Ubungsbuch Mathematik fur Fachschule Technik und Berufskolleg, 2. Auflage: Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausfuhrlichen Losungen

Heinz Rapp | J. Matthias Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Heinz Rapp | J. Matthias ...

Author: Heinz Rapp | Jorg Matthias Rapp

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Heinz Rapp | J. Matthias Rapp Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg

Heinz Rapp | J. Matthias Rapp

Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg Anwendungsorientierte Aufgaben mit ausführlichen Lösungen 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 328 Abbildungen STUDIUM

Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage 2007 2., überarbeitete und erweiterte Auflage 2011 Alle Rechte vorbehalten © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011 Lektorat: Thomas Zipsner | Imke Zander Vieweg+Teubner Verlag ist eine Marke von Springer Fachmedien. Springer Fachmedien ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media. www.viewegteubner.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: KünkelLopka Medienentwicklung, Heidelberg Technische Redaktion: Stefan Kreickenbaum, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: MercedesDruck, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Printed in Germany ISBN 978-3-8348-1477-7

V

Vorwort Mathematische Kenntnisse lassen sich durch ständiges Üben und Wiederholen festigen. Dem vielfachen Wunsch, für das Lehrbuch „Mathematik für die Fachschule Technik“ ein Lösungsbuch bereitzustellen, in dem der Lösungsweg mit allen Zwischenschritten dargelegt ist, wird mit diesem Buch entsprochen. Da das Übungsbuch zunehmend auch dazu verwendet wird, sich auf die Fachhochschulreifeprüfung vorzubereiten, wurde in der vorliegenden Auflage das Gebiet der Differential- und der Integralrechnung, sowie der Vektorrechnung durch zusätzliche Aufgaben erweitert. Das Buch hat das Ziel, vielen, die aus der Mathematik Lücken mitbringen, zu einem besseren Verständnis für die mathematischen Zusammenhänge zu verhelfen. Für den Gebrauch des Buches wird empfohlen, die Aufgaben erst selbst durch einen eigenen Lösungsweg zu lösen. Vielfach wird sich dabei zeigen, dass es in manchen Fällen auch andere Lösungswege gibt, als sie in dem Buch dargelegt sind. So kann das Buch hilfreich sein für die Vorbereitung zu Klausuren und Prüfungen. Da der Stoff bis zur Fachhochschulreife und teilweise darüber hinausgeht, kann es auch eine Hilfe sein für die Anfangssemester in den verschiedenen Studiengängen einer Hochschule. Wir wünschen deshalb allen Interessierten ein gutes Arbeiten mit diesem Buch und einen guten Erfolg insbesondere auch beim Selbststudium. Stuttgart, im November 2010

Heinz Rapp J. Matthias Rapp

Ein besonderes Wort des Dankes an ... ... Herrn Dipl.-Ing. Thomas Zipsner vom Lektorat Maschinenbau des Verlages für seine wertvollen Anregungen und für seine stets entgegenkommende Unterstützung, die sehr zum Gelingen des Buches beigetragen haben. ... Herrn Stefan Kreickenbaum von der Technischen Redaktion des Verlages für das gute Gelingen der textlichen Ausgestaltung.

VII

Inhaltsverzeichnis

A Algebra 1

2

3

4

Elementare Rechenoperationen ....................................................................

1

1.1 1.2

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division .................................... Potenzen, Wurzeln und Logarithmen ......................................................

1 3

Algebraische Gleichungen .............................................................................

11

2.1 2.2 2.3

Lineare Gleichungen ................................................................................ Quadratische Gleichungen ...................................................................... Wurzelgleichungen ..................................................................................

11 21 27

Ungleichungen ................................................................................................

36

3.1 3.2

36 38

Einfache lineare Ungleichungen .............................................................. Bruchungleichungen ................................................................................

Lineare Gleichungssysteme ..........................................................................

40

4.1 4.2 4.3

Konventionelle Lösungsverfahren ........................................................... Gauß´sches Eliminationsverfahren (Gauß´scher Algorithmus) ............... Determinantenverfahren ..........................................................................

40 47 53

5

Lineares Optimieren .......................................................................................

58

6

Exponential- und Logarithmusgleichungen .................................................

69

6.1 6.2

69 75

Exponentialgleichungen ........................................................................... Logarithmusgleichungen .........................................................................

B Geometrie 7

8

Längenberechnungen am Dreieck ................................................................

78

7.1 7.2

79 87

Trigonometrie .................................................................................................. 101 8.1 8.2

9

Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) ........................................................... Pythagoras ...............................................................................................

Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck .......................................... 101 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck ......................................... 111

Analytische Geometrie ................................................................................... 124 9.1 9.2

Geraden und Strecken ............................................................................. 124 Kreis und Gerade ..................................................................................... 126

VIII

Inhaltsverzeichnis

10 Flächenberechnung (Planimetrie) ................................................................. 135 10.1 Geradlinig begrenzte Flächen ................................................................. 135 10.2 Kreisförmig begrenzte Flächen ................................................................ 139 11 Volumenberechnung (Stereometrie) ............................................................. 155 11.1 Prismatische Körper ................................................................................ 155 11.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper ........................................... 160 11.3 Kugelförmige Körper ................................................................................ 167

C Differentialrechnung 12 Funktionen und Relationen ............................................................................ 174 12.1 12.2 12.3 12.4

Ganzrationale Funktionen ........................................................................ Gebrochenrationale Funktionen .............................................................. Exponentialfunktionen ............................................................................. Trigonometrische Funktionen ..................................................................

174 183 185 187

13 Differentiation elementarer Funktionen ........................................................ 191 13.1 Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen ....................... 191 13.2 Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen ....................... 193 14 Allgemeine Ableitungsregeln ........................................................................ 194 14.1 14.2 14.3 14.4

Produktregel ............................................................................................. Quotientenregel ....................................................................................... Kettenregel ............................................................................................... Logarithmische Ableitung ........................................................................

194 198 201 204

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen ...... 207 15.1 15.2 15.3 15.4

Tangente und Normale ............................................................................ Kurvendiskussion ..................................................................................... Funktionssynthese ................................................................................... Extremwertaufgaben ................................................................................

207 212 221 232

16 Newton’sches Näherungsverfahren ............................................................. 243 17 Gebrochenrationale Funktionen ................................................................... 250 18 Trigonometrische Funktionen ....................................................................... 252 18.1 Kurvendiskussion ..................................................................................... 252 18.2 Funktionssynthese ................................................................................... 259 18.3 Extremwertaufgaben ................................................................................ 260 19 Exponentialfunktionen ................................................................................... 261 19.1 Kurvendiskussion ..................................................................................... 261 19.2 Funktionsgleichungen aus Vorgaben ...................................................... 270

Inhaltsverzeichnis

IX

D Integralrechnung 20 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung ................................... 272 20.1 Ganzrationale Funktionen ....................................................................... 272 20.2 Trigonometrische Funktionen .................................................................. 277 20.3 Exponentialfunktionen ............................................................................. 281 21 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung ...................................... 285 22 Rotationsvolumen ........................................................................................... 291 22.1 Rotation um die x-Achse .......................................................................... 291 22.2 Rotation um die y-Achse .......................................................................... 293

E Vektorrechnung 23 Vektoroperationen (Vektoralgebra) ............................................................... 296 23.1 Vektorbetrag, Addition, Subtraktion ......................................................... 296 23.2 Produkte von Vektoren ............................................................................ 302 24 Analytische Geometrie auf Vektorbasis ....................................................... 305 24.1 Geraden ................................................................................................... 305 24.2 Ebenen ..................................................................................................... 308 25 Anwendungen der Vektorrechnung .............................................................. 311

F Komplexe Rechnung 26 Komplexe Arithmetik ...................................................................................... 317 27 Anwendungen der komplexen Rechnung .................................................... 326

1

A Algebra

1 Elementare Rechenoperationen 1.1 Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Hinweis: Lehrbuch Kapitel 2

1.1.1

Berechnen Sie den Wert der Bruchdifferenz 1 1 1 − − 1 1 3 7 − 3 7

Brüche lassen sich zusammenfassen, wenn sie gleichnamig sind. Deshalb wollen wir die Brüche durch Erweitern gleichnamig machen: 1 1⋅7 1⋅3 1 (7 + 3) 1 10 − − = − = − − 7 3 4 1⋅7 1⋅3 3 ⋅7 7 ⋅3 21 21 − 21 21 3 ⋅7 7 ⋅3

Ein Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Dadurch werden Doppelbrüche beseitigt.

21⋅ 21 10 ⋅ 4 441− 40 401 − = = 4 ⋅ 21 21⋅ 4 4 ⋅ 21 84

1.1.2

Berechnen Sie den Bruchterm 1− x +

x 1 1− x 2

−

x 1 −x x

Da wir es hier mit Doppelbrüchen zu tun haben, müssen wir diese der Reihe nach durch Erweitern und Zusammenfassen in Einfachbrüche umwandeln. x 1− x +

1

x

− 1 −x 1− x 2 x

=

x x⋅x 1− x + − 2 ⎛ ⎞ 1 1− x ⎜ − x ⎟⋅ x ⎝x ⎠ 1

x

= 1− x +

x2 − 1− x 2 1− x 2

H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_1, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

1

2

1 Elementare Rechenoperationen

Jetzt können die gleichnamigen Brüche des Nenners zusammengefasst werden. x x x = = 1− x + 1 2 − x 1− x 2 1− x + 1− x 2

1.1.3

Berechnen Sie den Bruchterm a+b a −b − a−b a+b b b(b - a) − 2 a + b a + 2ab + b2

Um die Doppelbrüche in einen Einfachbruch umwandeln zu können, müssen die Brüche des Zählers und die Brüche des Nenners zusammengefasst werden. Dies ist aber nur möglich, wenn sie durch Erweitern mit dem Hauptnenner gleichnamig gemacht worden sind.

a2 + 2ab + b2 (a2 − 2ab + b2 ) 4ab (a + b)(a + b) (a − b)(a − b) − − 2 2 2 2 2 (a − b)(a + b) (a + b)(a − b) a −b a −b a − b2 = = b(a + b) b(b − a) 2ab (b2 − ab) ab + b2 − 2 − 2 (a + b)(a + b) a + 2ab + b (a + b)2 a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2

Diese Doppelbrüche vereinfachen wir, indem wir den Bruch des Zählers mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren und den Bruch durch Kürzen vereinfachen. 4ab 2

a −b

1.1.4

⋅ 2

(a + b)2 2ab

=

4ab(a + b)(a + b) (a + b) = 2⋅ 2ab(a − b)(a + b) (a − b)

Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R der parallel geschalteten Widerstände aus 1 1 1 1 = + + R R1 R2 R3

Diese Aufgabe lässt sich auf verschiedene Weise lösen: 1. Wir lösen die Gleichung unmittelbar nach R auf und erhalten einen Doppelbruch, der in der gewohnten Weise umgeformt werden muss. R=

R=

1 1 1 1 + + R1 R2 R3

1⋅R1R2R3 R1R2R3 = ⎛ 1 1 1 ⎞ R2R3 + R1R3 + R1R2 + ⎜ + ⎟⋅R1R2R3 ⎝ R1 R2 R3 ⎠

1.2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

3

2. Wir addieren die Brüche auf der rechten Seite. Diese müssen jedoch wieder durch Erweitern gleichnamig gemacht werden. 1 1⋅R2R3 1⋅R1R3 1⋅R1R2 R R + R1R3 + R1R2 = + + = 2 3 R R1⋅R2R3 R2 ⋅R1R3 R3 ⋅R1R2 R1R 2R3

Durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner R R1R2R3 und Umformung erhalten wir R=

R1⋅R2 ⋅R3 R2 ⋅R3 + R1⋅R3 + R1⋅R2

Anmerkung: Zum gleichen Ergebnis kommt man, wenn man die Brüche einfach umdreht, d. h. auf jeder Gleichungsseite Zähler und Nenner vertauscht. Dies ist jedoch nur möglich, wenn auf jeder Seite nur noch ein Bruch steht und der Bruchstrich gleichsam die gemeinsame „Drehachse“ darstellt.

3 Beispiel: 1 = 1 + 1 = 1 + 2 = und daraus x = 4 . Die Rechnung x = 4 + 2 = 6 ist bekanntlich falsch. x 4 2 4 2⋅2 4 3 1 1 1

1.2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen Hinweis: Lehrbuch Kapitel 6, 7 und 18

1.2.1

Fassen Sie folgende Terme zusammen ⎛ e x + e−x ⎞2 ⎛ e x − e−x ⎞2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ e x + e−x ⎞2 ⎛ e x − e−x ⎞2 (e x + e−x )2 − (e x − e−x )2 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ −⎜ ⎜ ⎟ = 2 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

1.2.2

(e x )2 + 2e x e−x + (e−x )2 − (e x )2 + 2e x e−x − (e−x )2 =1 4

Berechnen Sie die Wurzelwerte von 1 4 a) 2401⋅ 5 125 ⋅ 5 625 ab 3 b) ab ⋅ (ab)2 ⋅ 6 (ab)5

Wir wandeln die Wurzeln um in Potenzen und fassen diese zusammen. 4

a)

2401⋅ 5 125 ⋅ 5 3

−4 5

= 7 ⋅5 5 ⋅5

=

1

1 625

3−4 5

7 ⋅5 5

1

−1 5

= (2401) 4 ⋅(125 ) 5 ⋅(625 ) −1 7 = 7 ⋅5 5 = 5 5

(

1 4 4

= (7 )

) (

1 3 5

⋅ (5 )

) (

⋅ (5 )

1 4 −5

)

4


3

b)

ab

2

ab⋅ (ab) ⋅

6

(ab)5

1 2 ⎞2 ⎛ =⎜ ab⋅(ab) 3 ⎟ ⋅

⎝

⎠

ab 5

( ab) 6

=

⎛ 1 1 1 1⎞ 3 3 ab⋅⎜ ⎜ a 2 ⋅ b 2 ⋅ a ⋅b ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 5

5

a 6 ⋅b 6 Nun fassen wir die Potenzterme mit den gleichen Grundzahlen zusammen und kürzen den Bruch so weit wie möglich.

=

⎛ 1+ 1 1+ 1⎞ ⎜ a 2 3 ⋅b 2 3 ⎟ ⎟⋅ab ⎜ ⎝ ⎠ 5

5

=

⎛ 5 5⎞ ⎜ a 6 ⋅b 6 ⎟ ⎟⋅ab ⎜ ⎝ ⎠ 5

a 6 ⋅b 6

1.2.3

5

= ab

a 6 ⋅b 6

Fassen Sie folgende Terme zusammen x2 1 − 1− x

2

+ x − 1− x 2

Wenn im Nenner Binome (zweigliedrige Terme) vorkommen, wird der Bruchterm entsprechend der binomischen Formel (a − b)(a + b) = a2 − b2 so erweitert, dass die Wurzel im Nenner wegfällt. Wir machen den Nenner wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom. x2

2

1 − 1− x =

(

2

+ x − 1− x =

x 2 ⋅ 1+ 1− x 2 12 −

(

(

1− x 2

)

2

)+x−

(

x 2 ⋅ 1+ 1 − x 2

(1−

)

2

2

1− x

2

+ x − 1− x 2

)⋅(1+ 1− x ) x ⋅(1+ 1− x ) = +x−

1− x

2

2

2 1 − (1− x 2 )

1− x 2

x2

)

= 1+ 1− x 2 + x − 1− x 2 = 1+ x

1.2.4

Fassen Sie folgende Terme zusammen (a − b)( 3a − 3b ) a+ b

Wir machen den Nenner wieder wurzelfrei und damit rational durch Erweitern mit dem geeigneten Binom (vgl. vorige Aufgabe!) (a − b) ( 3a − 3b ) a+ b

=

(a − b) ( 3a − 3b )( a − b )

(

a + b )( a − b ) 2

= 3 ( a − b)

2

(a − b) 3 ( a − b ) = a−b


1.2.5

5

Fassen Sie folgende Terme zusammen ax 4x ⋅ a a ⋅(x − 1) + − 2a − 8 a−4 a + 2⋅ a

ax a + 2⋅ a =

+

ax ⋅(a − 2⋅ a ) 4x ⋅ a a ⋅(x − 1) 4x ⋅ a a ⋅(x − 1) − = + − 2a − 8 a−4 (a + 2⋅ a )⋅(a − 2⋅ a ) 2(a − 4) a − 4

ax ⋅(a − 2⋅ a ) a2 − (2⋅

a )2

+

2x ⋅ a a ⋅(x − 1) ax ⋅(a − 2⋅ a ) 2x ⋅ a ax − a − = + − (a − 4) a−4 a−4 a−4 a2 − 4a

=

ax ⋅(a − 2⋅ a ) 2x ⋅ a ax − a x ⋅(a − 2⋅ a ) 2x ⋅ a ax − a + − = + − a(a − 4) a−4 a−4 a−4 a−4 a−4

=

ax − 2x ⋅ a + 2x ⋅ a − ax + a a = a−4 a−4

1.2.6

Fassen Sie folgende Wurzelterme so weit wie möglich zusammen an+bn

(x + y)a + b +

an − bn

(x + y)a − b

1. Wurzeln lassen sich in Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen umwandeln n m

und umgekehrt:

a

m

=an

2. Werden Potenzen oder Wurzeln addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so haben die Rechenoperationen 3. Ordnung Vorrang. Im vorliegenden Fall wandeln wir die Wurzeln in Potenzen um und vereinfachen die Hochzahl durch Kürzen. a+b

a−b

a+b

a −b

1

1

(x + y) an + bn + (x + y) an − bn = (x + y) n (a + b) + (x + y) n (a − b) = (x + y) n + (x + y)n

Diese Potenzen wandeln wir wieder in Wurzeln um: n

x + y + n x + y = 2⋅ n x + y

1.2.7

Fassen Sie zusammen und vereinfachen Sie die Terme 2a

a2 + x 2

+

2x 2 a(a2 + x 2 )

(a2 − x2 )⋅(−2x ) − (a2 − x2 )⋅2x ⋅ 2 2 − x2 2 (a2 + x 2 ) a ( ) 1

+ 1−

2

(a2 + x2 )

6


Wir wollen zunächst den Wurzelradikanden und damit die Wurzel durch Zusammenfassen umformen: 2

2

2

2

(a2 − x2 ) = (a2 + x2 ) − (a2 − x2 ) = (a2 + x2 ) − (a2 − x2 ) 1− 2 2 2 2 ( a2 + x 2 ) (a2 + x2 ) (a2 + x2 ) (a2 + x2 ) (

) (

) (

) (

)

⎛ 2 ⎞⎛ ⎞ ⎜ a + x2 − a2 − x2 ⎟⋅⎜ a2 + x2 + a2 − x2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ = = 2 2 2 (a + x )

2x2 ⋅ 2a2 (a2 + x2 )2

2

2ax = 2 a + x2

Damit können wir den daraus entstandenen Doppelbruch mit dem Kehrwert formulieren und wir erhalten:

(a2 + x2 ) (a2 − x 2 )⋅(−2x ) − (a2 − x2 )⋅2x 2x 2 ⋅ + + 2 2ax a2 + x 2 a(a2 + x 2 ) ( a2 + x 2 ) 2a

Daraus ergibt sich durch Kürzen und Zusammenfassen: 2a a

2+

x

+ 2

2x 2 a (a 2 + x 2 )

+

(

)

(

)

2 2 a2 − x 2 ⋅(−4x ) 1 2a 2x 2 1 a − x ⋅(−2) ⋅ = 2 + + ⋅ 2ax a + x 2 a (a 2 + x 2 ) a a2 + x 2 a2 + x 2

(

)

(

)

Diese Brüche müssen nun auf gleichen Nenner gebracht werden, damit sie zusammengefasst werden können. 2a ⋅a a ⋅(a2 + x 2 )

=

1.2.8

+

2x 2 a ⋅(a2 + x 2 )

+

(a2 − x2 )⋅(−2) 2a2 + 2x2 − 2a2 + 2x2 = a ⋅(a2 + x 2 ) a ⋅( a 2 + x 2 )

4x 2 a⋅(a2 + x 2 )

Aus einer Extremwertaufgabe ergaben sich für einen Kegel folgende optiV V und Radius r = 3 male Größen h = . 2 π 2 π⋅r

Wie verhält sich die Höhe h zum Durchmesser d = 2r des Grundkreises? Bildet man das Verhältnis h/d, so erhält man: V ⎛ V ⎞2 V 3 π⋅⎜ ⎜ 2π ⎟ ⎟ 2 h V V ⎝ ⎠ π⋅ r = = = = 2 3 d V V ⎛ ⎞ ⎛ V V V 3 V 3 V ⎞ 2⋅ 3 2⋅ 3 3 3 3 ⎜ ⎟⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⋅ 2 π⋅⎜ 2 π⋅⎜ ⎟ ⎟ 2π 2π 2π 2π 2π ⎠ ⎝ 2π ⎠ ⎝ 2π


7

Wir fassen die dritten Wurzeln zusammen nach der Beziehung 3 2 3 a ⋅ a

= 3 a⋅ a ⋅ 3 a = 3 a ⋅a⋅a = 3 a3 = a

oder 3 2 3 a ⋅ a

= 3 a2 ⋅a1 = 3 a3 = a

h V V ⋅2π = = = 1: 1 d 2 π⋅ V 2 π⋅ V 2π

und erhalten

d. h. Durchmesser d und Höhe h müssen gleich sein.

Logarithmen Für das Rechnen mit Logarithmen benötigen wir folgende Logarithmengesetze, die sich aus den Potenzgesetzen ergeben. logc (a ⋅b) = logc a + logc b logc an = n⋅logc a

( ) logc ( n a ) = n1 ⋅logc

logc ab = logc a − logc b

Diese Logaritmengesetze gelten für alle Logarithmensysteme

1.2.9

Berechnen Sie die Summe folgender Logarithmen ln e4 + lg 0,001+ lb 32 + log3 81

1. Wir haben es hier mit Logarithmen aus verschiedenen Logarithmensystemen zu tun. Da mit dem Taschenrechner üblicherweise nur Zehnerlogarithmen (lg ...) und natürliche Logarithmen (ln ...) berechenbar sind, müssen Logarithmen mit einer anderen Basis in diese Logarithmensysteme umgerechnet werden entsprechend der Beziehung loga x =

lg x ln x oder loga x = lg a ln a

Damit erhalten wir folgende Umformung ln e4 + lg 0,001+ lb 32 + log3 81= ln e4 + lg 0,001+

=4–3+

lg 32 lg 81 + lg 2 lg 3

1,50515 1,908485 + = 4 – 3 + 5 + 4 = 10 0,30103 0,477121

8


2. Einfacher kommen wir in diesem Fall zum Ergebnis, wenn die Argumente der Logarithmen als Potenzen geschrieben werden. Mit Anwendung der Logarithmengesetze lg an = n⋅lg a und ln en = n⋅ln e = n ergibt sich: N 1

ln e4 + lg 0,001+ lb 32 + log3 81 = loge (e)4 + log10 (10)−3 + log2 (2)5 + log3 (3)4

= 4 ⋅ln e + (−3)⋅lg 10 + 5 ⋅log 2 2 3 3

N

+ 4 ⋅log N 1

1

1

1

= 4 – 3 + 5 + 4 = =10

1.2.10

Vereinfachen Sie folgenden Term ⎛ ⎜ lg⎜ 4 ⎝

⎞ ⎟ ⎟ 3 2 (y − 1) ⋅(y − 2y + 1) ⎠ 16 ⋅ x 4 ⋅ 3 y − 1

3

Wir wandeln zunächst die Wurzeln in Potenzen um.

⎛ 16 ⋅ x 4 ⋅ 3 y − 1 ⎜ lg⎜ 4 3 (y − 1)3 ⋅(y 2 − 2y + 1) ⎝

1 ⎞4

⎛ 1 ⎞ ⎜ 16 ⋅ x 4 ⋅( y − 1) 3 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟= lg⎜ 1⎟ 3 2 ⎜ (y − 1) ⋅(y − 1) 3 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

1

⎛ 1 ⎞⎞4 ⎛ ⎜ 16 ⋅ x 4 ⋅⎜ y − 1) 3 ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ ⎠⎟ = lg⎜ ⎟ 5 ⎜ ⎟ 3 (y 1) − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

⎤ 1 ⎡ ⎤ 1 ⎡ 1 5 4 ⋅⎢ lg 16 + 4 ⋅lg x + ⋅lg(y − 1) − ⋅lg(y − 1) ⎥= ⋅⎢ 4 ⋅lg 2 + 4 ⋅lg x − ⋅lg(y − 1) ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 4 3 3 4 3 1 1 = lg 2 + lg x − ⋅lg(y − 1) = lg 2 + lg x − lg(y − 1) 3 = lg 3 Anmerkung: lg (a – b) ≠ lg a – lg b (ein häufiger Fehler !), denn lg a – lg b = lg

d. h. lg (y – 1) kann nicht weiter umgeformt werden.

1.2.11

Vereinfachen Sie folgenden Term ⎛ ⎞ ⎜ −1 ⎟ 4 a ⋅(a − c) b ⎟ ⋅ lg⎜ ⎜ a ⎟ 2 1 ⎜4 b ⋅ ⎟ 2 2 (a − c)(a − 2ac + c ) ⎝ ⎠

Wir wandeln wiederum die Wurzeln in Potenzen um.

a , b

2x 3

(y − 1)


9

⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎜ (a ⋅(a − c)) 4 −1 ⎟ 4 a ⋅(a − c) b ⎟ ⎜ ⋅ = lg⎜ lg⎜ a ⎟ ⎜ 2 1 2⋅ b ⎜ b ⋅(a − c)−3 ⎜4 ⎟ 2 2 ⎝ (a − c)(a − 2ac + c ) ⎝ ⎠

(

1

)4

1⎞ ⎛ b−1 ⎞2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ⎝ a ⎠ ⎟ ⎟ ⎠

1 ⎛ 1 ⎛ ⎞ −1⎞ ⎜ a 4 ⋅(a − c) 4 ⋅b 2 ⎟ a−c ⎜ (a − c) ⎟ lg = lg⎜ 1 = = lg 4 ⎜ 3 1 ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟ − b ⋅ a ⎜ 2 ⎟ ⎝ b⋅a 4 ⎠ ⎝ b ⋅(a − c) 4 ⋅a 2 ⎠ Anmerkung: Der Bruchterm könnte auch auf folgende Weise umgeformt werden.

4 a ⋅(a − c) 4

b2 ⋅

1 (a − c)(a2 − 2ac + c 2 ) 1

⋅

b−1 = a 4

a⋅(a − c) 2

b (a − c)⋅(a − c)2

−1 − 2 −1 2 ⋅b 4 ⋅b 2

= (a − c)⋅a 4 ⋅a

1.2.12

⋅

1 a ⋅(a − c)4 =4 a ⋅b b2

− 1 −1 4 ⋅b =

= (a − c)⋅a

1 a ⋅b

a−c b⋅ 4 a

Der Schweredruck unserer Luft berechnet sich unter der Voraussetzung, dass in jeder Höhe die gleiche Temperatur herrscht, nach der barometrischen Höhenformel ρo ⋅ g − p ⋅h o

p = po ⋅ e

Dabei ist für eine Lufttemperatur ϑ o = 0 °C der Druck po = 1,01325 ⋅105 Pa und ρo = 1,293

kg m3

.

In welcher Höhe h ist der Luftdruck nur noch halb so groß? Um den Potenzterm zu isolieren, bringen wir den Faktor po auf die linke Seite der p − =e po

Gleichung:

ρo g po h

Um die Höhe h berechnen zu können, logarithmieren wir jede Seite der Gleichung mit dem natürlichen Logarithmus, da wir die Grundzahl e haben. Denn es gilt ln ea = a ⋅lne N=a . 1

⎛ − ρo⋅g ⋅ h ⎞ ⎛p⎞ ⎟=− ρo ⋅ g ⋅h ln⎜ ⎟= ln⎜ e po ⎜ ⎟ po ⎝ po ⎠ ⎝ ⎠ h=

⎛p⎞ ln⎜ p ⎟ ⎝ o⎠

ρ ⋅g − po o

10


kg m ρo⋅ g 1,293 m3 ⋅ 9,81 s2 Mit den Zahlenwerten ist der Exponent p = = 1,2518 ⋅10−4 m−1 . 1,01325 ⋅ 105 Pa o

Ist der Luftdruck nur noch halb so groß, so ist

p = 1 . Daraus ergibt sich po 2

ln 1 2 = 5537 m h= − 1,2518 ⋅10− 4 m−1 h ≈ 5,5 km

11

2 Algebraische Gleichungen 2.1 Lineare Gleichungen Hinweis: Lehrbuch Kapitel 3

2.1.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2x − 1 2x − 5 3 x + 5 4 − 3 x − = − 7 14 14 21

Wir machen die Brüche gleichnamig und multiplizieren die Gleichung mit dem Hauptnenner. 3 ⋅ 2 ⋅ (2x − 1) 3 ⋅ (2x − 5) 3 ⋅ (3 x + 5) 2 ⋅ ( 4 − 3 x ) − = − 3⋅2⋅7 3 ⋅ 14 3 ⋅ 14 2 ⋅ 21 6 ⋅ (2x − 1) − 3 ⋅ (2x − 5) = 3 ⋅ (3 x + 5) − 2 ⋅ ( 4 − 3 x ) 12x − 6 − 6 x + 15 = 9 x + 15 − 8 + 6 x 6x + 9 = 15x + 7 9 x = 16 x=

16 9

⎧16 ⎫ L =⎨ ⎬ ⎩9⎭

2.1.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2ax − 4a 2 − 3 x + 12a = 9c c

Wir multiplizieren die Gleichung mit c und erhalten 2ax − 4a 2 − 3cx + 12ac = 9c 2 2ax − 3cx = 4a 2 − 12ac + 9c 2 x ⋅ (2a − 3c ) = 4a 2 − 12ac + 9c 2

x=

(2a − 3c ) 2 = 2a − 3c 2a − 3c L = {2a − 3c}


12

2.1.3

2 Algebraische Gleichungen

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung § 1 · 3x 1 a + − = x ⋅ ¨¨ + 1¸¸ 2 a 2 ©a 2 ¹ § 1 · 3x a 1 − x ⋅ ¨¨ + 1¸¸ = − 2 2 a ©a 2 ¹ §3 · 1 a⋅a 2 − 1¸¸ = x ⋅ ¨¨ − − ⋅ ⋅a 2 2 a 2 a 2 © ¹ §1 1 · a2 − 2 ¸¸ = x ⋅ ¨¨ − 2a ©2 a 2 ¹ § a 2 2 ·¸ a2 − 2 x ⋅¨ = − ¨ 2⋅a 2 2⋅a 2 ¸ 2a ¹ © x=

(a2 − 2)⋅2a 2 (a − 2 )(a + 2 )⋅2a = 2a ⋅(a 2 − 2) 2a ⋅ 2 ⋅(a − 2 )

{

L= a+ 2

2.1.4

2

=a+ 2

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2 3 9 + = 2 x −1 x +1 x −1

Gleichungen, bei denen die Variable im Nenner vorkommt, werden Bruchgleichungen genannt. Bei diesen Gleichungen ist zu prüfen, für welche Werte ein Nenner Null werden kann. Diese Zahlenwerte können nicht Lösung sein, denn sie gehören nicht zur Definitionsmenge D. Zur Bestimmung der Definitionsmenge D setzen wir der Reihe nach die einzelnen Nenner Null und erhalten x = 1 und x = −1. Damit lautet die Definitionsmenge D = r \ { 1; − 1 } Die Gleichung lösen wir, indem wir die Brüche durch Erweitern alle auf den gleichen Nenner – den Hauptnenner – bringen und die ganze Gleichung mit diesem Nenner durchmultiplizieren. Anmerkung: Bei der Berechnung des Hauptnenners genügt es, das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zu nehmen. Faktoren, die mehrfach vorkommen, werden nur einmal berücksichtigt. So sind in unserem Beispiel die Faktoren (x – 1) und (x + 1) in (x2 – 1) enthalten, so dass wir als Hauptnenner (x – 1)(x + 1) oder x2 – 1 wählen und nicht etwa (x – 1)(x + 1)(x2 – 1).

2 ⋅ ( x + 1) 3 ⋅ ( x − 1) 9 + = 2 ( x − 1)( x + 1) ( x + 1)( x − 1) x −1

2.1 Lineare Gleichungen

13

Die Multiplikation mit dem Hauptnenner führt zu der Gleichung 2 ⋅ ( x + 1) + 3 ⋅ ( x − 1) = 9 2x + 2 + 3 x − 3 = 9

5x = 10 oder x = 2 L ={2 }

2.1.5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2 1 1 + = x + 1 1− x x

Definitionsmenge D = r \

{ − 1; 0 ; 1 }

Wir machen die Gleichung bruchfrei, indem wir die Brüche wieder gleichnamig machen und die Gleichung mit dem Hauptnenner (x + 1)⋅(1− x)⋅ x multiplizieren. 2⋅(1− x)⋅ x 1⋅(x + 1)⋅ x 1⋅(x + 1)(1− x) + = (x + 1)(1− x)⋅ x (1− x)(x + 1)⋅ x x(x + 1)(1− x) 2 ⋅ (1 − x ) ⋅ x + 1⋅ ( x + 1) ⋅ x = 1⋅ ( x + 1)(1 − x ) 2x − 2x 2 + x 2 + x = 1 − x 2

3x = 1 oder x =

1 3

⎧1⎫ L =⎨ ⎬ ⎩3⎭

2.1.6

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3 2 2x + 1 − + 2 = 0 x −1 x − 3 x − 4x + 3

Definitionsmenge D = r \ { 1 ; 3

}

3( x − 3) 2( x − 1) 2x + 1 − + 2 = 0 ( x − 1)( x − 3) ( x − 3)( x − 1) x − 4x + 3 Da (x – 1)(x – 3) = x 2 − 4x + 3 ist, ist dies gleichzeitig der Hauptnenner. Wir multiplizieren mit dem Hauptnenner und erhalten

3 x − 9 − 2x + 2 + 2x + 1 = 0 oder 3 x − 6 = 0 ; x = 2

L ={2 }

14

2.1.7


Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 1 2( x − 1) 3( x − 1) − = x − 2 ( x − 2)( x − 4) (1 − x )( x − 4)

Definitionsmenge D = r \ { 1 ; 2 ; 4 1. Lösungsweg

}

1 2( x − 1) 3( x − 1) = + x − 2 ( x − 2)( x − 4) − ( x − 1)( x − 4)

Wir kürzen den letzten Bruchterm mit (x – 1) und erweitern mit (x – 2): 1 2( x − 1) 3( x − 2) = − x − 2 ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 4) 1 2( x − 1) − 3( x − 2) 2x − 2 − 3 x + 6 = = x−2 ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 4) −x + 4 1 − ( x − 4) = = x − 2 ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 4)

Nach dem Kürzen mit (x – 4) ergibt sich:

1 1 =− → Widerspruch, d. h. L = { x−2 x−2

}

Von hier ab könnte die Gleichung aber auch noch weiter bearbeitet werden über einen 2. Lösungsweg

„Über Kreuz multiplizieren“ −1 1 = x−2 x−2 x −2 = −x +2 x = 2 ∉ D, d. h. L = {

3. Lösungsweg

}

1⋅ ( x − 4) 2( x − 1) 3( x − 1) − = ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 4) (1 − x )( x − 4) x − 4 − 2x + 2 3( x − 1) = ( x − 2)( x − 4) − ( x − 1)( x − 4)

−x−2 −3( x − 2) = ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 4) − x − 2 = −3 x + 6 oder 2x = 8

x = 4 ∉ D , d. h. L = {

}


2.1.8

15

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 9 4 4 9 − + = x − 11 x − 13 x−4 x−7

Definitionsmenge D = r \

{ 4 ; 7 ; 11 ; 13 }

Bei 4 verschiedenen Nennern fassen wir jeweils 2 Bruchterme auf jeder Seite der Gleichung zusammen, um die Berechnung etwas zu vereinfachen: 9( x − 4) 4( x − 11) 4( x − 7) 9( x − 13) + = + ( x − 11)( x − 4) ( x − 4)( x − 11) ( x − 13)( x − 7) ( x − 7)( x − 13) 9 x − 36 + 4 x − 44 x

2

− 15 x + 44

(13x − 80) ( x 2 − 20x + 91)

3 2 2 13x − 260x + 13⋅ 91x − 80x + 1600x − 7280

=

4 x − 28 + 9 x − 117 x 2 − 20 x + 91

=

(13x − 145) ( x 2 − 15x + 44 )

3 2 2 13x − 13⋅15x + 13x⋅ 44 − 145x + 15⋅145x − 44⋅145

− 340 x 2 + 2783 x − 7280 = − 340 x 2 + 2747 x − 6380 36 x = 900 ; x = 25 L = { 25

2.1.9

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 7 ( 25 − 10x + x 2 ) 3x − 2 5x − 1 − = 6x − 6 3x + 3 6 − 6x 2

Definitionsmenge D = r \ { 1 ; − 1 }

−7 ( 25 − 10x + x 2 ) 3x − 2 5x − 1 − = 6(x − 1) 3(x + 1) 6 (1− x2 )⋅(−1) −7 ( 25 − 10x + x 2 ) (3x − 2)(x + 1) (5x − 1)⋅ 2(x − 1) − = 6(x − 1)(x + 1) 3(x + 1)⋅ 2(x − 1) 6 ( x 2 − 1) (3x − 2)(x + 1) − (5x − 1)⋅2(x − 1) =− 7 (25 − 10x + x 2 ) 3x 2 − 2x + 3x − 2 − (10x 2 − 2x − 10x + 2) =−175 + 70x − 7x 2

70x – 13x = 175 – 4 57x = 171 ; x = 3 L = {3 }

16

2.1.10


Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5x 2 − x 2

3 x − 11x + 6

=

2x − 1 x−4 − x−3 3x − 2

⎧ 2⎫ Definitionsmenge D = r \ ⎨ 3 ; ⎬ ⎩ 3⎭ 5x 2 − x 2

3x − 11x + 6

=

(2x − 1)(3x − 2) (x − 4)(x − 3) − (x − 3)(3x − 2) (3x − 2)(x − 3)

5x 2 − x = (2x − 1)(3x − 2) − (x − 4)(x − 3) 5x 2 − x = 6x 2 − 3x − 4x + 2 − (x 2 − 4x − 3x + 12) 5x 2 − x = 5x 2 − 7x + 2 + 7x − 12 x = 10 ; L = { 10 }

2.1.11

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 6 5(2x + 3) 3x − 1 + −5= x +1 2x − 3 2x 2 − x − 3 ⎧ 3⎫ Definitionsmenge D = r \ ⎨ −1; ⎬ ⎩ 2⎭

6(2x − 3) 5(2x + 3)( x + 1) 2x 2 − x − 3 3x − 1 + − 5⋅ = 2 2 ( x + 1)(2x − 3) (2x − 3)( x + 1) 2x − x − 3 2x − x − 3 6(2x − 3) + 5(2x + 3)(x + 1) − 5 (2x 2 − x − 3 ) = 3x − 1 12 x − 18 + 10 x 2 + 25 x + 15 − 10 x 2 + 5 x + 15 = 3 x − 1 39x =−13 ; x =−

1 3

⎧ 1⎫ L =⎨ − ⎬ ⎩ 3⎭

2.1.12

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3x + 4 4 (3x 2 − 8 ) 3x 4x + = + 3x − 4 3x − 4 3x + 4 9x 2 − 16


17

⎧ 4 4⎫ Definitionsmenge D = r \ ⎨ − ; ⎬ ⎩ 3 3⎭

(3x + 4)(3x + 4) 4(3x 2 − 8) 3x(3x + 4) 4x(3x − 4) + = + (3x − 4)(3x + 4) (3x − 4)(3x + 4) (3x + 4)(3x − 4) 9x 2 − 16 (3 x + 4)(3 x + 4) + 4(3 x 2 − 8) = 3 x(3 x + 4) + 4 x(3 x − 4) 9 x 2 + 24 x + 16 + 12 x 2 − 32 = 9 x 2 + 12 x + 12 x 2 − 16 x 28x = 16 ; x =

4 7

⎧4⎫ L =⎨ ⎬ ⎩7⎭

2.1.13

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 8 x 2= 16 15 + x 35 −

Definitionsmenge D = r \ { 0

}

Durch Erweitern mit x beseitigen wir die Doppelbrüche: ⎛ 8⎞ ⎜35 − ⎟⋅ x ⎝ x⎠ 2= ⎛ 16 ⎞ ⎜15 + ⎟⋅ x ⎝ x⎠ 2=

35 x − 8 15 x + 16

2(15 x + 16) = 35 x − 8 30 x + 32 = 35 x − 8 5 x = 40 ; x = 8 L = {8

2.1.14

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3(3x − 1) 3 11 = 6x + 1 5 5

18

2 Algebraische Gleichungen ⎧ 1⎫ Definitionsmenge D = r \ ⎨− ⎬ ⎩ 6⎭ 5 ⋅ 3 ⋅ (3 x − 1) 3 ⋅ (6 x + 1) = 11 5

Nach Kürzen durch 3 und „Über-Kreuz-Multiplizieren“: 25 ⋅ (3 x − 1) = 11⋅ (6 x + 1) 75 x − 25 = 66 x + 11 ; 9 x = 36 ; x = 4 ; L = { 4 }

2.1.15

Berechnen Sie z1 aus i=

i=

1 ; z1 1+ z3

z3 ≠ 0

1⋅ z3 z3 = z z1 + z3 (1+ 1 )⋅ z3 z3

i ⋅ ( z1 + z 3 ) = z 3 ;

z1 + z3 =

z3 ; i

z1 =

z3 − z3 i

⎛1 ⎞ ⎛ 1− i ⎞ ⎟ z1 = z3⎜ − 1⎟= z3⎜ ⎝i ⎠ ⎝ i ⎠

2.1.16

Berechnen Sie x aus a +a 1 x = ; b a x a 1 b +a= ⋅ ; x a x

a ⋅ a a ⋅ ax b + = ; ax ax ax x=

2.1.17

x≠0

b − a2 a

2

=

b a2

−1

Berechnen Sie x aus ux vx = u2 + v 2 − u+v u−v

a2 + a2 x = b


19 ux vx + = u2 + v 2 u+v u−v

ux(u − v ) vx(u + v ) = u2 + v 2 + (u + v )(u − v ) (u − v )(u + v ) x ⋅ (u 2 − uv + vu + v 2 ) = (u 2 + v 2 )(u 2 − v 2 )

x ⋅ (u 2 + v 2 ) = (u 2 + v 2 )(u 2 − v 2 ) x = u2 − v 2

2.1.18

Berechnen Sie R1 und R 2 aus U1 =

UR1 I − ⋅ R1R 2 R1 + R 2 R1 + R 2

U1 =

UR1 − I ⋅ R1R 2 R1 + R 2

U1(R1 + R 2 ) = UR1 − I ⋅ R1R 2 U1R1 − UR1 + I ⋅ R1R 2 = − U1R 2

U1R 2 + I ⋅ R1R 2 = UR1 − U1R1

R1(U1 − U + I ⋅ R 2 ) = − U1R 2

R 2 (U1 + I ⋅ R1 ) = UR1 − U1R1

R1 =

−U1R 2 U1R 2 = U1 − U + I ⋅ R 2 U − U1 − I ⋅ R 2

2.1.19

R2 =

Berechnen Sie t1 aus t ⋅ t1 + t ⋅ t 2 = 2t1 ⋅ t 2 t ⋅ t 1 − 2t 1 ⋅ t 2 = − t ⋅ t 2 ; t1 =

2.1.20

R1(U − U1 − 1) U1 + R1

Berechnen Sie sin

t 1 ( t − 2t 2 ) = − t ⋅ t 2

t ⋅ t2 −t ⋅ t 2 = t − 2t 2 2t 2 − t

α aus 2 d ⎛ ⎞ P = a + ⋅⎜1+ 1 ⎟ α 2 ⎜ sin ⎟ ⎝ 2⎠

20

2 Algebraische Gleichungen d 2(P − a) 1 P − a = ⋅⎛1+ 1 α ⎞ ; = 1+ ⎟ α 2 ⎜ d sin sin ⎝ 2⎠ 2 2(P − a) 1⋅ d 1 2(P − a) − d 1 − = ; = α α d d d sin sin 2 2 α d sin = 2 2(P − a) − d

2.1.21

Berechnen Sie μ aus σ=

· F §¨ x2 2xy ¸ − − μ ⋅ (1 − μ ) ⋅ 2 ( 1 ) 4πh ¨© x + y2 ( x 2 + y 2 )2 ¸¹

4πhσ x2 2xy = (1 − μ ) ⋅ 2 − (1 − μ ) ⋅ 2 2 F x +y ( x + y 2 )2 μ = 1−

4 πh⋅σ 4 πh⋅σ = 1− 2 ⎡ x2 ⎤ ⎡ 2xy x ( x 2 + y 2 ) − 2xy ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ F⋅⎢ 2 − ⋅ F 2 2 + 2 )2 ⎥ x ⎢ ⎢ ⎥ 2 2 ( x y (x + y ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2

μ = 1−

2.1.22

4 πh⋅σ⋅( x 2 + y 2 )

F⋅( x 2 ( x 2 + y 2 ) − 2xy )

Berechnen Sie am aus λ=

b a1 + Δa +

Ωk am

⎛ Ωk ⎞ λ⋅⎜a1 + Δa + ⎟= b am ⎠ ⎝ λa1 + λΔa +

λΩk =b am

λΩk = b − λa1 − λΔa am am =

λΩk b − λa1 − λΔa

2.2 Quadratische Gleichungen

21

2.2 Quadratische Gleichungen Hinweis: Lehrbuch Kapitel 8 Wir unterscheiden zwischen drei Arten von quadratischen Gleichungen. 1)

x 2 + px = 0

(defektquadratische Gleichung):

Lösung durch Ausklammern von x und Nullsetzen der Faktoren

x ⋅ ( x + p) = 0 → x = 0 ∨ x = − p

2)

x2 − q = 0

(reinquadratische Gleichung):

Lösung durch Faktorisieren oder Radizieren:

x2 = q ;

x2 = q ;

x = q

x1 / 2 = ± q

3) x 2 + px + q = 0

(allgemeine quadrat. Gleichung) Lösung mit Hilfe der „Lösungsformel“

x1/ 2 =−

2.2.1

⎛ p ⎞2 p ± ⎜ ⎟ −q 2 ⎝2⎠

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 9 x 2 − 108 x = 0 x ⋅ (9 x − 108 ) = 0

Das Nullsetzen der Faktoren führt zu den Ergebnissen: x1 = 0 ∨ x 2 = 12 ;

2.2.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 9 x 2 = 72

9 x 2 = 72 ; x 2 =

72 = 8 ; x1/2 =± 8 =± 4⋅2 =± 2 2 9

{

L= 2 2;−2 2

2.2.3

L = { 0 ; 12 }

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 2 66 = 11 x 2 + 2

Das Kürzen durch den Faktor 2 und das „Überkreuz-Multiplizieren“, das der Multiplikation mit dem Hauptnenner entspricht, führt zu dem Ergebnis

x 2 + 2 = 11⋅ 33 ;

x 2 = 363 − 2 = 361 ; L = {− 19 ; 19 }

x1/ 2 = ± 361 = ± 19

22

2.2.4

2 Algebraische Gleichungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ( x + 2)2 = 169 Wir ziehen auf jeder Seite der Gleichung die Wurzel und erhalten ( x + 2)2 = 169 x + 2 = 13

±( x + 2) = 13 oder x + 2 = ± 13 ; x1 = − 13 − 2 = − 15 ; x 2 = + 13 − 2 = 11

L = {− 15 ; 11 }

2.2.5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5 x 2 + 10 x = 40 5 x 2 + 10 x = 40

:5

x 2 + 2x − 8 = 0

x 1/ 2 = − 1 ± 1 + 8 = − 1 ± 3 L ={2;−4

2.2.6

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3 x 2 + 9 x − 12 = 0 3 x 2 + 9 x − 12 = 0

:3

x 2 + 3x − 4 = 0

3 9 3 9 4⋅ 4 3 5 x1/ 2 =− ± + 4 =− ± + =− ± ; 2 4 2 4 4 2 2

2.2.7

L = { 1; − 4

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ( x − 7) 2 = 4 x − 7 x 2 − 14 x + 49 = 4 x − 7

x 2 − 18 x + 56 = 0 x 1/ 2 = 9 ± 81 − 56 = 9 ± 5

L = { 4 ; 14

}


2.2.8

23

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 2 − 4,26 x + 0,5369 = 0 x 1/ 2 = 2,13 ±

2,13 2 − 0,5369 = 2,13 ± 2

L = { 0,13 ; 4,13

2.2.9

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 3,5 x 2 = 8,91x 2 − 5,41x − 10,82

5,41x 2 − 5,41x − 10,82 = 0

: 5,41

x2 − x − 2 = 0 x1/ 2 =

1 1 1 1 2⋅ 4 1 3 ± +2 = ± + = ± 2 4 2 4 4 2 2 L = { − 1; 2

2.2.10

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x ⋅(6,93x −

16,17 3 ) = 2,31 x 2 ⋅( + 2) + 6,93 x x

x ⋅(6,93x −

16,17 3 ) = 2,31 x 2 ⋅( + 2) + 6,93 x 2

6,93 x 2 − 16,17 = 6,93 x + 4,62 x 2 + 6,93

2,31 x 2 − 6,93 x − 23,1 = 0

: 2,31

x 2 − 3 x − 10 = 0

x1/ 2 =

3 9 3 9 10 ⋅ 4 3 7 ± + 10 = ± + = ± 2 4 2 4 4 2 2

L ={−2;5

2.2.11

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 7x 35 = 13 x − 280 x − 13 ⎧ 280 ⎫ ; 13⎬ D=r\ ⎨ ⎩ 13 ⎭

24

2 Algebraische Gleichungen 7x 35 = 13 x − 280 x − 13 7x 2 − 91 x = 455 x − 9800 7x 2 − 546 x + 9800 = 0 : 7 x 2 − 78 x + 1400 = 0 x 1/ 2 = 39 ± 39 2 − 1400 = 39 ± 121 = 39 ± 11 L = { 28 ; 50

2.2.12

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x ( x − 50) a ( 48 − a) −7 + = 7 ( x + a) 7 x + 7a a+x x ( x − 50) a ( 48 − a) −7 + = 7 ( x + a) 7 x + 7a a+x

⋅ 7( x + a)

x 2 − 50 x + 48 a − a 2 = − 49 x 2 − 50 x + 48 a − a 2 + 49 = 0 x1/ 2 = 25 ± 252 + a2 − 48a − 49 = 25 ± 576 − 48a + a2 x1/ 2 = 25 ± (24 − a)2 = 25 ± (24 − a) L = { (1 + a) ; ( 49 − a) }

2.2.13

Lösen Sie die folgende Gleichung nach d auf x=

x=

D 2 − d2 + a 2 4(D − d)

D2 − d2 + a2 ⋅ 4(D − d) 4(D − d)

4xD − 4xd = D2 − d2 + a2 d2 − 4xd + 4xD − D2 − a2 = 0 d1/ 2 = 2x ± 4x 2 + D2 + a2 − 4xD


2.2.14

25

Lösen Sie die folgende Gleichung nach d wg auf L w = 2e + 1,57(dwg + dwv ) +

L w = 2e + 1,57(d wg + d wv ) +

(dwg + dwv )2

(d wg + d wv ) 2 4e

4e ⋅ 4e

4eL w − 8e 2 = 6,28 e ⋅ d wg + 6,28 e ⋅ d wv + d wg 2 + 2 d wv d wg + d wv 2 d wg 2 + (6,28 e + 2 d wv ) d wg + 8e 2 − 4eL w + d wv 2 = 0 (d wg )1/ 2 = − (3,14 e + d wv ) ± (3,14 e + d wv ) 2 + 4eL w − 8e 2 − d vw 2

2.2.15 Lösen Sie die folgende Gleichung nach tan χ auf yM =

yM =

T 4

ª 1 º uª 1 º − tan χ» + «tan χ + « » χ tan 8 tan χ¼ ¬ ¼ ¬

º uª Tª 1 1 º − tan χ » + «tan χ + « » 4 ¬ tan χ tan χ ¼ ¼ 8¬

⋅ 8 ⋅ tan χ

8 y M ⋅ tan χ = 2T − 2T ⋅ tan 2 χ + u ⋅ tan 2 χ + u (2T − u) ⋅ tan 2 χ + 8 y M ⋅ tan χ − 2T − u = 0 tan 2 χ +

8y M 2T + u = 0 ⋅ tan χ − 2T − u 2T − u 2

(tan χ )1/ 2 =

2.2.16

§ 4yM · 4yM 2T + u ¸¸ + ± ¨¨ u − 2T u 2 T 2T − u − ¹ ©

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x 4 − 8 x 2 + 7 = 0

Dies ist eine biquadratische Gleichung. Sie lässt sich aber durch die Substitution

u = x 2 in eine quadrati-

sche Gleichung umformen, die wir mit der Lösungsformel lösen können.

( x 2 )1/ 2 = 4 ± 16 − 7 = 4 ± 3 Wir erhalten als Zwischenergebnis zwei quadratische Gleichungen. Aus

x 2 = 4 − 3 = 1 erhalten wir x1 = 1 ∨ x 2 = − 1 .

Aus

x 2 = 4 + 3 = 7 erhalten wir x3 = 7 ∨ x 4 =− 7. Damit ist die Lösungsmenge

{

L = 1; − 1; 7 ; − 7

}

26

2.2.17


Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung

5x 4 − 30x 2 + 25 = 0

5x 4 − 30x 2 + 25 = 0 : 5 x 4 − 6x 2 + 5 = 0 ( x 2 )1/ 2 = 3 ± 9 − 5 = 3 ± 2 x1/ 2 = ± 1 oder x 3 / 4 = ± 5

{

L = 1; − 1; 5 ; − 5

2.2.18

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 15

x2 +

x2

x2 +

− 16 = 0 ; x ≠ 0

15 x

2

⋅ x2

− 16 = 0

4

x + 15 − 16 x 2 = 0 x 4 − 16 x 2 + 15 = 0

( x 2 )1 / 2 = 8 ±

64 − 15 = 8 ± 7

x1/ 2 = ± 1 oder x 3 / 4 = ± 15

{

L = 1 ; − 1 ; 15 ; − 15

2.2.19

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 36 x 2 + 2 = 13 ; x

x ≠0

36 x 2 + 2 = 13 x x 4 − 13 x 2 + 36 = 0

( x 2 )1/ 2 = 6,5 ± 42,25 − 36 = 6,5 ± 6,25 = 6,5 ± 2,5

L = {2;− 2;3;− 3 }

2.3 Wurzelgleichungen

2.2.20

27

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung 5,3 x 2 +

63,6

5,3 x 2 +

63,6

x 4 − 8 x 2 + 12 = 0 ;

L=

{

x2

x

2

= 42,4 ; x ≠ 0

= 42,4

⋅

x2 5,3

( x 2 )1/ 2 = 4 ± 16 − 12 = 4 ± 2

2;− 2; 6 ;− 6

}

2.3 Wurzelgleichungen Hinweis: Lehrbuch Kapitel 9

1. Quadratwurzeln werden durch Quadrieren eliminiert. Deshalb ist es zweckmäßig, vor dem Quadrieren eine Wurzel zu isolieren, weil sonst bei der Anwendung der binomischen Formel ( a + b)2 = a + 2b a + b 2 wieder ein Wurzelterm entsteht. Dieses Isolieren einer Wurzel auf einer Seite kann beibehalten werden bis zu Wurzelgleichungen mit maximal 3 Wurzeltermen. 2. Bei 4 Wurzeltermen ist es zunächst zweckmäßiger 2 Wurzelterme auf jeder Seite zu quadrieren und anschließend so zu verfahren wie nach 1), da bei jedem Quadrieren die Potenzen höher werden. 3. Kommen unter der Wurzel schon quadratische oder höhere Potenzterme vor, ist es zweckmäßig, die Wurzeln auf andere Weise zu eliminieren. 4. Da das Quadrieren eine nichtäquivalente Umformung ist, genügt es für die Bestimmung der Lösungsmenge nicht, nur die Definitionsmenge heranzuziehen. Die Lösungen müssen in die Ausgangsgleichung eingesetzt werden und eine wahre Aussage ergeben. Diese Probe ist deshalb immer erforderlich.

2.3.1

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 3x − 2 = x − 2

Quadratwurzeln sind im Reellen (G = r) für negative Radikanden nicht definiert, deshalb muss der Radikand 3 x − 2 ≥ 0 oder x ≥ gen!).

{

Damit ist die Definitionsmenge D = x x ≥

2 3

}.

2 3

sein (vgl. Kapitel über Ungleichun-

28



Die Quadratwurzel lässt sich beseitigen, indem man sie auf einer Seite isoliert und die ganze Gleichung quadriert. ( 3 x − 2 ) 2 = ( x − 2) 2 3x − 2 = x 2 − 4x + 4 x 2 − 7x + 6 = 0

x1/ 2 =

7 49 6 ⋅ 4 7 5 ± − = ± 2 4 4 2 2 x1 = 1 ∨ x 2 = 6

Beide Werte gehören zur Definitionsmenge. Da aber das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, können durch das Quadrieren Lösungen hinzugekommen sein, die nicht Lösung der Wurzelgleichung sind. Wir müssen deshalb zur Kontrolle die erhaltenen Werte in die Ausgangsgleichung einsetzen. Die Probe ergibt folgendes Ergebnis: x1 = 1 :

3 ⋅1 − 2 = 1 − 2

x2 = 6 :

3 ⋅ 6 − 2 = 6 − 2 oder 4 = 4 (w), d. h. dies ist eine Lösung

oder 1 = – 1 (f), d. h. dies ist keine Lösung

Lösungsmenge: L = { 6 }

2.3.2

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 9 + 8 2x − 2 = 5

{

Definitionsmenge D = x x ≥ 1

}

2

§ 9 + 8 2x − 2 · = 25 ¨ ¸ © ¹ 9 + 8 2x − 2 = 25 8 2x − 2 = 16 oder

2x − 2 = 2

2x − 2 = 4 oder x = 3 L = {3

2.3.3

}

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 2 + 2x − 3 = 3 x + 7


29

{

Hier treten zwei Wurzelterme auf. Die erste Wurzel ist definiert für D1 = x x ≥

{

}

3 2

},

die zweite Wurzel für D 2 = x x ≥ − 73 . Damit ist die Definitionsmenge der gesamten

{

Wurzelgleichung D = x x ≥

3 2

}. Dies ist die Schnittmenge von D

1

und D2 .

(2 + 2x − 3 )2 = ( 3x + 7 )2 4 + 4 2x − 3 + 2x − 3 = 3 x + 7

4 2x − 3 = x + 6 16(2x − 3) = x 2 + 12x + 36 x 2 − 20 x + 84 = 0

x1/ 2 = 10 ± 100 − 84 = 10 ± 4 x1 = 6 ∨ x 2 = 14

Probe: x1 = 6 : x 2 = 14 :

2 + 2⋅6 − 3 = 3⋅6 + 7

oder 5 = 5 (w)

2 + 2 ⋅ 14 − 3 = 3 ⋅ 14 + 7

oder 7 = 7 (w)

L = { 6 ; 14 }

2.3.4

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 2 x + 8 = x − 4 + 2 2x − 7

{

}

{ x ≥ 72 }. Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D = { x

} x ≥ 4 }.

Die Definitionsmengen der drei Wurzelterme sind D1 = x x ≥ − 8 , D 2 = x x ≥ 4 ,

{

D3 = x

( 2 x + 8 )2 = ( x − 4 + 2 2x − 7 ) 2 4( x + 8) = x − 4 + 4 x − 4 ⋅ 2x − 7 + 4(2x − 7) 4 x + 32 = x − 4 + 4 ( x − 4)(2x − 7) + 8 x − 28 64 − 5 x = 4 2x 2 − 15 x + 28 4096 − 640 x + 25 x 2 = 16(2x 2 − 15 x + 28) 7 x 2 + 400 x − 3648 = 0 x2 +

400 3648 =0 x− 7 7

30

2 Algebraische Gleichungen x1 = 8 ∨ x 2 =−

456 ∉D 7

Probe: 2 8 + 8 = 8 − 4 + 2 2 ⋅ 8 − 7

oder 8 = 8 ( w )

L = {8 }

2.3.5

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung x + 4 − 2x − 6 = 2x − 1 − x − 1

Die Definitionsmengen der 4 Wurzelterme sind ⎧ 1⎫ D1 = { x x ≥ − 4 } , D 2 = { x x ≥ 3 }, D3 = ⎨ x x ≥ ⎬ , D 4 = { x x ≥ 1 } . 2⎭ ⎩

{

}

Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D = x x ≥ 3 . x + 4 + 2x − 6 − 2 ( x + 4)(2x − 6) = 2x − 1 + x − 1 − 2 (2x − 1)( x − 1)

Nach Division durch (–2):

( x + 4)(2x − 6) = (2x − 1)( x − 1)

2x 2 + 2x − 24 = 2x 2 − 3 x + 1

5x = 25 oder x = 5 Probe:

5 + 4 − 2 ⋅ 5 − 6 = 2 ⋅ 5 − 1 − 5 − 1 oder 1 = 1 (w) L = {5

2.3.6

}

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 3 x + 7 + 5 x + 1 = 3 x − 5 + 5 x + 21 Die Definitionsmengen der 4 Wurzelterme sind

⎧ ⎧ ⎧ ⎧ 7⎫ 1⎫ 5⎫ 21 ⎫ ⎬. D1 = ⎨ x x ≥− ⎬ , D2 = ⎨ x x ≥− ⎬ , D3 = ⎨ x x ≥ ⎬ , D4 = ⎨ x x ≥− 3⎭ 5⎭ 3⎭ 5 ⎭ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎧ 5⎫ Damit ist die Definitionsmenge der Wurzelgleichung D = ⎨ x x ≥ ⎬ . 3⎭ ⎩

3 x + 7 + 5 x + 1 + 2 (3 x + 7)(5 x + 1) = 3 x − 5 + 5 x + 21 + 2 (3 x − 5)(5 x + 21) 2 15 x 2 + 38 x + 7 = 8 + 2 15 x 2 + 38 x − 105 15 x 2 + 38 x + 7 = 4 + 15 x 2 + 38 x − 105


31

15 x 2 + 38 x + 7 = 16 + 15 x 2 + 38 x − 105 + 8 15 x 2 + 38 x − 105 12 = 15 x 2 + 38 x − 105 144 = 15 x 2 + 38 x − 105

38 83 =0 x− 15 5

x2 + x1/ 2 =−

⎛ 19 ⎞2 83 ⋅ 45 19 19 64 ± ⎜ ⎟ + =− ± 15 5 ⋅ 45 15 15 ⎝ 15 ⎠

x1 = 3 ∨ x 2 =−

Probe:

83 ∉D 15

3 ⋅ 3 + 7 + 5 ⋅ 3 + 1 = 3 ⋅ 3 − 5 + 5 ⋅ 3 + 21 oder 8 = 8 (w) L = {3 }

2.3.7

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung x2 − 2 +

2 2 = ; x≠0 x x 3

{

D= x x≥ 2∨x≤− 2

3 2 2 2 2 − = x x x

x2 − 2 =

x2 − 2 =

8 x

2

}

oder x 4 − 2x 2 − 8 = 0

2

( x )1/ 2 = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3 x 2 = 4 ; x1 = 2 ∨ x 2 = − 2 x2 = − 2

Probe: x 1 = 2 :

x2 = − 2 :

(keine reellen Lösungen)

4−2 +

4−2 +

2 2 = ; 2 2 3 2 3 2 = ; −2 −2

L = {2

}

2+

2 3 2 (w) = 2 2

2−

2 3 2 =− (f) 2 2

32


2.3.8

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge des Gleichungssystems 25 − x 2 + x = 6 x 25 − x

{

D= x

(1)

= 9 ( 2)

2

x ≤5

}

Die Wurzeln lassen sich bei diesem Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens (vgl. Kapitel über Gleichungssysteme!) beseitigen. Dazu muss die Gleichung (1) zuvor mit (-x) multipliziert werden.

25 − x 2 + x = 6 (1) x 25 − x 2 = 9 ( 2)

⋅ (−x)

− x 25 − x 2 − x 2 = − 6 x x 25 − x 2

(1′) ( 2)

= 9

(1′) + (2) : − x 2 = − 6 x + 9 oder x 2 − 6 x + 9 = 0

Dies ergibt die Lösungen x1/ 2 = 3 ±

9 − 9 = 3.

Die Probe ist für beide Gleichungen erfüllt, damit erhalten wir die Lösungsmenge L = {3 }

2.3.9

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 1 + x

{

1 34 − x

D= x

2

=

8 15

x < 34

}

Wir fassen die Brüche auf der linken Seite zusammen und erhalten: 34 − x 2 + x x ⋅ 34 − x 2

=

8 15

Das Quadrieren solcher Wurzelgleichungen führt zu Gleichungen 4. oder höheren Grades, die in der Regel schwer zu lösen sind. Wir wollen deshalb einen anderen Lösungsweg vorschlagen. Wir betrachten Zähler und Nenner als getrennte Gleichungen, die durcheinander dividiert werden. Dazu müssen wir einen Proportionalitätsfaktor u einführen, denn der Bruch könnte auch gekürzt sein. Die Verknüpfung der beiden Gleichungen erfolgt


33

über ein Gleichungssystem. Auf diese Weise lassen sich mit Hilfe des Additionsverfahrens die Wurzelterme eliminieren. 34 − x 2 + x = 8u (1) x 34 − x 2 = 15u (2)

⋅ (−x )

Wir eliminieren die Wurzeln mit Hilfe des Additionsverfahrens. (1′) + (2) : − x 2 = − 8ux + 15u oder x 2 − 8ux + 15u = 0 (3) Diese Gleichung enthält noch den eingeführten Proportionalitätsfaktor u, den wir auf folgende Weise bestimmen. Wir ziehen von dem Quadrat der Gleichung (1) die mit dem Faktor 2 multiplizierte Gleichung (2) ab und erhalten:

34 − x 2 + x 2 + 2x 34 − x 2 = 64u 2 (1′′) 2x 34 − x 2 = 30u (2 ′)

34 = 64u 2 − 30u oder u2 − u1/ 2 =

30 34 = 0 mit den Lösungen u− 64 64

15 225 34 ⋅ 64 15 2401 15 59 17 ± + = ± = ± ; u1 = 1∨ u2 =− 32 64 64 ⋅ 64 64 ⋅ 64 64 64 ⋅ 64 64 64

Setzt man diese Ergebnisse in Gleichung (3) ein, so erhält man mit u1 = 1 : mit u2 =−

x 2 − 8 x + 15 = 0 mit den Lösungen x1 = 5 ∨ x 2 = 3

17 17 255 : x2 + = 0 mit den Lösungen x1 = 1,408 ∨ x 2 = − 5,65832 x− 32 4 32

Die Probe ergibt, dass nur x1 = 5 ∨ x 2 = 3 Lösungen der Wurzelgleichung sind. L = {3;5 }

2.3.10

Bestimmen Sie die Definitions- und Lösungsmenge der Gleichung 1 1 3 − =− 2x 4 17 − 4 x 2 ⎧ ⎪ D =⎨ x ⎪ ⎩

x
0 oder x − 2 < 0 sein. ( ∨ = Symbol für „oder“ ) Wir erhalten also als Lösungen x > 2 oder x < 2 . Wenn wir also die Betragsstriche wegnehmen, müssen wir statt dessen schreiben ± (x − 2) > 0 Wir erhalten auf diese Weise die oben genannten beiden Lösungen. Die Lösungsmenge ist somit L= x x2

{

}


3.1 Einfache lineare Ungleichungen

3.1.3

37

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung x − 3 > 3x + 2

x − 3 > 3x + 2 ± (x − 3 ) > 3 x + 2

+ (x − 3 ) > 3 x + 2 ∨ − (x − 3 ) > 3 x + 2 x − 3 > 3x + 2 ∨ − x + 3 > 3x + 2 x − 3x > 2 + 3 ∨ − x − 3x > 2 − 3 − 2x > 5 ∨ − 4 x > − 1 x
2 −2 2−x 7 − 2x +x > 2 −2 7 − 2x + 2x −2 + x > ⋅2 2 2 7>x−2

38

3 Ungleichungen 9>x

Anmerkung: Wird diese Ungleichung von rechts nach links gelesen, so erhalten wir x

{

L= x x 3

9 > 2x ∧ x < 3

4,5 < x ∧ x > 3

4,5 > x ∧ x < 3

x > 4,5

x 4,5

3.2.2

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung 1 3 < x−2 x+3

3.2 Bruchungleichungen

39

In diesem Fall ist es zweckmäßig, die beiden Bruchterme auf den gleichen Nenner zu bringen und zu einem einzigen Bruchterm zusammenzufassen. 1 ⋅ ( x + 3) 3 ⋅ ( x − 2) − 0

positiv

9 < 2x ∧ x − 2 < 0 ∧ x + 3 < 0

negativ

positiv

negativ

4,5 < x ∧ x > 2 ∧ x > − 3

4,5 < x ∧ x < 2 ∧ x < − 3

4,5 < x ∧ x > 2 ∧ x > − 3

x > 4,5 ∧ x < 2 ∧ x < − 3

x < −3

x>2

Widerspruc h

x > 4,5

keine Lösung

9 − 2x > 0 ∧ ( x − 2)( x + 3) < 0

Zähler positiv

Nenner negativ

1. Fall:

2. Fall

9 > 2x ∧ x − 2 < 0 ∧ x + 3 > 0

negativ

x < 4,5

9 > 2x ∧ x − 2 > 0 ∧ x + 3 < 0

positiv

∧ x < 2 ∧ x > −3

−3 < x < 2

positiv

x < 4,5 ∧ x > 2 ∧ x < − 3

Widerspruc h

keine Lösung

−3 < x < 2

D = r \{ 2 ; − 3 } L=

{x

negativ

− 3 < x < 2 ∨ x > 4,5

}

40

4 Lineare Gleichungssysteme Hinweis: Lehrbuch Kapitel 5 Bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen sind folgende Lösungsverfahren üblich, die wir im folgenden Kapitel konventionelle Lösungsverfahren nennen wollen: Additionsverfahren Gleichsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren

4.1 Konventionelle Lösungsverfahren 4.1.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems

3 x + 4 y = 24 7 x − 2y = 22 Beim Additionsverfahren, das wir hier anwenden wollen, ist es das Ziel eine Gleichung mit nur einer Variablen zu haben. Um hier die Variable y zu eliminieren, muss die Gleichung (2) mit dem Faktor 2 multipliziert werden. Wollte man die Variable x eliminieren, müssten beide Gleichungen umgeformt werden. 3 x + 4 y = 24 (1) 7 x − 2y = 22 (2) ⋅ 2

(1) + (2 ′) : 17x = 68 ; x = 4 (3) (3) in (2):

28 - 2y = 22 ; y = 3 L = { ( 4 ; 3)

}

Anmerkung: Um zu dokumentieren, dass es sich bei der Lösungsmenge um ein geordnetes Paar von 2 verschiedenen Variablen x und y handelt, muss das Ergebnis in eine Klammer (x ; y) geschrieben werden.

4.1.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems y−x=2 y − 2x 3 = 5 − 3y 2

; y≠

y=x+2 2y − 4 x = 15 − 9 y (1′) eingesetzt in (2 ′) :

5 3

(1′) (2′)

2x + 4 − 4 x = 15 − 9 x − 18


4.1 Konventionelle Lösungsverfahren

41

7 x = − 7 ; x = − 1 (3) (3) in (1′) : y = 1 L = { ( −1 ; 1) }

4.1.3 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 4 5 8 (1) + = x y 15 5 3 1 − = ( 2) x y 20 4 5 8 (1) ⋅ 3 + = x y 15 5 3 1 − = ( 2) ⋅ 5 x y 20 (1′) + (2 ′) :

12 25 8 1 + = + x x 5 4

37 37 = oder x = 20 (3) x 20 (2) in (1):

1 5 8 4 5 8 1⋅ 3 1 + = − + = = ; ; y = 15 5 y 15 20 y 15 5 ⋅ 3 3 L = { (20 ; 15)

4.1.4

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 1 2 (1) = 2y − 9 x−y 3 7,5 = ( 2) 3x − 2 4y − 6

x − y = 4 y − 18 12y − 18 = 22,5 x − 15 x − 5 y = − 18 22,5 x − 12y = − 3

(1′) (2 ′)

(1′′) ⋅ 45 (2′′) ⋅ 2

42

4 Lineare Gleichungssysteme (1′′′) − (2′′′) : −201y = − 804 y = 4 (3 ) (3) in (1′) : x = − 18 + 20 = 2 L = {( 2; 4 ) }

4.1.5

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 5 5x − 6y 3 − = 4x − 5y 3 2 4 5 x − 6 y 11 + = 4x − 5y 15 5

(1) ( 2)

5x − 6y 1 = u (I) ; = v (II) 15 4x − 5y

Substitution:

3 2 11 4u + v = 5

5u − 5v =

(3 ) ( 4) ⋅ 5

3 25 1 + 11 = oder u = (5) 2 2 2

(3) + ( 4′) :

25u =

(5) in (4):

2+ v =

11 1 oder v = 5 5

Rücksubstitution: (Einsetzen der Ergebnisse in Gleichung (I) und (II)) 1 1 = 4x − 5y 2 5x − 6y 1 = 15 5 4x − 5y = 2 5x − 6y = 3

(6) (7) ⋅15 (8 ) ⋅ 5 (9 ) ⋅ 4

(9′) − (8′) : y = 2 (10)

(10) in (8): x = 3 L = {( 3; 2 ) }


4.1.6

43

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 10 9 + =8 2x + 3 y − 29 7 x − 8 y + 24 2x + 3 y − 29 7x − 8y = +8 2 3

(1) ( 2)

Wir bringen zunächst die zweite Gleichung in eine andere Form, indem wir 8 ⋅3 24 zu dem Bruchterm hinzunehmen und erhalten: 8= = 3 3 10 9 + =8 2x + 3 y − 29 7 x − 8 y + 24 2x + 3 y − 29 7 x − 8 y + 24 − =0 2 3

(1) ( 2)

Damit können wir wieder eine Substitution durchführen. Substitution:

2x + 3 y − 29 = u (I) 7 x − 8 y + 24 = v (II) 10 9 + =8 u v u v − =0 2 3

Aus (4)

(3 ) ( 4)

2 3 u v 2 3 oder oder − = 0 ( 4′) = = u v 2 3 u v 10 9 + =8 u v 2 3 − =0 u v

(3) + ( 4′′) :

(3 ) ( 4 ′) ⋅ 3

16 = 8 ; u = 2 (5) u

3 (5) in (4): 1 − = 0 ; v = 3 (6) v

Rücksubstitution: 2x + 3 y − 29 = 2

(7 )

7 x − 8 y + 24 = 3

(8 )

2x + 3 y = 31 (7′) ⋅ 8 7 x − 8 y = − 21 (8′) ⋅ 3 (7′′) + (8′′) : 37x = 185;

44

4 Lineare Gleichungssysteme x = 5 (9) (9) in (7′) : 10 + 3y = 31; y = 7 (10) L = {( 5;7 )

4.1.7

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems x + y + z = 9 (1) x + 2y + 4z = 15 (2) x + 3 y + 8z = 23 (3) (2) – (1) : y + 3z = 6 (4)

(3) – (2) : y + 4z = 8 (5) (5) – (4) :

z = 2 (6)

(6) in (4) :

y = 0 (7)

(6) und (7) in (1): x = 7 (8)

L = {( 7;0; 2 ) }

4.1.8

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 2x − 3 y + z = 12 (1) − x + 5 y − 2z = − 9 ( 2) 3 x − 8 y − 5z = 61 (3) 2x − 3 y + z = 12 (1) ⋅ 2 ⋅ 5 − x + 5 y − 2z = − 9 ( 2) 3 x − 8 y − 5z = 61 (3) (1′) + (2) : 3x – y = 15 (4) ⋅ 23 (1′′) + (3) : 13x –23y = 121 (5) ( 4′) − (5) : 56x = 224 ; x = 4 (6)

(6) in (4) : y = – 3 (7) (6) und (7) in (1) : z = 12 – 8 – 9 = − 5 (8) L = {( 4 ; −3 ; −5 ) }


4.1.9

45

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 2 3 5 + + = 2 x y 2z 2 3 5 + + =1 x 4 y 4z 4 3 10 4 + − = x y 3z 3

(1) (2) (3)

Diese Aufgabe kann mit Hilfe des Substitutionsverfahrens gelöst werden. Es ist jedoch auch die folgende Lösung ohne Substitution möglich. (1) − (2) : 2⋅(2) − (3) :

9 5 + = 1 (4) oder 4 y 4z

−6 35 2 9 35 + = (5) oder − + = 4 ( 5 ′) 4 y 6z 3 y z ( 4 ′) + ( 5 ′) :

(6) in (4´):

40 =8; z

z = 5 ( 6)

9 + 1 = 4 ; y = 3 (7) y

(6) und (7) in (1):

2 1 + 1 + = 2 ; x = 4 (8) x 2

L = {( 4;3;5 )

4.1.10

9 5 + = 4 ( 4 ′) y z

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 4 5 + = 3 x + 2y 6 y − 3z 7 4 − = 2 x + 2y 3 x + 3 y 10 3 + = 1 x + y 2z − 4 y

Diese Aufgabe kann nur mit Hilfe des Substitutionsverfahrens gelöst werden. Substitution:

1 1 1 = u (I) ; = v (II) ; = w (III) x + 2y x+y z − 2y

46

4 Lineare Gleichungssysteme

4u

−

5 w= 3 3

(4) ⋅ 7

7u −

4 v 3

=2

(5) ⋅ 4

10v + (4′) − (5′) :

3 w =1 2

8 5

16 35 v− w = 13 (7) oder 16v – 35w = 39 (7′) 3 3 16v +

( 6 ′) − ( 7 ′) :

(6) ⋅

12 8 ( 6 ′) w= 5 5

12 8 187 187 w + 35w = − 39 ; w =− ; w = − 1 (8) 5 5 5 5

(8) in (6): 10v − (8) in (1): 4v + Rücksubstitution:

3 1 (9) = 1; v = 2 4

5 1 =3; u= (10) 3 3

1 = 1 ; 1 = 1 ; 1 =−1 x + 2y 3 x + y 4 z − 2y x + 2y

= 3 (11)

x+ y = 4 (12) − 2y + z = − 1 (13 )

(11) – (12): y = -1 (14) ; (14) in (12): x = 5 ; (14) in (13): z = – 3 L = { ( 5 ; − 1; − 3 ) }

4.1.11

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 7 3 − = 1 x+y 2x − 2y 32 1 − = 3 2x + 2y x+z 4 2 + = 4 x−y x+z

Diese Aufgabe lässt sich mit Hilfe des Substitutionsverfahrens lösen.

4.2 Gauß´sches Eliminationsverfahren (Gauß´scher Algorithmus) Substitution: 7u − 3 v

= 1 16u −w=3 4v + 2w = 4 2

47

1 = u (I) ; 1 = v (II) ; 1 = w (III) x+y x−y x+z

(5 ) ⋅ 7 (6) ⋅ 6

= 16 ( 4′) 112u − 7 w = 21 (5′) 24 v + 12 w = 24 (6′)

112u − 24 v

( 4) ⋅ 16 oder

( 4′) − (5′) : − 24 v + 7 w = − 5 (7) 24 v + 12 w = 24 (6′) (6′) + (7) : 19 w = 19 ; w = 1 (8)

(8) in (6): 4v + 2 = 4 ; v =

1 (9) 2

(8) in (5): 16u − 1 = 3 ; u =

1 (10) 4

Rücksubstitution:

1 = 1 ; 1 = 1 ; 1 =1 x+y 4 x−y 2 x+z

x+y

= 4 (11) x−y = 2 (12) x + z = 1 (13 )

(11) + (12): x = 3 (14) ; (14) in (12): y = 1 ; (14) in (13): z = – 2 L = { ( 3 ; 1; − 2 ) }

4.2 Gauß´sches Eliminationsverfahren (Gauß´scher Algorithmus) Beim Gauß´schen Eliminationsverfahren wird das System der Gleichungen durch ein geeignetes Additionsverfahren in eine „Dreiecksform“ gebracht (s. unten !). Anschließend wird von unten nach oben zurückgerechnet, um die Lösungsmenge zu bestimmen.

4.2.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 4x 1 + 5x 2 − 3x 3 = 5

(1)

− 4 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 1 ( 2) 2 x 1 + 3 x 2 − x 3 = 7 (3 )

Wir addieren die Gleichungen (1) und (2) und erhalten die Gleichung (4). Addiert man die mit (–2) multiplizierte Gleichung (3) zu Gleichung (1), so erhält man Gleichung (5).

48

4 Lineare Gleichungssysteme 4x1 + 5x 2 − 3x 3 = 5

(1)

−4x1 − x 2 + 2x 3 = 1

(2)

4x1 + 5x 2 − 3x 3 = 5 4x 2 − x 3 =

6 ( 4)

− x2 − x3 = − 9

2x1 + 3x 2 − x3 = 7 (3) ⋅− ( 2)

(1) (5 )

Nun wollen wir in Gleichung (5) die Variable x 2 eliminieren, indem wir zur 4-fachen Gl.(5) die Gl.(4) addieren. Die erhaltene Gleichung (6) wollen wir anschließend durch (– 5) dividieren. 4x 1 + 5x 2 − 3x 3 = 5 4x 2 − x 3 =

6

− 5 x 3 = − 30

(1)

4x 1 + 5x 2 − 3x 3 = 5

( 4)

4x 2 − x 3 = 6

(6)

x3 = 6

(1) ( 4) ( 6 ′)

Dieses Gleichungssystem hat bereits die „Dreiecksform“ und wir können daraus durch Zurückrechnen ausgehend von Gleichung (6 ′) mit Gl.(4) und (1) die Lösungsmenge berechnen. L ={( 2;3;6 ) } Diese Rechnung kann man schematisieren, indem man nur noch die Koeffizienten aufschreibt und die entsprechenden Umformungen durchführt. Addiert man zur Gl.(2) die Gl.(1), so ist in Gl.(2) die Variable x1 eliminiert. Subtrahiert man das 2-fache der Gl.(3) von Gl.(1), so ist auch in Gl.(3) die Variable x1 eliminiert. 4

5

–3

5

4

–4 2

5

–3

5

–1

2

1

0

4

–1

6

3

–1

7

0

–1

–1

–9

Nun wollen wir in Gl.(3) die Variable x2 eliminieren, indem wir zum 4-fachen der Gl.(3) die Gl.(2) addieren. Gleichzeitig wollen wir Gl.(3) zu Gl.(1) addieren. 4

4

–4

–4

0

4

–1

6

0

0

1

6

Hier könnten wir abbrechen und zurückrechnen. Führen wir jedoch die Umformung noch weiter, so können wir die Ergebnisse direkt ohne Rückrechnung erhalten. Wir dividieren die Gl.(1) durch 4 und addieren zu Gl.(2) die Gl.(3). Dadurch wird in Gl.(2) die Variable x3 eliminiert. 1

1

–1

–1

0

4

0

12

0

0

1

6

Gl.(2) kann jetzt durch 4 dividiert werden.

4.2 Gauß´sches Eliminationsverfahren (Gauß´scher Algorithmus) 1

1

–1

–1

0

1

0

3

0

0

1

6

49

Addiert man zu Gl.(1) die Gl.(3) und subtrahiert man anschließend die Gl.(2) von Gl.(1), so erhält man bereits die gewünschte „Dreiecksform“. 1

1

0

5

1

0

0

2

0

1

0

3

0

1

0

3

0

0

1

6

0

0

1

6

Es ergibt sich die „Dreiecksform“ des linearen Gleichungssystems x1 x2

= 2 = 3 x3 =

mit der Lösungsmenge

6

L ={( 2;3;6 )

}

Wenn wir das Schema noch mehr vereinfachen wollen, so können wir schreiben: 4

5

–3

5

2

1

Addiert man Gl. 2 zu Gl. 1, so erhält man Gl. 4.

3

–1

7

Addiert man die mit (-2) multiplizierte Gl. 3 zu Gl. 1, so erhält man Gl. 5.

4

–1

6

–4 –1 2

–1 –1

–9

– 5 – 30 1

4.2.2

6

Addiert man das 4-fache von Gl.5 zu Gl.4, so erhält man Gl. 6. Dividiert man Gl. 6 durch (-5), so entsteht die einfachere Gl. 7. Die Zeilen mit Grauraster werden zur Rückrechnung verwendet.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß´schen Eliminationsverfahrens. 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 = 18 (1)

− 2x 1 − 4 x 2 − 8 x 3 = − 30 (2) x 1 + 3 x 2 + 8 x 3 = 23 (3)

Als erstes dividieren wir die beiden Gleichungen (1) und (2) durch 2. Mit den damit erhaltenen Koeffizienten erhalten wir folgendes Schema, bei dem wir zunächst x1 und dann x2 eliminieren.

50

4 Lineare Gleichungssysteme 1

1

1

9

–1

–2

–4

– 15

1

3

8

23

–1

–3

–6

2

7

14

1

2

x 3 = 2 eingesetzt: − x 2 − 3 ⋅ 2 = − 6 oder x 2 = 0 ; x 1 + 0 + 2 = 9 oder x 1 = 7

L = {( 7;0;2 ) }

4.2.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems 2

x1− 3 x 2 + x3 = −2 (1) 9x1 − 2x 2 + 10x 3 =−10 (2) 3x1 + 4x 2 + 7x3 = 11 (3)

Wir multiplizieren Gl.(1) mit 3 und wenden das Gauß’sche Eliminationsverfahren an: 3

–2

3

–6

9

–2

10

– 10

3

4

7

11

4

1

8

⋅ 14

14

11

43

⋅4

56

14

112

56

44

172

30

60

x3 = 2

Rückrechnung:

4x 2 + 2 = 8 x2 =

3 2

3x1 − 3 + 6 = − 6 x1 = − 3 L = { ( −3 ; 1,5 ; 2 )

}

4.2 Gauß´sches Eliminationsverfahren (Gauß´scher Algorithmus)

4.2.4

51

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß´schen Eliminationsverfahrens. 5x1 − x 2 + 3x 3 = 6

(1)

3x1 + 5x 2 − x 3 = 5 (2) − x1 + 3x 2 + 5x 3 = 3 (3)

Wir ziehen von Gl.(1) die Gl.(2) ab und addieren zu dieser Gl.(4) das 2-fache von Gl.(3) und erhalten Gl.(7). Wenn wir das 3-fache von Gl.(4) vom 2-fachen der Gl.(2) subtrahieren, erhalten wir Gl.(7). In beiden Gleichungen ist x1 eliminiert. Wir dividieren Gl.(8) durch 7 und Gl.(7) durch 14 erhalten die Gl. (8 ′) und Gl. (7 ′) . 5

–1

3

6

(1)

3

5

–1

5

(2)

–1

3

5

3

(3)

Rückrechnung:

2

–6

4

1

(1) - (2) = (4) ⋅ (−3)

Setzen wir x 3 = 0,5

–2

6

10

6

2 ⋅ (3 )

in Gl. (8 ′) ein, so erhalten wir

3

5

–1

5

(2)

14

7

(7)

28

– 14

7

(8)

4

–2

1

( 8 ′)

in Gl.(1) ein, so erhalten wir

1

0,5

( 7 ′)

5 x 1 − 0,5 + 1,5 = 6 oder x 1 = 1.

Setzen wir x 2 = 0,5 und x 3 = 0,5

Damit ist die Lösungsmenge

4.2.5

4 x 2 − 1 = 1 oder x 2 = 0,5.

⋅2

L = { ( 1 ; 0,5 ; 0,5 )

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe des Gauß´schen Eliminationsverfahrens. 2x 1 + 2x 2 − x 3 = 0 (1) − x1 + 2 x 3 − x 4 = 3 ( 2) 2 x 3 + x 4 = 4 (3 )

2

1

–1

0

0

–1

0

2

–1

2

0

0

2

1

4

1

3

–2

4

2

1

4

52


Wir erhalten 2x 3 + x 4 = 4 oder x 3 = 2 − 0,5 x 4 . Aus der Zurückrechnung erhalten wir weiter x 2 + 6 − 1,5 x 4 − 2x 4 = 4 oder x 2 = − 2 + 3,5 x 4 und 2x 1 − 2 + 3,5 x 4 − 2 + 0,5 x 4 = 0 oder x1 = 2 − 2x 4 . Die Parameterlösung ist damit L = { ( 2 − 2x 4 ; − 2 + 3,5 x 4 ; 2 − 0,5 x 4 )

}

Wir erhalten also keine eindeutige, sondern eine von x 4 abhängige Lösung, da wir 4 Variable, aber nur 3 Gleichungen haben. Setzen wir diesen frei wählbaren Parameter x 4 = λ, so kann die Lösung auch als Lösungsvektor geschrieben werden. § 2· § −2 · ¨ ¸ ¨ ¸ G x = ¨ − 2 ¸ + λ ⋅ ¨ 3,5 ¸ ¨ 2¸ ¨ − 0,5 ¸ © ¹ © ¹

4.2.6

Für welche a ∈ r besitzt das lineare Gleichungssystem (LGS) + x3 = 1 − ax 3 = − 2 + 2x 3 = 3

x1 − x 2 − x1 − 2x 2 2x1 + ax 2

(1) ( 2) (3 )

eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung ? Wir wenden das Gauß’sche Eliminationsverfahren an: 1

–1

1

1

–1

–2

–a

–2

2

a

2

3

–3

1– a

–1

a+2

0

1

⋅ (a + 2) ⋅ (3 )

− a 2 − a + 2 1–a Bedingung für eine eindeutige Lösung: − a2 − a + 2 ≠ 0 Wir berechnen die Werte von a, für die die Gleichung Null wird. Dazu lösen wir die quadratische Gleichung − a2 − a + 2 = 0 1 1 1 3 a1/ 2 =− ± + 2 =− ± 2 4 2 2 a1 = 1 oder a2 = − 2

4.3 Determinantenverfahren

53

Diese Werte müssen wir also ausschließen. Eindeutige Lösung für a ∈ r \ { 1 , − 2 } Bedingung für unendlich viele Lösungen: 1 – a = 0 ; a = 1 Bedingung für keine Lösung: a = − 2 : Dieser Wert führt zu einem Widerspruch. Dies sehen wir, wenn wir den Wert einsetzen: − a 2 − a + 2 → − ( −2)2 − ( −2) + 2 = 0 1 − a → 1 − ( −2) = 3 ≠ 0 , d. h. Widerspruch

4.3 Determinantenverfahren für Gleichungssysteme mit drei Variablen

Ein Gleichungssystem mit drei Variablen von der Form a1x + b1y + c1z = d1 a2 x + b2 y + c 2 z = d2 a3 x + b3 y + c 3 z = d3

lässt sich auch mit dem Determinantenverfahren lösen. Wir haben es hier mit einer dreireihigen Determinante zu tun. Die Berechnung erfolgt nach folgendem Schema: a1

b1

c1

a1

b1

a2

b2

c2

a2

b2

a3

b3

c3

a3

b3

–

+

Die Determinante wird wieder in folgender Form geschrieben: a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c 2 = a1b 2 c 3 + b1c 2 a 3 + c 1a 2 b 3 − c 1b 2 a 3 − a1c 2 b 3 − b1a 2 c 3 c3

Diese Berechnung der Determinanten nach der Regel von Sarrus ist bei (4,4)Determinanten nicht mehr möglich. Diese müssen erst elementar oder mit einer Laplace-Entwicklung umgeformt werden in eine (3,3)-Determinante. Die speziellen Determinanten Dx, Dy und Dz werden gebildet, indem man jeweils die erste, zweite und dritte Spalte gegen die freien Glieder (= Spalte rechts des Gleichheitszeichens) austauscht.

54

4 Lineare Gleichungssysteme d1 Dx = d 2 d3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

a1 Dy = a 2 a3

d1 d2 d3

c1 c2 c3

a1 Dz = a 2 a3

b1 b2 b3

d1 d2 d3

Damit erhält man mit der Cramer'schen Regel die Lösung: x=

Dy Dx D , y= , z= z D D D

(CRAMER'sche Regel)

und damit die Lösungsmenge °§ D D y D z ·½° ¸¾ L = ®¨ x ; , °¯¨© D D D ¸¹°¿

4.3.1

Berechnen Sie mit Hilfe der Cramer´schen Regel die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems x 1 − 3 x 2 = − 15 − 2x 1 + 4 x 2 = 16

Wir bilden die Determinanten und berechnen daraus die Lösungen D = D x1 = D x2 =

1

− 15

−2

16

1

−3

−2

4

− 15

−3

16

4

= 4 − 6 = − 2; = − 60 + 48 = − 12

= 16 − 30 = − 14 ; x2 =

D x2 D

=

x1 =

D x1 D

=

− 12 =6; −2

− 14 =7 −2

L = { ( 6 ; 7) }

4.3.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems mit Hilfe eines Determinantenverfahrens. 3 x + 5 y − z = 5 (1) − x + 3 y + 5 z = 3 ( 2) 5 x − y + 3 z = 6 (3 )

Wir bilden aus den Koeffizienten des Gleichungssystems Determinanten und berechnen sie nach der Regel von Sarrus.


55

5 −1 3 5 −1 3 5 D = −1 3 5 = −1 3 5 −1 3 = 27 + 125 − 1+ 15 + 15 + 15 = 196 5 −1 3 5 −1 3 5 −1 3

5 −1

5 Dx = 3

3

5

6 −1

3

3

=

5 −1

5

5 −1 5

5

3

3

3 = 45 + 150 + 3 + 18 + 25 − 45 = 196

5

3

6 −1

3

6 −1

3

5 −1

3 5

Dy = −1

3

5

= −1

3

5

−1 3

5

6

3

5

6

3

5 6 3

3

5

5

3

5

5

Dz = −1

3

3

= −1

3

3 −1

5 −1

6

5 −1

6

= 27 + 125 + 6 +15 − 90 + 15 = 98

5 3 = 54 + 75 + 5 − 75 + 9 + 30 = 98

5 −1

Mit Hilfe der Cramerschen Regel erhalten wir die Lösungen des Gleichungssystems. ⎧⎛ D Dy D ⎞⎪ ⎫ ⎪ ⎜ x; ⎬ L = ⎨⎜ , z⎟ ⎟ ⎪ ⎩⎝ D D D ⎠⎪ ⎭ ⎧⎛ 196 98 98 ⎞⎫ L = ⎨⎜ ; , ⎟⎬ ⎩⎝ 196 196 196 ⎠⎭ L = { ( 1; 0,5 ; 0,5

4.3.3

)}

Berechnen Sie die folgende (3; 3)-Determinante mit Hilfe der LaplaceEntwicklung 2 0 5 0 4 1 3 3 2

Diese Determinante können wir nach der 1. Zeile oder nach der 1. Spalte entwickeln, da hier jeweils gleich viele Nullen vorhanden sind. Wir entwickeln die Determinante nach der 1. Spalte. 2 0 5 D= 0 4 1 3 3 2 Die Vorzeichen sind alternierend entsprechend einer Schachbrettregel zu wählen. 2 0 5

D=

4 1 0 5 0 5 0 4 1 = 2⋅ − 0⋅ + 3⋅ 3 2 3 2 4 1 3 3 2

D = 2⋅(4⋅ 2 − 1⋅3) − 0⋅(0⋅ 2 − 5⋅3) + 3 ⋅(0⋅1− 5 ⋅ 4) = − 50

56


In entsprechender Weise lassen sich (4; 4)-Determinanten auf (3; 3)-Determinanten reduzieren, die dann mit der Sarrus-Regel vollends berechnet werden können.

4.3.4

Berechnen Sie die folgende (4; 4)-Determinante durch Rückführung mit Hilfe der Laplace-Entwicklung in (3; 3)-Determinanten und anschließender Berechnung nach der Sarrus-Regel 2 1

0 2

3 0 1 3 1 2 −1 5 4 1

7 1

Wir entwickeln die Determinante nach der 3. Spalte. Die entsprechenden Unterdeterminanten erhalten wir durch Streichen der 3. Spalte und nacheinander der 1., 2., 3. und 4. Zeile. Bei der Bildung der Unterdeterminanten sind die alternierenden Vorzeichen nach folgender Schachbrettregel zu beachten: + − + − − +

− +

+ − + − − + 3 0 3

2 1 2

− + 2 1 2

2 1 2

D = 0 ⋅ 1 2 5 − 1⋅ 1 2 5 + (−1)⋅ 3 0 3 − 7 ⋅ 3 0 3 4 1 1

4 1 1

4 1 1

1 2 5

D = 0 − 1⋅(2⋅ 2⋅1 + 1⋅5 ⋅ 4 + 2⋅1⋅1− 2⋅ 2⋅ 4 − 2⋅5 ⋅1 − 1⋅1⋅1) + (−1)⋅(2⋅0 ⋅1+ 1⋅3 ⋅ 4 + 2⋅3 ⋅1 − 2⋅0 ⋅ 4 − 2⋅3 ⋅1 − 1⋅3 ⋅1) − 7 ⋅(2⋅0 ⋅5 + 1⋅3 ⋅1+ 2⋅3 ⋅ 2 − 2⋅0 ⋅1 − 2⋅3 ⋅ 2 − 1⋅3 ⋅5) = 0 − 1⋅(4 + 20 + 2 − 16 − 10 − 1) − 1⋅(0 + 12 + 6 − 0 − 6 − 3) − − 7 ⋅(0 + 3 + 12 − 0 − 12 −15) D = 76

Sinnvoll ist es, durch elementare Umformung (durch Addition oder Subtraktion einer Zeile oder des Vielfaches einer Zeile) möglichst viele Nullen in einer Determinante zu haben. Die Berechnung lässt sich damit sehr vereinfachen. Wir wollen dies an dem vorliegenden Beispiel zeigen.


57

Subtrahiert man bei der gegebenen Determinante das 2-fache der 1. Zeile von der 3. Zeile und subtrahiert man die 1. Zeile von der 4. Zeile, so ändert sich der Wert der Determinante nicht. Die sich ergebende Determinante lautet: 2 1

0

2

3 0 1 −3 0 −1 2 0

3 1 7 −1

Wegen der vielen Nullen entwickeln wir die (4; 4)-Determinante nach der 2. Spalte und erhalten eine einzige (3; 3)-Unterdeterminante. 2 3 -3 2

1 0 0 0

0 1 -1 7

2 3 1 -1

Diese lösen wir mit der Regel nach Sarrus und erhalten: 3

1

D =− 1⋅ −3 −1 2

3 1 =−1⋅(3 + 2 − 63 + 6 − 21 − 3) =−1⋅(−76)

7 −1 D = 76

4.3.5

Berechnen Sie das Volumen des Spates, der durch die Ortsvektoren der Punkte A (-3; 0; 0), B (0; 4; 0) und C (-2; 1; 6) aufgespannt wird.

Das Volumen des Spates ergibt sich aus dem Spatprodukt (vgl. Vektorrechnung) G ⎡ aG b cG ⎤ V= ⎣ ⎦ ax G ⎡ aG b cG ⎤ = b x ⎣ ⎦ cx

ay

az

by

bz

cy

cz

−3 0 0 = 0 4 0 −2 1 6

Wir entwickeln diese Determinante nach der 1. Zeile und erhalten: D =− 3 ⋅

4 0 = − 3 ⋅ 24 =− 72 1 6

V = − 72 = 72 VE

58

5 Lineares Optimieren Hinweis: Lehrbuch Kapitel 12

5.1

Ein Maschinenteil besteht aus zwei Einzelteilen A und B, die beide in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1, M2 und M3 bearbeitet werden. Auf jeder Maschine kann jeweils nur entweder Teil A oder Teil B bearbeitet werden. Stückzeiten: für Teil A auf M1: 45 min,

für Teil B auf M1: 30 min für Teil B auf M2: 40 min.

Stückzeiten: für Teil A auf M2: 20 min,

für Teil B auf M3: 40 min.

Die maximale tägliche Betriebsstundenzahl beträgt an Maschine M1: 7,5 h, an Maschine M2: 4,5 h, an Maschine M3: 6 h. Die Umrüstzeiten von Teil A auf Teil B sollen unberücksichtigt bleiben. Bei welchen Fertigungsziffern ist der Gewinn möglichst groß, wenn an Teil A 20 EUR und an Teil B 30 EUR Gewinn erzielt wird und die Produktion am Gewinn orientiert wird ? x = Anzahl der Teile A y = Anzahl der Teile B Bedingungen: Fertigungszeiten in Stunden

an Maschine M1: an Maschine M2: an Maschine M3:

0,75 x + 0,5 y ≤ 7,5 2 y ≤ 4,5 3 1 2 x+ y≤6 3 3

(1) (2) (3)

Optimierungsbedingung (Aufstellen der Zielfunktion): Der Gewinn ist abhängig von der jeweiligen Stückzahl. Wir erhalten als Gesamtgewinn in EUR: z = 20 x + 30 y (4) Wir lösen die Ungleichungen sowie die Optimierungsgleichung jeweils nach y auf und stellen sie graphisch dar. Es entsteht ein Planungspolygon. Da es sich bei x und y um Stückzahlen handelt, kommen dafür keine negativen Werte in Frage. Das Planungspolygon liegt im 1. Quadranten und ist durch die x- und y-Achse begrenzt.

y ≤ – 1,5 x + 15 y ≤ 6,75 y ≤ – 0,5x + 9 y =−

2 z x+ 3 30


59 Da der Gewinn z unbekannt ist, aber möglichst groß sein soll, ist auch

z 30

, der Ach-

senabschnitt auf der y-Achse möglichst groß zu wählen. Dies erreichen wir, wenn wir eine Gerade mit der Steigung − 32 , ausgehend vom Ursprung parallel in den äußersten noch möglichen Punkt des Planungspolygons verschieben. Damit wird der Achsenabschnitt und damit z am größten. y 9

Optimum: 6,75 6

(äußerster Punkt des Planungspolygons,

(6/6)

durch den sich die Zielgerade mit der Steigung − 32 noch verschieben lässt.)

x=6;y=6 1 1

6

10

x

Wenn x und y eine Anzahl darstellt, sollte x und y ganzzahlig sein. Der Optimalpunkt muss deshalb nicht unbedingt auf der Grenzgeraden des Planungspolygons liegen, sondern kann auch noch innerhalb des Planungspolygons liegen. Ergebnis: Bei einer Stückzahl von 6 Teilen A und 6 Teilen B wird ein optimaler Gewinn erzielt. Dieser beträgt z = (20 · 6 + 30 · 6) EUR = 300 EUR.

5.2

Auf einer Maschine sollen zwei Teile A und B gefertigt werden, bei denen von Teil B täglich maximal 400 Stück benötigt werden. Von Teil A sollen höchstens 100 Stück mehr als von Teil B hergestellt werden. Stückzeit für Teil A: 0,8 min.

Stückzeit für Teil B: 0,6 min.

Die tägliche Fertigungszeit beträgt maximal 540 min. Die Umrüstzeit von Teil A auf Teil B soll unberücksichtigt bleiben. a) Stellen Sie das Ungleichungssystem auf und zeichnen Sie das Planungspolygon b) Welche Stückzahlkombination wird man bei optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität wählen? c) Wie viel Stück von jedem Teil wird man täglich fertigen, wenn Teil A 0,8 EUR und Teil B 0,4 EUR Gewinn bringen und ein optimaler Gewinn erzielt werden soll?

60

5 Lineares Optimieren x = Anzahl der Teile A y = Anzahl der Teile B

Bedingungen:

y = 400 (1) Maximale Stückzahl der Teile B pro Tag: Anzahl der Teile A höchstens 100 Stück mehr als von B: x ≤ y + 100 (2) Fertigungszeiten in min: 0,8x + 0,6y ≤ 540 (3) Zielfunktion für maximalen Gewinn

z = 0,8x + 0,4y

(4)

a) Ungleichungssystem und graphische Darstellung (Planungspolygon)

a)

(1)

y ≤ 400

⇔ y ≤ 400

(1 )

(2)

x ≤ y + 100

⇔ y≥

x – 100

(2')

(3)

0,8x + 0,6y ≤ 540

⇔ y≤–

4 x + 900 3

(3')

(4)

z = 0,8x + 0,4y

⇔

z 0,4

(4′)

y

y =− 2x +

(375/400)

400

(428/329)

100

100

200

300

400

500

x

-100

b) Zielgerade: z = –

4 x + 900 ... { (375,400) } , 3 d. h. Optimum bei 375 Teilen A und 400 Teilen B

c) Zielgerade: z = 0,8x + 0,4y ... { 428,329) } , d. h. Optimum bei 428 Teilen A und 329 Teilen B

61

5.3

Eine Firma stellt Maschinen vom Typ A zum Preis von 9 000 EUR und Maschinen vom Typ B zum Preis von 7 500 EUR her. Pro Tag können entweder 16 Maschinen des Typs A oder 40 Maschinen des Typs B fertiggestellt werden. In 300 Tagen sollen maximal 7200 Maschinen produziert werden. Wie viele Maschinen von jedem Typ sind herzustellen, wenn eine möglichst hohe Umsatzsumme erreicht werden soll ? x = Anzahl der Produktionstage für Maschine A y = Anzahl der Produktionstage für Maschine B

Bedingungen: Anzahl der Produktionstage:

x + y ≤ 300

In 300 Tagen maximal 7200 Maschinen:

16x + 40y ≤ 7200

Gewinn in EUR (= Zielfunktion):

z = 16x ⋅9000 + 40y ⋅7500

(1)

x + y ≤ 300

⇔

(2)

16x + 40y ≤ 7200

⇔

(3)

z = 16x ⋅9000 + 40y ⋅7500

(1 )

y ≤− x + 300

2 y ≤− x + 180 (2') 5 36 z (3') y =− x+ 75 300 000

⇔

y Optimum:

300

Typ A:

200 Produktionstage

16 · 200 = 3 200 Maschinen

180 Typ B:

40 · 100

(200/100)

100

100

200

100 Produktionstage = 4 000 Maschinen

x

62

5 Lineares Optimieren

5.4 Zwei Werkstücke A und B, die in mehreren Arbeitsprozessen an den Maschinen M1, M2 und M3 gefertigt werden, sollen mit optimaler Ausnutzung der Maschinenkapazität hergestellt werden. Betriebsstunden an der Maschine

durchschnittliche Bearbeitungszeit

durchschnittliche Bearbeitungszeit

maximale Betriebsstundenzahl

in h für 1 Teil A

in h für 1 Teil B

pro Tag

M1

0,75

0,5

7,5

M2

–

0,5

3,5 6

M3

0,25

0,75

Gewinn pro Stück

20 EUR

30 EUR

a) Berechnen Sie die Ungleichungen und zeichnen Sie das Planungspolygon. b) Ermitteln Sie aus dem Planungspolygon die Fertigungsziffern für einen maximalen Gewinn. c) Berechnen Sie die Höhe des Gewinns. d) Bestimmen Sie für die Fertigungsziffern von A und B nach Aufgabe b) die prozentuale Auslastung der einzelnen Maschinen. a)

x = Anzahl der Fertigungsstunden für Teil A y = Anzahl der Fertigungsstunden für Teil B

Bedingungen: 0,75x + 0, 5y ≤ 7,5

⇔ y ≤ – 1,5x + 15

(1)

0,5y ≤ 3,5

⇔ y≥

7

(2)

0,25x + 0,75y ≤ 6

⇔ y≤–

1 x+8 3

(3)

Daraus ergeben sich die Gleichungen der Grenzgeraden, die das Planungspolygon eingrenzen und mit denen wir das Planungspolygon zeichnen: y = – 1,5x + 15 y= 7 y=–

b)

1 x+8 3

y 8 7 6

(6/6)

1 1

6

10

x

63 2 z . x+ 3 30 Wir verschieben die Zielgerade in den äußersten Punkt des Planungspolygons und erhalten den Punkt mit den Koordinaten x = 6 und y = 6.

b) Die Gleichung der Zielgeraden lautet: z = 20x + 30 y ⇔ y = −

Ergebnis: Die optimalen Stückzahlen sind 6 Teile A und 6 Teile B. c) Der maximale Gewinn ergibt sich aus der Zielgleichung: z = (20 ⋅ 6 + 30 ⋅ 6) EUR = 300 EUR

d) Die Kapazitätsauslastung erhält man, wenn man die Optimalwerte in die obigen Gleichungen einsetzt und das Verhältnis prozentual formuliert. Wir erhalten folgende Kapazitätsauslastungen: M1: 100 %

⎛ ⎞ 6 ⋅100 % = 100 %⎟ ⎜ − ⋅ + 1,5 6 15 ⎝ ⎠

M2: 85,71 %

⎛6 ⎞ ⎜ ⋅100 % = 85,71%⎟ ⎝7 ⎠

M3: 100 %

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 6 ⋅100 % = 100 %⎟ ⎜ 1 ⎜− ⋅6 + 8 ⎟ ⎝ 3 ⎠

5.5 Für die Herstellung eines Motorrad-Ersatzteiles stehen drei Fertigungs-Automaten zur Verfügung. Während der Automat A1 täglich 600 min zur Verfügung steht, sind die Automaten A2 nur 400 min und A3 nur 270 min verfügbar, da auf ihnen noch andere Teile hergestellt werden müssen. Wird das Ersatzteil nach dem Verfahren A hergestellt, so sind nur die Automaten A1 und A3 erforderlich, wird das Teil nach dem Verfahren B hergestellt, so werden die Automaten A1 und A2 benötigt. Insgesamt sollen täglich 120 Ersatzteile gefertigt werden. Die Fertigungszeiten nach den beiden Verfahren sind folgende: Fertigungszeiten in min für 1 Stück

A1

A2

A3

Verfahren A:

4

–

3

Verfahren B:

6

5

–

Die Selbstkosten je Stück betragen nach dem Verfahren A 1,70 EUR, nach dem Verfahren B 2,20 EUR. a) Wie viele Teile sind nach jedem Verfahren herzustellen, wenn die Selbstkosten einer Tagesproduktion minimal bleiben sollen ? b) Wie groß ist dabei die Kapazitätsauslastung der einzelnen Automaten ?

64

5 Lineares Optimieren a)

x = Stückzahl nach Verfahren A y = Stückzahl nach Verfahren B

Bedingungen: Fertigungszeiten in min: 4x + 6y ≤ 600

⇔

2 y ≤ − x + 100 3

(1)

5y ≤ 400

⇔

y ≥ 80

(2)

≤ 270

⇔

x ≤ 90

(3)

3x Stückzahlen:

x + y 120

⇔

y = – x + 120

Zielfunktion:

z = 1,70 ⋅ x + 2,20 ⋅ y

⇔

y =−

(4)

17 z (5) x+ 22 22

y 120

a) Selbstkostenoptimum (= Selbstkostenminimum)

100

bei 90 Teilen nach Verfahren A

80

und 30 Teilen nach Verfahren B b) Kapazitätsauslastung:

(60/60) = 120

A1: 90 % A2: 38 % A3: 100 %

(90/30) = 120

10 10

90

a) Kapazitätsauslastung ⎛ 4 ⋅90 + 6 ⋅30 540 ⎞ A1 :⎜ = = 0,9 ⎟→ 90 % 600 600 ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⋅30 150 ⎞ A 2 :⎜ = = 0,375⎟→ 37,5 % 400 ⎝ 400 ⎠ ⎛ 3 ⋅90 270 ⎞ A 3 :⎜ = = 1⎟→ 100 % 270 ⎝ 270 ⎠

x

65

5.6 Ein Elektrogroßhändler beabsichtigt, seinen Lagerbestand für 8 400 EUR aufzustocken. Vorgesehen ist die Erweiterung des Sortiments durch zwei neue Geräte, von denen Gerät G1 im Einkauf 80 EUR, Gerät G2 120 EUR kostet. Aufgrund der Marktsituation werden voraussichtlich mehr Geräte G2 verkauft, deshalb soll von G2 das 1,5-fache bis das 3-fache der Anzahl der Geräte G1 auf Lager genommen werden. a) Welche Anzahl von jedem Gerät ist einzukaufen, wenn bei Gerät G1 10 EUR und bei Gerät G2 8 EUR Gewinn erzielt werden kann und der Gesamtgewinn möglichst groß sein soll ? b) Welche Anzahl von jedem Gerät ist auf Lager zu nehmen, wenn bei G1 5,5 EUR und bei G2 9 EUR erzielt werden und der Lagerbestand nach dem optimalen Gewinn ausgerichtet werden soll ? c) Berechnen Sie jeweils den zu erzielenden Gesamtgewinn. a)

x = Anzahl der Geräte G1 y = Anzahl der Geräte G2

Bedingungen: y ≥ 1,5 ⋅ x Anzahl der Geräte G2 mehr als das 1,5-fache der Geräte G1 : y ≤ 3⋅ x Anzahl der Geräte G2 weniger als das 3-fache der Geräte G1 : Der Einkaufspreis für beide Geräte soll weniger als 8400 EUR betragen: 80 ⋅ x + 120 ⋅ y ≤ 8 400 z = 10 ⋅ x + 8 ⋅ y

Der Gewinn beträgt:

y ≥ 1,5 ⋅ x y ≤ 3⋅ x

⇔ y ≥ 1,5 ⋅ x

(1)

⇔ y ≤ 3⋅ x

(2)

2 ⇔ y ≤− x + 70 3 5 z ⇔ y =− x + 4 8

80 ⋅ x + 120 ⋅ y ≤ 8 400 z = 10 ⋅ x + 8 ⋅ y

(3) (4)

y 70

Optimum:

(19/57)

57 48

(32/48)

a) 32 Geräte G1, 48 Geräte G 2 b) 19 Geräte G1, 57 Geräte G2 c) Gewinn: 704 € bzw. 617,50 €

10 10

20 30

x

66


Ergebnis: Bei 32 Geräten G1 und 48 Geräten G2 wird ein maximaler Gewinn erzielt. b) Bei den veränderten Gewinnzahlen ergibt sich die Zielfunktion: z = 5,5 ⋅ x + 9 ⋅ y ⇔ y =−

11 z x+ 18 9

Ergebnis: Der maximale Gewinn ergibt sich in diesem Fall bei 19 Geräten G1 und 57 Geräten G2 . c) Der Gewinn berechnet sich nach a) zu z = (10 ⋅32 + 8 ⋅ 48) EUR = 704 EUR, nach b) zu z = (5,5 ⋅19 + 9 ⋅57) EUR = 617,50 EUR.

5.7

Eine Elektrofirma stellt zwei Geräte A und B her. Die Gehäuse für beide Geräte werden von einer Zulieferfirma hergestellt, die monatlich höchstens 600 Stück produzieren kann. Die Montageabteilung für Gerät B kann monatlich maximal 400 Geräte zusammenbauen, die Montageabteilung für Gerät A kann monatlich höchstens 350 Geräte bauen. Für die elektronische Installation des Gerätes A sind 2 h, für das Gerät B 5 h erforderlich, wobei monatlich nicht mehr als 2 250 Arbeitsstunden geleistet werden können. a) Welche Geräteanzahl von jeder Sorte ist herzustellen, wenn Gerät A einen Gewinn von 96 EUR und Gerät B 120 EUR erbringt und ein maximaler Gewinn erzielt werden soll ? b) Zu wie viel % sind die Montageabteilungen ausgelastet?

a)

x = Anzahl der Geräte A y = Anzahl der Geräte B

Bedingungen: Maximal 400 Geräte A:

y ≥ 400

⇔ y ≥ 400

(1)

Maximal 350 Geräte B:

x ≥ 350

⇔ x ≥ 350

(2)

Montagestunden:

2x + 5y ≤ 2 250

Gewinn:

z = 96 ⋅ x + 120 ⋅ y

2 ⇔ y ≤− x + 450 5 4 z ⇔ y =− x + 5 120

(3) (4)

67

y a) Optimum:

500 250 Geräte A 350 Geräte B

400

(250/350) b) Kapazitätsauslastung der Montageabteilung

300

200

für Gerät A:

100

⎛ 250 ⎞ = 0,7143 ⎟→ 71,43 % ⎜ ⎝ 350 ⎠

für Gerät B:

100

5.8

200

300 350

x

⎛ 350 ⎞ = 0,875 ⎟→ 87,50 % ⎜ ⎝ 400 ⎠

Ein Werk hat wöchentlich 24 t Frachtgut an einen Filialbetrieb A und 19 t Fracht gut nach einem Ort B zu transportieren. Dazu stehen zwei LKW W1 und W2 mit jeweils 3 t bzw. 2 t Ladekapazität zur Verfügung. Stellen Sie für die beiden Fahrzeuge einen Einsatzplan mit möglichst geringen Frachtkosten auf. Dabei sind folgende Bedingungen zu beachten: 1. Sowohl für Wagen W1 wie für Wagen W2 sind wöchentlich jeweils höchtens12 Fahrten möglich. 2. Mindestens zweimal wöchentlich soll Wagen W2 nach A und Wagen W1 nach B fahren. 3. Nach A sollen wöchentlich nicht mehr als 10 Fahrten vorgesehen werden. 4. Die Fahrtkosten von Wagen W1 betragen nach A 30 EUR, nach B 22 EUR. Die Fahrtkosten des Zwei-Tonners betragen nach A 42 EUR und nach B 36 EUR.

I

24 t

A

19 t

B

Anzahl der Fahrten:

x ... von W1 nach A

u ... von W2 nach A

y ... von W1 nach B

w ... von W2 nach B

68


y 12

8 7 6 5 4 3

(4/3) 2 1 1

2

3

4

5

6

7

3x + 2u = 24

(1)

3y + 2v = 19

(2)

x + y ≤ 12

(3)

u + v ≤ 12

(4)

u≥ 2

(5)

x + u ≤ 10

(6)

12

3 x + 12 2 3 v = – x + 9,5 2 y ≤ – x + 12 1 y≥–x+6 3 2 x≤6 3 x≥4

x

u=–

(1') (2') (3') ((1') u. (2') in (4))

y≥2 Zielgerade: z = 30x + 22x + 42u + 36v

y =−

33 z − 846 x+ 32 32

Ergebnis: Einsatzplan:

x

y

u

v

4

3

6

5

= Anzahl der Fahrten

((1') in (5)) ((1') in (6)) (7)

69

6 Exponential- und Logarithmusgleichungen Hinweis: Lehrbuch Kapitel 20

6.1 Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Variable im Exponenten vorkommt. Sie lassen sich durch Logarithmieren lösen. Sie können jedoch nur dann gelöst werden, wenn die Gleichungen „logarithmierbar“ sind oder wenn sie in eine logarithmierbare Form gebracht worden sind. Man versteht darunter Formen, auf die folgende Logarithmengesetze lg (a ⋅b) = lg a + lg b lg (a b) = lg a − lg b lg (an ) = n⋅lg a

anwendbar sind. Wurzelgleichungen mit Variablen im Wurzelexponenten lassen sich durch Umformen der Wurzelterme in Potenzterme in Exponentialgleichungen umformen und auf die gleiche Weise lösen. x

x

Anmerkung: a − b = 0 ist z. B. noch nicht in einer „logarithmierbaren Form“. Das Logarithmieren der Gleichung in der Form lg(a x − b x ) = lg 0 wäre sinnlos, weil x

x

1. lg(a − b ) zu keiner Umwandlungsform führt, auf die ein Logarithmengesetz anwendbar wäre. 2. lg 0 nicht definiert ist.

6.1.1

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung 3 x− 4 = 0

Um eine Exponentialgleichung logarithmieren zu können, müssen wir den Exponentialterm isolieren. 3x = 4 Jetzt können wir die Gleichung, d. h. die linke und rechte Seite der Gleichung logarithmieren unter Anwendung des Logarithmengesetzes lgax = x ⋅lg a . x ⋅lg 3 = lg 4 x=

lg 4 0,6021 = = 1,2619 lg 3 0,4771

L = { 1,2619

}


70

6.1.2

6 Exponential- und Logarithmusgleichungen Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung 7x−

1 =0 343

1 = 7−3 343 x ⋅lg 7 =− 3 ⋅lg 7

7x =

x=

−3 ⋅lg 7 =− 3 lg 7 L = { −3

6.1.3

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung ⎛ 5 ⎞x ⎛ 4 ⎞4 ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎛5⎞ ⎛4⎞ x ⋅lg⎜ ⎟= 4 ⋅lg⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝5⎠ ⎛4⎞ 4 ⋅lg⎜ ⎟ ⎝5⎠ x= =− 4 ⎛5⎞ lg⎜ ⎟ ⎝4⎠

L ={ − 4

6.1.4

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung x+4

32x − 4 = 2

Wir formen zunächst den Wurzelterm um in einen Potenzterm. Dabei wandeln wir auch die Zahl 32 in einen Potenzterm mit der Grundzahl 2 um: 32 = 25 x−4

(25 ) x + 4 = 2 5x − 20 ⋅ lg 2 = lg 2 x +4 5x − 20 = x + 4 4x = 24 L ={ 6

}

6.1 Exponentialgleichungen

6.1.5

71

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung 5−x

3 x + 5 = 2−2

Schreibt man den Wurzelterm wieder in einen Potenzterm um, so kann die Gleichung logarithmiert werden. x+5 5 3 −x

=

1 4

Lösung durch Logarithmieren: x+5 5 lg 3 − x

=− lg 4

x+5 ⋅lg 3 =− lg 4 5−x x ⋅lg 3 + 5 ⋅lg 3 =− 5 ⋅lg 4 + x ⋅lg 4 x ⋅(lg 3 − lg 4) =− 5 ⋅(lg 3 + lg 4) x=

− 5 ⋅lg(3 ⋅ 4) − 5 ⋅lg 12 = = 43,1884 ⎛3⎞ lg(0,75) lg⎜ ⎟ ⎝4⎠ L = { 43,1884

6.1.6

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung x

ax − 2 =

4x − 3

a4x + 4

Wir wandeln wieder die Wurzelterme um und erhalten x−2

a x

4x + 4

= a 4x − 3

Lösung durch Exponentenvergleich

Da die Grundzahlen gleich sind, müssen auch die Hochzahlen gleich sein. Aus dem Gleichsetzen der Hochzahlen erhält man x − 2 4x + 4 = x 4x − 3

Durch „Überkreuz-Multiplizieren“ erhalten wir 4x 2 − 3x − 8x + 6 = 4x 2 + 4x

⇔ 15x = 6 ⇔ x =

L = { 0,4

}

2 = 0,4 5

72

6.1.7

6 Exponential- und Logarithmusgleichungen

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung x+8

729 x + 1 = 0 , 2

x+8

729 x + 1 = 0,2

x +1 x 729 + 8

= 0,2

x +1 ⋅ lg 729 = lg 0,2 x+8 x ⋅ lg 729 + lg 729 = x ⋅lg 0,2 + 8 ⋅lg 0,2 x ⋅ (lg 729 − lg 0,2) = 8 ⋅lg 0,2 − lg 729

x =

− 8,45449 =− 2,373724 3,56170 L = { − 2,3737

6.1.8

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Wurzelgleichung 2x

3x + 3 ⋅

3

3x

3 x − 1 = 4,82

x −1 x+3 2x ⋅ 3 3x

3(x + 3)

= 4,82

2(x − 1)

+ 2 ⋅ 3x = 4,82 3 3 ⋅ 2x 5x + 7

3 6x

= 4,82

5x + 7 ⋅lg 3 = lg (4,82 ) = lg 23,04 6x 5x ⋅lg 3 + 7 ⋅lg 3 = 6x ⋅lg 23,04 x(5 ⋅lg 3 − 6 ⋅lg 23,04) = − 7 ⋅lg 3 x=

−7 ⋅lg 3 = 0,5769 5 ⋅lg 3 − 6 ⋅lg 23,04

L = { 0,5769

}

6.1 Exponentialgleichungen

6.1.9

73

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung

(

52x − 1 + 23x + 1 = (5 x )2 + 2x − 1

3

)

Da der Logarithmus einer Summe nicht definiert ist, müssen die Summen erst in Produkte umgewandelt werden. Vorher spalten wir die Hochzahl auf. 52x ⋅5−1 + 23x ⋅ 21 = 52x + 23x ⋅ 2−3

Nun formen wir die Gleichung so um, dass auf jeder Seite nur Potenzen mit der gleichen Grundzahl vorkommen. 23x ⋅ 21 − 23x ⋅ 2−3 = 5 2x − 5 2x ⋅5−1

Durch Ausklammern erhält man ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ 23x ⋅⎜ 2 − ⎟= 52x ⋅⎜1 − ⎟ ⎝ ⎝ 8⎠ 5⎠

23x 5

2x

=

4 5 15 8 x

=

( 23 ) = x ( 52 )

4 ⋅8 32 = 5 ⋅15 75 8x

25 x

=

32 75

⎛ 8 ⎞x 32 ⎜ ⎟ = 75 ⎝ 25 ⎠ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 32 ⎞ x ⋅lg⎜ ⎟ = lg⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠ ⎝ 75 ⎠ ⎛ 32 ⎞ lg⎜ ⎟ ⎝ 75 ⎠ x = = 0,74752 ⎛ 8 ⎞ lg⎜ ⎟ ⎝ 25 ⎠ L = { 0,74752

}

6.1.10 Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung 4 x + 1 − 2 2x − 1 = 3 3x + 1 − 22x

Diese Gleichung enthält mehr als 2 verschiedene Grundzahlen. Wir müssen deshalb die Grundzahl 4 in eine Potenz mit der Grundzahl 2 umformen: 4 = 22 .

74

6 Exponential- und Logarithmusgleichungen

Ordnen der Potenzterme:

22x + 2 − 2 2x − 1 + 22x = 3 3x + 1

Umwandlung der Potenzen:

22x ⋅ 22 − 22x ⋅ 2−1 + 22x = 33x ⋅3

Ausklammern u. Zusammenfassen:

22x ⋅ 22 − 2−1 + 1 = 33x ⋅3

(

)

4,5

22x

Ordnen der Potenzen:

3x

3

=

3 4,5

⎛ 4 ⎞x 2 = ⎜ ⎟ = 3 (33 )x ⎝ 27 ⎠ (22 )x

⎛2⎞ lg⎜ ⎟ ⎝3⎠ = 0,21233 x= ⎛ 4 ⎞ lg⎜ ⎟ ⎝ 27 ⎠

L = { 0,21233

}

6.1.11 Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender Exponentialgleichung 38x − 28 700 = 812x − 1

Wir wollen die Potenzterme 38x und 812x in Potenzen mit gleichen Grundzahlen z. B. 3 oder 81 = 3 4 umwandeln. 2x

(3 4 )

− 28 700 = 812x ⋅81−1

81 2x − 81 2x ⋅

1 = 28 700 81

⎛ 1⎞ 81 2x ⋅⎜1 − ⎟= 28 700 ⎝ 81⎠ 812x =

( )

28 700 ⋅81 80

x ⋅lg 812 = lg x=

28 700 ⋅81 80

4,46328 = 1,16932 3,81697 L = { 1,16932

}

6.2 Logarithmusgleichungen

75

6.2 Logarithmusgleichungen Um logarithmische Gleichungen „entlogarithmieren“ zu können, müssen wir auf folgenden Zusammenhang zurückgreifen: Logarithmiert man die Gleichung 10y = x auf beiden Seiten der Gleichung, so erhält man lg 10 y = y ⋅lg 10 = lg x oder y = lg x. Damit gilt folgende Umrechnung: N 1

lg x = y ⇔ x = 10 y

Wir können uns auch folgende Umrechnungen merken:

6.2.1

Zehnerlogarithmus:

10lg x = x

Natürlicher Logarithmus:

eln x = x

Binärlogarithmus:

2lb x = x

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung 3 + 2⋅lg x = 4

Wir formen die Gleichung in folgende Form um, um den logarithmischen Term zu 2⋅lg x = 1 isolieren: lg x =

1 2

Aus der Definitionsgleichung des Zehnerlogarithmus 10lg x = x erhalten wir für die obige Gleichung die Lösung, indem wir schreiben: 1

10lg x = 10 2 1

x = 10 2 = 10 L=

6.2.2

{

}

10 = {3,1623}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung lg(4x) + lg(5x) = 2 + lg(2x)

Zusammenfassen der Terme:

lg(4x) + lg(5x) − lg(2x) = 2 ⎛ 4x ⋅5x ⎞ lg⎜ ⎟ = lg(10x) = 2 ⎝ 2x ⎠

76

6 Exponential- und Logarithmusgleichungen 10x = 102 ⇔ x = 10 L = {10}

6.2.3

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung lg(4 x ) − lg(3 x ) = 5 ⎛ 4x ⎞ ⎛ 4 ⎞x ⎛4⎞ ⎟ = lg⎜ 5 lg ⇔ ⎜ ⎟ = 5 x ⋅lg⎜ ⎟= 5 ⎜ x⎟ ⎝3⎠ ⎝3⎠ ⎝3 ⎠

x=

5 = 40,0196 4 lg 3

L = {40,0196}

6.2.4

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung 3

lg 3 8x − lg x 2 = 2 3

lg 3 8x − lg x 2 = 2 1 3 lg(8x)

2 3 − lg x

=2

1 2 ⋅lg(8 ⋅ x) − ⋅lg x = 2 3 3 1 2 (lg 8 + lg x ) − ⋅lg x = 2 3 3 1 1 2 ⋅lg 8 + ⋅lg x − ⋅lg x = 2 3 3 3 1 1 lg 8 − 2 = ⋅lg x ⋅3 3 3 lg 8 − 6 = lg x x = 10(lg8 − 6) x = 8⋅10−6 L = { 0,000 008

}

6.2 Logarithmusgleichungen

77

6.2.5 Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung 3⋅ln(x 2 ) − ln (x 4 ) = 4 3⋅2⋅ln x − 4⋅ ln x = 4 ln x = 2 x = e2

L = { 7,389

}

6.2.6 Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung ⎛ 1⎞ 3 8 ⋅ln( x ) + ln ( x 2 ) + 31 ⋅ln⎜ 5 ⎟= 9 ⎝x ⎠ 1

2

1 8 ⋅ln (x) 2 + ln (x) 3 + ⋅ln (x)−5 = 9 3 1 2 5 8 ⋅ ⋅ln(x) + ln (x) − ⋅ln x = 9 2 3 3 2 5 4 ⋅ln(x) + ln (x) − ⋅ln x = 9 3 3 3 ⋅ln x = 9 ln x = 3 x = e3 L = { 20,086

6.2.7

}

Bestimmen Sie die Lösungsmenge folgender logarithmischer Gleichung ln(x a ) − a ⋅ln (x 3 ) + ln x = 2a − 1 a ⋅ln x − 3a ⋅ln x + ln x = 2a − 1 ( − 2a + 1)⋅ln x = 2a − 1 ln x =

2a − 1 − (1 − 2a) = =−1 −2a + 1 (1 − 2a) x = e−1

L = { 0,36788

}

78

B Geometrie

7 Längenberechnungen am Dreieck Mit Hilfe der Höhe h wird das rechtwinklige Dreieck in zwei weitere rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt, die ähnlich sind, weil ihre Winkel gleich sind.

C

h

b

a

Damit verhalten sich die Seiten wie folgt: a : c = p : a (1)

A

b : c = q : b (2)

a

B

D q

p c

h : p = q : h (3)

Diese drei Verhältnisgleichungen sind bekannt geworden als

Kathetensatz:

a2 = p ⋅c (1′) b2 = c ⋅ q (2′)

Höhensatz:

h2 = p ⋅ q (3′)

Addiert man die beiden Gleichungen (1′) und (2′) , so erhält man a2 + b2 = c ⋅p + c ⋅ q = c ⋅(p + q) .

c

Diese Gleichung ist bekannt als

Satz des Pythagoras:

a2 + b2 = c2

Für die Berechnung von Längen, die wiederum zur Bestimmung des Flächeninhaltes von Flächen oder zur Volumenberechnung benötigt werden, gibt es verschiedene Berechnungsmethoden. 1. Lassen sich bei einer Berechnung ähnliche Dreiecke feststellen, so lässt sich die Längenberechnung mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) durchführen. 2. Sind die Dreiecke rechtwinklig, so ist der „Pythagoras“ hilfreich. 3. Eine weitere wichtige Möglichkeit zur Längenberechnung aber auch zur Winkelbestimmung sind die „trigonometrischen Funktionen“. 4. Schließlich gibt es bei schiefwinkligen Dreiecken noch die Möglichkeit, mit dem Sinussatz und dem Kossinussatz zu arbeiten. In dieser Reihenfolge wollen wir die Aufgaben angehen. Die Aufgaben können jedoch nicht immer streng einer Berechnungsmethode zugeordnet werden. H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_7, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

7.1 Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze)

79

7.1 Ähnlichkeitssätze (Strahlensätze) 7.1.1

Welche Höhe hat ein Leitungsmast, der einen Schatten von 4,5 m wirft, wenn ein unmittelbar danebenstehender, 1,8 m hoher Zaunpfahl eine Schattenlänge von 1 m hat? h 1,8 m = = 1,8 4,5 m 1m

1,8 m

h

h = 1,8 ⋅ 4,5 m

h = 8,1 m

1m 4,5 m

Welche Länge hat die Höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck

a

b

7.1.2

h

( γ = 90° ) ?

c

Der Flächeninhalt des dargestellten rechtwinkligen Dreiecks lässt sich auf zweifache a ⋅b c ⋅h Weise berechnen: A = oder A = 2 2 Da beides denselben Flächeninhalt ergibt, muss auch gelten a ⋅b c ⋅ h = oder a ⋅b = c ⋅h 2 2

Damit ist

7.1.3

h=

a ⋅b c

Wie verhalten sich die Strecken x und y zu den Abständen a und b, wenn bei der Langlochführung der halbe Winkel δ durchlaufen ist?

d=

b

g

2

a

Berechnen Sie das Verhältnis x : y allgemein und für a = 50 mm und b = 70 mm.

C

B

A x

y

80

7 Längenberechnungen am Dreieck

Wir ziehen durch B eine Parallele zur Winkelhalbierenden durch C und erkennen zwei ähnliche Dreiecke. Da der Winkel δ als Stufenwinkel und als Wechselwinkel vorkommt, zeigt sich, dass das Dreieck BEC ein gleichschenkliges Dreieck ist und damit die Strecke CE = a ist. E

a

d

C d

b

a

Damit ergibt sich mit Anwendung des Strahlensatzes die folgende Verhältnisgleichung b a+b = x x+y x+ y a+b = x b y a 1 + = +1 x b x b = y a

wg A

B x

y

Für die angegebenen Maße erhalten wir das Verhältnis x : y = 70 mm : 50 mm = 7 : 5

7.1.4

Eine Platte soll so abgeschrägt werden, dass bis zur Bohrung noch eine Stegbreite von 20 mm erhalten bleibt. Welches Maß x muss dabei eingehalten werden ?

AM =

35 mm = 70 mm. Damit ist sin 30°

50

C

A

x

E

30°

B

AB = 20 mm (Höhe im gleichseit. Dreieck)

50

CD = 50 ⋅ 3 mm

x 3

DE = (50 3 − 20) mm = x ⋅ 3

x=

(50 3 − 20) mm = 38,45 mm 3

35 30° D

M


Berechnen Sie für den dargestellten Dachbinder die Längen der Obergurtstäbe, der Vertikal- und Diagonalstäbe für h = 3 m und a = 2,5 m.

g

f

h

7.1.5

81

d a

a

e

c

b

a

Länge der Vertikalstäbe (Strahlensatz) c 2a 2 2 = = ; c = ⋅h = 2 m h 3a 3 3 e a 1 1 = = ; e = ⋅h = 1m h 3a 3 3

Diagonalstäbe (Pythagoras) b = a2 + c 2 = (2,5m)2 + (2m)2 = 3,2 m d = a2 + e2 = (2,5m)2 + (1m)2 = 2,69 m

Obergurtstäbe (Pythagoras) f = a2 + e2 = (2,5m)2 + (1m)2 = 2,69 m g = h2 + (3a)2 = (3 m)2 + ( 7,5 m)2 = 8,08 m

7.1.6

Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung der Länge x in Abhängigkeit von den angegebenen Größen a, r und Δd für α = 30° und α = 45°.

Mit Anwendung des Strahlensatzes ergeben sich für die beiden Winkel folgende Verhältnisgleichungen.

82

7 Längenberechnungen am Dreieck α = 30° :

r 2 3)

Dd

r 2

30° a – x – 2r

r

r 2 3

Dd – (r –

r

⎛ 3⎞ r ⎟ Δd − r ⋅⎜1 − a−x− ⎝ 2 ⎠ 2= r r ⋅ 3 2 2 ⎛ r 3⎞ a − x − = Δd⋅ 3 − r ⋅⎜ 3 − ⎟ ⎝ 2 2⎠

30° a–x

x = a − Δd⋅ 3 + r ⋅ 3 − 2r

x = a − Δd⋅ 3 + r( 3 − 2)

⎛ r ⎞ = Δd −⎜r − ⎟ ⎝ 2 2⎠ r x = a − Δd + r − 2 ⋅ 2

r

r) 2

r

a−x−

Dd – (r –

r 2

r 2

α = 45° :

Dd

r 2

45°

45° a–x– r 2 a–x

x = a − Δd + r ⋅ (1− 2 )

7.1.7

Bestimmen Sie das Maß x.

Da die beiden Bohrungen auf einem Halbkreis (Thaleskreis) liegen, haben wir es mit einem rechtwinkligen Dreieck zu tun, dessen Höhe x gesucht ist und dessen Hypotenuse sich aus den Längenabschnitten (26 mm + x) und 15 mm zusammensetzt. Verhältnisgleichung:

x 26 + x = 15 x („Höhensatz“!)

x 2 − 15x − 390 = 0

(s. Quadrat. Gleichungen)

x

x 2 = 15 ⋅(26 + x)

x1/ 2 = 7,5 ± 7,52 + 390 (negativer Wert unbrauchbar) x = 28,62 mm

26 + x

15


Wie groß wird die Höhe h des dargestellten Behälterbodens, wenn R = 0,8 · d ist?

R

a) Berechnen Sie h allgemein in Abhängigkeit von d.

h

7.1.8

83

b) Welche Höhe ergibt sich für d = 800 mm und d = 1000 mm ? d

Die sich ergebenden Dreiecke sind ähnlich, da ihre Winkel gleich sind. Wir erhalten folgende Seitenverhältnisse: a) h : r = r : (2R − h)

h

⎛ d ⎞2 r 2 =⎜ ⎟ = h⋅(2R − h) ⎝2⎠

r

Mit R = 0,8 ⋅ d erhält man:

R

d2 = h⋅(1,6 ⋅ d − h) 4 h2 − 1,6 ⋅ d⋅h +

d2 =0 4

h1/ 2 = 0,8 ⋅ d ± 0,64 ⋅ d2 −

d2 4

h1/ 2 = 0,8 ⋅ d ± d⋅ 0,39 (Positiver Wurzelterm zu groß)

h = 0,8 ⋅ d − d⋅ 0,39 = 0,1755 ⋅ d

b) Mit den Zahlenwerten ergibt sich für d = 800 mm: h = 140,4 mm d = 1000 mm: h = 175,5 mm

2R – h

(Diese Gleichung erkennen wir wieder als Höhensatz)

84

7.1.9


Für das dargestellte Kontaktblech, das mit einem Schnittwerkzeug herausgeschnitten werden soll, sind die Maße x1, x2, y1 und y2 zu berechnen.

Bei den sich ergebenden ähnlichen Dreiecken kann die Höhe im gleichseitigen Dreieck nach Pythagoras (s. Lehrbuch Kap. 25) direkt angegeben werden. Die Aufgabe könnte somit auch zu Kapitel 7.2 genommen werden. Wir erhalten aus der Zeichnung folgende Zahlenwertgleichung: x1 6,2 1,5 = 3− 2 2 2 x1 = (6,2 3 − 1,5) mm = 9,24 mm x 2 = (6,2 3 + 1,5) mm = 12,24 mm y1 = 6,2 mm +

x1 2

1,5

6,2 1 mm − ⋅1,5 ⋅ 3 mm = 8,00 mm 2 2 6,2 1 mm + ⋅1,5 ⋅ 3 mm = 10,60 mm 2 2

A

C

3

y 2 = 6,2 mm +

x2 2

6,2 30° 6,2 3 2 BC = 32 3 (Höhe im gleichseitigen Dreieck)

7.1.10

Eine Last mit einseitiger Schwerpunktslage hängt an einer Kette. a) Welchen Abstand h hat der Haken ? b) Welche Länge l hat die einen rechten Winkel einschließende Kette ?

1,5 3 B


85

Die sich ergebenden Dreiecke sind ähnlich, da ihre Winkel gleich sind. Wir erhalten folgende Seitenverhältnisse: a) h :

a 4a = :h 5 5

(Diese Gleichung erkennen wir wieder als Höhensatz) 4a a 4 a2 2

=

h

h =

5

4 a = 0,8 ⋅a 5

b) Die Teillängen der Kette sind die Längen der Hypotenusen der Dreiecke. Sie lassen sich nach Pythagoras berechnen. Damit leitet die Aufgabe über zum folgenden Kapitel 7.2. ⎛ 4 ⎞2 ⎛ a ⎞2 l = ⎜ a ⎟ + h2 + ⎜ ⎟ + h2 ⎝5 ⎠ ⎝5⎠ l=

16a2 4a2 a2 4a2 + + + 25 25 25 25

l=

20a2 5a2 2 1 + = a⋅ 5 + a⋅ 5 25 25 5 5

3 l = ⋅ 5 ⋅a 5

7.1.11

h

⋅ = 5 25

Ein Wellenzapfen soll ein Dreikantprofil nach nebenstehender Darstellung

a) Berechnen Sie s in Abhängigkeit von h und D. b) Bestimmen Sie s in Abhängigkeit von D für das bei stumpfen Dreikanten übliche Verhältnis h : D = 0,77. c) Wie groß wird die Frästiefe t in Abhängigkeit von D unter Berücksichtigung des Verhältnisses h : D = 0,77 ?

a 5

4a 5

86


a) Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke DEF und MAB lässt sich folgende Verhältnisgleichung aufstellen:

F s 3 2 D s E 2

s s ⋅ 3 2= 2 r R2 − r 2 + s D 2

BC = R2 – r2

Nach „Überkreuz-Multiplikation“ und ergibt sich

B r

h

Kürzung durch

s 2

M

R2 − r 2 + s = r ⋅ 3 oder r

R

2

s = r⋅ 3 − R − r

Mit h = r +

2

D D oder r = h − 2 2

erhält man 2 ⎛ ⎛ D ⎞2 ⎛ D⎞ D⎞ s =⎜h − ⎟⋅ 3 − ⎜ ⎟ −⎜h − ⎟ ⎝ ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2⎠

⎛ D⎞ s =⎜h − ⎟⋅ 3 − ⎝ 2⎠

h⋅(D − h)

b) Mit h = 0,77 ⋅D wird s = (0,77 D − 0,5 D)⋅ 3 − 0,77 ⋅D⋅(D − 0,77 ⋅D)

s = 0,27 ⋅ 3 ⋅D − 0,421⋅D s ≈ 00467 ⋅D

c)

t = D − h = D − 0,77 ⋅D t = 0,23 ⋅D

R= D 2 +2 s

C

AC = s

3

A

7.2 Pythagoras

87

7.2 Pythagoras 7.2.1

In der dargestellten Raumecke soll ein Kanal mit quadratischem Querschnitt mit einer maximalen Kantenlänge a untergebracht werden.

b a c

Berechnen Sie a allgemein und für b = 3 m und c = 5 m.

h⋅ c a= c +h

a

h

c −a 2 oder a ⋅c = h⋅c − a ⋅h c 2 a ⋅(c + h) = h⋅c a = h

b

Wir erkennen zwei ähnliche Dreiecke und erhalten daraus die Verhältnisgleichung

c 2

c–a 2

Hier ist noch die unbekannte Höhe h enthalten, die wir nach Pythagoras wie folgt berechnen: h = b2 −

c2 4

Damit wird

a=

h⋅c = c +h

⎛ c ⎞2 c ⋅ b2 −⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎛ c ⎞2 c + b2 −⎜ ⎟ ⎝2⎠

Mit den angegebenen Werten b = 3 m und c = 5 m wird 2

a=

5 m⋅ (3 m)2 − ( 2,5 m)

2

5 m + (3 m)2 − (2,5 m)

= 1,25 m

88


7.2.2

Welchen Durchmesser D muss die große Bohrung erhalten, wenn zwischen den Bohrungen sowie zwischen Bohrung und Kante der Abstand x eingehalten muss ? a) Berechnen Sie D allgemein: b) Berechnen Sie D für a = 120 mm, d = 15 mm und x = 5 mm. c) Berechnen Sie x für d = 15 mm, D = 110 mm und a = 120 mm.

D+

(d +

2x)

a) Wir suchen uns ein charakteristisches Dreieck aus, das durch die Mittelpunkte der Bohrungen mit dem Durchmesser d festgelegt ist. Dieses rechtwinklige Dreieck ist ein halbes Quadrat mit der Kantenlänge a – (d + 2x). Die Diagonale in diesem Quadrat (die a – (d + 2x) Hypotenuse des Dreiecks) ist D + (d + 2x). Dieses ist aber bekanntlich (s. Lehrbuch !) das 2 -fache der Kantenlänge des Quadrats. Damit gilt: D + (d + 2x) = 2 ⋅(a − (d + 2x))

a – (d + 2x)

D = a ⋅ 2 − (1+ 2 )⋅(d + 2x)

Ausführlich und damit sehr aufwendig gerechnet erhalten mit Hilfe des Pythagoras folgenden Zusammenhang:

[ (a − (d + 2x) ]2 + [ (a − (d + 2x) ]2 = [ D + (d + 2x) ]2 Zur Vereinfachung der Rechnung setzen wir d + 2x = b und erhalten (a − b)2 + (a − b)2 = (D + b)2 2⋅(a − b)2 = (D + b)2

Nach dem Radizieren der Gleichung erhalten wir 2(a − b) = D + b D + b =± 2(a − b)

(negativer Längenwert unbrauchbar)

D =− b + 2(a − b) =− (d + 2x) + 2(a − d − 2x) D = a 2 − (d + 2x) − 2( d + 2x) = a 2 − (1+ 2 )(d + 2x)

7.2 Pythagoras

89

b) D = 120 mm⋅ 2 − (1+ 2 )⋅ 25 mm = (95 2 − 25) mm = 109,35 mm c) Wir setzen D = 110 mm in die Gleichung nach Aufgabe a) ein und erhalten folgende Zahlenwertgleichung 110 = 120 ⋅ 2 − (1 +

15 + 2x =

120⋅ 2 −110 1+ 2

2 )(15 + 2x )

oder

x=

60⋅ 2 − 55 − 7,5 1+ 2

x = 4,86 mm

7.2.3

Berechnen Sie das Maß x a) allgemein b) für

a = 155 mm, b = 122 mm c = 5 mm.

a) Wir ergänzen das Rechteck zu einem Quadrat und wollen auch hier das einfache Verfahren anwenden. Wir formulieren die Diagonalen im Quadrat als das 2 fache der Kantenlänge und erhalten: (1)

a − b = v⋅ 2

(2)

a–c

b–c

x + v = (a − c) 2

2

v

a–b

x=a 2 −c 2 −

a−b

x

x = (a − c) 2 −

a–c

Aus (1) mit (2) ergibt sich:

2 2 ⋅a + ⋅b 2 2 v

x=

b) x =

2 ⋅(a + b − 2c) 2

2 ⋅(155 mm + 122 mm − 10 mm) 2 x = 133,5 mm⋅ 2 x = 188,8 mm

90


7.2.4

Bestimmen Sie für die ballige Lauffläche einer Riemenscheibe den Radius x in Abhängigkeit von den beiden Durchmessern d und d1 und der Scheibenbreite b.

Wir suchen ein geeignetes Dreieck, auf das wir den Satz des Pythagoras anwenden können.

d – d1 2

Zur Vereinfachung nennen wir die Strecke x

d − d1 =a. 2

Damit gilt nach dem Satz des Pythagoras: x 2 = (x − a)2 +

b2 4

x2 = x2 − 2ax + a2 +

b 2 b2 4

x=

a2 b2 a b2 + = + 2a 4 ⋅ 2a 2 8a

x=

d − d1 b2 + 4 4(d − d1 )

x=

(d − d1 )2 + b2 4(d − d1 )

7.2.5

x – d –2d1

x

Berechnen Sie den Durchmesser d für das Langloch, wenn die übrigen Abmessungen gegeben sind.

Wir suchen ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck, auf das wir den Satz des Pythagoras anwenden können.

7.2 Pythagoras

91

Nach Pythagoras gilt: 2 2 2 ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ ⎜ r − ⎟ =⎜ x + ⎟ +⎜ y − ⎟ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝

+ dx + d2/4

r 2 − dr = x 2 + dx + d2

+ y2

B

− dy + d2/4

d2 + y 2 − dy 4

y

− dr + d2/4

= x2

r

r2

A M

d 2

x

+ d⋅(4x + 4r − 4y) + 4 ⋅(x 2 + y 2 − r 2 ) = 0

d1/ 2 =− 2x − 2r + 2y ± 4(x + r − y)2 − 4(x 2 + y 2 − r 2 ) ⎡ 2 2 2 2 2 2 ⎤ d = 2⋅⎣ ⎢ y − x − r + x + 2xr + r − 2(x + r)⋅ y + y − x − y + r ) ⎦ ⎥ ⎡ ⎢ d = 2⋅⎢ y − (x + r) + 2xr 2r2 − 2y(x + r) + ⎢ 2r(x + r) ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

d = 2⋅⎡ ⎣ y − (x + r) + 2(x + r)(r − y) ⎤ ⎦

7.2.6

B

d r– 2

M

x + d2

y – d2 A

Welches Kontrollmaß x muss eingehalten werden, um die rechtwinklige Anordnung der drei Stifte zu gewährleisten ?

Wir verbinden die Mittelpunkte der Bohrungen und erhalten ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (x – 8 mm) und 25 mm. Die Hypotenuse hat die Länge 52 mm. Damit gilt:

(x − 8)2 + 252 = 522 (x − 8)2 = 522 − 252 = 2079 x − 8 =± (x − 8) = 2079 x = 8 ± 2079 (negativer Wert unbrauchbar !) x = 53,6 mm

92


7.2.7

Für den Rundungsübergang ist das Maß a in Abhängigkeit von den übrigen Größen zu bestimmen.

(R + r)2 = a2 + (R + r − Δd)2

R+r R – Dd

a = 2(R + r)⋅Δd − ( Δd)2

7.2.8

r

R

(R + r)2 = a2 + (R + r) 2 − 2(R + r)⋅Δd + ( Δd)2

a

Wie groß darf der Kabeldurchmesser x höchstens sein, wenn vier gleichgroße Kabelstränge in einem Rohr vom Innendurchmesser D untergebracht werden sollen ? a) Berechnen Sie x in Abhängigkeit vom Kerndurchmesser d. b) Berechnen Sie x in Abhängigkeit von D und d.

(d + x)2 = x 2 + x 2 oder d + x = x ⋅ 2

d

a) Die Verbindungslinie der Mittelpunkte führt zu einem rechtwinkligen Dreieck, auf das wir den Pythagoras anwenden.

d = x 2 − x = x ⋅( 2 − 1)

x=

d 2 −1

=

d⋅( 2 + 1)

x 2

x 2

( 2 − 1)( 2 + 1)

x

D−d 2

d+

b) D = d + 2x, damit x =

x

x = d⋅( 2 + 1)

x

Dd

Nach Pythagoras gilt:

7.2 Pythagoras

7.2.9

93

Ein quaderförmiges Werkstück wird unter einem Winkel von 45° gefräst. Wie groß ist das Maß x?

x 2

2

x + 80 2

80

80

x + 80 = 80 ⋅ 2 2 x = 80 ⋅ 2 − 80 = 80 ⋅( 2 − 1) 2

x

Wir formulieren die Diagonale im Quadrat auf verschiedene Weise und erhalten:

x = 160 ⋅( 2 − 1) mm

80

x = 66,27 mm

7.2.10

Bestimmen Sie für das Langloch das Maß x.

x = 152 − 5,52

15

x = 13,96 mm

x

7.2.11

Aus Blechabfällen der dargestellten Form sollen kreisförmige Blechteile (= Ronden) herausgeschnitten werden ? Welcher maximale Durchmesser d ist möglich bei gegebener Seitenlänge a ?

5,5

152 = x 2 + 5,52

94


Die Diagonale eines Quadrates mit der Kantenlänge a ist a ⋅ 2 .

Diese Strecke kann auch ausgedrückt werden als Diffed renz der Längen a − (2). 2

a

2 (1). 2

a 2 2 d 2

Die halbe Diagonale ist damit a ⋅

a – d2

Damit erhalten wir die Beziehung

a

Halbe Diagonale im Quadrat = Streckendifferenz

(1) = (2) a⋅

2 d =a– 2 2

d 2 = a − a⋅ 2 2 d = a ⋅(2 − 2 ) = 0,586 ⋅a

7.2.12

Für die dargestellte Rollenführungsbahn ist der Ausrundungsradius r1 in Abhängigkeit von r2, t und b zu berechnen.

r2 – t

Aus der nebenstehenden Figur erkennen wir ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem sich die Seite a als Summe zweier Strecken ergibt: r2

a = r1 + (r2 − t)

Nach Pythagoras gilt: b –r 2 1

⎛b ⎞2 (r1 + r2 )2 = ((r1 + r2 ) − t)2 +⎜ − r1 ⎟ ⎝2 ⎠ (r1 + r2 )2 = (r1 + r2 )2 − 2t ⋅(r1 + r2 ) + t 2 +

b2 − b r1 + r12 4

a

t

r1

7.2 Pythagoras

95

r12 − r1⋅(b + 2t) − 2r2 ⋅ t + t 2 + r1 =

b b2 b2 +t± + bt + t 2 − t 2 − + 2r2 t 2 4 4

r1 =

7.2.13

b2 =0 4 (positiver Wert zu groß, unbrauchbar)

b + t − bt + 2r2 t 2

Für eine Bohrvorrichtung sind die Maße a und b gegeben. Berechnen Sie die Abstandsmaße x und y in Abhängigkeit von a und b.

b

2x a = y b 2bx y= a

y

Aus den beiden ähnlichen Dreiecken erhält man: (1)

a

(1′)

x y 2 = x 2 + b2 (2)

Nach Pythagoras gilt:

Setzt man Gleichung (1′) in (2) ein, so erhält man:

4 ⋅b 2 ⋅ x 2 a2

= x 2 + b2

⎛ 4b2 ⎞ 2 x 2 ⋅⎜ ⎜ 2 − 1⎟ ⎟= b ⎝ a ⎠

x=

(3) in (1′) :

y =

a2 b 2 2

4b − a

2

2b ⋅ab a ⋅ 4b2 − a2

=

=

ab 4b2 − a2 2b2 4b2 − a2

(3)

x

96


Aus einem Rundmaterial soll ein Sechskant der Schlüsselweite SW 26 hergestellt werden.

26

7.2.14

Welchen Durchmesser d muss der Rundstahl mindestens haben ?

Wir wenden auf das charakteristische Dreieck den Satz des Pythagoras an.

r

⎛ r ⎞2 r 2 =⎜ ⎟ + 132 ⎝2⎠

26 = 13 2

r 2

3 2 r = 169 4 d = 30,02 mm ≈ 30 mm

7.2.15

Aus einem Rundmaterial vom Durchmesser d soll a) ein Vierkant, b) ein Sechskant hergestellt werden. Berechnen Sie in allgemeiner Form die mögliche Schreibweise s in Abhängigkeit von d.

a) Vierkant:

d 2

d = ⋅ 2 = r⋅ 2 2 d

s=

(Diagonale im Quadrat)

s

d=s 2

a)

b) Sechskant:

d 4 s 2

2

d s = ⋅ 3 = r⋅ 3 2

b)

d

⎛ s ⎞2 ⎛ d ⎞2 ⎛ d ⎞2 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠

s

7.2 Pythagoras

7.2.16

97

Bestimmen Sie den Rundungsradius R der ursprünglichen rechtwinkligen Spitze in Abhängigkeit von a.

7.2.17

R

⎛ a ⎞2 R + R =⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2

2⋅R2 =

a2 4

R = a⋅

2 4

a 2

R

2

Bestimmen Sie für den dargestellten Bolzen die Maße x und y.

CD =

19 ⋅ 3 =x 2

C d 2 = 20

(= Höhe im gleichseitigen Dreieck)

⎛ 19 mm ⎞2 y1 = (20 mm)2 −⎜ ⎟ = 17,6 mm ⎝ 2 ⎠ y = 20 mm + y1 y = 37,6 mm

y1 19

x = 16, 45 mm

60°

A 19 2

D

B


7.2.18

Aus einem Rechteckblech sollen zwei Ronden mit den Durchmessern d1 und d2 ausgeschnitten werden.

d2

d1

Berechnen Sie den Durchmesser d1 in Abhängigkeit von d2, a und b.

b

98

a ⎡a − (r1 + r2 )⎦ ⎤2 + ⎣ ⎡b − (r1 + r2 )⎦ ⎤2 (r1 + r2 )2 = ⎣

r1 +

r2

(r1 + r2 )2 = a2 − 2a(r1 + r2 ) + b2 − 2b(r1 + r2 ) + 2(r1 + r2 )2

b – (r1 + r2)

M2

0 = a2 + b2 − 2ar1 − 2ar2 − 2br1 − 2br2 + r12 + 2r1r2 + r22 r12 − 2r1(a + b − r2 ) + r22 + a2 + b2 − 2ar2 − 2br2 = 0 2

2

M1 2

r1 = a + b − r2 ± (a + b − r2 ) + 2ar2 + 2br2 − a − b − r2

a – (r1 + r2)

2

(positiver Wurzelterm unbrauchbar)

d1 = 2a + 2b − d2 − 8ab

7.2.19

Eine Klauenkupplung mit formgleichen Klauen soll im Durchgang mit einem Scheibenfräser gefräst werden. a) Bestimmen Sie für einen Innendurchmesser d = 56 mm die Fräserbreite b. b) Berechnen Sie das Prüfmaß x, das dem Lückenmaß entspricht. c) Wie groß muss der Außendurchmesser D werden, wenn kein Werkstoff stehen bleiben soll? d) Wie groß muss der Innendurchmesser d bei einer Fräserbreite b = 25 mm werden ?

a) b =

d2 d2 d − = ⋅ 3 = 24,25 mm 4 16 4

c) x =

d 56 mm = = 28 mm 2 2 2

2

⎛D ⎞ d 3 d) ⎜ ⎟ = d2 − = ⋅ d2 ⎝2⎠ 4 4 D = d⋅ 3 = 96,99 mm ≈ 97 mm

D

b d 2

x

7.2 Pythagoras

b

d

3 ⋅ d ergibt sich 4

4

e) Aus b =

99

d=

7.2.20

4 3

⋅b =

4 3

⋅ 25 mm = 57,74 mm

d 2

a) Bestimmen Sie die Streifenbreite b in allgemeiner Form. Der Abstand zwischen den Ronden soll der dreifachen Blechstärke entsprechen, der Abstand vom Rand der vierfachen Blechstärke. b) Wie groß wird die Streifenbreite b für d = 50 mm, s = 0,5 mm und n = 8? c) Entwickeln Sie eine Gleichung zur allgemeinen Berechnung der Rondenzahl. d) Wie viele Ronden mit 70 mm Durchmesser lassen sich pro Hub aus einem Blech mit 400 mm Breite und 0,8 mm Blechstärke ausschneiden ?

b) b = 8 ⋅0,5 mm + 50 mm +

3 (50 +1,5) mm⋅7 2

b = 366,2 mm c) Aus a) n − 1 = n=

c) n =

d + 3s 3 2

a) Streifenbreite d d + 3s d b = 4s + + (n −1)⋅ ⋅ 3 + + 4s 2 2 2 3 b = 8s + d + ⋅(d + 3s)⋅(n − 1) 2

d + 3s

2(b − 8s − d) 3(d + 3s) 2(b − 8s − d) 3(d + 3s)

+1

2(400 − 8 ⋅0,8 − 70) mm 3(70 + 3 ⋅ 0,8) mm

+1= 6,16, d. h. es sind 6 Reihen möglich

100


7.2.21

Das Getriebegehäuse eines Zahntriebes soll auf dem Lehrenbohrwerk gebohrt werden. Dazu sind die Koordinaten x und y erforderlich. Modul m = 3 mm, Zähnezahlen: z1 = 32, z2 = 28, z3 = 20, z4 = 18.

Aus den Zähnezahlen lassen sich die Teilkreisdurchmesser berechnen nach der Beziehung

4 1 C 2

d = m⋅ z .

3

y

d1 = m⋅ z1 = 3 mm⋅32 = 96 mm d2 = m⋅ z2 = 3 mm⋅ 28 = 84 mm d3 = m⋅ z3 = 3 mm⋅ 20 = 60 mm d4 = m⋅ z 4 = 3 mm⋅18 = 54 mm

A

D

d4 2

Die genauen geometrischen Verhältnisse ergeben sich aus nebenstehender Skizze.

x

Danach ergibt sich die x-Koordinate als Summe der Radien von Teilkreis 1 und 3.

Da das Dreieck ABC nicht rechtwinklig ist, könnten wir zur Berechnung von y den Kosinussatz (s. Kapitel 8.2) heranziehen.

C 69

y

1 x = (d1 + d3 ) = 78 mm 2

b

D

Einfacher ist es jedoch, wenn wir von dem Teildreieck BCD ausgehen. Dabei lässt sich y mit Hilfe des Satzes von Pythagoras berechnen: y 2 = (69 mm)2 − (51mm)2 y = 46,48 mm

B

d2 2

B 51

101

8 Trigonometrie 8.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Definition: sin α =

Gegenkathete a = Hypotenuse c

b cos α = Ankathete = Hypotenuse c tan α = cot α =

Gegenkathete a = Ankathete b

Ankathete = b = 1 Gegenkathete a tan α

Die reziproken Werte a/b = sec α und c/b = cosec α, d. h. die Kehrwerte der Sinus- und Kosinusfunktion werden selten verwendet und sind damit entbehrlich.

Spezielle Werte der Winkelfunktionen α

0°

x

0

sin x

0

cos x

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

π 6 1 2

π 4

π 3

π 2

2π 3

3π 4

2 2

3 2

2 2

3 2 1 − 2

2 2

1

3 2 1 2

5π 6 1 2

tan x

0

3 3

1

3

–

− 3

cot x

–

3

1

3 3

0

−

3 3

1 0

π 0

−

3 2

–1

–1

−

3 3

0

–1

− 3

–

−

2 2

180°

Umkehrfunktionen und -relationen x

0

arc sin x

0

arc cos x

π 2

1 2 π 6 π 3

2 2 π 4 π 4

3 2 π 3 π 6


1 π 2

0

102

8 Trigonometrie π 2

arc sin x + arc cos x =

x

0

arc tan x

0

arc cot x

π 2

3 3 π 6 π 3

1

3

→∞

π 4 π 4

π 3 π 6

π 2

arc tan x + arc cot x =

8.1.1

π 2

Bei einem Grundstück sind die beiden Vermessungspunkte B und C 45 m voneinander entfernt. Sie erscheinen vom Grenzpunkt A unter einem Winkel α = 58,64°.

C

Welche Größe hat das Grundstück? Wie groß ist die Entfernung CD ?

a

B

A D

45 m b 45 m b= = 27,425 m tan 58,64°

C

tan α =

1 A = ⋅ 45 m⋅b = 617,06 m2 2

b

4,5 m a

A

CD = b ⋅ sin α = 27,425 m⋅ sin 58,64o

CD = 23,42 m

8.1.2

0

Bestimmen Sie den Winkel α in Abhängigkeit von den Radien R und r, sowie vom Bohrungsabstand a a) allgemein b) für R = 32 mm, r = 24 mm und a = 80 mm.

D

B

8.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck

103

Wir erkennen zwei ähnliche Dreiecke, für die gilt: α r = (1) 2 x

x = r

x+ R

a

2

r

R

sin

a)

a 2 , daraus x =

a 2

a ⋅r (2) 2⋅(R − r)

x

Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man: sin

α 2⋅(32 mm − 24 mm) = = 0,2 2 80 mm α = 23,07°

sin

8.1.3

Ein kegliges Werkstück wird mit einer Spantiefe a abgedreht. a) Entwickeln Sie eine Gleichung zur Berechnung des Durchmessers d2 und des Maßes x. b) Berechnen Sie d2 und x für d1 = 30 mm, α = 25° und a = 0,2 mm. a a ; x= (1) x sin α

(1) in (2): d2 = d1 −

2⋅a⋅ tan α 2⋅a⋅ sin α = d1 − sin α sin α⋅cos α

d2 = d1 −

2⋅ a cos α

a

x d2

d1 − d2 2x 2x ⋅ tan α = d1 − d2 d2 = d1 − 2x ⋅ tan α (2)

tan α =

a

a

a) sin α =

d1

b)

α r ⋅ 2⋅(R − r) 2⋅(R − r) = = 2 a ⋅r a

104

b)

8 Trigonometrie x=

0,2 mm = 0,47 mm sin 25°

d2 = 30 mm −

8.1.4

2⋅0,2 mm = 29,56 mm cos 25°

Bestimmen Sie das Abstandsmaß x der fünf Schleifsegmente in Abhängigkeit von a, r und D. a) allgemein b) für D = 120 mm und a = 50 mm ?

b) sin

50 mm β = = 0,4167 ; 2 120 mm

β = 24,6243° 2

x = 120 mm⋅ sin(36° − 24,6243° ) x = 23,67 mm

8.1.5

Bestimmen Sie bei dem dargestellten Segment die Maße h und H in Abhängigkeit von r, R und α.

a 2

x 2

R

a β a D a) R = ; sin = 2 = (1) 2 D D 2 2 ⎛ β⎞ x sin⎜36° − ⎟= ⎝ 2⎠ D ⎛ β⎞ x = D⋅ sin⎜36° − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ a⎞ Mit (1) wird x = D⋅ sin⎜36° − arc sin ⎟ ⎝ D⎠

b

36° 2

36° – b2

8.1 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck α R −H = 2 R

H

cos

105

R

h

⎛ α⎞ H = R ⋅⎜1 − cos ⎟ ⎝ 2⎠

2

r cos

r

a

α r −h = 2 r

⎛ α⎞ h = r ⋅⎜1 − cos ⎟ ⎝ 2⎠ a

R–H

Bestimmen Sie die Maße x und y in Abhängigkeit von d und α.

d α 2 sin = ; x= 2 x

y=x+

d = 2

2⋅ sin

d α 2⋅ sin 2

⎛ ⎞ d⎜ 1 ⎟ ⎟ y = ⎜1+ α⎟ 2⎜ ⎜ sin ⎟ ⎝ 2⎠

d 2

d

+

d 2

α 2

x

8.1.6

R

2

a

2

106

8 Trigonometrie

8.1.7

Bestimmen Sie x und y in Abhängigkeit von a, R und α.

tan

β β y = ; y = R ⋅ tan 2 R 2

b

2

Da α + β = 90° , ist

a

2

a

x = a ⋅ tan

8.1.8

β x = , damit ist 2 a

a

⎛ α⎞ y = R ⋅ tan⎜ 45° − ⎟ ⎝ 2⎠

Andererseits ist tan

y a + b = 90°

⎛ α⎞ β oder x = a ⋅ tan⎜ 45° − ⎟ ⎝ 2⎠ 2

Nach dem Brechungsgesetz verhält sich der Sinus des Einfallswinkels in Luft zum Sinus des Brechungswinkels in Wasser wie 4 : 3. Bestimmen Sie für einen Einfallswinkel von 48,468° den Brechungswinkel β.

sin α =n sin β sin β =

sin α sin 48,468° = = 0,5614 4 n 3

β = 34,1554°

b

R

β 90 − α α = = 45° − 2 2 2

x


8.1.9

107

Bestimmen Sie das Prüfmaß x.

d α 2 ; b= tan = 2 b

d 2⋅ tan

α 2

d 2

x = a + d + 2b x =a+ d+

b

d x

Bestimmen Sie das Prüfmaß x.

d α 2 tan = ; b = 2 b

d

d α 2⋅ tan 2

x =a−d−

b a

2

x = a – d – 2b

8.1.11

2

⎛ 1 ⎞ = a − d⋅⎜1 − ⎟ α α ⎜ tan tan ⎟ ⎝ 2 2⎠

d 2

8.1.10

⎛ 1 ⎞ = a + d⋅⎜1+ ⎟ α α ⎜ tan tan ⎟ ⎝ 2 2⎠ d

a

d

Bestimmen Sie die Koordinaten x und y.

x

108

8 Trigonometrie

b=

0,5 mm b

0,5

sin 20° =

20° b

0,5 mm = 1,4619 mm sin 20°

tan 20° =

y (1) x−b

a y

x 2 + y 2 = r 2 (2)

a

Aus (2): y = r

2

−x

2

(2 ′)

x

(2 ′) in (1): tan 20° =

r2 − x2 x−b

20°

tan 20° ⋅ ( x − b) = r 2

tan 20° ⋅ ( x

a y

2

2

−x

2

2

x–b x

− 2bx + b ) = r

2

−x

2

x 2 ⋅ (1 + tan 2 20°) − 2b ⋅ tan 2 20° ⋅ x + b 2 ⋅ tan 2 20° − r 2 = 0 x2 −

2b ⋅ tan 2 20° 1 + tan 2 20°

⋅x +

b 2 ⋅ tan 2 20° − r 2 1 + tan 2 20°

=0

Mit den gegebenen Zahlenwerten erhält man: x 2 − 0,34 ⋅ x − 3178,63 = 0 x1/ 2 = 0,17 ± 0,172 + 3178,63 = 0,17 ± 56,38 (negativer Wert unbrauchbar)

x = 56,55 mm y = (60 mm )2 − (56,55 mm )2 y = 20,05 mm

8.1.12

Bestimmen Sie für den Steuerhebel das Prüfmaß x.

a


109

Aus dem Δ MED erhält man: ME

D

(1)

E

M

(2)

∠ α =∠ MED =∠ ACE (Wechselwinkel)

Aus (1) = (2) folgt: ME

tan 40° =

15 mm (15 mm )2 + ( AC )2

15 mm ⋅ ME

x=

(15 mm )2 + ( AC )2

− 5 mm

15 mm ⋅ 48,174 mm

x=

2

(15 mm ) + ( 42,174 )

2

− 5 mm

x = 11,14 mm

8.1.13

40°

66,05 – AB

(15 mm )2 + ( AC )2

=

B

a

15 mm

x + 5 mm

A a

x+5

Aus dem Δ ACE ergibt sich: sin α =

C

15

sin α =

x + 5 mm

AB =

15 mm AB

15 mm = 17,88 mm tan 40°

AC = 60,05 mm − AB AC = 42,174 mm

ME = 66,05 mm − AB ME = 48,17 mm

Die dargestellte Sperrklinke hat die Maße a = 10 mm, r = 35 mm, R = 53,5 mm. Bestimmen Sie das Maß x.

Das Maß x ergibt sich aus folgender Streckendifferenz: (1)

r

x = R − AM

b

M

Der Winkels β lässt sich mit Hilfe des Dreiecks BCD berechnen: tan β =

a a ; β = arc tan (3) R−r R−r

D A

R

AM ; AM = R ⋅ sin β (2) R

B

x

sin β =

C

a

Die Strecke AM erhalten wir aus dem Dreieck ABM:

110

8 Trigonometrie

Setzt man Gl. (3) und (2) in Gl. (1) ein, so erhält man: ⎡ a ⎤ x = R − R ⋅ sin⎢ arc tan ⎥ R−r ⎦ ⎣ Mit den gegebenen Zahlenwerten erhalten wir: x = 28,06 mm

8.1.14 Bestimmen Sie den Winkel α.

Wir erhalten die nebenstehenden geometrischen Verhältnisse. Dabei zeigt sich, dass wir den Winkel α aus der Winkeldifferenz α = 90° − β − γ berechnen können. Dazu benötigen wir die Winkel β und γ, die wir folgendermaßen bestimmen.

a

a

2

2

a = (40 mm) + (38 mm) = 55,17 mm tan β =

3,5 mm 55,17 mm

β = 3,63° tan γ =

38 mm 40 mm

38 a g

γ = 43,53° 40

b

a

α = 90° − β − γ α = 90° − 3,63° − 43,53°

3,5

α = 42,84°

38

8.2 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck

111

8.2 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck Sinussatz C g

a b c = = sin α sin β sin γ

hc

a b b

a

c

A

B

(180° – a)

Berechnen Sie den Bohrungsabstand x, sowie den Teilkreisdurchmesser d.

Die Verbindungslinien durch die Kreismittelpunkte ergeben kein rechtwinkliges, sondern ein schiefwinkliges Dreieck. Mit dem Sinussatz erhalten wir sin β sin 60° = 65 mm 80 mm

g

80

65

8.2.1

60°

b

x

65 mm⋅ sin 60° = 0,7036 ; 80 mm β = 44,72°

sin β =

Damit ist γ = 75,28°

(aus der Winkelsumme im Dreieck)

x 80 mm = sin γ sin 60° x=

sin γ⋅80 mm = 89,34 mm sin 60°

Der Teilkreisdurchmesser d entspricht dem Umkreisdurchmesser des Dreiecks: d=

80 mm = 92,38 mm sin 60°

112

8 Trigonometrie

8.2.2

Eine Kraft F = 800 N ist so in zwei Komponenten zu zerlegen, dass die Wirkungslinien dieser Komponenten mit der Wirkungslinie der Kraft F die Winkel α = 10,5° und β = 48,25° einschließen. Bestimmen Sie die Größe der Komponenten F1 und F2. F1 F = sin β sin γ γ = 180° − ( α + β ) = 121,25°

F2

α

F ⋅ sin β 800 N⋅ sin 48,25° = F1 = sin γ sin 121,25° F1 = 698,14 N

F1

α

F⋅ sin α 800 N⋅ sin 10,5° = F2 = sin γ sin 121,25° F2 = 170,53 N

8.2.3

β

F

Bestimmen Sie bei dem Wanddrehkran die Stabkräfte für F = 8 kN. Welche Länge haben die Stäbe 1 und 2 ?

F1 F = sin 50° sin 30°

l1

F ⋅ sin 50° F1 = = 12,26 kN sin 30°

10° l2

F2 F = sin 100 ° sin 30° F2 =

50°

F ⋅ sin 100° = 15,76 kN sin 30°

cos 10° =

2,2 m 2,2 m ; l1 = = 2,23 m cos 10° l1

sin 50° =

2,2 m 2,2 m : l2 = = 2,87 m sin 50° l2

10°

2,2 m

F1 100° 30° F

F2

50°


8.2.4

113

Um die Entfernung zwischen den Punkten A und C zu bestimmen, die wegen eines Sees und eines teilweise sumpfigen Geländes nicht direkt gemessen werden kann, wird die Entfernung AB zu einem seitlich liegenden Punkt A gemessen und α mit einem Messfernrohr bestimmt. Berechnen Sie AC für AB = 1230 m, BC = 1000 m und α = 43,28°. sin γ

=

AB

sin γ =

sin α

C

BC

g

AB ⋅ sin α BC

=

1230 m⋅ sin 43,28° 1000 m

γ = 57,48° ; damit β = 79,24° (Winkelsumme im Dreieck)

AC BC = sin β sin α

AC =

BC⋅ sin β 1000 m⋅ sin 79,24° = sin α sin 43,28°

AC = 1433 m

8.2.5

Bestimmen Sie Höhe h für folgende Messergebnisse: a =12,26 m

b = 27,35 m

α = 8,34°

β = 32,27°

γ = 28,25°

δ = 47,17°

sin α =

a AB

;

AB =

a sin α

1. Berechnung von BD mit Δ ABD BD AB = sin ( β − α) sin ( γ − β )

a

A

B

114

8 Trigonometrie

BD =

AB⋅ sin ( β − α) a ⋅ sin ( β − α) = (1) sin ( γ − β) sin α⋅ sin ( γ − β)

D

2. Berechnung von BD mit Δ BDF h+b BD

; BD =

h+b sin δ

(2)

h

sin δ =

b

d–b

(2) = (1) h+b a ⋅ sin ( β − α) = sin δ sin α⋅ sin ( δ− β)

b

a ⋅ sin δ⋅ sin ( β − α) −b sin α⋅ sin ( δ− β)

B A

g

b–a a

F

a

h=

C E d–g

Winkelberechnung: ∠ EDB = 90° − δ ; ∠ EDA = 90° − β ; ∠ ADB = 90° − β − 90° + δ = δ − β = 14,9° β − α = 23,93° h=

12,26 m⋅0,733351⋅0,4056 − 27,35 m 0,1450 ⋅0,2571 h = 70,49 m

8.2.6

Bestimmen Sie für das dargestellte Schaltrad die Frästiefe x a) allgemein b) für z = 32 Zähne, r = 15 mm und α = 60°

a)

r−x r = sin ( α− β) sin (180° − α) r−x= x =r −

r ⋅ sin ( α− β) sin (180° − α) r ⋅ sin ( α− β) sin (180° − α)

a–b

r b

60° r–x

x 180° – a


115

⎡ ⎛ 360° ⎞⎤ ⎟⎥ sin⎜ α − ⎢ ⎝ z ⎠⎥ x = r ⋅⎢1 − sin (180° − α) ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

b) Mit β =

360° 360° = = 11,25° z 32

⎡ sin 48,75° ⎤ x = 15 mm⋅⎢1 − ⎥ sin 120° ⎦ ⎣ x = 1,98 mm

Eine Strömungsgeschwindigkeit v1 = 480 m wird durch eine Gegenströmin mung verringert.

Wie groß ist damit die Geschwindigkeit v2 der Gegenströmung ?

a

vr

Welche Geschwindigkeit vr ergibt sich, wenn sich der Richtungswinkel von α = 28° zu β = 41,51° verändert?

v2

v1

b a

vr v1 = ⎡180° − (( β − α) + α) ⎦ ⎤ sin α sin⎣ m 480 ⋅ sin 28° v1 ⋅ sin α min vr = = ⎡180° − β ⎦ ⎤ sin 138,49° sin⎣ vr = 340

m min

v2 v1 = sin ( β − α) sin⎡ ⎣180° − β ⎤ ⎦ m v1 ⋅ sin ( β − α) 480 min ⋅ sin 13,51° v2 = = sin 138,49° sin⎡ ⎣180° − β ⎤ ⎦ v 2 = 169,20

m min

v2 28°

vr

8.2.7

v1

41,51° – 28° = 13,51°

116

8.2.8

8 Trigonometrie

Das dargestellte Glasprisma mit der Seitenlänge a und γ = 60° hat eine Brechungszahl 3 n= . 2 Bestimmen Sie den Ablenkungswinkel ε sowie den Weg des Lichtstrahls im Prisma in halber Prismenhöhe.

γ

ω

α1

α β

β1

a) allgemein b) für α = 30° und 45°. C

a) Weg des Lichtstrahls im Prisma

AB =

a⋅ 3 2⋅ 3 ⋅ sin β + cos β

ε = α − β + α1 − β1 , oder mit β1 = 60° − β ε = α + α1 − 60°

b) α = 30° :

2 1 sin β = ⋅ sin 30° = ; β = 19,47° 3 3 sin α1 = 1,5 ⋅ sin β1 = 1,5 ⋅ sin (60° − β)

α1 = 77,1° , ε = 47,1° ; AB = 0,57 ⋅a α = 45° :

2 2 sin β = ⋅ sin 45° = ; β = 28,13° 3 3 sin α1 = 1,5 ⋅ sin β1 = 1,5 ⋅ sin(60° − β)

α1 = 52,37° ε = 37,38° ; AB = 0,51⋅a

2

a

g

a ⋅ sin γ a⋅ 3 2 = AB = sin (90° + β − γ ) 4 ⋅ sin ( β + 30° )

a

90° – b

A

90° + b – g B

b

a


117

Kosinussatz

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α b2 = c2 + a2 – 2ac cos β c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

8.2.9

Eine Kraft F = 1,2 kN ist so in zwei Komponenten zu zerlegen, dass deren Wirkungslinien mit F die Winkel α = 25° und β = 35° einschließen. Wie groß sind damit die Komponenten F1 und F2 ?

Da keine Komponente bekannt ist, wollen wir die Komponente F2 zunächst berechnen. Dazu benötigen wir den Sinussatz.

a

b

F2

F2 F = sin α sin 120° F2 = F ⋅

sin α sin 35° = 1,2 kN⋅ sin 120° sin 120°

F2 = 0,5856 kN = 585,6 N

F

F1

120°

a

Die Kraft F1 könnte ebenfalls mit dem Sinussatz berechnet werden. Wir wollen sie jedoch mit dem Kosinussatz berechnen. Berechnung von F1 nach dem Kosinussatz F12 = F2 + F22 − 2⋅F⋅F2 ⋅cos β F12 = (1,2 kN)2 + (0,5856 kN)2 − 2⋅1,2 kN⋅0,5856 kN⋅cos 35° F1 = 794,8 N

8.2.10

Zwei in einem Punkt angreifende Kräfte F1 und F2 bilden einen Winkel von 50°. a) Berechnen Sie die Resultierende für F1 = 1,8 kN und F2 = 0,7 kN. b) Welchen Winkel bilden die Kräfte F1 und F2 mit der Resultierenden ?

118

8 Trigonometrie

a) Berechnung nach dem Kosinussatz

50°

F2 = F12 + F22 − 2⋅F1 ⋅F2 ⋅cos 130°

F2

b

F2 = (1,8 kN)2 + (0,7 kN)2 − 2⋅1,8 kN⋅0,7 kN⋅cos 130°

130°

a

F = 2313 N

b) F12 = F22 + F2 − 2⋅F2 ⋅F ⋅cos β F1

F 2 + F2 − F12 cos β = 2 2⋅F⋅F2

F1

F

cos β =

(0,7 kN)2 + (2,313 kN)2 − (1,8 kN)2 2⋅(1,8 kN)⋅(0,7 kN)

β = 36,59° ; α = 50° − β = 13,41°

8.2.11

Welche Winkel schließen die Mittelpunktslinien ein ? d1 = 70 mm, d2 = 50 mm, d3 = 35 mm.

cos α =

52,52 + 602 − 42,52 = 0,7222 2⋅52,5 ⋅ 60

42,5

52,5

α = 43,76° a

cos β =

602 + 42,52

− 52,52

2⋅ 60 ⋅ 42,5

60

= 0,5196

β = 58,69° ; γ = 180° − α − β = 57,54°


8.2.12

119

Auf dem Umfang sind fünf Langlochschlitze von 38 mm Länge vorhanden. Berechnen Sie den Winkel α.

Nach dem Kosinussatz gilt die Zahlenwertgleichung:

22

cos α =

552 + 652 − 222 = 0,94629 2⋅ 55⋅ 65

α = 18,86°

8.2.13

Bestimmen Sie für den Dachbinder die Stablänge c. a = 2,20 m, b = 3,00 m, α = 15°. c 2 = a2 + b2 − 2⋅a ⋅b ⋅cos α c 2 = 2,22 + 32 − 2⋅2,2 ⋅3 ⋅cos 15° c = 1,09 m

8.2.14

Berechnen Sie die Entfernung von A nach B, die wegen eines unzugänglichen Geländes nicht unmittelbar gemessen werden kann. AC = 75 m, BC = 168 m, γ = 108°46’ c 2 = 1682 + 752 − 2⋅168 ⋅75 ⋅cos 108,77° c = AB = 204,83 m

55

(22)2 = (55)2 + (65)2 − 2 ⋅55 ⋅65 ⋅cos α

a

65

120

8 Trigonometrie

8.2.15

Berechnen Sie die Mittelpunktskoordinaten x und y a) allgemein b) für a = 40 mm, b = 20 mm, r1 = 30 mm, r2 = 10 mm, r3 = 25 mm.

a) Berechnung von x: x sin γ1 = r1 + r2

x

g1

M1

b1 a1

a (2) b

a

(r2 + r3 )2 = (r1 + r2 )2 + (a2 + b2 ) − 2⋅(r1 + r2 )⋅ a2 + b2 ⋅cos β1 (r + r )2 + (a2 + b2 ) − (r2 + r3 )2 (3) cos β1 = 1 2 2⋅(r1 + r2 )⋅ a2 + b2 y = (r1 + r2 )⋅cos γ1 (4)

b) α1 = arc tan cos β1 =

a 40 = arc tan = 63,435° b 20

(30 + 10)2 − (402 + 202 ) − (10 + 25)2 2⋅(30 +10)⋅ 402 + 202

β1 = 48,41° ; γ1 = 180° − α1 − β1 = 68,16° x = 40 mm⋅cos γ1 = 14,88 mm

r2 + r3

a 2+ b 2 b

Bestimmung von γ1 über α1 und β1 : γ1 = 180° − α1 − β1

B

r1 + r2

y

x = (r1 + r2 )⋅ sin γ1 (1)

tan α1 =

M2

A

= 0,6638

M3


8.2.16

121

Berechnen Sie für das Langloch a) den Radius r, b) die Bogenlänge b des Führungsschlitzes.

a) r 2 = 602 + (r − 52)2 − 2⋅ 60 ⋅(r − 52)⋅cos 120° r2 = 602 + r2 – 104 r + 522 −120 ⋅(r − 52)⋅cos 120° 44 r = 3184

a

52

r = 72,36 mm

b) Bogenlänge von α:

cos α =

2

2

2r − 104r + 52 − 60 2r 2 − 104r

2

= 0,696

α = 45,89° b=

α⋅ 2 π⋅r = 57,96 mm 360°

8.2.17

Berechnen Sie den Schnittwinkel der Tangenten in den Schnittpunkten zweier Kreise, deren Mittelpunkte den Abstand a haben. d1 = 70 mm, d2 = 50 mm, a = 55 mm. Welche Länge hat die gemeinsame Sehne ?

52)

602 = r 2 + (r − 52)2 − 2r ⋅(r − 52)⋅cos α

(r –

60° 60

r

a

120°

122

8 Trigonometrie

Berechnung der Winkel mit Hilfe des Kosinussatzes: cos γ =

352 + 252 − 552 =− 0,67143 ; 2⋅35 ⋅ 25

g

35 a1

b

55

γ = 132,18° cos α1 =

25 h = 32

352 + 552 − 252 = 0,94156 ; 2⋅35 ⋅55

α1 = 19,68°

a

25

35

252 + 552 − 352 cos β = = 0,88182 ; 2⋅ 25 ⋅55

β = 28,14° 55

Berechnung der Sehne s: s 2 ; s = 2⋅35 mm⋅ sin 19,68° sin α1 = 35 mm s = 23,57 mm

Schnittwinkel α: Der Gesamtwinkel ist: γ + 90° + α + 90° = 360° , daraus α = 180° − γ α = 47,82°

Berechnen Sie die Entfernung DC für AB = 128 m. α = 24,17° γ = 76,83°

β = 32,25° δ = 26,67°

ε = 180° − ( α+ β+ δ) = 96,9166°

b

d = AD =

e′

e

ε′ = 180° − ( α + γ ) = 79° c 2 = d2 + e2 − 2⋅ d⋅ e ⋅cos β

C

c

D

d

8.2.18

e

b

A

d

a

a⋅ sin δ 128 m⋅ sin 26,6667° = = 57,87 m sin ε sin 96,9166°

a

g

B

8.2 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck e = AC =

123

a ⋅ sin γ 128 m⋅ sin 76,83° = = 126,97 m sin ε′ sin 79°

c = d2 + e2 − 2⋅ d⋅ e ⋅cos β c = CD = 83,92 m

8.2.19

Ein Behälter hat die Form eines schiefen Kegels mit den Abmessungen a = 70 cm, b = 50 cm und r = 30 cm. Berechnen Sie den Spitzenwinkel γ, den Neigungswinkel α und das Fassungsvermögen.

2r

Spitzenwinkel γ: a

(2r)2 = a2 + b2 − 2⋅a ⋅b ⋅cos γ h

a2 + b2 − 4 ⋅r 2 702 + 502 − 4 ⋅302 = 2 ⋅ a ⋅b 2⋅70 ⋅50

b

cos γ =

γ = 57,12° Neigungswinkel α: sin α =

b ⋅ sin γ 50 cm ⋅ sin 57,12° = = 0,6999 2 ⋅r 60 cm

α = 44,42° sin α =

h ; h = a ⋅ sin α a

1 1 V = ⋅πr 2 ⋅a ⋅ sin α = ⋅π⋅(30 cm)2 ⋅70 cm⋅ sin 44,42° 3 3 V = 46167,43 cm3 = 46,17 dm3

a g

124

9 Analytische Geometrie Hinweis: Lehrbuch Kapitel 20

9.1 Geraden und Strecken 9.1.1

Bestimmen Sie die Länge der Strecke P1P2 und die Steigung für P1(–1 | 2) und P2(4 | – 2)

Länge der Strecke: P1P2 = (4 − (−1))2 + (−2 − 2 )2 = 41 = 6,4 LE. Steigung: m =

9.1.2

Δy −2 − 2 4 = =− Δx 4 − (−1) 5

Eine Gerade schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten Sx (– 4 | 0) und Sy (0 | – 12). Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden.

Geradengleichungen können auf verschiedene Weise berechnet werden. Da zwei Punkte gegeben sind, kann die Geradengleichung mit der Hauptgleichung y = mx + b oder mit der Zwei-Punkte-Gleichung berechnet werden. In diesem Fall, in dem die Achsenabschnitte gegeben sind, eignet sich auch die Achsenabschnittsgleichung: x y x y + =1 ; + =1 ; a b −4 −12

9.1.3

y =− 3x − 12

Bestimmen Sie den Abstand der Geraden y = – 0,5x + 3 vom Ursprung.

Abstandsberechnungen lassen sich leicht mit der Hesse-Gleichung berechnen. Dazu formen wir die Gleichung wie folgt um: 0,5x + y – 3 = 0 ; Hesse-Gleichung:

⎛ 1 ⎞2 5 5 Korrektur-Faktor k = ⎜ ⎟ + 12 = = ⎝2⎠ 4 2 x 2⋅ y 2⋅3 + − =0 5 5 5

Abstand vom Ursprung: d = −

6 5

=

6 5

= 2,68 LE.


9.1 Geraden und Strecken

9.1.4

125

Wie lautet die Gleichung der Geraden, die vom Ursprung den Abstand d = 4 besitzt und durch den Punkt P(– 4 | 1) geht?

Hauptform der Geradengleichung: Punktprobe mit P(– 4 | 1):

y=mx+b

1 =− 4m + b ; b = 1+ 4m (1)

b

Abstand vom Ursprung (nach der Hessegleichung): d =

m2 + 1

=4

b = 4 ⋅ m2 + 1 (2)

Gleichsetzen von (1) und (2): (3) in (2): b = 1+ 4 ⋅

m=

15 (3) 8

15 17 = 8 2 y=

Geradengleichung:

9.1.5

4 m2 +1 = 1+ 4m ;

15 17 x+ 8 2

Bestimmen Sie den Abstand der beiden parallelen Geraden g1: y = – 2x + 3 und g2: y = – 2x – 2.

Abstand der Geraden g1 vom Ursprung: p1 = Abstand der Geraden g2 vom Ursprung: p2 =

3 4 +1 2 4 +1

Abstand der parallelen Geraden: d = p1 − p2 =

9.1.6

3

= =

1 5

5 2 5

= 0,45 LE

Unter welchem Winkel und in welchem Punkt schneiden sich die Geraden 2 g1 : y1 = 2x + 3 und g2 : y 2 =− x + 2 ? 5 y1 = y 2

Schnittpunkt S:

2 2x + 3 =− x + 2 ; 5

Schnittpunkt der Geraden:

x =−

S(–0,42 ; 2,17)

5 13 ; y= 12 6

126

9 Analytische Geometrie

Schnittwinkel:

α1 = arc tan 2 = 63,43o

tan α1 = 2 ; tan α2 =−

2 2 ; α2 = arc tan (− ) =− 21,80° = 338,20° 5 5

Schnittwinkel der Geraden:

9.1.7

δ = α2 − α1 = 274,77°

Vom Punkt A(5 | 4) wird das Lot gefällt auf die Gerade 2x + 6y = 6. Bestimmen Sie die Gleichung der Lotgeraden.

1 Gleichung der Geraden: y =− x +1 3 Aus der Orthogonalitätsbedingung m1 · m2 = –1 ergibt sich für die Lotgerade m2 = 3 Gleichung der orthogonalen Lotgeraden: y = 3x + b Punktprobe mit A(5 | 4): 4 = 3⋅5 + b ; b = –11 Gleichung der Lotgeraden: y = 3x – 11

9.2 Kreis und Gerade 9.2.1

a) Bestimmen Sie Gleichung eines Kreises mit dem Radius r = 5 und dem Mittelpunkt M (–2 ; –6). b) Welche Gleichung hat ein Kreis mit dem Mittelpunkt M (–6 ; 4), der die y-Achse berührt?

a) Kreisgleichung: (x − xM )2 + (y − yM )2 = r 2 Für M (–2 ; -6) und r = 5 lautet die Kreisgleichung: (x + 2)2 + (y + 6)2 = 25 b) Aus der Lage des Mittelpunktes, der 6 Längeneinheiten von der y-Achse entfernt ist, ergibt sich, dass r = 6 sein muss. Die Kreisgleichung lautet:

9.2.2

(x + 6)2 + (y − 4)2 = 36

Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises, der durch den Punkt P(5 | 8) geht und die beiden Koordinatenachsen berührt.

Aus der Darstellung ergibt sich, dass der Radius bei Berührung mit den Koordinatenachsen r = xM = yM sein muss. Berücksichtigt man dies, so erhält man die Gleichung (x − xM )2 + (y − xM )2 = xM2

Punktprobe mit P(5 | 8): (5 − xM )2 + (8 − xM )2 = xM2 25 − 10 xM + xM2 + 64 − 16xM + xM2 = xM2 xM2 − 26xM + 89 = 0

9.2 Kreis und Gerade

127 (xM )1/ 2 = 13 ± 169 − 89 = 13 ± 80 (xM )1 = 21,94427 (xM )2 = 4,0557 (x − 21,94)2 + (y − 21,94)2 = 21,942

Kreisgleichungen:

(x − 4,06)2 + (y − 4,06)2 = 4,062

9.2.3

Ein Kreis soll durch die Punkte A(–12; –8), B(–2; 6) und C(5 ; 0) gehen. Bestimmen Sie die Kreisgleichung.

Bestimmung des Kreismittelpunktes als Schnittpunkt der Mittellote zweier Verbindungsgeraden z. B. AB und BC : Streckenmitte von AB : Steigung von AB :

Streckenmitte von BC :

D(–7; –1) Δy yB − y A 14 7 m1 = = = = Δx xB − x A 10 5

F(1,5; 3)

6 6 =− −7 7 5 Mittellot durch D(–7; –1) mit m3 =− : 7 eingesetzt in die Geradengleichung y = mx + b 5 –1 = − ⋅(−7) + b, daraus b = –6 7 5 y1 =− ⋅ x − 6 (1) 7 m2 =

Steigung von BC :

Mittellot durch F(1,5; 3) mit m4 =

7 : 6 7 5 ⋅(1,5) + b , daraus b = = 1,25 6 4 7 5 y2 = ⋅ x + (2) 6 4

eingesetzt in die Geradengleichung:

Schnitt der Mittellote:

3=

(1) = (2) 5 7 5 − ⋅x − 6 = ⋅x + 7 6 4 7 5 x =− 3,8544 ; y = ⋅(−3,8544) + =− 3,2468 6 4

128


Berechnung des Radius mit Hilfe des Pythagoras: CM = r = (5 + 3,8544)2 + (3,2468)2 = 9,4309

Kreisgleichung:

9.2.4

(x + 3,85)2 + (y + 3,25)2 = 9,432

Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius bei folgenden Kreisgleichungen: a) x2 + y2 + 4y = 0 b) 3x2 + 3y2 – 9x + 6y – 8 = 0

a) Kreisgleichung:

x2 + y2 + 4y + 4 = 4

(quadratische Ergänzung)

x 2 + (y + 2)2 = 22

M(0 ; –2) ; r = 2

Mittelpunkt und Radius:

b) Kreisgleichung:

3x2 + 3y2 – 9x + 6y – 8 = 0 3x2 – 9x + … + + 3y2 + 6y + ... = 8 8 + 1,52 + 12 (quadratische Ergänzung) 3 71 (x − 1,5)2 + (y + 1)2 = 12

x 2 − 3x + 1,5² + y2 + 2y + 12 =


9.2.5

M( 1,5 ; -1) ; r =

Ein Kreis ist durch die Relationsgleichung y2 = 25 – (x – 3)2 gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius. (x – 3)2 + y2 = 25, daraus M (3 ; 0) ; r = 5


9.2.6

71 = 2,43 12

In welchen Punkten schneidet die Gerade – x = – 2y + 4 den Kreis mit der Relationsgleichung x2 + y2 = 120? Gerade: x = 2y – 4 (1) (1) eingesetzt in (2):

Kreis: x2 + y2 = 120 (2)

(2y – 4)2 + y2 = 120 4y2 – 16 y + 16 + y2 = 120 5y2 – 16 y - 104 = 0


129 16 104 =0 y− 5 5 8 64 104 8 584 y1/ 2 = ± + = ± 5 25 5 5 25 y2 −

y1 = 6,433 eingesetzt in (1) :

x1 = 8,866

y 2 =− 3,233 eingesetzt in (1) : x 2 =− 10,466

Schnittpunkte: S1(8,87 ; 6,43) ; S2 (−10,47 ; − 3,23)

9.2.7

Ein Kreis berührt die Gerade 2x – 4y = 8. Bestimmen Sie die Gleichung dieses Kreises, dessen Mittelpunkt M(– 4 | 3) ist.

Die Gerade ist damit Tangente mit der Gleichung y = 0,5x – 2 (1) Die Normale hat somit die Gleichung y = –2x + b (2) Da M(– 4 | 3) auf der Normalen liegen muss, erhalten wir mit der Punktprobe 3 = –2(–4) + b ; b = –5 Gleichung der Normalen:

y = –2x – 5 (3)

Schnittpunkt von Normale und Tangente: (1) = (3) 0,5x – 2 = –2x – 5 x = –1,2 ; y = –2,6 S(−1,2 ; − 2,6)

Berechnung des Radius mit Hilfe des Pythagoras: MS = r = (4 − 1,2)2 + (3 + 2,6)2 = 39,2 = 6,26

Kreisgleichung:

9.2.8

(x + 4)2 + (y − 3)2 = 39,2

Ein Kreis mit dem Durchmesser 8 berührt die Gerade g: y = x + 3 im Punkt P(– 2,5 | 0,5). Bestimmen Sie die möglichen Kreis-Mittelpunkte und geben Sie die Kreisgleichungen an.

Gleichung der Normalen zu g: y = –x + b Punktprobe mit P(–2,5; 0,5):

0,5 = 2,5 + b, daraus b = –2

Normalengleichung:

y =− x − 2 (1)

130


Da der Kreismittelpunkt gesucht ist, formulieren wir die Kreisgleichung mit dem allgemeinen Mittelpunkt M (x1 ; y1) , wobei berücksichtigt wird, dass der Punkt P(–2,5; 0,5) auf dem Kreis liegt. Kreisgleichung:

(−2,5 − x1)2 + (0,5 − y1)2 = 16 (2)

Da die Normale auch durch den Mittelpunkt M (x1 ; y1) geht, müssen die Mittelpunktskoordinaten die Normalengleichung ebenfalls erfüllen und wir erhalten das folgende Gleichungssystem, das wir mit dem Einsetzungsverfahren lösen. y1 =− x1 − 2 (−2,5 − x1 (1) in (2): (−2,5 − x1

)2

)2

+ (0,5 − y1

+ (0,5 + x1

+ 2)2

(1) )2

= 16

(2)

= 16

(−2,5 − x1)2 + (2,5 + x1)2 = 16 5 5 (− − x1 )2 + ( + x1 )2 = 16 2 2 25 25 + 5x1 + x12 + + 5x1 + x12 = 16 4 4 2x12 + 10x1 − 3,5 = 0 x12 + 5x1 − x1/ 2 =−

7 =0 4

5 25 7 5 ± + =− ± 8 2 4 4 2

x1 = 0,3284 ; y1 =−2,3284 ; x 2 =− 5,3284 ; y 2 = 3,3284 (x − 0,33)2 + (y + 2,33)2 = 16

Kreisgleichungen:

(x + 5,33)2 + (y − 3,33)2 = 16

9.2.9

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Kreis mit der Gleichung x2 + y2 = 7, die parallel zu der Geraden y = – x + 8 verläuft.

Die Gleichung der Tangente im Berührpunkt B(x1 ; y1 ) an den Kreis k: x2 + y2 = 7 lautet in allgemeiner Form xx1 + yy1 = 7 . Diese Gleichung lösen wir nach y auf und erhalten als Kreistangente: Steigung der Normalen:

−

x 7 y =− 1 ⋅ x + y1 y1 y1 = 1, daraus y1 =− x1 x1

(1)


131

Gleichung der Normalen:

y = x (2)

Schnitt der Normalen mit dem Kreis: x2 + x2 = 7 2x 2 = 7 ; x1/ 2 =±

7 2

⎛ 7 ⎛ 7 7⎞ 7⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ; B − ; − Berührpunkte: B1⎜ ; 2 ⎜ 2 ⎜ 2 2⎟ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ yI =− x + 14 ; yII =− x − 14

Tangenten:

9.2.10

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt P(7 | 8) des Kreises k:

(x – 3)2 + (y – 6)2 = 20.

(x − 3)(x1 − 3) + (y − 6)(y1 − 6) = 20 Punktprobe für den Berührpunkt: P(7| 8): (x − 3)(7 − 3) + (y − 6)(8 − 6) = 20

Gleichung der Tangente:

9.2.11

4(x − 3) + 2(y − 6) = 20 4x − 12 + 2y − 12 = 20 t: y =− 2x + 22

Berechnen Sie den senkrechten Abstand der Geraden g: 1 y = − x + 6 vom Kreis k: x2 + y2 = 16. 4

Schnitt der Orthogonalen zu g mit dem Kreis: k: x2 + y2 = 16. 1 y = 4x (= Senkrechte zur Geraden g mit der Steigung m = − ) 4 eingesetzt in die Kreisgleichung: x2 + (4x)2 = 16

Orthogonale:

17x 2 = 16 ; x1/ 2 =±

16 16 ; y1/ 2 =± 4 17 17

Schnittpunkte: S1 (0,97 ; 3,88) ; S1 (−0,97 ; − 3,88) Abstand der Punkte vom Kreismittelpunkt: r = 4 6 = 5,82 Abstand der Geraden vom Ursprung: p = 0,252 +1 Abstand der Geraden vom Kreis: d = 5,82 – 4 = 1,82 LE

132

9.2.12


Berechnen Sie den senkrechten Abstand der Geraden y = 2x + 1 vom Kreis k: (x – 4)2 + (y + 2)2 = 6,25.

1 Orthogonale zu g: y =− x + b 2

Punktprobe mit dem Kreismittelpunkt M(4 ; -2): −2 =− 21 ⋅ 4 + b ; b = 0 Abstand des Ursprungs vom Punkt M(4 ; -2): p = 42 + 22 = 4,47 Abstand der Geraden g vom Kreis:

9.2.13

d = p – r = 4,47 – 2,5 = 1,97 LE

Bestimmen Sie die Koordinaten a) der Punkte P1 und P2 , b) des Punktes S, c) die Länge des Abstandes a.

a) Kreisgleichung der Ausrundung:

x2 + y2 = 900 y = −

Normalengleichung (Normale durch P2 ):

(1)

1 ⋅x tan 10°

Schnitt der Normalen mit dem Kreis: (2) eingesetzt in (1): 2 ⎛ x ⎞ x 2 +⎜− ⎟ = 900 ⎝ tan 10° ⎠

x =− 5,2094, mit Gl. (2) y = 29,544

Wir erhalten damit für die Kreispunkte folgende Koordinaten: P1 (30 ; 0) und P2 (− 5,2094 ; 29,544)

b) Tangentengleichung (Tangente in P2 ): xx1 + yy1 = 900 y =

900 x1 − ⋅x y1 y1

(3)

(2)


133

Mit y1 = 29,544 und x = –90 ergibt sich y =

900 − 15,8694 = 14,59 29,544

Der Punkt S hat damit die Koordinaten S(– 90 ; 14,59) c) Der Abstand a ergibt sich aus a = (40 + 14,59) mm = 54,59 mm

9.2.14

Bestimmen Sie für die Maße

a = 60 mm, b = 25 mm, c = 60 mm, d = 12 mm a) die Gleichung der Kreislinie um D mit Radius r = (c + d) (Kreis 1) b) die Gleichung der Kreislinie um A mit Radius r = d (Kreis 2) c) den Schnittpunkt C von Kreis 1 und Kreis 2 d) die Koordinaten des Punktes B a) Kreisgleichung des Kreises um Punkt D (Kreis 1): x 2 + y 2 = 722

(1)

b) Kreisgleichung des Kreises um Punkt A (Kreis 2): (x − a)2 + (y − b)2 = d2 (x − 60)2 + (y − 25)2 = 122 (2)

c) Schnitt von Kreis 1 und Kreis 2: Aus (1) y =± 722 − x 2 , eingesetzt in Gleichung (2): (x − 60)2 + ( 722 − x 2 − 25)2 = 122 x 2 − 120 x + 602 + 722 − x 2 − 50 ⋅ 722 − x 2 + 252 = 122 9265 − 120 x = 50 ⋅ 722 − x 2 6,76 x 2 − 889,44 x + 29 152,09 = 0 x 2 − 131,574 x + 4312,44 = 0 x1 = 69,72 , y1 = 17,97 x 2 = 61,85 , y 2 =− 36,86

134


Schnittpunkt der Kreise:

C (61,85 ; − 36,856)

d) B als Schnittpunkt der Gerade CD mit dem Kreis um D mit dem Radius r = c + 1 = 61 mm Gerade CD:

y =−

36,856 ⋅ x (1) 61,852

Kreis um D:

x 2 + y 2 = 612

(1) in (2):

⎛ 36,856 ⎞2 ⋅ x ⎟ = 612 x 2 +⎜− ⎝ 61,852 ⎠

(2)

x 2 = 2745,99 x1/ 2 =± 52,40 (negativer Wert unbrauchbar)

Mit (1): y = − 31,225 Koordinaten des Schnittpunktes B: B (52,40 ; – 31,22)

135

10 Flächenberechnung (Planimetrie) Hinweis: Lehrbuch Kapitel 27

10.1 Geradlinig begrenzte Flächen 50

30

Berechnen Sie die Querschnittsfläche. 40

16

10.1.1

100

Flächen dieser Art lassen sich aus elementaren Grundflächen additiv oder subtraktiv (indem man z. B. Leerflächen von einer Gesamtfläche abzieht) zusammensetzen. ⎡ ⎤ 1 A = [ 10 ⋅(4 − 1,6) ] cm2 +⎢ 5 ⋅1,6 − ⋅3 ⋅1,6 ⎥cm2 = 29,6 cm2 ⎣ ⎦ 2

Re chteck Trapez

10.1.2

Berechnen Sie die Querschnittsfläche.

2h 3

=

60° a 2

a h = ⋅ 3. 2

Damit ist a =

a

Bei einem Winkel von 60° handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck ist

24

Für das Trapez ist noch die Grundseite zu berechnen.

2⋅ 24 mm 3

= 16 ⋅ 3 mm .

Die Querschnittsfläche ist damit ⎡ ⎤ 1 A =⎢ 4 ⋅14 − (2,4 ⋅ 6 + ⋅ 2,4 ⋅16 ⋅ 3 ) ⎥cm2 = 38,27 cm2 ⎣ ⎦ 2 H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_10, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

136

10 Flächenberechnung (Planimetrie)

10.1.3

Ein Vierkantstahl nach DIN 1014 mit 30 mm Kantenlänge soll auf eine Dicke von 20 mm heruntergewalzt werden. Wie breit wird damit das Rechteckprofil? Auf welche Dicke müsste der Stahl heruntergewalzt werden, wenn sich die Rechteckseiten wie 2 : 3 verhalten sollen ?

A = 30 mm ⋅30 mm = 45 mm. 20 mm 20 mm

Wenn sich die Kantenlängen wie 2 : 3 verhalten, ergibt sich als Querschnittsfläche

A

20

Damit ist b =

30

Die neue Querschnittsfläche ist A = 20 mm⋅b .

A = 2x ⋅3x = 6 x 2 .

45

Der Proportionalitätsfaktor ist somit x=

A 900 mm2 = = 150 mm 6 6

Die Dicke des Walzprofils ist damit s = 2⋅ 150 mm = 24,49 mm

Ein Schnittabfall hat die Form eines Parallelogramms.

c

Berechnen Sie die Fläche A für

Die Fläche lässt sich aus zwei Dreiecksflächen zusammensetzen. Dazu benötigen wir die Dreieckshöhe h. Sie berechnet sich aus sin α =

b

Den Winkel α berechnen wir mit dem Kosinussatz: a2 = b2 + c 2 − 2⋅b ⋅c ⋅cos α b2 + c 2 − a2 92 + 252 − 192 = = 0,7667 ; α = 39,94° 2 ⋅b ⋅ c 2⋅9 ⋅ 25 Die Parallelogrammfläche hat somit den Flächeninhalt 1 A = 2⋅ ⋅c ⋅h = c ⋅h = c ⋅b ⋅ sin α 2 A = 144,45 mm2

a

a

h ; h = b ⋅ sin α b

cos α =

b

a

a = 19 mm, b = 9 mm und c = 25 mm.

h

10.1.4

c

10.1 Geradlinig begrenzte Flächen

10.1.5

137

Ein Luftschacht von quadratischem Querschnitt soll außen von einem zweiten Schacht umgeben werden. Welches Abstandsmaß x ergibt sich, wenn eine Querschnittsfläche von 1056 cm2 für den Zwischenraum gefordert ist? (Die Wandstärke des Bleches soll jeweils unberücksichtigt bleiben.)

Die mittlere Restfläche hat den Flächeninhalt A = 50 cm⋅50 cm − 1056 cm2 = 1444 cm2

Damit ist die Kantenlänge des Quadrates a = 1444 cm2 = 38 cm . 1 Die Stegbreite berechnet sich zu x = ⋅(50 cm − 38 cm) = 6 cm 2

10.1.6

Berechnen Sie das Maß x und damit die Fläche A des schattierten Dreiecks in Abhängigkeit von a, b und c. a) allgemein b) für a = 35 mm, b = 40 mm, c = 65 mm.

a) Die Fläche A berechnen wir mit Hilfe der Teilflächen A1 = a ⋅b = x ⋅(c − b). Damit ist a ⋅b x= c −b 1 a ⋅b 2 A = ⋅b ⋅ x = 2 2⋅(c − b) b)

x=

35 mm⋅ 40 mm = 56 mm (65 − 40) mm

1 A = ⋅ 40 mm⋅56 mm = 1120 mm2 2

c

A1

b

A1 A a

x

138


Berechnen Sie die Fläche in Abhängigkeit von a und der Stegbreite s

s

10.1.7

a) allgemein a

b) für a = 100 mm und s = 12 mm

s

a

a)

A = 5s ⋅(a − 2s)

+

senkrechte Stege

2 a ⋅ s

⋅

= 5as − 10 ⋅ s2 + 2as = 7as − 10 s2

waagrechte Stege

A = s⋅(7 a − 10 s) b)

A = 12 mm⋅(7 ⋅100 mm − 10 ⋅12 mm) = 6960 mm2

Berechnen Sie die Fläche in m2.

3000

2200

10.1.8

4000

1200

900

Die Gesamtfläche setzt sich aus mehreren Teilflächen zusammen:

3m F

I

0,9 A1

(nach dem Strahlensatz)

1

FG 1,8 m = 0,9 m GH

A

1,2 m 2 a G H

1,8 m

m

ΔGEF ∼ ΔGHI folgt:

E

4m

Berechnung der Strecke GH : Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke

a

3

2,2 m

A1 = 0,9 m⋅(AG − GH) m

C

D 1,8 m

a

Dabei ist GH = (1,2 m)2 − (0,9 m)2 = 0,63 m und FG =

B

1,8 m⋅0,9 m 0,63 m

= 2,04 m

10.2 Kreisförmig begrenzte Flächen Aus dem ΔGHI erhalten wir sin α =

139 0,9 m = 0,75 und α = 48,6° 1,2 m

Die Strecke AG berechnet sich mit sin α =

1,8 m AG

zu AG =

1,8 m 1,8 m = = 2,4 m sin α sin 48,6°

Damit ist AH = AG − a = 2,4 m − 0,63 m = 1,61m Nun können wir die einzelnen Teilflächen berechnen: A1 = 0,9 m⋅(2,4 − 0,63 ) m = 1,4456 m2 1 1 A 2 = ⋅0,9 m⋅a = ⋅0,9 m⋅ 0,63 m = 0,3572 m2 2 2 A 3 = (2,2 m⋅3 m) −

1,8 m⋅FG = 6,6 m2 − 0,9 m⋅ 2,04 m = 4,7631 m2 2

A = A1 + A 2 + A 3 = 6,5659 m2 ≈ 6,57 m2

10.2 Kreisförmig begrenzte Flächen 10.2.1

Bei aufgeschichteten Rohren entstehen Zwischenräume. Berechnen Sie die schraffierte Fläche.

A = Quadratfläche – 4 · Fläche des Viertelkreises A = a2 −

π⋅a2 π = a2 (1 − ) ≈ 0,2146 ⋅a2 4 4

140


10.2.2

Berechnen Sie den Querschnitt des Polygonprofils.

a

a

1 π⋅a2 A1 = ⋅π⋅a2 = 6 6 A2 =

π⋅a2 1 a a2 ⎛ π 3⎞ ⎟ − ⋅a⋅ − 3= ⎜ ⎜ 6 2 2

2 ⎝3 2 ⎟ ⎠ Sektor

A2

Dreieck

A1

⎛ ⎛ π⋅a2 3⎞ 3⎞ + a2⎜ π − A = A1 + 2A 2 = ⎟= a2⎜ π + π − ⎟ 2 ⎠ 2 ⎠ 6 ⎝3 ⎝6 3 ⎛ 3⎞ A = a2⎜ π − ⎟≈ 0,7 ⋅a2 2 ⎠ ⎝2

10.2.3

Einem Kreis vom Radius r soll ein Viereck der dargestellten Form einbeschrieben werden. Berechnen Sie den Flächeninhalt der schraffierten Kreissegmente.

r h= ⋅ 3 2

Höhe im gleichseit. Dreieck

60°

h

1 A1 = ⋅ 2r ⋅r = r 2 2 1 A 2 = ⋅ 2r ⋅h, dabei ist 2

60°

A2

r

1 r 3 2 A 2 = ⋅ 2r ⋅ ⋅ 3 = ⋅r 2 2 2 ⎛ 3 2⎞ 2 A = πr 2 − (A1 + A 2 ) = πr 2 −⎜ r + ⋅r ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ 2 ⎟⋅r ≈ 1,28 ⋅r 2 A =⎜ 1 π − − ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠

A1

10.2 Kreisförmig begrenzte Flächen

10.2.4

141

Eine Exzenterwelle wird in der dargestellten Form abgefräst. a) Bestimmen Sie den Durchmesser d2 für d1 = 40 mm. b) Berechnen Sie die Exzentrizität. c) Berechnen Sie die schraffierte Anlagefläche. d1 d = 2⋅ 2 2 2

(1)

(2)

r1

d1 − d2 2

e

Exzentrizität: e = r1 − r2 =

r2

(Diagonale im Quadrat!)

r1

e+

r2

a)

r2

(2) in (1): d1 − d2 d1 2 + = ⋅ d2 2 2 2 2d1 − d2 = 2 ⋅ d2 d2 ( 2 + 1) = 2d1 d2 =

2( 2 − 1) 2 ⋅d = ⋅ d1 1 2 +1 ( 2 + 1)( 2 − 1)

d2 = 2( 2 − 1)⋅ d1

Mit d1 = 40 mm erhalten wir d2 = 33,14 mm

b)

d − d2 40 − 33,14 = e = r1 − r2 = 1 mm = 3,43 mm 2 2

c)

1 Dreiecksfläche A = ⋅ 2r1 ⋅r1 = r12 2 2 Damit ist die Restfläche ARe st = rN 1

Dreieck

+

πr12 2 N

unt. Halbkreis

− π⋅ r22

Kreis

⎛ ⎛ 2 π⎞ π⎞ d 2 ARe st =⎜1+ ⎟⋅r12 − π⋅r22 =⎜1+ ⎟⋅ 1 − π⋅( 2 −1) ⋅ d12 ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ 4 ⎡1 π ( )2 ⎤⋅ d 2 = 165,91mm2 A Re st =⎢ ⎣ 4 + 8 − π⋅ 2 −1 ⎥ ⎦ 1

142


Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Polygons.

A1 =

2 aN

; A2 =

Quadrat

2 a N

−

Quadrat

π⋅a2 4

Viertelkreis

2⎛ π

⎞ − 1⎟ A3 = a N − 2⋅ A 2 = a ⎜ ⎝2 ⎠ Quadrat 2

A2 A3

a

10.2.5

A2

A 4 = A 2 − 2A 5 = A 2 − 2(A 2 − A 6 )

a

A 4 = A 2 − 2A 5 = A 2 − 2(A 2 − A 6 ) A 6 = Viertelkreis − A 7 A 4 = 2A 6 − A1 π⋅a2 π⋅a2 − a2 + − 2A 7 A 4 = 2⋅ 4 4 A7 =

3 2 π 2 π 2 a2 π a + a − 3 = a2 − a 6 6 4 3 4

A4 =

3π 2 2π 2 3 2 a − a2 − a + a 4 3 2

A5 A4

A6 A8

p 2 a–

a a 6 2·2 3 (Sektor-Dreieck)

A 8 = A 3 − 2A 4

⎛π ⎞ 3π 2 2π 2 3 2 A 8 = a ⎜ − 1⎟− a − a2 − a + a ⎝2 ⎠ 4 3 2 2

⎛ ⎞ 4π − 3⎟ A 8 = a2⎜1 − π + ⎝ ⎠ 3 ⎛ ⎞ π A 8 = a2⎜1+ − 3 ⎟ = 0,315 ⋅a2 ⎝

⎠ 3 0,315

1 2 6 pa A7

60°


10.2.6

143

Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Querschnittsfläche einer Linse.

A = 2⋅ A1 ;

A1 = Sektor − Dreieck

10

α⋅π⋅r 2 s⋅(r − h) − 2 360 Sehne: A1 =

r s 2

s = 2⋅ h⋅(2r − h) = 2⋅ 10 mm⋅(100 mm − 10 mm)

2

s = 60 mm

A1

Winkel:

r

b) A1 =

π ⋅(80 mm)2 = 6702,0 mm2 3

c) s = r ⋅ 3 (Höhe im gleichseitigen Dreieck) 2 2 s = r ⋅ 3 = 80 mm ⋅ 3 = 138,56 mm 1

2 A1 3 ⋅πr d) = = 1: 3 A πr 2

r

2 A1 = 120°⋅π⋅r = π ⋅r 2 360° 3

r

a) α = 120° (gleichseitiges Dreieck)

60° s 2

s

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des schraffierten Kreisausschnitts a) allgemein b) für r = 80 mm c) Welche Länge hat die gemeinsame Sehne bei r = 80 mm? d) Wie groß ist das Flächenverhältnis zwischen Kreisausschnitt und Vollkreis?

120 °

s α α 2 30 mm sin = = = 0,6 ; = 36,8699° 2 2 r 50 mm ⎛ 73,7398°⋅π⋅(50 mm)2 60 mm(50 mm − 10 mm) ⎞ ⎜ ⎟ = 817,51mm2 − A = 2⋅⎜ ⎟ 360° 2 ⎝ ⎠

10.2.7

a

144


10.2.8

Aus einem Blechstreifen sollen Ronden (= runde Bleche, die zum Tiefziehen weiterbearbeitet werden) vom Durchmesser d ausgeschnitten werden. Berechnen Sie für die dargestellte Anordnung die Größe der schraffierten Restfläche (= Abfallfläche).

A = Quadrat – 4 Viertelkreise A = d2 −

10.2.9

⎛ π⋅ d2 π⎞ = d2 ⋅⎜1 − ⎟≈ 0,2146 ⋅ d2 ⎝ 4 4⎠

Berechnen Sie die Querschnittsfläche des dargestellten Brückenpfeilers.

A = 2⋅ APolygon + ARechteck

Polygonfläche:

2m

A1 = A Sektor − ADreieck (gleichseit. Dreieck) A1 =

6m

π 2 π 2 r2 π 3 2 r + r − 3 = r2 − r 6 6 4 3 4

⎛π 3⎞ ⎟ A1 = r 2⎜ − ⎜3 4 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛π 3⎞ A = 2⋅(2 m)2⎜ ⎜3 − 4 ⎟ ⎟+ 2 m⋅ 6 m ⎝ ⎠ A = 16,9135 m2

p 2 r2 r–

6

4 3 p 2 r

6 60°


145

10.2.10 Ein Hohlzylinder erhält eine Querbohrung

d2

Bestimmen Sie die Größe der verbleibenden Querschnittsfläche

d1

vom Durchmesser d3 .

a) allgemein b) für d1 = 35 mm , d2 = 21 mm , d3 = 10 mm.

d3

a) A = 2⋅(A1 − A 2 )

r1

A1 − A 2 = Differenz zweier Segmente

Flächen der Segmente: ⎞ d 2 ⎛ α⋅π 1 A1 = 1 ⎜ − ⋅ sin α⎟ ⎠ 4 ⎝ 360° 2

2 b

2

2⎛

⎞ d β⋅π 1 A2 = 2 ⎜ − ⋅ sin β ⎟ ⎠ 4 ⎝ 360° 2 A=

A2

a

A1

⎞ d 2 d2 π ⎛ α β ⋅⎜ ⋅ d12 − ⋅ d22 ⎟+ 2 ⋅ sin β − 1 ⋅ sin α 4 ⎝ 180° 180° 4 4 ⎠

mit cos

α d3 / 2 β d /2 und cos = 3 folgt = 2 d1 / 2 2 d2 / 2

cos

α d3 10 mm = = ; α = 146,797° 2 d1 35 mm

cos

β d3 10 mm = = ; β = 123,126° 21mm 2 d2

A=

⎞ (21mm)2 π ⎛ 146,797° 123,126° ⋅⎜ ⋅(35 mm)2 − ⋅(21mm)2 ⎟+ ⋅ sin 123,126° − 180° 4 ⎠ 4 ⎝ 180°

−

(35 mm)2 ⋅ sin 146,797° 4

A=

π (21mm)2 (35 mm)2 ⋅(999,035 − 301,659 ) + ⋅ sin 123,126° − ⋅ sin 146,797° 4 4 4

A = (547,718 + 92,331 −167,705) mm2 = 472,344 mm2

146


10.2.11 Ein Rohr vom Außendurchmesser d1 wird beidseitig auf die Tiefe a abgefräst. Berechnen Sie die verbleibende Querschnittsfläche a) allgemein b) für d2 = 34 mm, a = 8 mm bei einer Wandstärke von s = 4 mm.

Kreis

A2 =

Sektor

A1

Rechteck

A3

α ⋅πr12 − (r1 − a) 2r1 ⋅a − a2 360°

r1

a

2 b

β ⋅πr22 − (r1 − a) r22 − (r1 − a)2 360°

r2

A1 =

Sektor

A 3 N

2(r1 – a)

a) A = N πr12 − 2⋅ A 2 − N1 − 2⋅ A N

2 A2

A 3 = 2(r1 − a)⋅ 2 r22 − (r1 − a)2 s1 = r12 − (r1 − a)2 s cos

α r1 − a β r −a ; sin = 1 = 2 r1 2 r2

r − h = r22 − (r1 − a)2 ⎛ ⎞ ⎛d 2 ⎞2 ⎟ β d22 ⎞ d12 d22 ⎛ d1 ⎜ α 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⋅ − ⋅ + (d1 − 2a)⋅⎜ ad1 − a − −⎝ − a⎠ ⎟ A = π⋅⎜ 180° 4 180° 4 ⎟ 4 2 ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎠

mit cos

α d1 − 2a β d − 2a und sin = 1 = d 2 d2 2 1

b) α = 103,5068° ; β = 99,7617°

(

⎛ ⎞ 103,51° 99,76° A = π⋅⎜212 − ⋅ 212 − ⋅172 ⎟+ (42 −16)⋅ 180° 180° ⎝ ⎠

26

8 ⋅ 42 − 82 − 172 − (21− 8)2

2 A = π⋅ (21 ⋅0,42494 − 172 ⋅0,55422) + 26 ⋅( 272 − 120 )

27,228

A = 229,53 mm2

143,987

)


147

10.2.12 Berechnen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Fläche.

Die Fläche ergibt sich als Summe aus der Kreisringfläche und der Kreisringausschnittsfläche A1 A1 =

α⋅π ⋅(r12 − r22 ) 360°

A1 =

70°⋅π ⋅(502 −152 ) mm2 360°

A1 = 1389,72 mm2 A=

π ⋅(302 − 152 ) mm2 + A1 4

A = 1919,86 mm2

10.2.13 Berechnen Sie die Dichtungsfläche des Flansches. a) ohne Bohrungen b) mit Berücksichtigung der Maße d1 = 80 mm , d2 = 25 mm , d3 = 8 mm

,

r = 16 mm. AFlansch = ADreieck + 3 ⋅ ARe chteck + 3 ⋅ A Sektor AFlansch = A1 + 3 ⋅ A 2 + 3 ⋅ A 3 A1 = 21 ⋅ AB ⋅CD AB = r1 sin 120° sin 30°

A1

148


sin 120° ⋅r = AB = sin 30° 1

3 2 1 2

⋅r1 = 3 ⋅r1 =

3 ⋅ d1 2

C

A2

3 3 3 3 CD = ⋅ AB = ⋅ ⋅ d1 = ⋅ d1 2 2 2 4 (Höhe im gleichseitigen Dreieck)

A1

M

60° r

1 3 3 3 3 2 A1 = ⋅ d1 ⋅ d1 = d1 2 2 4 16 A 2 = AB ⋅r = A3 =

B

A

3 d1 ⋅r 2

πr 2 120° ⋅πr 2 = 360° 3

C

AFlansch =

3 3 2 3 3 d1 + d1 ⋅r + πr 2 16 2

AFlansch =

3 3 d12 + 8d1 ⋅r + πr 2 16

b) AFlansch = AB =

A3

(

M

)

A

B

D

3 3 (80 mm)2 + 8 ⋅80 mm⋅16 mm + π⋅(16 mm)2 = 6208,25 mm2 16

(

)

πd22 πd 2 π + 3 ⋅ 3 = ((25 mm)2 + 3 ⋅(8 mm)2 ) = 641,67 mm 4 4 4

(Fläche der Bohrungen)

A = AFlansch − AB = 5566,58 mm2

10.2.14 Eine Leitschaufel hat die dargestellte Form. a

Berechnen Sie den Flächeninhalt der dargestellten Querschnittsfläche

a

a) allgemein b) für a = 100 mm

0,5 a


149

A = A1 + A 2 − A 3 + A 4

Rechteck CDEF: A1 =

F

a2 2

A1

π⋅a2 Sektor BCF: A 2 = 4

Sektor BDE: A 3 =

A2

π⋅a2 4

1 π⋅a Halbkreis (mit Durchmesser a4 ): A 4 = ⋅ 2 16

B

G

C

0,5 a

D

A4 2

A=

a2 π⋅a2 π⋅a2 π⋅a2 + − + 2 4 4 32

A=

a2 π⋅a2 ⎛ 1 π⎞ + =⎜ + ⎟⋅a2 = 0,598 ⋅a2 ⎝ 2 32 ⎠ 2 32

b) A =

E

π⎞ a2 π⋅a2 ⎛ 1 + =⎜ + ⎟⋅(100 mm)2 ⎝ 2 32 ⎠ 2 32

A = 5981,75 mm2

10.2.15 Eine Welle mit 60 mm Durchmesser erhält eine Passfedernut mit 18 mm Breite und einer Tiefe von 7 mm. a) Um wie viel mm2 wird der Querschnitt dadurch geschwächt? b) Wie viel % beträgt die Querschnittsschwächung.

Nutquerschnitt:

α 34,915° A1 = πr 2 = ⋅π⋅(30 mm)2 360° 360° A1 = 274,22 mm2 sin

α 9 mm = = 0,3 ; α = 34,915° 2 30 mm

A

B C E

D a

23 2 M

7

Sektor AMB:

30

A = A Sektor − ADreieck + ARechteck

9

150


1 A 2 = ⋅ AB ⋅MC 2 MC = (30 mm)2 − (9 mm)2 = 28,62 mm 1 A 2 = ⋅18 mm⋅ 28,62 mm = 257,58 mm2 2 BE = MC − 23 mm = 5,62 mm A 3 = 18 mm⋅5,62 mm = 101,16 mm2 A = 274,22 mm2 − 257,58 mm2 + 101,16 mm2 = 117,8 mm2

b) Prozentuale Querschnittsschwächung:

117,8 mm2 π⋅(30 mm)2

= 0,04166 d. h. 4,166 %

10.2.16 Eine Scheibenfeder 6 x 9 DIN 6888 soll in eine Welle eingepasst werden. Wie groß ist die Anpressfläche?

s = (11mm)2 − (11mm − 7,5 mm)2 2 s = 20,857 mm

a

2

r s 2

7,5

⎛ s ⎞2 ⎜ ⎟ = r 2 − (r − h)2 ⎝2⎠

s

sin

α 2 10,4283 mm = = = 0,948 11mm 2 r

α = 142,89° A=

s α 142,89° ⋅πr 2 − (r − h) = ⋅π⋅(11mm)2 − 10,428 mm⋅(11mm − 7,5 mm) 360° 360° 2

A = 114,38 mm2

10.2.17 Berechnen Sie den durch die a

r

Rundung wegfallenden schraffierten Flächenanteil in Abhängigkeit von r und α.


151

A = Δ ABM + Δ BCM − Sektor ACM

M

dabei ist Δ ABM = Δ BCM :

r r

1 A1 = ⋅ AB ⋅r 2

a

α r α tan = r ; AB = = r ⋅cot α 2 AB 2 tan

a

2

(

B

A

α 1 A1 = ⋅r 2 ⋅cot 2 2 ⎛ α⎞ ∠ AMC = 2⋅⎜90° − ⎟= 180° − α ⎝ 2⎠ A2 =

C

2

2

)

(

)

(180° − α) ⋅π⋅r 2 = 180° − α ⋅π⋅r 2 = 1 − α ⋅π⋅r 2 360° 360° 360° 2 360°

A = 2⋅ A1 − A 2 = r 2 ⋅cot

(

α ⎛1 α ⎞ 2 −⎜ − ⎟⋅π⋅r 2 ⎝ 2 360° ⎠

A = r 2 ⋅ cot α + α ⋅π − π 2 360° 2

)

10.2.18 Eine Leitschaufel hat die dargestellte Form. Berechnen Sie die schraffierte Querschnittsfläche.

Die Querschnittsfläche lässt sich berechnen als Differenz der beiden Segmente ABD und ABE. Segment ABD:

E F

s 2

A

b

s β ⋅π⋅r12 − ⋅FM1 (1) 360° 2

r1

2 M1

Segment ABE: α s ⋅π⋅r22 − ⋅(FM1 + a) (2) A2 = 360° 2 A = A1 − A 2 A=

β s α s s ⋅π⋅r12 − ⋅FM1 − ⋅π⋅r22 + ⋅FM1 + ⋅a 360° 2 360° 2 2

B

r2 a

A1 =

D

a

2

M2

152


π s ⋅ β⋅r12 − α⋅r22 + ⋅ a (3) 360° 2 s Bestimmung von α, β und : 2

(

A=

)

Nach dem Kosinussatz gilt: r12 = r22 + a2 − 2⋅a ⋅r2 ⋅cos

α 2

A

r 2 − r12 + a2 (4) cos α = 2 2 2ar2

r1

r2 M2

a

⎛ β⎞ r22 = r12 + a2 − 2⋅a⋅r1 ⋅cos ⎜180° − ⎟ ⎝ 2⎠

a

2

⎛ β⎞ r22 = r12 + a2 − 2⋅a ⋅r1 ⋅⎜−cos ⎟ ⎝ 2⎠

s 2

A

β r 2 − r12 − a2 (5) cos = 2 2ar1 2

M1

F 2

r2 M2

a

Aus dem Δ AFM2 ergibt sich sin

b

r1

180° – b2

M1

s 2

β s = = (6) 2 r1 2⋅r1

Aus sin2

β 2

+ cos2

β 2

= 1 ergibt sich mit Gl. (5) und (6) 2 r22 − r12 − a2 ⎞ ⎛ s ⎞2 ⎛ ⎟ =1 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 2ar1 ⎝ 2⋅r1 ⎠ ⎜ ⎝ ⎠

() s 2

2

⎛ r 2 − r 2 − a2 ⎞2 2 1 ⎟ = r12 −⎜ ⎜ ⎟ 2a ⎝ ⎠

⎛ r 2 − r 2 − a2 ⎞2 s 2 1 ⎟ = r12 −⎜ ⎜ ⎟ (7) 2a 2 ⎝ ⎠

Setzt man Gl.(7) in Gl.(3) ein, so erhält man eine allgemeine Gleichung der Fläche ⎛ r 2 − r 2 − a2 ⎞2 π 2 1 2 2 2 ⎟ ⋅ β⋅r1 − α⋅r2 + a ⋅ r1 −⎜ A= ⎜ ⎟ 2a 360° ⎝ ⎠

(

)

Die Winkel α und β erhält man aus den Gleichungen (4) und (5): cos

α r22 − r12 + a2 β r 2 − r12 − a2 = und cos = 2 2ar2 2ar1 2 2


153

10.2.19 Berechnen Sie die Fläche.

Die Fläche kann folgendermaßen berechnet werden: A = Sektor M1EF − Segment ABC − Δ M1BA

r2

b

r1

2

a

a

2

Die Fläche ist somit

M1

⎡ β ⎤ α s ⋅π⋅r12 −⎢ ⋅π⋅r22 − ⋅DM2 ⎥− ⎣ ⎦ 360° 360° 2

s 2 r2

s (DM2 + a) 2

b

r1

A=

B

M2

β s α s sin = und sin = 2 2⋅r2 2 2⋅r1

−

C D s 2

A

Dazu benötigen wir die Winkel α und β. Diese lassen sich aus dem nebenstehenden Dreieck wie folgt berechnen:

A=

E

F

2

s π ⎡ ⋅⎣ α⋅r12 − β⋅r22 ⎤ ⎦− ⋅ a 360° 2

a

2

10.2.20 Berechnen Sie die Fläche.

a

a

r

a

154


Segment ACD: A1 =

M1 πr 2

a

a2

90° a a ⋅πr 2 − ⋅ = − (1) 360° 2 2 4 4

2

A

Segment AEB:

E

α a A2 = ⋅πr12 − ⋅M1F (2) 360° 2

C

M

a 2

α = 2 M1F

M1F =

r= a 2 2

tan

a 2⋅ tan

F

a 2

α 2

(3)

D

Gl.(3) in (2): A2 =

α a ⋅πr12 − α 360° 4 ⋅ tan 2

Damit lässt sich die Querschnittsfläche wie folgt berechnen: A = a 2 + 2 ⋅ A1 − 2 ⋅ A 2

⎛ πr 2 a2 ⎞ ⎛ α a2 ⎞ ⎟− 2⋅⎜ ⎟ A = a2 + 2⋅⎜ − ⋅πr12 − α⎟ ⎝ 4 4 ⎠ ⎜ 360° 4 tan ⋅ ⎝ 2⎠ A = a2 +

πr 2 a2 α a2 − − ⋅πr12 + ) α 2 2 180° 2⋅ tan 2

a a Da r = ⋅ 2 (Diagonale im Quadrat) und AM1 = r1 = ist, gilt α 2 2⋅ sin 2

πa2 a2 α a2 A = a2 + − − ⋅π⋅ 4 2 180° 4 ⋅ sin2

α 2

+

a2 2⋅ tan

α 2

)

⎡ ⎤ a2 ⎢ π α π α⎥ ⋅ 1+ − ⋅ + cot ⎥ A= 2 ⎢ 2 360° sin2 α 2 ⎣ ⎦ 2 α = 90° : ⎡ ⎤ ⎥ a2 ⎡ ⎤ a2 ⎢ π 90° π π π ⎥= ⋅⎢1+ − +1⎥ ⋅⎢ 1+ − ⋅ 2 + cot ° A= 45

⎣ ⎦ 2 ⎢ 2 360° sin 2 2 2 45 ° ⎥ 1 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0,5 A = a2

B

155

11 Volumenberechnung (Stereometrie) 11.1 Prismatische Körper 11.1.1

Welche Höhe muss ein regelmäßiges dreiseitiges Prisma mit der Grundkantenlänge a = 3 cm haben, damit seine Oberfläche 100 cm2 beträgt?

3 2 ⋅a 2 h= 3a h = 10,25 cm A−

11.1.2

a 3 2

a

1 a A = 2⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅a + 3ah 2 2

a

Warmgewalzter Sechskantstahl soll mit den Schlüsselweiten 52 mm und 57 mm geliefert werden. Wie viel kg wiegt jeweils der laufende Meter ?

Wir wollen die Sechseckfläche aus sechs gleich(d = Um-

kreisdurchmesser) formulieren und erhalten : 1 d d 3 A = 6 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 3 = ⋅ 3 ⋅ d2 2 2 4 8 d s Da die Höhe des Dreiecks ⋅ 3 = oder 4 2 2⋅ s d= ist, ergibt sich als Querschnittsfläche 3 A=

d 2 d 3 4 d 2

s

seitigen Dreiecken mit der Grundseite

d 2

3 ⋅ 4 ⋅ s2 3 2 ⋅ 3= ⋅s 8 ⋅3 2

3 ⋅(52 mm)2 = 2341,73 mm2 2 3 s = 57mm: A 2 = ⋅(57 mm)2 = 2813,72 mm2 2 g = 18,38 kg / m m1 = 23,4173 cm2 ⋅7,85 cm3 g = 22,09 kg / m m2 = 28,1372 cm2 ⋅7,85 cm3

s = 52 mm: A1 =


d 2

156

11 Volumenberechnung (Stereometrie)

11.1.3

Berechnen Sie für einen Flachhalbrundstahl DIN 1018-25 × 8 USt 37-2 (nach DIN 10 027-S235 JR) von 200 mm Länge Volumen und Oberfläche.

A = Fläche Kreisausschnitt – Fläche Dreieck r=

α s ⋅π⋅r 2 − ⋅(r − h) 360° 2

s2 + 4h2 (25 mm)2 + 4 ⋅ 64 mm2 = = 13,766 mm 8h 64 mm s

α 25 mm sin = 2 = = 0,9081 ; α = 130,477° 2 r 2 ⋅13,766 mm A = 143,69 mm2 ; V = 28738 mm3 = 28,74 cm3

Oberfläche: A = 2⋅143,69 mm2 + 25 mm⋅ 200 mm +

130,477°⋅ 2 π⋅13,766 mm ⋅ 200 mm 360°

A = 11556,93 mm2 = 115,57 cm2

11.1.4

Eine Platte soll eine diagonal verlaufende Führungsnut erhalten. Berechnen Sie das Zerspanungsvolumen (= abzutragendes Werkstoffvolumen).

a a a3 V1 = (a ⋅ 2 − ⋅ 2 ) ⋅ 2 ⋅0,1 a = 6 6 36 2 ⎛ a ⎞2 a3 ⎛ a ⎞ 11 3 +⎜ ⎟ ⋅0,1 a ; V = V = V1 +⎜ ⎟ ⋅0,1 a = a ⎝6⎠ 36 ⎝ 6 ⎠ 360

a 3 6

x

a V1 = (a ⋅ 2 − 2x) ⋅ 2 ⋅0,1 a 6 1 a Mit x = ⋅ ⋅ 2 2 6 a a V1 = (a ⋅ 2 − ⋅ 2 ) ⋅ 2 ⋅0,1 a 6 6

a 6

11.1 Prismatische Körper

11.1.5

157

Eine 50 mm dicke quadratische Platte hat einen Durchbruch mit einem quadratischem Querschnitt (20 x 20 mm). Welches Volumen hat damit die Platte noch ?

Länge des Durchbruchs: 2

50 2

Volumen des Hohlraumes:

20

2x = 2⋅ (20 mm) + (50 mm) = 107,7 mm

x

V1 = Querschnitt · Länge des Durchbruchs V1 = 2 cm⋅ 2 cm⋅ 2⋅ (2 cm)2 + (5 cm)2 V1 = 43,08 cm3

Volumen der Platte: V = 10 cm⋅10 cm ⋅5 cm − V1 = 456,92 cm3

11.1.6

In einen Würfel der Kantenlänge a ist der dargestellte Körper einzubeschreiben. Berechnen Sie a) das Volumen des Körpers, b) die Oberfläche des Körpers. c) Welche Besonderheit haben die drei Ansichten des Körpers ?

a2 2 ⋅ a = ⋅ a3 6 3 a2 a 2 − 2⋅a 2 ⋅ ⋅ 3= b) A = 6 ⋅ 2 2 a) V = a3 − 2⋅

= 3a2 − 2 3 ⋅a2 = (3 − 2 3 )⋅a2

c) Alle Ansichten sind gleich, lediglich um 90° versetzt.

8

158

11.1.7


Ein Würfel mit der Kantenlänge a wird an allen Ecken so abgeflacht, dass sich in allen drei Ansichten das dargestellte gleiche Bild ergibt. a) Berechnen Sie das Volumen. b) Berechnen Sie die Oberfläche.

a 2 2

2 1 ⎛ a ⎞ a 1 a3 a) V1 = ⋅⎜ ⎟ ⋅ ⋅ = 2 ⎝ 2 ⎠ 2 3 48 3 V = a3 − 8 ⋅ V1 = a3 − 8 ⋅ a = 5 ⋅ a3 48 6

⎛a ⎞2 ⎞⎛ a ⎞ 1 ⎛a 2 ⎟⎜ 3⎟ b) A o = 6 ⋅⎜ ⋅ 2 ⎟ + 8 ⋅ ⋅⎜ ⎝2 ⎠ ⎠⎝ 4 ⎠ 2 ⎝2

A o = 3 ⋅a2 +

11.1.8

⎛ 6 2 6⎞ ⎟ ⋅a = a2 ⋅⎜3 + ⎝ 2 2 ⎠

Ein angeschrägter Quader mit quadratischem Querschnitt hat eine Bohrung vom Durchmesser d. Berechnen Sie das Restvolumen a) allgemein b) für h = a. 3 a. 4 d) Für a = 40 mm, h = 30 mm, d = 20 mm.

c) für h = a und d =

a 2 a 2

11.1 Prismatische Körper

159

1 πd2 h a2 ⋅h π 2 a) V = ⋅a2 ⋅h − ⋅ = − ⋅ d ⋅h 2 4 2 2 8 b) h = a : V =

a3 π − ⋅ d2 ⋅a 2 8

c) h = a und d =

π 9a3 ⎛ 1 3 a3 9π ⎞ 3 − ⋅ =⎜ − a:V= ⎟⋅a 4 2 8 16 ⎝ 2 128 ⎠ 0,28

d) V =

2⋅

(4 cm) 3 cm π − ⋅(2 cm)2 ⋅3 cm = 19,29 cm3 2 8

11.1.9

Entwickeln Sie für den aus zwei Halbzylindern zusammengesetzten Körpern eine Gleichung zur Berechnung a) des Volumens, b) der Oberfläche.

πr 2 πr 2 ⋅ 2r + ⋅ 2r = 2⋅π⋅r 3 2 2 ⎛ 2⋅πr 2 ⎞ 2 b) A =⎜ ⎜ 2 + π⋅r ⋅ 2r ⎟ ⎟⋅ 2 = 6 ⋅π⋅r ⎝ ⎠ a) V =

⎛

kg ⎞ ⎟ von 3 m Länge mit einem Außen⎝ dm3 ⎠ durchmesser von 30 mm und 2,5 mm Wandstärke können auf einem Lkw mit 3 t Ladekapazität befördert werden ? Wie viel kg wiegt der laufende Meter ?

11.1.10 Wie viel Stahlrohre ⎜ȡ = 7,85

π ⋅((3 cm)2 − (2,5 cm)2 )⋅300 cm = 647,95 cm3 4 g m = 647,95 cm3 ⋅7,85 = 5086,43 g = 5,09 kg cm3 V=

Anzahl der Rohre:

3000 kg = 589,8 ≈ 590 Rohre 5,086 kg

160


Gewicht des laufenden Meters: π g g kg ⋅((3 cm)2 − (2,5 cm)2 )⋅7,85 = 16,95 = 1,695 3 4 cm m cm

11.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper 11.2.1

Berechnen Sie das Volumen der dargestellten Scheibe.

Pyramidenstumpf (= Hohlraum)

(

)

1 V1 = ⋅ 2 cm⋅ 2 cm⋅ 2 cm + 4 cm2 ⋅ 2,25 cm2 + 1,5 cm⋅1,5 cm = 6,167 cm3 3

Volumen der Scheibe: V=

π⋅(5 cm)2 ⋅ 2 cm − V1 = 33,103 cm3 4

11.2.2

Eine Kugel soll in einen pyramidenförmigen Hohlraum eingepasst werden. Berechnen Sie das Hohlraumvolumen des vierseitigen Pyramidenstumpfes a) allgemein b) für d = 20 mm.

1 a) V = ⋅h⋅ A g + A g ⋅ A d + A d 3

(

Grundseite: 2x +

)

d 4

(1)

d (2) 2

2b 90° – a

x tan α = ; x = d⋅ tan α (3) d α = 90° − 2 β

x

d a

d 2

b b a

11.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper

tan β =

d 4 d 2

=

161

1 ; β = 26,5651° ; α = 36,8699° 2

tan α = 0,75 (4) (4) in (3): x = 0,75 d (5) in (2): Grundseite: 2⋅0,75 ⋅ d + 0,5 ⋅ d = 2⋅ d A g = 4 ⋅ d2 ; A d =

d2 4

⎛ ⎞ 1 d2 d2 7 V = ⋅ d⋅⎜ ⎜ 4 d2 + 4 ⋅ d2 ⋅ + ⎟ ⎟= ⋅ d3 ⎝ 3 4 4⎠ 4 7 b) V = ⋅(2 cm)3 = 14 cm3 4

11.2.3

Berechnen Sie das Volumen des dargestellten Werkstücks.

(

)

1 V1 = ⋅ 2 cm⋅ 1 cm2 + 1 cm2 ⋅(2,4 cm)2 + (2,4 cm)2 = 6,107 cm3 3 V=

π⋅(3 cm)2 π⋅(3,5 cm)2 ⋅0,3 cm + ⋅1,7 cm − V1 = 12,37 cm3 4 4

11.2.4

Entwickeln Sie für den dargestellten Quader mit Ausfräsung eine Gleichung zur Berechnung des Winkels β. Bestimmen Sie a) β in Abhängigkeit von α, γ und δ. b) β für α = 17°, γ = 15° und δ = 60°. c) das Volumen des Körpers.

162


a) Wir berechnen zunächst den Teilquader mit der Höhe z. Dabei ist tan β =

z (1) d

cos δ =

a a oder d = (2) d cos δ

a d

b

g

z

AP

z2

a

Die Höhe z setzt sich aus den Teilstrecken z1 und z2 zusammen : z tan α = 1 ; z1 = a⋅ tan α a z2 tan γ = ; z2 = b⋅ tan γ b

b

d

z1

⎫ ⎪ ⎪ ⎬ z = z1 + z2 = a ⋅ tan α + b ⋅ tan γ (3) ⎪ ⎪ ⎭

b erhält man b = a ⋅ tan δ . Damit ist z = a ⋅ tan α + a ⋅ tan δ⋅ tan γ (4) a a ⋅ tan β (5) Andererseits ist z = d⋅ tan β = cos δ Setzen wir die beiden Gleichungen (4) und (5) gleich, so erhalten wir

Aus tan δ =

a⋅

tan β = a ⋅ tan α + a ⋅ tan δ⋅ tan γ cos δ

tan β = cos δ⋅(tan α + tan δ⋅ tan γ )

b) tan β = cos 60°⋅(tan 17° + tan 15°⋅ tan 60° ) = 0,3849 ; β = 21,05°

a

a a a ; z1 = = z1 tan α tan 17° a a a cos α = ; x = = x cos α cos 17° z tan β = 2 a + b2

a

c) tan α =

z = a2 + b2 ⋅ tan β

d

Mit Gleichung (2):

z=

a ⋅ tan β cos δ

Grundfläche der Pyramide: A = a⋅

z + z1 2

y

x a

z

b

2

a2 + b

b

11.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper ⎛ a ⎞ 1 ⋅ tan β + a ⋅ tan α⎟ A = ⋅a ⋅⎜ 2 ⎝ cos δ ⎠

Volumen der Pyramide: ⎛ a ⎞ 1 1 1 V1 = ⋅ A ⋅b = ⋅ ⋅a ⋅⎜ ⋅ tan β + a ⋅ tan α⎟⋅b 3 3 2 ⎝ cos δ ⎠

Restvolumen: ⎛ a ⎞ 1 ⋅ tan β + a ⋅ tan α⎟ V = a ⋅b ⋅c − V1 = a ⋅b ⋅c − ⋅a ⋅b ⋅⎜ 6 ⎝ cos δ ⎠ V = a ⋅b ⋅ c −

⎞ a2 ⋅b ⎛ tan β ⋅⎜ + tan α⎟ 6 ⎝ cos δ ⎠

V = a ⋅b ⋅ c −

⎞ a2 ⋅b ⎛ tan 21,05° ⋅⎜ + tan 17° ⎟= a ⋅b ⋅c − 0,179 ⋅a2 ⋅b 6 ⎝ cos 60° ⎠

11.2.5

Bestimmen Sie das Volumen des mit Hilfe eines Förderbandes aufgeschütteten kegelförmigen Sandhaufens a) allgemein in Abhängigkeit von h und α. b) Wie hoch wird ein Sandhaufen von 10 m3 Sand bei einem Schüttwinkel von α = 33° ? Wie groß wird dabei der Radius r des Grundkreises ?

1 h h a) V = ⋅π⋅r 2 ⋅h ; tan α = ; r = 3 r tan α 1 h3 V = ⋅π⋅ 3 tan2 α 3 2 2 1 h3 3 3 ⋅10 m ⋅ tan 33° = 1,59 m ; h = 3 3⋅ V ⋅ tan α = b) V = ⋅π⋅ 2 π π 3 tan α

r=

h 1,59 m = = 2,45 m tan α tan 33°

163

164

11.2.6


Bestimmen Sie für den Trichter a) den Radius s des Abwicklungssektors b) den Winkel α des Abwicklungssektors c) den Blechbedarf (ohne Berücksichtigung der Materialzugabe)

a) Nach Pythagoras ist s = h2 +

d2 4

h

d 2

s

b) Der Umfang des Abwicklungssektors ist U = π⋅ d. Für den Zentriwinkel gilt die Verhältnisgleichung α π⋅ d = 360° 2⋅π⋅ s

pd

360°⋅ d d = ⋅180° 2⋅ s s d A = ⋅π⋅ s s α=

c)

11.2.7

a

Ein konischer Behälter soll mit einem Volumen V gefüllt werden. a) Entwickeln Sie eine Gleichung zur Berechnung des Durchmessers d3 in Abhängigkeit von V, d1 und h1. b) Bestimmen Sie d2 in Abhängigkeit von d1, d3, h1 und h. c) Wie viel Liter sind in dem Behälter, wenn bei

d1 = 60 cm und d2 = 80 cm die Füllhöhe h1 = 50 cm beträgt? a) Das Volumen eines Kegelstumpfes ergibt sich aus der Gleichung 1 V = ⋅π⋅h1 ⋅(r12 + r1 ⋅r3 + r32 ) 3

Diese Gleichung lösen wir nach r3 auf: r32 + r1 ⋅r3 + r12 −

3⋅ V =0 π⋅h1

11.2 Pyramidenförmige und kegelförmige Körper r12 3⋅ V (negativer Wert unbrauchbar) − r12 + 4 π⋅h1

d3 =−

d1 12⋅ V 3 + − ⋅ d12 2 π⋅h1 4

b) Aus den ähnlichen Dreiecken ergibt sich die Verhältnisgleichung d2 − d1 h = d3 − d1 h1 h d2 − d1 = ⋅(d3 − d1) h1 h d2 = 1 (d3 − d1) + d1 h

d2 – d1 2 d3 – d1 2

h1

r1 ± 2

h

(r3 )1/ 2 =−

165

c) Mit den Zahlenwerten ergibt sich 1 V = ⋅π⋅5 dm⋅((3 dm)2 + (3 dm)⋅(4 dm) + (4 dm)2 ) 3 V = 193,73 dm3 ≈ 194 Liter

11.2.8

Für eine Abdichtung werden kegelförmige Kunststoffkappen in der dargestellten Form benötigt. Wie viel cm3 Kunststoff sind zur Herstellung einer einzelnen Kappe erforderlich ?

V = VAußenkegel – VInnenkegel

r2

a

3

Außenkegel :

r1

Innenkegel : y 40 mm = (ähnliche Dreiecke) 3 mm 15 mm

40

h2 = 15 mm

15

r2 = (40 mm)2 − (15 mm)2 = 37,08 mm

x

3

1 V = ⋅π⋅(r22 ⋅h2 − r12 ⋅h1) 3

y

a

166


daraus y = 8 mm und damit r1 = r2 − 8 mm = 29,08 mm x 40 mm 3 mm ⋅ 40 mm = 3,236 mm = ;x= 3 mm r2 37,08 mm h1 = h2 − x = 15 mm − 3,236 mm = 11,764 mm , damit 1 V = ⋅π⋅((37,08 mm)2 ⋅15 mm − (29,08 mm)2 ⋅11,764 mm ) = 11179,58 mm3 3 V = 11,18 cm3

11.2.9

Bestimmen Sie das Füllvolumen des Behälters d1 d2 a h

= 20 cm = 40 cm = 45 cm = 22 cm

Der Körper setzt sich zusammen aus einem Kegelstumpf und einem Prisma. π ⋅ 22 cm⋅((40 cm)2 + 40 cm ⋅20 cm + (20 cm)2 ) = 16 126,84 cm3 12 40 cm + 20 cm VPr isma = ⋅ 22 cm ⋅ 45 cm = 29 700 cm3 2 VKegelstumpf =

V = VKegelstumpf + VPr isma = 45 826,84 cm3 = 45,83 l

11.2.10 Ein Betonmast für Straßenbeleuchtungsanlagen hat die Form eines sich nach oben verjüngenden Sechseck-Pyramidenstumpfes mit einem konischen Innenhohlraum. Bestimmen Sie für einen Mast mit einer Gesamtlänge von 8,30 m das Volumen. s1 d1 s2 d2

= 240 mm = 150 cm = 115 cm = 50 cm

Sechseck: l

A Sechseck =

6 ⋅l ⋅ s 3 s = ⋅ ⋅s 4 2 3

l

2

s l s = ⋅ 3 ; l= 2 2 3

s 2

11.3 Kugelförmige Körper

167

3 2 ⋅ s ≈ 0,866 ⋅ s2 2 ⎞ 1⎛ 3 VPyramidenstumpf = ⋅⎜ ⋅((0,24 m)2 + 0,24 m⋅0,115 m + (0,115 m)2 ⎟⋅8,30 m ⎠ 3 ⎝ 2

A Sechseck =

VPyramidenstumpf = 0,235827 m3 VKegelstumpf =

π ⋅((0,15 m)2 + 0,15 m⋅0,05 m + (0,05 m)2 )⋅ 8,30 m 12

VKegelstumpf = 0,07062 m3 V = VPyramidenstumpf − VKegelstumpf = 0,1652 m3

11.3 Kugelförmige Körper 11.3.1

Wie viel kg wiegt eine Kugel von 1 m Durchmesser aus ⎛ kg ⎞ a) aus Kork ⎜ȡ = 0,23 ⎟ ⎝ dm3 ⎠

⎛ kg ⎞ b) aus Stahl ⎜ȡ = 7,85 ⎟ ⎝ dm3 ⎠

c) Wie groß ist die Oberfläche ?

a) m = V ⋅ ρ =

π 3 π kg ⋅ d ⋅ ρ = ⋅(10 dm)3 ⋅0,23 = 120,43 kg 6 6 dm3

b) m = V ⋅ ρ =

π 3 π kg ⋅ d ⋅ ρ = ⋅(10 dm)3 ⋅7,85 = 4110,25 kg = 4,11 t 6 6 dm3

c) A o = π⋅ d2 = π⋅(1m)2 = 3,14 m2

11.3.2

Wie viele Schrotkugeln (d = 2 mm) lassen sich aus 5 kg Blei ⎛ kg ⎞ ⎜ȡ = 11,34 ⎟ herstellen (ohne Berücksichtigung der Schmelzverluste) ? ⎝ dm3 ⎠

Volumen einer Kugel: V =

π 3 π ⋅ d = ⋅(0,2 cm)3 = 0,0041887 cm3 6 6

Masse einer Kugel:

m = V ⋅ ρ = 0,0041887 cm3 ⋅11,34

Anzahl der Kugeln:

n=

5 000 g = 105 261 Kugeln 0,0475 g

g cm3

= 0,0475 g

168


11.3.3

Wie groß ist der Auftrieb eines Kugelballons mit 12 m Innendurchmesser, der mit Wasserstoff (Dichte von Wasserstoff Ȣ = 0,0899

kg m3

im Normalzu-

stand) gefüllt ist ohne Berücksichtigung der Ballonmasse ? (Dichte von Luft ρ = 1,2922

kg m3

bei 0 °C und einem Druck von 1,01325 bar)

Die Auftriebskraft FA ist gleich der Gewichtskraft der verdrängten Luft. π 3 π ⋅ d = ⋅(12 m)3 = 904,78 m3 6 6 kg Die Masse dieser Luft beträgt mLuft = 904,78 m3 ⋅1,2922 3 = 1169,16 kg m kg Die Masse der Wasserstofffüllung beträgt mBallon = 904,78 m3 ⋅0,0899 3 = 81,34 kg m m Damit beträgt der Auftrieb FA = (mLuft − mWasserstof )⋅9,81 2 = 10 671,48 N s

Das verdrängte Luftvolumen beträgt V =

11.3.4

Ein kugelförmiger Gasbehälter für ein Fassungsvermögen von 14 137 m3 soll aus Stahlblech von 20 mm Dicke zusammengeschweißt werden. a) Wie groß ist der Innendurchmesser des Behälters ? b) Wie viel Tonnen Stahl werden benötigt?

V =

π 3 6 ⋅ V 3 6 ⋅14137 m3 ⋅d ; d = 3 = = 30 m π π 6

Oberfläche der Kugel: A o = π⋅ d2 = π⋅((30 + 0,020) m)2 = 2 831,20 m2 b) m = 2 831,20 m2 ⋅0,02 m⋅7,85

11.3.5

t m3

= 444,5 t .

Berechnen Sie das Volumen einer zylindrisch durchbohrten Kugel a) allgemein b) für d1 = 35 mm d2 = 15 mm h = 17,5 mm.

11.3 Kugelförmige Behälter

169

a) V = VKugelzone − VZylinder

d3

V=

π⋅h π⋅d22 3 ⋅r32 + 3 ⋅r32 + h2 − ⋅h 6 4

V=

⎞ π⋅d22 π⋅h⎛ d32 ⋅h (1) ⎜ 6 ⋅ 4 + h2 ⎟− ⎠ 6 ⎝ 4

)

Da in unserem Fall r3 =

d3 2

h

(

nicht gegeben ist,

d2 d1

müssen wir d3 mit Hilfe des Pythagoras berechnen : d12 = d32 + h2 ; d32 = d12 − h2 (2)

(2) in (1): 2 π⋅h 6 2 − h2 ) + h2 − π⋅ d2 ⋅h ⋅ (d 1 6 4 4 π⋅h 2 2 2 V= 3d1 − 3d2 − h 12

V=

(

)

(

b) V =

)

π⋅17,5 mm 3 ⋅(35 mm)2 − 3 ⋅(15 mm)2 − (17,5 mm)2 12

(

)

V = 12 341,39 mm3 = 12,34 cm3

11.3.6

Berechnen Sie das Volumen einer konisch durchbohrten Kugel a) allgemein b) Wie groß wird h und V für d1 = 35 mm d2 = 15 mm d3 = 20 mm?

a) V = VKugelzone − VKegelstumpf

)

(

)

(

π⋅h 2 V= r3 − 2r2 ⋅r3 + r22 + h2 6

d1 2

)

h

(

B

C

M

)

h1

VKegelstumpf

(

h2

π⋅h 3 ⋅r22 + 3 ⋅r32 + h2 6 π⋅h 2 = r3 + r2 ⋅r3 + r22 3 π⋅h = 2r32 + 2r2 ⋅r3 + 2r22 6

VKugelzone = VKegelstumpf

d2

D A d3

170

11 Volumenberechnung (Stereometrie) π⋅h (r3 − r2 )2 + h2 6 ⎞ ⎛ ⎞2 π⋅h⎛ ⎜⎜ d3 − d2 ⎟ + h2 ⎟ V= ⎟ ⎝ 6 ⎜ 2⎠ ⎝ 2 ⎠

V=

mit

(

)

h = h1 + h2 = r12 − r32 + r12 − r22 = 21 ⋅

1 b) h = h1 + h2 = ⋅ 2

(

(

d12 − d32 + d12 − d22

(35 mm)2 − (20 mm2 ) + (35 mm)2 − (15 mm)2

)

)

h = 30,17 mm V=

π⋅30,17 mm (10 mm − 7,5 mm)2 + (30,17 mm)2 6

(

)

V = 14 477,59 mm3 = 14,48 cm3

11.3.7

Berechnen Sie für die dargestellte Kugelpfanne das Volumen und die Auflagefläche für die Kugelscheibe für die Maße d1 = 28 mm f = 7,3 mm h = 10 mm

d2 = 62 mm, r = 32 mm,

Volumen der Kugelschicht VKugelzone =

π⋅h 3 ⋅r32 + 3 ⋅r12 + h2 6

(

)

Berechnung von r3 : r32 = r 2 − MB

2

MB = r 2 − r12 − h MB = (32 mm)2 − (14 mm)2 −10 mm

M

r32 = (32 mm)2 − (18,775 mm)2 2

r3 = 671,499 mm

r2 – r12 – h

r

MB = 18,775 mm

2

A

r3

B

11.3 Kugelförmige Behälter VKugelzone =

171

π⋅10 mm 3 ⋅ 671,499 mm2 + 3 ⋅(14 mm)2 + (10 mm)2 6

(

)

VKugelzone = 14150,247 mm3 VZylinder 1 =

π⋅(28 mm)2 ⋅7,3 mm = 4 494,99 mm3 4

VZylinder 2 =

π⋅(62 mm)2 ⋅(10 mm + 7,3 mm) = 52 229,92 mm3 4

V = VZylinder 2 − VZylinder 1 − VKugelzone = 33 584,68 mm3 = 33,58 cm3

b) Auflagefläche der Kugelscheibe: AM = π⋅ d⋅h = π⋅ 2⋅r ⋅h = π⋅ 2⋅32 mm ⋅10 mm = 2010,619 mm2 AM = 20,11cm2

11.3.8

Berechnen Sie für eine beidseitig abgefräste Hohlkugel das Volumen a) allgemein, b) für d1 = 500 mm, d2 = 540 mm, b = 400 mm.

Das Volumen ergibt sich aus der Differenz der äußeren und der inneren Hohlraum-Kugelschicht. a) V1 =

2⎞ π⋅b⎛ 2+ 2+ b ⎟ ⎜ 3r 3r 2 3 6 ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠

Mit r32 = r22 − V1 =

b2 wird 4

π⋅b⎛ b2 b2 ⎞ ⎜ ⎟ + 3r22 + 3r22 − 3⋅ ⎜ 6 ⎝ 4 4 ⎟ ⎠ V1 =

b 2

π⋅b⎛ b2 ⎞ ⎜ ⎟ 6r22 − ⎜ 6 ⎝ 2 ⎟ ⎠

r3 r2

172


V2 =

π⋅b⎛ 2 b2 ⎞ ⎜ ⎟ 3r1 + 3r42 + ⎜ 6 ⎝ 4 ⎟ ⎠

Mit r42 = r12 − V2 =

b2 wird 4

π⋅b⎛ 2 b2 b2 ⎞ 2 ⎜ ⎟ + − ⋅ + 3r 3r 3 1 1 6 ⎜ 4 4 ⎟ ⎝ ⎠

π⋅b⎛ 2 b2 ⎞ ⎜ 6r1 − ⎟ V2 = 6 ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠

r4 r1

Das Volumen ist damit V = (V1 − V2 ) =

b2 ⎞ π⋅b⎛ 2 b2 ⎜ 6r2 − − 6r12 + ⎟ ⎜ 6 ⎝ 2 2⎟ ⎠

V = π⋅b ⋅(r22 − r12 )

b) V = π⋅ 4dm⋅((2,7 dm)2 − (2,5 dm)2 ) = 13,069 dm3

11.3.9

Ein Windkessel hat die Form eines Zylinders mit aufgesetzten Kugelsegmenten. Bestimmen Sie a) das Volumen b) die Oberfläche

a) V = VZylinder + 2⋅ VKugelabschnitt V=

b 2

⎛ s2 π⋅ d2 h2 ⎞ ⎟ ⋅l + 2⋅π⋅h⋅⎜ + ⎜ 8 4 6 ⎟ ⎝ ⎠

2⎞ ⎛ ⎛ l⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ r − 2r − l ⎜ d2 ⎝ π⋅ d2 2⎠ ⎟ V= ⋅l + 2⋅π⋅ ⋅ + ⎟ 4 2 ⎜ 8 6 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 ⎛ l⎞ π⋅⎜r − ⎟ π⋅ d π⋅r ⋅ d π⋅l⋅d ⎝ 2⎠ V= ⋅l + − − 4 4 8 3 2

2

2

11.3 Kugelförmige Behälter

V=

173

3 π⋅ d2 ⋅l π⋅r ⋅ d2 π ⎛ l⎞ + − ⋅⎜r − ⎟ 8 4 3 ⎝ 2⎠

⎛ l⎞ b) A o = π⋅ d⋅l + 2⋅π⋅ d⋅h = π⋅ d⋅l + 2⋅π⋅ 2r ⋅⎜r − ⎟ ⎝ 2⎠ A o = π⋅ d⋅l + 4 ⋅π⋅r 2 − 2 π⋅r ⋅l

11.3.10 Eine Kugel vom Durchmesser d wird bis zur Mitte eingefräst. Berechnen Sie das Restvolumen.

VKugelschicht =

π⋅b⎛ 3 2 3 2 1 2 ⎞ ⎜ ⋅ d + ⋅h + ⋅b ⎟ 6 ⎝4 4 4 ⎠

d

h

1 V = VKugel − ⋅ VKugelschicht 2 b 2 π⋅ ⎛ ⎛ d ⎞2 ⎛ h ⎞2 ⎛ b ⎞2 ⎞ 2 ⎜3 ⋅ ⎟ VKugelschicht = 3 + ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 6 ⎜ 2 2 2 ⎝ ⎠

b

(1)

Nach Pythagoras gilt: d2 = b2 + h2 oder h2 = d2 − b2 (2)

(2) in (1): V2 = = V=

⎞ π⋅b 1 π⋅b⎛ 3 2 3 6⋅d2 − 2⋅b2 = ⎜ ⋅ d + ⋅(d2 − b2 ) + ⋅b2 ⎟= 6 ⎝4 4 4 ⎠ 24

(

π⋅b 3⋅d2 − b2 12

(

)

(3)

πd3 1 π⋅b π − ⋅ 3 ⋅ d2 − b2 = 4d3 − 3bd2 + b3 6 2 12 24

(

)

)

(

)

174

C Differentialrechnung

12 Funktionen und Relationen 12.1 Ganzrationale Funktionen 12.1.1

a) In welchen Punkten schneidet die Gerade g mit der Funktionsgleichung 1 g(x) =− x − 2,5 2 1 die Parabel K f mit f(x) =− (x − 1)(x − 2) ? 2 b) Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabel. c) Berechnen Sie die Nullstellen der Parabel.

a) Bedingung für die Schnittstellen:

f(x) = g(x)

1 1 − (x − 1)(x − 2) =− x − 2,5 2 2 1 2 1 5 − (x − 3x + 2) =− x − ⋅(−2) 2 2 2 x 2 − 4x − 3 = 0 x1/ 2 = 1± 1+ 3 = 1± 2

Die Schnittstellen sind somit:

x1 =−1 ∨ x 2 = 3

Berechnung der Funktionswerte mit f(x) oder g(x): g(–1) = –2 und g(3) = −4 Schnittpunkte:

S1(−1; − 2) und S2 (3 ; − 4)

b) Die Scheitelkoordinaten erhalten wir aus der Scheitelform der Parabelgleichung. 1 f(x) =− (x − 1)(x − 2) 2 1 f(x) =− (x2 − 3x + 2) 2 1 f(x) =− (x 2 − 3x + ...) − 1 2

Ergänzung zu einem vollständigen Binom (= „quadratische Ergänzung“): 1 f(x) =− (x 2 − 3x +1,52) – 1 – (–0,5⋅1,52) 2 H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_12, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

12.1 Ganzrationale Funktionen

175 1 f(x) =− (x 2 − 3x + 1,52 ) + 0,125 2 1 f(x) =− (x − 1,5)2 + 0,125 („Scheitelgleichung“) 2

Scheitelkoordinaten:

S (1,5 ; 0,125)

Der Scheitel kann auch mit Hilfe der Differentialrechnung berechnet werden. Dazu bilden wir die 1. Ableitung und erhalten f ′(x) =− x + 1,5 . Am Scheitel ist f ′(x) = 0 : − x + 1,5 = 0 ; x = 1,5 ; f(1,5) = c) Nullstellenberechnung:

f(x) = 0:

1 = 0,125 ; S(1,5 ; 0,125) 8

1 − (x − 1)(x − 2) = 0 2 x1 = 1 ∨ x 2 = 2

Nullstellen:

12.1.2

N1 (1; 0) , N2 (2 ; 0)

Prüfen Sie nach, ob sich die beiden Parabeln mit den Funktionsgleichungen 1 f(x) =− x2 − 4x + 3 und g(x) =−x 2 − 2x + 1 2 schneiden, oder ob sie sich nur berühren. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Berührpunktes oder der Schnittpunkte.

Wir gehen zunächst davon aus, dass sich die Funktionsgraphen schneiden. An den Schnittstellen ist f(x) = g(x). 1 − x2 − 4x + 3 =− x 2 − 2x + 1 2 1 2 x − 2x + 2 = 0 2 x 2 − 4x + 4 = 0 x1/ 2 = 2 ± 4 − 4 = 2 (= doppelte Schnittstelle, d. h. Berührstelle) f(2) =−7

Berührpunkt: B (2 ; – 7) Wir erkennen aus diesem Beispiel, dass die gegenseitige Lage der Funktionsgraphen aus der Diskriminante D der quadratischen Gleichung abzulesen ist. Wir erhalten die drei Fälle: 1. D > 0: die Parabeln schneiden sich (2 reelle Schnittpunkte) 2. D = 0: die Parabeln berühren sich (1 doppelter Schnittpunkt) 3. D < 0: die Parabeln schneiden sich nicht (kein Schnittpunkt)

176

12.1.3

12 Funktionen und Relationen

Bilden Sie von den Parabelgleichungen 1 1 b) y =− x 2 − 3x + 5 c) y =− x 2 + 3x a) y = x 2 − 4x + 3 2 3 die Scheitelform und bestimmen Sie die Extrema (= Koordinaten des Scheitels) Berechnen Sie die Nullstellen.

Anmerkung: Extremwertaufgaben, die auf Funktionen 2. Grades führen, können mit der Scheitelgleichung gelöst werden. Üblicherweise löst man diese Aufgaben sonst mit Hilfe der Differentialrechnung.

a) Ausgangsgleichung:

y = x 2 − 4x + 3 y = (x 2 − 4x + ...) + 3

Quadratische Ergänzung:

y = (x 2 − 4x + 22) + 3 – 22 y = (x 2 − 4x + 4) − 1

Scheitelgleichung:

y = (x − 2)2 − 1


S (2 ; – 1)

Nullstellen: y = 0:

x 2 − 4x + 3 = 0 x1/ 2 = 2 ± 4 − 3 = 2 ± 1

Nullstellen: b) Ausgangsgleichung:


Scheitelgleichung: Scheitelkoordinaten: Nullstellenberechnung: y = 0:

N1 (1; 0) ;

N2 (3 ; 0)

1 y =− x 2 − 3x + 5 2 1 2 y =− (x + 6x + ...) + 5 2 1 y =− (x 2 + 6x + 32) + 5 – (– 0,5)32 2 1 y =− (x 2 + 6x + 9) + 9,5 2 1 y =− (x + 3)2 + 9,5 2 S (– 3 ; 9,5) 1 − x 2 − 3x + 5 = 0 ; x 2 + 6x − 10 = 0 2 x1/ 2 =− 3 ± 9 + 10 =− 3 ± 19

Nullstellen:

N1 (−7,36 ; 0) ; N2 (1,36 ; 0)

c) Ausgangsgleichung:

1 y =− x2 + 3x 3



Scheitelgleichung: Scheitelkoordinaten: Nullstellenberechnung: y = 0: Nullstellen:

12.1.4

177 1 y =− (x 2 − 9x + ...) 3 ⎛ 1⎞ 1 y =− (x 2 − 9x + 4,52) – ⎜− ⎟⋅ 4,52 ⎝ 3⎠ 3 1⎛ 81⎞ 27 y =− ⎜ x 2 − 9x + ⎟+ 3⎝ 4⎠ 4 1 y =− (x − 4,5)2 + 6,75 3 S (4,5 ; 6,75) ⎛ 1 ⎞ x ⋅⎜− x + 3⎟= 0 ⎝ 3 ⎠ N1 (0 ; 0) ; N2 (9 ; 0)

Die Oberfläche einer rotierenden Flüssigkeit nimmt in einer Zentrifuge die Oberfläche eines Rotationsparaboloids an. Ein ebener Schnitt durch die Zylinderachse ergibt als Schnittfigur eine Parabel mit der Gleichung y − yo =

ω2 ⋅ x 2 2g

(g = Fallbeschleunigung)

Wie groß ist yo, d. h. wie weit senkt sich die Flüssigkeit in der Zylinderachse nach unten ab, wenn bei einer Drehzahl von n = 750 min–1 die Flüssigkeit gerade den oberen Gefäßrand erreicht ? Die Winkelgeschwindigkeit ist ω = 2 π⋅n =

2 π⋅750 1 = 78,54 . 60 s s

Setzt man die gegebenen Größen in die Gleichung ein, so erhält man die Gleichung 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 π⋅ 750 ω2 2 ⎝ 60s ⎠ y= ⋅ x + yo = ⋅ x 2 + yo m 2g 2⋅9,81 2 s Punktprobe für A (0,01 ; 0,04): 2 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 π⋅750 ⎟ ⎝ 60s ⎠ 0,040 m = ⋅(0,010 m)2 + y o m 2⋅9,81 2 s y o = 0,00856 m = 8,56 mm

178


12.1.5

Ein Speerwerfer wirft einen Speer unter einem Winkel von 35° zur Waagerechten ab. a) Geben Sie die Gleichung der Wurfparabel an. b) Berechnen Sie den Kulminationspunkt (= Scheitel). c) Welche Wurfweite kann bei einer Abwurfgeschwindigkeit von v o = 30

m s

erreicht werden ?

a) Für die Wurfparabel beim schiefen Wurf gilt die Gleichung y=

v y0 v x0

⋅x −

g 2v 2x0

⋅ x2

dabei sind vx0 = v0 cos α und vy0 = v0 sin α die Geschwindigkeitskomponenten in waagerechter und senkrechter Richtung. Damit lässt sich die Funktionsgleichung auch schreiben: g y = (tan α)⋅ x − ⋅ x2 2 2⋅ v o ⋅cos2 α Mit den gegebenen Größen erhält man die Funktionsgleichung y = 0,7 x − 0,008122⋅ x 2

b) Zur Bestimmung der Scheitelkoordinaten wird die Funktionsgleichung durch quadratische Ergänzung in die Scheitelform gebracht und der Scheitel bestimmt.

y =−

g 2⋅ v o

2 ⋅cos2

α

⋅ x 2 + (tan α)⋅ x

y =−

⎛ ⎞ (tan α)⋅ 2⋅ v o2 ⋅cos2 α ⎜ x2 − ⎟ ⋅ ⋅ x + ... ⎜ ⎟ g 2⋅ v o2 ⋅cos2 α ⎝ ⎠

y =−

2 ⎛ ⎞ 2 − 2⋅(sin α)⋅(cos α)⋅ v o ⋅ x + ...⎟ ⎜ ⋅ x ⎜ ⎟ g 2⋅ v o2 ⋅cos2 α ⎝ ⎠

g g

2 ⎛ (sin α)⋅(cos α)⋅ v o2 ⎞ v o2 ⋅ sin2 α ⎜ ⎟ ⋅ − + y =− x ⎜ ⎟ g 2⋅ g 2⋅ v o2 ⋅ cos2 α ⎝ ⎠

g


⎛v 2 ⎞ v o2 o 2 S⎜ ⎜ g ⋅ sin α⋅cos α ; 2⋅ g ⋅ sin α⎟ ⎟ ⎝ ⎠ S ( 43,105 m ; 15,09 m)


179

c) maximale Wurfweite = doppelte Abszisse des Scheitels s = 2⋅43,105 m = 86,21 m Lösung mit Hilfe der Differentialrechnung: y′ =−

12.1.6

g v o2 ⋅cos2 α

⋅ x + tan α ; y′= 0 : x =

v o2 ⋅ sin α⋅cos α ; g

y=

v o2 ⋅ sin2 α 2⋅ g

Eine Parabel soll durch die Punkte A (–2 ; 1), B(1 ; 2) und C(4 ; –1) gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung:

y = ax 2 + bx + c

Bedingungen:

A(−2 ; 1) :

f(−2) = 1:

4a – 2b + c = 1

(1)

B(1; 2) :

f(1) = 2 :

a+b +c=2

(2)

B(4 ; −1) :

f(4) =−1:

16a + 4b + c = –1

(3)

Auswertung der Bedingungen: (1) – (2): (3) – (1): 1 ⋅(5) + (4): 2 2 a =− 9

(6) in (4): (6) und (7) in (2):

12.1.7

(4) (5)

9a = –2 (6) 1 9 19 c= 9

b=

(7)

2 1 19 y =− x 2 + x + 9 9 9

Ein parabelförmiges Gewölbe ist 8 m breit und hat in der Mitte eine Höhe von 5,60 m. Sind in diesem Fall noch 2 Fahrbahnen mit je 3 m Breite und einer Mindesthöhe von 2,40 m möglich ?

5,60 m

Funktionsgleichung:

3a – 3b = –1 12a + 6b = –2

3m 8m

Die Gleichung dieser Parabel hat die allgemeine Form: Punktprobe mit S(0 ; 5,6):

b = 5,6

y = a⋅ x2 + b

x

180


Punktprobe mit A(4 ; 0):

0 = 16a + 5,6 ; a =−

7 20

7 ⋅ x 2 + 5,6 20 Bei x = 3 m erhalten wir rechnerisch eine Höhe von y = 2,45 m

Gleichung der Parabel:

y =−

Ergebnis: Zwei Fahrbahnen mit je 3 m Breite und 2,40 m sind möglich.

12.1.8

Ein zweiseitig aufgelagerter Biegeträger wird durch eine Streckenlast q und eine Punktlast F belastet.

F B

A

Berechnen Sie den Verlauf der Momentenlinie.

a

b l

Wir machen zunächst den Träger frei und berechnen die Auflagerreaktionen: Aus den Gleichgewichtsbedingungen (Momentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht) erhalten wir: F q·l l (1) ∑MB = 0 : F⋅b + q⋅l⋅ 2 − FA ⋅l = 0 FB FA a b (2) ∑Fy = 0 : FA + FB − F − q⋅l = 0 Aus (1): (3) in (2):

b l FA = F⋅ + q⋅ l 2

(3)

⎛ b ⎛ l⎞ b⎞ l FB = F + q⋅l −⎜F ⋅ + q⋅ ⎟= F⋅⎜1 − ⎟+ q⋅ ⎝ ⎝ l 2⎠ l⎠ 2

Bestimmung der Schnittgrößen: Dazu schneiden wir den Biegeträger an der beliebigen Stelle x vor dem Auflager B und tragen an der Schnittstelle die zu Herstellung des Gleichgewichts erforderlichen Schnittgrößen M und Fq ein.

q·x

M FA

Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich:

∑Fy = 0 :

FA − F − q⋅ x − Fq = 0

∑MSchnittstelle = 0 :

F

x M − FA ⋅ x + q⋅ x ⋅ + F⋅(x − a) = 0 2

x M = FA ⋅ x − q⋅ x ⋅ − F⋅(x − a) = 0 2

Mit Gl. (3) ergibt sich als Verlauf der Momentenlinie: ⎛ b l⎞ q M(x) =⎜F ⋅ − F + q⋅ ⎟⋅ x − ⋅ x 2 + F ⋅ a 2⎠ 2 ⎝ l

x–a x

Fq


12.1.9

181

Eine ganzrationale Funktion 3. Grades hat die Funktionsgleichung 1 11 f(x) = x3 − 3x 2 + x + 7 . 3 3 Berechnen Sie die Nullstellen. Welche Funktionswerte ergeben sich für x = 3 + a und für x = 3 – a (a > 0) ? Welche Eigenschaft bezüglich des Funktionsverlaufs ergibt sich daraus ?

Nullstellen: f(x) = 0:

1 3 11 x − 3x 2 + x + 7 = 0 3 3 x3 − 9x2 + 11x + 21= 0

HORNER-Schema 1

−9 −1

1

−10

u1 =−1

11 21 10 −21 21 0

x 2 − 10x + 21= 0 x1/ 2 = 5 ± 25 − 21 = 5 ± 2 ; N1 (−1; 0) ; N2 (3 ; 0) ;

Nullstellen:

x 2 = 3 ∨ x3 = 7

N3 (7 ; 0)

Wir berechnen zunächst zwei beliebige Funktionswerte z.B. für a = 2: f(1) =

1 11 −3+ +7=8 3 3

f(5) =

125 55 − 75 + + 7 =− 8 3 3

Daraus ergibt sich, dass f(3 – 2) = – f(3 + 2) ist. Damit liegt die Vermutung nahe, dass allgemein f(3 – a) = – f(3 + a) ist und dass eine Punktsymmetrie zum Punkt N2 (3 ; 0) vorliegt. Verschiebt man den Funktionsgraphen auf der x-Achse um 3 Einheiten nach links, so ergibt sich folgende Funktionsgleichung: f(x) =

1 11 (x + 3)3 − 3(x + 3)2 + (x + 3) + 7 3 3

f(x) =

1 3 16 x − x 3 3

(Punktsymmetrie zum Ursprung, da f(x) = – f(–x))

Ergebnis: Der Graph von f(x) = Punkt N2 (3 ; 0) .

1 3 11 x − 3x 2 + x + 7 ist punktsymmetrisch zum 3 3

182


12.1.10 Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Funktionsgleichung 1 4 x − 2x 2 + 6 . 8 Berechnen Sie die Nullstellen. Welche Funktionswerte ergeben sich für x = a und für x = – a (a > 0) ? Welche Eigenschaft bezüglich des Funktionsverlaufs ergibt sich daraus ? f(x) =


1 4 x − 2x 2 + 6 = 0 8 x 4 − 16x 2 + 48 = 0

Diese Gleichung bezeichnet man als biquadratische Gleichung. Biquadratische Gleichungen lösen wir mit Hilfe der Substitution. Denkt man sich x2 durch x2 = u ersetzt, so haben wir es mit einer quadratischen Gleichung mit der Variablen u zu tun: u2 − 16u + 48 = 0

Diese kann mit der Lösungsformel gelöst werden. Wir erhalten u1/ 2 = 8 ± 64 − 48 = 8 ± 4

Aus der Rücksubstitution von u2 = 4 und u1 = 12 erhalten wir die Lösungen: u2 = x 2 = 4 → x3 / 4 =± 2 u1 = x 2 = 12 → x1/ 2 =± 12

Als Nullstellen erhalten wir N1 (− 12 ; 0 ) , N2 (−2 ; 0) , N3 (2 ; 0) , N3 ( 12 ; 0 ) Untersuchung des Symmetrieverhaltens: 1 f(a) = a 4 − 2a2 + 6 Funktionswerte für x = a : 8 1 1 für x = – a: f(−a) = (−a)4 − 2(−a)2 + 6 = a4 − 2a2 + 6 8 8 Die Berechnung der Funktionswerte zeigt, dass f(a) = f(– a) ist, d. h. der Funktionsgraph verläuft achsensymmetrisch zur y-Achse. Wir erkennen dies auch daran, dass die Funktionsgleichung nur x-Terme mit geraden Hochzahlen hat.

12.1.11 Eine ganzrationale Funktion 4. Grades hat die Funktionsgleichung 1 f(x) =− x 4 + 2x 2 + 3,5 . 4 Berechnen Sie die Nullstellen. In welchem Punkt schneidet der Funktionsgraph die y-Achse ?

12.2 Gebrochenrationale Funktionen

183

1 Nullstellen: f(x) = 0: − x 4 + 2x 2 + 3,5 = 0 4 x 4 − 8x 2 − 14 = 0

(x 2 )1/ 2 = 4 ± 16 + 14 = 4 ± 30 (x 2 )1 = 4 + 30 = 9,477 → x1/ 2 =± 4 + 30 =± 3,0785 (x 2 )2 = 4 − 30 =−1,477 (keine reellen Lösungen)

Wir erhalten die Nullstellen N1(3,08 ; 0) und N2 (−3,08 ; 0) . Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: f(0) = 3,5

, S y (0 ; 3,5)

12.2 Gebrochenrationale Funktionen 12.2.1

a) In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) =

x 3 − 2x 2 − x 2x − 8

die x-Achse ? b) Berechnen Sie die Polstelle. a) Nullstellen: f(x) = 0: x3 − 2x 2 − x =0; 2x − 8

x(x 2 − 2x − 1) = 0 ;

Nullstellen: N1(0 ; 0) ;

x1 = 0 ; x 2 / 3 = 1± 1+ 1 = 1± 2

N3 (−0,41; 0)

N2 (2,41; 0) ;

b) Polstellen sind Nennernullstellen, die nicht gleichzeitig Zählernullstellen sind. Nullsetzen des Nenners:

2x – 8 = 0 x=4

Polstelle:

12.2.2

x=4

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) =

x 3 − 8x 2 − x

x2 − 9 Berechnen Sie die Nullstellen, die Polstellen und Asymptoten.

Nullstellen: f(x) = 0: x 3 − 8x 2 − x = 0 ;

x ⋅(x 2 − 8x − 1) = 0 ; x1 = 0 ;

x 2 / 3 = 4 ± 16 + 1 = 4 ± 17

184


Nullstellen: N1(0 ; 0) ; N2 (−0,12 ; 0) ; N3 (8,12 ; 0) Polstellen ( = Nennernullstellen): x 2 = 9 ;

x1 = – 3 ; x2 = 3

Polynomdivision: (x 3 − 8x 2 − x) : (x 2 − 9) = x − 8 + 8x − 72 x2 − 9 x3 − 9x

− 8x 2 + 8x − 8x 2

+ 72 8x − 72

Asymptote (= schiefe Asymptote): y = x – 8 f(x)

1 1

–3 –1

–8

2

3

4

5

6

7

x

12.3 Exponentialfunktionen

185

12.3 Exponentialfunktionen 12.3.1

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung 1 f(x) = e x − 3 2 die Koordinaten-Achsen ?


1 x e −3=0 ; 2

ex = 6 ln e x = ln 6

x ⋅ln e = ln 6 = 1,79 N 1

Nullstelle:

N (1,79 ; 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse: Achsenschnittpunkt:

12.3.2

x = 0: f(0) =

1 0 e − 3 =− 2,5 2N 1

S y (0 ; − 2,5)

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2x − 5

die Koordinaten-Achsen ? Nullstellen: f(x) = 0:

2x − 5 = 0 2x = 5 x ⋅ln 2 = ln 5 ln 5 = 2,32 ln 2 N (2,32 ; 0) x=

Nullstelle: Achsenschnittpunkt:

12.3.3

x = 0: f(0) = 20 − 5 =− 4 ; S y (0 ; − 4)

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) =− e−2x − e2x + 4 die Koordinaten-Achsen ?


− e−2x − e2x + 4 = 0

−

1 e

2x

− e2x + 4 = 0

Diese Gleichung multiplizieren wir mit dem Nenner e2x und erhalten

186

12 Funktionen und Relationen −1− (e2x )2 + 4 ⋅ e2x = 0 (e2x )2 − 4 ⋅ e2x + 1 = 0

Diese Gleichung fassen wir als quadratische Gleichung auf mit der Variablen e2x und lösen sie mit der Lösungsformel: (e2x )1/ 2 = 2 ± 4 − 1 = 2 ± 3 (e2x )1 = 2 + 3 = 3,732 → e x =± 1,93185 (e2x )2 = 2 − 3 = 0,2679 → e x =± 0,5176

Da e x nicht negativ werden kann, scheiden die negativen Werte aus. Wir erhalten durch Logarithmieren: ln e x = x ⋅ln e = ln 1,93185 → x1 = 0,65848 N 1

x

ln e = x ⋅ln e = ln 0,5176 → x1 =− 0,65855 N 1

N1 (0,658 ; 0) , N2 (−0,658 ; 0)

Nullstellen:

f(0) =− e0 − e0 + 4 = 2

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: Achsenschnittpunkt:

12.3.4

S y (0 ; 2)

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen von Kf und Kg mit den Funktionsgleichungen f(x) = e x − 8 und g(x) = 2 − 16 ⋅ e−x ?

Schnittpunktbedingung:

f(x) = g(x) ex

− 8 = 2 − 16 ⋅ e−x

(e x ) − 10 + 16x = 0 e

(e x )2

− 10 ⋅ e x

+ 16 = 0

(e x )1/ 2 = 5 ± 25 − 16 = 5 ± 3 (e x )1 = 5 + 3 = 8 ;

(e x )2 = 5 − 3 = 2

ln e x = x ⋅ln e = ln 8 → x1 = 2,0794 N 1

x

ln e = x ⋅ln e = ln 2 → x 2 = 0,6931 N 1

ln 8

ln 2 f(ln 8) = e N − 8 = 0 ; f(ln 2) = e N − 8 =− 6 8

2

Schnittpunkte: S1 (ln 8 ; 0) ; S2 (ln 2 ; − 6) oder S1 (2,08 ; 0) ; S2 (0,69 ; − 6)

12.4 Trigonometrische Funktionen

187

12.4 Trigonometrische Funktionen 12.4.1

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) =− 2 sin x − 2

die Koordinaten-Achsen ? Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: f(0) =− 2⋅ sin 0 − 2 =− 2 ; S y (0 ; − 2 ) N 0

−2sin x − 2 = 0


In diesem Fall haben wir es mit einer goniometrischen Gleichung zu tun, die zu lösen ist. Wir formen dazu die Gleichung so um, dass die Winkelfunktion isoliert wird. −2 sin x = 2

2 1 =− =− 0,7071 2 2

sin x =−

Da es sich um eine periodische Funktion handelt, gibt es innerhalb der Periode meist mehrere x-Werte, für die die Gleichung erfüllt ist. Diese erhalten wir aus dem Schaubild der Grundfunktion oder mit Hilfe des Einheitskreises. y 1 p

2

4

5

x

– 22

1

2p

– 22

x2 = –0,7854 x1

x1 = 3,927

x2 = 5,4978

x2 = 5,4978

x 2 =− 0,7854 = 5,4978 ; x1 = 3,927 Nullstellen: N1(3,93 ; 0) ; N2 (5,498 ; 0) f(x) 1 p

1

– 2

2

3

2p 4

5

6

x

188


12.4.2

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2⋅cos x ⋅(sin x − 0,5) die Koordinaten-Achsen ? ⎛ 1⎞ f(0) = 2 ⋅ cos 0 ⋅ sin 0 − =−1 ⎜ N ⎜N 2 ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 0 1

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: Achsenschnittpunkt: S y (0 ; −1)

x1

Nullstellen: f(x) = 0: 2⋅cos x ⋅(sin x − 0,5) = 0 cos x = 0 :

x1 =

π 3π = 1,57 ; x 2 = = 4,71 2 2

1 : 2

x3 =

π 5π = 0,524 ; x 4 = = 2,618 6 6

sin x =

x2

x2

p

x1

1

2

3

2p 4

5

6

x1

1 1 2

0,5

y

x

x2

Nullstellen: N1(1,57 ; 0) ; N2 (4,71; 0) ; N3 (0,52 ; 0) ; N4 (2,62 ; 0) Graph: y f(x) = 2 · cos x · (sin x – 0,5) 1

1

2

3

4

5

6

7

x

–1

12.4.3

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = cos2 x + 2⋅ sin x + 2

die Koordinaten-Achsen ?


189

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0:

2 f(0) = cos 0 + 2⋅ sin Nx + 2 = 3 1

0

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: S y (0 ; 3)


2 cos x + 2⋅ sin x + 2 = 0

1− sin2 x

1 − sin2 x + 2⋅ sin x + 2 = 0 ; sin2 x − 2⋅ sin x − 3 = 0 (sin x)1/ 2 = 1± 1+ 3 = 1± 2

sin x = 3 (unbrauchbar, da sin x ≤ 1) sin x =−1 : x =

3π = 4,7124 2

Nullstelle innerhalb der Periode:

N1(4,71; 0)

12.4.4

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 − 6 ⋅cos2 x − 2⋅ cos x ⋅ tan x

die Koordinaten-Achsen ? Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0:

2 f(0) = 2 − 6 ⋅cos 0 ⋅ tan 0 =− 4 0 − 2⋅cos N N 1

0

1

Achsenschnittpunkt mit der y-Achse: S y (0 ; − 4)


2 − 6 ⋅cos2 x − 2⋅cos x ⋅ tan x = 0 1− 3 ⋅cos2 x − cos x ⋅

sin x =0 cos x

1− 3 ⋅cos2 x − sin x = 0 1− 3 ⋅(1− sin2 x) − sin x = 0 1 2 sin x − = 0 3 3 1 1 2 1 5 (sin x)1/ 2 = ± + = ± 6 36 3 6 6 π sin x = 1 ; x1 = = 1,57 2 sin2 x −

2 ; x 2 =− 0,7297 = 2 π − 0,7297 = 5,55 3

x1

1

sin x =−

Nullstellen: N1(1,57 ; 0) , N2 (5,55 ; 0) , N3 (3,87 ; 0)

– 32

x 3 = π+ 0,7297 = 3,87 x2

x3

190


12.4.5

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen der Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) =− 2 sin x + 1 und der Funktion g mit der Funktionsgleichung g(x) = 2cos x . −2 sin x + 1= 2 cos x

f(x) = g(x):

1− 2 sin x = 2⋅ 1− sin2 x 2

(1− 2 sin x)2 = ( 2⋅ 1− sin2 x )

1− 4 sin x + 4 sin2 x = 4⋅(1− sin2 x) 1− 4 sin x + 4 sin2 x = 4 − 4 sin2 x 8 sin2 x − 4 sin x − 3 = 0

sin2 x − 1 sin x − 3 = 0 2 8 (sin x)1/ 2 = 1 ± 1 + 3 = 1 ± 7 4 16 8 4 16 (sin x)1 = 1 + 7 = 0,9114 ; 4 16

x1 = 1,1468

x2

x1

→ Probe: −0,823 = 0,823 (f)

x 2 = π − x1 = 1,9948 → Probe: −0,823 =− 0,823 (w) (sin x)2 = 1 − 7 =− 0,4114; x 3 =− 0,4114 = 5,8592 → Probe: 1,823 = 1,823 (w) 4 16 x 4 = 3,5656 → Probe: 0,1771=−1,8229 (f)

Schnittpunkte: S1 (1,99 ; − 0,82) ; S2 (5,86 ; 1,82)

12.4.6

In welchen Punkten schneidet die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2⋅cos x − 1 ; x ∈ [−π ; 2 π ]

die Koordinaten-Achsen ? Geben Sie den Wertebereich von f an. Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: Nullstellen: f(x) = 0:

f(0) = 1; S y (0 ; 1)

2⋅cos x − 1 = 0 1 2 x1 = 1,047 cos x =

x 2 =−1,047 = 2 π −1,047 = 5,236 ;

Nullstellen: N1 (−1,047; 0) , N2 (5,236 ; 0) Wertebereich: Da −1≥ cos x ≤ 1, liegen die y-Werte zwischen 1 und – 3. Damit ist der Wertebereich W = [−3 ; 1] .

191

13 Differentiation elementarer Funktionen Hinweis: Lehrbuch Kap. 31 Differentiation elementarer Funktionen Kap. 31.4 Ableitung elementarer Funktionen (Übersicht)

Spezielle Ableitungsregeln f(x) = xn

f ′(x) = n⋅ xn−1

f(x) = sin x

f ′(x) = cos x

f(x) = cos x

f ′(x) =− sin x

f(x) = tan x

= 1+ tan2 x cos2 x 1 f ′(x) =− 2 =−1 − cot 2 x sin x

f(x) = cot x

1

f ′(x) =

f(x) = e x

f ′(x) = ex

f(x) = a x

f ′(x) = (ln a)⋅ a x

f(x) = ln x

f ′(x) =

1 x

f(x) = loga x

f ′(x) =

1 1 ⋅ ln a x

13.1 Nullstellen und Extremstellen ganzrationaler Funktionen 13.1.1

Der Graph K f einer ganzrationalen Funktion f mit 1 f(x) =− (x − 5)(x − 2)(x 2 − 2x − 3) 5 verläuft teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse. An welchen Stellen ist f(x) > 0? Welche Steigung hat der Funktionsgraph in den Nullstellen?

An den Stellen, an denen der Funktionsgraph Kf die x-Achse überschreitet, wechselt der Funktionswert f(x) das Vorzeichen. Oberhalb der x-Achse ist f(x) > 0, unterhalb der x-Achse ist f(x) < 0, in den Nullstellen ist der Funktionswert f(x) = 0. Durch Nullsetzen von f(x) erhält man: 1 f(x) = 0: − (x 2 − 2x − 3)(x − 5)(x − 2) = 0 5 H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_13, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

192

13 Differentiation elementarer Funktionen

Diese Gleichung lösen wir nach dem Satz vom Nullprodukt, indem wir die Linearfaktoren Null setzen. Wir erhalten x 2 − 2x − 3 = 0 ; x1/ 2 = 1± 1+ 3 ; x1 =−1 ; x 2 = 3 x3 = 2 ; x 4 = 5 . Da der Funktionswert an allen 4 Stellen f(x) = 0 ist, erhalten wir als Nullstellen folgende Punkte: N1( −1; 0) , N2 ( 2; 0) , N3 ( 3; 0) , N4 ( 5; 0)

In den Intervallen x ∈ [−1; 2

]

und x ∈ [3 ; 5] ist f(x) > 0.

Die Steigung erhalten wir mit der 1. Ableitung: 1 f(x) =− (x − 5)(x − 2)(x 2 − 2x − 3) 5 Um die Ableitung einfacher durchführen zu können, multiplizieren wir die Funktionsgleichung aus und erhalten: 1 f(x) =− (x 2 − 7x +10x)(x 2 − 2x − 3) 5 1 f(x) =− (x 4 − 9x 3 + 21x 2 + x − 30 ) 5 1 f ′(x) =− (4x3 − 27x 2 + 42x + 1 ) 5 In den Nullstellen ergeben sich somit folgende Steigungen: f ′(−1) = 14,4 , f ′(2) =−1,8 , f ′(3) = 1,6 , f ′(5) =− 7,2

13.1.2

Kf ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f mit 1 f(x) =− (4x3 − 27x 2 + 42x + 1 ) 3 Berechnen Sie die Extrempunkte. Mit welcher Steigung und mit welchem Steigungswinkel schneidet Kf die y-Achse?

Ableitungen:

f ′(x) =− 4x 2 + 18x −14 f ′′(x) =− 8x + 18

Extrema: f ′(x) = 0 : − 4x 2 + 18x −14 = 0 ; x 2 − x1/ 2 = x1 = 1 ; f(1) = –6,67;

9 7 x+ = 0 2 2

9 81 7 9 5 ± − = ± 4 16 2 4 4

f ′′(x1 ) = 10 > 0 , d. h. Tiefpunkt, E1 (1; − 6,67)

x 2 = 3,5 ; f(3,5) = 3,75; f ′′(x 2 ) =−10 < 0 , d. h. Hochpunkt, E2 (3,5; 3,75)

Steigung an der y-Achse:

f ′(0) =−14 tan α =−14 ;

Steigungswinkel:

α =− 85,91° = 175,91°

13.2 Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen

13.2 Nullstellen und Extremstellen von Exponentialfunktionen 13.2.1

An welchen Stellen schneidet der Funktionsgraph Kf der Funktion f mit 2 f(x) = 4 + x − ⋅ e x die y-Achse? 5 An welcher Stelle hat Kf ein Extremum?

2 0 18 = = 3,6 Schnittpunkt mit der y –Achse: x = 0: f(0) = 4 − ⋅ e 5 N 5 1 Achsenschnittpunkt:

S y (0 ; 3,6)

2 Nullstellen: f(x) = 0 : 4 + x − ⋅ e x = 0 5 Diese Gleichung kann nur noch näherungsweise gelöst werden. Vgl. auch Kapitel 16 (Newton’sches Näherungsverfahren) ! Als Näherungen erhalten wir folgende Nullstellen N1 (−4; 0) und N2 (2,84; 0)

Ableitungen:

2 f ′(x) = 1 − ⋅ e x 5 2 f ′′(x) =− ⋅ e x 5

Extremum:

2 f ′(x) = 0 : 1− ⋅ e x = 0 ; e x = 2,5 5

x = ln 2,5 = 0,916 2 f(ln 2,5) = 4 + ln 2,5 − ⋅ 2,5 = 3 + ln 2,5 = 3,916 5 2 f ′′(ln 2,5) =− ⋅ eln 2,5 =− 1 < 0 , d. h. Hochpunkt 5

Extrempunkt (Hochpunkt):

E(0,92 ; 3,92)

193

194

14 Allgemeine Ableitungsregeln 14.1 Produktregel f(x) = u⋅ v

f ′(x) = u′⋅ v + u⋅ v′

f(x) = u⋅ v ⋅ w

f ′(x) = u′⋅ v ⋅ w + u⋅ v′⋅ w + u⋅ v ⋅ w′

14.1.1

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (2x 2 − 3x)⋅(x − 4x 2 ) . a) Berechnen Sie die 1. Ableitung und geben Sie die Steigung und den Steigungswinkel bei x = 2 an. b) Wie lautet die 2. und die 3. Ableitung?

a) Wir betrachten die Klammerterme als die von x abhängigen Funktionsterme u(x) = 2x 2 − 3x

mit

u′(x) = 4x − 3 und

v(x) = x − 4x 2

mit

v′(x) = 1 − 8x

Die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = u(x)⋅ v(x) oder kurz f(x) = u⋅ v hat damit die 1. Ableitung f ′(x) = u′⋅ v + u⋅ v′ : 2− − 3) ⋅(x − f ′(x) = (4x 4x 2 ) + (2x 3x) ⋅(1 8x) −

u′

v

u

v′

f ′(2) = (4 ⋅ 2 − 3)⋅(2 − 4 ⋅ 4) + (2⋅ 4 − 3 ⋅ 2)⋅(1− 8 ⋅ 2) = 5 ⋅(−14) + 2⋅(−15) =−100

Steigungswinkel: tan α =−100 ;

α =− 89,427° = 270,573°

b) In diesem Fall ist es zweckmäßiger, die Klammerterme von f ′(x) erst auszumultiplizieren, da sonst die Berechnung zu aufwendig wird. f ′(x) = 4x 2 − 3x − 16x3 + 12x 2 + 2x 2 − 3x − 16x 3 + 24x 2 =− 32x3 + 42x 2 − 6x f ′′(x) =− 96x 2 + 84x − 6 ;

f ′′′(x) =−192x + 84

Anmerkung: Die Funktion hätte sich nach Ausmultiplizieren der Klammerterme auch ohne Anwendung der Produktregel differenzieren lassen. Bei verschiedenen Funktionsarten ist eine Ableitung jedoch nur noch mit der Produktregel möglich.

14.1.2

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (x − 1)⋅ sin x. Berechnen Sie die 1., 2. und 3. Ableitung.


14.1 Produktregel

195

f ′(x) = N 1 ⋅ sin x = sin x + (x − 1)⋅cos x − 1) ⋅ cos Nx + (x N u′

v

v′

u

f ′′(x) = cos x + N 1 ⋅cos x + (x sin x) = 2⋅cos x − (x − 1)⋅ sin x − 1) ⋅( − N u′

v

v′

u

f ′′′(x) =− 2⋅ sin x − N 1 ⋅ sin x + (x x =− 3 sin x + (x − 1)⋅cos x − 1) ⋅cos N N u′

14.1.3

v

u

v′

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (x + x 2 )⋅ln x. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

Die Teilfunktionen sind

u(x) = x + x 2 mit der Ableitung u′(x) = 1+ 2x und v(x) = ln x

mit der Ableitung v′(x) =

1 x

1 Damit ist f ′(x) = u′v + uv′ = (1+ 2x)⋅ln x + (x + x 2 )⋅ = (1+ 2x)⋅ln x + 1+ x x 1 1 f ′′(x) = N 2 ⋅ln 2x) Nx + (1 + ⋅ x + 1= 2⋅ln x + x + 3 N u′

14.1.4

v

u

v′

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = e x ⋅ln x . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

⎛ 1⎞ x x 1 x ⎜ f ′(x) = e x+e ln x + ⎟ N ⋅ln N ⋅ x = e ⋅⎝ N x⎠ u′ u N v v′

⎛1 1⎞ 1⎞ x ⎛ x ⋅⎜ − 2 ⎟ f ′′(x) = e ln x + ⎟+ e N ⋅⎜ N x ⎠ u ⎝

x x ⎠ u′ ⎝ v

⎛ 2 1⎞ f ′′(x) = e x ⋅⎜ln x + − 2 ⎟ x x ⎠ ⎝

14.1.5

v′

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x ⋅ln x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

f ′(x) =

1

1 ln x x ⋅ln + x+N x⋅ = N x 2 x x 2 x v N u N u′

v′

Für die 2. Ableitung benötigen wir bereits die Quotientenregel, wenn wir das obige Ergebnis weiter ableiten. Formen wir das Ergebnis jedoch in folgender Weise in ein Produkt um, so können wir die 2. Ableitung auch mit der Produktregel erhalten:

196

14 Allgemeine Ableitungsregeln 1

1

1

1

− − − − ln x x 1 + = ⋅ln x ⋅ x 2 + x ⋅ x−1 = ln x ⋅ x 2 + x 2 = x 2 ⋅(ln x +1) x 2 2 x

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)(x + x 2 )⋅ sin x.

14.1.6

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. Diese Funktionsgleichung kann man sich zusammengesetzt denken aus drei von x abhängigen Funktionen: f(x) = (x − 1)(x + x 2 )⋅ sin

Nx = u⋅ v ⋅ w u

v

w

Zweckmäßiger ist es aber, zuerst die beiden Klammerterme auszumultiplizieren und dann erst zu differenzieren. 3 − x)⋅ sin x f(x) = (x

N u

v

Wir haben damit die Gleichung auf die zwei Funktionsterme u und v reduziert. Hier müssen wir zweimal die Produktregel anwenden. Wir benutzen dabei die Bezeichnungen u und v. Sie haben jedoch – auf das Produkt bezogen – jeweils eine andere Bedeutung. f '(x) = (3x 2 −1)⋅ sin x + (x3 − x)⋅cos x 2 3 − x) − f ′′(x) = 6x sin x) = sin x ⋅(6x 2 − x3 + x) = (−x3 + 6x 2 + x)⋅ sin x N ⋅ sin ⋅( Nx + (x u′

14.1.7

u

v

v′

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)⋅ tan x ⋅ sin x . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

In diesem Fall lässt sich das Produkt nicht zusammenfassen. Wir haben es mit einem Produkt aus drei verschiedenen Funktionen zu tun: f(x) = (x − 1) ⋅ tan Nx ⋅ sin Nx = u⋅ v ⋅ w u

v

w

Die Ableitung lautet: f ′(x) = u′⋅ v ⋅ w + u⋅ v′⋅ w + u⋅ v ⋅ w′ u = x − 1; u′ = 1; v = tan x ; v′ = f ′(x) = 1⋅ tan x ⋅ sin x + (x − 1)⋅

1 cos2 x 1

cos2 x

; w = sin x ; w′ = cos x

⋅ sin x + (x − 1)⋅ tan x ⋅cos x

14.1 Produktregel

197

Wir berücksichtigen dabei, dass tan x ⋅cos x = f ′(x) = tan x ⋅sin x + (x − 1)⋅

sin x cos2 x

sin x ⋅cos x = sin x ist. cos x

+ (x − 1)⋅sin x

sin2 x sin x + (x −1)⋅ + (x −1)⋅ sin x cos x cos2 x ⎛ sin x ⎞ 1 − cos x + (x −1)⋅⎜ + sin x ⎟ f '(x) = 2 cos x ⎝ cos x ⎠

f '(x) =

⎛ sin x ⎞ + sin x ⎟ f ′′(x) =−1⋅cos−2 x ⋅ sin x + sin x +1⋅⎜ 2 ⎝ cos x ⎠ ⎛ cos x ⋅cos2 x − sin x ⋅ 2⋅cos x ⋅ sin x ⎞ ⎟ + (x −1)⎜ + cos x ⎝ ⎠ cos4 x

⎛ 1 ⎞ 2⋅ sin2 x ⎟ − + f ′′(x) = 2 sin x + (x − 1)⋅⎜ cos x ⎝ cos x ⎠ cos3 x ⎛ 1 ⎞ 2⋅(1− cos2 x) − + cos x ⎟ f ′′(x) = 2 sin x + (x − 1)⋅⎜ 3 ⎝ cos x ⎠ cos x ⎛ 3 ⎞ 2 − + cos x ⎟ f ′′(x) = 2 sin x + (x − 1)⋅⎜ 3 ⎝ cos x cos x ⎠

14.1.8

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (x − e x )⋅ln x . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

x x )⋅ln x + (x − e x )⋅ 1 = (1 − e x )⋅ln x + 1 − e = ln x − e x ⋅(ln x + x−1 ) + 1 f ′(x) = (1 e − N x x N v u′ u v

f ′′(x) =

x x ⎛ ⎞ 1 x ⋅(ln x + x−1) − e x ⋅ 1 − x−2 = 1 − e x ⋅ln x − 2e + e −e ⎜ ⎟ N ⎝x

x N x x2 u′ u ⎠ x v v′

14.1.9

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (e x − e−x )⋅ln x . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

1 ln x e x 1 f ′(x) = ( ex + e−x )⋅ln x + ( ex − e−x )⋅ = e x ⋅ln x + x + + N

N x x e x ex ⋅ v u′

f ′(x) =

ex ⋅

(ln

u

x + x−1

)

+ e−x

v

(ln x + x−1)

198

14 Allgemeine Ableitungsregeln

(

)

(

)

(

)

x ln x + x−1 + e x ⋅( x−1 − x−2 ) − e−x ln x + x−1 + e−x ⋅ x−1 − x−2 f ′′(x) = e N ⋅ N N N

u′

u

v

u′

v′

u

v

⎛1 ⎛ 1⎞ 1 ⎞ 1⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1 1⎞ f ′′(x) = e x ⋅⎜ln x + ⎟+ e x ⋅⎜ − 2 ⎟− x ⎜ln x + ⎟+ x ⎜ − 2 ⎟ ⎝ x⎠ x⎠ e ⎝x x ⎠ ⎝x x ⎠ e ⎝

f ′′(x) = e x ⋅ln x +

2e x ex ln x 1 − 2 − x − 2 x x x e x ⋅e

⎛ ⎛ 2 1⎞ 1⎞ f ′′(x) = e x⎜ln x + − 2 ⎟− e−x⎜ln x − 2 ⎟ x x ⎠ ⎝ ⎝ x ⎠

14.2 Quotientenregel f(x) =

14.2.1

u v

f ′(x) =

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =

x 2 + 2x . x −1

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. u(x) = x 2 + 2x ; u′(x) = 2x + 2 ; v(x) = x – 1 ; v′(x) = 1 f ′(x) = f ′(x) = f ′′(x) = f ′′(x) =

14.2.2

u′⋅ v − u⋅ v′ v2

=

(2x + 2)(x − 1) − (x 2 + 2x)⋅1 (x − 1)2

2x 2 − 2 − x 2 − 2x

=

(x − 1)2

x 2 − 2x − 2 (x − 1)2

(2x − 2) ⋅ (x − 1)2 − (x 2 − 2x − 2)⋅2⋅(x −1) (x − 1)4 2x2 − 2x − 2x + 2 − 2x 2 + 4x + 4 3

(x − 1)

=

6 (x −1)3

Gegeben sei die Funktion f mit x2 + 2 . x−2 Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. f(x) =

u′⋅ v − u⋅ v′ v2

v′

14.2 Quotientenregel

199

u(x) = x 2 + 2 ; u′(x) = 2x ; v(x) = x – 2 ; v′(x) = 1 f ′(x) =

u′⋅ v − u⋅ v′ v2

=

2x(x − 2) − (x 2 + 2)⋅1 (x − 2)2

=

2x 2 − 4x − x 2 − 2 (x − 2)2

=

x 2 − 4x − 2 (x − 2)2

Für die Ableitung ist eigentlich die Kettenregel erforderlich. Wir können jedoch auch schreiben: (x – 2)2 = x2 – 4x. Dabei lautet die Ableitung ohne Kettenregel: 2x – 4x = 2(x – 2).

f ′′(x) =

(2x − 4)(x − 2)2 − (x 2 − 4x − 2)⋅ 2(x − 2) (x − 2)4 2x 2 − 4x − 4x + 8 − 2x 2 + 8x + 4

f ′′(x) =

=

3

(x − 2)

14.2.3

=

(2x − 4)(x − 2) − 2(x 2 − 4x − 2) (x − 2)3

12 (x − 2)3


ln x . x

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. 1 ⋅ x − (ln x)⋅1 1− ln x f ′(x) = x = x2 x2 1 − ⋅ x 2 − (1− ln x)⋅ 2x −x − 2x + 2x ⋅ln x −3x + 2x ⋅ln x −3 + 2⋅ ln x x = = = f ′′(x) = 4 x x4 x4 x3 f ′′(x) =

ln x 2 − 3 x3

14.2.4


cos x . tan x

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

(− sin x)⋅ tan x − cos x ⋅ f ′(x) =

tan2 x

(−sin x)⋅ f ′(x) =

sin x 1 − cos x cos x 2

⎛ sin x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ cos x ⎠

1 2

cos x =

=

(−sin x)⋅ tan x −

−sin2 x − 1 sin2

x cos x

1 cos x

tan2 x

=

−(sin2 x + 1)cos x sin2

x

⎡ cos x ⎤ =−⎢ cos x + 2 ⎥ ⎣ sin x ⎦

200


⎡ (−sin x)⋅ sin2 x − cos x ⋅ 2⋅sin x ⋅cos x ⎤ ⎥ f ′′(x) = −⎢−sin x + sin4 x ⎣ ⎦

f ′′(x) = sin x + f ′′(x) = sin x + f ′′(x) = sin x + f ′′(x) = sin x +

14.2.5

sin3 x + 2 sin x ⋅cos2 x sin4 x

1 − cos2 x + 2cos2 x sin3 x

= sin x +

= sin x +

sin2 x + 2cos2 x sin3 x

1+ cos2 x sin3 x

= sin x +

1+ 1 − sin2 x sin3 x

2 − sin2 x sin3 x 2 3

sin x

−

1 sin x


sin x

. x2 Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. f ′(x) =

cos x ⋅ x 2 − sin x ⋅ 2x x4

=

x ⋅cos x − 2⋅ sin x x3

Ableitung des Zählers: u(x) = x ⋅cos x − 2⋅ sin x ; u′(x) = 1⋅cos x + x ⋅(−sin x) − 2⋅cos x =− x ⋅ sin x − cos x

f ′′(x) = f ′′(x) =

(−x ⋅ sin x − cos x)⋅ x3 − (x ⋅cos x − 2sin x)⋅3x 2 x6 (−x ⋅sin x − cos x)⋅ x − (3x ⋅cos x − 6⋅sin x) x4

=

−x 2 sin x − 4x ⋅cos x + 6 sin x x4

14.3 Kettenregel

201

14.3 Kettenregel ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = f(x) f u(x) N ⎢ ⎥ ⎣ innere Funktion ⎦

f ′(x) =

„äußere Ableitung mal innere Ableitung“

äußereFunktion

14.3.1

dy dy du = ⋅ dx du dx

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = sin2 x . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

f(x) = sin2 x = (sin x) 2 du = cos x dx dy = 2u = 2sin x Die äußere Funktion ist eine Potenzfunktion, die Ableitung lautet du

Die innere Funktion ist eine Winkelfunktion, die Ableitung lautet

Damit lautet die 1. Ableitung der Gesamtfunktion: f ′(x) = 2 ⋅sin x ⋅cos Nx äußere innere

Ableitung

Die 2. Ableitung erhält man mit der Produktregel:

(

f ′′(x) = 2⋅[cos x ⋅cos x + sin x ⋅(−sin x)] = 2⋅ cos2 x − sin2 x

)

f ′′(x) = 2⋅(1 − sin2 x − sin2 x) = 2⋅(1 − 2⋅ sin2 x)

14.3.2

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (x 2 + 3x + 1)3 . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

Diese Funktion könnte man auch ohne Kettenregel ableiten, wenn man den Klammerterm ausmultipliziert und die Summenterme gliedweise differenziert. Einfacher geht es jedoch mit der Kettenregel. f ′(x) = 3 ⋅(x 2 + 3x + 1)2 ⋅(2x + 3)

Bei der 2. Ableitung benötigen wir zusätzlich noch die Produktregel. f ′(x) = 3 ⋅(x 2 + 3x + 1)2 ⋅(2x + 3)

u

v

202


u(x) = 3 ⋅(x 2 + 3x + 1)2 ; u′(x) = 6 ⋅(x 2 + 3x + 1)⋅(2x + 3) v(x) = 2x + 3 ; v′(x) = 2 f ′′(x) = u′v + uv′ = 6 ⋅(x 2 + 3x + 1)⋅(2x + 3)(2x + 3) + 3 ⋅(x 2 + 3x + 1)2 ⋅ 2

14.3.3

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (ln x + x)2 . Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung.

⎛1 ⎞ f ′(x) = 2(ln x + x)⋅⎜ + 1⎟ ⎝x ⎠ ⎛ ln x ⎞ + 1+ ln x + x ⎟ f ′(x) = 2⋅⎜ ⎝ x ⎠

Weitere Umformungen sind möglich: f ′(x) =

2⋅ln x ln x 2 + 2 + 2⋅ln x + 2x = + ln x 2 + 2x + 2 x x

⎛1 ⎞ f ′(x) = 2(ln x + x)⋅⎜ + 1⎟ ⎝x ⎠

Die letzten Umformungen sind für die 2. Ableitung nicht unbedingt erforderlich, wir gehen deshalb von der Anfangsform aus: ⎛ ln x ⎞ + 1+ ln x + x ⎟ f ′(x) = 2⋅⎜ ⎝ x ⎠ ⎛ 1 ⋅ x − ln x ⋅1 ⎞ 1 ⎜x ⎟ f ′′(x) = 2⋅⎜ 1 + + 2 ⎟ x x ⎝ ⎠ ⎛ 1− ln x ⎞ 1 + + f ′′(x) = 2⋅⎜ 1 ⎟ ⎝ x2 ⎠ x

14.3.4

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2x3 + x 2 + 1 .

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. 1

f(x) = 2x3 + x 2 + 1 = (2x3 + x 2 + 1) 2

14.3 Kettenregel

203 1

− 1 6x 2 + 2x f ′(x) = ⋅(2x3 + x 2 + 1) 2 ⋅(6x 2 + 2x) = 2 2 2x3 + x 2 + 1

f ′(x) =

3x 2 + x 2x3 + x 2 + 1 (6x + 1)⋅ 2x 3 + x 2 + 1 − (3x 2 + x)⋅

f ′′(x) =

6x 2 + 2x 2 2x3 + x 2 + 1

2x 3 + x 2 + 1 (6x + 1)(2x3 + x 2 + 1) − (3x 2 + x)2 2x3 + x 2 + 1

f ′′(x) =

f ′′(x) =

f ′′(x) =

14.3.5

2x 3 + x 2 + 1 12x 4 + 2x3 + 6x3 + x 2 + 6x + 1 − 9x 4 − 6x3 − x 2 (2x3 + x2 + 1) 2x3 + x2 + 1 3x 4 + 2x3 + 6x + 1 (2x 3 + x 2 + 1)⋅ 2x3 + x 2 + 1

=

3x 4 + 2x3 + 6x +1

(2x3 + x2 +1)3

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = sin (x2 − 2x).

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. f ′(x) = cos(x 2 − 2x)⋅(2x − 2)

Bei der 2. Ableitung ist noch die Produktregel erforderlich. f ′′(x) =− sin(x 2 − 2x)⋅(2x − 2) ⋅(2x − 2) + cos(x2 − 2x)⋅2 f ′′(x) = (−4x 2 + 4x − 4)⋅sin(x 2 − 2x) + 2⋅cos(x 2 − 2x)

14.3.6

Gegeben sei die Funktion f mit 2

f(x) = esin x .

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. 2

f ′(x) = esin x ⋅cos x 2 ⋅ 2x = 2x ⋅cos x 2 ⋅ esin x

2

204


Bei der 2. Ableitung haben wir es mit der Ableitung eines Produktes von drei Funktionen zu tun. 2

sin x f ′(x) = 2x x2 ⋅e N ⋅cos

u

v

w

Die Ableitungen sind u′ = 2 ;

2

v′ =− sin x 2 ⋅ 2x ; w′ = esin x ⋅cos x 2 ⋅ 2x

Damit ist f ′′(x) = u′vw + uv′w + uvw′ 2

2

f ′′(x) = 2⋅cos x 2 ⋅esin x − 2x ⋅2x ⋅sin x 2 ⋅esin x + 2x ⋅cos x 2 ⋅2x ⋅cos x 2 ⋅esin x f ′′(x) = 2⋅(cos x 2 ⋅esin x − 2x 2 ⋅sin x 2 ⋅esin x + 2x 2 ⋅(cos x 2 )2 ⋅esin x 2

2

2

2

)

⎡ (cos x 2 + 2x 2 (− sin x 2 + cos2 x 2 ))⋅esin x2 ⎤ f ′′(x) = 2⋅⎣ ⎦ ⎡ (cos x 2 + 2x 2 (1− 2 sin x 2 ))⋅esin x 2 ⎤ f ′′(x) = 2⋅⎣ ⎦

14.3.7

Gegeben sei die Funktion f mit f(t) = sin( ωt + π) .

Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung. f ′(t) = ω⋅cos( ωt + π) ; f ′′(t) =− ω2 ⋅ sin( ωt + π)

14.4 Logarithmische Ableitung 14.4.1

Gegeben sei die Funktion f mit y = x x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Diese Funktion ist keine Potenzfunktion, bei der die Hochzahl eine Konstante sein muss, noch eine Exponentialfunktion, bei der die Grundzahl eine Konstante sein muss. Es kann also weder die Ableitungsregel für Potenzfunktionen noch für Exponentialfunktionen angewandt werden. Wir logarithmieren deshalb die beiden Gleichungsseiten und erhalten ln y = ln x x = x ⋅ln x

Nun differenzieren wir die beiden Gleichungsseiten. Dabei ist zu beachten, dass y noch eine Funktion von x ist, d. h. wir müssen die Kettenregel anwenden.

14.4 Logarithmische Ableitung

205

1 y′ (ln y)′ = ⋅ y′ = y y

Die rechte Seite wird nach der Produktregel abgeleitet: 1 (x ⋅ln x)′ = 1⋅ln x + x ⋅ = ln x + 1 x

Damit erhalten wir y′ y N

=

Ableitung der linken Seite

ln x +1

Ableitung der rechten Seite

Diese Gleichung lösen wir nach y′ auf und berücksichtigen, dass y = x x ist. y′ = y ⋅(ln x + 1) = x x ⋅(ln x + 1) = x x ⋅ln x + x x

14.4.2

Gegeben sei die Funktion f mit x ⎛ 1⎞ y =⎜1+ ⎟ . ⎝ x⎠ Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung: x ⎛ 1⎞ ln y = ln⎜1+ ⎟ = x ⋅ln (1+ x−1) ⎝ x⎠ Differenzieren der logarithmierten Gleichung:

y′ 1 1 (−x−2 ) = ln (1+ x−1) − = 1⋅ln (1+ x−1) + x ⋅ 1 y x +1 1+ x x ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎟=−⎜1+ ⎟ ⋅⎜ln (1+ x−1) − ⎟ y′ =− y⋅⎜ln (1+ x−1) − ⎝ x + 1⎠ ⎝ x⎠ ⎝ x +1⎠

14.4.3

Gegeben sei die Funktion f mit y = ( x )x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung: ln y = x ⋅ln ( x ) = x ⋅ln

1 2 x

1 = ⋅ x ⋅ln x 2

206


Ableitung der logarithmierten Funktionsgleichung: y′ 1 1 1 1 = ⋅ln x + x ⋅ = ln x + y 2 2 x 2 ⎛ 1⎞ y′ = y ⋅⎜ln x + ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ 1⎞ y′ = ( x )x ⋅⎜ln x + ⎟ ⎝ 2⎠

14.4.4

Gegeben sei die Funktion f mit y = (sin x)x . Berechnen Sie die 1. Ableitung.

Logarithmieren der Funktionsgleichung: ln y = x ⋅ln (sin x)

Ableitung der logarithmierten Funktionsgleichung: y′ 1 = 1⋅ln (sin x) + x ⋅ ⋅cos x y sin x ⎡ cos x ⎤ y′ = y ⋅⎢ ln (sin x) + x ⋅ ⎥ sin x ⎦ ⎣ ⎡ cos x ⎤ y′ = (sin x)x ⋅⎢ ln (sin x) + x ⋅ ⎥ sin x ⎦ ⎣

207

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen Ableitungsregeln f(x) = a ⋅ xn (Potenzregel)

f ′(x) = a ⋅n⋅ xn−1 (Faktorenregel)

Konstante Faktoren bleiben erhalten

(Konstantenregel)

Die Ableitung von Summen kann gliedweise erfolgen.

(Summenregel)

15.1 Tangente und Normale Die Steigung der Normalen berechnen wir mit der Steigung der Tangenten nach folgender Beziehung: Steigung der Tangente: mt =

y 2 − y1 Δy = x 2 − x1 Δx

Steigung der Normalen: mn =−

1 mt

= negativ-reziproker Wert der Tangentensteigung

Die Steigung von Kurven wird mit der 1. Ableitung der Funktionsgleichung berechnet. Diese Ableitung kann auf verschiedene Weise formuliert werden: y′ ; f ′(x) ;

15.1.1

dy df(x) df(t) ; ; = y dx dx dt

(=Ableitung nach der Zeit t)

Gegeben sei die Funktion f mit 1 3 f(x) = ⋅ x3 − ⋅ x 2 + 3 . 6 4 a) Berechnen Sie die 1. Ableitung (= Steigungsfunktion) und geben Sie die Steigung im Kurvenpunkt bei x = 2 an. b) Berechnen Sie die Gleichung der Tangente in diesem Punkt. c) Welche Gleichung hat die Normale in diesem Kurvenpunkt ?

1 3 a) f ′(x) = ⋅ x 2 − x ; 2 2

1 3 f ′(2) = ⋅ 22 − ⋅2 = 2 − 3 =−1 2 2

1 3 4 4 b) Funktionswert bei x = 2: f(2) = ⋅ 23 − ⋅ 22 + 3 = − 3 + 3 = 6 4 3 3

Kurvenpunkt:

⎛ 3⎞ A⎜ 2 ; ⎟ ⎝ 4⎠


208

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen

Tangentengleichung (Punkt-Steigungsgleichung): y = f ′(x1)⋅(x − x1) + y1 y =−1⋅(x − 2) +

3 ; 4

y =− x + 2,75

⎛ 3⎞ c) Gleichung der Normalen in A⎜ 2 ; ⎟ ⎝ 4⎠ 1 3 mn =− =1; y = 1⋅(x − 2) + ; −1 4

15.1.2

y = x − 1,25

Gegeben sei die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) =

1 1 (x − 2)2 + 1 = x 2 − 2x + 3 . 2 2

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten vom Punkt A(1; –3) an den Funktionsgraphen. Da kein Berührpunkt bekannt ist, gehen wir von einem noch unbekannten Berührpunkt B(u ; f(u)) aus. Die Tangente in diesem Berührpunkt hat folgende Funktionsgleichung y = f ′(u)⋅(x − u) + f(u) 1 Mit f(u) = u2 − 2 u + 3 und f ′(u) = u − 2 erhält man die Tangentengleichung 2 1 y = (u − 2)⋅(x − u) + u2 − 2u + 3 2

Da der Punkt A(1; − 3) auf der Tangente liegen muss, setzen wir die Koordinaten in die Tangentengleichung ein und erhalten: −3 = (u − 2)(1 − u) +

1 2 u −2 u + 3 2

u2 1 − 2u + 3 oder − u2 + u + 4 = 0 oder u2 − 2u − 8 = 0 2 2 u1/ 2 = 1± 1+ 8 = 1± 3 ; u1 = 4 ∨ u2 =−2

−3 = u − 2 − u2 + 2u +

Berührpunkte:

B1(4 ; 3) ;

B2 (−2 ; 9)

Tangenten:

t1 : y = 2x − 5

t 2 : y =− 4x + 1

15.1.3

Gegeben sei die Funktion f mit 1 3 8 x + x. 6 3 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente vom Punkt A(– 1; 2) an den Funktionsgraphen. f(x) = −

15.1 Tangente und Normale

209

Der Berührpunkt sei B(u ; f(u)) . Gleichung der Tangente: y = f ′(u)⋅(x − u) + f(u) Mit f(x) = −

1 3 8 1 8 x + x und f ′(x) = − x 2 + lautet die Tangentengleichung 6 3 2 3 ⎛ 1 8⎞ 1 8 y =⎜− u2 + ⎟⋅(x − u) − u3 + u ⎝ 2 ⎠ 3 6 3

⎛ 1 8⎞ 1 8 Punktprobe für A(−1; 2) : 2 =⎜− u2 + ⎟⋅(−1− u) − u3 + u ⎝ 2 3⎠ 6 3 2=

1 2 8 1 3 8 1 8 1 1 14 u − + u − u − u3 + u = u3 + u2 − 2 3 2 3 6 3 3 2 3 u3 + 1,5u2 − 14 = 0

Lösung: u1 = 2 (durch Probieren) HORNER-Schema 1

1,5 2

0 7

–14 14

1

3,5

7

0

u1 = 2

u2 / 3 =−

Berührpunkt:

B(2 ; 4)

t: y =

Tangente:

15.1.4

7 49 ± − 7 (keine reellen Lösungen) 4 16

2 8 x+ 3 3

Gegeben sei die Funktion f mit 1 3 x − 2x . 2 Bestimmen Sie die Gleichung der Tangenten vom Punkt A(−2 ; 0) an den Funktionsgraphen. Die Tangenten schneiden die y-Achse in den Punkten B und C. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. f(x) =

Berührpunkt:

B(u ; f(u))

Tangentengleichung: y = f ′(u)⋅(x − u) + f(u) 1 Mit f(u) = u3 − 2u ; 2

f ′(u) =

3 2 u − 2 erhält man die Tangentengleichung 2

⎛3 ⎞ 1 y =⎜ u2 − 2⎟⋅(x − u) + u3 − 2u ⎝2 ⎠ 2

210


⎛3 ⎞ 1 Punktprobe mit A(4 ; 0) : 0 =⎜ u2 − 2⎟⋅(−2 − u) + u3 − 2 u ⎝2 ⎠ 2 u3 + 3u2 − 4 = 0 u1 = 1 (durch Probieren)

HORNER-Schema 1 u1 = 1

1

3

0

-4

1

4

4

4

4

0

u2 / 3 =− 2 ± 4 − 4 =− 2 B1 (1; 1,5) B2 (−2 ; 0)

Berührpunkte:

1 t1: y =− x − 1 t 2 : y = 4x + 8 2 Schnittpunkte der y-Achse: x = 0: B (0 ; –1), C (0 ; 8)

Tangenten:

Fläche des Dreiecks ABC:

15.1.5

1 1 A = ⋅BC⋅OA = ⋅9⋅ 2 = 9 FE 2 2

Gegeben seien die Funktionen f mit f(x) = g(x) =

1 3 3 2 x + x + 2 und g mit 5 10

1 3 1 2 6 x + x + x + 2 . Ihre Schaubilder sind Kf und K g . 10 5 5

a) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgraphen. b) Unter welchem Winkel schneiden sich Kf und Kg bei x = 0. c) In welchem Punkten schneiden Tangente und Normale an Kg in Q(0; f(0)) die x-Achse? a) Schnittpunkte von K f und K g :

f(x) = g(x)

1 3 3 2 1 3 1 2 6 x + x +2 = x + x + x+2 5 10 10 5 5 1 3 1 2 6 x + x − x=0 10 10 5 x3 + x2 − 12x = 0 x ⋅(x 2 + x − 12) = 0 x1 = 0 ; x 2 / 3 =−

f(0) = 2 ;

1 1 1 7 ± + 12 =− ± ; x 2 = 3 ∨ x3 =− 4 2 4 2 2

S1(0; 2)

15.1 Tangente und Normale

b) f ′(x) = g′(x) =

3 2 3 x + x; 5 5

211 x2 = 3 ;

f(3) = 10,1 ;

S2 (3; 10,1)

x3 =− 4 ;

f(−4) =− 6 ;

S3 (−4; − 6)

f ′(0) = 0 ;

α1 = 0°

3 2 2 6 6 x + x + ; g′(0) = = 1,2 ; tan α2 = 1,2 ; 10 5 5 5

α2 = 50,19°

Damit beträgt der Schnittwinkel δ = α2 − α1 = 50,19° c) Tangente: t: y =

6 x+2 5

Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0 : 0 =

6 5 x + 2 ; x =− 5 3

⎛ 5 ⎞ Schnittpunkt der Tangente: St⎜− ; 0⎟ ⎝ 3 ⎠ 5 Normale: n: y =− x + 2 6

Schnittpunkt mit der x-Achse: y = 0 : 0 =−

5 12 x+2 ; x= 6 5

⎛ 12 ⎞ Schnittpunkt der Normalen: St⎜ ; 0 ⎟oder St (2,4 ; 0) ⎝5 ⎠

15.1.6

1 Gegeben sei die Funktion f mit Sie f(x) =− ⋅ x 2 + 3x − 1,5 . 2 a) Bestimmen Sie die Nullstellen und die Koordinaten des Scheitels.

b) Wie groß ist im Kurvenpunkt A(4; f(4)) der Steigungswinkel der Tangente an die Parabel. Berechnen Sie die Gleichung der Tangente und Normalen in A. c) Die Tangente in A schneidet die y-Achse in C, die Normale in A schneidet die y-Achse in B. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. 1 a) Nullstellen: f(x) = 0: − ⋅ x 2 + 3x − 1,5 = 0 oder 2

x 2 − 6x + 3 = 0

x1/ 2 = 3 ± 9 − 3 = 3 ± 6 ; x1 = 3 + 2,449 = 5,45 ∨ x 2 = 0,55 N1(5,45; 0) N2 (0,55; 0)

Extrempunkt: f ′(x) =− x + 3 Ableitungen:

f ′(x) = 0 : − x + 3 = 0 ; x = 3;

Scheitel:

S(3; 3)

9 f(3) =− + 9 − 1,5 = 3 2

212


b) f ′(x) =− x + 3 f ′(4) =− 1 ; tan α =− 1 ; α =− 45° = 315° Tangentengleichung: y = f ′(4)⋅(x − 4) + f(4) ; y =−1⋅(x − 4) + 2,5 ; y =− x + 6,5 1 c) A = ⋅BC⋅ 4 2 1 A = ⋅(6,5 + 1,5)⋅ 4 = 16 FE 2

y 6,5 B

3 2 1

A

2

3

4

x

–1,5 C

15.2 Kurvendiskussion 15.2.1

Gegeben sei die Funktion f mit 1 3 f(x) = ⋅ x3 − ⋅ x 2 + 2 . 8 4

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen. a) Schnittpunkt mit der y-Achse: Schnittpunkte mit der x-Achse:

x = 0:

y=2

S y (0 ; 2)

1 3 3 2 ⋅x − ⋅x + 2 = 0 8 4

f(x) = 0:

(Nullstellen) x3 − 6 ⋅ x 2 + 16 = 0

Durch Probieren erhalten wir: HORNER-Schema

x1 = 2

N1(2 ; 0)

1

–6 2

0 16 – 8 – 16

1

–4

–8

x1 = 2 x2 − 4 x − 8 = 0 ;

x1/ 2 = 2 ± 4 + 8 = 2 ± 12

0

15.2 Kurvendiskussion

213 x1 = 2 + 12 = 5,464 ∨x 2 = 2 − 12 =−1,464

N2 (5,464 ; 0) ; N3 (−1,464 ; 0)

b) Extrema:

f ′(x) = 0 :

3 3 3 3 f ′(x) = ⋅ x 2 − x ; f ′′(x) = x − 8 2 4 2 ⎛3 3⎞ 3 2 3 ⋅x − x = 0 ; x ⋅⎜ x − ⎟= 0 ; ⎝8 8 2 2⎠ x = 0 ; f(0) = 2 f ′′(0) =−

3 < 0 2

(Hochpunkt);

E1(0 ; 2)

3 3 x− = 0 ; x=4 8 2 f(4) =− 2 f ′′(4) =

Wendepunkt: f ′′(x) = 0 :

3 >0 2

E2 (4 ; − 2)

(Tiefpunkt)

3 3 x− = 0 ; x = 2 ; W(2 ; 0) = N1(2 ; 0) 4 2 3 f ′′′(2) = ≠ 0, d. h. Wendepunkt (kein Sattelpunkt) 4

c) Wendetangente: 3 3 3 f ′(2) = ⋅ 4 − ⋅ 2 =− 8 2 2 Gleichung der Wendetangente (Punkt-Steigungsgleichung):

Steigung im Wendepunkt W(2 ; 0) : 3 y − 0 =− (x − 2) ; 2

3 y =− x + 3 2

d) Graph: f(x)

2

1

1

2

3

4

5

6

x

214

15.2.2


Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x 3 +1,5x 2 − 0,5 . a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. d) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen Kf.

a) Schnittpunkt mit der y-Achse:

x = 0:

Schnittpunkte mit der x-Achse: (Nullstellen) Durch Probieren erhalten wir:

y = –0,5

3 1 x3 + ⋅ x 2 − = 0 2 2

f(x) = 0: x1 =−1

N1(−1; 0)

HORNER-Schema

1 x1 =−1

1 x 2 + 0,5 x − 0,5 = 0 ; x2 =

S y (0 ; − 0,5)

x 2 / 3 =−

1 ∨ x3 =− 1 2

1,5

0

–0,5

–1

–0,5

0,5

0,5

–0,5

0

1 1 1 1 3 ± + =− ± 4 16 2 4 4 N2 (0,5 ; 0) ; N3 (−1; 0)

b) Extrema: f ′(x) = 0 f ′(x) = 3x 2 + 3x ; f ′′(x) = 6x + 3 3x 2 + 3x = 0 ;

x ⋅(3x + 3) = 0 ; x =0 ;

f(0) =−

1 2

f ′′(0) = 3 > 0

(Tiefpunkt);

⎛ 1⎞ E1⎜0 ; − ⎟ ⎝ 2⎠

(Hochpunkt)

E2 (−1; 0) = N

3x + 3 = 0 ; x =−1 f(−1) = 0 f ′′(−1) =− 3 < 0


1 2

⎛ 1 1⎞ W⎜− ; − ⎟ ⎝ 2 4⎠

6x + 3 = 0 ;

x =−

⎛ 1 1⎞ W⎜− ; − ⎟ ⎝ 2 4⎠

⎛ 1⎞ 3 3 3 f ′⎜− ⎟= − =− ⎝ 2⎠ 4 2 4

c) Wendetangente: Steigung im Wendepunkt:

Gleichung der Wendetangente (Punkt-Steigungsgleichung):

15.2 Kurvendiskussion 3⎛ 1⎞ 1 y =− ⎜ x + ⎟− 4⎝ 2⎠ 4

215

;

y =−

3 5 x− 4 8

d) Graph:

f(x) 3 2 1 –2

–1 1

15.2.3

2

x


1 3 1 6 x + x2 − x . 10 10 5

a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse (= Nullstellen) und die Steigung in diesen Punkten. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente und Wendenormalen. d) Von dem Punkt P(3; 0) soll eine Tangente an den Funktionsgraphen Kf gelegt werden. Berechnen Sie die Koordinaten der Berührpunkte und geben Sie die Gleichungen der Tangenten an. e) Zeichnen Sie das Schaubild. a) Nullstellen: f(x) = 0:

1 3 1 6 x + x2 − x = 0 10 10 5 x 3 + x 2 − 12x = 0 oder x ⋅(x 2 + x − 12) = 0 x1 = 0

x 2 / 3 =−

N1(0; 0)

1 1 1 7 ± + 12 =− ± ; x 2 = 3 ∨ x3 =− 4 ; 2 4 2 2

N2 (3; 0) ;

N3 (−4; 0)

216

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen f ′(x) =

b) Extrema:

f ′(x) = 0 : x1/ 2 =−

3 2 1 6 3 1 x + x − ; f ′′(x) = x + 10 5 5 5 5 3 2 1 6 x + x− =0 10 5 5

2 x2 + x − 4 = 0 3

;

1 1 1 37 ± + 4 =− ± ; 3 9 3 3

f ′′(1,69) => 0

E1(1,69 ; −1,26)

(Tiefpunkt);

f ′′(−2,36) =< 0 (Hochpunkt); 3 1 x+ =0 ; 5 5


c) Wendetangente:

d) Berührpunkt:

E2 (−2,36 ; 2,07) x =−

⎛ 1 ⎞ W⎜− ; 0,407 ⎟ ⎝ 3 ⎠

1 ; 3

⎛ 1⎞ 1 1 6 11 f ′⎜ ⎟= + − =− ⎝ 3 ⎠ 30 15 5 10 11⎛ 1⎞ y =− ⎜ x + ⎟+ 0,407 10⎝ 3⎠ y =−

Wendenormale:

x1 = 1,69 ∨ x 2 =− 2,36

11 x + 0,04 10

y=

10⎛ 1⎞ ⎜ x + ⎟+ 0,407 11⎝ 3⎠

y=

10 x + 0,71 11

B(u ; f(u))

Tangentengleichung: y = f ′(u)⋅(x − u) + f(u) 1 3 1 2 6 3 1 6 u + u − u und f ′(x) = u2 + u − erhält man die Tangen10 10 5 10 5 5 ⎛3 2 1 6⎞ 1 3 1 2 6 tengleichung y =⎜ u + u − ⎟⋅(x − u) + u + u − u ⎝ 10 5 5⎠ 10 10 5

Mit f(u) =

⎛3 1 6⎞ 1 3 1 2 6 u + u − u Punktprobe mit A(3 ; 0) : 0 =⎜ u2 + u − ⎟⋅(3 − u) + ⎝ 10 5 5⎠ 10 10 5 u3 − 4u2 − 3u + 18 = 0 u1 =− 2 (durch Probieren erhalten)

HORNER-Schema: 1 u1 =− 2

1 u2 / 3 = 3 ± 9 − 9 = 3 N2

–4

–3

18

–2

12

– 18

–6

9

0


217

Berührpunkte: B1(−2 ; 2) ; Tangenten:

t1 : t2 :

B2 (3 ; 0) = N2

2 6 y =− x + 5 5 21 63 y= x− 10 10

e) Graph: f(x)

2 1

–4

15.2.4

–1

1

2

3

4

x

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 2x3 + 5x 2 − 4x − 3 . a) Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. b) Berechnen Sie die Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. c) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen K.

a) Nullstellen: f(x) = 0: 2x3 + 5x 2 − 4x − 3 = 0 2

Horner-Schema: x1 = 1

2

5

–4

-3

2

7

3

7

3

0

218

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen 2x 2 + 7x + 3 = 0 ; x 2 + x 2 / 3 =−

7 3 x+ =0 2 2

7 49 3 7 5 ± − =− ± 4 16 2 4 4

1 x 2 =− ∨ x3 =− 3 2 ⎛ 1 ⎞ N2⎜− ; 0⎟; N3 (−3; 0) ⎝ 2 ⎠

b) Ableitungen:

f ′(x) = 6x 2 +10x − 4 f ′′(x) = 12x +10

Extrema:

5 2 x2 + x − = 0 3 3

f ′(x) = 0 : 6x 2 +10x − 4 = 0 ; x1/ 2 =−

5 25 2 5 7 1 ± + =− ± ; x1 = ∨ x 2 =− 2 6 36 3 6 6 3

⎛ 1⎞ f ′′⎜ ⎟=> 0 ⎝3⎠

(Tiefpunkt);

⎛1 ⎞ E1⎜ ; − 3,70⎟ ⎝3 ⎠

f ′′(−2) =< 0

(Hochpunkt);

E2 (−2 ; 9)


12x + 10 = 0

;

x =−

⎛ 5 ⎞ W⎜− ; 2,65⎟ ⎝ 6 ⎠

5 ; 6

c) Graph: f(x)

3 2 1 –3

–2

–1

1

–3

2

x


15.2.5

219

Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =−

1 4 x + 2x 2 . 4

a) Untersuchen Sie den Funktionsgraphen auf Symmetrie. b) Berechnen Sie die Schnittpunkte mit der x-Achse (= Nullstellen). c) Berechnen Sie die Koordinaten der Extrema (Hoch- und Tiefpunkte) und den Wendepunkt. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangenten. e) In welchen Punkten hat der Funktionsgraph eine Tangente, die parallel zu der Geraden g mit g(x) = –3x + 2 verläuft ? f) Zeichnen Sie den Funktionsgraphen. a) Symmetrie: Der Funktionsgraph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, da es sich um eine „gerade Funktion“ handelt. Da wir bei x nur gerade Hochzahlen haben, ist f(x) = f(– x) 1 − x 4 + 2x 2 = 0 4 ⎛ ⎞ 1 x 2⎜− x 2 + 2⎟= 0 ⎝ 4 ⎠

f(x) = 0 :

b) Nullstellen:

x1/ 2 = 0 ; N1/ 2 (0; 0) (doppelte Nullstelle = Extrempunkt) 1 − x 2 + 2 = 0 oder x 2 = 8 4 x 3 / 4 =± 8 =± 2 2 =± 2,828 ; x 3 = 2,83 ∨ x 4 =− 2,83

N3 (2,83; 0) ; N4 (−2,83; 0)

c) Extrema:

f ′(x) =− x3 + 4x ; f ′′(x) =− 3x 2 + 4 f ′(x) = 0 : −x3 + 4x = 0 x1 = 0 ; f(0) = 0

;

x ⋅(−x 2 + 4) = 0

;

f ′′(0) = 4 > 0 d. h. Tiefpunkt

E1(0; 0) = N1/ 2

x2 = 4

; x 2 = 2 ∨ x3 =− 2 f(2) = f(−2) = 4 f ′′(2) = f ′′(−2) − 8 < 0 , d. h. Hochpunkte E2 (2; 4) ; E3 (−2; 4)

Wendepunkte: f ′′(x) =− 3x 2 + 4 f ′′(x) = 0 :

−3x 2 + 4 = 0 ; x1/ 2 =±

⎛ 4⎞ ⎟= 2,22 ; f⎜± ⎝ 3⎠

4 =±1,15 3

W1(1,15; 2,22) ; W2 (−1,15; 2,22)

220


⎛ 4⎞ 4 4 4 16 ⎟=− d) Steigungen in den Wendepunkten: f ′⎜ +4 = 3 = 3.079 ⎝ 3⎠ 3 3 3 9 ⎛ 4⎞ 4 ⎟= f ′⎜− ⎝ 3⎠ 3

4 4 8 4 −4 =− =− 3.079 3 3 3 3

Gleichungen der Wendetangenten: t1 : y = 3,079 ⋅(x − 1,15) + 2,22 = 3,079x − 1,32 t 2 : y =− 3,079 ⋅(x + 1,15) + 2,22 =− 3,079x − 1,32

e) Steigung des Funktionsgraphen f ′(x) = Steigung der Geraden −x3 + 4x =− 3 oder −x 3 + 4x + 3 = 0 x1 =−1 (durch Probieren gefunden)

Horner-Schema: –1 x1 =−1

–1 −x 2

+ x + 3 = 0 oder

x2 / 3 =

x2

0

4

3

1

–1

–3

1

3

0

−x −3=0

1 13 ; x 2 = 2,30 ∨ x3 =− 1,30 ± 2 4

f(−1) = 1,75 ; f(2,30) = 3,58 ; f(−1,30) = 2,67

Die Punkte sind: A(−1; 1,75) , B(2,30; 3,58) und C(−1,30; 2,67) f) Graph: f(x)

1

–1

1

2

3

x

15.3 Funktionssynthese

221

15.3 Funktionssynthese Bestimmung ganzrationaler Funktionen aus Vorgaben

15.3.1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades soll die x-Achse bei x = 4 berühren und im Ursprung die Steigung − 41 haben. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung:

f(x) = ax3 + bx 2 + cx

(Graph geht durch den Ursprung: d = 0)

2

f ′(x) = 3ax + 2bx + c f ′′(x) = 6ax + 2b 64a + 16b + 4c = 0

Bedingungen: N(4 ; 0): f(4) = 0 :

f ′(4) = 0 : f ′(0) =−

16a + 4b + c = 0

(1)

48a + 8b + c = 0

(2)

1 1 : c =− 4 4

(3)

Auswertung der Gleichungen: 1 = 0 (1′) 4 1 24a + 4b − = 0 (2′) 8 1 (4) a =− 64

16a + 4b −

(3) in (1) und (2):

(2′) − (1′) :

8a =−

(4) in (1′) :

b=

1 ; 8

1 8

Funktionsgleichung: f(x) =−

15.3.2

1 3 1 2 1 x + x − x 64 8 4

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei S(2; 1) einen Sattelpunkt und soll durch den Ursprung gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung:

f(x) = ax3 + bx 2 + cx f ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c f ′′(x) = 6ax + 2b

(Graph geht durch den Ursprung: d = 0)

222


Bedingungen: S(2 ; 1): f(2) = 1:

8a + 4b + 2c = 1

f ′(2) = 0 :

4a + 2b + c = 0,5 (1) 12a + 4b + c = 0 (2)

Sattelpunkt: f ′(x) = 0

f ′′(2) = 0 :

12a + 2b = 0

Sattelpunkt: f ′′(x) = 0

(3)

Auswertung der Gleichungen:

Gl.(2) – Gl.(1): 8a + 2b = – 0,5

(4)

1 (5) 8 3 (6) b =− 4 3 (7) c= 2

Gl.(3) – Gl.(4): 4a = 0,5 ; a = Gl.(5) in Gl.(3): (5) und (6) in (1): Funktionsgleichung:

15.3.3

f(x) =

1 3 3 2 3 x − x + x 8 4 2

Der Graph einer Funktion 3. Grades geht durch die Punkte N(–1 ; 0) und S y (0 ; 2) und hat bei T(4 ; 1) einen Tiefpunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d ;

f ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c

f(0) = 2 : d = 2

(1)

N(-1 ; 0):

f(−1) = 0 : − a + b − c + d = 0

(2)

T(4 ; 1):

f(4) = 1: 64a + 16b + 4c + d = 1

(3)

f ′(4) = 0 : 48a + 8b + c = 0

(4)

Bedingungen: S y (0 ; 2) :


Gl. (1) eingesetzt in Gl. (2) und (3). −a 48a

4 · (1′) + (3′) : (1′) + (4) :

+b +8b

−c =− 2 +c = 0

(1′) ⋅ 4

64a +16b +4c =−1

(4) (3′)

60a + 20b =− 9

(5) ⋅ 9

47a + 9b =− 2

(6) ⋅ 20

15.3 Funktionssynthese (6′) − (5′) :

223 400a = 41 oder

41 = 0,1025 400

a=

(7) in (6) :

b =−

(7) und (8) in (1′) :

c=

(7)

303 =− 0,7575 (8) 400

114 = 1,14 100

Funktionsgleichung: f(x) = 0,1025x3 − 0,7575x 2 + 1,14x + 2

15.3.4

a) Der Graph Kf einer ganzrationalen Funktion 3. Grades verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung und hat bei x = 3 und x = –3 Nullstellen. Die Steigung im Ursprung ist f(0) = –2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Welche Funktionsgleichung hat eine ganzrationale Funktion 3. Grades, deren Graph K g die gleichen Nullstellen hat wie Kf und Kg im Ursprung senkrecht scheidet. c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder Kf und Kg im Punkt N(3; 0) ? d) Zeichnen Sie die beiden Schaubilder in das gleiche Koordinatensystem.

a) Funktionsgleichung von f:

f(x) = ax3 + bx

(Punktsymmetrie zum Ursprung)

f ′(x) = 3ax 2 + b

Punktprobe mit N(3; 0):

(2) in (1):

27a − 6 = 0

Funktionsgleichung:

f(3) = 0:

27a + 3b = 0 (1)

f ′(0) =− 2 : b =− 2

(2)

a=

2 9

f(x) =

(3) 2 3 x − 2x 9

b) Funktionsgleichung von g: g(x) = cx3 + dx g′(x) = 3cx 2 + d

Bedingung für Orthogonalität: g′(x1 ) =− 1 1 1 1 =− = : d= −2 2 f ′(0) 2 Punktprobe für N(3; 0): 27c + 3d = 0 g′(0) =−

1 f ′(x1 )

(4) (5)

224


(4) in (5):

27c +

3 =0 ; 2

Funktionsgleichung:

c) f ′(x) =

c =−

1 (6) 18

g(x) =−

1 3 1 x + x 18 2

2 2 x −2; 3

f ′(3) = 4 ;

tan α1 = 4 ; α1 = 75,96°

1 2 1 x + ; 6 2

g′(3) = 2 ;

tan α2 = 2 ; α2 = 63,43°

g′(x) =

Schnittwinkel: δ = α1 − α2 = 75,96° − 63,43° = 12,53°

Der Schnittwinkel kann auch direkt mit den Steigungen berechnet werden: tan δ =

m2 − m1 4−2 2 = = ; 1+ m1 ⋅m2 1+ 2⋅ 4 9

δ = 12,53°

d) Graph: f(x)

2 1

2

1

15.3.5

4

x

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades verläuft symmetrisch zur y-Achse, hat einen Hochpunkt bei x = 2, schneidet die x-Achse bei x = 4 und die y-Achse bei y = 2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung: f(x) = ax 4 + bx 2 + c

(Achsensymmetrie zur y-Achse: nur gerade Potenzen)

f ′(x) = 4ax3 + 2bx ;

f ′′(x) = 12ax 2 + 2b


225 f(0) = 2 : c = 2

(1)

N(4; 0):

f(4) = 0 : 256a + 16b + c = 0

(2)

H(2 ;f(2)):

f ′(2) = 0 : 32a + 4b = 0

(3)

Bedingungen: S y (0 ; 2) :


(1) in (2): 256a + 16b + 2 = 0 oder 64a + 4b =− 0,5 32a + 4b = 0 (4) – (3): 32a =− 0,5 ;

a =−

(5) in (3):

b=

Funktionsgleichung:

f(x) =−

1 64

1 8

(4) (3)

(5) (6)

1 4 1 2 x + x +2 64 8

f(x) 2

1

–4

–1

1

2

3

4

x

226

15.3.6


a) Eine nach oben geöffnete Parabel hat die Nullstellen N1(3; 0) und N2 (−3; 0) und schneidet die y-Achse bei y = −3 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. b) Eine zum Ursprung punktsymmetrische ganzrationale Funktion 3. Grades hat die gleichen Nullstellen wie die Parabel nach Aufgabe a). Sie soll die Parabel im Punkt N1(3; 0) senkrecht schneiden.

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder Kf und Kg im Punkt N(−3; 0) ? d) Zeichnen Sie die beiden Schaubilder in das gleiche Koordinatensystem. a) Aus den gegebenen Nullstellen erkennen wir die Achsensymmetrie zur y-Achse. Damit hat die Parabelgleichung nur gerade Exponenten. Da außerdem der Achsen-Abschnitt auf der y-Achse gegeben ist, lautet die Funktionsgleichung f(x) = ax 2 − 3 .

Punktprobe mit N1(3; 0) : 0 = 9a − 3 ; a = Funktionsgleichung: f(x) =

1 3

1 2 x −3 3

b) Punktsymmetrie zum Ursprung bedeutet, dass bei der Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten vorkommen dürfen. Die Funktionsgleichung lautet damit in allgemeiner Form g(x) = ax3 + bx. Zur Berechnung der Steigerungen sind die Ableitungen erforderlich: g′(x) = 3ax 2 + b 2 f ′(3) = 2 f ′(x) = x ; 3 1 Bedingung für die Orthogonalität: g′(x1 ) =− f ′(x1 ) 1 1 =− und g′(3) = 27a + b gilt: f ′(3) 2 1 27a + b =− (4) 2 27a + 3b = 0 (5) Punktprobe für N(3; 0):

Mit g′(3) =−

1 1 ; b = (6) 2 4 3 1 (6) in (5): (7) 27a + = 0 ; a =− 4 36 1 3 1 Funktionsgleichung: g(x) =− x + x 36 4

Gl.(5) – Gl.(4): 2b =

15.3 Funktionssynthese 2 x; 3 1 1 g′(x) =− x 2 + ; 12 4 Schnittwinkel:

c) f ′(x) =

227 f ′(−3) =− 2 ;

tan α1 =− 2 ;

α1 =− 63,435° = 296,565°

1 1 ; tan α2 =− ; α2 =− 26,565° = 333,435° 2 2 δ = α2 − α1 = 36,87°

g′(−3) =−

Der Schnittwinkel kann auch mit den Steigungen direkt berechnet werden: 1 − +2 m2 − m1 3 2 tan δ = = = ; δ = 36,87° ⎛ ⎞ 1 1+ m1 ⋅m2 4 1+ (−2)⋅⎜− ⎟ ⎝ 2⎠ d) Graph: f(x) g(x) 2 f(x) 1

g(x)

1

15.3.7

2

3

4

5

x

Eine ganzrationale Funktion hat bei x = 3 eine doppelte Nullstelle. Der Funktionswert wechselt bei x = –1 das Vorzeichen. Die Steigung ist an dieser Stelle –2. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Da bei dieser Aufgabe keine Aussage über den Grad der Funktion gemacht wurde, gehen wir von der einfachsten ganzrationalen Funktion aus. Da 4 Bedingungen bekannt sind, ist das eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Funktionsgleichung:

f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Ableitungen:

f ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c f ′′(x) = 6ax + 2b

228


Bedingungen:

Doppelte Nullstelle bei x = 3 bedeutet: Extrempunkt und Kurvenpunkt. Vorzeichenwechsel für den Funktionswert bei x = –1 bedeutet: Nullstelle. 27a + 9b + 3c + d = 0

(1)

27a + 6b + c = 0

(2)

−a + b − c + d = 0

(3)

f ′(−1) =− 2 : 3a − 2b + c =− 2

(4)

N1/ 2 (3 ; 0) : f(3) = 0 : f ′(3) = 0 : N3 (−1; 0) : f(−1) = 0 :

Auswertung der Gleichungen: 28a + 8b + 4c = 0 oder

(5)

7a + 2b + c = 0

(5’)

(5′) − 4 :

4a + 4b = 0

(6)

(2) − (4) :

24a + 8b = 2 oder

(7) in (6) :

12a + 4b = 1 8a = 1

(1) − (3) :

(7)

1 (8) 8 1 b =− (8) in (6) : (9) 8 7 2 5 (8) und (9) in (5′) : − + c = 0; c =− (10) 8 8 8 1 1 5 3 (8),(9) und (10) in (3) : + − + + d = 0; d =− 8 8 8 8 a =+

Funktionsgleichung:

15.3.8

1 1 5 3 f(x) =− x3 − x2 − x − 8 8 8 8

Die dargestellte Kurve K einer ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei x = 2 die eingezeichnete Kurventangente. Entnehmen Sie die Bedingungen der graphischen Darstellung und berechnen Sie damit die Funktionsgleichung.

f(x) A 3 2 B C –4

1

2

3

4

5

x


229

Aus der Zeichnung ist zu ersehen, dass die Tangente durch den Kurvenpunkt A(2 ; 3) die y-Achse bei y = 2 schneidet. Die Tangente geht somit durch die Punkte A(2 ; 3) und Sy (0 ; 2) mit der Steigung m =

y 2 − y1 3 − 2 1 = = x 2 − x1 2 − 0 2

. Dies ist zugleich die Steigung

der Kurve im Punkt A(2 ; 3). Die Tangentengleichung lautet somit y = 21 x + 2 . Funktionsgleichung:

f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

Ableitungen:

f ′(x) = 3ax 2 + 2bx + c f ′′(x) = 6ax + 2b

Bedingungen: 8a + 4b + 2c + d = 3

A(2 ; 3) : f(2) = 3 : f ′(2) =

1 : 2

12a + 4b + c =

1 2

(1) (2)

B(0 ; 1) : f(0) = 1:

d=1

C(5 ; 0) : f(5) = 0 :

125a + 25b + 5c + d = 0 (4)

(3)

Auswertung der Gleichungen: (3) in (1) :

8a + 4b + 2c = 2 4a + 2b + c = 1

(3) in (4) :

125a + 25b + 5c + 1 = 0 25a + 5b + c =− 1 2 6 21a + 3b =− 5 2 7a + b =− 5 7 13a + b =− 10 3 6a =− 10 1 a =− 20 7 2 − + b =− 20 5 12a + 4b + c =

(6) − (5) :

(6) − (2) : (8) − (7) :

(9) in (7) :

(5)

1 5

(6) (2)

(7) (8)

(9)

230

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen 1 20 1 1 c =1 + + 5 10

(9) und (10) in (5) :

b =−

(10)

13 10

(11)

c=

Funktionsgleichung:

15.3.9

f(x) =−

1 3 1 2 13 x − x + x +1 20 20 10

Eine ganzrationalen Funktion 4. Grades hat bei x =− 3 eine einfache und bei x = 1 eine doppelte Nullstelle, außerdem ist f(3) = f(−1) = 2 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Eine doppelte Nullstelle ist gleichzeitig eine Extremstelle, d. h. es ist f(1) = 0 und f’(1) = 0. Weiterhin ist aus f(3) = f(–1) = 2 ersichtlich, dass der Funktionsgraph achsensymmetrisch zu x = 1 ist. Da wir keine Achsensymmetrie zur y-Achse haben, muss die allgemeine Funktionsgleichung angesetzt werden. Funktionsgleichung:

f(x) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e

Ableitung:

f ′(x) = 4ax 3 + 3bx 2 + 2cx + d

Bedingungen:

f(3) = 2: 81a + 27b + 9c + 3d + e = 2

(1)

f(–3) = 0: 81a - 27b + 9c - 3d + e = 0

(2)

f(1) = 0:

a+b+c+d+e=0

(3)

f(–1) = 2:

a− b + c − d+ e = 2

(4)

f ′(1) = 0 :

4a + 3b + 2c + d = 0

(5)

Auswertung: 81a + 27b + 9c + 81a − 27b + 9c − a + b + c + a − b + c − 2a

(1) – (2): (3) – (4):

+ 1,5b +

c

+ e = 2 + e = 0 + e = 0

(1) (2)

+ e = 2 + 0,5d = 0

(4)

3d 3d

54b

+ 6d = 2

27b

+ 3d = 1

2b

+ 2d = –2

b

+ d = –1

d d

(3) (5)

(6) (7)

15.3 Funktionssynthese 1 3

231 4 3 1 b= 6 7 d =− 6

(6) – (7):

8b =

(8) in (7):

(8) (9)

(8) und (9) in (3):

a+c+e =1

(10)

(8) und (9) in (2):

81a + 9c + e = 1

(11)

(11) – (10):

80a + 8c = 0

(8) und (9) in (5):

10a + c = 0

(12)

1 3

(13)

2a + c =

8a = −

(12) – (13):

(14) in (12): Aus (10) mit (14) und (15): e = 1+

1 5 ; − 24 12

1 3

a =−

1 24

(14)

c=

5 12

(15)

5 8

(16)

e=

Funktionsgleichung: f(x) =−

1 4 1 3 5 2 7 5 x + x + x − x+ 24 6 12 6 8

15.3.10 Eine ganzrationalen Funktion 3. Grades hat bei x = 5 eine Nullstelle, außerdem ist f(−2) =− f(2) = 2 . Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Aus den Vorgaben ist ersichtlich, dass der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Ursprung ist. Damit kann beim Aufstellen der Funktionsgleichung die vereinfachte Funktionsgleichung angesetzt werden. Funktionsgleichung:

f(x) = ax 3 + bx

Bedingungen:

f(−2) = 2 :

(Punktsymmetrie zum Ursprung)

−8a − 2b = 2 4a + b =−1

f(5) = 0 :

(1)

125a + 5b = 0 25a + b = 0

(2)

232


(2) – (1):

21a = 1 a=

1 21

(3)

(3) in (1):

b =−

25 21

Funktionsgleichung:

f(x) =

1 3 25 x − x 21 21

15.4 Extremwertaufgaben 15.4.1

Einem Halbkreis mit dem Radius r ist ein Trapez mit maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben. Bestimmen Sie die Längen der beiden parallelen Seiten, die Höhe und den maximalen Flächeninhalt des Trapezes.

Wir legen durch den Halbkreis ein Koordinatensystem in der dargestellten Form. Damit ist die Trapezfläche r+x A = 2⋅ ⋅y 2 A = (r + x)⋅ y (1) Da die Trapezfläche noch von x und y abhängig ist, müssen wir mit Hilfe einer Nebenbedingung eine Variable durch die andere ersetzen. Diese Nebenbedingung ist gegeben durch die Kreisgleichung

y

x

r

Trapezfläche (Hauptgleichung): A = (r + x)⋅ y

y = r 2 − x2

(1)

Kreislinie(Nebenbedingung): y = r 2 − x2

x2 + y2 = r 2

Für den vorliegenden Halbkreis erhalten aus obiger Relationsgleichung die Funktionsgleichung

x

(2)

(oberer Halbkreis)

(2) in (1): A = (r + x)⋅ r 2 − x 2 (3)

(2)

Setzen wir die Nebenbedingung (2) in die Hauptgleichung (1) ein, so erhalten wir für die Fläche A eine Funktionsgleichung, die nur noch von der einzigen Variablen x abhängt, die jetzt nach x differenziert werden kann. Zur Berechnung der maximalen Fläche müssen wir die Flächenfunktion differenzieren. Dazu haben wir zwei Möglichkeiten: 1. Anwendung der Produktregel 2. Ausmultiplizieren und Differenzieren

15.4 Extremwertaufgaben

233

Wir wollen die zweite Vorgehensweise anwenden. A = r ⋅ r 2 − x2 + x ⋅ r 2 − x2 = r ⋅ r 2 − x2 + r 2 x2 − x 4 A′ =

A′ =

A′′ =

A′′ =

−2rx 2 r 2 − x2

+

2r 2 x − 4x 3 2 r 2 x2 − x4

=

−r ⋅ x r 2 − x2

+

2x ⋅(r 2 − 2x 2 ) 2x ⋅ r 2 − x 2

r 2 − r ⋅ x − 2x 2 r 2 − x2

u′v − uv′ v2

(

(− r − 4x) r 2 − x 2 − r 2 − rx − 2x 2 =

(

(r 2 − x2 ) r 2 − x2

r 2 − r ⋅ x − 2x 2 r 2 − x2

−2x 2 r 2 − x2

r 2 − x2

)

(− r − 4x)(r 2 − x 2 ) + r 2 − rx − 2x 2 ⋅ x

A′ = 0 :

)

=

(− r − 4x)(r 2 − x 2 ) + r 2 x − rx2 − 2x3 (r 2 − x2 ) r 2 − x2

r r2 = 0 ; x2 + ⋅ x − = 0 2 2

2 2 x1/ 2 =− r ± r + r =− r ± 3r 4 16 2 4 4

x1 =

r ; 2

x 2 =− r (unbrauchbar)

Nachweis: 2 3 3 3 −3r ⋅ 3 r 2 (− r − 2r)(r 2 − r ) + r − r − r 4 2 4 4 4 = = −6 =− 2 3 < 0 A′′(x1) = 2 2 3 3 3 2 2 r r r ⋅ r (r 2 − ) r 2 − 4 4 4 4 (d. h. Maximum)

Höhe des Trapezes aus Gl.(2): y = r2 −

r2 3 2 r = r = 3 4 4 2

Maximale Trapezfläche A = (r + x)⋅ y = A max =

3 r r⋅ 3 2 2

3 3 ⋅r 2 4

234


15.4.2

Ein Trapez, dessen eine Grundseite auf der x-Achse und dessen weitere Eckpunkte im 1. Quadranten und auf Kg mit g(x) = –2x2 + 6x liegen, soll einen maximalen Flächeninhalt erhalten. Bestimmen Sie die Länge der Grundseite, die Höhe sowie den Flächeninhalt dieses Trapezes.

Die durch den Ursprung gehende Parabel hat ihre weitere Nullstelle bei x = 3. Damit hat die Grundseite die maximal mögliche Länge von 3 LE. Die Oberseite hat damit die Länge 1,5 – x. Mit diesen Größen erhalten wir die Gleichung der Trapezfläche A(x).

g(x) 4 2

Hauptgleichung: 3 + 2(1,5 − x) A= ⋅y 2

1

2

3

x

(1)

Nebengleichung: y =− 2x 2 + 6x

(2)

(2) in (1): A=

3 + 3 − 2x ⋅(−2x 2 + 6x) (3) 2

A = (3 − x)⋅(−2x 2 + 6x) A =− 6x 2 + 18x + 2x3 − 6x 2 A = 2x3 − 12x 2 + 18x A′ = 6x 2 − 24x + 18 A′′ = 12x − 24

A′ = 0 : 6x 2 − 24x + 18 = 0 x 2 − 4x + 3 = 0 x1/ 2 = 2 ± 4 − 3 = 2 ±1; x1 = 3 ∨ x 2 = 1 A′′(x1 ) = 12 > 0 (d. h. Minimum) A′′(x 2 ) =−12 < 0 (d. h. Maximum)

Höhe des Trapezes: y = 4 LE. Ergebnis: Das Trapez mit der Grundseite a = 3 LE und der Höhe y = 4 LE hat einen Flächeninhalt von A = 8 FE.


15.4.3

235

Der Punkt P(u ; f(u)) sei ein Punkt des Funktionsgraphen Kf mit 1 3 x 2

f: x 6

− x 2 im 4. Quadranten. Der Punkt Q (u; 0) liegt auf der x-Achse.

Der Ursprung sei der Punkt O. Bestimmen Sie u so, dass das Dreieck OPQ einen maximalen Flächeninhalt erhält. Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich nach folgender Gleichung: f(x) 1 A = u⋅ v 2

Dabei ist u = x und v der Funktionswert von x im 4. Quadranten. Dieser ist aber negativ. Damit wir eine positive Fläche erhalten, muss der Funktionswert im Vorzeichen umgedreht werden.

Q

0 1

x

–1 P

⎛1 ⎞ 1 Wir erhalten v =− (f(x)) =−⎜ x3 − x 2 ⎟=− x3 + x 2 . 2 ⎝2 ⎠

Damit ist die Dreiecksfläche A=

⎞⎞ 1 ⎛ ⎛1 3 1 1 x ⋅⎜−⎜ x − x 2 ⎟⎟=− x 4 + x 3 ⎠⎠ 2 ⎝ ⎝2 4 2

A′=− x 3 +

3 2 x 2

A′′ = − 3x 2 + 3x A′ = 0 : −x3 +

⎛3 ⎞ 3 2 x = 0 ; x 2⎜ − x ⎟= 0 ⎝2 ⎠ 2

x1 = 1,5 ; x 2 / 3 = 0 (unbrauchbar, da hier A = 0 wäre) A′′(x1) < 0 (d. h. Maximum) 1 1 Ergebnis: A = (1,53 ) − (1,54 ) = 1,6875 − 1,265625 = 0,4219 FE. 2 4

15.4.4

Der Parabel mit der Funktionsgleichung y =− 92 x 2 + 2 ist im 2. Quadranten ein Dreieck einzubeschreiben, das durch die x-Achse und durch die Gerade x = u begrenzt ist und dessen Spitze im Ursprung liegt. Wie groß muss u sein, damit der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird?

236


Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich nach folgender Gleichung:

y

1 A = u⋅ v 2

2

Dabei ist u im 2. Quadrant negativ. Um eine positive Fläche zu erhalten, muss von u der Betrag genommen werden.

1

–3

u

–1

1

x

1 Wir erhalten als Fläche A = ⋅ u ⋅ f(u) 2 ⎛ 2 ⎞ 1 1 A = ⋅(−u)⋅⎜− u2 + 2⎟= u3 − u 2 ⎝ 9 ⎠ 9 1 A′= u2 − 1 3 2 A′′= u 3 1 A′ = 0 : − u2 − 1= 0 ; 3

u1 =+ 3 (unbrauchbar, da im 1. Quadrant) oder u2 =− 3

A′′(x 2 ) =−

2 3 < 0 (d. h. Maximum) 3

Ergebnis: Für u =− 3 ergibt sich als maximale Dreiecksfläche A =

15.4.5

2 3 = 1,15 FE. 3

Gegeben sei die Funktion f mit 1 f(x) = x3 − x 2 . 5 Die Gerade x = u (5 > u > 0) schneidet den Funktionsgraphen von f in A(u; f(u)) und die x-Achse in B(u; 0). Welchen Wert muss u annehmen, damit das Dreieck OAB einen maximalen Flächeninhalt erhält?

Da f(u) in dem angegebenen Bereich negativ wird, muss für f(u) der Betrag genommen werden, damit die Dreiecksfläche positiv wird. Wir erhalten als Dreiecksfläche 1 A = u⋅ f(u) 2


237

1 1 A = u⋅ x 3 − x 2 2 5

f(x) 1

⎞⎞ 1 ⎛ ⎛1 A = u⋅⎜−⎜ u3 − u2 ⎟⎟ ⎠⎠ 2 ⎝ ⎝5

–1

1

1 4 1 3 u + u 10 2

–1

2 3 A′=− u3 + u2 5 2

–2

A =−

B u

0 2

3

4

5

x

–3

6 A′′ =− u2 + 3u 5

A

⎛ 2 3⎞ 15 2 3 = 3,75 ; u2 / 3 = 0 (unbrauchbar) A′= 0: − u3 + u2 = 0 ; u2⎜− u + ⎟= 0 ; u1 = ⎝ 5 2⎠ 5 2 4 2 6 ⎛ 15 ⎞ 15 3⋅ 45 45⋅2 45 + =− < 0 (d. h. Maximum) A′′ =− ⋅⎜ ⎟ + 3⋅ =− 5 ⎝4⎠ 4 8 4⋅2 8

Ergebnis: Für u =

15 = 3,75 erhalten wir die maximale Dreiecksfläche A = 6,59 FE. 4

15.4.6

Gegeben sei die Funktion f mit 1 2 x . 3 Dem Schaubild wird oberhalb der x-Achse ein Dreieck so einbeschrieben, dass der Dreieckspunkt P auf dem Funktionsgraphen Kf liegt und die beiden anderen Dreieckspunkte A und B auf der x-Achse liegen, wobei der Punkt B von P auf die x-Achse projiziert liegt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass die Fläche ABP einen maximalen Flächeninhalt erhält. f(x) = 4 −

Die Nullstellen der Parabel ergeben sich aus 1 f(x) = 0: 4 − x 2 = 0 : 3

f(x) 4 P

N1 (−2 3; 0) ; N2 (2 3; 0)

Damit hat die Dreiecksfläche den Flächeninhalt 1 A = (2 3 + u)⋅ f(u) 2

1 A 1

B 2

x

238

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen ⎛ u ⎞⎛ 1 ⎞ A =⎜ 3 + ⎟⋅⎜ 4 − u2 ⎟ ⎝ 2⎠⎝ 3 ⎠ 1 3 2 A =− u3 − u + 2u + 4 3 6 3 1 2 3 A′=− u2 − u+2 2 3 A′′=− u −

2 3 3

1 2 3 u+ 2=0 ; A′ = 0 : − u2 − 2 3 u1/ 2 =− u1 =

u2 +

4 3 u−4=0 3

2 3 4 2 3 4 12 2 3 4⋅ 3 2 3 4 3 ± + 4 =− ± + =− ± =− ± 3 3 3 3 3 3 3 3 3⋅ 3

2 3 ∨ u2 =− 2 3 3

A′′(u1) =−

4 3 0 3

(d. h. Minimum)

Ergebnis: ⎛ 2 3 32 ⎞ Für P⎜ ⎜ 3 ; 9⎟ ⎟ oder P (1,15; 3,56 ) erhalten wir eine maximale Dreiecksfläche. ⎝ ⎠ In einem Hohlraum, dessen Begrenzung sich durch die Kurve Kf mit f(x) = x 2 + 3x + 2 beschreiben lässt, soll ein rechteckiger Schacht eingebaut werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Schacht erhalten, damit die Querschnittsfläche maximal wird?

f(x) 2 1m 1 1m

15.4.7

–1,5

–1

x


239

u liegt im 2. Quadranten und ist deshalb negativ . Um eine positive Fläche zu erhalten, müssen wir von u den Betrag nehmen: A = u ⋅ f (u) Dies erreichen wir, wenn wir bei u einen Vorzeichenwechsel vornehmen. A =− u ⋅ ( u2 + 3u + 2 ) u ∈ [−1; 0] A =− u3 − 3u2 − 2u A′ =− 3u2 − 6u − 2 A′′ =− 6u − 6 A′ = 0 : −3u2 − 6u − 2 = 0 ; u2 + 2u +

u1/ 2 =−1± 1−

2 =0 3

2 1 3 =−1± =−1± 3 3 3

u1 =− 0,4226 u2 =− 1,57735 (u ∉ D) (unbrauchbar) A′′ = (u1 ) =− 3,4644 < 0 → Minimum

Ergebnis: Mit einer Breite b = 42,26 cm und einer Höhe h = 91,08 cm wird der Rechteckquerschnitt am größten.

15.4.8

Ein Schachtgewölbe habe die Form einer Parabel, die sich mit der Funktionsgleichung f(x) =− 41 x2+ 4 beschreiben lässt. a) Welcher Rechteckquerschnitt mit maximaler Querschnittsfläche passt noch in diesen Schacht ? b) Welche trapezförmige Querschnittsfläche mit maximalem Flächeninhalt ist möglich ?

A = 2xy ⎛ 1 ⎞ 1 A = 2x ⋅⎜− x 2 + 4⎟=− x3 + 8x 2 ⎝ 4 ⎠ 3 A′=− x 2 + 8 2 A′′ =− 3x 3 A′ = 0 : − x 2 + 8 = 0 ; 2 4 4 x1/ 2 =± 3 =± 3 3

f(x) 4

1 1 b/2

4 4m

x

240


x1/ 2 =± 2,309 x1 =+ 2,309 v x 2 =− 2,309 ; A′′ ( x1 ) < 0 (Maximum) A′′ ( x 2 ) > 0 (Minimum)

Ergebnis: Eine maximale Rechteckfläche ergibt sich, wenn die Breite b = 4,62 m und die Höhe h = 2,67 m beträgt. Die maximale Querschnittsfläche beträgt in diesem Fall A = 12,3 m2. b) Die größte Trapezfläche ergibt sich, wenn wir für die eine Grundseite die volle Breite nehmen, sie beträgt 8 m. Die zweite Grundseite verändert sich mit der Höhe. Wir erhalten damit folgende Trapezfläche: A=

2u + 8 ⋅ f(u) 2

f(x)

⎛ 1 ⎞ A = (u + 4)⋅⎜− u2 + 4⎟ ⎝ 4 ⎠ 1 A =− u3 − u2 + 4u + 16 4

1 u 1

3 A′=− u2 − 2u + 4 4

4

x

b a

3 A′′=− u − 2 2 3 8 16 A′= 0 : − u2 − 2u + 4 = 0 ; u2 + u − =0 3 3 4 4 16 16 4 8 u1/ 2 =− ± + =− ± 3 9 3 3 3 u1 =

4 ∨ u2 =− 4 3

3 4 A′′(u1) =− ⋅ =− 2 < 0 (d. h. Maximum) 2 3 3 A′′(u2 ) =− ⋅(−4) = 2 > 0 (d. h. Minimum) 2

Ergebnis: Die größte Trapezfläche mit maximalem Flächeninhalt hat die Grundseite 4 3

a = 8 m und b = 2⋅ m = 2,67 m bei einer Höhe von h = Die Querschnittsfläche ist A = 18,99 m2.

32 9

m = 3,56 m .


15.4.9

241

Untersuchen Sie, an welcher Stelle zwischen den Schnittstellen der Funktionsgraphen Kf und K g die Ordinatendifferenz d(x) zwischen Kf mit 1 1 f(x) =− x 2 + 4 und K g mit g(x) = x 2 − 2x − 6 am größten wird. 3 2 Wie groß ist die maximale Ordinatendifferenz?

d(x) = f(x) − g(x) 1 1 d(x) =− x 2 + 4 − x 2 + 2x + 6 3 2 5 d(x) =− x 2 + 2x + 10 6 5 5 d′(x) =− x + 2 ; d′′(x) =− < 0 (d. h. Maximum) 3 3 5 6 d′(x) = 0 : − x + 2 = 0 ; x = = 1,2 3 5

Ergebnis: Bei x = 1,2 ist die Ordinatendifferenz am größten, sie ist dmax = 11,2 LE.

15.4.10 Untersuchen Sie, an welcher Stelle x1 ∈ [0; 5], die Ordinatendifferenz d(x) 1 zwischen den Funktionsgraphen Kf mit f(x) =− (x3 − 6x 2 + 4x + 12) 2 1 und der Geraden mit der Funktionsgleichung g(x) =− x − 1 am größten 2 wird. d(x) = f(x) − g(x) ⎛ 1 ⎞ 1 d(x) =− (x3 − 6x 2 + 4x + 12) −⎜− x − 1⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 1 d(x) =− x3 + 3x 2 − 1,5x − 5 2 3 d′(x) =− x 2 + 6x − 1,5 2 d′′(x) =− 3x + 6 3 d′(x) = 0 : − x 2 + 6x − 1,5 = 0 ; x 2 − 4x + 1 = 0 2

242

15 Anwendung der Differentialrechnung auf Ganzrationale Funktionen x1/ 2 = 2 ± 4 − 1 = 2 ± 3 ; x1 = 3,73 ∨ x 2 = 0,27 d′′(x1 ) =− 5,19 < 0 (d. h. Maximum) d′′(x 2 ) = 5,19 > 0 (d. h. Minimum)

Ergebnis: Bei x = 3,73 wird der Abstand der Kurve von der Geraden am größten. Er beträgt d = 5,196 LE.

15.4.11 Untersuchen Sie, an welcher Stelle x1 ∈ [3; 5], die Ordinatendifferenz 1 d(x) zwischen den Funktionsgraphen Kf mit f(x) =− x 4 + x 3 − x 2 − 4x 8 1 und der Parabel mit der Funktionsgleichung g(x) =− x 2 + x am größ4 ten wird.

d(x) = f(x) − g(x) ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ d(x) =⎜− x 4 + x 3 − x 2 − 4x ⎟−⎜− x 2 + x ⎟ ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 4 1 3 d(x) =− x 4 + x3 − x 2 − 5x 8 4 1 3 d′(x) =− x3 + 3x 2 − x − 5 2 2 1 3 d′(x) = 0 : − x3 + 3x 2 − x − 5 = 0 2 2

Horner-Schema: −0,5

x1 =−1

−0,5 1 − x 2 + 3,5x − 5 = 0 ; 2 x2 / 3 =

3

−1,5

−5

0,5

−3,5

5

3,5

−5

0

x 2 − 7x + 10 = 0

7 49 7 3 ± − 10 = ± ; x 2 = 5 ∨ x 3 = 2 (< 3, d. h. unbrauchbar) 2 4 2 2

Ergebnis: Die Ordinatendifferenz wird im Intervall [3; 5] bei x = 5 am größten. Sie beträgt d = 3,125 LE.

243

16 Newton’sches Näherungsverfahren Hinweis: Lehrbuch Kapitel 33

Ganzrationale Funktionen 16.1 Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = x3 − 2,5⋅ x − 4 und g(x) =− 2x − 2

Berechnen Sie die Nullstelle von Kf, sowie die Schnittstelle der beiden Funktionsgraphen Kf und Kg. 1. Nullstelle: f(x) = 0 : x3 − 2,5⋅ x − 4 = 0 Wir berechnen für die Bereichsgrenzen folgende beliebig gewählte Funktionswerte f(2) = 8 – 5 – 4 = –1 f(2,5) = 15,625 – 6,25 – 4 = 5,375 Daraus ist zu ersehen, dass die Nullstelle zwischen x = 2 und x = 2,5 liegen muss, da bei den Funktionswerten ein Vorzeichenwechsel stattgefunden hat. Zur Bestimmung der Nullstelle verwenden wir das Newton’sche Näherungsverfahren. Danach ist x n + 1 = xn −

f(xn ) f ′(xn )

Dazu benötigen wir noch die 1. Ableitung f ′(x) = 3x 2 − 2,5 Anfangswert: x0 = 2 1. Näherung: x1 = 2 −

f(2) −1 =2− = 2,105 f ′(2) 9,5

2.

x 2 = 2,105 −

0,0648 = 2,098996 10,793

3.

x 3 = 2,099 −

0,0002763 = 2,09897 10,7174

Nullstelle: N( 2,09897 ; 0)


244

16 Newton’sches Näherungsverfahren f(x) = g(x)

2. Schnittstelle:

x3 − 2,5⋅ x − 4 =− 2x − 2 x3 − 0,5⋅ x − 2 = 0

Da die Gleichung nicht elementar lösbar ist, suchen wir mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens die Nullstelle von h(x) = x 3 − 0,5⋅ x − 2 . Die Ableitungsfunktion lautet h′(x) = 3x 2 − 0,5 . Um einen geeigneten Startwert zu erhalten, wählen wir jetzt ein geometrisches Verfahren. Dazu stellen wir die Gleichung folgendermaßen um: x3 − 2 = 0,5x

Zeichnet man die Kurve y = x3 − 2 und die Gerade y = 0,5x in ein Koordinatensystem, so zeigt sich, dass die Funktionsgraphen sich genau in einem Punkt schneiden.

y

1

Diese Schnittstelle entnehmen wir der Skizze. Sie liegt bei x0 ≈ 1,3 . Diesen Wert nehmen wir als Anfangswert.

–2

Anfangswert: x0 = 1,3

–1 –1 –2

−0,453 = 1,399 4,57

x 2 = 1,399 −

0,03862 = 1,3918 5,3716

x3 = 1,3918 −

0,00016586 = 1,391769 5,31132

x 4 = 1,391769 −

2

y = 0,5 x

Näherungswerte: x1 = 1,3 −

1

0,0000012097 = 1,391768772 5,31106

Die gesuchte Schnittstelle ist x = 1,39177. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten S(1,3918 ; – 4,7835)

16.2 Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 4x3 + 5x 2 − 4x − 6

Berechnen Sie die Extrema, den Wendepunkt und die Nullstelle.

y = x3 – 2

x

245 1. Ableitungen:

f ′(x) = 12x2 + 10x − 4 f ′′(x) = 24x + 10 f ′′′(x) = 24 ≠ 0

2. Extrema: f ′(x) = 0 : 12x 2 + 10x − 4 = 0 5 1 x− =0 6 3 5 25 1 5 73 x1/ 2 =− ± + =− ± 12 144 3 12 144 x2 +

f ′′(x1) = 17,08 > 0 , d. h. E1(0,30 ; − 6,64) TP

x1 = 0,295 ; f(x1) =− 6,64 ;

x 2 =−1,129 ; f(x2 ) =− 0,867 ; f ′′(x 2 ) =−17,096 < 0 , d. h. E2 (−1,13 ; − 0,87) HP

3. Wendepunkt: f ′′(x) = 0 : 24x + 10 = 0 x =−

5 =− 0,417 ; f(x) =− 3,75 , W(−0,42 ; − 3,75) 12

4. Nullstelle: f(x) = 0 : 4x3 + 5x 2 − 4x − 6 = 0

Aus der Lage der Extrema ergibt sich, dass der Funktionsgraph bei x > 0,295 eine Nullstelle haben muss. Wir berechnen deshalb folgende Funktionswerte: f(1) = – 1 und f(2) = 38 Die Nullstelle liegt somit zwischen x = 1 und x = 2. Wir wählen x = 1 als Anfangswert: Anfangswert: x0 = 1 x1 = 1−

−1 = 1,056 18

x 2 = 1,056 −

0,062 = 1,05289 19,9416

x3 = 1,05289 −

N(1,05288 ; 0)

0,000179 = 1,05288 19,83183

246

16 Newton’sches Näherungsverfahren

Trigonometrische Funktionen 16.3 Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 2 − 2⋅ sin x und g(x) = 2 −

4x π

In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen im Bereich x ∈ [ 0 ; 2] ? An den Schnittstellen ist

f(x) = g(x) 2 − 2⋅sin x = 2 − sin x =

4x π

2 ⋅x π

Diese Gleichung ist nicht mehr elementar lösbar. Wir suchen mit Hilfe des Newton’schen Näherungsverfahrens eine Näherungslösung. Dazu betrachten wir die Funktion mit der Funktionsgleichung h(x) = sin x − von der wir die Nullstellen suchen. Wir benötigen dazu noch die 1. Ableitung h′(x) = cos x −

2 ⋅x , π

2 π

Den Anfangswert erhalten wir üblicherweise mit Hilfe der Funktionswerte, bei denen ein Vorzeichenwechsel stattfindet. Bei einfachen Funktionen kann ein Näherungswert auch graphisch gefunden werden als Schnittstelle von Kf und Kg. Die graphischen Lösungen sind

y y = p2 x 2 1 y = sin x

x1 = 0 und x 2 ≈ 2 1

Anfangswert: x0 = 2 4 sin 2 − h(2) π =2− 1. Näherung: x1 = 2 − 2 h′(2) cos 2 − π

x1 = 2 −

−0,36344 = 1,6548 −1,05276

p

x

247 2. Näherung: x 2 = 1,65 −

−0,0536 = 1,5751 −0,71574

3. Näherung: x3 = 1,575 −

−0,0026854 = 1,57081 −0,64082

4. Näherung: x 4 = 1,5708 −

−0,00000234 = 1,570796 −0,63662

Die beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten O(0 ; 0) und A(1,5708; 1)

Exponentialfunktionen 16.4 Gegeben sind die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 0,1⋅ e x − 0,5⋅ x − 4 und g(x) =− 0,1⋅e−x + 5

Berechnen Sie die Schnittstelle der Funktionsgraphen im Bereich x ≥ 0 . f(x) = g(x)

Schnittstelle:

0,1⋅ e x − 0,5x − 4 =− 0,1⋅ e−x + 5 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x − 0,5x − 9 = 0

Diese Gleichung ist nicht mehr elementar zu lösen. Wir verwenden das Newton’sche Näherungsverfahren. Dazu suchen wir eine Nullstelle von h(x) = 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x − 0,5x − 9

Die Berechnung der Funktionswerte h(4) =− 5,54 und h(5) = 3,34 zeigt, dass zwischen x = 4 und x = 5 eine Nullstelle liegen muss. Wir wählen als Anfangswert x0 = 4,5. Um zu prüfen, ob der vorgesehene Anfangswert geeignet ist, benutzen wir das folgende Konvergenzkriterium, das wir hier zum ersten Mal einführen und das bei allen übrigen Näherungsrechnungen ebenfalls angewandt werden kann: h(x0 )⋅h′′(x0 )

(h′(x0 ))2

0 , d. h. Tiefpunkt 2 ⎛π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ; −1⎟ (TP) E1⎜ ; 5 ⎟ (HP) ; E2⎜ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ x1 =


x3


253

4. Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : −3⋅sin x = 0 ; sin x = 0 x1 = 0 ; f(x1) = 2 ;

W1(0 ; 2)

x 2 = π ; f(x 2 ) = 2 ;

W1( π ; 2)

x3 = 2 π ; f(x 3 ) = 2 ;

W1(2 π ; 2)

x1 = 0 x3 = 2 p

x2 = p

5. Steigung des Funktionsgraphen: f ′(x) = 1: 3⋅cos x = 1 ; cos x =

x1

1 3

x1 = 1,2309

1 3

x 2 = 2 π − x1 = 5,052

x2

6. Graph: f(x) 5 4 3 2 1 3p 2 –2 – p 2

–1

1

p

2

3

4

5

6

x

2

18.1.2 An welchen Stellen und unter welchem Winkel schneiden sich die Funktionsgraphen von 3 1 f(x) = ⋅cos x − ⋅sin x ; x ∈ [0 ; 2 π 2 2

]

1 g(x) =− ⋅cos x ; x ∈ [0 ; 2 π ] ? 2

und

254

18 Trigonometrische Funktionen f(x) = g(x)

Schnittstellen:

3 1 1 ⋅cos x − ⋅sin x =− ⋅cos x 2 2 2 4⋅cos x = sin x 4⋅cos x = 1− cos2 x 16⋅cos2 x = 1− cos2 x 17 cos2 x = 1 cos x =±

1 =± 0,2425 17

Da beim Lösen der Wurzelgleichung quadriert wurde, haben wir es mit einer Nicht-Äquivalenzumformung zu tun. Die richtigen Werte müssen deshalb noch mit Hilfe einer Probe ermittelt werden.

x1 = 1,3258

→ Probe: 0,9701 = 0,9701 (w)

x 2 = 2 π − 1,3258 = 4,9574 → Probe: 0,9701 ≠ – 0,9701 (f) x 3 = 1,8158

→ Probe: – 0,9701 ≠ 0,9701 (f)

x 4 = 2 π − 1,8158 = 4,4674 → Probe: – 0,9701 = – 0,9701 (w)

Schnittwinkel: 3 1 f ′(x) =− ⋅sin x − ⋅cos x 2 2 f ′(x1) =−1,5765 ;

α1 = arc tan(−1,5765) =− 57,61° = 302,39°

f ′(x 4 ) = 1,5765 ;

α4 = arc tan(1,5765) = 57,61°

1 g′(x) = ⋅sin x 2 g′(x1) = 0,4851 ;

β1 = arc tan(0,4851) = 25,88°

g′(x 4 ) =− 0,4851 ;

β 4 = arc tan(−0,4851) =− 28,75° = 331,25°

Schnittwinkel bei x1 : δ1 = β1 − α1 = 25,88° − (302,39° ) =− 276,51= 83,49° Schnittwinkel bei x 4 : δ4 = β 4 − α4 = 273,64° oder δ4 = 83,49° *) *) Bei Schnittwinkeln ist es üblich, Winkel unter 90° anzugeben.

18.1.3 Untersuchen Sie die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 21 ⋅cos x − 2⋅ sin x ; x ∈ [0 ; 2 π

auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild.

]

18.1 Kurvendiskussion 1. Nullstellen:

255

1 ⋅cos x − 2⋅ sin x = 0 2 cos x = 4⋅sin x 1− sin2 x = 4 ⋅sin x 1− sin2 x = 16⋅ sin2 x 17⋅ sin2 x = 1 sin2 x =

1 1 ; sin x =± =± 0,24253 17 17

x1 = 0,24497

→ Probe: 0,9701 = 0,9701 (w)

x 2 = π − x1 = 2,8966 → Probe: – 0,9701 ≠ 0,9701 (f) x 3 = 3,3866

→ Probe: – 0,9701 = – 0,9701 (w)

x 4 = 6,0382

→ Probe: 0,9701 ≠ – 0,9701 (f)

N1 ( 0,2445 ; 0 ) , N2 ( 3,387 ; 0 )

2. Ableitungen:

3. Extrema:

1 f ′(x) =− ⋅ sin x − 2⋅cos x 2 1 f ′′(x) =− ⋅cos x + 2⋅sin x 2 1 f ′′′(x) = ⋅sin x + 2⋅cos x 2 1 f ′(x) = 0 : − ⋅sin x − 2⋅cos x = 0 2 sin x =− 4⋅cos x sin x =− 4⋅ 1− sin2 x sin2 x = 16 ⋅(1− sin2 x) 17⋅ sin2 x = 16 sin2 x =

16 16 ; sin x =± =± 0,9701 17 17

x1 = 1,3258

→ Probe: 0,9701 ≠ -0,9701 (f)

x 2 = 1,8158

→ Probe: 0,9701 = 0,9701 (w)

x 3 = 4,4674

→ Probe: – 0,9701 ≠ 0,9701 (f)

x 4 =−1,3258 = 4,9574

→ Probe: – 0,9701 = – 0,9701 (w)

E1(1,816; − 2,062) , E2 (4,9574; 2,062)

256

18 Trigonometrische Funktionen

4. Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : − 21 ⋅cos x + 2⋅sin x = 0 4⋅ sin x = cos x 4⋅ sin x = 1− sin2 x 16⋅ sin2 x = 1− sin2 x 17⋅ sin2 x = 1 sin2 x =

1 1 ; sin x =± =± 0,2425 17 17

Die Berechnung und Probe ergibt (vgl. Berechnung der Nullstellen!), dass nur die Werte x1 = 0,245 und x 2 = 3,387 in Frage kommen. Dies sind gleichzeitig die Nullstellen. W1(0,245; 0) = N1 ; W2 (3,387; 0) = N2 5. Graph: f(x) 2 1

1

2

3

4

5

7

6

x

18.1.4 Untersuchen Sie die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = cos2 x − 2⋅cos x + 1; x ∈ [0 ; 2 π

]

auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild. 1. Nullstellen:

f(x) = 0 : cos2 x − 2⋅cos x + 1= 0 (cos x)1/ 2 = 1± 1− 1 = 1 x1 = 0 ; x 2 = 2 π N1 ( 0 ; 0 ) ; N2 ( 2 π ; 0 )

2. Ableitungen: f ′(x) = 2cos x ⋅(− sin x) − 2⋅(− sin x)


257

f ′(x) = 2 sin x ⋅(1− cos x) f ′′(x) = 2 cos x ⋅(1− cos x) + 2 sin x ⋅sin x f ′′(x) = 2 cos x − 2 cos2 x + 2 sin2 x f ′′(x) = 2 cos x − 2 cos2 x + 2 − 2⋅cos2 x f ′′(x) = 2 cos x − 4 cos2 x + 2 f ′′′(x) =− 2 sin x + 8 cos x ⋅sin x

3. Extrema:

f ′(x) = 0 : 2 sin x ⋅(1− cos x) = 0 x1 = 0 ; x 2 = π ; x3 = 2 π cos x = 1: x 4 = x1 = 0 ; x 5 = x3 = 2 π

sin x = 0:

f(0) = 0 ; f( π) = 4 , f(2 π ) = 0 ; f ′′(0) = 0 , d. h. Sattelpunkt

E1 (0 ; 0)

E2 ( π ; 4) ; f ′′( π) =< 0 , d. h. Hochpunkt E3 (2 π ; 0) ; f ′′(0) = 0 , d. h. Sattelpunkt

4. Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 2 cos x − 4 cos2 x + 2 = 0 cos2 x −

1 1 cos x − = 0 2 2

(cos x)1/ 2 =

1 1 1 1 3 ± + = ± 4 16 2 4 4

cos x = 1 : x1 = 0 ; x 2 = 2 π ; f(x1) = 0 ; f(x 2 ) = 0 (Sattelpunkte) 1 : x 3 = 2,094 ; f(x3 ) = 2,249 2 x 4 = 4,189 ; f(x 4 ) = 2,249

cos x =−

S(0 ; 0) = E1 ; S(2 π ; 0) = E3 ; W1(2,09 ; 2,25) ; W2 (4,19 ; 2,25)

5. Graph: f(x) 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

x

258


18.1.5 Auf einem Oszillographen wird der Sinusimpuls f(t) = 1,5⋅sin t mit einem linearen Impuls g(t) = 0,5⋅ t zur Überlagerung gebracht. Diskutieren Sie den zeitlichen Verlauf des Gesamtimpulses für t ∈ [0 ; 2 π ] . 1. Nullstellen: f(t) = 0: 1,5⋅sin t + 0,5⋅ t = 0 3⋅sin t =− t t1 = 0 N1(0 ; 0) f ′(t) = 1,5⋅cos t + 0,5

2. Ableitungen:

f ′′(t) =−1,5⋅sin t f ′′′(t) =−1,5⋅cos t f ′(t) = 0 : 1,5⋅cos t + 0,5 = 0

3. Extrema:

cos t =−

1 3

t1 = 1,9106 ; f(t1) = 2,3695 t 2 = π + 1,9106 = 5,0522 ; f(t 2 ) = 1,1119 E1(1,91; 2,37) ; E2 ( 5,05 ; 1,11)

4. Wendepunkte: f ′′(t) = 0 : −1,5⋅sin t = 0 t1 = 0 ; t 2 = π ; t 3 = 2 π W1(0 ; 0) = N1 ; W2 ( π ; 1,57) ; W3 (2 π ; π )

5. Graph: f(t) 2

1

–1

1

2

3

4

5

6

t


259

18.2 Funktionssynthese 18.2.1 Eine Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a⋅ x + b⋅sin x

soll im Ursprung eine waagrechte Tangente besitzen und durch den Punkt P(2π ; 4) gehen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. 1. Ableitung:

f ′(x) = a + b⋅cos x

2. Bedingungen: f(2 π) = 4 :

a⋅2 π + b⋅sin (2 π ) = 4

(1)

0

f ′(0) = 0 :

a + b⋅cos 0=0 N

(2)

1

3. Auswertung: Aus (2): a =− b , eingesetzt in Gl. (1): − b⋅2 π = 4 ; b =− f(x) =

4. Funktionsgleichung:

2 2 , damit a = . π π

2 2 ⋅ x − ⋅ sin x π π

18.2.2 Der Funktionsgraph mit der Funktionsgleichung f(x) = a⋅ x + 1− b⋅cos (2x) ⎛ π π⎞ soll im Punkt A⎜ ; ⎟einen Steigungswinkel von 45° haben. ⎝2 2⎠ Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

1. Ableitung:

f ′(x) = a + 2b⋅ sin (2x)

2. Bedingungen und Auswertung: ⎛ π⎞ f ′⎜ ⎟= 1: a + 2b⋅ sin π =1 N ⎝2⎠

; a = 1 (1)

0

3. Auswertung:

⎛ π⎞ π f⎜ ⎟= : ⎝2⎠ 2

a⋅

Gl.(1) in (2):

b =− 1 (3)

4. Funktionsgleichung:

π π + 1− b⋅cos ( π ) = 2 2 −1

f(x) = x + 1− cos (2x)

(2)

260


18.3 Extremwertaufgaben 18.3.1 Gegeben sind die Funktionen f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 sin x + 1 und die Funktion g mit der Funktionsgleichung g(x) = – 3 sin x. An welchen Stellen schneiden sich die beiden Funktionsgraphen? An welchen Stellen im Bereich zwischen den Schnittstellen ist die Ordinatendifferenz d(x) = f(x) – g(x) am größten? f(x) = g(x)

1. Schnittstellen:

2 sin x + 1 = – 3 sin x sin x =−

1 5

x1 =− 0,2014 = 6,0818 x 2 = π − x1 = 3,343

2. Ordinatendifferenz:

d(x) = f(x) – g(x) d(x) = 2 sin x + 1 – (– 3 sin x) d(x) = 5 sin x + 1 d′(x) = 5 cos x d′′(x) =− 5 sin x d′(x) = 0 : 5 cos x = 0 ; cos x = 0 ; x3 = x4 =

⎛ π⎞ π π = 1,5708 ; d⎜ ⎟= 5⋅ sin + 1= 6 LE. ⎝2⎠ 2 2

⎛ 3π ⎞ 3π 3π = 4,7124 ; d⎜ ⎟= 5⋅ sin + 1= − 4 = 4 LE. ⎝ 2 ⎠ 2 2

(Das Minuszeichen ergibt sich hier aus der Überschneidung der Funktionsgraphen: g(x) ist im Bereich x1 ≤ x ≤ x 2 größer als f(x))

Ergebnis: Die Ordinatendifferenz ist am größten bei x 4 = 4,7124 .

261

19 Exponentialfunktionen 19.1 Kurvendiskussion 19.1.1 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 − 0,5⋅e−x − e x

Berechnen Sie die Nullstellen und den Extrempunkt. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente im Punkt A(0 ; f(0)) an den Funktionsgraphen. Nullstellen: f(x) = 0 : 2 − 0,5⋅e−x − e x = 0

2−

1 2⋅ e

4⋅ e x 2

(ex )

x

− ex = 0

− 1− 2⋅ e2⋅x = 0 − 2⋅ e x +

1 =0 2

(e x )1/ 2 = 1± 1−

1 1 2 = 1± = 1± 2 2 2

(e x )1 = 1,7071 ; ln e x = x ⋅ln e = ln 1,7071 N 1

x1 = 0,53479 ; N1(0,5348 ; 0 ) (e x )2 = 0,29289 ; x = ln 0,29289 =−1,2279 x 2 =−1,2279 ; N2 (−1,2279 ; 0 )

Ableitungen: f ′(x) = 0,5⋅e−x − e x f ′′(x) =− 0,5⋅ e−x − e x

Extrema:

f ′(x) = 0 : 0,5⋅e−x − e x = 0

(e x )2 = 1 ; (e x )1/ 2 =± 1 ; 2

2

(ex )1 = 1 ; ln e x = x1 = ln 1 =− 0,3466 ; f(x1) = 0,5858 2

2


262

19 Exponentialfunktionen f ′′(x1) =−1,4142 < 0 , d. h. Maximum;

E (−0,3466 ; 0,5858)

⎛ ⎞ (ex )2 =− 1 ; x2 = ln⎜− 1 ⎟ (nicht definiert, d. h. keine weitere Lösung) ⎝

2

2⎠

Berechnung der Tangente: f(0) = 2 −

1 2⋅ e

0

− e0 =

⎛ Steigung in A⎜0 ; ⎝

⎛ 1 , damit A⎜0 ; ⎝ 2

1⎞ ⎟ 2⎠

1⎞ 1 ⎟: f ′(0) = 0,5⋅e0 + e0 =− 2⎠ 2

⎛ Gerade durch A⎜0 ; ⎝

1⎞ ⎟: 2⎠

y−

1 1 =− (x − 0) 2 2

1 1 y =− x + 2 2

Tangentengleichung: Graph:

f(x)

–2

–1

1

2

x

19.1.2 Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild Kf und der Funktionsgleichung

f(x) = 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x − 0,5⋅ x − 3

Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte. Zeigen Sie, dass Kf keinen Wendepunkt hat. Zeichnen Sie das Schaubild für x ∈ [−3 ; 4] .

19.1 Kurvendiskussion Nullstellen:

263

f(x) = 0 : 0,1⋅ e x + 0,1⋅e−x − 0,5⋅ x − 3 = 0

1 e x + x − 5x − 30 = 0 e 1 g(x) = e x + x − 5x − 30 e 1 g′(x) = e x − x − 5 e x0 = 3,5 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf) x1 = 3,5 −

−14,3544 = 4,0111 28,08525

x 2 = 4,01−

5,115 = 3,90796 50,1287

x3 = 3,91−

0,36899 = 3,90177 44,8789

x3 = 3,901−

−0,0329 = 3,90174 44,43165

Eine Nullstelle: N(3,90 ; 0) Die zweite Nullstelle ist ebenfalls näherungsweise zu berechnen. Ableitungen: f ′(x) = 0,1⋅e x − 0,1⋅e−x − 0,5 f ′′(x) = 0,1⋅ e x + 0,1⋅ e−x

Extrema: f ′(x) = 0 : 0,1⋅e x − 0,1⋅e−x − 0,5 = 0 1 ex − x − 5 = 0 e (e x )2 − 5e x − 1= 0 (e x )1/ 2 = 52 ± (e x )1 =

25 5 29 +1 = ± 4 2 4

5 29 + = 5,19258 2 4

x1 = ln (5,19258) = 1,6472 ; f(x1) =− 3,285 ;

E1 (1,65 ; − 3,285)

5 29 − =− 0,1926 ; x 2 = ln (−0,1926) nicht definiert, 2 4 d. h. keine weiteren Extrema. (e x )2 =

264

19 Exponentialfunktionen

Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x = 0

ex +

1 ex

= 0 oder (e x )2 =−1

Diese Gleichung hat keine reellen Lösungen, da e2x nicht negativ werden kann, d. h. es gibt keinen Wendepunkt. Graph: f(x)

3 2 1

–3

–2

–1

1

2

3

x


f(x) =− 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x + 0,5⋅ x + 2

Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild für x ∈ [−4 ; 4] . Nullstellen: f(x) = 0 : −0.1⋅e x + 0,1⋅e−x + 0,5⋅ x + 2 = 0 g(x) = e x − e−x − 5⋅ x − 20 g′(x) = e x + e−x − 5 x0 = 3,5 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf)

19.1 Kurvendiskussion x1 = 3,5 −

265

−4,4147 = 3,6568 28,1456

x 2 = 3,656 −

0,40037 = 3,6441 33,73204

x3 = 3,644 −

−0,001638 = 3,64405 33,27066

N (3,644 ; 0) Ableitungen: f ′(x) =− 0,1⋅ e x − 0,1⋅e−x + 0,5 f ′′(x) =− 0,1⋅e x + 0,1⋅e−x

Extrema: f ′(x) = 0 : −0,1⋅ e x − 0,1⋅ e−x + 0,5 = 0 1 −e x − x + 5 = 0 e 2

(e x ) − 5⋅e x + 1= 0 (e x )1/ 2 = (e x )1 =

5 25 5 29 ± +1 = ± 2 4 2 4

5 29 + = 5,19258 2 4

x1 = ln (5,19258) = 1,6472 ; f(x1) = 2,3236 ; E1 (1,65 ; 2,32) 5 29 − =− 0,1926 ; x 2 = ln (−0,1926) nicht definiert, 2 4 d. h. keine weiteren Extrema. (e x )2 =

Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : −0,1⋅ e x + 0,1⋅e−x = 0

−ex +

1 ex

=0

(e x )2 = 1 ; (e x ) =±1 (negativer Wert unbrauchbar, da ln (–1) nicht definiert ist!) e x = 1 ; x = ln 1 = 0 f(0) = 2 ; W (0 ; 2)

266


Graph: f(x(

3 2 1

–1

1

2

3

4

x


⎛ 1 ⎞x f(x) =⎜ ⎟ + 2⋅ 2x + 1 − 8 ⎝ 2⎠

Untersuchen Sie Kf auf Nullstellen und Extrempunkte und Wendepunkte. Zeichnen Sie das Schaubild für x ∈ [−4 ; 4] . ⎛ 1 ⎞x Nullstellen: f(x) = 0 : ⎜ ⎟ + 2⋅ 2x + 1 − 8 = 0 ⎝ 2⎠

1 2x

+ 2⋅ 2 x + 1 − 8 = 0

1+ 2⋅2x ⋅2x + 1 − 8⋅2x = 0 1+ 2x + 1⋅2x + 1 − 4⋅2⋅2x = 0 2

( 2x + 1 )

− 4 ⋅ 2x + 1 + 1= 0


(2x + 1)1/ 2 = 2 ±

267 4 −1 = 2 ± 3

(2x + 1)1 = 2 +

3 = 3,73205

(2x + 1)2 = 2 −

3 = 0,26795

(x + 1)⋅ln 2 = ln (2 + 3 ) ; x1 =

ln (2 + 3 ) − 1= 0,89997 ; N1 (0,9 ; 0) ln 2

(x + 1)⋅ln 2 = ln (2 − 3 ) ; x 2 =

ln (2 − 3 ) − 1=− 2,89997 ; N2 (−2,9 ; 0) ln 2

Ableitungen: ⎛ 1 ⎞x f(x) =⎜ ⎟ + 2⋅2x + 1 − 8 = 2−x + 2x + 2 − 8 ⎝2⎠ ⎛ 1 ⎞x 1 f ′(x) =⎜ ⎟ ⋅ln + 2⋅2x + 1⋅ln 2 2 ⎝2⎠ ⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞2 f ′′(x) =⎜ ⎟ ⋅⎜ln ⎟ + 2⋅ 2x + 1⋅(ln 2)2 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞ Extrema: f ′(x) = 0 : ⎜ ⎟ ⋅ln⎜ ⎟+ 2x + 2 ⋅ln 2 = 0 ⎝2⎠ ⎝2⎠

1 2

⋅(−ln 2) + 4⋅ 2x ⋅ln 2 = 0 x

⋅

2x ln 2

−1+ 4⋅ 22x = 0

( )

22x = 22

x

= 4x =

1 4

x ⋅ln 4 =− ln 4 x =−1 ; f(−1) =− 4 ;

f ′′(−1) > 0 , d. h. Tiefpunkt, E ( –1; – 4)

⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞2 Wendepunkt: f ′′(x) = 0 : ⎜ ⎟ ⋅⎜ln ⎟ + 2⋅2 x + 1⋅(ln 2)2 = 0 ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 1 2x

2

⋅(−ln 2) + 2⋅2x + 1⋅(ln 2)2 = 0 ⋅

2x (ln 2)2

1 4 x ⋅ln 4 = ln (−0,25) , ln (−0,25) nicht definiert d. h. kein Wendepunkt.

1+ 4⋅(2x )2 = 0 ;

4 x =−

268


Graph: f(x)

1

–3

–2

–1

1

2

x

–1 –2 –3

19.1.5 Gegeben sei die Funktion f mit dem Schaubild K f und der Funktionsgleichung f(x) = 0,5⋅e− 0,5x + x − 2

Untersuchen Sie Kf auf Extrempunkte. Berechnen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und zeichnen Sie das Schaubild für x ∈ [−6 ; 4 ] . Berechnen Sie die Fläche, die begrenzt ist durch Kf, die Koordinatenachsen und die Gerade x = – 5. Ableitungen:

f ′(x) =− (0,5)2 ⋅e− 0,5x + 1 f ′′(x) = (0,5)3 ⋅e− 0,5x

Nullstellen: f(x) = 0 : 0,5⋅ e− 0,5x + x − 2 = 0 e− 0,5x + 2x − 4 = 0

Die näherungsweise Lösung dieser Gleichung ergibt die Nullstellen N1(−5,385; 0) ; N2 (1,796; 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0: f(0) = 0,5⋅e0 − 2 =− 1,5 : S y (0 ; −1,5) Extrema: f ′(x) = 0 :

−(0,5)2 ⋅e− 0,5x + 1= 0 e− 0,5x = 4 ; −0,5x ⋅ln e = ln 4


269 x=

ln 4 =− 2⋅ln 4 =− ln 16 =− 2,77 −0,5

f(−2,77) = 0,5⋅e− 0,5 ⋅ (−2,77) − 2,77 − 2 =− 2,77 ; E (– 2,77 ; – 2,77) (Minimum) f ′′(−2,77) = (0,5)3 ⋅e− 0,5 ⋅ (−2,77) = 0,499 > 0 d. h. Minimum

Graph: f(x)

2

1

–5

–4

–3

–2

–1

1

2

3

x

Flächenberechnung:

Da die Fläche im 3. Quadranten d. h. unterhalb der x-Achse liegt, ist der Funktionswert f(x) und damit der Integralwert negativ. Um einen positiven Flächeninhalt zu bekommen, ist deshalb der Betrag des Integralwertes zu nehmen. Ein Vorzeichenwechsel wird auch erreicht durch die Umkehrung der Integrationsgrenzen. Wir kehren deshalb die Integrationsgrenzen um. A=

−5

∫ (0,5⋅e 0

− 0,5x

A = (−e2,5 + 12,5 + 10) − (−1) A = 11,32 FE

−5

x2 ⎡ ⎤ + x − 2) dx = −e−0,5x + − 2x 2 ⎣ ⎦0

270


19.2 Funktionsgleichungen aus Vorgaben 19.2.1 Die Tangente an den Funktionsgraphen von f mit der Funktionsgleichung f(x) = a⋅ ex + b

hat die Gleichung y = – x – 2 und berührt Kf auf der y-Achse. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f. Bedingungen: K f hat im Schnittpunkt mit der y-Achse die gleiche Steigung wie die Tangente:

Steigung von Kf:

f ′(x) = a⋅ e x

f ′(0) = a⋅ e0 =−1 ; a =−1 Schnittpunkt der Tangente mit der y-Achse: x = 0: y = – 2

(1)

S y (0 ; − 2) : f(0) =− 2 : a⋅e0 + b =− 2

(2)

0 Gl.(1) in (2): −1⋅e N + b =− 2 , daraus b = – 1 1

Funktionsgleichung:

f(x) =− e x −1

19.2.2 Der Funktionsgraph Kf von f mit der Funktionsgleichung f(x) = a⋅ eax + bx

schneidet die y-Achse bei y = 2 und hat im Schnittpunkt eine Tangente, die orthogonal zur 1. Winkelhalbierenden mit der Gleichung y = x verläuft. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Bedingungen: 0 S y (0 ; 2) ist Kurvenpunkt: f(0) = 2: a⋅ e N =2; a=2

Steigung von Kf: Steigung in S y (0 ; 2) :

f ′(x) =

(1)

1 2 ax a e

⋅

f ′(0) =−1:

+b

a2 + b =−1

(2)

(1) in (2): 4 + b =−1 ; b =− 5 Funktionsgleichung:

f(x) = 2⋅ e2x − 5x

19.2.3 Der Funktionsgraph Kf von f mit der Funktionsgleichung f(x) = a⋅ebx + e− bx + c

schneidet die y-Achse bei y = – 2. Die Kurventangente im Berührpunkt Sy (0 ; – 2) hat die Gleichung y =− 0,5x − 2. Die Steigung bei x = 1 ist 0,5e – e–1. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

19.2 Funktionsgleichungen aus Vorgaben

271

Bedingungen: S y (0 ; − 2) ist Kurvenpunkt: f(0) = – 2: a⋅ e0 + e0 + c =− 2

Mit e0 = 1 erhält man:

a + c =− 3 (1)

Steigung von Kf:

f ′(x) = a⋅b⋅ebx − b⋅ e−bx

Steigung in S y (0 ; − 2) :

f ′(0) =− 0,5 : a⋅b − b =− 0,5 (2)

Steigung bei x = 1: f ′(1) = 0,5e − e−1 : a⋅b⋅eb − b⋅e−b = 0,5e − e−1 (3) Aus (2) a⋅b = b − 0,5 in (3) eingesetzt: (b – 0,5)⋅ eb − b⋅ e−b = 0,5e1 − e−1 Ein Koeffizientenvergleich und ein Vergleich der Hochzahlen ergeben, dass die Gleichung nur dann erfüllt werden kann, wenn b = 1 ist. Mit b = 1 ergibt sich aus (2):

a = 0,5

Aus (1) erhält man:

c = – 3,5

Funktionsgleichung:

f(x) = 0,5⋅e x + e− x − 3,5

f(x) 3 2 1

-2

-1

1 -1

-2

2

x

272

D Integralrechnung

20 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung 20.1 Ganzrationale Funktionen 20.1.1 Gegeben ist die Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) =

1 3 1 x − x2 − x + 5 6 6

Berechnen Sie die Nullstellen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der beiden durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzten Flächen. Nullstellen: f(x) = 0:

1 3 1 x − x 2 − x + 5 = 0 oder x 3 − 6x 2 − x + 30 = 0 6 6

Hornerschema:

1 x1 =− 2

1

–6

–1

30

–2

16 – 30

–8

15

0

x 2 − 8x + 15 = 0 x 2 / 3 = 4 ± 16 − 15 = 4 ± 1 x 2 = 5 ; x3 = 3 ; N1 (−2 ; 0); N2 (3 ; 0) ; N3 (5 ; 0)

Integrationsintervalle: [−2 ; 3 ] ; [ 3 ; 5

]

⎡ 1 x 4 x3 x 2 ⎤3 ⎞ 1 3 1 2 ⎢ − − + 5x ⎥ A1 = ∫⎜ x − x − x + 5 ⎟dx = ⋅ ⎝6 ⎠ 6 3 12 ⎣6 4 ⎦ −2 3⎛

−2

⎛2 8 1 ⎞ 27 3 5 − 9 − + 15 −⎜ + − − 10⎟= 15 = 15,625 FE A1 = ⎝3 3 3 ⎠ 8 4 8

Wir wollen beim nächsten Integral die Grenzen vertauschen, damit wir einen positiven Integralwert für die Fläche erhalten. ⎛ 54 53 25 ⎞ 4 ⎡ 1 x4 ⎤3 33 x3 x2 3 A 2 =⎢ ⋅ − − + 5x ⎥ = − 9 − + 15 −⎜ − − + 25 ⎟= FE ⎝ 24 ⎠ 3 3 12 8 4 3 12 ⎣6 4 ⎦5 A ges = A1 + A 2 = 16

23 FE 24



273

20.1.2 Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) = x 2 + x − 2 und dem Funktionsgraphen von 1 1 g(x) =− x 2 + x − rechts des Schnittpunktes von P(– 1 ; – 2). 2 2

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f(x) = g(x) 1 1 x 2 + x − 2 =− x 2 + x − 2 2 3 2 x − 1,5 = 0 ; x1/ 2 =±1 2

Integrationsintervall: [−1; 1 ] 1

⎡ 3 x3 ⎤ ⎛3 ⎞ A = ∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫⎜ x 2 − 1,5⎟dx =⎢ ⋅ − 1,5x ⎥ ⎝2 ⎠ ⎣2 3 ⎦ 1

1

−1

−1

A =

−1

⎛ 1 ⎞ 1 − 1,5 −⎜− + 1,5⎟ = 2 FE ⎝ ⎠ 2 2

20.1.3 Gegeben sind die Funktionen mit den Funktionsgleichungen f(x) =

1 2 2 x (x − 9) und g(x) =− 2x 2 + 6x 10

Berechnen Sie den von den Funktionsgraphen Kf und Kg begrenzte Fläche im 1. und 4. Quadranten. Schnittstellen der Funktionsgraphen: f(x) = g(x) 1 2 2 x (x − 9) =− 2x 2 + 6x 10 1 4 11 2 x + x − 6x = 0 10 10 x ⋅(x 3 + 11x − 60) = 0 x1 = 0

Hornerschema: 1 x1 = 3

1

0

11

– 60

3

9

60

3

20

0

274

20 Flächenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung

Aus dem Restpolynom x 2 + 3x + 20 erhalten wir die quadratische Gleichung x 2 + 3x + 20 = 0 mit den Lösungen x 2 / 3 =−1,5 ±

9 − 20 (keine reellen Lösungen, d. h. keine weiteren Schnittstellen) 4

Integrationsintervall: [0 ; 3] 3 3⎛ ⎡ x5 11⋅ x3 ⎤3 ⎞ 1 11 2 + − 3x 2 ⎥ A = ∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫⎜ x 4 + x − 6x ⎟ dx =⎢ ⎝ 10 ⎠ 10 30 ⎣ 50 ⎦ 0 0 0

A =

35 11⋅33 + − 3⋅9 = −12,24 = 12,24 FE 50 30

20.1.4 Die Funktionsgraphen von f(x) =

1 3 1 2 1 x − ⋅ x + 2x und g(x) =− x 2 32 2 2

begrenzen im Intervall [ 0 ; 4] eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt. Schnittstellen der Funktionsgraphen: f(x) = g(x) 1 3 1 2 1 x − x + 2x =− x 2 32 2 2 1 3 x + 2x = 0 32 ⎛ 1 2 ⎞ 1 2 x ⋅⎜ x + 2⎟= 0 ; x1 = 0 ; x + 2 = 0 (keine weiteren reellen Schnittstellen) ⎝ 32 ⎠ 32

Integrationsintervall: [0 ; 4 ] 4 4⎛ 4 ⎞ ⎛ 1 3 1 2 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞ A = ∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫⎜⎜ x − x + 2x ⎟− − 21 x 2 ⎟dx = ∫⎜ x + 2x ⎟dx ⎝ 32 ⎠ ⎝ 32 ⎠ 2 ⎠ 0 0⎝ 0

(

)

⎡ x4 ⎤4 2 + x ⎥ = 18 FE A=⎢ ⎣ 4⋅32 ⎦0

20.1.5 Die Funktionsgraphen von f(x) =

1 3 1 x − x 2 − und g(x) = 2x − 3 3 3

begrenzen zwei Flächen. Berechnen Sie den Flächeninhalt.


275

Schnittstellen der Funktionsgraphen: f(x) = g(x) 1 3 1 x − x 2 − = 2x − 3 3 3 x 3 − 3x 2 − 6x + 8 = 0

Hornerschema: 1 x1 = 1

1

–3

–6

8

1

–2

–8

–2

–8

0

x 2 / 3 = 1± 1+ 8 = 1± 3 ; x 2 = 4 ; x 3 =− 2

Integrationsintervalle: [−2 ; 1 ] ; 1

A1 =

∫ (f(x) − g(x)) dx =

−2 1

A1 =

⎛1

[ 1; 4 ]

1⎛

⎛1

1⎞

⎞

∫⎜⎝⎜⎝ 3 ⋅ x3 − x2 − 3 ⎟⎠− (2x − 3)⎟⎠dx

−2

8⎞

∫⎜⎝ 3 ⋅ x3 − x2 − 2x − 3 ⎟⎠dx

−2

1 ⎡ x 4 x3 8 ⎤ 2 A1 = ⎢ − − x − x⎥ 3 3 ⎦ ⎣ 12 −2

A1 =

1 1 8 ⎛ 16 8 16 ⎞ 111 37 − − 1− −⎜ + − 4 + ⎟ = − = = 9,25 FE 12 3 3 ⎝ 12 3 3⎠ 12 4

4 ⎛1 8⎞ A 2 = ∫⎜ ⋅ x3 − x 2 − 2x − ⎟dx ⎝3 3⎠ 1 4 4 ⎡ x 4 x3 ⎡ x 4 x3 8 ⎤ 8 ⎤ 2 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − − x − x =− − −x − x A2 = 3 3 ⎦ 3 3 ⎦ ⎣ 12 ⎣ 12 1 1

⎛1 1 8 ⎞ ⎛ 64 64 32 ⎞ 367 − − 16 − ⎟= = 30,58 FE A 2 =−⎜ − − 1− ⎟−⎜ ⎝ 12 3 3⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠ 12 A ges = A1 + A 2 =

478 = 39,83 FE 12

276


20.1.6 Die Funktionsgraphen von f(x) = 0,5x3 − 1,5x 2 − 2x + 2 und g(x) =− 2x

begrenzen eine Fläche. Berechnen Sie den Flächeninhalt. Begründen Sie, warum die Gerade g(x) = – 2x den Funktionsgraphen Kf berührt. Berechnen Sie den Berührpunkt. Schnittstellen:

f(x) = g(x) 0,5x3 − 1,5x 2 − 2x + 2 =− 2x 0,5x3 − 1,5x2 + 2 = 0

Hornerschema: 0,5 –1,5 x1 = 2

0,5

0

2

1

–1

–2

–0,5

–1

0

0,5x 2 − 0,5x − 1= 0 oder x 2 − x − 2 = 0 x2 / 3 =

1 1 1 3 ± +2 = ± 2 4 2 2

f(x) g(x) 2

x 2 = 2 ∨ x3 =− 1

Aus der doppelten Schnittstelle ist zu erkennen, dass die Gerade g(x) =− 2x die Kurve K f bei x = 2 berührt. Die Steigung von Kf ist

1

f(x)

–1

1

2

–1

f ′(x) = 1,5x 2 − 3x − 2 ; f ′(2) =− 2

Dies ist auch die Steigung der Geraden g(x) =− 2x .

g(x)

Bei x = 2 ist g(2) =− 2⋅2 =− 4 Der Berührpunkt hat damit die Koordinaten B(2 ; −4 ). 2

2

−1

−1

–4

A = ∫ (f(x) − g(x)) dx = ∫ (0,5x3 − 1,5x 2 − 2x + 2 − (−2x)) dx 2

A=

∫ (0,5x3 − 1,5x2 + 2) dx

−1

3

4

x


277

2 ⎛ ⎞ 8 1 1 x4 x3 ⎤ ⎜0,5 ⋅ + 1,5 ⋅ − 2⎟ = ⋅ − ⋅ + − A =⎡ 0,5 4 1 ,5 4 ⋅ − ⋅ + 0,5 1,5 2x ⎣ 4 ⎦−1 3 ⎝ ⎠ 3 4 3

A=

27 = 3,375 FE 8

20.2 Trigonometrische Funktionen 20.2.1 Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = sin x und g(x) = cos x

a) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse im Bereich x ∈ [ 0; π ] . b) In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen von f und g? c) Berechnen Sie die Schnittwinkel zwischen den beiden Funktionsgraphen im Bereich x ∈ [ 0; 2 π ] .

d) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen f und g im ⎡ π 3π ⎤ Bereich x ∈ ⎢ ; ⎥. ⎣4 4 ⎦ a) Flächenberechnung:

Der Sinuskurve schneidet die x-Achse bei x = 0 und x =

π

f(x) 1 π

0

2π x

Anmerkung: Bei Flächen zwischen Kurve und x-Achse wechseln die Funktionswerte ihr Vorzeichen bei den Nullstellen. Für die Grenzen des Integrationsbereichs sind somit die Nullstellen maßgeblich. π

A = ∫ sin x dx = [−cos x 0

] 0π = 1− (−1)

A = 2 FE

b) Schnittstellen der Funktionsgraphen:

f(x) = g(x) sin x = cos x

278


Um nur noch eine einzige Winkelfunktion zu erhalten, müssen wir eine der Winkelfunktionen umrechnen. Aus der Beziehung

sin2 x + cos 2 x = 1 erhalten wir

cos x = 1− sin2 x . Diesen Wert setzen wir in die obige Gleichung ein und erhalten folgende Wurzelgleichung, die wir durch Quadrieren lösen. 1 2 =± 2 2 π 5π 2 Als Lösungen erhalten wir aus sinx = die Werte x1 = und x 2 = 2 4 4

sinx =

1− sin2 x sin2 x = 1− sin2 x ⇒ (sinx)1/2 =±

Anmerkung: Da bei der obigen Wurzelgleichung noch eine Probe zu machen ist, ist folgende Berechnung sinnvoller. Man vermeidet dadurch das Quadrieren, was zu zusätzlichen Lösungen führt, die gar keine Lösung der ursprünglichen Gleichung sind und durch die Probe ausgeschieden werden müssen.

sin x = cos x : cos x x1 = π ; x 2 = x1 + π = 5 π 4 4

tan x = 1 → c) Schnittwinkel:

π π 2 f ′( ) = cos = = 0,707 ⇒ α1 = 45° 4 4 2 π π 2 g′( ) =− sin =− = − 0,707 ⇒ α2 = 135° (315° ) ⇒ δ1 = a2 − α1 = 90° 4 4 2 5π 5π 2 f′( ) = cos =− = − 0,707 ⇒ α3 = 135° (315° ) 4 4 2 5π 5π 2 g′( ) =− sin =− = − 0,707 ⇒ α4 = 225° (315° ) ⇒ δ2 = a4 − α3 = 90° 4 4 2

d) Flächenberechnung:

f(x) g(x) f(x) = sinx 1 0

π

5π 4 2π

π

x

4 g(x) = cosx Anmerkung: Bei Flächen zwischen zwei Kurven sind als Grenzen die Schnittstellen maßgeblich, da hier bei der Differenz das Vorzeichen wechselt.


279

5π 4

5π 4

π 4

π 4

A = ∫ ( f(x) − g(x)) dx =

∫ (sin x − cos x ) dx

5π ⎛ 2 2⎞ ⎛ 2 2⎞ A = [−cos x − sin x ] π4 =⎜ ⎜ 2 + 2 ⎟ ⎟−⎜ ⎜− 2 − 2 ⎟ ⎟ = 2 2 FE ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

20.2.2 Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = −

x und g(x) = − 2sin x 2

a) Berechnen Sie die Schnittstellen der Geraden f(x) mit dem Funktionsgraphen von g. b) Berechnen Sie die Flächen zwischen den Funktionsgraphen Gf und Gg zwischen den Schnittstellen x = 0 und x = π . a) Schnittstellen:

f(x) = g(x) − 2sin x = −

Diese Gleichung ist nicht exakt lösbar. Wir verwenden zur Lösung das Newtonsche Näherungsverfahren (s. Kap. 16).

f(x) g(x) 1

g(x) = –2sinx π

0

1 2

2,5

π

–1

Aus den Schaubildern ergibt sich als ungefährer Schnittpunkt der Funktionsgraphen xo = 2,5. Mit diesem Anfangswert erhalten wir als erste Näherung x1 = 2,48. Durch weitere Näherungen ergibt sich als Schnittstelle

4 π

x A2

A1

f(x) = – 2x

–2

x 2

x = 2,4746. b) Flächenberechnung: 2,4746

A1 =

∫ 0

(f(x − g(x)) dx =

2,4746⎛

∫ 0

⎞ ⎛ x⎞ ⎜⎜− ⎟− (−2 sin x )⎟dx ⎝⎝ 2 ⎠ ⎠

A1 = [−1,5309 + 1,5714 ] − [−2] A1 = 2,04 FE

280


Da sich an der Schnittstelle die Funktionsgraphen überkreuzen, wird die Differenz f(x) – g(x) negativ. Um zu einem positiven Flächenwert zu kommen, müssen wir bei A 2 den Betrag des negativen Integralwertes nehmen oder wir wählen als Integrand die Differenz g(x) – f(x) oder wir vertauschen die Integrationsgrenzen. Wir wählen das Letztere. ⎡ x2 ⎤2,4746 ⎡ π2 ⎤ ⎛ x ⎞ =[−1,5309−(−1,5714)]−⎢− +2 ⎥ ⎜− + 2 sin x ⎟dx =⎢− − 2 cos x ⎥ ⎝ 2 ⎠ ⎣ 4 ⎦π ⎣ 4 ⎦

2,4746

A2 =

∫ π

A 2 = 0,508 FE

20.2.3 Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen 4x π Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen und den beiden Schnittstellen. f(x) = 2 − 2⋅ sin x und g(x) = 2 −

Die beiden Funktionsgraphen schneiden sich in den Punkten O(0 ; 0) und A(1,5708; 1) (Schnittstellenberechnung nach dem Newtonschen Näherungsverfahren in Aufgabe 16.3.1). Die Fläche zwischen den Funktionsgraphen Kf und Kg hat in diesem Bereich den Flächeninhalt 1,5708

A=

∫

(2 − 2 sin x − 2 +

0

4x ) dx = π

1,5708⎛

∫ 0

1,5708 4x ⎞ 2 2⎤ ⎜− 2sin x + ⎟dx =⎡ 2 cos x x + ⋅ ⎣ ⎦ π ⎝ π⎠ 0

A = 1,5708 − 2 = − 0,4292 = 0,4292 FE

20.2.4 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung x π f(x) = 4⋅cos ( − ) + 1 ; x ∈ [0 ; 4] 2 2 Der Funktionsgraph Kf, die x-Achse und die y-Achse begrenzen im 1. Quadranten eine Fläche A. Die Gerade x = u ( 0 ≤ u ≤ 4 ) soll diese Fläche zusätzlich begrenzen. Wie groß muss u werden, damit diese Fläche einen Flächeninhalt von 8 FE hat?

In diesem Fall ist der Flächeninhalt bekannt, aber die obere Integrationsgrenze ist noch zu bestimmen. u

u

⎛ π⎞ ⎛ π⎞ A = ∫ (4⋅cos⎜0,5x − ⎟+ 1) dx =⎡ 8⋅sin⎜0,5x − ⎟+ x ⎤ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦0 2 ⎝ 2⎠ 0 A = 8⋅sin (0,5u −

π π ) + u − 8⋅sin (− ) = 8 2 2

−1

20.3 Exponentialfunktionen

281

Es ergibt sich folgende Gleichung ⎛u π⎞ 8⋅sin⎜ − ⎟+ u = 0 ⎝2 2 ⎠

Diese lässt sich nicht mehr elementar lösen. Wir wenden deshalb das Newton’sche Näherungsverfahren an. Wir denken uns dabei die Funktion g mit der Funktionsgleichung ⎛u π⎞ g(u) = 8⋅sin⎜ − ⎟+ u , von der wir eine Nullstelle bestimmen wollen. ⎝2 2 ⎠ Dazu benötigen wir noch die Ableitungsfunktion ⎛u π⎞ ⎛u π⎞ g′(u) = 8 ⋅0,5 ⋅cos⎜ − ⎟+ 1= 4 ⋅cos⎜ − ⎟+ 1 ⎝2 2 ⎠ ⎝2 2 ⎠

Anfangswert: uo = 3 (aus dem skizzierten Kurvenverlauf von Kg) u1 = 3 −

g(3) 2,4341 =3− = 2,5122 g′(3) 4,98998

u2 = 2,5122 −

g(u1) 0,03598 = 2,5122 − = 2,5047 g′(u1) 4,80356

u2 = 2,5047 −

g(u2 ) 0,000031 = 2,5047 − = 2,5047 g′(u2 ) 4,798892

Ergebnis: Bei x ≈ 2,5 wird A = 8 FE.

20.3 Exponentialfunktionen 20.3.1 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 4 − e(4 − x) − 2⋅(x − 4)

a) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen Kf , der x-Achse und den Geraden x = 2 und x = 5. b) Welche Fläche ergibt sich zwischen Kf, der x-Achse und den Nullstellen? a) Flächenberechnung: 5

5

2

2

5

⎡12x − x 2 + e(4 − x) ⎦ ⎤ A1 = ∫ (4 − e(4 − x) − 2x + 8) dx = ∫ (12 − 2x − e(4 − x) ) dx =⎣ 2

A1 == [ 60 − 25 + 0,368 ] − [ 24 − 4 + 7,389 ] = 7,98 FE

282


a) Nullstellen:

f(x) = 0: 4 − e(4 − x) − 2⋅(x − 4) = 0

Die Nullstellen lassen sich nicht mehr exakt berechnen. Sie wurden bereits früher berechnet (vgl. Aufgabe 16.3.2) Die Berechnung der Nullstellen nach dem Newtonschen Näherungsverfahren ergab mit den Startwerten x o = 1,8 und x o = 5,5 die Näherungswerte x = 1,8945 und x = 5,9272. Mit diesen Werten wollen wir die Flächenrechnung durchführen. Flächenberechnung: 5,9272

A=

∫ (

)

4 − e(4 − x) − 2⋅(x − 4 dx =

1,8945

A =⎡ ⎣12x + e(4 − x) − x 2 ⎤ ⎦

5,9272 1,8945

5,9272

∫ ( 12 − e(4 − x) − 2x ) dx

1,8945

= 36,14 − 27,36 = 8,78 FE

20.3.2 Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 2x + 1 und g(x) =

5 −3 2x

a) Berechnen Sie die Schnittstellen der Funktionsgraphen von f und g. b) Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Funktionsgraphen schneiden. c) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen, der y-Achse und der Geraden x = 2,5. f(x) = g(x)

a) Schnittstellen:

5 2 x + 1= x − 3 ⋅ 2 x 2

⇔ (2x )2 + 4⋅ 2x − 5 = 0

(2x )1/2 =− 2 ±⋅

4 + 5 =− 2 ± 3

2x = 1 x = 0 (einzige Schnittstelle) ; 2x =− 5 (unbrauchbar)

b) Schnittwinkel:

Ableitungen:

f ′(x) = 2 x ⋅ln 2

f ′(0) = 20 ⋅ln 2 = ln 2 = 0,693

→

Į1 = 34,728°

⎛ 1 ⎞x ⎛ 1 ⎞ 5 ⋅ln 2 g′(x) = 5 ⋅⎜ ⎟ ⋅ln⎜ ⎟=− ⎝2⎠ ⎝ 2⎠ 2x

20.3 Exponentialfunktionen g′(0) = −

283

5 ⋅ ln 2 = − 5 ⋅ ln 2 = − 3,466 20

→ Į2 =− 73,905°

Schnittwinkel: δ = α1 + α2 = 108,63° bzw. δ = 71,37° (Der Schnittwinkel wird üblicherweise als spitzer Winkel angegeben.)

f(x) g(x) f(x) = 2 x + 1

4 3 2 1 –2

–1

1

2

3

4

x

g(x) = – 2x5 –3

c) Flächenberechnung: 2,5

A=

2,5⎛

⎛5

⎞⎞

2,5

⎛

5

⎞

∫ ( f(x) − g(x)) dx = ∫⎜⎝(2x + 1) −⎜⎝ 2x − 3⎟⎠⎟⎠dx = ∫⎜⎝ 2x − 2x + 4⎟⎠dx 0

0

0

⎡ ⎤2,5 1 x ⎞ ⎤2,5 ⎛ 1 ⎞x ⎢ 2x 5 2 + 4x ⎥ =⎡ 2 x + ⎜ 2x − 5 ⋅⎜ ⎟ + 4 ⎟dx = ⎢ − ⋅ + A = ∫⎜ 5 4x ⎢ ⎥ ⎥ ⎟ ⎝2⎠ ⎣ ln 2 2x ⋅ln 2 ⎦0 ln 1 ⎠ ⎢ ln 2 ⎥ 0⎝ 2 ⎣ ⎦0 2,5⎛

( ) ( )

A = [8,161+ 1,275 + 10] − [1,443 + 7,213] = 19,436 − 8,656 = 10,78 FE

284


20.3.3 Gegeben sei die Funktion f mit der Funktionsgleichung f(x) = 2 e x −

x2 − 2x 4

a) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. b) Zeigen Sie, dass die Normale im Wendepunkt die x-Achse bei x = –2 schneidet. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse zwischen den Grenzen x = –8 und x = 0. a) Wendetangente:

Für die Ableitungen formen wir die Gleichung in folgende Form um: f(x) = 2 e x −

x2 x2 − 2x = 2e0,5x − − 2x 4 4

f ′(x) = e0,5x − f′′(x) = 0 : 0,5e0,5x −

0,5x = 0

x −2 ; 2

1 =0 ⇔ 2 ⇔

f ′′(x) = 0,5e0,5x −

1 0,5x 1 e = 2 2

1 2

⇔ e0,5x = 1

x=0

f(0) = 2 ⋅ e0 − 0 = 2 ;

Wendepunkt: W (0; 2)

Steigung der Wendetangente (= Steigung des Funktionsgraphen im Wendepunkt): f ′(0) = 1− 2 = − 1

Gleichung der Wendetangente:

y = –x + 2

b) Normale:

Gleichung der Normalen:

y=x+2

Schnitt mit der x-Achse: y = 0:

x = –2

c) Flächenberechnung: A=

⎞ ⎡ ⎤0 x2 x3 0,5x 0,5x 2 2e 2x dx 4e x − − = − − ⎜ ⎟ ∫ ⎢ ⎥ 4 12 ⎣ ⎦−8 ⎠ −8⎝ 0⎛

A = [ 4 ] − [ 0,073 + 42,667 − 64] = 4 + 21,26 A = 25,26 FE

285

21 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung 21.1 Gegeben seien die Funktionen f und g mit den Funktionsgleichungen f(x) = 1 x3 − 1 x 2 − x + 2 und g(x) = x 2 − x + 2 3 2

a) In welchen Punkten schneiden sich die Funktionsgraphen? b) Berechnen Sie die Fläche zwischen den Funktionsgraphen zwischen den Schnittstellen. c) An welcher Stelle ist die Ordinatendifferenz am größten? Wie groß ist diese? a) Berechnung der Schnittstellen: f(x) = g(x) 1 x3 − 1 x 2 − x + 2 = x 2 − x + 2 3 2 1 x3 − 3 x 2 = 0 3 2

⇒ x1 = 0 (Berührpunkt); x3 = 4,5

S1 (0; 2) ; S2 ( 4,5; 17,75)

Schnittpunkte: b) Flächenberechnung: A=

4,5

4,5

0

0

∫ (g(x) − f(x)) dx =

∫ ( ( x2 − x + 2) − ( 31 x3 − 21 x2 − x + 2) ) dx

4,5

A=

1 x4 + ∫ ( 31 x3 + 32 x2 ) dx =⎡⎣−12 0

4,5 1 x3 ⎤ = 11,39 FE ⎦ 2 0

c) Ordinatendifferenz: d(x) = g(x) − f(x)

d′(x) =− x2 + 3x d′(x) = 0 : −x 2 + 3x = 0

; d′′(x) = − 2x + 3

x1 = 3 ∨ x 2 = 0 (unbrauchbar)

d′′(3) = − 6 + 3 = − 3 < 0 d. h. Maximum dmax = − 9 + 27 = 4,5 LE 2 H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_21, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

286

21 Vertiefung der Differential- und Integralrechnung

21.2 Eine Funktion f sei gegeben durch die Funktionsgleichung f(x) = ax 4 + x3 − bx 2 − 4

Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b so, dass die beiden Wendestellen bei x = 3 und x = 1,5 liegen. Berechnung der Wendestellen: f ′(x) = 4ax3 + 3x 2 − 2bx f ′′(x) = 12ax 2 + 6x − 2b

f ′′(x) = 0 : 12ax 2 + 6x − 2b = 0 ⇒

6ax 2 + 3x − b = 0

Wir setzen die x-Werte in diese Gleichung ein und erhalten folgende Gleichungen: x1 = 3 :

54a + 9 − b = 0

x2 = 3 : 2

54 a + 9 − b = 0 4 2

(1) – (2):

3⋅54 a − 27 = 0 ⇒ a = 1 4 2 3

(1)

(2)

eingesetzt in Gl. (1): b = 9

Damit lautet die Funktionsgleichung: f(x) = 1 x 4 + x3 − 9x 2 − 4 3

21.3 Gegeben sei die Parameter-Funktion mit der Funktionsgleichung fa (x) =

x 2 + 2ax + a x+2

a) Bestimmen Sie die Gleichungen der Asymptoten. b) Berechnen Sie die Nullstellen. Für welche Werte von a gibt es Nullstellen? c) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Extremstellen? d) Skizzieren Sie den Funktionsgraphen für a = 1 im Intervall x ∈ [− 4; 4] . e) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f1(x) und der x-Achse im Intervall x ∈ [− 1; 2] .

287 a) Asymptoten:

Nennernullstelle: x = – 2 (= Polstelle) Polynomdivision: (x 2 + 2ax + a) : (x + 2) = x + (2a − 2) + −( x 2 + 2x ) (2a − 2)x + a − [(2a − 2)x + 4a − 4] − 3a + 4 lim f(x) = x + 2a − 2

x →∞

4 − 3a x+2

y = x + 2a – 2 (= schiefe Asymptote)

b) Nullstellen:

x 2 + 2ax + a = 0

f(x) = 0:

( N2 (−a −

Keine Nullstellen für 0 < a < 1. c) Extrema: fa′ (x) =

fa′′(x) =

(2x + 2a)⋅(x + 2) – (x 2 + 2ax + a) x 2 + 4x + 3a = (x + 2)2 (x + 2)2 (2x + 4)⋅(x+ 2)2 – (x 2 + 4x + 3a)⋅ 2(x + 2) 8 − 6a = 4 (x + 2) (x + 2)3

f ′(x) = 0 : x 2 + 4x + 3a = 0 x1/2 =− 2 ± 4 − 3a

Für a >

4 gibt es keine Extremstellen 3

d) Funktionsgraph:

a = 1:

f1(x) =

x2 + 2x + 1 x+2

Polstelle: x = –2, Asymptote: y = x Nullstelle:

N(–1; 0)

Extremstellen x1/2 =− 2 ± 1

) a2 − a ; 0 )

x1/2 =− a ± a2 − a N1 −a + a2 − a ; 0

E1(−1; 0) ; E2 (−3; − 4)

288


Graph:

f(x) 3 2 1 –4

–3

–2

E1 –1

0

1

2

3

4

x

–1 –2 –3 E2 –4

e) Flächenberechnung: 2

x 2 + 2x + 1 dx x+2 −1

A=∫

Um das Integral lösen zu können, führen wir zunächst eine Polynomdivision durch: (x 2 + 2x + 1) : (x + 2) = x + x 2 + 2x 1

1 x+2

2⎛ ⎡ x2 1 ⎞ A = ∫⎜ x + ⎟dx =⎢ + ln x + 2 x+2 ⎠ ⎣ 2 −1⎝

⎤2 1 1= 1,5 + ln 4 ⎥ = 2 + ln 4 − − ln N 2 N ⎦−1 ⋅ 2 ln 2 0

A = 2,87 FE

289

21.4 Gegeben sei die Parameter-Funktion mit der Funktionsgleichung 1 a a) Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Nullstellen? fa (x) = eax − ax −

b) Untersuchen Sie die Funktion auf Extremstellen in Abhängigkeit von a. Für welche Werte von a gibt es keine Extremstellen? c) Untersuchen Sie die Funktion f(x) = e0,5x − 0,5x − 2 und zeichnen Sie den Funktionsgraphen im Intervall x ∈ [− 4; 4] . d) Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f2 (x) und der x-Achse im Intervall x ∈ [− 3; 2] . a) Nullstellen: fa (x) = 0 :

eax − ax −

1 =0 a

⇔ eax = ax +

1 a

ax = ln

a2 x + 1 a

1 a2 x + 1 x = ⋅ln a a

Für a = 0 gibt es keine Nullstellen. b) Extrema: fa′ (x) = a ⋅ eax − a ,

fa′′(x) = a2eax

fa′ (x) = 0 : a ⋅ eax − a = 0

⇔

eax = 1 ⇒

ln eax = ln N1

x=0

0

⎛ 1⎞ E⎜0; 1− ⎟ ⎝ a⎠

fa (0) = 1− 1 : a

,

keine Extrema für a = 0.

c) Kurvenuntersuchung für f(x) = e0,5x − 0,5x − 2

Nullstellen: f(x) = 0 : e0,5x − 0,5x − 2 = 0 Diese Gleichung ist nur mit Hilfe eines Näherungsverfahrens zu lösen. Wir verwenden das Newtonverfahren. Anfangswerte: x = -3 und x = 2 Konvergenzkriterien für die Anfangswerte:

f ′(x) = 0,5⋅ e0,5x − 0,5 , f ′′(x) = 0,25⋅ e0,5x x = –3:

f(−3)⋅ f ′′(−3) 2

( f′(−3))

= 0,259 < 1

x = 2:

f(2)⋅ f ′′(2)

( f ′(2))2

= 0,0209 < 1

290


Beide Anfangswerte sind somit geeignet. Wir erhalten als Ergebnis: N1(−3,6828; 0) N2 ( 2,29239; 0)

Extrema: f ′(x) = 0 : 0,5 ⋅ e0,5x − 0,5 = 0

e0,5x = 1

Wendepunkte: f ′′(x) = 0 : 0,25 ⋅ e0,5x = 0

d. h. es gibt keinen Wendepunkt

x=0

E(0; –1)

Graph:

f(x) 1 –3

–2

–1

1

–4

2 3

x

–1

d) Flächenberechnung: 2

A=

⎡ e0,5x x 2 ⎤2 ⎤ ⎡ e ⎤ ⎡ e−1,5 9 − − 2x ⎥ = ⎢ −1− 4 ⎥−⎢ − + 6⎥ ⎣ ⎦ 0,5 4 0,5 4 ⎦−3 ⎣ 0,5 ⎦

∫ (e0,5x − 0,5x − 2) dx =⎢⎣

−3

A = 0,4366 − 4,19626 = − 3,7596 = 3,76 FE

291

22 Rotationsvolumen 22.1 Rotation um die x-Achse Hinweis: Lehrbuch Kapitel 39

22.1.1 Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des durch den Funktionsgraphen von y = x 2 −16 (x ∈ [ 4; 8 ]) und der x-Achse begrenzten Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Wie groß ist das Volumen bei Rotation um die y-Achse?

8

[ ]

Vx = π⋅ ∫ f(x) 4

8

2

8

dx = π⋅ ∫⎡ x 2 − 16 ⎤ dx = π⋅ ∫ (x 2 − 16) dx ⎣ ⎦

2

4

4

8 3 3 x3 ⎤ = π⋅⎡⎢ 8 − 128 − 4 + 64 ⎤⎥ Vx = π⋅⎡ 16 x − ⎣3 ⎦4 ⎣ 3 3 ⎦

Vx = 85,33⋅π = 268,08 VE

22.1.2 Ein Kugelgriff mit dem Kugeldurchmesser 12

d = 40 mm soll eine zylindrische Bohrung mit einem Durchmesser von 12 mm erhalten. Die Bohrung soll mit einem Flachbohrer ausgeführt werden und im fertigen Zustand noch eine Tiefe von 22 mm haben. Berechnen Sie das Volumen der Restkugel.

22

Durch die Ausbohrung ist ein kleiner Kugelabschnitt weggefallen. Die Restlänge x, die die obere Integrationsgrenze darstellt, berechnet sich nach Pythagoras wie folgt: 22 = x 2 + 0,62 x 2 = 22 − 0,62 = 3,64

2

0,6 x

x = 3,64 = 1,908 cm

Damit können wir das Volumen der Restkugel als Rotationsvolumen berechnen. H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_22, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

292

22 Rotationsvolumen

Die y-Achse legen wir in die Symmetrieachse der ursprünglichen Kugel. Die untere Integrationsgrenze bei x1 =− 2 , die obere bei x 2 = 3,64 . 3,64

V1 = π⋅

3,64

3 (22 − x 2 ) dx = π⋅⎡ 4x − x 3 ⎣

∫

−2

⎤ ⎦−2

⎡ 3,64⋅ 3,64 −8 ⎤ V1 = π⋅⎢ 4⋅ 3,64 − − 4⋅(−2) + ⎥ 3 3⎦ ⎣ V1 = 10,65⋅π = 33,46 cm3

Das Volumen des Hohl-Zylinders wollen wir elementargeometrisch berechnen. V2 = π⋅(0,6 cm)2 ⋅2,2 cm = 2,488 cm3

Restvolumen: V = V1 − V2 = 30,97 cm3

22.1.3 Die Innnenkontur eines Gefäßes hat die Form einer Kurve Kf mit f(x) = x + 4 ; x ∈ [0 ; 6] . Die Außenkontur hat die Form einer Kurve K g mit g(x) = x + 4 + 1; x ∈ [−1,5 ; 6 ] . a) Welches Volumen fasst das Gefäß ? b) Wie groß ist das Materialvolumen ? a) Rotationsvolumen des Hohlraumes: 6

[ ]

Vx = π⋅ ∫ f(x) 0

6

6

2

dx = π⋅ ∫⎡ ⎣ x+4⎤ ⎦ dx = π⋅∫ (x + 4) dx

2

0

0

6

⎡ x2 + 4x ⎤ = π⋅(18 + 24) = 42⋅π VE ⎣2 ⎦0

Vx = π⋅

6

b) Vx = π⋅

∫ [g(x)]

2

−1,5 6

Vx = π⋅

∫ ( x + 5 + 2⋅

−1,5

6

dx = π⋅

∫⎡ ⎣

−1,5

2

= 131,947 VE

x + 4 + 1⎤ ⎦ dx = π⋅

6

∫

(x + 4 + 2⋅ x + 4 + 1) dx

−1,5 6

⎡ 2 (x + 4)1,5 ⎤ x + 4 ) dx = π⋅ x + 5x + 1,5 ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦−1,5

22.2 Rotation um die y-Achse

293

⎛⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎜⎜18 + 30 + 20⋅ 10 ⎟−⎜1,125 − 7,5 + 5⋅ 2,5 ⎟⎟= 72,822⋅π = 228,78 VE Vx = π⋅⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 3 ⎠⎟ ⎠ ⎝ ⎝⎝ ⎠

Materialvolumen: V = 96,83 VE

22.2 Rotation um die y-Achse 22.2.1 Das Hohlraumvolumen eines Behälters hat die Form einer Parabel mit der Funktionsgleichung

y = x 2 − 4 ; y ∈ [0 ; 10

]

a) Berechnen Sie das Fassungsvermögen. b) Bis zu welcher Höhe muss er gefüllt sein, wenn er halb voll ist? c) Bis zu welcher Höhe h muss der Behälter gefüllt sein, wenn er V = 100 VE enthält? a) Die Umkehr-Relation der Parabel lautet: x 2 = y + 4 y2

[ ]

Vy = π⋅ ∫ f(y) y1

10

2

10

dy = π⋅ ∫ [ x ] dy = π⋅ ∫ (y + 4) dy 0

2

0

10

⎡ y 2 + 4y ⎤ Vy = π⋅ ⎣2 ⎦0

= π⋅(50 + 40) = 90 ⋅π VE = 282,74 VE

b) Bei halber Füllung ist das Volumen Vy = 21 ⋅ 90⋅π VE = 45⋅π VE . Dafür ist die obere Integrationsgrenze d zu bestimmen. d

⎡ y2 + 4y ⎤ = π⋅⎛⎜ d2 + 4⋅d⎞⎟= 45⋅π VE ⎠ ⎣2 ⎦0 ⎝ 2

Vy = π⋅

⎛ d2 ⎞ π⋅⎜ + 4⋅d⎟= 45⋅π ⎝2 ⎠ d2 + 8⋅d − 90 = 0 d1/ 2 =− 4 ± 16 + 90 =− 4 ± 106 d1 =− 4 + 106 = 6,296 ;

d2 = − 4 − 106 =− 14,296 (unbrauchbar)

Bei einer Füllhöhe von h = 6,296 LE ist der Behälter halb gefüllt.

294

22 Rotationsvolumen d

c)

⎡ y2 + 4y ⎤ = π⋅⎛⎜ d2 + 4⋅d⎞⎟= 100 Vy = π⋅ ⎠ ⎣2 ⎦0 ⎝ 2 d2 + 8⋅d −

200 =0 π

d1/ 2 =− 4 ± 16 + d1 =− 4 + 16 + d2 =− 4 − 16 +

200 π

200 = 4,925 π

200 =−12,925 (unbrauchbar) π

Bei h = 4,925 LE ist der Behälter mit V = 100 VE gefüllt.

22.2.2 Das Hohlraumvolumen eines Behälters hat die Form einer Parabel mit der Funktionsgleichung y = x 2 − 2x − 3

Berechnen Sie das Rotationsvolumen Vy für x ∈ [3 ; 4 ] y2

Das Rotationsvolumen Vy ergibt sich aus Vy = π⋅ ∫ x 2 dy y1

1. Integrationsgrenzen Da die Rotation um die y-Achse erfolgt, muss das x-Intervall in ein y-Intervall umgerechnet werden.

y 5

x1 = 3 : y1 = 32 − 2⋅3 − 3 = 0 x 2 = 4 : y 2 = 4 2 − 2⋅ 4 − 3 = 5

1

2. Integrand Auch die Funktionsgleichung muss umgerechnet werden: y = x 2 − 2x − 3 y = (x 2 − 2x + ...) − 3 y = (x 2 − 2x + 1) − 3 − 1 (quadratische Ergänzung) y = (x − 1)2 − 4 (x − 1)2 = y + 4

1

2

3

4

5

x

22.2 Rotation um die y-Achse

295

x = y + 4 +1 x 2 = y + 4 + 2⋅ y + 4 + 1 x 2 = y + 2⋅ y + 4 + 5

3. Volumenberechnung y2

5

y1

0

Vy = π⋅ ∫ x 2 dy = π⋅ ∫ ( y + 2⋅ y + 4 + 5 ) dy

Vy =

3 ⎡ 2 y (y + 4) 2 π⋅⎢ + 2⋅ 3 2 ⎢ ⎣ 2

5

⎤ ⎡ y2 + 4 ⋅ + 5y ⎥ = π⋅ ⎣2 3 ⎥ ⎦0

⎛ 25 4 ⎞ 4 Vy = π⋅⎜ (5 + 4)3 + 25 − 64 ⎟= 62,83⋅π + 3 3 ⎝ 2 ⎠

Vy = 197,4 VE

5

(y + 4)3 +

⎤ 5⋅y ⎦0

296

E Vektorrechnung

23 Vektoroperationen (Vektoralgebra) 23.1 Vektorbetrag, Addition, Subtraktion In diesem Abschnitt werden behandelt: – Rechenoperationen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation) – Produkte von Vektoren (Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt) Hinweis: Lehrbuch Kapitel 40, 43 bis 45

G

⎛ 6⎞

G

23.1.1 a) Ein Vektor x =⎜ ⎟ hat die Länge x = 52 LE . y

⎝ ⎠ Welchen Wert muss damit die y-Komponente annehmen ? G G b) Der Ortsvektor a des Punktes A (2; 3; a3 ) hat den Betrag a = 14 .

Wie lautet die fehlende dritte Koordinate des Punktes A? a) Die Länge eines Vektors entspricht dem Betrag des Vektors. Er wird auf folgende G Weise berechnet: x = x2 + y2

Im vorliegenden Fall ist

52 = 36 + y 2 oder y 2 = 16 ⇒ y =± 4 .

Wir haben also zwei Vektoren mit der gleichen Länge oder dem gleichen Betrag: ⎛ 6⎞ G ⎛6⎞ G x1 =⎜ ⎟ oder x 2 =⎜ ⎟ 4 ⎝ ⎠ ⎝−4⎠ b) Bei Ortsvektoren liegt der Anfangspunkt im Ursprung. Der Betrag des räumlichen Ortsvektors wird nach folgender Beziehung berechnet: G a = a12 + a22 + a32 14 = 22 + 32 + a32 = 13 + a32

⇒

a3 =± 1

Wir haben wieder zwei Punkte, die vom Ursprung die gleiche Entfernung haben: A (2; 3; 1) oder A′ (2; 3; −1) G Anmerkung: Im ersten Fall handelt es sich um eine Spiegelung des Vektors x an der x-Achse. Im zweiten Fall handelt es sich um eine Spiegelung des Punktes A an der xy-Ebene.


23.1 Vektorbetrag, Addition, Subtraktion

297

23.1.2 Gegeben sind die Vektoren ⎛10⎞ ⎛−5⎞ ⎛ 8⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ a =⎜ 5 ⎟ , b =⎜ 3 ⎟ und c =⎜ 10⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 8⎠ ⎝ 4⎠ G G G G 1G G G a) Berechnen Sie den Vektor d = (b − a) + 2(a + c) − 3(c − a) 2 b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieses Vektors.

⎛ ⎞ ⎛10 + 4 ⎞ ⎛8 − 10 ⎞ ⎛ −15 ⎞ ⎛14 ⎞ ⎛−2 ⎞ ⎛19 ⎞ G ⎜−5 − 10⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a) d =⎜ 3 − 5 ⎟+ 2⋅⎜ 5 + 5 ⎟− 3 ⋅⎜10 − 5 ⎟=⎜ − 2 ⎟+ 2 ⋅⎜10 ⎟− 3 ⋅⎜ 5 ⎟=⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4− 8 ⎠ ⎝ 8+ 2 ⎠ ⎝ 4 − 8 ⎠ ⎝ − 4⎠ ⎝10 ⎠ ⎝−4 ⎠ ⎝28 ⎠

b)

G d = 192 + 32 + 282 = 1154 = 33,97

z Richtungswinkel zur x-, y- und z-Achse:

d

d 19 cos α = Gx = = 0,5593 ⇒ α = 55,99° 1154 d

dz γ

d 28 cos γ = Gz = = 0,8242 ⇒ γ = 34,49° 1154 d

dz

β

dy 3 = 0,08831 ⇒ β = 84,93° cos β = G = 1154 d

α

y .

dx

dy x

23.1.3 a) Berechnen Sie die Resultierende der Kräfte ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G ⎜10 ⎟ G ⎜ −5 ⎟ G ⎜ 8⎟ F1 =⎜15 ⎟N , F2 =⎜−10⎟N und F3 =⎜ 10 ⎟N ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 25⎠ ⎝−10 ⎠ ⎝−20⎠

b) Berechnen Sie den Betrag und die Richtungswinkel dieser Resultierenden. G G G G a) Die resultierende Kraft ist F = F1 + F2 + F3 ⎛10 ⎞ ⎛ −5 ⎞ ⎛ 8 ⎞ ⎛ 13 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ F =⎜15 ⎟+⎜−10 ⎟+⎜ 10 ⎟=⎜ 15 ⎟N ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 25⎠ ⎝−20 ⎠ ⎝−10⎠ ⎝−5 ⎠

298 b)

23 Vektoroperationen (Vektoralgebra) G F = 132 + 152 (−5)2 N = 419 N = 20,47 N

Richtungswinkel der Resultierenden F 13 N = 063509 ⇒ α = 50,57° cos α = Gx = 419 N F Fy 15 N = 0,732798 ⇒ β = 42,88° cos β = G = 419 N F F −5 N =− 0,244266 ⇒ γ = 104,14° cos γ = Gz = 419 N F

⎛ 2⎞ ⎛ ⎞ G ⎜ 1⎟ G ⎜ ⎟ 23.1.4 Berechnen Sie von den Vektoren a =⎜ −1⎟ und b =⎜ − 3⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ G G a) die Beträge a und b .

b)

G a

2

G 2 = a2 und b = b2

GG GG c) ab und ab G G d) a2b2

2

( )

a)

G a = a = 22 + (−1)2 + 32 = 14 = 3,74 G b = b = 12 + (−3)2 + 52 = 35 = 5,916

b)

G a

2

= a2 =

(

22 + (−1)2 + 32

)

2

G 2 = ( 14 ) = 14 ; b

⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ c) ab =⎜−1⎟⎜ ⋅ −3 = 2⋅1+ (−1)⋅(−3) + 3 ⋅5 = 20 ; ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎝ 3 ⎠⎝ 5 ⎠

GG

2

2

(ab)

2

= b2 = ( 35 ) = 35 2

= (20) = 400

⎡⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞⎤⎡⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞⎤ G 2 G 2 ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ d) a b =⎢⎜−1⎟⎜ ⋅ −3⎟⎜ ⋅ −1 ⎥⎢ ⋅ −3 ⎥= [ 4 + 1+ 9 ]⋅[1+ 9 + 25] = 14⋅35 = 490 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥⎢ 3 3 5 ⎣⎝ ⎠⎝ ⎠⎦⎣⎝ ⎠⎝ 5 ⎠⎥ ⎦ GG Wir sehen daraus, dass ab

2

( )

G G ≠ a2b2 ist.


299 JJJG

JJJG

23.1.5 Ein Parallelogramm wird durch die Vektoren AB und AC mit A (2; 4; 6), B (1; 5; 2) und C ( 6; 7; 8) aufgespannt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms. Die Vektoren, die das Parallelogramm aufspannen, sind ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJJG G ⎜ 1⎟ ⎜ 2⎟ ⎜−1⎟ AB = a =⎜5 ⎟−⎜ 4⎟=⎜ 1 ⎟ und ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝−4⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ JJJG G ⎜ 6⎟ ⎜ 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ AC = b =⎜7 ⎟−⎜ 4 ⎟=⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝8 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 2⎠

C b A

ha b1

a

B

Der Flächeninhalt berechnet sich nach A = a⋅ha Nach Pythagoras ist b2 = b12 + ha2 oder ha = b2 − b12 Damit ist A = a⋅ b2 − b12 oder A = a2b2 − (ab1)2 G G GG Mit a2 = a2 , b2 = b2 , ab1 = ab⋅cos ϕ = ab G G GG ergibt sich A = a2b2 − (ab)2 ⎡⎛−1⎞⎛−1⎞⎤⎡⎛ 4⎞⎛ 4⎞⎤ ⎡⎛−1⎞⎛ 4⎞⎤2 ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ ⎢⎜ ⎟⎜ ⎟⎥ ⋅ 3 ⎟⎜ + 1+ 16)(16 + 9 + 4) − ( −4 + A = ⎢⎜ 1 ⎟⎜ ⋅ 1 ⎥⎢ ⋅ 3 ⎥−⎢⎜ 1 ⎟⎜ ⋅ 3 ⎥ = (1 3 − 8)2

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢⎝−4⎠⎝ 2⎠⎦ ⎥ 522 81 ⎣⎝−4⎠⎝−4⎠⎥⎢ ⎦⎣⎝ 2⎠⎝ 2⎠⎦ A=

441 FE = 21FE

2. Lösung

Die Parallelogrammfläche lässt sich auch mit Hilfe des Vektorproduktes berechnen. A = AB × AC

⎛ 14 ⎞ 1⋅ 2 − (−4)⋅3 ⎛−1⎞ ⎛ 4⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 ⎟×⎜ 3 ⎟ = −4⋅ 4 − (−1)⋅2 = ⎜−14⎟ = 196 + 196 + 49 = 441 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ ⎝ −1⋅3 − 1⋅ 4 2⎠ ⎝ −7 ⎠ A = 21FE

300

23 Vektoroperationen (Vektoralgebra)

⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ 23.1.6 Gegeben ist der Vektor a =⎜−5⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠ G G a) Berechnen Sie den zu a gleichgerichteten Vektor b mit der Länge 4 LE. G ⎛ 3⎞ b) Bestimmen Sie die zu c =⎜ ⎟ orthogonalen Vektoren. ⎝−6 ⎠ G c) Bestimmen Sie die zu a senkrechten Vektoren (Normal- oder Lotvektoren). G G G G a a) Zunächst bestimmen wir den Einheitsvektor ao = G . Damit ist b = 4⋅ao . a

⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ −5 ⎜ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1, 21 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎟ G G 4 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠ ⎟ ⋅⎜−5⎟=⎜−2,02⎟ ao = = ⋅⎜−5 ⎟ ; b = ⎟ 98 ⎜ ⎟ ⎜ 9 + 25 + 64 98 ⎜ ⎟ ⎝ 8 ⎠ ⎝ 3,23⎠ ⎝ 8⎠

b) Normalvektoren oder Lotvektoren in \2 erhält man, wenn man bei einem gegebenen Vektor die Komponenten vertauscht und bei einer Komponente dieses Vektors einen Vorzeichenwechsel durchführt. Auf diese Weise erhalten wir die Normalenvektoren ⎛−6 ⎞ G ⎛6⎞ G n1 =⎜ ⎟ ; n2 =⎜ ⎟ ⎝3 ⎠ ⎝−3 ⎠

c) Normalvektoren eines Vektors in \3 erhält man, wenn man eine Koordinate des Ausgangsvektors Null setzt, die andern beiden vertauscht und bei einer dieser Koordinaten einen Vorzeichenwechsel durchführt. Dadurch wird jeweils G G das Skalarprodukt a⋅n = 0. Es ergeben sich somit folgende Lösungen: ⎛0 ⎞ ⎛ 8⎞ ⎛5 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎛ − 8⎞ ⎛−5 ⎞ G ⎜ ⎟ G G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ n1 =⎜8 ⎟, n2 =⎜ 0 ⎟, n3 =⎜3⎟ oder n4 =⎜−8 ⎟, n5 =⎜ 0 ⎟, n6 =⎜−3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5 ⎠ ⎝−3 ⎠ ⎝0 ⎠ ⎝−5 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 0⎠

⎛ 4⎞ G ⎜ 23.1.7 Zerlegen Sie den Vektor a =⎜ −1⎟ in Komponenten parallel und normal zu ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 18 ⎠ G JJJG b = CD mit C (1; -2; 1) und D (3; 2; 4)


301

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G G JJJG ⎜ 3 − 1 ⎟ ⎜ 2⎟ G ⎜ 0⎟ Der Vektor b = CD =⎜ 2 + 2 ⎟=⎜ 4⎟, der zu b orthogonale Vektor b1 =⎜−3⎟und der ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 1 ⎠ ⎝3⎠ ⎝ 4⎠ ⎛4⎞ G G G G ⎜ ⎟ Vektor a =⎜−1⎟ liegen in einer Ebene. Damit muss die Bedingung a = λ⋅b + μ⋅b1 ⎜ ⎟ ⎝18 ⎠ erfüllt sein. Mit den Koordinaten ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem 4 = 2λ (1) −1= 4 λ − 3 μ (2) 18 = 3 λ + 4 μ (3)

Aus (1) ergibt sich λ = 2 , eingesetzt in (2) erhält man μ = 3 . Diese Werte erfüllen auch die Gleichung(3). G G G G Die beiden Vektoren lauten damit ab = λ⋅b = ( 4; 8; 6) und ab1 = μ⋅b1 = (0; − 9; 12)

23.1.8 Zeigen Sie, dass die Punkte A (3 ; 4 + ay ; 5) und B (2; 6 + ay ; 8) für alle ay ∈ \ den gleichen Abstand haben.

Wie groß ist dieser ? ⎛ 2 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ G ⎜ ⎟ G ⎜ Die Ortsvektoren der Punkte sind a =⎜ 4 + a y ⎟ und b =⎜ 6 + a y ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 8 ⎠ ⎛ ⎞ ⎛−1⎞ 2 − 3 JJJG ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Der Distanzvektor AB =⎜(6 + a y ) − (4 + a y )⎟=⎜ 2⎟ist unabhängig von a y . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 8 − 5 ⎝ ⎠ ⎝ 3⎠

Der Abstand der beiden Punkte A und B ist JJJG AB = AB = 1+ 4 + 9 = 14 ≈ 3,74 LE unabhängig von a y . ⎛ 2⎞ ⎛ ⎞ G ⎜ 1⎟ G ⎜ ⎟ 23.1.9 Gegeben seien die Vektoren a =⎜ −1⎟ und b =⎜ −3 ⎟, die ein räumliches ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ Dreieck aufspannen. G G a) Berechnen Sie den bei senkrechter Projektion des Vektors b auf a G entstehenden Bildvektor ab . b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks.

302

23 Vektoroperationen (Vektoralgebra) a) senkrechte Projektion ⎛ 2 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ −1 ⋅ −3 ⎟ ⎜ G ⎛2⎞ ⎛2⎞ G ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ 2 ⎞ ⎡ ⎤ G a ⋅b G ⎝ 5 ⎠⎝ 7 ⎠ ⎜ ⎟ 40 ⎜ ⎟ 4 ⎜ ⎟ ab =⎢ G 2 ⎥⋅a = ⋅⎜−1⎟= ⋅⎜−1⎟= ⋅⎜−1⎟ ⎜ ⎟ 30 ⎜ ⎟ 3 ⎜ ⎟ ⎢ a ⎦ ⎥ ⎣ ⎛ 2 ⎞2 ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠

⎜ ⎟ Skalar 1 − ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝5⎠ Anmerkung:

G Der Vektor a kann nicht gekürzt werden. Der Klammerterm ist ein Skalar.

b) Dreiecksfläche Die Dreiecksfläche ist die halbe Parallelogrammfläche. Damit ist der Flächeninhalt G G A = 21 ⋅ a ⋅ h G G G G Der Vektor h berechnet sich aus der Vektorsumme b = ab + h . Mit dem ProjekG G G ⎡ aG ⋅b ⎤ G G G G G ⎡ a⋅b ⎤ G G tionsvektor ab =⎢ G 2 ⎥⋅a wird h = b − ab = b −⎢ G 2 ⎥⋅a und ⎢ a ⎦ ⎥ ⎢ a ⎦ ⎥ ⎣ ⎣

A=

1⋅ 2

⎛2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛2⎞ ⎛2⎞ ⎛−5⎞ G G G ⎡ a⋅b ⎤ G G 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⋅ b −⎢ G 2 ⎥⋅a = 21 ⋅ ⎜−1⎟ ⋅ ⎜−3⎟− 4 ⋅⎜−1⎟ = ⋅ ⎜−1⎟ ⋅ 1 ⋅⎜−5⎟ 3 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ a ⎦ ⎥ ⎣ ⎝5⎠ ⎝7⎠ ⎝5⎠ ⎝5⎠ ⎝ 1⎠

A = 21 ⋅ 30 ⋅ 31 51 = 6,52 FE

23.2 Produkte von Vektoren Flächenberechnungen mit Hilfe des Vektorproduktes

G

⎛ 2⎞

G

⎛ 1⎞

23.2.1 Gegeben seien die Vektoren a =⎜⎜ −1⎟⎟ und b =⎜⎜ −3 ⎟⎟, die ein räumliches ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ Dreieck aufspannen. (Vgl. auch Aufgabe 22.1.9 !)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des räumlichen Dreiecks mit Hilfe des Vektorproduktes.

23.2 Produkte von Vektoren

303

Die Aufgabe 22.1.9 lässt auch mit Hilfe des Vektorproduktes lösen ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ −1⋅ 7 − 5 ⋅(−3) G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = 21 a × b = 21 ⎜−1⎟×⎜−3⎟ = 21 5 ⋅1 − 2 ⋅ 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⋅(−3) − (−1) ⋅1 ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ A=

1 2

⎛8⎞ ⎜ ⎟ −9 = 21 ⋅ 82 + (−9)2 + (−5)2 = 21 ⋅ 170 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝−5⎠

A = 6,52 FE

Spat-Volumen 23.2.2 Berechnen Sie das Volumen des Spates, das durch die Vektoren ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛5 ⎞ G ⎜ G ⎜ ⎟ ⎟ G ⎜ ⎟ a =⎜ −1⎟ , b =⎜ −3 ⎟ und c =⎜3 ⎟ aufgespannt wird. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 7⎠ ⎝ 2⎠

Das Spat-Volumen lässt sich mit Hilfe des Spatproduktes berechnen. Es gilt G ⎡ aG b cG ⎤ V= ⎣ ⎦ ax G ⎡ aG b cG ⎤= b x ⎣ ⎦ cx

ay by cy

az

2 -1 5 b z = 1 -3 7 5 3 2 cz

2 −1 1 −3 =−12 − 35 +15 − (−75 + 42 − 2) = 3 5 3

V = 3 VE

Nachweis der Komplanarität 23.2.3 Prüfen Sie mit Hilfe des Spatproduktes nach, ob die Kräfte F1 (2; 4; 1) kN, F2 (1; 7; –1) kN und F3 (3; 1; 3) in einer Ebene liegen.

Spatprodukt: a x a y az 2 4 1 G G G ⎡ ⎤ ⎣ a b c ⎦= b x b y bz = 1 7 -1 3 1 3 cx cy cz

d. h. die Kräfte liegen in einer Ebene.

2 1

4 7 = 42 − 12 + 1− (21 − 2 +12) = 0

3 1

304

23 Vektoroperationen (Vektoralgebra)

Abstand windschiefer Geraden 23.2.4 Berechnen Sie mit Hilfe des Spatproduktes den Abstand der windschiefen Geraden ⎛ 1⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g : x1 = ⎜ 2⎟ + λ⋅⎜−3 ⎟ und h : x 2 = ⎜5 ⎟ + λ⋅⎜−3 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 6⎠ ⎝2⎠ ⎝ 5⎠

Verbindungsvektor:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ G G ⎜ 1⎟ ⎜ 1⎟ ⎜0 ⎟ JJJG AB = (b − a) =⎜5⎟−⎜ 2⎟=⎜3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 0 ⎠

Vektorprodukt der Richtungsvektoren: ⎛ −3⋅5 − 6⋅(−3)⎞ ⎛ 3 ⎞ G G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u1 × u2 =⎜ 6⋅2 − 4⋅5 ⎟=⎜ − 8⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⋅(−3) − (−3)⋅2⎠ ⎝ −6 ⎠ G G A = u1 × u2 = 32 + (−8)2 + (−6)2 = 10,44 FE

Spatprodukt: ⎛0 ⎞⎛ 3 ⎞ G G G G ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ −8⎟=− 24 (b − a)⋅(u1 × u2 ) =⎜3 ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝0 ⎠⎝−6⎠

Spatvolumen (= Betrag des Spatproduktes): V = 24 VE Abstand der windschiefen Geraden: h=

− 24 V = = 2,299 ≈ 2,3 LE A 10,44

305

24 Analytische Geometrie auf Vektorbasis In diesem Abschnitt werden behandelt: – Geraden (Vektorielle Geradengleichungen in Parameterform,

Schnittpunkte und Schnittwinkel von Geraden, Abstandsberechnungen) – Ebenen (Vektorielle Ebenengleichungen in verschiedenen Formen,

Schnittgeraden und Schnittwinkel von Ebenen und Ebenen mit Geraden, Abstandsberechnungen) Hinweis: Lehrbuch Kapitel 41, 42 und 46 bis 50

24.1 Geraden 24.1.1 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte A (2; 3; 5), B (2; 1; 6). b) Eine Gerade soll durch Punkt P(1; –4; 3) gehen und parallel zu der Gera⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ den h : x =⎜ 1⎟+ λ⋅⎜−1⎟verlaufen. Bestimmen Sie die Geradengleichung. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝−3 ⎠ c) Der Punkt D (– 2; x 2 ; x3 ) soll auf der Geraden h nach Aufgabe b) liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. Prüfen Sie nach, ob der Punkt C (6; – 1; – 5) auf der Geraden h liegt. a) Wir setzen die Ortsvektoren der beiden Punkte in die Zweipunkte-Form der GeG G G G radengleichung x = a + λ⋅(b − a) ein und erhalten: ⎛ 2⎞ ⎛ 2 − 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g : x =⎜3⎟+ λ⋅⎜ 1− 3 ⎟=⎜3 ⎟+ λ⋅⎜−2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝5⎠ ⎝6 − 5⎠ ⎝5⎠ ⎝ 1⎠

b) Bei parallelem Verlauf haben die Geraden den gleichen Richtungsvektor. Die Geradengleichung lautet somit: ⎛ 1⎞ ⎛ 2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g1 : x = ⎜−4⎟+ λ⋅⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝−3 ⎠ H. Rapp, J. M. Rapp, Übungsbuch Mathematik für Fachschule Technik und Berufskolleg, DOI 10.1007/978-3-8348-9933-0_24, © Vieweg+Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 2011

306

24 Analytische Geometrie auf Vektorbasis G c) Wir setzen in der Geradengleichung für den Vektor x den Ortsvektor von D ein und erhalten: ⎛−2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ −2 = 2 + 2 λ → λ =− 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x 2 =⎜ 1⎟+ λ⋅⎜−1⎟ bzw. in Koordinaten x 2 = 1− λ → x 2 = 3 ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−3⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ 1⎠ x3 = 1− 3 λ → x3 = 7

Damit muss der Punkt D folgende Koordinaten haben D ( −2 ; 3 ; 7 ) .

Um zu überprüfen, ob der Punkt C (6; – 1; – 5) auf der Geraden h liegt, setzen wir die Koordinaten in die Geradengleichung ein und erhalten ⎛ 6 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1⎟=⎜ 1⎟+ λ⋅⎜−1⎟ bzw. in Koordinaten ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−5⎠ ⎝ 1⎠ ⎝−3 ⎠

6 = 2+ 2λ → λ = 2 −1= 1− λ → λ = 2 −5 = 1− 3 λ → λ = 2

Das lineare Gleichungssystem hat die eindeutige Lösung λ = 2 . Damit liegt der Punkt C auf der Geraden h.

24.1.2 a) Prüfen Sie nach, ob die Punkte A (1; 3; 4), B (2; 2; 6) und C(5; – 1; 12) auf einer Geraden liegen. b) Geben Sie die Strecke PQ mit P(1; 4) und Q(6 ;8) durch eine Vektorgleichung an. a) Wir formulieren mit den Punkten A und B eine Geradengleichung ⎛ 1⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜ 2 − 3 ⎟=⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 6 − 4 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

Nun setzen wir die Koordinaten des Punktes C in die Geradengleichung ein. ⎛ 5 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 5 = 1+ λ → λ = 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −1 =⎜ 3 ⎟+ λ⋅⎜−1⎟ bzw. in Koordinaten −1= 3 − λ → λ = 4 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 = 4 + 2 λ → λ = 4 ⎝ 12 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠

d. h. die Punkte A, B und C liegen auf einer Geraden. b) Die Strecke PQ lässt sich beschreiben durch ⎛ 6 − 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛5 ⎞ G ⎛ 1⎞ x =⎜ ⎟+ λ⋅⎜ ⎟=⎜ ⎟+ λ⋅⎜ ⎟, λ ∈ [0 ; 1] ⎝ 4⎠ ⎝8 − 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝4⎠

24.1 Geraden

307

24.1.3 Berechnen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel der Geraden ⎛−1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛2⎞ G ⎜ ⎟ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ g1 : x1 =⎜−4⎟+ λ⋅⎜ 2 ⎟ und g2 : x 2 =⎜3⎟+ μ⋅⎜7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 1⎠

Schnittpunkt S

Bei der Schnittpunktberechnung müssen wir einen Punkt suchen, Gder auf GeG beiden G raden liegt. Diesen Punkt S bestimmen wir mit dem Ortsvektor x s = x1 = x 2 . Wenn diese Vektoren gleich sein sollen, müssen auch ihre Komponenten gleich sein. Wir setzen deshalb die Komponenten gleich und erhalten dabei ein lineares Gleichungssystem, das lösbar sein muss. −1 + λ = 1 + 2 μ −4 + 2 λ = 3 + 7 μ → 1+ 4 λ = 2 + μ

λ − 2μ = 2

(1)

2 λ − 7 μ = 7 (2) → 4λ − μ =1

(3)

λ − 2μ = 2

(1)

− 3 μ = 3 (4) 4λ − μ =1

(3)

Subtrahiert man das 2-fache von Gleichung (1) von Gleichung (2), so erhält man Gl. (4), aus der wir μ =− 1 erhalten. Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung (1) ein, so ergibt sich λ = 0 . Diese beiden Werte müssen aber auch noch die noch nicht berücksichtigte Gl. (3) erfüllen: 4⋅0 − (−1) = 1 oder 1 = 1. Gl. (3) ist also erfüllt. Der Ortsvektor von S kann mit jeder der beiden Geradengleichungen berechnet werden. Wir erhalten als Schnittpunkt S ( −1; − 4 ; 1 ) Schnittwinkel ϕ

Den Schnittwinkel erhalten wir als Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. ⎛ 1⎞⎛2⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 ⋅ 7⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 + 14 + 4 ⎝ 4 ⎠⎝ 1⎠ cos ϕ = = = 0,5939 1+ 4 + 16 ⋅ 4 + 49 + 1 21⋅ 54 ϕ = 53,57°

Anmerkung: Beim Schnitt zweier Geraden ergeben sich jeweils zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen. Als Schnittwinkel wird aber üblicherweise immer der kleinere Winkel unter 90° angegeben.

308

24 Analytische Geometrie auf Vektorbasis

24.2 Ebenen ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ 24.2.1 Gegeben sei die Gerade g : x =⎜0⎟+ λ⋅⎜⎜−1⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝−2⎠

a) In welchem Punkt schneidet die Gerade g die Ebene E : 2x1 + x 2 + 7x3 + 2 = 0 ? b) Berechnen Sie die Spurgeraden der Ebene E. c) In welchen Punkten durchstoßen die Koordinatenachsen die Ebene E? a) Wir setzen die Komponenten aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein und erhalten: 2(2 + λ) − λ + 7(1− 2 λ) + 2 = 0 4 + 2 λ − λ + 7 − 14 λ + 2 = 0 ⇔ λ = 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ λ = 1 eingesetzt in die Geradengleichung ergibt x =⎜0 ⎟+ 1⋅⎜−1⎟=⎜−1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝−2⎠ ⎝−1⎠ Der Schnittpunkt hat damit die Koordinaten S ( 3 ; − 1; −1 ) .

b) Die Spurgeraden in den Koordinatenebenen erhalten wir, indem wir jeweils die dritte Komponente Null setzen. Wir erhalten somit die Spurgerade in der x1x 2 − Ebene (x3 = 0) :

g′ : 2x1 + x 2 + 2 = 0

in der x1x3 − Ebene (x 2 = 0) :

g′′ : 2x1 + 7x3 + 2 = 0

in der x 2 x3 − Ebene (x1 = 0) :

g′′′ : x 2 + 7x 3 + 2 = 0

c) Die Durchstoßpunkte können aus den Spurgeraden berechnet werden, indem man in der Spurgerade die entsprechende Koordinate Null setzt. Aus g′ : 2x1 + x 2 + 2 = 0 erhält man den Spurpunkt S1 durch Nullsetzen von x 2 . Die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen sind somit S1 ( −1; 0 ; 0 ) , S2 ( 0 ; − 2 ; 0 ) , S3 ( 0 ; 0 ; − 72 )

Die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen werden auch Achsenschnittpunkte genannt. Sie können direkt aus der Achsenabschnittsgleichung der Ebenengleichung erhalten werden. Wir formen deshalb die Ebenengleichung in die Achsenabschnittsgleichung um, indem wir die ursprüngliche Ebenengleichung durch – 2 dividieren, damit wir auf der rechten Seite die Zahl 1 erhalten. E:

x1 x x + 2 + 32 = 1 −1 −2 − 7

24.2 Ebenen

309

Die Achsenschnittpunkte sind somit ⎛ 2⎞ S1 ( −1; 0 ; 0 ) , S 2( 0 ; − 2 ; 0 ) , S3 ⎜0 ; 0 ; − ⎟ ⎝ 7⎠

24.2.2 Gegeben sind die Punkte A(3; 1; 1), B(2; 0; 1) und C(1; 2; 0). a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene E1 durch A, B und C in Parameterform und in Koordinatenform. b) Welchen Abstand hat der Punkt D (3; 7; 2) von der Ebene E1 ? c) Berechnen Sie den Schnittwinkel der Ebene E2 : 7x1 − x 2 + 5x3 = 24 ⎛3⎞ ⎛ 1⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ mit der Geraden g : x =⎜0⎟+ λ⋅⎜−1⎟. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠

a) Ebenengleichung (in Parameterform) ⎛3⎞ ⎛ 2 − 3⎞ ⎛1 − 3⎞ ⎛3 ⎞ ⎛−1⎞ ⎛−2⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E1 : x =⎜ 1⎟+ λ⋅⎜ 0 − 1 ⎟+ μ⋅⎜ 2 − 1⎟=⎜ 1⎟+ λ⎜−1⎟+ μ⎜ 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1⎠ ⎝ 1− 1 ⎠ ⎝0 − 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎝−1⎠

Ebenengleichung in Koordinatenform)

Wir schreiben von der vektoriellen Ebenengleichung die Komponenten auf, die ein lineares Gleichungssystem (LSG) bilden. Bei diesem eliminieren wir durch geeignete Addition bzw. Subtraktion die Parameter, so dass eine parameterfreie Ebenengleichung entsteht, die wir als Koordinatenform bezeichnen. x1 = 3 − λ − 2 μ (1) x 2 = 1− λ + μ (2) ⋅2 x3 = 1 − μ (3)

Addiert man zu Gl. (2) die Gleichung (3), so erhält man die Gleichung (4). Addiert man das 2-fache der Gl. (2) zu Gl. (1), so erhält man die Gleichung (5). x 2 + x3 = 2 − λ (4) ⋅− ( 3) x1 + 2x 2 = 5 − 3 λ (5)

⇒

− 3x 2 − 3x 3 =− 6 + 3 λ (4′) = 5 − 3 λ (5) x1 + 2x 2

Durch die Addition der Gl. (4′) zu Gl. (5) erhält man die parameterfreie Ebenengleichung: E1 : x1 − x 2 − 3x3 =− 1

310

24 Analytische Geometrie auf Vektorbasis

b) Abstand d des Punktes D (3; 7; 2) von E1

Wir formen die Ebenengleichung in die HESSE-Form um, indem wir die Normalengleichung durch den Betrag des Normalenvektors dividieren. HESSE-Form der Ebenengleichung: 1

E1 :

11

(x1 − x 2 − 3x3 + 1) = 0

Setzen wir die Koordinaten des Punktes D (3; 7; 2) in die HESSE-Gleichung ein, so ist der erhaltene Zahlenwert der gesuchte Abstand d. Einsetzen der Koordinaten von D in die HESSE-Gleichung: d=

1 11

( 3 − 7 − 6 + 1) =

−9 11

= 2,71 LE

c) Schnittwinkel (g ∩ E2 )

Mit der Kosinusfunktion ergibt sich der Ergänzungswinkel des Schnittwinkels zu 90°. Wir wählen deshalb die Sinusfunktion, um den Schnittwinkel direkt zu berechnen. G G n⋅u sin α = G G n ⋅ u ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ −1⎟ ⎜−1⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝−3⎠⎝ 2⎠ sin α = 1+ 1 + 9 ⋅ 1+ 1 + 4 sin α =

1+ 1 − 6 −4 = =− 0,49237 11⋅ 6 66

α =− 29,496° ≈ 330,5°

Als Schnittwinkel wird üblicherweise der spitze Winkel angegeben. Damit erhalten wir als Schnittwinkel α = 29,5°

311

25 Anwendungen der Vektorrechnung 25.1 Ein Flugzeug, das in konstanter Höhe h mit der Geschwindigkeit v fliegt, wird von der Radarstation erfasst. Die Projektion der Flugbahn auf die xyEbene lässt sich durch die Geradengleichung y = ax + b beschreiben. Bestimmen Sie den Ortsvektor zum Flugzeug. Der Ortsvektor zum Flugzeug ist

htung

z

Flugric

⎛ x⎞ ⎛ x ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r =⎜ y ⎟=⎜ax + b⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ z⎠ ⎝ h ⎠

h

v

y = ax +

r

b

b y

x 25.2 Ein Flugzeug hat beim Landeanflug auf dem Radarbildschirm die Position A (3000 m; 2000 m; 500 m). Nach 26 Sekunden ist die Position B ( 1600 m; 1500 m; 250 m) erreicht. a) Welche Geschwindigkeit hat das Flugzeug? b) An welchem Punkt C setzt das Flugzeug bei geradlinigem Landeanflug auf die Landebahn auf? a) Richtungsvektor des Flugzeugs ⎛3000 − 1600⎞ ⎛1400⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ u =⎜2000 − 1500⎟=⎜ 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 500 − 250 ⎠ ⎝ 250 ⎠ Zurückgelegte Wegstrecke = Betrag der Differenz der Ortsvektoren G s = u = 14002 + 5002 + 2502 = 1507,48 m Diese Strecke wird in 26 s zurückgelegt, damit ist die Geschwindigkeit v=

1507,48 m km m = 57,98 = 208,73 h s 26 s


312

25 Anwendungen der Vektorrechnung

b) Gleichung der Fluglinie

z

⎛3000 ⎞ ⎛1400 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 2000 ⎟+ λ⎜ 500 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 500 ⎠ ⎝ 250 ⎠

200

Damit gilt : 0 = 500 + 250 λ

Land

1600

y

eanf lug

Bei der Landung wird die Höhenkomponente z = 0.

C (200; 1000; 0)

3000 x

λ =− 2

Wir erhalten als Landekoordinaten.

x = 3000 − 2⋅1400 = 200 und y = 2000 − 2⋅500 = 1000

Landestelle C (200 m; 1000 m)

25.3 Ein Flugzeug, das zum Landeanflug angesetzt hat, hat die Position (4556; 3000; 330) (Angabe in m). Gleichzeitig wird die Position eines Hubschraubers mit ( 2400; 3424; 200) festgestellt. Nach 10 s ist das Flugzeug auf der Position (3876; 2800; 280) Der Hubschrauber erreicht nach 20 s die Position (2225; 3108; 180) a) Welchen Weg haben das Flugzeug und der Hubschrauber zurückgelegt und welche Geschwindigkeiten haben sie? b) Prüfen Sie nach, ob sich das Flugzeug und der Hubschrauber auf Kollisionskurs befinden. a) Differenz der Ortsvektoren ⎛ 4556 − 3876 ⎞ ⎛ 680 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ für das Flugzeug u =⎜ 3000 − 2800 ⎟=⎜200 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 330 − 280 ⎠ ⎝ 50 ⎠

G Weg s = u = 6802 + 2002 + 502 = 710,56 m

Geschwindigkeit v =

710,56 m m km = 71,056 = 255,80 10 s s h

⎛ 2400 − 2225⎞ ⎛175 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ für den Hubschrauber u =⎜ 3424 − 3108 ⎟=⎜316⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 200 − 180 ⎠ ⎝ 20 ⎠

G m km Weg s = u = 1752 + 3162 + 202 = 361,77 m v = 18,09 = 65,12 s h

313 b) Gleichungen der Fluglinien ⎛ 4556⎞ ⎛ 680⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Flugzeug; x1 =⎜ 3000 ⎟+ λ⎜ 200⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 330 ⎠ ⎝ 50 ⎠

⎛ 2400⎞ ⎛175 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Hubschrauber: x 2 =⎜3424 ⎟+ μ⎜316 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 200 ⎠ ⎝ 20 ⎠

Beim Kollisionskurs müssen sich die Flugbahnen schneiden, d. h. es muss sein: G G x1 = x2 ⎛ 4556 ⎞ ⎛ 680⎞ ⎛ 2400⎞ ⎛175 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3000 ⎟+ λ⎜ 200⎟ = ⎜3424 ⎟+ μ⎜316 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 330 ⎠ ⎝ 50 ⎠ ⎝ 200 ⎠ ⎝ 20 ⎠

In Komponentenschreibweise: 4556 + 680 λ = 2400 + 175 μ (1) 3000 + 200 λ = 3424 + 316 μ (2) 330 + 50 λ = 200 + 20 μ (3)

Aus Gl. (3) ergibt sich

50 λ = 20 μ − 130 ⇔ λ = 2 μ − 13 (4) 5 5

eingesetzt in Gl. (1): 97 ȝ = − 388 ⇔ ȝ = − 4 , mit Gl.(4): Ȝ = − 4,2 Die Fluglinien treffen sich bei geradlinigem Kurs im Punkt (1700; 2160, 120). Anmerkung: Trotzdem sich Flugzeug und Hubschrauber auf Kollisionskurs befinden, kommt es nicht zum Zusammenstoß, da die Geschwindigkeiten verschieden sind.

25.4 Gegeben seien die Punkte A(–3; 0; 6), B(–2; –2; 1), C(2; 3; 2) und D(1; 4; 4). a) Berechnen Sie die Gleichung der Ebene E1 durch B, C und D in Parameterform und in Koordinatenform. b) In welchem Punkt E trifft ein Laserstrahl die Ebene E1 , wenn er vom ⎛ 4⎞ G ⎜ ⎟ Punkt A mit dem Richtungsvektor u =⎜ 2 ⎟ausgesandt wird? ⎜ ⎟ ⎝−4⎠ c) Welche Entfernung hat der Punkt E vom Ausgangspunkt A? d) Berechnen Sie die Vektoren der Kanten und deren Länge des durch A, B, C und D gebildeten Tetraeders (= Pyramide) a) Ebenengleichung in Parameterform ⎛−2⎞ ⎛ 2 + 2⎞ ⎛ 1+ 2 ⎞ ⎛−2⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛3 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ E1 : x =⎜−2⎟+ λ⎜3 + 2⎟+ μ⎜ 4 + 2⎟=⎜−2⎟+ λ⎜ 5 ⎟+ μ⎜ 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 4 − 1⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝3 ⎠

314


Umrechnung in die Koordinatenform mit den Komponentengleichungen: x =− 2 + 4 λ + 3 μ (1) y =− 2 + 5 λ + 6 μ (2) z = 1+ λ + 3 μ (3)

(1) − (3) : x − z =− 3 + 3 λ (4) ⇒

2⋅(1) − (2) : 2x − y =− 2 + 3 λ (5)

E1 : x − y + z = 1

(5) – (4):

b) Auftreffpunkt des Laserstrahls: Dazu setzen wir die Komponenten der Geradengleichung des Laserstrahls: ⎛−3⎞ ⎛ 4 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x =⎜ 0 ⎟+ ν⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 ⎠ ⎝−4 ⎠

in die Ebenengleichung ein: −3 + 4 ν − 2 ν + 6 − 4 ν = 1 ⇔ ν = 1 Wir erhalten als Auftreffpunkt E (1; 2; 2) c) Entfernung des Punktes E von A: ⎛ 1 + 3⎞ ⎛ 4 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ d =⎜ 2 − 0 ⎟=⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 6⎠ ⎝−4⎠

d = 16 + 4 + 16 = 6 LE

d) Kantenlängen des Tetraeders: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ 2 + 2⎟ ⎜ 4 ⎟ BC =⎜ 3 + 2⎟=⎜ 5 ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 1⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ 1 + 2⎟ ⎜ 3 ⎟ BD =⎜ 4 + 2⎟=⎜ 6⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 1⎠ ⎝3 ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ 2 + 3⎟ ⎜ 5 ⎟ AC =⎜ 3 − 0 ⎟=⎜ 3 ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2 − 6⎠ ⎝−4⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ 1 − 2⎟ ⎜−1⎟ CD =⎜ 4 − 3 ⎟=⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 − 2⎠ ⎝ 2 ⎠

Kantenlängen:

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ → ⎜ −3 + 2⎟ ⎜−1⎟ BA =⎜ 0 + 2⎟=⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6 − 1⎠ ⎝ 5 ⎠

BC= 16 + 25 + 1= 42 =6,48 LE ; BD= 9 + 36 + 9 = 54 =7,35 LE

BA = 1+ 4 + 25 = 30 =5,48 LE ; AC= 25 + 9 + 16 = 50 =7,07 LE CD= 1+ 1+ 4 = 6 =2,45 LE

315

25.5 Die Eckpunkte einer Pyramide mit der Spitze A haben folgende Koordinaten: A(–3; 0; 6), B(–2; –2; 1), C(2; 3; 2) und D(1; 4; 4). a) Berechnen Sie die Grundfläche BCD der Pyramide. → → b) Berechnen Sie das Spatvolumen, des von den Vektoren BC , BD und → BA aufgespannten Spats. Welchen senkrechten Abstand von der Grundfläche BCD hat der Punkt A?

c) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide auf zwei verschiedene Arten. d) Berechnen Sie die Gleichung der auf der Fläche ABC senkrechten Ebene E2 , die durch die Punkte A und B geht. a) Fläche des Dreiecks BCD ⎛ 4 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛ 9 → 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ 1 → A = BC × BD = ⎜ 5 ⎟×⎜ 6⎟ = ⎜−9 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎜ ⎝ 1⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9

⎞ ⎟ 1 9 ⎟ = ⋅ 81+ 81+ 81 = ⋅ 3 = 7,794 FE 2 2 ⎟ ⎠

b) Spatvolumen V=

4

5 1

3

6 3

−1 2 5

Determinantenberechnung nach der Regel von Sarrus: 4

5 1

4 5

3

6 3

3 6 = 120 − 15 + 6 − (− 6 + 24 + 75 ) = 18

−1 2 5

−1 2

V = 18 = 18 VE Höhe des Spats h=

VSpat A Parallelogramm

=

18 9⋅ 3

= 1,155 LE

c) Volumen der Pyramide 1. Methode (elementargeometrische Berechnung): 1 1 1 18 = 3 VE V = ⋅ A ⋅h = ⋅ ⋅ 9 ⋅ 3 ⋅ 3 3 2 9⋅ 3

316


2. Methode (Berechnung mit Hilfe des Spatprodukts, vgl. Aufg. b): 1 1 V = ⋅ VSpat = ⋅ 6 6

4

5 1

3

6 3

−1 2 5

1 = ⋅ 18 = 3 VE 6

d) Orthogonale Ebene G G G E : n ⋅( x − a ) = 0

mit dem Normalenvektor der Fläche ABC ⎛ 1 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 23 ⎞ G ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n =⎜−2⎟×⎜ 3 ⎟=⎜−21⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝−5 ⎠ ⎝−4 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎛ 23 ⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ E2 :⎜−21⎟⋅⎜ x −⎜−2⎟⎟= 0 ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎝ 13 ⎠ ⎝ ⎝−5⎠⎠ E2 : 23x –21y + 13z – (23 +42 – 65) = 0 E2 : 23x – 21y + 13z = 0

317

F Komplexe Rechnung

26 Komplexe Arithmetik Hinweis: Lehrbuch Kapitel 51–54 Für komplexe Zahlen gibt es folgende Darstellungsformen: Algebraische oder kartesische Form:

z = a + j⋅b

oder

z = x + j⋅ y

Polarformen: Trigonometrische Form:

z = r ⋅(cos ϕ + j⋅ sin ϕ)

Exponentialform:

z = r ⋅ e j⋅ϕ

mit dem Betrag von z (Radius) r = z = a2 + b2 und dem Argument von z (Winkel) ϕ = arc tan

26.1

b a

Berechnen Sie mit den komplexen Zahlen z1 = 4 − j⋅5 und z2 =− 5 − j⋅2 die komplexen Zahlen a) z = z1 − z2

b) z = z1 + z2 ⋅ z1

c) z =

z1 2⋅ z 2

a) z = z1 − z2 = 4 − j⋅5 + 5 + j⋅2 = (4 + 5) + j⋅(−5 + 2) = 9 − j⋅3 b) z = z1 + z2 ⋅ z1 = (4 − j⋅5) + (−5 − j⋅2)⋅(4 − j⋅5) = (4 − j⋅5)⋅(1N − 5 − j⋅2) −4

z =−16 + j⋅ 20 − j⋅8 − 10 =− 26 + j⋅12

c) z =

z=

z1 4 − j⋅ 5 (4 − j⋅5)(−5 + j⋅2) −20 + j⋅25 + j⋅8 + 10 = = = 2⋅ z2 2⋅(−5 − j⋅ 2) 2⋅(−5 − j⋅ 2)(−5 + j⋅2) 2⋅(25 + 4) −10 + j⋅33 5 33 =− + j⋅ =− 0,1724 + j⋅0,569 58 29 58


318

26.2

26 Komplexe Arithmetik Berechnen Sie von folgenden komplexen Zahlen den Betrag und geben Sie das Argument (= Richtungswinkel ϕ des Zeigers) im Gradmaß und Bogenmaß an. a) z =− j⋅2

b) z = 2⋅(cos 30° − j⋅sin 30° )

3π oder ϕ = 270° 2 ⎛ 3 ⎞ b) z = 2⋅(cos 30° − j⋅sin 30° ) = 2⋅⎜ − j⋅0,5⎟= 3 − j ⎝ 2 ⎠

a) r = z = 0 + (−2)2 = 2 ;

ϕ=

r = z = ( 3 )2 + 1 = 3 + 1 = 2 ;

mit Gradmaß: im Bogenmaß:

26.3

Richtungswinkel:

(4. Quadrant) tan ϕ =

−1 3

−1 =− 30°+ 360° = 330° 3 −1 ϕ = arc tan =− 0,5236 + 2 π = 5,7596 3 ϕ = arc tan

Berechnen Sie den Betrag folgender komplexer Zahlen und geben Sie das Argument (= Richtungswinkel des Zeigers) im Gradmaß und Bogenmaß an. a) z = 4 + j⋅3

1. Quadrant:

b) z =− 3 + j⋅2

c) z =− 5 − j⋅3

d) z = 5 − j⋅ 4

a) z = 4 + j⋅3 2

r = z = 4 + 32 = 25 = 5 3 = 0,75 4 ϕ = arc tan 0,75 = 36,87°

Im j3

z

Richtungswinkel: tan ϕ = Im Gradmaß:

j

f

1

4 Re

Im Bogenmaß: ϕ = arc tan 0,75 = 0,6435 2. Quadrant:

b) z =− 3 + j⋅2

Im

r = z = (−3)2 + 22 = 13 2 2 =− −3 3 2 ϕ = arc tan − =− 33,69° + 180° = 146,31° 3

z

j2 f


⎛ 2⎞ Im Bogenmaß: ϕ = arc tan⎜− ⎟=− 0,588 + π = 2,5536 ⎝ 3⎠

–4

–1

Re

319 3. Quadrant:

Im

c) z =− 5 − j⋅3

f

r = z = (−5)2 + (−3)2 = 34

–5

Im Gradmaß:

–2

Re –j

−3 = 0,6 Richtungswinkel: tan ϕ = −5

z

–j 3

ϕ = arc tan (0,6) = 30,96° + 180° = 210,96°

Im Bogenmaß: ϕ = arc tan (0,6) = 0,5404 + π = 3,6820 4. Quadrant:

Im

d) z = 5 − j⋅ 4

r = z = 52 + (−4)2 = 41


f

−4 =− 0,8 5

1

2

5 Re

–j 2

–j 4 ϕ = arc tan (−0,8) =− 38,66° + 360° = 321,34°

z

Im Bogenmaß: ϕ = arc tan (−0,8) =− 0,6747 + 2 π = 5,6084 Für die 4 Quadranten sind somit folgende Berechnungsformeln zu berücksichtigen:

26.4

1. Quadrant:

⎛y⎞ ϕ = arc tan⎜ ⎟ ⎝x⎠

2. und 3. Quadrant:

⎛y⎞ ϕ = arc tan⎜ ⎟+ π ⎝x⎠

4. Quadrant:

⎛y⎞ ϕ = arc tan⎜ ⎟+ 2 π ⎝x⎠

Geben Sie für folgende komplexen Zahlen die Exponentialform und die trigonometrische Form an. a) z =− 2 + j⋅3

b) z =− 3 − j⋅2

a) Für diese beiden Darstellungsformen benötigen wir jeweils den Betrag r = z ( = Länge des Zeigers) und das Argument (Winkel ϕ). r = z = (−2)2 + 32 = 13

320

26 Komplexe Arithmetik


3 =−1,5 −2

ϕ = arc tan (−1,5) =− 56,31° + 180° = 123,69°

Im Bogenmaß: ϕ = arc tan (−1,5) =− 0,9828 + π = 2,1588 Wir erhalten mit dem Gradmaß: z =− 2 + j⋅3 = 13 ⋅e j⋅123,69° = 13 ⋅(cos 123,69° + j⋅sin 123,69° )

mit dem Bogenmaß z =− 2 + j⋅3 = 13 ⋅ e j⋅2,1588 = 13 ⋅(cos 2,1588 + j⋅sin 2,1588)

b) r = z = (−3)2 + (−2)2 = 13 Richtungswinkel: tan ϕ = Im Gradmaß:

−2 2 = −3 3

⎛2⎞ ϕ = arc tan⎜ ⎟= 33,69° + 180° = 213,69° ⎝3⎠

⎛2⎞ Im Bogenmaß: ϕ = arc tan⎜ ⎟= 0,588 + π = 3,7296 ⎝3⎠

Wir erhalten mit dem Gradmaß: z =− 3 − j⋅2 = 13 ⋅e j⋅213,69° = 13 ⋅(cos 213,69° + j⋅sin 213,69° )

mit dem Bogenmaß z =− 3 − j⋅2 = 13 ⋅e j⋅3,7296 = 13 ⋅(cos 3,7296 + j⋅sin 3,7296)

26.5

Bilden Sie aus folgenden komplexen Zahlen die algebraische (kartesische) Form. a) z = 4⋅(cos 22,5° − j⋅ sin 22,5° ) ⎛ π π⎞ b) z = 6⋅⎜cos − j⋅sin ⎟ ⎝ 6 6⎠

c) z = 3⋅e j ⋅ 60° a) z = 4⋅⎛cos 22,5° − j⋅sin 22,5° ⎞= 3,6955 − j⋅1,5307

⎜

⎟ ⎝ 0,92388 0,38268 ⎠ ⎛ π π⎞ b) z = 6⋅⎜cos − j⋅ sin ⎟= 5,196 − j⋅3 6

6⎟ N ⎜ ⎝ 0,866 0,5 ⎠

c) z = 3⋅ e j ⋅ 60° = 3⋅(cos 60° + j⋅sin 60° ) = 3⋅(0,5 + j⋅0,866) = 1,5 + j⋅2,598

321

26.6

Geben Sie folgende komplexen Zahlen in der algebraischen (kartesischen) Form an.

a) z = 3 j b) z = 2 j ⋅ 3 c) z = 43 + j ⋅ 2

a) Um komplexe Exponenten bearbeiten zu können, müssen wir die Grundzahl in eine e-Potenz umschreiben. Bekanntlich gilt für jede reelle positive Zahl a: a = eln a

(

Damit ist 3 = eln 3 und z = 3 j = eln 3

)

j

= e j ⋅ ln 3 ; r = z = 1 ;

ϕ = ln 3 = 1,0986

z = 1⋅(cos (ln3) + j⋅sin (ln 3)) = 0,4548 + j⋅0,8906

b) Auch hier muss die Grundzahl 2 in eine e-Potenz umgeformt werden. Wir erhalten

(

z = 2 j ⋅ 3 = eln 2

)

j⋅3

= e j3 ⋅ ln 2 = e j ⋅ ln 8

Mit der trigonometrischen Form ergibt sich z = e j ⋅ ln 8 = cos (ln 8) + j⋅sin (ln 8) =− 0,48649 + j⋅0,8734

c) Diese komplexe Potenz wollen wir zunächst in folgender Weise umformen: z = 43 + j ⋅ 2 = 43 ⋅ 4 j ⋅ 2 = 64⋅(42 ) j = 64⋅16 j

Nun wird die Grundzahl 16 in eine e-Potenz umgeschrieben: j z = 64⋅ eln 16 = 64⋅ e j ⋅ ln 16

(

)

Mit der trigonometrischen Form erhalten wir z = 64⋅(cos (ln 16) + j⋅sin (ln 16)) = 64 ⋅(−0,93268 + j⋅0,36068) z =− 59,692 + j⋅23,084

26.7

Berechnen Sie folgende Potenzen mit Hilfe der Formel von Moivre und geben Sie die komplexen Zahlen in der algebraischen Form und in der Exponentialform an. a) z = (1+ j⋅2)4 8 ⎡ π π⎤ b) z = 2⋅⎢ cos − j⋅ sin ⎥ ⎣ 8 8⎦

322


a) z = (1+ j⋅2)4 Betrag:

r = z = 12 + 22 = 5

Argument:

tan ϕ =

2 = 2 ; ϕ =1,1071 1

Mit Hilfe der Moivre´schen Formel erhalten wir 4

z = (1+ j⋅2)4 = ( 5 ) ⋅(cos (4⋅1,1071) + j⋅ sin (4⋅1,1071)) z = 25⋅(cos (4,4286) + j⋅sin (4,4286) = 25 ⋅(−0,28 − j⋅0,960) z =− 7 − j⋅ 24 8 ⎡ π π⎤ b) z = 2⋅⎢ cos − j⋅ sin ⎥ ⎣ 8 8⎦

Mit Hilfe der Moivre´schen Formel erhalten wir ⎛ ⎛ π⎞ ⎛ π ⎞⎞ z = 2⋅⎜cos⎜8 ⋅ ⎟+ j⋅ sin⎜8 ⋅ ⎟⎟= 2⋅(cos π + j⋅sin π) ⎝ 8⎠ ⎝ 8 ⎠⎠ ⎝ z = 2⋅(−1+ j⋅0) =− 2

26.8

Berechnen Sie folgende Wurzeln a) z = 4 − j⋅3 b) z =

3

8⋅e j ⋅ 30°

a) z = 4 − j⋅3 ; Betrag: r = z = 42 + (−3)2 = 25 = 5 −3 =− 0,75 ; ϕ =−0,6435 4 ⎛ −0,6435 −0,6435 ⎞ ⎟= 2,1214 − j⋅0,7071 + j⋅sin z = 5 ⋅⎜cos ⎝ ⎠ 2 2

Argument: tan ϕ =

b) z =

3

8⋅ e j ⋅ 30°

=

3

⎛ 30° 360° ⎞ ⎟ j ⋅⎜ +k⋅ ⎝ 3 3 ⎠ = 2⋅ e j ⋅ (10° + k ⋅120° ) 8 ⋅e

k = 0:

z1 = 2⋅e j ⋅10° = 2⋅(cos 10° + j⋅sin 10° ) = 1,9696 + j⋅0,3473

k = 1:

z2 = 2⋅e j ⋅130° = 2⋅(cos 130° + j⋅sin 130° ) =−1,2856 + j⋅1,5321

k = 2:

z3 = 2⋅e j ⋅ 250° = 2⋅(cos 250° + j⋅sin 250° ) =− 0,6840 − j⋅1,8794

323 Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z5 + 32 = 0.

26.9

Löst man die Gleichung nach z auf, so erhält man 5

z = −32

Das Radizieren wollen wir in zwei Schritten durchführen: 1. Umwandlung des Radikanden (– 32) in eine komplexe Polarform Betrag:

r = z = (−32)2 + 02 = 32

Argument:

0 tan ϕ = =0 ; −32

Polarform:

z = 32⋅(cos π + j⋅sin π)

ϕ= π

2. Anwendung der Formel von Moivre z=

5

Im z2 j 2 z1 36o

z3 –2

2

⎛ ⎛ π π⎞ π π⎞ 32 ⋅⎜cos + j⋅sin ⎟= 2⋅⎜cos + j⋅sin ⎟ ⎝ ⎝ 5 5⎠ 5 5⎠ zk = 2 ⋅ e

k = 0 : z1 = 2⋅ e k = 1: z2 = 2⋅e

j⋅

π 5

j⋅

3π 5

j⋅

π + k ⋅ 2π 5

z5 z4

⎛ π π⎞ = 2⋅⎜cos + j⋅sin ⎟= 1,618 + j⋅1,1756 ⎝ 5 5⎠ ⎛ 3π 3π ⎞ ⎟=− 0,618 + j⋅1,902 = 2⋅⎜cos + j⋅sin ⎝ 5 5 ⎠

k = 2 : z3 = 2⋅e j ⋅ π = 2⋅(cos π + j⋅sin π) =− 2 k = 3 : z 4 = 2⋅e k = 4 : z 5 = 2⋅ e

j⋅

7π 5

⎛ 7π 7π ⎞ ⎟=− 0,618 − j⋅1,902 = 2⋅⎜cos + j⋅sin ⎝ 5 5 ⎠

j⋅

9π 5

⎛ 9π 9π ⎞ ⎟= 1,618 − j⋅1,1756 = 2⋅⎜cos + j⋅sin ⎝ 5 5 ⎠

26.10 Berechnen Sie sämtliche Lösungen der Gleichung z4 = 625⋅(cos 80° + j⋅sin 80° )

Löst man die Gleichung nach z auf, so erhält man z = 4 625⋅(cos 80° + j⋅sin 80° )

Re

324


Da der Radikand schon in einer Polarform vorliegt, müssen wir nur die Umformung nach Moivre vornehmen. z1 =

4

⎛ 80° 80° ⎞ ⎟= 5⋅(cos 20° + j⋅sin 20° ) 625 ⎜cos + j⋅sin ⎝ 4 4 ⎠

zk = 5⋅e

j⋅

80° + k ⋅ 360° 4

k = 0: z = 5⋅e k = 1: z = 5⋅e k = 2: z = 5⋅e k = 3: z = 5⋅e

j⋅

80° 4

Im z2

= 5⋅e j ⋅ 20°

j⋅

440° 4

= 5⋅e j ⋅110°

j⋅

800° 4

= 5⋅e j ⋅ 200°

j⋅

z1 20o

1160° 4

–5 z3

5 Re

z4

= 5⋅e j ⋅ 290°

26.11 Wie lautet die Exponentialform der komplexen Zahl z = (3 − j⋅ 4) j − 1

Da hier sowohl die Grundzahl als auch die Hochzahl komplex ist, müssen wir die Grundzahl in eine e-Potenz umformen. Es lässt sich nicht nur eine reelle Zahl a, sondern auch eine komplexe Zahl z in eine e-Potenz umformen: z = eln z

Mit z = r ⋅e j ⋅ ϕ wird ln z = ln (r ⋅e j ⋅ ϕ ) = ln r + j⋅ϕ⋅ln e = ln r + j⋅ϕ . N 1

Betrag der Grundzahl: r = z = Argument: tan ϕ =

32 + (−4)2

= 25 = 5

−4 ; ϕ =− 0,92729 + 2 π = 5,3559 3

(

z = (3 − j⋅ 4) j − 1 = eln 5 + j ⋅ 5,3559

)

j −1

= e j ⋅ ln 5 − 5,3559 − ln 5 − j ⋅ 5,3559

z = e−ln 5 − 5,3559 ⋅e j ⋅ (ln 5 − 5,3559) = e−6,9653 ⋅e−j ⋅ 3,74556 z = 0,000 944⋅e−j ⋅ 3,74556

325

26.12 Gegeben sei z − (2 + j) = Re (z) − 4 ( Re (z) = Realteil von z ) Welche Funktion wird durch diese Gleichung dargestellt? Wir setzen die komplexe Zahl z = x + j⋅ y in die Betragsgleichung ein: x + j⋅ y − (2 + j) = x − 4 x + j⋅ y − 2 − j = x − 4 (x − 2) + j⋅(y − 1) = x − 4

Wir berechnen die Beträge der komplexen und der reellen Zahl: (x − 2)2 + (y − 1)2 =± (x − 4)

Durch Quadrieren ergibt sich (x − 2)2 + (y − 1)2 = (x − 4)2 x 2 − 4x + 4 + (y − 1)2 = x 2 − 8x + 16 (y − 1)2 =− 4x + 12 (y − 1) =± 2 3 − x y = 1± 2 3 − x

326

27 Anwendungen der komplexen Rechnung

27 Anwendungen der komplexen Rechnung 27.1

In einem Wechselstromkreis mit einer Frequenz von f = 25 Hz ist eine Spule mit einer Induktivität von 400 mH und ein Ohm´scher Widerstand von 0,4 kΩ in Reihe geschaltet. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand (= Scheinwiderstand) Z. b) Wie groß ist dieser bei f = 50 Hz ?

a) Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. Z = ZR + ZL = R + j⋅ωL Z = (400 Ω + j⋅2 π⋅25 s−1⋅0,400 H) = (400 + j⋅62,83) Ω Z=

4002 + (62,83)2 Ω = 404,90 Ω

b) Bei der doppelten Frequenz ändert sich der induktive Widerstand und damit der Gesamtwiderstand wie folgt: Z = ZR + ZL = R + j⋅ωL Z = (400 Ω + j⋅2 π⋅50 s−1⋅0,400 H) = (400 + j⋅125,66) Ω Z=

27.2

4002 + (125,66)2 Ω = 419,27 Ω

In einem Wechselstromkreis mit f = 50 Hz ist ein Kondensator mit der Kapazität von C = 20 μF mit einem Ohm´schen Widerstand von 300 Ω in Reihe geschaltet. a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand Z. b) Wie groß ist die Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom?

1 a) Z = ZR + ZC = R − j⋅ ωC Z = 300 Ω − j⋅

1 2 π⋅50 s−1⋅0,000 020 F

Z = (300 − j⋅159,15) Ω Z=

3002 + (159,15)2 Ω = 339,60 Ω


327 b) tan ϕ =

−159,15 =− 0,5305 300

ϕ =− 27,95° , d. h. der Strom eilt der Spannung voraus.

27.3

Wie groß ist der Gesamtwiderstand für folgende Widerstände, die parallel geschaltet sind ? Z1 = (30 + j⋅50) Ω Z2 = (20 − j⋅ 60) Ω

Bei Parallelschaltung addieren sich die Leitwerte. Wir berechnen deshalb zunächst die Leitwerte der Einzel-Widerstände. 1 1 1 1⋅(30 − j⋅50) 1 30 − j⋅50 1 = = = Z1 30 + j⋅50 Ω (30 + j⋅50)⋅(30 − j⋅50) Ω 302 + 502 Ω 1 1 = (0,0088 − j⋅0,0147) Ω Z1 1 1 1 1⋅(20 + j⋅60) 1 20 + j⋅60 1 = = = Z2 20 − j⋅ 60 Ω (20 − j⋅ 60)⋅(20 + j⋅ 60) Ω 202 + 602 Ω 1 1 = (0,005 + j⋅0,015) Ω Z1

Der komplexe Gesamtwiderstand bei dieser Parallelschaltung ist damit Z=

1 1 1 + Z1 Z2

Z=

1 1 = (0,008 8235 − j⋅0,014 7059) + (0,005 + j⋅0,015) 0,0138235 + j⋅0,000 2941

Z=

1⋅(0,0138235 − j⋅0,000 2941) (0,0138235 + j⋅0,000 2941)⋅(0,0138235 − j⋅0,000 2941)

Z = (72,31− j⋅1,5384) Ω Z=

27.4

72,312 + (−1,5384)2 Ω = 72,326 Ω

Wie groß ist der Gesamtwiderstand für folgende Widerstände, die in einem Wechselstromkreis parallel geschaltet sind ? Z1 = (250 − j⋅120) Ω Z2 = (400 + j⋅1000) Ω

328

27 Anwendungen der komplexen Rechnung

Die Leitwerte der Widerstände sind 1 1 1 1⋅(250 + j⋅120) 1 250 + j⋅120 1 = = = Z1 250 − j⋅120 Ω (250 − j⋅120)⋅(250 + j⋅120) Ω 2502 + 1202 Ω 1 1 = (0,0033 + j⋅0,0016) Z1 Ω 1 1 1 1⋅(400 − j⋅1000) 1 400 − j⋅1000 1 = = = Z2 400 + j⋅1000 Ω (400 + j⋅1000)⋅(400 − j⋅1000) Ω 4002 + 10002 Ω 1 1 = (0,000 3448 − j⋅0,000 862) Z2 Ω 1 1 = 1 1 0,003 5957 + j⋅0,000 6985 + Z1 Z2

Z=

Z=

0,003 5957 − j⋅0,000 6985 (0,003 5957 + j⋅0,000 6985)⋅(0,003 5957 − j⋅0,000 6985)

Z = (267,997 − j⋅52,06) Ω Z = 267,9972 + (−52,06)2 Ω = 273,01 Ω

27.5

Berechnen Sie für die dargestellte Schaltung den komplexen Scheinwiderstand Z für R = 1 kΩ, L = 500 mH, C = 25 μF und f = 50 Hz

Wir berechnen zunächst den Leitwert der Parallelschaltung: YP =

1 1 1 1 ωL − j⋅R + = − j⋅ = R jωL R ωL R ⋅ωL

Damit ist der Widerstand der Gesamtschaltung: Z = ZC + Z =− j⋅

1 1 RωL =− j⋅ + YP ωC ωL − j⋅R

⎡ R2 ⋅ωL 1 RωL ⋅( ωL + j⋅R) R ⋅( ωL)2 1 ⎤ ⎢ ⎥ + = + j ⋅ − ωC ( ωL − j⋅R)⋅( ωL + j⋅R) ( ωL)2 + R2 ⎣ ( ωL)2 + R 2 ωC ⎦

329

Z=

⎡ 10002 ⋅(2 π⋅50 ⋅0,5) ⎤ 1 ⎢ ⎥Ω + j ⋅ − 2 2 2 2 2 π⋅50 ⋅0,000 025 ⎦ (2 π⋅50 ⋅0,5) + 1000 ⎣ (2 π⋅50 ⋅0,5) + 1000 1000⋅(2 π⋅50⋅0,5)2

Z = (24,08 + j⋅[ 153,297 − 127,324 ] ) Ω Z = (24,08 + j⋅ 25,97 ) Ω Z = 24,082 + 25,972 Ω = 35,42 Ω

27.6

Berechnen Sie den komplexen Scheinwiderstand für die dargestellte Reihenschaltung für eine Frequenz von 50 Hz und R = 500 Ω, L1 = 1,5 H, L2 = 1 H, C = 225 μF.

Der Scheinwiderstand der Reihenschaltung berechnet sich aus 1 + Z2 Z = ZL + ZC + Z2 = j⋅ω L1 − j⋅ 1 ωC

Dabei ist

Z2 =

Z2 =

Z2 = Z2 =

1 1 1 + ZR ZL2

=

1 1 1 + R j ω L2

=

1 1 1 − j⋅ ω L2 R

1 R ω L2 R ω L2 ⋅( ω L 2 + j⋅R) = = ω L2 − j⋅R ω L2 − j⋅R ( ω L2 )2 + R2 R ω L2

R ( ω L 2 )2 ( ω L2

)2

+

R2

+ j⋅

R2 ⋅( ω L 2 ) ( ω L 2 )2 + R2

500 (2 π⋅50⋅1)2

(500)2 ⋅(100 π ) + j ⋅ (100 π )2 + 5002 (100 π)2 + 5002

Z2 = (141,522 + j⋅ 225,239) Ω Z = j⋅ω L1 − j⋅

1 + Z2 = ( j⋅ 471,239 − j⋅14,147 + 141,522 + j⋅225,239) Ω ωC

Z = (141,522 + j⋅682,33) Ω Z = Z = 141,522 + 682,332 = 696,85 Ω

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