung (7.5)) ist sehr aufwändig und erforderte in diesem Fall den Aufbau eines eigenen RSR-Pr¨ ufstandes. Unter der Originalpumpe vergleichbaren Betriebszuständen, u uft mit Hilfe von Druckmessungen, wurde das Moment auf der RSR-Kontur der Deck¨berpr¨ scheibe sowohl undurchströmt als auch bei verschiedenen Spaltweiten gemessen. Gleichzeitig wurde der RSR-Volumenstrom gemessen. Obwohl Sekundärwirkungsgrade nicht an der Originalkonfiguration des nS 20-Pr¨ ufstandes ermittelt wurden, können diese Daten dennoch zum Vergleich herangezogen werden [111]. Zunächst werden nur die numerischen Ergebnisse des RKE-Turbulenzmodells aus beiden verschiedenen Laufrad-Spirale Kopplungen mit den experimentellen Daten verglichen. Dies ¨ bietet aufgrund der dann nur zwei Parameter eine bessere Ubersichtlichkeit, um die zuvor beschriebenen zwei Möglichkeiten der Berechnung des inneren WG nachzuvollziehen. Die transiente Kopplung wird in nachfolgenden Diagrammen mit SM, die quasi-stationäre Kopplung mit FR bezeichnet. Anschließend erfolgt eine Gegen¨ uberstellung der mit verschiedenen TM bei gleicher Kopplungsart berechneten Kennlinien.

7.3.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung In Abbildung 7.7 sind die statischen“ Kennlinien der Förderhöhe und des inneren Moments f¨ ur ” die berechneten Betriebspunkte 0.5 ≤ Q/QN ≤ 1.3 mit dem Turbulenzmodell RKE dargestellt. ¨ Eine sehr gute Ubereinstimmung der transienten mit der experimentellen Förderhöhe mit leich92

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 60

93

90

inneres Moment M [Nm]

Förderhöhe H [m]

i

55

80

50 70 45 60 40 50 35 30 25

EXP SM FR 0.6

EXP SM FR

40

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

TM : rke 1.1

30

1.2

Q/QN

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.7.: Förderhöhe und inneres Moment nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE

ten Abweichungen nach unten bei starker TL und in der Nähe des Bestpunktes ist zu erkennen. Die FR-Kennlinie knickt bei 0.9 deutlich nach unten ab und liefert unbefriedigende Ergebnisse ¨ Da das innere Moment diesen Knick nicht aufweist, muss die Ursache bei der Strömung bei UL. im Spiralgehäuse liegen. Bei FR-Kopplung f¨ uhrt eine viel zu hohe Massenstrombeaufschlagung des Laufradkanals direkt stromauf vor dem Spiralsporn, die näher in Kapitel 8 erläutert wird, zu einer Fehlanströmung des Spiralsporns wegen zu großer Abströmwinkel α. Die resultierende starke Strömungsablösung f¨ uhrt zu erheblichen Verlusten an Förderhöhe. Obwohl das innere Moment davon unbeeinflusst ist, fällt die im Vergleich zum Experiment zu geringe Steigung der Kurve auf. Die transiente Momentenkennlinie liegt auf einem um etwa 1% zu hohen Niveau, jedoch bei gleicher Steigung wie die experimentelle Kennlinie. Die beiden numerischen Momentenkennlinien schneiden sich in dem Bereich, in dem bei FR-Kopplung mit dem ausgeglichensten Strömungsfeld gerechnet werden kann (vgl. auch Kapitel 8). Das innere Moment wird vor allem von Druckunterschieden zwischen Schaufelsaug- und -druckseite verursacht, ¨ zu kleinen viskose Kräfte spielen eine untergeordnete Rolle. Die bei TL zu großen sowie bei UL Schaufelmomente bei FR-Kopplung sind eine direkte Folge der starren Kopplung. Da es zu keiner Durchmischung“ der Druckverteilung im Diffusor kommen kann, liegen bei TL sowohl ” im Mittel ein größerer mittlerer Druck als auch extremere Druckamplituden vor, verglichen ¨ sind die Zusammenhänge identisch mit umgekehrten mit der transienten Kopplung. Bei UL Verhältnissen. Aus diesem Grund schneiden sich die beiden numerischen Momentenkennlinien im Bereich der ausgeglichensten Diffusordruckverteilung. Diese Zusammenhänge werden im nachfolgenden Kapitel näher untersucht. Wie bereits oben erläutert, lässt sich der innere Wirkungsgrad auch aus dem Laufradwirkungsgrad und den Sekundärverlusten bestimmen. Die Sekundärwirkungsgrade nach Gleichung (7.5) in Abbildung 7.8 werden demnach benötigt. Die experimentellen Daten, als Punkte eingetragen, wurden am RSR-Pr¨ ufstand ermittelt, die Einzelwerte als Kreuze im Bestpunkt an der nS 20 Pumpe. Die jeweiligen Unterschiede im BEP sind eher gering, daher ist der Vergleich der numerischen Ergebnisse mit den Messdaten des RSR-Pr¨ ufstandes vertretbar. 93


94

1

1

RSR−WG η

RSR

Vol−WG η

[%]

vol

[%]

0.98 0.95 0.96 0.9 0.94

TM : rke 0.9

0.6

0.7

0.85

EXP ns20 EXP rsr SM FR

0.92

0.8

0.9

1.0

1.1

EXP ns20 EXP rsr SM FR

TM : rke 0.8

1.2

0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.8.: Sekundärwirkungsgrade nS 20-Pumpe, Turbulenzmodell RKE

Der RSR-WG im linken Diagramm wird von der Rechnung sehr genau wiedergegeben, wobei kein nennenswerter Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung sichtbar ist. Beim volumetrischen WG im rechten Diagramm sind die Unterschiede zwischen Messung und Numerik deutlicher, die Abweichungen betragen bis zu 5% in starker TL. Trotz dieser Abweichungen sind die ¨ Ubereinstimmungen aller drei Kurven erstaunlich gut, wobei dies den bemerkenswert geringen Einfluss der Kopplungsmethode impliziert. Auch vor dem Hintergrund der im allgemeinen als unzureichend monierten groben Netzauflösung mit WF im RSR sind diese Ergebnisse erstaunlich. Neben den Sekundärverlusten muss der hydraulische Laufradwirkungsgrad bestimmt werηhyd (ME)

ηhyd (R2)

1.1

1.1

1.0

1.0

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7 0.6

ηh,La (ME) ηh,Sp ηh,G (ME)

0.7 0.6

TM : rke

EXP (1/10) 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

ηh,La (R2) ηh,Sp ηh,G (R2)

TM : rke

EXP (1/10) 1.1

1.2

0.6

Q/Q

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.9.: Hydraulische Wirkungsgrade nS 20-Pumpe (RKE), berechnet in ME (links) und Laufradaustritt R2 (rechts)

den. Wie bereits oben diskutiert, kann dieser experimentell nur in der ME ermittelt werden. 94


95

Numerisch dagegen kann ebenfalls direkt am Laufradaustritt ausgewertet werden. In Abb.7.9 sind die Ergebnisse beider Methoden, berechnet nach Gleichung (7.10), dargestellt. Auf die Berechnung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades aus den Daten der FR-Rechnung wird verzichtet, es werden ausschliesslich transiente Ergebnisse präsentiert. Dies ist begr¨ undet in der extrem ungleichförmigen Ausbildung der Strömung im Diffusor, wie im nachfolgenden Kapitel ausf¨ uhrlich dargestellt. Eine Berechnung des inneren WG u ¨ber den hydraulischen WG macht bei FR-Kopplung aus diesem Grund keinen Sinn. Die experimentellen Daten, bekannt und dargestellt als Punkte nur im BEP, sind demnach in beiden Diagrammen identisch. Im linken Diagramm sind die numerischen Daten in der ME ausgewertet worden, rechts dagegen direkt am Laufradaustritt R2 . Der hydraulische Laufradwirkungsgrad, als oberste durchgezogene Linie, erreicht bei Auswertung in der ME teilweise Werte größer als 100%. Ursache ist die schon oben beschriebene unterschiedliche Abnahme von cu und p0 im Radialdiffusor. Numerisch kann dies bestätigt werden, da ηh,La an R2 ausgewertet tatsächlich kleiner ist. Unerwartet liegt jedoch der experimentelle Wert exakt auf der Kurve der Auswertung an R2 und nicht an ME, wo eigentlich gemessen wurde. Weiterhin ist auch hier, wie schon bei der ns 28-Laufradkennlinie, der hydraulische Laufradwirkungsgrad relativ konstant u ¨ber alle Betriebspunkte, vor allem bei R2 ausgewertet. Die Kurve des hydraulischen Spiralenwirkungsgrades folgt jetzt direkt nach Gleichung (7.12), der hydraulische Gesamtwirkungsgrad der Maschine als Produkt ist die unterste Kurve, bzw. der unterste Punkt, in beiden Diagrammen. Der innere Wirkungsgrad der Gesamtmaschine ist jetzt mit drei Möglichkeiten bestimmbar und in Abbildung 7.10 dargestellt. Aus Förderhöhe und innerem Moment, vgl. Abb.7.7 innerer WG η (M ) [%] i

0.95

i

0.9

innerer WG η [%] i

0.9 0.85

0.8

0.8 0.75

0.7

0.7 η (M ) i i η (sek,ME) i η (sek,R ) i 2 η (EXP)

0.65

0.6

TM : rke 0.6

0.7

0.6

EXP SM FR 0.8

0.9

1.0

1.1

0.55

TM : rke

i

1.2

0.6

Q/Q

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

N

Abbildung 7.10.: Innerer Wirkungsgrad nS 20-Pumpe, Vergleich SM und FR (links) und Vergleich verschiedener Berechnungsmethoden aus transienten Ergebnissen (rechts)

und Gleichung (7.2), folgen die im linken Diagramm aufgetragenen Kennlinien ηi (Mi ). Beide numerisch ermittelten Kurven liegen unterhalb der Messwerte, die FR-Kennlinie knickt entsprechend dem Momentenverlauf bei 0.9 nach unten ab. Insgesamt liefern die transienten 95


96

Kennlinien im Vergleich mit den Messungen die deutlich besseren numerischen Ergebnisse. Das leicht zu große Moment verschiebt die Wirkungsgradkennlinie um etwa 3% nach unten. Die numerische Bestimmung der Schaufelmomente ist nach allgemeiner Auffassung deutlich anfälliger f¨ ur Fehler bei Rundungen oder Interpolationen als die Bestimmung des hydraulischen Laufradwirkungsgrades. Im rechten Diagramm der Abb.7.10 sind die gleichen experimentellen Daten wie im linken Diagramm dargestellt, weiterhin identisch ist die durchgezogene Linie, welche ηi (Mi ) bestimmt aus dem Moment darstellt. Zum direkten Vergleich sind zusätzlich die inneren Wirkungsgrade aus den transienten Berechnungen, bestimmt u ¨ber die Sekundärwirkungsgrade aus Abb.7.8 und die hydraulischen WG aus Abb.7.9 aufgetragen. Theoretisch m¨ ussten die beiden Kurven ηi (Mi ) und ηi (sek, R2) zusammenfallen. Die Abweichung beider Kurven kann demnach auch als G¨ utekriterium der numerischen Berechnung dienen. Eine Abweichung der beiden Kurven von durchschnittlich etwa einem Prozent ist diesbez¨ uglich ein hervorragendes Resultat. Den größten inneren Wirkungsgrad ηi (sek, M E) erhält man aus dem hydraulischen Laufradwirkungsgrad ausgewertet in der ME. Aus bereits genannten Gr¨ unden liegt diese Kurve wohl zu hoch. Näher an der Realität sollte die mittlere Kurve ηi (sek, R2) liegen, die tatsächlich den experimentellen Werten mit einer Abweichung von etwa 1 bis 2% am ehesten entspricht. Die größten Differenzen finden sich wiederum, wie schon bei der auch in ηi eingehenden Förderhöhe beobachtet, im Bereich von Q/QN ≈ 1.1. Allerdings zeigt eher die gedachte Kurve der experimentellen Daten in diesem Bereich eine leichte Abweichung nach oben. ¨ Abschließend kann somit von einer sehr guten Ubereinstimmung der numerischen transienten Kennlinien mit den experimentellen Daten gesprochen werden.

7.3.2. Einfluss des Turbulenzmodells Nachdem grundlegende Zusammenhänge der möglichen darzustellenden Kennlinien aufgezeigt wurden, soll nun im Folgenden die Abhängigkeit dieser Kennlinien vom verwendeten Turbulenzmodell untersucht werden. Zu den vier mit FLUENT verwendeten Modellen SKE, RKE, RNG und SST kommt das KC-Modell mit dem Code NS3D hinzu. Im Rahmen dieser Arbeit werden aus zeitlichen Gr¨ unden keine transienten Berechnungen mit NS3D aufgenommen, so dass sich die Darstellung von Kennlinien mit dem KC-Modell auf die FR-Kopplung beschränken muss. Die mit beiden Laufrad-Spirale Kopplungen jeweils verf¨ ugbaren numerischen Daten werden nachfolgend zusammen mit den experimentellen Werten gezeigt. Abbildung 7.11 stellt zunächst die erzielten Förderhöhen dar. Unabhängig von der Art der Kopplung sind die Unterschiede zwischen den Resultaten der einzelnen Turbulenzmodelle mit höchstens 2% sehr klein, d.h. auch im Vergleich der beiden Codes. Während alle Kurven beider Kopplungsmethoden bei TL nahezu zusammenfallen und auch nahe den Messwerten ¨ Unterschiede. Alle mit FR berechneten Förderhöhen knicken von liegen, zeigen sich bei UL ¨ TL kommend bei Q/QN = 0.9 oder 1.0 nach unten ab. Die Probleme, die Förderhöhe bei UL vorherzusagen, sind demnach nicht Folge einer möglichen unzureichenden Turbulenzmodellierung, sondern auf die Kopplungsmethode zur¨ uckzuf¨ uhren. Bei den transienten Kennlinien ¨ nicht. Die beste besteht dieses Problem mit Ausnahme des RNG-Modells bei starker UL ¨ Ubereinstimmung der transienten Kennlinien mit den experimentellen Werten liefern das 96

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 60

60

Förderhöhe H [m]

Förderhöhe H [m] 55

55

50

50

45

45 40

40 35 30 25

97

EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d) 0.6

0.7

35 30

Kopplung FR 0.8

0.9

1.0

1.1

25

1.2

EXP SKE RKE RNG SST 0.6

Kopplung SM 0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/Q

N

Abbildung 7.11.: Förderhöhe nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

RKE- und das SST-Modell, wobei eigentlich alle TM innerhalb eines gedachten Fehlertoleranz¨ eine leicht zu niedrige Förderhöhe bandes liegen. Mit allen TM wird im Bereich geringer UL ¨ jeweils kleiner sind. berechnet, während die Abweichungen sowohl bei TL als auch größerer UL Der durchaus stetige Verlauf insbesondere der SST Kennlinie in diesem Bereich legt jedoch die Vermutung einer Abweichung der Messdaten nahe. Auch f¨ ur die inneren Momente läßt sich keine Beeinflussung durch das TM nachweisen, vielmehr sind die Unterschiede zwischen den Kurven in beiden Diagrammen der Abb.7.12 noch geringer als bei der Förderhöhe, mit Ausnahme des KC-Modells. Das Moment setzt sich zusammen aus 90

90


inneres Moment Mi [Nm]

i

80

80

70

70

60

60 EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

50 40

Kopplung FR 30

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

50

EXP SKE RKE RNG SST

40

Kopplung SM 30

1.2

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/QN

Abbildung 7.12.: Inneres Moment nS 20-Pumpe bei FR- und SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM einem sehr großen Anteil aufgrund von Druckunterschieden zwischen DS und SS der Schaufeln und einem relativ kleinen Anteil infolge viskoser Reibung vor allem in den RSR. Unterschiede zwischen den beiden Codes bestehen lediglich im viskosen Reibmoment und um genau diesen 97

7.3. KENNLINIEN DER NS 20 RADIALPUMPE 0.95

0.95 0.9

98

innerer WG ηi (Mi) [%]

0.9

0.85

0.85

0.8

0.8

0.75

0.75

i

i

0.7

0.7 EXP SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.65 0.6 0.55

innerer WG η (M ) [%]

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.65

EXP SKE RKE RNG SST

0.6 0.55

Kopplung SM 0.6

1.2

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Q/QN

Abbildung 7.13.: Innerer Wirkungsgrad aus Moment nS 20-Pumpe, FR/SM, verschiedene TM

Anteil ist folglich die KC-Kurve nach unten verschoben. Wie schon im vorherigen Abschnitt besprochen, ist das Reibmoment von der gewählten Wandbehandlung abhängig, deren korrekte Implementierung aber an den Testfällen in Kapitel 5 nachgewiesen wurde. Somit ist der Grund f¨ ur die zu geringe Vorhersage des Reibmomentes mit dem KC-Modell noch unbekannt. Das numerisch berechnete Laufradmoment infolge von Druckkräften ist nicht vom Turbulenzmodell abhängig, sondern wird vor allem von der gewählten Laufrad-Spirale Kopplung und damit von der berechneten Druckverteilung im Diffusor bestimmt. Ein weiterer Aspekt ergibt sich bei der gezeigten geringen Abweichung der berechneten Momente. Jeweils alle vier mit FLUENT berechneten Kurven in beiden Diagrammen der Abb. 7.12 sind nahezu identisch, wurden aber aus verschiedenen Rechnungen und somit Datensätzen erzeugt. Somit muss sich ein Interpolationsfehler bei der Bestimmung des Momentes bei jedem Datensatz in gleicher Art und Weise ausgewirkt haben, was auf eine vorangige Abhängigkeit vom Rechengitter hinweist. Das qualitativ hochwertige Gitter kann demnach ein Grund sein, warum die inneren Wirkungsgrade einerseits aus Moment und andererseits aus hydraulischem Laufradwirkungsgrad bestimmt, sich nur sehr gering voneinander unterscheiden (vgl. Abb.7.10). Der aus dem Moment bestimmte innere Wirkungsgrad ist in Abb.7.13 f¨ ur FR und SM dargestellt. Entsprechend den H-Kurven knicken die FR-Wirkungsgrade im linken Diagramm ¨ nach unten ab, während die SM-Wirkungsgrade einen normalen, stetigen Verlauf bei UL aufweisen. Wegen des zu kleinen Reibmomentes liegt der mit dem KC-Modell berechnete ¨ innere Wirkungsgrad zu hoch, und mit Ausnahme des UL-Bereiches damit am nächsten den Messwerten. Nur die genaue Kenntnis der Einzelwirkungsgrade dieser Pumpe verhindert hier die Annahme, das KC-Modell sei den u ¨brigen Modellen u ¨berlegen. Dieses Beispiel zeigt anschaulich, wie eine ung¨ unstige Summation von Fehlern zu einem scheinbar korrekten Ergebnis f¨ uhren kann. Bei den H- und Mi -Kurven der FLUENT-Modelle sind keine deutlichen Unterschiede zwischen den einzelnen TM erkennbar, dennoch fällt hier die RNG-Kurve als diejenige mit dem größten Wirkungsgrad und am nächsten den Messdaten gelegene auf, ins98


99

besondere bei SM-Kopplung. Hier liegen die drei anderen TM etwa um 1.5% niedriger auf gleichem Niveau. Negativ anzumerken ist das Abknicken der instationären RNG-Kurve bei ¨ was zusammen mit den FR-Ergebnissen im allgemeinen auf ein aus numerischer Sicht sehr UL, ¨ ung¨ unstiges Uberlastverhalten der Maschine hinweist. Nimmt man anstelle des Abknickens einen stetigen Verlauf der FR-Kurven an, so w¨ urde der berechnete Bestpunkt tatsächlich etwa bei Q/QN = 1.0 liegen, erkennbar an den SKE- und RNG-Kurven in Abb.7.13. Aufgrund der falschen Steigung der Momentenkurve ergäbe sich aber, vorausgesetzt den Fall einer stetigen Förderhöhe, eine um den Bestpunkt gekippte“ ” Wirkungsgradkurve. Dies bedeutet, die Abweichungen zur gemessenen Kurve nehmen bei ¨ Teillast immer mehr zu, wie in Abb.7.13 zu sehen, während sich bei Uberlast beide Kurven, im Falle eines dort stetigen Verlaufes, annähern w¨ urden. Auch dies könnte zu falschen Schlussfolgerungen der Berechenbarkeit von ηi f¨ uhren, erst die Kenntnis der einzelnen Beiträge relativiert das Ergebnis. Der transiente Wirkungsgrad ist verglichen mit den experimentellen Daten etwas nach unten ¨ hin. Dieser zunehmende Abstand kommt verschoben, mit zunehmendem Abstand zu UL von den nahezu parallel nach oben verschobenen Momentenkurven aller TM mit einer leicht größeren Steigung als die gemessene Kurve ( vgl. Abb.7.12). Der relativ flache Verlauf im Bereich des Bestpunktes ist eine Folge der dort abgeflachten Förderhöhe. Zusammen bewirken diese beiden Faktoren eine Verschiebung des transient bestimmten Bestpunktes um etwa 10% zu Teillast hin. In der oben beschriebenen Art und Weise wurden die inneren Wirkungsgrade auch u ¨ber die sekundären und hydraulischen Laufradwirkungsgrade ermittelt. Die mit verschiedenen Turbulenzmodellen berechneten Sekundärwirkungsgrade der Pumpe sind in Anhang B enthalten. Sowohl das Turbulenzmodell als auch die Kopplungsmethode haben keinen nennenswerten Einfluss auf ηvol . Beim RSR-Wirkungsgrad weicht nur das KC-Modell ab, die verschiedenen TM in FLUENT zeigen sich größtenteils unbeeinflusst. Beim transienten volumetrischen WG sind kleine Schwankungen zwischen den TM bei Teillast vorhanden, insgesamt wird ηvol zu groß berechnet, d.h. der tatsächliche Volumenstrom im Spalt ist ein wenig größer als berechnet. Bei ¨ sind die berechneten Werte f¨ UL ur ηvol besser, da ein zu klein berechneter Spaltvolumenstrom weniger stark gewichtet eingeht. Die aus den instationären Rechnungen bestimmten Laufradwirkungsgrade sind in der Abb.7.14 dargestellt. In der Messebene ausgewertet ergeben sich die Kurven im linken Diagramm, die insgesamt höher liegen als die direkt am Laufradaustritt ermittelten Daten im rechten Diagramm. Letztere verlaufen insgesamt flacher mit weniger stark ausgeprägtem Maximum deutlich kleiner als 1, das im Bereich 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.0 liegt. Das Turbulenzmodell hat mit Ausnahme des TL-Bereiches keinen Einfluss auf ηh,La (R2). Auch bei ηh,La (M E) sind die Unterschiede zwischen den TM bei TL am deutlichsten, obwohl im gesamten Betriebsbereich Abweichungen zwischen 1 und 2% auftreten. Interessanterweise wird ¨ den der maximale Laufradwirkungsgrad bei TL mit dem RKE-Modell berechnet, das bei UL ¨ kleinsten WG vorhersagt. Uber den gesamten Bereich gesehen berechnet das SST-Modell den höchsten WG. Weiterhin ist auch hier, wie schon bei ηi (Mi ) das durchaus ausgeprägte Optimum beim BP 0.9 zu finden. Aus diesen Kennlinien folgen direkt die inneren Wirkungsgrade der Pumpe in Abb.7.15. 99


1.025

η

h,La

(ME) [%]

100

1.025

1.0

1.0

0.975

0.975

0.95

0.95

0.925

0.925

0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

h,La

(R2) [%]

0.9

SKE RKE RNG SST

0.875

η

SKE RKE RNG SST

0.875

1.2

0.6

0.7

0.8

Q/Q

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

N

Abbildung 7.14.: ηh aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

Zusammen mit den transienten Ergebnissen der vier TM sind die experimentellen Daten 0.95 0.9

0.95

innerer WG η (sek,ME) [%]

0.9

i

0.85

0.85

0.8

0.8

0.75

0.75

0.7

0.7

0.65

0.55

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

i

0.65

EXP SKE RKE RNG SST

0.6

innerer WG η (sek,R2) [%]

EXP SKE RKE RNG SST

0.6 0.55

1.2

Kopplung SM 0.6

Q/QN

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/QN

Abbildung 7.15.: Innerer Wirkungsgrad aus ME-Auswertung (links) und R2 -Auswertung (rechts) der nS 20-Pumpe bei SM-Kopplung f¨ ur verschiedene TM

berechnet aus den statischen Kennlinien dargestellt. Bei beiden Auswerteverfahren, links ME und rechts R2 , liegt das berechnete Optimum beim Bp 0.9. Da aus oben genannten Gr¨ unden eher die Kurven ηh,La (R2) der Realität entsprechen, liefern das SST- und das RKE-Modell die besten Wirkungsgrade. Eine Abflachung der Kurve kann wiederum im Bereich des experimentellen Optimums festgestellt werden, wie schon bei der Berechnung u ¨ber das Moment. Sowohl Verschiebung des Optimums als auch Abflachung der Kurve im BEP erhält man demnach unabhängig von der Art der Bestimmung von ηi . Beim Vergleich aller Kurven der Abb.7.14 kann das gewählte TM allerdings als Verursacher ausgeschlossen werden. Den deutlichsten, wenn auch noch immer relativ geringen Einfluss des TM bei allen in diesem Kapitel vorgestellten 100


101

Kennlinien ist beim Laufradwirkungsgrad am Laufradaustritt ausgewertet festzustellen. Obwohl in dieser Arbeit keine mit dem KC-Modell berechneten transienten Kennlinien enthalten sind, lässt das FR-Ergebnis einige Schlussfolgerungen zu. Die ebenfalls abknickende ¨ Förderhöhe mit sehr guter Ubereinstimmung mit allen FLUENT-Berechnungen zeigt einerseits die Lauffähigkeit des Modells und andererseits die schlechte Eignung der nS 20-Pumpe f¨ ur FR-Rechnungen. Auch das durch Druckunterschiede verursachte Laufradmoment wird korrekt bestimmt, nur das viskose Reibmoment in den RSR ist zu hoch. Eine Erklärung hierf¨ ur fehlt noch, auch weil der RSR-Massenstrom mit FLUENT-Ergebnissen und Messungen zusammenpasst. Insgesamt lassen die quasi-stationären Kennlinien gleich gute transiente Resultate wie die oben gezeigten erwarten. Zusammengefasst sind die wichtigsten Erkenntnisse der numerischen Berechnung der Kennlinien der nS 20-Pumpe wie folgt: • Der Einfluss der Kopplungsmethode ist deutlich größer als der des Turbulenzmodells • Wegen Ablösung am Spiralsporn ist die nS 20-Pumpe eine ung¨ unstige FR-Geometrie ¨ nach unten ab • Die Förderhöhe knickt mit FR-Kopplung bei UL • FR und SM berechnen unterschiedliche Steigungen des inneren Momentes • Die Sekundärwirkungsgrade sind unabhängig von der Kopplungsmethode und dem TM (Ausnahme ηrsr (KC)) und stimmen gut mit Messdaten u ¨berein • Das Maximum der transient berechneten Wirkungsgrade ist zu Q/QN ≈ 0.9 verschoben • Der innere Wirkungsgrad wurde mit unterschiedlichen Methoden berechnet mit dem Ergebnis u ussiger Resultate sowohl untereinander als auch im ¨bereinstimmender und schl¨ Vergleich mit Messwerten • Gesamtwirkungsgrade sind immer kritisch zu bewerten, da fehlerhafte Einzelfaktoren sich ung¨ unstig zu einem scheinbar guten Endresultat summieren können (z.B. ηi (KC))

101


102

7.4. Kennlinien der nS 26 Radialpumpe Die experimentellen Untersuchungen der ns 26 Radialpumpe wurden mit dem Fluid Luft durchgef¨ uhrt. Der Pr¨ ufstand konnte daher als offener Kreislauf ausgef¨ uhrt werden, die Pumpe fördert direkt in die Umgebung. Die Pumpe wurde direkt f¨ ur die Bereitstellung experimenteller Daten zur Validierung numerischer Codes und Methoden konzipiert. Besondere Beachtung hierbei wurde auf die Strömungsgrößen am Laufradaustritt gelegt, so dass eine experimentelle Datenbasis instationärer Messwerte f¨ ur die Dokumentation der Laufrad-Spirale Wechselwirkungen zur Verf¨ ugung gestellt werden konnte. Im Gegensatz zur nS 20-Pumpe wurden keine Momente gemessen. Demnach sind verglichen mit der nS 20-Pumpe nicht sämtliche Kennlinien und Wirkungsgrade experimentell verf¨ ugbar. Die Bestimmung der Förderhöhe erfolgte mit Hilfe einer Volumenstrommessd¨ use und statischer Druckmessungen im Saugkanal. Die Dichte zwischen Ein- und Austritt ändert sich um etwa 2%, numerisch wird daher von konstanter Dichte ausgegangen. Unter Verwendung der tatsächlichen Dichte und der Querschnittsflächen werden die experimentellen Totaldr¨ ucke bestimmt. Die statischen Eintrittsdr¨ ucke liegen hierbei unterhalb des Umgebumgsdrucks, der am Austritt als statischer Druck eingesetzt wird. Zusätzlich werden die RSR-Volumenströme gemessen, so dass der volumetrische WG bestimmt werden konnte. In der Messebene nach dem Laufrad der Pumpe wurden experimentell einige ungewöhnliche Strömungszustände festgestellt. Die genaue Untersuchung dieser Strömungszustände sollte daher das wichtigste Ziel der numerischen Berechnungen sein. Aus diesem Grund wurde auf die Modellierung der RSR verzichtet. Als Ausnahme wurde eine FR-Rechnung mit einem Komplettmodell der Pumpe, einschliesslich der RSR durchgef¨ uhrt. Zweck war die Bestimmung der Sekundärwirkungsgrade, die wie oben gezeigt von der Kopplungsart nahezu unabhängig sind. Nachfolgend werden zuerst die numerisch bestimmbaren Kennlinien exemplarisch f¨ ur nur ein Turbulenzmodell zusammen mit den jeweils vorhandenen experimentellen Daten dargestellt und diskutiert. Anschliessend erfolgt ein Vergleich der mit verschiedenen TM vorhergesagten Kennlinien.

7.4.1. Einfluss der Laufrad-Spirale-Kopplung In Abbildung 7.16 sind die statischen“ Kennlinien Förderhöhe und inneres Moment f¨ ur die ” berechneten Betriebspunkte 0.4 ≤ Q/QN ≤ 1.2 mit Turbulenzmodell RKE dargestellt. Bei dieser Pumpe ist zunächst kein Abknicken der FR-Kurve festzustellen, zudem liegt diese näher bei den gemessenen Förderhöhen. Wie schon zuvor berechnet man mit SM-Kopplung eine größere Förderhöhe. Der Einfluss des RSR ist aus den FR-Berechnungen mit RSR bekannt (Kurve FR(RSR) im Diagramm), die Förderhöhe wird nach links unten verschoben. Die recht deutliche quantitative Abweichung der Förderhöhen von bis zu 20% ist zum einen auf die Vernachlässigung des RSR und zum anderen auf die sehr starke Strömungsablösung im gekr¨ ummten Druckstutzen zur¨ uckzuf¨ uhren. Dadurch liegt numerisch im Radialdiffusor ein leicht erhöhtes Druckniveau vor. Die Momentenkurve zeigt ähnliche Charakteristika wie bei der zuvor untersuchten Pumpe. Die SM-Kurve liegt höher bei größerer Steigung verglichen mit der FR-Kurve. Bei Hinzunahme des RSR verschiebt sich die Momentenkurve bei gleichbleibender Steigung deutlich nach oben. Die zur Ermittlung von ηi (sek, R2 ) benötigten Sekundärwirkungsgrade werden aus der FR102


103 3

350


2.5

250

2

200

1.5

150

1

100 50

EXP SM FR FR (RSR) 0.5

0.6

0.5

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

0

1.1

inneres Moment Mi [Nm]

SM FR FR (RSR) 0.5

0.6

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Q/Q

N

Abbildung 7.16.: Förderhöhe und inneres Moment ns 26-Pumpe

Rechnung bestimmt, da hier keine deutlichen Unterschiede zur SM-Rechnung zu erwarten sind. Volumetrischer und Radseitenraum-Wirkungsgrad sind in Abb.7.17 dargestellt. Die Verläufe beider Kurven entsprechen qua1.05 litativ denen der nS 20-Pumpe, ansteigend zu Sekundär − WG ¨ Uberlast hin. Der berechnete und experimen1 telle volumetrische Wirkungsgrad stimmen sehr gut u ¨berein, während ηrsr ebenso wie das Wel0.95 lenmoment nicht gemessen wurden. Verglichen mit der nS 20-Pumpe ist ηvol hier deutlich näher 0.9 ηrsr (FR) bei 1, was auf den kleineren Radialspalt von nur η (FR) vol TM : rke η (EXP) 0.3mm bei zudem kleinerem Verhältnis von Ravol 0.85 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 dialspalt zu R2 zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Eine guQ/QN ¨ te Ubereinstimmung von ηvol ist demnach mit einem guten Rechengitter und Wandfunktionen Abbildung 7.17.: ηsek ns 26-Pumpe durchaus erreichbar, wenn man nicht an genauerer Untersuchung der Strömungsvorgänge im RSR interessiert ist. Die f¨ ur den Wirkungsgrad jetzt noch benötigten Laufraddruckzahlen wurden auch experimentell bestimmt. Die Vorgehensweise wurde oben beschrieben und auch bei der nS 20-Pumpe angewendet. Gemessene und berechnete theoretische und tatsächliche Druckzahlen sind in Abb.7.18 dargestellt. Die CFDKurven wurden aus der transienten Rechnung wiederum einmal direkt am Laufradaustrittsradius R2 = 202.5mm und einmal in der Messebene RM E = 208.5mm bestimmt. Der schon oben beschriebene Effekt des zu großen hydraulischen Laufradwirkungsgrades bei Berechnung in der Messebene ist auch hier zu erkennen. Die numerische tatsächliche Druckzahl ψ0,La im linken Diagramm ändert sich kaum von R2 zu RM E , während die theoretische Druckzahl ψth,La im rechten Diagramm bei RM E schon deutlich abgesunken ist. Auffallend in diesen Diagrammen ist vor allem die Diskrepanz zwischen den berechneten und gemessenen Werten. Direkt verglichen werden m¨ ussen die experimentellen Werte mit den CFD-Kurven in der Messebene. 103


104

Druckzahl Laufrad ψ

Th. Druckzahl Laufrad ψ

0,La

th,La

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8 0.6

0.8 EXP CFD (ME) CFD (R )

TM : sst

2

0.5

0.7

0.9

0.6 1.1

1.3

EXP CFD (ME) CFD (R ) 0.5

Q/QN

TM : sst

2

0.7

0.9

1.1

1.3

Q/QN

Abbildung 7.18.: Laufrad-Druckzahlen ψ0 und ψth transient ns 26-Pumpe

Bei allgemein zu großer Steigung ist die Abweichung bei Teillast beträchtlich, was einerseits auf die Vernachlässigung der RSR im numerischen Modell zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Der saugseitige Einfluss der stark drallbehafteten RSR-Strömung ist vor allem bei TL erheblich. Andererseits ist nach Meschkat [63] die Totaldruckmessung mittels Zylindersonde mit einer nicht zu vernachlässigenden Unsicherheit verbunden, wodurch insbesondere die gemessene ψ0,La -Kurve fehlerbehaftet sein kann. Weiterhin ist bei den Verläufen der Druckzahlen bemerkenswert, dass in großen Bereichen der experimentellen und numerischen Kennlinien die tatsächlichen Druckzahlen größer als die theoretischen sind. Eine Ursache ist die schon oben beschriebene unterschiedliche Abnahme von Totaldruck und Umfangskomponente. Eine weitere Ursache ist ein speziell bei dieser Pumpe auftretendes Strömungsphänomen, auf das in Kapitel 8 noch ¨ ausf¨ uhrlich eingegangen wird. In großen Teilen der Kennlinie, besonders bei Uberlast, kommt es im Bereich des Spiralsporns, vermutlich aufgrund des großen radialen Abstandes zwischen Laufradaustritt und Spiralsporn von 10.2mm und des zusätzlich großen Sporndurchmessers von 16mm, zu einer Art Versperrung und lokalen Richtungsumkehr der Umfangskomponente. Im Inertialsystem gesehen strömt die Luft vor dem Sporn entgegen der Laufraddrehrichtung. Bei gleichzeitig vorliegender positiver Radialkomponente liefert dies nach Gleichung 7.11 einen negativen Beitrag zur theoretischen Druckzahl, während der Totaldruck zumindest bei der numerischen Auswertung einen positiven Beitrag erhält. Der deutlich zu große hydraulische Laufradwirkungsgrad bei dieser Pumpe wird also einerseits von der Lage der Messebene (R2 +6mm) und andererseits von einer lokalen Strömungsumkehr der Umfangskomponente verursacht. Die aus den Druckzahlen resultierenden inneren Wirkungsgrade der Pumpe sind im linken Diagramm der Abb.7.19 dargestellt. Zusätzlich ist in beiden Diagrammen dieser Abbildung die Kurve des aus dem inneren Moment berechneten Wirkungsgrades als durchgezogene Kurve dargestellt. Im linken Diagramm erkennt man im Vergleich der drei WG-Berechnungsmethoden die schon bekannte Systematik. Den größten Wert von ηi berechnet man bei Auswertung des Laufradwirkungsgrades in der Messebene (ηi (sek, M E)), den kleinsten Wert von ηi bei Berechnung u ¨ber das Laufradmoment (ηi (Mi )). Wie schon bei der nS 20-Pumpe liegt der am 104

7.4. KENNLINIEN DER NS 26 RADIALPUMPE 1.2

105

1.2

innerer WG η (M )

innere Wirkungsgrade

i

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.2

η (M ) i i η (sek,ME) i ηi (sek,R2) 0.5

0.6

i

0.4 SM FR

TM : rke 0.7

0.8

0.9

1.0

0.2

1.1

Q/QN

0.5

TM : rke 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Abbildung 7.19.: Innere Wirkungsgrade ns 26-Pumpe

Laufradaustritt ausgewertete Wirkungsgrad zwischen den beiden anderen und wird als der sicherste angesehen. Die Abweichung der beiden Wirkungsgrade ηi (Mi ) und ηi (sek, R2 ) kann wiederum als eine Kontrolle der G¨ ute der numerischen Daten angesehen werden. Man hat hier größere Abweichungen als bei der nS 20-Pumpe, was nur zum Teil auf Nichtber¨ ucksichtigung des RSR zur¨ uckgef¨ uhrt werden kann. Grundsätzlich erweist sich die nS 26-Pumpe aufgrund der extremeren Strömungszustände in den f¨ ur die Auswertung wichtigen Bereichen als ungeeigneter f¨ ur die numerische Validierung. Als positiv erweist sich bei dieser Pumpe die gute Eignung f¨ ur die Berechnung mit der FR-Kopplung, wie auch rechts in Abb.7.19 zu sehen. Den sauberen Verläufen von Förderhöhe und Moment entsprechend zeigt sich ein nur geringer Unterschied zur transienten Kurve. Beide Kurven sind deckungsgleich im sowohl numerisch als auch expe¨ rimentell bestimmten Bestpunkt der Pumpe bei Q/QN = 0.8. In Teillast und Uberlast liegt die FR-Kurve erwartungsgemäß niedriger als die transient berechnete. Die nS 26-Pumpe zeichnet sich demnach durch eine FR-geeignete Geometrie mit großem radialen Abstand zwischen Laufradaustritt und Sporn aus. Die reduzierte Frequenz ist mit ωred ≈ 1 größer als bei der nS 20-Pumpe.

7.4.2. Einfluss des Turbulenzmodells Nachfolgend wird die Abhängigkeit der gezeigten Kennlinien vom verwendeten Turbulenzmodell untersucht. Die Ergebnisse der vier TM werden jeweils f¨ ur eine der beiden möglichen Kopplungsmethoden verglichen. Sämtliche Diagramme sind in Abb.7.20 zusammenfassend dargestellt. Die erste Zeile zeigt die Ergebnisse der FR-Rechnung. Obwohl die Unterschiede bei den statischen Kennlinien zwischen den TM insgesamt eher gering sind, berechnet das SKEModell die geringste Förderhöhe. Alle FR-Rechnungen liefern hier gute Resultate, die größten Abweichungen zur Messung treten allerdings im Bestpunkt auf, wo alle TM am nächsten beieinander liegen. Diese Tendenz zeigen alle FR-Kennlinien. Die gute Eignung der Pumpe f¨ ur FR-Modellierung zeigt sich auch in diesen Diagrammen, unabhängig vom TM erhält man auch 105


106

3

350

1.2

innerer WG η (M )



2.5

250

2

200

1.5

i

i

i

1

0.8

0.6 150 100 50

1 EXP SKE RKE RNG SST 0.5

0.5

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0

SKE RKE RNG SST 0.5

0.4

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.2

SKE RKE RNG SST 0.5

Kopplung FR 0.6

0.7

0.8

Q/Q

Q/QN

0.9

1.0

1.1

1.0

1.1

Q/Q

N

N

Statische Kennlinien ns 26-Pumpe in Abhängigkeit des TM (CFD, FR) 3

350

1.2

innerer WG η (M )



2.5

250

2

200

1.5

150

1

i

i

i

1

0.8

0.6

100 50

EXP SKE RKE RNG SST 0.5

0.5

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0

SKE RKE RNG SST 0.5

0.4

Kopplung SM 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.2

SKE RKE RNG SST 0.5

Kopplung SM 0.6

0.7

Q/QN

Q/QN

0.8

0.9

Q/QN

Statische Kennlinien ns 26-Pumpe in Abhängigkeit des TM (CFD, SM) 1.6 1.5

1.6

Th. Druckzahl Laufrad ψth,La

1.5

1.4

1.4

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1 0.9 0.8

1

SKE RKE RNG SST 0.5

0.9

Auswertung ME 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.8

η

Druckzahl Laufrad ψ0,La

h,La

− ME

1.1 1 0.9 0.8

SKE RKE RNG SST 0.5

0.7

Auswertung ME 0.6

0.7

Q/QN

0.8

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung ME 0.6

Q/QN

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Laufradkennlinien nS 26-Pumpe (Auswertung in ME) in Abhängigkeit des TM (CFD, SM) 1.1

1.1

ηh,G − ME

ηh,G − R2

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

0.7

Auswertung ME 0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

Q/QN

Laufradwirkungsgrade ns 26-Pumpe in Abhängigkeit des TM (CFD, SM) Abbildung 7.20.: Kennlinien ns 26-Pumpe, Parameter Turbulenzmodell und Kopplungsart 106


107

in Betriebspunkten weit abseits vom Optimum gute Resultate. Mit der transienten Kopplung erhält man größere Förderhöhen als bei FR-Kopplung, wie in der zweiten Zeile der Abb.7.20 dargestellt. In Teillast sind größere Diskrepanzen zwischen den einzelnen TM zu erkennen, während die Kurven im restlichen Betriebsbereich fast identisch sind. Gleiches gilt f¨ ur das transiente Moment und den inneren Wirkungsgrad. Die Abweichungen in Teillast werden vermutlich vom fehlenden RSR verursacht, dessen Einfluss auf die Laufradströmung vor allem in Teillast von Bedeutung ist. Die Auswirkungen auf die transienten Laufraddruckzahlen sind entsprechend und ausgewertet in der ME in der dritten Zeile dargestellt. Hierbei ist eine gute ¨ Ubereinstimmung der beiden höherwertigen Turbulenzmodelle RNG und SST festzustellen, während das SKE-Modell in Teillast deutlich absinkt, unabhängig von der Auswertebene. Die aus den Laufraddruckzahlen und den Sekundärwirkungsgraden berechneten hydraulischen Gesamtwirkungsgrade sind in Abb.7.20 in der unteren Zeile enthalten. Die Auswertung in der Messebene (links) liefert wiederum größere Werte als bei Auswertung direkt am Laufradaustritt (rechts). Die teilweise großen Diskrepanzen, besonders bei Teillast, sind wie bereits diskutiert nicht in erster Linie auf die Turbulenzmodellierung zur¨ uckzuf¨ uhren. Dennoch ist durchaus auffallend, dass das SKE-Modell bei Teillast durchweg die niedrigsten Kennlinienwerte aller TM liefert. Die Ursache bei der bekannten Schwäche der zu großen Dissipation des Modells zu suchen wäre naheliegend, die nur geringf¨ ugig besseren Werte des RKE-Modells sprechen allerdings dagegen. Das grundsätzliche Problem der extremen Strömungszustände mit hohem turbulenten Schwankungsanteil [63], welche mit den verwendeten Turbulenzmodellen nicht erfasst werden können, ist die wahrscheinlichere Erklärung. Abschliessend kurz zusammengefasst sind die wichtigsten Erkenntnisse der Kennlinienberechnung bei der nS 26-Pumpe wie folgt: ¨ • Nur qualitativ gute Ubereinstimmung mit Messung, da RSR im numerischen Modell vernachlässigt wurde. Quantitativ Verschiebung der Kennlinien nach oben. • Einfluss der Kopplungsart ist auch hier dominierend, aber in geringerem Maße als bei der nS 20-Pumpe ¨ • Pumpe ist geeignete FR-Geometrie, gute Kennlinienverläufe auch in Teil- und Uberlast ¨ bei guter Ubereinstimmung mit Messung • Transiente statische Kennlinienwerte sind größer als quasi-stationäre ¨ • Bestpunkt zu Q/QN = 0.8 verschoben (in Ubereinstimmung mit Experiment) • Einfluss des TM ist wiederum eher gering, im Bestpunkt gibt es nahezu keine Abweichung • Die saubersten“ Kennlinien liefert das SST-Modell in allen Betriebspunkten ” • Auch hier schl¨ ussige Berechnung des transienten inneren Wirkungsgrades mit unterschiedlichen Methoden

107

108

8. Analyse innerer Str¨ omungsvorg¨ ange 8.1. Str¨ omungsprofile der nS 28 Radialpumpe Die Strömungsprofile in der Messebene der frei abströmenden nS 28-Pumpe wurden von Aysheshim [3] im Betriebsbereich 0.8 ≤ Q/QN ≤ 1.2 mit einer Zylindersonde gemessen. Die experimentellen und berechneten Daten sind flächengewichtet umfangsgemittelt f¨ ur den Best¨ punkt in der Abb.8.1 dargestellt. Gleiche Diagramme f¨ ur Teil- und Uberlast sind im Anhang B enthalten. Die Geschwindigkeiten sind bezogen auf die Laufradaustrittsgeschwindigkeit von Deckscheibe zu Tragscheibe aufgetragen. Entlang der Diffusorbreite sind die Knoten des ver0.13

0.7

c /u r

0.12

2 0.65

0.11

EXP SKE RKE KC LCL

14

cu/u2

12

EXP SKE RKE KC LCL

Tu [%]

10 0.1

0.6

8

0.09

0.07 0.06

6

0.55

0.08

4 EXP SKE RKE KC LCL

Deck

0.5

Diffusorbreite

2

BP:100 , Gitter:1

BP:100 , Gitter:1 Trag

Deck

Diffusorbreite


Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter WF-1 bei Q/QN = 1.0 0.13

0.7

c /u r

0.12

2

EXP SKE LCL

14

cu/u2

Tu [%]

12

0.65

0.11

EXP SKE LCL

10 0.1

0.6

8

0.09

4

0.07 0.06 Deck

6

0.55

0.08

0.5 EXP SKE LCL

Diffusorbreite

2

BP:100 , Gitter:2


Deck

Diffusorbreite


Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter LR-2 bei Q/QN = 1.0 Abbildung 8.1.: Strömungsprofile cr /u2 , cu /u2 und T u der ns 28-Pumpe in der Messebene wendeten Rechennetzes positioniert, bei Auflösung der Wandgrenzschicht in den Diagrammen der unteren Zeile ist nur jeder zweite Knoten dargestellt. Zusätzlich zu den Geschwindigkeitsprofilen wurden experimentelle Daten des Turbulenzgrades bereitgestellt. Diese wurden mittels einer instationären Geschwindigkeitsmessung mit Hitzdrahtanemometer und Filterung der transformierten Daten im Frequenzbereich mit anschließender R¨ ucktransformation 108

¨ 8.1. STROMUNGSPROFILE DER NS 28 RADIALPUMPE

109

bestimmt. Der numerisch berechnete lokale Turbulenzgrad kann nach Gleichung 4.13 direkt umgerechnet werden und ist zusammen mit den Messdaten in den beiden rechten Diagrammen dargestellt. Zunächst auffallend sind die großen Unterschiede der Kurven einzelner Turbulenzmodelle bei gleicher und vor allem bei unterschiedlicher Wandbehandlung. Das SKE-Modell mit WF liefert bei der Radialkomponente als einziges Modell einen Verlauf mit einem Minimum in der Diffusormitte, während die anderen Modelle den experimentellen Verlauf mit zwei kleinen Minima zumindest qualitativ vorhersagen. Deutliche Unterschiede bez¨ uglich aller Verläufe zeigen die LowRe-Modelle, wobei das LCL-Modell sehr gut die gemessene Radialkomponente trifft, während die LowRe-Variante nach Abid des SKE-Modells keine guten Resultate liefert. Erstaunlich ist auch die erheblich zu niedrig berechnete Umfangskomponente, die experimentell als sicherer gilt als die Radialkomponente. Beim Turbulenzgrad ist ein Vergleich bei Verwendung von Wirbelviskositätsmodellen immer äußerst fragw¨ urdig, da die teilweise sehr großen gemessenen lokalen Fluktuationen mit dieser Art der Turbulenzmodellierung, die ausschließlich vom lokalen Geschwindigkeitsgradienten abhängig ist, meist nicht erfasst werden können. Obwohl teilweise große Diskrepanzen zwischen gemessenen und berechneten Kurven bestehen, zeigt dieser Testfall doch sehr deutlich den großen Einfluss der Wandbehandlung auf die Strömung im Laufradkanal. Je nachdem, ob die Wandgrenzschicht aufgelöst wird oder nicht, stellen sich im Radialdiffusor völlig unterschiedliche Geschwindigkeitsprofile ein. Beispielsweise ¨ kommt es bei LowRe-Wandbehandlung im Gegensatz zur Uberbr¨ uckung der Grenzschicht mit WF häufig zu Ablösungen an den Diffusorwänden, vor allem bei Teillast an der Deckscheibe. Dies bewirkt die oft starke Verschiebung der Radial- und auch Umfangskomponente zur Tragscheibe hin. Bei WF-Wandbehandlung kommt es meist nicht zu Ablösungen im Radialdiffusor. In ähnlicher Weise wirkt sich die Art der Wandbehandlung an der Schaufelvorderkante aus. Saugseitig kommt es bei Auflösung der Grenzschicht in einem kurzen Bereich hinter dem Staupunkt zu einer Ablösung und R¨ uckströmung, wie in Abb.8.2 dargestellt. Die Ablöseneigung DS

SS

SP

Abbildung 8.2.: Strömung um Schaufelvorderkante bei Q/QN = 1.0 mit SKE-WF (links) und SKE-LR (mitte und rechts) ¨ ist aufgrund des Anströmwinkels bei Teillast größer. Bei Uberlast Q/QN = 1.2 berechnet das LowRe-Modell nach Abid eine Ablösung, während das LCL-Modell schon keine Ablösung mehr liefert. Alle Turbulenzmodelle mit WF berechnen hier keine Ablösung, auch nicht das KC-Modell, das eigentlich den Ausf¨ uhrungen in Kapitel 5 zufolge hierzu in der Lage sein sollte. 109


110

Eine Erklärung kann eine zu geringe Auflösung der Wandgrenzschicht mit dem WF-Gitter sein, das in diesem Bereich einen dimensionslosen Wandabstand von maximal y + ≈ 70 (vgl. Abb.6.5) aufweist. Bei den Ablösungen der Testfälle in Kapitel 5 wurde durchweg mit höherer Wandauflösung gearbeitet. Es kann allerdings auch möglich sein, dass die LowRe-Rechnung eine Ablösung auf der Saugseite nur aufgrund der stationären Modellierung liefert. Instationäre Vorgänge wirken auf abgelöste Strömungen oft stabilisierend und fördern ein Wiederanlegen, so dass bei transienter Modellierung die periodischen Druckfluktuationen das Ablösen an der Saugseite verhindern könnten. ¨ Typische Verläufe des Druckbeiwertes Cp bei Uberlast entlang der Schaufelsehnenlänge von Staupunkt (SP) zu Hinterkante (HK) auf einer mittleren Stromfläche zwischen Deck- und Tragscheibe zeigt die Abb.8.3 im linken Diagramm. Auf der Druckseite erkennt man einen fast 10

C Schaufelmitte p

0 −10 −20 −30 −40

LCL−LR SKE−LR WF

−50

BP:120 SP

0.2

0.4

0.6

0.8

HK

Abbildung 8.3.: Druckbeiwert Cp bei Q/QN = 1.2 entlang Schaufelsehnenlänge an DS und SS und Umströmung der Schaufelhinterkante identischen Verlauf der beiden LowRe-Kurven, während die WF-Kurve erst gegen Ende der Schaufel das gleiche Niveau erreicht. Die Verläufe auf der Saugseite unterscheiden sich deutlicher, wobei von den LowRe-Modellen das LCL-Modell das niedrigste Minimum, aber keine Ablösung und das SKE-Modell noch eine Ablösung liefern. Die Minima der LowRe-Modelle sind etwas stromab verschoben. Wie auch auf der Druckseite treffen sich alle Kurven nach etwa 70% Sehnenlänge um danach zusammen zu verlaufen. Die Unterschiede zwischen den Cp -Verläufen sind somit größtenteils auf die erste Hälfte der Sehnenlänge beschränkt. An der Hinterkante liegt auf der Druckseite ein kleinerer Druck vor als auf der Saugseite, was sowohl in den Cp -Verläufen als auch im rechten Bild der Abb.8.3 zu sehen ist. Daraus resultiert eine wandnahe Sekundärströmung entlang der Schaufelhinterkante von der Saug- zur Druckseite hin, wie an den Vektoren zu erkennen. Wie bereits in Kapitel 5 gezeigt, ist die Besonderheit des KC-Modells die lokal variable Trennung des Turbulenzspektrums in Produktions- und Dissipationsbereich. Darstellen kann man diese Bereiche als Felder des berechneten Cµ -Faktors nach Gleichung (3.60) oder des β-Faktors nach Gleichung (3.61). Beide Felder sind in Abb.8.4 dargestellt. Ein kleines C µ 110


111

bzw. ein β-Wert größer als 0.25 stellt sich dort ein, wo das Verhältnis von Produktion zu Dissipation groß ist und umgekehrt. Bereiche mit verstärkter Turbulenzproduktion finden sich entlang der Schaufeldruckseite und im Nachlaufbereich der Druckseite. Im Nachlaufbereich der Saugseite sowie insbesondere in der Kanalmitte befinden sich Zonen erhöhter Dissipation. Gleichgewicht zwischen Produktion und Dissipation liegt bei Cµ = 0.09, das dem konstanten Wert des SKE-Modells entspricht, bzw. β = 0.25 vor. Obwohl das KC-Modell keine verbesser-

β

Cµ

0.16 0.15 0.14 0.13 0.12 0.11 0.1 0.09 0.08 0.07 0.06 0.05

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1

Abbildung 8.4.: Feld der Faktoren Cµ und β bei Q/QN = 1.0

ten integralen Werte liefert, bietet es als einziges die Möglichkeit der Lokalisierung der Zonen erhöhter Turbulenzproduktion. Die wichtigsten Erkenntnisse der Untersuchung der mit verschiedenen Turbulenzmodellen berechneten Laufradströmung sind nachfolgend zusammengefasst. • Es wird ein deutlicher Einfluss des Turbulenzmodells und vor allem der Wandbehandlung auf die Geschwindigkeitsprofile in der Messebene nachgewiesen ¨ • Insgesamt ist die Ubereinstimmung mit den experimentellen Daten nicht zufriedenstellend, vor allem bei der Umfangskomponente • Bei LowRe Wandbehandlung kommt es zu Ablösungen im Radialdiffusor und auf der Saugseite im vorderen Schaufelbereich • Der Druckbeiwert ist vor allem an der Schaufelvorderkante stark von der Wandbehandlung abhängig

111

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN

112

8.2. Str¨ omung an den Laufradaustritten der Gesamtpumpen Nachdem im vorherigen Abschnitt auf den Einfluss der Wandbehandlung der Turbulenzmodellierung eingegangen wurde, liegt der Schwerpunkt von jetzt an beim Vergleich der Kopplungsmethoden. In diesem Kapitel wird das Verhalten der Strömung am Laufradaustritt eines Schaufelkanals an fester Relativposition (FR) oder umlaufend (SM) untersucht. Wie gleich zu Beginn gezeigt werden wird, unterscheiden sich die meist unzureichenden Resultate der FR-Kopplung sehr stark von denen der transienten Kopplung, so dass die Darstellung der zeitabhängigen Berechnungsergebnisse den größten Teil der nachfolgenden Diskussionen ausmacht. F¨ ur den Laufradaustritt der Pumpen liegen keine Messdaten vor, so dass in diesem Abschnitt nur ein Vergleich der numerischen Daten untereinander erfolgen kann. Da bei den nachfolgend gezeigten Auswertungen keine nennenswerten Unterschiede der Resultate mit verschiedenen Turbulenzmodellen gefunden wurden, wird kein Vergleich diesbez¨ uglich gezeigt. Alle Darstellungen wurden, falls nicht anders angegeben, aus Rechnungen mit dem SKE-Modell ermittelt.

Massenstrom durch Laufradkan¨ ale Das Verhalten eines einzelnen Laufradkanals innerhalb des Strömungsgeschehens der Gesamtmaschine kann sehr anschaulich anhand des integralen Wertes des Massenstromes durch diesen Kanal verdeutlicht werden. Bei konvergierter stationärer FR-Lösung ist die Summe der Kanalmassenströme immer gleich dem Gesamtmassenstrom durch das Laufrad, während bei zeitperiodischer Lösung der Kanalmassenstrom u ¨ber eine Umdrehung gerade dem Laufradmassenstrom geteilt durch die Anzahl der Schaufeln entspricht. Die Bezeichnung der einzelnen Laufradkanäle der nS 20-Pumpe bei FR-Kopplung und die Umfangsposition in Form des Winkels φ des betrachteten Kanals bei transienter Kopplung sind in Abb.8.5 dargestellt. Den Massenstrom durch Kanal 1 bezogen auf den Gesamtmassenstrom durch das Laufrad Massenstrom Laufradkanal [%] 20 18 16 14 0.5 0.9 1.3

12

0°

Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

Abbildung 8.5.: Kanalbezeichnung und Massenströme durch Laufradkanal nS 20-Pumpe u ur verschie¨ber eine gesamte Umdrehung 0◦ ≤ φ ≤ 360◦ zeigt das Diagramm in Abb.8.5 f¨ dene Betriebspunkte. Der prozentuale Mittelwert des Massenstromes beträgt 16.67% und 112


113

ist als gepunktete Gerade zusätzlich eingezeichnet. Alle Kurven zeigen ein zeitperiodisches Verhalten u ¨ber eine Umdrehung. Auffallend sind vor allem die Lagen der Maxima, Minima und der beiden Durchgänge der Kurven durch die Mittelwertgerade an jeweils fast identischen Umfangspositionen f¨ ur alle Betriebspunkte. Den ersten Extremwertwert durchlaufen die Kurven, wenn die Saugseite des betrachteten Kanals gerade unterhalb des Spiralsporns steht. ¨ Bei Teillast bedeutet dies ein Minimum während bei Uberlast ein Maximum vorliegt. Der Kanalmassenstrom wächst bei TL mit zunehmendem Abstand vom Sporn zunächst an, um nach einem Maximum nach etwas mehr als halber Umdrehung mit Annäherung an den Sporn ¨ sind genau umgekehrt, wobei die Amplituden der wieder abzunehmen. Die Verhältnisse bei UL ¨ Die beiden Schnittpunkte“ aller Extremwerte bei TL etwa doppelt so groß sind wie bei UL. ” ◦ Kurven liegen etwa 50 stromauf (entgegen der Drehrichtung) des Sporns und 95◦ stromab (mit der Drehrichtung) des Spiralsporns. Dies bedeutet, der Kanal liefert während 145◦ Drehung in der Nähe des Sporns den vom Druck im Druckstutzen aufgezwungenen Massenstrom und gleicht diese Abweichung vom Mittel während der restlichen 215◦ wieder aus. Mit einer ¨ 1.3 sind Schwankung von 11% ≤ m ˙ Ka ≤ 20% bei TL 0.5 und 15.5% ≤ m ˙ Ka ≤ 19% bei UL die Massenstromschwankungen im Laufradkanal groß. In Abb.8.5 sind außer den markierten ¨ 1.3 und Q/QN = 0.9 die Kurven aller berechneten Betriebspunkte Kurven f¨ ur TL 0.5, UL enthalten. Man erkennt eine verschwindende Schwankung beim Betriebspunkt Q/QN = 0.9, f¨ ur den anscheinend die u ¨ber den Umfang ausgeglichenste Druckverteilung im Spiralgehäuse vorliegt. Diese Erkenntnis passt mit dem in Kapitel 7 gefundenen besten Wirkungsgrad bei diesem BP zusammen. Trägt man die Massenströme durch die einzelnen feststehenden Kanäle entsprechend der in Abb.8.5 eingestellten Relativposition mit einer FR-Rechnung auf, ergibt sich auf den ersten Blick ein ähnliches Bild, wie in Abb.8.6 im linken Diagramm zu sehen. Das erste Extremum Massenstrom im Laufradkanal [%]

Massenstrom im Laufradkanal [%]

Massenstrom im Laufradkanal [%]

30

25

25

20

20 18

20 15

16

15 10

10

14 5

5 0.5 0.9 1.3

0 1

2

3

4

Laufradkanal

5

6

SM 0.5 FR 0.5 SM 1.3 FR 1.3

0

1

0°

Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

12

0°

SM 0.9 FR 0.9 SM 1.0 FR 1.0 Sporn

180°

Drehwinkel φ

270°

360°

Abbildung 8.6.: Massenströme durch Laufradkanäle nS 20-Pumpe

stromauf des Sporns fällt in Kanal 2, während des zweite Extremum stromab des Sporns nicht eindeutig einem Kanal zuzuordnen ist. Auch bei FR-Kopplung zeigt der BP Q/QN = 0.9 die geringsten Schwankungen der einzelnen Kanäle, während die Kurven abseits des Optimums viel größere Schwankungen zeigen als die transienten Kurven. Vor allem bei TL treten derart extreme Unterschiede auf, dass von einer ausgeglichenen Strömung nicht mehr gesprochen werden kann. In Kanal 2 tritt bei den beiden TL-Betriebspunkten 0.5 und 0.6 sogar eine R¨ uckströmung auf, d.h. der Kanal 2 direkt stromauf des Sporns trägt bei TL nicht zur Förderhöhe bei. Es 113


114

¨ treten Schwankungen von −8% ≤ m ˙ Ka ≤ 27% bei TL 0.5 und 14% ≤ m ˙ Ka ≤ 22% bei UL 1.3 auf. Diese im Vergleich zur transienten Rechnung sehr großen Unterschiede zwischen den einzelnen Kanälen f¨ uhren zu stark erhöhten Verlusten und erklären den schlechteren Wirkungsgrad bei FR-Kopplung. Im direkten Vergleich der transienten und FR-Rechnungen bei TL ¨ im mittleren und im BEP im rechten Diagramm der Abb.8.6 wird dieser Sachverhalt und UL verdeutlicht. Die Kanalpositionen der FR-Rechnung wurden an die entsprechende transiente Umfangsposition (maßgeblich ist die Saugseite) verschoben. Bei jetzt gleicher Skalierung sind die viel zu großen Schwankungen der FR-Kopplung viel deutlicher. Weiterhin fällt auf, dass die Wendepunkte der transienten Kurven bei größeren Umfangspositionen liegen, was auf die Ber¨ ucksichtigung der Massenträgheit im Falle der zeitabhängigen Lösung zur¨ uckzuf¨ uhren ist. Im rechten Diagramm ist nochmals verdeutlicht, dass die ausgeglichenste Strömung nicht bei Q/QN = 1.0, sondern bei Q/QN = 0.9 vorliegt. Die starken Schwankungen der Kanalmassenströme bei FR-Rechnungen legen die Vermutung nahe, durch mehrfaches Lösen der Gesamtpumpe mit jeweils anderer Relativposition des Laufrades zum Spiralsporn und anschliessender Mittelung aller Einzelergebnisse ein ähnlich gutes Stömungsfeld zu erhalten wie nach Zeitmittelung einer transienten Lösung. Diese Vorgehensweise wurde von einigen Autoren vorgeschlagen und durchgef¨ uhrt. Eine Mittelung einiger unzureichender Ergebnisse kann jedoch kein zufriedenstellendes Strömungsfeld liefern. Dies wird bestätigt anhand Variationsrechnungen mit der nS 20-Pumpe im Betriebspunkt Q/QN = 1.0, der zunächst f¨ ur das Optimum gehalten wurde. Von Korrell [47] wurden insgesamt 6 FR-Rechnungen mit jeweils um 10◦ gedrehtem Laufrad durchgef¨ uhrt, womit alle möglichen Relativpositionen innerhalb eines 10◦ -Intervalls abgedeckt sind. Die Ergebnisse sind in Abb.8.7 zusammen mit den bereits bekannten Kurven des BP 1.0 aus dem rechten Diagramm der Abb.8.6 dargestellt. Jede der 6 Einzelkurven steht f¨ ur einen Laufradkanal an jeweils 6 festen Relativpositionen in 10◦ -Intervallen. Am Abbildung 8.7.: FR-Varianten nS 20-Pumpe jeweils ersten Punkt der Einzelkurven steht die Saugseite eines Kanals gerade am Spiralsporn, am jeweils vierten Punkt ist der Kanal um 30◦ verdreht, so dass gerade die Kanalmitte am Spiralsporn steht (entsprechend der Position in Abb.8.5). Die Verbindungslinie dieser jeweils vierten Punkte entspricht der FR-Kurve 1.0 aus Abb.8.6. Es ist an dieser Darstellung zu erkennen, dass in Abhängigkeit der zunächst frei wählbaren Relativposition ganz unterschiedliche Kanalmassenströme erhalten werden. Den f¨ ur alle Kanäle jeweils mittleren Massenstrom liefert die vierte Winkelposition, die der Abb.8.5 entspricht. Aus diesem Grund kann man bei FR-Rechnungen durch entsprechende 114


115

Wahl der Relativposition die extremen Schwankungen wenigstens einigermaßen in Grenzen halten. Es wird hierbei noch darauf hingewiesen, dass die Wahl der Relativposition keinen nennenswerten Einfluss auf integrale Werte hat, die Unterschiede im Wirkungsgrad liegen innerhalb einer Bandbreite von unter 1%. Auch eine Mittelung aller sechs Einzelresultate kann demnach nicht mit einer transienten Rechnung verglichen werden. Vielmehr verstärken sich bei manchen Relativpositionen einer FR-Rechnung die ung¨ unstigen Verhältnisse der Laufraddurchströmung. Ein anderer interessanter Sachverhalt aus Abb.8.7 ist am besten im Optimum abzulesen. Sowohl die transiente als auch die FR-Kurven bei verschiedenen Winkelpositionen zeigen zunächst ein Abfallen des Massenstromes mit zunehmendem Umfangswinkel, um im Bereich um 270◦ ein lokales Maximum aufzuweisen. Dieses Phänomen ist auch bei genauerem Hinsehen in den transienten Kurven aller Betriebspunkte (Abb.8.5) als kleiner Wendepunkt im Bereich des davorliegenden kleinen Minimums bei etwa 230◦ zu sehen. Somit kann ein zunächst vermuteter Fehler der FR-Kurven ausgeschlossen werden, vielmehr verstärkt sich dieses Phänomen noch bei Verwendung des FR-Ansatzes. Ursache ist, wie im folgenden Abschnitt noch gezeigt werden wird, eine leichte Unstetigkeit im Querschnittsverlauf des Spiralgehäuses. Die oben ausf¨ uhrlich beschriebenen Diagramme sind nachfolgend entsprechend f¨ ur die nS 26Pumpe aufbereitet. Abbildung 8.8 zeigt zunächst die Bezeichnungen der einzelnen Kanäle und des Umfangswinkels. Grundsätzlich zeigen die Kurven ein ähnliches Verhalten wie bei der Massenstrom Laufradkanal [%] 18 16 14 12 0.5 0.8 1.2

10

270°

Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

Abbildung 8.8.: Kanalbezeichnung und Massenströme durch Laufradkanal nS 26-Pumpe nS 20-Pumpe, so dass die zwei mehr oder weniger gemeinsamen Schnittpunkte aller Kurven als allgemeing¨ ultig angesehen werden können. Die Lage des ersten Extremums am Sporn ist identisch, die Schaufelsaugseite des Kanals 1 steht entsprechend der Abb.8.8 dann genau unterhalb des Sporns. Das zweite Extremum der Kurven an der dem Sporn gegen¨ uberliegenden Seite ist nicht eindeutig einer gemeinsamen Umfangsposition zuzuordnen. Im Vergleich zur nS 20-Pumpe ist der vom Sporn direkt beeinflusste Umfangsbereich um etwa 20◦ ausgedehnter, der gegen¨ uberliegende Bereich entsprechend kleiner. Damit zusammenhängend liegen die beiden Extrema der nS 26-Pumpe näher zusammen, d.h. der Wechsel der Massenstromextrema des Kanals nach Passieren des Sporns ist ein deutlich schneller Prozess als bei der nS 20-Pumpe. Die mit FR-Kopplung erhaltenen einzelnen Kanalmassenströme sind im Bereich 0.4 ≤ Q/QN ≤ 115

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN Massenstrom Laufradkanal [%]

Massenstrom Laufradkanal [%] 30

30

25

25

20

20

15

15

10

10

0.4 0.8 1.2

0 1

Massenstrom Laufradkanal [%] 20

15

5

5

2

3

4

5

Laufradkanal

6

7

SM 0.5 FR 0.5 SM 1.2 FR 1.2

0

1

270°

116

Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

10

270°

SM 0.8 FR 0.8 SM 1.0 FR 1.0 Sporn

90°

Drehwinkel φ

180°

270°

Abbildung 8.9.: Massenströme durch Laufradkanäle nS 26-Pumpe

1.3 im linken Diagramm der Abb.8.9 dargestellt. Bei dieser Pumpe wurde die in Abb.8.8 gezeigte Relativposition des Laufrades gewählt, die wie oben gezeigt, nicht die optimale Position ist. Als Resultat erhält man das stromauf des Sporns liegende Extremum nicht bei allen ¨ 1.2 sind im BP im gleichen Kanal, sondern in Kanal 1 oder 2. Die Kurven TL 0.5 und UL mittleren Diagramm den transienten Kurven gegen¨ ubergestellt. Auch hier sind die Differenzen der Extremwerte bei FR-Kopplung wieder mehr als doppelt so groß wie bei transienter Kopplung. Im rechten Diagramm sind f¨ ur jeweils beide Kopplungsarten die BP 0.8 und 1.0 zusammen gezeigt. Bei dieser Darstellung wird sehr deutlich, dass beim Betriebspunkt 0.8 die ausgeglichenste Druckverteilung im Spiralgehäuse vorliegt. Der optimale BP der Pumpe ist demnach, wie schon in Kapitel 7 anhand der Kennlinien gezeigt, Q/QN = 0.8. Als abschliessender Vergleich beider Pumpen zur Thematik Kanalmassenstrom werden in Abb.8.2 die prozentualen Schwankungen u ubergestellt. ¨ber eine Umdrehung gegen¨ Die Diagramme zeigen die Resultate der transienten Rechnungen f¨ ur alle Betriebspunkte. Die 70 Schwankung des Kanalmassenstromes kleinsten Schwankungen zwischen maximalem 60 über eine Laufraddrehung [%] und minimalem Kanalmassenstrom haben bei50 de Pumpen in ihrem Bestpunkt, 0.8 bzw. 0.9. 40 Wie schon in den Diagrammen oben gezeigt, steigen die Schwankungen zu Teillast hin we30 ¨ sentlich stärker an als zu Uberlast hin. Die20 ses Verhalten ist bei der nS 20-Pumpe stärker nS20 10 ausgeprägt, die auch insgesamt eine geringere nS26 Tendenz zu Schwankungen zeigt. Dies gilt of0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 ¨ sondern auch f¨ Q/QN fensichtlich nicht nur f¨ ur UL, ur TL, wenn man die BP nicht direkt, sondern im Verhältnis zum jeweiligen Bestpunkt vergleicht. Abbildung 8.10.: Schwankung des Kanalmassenstroms Die Vergleiche der Massenträgheitseffekte beider Pumpen zeigen einen deutlichen Vorteil der nS 20-Pumpe f¨ ur transiente numerische Berechnung. Die Ursache f¨ ur die insgesamt ausgeglichenere Diffusorströmung dieser Pumpe d¨ urfte neben der geringeren Drehzahl vor allem die vorteilhaftere geometrische Gestaltung des Spiralenquerschnitts sein. 116


117

Str¨ omungsfelder am Kanalaustritt Im nächsten Abschnitt werden die Strömungsfelder am Austritt des Laufradkanals zweidimensional gezeigt. Es werden aufgrund der oben genannten unzureichenden Resultate der FR-Rechnungen im Diffusorbereich ausschliesslich transiente Ergebnisse vorgestellt. Außerdem beschränken sich die Ausf¨ uhrungen auf ein einziges Turbulenzmodell. Es hat sich herausgestellt, dass keines der untersuchten Turbulenzmodelle ein von den gezeigten Ergebnissen deutlich abweichendes Bild der Strömung liefert. Die nachfolgenden Darstellungen sind demzufolge als eine Visualisierung der inneren Strömungsvorgänge der Maschine an einem der Messtechnik sehr schwer zugänglichen Ort zu verstehen. Abbildung 8.11 zeigt die Felder der Geschwindigkeitskomponenten in Absolutkoordinaten der nS 20-Pumpe im Bestpunkt 0.9 bezogen auf die Laufradgeschwindigkeit u2 zu einem festen Zeitpunkt. Das verwendete Turbulenzmodell der transienten Berechnung ist das SKE-Modell.

Abbildung 8.11.: Strömungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 In der oberen Hälfte der Abbildung befindet sich die Mitte des betrachteten Kanals gerade am Spiralsporn, wie die Laufradskizze der aktuellen Umfangsposition φ = 120◦ zeigt. Die untere Hälfte der Abbildung zeigt den gleichen Laufradkanal 90 Zeitschritte später, am Umfangswinkel φ = 300◦ . Es werden jeweils Radialkomponente (links oben), Umfangskomponente (rechts oben) und Axialkomponente (links unten) u ¨ber den gesamten in die Ebene projizierten Schaufelkanal gezeigt. Konsistent zur Skizze der Pumpe wäre die Drehrichtung von links nach 117


118

rechts, bzw. von DS zu SS, die Tragscheibe des Laufrades befindet sich oben. Obwohl an allen Umfangspositionen bzw. zu allen Zeitschritten die R¨ uckwirkungen des Spiralsporns im Laufradkanal zu sehen sind und somit eigentlich der gesamte Diffusorbereich vom Sporn beeinflusst wird, treten die deutlichsten Auswirkungen selbstverständlich in unmittelbarer Spornnähe auf. Im restlichen Umfangsbereich stellt sich dagegen ein Strömungsfeld relativ konstanter Form am Kanalaustritt ein. Dieses einigermaßen konstante Feld a¨ndert u ¨ber einen ¨ gewissen Umfangswinkel mit Anderung des Gegendruckes nur sein Absolutlevel, ohne dass sich das grundlegende Aussehen des Feldes a¨ndert. Demzufolge kann man diesen Bereich als einen vom Sporn nicht direkt beeinflussten Umfangsbereich bezeichnen. Die Umfangsposition φ = 300◦ befindet sich innerhalb dieses Bereichs, somit kann das sich grundsätzlich einstellende Strömungsfeld anhand dieser Position erläutert werden. Das Maximum der Radialkomponente mit etwa 0.2 u2 ist auf die Druckseite des Schaufelkanals verschoben. Nahe der Tragund Deckscheibe in der saugseitigen Kanalhälfte und an der Saugseite selbst findet fast kein Massenstrom aus dem Kanal statt. An der Saugseite befindet sich das Maximum der Umfangskomponente mit 0.8 u2 , das zur Druckseite hin auf etwa 0.5 u2 abfällt. Der wesentlich größere Abströmwinkel stellt sich also an der Druckseite der Schaufel ein. Erstaunlich ist vor allem die Axialkomponente, die sich relativ symmetrisch zur gedachten Kanalmitte zwischen Deckund Tragscheibe einstellt. Sogar im betrachteten Bestpunkt erreicht diese Komponente mit maximal etwa 0.08 u2 an Deck- und Tragscheibe in der Nähe der Saugseite fast die Hälfte der maximalen Radialkomponente. Die Axialkomponete ist von den Deckscheiben zur Kanalmitte hin gerichtet, wie an der eingezeichneten Vorzeichenrichtung zu erkennen. Die Ursache dieser hohen Axialkomponente, die nicht zur Förderhöhe beiträgt, sondern Verluste verursacht, sind Sekundärströmungen im Spiralgehäuse. Im Vorgriff auf die im nächsten Abschnitt untersuchten Strömungsverhältnisse im Diffusor werden diese Sekundärströmungen schon hier zur Erklärung der hohen Axialkomponente gezeigt. In Abbildung 8.12 sind f¨ ur f¨ unf Spiralquerschnitte an verschiedenen Umfangspositionen diese Strömungen qualitativ dargestellt. Das sich einstel-

φ = 90◦ , innen

φ = 180◦

φ = 270◦

φ = 0◦

φ = 90◦ , aussen

Abbildung 8.12.: Sekundärströmungen im Spiralquerschnitt der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 lende Wirbelsystem ist bei allen Positionen erkennbar. Bei den Winkelpositionen φ = 270 ◦ und φ = 90◦ , innen sind zusätzlich die Spalte der RSR eingezeichnet. Es bilden sich zwei Sekundärwirbel, die von der in die Mitte des Schaufelkanals gedrängten Radialkomponente angetrieben werden. Im unteren Teil der Abb.8.11 ist diese auf die Kanalmitte konzentrierte Radialkomponente gut zu erkennen. Diese Strömung ist deutlich zur Deckscheibe (DS) des Laufrades hin gerichtet und bildet an der Außenseite der Spirale zwei R¨ uckströmungen entlang der Spiralenaussenwand. Diese R¨ uckströmungen teilen sich vor Erreichen des Laufrades in 118


119

einen Teilstrom in den RSR sowie einen Teilstrom zum Schließen des Wirbels auf, wobei der zirkulierende Teilstrom am Laufradaustritt die starke Axialkomponente bewirkt. Dieses Sekundärwirbelsystem ist u ¨ber den gesamten Spiralumfang vorhanden. Die größten Wirbel findet man immer näher der Saugseite der Schaufel, wo die größte Axialkomponente vorhanden ist. An der Schaufeldruckseite mit großer Radialkomponente werden diese Wirbel kleiner und stärker an die Aussenwand der Spirale gedr¨ uckt. Die starken Auswirkungen des Spiralsporns auf das Strömungsfeld des Laufradaustritts sind im oberen Teil der Abb.8.11 zu sehen. Der Sporn, der zu diesem Zeitpunkt gerade in der Mitte zwischen DS und SS steht, bewirkt durch Versperrung eine stark verminderte Radialkomponente. Aufgrund der noch vorhandenen, aber wegen des kleinen Querschnitts bis in das Laufrad gedr¨ uckten Spiralsekundärwirbel (vgl. Abb.8.12, linkes Bild) wird die Radialkomponente an den Laufradscheiben dort sogar negativ. Bei der Umfangskomponente ist kein großer Unterschied im Vergleich zur Umfangsposition φ = 300◦ zu erkennen. Dies ändert sich deutlich ¨ bei anderen Betriebspunkten. Die entsprechenden Abbildungen f¨ ur Teillast und Uberlast sind im Anhang D enthalten. Bei Teillast ist die Radialkomponente wegen des geringeren Durchflusses insgesamt kleiner. ¨ Uber den gesamten Umfang stellt sich auf dem saugseitigen Kanalbereich eine kleine Zone leichter R¨ uckströmung bei gleichzeitig vergrößerter Umfangskomponente ein. Beim Vorbeilaufen am Spiralsporn stellt sich vom Kanal aus gesehen wenige Grad in Drehrichtung vor der aktuellen Spornposition eine starke R¨ uckströmung in den Kanal ein, während im gleichen Kanal stromab und noch weiter stromauf des Sporns eine verstärkte Ausströmung einsetzt. Die direkte Wirkung des Sporns ist bei TL leicht stromauf verschoben, was durch den höheren Gegendruck im Druckstutzen und die deswegen in Richtung stromab des Sporns ausweichende Radialkomponente erklärt werden kann. Die Sekundärwirbel in der Spirale bleiben auch bei anderen Betriebspunkten weitgehend erhalten, lediglich die Zirkulationsgebiete werden bei ¨ Uberlast aufgrund der vergrößerten Radialkomponente mehr an die Spiralenwand gedr¨ uckt. ¨ Ein ähnlich ausgeglichenes Strömungsfeld wie im Bestpunkt stellt sich bei Uberlast an der vom Sporn entfernten Stelle φ = 300◦ ein. An der spornnahen Position φ = 120◦ ist wie bei Teillast, aber mit anderen Auswirkungen, sehr deutlich die aktuelle Position des Sporns selbst am Strömungsfeld des Schaufelkanals zu erkennen. Wie auch bei TL ist die direkte Wirkung des Sporns leicht in Richtung des Gebietes des höheren Gegendrucks, also stromab des Sporns, verschoben. Auch hier versucht die Radialkomponente in Richtung des kleineren Gegendrucks ¨ in Drehrichtung vor dem Sporn liegt. In diesem Bereich kommt es auszuweichen, der bei UL daher zu verstärkter radialer Ausströmung, während stromab des Sporns eine Stauwirkung einsetzt. Nachdem gezeigt wurde, dass die Wechselwirkungen zwischen Laufradkanal und Spiralsporn in erster Linie Auswirkungen auf die Radialkomponente haben, bietet die Darstellung der Sekundärströmung in Abbildung 8.13 weitere Möglichkeiten zur Veranschaulichung. Die Sekundärströmung selbst wird nach einem Vorschlag von Ritzinger [81] aus der Axialkomponente sowie der Umfangskomponente abz¨ uglich der impulsgemittelten Umfangskomponente gebildet. Die gewählte Definition der Sekundärströmung besagt eine zur Saugseite gerichtete Strömung bei größerer Umfangskomponente verglichen mit der impulsgemittelten Umfangskomponente und umgekehrt. Bei Umfangsposition φ = 300◦ liegt eine aüßerst komplizierte 119


φ = 120◦

120

φ = 300◦

Abbildung 8.13.: Sekundärströmung am Laufradkanalaustritt nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 ¨ Form der Sekundärströmung vor, die keine Ahnlichkeit mit einer rein durch Coriolisbeschleunigung hervorgerufenen Kanalsekundärströmung aufweist. Die geneigte Linie, auf welche alle Stromlinien im mittleren Bereich des Kanals zulaufen, entspricht einer Linie verschwindender Axialkomponente. Eine viel deutlichere Trennlinie zwischen Stromlinien, die zur Saugseite oder zur Druckseite laufen, existiert bei Umfangsposition φ = 120◦ . An dieser Trennlinie befindet sich gerade der Spiralsporn, der die sekundäre Kanalströmung stromauf und stromab ¨ des Sporns aufteilt. In Teil- und Uberlast ist ein noch deutlicherer Sporneinfluss vorhanden. Die beschriebenen, numerisch berechneten dreidimensionalen Strömungsverhältnisse am Laufradaustritt können anhand der nachfolgenden Ergebnisse der nS 26-Pumpe bestätigt werden. Abbildung 8.14 zeigt die entsprechenden Strömungsfelder am Austritt des Laufradkanals in gleicher Anordnung der Diagramme wie bei Abb.8.11. Es ist mit Q/QN = 0.8 wiederum

Abbildung 8.14.: Strömungsprofile am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 120


121

der Bestpunkt der Pumpe an den Umfangspositionen φ = 24◦ und 60 Zeitschritte später an φ = 204◦ dargestellt. Bei umgekehrter Drehrichtung ist auch hier das Maximum der Radialkomponente an der Druckseite sowie das Maximum der Umfangskomponente an der Saugseite zu finden. An der vom Sporn entfernten Position in der unteren Hälfte der Abbildung zeigen sich bei allen Komponenten ausgeglichene Strömungsprofile, die sich in ihrer Form mit der Zeit in diesem Bereich der Spirale kaum verändern. Die Axialkomponente hat auch hier mit maximal 0.1 u2 an der Saugseite einen der Radialkomponente nahekommenden Wert. Die Symmetrielinie ist allerdings zur Deckscheibe hin verschoben. Dies erklärt sich anhand der ebenfalls auftretenden Sekundärwirbel im Spiralgehäuse, wie in Abb.8.15 zu erkennen. Die 5 gezeigten Querschnitte sind an vier Umfangspositionen gemäß der Bezeichnung in Abb.8.8 verteilt. Im trapezförmigen Querschnitt der Spirale stellt sich, wie auch im runden Querschnitt

φ = 0◦ , innen

φ = 90◦

φ = 180◦

φ = 270◦

φ = 0◦ , aussen

Abbildung 8.15.: Sekundärströmungen im Spiralquerschnitt der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 der nS 20-Pumpe, u ¨ber den gesamten Umfang ein System von zwei gegenläufigen Wirbeln ein. Der Unterschied zur nS 20-Pumpe besteht vor allem in der etwas stärker ausgeprägten Symmetrie dieser Sekundärwirbel, die vor allem in hier nicht dargestellten Betriebspunkten ¨ in Teil- und Uberlast auftritt. Im gezeigten Bestpunkt ist die radiale Hauptströmung, welche das Wirbelsystem antreibt, eher in Richtung Tragscheibe gerichtet. Ursache hierf¨ ur kann der im Modell fehlende RSR sein, wodurch der deckscheibenseitige Massenaustritt fehlt, der eine Verkleinerung des Wirbels auf dieser Seite bewirken w¨ urde. Aus diesem Grund ist bei der nS 26-Pumpe die radiale Innenströmung in das Spiralgehäuse zur tragscheibenseitigen Wand gerichtet. An dem grundsätzlichen Auftreten des Sekundärwirbelsystems besteht allerdings kein Zweifel. Die eher ungewöhnliche Querschnittsform des Spiralgehäuses macht dies ohnehin sehr wahrscheinlich. Das Verschwinden der Wirbel an den Spiralwandaussenseiten bei der Umfangsposition φ = 0◦ , aussen (Abb.8.15, ganz rechts) wird von einer starken Ablösung an der konkaven Seite des Druckstutzens und damit verbundenen Verschiebung der Wirbel in den Druckstutzen verursacht. Dieses starke Ablösen innerhalb des Druckstutzens konnte auch am Pr¨ ufstand pragmatisch mit Hilfe einer Fadensonde nachgewiesen werden. Bei der transienten numerischen Berechnung der Originalkonfiguration der Pumpe, d.h. mit dem sehr kurzen Druckstutzen (vgl. Abb.6.10) stellte sich diese starke Ablösung nahe des Austrittsrandes sehr schnell als numerisch problematisch heraus, weshalb letztendlich mit deutlich verlängertem Druckstutzen gerechnet wurde. Beim Vorbeilaufen des Kanals am Spiralsporn ist dessen R¨ uckwirkung wieder sehr deutlich. ◦ Zur Zeit der Kanalposition φ = 24 in Abb.8.14 befindet sich die Mitte des Schaufelkanals gerade am Sporn, der besonders die Radialkomponente beeinflusst. Die aufgrund des kleinen Spiralquerschnitts wieder bis in den Kanal zur¨ uckreichenden Wirbel bewirken genau an dieser Stelle eine große von den Seitenwänden zum Kanalinneren gerichtete Axialkomponente und 121


122

eine damit verbundene negative Radialkomponente an den Kanalscheiben. Die Struktur der Umfangskomponente bleibt erhalten, lediglich stromauf des Sporns ist eine leichte Versperrungswirkung des Sporns erkennbar. Bei den im Anhang D enthaltenen Abbildungen der ¨ Strömungsprofile in Teil- und Uberlast ist das gleiche Verhalten der Strömung wie bei der nS 20-Pumpe zu beobachten. Die lokale starke Versperrungswirkung des Sporns, die damit verbundene Verschiebung der Spiralwirbel in den Laufradkanal und folglich negative Radialkomponente an den Kanalscheiben ist deutlicher ausgeprägt als im Bestpunkt. In Teillast ist ¨ diese Zone mit etwa 10◦ in Richtung DS leicht stromauf, in Uberlast mit etwa 10◦ in Richtung SS leicht stromab bezogen auf die tatsächliche Spornposition (0.5 zwischen SS und DS) verschoben. Die direkte Wirkung des Sporns ist also immer um etwa 10◦ des Kanalumfangs in Richtung des höheren Gegendrucks verschoben. ¨ Bei Uberlast verschieben sich die Spiralwirbel wegen der hohen Radialkomponente stark an die Seitenwände der Spirale und reichen nicht mehr bis ganz zum Laufradaustritt zur¨ uck. Eine ¨ eher kleine Axialkomponente in Uberlast ist die Folge. Das prinzipielle Aussehen der in Abb.8.16 dargestellten Sekundärströmung ist vergleichbar der nS 20-Pumpe. An der vom Sporn entfernten Position stellt sich eine zur Tragscheibe hin

φ = 24◦

φ = 204◦

Abbildung 8.16.: Sekundärströmung am Laufradkanalaustritt nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 verschobene starke Sekundärströmung in Richtung Saugseite ein. Die zur Druckseite hin gerichtete Teilströmung beschränkt sich auf einen kleinen Bereich niedrigerer Umfangsgeschwindigkeit. Der Einfluss des Sporns ist wieder sehr deutlich bei Umfangsposition φ = 24 ◦ an der Trennlinie der in Richtung Druck- und Saugseite aufgeteilten Teilströmungen erkennbar. Beim Vergleich des Umlaufweges eines Kanals, innerhalb der sich das stark vom Sporn beeinflusste Strömungsfeld wieder ausgleicht, zeigen sich Unterschiede zwischen beiden Pumpen. Als ausgeglichen wird das Strömungsfeld dann angesehen, wenn sich die charakteristische Form, die f¨ ur beide Pumpen an den dem Sporn gegen¨ uberliegenden Umfangspositionen gezeigt wurden, eingestellt hat. Den hierzu erforderlichen Umlaufweg eines Kanals ist in Tab.8.1 ¨ f¨ ur verschiedene Betriebspunkte angegeben. Keine Unterschiede bestehen bei Uberlast, beide Pumpen benötigen etwa 1.5 Kanalumfangslängen zur Einstellung des ausgeglichenen Strömungszustandes, d.h. der u ¨bernächste Laufradkanal muss dann gerade zur Hälfte am Sporn vorbeigelaufen sein. Im Bestpunkt hat die nS 20-Pumpe bereits nach einem Kanal bzw. 60◦ die Störung durch den Sporn ausgeglichen, während die nS 26-Pumpe 1.5 Kanallängen benötigt. Zudem erreicht die nS 26-Pumpe in Teillast während des gesamten Umlaufes kein ausgeglichenes Sömungsfeld, sondern zeichnet sich durch extreme Instationarität aus. Insgesamt zeigt die Kanalaustrittsströmung der nS 20-Pumpe ein schnelleres Einschwingen der 122

¨ 8.2. STROMUNG AN DEN LAUFRADAUSTRITTEN DER GESAMTPUMPEN nS 20 nS 26

BEP 1.0 1.5

Teillast 3.0 -

¨ Uberlast 1.5 1.5

123

Kanalumfangslänge 60◦ 51.4◦

Tabelle 8.1.: Einschwingweg der Kanalströmungsfelder längs Spiralumfang in Kanalumfangslängen

instationären Vorgänge und ein saubereres zeitperiodisches Verhalten.

Bewertung der Erkenntnisse zur Str¨ omung im Laufradkanal Alle in diesem Abschnitt gezeigten Ergebnisse ändern sich nicht bei Wahl eines anderen Turbulenzmodells aus der Gruppe der in dieser Arbeit untersuchten. Bei der Darstellung der mittleren Laufradkanalmassenströme zeigt sich ein sehr deutlicher Unterschied zwischen transienter und quasi-stationärer Laufrad-Spirale Kopplung. Ohne tatsächliche zeitechte Drehung des Laufrades stellt sich eine äußerst extreme Massenstromverteilung in den Einzelkanälen ein, die eine weitere Untersuchung der sich einstellenden Strömung am Laufradaustritt als nicht sinnvoll erscheinen lässt. Auch eine Mittelung mehrerer FR-Ergebnisse mit unterschiedlichen Laufrad-Spirale Relativpositionen bringt diesbez¨ uglich keine Verbesserung. Die transiente Kopplung hingegen liefert ein von beiden Maschinen bestätigtes typisches zeitliches Verhalten des Einzelkanals. Insbesondere die betriebspunktunabhängige Umfangsposition der Extremwerte sowie der Durchgänge beim Umfangsmittelwert sind beachtenswert. Die reduzierten Frequenzen ωred beider Maschinen sind im Bereich um 1, d.h. während sich ein Partikel im Laufradkanal befindet, ist dieser der gesamten umfangsabhängigen Variation des Gegendrucks ausgesetzt. Das Fehlen dieses variablen Gegendrucks f¨ uhrt bei FR-Kopplung zu extremen Kanalmassenströmen. Die Darstellung der in die Ebene projizierten zeitabhängigen Strömungsfelder am Kanalaustritt zu festen Zeitpunkten zusammen mit Sekundärströmungen im Spiralgehäuse erlaubt einen detaillierten Einblick in die dynamischen dreidimensionalen Strömungsvorgänge. Bei beiden Pumpen konnte ein typisches Strömungsfeld nachgewiesen werden, das in Abb.8.17 grob skizziert ist. Bereiche hoher Radialkomponente sind vor allem auf der Druckseite und etwas schwächer entlang einer inneren Zone bis kurz vor die Saugseite zu finden. Flankiert wird diese Zone von Bereichen an Trag- und Deckscheibe mit hoher Axialkomponente Abbildung 8.17.: Typisches Strömungsfeld am jeweils in Richtung Kanalmitte. DieLaufradaustritt se werden von starken Sekundärwirbeln im Spiralgehäusequerschnitt verursacht. Die Wirbel sind u ¨ber den gesamten Umfang vorhanden und jeweils an der Schaufelsaugseite stärker ausgeprägt. In den geometrisch unterschiedlichen Querschnittsformen beider Pumpen treten die Wirbelsysteme bei allen Be123

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN

124

triebspunkten auf. Die höchste Umfangskomponente tritt an der Schaufelsaugseite auf und fällt bis zur Druckseite auf den etwa halben Wert ab. Die Auswirkungen auf die sehr komplexe Sekundärströmungsstruktur im Kanalaustritt wurden ebenfalls gezeigt. Die starken R¨ uckwirkungen des Spiralsporns auf die Laufradströmung konnten anhand der Strömungsfelder des am Sporn vorbeilaufenden Kanals erläutert werden. Die Radialkomponente reagiert hier mit partieller R¨ uckströmung und Ausweichen stromauf sowie stromab des Sporns. Insgesamt konnte mit den Darstellungen ein Einblick in zeitabhängige dreidimensionale Strömungsverhältnisse am Laufradaustritt gegeben werden.

8.3. Str¨ omung in den Messebenen der Gesamtpumpen Nachdem zuvor das Verhalten des rotierenden Laufradkanals beschrieben wurde, soll in diesem Abschnitt die Strömung im Absolutsystem des Radialdiffusors näher untersucht werden. Die Lage der Messebenen in den Radialdiffusoren der Pumpen wurde in Kapitel 6 gezeigt. Ausgehend von den Erkenntnissen der vorangegangenen Kapitel, nach denen die transiente Kopplungsmethode der quasi-stationären Kopplung bez¨ uglich der Voraussage von Kennlinien und vor allem der Kanaldurchströmung deutlich u ¨berlegen ist, beschränkt sich die Auswertung der Ergebnisse in den Messebenen auf die transienten Berechnungen mit FLUENT. Im Gegensatz zum vorherigen Abschnitt können hier wieder Vergleiche mit experimentellen Daten durchgef¨ uhrt werden. Wie schon in Kapitel 7 beschrieben, erfordert dieser Vergleich aufgrund der besonderen Art der sequentiellen Aufnahme von Messdaten eine Transformation der berechneten Felder, welche in diesem Kapitel vorgestellt und angewendet wird. Als Messebene wird eine Zylindermantelfläche mit konstantem Radius bezeichnet, auf der die Messsonden durch axiale Verschiebung an die einzelnen Messpunkte positioniert werden. Die Numerik liefert zu jedem einzelnen Zeitschritt das vollständige Strömungsfeld auf dieser Fläche, z.B. das Geschwindigkeitsfeld ~c (Φ, b, t) mit der axialen Breite b des Diffusors. Der Spiralumfangswinkel Φ bezeichnet eine im Absolutsystem ortsfeste Umfangsposition in Diffusor bzw. Spirale, während der im vorherigen Abschnitt gebrauchte Winkel φ den Laufraddrehwinkel bezeichnet. Der Einfachheit halber sind beide gemäß den Abbildungen 8.5 ¨ und 8.8 deckungsgleich. Das Geschwindigkeitsfeld ~c (Φ, b, t = tn ) der nS 20-Pumpe in Uberlast Q/QN = 1.3 ist in der Abb.8.18 u ¨ber ein Drittel des gesamten Umfangs, 30◦ ≤ Φ ≤ 150◦ , also jeweils 60◦ vor und hinter dem Spiralsporn und u ¨ber die gesamte Diffusorbreite von Deckzu Tragscheibe dargestellt. Die Geschwindigkeit ist wie schon oben in ihre Komponenten aufgeteilt, die jeweils auf u2 bezogen sind. Die aktuelle Position des Laufrades ist rechts unten und zusätzlich als gestrichelte Linie in den drei Konturplots zu sehen und entspricht dem Winkel φ = 120◦ . In den drei Einzelbildern ist jeweils die aktuelle Laufradkanalposition auch deutlich anhand der Geschwindigkeiten erkennbar. Zwischen Druckseite des Laufrades, die knapp 30◦ stromauf des Sporns steht, und Sporn bildet sich eine Zone sehr stark erhöhter Radialkomponente. Aufgrund der Versperrung durch Druckanstieg stromab des Sporns bei ¨ wird die Radialkomponente stromauf des Sporns erhöht und stromab sogar teilweise UL negativ. Die Umfangskomponente reagiert mit starker Verzögerung stromab des Sporns und einer Verlagerung des Maximums zur Druckseite hin. Nahe Trag- und Deckscheibe sind in 124


125

Abbildung 8.18.: Strömungsprofile in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 ¨ stark ausgeprägt, resultierend aus der Radialkomponente die R¨ uckströmgebiete auch in UL den Sekundärströmungen im Spiralgehäuse. In der Axialkomponente machen sich diese ebenso bemerkbar, insgesamt zeigt sich aufgrund der direkten Sporneinwirkung ein sehr diffuses Feld der Axialkomponente. Wie schon beim Laufradkanal zeigt eine positive Axialgeschwindigkeit von der Trag- zur Deckscheibe. Diese Darstellungsart veranschaulicht vor allem im zeitlichen Ablauf die dynamischen Vorgänge am Spiralsporn, sie ist aber zum Vergleich mit Messungen eher ungeeignet. Zum einen ist der direkte Vergleich von Feldern aus Messung und Rechnung immer eher qualitativ und zum anderen ist keine Parameterabhängigkeit darstellbar. Daher m¨ ussen die Daten zum Vergleichen in Diagrammen gemittelt werden.

Zeit- und axialgemittelte Verteilungen in der Messebene F¨ ur die axial- und zeitgemittelte Darstellung der Felder der Strömungsvariablen statischer Druck und Geschwindigkeitskomponenten m¨ ussen diese zunächst f¨ ur jeden Zeitschritt einer Laufraddrehung in axialer Richtung gemittelt werden. Wie in Abb.8.18 zu sehen, besteht neben der starken Abhängigkeit der Felder in Spiralumfangsrichtung ebenso eine deutliche axiale Abhängigkeit. Durch die Axialmittelung geht demnach Information verloren. Bei Pumpen ist die Abhängigkeit der Strömungsgrößen von der Umfangsposition im Spiralgehäuse von größerer Bedeutung als die Variation in axialer Diffusorbreitenrichtung. Zudem sind die dynamischen Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spirale vor allem auf variierende geometrische Bedingungen in Umfangsrichtung zur¨ uckzuf¨ uhren. Die axialgemittelten Felder φ (Φ, t) werden danach u ¨ber alle Zeitschritte einer Umdrehung gemittelt und man erhält die charakteristischen Kurven φ (Φ) f¨ ur einen bestimmten Betriebspunkt. Zum Vergleich dieser Kurven f¨ ur alle berechneten Betriebspunkte ist es zweckmäßig, die einzelnen Kurven φ (Φ) jeweils auf ihren Umfangsmittelwert zu beziehen, so dass sich alle Kurven um ihren Mittelwert, eine horizontale Linie bei eins, bewegen. Die statischen Dr¨ ucke p (Φ) aller berechneten und einiger gemessener Betriebspunkte der nS 26-Pumpe sind in Abb.8.19 bezogen auf den jeweiligen 125


126

Umfangsmittelwert pm dargestellt. Die prinzipielle Wirkung des Sporns auf die zeitgemittelten 0.5 0.8 1.2

p/pm axial− und zeitgemittelt 1.01

0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

p/pm zeitgemittelt 1.01

1.0

1.0

0.99

0.99

CFD 270°

Sporn

90° 135° Spiralwinkel Φ

180°

EXP 270°

270°

Sporn

90° Spiralwinkel Φ

180°

270°

Abbildung 8.19.: Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe

Strömungsverhältnisse im Radialdiffusor ist in dieser Abbildung gut zu erkennen. Die geringen Unterschiede zwischen Maxima und Minima der Kurven resultieren aus der bezogen auf den Absolutwert sehr geringen Druckerhöhung der Pumpe. Zwischen den Kurven f¨ ur Teillast 0.5 ¨ und Uberlast 1.2 sind die dazwischenliegenden BP in Intervallen von Q/QN = 0.1 in Reihenfolge zu finden. Der Spiralwinkel in Laufraddrehrichtung bildet die Abszisse der Diagramme, d.h. der Spiralsporn befindet sich bei Φ = 0◦ . Am Spiralsporn schneiden alle Kurven ihren Mittelwert. Die Teillast-Kurve fällt von ihrem Maximalwert kurz vor dem Sporn zur¨ uck auf ¨ ihren Minimalwert direkt nach dem Sporn, während die Uberlast-Kurve zum Spiralsporn hin stetig abfällt, um am Sporn auf den Maximalwert anzusteigen. An dieser Darstellung ist auch ersichtlich, dass die Spirale der nS 26-Pumpe f¨ ur Q/QN = 0.8 optimal arbeitet, da diese Kurve fast u ¨ber den gesamten Umfang entlang ihrem Mittelwert verläuft. Der neben dem Sporn als zweiter Schnittpunkt aller Kurven untereinander bzw. mit ihrem eigenen Mittelwert auffallende Winkel befindet sich an Umfangsposition Φ = 135◦ . Folgerichtig herrscht an dieser festen Umfangsposition unabhängig vom Betriebspunkt immer der zeitund umfangsgemittelte Druck im Radialdiffusor. Die gemessenen Dr¨ ucke im rechten Diagramm der Abb.8.19 zeigen qualitativ den gleichen Verlauf wie die berechneten Kurven. Der Schnittpunkt aller Kurven ist allerdings im Unterschied zur CFD um etwa eine Schaufelteilung zur Umfangsposition ¨ Φ = 190◦ verschoben. Qualitativ kann demnach eine Ubereinstimmung zwischen Messung und CFD insofern festgehalten werden, dass beide Methoden einen Punkt am Umfang der Spirale finden, an dem immer der mittlere Druck vorliegt. Die Berechnung des genauen Ortes des Umfangsmittelwertes entspricht jedoch bei dieser Pumpe nicht den Messwerten. Die in gleicher Weise ausgewerteten Verläufe der Radial- und Umfangskomponente der Geschwindigkeit sind in Abb.8.20 zu sehen. Auch die Kurvenschar der Geschwindigkeitskomponenten schneidet sich jeweils außer am Sporn noch an genau einem zweiten Punkt am Spiralumfang. Dieser liegt bei der Radialkomponente bei einem relativ großen Umfangswinkel Φ ≈ 255◦ und bei der Umfangskomponente sehr bald stromab des Sporns bei Φ ≈ 45◦ . Im Bereich 80◦ ≤ Φ ≤ 200◦ a¨ndern sich die zeitlichen Mittelwerte der Geschwindigkeitskom126

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN 3.5 3

2

cr/cr,m axial− und zeitgemittelt

2.5

127

cu/cu,m axial− und zeitgemittelt

1.5

2 1.5

1

1 0.5

0.5

0 −0.5 −1 −1.5 270°

0

0.5 0.8 1.2 Sporn


180°

270°

−0.5 270°

0.5 0.8 1.2 Sporn


180°

270°

Abbildung 8.20.: Mittlere Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 26-Pumpe

ponenten kaum, um dann im restlichen Umfangsbereich um so stärker zu variieren. Die Radialkomponente erreicht in unmittelbarer Spornnähe im zeitlichen Mittelwert den etwa ¨ direkt vor dem Sporn. Bei dreifachen Umfangsmittelwert, bei TL direkt nach und bei UL Teillastbetriebszuständen und sogar noch fast im BEP kommt es sogar im zeitlichen Mittelwert in einem kurzen Bereich stromauf des Sporns zu teilweise sehr starker R¨ uckströmung. F¨ ur alle Kurven, die dort unterhalb der horizontalen Linie bei Null verlaufen, trifft dies zu. Auch in diesen Darstellungen sind wiederum f¨ ur Q/QN = 0.8 die geringsten Abweichungen vom Mittelwert entlang des Umfangs zu beobachten. Weiterhin ein bemerkenswertes Verhalten ¨ zeigt die Umfangskomponente. F¨ ur Uberlastbetriebszust¨ ande wird diese direkt hinter dem ¨ die bei Sporn aufgrund des stark ansteigenden Druckes stark abgebremst. Bei starker UL, dieser Pumpe f¨ ur den Fall Q/QN = 1.2 gegeben ist, kommt es hier sogar zur Umkehr der Strömngsrichtung, d.h. die Umfangskomponente strömt entgegengesetzt zur Laufraddrehrichtung entlang des Sporns zur¨ uck in das Gebiet niedrigeren Druckes. Dies ist umso erstaunlicher, weil dieser Sachverhalt bei dieser Pumpe nicht nur zu bestimmten Laufradpositionen, sondern sogar im zeitlichen Mittelwert auftritt. Dieser ungewöhnliche Strömungszustand kann direkt mit den gemessenen Schwankungen im Abströmwinkel in diesem Bereich zusammenhängen. Da die Frequenz dieser Schwankungen im Bereich von ein bis zwei Laufraddrehungen liegt, kann dieses Problem numerisch aber nicht genauer untersucht werden. Anhand der nachfolgenden in gleicher Art und Weise ausgewerteten Daten der nS 20-Pumpe kann nachgewiesen werden, dass der beschriebene Verlauf der Umfangskomponente nicht u ¨blich, sondern ein spezielles Problem der nS 26-Pumpe ist. Zunächst aber erfolgt in Abb.8.21 der Vergleich des gemittelten Druckes mit experimentellen Daten. Im Versuch wurde der Druck an 12 gleichmäßig u ¨ber den Umfang verteilten Positionen an der Wand des Spiralgehäuses gemessen, wodurch die Auflösung der Kurven im Bereich des Sporns nicht so hoch ist wie bei der nS 26-Pumpe. Die einzelnen Messpunkte sind im rechten Diagramm zusätzlich eingezeichnet, die tatsächlichen Maximalwerte d¨ urften zwischen dem letzten Messpunkt vor und demjenigen am Sporn liegen. Die Kurvenverläufe entsprechen grundsätzlich denen der nS 26127


128

Pumpe, wobei die Amplituden aufgrund der größeren relativen Druckerhöhung entsprechend größer sind. Der charakteristische zeitgemittelte Druckverlauf im Spiralgehäuse kann von den Messungen bestätigt werden, dennoch weisen die gemessenen Kurven ein anderes Druckniveau ¨ auf, was verschiedene Ursachen haben kann. Beide Uberlastkurven bei Q/QN = 1.2 haben ¨ auch quantitativ eine gute Ubereinstimmung, die gemessene Teillastkurve bei Q/QN = 0.55 liegt aber niedriger als die berechnete Kurve bei Q/QN = 0.6. Dieser zu hohe Druck vor allem in Teillast wurde auch schon bei der nS 26-Pumpe beobachtet. Die Ursache ist eine sehr starke Druckpulsation mit der Frequenz (n · z)−1 . Bei jedem Vorbeilaufen einer Schaufel am Spiralsporn macht sich diese Druckspitze im gesamten Strömungsfeld bemerkbar. In den zeitgemittelten Druck geht diese Druckspitze z − mal ein und f¨ uhrt zu einem zu hohen Mittelwert. Die Ursache dieser periodischen Druck¨ uberhöhung ist zum einen die Dirichlet-Randbedingung des Druckes am Austritt, der keine Druckvariation u ¨ber den Austritt zulässt. Ein weiterer Grund ist das weiter unten beschriebene instationäre Verhalten der Radialkomponente der Geschwindigkeit, die entscheidend vom Sporn beeinflusst wird. Die Amplitude der Radialkomponente wird genau dann unterdr¨ uckt, wenn die Schaufel am Sporn vorbeiläuft. Das in diesem Moment fehlende Geschwindigkeitspotenzial macht sich sofort in einem Druckstoß bemerkbar. Da numerisch ein inkompressibles Verfahren angewendet wird, ist dieses Verhalten ¨ der Strömung im Zusammenhang mit den gewählten Randbedingungen verständlich. Uber die Druckkorrekturgleichung muss der Druck ung¨ unstige Strömungsbedingungen ausgleichen, die aufgrund starrer Randbedingungen entstehen können. Trotz dieses offensichtlichen Problems, das nur u ¨ber eine grundlegende Untersuchung möglicher auf die Druckpulsation mindernd wirkender Randbedingungen geklärt werden könnte, ist eine ¨ qualitativ sehr gute Ubereinstimmung der zeitgemittelten Druckverläufe im Radialdiffusor zwischen CFD und Experiment vorhanden. Bei der nS 20-Pumpe liegt zudem der bereits oben 1.5

0.5 0.9 1.3

p/p axial− und zeitgemittelt m

2

0.55 0.7 0.9 1.0 1.2

p/p zeitgemittelt m

1.25

1.5 1

1

0.75

0.5

EXP

CFD 0 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

0.5 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

Abbildung 8.21.: Mittlerer statischer Druck CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe erwähnte zweite Schnittpunkt der berechneten Kurven bei Φ ≈ 320◦ sehr nahe beim experimentellen Wert von Φ ≈ 335◦ . Auch in dieser Beziehung ist das Resultat der nS 20-Pumpe im Vergleich zur nS 26-Pumpe näher den experimentellen Daten. Ein auffallend ungewöhnliches Verhalten zeigen die Druckverläufe und noch deutlicher die Geschwindigkeitskomponenten 128


129

aller Betriebspunkte im Bereich Sporn ≤ Φ ≤ 270◦ . Sowohl in geringem Ausmaß in den gemessenen Kurven erkennbar, als auch wesentlich stärker ausgeprägt bei den CFD-Kurven zeigen die Druckverläufe keinen stetig steigenden bzw. fallenden Verlauf, sondern ein lokales Maximum bei Φ ≈ 200◦ . Viel deutlicher ist dieser Effekt bei Radial- und Umfangskomponente in Abb.8.22 zu sehen. In der Radialkomponente ist an dieser Umfangsposition ein ausgeprägtes 3.5 3

c /c r

r,m

1.5

axial− und zeitgemittelt

c /c u

u,m

axial− und zeitgemittelt

2.5

1.25 2 1.5

1.0

1 0.5 0

0.75 −0.5

−1.5 0

0.5 0.9 1.3

0.5 0.9 1.3

−1 Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

0.5 0

Sporn

180 Spiralwinkel Φ

270

360

Abbildung 8.22.: Geschwindigkeitskomponenten CFD in der ME der nS 20-Pumpe Minimum und bei der Umfangskomponente eine Art Wendepunkt zu erkennen. Die Ursache dieser unerwarteten Verläufe ist der Querschnittsverlauf A (Φ) in Umfangrichtung, dessen erste eine kleine Unstetigkeit aufweist. Abbildung 8.23 zeigt A (Φ), man erkennt Ableitung ∂A(Φ) ∂Φ leicht den Knick in der Kurve. Bei der geometrischen Ausf¨ uhrung der Spirale entwickelt sich

Abbildung 8.23.: Querschnittsverlauf der nS 20-Spirale deren Querschnitt u ¨ber dem Umfang vom Rechteck zum Kreisquerschnitt. Bei der Erzeugung der Spline-Flächen im CAD-Programm kann es daher zu dieser Unstetigkeit im Querschnitt kommen. Das CFD-Modell wurde direkt aus der CAD-Oberflächengeometrie u ¨bernommen, wobei eine ung¨ unstige Fehlerfortpflanzung zu stärkerer Ausprägung der Unstetigkeit beim 129


130

CFD-Modell gef¨ uhrt hat. Aufgrund des Verlaufs von A (Φ) in Abb.8.23 ist eine Auswirkung auf die Strömung, die sogar auf Unstetigkeiten in der zweiten Ableitung reagieren w¨ urde, zu erwarten. Andererseits ist eine solch starke Wirkung auf die Geschwindigkeitskomponenten doch u ¨berraschend. Der ebenfalls in den experimentellen Druckverläufen in Abb.8.21 leicht erkennbare Knick lässt auf das Vorhandensein der Geometrieunstetigkeit auch in der realen Pumpe schließen. Ohne die Auswertung der Geschwindigkeitskomponenten wäre dieser geometrische Modellierungsfehler, bzw. ung¨ unstige Querschnittsverlauf, der sich in integralen Größen nicht bemerkbar macht, nicht aufgefallen. Aus den gemittelten Geschwindigkeiten lassen sich weitere Sachverhalte ablesen. Die Radialkomponente erreicht einen Maximalwert, der etwa dem 2.5-fachen des Mittelwertes entspricht. Bei fast allen Teillast-Betriebszuständen kommt es im zeitlichen Mittel stromauf des Sporns zur R¨ uckströmung. Die Maxima der Umfangskomponente befinden sich direkt stromab des Sporns. ¨ Bei Uberlast bewirkt der hohe Gegendruck eine starke Verringerung, es kommt allerdings nicht zur Strömungsumkehr, wie bei der nS 26-Pumpe beobachtet. Der niedrige Druck stromab ¨ des Sporns bei Teillast f¨ uhrt zu einer starken Uberh¨ ohung der Umfangskomponente, die in Abb.8.22 bei Q/QN = 0.5 zwar nicht im zeitlichen Mittel, aber zu bestimmten Zeitpunkten sogar größer als die Laufradgeschwindigkeit u2 werden kann. Die Untersuchung des zeitlichen Verhaltens der axialgemittelten Komponenten ermöglicht also noch detailliertere Einblicke in die Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spirale, so dass manche Effekte erst erklärt werden können. Dies wird nachfolgend gezeigt. Zusammenfassend kann zur zeitund axialgemittelten Darstellung festgehalten werden, dass der qualitative Verlauf der Geschwindigkeitskomponenten als grob entgegengesetzt zum Verlauf des Druckes bezeichnet werden kann. Ansteigender zeitgemittelter Druck entlang des Spiralumfanges bei TL geht also mit abnehmender Radial- und Umfangskomponente einher und umgekehrt. Diese als charakteristisch zu bezeichnenden Kurvenverläufe wurden anhand beider Pumpen sowohl numerisch als auch experimentell bestätigt.

Axialgemittelte, zeitabh¨ angige Verteilungen in der Messebene Der Zweck dieser Darstellungen ist die Möglichkeit der direkten Veranschaulichung der Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten zwischen Laufradkanal, Messebene und Spiralsporn. Aufgrund der bisherigen Erkenntnisse werden nur Ergebnisse der nS 20-Pumpe gezeigt. Weiterhin wird auf einen Vergleich verschiedener Turbulenzmodelle verzichtet, da dieser Einfluss f¨ ur die zu diskutierenden Wechselwirkungen vernachlässigbar ist. Auf die betriebspunktabhängigen Besonderheiten wird jedoch genauer eingegangen. Die axialgemittelte Radialgeschwindigeit in der ME (ME cr (Φ, t)) der nS 20-Pumpe zu zwei festen Zeitpunkten f¨ ur BP Q/QN = 0.9 ist zusammen mit der von oben bekannten zeitgemit¡ ¢ telten Kurve cr (Φ) 7−→ ME cr (Φ) in Abb.8.24 dargestellt. Zusätzlich ist als blaue Kurve die axial u ¨ber die Laufradbreite gemittelte Radialkomponente eines Laufradkanals (KA cr (Φ, t)) sowie deren zeitgemittelter Wert (KA cr (Φ)) als blauer Punkt eingezeichnet. Der aktuelle Zeitschritt bzw. die aktuelle Laufradposition relativ zur Spirale ist somit an der Position der Laufradkanalkurve zu erkennen, die sich mit voranlaufender Saugseite entlang des Umfangs Φ bewegt. Im linken Bild befindet sich die Mitte des betrachteten Laufradkanals gerade am 130

¨ 8.3. STROMUNG IN DEN MESSEBENEN DER GESAMTPUMPEN 3

3

Cr/Cr,m

2.5

2.5 2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 ME cr(Φ) ME c (Φ,t) r KA c (Φ,t) r KA cr(Φ)

0 −0.5

Sporn

Cr/Cr,m

BP=90

2

−1 0

131

180

270

BP=90

ME cr(Φ) ME c (Φ,t) r KA c (Φ,t) r KA cr(Φ)

0 −0.5 −1 0

360

Sporn

180

270

360

Abbildung 8.24.: Wechselwirkungen der Radialkomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9)

Spiralsporn, bzw. am Drehwinkel φ = 90◦ gemäß Abb.8.5, und im rechten Diagramm an Drehwinkel φ = 270◦ . Die Kurve der Kanalradialgeschwindigkeit KA cr (Φ, t) geht an DS und SS auf Null zur¨ uck, da an der Wand keine Radialkomponente vorliegt. Dieser Wert ist deswegen im Bild enthalten, da er die Position des Laufradkanals optisch gut abgrenzt. Die entsprechenden Darstellungen f¨ ur die Umfangskomponente sind in Abbildung 8.25 enthalten. ¨ In Anhang E finden sich jeweils gleiche Darstellungen f¨ ur Teil- und Uberlast. Bei allen BP

1.15

1.15

1.1

1.1

1.05

1.05

1

1

0.95

0.95 ME c (Φ) u ME c (Φ,t) u KA c (Φ,t) u KA c (Φ)

0.9 0.85

ME c (Φ) u ME c (Φ,t) u KA c (Φ,t) u KA c (Φ)

0.9 0.85

u

0.8 0

Sporn

180

270

u

360

0.8 0

Sporn

180

270

360

Abbildung 8.25.: Wechselwirkungen der Umfangskomponente CFD (nS 20, Q/QN = 0.9) erkennt man die stark erhöhte Radialkomponente auf der DS des Laufradkanals sowie die Anzahl der Schaufeln an diesen Amplituden in der ME. Im zeitlichen Mittel verschwinden diese Amplituden, da in Richtung SS die Radialkomponente deutlich unter den Mittelwert sinkt. Im Bestpunkt unterscheidet sich der Verlauf der Radialgeschwindigkeit nicht wesentlich zwischen Kanalaustritt und ME, lediglich die Amplituden werden abgebaut. Die R¨ uckwirkung des Spiralsporns in den Laufradkanal zeigt die jeweils linke Darstellung, bei der ME c r (Φ, t) auf Null und KA cr (Φ, t) noch auf ein Viertel des Mittelwertes zur¨ uckgeht. In nachfolgenden, nicht 131


132

dargestellten Zeitschritten bewirkt die im Kanal sich ausbildende zweite Amplitude auf der SS eine zusätzliche, kleinere Amplitude in der ME, die erst ab Φ ≈ 180◦ wieder ausgeglichen ¨ macht sich dies stärker bemerkbar. Am Sporn erfährt der Kanal bei wird. In TL und UL TL eine starke, lokale R¨ uckströmung. In deren Folge und aufgrund des niedrigeren Drucks stromab bildet sich eine sehr starke zweite Amplitude, die sich auf die ME auswirkt. Anstelle der sechs Amplituden in der ME findet man bei Teillast deren sieben, die sich im Verlauf des Umfangs nicht ausgleichen. Nur kurzzeitig, wenn die Schaufel gerade fast komplett unter ¨ findet sich im Bereich den Sporn läuft, sind nur sechs Amplituden vorhanden. Auch in UL stromauf und stromab des Sporns ein sehr ungeordnetes Bild der Radialkomponente mit starker ¨ Uberh¨ ohung stromauf des Sporns. Im jeweils rechten Bild, bei dem sich der Kanal im vom ¨ Sporn unbeeinflussten Umfangsbereich befindet, erkennt man die eher geringe Anderung von Kanalaustritt zu Messebene. Die Verläufe der Kurven ME cr (Φ, t) und KA cr (Φ, t) sind dort ¨ weichen meist sehr ähnlich und verlaufen im BEP auch auf gleichem Niveau. In TL und UL diese Kurven quantitativ f¨ ur Radial- und Umfangskomponente stärker voneinander ab, weil die Kurve ME cr (Φ, t) in Umfangsrichtung stärker schwankt und auf ihren Umfangsmittelwert bezogen ist. Die Kurve KA cr (Φ, t) ist auf den Mittelwert der aktuellen Kanalposition bezogen und liegt demnach auf anderem Niveau. Die Umfangskomponente ist an DS und SS jeweils gleich der Laufradgeschwindigkeit u2 und ¨ grenzt sich somit im Bild gut ab. Die starke Uberh¨ ohung an der SS im Laufradkanal wird bis zur ME größtenteils abgebaut, so dass in ME cu (Φ, t) pro Schaufelteilung zwei Maxima erkennbar sind. Die negativen Amplituden entstehen aufgrund der starken Abnahme der Umfangskomponente auf der DS des Laufradkanals. Insgesamt zeigt ME cu (Φ, t) deutlich weniger Schwankung bezogen auf den Mittelwert als die Radialkomponente, im BEP werden minimal 80% erreicht, wenn die Schaufeldruckseite gerade den Sporn passiert. In Abb.8.25 sieht man ¨ zu zwei anderen Zeitpunkten minimal 90% und maximal 105%. Bei Teil- und Uberlast sind die Schwankungen erwartungsgemäß stärker, wie im Anhang E und in Abbildung 8.26 bei ¨ Uberlast zu sehen. In dieser Abbildung ist besonders der Bereich direkt stromab des Sporns C /C BP=130 u u,m 1.3 interessant. Durch den dort vorlie1.2 genden hohen Druck wird, wie schon 1.1 oben beschrieben, die Umfangskom1 ponente im zeitlichen Mittel auf 0.9 0.8 nur noch etwa 55% des Umfangs0.7 mittelwertes verzögert. Viel stärker 0.6 ME cu(Φ) ist dieser Effekt im zeitabhängigen ME cu(Φ,t) 0.5 KA cu(Φ,t) Verlauf, wo ME cu (Φ, t) genau dann 0.4 KA cu(Φ) auf weniger als 30% absinkt, wenn 0.3 0 Sporn 180 270 360 die Schaufeldruckseite gerade den Sporn erreicht. Die in Richtung DS Abbildung 8.26.: Wechselwirkungen der Umfangskomohnehin niedrigere Umfangskompoponente CFD (nS 20, Q/QN = 1.3) nente wird im Extremfall so stark verzögert, dass wie bei der nS 26-Pumpe gesehen, R¨ uckströmung entgegen der Laufraddrehrich132


133

tung einsetzt. Bei dem hier gezeigten BP der nS 20-Pumpe tritt dieser Fall nicht ein. Nach dem Einfluss des Sporns wird relativ schnell das typische Profil mit Erhöhung an der Kanalsaugseite und Minimum an der DS erreicht. Zusammenfassend kann die zeitabhängige, axialgemittelte Darstellungsart als geeignet zur Veranschaulichung der dynamischen Strömungsvorgänge im Radialdiffusor bezeichnet werden. Obwohl durch die Axialmittelung Information verloren geht, erhält man vor allem im zeitechten Ablauf einen sehr guten Eindruck, der zum Verständnis der tatsächlichen Wechselwirkungen beiträgt. Durch diese Art der Darstellung kann fr¨ uhzeitig ein ung¨ unstiges Zusammenspiel von Spiralgehäuse und Laufrad erkannt werden. Als Indikatoren hierf¨ ur können beispielsweise dienen: • Große quantitative Unterschiede in den positiven und negativen Amplituden im BEP • Ausprägung der R¨ uckströmung in den Laufradkanal bei TL ¨ • Mögliche Umkehr der Umfangskomponente bei UL • Unstetigkeiten im zeitgemittelten Verlauf Eine entsprechende zeitechte Darstellung gemessener Strömungsgrößen im Radialdiffusor wäre nur teilweise und mit sehr großem Aufwand machbar. Dies verdeutlicht nochmals die vielfältigen Möglichkeiten der Darstellung numerischer Ergebnisse. Mit Ausnahme der statischen Druckmessungen wurden in diesem Kapitel noch keine experimentellen Daten zur Validierung herangezogen. Die berechneten Geschwindigkeiten können in den Messebenen mit Daten aus instationären Druckmessungen verglichen werden.

Vergleich CFD/Messung instation¨ ar in der Messebene Zum Gegen¨ uberstellen instationärer Messdaten mit numerischen Ergebnissen im Radialdiffusor muss eine Besonderheit beachtet werden, die sich aus der Art und Weise der Aufnahme der Messdaten ergibt. Dies soll anhand der nS 26-Pumpe erläutert werden, gilt aber in gleicher Weise auch f¨ ur die nS 20-Pumpe. Das linke Bild der Abb.8.27 zeigt alle Spiralwinkel Φ, bei denen eine instationäre Messdatenerfassung durchgef¨ uhrt wurde. Zur genaueren Untersuchung der Vorgänge am Spiralsporn beträgt das Intervall um den Sporn 5◦ , ansonsten 30◦ . Das Laufrad steht im Bild an der Position φ = 0◦ , also mit der Schaufel direkt am Sporn. Die Messdaten werden ensemble-averaged ermittelt, indem u ¨ber die Steuerung des Messzeitpunktes ein Messwert an einer Position (Φ, b) n-mal zur immer selben Relativposition des Laufrades ◦ φn = φstart + n · 360 aufgenommen wird. Während einer Umdrehung des Laufrades können z also z Werte aufgenommen werden. Eine Mittelung aller Werte u ¨ber viele Laufraddrehungen liefert den Ensemblemittelwert an der Umfangsposition (Φ, b) zum Zeitpunkt“ t1 . Dieser ” Vorgang wird mehrfach mit jeweiliger Verschiebung des Startwinkels φstart , bzw. der Laufradrelativposition zu den Messzeitpunkten, wiederholt, bis eine gesamte Laufradteilung erfasst ist. Bei der nS 26-Pumpe sind dies 119 einzelne Positionen, so dass zum Messzeitpunkt“ t119 ” 133


Cr / u2

φ=24°

C /u

Φ=0°

r

134

2

0.2

0.1

0.15 0

0.1 Trag

−0.1 0.5 SS*

0.8

0.6

0 SS

0.4

0.2

DS*

Trag

0.05 0.5 0.8

Deck

0.6

0.4

0.2

DS

Deck

Abbildung 8.27.: Geschwindigkeitsfeld CFD der nS 26-Pumpe, ortsfest“ Φ = 0◦ und zeitfest“ ” ” φ = 24◦

gerade die nächste Schaufel an der Messonde steht. F¨ uhrt man dies noch f¨ ur verschiedene Axialpositionen b aus, so erhält man eine Darstellung entsprechend dem mittleren Diagramm in Abb.8.27. Die ensemblegemittelte Radialgeschwindigkeit bezogen auf u2 ist u ¨ber axialer ◦ Breite und Laufradlaufzeit“ an der festen Spiralumfangsposition Φ = 0 aufgetragen. Es ” handelt sich demnach um eine Art Weg-Zeit-Diagramm, da die Messwerte in Umfangsrichtung keine Ortsgröße, sondern eine Zeitgröße darstellen. Im Diagramm bedeutet daher DS“ , dass ” die Schaufeldruckseite zu diesem Messzeitpunkt an der absoluten Umfangsposition Φ = 0◦ steht. Dies ist die u ¨bliche Art der Darstellung experimenteller Ergebnisse, wobei die Umfangsposition nicht als Ortsgröße bezeichnet werden sollte, da die einzelnen Messwerte zu verschiedenen Zeiten aufgenommen wurden. In Abbildung 8.27 im rechten Diagramm ist das direkte Ergebnis einer CFD-Rechnung gezeigt. Eine numerische Berechnung stellt die Felder aller Strömungsvariablen zu einem beliebigen Zeitpunkt immer komplett zur Verf¨ ugung. Zeigt man die Radialgeschwindigkeit in der Messebene bei einem Laufraddrehwinkel von φ = 24◦ , bei der die Mitte des Laufradkanals gerade an der Umfangsposition Φ = 0◦ steht, so erhält man das Feld zum gleichen Zeitpunkt, was den entscheidenden Unterschied zum Experiment ausmacht. In dieser Darstellung ist die Umfangsrichtung eine echte Ortsgröße. Deutlich erkennbar ist der bereits bekannte Einfluss des Sporns, der eine verminderte Radialgeschwindigkeit genau in der Mitte zwischen DS und SS bewirkt. Der deutliche Unterschied der beiden Diagramme in Abb.8.27 zeigt die Notwendigkeit einer Umrechnung der numerischen oder der experimentellen Daten, um einen direkten Vergleich u ¨berhaupt zu ermöglichen. Hier wurde der Weg der Umrechnung numerischer Daten gewählt. Um von der zeitfesten“ CFD-Darstellung zur ” ortsfesten“ Darstellung der Messwerte zu gelangen, wird wie folgt vorgegangen: ” • Festlegen der z Zeitpunkte, zu denen sich ein bestimmter Ort einer Schaufelteilung an einem ortsfesten Umfangswinkel Φ befindet • Mittelung der axialen 2d-Verteilungen aller Schaufeln zu diesem Zeitpunkt an diesem Ort • Wiederholen f¨ ur alle möglichen Zeitschritte, bis eine gesamte Schaufelteilung am Ort Φ vorbeigelaufen ist • Zusammenf¨ ugen aller 2d-Verteilungen der einzelnen Zeitpunkte 134


135

Das Ergebnis dieser Vorgehensweise ist das mittlere Diagramm der Abb.8.27, das auf CFDDaten basiert. Die 2d-Kurve etwa bei Umfangsposition 0.45 in der Momentaufnahme des rechten Diagramms wird quasi separiert, mit den anderen Schaufeln an gleicher Position gemittelt und an der richtigen Zeitposition“ (Zeitpunkt 0.45∗ ) eingef¨ ugt. ” Einschränkungen sind sofort erkennbar, da sich erstens die Ensemblemittelung“ der CFD” Daten auf eine Laufraddrehung bzw. z Einzelwerte beschränken muss. Weiterhin wird die Auflösung einer Teilung, im Experiment frei wählbar und mit 119 (nS 26) bzw. 164 (nS 20) festgelegt, in der CFD von der Anzahl der Zeitschritte pro Umdrehung begrenzt. Eine Umdrehung der nS 26-Pumpe wurde mit 120 Zeitschritten aufgelöst, daher kann die Schaufelteilung mit maximal 17 Punkten aufgelöst werden, bei der nS 20-Pumpe sind es immerhin 30 Punkte f¨ ur eine Teilung (jeweils Anzahl der Zeitschritte pro Umdrehung geteilt durch Anzahl der Schaufeln z). Durch diese Umrechnung kann direkt der Vergleich der Felder CFD/EXP erfolgen. Das linke Diagramm der Abbildung 8.28 zeigt die aus der Numerik umgerechnete Radialgeschwindigkeit aus Abb.8.27 in die Ebene projiziert und im rechten Diagramm die ¨ entsprechende gemessene Verteilung. Obwohl die quantitative Ubereinstimmung nicht gegeben ist, bestätigt der qualitative Vergleich zunächst die Richtigkeit der angewendeten Methodik. In

Abbildung 8.28.: Radialgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 26-Pumpe ortsfest“ Φ = 0◦ ” beiden Diagrammen erkennt man druckseitig* eine erhöhte Radialkomponente, jeweils etwas stärker zur Tragscheibe hin. Während bei etwa 0.6* eine R¨ uckströmung gemessen wird, liefert die Rechnung dort nur verschwindende Radialgeschwindigkeit. Die Ursache der berechneten sehr starken R¨ uckströmung an der Tragscheibe ist die oben beschriebene Sekundärströmung im Spiralgehäuse. Im Experiment scheint diese weniger stark ausgeprägt, weil sich an der Tragscheibe die größte Radialkomponente einstellt. Da sich diese Felddarstellungen besser zum qualitativen als zum quantitativen Vergleich eignen, werden nachfolgend durch Mittelungen Kurven generiert, die einfacher vergleichbar sind. Die Felder können entweder in axialer Richtung gemittelt und u ¨ber die Teilungszeit aufgetragen werden oder umgekehrt. Beide Möglichkeiten werden angewendet, so dass man f¨ ur jede Messposition Φ je zwei Vergleichsdiagramme erhält. Abbildung 8.29 zeigt diese beiden Darstellungen, axial- und teilungsgemittelt, f¨ ur je zwei feste Umfangspositionen, Φ = 0◦ und ◦ Φ = 180 im Bestpunkt Q/QN = 0.8 der nS 26-Pumpe. In der oberen Hälfte der Abbildung wird die Radialkomponente und in der unteren Hälfte die Umfangskomponente verglichen. Bei dieser Darstellungsart ist es auch wieder möglich, den experimentellen Daten verschiedene numerische Ergebnisse mit dem Parameter Turbulenzmodell gegen¨ uberzustellen. Die 135


136

Resultate der bereits in Kapitel 7 bei Kennlinienvergleichen herangezogenen Turbulenzmodelle zusammen mit den Messwerten sind in Abbildung 8.29 enthalten. In Anhang E finden sich ¨ die entsprechenden Vergleiche bei Teil- und Uberlast. In allen Diagrammen erkennt man Φ=0°

Φ=180°

cr/u2

0.2

0.2

0

0

−0.2

−0.2

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.2

DS*

SS*

r

0

0

−0.2

−0.2 0.4

0.6

Φ=0°

0.8

0.8

Trag

cu/u2

Deck

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.8

0.2

DS*

cu/u2

SS*

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2 0.2

0.4

0.6

0.8

0.4

Trag

Deck

0.6

Φ=180°

0.8

0.6

0.4

Φ=180°

0.8

0.6

Deck

0.2

0.8

0.6

SS*

0.4

Φ=180°

2

0.2

0.2

0.6

c /u

0.2

Deck

0.8

0.2

0.4

0.6

cr/u2

0.2

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

cu/u2

0.2

DS*

cu/u2

0.8

Trag

Abbildung 8.29.: Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.8 ¨ eine qualitativ gute Ubereinstimmung zwischen Rechnung und Messung. Ein Einfluss der Turbulenzmodellierung ist vorhanden, kann allerdings im BEP als vernachlässigbar bezeichnet ¨ werden, wo alle Modelle nahezu identische Kurvenverläufe liefern. Bei Uberlast und vor allem bei Teillast ändert sich dies, wobei allerdings kein Modell die eindeutig besten Ergebnisse berechnet. Auffällig bei Teillast ist der falsche qualitative Verlauf der teilungsgemittelten RKE-Kurve, während die anderen Modelle zumindest qualitativ richtig liegen. Noch am ehesten zu empfehlen ist das SST-Modell, das dem experimentellen Verlauf meist am nächsten ¨ liegt. Die bei Uberlast extrem auffallende Differenz zu den gemessenen Werten bei Position ◦ Φ = 0 , d.h. direkt am Sporn, liegt an den bereits oben erwähnten Problemen im Experiment aufgrund von Schwankungen des Abströmwinkels, die numerisch nicht erfasst werden können. ¨ Der Vergleich innerer Strömungsgrößen am Sporn der nS 26-Pumpe ist daher in Uberlast problematisch. Bei allen Betriebspunkten ist die Vorhersage der Radialkomponente sowohl vom Verlauf als 136


137

auch von der Größe her zufriedenstellend, während die Umfangskomponente bis zu 20% zu niedrig berechnet wird. Diese Abweichung wurde auch schon bei der nS 28-Pumpe in der Umfangskomponente gefunden. Beide Pumpen arbeiten mit Luft und wurden numerisch ohne RSR modelliert. Da bei der verwendeten Messtechnik die Umfangskomponente als weniger fehlerbehaftet als die Radialkomponente gilt, muss die Abweichung von der numerischen Modellbildung verursacht werden. Wie zu Beginn dieses Kapitels gezeigt, sind die Geschwindigkeitskomponenten stark abhängig von der Wandbehandlung, so dass die Wahl von Wandfunktionen hier eine Ungenauigkeit verursacht. Weiterhin ist das mit FLUENT benutzte UDS-Diskretisierungsschema zweiter Ordnung nicht genau genug und unterschätzt die Umfangskomponente. Aufgrund des kleinen Abströmwinkels bildet die Strömungsrichtung mit den Gitterzellen im Bereich der Messebene einen ung¨ unstigen Winkel. Da der Abströmwinkel in Umfangsrichtung und zudem in Abhängigkeit des Betriebspunkts stark variiert, ist eine Verbesserung nicht durch Gitterveränderung, sondern nur mit einem hochwertigeren Diskretisierungsschema möglich. Bei Vergleichen mit Messwerten der nS 26-Pumpe muss immer der im CFD-Modell fehlende RSR ber¨ ucksichtigt werden, weshalb die Absolutwerte nie u ¨bereinstimmen sollten. Rein vom qualitativen Verlauf der Kurven in Abb.8.29 kann aber eine gute numerische Vorhersage bestätigt werden. Obwohl die entsprechenden instationären experimentellen Messungen bei der nS 20-Pumpe nur im BEP vorliegen, sind zum Zweck des Vergleichs unter den TM in Anhang E auch Be¨ triebspunkte in Teil- und Uberlast dargestellt. Die Auswahl der Spiralwinkel Φ muss auf wenige beschränkt bleiben, die wichtigsten Positionen sind direkt am Sporn und um 180◦ gedreht. Die numerischen Daten der Absolutgeschwindigkeit wie oben beschrieben aufbereitet und in eine ortsfeste“ Darstellung am Spiralwinkel Φ = 270◦ (vgl. Abb.8.5) umgerechnet zeigt die ” Abbildung 8.30. Als gestrichelte Linien ist in beiden Diagrammen die Laufradaustrittsbreite b 2

Abbildung 8.30.: Absolutgeschwindigkeit CFD/EXP der nS 20-Pumpe ortsfest“ an Φ = 270◦ ” eingezeichnet. Auch hier erkennt man wie schon bei der nS 26-Pumpe eine u ¨berraschend gute ¨ qualitative Ubereinstimmung. Bei der teilungsgemittelten Darstellung von cr /u2 und cu /u2 f¨ ur ¨ Q/QN = 0.9 in Abb.8.31 ist bei beiden Spiralpositionen eine bessere Ubereinstimmung mit dem Experiment festzustellen als im BEP der nS 26-Pumpe. F¨ ur die Axialmittelung sind auch bei der nS 20-Pumpe größere Diskrepanzen als f¨ ur die Teilungsmittelung vorhanden. Verursacht wird dies von der in der CFD zu stark vorhergesagten R¨ uckströmung an Deck- und Tragscheibe. Im diesem Zusammenhang zeigt sich erneut die nicht optimale Wandbehandlung mittels 137


0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 SS*

0.8

0.6

c /u r

0.4

0.2

DS*

SS*

0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 Deck

0.2

0.4

cr/u2 0.6

0.8

0.6

Trag

Deck

0.4

Φ=270° 0.2

0.4

0.6

c /u r

2

0.2

DS*

cr/u2 0.8

Trag

0.9

Φ=90°

Φ=270°

cu/u2

0.7

0.7

0.5

0.5 0.8

0.6

0.4

0.2

DS*

0.9

SS*

0.8

0.6

0.4

cu/u2

0.2

DS*

0.9

Φ=90°

Φ=270°

c /u u

2

0.7

0.7

0.5

0.5

Deck

0.8

−0.15

0.9

SS*

Φ=270°

−0.15

2

138

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

Deck

0.2

0.4

0.6

c /u u

2

0.8

Trag

Abbildung 8.31.: Vergleich CFD/EXP in der ME der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.9 Wandfunktionen, welche eine noch exaktere Vorhersage des inneren Strömungsfeldes in der Nähe der Schaufeln und der Diffusorwände verhindert. Insgesamt ist aber beim Gesamtmodell der nS 20-Pumpe eine sehr gute Berechnung der instationären inneren Strömungsfelder im Radialdiffusor möglich. Beim Vergleich der Leistungsfähigkeit der einzelnen Turbulenzmodelle sind im BEP wiederum keine signifikanten Unterschiede festzustellen. Im Anhang E erkennt man bei beiden Pumpen vor allem in Teillast Unterschiede zwischen den teilungsgemittelten Kurven. Das SST-Modell liegt bei allen Darstellungen etwa zwischen den Extrema anderer TM. Aufgrund der fehlenden Messwerte in anderen BP als im BEP kann dieses Modell jedoch nicht zweifelsfrei als das am besten geeignete eingestuft werden.

Bewertung der Erkenntnisse zur Str¨ omung in der Messebene Zur Untersuchung der Strömung im Radialdiffusor wurden in diesem Abschnitt ausschließlich instationäre FLUENT-Ergebnisse dargestellt. Die zeitabhängigen zweidimensionalen Geschwindigkeitsfelder vermitteln einen Eindruck von den dynamischen Vorgängen in der Messebene, die von der Wechselwirkung zwischen rotierendem Laufrad und Spiralgehäuse 138


139

verursacht und geprägt werden. Mit der Reduzierung der Dimension der Abhängigkeit der berechneten Geschwindigkeitsfelder durch axiale Mittelung kann die Wechselwirkung zwischen Laufradkanal und Spiralsporn anschaulich dargestellt werden, in dieser Arbeit aber nicht zeitecht , sondern nur zu verschiedenen Zeitpunkten. Diese Darstellungsart, die auf experimentellem Wege nicht in gleicher Art und Weise möglich ist, lässt ein ung¨ unstiges Zusammenspiel zwischen Laufrad und Spirale schnell erkennen. Der Einfluss der Turbulenzmodellierung wurde hier nicht weiter verfolgt, da sich die gezeigten Effekte mit dem TM nicht a¨ndern. Zum Vergleich mit statischen Druckmessungen im Spiralgehäuse werden die axialgemittelten Kurven zusätzlich zeitgemittelt. Bei Auftragung dieser charakteristischen Kurven f¨ ur mehrere Betriebspunkte in einem Diagramm zeigt sich als Besonderheit ein auch experimentell gefundener Schnittpunkt aller Kurven im jeweiligen Umfangsmittelwert an einer bestimmten Spiralumfangsposition. Bei der nS 20-Pumpe stimmt der berechnete Punkt mit dem gemessenen fast u ¨berein, bei der nS 26-Pumpe besteht eine Differenz von einer Schaufelteilung. Grundsätzlich bieten diese Darstellungen einen Nachweis u ute der Auslegung des Spiralgehäuses. ¨ber die G¨ Bei der nS 20-Pumpe wirkte sich z.B. eine leichte Unstetigkeit im Querschnittsverlauf der Spirale in unerwartet deutlicher Art und Weise aus. Das verwendete Turbulenzmodell hat keinen nennenswerten Einfluss auf diese zeitgemittelten Kurven, sie werden von der instationären Potenzial-Interaktion zwischen Laufrad und Spiralgehäuse bestimmt. Als ung¨ unstiges numerisches Ergebnis bleibt festzuhalten, dass das berechnete Druckniveau im Radialdiffusor zu hoch ist, während die qualitativen Druckverläufe dem Experiment entsprechen. Die Ursache d¨ urfte die eingeschränkte Wahl der Austrittsrandbedingung sein. Der Vergleich instationärer Daten erfordert die Anpassung der in der Messebene zeitfesten“ ” numerischen Daten an die ortsfesten“ Messungen. Die angewandte Methodik liefert zwei” ¨ dimensionale Felder an festen Spiralumfangspositionen, die eine gute Ubereinstimmung mit den gemessenen Feldern aufweisen. Eine anschließende Mittelung u ¨ber eine Teilung oder u ¨ber die Diffusorbreite ermöglicht einen Vergleich mit verschiedenen Turbulenzmodellen. Im BEP ¨ und bei Uberlast sind die Unterschiede zwischen den Modellen vernachlässigbar, bei Teillast deutlicher. Insgesamt liegt dann das SST-Modell zwischen den Extrema der u ¨brigen Modelle. Geringe Diskrepanzen zu den Messwerten werden vor allem im BEP der nS 20-Pumpe gefunden. Eine zu kleine Umfangskomponente wird vermutlich vom Diskretisierungsschema verursacht. Im betrachteten Bereich werden die Gitterzellen mit ung¨ unstig flachem Winkel durchströmt. Insgesamt wurden in diesem Kapitel einige verschiedene Methoden vorgestellt, die Strömungsvorgänge und Wechselwirkungen im Radialdiffusor zu veranschaulichen und anhand von Messwerten, soweit verf¨ ugbar, zu validieren.

139

140

9. Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit soll einen Beitrag zur Vertiefung und Erweiterung der notwendigen Kenntnisse zur numerischen Berechnung von Kreiselpumpen liefern. Die Thematik ist einzuordnen in eine Vielzahl wissenschaftlicher Arbeiten u ur Turbomaschinen ¨ber Validierung von CFD f¨ i.a. und Kreiselpumpen im speziellen. Zwei in diesem Zusammenhang immer genannte Einflussfaktoren auf die numerische Vorhersagefähigkeit sind die möglichen Modellierungsfehler durch erstens Beschreibung der Turbulenz und zweitens Formulierung der Kopplung relativ zueinander bewegter Bauteile. Vor allem eine unzureichende Turbulenzmodellierung wird heute als eine der wichtigsten Ursachen eingeschränkter Vorhersagefähigkeit eingestuft. Hauptziel der Arbeit ist die Validierung der qualitativen und quantitativen Einfl¨ usse dieser beiden Modellierungsunsicherheiten auf globale und lokale Strömungsgrößen. Neben der Beurteilung der Vorhersagefähigkeit von Kennlinien stellt besonders der Vergleich instationärer Messdaten im Radialdiffusor eine meist wenig beachtete Herausforderung an die Numerik dar - er ist daher ein wichtiger Bestandteil dieser Arbeit. Benötigt werden hierzu experimentelle Vergleichsdaten, die aus fachgebietsinternen Pr¨ ufständen zur Verf¨ ugung gestellt wurden. F¨ ur den Anwender sollen die gewonnenen Erkenntnisse Entscheidungshilfe bei der Modellauswahl und Grundlage f¨ ur die Interpretation der Ergebnisse sein. Als Anwendungstestfälle werden drei Kreiselpumpen unterschiedlicher Bauart und spezifischer Drehzahl ausgewählt. Eine nS 28-Radialpumpe frei abströmend in einen schaufellosen Diffusor bietet die Möglichkeit der Anwendung rotationsperiodischer Randbedingungen bei Modellierung nur eines Laufradkanals. An dieser Pumpe kann deswegen der Einfluss der numerischen Auflösung der turbulenten Wandgrenzschicht untersucht werden. Die Gesamtpumpe mit Spiralgehäuse muss bei den beiden Radialpumpen nS 20 und nS 26 modelliert werden, wobei nur bei der nS 20-Pumpe auch der Radseitenraum ber¨ ucksichtigt wird. An den beiden kompletten Kreiselpumpen können zum einen die quasi-stationäre und die transiente Kopplung von Laufrad und Spirale und andererseits verschiedene Turbulenzmodelle jeweils unter Verwendung von Wandfunktionen verglichen werden. F¨ ur die numerische Formulierung der Kopplung bei Kreiselpumpen mit unbeschaufeltem Radialdiffusor kommt außer der zeitechten Sliding-Mesh-Methode nur die quasi-stationäre Frozen-Rotor -Methode in Frage. Alle numerischen Rechengitter werden komplett blockstrukturiert aufgebaut. Dies bewirkt nicht nur eine sehr gute Netzqualität, sondern war aufgrund der verwendeten Numerik-Codes FLUENT, als kommerzielles Programm, und NS3D [99], ein blockstrukturierter Navier-Stokes Code, auch erforderlich. Die Auswahl der zu validierenden Turbulenzmodelle beschränkt sich auf Vertreter der Klasse statistischer Wirbelviskositätsmodelle, die f¨ ur die Anwendung bei 140

141 Kreiselpumpen aus verschiedensten Gr¨ unden Stand der Technik sind. Neben dem Standardk-²-Modell werden einige erweiterte Modelle eingesetzt. Mit FLUENT kommen neben einer realisierbaren Erweiterung noch das SST-Modell [61] und das RNG-Modell [122],[15] zum Einsatz. Aufgrund der eingeschränkten Programmiermöglichkeiten bei FLUENT wird zudem das mehrskalige Modell nach Kim und Chen [49] in NS3D implementiert sowie das nichtlineare LCL-Modell [58] zum Vergleich herangezogen, um die grundsätzlich stark eingeschränkte physikalische Modellierungsebene der Wirbelviskositätsmodelle im Hinblick auf die Eigenschaften der Strömung in Pumpen zu erweitern. Eine Validierung des in NS3D neu implementierten KC-Turbulenzmodells anhand einiger ERCOFTAC Standard-Testfälle zeigt dessen Fähigkeiten im Vergleich mit dem Standard-k-² Modell, dessen realisierbarer Variante und dem nichtlinearen Modell jeweils mit Wandfunktionen. Bei geringf¨ ugig erhöhter Rechenzeit ist das KC-Modell am wenigsten dissipativ und zeigt sich bei abgelösten Scherschichten den u ¨brigen meist u ¨berlegen. Diese Vorteile bei den speziellen Strömungskonfigurationen der Testfälle werden bei der nS 28-Pumpe jedoch nicht bestätigt. Keines der untersuchten Turbulenzmodelle weist eine ¨ eindeutig herausragende Ubereinstimmung mit den Messwerten auf, vor allem die Umfangskomponente wird meist zu klein berechnet. Die Auflösung der Wandgrenzschicht mittels ¨ LowRe-Erweiterung bewirkt, verglichen mit der Uberbr¨ uckung der viskosen Unterschicht mit Wandfunktionen, eine Verbesserung der Geschwindigkeitsprofile im Radialdiffusor und der tatsächlichen Druckerhöhung im Laufrad, die ein Maß f¨ ur die Verluste darstellt. Zudem sind Auswirkungen auf die Ausbildung der Grenzschicht vor allem der Schaufelsaugseite festzustellen. Im Gegensatz dazu bleibt der hydraulische Laufradwirkungsgrad sowohl von der gewählten Wandbehandlung als auch dem Turbulenzmodell nahezu unabhängig. Auch die Kennlinien als integrale Vergleichsgrößen der beiden kompletten Kreiselpumpen sind nur wenig sensitiv gegen¨ uber dem verwendeten Turbulenzmodell. Unter den Wirbelviskositätsmodellen macht sich ein Vorteil in der theoretischen Formulierung des Modells nur unwesentlich in globalen Größen bemerkbar. Der Einfluss der Laufrad-SpiraleKopplung auf Förderhöhe, Laufradmoment und Wirkungsgrade ist wesentlich deutlicher, aber bei beiden Maschinen unterschiedlich ausgeprägt. Bei Ber¨ ucksichtigung des RSR stimmen die transient berechneten und experimentellen Kennlinien gut u ¨berein, während die ¨ quasi-stationäre Förderhöhe bei Uberlast nach unten abknickt. Als Ausnahme passen die Sekundärwirkungsgrade bei der nS 20-Pumpe unabhängig vom Turbulenzmodell und der Kopplungsart sehr gut mit den Messwerten zusammen. Der fehlende RSR verschiebt die Kennlinien bei der nS 26-Pumpe nach oben, wobei dennoch ein qualitativer Vergleich möglich ist. Insbesondere die FR-Kopplung liefert bei der nS 26-Pumpe sinnvolle und auch deutlich bessere Ergebnisse als bei der nS 20-Pumpe. Insgesamt gesehen kann die Charakteristik beider Pumpen von allen Turbulenzmodellen und beiden Kopplungsmethoden qualitativ und mehr oder weniger quantitativ gut vorhergesagt werden. Als G¨ utekriterium des transienten numerischen Ergebnisses liefern unterschiedliche Auswertemethoden einen fast identischen inneren Wirkungsgrade der nS 20-Pumpe. Zu bevorzugen ist die transiente Kopplung, obwohl die FR-Kopplung sinnvolle Kennlinien liefern und mit Einschränkung als vorläufiges Resultat akzeptiert werden kann. G¨ unstige Voraus141

142 setzungen einer Pumpe f¨ ur die Anwendbarkeit der FR-Kopplung sind eine möglichst kleine reduzierte Frequenz (ωred ¿ 1), eine große radiale Erstreckung des Diffusors und eine geringe Ablöseneigung der Strömung am Spiralsporn. Bez¨ uglich der Kennlinien ist dann selbst mit der einfachen FR-Kopplung auch bei Teillast ein bedingt brauchbares Ergebnis zu erzielen. Die wirkliche Schwäche dieses Ansatzes und die unbedingten Vorteile der transienten Berechnung zeigt erst die Analyse der inneren Strömungsvorgänge. Der zeitlich variierende Massenstrom im rotierenden Laufradkanal zeigt ein typisches, vom Betriebspunkt unabhängiges Verhalten. Bei den ortsfesten Kanälen der FR-Kopplung treten dagegen unphysikalische, extreme Schwankungen bis hin zu R¨ uckströmung bei Teillast in einzelnen Kanälen auf, weshalb diese Resultate im Radialdiffusor nicht ausgewertet werden. Das zeitliche Verhalten des Einzelkanals wird zusätzlich analysiert und eine typische Geschwindigkeitsverteilung aller Komponenten und der Sekundärströmung am Laufradaustritt dargestellt. Die Strömungsverhältnisse am Laufradaustritt werden von der zeitgemittelten Druckverteilung und den Sekundärwirbeln im Spiralgehäuse beeinflusst. Die dynamischen Wechselwirkungen zwischen Laufrad und Spiralgehäuse lassen sich durch Auswertungen der Daten in der Messebene des Radialdiffusors in unterschiedlicher Art und Weise darstellen und tragen so zum genaueren Verständnis der instationären Vorgänge bei. Auch die zeitgemittelten Verläufe lassen bereits ein ung¨ unstiges Zusammenspiel zwischen Laufrad und Spirale erkennen. Beim Vergleich mit stationärer Druckmessung liefert die Numerik zwar qualitativ korrekte Kurvenverläufe, aber aufgrund der Dirichlet-Druckrandbedingung am Austritt insgesamt zu große Amplituden. Dennoch erhält man bei der Validierung der Geschwindigkeitsfelder anhand ¨ instationärer Messdaten eine erstaunlich gute Ubereinstimmung mit allerdings deutlicherer Abhaängigkeit vom Turbulenzmodell als bei den Kennlinien. Die f¨ ur diesen Vergleich erforderliche Anpassung der numerischen Daten wird vorgestellt. Die Gegen¨ uberstellung transienter Berechnungsergebnisse unter Verwendung verschiedener Turbulenzmodelle mit instationären Messdaten verdeutlicht die momentanen Möglichkeiten und Grenzen der Numerik bei Kreiselpumpen. Bei der Wahl der Kopplungsmethode sollte möglichst die zeitechte Laufraddrehung gewählt werden. Trotz sowohl quasi-stationär als auch transient teilweise sehr gut vorhergesagter Kennlinien besteht bei den instationären Geschwin¨ digkeitsfeldern im Radialdiffusor nur eine qualitativ gute Ubereinstimmung mit Messdaten bei insgesamt geringem Einfluss der statistischen Turbulenzmodellierung. Unter den verwendeten Modellen hat sich, wenn u ¨berhaupt eines bevorzugt werden kann, das SST-Modell bei den meisten Vergleichen hervorgetan. Eine Kombination dieses Modells mit den g¨ unstigen Eigenschaften des KC-Modells in der Freiströmung wäre anzudenken. Verbesserungspotenzial liegt in der Auflösung der Wandgrenzschicht, die allerdings f¨ ur eine Gesamtpumpe noch nicht wirtschaftlich durchf¨ uhrbar ist. Gleiches gilt f¨ ur Modelle basierend auf LES, u ¨ber deren Einsatz bei Pumpen man sich zuk¨ unftig Gedanken machen muss. Weiterhin bietet zum einen die Formulierung der Austrittsrandbedingung, die variabel auf Druckspitzen reagieren sollte, und andererseits das Diskretisierungsschema f¨ ur konvektive Terme besonders im Bereich des Radialdiffusors aus der Sicht numerischer Methodik Möglichkeiten zur Verbesserung.

142

143

A. Validierung der Turbulenzmodelle A.1. Rechteckkanal mit 180◦-Kru ¨mmer 1.6

U/U

ref

1.4

(φ=0)

1.2 1 0.8 0.6

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2 0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r/H 2

U/U

ref

SKE KC RKE LCL EXP

(φ=90)

1.5

U/Uref (φ=180)

1.6 1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

1 0.6 0.5

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

r/H

0.6

U/U

ref

1.6

0.8

(x/H=2)

0.6

SKE KC RKE LCL EXP

0.4 0.2 0

1

r/H

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y/H

Geschwindigkeitsprofile an verschiedenen Lauflängen φ bzw. x/H 60 3

2 ref

10 ⋅ k/U

SKE KC RKE LCL EXP

(φ=90)

50 40

120

SKE KC RKE LCL EXP

103 ⋅ k/U2 (φ=180) ref

100 80

120 ref

80

30

60

60

20

40

40

10

20

20

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0

0

0.2

0.4

r/H

0.6 r/H

0.8

1

0

0

0.2

0.4

0.6 y/H

Profile turbulenter kinetischer Energie an verschiedenen Lauflängen φ bzw. x/H Uref = mittlere Kanaleintrittsgeschwindigkeit 143

SKE KC RKE LCL EXP

103 ⋅ k/U2 (x/H=2) 100

0.8

1

A.2. ASYMMETRISCHER DIFFUSOR

144

A.2. Asymmetrischer Diffusor −3

6

1

x 10

C − Kanalwand oben p

C − Kanalwand oben

5

0.8

f

SKE KC RKE LCL EXP

4

0.6

3

0.4

2

SKE KC RKE LCL EXP

0.2 0 −10

0

10

20

30 x/H

40

50

60

1

70

0 −10

0

10

20

30

40

50

60

70

x/H

Schubspannungskoeffizient Cf an oberer Kanalwand 6

6

6

u/ub bei x/H=13.6

u/ub bei x/H=16.9

u/ub bei x/H=20.3

5

5

5

4

4

4

y/H 3

y/H 3

y/H 3

2

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2 1 0

0.6

6

2

SKE KC RKE LCL EXP 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

1 0

0.6

6

u/ub bei x/H=29.7 5

5

4

4

4

y/H 3

y/H 3

y/H 3

2

SKE KC RKE LCL EXP

1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2

0.2

0.3

0.4

0.5

2

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0.6

0.1

0.6

u/ub bei x/H=39.9

5

0

0

6

u/ub bei x/H=23.7

0

SKE KC RKE LCL EXP

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

SKE KC RKE LCL EXP

1 0

0.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Geschwindigkeitsprofile an verschiedenen axialen Positionen x/H

5

k/u2b bei x/H=16.1

5

k/u2b bei x/H=19.5

5

4

4

4

3 y/H

3 y/H

3 y/H

2

2 SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

0.005

0.01

0.015

0.02

2 SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

k/u2b bei x/H=29.7

0.005

0.01

0.015

0.02

SKE KC RKE LCL EXP

1 0 0

0.005

0.01

Profile turbulenter kinetischer Energie an verschiedenen axialen Positionen x/H ub = mittlere Kanaleintrittsgeschwindigkeit 144

0.015

0.02

145

B. Kennlinien und Wirkungsgrade 1.05

1.05

η

h,LA

1 0.95

0.95

0.9

0.9

0.85

0.85

0.3

η

h,LA

1

CpR Diffusor 0.25

0.2

0.8 0.75

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

0.8

0.8 0.75

Gitter : 1 / 2

0.9

1.0

1.1

1.2

EXP SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

0.8

0.15

0.9

1.0

Q/Q

1.1

1.2

0.8

Q/Q

N

SKE−WF LCL−WF SKE−LR LCL−LR

Gitter 3/4

Gitter : 3 / 4

0.9

1.0 Q/Q

N

1.1

1.2

N

Laufradwirkungsgrad ηh,La und Druckr¨ uckgewinnungsfaktor CpR im Diffusor der nS 28-Pumpe 1

1

1

RSR−WG η

RSR

Vol−WG ηvol [%]

[%]

0.98

0.98

0.95

0.96

0.96

0.9 EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.94

RSR−WG ηRSR [%] 0.92

Kopplung FR 0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

0.94

EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST

0.92

Kopplung SM 0.9

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

EXP ns20 EXP rsr SKE RKE RNG SST KC (NS3d)

0.85

Kopplung FR 0.8

0.6

0.7

0.8

Q/QN

Q/Q

N

0.9

1.0

1.1

1.2

Q/Q

N

Sekundärwirkungsgrade der nS 20-Pumpe 1.6 1.5

1.6

Th. Druckzahl Laufrad ψth,La

1.5

1.4

1.4

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1 0.9 0.8

1

SKE RKE RNG SST 0.5

0.9

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

0.8

ηh,La − R2

Druckzahl Laufrad ψ0,La

1.1 1 0.9 0.8

SKE RKE RNG SST 0.5

Q/QN

0.7

Auswertung R2 0.6

0.7

0.8

Q/QN

Laufradwirkungsgrade der nS 26-Pumpe

145

0.9

1.0

1.1

0.6

SKE RKE RNG SST 0.5

Auswertung R

2

0.6

0.7

0.8

Q/QN

0.9

1.0

1.1

146

C. Str¨ omungsprofile im Diffusor nS 28 Profile cr /u2 , cu /u2 und T u in der ME bei Diffusorbreite 28 mm

0.14

r

0.12

25

0.8

c /u

2 0.75

0.1 0.7

EXP SKE RKE KC LCL

c /u u

2 20

EXP SKE RKE KC LCL

Tu [%]

15

0.08 0.65 0.06 0.04 0.02

10 EXP SKE RKE KC LCL

Deck

0.6

5

0.55

BP:80 , Gitter:1 Diffusorbreite

BP:80 , Gitter:1


Deck

Diffusorbreite

Trag

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter WF-1 bei Teillast Q/QN = 0.8

0.14 0.12

20

0.8

cr/u2

0.75

EXP SKE LCL

cu/u2

18 16

0.7

0.1

EXP SKE LCL

Tu [%]

14

0.65

12

0.6

10

0.08 0.06

8

0.55

6

0.04 0.02

0.5 EXP SKE LCL

Deck

4

0.45

BP:80 , Gitter:2 Diffusorbreite

2


Deck

Diffusorbreite

Trag

BP:80 , Gitter:2

Deck

Diffusorbreite

Trag

Gitter LR-2 bei Teillast Q/QN = 0.8 0.18

0.7

cr/u2

0.16

0.65

EXP SKE LCL

14

cu/u2

12

0.14

EXP SKE LCL

Tu [%]

10

0.6 0.12

8 0.55

0.1

6 0.5

0.08 0.06

Deck

4 EXP SKE LCL

0.45

Diffusorbreite

2

BP:120 , Gitter:2


Deck

Diffusorbreite

¨ Gitter LR-2 bei Uberlast Q/QN = 1.2

146


Deck

Diffusorbreite

Trag

147

D. Laufradkanalaustritt nS 20 und nS 26

Str¨ omungsprofile am Laufradkanalaustritt der nS 20-Pumpe

Nomineller BEP Q/QN = 1.0 bei nS 20-Pumpe

147

148

Teillast Q/QN = 0.5 bei nS 20-Pumpe

¨ Uberlast Q/QN = 1.3 bei nS 20-Pumpe 148

149 Str¨ omungsprofile am Laufradkanalaustritt der nS 26-Pumpe

Teillast Q/QN = 0.5 bei nS 26-Pumpe

¨ Uberlast Q/QN = 1.2 bei nS 26-Pumpe 149

150

E. Messebene der Pumpen nS 20 und nS 26 E.1. Wechselwirkungen Laufradkanal-Messebene Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.5 6

6

C /C

5

r

BP=50

r,m

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

−1

r

BP=50

r,m

−1 ME cr(Φ) ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA cr(Φ)

−2 −3 −4 0

C /C

5

Sporn

180

270

ME cr(Φ) ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA cr(Φ)

−2 −3 −4 0

360

Sporn

180

270

360

Radialkomponente 1.4

1.4

Cu/Cu,m

Cu/Cu,m

BP=50

1.3

1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1

1

0.9

0.9

ME c (Φ) u ME cu(Φ,t) KA cu(Φ,t) KA c (Φ)

0.8

BP=50


0.8

u

0.7 0

Sporn

180

270

u

0.7 0

360

Umfangskomponente

150

Sporn

180

270

360

E.1. WECHSELWIRKUNGEN LAUFRADKANAL-MESSEBENE

151

Wechselwirkungen der Geschwindigkeitskomponenten der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 3

3

Cr/Cr,m

2.5

Cr/Cr,m

BP=130 2.5

2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5 ME c (Φ) r ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA c (Φ)

0 −0.5

BP=130

ME c (Φ) r ME cr(Φ,t) KA cr(Φ,t) KA c (Φ)

0 −0.5

r

−1 0

Sporn

180

270

r

−1 0

360

Sporn

180

270

360

Radialkomponente Cu/Cu,m

1.3

Cu/Cu,m

BP=130 1.3

1.2

1.2

1.1

1.1

1

1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6


0.5 0.4

BP=130


0.5 0.4

u

0.3 0

Sporn

180

270

u

0.3 0

360

Umfangskomponente

151

Sporn

180

270

360

E.2. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD/EXP NS 26 ”

152

E.2. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD/EXP nS 26 ” Vergleich Messung/CFD in der Messebene der nS 26-Pumpe, Q/QN = 1.2

0.1

0.1

0

0

−0.1 SS*

Φ=0° 0.8

0.6

−0.1

cr/u2 0.4

0.2

DS*

SS*

0.1

0.1

0

0

−0.1 Deck

0.2

−0.1

Φ=0°

cr/u2 0.4

0.6

Φ=0°

0.4

0.8

Trag

Deck

Φ=180° 0.8

0.6

0.4

0.6

Φ=180°

cu/u2

0.8

0.2

0.2

DS*

0.8

Trag

Φ=180°

cr/u2 0.2

0.4

cr/u2

cu/u2

0.6

0.0

0.4

−0.2 SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.4

0.2

SS*

DS*

0.8

0.6

Φ=180°

c /u u

0.4

2

0.8

0.2

0.2

DS*

c /u u

2

0.6

0.0

0.4

−0.2 Deck

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

Deck

152

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

E.2. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD/EXP NS 26 ”

153

Vergleich Messung/CFD in der Messebene der nS 26-Pumpe, Q/QN = 0.4 Φ=0°

0.1

cr/u2

0.1

0

0

−0.1

−0.1

−0.2

−0.2

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=0°

0.1

0.2

DS*

SS*

r

2

0 −0.1

−0.2

−0.2 0.4

0.6

0.8

Trag

0.1

Deck

0

−0.1

−0.1

Φ=10°

−0.2 0.8

0.6

c /u r

Φ=180° 0.2

0.4

0.6

0.4

0.2

Φ=350°

−0.2

2

DS*

SS*

0.1

0

−0.1

−0.1

Φ=10°

−0.2 0.2

0.4

c /u r

0.8

0.6

0.4

0.6

0.8

Φ=350°

−0.2

2

Trag

Deck

0.2

0.4

0.6

Φ=180° 0.8

0.8

0.6

0.6

0.4 SS*

Φ=0°

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

c /u r

2

0.2

DS*

0.8

0.6

u

0.4

0.2

DS*

SS*

0.8

0.6

0.4

Φ=180° 0.6

0.6

Φ=0° 0.2

0.4

0.6

0.8

2

0.8

Trag

c /u u

2

0.2

DS*

c /u u

2

0.4

c /u u

r

2

0.8

0.4

c /u

0.4

c /u

0.8

Deck

0.2

0.1

0

Deck

0.4

0.1

0

SS*

0.6

0.1

0

0.2

0.8

cr/u2

c /u

−0.1

Deck

Φ=180°

2

Trag

Deck

153

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

E.3. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD NS 20 ”

154

E.3. Vergleich Ensemblemittelwerte“ CFD nS 20 ” Vergleich TM in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 1.3 −0.15

−0.15

0.15

0.15

0

0

Φ=90°

−0.15 SS*

0.8

0.6

r

0.4

2

0.2

−0.15 DS*

SS*

−0.15

−0.15

0.15

0.15

0

0.2

0.4

cr/u2 0.6

0.8

Trag

Deck

0.65

0.2

0.55

Φ=90°

0.0 0.8

0.6

c /u u

0.4

0.4

0.2

DS*

SS*

0.65

0.2

0.55

Φ=90°

0.0 0.2

0.4

c /u u

0.6

0.8

Φ=270° 0.2

0.4

0.8

0.6

Trag

Deck

154

0.4

Φ=270°

0.45

2

0.6

Φ=270°

0.45

2

0.4

Deck

0.6

−0.15

0.4

SS*

0.8

c /u r

2

0.2

DS*

0

Φ=90°

−0.15 Deck

Φ=270°

c /u

0.2

0.4

0.6

cr/u2 0.8

Trag

cu/u2 0.2

DS*

c /u u

0.8

2

Trag

E.3. VERGLEICH ENSEMBLEMITTELWERTE“ CFD NS 20 ”

155

Vergleich TM in der Messebene der nS 20-Pumpe, Q/QN = 0.5 Φ=90°

0.15

c /u r

0

0.6

0.4

Φ=90°

0.2

DS*

c /u r

SS*

0

−0.15

−0.15 0.2

0.4

0.6

Φ=60°

0.15

0.8

Trag

cr/u2

Deck

0

−0.15

−0.15 0.6

0.4

Φ=60°

0.15

0.2

DS*

cr/u2

SS*

0.2

0.4

0.6

Φ=120°

0.8

0.6

0.4

Φ=120°

0.2

DS*

c /u r

2

0.8

Trag

cr/u2

0.2

DS*

cr/u2

−0.15 0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

0.9

Deck

0.2

0.4

0.9

0.7

0.6

Φ=270°

0.8

Trag

c /u u

2

0.7

0.5

Φ=90° 0.8

0.6

0.5

c /u u

0.4

2

0.2

DS*

0.9

SS*

0.8

0.6

0.9

0.7

0.4

Φ=270°

0.2

DS*

c /u u

2

0.7

0.5 Deck

2

0

−0.15

SS*

0.4

Φ=270°

0.15

0

Deck

0.6

0.15

0

0.8

0.8

0.15

2

0

SS*

r

−0.15 0.8

0.15

Deck

c /u

0

−0.15 SS*

Φ=270°

0.15

2

Φ=90° 0.2

0.4

0.5

c /u u

0.6

0.8

2

Trag

Deck

155

0.2

0.4

0.6

0.8

Trag

156

Literaturverzeichnis [1] Abid, R.: Assessment of Two-Equation Turbulence Models for Predicting Transitional Flows. Workshop on Transition and Turbulence, New York, Springer Verlag, 1992, S. 485-497 [2] AIAA Guide: Guide for the Verification and Validation of Computational Fluid Dynamics Simulation. G-077, 1998 [3] Aysheshim, W.: Experimentelle Untersuchung der Wechselwirkung zwischen Laufrad und Leitrad und der Turbulenz in einer radialen Kreiselpumpenstufe. Dissertation TU Darmstadt, 2001 [4] Aysheshim, W.: Numerical and Experimental Investigation on a Centrifugal Pump Stage With and Without a Vaned Diffuser: Experimental Part. 20th IAHR Symposium, Charlotte, August 2000 [5] Batchelor, G.K.: An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge Univ. Press, Cambridge, England 1967 [6] Bauer, W.: Berechnung turbulenter Strömungen mit starken Stromlinienkr¨ ummungen beziehungsweise mit Rotation. Dissertation TU Darmstadt, 1998 [7] Bauer, W., Haag, O.: Comparison of Different Non-linear Eddy-Viscosity Models for Engineering Applications. John Wiley & Sons, 1998 [8] Boussinesq, J.: Theorie de l’écoulement tourbillant. Memoires presentés par diverse savants a` l’academie des sciences de l’institut de France, Vol. 23, No. 46, Paris, 1877 [9] Breitbach, C.: Numerische Berechnung transitionaler GrenzschichtStrömungen in axialen Turbinengittern. Dissertation TU Darmstadt, 2002 [10] Buice, C.U., Eaton, J.K.: Experimental Investigation of Flow Through an Asymmetric Plane Diffuser. Report No. TSD-107. Stanford University, USA, 1997 [11] Casey, M.V.: Validation of Turbulence Models for Turbomachinery Flows a Review. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002 156


157

[12] Casey, M., Wintergerste, T.: Best Practice Guidelines. ERCOFTAC Special interest group on ”Quality and Trust in Industrial CFD”, 2000 [13] Chapman, D.R., Kuhn, G.D.: The Limiting Behaviour of Turbulence Near a Wall. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 170, S. 265-292, 1986 [14] Chen, S.H., Liaw, L.F.: The Flowfield Calculations of a Centrifugal Pump with Volute. International Gas Turbine and Aeroengine Congress and Exhibition, Orlando, 1997 [15] Choudhury, D.: Introduction to the Renormalization Group Method and Turbulence Modelling. Fluent Technical Memorandum 107, 1993 [16] Dick, E., Vierendeels, J., Serbruyns, S. and vande Voorde, J.: Performance Predictions of Centrifugal Pumps with CFD-tools. Scientific Bulletin of Academic Computer Centre in Gdansk, Poland 2001 [17] DIN 1319: Grundlagen der Messtechnik - Auswertung von Messungen. Teil 3 und 4: Messunsicherheit, 1996 [18] Driver, D.M., Seegmiller, H.L.: Features of a Reattaching Turbulent Shear Layer in Divergent Channel Flow. AIAA Journal, Vol. 23, No. 2, S. 163-171, 1985 [19] Durbin, P.A.: A Perspective on Recent Developments in RANS Modelling. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002 [20] Durbin, P.A.: On the k-² Stagnation Point Anomaly. Technical Note, 1995 [21] Durbin, P.A., Pettersson Reif, B.A.: Statistical Theory and Modelling for Turbulent Flows. John Wiley & Sons, 2001 [22] Eulitz, F.: Numerische Simulation und Modellierung der instationären Strömung in Turbomaschinen. Dissertation DLR Köln, 2000 [23] Fatsis, A., Pierret, S., Van den Braembussche, R.: Three-Dimensional Unsteady Flow and Forces in Centrifugal Impellers with Circumferential Distortion of the Outlet Static Pressure. Journal of Turbomachinery, 94, Vol. 119, S. 94-102, 1997 [24] Ferziger, J.H., Perić, M.: Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer Verlag, 1999 [25] FLUENT6.0 Users Guide. FLUENT Inc., 2002 [26] Fritz, J.: Strömungswechselwirkungen in hydraulischen Maschinen. Dissertation TU M¨ unchen, 1999

157


158

[27] Fujita, H., Hirota, M. and Yokosawa, H.: Experiments on Turbulent Flow in a Square Duct With a Rough Wall. Int. Journal of Heat and Fluid Flow, Vol. 10, 1990 [28] Galpin, P.F., Broberg, R.B. and Hutchinson, B.R.: Three-dimensional Navier Stokes Predictions of Steady State Rotor/Stator Interaction with Pitch Change. Annual Conference of the CFD Society of Canada, 1995 [29] Gessner, F.B.: The Origin of Secondary Flow in Turbulent Flow Along a Corner. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 58, 1973 [30] Gugau, M.: Bericht zur numerischen Untersuchung der Strömung in einer VTG-Turbine. Turbomaschinen und Fluidantriebstechnik, TU Darmstadt, 2002 [31] Gugau, M., Matyschok, B., Stoffel, B.: Experimental and 3D Numerical Analysis of the Flow Field in a Turbocharger Compressor. 4th European Conference on Turbomachinery, S. 297-306, Florenz, 2001 [32] Hambrecht, J.: Experimentelle Analyse von Sekundärströmungsstrukturen und deren Auswirkung auf die Energieumsetzung in Kreiselpumpenlaufrädern. Dissertation TU Darmstadt, 1998 [33] Hanjalić, K., Launder, B.E., Schiestel R.: Multiple-Time-Scale Concepts in Turbulent Shear Flows. Turbulent Shear Flows, Vol. 2, S. 36-49, Springer Verlag, 1980 [34] Harten, A.: High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws. Journal of Computational Physics 49, Nr.3, S. 357-393 , 1983 [35] Hillewaert, K., Van den Braembussche, R.A.: Numerical Simulation of Impeller-Volute Interaction in Centrifugal Compressors. Journal of Turbomachinery, Vol. 121, S. 603-608, 1999 [36] Hodson, H.P.: Aspects of Unsteady Blade-Surface Boundary Layers and Transition in Axial Turbomachines. VKI Lecture Series 1991-06 : Boundary Layers in Turbomachines, Belgien, 1991 [37] v. Hoyningen-Huene, M., Hermeler, J.: Comparison of Three Approaches to Model Stator-Rotor Interaction in the Turbine Front Stage of an Industrial Gas Turbine. 3rd European Conference on Turbomachinery, S. 307-322, London, 1999 [38] Huser A. und Biringen S.: Direct Numerical Simulation of Turbulent Flow in a Square Duct. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 257, S.65-95, 1993 [39] Iaccarino, G.: Predictions of a Turbulent Separated Flow Using Commercial CFD Codes. Journal of Fluids Engineering, Vol. 123, S. 819ff, 2001 158


159

[40] Itter, L., Böhle, M.: Determining the Quality of Numerical Solutions of Flow Through Turbomachinery Components. ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, FEDSM2002-31319, Montreal 2002 [41] Jakirlić, S.: Swirling Flow in a Model Combuster With Heat Release. 9th ERCOFTAC/IAHR Workshop on Refined Turbulence Modelling, Case 9.1, TU Darmstadt, 2001 [42] Janicka, J.: Turbulenz. Skriptum zur Vorlesung an der TU Darmstadt, 1998 [43] Kaechele, T. , Hauff, C., Aschenbrenner, T.: Discussion of Several Numerical Approaches for the Stator-Rotor Interaction. Voith Hydro GmbH, Heidenheim, 2001 [44] Kalitzin, G. , Wu X. und Durbin, P.A.: DNS of Fully Turbulent Flow in a LPT Passage. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002 [45] Kato, M., Launder, B.E.: The Modelling of Turbulent Flow Around Stationary and Vibrating Square Cylinders. 9th Symposium on turbulent shear flows, Kyoto, 1993 [46] Khodak, A., Hirsch, C.: Second Order Non-Linear k-²-Models With Explicit Effect of Curvature and Rotation. Proceedings of the third ECCOMAS Congress, S. 690-696, John Wiley & Sons, 1996 [47] Korrell, C.: Einfluss der Laufrad-Spirale Kopplung sowie der Turbulenzmodellierung auf die numerische Berechnung einer nS 20-Pumpe. Studienarbeit TU Darmstadt, 2003 [48] Kim, J., Kline, S.J., Johnston, J.P.: Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step. Journal of Fluids Engineering, Vol. 102 , S. 302-308, 1980 [49] Kim, S.W., Chen, C.P.: A Multiple-Time-Scale Turbulence Model Based on Variable Partitioning of the Turbulent Kinetic Energy Spectrum. Numerical Heat Transfer, Part B, Vol. 16, S. 193-211, 1989 [50] Kim, S.W., Chen, C.P.: A Multiple-Time-Scale Turbulence Model Based on Variable Partitioning of the Turbulent Kinetic Energy Spectrum. NASA CR-179222, 1987 oder als AIAA 88-0221, 1988 [51] Kistner, B.: Modellierung und numerische Simulation der Nachlaufstruktur von Turbomaschinen am Beispiel einer Axialturbinenstufe. Dissertation TU Darmstadt, 1999 [52] Klein, M., Sadiki, A., Janicka J.: A Digial Filter Based Generation of Inflow Data for Spatially Developing Direct Numerical or Large Eddy Simulations, Journal of Computational Physics 186, S. 652-665, Academic Press 2003 159


160

[53] Kline, S.J., Cantwell, B.J., Lilley, G.M.: Stanford Conference on Complex Turbulent Flows. Comparison of Computation and Experiment. Stanford University, 1981 [54] Lakshminarayana, B.: Fluid Dynamics and Heat Transfer of Turbomachinery. John Wiley & Sons, 1996 [55] Launder, B.E., Spalding, D.B.: Lectures in Mathematical Models of Turbulence. Academic Press, London, 1972 [56] Lauer, J., Stoffel, B.: Theoretisch erreichbarer Wirkungsgrad. Abschlußbericht zum VDMA Forschungsvorhaben, TU Darmstadt, 1994 [57] Launder, B.E., Reece, G.J., Rodi, W.: Progress in the Development of a Reynolds-Stress Turbulence Closure. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 68, S. 537-566, 1975 [58] Lien, F.S., Chen, W.L., Leschziner, M.A.: Low-Reynolds-Number EddyVicosity Modelling Based on Non-Linear Stress-Strain/Vorticity Relations. 3rd Int. Symposium on Engineering Turbulence Modelling and Measurements, Kreta, 1996 [59] Lumley, J.L.: Computational Modelling of Turbulent Flows. Advances in applied Mechanics, Vol. 18, S. 124-176, 1978 [60] Majidi, K.: Numerische Berechnung der Sekundärströmung in radialen Kreiselpumpen zur Feststoffförderung. Dissertation TU Berlin, 1997 [61] Menter, F.R.: Zonal Two Equation k-ω Turbulence Models for Aerodynamic Flows. AIAA 93-2906, 1993 [62] Menter, F.R.: Assessment of Two-Equation Turbulence Models for Transonic Flows. AIAA 94-2343, 1994 [63] Meschkat, S.: Experimentelle Untersuchungen zur Erarbeitung und Validierung eines Simulationssystems f¨ ur Kreiselpumpen. Zwischenbericht zum FKM-Forschungsvorhaben Nr. 071760 des VDMA, 2002 [64] M¨ unch, A.: Beeinflussung des Wirkungsgrades von Pumpen. Dissertation TU Darmstadt, 2000 [65] Monson, D.J., Seegmiller, H.L., McConnaughey, P.K., Chen, Y.S.: Comparison of Experiment With Calculations Using Curvature-Corrected Zero- and Two-Equation Turbulence Models for a Two-Dimensional U-Duct. AIAA 90-1484, 1990 [66] Moore, J.G., Moore, J.: Realizability in Turbulence Modelling for Turbomachinery CFD. International Gas Turbine and Aeroengine, Indianapolis, Juni 1999 160


161

[67] Muggli, F.A., Eisele K., Zhang, Z., Casey, M.V.: Numerical Investigations of the Flow in a Pump Turbine in Pump Mode. 3rd European Conference on Turbomachinery, S. 997-1002, London, 1999 [68] Ng, E.Y.K., Tan, S.T.: Evaluation of Turbulence Models for Fluid Machinery Application. ASME/JSME Conference, San Francisco, Juli 1999 [69] Ojala, J., Rautaheimo, P., Siikonen, T.: Numerical Simulation of a Centrifugal Pump Using k-² Model Including the Effects of Rotation. Wiley & Sons, 1998 [70] Patel, V.C., Rodi, W., Scheuerer, G.: Turbulence Models for Near Wall and Low Reynolds Number Flows: A Review. AIAA Journal, Vol. 23, S. 1308-1319, 1985 [71] Patankar, S.V., Spalding, D.B.: A Calculation Procedure for Heat, Mass and Momentum Transfer in Three-Dimensional Parabolic Flows. Int. Journal of Heat and Mass Transfer, Vol. 15, S. 1778-1806, 1972 [72] Patel, D.P.: Performance Prediction in Complete Range of Centrifugal Pumps. 7th Technical Conference of the British Pump Manufacturers Association, York, 1981 [73] Pfleiderer, C.: Strömungsmaschinen, Springer Verlag, 6. Auflage 1991 [74] Phoenics Lectures, http://www.cham.co.uk [75] Pope, S.B.: Turbulent Flows. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 2000 [76] Pope, S.B.: A More General Effective Viscosity Hypothesis. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 72, No.2, S. 331-340, 1975 ¨ [77] Prandtl, L.: Uber Fl¨ ussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. III. Int. Math. Kongr. Heidelberg, S. 484-491, 1904 [78] Roache, P.J.: Verification and Validation in Computational Science and Engineering. hermosa publishers, Albuquerque, 1998 [79] Richardson, L.F.: The Approximate Arithmetical Solution by Finite Differences of Physical Problems Involving Differential Equations With an Application to the Stresses in a Mansonry. dam. Trans. Royal Society of London, Series A, 210, S. 307-357, 1910 [80] Riedel, N.: Rotor-Stator Wechselwirkung in Hydraulischen Maschinen. Dissertation TU M¨ unchen, 1997 [81] Ritzinger, S.: Simulation realer Laufradströmungen. Dissertation TU M¨ unchen, 1997 161


162

[82] Roback, R., Johnson, B.V.: Mass and Momentum Transport Experiments with Confined Swirling Coaxial Jets. NASA CR-168252, 1983 [83] Rodi, W.: The Prediction of Free Boundary Layers by Use of a TwoEquation Model of Turbulence. Ph.D. Thesis University of London, 1972 [84] Ruprecht, A.: Unsteady Flow Simulation in Hydraulic Machinery. Seminar CFD for Turbomachinery Applications, Danzig, September 2001 [85] Ruprecht, A., Helmrich, T., Aschenbrenner, T., Scherer, T.: Simulation of Vortex Rope in a Turbine Draft Tube. 21th IAHR Symposium, Lausanne, 2002 [86] Schaad, C.: Validierung eines mehrskaligen Turbulenzmodells in einem Navier-Stokes-Rechencode anhand der Berechnung von Standard-Testfällen. Diplomarbeit TU Darmstadt, 2003 [87] Schaefer, M.: Numerik im Maschinenbau. Springer Verlag, 2000 [88] Schenkel, S.: Modellierung und numerische Simulation der Strömungsvorgänge am Laufradeintritt von Turboarbeitsmaschinen. Dissertation TU Darmstadt, 1998 [89] Schiestel, R.: Multiple-Time-Scale Modelling of Turbulent Flows in One Point Closures. Physics of Fluids, Vol. 30(3), 1987 [90] Schilling, R.: CFD-Aided Design of Hydraulic Machinery Bladings. Intensive Course on CFD, Ljubljana, 1991 [91] Schilling, R., Riedel, N., Ritzinger, S.: A Critical Review of Numerical Models Predicting the Flow through Hydraulic Machiney Bladings. 17th IAHR Symposium, Bejing, September 1994 [92] Schlichting, H., Gersten, K.: Grenzschicht-Theorie. Springer Verlag, 1997 [93] Schumann, U.: Realizability of Reynolds-Stress Turbulence Models. Physics of Fluids, Vol. 20, S. 721-725, 1977 [94] Sedlar, M., Mensik, P.: Investigation of Rotor-Stator Interaction Influence on Flow Fields in Radial Pump Flows. 3rd European Conference on Turbomachinery, S. 1017-1025, London, 1999 [95] Sedlar, M., Vlach, M., Soukal, J.: Numerical and Experimental Investigation of Flow in Axial Flow Hydraulic Machinery. 3rd European Conference on Turbomachinery, S. 1007-1016, London, 1999 [96] Shi, F., Tsukamoto, H.: Numerical Study of Pressure Fluctuations Caused by Impeller-Diffuser Interaction in a Diffuser Pump Stage. Journal of Fluids Engineering, Vol. 123, S. 466-474, 2001 162


163

[97] Shih, T.H., Zhu, J., Lumley, J.L.: A Realizable Reynolds Stress Algebraic Equation Model. NASA TM105993, 1993 [98] Shuliang, C.: Three-Dimensional Turbulent Flow in a Centrifugal Pump Impeller Under Design and Off-Design Operating Conditions. ASME Fluids Engineering Division Summer Meeting, FEDSM99-6872, 1999 [99] Skoda, R., Richter, R., Schilling, R.: Abschlußbericht zum VDMAForschungsvorhaben: NS3D-Code f¨ ur Pumpenstufen. TU M¨ unchen, Februar 2000 [100] Skoda, R.: Numerische Simulation abgelöster und transitionaler Strömungen in Turbomaschinen. Dissertation TU M¨ unchen, 2003 [101] Skoda, R.: Numerical and Experimental Investigation on a Centrifugal Pump Stage With and Without a Vaned Diffuser: Numerical Part. 20th IAHR Symposium, Charlotte, August 2000 [102] Skoda, R., Einzinger, J.: Strukturiertes Rechengitter eines Pumpenlaufrades f¨ ur NS3D, persönliche Mitteilung, 2002 [103] Smagorinsky, J.S.: General Circulation Experiments With the Primitive Equations I, the Basic Experiment. Monthly Weather Review, 91:99164,1963 [104] Spalart, P.R.: Strategies for Turbulence Modelling and Simulations. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 4, oder Elsevier Verlag, 1999 [105] Speziale, C.G.: On Nonlinear k-l and k-² Models of Turbulence. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 178, 1987 [106] Spurk, J.H.: Strömungslehre - Einf¨ uhrung in die Theorie der Strömungen. Springer Verlag, 1993 [107] Stawiarski, K., Hanjalić, K.: A Two Scale Second Moment One Point Turbulence Closure. Engineering Turbulence Modelling and Experiments 5, 2002 [108] Stern, F., Coleman, H.W., Wilson, R.V., Paterson, E.G.: Verification and Validation of CFD Simulations. Proceedings of the 3rd ASME/JSME Joint Fluids Engineering Conference, San Francisco, 1999 [109] Stoffel, B.: Turbomaschinen I und II. Skriptum zur Vorlesung an der TU Darmstadt, 2000 [110] Stone, H.L.: Iterative Solution of Implicit Approximations of Multidimensional Partial Differential Equations. SIAM Journal of Numerical Analysis, Vol. 5, S. 530-558, 1968 163


164

[111] Tamm, A.: Beitrag zur Bestimmung der Wirkungsgrade einer Kreiselpumpe durch theoretische, numerische und experimentelle Untersuchungen. Dissertation TU Darmstadt, 2002 [112] Tennekes, H., Lumley, J.L.: A First Course in Turbulence. The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1972 [113] Thurso, J.: Numerische Simulation des Grenzschichtverhaltens in Turbinengittern unter periodisch-instationären Strömungsbedingungen. Dissertation TU Darmstadt, 2001 [114] Traupel, W.: Thermische Strömungsmaschinen, Springer Verlag, 1977 [115] Treutz, G.: Numerische Simulation der instationären Strömung in einer Kreiselpumpe. Dissertation TU Darmstadt, 2002 [116] Unger, D.: Numerische Simulation des laminar-turbulenten Grenzschichtumschlags unter Turbomaschinenbedingungen. Dissertation TU Darmstadt, 1999 [117] Von Kármán Institut: Introduction to the Modelling of Turbulence. Lecture Series 1997-03, Belgien, 1997 [118] Wang, Z.: Numerical Analysis of Massive Separation Control on Turbomachine Blades Using Synthetic Jet. Dissertation TU Darmstadt, 2003 [119] Wilcox, D.C.: Turbulence Modelling for CFD. DCW Industries California, 1998 [120] Wilcox, D.C.: Reassessment of the Scale-Determining Equation for Advanced Turbulence Models. AIAA Journal, Vol. 26, S. 1299-1310, 1988 [121] Wu, C.H.: A General Theory of the 3D Flow in Subsonic and Supersonic Turbomachines of Axial, Radial and Mixed Flow Type. NACA TN-2604, 1952 [122] Yakhot, V., Orszag, S.A.: Renormalization Group Analysis of Turbulence. I. Basic Theory. Journal of Scientific Computing, Vol. 1, No.1, S. 1-51, 1986 [123] Zimnitzki, A.: Beitrag zur optimalen Gestaltung des Spiralgehäuses einer Kreiselpumpe. Dissertation TU Dresden, 2000

164

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Informal Private Debt: Ein Beitrag zur innovativen Finanzwirtschaft von Unternehmen

Faustus Von Mileve: Ein Beitrag Zur Geschichte Des Abendländischen Manichäismus

Stromungsmechanischer Beitrag zur Planung von Herzoperationen

Kontaktmechanik und Reibung: Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation (German Edition)

Grundlagen der numerischen Mathematik

Personaltheorie als Beitrag zur Theorie der Unternehmung

Die wissenschaftliche Zuganglichkeit von Kriminalitat: Ein Beitrag zur Erkenntnistheorie der Sozialwissenschaften

Identifikation und Ausschöpfung von Up-Selling-Potenzialen: Ein Beitrag zur Segmentierung von Aufsteigern

Berechnung von Drehstromnetzen

Ein Beitrag zur Ableitung regelbasierter Modelle aus Zeitreihen German

Hethitische Orakel, Vorzeichen und Abwehrstrategien: Ein Beitrag zur hethitischen Kulturgeschichte

Stilanalytische Untersuchungen zum Kolosserbrief als Beitrag zur Methodik von Sprachvergleichen

Okonomik der Marke: Ein Beitrag zum Theorienpluralismus in der Markenforschung

Der Resilienzprozess: Ein Modell zur Bewaltigung von Krankheitsfolgen im Arbeitsleben

Die Wunderheilungen von Epidauros. Ein Beitrag zur Geschichte der Medizin und der Religion (Philologus Suppl. XXII, Heft III)

Die arabische Literatur der Juden : ein Beitrag zur Literaturgeschichte der Araber, Grossenteils aus Handschriftlichen Quellen

Ein Beitrag zur Kenntniss der Cephalopodenfauna der Ornatenthone im Gouvernement Rjäsan (Kussland)

Risikomanagement in der Immobilienwirtschaft: Ein Beitrag zur Verbesserung der Risikoanalyse und -bewertung

Von der Papyrologie zur Romanistik

Handbuch Validierung in der Analytik

Ein Beitrag zur Integration von Sensoren in eine anthropomorphe kunstliche Hand mit flexiblen Fluidaktoren German

Strategisches Mehrmarkencontrolling: Ein Beitrag zur integrierten und dynamischen Koordination von Markenportfolios

Ein Märchen von der Scheibenwelt

Ein Beitrag zur Verbesserung und Erweiterung der Lidar-Signalverarbeitung fur Fahrzeuge German

Biomasse in Baden-Wurttemberg - ein Beitrag zur wirtschaftlichen Nutzung der Ressource Holz als Energietrager German

Der verwaltungsrechtliche Vertrag: Ein Beitrag zur Handlungsformenlehre (Forschungen aus Staat und Recht) (German Edition)

Soziologie der Jesusbewegung. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte des Urchristentums, 4. Auflage (Theologische Existenz Heute 194)

Die Minderung der Schadensersatzpflicht im spanischen Recht: Ein Beitrag zur Vereinheitlichung des europaischen Schadensrechts

Die groсe Lüge - Beitrag zur Kriegsschuld-Frage

Sophilos: Ein Beitrag zu seinem Stil (Keramikforschungen)

Ein Beitrag zur Validierung der numerischen Berechnung von Kreiselpumpen

Informal Private Debt: Ein Beitrag zur innovativen Finanzwirtschaft von Unternehmen

Faustus Von Mileve: Ein Beitrag Zur Geschichte Des Abendländischen Manichäismus

Stromungsmechanischer Beitrag zur Planung von Herzoperationen

Kontaktmechanik und Reibung: Ein Lehr- und Anwendungsbuch von der Nanotribologie bis zur numerischen Simulation (German Edition)

Grundlagen der numerischen Mathematik

Personaltheorie als Beitrag zur Theorie der Unternehmung

Die wissenschaftliche Zuganglichkeit von Kriminalitat: Ein Beitrag zur Erkenntnistheorie der Sozialwissenschaften

Identifikation und Ausschöpfung von Up-Selling-Potenzialen: Ein Beitrag zur Segmentierung von Aufsteigern

Berechnung von Drehstromnetzen

Ein Beitrag zur Ableitung regelbasierter Modelle aus Zeitreihen German

Hethitische Orakel, Vorzeichen und Abwehrstrategien: Ein Beitrag zur hethitischen Kulturgeschichte

Stilanalytische Untersuchungen zum Kolosserbrief als Beitrag zur Methodik von Sprachvergleichen

Okonomik der Marke: Ein Beitrag zum Theorienpluralismus in der Markenforschung

Der Resilienzprozess: Ein Modell zur Bewaltigung von Krankheitsfolgen im Arbeitsleben

Die Wunderheilungen von Epidauros. Ein Beitrag zur Geschichte der Medizin und der Religion (Philologus Suppl. XXII, Heft III)

Die arabische Literatur der Juden : ein Beitrag zur Literaturgeschichte der Araber, Grossenteils aus Handschriftlichen Quellen

Ein Beitrag zur Kenntniss der Cephalopodenfauna der Ornatenthone im Gouvernement Rjäsan (Kussland)

Risikomanagement in der Immobilienwirtschaft: Ein Beitrag zur Verbesserung der Risikoanalyse und -bewertung

Von der Papyrologie zur Romanistik

Handbuch Validierung in der Analytik

Ein Beitrag zur Integration von Sensoren in eine anthropomorphe kunstliche Hand mit flexiblen Fluidaktoren German

Strategisches Mehrmarkencontrolling: Ein Beitrag zur integrierten und dynamischen Koordination von Markenportfolios

Ein Märchen von der Scheibenwelt

Ein Beitrag zur Verbesserung und Erweiterung der Lidar-Signalverarbeitung fur Fahrzeuge German

Biomasse in Baden-Wurttemberg - ein Beitrag zur wirtschaftlichen Nutzung der Ressource Holz als Energietrager German

Der verwaltungsrechtliche Vertrag: Ein Beitrag zur Handlungsformenlehre (Forschungen aus Staat und Recht) (German Edition)

Soziologie der Jesusbewegung. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte des Urchristentums, 4. Auflage (Theologische Existenz Heute 194)

Die Minderung der Schadensersatzpflicht im spanischen Recht: Ein Beitrag zur Vereinheitlichung des europaischen Schadensrechts

Die groсe Lüge - Beitrag zur Kriegsschuld-Frage

Sophilos: Ein Beitrag zu seinem Stil (Keramikforschungen)

Recommend Documents