Subjektive Investitionsbewertung, Marktbewertung und Risikoteilung
Helmut Laux · Matthias M. Schabel
Subjektive Investitionsbewertung, Marktbewertung und Risikoteilung Grenzpreise aus Sicht börsennotierter Unternehmen und individueller Investoren im Vergleich
123
Prof. Dr. Dr. h.c. Helmut Laux Hölderlinweg 22h 61350 Bad Homburg
[email protected] Prof. Dr. Matthias M. Schabel Fachhochschule Frankfurt am Main – University of Applied Sciences Fachbereich 3 Wirtschaft und Recht Professur für Rechnungswesen und Wirtschaftsinformatik Nibelungenplatz 1 60318 Frankfurt am Main
[email protected] ISBN 978-3-540-85272-8
e-ISBN 978-3-540-85273-5
DOI 10.1007/978-3-540-85273-5 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. c 2009 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Herstellung: le-tex publishing services oHG, Leipzig Einbandgestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de
Vorwort
Das Buch befasst sich mit Grundfragen der Bewertung von Bewertungsobjekten mit ungewissen finanziellen Überschüssen als Basis für die Entscheidung über deren Kauf oder Verkauf. Bei einem Bewertungsobjekt kann es sich um ein einzelnes Investitionsprojekt, ein Investitionsprogramm oder ein ganzes Unternehmen handeln. Sowohl für den potenziellen Kauf als auch den potenziellen Verkauf des Bewertungsobjekts stellt der Wert einen kritischen „Grenzpreis“ dar. Der Kauf ist für einen potenziellen Käufer vorteilhaft, wenn der Kaufpreis niedriger als der Grenzpreis ist. Der Verkauf ist für einen potenziellen Verkäufer vorteilhaft, wenn der Verkaufserlös höher als der Grenzpreis ist. Es wird gezeigt, wie der Wert ermittelt werden kann und wie er von seinen Determinanten abhängt. Als Wertdeterminanten werden vor allem Eigenschaften des Kapitalmarktes, die Risikoeinstellungen der Investoren und die „Größe“ des Bewertungsobjekts betrachtet. Von diesen Determinanten hängt ihrerseits ab, wie das aus dem Bewertungsobjekt resultierende Risiko geteilt wird bzw. geteilt werden kann. Besonderer Raum wird der Frage gewidmet, wie der individuelle subjektive Wert aus Sicht eines Investors vom Marktwert des Bewertungsobjekts abweichen kann. Eine Abweichung ergibt sich schon dann, wenn die Bewertung im Rahmen eines börsennotierten Unternehmens vorgenommen wird, an dem der Investor als Anteilseigner mit kleinem Anteil beteiligt ist (so dass das Bewertungsmodell aus seiner Sicht ein Marginalkalkül darstellt). Die Abweichung mag hier jedoch vernachlässigbar gering sein. Grundlegend anders ist die Bewertungssituation, wenn der Investor nicht als Anteilseigner unter vielen an den Überschüssen des Bewertungsobjekts beteiligt ist, sondern diese ihm als Alleineigentümer zufließen und er das Risiko nur in Grenzen durch individuelle Portefeuillebildung reduzieren (hedgen) kann; Gleichheit von individuellem subjektivem Wert und Marktwert wäre grundsätzlich nur bei „Vollständigkeit“ und „Vollkommenheit“ des Kapitalmarktes gegeben. Da reale Kapitalmärkte diesem Ideal nicht entsprechen, ist die in Theorie und Praxis populäre Gleichsetzung von Marktwert und individuellem subjektivem Grenzpreis mit großer Skepsis zu beurteilen. Sowohl für einen (individuellen potenziellen) Käufer als auch für einen Verkäufer ist der subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert, wobei die Abweichung vor allem bei großen Bewertungsobjekten (etwa bei ganzen Unternehmen) und hoher Risikoaversion sehr hoch sein kann. Eine generelle Gleichsetzung von subjektivem Grenzpreis und Marktwert impliziert, dass Marktwertmaximierung und subjektive Nutzenmaximierung äquivalente Ziele sind. Nicht nur für Realinvestitionen, sondern auch für Risikotransformationen durch Versicherungen und Wertpapierhandel wären dann Marktwerte unabhängig davon bewertungsrelevant, ob die Entscheidungen für ein börsennotiertes Unternehmen mit vielen Anteilseignern oder einen individuellen Investor (den Alleineigentümer eines Unternehmens) getroffen werden, eine irreale Annahme.
VI
Vorwort
Der Rückgriff auf Marktwerte mit dem Argument „wissenschaftlicher Objektivität“ kann zu Fehlbewertungen und Fehlentscheidungen führen. Verzicht auf Marktbewertung impliziert im übrigen nicht, dass der Wert „frei gegriffen“ werden muss. In der Arbeit wird gezeigt, wie in alternativen Entscheidungssituationen die Abweichung des individuellen subjektiven Grenzpreises vom Marktwert ermittelt (geschätzt) werden kann. Dabei wird ersichtlich, dass eine zielkonforme Bewertung grundsätzlich die Berücksichtung subjektiver Präferenzen erfordert. Ohne Rücksicht auf Präferenzen kann man allenfalls gemäß der populären Formel „Bewerten heißt vergleichen“ Ratschläge geben wie etwa den, für ein Bewertungsobjekt nicht mehr zu zahlen als jenen Preis, den man alternativ für ein Vergleichsobjekt mit denselben Eigenschaften (Überschüssen) zahlen müsste. Natürlich ist es irrational, einen höheren Preis zu zahlen. Es kann aber auch irrational sein, das Bewertungsobjekt zu einem niedrigeren Preis zu erwerben; der individuelle subjektive Wert ist nicht schon deshalb höher als der geforderte Preis, weil dieser Preis niedriger ist als der Preis einer Vergleichsalternative. In der Literatur wird oft argumentiert, dass subjektive Nutzenmaximierung als Bewertungskonzept ungeeignet sei, weil der Investor seine Nutzenfunktion nicht ermitteln und diese sich im Zeitablauf ändern könne. Daher sei es sinnvoll, auf Marktwerte zurückzugreifen. (Mit dem gleichen Argument könnte man auch Substanzwerte rechtfertigen.) In der Entscheidungstheorie wurden jedoch Konzepte entwickelt, um Rückschlüsse auf die Nutzenfunktion ziehen zu können. Natürlich kann sie sich im Zeitablauf ändern. Das lässt sich aber nicht vermeiden, indem man für das Bewertungsobjekt einen Preis in Höhe des gegenwärtigen Marktwertes zahlt. Auch Marktwerte pflegen sich zu ändern. Ein besonderes Problem dabei ist, dass sie sich zumindest teilweise aufgrund reiner Zufallsmechanismen ändern können. Die in dieser Arbeit explizit betrachteten rein zufälligen Änderungen ergeben sich aus stochastisch unabhängigen „Störtermen“ für die Kursentwicklungen, die unsystematische Risiken erzeugen. Diese Störterme können insbesondere aus beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Investoren in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen resultieren. Sie mögen zwar im Rahmen gut gemischter Wertpapierportefeuilles nicht „spürbar“ bzw. bewertungsrelevant sein und somit die gegenwärtigen Marktwerte der Wertpapiere nicht beeinflussen. Wie in der Arbeit gezeigt wird, können sie jedoch die Möglichkeit, den Überschuss eines Bewertungsobjekts individuell zu hedgen, wesentlich beeinträchtigen und bewirken, dass bei gegebener Nutzenfunktion des Investors sein individueller subjektiver Grenzpreis weit unter dem Marktwert liegt. Dies gilt vor allem dann, wenn dieser Überschuss gegenüber dem eines gut gemischten Portefeuilles stark „strukturverzerrt“ ist und das Bewertungsobjekt, die Varianzen der Störterme sowie die Risikoaversion des individuellen Investors groß sind. Die Bewertungsrelevanz von Störtermen für Wertpapierpreise wird unseres Wissens in der Literatur nicht explizit analysiert. Allenfalls Störterme (unsystematische Risiken) für die Überschüsse der Bewertungsobjekte werden als Ursachen für positive Abweichungen zwischen Marktwerten und subjektiven Grenzpreisen angeführt. In der vorlie-
Vorwort
VII
genden Arbeit wird ausführlich auch der Einfluss dieses zweiten Typs von Störtermen auf die Abweichungen untersucht. Wenn man den individuellen subjektiven Grenzpreis bezüglich einer Nutzenfunktion ermittelt hat und damit rechnet, dass sie sich in nicht antizipierbarer Weise ändern kann, sollte man einen Abschlag von diesem Grenzpreis vornehmen, wenn bei Kauf des Bewertungsobjekts aufgrund beschränkter Wiederverkaufsmöglichkeiten (fehlender Teilbarkeit des Bewertungsobjekts) sowie der Unvollkommenheit und Unvollständigkeit des Kapitalmarktes Anpassungen an mögliche Änderungen der Nutzenfunktion gegenüber reiner Finanzanlage (Portefeuillebildung und risikoloser Kapitalanlage) erschwert werden. Wie gezeigt wird, ist unter diesen Kapitalmarkteigenschaften der Marktwert grundsätzlich höher als der subjektive Grenzpreis, so dass die Wertkorrektur bei Ansatz des Marktwertes in die falsche Richtung geht. Je größer das Bewertungsobjekt und die Risikoaversion des Investors sind, desto größer ist der Bewertungsfehler, wenn man statt eines reduzierten subjektiven Grenzpreises den Marktwert zum Bewertungsmaßstab erhebt. Wie gezeigt wird, können die individuellen Hedgemöglichkeiten auch durch beschränkte Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt beeinträchtigt werden. Bei rationaler Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises wird dies im Bewertungskalkül antizipiert mit dem Ergebnis, dass ein noch höherer Abschlag vom Marktwert geboten ist. Es ist erstaunlich, wie wenig Mühe sich die Verfechter der reinen Marktbewertung geben, um die prinzipielle Eignung des Marktwertes als subjektivem Grenzpreis zu begründen. Warum sollte man auch die Grundlagen der eigenen Gutachten in Zweifel ziehen, zumal es in der angloamerikanischen Bewertungsliteratur „mainstream“ ist, kaum etwas anderes als Marktwerte in Betracht zu ziehen, wohl aus der sicheren Einsicht heraus, dass der Markt schon alles richten wird. Die Darstellungen in dieser Arbeit haben nicht nur Bedeutung für die Bewertung in einer konkreten Entscheidungssituation. Mit Hilfe des entwickelten Instrumentariums wird auch der allgemeine Einfluss des Kapitalmarktes auf Bewertungen und Investitionsentscheidungen untersucht. Dabei zeigt sich, welche Bewertungskonflikte in Abhängigkeit von der Risikoteilung zwischen Investoren bestehen können. Die Arbeit steht thematisch in engem Zusammenhang mit dem ebenfalls im SPRINGER-Verlag erschienen Buch „Wertorientierte Unternehmenssteuerung und Kapitalmarkt“ von H. LAUX, in dem wesentlich ausführlicher als in dem vorliegenden Probleme der Marktbewertung untersucht werden und Probleme individueller subjektiver Bewertung nur am Rande behandelt werden. Dagegen stellen die Beziehungen zwischen Marktwerten und subjektiven Grenzpreisen einen wesentlichen Bestandteil der vorliegenden Arbeit dar. Durch häufige Querverweise werden Verbindungen zwischen beiden Büchern angezeigt. Die Darstellungen zur Marktbewertung verdeutlichen, warum Marktbewertungsfunktionen für die Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise grundsätzlich nicht geeignet sind. Die Marktbewertungsfunktionen werden in beiden Arbeiten in strukturgleicher Weise wie die individuellen subjektiven Grenzpreise darge-
VIII
Vorwort
stellt, so dass sie anschaulich verglichen werden können und Unterschiede zwischen ihnen direkt ersichtlich werden. Den Herren Conrad Buchholz, Hugo Kossbiel und Christian Laux verdanken wir viele wertvolle Anregungen und Verbesserungsvorschläge. Die KPMG hat das Projekt durch eine großzügige Spende gefördert. Auch dafür danken wir herzlich.
Frankfurt am Main, im Juli 2008
Helmut Laux und Matthias M. Schabel
Inhaltsverzeichnis
Vorwort ........................................................................................................................................V Inhaltsverzeichnis........................................................................................................................ IX
TEIL A: EINFÜHRUNG I
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick .............................................................................................................. 1
1 2 2.1 2.2 3
Problemstellung der Arbeit ........................................................................................... 1 Die betrachteten Bewertungsanlässe............................................................................. 7 Kauf eines Investitionsprojekts: Grenzpreis als Preisobergrenze ................................. 7 Verkauf eines Investitionsprojekts: Grenzpreis als Preisuntergrenze........................... 8 Grundtypen von Werten: Marktwerte, kollektive und individuelle subjektive Grenzpreise ................................................................................................................... 9 Allgemeiner Vergleich.................................................................................................. 9 Bedeutung der Risikoteilung für die Bewertung......................................................... 13 Pareto-effiziente und anreizkompatible Risikoteilung................................................ 13 Direkte und indirekte Risikoteilung (direkter und indirekter Risikotransfer)............. 14 Direkte Risikoteilung.................................................................................................. 14 Indirekte Risikoteilung durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt.......................... 16 Die betrachteten Finanzierungsformen ....................................................................... 18 Bewertungsmodell als Entscheidungsmodell ............................................................. 20 Zielfunktion ................................................................................................................ 20 (Handlungs-)Alternativen ........................................................................................... 20 Probleme der Information ........................................................................................... 22 Problem der Komplexitätsreduktion bei der Bewertung............................................. 25 Grundformen der Bewertung gegebener stochastischer Überschüsse ........................ 26 Unternehmen als Bewertungsobjekt ........................................................................... 26 Abgrenzung von Leistungs-, Finanz- und neutralem Bereich .................................... 27 Zur Ermittlung eines Marktwertes .............................................................................. 28 Entity- und Equity-Ansatz als Konzepte der Unternehmensbewertung ..................... 28 Bewertung nach dem Entity-Ansatz ........................................................................... 29 Marktwert des Leistungsbereichs als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles...... 29 Bewertung auf der Basis einer „Vergleichsinvestition“ ............................................. 30 Discounted Cashflow-Methode (Risikozuschlags-Methode) ..................................... 31 Sicherheitsäquivalent-Methode (Risikoabschlags-Methode) ..................................... 31 Bewertung nach dem Equity-Ansatz .......................................................................... 33 Reale vs. virtuelle (oder intrinsische) Marktwerte...................................................... 34 Zur Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises .................................... 35 Vergleich mit Marktbewertung................................................................................... 35 Zirkularitätsproblem bei der Bewertung und Reichtumseffekt................................... 37 Individuelle subjektive Bewertung unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen.. 37 Vollständige Duplizierbarkeit..................................................................................... 37 Unbeschränkte Leerverkäufe ...................................................................................... 37
3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2 3.3 4 4.1 4.2 4.3 4.4 5 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.2.4 5.3.3 5.3.4 5.4 5.4.1 5.4.2 6 6.1 6.1.1
X
6.1.2 6.2 6.3 6.4 7 7.1 7.1.1 7.1.1.1 7.1.1.2 7.1.2 7.2 7.2.1 7.2.2 7.3 8 8.1 8.2 9 10 11
Inhaltsverzeichnis
Beschränkter Leerverkauf........................................................................................... 39 Unvollständige Duplizierbarkeit................................................................................. 41 Exkurs: Illiquide Finanzmärkte [*]............................................................................. 42 Implikationen von Änderungen der Nutzenfunktion .................................................. 42 Gründe für Alleineigentum am Unternehmen ............................................................ 43 Gegebenes Investitionsprogramm............................................................................... 43 Homogene Erwartungen über die Überschüsse .......................................................... 43 Vollständige Duplizierbarkeit und unbeschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten ......... 43 Unvollständige Duplizierbarkeit und/oder beschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten. 44 Heterogene Erwartungen über die Überschüsse ......................................................... 45 Veränderliches Investitionsprogramm ........................................................................ 45 Orientierung ausschließlich an finanziellen Zielen..................................................... 45 Orientierung (auch) an nichtfinanziellen Zielen ......................................................... 46 Fazit: Bewertungsfall B vs. Bewertungsfall A............................................................ 47 Grenzen individueller subjektiver Bewertung durch reine Preisvergleiche und Notwendigkeit der Erfassung subjektiver Präferenzen ............................................... 48 Problematik des Vergleichs als „allgemeines Grundprinzip“ der Bewertung ............ 48 Problematik der Bewertung auf der Basis des CAPM................................................ 51 Die Problematik des DEAN-Modells als Leitlinie für die Schätzung eines risikoangepassten (endogenen) Kalkulationszinsfußes [*] ......................................... 55 Resümee...................................................................................................................... 57 Aufbau der Arbeit ....................................................................................................... 61
TEIL B: ENTSCHEIDUNGSTHEORETISCHE GRUNDLAGEN II
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung ................. 65
1 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.2.1 2.3.2.2 3 3.1 3.2 3.3 4 5
Problemstellung .......................................................................................................... 65 Entscheidungskriterien bei Risiko .............................................................................. 68 Dominanzprinzip als Vorentscheidungskriterium ...................................................... 68 Bernoulli-Prinzip ........................................................................................................ 68 Charakteristik.............................................................................................................. 68 Eigenschaften der Nutzenfunktion.............................................................................. 70 Klassische Entscheidungskriterien im Licht des Bernoulli-Prinzips .......................... 72 P-Kriterium ................................................................................................................. 72 (P,V)-Prinzip ............................................................................................................... 72 Quadratische Nutzenfunktion und beliebig verteilte Zielgröße .................................. 72 Exponentielle Nutzenfunktion und normalverteilte Zielgröße ................................... 75 Das ARROW-PRATT-Maß für absolute Risikoaversion ............................................... 78 Allgemeine Darstellung .............................................................................................. 78 Quadratische Nutzenfunktion und ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizient......... 79 Exponentielle Nutzenfunktion und ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizient ....... 80 Zustandsabhängige Nutzenfunktionen........................................................................ 81 Sicherheitsäquivalent und subjektiver Wert (Grenzpreis) einer stochastischen Zielgröße..................................................................................................................... 84 Allgemeine Charakteristik .......................................................................................... 84 Sicherheitsäquivalent bei Risikoneutralität................................................................. 85 Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion ................................................................... 86 Allgemeine Darstellung .............................................................................................. 86
5.1 5.2 5.3 5.3.1
Inhaltsverzeichnis
5.3.2 5.4 5.5
XI
5.6.1 5.6.2 5.7 5.7.1 5.7.2 5.8 5.8.1 5.8.2 6 7 7.1 7.2 7.3 7.4 8 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.3 8.4 8.4.1 8.4.2 8.4.3 9
Spezialfälle.................................................................................................................. 88 Risikoabschlag und ARROW-PRATT-Maß................................................................... 89 Sicherheitsäquivalent einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.................................................................................... 91 Subjektiver Wert einer stochastischen (Änderung einer) Wahrscheinlichkeitsverteilung.................................................................................... 93 Wert WK(Z n ) aus Sicht eines potenziellen Käufers................................................. 93 Wert WV(Z n ) aus Sicht eines potenziellen Verkäufers............................................ 96 Wert und Sicherheitsäquivalent im Vergleich ............................................................ 96 Allgemeine Zusammenhänge...................................................................................... 96 Wert und Sicherheitsäquivalent bei quadratischer Nutzenfunktion............................ 97 Implikationen für die Sicherheitsäquivalent-Methode als Bewertungskonzeption .. 100 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers ...................................................... 100 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers ................................................. 102 Verbundeffekte und Koordinationsbedarf bei der Bewertung .................................. 102 Pareto-effiziente Risikoteilung ................................................................................. 104 Bedeutung ................................................................................................................. 104 Pareto-Programm ...................................................................................................... 105 Grundbedingung pareto-effizienter Risikoteilung .................................................... 106 Gestalt pareto-effizienter Teilungsregeln ................................................................. 107 Anreizkompatible Risikoteilung ............................................................................... 108 Bedeutung ................................................................................................................. 108 Strenge Anreizkompatibilität .................................................................................... 110 Bedingungen der (strengen) Anreizkompatibilität.................................................... 110 Ermittlung und Gestalt anreizkompatibler Teilungsregeln ....................................... 112 Anreizkompatible versus pareto-effiziente Risikoteilung......................................... 115 Partielle Anreizkompatibilität................................................................................... 116 Bedingungen der partiellen Anreizkompatibilität..................................................... 116 Beweis der partiellen Anreizkompatibilität [*]......................................................... 118 Mögliche Konflikte................................................................................................... 119 Resümee.................................................................................................................... 120
III
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)................ 125
1 2 3 3.1 3.2 3.3 3.4 4 4.1 4.2 5 5.1 5.2 6 7 8
Problemstellung ........................................................................................................ 125 Residualgewinn als Zielgröße der Portefeuilleplanung ............................................ 126 Das Modell................................................................................................................ 127 Annahmen und Symbole........................................................................................... 127 Modellstruktur .......................................................................................................... 128 Strukturgleichheit aller effizienten Portefeuilles ...................................................... 130 Auswahl des optimalen Portefeuilles........................................................................ 133 Analyse der Struktureigenschaften der effizienten Portefeuilles .............................. 135 Grundlegende Struktureigenschaften........................................................................ 135 Höhe und Interpretation von Ȝ* [*]........................................................................... 138 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles ............................................................... 139 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 139 Umfang des optimalen Portefeuilles......................................................................... 140 Implikationen eines beschränkten Leerverkaufs [*] ................................................. 143 Zur Relevanz von Hintergrundrisiken und Leerverkäufen ....................................... 145 Bedeutung von Varianzen und Kovarianzen für das Portefeuillerisiko.................... 146
5.6
XII
9
Inhaltsverzeichnis
Resümee.................................................................................................................... 150
TEIL C: PREISBILDUNG AUF DEM KAPITALMARKT UND KOLLEKTIVE SUBJEKTIVE GRENZPREISE IM VERGLEICH ZU MARKTWERTEN IV
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt................................................ 153
1 2 2.1 2.2
Problemstellung ........................................................................................................ 153 Vollkommener und unvollkommener Kapitalmarkt ................................................. 156 Charakteristik des vollkommenen Kapitalmarktes ................................................... 156 Informationskosten und Beschränkungen von Leerverkäufen als wesentliche Ursache für die Unvollkommenheit des Kapitalmarktes .......................................... 157 Arbitragefreiheit als notwendige Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht und Bewertungsimplikationen .................................................................................. 159 Prinzip der Arbitragefreiheit ..................................................................................... 159 Marktbewertung auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles ............................... 163 Konzept..................................................................................................................... 163 Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles .............................................................. 164 State Preference Ansatz (SPA) ................................................................................. 167 Charakteristik............................................................................................................ 167 Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen im SPA................................... 169 Höhe der Preise ʌs für zustandsbedingte Zahlungsansprüche................................... 170 Arbitrageüberlegungen ............................................................................................. 170 Grenznutzenbetrachtung ........................................................................................... 171 Pareto-effiziente Risikoteilung im SPA [*] .............................................................. 173 Zustandsunabhängige Nutzenfunktionen.................................................................. 173 Zustandsabhängige Nutzenfunktionen (exogene Risiken) und Bedeutung von Leerverkäufen ........................................................................................................... 174 Capital Asset Pricing Model (CAPM) ...................................................................... 174 Charakteristik............................................................................................................ 174 Individualportefeuilles im Gleichgewicht................................................................. 175 Individualportefeuilles als proportionale Anteile am Marktportefeuille .................. 175 Höhe der individuellen Anteile am Marktportefeuille.............................................. 176 Marktwerte auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten ............................................ 179 Ermittlung der Marktwerte ....................................................................................... 179 Höhe der Marktwerte ................................................................................................ 181 Abhängigkeit von der Kovarianz .............................................................................. 181 Abhängigkeit von der Varianz .................................................................................. 182 Abhängigkeit von der Risikoprämie je Risikoeinheit bzw. den Risikoeinstellungen................................................................................................... 184 Zum Verhältnis zwischen Standardabweichung und Risikoprämie eines Portefeuilles .............................................................................................................. 187 Marktwerte auf der Basis risikoangepasster Zinssätze ............................................. 189 Erwartete Renditen von riskanten Wertpapieren ...................................................... 189 Marktwertermittlung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes ......................... 191 Ermittlung der Risikoprämie auf der Basis eines risikoangepassten Zinssatzes....... 192 und r .............................. 193 Bewertung auf der Basis der Kovarianz zwischen M 1n G Modifizierter SPA..................................................................................................... 194 Das Modell................................................................................................................ 194
3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.4 4.4.1 4.4.2 5 5.1 5.2 5.2.1 5.2.2 5.3 5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.3.2.4 5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4 6 6.1
Inhaltsverzeichnis
XIII
6.2 7 8 9
Beschränkte Rationalität als Ursache für Störterme ................................................. 197 CAPM und (modifizierter) SPA als theoretische Grundlage für weitere Analysen . 198 Relevanz von Leerverkäufen .................................................................................... 200 Resümee.................................................................................................................... 201
V
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung ........................................... 205
1 2
Problemstellung ........................................................................................................ 205 Kompatibilität bei Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen zu unveränderlichen Preisen ʌs ...................................................................................... 206 Vorüberlegung: Maximierung des Marktwertes des privaten Vermögens eines individuellen Investors.............................................................................................. 206 Gestalt der Indifferenzkurven ................................................................................... 206 Nutzenmaximierung und Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ....... 208 Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung als äquivalente Ziele bei konstanten Preisen ʌs ................................................................................................ 210 Konflikt zwischen Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei Leerverkaufsbeschränkungen ................................................................................... 212 Mehr als zwei mögliche Zustände ............................................................................ 213 Fazit: Relevanz von Hedgemaßnahmen für die Bewertung...................................... 214 Maximierung des Marktwertes der Aktien eines Unternehmens.............................. 214 Konzept..................................................................................................................... 214 Bewertung und Separierbarkeit................................................................................. 216 „Competitivity“ und „Spanning“ als Grundbedingungen der Anreizkompatibilität ................................................................................................. 217 Problematik der Annahme eines Handels zu unveränderlichen Preisen ʌs............... 218 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 218 Problematik in einem Nichthandels-Gleichgewicht ................................................. 219 Problematik in einem Handels-Gleichgewicht ......................................................... 221 Identität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung bei quasi-konstanten Grenznutzenwerten ....................................................................... 222 Marktwertmaximierung als direkte Nutzenmaximierung ohne dass Wertpapierhandel ausgelöst wird.............................................................................. 222 Implikationen quasi-konstanter Grenznutzenwerte .................................................. 224 Vergleich mit den Darstellungen zur partiellen Anreizkompatibilität...................... 225 Zur Relevanz von Informationen .............................................................................. 226 Spanning als Bedingung der Identität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung bei unveränderlichen Grenznutzenwerten............................... 227 Charakteristik............................................................................................................ 227 Bedeutung und Grenzen der Spanning-Bedingung................................................... 228 Spanning und pareto-effiziente Risikoteilung im Vergleich..................................... 229 Zur Relevanz von Hintergrundrisiken und Leerverkäufen ....................................... 230 Hedge-Konzept ......................................................................................................... 230 Gleichgewichts-Konzept........................................................................................... 231 Finanzierung und Relevanz des Marktwertkriteriums für die Bewertung einzelner Investitionsprojekte ................................................................................... 232 Resümee.................................................................................................................... 233
2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 3 3.1 3.2 3.3 4 4.1 4.2 4.3 5 6 6.1 6.2 6.3 7 7.1 7.2 8 9
XIV
Inhaltsverzeichnis
VI
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM ........ 237
1 2 2.1
4.4.1 4.4.2 5
Problemstellung ........................................................................................................ 237 Nutzenmaximierung und CAPM-Gleichgewicht...................................................... 240 Unveränderliche Anteile am Marktportefeuille bei Änderung der homogenen Erwartungen.............................................................................................................. 240 Änderung der Erwartungen aufgrund von Investitionen........................................... 241 Entscheidungssituation ............................................................................................. 241 Kollektive Nutzenmaximierung................................................................................ 242 NE- und BQ-Variante ............................................................................................... 242 Verallgemeinerung.................................................................................................... 244 Zielkonflikte in der NB-Variante.............................................................................. 244 Kriterien der Marktwertmaximierung im Überblick................................................. 245 Individuelle Marktwertmaximierung ........................................................................ 245 Bewertung auf der Basis eines Sicherheitsäquivalents (Variante 1)......................... 245 Das allgemeine Konzept ........................................................................................... 245 Bewertung mit den Bewertungsfunktionen im Status quo........................................ 247 Bewertung mit einem risikoangepassten Kalkulationszinsfuß ................................. 249 Konzept..................................................................................................................... 249 Risikoangepasster Kalkulationszinsfuß, Risikoklasse und Risikoprämie................. 251 Bewertung auf der Basis eines Sicherheitsäquivalents (Variante 2)......................... 252 Maximierung des Marktwertes aller Aktien ............................................................. 252 Problematik einer Vernachlässigung des Einflusses neuer Projekte auf die Marktwerte der Aktien anderer Unternehmen .......................................................... 254 Marktwertmaximierung im Licht subjektiver Nutzenmaximierung ......................... 256 Nutzenmaximierung als Referenzziel ....................................................................... 256 Individuelle Marktwertmaximierung ........................................................................ 257 Exaktes Entscheidungskriterium............................................................................... 257 Vereinfachtes Entscheidungskriterium ..................................................................... 259 Maximierung des Marktwertes aller Aktien ............................................................. 260 Marktwertmaximierung im Licht subjektiver Nutzenmaximierung bei einem Übergang in ein neues Marktgleichgewicht [*]........................................................ 260 Konflikte bei Investitionsentscheidungen................................................................. 260 Konflikte bei Information der Anteilseigner............................................................. 262 Resümee.................................................................................................................... 263
VII
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich..................... 267
1 2 2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3
Problemstellung ........................................................................................................ 267 Der kollektive subjektive Grenzpreis eines Unternehmens ...................................... 268 Kauf eines börsennotierten Unternehmens ............................................................... 268 Potenzieller Kauf eines nicht börsennotierten Unternehmens .................................. 269 CAPM als Bewertungsgrundlage.............................................................................. 269 SPA als Bewertungsgrundlage.................................................................................. 271 Bewertung eines Unternehmens, dessen Inhaber das Risiko durch private Kapitalmarkttransaktionen optimal gehedgt hat ....................................................... 272 Bedeutung von privaten Risiken und Leerverkäufen für die Bewertung.................. 273 Vollständiger Kapitalmarkt und unbeschränkter Leerverkauf.................................. 273 Unvollständiger Kapitalmarkt und beschränkter Leerverkauf.................................. 275
2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.3 3 3.1 3.1.1 3.1.1.1 3.1.1.2 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.3 3.2 3.3 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.2 4.3 4.4
3 3.1 3.2
Inhaltsverzeichnis
4 4.1 4.2 4.3 5
XV
Subjektive Ermessensentscheidungen bei der Ermittlung von virtuellen Marktwerten.............................................................................................................. 276 Prognose der Überschüsse ........................................................................................ 276 Ermittlung des Kalkulationszinsfußes kn .................................................................. 278 Virtueller Marktwert des Bewertungsobjekts als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles.......................................................................................... 282 Resümee.................................................................................................................... 282
TEIL D: OPTIMALE PORTEFEUILLEBILDUNG UND INDIVIDUELLE SUBJEKTIVE GRENZPREISE IM VERGLEICH ZU MARKTWERTEN VIII
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts.................................................................................................. 285
1 2
Problemstellung ........................................................................................................ 285 Marktrisikoprämie und subjektive Risikoprämie bzw. Marktwert und subjektiver Grenzpreis im Vergleich ........................................................................ 287 Bewertung ohne jegliche Portefeuillebildung........................................................... 289 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers ...................................................... 289 Ermittlung des Wertes .............................................................................................. 289 Zur Höhe des Wertes ................................................................................................ 291 Abhängigkeit vom Erwartungswert des Einzahlungsüberschusses .......................... 291 Abhängigkeit von der Standardabweichung des Einzahlungsüberschusses ............. 291 Abhängigkeit vom Vermögen V0 vor Kauf .............................................................. 292 Abhängigkeit von der Risikoeinstellung................................................................... 293 Abweichungen vom (virtuellen) Marktwert ............................................................. 295 Problematik der Sicherheitsäquivalent-Methode ...................................................... 302 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers ................................................. 303 Bewertung bei ex ante optimaler Portefeuillebildung ohne das Bewertungsobjekt . 305 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers ...................................................... 305 Ermittlung des subjektiven Wertes ........................................................................... 305 Vergleich des subjektiven Wertes mit dem Marktwert............................................. 307 Das Bewertungsobjekt fällt in dieselbe Risikoklasse wie das Marktportefeuille ..... 307 Das Bewertungsobjekt fällt in eine andere Risikoklasse als das Marktportefeuille . 308 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers ................................................. 310 Der subjektive Wert bei potenziellem Kauf bzw. Verkauf des Bewertungsobjekts im Vergleich [*] ........................................................................ 312 Resümee.................................................................................................................... 313
3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.2.1 3.1.2.2 3.1.2.3 3.1.2.4 3.1.2.5 3.1.3 3.2 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.2.1 4.1.2.2 4.2 4.3 5 IX
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss............................................................................................................... 317
1 2
Problemstellung ........................................................................................................ 317 Portefeuilleplanung bei unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles.......................................................................................... 318 Portefeuilleplanung ohne Leerverkauf von Wertpapieren ........................................ 320 Möglichkeiten und Grenzen für das Hedgen des exogenen Risikos durch Handel mit Wertpapieren ohne Leerverkauf ......................................................................... 320 Ermittlung effizienter Portefeuilles durch Modifikation des Grundmodells ............ 322
3 3.1 3.2
XVI
3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.2.1 3.4.2.2 3.4.2.3 3.5 4 4.1 4.2 4.2.1 4.2.1.1 4.2.1.2 4.2.2 4.3 5
Inhaltsverzeichnis
Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles [*] ................................................... 325 Die Effizienzbedingungen ........................................................................................ 325 Fall O* < 0 ................................................................................................................. 326 Fall O* = 0 ................................................................................................................. 327 Fall O* > 0 ................................................................................................................. 327 Analyse der modifizierten Effizienzkurve ................................................................ 328 Vorüberlegungen: Konvexkombinationen von riskanten Portefeuilles als Basiselemente der Ermittlung von Effizienzkurven ................................................. 328 Allgemeine Gestalt der modifizierten Effizienzkurve .............................................. 332 Konvexkombinationen zwischen Portefeuilles als Elemente der modifizierten Effizienzkurve........................................................................................................... 332 Modifizierte Effizienzkurve bei ausschließlich nichtnegativen Kovarianzen .......... 333 Modifizierte Effizienzkurve bei teilweise negativen Kovarianzen........................... 338 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles ............................................................... 340 Portefeuilleplanung mit Leerverkauf einzelner Papiere............................................ 341 Ermittlung effizienter Portefeuilles durch Modifikation des Grundmodells ............ 341 Analyse der modifizierten Effizienzkurve ................................................................ 343 Bedeutung von Leerverkäufen im Vergleich zu Käufen .......................................... 343 Ein einziges leerverkaufbares Hedgeportefeuilles als Basis der modifizierten Effizienzkurve........................................................................................................... 343 Mehrere leerverkaufbare Hedgeportefeuilles als Basis der modifizierten Effizienzkurve........................................................................................................... 348 Allgemeine Charakteristik der modifizierten Effizienzkurve ................................... 354 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles ............................................................... 357 Resümee.................................................................................................................... 357
X
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss............................................................................................................... 361
1 2 3 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5 5.1 5.1.1 5.1.2
Problemstellung ........................................................................................................ 361 Implikationen unvollständiger Duplizierbarkeit ....................................................... 362 Portefeuilleplanung mit exogenem Überschuss........................................................ 365 Allgemeine Analyse der modifizierten Effizienzkurve ............................................ 366 Charakteristik............................................................................................................ 366 Zur Position des Ausgangspunktes P ohne Portefeuillebildung ............................... 367 Vergleich der modifizierten Effizienzkurve mit der Referenzlinie........................... 369 Modifizierte Effizienzkurve und partielle Duplizierbarkeit...................................... 371 Modifizierte Effizienzkurve und beschränkter Leerverkauf ..................................... 372 Störterme als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit............................................... 373 .............................................................................. 373 Störterm für den Überschuss Ü 1 Charakteristik des Störterms ..................................................................................... 373 Charakteristik des „approximativen“ Duplikationsportefeuilles für den St ........................................................................................................ 374 Überschuss Ü 1 Störterme (Noise) auch für die Wertpapiere ............................................................. 374 Charakteristik der Störterme ..................................................................................... 374 St ............................. 376 Struktur der effizienten Portefeuilles ohne den Überschuss Ü 1 Charakteristik des „approximativen“ Duplikationsportefeuilles für den St ........................................................................................................ 376 Überschuss Ü 1 Ermittlung und Eigenschaften effizienter Portefeuilles unter Berücksichtigung St .............................................................................................. 378 des Überschusses Ü 1
5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.3 5.2.4
Inhaltsverzeichnis
5.2.4.1 5.2.4.2 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.1.1 6.2.1.2 6.2.2 6.3 6.4 7
XVII
Ermittlung ................................................................................................................. 378 Eigenschaften [*] ...................................................................................................... 380 Analyse der modifizierten Effizienzkurve mit Störtermen ....................................... 383 Modifizierte Effizienzkurve mit Störterm nur für den Überschuss .......................... 383 Modifizierte Effizienzkurve mit Störtermen nur für die Wertpapiere ...................... 384 Darstellung im (P,V2)-Diagramm ............................................................................. 384 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 384 Konsequenzen von Hedgemaßnahmen ..................................................................... 389 Darstellung im (P,V)-Diagramm............................................................................... 392 und Modifizierte Effizienzkurve mit Störterm für den Überschuss Ü 1 Störtermen für die Wertpapiere ................................................................................ 395 Eigenschaften des optimalen Portefeuilles ............................................................... 395 Resümee.................................................................................................................... 396
XI
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts.................................................................................................. 401
1 2
Problemstellung ........................................................................................................ 401 Bedeutung von Kapitalmarkttransaktionen für die individuelle subjektive Bewertung................................................................................................................. 404 Bewertung bei Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf ......................... 407 Individueller subjektiver Grenzpreis als Marktwert ................................................. 407 Implikationen ............................................................................................................ 409 Grenzen von Leerverkäufen...................................................................................... 411 Grenzen der Erfassung der Folgen von Leerverkäufen ............................................ 413 Grenzen der Duplizierbarkeit.................................................................................... 413 Bewertung bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf........ 414 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers ...................................................... 414 Ohne Leerverkauf ..................................................................................................... 414 Ermittlung des Wertes .............................................................................................. 414 Höhe des Wertes ....................................................................................................... 422 Leerverkauf einzelner Papiere .................................................................................. 430 Das allgemeine Bewertungskonzept ......................................................................... 430 Splitting der Bewertung: Der subjektive Grenzpreis als Summe aus dem Marktwert des (leer-)verkaufbaren Teils des Duplikationsportefeuilles und dem subjektiven Grenzpreis des residualen Duplikationsportefeuilles .................... 433 Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers [*] ........................................... 434 Bewertung bei unvollständiger Duplizierbarkeit ...................................................... 437 Allgemeine Darstellung ............................................................................................ 437 Ermittlung des Wertes .............................................................................................. 437 Höhe des Wertes ....................................................................................................... 438 Splitting der Bewertung: Der subjektive Grenzpreis als Summe aus dem Marktwert des duplizier- und zugleich leerverkaufbaren Teils des Überschusses und dem subjektiven Grenzpreises des residualen Überschusses ............................. 439 Störterm für den Überschuss des Bewertungsobjekts als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit ........................................................................................................ 440 Charakteristik des Störterms ..................................................................................... 440 Graphische Ermittlung des subjektiven Grenzpreises .............................................. 441 Exponentielle Nutzenfunktion .................................................................................. 441 Quadratische Nutzenfunktion ................................................................................... 443
3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 4 4.1 4.1.1 4.1.1.1 4.1.1.2 4.1.2 4.1.2.1 4.1.2.2
4.2 5 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3
5.2 5.2.1 5.2.2 5.2.2.1 5.2.2.2
XVIII
5.2.2.3 5.3
Inhaltsverzeichnis
5.3.1 5.3.2 5.3.2.1 5.3.2.2 5.3.2.3 5.4 5.5 6 7 8 9
Exkurs: Versicherung als direkter Risikotransfer [*] ............................................... 444 Störterme für die Endwerte der Wertpapiere als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit ........................................................................................................ 445 Ermittlung des Wertes .............................................................................................. 445 Höhe des Wertes ....................................................................................................... 447 Zum Einfluss der Risikoeinstellung.......................................................................... 447 Zum Einfluss der Größe des Bewertungsobjekts...................................................... 448 Zum Einfluss der Varianzen V 2n ............................................................................... 449 Störterm auch für den Überschuss des Bewertungsobjekts ...................................... 450 Zum Einfluss der Störterme auf Leerverkaufsmöglichkeiten und Implikationen..... 450 Relative Bewertungen im Verhandlungsprozess ...................................................... 451 Implikationen veränderlicher Nutzenfunktionen ...................................................... 453 Sicherheitsäquivalent-Methode im Licht der theoretischen Darstellungen .............. 455 Resümee.................................................................................................................... 456
XII
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens...... 461
1 2 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.2.1 3.2.2.2
Problemstellung ........................................................................................................ 461 Bewertung ohne Portefeuillebildung ........................................................................ 462 Bewertung mit optimaler Portefeuillebildung .......................................................... 465 Bewertungskonzept bei potenziellem Kauf .............................................................. 465 des Bewertungsobjekts.......... 465 Vollständige Duplizierbarkeit des Überschusses Ü 1 Unbeschränkter Leerverkauf dieses Überschusses ................................................... 465 Kein Leerverkauf ...................................................................................................... 466 ...................................................... 466 Zerlegung des Duplikationsportefeuilles für Ü 1 Das Duplikationsportefeuille für Ü1 enthält nur negative Bestände riskanter Wertpapiere............................................................................................................... 467 enthält nur positive Bestände riskanter Das Duplikationsportefeuille für Ü 1 Wertpapiere............................................................................................................... 468 enthält positive und negative Bestände Das Duplikationsportefeuille für Ü 1 riskanter Wertpapiere................................................................................................ 472 Partieller Leerverkauf ............................................................................................... 474 Unvollständige Duplizierbarkeit des Überschusses des Bewertungsobjekts ............ 474 Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens und eines börsengehandelten Unternehmens im Vergleich ..................................................................................... 476 Die beiden Bewertungsfälle...................................................................................... 476 ~ Stochastische Unabhängigkeit des Überschusses ÜL1 von den Endwerten der Papiere ................................................................................................................ 476 ~ Stochastische Abhängigkeit des Überschusses ÜL1 von den Endwerten der Papiere ...................................................................................................................... 477 Resümee.................................................................................................................... 481
3.2.2.3 3.2.2.4 3.2.3 3.3 4 4.1 4.2 4.3 5
TEIL E: MARKTBEWERTUNG UND INDIVIDUELLE SUBJEKTIVE BEWERTUNG IM MEHRPERIODEN-FALL XIII
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall.................................................................................................. 483
1
Problemstellung ........................................................................................................ 483
Inhaltsverzeichnis
2
XIX
5
Flexible Planung als theoretische Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall .................................................................................................... 484 Das Konzept der flexiblen Planung .......................................................................... 484 Präzisierung der Entscheidungssituation .................................................................. 487 Annahmen................................................................................................................. 487 Zur Bedeutung der flexiblen Planung ....................................................................... 489 Allgemeine Charakteristik von Modellansätzen der flexiblen Planung.................... 489 Beispiel ..................................................................................................................... 491 Die betrachtete Entscheidungssituation .................................................................... 491 Entscheidungsbaumverfahren ................................................................................... 492 Der Entscheidungsbaum ........................................................................................... 492 Erstellung einer Ergebnismatrix ............................................................................... 494 Roll-Back-Verfahren ................................................................................................ 496 Zustandsbaumverfahren............................................................................................ 497 Symbole .................................................................................................................... 497 Das Modell................................................................................................................ 498 Starre versus flexible Planung .................................................................................. 501 Flexibilität und Elastizität ......................................................................................... 502 Ein allgemeines Bewertungskonzept auf der Basis flexibler Planung...................... 503 Planung der optimalen Überschüsse und Ermittlung eines Grenzpreises als simultanes Entscheidungsproblem............................................................................ 503 Charakteristik der Bewertungskonzeption ................................................................ 505 Bewertung auf Basis zweier Teilmodelle ................................................................. 505 Relevanz eines Reichtumseffekts ............................................................................. 507 Beispiel ..................................................................................................................... 509 Bewertung bei Risikoneutralität ............................................................................... 509 Bewertung bei Risikoaversion .................................................................................. 509 Notwendigkeit und Formen der Vereinfachung bei Planung und Bewertung .......... 510 Vereinfachungsproblematik...................................................................................... 510 Vorüberlegungen: Vereinfachungen im Einperioden-Modell .................................. 512 Vereinfachungen im Mehrperioden-Modell ............................................................. 513 Vereinfachung durch Globalplanung zukünftiger Maßnahmen................................ 513 Vereinfachung des Zustandsbaumes......................................................................... 514 Vereinfachung bei der Erfassung der Aktionsmöglichkeiten ................................... 516 Vereinfachung durch die Annahme gegebener zustandsabhängiger Überschüsse ... 517 Vereinfachung bei der Bewertung vs. Vereinfachung bei der Investitionsplanung mit gegebenen Anschaffungsauszahlungen .............................................................. 517 Resümee.................................................................................................................... 518
XIV
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall .............................................................. 521
1 2 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2
Problemstellung ........................................................................................................ 521 Bewertung durch explizite (dynamische) Duplikation der Überschüsse .................. 524 Bewertung im State Preference Ansatz (SPA).......................................................... 527 Entscheidungssituation ............................................................................................. 527 Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen und Höhe ihrer Preise ............ 528 Direkter Handel mit reinen Wertpapieren................................................................. 528 Indirekter Handel mit „normalen“ Wertpapieren und Vollständigkeit des Kapitalmarktes .......................................................................................................... 531 Ermittlung und Bedeutung der Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche ..... 532
2.1 2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.2.1 2.4.2.2 2.4.2.3 2.4.3 2.4.3.1 2.4.3.2 2.5 2.6 3 3.1 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 3.3.1 3.3.2 4 4.1 4.2 4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.4
3.2.3
XX
3.3 3.3.1 3.3.2 4 5 5.1 5.2 5.3 5.3.1 5.3.2 6 6.1 6.2 7 7.1 7.2 7.3 7.4 8 8.1 8.2 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.4.1 9.4.2 10 10.1 10.1.1 10.1.2 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.3 11 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5
Inhaltsverzeichnis
Marktwert der Aktien des Unternehmens ................................................................. 533 Bewertung mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche............................ 533 Bewertung von Investitionsprojekten ....................................................................... 534 Bewertung im modifizierten SPA............................................................................. 535 Bewertung auf der Grundlage des Capital Asset Pricing Model (CAPM) ............... 537 Entscheidungssituation ............................................................................................. 537 Bewertung auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten ............................................. 538 Bewertung mit zustandsabhängigen risikoangepassten Zinssätzen [*] .................... 541 Allgemeines Konzept................................................................................................ 541 Vereinfachungen....................................................................................................... 543 Bedingungen für einen einheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß als Basis der DCF-Verfahren ......................................................................................... 544 Bedingung der Periodeneinheitlichkeit..................................................................... 544 Bedingung der Projekteinheitlichkeit ....................................................................... 547 Implikationen ............................................................................................................ 549 Allgemeine Implikationen für die Sicherheitsäquivalente........................................ 549 Implikationen im CAPM [*]..................................................................................... 550 Allgemeine Implikationen für die Unternehmensbewertung.................................... 552 Problematik der Diskontierung der erwarteten Ausschüttungen mit einem einheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß ............................................... 553 Möglichkeiten und Grenzen der Bewertung auf der Basis des internen Zinsfußes einer „Vergleichsinvestition“ ................................................................... 555 Allgemeine Darstellung ............................................................................................ 555 Beispiel ..................................................................................................................... 556 Bewertung auf der Basis flexibler Planung nach dem Entscheidungsbaumverfahren ................................................................................... 558 Bewertung und flexible Planung............................................................................... 558 Einführung: Bewertung bei ausschließlich unsystematischem Risiko...................... 559 Bewertung und SPA.................................................................................................. 561 Bewertung und CAPM.............................................................................................. 564 Bewertung mit zustandsabhängigen risikoangepassten Zinssätzen .......................... 564 Bewertung mit Sicherheitsäquivalenten ................................................................... 565 Bewertung auf der Basis flexibler Planung nach dem Zustandsbaumverfahren....... 566 Bewertung mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche............................ 566 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 566 Beispiel ..................................................................................................................... 567 Bewertung durch explizite Erfassung von Duplikationsmöglichkeiten.................... 569 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 569 Beispiel ..................................................................................................................... 572 Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche als Dualvariablen für die Finanzrestriktionen ................................................................................................... 573 Bewertung durch Diskontierung der Überschüsse mit einem perioden- und projekteinheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß .................................... 575 Problematik der Vereinfachung ................................................................................ 576 Bewertung von Aktionsräumen und Optionspreistheorie [*] ................................... 578 Charakteristik und Bewertung von Finanzoptionen im Einperioden-Fall ................ 578 Flexible Planung, Realoptionen und deren Bewertung analog zu Finanzoptionen .. 581 Optionsbewertung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes ............................. 583 Optionsbewertung mit Hilfe von Duplikationsportefeuilles ..................................... 584 Integration von Realoptionsansatz und Entscheidungsbaumverfahren..................... 585
Inhaltsverzeichnis
XXI
13 14
Exkurs: Bewertung und Kapitalrationierung (Kapitalbudgetierung) [*] .................. 586 Resümee.................................................................................................................... 587
XV
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall................................. 593
1 2 2.1
Problemstellung ........................................................................................................ 593 Mehrperiodige Nutzenfunktionen............................................................................. 595 Notwendigkeit der expliziten Erfassung der Nutzenfunktion des Investors bei Konflikt zwischen Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung ...................... 595 Nutzenfunktionen für Konsumausgaben................................................................... 595 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 595 Vereinfachung der Nutzenfunktion........................................................................... 597 Nutzenfunktionen für Überschüsse, die noch in optimale Konsumströme transformiert werden müssen.................................................................................... 598 Bewertung auf der Grundlage von Sicherheitsäquivalenten (Risikoabschlags-Methode) ...................................................................................... 601 Bewertung ohne Portefeuillebildung ........................................................................ 601 Zur allgemeinen Problematik der isolierten Ermittlung der Sicherheitsäquivalente .............................................................................................. 601 Bewertung bei Änderung des Stromes an Überschüssen durch stochastische Anlage und/oder Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r ....................... 604 Bewertung bei veränderlichen Überschüssen ........................................................... 607 Bewertung mit Portefeuillebildung........................................................................... 607 Bewertung mit risikoangepassten Zinssätzen (Risikozuschlags-Methode) .............. 610 Bewertung für den Fall, dass der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt ........................................................................................................... 610 Bewertung aufgrund des internen Zinsfußes einer Vergleichsinvestition ................ 610 Die Problematik der Bewertung aufgrund des internen Zinsfußes der besten „verdrängten“ Vergleichsinvestition......................................................................... 611 Bewertung für den Fall, dass der subjektive Grenzpreis nicht mit dem Marktwert übereinstimmt ......................................................................................... 613 Ein allgemeines Bewertungskonzept auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung ................................................................................................ 615 Allgemeine Charakteristik ........................................................................................ 615 Ermittlung und Eigenschaften des optimalen Investitionsprogramms ohne das Bewertungsobjekt ..................................................................................................... 616 Ermittlung und Höhe des Grenzpreises und Eigenschaften des optimalen Programms mit dem Bewertungsobjekt.................................................................... 619 Problematik der Vereinfachung ................................................................................ 621 Bewertung und vereinfachte Investitionsplanung..................................................... 621 Vereinfachung durch Orientierung an Marktwerten ................................................. 624 Konzept..................................................................................................................... 624 Konkretisierung auf der Basis flexibler Planung ...................................................... 625 Subjektiver Grenzpreis als Marktwert ...................................................................... 627 Resümee.................................................................................................................... 627
2.2 2.2.1 2.2.2 2.3 3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 4 4.1 4.1.1 4.1.2 4.2 5 5.1 5.2 5.3 6 6.1 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 7
Anhang ..................................................................................................................................... 631 Verzeichnis häufig verwendeter Symbole................................................................................. 643 Literaturverzeichnis................................................................................................................... 647 Sachverzeichnis......................................................................................................................... 659
TEIL A: EINFÜHRUNG
Kapitel I Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
1
Problemstellung der Arbeit
Die Arbeit befasst sich mit Grundfragen der Bewertung, wobei das Bewertungsobjekt ein einzelnes Investitionsprojekt, ein Investitionsprogramm oder ein ganzes Unternehmen sein kann. Im Vordergrund steht der Wert als Basis für die Entscheidung darüber, ob das Bewertungsobjekt gekauft bzw. verkauft werden soll. Bei potenziellem Kauf (Verkauf) stellt der Wert eine Preisobergrenze (Preisuntergrenze) dar, bei der der Kauf (der Verkauf) aus Sicht des Bewertungssubjekts, für das die Bewertung vorgenommen wird, weder „vorteilhaft“ noch „nachteilig“ ist. Ist der Kaufpreis niedriger (höher) als der Wert für den (potenziellen) Käufer, ist der Kauf für ihn vorteilhaft (nachteilig). Ist der Verkaufserlös höher (niedriger) als der Wert für den (potenziellen) Verkäufer, ist der Verkauf für ihn vorteilhaft (nachteilig). Es wird nicht nur gezeigt, wie der Wert in alternativen Entscheidungssituationen ermittelt werden kann, sondern auch, wie er von seinen Determinanten abhängt. Als Werdeterminanten werden vor allem die Größe des Bewertungsobjekts, die Art der Teilung des daraus resultierenden Risikos und die Risikoeinstellungen der direkt oder indirekt an den Überschüssen des Bewertungsobjekte Beteiligten betrachtet. Besonderer Raum wird der Frage gewidmet, unter welchen Bedingungen der Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. Marktwerte als Grenzpreise finden in Theorie und Praxis immer größere Akzeptanz. Wie jedoch gezeigt wird, ist der Gleichsetzung von Marktwert und Grenzpreis vor allem für private (individuelle) Investoren mit großer Skepsis zu begegnen. Das entwickelte Instrumentarium hat nicht nur Bedeutung für die Bewertung in konkreten Entscheidungssituationen, sondern auch für die allgemeine Analyse des Einflusses von Kapitalmarkteigenschaften und von institutionellen Regelungen auf ökonomische Bewertungen und Entscheidungen.1 1
Vgl. LAUX/SCHABEL (2007) zum Einfluss von Steuern auf den subjektiven Wert von Investitionen in einem „unvollkommenen“ und „unvollständigen“ Kapitalmarkt.
2
Kapitel I
Oft ist die Anschaffungsauszahlung bei potenziellem Kauf bzw. der Verkaufserlös bei potenziellem Verkauf nicht ex ante gegeben, sondern Verhandlungssache. Die Kenntnis des Wertes des Bewertungsobjekts gibt dann dem potenziellen Käufer bzw. Verkäufer Orientierung für die Preisverhandlung. Wenn er die Verhandlung und Entscheidung an eine Person überträgt, die selbst nicht die Informationen besitzt, den Wert zu ermitteln, muss sie über den maßgeblichen Grenzpreis informiert werden, damit sie in seinem im Sinne handeln kann. Die Bewertung setzt – wie allgemein eine rationale Entscheidung – klare Zielvorstellungen des Bewertungssubjekts voraus. In dieser Arbeit werden zwei Grundtypen von Zielen zugrunde gelegt: Die Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens der finanziellen Überschüsse (kurz: subjektive Nutzenmaximierung) und die Maximierung des Marktwertes dieser Überschüsse gemäß den Bewertungsfunktionen des Kapitalmarktes (kurz: Marktwertmaximierung). Die getrennte Erfassung dieser Zielfunktionen würde sich erübrigen, wenn sie generell miteinander in Einklang stünden. Die Identität von subjektiver Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung ist aber nur unter speziellen (idealen) Kapitalmarktbedingungen gegeben. Bei Orientierung am Ziel subjektiver Nutzenmaximierung ist die Preisobergrenze (Preisuntergrenze) eines Bewertungsobjekts derjenige Preis, bei dem sich der Erwartungswert des Nutzens des Bewertungssubjekts nicht ändert, wenn er es kauft (verkauft). Die betreffende Preisgrenze wird als subjektiver Grenzpreis oder als subjektiver Wert bezeichnet. Bei Orientierung am Ziel der Marktwertmaximierung ist die Preisgrenze gleich dem Marktwert der Überschüsse des Bewertungsobjekts (ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung). Er wird auch kurz als Marktwert des Bewertungsobjekts bezeichnet. Wenn subjektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung äquivalente Ziele sind, ist der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert. Die populären Methoden zur Ermittlung des Marktwertes von Unternehmen (und analog einzelner Investitionsprojekte oder -programme) sind die „Discounted Cashflow(DCF)-Verfahren“, denen der Brutto- oder Entity-Ansatz zugrunde liegt (Abschnitt 5.3). Zur Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise ist die „Ertragswertmethode“ verbreitet, die sich am Netto- oder Equity-Ansatz orientiert (Abschnitt 5.4)2. Für die Bewertung ist allgemein von zentraler Bedeutung, wie das mit dem Bewertungsobjekt verbundene Risiko zwischen dem Bewertungssubjekt und anderen geteilt wird. Eine praktisch bedeutsame Institution der Risikoteilung ist der Kapitalmarkt, auf dem Anwartschaften auf zukünftige Überschüsse gehandelt werden (Kapitel IV und V). Die Risikoteilung über Transformationen im Kapitalmarkt steht im Vordergrund dieser Arbeit. Es wird untersucht, wie die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt erklärt werden kann, wie ein Investor unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen das mit den Überschüssen eines Bewertungsobjekts verbundene Risiko verändern kann, wie das Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht zwischen den Investoren auf dem Kapitalmarkt geteilt
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Vgl. BALLWIESER (1993, S. 151; 1995, S. 119; 2005, S. 373-375); BRAUN (2005); COENENBERG/ SCHULTZE (2002); LAUX (2006a, S. 384 ff.); HACHMEISTER (2000), S. 252-262; HOMMEL/BRAUN (2002; 2005); SCHMIDT (1995, S. 1088).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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wird und welche Implikationen sich hieraus für die Bewertung und für Bewertungskonflikte ergeben können. Im Vordergrund der Arbeit stehen zwei Bewertungsfälle, deren Implikationen für die Risikoteilung und die Bewertung miteinander verglichen werden. Im Fall A erfolgt die Bewertung im Rahmen eines börsennotierten Unternehmens mit vielen Anteilseignern, die das Risiko über breit gestreute Portefeuilles teilen und geringe Anteile am Unternehmen und entsprechend am Bewertungsobjekt halten. Unter bestimmten Bedingungen ist es hier möglich, simultan den subjektiven Nutzen aller Anteilseigner zu maximieren. Es existiert dann für ein beliebiges Bewertungsobjekt ein für alle Anteilseigner identischer kollektiver subjektiver Grenzpreis, der unter den betreffenden Bedingungen näherungsweise mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. Besteht Interessenkonflikt – und dies ist der Regelfall – ergeben sich für die Anteilseigner (oder für verschiedene „homogene“ Gruppen von Anteilseignern) unterschiedliche subjektive Grenzpreise. Im Fall B erfolgt die Bewertung durch einen individuellen Investor, der das Risiko aus dem Bewertungsobjekt nicht direkt mit anderen Gesellschaftern teilt, sondern allenfalls indirekt über Kauf und (Leer-)Verkauf umlaufender Wertpapiere. Vor dem Hintergrund kapitalmarkttheoretischer Überlegungen wird gezeigt, wie unter Berücksichtigung optimaler Portefeuillebildung der individuelle subjektive Grenzpreis ermittelt werden kann und dass er nur unter speziellen Bedingungen mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. Im Allgemeinen ist er sowohl bei potenziellem Kauf als auch bei potenziellem Verkauf niedriger als der Marktwert. Die Abweichung wird theoretisch erklärt und es wird untersucht, welche Höhe sie in alternativen Bewertungssituationen aufweist. Ursache von Abweichungen ist die „Unvollständigkeit“ und „Unvollkommenheit“ des Kapitalmarktes, die vor allem auch für junge und innovative Unternehmen bewertungsrelevant sind. Die resultierende Abweichung ist eine tendenziell steigende Funktion der „Größe“ des Bewertungsobjekts und der „Risikoaversion“ des Bewertungssubjekts. Analog zum Fall B kann auch der (individuelle) subjektive Grenzpreis aus Sicht eines einzelnen Anteilseigners im Fall A ermittelt werden (Kapitel XI, Abschnitt 2). Jedoch können sich bei Unteilbarkeit des Bewertungsobjekts erhebliche reale Wertunterschiede ergeben. Wenn das börsennotierte Unternehmen das Bewertungsobjekt kauft, ist der Anteilseigner nur mit kleinem Anteil daran beteiligt. (Möglicherweise ist sein Anteil so gering, dass das Bewertungskalkül aus seiner Sicht ein „Marginalkalkül“ ist.) Der individuelle Investor im Fall B erwirbt jedoch das Bewertungsobjekt als Ganzes und trägt entsprechend auch das gesamte Risiko. Hier können Beschränkungen der Risikotransformation über Wertpapierhandel (insbesondere Beschränkungen von „Leerverkäufen“) einen besonders hohen Abschlag vom Marktwert erforderlich machen, um auf den subjektiven Grenzpreis zu kommen. Zwar könnte der individuelle Investor ein nicht direkt teilbares Bewertungsobjekt in dem Sinne teilen, dass er es gemeinsam mit anderen Investoren erwirbt. Wie noch erläutert wird, gibt es jedoch gute Gründe, darauf zu verzichten.
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Kapitel I
Bei subjektiver Bewertung ist es notwendig, der Nutzenfunktion des Bewertungssubjekts zumindest bruchstückhaft Rechnung zu tragen. Dagegen wird in Literatur und Praxis eingewandt, dass die Nutzenfunktion nicht bekannt sei und sich im Zeitablauf ändern könne, und die Marktbewertung mit dem Argument vorgezogen, dass sie unabhängig von Subjektivismen weitgehend objektiviert und damit in nachvollziehbarer Weise vorgenommen werden könne. Nach HOMMEL haben die „Discounted Cashflow-Verfahren […] (zur Ermittlung von Marktwerten, LS) die Unternehmensbewertung im Sturm erobert und die Vormachtstellung der Ertragswertmethode (zur Ermittlung subjektiver Grenzpreise, LS) gebrochen. In den aktuellen wissenschaftlichen Abhandlungen nehmen sie deshalb (zu Recht) breiten Raum ein. Sie legen das theoretische Fundament, um die neuen wissenschaftlichen Erkenntnisse der Kapitalmarkttheorie und der Shareholder Value orientierten Unternehmensführung auf den Bereich der Unternehmensbewertung zu übertragen und finden auch in der Bewertungspraxis eine überwältigende Resonanz. Dass die Discounted Cashflow-Verfahren in der Praxis so weitreichende Akzeptanz finden, erstaunt – zumindest auf den ersten Blick; denn diese Bewertungsverfahren sind nicht nur formal höchst anspruchsvoll. Die unter dem Sammelbegriff der Discounted Cashflow-Verfahren zusammengefassten Bewertungsmodelle finden ihre Verankerung auch in finanzierungstheoretischen Grundannahmen und Gedankenkonstruktionen, wie im vollständigen und vollkommenen Kapitalmarkt, die der Unternehmensbewerter in der Praxis eher selten anfindet. Inwieweit diese Verfahren deshalb dazu in der Lage sind, in einer komplexeren Realität sinnvolle Lösungen bereitstellen, ist bis heute nicht abschließend geklärt.“3 Eine „präferenzfreie“ kapitalmarktorientierte Bewertung (eine Bewertung ohne explizite Erfassung von Präferenzen) ist nur dann sinnvoll, wenn der subjektive Grenzpreis zumindest näherungsweise mit dem Marktwert übereinstimmt. Dass von den Verfechtern marktorientierter Bewertung (einschließlich des Instituts der Wirtschaftsprüfer in Deutschland e.V., IDW, vgl. Abschnitt 8.2) nicht untersucht wird, ob diese Bedingung in der Realität überhaupt erfüllt ist, erstaunt ebenfalls – nicht nur auf den ersten Blick. Es besteht wohl kein Interesse daran, die Grundlagen der eigenen Bewertungsgutachten in Zweifel zu ziehen; die Konsequenzen von Fehlbewertungen (betreffender Kunstfehler) tragen eben andere. Die Ursachen und die Höhe der Abweichung zwischen subjektivem Grenzpreis und Marktwert werden in der vorliegenden Arbeit vor dem Hintergrund der Theorie der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt und der individuellen Portefeuilleplanung unter Berücksichtigung des Überschusses (im Einperioden-Fall) oder der Überschüsse (im Mehrperioden-Fall) des Bewertungsobjekts eingehend untersucht. Dabei wird insbesondere der Frage nachgegangen, welche Relevanz die Art der Risikoteilung der Überschüsse zwischen Investoren für die Bewertung bzw. die Höhe der Abweichung hat. Die Analyse möglicher Abweichungen zeigt die Problematik von Marktwerten als Grenzpreise und gibt Hilfestellung und Orientierung für die Korrektur von Marktwerten in alternativen Bewertungssituationen, um eine Annäherung an den subjektiven Grenzpreis zu schät3
HOMMEL (Geleitwort zu BRAUN, 2005, S. V).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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zen. Zwar wird man sich kein sicheres und intersubjektiv überprüfbares Urteil über die Abweichung bilden können. Daraus folgt aber nicht, sie sei generell vernachlässigbar. Der Einfluss von Steuern auf subjektive Grenzpreise und Marktwerte wird in dieser Arbeit nicht untersucht. Vielmehr geht es um die grundsätzliche Bedeutung von subjektiven Grenzpreisen im Vergleich zu Marktwerten. Bei der konkreten Bewertung sollten zwar Steuerauszahlungen gemäß dem aktuellen Steuersystem ebenso wie andere Auszahlungen berücksichtigt werden. Jedoch ist die Erfassung von Steuern im Rahmen verfehlter Grundformen der Bewertung kaum zielführend. Das vorliegende Kapitel gibt einen Überblick über Grundprobleme und Lösungskonzepte der Bewertung. Die Darstellungen werden in den nachfolgenden Kapiteln vertieft und erweitert. Der Überblick soll auch die Einordnung dieser Kapitel in den Gesamtzusammenhang erleichtern. In Abschnitt 2 werden die in der Arbeit betrachteten Bewertungsanlässe und der jeweils relevante Grenzpreis erläutert. In Abschnitt 3 werden die betrachteten Grundtypen von Werten, der Marktwert, der kollektive subjektive und der individuelle subjektive Grenzpreis, beschrieben. Es wird erläutert, auf welche Bewertungssituationen sie sich beziehen und welche grundsätzlichen Zusammenhänge zwischen ihnen bestehen. In Abschnitt 4 wird verdeutlicht, dass ein Bewertungsmodell ein spezielles Entscheidungsmodell darstellt. Wie bei jedem Entscheidungsmodell sind im Zuge der Modellkonstruktion Zielpräzisierungen vorzunehmen, Handlungsalternativen zu erforschen, deren Konsequenzen zu prognostizieren und Entscheidungen über Vereinfachungen bei der Modellkonstruktion zu treffen. In Abschnitt 5 werden Grundmodelle der (Unternehmens-)Bewertung erläutert. Dabei wird gezeigt, welche charakteristischen Unterschiede zwischen ihnen bestehen. Besondere Beachtung finden Unterschiede zwischen Marktbewertung und individueller subjektiver Bewertung. In Abschnitt 6 wird verdeutlicht, dass nur unter speziellen (idealen) Kapitalmarktbedingungen der individuelle subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. Da diese Bedingungen nicht erfüllt sind, stellt die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises ein komplexes Problem dar. Hierbei muss – im Gegensatz zur Marktbewertung – explizit berücksichtigt werden, wie das aus dem Überschuss des Bewertungsobjekts resultierende Risiko optimal gehedgt (reduziert) werden kann. Da nur unvollkommene Möglichkeiten bestehen, Risiken durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt (durch Portefeuillebildung) zu hedgen, ist der subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert. Beschränkungen der Hedgemöglichkeiten können vor allem auch daraus resultieren, dass aufgrund beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt sowie der Entscheidungsträger in Wirtschaft und Politik die zukünftigen Kursentwicklungen Störtermen („Noise“) unterliegen, die von den Überschüssen des Bewertungsobjekts stochastisch unabhängig sind. Um das Risiko besser zu teilen ist es naheliegend, einen oder mehrere Gesellschafter aufzunehmen. Wie jedoch in Abschnitt 7 gezeigt wird, gibt es gute Gründe, darauf zu verzichten. Insbesondere können sich sonst Anreiz- und Kontrollprobleme ergeben, die
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Kapitel I
die Vorteile besserer Risikoteilung überkompensieren. Obwohl bei unseren Darstellungen zum individuellen subjektiven Grenzpreis immer nur ein einzelner (potentieller) Eigentümer am Bewertungsobjekt beteiligt ist, wird sich zeigen, dass auch bei mehreren privaten Eigentümern die individuellen subjektiven Grenzpreise kleiner sind als die anteiligen Marktwerte, sofern das Bewertungsobjekt und die individuellen Anteile daran relativ „groß“ sind. In der Literatur wird vorgeschlagen, den individuellen subjektiven Grenzpreis aus dem Marktwert einer Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse oder gemäß den Bewertungsfunktionen des Capital Asset Pricing Model (CAPM) herzuleiten. Wie jedoch in Abschnitt 8 gezeigt wird, kann aus Marktwerten allein nicht auf individuelle subjektive Werte geschlossen werden. Grundsätzlich müssen bei der Bewertung die Präferenzen (die Nutzenfunktion) des individuellen Investors berücksichtigt werden. Wie gesagt, wird dagegen der Einwand erhoben, dass sich die Nutzenfunktion im Zeitablauf ändern könne. Änderungen der Nutzenfunktion werden aber nicht verhindert und es wird ihnen auch nicht Rechnung getragen, indem man für ein Bewertungsobjekt den Marktwert zahlt. Wenn man den subjektiven Grenzpreis auf der Basis einer Nutzenfunktion ermittelt hat und damit rechnet, dass sie sich in unvorhersehbarer Weise ändern kann, sollte man einen Abschlag von diesem Grenzpreis vornehmen, wenn durch den Kauf des Bewertungsobjekts Anpassungen von Überschüssen an Änderungen der Nutzenfunktion (von Risiko- und Zeitpräferenzen) gegenüber einer alleinigen Investition in Wertpapieren erschwert werden. Nun macht man aber grundsätzlich einen Wertzuschlag, wenn man hilfsweise auf den Marktwert als Preisgrenze zurückgreift; die Wertkorrektur geht in die falsche Richtung. Oft wird in der Literatur auch vorgeschlagen, den Wert des Bewertungsobjekts durch Diskontierung seiner Überschüsse mit dem internen Zinsfuß der (Erwartungswerte der) Überschüsse der besten, durch das Bewertungsobjekt „verdrängten“ Vergleichsanlage der gleichen Risikoklasse herzuleiten. Dieses Argument geht vermutlich auf das DEANModell zurück, mit dem unter der Annahme sicherer Erwartungen und beliebiger Teilbarkeit der Investitionsprojekte untersucht wird, von welchen Investitions- und die Finanzierungsmaßnahmen derjenige Kalkulationszinsfuß abhängt, der für die Investitionsplanung bzw. Bewertung eines zusätzlichen Investitionsprojekts relevant ist. Wie in Abschnitt 9 erläutert wird, lässt sich jedoch das DEAN-Modell nicht auf die Planung und Bewertung bei Unsicherheit übertragen. Abschnitt 10 gibt einen Überblick über Problemstellungen der nachfolgenden Kapitel. Die Formeln, Abbildungen und Matrizen sind kapitelweise durchnummeriert. Die römische Zahl bezeichnet das jeweilige Kapitel, die arabische die laufende Nummer der Formel, Abbildungen bzw. Matrix. Wichtige Definitionen, Konzepte, Annahmen und (Zwischen-)Ergebnisse – vor allem solche, auf denen später aufgebaut wird – werden durch einen Rahmen hervorgehoben. Die einzelnen Kapitel sind relativ geschlossen. Dadurch wird der isolierte „Einstieg“ in die jeweilige Problemstellung und die jeweiligen Lösungsansätze erleichtert. Andererseits sind bei dieser Vorgehensweise einige Wiederholungen nicht zu vermeiden. Am Ende der Arbeit findet sich ein Verzeichnis häufig verwendeter Symbole.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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2
Die betrachteten Bewertungsanlässe
2.1
Kauf eines Investitionsprojekts: Grenzpreis als Preisobergrenze
Ein häufiger Bewertungsanlass ist der potenzielle Kauf eines Bewertungsobjekts, etwa eines einzelnen Investitionsprojekts oder eines ganzen Unternehmens. Der „Kauf“ kann auch darin bestehen, dass bestimmte Goodwillmaßnahmen durchgeführt werden wie Werbung, Forschung und Entwicklung oder Änderung der Organisationsstruktur. Bei potenziellem Kauf eines Bewertungsobjekts ist der Grenzpreis gleich demjenigen Preis, bei dem der Kauf weder „vorteilhaft“ noch „nachteilig“ ist; ist der geforderte Preis höher bzw. niedriger, ist der Kauf nachteilig bzw. vorteilhaft (Preisobergrenze). Für Wert und Bewertung können in der Realität auch nichtfinanzielle Ziele eine Rolle spielen, z.B. Arbeitsleid, Einfluss und Ansehen bei Kauf eines Unternehmens im Vergleich zu einer Anlage auf dem Kapitalmarkt. Jedoch werden in dieser Arbeit (wie in der Bewertungsliteratur üblich) nichtfinanzielle Ziele nicht explizit berücksichtigt. Der Wert eines Investitionsprojekts ergibt sich aus den finanziellen Überschüssen, die damit erzielt werden können. Der so ermittelte Wert ist gegebenenfalls um immaterielle Aspekte zu korrigieren. Die Kenntnis des Wertes ist vor allem dann hilfreich, wenn der Anschaffungspreis nicht gegeben, sondern Gegenstand von Verhandlungen ist. Wenn der Preis feststeht, genügt es dagegen zu prüfen, ob bei diesem Preis der Kauf vorteilhaft ist. Dieses Entscheidungsproblem kann (insbesondere bei Kauf durch ein Individuum) einfacher sein, als das der Ermittlung eines Grenzpreises. Vor allem bei Standardgütern ist der Preis oft als Marktpreis eine gegebene Größe. Zu den Objekten, die nicht als Standardgüter gehandelt werden, gehören vor allem Unternehmen (oder Teile davon), deren Bewertung im Vordergrund der Bewertungsliteratur steht. Auch in der vorliegenden Arbeit wird der Unternehmensbewertung besonderer Raum gewidmet. Wie gezeigt wird, stellt die Bewertung eines Unternehmens wegen der Schwierigkeit, sein Erfolgspotenzial zu schätzen (Informationsproblem, Abschnitt 4.3), ein besonders komplexes Problem dar. Vor allem bei größeren Unternehmen können durch Fehlbewertungen erhebliche Nachteile entstehen. Mit dem Unternehmenskauf wird eben nicht einfach ein Konglomerat von Sachgütern mit gegebenen Marktpreisen erworben, sondern darüber hinaus auch Vorteile aus dem originären Goodwill (etwa Kundenstamm, motivierte Belegschaft, bewährte Produktionsprozesse und unternehmensinterne Informationen über Produkte und Märkte). Gerade hier ist es schwierig, sich als potenzieller Käufer ein Urteil zu bilden. Der „Kauf“ eines Unternehmens kann im übrigen auch in dessen Gründung bestehen, wobei z.B. Grundstücke erworben, Gebäude errichtet, Produktionsanlagen gekauft und installiert, Mitarbeiter eingestellt und Goodwillmaßnahmen durchgeführt werden.
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2.2
Kapitel I
Verkauf eines Investitionsprojekts: Grenzpreis als Preisuntergrenze
Bewertungsanlass kann auch der potenzielle Verkauf des Bewertungsobjekts sein. Für einen potenziellen Verkäufer ist der Grenzpreis gleich dem Preis, bei dem der Verkauf weder „vorteilhaft“ noch „nachteilig“ ist; ist der erzielbare Preis höher bzw. niedriger, ist der Verkauf vorteilhaft bzw. nachteilig (Preisuntergrenze). Bei Sachgütern (z.B. Grundstücken und Gebäuden, stillgelegten Produktionsanlagen) werden häufig Liquidationserlöse in Form von realen Marktpreisen (etwa Schrottpreisen) existieren, die für die Entscheidung über den Verkauf maßgeblich sind. Bewertungsprobleme ergeben sich vor allem – analog zum Kauf – bei potenziellem Verkauf eines Unternehmens (oder eines Teils davon); hier geht es nicht allein um den Verkauf von Gütern mit gegebenen Marktpreisen, sondern auch um originäre Vermögenswerte, die nicht losgelöst vom Unternehmen gehandelt werden können. Zwischen zwei Verhandlungspartnern kommt eine Unternehmensübertragung allenfalls dann zustande, wenn der Grenzpreis für den (potenziellen) Käufer höher ist als für den (potenziellen) Verkäufer. Liegt der Einigungspreis zwischen beiden Grenzen, so erzielen beide Parteien einen Vorteil. Die Grenzpreise für den Käufer und Verkäufer können sich aus verschiedenen Gründen unterscheiden, die in dieser Arbeit untersucht werden. Es existieren 1. Unterschiede in den Verwendungsmöglichkeiten, insbesondere in Synergieeffekten mit anderen Investitionen, 2. Unterschiede in den Risikoeinstellungen und den Möglichkeiten der Risikoteilung und 3. Unterschiede in Erwartungen über zukünftige Überschüsse aufgrund unterschiedlicher Informationsstände (Informationsasymmetrie) und/oder unterschiedlicher Schlussfolgerungen aus Informationen. Oft wird der (potenzielle) Verkäufer einen überlegenen Informationsstand haben. Jedoch ist er nicht ohne weiteres motiviert, einen (potenziellen) Käufer „gut“ zu informieren (Abschnitt 4.3). Zwar erzielen beide Parteien durch Verkauf und Kauf des Unternehmens einen Vorteil, wenn der Einigungspreis zwischen beiden Grenzpreisen liegt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass sie indifferent zwischen alternativen Einigungspreisen sind. So wird der Käufer bestrebt sein, einen niedrigen Einigungspreis durchzusetzen und z.B. einen niedrigen Grenzpreis vortäuschen und mit dem Abbruch der Verhandlungen für den Fall drohen, dass keine Einigung auf einen niedrigeren Preis erzielt wird. Jedoch müssen beide Parteien damit rechnen, dass sie bei überzogenen Forderungen einen Nachteil durch Nichteinigung erleiden. Ähnliche Bewertungsprobleme wie bei Verkauf eines ganzen Unternehmens können sich für den Fall ergeben, dass ein Gesellschafter einer Personengesellschaft erwägt, seinen Anteil am Unternehmen an andere Gesellschafter oder an einen potenziellen neuen Gesellschafter zu verkaufen. Um die Widrigkeiten von (langwierigen) Verhandlungsprozessen zu vermeiden, einigen sich der potenzielle Käufer und der potenzielle Verkäufer in der Praxis oft darauf, einen „Schiedsgutachter“ einzusetzen, der eine
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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„Schiedspreis“ festlegen soll, der einen „freundschaftlichen“ Interessenausgleich bewirkt (MOXTER, 1983, S. 16 ff.). Damit der Schiedsgutachter überhaupt einen „fairen“ Interessenausgleich vornehmen kann, benötigt er Informationen, aus denen er auf die beiden Grenzpreise rückschließen kann. Aufgrund ihres Informationsvorsprungs könnten vor allem der potenzielle Verkäufer und der potenzielle Käufer als Informanten in Betracht kommen. Sie haben aber ebenso wie bei direkten gegenseitigen Verhandlungen ein Interesse daran, ihre Informationen zu manipulieren, um eine vorteilhaften Schiedspreis zu bewirken. Vor allem bei Informationen über subjektive Größen wie eigene Erwartungen über zukünftige Überschüsse des Bewertungsobjekts, eigene Risiko- und Zeitpräferenzen und alternative Kapitalanlagemöglichkeiten kann die Gefahr von Fehlinformationen groß sein. Daher ist es für den Schiedsgutachter naheliegend, auf der Basis von intersubjektiv überprüfbaren Indikatoren einen mehr oder weniger „objektivierten“ Preis(-vorschlag) festzulegen. Ob ihm damit ein „freundschaftlicher“ oder „fairer“ Interessenausgleich gelingt, lässt sich ohne Kenntnis der Präferenzen und den alternativen Kapitalverwendungsmöglichkeiten der beiden Parteien nur schwer beurteilen. Der Gutachter sollte wissen, welche Determinanten wertbestimmend sind und wie die Grenzpreise davon abhängen (Kapitel II, VIII, XI, XII und XV).
3
Grundtypen von Werten: Marktwerte, kollektive und individuelle subjektive Grenzpreise
3.1
Allgemeiner Vergleich
Eine rationale Bewertung setzt voraus, dass Zielvorstellungen vorhanden sind, mit deren Hilfe die Konsequenzen der Handlungsalternativen nach ihrer Wünschbarkeit beurteilt werden können. In dieser Arbeit erfolgt die Bewertung ausschließlich auf der Basis der zukünftigen Überschüsse. Als entscheidungsrelevante Zielfunktionen werden „subjektive Nutzenmaximierung“ und „Marktwertmaximierung“ zugrunde gelegt und deren Implikationen verglichen. Wir betrachten und vergleichen vor allem folgende Bewertungsfälle: Fall A: Die Bewertung erfolgt für ein börsennotiertes Unternehmen, wobei wir im Allgemeinen davon ausgehen, dass dessen Anteilseigner das Risiko durch gut gemischte Portefeuilles von Wertpapieren hedgen (reduzieren). Die Anteilseigner treffen die Entscheidungen nicht selbst (und nehmen auch die Bewertungen nicht selbst vor), sondern delegieren die Entscheidungskompetenz an „Entscheidungsträger“ im Unternehmen (Kapitel V, VI, VII und XIV). Fall B: Die Bewertung erfolgt vom Standpunkt eines individuellen Investors, der erwägt, das Bewertungsobjekt für sich alleine zu erwerben. Zum Beispiel erwägt er, ein Unternehmen ohne Beteiligung anderer zu kau-
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Kapitel I
fen (Kapitel VIII bis XII und XV). Gelegentlich wird auch der Fall betrachtet, dass der Investor das Bewertungsobjekt als Alleineigentümer besitzt und erwägt, es zu verkaufen. Wie in der Arbeit immer wieder deutlich wird, gelten die Darstellungen zum Fall B im Prinzip auch für die Bewertung aus Sicht eines Anteilseigners eines börsennotierten Unternehmens, der (als Großaktionär) einen „großen“ Anteil am Unternehmen und somit auch am Bewertungsobjekt bei Kauf bzw. Verzicht auf Verkauf hält. Das Gleiche gilt für den individuellen subjektiven Grenzpreis aus Sicht eines Investors, der privat (etwa als potentieller Gesellschafter einer Personengesellschaft) gemeinsam mit wenigen anderen ein relativ großes Bewertungsobjekt zu kaufen oder einen Anteil daran zu verkaufen erwägt. Wir gehen stets davon aus, dass sich die Anteilseigner im Fall A bzw. der Investor im Fall B am Ziel orientieren, den Erwartungswert des Nutzens ihrer finanziellen Überschüsse (kurz: ihren Nutzen) zu maximieren. Nutzenmaximierung ist das Referenzziel, das stets als Ausgangspunkt der Betrachtung dient. Der grundlegende Unterschied hinsichtlich der Bewertungsprobleme für die Fälle A und B ist der folgende: Im Fall A erfolgt die Bewertung aus Sicht von Anteilseignern, die nur wenig an den Überschüssen des Bewertungsobjekts partizipieren und ihre Risiken durch Portefeuillebildung breit gestreut haben. Das Bewertungskalkül ist aus Sicht eines einzelnen Anteilseigners ein Marginalkalkül. Im Fall B trägt der Investor das Risiko des Bewertungsobjekts allein. Aufgrund von Ganzzahligkeitsbedingungen kann er kein Marginalkalkül erstellen. Er kann zwar das Risiko aus dem Bewertungsobjekt durch Portefeuillebildung reduzieren (hedgen), er erreicht aber grundsätzlich nicht jene Risikostruktur, die für einen einzelnen Anteilseigner im Fall A bewertungsrelevant ist. Im Fall B wird der Investor die Bewertung gemäß seiner subjektiven Nutzenfunktion vornehmen. Für ihn ist der Grenzpreis derjenige Preis, von dem an sein subjektiver Nutzen bei Kauf (Verkauf) sinkt (steigt). Wir bezeichnen den jeweiligen Preis als individuellen subjektiven Grenzpreis. Er stimmt mit dem Marktwert überein, wenn Marktwertmaximierung und individuelle subjektive Nutzenmaximierung äquivalente Ziele sind, was aber nur unter sehr speziellen Bedingungen der Fall ist. In den Kapiteln XI, XII und XV wird gezeigt, dass der individuelle subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger ist als der Marktwert des Bewertungsobjektes. Es wird untersucht, welche Abweichung unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen besteht. Dabei wird jeweils deutlich, wie der Marktwert zu modifizieren ist, um eine Annäherung an den individuellen subjektiven Grenzpreis zu erreichen.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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In den Kapiteln V und VI wird untersucht, unter welchen Bedingungen im Fall A „Anreizkompatibilität“ bzw. „Einmütigkeit“ zwischen den Anteilseignern des Unternehmens besteht. Bei Einmütigkeit ist jeder Anteilseigner „repräsentativ“ in dem Sinne, dass mit der Maximierung seines Nutzens zugleich auch der Nutzen jedes anderen Anteilseigners maximiert wird. Eine für alle optimale Lösung kann dann im Rahmen eines Individualkalküls ermittelt werden, mit dem der subjektive Nutzen eines beliebigen Anteilseigners bezüglich seines Anteils an den Überschüssen direkt maximiert wird. Entsprechend existiert bei Einmütigkeit ein einheitlicher subjektiver Grenzpreis, bei dessen Überschreitung bei Kauf des Bewertungsobjekts der subjektive Nutzen jedes Anteilseigners sinkt. Wir bezeichnen ihn als kollektiven subjektiven Grenzpreis. Er kann – wie auch ein optimales Investitionsprogramm – auf der Basis der Präferenzen eines beliebigen Anteilseigners ermittelt werden. Dieses Vorgehen setzt allerdings voraus, dass seine Nutzenfunktion überhaupt bekannt ist. Vielen Personen fällt es jedoch leichter, vertraute Entscheidungsprobleme zu lösen (etwa riskante Wertpapiere zu bewerten), als Fragen nach subjektiven Nutzenfunktionen explizit zu beantworten. Ein alternativer Lösungsweg, der einfacher sein kann als die direkte Nutzenmaximierung, besteht darin, sich an finanzwirtschaftlichen Entscheidungskriterien zu orientieren, die auf Modellen der Preisbildung von Finanztiteln auf dem Kapitalmarkt beruhen. Dabei wird dem Sachverhalt Rechnung getragen, dass die (Markt-)Preise dieser Titel Informationen über die subjektiven Nutzenfunktionen (Risikoeinstellungen) der Anteilseigner enthalten. Ein häufig zugrunde gelegtes Kriterium ist das der Maximierung des Marktwertes der Aktien des betrachteten Unternehmens (individuelle Marktwertmaximierung). Das Ziel individueller Marktwertmaximierung findet in der Praxis unter dem Schlagwort „Shareholder Value“ immer größere Beachtung. Jedoch ist die (individuelle) Marktwertmaximierung keine selbstverständliche Zielfunktion. Da für einen Anteilseigner letztlich der Nutzen seiner Überschüsse relevant ist, sollte die Marktwertmaximierung mit subjektiver Nutzenmaximierung kompatibel sein. Wie später gezeigt wird, steht unter den (Kapitalmarkt-)Bedingungen, unter denen Anreizkompatibilität besteht, Marktwertmaximierung streng oder „näherungsweise“ im Einklang mit Nutzenmaximierung für alle Anteilseigner.4 Bei Marktwertmaximierung werden zwar die subjektiven Präferenzen der Anteilseigner nicht explizit berücksichtigt, wohl aber implizit, da sie sich im Marktwert der Aktien des Unternehmens und in den Marktwerten der anderen bewertungsrelevanten Wertpapieren niederschlagen. Wenn die Maximierung des Marktwertes des Unternehmens im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, ist der kollektive subjektive Grenzpreis gleich dem 4
Interessant ist, dass es grundsätzlich im CAPM nicht sinnvoll ist, den Marktwert aller Aktien zu maximieren (Kapitel VI, Abschnitt 4.3).
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Kapitel I
Marktwert des Bewertungsobjekts. Wenn Marktwertmaximierung nur „näherungsweise“ im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, stimmt zwar auch der kollektive subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts „näherungsweise“ mit dessen Marktwert überein. Trotzdem ist es dann nicht sinnvoll, den Marktwert als Preisgrenze zugrunde zu legen. Wie gezeigt wird, erfordert die Ermittlung des kollektiven Grenzpreises gegenüber der Marktbewertung nur einfache Korrekturen. Dabei muss man von keinem Anteilseigner die Nutzenfunktion kennen. Man kann diejenigen Marktgrößen heranziehen, die auch für die Marktbewertung relevant sind (Kapitel VI). Vor dem Hintergrund verschiedener Kapitalmarktmodelle wird später das Ziel der Marktwertmaximierung präzisiert und es wird gezeigt, wie daraus operationale Bewertungsregeln für einzelne Investitionsprojekte deduziert werden können. Dabei werden auch die jeweils maßgeblichen Zusammenhänge zwischen Marktwert- und Nutzenmaximierung eingehend untersucht. Es wird sich zeigen, dass (vor allem, wenn sich der Kapitalmarkt nicht in einem Gleichgewicht befindet) Konflikte bezüglich der Anteilseigner bestehen können. Im Konfliktfall existiert kein kollektiver subjektiver Grenzpreis, so dass auch nicht für jeden Anteilseigner der subjektive Grenzpreis mit dem Marktpreis übereinstimmen kann. Im Konfliktfall kann der subjektive Grenzpreis für einen einzelnen Anteilseigner oder eine homogene Gruppe von Anteilseignern niedriger, aber auch höher sein als der Marktwert (Kapitel VI, Abschnitt 4; Kapitel XII). Bewertungskriterien für Investitionsprojekte, die sich an Marktwerten orientieren, werden häufig als „objektiviert“ bezeichnet, da sie nicht explizit Bezug nehmen auf subjektive Bewertungskalküle von Individuen. Indessen darf nicht übersehen werden, dass Preise auf dem Kapitalmarkt zwar objektiv beobachtbar sind, jedoch ihrerseits aus subjektiven Bewertungskalkülen resultieren: Sie hängen nicht nur von den subjektiven Nutzenfunktionen (Risikoeinstellungen) der Akteure auf dem Kapitalmarkt ab, sondern auch von ihren subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über die zukünftigen Überschüsse der Wertpapiere. Gegebene Preise können mit sehr heterogenen Konstellationen aus individuellen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und individuellen Nutzenfunktionen vereinbar sein. Wenn nicht bekannt ist, welche Erwartungen über zukünftige Überschüsse den Wertpapierpreisen zugrunde liegen, können aus diesen Preisen auch keine befriedigenden Rückschlüsse auf die Risikoeinstellungen und die (Markt-)Bewertung neuer Investitionsprojekte gezogen werden. Solche Rückschlüsse können natürlich auch dann nicht gezogen werden, wenn die Akteure auf dem Kapitalmarkt gar nicht in der Lage sind, rationale Bewertungen vorzunehmen, und ihre Portefeuilleentscheidungen weitgehend zufallsbestimmt sind. Eine an Marktwerten ausgerichtete Investitionsplanung ist dann ebenfalls willkürlich.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
3.2
Bedeutung der Risikoteilung für die Bewertung
3.2.1
Pareto-effiziente und anreizkompatible Risikoteilung
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Der subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts hängt in erheblichem Maße davon ab, wie das Bewertungssubjekt das Risiko über Finanztransaktionen mit anderen Investoren teilen (auf andere transferieren) kann. Im Fall A wird die Bewertung vom Standpunkt der Anteilseigner eines Unternehmens vorgenommen, die breit gestreute Wertpapierportefeuilles halten. Für sie hat unternehmensinternes Risikomanagement (etwa der Handel mit Wertpapieren oder der Abschluss von Versicherungen) keine oder eine geringe Bedeutung (Kapitel IV bis VII). Daher betrachten wir hier explizit nur den Fall B. Ein individueller Investor kann durch Umverteilung von Risiken möglicherweise schon bei gegebenen Investitionen einen Vorteil erzielen. Darüber hinaus können finanzielle Vorteile auch realisiert werden, indem zusätzliche riskante Investitionen durchgeführt werden, die ohne Risikoteilung mit anderen Personen (oder Institutionen) für den Investor zu riskant gewesen wären. Von besonderer Bedeutung für diese Arbeit sind die theoretischen Konstrukte „pareto-effiziente“ und „anreizkompatible“ Risikoteilung. Eine Teilungsregel ist bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über einen Überschuss (bzw. Erfolg) dann pareto-effizient, wenn es nicht möglich ist, durch Umverteilung seiner zustandsabhängigen Beträge den Erwartungsnutzen mindestens eines der Beteiligten zu erhöhen, ohne gleichzeitig den Erwartungsnutzen mindestens eines anderen zu reduzieren. In Kapitel II, Abschnitt 7, wird allgemein untersucht, wie pareto-effiziente Teilungsregeln ermittelt werden können und wie sie von den Risikoeinstellungen der Beteiligten und ihren Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich des Überschusses abhängen. Ausgehend von einer pareto-effizienten Teilung kann zwar bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Überschuss der Erwartungsnutzen keines Entscheiders erhöht werden, ohne dass der eines anderen sinkt. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgrund von Investitionen oder anderer Maßnahmen mögen jedoch bei der betreffenden Teilungsregel alle einen Vorteil oder einen Nachteil erzielen. Möglicherweise erzielen aber auch einige einen Vorteil und andere einen Nachteil. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg durch wen auch immer beeinflusst werden kann, können sich Konflikte bezüglich der Bewertung bzw. der Durchführung der betreffenden Maßnahmen ergeben. Um solche Konflikte zu vermeiden, können Investoren ein Interesse daran haben, eine anreizkompatible Teilungsregel zu vereinbaren. Eine Teilungsregel erfüllt für zwei Entscheider X und Y die Bedingung der Anreizkompatibilität, wenn sie jeden möglichen Überschuss (bzw. Erfolg) derart teilt, dass der Erwartungsnutzen für X eine monoton steigende Funktion des Er-
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Kapitel I
wartungsnutzens für Y ist. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Überschuss kann dann eine Partei nur einen finanziellen Vorteil bzw. Nachteil erzielen, wenn dies zugleich für die andere Partei der Fall ist.5 In Kapitel II, Abschnitt 8, wird u.a. untersucht, wie anreizkompatible Teilungsregeln ermittelt werden können und welche Gestalt sie aufweisen. Dort wird auch gezeigt, dass nur lineare Teilungsregeln zugleich pareto-effizient und anreizkompatibel sein können. Wie in der Arbeit immer wieder deutlich wird, haben die Konstrukte „pareto-effiziente“ und „anreizkompatible Risikoteilung“ grundlegende Bedeutung für die Existenz und Höhe eines kollektiven subjektiven Grenzpreises im Fall A und die Höhe des individuellen subjektiven Grenzpreises im Fall B.
3.2.2
Direkte und indirekte Risikoteilung (direkter und indirekter Risikotransfer)
3.2.2.1 Direkte Risikoteilung Das Risiko kann direkt oder indirekt zwischen einem Investor und anderen Personen geteilt werden. Die direkte Risikoteilung erfolgt durch explizite bzw. direkte Teilung der möglichen Überschüsse (bzw. Erfolge). Entweder erwirbt ein Vertragspartner vom Investor einen unsicheren Zahlungsanspruch oder er übernimmt eine unsichere Zahlungsverpflichtung. Im ersten Fall erhält der Investor einen Geldbetrag als Gegenleistung, im zweiten muss er einen Betrag (eine Prämie) an den Vertragspartner zahlen. Ein typisches Beispiel für den ersten Fall ist die Aufnahme eines Gesellschafters, der gegen eine Einlage in das Unternehmen oder eine direkte Zahlung an den Investor an den zukünftigen Überschüssen bzw. Erfolgen des Unternehmens beteiligt wird. Unter dem Gesichtspunkt einer pareto-effizienten Risikoteilung ist es vorteilhaft, möglichst viele Gesellschafter aufzunehmen (und eventuell das Unternehmen an die Börse zu bringen). Wie jedoch in Abschnitt 7 gezeigt wird, kann die Beteiligung neuer Gesellschafter vor allem an Rückwirkungen auf die Überschüsse bzw. Erfolge scheitern. Wenn sie der Investor mit anderen teilt, mag sein Anreiz, Arbeitsleid und andere immaterielle Nachteile in Kauf zu nehmen, um hohe Überschüsse zu erzielen, gering sein (vor allem, wenn sein verbleibender Anteil an den Überschüssen ebenfalls gering ist). Andererseits verursachen die Vereinbarung, Kontrolle und Durchsetzung geeigneter Verhaltensnormen für den Investor prohibitiv hohe Kosten. Potenzielle Gesellschafter antizipieren die Verhaltenswirkung und sind für ihre Beteiligung nur geringe Beträge zu zahlen bereit (JENSEN/MECKLING, 1976).
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Die Bedingung der Anreizkompatibilität wird oft anschaulich und schlagwortartig auch als „Win-WinBedingung“ bezeichnet.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Wie erläutert, wird in der Arbeit davon ausgegangen, dass der Investor im Fall B keinen Gesellschafter aufnimmt. Es bestehen dann immer noch vielfältige Möglichkeiten, das Risiko mit anderen direkt zu teilen. Charakteristisch für diese Formen der Risikoteilung ist, dass die Zahlungsansprüche bzw. -verpflichtungen des Vertragspartners nicht vom erzielten Erfolg als Ganzem abhängt, sondern von einzelnen Erlös- und/oder Kostenkomponenten, bei denen das Risiko gut kalkulierbar und außerdem nachteilige Verhaltensimplikationen tendenziell gering sind. Typische Formen solcher Risikoteilung sind Termingeschäfte, der Abschluss von Versicherungen für überprüfbare Schäden und der Erwerb von Realoptionen (FRANKE, 1995; DIONNE, 2000; LAUX, C. 1993; 2004). Angenommen in einem (Einzel-)Unternehmen werde im Verlauf einer Periode eine bestimmte Menge eines Produkts hergestellt und diese am Periodenende zu einem noch ungewissen Preis verkauft. Der Investor kann dann möglicherweise das Preisrisiko durch Termingeschäfte direkt eliminieren: Die Produktionsmenge wird zu Beginn der Periode zu einem Festpreis (Terminpreis) verkauft und am Periodenende geliefert. Tritt zum „Risikofaktor“ Absatzpreis der Risikofaktor Stückkosten hinzu, so kann auch dieses Risiko durch Termingeschäfte perfekt ausgeschaltet werden, sofern es ausschließlich daraus resultiert, dass die zukünftigen Marktpreise der Produktionsfaktoren unsicher sind; an die Stelle der ungewissen Faktorkosten treten dann sichere Auszahlungen. Jedoch kann das Kostenrisiko in erheblichem Maße auch von unternehmensinternen Gegebenheiten und Ereignissen abhängen, wie zum Beispiel der Sorgfalt der Aufgabenträger im Umgang mit Material und Produktionsanlagen, den technischen Eigenschaften dieser Anlagen, der Organisation der Produktionsabläufe und Verlusten aus Katastrophen, Brand und Diebstahl. Hier ist es nur in Grenzen möglich, nicht beeinflussbare und zugleich verifizierbare Zustände bzw. Ereignisse zu definieren, auf deren Grundlage das Risiko geteilt werden kann: Die tatsächlich beobachtbaren Datenausprägungen bzw. Ereignisse und Kostenkomponenten werden simultan durch nicht beeinflussbare Zustände und Aktivitäten des Investors und seiner Mitarbeiter verursacht. Zum Beispiel hängt die Zahl der krank gemeldeten Mitarbeiter auch davon ab, wie sie der Investor zu einem Arbeitseinsatz motiviert.6 Somit sind die betreffenden Kostenkomponenten nicht zerlegbar in einen beeinflussbaren und einen nicht beeinflussbaren Bestandteil. Das bedeutet, dass das Kostenrisiko nicht mit einem Finanzkontrakt perfekt gehedgt werden kann, bei dem der Vertragspartner gegen Zahlung eines festen Preises die Produktionskosten und mithin auch das entsprechende Kostenrisiko übernimmt. Diese „Versicherung“ hätte Rückwirkungen auf das Verhalten des Investors zum Nachteil des Versicherers (Moral Hazard): Der Investor wäre nicht motiviert, Anstrengungen zu unternehmen (Investitionen zu tätigen), die Produktionskosten niedrig zu halten. Ein potenzieller Vertragspartner antizipiert die hohen Kosten und fordert ein hohes Entgelt für deren Übernahme, so dass letztlich der Investor die Folgen seines (möglichen) Verhaltens trägt. Dem Konflikt zwischen effizien6
Bei Katastrophen oder Brand entstehen häufig Folgeschäden durch Ausfall von Aufträgen oder Abwanderung von Kunden. Eine Versicherung kann kaum beurteilen, ob diese Schäden zwangsläufig oder aus Versäumnissen des Versicherungsnehmers resultieren.
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Kapitel I
ter Risikoteilung und Motivation zu einem hohen Arbeitseinsatz bzw. zur Schadensvermeidung7 kann im Allgemeinen nur dadurch begegnet werden, dass der Investor einen relativ hohen Anteil an den Kosten selbst trägt. Dieser Anteil ist tendenziell umso höher, je größer der für die Kostenreduktion erforderliche Arbeitseinsatz ist. Es besteht folgende allgemeine Tendenz: Je größer der Einfluss des Investors auf Kosten- und Erlöskomponenten ist, je weniger seine Anstrengungen zu deren Verbesserungen vertraglich vereinbar und verifizierbar sind und je größer das mit den Anstrengungen verbundene Arbeitsleid ist, desto schwieriger bzw. teurer wird es, das betreffende Risiko durch Versicherungen direkt zu hedgen. Zwar sind auch Schäden, gegen die sich ein Unternehmen in der Realität versichern kann, nicht völlig unabhängig von den Entscheidungen und Maßnahmen im Unternehmen. Jedoch kommen Versicherungen als Instrument der Risikoreduktion vor allem dann in Betracht, wenn in einfacher Weise Maßnahmen zur Schadenverhinderung und -begrenzung vereinbart und verifiziert werden können. Zum Beispiel wird bei der Versicherung von Feuerschäden vereinbart, dass Sprinkler-Anlagen und Feuermelder installiert werden und Güter in bestimmter Weise gelagert werden. Die Vereinbarung sinnvoller und zugleich verifizierbarer Verhaltensnormen zum Beispiel für den Absatzbereich ist dagegen im Allgemeinen sehr viel schwieriger. Wenn Maßnahmen zur Schadenverhinderung und/oder Begrenzung zwar nicht verifizierbar, jedoch auch nicht mit besonderen Anstrengungen oder (Investitions-)Kosten verbunden sind, kann schon eine geringe Schadensbeteiligung des Investors bewirken, dass er betreffende Maßnahmen durchführt. 3.2.2.2 Indirekte Risikoteilung durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt Unternehmensrisiken wie z.B. Wechselkursrisiken oder Preisrisiken von Produktionsfaktoren können in gewissen Grenzen auch durch Wertpapierhandel gehedgt werden. In Betracht kommen dabei nicht nur originäre Finanztitel wie z.B. Aktien und Gewinnschuldverschreibungen, sondern vor allem auch Derivate, die sich darauf beziehen, wie Terminkontrakte, Swaps und Optionen (FRANKE, 1995; FRANKE/HAX, 2004, S. 355 ff.). Wertpapiere deren zukünftigen Börsenpreise (einschließlich von Ausschüttungen) negativ mit Unternehmensüberschüssen korreliert sind, werden gekauft und Papiere mit positiver Korrelation (leer-)verkauft (Kapitel IX bis XII und XV). Der Handel mit Wertpapieren impliziert eine Umverteilung von Risiken und ist für den Investor ein Instrument, indirekt das Unternehmensrisiko mit anderen zu teilen (auf sie zu transferieren). 7
Vgl. hierzu z.B. SCHLESINGER (2000); WINTER (2000); SPREMANN (1987, 1988); LAUX (1990a); GILLENKIRCH (1997; 2004); VELTHUIS (1998; 2004); SCHABEL (2004).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Angenommen, eine bestimmte riskante Erlöskomponente (kurz: „Erlös“) zum Ende der Periode könne durch ein Portefeuille von Wertpapieren „dupliziert“ werden, das zu Beginn der Periode „leerverkauft“ werden kann. Das Duplikationsportefeuille weist definitionsgemäß am Ende der Periode einen Marktwert in Höhe des duplizierten „Erlöses“ auf.8 Mit dem Leerverkauf9 eliminiert der Investor das aus dem „Erlös“ resultierende Risiko; an die Stelle des „Erlöses“ tritt eine sichere Einzahlung zu Beginn der Periode in der Höhe des Marktwertes des leerverkauften Duplikationsportefeuilles. Das Erlösrisiko wird letztlich vom Käufer des Duplikationsportefeuilles „übernommen“; er erhält am Ende der Periode Wertpapiere, deren Marktwert zu diesem Zeitpunkt mit dem duplizierten „Erlös“ übereinstimmt. Die Folgen sind bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erlös dieselben wie bei Risikoteilung in Form eines direkten Verkaufs des Erlöses zum gegenwärtigen Marktwert. Jedoch ist diese Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht unabhängig von der Art der Risikoteilung. Bei indirekter Teilung (im Beispiel bei Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles für den Erlös) ist der Anspruch des Vertragspartners unabhängig vom tatsächlich realisierten Erlös, so dass der Investor einen finanziellen Nachteil erzielt, wenn er keine Anstrengungen unternimmt, den Erlös zu erzielen. Bei direktem Verkauf des Erlöses berührt eine Erlöseinbuße nicht den Investor, sondern allein den Käufer des Erlöses. Bei ausschließlich indirekter Risikoteilung fließen dem Investor die Unternehmensüberschüsse unverändert zu, so dass sich keine Verhaltensimplikationen ergeben. Dagegen kann – wie erläutert – die direkte Risikoteilung bewirken, dass es für den Investor vorteilhaft wird, sein Verhalten zu ändern, da ihn deren Folgen nicht allein berühren. Dies wird von den potenziellen Vertragspartnern antizipiert, so dass der Investor die aus den Verhaltensimplikationen resultierenden Nachteile grundsätzlich selbst tragen muss. Ein weiterer Vorteil indirekter Risikoteilung kann aus heterogenen Erwartungen über positive und negative Erfolgskomponenten resultieren.10 Angenommen, die geforderte Versicherungsprämie für einen Schaden sei gleich demjenigen Marktwert, den der Schaden vom Standpunkt des potenziellen Versicherers aufweist. Dieser Marktwert kann aus Sicht des Investors zu hoch sein, weil er selbst die Schadenswahrscheinlichkeit als gering einschätzt. Kann er ein Duplikationsportefeuille bilden, das aus seiner Sicht
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Zur Duplikation von Überschüssen durch Portefeuillebildung im Einperioden-Fall vgl. Kapitel IV, Abschnitt 3.2, und im Mehrperioden-Fall Kapitel XIV, Abschnitt 2. Bei Leerverkauf von Wertpapieren für eine Periode leiht sich im Allgemeinen der Investor diese Papiere zu Beginn der Periode und verkauft sie zum Börsenkurs (er erzielt dann zu Beginn der Periode einen Erlös in Höhe des Marktwertes dieser Papiere). Am Ende der Periode kauft er sie zu dem dann maßgeblichen Börsenkurs und liefert sie dem Verleiher. Zu den technischen Details vgl. Kapitel IV, Abschnitt 2.2. Potenzielle Versicherer befürchten „Adverse Selection“, d.h. dass Versicherungen vor allem von denjenigen Investoren nachgefragt werden, aus deren Sicht die erwarteten Schäden relativ hoch sind. Die Versicherer preisen hohe Schäden in ihre Policen ein, so dass die Prämie aus Sicht eines Investors prohibitiv hoch sein kann.
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Kapitel I
den Schaden kompensiert, so kann er das Schadensrisiko zu einem kleineren Preis eliminieren, indem er dieses Portefeuille kauft. Allerdings sind beliebige indirekte Risikotransformationen (auch von Einzahlungen) nur möglich, wenn unbeschränkte Duplizierbarkeit der Überschüsse und unbeschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten bestehen, Voraussetzungen, die in der Realität kaum erfüllt sind. Bei direkter Risikoteilung können dagegen „maßgeschneiderte“ Lösungen vereinbart werden, auch wenn sie durch Handel mit bereits existierenden Wertpapieren nicht realisiert werden können. (Allerdings müssen dann – wie erläutert – Moral HazardProbleme in Kauf genommen werden.) Zum Beispiel kann ein Schaden, der von den Wertpapierkursen stochastisch unabhängig ist, nicht durch Wertpapierhandel versichert werden, sondern allenfalls direkt durch einen expliziten Vertrag mit einem Versicherer. Bei der Bewertung stellt sich zwar im Allgemeinen das Problem, wie die Überschüsse optimal durch indirekte und direkte Risikoteilung gehedgt werden können. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch explizit nur die indirekte Risikoteilung durch Portefeuillebildung betrachtet, wobei die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Überschüsse des Bewertungsobjekts oft als gegeben angenommen werden. Man kann sich vorstellen, dass die Überschüsse bereits Maßnahmen direkter Risikoteilung widerspiegeln; jedoch wird nicht geprüft, wie die direkte Risikoteilung im Sinne eines integrierten Risikomanagements (C. LAUX, 2004; MEULBROEK, 2002; STULZ, 1996) ex ante mit der indirekten optimal abgestimmt werden kann. Wie insbesondere in den Kapiteln III, IV und IX bis XII gezeigt wird, dürfen Risiken nicht isoliert voneinander, sondern nur im Verbund bewertet und beeinflusst werden. Wenn man ein Teilrisiko (etwa ein einzelnes Wechselkursrisiko) durch Hedgemaßnahmen eliminiert, kann das Unternehmensrisiko insgesamt steigen, weil das beseitigte Risiko einen „natürlichen Hedge“ für andere Unternehmensrisiken (etwa andere Wechselkursrisiken) darstellt.
3.3
Die betrachteten Finanzierungsformen
Der Wert des Bewertungsobjekts kann davon abhängen, wie es finanziert wird (Kapitel XIII, Abschnitt 4). Im Rahmen dieser Arbeit werden jedoch – wenn hiervon nicht explizit abgewichen wird – nur solche Finanzierungsformen betrachtet, die ohne Berücksichtigung von Steuern bezüglich der Bewertung gleichwertig sind, wobei Insolvenz ausgeschlossen wird. Für den Fall A werden folgende Grundformen der Finanzierung erfasst (die miteinander kombiniert werden können): Aufnahme von Fremdkapital zum risikolosen und periodeneinheitlichen Zinssatz r, Reduktion des im Unternehmen zu diesem Zinssatz angelegten Kapitalbetrages, Reduktion der Ausschüttung an die Anteilseigner (Selbstfinanzierung) bzw. Kapitalerhöhung (Beteiligungsfinanzierung).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Da die Anteilseigner auch privat zum Zinssatz r Geld anlegen und aufnehmen können, ist die Finanzierungs- und Ausschüttungspolitik (die Kapitalstruktur) bei gegebenem Investitionsprogramm irrelevant (MILLER/MODIGLIANI, 1961; MODIGLIANI/MILLER, 1958).11,12 Wird zum Beispiel zum Zeitpunkt 0 für eine Periode ein (zusätzlicher) Fremdkapitalbetrag von ' beschafft und bei gegebenem Investitionsprogramm die Ausschüttung zu diesem Zeitpunkt entsprechend erhöht, sinkt die Ausschüttung zum Zeitpunkt 1 um (1 + r) '. Für die Anteilseigner ergibt sich dabei kein Vorteil; sie hätten den Betrag ' auch privat zum Zinssatz r leihen können. Es entsteht aber auch kein Nachteil; sie können den Betrag ' zum Zinssatz r anlegen, so dass die Minderausschüttung für den Zeitpunkt 1 kompensiert wird. Die Finanzierungs- und Ausschüttungspolitik hat bei gegebenem Investitionsprogramm auch keinen Einfluss auf das Vermögen der Anteilseigner zum Zeitpunkt 0. Wird zu diesem Zeitpunkt der Fremdkapitalbetrag ' aufgenommen und die Ausschüttung entsprechend erhöht, so steigt das Geldvermögen aller Anteilseigner zum Zeitpunkt 0 um ', während zu diesem Zeitpunkt der Marktwert M0 aller Aktien des Unternehmens ex Dividende um ' sinkt; die Summe aus Geldvermögen und Marktwert M0 bleibt konstant. Auch die Summe aus Geldvermögen und Marktwert der Aktien eines einzelnen Aktionärs ändert sich nicht. Für den Fall B gehen wir von folgenden Finanzierungsformen aus: Private Aufnahme von Fremdkapital zu einem risikolosen Zinssatz r, Reduktion eines zu diesem Zinssatz privat angelegten Kapitalbetrags, Verkauf vorhandener Wertpapiere oder Leerverkauf von Papieren. Finanzierung durch Aufnahme von Gesellschaftern mit dem Ziel der Risikoteilung wird ausgeschlossen. Zwar kann auch der Erlös aus (Leer-)Verkauf von Wertpapieren zur Finanzierung des Bewertungsobjekts herangezogen werden. Dies ist aber in der vorliegenden Arbeit nicht der wesentliche Grund für (Leer-)Verkauf. Handel mit Wertpapieren bei Kauf eines Bewertungsobjekts dient primär dem Ziel, dessen Überschuss optimal zu hedgen.
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Jedoch können bei unvollkommenem Kapitalmarkt Finanzierungsentscheidungen unter dem Aspekt der Informationsübermittlung an die Anteilseigner und/oder der Steuerung des Verhaltens der Entscheidungsträger tatsächlich Relevanz haben. Vgl. BREUER (1998, S. 119 ff.); LAUX, C. (1993) und die dort diskutierte Literatur. Die Annahme, dass Fremdkapital nur zum risikolosen Zinssatz r aufgenommen wird, impliziert, dass Gläubiger nicht am Unternehmensrisiko partizipieren. Hierdurch werden zwar einige formale Darstellungen erleichtert, jedoch wird im Rahmen des CAPM (Kapitel IV, Abschnitt 5.2) die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse nicht eingeschränkt. Wenn es neben Aktien weitere Wertpapiere gibt, die risikobehaftete Zahlungsansprüche gegenüber dem Unternehmen verbriefen, so sind diese Teil des Marktportefeuilles und jeder Anteilseigner hält im CAPM-Gleichgewicht denselben Teil an diesen Wertpapieren wie an den Aktien. Sein Anteil am Risiko ist somit ebenso groß wie für den Fall, dass nur die Aktien des Unternehmens einen risikobehafteten Anspruch verbriefen.
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Kapitel I
4
Bewertungsmodell als Entscheidungsmodell
4.1
Zielfunktion
Grenzpreise werden oft als „Entscheidungswerte“ bezeichnet. Damit soll zum Ausdruck gebracht werden, dass sie zur Lösung eines Entscheidungsproblems dienen, nämlich, ob ein Bewertungsobjekt gekauft bzw. verkauft werden soll. Entsprechend kann ein Bewertungsproblem als Entscheidungsproblem und ein Bewertungsmodell als Entscheidungsmodell interpretiert werden. In jedem Entscheidungsmodell sind die vom Entscheider erwogenen Handlungsalternativen und deren möglichen Ergebnisse (Überschüsse) sowie seine Zielfunktion, die seine Präferenzen zum Ausdruck bringt, zu erfassen, wobei Vereinfachungen unumgänglich sind (Abschnitt 4.4). Wie erläutert, ist für den Fall A das Ziel der Marktwertmaximierung (als Annäherung an kollektive subjektive Nutzenmaximierung) relevant und für den Fall B das der individuellen subjektiven Nutzenmaximierung. Beide Ziele sind noch sehr allgemein definiert. Zum Zweck der Bewertung müssen sie präzisiert werden. Im Fall A (B) muss geklärt werden, welche Marktbewertungsfunktion (Nutzenfunktion) für die Bewertung maßgeblich ist. Je mehr Aktionen mit unterschiedlichen Risikostrukturen und je mehr Perioden im Bewertungsmodell erfasst werden, desto weiter muss der Definitionsbereich der Zielfunktion sein, um die maßgeblichen Bewertungen vornehmen zu können. Werden z.B. nur Maßnahmen im Rahmen einer gegebenen „Risikoklasse“ erwogen, so kann bei Marktwertmaximierung eventuell die Bewertung durch Diskontierung der Überschüsse mit einem einheitlichen risikoangepassten Zinssatz erfolgen. Die Formulierung einer geeigneten Bewertungsfunktion ist im Einperioden-Fall noch relativ einfach (Kapitel III bis XII): Im Mehrperioden-Fall (Kapitel XIII, XIV und XV) wird man nicht ohne radikale Vereinfachungen auskommen.
4.2
(Handlungs-)Alternativen
Grundsätzlich sind die Überschüsse eines Bewertungsobjekts nicht exogen vorgegeben, sondern hängen von den Maßnahmen ab, die damit realisiert werden. Bei der Bewertung im Fall des potenziellen Kaufs ist zu prüfen, wie sich bei Kauf und optimaler Nutzung des Bewertungsobjekts die stochastischen Überschüsse gegenüber dem Status quo (ohne Bewertungsobjekt) ändern können. Selbst wenn das Bewertungsobjekt keinen Einfluss auf die bisherigen Maßnahmen und Überschüsse hat, können umfangreiche Planungsaktivitäten geboten sein. Noch komplexere Probleme ergeben sich, wenn das Bewertungsobjekt aufgrund von Verbundeffekten (Kapitel II, Abschnitt 6) Rückwirkungen auf bisher geplante Maßnahmen (bisherige Überschüsse) haben. Im Bewertungsfall A ist der potenzielle Käufer ein börsennotiertes Unternehmen mit vielen Anteilseignern mit breit gestreuten Portefeuilles und kleinen Anteilen am Bewertungsobjekt bei dessen Kauf bzw. Verzicht auf Kauf. Hier kann die Bewertung praktisch ohne Rücksicht darauf vorgenommen werden, welche Risiken sonst noch im Unternehmen bestehen; insbesondere erübrigen sich unternehmensinterne Hedgemaßnahmen in Form von Kapitalmarkttransaktionen (die die Anteilseigner ebenso gut privat vorneh-
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
21
men können). Hier hat der Investor insbesondere zu prüfen, welche Objektmaßnahmen mit dem Bewertungsobjekt realisiert und welche Überschüsse damit in alternativen Umweltentwicklungen erzielt werden. Zu den Objektmaßnahmen zählen bei Kauf eines Unternehmens z.B. Produktions- und Absatzmaßnahmen, die Durchführung von Sachinvestitionen und Goodwillmaßnahmen. In dieser Arbeit wird (Realgüter-)Arbitrage durch Kauf eines Bewertungsobjekts und gleichzeitigem Verkauf zu einem höheren Preis ausgeschlossen. Ein Bewertungsobjekt wird mit dem Ziel gekauft, es produktiv zu nutzen und damit in Zukunft Überschüsse zu erwirtschaften; diese bestimmen den Grenzpreis. Ein wesentlicher Grund für den Kauf des Bewertungsobjekts kann darin bestehen, Synergieeffekte zu nutzen. Hier muss geplant werden, wie bei Kauf das Produktionsund Absatzprogramm des Unternehmens als Ganzes verändert wird (Kapitel IV bis VII, XIII und XIV). Die Änderungen der Unternehmensüberschüsse gegenüber dem Status quo (ohne Bewertungsobjekt) sind die zugerechneten Überschüsse des Bewertungsobjekts als Basis der Bewertung. Im Fall B ist es möglich, dass der Investor Eigentümer eines Unternehmens ist, so dass wiederum bei der Bewertung Synergieeffekte erfasst werden müssen. Da in diesem Fall jedoch der Investor das Risiko nicht mit anderen Gesellschaftern teilt, gewinnen nun Hedgemaßnahmen für Risiken im Leistungsbereich besondere Bedeutung. Die Produktions- und Absatzmaßnahmen bei Kauf des Bewertungsobjekts sollten explizit auch mit der Bildung eines optimalen Wertpapierportefeuilles zum Hedgen des Risikos abgestimmt werden. Hier kann der Kauf eines Realinvestitionsprojekts auch dazu dienen, das bisherige Risiko des eigenen Unternehmens zu hedgen, weil dies durch Portefeuillebildung weniger gut gelingt. Ein Bewertungsmodell impliziert allgemein weit mehr als die Anwendung finanzwirtschaftlicher Entscheidungskriterien auf gegebene stochastische Überschüsse. Vor allem bei der Bewertung ganzer Unternehmen stellen sich Grundfragen aus allen Bereichen der Betriebswirtschaftslehre bzw. der Unternehmensführung: Sollen bei Kauf Spezialaggregate oder solche Mehrzweckanlagen erworben werden, die eine hohe Anpassungsfähigkeit an alternative Umweltentwicklungen bieten und mithin relativ geringe Risiken implizieren? Soll man sich auf ein spezielles Produktionsprogramm beschränken oder im Sinne der Risikoreduktion ein diversifiziertes „Portefeuille“ an Produkten erwägen? Sollen Investitionen gegenwärtig durchgeführt oder aufgeschoben werden, bis sich der Informationsstand für eine vorteilhafte Bewertung verbessert hat? Zusätzlich sind – vor allem bei individueller subjektiver Nutzenmaximierung – Wertpapiere (Derivate) und direkte Versicherungen zu erfassen, mit denen die Risiken der im Bewertungsmodell erwogenen Maßnahmen des Leistungsbereichs gehedgt werden können, z.B. Preisrisiken für Produktionsfaktoren und Absatzgüter oder mögliche Feuerschäden und Forderungsausfälle. Es ist unmittelbar einleuchtend, dass es nicht möglich ist, sämtliche Aspekte, die für den Grenzpreis eines Bewertungsobjekts in Betracht kommen, explizit im Bewertungskalkül zu erfassen; es ist notwendig, zu vereinfachen. Eine vereinfachende Vorauswahl
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Kapitel I
von Maßnahmen setzt jedoch voraus, dass die bewertungsrelevanten theoretischen Zusammenhänge bekannt sind. Konzepte der Ermittlung des Marktwertes des Bewertungsobjekts haben vor allem für den Fall A Bedeutung, in dem Marktwertmaximierung streng oder zumindest „näherungsweise“ im Einklang mit (kollektiver) subjektiver Nutzenmaximierung steht. Da unter bestimmten Voraussetzungen der individuelle subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt, können diese Konzepte auch für den Fall B Bedeutung haben. Wenn jedoch die betreffenden Voraussetzungen nicht erfüllt sind, ist der subjektive individuelle Grenzpreis grundsätzlich kleiner als der Marktwert. Möglicherweise kann der Investor neben dem betrachteten Bewertungsobjekt auch andere Bewertungsobjekte kaufen. Der Grenzpreis des betrachteten Bewertungsobjekts ist dann davon abhängig, ob die Bewertungsobjekte einander ausschließen oder nicht. Unter den Voraussetzungen dieser Arbeit können sich Investitionsprojekte (mit Ausnahme von Kapitel XIV, Abschnitt 13) nicht aus finanzwirtschaftlichen Gründen ausschließen (die Finanzierung hat keinen Einfluss auf die Bewertung), sondern z.B. nur aus technischen oder absatzwirtschaftlichen.
4.3
Probleme der Information
Wie erläutert, hängt der Wert eines Investitionsprojekts u.a. davon ab, welche Überschüsse damit in Zukunft erzielt werden (und – im Fall B – wie das Risiko gehedgt werden kann). Da diese zum Zeitpunkt der Bewertung noch ungewiss sind, kann sich der Investor nur ein Wahrscheinlichkeitsurteil darüber bilden. Bei potenziellem Kauf eines Unternehmens z.B. können zwar in gewissen Umfang zukünftige Produktionsund Absatzmaßnahmen geplant werden. Diese und die damit verbundenen Überschüsse hängen jedoch von der für das Unternehmen maßgeblichen Umweltentwicklung ab (der Entwicklung der Nachfrage, der Kosten der Roh-, Hilfs-, und Betriebsstoffe, dem Verhalten von Konkurrenten), die im voraus nicht bekannt ist. Entsprechend können auch nur bedingte Maßnahmen und Überschüsse geplant werden (Kapitel XIII, XIV und XV). Jedoch ist das Wahrscheinlichkeitsurteil über mögliche zukünftige Umweltentwicklungen und Überschüsse nicht unveränderlich. Der Investor kann durch Beschaffung von Informationen selbst aktiv dazu beitragen, es zu verbessern. Hierbei werden „Indikatoren“ beobachtet, die Rückschlüsse zulassen. Als Indikatoren können zum Zeitpunkt der Bewertung beobachtbare objektive Daten dienen, aber auch subjektive Urteile von Informanten über zukünftige Umweltentwicklungen und Überschüsse. Objektive Indikatoren sind z.B. die Entwicklung der Unternehmensüberschüsse in den letzten Jahren, Jahresabschlüsse, Marktanteile der Produkte des Unternehmens, Produkteigenschaften, Kundenstruktur, „Größe“ und Zahl der Konkurrenten und Berichte in Zeitungen. Im Allgemeinen sind nicht nur Informationen bezüglich der Überschüsse des Bewertungsobjekts zu erwägen, sondern – insbesondere bei individueller subjektiver Bewertung – auch die Überschüsse möglicher Hedgemaßnahmen. In Betracht kommen z.B. Informationen über mögliche Versicherer und deren Konditionen und über mögliche
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Kursentwicklungen von Wertpapieren, die für Hedgemaßnahmen in Betracht gezogen werden. Die Beschaffung von Informationen ist im Allgemeinen nicht kostenlos. Kosten entstehen in Form von Ausgaben und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit (Opportunitätskosten). Unter Umständen können bestimmte Aktionen nicht mehr realisiert werden, wenn erst umfangreiche Informationen über deren Konsequenzen eingeholt werden. Die Entscheidung darüber, ob bestimmte Informationen beschafft werden sollen oder nicht, erfordert daher ein Abwägen ihrer Kosten und ihres Wertes. Dabei ist der Informationswert gleich demjenigen kritischen Kostenbetrag, bei dem die Beschaffung der Informationen, also die Beobachtung der betreffenden Indikatoren, weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Sind die tatsächlichen Kosten niedriger (höher) als der Informationswert, ist die Informationsbeschaffung vorteilhaft (nachteilig).13 Sofern der Investor keine weiteren Informationen einholt, bildet er sich sein Wahrscheinlichkeitsurteil über die künftigen Überschüsse auf der Basis seines bisherigen Informationsstandes (a priori-Wahrscheinlichkeiten) und nimmt die entsprechende Bewertung vor. Im Fall der Informationsbeschaffung korrigiert er den neuen Kenntnissen entsprechend sein bisheriges Wahrscheinlichkeitsurteil und nimmt jene Bewertung vor, die sich im Licht der revidierten Wahrscheinlichkeiten (der sogenannten a posterioriWahrscheinlichkeiten) als zielführend erweist. Der Wert potenzieller Informationen kann nur dann positiv sein, wenn der Wert des Bewertungsobjekts von den Ausprägungen der beobachteten Indikatoren, d.h. vom Informationsergebnis, abhängt. Da bei der Informationsbewertung die Ausprägungen der betreffenden Indikatoren noch nicht bekannt sind, ist dann natürlich auch nicht bekannt, welcher Wert dem Bewertungsobjekt nach Information beigemessen wird. Dieser Wert streut um den Wert vor Information. Der Informationswert resultiert letztlich daraus, dass Fehlentscheidungen in dem folgenden Sinn vermieden werden: 1. Ist der dem Bewertungsobjekt nach Information zugerechnete Wert höher als der Wert vor Information, so erweist sich möglicherweise der Kauf des Bewertungsobjekts als vorteilhaft, während es ohne die Information nicht gekauft worden wäre. 2. Ist der nach Information zugerechnete Wert niedriger als der vor Information, erweist sich möglicherweise dessen Kauf als nachteilig, während es bei Verzicht auf Information gekauft worden wäre. Je mehr der Wert des Bewertungsobjekts nach Information um den vor Information streut, desto größer ist tendenziell der Wert der Informationen. Es ist zu beachten, dass der Informationswert eine subjektive, keine objektive Größe ist; er hängt davon ab, welche Handlungsalternativen der Investor erwägt, welche Überschüsse sie aus seiner Sicht in den möglichen Zuständen bieten, welche subjektiven Wahrscheinlichkeiten er diesen Zuständen bei seinem bisherigen Informationsstand zuordnet, welche Wahrscheinlichkeitsvorstellungen er bezüglich der möglichen Informationsergebnisse hat und welche Rückschlüsse er aus ihnen zieht. Diese Rückschlüsse hängen ihrerseits davon ab, wie er den stochastischen Zusammenhang zwischen den In13
Zur Ermittlung des Informationswertes und der Analyse seiner Höhe vgl. z.B. LAUX (2007, S. 337 ff.).
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Kapitel I
formationsergebnissen und den möglichen Umweltzuständen einschätzt. (Bei stochastischer Unabhängigkeit z.B. stimmen bei jedem Informationsergebnis die a posterioriWahrscheinlichkeiten für die Umweltzustände mit den a priori-Wahrscheinlichkeiten überein.) Für Individuen mit unterschiedlichen Handlungsmöglichkeiten und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen können die Informationswerte erheblich voneinander abweichen. Abweichungen mögen auch daraus resultieren, dass im Rahmen eines Informationswertkalküls bzw. bei der Schätzung des Informationswertes unterschiedliche Vereinfachungen vorgenommen werden. Mit Hilfe der Informationsproblematik kann verdeutlicht werden, warum Unternehmenswerte grundsätzlich keine Preise sind, zu denen Unternehmen wie Gegenstände mit objektiv überprüfbaren Eigenschaften (wie etwa Gebrauchtwagen) „gehandelt“ werden. Zwar können auch bei einem Unternehmen objektive Wertkomponenten wie der Zustand von Gebäuden und Produktionsanlagen, die Lage und Größe von Grundstücken, Jahresabschlüsse (PENMAN, 2007) und dergleichen mehr direkt überprüft werden. Jedoch werden mit dem Unternehmen vor allem auch Handlungsspielräume erworben, die implizieren können, dass der Wert weit über dem reinen Substanzwert liegt. Der mit dem Unternehmen verbundene originäre Wert bzw. die betreffenden Wertgeneratoren können nicht unmittelbar, sondern nur über Indikatoren beobachtet werden, deren Überprüfung hohe Kosten verursachen und die (ohne Zusatzinformationen) nur schwache Rückschlüsse zulassen. Aufgrund unterschiedlicher Informationsbeschaffungsmöglichkeiten, Informationskosten und Schlussfolgerungen (Interpretationen) können c.p. verschiedene Bewerter zu sehr verschiedenen Grenzpreisen kommen. Zwar mag der potenzielle Verkäufer über einen guten Informationsstand bezüglich des Erfolgspotenzials des Unternehmens verfügen. Jedoch haben seine geäußerten subjektiven Urteile über zukünftige Überschüsse deshalb einen geringen Informationsgehalt, weil er ein Interesse daran hat, das Erfolgspotenzial besser darzustellen, als es tatsächlich ist. Er kann die Bewertung für potenzielle Käufer erleichtern oder verbessern, indem er ihnen überprüfbare Informationen gibt. Immerhin besteht dann die Gefahr, dass er „negative“ Informationen vorenthält. Andererseits besteht auch die Gefahr, dass sich der potenzielle Käufer eingehend über Unternehmen und Strategien informieren lässt und dann auf den Unternehmenskauf verzichtet, um die gewonnen Informationen und Ideen eigennützig zu verwerten. Der potenzielle Verkäufer wird dies antizipieren und seine Informationen nur mit Vorsicht preisgeben. Wenn in einem Unternehmen erwogen wird, eine reine Produktionsanlage zu kaufen, hat das Informationsproblem grundsätzlich einen anderen Charakter. Der Wert resultiert dann ausschließlich daraus, dass das Bewertungsobjekt Produktionsmöglichkeiten eröffnet und eventuell zu einem zukünftigen Liquidationserlös führt. Hier erfolgt die Bewertung ausschließlich auf der Grundlage von Informationen über die Produktions- und Absatzmöglichkeiten im „eigenen“ Unternehmen. Die bereits vorhandenen Informationen können ausreichen, eine gute Bewertung vorzunehmen. Vor deren Hintergrund kann es auch besser möglich sein, zielgerichtet zusätzliche bewertungsrelevante Infor-
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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mationen zu beschaffen und Informationsergebnisse zu interpretieren als bei Kauf eines Unternehmens. Für den Investor stellt sich grundsätzlich nicht nur das Problem, welche Informationen er beschaffen soll, um eigene Entscheidungen zu fundieren, sondern auch, welche Informationen er potenziellen Kooperationspartnern geben soll, um mit ihnen vorteilhafte (langfristige) Verträge abschließen zu können. In der vorliegenden Arbeit spielen Kooperationspartner für Leerverkäufe von Wertpapieren eine besondere Rolle (Kapitel IV, Abschnitt 2.2). Bei Leerverkauf besteht aus Sicht des Käufers oder Verleihers der Papiere vor allem dann die Gefahr, dass der Leerverkäufer seine Verpflichtungen nicht erfüllt, wenn dieser nur geringe Sicherheiten bieten kann und seinen Verpflichtungen mit zukünftigen Überschüssen des Bewertungsobjekts zu erfüllen verspricht. Hier stellt sich das Problem, potenziellen Käufern oder Verleihern der Papiere gehaltvolle und überprüfbare Informationen über diese Überschüsse zu geben, um Leerverkäufe zu ermöglichen. Vor allem bei Unternehmensgründungen zur Verwirklichung innovativer Ideen oder Erfindungen dürften entsprechende Indikatoren kaum existieren. Abgesehen davon kann allgemein die Übermittlung „hinreichender“ Informationen prohibitiv hohe Kosten verursachen. Informationsasymmetrien und/oder unterschiedliche Schlussfolgerungen aus Informationen können zu erheblichen Beschränkungen von Leerverkäufen führen, die – wie vor allem in den Kapiteln XI, XII und XV gezeigt wird – Rückwirkungen auf die individuelle subjektive Bewertung haben.
4.4
Problem der Komplexitätsreduktion bei der Bewertung
Bei der Konstruktion eines Bewertungsmodells müssen stets Vereinfachungen vorgenommen werden, weil sonst die Kosten der Planung zu hoch werden oder die Planungskapazität nicht ausreicht. Dabei ergibt sich das Problem, in welcher Weise Vereinfachungen vorgenommen werden sollen. Dies ist das Problem des „optimalen Komplexionsgrades“, das sich grundsätzlich für jedes Entscheidungsmodell und jede Bewertungstechnik stellt (Kapitel XIII, Abschnitt 4, Kapitel XIV, Abschnitt 11, und Kapitel XV, Abschnitt 6). Die Vereinfachung kann z.B. in der Weise erfolgen, dass mögliche Umweltentwicklungen vernachlässigt werden, zustandsabhängige Überschüsse oder die Erwartungswerte von Überschüssen nur pauschal geschätzt werden (z.B. durch Extrapolation in der Vergangenheit realisierter Überschüsse und Gewinne in die Zukunft) oder die für die Ermittlung eines subjektiven individuellen Grenzpreises maßgebliche Nutzenfunktion nur bruchstückhaft identifiziert wird. Eine tatsächliche Vereinfachung wird nur erreicht, wenn die Auswirkungen von Vereinfachungen nicht theoretisch "exakt" ermittelt, sondern nach subjektivem Ermessen geschätzt werden. Aufgrund der Notwendigkeit der Vereinfachung ist es nicht ohne weiteres sinnvoll, den vom Bewertungsmodell ausgewiesenen Wert zu akzeptieren. Vielmehr stellt sich folgendes Entscheidungsproblem: Soll im Licht von Informationen, die nicht explizit in das Modell eingegangen sind, der Wert direkt revidiert und auf der betref-
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Kapitel I
fenden Basis über Kauf bzw. Verkauf des Bewertungsobjekts entschieden werden? Soll das Modell seinerseits revidiert und ein neuer (vorläufiger) Wert ermittelt werden? Bei der Anwendung von Bewertungsmodellen geht es – wie bei jeder anderen Form der Informationsbeschaffung auch – um ein Abwägen von Wert und Kosten der Informationen. Dabei ist es bei gegebenen Planungskosten nicht ohne weiteres sinnvoll, eine möglichst „realitätsnahe“ oder „originalgetreue“ Abbildung im Modell vorzunehmen. Es geht primär darum, das Modell so zu formulieren, dass seine Lösung gute Rückschlüsse auf den Wert ermöglicht. Werden im Modell als bewertungsrelevant vermutete Sachverhalte vernachlässigt (um die Kosten zu reduzieren), kann es sinnvoll sein, noch weitere Vereinfachungen vorzunehmen, um „Wertverzerrungen“ vorzubeugen.14 Da sowohl bei der Informationsbeschaffung als auch der -verarbeitung subjektive Ermessensentscheidungen getroffen werden, ist der für ein Bewertungsobjekt ermittelte Wert stets subjektiv geprägt, auch wenn er als „objektivierter“ Marktwert ermittelt wurde.
5
Grundformen der Bewertung gegebener stochastischer Überschüsse
5.1
Unternehmen als Bewertungsobjekt
Im Folgenden werden Grundformen der Bewertung dargestellt und verglichen, die in Literatur und Praxis eine besondere Rolle spielen. Da sich die Bewertungsliteratur (vgl. Abschnitt 7) vorwiegend mit der Bewertung ganzer Unternehmen befasst, wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon ausgegangen, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen; die Darstellungen gelten z.T. unmittelbar für beliebige Bewertungsobjekte. Für den Bewertungsfall A ist der Grenzpreis des Unternehmens gleich dem Marktwert seiner zukünftigen Überschüsse. Für den Fall B ist zwar allgemein der individuelle subjektive Grenzpreis als Preisober- oder -untergrenze relevant. Er stimmt jedoch (wie in Abschnitt 6.1 und ausführlicher in den Kapiteln XI, XII und XV erläutert wird) unter speziellen Kapitalmarktbedingungen mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts überein. Für ein mit Fremdkapital finanziertes Unternehmen sind im Prinzip zwei Marktwerte relevant, der Marktwert des Unternehmens als Ganzes (der Marktwert des „Gesamtkapitals“) und der sich durch Subtraktion des Fremdkapitals ergebende Marktwert des „Eigenkapitals“ (bei einem börsennotierten Unternehmen der Börsenwert der Aktien).
14
In LAUX (2007, S. 373) wird die Konstruktion von Entscheidungsmodellen als Vorentscheidungsproblem untersucht. Im Vordergrund steht dabei die Diskussion der Möglichkeiten und Konsequenzen von Modellvereinfachungen. Zugleich werden Grenzen der Anwendung des entscheidungstheoretischen Instrumentariums im Hinblick auf die Lösung des Vorentscheidungsproblems verdeutlicht. Von Modellvereinfachung wird im Folgenden nicht nur dann gesprochen, wenn ein bereits konkret vorliegendes Modell nachträglich vereinfacht wird; eine Modellvereinfachung erfolgt in der Regel in der Weise, dass von vornherein darauf verzichtet wird, ein komplexeres Modell zu formulieren. Zur Vereinfachung bei der Unternehmensbewertung vgl. BALLWIESER (1990).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
27
Bei den folgenden Darstellungen in diesem Kapitel bleibt – wie oft auch in der Bewertungsliteratur – offen, wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zukünftigen Überschüsse des Bewertungsobjekts ermittelt werden. In den Kapiteln XIII, XIV und XV wird gezeigt, wie simultan mit dem Wert die optimalen Maßnahmen und Überschüsse für den Fall des Kaufs ermittelt werden können.
5.2
Abgrenzung von Leistungs-, Finanz- und neutralem Bereich
Bei der Analyse von Bewertungsproblemen kann es zweckmäßig sein, zwischen den Aktivitäten und Vermögenswerten des „Finanzbereichs“, des „Leistungsbereichs“ (des operativen Bereichs) und des „neutralen“ (oder des „nicht betriebsnotwendigen“) Bereichs eines Unternehmens zu unterscheiden. Solche Abgrenzungen werden auch in Literatur und Praxis vorgenommen. Jedoch sind sie nicht einheitlich. Welche Abgrenzungen zwischen diesen Bereichen sinnvoll sind (ob zum Beispiel der „neutrale“ Bereich überhaupt als eigenständiger Bereich definiert werden soll), hängt von der Problemstellung und den als sinnvoll angesehenen Lösungen ab. Der Leistungsbereich enthält alle Aktivitäten und Vermögenswerte, die dem eigentlichen „Sachziel“ des Unternehmens dienen. Auch diese Definition ist noch nicht eindeutig. Im Folgenden wird als „Sachziel“ die Produktion und der Absatz von Sachgütern und Dienstleistungen verstanden. Entsprechend enthält der positive oder negative Überschuss des Leistungsbereichs (der Free Operating Cashflow) zum Beispiel Einzahlungen aus dem Verkauf von Gütern und Leistungen und der Liquidation von Produktionsanlagen und Auszahlungen für Roh-, Hilfs- und Betriebsstoffe, Personal und für die Anschaffung von Investitionen; es handelt sich also um einen Netto Cashflow. Der Finanzbereich umfasst die Anlage und Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r sowie den Handel mit riskanten Wertpapieren. Der Überschuss des Finanzbereichs enthält neben direkten Ausgaben und Erlösen aus einem Handel mit riskanten Wertpapieren, Einzahlungen in Form von Dividenden und Zinsen, Einzahlungen aus einer Kreditaufnahme oder einer Reduktion eines zum Zinssatz r angelegten Betrages, Auszahlungen an Gläubiger in Form von Schuldtilgungen und Zinsen und Auszahlungen aus einer Anlage von Kapital zum Zinssatz r. Alle Maßnahmen und (Sach-)Vermögensgüter, die weder dem Leistungsbereich noch dem Finanzbereich zugerechnet werden, wie etwa Vermietung und Verpachtung, stillgelegte Produktionsanlagen oder nicht betrieblich genutzte Grundstücke zählen zum „neutralen“ Bereich. Wenn – wie in dieser Arbeit angenommen wird – keine Kassenhaltung erfolgt, wird die Summe aus den Überschüssen der drei Bereiche an die Anteilseigner ausgeschüttet. (Ist die Summe negativ, erfolgt eine Eigenkapitaleinlage.) Wenn der Finanzbereich nur Fremdkapitalaufnahme enthält und kein neutraler Bereich existiert, gilt für jede Periode: Die Ausschüttung ist gleich dem Überschuss des Leistungsbereichs abzüglich der Zinsen auf das Fremdkapital zu Beginn der Periode und der Tilgung von Schulden und zuzüglich einer Neuverschuldung. Wie gesagt, sind die Grenzen zwischen den drei Bereichen nicht a priori (ihrem „Wesen“ nach) eindeutig festgelegt, sondern problemabhängig. Für einen Finanzdienstleister
28
Kapitel I
kann gerade auch der Wertpapierhandel zum Leistungsbereich gehören. Im Rahmen der folgenden Darstellungen wird die Aufteilung vor allem unter dem Aspekt der Bewertung vorgenommen. Wie noch ersichtlich wird, kann bei unterschiedlichen Risikostrukturen der Überschüsse in den drei verschiedenen Bereichen die getrennte Bewertung und Addition der einzelnen Marktwerte wesentlich einfacher sein, als eine einheitliche Bewertung.
5.3
Zur Ermittlung eines Marktwertes15
5.3.1
Entity- und Equity-Ansatz als Konzepte der Unternehmensbewertung
Für die Ermittlung des Wertes eines Unternehmens zum Zeitpunkt 0 aus Sicht des Alleineigentümers oder der Gesellschafter bieten sich zwei Grund-Konzepte an, der Entity-Ansatz (oder Brutto-Ansatz) und der Equity-Ansatz (oder NettoAnsatz), eine Unterscheidung, die vor allem für den Mehrperioden-Fall von Bedeutung ist. Beim Entity-Ansatz wird der Marktwert M0 des Unternehmens nach Ausschüttung (zum Zeitpunkt 0) und Abzug des Fremdkapitals (der Marktwert des „Eigenkapitals“ oder der sogenannte „Shareholder value“) wie folgt ermittelt: (I.1)
Marktwert des Leistungsbereichs: Ermittelt als Marktwert der zukünftigen Überschüsse dieses Bereichs (MZÜL0)
M0 = +
Marktwert des Finanzbereichs ohne Fremdkapital: Zum risikolosen Zinssatz r angelegter Kapitalbetrag (AB0) zuzüglich des Marktwertes (Börsenwertes) eines zum Zeitpunkt 0 vorhandenen Bestandes an riskanten Wertpapieren
+
Marktwert des neutralen (des nicht betriebsnotwendigen) Sachvermögens
–
Fremdkapital (FK0).
AB0 und FK0 beziehen sich hier auf den Zeitpunkt 0 unmittelbar nach Realisation sämtlicher Zahlungsvorgänge im Unternehmen (auch der Ausschüttung und des Überschusses des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt 0). Da zukünftige Kapitalmarkttransaktionen im Unternehmen (Anlage oder Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r, Handel mit riskanten Wertpapieren) keinen Einfluss auf M0 haben, werden sie im Entity-Ansatz nicht erfasst. Die Marktwertneutralität dieser Trans-
15
Vgl. zu dem Überblick im vorliegenden Abschnitt und in Abschnitt 5.4 die umfassenderen Darstellungen in BALLWIESER (2004); BORN (2003); BRAUN (2005); COPELAND/COLLER/SHASTRI (2008, S. 620-693); COENENBERG/SCHULTZE (2002); COPELAND/KOLLER/MURRIN (1993); DRUKARCZYK (2003); HACHMEISTER (2000); HOMMEL/BRAUN (2002; 2005); HERING (2006); LAUX (2006a, Kapitel XII); MANDL/RABEL (1997); MOXTER (1983); RAPPAPORT (1986); SIEBEN/SCHILDBACH (1979).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
29
aktionen resultiert daraus, dass die jeweils zu leistende Anschaffungsauszahlung mit dem Marktwert der Rückflüsse (Zinsen, Dividenden und Verkaufserlöse) übereinstimmt; der Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung ist jeweils gleich null. Beim Equity-Ansatz wird M0 direkt auf der Basis der zukünftigen Ausschüttungen des Unternehmens ermittelt. In der Praxis sind zwar beide Ansätze verbreitet, jedoch wird bei der Ermittlung des Marktwertes M0 der Entity-Ansatz gegenüber dem Equity-Ansatz vorgezogen. Dies kann u.a. damit erklärt werden, dass bei der Bewertung von Voraussetzungen ausgegangen wird, unter denen der Risikostruktur der Überschüsse des Leistungsbereichs einfacher Rechnung getragen werden kann als der der Ausschüttungen, die bei gegebener Risikostruktur der Überschüsse des Leistungsbereichs von den grundsätzlich hiervon abweichenden Risikostrukturen des Finanzbereichs und des neutralen Bereichs (der Ausschüttungspolitik) des Unternehmens abhängt (Kapitel XIV).
5.3.2
Bewertung nach dem Entity-Ansatz
5.3.2.1 Marktwert des Leistungsbereichs als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles Im Folgenden soll erläutert werden, wie der Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs ermittelt werden kann. Die Darstellungen gelten zwar analog für den neutralen Bereich. Jedoch kann der Marktwert des neutralen Bereichs häufig in einfacher Weise hinreichend genau geschätzt werden, etwa auf der Basis der Verkehrswerte von Grundstücken und Gebäuden, den Veräußerungswerten von stillgelegten Anlagen oder von korrigierten Buchwerten. Wenn die zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs durch Portefeuillebildung dupliziert werden können, kann (wenn vom Planungsaufwand abgesehen wird) deren Marktwert als Marktwert des Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Das Duplikationsportefeuille ist ein (statisches oder dynamisches) Portefeuille aus Wertpapieren, das in Zukunft dieselben Überschüsse aufweist wie der Leistungsbereich. Dabei resultieren die Überschüsse des Portefeuilles aus Einzahlungen in Form von Zinsen, Dividenden und Verkaufserlösen von Wertpapieren und (im Mehrperioden-Fall auch) aus zukünftigen Auszahlungen für den Kauf von Wertpapieren. In Kapitel IV, Abschnitt 3.2.2, wird gezeigt, wie für den Einperioden-Fall ein Duplikationsportefeuille ermittelt werden kann (statische Duplikation). In Kapitel XIV, Abschnitt 2, werden die Darstellungen auf den Mehrperioden-Fall erweitert (dynamische Duplikation).
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Kapitel I
Der Rückgriff auf den Marktwert des Duplikationsportefeuilles impliziert, dass die Marktbewertung des Leistungsbereichs nach den gleichen Prinzipien erfolgt wie Bewertung von Wertpapieren oder Portefeuilles von Wertpapieren.16 Damit die Duplizierbarkeit der Überschüsse in jedem Fall gelingt, muss der Kapitalmarkt „vollständig“ sein. Je nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung bezüglich der Überschüsse kann jedoch auch bei unvollständigem Kapitalmarkt die Bedingung der Duplizierbarkeit für die Überschüsse des Leistungsbereichs erfüllt sein. Die Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles kann vor allem im Mehrperioden-Fall einen hohen Aufwand verursachen. Eventuell kann die Bewertung vereinfacht werden, indem man auf den bekannten Marktwert einer realen „Vergleichsinvestition“ (eines „Vergleichsunternehmens“) zurückgreift. 5.3.2.2 Bewertung auf der Basis einer „Vergleichsinvestition“ Angenommen, es sei eine Vergleichsinvestition mit der folgenden Eigenschaft gegeben: Für jeden Umweltzustand ist der Überschuss des Leistungsbereichs des zu bewertenden Unternehmens das x-fache des Überschusses der Vergleichsinvestition (x > 0). Es gilt dann die Gleichung: Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs = x · Marktwert der Vergleichsinvestition. Man könnte den Marktwert des Leistungsbereichs auch ermitteln, indem man denjenigen (internen) Zinssatz bestimmt, bei dem der Barwert der Erwartungswerte der Überschüsse der Vergleichsinvestition mit deren (bekanntem) Marktwert übereinstimmt, und mit diesem Zinssatz die erwarteten Überschüsse des Leistungsbereichs des zu bewertenden Unternehmens diskontiert. Jedoch ist dieses Bewertungskonzept zu umständlich; der Marktwert des Leistungsbereichs ist einfach das x-fache des Marktwertes der Vergleichsinvestition. Da eine einheitliche proportionale Beziehung zwischen den Überschüssen des Leistungsbereichs und der Vergleichsinvestition besteht, fallen beide in die gleiche „Risikoklasse“ mit einheitlichen Bewertungsprinzipien. Jedoch wird eine solche Vergleichsinvestition, die in diesem strengen Sinn in die gleiche Risikoklasse fällt, allenfalls „näherungsweise“ existieren. Jedoch ist möglicherweise eine Vergleichsinvestition bekannt, die zwar nicht streng in die gleiche Risikoklasse fällt wie der Leistungsbereich, jedoch nur Abweichungen relevant sind, für die gilt: Der Markt zinst wie bei streng gleicher Risikoklasse die Überschüsse des Leistungsbereichs mit demselben risikoangepassten Zinssatz ab wie die Überschüsse der Vergleichsinvestition (Kapitel XIV, Abschnitte 6 und 7). Der risikoangepasste Zinssatz der Vergleichsinvestition ergibt sich als interner Zinsfuß der Investition „Kauf der Vergleichsinvestition“ zu ihrem (bekannten) Marktwert. Der interne Zinsfuß ist derjenige Zinssatz, bei dem der Barwert der Erwartungswerte der zukünftigen Überschüsse der Vergleichsinvestition mit ihrem Marktwert übereinstimmt. Der Investor muss diese Erwartungswerte kennen, da er sonst nicht beurteilen kann, ob der „Markt“ hohe Erwartungswerte mit einem hohen risikoangepassten Zinssatz diskontiert oder niedrige Erwartungswerte mit einem niedrigen; der bewertungsrelevante risikoangepasste Zinssatz könnte nicht eindeutig aus der Marktbewertung des Vergleichsunternehmens hergeleitet werden. 16
Der Kapitalmarkt muss „arbitragefrei“ sein (Kapitel IV, Abschnitt 3).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
31
Wenn keine geeignete reale Vergleichsinvestition bekannt ist und auch die Duplikation durch Portefeuillebildung nicht möglich ist oder einen prohibitiv hohen Aufwand verursacht, benötigt man ein Modell, das die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt eigenständig erklärt und nicht gesuchte Marktwerte aus bekannten Marktwerten herleitet. 5.3.2.3 Discounted Cashflow-Methode (Risikozuschlags-Methode) Beim Discounted Cashflow-Verfahren (DCF-Verfahren) werden die Erwartungswerte der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs mit einem kapitalmarktorientierten risikoangepassten Kalkulationszinsfuß diskontiert (Kapitel IV, Abschnitt 5.4, Kapitel VI, Abschnitt 3.1.2, Kapitel XIV, Abschnitte 5.3, 6 und 7). Er wird i.d.R. in der Weise ermittelt, dass auf der Basis kapitalmarkttheoretischer Überlegungen der risikolose Zinssatz r, der sogenannte Basiszins, um einen Zuschlag bzw. Abschlag (oder um periodenabhängige Zuschläge bzw. Abschläge) korrigiert wird. Da für die Bewertung i.d.R. Zuschläge maßgeblich sind, spricht man auch von Risikozuschlags-Methode. In der Praxis wird im Allgemeinen der risikoangepasste Zinssatz aus dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) hergeleitet (Kapitel IV, VI, VII und XIV). Das CAPM ist ein einperiodiges Modell zur Erklärung der Gleichgewichtspreise riskanter Wertpapiere (Kapitel IV, Abschnitt 5).17 Es beruht unter anderem auf der Annahme, dass alle Investoren auf dem Kapitalmarkt homogene Erwartungen über die Preise dieser Papiere am Ende der Periode (einschließlich Zinsen und Dividenden) haben, sich am (ȝ,ı)-Prinzip (Kapitel II, Abschnitt 2.3.2) orientieren und risikoavers sind. Alle Investoren halten im Gleichgewicht des CAPM einen Anteil am „Marktportefeuille“ das alle riskanten Wertpapiere umfasst. Die („ideal“ gehedgten) Portefeuilles der Anteilseigner unterscheiden sich nicht in ihrer Struktur, sondern allenfalls in ihrem Umfang; je geringer die Risikoaversion eines Investors im Vergleich zu den Risikoaversionen der anderen Investoren ist, desto größer ist sein Anteil am Marktportefeuille. 5.3.2.4 Sicherheitsäquivalent-Methode (Risikoabschlags-Methode) Bei der Sicherheitsäquivalent-Methode werden die Sicherheitsäquivalente der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert (Kapitel IV, Abschnitt 5.3, Kapitel VI, Abschnitt 3.1.1, Kapitel XIV, Abschnitt 5.2). Das Sicherheitsäquivalent eines ungewissen Überschusses ist derjenige sichere Überschuss, der dem ungewissen gleichwertig ist, d.h. hier denselben Marktwert aufweist. Die Sicherheitsäquivalent-Methode wird in der Praxis 17
Zu den restriktiven Bedingung, unter denen der aus dem einperiodigen CAPM hergeleitete risikoangepasste Zinssatz für die Bewertung im Mehrperioden-Fall geeignet ist, vgl. Kapitel XIV, Abschnitte 6 und 7.
32
Kapitel I
vorwiegend bei der Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise (sogenannter „Ertragswerte“) angewendet, während für die Ermittlung von Marktwerten die Risikozuschlags-Methode vorgezogen wird. Im Allgemeinen wird davon ausgegangen, dass die Sicherheitsäquivalente kleiner als die Erwartungswerte der Überschüsse sind, so dass von den Erwartungswerten „Risikoabschläge“ vorgenommen werden müssen, um die Sicherheitsäquivalente zu erhalten. Daher wird die Sicherheitsäquivalent-Methode auch als Risikoabschlags-Methode bezeichnet. Die Risikoabschläge werden als geforderte Risikoprämien bezeichnet. In der traditionellen Bewertungsliteratur wird angenommen, die Sicherheitsäquivalente für verschiedene Zeitpunkte könnten unabhängig voneinander und unabhängig vom Kaufpreis (oder Verkaufserlös) ermittelt werden. Diese Annahme kann zwar bei der Ermittlung von Marktsicherheitsäquivalenten (von Marktwerten) gerechtfertigt sein (Kapitel XIV, Abschnitt 5.2). Bezüglich der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises ist sie jedoch nur bei speziellen Klassen von Nutzenfunktionen für Überschüsse erfüllt (Kapitel II, Abschnitt 5.8 und Kapitel XV, Abschnitt, 3.1.2). In den nachfolgenden Kapiteln wird untersucht, wie individuelle subjektive Sicherheitsäquivalente und Marktsicherheitsäquivalente ermittelt werden können und wie sie von ihren Determinanten abhängen. Dabei wird sich zeigen, dass auch bei Risikoaversion die Sicherheitsäquivalente nicht ohne weiteres kleiner sind als die Erwartungswerte. Die Sicherheitsäquivalente hängen nicht nur von der Stochastik der zu bewertenden Überschüsse ab, sondern auch von den Überschüssen, die zusätzlich erzielt werden. Ihr Einfluss auf die Sicherheitsäquivalente kann sehr unterschiedlich sein, je nachdem, ob die Bewertung für ein börsennotiertes Unternehmen erfolgt, dessen Anteilseigner breit gestreute Wertpapierportefeuilles halten und in relativ geringem Maße an den Überschüssen des Bewertungsobjekts beteiligt sind, oder für einen individuellen Investor, der die Überschüsse nicht direkt mit anderen teilt und sie weniger gut hedgen kann. Obwohl in der Praxis bei der Ermittlung von Marktwerten die Risikozuschlags-Methode der Sicherheitsäquivalent-Methode vorgezogen wird, hat auch die Bewertung auf Basis von Marktsicherheitsäquivalenten große theoretische und praktische Bedeutung. Zum einen kann sie einen wesentlich geringeren Planungsaufwand verursachen als die korrekte Anwendung der Risikozuschlags-Methode. Zum anderen kann sie als Grundlage zur Analyse von Anwendungsvoraussetzungen der Risikozuschlags-Methode für die Marktbewertung dienen (Kapitel VI, VII und XIV). In der vorliegenden Arbeit findet die Sicherheitsäquivalent-Methode auch deshalb besondere Beachtung, weil der Vergleich von Marktsicherheitsäquivalenten und individuellen subjektiven Sicherheitsäquivalenten eine anschauliche Analyse von Abweichungen zwischen Marktwerten und individuellen subjektiven Grenzpreisen von Bewertungsobjekten ermöglicht.18 18
Natürlich existieren in jeder Entscheidungssituation Beträge für die „Sicherheitsäquivalente“ und die „risikoangepassten Zinssätze“, bei denen aus beiden Methoden derselbe „Wert“ resultiert. Das gilt nicht nur für die Marktbewertung, sondern auch für die individuelle subjektive Bewertung. Jedoch ist zu bedenken, dass die Methoden Regeln für die Ermittlung der Sicherheitsäquivalente bzw. der Zinssätze enthalten. Bei deren beliebiger Ermittlung – um „Wertäquivalenz“ zu erhalten – bliebe von bei-
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
5.3.3
33
Bewertung nach dem Equity-Ansatz
Wie erläutert, wird beim Equity-Ansatz der Marktwert der Aktien (der Marktwert des Eigenkapitals) direkt auf Basis der zukünftigen Ausschüttungen des Unternehmens ermittelt. Dabei sind im Prinzip die gleichen Bewertungskonzepte maßgeblich wie für die Überschüsse des Leistungsbereichs. Bei Duplizierbarkeit der zukünftigen Ausschüttungen kann im Prinzip der Marktwert der Aktien als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles ermittelt werden, das in jedem zukünftigen Umweltzustand einen Überschuss in Höhe der Ausschüttung bietet. Die Bildung eines Duplikationsportefeuilles für zukünftige Ausschüttungen erfordert allerdings Informationen über die Ausschüttungspolitik des Unternehmens, die im Grunde überflüssig sind. Da (ohne Steuern) die Ausschüttungspolitik (die Änderung der Ausschüttungen durch Anlage und Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz und/oder durch Handel mit riskanten Wertpapieren) keinen Einfluss auf den Marktwert des Eigenkapitals hat, ist die Bewertung einfacher, wenn das Duplikationsportefeuille für die Überschüsse des Leistungsbereichs gebildet wird und der entsprechende Marktwert gemäß Formel (I.1) korrigiert wird, also der Entity-Ansatz zugrunde gelegt wird. Auch die Bewertung auf Basis der Sicherheitsäquivalent- oder der Risikozuschlagsmethode dürfte einfacher sein, wenn man von den Überschüssen des Leistungsbereichs ausgeht und nicht explizit die Ausschüttungen zugrunde legt. Zur näheren Erläuterung dient die Risikozuschlagsmethode. Bei Zugrundelegung des Equity-Ansatzes wird im Allgemeinen analog zur Ermittlung des Marktwertes der Überschüsse des Leistungsbereichs beim Entity-Ansatz vereinfacht, indem die Erwartungswerte der Ausschüttungen mit einem periodeneinheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß, dem Eigenkapitalkostensatz bzw. der „Renditeforderung“ der Anteilseigner, diskontiert werden, wobei dieser Kapitalkostensatz aus dem einperiodigen CAPM hergeleitet wird. Während jedoch der für den Marktwert des Leistungsbereichs maßgebliche Zinssatz unabhängig davon ist, welche Maßnahmen im Finanzbereich und im neutralen Bereich durchgeführt werden, ist die Risikostruktur der Ausschüttungen und mithin auch der risikoangepasste Eigenkapitalkostensatz von diesen Maßnahmen abhängig; alle drei Bereiche müssen beim Equity-Ansatz als Einheit betrachtet werden. Die (vereinfachende) Annahme einer gegebenen Risikoklasse mit gegebenem risikoangepasstem Kalkulationszinsfuß ist für die Ausschüttungen wesentlich problematischer als für die Überschüsse des Leistungsbereichs. Der für die Diskontierung der erwarteten Ausschüttungen maßgebliche Zinssatz kann sich schon dann ändern, wenn c.p. der Ausschüttungsstrom durch Verschuldung oder Anlage von Kapital zum Zinssatz r um sichere Beträge verändert wird. Er kann sich bei gegebenen Risiken im Leistungsbereich und den Methoden nur noch der Name übrig. Abgesehen davon bliebe offen, ob der ermittelte einheitliche Wert überhaupt „korrekt“ ist.
34
Kapitel I
im neutralen Bereich in noch stärkerem Maße ändern, wenn der Ausschüttungsstrom durch (zusätzliche) riskante Finanztransaktionen in eine andere Risikoklasse transformiert wird (Kapitel XIV, Abschnitt 7.4). Wie jedoch z.B. in LAUX (2006a, S. 420 ff.) gezeigt wird, kann die Bewertung in relativ einfacher Weise vorgenommen werden, indem ein bestimmter fiktiver stochastischer Auszahlungsstrom zugrunde gelegt wird, der zwar grundsätzlich nicht mit dem realen übereinstimmt, damit jedoch wertäquivalent ist.
5.3.4
Reale vs. virtuelle (oder intrinsische) Marktwerte
Wenn zwischen dem Entscheidungsträger in einem börsennotierten Unternehmen und den Anteilseignern keine Informationsasymmetrie besteht, gilt: Wenn der Entscheidungsträger den Überschüssen eines Bewertungsobjekts gemäß den relevanten Bewertungsfunktionen einen Marktwert zuordnet, der höher ist als der Preis, steigt bei Kauf entsprechend der Marktwert der Aktien des Unternehmens, sofern der Kauf nicht schon vorher in diesem Marktwert antizipiert worden ist. Marktwertmaximierung bedeutet dann „reale“ Marktwertmaximierung (Maximierung des Börsenwertes bzw. der „Börsenkapitalisierung“). Wenn Informationsasymmetrien zwischen dem Entscheidungsträger und den Anteilseignern bestehen, die zu heterogenen Erwartungen bezüglich der Unternehmensüberschüsse führen, ergibt sich bei Kauf des Bewertungsobjekts ein realer Marktwert der Aktien des Unternehmens, der sich von jenem virtuellen oder intrinsischen Marktwert unterscheidet, der sich herausbilden würde, wenn die Anteilseigner die (überlegenen) Informationen des Entscheidungsträgers hätten. Es stellt sich dann das Problem, ob der reale oder der virtuelle Markwert maximiert werden soll. Dieses Problem löst sich auf, wenn der Entscheidungsträger die Informationsasymmetrie beseitigt, indem er die Anteilseigner entsprechend informiert. Die „einfachste“ Form der Information besteht darin, dass er darüber berichtet, welche zukünftigen Überschüsse in unterschiedlichen Umweltentwicklungen seinem Informationsstand entsprechen. Wenn jedoch die Anteilseigner den übermittelten Schätzwerten misstrauen, kann die Informationsasymmetrie nur dadurch erheblich reduziert werden, dass überprüfbare Informationen gegeben werden, etwa über zukünftige Produktarten und Produktmengen, bisher erzielte Erlöse und dergleichen mehr. Solche Informationen können jedoch prohibitiv hohe Kosten verursachen. Hinzu kommt, dass sie Verhaltensreaktionen bei Wettbewerbern auslösen können, bei denen die zunächst erwarteten Überschüsse nicht oder nur zum Teil erzielt werden. Bei Informationsasymmetrie führt reale Marktwertmaximierung im Allgemeinen zu anderen Projektentscheidungen als virtuelle. Befindet sich jedoch der Markt in einem Gleichgewicht, kann der Entscheidungsträger näherungsweise den Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners maximieren, indem er denjenigen virtuellen Marktwert maximiert, der seinem persönlichen Informationsstand entspricht. Wie in Kapitel VI für das CAPM gezeigt wird, haben homogene (öffentliche) Informationen keinen Einfluss auf die Nut-
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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zenerwartungswerte der Anteilseigner. Informationen beeinflussen zwar im Allgemeinen die Marktwerte von riskanten Wertpapieren, nicht jedoch die individuellen Anteile am Marktportefeuille. Befindet sich jedoch der Kapitalmarkt in einem Übergang in ein neues Gleichgewicht, gewinnen – wie in Kapitel VI, Abschnitt 4.4, gezeigt wird – reale Marktwerte an Bedeutung, weil hiervon der Preis (bzw. Verkaufserlös) abhängt, der bei einer Erhöhung (Reduktion) des Anteils am Marktportefeuille zu zahlen ist (bzw. erzielt wird). Beim Vergleich des individuellen subjektiven Grenzpreises mit dem Marktwert eines Bewertungsobjekts wird in dieser Arbeit stets der virtuelle Marktwert zugrunde gelegt. Beide Werte werden auf der Basis der subjektiven Erwartungen des Investors über den erzielbaren Überschuss bzw. (im Mehrperioden-Fall) die Überschüsse des Bewertungsobjekts analysiert. Dabei kann es durchaus geboten sein, die Erwartungen anderer im eigenen Bewertungskalkül zu erfassen bzw. zu antizipieren. Angenommen bei potenziellem Kauf eines Unternehmens werde erwogen, dieses nach einer Periode (in bestimmten Umweltzuständen) an die Börse zu bringen. Bei der Prognose des potenziellen Verkaufserlöses muss dann antizipiert werden, wie der „Markt“ die Ertragschancen des Unternehmens einschätzen könnte. Anhaltspunkte mögen hierbei in der Vergangenheit realisierte Marktwerte für „vergleichbare“ Unternehmen bieten. Wenn der Investor erkennt, dass bei diesen Unternehmen ein geringer Markterlös erzielt wurde, wird er dem erwogenen Unternehmen einen geringen potenziellen Verkaufserlös und somit einen geringen virtuellen Marktwert und nach dessen Wertkorrektur auch einen geringen subjektiven Grenzpreis beimessen.
5.4
Zur Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises
5.4.1
Vergleich mit Marktbewertung
Wie in Abschnitt 6.1 gezeigt wird, ist ohne Rücksicht auf die Risikoeinstellung des Investors der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem virtuellen Marktwert des Bewertungsobjekts, sofern seine Überschüsse vollständig duplizierbar sind und das Duplikationsportefeuille (ohne Transaktionskosten) unbeschränkt (leer-)verkauft werden kann. Die Darstellungen in Abschnitt 5.3 gelten unter diesen Bedingungen auch für den individuellen subjektiven Grenzpreis. Jedoch sind diese Bedingungen (vor allem bei größeren Bewertungsobjekten) grundsätzlich nicht erfüllt. Wenn der Marktwert als individueller subjektiver Grenzpreis nicht in Betracht kommt, benötigt man ein Bewertungskonzept, das den Präferenzen des Investors explizit Rechnung trägt (LAUX, 1979c; KROMSCHRÖDER, 1979; WILHELM, 2005). In Theorie und Praxis sind auch für die Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise Diskontierungsmodelle weit verbreitet. Dabei können wiederum die Sicherheitsäquivalente der zukünftigen Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz oder die Erwartungswerte dieser Überschüsse mit einem risikoangepassten Zinssatz diskontiert werden. Wenn der neutrale Bereich eines Unternehmens als Bewertungsobjekt nur aus Vermögensgegenständen besteht, die einen sicheren Überschuss bieten (z.B. weil sie nach Kauf des Unternehmens zu bekannten Preisen verkauft werden) kann die subjektive
36
Kapitel I
Bewertung wie folgt nach dem Entity-Ansatz ermittelt werden: Es wird der subjektive Grenzpreis für den Leistungsbereich ermittelt, das Vermögen des neutralen Bereichs als Barwert seiner Überschüsse beim risikolosen Zinssatz r und der Marktwert des Finanzbereichs hinzuaddiert und die Verbindlichkeiten subtrahiert. Falls im neutralen Bereich in Zukunft riskante Überschüsse erzielt werden und es nicht vorteilhaft ist, die betreffenden Vermögenswerte direkt zu verkaufen, ist der Entity-Ansatz als Basis der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises problematisch. Wenn Risikoverbund und/oder Bewertungsverbund zwischen den Überschüssen des Leistungsbereichs und des neutralen Bereichs bestehen, lassen sich beide Bereiche nicht unabhängig voneinander (und auch nicht unabhängig von den optimalen Kapitalmarkttransaktionen) bewerten. Es ist dann naheliegend, eine Simultanbetrachtung der zukünftigen Ausschüttungen bzw. Entnahmen des Investors gemäß dem Equity-Ansatz vorzunehmen. Auch in der Praxis wird bei subjektiver Unternehmensbewertung der Equity-Ansatz vorgezogen. Beim Ertragswertverfahren werden die Sicherheitsäquivalente der zukünftigen Entnahmen bzw. der risikoangepasste Kalkulationszinsfuß nach subjektivem Ermessen des Investors festgelegt.19 Oft wird empfohlen, einen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß nicht nach freiem Ermessen festzulegen (nicht frei zu „greifen“), sondern ihn in Anlehnung an die Rendite der durch den Kauf des Bewertungsobjekts subjektiv besten „verdrängten“ Alternativinvestition zu ermitteln. Oft wird es auch als sinnvoll angesehen, den risikoangepassten Kalkulationszinsfuß wie beim DCF-Verfahren in Anlehnung an das CAPM zu ermitteln. Wie jedoch in Abschnitt 8 gezeigt wird, ist sowohl die Orientierung an der besten „verdrängten“ Alternativrendite als auch die Orientierung an den Bewertungsfunktionen des CAPM problematisch.20 Insbesondere wird nicht berücksichtigt, dass der individuelle subjektive Grenzpreis davon abhängt, wie man das aus den Überschüssen des Bewertungsobjekts resultierende Risiko durch Portefeuillebildung und eventuell auch mit Realinvestitionen optimal privat hedgen kann. Bei Orientierung an der besten „verdrängten“ Vergleichsinvestition werden Risiken im Umfeld des Bewertungsobjekts (Hedgemaßnahmen durch Portefeuillebildung) überhaupt nicht berücksichtigt. Bei Zugrundelegung des risikoangepassten Zinssatzes gemäß dem CAPM wird unterstellt, dass der Investor einen marginalen Anteil an den Unternehmen (dem Bewertungsobjekt) hält – oder dass es selbst nur marginal ist – und zudem das Risiko durch Portefeuillebildung ideal gehedgt hat. In der traditionellen Bewertungsliteratur wird bei der Sicherheitsäquivalent-Methode als Basis individueller subjektiver Bewertung davon ausgegangen, das Sicherheitsäquivalent eines Überschusses (einer Entnahme) lasse sich unabhängig von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen der anderen Überschüsse des Bewertungsobjekts ermitteln, was jedoch nur bei speziellen Nutzenfunktionen für die Überschüsse zulässig ist (Kapitel XV, Abschnitte 2 und 3). Außerdem wird angenommen, der Investor könne die aus den Überschüssen des Bewertungsobjekts resultierenden Risiken weder durch Portefeuillebildung noch durch Realinvestitionen hedgen. Er erzielt letztlich im Umfeld des Bewer19
20
Zum Vergleich der Ertragswertmethode mit dem DCF-Verfahren vgl. den Überblick in HOMMEL/ BRAUN (2002, S. 278 f.) mit weiteren Nachweisen. Zur Problematik der Bewertung auf der Basis einer Vergleichsinvestition vgl. Kapitel XIV, Abschnitt 8.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
37
tungsobjekts keine riskanten Überschüsse, denen bei der Ermittlung der Sicherheitsäquivalente Rechnung zu tragen wäre.
5.4.2
Zirkularitätsproblem bei der Bewertung und Reichtumseffekt
Wie erläutert, sind die Überschüsse eines Bewertungsobjekts grundsätzlich nicht exogen vorgegeben, sondern von den Maßnahmen abhängig, die der Investor ergreift; die Bewertung erfordert eine Planung der optimalen Maßnahmen. Bei Marktbewertung sind diese Maßnahmen unabhängig von dem für das Bewertungsobjekt gezahlten Preis; es besteht kein „Reichtumseffekt“. Dieser besteht jedoch grundsätzlich bei individueller subjektiver Nutzenmaximierung. Welche risikobehafteten Maßnahmen bei Kauf eines Bewertungsobjekts optimal sind, hängt dann vom sicheren Vermögen des Investors ab. Dieses Vermögen wird aber um die für das Bewertungsobjekt gezahlte Anschaffungsauszahlung reduziert, so dass folgendes „Zirkularitätsproblem“ besteht: Bei der Bewertung sind die zukünftigen Maßnahmen zu antizipieren, die aber vom gezahlten Preis abhängen, dessen kritische Obergrenze (der individuelle subjektive Grenzpreis) gerade gesucht wird. Folglich kann der individuelle subjektive Grenzpreis nur im Rahmen eines Simultankalküls ermittelt werden, mit dem zugleich das optimale Aktionsprogramm für den Fall des Kaufs zu dem endogen bestimmten Grenzpreis ermittelt wird (LAUX, 1971c sowie Kapitel XI, XII, XIII und XV in der vorliegenden Arbeit). Ist der ausgehandelte Preis niedriger als der Grenzpreis, wird (bei Reichtumseffekt) das für den ausgehandelten Preis maßgebliche optimale Programm realisiert. Die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Investition bei gegebenem Preis ist grundsätzlich einfacher als die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises. Es sei daran erinnert, dass diese Obergrenze grundsätzlich nur benötigt wird, wenn der Preis Gegenstand einer Verhandlung mit dem potenziellen Verkäufer ist.
6
Individuelle subjektive Bewertung unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen
6.1
Vollständige Duplizierbarkeit
6.1.1
Unbeschränkte Leerverkäufe
Im Folgenden werden Probleme der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen erläutert. Dabei nehmen wir – wie generell in dieser Arbeit – an, der individuelle Investor habe als Akteur auf dem Kapitalmarkt keinen (wahrnehmbaren) Einfluss auf die Wertpapierpreise. Außerdem gehen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit davon aus, das Bewertungsobjekt habe eine einperiodige Nutzungsdauer. Zunächst betrachten wir den Fall, dass der Überschuss des Bewertungsobjekts am Ende der Periode durch Portefeuillebildung duplizierbar und der Kapitalmarkt „vollkommen“ ist. Die Bedingung der Duplizierbarkeit ist im „vollständigen“ Kapitalmarkt stets erfüllt, sie kann aber auch bei Unvollständigkeit des Kapitalmarktes erfüllt sein
38
Kapitel I
(Kapitel IV, Abschnitt 3.2.2, und Kapitel XIV, Abschnitte 3.2.1 und 3.2.2). Eine Eigenschaft des vollkommenen Kapitalmarktes besteht darin, dass unbeschränkt (und ohne Transaktionskosten) Leerverkäufe von Wertpapieren vorgenommen werden können (Kapitel IV, Abschnitt 2.1). Bei Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles kann die Bewertung ohne Rücksicht auf die sonstigen Kapitalverwendungsmöglichkeiten und die Präferenzen des Investors vorgenommen werden. Der individuelle subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts ist hier gleich dem Marktwert seines Duplikationsportefeuilles (Kapitel IV, Abschnitt 3.2 und Kapitel XI, Abschnitt 3). Der Kauf des Bewertungsobjekts bietet dann kein erwünschtes Risiko, das der Investor nicht durch Kauf von Wertpapieren realisieren kann, und kein unerwünschtes Risiko, dessen er sich nicht durch Leerverkauf von Papieren entledigen kann. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt kauft, kann er dessen Überschüsse neutralisieren (perfekt hedgen), indem er das Duplikationsportefeuille leerverkauft.21 Am Ende der Periode wird dann mit dem Überschuss das leerverkaufte Duplikationsportefeuille erworben und an den Käufer geliefert. Dabei erzielt der Investor zu Beginn der Periode einen Überschuss in Höhe des Marktwertes des Duplikationsportefeuilles abzüglich der Anschaffungsauszahlung (Preis) für das Bewertungsobjekt. Er erzielt einen Nutzenzuwachs, wenn dieser Marktwert größer ist als der Preis; der Kauf dominiert dann den Nichtkauf. Von Bedeutung ist in diesem Zusammenhang, dass der Kauf des Bewertungsobjekts vollständig aus dem Verkaufserlös für das Duplikationsportefeuille finanziert werden kann; falls der Kauf vorteilhaft ist, ist er bei unbeschränkter Duplizierbarkeit auch finanzierbar. Den Marktwert des Duplikationsportefeuilles bezeichnen wir auch als Marktwert des Bewertungsobjekts. Es handelt sich (wie beim Marktwert im Fall A) um einen virtuellen Marktwert aus Sicht des Investors. Er bildet das Duplikationsportefeuille auf der Basis seiner Erwartungen. Ein anderer Investor mit anderen Erwartungen (aufgrund anderer Informationen und/oder anderer Schlussfolgerungen) mag einen anderen virtuellen Marktwert bzw. Grenzpreis ermitteln. (Er kann auch deshalb zu einem anderen Marktwert kommen, weil er andere Maßnahmen durchführen würde.) Der virtuelle Marktwert des Bewertungsobjekts aus Sicht des Investors ist ein realer Marktwert des Duplikationsportefeuilles und nur in Ausnahmefällen ein „realer“ Marktwert des Bewertungsobjekts. Würde der Investor das Bewertungsobjekt (etwa ein 21
Es ist zu beachten, dass Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles nicht bedeutet, dass für jedes Papier im Duplikationsportefeuille ein Leerverkauf erfolgt. Es ist möglich, dass im Duplikationsportefeuille von einzelnen Papieren negative Bestände enthalten sind (Kapitel IX, Abschnitt 3.1). „Leerverkauf“ des Duplikationsportefeuilles bedeutet dann, dass die betreffenden Papiere gekauft werden. Hinzu kommt, dass auch Papiere mit positivem Bestand im Duplikationsportefeuille nicht unbedingt leerverkauft werden müssen. Wenn sie in dem ohne das Bewertungsobjekt optimalen Portefeuille des Investors enthalten sind, kann er sie herausnehmen und verkaufen bzw. sie gar nicht erst erwerben.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
39
Unternehmen) an die Börse bringen, könnte er aufgrund von Informationsasymmetrien einen wesentlich niedrigeren Erlös erzielen. Für den Investor ist es somit nicht ohne weiteres optimal, bei einem Preis, der kleiner ist als der virtuelle Marktwert, ein Unternehmen zu kaufen, um es an die Börse zu bringen. Bei der Bewertung muss der Investor noch nicht wissen, wie er den Überschuss zu Beginn der Periode anlegt, wenn er das Bewertungsobjekt zu einem Preis erwirbt, der niedriger ist als der Marktwert. Es können generell auch die stochastischen Abhängigkeiten zwischen dem Überschuss des Bewertungsobjekts und anderen Überschüssen des Investors (etwa aus bereits realisierten Investitionsprojekten) vernachlässigt werden (Separierbarkeit und präferenzfreie Bewertung). Sie werden erst dann bewertungsrelevant, wenn das Duplikationsportefeuille nicht unbeschränkt leerverkauft werden kann oder gar kein Duplikationsportefeuille existiert. Die Fähigkeit, sämtliche Investitionen eines Unternehmens oder eines individuellen Investors zu duplizieren, wird als „Spanning“-Bedingung bezeichnet (vgl. hierzu Kapitel V, Abschnitt 2.3). Sie ist im „vollständigen Kapitalmarkt“ zwingend erfüllt; es besteht universelle Duplizierbarkeit. Ist die Klasse möglicher Investitionsprojekte des Investors beschränkt, kann sie auch bei unvollständigem Kapitalmarkt erfüllt sein.
6.1.2
Beschränkter Leerverkauf
Ist der Überschuss zwar duplizierbar, jedoch der Kapitalmarkt in dem Sinne unvollkommen, dass allenfalls ein Teil der Papiere des Duplikationsportefeuilles leerverkauft werden kann (oder die Transaktionskosten von Leerverkäufen prohibitiv hoch sind)22, ist der subjektive Grenzpreis grundsätzlich kleiner als der Marktwert (Kapitel XI, XII und XV). Beide Werte sind ohne Leerverkaufsmöglichkeiten nur dann identisch, wenn das Duplikationsportefeuille eine Teilmenge desjenigen Portefeuilles ist, das für den Investor ohne Kauf des Bewertungsobjekts optimal ist. Bei dessen Kauf tritt dann an die Stelle des Endwertes des Duplikationsportefeuilles dessen Überschuss. Das Analoge gilt, wenn ein Teil der Überschusskomponenten leerverkauft werden kann und der nach Leerverkauf verbleibende Teil des Duplikationsportefeuilles (das „residuale“ Duplikationsportefeuille) Teilmenge desjenigen Portefeuilles ist, das für den Investor ohne das Bewertungsobjekt optimal ist: Bei dessen Kauf zum Marktwert wird der leerverkaufbare Teil des Duplikationsportefeuilles leerverkauft und das residuale Duplikationsportfolio aus dem optimalen Portefeuille herausgenommen und verkauft (oder erst gar nicht erworben). Für den Investor ergibt sich bei Kauf zum Marktwert weder ein Vorteil noch ein Nachteil. Ist der Preis niedriger als der Marktwert, erzielt er zum Zeitpunkt 0 einen Überschuss, wobei er seinen Erwartungsnutzen maximiert, indem er den Überschuss optimal anlegt (was auch heißen kann, dass er leerverkaufte Papiere zurückkauft oder gar nicht erst verkauft).
22
Zu Grenzen von Leerverkäufen vgl. Kapitel IV, Abschnitt 2.2, und Kapitel XI, Abschnitte 3.1 und 3.2.
40
Kapitel I
Wenn das residuale Duplikationsportefeuille für den Investor im Vergleich zu dem optimalen Portefeuille ohne das Bewertungsobjekt nachteilig ist, ist der subjektive Wert kleiner als der Marktwert; der Kauf des Bewertungsobjekts bürdet dem Investor ein nachteiliges Risiko auf, dessen er sich nicht durch Portefeuilleanpassungen entledigen kann. Je „umfangreicher“ das Duplikationsportefeuille (je „größer“ das Bewertungsobjekt), je geringer der leerverkaufbare Teil dieses Portefeuilles, je kleiner der „Umfang“ des optimalen Portefeuilles ohne das Bewertungsobjekt (je größer die Risikoaversion des Investors) ist, desto eher ist zu erwarten, dass der individuelle subjektive Wert niedriger ist als der Marktwert und desto größer ist tendenziell die Abweichung zwischen den beiden Werten (Kapitel XI). Da der virtuelle Marktwert wesentlich höher sein kann als der reale Marktwert, der als Erlös erzielt wird, wenn das Bewertungsobjekt an die Börse gebracht wird, kann der subjektive Grenzpreis trotzdem höher als der reale Marktwert sein. Der subjektive Grenzpreis kann wie folgt ermittelt werden, sofern der Investor bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts nur Wertpapiere hält (WILHELM, 2005): 1. Zunächst wird dasjenige Portefeuille bestimmt, das ohne das Bewertungsobjekt optimal ist. 2. Sodann wird derjenige Preis für das Bewertungsobjekt ermittelt, bei dem mit dem Bewertungsobjekt und dem entsprechenden optimalen Portefeuille derselbe Erwartungswert des Nutzens erzielt wird. Die Ermittlung des subjektiven Grenzpreises erfolgt hierbei im Rahmen eines subjektiven Nutzenkalküls, wobei die Aktionsmöglichkeiten im Kapitalmarkt explizit berücksichtigt werden. Der Modellanalyse von WILHELM liegt der Einperioden-Fall zugrunde. Ein analoges Bewertungskonzept für den Mehrperioden-Fall gemäß dem Konzept der flexiblen Planung wurde in LAUX (1971c) entwickelt, wobei davon ausgegangen wurde, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen. Das Konzept wird in den Kapiteln XIII, XIV und XV vertieft und erweitert. 1. Zunächst wird diejenige Investitionsstrategie ermittelt, die den Erwartungswert des Nutzens des Endvermögens – d.h. des Vermögens am Ende des Planungszeitraums – ohne das Unternehmen (ohne das Bewertungsobjekt) maximiert. Dabei werden nicht nur Kapitalmarkttransaktionen berücksichtigt, sondern vor allem auch Realinvestitionen. 2. Im zweiten Schritt wird der Preis für das Unternehmen unter der Nebenbedingung maximiert, dass der zuvor ermittelte maximale Nutzenerwartungswert nicht unterschritten wird; der betreffende Grenzpreis stellt den individuellen subjektiven Wert dar. Bei seiner Ermittlung wird simultan diejenige Investitionsstrategie in Verbindung mit optimaler dynamischer Portefeuillebildung bestimmt, die bei Kauf des Unternehmens optimal ist.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
6.2
41
Unvollständige Duplizierbarkeit
Wenn der Überschuss des Bewertungsobjekts nicht vollständig duplizierbar ist, sondern allenfalls ein Teil der darin enthaltenen Ein- und Auszahlungen, kann dessen Marktwert nicht als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles interpretiert werden. Zur Ermittlung des Marktwertes benötigt man dann ein Modell zur Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt, das keine Vollständigkeit voraussetzt. Ein solches Modell ist das CAPM, das in Literatur und Praxis wie auch in der vorliegenden Arbeit oft zugrunde gelegt wird. Bei unvollständiger (oder beschränkter) Duplizierbarkeit ist der subjektive Grenzpreis grundsätzlich selbst dann kleiner als der Marktwert gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM, wenn alle Papiere unbeschränkt leerverkauft werden können; das Risiko kann nicht perfekt gehedgt werden. Wie bei Kauf des Unternehmens das Risiko durch Portefeuillebildung reduziert werden kann und welche Kapitalmarkttransaktionen für den Investor optimal sind, hängt im EinperiodenFall u.a. von den Korrelationskoeffizienten zwischen den Endwerten der umlaufenden Wertpapiere und dem Überschuss des Bewertungsobjekts (oder einzelner Komponenten davon) sowie von der Risikoeinstellung des Investors ab. Der Einperioden-Fall wird in den Kapiteln XI und XII untersucht. In Kapitel XV werden die Darstellungen auf den Mehrperioden-Fall erweitert. Es wird sich zeigen, dass fehlende Duplizierbarkeit im Wesentlichen aus stochastisch unabhängigen Störtermen („Noise“) resultiert, die unsystematische Risiken induzieren. Die Störterme können sich zum einen auf den konkreten Überschuss (im Mehrperioden-Fall auf die Überschüsse) des Bewertungsobjekts beziehen, zum anderen auch allgemein auf die zukünftigen Wertpapierpreise. Die Störterme für zukünftige Kursentwicklungen werden vor allem durch beschränkte Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Investoren in Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen verursacht, die in gewissem Umfang nach dem Zufallsprinzip entscheiden. Die Störterme für die zukünftigen Wertpapierpreise mögen zwar im Rahmen gut gemischter Wertpapierportefeuilles nicht spürbar bzw. bewertungsrelevant sein. Wie gezeigt wird, können sie jedoch die Möglichkeit, den Überschuss eines Bewertungsobjekts individuell zu hedgen, entscheidend beeinträchtigen, mit der Folge, dass sein individueller subjektiver Grenzpreis weit unter dem Marktwert liegt. Das gilt vor allem dann, wenn die Varianzen der Störterme, die Risikoaversion des Investors sowie das Bewertungsobjekt groß sind und der Überschuss des Bewertungsobjekts gegenüber dem eines gut gemischten Portefeuille stark „strukturverzerrt“ ist. Der Einfluss von Störtermen für Wertpapierpreise auf individuelle subjektive Grenzpreise wird unseres Wissens in der Bewertungsliteratur nicht explizit untersucht. Nur Störterme (unsystematische Risiken) für die Überschüsse des Bewertungsobjekts werden als mögliche Ursachen für positive Abweichungen zwischen Marktwerten und subjektiven Werten angesprochen. Neben dem konkreten Einfluss dieser Störterme wird in
42
Kapitel I
der Arbeit auch der Einfluss von Störtermen für die Wertpapierpreise ausführlich untersucht.
6.3
Exkurs: Illiquide Finanzmärkte [*]
In der Arbeit wird davon ausgegangen, der Finanzmarkt sei in dem Sinne liquide, dass der Kauf bzw. Verkauf von Papieren (an der Börse) ohne Zeitverzögerung möglich ist; bei allen Papieren findet der Investor als Käufer direkt Anbieter und als Verkäufer direkt Nachfrager. In der Realität wird diese Bedingung vor allem für (spezielle) Papiere mit engem Markt nicht erfüllt sein, also für Papiere, die nicht als Standardwerte in großer Zahl im Umlauf sind. Je illiquider die Märkte für Papiere im Duplikationsportefeuille des Bewertungsobjekts sind, desto mehr werden die Hedgemöglichkeiten aufgrund zeitlicher Diskrepanzen beeinträchtigt und desto eher ist zu erwarten, dass der individuelle subjektive Grenzpreis auch dann unter dem Marktwert liegt, wenn Leerverkäufe unbeschränkt zulässig sind.
6.4
Implikationen von Änderungen der Nutzenfunktion
In der Literatur wird oft argumentiert, dass subjektive Nutzenmaximierung als Bewertungskonzept ungeeignet sei, weil der Investor seine Nutzenfunktion nicht ermitteln und diese sich im Zeitablauf ändern könne.23 Stattdessen sei es sinnvoll, auf Marktwerte zurückzugreifen. Natürlich können sich Zeit- und Risikopräferenzen (Nutzenfunktionen) im Zeitablauf ändern. Das lässt sich aber nicht dadurch vermeiden, dass man einen Preis in Höhe des gegenwärtigen Marktwertes zahlt. (Auch Marktwerte pflegen sich zu ändern.) Wenn man den subjektiven Grenzpreis bezüglich einer Nutzenfunktion ermittelt hat und damit rechnet, dass sie sich in nicht antizipierbarer Weise ändern kann, sollte man einen Abschlag von diesem Grenzpreis vornehmen, wenn aufgrund unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten bei Kauf eines Bewertungsobjekts Anpassungen an Änderungen der Nutzenfunktion im Vergleich zu reiner Finanzanlage (Portefeuillebildung einschließlich der Anlage zum risikolosen Zinssatz) erschwert werden. Unter den betreffenden Kapitalmarktbedingungen ist aber der Marktwert grundsätzlich höher als der individuelle subjektive Grenzpreis, so dass die Wertkorrektur bei Wahl des Marktwertes in die falsche Richtung zielt. Die Anpassungsproblematik resultiert u.a. aus der fehlenden Teilbarkeit des Bewertungsobjekts. Je größer es
23
BALLWIESER (2002b, S. 738; 1981, S. 102 f.; 1990, S. 171 mit weiteren Hinweisen); HOMMEL/BRAUN (2002, S. 135); DRUKARCZYK (2003, S. 141); MOXTER (1983, S. 139); BÖCKING/NOWAK (1998, S. 687); LEUTHIER (1988a, S. 53f); OBERMAIER (2004b, S. 2762). Es gibt jedoch experimentelle Verfahren, um Nutzenfunktionen immerhin bruchstückhaft zu erforschen. Allerdings gibt es keine Methoden – auch nicht die Bewertung zu Marktwerten – die Entscheidungen garantieren, die sich ex post auch bei veränderten Zielen bzw. Präferenzen als optimal erweisen.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
43
ist, desto größer ist der Bewertungsfehler, wenn man statt eines reduzierten subjektiven Grenzpreises den Marktwert heranzieht.24 Man mag einwenden, dass auch Bewertungsobjekte oder Teile davon wieder verkauft werden können, wenn sich die Nutzenfunktion ändert. Das könne vor allem für den Fall zutreffen, dass das Bewertungsobjekt ein ganzes Unternehmen darstellt. Standardgüter, die ohne Transaktionskosten zu einheitlichen Marktpreisen auf vollkommenen Realgütermärkten gekauft und verkauft werden können, bieten zwar den gleichen Spielraum für Anpassungen an Änderungen der Nutzenfunktion wie (börsennotierte) Wertpapiere. Jedoch resultiert der Wert eines Unternehmens als Ganzes oder Teile davon (einzelne Geschäftsfelder) im wesentlichen aus originären Firmenwerten, die keinen objektiven Marktwert haben, deren Verkaufserlöse vielmehr von den subjektiven Ertragserwartungen (und Nutzenfunktionen) potenzieller Käufer abhängen. Aufgrund von Informationsasymmetrien zwischen ihnen und dem Investor oder von unterschiedlichen Schlussfolgerungen aus Informationen mögen die potenziellen Verkaufserlöse (ebenso wie der Erlös aus einem Börsengang mit dem Unternehmen) aus Sicht des Investors prohibitiv niedrig sein. Anpassungen an Änderungen der Nutzenfunktion durch Verkauf des Unternehmens oder Teile davon sind dann aus Sicht des Investors mit hohen Ertragseinbußen verbunden und somit nur in Grenzen sinnvoll.
7
Gründe für Alleineigentum am Unternehmen
7.1
Gegebenes Investitionsprogramm
7.1.1
Homogene Erwartungen über die Überschüsse
7.1.1.1 Vollständige Duplizierbarkeit und unbeschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten Wie erläutert, nimmt der Investor im Fall B keine(n) Gesellschafter auf, wenn er ein Unternehmen (allgemein: ein Bewertungsobjekt) kauft; er führt (nutzt) es als Alleineigentümer. Wie im Folgenden gezeigt wird, kann dies zwar unter dem Aspekt der Risikoteilung im Vergleich zu einem ausschließlichen Wertpapierhandel nachteilig sein, bezüglich der Motivation und der Durchsetzung eigener Interessen durch den Investor können sich jedoch bei Alleineigentum Vorteile ergeben, die Nachteile ineffizienter Risikoteilung überkompensieren. Zunächst gehen wir davon aus, dass das Investitionsprogramm des Unternehmens und seine zustandsabhängigen Überschüsse gegeben sind und außerdem der Investor sowie die potenziellen Mitgesellschafter homogene Erwartungen über die Überschüsse haben (die Marktwerte alternativer Erfolgsanteile sind dann aus Sicht aller identisch)
24
Im Übrigen lassen sich Änderungen der Nutzenfunktion durchaus in gewissem Umfang bei der subjektiven Bewertung antizipieren, nämlich dann, wenn sie zustandsabhängig sind. Es sind dann „zustandsabhängige“ Nutzenfunktionen (Kapitel II, Abschnitt 4) zugrunde zu legen.
44
Kapitel I
und sie sich bei ihren Entscheidungen bzw. Bewertungen nur an finanziellen Zielen orientieren. Können beliebige Überschüsse dupliziert und die Duplikationsportefeuilles unbeschränkt leerverkauft werden, bestehen für den Investor ideale Bedingungen, den Unternehmensüberschuss durch Kapitalmarkttransaktionen zu hedgen. Die direkte Erfolgsbzw. Risikoteilung durch Aufnahme von Mitgesellschaftern, die für ihren Erfolgsanteil den Marktwert zahlen, ist dann demgegenüber bei gegebenen Überschüssen weder vorteilhaft noch nachteilig. Zwar kann es – je nach Gesellschaftsvertrag – schwierig sein, eine mit ihnen vereinbarte Teilungsregel an veränderte Rahmenbedingungen anzupassen. Dies kann jedoch der Investor privat durch Anpassung seines Wertpapierbestandes ausgleichen. Auch unter dem Aspekt der Finanzierung ist bei beliebiger Duplizierbarkeit und unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten die Aufnahme von Gesellschaftern irrelevant. Unter diesen Kapitalmarktbedingungen ist der subjektive Grenzpreis des Unternehmens gleich dem Marktwert des Duplikationsportefeuilles; der Investor kann einen vorteilhaften Unternehmenskauf stets aus dem Verkaufserlös dieses Portefeuilles finanzieren. Die Irrelevanz der Beteiligung von Gesellschaftern beruht auf der Annahme, dass diese für ihre potenziellen Anteile an den Überschüssen den Marktwert zahlen. Diese Bedingung ist im kompetitiven Kapitalmarkt erfüllt. Wegen der Duplizierbarkeit dieser Anteile und der unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten stimmen deren subjektiven Grenzpreise auch aus Sicht der potenziellen Gesellschafter mit den Marktwerten überein. 7.1.1.2 Unvollständige Duplizierbarkeit und/oder beschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten Bei vollständiger Duplizierbarkeit ist auch bei beschränktem Leerverkauf unter dem Aspekt der Risikoteilung die Aufnahme von Gesellschaftern für den Investor nicht nachteilig, sofern diese für ihre Beteiligungen am Unternehmenserfolg Marktwerte zahlen; der Investor kann die Beteiligung eines Gesellschafters kompensieren, indem er das Duplikationsportefeuille für den betreffenden Erfolgsanteil kauft. Bei Leerverkaufsbeschränkungen kann er jedoch mit der Aufnahme eines Gesellschafters möglicherweise eine vorteilhafte Risikoteilung erzielen, die mit Wertpapierhandel nicht möglich gewesen wäre. Der Kauf des Duplikationsportefeuilles für den Erfolgsanteil des Gesellschafters wäre dann für den Investor nachteilig (Kapitel IX, XI, XII und XV). Bei unvollständiger Duplizierbarkeit kann – unabhängig davon, ob Leerverkäufe möglich sind oder nicht – die Aufnahme eines Gesellschafters bei gegebener Erfolgsteilung nicht nur vorteilhaft, sondern auch nachteilig sein. Wenn dessen Erfolgsbeteiligung nicht duplizierbar ist, kann sie nämlich der Investor nicht alternativ in der Weise realisieren, dass er ein Duplikationsportefeuille für den betreffenden Erfolgsanteil leerverkauft, und auch nicht kompensieren, indem er ein solches Portefeuille erwirbt. Unvollständige Duplizierbarkeit und/oder begrenzte Leerverkaufsmöglichkeiten beschränken zwar die Möglichkeit, Risiken indirekt zu Marktwerten zu transformieren
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
45
und schaffen im Prinzip einen Anreiz zur direkten Risikoteilung. Diese ist jedoch unter den betreffenden Kapitalmarktbedingungen grundsätzlich relativ teuer, da sie implizieren, dass die individuellen subjektiven Grenzpreise der Beteiligungen aus Sicht der potenziellen Gesellschafter niedriger als die Marktwerte sind. Dies gilt vor allem dann, wenn das Unternehmen groß ist und nur wenige Gesellschafter mit hohen Erfolgsanteilen aufgenommen werden sollen; ihre subjektiven Grenzpreise liegen dann tendenziell weit unter den Marktwerten. Werden dagegen sehr viele Gesellschafter mit kleinen Anteilen am Unternehmenserfolg beteiligt, mögen diese zwar (annähernd) die Marktwerte für ihre Beteiligungen zahlen. Dann gewinnen aber die im Folgenden beschriebenen Konflikte (Corporate Governance Probleme) besonderes Gewicht; es besteht allgemein ein Trade-off zwischen effizienter Risikoteilung und Erfolgseinbußen durch Anreiz- und Kontrollprobleme.
7.1.2
Heterogene Erwartungen über die Überschüsse
Grenzen der direkten Risikoteilung durch Aufnahme von Gesellschaftern können auch aus Informationsasymmetrien zwischen dem Investor und potenziellen Gesellschaftern (Abschnitt 4.3) oder aus unterschiedlichen Schlussfolgerungen aus Informationen auf die Überschüsse resultieren. Wenn potenzielle Gesellschafter die Erwartungswerte der Überschüsse niedriger und/oder deren Risiken höher einschätzen als der Investor, mögen sie für alternative Anteile an den Unternehmensüberschüssen nur Beträge zu zahlen bereit sein, die aus Sicht des Investors prohibitiv niedrig sind.
7.2
Veränderliches Investitionsprogramm
7.2.1
Orientierung ausschließlich an finanziellen Zielen
In der Realität sind die Überschüsse des Unternehmens (allgemein: eines Bewertungsobjekts) nicht – wie bisher angenommen – ex ante vorgegeben. Sie hängen davon ab, welche Entscheidungen über neue Investitionen, Desinvestitionen und die Nutzung von Investitionen im Zeitablauf getroffen werden. Auch wenn unter dem Aspekt einer effizienten Risikoteilung die Aufnahme von Gesellschaftern für den Investor vorteilhaft ist, kann es für ihn optimal sein, das Unternehmen als Alleineigentümer zu führen, weil es dann für ihn einfacher ist, seine eigenen Interessen durchzusetzen. Das gilt grundsätzlich schon für den Fall, dass sowohl der Investor als auch die potenziellen Mitgesellschafter homogene Erwartungen bezüglich der mit den Entscheidungen verbundenen Überschüsse haben und sich ausschließlich an finanziellen Zielen orientieren. Selbst in diesem Fall besteht bei der üblichen linearen Teilung von Überschüssen nur dann universelle Einmütigkeit, wenn beliebige Überschüsse duplizierbar sind und die Duplikationsportefeuilles unbeschränkt leerverkauft werden können; für alle Beteiligten stimmen dann die subjektiven Grenzpreise mit den Marktwerten überein (die aus Sicht aller identisch sind). Jedoch erübrigt sich unter den betreffenden Kapitalmarktbedingungen wiederum die direkte Risikoteilung.
46
Kapitel I
Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, gewinnt direkte Risikoteilung zwar an Relevanz, jedoch ist es dann schwierig, Anreizkompatibilität zu erzeugen. Eine lineare Teilungsregel ist dann zwar anreizkompatibel, wenn sie zugleich pareto-effizient ist (Kapitel II, Abschnitt 8). Diese Bedingung ist jedoch nur bei speziellen Nutzenfunktionen erfüllt. Grundsätzlich werden sich die subjektiven individuellen Grenzpreise bezüglich der erwogenen Maßnahmen unterscheiden, so dass Entscheidungskonflikte zwischen dem Investor und den Mitgesellschaftern bestehen: Der Investor präferiert etwa die Erweiterung der Kapazität, während andere das Risiko scheuen und den Abschluss weiterer Versicherungen bevorzugen. Wenn allerdings die Zahl der Gesellschafter sukzessive steigt und die individuellen Anteile am Unternehmen immer kleiner werden, nähern sich gemäß den Darstellungen in Kapitel XI die individuellen subjektiven Grenzpreise den Marktwerten, so dass der Konfliktbereich eingeengt wird. Vor allem bei wenigen Gesellschaftern können je nach den individuellen Risikoeinstellungen und privaten Hedgemöglichkeiten bei linearer Erfolgsteilung erhebliche Unterschiede in den subjektiven Grenzpreisen bestehen. Um Konflikte zu vermeiden, müsste die Teilungsregel für den Erfolg anreizkompatibel nichtlinear sein (Kapitel II, Abschnitt 8), eine Bedingung, die im Allgemeinen nur schwer durch entsprechende Vereinbarungen im Gesellschaftsvertrag zu erfüllen ist.
7.2.2
Orientierung (auch) an nichtfinanziellen Zielen
Bei Orientierung (auch) an nichtfinanziellen Zielen (z.B. Prestige, Anerkennung, Vermeidung von Arbeitsleid) können selbst bei anreizkompatibler Erfolgsteilung Konflikte zwischen dem Investor und anderen Gesellschaftern entstehen. Wird von ihnen ein Geschäftsführer eingesetzt, mag aufgrund der Erfolgsteilung und damit verbundener FreeRider-Probleme die Motivation von Investor und anderen potenziellen Gesellschaftern gering sein, durch Anreiz und Kontrolle ihn zieladäquat in seinen Entscheidungen zu steuern. Der Investor und die anderen potenziellen Gesellschafter antizipieren dies und sind möglicherweise nur bereit, einen Preis für das Unternehmen zu zahlen, für den es nicht zur Verfügung steht. Wenn der Investor selbst die Unternehmensleitung übernimmt, ist er bei Mitbeteiligung anderer ebenfalls wenig motiviert, die Erfolgssituation zu verbessern, da er eben die Früchte seiner Arbeit mit diesen teilen muss, jedoch sein Arbeitsleid allein trägt. Wiederum antizipieren dies die potenziellen anderen Gesellschafter, so dass sie für ihren Erfolgsanteil nur einen (prohibitiv) geringen Betrag zu zahlen bereit sind. Möglicherweise befürchtet der Investor auch, dass andere Gesellschafter die Durchführung neuer Investitionen, die für ihn finanziell vorteilhaft sind, blockieren, weil sie immaterielle Nachteile erfahren würden. Es kann für den Investor auch deshalb vorteilhaft sein, das Unternehmen als Alleineigentümer zu erwerben, um die eigene Orientierung an immateriellen Zielen – etwa die Durchführung von Prestigeinvestitionen, die Beschäftigung von Familienangehörigen oder Consumption on the job – nicht zu erschweren. (Wenn sich der Investor an nichtfinanziellen Zielen orientiert, sollten diese
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
47
bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises für das Unternehmen berücksichtigt werden.) Konflikte zwischen den Gesellschaftern können sich auch deshalb fortlaufend bei neuen Investitionen bzw. Maßnahmen ergeben, weil aufgrund unterschiedlicher Informationen und Schlussfolgerungen heterogene Erwartungen hinsichtlich der Überschüsse bestehen.
7.3
Fazit: Bewertungsfall B vs. Bewertungsfall A
Die Überlegungen zeigen, dass es gute Gründe geben kann, das Unternehmen als Alleineigentümer zu führen. Die Aufnahme von Gesellschaftern steht im Spannungsfeld zwischen effizienter Risikoteilung und der Vermeidung von Anreizund Kontrollproblemen: Eine Vergrößerung der Zahl der Gesellschafter verbessert grundsätzlich die Risikoteilung mit der Folge, dass bei linearer Erfolgsteilung und ausschließlicher Orientierung an finanziellen Zielen der Konfliktbereich zwischen den Gesellschaftern tendenziell immer mehr eingeengt wird. Andererseits können sich aufgrund nichtfinanzieller Aspekte immer größere Konflikte ergeben. Insbesondere besteht die Tendenz, dass mit steigender Zahl von Gesellschaftern (mit fallendem Erfolgsanteil des Einzelnen) die Motivation, durch Anstrengungen die Erfolgssituation zu verbessern, immer geringer wird. Im Bewertungsfall A sind sehr viele Anteilseigner mit breit gestreuten Portefeuilles in Form von Aktien am Unternehmen beteiligt. Hier existiert bei homogenen Erwartungen ein für alle Anteilseigner gleicher (kollektiver) subjektiver Grenzpreis, der näherungsweise oder exakt mit dem Marktwert übereinstimmt. Da der individuelle subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert ist, liegt die Vermutung nahe, dass der Grenzpreis im Bewertungsfall A höher ist als im Fall B. Jedoch kann der Marktwert aufgrund von Free-Rider-Problemen im Fall A wesentlich niedriger sein als im Fall B. Für den individuellen Investor im Fall B kann eben ein hoher Anreiz bestehen, mit dem Unternehmen hohe Überschüsse zu erzielen. Im Fall A dagegen ist der Anreiz eines jeden Anteilseigners, die Erfolgssituation zu verbessern grundsätzlich gering; er trägt das Arbeitsleid allein und muss Erfolgszuwächse mit vielen anderen teilen. Motivationsprobleme sind auch ein wesentlicher Grund dafür, warum es aus Sicht des Investors im Fall B nachteilig sein kann, nach privatem Kauf des Unternehmens es an die Börse zu bringen. Die potenziellen Anteilseigner antizipieren Motivationsprobleme und sind für die Aktien nur Beträge zu zahlen bereit, die aus Sicht des Investors zu gering sind.25
25
Bestehen (hohe) Synergieeffekte zwischen dem Bewertungsobjekt und einem börsennotierten Unternehmen, kann trotz antizipierter Motivationsprobleme der Marktwert des Bewertungsobjekts für dieses Unternehmen höher sein als der subjektive Wert für den Investor, so dass der Verkauf vorteilhaft sein könnte.
48
Kapitel I
Der Bewertungsfall B dürfte vor allem für kleinere („mittelständische“) Unternehmen relevant sein, in denen ein motivierter Alleineigentümer die Erfolgssituation erheblich verbessern kann und außerdem die Differenz zwischen Marktwert und individuellem subjektiven Grenzpreis im Vergleich zu einem sehr großen „Industrieunternehmen“ gering ist. In einem großen Unternehmen müsste ein Alleineigentümer Entscheidungskompetenzen in großem Umfang an Entscheidungsträger delegieren, wobei er allein auch bei hohem persönlichem Arbeitseinsatz die Erfolgssituation nur relativ wenig verbessern könnte. Hinzu kommt, dass für ein sehr großes Unternehmen der individuelle subjektive Grenzpreis weit unter dem Marktwert liegt, so dass der Eigentümer auch dann einen Vorteil erzielt, wenn bei einem Börsengang der Marktwert erheblich sinkt (der Verkaufserlös relativ gering ist). Die Wertimplikationen der Unternehmensgröße hängen im übrigen davon ab, wie es gelingt, organisatorische Einheiten zu bilden, denen sinnvoll Erfolge zugerechnet werden können, und durch Erfolgsbeteiligung von Entscheidungsträgern im Unternehmen die Erfolgssituation zu verbessern.26
8
Grenzen individueller subjektiver Bewertung durch reine Preisvergleiche und Notwendigkeit der Erfassung subjektiver Präferenzen
8.1
Problematik des Vergleichs als „allgemeines Grundprinzip“ der Bewertung
In der wird Literatur versucht, das Problem der Ermittlung eines subjektiven Grenzpreises durch Preisvergleiche zu lösen. Jedoch kann durch Preisvergleiche von Investitionsprojekten allenfalls auf den Marktwert, nicht auf den individuellen subjektiven Grenzpreis geschlossen werden.27 Wie in Abschnitt 6 gezeigt wurde, kann dieser grundsätzlich nicht isoliert von den konkreten Kapitalverwendungsmöglichkeiten und den Präferenzen des Investors ermittelt werden. Da wir Bezug nehmen auf die Literatur zur Unternehmensbewertung, gehen wir wieder davon aus, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen. Die Darstellungen gelten für andere Bewertungsobjekte analog. Bei den folgenden Darstellungen ist stets zu beachten, dass annahmegemäß der individuelle Investor das Unternehmen kauft, um die entsprechenden Überschüsse zu erzielen; Arbitrage, bei der er ein Unternehmen kauft und es simultan zu einem höheren Preis verkauft, ist ausgeschlossen. „Das Grundprinzip der (Unternehmens-) Bewertung ist seit langem bekannt und kann auf folgende einfache Formel reduziert werden: ‚Bewerten heißt vergleichen‘. Einem Bewertungsobjekt wird hierzu ein Vergleichsobjekt gegenübergestellt und aus dessen bekannten Preis auf denjenigen des zu bewertenden geschlossen. Dabei stellt nach 26 27
Vgl. LAUX/LIERMANN (2005); LAUX (2006a; 2006b). „Price is what you pay, value is what you get“ (WARREN BUFFET).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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dem Opportunitätskostenprinzip die beste verdrängte Handlungsalternative den relevanten Bewertungsmaßstab dar. Damit das Vergleichsobjekt allerdings als Bewertungsmaßstab in Frage kommt, muss es insbesondere hinsichtlich der Unsicherheitsdimension mit dem Bewertungsobjekt vergleichbar sein. In dieser Forderung kommt das Risikoäquivalenzprinzip zum Ausdruck“ (WESNER, 2006, S. 38). Die vielzitierte prägnante Formel „bewerten heißt vergleichen“ geht auf MOXTER (1983, S. 123) zurück, der die Theorie und Praxis der (Unternehmens-)Bewertung in Deutschland nachhaltig geprägt hat. „Der potentielle Käufer eines Unternehmens (Unternehmensanteils) bestimmt seinen Maximalpreis nach dem Ertrag, den er sich aus dem entsprechenden Unternehmen versprechen darf, und nach dem Preis, den er mindestens entrichtet hätte, wenn der gleiche Ertrag alternativ zu beschaffen wäre: Für den aus dem zu bewertenden Unternehmen U zu erwartenden Ertrag mehr zu zahlen als den Preis, den dieser Ertrag anderweit kostet, bedeutete ‚irrationales‘ Handeln“ (MOXTER, 1983, S. 9). „Das Ertragswertprinzip besagt, wie gerade dargestellt, dass Grenzpreise aufgrund eines ‚Ertragsvergleichs‘ zu bestimmen sind; aus dem Ertragswertprinzip folgt, dass Grenzpreise nur richtig ermittelt werden, wenn die erwarteten Erträge vollständig und überdies für Bewertungsobjekt und Alternative in gleicher Höhe berücksichtigt wurden. Das Relativitätsprinzip klärt, dass der Grenzpreis abhängig ist vom Preis der Alternative, die dem Ertragsvergleich zugrunde gelegt wurde: Grenzpreise lassen sich nur richtig ermitteln, wenn der Preis der Alternative bekannt ist, und Grenzpreise werden nur richtig ermittelt, wenn die Alternative zutreffend gewählt wurde. Das Relativitätsprinzip besagt, dass der Wert (Grenzpreis) eines Unternehmens immer nur ein ‚relativer‘ ist: Der gesuchte Wert (potentielle Preis) des Bewertungsobjekts bestimmt sich nach dem bekannten, tatsächlichen Preis des ‚Vergleichsobjekts‘ (‚Bezugsobjekts‘); fehlt ein Vergleichsobjekt überhaupt oder gibt es für ein Vergleichsobjekt nur wiederum potentielle, keine tatsächlichen (und bekannten) Preise, so ist eine ‚Bewertung‘ unmöglich. Man mag sich dann zwar auf die eine oder andere Weise behelfen, aber mehr als eine ‚Scheinbewertung‘ ist auf dieser Basis nicht erreichbar: Eine wirkliche Bewertung setzt voraus, dass anhand eines tatsächlichen Preises auf den potentiellen Preis geschlossen wird“ (MOXTER, 1983, S. 11). Was soll man jedoch in dem (Regel-)Fall tun, dass ein „Vergleichsobjekt“ nicht bekannt ist? Soll man dann die Entscheidung für oder gegen den Kauf ohne jeglichen Versuch einer Bewertung treffen, da sie ohnehin eine Scheinbewertung wäre? Abgesehen davon: Wie soll man jene Investitions- und andere Entscheidungsprobleme bei Risiko lösen, die sich in einem Unternehmen nach Kauf stellen werden und sich ebenfalls nicht durch reine Preisvergleiche lösen lassen? Soll man sich auch hierbei nicht mit dem Instrumentarium der Entscheidungs- und Investitionstheorie behelfen, weil damit nur Scheinlösungen (Scheinbewertungen) erzielt werden können? Gleiche oder ähnliche Argumente wie bei MOXTER finden sich auch in der neueren Literatur häufig. „Die Bewertung eines Unternehmens ist damit nichts anderes als das Auffinden des Betrages, der anderswo für Erfolge gleicher Art und Höhe zu bezahlen
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Kapitel I
wäre“ (BALLWIESER/COENENBERG/SCHULTZE, 2002, Sp. 2414).28 „Bei der Ertragswertmethode werden die Zahlungen, die der potentielle Eigentümer eines Unternehmens aufgrund seiner Eigentümerstellung erhält, mit den finanziellen Konsequenzen einer Handlungsalternative verglichen. Der Preis der finanziell gleichwertigen Handlungsalternative entspricht dem Unternehmenswert. Streng genommen muss die Handlungsalternative bezüglich der zeitlichen Struktur, der Höhe, der Unsicherheit und des Arbeitseinsatzes zur Erzielung der Zahlungen dem Unternehmen gleichwertig sein, und es muss sich um die Handlungsalternative mit dem geringsten Preis handeln“ (BALL29 WIESER, 2002b, S. 737). Es fragt sich, ob überhaupt ein derartiges Vergleichsunternehmen existiert (und bekannt ist), das man zu einem gegebenen Preis erwerben kann; dies wird eher die Ausnahme sein. Welches Entscheidungsproblem ist denn gelöst, wenn man den Betrag gefunden hat, der anderswo für Erfolge gleicher Art und Höhe zu bezahlen wäre? Soll man das Bewertungsobjekt kaufen, wenn sein Preis niedriger ist als dieser Betrag? Natürlich handelt man trivialerweise irrational, wenn man für ein Unternehmen einen Preis zahlt, der höher ist als jener Preis, für den man alternativ ein Investitionsprojekt erwerben kann, das den gleichen Ertrag bietet. Man kann aber auch irrational handeln, wenn man ein Unternehmen zu einem Preis erwirbt, der kleiner ist als der Preis der Vergleichsinvestition, weil ihr Wert kleiner ist als ihr Preis. Der Kauf eines Objekts wird nicht schon dadurch vorteilhaft, dass ein „gleichwertiges“ Vergleichsobjekt teurer ist. (Arbitrage auf dem Realgütermarkt ist annahmegemäß ausgeschlossen; es ist nicht möglich, das zu bewertende Unternehmen zum Preis der Vergleichsinvestition wieder zu verkaufen.) Damit der Preis für die Vergleichsalternative als Grenzpreis geeignet ist, muss bereits geklärt sein, dass ihr Wert mindestens so hoch ist wie ihr Preis. Ob diese Bedingung erfüllt ist, ist aber gerade Kern des komplexen Bewertungsproblems. Wäre die „Vergleichsinvestition“ ein unbeschränkt leerverkaufbares Duplikationsportefeuille für den Überschuss des Unternehmens, wäre zwar der Grenzpreis des Unternehmens gleich dem Marktwert dieses Portefeuilles; wenn der Investor das Unternehmen zu einem niedrigeren Preis kauft und dieses Portefeuille leerverkauft, erzielt er – wie erläutert – zum Zeitpunkt 0 einen Überschuss, über den er frei verfügen kann. In den zitierten Arbeiten geht es jedoch nicht um Arbitrageüberlegungen, sondern um alternativ durchführbare Realinvestitionen.
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Erforderlich ist somit ein Vergleichsobjekt als Bewertungsmaßstab (vgl. auch MANDL/RABEL, 1997, S. 68). „Als Unternehmenswert i.S. eines Grenzpreises gilt der Betrag, den ein Käufer anderweitig aufwenden muss, um den gleichen Erfolg wie aus dem Unternehmen zu erzielen, und den ein Käufer mindestens erzielen muss, um nach der Wiederanlage seine ökonomische Position zu wahren“ (KRATZ/ WANGLER, 3/2005, S. 169 und die dort angegebene Literatur). Es bleibt hierbei offen, was es heißt, bei Verkauf „die ökonomische Position zu wahren“, und wie diese Bedingung überprüft werden kann.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Allgemein ist es nur in sehr engen Grenzen möglich, allein aus Preisen ohne Berücksichtigung von Präferenzen auf Grenzpreise (Unternehmenswerte) zu schließen. Das ist für alle Entscheidungsprobleme so; für rationale Bewertungen sind nicht nur Preise relevant, sondern auch Präferenzen. Ein Autokäufer wird trivialerweise für einen Porsche nicht mehr zahlen als für einen anderen Porsche gleicher Qualität. Welchen Preis er jedoch für einen Porsche bei gegebenen Preisen anderer PKWs und sonstiger Geldverwendungsmöglichkeiten höchstens zahlen sollte, kann nur im Rahmen eines Bewertungskalküls geprüft werden, in dem neben Preisen und Produkteigenschaften mehr oder weniger genau Präferenzen erfasst werden. Ohne Konkretisierung einer Zielfunktion lässt sich grundsätzlich kein Bewertungsproblem lösen (reine Preisvergleiche drehen sich im Kreis). Natürlich erfordert Bewertung wie jedes Entscheidungsproblem den Vergleich von Alternativen. Das Grundproblem der Entscheidungstheorie besteht aber darin, wie er vorgenommen werden soll. Zwar kann trivialerweise eine Alternative, die von einer anderen dominiert wird, nicht optimal sein. Daraus folgt aber nicht, dass die dominante Alternative optimal ist. Dominanzüberlegungen sind für die Lösung eines Entscheidungsproblems nur in dem irrealen Fall hinreichend, dass eine Alternative existiert, die alle anderen dominiert.
8.2
Problematik der Bewertung auf der Basis des CAPM
Bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises für ein Unternehmen kommt man also grundsätzlich nicht ohne die explizite Erfassung der Risiko- und Zeitpräferenzen des Investors aus. Bei Orientierung am BERNOULLI-Prinzip erfordert dies zunächst die bruchstückhafte Erfassung seiner Nutzenfunktion. Wie erwähnt, wird dagegen oft eingewendet, dass man die Nutzenfunktion nicht kenne und unbekannt sei, ob und wie sie sich im Zeitablauf ändere. Im Vergleich dazu hat nach BALLWIESER (2002b, S. 738) die in der Praxis verbreitete Marktbewertung durch Bezug auf das Capital Asset Pricing Model „den didaktischen Vorteil, dass man […] die zugehörigen Parameter grundsätzlich historisch messen kann, um sie als Anhaltspunkte für eigene Zukunftsschätzungen zu verwenden.“ Welche grundsätzliche Relevanz der Marktwert für den Investor überhaupt haben sollte, bleibt dabei offen. Ein Bewertungskonzept ist nicht schon deshalb relevant, weil es auf historisch messbaren Größen aufbaut. Selbst für den Fall, dass der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert ist, ist die Orientierung am einperiodigen CAPM mit Skepsis zu beurteilen. Wie im Kapitel XIV, Abschnitte 6 und 7, gezeigt wird, ist der für den Einperioden-Fall maßgebliche risikoangepasste Zinssatz nur unter speziellen Voraussetzungen bezüglich der stochastischen Überschüsse auch für die Bewertung im Mehrperioden-Fall geeignet. Es fragt sich außerdem, welche Bedeutung eine aus historischen Kursentwicklungen hergeleitete Zukunftsschätzung (etwa ein geschätzter Betawert) haben soll, wenn Investoren auf dem Kapitalmarkt nicht in der Lage sind, Risiken zu bewerten (und ihre Nutzenfunktionen nicht stabil sind). Offenbar verfügen diese Investoren über jene Fähigkei-
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Kapitel I
ten, die dem potenziellen Käufer oder Verkäufer eines Unternehmens abgesprochen werden.30 Was soll dieser aber mit dem Unternehmen anfangen, wenn er unfähig ist, Risiken zu bewerten? Soll er das Risiko jeder neuen Investition so bewerten, als ob er das Risiko wie im CAPM mit vielen anderen Personen teilte? Aus der Tatsache, dass es schwierig sein kann, eine Nutzenfunktion zu schätzen, folgt nicht, dass es gerechtfertigt ist, die Präferenzen des Investors (völlig) zu vernachlässigen. Abgesehen davon: Ein Unternehmensberater könnte einem motivierten individuellen Investor zeigen, wie man rational bewertet, nicht aber einer unbestimmten Vielzahl von Akteuren auf dem Kapitalmarkt. Auch BÖCKING/NOWAK äußern Bedenken gegen die explizite Berücksichtigung von Präferenzen eines Investors bzw. die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises: „Das ‚Subjektivitätsprinzip‘ kann […] immer nur dann uneingeschränkt Beachtung finden, wenn die Bewertung für Individuen durchgeführt wird, deren Präferenzen feststellbar und dem Bewerter bekannt sind. Dieser ‚Idealfall‘ ist in der Bewertungspraxis allerdings selten anzutreffen. Selbst bei Bewertungsanlässen, bei denen Käufer und Verkäufer jeweils nur eine Person darstellen, werden sowohl Bewerter als auch Verhandlungspartner erhebliche Probleme bei der Bestimmung der entsprechenden Risikonutzenfunktion bzw. Konsumpräferenzfunktion haben. […] Da das bewertungstheoretische Ideal bekannter Präferenzen in der Bewertungspraxis nicht anzutreffen ist, bedarf es der Findung eines Entscheidungspreises, der weniger subjektiv ist, sondern stattdessen in sinnvoller Weise typisiert,31 d.h. auf die durchschnittlichen Interessen der Bewertungssubjekte – insbesondere bzgl. der besten alternativen Mittelanlage – abstellt. Die erforderliche Typisierung kann einerseits durch den Rückgriff auf den landesüblichen Zins erfolgen; andererseits werden in jüngerer Zeit marktwertorientierte Typisierungen diskutiert, bei denen die beste verdrängte Alternative aus Kapitalmarktmodellen, namentlich dem CAPM, abgeleitet wird“ (BÖCKING/NOWAK, 1998, S. 687).32 Welche Relevanz derartige Typisierungen haben, wird in der zitierten Arbeit nicht untersucht. Die Feststellung, dass eine bestimmte Typisierung erforderlich sei, sollte am Ende der Analyse stehen, nicht am Anfang. Was sind denn „die durchschnittlichen Inte30
Zur Problematik der Hypothese effizienter Kapitalmärkte mit rational handelnden Akteuren vgl. SHLEIFER (2000).
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Zur Forderung nach Typisierung vgl. auch OBERMAIER (2004a, S. 54 f.) Für die Orientierung am CAPM plädieren auch WIEDMANN/ADERS/WAGNER (2001, S. 717): „In der Vergangenheit wurde die Höhe des risikoadjustierten Zinssatzes vor allem im Rahmen der Ertragswertmethode häufig nach einem subjektiven Risikozuschlag ermittelt. Der Bewerter nimmt hier auf den risikolosen landesüblichen Zinssatz entsprechend seiner eigenen Einschätzung Zuschläge vor, die notwendig sind, um Risikoäquivalenz mit dem Risiko der Nettoentnahmen nach persönlichen Ertragsteuern des Unternehmens herzustellen. Dieses Verfahren wurde jedoch in Theorie und Praxis stark kritisiert, da die Höhe der Risikozuschläge subjektiv ist und nicht aus empirischen Beobachtungen abgeleitet wird. Daher kann (gemäß IDW, 2000, S. 428) mittlerweile auch eine marktgestützte Ermittlung des Risikozuschlags erfolgen. Hierfür wird meist das so genannte Capital Asset Pricing Model angewendet, das sich auf empirische Kapitalmarktdaten stützt.“ Die Sinnhaftigkeit dieses Vorgehens bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises wird auch in dieser Arbeit nicht untersucht. Oft wird auch vorgeschlagen, für ein nicht-börsennotiertes Unternehmen den Marktwert eines „vergleichbaren“ Unternehmens heranzuziehen oder den Marktwert zu fingieren (BALLWIESER, 1994, S. 1383; MANDL/RABEL (1997, S. 309).
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ressen der Bewertungssubjekte“ und warum sind derartige Interessen und nicht die subjektiven Interessen des konkreten potenziellen Käufers relevant? Hält man denn bei individuellem Kauf eines Unternehmens im „Durchschnitt“ ein Portefeuille riskanter Objekte (bestehend aus dem Unternehmen, anderen Realinvestitionen und Wertpapieren), das ebenso perfekt gehedgt ist wie die Portefeuilles im CAPM, die ausschließlich aus beliebig teilbaren Wertpapieren bestehen? Bei Orientierung an den Bewertungsfunktionen des CAPM trägt man nicht „durchschnittlichen Interessen“ Rechnung, sondern den Interessen von Investoren mit ideal gehedgten Portefeuilles. Für diese ist z.B. das „unsystematische“ Risiko nicht bewertungsrelevant, jedoch kann es für einen individuellen Investor, der das Unternehmen als Alleineigentümer erwirbt, in erheblichem Maße wertmindernd sein (vor allem, wenn es nicht möglich oder zu teuer ist, dieses Risiko zu versichern).33 Abgesehen davon ist auch die Ermittlung eines virtuellen Marktwertes stark durch Subjektivismen geprägt. Wie in Kapitel VII, Abschnitt 4, gezeigt wird, können subjektive Ermessensentscheidungen den ermittelten Marktwert stark verzerren. Wie in den Kapiteln VIII, XI, XII und XV erläutert wird, ist der individuelle subjektive Grenzpreis auch ohne unsystematisches Risiko grundsätzlich niedriger als der Marktwert. Wenn man die Determinanten der Abweichung kennt, kann man die Problematik des Marktwertes als Grenzpreis im konkreten Fall erkennen und die Abweichung schätzen. Wird der Unternehmenswert mit Unterstützung durch einen Gutachter ermittelt, muss dieser nicht unbedingt ex ante die Nutzenfunktion des potenziellen Käufers kennen. Er kann ihn auch mit den für das BERNOULLI-Prinzip maßgeblichen einfachen hypothetischen Entscheidungsproblemen konfrontieren (Kapitel II, Abschnitt 2.2.1), um seine Präferenzen zumindest bruchstückhaft empirisch zu erforschen. Die Schwierigkeit der Ermittlung einer Abweichung zwischen Marktwert und individuellem subjektivem Grenzpreis rechtfertigt jedenfalls nicht die Unterstellung, sie sei generell vernachlässigbar.34 Die Bewertung nach dem CAPM stellt ebenso einen Extremfall dar wie die Bewertung auf der Basis einer „verdrängten“ Alternativinvestition, bei der Portefeuilleeffekte (Risiken im Umfeld des Bewertungsobjekts) überhaupt nicht berücksichtigt werden. Die Problematik der Verwendung eines für ein börsengehandeltes Unternehmen maßgeblichen Kalkulationszinsfußes einerseits und der völligen Vernachlässigung von Portefeuilleeffekten bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises an33
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Vgl. STEINER/BAUER (1992,S. 347); SCHMIDT (1995, S. 1106 f.); HAYN (1998, S. 415) sowie die Darstellungen in den Kapiteln VIII bis XII und XV. Die in diesen Kapiteln explizit betrachteten unsystematischen Risiken bezüglich des Bewertungsobjekts werden durch „Störterme“ für seinen Überschuss – im Mehrperioden-Fall für seine Überschüsse – verursacht. Auch wenn die Nutzenfunktion bekannt ist, stellt die Ermittlung des subjektiven Grenzpreises nach der Sicherheitsäquivalentmethode kein triviales Problem dar, wie HOMMEL/BRAUN (2005, S. 127) vermuten: „Als aus theoretischer Sicht korrekt stellt sich allein die Sicherheitsäquivalentmethode dar: Ist die Risikonutzenfunktion des potenziellen Käufers oder Verkäufers bekannt, so folgt die dann unproblematische Berechnung des sicherheitsäquivalenten Ertrags sowie dessen Diskontierung mit dem landesüblichen Zinssatz. Unter dieser Prämisse erübrigt sich die Risikozuschlagsmethode.“ Wie Sicherheitsäquivalente „unproblematisch“ berechnet werden können (vor allem im Mehrperiodenfall), haben die Autoren nicht gezeigt. Abgesehen davon sind für die Bewertung bei potenziellem Kauf grundsätzlich nicht Sicherheitsäquivalente für die Überschüsse relevant, sondern äquivalente sichere Auszahlungen, die die Überschüsse kompensieren (Kapitel II, Abschnitt 5).
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Kapitel I
dererseits wird in der Bewertungsliteratur durchaus gesehen.35 „Der für die Abzinsung der Zahlungsüberschüsse verwendete Kapitalkostensatz (Kalkulationszinsfuß) ist eine der zentralen Einflussgrößen auf den Unternehmenswert. In der Literatur hat sich die Überzeugung durchgesetzt, dieser sei aus kapitalmarkttheoretischen Modellen, vorzugsweise aus dem CAPM, abzuleiten. Dabei wird vertreten, dies gelte nicht nur für kapitalmarktorientierte Unternehmen, sondern auch für mittelständische Unternehmen, für die ein vergleichbares börsennotiertes Unternehmen gefunden werden müsse bzw. ein entsprechendes Branchenbeta am Kapitalmarkt zu ermitteln sei. Auch im IDW Standard S1, der sich mit den Grundsätzen zur Durchführung von Unternehmensbewertungen beschäftigt, wird zum einen von der Gleichwertigkeit von Ertragswert- und DCF-Verfahren ausgegangen und zum anderen für Zwecke der Ermittlung der Kapitalkosten ausschließlich auf das CAPM zurückgegriffen. Bedenken hinsichtlich dabei bestehender systematischer Fehler werden kaum geäußert“ (KRATZ/WANGLER, 2005, S. 169 f.).36 Andererseits werden in der traditionellen Bewertungsliteratur Möglichkeiten, das Unternehmensrisiko durch Portefeuillebildung zu hedgen, ganz vernachlässigt. Nach KÜRSTEN stellt sich angesichts der wachsenden praktischen Bedeutung von Kapitalmarkttransaktionen als Instrumente der Risikotransformation „die Frage, inwieweit der singularistische, weil Portefolioeffekte negierende Ansatz der traditionellen Bewertungsliteratur überhaupt noch zeitgemäß ist“ (KÜRSTEN, 2003, S. 310). Aber auch in der aktuellen Bewertungsliteratur wird kaum gezeigt, wie der individuelle subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjektes unter Berücksichtigung bereits realisierter Investitionsprojekte und optimaler Portefeuillestrategien ermittelt werden kann. Eine Ausnahme bildet WILHELM (2005). Er zeigt für den Einperioden-Fall, wie ein individueller subjektiver Grenzpreis analytisch bestimmt werden kann. Dabei bleibt jedoch offen, wie dessen Höhe bzw. dessen Abweichung vom Marktwert des Bewertungsobjekts von seinen Determinanten abhängt. Die Analyse dieser Höhe bzw. Abweichung nimmt in der vorliegenden Arbeit besonderen Raum ein, wobei vor allem die Risikoeinstellung des Investors, die „Größe“ des Bewertungsobjekts, die Transaktionsmöglichkeiten auf dem Kapitalmarkt und andere private Risiken des Investors als Determinanten der Abweichung untersucht werden (Kapitel VIII bis XII und XV). Wie gezeigt wird, resultiert die Problematik der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises und seiner prinzipiellen Abweichung von Wertpapierpreisen im Wesentlichen aus fehlender Teilbarkeit von Unternehmen.37 Bei der Analyse der Abweichung zwischen dem individuellen subjektiven Grenzpreis und dem Marktwert wird in der Arbeit oft von gegebenen zustandsabhängigen Überschüssen ausgegangen. Dies bedeutet aber nicht, dass der individuelle subjektive 35
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Vgl. TSCHÖPEL (2004, S. 80); BAETGE/KRAUSE (1994); DRUKARCZYK (2003, S. 310 ff.); HERING (2006, S.182-184); BORN (2003, S. 113); SCHILDBACH (1998, S. 309). Die Mitglieder des IDW werden sicherlich für derartige Erleichterungen ihrer Arbeit dankbar sein. Darauf hat SCHMIDT schon 1976 hingewiesen: „Bei der Unternehmensbewertung stellt sich das schwierige Problem der Teilbarkeit bzw. Unteilbarkeit. Bei Aktien gibt es ein Problem der Unteilbarkeit zwar auch, aber es ist doch so gering, dass es viel eher vernachlässigt werden kann als bei der Unternehmensbewertung. Strukturelle Angleichung von Objektzahlungsreihe, Alternativzahlungsreihe und gewünschter Einkommensreihe ist – jedenfalls unter den gemachten Annahmen – kein Problem“ (SCHMIDT, 1976, S. 61).
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Grenzpreis allgemein in der Weise bestimmt werden kann, dass zunächst die Überschüsse mit dem höchsten Marktwert geplant und dann die entsprechenden optimalen Hedgemaßnahmen und der Abschlag vom Marktwert ermittelt werden. Unter den Bedingungen, unter denen der individuelle subjektive Grenzpreis vom Marktwert abweicht, ist die isolierte Planung der zustandsabhängigen Überschüsse nicht zielführend. Vielmehr ist integratives Risikomanagement geboten, bei dem simultan mit den optimalen Überschüssen die entsprechenden optimalen Hedgemaßnahmen geplant (antizipiert) werden. In Kapitel XV wird für den Mehrperioden-Fall gezeigt, wie bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises simultan die Überschüsse des Leistungsbereichs mit denen der optimalen Hedgemaßnahmen abgestimmt werden können.
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Die Problematik des DEAN-Modells als Leitlinie für die Schätzung eines risikoangepassten (endogenen) Kalkulationszinsfußes [*]
Die Vorstellung den Kalkulationszinsfuß aus der „besten verdrängten Handlungsalternativen“ abzuleiten, ist vermutlich auf das Modell von DEAN zurückzuführen, das in Deutschland große Beachtung gefunden hat (DEAN, 1951; MOXTER, 1961; HAX, 1993, S. 62 ff.). Es geht hierin um die Ermittlung eines optimalen Kapitalbudgets bei sicheren Erwartungen des Investors über die Renditen der Investitionsprojekte (oder bei unsicheren Erwartungen und Risikoneutralität des Investors) bei unvollkommenem Kapitalmarkt. Es wird gezeigt, wie bei beliebiger Teilbarkeit der Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen für den Einperioden-Fall ein optimales Investitions- und Finanzierungsprogramm ermittelt werden kann und dass der optimalen Lösung ein endogener Kalkulationszinsfuß entspricht, mit dem dieses Programm bestimmt und ein zusätzliches Investitionsprojekt bewertet werden kann, sofern er a priori bekannt ist (oder hinreichend genau geschätzt werden kann).38 Der Kalkulationszinsfuß wird durch die Rendite (den internen Zinsfuß) der an der Grenze der Vorteilhaftigkeit stehenden „Grenzinvestition“ oder „Grenzfinanzierungsmaßnahme“ bestimmt. Wird durch ein Bewertungsobjekt eine Grenzinvestition verdrängt, bestimmt deren Rendite den Kalkulationszinsfuß. Ist es bei Kauf besser, eine Grenzfinanzierungsmaßnahme in Anspruch zu nehmen, statt auf Investitionen zu verzichten, bestimmt deren Kostensatz den Kalkulationszinsfuß. Die Idee, den Grenzpreis bzw. den maßgeblichen Kalkulationszinsfuß für dessen Ermittlung aus der Grenzfinanzierungsmaßnahme bzw. -investition abzuleiten, wird sehr klar von MOXTER beschrieben, auf dessen Arbeiten immer wieder zurückgegriffen wird, wenn gleiche oder ähnliche Konzepte vorgeschlagen werden: „In vielen Fällen stellt sich das Bewertungsobjekt als Bestandteil eines „Portefeuilles“ dar, das heißt einer Kombination mehrer Mittelanlageobjekte und mehrerer Mittelaufnahmeobjekte. […] Das Marginalprinzip besagt, dass man als Vergleichsobjekt die Grenzobjekte eines Portefeuilles heranzuziehen hat. Sind die Mittelaufnahmemöglichkeiten erschöpft, so verdrängt das Bewertungsobjekt das gleiche bzw. gleichwertige Erträge versprechende, renditeschwächste Mittelanlageobjekt des Portefeuilles; der Grenzpreis des Bewertungsobjekts entspricht dann dem Preis dieses Mittelanlageobjekts. Sind weitere Mittelaufnahmen möglich, so verursacht das Be-
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Zur Bewertung in Risikosituationen gemäß dem Prinzip der flexiblen Planung bei Unvollkommenheit des Kapitalmarktes in der Gestalt von Kapitalrationierung vgl. Kapitel XIV, Abschnitt 13.
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Kapitel I
wertungsobjekt grundsätzlich eine Portefeuilleerweiterung; Vergleichsobjekt ist jetzt das Mittelaufnahmeobjekt: Für das Bewertungsobjekt darf höchstens der Betrag gezahlt werden, dessen Finanzierungskosten die Erträge aus dem Bewertungsobjekt voll aufzehren würden“ (MOXTER, 1983, S. 140 f.).39 „Das Vergleichsobjekt muss diejenige Mittelanlage darstellen, die der potentielle Käufer bei Nichtrealisierung des Bewertungsobjekts wählte (oder diejenige Mittelaufnahme, die bei Realisierung des Bewertungsobjekts erforderlich würde): Vom potentiellen Käufer aus gesehen bedeutet der Kauf des Bewertungsobjekts, dass entweder eine andere Mittelanlage verdrängt wird oder dass zusätzliche Finanzierungsmittel erforderlich werden. Die Verdrängung einer anderen Mittelanlage bedeutet eine Ertragsminderung; das gleiche gilt für die Aufnahme zusätzlicher Finanzierungsmittel. Der potentielle Käufer darf daher höchstens den Preis für das Bewertungsobjekt zahlen, bei dessen Entrichtung andere Mittelanlagen in dem Maße verdrängt bzw. zusätzliche Finanzierungsmittel gerade in der Höhe erforderlich werden, dass sich die hierdurch entstehende Ertragsminderung und die durch das Bewertungsobjekt ausgelöste Ertragsmehrung kompensieren“ (MOXTER, 1983, S. 124). Analog zum Fall sicherer Erwartungen wird für die individuelle subjektive Bewertung bei Risiko (und Risikoaversion) vorgeschlagen, den risikoangepassten Zinssatz aus der besten, durch Kauf des Bewertungsobjekts verdrängten Alternative der gleichen Risikoklasse abzuleiten.40 Unter welchen Bedingungen überhaupt eine oder mehrere Alternativen der gleichen Risikoklasse verdrängt werden und warum dann die beste davon den bewertungsrelevanten Zinssatz bestimmt, wird dabei nicht gezeigt. Anders als im DEAN-Modell stellt sich in der Realität das Problem, stochastische Abhängigkeiten zwischen den Überschüssen der Projekte eines Investitionsprogramms zu erfassen und zu prüfen, wie durch Kapitalmarkttransaktionen das Risiko gehedgt werden kann. Selbst wenn das optimale Investitionsprogramm und das optimale Wertpapierportefeuille ohne das Bewertungsobjekt bekannt wären, könnte kaum in einfacher Weise abgeschätzt werden, wie sich beide bei Kauf des Bewertungsobjekts ändern.
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Vgl. auch BALLWIESER/LEUTHIER (1986). „Der Unternehmenswert errechnet sich als Barwert der künftigen Erträge aus dem Unternehmen. Der Diskontierungssatz („Kalkulationszinsfuß“, „Kapitalisierungszinssatz“) wird dabei aus der besten alternativen Kapitalanlage („Alternativanlage“, „Vergleichsinvestition“) abgeleitet [...]“ (MANDL/RABEL, 1997, S. 31). Da jedoch die „beste alternative Kapitalanlage“ a priori nicht bekannt ist, ergeben sich bei deren Ermittlung im Prinzip dieselben Bewertungsprobleme wie bei der expliziten Ermittlung des Grenzpreises für das zu bewertende Unternehmen. Abgesehen davon: Wie soll aus der „Alternativanlage“ ein für dieses Unternehmen maßgeblicher Diskontierungssatz hergeleitet werden, wenn nicht beide in dieselbe Risikoklasse fallen? Später präzisieren MANDL und RABEL wie folgt: „Aus der Fülle der in der Regel offenstehenden Alternativen ist die beste bzw. günstigste auszuwählen. Dabei muss jedoch nicht nur auf die Vergleichbarkeit der Alternativen untereinander, sondern in weiterer Folge auch auf ihre Vergleichbarkeit (Äquivalenz) mit den Unternehmenserträgen geachtet werden. Besondere Bedeutung erlangt dabei vor allem die Forderung nach der gleichen Unsicherheitsdimension der verglichenen Ertragsströme“ (MANDL/RABEL, 1997, S. 132). Unter „gleicher Unsicherheitsdimension“ wird vermutlich gleiche Risikoklasse verstanden. Die Argumentation klingt so, als ob ohne den Unternehmenskauf mehrere Investitionen derselben Risikoklasse wie für das Unternehmen durchgeführt werden und bei Unternehmenskauf auf einige dieser Alternativanlagen verzichtet wird. Wann wird diese Bedingung überhaupt erfüllt sein? Ähnlich wie MANDL/RABEL argumentieren HOMMEL/BRAUN (2002, S. 127; 278): „Die prognostizierten Nettoentnahmen werden der individuell besten, durch den Unternehmenserwerb verdrängten [...]. Alternative gegenübergestellt, deren Entnahmeverteilung identisch oder zumindest als gleichwertig einzuschätzen ist“. „Gleichwertigkeit“ impliziert auch hier „gleiche Risikoklasse.“ Vgl. auch BÖCKING/ NOWAK (1998); WESNER (2006, S. 38); BALLWIESER (1990, S. 5); WIEDMANN/ADERS/WAGNER (2001, S. 712).
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Sind die Mittelaufnahmemöglichkeiten erschöpft, so verdrängt das Bewertungsobjekt allenfalls zufällig eine Investition der gleichen Risikoklasse. Selbst wenn ein solches Projekt im Programm ohne das Bewertungsobjekt enthalten ist, wird es nicht ohne weiteres durch das Bewertungsobjekt „verdrängt“. Es ist möglich, dass im Optimum ein Projekt einer anderen Risikoklasse verdrängt wird, weil es renditeschwächer ist und sein Überschuss mit den Überschüssen der übrigen Investitionsprojekte relativ stark korreliert ist. Die Bewertung kann nur im Rahmen eines Kalküls erfolgen, in dem unter Berücksichtigung der Risikoeinstellung des Investors und den stochastischen Abhängigkeiten zwischen den Projektüberschüssen geprüft wird, wie bei Kauf des Bewertungsobjekts das Investitionsprogramm und das Wertpapierportefeuille umstrukturiert werden. Außerdem kann das Bewertungsobjekt in eine andere Risikoklasse fallen als alle bisher geplanten Investitionen. Auch wenn ein Projekt derselben Risikoklasse bereits geplant ist, mag sein Preis deshalb nicht Grenzpreis des Bewertungsobjekts sein, weil es kleiner oder größer als das Bewertungsobjekt ist, so dass bei Ganzzahligkeitsbedingungen infolge einer Verdrängung weitere Anpassungsmaßnahmen erforderlich werden. Wieder stellt sich das Problem, ein komplexeres Bewertungskalkül zu erarbeiten, statt auf eine a priori gegebene Vergleichsalternative abzustellen.
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Resümee
1. Die Arbeit befasst sich mit Grundfragen der Bewertung als Basis für die Entscheidung darüber, ob ein Bewertungsobjekt gekauft bzw. verkauft werden soll. Bei potenziellem Kauf (Verkauf) stellt der Wert eine Preisobergrenze (Preisuntergrenze) dar, bei der der Kauf (der Verkauf) aus Sicht des Bewertungssubjekts, für das die Bewertung vorgenommen wird, weder „vorteilhaft“ noch „nachteilig“ ist. Es wird gezeigt, wie der Wert oder Grenzpreis in alternativen Entscheidungssituationen ermittelt werden kann und wie er von seinen Determinanten abhängt. Besonderer Raum wird der Frage gewidmet, unter welchen Bedingungen der Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. 2. Als entscheidungsrelevante Zielfunktionen werden „subjektive Nutzenmaximierung“ und „Marktwertmaximierung“ zugrunde gelegt und deren Implikationen verglichen. Folgende Bewertungsfälle stehen im Vordergrund der Arbeit: Fall A: Die Bewertung erfolgt für ein börsennotiertes Unternehmen, dessen Anteilseigner kleine Anteile am Unternehmen und somit am Bewertungsobjekt halten und das Risiko durch gut gemischte Portefeuilles von Wertpapieren hedgen. Fall B: Die Bewertung erfolgt vom Standpunkt eines individuellen Investors, der erwägt, das Bewertungsobjekt für sich allein zu erwerben. Gelegentlich wird auch der Fall betrachtet, dass der Investor das Bewertungsobjekt als Alleineigentümer besitzt und erwägt, es zu verkaufen. Wir gehen stets davon aus, dass sich die Anteilseigner im Fall A bzw. der Investor im Fall B am Ziel orientieren, den Erwartungswert des Nutzens ihrer finanziellen Überschüsse (kurz: ihren Nutzen) zu maximieren. Nutzenmaximierung ist das Referenzziel, das stets als Ausgangspunkt der Betrachtung dient. 3. Im Fall A, in dem die Anteilseigner nur wenig an den Überschüssen des Bewertungsobjekts partizipieren, ist das Bewertungskalkül aus Sicht eines einzelnen Anteilseigners ein Marginalkalkül. Im Fall B trägt der Investor das Risiko des Bewertungsobjekts allein. Aufgrund
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von Ganzzahligkeitsbedingungen kann er kein Marginalkalkül erstellen. Er kann zwar das Risiko aus dem Bewertungsobjekt durch Portefeuillebildung reduzieren (hedgen), er erreicht aber grundsätzlich nicht jene Risikostruktur, die für einen einzelnen Anteilseigner im Fall A bewertungsrelevant ist. Im Fall B wird der Investor die Bewertung gemäß seiner subjektiven Nutzenfunktion vornehmen. Für ihn ist der Grenzpreis derjenige Preis, von dem an sein subjektiver Nutzen bei Kauf (Verkauf) sinkt (steigt). Wir bezeichnen den jeweiligen kritischen Preis als individuellen subjektiven Grenzpreis. Er stimmt mit dem Marktwert überein, wenn Marktwertmaximierung und individuelle subjektive Nutzenmaximierung äquivalente Ziele sind, was aber nur unter sehr speziellen (Kapitalmarkt-)Bedingungen der Fall ist. Wie in der Arbeit immer wieder deutlich wird, gelten die Darstellungen zum Fall B analog für die Bewertung aus Sicht eines „Großaktionärs“ eines börsennotierten Unternehmens oder eines Investors, der privat mit wenigen anderen ein relativ großes Bewertungsobjekt zu kaufen bzw. seinen Anteil daran zu verkaufen erwägt. 4. Bei Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern im Fall A ist jeder von ihnen „repräsentativ“ in dem Sinne, dass mit der Maximierung seines Nutzens zugleich auch der Nutzen jedes anderen Anteilseigners maximiert wird. Entsprechend existiert bei Einmütigkeit ein einheitlicher Grenzpreis, bei dessen Überschreitung bei Kauf des Bewertungsobjekts der subjektive Nutzen jedes Anteilseigners sinkt. Wir bezeichnen ihn als kollektiven subjektiven Grenzpreis. Er kann – wie auch ein optimales Investitionsprogramm – auf der Basis der Präferenzen eines beliebigen Anteilseigners ermittelt werden. Unter den (Kapitalmarkt-)Bedingungen, unter denen Einmütigkeit besteht, steht Marktwertmaximierung streng oder „näherungsweise“ im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung für alle Anteilseigner. Wenn die Maximierung des Marktwertes des Unternehmens im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, ist der kollektive subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert des Bewertungsobjekts. 5. Für die Ermittlung des Wertes eines Unternehmens aus Sicht des Alleineigentümers oder der Gesellschafter bieten sich zwei Grund-Konzepte an, der Entity-Ansatz (oder BruttoAnsatz) und der Equity-Ansatz (oder Netto-Ansatz). Beim Entity-Ansatz wird der Marktwert M0 des Unternehmens nach Ausschüttung und nach Abzug des Fremdkapitals (d.h. der Marktwert des „Eigenkapitals“) wie folgt ermittelt: (I.1)
M0
=
Marktwert des Leistungsbereichs: Ermittelt als Marktwert der zukünftigen Überschüsse dieses Bereichs + Marktwert des Finanzbereichs ohne Fremdkapital: Zum risikolosen Zinssatz r angelegter Kapitalbetrag zuzüglich des Marktwertes (Börsenwertes) des Bestandes an riskanten Wertpapieren + Marktwert des neutralen (des nicht betriebsnotwendigen) Sachvermögens – Fremdkapital.
Beim Equity-Ansatz wird M0 direkt auf der Basis zukünftiger Ausschüttungen des Unternehmens ermittelt. 6. Wenn die Überschüsse des Leistungsbereichs durch Portefeuillebildung dupliziert werden können, kann (wenn vom Planungsaufwand abgesehen wird) deren Marktwert als Marktwert des Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Das Duplikationsportefeuille ist ein (statisches oder dynamisches) Portefeuille aus Wertpapieren, das in Zukunft dieselben Überschüsse aufweist wie der Leistungsbereich.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
59
Damit die Duplikation in jedem Fall gelingt, muss der Kapitalmarkt „vollständig“ sein. Je nach der Wahrscheinlichkeitsverteilung bezüglich der Überschüsse kann jedoch auch bei unvollständigem Kapitalmarkt die Bedingung der Duplizierbarkeit für ein Bewertungsobjekt erfüllt sein. Wenn die Duplikation durch Portefeuillebildung nicht möglich ist oder einen prohibitiv hohen Aufwand verursacht, benötigt man ein Modell, das die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt eigenständig erklärt und nicht gesuchte Marktwerte auf bekannte Marktwerte zurückführt. Beim Discounted Cashflow-Verfahren (DCF-Verfahren) werden die Erwartungswerte der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs mit einem kapitalmarktorientierten risikoangepassten Kalkulationszinsfuß diskontiert. Er wird i.d.R. in der Weise ermittelt, dass auf der Basis kapitalmarkttheoretischer Überlegungen der risikolose Zinssatz r, der sogenannte Basiszins, um einen Zuschlag bzw. Abschlag (oder um periodenabhängige Zuschläge bzw. Abschläge) korrigiert wird. Da für die Bewertung im Allgemeinen Zuschläge maßgeblich sind, spricht man auch von Risikozuschlags-Methode. In der Praxis wird im Allgemeinen der risikoangepasste Zinssatz aus dem Capital Asset Pricing Model (CAPM) hergeleitet. Bei der Sicherheitsäquivalent-Methode werden die Sicherheitsäquivalente der zukünftigen Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Das Sicherheitsäquivalent eines ungewissen Überschusses ist derjenige sichere Überschuss, der dem ungewissen gleichwertig ist, hier also denselben Marktwert aufweist. Die Sicherheitsäquivalent-Methode wird in der Praxis vorwiegend bei der Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise (sogenannter „Ertragswerte“) angewendet, während für die Ermittlung von Marktwerten die Risikozuschlags-Methode vorgezogen wird. 7. Beim Equity-Ansatz wird der Marktwert der Aktien (der Marktwert des Eigenkapitals) direkt auf Basis zukünftiger Ausschüttungen des Unternehmens ermittelt. Dabei sind im Prinzip die gleichen Bewertungskonzepte maßgeblich wie für die Bewertung der Überschüsse des Leistungsbereichs. 8. Ohne Rücksicht auf die Risikoeinstellung des Investors ist der individuelle subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts gleich dem (virtuellen) Marktwert, sofern die Überschüsse duplizierbar sind und das Duplikationsportefeuille unbeschränkt (leer-)verkauft werden kann. Jedoch sind diese Bedingungen vor allem bei größeren Bewertungsobjekten nicht erfüllt. Fehlende Duplizierbarkeit kann insbesondere aus stochastisch unabhängigen Störtermen („Noise“) resultieren, die unsystematische Risiken erzeugen. Die Störterme können sich direkt auf die Überschüsse des Bewertungsobjekts beziehen, aber auch allgemein auf die zukünftigen Wertpapierpreise. In dieser Arbeit wird der Einfluss beider Typen von Störtermen auf Abweichungen zwischen individuellen subjektiven Grenzpreisen und Marktwerten untersucht. Im Gegensatz zur Bewertungsliteratur widmen wir dabei Störtermen für zukünftige Kursentwicklungen besondere Aufmerksamkeit. Diese Störterme können vor allem auch aus beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Entscheidungsträger in Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen herrühren, die in gewissem Umfang nach Zufallsprozessen entscheiden. Die Störterme mögen zwar im Rahmen gut gemischter Portefeuilles praktisch nicht bewertungsrelevant sein und somit keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise haben. Jedoch können sie das Hedgepotential eines individuellen Investors erheblich beeinträchtigen und bewirken, dass sein individueller subjektiver Grenzpreis weit unter dem Marktwert liegt. Wenn der Marktwert als Grenzpreis nicht in Betracht kommt, benötigt man ein Bewertungskonzept, das den Präferenzen des Investors explizit Rechnung trägt. In Theorie und Praxis sind auch für die Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise Diskontierungsmodelle verbreitet. Dabei können wiederum die Sicherheitsäquivalente der zukünftigen
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Kapitel I
Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz oder die Erwartungswerte dieser Überschüsse mit einem risikoangepassten Zinssatz diskontiert werden. 9. Oft wird empfohlen, bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises einen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß nicht nach „freiem Ermessen“ festzulegen, sondern ihn in Anlehnung am an den internen Zinsfuß der durch den Kauf des Bewertungsobjekts besten „verdrängten“ Alternativinvestition zu ermitteln. Gelegentlich wird es auch als sinnvoll angesehen, den risikoangepassten Kalkulationszinsfuß wie bei Marktbewertung nach dem DCF-Verfahren in Anlehnung an das CAPM zu ermitteln. Jedoch ist sowohl die Orientierung an der besten „verdrängten“ Alternativrendite als auch die Orientierung an den Bewertungsfunktionen des CAPM problematisch. Insbesondere wird nicht berücksichtigt, dass der individuelle subjektive Grenzpreis davon abhängt, wie man das aus den Überschüssen des Bewertungsobjekts resultierende Risiko konkret durch Portefeuillebildung und eventuell auch mit Realinvestitionen optimal hedgt. Bei Orientierung an der besten „verdrängten“ Vergleichsinvestition werden Risiken im Umfeld des Bewertungsobjekts (Hedgemaßnahmen durch Portefeuillebildung) überhaupt nicht berücksichtigt, bei Zugrundelegung des risikoangepassten Zinssatzes gemäß dem CAPM wird unterstellt, dass der Investor einen marginalen Anteil am Bewertungsobjekt hält und das Risiko durch Portefeuillebildung ideal gehedgt hat. 10. Oft wird behauptet, ein individueller subjektiver Grenzpreis könne deshalb nicht ermittelt werden, weil die bewertungsrelevante Nutzenfunktion nicht bekannt sei und sich außerdem im Zeitablauf ändern könne. In der Entscheidungstheorie wurden jedoch Konzepte entwickelt, mit denen (bruchstückhaft) auf die Nutzenfunktion geschlossen werden kann. Zwar wird sich die Nutzenfunktion im Zeitablauf ändern. Das gilt aber auch für Marktwerte. Wenn man bezüglich einer Nutzenfunktion einen individuellen subjektiven Grenzpreis ermittelt hat und nun damit rechnet, dass sie sich ändern kann, sollte man einen Abschlag vornehmen, wenn bei Kauf des Bewertungsobjekts gegenüber Kapitalmarktanlagen Anpassungen an Änderungen erschwert werden. Das ist grundsätzlich dann der Fall, wenn der Kapitalmarkt unvollkommen und unvollständig ist. Unter diesen Kapitalmarktbedingungen ist jedoch der individuelle subjektive Grenzpreis kleiner als der Marktwert, so dass die Wertkorrektur in die falsche Richtung geht, wenn statt eines reduzierten Grenzpreises der Marktwert angesetzt wird. 11. Wie erläutert, nimmt der Investor im Fall B keine(n) Gesellschafter auf, wenn er ein Unternehmen (allgemein: ein Bewertungsobjekt) kauft; er führt (nutzt) es als Alleineigentümer. Dies kann zwar unter dem Aspekt der Risikoteilung nachteilig sein, bezüglich der Motivation und der Durchsetzung eigener Interessen durch den Investor können sich jedoch bei Alleineigentum Vorteile ergeben, die die Nachteile ineffizienter Risikoteilung überkompensieren. 12. Die Aufnahme von Gesellschaftern steht im Spannungsfeld zwischen effizienter Risikoteilung und der Vermeidung von Anreiz- und Kontrollproblemen. Eine Vergrößerung der Zahl der Gesellschafter verbessert grundsätzlich die Risikoteilung mit der Folge, dass bei linearer Erfolgsteilung und ausschließlicher Orientierung an finanziellen Zielen der Konfliktbereich zwischen den Gesellschaftern tendenziell immer mehr eingeengt wird. Andererseits können sich aufgrund heterogener Erwartungen über zukünftige Überschüsse und/oder nichtfinanzieller Bewertungsaspekte größere Konflikte ergeben. Insbesondere besteht die Tendenz, dass mit steigender Zahl von Gesellschaftern (mit fallendem Erfolgsanteil des Einzelnen) die Motivation, durch eigene Anstrengungen die Erfolgssituation zu verbessern, immer geringer wird.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Im Bewertungsfall A sind sehr viele Anteilseigner mit breit gestreuten Portefeuilles am Unternehmen beteiligt. Hier existiert ein für alle Anteilseigner gleicher kollektiver subjektiver Grenzpreis, der zumindest näherungsweise mit dem Marktwert übereinstimmt. Da der individuelle subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert ist, liegt die Vermutung nahe, dass der Grenzpreis im Fall A höher ist als im Fall B. Jedoch kann der Marktwert aufgrund von Free-Rider-Problemen im Fall A wesentlich niedriger sein als im Fall B. Für den individuellen Investor im Fall B kann eben ein hoher Anreiz bestehen, hohe Überschüsse zu erzielen. Im Fall A dagegen ist der Anreiz eines Anteilseigners, die Erfolgssituation zu verbessern, grundsätzlich gering; er trägt das Arbeitsleid allein und muss Erfolgszuwächse mit vielen anderen teilen. Die Motivation eines Anteilseigners ist nicht nur dann gering, wenn ihm die Unternehmensführung obliegt. Dies gilt auch für seine Motivation, im Fall der Delegation der Unternehmensführung an Entscheidungsträger diese zu kontrollieren und zieladäquat zu steuern.
11
Aufbau der Arbeit
Die nachfolgenden Kapitel befassen sich mit folgenden Problemstellungen: Teil B: Entscheidungstheoretische Grundlagen In Kapitel II werden die entscheidungstheoretischen Grundlagen der Arbeit dargestellt. Besondere Beachtung findet das BERNOULLI-Prinzip, wonach es rational ist, den Erwartungswert des Nutzens der Zielgrößen (z.B. Gewinne, Überschüsse, Vermögenswerte) zu maximieren. Nutzenmaximierung dient in dieser Arbeit als Referenzziel, an dem die betrachteten Zielfunktionen und Bewertungskriterien gemessen werden. In Kapitel III wird das Grundmodell der Portefeuilleplanung für einen individuellen Investor dargestellt. Es bildet die Basis für die Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt und die kollektive und individuelle subjektive Bewertung in den nachfolgenden Kapiteln. Teil C: Preisbildung auf dem Kapitalmarkt und kollektive subjektive Grenzpreise im Vergleich zu Marktwerten Auf Kapitel III aufbauend befasst sich Kapitel IV mit den kapitalmarkttheoretischen Grundlagen dieser Arbeit. Es werden Eigenschaften von Kapitalmarktgleichgewichten unter besonderer Berücksichtigung der Risikoteilung zwischen den Investoren auf dem Kapitalmarkt gezeigt und es wird untersucht, wie die Preise und „Marktrisikoprämien“ von Wertpapieren von ihren Determinanten – insbesondere den Erwartungen und Risikoeinstellungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt – abhängen. Die Darstellungen haben nicht nur Bedeutung für die Ermittlung der Marktwerte von Bewertungsobjekten, sondern auch für die Analyse ihrer Relevanz als Grenzpreise in den Bewertungsfällen A und B. In den Kapiteln V und VI werden Bedingungen untersucht, unter denen zwischen den Anteilseignern eines börsennotierten Unternehmens Einmütigkeit besteht. Bei Einmütigkeit werden mit der Maximierung des Nutzenerwartungswertes eines beliebigen
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Kapitel I
Anteilseigners simultan die Nutzenerwartungswerte aller anderen Anteilseigner maximiert. Es existiert dann für ein beliebiges Bewertungsobjekt ein kollektiver subjektiver Grenzpreis, der (annähernd) mit dem Marktwert übereinstimmt. Zudem werden Bedingungen gezeigt, unter denen Zielkonflikte zwischen den Anteilseignern bestehen. Es kann dann kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existieren, so dass der Marktwert allenfalls für eine homogene Gruppe von Anteilseignern als Grenzpreis in Betracht kommt. Grundlegende Voraussetzung für die Existenz eines kollektiven subjektiven Grenzpreises ist, dass in der Ausgangssituation (d.h. vor dem Projekt) das Risiko zwischen den Anteilseignern pareto-effizient geteilt wird und sie proportional an den Projektrückflüssen partizipieren. In Kapitel VII werden – gewissermaßen als Fazit der Kapitel V und VI – kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte verglichen. Zudem wird untersucht, welche Bedeutung private Risiken und Leerverkaufsmöglichkeiten bzw. deren Beschränkungen für die Bewertung haben. Außerdem wird gezeigt, dass auch die virtuelle Marktbewertung (nicht nur die individuelle subjektive Bewertung) weitgehend durch Subjektivismen – etwa bei der Prognose der erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts und Auswahl eines risikoangepassten Kalkulationszinsfußes – beeinflusst wird. Teil D: Optimale Portefeuillebildung und individuelle subjektive Grenzpreise im Vergleich zu Marktwerten Die Kapitel VIII bis XII befassen sich primär mit dem Bewertungsfall B, also der Bewertung aus Sicht eines individuellen Investors, der das Risiko aus dem Bewertungsobjekt nicht mit anderen Investoren direkt teilt, sondern allenfalls indirekt über Portefeuillebildung. In Kapitel VIII wird davon ausgegangen, dass der Investor dieses Risiko überhaupt nicht hedgt. Es wird untersucht, welche Höhe dann sein Grenzpreis aufweist und wie er sich vom Marktwert unterscheiden kann. Darauf aufbauend zeigen die Darstellungen in den Kapiteln IX bis XII die wertsteigernde Wirkung der Portefeuillebildung im Umfeld des Bewertungsobjekts. In den Kapiteln IX und X wird in Erweiterung der Darstellun (der Übergen von Kapitel III gezeigt, wie ein exogener unsicherer Überschuss Ü 1 schuss eines Bewertungsobjekts) durch Portefeuillebildung optimal gehedgt werden nicht oder nur bekann, wenn das Duplikationsportefeuille für den Überschuss Ü 1 schränkt leerverkauft werden kann (Kapitel IX) und/oder gar kein Duplikationsportefeuille existiert (Kapitel X). Darauf aufbauend wird in den Kapiteln XI und XII untersucht, wie der individuelle subjektive Grenzpreis ermittelt werden kann, wenn der Überschuss des Bewertungsobjekts in den gegebenen Grenzen durch Portefeuillebildung optiÜ 1 mal gehedgt wird. Wieder wird gezeigt, wie der Grenzpreis von seinen Determinanten abhängt und wie er sich vom Marktwert unterscheiden kann. Wenn der Überschuss duplizierbar ist und das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden kann, ist der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert. Ansonsten ist er grundsätzlich niedriger.
Bewertung als Entscheidungsproblem und Lösungsansätze: Ein Überblick
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Teil E: Marktbewertung und individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall Die Darstellungen in den Kapiteln III bis XII beziehen sich auf den Einperioden-Fall. Sie werden in den Kapiteln XIII, XIV und XV auf den Mehrperioden-Fall erweitert, wobei im Allgemeinen das Konzept der flexiblen Planung zugrunde gelegt wird. Mit diesem Konzept und seiner allgemeinen Bedeutung für die Bewertung befasst sich Kapitel XIII. Dort wird auch ein Bewertungsmodell dargestellt, das im Prinzip unabhängig davon angewendet werden kann, ob das bewertungsrelevante Ziel in der Maximierung des Marktwertes (Kapitel XIV) oder der Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens der Überschüsse besteht (Kapitel XV). In Kapitel XV wird auch gezeigt, wie man sukzessiv durch Abschläge von einem gegebenen Marktwert einen Schätzwert für den individuellen subjektiven Grenzpreis ermitteln kann. Bei der Analyse der optimalen Portefeuillebildung und der Erklärung der Preisbildung und der Risikoteilung auf dem Kapitalmarkt stehen nicht – wie in der Literatur üblich – Renditen im Vordergrund, sondern absolute Größen wie z.B. das Endvermögen eines Investors (sein Vermögen am Ende des betrachteten Planungszeitraums), die Endwerte der Wertpapiere und absolute Risikoprämien in Form erwarteter Residualgewinne. Diese Darstellungsweise erleichtert vor allem die Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise im Kapitalmarktzusammenhang und deren Vergleich mit Marktwerten. In der Arbeit wird (auch) der Marktbewertung besonderer Raum gewidmet. Sie hat nicht nur Bedeutung für die Ermittlung von Grenzpreisen im Fall A, sondern auch für die Bewertung im Fall B. Wie erläutert, stimmt unter bestimmten Kapitalmarktbedingungen der individuelle subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts überein. Sind die Bedingungen nicht erfüllt, ist der individuelle subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert. Die direkte Ermittlung des Grenzpreises stellt dann ein komplexes Problem dar. Es kann jedoch vereinfacht werden, indem zunächst ein Marktwert ermittelt und dann hiervon ein subjektiver Abschlag vorgenommen wird, um eine Annäherung an den Grenzpreis zu erzielen (Kapitel XV). Die dargestellten Modelle zur Analyse des subjektiven Abschlags in verschiedenen Entscheidungssituationen sind nicht dazu gedacht, den Abschlag „auszurechnen“. Sie sollen vielmehr zeigen, von welchen Determinanten die Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis abhängt, und so Orientierung und Hilfestellung für Rückschlüsse auf subjektive Grenzpreise geben. Die Darstellungen zum Einfluss der maßgeblichen Determinanten auf den Verlauf der „modifizierten Effizienzkurve“ und den zugehörigen individuellen subjektiven Grenzpreis (insbesondere Risikoprämien, Varianzen und Kovarianzen) haben gelegentlich die Form von „Tendenzaussagen“, die nicht allgemeingültig sind. Aufgrund der engen Interdependenzen zwischen den Determinanten ist es eben z.T. äußerst schwierig, generelle und zugleich präzise Resultate zu erzielen. Jedoch beruhen die Tendenzaussagen jeweils auf der Analyse möglicher Zusammenhänge auf der Grundlage eines präzisen Entscheidungsmodells und deren Interpretation. Es wird jeweils ersichtlich welche Überlegungen hinter den Tendenzaussagen stehen. Im übrigen kann man in einer kon-
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Kapitel I
kreten Entscheidungs- und Bewertungssituation im Rahmen von Sensitivitätsanalysen auf der Grundlage alternativer Ausprägungen für die Determinanten deren Einfluss auf den Wert des Bewertungsobjekts modellorientiert prüfen. Die mit einem „Stern“ [*] gekennzeichneten (und mit kleinerer Schrift gedruckten) Abschnitte enthalten Erweiterungen und Vertiefungen, die für den Spezialisten gedacht sind. Sie werden allenfalls für die Darstellungen in Abschnitten benötigt, die ebenfalls mit einem „Stern“ versehen sind.
TEIL B: ENTSCHEIDUNGSTHEORETISCHE GRUNDLAGEN
Kapitel II Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
1
Problemstellung
Wie in Kapitel I erläutert wurde, befasst sich die Arbeit vor allem mit der Frage, wie bei unterschiedlichen Formen der Risikoteilung Bewertungsziele theoretisch fundiert und wie einzelne Investitionsprojekte, Investitionsprogramme oder ganze Unternehmen zielkonform bewertet werden können. Im vorliegenden Kapitel wird ein Überblick über diejenigen Bausteine der Theorie der Individualentscheidung gegeben, auf denen in den nachfolgenden Kapiteln aufgebaut wird.1 Die Darstellungen im vorliegenden Kapitel haben auch direkte Bedeutung für die Unternehmensplanung. Wie in späteren Kapiteln gezeigt wird, besteht unter bestimmten Kapitalmarktbedingungen Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern (Gesellschaftern) eines Unternehmens, so dass gilt: Wird im Rahmen eines Individualkalküls der subjektive „Nutzen“ des Erfolgsanteils für einen beliebigen Anteilseigner maximiert, ergibt sich simultan auch ein Optimum für jeden anderen Anteilseigner; es existiert ein (einheitlicher) kollektiver subjektiver Grenzpreis für ein beliebiges Bewertungsobjekt. Ein wesentliches Problem der Individualentscheidung und entsprechend der Bewertung bei Risiko besteht darin, die möglichen Ergebnisse der erwogenen Alternativen zu bewerten. Im Vordergrund der Arbeit steht das BERNOULLI-Prinzip (Abschnitt 2.2), wonach die Ergebnisse derart durch subjektive Nutzenwerte repräsentiert werden, dass sich diejenige Alternative als optimal erweist, mit der der Erwartungswert des Nutzens (kurz: der Erwartungsnutzen oder Nutzen) maximiert wird. Häufig wird das BERNOULLI-Prinzip durch einfache Entscheidungskriterien repräsentiert, die nur unter bestimmten Voraussetzungen mit ihm in Einklang stehen, und zwar die P-Regel und das (P,V)-Prinzip (Abschnitt 2.3). 1
Ausführlichere Darstellungen (insbesondere auch Beweise) finden sich zum Beispiel in LAUX (2007); EISENFÜHR/WEBER (2003); BITZ (1981); BAMBERG/COENENBERG (2002).
66
Kapitel II
In Abschnitt 3 wird das ARROW-PRATT-Maß für die absolute Risikoaversion dargestellt, das im Rahmen dieser Arbeit vor allem für die Analyse der Eigenschaften „pareto-effizienter“ bzw. „anreizkompatibler“ Teilungsregeln und für die Erklärung von Gleichgewichtspreisen auf dem Kapitalmarkt Bedeutung hat. Die deduktiven Analysen in dieser Arbeit bauen auf Entscheidungs- bzw. Erklärungsmodellen auf, die in der Weise vereinfacht sind, dass sie nur einen Teil der relevanten Risiken explizit erfassen. Es gibt jeweils „Hintergrundrisiken“, die für die Bewertung der explizit betrachteten Risiken von Bedeutung sein können. Im Rahmen der Modelle zur Erklärung der Preisbildung auf Kapitalmärkten werden zum Beispiel explizit nur die mit den Wertpapieren verbundenen Risiken betrachtet. Die Inhaber dieser Papiere werden darüber hinaus im Allgemeinen noch weitere Risiken tragen (etwa aus Sachvermögen, aus selbständiger oder nichtselbständiger Arbeit). Ein großer Teil der betreffenden Modelle sind zudem Einperiodenmodelle, wobei die Risiken aus zukünftigen Maßnahmen bzw. Ereignissen ebenfalls nicht explizit berücksichtigt werden. Wenn sich die Modellanalyse auf einen Teil der Risiken beschränkt, existiert ein „modellexterner Bereich“, der für die Bewertung der explizit betrachteten Risiken grundlegende Bedeutung haben kann. Im Abschnitt 4 wird gezeigt, wie mit Hilfe zustandsabhängiger Nutzenfunktionen die Risiken des modellexternen Bereichs implizit berücksichtigt werden können. Von der Gestalt der Nutzenfunktion hängt es ab, welches „Sicherheitsäquivalent“ ein Entscheider einer ungewissen Zielgröße beimisst (Abschnitt 5). In jedem Entscheidungsprozess – insbesondere auch bei der Unternehmensplanung – geht es darum, voneinander abhängige Entscheidungsvariablen aufeinander abzustimmen, d.h. zu koordinieren. Der Koordinationsbedarf kann auf vier Verbundeffekte zurückgeführt werden, die in Abschnitt 6 erläutert werden. Bei den Darstellungen in den Abschnitten 2 bis 6 geht es im Kern um das Problem, wie ein einzelner Entscheider in Risikosituationen rationale Entscheidungen treffen kann. Dabei werden bei der Beurteilung bzw. Bewertung der erwogenen Maßnahmen nur die Präferenzvorstellungen dieses Entscheiders berücksichtigt. In der Realität können jedoch Risiken mit anderen Personen geteilt werden. Im Vordergrund dieser Arbeit stehen Risiken, die aus ungewissen Erfolgen resultieren (etwa Erfolgen aus einmaligen Geschäften oder Unternehmenserfolgen). Entsprechend impliziert Risikoteilung Erfolgsteilung. Ein Entscheider kann hiermit möglicherweise schon bei gegebenen Objektmaßnahmen einen Vorteil erzielen. Darüber hinaus können finanzielle Vorteile auch realisiert werden, indem zusätzliche riskante Investitionen durchgeführt werden, die ohne Risikoteilung, d.h. ohne Allokation des Risikos auf mehrere Personen, für einen Einzelnen zu riskant gewesen wären. Risikoteilung erfolgt zum Beispiel dann, wenn der Eigentümer eines Unternehmens Gesellschafter aufnimmt, die am Erfolg partizipieren. Eine bedeutende Institution zur Teilung von Erfolgsrisiken ist der Kapitalmarkt, auf dem Anwartschaften auf ungewisse Zahlungen gehandelt werden. Ist ein Unternehmen börsennotiert, besteht grundsätzlich die Möglichkeit, sehr viele Gesellschafter (Anteilseigner) in relativ einfacher Weise am Unternehmensrisiko zu beteiligen. Darüber hinaus
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
67
können auch Nichtgesellschafter am Risiko partizipieren. Typische Beispiele hierfür sind der Abschluss von Versicherungen und von Termingeschäften. Eine „optimale“ Erfolgs- oder Risikoteilung stellt ein komplexes Optimierungsproblem dar. Die Lösung dieses Problems kann wie folgt angestrebt werden: Zunächst wird die Menge der „pareto-effizienten“ Teilungsregeln bestimmt und dann aus dieser Menge eine ausgewählt. Eine Teilungsregel ist bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg (oder eine andere finanzielle Zielgröße) pareto-effizient, wenn es nicht möglich ist, durch Umverteilung der zustandsabhängigen Erfolge den Erwartungsnutzen mindestens eines der Beteiligten zu erhöhen, ohne den Erwartungsnutzen mindestens eines anderen zu reduzieren. In Abschnitt 7 wird untersucht, wie pareto-effiziente Teilungsregeln ermittelt werden können und wie sie von den Risikoeinstellungen der Beteiligten sowie von ihren Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Ss abhängen. Mit Hilfe von Bedingungen pareto-effizienter Risikoteilung wird in späteren Kapiteln untersucht, wie der Kapitalmarkt unter verschiedenen Voraussetzungen Erfolgsrisiken teilt und welche Implikationen sich jeweils für die Fundierung von finanzwirtschaftlichen Entscheidungskriterien sowie die Bewertung von riskanten Investitionen ergeben. Ausgehend von einer pareto-effizienten Erfolgsteilung kann bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg der Erwartungsnutzen keines Entscheiders erhöht werden, ohne dass der eines anderen sinkt. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Grund von Investitionen oder anderer Maßnahmen können jedoch bei der betreffenden Teilungsregel alle einen Vorteil oder einen Nachteil erzielen. Möglicherweise erzielen aber auch einige einen Vorteil und andere einen Nachteil. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg durch wen auch immer beeinflusst werden kann, können sich dann Konflikte bezüglich der Durchführung der betreffenden Maßnahmen ergeben. Um solche Konflikte zwischen Entscheidern zu vermeiden, können sie ein Interesse daran haben, eine anreizkompatible Teilungsregel zu vereinbaren. Eine Teilungsregel erfüllt für zwei Entscheider X und Y die Bedingung der Anreizkompatibilität, wenn sie jeden möglichen Erfolg G derart teilt, dass der Erwartungsnutzen des (absoluten) Erfolgsanteils B(G) für X eine monoton steigende Funktion des Erwartungsnutzens des Erfolgsanteils G B(G) für Y ist. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg kann dann eine Partei nur einen finanziellen Vorteil oder Nachteil erzielen, wenn dies zugleich für die andere Partei gilt.2 In Abschnitt 8 wird untersucht, wie anreizkompatible Teilungsregeln ermittelt werden können und welche Gestalt sie für unterschiedliche Konstellationen von Risikoeinstellungen der beiden Parteien aufweisen. Im Allgemeinen besteht ein Konflikt zwischen anreizkompatibler und pareto-effizienter Erfolgsteilung; nur lineare pareto-effiziente Teilungsregeln B( G ) z G F (mit 0 < z < 1) implizieren Anreizkompatibilität für beliebige Änderungen der zustandsabhängigen Erfolge. Wie jedoch gezeigt wird, besteht immerhin „partielle“ Anreizkompatibilität bezüglich kleiner Änderungen mit quasi-konstanten Grenznutzenwerten, wenn
2
Die Bedingung der Anreizkompatibilität wird oft anschaulich als „Win-Win-Bedingung“ bezeichnet.
68
Kapitel II
die bisher möglichen Erfolge pareto-effizient geteilt sind und die Erfolgsänderungen proportional3 auf beide Parteien aufgeteilt werden. Auch die Darstellungen in Abschnitt 8 haben grundlegende Bedeutung für die theoretische Fundierung von Bewertungszielen. Wenn zwischen den an einem „gemeinsamen“ Erfolg beteiligten Personen keine Anreizkompatibilität besteht, existiert für ein Bewertungsobjekt kein kollektiver subjektiver Grenzpreis. Es besteht die Tendenz, dass für einen Teil der Beteiligten (etwa ein Teil der Gesellschafter eines Unternehmens) die Anschaffungsauszahlung höher als ihr subjektiver Grenzpreis und für andere niedriger ist.
2
Entscheidungskriterien bei Risiko
2.1
Dominanzprinzip als Vorentscheidungskriterium
In der Realität bestehen grundsätzlich mehrwertige Erwartungen über die Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten; zu welchem Ergebnis eine Alternative führen wird, lässt sich zum Zeitpunkt der Entscheidung nicht mit Sicherheit vorhersagen. Das tatsächliche Ergebnis hängt von dem noch unbekannten Umweltzustand ab. Existiert eine Alternative, die alle anderen Alternativen dominiert, ergeben sich gegenüber dem Fall sicherer Erwartungen keine zusätzlichen Entscheidungsprobleme. Eine Alternative dominiert dann eine andere, wenn sie im Vergleich zu dieser in keinem Zustand ein schlechteres Ergebnis, jedoch in mindestens einem Zustand ein besseres Ergebnis bietet. Nach dem Dominanzprinzip ist eine dominante Alternative den anderen Alternativen vorzuziehen. Bei späteren Alternativenvergleichen wird das Dominanzprinzip oft zugrunde gelegt, z.B. bei der Analyse von Arbitragemöglichkeiten auf dem Kapitalmarkt. Es bietet den Vorteil, dass man mit relativ schwachen Annahmen über die Präferenzen des Entscheiders auskommt, etwa mit der Annahme, dass er einen höheren Überschuss oder ein höheres Vermögen einem niedrigeren vorzieht, also „Nichtsättigung“ vorliegt.
2.2
Bernoulli-Prinzip
2.2.1
Charakteristik
Allerdings existiert nur in Ausnahmefällen eine Alternative, die alle anderen dominiert. Verbleiben nach Ausscheiden der dominierten noch mindestens zwei Alternativen, führt das Dominanzprinzip zu keiner eindeutigen Entscheidung. Um eine Auswahl treffen zu können, müssen die möglichen Ergebnisse der verbliebenen Alternativen unter Berücksichtigung ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten gegeneinander abgewogen werden. Wenn jedoch die Zahl der möglichen Ergebnisse (der möglichen Zustände) groß ist, kann es extrem schwierig werden, eine Entscheidung zu treffen, da dann bei einem Vergleich
3
Hierbei wird die Erfolgsänderung linear geteilt, wobei keine Partei mit einem Fixum an der Erfolgsänderung partizipiert.
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Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
von Alternativen zahlreiche mögliche Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind. Ein natürliches Lösungskonzept besteht darin, das eigentliche, komplexe Entscheidungsproblem in einfache hypothetische Teilprobleme zu zerlegen. Ein derartiges Konzept stellt das BERNOULLI-Prinzip dar, das auf sehr plausiblen Axiomen rationalen Verhaltens beruht. Bei Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip wird das eigentliche Entscheidungsproblem in solche Teilprobleme zerlegt, bei denen jeweils nur drei der möglichen Ergebnisse gegeneinander abzuwägen sind. Nur diese Teilprobleme hat der Entscheider nach subjektivem Ermessen zu lösen. Darauf aufbauend wird mit Hilfe von Rechenoperationen die optimale Alternative des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems ermittelt. Eine Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip wird wie folgt in zwei Schritten getroffen: Auf der Grundlage relativ einfacher hypothetischer Entscheidungsprobleme wird eine Nutzenfunktion U bestimmt, die den möglichen Ergebnissen Eas Nutzenwerte U(Eas) zuordnet, wobei Eas das Ergebnis bei Wahl der Alternative Aa (a = 1,2,...,A) und Eintreten des Zustandes Ss (s = 1,2,...,S) bezeichnet. Sodann wird diejenige Alternative ermittelt und gewählt, mit deren möglichen Ergebnissen der höchste Erwartungswert des Nutzens (der höchste „Erwartungsnutzen“ oder auch kurz der höchste Nutzen) erzielt wird. Nach dem BERNOULLI-Prinzip ist somit der Präferenzwert )(A a ) einer Alternative Aa definiert als:4 (II.1)
)(A a )
~ E[ U(E a )]
S
¦ w (Ss ) U(E as )
(a = 1,2,...,A).
s 1
Hierin bezeichnet w(Ss) die Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustandes Ss ~ (s = 1,2,...,S) und E[ U(E a )] den Erwartungsnutzen der Alternative Aa. Bei dieser Darstellung wird davon ausgegangen, die Zahl der möglichen Zustände sei endlich. Jedoch ist dies keine Voraussetzung für die Gültigkeit des BERNOULLIPrinzips. Die Ermittlung einer Nutzenfunktion stellt neben der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils über die Zustände das Kernproblem der Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip dar. Die Nutzenfunktion kann zum Beispiel auf folgende Weise (bzw. durch folgende BERNOULLI-Befragung) ermittelt werden:5 Aus der Menge der möglichen Ergebnisse wird ein günstigstes Ergebnis E und ein ungünstigstes Ergebnis E ausgewählt, so dass alle anderen möglichen Ergebnisse Eas in der Präferenzordnung des 4
5
Wenn hervorgehoben werden soll, dass eine Größe stochastisch ist, wird sie mit einer Tilde (a) versehen. Wie in Abschnitt 2.2.2 gezeigt wird, ist die Nutzenfunktion nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt. Daher gibt es auch verschiedene Möglichkeiten, eine Nutzenfunktion empirisch zu ermitteln. Der hier beschriebene Weg ist besonders einfach und anschaulich.
70
Kapitel II
Entscheiders zwischen E und E stehen ( E ~ Eas ~ E ). Dem Ergebnis E (und allen gleichwertigen Ergebnissen) wird der Nutzenwert 1 zugeordnet, dem Ergebnis E (sowie allen äquivalenten Ergebnissen) der Nutzenwert 0. Zur Ermittlung des Nutzenwertes U(Eas) eines Ergebnisses Eas ( E E as E ) wird dem Entscheider, wenn auch nur hypothetisch, die Wahl angeboten zwischen dem sicheren Ergebnis Eas und einer Lotterie, bei der das Ergebnisse E mit der Wahrscheinlichkeit w und das Ergebnis E mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1– w eintritt. Der Entscheider muss nun angeben, bei welcher Wahrscheinlichkeit w* er indifferent ist zwischen dem sicheren Ergebnis Eas und der Lotterie (Indifferenzwahrscheinlichkeit w*). Gemäß dem BERNOULLI-Prinzip muss der Nutzenwert des Ergebnisses Eas mit dem Erwartungswert des Nutzens der äquivalenten Lotterie übereinstimmen: U(E as )
w * U(E) (1 w*) U(E) w * 1 (1 w*) 0
w *.
Der Nutzenwert des Ergebnisses Eas stimmt also mit der Indifferenzwahrscheinlichkeit w* überein. Bei der Fixierung der Indifferenzwahrscheinlichkeit finden die subjektiven Risikound Präferenzvorstellungen des Entscheiders ihren Niederschlag. Er muss überlegen, welche Vorteile (Nachteile) sich für ihn ergeben, wenn statt des Ergebnisses Eas das Ergebnis E ( E ) eintritt. Je kleiner die Vorteile (je größer die Nachteile) sind, wenn statt des Ergebnisses Eas das Ergebnis E ( E ) eintritt, desto größer ist die Indifferenzwahrscheinlichkeit und demnach auch der Nutzenwert U(Eas). Wird jedem möglichen Ergebnis Eas ( E ~ Eas ~ E ) der jeweilige Nutzenwert U(Eas) zugeordnet, so entsteht eine Nutzenfunktion U. Die Bestimmung einer Nutzenfunktion nach dem BERNOULLI-Prinzip stellt an den Entscheider kaum höhere Anforderungen als ein Entscheidungsproblem bei Sicherheit: Während bei Sicherheit jeweils einwertige Ergebnisse miteinander zu vergleichen sind, ist bei Anwendung des BERNOULLIPrinzips jedes Ergebnis Eas ( E E as E ) gegen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit zwei möglichen Ergebnissen (und zwar E und E ) abzuwägen.6
2.2.2
Eigenschaften der Nutzenfunktion
Es gibt nicht nur eine Nutzenfunktion U. Neben ihr existieren unendlich viele andere Nutzenfunktionen, die zu derselben Entscheidung führen: Wird die Nutzenfunktion U
6
Sind allerdings die Ergebnisse Eas nicht einwertig, sondern ihrerseits Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße bzw. die Zielgrößen, kann die Ermittlung der Indifferenzwahrscheinlichkeiten w* (= U(Eas)) zunächst wesentlich schwieriger sein als der Vergleich der Ergebnisse für den Fall sicherer Erwartungen. Es besteht jedoch stets die Möglichkeit, bei der Bestimmung der Nutzenwerte auf Ergebnissen aufzubauen, die als einwertige Größen (und nicht als Wahrscheinlichkeitsverteilungen) definiert sind (vgl. hierzu LAUX, 1993, S. 3-27).
71
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
positiv linear transformiert, d.h. durch eine Funktion U* = D U + E (mit D> 0 und E beliebig) ersetzt, ergibt sich für die Alternative Aa der folgende Präferenzwert:7 (II.2)
) (Aa ) D ) (A a ) E
(a = 1,2,...,A).
Hieraus folgt wegen D > 0: Entspricht einer Alternative Aa bei der Nutzenfunktion U ein höherer, ein gleich hoher oder ein niedrigerer Erwartungsnutzen (Präferenzwert )) als einer Alternative Aa', gilt das (für Į > 0) auch für die Nutzenfunktion U* = D U + E. Bei positiv linearer Transformation der Nutzenfunktion ändert sich die Rangordnung über die Nutzenerwartungswerte nicht. Nach dem BERNOULLI-Prinzip ist also die Nutzenfunktion nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt. Der Nullpunkt und die Skaleneinheit der Nutzenfunktion können beliebig fixiert werden. Eine Nutzenfunktion mit dieser Eigenschaft wird als kardinal bezeichnet. Oft wird (auch in dieser Arbeit) davon ausgegangen, dass sich der Entscheider nur an einer Zielgröße Z (z.B. Gewinn, Umsatz oder Einkommen) orientiert. Verläuft seine Nutzenfunktion U(Z) konkav (konvex) – sinkt (steigt) also der Grenznutzen mit steigendem Z – so wird er als risikoavers (risikofreudig) bezeichnet; bei linearer Nutzenfunktion ist er risikoneutral. In dieser Arbeit wird grundsätzlich von Risikoaversion ausgegangen. Die Konzeption des BERNOULLI-Prinzips, ein komplexes Problem in der Weise zu lösen, dass auf der Basis relativ einfacher hypothetischer Entscheidungsprobleme die Präferenzen des Entscheiders erforscht werden, um dann auf die Lösung des eigentlichen, komplexeren Entscheidungsproblems zu schließen, ist von allgemeiner praktischer Bedeutung. Man kann diese Konzeption auch als Berater eines Investors bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises anwenden. Hierbei muss der Investor in die Erforschung seiner Nutzenfunktion einbezogen werden.
7
Beweis: Bei Zugrundelegung der Nutzenfunktion U D U E errechnet sich analog zu (II.1) für die Alternative Aa der folgende Nutzenerwartungswert (Präferenzwert )* ):
) (A a )
S
S
s 1
s 1
¦ w(Ss ) U (E as ) ¦ w(Ss ) [D U(Eas ) E].
Durch Umformung ergibt sich: ) (A a )
S
S
D ¦ w(Ss ) U(E as ) ß ¦ w(Ss ). s 1 s 1
) (A a )
1
S
Hieraus folgt wegen ¦ w(Ss ) 1 der Präferenzwert (II.2). s 1
Ŷ
72
Kapitel II
2.3
Klassische Entscheidungskriterien im Licht des Bernoulli-Prinzips
2.3.1
P-Kriterium
~ Orientiert sich der Entscheider nur an einer Zielgröße Z , können unter bestimmten Bedingungen aus dem BERNOULLI-Prinzip relativ einfache Entscheidungs- bzw. Bewer~ tungsprinzipien abgeleitet werden. Für den Präferenzwert )( Z) einer beliebigen Wahr~ scheinlichkeitsverteilung über Z gilt gemäß (II.1):
(II.3)
~ )( Z)
S
~ E[ U( Z)]
¦ w (Ss ) U( Zs ). s 1
~ Hierin bezeichnen Zs (s = 1,2,...,S) die Ausprägung der Zielgröße Z bei Eintreten des ~ Zustandes Ss und E[ U( Z)] den Nutzenerwartungswert der Zielgröße. Wie erläutert, verläuft bei Risikoneutralität die Nutzenfunktion linear. Da jede Nutzenfunktion beliebig positiv linear transformierbar ist, kann eine lineare Nutzenfunktion wie folgt dargestellt werden: U( Z) Z. Hieraus folgt in Verbindung mit (II.3): (II.4)
~ )( Z)
~ E ( Z)
S
¦ w (Ss ) Zs { P. s 1
In Worten: Ist die Nutzenfunktion linear, besteht also Risikoneutralität, so folgt aus dem BERNOULLI-Prinzip das Erwartungswert-Kriterium (P-Regel): Optimal ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung oder die Alternative mit dem höchsten Erwartungswert P der ~ Zielgröße Z .
2.3.2
(P,V)-Prinzip
2.3.2.1 Quadratische Nutzenfunktion und beliebig verteilte Zielgröße
Ist der Entscheider risikoavers, wird bei Anwendung des BERNOULLI-Prinzips über die entsprechende konkave Nutzenfunktion das „Risiko“ einer Alternative implizit miterfasst. Eine andere Möglichkeit besteht darin, das Risiko explizit über ein Risikomaß in der Präferenzfunktion des Entscheiders zu berücksichtigen. In dieser Weise wird nach dem (P,V)-Prinzip vorgegangen, wobei die Standardabweichung V als Maß für das Risiko dient. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ~ über eine Zielgröße Z wird bei diesem Entscheidungsprinzip anhand ihres Erwartungswertes P und ihrer Standardabweichung V beurteilt. Das (P,V)-Prinzip hat insbesondere auch für Kapitalmarkttheorie und (darauf aufbauend) die Investitionsbewertung große praktische Bedeutung. Es ist allerdings nicht generell kompatibel mit dem BERNOULLI-Prinzip. Falls beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße gegeben sein können, folgt das (P,V)-Prinzip dann und nur dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion quadratisch
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
73
ist, also folgende Gestalt aufweist (mit b > 0): (II.5)
U( Z)
b Z c Z2 .
Bei Risikoaversion gilt c > 0, wobei die Nutzenfunktion (II.5) konkav verläuft: U(Z) steigt mit wachsendem Z zunächst an und sinkt nach Erreichen eines Maximums wieder. Das Maximum liegt dort, wo der Grenznutzen gleich null ist, d.h. bei Z = b / 2c > 0. Die Implikation, dass der Nutzen von Z= b/2c an mit wachsendem Z wieder fällt, ist i.d.R. wenig sinnvoll. Wenn der Entscheider einen höheren Wert der Zielgröße einem niedrigeren vorzieht, ist der Nutzen eine streng monoton steigende Funktion von Z. Das (P,V)-Prinzip erfüllt somit nicht streng das Dominanzprinzip. Jedoch kann es im konkreten Anwendungsfall auch dann im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip stehen, wenn die Nutzenfunktion nicht durchgehend quadratisch verläuft. Beide Prinzipien sind schon dann kompatibel, wenn die möglichen Zielgrößenwerte innerhalb eines Intervalls liegen, für das die Nutzenfunktion (hinreichend genau) durch ein ansteigendes Parabelstück approximiert werden kann.8 Im Folgenden wird bei Zugrundelegung einer quadratischen Nutzenfunktion angenommen, dass bei jeder Handlungsalternative der maximale Zielgrößenwert kleiner oder gleich b/2c ist, sofern diese Annahme nicht explizit aufgehoben wird. Alle Kombinationen von P und V bzw. von P und V2, denen derselbe Nutzenerwartungswert entspricht, sind einander äquivalent. Die äquivalenten Kombinationen können mit Hilfe von Indifferenzkurven dargestellt werden. Eine Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller (PV)- bzw. (PV2)-Konstellationen, denen der gleiche Nutzenerwartungswert entspricht. In einem (PV)-Diagramm haben die Indifferenzkurven die Gestalt konzentrischer Halbkreise, deren Mittelpunkt auf der Abszisse liegt (Abbildung II.1). Der Abszissenwert des Mittelpunktes ist gleich b/ 2c, dem Betrag, bei dem die entsprechende Nutzenfunktion (II.5) ihr Maximum aufweist. Die (P,V)-Kombinationen liegen bei festem P und wachsendem V auf Indifferenzkurven mit immer kleinerem Präferenzwert (kleinerem Nutzenerwartungswert). Im Bereich P d b / 2c zieht der Entscheidungsträger bei gegebener Standardabweichung einen größeren Erwartungswert einem kleineren vor. Im Bereich P ! b/2c ist es umgekehrt; hier verstößt das (P,V)-Prinzip gegen das Dominanzprinzip. Kann jedoch bei keiner möglichen Handlungsalternative der maximale Zielgrößenwert höher als b / 2c sein, gilt dies auch für den maximalen Erwartungswert der Zielgröße. Somit ist nur jener Teil der Indifferenzkurven entscheidungsrelevant, der im Bereich
8
Es ist dann streng genommen auszuschließen, dass die Zielgröße normalverteilt ist. Bei Normalverteilung geht die Untergrenze gegen f und die Obergrenze gegen f. Da dann die Verteilung nach oben nicht beschränkt ist, reicht sie bei quadratischer Nutzenfunktion zwangsläufig in den Bereich negativer Grenznutzenwerte. Der Bewertungsfehler bei quadratischer Nutzenfunktion kann jedoch dann vernachlässigbar gering sein, wenn die Ergebnisse im Bereich negativer Grenznutzenwerte sehr geringe Wahrscheinlichkeiten oder Dichten haben.
74
Kapitel II
P d b / 2c verläuft: Optimal ist diejenige Alternative, deren (P,V)-Kombination auf der Indifferenzkurve mit dem kleinsten Radius liegt. Die Abbildung II.1 verdeutlicht, dass für die Entscheidung nicht die absoluten Werte von b und c maßgeblich sind, sondern deren Verhältnis b/ c. Dies ist nicht überraschend: Da die Nutzenfunktion (II.5) nur bis auf eine positiv lineare Transformation eindeutig bestimmt ist, kann sie wie folgt dargestellt werden: U* ( Z)
(II.5a)
Z
c 2 Z . b
Letztlich ist also nur der Quotient c / b bewertungsrelevant. V
b 2c
0
P
Abb. II.1: Indifferenzkurven bei quadratischer Nutzenfunktion im (P,V)-Diagramm
Die Abbildung II.2 bringt den Verlauf der Indifferenzkurven im (PV2)-Diagramm zum Ausdruck. Für die Steigungen der Indifferenzkurven gilt hier: (II.5b)
dV 2 dP
b 2P . c
Die Steigungen sind also für gegebenes P von V2 unabhängig; allen Punkten mit denselben P-Wert entspricht derselbe Differentialquotient dV2 / dP. Die Indifferenzkurven verlaufen somit im (μ,V2)-Diagramm äquidistant zueinander; der senkrechte Abstand zwischen zwei Indifferenzkurven ist für jeden P-Wert gleich groß. Die Steigung einer Indifferenzkurve ist jedoch eine linear fallende Funktion des Abszissenwertes P. Für P = b / 2c ist die Steigung gleich null.
75
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
V2
P
0
b 2c
P
Abb. II.2: Indifferenzkurven bei quadratischer Nutzenfunktion im (P,V2)-Diagramm
2.3.2.2 Exponentielle Nutzenfunktion und normalverteilte Zielgröße
Eine quadratische Nutzenfunktion ist zwar dann notwendige Voraussetzung für die Kompatibilität von (μV -Prinzip und BERNOULLI-Prinzip, wenn beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über Z gegeben sein können. Es existieren jedoch spezielle Klassen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, bei denen auch dann mit dem (μV -Prinzip gearbeitet werden kann, wenn die Nutzenfunktion nicht quadratisch ist. Zu ihnen gehört die Normalverteilung. Falls bei allen Handlungsalternativen die Zielgröße normalverteilt ist, folgt das (μV -Prinzip immer dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion konkav ist (RUDOLPH, 1979a, S. 13ff.).9 Die Beziehung zwischen Erwartungsnutzen einerseits sowie P und V andererseits ist besonders einfach und anschaulich, wenn die Nutzenfunktion die folgende Gestalt hat (exponentielle Nutzenfunktion): (II.6)
9
U( Z)
1 ea Z
e a Z
mit a > 0.
Bei normalverteilter Zielgröße muss die Nutzenfunktion über das Intervall [–f,+f] definiert sein. Dies ist bei vielen Typen von Nutzenfunktionen jedoch gar nicht der Fall. Zum Beispiel ist die logarithmische Nutzenfunktion ln(Z) und die Wurzel-Nutzenfunktion n Z (n t 2) für negative Zielgrößenwerte nicht definiert. Wenn der Grenznutzen der Zielgröße (etwa des Einkommens) nicht negativ sein soll, sind auch quadratische Nutzenfunktionen ausgeschlossen; bei ihnen ragt die Normalverteilung stets in den Bereich negativer Grenznutzenwerte hinein.
76
Kapitel II
In der Abbildung II.3 wird eine Nutzenfunktion des Typs (II.6) dargestellt. Sie ist konkav und monoton steigend (sie nähert sich asymptotisch der Z-Achse). Der konkave Verlauf impliziert Risikoaversion. U(Z)
Z
0
-1
1 ea
Z
Abb. II.3: Exponentielle Nutzenfunktion
~ Die Nutzenfunktion (II.6) impliziert den folgenden Erwartungsnutzen E[ U( Z)] (SCHNEEWEIß, 1967, S. 146 ff.): (II.7)
~ E[ U( Z)]
a U( P V 2 ) . 2
(mit dem Erwartungswert P und Gemäß (II.7) ist der Erwartungsnutzen der Zielgröße Z 2 der Varianz V ) gleich dem Nutzenwert eines sicheren Zielgrößenbetrags in Höhe von P (a / 2) V 2 . Der Entscheider ist demnach indifferent zwischen der Wahrscheinlich~ keitsverteilung über die Zielgröße Z und einem sicheren Zielgrößenwert in Höhe von ~ P (a / 2) V 2 . Dieser stellt das „Sicherheitsäquivalent“ SÄ ( Z) der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße dar (Abschnitt 5):
(II.8)
~ SÄ ( Z)
a P V2 . 2
Wegen a > 0 und V2 > 0 ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert P (es kann auch negativ sein). Das Sicherheitsäquivalent und somit auch der Er~ wartungswert des Nutzens E[ U( Z)] ist bei gegebenem Erwartungswert P eine fallende Funktion der Varianz V2 der Zielgröße. Dabei ist der Nutzenerwartungswert für jede (μ,V2)-Konstellation umso kleiner, je größer der „Risikoaversionskoeffizient“ a ist. Der Term (a / 2) V 2 in (II.8) wird als „Risikoabschlag“ oder (als geforderte) subjektive „Risikoprämie“ bezeichnet. Problematisch hierbei ist, dass der Risikoabschlag unabhängig von P ist (vgl. auch Abschnitt 3.3). In einem (P,V2)-Diagramm können wieder Indifferenzkurven dargestellt werden, die zeigen, gegenüber welchen (P,V2)-Kombinationen der Entscheider indifferent ist. Da allen (P,V2)-Kombinationen auf einer Indifferenzkurve dasselbe Sicherheitsäquivalent
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
77
entspricht, kann die Gleichung einer Indifferenzkurve ermittelt werden, indem in (II.8) ~ ~ für SÄ ( Z) ein bestimmter Wert SÄ ( Z)* eingesetzt und dann nach V2 aufgelöst wird:
V2
(II.9)
2 2 P SÄ(Z)* . a a
~ Für alternative Werte SÄ ( Z)* ergibt sich eine Schar von Indifferenzkurven als parallele Geraden mit der Steigung 2/a, wobei a aus der Nutzenfunktion (II.6) stammt. Je größer a ist, umso niedriger ist die Steigung. Für a = 4 z.B. ergeben sich folgende Indifferenzkurven: V2 Steigung = 1/2
(allgemein: 2/a)
P
0
Abb. II.4: Indifferenzkurven bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilter Zielgröße (mit a = 4) im (P,V2)-Diagramm
Der Abszissenwert einer Indifferenzkurve an der Stelle V2 = 0 bezeichnet das Sicherheitsäquivalent für alle (P,V2)-Konstellationen auf dieser Indifferenzkurve. Zieht man aus jedem Ordinatenwert V2 die Wurzel, erhält man die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm. Alle Indifferenzkurven haben dieselbe Krümmung (bzw. für jedes V dieselbe Steigung); verschiebt man eine Indifferenzkurve nach links oder rechts, gelangt man zu anderen Indifferenzkurven (Abbildung II.5). V
0
P
Abb. II.5: Indifferenzkurven bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilter Zielgröße im (P,V)-Diagramm
78
Kapitel II
Da die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm linear mit der Steigung 2/a verlaufen, hat in diesem Diagramm jede Indifferenzkurve im Abstand einer beliebigen „Risikoprämie“ RP > 0 rechts von ihrem Ausgangspunkt auf der Abszisse den folgenden Ordinatenwert: V2
(II.10)
2 RP . a
Hieraus folgt für das (P,V)-Diagramm: V
2 RP a
1 2 RP 2 . a
Die Ableitung nach RP ergibt: dV dRP
(II.11)
1 2 1 RP 2 a 2
1 2
1 a RP
.
Somit ist die Steigung einer Indifferenzkurve in einem Punkt rechts von ihrem Ausgangspunkt auf der Abszisse eine fallende Funktion der zugehörigen „Risikoprämie“ RP (RP > 0) und des Risikoaversionskoeffizienten a. Geht die Risikoprämie gegen 0, so geht die Indifferenzkurvensteigung gegen f. Dies bedeutet, dass jede Indifferenzkurve an der Stelle, bei der sie auf der Abszisse beginnt, die Steigung f aufweist.
3
Das ARROW-PRATT-Maß für absolute Risikoaversion
3.1
Allgemeine Darstellung
Für die Analyse von Entscheidungs- und Bewertungsproblemen bei Risiko hat – wie in späteren Kapiteln dieser Arbeit immer wieder deutlich wird – der folgende "Risikoaversionskoeffizient" große Bedeutung: (II.12)
a( Z )
U ''( Z ) . U '( Z )
Dieser Koeffizient gilt als Maß für die lokale absolute Risikoaversion. ARROW und PRATT entwickelten unabhängig voneinander dieses nach ihnen benannte Maß (PRATT, 1964, S. 135 f.). Der Risikoaversionskoeffizient (II.12) mag zunächst als wenig plausibel erscheinen. Es stellt sich die Frage, ob nicht zum Beispiel U' oder U'' ein besseres Maß für die Risikoaversion sei. Wie in Abschnitt 2.2.2 gezeigt wurde, hat eine positiv lineare Transformation der Nutzenfunktion U keinen Einfluss auf die Präferenzordnung des Entscheiders.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
79
Sie sollte daher auch keinen Einfluss auf das Maß der Risikoaversion haben. Wird jedoch die Funktion U* = Į U + ȕ abgeleitet ergibt sich: (II.13)
U*' = Į U'
und
U*'' = Į U''.
Beide Ableitungen ändern sich somit bei positiv linearer Transformation der Nutzenfunktion, sofern D z 1 . Sie sind somit isoliert gesehen als Maß für die Risikoaversion nicht geeignet (PRATT, 1964, S. 127). Wird dagegen gemäß (II.12) der Quotient aus zweiter und erster Ableitung der Nutzenfunktion gebildet, ergibt sich ein Maß für die Risikoaversion, das von einer linearen Transformation unabhängig ist. Um den Risikoaversionskoeffizienten zu erhalten, muss der Quotient der beiden Ableitungen noch mit ( 1) multipliziert werden. Wegen U' > 0 ist der Risikoaversionskoeffizient bei Risikoaversion (U'' < 0) stets positiv und bei Risikovorliebe (U'' > 0) stets negativ. Der Kehrwert des Risikoaversionskoeffizienten wird als „Risikotoleranz" bezeichnet. Auch dieser Quotient ist für spätere Analysen von Bedeutung.
3.2
Quadratische Nutzenfunktion und ARROW-PRATTRisikoaversionskoeffizient
Für die erste Ableitung der quadratischen Nutzenfunktion (II.5) gilt: (II.14)
U' = b 2c Z.
Für die zweite Ableitung gilt: (II.15)
U'' = 2c.
Mithin folgt aus (II.12) für den Risikoaversionskoeffizienten a(Z): (II.16)
a( Z )
U ''( Z ) U '( Z )
2 c b 2c Z
1 b Z 2c
.
Bei quadratischer Nutzenfunktion ist der Risikoaversionskoeffizient eine monoton steigende Funktion von Z. Geht Z gegen b/2c, so geht a(Z) gegen unendlich; es besteht steigende absolute Risikoaversion. Der Kehrwert des Risikoaversionskoeffizienten, die Risikotoleranz, beträgt gemäß (II.16): (II.17)
1 a( Z )
b Z. 2c
Ein Vergleich mit (II.5b) zeigt, dass die Steigung der Indifferenzkurven im (P,V)Diagramm an der Stelle P mit der doppelten Risikotoleranz für Z= P übereinstimmt:
80
(II. 18)
Kapitel II
dV 2 dP
b 2P c
2 a( P )
mit a( P )
1 b P 2c
.
Je größer der Risikoaversionskoeffizient a(Z) für Z = P, desto geringer sind somit die Indifferenzkurvensteigungen im (P,V)-Diagramm beim Abszissenwert P.
3.3
Exponentielle Nutzenfunktion und ARROW-PRATTRisikoaversionskoeffizient
Für die erste Ableitung der exponentiellen Nutzenfunktion (II.6) gilt (II.19)
U'(Z) = a eaZ
und für die zweite Ableitung: (II.20)
U'' = a2 eaZ.
Somit folgt für den Risikoaversionskoeffizienten: (II.21)
a( Z )
U '' U'
a 2 e aZ a e aZ
a.
Der Risikoaversionskoeffizient stimmt also mit dem Exponenten a der exponentiellen Nutzenfunktion überein; er ist von Z unabhängig (konstante absolute Risikoaversion). Für die zugehörige Risikotoleranz gilt: (II.22)
1 a( Z )
1 . a
Ein Vergleich mit (II.9) zeigt, dass bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilung die Steigung der Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm mit der doppelten Risikotoleranz übereinstimmt. Bei linearer Nutzenfunktion (also bei Risikoneutralität des Entscheiders) gilt U'' = 0 und mithin auch a(Z) = 0. Somit ist auch bei linearer Nutzenfunktion der „Risikoaversionskoeffizient“ von Z unabhängig. Ist die Nutzenfunktion weder exponentiell noch linear, ist der Risikoaversionskoeffizient von Z abhängig, also variabel (PRATT, 1964, S. 127). Variable Risikoaversionskoeffizienten haben grundlegende Bedeutung für die Ermittlung und Höhe des individuellen subjektiven Grenzpreises (weil dann ein „Reichtumseffekt“ bewertungsrelevant ist). Das wird in der Arbeit immer wieder verdeutlicht, wobei die quadratische Nutzenfunktion als Repräsentant von Nutzenfunktionen mit variablem Risikoaversionskoeffizienten herangezogen wird.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
4
81
Zustandsabhängige Nutzenfunktionen
Die Analysen in dieser Arbeit bauen zum Teil auf Entscheidungs- oder Erklärungsmodellen auf, die in der Weise vereinfacht sind, dass sie nur einen Teil der relevanten Risiken explizit erfassen. Es gibt jeweils „Hintergrundrisiken“, die für die Bewertung der betrachteten Risiken von Bedeutung sein können. Wenn sich die Modellanalyse auf einen Teil der Risiken beschränkt, existiert ein „modellexogener“ oder „modellexterner“ Bereich, der für die Bewertung der betrachteten Risiken grundlegende Bedeutung haben kann. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mit Hilfe zustandsabhängiger Nutzenfunktionen der modellexogene Bereich implizit berücksichtigt werden kann. Bei der Erklärung der Preise riskanter Wertpapiere im Kapitalmarktgleichgewicht werden in der Theorie im Allgemeinen explizit nur jene Risiken berücksichtigt, die aus den Wertpapieren resultieren. Entweder wird (wie z.B. im Capital Asset Pricing Model, CAPM) angenommen, dass die Anteilseigner darüber hinaus keine bewertungsrelevante private Risiken tragen oder sie werden (wie im State Preference Ansatz, SPA) zwar nicht ausgeschlossen, jedoch ihr Einfluss auf die Gleichgewichtspreise nicht betrachtet. Den Implikationen privater (Hintergrund-)Risiken für die Risikoallokation auf dem Kapitalmarkt, die optimalen individuellen Portefeuilles, die Gleichgewichtspreise auf dem Kapitalmarkt und die Bewertung von Investitionsprojekten werden in der vorliegenden Arbeit besondere Aufmerksamkeit gewidmet. Dabei wird oft das Konzept zustandsabhängiger Nutzenfunktionen herangezogen. Das Bernoulli-Kriterium lautet bei endlicher Zahl von Zuständen in seiner allgemeinsten Form: S
(II.23)
¦ w (Ss ) U(E as ) o Max! s 1
a
Dabei bezeichnet Eas das Ergebnis der Alternative Aa (a = 1, 2,..., A) im Zustand Ss (s = 1, 2,..., S) und U( ) die Nutzenfunktion des Entscheiders. Bei der Konstruktion von Entscheidungs- oder Erklärungsmodellen wird oft angenommen, der bzw. die Entscheider orientierten sich nur an einer Zielgröße Z (wie z.B. Rendite, Einkommen, Gewinn oder Vermögen am Ende des betrachteten Planungszeitraumes) und das BERNOULLI-Kriterium in der folgenden Weise angewendet: S
(II.24)
¦ w (Ss ) U( Z as ) o Max! s 1
a
Zas bezeichnet den Wert, den die Zielgröße Z bei Wahl der Alternative Aa (a = 1, 2,..., A) und Eintreten des Zustandes Ss (s = 1, 2,..., S) aufweist. Das Kriterium (II.24) stellt einen sehr restriktiven Spezialfall von (II.23) dar. Es ist offensichtlich dann problematisch, wenn sich ein Entscheider doch nicht nur an einer, sondern an mehreren Zielgrößen orientiert. Das Kriterium (II.24) kann auch dann wenig sinnvoll sein, wenn im Rahmen eines Modells nur eine Zielgröße relevant ist. Es impliziert nämlich, dass der Nutzen des Zielgrößenwertes unabhängig vom eintretenden Zustand ist. Insbeson-
82
Kapitel II
dere bei Zielgrößen wie Geldvermögen, Gewinn oder Einkommen ist jedoch der Nutzenwert i.d.R. vom Zustand abhängig. Die Problematik des Kriteriums (II.24) ergibt sich im Prinzip daraus, dass eine Zielgröße im Allgemeinen keinen „Wert an sich“ besitzt. So resultiert der „Nutzen“ des Einkommens vor allem aus dem „Nutzen“ jener Güter und Dienstleistungen, die mit diesem Einkommen erworben werden können; der „Nutzen“ einer bestimmten Produktionskapazität ergibt sich aus den Gewinnen jener Produkte, die mit dieser Kapazität hergestellt werden können, wobei der „Nutzen“ dieser Gewinne wiederum vom „Nutzen“ der Gewinnverwendungsmöglichkeiten abhängt. Der Nutzenwert einer Zielgröße resultiert also allgemein aus dem Nutzen der jeweils möglichen Folgemaßnahmen. Diese Folgemaßnahmen und/oder deren Konsequenzen können ihrerseits vom Zustand Ss abhängen. Folglich kann auch der einer bestimmten Zielgrößenausprägung entsprechende Nutzenwert zustandsabhängig sein. ~ Ist die Zielgröße z.B. das Geldvermögen V , das am Ende der Planungsperiode zur Verfügung steht (Endvermögen), lautet das Kriterium (II.24) bei zustandsabhängiger Nutzenfunktion: S
(II.25)
¦ w (Ss ) U s (Vas ) o Max! s 1
a
Dabei bezeichnet Us( ) die dem Zustand Ss entsprechende Nutzenfunktion. In LAUX/ SCHNEEWEIß (1972) wird gezeigt, wie zustandsabhängige Nutzenfunktionen ermittelt werden können. Außerdem wird gezeigt, dass die Nutzenfunktion genau dann zustandsunabhängig ist (U1 = U2 = ... = US = U), wenn die Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen von den Zuständen Ss stochastisch unabhängig sind. Der Fall stochastischer Unabhängigkeit besteht z.B. dann, wenn Aktien gekauft werden mit dem Ziel, sie am Ende der Periode wieder zu veräußern, um mit dem Verkaufserlös ausschließlich Konsumgüter zu erwerben, deren Preise von den Aktienkursen stochastisch unabhängig sind. Im allgemeinen sind indessen die Daten, die den Zustand Ss einerseits und die Verwendungsmöglichkeiten für das Endvermögen andererseits charakterisieren, voneinander stochastisch abhängig. Wenn zum Beispiel Geld in Aktien investiert wird und die Mittel, die am Ende der Periode zur Verfügung stehen, in Aktien reinvestiert werden, besteht eine sehr enge stochastische Abhängigkeit. Bei Nichtrisikoneutralität des Entscheiders können zustandsabhängige Nutzenfunktionen auch deshalb von Bedeutung sein, weil zusätzlich zu den im Modell erfassten Maßnahmen zur gleichen Zeit noch weitere riskante Maßnahmen durchgeführt werden.10 Die explizit im Modell erfassten Aktionsmöglichkeiten werden als Maßnahmen des Modellbereichs bezeichnet, die übrigen als Maßnahmen des exogenen oder externen ~ Bereichs. Für die Nutzenbewertung sei das Gesamtvermögen W maßgeblich, das am ~ ~ Ende einer Periode für beide Bereiche erzielt wird. Bezeichnet man mit V ( VE) das Endvermögen, das den Maßnahmen des Modellbereichs (des externen Bereichs) entspricht, gilt 10
Zur Wirkung solcher „Hintergrundrisiken“ auf die Nutzenfunktionen vgl. KIMBALL (1990; 1993).
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
(II.26)
~ W
83
~ ~ V VE
und für die Nutzenfunktion für W (II.27)
U(W) = U(V + VE),
sofern dieser (Gesamt-)Nutzen seinerseits zustandsunabhängig ist. Der Nutzen U*(V) des Endvermögens V kann nun interpretiert werden als diejenige Änderung des Nutzens U(W), die aus V resultiert. Bei Risikoaversion (also bei konkaver Nutzenfunktion) ist U*(V) davon abhängig, welchen Wert VE aufweist: Je größer VE, desto kleiner ist für ~ alternative V-Werte der Nutzen U*(V). Ist nun VE zustandsabhängig, gilt dies auch für die Nutzenfunktion U*(V), wobei die Nutzenfunktion für den Zustand Ss (s = 1,2,...,S) mit U *s (V) bezeichnet wird. Für die Beurteilung einer Alternative im Modellbereich sind nun nicht allein ihre möglichen Endvermögenswerte V und deren Wahrscheinlichkeiten relevant. Vielmehr ist von Bedeutung, in welchen Zuständen die Vermögenswerte erzielt werden. Ist die Menge der möglichen Endvermögenswerte und deren Wahrscheinlichkeiten für zwei Alternativen Aa* und Aa** identisch, ist der Entscheider trotzdem grundsätzlich nicht indifferent, sofern die Ergebnisse in verschiedener Weise über die Zustände verteilt sind. Bietet zum Beispiel die Alternative Aa* in solchen Zuständen Ss relativ hohe Endvermögenswerte, für die die Nutzenfunktion U *s (V) steil verläuft (weil in den betreffenden Zuständen das Endvermögen im externen Bereich niedrig ist), und bietet die Alternative Aa** die betreffenden Endvermögenswerte in Zuständen mit flach verlaufender Nutzenfunktion U *s (V) , wird die Alternative Aa* vorgezogen. Hat der Entscheider die Wahl zwischen einer Alternative mit riskantem Endvermö~ ~ gen V und einer Alternative mit einem sicheren in Höhe des Erwartungswertes E(V) des Endvermögens der riskanten, wird er nicht unbedingt die sichere vorziehen. Die riskante Alternative kann dann vorteilhaft sein, wenn positive (negative) Abweichungen vom Erwartungswert primär in Zuständen Ss mit steil (flach) verlaufender Nutzenfunktion U *s (V) erzielt werden. Die Kovarianz zwischen dem Endvermögen im Modellbereich und dem im externen Bereich ist dann negativ.
Die Nutzenfunktion U*(V) ist immer dann zustandsabhängig, wenn VE stochastisch vom Zustand Ss abhängt. Nur bei stochastischer Unabhängigkeit gilt: U1* (V)
U*2 (V) ... U*s (V)
U* (V) .
Es zeigen sich auch hier Grenzen der Anwendung des (P,V)-Prinzips, das für die Portefeuille- und Kapitalmarkttheorie besondere Bedeutung hat. Bei diesem Entscheidungsprinzip sind nur der Erwartungswert und die Standardabweichung des Endvermögens (allgemein: der Zielgröße) relevant, und nicht die Zustände, in denen die möglichen Endvermögenswerte erzielt werden. Dies impliziert eine zustandsunabhängige Nutzenfunktion; bei zustandsabhängiger Nutzenfunktion kann
84
Kapitel II
das (P,V)-Prinzip nicht im Einklang mit dem Bernoulli-Prinzip stehen. Zum Beispiel wird im CAPM, das in Theorie und Praxis bei der Analyse von Bewertungsproblemen üblicherweise zugrunde gelegt wird, explizit angenommen, dass die Wertpapierportefeuilles durch die Investoren auf dem Kapitalmarkt nach dem (P,V)Prinzip bewertet werten. Dies bedeutet, dass keine privaten Überschüsse existieren, die von denen der Wertpapiere stochastisch abhängen. Im Allgemeinen wird jedoch Risikoverbund mit privaten Überschüssen z.B. aus selbständiger oder unselbständiger Arbeit, aus Vermietung und Verpachtung, aus Eigentum eines Einzelunternehmens oder eines Anteils an einer Personengesellschaft bestehen. Bei stochastischer Unabhängigkeit lassen sich private Risiken nicht durch Wertpapierhandel hedgen, so dass diese Risiken keinen Einfluss auf die optimalen individuellen Portefeuillestrukturen haben. Dagegen können stochastische Abhängigkeiten (zustandsabhängige Nutzenfunktionen) individuelle Portefeuillestrukturen und subjektive Grenzpreise erheblich beeinflussen.
5
Sicherheitsäquivalent und subjektiver Wert (Grenzpreis) einer stochastischen Zielgröße
5.1
Allgemeine Charakteristik
Für die Analyse riskanter Maßnahmen sind die theoretischen Konstrukte "Sicherheitsäquivalent" und "Wert" von grundlegender Bedeutung. Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße Z ist definiert als derjenige sichere Zielgrößenwert SÄ ( Z ) , der dieser Verteilung gleichwertig ist. Der Entscheider ist also indifferent zwischen der sicheren Ausprägung SÄ ( Z ) und der Wahrscheinlichkeitsver~ teilung über Z . Von zwei beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße ist jene vorzuziehen, der ein höheres Sicherheitsäquivalent entspricht. Bietet sich dem Entscheider die Möglichkeit, ein Wirtschaftsgut zu erwerben, das in Zukunft zu einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine finanzielle Zielgröße – z.B. Gewinn oder Endvermögen – führt, kann sich für ihn das Problem stellen, den Wert dieses Gutes zu ermitteln. Der Wert ist diejenige kritische Anschaffungsauszahlung, bei der der Kauf für den Entscheider weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Ist der geforderte Preis niedriger (höher) als der Wert, ist der Kauf vorteilhaft (nachteilig). Besitzt der Entscheider bereits ein Wirtschaftsgut, das in Zukunft zu einer stochastischen Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine finanzielle Zielgröße führt, und bietet sich die Möglichkeit des Verkaufs, so kann sich ebenfalls ein Bewertungsproblem ergeben. Der Wert ist nun derjenige kritische Verkaufserlös, den der Entscheider mindestens erzielen muss, damit er durch den Verkauf keinen Nachteil erleidet. Ist der gebotene Preis höher (niedriger) als der Wert, ist der Verkauf vorteilhaft (nachteilig).
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
85
Im Folgenden wird untersucht, wie Sicherheitsäquivalente und Werte ermittelt werden können und wie deren Höhe von der Wahrscheinlichkeitsverteilung und der Risikoeinstellung des Entscheiders abhängen. Dabei wird deutlich, dass nur in Ausnahmefällen Wert und Sicherheitsäquivalent übereinstimmen. Zunächst soll untersucht werden, welche Höhe das Sicherheitsäquivalent SÄ ( Z ) einer einzelnen Zielgröße Z bei zustandsunabhängiger Nutzenfunktion U(Z) aufweist. Die Darstellungen verdeutlichen vor allem auch die Implikationen, die aus den Begriffen "Risikoneutralität", "Risikoaversion" und "Risikofreude" folgen. Nach dem BERNOULLI-Prinzip muss der Nutzen des Sicherheitsäquivalents mit dem Erwartungswert des Nutzens übereinstimmen, der der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße entspricht. Somit gilt für das Sicherheitsäquivalent: Z
!
(II.28)
U[SÄ ( Z )] E[ U ( Z )]
¦ w ( Z z ) U ( Z z ). z 1
Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 2.2.2 ist das Sicherheitsäquivalent unabhängig von einer positiv linearen Transformation der Nutzenfunktion. Die Differenz zwischen dem Erwartungswert und dem Sicherheitsäquivalent wird als subjektiver "Risikoabschlag" (RA ( Z )) bezeichnet: (II.29)
RA ( Z )
E( Z ) SÄ ( Z ) .
Wie später gezeigt wird, ist bei streng konkaver zustandsunabhängiger Nutzenfunktion der Risikoabschlag positiv. Der (subjektive) Risikoabschlag kann als die geforderte Risikoprämie interpretiert werden. Eine riskante Maßnahme kann im Vergleich zu einer sicheren Alternative nur dann vorteilhaft sein, wenn sie im Urteil des Entscheiders gegenüber der sicheren Alternative eine "Risikoprämie" bietet, die höher ist als der Risikoabschlag. Stimmt die Risikoprämie mit dem Risikoabschlag überein, ist der Entscheider indifferent zwischen der riskanten und der sicheren Alternative.
5.2
Sicherheitsäquivalent bei Risikoneutralität
Bei Risikoneutralität kann die Nutzenfunktion wie folgt dargestellt werden: U(Z) = Z. : Entsprechend gilt für den Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents der Zielgröße Z
U[SÄ ( Z )] SÄ ( Z ). Einsetzen in (II.28) ergibt:
86
Kapitel II
(II.30)
SÄ ( Z )
E( Z ).
Bei Risikoneutralität stimmt also das Sicherheitsäquivalent mit dem Erwartungswert der Zielgröße überein; der subjektive Risikoabschlag ist gleich null.
5.3
Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion
5.3.1
Allgemeine Darstellung
Bei Risikoaversion ist die Nutzenfunktion streng konkav. Für jede streng konkave Nutzenfunktion ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert der Zielgröße: (II.31)
SÄ ( Z ) E( Z ).
Beweis: Für eine streng konkave Nutzenfunktion gilt die Ungleichung (vgl. z.B. GROOT, 1970, S. 97):
(II.32)
U[Z Z
DE
E( Z )] ! E[ U ( Z )].
Der Nutzenwert eines sicheren Zielgrößenwertes in Höhe von E( Z ) ist größer als der Erwartungswert des Nutzens der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße. Folglich wird bei Risikoaversion ein sicherer Z-Wert in Höhe von E( Z ) der Verteilung vorgezogen; der betreffende Z-Wert kann kein Sicherheitsäquivalent sein. Da der Nutzen U(Z) mit steigendem Z steigt, wird auch jeder sichere Zielgrößenwert Z ! E( Z ) der Verteilung vorgezogen. Folglich ist das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z ) kleiner als E( Z ). Ŷ unter E( Z) liegt, Der Risikoabschlag in (II.29) ist somit positiv. Wie weit SÄ( Z) hängt von der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße Z und der Nutzenfunktion des Entscheiders ab.11 Zur Erläuterung und Interpretation von (II.31) wird angenommen, die Zielgröße Z könne nur die Werte Z1 und Z2 (Z2 > Z1) annehmen. Für den Erwartungswert der Zielgröße gilt dann: E( Z ) = w(Z1) Z1 + w(Z2) Z2. Wegen w(Z1) = 1 w(Z2) gilt hierfür auch: (II.33)
E( Z ) [1 w ( Z2 )] Z1 w ( Z2 ) Z2 .
Umformung der Gleichung ergibt: (II.34)
E( Z )
Z1 w ( Z 2 ) [Z 2 Z1 ].
Für den Erwartungswert des Nutzens der Zielgröße Z gilt analog:
11
Zusammenhänge zwischen der Gestalt der Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße und der Höhe des Sicherheitsäquivalents bei unterschiedlichen Typen von Nutzenfunktionen werden in REICHLING/SPENGLER/VOGT (2006) untersucht.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
87
E[ U ( Z )] U ( Z1 ) w ( Z 2 ) [U ( Z 2 ) U ( Z1 )].
(II.35)
Der Nutzen des Sicherheitsäquivalents muss mit diesem Erwartungswert übereinstimmen: !
U[SÄ ( Z )] U ( Z1 ) w ( Z2 ) [ U ( Z2 ) U ( Z1 )].
(II.36)
Welche Größenbeziehung besteht nun zwischen dem Sicherheitsäquivalent SÄ ( Z ) und dem Erwartungswert E( Z )? Gilt z.B. w(Z1) = 1/3 und w(Z2) = 2/3, folgt: E( Z )
(II.34a)
2 Z1 [ Z 2 Z1 ] 3
und 2 E[ U ( Z )] U ( Z1 ) [ U ( Z 2 ) U ( Z1 )]. 3
(II.35a)
Der Punkt P1 in Abbildung II.6 teilt die Strecke Z1Z 2 so, dass gilt: Z1P1 : Z1Z2 2 : 3. Folglich ist der Abszissenwert des Punktes P1 gemäß (II.34a) gleich E( Z ) . Die Senkrechte durch P1 schneidet die Strecke P2 P3 im Punkt S2. Dessen Ordinatenwert ist gleich U ( Z1 ) 2 3 [ U ( Z 2 ) U ( Z1 )], also gemäß (II.35a) gleich E[ U ( Z )] bzw. gemäß (II.36) gleich U[SÄ ( Z )] . Der Ordinatenwert des Punktes S1 ist gleich dem Nutzenwert des sicheren Zielgrößenwertes in Höhe von E( Z ). Somit ist die Bedingung (II.31) erfüllt und das Sicherheitsäquivalent SÄ ( Z ) ist kleiner als E( Z ) . SÄ ( Z ) ist gleich dem Abszissenwert des Punktes S3, dessen Ordinatenwert mit dem von S2 übereinstimmt; ist gleich E[ U ( Z )]. der Nutzenwert von SÄ( Z) U(Z) P3
U(Z 2 ) ~ U[E(Z)] ~ E[U(Z)] ~ = U[SÄ(Z)]
S1 S3 S2 _ 2 [U(Z )–U(Z )] 2 1 3·
U(Z 1)
P2 U(Z 1)
0
Z1
~ SÄ(Z)
P1 ~ E(Z)
Z2
_2 (Z –Z ) 3· 2 1
Abb. II.6: Zum Sicherheitsäquivalent bei Risikoaversion
Z
88
Kapitel II
E(Z) gilt bei streng konkaver Nutzenfunktion (also bei RiDie Größenrelation SÄ(Z) sikoaversion) auch für jeden anderen Wert von w(Z2) (0 < w(Z2) < 1). Sie resultiert daraus, dass der Nutzenzuwachs, der erzielt wird, wenn die Zielgröße ausgehend von SÄ( Z ) um einen bestimmten Betrag steigt, kleiner ist als die Nutzenminderung für den Fall, dass die Zielgröße um denselben Betrag unter SÄ( Z ) sinkt. Bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über Z ist der Risikoabschlag umso größer, je stärker der Graph der Nutzenfunktion nach links oben gekrümmt ist (LAUX, 2007, S. 222 ff.). ~ Wenn bei konstantem Erwartungswert E( Z) der mögliche Zielgrößenwert Z2 steigt ~ und Z1 entsprechend sinkt, wird das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z) kleiner; die Zielgröße steigt in dem Bereich, in dem der Grenznutzen relativ niedrig ist und sinkt in dem Bereich, in dem er relativ hoch ist, so dass ihr Nutzenerwartungswert kleiner wird. Tritt an die Stelle des Zielgrößenwertes Z1 eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den möglichen Zielgrößenwerten Z11 und Z12 und dem Erwartungswert Z1 und an die Stelle des Zielgrößenwertes Z2 eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den möglichen Zielgrößenwerten Z12 und Z 22 und dem Erwartungswert Z2, ändert sich zwar der Erwar~ tungswert der Zielgröße Z (die nun die möglichen Werte Z11 , Z12 , Z12 und Z 22 annehmen kann) nicht, jedoch sinkt das Sicherheitsäquivalent: Den beiden Zielgrößenwerten Z11 und Z12 (bzw. Z12 und Z 22 ) entspricht ein Sicherheitsäquivalent, das kleiner ist als Z1 (bzw. Z2). Somit werden die beiden Sicherheitsäquivalente durch die ursprünglichen Zielgrößenwerte Z1 und Z2 dominiert, so dass das Sicherheitsäquivalent der beiden Sicherheitsäquivalente niedriger ist als das Sicherheitsäquivalent der ursprünglichen Zielgrößewerte Z1 und Z2. Die beschriebene Substitution durch je zwei mögliche Zielgrößenwerte führt also dazu, dass das Sicherheitsäquivalent der Verteilung sinkt. Das Gleiche gilt, wenn analog die Zielgrößenwerte Z11 , Z12 , Z12 und Z 22 durch je zwei mögliche Zielgrößenwerte substituiert werden, usw. Allgemein folgt: Je größer bei gegebenem Erwartungswert der „Streubereich“ der Zielgröße Z ist, desto mehr liegt ihr Sicherheitsäquivalent unter ihrem Erwartungswert. Dieser Zusammenhang soll für Spezialfälle demonstriert werden.
5.3.2
Spezialfälle
Bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilter Zielgröße Z gilt für das Sicherheitsäquivalent (Abschnitt 2.3.2.2): (II.37)
~ SÄ( Z)
P
a 2 V . 2
Das Sicherheitsäquivalent ist hier eine linear fallende (und der Risikoabschlag bzw. die subjektive Risikoprämie eine linear steigende) Funktion von a bzw. von V 2 . Der Risikoabschlag ist unabhängig von P; wenn die Zielgröße um einen sicheren Betrag steigt oder sinkt, ändert sich in gleicher Weise das Sicherheitsäquivalent. Bei quadratischer Nutzenfunktion U(Z) = b Z c Z2 (und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße) verlaufen die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm streng konkav und äquidistant zueinander. (Verschiebt man eine Indifferenzkur-
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
89
ve parallel nach oben oder unten, ergeben sich andere Indifferenzkurven.) Allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße, deren (P,V)-Konstellationen auf derselben Indifferenzkurve liegen, entspricht dasselbe Sicherheitsäquivalent. Es ist gleich dem Abszissenwert desjenigen Punktes auf der P-Achse, in dem die betreffende Indifferenzkurve beginnt. (Da in diesem Punkt V2 gleich null ist, kennzeichnet er einen sicheren Zielgrößenwert.) Da bei Risikoaversion die Indifferenzkurven im relevanten Bereich P d b/2c monoton steigend verlaufen, ist das Sicherheitsäquivalent einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße Z (mit V2 > 0) in diesem Bereich kleiner als deren Erwartungswert. Zum Beispiel entspricht dem Punkt P2 in Abbildung II.7 ein Sicherheitsäquivalent von null. Bei gegebenem Erwartungswert P' ist das Sicherheitsäquivalent SÄ ( Z ) umso kleiner, je größer die Varianz der Zielgröße ist. (Vgl. die den Punkten P1, P2 und P3 in Abbildung II.7 entsprechenden Sicherheitsäquivalente.) V2
P3
P2
P1
z
z
SÄ ( Z 3)
z
) SÄ( Z 1
SÄ ( Z 2 )
P'
b 2c
P
E( Z )
0
Abb. II.7: Einfluss von V2 auf das Sicherheitsäquivalent bei quadratischer Nutzenfunktion
5.4
Risikoabschlag und ARROW-PRATT-Maß
PRATT (1964, S. 125 f.) hat gezeigt, dass bei beliebiger stetiger und differenzierbarer Nutzenfunktion und geringer Varianz V2 der Zielgröße Z der Risikoabschlag wie folgt approximiert werden kann: (II.38)
~ a(P ) 2 RA ( Z) | V . 2
90
Kapitel II
Der Risikoabschlag ist somit für gegebenes V2 von der Höhe des Risikoaversionskoeffizienten an der Stelle Z P abhängig. Ist die Nutzenfunktion weder linear noch exponentiell, variiert der Risikoabschlag mit dem Erwartungswert P. Bei quadratischer Nutzenfunktion ist er wegen der steigenden absoluten Risikoaversion umso höher, je größer der Erwartungswert ist. Da bei Normalverteilung und exponentieller Nutzenfunktion SÄ(Z) = P – (a / 2) V2 gilt, ist für diesen Fall (II.38) unabhängig von P und V2 exakt als Gleichung erfüllt. Von zwei Entscheidern X und Y mit exponentieller Nutzenfunktion wird derjenige bei gegebenem V2 einen höheren Risikoabschlag vornehmen, dessen Risikoaversionskoeffizient a größer ist. Haben beide Entscheider eine quadratische Nutzenfunktion mit c > 0, ist gemäß (II.16) derjenige Entscheider bei gegebenem P-Wert risikoaverser im Sinne des ARROW-PRATT-Maßes, für den der Quotient b/ 2c kleiner ist; sein Risikoabschlag ist größer und sein Sicherheitsäquivalent kleiner als der des anderen Entscheiders. Da bei exponentieller Nutzenfunktion (wegen der konstanten absoluten Risikoaversion) der Risikoabschlag unabhängig vom Erwartungswert der Zielgröße ist, folgt hierfür: Wenn die Zielgröße um einen sicheren Betrag ' steigt, ändert sich der Risikoabschlag nicht, so dass das Sicherheitsäquivalent um ' steigt. Dies gilt nicht nur für den Fall der Normalverteilung des Zielgrößenwertes Z (für den das Sicherheitsäquivalent gemäß (II.37) einfach dargestellt werden kann), sondern – bei exponentieller Nutzenfunktion – für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Orientiert sich der Entscheider z.B. an der Zielgröße „Vermögen“ am Ende des Planungszeitraumes, ändert sich die Bewertung riskanter Maßnahmen nicht, wenn dieses Vermögen vor diesen Maßnahmen um einen sicheren Betrag steigt oder sinkt. Der „Reichtum“ des Entscheiders hat keinen Einfluss auf seine Risikoaversion; es besteht kein „Reichtumseffekt“. In der Realität ist allerdings eher zu erwarten, dass die Bereitschaft zu riskanten Maßnahmen mit steigendem Reichtum zunimmt. Nur bei konstanter absoluter Risikoaversion (bei exponentieller oder linearer Nutzenfunktion) ist die Bewertung von Risiken von einem sicheren Vermögen oder Überschuss unabhängig (HAKANSSON, 1970, S. 591 f.; BELL, 1995, S. 25). Bei quadratischer Nutzenfunktion steigt sogar die Risikoaversion mit steigendem Reichtum: Gemäß (II.16) und (II.38) nimmt der Risikoabschlag zu, wenn das Vermögen des Entscheiders um einen sicheren Betrag steigt. Dies lässt sich auch anhand des Indifferenzkurvensystems im (P,V2)-Diagramm verdeutlichen (vgl. Abbildung II.8). Da bei gegebenem Wert für V2 die Indifferenzkurvensteigung mit steigendem P abnimmt, werden zusätzliche Risiken umso eher als nachteilig bewertet, je höher der Erwartungswert des Endvermögens in der Ausgangssituation ist. Zur Erläuterung wird ein Projekt betrachtet, das den Erwartungswert der Zielgröße um 'P und die Varianz um 'V2 erhöht. Ist in der Ausgangssituation diejenige (P,V2)Kombination gegeben, die dem Punkt P1 entspricht, ist das Projekt vorteilhaft, da mit ihm eine bessere Indifferenzkurvenposition erreicht wird. Dagegen ist das Projekt nachteilig, wenn als Ausgangssituation der Punkt P2 mit demselben Ordinatenwert (demselben V2) wie P1 maßgeblich ist. Jedoch ist die Vorteilhaftigkeit der Maßnahme unabhängig von der bereits gegebenen Varianz V2 des Endvermögens. Auch dies ver-
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
91
deutlicht Abbildung II.8. Dem Punkt P3 entspricht eine höhere Varianz als dem Punkt P1, jedoch ist das Projekt bei P3 ebenso vorteilhaft wie bei P1. Der Grund für die gleiche Bewertung liegt darin, dass die Indifferenzkurven äquidistant zueinander verlaufen, d.h. der senkrechte Abstand zwischen zwei beliebigen Indifferenzkurven für alternative PWerte identisch ist. Ist das Projekt bei der Ausgangssituation P1 nachteilig bzw. weder vorteilhaft noch nachteilig, so gilt dies auch für P3. Wie bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilung hat die Varianz des bisherigen Endvermögens bei quadratischer Nutzenfunktion keinen Einfluss auf die Bereitschaft, zusätzliche Risiken einzugehen. Zwar sind die Implikationen quadratischer und exponentieller Nutzenfunktionen nicht unproblematisch; quadratische Nutzenfunktionen implizieren steigende absolute Risikoaversion und exponentielle Nutzenfunktionen konstante, während in der Realität eher abnehmende Risikoaversion zu erwarten ist. Trotzdem werden diese Nutzenfunktionen bei späteren Analysen oft zugrunde gelegt, da sie eine relativ einfache und anschauliche Analyse ermöglichen. Wesentliche Ergebnisse gelten jedoch bei Normalverteilung unmittelbar auch für den Fall beliebiger konkaver Nutzenfunktionen, wobei dann wiederum das (P,V)-Prinzip aus dem BERNOULLI-Prinzip folgt. V2
'V 2
P3 'P
'V 2
P1
P2
'P
0
'V 2
'P
b 2c
P
Abb. II.8: Zur Analyse der Vorteilhaftigkeit eines Projekts
5.5
Sicherheitsäquivalent einer stochastischen Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung
Im Rahmen der bisherigen Darstellungen wurde das Sicherheitsäquivalent der gesamten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zielgröße Z betrachtet. Wenn eine Wahrscheinlich-
92
Kapitel II
keitsverteilung über die Zielgröße bereits existiert und Maßnahmen zur Veränderung dieser Verteilung erwogen werden, kann es sich als zweckmäßig erweisen, das Sicherheitsäquivalent nicht auf die neue Verteilung als Ganzes zu beziehen, sondern nur auf den stochastischen Betrag, um den sich die bisherige Verteilung ändert. Bezeichnet Z den bisherigen Zielgrößenwert und Z n die potenzielle Änderung, ist das Sicherheitsä die der quivalent SÄ( Z n ) von Z n gleich derjenigen sicheren Änderung der Zielgröße Z, n ungewissen Änderung Z gleichwertig ist. Werden mehrere Alternativen zur Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erwogen, ist jene mit dem höchsten Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) optimal. Ist allerdings das maximale Sicherheitsäquivalent negativ, wird keine der Alternativen realisiert; es bleibt beim Status quo. Das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) muss nach dem BERNOULLI-Prinzip folgende Gleichung erfüllen: !
(II.39)
E( U[ Z SÄ ( Z n )]) E[U ( Z Z n )].
In Worten: Die sichere Änderung des Zielgrößenwertes Z um das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) und die stochastische Änderung um Z n führen zu demselben Nutzenerwartungswert.
Verläuft die Nutzenfunktion linear (ist der Entscheider risikoneutral), kann (II.39) wie folgt dargestellt werden: !
(II.40)
E[ Z SÄ ( Z n )] E( Z Z n ).
Hieraus folgt unmittelbar: (II.41)
SÄ ( Z n )
n E Z
Z ) E( Z ) ( SÄ ( Z Z n )
E( Z n ).
SÄ ( Z )
Bei Risikoneutralität ist das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) gleich dem Sicherheitsäquivalent der neuen (Gesamt-)Verteilung abzüglich des Sicherheitsäquivalents der ursprünglichen Verteilung. Diese Differenz ist gleich dem Erwartungswert von Z n . Bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilter Zielgröße folgt aus (II.39) für das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ): !
(II.42)
E[ Z SÄ ( Z n )] 2a Var[ Z SÄ ( Z n )] E( Z Z n ) 2a Var( Z Z n ) . SÄ[Z SÄ ( Z n )]
Da SÄ ( Z n ) deterministisch ist, gilt: Var[ Z SÄ ( Z n )] Var( Z ) und
SÄ ( Z Z n )
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
93
E[ Z SÄ ( Z n )] E( Z ) SÄ ( Z n ). Somit kann (II.42) wie folgt dargestellt werden: (II.43)
SÄ ( Z n )
a a E( Z Z n ) Var( Z Z n ) [ E( Z ) Var( Z )] . 2 2 SÄ ( Z Z n )
SÄ ( Z )
In Worten: Das Sicherheitsäquivalent von Z n ist gleich dem Sicherheitsäquivalent der Z n ) abzüglich des Sicherheitsäquivalents der Ausgangsverteineuen Verteilung, SÄ( Z+ lung, SÄ( Z). Für (II.43) kann man schreiben:12
(II.44)
SÄ(Z n )
a E(Z n ) [Var(Z Z n ) Var(Z)] 2 a Z n )]. E(Z n ) [Var(Z n ) 2 Kov(Z; 2
Das Sicherheitsäquivalent ist somit gleich dem Erwartungswert von Z n abzüglich der mit a/2 gewichteten Änderung der Varianz der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße. Ist die Nutzenfunktion weder linear noch exponentiell, gilt grundsätzlich: SÄ ( Z n ) z SÄ ( Z Z n ) SÄ ( Z ). Dies lässt sich anschaulich für den Fall quadratischer Nutzenfunktionen verdeutlichen (Abschnitt 5.7.2).
5.6
Subjektiver Wert einer stochastischen (Änderung einer) Wahrscheinlichkeitsverteilung
5.6.1
Wert WK ( Z n ) aus Sicht eines potenziellen Käufers
Bei den bisherigen Darstellungen blieb offen, wie Z n zu interpretieren ist. Die Darstellungen gelten unabhängig davon, ob es sich um eine finanzielle Größe (Gewinn, Endvermögen, Einkommen) handelt oder um eine nichtfinanzielle (z.B. das durch einen geeigneten Indikator gemessene „Ansehen"). Bei Entscheidungsproblemen mit finanziellen Zielgrößen (Überschüssen) beschreibt die Zielkomponente Z n häufig nur einen Teil der Überschüsse der erwogenen Maßnahmen. Es kann sich dann das Problem stellen, für die übrigen Überschüsse kritische
12
Es gilt: Var(Z Z n )
2 Kov(Z; Z n ) Var(Z n ) . Var(Z)
94
Kapitel II
Ausprägungen festzulegen, bei denen die erwogenen Maßnahmen gegenüber dem Status quo weder vorteilhaft noch nachteilig sind. Eine praktisch wichtige Problemstellung dieser Art ist die Ermittlung des „Wertes" des Überschusses eines einzelnen Investitionsprojekts oder eines Unternehmens im Umfeld mit anderen Risiken. Im Folgenden wird davon ausgegangen, Z n charakterisiere den Überschuss eines Bewertungsobjekts, das der Entscheider zu kaufen erwägt. Bei Verzicht auf Kauf verfüge er zu demjenigen Zeitpunkt, zu dem der Überschuss Z n anfällt, über das Geldvermögen Z , das auch sicher sein mag. Z n enthalte noch nicht die Anschaffungsauszahlung (weil darüber mit dem potenziellen Verkäufer noch verhandelt werden muss). Gesucht wird nun diejenige Anschaffungsauszahlung, von der an der Kauf nachteilig wird, also der Wert des Bewertungsobjekts für den potenziellen Käufer. Bezieht sich die finanzielle Zielkomponente Z n auf einen zukünftigen Zeitpunkt und ist die Anschaffungsauszahlung zu Beginn des Betrachtungszeitraums zu leisten, ergeben sich Zinsprobleme. Hiervon wird im Folgenden ohne Einschränkung der Allgemeinheit vereinfachend abgesehen. Man kann sich vorstellen, dass die Anschaffungsauszahlung zu demjenigen Zeitpunkt fällig wird, zu dem der Überschuss erzielt wird. Wird der zugehörige Wert mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert, ergibt sich der Wert für den Fall, dass die Anschaffungsauszahlung schon zu Beginn des Betrachtungszeitraums zu leisten ist. Der Wert WK( Z n ) aus Sicht des potenziellen Käufers muss nach dem BERNOULLI-Prinzip folgende Gleichung erfüllen: !
(II.45)
E[ U ( Z )] E( U[ Z Z n WK( Z n )]) .
In Worten: Nach Abzug des sicheren Betrages WK( Z n ) weist die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße denselben Nutzenerwartungswert auf wie die ursprüngliche Verteilung. (Ist WK( Z n ) negativ, wird der betreffende Betrag hinzuaddiert.)
Ein Vergleich von (II.45) mit (II.39) lässt den prinzipiellen Unterschied zwischen Wert WK( Z n ) und Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) erkennen: Das Sicherheitsäquivalent ist diejenige sichere Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z , die als Alternative zu der ungewissen Änderung Z n denselben Nutzenerwartungswert erzeugt. Der Wert dagegen ist diejenige sichere Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Z Z n , die wieder zu dem Erwartungsnutzen E[ U ( Z )] in der Ausgangssituation zurückführt. Die Bedingung (II.45) für den Wert gilt auch für den Fall, dass Z deterministisch ist. Für diesen Fall gilt analog zu den Darstellungen in Abschnitt 5.3.1: Der Wert WK( Z n ) ist bei gegebenem Erwartungswert von Z n umso geringer, je größer der „Streubereich“ von Z n ist. Verläuft die Nutzenfunktion linear (ist also der Entscheider risikoneutral), kann (II.45) wie folgt dargestellt werden:
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
95
!
(II.46)
E( Z ) E[ Z Z n WK( Z n )]
bzw.: !
(II.47)
E(Z) E(Z n ) WK(Z n ) . E(Z)
Hieraus folgt: (II.48)
WK( Z n )
E( Z n ).
Bei Risikoneutralität kann eine riskante Maßnahme (ohne Restriktions- und Erfolgsverbund) ohne Rücksicht darauf bewertet werden, welche riskanten Maßnahmen sonst noch durchgeführt werden; es gibt weder „Risikoverbund“ noch „Bewertungsverbund“ (Abschnitt 6). Ein Vergleich von (II.48) mit (II.41) zeigt, dass bei Risikoneutralität die Gleichung WK( Z n )=SÄ( Z n ) gilt. Bei normalverteilter Zielgröße und exponentieller Nutzenfunktion gilt gemäß (II.45) für WK( Z n ) folgende Gleichung: (II.49)
! a E( Z ) Var( Z ) E[ Z Z n WK( Z n )] 2 a Var[ Z Z n WK( Z n )] . 2
Da WK( Z n ) eine deterministische Größe ist, gilt Var[ Z Z n WK( Z n )] = Var( Z Z n ) und E[ Z Z n WK( Z n )] E( Z ) E( Z n ) WK( Z n ). Somit kann (II.49) wie folgt dargestellt werden: (II.50)
WK(Z n )
a a E(Z n ) Var(Z Z n ) Var(Z) 2 2 a E(Z n ) [Var(Z Z n ) Var(Z)] 2 a Z n )]. E(Z n ) [Var(Z n ) 2 Kov(Z; 2
Ein Vergleich mit (II.44) zeigt, dass auch bei exponentieller Nutzenfunktion die Gleichung WK(Z n ) SÄ(Z n ) gilt. Diese Gleichung ist nur bei Risikoneutralität oder exponentieller Nutzenfunktion generell erfüllt (VELTHUIS, 2004; SCHABEL, 2004). (II.50) und (II.44) beruhen zwar auf der Annahme der Normalverteilung, für die der Wert und das Sicherheitsäquivalent in einfacher Weise dargestellt werden können. Jedoch gilt die Gleichung WK(Z n ) SÄ(Z n ) bei exponentieller Nutzenfunktion für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
96
Kapitel II
5.6.2
Wert WV( Z n ) aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
Besitzt der Entscheider bereits das Wirtschaftsgut, das zu einer stochastischen führt, ist der Wert für ihn gleich Änderung Z n einer finanziellen Zielgröße Z demjenigen sicheren Verkaufserlös, der den Entgang der stochastischen Zielkomponente Z n kompensiert. Wird dieser Erlös zum gleichen Zeitpunkt erzielt ~ wie der Überschuss Z n , muss der Wert WV( Z n ) folgende Bedingung erfüllen: !
(II.51)
E( U[ Z WV( Z n )]) E[U ( Z Z n )].
In Worten: Der kritische Verkaufserlös WV( Z n ) führt in Verbindung mit der verbleibenden stochastischen Zielkomponente Z zu einem Erwartungsnutzen, der ebenso hoch ist wie jener der Verteilung Z Z n .
~ ~ Wie der Vergleich von (II.51) mit (II.39) zeigt, gilt WV( Z n ) SÄ ( Z n ) . Der Wert aus Sicht eines potenziellen Verkäufers stimmt also mit dem Sicherheitsäquivalent von Z n für den Fall überein, dass er das Bewertungsobjekt noch nicht besitzt; er ist dann indifferent, ob er (unentgeltlich) die Änderung Z n erhält oder dessen Sicherheitsäquivalent ~ SÄ( Z n ) . Dieser Zusammenhang kann allgemein wie folgt formuliert werden: Basis der Bewertung bei erwogenem Verkauf ist der Überschuss ohne Bewertungsobjekt. Das auf diese Basis bezogene Sicherheitsäquivalent ist der subjektive Grenzpreis für den potenziellen Verkäufer.
5.7
Wert und Sicherheitsäquivalent im Vergleich
5.7.1
Allgemeine Zusammenhänge
Welche Beziehung besteht zwischen Wert und Sicherheitsäquivalent aus Sicht eines potenziellen Käufers? Beide sind genau dann identisch, wenn sich die Nutzenerwartungswerte auf der linken und rechten Seite der Definitionsgleichung (II.45) für den Wert in ~ ~ ~ der gleichen Weise ändern, sofern zu Z und zu Z Z n WK ( Z n ) jeweils derselbe si~n chere Betrag WK ( Z ) hinzuaddiert wird, wenn also (II.45)
!
E[U(Z)] E(U[Z Z n WK(Z n )])
die folgende Gleichung impliziert: (II.52)
!
E(U[Z WK(Z n )]) E[U(Z Z n )].
Da die Gleichung (II.52) der Definitionsgleichung (II.39) für das Sicherheitsäquivalent ~ entspricht, ist der Wert WK ( Z n ) zugleich auch das Sicherheitsäquivalent: n n WK(Z ) SÄ(Z ) .
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
97
Da die in (II.45) bzw. in (II.52) enthaltenen stochastischen Terme jeweils denselben Nutzenerwartungswert aufweisen, müssen auch die entsprechenden Sicherheitsäquivalente miteinander übereinstimmen: (II.53)
~ ! ~ ~ ~ SÄ ( Z) SÄ[ Z Z n WK ( Z n )]
bzw. (II.54)
! ~ ~ ~ ~ SÄ[ Z WK ( Z n )] SÄ ( Z + Z n ) .
Die Gleichungen (II.53) und (II.54) und entsprechend die Gleichungen (II.45) und (II.52) sind genau dann miteinander kompatibel, wenn die Sicherheitsäquivalente in gleicher Weise steigen, sofern zu Z und Z Z n WK(Z n ) derselbe sichere Betrag hinzuaddiert wird. Dies ist generell nur dann der Fall, wenn bei beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Überschuss gilt: Wenn sich der Überschuss um einen deterministischen Betrag ändert, so ändert sich in gleicher Weise auch das Sicherheitsäquivalent; der Risikoabschlag ist unveränderlich. Diese Bedingung ist nur bei linearer oder exponentieller Nutzenfunktion streng erfüllt. (Nur bei diesen Nutzenfunktionen besteht konstante absolute Risikoaversion.) Für andere Nutzenfunktionen gilt grundsätzlich: ~ ~ ~ ~ ~ WK ( Z n ) z SÄ ( Z n ) z SÄ ( Z + Z n ) SÄ ( Z).
Dies lässt sich anschaulich für die quadratische Nutzenfunktion als Repräsentant für Nutzenfunktionen mit variablem Risikoaversionskoeffizienten zeigen.
5.7.2
Wert und Sicherheitsäquivalent bei quadratischer Nutzenfunktion
In der Ausgangssituation sei diejenige Wahrscheinlichkeitsverteilung über Z gegeben, die dem Punkt P1 in Abbildung II.9 entspricht. Führt nun die stochastische Änderung Z n zu einem Punkt P2 auf der Indifferenzkurve IK2, ist das Sicherheitsäquivalent dieser Änderung gleich der Differenz P1P * zwischen den Abszissenwerten der Punkte P* und P1 (die denselben Ordinatenwert aufweisen): Der sichere Vermögenszuwachs P1P * bewirkt, dass bei unveränderter Varianz der Erwartungswert der Zielgröße entsprechend steigt. Der hierbei erzielten Position P* entspricht derselbe Erwartungsnutzen wie P2; der Entscheider ist indifferent zwischen dem zusätzlichen sicheren Betrag P1P* und dem zusätzlichen ungewissen Betrag Z n . ~ Dem Übergang von P1 auf P2 entspricht ein Wert WK ( Z n ) in Höhe von P **P2 . Wenn ausgehend von der Position P2 das Vermögen mit Sicherheit um P **P2 sinkt, wird die Position P** erreicht, die ihrerseits der Position P1 äquivalent ist; es wird der-
98
Kapitel II
selbe Erwartungsnutzen erzielt wie in der Ausgangssituation. Im Beispiel der Abbildung II.9 ist der Ordinatenwert des Punktes P2 höher als der des Punktes P1. Dies impliziert ~ WK ( Z n ) > SÄ( Z n ) . V
2
IK1
T
P3
P
P1
0
SÄ( Z )
Abb. II.9:
**
~ WK W((Z n )
IK2 P2
*
n SÄ( Z )
P
n SÄ( Z Z )
b 2c
P
Zum Sicherheitsäquivalent und Wert bei quadratischer Nutzenfunktion
Beweis: Wie in Abschnitt 2.3.2.1 erläutert wurde, verlaufen bei quadratischer Nutzenfunktion die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm streng konkav, wobei die Indifferenzkurvensteigung in einem Punkt mit gegebenem Ordinatenwert eine (linear) fallende Funktion des Abszissenwertes dieses Punktes ist. Somit ist die Steigung der Indifferenzkurve IK2 bis zu ihrem maximalen Ordinatenwert für alternative Ordinatenwerte niedriger als die Steigung der Indifferenzkurve IK1. Der waagerechte Abstand zwischen beiden Indifferenzkurven wird folglich bis zu dem maximalen Ordinatenwert von IK2 mit steigendem Ordinatenwert immer größer. Daraus folgt P **P2 ! P1P * bzw. die Relation ~ Ŷ WK ( Z n ) > SÄ( Z n ) .13 13
Der Ordinatenwert des Punktes P3 ist höher als der maximale Ordinatenwert der Indifferenzkurve IK2. Führt ausgehend vom Punkt P3 die stochastische Änderung Z n zu dem Punkt P2 (oder einem anderen Punkt auf der Indifferenzkurve IK2), so existiert kein Sicherheitsäquivalent SÄ(Z n ) : Wenn ausgehend von der dem Punkt P3 entsprechenden (P,V)-Konstellation die Zielgröße sukzessive um einen sicheren Betrag steigt, wächst gleichermaßen der Erwartungswert bei konstanter Varianz. Eine Bewegung entlang der durch P3 verlaufenden Geraden nach rechts führt zunächst zu immer günstigeren Indifferenzkurven, bis schließlich beim Abszissenwert b/2c eine Indifferenzkurve tangiert wird (Tangentialpunkt T). Eine weitere Erhöhung des Zielgrößenwertes führt nun zu immer ungünstigeren Indifferenzkurven. Da der Indifferenzkurve, die beim Abszissenwert b/2c tangiert wird, ein kleinerer Nutzenerwartungswert entspricht als der durch P2 verlaufenden Indifferenzkurve, gibt es keinen sicheren Zuwachs der Zielgröße, der zu demselben Erwartungsnutzen führt wie die stochastische Änderung
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
99
Die Relation impliziert: Wenn der Käufer für das Bewertungsobjekt einen Preis in Höhe des Sicherheitsäquivalents SÄ( Z n ) bezahlt, erzielt er einen Vorteil; sein Erwartungsnutzen steigt. Wandert der Punkt P2 entlang der Indifferenzkurve IK2 nach rechts oben (links unten), ändert sich das Sicherheitsäquivalent nicht. Jedoch steigt (sinkt) der zugehörige ~ Wert WK ( Z n ) ; er ist jeweils gleich der Differenz der Abszissenwerte des Punktes P2 und desjenigen Punktes P** auf der Indifferenzkurve IK1, der denselben Ordinatenwert ~ wie P2 aufweist. Für P2 = P* gilt WK ( Z n ) = SÄ( Z n ) . Ist der Ordinatenwert des Punk~ tes P2 kleiner als der des Punktes P1, gilt SÄ( Z n ) > WK ( Z n ) . n Wenn der Überschuss Z um den sicheren Betrag ' steigt (sinkt), wandert der Punkt P2 bei gegebener Varianz V2 um ' nach rechts (links), so dass sich in gleicher Weise ~ der Wert WK ( Z n ) des Bewertungsobjekts ändert. Das Sicherheitsäquivalent ändert sich dagegen um einen Betrag, der kleiner ist als '. Wandert bei gegebener Position des Punktes P2 der Punkt P1 entlang der Indifferenz~ kurve IK1 nach rechts oben (links unten), bleibt zwar der Wert WK ( Z n ) unverändert ~n ( WK ( Z ) = P **P2 ), jedoch steigt (sinkt) das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) . Dabei gilt für jeden positiven Ordinatenwert von P1 folgende Ungleichung: SÄ ( Z n ) ! SÄ ( Z Z n ) SÄ ( Z ) . Ist der Ordinatenwert des Punktes P1 gleich null (diesem Punkt entspricht dann ein "Sicherheitsäquivalent" in Höhe seines Abszissenwertes), ist SÄ( Z n ) gleich dem Sicherheitsäquivalent der Wahrscheinlichkeitsverteilung, zu dem die stochastische Änderung Z n führt, abzüglich des sicheren Betrages in der Ausgangssituation. Führt Z n zu einem Übergang von einem Punkt auf der Indifferenzkurve IK2 auf einen Punkt der Indifferenzkurve IK1, entspricht Z n ein negativer Wert und ein negatives Sicherheitsäquivalent. Dabei ist der Betrag des Wertes (des Sicherheitsäquivalents) gleich dem Sicherheitsäquivalent (dem Wert) bei einem Übergang in entgegengesetzter Richtung. Für den Übergang von P2 auf P1 (Abbildung II.9) ist der Betrag des negativen Sicherheitsäquivalents gleich P **P2 ; eine sichere Vermögenseinbuße in Höhe dieses Betrages führt zu demselben Erwartungsnutzen wie die stochastische Änderung Z n (die zu P1 führt). Der Betrag des negativen Wertes ist gleich P1P * ; ein sicherer Vermögenszuwachs in Höhe dieses Betrages kompensiert gerade die stochastische Änderung Z n . Wird der dem Übergang von P1 auf P2 entsprechende Wert mit WK(P1,P2) bezeichnet und das entsprechende Sicherheitsäquivalent mit SÄ(P1,P2) und werden die Größen WK(P2,P1) und SÄ(P2,P1) analog für einen Übergang von P2 auf P1 definiert, können die Zusammenhänge wie folgt dargestellt werden:14
14
Z n (mit der der Punkt P2 erreicht wird); es existiert kein Sicherheitsäquivalent SÄ(Z n ) . Der Grund hierfür ist, dass bei quadratischer Nutzenfunktionen der Nutzen U an der Stelle Z = b/2c sein Maximum erreicht und dann mit steigendem Z wieder abnimmt; es wird gegen das Dominanzprinzip verstoßen. Bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilung verlaufen die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm linear und parallel zueinander. Der waagerechte Abstand zwischen zwei beliebigen Indifferenzkurven ist dann für jeden Ordinatenwert identisch, so dass gilt:
SÄ(P1 , P2 )
WK(P1 , P2 )
WK(P2 , P1 )
SÄ(P2 , P1 ) .
100
Kapitel II
SÄ(P1, P2 )
WK(P2 , P1 )
WK(P1, P2 )
SÄ(P2 , P1 )
P1P *, P **P2 .
Der Übergang von P2 auf P1 kann als Verkauf eines Bewertungsobjekts mit dem Überschuss Z n interpretiert werden. Ohne Berücksichtigung eines Verkaufserlöses sinkt damit der Erwartungsnutzen. Der Grenzpreis, bei dem der Verkauf weder vorteilhaft noch nachteilig ist (der kritische Erlös für den potenziellen Verkäufer) ist gleich dem Sicherheitsäquivalent P1P * des Überschusses Z n bezogen auf die Position P1 ohne diesen Überschuss (ohne das Bewertungsobjekt). Die Darstellungen gelten natürlich analog für den Fall, dass der Punkt P1 eine sichere Position repräsentiert, also den Ordinatenwert 0 und z.B. den Abszissenwert von SÄ(Z) in Abbildung II.9 aufweist. Die Darstellungen werden in Kapitel XV, Abschnitt 3, auf den Mehrperioden-Fall erweitert.
5.8
Implikationen für die Sicherheitsäquivalent-Methode als Bewertungskonzeption
5.8.1
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers
Wie in Kapitel I, Abschnitt 5.3.2, erläutert wurde, erfolgt nach der Sicherheitsäquivalent-Methode die subjektive Bewertung von Unternehmen und anderen Investitionsprojekten durch Diskontierung der subjektiven Sicherheitsäquivalente der zukünftigen Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz r. Im Einperioden-Fall wird das Sicherheitsäquivalent des Überschusses am Ende der Periode diskontiert.15 Analog wird im Mehrperiodenfall verfahren.16 Jedoch versagt diese Methode für den potenziellen Kauf grundsätzlich schon im Einperiodenfall, in dem nur ein Sicherheitsäquivalent zu ermitteln ist. Bei anderen als linearen oder exponentiellen Nutzenfunktionen weicht das mit dem risikolosen Zinssatz diskontierte Sicherheitsäquivalent grundsätzlich von demjenigen Kaufpreis für das Bewertungsobjekt ab, bei dem mit dem Bewertungsobjekt derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird, wie ohne; Sicherheitsäquivalente sind dann als Basis der Bewertung ungeeignet. Zur Erläuterung sei ein Beispiel betrachtet. Der Entscheider habe die Möglichkeit, ein riskantes Investitionsprojekt und nur dieses mit einer Nutzungsdauer von einer Periode zu erwerben. Das Projekt führe am Ende der Periode (dem Zeitpunkt 1) zu einem ungewissen Einzahlungsüberschuss von ~e1p mit dem Erwartungswert E(~e1p ) . Der 15
16
Vgl. BALLWIESER (1981, S. 101; 2001, Sp. 2085); FRANKE/HAX (2004, S. 312); KRUSCHWITZ (2001, S. 2409 und 2411; 2002, S. 12). Zur Analyse entscheidungstheoretischer Anwendungsvoraussetzungen der Sicherheitsäquivalent-Methode im Mehrperioden-Fall, bei denen wie hier von simultaner optimaler Portefeuillebildung zum Hedgen der zu bewertenden Überschüsse abgesehen wird, vgl. KÜRSTEN (2002, S.137-142; 2003, S. 306-310); SCHWETZLER (2002a; 2002b; 2002c); DIEDRICH (2003); WIESE (2003); KRUSCHWITZ (2002, S. 15-16); KRUSCHWITZ/LÖFFLER (2003). Zur expliziten Berücksichtigung optimaler Hedgemaßnahmen vgl. Kapitel IX bis XII für den Einperioden-Fall und Kapitel XV für den MehrperiodenFall.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
101
Kaufpreis ist zu Beginn der Periode (dem Zeitpunkt 0) zu zahlen. Zu Beginn der Periode verfüge der Entscheider über das Geldvermögen V0. Wird das Projekt nicht erworben, wird V0 auf dem Kapitalmarkt zum risikolosen Zinssatz r angelegt. Weitere Überschüsse bzw. Einkünfte seien nicht bewertungsrelevant. Der Entscheider orientiere sich am Ziel, den Erwartungsnutzen seines Endvermögens (seines Vermögens am Ende der betrachteten Periode) zu maximieren. Der (subjektive) Wert des Projekts ist dann gleich demjenigen subjektiven Grenzpreis GP(~e1p ) , bei dem mit und ohne Kauf dasselbe Sicherheitsäquivalent für das Endvermögen erzielt wird. Es muss also gelten: SÄ{~e1p (1 r ) [V0 GP(~e1p )]} (1 r ) (V0 ) .
Bei linearer oder exponentieller Nutzenfunktion für das Envermögen kann man hierfür schreiben: SÄ (~e1p ) (1 r ) [V0 GP(~e1p )]
(1 r ) (V0 ) .
Somit folgt für den subjektiven Grenzpreis: GP(~e1p )
(1 r ) 1 SÄ (~e1p ) .
Das Projekt ist vorteilhaft, wenn das mit dem risikolosen Zinssatz r diskontierte Sicherheitsäquivalent seines Überschusses größer ist als die Anschaffungsauszahlung. Bei anderen als linearen oder exponentiellen Nutzenfunktionen ist die beschriebene Umformung allenfalls zufällig korrekt; der subjektive Grenzpreis GP(e1p ) weicht vom Barwert des Sicherheitsäquivalents SÄ (~e1p ) ab. Gemäß den Darstellungen in Abschnitt 5.7 ist vielmehr zu prüfen, welche Auszahlung zum Zeitpunkt 1 den Zugang von ~e1p kompensiert. Der Barwert dieses Wertes ist der Grenzpreis bezogen auf den Zeitpunkt 0. Abgesehen davon ergibt sich bei anderen als linearen oder exponentiellen Nutzenfunktionen für die Sicherheitsäquivalent-Methode ein komplexes Zirkularitätsproblem. Einerseits hängt das Sicherheitsäquivalent für ~e1p von der Anschaffungsauszahlung (allgemein dem Reichtum des Investors) ab. Andererseits soll die kritische Obergrenze für die Anschaffungsauszahlung ihrerseits auf der Basis des Sicherheitsäquivalents ermittelt werden. Weitere Bewertungsprobleme ergeben sich, wenn für die Bewertung nicht ausschließlich der riskante Überschuss ~e1p und die Anlage zum risikolosen Zinssatz r maßgeblich sind, sondern die Bewertung vor dem Hintergrund weiterer riskanter Maßnahmen zu erfolgen hat, die bei Kauf des Bewertungsobjekts grundsätzlich auch noch an dessen Überschuss ~e1p angepasst werden, um das Risiko besser zu hedgen. Darauf kommen wir in Abschnitt 6 und in den Kapiteln VIII bis XII zurück. Probleme der Bewertung im Mehrperioden-Fall werden in den Kapiteln XIII, XIV und XV behandelt.
102
Kapitel II
5.8.2
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
Wie in Abschnitt 5.6.2 gezeigt wurde, stimmt der subjektive Grenzpreis eines riskanten Überschusses für einen (potenziellen) Verkäufer mit dem Sicherheitsäquivalent dieses Überschusses überein, sofern der Verkaufserlös zu demselben Zeitpunkt erzielt wird wie der Überschuss. Dabei wird das Sicherheitsäquivalent für den Überschuss auf der Basis ohne diesen Überschuss ermittelt. Es ist derjenige sichere Einzahlungsbetrag, bei dem der Investor ausgehend von dieser Basis dieselbe Nutzenänderung erzielt wie für den Fall, dass er den riskanten Überschuss unentgeltlich erhält. Dies impliziert, dass der anschließende Verkauf dieses Überschusses zu einem Preis in Höhe des Sicherheitsäquivalents weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Wird der Verkaufserlös schon zum Zeitpunkt 0 erzielt, ist der subjektive Grenzpreis gleich dem mit r ermittelten Barwert des Sicherheitsäquivalents. Zwar sind Sicherheitsäquivalente für die Bewertung bei potenziellem Verkauf (im Gegensatz zum Kauf) prinzipiell geeignet. Das eigentliche Problem ist jedoch deren praktische Ermittlung (vor allem im Mehrperioden-Fall).
6
Verbundeffekte und Koordinationsbedarf bei der Bewertung
Bei der Planung und der Investitionsbewertung (allgemein: bei der Lösung eines Entscheidungsproblems) stellt sich das Problem, Interdependenzen zwischen verschiedenen Teilen oder Bereichen des Entscheidungsfeldes Rechnung zu tragen. Interdependenzen lassen sich stets auf folgende Verbundeffekte zurückführen: Restriktionsverbund, Erfolgsverbund, Risikoverbund und Bewertungsverbund (LAUX/ LIERMANN, 2005). Restriktionsverbund zwischen zwei Entscheidungsbereichen liegt vor, wenn die Aktionsmöglichkeiten mindestens eines dieser Bereiche davon abhängen, welche Aktionen in dem anderen durchgeführt werden. Erfolgsverbund zwischen zwei Entscheidungsbereichen besteht, wenn zumindest für einen Bereich gilt: Wie weit der Gesamterfolg (allgemein: der gesamte Zielgrößenwert) bei Durchführung bestimmter Aktionen in diesem Bereich steigt oder fällt, hängt davon ab, welche Maßnahmen in dem anderen Bereich realisiert werden. Der Gesamterfolg setzt sich also nicht additiv aus den Erfolgen der Einzelmaßnahmen zusammen, sondern wird von der Gesamtheit der Maßnahmen in beiden Bereichen bestimmt. Wenn im Fall sicherer Erwartungen zwischen zwei Bereichen weder Restriktionsverbund noch Erfolgsverbund besteht, ist eine Koordination der Bereichsentscheidungen nicht erforderlich. In Risikosituationen kann sich jedoch – sofern
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
103
nicht Risikoneutralität besteht – die Notwendigkeit der Koordination aufgrund eines Risikoverbundes ergeben. Risikoverbund liegt vor, wenn die Erfolge der verschiedenen Bereiche voneinander stochastisch abhängen. Wie weit die Varianz des Gesamterfolges als Maßstab des Risikos steigt oder sinkt, wenn in einem Bereich riskante Maßnahmen durchgeführt werden, hängt dann davon ab, welche riskanten Entscheidungen in anderen Bereichen getroffen werden und welche stochastischen Beziehungen zwischen den Bereichserfolgen bestehen. Zur Erläuterung des Restriktionsverbundes wird von zwei Bereichen A und B mit den riskanten Erfolgen G A und G B ausgegangen. Für die Varianz des Gesamterfolges G G A G B gilt dann:
~ Var(G )
~ ~ ~ ~ Var(G A ) 2 Kov(G A ; G B ) Var(G B ) ~ ~ ~ ~ Var(G A ) 2U Sta (G A ) StaG B ) Var(G B ).
Dabei bezeichnet Var( ) die Varianz und Sta( ) die Standardabweichung der betreffenden Größe, U den Korrelationskoeffizienten für GA und GB und Kov( ) die Ko und G . Bei stochastischer Abhängigkeit (U z 0) hängt der Beitrag des varianz für G A B zur Varianz des Gesamterfolges nicht nur von U, sondern auch Bereichserfolges G A ) ab. Das Analoge gilt für den Beitrag des Bereichserfolges G . U und von Sta( G B B Sta( G B ) bzw. Sta( G A ) sind jedoch nicht a priori gegeben; sie hängen vielmehr von den in beiden Bereichen getroffenen Entscheidungen ab. Schließlich kann sich die Notwendigkeit der Koordination aufgrund eines Bewertungsverbundes ergeben. Bewertungsverbund bezüglich riskanter Maßnahmen liegt vor, wenn das Sicherheitsäquivalent bzw. der Wert einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Gesamterfolges bei Durchführung einer Aktion in einem Entscheidungsbereich davon abhängt, welche Wahrscheinlichkeitsverteilungen für andere Bereiche maßgeblich sind. Bei Orientierung am (P,V)Prinzip bedeutet Bewertungsverbund: Die Bewertung der Veränderung der (P,V)Kombination bezüglich des Gesamterfolges bei Durchführung von Maßnahmen in einem Bereich hängt davon ab, welche (P,V)-Kombinationen in anderen Bereichen realisiert werden. Bei quadratischer Nutzenfunktion besteht Bewertungsverbund, jedoch wird er analog zu den Darstellungen in Abschnitt 5.4 (Abbildung II.8) nur über den Erwartungswert verursacht. Ob eine Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße vorteilhaft ist, hängt dann allein vom Erwartungswert der Zielgröße in der Ausgangssituation und nicht von ihrer Varianz ab. Bei der exponentiellen Nutzenfunktion (II.6) besteht kein Bewertungsverbund. Dies wird anschaulich für den Fall deutlich, dass die Zielgröße normalverteilt ist. Die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm verlaufen dann linear mit der Steigung 2/a (Abschnitt 2.3.2.2). Bewertungsunterschiede wie in Abbildung II.8 kön-
104
Kapitel II
nen dann nicht eintreten.
7
Pareto-effiziente Risikoteilung
7.1
Bedeutung
Bei den bisherigen Darstellungen ging es um das Problem, wie ein einzelner Entscheider in Risikosituationen rationale Entscheidungen treffen kann. Dabei wurden bei der Beurteilung bzw. der Bewertung der erwogenen Maßnahmen nur die Präferenzvorstellungen dieses Entscheiders berücksichtigt. In der Realität können jedoch Risiken mit anderen Personen geteilt werden. Im Vordergrund dieser Arbeit stehen Risiken, die aus ungewissen Überschüssen bzw. Erfolgen resultieren (etwa Erfolgen aus einmaligen Geschäften oder Unternehmenserfolgen). Entsprechend impliziert Risikoteilung Erfolgsteilung. Ein Entscheider kann hiermit möglicherweise schon bei gegebenen Objektmaßnahmen einen Vorteil erzielen. Darüber hinaus können finanzielle Vorteile auch realisiert werden, indem zusätzliche riskante Investitionen durchgeführt werden, die ohne Risikoteilung, d.h. ohne Allokation des Risikos bzw. des Erfolges auf verschiedene Personen, für den Entscheider zu riskant gewesen wären. Risikoteilung erfolgt z.B. dann, wenn der Eigentümer eines Unternehmens Gesellschafter aufnimmt, die am Erfolgsrisiko partizipieren. Eine bedeutende Institution zur Teilung von Risiken ist der Kapitalmarkt, auf dem Anwartschaften auf ungewisse Zahlungen gehandelt werden. Ist ein Unternehmen börsennotiert, besteht die Möglichkeit, in einfacher Weise sehr viele Gesellschafter (Anteilseigner) am Unternehmensrisiko zu beteiligen. Darüber hinaus können auch Nichtgesellschafter am Risiko partizipieren. Typische Beispiele sind der Abschluss von Versicherungen und von Termingeschäften. Für die Analyse der prinzipiellen Vorteilhaftigkeit der Risikoteilung und von Einmütigkeit oder von Zielkonflikten zwischen den beteiligten Parteien hat – wie später immer wieder deutlich wird – die Bedingung der pareto-effizienten Teilung grundlegende Bedeutung. Eine Teilungsregel ist bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg (oder eine andere finanzielle Zielgröße) pareto-effizient, wenn es nicht möglich ist, durch Umverteilung der zustandsabhängigen Erfolge den Erwartungsnutzen mindestens eines der Beteiligten zu erhöhen, ohne gleichzeitig den Erwartungsnutzen mindestens eines anderen zu reduzieren. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie pareto-effiziente Teilungsregeln für zwei Entscheider ermittelt werden können und wie sie von ihren Risikoeinstellungen sowie von ihren Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Ss abhängen. Die Dar-
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
105
stellungen gelten analog für mehr als zwei Personen.17 Sie beruhen auf der Annahme, ex post kostenlos verifiziert (intersubjektiv überprüft) dass der zu teilende Erfolg G werden kann. Außerdem wird angenommen, dass beide Parteien neben ihrem Anteil an im privaten Bereich keine riskanten finanzielle Überschüsse beziehen, die stoG abhängen; es stellt sich somit nicht das Problem, Risiko- und Bewerchastisch von G tungsverbund Rechnung zu tragen.
7.2
Pareto-Programm
Bei gegebenen zustandsabhängigen Erfolgen kann eine pareto-effiziente Teilungsregel ermittelt werden, indem der erwartete Nutzen einer Partei unter der Nebenbedingung maximiert wird, dass der erwartete Nutzen der anderen einen bestimmten Mindestwert nicht unterschreitet (RAIFFA, 1973; BORCH, 1962; DEMSKI, 1976; REES, 1985a). Wenn beide Parteien dieselben Wahrscheinlichkeitsvorstellungen (homogene Erwartungen) über die möglichen Erfolge G haben, kann das Pareto-Programm wie folgt dargestellt werden: (II.55)
~ ~ E ( U y [G B(G )]) o Max ! B( G )
unter der Nebenbedingung (II.56)
~ E( U x [ B(G )]) t U x .
Ux[ ] bezeichnet die Nutzenfunktion von X und Uy[ ] die von Y. U x steht für den Mindestwert des erwarteten Nutzens (kurz: für den Mindestnutzen) des Entscheiders X, den er im Rahmen der gesuchten Teilungsregel erzielen soll. Es wird davon ausgegangen, dass für beide Entscheider der Grenznutzen stets positiv ist und dass jede Nutzenfunktion entweder streng konkav oder linear sowie stetig und differenzierbar ist. Da die Nutzenfunktion Uy[ ] bzw. Ux[ ] monoton steigend in G B bzw. in B ist, kann die Zielfunktion (II.55) nur unter der notwendigen Bedingung ein Maximum erreichen, dass die Nebenbedingung (II.56) als Gleichung erfüllt ist. (II.56) kann somit wie folgt dargestellt werden: (II.56a)
~ E( U x [ B(G )]) U x
0.
Man erhält eine Menge pareto-effizienter Teilungsregeln, indem für alternative Ux Werte jeweils die Zielfunktion (II.55) unter der Nebenbedingung (II.56a) maximiert wird. Welche Teilungsregel ausgewählt wird, hängt von dem Mindestnutzen ab, den der Entscheider X letztlich erzielen soll. Dieser Mindestnutzen kann insbesondere davon abhängen, welchen Nutzen X erzielt, wenn er nicht mit Y kooperiert.
17
Probleme pareto-effizienter Risikoteilung werden u.a. eingehend im Rahmen der Versicherungstheorie untersucht. Vgl. hierzu zum Beispiel EECKHOUDT/KIMBALL (1991) und den Überblicksartikel SCHLESINGER/DOHERTY (1991).
106
7.3
Kapitel II
Grundbedingung pareto-effizienter Risikoteilung
Nach dem Ansatz von LAGRANGE liegt der Maximalwert der Funktion (II.55) unter der Nebenbedingung (II.56a) dort, wo die folgende zusammengesetzte Funktion, die sogenannte LAGRANGE-Funktion (II.57)
L
~ ~ ~ E( U y [G B(G )]) O {E( U x [B(G )]) U x } .
ihren Maximalwert annimmt. Dafür muss B(G) für jeden möglichen Erfolg G so gewählt werden, dass gilt (notwendige Bedingung): (II.58)
wU y [G B(G )] wL wU [ B(G )] w (G ) O w (G ) x wB wB wB
w (G )
dU y [G B(G )] w[G B(G )] dU [ B(G )] O w (G ) x d[G B(G )] B dB w 1
w (G )
dU y [G B(G )] d[G B(G )]
O w (G )
dU x [ B(G )] 0 dB
mit w(G) der Eintrittswahrscheinlichkeit (bei stetig verteiltem Erfolg: der Dichte)18 des Erfolges G und außerdem (II.59)
wL wO
~ E( U x [ B(G )]) U x
0.
(II.58) ist die gleich 0 gesetzte erste partielle Ableitung der Funktion (II.57) nach B. Die Bedingung (II.59) ist die gleich 0 gesetzte erste partielle Ableitung von (II.57) nach O. Sie ist mit der Nebenbedingung (II.56a) identisch. (II.58) kann nach Division durch w(G) > 0 kurz wie folgt dargestellt werden: (II.58a)
U 'y > G B(G) @ O U 'x > B(G) @ 0
(für jedes G),
wobei U 'y [ ] den Grenznutzen des (absoluten) Erfolgsanteils von Y bezeichnet und U 'x [ ] den Grenznutzen des (absoluten) Erfolgsanteils von X. Aus (II.58a) folgt die
18
Diese Wahrscheinlichkeit (oder Dichte) ist in (II.57) zwar nicht explizit enthalten, wohl aber implizit über die beiden Erwartungswertoperatoren.
107
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
Grundbedingung pareto-effizienter Risikoteilung: (II.60)
U 'y > G B(G)@ U 'x > B(G) @
O
(für jedes G).
Für drei mögliche G-Werte, G1, G2 und G3, lautet diese Bedingung: U 'y ª¬G1 B(G1) º¼
U 'y ª¬G 2 B(G 2 ) º¼
U 'y ª¬G3 B(G3 ) º¼
U 'x ª¬ B(G1) º¼
U'x ª¬ B(G 2 ) º¼
U 'x ª¬ B(G3 ) º¼
O.
Jeder mögliche Erfolg G wird derart aufgeteilt, dass das Verhältnis aus dem Grenznutzen des Entscheiders Y und dem des Entscheiders X gleich einer Konstanten O ist. Wäre das Verhältnis der Grenznutzenwerte nicht für jeden möglichen Erfolg identisch, könnte durch Umverteilung der möglichen Erfolge der Erwartungsnutzen mindestens einer Partei vergrößert werden, ohne dass der der anderen sinken würde. Von besonderer Bedeutung ist, dass bei homogenen Erwartungen der Entscheider eine pareto-effiziente Teilungsregel unabhängig von den Eintrittswahrscheinlichkeiten der möglichen Zustände oder Erfolge ist. Ist eine Teilungsregel paretoeffizient, so gilt dies auch dann, wenn sich die (homogenen) Wahrscheinlichkeitsvorstellungen ändern.
7.4
Gestalt pareto-effizienter Teilungsregeln
In LAUX (2006a, S. 55 ff.) wird gezeigt, dass bei exponentiellen oder quadratischen Nutzenfunktionen (und homogenen Erwartungen) das Risiko linear geteilt wird. Exponentielle oder quadratische Nutzenfunktionen sind allerdings eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die Linearität pareto-effizienter Teilungsregeln. WILSON (1969, S. 300) und ROSS (1974, S. 223 f.) haben gezeigt, dass eine paretoeffiziente Teilungsregel immer dann linear ist, wenn die Nutzenfunktionen beider Entscheider entweder exponentiell, logarithmisch oder eine Potenzfunktion sind; dabei ist eine quadratische Nutzenfunktion eine der Potenzfunktionen. Die genannten Nutzenfunktionen bilden die sogenannte HARA-Klasse (Hyperbolic Absolute Risk Aversion). Eine HARA-Nutzenfunktion weist lineare Risikotoleranz auf.19 Dass die Nutzenfunktionen der HARA-Klasse angehören ist wiederum eine hinreichende, keine notwendige Bedingung für die Linearität pareto-effizienter Teilungsregeln (HUANG/LITZENBERGER, 1985).
19
Nutzenfunktionen der HARA-Klasse werden insbesondere in der Kapitalmarkttheorie oft zugrunde gelegt. Zur Bedeutung und Gestalt solcher Nutzenfunktionen vgl. VELTHUIS (2004).
108
Kapitel II
Haben die beiden Entscheider verschiedene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände, ist bei pareto-effizienter Risikoteilung den Unterschieden in den Wahrscheinlichkeiten Rechnung zu tragen. Auch wenn zwei oder mehr Zuständen derselbe Erfolg G entspricht, kann es sinnvoll sein, jeweils unterschiedliche Erfolgsanteile B(G) und G B(G) zu vereinbaren; die Erfolgsteilung erfolgt dann zustandsabhängig. Bei zustandsabhängiger Teilung ist für die Höhe von B(G) bzw. von G B(G) nicht nur die Höhe des erzielten Erfolges G maßgeblich, sondern auch der Zustand Ss, in dem er erzielt wird. (II.61) zeigt, wie der Erfolg zustandsabhängig pareto-effizient geteilt werden kann20: (II.61)
U 'y [G s Bs (G s )] U 'x [Bs (G s )]
w x (Ss ) O (s = 1, 2, ..., S). w y (Ss )
Dabei wird davon ausgegangen, die Zahl S der möglichen Zustände sei endlich und der eintretende Zustand (kostenlos) verifizierbar. Die Wahrscheinlichkeit, die der Entscheider X bzw. Y dem Zustand Ss (s = 1, 2, ..., S) zuordnet, wird mit wx(Ss) bzw. mit wy(Ss) bezeichnet. Für jeden Zustand Ss gelte wx(Ss) > 0 und wy(Ss) > 0. Für jeden Zustand Ss (s = 1, 2, ...,S) wird nun der Erfolg derart geteilt, dass das Verhältnis aus dem Grenznutzen des Entscheiders Y und dem des Entscheiders X gleich O wx(Ss) /wy(Ss) ist.
8
Anreizkompatible Risikoteilung
8.1
Bedeutung
Ausgehend von einer pareto-effizienten Erfolgsteilung kann zwar bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg G der Erwartungsnutzen keines Entscheiders erhöht werden, ohne dass der eines anderen sinkt. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf Grund von Investitionen oder anderer Maßnahmen können jedoch bei der betreffenden Teilungsregel alle einen Vorteil oder einen Nachteil erzielen. Möglicherweise erzielen aber auch einige einen Vorteil und andere einen Nachteil. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg durch wen auch immer beeinflusst werden kann, können sich dann Konflikte bezüglich der Durchführung der betreffenden Maßnahmen ergeben. Um Konflikte zwischen Entscheidern zu vermeiden, können sie ein Interesse daran haben, eine anreizkompatible Teilungsregel zu vereinbaren. Eine Teilungsregel erfüllt für zwei Entscheider X und Y die Bedingung der Anreizkompatibilität, wenn sie jeden möglichen Erfolg derart teilt, dass der Erwartungsnutzen des (absoluten) Erfolgsanteils B(G) für X eine monoton steigende Funktion des Erwartungsnutzens des Erfolgsanteils G B(G) für Y ist. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg kann dann eine Partei nur einen 20
Vgl. z.B. LAUX (2006a, S. 60).
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
109
finanziellen Vorteil oder Nachteil erzielen, wenn dies zugleich für die andere Partei gilt. Das theoretische Konstrukt „Anreizkompatibilität“ hat für alle Situationen Bedeutung, in denen Personen im Rahmen von Transaktionen mit finanziellen Auswirkungen miteinander kooperieren. Wenn sich die Analyse auf eine Gruppe von Personen bezieht, für die nichtfinanzielle Ziele irrelevant sind, impliziert Anreizkompatibilität zugleich Einmütigkeit. Bezüglich dieser Personengruppe sind „Anreizkompatibilität“ und „Einmütigkeit“ letztlich synonyme Begriffe. Wenn eine Gruppe von Personen betrachtet wird, von denen sich ein Teil auch an nichtfinanziellen Zielen orientiert, garantiert Anreizkompatibilität zwar keine Einmütigkeit. Dies schmälert jedoch nicht die Bedeutung von Anreizkompatibilität. Sie kann dazu beitragen, den Konfliktbereich einzuengen. Wenn zum Beispiel Maßnahmen durchgeführt werden, die für die Beteiligten mit ausschließlich finanziellen Zielen nachteilig sind, erzielt auch jeder, der mit den Maßnahmen einen immateriellen Vorteil erhält, einen finanziellen Nachteil. Wenn jeweils der finanzielle Nachteil den immateriellen Vorteil kompensiert, besteht bezüglich der betreffenden Maßnahmen kein Interessenkonflikt; für alle ist es vorteilhaft, sie zu unterlassen. Inwieweit Konflikte durch Anreizkompatibilität vermieden werden, hängt nicht nur von den Gewichten immaterieller Zielgrößen ab, sondern auch davon, wie hoch die Anteile der Personen mit nichtfinanziellen Zielen an den möglichen Erfolgen sind. Daher ist wichtig, dass es nicht nur eine anreizkompatible Teilungsregel gibt, sondern unendlich viele, bei denen die einzelnen Parteien unterschiedlich stark am Erfolg beteiligt werden (Abschnitt 8.2). Das theoretische Konstrukt der Anreizkompatibilität hat auch für die Analyse der Existenz kollektiver subjektiver Grenzpreise große Bedeutung. Wenn zwischen den Gesellschaftern eines Unternehmens keine Anreizkompatibilität besteht, existiert nicht für ein beliebiges Projekt eine einheitliche Preisobergrenze, bis zu der der Kauf für alle vorteilhaft ist. Unterschiedliche subjektive Grenzpreise können Konflikte bezüglich der Realisation von Projekten verursachen, weil die Anschaffungskosten für einen Teil der Anteilseigner über dem Grenzpreis liegt und für andere darunter. Wenn keine Anreizkompatibilität besteht, kann natürlich auch nicht der Marktwert eines Projekts generell einen kollektiven subjektiven Grenzpreis darstellen. Im Folgenden wird untersucht, wie anreizkompatible Teilungsregeln für zwei Entscheider X und Y ermittelt werden können und welche Gestalt sie aufweisen. Dabei wird wie in Abschnitt 7 davon ausgegangen, der Erfolg sei ex post verifizierbar. Die Darstellungen beruhen zunächst auf den folgenden Grundannahmen:
der betrachteten Periode. Er hängt von den getroffenen Maß1. Zu teilen ist der Erfolg G nahmen und dem eintretenden Zustand Ss ab.
110
Kapitel II
2. Beide Parteien kennen a priori, d.h. bei Wahl der Teilungsregel, weder die zukünftigen Aktionsmöglichkeiten noch die entsprechenden zustandsabhängigen Erfolge. für möglich. Sie halten jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung über G
8.2
Strenge Anreizkompatibilität
8.2.1
Bedingungen der (strengen) Anreizkompatibilität
Zunächst wird die Bedingung der strengen Anreizkompatibilität (im Folgenden wird oft auch kurz von „Anreizkompatibilität“ gesprochen) betrachtet,21 die für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Erfolg G gilt. Sie wird hier unter der Voraussetzung zustandsunabhängiger Nutzenfunktionen für die beiden Erfolgsanteile analysiert. Dies impliziert u.a., dass beide Entscheider außerhalb der betrachteten Kooperation, d.h. im „privaten“ Bereich, keine riskanten finanziellen Überschüsse erzielen, die sto abhängig sind; es stellt sich nicht das Probchastisch von dem zu teilenden Erfolg G lem, einem entsprechenden Risikoverbund Rechnung zu tragen. Außerdem wird davon ausgegangen, dass beide Entscheider homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über die entscheidungsrelevanten Zustände Ss bzw. die möglichen Erfolge G haben.22 Diese Annahme mag insbesondere dann als problematisch erscheinen, wenn einer der Entscheider als delegierende „Instanz“ die Entscheidungskompetenz an den anderen Entscheider als „Entscheidungsträger“ übertragen hat. Die Instanz kennt dann grundsätzlich nicht die Wahrscheinlichkeiten, die der Entscheidungsträger bei seinen Entscheidungen den relevanten Zuständen beimisst; es besteht Informationsasymmetrie. Jedoch sind die folgenden Darstellungen für den Fall homogener Erwartungen auch dann gültig, wenn zwar Informationsasymmetrie besteht, jedoch die Instanz davon überzeugt ist, dass ihr eigenes Wahrscheinlichkeitsurteil mit dem des Entscheidungsträgers übereinstimmen würde, wenn sie dessen Informationen hätte. Die Teilungsregel soll dann einen Anreiz schaffen, Entscheidungen zu treffen, die bei den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen des Entscheidungsträgers auch vom Standpunkt der Instanz vorteilhaft sind. Eine Teilungsregel B(G) ist dann (streng) anreizkompatibel, wenn sie der folgenden Bedingung genügt:23 Bedingung II.1 ~ ) für X, E(U [B( G Der Erwartungswert des Nutzens des Erfolgsanteils B( G )]), x ist eine streng monoton steigende Funktion des Erwartungswertes des Nutzens ~ ~ B( G ) für Y, E(U [ G B( G )]). des Residuums G y
21 22
23
Zur Bedingung der „partiellen“ Anreizkompatibilität vgl. Abschnitt 8.4. Zur Berücksichtigung heterogener Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und/oder zustandsabhängiger Nutzenfunktionen durch zustandsabhängige Erfolgsteilung vgl. LAUX (1998, S. 87 f.). Vgl. zur Bedingung II.1 sowie II.2 WILSON (1968; 1969); ROSS (1973; 1974); LAUX (1972; 1979); VELTHUIS (1998).
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
111
Wird eine anreizkompatible Teilungsregel vereinbart, erzielt bei einer Än der Entscheider X genau dann derung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über G einen höheren (niedrigeren) Erwartungsnutzen, wenn der Erwartungsnutzen von Y steigt (sinkt). Es ist zu beachten, dass die Bedingung der Anreizkompatibilität nicht einfach nur for ) eine monoton steigende Funktion des Residuums G – dert, dass der Erfolgsanteil B( G B( G ) ist. Dieses einfache Kriterium induziert nur bei sicheren Erfolgen Anreizkompatibilität24. Für Risikosituationen muss die Bedingung der Anreizkompatibilität auf einem Entscheidungskriterium bei Risiko beruhen. In der Bedingung II.1 wird das BERNOULLI-Prinzip zugrunde gelegt; wie noch gezeigt wird, hängen anreizkompatible Teilungsregeln B(G) von den Nutzenfunktionen beider Parteien ab. Da sie bei Vereinbarung einer Teilungsregel noch nicht wissen, in welcher Weise die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg durch neue Maßnahmen beeinflusst werden kann, wird die Bedingung der Anreizkompatibilität so konkretisiert, dass sie für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen und nicht nur für bestimmte Verteilungstypen gilt. Es existiert dann auch für beliebige Bewertungsobjekte ein einheitlicher subjektiver Grenzpreis, bis zu dem der Kauf (Verkauf) für alle Beteiligten in finanzieller Hinsicht vorteilhaft (nachteilig) ist. Wie z.B. in LAUX (1998, S. 102 f.) und VELTHUIS (2004) gezeigt wird, kann bei beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung die Bedingung II.1 nur unter der notwendigen (und hinreichenden) Bedingung erfüllt sein, dass der folgende lineare Zusammenhang besteht, wobei D positiv und E beliebig ist: Bedingung II.2 Der Nutzen von G B(G) ist eine linear steigende Funktion des Nutzens von B(G):
(II.62)
U y [G B(G )]
!
D U x [B(G )] E
(für alle möglichen G).
Gemäß (II.62) ist die Teilungsregel B(G) nur implizit bestimmt. Sie ist so festzulegen, dass mit steigendem Erfolg G der Nutzen Uy [] des Entscheiders Y linear mit dem Nutzen Ux [] des Entscheiders X ansteigt. Bei gegebenen Nutzenfunktionen Ux [] und U y [] können durch Variation von D und/oder E unendlich viele anreizkompatible Teilungsregeln ermittelt werden. Wie noch deutlich wird, können durch Variation von D die Steigungen und durch Variation von E insbesondere das „Fixum“ für X (die Höhe von B(G) an der Stelle G = 0) gesteuert werden.
24
Für den Fall sicherer Erwartungen über den Erfolg kann die Bedingung II.1 wie folgt spezifiziert werden: B(G) ist eine streng monoton steigende Funktion von G – B(G). Anreizkompatibilität besteht hier genau dann, wenn die Teilungsregel so festgelegt wird, dass ihr Steigungsmaß B'(G) durchgehend größer als null und kleiner als 1 ist. In diesem Rahmen kann die Teilungsregel B(G) beliebig linear, konkav oder konvex verlaufen.
112
Kapitel II
Ist die Gleichung (II.62) für jedes mögliche G erfüllt, muss auch der Erwartungswert des Terms auf ihrer linken Seite mit dem auf der rechten übereinstimmen: (II.63)
B( G )]) E( U y [G
)] E ). E( D U x [B( G
Dabei liegen wegen der homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen beiden Erwartungswerten dieselben Wahrscheinlichkeiten für die Erfolge zugrunde. Da D und E deterministische Größen sind, kann für (II.63) geschrieben werden: (II.64)
B( G )]) D E( U [B( G )]) E. E( U y [ G x
Unter der Bedingung II.2 (Gleichung (II.62)) ist somit der Erwartungsnutzen von G B(G) eine linear steigende Funktion des Erwartungsnutzens von B(G). Die Bedingung II.2 ist folglich nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend dafür, dass die Grundbedingung II.1 der Anreizkompatibilität erfüllt ist. Für jedes Parameterpaar (D,E) mit D > 0 existiert genau eine Teilungsregel B(G), die die Bedingung II.2 erfüllt. Im Folgenden wird gezeigt, wie die einem beliebigen Parameterpaar (D,E) entsprechende Teilungsregel ermittelt werden kann und welche Form sie aufweist.
8.2.2
Ermittlung und Gestalt anreizkompatibler Teilungsregeln
Wie erläutert wurde, muss gemäß (II.62) jeder mögliche Erfolg G derart geteilt werden, dass jeweils der Nutzenwert Uy [G B(G )] mit dem Nutzenwert U*x (B) = D · Ux(B) + E übereinstimmt. Die einer beliebigen (D,E)-Kombination entsprechende Teilungsregel B(G) kann nach dem folgenden „Umsetzungsverfahren“ ermittelt werden: 1. Zunächst werden in einem Koordinatensystem die Nutzenfunktionen U *x (B) = D Ux(B) + E und Uy(G B) dargestellt (Abbildung II.10). 2. Die beiden Nutzenkurven werden nun horizontal addiert: Zur Ermittlung desjenigen Punktes P* der aggregierten (gestrichelt dargestellten) Kurve, der den Ordinatenwert H* aufweist, wird eine Parallele zur Abszisse im Abstand von H* gezeichnet. Der Abszissenwert des Punktes P* ergibt sich dann, indem die Abszissenwerte der Schnittpunkte S1 und S2 addiert werden. 3. Dem Punkt P* ist der Erfolg G* zugeordnet, der wie folgt geteilt wird: X erhält den (absoluten) Anteil B(G*) in Höhe des Abszissenwertes des Punktes S1. Y erhält den Betrag G S 2 P G * B(G * ) ; aufgrund der Horizontaladdition stimmt die Strecke S2 P mit dem Abszissenwert von S1 überein, der seinerseits mit B(G*) identisch ist. Für die erzielte Zuordnung gilt: Einerseits ist die Summe beider Erfolgsanteile gleich G*, andererseits ist für beide Erfolgsanteile der Nutzen identisch, nämlich H* ( Uy = U*x = H*). 4. Werden analog für alternative Parallelen zur Abszisse der zugehörige Erfolg G und die entsprechende Aufteilung ermittelt, erhält man diejenige Teilungsregel B(G), die den Nutzenfunktionen U*x und Uy entspricht. Da jeder Erfolg derart geteilt wird,
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
113
dass jeweils Uy = U*x gilt, ist die Gleichung (II.62) erfüllt; es besteht Anreizkompatibilität. *
U x ( B) U y ( G B)
*
U x ( B)
U y ( G B) *
S1
S2
H
*
*
B( G )
0
*
B( G )
*
*
G B( G )
P
*
G
G, B, G B
Abb. II.10: Zur Bestimmung einer anreizkompatiblen Teilungsregel
Die den Nutzenkurven Uy und U*x in Abbildung II.10 entsprechende Teilungsregel ist in Abbildung II.11 dargestellt. Der Ordinatenwert der Kurve B(G) gibt für alternative GWerte den jeweiligen Erfolgsanteil von X an, der senkrechte Abstand zwischen der 45°Linie und der Kurve B(G) bezeichnet den jeweiligen Erfolgsanteil G B(G) von Y. Der Ordinatenwert der Kurve B(G) an der Stelle G=0 kann als Fixum F interpretiert werden, das X unabhängig von G an Y zu zahlen hat. (Ist der Ordinatenwert positiv, erhält X den betreffenden Betrag von Y.) Die positive bzw. negative Differenz zwischen B(G G z 0) und B(G G 0) kann als der variable Erfolgsanteil von X interpretiert werden. Außer der in Abbildung II.11 dargestellten Teilungsregel existieren unendliche viele andere Teilungsregeln, die ebenfalls anreizkompatibel sind: Ordnet man mindestens einem der Parameter D und E (D > 0) einen anderen Wert zu, ergibt sich nach dem beschriebenen Umsetzungsverfahren eine andere Teilungsregel, die ebenfalls die Gleichung (II.62) und mithin die Grundbedingung II.1 erfüllt. Durch entsprechende positiv lineare Transformation der Nutzenfunktion U x (B) können sowohl Teilungsregeln erzeugt werden, denen hohe B(G)-Werte entsprechen, als auch solche mit niedrigen B(G)Werten. Zudem können Teilungsregeln konstruiert werden, bei denen B(G) mehr oder weniger stark mit G variiert. Werden z.B. ausgehend von einer gegebenen anreizkompatiblen Teilungsregel D und/oder E erhöht, steigt c.p. für jedes G der Term auf der rechten Seite der Gleichung (II.62). Damit sie für alternative G-Werte wieder erfüllt sein kann, muss jeweils Uy[ ] steigen und Ux[ ] sinken. Dies impliziert eine Reduktion von B(G) und eine entsprechende Erhöhung von G % (G).
114
Kapitel II
B( G )
45°-Achse
G B( G )
* * G B( G )
B( G ) *
B( G )
0
*
G
F
G
Abb. II.11: Die den Nutzenkurven Uy und U *x in Abbildung II.10 entsprechende anreizkompatible Teilungsregel
In LAUX (2006a, S. 77 ff.) und VELTHUIS (1998, S. 28 ff.) wird näher untersucht, welche Form eine anreizkompatible Teilungsregel hat. Sind beide Parteien risikoneutral, sind nur lineare Teilungsregeln des Typs
B(G )
zG F
(mit 0 < z < 1)
anreizkompatibel. Dabei erhält X den Anteil z am Erfolg und das Fixum F, das auch negativ sein kann. (Bei negativem F zahlt X unabhängig vom Erfolg G den Betrag von F an Y.) Ist Y risikoneutral und X risikoavers, ist eine anreizkompatible Teilungsregel B(G) streng konvex. Interpretation: Für den risikoneutralen Entscheider Y ist der Grenznutzen seines Erfolgsanteils konstant. Für X dagegen ist der Grenznutzen eine fallende Funktion von B(G). Zum Ausgleich dieser Bewertungsunterschiede muss die Funktion B(G) konvex verlaufen. Analog gilt: Ist Y risikoavers und X risikoneutral, erhält Y einen streng konvex steigenden Anteil am Erfolg; die Teilungsregel B(G) ist streng konkav. Sind beide Parteien risikoavers, hängen beider Grenznutzenwerte von der Höhe ihres Anteils am Erfolg ab. Wie sich die Steigung B'(G) einer anreizkompatiblen Teilungsregel B(G) bei Variation von G ändert, hängt dann davon ab, wie sich die entsprechenden Grenznutzenwerte ändern. Eine lineare anreizkompatible Teilungsregel ergibt sich z.B. für den Fall, dass die Nutzenfunktionen U*x (B) und Uy(G B) identisch sind. Der Erfolg wird dann gleichmäßig auf beide Parteien aufgeteilt (B= 0,5 G) wobei F gleich null ist.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
8.3
115
Anreizkompatible versus pareto-effiziente Risikoteilung
Bei den Darstellungen in Abschnitt 8.2 ging es darum, Anreizkompatibilität zu erzeugen. Beide Parteien haben indessen ein Interesse daran, zugleich eine pareto-effiziente Teilung des ungewissen und noch beeinflussbaren Erfolges vorzunehmen. Jedoch besteht im Allgemeinen ein Konflikt zwischen dem Ziel anreizkompatibler Entscheidungssteuerung und dem Ziel pareto-effizienter Risikoteilung (HORST/SCHMIDT/TERBERGER, 1982). Zur Erläuterung wird wieder von homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen ausgegangen; die Teilungsregeln sind dann zustandsunabhängig.25 Der Konflikt zeigt sich anschaulich für den Fall, dass X risikoavers und Y risikoneutral ist. Hier können nur konvexe Teilungsregeln B(G) anreizkompatibel sein, bei denen X am Erfolgsrisiko beteiligt wird. Die pareto-effiziente Teilungsregel besteht dagegen darin, dass X ausschließlich ein Fixum F erhält und Y das gesamte Erfolgsrisiko trägt; X hat dann kein Interesse an einer Verbesserung der Erfolgssituation; es besteht keine Anreizkompatibilität. Wie in ROSS (1973; 1974) und LAUX (2006a, S. 86 ff.) gezeigt wird, gelten folgende Zusammenhänge: 1. Eine anreizkompatible Teilungsregel ist genau dann pareto-effizient, wenn sie linear ist. 2. Eine pareto-effiziente Teilungsregel ist genau dann anreizkompatibel, wenn sie linear ist. 3. Ist eine Teilungsregel nicht linear, kann sie nicht zugleich anreizkompatibel und pareto-effizient sein. 4. Ist eine Teilungsregel pareto-effizient und anreizkompatibel, ist sie linear. 5. Ist eine lineare Teilungsregel nicht pareto-effizient, kann sie nicht anreizkompatibel sein. Wäre sie nämlich anreizkompatibel, müsste sie zwangsläufig auch pareto-effizient sein. Analog: Ist eine lineare Teilungsregel nicht anreizkompatibel, kann sie das Risiko nicht pareto-effizient teilen. Die Zusammenhänge werden in Abbildung II.12 verdeutlicht, wobei L für die Bedingung der Linearität, PE für die der Pareto-Effizienz und AK für die der Anreizkompatibilität steht. Sind zwei beliebige mit einer Strecke verbundenen Bedingungen erfüllt, gilt dies auch für die dritte. Bezüglich einer Teilungsregel sind also nur folgende Fälle möglich: Entweder sind alle drei Bedingungen erfüllt oder nur eine oder gar keine. Ist von zwei mit einer Kante verbundenen Bedingungen genau eine erfüllt, so kann die dritte nicht erfüllt sein; der Fall, dass genau zwei Bedingungen erfüllt sind, ist eben ausgeschlossen. Ist keine der mit einer Kante verbundenen Bedingungen erfüllt, so kann allerdings die dritte Bedingung erfüllt sein, sie muss aber nicht. 25
Zur Erweiterung der Darstellungen auf den Mehrperioden-Fall vgl. VELTHUIS (2004).
116
Kapitel II
Heterogene Erwartungen und/oder zustandsabhängige Nutzenfunktionen führen dazu, dass anreizkompatible bzw. pareto-effiziente Teilungsregeln zustandsabhängig sind, also der Erfolg in Abhängigkeit davon geteilt wird, welcher Zustand Ss eintritt. Wie in LAUX (1998, S. 92 f.) gezeigt wird, können zustandsabhängige Teilungsregeln nicht zugleich pareto-effizient und anreizkompatibel sein. L
z
AK
z
z
PE
Abb. II.12: Zur Beziehung zwischen den Bedingungen PE, AK und L
8.4
Partielle Anreizkompatibilität
8.4.1
Bedingungen der partiellen Anreizkompatibilität
Wie gezeigt, ist eine lineare Teilungsregel genau dann anreizkompatibel im strengen Sinne, d.h. für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Erfolg, wenn sie den Erfolg pareto-effizient teilt. Da diese Bedingung nur bei homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und speziellen Nutzenfunktionen erfüllt ist, jedoch lineare Teilungsregeln in der Realität vorherrschen (zum Beispiel werden im Allgemeinen Unternehmenserfolge zwischen den Gesellschaftern entsprechend ihrer Unternehmensanteile proportional geteilt) liegt die Vermutung nahe, dass Interessenkonflikte die Regel sind. Jedoch besteht auch dann Anreizkompatibilität bezüglich erwogener Maßnahmen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind (LAUX, 2006a): Bedingungen „partieller“ Anreizkompatibilität für kleine Erfolgsänderungen:26 1. Pareto-effiziente Risikoteilung in der Ausgangssituation: Die möglichen Erfolge G, die vor den erwogenen Maßnahmen erzielt werden, sind zwischen X und Y pareto-effizient geteilt. 2. Proportionale Teilung der möglichen Erfolgsänderungen: Die möglichen Erfolge der erwogenen Maßnahmen, d.h. die Änderungen 's der bisherigen Erfolge, werden in beliebiger Weise proportional und zustandsunabhängig geteilt; X erhält das z-fache der Änderung und Y das (1 z)-fache (mit 0 < z < 1). 26
Zur Verallgemeinerung des Konzepts der partiellen Anreizkompatibilität vgl. VELTHUIS (2004, Teil II, Kapitel 3).
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
117
3. Konstanz der individuellen Grenznutzenwerte: Die Änderungen 's der Erfolge und entsprechend der individuellen (absoluten) Erfolgsanteile sind so gering, dass sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Parteien nicht spürbar ändern (also quasi-konstant sind). Die Bedingung unveränderlicher zustandsabhängiger Grenznutzenwerte ist natürlich bei Risikoaversion nicht streng erfüllt. Wenn von unveränderlichen Grenznutzenwerten ausgegangen wird, kann es sich nur um eine Näherung handeln. Diese ist tendenziell umso besser, je kleiner die Erfolgsänderungen sind und je größer die Anzahl der Personen ist, zwischen denen die Änderungen geteilt werden. Ist in der Ausgangssituation das Risiko pareto-effizient geteilt, bleibt bei Änderungen der individuellen (absoluten) Erfolgsanteile die Pareto-Effizienz erhalten, wenn sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte nicht ändern. Die Bedingungen der partiellen Anreizkompatibilität setzen im Gegensatz zur Bedingung II.1 bzw. II.2 der strengen Anreizkompatibilität nicht voraus, dass die Entscheider X und Y im privaten Bereich keine finanziellen Überschüsse erzielen, die sto in der Ausgangssituation abhängen.27 Risikobehaftete Transakchastisch vom Erfolg G tionen im privaten Bereich (insbesondere der Handel mit Wertpapieren) können gerade zwischen ihnen pareto-effizient geteilt ist. die Ursache dafür sein, dass der Erfolg G sind nicht nur in direkter Weise durch Änderung Unterschiedliche Aufteilungen von G möglich. Umverteilungen können auch indirekt erfolgen, inder Teilungsregel für G entsprechende Transferzahlungen (zum Beidem bei gegebener Teilungsregel für G spiel über Handel mit Wertpapieren) zwischen den Entscheidern vorgenommen werden. Letztlich fordert die Bedingung 1 (der pareto-effizienten Risikoteilung in der Ausgangssituation), dass das riskante Gesamtvermögen beider Parteien zwischen ihnen paretoeffizient über die Zustände Ss geteilt ist. Die Bedingungen der partiellen Anreizkompatibilität setzen auch nicht voraus, dass die Beteiligten homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Ss und zustandsunabhängige Nutzenfunktionen haben. Der in Abschnitt 8.4.2 geführte Beweis der partiellen Anreizkompatibilität gilt auch für heterogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und zustandsabhängige Nutzenfunktionen. Für diesen Fall besteht zwar bei einer pareto-effizienten Teilungsregel keine (strenge) Anreizkompatibilität bezüglich beliebiger Änderungen der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg; immerhin besteht (partielle) Anreizkompatibilität, wenn die Grenznutzenwerte der Beteiligten quasi-konstant sind und die Erfolgsänderungen proportional und zustandsunabhängig geteilt werden.
27
Erzielen sie solche Überschüsse, sind ihre Nutzenfunktionen bezüglich ihrer (absoluten) Anteile am Erfolg zustandsabhängig (Abschnitt 4). Dagegen liegen der Bedingung II.1 bzw. II.2 zustandsunabhängige Nutzenfunktionen zugrunde.
118
8.4.2
Kapitel II
Beweis der partiellen Anreizkompatibilität [*]
Es soll nun die partielle Anreizkompatibilität für die in Abschnitt 8.4.1 dargestellten Bedingungen bewiesen werden: Gegeben sei eine beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Erfolg G*s im Umweltzustand Ss (s=1,2,...,S). Nun werden Maßnahmen erwogen, die im Zustand Ss (s=1,2,...,S) die Erfolgsänderung 's (oder kurz: den Erfolg 's) bieten und somit zum Gesamterfolg G *s ' s führen. Dabei wird 's wie folgt geteilt: X erhält z's und Y erhält (1z)'s (0 < z < 1). Die Maßnahmen sind für X vorteilhaft, wenn damit sein Erwartungsnutzen steigt, also folgende Bedingung erfüllt ist: S
(II.65)
¦ w x (Ss ) (U xs [Bs (G*s ) z 's ] U xs [Bs (G*s )]) ! 0 . s 1
Hierin bezeichnet Bs( G*s ) den Anteil von X am Erfolg G*s in der Ausgangssituation, w x (Ss ) die Wahrscheinlichkeit, die X dem Zustand Ss zuordnet, und U xs [ ] seine Nutzenfunktion für diesen Zustand. Ist für jeden Zustand Ss (s=1,2,...,S) in dem jeweils relevanten Bereich für z 's der Grenznutzen U 'xs konstant, kann die Vorteilhaftigkeitsbedingung (II.65) wie folgt dargestellt werden: S
(II.66)
¦ w x (Ss ) z 's U'xs [Bs (G*s )] ! 0 s 1
bzw. (da z > 0) S
(II.67)
¦ w x (Ss ) 's U'xs [Bs (G*s )] ! 0 . s 1
Dabei werden die möglichen Änderungen z 's bzw. 's mit den entsprechenden subjektiven Wahrscheinlichkeiten von X und den zustandsabhängigen Grenznutzenwerten bei seinen bisherigen Erfolgsanteilen Bs( G*s ) gewichtet. Analog sind die Maßnahmen für Y vorteilhaft, wenn gilt: S
(II.68)
¦ w y (Ss ) (1 z) 's U 'ys [G*s Bs (G*s )] ! 0 s 1
bzw. S
(II.69)
¦ w y (Ss ) 's U 'ys [G*s Bs (G*s )] ! 0 . s 1
Wenn in der Ausgangssituation das Risiko pareto-effizient geteilt ist, muss analog zu (II.61) gelten: U 'ys [G*s Bs (G*s )]
w x (Ss ) O U 'xs [Bs (G*s )] w y (Ss )
(s = 1,2,...,S).
Einsetzen in (II.69) und Division durch O > 0 führt zur Bedingung (II.67). Die Vorteilhaftigkeitsbedingungen (II.67) und (II.69) für X und Y sind somit äquivalent; es besteht Anreizkom-
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
119
patibilität. Der Beweis der Anreizkompatibilität gilt analog auch dann, wenn der Erfolg auf mehr als zwei Personen aufgeteilt wird. Die Darstellungen zur partiellen Anreizkompatibilität haben grundlegende Bedeutung für die Analyse von Einmütigkeit und von Zielkonflikten zwischen den Anteilseignern eines Unternehmens vor dem Hintergrund der Kapitalmarkttheorie (Kapitel V): Wenn im Kapitalmarktgleichgewicht das Risiko pareto-effizient geteilt wird und die Anteilseigner proportional an den Erfolgen eines börsennotierten Unternehmens beteiligt sind, besteht zwischen ihnen Einmütigkeit bezüglich neuer riskanter Investitionsprojekte in diesem Unternehmen, sofern diese Projekte die individuellen (zustandsabhängigen oder -unabhängigen) Grenznutzenwerte nicht verändern. Die Annahme der Konstanz der Grenznutzenwerte ist vor allem dann naheliegend, wenn viele Anteilseigner mit jeweils geringem Anteil am Unternehmen (an den Erfolgen neuer Projekte) beteiligt sind. Wie in späteren Kapiteln immer wieder deutlich wird, ist die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte charakteristisch für die kapitalmarktorientierte Bewertung der Überschüsse neuer Projekte; die betreffenden Entscheidungs- bzw. Bewertungskalküle sind aus Sicht der einzelnen Anteilseigner Marginalkalküle.
8.4.3
Mögliche Konflikte
Sind die Erfolge G1* , G*2 ,..., G*S nicht pareto-effizient geteilt, besteht auch bei proportionaler Teilung der Erfolgsänderungen ' und unveränderlichen Grenznutzenwerten keine Anreizkompatibilität.28 Werden die Erfolgsänderungen nicht proportional geteilt, können sich auch dann Konflikte ergeben, wenn das Risiko in der Ausgangssituation pareto-effizient geteilt ist (LAUX, 2006a, S. 91 ff.). Bei veränderlichen Grenznutzenwerten sind die Bedingungen der pareto-effizienten Teilung der möglichen Ausgangserfolge G und der proportionalen Teilung von ' nicht hinreichend für Anreizkompatibilität. Jedoch besteht Anreizkompatibilität gemäß * und ' gemäß derselben den Darstellungen in Abschnitt 8.3 immerhin dann, wenn G linearen und zustandsunabhängigen Teilungsregel geteilt wird und diese zugleich pareto-effizient ist. (Dies impliziert grundsätzlich homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Ss und zustandsunabhängige Nutzenfunktionen der gleichen HARA-Klasse.) Wenn die am Erfolg beteiligten Parteien keine Wertpapiere halten, muss der Erfolg * in der Ausgangssituation direkt pareto-effizient geteilt sein, damit bei beliebiger G proportionaler Teilung der Erfolge neuer Maßnahmen und quasi-konstanten Grenznutzenwerten partielle Anreizkompatibilität besteht. Ist die maßgebliche pareto-effiziente Teilungsregel linear, besteht mit ihr sowohl strenge Anreizkompatibilität (für beliebige Änderungen der möglichen Erfolge) als auch partielle (für Änderungen mit quasikonstanten Grenznutzenwerten). Ist sie nichtlinear, und dies ist der Regelfall, kann sie weder streng noch partiell anreizkompatibel sein. Für die Erfolgsänderungen ' ist dann eine spezifische Teilungs28
Es ist zu beachten, dass sich der Begriff „partielle Anreizkompatibilität“ auf beliebige Erfolgsänderungen bezieht, bei denen die Grenznutzenwerte unveränderlich sind. Ist jedoch der Bereich möglicher Erfolgsänderungen beschränkt, kann es auch dann möglich sein, simultan den Erwartungsnutzen aller Beteiligten zu maximieren, wenn die Erfolge G1* , G*2 ,..., G*S nicht pareto-effizient geteilt sind. Vgl. hierzu die Darstellungen zur „Spanning-Bedingung“ in Kapitel V, Abschnitt 6.
120
Kapitel II
regel maßgeblich, damit Anreizkompatibilität besteht: Die möglichen Änderungen ' müssen proportional und zustandsunabhängig geteilt werden. Die Vereinbarung einer * abweichenden) Teilungsregel kann jedoch eispezifischen (von der für die Erfolge G nen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Abgesehen davon muss der erzielte Gesamterfolg oder Gesamtüberschuss in verifizierbarer Weise den neuen und alten Maßnahmen zurechenbar sein. und ' zu realiIst es nicht möglich, eine differenzierende Erfolgsteilung für G sieren, kann keine partielle Anreizkompatibilität erzeugt werden: Ist die Teilungs * ' einheitlich linear, teilt sie (annahmegemäß) regel für den Gesamterfolg G * den Erfolg G in der Ausgangssituation nicht pareto-effizient. Ist sie nichtlinear, * pareto-effizient teilen, sie erfüllt aber nicht die Proportionalikann sie zwar G tätsbedingung bezüglich der möglichen Erfolge ' der neuen Maßnahmen.
Die Darstellungen verdeutlichen die Grenzen der Schaffung von Anreizkompatibilität bei Risikoteilung mit anderen Personen. Umverteilungen des Erfolges in Richtung effizienter Risikoteilung können zu erheblichen Interessenkonflikten mit diesen Personen führen; es besteht ein Trade off zwischen effizienter Risikoteilung und Erfolgseinbußen durch Anreiz- und Kontrollprobleme (Corporate Governance-Probleme). Es zeigt sich wieder, dass es für einen Investor sinnvoll sein kann, ein Bewertungsobjekt allein zu erwerben und keine Gesellschafter aufzunehmen, die am Erfolg partizipieren. Für die Bewertung ist dann allein die Nutzenfunktion des Investors relevant.
9
Resümee
1. Die Entscheidung nach dem BERNOULLI-Prinzip wird in zwei Schritten getroffen: Auf der Grundlage relativ einfacher hypothetischer Entscheidungsprobleme wird eine Nutzenfunktion bestimmt, die den möglichen Ergebnissen Nutzenwerte zuordnet. Sodann wird diejenige Alternative ermittelt und gewählt, mit deren möglichen Ergebnissen der höchste Erwartungswert des Nutzens (der höchste Erwartungsnutzen oder auch kurz der höchste Nutzen) erzielt wird. 2. Nach dem (P,V)-Prinzip wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine Zielgröße anhand ihres Erwartungswertes P und ihrer Standardabweichung V beurteilt. Dabei dient die Standardabweichung als Maß für das Risiko. Das (P,V)-Prinzip hat insbesondere auch für Kapitalmarkttheorie und (darauf aufbauend) die Investitionsbewertung große praktische Bedeutung. Es ist allerdings nicht generell kompatibel mit dem BERNOULLI-Prinzip. Falls beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße gegeben sein können, folgt das (P,V)-Prinzip dann und nur dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion quadratisch ist. Bei Risikoaversion verläuft die Nutzenfunktion konkav. Ist die Zielgröße normalverteilt, folgt das (μV -Prinzip immer dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion konkav ist. Die Beziehung zwischen Erwartungsnutzen einerseits sowie P und V andererseits ist besonders einfach und anschaulich bei exponentieller Nutzenfunktion.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
121
3. Für die Analyse von Entscheidungs- und Bewertungsproblemen bei Risiko hat der folgende „Risikoaversionskoeffizient“ große Bedeutung: (II.12)
a(Z)
U ''(Z) . U '(Z)
Dieser Koeffizient gilt als Maß für die lokale absolute Risikoaversion. Der Kehrwert des Risikoaversionskoeffizienten wird als „Risikotoleranz“ bezeichnet. Bei quadratischer Nutzenfunktion ist der Risikoaversionskoeffizient eine monoton steigende Funktion von Z; es besteht steigende absolute Risikoaversion. Bei exponentieller Nutzenfunktion besteht konstante absolute Risikoaversion. 4. Die Analysen werden oft in der Weise vereinfacht, dass nur ein Teil der Risiken explizit erfasst werden. Es gibt jeweils „Hintergrundrisiken“, die für die Bewertung der betrachteten Risiken zum Beispiel eines Unternehmens von Bedeutung sein können. Wenn sich die Modellanalyse auf einen Teil der Risiken beschränkt, existiert ein „modellexogener“ oder „modellexterner“ Bereich, der für die Bewertung der betrachteten Risiken grundlegende Bedeutung haben kann. Der modellexogene Bereich kann implizit mit Hilfe zustandsabhängiger Nutzenfunktionen berücksichtigt werden. Der Nutzen eines Zielgrößenwertes ist dann nicht nur von dessen Höhe abhängig, sondern auch von dem Zustand, in dem er erzielt wird. Die Nutzenfunktion für eine finanzielle Zielgröße ist nur dann zustandsunabhängig, wenn der Überschuss oder der Vermögenswert des modellexternen Bereichs stochastisch vom Zustand unabhängig ist. 5. Für die Analyse (die Bewertung) riskanter Maßnahmen sind die theoretischen Konstrukte „Sicherheitsäquivalent“ und „Wert“ von grundlegender Bedeutung. Das Sicherheitsäquivalent einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über eine einzelne Zielgröße Z ist definiert als , der dieser Verteilung gleichwertig ist. Von zwei derjenige sichere Zielgrößenwert SÄ(Z) beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Zielgröße ist jene vorzuziehen, der ein höheres Sicherheitsäquivalent entspricht. Bei Orientierung am BERNOULLI-Prinzip stimmt der Nutzenwert des Sicherheitsäquivalents mit dem Erwartungswert des Nutzens der Wahrscheinlichkeitsverteilung überein. Bei Risikoaversion ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert P der Zielgröße. 6. Wenn eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zielgröße bereits existiert und Maßnahmen zu ihrer Veränderung erwogen werden, kann es sich als zweckmäßig erweisen, das Sicherheitsäquivalent nicht auf die neue Verteilung als Ganzes zu beziehen, sondern nur auf den den stochastischen Betrag, um den sich die bisherige Verteilung ändert. Bezeichnet Z n bisherigen Zielgrößenwert und Z die potenzielle Änderung, ist das Sicherheitsäquivalent , die der ungewissen SÄ( Z n ) von Z n gleich derjenigen sicheren Änderung der Zielgröße Z Änderung Z n gleichwertig ist; der Entscheider ist indifferent zwischen dem „Zufluss“ des sicheren Betrages SÄ( Z n ) und dem unsicheren Z n . Das Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) hängt u.a. von der stochastischen Beziehung zwischen Z n und Z ab. Bei negativer Korrelation kann es auch bei Risikoaversion größer als der Erwartungswert von Z n sein.
7. Fließt dem Entscheider ein Überschuss Z n nicht unentgeltlich zu, sondern muss er ihn kaufen, stellt sich das Problem, ihn zu bewerten. Der Wert WK( Z n ) ist gleich demjenigen Grenzpreis, bei dem im Fall des Kaufs derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird wie mit der Zielgröße Z in der Ausgangssituation. Es muss also gelten !
(II.45)
E[U(Z)] E(U[Z Z n WK(Z n )]) .
122
Kapitel II
Voraussetzung hierbei ist, dass der Preis zu demjenigen Zeitpunkt zu zahlen ist, zu dem Z n zufließt. Bezieht sich die finanzielle Zielkomponente Z n auf einen zukünftigen Zeitpunkt und ist die Anschaffungsauszahlung zu Beginn des Betrachtungszeitraums zu leisten, ergeben sich Zinsprobleme. Wird der Wert WK( Z n ) nach (II.45) mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert, ergibt sich der Wert für den Fall, dass die Anschaffungsauszahlung schon zu Beginn dieses Zeitraums zu leisten ist. Der Wert WK( Z n ) nach (II.45) stimmt nur bei linearer oder exponentieller Nutzenfunktion mit dem Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ) überein; nur bei diesen Nutzenfunktionen besteht konstante absolute Risikoaversion. 8. Verfügt der Entscheider bereits über den Überschuss Z n und erwägt er, ihn zu verkaufen, ist allerdings der subjektive Grenzpreis WK( Z n ) gleich dem Sicherheitsäquivalent SÄ( Z n ), wobei dieses auf den Zielgrößenwert Z , d.h. ohne den Überschuss Z n , bezogen wird. 9. In dieser Arbeit fließt der Erfolg (der Überschuss) oft nicht einem einzigen Entscheider zu. Vielmehr wird er zwischen mehreren Entscheidern geteilt. Für diesen Fall haben für die Bewertung die theoretischen Konstrukte „pareto-effiziente“ und „anreizkompatible“ Risikoteilung grundlegende Bedeutung. Eine Teilungsregel ist bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg dann pareto-effizient, wenn es nicht möglich ist, durch Umverteilung der zustandsabhängigen Erfolge den Erwartungsnutzen mindestens eines der Beteiligten zu erhöhen, ohne gleichzeitig den Erwartungsnutzen mindestens eines anderen zu reduzieren. Die Gestalt einer pareto-effizienten Teilungsregel hängt von den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Beteiligten bezüglich der Zustände und ihren Nutzenfunktionen ab. Bei zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen und homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen ist sie zustandsunabhängig; bei heterogenen zustandsabhängig. Bei zustandsunabhängigen Nutzenfunktionen der HARA-Klasse sind die pareto-effizienten Teilungsregeln linear. Zu diesen Nutzenfunktionen zählen die quadratischen und exponentiellen, die im Rahmen dieser Arbeit besondere Berücksichtigung finden. 10. Ausgehend von einer pareto-effizienten Erfolgsteilung kann zwar bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg G der Erwartungsnutzen keines Entscheiders erhöht werden, ohne dass der eines anderen sinkt. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgrund von Investitionen oder anderer Maßnahmen können jedoch bei der betreffenden Teilungsregel einige einen Vorteil und andere einen Nachteil erzielen. Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg beeinflusst werden kann, können sich dann Konflikte bezüglich der Durchführung der betreffenden Maßnahmen ergeben. Um Bewertungskonflikte zwischen Entscheidern zu vermeiden, können sie ein Interesse daran haben, eine anreizkompatible Teilungsregel zu vereinbaren. Eine Teilungsregel erfüllt für zwei Entscheider X und Y die Bedingung der Anreizkompatibilität, wenn sie jeden möglichen Erfolg derart teilt, dass der Erwartungsnutzen des (absoluten) Erfolgsanteils B(G) für X eine monoton steigende Funktion des Erwartungsnutzens des Erfolgsanteils G B(G) für Y ist. Bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg kann dann eine Partei nur einen finanziellen Vorteil oder Nachteil erzielen, wenn dies zugleich für die andere Partei der Fall ist. Es gelten folgende Grundzusammenhänge: Eine anreizkompatible Teilungsregel ist genau dann pareto-effizient, wenn sie linear ist. Eine pareto-effiziente Teilungsregel ist genau dann anreizkompatibel, wenn sie linear ist. Ist eine Teilungsregel nicht linear, kann sie nicht zugleich anreizkompatibel und pareto-effizient sein. Ist eine Teilungsregel pareto-effizient und anreizkompatibel, ist sie linear. Dieser Zusammenhang hat für die Analyse von Unternehmenszielen und entsprechender Grenzpreise im Fall A (allgemein: im Kapitalmarktzusammenhang) grundlegende Bedeutung.
Kriterien der subjektiven Bewertung von Risiken und Risikoteilung
123
11. Wie gesagt, ist eine lineare Teilungsregel genau dann anreizkompatibel im strengen Sinne, d.h. für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über den Erfolg, wenn sie den Erfolg pareto-effizient teilt. Da diese Voraussetzungen nur bei homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und speziellen Nutzenfunktionen erfüllt ist, jedoch lineare Teilungsregeln in der Realität vorherrschen, liegt die Vermutung nahe, dass Interessenkonflikte die Regel sind. Jedoch besteht auch dann Anreizkompatibilität bezüglich erwogener Maßnahmen, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind (Bedingungen „partieller“ Anreizkompatibilität für kleine Erfolgsänderungen): – –
–
Pareto-effiziente Risikoteilung in der Ausgangssituation: Die möglichen Erfolge G, die vor den erwogenen Maßnahmen erzielt werden, sind pareto-effizient geteilt. Proportionale Teilung der möglichen Erfolgsänderungen: Die möglichen Erfolge der erwogenen Maßnahmen, d.h. die Änderungen der bisherigen Erfolge, werden in beliebiger Weise proportional und zustandsunabhängig geteilt. Konstanz der individuellen Grenznutzenwerte: Änderungen der Erfolge und entsprechend der individuellen (absoluten) Erfolgsanteile sind so gering, dass sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Parteien nicht (spürbar) ändern (also quasikonstant sind).
Auch die partielle Anreizkompatibilität findet bei späteren Wertanalysen für den Fall A besondere Beachtung.
Kapitel III Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
1
Problemstellung
Das vorliegende Kapitel befasst sich mit Grundzügen der Portefeuille-Theorie.1 Dabei geht es um das Problem, wie für einen einzelnen Investor ein optimales Wertpapierportefeuille für eine Periode ermittelt werden kann, und wie seine Struktur und sein Umfang von den Erwartungen und der Risikoeinstellung des Investors abhängen. Die Portefeuille-Theorie hat große Bedeutung für die theoretische Fundierung und praktische Ermittlung von Preisober- und -untergrenzen von Bewertungsobjekten. Sie liefert nicht nur die theoretische Grundlage für die Analyse optimaler individueller Risikostreuung, sondern auch (was eng damit zusammenhängt) für die Analyse und Erklärung der Gleichgewichtspreise auf dem Kapitalmarkt. Der Grenzpreis eines Bewertungsobjekts hängt aus Sicht eines individuellen Investors davon ab, wie er das aus dem Bewertungsobjekt resultierende Risiko privat durch Portefeuillebildung optimal hedgen kann. Das optimale Portefeuille ist dann mit dem Überschuss des Bewertungsobjekts abzustimmen. Von dieser Problematik soll hier noch abgesehen werden. Es wird davon ausgegangen, dass der Investor keinen exogenen riskanten Überschuss erzielt. Dieser wird erst in den Kapiteln IX und X berücksichtigt. Auf den erweiterten Portefeuillemodellen aufbauend wird in den Kapiteln XI, XII und XV untersucht, wie ein individueller subjektiver Grenzpreis ermittelt werden und wie er sich vom Marktwert des Bewertungsobjekts unterscheiden kann. Die Portefeuilletheorie befasst sich im Kern mit der Ermittlung des optimalen Bestandes riskanter Wertpapiere (Finanztitel) für eine einzelne Periode, wobei dieser Bestand innerhalb der Periode nicht verändert wird. Ein Bestand an riskanten Wertpapieren wird im Folgenden als Portefeuille bezeichnet. Mit der Ermittlung eines optimalen Portefeuilles wird simultan auch der Kapitalbetrag bestimmt, der zum risikolosen Zinssatz r angelegt oder aufgenommen wird; jedoch wird hier dieser Kapitalbetrag definitionsgemäß nicht zum Portefeuille gerechnet. Die Darstellungen im vorliegenden Kapitel sind mit denen in späteren Kapiteln abgestimmt. Zielgröße der Modellanalyse ist nicht – wie in der Literatur üblich – die Rendite, die der Investor auf seinen Kapitaleinsatz erzielt, sondern das Vermögen, über das er 1
Vgl. hierzu ELTON/GRUBER (1991); INGERSOLL (1987, S. 65-113); MARKOWITZ (1952; 1959); TOBIN (1957; 1958); FARRAR (1962); SHARPE (1970); FRANKE/HAX (2004, S. 306-329); RUDOLPH (1979a, S. l-59); BITZ (1981, S. 110-151); SCHMIDT/TERBERGER (1997, S. 309-338); COPELAND/WESTON/ SHASTRI (2008, S. 152-203).
126
Kapitel III
am Ende der Periode verfügt (Endvermögen) bzw. der entsprechende „Residualgewinn“ (Abschnitt 2). Die Darstellungen in absoluten Größen ermöglichen eine relativ einfache und anschauliche Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt. Auf den betreffenden Bewertungsfunktionen aufbauend lassen sich auch in einfacher und strukturgleicher Form Marktwerte und subjektive Grenzpreise von Bewertungsobjekten ermitteln und Ursachen für absolute Abweichungen zeigen. In Abschnitt 3 wird das Grundmodell der Portefeuilleplanung dargestellt. Es beruht auf der Annahme, dass sich der Investor am (P,V)-Prinzip orientiert, so dass sich eine explizite Erfassung der möglichen Umweltzustände Ss und der entsprechenden Endvermögenswerte erübrigt. Es wird untersucht, wie „effiziente“ Portefeuilles ermittelt werden können und welche Struktur sie aufweisen. Außerdem wird gezeigt, wie aus der Menge der effizienten Portefeuilles das optimale ausgewählt werden kann. In Abschnitt 4 wird eine vertiefende Analyse der Struktureigenschaften der effizienten Portefeuilles vorgenommen. In Abschnitt 5 wird untersucht, welche Eigenschaften das optimale Portefeuille aufweist (wie es von seinen Determinanten abhängt). Abschnitt 6 befasst sich mit Implikationen eines beschränkten Leerverkaufs und Abschnitt 7 mit der Relevanz von „Hintergrundrisiken“ und Leerverkäufen. In Abschnitt 8 wird die allgemeine Bedeutung von Varianzen und Kovarianzen für die Risikoanalyse gezeigt. Es wird verdeutlicht, dass für die Varianz des Überschusses eines gesamten Wertpapierportefeuilles die zahlreichen Kovarianzen zwischen den Endwerten der verschiedenen Wertpapiere eine erheblich größere Bedeutung haben können als die einzelnen Varianzen dieser Endwerte. Der Anhang 1 am Ende dieser Arbeit befasst sich mit der Ermittlung und Eigenschaften von Varianzen, Kovarianzen und Korrelationskoeffizienten.
2
Residualgewinn als Zielgröße der Portefeuilleplanung Wie erwähnt, dient im Folgenden als Zielgröße für die Portefeuilleplanung nicht die Rendite, sondern das Endvermögen bzw. der „Residualgewinn“ des Portefeuilles. Der Residualgewinn wird definiert als Gewinn nach Abzug kalkulatorischer Zinsen auf das „investierte“ Kapital. Hierbei werden nicht nur Fremdkapitalzinsen erfasst, sondern auch kalkulatorische Zinsen auf das Eigenkapital. Technisch geschieht das in der Weise, dass das investierte Kapital unabhängig von der Kapitalstruktur mit einem einheitlichen Zinssatz multipliziert wird und Fremdkapitalzinsen nicht explizit erfasst werden.
In dem betrachteten Einperioden-Fall wird – wie noch näher erläutert wird – das Portefeuille zu Beginn der Periode gekauft und am Ende der Periode wieder verkauft. Der Residualgewinn des Portefeuilles ergibt sich dann als Verkaufserlös des Portefeuilles einschließlich Zinsen und Dividenden abzüglich der Anschaffungsauszahlung für das Portefeuille und abzüglich der Zinsen auf die Anschaffungsauszahlung als investiertem
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
127
Kapital, die mit dem risikolosen Zinssatz r ermittelt werden. Man kann im EinperiodenFall den Residualgewinn des Portefeuilles auch als Differenz zwischen dem Verkaufserlös und der mit dem Zinssatz r aufgezinsten Anschaffungsauszahlung des Portefeuilles definieren. Das Analoge gilt für den Residualgewinn einer einzelnen Wertpapiereinheit. Der Residualgewinn eines Portefeuilles oder einer Wertpapiereinheit gibt an, wie weit das Endvermögen gegenüber einer Anlage zum Zinssatz r steigt oder fällt, wenn dieses Portefeuille oder diese Wertpapiereinheit erworben wird. Der Residualgewinn wird auch als Übergewinn bezeichnet. Sein Erwartungswert kann als Risikoprämie dafür interpretiert werden, dass das Portefeuille oder die Wertpapiereinheit erworben und der betreffende investierte Kapitalbetrag nicht risikolos angelegt wird (wobei die „Anlage auch darin bestehen kann, dass der betreffende Betrag nicht geliehen wird).
3
Das Modell
3.1
Annahmen und Symbole
Das Modell beruht auf folgenden Annahmen: 1. Der Investor kann zum risikolosen Zinssatz r unbegrenzt Geld anlegen und aufnehmen. Außerdem kann er zu Beginn der betrachteten Periode (dem Zeitpunkt 0) riskante Wertpapiere der Typen 1,2,...,N erwerben, die er erst am Periodenende, dem Zeitpunkt 1, wieder verkaufen kann. Der Investor hat mit seinen Dispositionen keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise. Mit dem Kauf und Verkauf von Wertpapieren (einschließlich „Leerverkauf“) sind keine Transaktionskosten verbunden. Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar, so dass keine Ganzzahligkeitsbedingungen beachtet werden müssen. 2. Zum Zeitpunkt 0 hat der Investor einen bereits vorhandenen Wertpapierbestand verkauft und verfügt über das Geldvermögen V0 (V0 > 0). Er will nun einen (neuen) optimalen Bestand ermitteln. Die erworbenen Wertpapiere werden zum Zeitpunkt 1, dem Ende der Periode, wieder veräußert. Da mit dem Kauf und Verkauf keine Transaktionskosten verbunden sind, schränkt die Veräußerungsannahme die Allgemeinheit der Problemstellung nicht ein; veräußerte Wertpapiere können kostenlos zurückgekauft werden. Jedoch vereinfacht diese Annahme einige formale Darstellungen. 3. Der Erwerb von Wertpapieren führt zum Zeitpunkt 0 zu Auszahlungen und zum Zeitpunkt 1 zu Einzahlungen in Form von Verkaufserlösen und Dividenden oder Zinsen. Die Anschaffungsauszahlung je Wertpapiereinheit – der Preis des Wertpapiers – ist mit Sicherheit bekannt. Die Einzahlungen zum Zeitpunkt 1 hängen von dem dann eintretenden Zustand Ss ab.
128
Kapitel III
4. Zielgröße des Investors ist das Vermögen, über das er am Ende der Periode verfügt („Endvermögen“). Er ist risikoavers. 5. Der Investor kann Wertpapiere für die betrachtete Periode auch leerverkaufen. Bei Leerverkauf eines Papiers werde dieses zu Beginn der Periode zum Börsenkurs verkauft und am Ende der Periode zu dem dann geltenden Börsenkurs gekauft und an den (Termin-)Käufer geliefert.2 Leerverkauf stellt dann einfach eine Umkehrung der Überschüsse bei Kauf dar. 6. Der Investor verfügt über keine riskanten Vermögenspositionen, die bei der Ermittlung des optimalen Wertpapierbestandes berücksichtigt werden müssen; seine Nutzenfunktion für das aus der Portefeuillebildung resultierende Endvermögen ist zustandsunabhängig. Er orientiert sich am (P,V)-Prinzip, das eine zustandsunabhängige Nutzenfunktion voraussetzt. Symbole x xn ~
WP1
~ V1 P0n ~ ~ P1n (P1m )
Var( ) Kov( ) RPp V0
3.2
{ Geldbetrag, der zum Zeitpunkt 0 zum risikolosen Zinssatz r angelegt (x > 0) oder geliehen wird (x < 0), { Zahl der Wertpapiere vom Typ n (n= 1,2,...,N), die zum Zeitpunkt 0 gekauft (xn > 0) oder leerverkauft (xn < 0) werden, { Endwert der Portefeuilles zum Zeitpunkt 1 (einschließlich Dividenden und Zinsen), { Vermögen zum Zeitpunkt 1 (Endvermögen), { Preis des Wertpapiers vom Typ n zum Zeitpunkt 0, { Preis des Wertpapiers vom Typ n (m) zum Zeitpunkt 1 (einschließlich Dividende oder Zinsen), { Varianzoperator, { Kovarianzoperator, { Risikoprämie des Portefeuilles, { Geldvermögen zum Zeitpunkt 0.
Modellstruktur
Annahmegemäß orientiert sich der Investor am (P,V)-Prinzip, wobei P den Erwartungswert und V (V2) die Standardabweichung (Varianz) seines Endvermögens bezeichnet. Das Endvermögen beträgt: (III.1)
V 1
~
(1 r) x WP1
N
(1 r) x ¦ x n P1n . n 1
Für den Erwartungswert des Endvermögens gilt entsprechend: (III.2)
~ P { E ( V1 )
N ~ (1 r ) x ¦ x n E ( P1n ) . n 1
2
Zu genaueren technischen Details praktischer Leerverkäufe vgl. Kapitel IV, Abschnitt 2.2.
129
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
Die Varianz des Endvermögens stimmt mit der Varianz des Endwertes des Portefeuilles überein. Sie errechnet sich nach der folgenden Formel:3 (III.3)
~ Var (V1 )
~
Var ( WP1 ) N
~
N
N
~
~
¦ x 2n Var(P1n ) ¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) n 1m 1 mzn
n 1 N
N
~
~
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) n 1m 1
~ ~ mit Kov(P1n ; P1n )
~ Var(P1n ) .
~ ~ Dabei erfassen die Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) ( n z m) den Risikoverbund zwischen ~ ~ ~ den Papieren. Für N= 3 kann mit K nm { Kov( P1n ; P1m ) und K nn Var ( P1n ) die Gleichung (III.3) wie folgt dargestellt werden: (III.3a)
~
x12 K11
x1 x 2 K12 x 2 x1 K 21 x 22 K 22 x 3 x1 K 31 x 3 x 2 K 32
Var( WP1 )
x 32 K 33 3
3
3
x1 x 3 K13 x 2 x 3 K 23
¦ x1 x m K1m ¦ x 2 x m K 2m ¦ x 3 x m K 3m m 1 3 3
m 1
m 1
¦ ¦ x n x m K nm . n 1m 1
Für den Zeitpunkt 0 gilt die Budgetbedingung: N
(III. 4)
x ¦ x n P0n
V0 .
n 1
Umformung nach x und Einsetzen in (III.2) führt zu: (III.5)
~ P { E(V1 )
N ~ (1 r ) V0 ¦ x n E[P1n (1 r ) P0n ] . n 1 { RPp
Interpretation: Wenn der Entscheider ein (weiteres) Papier n erwirbt, muss er die Kapitalanlage (die Kapitalaufnahme) zum Zinssatz r um die Anschaffungsauszahlung P0n reduzieren (erhöhen). Sein Endvermögen ändert sich somit um den ungewissen Residu3
Zur Ermittlung von Erwartungswerten, Varianzen und Kovarianzen vgl. den Anhang 1 zu dieser Arbeit. Sie erfordert die stochastische Prognose der zukünftigen Aktienkurse. Zu Problemen und Grenzen der Prognose vgl. SCHMIDT (1976); SHLEIFER (2000, S. 175 ff.) und die dort diskutierte Literatur.
130
Kapitel III
algewinn P1n (1 r) P0n . Der Erwartungswert dieses Residualgewinns kann als Risikoprämie interpretiert werden, die eine Einheit des Papiers n bietet. Analog gilt für die Risikoprämie des gesamten Portefeuilles: (III.6)
N ~ RPp { ¦ x n E[P1n (1 r ) P0n ] . n 1
Diese Risikoprämie bringt zum Ausdruck, wie weit aufgrund der Portefeuillebildung der Erwartungswert des Endvermögens ansteigt. (In Kapitel IV, Abschnitt 5.4.3, wird untersucht, von welchen Determinanten die Risikoprämien der Papiere n abhängen und wie sie praktisch ermittelt werden können.) Das optimale Portefeuille kann wie folgt ermittelt werden: Zunächst wird die Menge der „effizienten“ Portefeuilles bestimmt und dann daraus das optimale ausgewählt; ein ineffizientes Portefeuille kann nicht optimal sein. Ein Portefeuille ist bei Risikoaversion dann effizient, wenn kein anderes existiert, das bei gegebener Risikoprämie eine kleinere Standardabweichung aufweist, oder bei gegebener Standardabweichung eine höhere Risikoprämie bietet, oder bei höherer Risikoprämie eine kleinere Standardabweichung aufweist.
3.3
Strukturgleichheit aller effizienten Portefeuilles
Man erhält (wie in Abschnitt 4 näher erläutert wird) ein effizientes Portefeuille, indem in (III.6) für RPp ein beliebiger fester Wert RPp* ! 0 eingesetzt und unter Berücksichtigung dieser Gleichung als Nebenbedingung die Varianz (III.3) minimiert wird. (Ein riskantes Portefeuille mit nichtpositiver Risikoprämie kann wegen der Risikoaversion des Investors nicht effizient sein.) Dies ist eine relativ einfach zu lösende quadratische Programmierungsaufgabe mit einer linearen Nebenbedingung. Das erzielte (effiziente) Portefeuille wird mit x1* , x *2 ,..., x *N bezeichnet und die zugehörige Varianz mit V*2. Dem effizienten Portefeuille entspricht folgende sichere Anlage zum risikolosen Zinssatz r (ist x* negativ, wird der betreffende Betrag geliehen):
x*
N
V0 ¦ x *n P0n . n 1
Zunächst wird gezeigt, dass alle effizienten Portefeuilles die gleiche Struktur aufweisen: Die Risikoprämie RPp(k) des Portefeuilles k x1* , k x*2 ,..., k x*N beträgt: N
(III.7)
RPp (k)
¦ k x*n E[P1n (1 r) P0n ] n 1 N
k ¦ x*n E[P1n (1 r) P0n ] n 1 Risikoprämie des Portefeuilles x1* ,x*2 ,...,x*N
k RPp* .
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
131
Die Risikoprämie RPp(k) ist also gleich dem k-fachen der Risikoprämie RPp* des Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N . Dem Portefeuille k x1* , k x*2 , k x*3 ,..., k x*N entspricht folgende Varianz V 2 ( k ) : (III.8)
V 2 ( k)
N N
~
~
¦ ¦ k x n k x m Kov( P1n ; P1m ) n 1m 1 N N ~ ~ k 2 [ ¦ ¦ x n x m Kov( P1n ; P1m )] k 2 V*2 . n m 1 1 Varianz des Portefeuilles x1 , x 2 , ..., x N
Die Varianz ist somit gleich dem k2-fachen der Varianz V*2 des Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N . Entsprechend ist die Standardabweichung als positive Wurzel aus der Varianz das k-fache. Da das Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N effizient ist, gilt dies auch für das Portefeuille k x1* , k x*2 ,..., k x*N . Wird somit ausgehend von einem effizienten Portefeuille bei gleicher Struktur der Bestand an Wertpapieren erhöht oder gesenkt, so ergibt sich wieder ein effizientes Portefeuille, wobei sich die Risikoprämie und die Standardabweichung im gleichen Verhältnis ändern wie der Umfang des Portefeuilles. Es gibt somit nur eine effiziente Portefeuillestruktur; die effizienten Portefeuilles unterscheiden sich nur in ihrem Umfang. Beweis: Wie erläutert, entspricht dem Portefeuille k x1* , k x*2 ,..., k x*N die Risikoprämie k RPp* und die Standardabweichung k V * . Es ist genau dann effizient, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1. Es existiert kein Portefeuille, das bei gleicher Risikoprämie k RPp* eine kleinere Standardabweichung als k V * aufweist. 2. Es existiert kein Portefeuille, das bei gleicher Standardabweichung k V * eine höhere Risikoprämie als k RPp* bietet. 3. Es existiert kein Portefeuille, das bei kleinerer Standardabweichung als k V * eine höhere Risikoprämie als k RPp* bietet. Hier soll nur gezeigt werden, dass die erste Bedingung erfüllt ist: Würde ein Portefeuille mit der Risikoprämie k RPp* und der Standardabweichung V < k V* existieren, könnte durch Realisation dieses Portefeuilles auf dem (1 / k)-fachen Niveau die Risikoprämie (1 / k ) k RPp* RPp* und die Standardabweichung (1/ k) V erzielt werden, wobei dann wegen V < k V* die Relation (1/ k) V V* gelten würde. Bei gleicher Risikoprämie RPp* würde sich somit eine Standardabweichung ergeben, die kleiner ist als die des Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N , so dass dieses gar nicht hätte effizient sein können. Analog kann gezeigt werden, dass auch die beiden anderen Bedingungen erfüllt sind: Wenn das Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N effizient ist, muss das k-fache dieses Portefeuilles ebenfalls
132
Kapitel III
effizient sein; es besteht eine proportionale Beziehung zwischen der Standardabweichung und der Risikoprämie der effizienten Portefeuilles. Ŷ Zur Erläuterung wird die Abbildung III.1 betrachtet. Angenommen der Punkt P* kennzeichne ein effizientes Portefeuille. Dann ist das Portefeuille P**, das bei gleicher Struktur den doppelten Umfang und somit auch die doppelte Standardabweichung und die doppelte Risikoprämie aufweist, ebenfalls effizient. Es kann kein Portefeuille existieren, dem ein Punkt entspricht, der bei gleichem Abszissenwert einen kleineren Ordinatenwert, oder bei gleichem Ordinatenwert einen höheren Abszissenwert oder sowohl einen kleineren Ordinatenwert als auch einen höheren Abszissenwert aufweist als der Punkt P**. Wäre dies der Fall, ergäbe sich ein Widerspruch zu der Aufnahme, dass P* ein effizientes Portefeuille charakterisiert. Würde z.B. das dem Punkt P1 entsprechende Portefeuille existieren, könnte man dieses bei identischer Struktur auf halbem Niveau realisieren und somit bei einer Risikoprämie von RPp* eine Standardabweichung in Höhe des Ordinatenwertes des Punktes P3 erzielen; P* könnte kein effizientes Portefeuille charakterisieren. Würde das dem Punkt P2 entsprechende Portefeuille existieren, könnte man dieses wiederum bei identischer Struktur auf halbem Niveau realisieren und somit bei einer Standardabweichung von V * eine Risikoprämie in Höhe des Abszissenwertes des Punktes P4 erzielen; wiederum könnte P* kein effizientes Portefeuille darstellen. V
P**
V** 2· 2 V* V*
x
P*
*
V V
x x
0
P4
x
x
P2
xP 1
P3
RPp* RP*
* RPp** = 22· RP RP** RP* p
RP
Abb. III.1: Zur Analyse der Struktureigenschaft effizienter Portefeuilles
Entsprechend kann auch kein Portefeuille existieren, dem ein Punkt rechts unterhalb von P** entspricht. Es besteht somit eine proportionale Beziehung zwischen der Standardabweichung und der Risikoprämie der effizienten Portefeuilles. Unter Berücksichtigung dieser Beziehung kann die Effizienzbedingung vereinfachend wie folgt formuliert werden:
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
133
Ein Portefeuille ist genau dann effizient, wenn kein anderes existiert, für welches das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie kleiner oder das Verhältnis aus Risikoprämie und Standardabweichung (die Risikoprämie je Risikoeinheit) größer ist.
3.4
Auswahl des optimalen Portefeuilles
Die Menge aller effizienten (P,V)- bzw. (P,V2)-Konstellationen für das Endvermögen lässt sich graphisch mit Hilfe einer Effizienzkurve darstellen, die zeigt, welcher minimale V- bzw. V2-Wert alternativen Risikoprämien RPp t 0 des Portefeuilles und somit ~ alternativen Erwartungswerten E(V1 ) t (1 r ) V0 des Endvermögens entspricht. Die Effizienzkurve beginnt stets beim Abszissenwert (1+r) V0. Diejenige im (P,V)-Diagramm ergibt sich, indem für eine beliebige Risikoprämie RPp* ! 0 das effiziente Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N ermittelt wird, die entsprechende (P,V)-Kombination für das Endvermögen durch einen Punkt P* dargestellt und ausgehend vom Punkt A auf der Abszisse mit dem Abszissenwert (1+r)V0 ein Fahrstrahl durch den Punkt P* gezeichnet wird (Abbildung III.2). ~ Sta ( V1 )
a 1) Sta (WP Effizienzkurve
T
~ Sta ( V1,opt )
(eine) Indifferenzkurve
P* A 0
~ E ( V1,opt )
* RP* RP p
(1 r ) V0
M b 2c
~ E( V1 ) (P)
RPopt RP p,opt
Abb. III.2: Lineare Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm und optimale (P,V)-Kombination bei quadratischer Nutzenfunktion
Die subjektive Risikoeinstellung hat zwar keinen Einfluss auf die Struktur des optimalen Portefeuilles, bestimmt aber dessen Umfang. Bei quadratischer Nutzenfunktion U(V1) und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen haben die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm die Gestalt von konzentrischen Halbkreisen, deren Mittelpunkt M auf der Abszisse liegt und den Abszissenwert b / 2c aufweist (Kapi-
134
Kapitel III
tel II, Abschnitt 2.3.2.1). Das optimale Portefeuille wird durch den Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einem dieser Halbkreise bestimmt; vgl. den Punkt T in Abbildung III.2. ~ Dabei bezeichnet E(V1, opt ) dasjenige erwartete Endvermögen, das mit dem optimalen Portefeuille erzielt wird. Die Risikoprämie RPp,opt des optimalen Portefeuilles ist gleich der Differenz der Abszissenwerte der Punkte T und A. Der Quotient q { RPp, opt / RPp* aus der Risikoprämie des optimalen und der Risikoprämie des eingangs ermittelten effizienten Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N zeigt, wie oft die effiziente Ausgangslösung im optimalen Portefeuille enthalten ist. Entsprechend umfasst das optimale Portefeuille den Wertpapierbestand qx1* , qx*2 ,..., qx*N . Wird jeder Ordinatenwert der Effizienzkurve in Abbildung III.2 quadriert, so ergibt sich die Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm. Sie hat die Gestalt einer Parabel (Abbildung III.3). Bei exponentieller Nutzenfunktion U(V1) und normalverteiltem Endvermögen4 verlaufen die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm linear mit der Steigung 2/ a (Kapitel II, Abschnitt 2.3.2.2). Das optimale Portefeuille wird dann durch den Tangentialpunkt der konvexen Effizienzkurve mit einer der linearen Indifferenzkurven bestimmt; vgl. den Punkt T in Abbildung III.3. Effizienzkurve
~ Var ( V1 )
a
Var (WP1 ) T
~ Var ( V1,opt )
(eine) Indifferenzkurve
A 0
(1 r ) V0
RPopt
~ ~ E( V1,opt ) E ( V1 ) (P)
Abb. III.3: Effizienzkurve als Parabel im (P,V2)-Diagramm und optimale (P,V2)-Kombination bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteiltem Endvermögen
4
Normalverteilung des Endvermögens bzw. des Endwertes des Portefeuilles impliziert, dass auch die Endwerte aller Wertpapiere normalverteilt sind. Der Endwert eines Wertpapiers ist somit weder nach oben noch nach unten beschränkt. Er kann um einen beliebigen Betrag unter null liegen und eine entsprechende Zahlungsverpflichtung des Inhabers auslösen, die er auch erfüllen kann (unbeschränkte Haftung). Es ist klar, dass die Voraussetzung der Normalverteilung nur eine vereinfachende Approximation sein kann.
135
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
Bei quadratischer Nutzenfunktion und beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen verlaufen die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm streng konkav. Der Tangentialpunkt der konvexen Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm mit einer dieser Indifferenzkurven repräsentiert bei gegebener quadratischer Nutzenfunktion dasselbe optimale Portefeuille wie der Punkt T in Abbildung III.2.
4
Analyse der Struktureigenschaften der effizienten Portefeuilles
4.1
Grundlegende Struktureigenschaften
Wie in Abschnitt 3.3 gezeigt wurde, haben alle effizienten Portefeuilles dieselbe Struktur. Sie soll im Folgenden näher untersucht und interpretiert werden. Da das optimale Portefeuille effizient ist, gelten die Darstellungen zum Teil unmittelbar auch für dieses Portefeuille. Die Darstellungen bilden u.a. die Grundlage für die Analyse der Höhe der Wertpapierpreise im Gleichgewicht des CAPM (Kapitel IV, Abschnitt 5). Wie erläutert, erhält man ein effizientes Portefeuille, wenn in der Nebenbedingung (III.6) für RPp ein fester Wert RPp* ! 0 eingesetzt und unter Beachtung dieser Nebenbedingung die Varianz (III.3) minimiert wird. Die Nebenbedingung (III.6) mit RPp RPp* kann wie folgt dargestellt werden: N ~ RPp* ¦ x n E[P1n (1 r ) P0n ]
(III.9)
0.
n 1
Nach dem Ansatz von LAGRANGE liegt der Minimalwert der Funktion (III.3) unter der Nebenbedingung (III.9) dort, wo die folgende zusammengesetzte Funktion L (die sogenannte LAGRANGE-Funktion) (III.10) N
L
N
~
~
N
¯
n 1
½
~
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) O ®RPp* ¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ]¾ n 1m 1
¿
ihren Minimalwert annimmt. Die notwendigen (und hinreichenden) Bedingungen hierfür lauten: (III.11.n)
wL wx n
N
~
~
~
¦ 2 x m Kov(P1n ; P1m ) O [E(P1n ) (1 r ) P0n ] 0 m 1
(n = 1,2,...,N) und (III.12)
wL wO
N ~ RPp* ¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ] n 1
0.
136
Kapitel III
Die Gleichung (III.11.n) stellt die gleich null gesetzte erste partielle Ableitung der Funktion (III.10) nach xn dar. Da jeder Variable x1 , x 2 ,... x N eine solche Gleichung entspricht, gibt es N Gleichungen dieser Art. Der Ausdruck N
~
N
~
~
~
¦ 2 x m Kov(P1n ; P1m ) 2 ¦ x m Kov(P1n ; P1m ) m 1
m 1
in (III.11.n) gibt an, wie weit die Varianz des Endwertes des Portefeuilles und mithin die des Endvermögens steigt, wenn ausgehend vom Portefeuille x1,x2,...xN eine zusätzliche Einheit des Papiers n erworben wird. Dieser Ausdruck wird als Grenzvarianz des Portefeuilles bezüglich des Papiers n bezeichnet. Zur Erläuterung der Grenzvarianz betrachten wir drei Papiere (N=3), für die mit K nm { Kov(P1n ; P1m ) die Varianz des Portefeuilles wie folgt dargestellt werden kann (Abschnitt 3.2): (III.3a)
~
Var(WP1 )
x12 K11
x1 x 2 K12
x1 x 3 K13
x 2 x1 K 21 x 22 K 22
x 2 x 3 K 23
x 3 x1 K 31
x 32 K 33 .
x 3 x 2 K 32
Für das Papier 1 ergibt sich dann folgende Grenzvarianz:
wV 2 wx1
3
3
2 x1 K11 ¦ x m K1m ¦ x m K m1. m 2
m 2
Der erste Summenausdruck 6 bezieht sich auf die Kovarianzen K12 und K13 und der zweite auf die Kovarianzen K21 und K31. Wegen K1m = Km1 kann man für die Grenzvarianz auch schreiben: wV 2 wx1
3
2 x1 K11 2 ¦ x m K1m m 2
3
2 ¦ x m K1m . m 1
Das Analoge gilt für die Grenzvarianzen bezüglich der Papiere 2 und 3. Die Bedingung (III.12) ist die gleich null gesetzte erste partielle Ableitung von (III.10) nach O; sie ist mit der Nebenbedingung (III.9) identisch. (III.11.n) (n= 1,2,...,N) und (III.12) beschreiben ein System mit N + 1 Gleichungen und N + 1 Variablen ( x1, x 2 ,..., x N , O ). Sind alle Gleichungen voneinander linear unabhängig, existiert eine eindeutige Lösung. Davon wird im Folgenden stets ausgegangen. Sie wird mit x1* , x*2 ,..., x*N , O* bezeichnet. Hierfür muss gemäß (III.11.n) gelten:
137
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
N ~ ~ ~ 2 ¦ x*m Kov( P1n ;P1m) O*[ E ( P1n ) (1 r )P0 n ]
(III.13.n)
(n = 1,2,...,N).
m 1
Hieraus folgt: N ~ ~ 2 ¦ x*m Kov( P1n ; P1m ) m 1 ~ E( P1n ) (1 r ) P0n
(III.14.n)
O*
(n = 1,2,...,N).
Für den Summenausdruck in (III.14.n) gilt:
a Kov(P1n ; ¦ x*m P1m ) Kov(P1n ;WP1*), m 1
N
N
¦ x*m Kov(P1n ; P1m )
(III.15.n)
m 1
a
{ WP1* ~
wobei WP1~* den Endwert des effizienten Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N und ~ ~ Kov(P1n ; WP1* ) die Kovarianz zwischen P1n und diesem Endwert bezeichnet. (III.14.n) lässt sich wie folgt schreiben:
(III.16.n)
a ~ 2 Kov( P1n ; WP1* ) ~ E( P1n ) (1 r ) P0n
O*
(n = 1,2,...,N).
~ ~ Interpretation: 2 Kov(P1n ; WP1* ) gibt an, wie sich die Varianz des Portefeuilles und mithin des Endvermögens ändert, wenn ausgehend vom effizienten Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N eine zusätzliche Einheit des Papiers n erworben wird (Grenzvarianz). Gemäß (III.16.n) ist beim effizienten Portefeuille für jedes Papier n das Verhältnis aus Grenzvarianz und Risikoprämie einer Wertpapiereinheit gleich O*. Die Grenzvarianz für das Papier n kann gemäß (III.15.n) wegen ~ ~ ~ Kov(P1n ; P1n ) Var(P1n ) wie folgt dargestellt werden: ~
2 Kov(P1n ; WP1* )
N
2 x*n Var(P1n ) 2 ¦ x*m Kov(P1n ; P1m ) . m 1 mzn
~ Die Grenzvarianz resultiert somit aus der Varianz Var(P1n ) und N – 1 „echten“ Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) . Diese können insgesamt für die Grenzvarianz und die Struktur der effizienten Portefeuilles eine erheblich größere Bedeutung haben als die Varianz als einzelne Größe. Darauf kommen wir in Abschnitt 8 zurück. Die Wertpapierrisiken dürfen also nicht isoliert voneinander, sondern nur im gesamten Portefeuilleverbund bewertet werden. Es handelt sich um ein allgemeines Prinzip, nach dem bei Risikomanagement die aus verschiedenen Überschusskomponenten eines
138
Kapitel III
Bewertungsobjekts resultierenden Risiken nicht isoliert voneinander optimal gehedgt werden können, sondern nur (integriert) im Gesamtzusammenhang unter Berücksichtigung der stochastischen Abhängigkeiten zwischen den verschiedenen Überschusskomponenten (Kapitel IX bis XII). Der LAGRANGE-Multiplikator O* bringt zum Ausdruck, wie weit die Varianz des Endwertes des Portefeuilles steigt, wenn ausgehend vom effizienten Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N die Risikoprämie RPp* um eine marginale Einheit erhöht und dabei wieder ein effizientes Portefeuille gebildet wird. O* ist positiv und gleich der Steigung der Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm an der Stelle ~ E(V1 ) (1 r ) V0 RPp* . ~ Aus O* ! 0 folgt: Ist die Kovarianz zwischen P1n und dem Endwert des Portefeuilles * * * x1 , x 2 ,..., x N und somit die Grenzvarianz positiv, kann das Papier n nur dann mit einem positiven Bestand in diesem Portefeuille enthalten sein, wenn auch seine Risiko~ prämie E(P1n ) (1 r ) P0n positiv ist. Die letzte Einheit des Papiers n trägt dann dazu bei, dass die Varianz des Endwertes des Portefeuilles steigt; zum Ausgleich muss die Risikoprämie positiv sein. Bei negativer Kovarianz eines Papiers n kann dieses auch dann mit einem positiven Bestand im Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N enthalten sein, wenn ~ E (P1n ) (1 r ) P0 n 0 gilt. Die letzte Einheit des Wertpapiers n trägt dann dazu bei, dass die Varianz des Portefeuilles sinkt. Diese „Versicherungswirkung“ des Wertpapiers kann die Inkaufnahme seiner negativen „Risikoprämie“ rechtfertigen.
4.2
Höhe und Interpretation von Ȝ* [*]
Im Folgenden sollen weitere Zusammenhänge gezeigt werden, die vor allem auch für die Analyse der Gleichgewichtspreise im CAPM von Bedeutung sind. Die Effizienzbedingungen (III.16.n) gelten nicht nur für einzelne Wertpapiereinheiten, sondern auch für beliebige Teile des Portefeuilles und das Gesamtportefeuille: (III.17)
2
Kov(WP1* ; WP1* ) RPp*
2
Var(WP1* ) RPp*
O* .
Interpretation: Wie erläutert, verläuft die Effizienzkurve im (μ,V)-Diagramm linear. Bezeichnet man ihre Steigung mit x, gilt für die Menge der effizienten Portefeuilles der folgende allgemeine Zusammenhang: ~
Sta(WP1 )
x RPp
bzw. (III.18)
~
Var(WP1 )
x 2 RPp2 .
139
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
Aus (III.18) folgt für die Steigung der Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm an der Stelle RPp t 0 : ~
dVar(WP1 ) dRP
(III.19)
2 x 2 RPp .
Die Steigung der Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm ist somit eine linear steigende Funktion von RPp; geht RPp gegen null, so gilt dies auch für die Steigung. Aus (III.18) folgt außerdem: ~
Var(WP1 ) RPp
(III.20)
x 2 RPp .
Ein Vergleich von (III.19) mit (III.20) zeigt, dass die Steigung der Effizienzkurve im (P,V2)Diagramm für eine beliebige Risikoprämie RPp > 0 doppelt so groß ist wie der zugehörige Quo~ tient Var(WP1 ) / RPp . Da diese Steigung mit dem O-Wert für das betreffende Portefeuille übereinstimmt, ist auch dieser O-Wert doppelt so groß wie dieser Quotient. Entsprechend gilt~ für das effiziente Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N mit der Risikoprämie RPp* und der Varianz Var(WP1* ) die Gleichung (III.17). Aus (III.17) folgt in Verbindung mit (III.16.n):
~
(III.21.n)
Kov(P1n ; WP1* ) E(P1n ) (1 r) P0n
~
Var(WP1* ) RPp*
1 * O 2
(n = 1,2,...,N).
Für das effiziente Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N gilt somit: Das Verhältnis zwischen der Ko~* varianz Kov(P1n ; WP1 ) und der Risikoprämie einer Einheit des Papiers n ist gleich dem Verhältnis zwischen der Varianz des gesamten Portefeuilles und der Risikoprämie dieses Portefeuilles.
5
Eigenschaften des optimalen Portefeuilles
5.1
Allgemeine Charakteristik
Da das optimale Portefeuille effizient ist, gelten die obigen Darstellungen auch für dieses Portefeuille. Der O-Wert für das Optimum, Oopt, ist gleich der Steigung der Effi~ zienzkurve im (P,V2)-Diagramm beim Abszissenwert E(V1, opt ) (1 r ) V0 RPp, opt . Da bei diesem Abszissenwert die Effizienzkurve eine Indifferenzkurve tangiert, folgt: Oopt ist gleich der Steigung Stgopt der Indifferenzkurve im Tangentialpunkt. Gemäß (III.21.n) gilt somit:
(III.22.n)
~ ~ Kov(P1n ; WP1, opt ) ~ E(P1n ) (1 r ) P0n
~
Var ( WP1, opt ) RPp, opt
1 O opt 2
1 Stg opt 2 (n = 1,2,…,N).
140
Kapitel III
Die Anschaffungsauszahlung A0,opt des optimalen Portefeuilles x1, opt , x 2,opt , ..., x N ,opt beträgt N
¦ x n , opt P0n .
A 0, opt
n 1
Ist dieser Betrag niedriger als V0, wird die Differenz V0 – A0,opt zum Zinssatz r angelegt. Ist er höher, wird A0,opt – V0 geliehen.
5.2
Umfang des optimalen Portefeuilles
Da bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilung die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm linear mit der Steigung 2 / a verlaufen, ist hierbei O opt exogen vorgegeben: O opt 2 / a . Somit gilt gemäß (III.22): ~
Var( WP1, opt ) (III.23)
RPp, opt
1 a.
Bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteilten Endwerten der Papiere ist der Quotient aus Varianz und Risikoprämie des optimalen Portefeuilles eine proportional steigende Funktion der Risikotoleranz 1 / a. Dies impliziert, dass der Umfang des optimalen Portefeuilles ebenfalls eine proportional steigende Funktion der Risikotoleranz ist. Wird z.B. die Risikotoleranz verdoppelt, steigt der Umfang des Portefeuilles (bei gegebener Struktur) ebenfalls auf das Doppelte: Die Varianz steigt auf das Vierfache, die Risikoprämie auf das Doppelte, so dass sich der Quotient ebenfalls verdoppelt. Jedoch ist auf Grund der Linearität der Indifferenzkurven der Umfang des optimalen Portefeuilles unabhängig vom Anfangsvermögen V0. Bei quadratischer Nutzenfunktion U( V1 ) b V1 c V12 und beliebig verteilten Endwerten ist der Umfang des optimalen Portefeuilles vom Ausgangsvermögen V0 sowie den Parametern b und c abhängig. Die Zusammenhänge lassen sich anschaulich im (P,V)-Diagramm zeigen, in dem die Effizienzkurve linear verläuft und die Indifferenzkurven die Form konzentrischer Halbkreise haben. Die Verbindungsstrecke TM zwischen dem Tangentialpunkt T einer beliebigen Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve und dem Mittelpunkt M der Indifferenzkurven bildet dann einen rechten Winkel mit der Effizienzkurve. Wenn nun bei gegebener Steigung der Effizienzkurve und bei gegebenen Werten für b und c, d.h. bei gegebenem Mittelpunkt M, der Vermögenswert V0 steigt, wandert der Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve entlang der Strecke TM
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
141
zum Mittelpunkt M. Die Standardabweichung des Portefeuilles ist somit c.p. eine linear fallende Funktion von V0. Dieser Zusammenhang kann wie folgt interpretiert werden: Eine quadratische Nutzenfunktion impliziert steigende absolute Risikoaversion. Steigt V0, wird der Investor reicher und damit risikoaverser. Somit wird für ihn eine geringere Standardabweichung und folglich auch eine niedrigere Risikoprämie sowie ein geringeres Portefeuillevolumen optimal (Reichtumseffekt). Abbildung III.4 verdeutlicht diesen Zusammenhang für den Übergang von V0 V0* auf V0 V0** . Im Fall V0 V0* hält der Investor dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt T1 entspricht. Bei einem Anstieg von V0 auf V0** hält er dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt T2 entspricht. Da dessen Standardabweichung kleiner ist als die in der Ausgangsposition, hält nun der Investor ein kleineres Portefeuillevolumen; entsprechend sinkt auch seine Risikoprämie.5 ~ Sta ( V1 )
Effizienzkurve 1
Effizienzkurve 2
T1 T2
M
0
(1 r ) V0*
(1 r ) V0**
b 2c
~ E ( V1 )
Abb. III.4: Zum Einfluss von V0 auf das optimale Wertpapierportefeuille bei quadratischer Nutzenfunktion
Wenn sich bei gegebenem V0-Wert und gegebener Steigung der Effizienzkurve der Mittelpunkt M der Indifferenzkurven nach rechts bewegt, also die Risikoaversion sinkt, wandert der Tangentialpunkt T der Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve entlang der Effizienzkurve nach rechts oben. Die Standardabweichung des optimalen Por5
Bei exponentieller Nutzenfunktion ist die absolute Risikoaversion vom Endvermögen unabhängig. Entsprechend sind die Steigungen der Indifferenzkurven bei gegebenem V für alle Abszissenwerte identisch (Kapitel II, Abschnitt 2.3.2.2). Wenn V0 steigt und somit sich die Effizienzkurve bei gegebener Steigung nach rechts bewegt, ändert sich der Ordinatenwert ihres Tangentialpunktes mit einer Indifferenzkurve nicht. Daher ändert sich auch nicht das optimale Portefeuille; seine Standardabweichung und seine Risikoprämie sind unveränderlich. Der Vermögenszuwachs wird ausschließlich zum risikolosen Zinssatz r angelegt (was auch heißen kann, dass ein kleinerer Kredit aufgenommen wird).
142
Kapitel III
tefeuilles ist somit c.p. eine linear steigende Funktion des Abszissenwertes von M. Entsprechend steigt auch die Risikoprämie und mithin der Umfang des optimalen Portefeuilles. Abbildung III.5 verdeutlicht diesen Zusammenhang für den Übergang von M* auf M** bzw. den Übergang vom Tangentialpunkt T1 auf T2. Da der Abszissenwert des Mittelpunktes M gleich b / 2c ist, kann der Zusammenhang auch wie folgt formuliert werden: Die Standardabweichung und die Risikoprämie des optimalen Portefeuilles sind c.p. eine linear steigende Funktion von b und eine fallende von c. ~ Sta (V1 )
~ Sta ( V1 )
Effizienzkurve
T2
T1 M*
0 (1 r ) V0 (1 r ) V0
M** **
b **
bb**
b
** 2 c**
2 c**
2c
~~ E(EV(V 1 )1 )
2c
Abb. III.5: Zum Einfluss von b/2c auf das optimale Wertpapierportefeuille bei quadratischer Nutzenfunktion
Die in den Abbildungen III.4 und III.5 dargestellten Beziehungen lassen sich wie folgt verallgemeinern: Bei gegebener Steigung der Effizienzkurve sind bei quadratischer Nutzenfunktion U(V1) die Standardabweichung und die Risikoprämie und mithin der Umfang des optimalen Portefeuilles eine proportional steigende Funktion von RTQ { b / 2c (1 +r) V0. RTQ bezeichnet die Risikotoleranz bezüglich der Nutzenfunktion U(V1) an der Stelle V1 =(1 + r) V0. Beweis: Für die quadratische Nutzenfunktion U(V1 ) b V1 c V12 beträgt gemäß den Darstellungen in Kapitel II, Abschnitt 3.2, die Risikotoleranz an beliebiger Stelle V1: RTQ (V1 )
1 a (V1 )
b 2c V1 2c
b V1 . 2c
Wird für V1 der Betrag (1 r ) V0 eingesetzt, erhält man die Risikotoleranz an der Stelle (1 r ) V0 :
143
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
RTQ[(1 r ) V0 ]
b (1 r ) V0 { RTQ . 2c
Ŷ
Führt eine Änderung von V0, b und/oder c dazu, dass RTQ auf das x-fache steigt oder sinkt, ändern sich im gleichem Verhältnis die Risikoprämie und die Standardabweichung des optimalen Portefeuilles. Im gleichen Verhältnis ändert sich damit auch der optimale Bestand an Wertpapieren n (n = 1,2,...,N), also der optimale Umfang des Portefeuilles.
6
Implikationen eines beschränkten Leerverkaufs [*]
Wir sind bisher davon ausgegangen, dass Leerverkäufe ohne weiteres möglich seien. Jedoch existieren in der Realität (enge) Grenzen für Leerverkäufe vor allem durch private Investoren (Kapitel IV, Abschnitt 2.2). Sind Leerverkäufe völlig ausgeschlossen, ist das Grundmodell um die folgenden Nichtnegativitätsbedingungen zu ergänzen: (III.24)
xn t 0
(n = 1,2,…,N).
Ansonsten bleibt das Modell unverändert. Zur Ermittlung eines effizienten Portefeuilles mit der Risikoprämie RPp* ist wieder die Varianz (III.3) zu minimieren, wobei nun zusätzlich zur Nebenbedingung (III.9) die Nichtnegativitätsbedingungen (III.24) zu beachten sind. Nach dem Theorem von KUHN und TUCKER6 stellen nun die Zahlen x1* , x*2 ,..., x*N genau dann eine Lösung des Minimierungsprogramms für die Risikoprämie RPp* dar, wenn es eine Zahl O* gibt und folgende Bedingungen gelten: (III.25.n)
x*n t 0
N
und 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) O* [E(P1n (1 r) P0n ] m 1 ~ Kov(P1n ;WP1* )
oder (III.26.n)
x*n
0
N und 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) ! O* [E(P1n (1 r) P0n ] m 1
(n = 1,2,…,N) und (III.27)
O*
! 0
N
und ¦ x*m [E(P1n (1 r) P0n ] RPp* . m 1
O* gibt an, wie sich die Varianz des Endwertes des Portefeuilles ändert, wenn ausgehend von RPp* die Risikoprämie um eine marginale Einheit erhöht und dabei wieder ein effizientes Portefeuille gebildet wird. 6
Zu den Bedingungen optimaler Lösungen nach dem Theorem von KUHN und TUCKER vgl. KISTNER (2003, S. 129 ff.).
144
Kapitel III
Nach dem Theorem von KUHN und TUCKER könnte O* zwar negativ oder gleich null sein. Da jedoch auch unter Berücksichtigung der Nichtnegativitätsbedingungen eine Erhöhung der Risikoprämie eine Erhöhung der Varianz impliziert, ist O* positiv. Im übrigen ist es auch möglich, dass (wie z.B. im Gleichgewicht des CAPM) die Nichtnegativitätsbedingungen gar keinen Einfluss auf die effizienten Portefeuilles haben, weil Leerverkäufe ohnehin nicht vorteilhaft sind. Die Effizienzbedingungen (III.25.n) und (III.26.n) stimmen dann mit den Bedingungen (III.13.n) (n = 1,2,…,N) überein. Wir betrachten den Fall, dass einige Nichtnegativitätsbedingungen eine nachteilige Änderung des effizienten Portefeuilles mit der Risikoprämie RP* bewirken, sodass die zugehörige Varianz steigt. Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 3.3 gilt auch hier: Wird jeder Wert x*n des RPp* entsprechenden effizienten Portefeuilles x1* , x*2 ,..., x*N mit dem Faktor k multipliziert, erhält man wieder ein effizientes Portefeuille und zwar mit der Risikoprämie k RPp* und der Varianz k 2 V*2 bzw. der Standardabweichung k V* ; die Strukturen aller effizienten Portefeuilles sind auch unter Berücksichtigung von Nichtnegativitätsbedingungen identisch. Zwar verläuft die Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm wieder wie in Abbildung III.1 linear. Jedoch verläuft sie nun steiler, was bewirken kann, dass das optimale Portefeuille bei kleinerer Risikoprämie eine größere Standardabweichung aufweist. In jedem Fall sinkt bei gegebenem Geldvermögen V0 der Nutzen des Investors. Die Steigung der Effizienzkurve ist umso größer, je mehr die durch die Nichtnegativitätsbedingungen erzwungene Umstrukturierung die minimale Varianz bzw. Standardabweichung eines effizienten Portefeuilles mit beliebiger Risikoprämie steigt. Wie (III.25.n) verdeutlicht, können wegen O* > 0 nur solche Papiere n im effizienten Porte~ feuille enthalten sein ( x*n ! 0 ), für die die Kovarianz Kov(P1n ; WP1* ) und die Risikoprämie E(P1n ) (1 r) P0n dasselbe Vorzeichen haben. Ist in einem Portefeuille für ein Papier die Kovarianz negativ und die Risikoprämie positiv, ist dieses Portefeuille nicht effizient, da durch Aufnahme weiterer Einheiten dieses Papiers ins Portefeuille die Varianz sinken und die Risikoprämie steigen würde. Es ist auch ausgeschlossen, dass für ein Papier im effizienten Portefeuille die Kovarianz positiv und die Risikoprämie negativ ist; durch Reduktion des Bestandes dieses Papiers könnte die Risikoprämie erhöht und die Varianz reduziert werden. Auch für ein Papier n, das nicht im effizienten Portefeuille enthalten ist ( x*n 0 ), kann die Bedingung (III.25.n) als Gleichung erfüllt sein.7 Jedoch ist eher damit zu rechnen, dass für ein solches Papier die linke Seite von (III.25.n) höher ist, also (III.28)
~ 2 Kov(P1n ; WP1* ) ! O* [E(P1n ) (1 r) P0n ]
~ gilt. Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Kovarianz Kov(P1n ; WP1* ) positiv und die Risikoprämie E(P1n ) (1 r) P0n negativ oder gleich null ist. Ausgehend von der effizienten Lösung x1* , x*2 ,..., x*N mit x*n 0 könnte dann (wenn es zulässig wäre) durch Leerverkauf des Papiers n innerhalb gewisser Grenzen die Portefeuillevarianz bei steigender oder konstanter Risikoprämie reduziert werden: Der Ausdruck auf der linken Seite von (III.28) gibt an, wie weit die Varianz des Portefeuilles steigen würde, wenn c.p. eine Einheit des Wertpapiers n ins Portefeuille aufgenommen würde; bei Leerverkauf würde die Varianz entsprechend sinken. ~ Im Fall Kov(P1n ; WP1* ) ! 0 kann auch bei positiver Risikoprämie die Ungleichung (III.28) gelten, wobei wiederum ein Leerverkauf des Papiers vorteilhaft wäre. Würde eine marginale Einheit leerverkauft, so würde die Risikoprämie des Portefeuilles um E(P1n ) (1 r) P0n und ~ die Varianz um die Grenzvarianz 2 Kov(P1n ; WP1* ) sinken. Um die Reduktion der Risikoprä7
Dies ist insbesondere dann der Fall, wenn die Endwerte der betreffenden Papiere durch Linearkombination von Wertpapieren dupliziert werden können, die im Portefeuille enthalten sind. Es besteht dann Mehrfachoptimalität; davon soll im Folgenden abgesehen werden.
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
145
mie zu kompensieren, könnte das Volumen des resultierenden Portefeuilles bei gegebener Struktur entsprechend erhöht werden. Da O angibt, wie weit bei einer Erhöhung der Risikoprämie um eine marginale Einheit die Varianz steigt, würde die Varianz insgesamt um den Betrag der rechten Seite von (III.28) steigen. Das bedeutet, dass (wegen > in III.28) die Umstrukturierung des Portefeuilles bei unveränderter Risikoprämie zu einer kleineren Varianz führen würde, also unabhängig von der Risikoeinstellung des Investors vorteilhaft wäre. Auch bei negativer Risikoprämie und negativer Grenzvarianz könnte ein Leerverkauf vorteilhaft sein. Die Nichtnegativitätsbedingungen (der Ausschluss von Leerverkäufen) haben nicht nur Rückwirkungen bezüglich der Bestände jener Papiere, die ansonsten leerverkauft worden wären, sondern auch auf die Bestände (die Struktur) der in den effizienten Portefeuilles enthaltenen Papiere. Nichtnegativitätsbedingungen, die einen vorteilhaften Leerverkauf verhindern, werden im Folgenden als „streng bindend“ bezeichnet, die übrigen als „schwach bindend“. Da alle effizienten Portefeuilles dieselbe Struktur haben, gilt: Sind Nichtnegativitätsbedingungen für eine beliebige Risikoprämie RPp* streng oder schwach bindend, gilt dies auch für alle anderen Risikoprämien. Die Darstellungen gelten analog, wenn der Ausschluss von Leerverkäufen nur für einen Teil der Papiere gilt. Gegenüber dem Fall, dass dieses Verbot für alle Papiere gilt, verläuft die (lineare) Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm möglicherweise flacher. Es ist zu beachten: Wenn für ein Papier eine bisher streng bindende Nichtnegativitätsbedingung entfällt, weil Leerverkauf dieses Papiers zulässig wird, können andere Nichtnegativitätsbedingungen, die bisher streng (schwach) bindend waren, schwach (streng) bindend werden; die Zulässigkeit des Leerverkaufs von Wertpapieren kann bewirken, dass für andere Papiere der Leerverkauf nicht mehr vorteilhaft ist oder vorteilhaft wird.
7
Zur Relevanz von Hintergrundrisiken und Leerverkäufen
Wie in Kapitel II, Abschnitt 4, erläutert, setzt das der Portefeuilleanalyse zugrunde liegende (P,V)-Prinzip Zustandsunabhängigkeit der Nutzenfunktion voraus. Dies impliziert, dass kein modellexogener Überschuss Ü 1 existiert, der stochastisch von Endwerten der Papiere abhängt. Das (P,V)-Prinzip ist zwar vereinbar mit einem stochastisch unabhängigem exogenem Überschuss, jedoch wurde der Einfachheit halber auch hiervon abgesehen. Zunächst wurde davon ausgegangen, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind, und dann untersucht, wie sich ein Verbot von Leerverkäufen auswirken kann. Allerdings dürften bei Fehlen eines modellexogenen stochastisch abhängigen Überschusses Leerverkäufe geringe praktische Bedeutung haben. Leerverkauf eines Papiers ist in diesem Fall vor allem dann vorteilhaft, wenn der Investor mit einem relativ geringen Endwert dieses Papiers rechnet und der „Markt“ mit einem hohen, so dass sein gegenwärtiger Marktwert (der Erlös bei Leerverkauf) im Urteil des Investors relativ hoch ist. Im Rahmen des CAPM, in dem sich alle Investoren auf dem Kapitalmarkt am (P,V)-Prinzip orientieren, haben alle homogene Erwartungen über die Endwerte
146
Kapitel III
der Papiere und erzielen im privaten Bereich keine stochastisch abhängigen Überschüsse. Hier halten alle Investoren im Kapitalmarktgleichgewicht einen Anteil am Marktportefeuille, das alle Wertpapiere enthält, wobei Leerverkäufe nachteilig sind. Leerverkäufe können vor allem bei stochastisch abhängigen privaten Überschüssen optimal sein. Sie sind ein bedeutsames Instrument, deren Risiken zu hedgen. Hier können Beschränkungen von Leerverkäufen zu besonderen Nachteilen führen. Insbesondere in den Kapiteln IX und X wird untersucht, wie die Darstellungen zu den Strukturen der effizienten Portefeuilles und der Effizienzkurve zu modifizieren sind, ~ wenn bei gegebenem exogenem Überschuss Ü1 Leerverkaufsmöglichkeiten beschränkt sind. Wie gezeigt wird, hängen dann Umfang und Struktur des optimalen Portefeuilles ~ nicht nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ü1 und den Kapitalmarktbedingungen ab, sondern auch von der Risikoeinstellung des Investors.
8
Bedeutung von Varianzen und Kovarianzen für das Portefeuillerisiko
Für die Risikoanalyse sind nicht allein die Standardabweichungen (die Varianzen) von Bedeutung, sondern auch die Kovarianzen (bzw. die Korrelationskoeffizienten). Wie im Folgenden gezeigt wird, haben die Kovarianzen für die Beurteilung des Risikos sogar tendenziell eine erheblich größere Bedeutung als die Varianzen.8 Dabei wird wieder davon ausgegangen, der Entscheider könne beliebig teilbare Wertpapiere der Typen 1,2,...,N erwerben. Zunächst wird folgende Entscheidungssituation betrachtet: 1. Der Entscheider will (aus welchen Gründen auch immer) genau z> 0 Wertpapiere in seinem Portefeuille halten. 2. Von jedem Wertpapiertyp, den er in seinem Portefeuille hält, erwirbt er die gleiche Anzahl an Einheiten (wobei die Summe aller Einheiten z beträgt). Hält er nur einen einzigen Wertpapiertyp in seinem Portefeuille, erwirbt er z Einheiten dieses Typs. Hält er 2 Wertpapiertypen, erwirbt er von jedem z/2 Einheiten, usw. 3. Hält der Entscheider M d N Wertpapiertypen in seinem Portefeuille, sind dies die Typen 1,2,...,M. Wenn also die Zahl M der Wertpapiertypen von M* auf M** erhöht wird, werden zusätzlich die Typen M*+1, M*+2, ..., M** erworben und die Zahl der Einheiten der Typen 1,2,...,M* entsprechend reduziert (so dass die Summe aller Wertpapiereinheiten wieder z beträgt). ~
~
Es wird untersucht, wie die Varianz Var( WP1 ) des Endwertes WP1 des Portefeuilles von M abhängt. Mit M ist zugleich die Portefeuillestruktur festgelegt. Die alternativen M-Werten entsprechenden Portefeuillestrukturen sind zwar i.d.R. nicht effizient (Ab-
8
Zu einer analogen Betrachtung auf der Basis von Renditen vgl. SCHMIDT/TERBERGER (1997, S. 348 ff.).
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
147
schnitt 4). Jedoch ermöglichen die getroffenen Annahmen eine anschauliche Analyse ~ der prinzipiellen Bedeutung der Varianzen Var (P1n ) und der Kovarianzen ~ ~ ~ Kov(P1n ; P1m ) für die Varianz Var( WP1 ) des gesamten Portefeuilles. ~ ~ Hält der Entscheider nur Wertpapiere des Typs 1, so gilt Var ( WP1 ) z 2 Var (P1,1 ) . Bildet er ein Portefeuille mit den Wertpapiertypen 1,2,...,M ( M d N ), folgt: (III.29)
~
Var(WP1 )
M § z ·2
M M z z Kov(P1n ; P1m ) . ¸ Var(P1n ) ¦ ¦ n 1© M ¹ n 1 m 1 M M
¦¨
mzn
Sind die Endwerte aller Papiere voneinander stochastisch unabhängig, so sind alle Kovarianzen gleich null und die Doppelsumme auf der rechten Seite von (III.29) entfällt. Es gilt dann: (III.30)
~
Var ( WP1 )
M § z ·2
~ ¸ Var (P1n ) M ¹ n 1©
¦¨
~ z 2 M Var(P1n ) ¦ M n 1 M
z2 Var . M
~ ~ ~ ~ Var( P1, M ). Um die Varianz des Endwertes des Portefeuilles zu ermitteln, ist dieser Durchschnitt noch einmal durch M zu dividieren. Mit wachsendem M (mit wachsender Zahl von Wertpapiertypen im Portefeuille) wird somit bei gegebener Anzahl z aller Pa~ piere im Portefeuille die Varianz Var ( WP1 ) immer kleiner, sofern die durchschnittliche Varianz Var sinkt, konstant bleibt oder in geringerem Verhältnis ansteigt als M. Sind alle Varianzen identisch, ~ ~ ~ Var( P1,1 ) = Var( P1,2 ) = ... = Var( P1, M ) = Var,
¦M n 1 Var ( P1n ) / M ist der Durchschnitt Var der Varianzen Var( P1,1 ), Var( P1, 2 ), ...,
folgt aus (III.30): (III.31)
~
Var ( WP1 )
z 2 M Var M M
z2 Var. M
Mit wachsendem M wird die Varianz immer kleiner. Für den Fall z= 100 zum Beispiel sinkt sie von 10.000 Var auf 100 Var, wenn nicht 100 Wertpapiere eines einzigen Typs (M = 1), sondern von 100 verschiedenen Wertpapiertypen (M = 100) je eine Einheit gehalten wird. Der beschriebene Effekt ergibt sich aus der Kombination von Wertpapieren mit stochastisch unabhängigen Endwerten. Er tritt nicht in gleicher Weise auf, wenn stochastische Abhängigkeiten bestehen, also die Kovarianzen ungleich null sind. Bei positiven Kovarianzen liegt gemäß (III.29) die Varianz des Portefeuilles um einen Betrag über der gewichteten Summe der Varianzen, der sich aus der Addition gewichteter positiver Kovarianzen ergibt. Während (III.29) nur M Varianzen enthält, besteht die Doppelsumme aus M(M1) „echten“ Kovarianzen. Die Kovarianzen können daher eine erheblich größere Bedeutung haben als die Varianzen.
148
Kapitel III
Zur Verdeutlichung des Einflusses der Kovarianzen wird die Doppelsumme auf der rechten Seite von (III.29) wie folgt umgeformt: M
(III.32)
¦ n 1
M
z
2
1
M Kov(P ; P ) 1n 1m
M
§ · ¦ ¨ ¸ Kov(P1n ; P1m ) z 2 ¦ ¦ M n 1 m 1 m 1©M¹ mzn
M
mzn
z2
~ ~ M 1 M M Kov(P1n ; P1m ) . ¦ ¦ M n 1 m 1 M (M 1) mzn
Die untere Doppelsumme enthält M(M1) Kovarianzen, von denen jede durch M(M 1) dividiert wird. Diese Doppelsumme kann somit als durchschnittliche Kovarianz interpretiert werden. Wird sie mit Kov bezeichnet, kann (III.29) unter Berücksichtigung von (III.30) wie folgt dargestellt werden: (III.33)
~
Var(WP1 )
z2 Var M Varainzeffekt Portefeuille varianz bei stochastischer Unabhängigkeit
M 1 z2 Kov M
Ko var ianzeffekt Varianzänderung aufgrund der stocha stischen Abhängigkeiten
oder (III.34)
~
Var(WP1 )
1 M 1 1 1 Var Kov) z 2 [ Var (1 ) Kov] M M M M 1 2 z [Kov (Var Kov)]. M z2 (
Während mit wachsendem M der erste Summand in der oberen runden Klammer tendenziell gegen null geht, nähert sich der zweite Summand der durchschnittlichen Kovarianz. Obwohl der Varianzeffekt mit steigendem M (tendenziell) gegen null geht, ist es nicht ohne weiteres sinnvoll, M zu maximieren, also möglichst viele Wertpapiertypen in das Portefeuille aufzunehmen. Mit steigendem M sinkt zwar der Varianzeffekt, jedoch wird gemäß (III.34) das Gewicht der durchschnittlichen Kovarianz Kov immer größer. ~ Der funktionale Zusammenhang zwischen Var ( WP1 ) und M hängt davon ab, wie Var und Kov von M abhängen. Die Darstellungen verdeutlichen vor allem die grundsätzliche Bedeutung der Varianzen und Kovarianzen für die Risikoanalyse. Bezeichnet man den Varianzeffekt mit „Varianzrisiko“ und den Kovarianzeffekt mit „Kovarianzrisiko“, kann das folgende Fazit gezogen werden:
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
149
Das Varianzrisiko kann durch weitreichende Diversifikation praktisch eliminiert werden. Es wird daher auch als diversifizierbares oder unsystematisches Risiko bezeichnet. Als besonders beachtenswert für die Schätzung der Portefeuillevarianz erscheint das Kovarianzrisiko, vor allem dann, wenn die Kovarianzen primär positiv sind, sodass die durchschnittliche Kovarianz hoch ist. Die durchschnittliche Kovarianz ist umso höher, je mehr die Endwerte der Papiere von allgemeinen Marktdaten abhängen, die bewirken, dass die Endwerte stark in die gleiche Richtung streuen, was allerdings nicht ausschließt, dass einzelne Endwerte miteinander negativ korreliert sind, so dass auch die betreffenden Kovarianzen negativ sind. Da das Kovarianzrisiko durch Diversifikation nicht eliminiert werden kann, wird es als systematisches Risiko bezeichnet. Wir sind vereinfachend davon ausgegangen, dass von jedem Wertpapiertyp 1,2,...,M dieselbe Zahl an Einheiten (und zwar jeweils z/M) im Portefeuille gehalten wird. Wie jedoch in Abschnitt 4 gezeigt wurde, kann – je nach Höhe der Varianzen und Kovarianzen – mit einer anderen Portefeuille-Struktur (bei gegebener Zahl von Wertpapieren) i.d.R. eine kleinere Varianz erzielt werden. Andererseits ist für eine effiziente Portefeuille-Bildung nicht nur die Varianz des Endwertes des Portefeuilles relevant, sondern auch der Erwartungswert des Endwertes. Jedoch wird im Rahmen stark diversifizierter Portefeuilles das Varianzrisiko auch dann praktisch eliminiert, wenn sie nicht die oben angenommene spezielle Struktur aufweisen. Bei der Portefeuilleplanung (und darauf aufbauend die Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt) kommt es also vor allem darauf an, den Kovarianzen Rechnung zu tragen. Die explizite zusätzliche Berücksichtigung auch der Varianzen als solche spielt eher eine untergeordnete Rolle. Das bedeutet freilich nicht, dass die Varianzen generell irrelevant seien. Ihre Quadratwurzeln, die Standardabweichungen, beeinflussen die Beträge der Kovarianzen. Es gilt (Anhang 1): (III.35)
~ ~ Kov(P1n ; P1m )
~ ~ ~ ~ U(P1n ; P1m ) Sta (P1n ) Sta (P1m )
~ ~ wobei U( ) den Korrelationskoeffizienten für P1n und P1m bezeichnet und Sta ( ) die Standardabweichung. Nur bei einem Korrelationskoeffizienten von null (bei stochastischer Unabhängigkeit) ist die Kovarianz von den Standardabweichungen der beiden Endwerte unabhängig. Bei positiver (negativer) Korrelation ist die Kovarianz eine steigende (fallende, ihr Betrag ebenfalls eine steigende) Funktion der beiden Standardabweichungen. Bei stochastischer Abhängigkeit erzeugen somit die Standardabweichungen auch systematische (Kovarianz-)Risiken. Darüber hinaus bewirken die Standardabweichungen bzw. die Varianzen als solche unsystematische Risiken, die im Rahmen gut gemischter Portefeuilles praktisch eliminiert werden. Ist der Endwert eines Papiers von allen anderen Endwerten stochastisch unabhängig, entspricht ihm ausschließlich unsystematisches Risiko.
150
Kapitel III
Die Möglichkeit, das Varianzrisiko durch Diversifikation praktisch zu beseitigen, resultiert aus der weitgehenden Teilbarkeit der Wertpapiere. Enthält das „Portefeuille“ ein größeres, nicht teilbares Objekt, kann dagegen die Varianz seines Überschusses einen großen Einfluss auf die Varianz des Endvermögens (und den entsprechenden individuellen subjektiven Grenzpreis) haben. Dies hat grundlegende Bedeutung für die Bewertung dieses Objekts.
9
Resümee
1. Die Darstellung des Grundmodells der Portefeuilleplanung sind mit denen in späteren Kapiteln abgestimmt. Zielgröße der Modellanalyse ist nicht – wie in der Literatur üblich – die Rendite, die der Investor auf seinen Kapitaleinsatz erzielt, sondern das Vermögen, über das er am Ende der Periode verfügt (Endvermögen) bzw. der entsprechende „Residualgewinn“. Der Residualgewinn eines Portefeuilles oder einer Wertpapiereinheit gibt an, wie weit das Endvermögen gegenüber einer Anlage zum Zinssatz r steigt oder fällt, wenn dieses Portefeuille oder diese Wertpapiereinheit erworben wird. Der Residualgewinn wird auch als Übergewinn bezeichnet. Sein Erwartungswert kann als Risikoprämie dafür interpretiert werden, dass das Portefeuille oder die Wertpapiereinheit erworben und der betreffende investierte Kapitalbetrag nicht risikolos angelegt wird. Die Darstellungen in absoluten Größen ermöglichen eine relativ einfache und anschauliche Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt. Auf den betreffenden Bewertungsfunktionen aufbauend lassen sich in anschaulicher und strukturgleicher Weise Marktwerte und subjektive Grenzpreise von Bewertungsobjekten darstellen und Ursachen für absolute Abweichungen zwischen ihnen analysieren. 2. Das optimale Portefeuille kann wie folgt ermittelt werden: Zunächst wird die Menge der „effizienten“ Portefeuilles bestimmt und dann daraus das optimale ausgewählt; ein ineffizientes Portefeuille kann nicht optimal sein. Ein Portefeuille ist bei Risikoaversion dann effizient, wenn kein anderes existiert, das bei gegebener Risikoprämie eine kleinere Standardabweichung aufweist, oder bei gegebener Standardabweichung eine höhere Risikoprämie bietet, oder bei höherer Risikoprämie eine kleinere Standardabweichung aufweist. 3. Alle effizienten Portefeuilles weisen dieselbe Struktur auf. Wenn das Portefeuille mit den Wertpapierbeständen x1* , x*2 ,..., x*N effizient ist, gilt die auch für das Portefeuille k x1* , k x*2 ,..., k x*N (k ! 0) . Wird also ausgehend von einem effizienten Portefeuille bei gleicher Struktur der Bestand an Wertpapieren erhöht oder gesenkt, ergibt sich wieder ein effizientes Portefeuille, wobei sich die Risikoprämie und die Standardabweichung im gleichen Verhältnis ändern wie der Umfang des Portefeuilles. Es gibt somit nur eine effiziente Portefeuillestruktur; die effizienten Portefeuilles unterscheiden sich nur durch ihren Umfang. 4. Man erhält ein effizientes Portefeuille, indem man eine beliebige positive Risikoprämie vorgibt und die Varianz des Endwertes des Portefeuilles minimiert. (Ein riskantes Portefeuille mit nichtpositiver Risikoprämie kann bei Risikoaversion nicht effizient sein.) 5. Die Menge aller effizienten (P,V)- bzw. (P,V2)-Konstellationen für das Endvermögen lässt sich graphisch mit Hilfe einer Effizienzkurve darstellen, die zeigt, welcher minimale V- bzw. V2-Wert alternativen Risikoprämien des Portefeuilles und somit alternativen Erwartungswerten des Endvermögens entspricht. Die Effizienzkurve beginnt stets beim Abszissenwert (1+r) V0, wobei V0 das Geldvermögen des Investors vor Portefeuillebildung bezeichnet.
Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss)
151
6. Die subjektive Risikoeinstellung hat zwar keinen Einfluss auf die Struktur des optimalen Portefeuilles, bestimmt aber dessen Umfang. Es wird durch den Tangentialpunkt der Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Für das optimale Portefeuille gilt: (III.22.n)
~ Kov(P1n ; WP1,opt ) E(P ) (1 r) P 1n
0n
~
Var(WP1,opt ) RPp,opt
1 O opt . 2
P0n ( P1n ) bezeichnet den Preis einer Einheit des Papiers n (n = 1,2,…,N) zu Beginn (am Ende) der Planungsperiode, wobei P1n auch Zinsen und Dividenden enthalten kann. ~ WP1,opt (RPp,opt) bezeichnet den Endwert (die Risikoprämie) des optimalen Portefeuilles. Der LAGRANGE-Faktor Oopt gibt an, wie weit die Varianz des Endwertes des Portefeuilles steigt, wenn ausgehend von RPp,opt die Risikoprämie des Portefeuilles um eine marginale Einheit erhöht und dabei wieder die effiziente Portefeuillestruktur realisiert wird. 7. Bei exponentieller Nutzenfunktion ist das optimale Portefeuillevolumen eine fallende Funktion des Risikoaversionskoeffizienten. Es ist vom Geldvermögen V0 unabhängig. Wegen der konstanten absoluten Risikoaversion besteht kein Reichtumseffekt. Bei quadratischer Nutzenfunktion ist das optimale Portefeuillevolumen eine fallende Funktion des Risikoaversionskoeffizienten der Nutzenfunktion für das Endvermögen an der Stelle (1 r) V0 . Es ist eine fallende Funktion des Geldvermögens V0; wegen der steigenden absoluten Risikoaversion besteht ein „negativer“ Reichtumseffekt in dem Sinne, dass mit steigendem Reichtum die Bereitschaft, Risiko zu tragen, abnimmt; das Portefeuillevolumen sinkt. 8. Bei der Portefeuilleplanung (und darauf aufbauend der Erklärung der Preisbildung im CAPM) kommt es vor allem darauf an, den Kovarianzen zwischen den Preisen (Endwerten) P1n der verschiedenen Papiere Rechnung zu tragen. Die explizite zusätzliche Berücksichtigung auch der Varianzen Var(P1n ) als solche spielt eher eine untergeordnete Rolle. Das bedeutet allerdings nicht, dass die Varianzen generell irrelevant seien. Ihre Quadratwurzeln, die Standardabweichungen, beeinflussen nämlich die Beträge der Kovarianzen. Darüber hinaus bewirken die Standardabweichungen bzw. die Varianzen als solche unsystematische Risiken, die im Rahmen gut gemischter Portefeuilles praktisch eliminiert werden. Ist der Endwert eines Papiers von allen anderen Endwerten stochastisch unabhängig, entspricht ihm ausschließlich unsystematisches Risiko. 9. Die dargestellten Zusammenhänge sind im Wesentlichen dadurch bedingt, dass das Porte abgestimmt werden muss, der stochastisch feuille nicht mit einem exogenen Überschuss Ü 1 von den Endwerten der Papiere abhängt. Eine derartige Abstimmung ist jedoch dann vorzu aus einem Bewertungsobjekt resultiert, dessen individueller subjektiver nehmen, wenn Ü 1 Grenzpreis ermittelt werden soll.
TEIL C: PREISBILDUNG AUF DEM KAPITALMARKT UND KOLLEKTIVE SUBJEKTIVE GRENZPREISE IM VERGLEICH ZU MARKTWERTEN
Kapitel IV Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
1
Problemstellung
Wie in Kapitel I erläutert, existiert für die Anteilseigner eines börsennotierten Unternehmens genau dann ein einheitlicher (kollektiver) subjektiver Grenzpreis für ein beliebiges Bewertungsobjekt, wenn Anreizkompatibilität zwischen ihnen besteht. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, bestehen grundsätzlich Interessenkonflikte zwischen Anteilseigern, die sich in unterschiedlichen subjektiven Grenzpreisen offenbaren. Für einen Teil der Anteilseigner kann dann der subjektive Grenzpreis höher sein als die Anschaffungsauszahlung, so dass ihr Erwartungsnutzen steigt, wenn das Bewertungsobjekt realisiert wird, und für andere niedriger, so dass sie einen Nachteil erzielen. Das Analoge gilt für den potenziellen Verkauf eines Bewertungsobjekts. Je mehr die individuellen Grenzpreise voneinander abweichen, desto mächtiger ist tendenziell die Menge jener Bewertungsobjekte, für die Interessenkonflikte bestehen. Sind nur Stammaktien im Umlauf, sind alle Anteilseigner gemäß ihren individuellen Wertpapierbständen linear an den Überschüssen des Unternehmens beteiligt. Wie in Kapitel II, Abschnitt 8.3, gezeigt wurde, besteht bei linearen Teilungsregeln strenge oder partielle Anreizkompatibilität genau dann, wenn mit ihnen das Risiko pareto-effizient geteilt ist. Ob dies der Fall ist, hängt von den Eigenschaften des Kapitalmarktes (der Risikoteilung zwischen den Anteilseignern) ab. Die Existenz eines kollektiven subjektiven Grenzpreises ist notwendige, jedoch keine hinreichende Bedingung dafür, dass aus Sicht aller Anteilseigner der Marktwert eines Bewertungsobjekts die Preisober- bzw. Preisuntergrenze darstellt. Ob der Marktwert als Grenzpreis relevant ist, hängt davon ab, wie der „Markt“ riskante Überschüsse bewertet.
154
Kapitel IV
Die Bewertung ist ihrerseits davon abhängig, ob und gegebenenfalls wie das Risiko zwischen den Anteilseignern im Kapitalmarktgleichgewicht geteilt wird. Im vorliegenden Kapitel wird die Preisbildung und die Risikoteilung auf dem Kapitalmarkt analysiert. Für verschiedene Kapitalmarktmodelle wird untersucht, wie die Preisbildung erklärt werden kann, wie das aus allen Wertpapieren resultierende Risiko zwischen den Anteilseignern geteilt wird (welche Portefeuilles sie im Kapitalmarktgleichgewicht halten) und wie sich ihre Risikoeinstellungen und Erwartungen über die zukünftigen Überschüsse und Wertpapierpreise in den gegenwärtigen Wertpapierpreisen niederschlagen. Die Preisbildung hängt u.a. von den Eigenschaften des Kapitalmarktes ab. Oft wird in dieser Arbeit davon ausgegangen, er sei „vollkommen“. Die betreffenden Voraussetzungen werden in Abschnitt 2 beschrieben. Wesentliche Erkenntnisse über Gleichgewichtspreise lassen sich mit Hilfe einfacher Arbitrageüberlegungen bereits unter der schwachen Annahme gewinnen, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt eine dominante Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen einer dominierten vorziehen. Damit befasst sich Abschnitt 3. Besondere Beachtung findet dabei die Ermittlung von Duplikationsportefeuilles und der „vollständige“ Kapitalmarkt, der auch in späteren Kapiteln oft zugrunde gelegt wird. Es wird gezeigt, dass im Gleichgewicht (in dem keine gewinnbringenden Arbitragemöglichkeiten bestehen) eines vollständigen Kapitalmarktes Preise Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche existieren, mit denen die Preise sämtlicher Wertpapiere ermittelt bzw. erklärt werden können. Allerdings ist die Höhe der Preise Ss ihrerseits erklärungsbedürftig. Bei ihrer theoretischen Analyse müssen die Risikopräferenzen und die Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt bezüglich der Zustände Ss berücksichtigt werden. In dem in Abschnitt 4 vorgestellten State Preference Ansatz (SPA) wird davon ausgegangen, dass der Kapitalmarkt (vollkommen und) vollständig ist. Obwohl keine speziellen Annahmen über die Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Investoren und ihre Nutzenfunktionen getroffen werden, lassen sich – wie gezeigt wird – die Preise S s anschaulich mit Hilfe der Optimalitätsbedingungen für ein beliebiges individuelles Portefeuille erklären. In Abschnitt 5 wird das Capital Asset Pricing Model (CAPM) erläutert, das einschränkende Annahmen über die Erwartungen und Präferenzen der Investoren auf dem Kapitalmarkt macht, aber nicht die Vollständigkeit des Kapitalmarkts voraussetzt. Es beruht auf der Annahme, dass sich alle Investoren am (μ,V)-Prinzip orientieren und ihre Portefeuilles gemäß den Darstellungen in Kapitel III, Abschnitt 3, bilden. Dabei werden die Zustände Ss nicht explizit berücksichtigt, sondern implizit über die Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Endwerte der Papiere. Außerdem wird angenommen, dass alle Investoren bezüglich dieser Größen homogene Erwartungen haben. Im Marktgleichgewicht hält dann jeder Anteilseigner einen proportionalen Anteil am Marktportefeuille, das sämtliche Wertpapiere enthält. Dadurch ist es in einfacher Weise möglich, die Optimumbedingungen für ein individuelles Portefeuille in Gleichgewichts-
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
155
preise für Wertpapiere zu überführen. Es wird untersucht, wie Gleichgewichtspreise ermittelt werden können und wie sie von ihren Determinanten abhängen. Zwar bieten die Prämissen des CAPM (insbesondere die Annahme homogener Erwartungen) Anhaltspunkte für Kritik. Trotzdem soll es ausführlich diskutiert werden. Zum einen findet es – wie in späteren Kapiteln deutlich wird – in der Praxis vielfältige Anwendung. Zum anderen vermittelt es (und dies ist ein wesentlicher Grund für seine weite Verbreitung) in kompakter und anschaulicher Weise wertvolle Erkenntnisse und erleichtert das Verständnis und die Einordnung anderer Modelle der Bewertung riskanter Papiere. Dabei ist zu beachten, dass es sich auch bei den anderen Kapitalmarktmodellen wie bei allen ökonomischen Modellen um vereinfachende und abstrahierende Darstellungen der Realität handelt. Bei Rückschlüssen aus der Modellanalyse auf die wirtschaftliche Wirklichkeit ist daher stets Vorsicht geboten. In Abschnitt 6 wird der „modifizierte“ State Preference Ansatz vorgestellt, in dem der Markt zwar unvollständig ist, jedoch trotzdem die Gleichgewichtspreise riskanter Papiere analog zum SPA ermittelt werden können. Wie in Abschnitt 7 erläutert wird, dienen in nachfolgenden Kapiteln der (modifizierte) SPA bzw. das CAPM oft als theoretische Grundlage für die Analyse praxisrelevanter Probleme der Investitionsplanung und -bewertung. In Abschnitt 8 wird gezeigt, welche Rolle private Überschüsse (Hintergrundrisiken) im Rahmen des CAPM und des (modifizierten) SPA spielen und welche Implikationen für die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt aus beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten resultieren können. Bei der Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt bleibt zunächst offen, welche Konsequenzen daraus für die Existenz und Ermittlung von kollektiven subjektiven Grenzpreisen gezogen werden können. Auf der Grundlage der diskutierten Modelle wird in den nachfolgenden Kapiteln V, VI, VII und XIV untersucht, ob und gegebenenfalls wie das Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht pareto-effizient geteilt wird, wie Bewertungsziele theoretisch fundiert werden können und welche finanzwirtschaftlichen Bewertungskriterien damit im Einklang stehen. Die Modelle der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt dienen auch der konkreten Ermittlung des Unternehmenswertes und der Prognose des Einflusses zusätzlicher Investitionen auf den Marktwert der Aktien des investierenden Unternehmens. Die Darstellungen zur Marktbewertung von Wertpapieren und analog riskanter Überschüsse nehmen einen relativ breiten Raum ein. Sie sollen deutlich machen, warum die betreffenden Bewertungsfunktionen grundsätzlich bei der Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise versagen. Die Marktwerte werden in dieser Arbeit in strukturgleicher Form wie die individuellen subjektiven Grenzpreise dargestellt, so dass sie anschaulich verglichen werden können und Ursachen für absolute Abweichungen zwischen ihnen direkt ersichtlich werden.
156
Kapitel IV
2
Vollkommener und unvollkommener Kapitalmarkt
2.1
Charakteristik des vollkommenen Kapitalmarktes
Im Rahmen der Darstellungen wird von einem „vollkommenen“ Kapitalmarkt ausgegangen, sofern nicht einzelne Prämissen explizit aufgehoben werden. Für den vollkommenen Kapitalmarkt gilt: 1. 2. 3. 4.
Es gibt keine Informationskosten. Es gibt keine Transaktionskosten und keine Steuern. Alle Wertpapiere sind beliebig teilbar. Jeder Kapitalgeber (jeder Investor auf dem Kapitalmarkt) handelt rational im Sinne des BERNOULLI-Prinzips und maximiert seinen finanziellen Nutzen. 5. Es besteht vollkommene Konkurrenz auf dem Kapitalmarkt: Diejenigen Akteure, die Wertpapiere kaufen oder verkaufen, agieren als Mengenanpasser. Jeder handelt so, als habe er keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise (genauer: sein Einfluss ist für seine Entscheidungen vernachlässigbar gering). 6. Gleicher Marktzugang: Die Kapitalgeber können auf dem Kapitalmarkt die Transaktionen, die ein Unternehmen durchführen kann, auch privat zu denselben Konditionen durchführen. Jedes Wertpapier, das von einem Unternehmen gehandelt werden kann, kann also auch von jedem individuellen Kapitalgeber zu denselben Bedingungen gekauft und verkauft werden. Die Prämisse gleichen Marktzugangs beinhaltet außerdem, dass jedes Wertpapier (jede Anwartschaft auf stochastische Zahlungen), das von einem Unternehmen emittiert werden kann, von jedem Kapitalgeber auch privat zu denselben Bedingungen auf seinen Namen ausgegeben werden kann. Wertpapiere können unbeschränkt leerverkauft werden. Die Annahme, wonach es keine Transaktionskosten gibt, bezieht sich in der vorliegenden Arbeit ausschließlich auf den Handel mit existierenden Wertpapieren. Es entstehen zum Beispiel keine Kosten für die Suche eines Vertragspartners, den Vertragsabschluß und die Erfüllung des Vertrages (keine Bankspesen und Maklergebühren). Es wird jedoch nicht vorausgesetzt, dass es für alle kostenlos möglich sei, durch Emission bzw. „Produktion“ entsprechender Wertpapiere Risiken bezüglich beliebiger möglicher Ereignisse (auch „privater Ereignisse“) pareto-effizient zu teilen.1 Wesentliche praxisrelevante Grundprobleme der Investitions- und Finanzierungstheorie, die analysiert werden, würden sich dann in der dargestellten Form gar nicht stellen. Zum Beispiel wäre ein vollkommener Kapitalmarkt stets „vollständig“, sofern „Unvollständigkeit“ zu Wohlfahrtsverlusten führen würde. Auch ein wesentlicher Grund für die Existenz zustandsabhängiger Nutzenfunktionen (Kapitel II, Abschnitt 4), mit denen unterschiedliche Por1
Analog können im vollkommenen Produktmarkt zwar Güter und Leistungen kostenlos gehandelt, nicht jedoch kostenlos produziert werden.
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
157
tefeuillestrukturen der Akteure auf dem Kapitalmarkt erklärt werden können, würde entfallen.
2.2
Informationskosten und Beschränkungen von Leerverkäufen als wesentliche Ursache für die Unvollkommenheit des Kapitalmarktes
In dieser Arbeit wird vor allem in der Weise die Vollkommenheitsannahme aufgehoben, dass Informationskosten, die zu heterogenen Erwartungen über zukünftige Überschüsse führen, und Leerverkaufsbeschränkungen berücksichtigt werden. Leerverkäufe wurden bisher vereinfachend wie folgt charakterisiert (vgl. Kapitel III, Abschnitt 3.1): Der Investor verkauft zu Beginn der Periode Papiere, die er nicht besitzt, direkt zum Börsenkurs und kauft sie am Ende der Periode (oder einem anderen vereinbarten Lieferzeitpunkt) zu dem jeweiligen Börsenkurs und liefert sie dem Käufer. Jedoch ist es in der Realität im Allgemeinen schwierig (mit hohen Suchkosten verbunden), einen direkten Vertragspartner für den Leerverkauf zu finden. Andererseits ist ein Verkauf von Wertpapieren an der Börse in der allgemeinen Hoffnung (mit dem vagen Versprechen), sie später irgendwie liefern zu können, in Deutschland (und den USA) nicht zulässig.2 Der Leerverkäufer muss sich im Allgemeinen die Papiere bei einer Bank (einem Fond oder einer Versicherung) leihen. Er verkauft dann die Papiere an der Börse. Bei Ablauf des Vertrages kauft er die Papiere zu den dann maßgeblichen Kursen und gibt sie dem Verleiher zurück. Hierzu verlangen die Banken als Verleiher die Einrichtung eines sogenannten Margin-Accounts, welches das Kreditlimit des Leerverkäufers bei der Bank festlegt. Dabei wird täglich geprüft, ob die leerverkauften Positionen das Limit des Margin-Accounts überschreiten; ist dies der Fall, muss der Leerverkäufer Geld nachschießen, um größere Ausfallrisiken des Verleihers zu verhindern. Der Leerverkäufer erzielt nicht die Rendite der verkauften Papiere, sondern hat diese als Kosten zu tragen. Je größer der Erwartungswert der Rendite, desto höher ist der Erwartungswert der Kosten. Zusätzlich werden Leihgebühren in % des Kurswertes der geliehenen Papiere fällig, so dass Leerverkäufe – vor allem für private Investoren – (prohibitiv) teuer sind.3 Der Erlös aus dem Leerverkauf kann zur Finanzierung von Investitionen (von Bewertungsobjekten) verwendet werden, die sonst vielleicht nicht möglich gewesen wäre. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit dienen jedoch Leerverkäufe vor allem als Instrument, Risiken zu hedgen. Bei Leerverkauf besteht aus Sicht potenzieller Verleiher (oder potenzieller direk2 3
Vgl. zu den folgenden Darstellungen HULL (2001) und SINGLE (2001). Zu Problemen und Grenzen professioneller Arbitrage unter Berücksichtigung von Agency-Problemen vgl. SHLEIFER (2000, S. 89-111).
158
Kapitel IV
ter Käufer) der Papiere vor allem dann die Gefahr, dass der Investor seinen Verpflichtungen nicht nachkommt, wenn er nur geringe Sicherheiten in Form von Finanz- und Realvermögenswerten bieten kann und seine Verpflichtungen mit zukünftigen Überschüssen riskanter Investitionen zu erfüllen verspricht. Es stellt sich daher das Problem, potenziellen Verleihern der Papiere gehaltvolle und überprüfbare Informationen über diese Überschüsse zu geben, um Leerverkäufe zu ermöglichen. Vor allem bei Unternehmensgründungen zur Verwirklichung innovativer Ideen dürften jedoch informative überprüfbare Indikatoren kaum existieren. Abgesehen davon kann in der Realität – anders als im vollkommenen Kapitalmarkt – die Übermittlung von Informationen prohibitiv hohe (Opportunitäts-) Kosten verursachen.4 Informationsasymmetrien und unterschiedliche Schlussfolgerungen aus Informationen können zu erheblichen Beschränkungen von Leerverkäufen führen, die Rückwirkungen auf Investitionen und individuelle subjektive Bewertungen haben.5 Wie in Kapitel XI, Abschnitt 3.3, gezeigt wird, kann es aufgrund der Informationsproblematik für den Investor auch vorteilhaft sein, auf mögliche Leerverkäufe deshalb zu verzichten, weil sie zu Konflikten mit dem Verleiher (oder dem direkten Käufer) der leerverkauften Papiere führen können, die dem Investor zusätzliche Risiken aufbürden, statt ihm Risiko abzunehmen. Dort wird auch verdeutlicht, warum die Finanzierung durch Aufnahme eines Kredits zum Zinssatz r im Vergleich zur Finanzierung durch Leerverkauf aus Sicht des Investors und eines Geldgebers mit geringerem Risiko verbunden und in größerem Umfang möglich und vorteilhaft sein kann. Im Rahmen späterer Darstellungen wird untersucht, welche Implikationen Leerverkaufsbeschränkungen für die Risikoteilung und die Preisbildung im Kapitalmarkt sowie die Ermittlung und Höhe individueller subjektiver Grenzpreise haben. Bei Berücksichtigung von Leerverkäufen gehen wir davon aus, dass sie – wie annahmegemäß auch die anderen Formen des Wertpapierhandels – keine Transaktionskosten verursachen. Bei Leerverkauf eines Papiers verkaufe es der Investor zu Beginn der Periode ohne es zu besitzen zum Börsenkurs und kaufe es am Ende der Periode wiederum zum Börsenkurs und liefere es dem Käufer; Leihgebühren fallen nicht an. Leerverkauf stellt dann einfach eine Umkehrung der Überschüsse bei Kauf dar.
4
5
In der Praxis werden Leerverkäufe oft in Erwartung fallender Kurse vorgenommen. Fällt der Kurs eines Papiers tatsächlich, wird der Rückkauf zu dem niedrigeren Kurs vorgenommen und ein Gewinn in Höhe der Kursdifferenz abzüglich der Kosten erzielt. Von Leerverkäufen mit dem expliziten Ziel, Spekulationsgewinne zu erzielen, soll in dieser Arbeit abgesehen werden; Leerverkäufe erfolgen primär, um Risiken zu hedgen. Unter dem Aspekt der Risikoallokation kann es sinnvoll sein, bestimmte Papiere auch dann leerzuverkaufen, wenn mit der Tendenz (stark) steigender Kurse gerechnet wird. Zu Grenzen von Leerverkäufen vgl. auch SHLEIFER/VISHNY (1997); SHLEIFER (2000, S. 47 ff.).
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
3
Arbitragefreiheit als notwendige Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht und Bewertungsimplikationen
3.1
Prinzip der Arbitragefreiheit
159
Wie in den Abschnitten 4 und 5 für den SPA und das CAPM gezeigt wird, hängen Gleichgewichtspreise für Wertpapiere auf Kapitalmärkten von den Risikopräferenzen und den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Marktteilnehmer ab. Grundlegende Erkenntnisse über Preise lassen sich aber auch gewinnen, ohne dass bestimmte Annahmen über Risikoeinstellungen und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen getroffen werden, indem man Arbitrageüberlegungen anstellt. Dabei geht es um ein allgemeines Grundprinzip der Bewertung ungewisser Zahlungsströme, das wesentlich zum Verständnis von Eigenschaften eines Marktgleichgewichts beiträgt. Die folgenden Darstellungen beruhen auf den in Abschnitt 2.1 dargestellten Annahmen eines vollkommenen Kapitalmarkts; insbesondere wird angenommen, dass Leerverkäufe ohne weiteres zulässig sind und die Akteure auf dem Kapitalmarkt rational handeln.6 „Im einfachsten Fall einer Arbitrage kauft jemand (der Arbitrageur) ein Gut von einem Geschäftspartner und verkauft es gleichzeitig zu einem höheren Preis an einen anderen. Die Differenz zwischen Ein- und Verkaufspreis ist der Arbitragegewinn. Arbitrage bedeutet gewinnbringendes Ausnutzen von Preisdifferenzen durch simultanen Kauf und Verkauf von Gütern“ (FRANKE/HAX, 2004, S. 368). Erzielt jemand einen Arbitragegewinn, so entstehen für andere entsprechende Verluste. Andernfalls wären „free lunches“ möglich, wobei alle durch Arbitrage ihr Vermögen erhöhen könnten. „Niemand nimmt freiwillig und bewusst einen Arbitrageverlust in Kauf. Unvollkommenheiten des Marktes können zu unbewussten Arbitrageverlusten führen. Zum Beispiel weiß jemand nicht, dass er das Gut anderswo billiger einkaufen kann. Bei vollkommenem Markt ist jedoch jeder Akteur über alles informiert. Daher kann es weder Arbitrageverluste noch -gewinne geben. Folglich kostet das Gut überall gleich viel, es gilt das „Gesetz des Einheitspreises“. Dieser Preis kann sich natürlich im Zeitablauf ändern“ (FRANKE/HAX, 2004, S. 368). Auf dem Kapitalmarkt erfolgt eine Arbitrage durch simultanen Kauf und Verkauf einzelner Wertpapiere oder Portefeuilles von Wertpapieren. Ist der Kapitalmarkt wie angenommen vollkommen, kennen alle Akteure auf dem Kapitalmarkt die Endwerte P1n,s der Wertpapiere (einschließlich Zinsen und Dividenden) in den möglichen Zuständen Ss. Zwar kann bei vollkommenem Kapitalmarkt nur dann ein Gleichgewicht vorliegen, wenn keine gewinnbringenden Arbitragemöglichkeiten mehr gegeben sind, d.h. der Markt „arbitragefrei“ ist. Trotzdem soll hier untersucht werden, unter welchen Bedingungen (gewinnbringende) Arbitragemöglichkeiten überhaupt bestehen. Die Kenntnis dieser Bedingungen ist Voraussetzung dafür, dass Arbitragemöglichkeiten gar nicht erst entstehen oder durch Finanztransaktionen unmittelbar beseitigt werden. Außerdem wird 6
Zur Kritik an der Hypothese arbitragefreier Märkte vgl. SHLEIFER (2000).
160
Kapitel IV
mit diesen Bedingungen untersucht, wie bei Arbitragefreiheit die Preise von Wertpapieren mit Preisen anderer Wertpapiere erklärt werden können, ohne die Wahrscheinlichkeiten für die Zustände und die Nutzenfunktionen der Investoren auf dem Kapitalmarkt explizit berücksichtigen zu müssen. Die Darstellungen haben auch Bedeutung für die Prognose des Marktwertes neuer Wertpapiere oder neuer Investitionsprojekte im Rahmen der Investitions- und Finanzplanung. Es können verschiedene Formen der Arbitrage unterschieden werden, die Differenzarbitrage, die Dominanzarbitrage und Varianten, die Vorteile der Differenz- und der Dominanzarbitrage miteinander verbinden. Bei einer Differenzarbitrage werden in der Weise simultan Papiere gekauft und (leer-) verkauft, dass zum Zeitpunkt 0 ein sicherer Einzahlungsüberschuss bzw. ein sicherer Arbitragegewinn erzielt wird und ohne Berücksichtigung dieses Überschusses das Vermögen am Ende der Periode in jedem Zustand Ss konstant bleibt. (Legt der Arbitrageur den Arbitragegewinn zum Zinssatz r an, steigt sein Endvermögen mit Sicherheit um den aufgezinsten Betrag.) Eine Differenzarbitrage kann im einfachsten Fall darin bestehen, dass Papiere zu relativ niedrigen Preisen gekauft und simultan zu höheren Preisen wieder verkauft werden; die Differenz zwischen Verkaufserlösen und Einstandspreisen ergibt den Arbitragegewinn. Zur Erläuterung von (gewinnbringenden) Möglichkeiten einer Differenzarbitrage wird das Beispiel in Matrix IV.1 betrachtet. Preis zum Zeitpunkt 1 im Zustand Wertpapier n
Preis zum Zeitpunkt 0
S1
S2
1
100
100
90
2
100
0
60
3
0
100
35
Matrix IV.1: Beispiel für eine zum Zeitpunkt 0 gewinnbringende Arbitragemöglichkeit (Differenzarbitrage)
Auf dem Kapitalmarkt werden drei Papiere gehandelt. Das Papier 1 hat zum Zeitpunkt 0 den Preis 90 und am Ende der Periode mit Sicherheit den Preis 100. Die Preise der beiden anderen Papiere zum Zeitpunkt 1 hängen davon ab, welcher der Zustände S1 und S2 eintritt. Will jemand einen Anspruch auf eine Zahlung von 100 GE im Zustand S1 und im Zustand S2 erwerben, also Geld risikolos anlegen, so kann er entweder Papier 1 kaufen oder die Papiere 2 und 3 gemeinsam. Da das Papier 1 90 GE kostet und die Papiere 2 und 3 zusammen 95 GE, zeigt sich eine gewinnbringende Arbitragegelegenheit: Es werden die Papiere 2 und 3 leerverkauft und das Papier 1 gekauft, wobei zum Zeitpunkt 0 ein Einzahlungsüberschuss von (95 90 =) 5 GE erzielt wird. Da der Einzahlungsüberschuss des gesamten Portefeuilles am Ende der Periode in jedem Zustand gleich null ist (die Einzahlung aus dem Papier 1 ist jeweils ebenso groß wie die Auszahlung aus dem Kauf der leerverkauften Papiere 2 und 3), beträgt der sichere Arbitragegewinn 5 GE. Da
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
161
„free lunches“ möglich sind, kann kein Gleichgewicht vorliegen. Ein Gleichgewicht kann nur dann existieren, wenn die Papiere 2 und 3 zusammen ebensoviel kosten wie das Papier 1; es besteht dann Arbitragefreiheit. Allgemein kann der Kapitalmarkt nur dann arbitragefrei sein, wenn zwei beliebige Portefeuilles, die in jedem Zustand Ss (s = 1,2,...,S) denselben Endwert aufweisen, zum Zeitpunkt 0 denselben Marktwert haben. Bei einer Dominanzarbitrage wird zum Zeitpunkt 0 weder ein Arbitragegewinn noch ein -verlust erzielt. Jedoch steigt am Ende der Periode in mindestens einem Zustand Ss das Endvermögen, wobei es in keinem Zustand sinkt. Die Arbitrage ist nach dem Dominanzprinzip vorteilhaft. Zur Erläuterung wird die Matrix IV.2 betrachtet: Preis zum Zeitpunkt 1 im Zustand Wertpapier n
Preis zum Zeitpunkt 0
S1
S2
1
105
50
75
2
80
10
60
3
20
40
15
Matrix IV.2: Beispiel für eine im Zustand S1 gewinnbringende Arbitragemöglichkeit (Dominanzarbitrage)
Hier kann man ohne Einsatz von Kapital 5 GE für den Zustand S1 gewinnen, indem man je eine Einheit der Papiere 2 und 3 leerverkauft und mit dem Erlös eine Einheit des Papiers 1 kauft. Bei Eintreten des Zustands S2 hat die Arbitrage keine Auswirkung. Möglicherweise kann durch Arbitrage schon zum Zeitpunkt 0 ein sicherer Gewinn und in mindestens einem Zustand Ss ein zusätzlicher Gewinn erzielt werden. Im Beispiel der Matrix IV.2 besteht diese Arbitragegelegenheit z.B. dann, wenn der Preis des Papiers 3 nur 14 beträgt. Arbitragefreiheit setzt zwar voraus, dass die Anleger ein höheres Geldvermögen einem niedrigeren vorziehen. Spezifische Entscheidungsprinzipien wie etwa das BERNOULLI-Prinzip werden jedoch für die Analyse der Arbitragefreiheit nicht benötigt. Entsprechend ist Arbitragefreiheit auch nur eine notwendige und keine hinreichende Bedingung für ein Marktgleichgewicht. Auch wenn keine Gelegenheiten für Arbitragegewinne bestehen, können Investoren möglicherweise durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt Vorteile erzielen. Bei Orientierung am BERNOULLI-Prinzip können sich Käufe und Verkäufe von Papieren deshalb als vorteilhaft erweisen, weil die vorliegende Risikoteilung nicht pareto-effizient ist. Das Prinzip der Arbitragefreiheit hat große Bedeutung in Theorie und Praxis. Arbitrageüberlegungen sind erstmals von MODIGLIANI/MILLER (1958) angestellt worden, um die Konsequenzen von Finanzierungsentscheidungen zu analysieren. Ergebnis der Analyse war das sogenannte „Irrelevanztheorem“ der Unternehmensfinanzierung, wonach es
162
Kapitel IV
auf einem vollkommenem Kapitalmarkt gleichgültig ist, in welchem Umfang ein gegebenes Investitionsprogramm eines Unternehmens mit Eigenkapital oder mit Fremdkapital finanziert wird. Die Bedingung der Arbitragefreiheit kann allgemein wie folgt formuliert werden: 1. Wenn der Endwert eines (Papiers oder) Portefeuilles A in jedem Zustand Ss (s = 1,2,...,S) mindestens so hoch ist wie der eines (Papiers oder) Portefeuilles B, ist der Marktwert des Portefeuilles A zum Zeitpunkt 0 mindestens so hoch wie der des Portefeuilles B. 2. Ist der Endwert des Portefeuilles A in jedem Zustand Ss ebenso hoch wie der des Portefeuilles B, stimmt der Marktwert des Portefeuilles A mit dem des Portefeuilles B überein. Bei abweichenden Marktwerten kann eine Differenzarbitrage vorgenommen werden, wobei das Portefeuille mit dem höheren Marktwert (leer) verkauft und das mit dem niedrigeren gekauft wird; dabei entsteht im Zeitpunkt 0 ein sicherer Arbitragegewinn. 3. Ist der Endwert des Portefeuilles A in jedem Zustand Ss mindestens so hoch wie der des Portefeuilles B, jedoch in mindestens einem Zustand höher, ist der Marktwert des Portefeuilles A höher als der des Portefeuilles B. Bei gleichen Marktwerten kann durch (Leer-)Verkauf des Portefeuilles B und Kauf des Portefeuilles A für die Zustände, in denen der Endwert des Portefeuilles A höher ist, ein Arbitragegewinn erzielt werden. Ist der Marktwert des Portefeuilles A niedriger als der des Portefeuilles B, kann darüber hinaus ein sicherer Arbitragegewinn zum Zeitpunkt 0 erzielt werden. Bei Arbitragefreiheit kann der Preis eines beliebigen Papiers mit Hilfe eines Portefeuilles aus anderen Papieren erklärt werden, dessen Endwert in jedem Zustand mit dem des betrachteten Papiers übereinstimmt; der Preis des Papiers ist gleich dem Marktwert des betreffenden Portefeuilles, das als Duplikationsportefeuille bezeichnet wird. Bedingung ist allerdings, dass ein solches Portefeuille überhaupt existiert. Die Papiere, deren Preise als gegeben betrachtet und mit denen die Preise anderer Papiere erklärt werden, werden als Basiswertpapiere bezeichnet. Wie deutlich wurde, spielen für die Erklärung von Arbitragefreiheit Leerverkäufe eine besondere Rolle. Wie in Abschnitt 2.2 erläutert wurde, sind jedoch Leerverkäufe nur in (engen) Grenzen möglich. Außerdem können sie – vor allem für private Investoren – prohibitiv hohe Kosten verursachen. Der Kapitalmarkt ist jedoch auch dann arbitragefrei, wenn institutionelle Investoren Möglichkeiten gewinnbringender Arbitrage wie im vollkommenen Kapitalmarkt nutzen (können). Auf Implikationen von Leerverkaufsbeschränkungen für die Risikoteilung und Preisbildung auf dem Kapitalmarkt und die Bewertung von Investitionsprojekten kommen wir in dieser Arbeit immer wieder zurück. Das theoretische Konstrukt der Arbitragefreiheit setzt allgemein voraus, dass die Akteure auf dem Kapitalmarkt homogene Erwartungen über die zustandsabhängigen End-
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
163
werte der Wertpapiere haben, eine Voraussetzung, die im vollkommenen Kapitalmarkt definitionsgemäß erfüllt ist. In der Realität ist es jedoch äußerst schwierig abzuschätzen, ob verschiedene Portefeuilles (annähernd) gleiche Endwerte aufweisen und, wenn nein, wie sie sich zustandsabhängig unterscheiden. Es ist möglich, dass verschiedene Investoren unterschiedliche Erwartungen haben (FIGLEWSKI, 1979; CAMPBELL/KYLE, 1993; SHLEIFER, 2000), so dass auch unterschiedliche Vorstellungen darüber bestehen können, ob der Kapitalmarkt arbitragefrei ist oder nicht.7 Es ist zu beachten, dass mit reinen Arbitrageüberlegungen nicht generell die absolute Höhe von Gleichgewichtspreisen erklärt werden kann. So wird z.B. das Ergebnis erzielt, dass Portefeuilles mit gleichem Endwert identische Marktwerte aufweisen. Offen bleibt jedoch, um welche Beträge sich die Marktwerte von Papieren aus verschiedenen Risikoklassen unterscheiden. Zur Erklärung von Preisunterschieden müssen die Risikoeinstellungen der Investoren und ihre Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Endwerte der Papiere in die Analyse einbezogen werden. Reine Arbitrageüberlegungen lassen auch offen, welche Portefeuilles die Investoren im Kapitalmarktgleichgewicht halten. Auch die optimalen Portefeuilles (die letztlich die Gleichgewichtspreise bestimmen) hängen von den individuellen Risikoeinstellungen und Erwartungen ab. Aus Arbitrageüberlegungen folgt auch nicht, dass es bei Fehlen von Arbitragefreiheit sinnvoll ist, ein Portefeuille allein deshalb zu erwerben und bis zum Ende der Periode zu halten, weil sein Preis niedriger ist als der eines anderen Portefeuilles mit gleichem Endwert; der Wert eines Portefeuilles ist nicht identisch mit dem niedrigsten Preis, der anderswo für ein gleichartiges Portefeuille zu zahlen wäre. Hier zeigt sich eine Parallele zur Unternehmensbewertung (Kapitel I, Abschnitte 6 und 7.1): Der individuelle subjektive Grenzpreis eines Unternehmens stimmt allenfalls zufällig mit dem Preis überein, der anderswo für Erfolge gleicher Art und Höhe zu zahlen wäre.
3.2
Marktbewertung auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles
3.2.1
Konzept
Auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles können möglicherweise ex ante die Marktwerte neuer Wertpapiere oder neuer Investitionsprojekte ermittelt werden, sofern diese keine Preisänderungen induzieren. Zur Erläuterung wird davon ausgegangen, dass die Papiere 1 und 2 bereits im Umlauf sind und die Papiere 3 und 4 neu emittiert werden. Die zustandsbedingten Endwerte der alten und neuen Papiere zum Zeitpunkt 1 sind in Matrix IV.3 dargestellt. Sie zeigt außerdem die bereits gegebenen Preise der alten Papiere (1 und 2) für den Zeitpunkt 0.
7
Zu den Risiken bei „Arbitrage“ mit „ähnlichen“ Papieren vgl. SHLEIFER (2000).
164
Kapitel IV
Wertpapier n
Endwert zum Zeitpunkt 1 im Zustand
Preis zum Zeitpunkt 0
S1
S2
S3
1
400
200
100
190
2
200
100
400
270
3
300
150
250
230
4
10
200
400
?
Matrix IV.3: Zur Problematik der Antizipation des Marktwertes neuer Papiere bei unvollständigem Kapitalmarkt
Es wird davon ausgegangen, dass die Emission der neuen Papiere keinen Einfluss auf die Preise der alten hat. Der Endwert des Papiers 3 lässt sich rekonstruieren, indem ein Portefeuille gebildet wird, das aus je einer halben Einheit der Papiere 1 und 2 besteht. Entsprechend kann der Preis des Papiers 3 ohne weiteres prognostiziert werden: 0,5 190 + 0,5 270 = 230. Dagegen ist der Endwertvektor des Papiers 4 linear unabhängig von den Endwertvektoren der Papiere 1 und 2. Es ist daher nicht möglich, die Endwerte des Papiers 4 durch ein Portefeuille mit den Papieren 1 und 2 zu rekonstruieren. Die Preise (Marktwerte) enthalten hier zu wenig Informationen über die Präferenzen der Anteilseigner, um den Marktwert des Papiers 4 ex ante zu ermitteln. Wird es eingeführt, ist der Markt ohne und mit dem Papier 3 „vollständig“. Mit Hilfe des sich einstellenden Marktwertes für das Papier 4 und den bereits gegebenen Marktwerten der Papiere 1 und 2 können dann bei unveränderlicher Zahl möglicher Zustände die Preise beliebiger zusätzlicher Papiere ermittelt werden.
3.2.2
Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles
zum Zeitpunkt 1 (z.B. eines einzelDas Duplikationsportefeuille für den Überschuss B nen Papiers, eines Portefeuilles, einer einzelnen Investition oder eines ganzen Unternehmens) mit dem Wert Bs im Zustand Ss (s = 1,2,…,S) kann – sofern es existiert – als dasjenige Portefeuille ermittelt werden, welches das Gleichungssystem in Matrix IV.4 erfüllt. Dabei bezeichnet das „Papier“ N + 1 die Anlage von 1 GE zum risikolosen Zinssatz r; für x > 0 werden x Geldeinheiten angelegt und für x < 0 werden | x | Geldeinheiten geliehen. xn bezeichnet die Zahl der Einheiten des Papiers n (n = 1,2,…,N) im Portefeuille und P1n,s den Endwert einer Einheit des Papiers n im Zustand Ss. Eine Lösung x1 , x 2 ,..., x N ; x des Gleichungssystems in Matrix IV.4 stellt ein Duplikationsportefeu dar, wobei Papiere mit x ille für den Überschuss B n 0 nicht in diesem Portefeuille enthalten sind. Für x n 0 erfolgt im Rahmen des Duplikationsportefeuilles ein (Leer-) Verkauf des Papiers n.
165
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
Zustand
Wertpapier n 1
2
N
N+1
Endwert des Portefeuilles
+ … +
x N P1N,1
x (1 r )
= B1
+ … +
x N P1N,2
x (1 r )
= B2
+ … +
3
S1
x 1 P11,1
+ x 2 P12,1
+ x 3 P13,1
S2
x1 P11,2
+ x 2 P12,2
+
x 3 P13, 2
x N P1N,s*
x (1 r )
= Bs*
x (1 r )
= BS
Ss*
x1 P11,s*
+ x 2 P12,s* +
x 3 P13,s*
SS
x1 P11,S
+ x 2 P12,S
+ x 3 P13,S
+ … +
x N P1N,S
Matrix IV.4: Zur Ermittlung eines Portefeuilles mit den Endwerten B1,B2,...,BS
Ob eine Lösung des Gleichungssystems in Matrix IV.4 (ein Duplikationsportefeuille für ) existiert, hängt davon ab, ob der Kapitalmarkt „vollständig“ oder „unvollständig“ ist. B Im unvollständigen Kapitalmarkt ist die Zahl der Endwertvektoren
(IV.1)
P1n,1, P1n,2 ,..., P1n,S ° ®und °1 r,1 r,...,1 r, ¯
(n = 1,2,...,N)
die voneinander linear unabhängig sind, kleiner als die Zahl S der möglichen Zustände. Die Zahl der Spaltenvektoren
(IV.1a)
§ P1n ,1 · ¸ ¨ ¨ P1n ,2 ¸ ¨ ¸ (n = 1,2,...,N) und ¸ ¨ ¨ P1n , S ¸ ¹ ©
§1 r · ¨ ¸ ¨1 r ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨1 r ¸ © ¹
des Gleichungssystems in Matrix IV.4, die voneinander linear unabhängig sind, ist dann kleiner als die Zahl der Gleichungen dieses Systems, so dass nicht für jeden beliebigen Vektor (B1, B2,…,BS) eine Lösung existiert. Für N + 1 < S ist der Kapitalmarkt stets unvollständig. Aber auch für N + 1 t S kann er unvollständig sein; das ist dann der Fall, wenn mehr als N + 1 – S der Endwertvektoren (IV.1) voneinander linear abhängen. Im vollständigen Kapitalmarkt stimmt die Zahl der linear unabhängigen Endwertvektoren (IV.1) mit der Zahl S der möglichen Zustände überein. (Es ist ausgeschlossen, dass die Zahl der linear unabhängigen Endwertvektoren größer ist als S.) Bei Vollständigkeit des Kapitalmarktes sind für den Fall N + 1 = S sämtliche Endwertvektoren (IV.1) voneinander linear unabhängig.8 Es sind dann auch sämtliche Spaltenvektoren (IV.1a) des Gleichungssystems in Matrix IV.4 voneinander linear unab-
8
Es gibt dann S – 1 riskante Wertpapiere (N = S – 1) und außerdem die Anlage und Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r.
166
Kapitel IV
hängig, so dass für einen beliebigen Vektor (B1, B2,…,BS) eine eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems (ein eindeutiges Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x ) existiert. Dabei kann – je nach den Elementen des Vektors (B1, B2,…,BS) – ein Teil der xn-Werte negativ sein; die betreffenden Papiere werden (leer-)verkauft. Auch für N + 1 > S sind im vollständigen Kapitalmarkt genau S der Endwertvektoren (IV.1) voneinander linear unabhängig. Folglich sind auch S Spaltenvektoren (IV.1a) des Gleichungssystems in Matrix IV.4 voneinander linear unabhängig, wobei die übrigen Spaltenvektoren von diesen linear abhängen. Es gibt dann beliebig viele Vektoren (x1,x2,...,xN,x) die dieses Gleichungssystem erfüllen. Eine Lösung kann ermittelt werden, indem für N + 1 S der Variablen x1,x2,...,xN,x mit linear abhängigen Spaltenvektoren beliebige Werte vorgegeben werden und dann das Gleichungssystem bezüglich der übrigen Variablen gelöst wird. Im vollständigen Kapitalmarkt ist es stets möglich, durch Portefeuillebildung Wertpapiere zu konstruieren, die in einem Zustand einen positiven Endwert aufweisen und in jedem anderen Zustand einen Endwert von null. Dem Vektor (B1,B2,...,Bs*,...,BS) = (0,0,...,1,...,0) zum Beispiel entspricht ein Portefeuille, das im Zustand Ss* den Endwert 1 bietet. Wird es leerverkauft, gilt Bs* 1 . Es ist also möglich, über Handel mit „normalen“ Papieren einen Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen vorzunehmen. Ist der Markt vollständig, lassen sich die Überschüsse neuer Investitionen stets durch Bildung von Portefeuilles aus vorhandenen Papieren duplizieren. Ist der Markt außerdem auch arbitragefrei und haben die neuen Überschüsse keinen Einfluss auf die Marktwerte der Duplikationsportefeuilles, können die Marktwerte der neuen Investitionen im voraus angegeben werden; sie stimmen mit denen der Duplikationsportefeuilles überein. Dieser Sachverhalt hat große Bedeutung für die Investitionsplanung und die Bewertung von Investitionsprojekten. Ist der Markt unvollständig, ist zwar keine universelle Duplizierbarkeit gegeben, d.h. es existiert nicht für jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung B1,B2,..., BS ein Duplikationsportefeuille, welches das Gleichungssystem in Matrix IV.4 erfüllt. Jedoch kann im konkreten Einzelfall ein Duplikationsportefeuille existieren; möglicherweise kann ein Überschuss mit einem einzigen Wertpapier dupliziert werden.9
9
Kein Duplikationsportefeuille existiert allerdings dann, wenn für die Preise P1n wie im modifizierten State Preference Ansatz (Abschnitt 6) stochastische „Störterme“ („Noise“) wirksam sind. Sie finden bei der Analyse von Abweichungen zwischen individuellen subjektiven Grenzpreisen und Marktwerten von Bewertungsobjekten in den Kapiteln X und XI besondere Beachtung.
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
4
State Preference Ansatz (SPA)
4.1
Charakteristik
167
Wie erläutert, wird bei Arbitrageüberlegungen lediglich vorausgesetzt, dass ein höheres Endvermögen einem niedrigerem vorgezogen wird („Nichtsättigung“). Ob Investoren ihren Erwartungsnutzen oder eine andere Präferenzfunktion maximieren, ist unerheblich, wenn nur gezeigt werden soll, welche Beziehungen zwischen Wertpapierpreisen bestehen müssen, damit keine gewinnbringende Arbitragegelegenheiten existieren. Im Folgenden wird, sofern nicht explizit von dieser Annahme abgewichen wird, davon ausgegangen, der Kapitalmarkt sei arbitragefrei. Arbitragefreiheit ist jedoch nur eine notwendige, keine hinreichende Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht. Eine weitergehende Erklärung der Preise setzt konkretere Annahmen über die Risikopräferenzen der Investoren und ihren Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände voraus. Die Kenntnis der eigentlichen Determinanten der Preise bzw. der maßgeblichen (Markt-)Bewertungsfunktionen von Wertpapieren ist insbesondere für folgende Fälle von Bedeutung: 1. Änderungen dieser Preise sollen explizit erklärt oder prognostiziert werden und nicht nur implizit über Preisänderungen anderer Papiere, die ihrerseits erklärt oder prognostiziert werden müssten. 2. Aufgrund einer Unvollständigkeit des Kapitalmarktes können die möglichen Überschüsse eines neuen Papiers oder Investitionsprojekts nicht durch Portefeuillebildung rekonstruiert werden, so dass dessen Marktwert nicht auf den bereits beobachtbaren Marktwert eines Duplikationsportefeuilles zurückgeführt werden kann. 3. Zwar können die Überschüsse durch Portefeuillebildung rekonstruiert werden. Jedoch ist die direkte Anwendung der maßgeblichen Bewertungsfunktionen technisch einfacher als die Ermittlung des (Marktwertes des) Duplikationsportefeuilles. Dieser Aspekt ist vor allem für den Mehrperioden-Fall relevant. Darauf kommen wir in Kapitel XIV zurück. Im State Preference Ansatz (SPA) (HIRSHLEIFER, 1966; ROBICHEK/MYERS, 1965b; MYERS, 1968; COPELAND/WESTON/SHASTRI, 2008, S. 118-149) wird unterstellt, dass der Kapitalmarkt vollkommen ist und außerdem für jeden Zustand Ss (s = 1,2,...,S) unbeschränkt zustandsbedingte Zahlungsansprüche gehandelt (gekauft und verkauft) werden können, so dass der Kapitalmarkt auch vollständig ist. Ein zustandsbedingter Zahlungsanspruch wirft in dem hier betrachteten Einperioden-Fall zum Zeitpunkt 1 genau dann einen bestimmten Geldbetrag ab, wenn der betreffende Zustand eintritt. Ein Anspruch auf eine Geldeinheit (GE) im Zustand Ss* zum Beispiel bringt dem Inhaber bei Eintreten dieses Zustandes eine GE; tritt ein anderer Zustand ein, erhält er aus diesem Anspruch keine Zahlung. Im Rahmen des SPA werden die Prämissen des vollkommenen Kapitalmarktes wie folgt konkretisiert:
168
Kapitel IV
1. Es gibt keine Informationskosten bezüglich des Preises Ss, zu dem im Zeitpunkt 0 Ansprüche auf 1 GE für den Zustand Ss (s = 1,2,...,S) gehandelt werden; er ist allen Akteuren bekannt. Das gleiche gilt für die Preise und die zustandsabhängigen Endwerte aller anderen Wertpapiere. Der eintretende Zustand Ss lässt sich kostenlos verifizieren. 2. Auch die zustandsbedingten Zahlungsansprüche sind beliebig teilbar; z.B. kann man auch Ansprüche auf eine marginale GE kaufen und verkaufen. 3. Die Akteure, die zustandsbedingte Zahlungsansprüche und andere Papiere kaufen oder verkaufen, agieren als Mengenanpasser. 4. Der Preis Ss, zu dem im Zeitpunkt 0 Ansprüche für den Zustand Ss (s = 1,2,...,S) gehandelt werden können, ist für alle Unternehmen und private Investoren identisch. (Die Prämisse gleicher Preise gilt auch für alle anderen Wertpapiere.) Auch der (Leer-)Verkauf zustandsbedingter Zahlungsansprüche ist nicht beschränkt. Der SPA setzt (im Gegensatz zum CAPM, Abschnitt 5) nicht voraus, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt Nutzenfunktionen eines bestimmten Typs haben. Es wird lediglich angenommen, alle Nutzenfunktionen für die Endwerte der Portefeuilles seien konkav, wobei sie auch zustandsabhängig sein können. Die Nutzenfunktion eines Investors ist insbesondere dann zustandsabhängig, wenn er neben den Überschüssen aus seinem Portefeuille ungewisse „externe“ Einkünfte erzielt (z.B. aus selbständiger oder unselbständiger Arbeit oder Privatvermögen), die stochastisch vom Zustand abhängen. Der Nutzen des Endwertes eines Portefeuilles hängt dann nicht nur von dessen Höhe ab, sondern auch davon, in welchem Zustand er erzielt wird (Kapitel II, Abschnitt 4). Da, wie noch gezeigt wird, die Preise Ss von den Grenznutzenwerten der Investoren abhängen, beeinflussen die externen Einkünfte indirekt diese Preise. Im SPA wird (im Gegensatz zum CAPM) nicht vorausgesetzt, dass die Investoren homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über die Zustände Ss haben. Heterogene Erwartungen können daraus resultieren, dass sich die individuellen Informationsstände unterscheiden, aber auch daraus, dass aus denselben Informationen unterschiedliche Schlüsse gezogen werden. Unterschiede in den Informationsständen können insbesondere aus unterschiedlichen Informationskosten der Investoren resultieren.10,11
10
11
Die Annahme, dass es keine Informationskosten gibt, bezieht sich nur auf die Preise Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche, die gegenwärtigen Preise und zustandsabhängigen Endwerte aller anderen Wertpapiere und die Überprüfung bzw. Verifikation des eintretenden Zustandes Ss. Auch wenn die Kosten der Beschaffung von Informationen für die Bildung eines subjektiven Wahrscheinlichkeitsurteils bezüglich der Zustände für alle gleich sind, können Informationsasymmetrien zwischen Investoren bestehen, weil sie Informationen unterschiedliche Werte beimessen; die Beschaffung bestimmter Informationen kann aus Sicht eines Teils der Investoren vorteilhaft sein und aus Sicht der anderen nachteilig. Wie in LAUX (2007, Kapitel XI) gezeigt wird, hängt der Informationswert für einen Entscheider u.a. von seiner Risikoeinstellung ab. Unterschiede in den Risikoeinstellungen können somit auch Unterschiede in den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bewirken und damit auch indirekt die Aktivitäten auf dem Kapitalmarkt beeinflussen.
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
169
Unabhängig von den individuellen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und Nutzenfunktionen wird im Gleichgewicht des SPA das aus der Gesamtheit aller Investitionen resultierende Risiko zwischen den Investoren auf dem Kapitalmarkt pareto-effizient geteilt. (Eine Teilung ist pareto-effizient, wenn durch Umverteilung der zustandsabhängigen individuellen Endvermögenswerte keine Partei einen höheren Erwartungsnutzen erzielen kann, ohne dass der einer anderen sinkt, Kapitel II, Abschnitt 7.) Aufgrund der angenommenen Vollkommenheit und Vollständigkeit des Kapitalmarktes bestehen im SPA „ideale“ Möglichkeiten, Investitionsrisiken durch Kapitalmarkttransaktionen über die Zustände hinweg umzuverteilen. Die individuellen optimalen Portefeuillestrukturen können sich je nach den individuellen (zustandsabhängigen) Nutzenfunktionen und den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände erheblich unterscheiden. Wenn z.B. ein Investor einem Zustand eine relativ hohe (niedrige) Wahrscheinlichkeit und/oder ein relativ hohen (niedrigen) Grenznutzenwert zuordnet, hält er ein Portefeuille, das in diesem Zustand einen relativ hohen (niedrigen) Endwert aufweist. Die Strukturen der individuellen Portefeuilles im Kapitalmarktgleichgewicht können aufgrund heterogener Wahrscheinlichkeitsvorstellungen und unterschiedlicher zustandsabhängiger Nutzenfunktionen sehr verschieden sein.12 Insbesondere mögen Investoren auch Leerverkäufe von Wertpapieren vornehmen, um externe Risiken zu hedgen.
4.2
Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen im SPA
Wie erläutert, setzt der SPA einen vollständigen Kapitalmarkt voraus. Der Markt ist unabhängig von der Zahl der sonstigen Papiere dann vollständig, wenn für jeden Zustand Ss (s = 1,2,…,S) ein sogenanntes „reines“ Wertpapier existiert, das in genau diesem Zustand eine Einzahlung bietet. (Voraussetzung hierfür ist, dass der eintretende Zustand Ss ex post verifizierbar ist.) Der Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen kann dann explizit bzw. direkt via Kauf und Verkauf reiner Wertpapiere erfolgen. Wenn keine reinen Wertpapiere existieren, ist – wie gezeigt – der Markt dann vollständig, wenn die Zahl der „normalen“ Papiere (einschließlich der Anlage und Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r) mindestens so groß ist wie die Zahl S der möglichen Zustände und S der Endwertvektoren dieser Papiere voneinander linear unabhängig sind. Der Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen kann dann implizit bzw. indirekt via Kauf und (Leer-)Verkauf normaler Papiere, also mit entsprechender Portefeuillebildung, erfolgen.
12
Wie in Abschnitt 5.2.1 gezeigt wird, sind dagegen im Rahmen des Capital Asset Pricing Model (CAPM) alle Portefeuillestrukturen identisch.
170
Kapitel IV
4.3
Höhe der Preise Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche
4.3.1
Arbitrageüberlegungen
Da der Kapitalmarkt annahmegemäß arbitragefrei ist, lassen sich mit gegebenen Preisen Ss (s = 1,2,...,S) für zustandsbedingte Zahlungsansprüche die Preise aller Papiere herleiten. Ein Papier n, das im Zustand Ss (s = 1,2,...,S) den Endwert P1n,s aufweist, kann interpretiert werden als ein Portefeuille aus P1n,1 Ansprüchen auf 1 GE im Zustand S1, P1n,2 Ansprüchen auf 1 GE im Zustand S2, ... und P1n,S Ansprüchen auf 1 GE im Zustand SS. Für den Preis dieses Wertpapiers muss gelten: S
(IV.2)
P0n
¦ S s P1n , s
(n = 1,2,...,N).
s 1
Wäre P0n ! ¦Ss 1 S s P1n,s , könnte man das Wertpapier zum Preis P0n verkaufen, gleichzeitig P1n,s Ansprüche auf den Zustand Ss (s = 1,2,...,S) kaufen und hiermit zum Zeitpunkt 0 einen Arbitragegewinn in Höhe von P0n ¦Ss 1 S s P1n,s ! 0 erzielen. Wäre P0n ¦Ss 1 S s P1n,s , könnte man P1n,s Ansprüche auf den Zustand Ss (s = 1,2,...,S) verkaufen, gleichzeitig das Papier kaufen und damit einen Arbitragegewinn in Höhe von ¦Ss 1 S s P1n,s P0n ! 0 erzielen. Werden beide Seiten von (IV.2) mit der Anzahl X n aller umlaufenden Papiere des Typs n multipliziert, erhält man: S
(IV.3)
X n ¦ Ss P1n,s
X n P0n
s 1
M 0n
S
¦ Ss X n P1n,s
s 1
M1n,s
bzw. die (Markt-) Bewertungsfunktion: S
(IV.4)
M 0n
¦ S s M1n,s . s 1
M0n (M1n,s) bezeichnet den Marktwert aller Papiere des Typs n zum Zeitpunkt 0 (zum Zeitpunkt 1 bei Eintreten des Zustandes Ss). Bei der Ermittlung der Preise gemäß (IV.2) und (IV.4) wird auf die Präferenzen der Investoren nicht direkt Bezug genommen. In diesem Sinne werden die Preise „präferenzfrei“ ermittelt. Jedoch hängen die Preise S s ihrerseits von den Nutzenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Investoren ab, so dass die Präferenzen immerhin implizit berücksichtigt werden. Zunächst wird gezeigt, wie bei einem exogen vorgegebenem risikolosem Zinssatz r mit Hilfe von Arbitrageüberlegungen Grenzen für die Preise S s abgesteckt werden können, wobei den Präferenzen nur insoweit Rechnung getragen wird, dass ein höheres Endvermögen einem kleineren vorgezogen wird. Wird zum Zeitpunkt 0 für jeden Zustand Ss (s = 1,2,...,S) ein Anspruch auf 1 GE gekauft, wird zum Zeitpunkt 1 mit Sicherheit eine Einzahlung von 1 GE erzielt. Dafür ist der Preis ¦Ss 1 S s zu entrichten. Andererseits kann ein sicherer Zahlungsanspruch auf 1
171
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
GE auch dadurch erworben werden, dass (1+ r)1 GE zum risikolosen Zins r angelegt werden. Daher muss im Gleichgewicht S
(IV.5)
¦ Ss (1 r )1 s 1
gelten. Die Summe der Preise Ss ist somit gleich dem Abzinsungs- oder Diskontfaktor für eine Periode auf der Basis des risikolosen Zinssatzes r. Wäre ¦Ss 1 S s ! (1 r ) 1 , könnte man für jeden Zustand Ss (s =1,2,...,S) einen Zahlungsanspruch auf 1 GE verkaufen, den Betrag (1+r)1 GE zum Zinssatz r anlegen und hiermit zum Zeitpunkt 0 einen Arbitragegewinn von ¦Ss 1 S s (1 r ) 1 ! 0 erzielen. Wäre ¦Ss 1 S s (1 r ) 1 , könnte man den Betrag (1 +r)1 GE leihen, für jeden Zustand Ss (s =1,2,...,S) einen Zahlungsanspruch auf 1 GE kaufen und einen Arbitragegewinn von (1 r ) 1 ¦Ss 1 S s > 0 erzielen. Da im arbitragefreien Markt alle Preise Ss positiv sind, ist gemäß (IV.5) jeder Preis Ss kleiner als (1 r ) 1 .
4.3.2
Grenznutzenbetrachtung
Die genaue Höhe der Preise Ss kann erklärt werden, indem explizit die Nutzenfunktionen der Anteilseigner und ihre Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Ss berücksichtigt werden. Im Gleichgewicht des Kapitalmarktes muss für den Investor i (i = 1,2,...,I)13 folgende Optimumbedingung für sein Portefeuille gelten, sofern seine Nutzenfunktion zustandsunabhängig ist (LAUX, 2006a, S. 141): (IV.6)
w i (Ss ) 1 Ui' (V1i,s )
)] (1 r) Ss Ei [Ui' (V 1i
(s 1, 2,...,S) .
w i (Ss ) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, die der Investor i dem Zustand Ss zuordnet, und Ui seine Nutzenfunktion. V1i,s ist sein Endvermögen im Zustand Ss und Ui' (V1i,s ) der entsprechende Grenznutzen. Der Index i beim Erwartungswertoperator E bringt zum Ausdruck, dass für den betreffenden Erwartungswert die Wahrscheinlichkeitsvorstellungen des Investors i relevant sind. Interpretation von (IV.6): Wird ausgehend vom optimalen Portefeuille ein zusätzlicher Anspruch von 1 GE für den Zustand Ss erworben, wird in diesem Zustand eine Einzahlung von 1 GE erzielt; der entsprechende Zuwachs des Erwartungsnutzens beträgt w i (Ss ) 1 Ui' (V1i,s ) . Andererseits muss zum Zeitpunkt 0 ein Preis von Ss gezahlt werden. Entsprechend sinkt das Endvermögen für jeden möglichen Zustand Ss um (1 + r) Ss. Dies bewirkt für den Zustand Ss (s= 1,2,...,S) eine Nutzeneinbuße von ~ (1 r) Ss Ui' (V1i,s ) . Mithin sinkt der Erwartungsnutzen um (1 r ) S s E i [ U i' (V1i )] . Gemäß Bedingung (IV.6) für das optimale Portefeuille muss dieser Betrag mit dem Erwartungsnutzen übereinstimmen, der der Einzahlung von 1 GE im Zustand Ss entspricht. (Ist diese Bedingung nicht erfüllt, kann durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen der Nutzenerwartungswert für den Investor i erhöht werden.)
13
I bezeichnet die Zahl der Investoren auf dem Kapitalmarkt.
172
Kapitel IV
(IV.6) kann wie folgt dargestellt werden: (IV.7)
Ss
(1 r) 1
w i (Ss ) Ui' (V1i,s ) )] E [U ' (V i
i
(s = 1,2,...,S).
1i
Die Darstellungen lassen offen, wie Gleichgewichtspreise konkret zustande kommen, die Angebot und Nachfrage zum Ausgleich bringen, bei denen also für jeden Zustand Ss (s = 1,2,...,S) die Nachfrage der Investoren nach Zahlungsansprüchen mit dem Endwert aller riskanten Wertpapiere übereinstimmt. Die Gleichgewichtsanalyse stellt ein komplexes Problem dar. Sie kann erheblich vereinfacht werden, „indem man von einem repräsentativen Aktionär ausgeht. Wenn z.B. alle Investoren von denselben Wahrscheinlichkeiten ausgehen, ihre Nutzenfunktion und ihre Anfangsvermögen übereinstimmen, dann stimmen auch ihre optimalen Entscheidungen überein. Ein Investor ist dann repräsentativ für alle Investoren. Aber auch unter schwächeren Voraussetzungen existiert ein repräsentativer Investor. Die meisten Gleichgewichtsmodelle unterstellen die Existenz eines repräsentativen Investors“ (FRANKE/ HAX, 2004, S. 386). Bei identischen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen, Nutzenfunktionen und Anfangsvermögenswerten hält bei I Investoren jeder Investor den Anteil z=1 / I am Bestand aller riskanten Wertpapiere, der als „Marktportefeuille“ bezeichnet wird. Für das Endvermögen V1s eines repräsentativen Investors im Zustand Ss (s = 1,2,...,S) gilt somit V1s z M1G , s , wobei M1G,s den Endwert des Marktportefeuilles im Zustand Ss bezeichnet. Würde der Investor für einen Zustand einen größeren Teil des Endwertes M1G halten als für andere, so müsste das Umgekehrte für mindestens einen anderen Marktteilnehmer gelten. Der Investor wäre also nicht repräsentativ. Unter Berücksichtigung von V1s z M1G , s folgt aus (IV.7): (IV.8)
Ss
(1 r ) 1
w(S s ) U ' ( z M 1G ,s ) ~ E[ U ' ( z M 1G )]
(s = 1,2,...,S).
Interpretation: w(Ss) bezeichnet die für alle Investoren (Anteilseigner) gleiche Wahrscheinlichkeit für den Zustand Ss und U die für alle gleiche Nutzenfunktion. Da der Grenznutzen mit wachsendem Endvermögen sinkt, ist der Preis für einen Anspruch von 1 GE im Zustand Ss c.p. umso niedriger, je höher der Endwert des Marktportefeuilles in diesem Zustand ist. Der Preis ist c.p. umso höher, je höher die Wahrscheinlichkeit des Zustandes Ss ist. (IV.8) bezieht sich auf eine gegebene Marktsituation. Wenn sich auf Grund zusätzlicher Informationen die Wahrscheinlichkeiten für Zustände Ss ändern, ändern sich auch die Preise Ss und gemäß (IV.4) die Marktwerte M0n. Preisänderungen können auch aus Änderungen von zustandsabhängigen Grenznutzenwerten resultieren. Diese können ih-
173
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
rerseits aus veränderten Nutzenfunktionen und/oder aus steigenden bzw. fallenden Endvermögenswerten M1G,s resultieren. Die Annahme eines repräsentativen Investors in dem hier beschriebenen Sinne ermöglicht zwar eine einfache und anschauliche Gleichgewichtsanalyse. Jedoch ist diese Annahme wenig realistisch. Grundsätzlich haben die Anteilseigner weder homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen noch dieselben Nutzenfunktionen und Ausgangsvermögenswerte. Je größer die Zahl der Investoren ist, desto größer ist die Zahl der Entscheidungsdeterminanten, die die Gleichgewichtspreise bestimmen und desto schwieriger wird die Gleichgewichtsanalyse. (Zur Erweiterung und Vertiefung der Darstellungen vgl. LAUX, 2006a, S. 181 ff. und S. 320 ff.) Wenn keine vereinfachenden Annahmen getroffen werden, stellt zwar die Analyse der Preisbildung unter expliziter Berücksichtigung aller (möglichen) Transaktionen auf dem Kapitalmarkt ein äußerst komplexes Problem dar. Jedoch kann in einfacher Weise gezeigt werden, dass im Gleichgewicht des SPA eine pareto-effiziente Risikoteilung erfolgt (RUBINSTEIN, 1974; INGERSOLL, 1987, S. 190-192; LAUX, 2006a, S. 161 ff.).
4.4
Pareto-effiziente Risikoteilung im SPA [*]
4.4.1
Zustandsunabhängige Nutzenfunktionen
Im Gleichgewicht muss die Optimumbedingung (IV.7) für einen beliebigen Anteilseigner i erfüllt sein. Wird die Bedingung (IV.7) durch die analoge Bedingung
(IV.9)
Ss
(1 r) 1
w j (Ss ) U 'j (V1j,s )
(s=1,2,...,S)
)] E j[U 'j (V 1j
für das Portefeuille eines Anteilseigners j (j z i) dividiert, ergibt sich nach Umformung: (IV.10)
w i (Ss ) Ui' (V1i,s ) w j (Ss ) U 'j (V1j,s )
Oij
bzw.
(IV.11)
Ui' (V1i,s )
w j (Ss )
U 'j (V1j,s )
w i (Ss )
Oij mit Oij {
)] E j[U 'j (V 1j )] Ei [Ui' (V 1i
(s=1,2,...,S).
Für jeden Zustand Ss (s=1,2,...,S), d.h. für jeden möglichen Endwert M1G des Marktportefeuilles, ist also das Verhältnis aus dem Grenznutzen Ui' ( ) und dem Grenznutzen U 'j ( ) zweier beliebiger Anteilseigner i und j gleich Oij wj(Ss)/wi(Ss). Dies ist die Bedingung ).14 Für einer pareto-effizienten Risikoteilung (einer pareto-effizienten Aufteilung von M 1G wj(Ss) = wi(Ss) (s=1,2,...,S) ist gemäß (IV.11) das Verhältnis der Grenznutzenwerte für jeden Zustand Ss identisch. Je höher dagegen für einen Zustand Ss die Wahrscheinlichkeit wj(Ss) im
14
Vgl. hierzu die Bedingung (II.61) (Kapitel II, Abschnitt 7.4) für die Entscheider X und Y.
174
Kapitel IV
Vergleich zu wi(Ss), desto größer ist c.p. gemäß (IV.11) Ui' ( ) im Vergleich zu U 'j ( ) und desto kleiner ist entsprechend V1i,s im Vergleich zu V1j,s.
4.4.2
Zustandsabhängige Nutzenfunktionen (exogene Risiken) und Bedeutung von Leerverkäufen
Die Darstellungen in Abschnitt 4.4.1 gelten analog für zustandsabhängige Nutzenfunktionen. Auch hierbei wird das Risiko zwischen den Investoren auf dem Kapitalmarkt pareto-effizient geteilt. Im Vergleich zu zustandsunabhängigen können bei zustandsabhängigen Nutzenfunktionen Leerverkäufe besondere Bedeutung haben. Zustandsabhängige Nutzenfunktionen sind vor allem dann relevant, wenn die Investoren auf dem Kapitalmarkt im privaten Bereich (exogene) Überschüsse erzielen, die vom Zustand Ss (s = 1,2,…,S) abhängen. Wenn ein Investor in Zuständen einen relativ hohen privaten Überschuss erzielt, nimmt er für diese Zustände Leerverkäufe von bedingten Zahlungsansprüchen vor und kauft Ansprüche für die anderen Zustände. In der Realität gibt es jedoch Beschränkungen von Leerverkäufen, die vor allem bei Existenz riskanter privater Überschüsse bewirken können, dass das Risiko nicht pareto-effizient geteilt wird. (Bei Wegfall von Leerverkaufsbeschränkungen wäre es möglich, das Risiko über den Handel mit Wertpapieren derart umzuverteilen, dass kein Investor einen Nachteil, jedoch mindestens ein Investor einen Vorteil erzielen würde.) Pareto-inferiore Risikoteilung führt zu Interessenkonflikten zwischen den Gesellschaftern eines Unternehmens.
5
Capital Asset Pricing Model (CAPM)
5.1
Charakteristik
Das CAPM ist ein einperiodiges Modell zur Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt, dessen Bewertungsfunktionen (im Gegensatz zu denen des SPA) unabhängig davon gelten, ob der Markt vollständig ist oder nicht. Es ermöglicht auch die Bewertung „neuer“ Wertpapiere oder Überschüsse, die nicht mit bereits vorhandenen Wertpapieren repliziert werden können. Das Modell wurde in den grundlegenden Arbeiten von LINTNER (1965a), MOSSIN (1966) und SHARPE (1964; 1970) entwickelt. Es ist auch heute noch das wichtigste Gleichgewichtsmodell. Dies liegt daran, dass es auf Grund strenger Voraussetzungen eine einfache Struktur aufweist. Wie in Kapitel VII, Abschnitt 4.2, verdeutlicht wird, wird in Literatur und Praxis auch bei der Analyse von Entscheidungsund Bewertungsproblemen im Mehrperioden-Fall regelmäßig auf das einperiodige CAPM zurückgegriffen. Im CAPM werden die Prämissen des vollkommenen Kapitalmarktes wie folgt konkretisiert: 1. Die Investoren auf dem Kapitalmarkt haben homogene Vorstellungen über ~ die Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Endwerte P1n aller Wertpapiere zum Zeitpunkt 1. (Zur Erweiterung des (Standard-) CAPM um heterogene Erwartungen vgl. LINTNER, 1969.) 2. Die Investoren orientieren sich bei ihren Portefeuilleentscheidungen wie in Ka-
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
175
pitel III am (μ,V)-Prinzip und sind risikoscheu. (Wie in Kapitel II, Abschnitt 4, erläutert wurde, impliziert die isolierte Portefeuilleplanung nach dem (μ,V)-Prinzip eine zustandsunabhängige Nutzenfunktion; für keinen Investor (Anteilseigner) sind exogene Überschüsse relevant, die stochastisch von ~ Endwerten P1n abhängen. Das impliziert z.B., dass kein Anteilseigner privat Eigentümer eines Unternehmens ist, dessen Portefeuillebildung dazu dient, den Unternehmensüberschuss zu hedgen.15 3. Alle privaten Investoren können ebenso wie die Unternehmen Kapital zum risikolosen Zinssatz r aufnehmen und anlegen.
5.2
Individualportefeuilles im Gleichgewicht
5.2.1
Individualportefeuilles als proportionale Anteile am Marktportefeuille
Da im CAPM sämtliche Investoren homogene Vorstellungen über die Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Endwerte der Papiere haben, sich am (μ,V)-Prinzip orientieren und zu demselben risikolosen Zinssatz r Kapital anlegen und aufnehmen können, muss für alle die Menge der effizienten Portefeuilles riskanter Wertpapiere identisch sein. Die linearen Effizienzkurven im (μ,V)-Diagramm weisen somit für alle Investoren dieselbe Steigung auf. (Jedoch können sie bei verschiedenen Abszissenwerten (1 + r) V0 ihren Ursprung haben.) Die konvexen Effizienzkurven im (μ,V2)-Diagramm weisen für alle Investoren dieselbe Krümmung auf, wobei jeder Risikoprämie jeweils dieselbe Steigung entspricht. Da die effizienten Portefeuilles aller Investoren dieselbe Struktur haben, gilt dies auch für ihre optimalen Portefeuilles; sie können sich nur in ihrem Umfang unterscheiden. Unterschiede im Umfang optimaler Portefeuilles können aus unterschiedlichen Verläufen der Indifferenzkurven resultieren, bei nicht-exponentiellen Nutzenfunktionen aber auch aus unterschiedlichen Vermögenswerten V0. Da im Marktgleichgewicht alle Papiere des Marktes in den Portefeuilles der Investoren enthalten sein müssen, stellen sich deren Preise zum Zeitpunkt 0 so ein, dass die Struktur jedes individuellen Portefeuilles mit der des Marktportefeuilles übereinstimmt. Da das Marktportefeuille alle Wertpapiere enthält, gilt für seinen Endwert: (IV.12)
~ M1G
N ~
N
~
¦ M1n
¦ X n P1n .
n 1
n 1
Jeder Marktteilnehmer hält im Marktgleichgewicht einen proportionalen Anteil am Marktportefeuille und mithin an dessen Endwert, wobei die Summe aller Anteile gleich 1 ist.
15
Zur Erfassung privater Risiken im Rahmen der Modellstruktur des CAPM vgl. Kapitel VII, Abschnitt 3.
176
Kapitel IV
Die Steigung einer linearen Effizienzkurve im (μV)-Diagramm bei Vorliegen eines Marktgleichgewichts kann ermittelt werden, indem die Standardabweichung des Endwertes eines beliebigen Anteils z (0 z d 1) am Marktportefeuille durch die Risikoprämie dieses anteiligen Portefeuilles dividiert wird. Als Steigung der Effizienzkurve ergibt sich für jeden Anteilseigner: (IV.13)
~ z Sta (M1G ) z RPG
~ Sta (M1G ) , RPG
~ wobei Sta (M1G ) die Standardabweichung des Endwertes und RPG die Risikoprämie des Marktportefeuilles bezeichnet. Dieser Zusammenhang impliziert (für das Marktgleichgewicht):
Es gibt kein Portefeuille, für welches das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie niedriger oder das Verhältnis aus Risikoprämie und Standardabweichung (die Risikoprämie je Risikoeinheit) höher ist als für das Marktportefeuille oder einen beliebigen Anteil daran. Irgendeine Risikoprämie kann mit minimaler Standardabweichung grundsätzlich nur in der Weise realisiert werden, dass ein entsprechender Anteil am Marktportefeuille gehalten wird: Für jedes Portefeuille P, dessen Struktur nicht mit der des Marktportefeuilles übereinstimmt, ist das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie höher als beim Marktportefeuille oder einem Anteil daran; die (P,V)-Position des betreffenden Portefeuilles liegt oberhalb der Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm und wird somit dominiert. Wenn allerdings ein Portefeuille P (oder ein einzelnes Papier) existiert, das zufällig in dieselbe Risikoklasse fällt wie das Marktportefeuille, so dass ~ ~ eine proportionale Beziehung zwischen seinem Endwert und M1G bzw. z M1G besteht, ist das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie auch für dieses Portefeuille so hoch wie für das Marktportefeuille; das betreffende Portefeuille ist dann Duplikationsportefeuille eines Anteils am Marktportefeuille.
5.2.2
Höhe der individuellen Anteile am Marktportefeuille
Wie in Kapitel III, Abschnitt 5.2, gezeigt wurde, ist bei gegebener Menge der effizienten Portefeuilles und quadratischer Nutzenfunktion U(V1) der optimale Wertpapierbestand eines Investors eine proportional steigende Funktion seiner Risikotoleranz RTQ { b / 2c (1 r) V0 an der Stelle V1 (1 r ) V0 . Da die Menge der effizienten Portefeuilles für alle Investoren auf dem Kapitalmarkt identisch ist, folgt: Haben alle Marktteilnehmer eine quadratische Nutzenfunktion, wird das Marktportefeuille im Verhältnis der individuellen Risikotoleranzen RTQ aufgeteilt. Für zwei beliebige Anteilseigner i und j gilt: (IV.14)
zi RTQ i
zj RTQ j
.
177
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
Dabei bezeichnet zi (zj) den Anteil des Investors i (j) am Marktportefeuille und RTQi (RTQj) seine Risikotoleranz. Aus (IV.14) folgt: z i RTQ j
(IV.15)
z j RTQ i .
Werden beide Seiten von (IV.15) über alle j (j = 1,2,...,I) addiert, wobei I die Zahl der Investoren auf dem Kapitalmarkt bezeichnet, folgt: I
I
z i ¦ RTQ j
RTQ i ¦ z j .
j 1
I
Wegen ¦ z j
j 1
1 folgt hieraus:
j 1
(IV.16)
RTQ i
zi
I
(i = 1,2,...,I).
¦ RTQ j j 1
Da die Risikotoleranz RTQi mit dem Kehrwert des ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizienten an der Stelle (1+r) V0i übereinstimmt, gilt:
RTQ i
1 . a i [(1 r ) V0i ]
Das Analoge gilt für RTQj. Mithin kann (IV.16) wie folgt dargestellt werden: (IV.17)
zi
1 a i [(1 r ) V0i ] I ¦ a j[(11r )V0 j ] j 1
( i 1,2,..., I) .
Der Anteil des Anteilseigners (Investors) i am Marktportefeuille ist gleich dem Verhältnis aus seiner eigenen Risikotoleranz und der Summe aller Risikotoleranzen, wobei bei quadratischen Nutzenfunktionen für jeden Anteilseigner die Risikotoleranz auf dasjenige sichere Endvermögen bezogen wird, über das er verfügt, wenn er keine riskanten Wertpapiere hält. Je geringer die Risikotoleranz des Anteilseigners i im Verhältnis zur Summe der Risikotoleranzen aller Anteilseigner ist, desto kleiner ist gemäß (IV.17) der Anteil zi des Anteilseigners i am Marktportefeuille. Die (homogenen) Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der An~ teilseigner über den Endwert M1G des Marktportefeuilles haben keinen direkten Einfluss auf zi (i = 1,2,...,I).
178
Kapitel IV
Bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteiltem Endwert aller Wertpapierportefeuilles ist – wie in Kapitel III, Abschnitt 5.2, erläutert wurde – der optimale Wertpapierbestand eines Investors eine proportional steigende Funktion der Steigung seiner Indifferenzkurven im (μV2)-Diagramm, die mit dem Zweifachen seiner Risikotoleranz, also mit 2/a, übereinstimmt. Haben alle Marktteilnehmer eine exponentielle Nutzenfunktion, wird das Marktportefeuille im Verhältnis der individuellen Indifferenzkurvensteigungen oder der Risikotoleranzen aufgeteilt:
(IV.18) z i
2 ai I
¦ a2 j 1 j
1 ai I
( i 1,2,..., I) .
¦ a1 j 1 j
Gemäß (IV.18) ist der Anteil zi des Anteilseigners i am Marktportefeuille wiederum gleich dem Verhältnis aus seiner Risikotoleranz und der Summe der Risikotoleranzen aller Anteilseigner. Die Bestimmungsgleichung (IV.18) entspricht (IV.17) für den Fall quadratischer Nutzenfunktionen. Da bei exponentiellen Nutzenfunktionen konstante absolute Risikoaversion besteht, sind jedoch in (IV.18) die Risikotoleranzen exogen vorgegeben. Gemäß (IV.17) bzw. (IV.18) ist bei gegebenen Risikotoleranzen der Anteil von i am Marktportefeuille umso kleiner, je größer die Zahl I der Investoren auf dem Kapitalmarkt ist. Die individuellen Anteile am Marktportefeuille sind unabhängig davon, aus welchen Wertpapiertypen es sich zusammensetzt. Auch der Marktwert M0G des Marktportefeuil~ les ist bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung seines Endwertes M1G davon unabhängig. Wenn eine Aktiengesellschaft bei gegebenem Investitionsprogramm alle ihre Aktien einzieht und an deren Stelle mehrere verschiedene Wertpapiertypen emittiert, stimmt deren Marktwert insgesamt mit dem der Aktien in der Ausgangssituation überein. Ein Handel mit Wertpapieren wird nicht ausgelöst; die individuellen Anteile am Marktportefeuille sind gegeben. Dieser Zusammenhang folgt letztlich daraus, dass mit zusätzlichen Wertpapieren die Risikoteilung nicht verbessert werden kann. Aufgrund seiner speziellen Voraussetzungen besteht im CAPM kein Bedarf an Differenzierungsmöglichkeiten bezüglich der individuellen Portefeuilles: Alle Investoren im Kapitalmarkt haben homogene Erwartungen, orientieren sich am (P,V)-Prinzip und erzielen allenfalls solche privaten Überschüsse, die von den Endwerten aller Wertpapiere stochastisch unabhängig sind. ~ Erzielt ein Investor einen privaten Überschuss Ü1 (z.B. aus einem privaten Unternehmen), wäre es für ihn vorteilhaft, wenn der Rahmen des CAPM durch Emission solcher Papiere gesprengt würde, deren Endwerte stochastisch von diesem Überschuss ab-
179
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
hängen, weil dann dieser Überschuss mit den neuen Papieren gehedgt werden könnte (Kapitel IX bis XIII). Allerdings würde dies zu divergierenden Strukturen individueller Portefeuilles führen.
5.3
Marktwerte auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten
5.3.1
Ermittlung der Marktwerte
Gemäß (III.22) (Kapitel III, Abschnitt 5.1) gelten für das optimale Portefeuille eines Anteilseigners i (i = 1,2,...,I) die Bedingungen:
(IV.19)
~ ~ Kov( P1n ; WP1i,opt ) ~ E( P1n ) (1 r ) P0n
~
Var (WP1i,opt ) RPi,opt
(n = 1, 2, ...,N).
Da der Anteilseigner i (i= 1,2,...,I) im Gleichgewicht des CAPM den Anteil zi am ge~ samten Marktportefeuilles hält, gilt WP1i, opt z i M1G und mithin: (IV.20)
~ ~ Kov(P1n ; WP1i, opt )
(IV.21)
Var (WP1i,opt )
~
~ ~ z i Kov(P1n ; M1G ) ,
~ zi2 Var ( M1G )
und (IV.22)
RPi,opt
z i RPG .
Werden (IV.20), (IV.21) und (IV.22) in (IV.19) eingesetzt, ergibt sich: (IV.23)
~ ~ z i Kov( P1n ; M1G ) ~ E ( P1n ) (1 r ) P0n
~ z i2 Var ( M1G ) zi RPG
(n = 1,2,...,N).
~ Var ( M1G ) RPG
(n=1,2,...,N).
Hieraus folgt: (IV.24)
~ ~ Kov( P1n ; M1G ) ~ E( P1n ) (1 r ) P0n
Somit folgt für den Marktwert einer Einheit des Papiers n im Gleichgewicht: (IV.25) P0n
~ (1 r ) 1 [ E( P1n )
RPG ~ ~ Kov( P1n ; M1G )] . ~ Var ( M1G )
) wird als Risikoprämie je Risikoeinheit oder als Der Quotient RPG / Var(M 1G Marktpreis für Risiko bezeichnet (LINTNER, 1969, S. 363). Wie noch erläutert ) auch RP / Var(M ) ! 0 . Für wird, gilt RPG > 0 und somit wegen Var(M 1G G 1G
180
Kapitel IV
den Marktwert M0n aller Papiere des Typs n, M0n = Xn P0n (wobei X n die Zahl ~ ~ dieser Papiere bezeichnet), erhält man mit M1n X n P1n : (IV.26)
M 0n
(1 r)1 [X n E(P1n )
RPG ] X Kov(P1n ; M 1G ) n Var(M 1G
RPG ] (1 r)1 [E (X n P1n ) Kov(X n P1n ; M 1G ) Var(M
1G {M 1n
) (1 r)1 [E(M 1n
{M 1n
RPG ;M ] . Kov(M 1n 1G ) Var(M 1G Marktrisikoprämie RPn
aller Papiere n ) {SÄ(M 1n
Die Differenz in den eckigen Klammern auf der rechten Seite der Bewertungsfunktion ~ ~ (IV.26) kann als Markt-Sicherheitsäquivalent SÄ(M1n ) des riskanten Endwertes M1n interpretiert werden. Dieses Sicherheitsäquivalent ergibt sich als Differenz zwischen ~ dem Erwartungswert von M1n und der Marktrisikoprämie RPn aller Papiere n. Gemäß (IV.26) ist M0n gleich dem mit dem risikolosen Zinssatz r diskontierten Marktsicherheitsäquivalent. Von grundlegender Bedeutung ist, dass es für die Beurteilung bzw. die Messung des Risikos eines Papiers nicht allein auf die Varianz seines Endwertes ankommt, sondern auf dessen Kovarianz mit dem Endwert des gesamten Marktportefeuilles. Für die Bewertung eines Papiers spielen daher nicht nur die Informationen bzw. Erwartungen bezüglich dieses Papiers eine Rolle, sondern auch die bezüglich aller anderen Papiere. ~ Wenn sich M1n um den sicheren Betrag ǻ ändert, ändert sich bei konstanter Risiko~ ~ prämie pro Risikoeinheit, RPG / Var (M1G ) , das Sicherheitsäquivalent SÄ (M1n ) ebenfalls um ǻ, so dass M0n um (1 r ) 1 ' steigt oder sinkt. ~ Für die Marktrisikoprämie RPn E(M1n ) (1 r ) M 0n aller Papiere n gilt gemäß (IV.26): (IV.27)
RPn
RPG ;M ) Kov(M 1n 1G ) Var(M 1G
;M ) Kov(M 1n 1G RP G Var(M1G ) (n = 1,2,...,N).
~ ~ Für die Summe aller N Kovarianzen Kov(M1n ; M1G ) (n = 1,2,...,N) gilt: N
(IV.28)
N
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ¦ Kov(M1n ; M1G ) Kov( ¦ M1n ; M1G ) Kov( M1G ; M1G ) Var (M1G ). n 1
n 1
~ M1G
~ ~ Die Summe aller N Kovarianzen Kov(M1n ; M1G ) ergibt somit die Varianz des Endwer~ ~ tes M 1G des Marktportefeuilles. Folglich kann die Kovarianz Kov( M1n ; M1G ) als Bei-
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
181
trag der Papiere n zu dieser Varianz interpretiert werden. Gemäß (IV.27) wird die Risikoprämie RPG des Marktportefeuilles im Verhältnis der Varianzbeiträge auf die ver~ schiedenen Papiere n (n=1,2,...,N) aufgeteilt. Wird der Quotient RPG / Var (M1G ) , die Risikoprämie je Risikoeinheit, mit dem Varianzbeitrag der Papiere n gewichtet, ergibt sich ~ ~ deren Risikoprämie RPn. Für Kov(M1n ; M1G ) < 0 gilt RPn < 0. Zwar wird in Literatur und Praxis bei der Ermittlung und Erklärung von Marktwerten die Risikozuschlags- der Sicherheitsäquivalent-Methode vorgezogen. Trotzdem wird in der vorliegenden Arbeit Marktsicherheitsäquivalenten und Marktrisikoabschlägen (Marktrisikoprämien) besondere Beachtung gewidmet. Der Vergleich von Marktrisikoprämien und subjektiven Risikoprämien ermöglicht eine einfache und anschauliche Analyse von Abweichungen zwischen Marktwerten und subjektiven Grenzpreisen und ihren Ursachen (Kapitel VIII, XI, XII und XV).
5.3.2
Höhe der Marktwerte
5.3.2.1 Abhängigkeit von der Kovarianz ~ Wegen Var (M1G ) > 0 sind die risikoaversen Anteilseigner nur dann bereit, einen Anteil am Marktportefeuille zu halten, wenn sie eine Risikoprämie erzielen. Folglich muss ~ RPG und mithin auch die Risikoprämie je Risikoeinheit, RPG/ Var (M1G ) , positiv sein. Somit ist gemäß (IV.26) der Marktwert M0n bei gegebener Risikoprämie je Risikoein~ ~ heit eine linear fallende Funktion der Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) . Dabei sinkt M0n mit ~ steigender Kovarianz umso mehr, je größer RPG/ Var (M1G ) ist. ~ ~ ~ Für Kov(M1n ; M1G ) = 0 gilt M 0n (1 r ) 1 E(M1n ) . ~ ~ ~ Ist die Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) positiv, ist M0n niedriger als (1 r ) 1 E(M1n ) . Da bei positiver Kovarianz das Marktsicherheitsäquivalent in (IV.26) kleiner ist als der ~ Erwartungswert E(M1n ) , ergibt sich in diesem Fall M0n auf Grund eines „Marktrisikoabschlages“. ~ ~ Bei negativer Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) erfolgt ein „Marktrisikozuschlag“; der Marktwert M 0n ist größer als für den Fall, dass M1n einen sicheren Wert in Höhe von ~ E(M1n ) aufweist. Die Ursache hierfür ist, dass bei negativer Kovarianz die Varianz des Marktportefeuilles und mithin auch die Varianzen der individuellen Portefeuilles aufgrund der Papiere n sinken. Dieser Vorteil kann auch wie folgt ausgedrückt werden: Bei ~ negativer Kovarianz besteht die Tendenz, dass der Endwert M1n gerade dann relativ hoch ist, wenn die Überschüsse aus der Gesamtheit aller Investitionen relativ niedrig und mithin die individuellen Grenznutzenwerte relativ hoch sind. Es gilt der folgende Zusammenhang:
(IV.29)
~ ~ Kov( M1n ; M1G )
~ ~ ~ ~ Kov( M1n ; M1n M1G M1n ) ~ ~ ~ ~ ~ Kov( M1n ; M1n ) Kov( M1n ; M1G M1n ) ~ ~ ~ ~ Var ( M1n ) Kov( M1n ; M1G M1n ).
~ ~ ~ Interpretation: Da die Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) die Varianz Var (M1n ) ! 0 enthält, ~ ~ ~ ~ ~ impliziert Kov(M1n ; M1G ) 0 , dass die Kovarianz Kov(M1n ; M1G M1n ) zwischen
182
Kapitel IV
~ dem Endwert M1n der Papiere n und der Summe der Endwerte aller anderen Papiere, ~ ~ ~ M1G M1n , negativ ist. Je größer die Varianz Var (M1n ) , desto mehr muss ~ ~ ~ ~ ~ Kov(M1n ; M1G M1n ) unter null liegen, damit die Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) gleich null sein kann. ~ ~ Wenn M1n von allen Endwerten M1m (m n) stochastisch unabhängig ist, also je~ ~ weils Kov(M1n ; M1m ) 0 gilt, folgt:
;M M ) Kov(M 1n 1G 1n
N
; ¦ M ) Kov(M 1n 1m m 1 mzn
N
;M ) 0 ¦ Kov(M 1n 1m m 1 mzn
und gemäß (IV.29): (IV.29a)
~ ~ Kov(M1n ; M1G )
~ Var (M1n ) .
~ Wenn für die Papiere n und m (m z n) dieselbe Kovarianz mit M1G gilt, ~ ~ Kov(M1n ; M1G )
~ ~ Kov(M1m ; M1G ) ,
ist für beide derselbe Marktrisikoabschlag oder -zuschlag maßgeblich. Es gilt dann M 0n M 0m
~ ~ (1 r ) 1 [E(M1n ) E(M1m )] .
~ ~ Für den Fall E(M1n ) E(M1m ) folgt M 0n M 0m . Es ist zu beachten, dass die Kova ;M ) und Kov(M ;M ) auch bei unterschiedlichen Wahrscheinrianzen Kov(M 1n 1G ~ ~1m 1G lichkeitsverteilungen von M1n und M1m identisch sein können. Es gilt ganz allgemein: Wenn zwei Portefeuilles in jedem Zustand Ss denselben Endwert aufweisen (also das eine Portefeuille ein Duplikationsportefeuille des anderen ist) sind zwar ihre Kovarian zen mit M 1G identisch. Jedoch sind gleiche zustandsabhängige Endwerte eine hinreichende, keine notwendige Bedingung für gleiche Kovarianzen. 5.3.2.2 Abhängigkeit von der Varianz
Aus (IV.26) und (IV.29) folgt wegen ~ ~ ~ Kov( M1n ; M1G M1n )
N ~ ~ Kov( M1n ; ¦ M1m ) m 1 mz n
N
~
~
¦ Kov( M1n ; M1m ) m 1 mz n
die Bestimmungsgleichung (IV.30)
M 0n
~ (1 r ) 1 {E ( M1n )
N RPG ~ ~ ~ [ Var ( M1n ) ¦ Kov( M1n ;M1m)]}. ~ Var ( M1G ) m 1 mz n
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
183
~ ~ Interpretation: Da der Endwert M1n der Papiere n in M1G enthalten ist, setzt sich ~ ~ ~ Kov(M1n ; M1G ) aus der Varianz Var (M1n ) und N 1 „echten“ Kovarianzen ~ ~ Kov(M1n ; M1m ) (m z n) zusammen. Diese Kovarianzen können insgesamt eine erheb~ lich größere Bedeutung für den Marktwert M0n haben als die Varianz Var(M1n ) als einzelne Größe. Ist diese Varianz niedrig, so kann sie eventuell vernachlässigt und (IV.26) wie folgt dargestellt werden: (IV.31)
~ M 0n | (1 r ) 1 [ E( M1n )
RPG ~ ~ ~ Kov( M1n ; M1G M1n )] . ~ Var ( M1G )
~ Das Ergebnis, dass das Varianzrisiko Var(M1n ) in (IV.30) im Vergleich zum Kovari~ ~ ~ anzrisiko Kov(M1n ; M1G M1n ) tendenziell einen vernachlässigbar geringen Einfluss auf den Marktwert M0n hat, entspricht den Darstellungen in Kapitel III, Abschnitt 8, wonach im Rahmen stark diversifizierter Portefeuilles das Varianzrisiko als unsystematisches Risiko praktisch eliminiert werden kann und für das Risiko eines Portefeuilles das Kovarianzrisiko von ausschlaggebender Bedeutung ist. Da im Gleichgewicht des CAPM die Investoren mit ihren Anteilen am Marktportefeuille „ideal“ gehedgte Portefeuilles halten, sind ~ entsprechend die Varianzen Var(M1n ) im Vergleich zu der Vielzahl an Kovarianzen ~ ~ Kov(M1n ; M1m ) von geringer Relevanz für die Preisbildung. Die Unterstellung, dass unsystematische (Varianz-)Risiken keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise haben, impliziert letztlich, dass diese Risiken für die Investoren auf dem Kapitalmarkt irrelevant sind. Dementsprechend erhalten sie auch keine Risikoprämien dafür, dass sie diese Risiken „tragen“. Allerdings darf nicht übersehen werden, ~ dass eine Vernachlässigung des Risikos Var(M1n ) in (IV.31) eine vereinfachende Approximation darstellt, die streng genommen fehlerhaft ist, auch wenn der „Fehler“ relativ gering sein mag. Die Tatsache, dass für die Preisbildung im CAPM die Kovarianzen vorrangige Bedeutung haben und auf die explizite zusätzliche Berücksichtigung der Varianzen eher verzichtet werden kann, bedeutet jedoch nicht, dass die Varianzen für die Preisbildung irrelevant seien. Ihre positiven Quadratwurzeln, die Standardabweichungen, beeinflussen die Beträge der Kovarianzen. Es gilt nämlich: ~ ~ Kov(M1n ; M1m )
~ ~ ~ ~ U(M1n ; M1m ) Sta (M1n ) Sta (M1m ) .
Nur bei einem Korrelationskoeffizienten von null (bei stochastischer Unabhängigkeit) ist die Kovarianz von beiden Standardabweichungen unabhängig. Bei positiver (negativer) Korrelation ist die Kovarianz eine steigende (fallende, ihr Betrag ebenfalls eine steigende) Funktion der beiden Standardabweichungen. Bei stochastischer Abhängigkeit bewirken also die Standardabweichungen auch systematische (Kovarianz-)Risiken. Darüber hinaus bewirken die Varianzen als solche unsystematische Risiken, die im Rahmen der individuellen Portefeuilles im CAPM praktisch eliminiert werden und bei der Erklärung der Preisbildung vereinfachend vernachlässigt werden können. ~ Wenn sich die Varianz Var(M1n ) ändert, bleibt gemäß (IV.31) der Marktwert M0n konstant, sofern sich die Kovarianz
184
Kapitel IV
~ ~ ~ Kov(M1n ; M1G M1n )
N
~
~
¦ Kov(M1n ; M1m ) m 1 mzn
~ ~ nicht ändert. Dabei können sich einzelne Kovarianzen Kov(M1n ; M1m ) durchaus ändern, jedoch muss ihre Summe konstant bleiben. ~ ~ Tritt zum Endwert M1n ein von allen Endwerten P1m (m n) stochastisch unabhän~ ~ ~ giger (Stör-)Term ' hinzu, ändern sich die Kovarianzen Kov(M1n ; M1m ) nicht, so dass sich gemäß (IV.31) M0n um den mit dem risikolosen Zinssatz r diskontierten Er~ ~ wartungswert von ' ändert, und zwar unabhängig davon, welche Varianz der Term ' aufweist. Aus (IV.31) folgt allgemein: ~ M1n | (1 r ) 1 E (M1n )
~ ~ ~ für Kov(M1n ; M1G M1n )
0,
so dass die Papiere n eine Risikoprämie von (annähernd) null bieten. Wegen ~ ~ ~ Kov(M1n ; M1G M1n )
N
~
~
¦ Kov(M1n ; M1m ) m 1 n z1
~ ~ ~ ~ setzt Kov(M1n ; M1G M1n ) 0 nicht notwendig voraus, das M1n mit allen Endwer~ ten M1m unkorreliert ist, sondern lediglich, dass sich positive und negative Kovarian~ ~ zen Kov(M1n ; M1m ) kompensieren. ~ Es wird gelegentlich behauptet, dass die Varianz Var(M1n ) dann einen vernachläs~ sigbaren Einfluss auf M0n habe, wenn sie im Vergleich zur Varianz Var (M1G ) des Endwertes aller Papiere sehr niedrig sei. Diese Behauptung impliziert, dass die Varianz ~ ~ Var(M1n ) umso eher vernachlässigt werden könne, je größer die Varianz Var (M1G ) ist. Jedoch ist zu beachten, dass in der Bewertungsfunktion (IV.30) – die (IV.26) ent~ ~ spricht – die Varianz Var (M1n ) nicht mit 1/ Var (M1G ) gewichtet wird, sondern mit ~ RPG/ Var (M1G ) . Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, beeinflusst die Varianz ~ Var (M1G ) die Risikoprämie RPG im Allgemeinen so, dass die Risikoprämie je Risiko~ ~ ~ einheit, RPG/ Var (M1G ) , von Var (M1G ) unabhängig ist. Die Varianz Var(M1n ) wird ~ ~ somit in (IV.30) unabhängig von Var (M1G ) mit demselben Term RPG/ Var (M1G ) gewichtet. Dieser Term ist jedoch umso niedriger, je größer die Zahl I der Investoren auf dem Kapitalmarkt ist. Je mehr Personen sich also das Marktrisiko teilen (je kleiner ihre Portefeuilles sind), desto eher können Varianzrisiken bei der Erklärung der Wertpapierpreise vernachlässigt werden. 5.3.2.3 Abhängigkeit von der Risikoprämie je Risikoeinheit bzw. den Risikoeinstellungen
~ Gemäß (IV.26) ist der Marktwert M0n bei gegebenem Erwartungswert E(M1n ) und ~ ~ gegebener Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) von der Risikoprämie je Risikoeinheit,
185
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
~ ~ ~ RPG/ Var (M1G ) , abhängig: Bei positiver (negativer) Kovarianz Kov(M1n ; M1G ) ist ~ M0n eine linear fallende (steigende) Funktion von RPG/ Var (M1G ) . Für ~ ~ Kov(M1n ; M1G ) = 0 ist M0n gleich dem mit dem risikolosen Zinssatz r diskontierten ~ ~ Erwartungswert E(M1n ) . M0n ist dann von RPG/ Var (M1G ) unabhängig. ~ RPG / Var (M1G ) ist seinerseits von den Nutzenfunktionen (den Risikoeinstellungen) der Anteilseigner abhängig. Somit werden in (IV.26) zwar die Nutzenfunktionen nicht explizit erfasst, wohl aber implizit über die Risikoprämie je Risikoeinheit. Zur Analyse des Zusammenhangs zwischen ihr und den individuellen Nutzenfunktionen wird die Optimumbedingung (III.22) (Kapitel III, Abschnitt 5.1) für ein individuelles Wertpapierportefeuille betrachtet, die für einen Anteilseigner i (i = 1,2,...,I) wie folgt dargestellt werden kann: ~
(IV.32)
Var ( WP1i, opt ) RPpi, opt
1 O i, opt 2
(i = 1,2,...,I).
Da der Anteilseigner i im Gleichgewicht den Anteil zi am Marktportefeuille hält, gilt W 1i,opt zi M1G und RPpi,opt z RPG , so dass (IV.32) wie folgt dargestellt werden kann: (IV.33)
O i,opt
~ Var ( z i M1G ) zi RPG ~ Var ( M1G ) 2 zi RPG
~ z 2 Var ( M1G ) 2 i zi RPG
2
(i = 1,2,...,I).
Für die Summe aller Oi,opt-Werte gilt: I
I
¦ O i,opt
¦ 2 zi
i 1
i 1
~ Var ( M1G ) RPG
2
~ Var ( M1G ) I ¦ zi RPG 1 i
2
~ Var ( M1G ) . RPG
1
Hieraus folgt für die Risikoprämie je Risikoeinheit: (IV.34)
RPG ~ Var ( M1G )
2
¦ Ii 1 O i,opt
.
Gemäß den Darstellungen in Kapitel III, Abschnitt 4.1, gibt der Lagrange-Faktor Oi,opt im Gleichgewicht an, wie weit die Varianz des Endwertes des Portefeuilles des Investors i steigt, wenn er ausgehend von seinem optimalen Anteil z am Marktportefeuille die Risikoprämie seines Portefeuilles um eine marginale Einheit erhöht, indem er seinen Anteil am Marktportefeuille entsprechend vergrößert. Oi,opt ist identisch mit der Steigung der Effizienzkurve im (μ,V2)-Diagramm bei demjenigen Abszissenwert, der dem optimalen Portefeuille entspricht. Da bei diesem Abszissenwert die Effizienzkurve eine
186
Kapitel IV
Indifferenzkurve tangiert, kann Oi,opt auch durch die entsprechende Indifferenzkurvensteigung ausgedrückt werden. Wird sie mit Stgi,opt bezeichnet, kann (IV.34) wie folgt dargestellt werden: (IV.35)
RPG ~ Var ( M1G )
2
¦ Ii 1Stg i,opt
.
Sind die Endwerte der Portefeuilles normalverteilt und hat der Investor i (i = 1,2,...,I) eine exponentielle Nutzenfunktion, so verlaufen seine Indifferenzkurven im (μ,V2)-Diagramm linear mit der Steigung Stgi = 2 / ai, so dass aus (IV.35) folgt: RPG (IV.36) ~ Var ( M1G )
2
1
¦ Ii 1 a2i
¦ Ii 1 a1i
.
Dabei bezeichnet ai den Risikoaversionskoeffizienten des Anteilseigners i und 1 / ai seine Risikotoleranz. Gemäß (IV.36) ist der Marktpreis des Risikos gleich dem Kehrwert der Summe aller Risikotoleranzen, der als „Marktrisikoaversionskoeffizient“ bezeichnet wird (vgl. LINTNER, 1970, S. 92; RUDOLPH, 1979, S. 79). Der Marktpreis des Risikos ist umso höher, je größer die Risikoaversionskoeffizienten ai sind. ~ Der Erwartungswert und die Varianz des Endwertes M1G des Marktportefeuilles haben bei Normalverteilungen und exponentiellen Nutzenfunktionen gemäß (IV.36) keinen ~ ~ Einfluss auf den Quotienten RPG / Var (M1G ) . Wenn die Varianz Var (M1G ) steigt (sinkt), steigt (sinkt) die Risikoprämie RPG im gleichen Verhältnis, so dass die Risiko~ prämie je Risikoeinheit konstant bleibt.16 Wenn bei gegebener Varianz Var (M1G ) der ~ Erwartungswert E(M1G ) steigt oder sinkt, bleibt RPG konstant; auch hier ändert sich ~ der Quotient RPG / Var (M1G ) nicht.17
(IV.36) gilt im Prinzip auch für quadratische Nutzenfunktionen, bei denen aber die Risikotoleranzen vom Erwartungswert des Endvermögens abhängen. Bei quadratischer Nutzenfunktion verlaufen die Indifferenzkurven im (μ,V2)-Dia~ gramm streng konkav. Zwar weisen für gegebenen Erwartungswert E(V1 ) des Endvermögens alle Indifferenzkurven eines Investors dieselbe Steigung auf. Jedoch ist bei gegebener Varianz die Indifferenzkurvensteigung eine linear fallende Funktion des Erwartungswertes des Endvermögens (Kapitel II, Abschnitt 2.3.2.1). Dies hat folgende Konsequenz:
16
17
), Eine steigende bzw. fallende Risikoprämie RPG impliziert bei gegebenem Erwartungswert E(M 1G dass der Marktwert M0G des Marktportefeuilles sinkt bzw. steigt. 1 Ändert sich E(M1G ) um ', so ändert sich M0G um (1 r) ' .
187
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
1. Die Risikoprämie je Risikoeinheit ist eine steigende Funktion des Erwar~ tungswertes E(M1G ) . ~ 2. Die Risikoprämie je Risikoeinheit ist jedoch von der Varianz Var (M1G ) unabhängig, weil die Steigungen der konkaven Indifferenzkurven im (μ,V2)Diagramm von der Varianz des Endvermögens unabhängig sind. ~ Die Risikoprämie je Risikoeinheit ist bei gegebener Varianz von M1G umso niedriger, je größer die Zahl I der Anteilseigner ist, zwischen denen das Marktportefeuille geteilt wird. Dies lässt sich besonders anschaulich für normalverteiltes Endvermögen und exponentielle Nutzenfunktionen verdeutlichen: Je größer die Zahl der Anteilseigner, desto größer ist bei gegebenen Risikoaversionskoeffizienten ai die Summe aller Risikotole~ ranzen 1 / ai und desto kleiner ist gemäß (IV.36) der Quotient RPG / Var (M1G ) und ~ folglich bei gegebener Varianz Var (M1G ) auch die Risikoprämie RPG; geht die Zahl I ~ der Anteilseigner gegen f, so geht RPG / Var (M1G ) gegen null (GILLENKIRCH/VELTHUIS, 1997, S. 127 f.). Je größer also die Zahl der Anteilseigner ist, desto weniger fällt das gesamte Risiko ins Gewicht und desto geringer ist die Marktrisikoprämie bzw. der Risikoabschlag in (IV.26) für den Fall, dass die Papiere n das Gesamtrisiko erhöhen ~ ~ ( Kov(M1n ; M1G ) > 0), bzw. der Marktrisikozuschlag für den Fall, dass sie das Ge~ ~ samtrisiko reduzieren ( Kov(M1n ; M1G ) < 0). Je größer die Zahl der Anteilseigner, desto größer ist der Marktwert von Papieren mit positiver Risikoprämie und desto kleiner ist der Marktwert von Papieren mit negativer. Dieser Zusammenhang gilt auch für quadratische Nutzenfunktionen.
5.3.2.4 Zum Verhältnis zwischen Standardabweichung und Risikoprämie eines Portefeuilles ~
Bezeichnet man den Endwert eines beliebigen Portefeuilles mit WP1 , gilt für dessen Risikoprämie RPP im Gleichgewicht: (IV.37)
RPP
~ RPG ~ Kov( WP1 ; M1G ) ~ Var (M1G ) ~ ~ RPG ~ ~ Sta ( WP1 ) U( WP1 ; M1G ) Sta (M1G ) ~ Var (M1G ) ~ ~ RPG ~ Sta ( WP1 ) U( WP1 ; M1G ) . ~ Sta (M1G )
Entsprechend gilt für das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie eines beliebigen Portefeuilles:
188
Kapitel IV
~
(IV.38)
Sta(WP1 ) RPP
) Sta(M 1G RPG
1 ~
.
) U(WP1; M 1G
~ ~ Ist der Korrelationskoeffizient nicht positiv, U( WP1 ; M1G ) d 0 , ist wegen ~ Sta ( WP1 ) ! 0 , Sta(M1G ) ! 0 und RPG ! 0 die Risikoprämie RPP des Portefeu~ illes ebenfalls nicht positiv. Es ist dann wegen Sta ( WP1 ) ! 0 nachteilig, dieses Portefeuille isoliert von anderen Papieren zu halten. Damit ein Portefeuille effi~ ~ zient sein kann, muss U( WP1 ; M1G ) ! 0 und entsprechend RPP ! 0 gelten. ~ ) ! 0 ist gemäß (IV.38) die Standardabweichung pro RiIm Bereich U(WP1; M 1G sikoprämie des Portefeuilles eine fallende Funktion des Korrelationskoeffizien~ ~ ten U( ) seines Endwertes WP1 mit dem Endwert M1G des Marktportefeuilles. Die Standardabweichung pro Risikoprämie erreicht ihr Minimum für U( ) 1 und stimmt dann mit dem Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie für das Marktportefeuille, der Steigung einer (linearen) Effizienzkurve im (P,V)Diagramm, überein. Das Portefeuille wird dann durch einen Punkt auf dieser Effizienzkurve repräsentiert. Für U( ) 1 liegt der betreffende Punkt oberhalb der Effizienzkurve, so dass das Portefeuille isoliert von anderen Papieren ineffizient ist. ~ ~ Die Bedingung U( WP1 ; M1G ) 1 ist erfüllt, wenn
~
~ a M1G
WP1
(a > 0)
gilt.18 Dies ist der Fall, wenn das Portefeuille in einem Anteil am Marktportefeuille besteht oder zwar davon abweicht, aber trotzdem – zufällig – in dieselbe Risikoklasse fällt wie das Marktportefeuille bzw. ein beliebiger Anteil daran. Das Portefeuille ist dann Duplikationsportefeuille eines Anteils am Marktportefeuille. Da sichere Überschüsse keinen Einfluss auf die Standardabweichung und die Risiko~ ~ prämie haben, kann die Bedingung für U( WP1 ; M1G ) 1 wie folgt verallgemeinert werden: ~
~ a M1G b
WP1 18
(a > 0 und b beliebig).
Beweis: Es gilt:
;M ) Sta(a M ) U(a M ;M ) Sta(M ). Kov(a M 1G 1G 1G 1G 1G 1G
~
WP1
Hieraus folgt: ;M ) U(a M 1G 1G ~
~ ) U(WP1; M 1G
;M ) a Kov(M 1G 1G ) Sta(M ) | a | Sta(M 1G 1G
) Var(M 1G ) Var(M
1.
1G
WP1
Dabei ist zu beachten, dass wegen a > 0 der Betrag | a | von a mit a übereinstimmt: | a | a .
Ŷ
189
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
~
Dabei ist b (wie a) ein deterministischer Betrag. Für b z 0 fällt nun WP1 zwar in eine ~ ~ andere Risikoklasse als a M1G bzw. M1G , jedoch ist nun das Portefeuille in Verbindung mit einer sicheren Anlage oder Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r Duplikationsportefeuille des Anteils a am Marktportefeuille; im Fall b > 0 wird der Betrag (1 r ) 1 b geliehen und im Fall b < 0 angelegt. Für alle anderen Portefeuilles ist der Korrelationskoeffizient kleiner als 1 (der maximale Korrelationskoeffizient ist gleich 1), so dass sich zeigt: Für jedes Portefeuille, dessen Struktur nicht mit der des Marktportefeuilles übereinstimmt und auch nicht durch Anlage oder Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r darauf zurückgeführt werden kann, ist das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie höher als beim Marktportefeuille oder einem Anteil daran; die (P,V)-Position des betreffenden Portefeuilles liegt oberhalb der Effizienzkurve und wird somit von Punkten auf der Effizienzkurve dominiert; das Portefeuille kann für sich gesehen nicht optimal sein.
5.4
Marktwerte auf der Basis risikoangepasster Zinssätze
5.4.1
Erwartete Renditen von riskanten Wertpapieren
Die bisherigen Darstellungen beruhen auf absoluten Größen. In der Literatur wird jedoch das CAPM im Allgemeinen in Renditeschreibweise dargestellt. Die Rendite des Papiers n ist definiert als: ~r n
~ M1n M 0n . M 0n
Analog gilt für die Rendite des Marktportefeuilles: ~r G
~ M1G M 0G . M 0G
Aus diesen Definitionen folgt: (IV.39)
~ E ( M1n )
(IV.40)
RP G
(IV.41)
~ Var ( M1G )
M 0n [1 E( ~rn )],
M 0G [ E( ~rG ) r ], Var M 0G (1 ~rG ) M 20G Var (1 ~rG )
M 20G Var ( ~rG )
und (IV.42)
~ ~ Kov( M1n ; M1G )
Kov[(1 ~rn ) M 0n ;(1 ~rG ) M 0G ] M 0n M 0G Kov[(1 ~rn );(1 ~rG )] M 0n M 0G Kov( ~rn ; ~rG ).
190
Kapitel IV
Einsetzen von (IV.39) bis (IV.42) in (IV.26) ergibt: (IV.43)
M [ E( ~rG ) r ] M 0n (1 r ) 1{M 0n [1 E( ~rn )] 0G M 0n M 0G Kov( ~rn ;~rG )}. M 20G Var ( ~rG )
Hieraus folgt nach Kürzung und Multiplikation der Gleichung mit (1+r): (IV.44)
1 r
E( ~rG ) r 1 E( ~rn ) Kov( ~rn ; ~rG ) Var ( ~rG )
bzw. die CAPM-Renditegleichung19: (IV.45) E (~rn )
r
E (~rG ) r Kov(~rn ; ~rG ) . Var (~rG )
Interpretation: Da das Marktportefeuille riskant ist, sind Investoren nur dann bereit, einen Teil dieses Portefeuilles zu halten, wenn sie eine positive Risikoprämie erzielen. Mithin muss E (~rG ) r ! 0 gelten. Wegen Var(~rG ) ! 0 ist folglich der Quotient auf der rechten Seite von (IV.45), die renditebezogene Risikoprämie je Risikoeinheit, positiv. Somit ist der Erwartungswert E (~rn ) eine linear steigende Funktion von Kov(~rn ; ~rG ) . Für Kov(~rn ; ~rG ) = 0 stimmt E (~rn ) mit dem risikolosen Zinssatz r überein, bei positiver (negativer) Kovarianz ist E (~rn ) höher (niedriger) als r. Bei gegebener Kovarianz Kov(~rn ; ~rG ) z 0 weicht E (~rn ) umso mehr von r ab, je höher die renditebezogene Risikoprämie je Risikoeinheit, [E (~rG ) r ] / Var(~rG ) , ist. Dabei gilt gemäß (IV.45):
(IV.46)
E( rn )
E( rG )
für Kov(~rn ; ~rG )
Var(~rG ) .
Oft wird die Gleichung (IV.45) mit Hilfe des Beta-Faktors En {
Kov( ~rn ; ~rG ) Var ( ~rG )
vereinfachend wie folgt dargestellt: (IV.47) E( ~rn )
19
r [ E( ~rG ) r ] E n .
Vgl. z.B. FRANKE/HAX (2004, S. 352) und KRUSCHWITZ (1999, S. 173 f.). Dieses Ergebnis wird üblicherweise auf der Grundlage von Portefeuille-Modellen hergeleitet, die auf Renditen und nicht wie in der vorliegenden Arbeit auf Endvermögenswerten (Residualgewinnen) als Zielgrößen beruhen.
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
191
E (~rn ) ist eine linear steigende Funktion des Beta-Faktors En als Risikomaß. Der BetaFaktor hat nicht nur theoretische Bedeutung. Er wird von der Praxis der Finanzanalyse allgemein genutzt. Auch in die Praxis der Investitionsrechnung und der Unternehmensbewertung sind daraus abgeleitete Verfahren der rechnerischen Berücksichtigung des Risikos eingegangen (RUDOLPH, 1979; HACHMEISTER, 2000). In Kapitel VII, Abschnitt 4.2, wird erläutert, wie Beta-Faktoren in der Praxis (von Finanzdienstleistern) ermittelt werden. Wegen
Kov(rn ; rG ) Sta(rn ) U(rn ; rG ) Sta(rG ) und Var(rG ) Sta(rG ) Sta(rG ) kann En auch wie folgt dargestellt werden: En
Sta ( ~rn ) U( ~rn ; ~rG ) . Sta ( ~rG )
Bei gegebenen Standardabweichungen ist En eine linear steigende Funktion des Korrelationskoeffizienten U( ) für die beiden Renditen.
5.4.2
Marktwertermittlung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes
Aus (IV.39) folgt für den Marktwert M0n: (IV.48) M 0n
~ [1 E ( ~rn )] 1 E ( M1n ) .
Der Erwartungswert E (~rn ) kann als risikoangepasster Kalkulationszinsfuß interpretiert ~ werden, mit dem der „Markt“ im Gleichgewicht den Erwartungswert von M1n diskontiert. Er bringt die „Renditeforderung“ der Investoren zum Ausdruck. Geht es um die Bewertung der Aktien eines Unternehmens wird E (~rn ) als Eigenkapitalkostensatz bezeichnet. In Verbindung mit (IV.45) folgt aus (IV.48) für den Marktwert M0n:
(IV.49) M 0n
E ( ~rG ) r ~ [1 r Kov( ~rn ; ~rG )]1 E( M1n ) Var ( ~rG ) E ( ~rn )
oder unter Verwendung des Beta-Faktors: (IV.50) M 0n
~ [1 r [E(~rG ) r ] E n ] 1 E(M1n ) . E ( ~rn )
~ Bei gegebenem Erwartungswert E(M1n ) ist M0n eine fallende Funktion von En. Die Bewertungsfunktion (IV.50) führt zu demselben M0n-Wert wie (IV.26).
192
Kapitel IV
~ Während in (IV.26) das Marktsicherheitsäquivalent von M1n mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert wird (Sicherheitsäquivalent-Methode), wird in (IV.50) ~ der Erwartungswert von M1n mit einem risikoangepassten Zinssatz diskontiert ~ ~ (Risikozuschlags-Methode). Für den Fall Kov(M1n ; M1G ) = 0 gilt Kov(~rn ; ~rG ) = 0 und mithin En = 0, so dass sowohl aus (IV.26) als auch aus (IV.50) die Gleichung ~ (1 r ) 1 E ( M1n )
(IV.51) M 0n
folgt. In diesem Spezialfall stimmt der „risikoangepasste“ Zinssatz mit dem risikolosen überein. Bei negativer Kovarianz Kov(~rn ; ~rG ) ist der risikoangepasste Zinssatz kleiner als r. Es wird dann also im Kalkulationszinsfuß ein negativer „Risikozuschlag“, also ein Risikoabschlag, vorgenommen. ~ Ist bei gegebenem Erwartungswert E(M1n ) der Gleichgewichtspreis M0n bekannt, so kann natürlich der zugehörige risikoangepasste Kalkulationszinsfuß in einfacher Weise wie folgt ermittelt werden: ~ E ( M1n ) M 0n . M 0n
E ( ~rn )
Wenn aber der Gleichgewichtspreis M0n bereits bekannt ist, ist natürlich E (~rn ) für dessen Ermittlung irrelevant. Risikoangepasste Zinssätze können vor allem dann bewertungsrelevant sein, wenn es darum geht, den Einfluss neuer Investitionsprojekte auf M0n zu prognostizieren. Bei Anwendung von (IV.50) ist dann der Einfluss der Investitionen auf E (~rn ) abzuschätzen.
5.4.3
Ermittlung der Risikoprämie auf der Basis eines risikoangepassten Zinssatzes
Für die (absolute) Risikoprämie aller Papiere des Typs n gilt die allgemeine Definitionsgleichung: (IV.52)
~ RPn { E (M1n ) (1 r ) M 0n .
~ E(M1n ) kann gemäß (IV.50) wie folgt dargestellt werden: (IV.53)
~ E (M1n )
M 0n (1 r [E (~rG ) r ] E n ) .
Einsetzen in (IV.52) ergibt: (IV.54)
RPn
M 0n [E(rG ) r] En .
Für die Risikoprämie einer Einheit des Papiers n gilt analog:
193
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
(IV.55)
~ E (P1n ) (1 r ) P0n
P0n [E (~rG ) r ] E n
(n = 1,2,…,N).
Diese Risikoprämien sind von grundlegender Bedeutung für die Portefeuilleplanung (Kapitel III), das optimale Hedgen des mit einem Bewertungsobjekt verbundenen Risikos durch Portefeuillebildung (Kapitel IX und X) und darauf aufbauend die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises (Kapitel XI, XII und XV). Gemäß (IV.55) kann man die Risikoprämien ermitteln, indem man die gegenwärtigen Börsenkurse P0n mit der erwarteten Überrendite E(rG ) r des Marktportefeuilles und den (von Finanzdienstleistern geschätzten) zugehörigen Beta-Faktoren gewichtet.
5.4.4
~ Bewertung auf der Basis der Kovarianz zwischen M 1n und ~rG
Wie in Kapitel VI, Abschnitt 3.1.2.1, gezeigt wird, können sich bei der Ermittlung der Marktwerte neuer Investitionsprojekte auf der Basis risikoangepasster Zinssätze Bewertungsprobleme ergeben, die vermieden werden können, indem die (Markt-)Sicherheitsäquivalente ihrer Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert werden und dabei die Sicherheitsäquivalente mit Hilfe der Marktrendite rG ermittelt werden. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie auf diese Weise M0n bestimmt werden kann. Es gilt: (IV.56)
~ ~ Kov( M1n ; M1G )
~ Kov[ M1n ;(1 ~rG ) M 0G ] ~ M 0G Kov( M1n ; ~rG ).
Einsetzen von (IV.56), (IV.40) und (IV.41) in (IV.26) ergibt:
(IV.57) M 0n
M [E(~rG ) r ] ~ ~ (1 r ) 1 [E(M1n ) 0G M 0G Kov(M1n ; ~rG )] 2 ~ M 0G Var( rG ) E(~rG ) r ~ ~ (1 r ) 1 [E(M1n ) Kov(M1n ; ~rG )] Var (~rG ) Marktrisikoprämie aller Papiere n
~ { SÄ ( M 1n )
~ Wie in (IV.26) wird das Marktsicherheitsäquivalent von M1n mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Jedoch wird in (IV.57) der Risikoabschlag von ~ E(M1n ) – die Marktrisikoprämie aller Papiere n – auf der Basis der Rendite ~rG des Marktportefeuilles und nicht auf der Basis der absoluten Marktwerte M0G und M 1G dieses Portefeuilles ermittelt. Der Vorteil von (IV.57) kann insbesondere darin bestehen, dass die hierin enthaltenen Terme einfacher zu schätzen sind als die in (IV.26).
194
Kapitel IV
6
Modifizierter SPA
6.1
Das Modell
Der SPA beruht auf der Annahme eines vollständigen Kapitalmarktes, in dem jedes Wertpapier (jeder Finanztitel) in jedem Zustand Ss (s = 1,2,...,S) jeweils einen deterministischen Endwert aufweist. Jedoch gibt es für zentrale Risiken (z.B. im Absatzbereich) gar keine verifizierbare und unbeeinflussbare Daten, für die spezifische bedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können. Einerseits stellt der SPA einen theoretischen Grenzfall dar, andererseits ist er eine wichtige theoretische Grundlage für die Analyse von Entscheidungsproblemen, mit der der Kapitalmarktzusammenhang in einfacher und anschaulicher Weise berücksichtigt werden kann. Es ist daher interessant, dass sich der SPA unter bestimmten Voraussetzungen derart modifizieren lässt, dass seine Bewertungsfunktionen in strukturgleicher Form auch bei Unvollständigkeit des Kapitalmarktes gelten. Die betreffenden Bewertungsfunktionen lassen sich analog erklären und interpretieren wie die des SPA. Der im Folgenden dargestellte „modifizierte“ SPA hat nicht nur Bedeutung für die Ermittlung eines aus Sicht der Anteilseigner eines börsennotierten Unternehmens optimalen Investitionsprogramms, sondern auch für die subjektive Bewertung von Investitionsprojekten (oder Anteilen daran) vom Standpunkt eines individuellen Investors. Darauf kommen wir in den Kapiteln XI, XII und XV zurück. Der modifizierte SPA beruht auf den folgenden Voraussetzungen: 1. Der Endwert einer Einheit des Papiers n (n= 1,2,...,N) hängt vom eintretenden Zustand Ss und von der Ausprägung eines als „Noise“ bezeichneten wertpapierspezifischen stochastischen Störterms ~Hn ab.20 Für den Endwert bei Eintreten des Zustandes Ss gilt nun: (IV.58)
~ St P1n , s
P1n , s ~Hn
(s = 1,2,...,S).
P1n , s ist wie im SPA eine deterministische Größe, die nun vom Störterm ~Hn überlagert wird. Der Erwartungswert des stochastischen Störterms H n ist gleich null, so dass gilt: (IV.59)
~ E(P1Stn , s )
P1n , s
(s = 1,2,...,S).
Alle Störterme sind stochastisch unabhängig von den Endwerten aller umlaufenden Papiere. Auch untereinander sind die Störterme stochastisch unabhängig, so dass auch die entsprechenden Kovarianzen bzw. Korrelationskoeffizienten gleich null sind; Kov(H n ; H m ) 0 für alle m n. Der Störterm ~Hn resultiert aus spezifischen Daten oder Ereignissen, die primär den Endwert des Papiers n beeinflussen. Zum Beispiel kann bei Aktien eines Unternehmens der Störterm aus einer möglichen Krankheit von Mitarbeitern des Unternehmens, aus Diebstahl, Schwund, Feuerschäden, Stö20
Zur Erklärung solcher Störterme vgl. auch V. HEIL (1995); GILLENKIRCH (2004); SHLEIFER (2000); SHLEIFER/SUMMERS (1990).
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
195
rungen des Betriebsablaufs oder Zahlungsunfähigkeit eines Kunden resultieren. Die Zustände Ss (s = 1,2,...,S) sind Kombinationen aus Ausprägungen (kostenlos) überprüfbarer und verifizierbarer Marktdaten, die simultan die Endwerte aller oder mehrerer Papiere beeinflussen, z.B. des Rohölpreises, des Leitzinses der EZB, der durch bestimmte Indikatoren charakterisierten Konjunkturlage oder des Dollarkurses. 2. Für den Zustand Ss (s = 1,2,…,S) können nach wie vor bedingte Zahlungsansprüche zu dem allseits bekannten Preis ʌs gehandelt werden. 3. Das aus dem Störterm ~Hn (n = 1,2,...,N) resultierende Risiko ist idiosynkratisch, d.h. nicht direkt (spezifisch) handelbar, z.B. weil der Störterm nicht oder nur zu prohibitiv hohen Kosten verifizierbar ist. Da der Störterm ~Hn (n = 1,2,...,N) von den Endwerten aller umlaufenden Papiere stochastisch unabhängig ist, kann er auch nicht mit ihnen direkt gehedgt werden. Da jedoch die Störterme für die verschiedenen Wertpapiertypen voneinander stochastisch unabhängig sind, kann das idiosynkratische Risiko durch Bildung gut diversifizierter Portefeuilles für den einzelnen Anteilseigner praktisch eliminiert werden. Für den modifizierten SPA wird angenommen, dass die Anteilseigner solche Portefeuilles halten (es müssen jedoch keine Anteile am Marktportefeuille sein) und dies impliziere: Für den Preis P0n des Papiers n ~ ist es „quasi“ irrelevant, dass dessen Endwert P1Stn im Rahmen eines Zustandes Ss (s = 1,2,…,S) aufgrund des Störterms ~Hn um seinen bedingten Erwartungswert St E(P1n | Ss ) P1n,s streut. Dies ist allerdings eine vereinfachende Annahme, die bei Risikoaversion der Anteilseigner nur näherungsweise erfüllt sein kann.21 Das aus den wertpapierspezifischen Daten bzw. Ereignissen resultierende störtermbedingte Risiko ist „unsystematisch“, das aus den Zuständen Ss resultierende zustandsbedingte Risiko ist „systematisch“. Bietet ein Wertpapier n in jedem Zustand Ss denselben sicheren Endwert, gibt es bezüglich dieses Papiers weder störtermbedingtes noch zustandsbedingtes Risiko. Besteht bei einem Papier sowohl störtermbedingtes als auch zustandsbedingtes Risiko, ist der Endwert in jedem Zustand Ss ungewiss und der Erwartungswert des Endwertes ist zustandsabhängig. Im Gegensatz zum modifizierten SPA gibt es im SPA (im strengen Sinn) kein idiosynkratisches Risiko; der Endwert jedes Wertpapiers ist eindeutig durch den eintretenden Zustand Ss determiniert. Die Endwerte sind nur von solchen Daten bzw. Ereignissen abhängig, für die explizit oder implizit zustandsbedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können; der Kapitalmarkt im SPA ist im Gegensatz zum modifizierten SPA vollständig. Im SPA können sämtliche Überschüsse dupliziert und das daraus resultierende Risiko durch Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles eliminiert werden. Es gibt keine Störterme, die von den Wertpapierpreisen stochastisch unabhängig sind; Duplizierbarkeit impliziert stochastische Abhängigkeit.
21
Die Annahme impliziert: Der Endwert jedes individuellen Portefeuilles streut in jedem Zustand Ss so wenig, dass im jeweiligen Streubereich der zustandsabhängige Grenznutzenwert quasi-konstant ist. (Jedoch können sich die Grenznutzenwerte von Zustand zu Zustand erheblich unterscheiden.) Der erwartete Nutzen des Endwertes stimmt dann für jeden Zustand Ss jeweils mit dem Nutzenwert eines deterministischen Endwertes in Höhe des bedingten Erwartungswertes überein.
196
Kapitel IV
Das idiosynkratische (störtermbedingte) Risiko ist zwar definitionsgemäß unsystematisch, jedoch ist unsystematisches Risiko nicht unbedingt idiosynkratisch. Da die stochastischen Störterme im Rahmen der gut gemischten individuellen Portefeuilles (annahmegemäß) vernachlässigbar sind, erzielen die Anteilseigner keine Prämien für die Übernahme der störtermbedingten Risiken. Für den Preis einer Einheit des Papiers n (n= 1,2,...,N) zum Zeitpunkt 0 gilt somit im modifizierten SPA: S
(IV.60) P0n
~
¦ S s E(P1Stn , s )
s 1
S
¦ Ss P1n , s . s 1
Diese Bewertungsfunktion entspricht der Annahme 2, wonach es für P0n irrele~ vant ist, dass der Endwert P1n im Zustand Ss um seinen bedingten Erwartungswert P1n,s streut; P0n ist ebenso hoch wie für den Fall, dass im Zustand Ss ein sicherer Endwert von P1n,s erzielt wird. Die relevanten Erwartungswerte werden mit den Preisen Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche gewichtet. Damit wird dem zustandsbedingten Risiko Rechnung getragen, also der Tatsache, dass ~ der Erwartungswert des Endwertes P1Stn vom Zustand Ss abhängt. Es ist zu beachten, dass die Annahme, die Störterme seien nicht bewertungsrelevant, eine Vereinfachung darstellt. Auch durch noch so breit gestreute Portefeuillebildung kann das aus den Störtermen resultierende Risiko nicht völlig eliminiert werden. Die übliche Rechtfertigung der Vereinfachung besteht darin, dass das unsystematische Risiko bei entsprechender Portefeuillebildung im Vergleich zum systematischen (Kovarianz-)Risiko ein geringes Gewicht hat. Zur Erläuterung der Auswirkung der Portefeuillemischung auf das unsystematische Risiko gehen wir davon aus, dass jeder Störterm ~Hn die Varianz V2 aufweist: Werden z.B. 1.000 Einheiten desselben Papiers gehalten, ergibt sich eine störtermbedingte Varianz von 1.000.000 V 2 . Wird das Portefeuille derart gemischt, das von 1.000 Wertpapiertypen je eine Einheit gehalten wird, beträgt die störtermbedingte Varianz nur noch 1.000 V 2 . Die Störterme können insbesondere dann große Bedeutung haben, wenn es darum geht, das mit einem Bewertungsobjekt verbundene finanzielle Risiko durch einen individuellen Investor zu hedgen. Wie in Kapitel XI, Abschnitt 5.3, gezeigt wird, können Störterme bewirken, dass für ihn der subjektive Grenzpreis (weit) unter dem Marktwert des Bewertungsobjekts liegt. Störterme wie im modifizierten SPA können auch im CAPM existieren. Zum einen setzt das CAPM keinen vollständigen Kapitalmarkt voraus. Zum andern lässt es offen, ~ wie die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Endwerte P1n der Papiere zustande kommen. Auch im CAPM haben die Störterme streng genommen einen Einfluss auf die Risikoprämien und Gleichgewichtspreise der Papiere. Jedoch mag dieser Einfluss vernachlässigbar gering sein. Die Störterme haben keinen Einfluss auf die Kovarianzen
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
197
~ ~ ~ Kov(P1n ; P1m ) , sondern erhöhen nur die Varianzen Var (P1n ) , die jedoch gemäß den Darstellungen in Abschnitt 5.3.2.2 im Vergleich zu den Kovarianzen einen tendenziell vernachlässigbaren Einfluss auf die Gleichgewichtspreise haben.
6.2
Beschränkte Rationalität als Ursache für Störterme
Störterme können nicht nur aus wertpapierspezifischen objektiven Daten oder Ereignissen resultieren, sondern auch daraus, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt nicht streng rational handeln, sondern in gewissem Umfang stochastische „Bewertungsfehler“ bezüglich der nach dem Zeitpunkt 1 anfallenden Überschüsse von Wertpapieren machen, die sich nicht kompensieren, so dass deren ~ Endwerte P1n nicht wie im SPA eindeutig durch den eintretenden Zustand Ss (d.h. durch entsprechende Konstellation von Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten) bestimmt wird, sondern um ihre bedingten Erwartungswerte streuen.22 Die Voraussetzung rationaler Bewertungen durch die Investoren auf dem Kapitalmarkt ist im vollkommenen Markt zwar definitionsgemäß erfüllt, jedoch nicht in der wirtschaftlichen Wirklichkeit. Bewertungsbezogene Störterme ergeben sich auch für den Fall, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt zwar bei gegebenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über zukünftige Überschüsse gemäß dem BERNOULLI-Prinzip rationale Bewertungen vornehmen, jedoch diese Vorstellungen ihrerseits in gewissem Umfang zufallsabhängig sind und nicht streng rational durch die Entwicklung der Umweltzustände (der Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten) bestimmt werden. Zum Beispiel hängen die Erwartungen über zukünftige Überschüsse von Informationen ab, die von diesen Überschüssen stochastisch unabhängig sind. (Ein Hedgefonds-Manager hustet zufällig und die Börsenkapitalisierung eines Unternehmens steigt oder fällt.) Oder es werden Nachrichten mit informativem Gehalt von Investoren auf dem Kapitalmarkt verzerrt interpretiert.23 Rationale Portefeuillebildung impliziert grundsätzlich, dass die Anteilseigner in der Lage sind, langfristige Portefeuillestrategien zu ermitteln, mit denen sie den Erwartungswert des Nutzens ihres Konsumstroms maximieren. Dabei sind simultan mit dem Wert-
22
23
Es existieren verschiedene Ansätze, irrationales Marktverhalten zu erklären (HOFFJAN/SIEMES, 1999, S. 452); SHLEIFER (2002). „Millionenpoker mit Gerüchten – Wie ein Flüstern die Börsen erbeben lässt Keiner glaubt niemandem: Die Angst an den Börsen ist inzwischen so groß, dass selbst abstruse Gerüchte mehrstellige Millionensummen vernichten. Händler streuen gezielt Unwahrheiten, um Kasse zu machen. Der Staat hat bisher kaum eine Chance, diese Maschinerie der Manipulation zu stoppen. 20 Minuten sind extrem kurz, aber lang genug, um mehrere Hundert Millionen zu vernichten. Nur so lange dauerte es am Mittwoch, den Aktienkurs der englischen Hypothekenbank HBOS abstürzen zu lassen: 20 Minuten nach Handelsbeginn war die Aktie schon 3,5 Prozent im Minus, eine Stunde später gar um 17 Prozent – ein Wertverlust von rund 3,8 Milliarden Euro […]“ SPIEGEL-ONLINE, 20. März 2008.
198
Kapitel IV
papierbestand für den Zeitpunkt 0 die zustandsabhängigen zukünftigen Portefeuilleänderungen zu planen.24 Ein weiteres Problem tritt hinzu, wenn die Nutzenfunktionen der Anteilseigner nicht „stabil“ sind, sondern sich im Zeitablauf ändern können und dabei die Änderungen bei der Portefeuilleplanung nicht antizipierbar sind. Auch in diesem Fall sind die Wertpapierpreise in den zukünftigen Zuständen nicht eindeutig determiniert, sondern „störtermbehaftet“.25 Störterme für zukünftige Kursentwicklungen können auch aus beschränkter Rationalität staatlicher und unternehmerischer Entscheidungsinstanzen resultieren, die in gewissem Umfang nach dem Zufallsprinzip entscheiden ohne die Folgen ihrer Handlungen beurteilen (zu wollen und) zu können. Auch verfehlte Anreizsysteme können zufallsbedingte Entscheidungen induzieren. In der Realität können bewertungsbezogene Störterme zwar voneinander stochastisch abhängen, z.B. weil sie aus gleichen Bewertungsfehlern resultieren (SHLEIFER, 2000, S. 10 ff. und die dort angegebene Literatur) oder weil sie aus Stimmungswechsel der Anleger, Modetrends unter Managern oder aus übergreifenden politischen Entscheidungen resultieren, die nach dem Zufallsprinzip getroffen wurden. Die betreffenden Störterme hätten einen Einfluss auf die gegenwärtigen Wertpapierpreise P0n, so dass mit ihnen der Rahmen des modifizierten SPA gesprengt würde. Zwar haben in diesem Modell die Störterme keinen Einfluss auf die Preise P0n, da sie als stochastisch unabhängige Größen im Rahmen der gut gemischten Portefeuilles der Anteilseigner praktisch eliminiert werden. Für die individuelle subjektive Bewertung spielen sie jedoch vor allem dann eine Rolle, wenn das Bewertungsobjekt, die Varianzen der Störterme H n und die Risikoaversion des Investors groß sind und der Überschuss des Bewertungsobjekts gegenüber dem eines gut gemischten Portefeuilles stark „strukturverzerrt“ ist. Die Darstellungen gelten indessen „näherungsweise“ auch für stochastisch abhängige Störterme, sofern die Beträge der Korrelationskoeffizienten gleich null sind.
7
CAPM und (modifizierter) SPA als theoretische Grundlage für weitere Analysen
Die Bedeutung des CAPM liegt nicht allein darin, die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt zu erklären. Es liefert eine theoretische Grundlage für die Analyse von Grundfragen, die für die Investitionsplanung und -steuerung sowie die Unternehmensbewertung von grundlegender Bedeutung sind: Wie hängen die Gleichgewichtspreise der Wertpapiere von
24
25
Zu den speziellen Voraussetzungen, unter denen ein riskantes Programm (hier Wertpapierportefeuille) einer Periode unabhängig von den riskanten Programmen für andere Perioden optimal bestimmt werden kann vgl. Kapitel XV, Abschnitt 2. Eine eindeutige Abhängigkeit der Wertpapierpreise von den Zuständen setzt jedoch nicht voraus, dass sich die Nutzenfunktionen im Zeitablauf überhaupt nicht ändern dürfen. Sie können – wie in Kapitel II, Abschnitt 4, erläutert wurde – zustandsabhängig sein. Auch zustandsabhängige Nutzenfunktionen gewährleisten (in Verbindung mit rationalem Verhalten) eindeutige Zusammenhänge zwischen Marktwerten und Zuständen.
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
199
den (Risiko-)Präferenzen der Investoren auf dem Kapitalmarkt ab? Wird im Kapitalmarktgleichgewicht das aus allen Wertpapieren resultierende Risiko pareto-effizient geteilt? Wird durch neue Investitionsprojekte, deren Überschüsse noch nicht in den Gleichgewichtspreisen antizipiert worden sind, ein Handel mit Wertpapieren ausgelöst? Besteht Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern eines Unternehmens bezüglich neuer Investitionsprojekte? Steht im Fall der Einmütigkeit Marktwertmaximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung? Warum können Zielkonflikte zwischen Anteilseignern eines Unternehmens bestehen und welche Investitionen sind für die verschiedenen Interessengruppen vorteilhaft? Diese Probleme werden nachfolgend analysiert. Bei der Analyse sind die Nutzenfunktionen der Beteiligten zu berücksichtigen. Dabei ist es zweckmäßig, folgende Varianten des CAPM zu unterscheiden, bei denen das (μ,V)-Prinzip im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht: 1. BQ-Variante: Die Endwerte der Wertpapiere und entsprechend der individuellen Portefeuilles sind beliebig verteilt (B) und alle Investoren haben quadratische Nutzenfunktionen (Q).26 2. NE-Variante: Die Endwerte beliebiger Portefeuilles sind normalverteilt (N) und alle Investoren haben exponentielle Nutzenfunktionen (E). Modelle mit dieser Annahmenkombination werden als „Hybrid-Modelle“ bezeichnet (LINTNER, 1965a; MOSSIN, 1966; BAMBERG, 1986). 3. NB-Variante: Die Endwerte sind normalverteilt (N) und die Investoren haben beliebige konkave Nutzenfunktionen (B). Die NE-Variante stellt einen Spezialfall der NB-Variante dar. Der Geltungsbereich der NE-Variante ist in dem Sinne begrenzt, dass sie sowohl einen bestimmten Verteilungstyp als auch einen bestimmten Typ von Nutzenfunktionen voraussetzt. Dadurch lassen sich mit ihrer Hilfe in anschaulicher und relativ einfacher Weise wichtige Grundzusammenhänge zeigen.27 Die BQ-Variante bietet gegenüber der NB-Variante den Vorzug, dass sie keine spezifischen Wahrscheinlichkeitsverteilungen voraussetzt, jedoch müssen die Nutzenfunktionen quadratisch sein. Quadratische Nutzenfunktionen implizieren steigende absolute Risikoaversion, während in der Realität eher damit zu rechnen ist, dass mit steigendem Reichtum die Risikoaversion sinkt. In der NB-Variante wird dagegen nur unterstellt, dass die Nutzenfunktionen konkav sind. Dies erfordert nun aber einschränkende Voraussetzungen bezüglich der maßgeblichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen; die Endwerte aller riskanten Papiere sind in der NB-Variante wie in der NE-Variante normalverteilt.
26
27
Jedoch dürfen die Verteilungen streng genommen nicht „ganz“ beliebig sein. Sie müssen nach oben beschränkt sein, weil andernfalls bei quadratischer Nutzenfunktion der Grenznutzen eines Investors negativ sein kann. Zum Beispiel sind Normalverteilungen streng genommen ausgeschlossen. Auch ist im Allgemeinen davon auszugehen, dass die Endwerte der Wertpapiere nicht negativ werden können. Die Annahmekombination exponentieller Nutzenfunktionen und Normalverteilungen wird im CAPM oft verwendet und ist in der neueren Literatur beispielsweise Standard als Grundlage der Analyse von Kapitalmarktgleichgewichten bei heterogenen Erwartungen (bei rationalen Erwartungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt und unvollständiger Offenlegung privater Informationen). Vgl. den Überblick in GILLENKIRCH (2004a, Kapitel III).
200
Kapitel IV
Da Normalverteilungen von f bis f reichen, mag die Annahme einer Normalverteilung als verfehlt erscheinen. Insbesondere bei Aktienkursen, die nicht negativ werden können, ist diese Annahme nicht streng erfüllt. Jedoch ist zu bedenken, dass den „extreme(n) Randbereiche(n) [...] im Modell der Normalverteilung ohnehin nur eine verschwindend kleine Wahrscheinlichkeitsmasse zugeordnet“ (KRUSCHWITZ, 2003, S. 334) wird, so dass die Normalverteilung trotzdem zugrunde gelegt werden kann. Vgl. hierzu auch FRANKE/ HAX (2004, S. 306-311). Die aufgeführten Probleme werden später auch vor dem Hintergrund des (modifizierten) SPA untersucht. Dabei ist von Bedeutung, dass kein grundsätzlicher Unterschied zwischen diesem Ansatz und dem CAPM besteht. Wie z.B. in LAUX (2006a, S. 190 ff.) gezeigt wird, folgt bei homogenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über die Zustände Ss, homogenen Erwartungen über die zustandsabhängigen Endwerte der Papiere und bei Orientierung aller Investoren am (μ,V)-Prinzip aus dem SPA das CAPM.
8
Relevanz von Leerverkäufen
Im CAPM und im (modifizierten) SPA haben Leerverkäufe unterschiedliche Bedeutung. Da im CAPM-Gleichgewicht alle Investoren auf dem Kapitalmarkt einen Anteil am Marktportefeuille halten (also die individuellen Portefeuillestrukturen identisch sind), erfolgen hier keine Leerverkäufe; wäre ein Leerverkauf für irgend einen Investor optimal, würde dies auch für alle anderen gelten, so dass kein Gleichgewicht vorliegen könnte. Die Gleichheit der Portefeuillestrukturen resultiert u.a. daraus, dass alle Investoren homogene Erwartungen haben und sich am (P,V)-Prinzip orientieren. Die Anwendung dieses Prinzips impliziert, dass die individuellen Nutzenfunktionen zustandsunabhängig sind, d.h. die Investoren im privaten Bereich keine Überschüsse erzielen, die von den Endwerten der Papiere stochastisch abhängig sind. Bei Existenz solcher Überschüsse (z.B. aus einem privaten Unternehmen, aus Vermietung und Verpachtung) unterscheiden sich grundsätzlich die individuellen Portefeuillestrukturen. Im (modifizierten) SPA wird nicht vorausgesetzt, dass die Investoren homogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen haben und keine exogenen Risiken bewertungsrelevant sind. Leerverkäufe haben dann grundlegende Bedeutung für die Risikoallokation. Die im (modifizierten) SPA angenommene Unbeschränktheit von Leerverkäufen gewährleistet erst, dass im Gleichgewicht das Risiko zwischen den Investoren paretoeffizient geteilt wird, was wiederum impliziert, dass bei proportionaler Teilung der Unternehmenserfolge zwischen den Anteilseignern und unveränderlichen Grenznutzenwerten Einmütigkeit hinsichtlich der unternehmerischen Maßnahmen besteht (Kapitel V). Bereits ohne private Risiken werden die Anteilseigner im (modifizierten) SPA aufgrund heterogener Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände Portefeuilles mit unterschiedlichen Strukturen halten. Anteilseiger, die Zuständen relativ hohe (niedrige) Wahrscheinlichkeiten zuordnen, halten Portefeuilles, mit denen sie in diesen Zuständen relativ hohe (niedrige) Überschüsse erzielen. Jedoch dürften Unterschiede in den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen allein kaum Leerverkäufe auslösen; für die Investoren ist es grundsätzlich optimal, Portefeuilles zu halten, deren Endwert in jedem Zu-
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
201
stand positiv ist. Leerverkäufe können vor allem aus unterschiedlichen exogenen Risiken resultieren. Wenn ein Investor in Zuständen relativ hohe private Überschüsse erzielt, wird er tendenziell für diese Zustände Überschüsse leerverkaufen und für die anderen kaufen. Exogene zustandsabhängige Überschüsse werden zwar im (modifizierten) SPA nicht wie im CAPM ausgeschlossen, jedoch müssen sie wegen der Annahme unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten auch nicht explizit erfasst werden. Beschränkungen von Leerverkäufen erfordern die Berücksichtigung von Nichtnegativitätsbedingen bei der individuellen Portefeuilleplanung. Es ist dann äußerst schwierig, aus Optimumbedingungen für die individuellen Portefeuilles Gleichgewichtspreise für Wertpapiere herzuleiten. Beschränkungen von Leerverkäufen erschweren nicht nur die Erklärung von Gleichgewichtspreisen auf dem Kapitalmarkt. Sie können auch zu erheblichen Zielkonflikten zwischen den Eigentümern eines Unternehmens führen. Die Konflikte können sich nicht nur auf neue Investitionen beziehen, sondern auch auf ihre Finanzierung. Im CAPM und im (modifizierten) SPA (mit unbeschränktem Leerverkauf) dagegen ist die Art der Finanzierung irrelevant. Probleme der Portefeuilleplanung und der individuellen subjektiven Bewertung von Investitionsprojekten bei beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten werden in den Kapiteln IX bis XII und XV untersucht.
9
Resümee
1. In dieser Arbeit wird auch die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt ausführlich untersucht. Dabei wird ersichtlich, warum die Markbewertungsfunktionen für riskante Wertpapiere und Investitionsüberschüsse hinsichtlich der Ermittlung individueller subjektiver Grenzpreise grundsätzlich versagen. Die Marktwerte werden wie auch in LAUX (2006a) in strukturgleicher Weise wie diese Grenzpreise dargestellt. Dadurch werden absolute Unterschiede zwischen ihnen und ihre Ursachen unmittelbar ersichtlich. 2. Vor allem wird in der Weise die Vollkommenheitsannahme des Kapitalmarktes aufgehoben, dass Informationskosten, die zu heterogenen Erwartungen über zukünftige Überschüsse führen, und Leerverkaufsbeschränkungen berücksichtigt werden. 3. Notwendige Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht ist Arbitragefreiheit. Es darf nicht die Möglichkeit bestehen, durch Kauf und simultanen Verkauf von Wertpapieren gegenwärtig und/oder in zukünftigen Umweltzuständen ausschließlich positive Überschüsse zu erzielen. Bei Arbitragefreiheit kann der Preis eines Papiers mit Hilfe eines Portefeuilles aus anderen Papieren erklärt werden, dessen Endwert in jedem Zustand mit dem des betrachteten Papiers übereinstimmt; der Preis des Papiers ist gleich dem Marktwert dieses Portefeuilles, das als Duplikationsportefeuille bezeichnet wird. (Bedingung ist allerdings, dass ein solches Portefeuille überhaupt existiert.) 4. Ist der Markt vollständig, lassen sich die Überschüsse neuer Investitionen stets durch Bildung von Portefeuilles aus vorhandenen Papieren duplizieren. Ist der Markt außerdem arbitragefrei und haben die neuen Überschüsse keinen Einfluss auf die Marktwerte der Duplikationsportefeuilles, können die Marktwerte der Investitionen im voraus angegeben werden; sie stimmen mit denen der Duplikationsportefeuilles überein. Ist der Markt unvollständig,
202
Kapitel IV
ist zwar keine universelle Duplizierbarkeit gegeben, d.h. es existiert nicht für jede beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Duplikationsportefeuille. Jedoch kann im konkreten Einzelfall ein Duplikationsportefeuille existieren. 5. Arbitrageüberlegungen setzen lediglich voraus, dass ein höherer Überschuss einem niedrigeren vorgezogen wird („Nichtsättigung“). Ob Investoren ihren Erwartungsnutzen oder eine andere Präferenzfunktion maximieren, ist unerheblich, wenn nur gezeigt werden soll, welche Beziehungen zwischen Wertpapierpreisen bestehen müssen, damit keine gewinnbringende Arbitragegelegenheiten existieren. Arbitragefreiheit ist jedoch eine notwendige, keine hinreichende Bedingung für ein Kapitalmarktgleichgewicht. Eine weitergehende Erklärung der Preise setzt konkretere Annahmen über die Risikopräferenzen der Investoren und ihren Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände voraus. 6. Im State Preference Ansatz (SPA) wird davon ausgegangen, dass der Kapitalmarkt vollkommen ist und außerdem (im Einperioden-Fall) für jeden zum Zeitpunkt 1 möglichen Zustand Ss (s = 1,2,...,S) direkt oder indirekt durch Portefeuillebildung mit „normalen“ Wertpapieren unbeschränkt zustandsbedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können, so dass der Kapitalmarkt auch vollständig ist. Mit Hilfe der Preise ʌs (s = 1,2,...,S) für die zustandsabhängigen Zahlungsansprüche lassen sich bei Arbitragefreiheit die Marktwerte aller umlaufenden Papiere ermitteln bzw. erklären. Das gleiche gilt für die Marktwerte neuer Investitionsüberschüsse, sofern sie keinen Einfluss auf die Preise ʌs haben. Die Preise ʌs hängen von den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt und ihren Nutzenfunktionen ab. Unveränderliche Preise ʌs bei zusätzlichen Überschüssen implizieren unveränderliche Grenznutzenwerte. 7. Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) ist ein einperiodiges Modell zur Erklärung der Preisbildung auf dem Kapitalmarkt, dessen Bewertungsfunktionen unabhängig davon gelten, ob der Markt vollständig ist oder nicht. Es ermöglicht auch die Bewertung „neuer“ Wertpapiere oder Überschüsse, die nicht mit bereits vorhandenen Papieren dupliziert werden können. Das CAPM beruht u.a. auf folgenden Grundannahmen: Die Investoren auf dem Kapitalmarkt haben homogene Vorstellungen über die Erwartungswerte, Varianzen und Kovarianzen der Endwerte P1n aller Wertpapiere. Die Investoren orientieren sich bei ihren Portefeuilleentscheidungen am (μ,V)-Prinzip und sind risikoscheu. Alle privaten Investoren können praktisch unbegrenzt Kapital zum risikolosen Zinssatz r aufnehmen und anlegen. 8. Unter den Annahmen des CAPM ist für alle Investoren die Menge der effizienten Portefeuilles riskanter Wertpapiere identisch sein. Da die effizienten Portefeuilles dieselbe Struktur haben, gilt dies auch für die optimalen Portefeuilles; sie können sich nur in ihrem Umfang unterscheiden. Unterschiede im Umfang optimaler Portefeuilles verschiedener Investoren können aus unterschiedlichen Verläufen der Indifferenzkurven (aus unterschiedlichen Risikoaversionskoeffizienten) resultieren, bei nicht-exponentiellen Nutzenfunktionen auch aus unterschiedlichen Vermögenswerten V0. Da im Marktgleichgewicht alle Wertpapiere des Marktes in den Portefeuilles der Investoren enthalten sein müssen, stellen sich die Wertpapierpreise zum Zeitpunkt 0 so ein, dass die Struktur jedes individuellen Portefeuilles mit der des Marktportefeuilles, das alle Papiere enthält, übereinstimmt. 9. Für den Marktwert M0n aller Papiere des Typs n zum Zeitpunkt 0 gilt im CAPM: (IV.26)
M 0n
RPG ;M Kov(M 1n 1G ] ) Var(M 1G Marktrisikoprämie RPn aller Papiere n
) (1 r)1 [E(M 1n
) {SÄ(M 1n
Preisbildung und Risikoteilung im Kapitalmarkt
203
bezeichnet den Marktwert aller Papiere n zum Zeitpunkt 1, M M 1n 1G den Marktwert des Marktportefeuilles zu diesem Zeitpunkt und RPG die Marktrisikoprämie des Marktportefeuil ) (1 r) M ). Der Quotient RP / Var(M ) wird als Risikoprämie les ( RPG E(M 1G 0G G 1G je Risikoeinheit oder auch als Marktpreis des Risikos bezeichnet. Er wird durch die Risikoaversionskoeffizienten der Investoren auf dem Kapitalmarkt bestimmt und ist stets positiv. Die Differenz in der eckigen Klammer auf der rechten Seite der (Markt-)Bewertungs ) des riskanten Endwertes funktion (IV.26) kann als Markt-Sicherheitsäquivalent SÄ(M 1n M interpretiert werden. Dieses Sicherheitsäquivalent ergibt sich als Differenz zwischen 1n dem Erwartungswert von M 1n und der Marktrisikoprämie RPn aller Papiere n. Gemäß (IV.26) ist M0n gleich dem mit dem risikolosen Zinssatz r diskontierten Marktsicherheitsäquivalent. Von grundlegender Bedeutung ist, dass es für die Beurteilung bzw. Messung des Risikos eines Papiers nicht allein auf die Varianz seines Endwertes ankommt, sondern auf dessen Kovarianz mit dem Endwert des gesamten Marktportefeuilles. 10. Populärer als (IV.26) ist die folgende völlig äquivalente Bewertungsfunktion: (IV.49)
M 0n
E(rG ) r ) [1 r Kov(rn ; rG )]1 E(M 1n Var(rG ) E(rn )
oder unter Verwendung des Beta-Faktors En (IV.50)
M 0n
Kov(rn ; rG ) Var(rG )
). [1 r [E(rG ) r] En ]1 E(M 1n E(rn )
rn ( rG ) bezeichnet die Rendite der Papiere des Typs n (die Rendite des Marktportefeuilles). ) der gegenwärtige MarktWegen E(rG ) r ! 0 ist bei gegebenem Erwartungswert E(M 1n wert M0n eine fallende Funktion von En. Die Bewertungsfunktion (IV.50) führt zu demsel ben M0n-Wert wie (IV.26). Während in (IV.26) das Marktsicherheitsäquivalent von M 1n mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert wird (Sicherheitsäquivalent-Methode), wird in mit einem risikoangepassten Zinssatz diskontiert (Ri(IV.50) der Erwartungswert von M 1n ;M ) = 0 gilt Kov(r ;r ) = 0 und mithin sikozuschlags-Methode). Für den Fall Kov(M 1n 1G n G En = 0, so dass sowohl aus (IV.26) als auch aus (IV.50) die Gleichung (IV.51)
M 0n
) (1 r) 1 E(M 1n
folgt. In diesem Spezialfall stimmt der „risikoangepasste“ Zinssatz mit dem risikolosen überein. Bei negativer Kovarianz Kov(rn ;rG ) ist der risikoangepasste Zinssatz kleiner als r; es wird dann also im Kalkulationszinsfuß ein negativer „Risikozuschlag“, also ein Risikoabschlag, vorgenommen. 11. Der SPA lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen derart modifizieren, dass seine Bewertungsfunktionen in strukturgleicher Form auch bei unvollständigem Kapitalmarkt gelten. Der „modifizierte“ SPA hat nicht nur Bedeutung für die Ermittlung eines aus Sicht der Anteilseigner optimalen Investitionsprogramms, sondern auch für die subjektive Bewertung von Investitionsprojekten durch einen individuellen Investor. Im modifizierten SPA hängt der Endwert einer Einheit des Papiers n (n=1,2,...,N) vom eintretenden Zustand Ss und von der Ausprägung eines als „Noise“ bezeichneten wertpapierspezifischen stochastischen Störterms H n ab. Das aus dem Störterm H n (n=1,2,...,N) resultierende Risiko ist idiosynkratisch, d.h. nicht direkt (spezifisch) handelbar. Da die Störterme für die verschiedenen Wertpapiertypen (annahmegemäß) voneinander stochastisch unabhängig sind, kann das idiosynkratische Risiko durch Bildung gut diversifizierter (kleiner) Portefeuilles für den einzel-
204
Kapitel IV
nen Anteilseigner praktisch eliminiert werden. Für den modifizierten SPA wird angenommen, dass die Anteilseigner solche Portefeuilles halten (es müssen jedoch keine Anteile am Marktportefeuille sein) und dies impliziert: Für den Preis P0n des Papiers n (n = 1,2,...,N) ist es „quasi“ irrelevant, dass dessen Endwert im Rahmen eines Zustandes Ss (s = 1,2,…,S) aufgrund des Störterms H n um seinen bedingten Erwartungswert streut; das Papier bietet keine Risikoprämie für die Übernahme des idiosynkratischen Risikos. 12. Die Störterme können nicht nur aus wertpapierspezifischen (unternehmensspezifischen) Daten oder Ereignissen resultieren, sondern u.a. auch daraus, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt nicht streng rational handeln, sondern stochastische „Bewertungsfehler“ machen, die sich nicht kompensieren, so dass deren Endwerte P1n nicht wie im SPA eindeutig durch den eintretenden Zustand Ss (d.h. durch die entsprechende Konstellation von Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten) bestimmt werden, sondern um ihre bedingten Erwartungswerte streuen. Bewertungsbezogene Störterme ergeben sich auch für den Fall, dass die Investoren auf dem Kapitalmarkt zwar bei gegebenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über zukünftige Überschüsse gemäß dem BERNOULLI-Prinzip rationale Bewertungen vornehmen können, jedoch diese Vorstellungen ihrerseits in gewissem Umfang zufallsabhängig sind und nicht streng rational durch die Entwicklung der Umweltzustände (der Ausprägungen der entscheidungsrelevanten Daten) bestimmt werden. Zum Beispiel hängen die Erwartungen über zukünftige Überschüsse von Informationen ab, die von diesen Überschüssen stochastisch unabhängig sind. Oder es werden Nachrichten mit informativem Gehalt verzerrt interpretiert. Störterme aufgrund beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt bewirken, dass bei rationaler Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises der Abschlag vom Marktwert erhöht wird. 13. Die Störterme können auch aus beschränkter Rationalität der Entscheidungsträger in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen resultieren, die in gewissem Umfang nach Zufallsprozessen entscheiden. Zwar sind die Störterme (annahmegemäß) im Rahmen gut gemischter Wertportefeuilles praktisch nicht spürbar, so dass sie keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise haben. Sie können jedoch das Hedgepotenzial eines individuellen Investors erheblich beeinflussen mit der Folge, dass – insbesondere bei großen Bewertungsobjekten und hoher Risikoaversion – der individuelle subjektive Grenzpreis weit unter dem Marktwert liegt (Kapitel X, XI und XII). Je größer außerdem die Varianzen der Störterme H n sind (je mehr der Investor der Rationalität der kursbestimmenden Entscheidungsträger misstraut), desto niedriger ist dieser Grenzpreis.
Kapitel V Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
1
Problemstellung
Aufbauend auf den in Kapitel IV dargestellten Kapitalmarktmodellen wird im vorliegenden Kapitel und in den Kapiteln VI und VII untersucht, unter welchen Bedingungen zwischen den Anteilseignern eines börsennotierten Unternehmens Anreizkompatibilität (Einmütigkeit) besteht, so dass mit der Maximierung des Nutzenerwartungswertes eines beliebigen Anteilseigners simultan auch die Nutzenerwartungswerte aller anderen Anteilseigner maximiert werden und somit für ein beliebiges Bewertungsobjekt ein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert. Besondere Aufmerksamkeit wird dabei der Frage gewidmet, ob im Fall der Einmütigkeit die Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens im Einklang mit kollektiver subjektiver Nutzenmaximierung steht und somit der kollektive subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt. In der Literatur wird Einmütigkeit oft damit begründet, dass bei Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens in Verbindung mit privaten Kapitalmarkttransaktionen der Anteilseigner der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners maximiert werde (Abschnitt 2). Dabei wird ein kompetitiver und vollständiger Kapitalmarkt unterstellt, auf dem für alle relevanten Zustände Ss direkt oder indirekt zu unveränderlichen Preisen Ss bedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können. „Unveränderlich“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die Preise Ss nicht nur unabhängig von den Kapitalmarkttransaktionen eines einzelnen Anteilseigners sind, sondern auch von den durchgeführten Investitionsprojekten und den durch sie induzierten Transaktionen aller Anteilseigner. Wie jedoch in Abschnitt 3 in Erweiterung der Darstellungen von Abschnitt 2 gezeigt wird, ist die Annahme unveränderlicher Preise Ss bei Durchführung zusätzlicher Projekte problematisch. In Abschnitt 4 wird gezeigt, dass sich diese Preise allerdings dann nicht ändern, wenn bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Anteilseigner praktisch konstant bleiben. Das Projekt bewirkt dann direkt, dass der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners steigt bzw. sinkt, sofern der Projekterfolg proportional geteilt wird und der Kapitalmarkt vollständig ist und somit das Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht pareto-effizient geteilt wird. Obwohl bei unveränderlichen Grenznutzenwerten kein Handel mit Wertpapieren stattfindet, steht hierbei Marktwert-
206
Kapitel V
maximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung; wenn der Marktwert eines Projekts (nach Anschaffungsauszahlung) bei den gegebenen Preisen Ss positiv (negativ) ist, besteht Einmütigkeit aller Anteilseigner für (gegen) das Projekt. In Abschnitt 5 wird die Bedeutung von Informationen für die Begründung von Einmütigkeit erläutert. In Abschnitt 6 wird gezeigt, dass bei unveränderlichen (zustandsabhängigen) Grenznutzenwerten Marktwertmaximierung auch dann im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, wenn der Kapitalmarkt zwar unvollständig ist, jedoch die Menge der möglichen Investitionen des Unternehmens derart begrenzt ist, dass trotz der Unvollständigkeit des Kapitalmarktes die „Spanning-Bedingung“ erfüllt ist, d.h. für jedes real mögliche Projekt ein Duplikationsportefeuille existiert, dessen Endwert in jedem Zustand Ss mit dem Projektüberschuss übereinstimmt. Wie im Abschnitt 4 führt ein Projekt bei positivem Marktwert direkt dazu, dass der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners steigt; ein Handel mit Wertpapieren wird wieder nicht ausgelöst. In Abschnitt 7 wird insbesondere erläutert, dass bei Hintergrundrisiken und beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten die beschriebenen Konzepte der Erklärung von Einmütigkeit versagen; es besteht grundsätzlich ein Konflikt zwischen Anteilseignern, so dass Marktwertmaximierung nicht kollektive subjektive Nutzenmaximierung implizieren kann. In Abschnitt 8 wird gezeigt, dass aus dem Ziel der Marktwertmaximierung nicht ohne weiteres das Marktwertkriterium hergeleitet werden kann, wonach ein einzelnes Investitionsprojekt dann vorteilhaft ist, wenn der Marktwert seiner isoliert ermittelten Überschüsse unter Berücksichtigung seiner Anschaffungsauszahlung – also sein isoliert ermittelter Kapitalwert – positiv ist. Erfolgsverbund und/oder Restriktionsverbund erfordern die integrative Planung bzw. Bewertung abhängiger Projekte. Restriktionsverbund kann auch aus einer Unvollkommenheit des Kapitalmarktes resultieren, die bewirkt, dass nicht jedes Projekt mit positivem Kapitalwert realisiert werden kann, sondern unternehmensinterne Kapitalrationierung besteht.
2
Kompatibilität bei Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen zu unveränderlichen Preisen Ss
2.1
Vorüberlegung: Maximierung des Marktwertes des privaten Vermögens eines individuellen Investors
2.1.1
Gestalt der Indifferenzkurven
Im SPA kann ein einzelner Investor auf dem Kapitalmarkt zu gegebenen Preisen Ss (s=1,2,...,S) zustandsbedingte Zahlungsansprüche kaufen und verkaufen. (Genauer: Der Einfluss seiner Kapitalmarkttransaktionen auf die Preise ist vernachlässigbar gering.) Dies impliziert, dass der Investor allenfalls in geringem Umfang Kapitalmarkttransaktionen vornimmt. Diese Transaktionen haben keinen Einfluss auf den Marktwert MV0 seines Vermögens zum Zeitpunkt 0, für den gilt:
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
207
S
(V.1)
MV0
¦ S s V1s . s 1
V1s bezeichnet das Endvermögen des Investors im Zustand Ss. Er kann den Marktwert MV0 nur erhöhen, indem er privat (Real-)Investitionsprojekte durchführt, deren Marktwert (unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung) positiv ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass die Maximierung des Marktwertes MV0 im Einklang steht mit der Maximierung des Erwartungsnutzens des Investors, sofern seine Investitionen keinen Einfluss auf die Preise Ss (s = 1,2,...,S) haben.1 Zunächst wird davon ausgegangen, dass nur zwei Zustände (S1 und S2) relevant sind. Der Investor könne nicht nur direkt mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen für die Zustände S1 und S2 handeln, sondern auch mit anderen Wertpapieren. Darüber hinaus kann er zum risikolosen Zinssatz r Geld anlegen und aufnehmen. Für den Erwartungswert des Nutzens des Endvermögens V1 des Investors gilt: (V.2)
~ E[ U(V1 )]
w (S1 ) U(V11 ) w (S 2 ) U(V12 ) .
Die Kombinationen aus V11 und V12, die denselben Erwartungsnutzen stiften, lassen sich in einem (V11,V12)-Diagramm mit Hilfe von Indifferenzkurven darstellen (Abbildung V.1). Einer Indifferenzkurve entspricht ein umso höherer Erwartungsnutzen, je weiter rechts oben sie verläuft. Da eine Bewegung entlang einer Indifferenzkurve den Erwartungsnutzen nicht ändert, muss gemäß (V.2) in einem Punkt P(V11,V12) das totale Differential gelten: (V.3)
~ dE[ U(V1 )]
w (S1 ) U' (V11 ) dV11 w (S 2 ) U' (V12 ) dV12
0.
Hieraus folgt für die Indifferenzkurvensteigung im Punkt P(V11,V12): (V.4)
dV11 dV12
w (S 2 ) U' (V12 ) . w (S1 ) U' (V11 )
Wegen w (S1 ) ! 0 , w (S 2 ) ! 0 und U' ! 0 ist gemäß (V.4) die Indifferenzkurvensteigung negativ. Bei Risikoneutralität des Investors kann seine Nutzenfunktion wie folgt dargestellt werden: U(V1 ) V1 . Es gilt dann U' (V1 ) 1 für jedes V1 so dass aus (V.4) folgt: (V.5)
1
dV11 dV12
w (S 2 ) . w (S1 )
Vgl. hierzu BREUER (1997; 1998, S. 45 ff.); DEANGELO (1981); EWERT/WAGENHOFER (2003, S. 239 ff.); FRANKE/HAX (2004, S. 329 ff.); GROSSMAN/STIGLITZ (1977); RUBINSTEIN (1974); HACHMEISTER (1995, S. 11 ff.); SCHMIDT/TERBERGER (1997, S. 56 f.); WILHELM (1983b).
208
Kapitel V
Die Indifferenzkurven verlaufen dann also linear mit der Steigung w(S2) / w(S1); sie ~ repräsentieren (V11,V12)-Kombinationen mit jeweils demselben Erwartungswert von V1 . V11 ( Zustand S1 ) S2
Steigung S
1
P1
T3
G p1 T2 T1 V11
0
G p2
P2 V12
V12 ( Zustand S2 )
Abb. V.1: Zur Konformität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung bei unveränderlichen Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche
Bei Risikoaversion gilt (V.5) gemäß (V.4) nur für U'(V11) = U'(V12), d.h. für V11 = V12. Ausgehend von einem Punkt P(V11,V12 = V11) führt eine Bewegung entlang der zugehörigen Indifferenzkurve nach links oben zu einem immer kleineren Grenznutzenwert bezüglich V11 und zu einem immer größeren Grenznutzenwert bezüglich V12; der Betrag der Indifferenzkurvensteigung wird gemäß (V.4) immer größer. Eine Bewegung entlang der Indifferenzkurve nach rechts unten bewirkt dagegen, dass der Betrag der Indifferenzkurvensteigung immer kleiner wird (Abbildung V.1). Sämtliche Indifferenzkurven verlaufen somit bei Risikoaversion streng konvex. Im Fall w(S1) = w(S2) = 0,5 ist gemäß (V.4) die Steigung jeder Indifferenzkurve im Schnittpunkt mit der 45°-Achse (V11 = V12) gleich 1, da für V11 = V12 auch U'(V11) = U'(V12) gilt; jede Indifferenzkurve verläuft dann bezüglich der 45°-Achse streng symmetrisch.
2.1.2
Nutzenmaximierung und Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen
Es wird nun untersucht, wie der Investor in Verbindung mit Kauf und Verkauf zustandsbedingter Zahlungsansprüche seinen Erwartungsnutzen maximieren kann, sofern die Preise Ss von seinen Aktivitäten unabhängig sind. In der Ausgangssituation verfüge
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
209
er über einen Bestand an zustandsbedingten Zahlungsansprüchen von V11 für den Zustand S1 und von V12 für den Zustand S2. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird davon ausgegangen, dass er zum Zeitpunkt 0 über keinen Zahlungsmittelbestand verfügt. Da die Aufnahme bzw. Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz r gegenüber einem Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen keinen Vorteil (aber auch keinen Nachteil) mit sich bringen kann, werden explizit nur Kauf und Verkauf solcher Zahlungsansprüche berücksichtigt.2 Wird die Anzahl an Zahlungsansprüchen auf 1 GE, die für den Zustand Ss (s = 1,2) erworben werden, mit xs bezeichnet, gilt für den Bestand an zustandsbedingten Zahlungsansprüchen nach Kauf bzw. Verkauf: (V.6)
V11
V11 x1
V12
V12 x 2 .
und (V.7)
(V.6) und (V.7) können wie folgt dargestellt werden: (V.6a)
x1
V11 V11
x2
V12 V12 .
und (V.7a)
Für x1 und x2 muss folgende Budgetgleichung erfüllt sein (da der Investor zu Beginn der Periode über keinen Zahlungsmittelbestand verfügt): (V.8)
S1 x1 + S2 x2 = 0.
Einsetzen von (V.6a) und (V.7a) in (V.8) ergibt nach Umformung: (V.9)
V11
S V11 2 (V12 V12 ) . S1
Dies ist die Bestimmungsgleichung einer Marktwertgeraden, die zum Ausdruck bringt, welche (V11,V12)-Positionen durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen mit der Ausgangsausstattung V11 , V12 realisiert werden können. Alle Punkte auf dieser 2
Die Aufnahme eines Kredits in Höhe von K GE führt zum Zeitpunkt 0 zu einer Einzahlung von K und zum Zeitpunkt 1 zu einer Auszahlung von (1 r) K . Verkauft der Anteilseigner jeweils (1 r) K Zahlungsansprüche für den Zustand S1 und für den Zustand S2, erzielt er zum Zeitpunkt 0 ebenfalls eine Einzahlung in Höhe von (1 r) K S1 (1 r) K S2
(1 r) K (S1 S2 ) (1 r)
K,
1
wobei zum Zeitpunkt 1 wiederum eine sichere Auszahlung von (1 r) K zu leisten ist. Das Umgekehrte gilt für eine Anlage zum Zinssatz r.
210
Kapitel V
Marktwertgeraden repräsentieren (V11,V12)-Kombinationen, die zum Zeitpunkt 0 denselben Marktwert haben wie V11 , V12 . Daneben gibt es unendlich viele andere Marktwertgeraden, die zu ihr parallel verlaufen; jede Marktwertgerade hat die Steigung S2 / S1. Einer Marktwertgeraden entspricht ein umso höherer Marktwert, je weiter rechts oben sie im Koordinatensystem verläuft. Für den Investor ist zunächst diejenige (V11,V12)-Kombination optimal, die dem Tangentialpunkt T1 der Marktwertgeraden für die Position V11 , V12 mit einer Indifferenzkurve entspricht. Mit dieser Position maximiert er seinen Erwartungsnutzen ohne zusätzliche Investitionen.
2.1.3
Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung als äquivalente Ziele bei konstanten Preisen ʌs
Nun biete sich dem Investor privat ein Investitionsprojekt zur Durchführung an, dessen Anschaffungsauszahlung A0p beträgt und das zum Zeitpunkt 1 den Überschuss e1p,1 (e1p,2) erbringt, sofern der Zustand S1 (S2) eintritt. Bei unveränderlichen Preisen Ss beträgt der Marktwert M0p dieses Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung (der Kapitalwert des Projekts): (V.10)
M 0p
e1p,1 S1 e1p,2 S 2 A 0p .
Wegen S1 + S2 = (1+r)1 oder (S1 + S2)(1+r) = 1 kann (V.10) wie folgt dargestellt werden: (V.11)
M 0p
e1p,1 S1 e1p,2 S 2 A 0p ( S1 S 2 ) (1 r ) S1 e1p,1 (1 r ) A 0p S 2 e1p,2 (1 r ) A 0p . { G p1
{ G p2
Der Marktwert M0p ist somit gleich der Summe der mit den Preisen S s gewichteten möglichen Residualgewinne. Dabei gibt der Residualgewinn Gp1 (Gp2) an, wie weit bei Durchführung des Projekts das Endvermögen des Investors im Zustand S1 (S2) steigt. Das Projekt ist offensichtlich dann vorteilhaft, wenn mindestens ein möglicher Residualgewinn positiv und der andere nicht negativ ist; es ist nachteilig, wenn mindestens ein Residualgewinn negativ ist und der andere nicht positiv ist. Im Folgenden soll nur der Fall betrachtet werden, dass einer der Residualgewinne positiv und der andere negativ ist. Es sei Gp1 > 0 und Gp2 < 0 (vgl. Abbildung V.1). Gemäß (V.11) gilt dann als Vorteilhaftigkeitsbedingung: (V.12)
M0p > 0, wenn
G p1
S 2 . G p2 S1
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
211
Der Marktwert des Projekts ist also positiv, wenn das Verhältnis Gp1/Gp2 kleiner ist als die Steigung der Marktwertgeraden. Wegen Gp2 < 0 kann die Bedingung (V.12) auch wie folgt dargestellt werden:
G p1
S 2 S1 | G p2 |
bzw.
G p1
S ! 2. | G p2 | S1
Das Verhältnis aus Gewinn G p1 und Verlust | G p2 | muss also höher als der Betrag der Steigung der Marktwertgeraden sein.3 Bei positivem Marktwert steigt mit der Durchführung des Projekts der Marktwert des Endvermögens des Investors zum Zeitpunkt 0 um M0p > 0, so dass er einen Punkt auf einer „höheren“ Marktwertgeraden erreicht. Im Beispiel der Abbildung V.1 wird die neue Position durch P1 charakterisiert. Obwohl der Marktwert des Projekts positiv ist, ist mit P1 ein niedrigerer Erwartungsnutzen verbunden als mit dem Ausgangspunkt T1. Damit scheint ein Widerspruch zwischen dem Marktwertkriterium und den durch die Indifferenzkurven dargestellten subjektiven Präferenzen des Investors zu bestehen. Dieser Widerspruch löst sich jedoch auf, wenn berücksichtigt wird, dass der Investor das durch die Investition aufgebürdete Risiko hedgen kann. Annahmegemäß kann er ausgehend von der Position P1 durch Kauf und Verkauf zustandsbedingter Ansprüche beliebige andere Positionen mit dem gleichen Marktwert erzielen. Im Beispiel der Abbildung V.1 kauft (verkauft) er Ansprüche auf den Zustand S2 (S1), so dass er den Tangentialpunkt T2 erreicht, dem ein höherer Erwartungsnutzen als dem Tangentialpunkt T1 entspricht; die neue Verteilung dominiert die alte. Besteht die Wahl zwischen zwei einander ausschließenden Projekten, ist jenes mit dem höheren positiven Marktwert optimal. Die Marktwertmaximierung steht somit bei beliebigen Projektüberschüssen im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung, sofern auf dem Markt beliebige Zahlungsansprüche zu unveränderlichen Preisen gekauft und verkauft werden können. Unter dieser Voraussetzung löst sich der Widerspruch zwischen Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung auf. Es ist von grundlegender Bedeutung, dass bei der Ermittlung von Marktwerten die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände aus Sicht des Investors nicht explizit berücksichtigt werden, sondern nur die Preise S s , die allerdings von den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen aller Akteure auf dem Kapitalmarkt abhängen. Beim Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen zur Erreichung des subjektiven Nutzenmaximums
3
Für G p1 0 und G p2 ! 0 muss gelten: | G p1 | G p2
S2 S1
.
212
Kapitel V
wird diesen Wahrscheinlichkeiten jedoch Rechnung getragen; sie beeinflussen die Steigungen der Indifferenzkurven.
2.1.4
Konflikt zwischen Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei Leerverkaufsbeschränkungen
Wenn der Investor aufgrund von Marktzugangsbeschränkungen – insbesondere aufgrund begrenzter Leerverkaufsmöglichkeiten – nicht in der Lage ist, ausgehend von P1 eine Position auf der durch T1 verlaufenden Indifferenzkurve oder einer Indifferenzkurve rechts oberhalb davon zu erreichen, ist das Projekt trotz eines positiven Marktwertes für ihn nachteilig. Kann er keine Leerverkäufe vornehmen, ergeben sich unterschiedliche Implikationen, je nachdem, wie der Optimalpunkt T1 (in der Ausgangssituation) interpretiert wird. Angenommen, ihm entspreche ausschließlich ein vorhandener Bestand an zustandsbedingten * Zahlungsansprüchen, den Anspruch V11 für den Zustand S1 (in Höhe des Ordinaten* wertes des Punktes T1) und den Anspruch V12 für den Zustand S2 (in Höhe des Abszis* senwertes von T1). Wenn nun V11 höher ist als die Differenz zwischen den Ordinatenwerten der Punkte P1 und T2, die der Investor für den Zustand S1 verkaufen muss, um den Punkt T2 zu erreichen, ist ein Leerverkauf nicht erforderlich; der Investor verkauft den entsprechenden Anspruch aus seinem Portefeuille. Im Beispiel der Abbildung V.1 * ist allerdings V11 kleiner als die Differenz zwischen den Ordinatenwerten der Punkte P1 und T2. Ohne Leerverkauf kann er bei Durchführung des Projekts bestenfalls denjenigen Punkt auf der durch P1 verlaufenden Marktwertgeraden realisieren, dessen Ordina* tenwert mit dem des Punktes P1 abzüglich V11 übereinstimmt. Resultieren die dem Punkt T1 entsprechenden Endvermögenswerte zum Teil (oder vollständig) aus Realinvestitionen, hält also der Investor in der Ausgangssituation ein relativ kleines (oder überhaupt kein) Portefeuille, wirkt sich ein Verbot von Leerverkäufen noch gravierender aus. Je größer das Projekt im Vergleich zu dem bisherigen Portefeuille des Investors ist, desto eher ist zu erwarten, dass es ohne Leerverkaufsmöglichkeiten für ihn auch dann nachteilig ist, wenn sein Marktwert hoch ist. Allgemein gilt: Wenn der Überschuss ~e1p dupliziert werden kann, ist der individuelle subjektive Grenzpreis nie höher als der Marktwert; es ist irrational, einen Preis für den Überschuss zu zahlen, der höher ist als der Marktwert seines Duplikationsportefeuilles. Wenn man unbeschränkt leerverkaufen kann, ist der Grenzpreis stets mit dem Marktwert identisch. Bei Beschränkungen des Leerverkaufs ist der Grenzpreis im Allgemeinen kleiner als der Marktwert. Beide sind nur dann gleich, wenn es optimal ist, ohne das Projekt das Duplikationsportefeuille zu kaufen (das Duplikationsportefeuille wird dann einfach durch das Projekt ersetzt) oder wenn man in der Ausgangssituation schon ein Portefeuille hält, welches das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält (es wird dann gar kein Leerverkauf, sondern ein realer Verkauf der betreffenden Papiere
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
213
vorgenommen); ist der Preis des Projekts niedriger als der Marktwert, wird bei dessen Kauf ein Vorteil erzielt. Ist der Leerverkauf unbeschränkt möglich, jedoch der Überschuss ~e1p nicht duplizierbar, ist der individuelle subjektive Grenzpreis ebenfalls grundsätzlich niedriger als der Marktwert. Überhaupt keine Duplizierbarkeit und somit eine relativ hohe Abweichung besteht dann, wenn alle zukünftigen Wertpapierpreise vom Überschuss des Bewertungsobjekts stochastisch unabhängig sind.
2.1.5
Mehr als zwei mögliche Zustände
Zur Rechtfertigung des Ziels der Marktwertmaximierung für mehr als zwei Zustände und unbeschränktem Leerverkauf wird von der Fiktion ausgegangen, dass der Investor bei Durchführung des Projekts zum Zeitpunkt 0 zustandsbedingte Zahlungsansprüche in Höhe des jeweiligen Residualgewinns des Projekts (leer-) verkauft. Da solche Ansprüche zurückgekauft werden können, ist mit dem Verkauf kein Nachteil verbunden. Das Projekt ist vorteilhaft, wenn der Verkaufserlös positiv ist, also (V.13)
S
S
¦ S s G ps
¦ S s [e1p,s (1 r ) A 0p ] ! 0
s 1
s 1
gilt. Mit diesem Erlös kann der Investor zustandsbedingte Zahlungsansprüche erwerben, so dass sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über sein Endvermögen ergibt, die jene in der Ausgangssituation (vor dem Projekt) dominiert. Die Vorteilhaftigkeitsbedingung (V.13) kann wegen ¦ Ss 1 S s dargestellt werden: S
(V.14)
S
(1 r ) 1 auch wie folgt
S
¦ S s G ps ¦ S s [e1p,s (1 r ) A 0p ] ¦ S s e1p,s A 0p ! 0 . s 1
s 1
s 1
Das Projekt erhöht also den Erwartungsnutzen, wenn sein Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist. Somit stimmt für ein beliebiges Bewertungsobjekt der individuelle subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert seines Überschusses überein. Von zwei oder mehr einander ausschließenden Projekten ist dasjenige mit dem höchsten positiven Marktwert optimal.4 Für die Begründung der Kompatibilität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung haben Leerverkäufe substantielle Bedeutung. Bei Fragen der Unternehmens4
Es wurde vereinfachend davon ausgegangen, dass die Konsumausgabe zum Zeitpunkt 0 ein Datum ist. Wird diese Annahme aufgehoben, steht nach wie vor Marktwertmaximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung. Das Programm mit dem maximalen Marktwert ermöglicht simultan eine dominante Verteilung bezüglich der sicheren Konsumausgabe zum Zeitpunkt 0 und des ungewissen Endvermögens.
214
Kapitel V
bewertung wird oft davon ausgegangen, dass Leerverkäufe ohne weiteres möglich seien. Probleme der Ermittlung eines subjektiven Grenzpreises resultieren jedoch im Kern daraus, dass Leerverkäufe nur in Grenzen zulässig sind und/oder prohibitiv hohe Transaktionskosten verursachen. Die Problematik der Annahme unbegrenzter Leerverkäufe wird deutlich, wenn man diese auf andere Fragestellungen anwendet: Zum Beispiel könnte der Vorstand einer Aktiengesellschaft alle Aktien seiner Gesellschaft kaufen und das Risiko aus alten und neuen Investitionen durch Leerverkauf von Wertpapieren hedgen. Er könnte auf diese Weise für sich ein ideales Anreizsystem schaffen, weil er dann die Kapitalwerte neuer Investitionen nicht mit anderen Anteilseignern teilen müsste.
2.1.6
Fazit: Relevanz von Hedgemaßnahmen für die Bewertung
Wenn das Risiko eines Bewertungsobjekts perfekt gehedgt werden kann, ist der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem (maximalen) Marktwert seines Überschusses. Bei perfekten Hedgemöglichkeiten kann der Grenzpreis ohne Rücksicht auf die Risikoeinstellung des Investors isoliert (separiert) von Hedgemaßnahmen ermittelt werden. Für die Realisation einer optimalen Gesamtlösung sind diese Maßnahmen als Instrument der Risikomischung jedoch von grundlegender Bedeutung. Jedoch kann die Entscheidung darüber nach Kauf des Bewertungsobjekts (ohne „Zeitdruck“) getroffen werden; perfekte Hedgemöglichkeiten müssen nicht im Bewertungskalkül antizipiert werden. Dagegen erfordert die Unvollständigkeit von Hedgemöglichkeiten integriertes Risikomanagement, also eine simultane Ermittlung des individuellen subjektiven Grenzpreises und der optimalen Hedgemaßnahmen; es ist nicht sinnvoll, zunächst die zustandsabhängigen Überschüsse des Bewertungsobjekts mit dem höchsten Marktwert vor Anschaffungsauszahlung zu planen und dann im nächsten Schritt die optimalen Hedgemaßnahmen für diese Überschüsse sowie einen entsprechenden Abschlag vom Marktwert zu ermitteln. Unvollkommene Hedgemöglichkeiten erfordern „perfekt“ integriertes Risikomanagement.5
2.2
Maximierung des Marktwertes der Aktien eines Unternehmens
2.2.1
Konzept
Hält der Investor Aktien eines Unternehmens, ist der Marktwert dieser Aktien zum Zeitpunkt 0 Bestandteil des Marktwertes seines Vermögens gemäß (V.1), wobei sein Endvermögen V1s vom Endwert dieser Aktien im Zustand Ss abhängt. Der Marktwert seines Vermögens zum Zeitpunkt 0 kann dann auch erhöht werden, indem er nicht privat Investitionsprojekte mit positivem Kapitalwert durchführt, sondern das Unternehmen. Hält der Investor als Anteilseigner den Anteil z > 0 der Aktien des Unternehmens,
5
In Kapitel XV wird für den Mehrperioden-Fall gezeigt, wie der individuelle subjektive Grenzpreis simultan mit den optimalen Überschüssen des Bewertungsobjekts und den optimalen Hedgemaßnahmen ermittelt werden kann.
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
215
ändert sich bei Durchführung eines Projekts im Unternehmen der Marktwert seines Vermögens um den mit z gewichteten Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung (d. h. um den mit z gewichteten Marktwert des Projektgewinns). Bei unveränderlichen Preisen Ss (s = 1,2,...,S) steigt in Verbindung mit den in Abschnitt 2.1 beschriebenen Kapitalmarkttransaktionen der Erwartungsnutzen des Anteilseigners, wenn der Marktwert des Projekts positiv ist. Der Erwartungsnutzen wird maximiert, indem der Marktwert der Aktien des Unternehmens (vor Ausschüttung) maximiert wird; das Marktwertkriterium steht bei unveränderlichen Preisen Ss auch hier in Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung. Um spätere Vergleiche zu erleichtern, wird dieser Zusammenhang mit Hilfe von Abbildung V.2 verdeutlicht. Dabei bezeichnet nun T1 die riskante Vermögensposition des betrachteten Anteilseigners vor Durchführung des Projekts. Bei Durchführung ändert sich zunächst sein Endvermögen im Zustand S1 um zGp1 und im Zustand S2 um zGp2, wobei er wieder eine Position P1 auf einer höheren Marktwertgeraden erreicht. In Verbindung mit Kauf bzw. Verkauf zustandsbedingter Zahlungsansprüche erzielt er denjenigen Erwartungsnutzen, der dem Tangentialpunkt T2 entspricht. V11 ( Zustand S1 ) S2
Steigung S
1
P1
T3
z G p1 T2 T1 z G p2
P2
0
V12 ( Zustand S2 )
Abb. V.2: Zur Konformität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung bei unveränderlichen Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche
Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 2.1 ist das Projekt für den Anteilseigner allgemein vorteilhaft, wenn S
(V.15)
S
¦ S s z G ps z ¦ S s [e1p,s (1 r ) A 0p ] ! 0 s 1
s 1
216
Kapitel V
gilt. Wegen z > 0 kann (V.15) in die Vorteilhaftigkeitsbedingung (V.14) überführt werden; das Projekt erhöht den Erwartungsnutzen des Anteilseigners genau dann, wenn sein Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist. Der Erwartungsnutzen des betrachteten Anteilseigners wird maximiert, indem das Investitionsprogramm mit dem höchsten positiven Marktwert realisiert wird. Das Analoge gilt für jeden anderen Anteilseigner des Unternehmens. Es besteht somit Einmütigkeit zwischen den betreffenden Anteilseignern, so dass für ein beliebiges Bewertungssubjekt der kollektive subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert seines Überschusses übereinstimmt. Die Argumentation setzt allerdings voraus, dass alle Anteilseigner über die zustandsabhängigen Erfolge informiert werden, damit sie die maßgeblichen Kapitalmarkttransaktionen durchführen können (Informationsprämisse). Dann steigt der Marktwert der Aktien des Unternehmens um den Marktwert des Investitionsprojekts bzw. -programms. Möglicherweise sind wieder Leerverkäufe erforderlich, um die Anpassungen vorzunehmen. Leerverkäufe erübrigen sich allerdings dann, wenn die individuellen Anteile am Projekt im Vergleich zu den individuellen Portefeuilles gering sind, so dass die Anpassungen durch reale Verkäufe von Wertpapieren vorgenommen werden können. Ein Verbot von Leerverkäufen kann den individuellen subjektiven Wert erheblich mehr beeinträchtigen als den kollektiven subjektiven Wert (Kapitel XI und XII). Hält ein „Anteilseigner“ auf Grund eines Leerverkaufs einen Anteil z < 0 an den Aktien des Unternehmens, ist aus seiner Sicht das Projekt vorteilhaft, wenn sein Kapitalwert M0p negativ ist. Im Fall M0p > 0 sinkt bei Durchführung des Projekts der Marktwert des Portefeuilles des Leerverkäufers um | z | M 0p , so dass er einen Punkt auf einer „niedrigeren“ Marktwertgeraden erreicht. Es besteht somit ein Konflikt zwischen Leerverkäufern und den Anteilseignern mit positiven Beständen an Aktien des Unternehmens. Der Konflikt besteht natürlich auch dann, wenn die Leerverkäufer zwar positive Bestände an Aktien des Unternehmens besitzen, jedoch die leerverkauften Bestände höher sind als diese. Es existiert dann kein kollektiver subjektiver Grenzpreis.
2.2.2
Bewertung und Separierbarkeit
Existiert ein Markt für zustandsbedingte Zahlungsansprüche und haben die realisierten Projekte keinen Einfluss auf die Preise Ss, kann bei proportionaler Teilung der Überschüsse ein für alle Anteilseigner optimales Investitionsprogramm ermittelt werden, ohne ihre Risikoeinstellung (und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände) explizit zu berücksichtigen („risikopräferenzfreie“ Bewertung). Ausgehend von diesem Programm kann dann jeder Anteilseigner durch Kauf und Verkauf zustandsbedingter Zahlungsansprüche die entsprechende optimale Wahrscheinlichkeitsverteilung über sein Endvermögen realisieren, wobei erst dann die individuellen Nutzenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen für die Zustände explizit in die Kalküle einzubeziehen sind.
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
217
Die Tatsache, dass das Ziel der Marktwertmaximierung nicht voraussetzt, dass im Unternehmen die Risiken des Leistungsbereichs gehedgt werden, bedeutet also nicht, dass Maßnahmen der Risikostreuung für die Anteilseigner generell irrelevant sind. Wie erläutert, nehmen sie die optimalen Transformationen privat vor. Im Vergleich dazu können sie keinen Vorteil erzielen, wenn Hedgemaßnahmen unternehmensintern durchgeführt werden. Werden Kapitalmarkttransaktionen nur im Unternehmen (nicht privat) vorgenommen, ergeben sich für einige oder alle Anteilseigner sogar Nachteile, weil dann keine optimalen Differenzierungen gemäß den individuellen Risikoeinstellungen, sondern nur für alle Anteilseigner einheitliche Hedgemaßnahmen realisiert werden können. Es besteht nicht nur Separierbarkeit zwischen den marktwertorientierten Investitionsentscheidungen im Unternehmen einerseits und den der subjektiven Nutzenmaximierung dienenden Transaktionen der Anteilseigner auf dem Kapitalmarkt andererseits, sondern auch bezüglich der Entscheidungen über verschiedene Investitionsprojekte im Unternehmen, sofern weder Erfolgs- noch Restriktionsverbund besteht. Der (Markt-)Wert eines einzelnen Projekts ist dann unabhängig davon, welche Projekte sonst noch durchgeführt werden; eine Simultanplanung erübrigt sich.
2.3
„Competitivity“ und „Spanning“ als Grundbedingungen der Anreizkompatibilität
Die Darstellungen in den Abschnitten 2.1 und 2.2 setzen voraus, dass das erwogene Projekt oder Investitionsprogramm keinen Einfluss auf die Preise zustandsbedingter Zahlungsansprüche hat und dass ein vollständiger Kapitalmarkt existiert, also für alle relevanten Zustände direkt oder indirekt Zahlungsansprüche gehandelt werden können. Die Annahme, dass ein zusätzliches Projekt keinen Einfluss auf die Preise zustandsbedingter Ansprüche hat, wird als „Competitivity Assumption“ bezeichnet (GROSSMAN/ STIGLITZ, 1977, S. 397; DEANGELO, 1981, S. 22); der Kapitalmarkt ist dann „kompetitiv“. Wenn für alle entscheidungsrelevanten Zustände Ss (s = 1,2,...,S) bedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können, können die möglichen Überschüsse, die mit einem beliebigen Projekt am Ende der Periode erzielt werden, durch Kauf und Verkauf vorhandener Papiere rekonstruiert werden: Es kann mit diesen Papieren ein Portefeuille gebildet werden, dessen Endwert in jedem Zustand Ss (s = 1,2,...,S) mit dem Projektüberschuss e1p,s übereinstimmt; der Projektüberschuss ist durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt duplizierbar. Die Möglichkeit, die Überschüsse aller in einem Unternehmen durchführbaren Projekte durch Transaktionen auf dem Kapitalmarkt zu duplizieren, wird als „Spanning Property“ bezeichnet (GROSSMAN/STIGLITZ, 1977, S. 390; MOSSIN, 1977, S. 128). Die erwogenen Projekte mit den von ihnen verursachten möglichen Über-
218
Kapitel V
schüssen werden dann gewissermaßen durch die bereits am Kapitalmarkt gehandelten Zahlungsströme „aufgespannt“ (WILHELM, 1983; BREUER, 1997, S. 224). Im vollständigen Kapitalmarkt ist die Spanning-Bedingung immer erfüllt, es besteht universelle Duplizierbarkeit. Ist die Klasse der möglichen Investitionsprojekte des Unternehmens beschränkt, kann die Spanning-Bedingung aber auch im unvollständigen Kapitalmarkt erfüllt sein. (Die Vollständigkeit des Kapitalmarktes ist somit eine hinreichende, keine notwendige Bedingung für Spanning.) Ist zusätzlich zur Spanning-Bedingung auch die Competitivity-Bedingung erfüllt – hat also das Projekt keinen Einfluss auf die Marktwerte projektunabhängiger Wertpapiere – steht trotz Unvollständigkeit des Kapitalmarktes Marktwertmaximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung. Dies lässt sich einfach begründen: Mit einem zusätzlichen Investitionsprojekt wird einem Anteilseigner ein zusätzliches Risiko aufgebürdet. Unter der Spanning-Voraussetzung kann er ein Portefeuille bilden, das seinen Anteil am Überschuss des Projekts dupliziert, und dieses (leer-)verkaufen (er nimmt damit einen perfekten Hedge seines Erfolgsanteils vor). Wenn der Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist, erzielt er einen Verkaufserlös, der höher ist als der Betrag z A 0p , d.h. höher als die auf ihn entfallende anteilige Anschaffungsauszahlung. Den Überschuss kann er entsprechend seiner Risikoeinstellung optimal am Kapitalmarkt reinvestieren; sein Erwartungsnutzen steigt. Unter der Spanning-Bedingung ist für jedes mögliche Projekt der Marktwert seines Überschusses kollektiver subjektiver Grenzpreis. Im Vordergrund der folgenden Darstellungen steht zunächst wieder der vollständige Kapitalmarkt. Auf die Bedeutung der Spanning-Bedingung bei unvollständigem Kapitalmarkt kommen wir in Abschnitt 6 zurück.
3
Problematik der Annahme eines Handels zu unveränderlichen Preisen Ss
3.1
Allgemeine Charakteristik
Zwar steht bei vollständigem Kapitalmarkt die Orientierung am Marktwertkriterium generell im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung, sofern sich die Preise Ss mit der Durchführung neuer Projekte nicht ändern. Damit sollte jedoch eine Rechtfertigung des Ziels der Marktwertmaximierung nicht enden; die Bedingung unveränderlicher Preise bedarf ihrerseits einer theoretischen Begründung. Wird – wie in Abschnitt 2.1 – davon ausgegangen, dass ein einzelner privater Investor ein Investitionsprojekt erwägt, kann die Bedingung unveränderlicher Preise damit gerechtfertigt werden, dass im Rahmen des State Preference Ansatzes annahmegemäß ein einzelner Investor (Anteilseigner) auf dem Kapitalmarkt praktisch keinen Einfluss
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
219
auf die Preise Ss hat, was wiederum voraussetzt, dass das Projekt und die entsprechenden Kapitalmarkttransaktionen des Investors einen relativ geringen „Umfang“ haben. Wird jedoch davon ausgegangen, dass in einem Unternehmen mit großer Zahl von Anteilseignern ein entsprechend umfangreiches Investitionsprojekt durchgeführt wird, wird es schwieriger, die Hypothese unveränderlicher Preise Ss sinnvoll zu begründen. Zur Verdeutlichung werden die Abbildungen V.1 und V.2 einander gegenübergestellt. Für das betrachtete Individuum seien hierbei dieselben zustandsabhängigen Vermögensänderungen relevant, unabhängig davon, ob er als „Investor“ ein kleines Projekt (das die Preise Ss nicht verändert) privat durchführt (Abbildung V.1) oder als Anteilseigner mit dem Anteil z am Erfolg eines umfangreichen Programms beteiligt ist, das in einem Unternehmen durchgeführt wird (Abbildung V.2). Würden mit der unternehmerischen Investition nur bei dem betrachteten Anteilseigner Kapitalmarkttransaktionen ausgelöst werden, so wäre die Annahme unveränderlicher Preise ebenso gerechtfertigt wie wenn er eine entsprechend „kleine“ Investition privat durchführt. Nun sind aber zahlreiche Anteilseigner am Projekterfolg beteiligt, die alle die in Abschnitt 2.2.1 beschriebenen Kapitalmarkttransaktionen vornehmen wollen. Die Gesamtheit dieser Kapitalmarkttransaktionen kann durchaus ins Gewicht fallen.
3.2
Problematik in einem Nichthandels-Gleichgewicht
Die Bedingung unveränderlicher Preise Ss kann nur in der Weise sinnvoll analysiert werden, dass die Reaktionen aller Anteilseigner berücksichtigt werden. Die Berücksichtigung dieser Reaktionen zeigt, dass die Bedingung unveränderlicher Preise z.B. im Rahmen der BQ- und der NE-Variante des CAPM eindeutig verletzt ist. Wie in Kapitel VI, Abschnitt 2.1 gezeigt werden wird, gilt hierfür: Wenn ausgehend von einem Kapitalmarktgleichgewicht ein neues Projekt durchgeführt wird, ändern sich die Preise derart, dass das Gleichgewicht erhalten bleibt (Nichthandels-Gleichgewicht).6 Falls bei den bisherigen (unveränderten) Preisen irgend ein Anteilseigner Papiere kaufen oder verkaufen will, gilt dies auch für jeden anderen, so dass diese Preise keine Gleichgewichtspreise sein können: Die Preise aller riskanten Wertpapiere ändern sich mit dem Projekt in der Weise, dass es für jeden Anteilseigner nachteilig ist, zu kaufen oder zu verkaufen. Entsprechend ist der Argumentation, jeder Anteilseigner könne ausgehend von der durch ein neues Projekt mit positivem Marktwert erreichten Position durch Handel mit zustandsbedingten Ansprüchen eine Position erreichen, deren Erwartungsnutzen höher ist als der in der Ausgangssituation, die theoretische Basis entzogen. Zur graphischen Verdeutlichung (Abbildung V.3) wird davon ausgegangen, dass nur zwei Zustände möglich seien (S = 2). Da dann keine Normalverteilungen gegeben sein können, wird hier die BQ-Variante des CAPM (mit quadratischen Nutzenfunktionen der Anteilseigner) zugrunde gelegt, die für beliebige Wahrscheinlichkeitsverteilungen und 6
Dies gilt übrigens nicht nur bei quadratischen und exponentiellen Nutzenfunktionen, sondern allgemein bei Nutzenfunktionen der HARA-Klasse: Die lineare Aufteilung des Marktportefeuilles auf die Anteilseigner ist dann bei (den im CAPM angenommenen) homogenen Erwartungen pareto-effizient, so dass Änderungen dieser Erwartungen ein gegebenes Gleichgewicht nicht beeinflussen.
220
Kapitel V
mithin auch für den Fall nur zweier Zustände gilt. Wird ausgehend von einem Kapitalmarktgleichgewicht ein neues Projekt durchgeführt, ändert sich die Steigung der Marktwertgeraden derart, dass es für jeden Anteilseigner nachteilig ist, zustandsbedingte Zahlungsansprüche zu kaufen oder zu verkaufen. Der in Abschnitt 2.2 für zwei Zustände geführte anschauliche Beweis der Kompatibilität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung wird dann bedeutungslos; es besteht ein Konflikt zwischen beiden Zielfunktionen. V11 ( Zustand S1 )
P1
T2 T1
0
V12 (Zustand S2 )
Abb. V.3: Zum Konflikt zwischen Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung und veränderliche Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche
In der Ausgangssituation sei die (V11,V12)-Position des betrachteten Anteilseigners durch den Tangentialpunkt T1 in Abbildung V.3 charakterisiert. Das erwogene Projekt hat bei den bisherigen Preisen Ss (s = 1,2) einen positiven Marktwert, wobei der Anteilseigner mit dem Projekt die Position P1 erreicht. Würden die Preise Ss (s = 1,2) konstant bleiben, könnte er durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen den Tangentialpunkt T2 und folglich einen höheren Erwartungsnutzen erzielen. Jedoch bleiben die Preise nicht konstant; sie ändern sich so, dass die durch P1 verlaufende Indifferenzkurve in P1 eine der neuen Marktwertgeraden tangiert. Ausgehend von diesem Punkt führt die Bewegung entlang der neuen Marktwertgeraden nach links oben oder nach rechts unten zu Indifferenzkurven mit niedrigerem Erwartungsnutzen: Der Anteilseigner erzielt mit dem Projekt einen Erwartungsnutzen, der geringer ist als der in der Ausgangssituation. Der Erwartungsnutzen würde durch Handel
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
221
mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen noch weiter sinken. Analog erzielen auch alle anderen Anteilseigner einen Nachteil, wenn das Projekt durchgeführt wird. Gegen die obige Argumentation könnte eingewendet werden, dass ein einzelner Anteilseigner annahmegemäß gar keinen Einfluss auf die Gleichgewichtspreise habe. Die Preisänderungen resultieren jedoch nicht aus der Reaktion eines Einzelnen, sondern aus den Reaktionen aller. Wenn bei gegebenen Preisen ein Anteilseigner die Struktur seines Portefeuilles ändern möchte, gilt dies in gleiche Richtung auch für alle anderen. Im Gleichgewicht halten alle Anteilseigner einen bestimmten Anteil am Marktportefeuille; das Projekt führt (in einem Nichthandels-Gleichgewicht) nicht dazu, dass irgendein Anteilseigner seinen Marktanteil verändert. Die Annahme unveränderlicher Preise Ss ist auch dann problematisch, wenn die Nutzenfunktionen der Anteilseigner nicht quadratisch sind. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass alle Investoren dieselbe Nutzenfunktion und dasselbe Ausgangsvermögen haben und den Zuständen dieselben Wahrscheinlichkeiten zuordnen, so dass alle im Kapitalmarktgleichgewicht dasselbe Portefeuille halten. Dann gilt für alle Investoren, was für einen beliebigen Investor gilt: Ergibt sich für diesen „repräsentativen“ Investor bei Durchführung des Projekts eine Position auf einer Indifferenzkurve mit niedrigerem Nutzenerwartungswert, kann er durch Kauf bzw. Verkauf zustandsbedingter Zahlungsansprüche seine Position nicht verbessern. Würde er kaufen oder verkaufen, so müsste das Umgekehrte für mindestens einen anderen Anteilseigner gelten. Dies ist aber nicht der Fall: Alle anderen Anteilseigner wollen dieselben Ansprüche kaufen und dieselben verkaufen wie der repräsentative. Bei „identischen“ Investoren werden sich die Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche so ändern, dass kein Anteilseigner die durch das Projekt bewirkte Position im Indifferenzkurvensystem durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ändert. Allgemein kommt es bei Durchführung des Projekts dann nicht zu einem Handel mit Wertpapieren, wenn bei der gegebenen Teilungsregel das Risiko ohne und mit dem Projekt pareto-effizient geteilt wird. Ist die Teilungsregel linear, besteht Einmütigkeit, so dass jeder Anteilseigner repräsentativ für die Interessen aller steht. Wiederum erzielen alle einen Nachteil, wenn das Projekt für einen beliebigen Investor zu einer schlechteren Indifferenzkurvenposition führt; die Preise ändern sich so, dass niemand durch Handel mit Wertpapieren seine Position verbessern kann.
3.3
Problematik in einem Handels-Gleichgewicht
Die Annahme unveränderlicher Preise Ss ist bei konvexen Indifferenzkurven auch dann problematisch, wenn kein repräsentativer Investor existiert. Zur Erläuterung wird wieder Abbildung V.3 betrachtet. In der Ausgangssituation gilt hier für den betrachteten Anteilseigner die durch den Tangentialpunkt T1 beschriebene (V11,V12)-Position. Wie erläutert, ergibt sich für ihn bei Durchführung des Projekts zunächst die Position P1. Bei unveränderlichen Preisen Ss würde der Anteilseigner die Position T2 realisieren; er würde Zahlungsansprüche für den Zustand S2 kaufen und für den Zustand S1 verkaufen. Da jedoch die Indifferenzkurven der anderen Anteilseigner ebenfalls streng konvex verlau-
222
Kapitel V
fen und für sie die gleichen Preise Ss maßgeblich sind, würde für sie das Analoge gelten wie für den betrachteten Anteilseigner: Alle wollen bei konstanten Preisen für den Zustand S2 Ansprüche kaufen und für den Zustand S1 verkaufen. Somit steigt der Preis S2, während S1 sinkt; die Annahme unveränderlicher Preise erscheint wieder als problematisch. Sind wie im CAPM alle Investoren auf dem Kapitalmarkt am Unternehmen beteiligt, so fragt sich überdies, wer denn solche Ansprüche, die alle verkaufen (kaufen) wollen, überhaupt nachfragen (anbieten) sollte. Möglicherweise gibt es jedoch unter anderen Kapitalmarktbedingungen als denen des CAPM Investoren, die bisher nicht am Unternehmen beteiligt waren, an die (von denen) zustandsbedingte Zahlungsansprüche verkauft (gekauft) werden können. Aber auch in diesem Zusammenhang ist die Annahme unveränderlicher Preise Ss nicht unproblematisch.
4
Identität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung bei quasi-konstanten Grenznutzenwerten
4.1
Marktwertmaximierung als direkte Nutzenmaximierung ohne dass Wertpapierhandel ausgelöst wird
Wie erläutert, ist es bei streng konkaven Nutzenfunktionen der Anteilseigner nicht möglich, potenzielle Konflikte zwischen Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung generell durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen zu unveränderlichen Preisen Ss aufzulösen. Der Widerspruch zwischen Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung kann dagegen dann nicht auftreten, wenn von der Annahme ausgegangen wird, dass sich bei Durchführung eines Projekts die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte aller Anteilseigner (praktisch) nicht ändern, also die maßgeblichen Nutzenfunktionen im planungsrelevanten Bereich (quasi-)linear verlaufen. Dann wird – wie im Allgemeinen auch in der Realität – durch das Projekt gar kein Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ausgelöst, wobei zugleich eine Erklärung dafür gegeben wird, warum sich die Preise Ss und somit die Preise beliebiger Wertpapiere, die nicht an den Überschüssen des Unternehmens partizipieren, nicht ändern. Mit Marktwertmaximierung wird dann direkt der subjektive Nutzen jedes Anteilseigners maximiert, so dass Marktwert- und subjektive Nutzenmaximierung (bei proportionaler Erfolgsbeteiligung) letztlich „identische“ Ziele sind und für jedes Bewertungsobjekt ein kollektiver Grenzpreis existiert, der mit dem Marktwert seines Überschusses übereinstimmt. Zur Erläuterung dient die Abbildung V.4. Der Punkt T1 kennzeichnet die Ausgangsposition (vor Durchführung des Projekts) für den betrachteten Anteilseigner. Da in der Ausgangssituation ein Marktgleichgewicht besteht, muss die dem Punkt T1 entsprechende Indifferenzkurve in diesem Punkt eine Marktwertgerade tangieren. Mithin muss
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
223
die Indifferenzkurvensteigung in T1 gleich S2/S1 sein. Die Annahme (quasi-)konstanter zustandsabhängiger Grenznutzenwerte bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts impliziert, dass in dem planungsrelevanten Bereich die Indifferenzkurven (quasi-)linear verlaufen und dieselbe Steigung aufweisen wie in T1, also die Steigung S2/S1. Wenn das Projekt bei den gegebenen Preisen S1 und S2 einen positiven Marktwert aufweist, also zu einer „höheren“ Marktwertgerade für diese Preise führt, führt es direkt auch zu einer Indifferenzkurve mit höherem Nutzenerwartungswert. Im Beispiel der Abbildung V.4 bewirkt das Projekt, dass für den betrachteten Anteilseigner die bessere Position P1 erreicht wird. Das Analoge gilt bei unveränderlichen Grenznutzenwerten im planungsrelevanten Bereich für alle anderen Anteilseigner. V11 ( Zustand S1 )
P2
P1
T2
T1
0
V12 ( Zustand S2 )
Abb. V.4: Zur Äquivalenz von subjektiver Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei (quasi-)konstanten Grenznutzenwerten innerhalb des planungsrelevanten Bereichs
Wenn sich die Grenznutzenwerte bzw. die Steigungen der Indifferenzkurven nicht ändern, ist bei unveränderlichen Preisen S1 und S2 (bei unveränderlicher Steigung der Marktwertgeraden) der durch das Projekt induzierte Punkt P1 im Indifferenzkurvensystem wiederum Tangentialpunkt einer Indifferenzkurve mit einer Marktwertgeraden. Es wird kein Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ausgelöst, so dass die Preise S1 und S2 in der Tat unveränderlich sind. Marktwertmaximierung steht direkt im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung und nicht indirekt über einen Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen. Würde das Projekt einen Übergang von T1 auf P2 bewirken, würde der Bereich quasi-linear verlaufender Indifferenzkurven für den betrachteten Anteilseigner verlassen. Würde das gleiche auch für die anderen Anteilseigner gelten, so behielten die Aussagen des Abschnitts 3 ihre Gültigkeit.
224
4.2
Kapitel V
Implikationen quasi-konstanter Grenznutzenwerte
Es ist zu beachten, dass die Annahme quasi-konstanter Grenznutzenwerte nicht besagt, dass die individuellen Nutzenfunktionen durchgehend linear verlaufen, also „Risikoneutralität“ besteht. Die Grenznutzenwerte können insbesondere auf Grund unterschiedlicher Endvermögenswerte für den einen Zustand hoch und für den anderen niedrig sein. Es wird lediglich vorausgesetzt, dass die Anteile am Projekterfolg in den beiden Zuständen die jeweils maßgeblichen Grenznutzenwerte nicht ändern. Zur Verdeutlichung dient Abbildung V.5, wobei in der Ausgangssituation (vor dem Projekt) der betrachtete * * Anteilseigner im Zustand S1 (S2) über das Endvermögen V11 (V12 ) verfügt. U( V1 )
0 * V11
* V12
( für S1 )
( für S 2 )
V1
Abb. V.5: Zur Annahme unveränderlicher (zustandsabhängiger) Grenznutzenwerte
~ Da das Vermögen V1 zum Zeitpunkt 1 zustandsabhängig ist, gilt dies wegen der Konkavität der Nutzenfunktion U(V1) auch für den Grenznutzenwert; er ist für Zustand S1 höher als für Zustand S2. Die Annahme quasi-konstanter Grenznutzenwerte besagt nun, dass im planungsrelevanten Bereich für den Zustand S1 (S2) derjenige Grenznutzenwert * ( V * ) entspricht. Die betreffenden Grenznutrelevant ist, der dem Vermögenswert V11 12 zenwerte bestimmen die Steigung der Indifferenzkurve im (quasi-)linearen planungsrelevanten Bereich. Die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte im planungsrelevanten Bereich ist vor allem dann gerechtfertigt, wenn dieser Bereich klein ist. Dies ist tendenziell dann der Fall, wenn das erwogene Projekt einen geringen Umfang hat und viele Anteilseigner mit geringen Anteilen daran beteiligt sind; das Entscheidungskalkül ist dann aus Sicht eines Einzelnen praktisch ein Marginalkalkül. Zwar wird bei der üblichen Rechtfertigung der Marktwertmaximierung unter Berücksichtigung von Käufen und Verkäufen von zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ebenfalls betont, dass die Annahme unveränderlicher Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche vor allem bei Investitionen mit geringem Umfang gerechtfertigt sei (vgl. z.B. BREUER, 1998, S. 48). Bei der obigen Darstellung wurde jedoch ein Schritt weiter gegangen, indem konstante Preise mit (qua-
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
225
si-)konstanten Grenznutzenwerten begründet wurden. Ein Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen ist dann allerdings für die Rechtfertigung des Ziels der Marktwertmaximierung irrelevant; er findet gar nicht statt. Bei gegebener Größe des Projekts ist die Annahme (quasi-)konstanter Grenznutzenwerte umso eher gerechtfertigt, je größer die Zahl der Anteilseigner ist, die sich den Projekterfolg teilen. Für die Vorteilhaftigkeitsbedingung aus Sicht eines individuellen Investors ist die Annahme allenfalls bei sehr kleinen („marginalen“) Projekten hinreichend erfüllt. Bei „großen“ Projekten sind für ihn Marktwertmaximierung und individuelle subjektive Nutzenmaximierung grundsätzlich nur dann äquivalente Ziele, wenn er ohne weiteres Leerverkäufe vornehmen kann; deren Beschränkung impliziert Konflikte zwischen Marktwertmaximierung und individueller subjektiver Nutzenmaximierung, wobei der individuelle subjektive Grenzpreis vom Marktwert abweicht (Kapitel XI und XII).
4.3
Vergleich mit den Darstellungen zur partiellen Anreizkompatibilität
Das Ergebnis der Analyse entspricht dem in Kapitel II, Abschnitt 8.4, erläuterten Theorem, wonach unabhängig von den Nutzenfunktionen und den Wahrscheinlichkeitsvorstellungen der Beteiligten über die Umweltzustände immer dann „partielle“ Anreizkompatibilität bezüglich der Änderung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Erfolg besteht, wenn 1. in der Ausgangssituation – d.h. vor dem Projekt – der Erfolg pareto-effizient geteilt ist (dies ist im Rahmen des SPA der Fall), 2. alle Beteiligten proportional und zustandsunabhängig an der Änderung des Erfolges beteiligt werden und 3. der Betrag dieser Änderung so gering ist, dass Änderungen der individuellen (zustandsabhängigen) Grenznutzenwerte vernachlässigbar sind. In Kapitel II, Abschnitt 8.4, wurde vereinfachend davon ausgegangen, dass das Risiko nur von zwei Personen getragen wird. In LAUX (2006a, S. 231 ff.) wird gezeigt, dass das Theorem auch bei mehr als zwei Personen gilt und dass zugleich Marktwertmaximierung eine Implikation subjektiver Nutzenmaximierung ist. Die Darstellungen sind sehr allgemein: Die Nutzenfunktionen der Anteilseigner können zustandsabhängig sein und es können heterogene Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände bestehen. Marktwertmaximierung impliziert, dass das Programm mit dem höchsten Marktwert gewählt wird. Werden die Anteilseigner über die zustandsabhängigen Erfolge (Überschüsse) informiert, steigt entsprechend auch der Marktwert der Aktien des Unternehmens. Dies ist jedoch keine Bedingung dafür, dass mit dem betreffenden Programm der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners maximiert wird. Er wird z.B. auch dann maxi-
226
Kapitel V
miert, wenn die Anteilseigner gar nicht erfahren, dass sich die Gewinnsituation geändert hat und somit der reale Marktwert der Aktien konstant bleibt. (Es bleibt hier offen, welche Konflikte sich ergeben können, wenn Anteilseigner unterschiedlich über die Projekterfolge informiert werden und es zu einem Handel mit Aktien des Unternehmens zwischen „besser“ und „schlechter“ Informierten kommt.) Die Besonderheit der unternehmerischen Investitionsplanung und Marktbewertung vor dem Hintergrund des vollständigen Kapitalmarktes besteht bei unserer Interpretation darin, dass die Anteilseigner (allgemein: die Investoren auf dem Kapitalmarkt) dem für die Investition zuständigen Entscheidungsträger einen wesentlichen Teil des Bewertungsproblems abnehmen. Sie liefern ihm ein System von Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche, mit denen der Marktwert des Unternehmens maximiert werden kann, wobei sich aufgrund rationaler Transaktionen auf dem Kapitalmarkt (rationaler Portefeuillebildung) die Preise und die entsprechenden Grenznutzenwerte so einstellen, dass Marktwertmaximierung bei unveränderlichen Grenznutzenwerten direkt subjektive Nutzenmaximierung impliziert. Das in Abschnitt 4.1 beschriebene Konzept zur Begründung von Anreizkompatibilität wird im Folgenden als „Gleichgewichtsvariante“ bezeichnet, das in Abschnitt 2.2 beschriebene als „Hedgevariante“.
5
Zur Relevanz von Informationen
Die Gleichgewichts- und die Hedgevariante der Erklärung von Einmütigkeit stellen unterschiedliche Anforderungen an die Informationspolitik des Unternehmens. Die Hedgevariante impliziert, dass die Anteilseigner über die zustandsabhängigen Residualgewinne oder Überschüsse neuer Projekte informiert werden, damit sie die zum Nutzenmaximum führenden Kapitalmarkttransaktionen vornehmen können (Informationsprämisse). Bei der Gleichgewichtsvariante wird eine solche Information nicht vorausgesetzt. Sie löst bei (quasi-)konstanten Grenznutzenwerten ohnehin keine Transaktionen aus. Es genügt, die Anteilseigner am Ende der Periode über den tatsächlich erzielten Residualgewinn zu informieren, damit sie sich mit ihren Konsumentscheidungen für die zweite Periode anpassen können. Die (implizite) Informationsprämisse im Rahmen der Hedgevariante ist als Basis für die Begründung von Einmütigkeit problematisch. Zum einen verursachen die betreffenden Informationen hohe Kosten. Zum anderen können sie den Wettbewerbern Rückschlüsse auf geplante Maßnahmen ermöglichen und Reaktionen auslösen, bei denen die angekündigten zustandsabhängigen Erfolge nicht erzielt werden. Die Kompatibilität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung gilt zwar im Prinzip unabhängig davon, ob die Hedgevariante oder die Gleichgewichtsvariante als Begründungsbasis dient. Jedoch können unterschiedliche Typen von
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
227
Marktwerten relevant sein. Da bei der Hedgevariante die Anteilseigner über die zustandsabhängigen Projektgewinne informiert werden (müssen), damit sie die maßgeblichen Kapitalmarkttransaktionen vornehmen können, ist bei ihr der reale Marktwert der Aktien relevant; bei Durchführung eines (im Börsenkurs nicht antizipierten) zusätzlichen Projekts ändert er sich in Verbindung mit den betreffenden Informationen um den Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung. Bei der Gleichgewichtsvariante genügt es, den virtuellen Marktwert der Aktien zu maximieren, d.h. denjenigen Marktwert, der sich einstellen würde, wenn die Anteilseigner die Informationen des Entscheidungsträgers im Unternehmen hätten. Wenn ihnen der Entscheidungsträger keine weiteren Informationen gibt, bleibt bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts der reale Marktwert unverändert, während sich der virtuelle um den Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung ändert. Können im Unternehmen unbeschränkt Leerverkäufe vorgenommen werden, kann unternehmensintern der Projektüberschuss ~e1p dupliziert und das Duplikationsportefeuille leerverkauft werde. Damit steigt zum Zeitpunkt 0 das Geldvermögen des Unternehmens um den Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung. Wenn dieser Betrag zum Zeitpunkt 0 zusätzlich ausgeschüttet wird, so fließt dem betrachteten Anteilseigner derselbe Betrag zu wie für den Fall, dass er seinen Anteil z am Residualgewinn dupliziert und das betreffende Portefeuille privat verkauft. Er muss nun nicht über die zustandsabhängigen Projektgewinne informiert werden.
6
Spanning als Bedingung der Identität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung bei unveränderlichen Grenznutzenwerten
6.1
Charakteristik
Ist der Kapitalmarkt unvollständig, ist zwar die Spanning-Bedingung nicht logisch zwingend erfüllt. Bei entsprechender Beschränkung des Aktionsraums des Unternehmens kann sie jedoch erfüllt sein, so dass der Überschuss jedes realisierbaren Investitionsprojekts durch Portefeuillebildung duplizierbar ist. Wie in Anhang 2 gezeigt wird, stehen dann auch bei Unvollständigkeit des Kapitalmarktes die Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens und subjektive Nutzenmaximierung im Einklang miteinander, sofern die Projekterfolge proportional geteilt werden und die Grenznutzenwerte quasi-konstant sind (LAUX, 2001b). Zielkonformität und entsprechend die Identität von kollektivem subjektivem Grenzpreis und Marktwert gilt hierbei auch dann, wenn in der Ausgangssituation das Risiko nicht wie im SPA pareto-effizient geteilt ist. Die Darstellungen beruhen wiederum auf der Annahme eines vollkommenen und arbitragefreien Kapitalmarktes. Interpretation: Im Marktwert des Portefeuilles, mit dem die möglichen Projektüberschüsse dupliziert werden können, kommt zum Ausdruck, wie die Anteilseigner diese Überschüsse bewerten. Ist dieser Marktwert höher als A0p, ist der Wert des Projekts für die Anteilseigner höher als sein Preis. Das Unternehmen kann den Überschuss ~e1p zu
228
Kapitel V
günstigeren Bedingungen generieren als die Anteilseigner auf Grund von Kapitalmarkttransaktionen; ihr Erwartungsnutzen steigt mit dem Projekt.7
6.2
Bedeutung und Grenzen der Spanning-Bedingung
Bei den Darstellungen im Abschnitt 6.1 liegt die primäre Bedeutung der Spanning-Bedingung nicht wie bei der in der Literatur üblichen Interpretation darin, dass sie für jedes mögliche Projekt Kapitalmarkttransaktionen ermöglicht, mit denen bei positivem Kapitalwert ein höherer Nutzenerwartungswert als in der Ausgangssituation erzielt wird; solche Transaktionen werden bei (quasi-)konstanten Grenznutzenwerten nicht vorgenommen. Ist die Spanning-Bedingung erfüllt, sind vielmehr in der Ausgangssituation (zustandsabhängige) Grenznutzenwerte entscheidungsrelevant, bei denen zwischen allen Anteilseignern mit positivem Anteil am Unternehmen Einmütigkeit besteht; ihr Erwartungsnutzen wird direkt maximiert, wenn das Investitionsprogramm mit dem höchsten positiven Marktwert nach Anschaffungsauszahlung durchgeführt wird; ein Handel mit Wertpapieren mit dem Ziel, „oktroyiertes“ (unerwünschtes) Risiko zu hedgen, wird nicht ausgelöst. Da die Spanning-Annahme im vollständigen Kapitalmarkt zwingend erfüllt ist – es besteht universelle Duplizierbarkeit – gewinnt sie erst im unvollständigen Kapitalmarkt eigenständige Bedeutung. Sie impliziert dann allerdings eine Einengung der Menge der im Unternehmen realisierbaren Projekte: Ihre Überschüsse müssen trotz Unvollständigkeit durch Portefeuillebildung duplizierbar sein. Während also bei partieller Anreizkompatibilität Einmütigkeit für beliebige Projekte gilt, impliziert die Spanning-Annahme im unvollständigen Kapitalmarkt Einmütigkeit nur für den Fall einer entsprechenden Beschränkung des Aktionsraums des Unternehmens. Ist die Spanning-Bedingung nicht erfüllt, kann trotzdem für einen Teil der Projekte des Unternehmens Duplikation der Projektüberschüsse möglich sein. Bezüglich dieser Projekte besteht dann zwar Einmütigkeit. Eines dieser Projekte ist für alle Anteilseigner vorteilhaft, wenn sein Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist; der subjektive Grenzpreis stimmt mit dem Marktwert überein. Jedoch besteht grundsätzlich Konflikt bezüglich der Projekte, bei denen die Duplikation nicht möglich ist. Marktwert- und subjektive Nutzenmaximierung stehen bei ihnen nicht streng im Einklang miteinander. Konflikte ergeben sich auch dann, wenn Projekte einander ausschließen und nur bei einem Teil dieser Projekte die Überschüsse duplizierbar sind. Mit der Möglichkeit des Spanning ist bei unvollständigem Kapitalmarkt umso eher zu rechnen, je größer die Zahl an Wertpapieren mit linear unabhängigen Endwertvektoren ist, je geringer also der „Grad der Unvollständigkeit“ des Kapitalmarktes ist. Auf 7
Es kann gezeigt werden, dass von mehreren einander ausschließenden Projekten dasjenige den Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners maximiert, das unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung den höchsten positiven Marktwert aufweist.
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
229
Grund neuerer Entwicklungen hat sich der Kapitalmarkt immer mehr dem Ideal der Vollständigkeit genähert. „Die Entwicklungen der letzten 15 Jahre im Bereich der Finanzinnovationen und der Telekommunikation haben die Reichhaltigkeit der Anlagemöglichkeiten zweifellos in beträchtlichem Umfang erhöht. Gerade Derivate eröffnen ungeahnte Möglichkeiten zur Vervollständigung von Märkten, weil sogar nur ein einziger originärer Finanztitel (Aktie etc.) schon ausreichen kann, um durch darauf basierte Optionen bereits einen vollständigen Kapitalmarkt zu erhalten! Darüber hinaus lassen sich solche Derivate zu relativ geringen Kosten gestalten, so dass die grundsätzliche Voraussetzungen für einen Markt mit „Spanning“ nicht ungünstig erscheinen“ (EWERT, 1996, S. 547 f.). Jedoch muss beachtet werden, dass für Einmütigkeit nicht nur Spanning (und Konstanz der Grenznutzenwerte), sondern auch die Bedingung der proportionalen Risikoteilung maßgeblich ist. Diese Bedingung kann gerade durch Derivate verletzt werden. Wenn zum Beispiel Anteilseigner auch Kaufoptionen auf Aktien des Unternehmens halten, also konvex am Unternehmensüberschuss beteiligt sind, können für sie Projekte vorteilhaft sein, die aus Sicht derjenigen Anteilseigner, die nur als Stammaktionäre proportional beteiligt sind, zu riskant erscheinen. Marktwertmaximierung ist dann generell nur im Interesse der Anteilseigner mit dem proportionalen Anteil. Eine proportionale Teilung liegt auch dann nicht vor, wenn Anteilseigner Bestände an Aktien des Unternehmens leerverkauft haben, die höher sind als jene, die sie noch besitzen. Bezüglich dieser Gruppe von Anteilseignern und bezüglich der anderen Gruppe von Anteilseignern besteht dann jeweils partielle Anreizkompatibilität, nicht aber einheitlich für beide Gruppen; wieder existiert kein kollektiver subjektiver Grenzpreis.
6.3
Spanning und pareto-effiziente Risikoteilung im Vergleich
Bei unvollständigem Kapitalmarkt können vor allem solche Projekte einen relativ hohen Wert haben, die es ermöglichen, das Risiko besser als bisher zu teilen. Voraussetzung für eine bessere Risikoteilung ist, dass die betreffenden Projektüberschüsse nicht als Linearkombination der Überschüsse bereits vorhandener Papiere dargestellt werden können, dass also die Spanning-Bedingung verletzt ist. Es stellt sich dann aber das Problem, wie die betreffenden Projekte bewertet werden sollen (MOXTER, 1970, S. 143 ff.; BALLWIESER, 1994, S. 1391 ff.). Es ist dann selbst bei unveränderlichen Grenznutzenwerten nicht möglich, bezüglich dieser Projekte simultan den Erwartungsnutzen aller Anteilseigner zu maximieren, so dass wieder kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert. Man mag einen Ausweg darin sehen, Marktwertmaximierung als „Kompromisszielfunktion“ zu interpretieren und auch jene Projekte danach auszuwählen, die der Bedingung der Duplizierbarkeit nicht genügen. Es fragt sich jedoch, wie deren Marktwerte ermittelt werden sollen. Komplexe Bewertungsprobleme können sich vor allem für Projekte ergeben, mit denen aufgrund einer ermöglichten „besseren“ Risikoteilung Portefeuilleumschichtungen bei Anteilseignern induziert werden, die die individuellen zustandsabhängigen Grenznutzenwerte ändern. Es ändern sich dann das Bewertungssystem für die Wertpapiere
230
Kapitel V
und mithin auch die Marktwerte solcher Papiere, deren Überschüsse von den Projekten unabhängig sind. Um beurteilen zu können, wie sich bei Durchführung eines Projekts der Erwartungsnutzen eines Anteilseigners ändert, müsste u.a. antizipiert werden, wie er sein Portefeuille umschichtet und welche finanziellen Auswirkungen dies für ihn hat. Die Portefeuilleumschichtung und die damit verbundenen Auszahlungen und Erlöse hängen jedoch von den Reaktionen aller Anteilseigner ab, die (ohne Kenntnis individueller Nutzenfunktionen und Wahrscheinlichkeitsvorstellungen) praktisch kaum prognostiziert werden können.
7
Zur Relevanz von Hintergrundrisiken und Leerverkäufen
7.1
Hedge-Konzept
Für beide Konzepte der Begründung der Identität von kollektiver subjektiver Nutzenmaximierung und Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens (und entsprechend der Existenz eines mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmenden kollektiven subjektiven Grenzpreises) haben allgemein der Handel mit Papieren und speziell deren Leerverkäufe zentrale Bedeutung. Beim Hedge-Konzept wird letztlich von der Fiktion ausgegangen, dass jeder Anteilseigner bei Durchführung eines neuen Projekts das Duplikationsportefeuille seines Anteils am Überschuss verkauft, wobei er einen Vermögenszuwachs erzielt, wenn sein Anteil an der Anschaffungszahlung niedriger ist als der Verkaufserlös für das anteilige Duplikationsportefeuille oder – was dasselbe besagt – wenn die Anschaffungsauszahlung für das Projekt niedriger ist als der Marktwert seines Überschusses. Im Folgenden soll gezeigt werden, warum dieses Konzept bei Leerverkaufsbeschränkungen versagt und welche Konflikte dann bestehen. Dabei nehmen wir der Einfachheit halber an, dass im Duplikationsportefeuille für das Projekt nur positive Bestände an Wertpapieren enthalten sind. Enthält es negative Bestände, so bedeutet „Leerverkauf“ des Duplikationsportefeuilles den realen Kauf der betreffenden Papiere, so dass eine Leerverkaufsbeschränkung bezüglich dieser Papiere nicht relevant ist. Wenn der Marktwert eines Projekts ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung (der Marktwert des Duplikationsportefeuilles für seinen Überschuss) größer ist als die Anschaffungsauszahlung, ist das Projekt bei Leerverkaufsbeschränkungen ohne weiteres nur dann für einen Anteilseigner vorteilhaft, wenn es für ihn optimal ist, ohne das Projekt das entsprechende anteilige Duplikationsportefeuille im Portefeuille zu halten. Wenn das Projekt realisiert wird, erzielt er einen Vorteil, wenn er das anteilige Duplikationsportefeuille verkauft oder gar nicht erst kauft. Wenn für einen Anteilseigner das anteilige Duplikationsportefeuille nicht Bestandteil seines optimalen Portefeuilles ohne das Projekt ist, ist für ihn der subjektive Grenzpreis bei beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten grundsätzlich niedriger als der Marktwert,
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
231
da er sich nicht des mit dem Projekt verbundenen zusätzlichen, unerwünschten Risikos entledigen kann. Der subjektive Grenzpreis für einen Anteilseigner hängt von seiner Nutzenfunktion, der Struktur und dem Umfang seines ohne das Projekt optimalen Portefeuilles sowie der Gestalt des (anteiligen) Duplikationsportefeuilles für das Projekt ab. Wenn das optimale Portefeuille gar keine Papiere des Duplikationsportefeuilles enthält, wird ihm mit dem Projekt ein besonders hohes Risiko aufgebürdet, dessen er sich nicht durch Leerverkauf entledigen kann.8 Die individuellen Portefeuilles und entsprechend die individuellen subjektiven Grenzpreise können sich nicht nur aufgrund divergierender Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände und divergierender Nutzenfunktionen, sondern vor allem auch wegen unterschiedlicher privater Risiken und unterschiedlichem Kapitalmarktzugang unterscheiden. Sind die Strukturen der ohne Projekt optimalen individuellen Portefeuilles aufgrund relativ hoher privater Überschüsse und entsprechender Korrelationen mit den Endwerten der Papiere verzerrt, ist kaum zu erwarten, dass anteilige Duplikationsportefeuilles in diesen Portefeuilles enthalten sind, so dass Leerverkaufsbeschränkungen grundsätzlich optimale Portefeuilleanpassungen begrenzen. Das gilt auch für den Fall, dass zwar die individuellen optimalen Portefeuillestrukturen (annähernd) mit der des Marktportefeuilles übereinstimmen, jedoch die Struktur des Duplikationsportefeuilles im Vergleich dazu verzerrt ist, z.B. weil es eine relativ große Zahl von Papieren eines einzigen Typs enthält.
7.2
Gleichgewichts-Konzept
Im Gleichgewichts-Konzept (Abschnitt 4.1) wird zwar bei Durchführung eines neuen Projekts aufgrund quasi-konstanter Grenznutzenwerte kein Handel mit Wertpapieren ausgelöst; das Projekt führt bei allen Anteilseignern direkt zu einem Nutzenzuwachs, sofern sein Marktwert nach Abzug der Anschaffungsauszahlung positiv ist. Trotzdem haben auch hier Leerverkäufe grundsätzliche Bedeutung für den Beweis. Das Gleichgewicht-Konzept beruht nämlich in seiner Standardform auf der Annahme, dass das Risiko im Status quo (d.h. vor dem Projekt) zwischen den Anteilseignern pareto-effizient geteilt ist, eine Bedingung, die insbesondere bei privaten zustandsabhängigen Überschüssen allgemein nur in Verbindung mit Leerverkäufen erfüllt sein kann. In Abschnitt 6 wurde erläutert, dass Identität von subjektiver Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei quasi-konstanten Grenznutzenwerten auch dann besteht, wenn der Kapitalmarkt zwar unvollständig ist, jedoch trotzdem für das Unternehmen die Spanning-Bedingung erfüllt ist. Auch hier steigt bei Realisation eines neuen 8
Möglicherweise kann er jedoch den anteiligen Projektüberschuss durch Kauf von Wertpapieren, deren Endwerte negativ mit diesem Überschuss korreliert sind, wenigstens teilweise hedgen, so dass sich der subjektive Grenzpreis dem Marktwert nähert. In den Kapiteln IX bis XII wird untersucht, wie riskante Überschüsse bei Leerverkaufsbeschränkungen (und beschränkter Duplizierbarkeit) optimal gehedgt werden können und welche Implikationen die betreffenden Hedgemaßnahmen für die Differenz aus Marktwert und subjektivem Grenzpreis haben. Hier soll von Hedgemaßnahmen aufgrund negativer Korrelationen noch abgesehen werden.
232
Kapitel V
Projekts direkt der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners, sofern der Marktwert seines Überschusses höher ist als die Anschaffungsauszahlung, wobei wiederum durch das Projekt kein Wertpapierhandel und somit auch keine Leerverkäufe ausgelöst werden. Jedoch beruht dieser Beweis auf Optimumbedingungen für die individuellen Portefeuilles vor dem Projekt, die grundsätzlich nur für den Fall gelten, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Werden die „optimalen“ Portefeuilles durch Leerverkaufsbeschränkungen „verzerrt“, besteht keine Anreizkompatibilität. Der Marktpreis des Duplikationsportefeuilles bringt dann nicht die Bewertung des Projekts durch die Anteilseigner zum Ausdruck.
8
Finanzierung und Relevanz des Marktwertkriteriums für die Bewertung einzelner Investitionsprojekte
Auch wenn das übergeordnete Ziel der Investitionsplanung in der Maximierung des Marktwertes (der Aktien) des gesamten Unternehmens besteht, gilt nicht ohne weiteres das Marktwertkriterium, wonach ein einzelnes Investitionsprojekt dann vorteilhaft ist, wenn der isoliert ermittelte Marktwert seiner Überschüsse nach Abzug seiner Anschaffungsauszahlung (also sein isoliert ermittelter Kapitalwert) positiv ist. Erfolgs- und/oder Restriktionsverbund erfordert die integrierte Planung bzw. Bewertung von Projekten, um den Abhängigkeiten zwischen ihnen Rechnung zu tragen (Kapitel XIII und XIV). Ein Investitionsprojekt mit isoliert ermitteltem positivem Kapitalwert kann deshalb nachteilig sein, weil es positive Kapitalwerte anderer Projekte schmälert oder Projekte mit positiven Kapitalwerten verdrängt. Umgekehrt kann ein Projekt mit negativem Marktwert aufgrund positiver externer Effekte vorteilhaft sein. Restriktionsverbund kann auch aus Unvollkommenheit des Kapitalmarktes resultieren. Typisches Beispiel hierfür sind exogen vorgegebene Finanzierungsobergrenzen, die implizieren, dass nicht alle Investitionsprojekte mit aus Sicht des Investors positivem Kapitalwert realisiert werden können (Kapitalrationierung), sondern Prioritäten gesetzt werden müssen.9 Kapitalrationierung erfordert auch dann die integrierte Planung bzw. Bewertung, wenn ansonsten kein Restriktionsverbund und auch kein Bewertungsverbund existiert (Kapitel XIV, Abschnitt 13) Es ist erstaunlich, dass in der finanzwirtschaftlichen Literatur (vor allem auch in finanzwirtschaftlichen Lehrbüchern) Unvollkommenheiten des Kapitalmarkts allenfalls am Rande behandelt werden. Es wird vielmehr unterstellt, dass die Finanzierung keinen Einfluss auf das optimale Investitionsprogramm hat und dabei jedes Projekt mit positivem Kapitalwert problemlos finanziert werden kann. Wenn auch sonst kein Restriktionsverbund und auch kein Erfolgsverbund besteht, können alle Projekte problemlos 9
Wie in Kapitel XIV, Abschnitt 13, erläutert wird, bedeutet Kapitalrationierung Begrenzung der „normalen“ Fremdfinanzierung, der stochastischen Fremdfinanzierung durch Leerverkauf von Wertpapieren und der Beteiligungsfinanzierung. Entsprechende Grenzen können ihrerseits aus beschränkter Haftung und heterogenen Erwartungen zwischen potenziellen Financiers und dem Investor resultieren. Kapitalrationierung lässt sich auch dann begründen, wenn dem Kapitalmarkt explizit Rechnung getragen wird.
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
233
nach dem Marktwertkriterium beurteilt werden: Projekte mit positivem (negativen) Marktwert nach Anschaffungsauszahlung sind vorteilhaft (nachteilig). Projekte, deren Überschüsse einen Marktwert in Höhe der Anschaffungsauszahlung aufweisen, sind irrelevant. Diese Bewertungskonzeption ist zwar einfach und entsprechend populär. Bei praktischer Anwendung können sich jedoch gravierende Unzulänglichkeiten zeigen. Zum Beispiel ist es nach dem Marktwertkriterium nachteilig, eine Versicherung abzuschließen, deren Prämie (oder Marktwert der Prämien) höher ist als der Marktwert der möglichen Schäden. In der Realität werden jedoch solche Versicherungen im Allgemeinen abgeschlossen. Da nicht davon ausgegangen werden kann, dass die betreffenden Entscheidungsträger irrational handeln, stellt sich für die Versicherungslehre das Problem, solche Versicherungen zu erklären. Ein Erklärungsansatz beruht auf der Annahme eines (unvollkommenen) Kapitalmarktes mit Kapitalrationierung. Die Versicherung wird hierbei als Maßnahme bedingter Kapitalbeschaffung interpretiert, wobei der im Schadenfall gezahlte Betrag Investitionen mit positivem Kapitalwert ermöglicht, die sonst nicht finanzierbar gewesen wären (Kapitel XIV, Abschnitt 13). Maximierung des Marktwertes (der Aktien) des Unternehmens als Ganzes steht auch dann im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung, wenn der Kapitalmarkt aus unternehmensinterner Sicht unvollkommen ist. Voraussetzung ist allerdings, dass die Anteilseigner alle ihre Risiken durch unbeschränkten privaten Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen (allgemein: mit Wertpapierhandel) perfekt hedgen können (Abschnitt 7). Ist diese Bedingung nicht erfüllt, versagt das Marktwertkriterium auch dann, wenn für das Unternehmen selbst keine Kapitalrationierung besteht.
9
Resümee
1. Besteht zwischen den Anteilseignern eines börsennotierten Unternehmens Anreizkompatibilität, wird – sofern keine nichtfinanziellen Ziele relevant sind – mit der Maximierung des Nutzenerwartungswertes eines beliebigen Anteilseigners simultan auch die Nutzenerwartungswerte aller anderen maximiert. Es existiert dann für ein beliebiges Bewertungsobjekt ein kollektiver subjektiver Grenzpreis. In der Literatur wird Einmütigkeit oft damit begründet, dass bei Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens in Verbindung mit privaten Kapitalmarkttransaktionen der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners maximiert werde. Dabei wird ein kompetitiver und vollständiger Kapitalmarkt unterstellt, auf dem für alle relevanten Zustände Ss zu unveränderlichen Preisen Ss bedingte Zahlungsansprüche ohne Leerverkaufsbeschränkungen gehandelt werden können. Wenn Marktwertmaximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, ist der kollektive subjektive Grenzpreis eines beliebigen Bewertungsobjekts gleich dem Marktwert seiner Überschüsse (ohne die Anschaffungsauszahlung). 2. Im SPA kann annahmegemäß ein einzelner Investor auf dem Kapitalmarkt zu gegebenen Preisen Ss (s=1,2,...,S) zustandsbedingte Zahlungsansprüche kaufen und verkaufen. (Genauer: Der Einfluss seiner Kapitalmarkttransaktionen auf die Preise ist vernachlässigbar gering.) Dies impliziert, dass er allenfalls in geringem Umfang Kapitalmarkttransaktionen vornimmt. Hier kann gezeigt werden, dass der individuelle Investor in Verbindung mit einem Handel
234
Kapitel V
mit Wertpapieren seinen Erwartungsnutzen maximiert, indem er den Marktwert seines Investitionsprogramms maximiert. Zur Rechtfertigung des Ziels der Marktwertmaximierung (bei unbeschränktem Leerverkauf) kann von der Fiktion ausgegangen werden, dass der Investor bei Durchführung eines Projekts zum Zeitpunkt 0 das Duplikationsportefeuille für den Überschuss (leer-)verkauft. Da die verkauften Papiere zurückgekauft werden können, ist mit dem Verkauf kein Nachteil verbunden. Das Projekt ist vorteilhaft, wenn der Verkaufserlös für das Duplikationsportefeuille größer ist als die Anschaffungsauszahlung des Projekts. Da der Verkaufserlös des Duplikationsportefeuilles mit dem Marktwert des Projektüberschusses übereinstimmt, folgt: Der individuelle subjektive Grenzpreis ist gleich dem Marktwert des Projektüberschusses. Ist die Anschaffungsauszahlung niedriger als der Grenzpreis, steigt der Marktwert des Vermögens des Investors und simultan sein Erwartungsnutzen. 3. Analog kann für ein börsennotiertes Unternehmen die Kompatibilität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung für den Fall begründet werden, dass die Anteilseigner proportional an den Projektüberschüssen beteiligt sind und sich die Preise Ss bei Durchführung neuer Projekte nicht ändern. Damit sollte jedoch eine Rechtfertigung des Ziels der Marktwertmaximierung nicht enden; die Bedingung unveränderlicher Preise bedarf nun ihrerseits einer theoretischen Begründung. Wird davon ausgegangen, dass ein einzelner privater Investor ein Investitionsprojekt erwägt, kann zwar die Bedingung unveränderlicher Preise damit gerechtfertigt werden, dass im Rahmen des State Preference Ansatzes annahmegemäß ein einzelner Investor auf dem Kapitalmarkt praktisch keinen Einfluss auf die Preise Ss hat, was wiederum voraussetzt, dass das Projekt und die entsprechenden Kapitalmarkttransaktionen des Investors einen relativ geringen Umfang haben. Wird jedoch davon ausgegangen, dass in einem Unternehmen mit großer Zahl von Anteilseignern ein entsprechend umfangreiches Investitionsprojekt durchgeführt wird, wird es schwieriger, die Hypothese unveränderlicher Preise Ss sinnvoll zu begründen. Die Bedingung unveränderlicher Preise Ss kann nur in der Weise analysiert werden, dass die Reaktionen aller Anteilseigner berücksichtigt werden. Die Berücksichtigung dieser Reaktionen zeigt, dass die Bedingung unveränderlicher Preise zum Beispiel im Rahmen der BQ- und der NE-Variante des CAPM eindeutig verletzt ist. Es gilt hierfür: Wenn ausgehend von einem Kapitalmarktgleichgewicht ein neues Projekt durchgeführt wird, ändern sich die Preise derart, dass das Gleichgewicht erhalten bleibt (Nichthandels-Gleichgewicht). Die Preise aller riskanten Papiere ändern sich mit dem Projekt in der Weise, dass es für jeden Anteilseigner nachteilig ist, Papiere zu kaufen oder zu verkaufen. Entsprechend ist der Argumentation, jeder Anteilseigner könne ausgehend von der durch ein neues Projekt mit positivem Marktwert erreichten Position durch Handel mit zustandsbedingten Ansprüchen eine Position erreichen, deren Erwartungsnutzen höher ist als der in der Ausgangssituation, die theoretische Basis entzogen. Die Problematik der Annahme unveränderlicher Preise Ss kann auch für andere Bewertungsfunktionen als denen des CAPM gezeigt werden. Für die Begründung der Kompatibilität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung sollten andere Ansätze gewählt werden als der Handel mit Wertpapieren zu unveränderlichen Preisen Ss. 4. Die Preise Ss ändern sich dann nicht, wenn bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Anteilseigner praktisch konstant bleiben. Das Projekt bewirkt dann direkt, dass der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners steigt bzw. sinkt, sofern der Projekterfolg proportional geteilt wird und der Kapitalmarkt vollständig ist und somit das Risiko im Kapitalmarktgleichgewicht pareto-effizient geteilt wird. Obwohl bei unveränderlichen Grenznutzenwerten kein Handel mit Wertpapieren stattfindet, steht hierbei Marktwertmaximierung im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung; wenn der
Kollektive Nutzen- und Marktwertmaximierung bei Duplizierbarkeit und proportionaler Erfolgsteilung
235
Marktwert eines Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung bei den gegebenen Preisen Ss positiv (negativ) ist, besteht Einmütigkeit aller Anteilseigner für (gegen) das Projekt. 5. Bei unveränderlichen Grenznutzenwerten steht Marktwertmaximierung auch dann im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung, wenn der Kapitalmarkt zwar unvollständig ist, jedoch die Menge der möglichen Investitionen des Unternehmens derart begrenzt ist, dass trotz der Unvollständigkeit des Kapitalmarktes die „Spanning-Bedingung“ erfüllt ist, d.h. für jedes realisierbare Projekt ein Duplikationsportefeuille existiert, dessen Endwert in jedem Zustand Ss mit dem Projektüberschuss übereinstimmt. Ein Projekt führt dann bei positivem Marktwert wieder direkt dazu, dass der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners steigt; ein Handel mit Wertpapieren wird wieder nicht ausgelöst. 6. Die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte ist dann gerechtfertigt, wenn viele Anteilseigner mit sehr kleinen Anteilen am Unternehmen und somit am Bewertungsobjekt beteiligt sind, so dass das Bewertungskalkül aus Sicht eines Einzelnen ein Marginalkalkül darstellt. Die Annahme ist jedoch verletzt, wenn die Bewertung aus Sicht eines Individuums vorgenommen wird, der den Überschuss allein erzielt; die Darstellungen lassen sich nicht auf die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises übertragen. 7. Bei beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten versagen die beschriebenen Konzepte der Erklärung von Einmütigkeit; es bestehen grundsätzlich Konflikte zwischen Anteilseignern, so dass Marktwertmaximierung nicht kollektive subjektive Nutzenmaximierung implizieren kann. Entsprechend ergeben sich auch Konflikte zwischen den Anteilseignern bezüglich der Grenzpreise; es existiert kein kollektiver subjektiver Grenzpreis. 8. Bei unternehmensinterner Kapitalrationierung versagt das Marktwertkriterium auch dann, wenn das übergeordnete Ziel in der Maximierung des Marktwertes (der Aktien) des gesamten Unternehmens besteht: Nicht jedes Projekt, für das der Marktwert seiner Überschüsse nach Abzug seiner Anschaffungsauszahlung positiv ist, ist vorteilhaft (weil nicht finanzierbar); es müssen Prioritäten gesetzt werden.
Kapitel VI Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
1
Problemstellung
In Kapitel V wurde gezeigt, dass der folgende für die praktische Investitionsplanung bedeutende Zusammenhang gilt: Wenn zusätzliche Investitionen keinen Einfluss auf die Preise ʌs für zustandsbedingte Zahlungsansprüche bzw. andere Wertpapiere haben, die keine Ansprüche auf die Überschüsse der Investitionen verbriefen, besteht unter der Spanning-Bedingung Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern eines börsennotierten Unternehmens, wobei zugleich die individuelle Marktwertmaximierung – d.h. die Maximierung des Marktwertes der Aktien dieses Unternehmens – im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, so dass für jedes Bewertungsobjekt ein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert, der mit dem Marktwert seines Überschusses übereinstimmt. Die Annahme der Unveränderbarkeit dieser Preise impliziert, dass die zusätzlichen Investitionen praktisch keinen Einfluss auf die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Anteilseigner haben. Die Annahme quasi-konstanter Grenznutzenwerte erleichtert zwar die Analyse theoretischer Zusammenhänge und die praktische Investitionsbewertung und -planung. Jedoch ist sie keineswegs selbstverständlich und sollte nicht ohne Kenntnis ihrer Implikationen generell zugrunde gelegt werden. Im vorliegenden Kapitel wird gezeigt, dass diese Annahme im Rahmen des CAPM eindeutig verletzt ist; wird sie modellexogen unterstellt, so ergeben sich Widersprüche zu den Bewertungsfunktionen dieses Modells. Die Änderung der Grenznutzenwerte bzw. der Wertpapierpreise hat unterschiedliche Implikationen, je nachdem, ob ein Marktgleichgewicht vorliegt oder sich der Markt im Übergang in ein neues Gleichgewicht befindet. In einer Gleichgewichtssituation besteht zwar bei bestimmten Nutzenfunktionen im CAPM Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern, jedoch steht hierbei individuelle Marktwertmaximierung (d.h. Maximierung der Aktien des investierenden Unternehmens) nur „näherungsweise“ im Einklang mit kollektiver subjektiver Nutzenmaximierung. Bei einem Übergang in ein neues Gleichgewicht können sich dagegen erhebliche Konflikte zwischen Anteilseignern ergeben, wobei individuelle Marktwertmaximierung allenfalls für diejenigen Anteilseigner eine geeignete Zielfunktion darstellt, die ihren Anteil am Marktportefeuille nicht (oder relativ wenig) ändern. Im vorliegenden Kapitel wird untersucht, welche Bedeutung die individuelle Marktwertmaximierung für die Investitionsplanung und -bewertung im CAPM hat, sofern das
238
Kapitel VI
übergeordnete Ziel darin besteht, den finanziellen Erwartungsnutzen aller Aktionäre oder (bei Interessenkonflikt) eines Teils der Aktionäre zu maximieren (LAUX, 1971a). In Abschnitt 2 wird gezeigt, dass bei gegebenem Marktgleichgewicht sowohl für die BQ- als auch NE-Variante des CAPM Anreizkompatibilität im strengen Sinn besteht. Die Durchführung neuer Projekte nimmt im Rahmen beider Varianten kein Anteilseigner zum Anlass, seinen Bestand an Aktien und anderen riskanten Papieren zu ändern; die Marktwerte der Papiere ändern sich gerade so, dass für jeden Anteilseigner Kauf und Verkauf wie in der ursprünglichen Gleichgewichtssituation nachteilig ist. Die Unveränderlichkeit der individuellen Anteile am Marktportefeuille resultiert daraus, dass mit diesen Anteilen in beiden Varianten des CAPM unabhängig von der konkreten ~ Wahrscheinlichkeitsverteilung über M1G das Risiko pareto-effizient geteilt wird.1 Jedoch setzen beide Varianten des CAPM Nutzenfunktionen voraus, die nicht unproblematisch sind. Wie verdeutlicht wird, besteht grundsätzlich keine Anreizkompatibilität, wenn im Rahmen der NB-Variante des CAPM (mit Normalverteilungen und beliebigen konkaven Nutzenfunktionen) ausgehend von einem Gleichgewicht neue Projekte erwogen werden, so dass für sie kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert. Bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts ist damit zu rechnen, dass Anteilseigner ihren Anteil am Marktportefeuille erhöhen und andere ihn reduzieren; Informationen an die Anteilseigner und projektinduzierte Marktwertänderungen sind dann nicht mehr irrelevant. Sind in der NB-Variante allerdings für alle Anteilseigner gleiche HARANutzenfunktionen maßgeblich, gilt gemäß dem in Kapitel II, Abschnitt 8.3, dargestellten allgemeinen Prinzip: Die lineare Teilungsregel im CAPM-Gleichgewicht ist paretoeffizient und somit zugleich anreizkompatibel; zusätzliche Projekte lösen wegen der Pareto-Effizienz der Teilungsregel keinen Handel mit Wertpapieren aus (NichthandelsGleichgewicht). In Abschnitt 3 wird untersucht, unter welchen Bedingungen ein zusätzliches Projekt im Rahmen des CAPM den Marktwert der Aktien des Unternehmens, in dem das Projekt durchgeführt werden kann, und die Summe der Marktwerte der Aktien aller Unternehmen erhöht. Die Bedingungen werden so dargestellt, dass ein anschaulicher Vergleich mit Bedingungen subjektiver Nutzenmaximierung vorgenommen werden kann. Dieser Vergleich erfolgt in Abschnitt 4. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass bereits ein Marktgleichgewicht existiert, bei dem im Verlauf der betrachteten Planungsperiode kein Anteilseigner seinen Anteil am Marktportefeuille ändert. Die entsprechende Bedingung kollektiver subjektiver Nutzenmaximierung wird mit der Bedingung der individuellen Marktwertmaximierung und mit der Bedingung der Maximierung des Marktwertes aller Aktien (Reichtumsmaximierung) verglichen. Es zeigen sich Konflikte zwischen dem Ziel subjektiver Nutzenmaximierung und den beiden Varianten der Marktwertmaximierung, deren Implikationen diskutiert werden.2 Für die NE- und die BQ1
2
MILGROM/STOKEY (1982, S. 21) weisen allgemein nach, dass der Zugang von Informationen am Kapitalmarkt immer dann keinen Handel mit Wertpapieren auslöst, wenn in der Ausgangssituation pareto-effiziente Risikoteilung besteht und alle Investoren Informationen in der gleichen Weise verarbeiten bzw. interpretieren. Vgl. hierzu auch SAELZLE (1976, S. 153-220); GILLENKIRCH/VELTHUIS (1997); SCHABEL (2004); LAUX (2006a).
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
239
Variante des CAPM wird beispielhaft gezeigt, dass die Bedingung subjektiver Nutzenmaximierung immerhin „annähernd“ mit der Bedingung individueller Marktwertmaximierung übereinstimmen kann, wobei dann der für beide Varianten des CAPM existierende kollektive subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts „näherungsweise“ mit dem Marktwert seines Überschusses ~e1p übereinstimmt. Beim Ziel der Reichtumsmaximierung ist bei gegebenem Marktgleichgewicht die Gefahr von Fehlbewertungen und Fehlentscheidungen erheblich größer als beim Ziel individueller Marktwertmaximierung. Befindet sich der Markt aufgrund veränderlicher Nutzenfunktionen in einem Übergang in ein neues Gleichgewicht, wollen also Anteilseigner ihren Anteil am Marktportefeuille erhöhen und andere ihn reduzieren, gewinnt der Marktwert M0G der Aktien aller Unternehmen für die Maximierung des Nutzens der betreffenden Anteilseigner eigenständige Bedeutung, da von M0G der Verkaufserlös bzw. der Kaufpreis abhängt. In Abschnitt 4.4 wird für die NE-Variante des CAPM gezeigt, unter welcher Bedingung bei Durchführung eines Projekts der Erwartungsnutzen eines Anteilseigners steigt. Dabei zeigt sich, dass für verschiedene Anteilseigner genau dann dasselbe Vorteilhaftigkeitskriterium relevant ist, wenn sie ihren Anteil am Marktportefeuille im gleichen Verhältnis ändern. Ist dies nicht der Fall, können (erhebliche) Konflikte zwischen ihnen bezüglich der Durchführung neuer Projekte bestehen. Die Darstellungen zeigen, dass das Ziel individueller Marktwertmaximierung bei einem Übergang in ein neues Gleichgewicht völlig anders beurteilt werden muss als bei gegebenem Kapitalmarktgleichgewicht. Zudem wird allgemein deutlich, dass durch die in der Literatur vorherrschende einseitige Konzentration auf den Zustand des Marktgleichgewichts ein tieferes Verständnis finanzwirtschaftlicher Entscheidungskriterien verhindert wird. Die Darstellungen haben nicht nur theoretische, sondern auch unmittelbare praktische Bedeutung. Es geht unter anderem um Grundfragen des „Shareholder Value-Ansatzes“, der in der unternehmerischen Praxis mit großem Erfolg vermarktet wird.3 Der Ansatz trug dazu bei, dass das Ziel individueller Marktwertmaximierung unter dem Schlagwort „Shareholder Value“ weite Verbreitung gefunden hat. Die Popularität des Ansatzes dürfte vor allem daraus resultieren, dass zum einen das Ziel individueller Marktwertmaximierung als eine für alle Anteilseigner vorteilhafte Zielsetzung propagiert wird4 und zum anderen eine relativ einfache Bewertungskonzeption für die Ermittlung des Marktwertes empfohlen wird.5 Dabei wird vom einperiodigen CAPM ausgegangen
3
4
5
Zum Shareholder Value Ansatz vgl. insbesondere Kapitel XIV der vorliegenden Arbeit und COPELAND/KOLLER/MURRIN (1993; 1994); RAPPAPORT (1986). Kritische Auseinandersetzungen mit dem Shareholder Value Ansatz und mit Arbeiten hierzu finden sich in BALLWIESER (1994); HACHMEISTER (1997); SCHMIDT/SPINDLER (1997); SCHMIDT/ MAßMANN (1999); VELTHUIS (2004). In einer Praxis, in der das Ziel individueller Marktwertmaximierung weitgehend als unproblematisch angesehen wird, dürfte allerdings ein Unternehmensberater kaum seinen eigenen Markwert maximieren, wenn er dieses Ziel (gewissermaßen als „Spielverderber“) kritisch hinterfragt. Die Neigung hierzu dürfte auch an solchen wirtschaftswissenschaftlichen Fachbereichen oder Business Schools, die „mainstream“ sein wollen (oder müssen, weil Studenten hierfür hohe Studiengebühren zahlen), eher gering sein. Diese Bewertungskonzeption hat auch weite Verbreitung bei der Fundierung von risikoangepassten Kennzahlen für das wertorientierte Management gefunden (EWERT/WAGENHOFER, 2000).
240
Kapitel VI
und ein hierfür maßgeblicher risikoangepasster Zinssatz auch bei der Diskontierung der erwarteten Überschüsse späterer Perioden zugrunde gelegt.6 Wie im Folgenden gezeigt wird, ist gerade bei Gültigkeit der Bewertungsfunktionen des CAPM individuelle Marktwertmaximierung keine überlegene Zielfunktion, auch wenn sie in Literatur und Praxis kaum hinterfragt wird.7 Bei den folgenden Analysen werden die Bewertungsfunktionen des CAPM konsequent angewendet; das Ziel der Marktwertmaximierung wird hier nicht mit der modellexogenen, im Rahmen des CAPM widersprüchlichen Annahme unveränderlicher Preise Ss begründet. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit gehen wir zur Erleichterung einiger Interpretationen davon aus, die Wertpapiere n (n = 1,2,…,N) verkörperten Aktien des Unternehmens n.
2
Nutzenmaximierung und CAPM-Gleichgewicht
2.1
Unveränderliche Anteile am Marktportefeuille bei Änderung der homogenen Erwartungen
Ändern sich ausgehend von einem Marktgleichgewicht die (homogenen) Vorstellungen der Anteilseigner über den Erwartungswert und/oder die Varianz des ~ Endwertes M1G des Marktportefeuilles, bleibt – wie im Folgenden gezeigt wird – sowohl in der NE- als auch in der BQ-Variante des CAPM der optimale Anteil jedes Anteilseigners am Marktportefeuille konstant. Dies gilt unabhängig davon, ~ ~ um welche Beträge sich E(M1G ) und Var (M1G ) ändern. Es ist auch unerheblich, aus welchen Gründen sich die Erwartungen ändern. Den Anteilseignern mögen bei gegebenen Investitionsprogrammen aller Unternehmen Informationen ~ zugehen, die einen probabilistischen Rückschluss auf M1G zulassen. Es ist aber auch möglich, dass in einem Unternehmen ein zusätzliches Projekt ins Programm aufgenommen wird, dessen Überschüsse bisher in den Wertpapierkursen nicht antizipiert worden sind, und die Anteilseigner (in gleicher Weise) mehr oder weniger detailliert über die Überschüsse informiert werden. Wie in Kapitel IV, Abschnitt 5.2.2, gezeigt wurde, gilt bei normalverteilten Endwerten der Papiere und exponentiellen Nutzenfunktionen aller Anteilseigner für den optimalen Anteil zi des Anteilseigners i am Marktportefeuille:
6 7
Zur Problematik dieses Vorgehens vgl. Kapitel VII, Abschnitt 4.2, und Kapitel XIV. Vgl. stellvertretend COPELAND/KOLLER/MURRIN (1994); FISCHER (1996, S. 122 ff.); FRANKE/ HAX (2004, S. 351-358); KRUSCHWITZ (1999, S. 243-262) und RAPPAPORT (1986), wo bei der Bewertung neuer Investitionsprojekte vor dem Hintergrund des CAPM ohne nähere (modellspezifische) Begründung vom Ziel individueller Marktwertmaximierung ausgegangen wird.
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
(IV.18)
zi
1 ai I
241
(i = 1,2,...,I).
¦ a1j
j 1
Da bei exponentiellen Nutzenfunktionen konstante absolute Risikoaversion besteht, ändern sich die Risikoaversionskoeffizienten der Anteilseigner bei einer Änderung von ~ ~ E (M1G ) und/oder von Var (M1G ) nicht. Folglich ändern sich auch nicht ihre optimalen Anteile am Marktportefeuille; es werden weder Wertpapiere gekauft noch verkauft. Die Preise der Wertpapiere verändern sich in der Weise, dass es für jeden Anteilseigner nachteilig ist, seinen Anteil am Marktportefeuille zu ändern; es besteht ein Nichthandels-Gleichgewicht.8 Die Anteile am Marktportefeuille werden auch bei beliebig verteilten Endwerten der Wertpapiere und quadratischen Nutzenfunktionen nicht verändert; wieder besteht ein Nichthandels-Gleichgewicht (LAUX, 2006a, S. 200 ff.). Sind in der NB-Variante weder exponentielle, quadratische noch andere gleiche Nutzenfunktionen der HARA-Klasse relevant, wird selbst in einem CAPM-Gleichgewicht grundsätzlich das Risiko nicht pareto-effizient geteilt. Änderungen der homogenen Erwartungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt führen dann im Allgemeinen dazu, dass sich individuelle Anteile am Marktportefeuille ändern. Laufende Änderungen der Erwartungen bewirken fortlaufende Kapitalmarktanpassungen; möglicherweise existiert zu keinem Zeitpunkt ein Gleichgewicht. Ein Gleichgewicht kann unabhängig von dem Typ der individuellen Nutzenfunktion und den Erwartungen natürlich grundsätzlich auch dann nicht vorliegen, wenn sich die Nutzenfunktionen bzw. die Risikoaversionskoeffizienten einiger oder aller Investoren ändern. Die Implikationen solcher Änderungen für die Investitionsplanung und -bewertung werden in Abschnitt 4.4 untersucht.
2.2
Änderung der Erwartungen aufgrund von Investitionen
2.2.1
Entscheidungssituation
Aufbauend auf den Darstellungen in Abschnitt 2.1 werden nun Grundprobleme der Investitionsplanung untersucht. Dabei wird davon ausgegangen, dass in einem Unternehmen n ein zusätzliches einperiodiges Investitionsprojekt (oder -programm) entdeckt 8
Man kann sich vorstellen, dass ein Auktionator die neuen Gleichgewichtspreise wie folgt bestimmt: Er legt ein vorläufiges Preissystem fest und nimmt Kauf- und Verkaufsaufträge entgegen. Wenn bei diesen Preisen ein Anteilseigner die Struktur seines Portefeuilles ändern möchte, ist dies auch für alle anderen der Fall, da bei jedem Preissystem die Strukturen der optimalen individuellen Portefeuilles identisch sind; es kann dann kein Gleichgewicht bestehen. Der Auktionator erhöht nun die Preise der nachgefragten Wertpapiere und senkt die Preise der angebotenen. Wenn wieder ein Anteilseigner sein Portefeuille verändern möchte, gilt dies bei unveränderlichen Risikotoleranzen im gleichen Verhältnis auch für alle anderen. Wieder kann kein Gleichgewicht vorliegen. Wenn schließlich nach weiteren Preisänderungen weder Angebot noch Nachfrage besteht, stehen die Gleichgewichtspreise fest. Die Preisänderungen gegenüber dem Status quo resultieren also nicht aus einem Handel mit Wertpapieren, sondern daraus, dass die Preise so festgelegt werden, dass er gar nicht stattfindet.
242
Kapitel VI
wird, dessen potenzielle Überschüsse in den Marktwerten der Wertpapiere noch nicht antizipiert worden sind. Es stelle sich das Problem, ob dieses „neue“ Projekt durchgeführt werden soll. Wie gezeigt wird, gelten die Darstellungen auch für den Fall mehrerer einander ausschließender Projekte. Es wird angenommen, dass in der Ausgangssituation (ohne das neue Projekt) ein Marktgleichgewicht existiert, in dem kein Anteilseigner in der betrachteten Periode Wertpapiere kaufen oder verkaufen will. Käufe oder Verkäufe finden frühestens am Ende der Periode statt, nachdem das Projekt, sofern es durchgeführt wird, abgeschlossen ist und keine Überschüsse mehr abwirft. Wie in Abschnitt 2.1 erläutert wurde, ändern die Anteilseigner im Rahmen der NE- und der BQ-Variante ihre Anteile am Marktportefeuille auch dann nicht, wenn ausgehend von einem Marktgleichgewicht ein zusätzliches Projekt realisiert wird und die Anteilseigner in beliebiger (jedoch gleicher) Weise darüber informiert werden; das Marktgleichgewicht bleibt erhalten. Für die Projektbeurteilung aus Sicht der Anteilseigner sind somit Anteile am Marktportefeuille relevant, die für die betrachtete Periode unveränderlich sind. Hierdurch wird das Entscheidungskalkül erheblich vereinfacht; es müssen keine Konsequenzen aus projektinduzierten Portefeuilleänderungen berücksichtigt werden. Bei den Darstellungen werden ohne Einschränkung der Allgemeinheit nur folgende Grundformen der Finanzierung erfasst, die miteinander kombiniert werden können: Aufnahme von Fremdkapital zum risikolosen Zinssatz r (Fremdfinanzierung), Reduktion eines im Unternehmen zum Zinssatz r angelegten Kapitalbetrages, Reduktion der Ausschüttung zum Zeitpunkt 0 an die Anteilseigner oder Kapitalerhöhung, bei der kein Anteilseigner seinen Anteil am Gesamtbestand an Aktien des Unternehmens ändert. Bei Durchführung des Projekts ändert sich unabhängig von der Finanzierung der Erwartungswert des Endvermögens aller Anteilseigner um den Erwartungswert des Residualgewinns, P p E(~e1p ) (1 r ) A 0p , wobei ~e1p den Einzahlungsüberschuss des Projekts zum Zeitpunkt 1 und A0p die sichere Anschaffungsauszahlung bezeichnet. Die Varianz des Endwertes des Marktportefeuilles ändert sich um 'V2p ) . Es gilt nämlich: Var(e1p ) 2 Kov(e1p ; M 1G 'V 2p
~ ~ Var ( ~e1p M1G ) Var ( M1G ) ~ ~ ~ Var ( ~e1p ) 2 Kov( ~e1p ; M1G ) Var ( M1G ) Var ( M1G ) ~ Var ( ~e1p ) 2 Kov( ~e1p ; M 1G ).
2.2.2
Kollektive Nutzenmaximierung
2.2.2.1 NE- und BQ-Variante
Da bei Durchführung des Projekts der Anteil zi des Anteilseigners i am Marktportefeuille konstant bleibt, ändert sich der Erwartungswert seines Endvermögens um zi μp und dessen Varianz um z i2 'V 2p . In der NE-Variante des CAPM (Normalverteilungen und exponentielle Nutzenfunktionen) misst der Anteilseigner i seinem Anteil zi am Re-
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
243
sidualgewinn des Projekts ein Sicherheitsäquivalent (einen äquivalenten sicheren Vermögenszuwachs zum Zeitpunkt 1) von zi P p
ai 2
zi2 'V2p
bei. Das Projekt ist für den Anteilseigner i vorteilhaft, wenn dieses Sicherheitsäquivalent positiv ist, also folgende Bedingung erfüllt ist: (VI.1)
zi P p
ai 2
zi2 'V2p ! 0 .
Ist diese Bedingung erfüllt, steigt mit dem Projekt der Erwartungsnutzen des Anteilseigners i. Wegen zi > 0 kann die Vorteilhaftigkeitsbedingung (VI.1) wie folgt dargestellt werden: (VI.2)
Pp !
ai 2
zi
1 ai I
zi 'V2p .
Wegen
(VI.3)
¦ a1 j 1 j (Kapitel IV, Abschnitt 5.2.2) folgt aus (VI.2) die Vorteilhaftigkeitsbedingung: (VI.4)
Pp !
1 I
'V 2p .
2 ¦ a1 j 1 j Diese Vorteilhaftigkeitsbedingung gilt auch für jeden Anteilseigner jz i, der den zj-ten Anteil am Marktportefeuille hält. Es besteht Anreizkompatibilität (LAUX, 1971a; GILLENKIRCH/VELTHUIS, 1997): Wenn mit dem Projekt der Erwartungsnutzen eines Anteilseigners erhöht oder reduziert wird, gilt dies zugleich auch für alle anderen. Entsprechend existiert ein kollektiver subjektiver Grenzpreis für ein beliebiges Projekt, bei dem die Nutzenerwartungswerte aller Anteilseigner konstant bleiben, wenn es erworben wird (Kapitel VII, Abschnitt 2.2.1). Wie in LAUX (2006a, S. 204 ff.) gezeigt wird, gelten analoge Zusammenhänge auch für die BQ-Variante des CAPM: Bei Durchführung des Projekts ändern sich die Preise der Wertpapiere und entsprechend die individuellen Effizienzkurven so, dass kein Anteilseigner seinen Anteil am Marktportefeuille ändert. Wenn das Projekt den Erwartungs-
244
Kapitel VI
nutzen des Anteilseigners i erhöht bzw. verringert, gilt dies zugleich für jeden anderen Anteilseigner; es existiert Anreizkompatibilität (Einmütigkeit) und entsprechend ein kollektiver subjektiver Grenzpreis, wie hoch auch immer der Umfang des Projekts im Vergleich zu dem der Gesamtheit aller Investitionen sein mag. 2.2.2.2 Verallgemeinerung
Das dem CAPM zugrunde liegende (μ,V)-Prinzip steht nicht nur bei beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung und quadratischer Nutzenfunktion (BQ-Variante) bzw. bei Normalverteilung und exponentieller Nutzenfunktion (NE-Variante) im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip. Bei Normalverteilung folgt es immer dann aus dem BERNOULLI-Prinzip, wenn die Nutzenfunktion konkav ist (NB-Variante). Sind die Nutzenfunktionen der Anteilseigner zwar weder quadratisch noch exponentiell, gehören sie jedoch trotzdem zu einem einheitlichen Typ der HARA-Klasse, ist die pareto-effiziente Risikoteilung ebenfalls linear. Die im CAPM-Gleichgewicht maßgebliche lineare Tei lungsregel für den Endwert M 1G des Marktportefeuilles ist dann pareto-effizient, da sonst die Möglichkeit bestünde, durch Umverteilung der proportionalen Anteile am Marktportefeuille den Erwartungsnutzen mindestens eines Anteilseigners zu erhöhen, ohne dass der eines anderen sinken würde. Mit der betreffenden linearen pareto-effizienten Teilungsregel besteht Anreizkompatibilität. Wegen der Pareto-Effizienz der Teilungsregel wird bei Durchführung eines neuen Projekts kein Handel mit Wertpapieren ausgelöst; das Gleichgewicht (die Aufteilung des Marktportefeuilles) bleibt erhalten.
2.3
Zielkonflikte in der NB-Variante
Jedoch ist nicht bei allen konkaven Nutzenfunktionen gewährleistet, dass die lineare Risikoteilung im Rahmen eines CAPM-Gleichgewichts pareto-effizient ist. Wie in Kapitel II, Abschnitt 8.3, gezeigt wurde, kann eine lineare Teilungsregel, die das Risiko nicht pareto-effizient teilt, nicht anreizkompatibel im strengen Sinn sein. Mit der Maximierung des Erwartungsnutzens eines Anteilseigners wird dann allenfalls zufällig auch der Erwartungsnutzen jedes anderen Anteilseigners maximiert, so dass grundsätzlich kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert. Wenn Nutzenfunktionen maßgeblich sind, bei denen mit der linearen Teilungsregel im CAPM das Risiko nicht pareto-effizient geteilt wird, ist außerdem zu erwarten, dass ein Handels-Gleichgewicht besteht, d.h. Anteilseigner ihren Anteil am Marktportefeuille ändern, wenn ein neues Projekt realisiert wird, das in den Kursen bisher nicht antizipiert worden ist. Die entsprechenden Transferzahlungen zwischen Anteilseignern können eine eigenständige Ursache für Zielkonflikte darstellen; da diese Transferzahlungen vom Marktwert M0G abhängen, gewinnt nun dieser eigenständige Bedeutung für die Beurteilung der Vorteilhaftigkeit eines Projekts.
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
3
Kriterien der Marktwertmaximierung im Überblick
3.1
Individuelle Marktwertmaximierung
3.1.1
Bewertung auf der Basis eines Sicherheitsäquivalents (Variante 1)
245
3.1.1.1 Das allgemeine Konzept
Für den Marktwert M0n der Aktien des Unternehmens n zum Zeitpunkt 0 unmittelbar nach der Ausschüttung D0n gilt in der Ausgangssituation (vgl. Kapitel IV, Abschnitt 5.3.1): (VI.5)
M 0n
~ (1 r ) 1 [ E( M1n )
RPG ~ ~ Kov( M1n ; M1G )] . ~ Var ( M1G ) { MR
Nun biete sich dem Unternehmen n zum Zeitpunkt 0 ein neu entdecktes, in den Kursen nicht antizipiertes Projekt (Programm) mit der Anschaffungsauszahlung A0p und dem ungewissen Einzahlungsüberschuss ~e1p zur Durchführung an. Das Projekt habe keinen Einfluss auf die Überschüsse anderer Unternehmen; zwischen dem Unternehmen n und den anderen bestehe technische Unabhängigkeit (DEANGELO, 1981, S.82), also weder Restriktions- noch Erfolgsverbund. Im Rahmen der NE-Variante des CAPM, also bei normalverteilten Endwerten der Papiere und exponentiellen Nutzenfunktionen, bleibt bei Durchführung des neuen Pro~ jekts die Risikoprämie je Risikoeinheit, MR { RPG / Var (M1G ) , konstant, wie hoch der Umfang des Projekts auch sein mag. Dies liegt daran, dass bei exponentiellen Nutzenfunktionen konstante absolute Risikoaversion und somit kein Bewertungsverbund besteht. Da bei jeder anderen nichtlinearen Nutzenfunktion die absolute Risikoaversion veränderlich ist, ändert sich grundsätzlich in der NB-Variante des CAPM auch MR (und zwar je nach Gestalt der maßgeblichen Nutzenfunktionen). In der BQ-Variante, also bei beliebig verteilten Endwerten und quadratischen Nutzenfunktionen, steigt (sinkt) MR ~ genau dann, wenn mit dem Projekt der Erwartungswert E(M1G ) steigt (sinkt). Ist allerdings der Betrag des erwarteten Projektgewinns P E(~e1p ) (1 r ) A 0p niedrig, wird sich MR nicht spürbar ändern (LAUX, 1998, S. 279 f.), so dass vereinfachend angenommen werden kann, MR bliebe bei Durchführung des Projekts konstant, wobei dann also wieder kein Bewertungsverbund relevant ist. Im Folgenden wird davon ausgegangen, die Ausschüttung D0n sei unabhängig von der Durchführung des Projekts. Dadurch wird die Darstellung der relevanten Bewertungsfunktionen erleichtert. Die Unabhängigkeitsbedingung impliziert zwar Fremdfinanzierung des Projekts oder Reduktion eines im Unternehmen zum Zinssatz r angelegten Betrages, jedoch gelten die Ergebnisse unmittelbar auch bei Selbstfinanzierung und Finanzierung durch Kapitalerhöhung. Diese bewirken zwar eine Erhöhung von M0n, jedoch ändert sich der Marktwert M0n + D0n gegenüber den explizit zugrunde gelegten Finanzierungsformen nicht. Bei Durchführung des Projekts ändert sich der Marktwert des Unternehmens n zum Zeitpunkt 1 um den Betrag ~e1p (1 r ) A 0p . Somit kommt es bei Konstanz von MR
246
Kapitel VI
und r analog zu (VI.5) für den Zeitpunkt 0 zu dem folgenden Marktwert M 0neu n (ex Dividende): (VI.6)
neu M 0n
e (1 r) A ] (1 r)1 {E[M 1n 1p 0p e ; M e )}. MR Kov(M 1n 1p 1G 1p
~ ~ Dabei bezeichnet M1n ( M1G ) den Marktwert der Aktien des Unternehmens n (des Marktportefeuilles) zum Zeitpunkt 1 ohne das Projekt. Für die Kovarianz in (VI.6) gilt: e ; M e ) Kov(M 1n 1p 1G 1p
;M ) Kov(M ;e ) Kov(M 1n 1G 1n 1p ) Var(e ). Kov(e1p ; M 1G 1p
Wird diese Kovarianz in (VI.6) eingesetzt und hiervon (VI.5) subtrahiert, ergibt sich die Änderung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens n zum Zeitpunkt 0: (VI.7)
neu M 0n M 0n { 'M 0n
(1 r) 1 {E[e1p (1 r) A 0p ] {P p
) Kov(e ;M MR [Var(e1p ) Kov(e1p ;M 1n 1p 1G )]}.
Das Projekt ist bei individueller Marktwertmaximierung vorteilhaft, wenn 'M0n > 0 gilt. Diese Bedingung kann wegen (1 r ) 1 ! 0 wie folgt dargestellt werden: (VI.8)
E(e ) (1 r) A
1p 0p {Pp
) Kov(e ;M ! MR [Var(e1p ) 2 Kov(e1p;M 1n 1p 1G M1n )]. ) { 'Var(M 1n
Das Projekt ist also vorteilhaft, wenn der Erwartungswert μp seines Residualgewinns größer ist als der mit dem Marktpreis des Risikos (MR) gewichtete Term (VI.9)
) Kov (e ; M M ). Var (e1p ) 2 Kov (e1p ; M 1n 1p 1G 1n ) {'Var (M 1n
Interpretation: Ist der Term (VI.9) positiv, gilt dies auch die kritische Untergrenze für μp . Sie ist dann umso höher, je größer der Marktpreis des Risikos, ~ MR { RPG / Var (M1G ) , ist. Ist der Term (VI.9) negativ, gilt dies auch die kritische Untergrenze für Pp ; sie ist umso niedriger, je höher MR ist. Wie in Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.3, gezeigt wurde, ist RPG und mithin MR c.p. umso kleiner, je größer die Zahl der Anteilseigner I ist. Folglich ist bei positivem (negativem) Term (VI.9) die kri-
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
247
tische Untergrenze für Pp umso niedriger (höher), je größer I ist. Da der Term (VI.9) im Allgemeinen positiv sein dürfte, besteht folgende Tendenz: Je größer die Zahl der Anteilseigner, desto größer ist die Zahl der für sie vorteilhaften Projekte. Der Term (VI.9) bzw. (VI.8) erfasst grundsätzlich nur einen Teil der Auswirkung des Projekts auf das „Gesamtrisiko“. Bei Durchführung ändert sich die Varianz des Endwertes des Marktportefeuilles nicht um (VI.9), sondern um: (VI.10)
~ ~ 'V 2p { Var (M1G ~e1p ) Var ( M1G ) ~ Var (~e ) 2 Kov(~e ; M ) 1p
1p
1G
~ ~ ~ Var (~e1p ) 2 Kov(~e1p ; M1n ) 2 Kov(~e1p ; M1G M1n ). ~ ~ Der Term 2 Kov(~e1p ; M1G M1n ) wird in (VI.9) und in (VI.8) nur zur Hälfte erfasst. Wie in Abschnitt 3.2 gezeigt werden wird, bewirkt die andere Hälfte dieses Terms eine Änderung des Marktwertes M0G M0n der Aktien aller Unternehmen mz n. Der Varianzänderung (VI.10) wird dagegen vollständig Rechnung getragen, wenn nicht der Marktwert der Aktien des Unternehmens n, sondern der aller N Unternehmen maximiert wird (Reichtumsmaximierung). 3.1.1.2 Bewertung mit den Bewertungsfunktionen im Status quo
Es ist bemerkenswert, dass (VI.8) nicht besagt, dass das Projekt dann vorteilhaft ist, wenn der nach dem bisher geltenden Bewertungssystem ermittelte Marktwert seines Projektüberschusses höher ist als die Anschaffungsauszahlung. Dieses vereinfachte Kriterium ergibt sich jedoch dann, wenn man bei der Ermittlung der Kovarianz in (VI.6) vernachlässigt, dass der Projektüberschuss ~e1p den Endwert des Marktportefeuilles be~ ~ einflusst, also von der Fiktion M1G ~e1p M1G ausgeht9 und statt der tatsächlichen ~ ~ ~ ~ Kovarianz Kov( M1n e1p ; M1G e1p ) die „unvollständige“ Kovarianz ~ ~ Kov( M1n ~e1p ; M1G )
~ ~ ~ Kov( M1n ; M1G ) Kov( ~e1p ; M1G )
zugrunde legt. Wird statt der tatsächlichen die „unvollständige“ Kovarianz in (VI.6) eingesetzt und hiervon (VI.5) subtrahiert, ergibt sich analog zu (VI.7): (VI.7a)
'M 0n
~ (1 r ) 1 {E[~e1p (1 r ) A 0p ] MR [Kov(~e1p ; M1G )]} .
Hieraus folgt die Vorteilhaftigkeitsbedingung für das Projekt bei Zugrundelegung der Bewertungsfunktionen des Status quo:
9
Diese Fiktion impliziert, dass sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Anteilseigner nicht ändern.
248
Kapitel VI
(VI.11)
~ M 0 ( ~e1p ) (1 r) 1 [ E (~e1p ) MRKov(~e1p ;M1G ) ] ! A 0p . SÄ ( ~e1p )
Das Projekt erscheint nun beim Ziel individueller Marktwertmaximierung als vorteilhaft, wenn der Marktwert M 0 (~e1p ) seines Überschusses ~e1p zum Zeitpunkt 0 höher ist als die Anschaffungsauszahlung A0p, wobei der Marktwert von ~e1p nach demselben Bewertungsfunktional ermittelt wird wie die Marktwerte der Papiere im Status quo, also vor dem Projekt; die Bewertung erfolgt im Prinzip so, als ob das Projekt schon im CAPM-Gleichgewicht enthalten ist und nicht neu aufgenommen wird. Analog zu (VI.8) kann die Vorteilhaftigkeitsbedingung (VI.11) wie folgt dargestellt werden: ~ (VI.12) E ( ~ e1p ) (1 r ) A 0p ! MR Kov( ~e1p; M1G ).
(VI.12) vernachlässigt die in (VI.8) enthaltene Wertkomponente ~ MR [ Var ( ~e1p ) Kov( ~e1p ; M1n )] . Die für (VI.12) maßgebliche „Vereinfachung“ wird in gleicher oder analoger Weise in Literatur und Praxis oft vorgenommen. Eine analoge Vereinfachung erfolgt vor allem auch bei der Bewertung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes10 oder mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche. Es fragt sich allerdings, warum eine solche „Vereinfachung“ überhaupt relevant sein sollte. Bei praktischer Anwendung werden oh~ nehin keine Kovarianzen „ausgerechnet“. Die Schätzung der Kovarianz Kov(~e1p ; M1G ) in (VI.12) stellt keine geringeren Anforderungen als die Schätzung des Terms in der eckigen Klammer auf der rechten Seite von (VI.8), der für die theoretisch richtige Vorteilhaftigkeitsprüfung gemäß dem Ziel individueller Marktwertmaximierung maßgeblich ist. Abgesehen davon geht es hier um das allgemeine Verständnis bewertungsrelevanter Grundzusammenhänge. Allgemein sollten Vereinfachungen erst dann empfohlen werden, wenn Vorstellungen über deren Implikationen (Ausmaß der Reduktion des Planungsaufwandes im Vergleich zur Gefahr von Fehlentscheidungen) sinnvoll begründbar sind. Auf diese Implikationen kommen wir in Abschnitt 4.2 zurück.
10
Wie gezeigt wurde, resultiert die Vereinfachung daraus, dass bei der Ermittlung der Kovarianz von e der Fiktion ausgegangen wird, es gelte M 1G 1p M1G . Analog wird bei der Bewertung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes im Allgemeinen davon ausgegangen, das Projekt habe keinen Einfluss auf die Rendite des Marktportefeuilles (Abschnitt 3.1.2.1).
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
3.1.2
249
Bewertung mit einem risikoangepassten Kalkulationszinsfuß
3.1.2.1 Konzept
Der Marktwert M 0 (~e1p ) des Projektüberschusses kann auch mit Hilfe eines risikoangepassten Kalkulationszinsfußes kp ermittelt werden (Risikozuschlags-Methode). Zur Erläuterung dienen folgende Symbole: ~e 1p ~r 1 { (Markt-)Rendite des Projekts bzw. des Überschusses ~e1p , p M 0 (~e1p ) Kov(~r ; ~r ) { Kovarianz zwischen ~r und der Rendite des Marktportefeuilles. p G
p
Analog zu (IV.49) bzw. zu (IV.50) (Kapitel IV, Abschnitt 5.4.2) gilt die implizite Bestimmungsgleichung für den Marktwert des Projekts: E( ~rG ) r (VI.13) M 0 ( ~e1p ) [1 r Kov( ~rp ; ~rG )]1 E( ~e1p ) Var ( ~rG ) { kp
oder (VI.13a) M 0 ( ~e1p ) [1 r [ E ( ~rG ) r ] E p ]1 E ( ~e1p ) { kp
mit E p
Kov( ~rp ; ~rG ) . Var ( ~r ) G
Der Marktwert des Überschusses ~e1p ergibt sich also, indem dessen Erwartungswert mit dem risikoangepassten Zinssatz kp diskontiert wird. Für die Bewertung von ~e1p ist der projektspezifische Beta-Faktor relevant und nicht der Beta-Faktor für das Unternehmen als Ganzes. Bei der Bewertung des Projekts darf somit der für das Unternehmen relevante risikoangepasste Zinsfuß nur dann ~ zugrunde gelegt werden, wenn ~e1p und M1n das gleiche Beta-Risiko aufweisen.11 Es ist zu beachten, dass sich der E-Faktor in (VI.13) oder (VI.13a) auf die Rendite des gesamten Marktwertes des Projekts bezieht. Es wird nicht nach den Renditen einzelner Finanztitel gefragt, die zur Finanzierung von A0 herangezogen werden. Dies impliziert, dass – wie angenommen – die Finanzierung keinen Einfluss auf den Marktwert hat, eine Bedingung, die im CAPM erfüllt ist. Zur exakten Ermittlung von M 0 (~e1p ) müsste u.a. geprüft werden, ob und wie das Projekt E(~rG ) und Var(~rG ) beeinflusst. Die beiden Bewertungsfunktionen (VI.13) und (VI.13a) lassen offen, wie dieses Problem gelöst werden kann. In der Literatur wird im Allgemeinen vereinfachend davon ausgegangen, dass der Projektumfang so gering ist, dass ein Einfluss auf E(~rG ) und Var(~rG ) vernachlässigt werden kann (vgl. stellvertre11
Zu den Bedingungen eines einheitlichen Kalkulationszinsfußes vgl. Kapitel XIV, Abschnitt 6.
250
Kapitel VI
tend FRANKE/HAX, 2004, S. 355 ff.). Diese Annahme impliziert letztlich, dass sich bei Durchführung des Projekts die Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Rendite des Marktportefeuilles nicht ändert. Dann ändert sich auch nicht die Kovarianz ~ ~ Kov(M1m ; ~rG ) zwischen dem Marktwert M1m der Aktien eines Unternehmens mz n und der Marktrendite, so dass gemäß Bewertungsfunktion (IV.49) (Kapitel IV, Abschnitt 5.4.2) – die analog für das Unternehmen mz n gilt – auch der Marktwert M0m konstant bleibt (wobei zu beachten ist, dass das Projekt annahmegemäß keinen Einfluss ~ auf M1m hat). Außerdem ändert sich nicht der Marktwert der bisherigen Überschüsse des betrachteten Unternehmens n, so dass bei Durchführung des Projekts der Marktwert dieses Unternehmens genau dann steigt, wenn M 0 (e~1p ) [1 r [ E ( ~rG ) r ] E p ]1 E ( ~e1p ) ! A 0p
gilt, also der isoliert ermittelte Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist. Maximierung des isoliert ermittelten Marktwertes eines Investitionsprogramms ist dann konsistent mit individueller Marktwertmaximierung (Maximierung des Marktwertes der Aktien) des Unternehmens.12 Ein Bewertungsproblem resultiert daraus, dass für die Ermittlung von M 0 (~e1p ) die Kovarianz Kov(~rp ; ~rG ) bekannt sein muss. Dies wiederum setzt bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über ~rG die Kenntnis der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Rendite ~r p
~e 1p 1 M 0 ( ~e1p )
voraus. Diese hängt vom Marktwert M 0 (~e1p ) ab, der gerade ermittelt werden soll („Zirkularitätsproblem“). Möglicherweise kann jedoch die Kovarianz Kov(~rp ; ~rG ) hinreichend gut geschätzt werden, auch wenn M 0 (~e1p ) zunächst nicht genau bekannt ist. Andernfalls kann versucht werden, M 0 (~e1p ) iterativ zu ermitteln: Es wird ein Marktwert M 0 (~e1p ) angenommen, die entsprechende Kovarianz Kov(~rp ; ~rG ) geschätzt und der zugehörige Marktwert nach (VI.13) ermittelt. Ist er mit dem angenommenen identisch, ist die Bewertung abgeschlossen. Ist er z.B. höher als der angenommene, wird auf der Basis eines höheren Marktwertes (mit niedrigerer Marktrendite ~rp ) erneut die Kovarianz Kov(~rp ; ~rG ) geschätzt und der zugehörige Marktwert gemäß (VI.13) ermittelt, usw. Die Iteration endet, wenn schließlich der angenommene mit dem aus (VI.13) resultierenden Marktwert übereinstimmt.
12
Wie jedoch in Abschnitt 3.3 gezeigt wird, ist die Bedingung eines unveränderlichen Marktwertes M0m grundsätzlich nicht erfüllt. Auch wenn die Änderung der Rendite des Marktportefeuilles als vernachlässigbar gering erscheinen mag, kann ihr eine Änderung des Marktwertes aller Wertpapiere m z n entsprechen, deren Betrag höher ist als der Kapitalwert des Projekts.
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
251
3.1.2.2 Risikoangepasster Kalkulationszinsfuß, Risikoklasse und Risikoprämie
~ ~ Wenn zwei Überschüsse Ü1* und Ü1** (etwa die Überschüsse zweier Projekte oder der Überschuss eines Projekts und der des Unternehmens als Ganzes) in dieselbe Risikoklasse fallen, ist für sie derselbe risikoangepasste Kalkulationszinsfuß bewertungsrelevant. Beide Überschüsse fallen in dieselbe Risikoklasse, wenn zwischen ihnen eine proportionale Beziehung besteht, also: ~ Ü1**
~ a Ü1*
(a > 0)
gilt. Es gilt dann bei Arbitragefreiheit ~ M 0 ( Ü1** )
~ M 0 (a Ü1* )
~ a M 0 ( Ü1* )
und für die Marktrenditen ~ Ü1** 1 ~ M 0 ( Ü1** )
~ a Ü1* ~ 1 a M 0 ( Ü1* )
~ Ü1* ~ 1. M 0 ( Ü1* )
~ ~ Die Marktrenditen für Ü1** und Ü1* sind dann also für beliebiges a (a > 0) identisch. Somit sind auch ihre Betas identisch, was identische risikoangepasste Zinssätze impliziert. Gleiche Risikoklasse heißt nicht, dass beide Überschüsse mit 1 korreliert sind. Ihr Korrelationskoeffizient ist dann gleich 1, wenn (VI.14)
~ Ü1**
~ a Ü1* b
(a > 0 und b beliebig)
~ ~ gilt. Jetzt sind für Ü1** und Ü1* verschiedene risikoangepasste Zinssätze relevant. Be~* ~ zeichnet man den für Ü1 mit k* und den für Ü1** mit k**, gilt: (VI.15)
~ M 0 ( Ü1* )
~ (1 k * ) 1 E( Ü1* )
und (VI.16)
~ M 0 ( Ü1** )
~ (1 k ** ) 1 E( Ü1** ) ~ (1 k ** ) 1 [a E( Ü1* ) b] ~ (1 k ** ) 1 a E( Ü1* ) (1 k ** ) 1 b .
~ ~ Wird M 0 ( Ü1** ) mit demselben Zinssatz k* ermittelt wie M 0 ( Ü1* ) , macht man für k* r einen Bewertungsfehler. Man kommt mit diesem Zinssatz nur dann zu dem rich~ ~ tigen Marktwert M 0 ( Ü1** ) , wenn man damit nur a E( Ü1* ) diskontiert und b mit dem sicheren Zinssatz r und die Summe bildet: (VI.17)
~ M 0 ( Ü1** )
~ (1 k * ) 1 a E( Ü1* ) (1 r ) 1 b .
252
Kapitel VI
~ ~ Nur die Komponente a Ü1* fällt in dieselbe Risikoklasse wie Ü1* , so dass nur hierfür ~ derselbe risikoangepasste Zinssatz k* maßgeblich ist wie für Ü1* . Für k* > r und b > 0 ~ ist für die durchschnittliche Bewertung von M 0 ( Ü1** ) gemäß (VI.16) ein Zinssatz ~ k** < k* maßgeblich (es kann gezeigt werden, dass entsprechend auch für a Ü1* + b ein ~* kleineres Beta relevant ist als für Ü1 ). Je kleiner a und je größer b, desto mehr liegt ~ ~ k** unter k*. Dagegen gilt für die Marktrisikoprämien RP( Ü1* ) und RP( Ü1** ) : ~ RP( Ü1** )
~ a RP( Ü1* ) .
Die sichere Komponente b hat keinen Einfluss auf die Marktrisikoprämie. Dies ist ein wichtiger Grund dafür, dass wir bei späteren Analysen von Marktwerten und subjektiven Grenzpreisen absolute Risikoprämien zugrunde legen und nicht risikoangepasste Zinssätze.
3.1.3
Bewertung auf der Basis eines Sicherheitsäquivalents (Variante 2)
Das in Abschnitt 3.1.2.1 beschriebene „Zirkularitätsproblem“ kann aufgelöst (und der Bewertungsaufwand verringert) werden, indem man den Marktwert M 0 (~e1p ) analog zur Bewertungsfunktion (IV.57) (Kapitel IV, Abschnitt 5.4.4) nach der Bewertungsfunktion (VI.18)
M 0 (~e1p )
E(~rG ) r (1 r ) 1 [E(~e1p ) Kov(~e1p ; ~rG )] Var(~rG ) { SÄ ( ~e1p )
ermittelt und dabei wieder davon ausgeht, dass das Projekt keinen Einfluss auf ~rG hat. Da ~e1p im Gegensatz zu ~rp eine exogen vorgegebene Größe ist, kann nun die maßgebliche Kovarianz direkt geschätzt werden, ohne dass ein iteratives Vorgehen erforderlich ist. Unter der Annahme, dass das Projekt keinen Einfluss auf ~rG hat, lassen sich nach (VI.18) relativ einfache Bewertungen vornehmen. Ist der Projektüberschuss ~e1p stochastisch unabhängig von ~rG , gilt unabhängig von seiner Varianz die Beziehung M 0 ( ~e1p )
(1 r ) 1 E ( ~e1p ) .
Bewertungsrelevantes Risiko ist nur für Kov(~e1p ; ~rG ) z 0 gegeben; M 0 (~e1p ) ist eine fallende Funktion dieser Kovarianz.
3.2
Maximierung des Marktwertes aller Aktien
Bei Durchführung des Projekts P im Unternehmen n ergibt sich analog zu (VI.6) für ein Unternehmen m (m z n) zum Zeitpunkt 0 ein Marktwert der Aktien von:
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
253
(VI.19) M 0neu m
~ ~ ~ (1 r ) 1 E( M1m ) MR Kov( M1m ; M1G ~e1p ) ~ ~ ~ ~ (1 r) 1 E ( M1m) MRKov(M1m ;M1G ) (1 r ) 1MRKov(M1m ;~e1p ). 'M 0 m
M 0m
M0m ändert sich somit um: (VI.20)
M 0neu m M 0m { 'M 0m
~ (1 r ) 1 MR Kov( M1m ; ~e1p ).
~ ~ Analog ändert sich der Marktwert M 0 (M1n ) des bisherigen Endwertes M1n des Unternehmens n (der Marktwert seiner bisherigen Überschüsse) zum Zeitpunkt 0 um: (VI.20a)
~ 'M 0 ( M1n )
~ (1 r ) 1 MR Kov( M1n ; ~e1p ).
Der Marktwert der Aktien aller Unternehmen mz n ändert sich gemäß (VI.20) wie folgt: N
¦ 'M 0m 'M 0G 'M 0n { ' ( M 0G M 0n )
(VI.21)
m 1 mz n N ~ (1 r ) 1 MR ¦ Kov( M1m ; ~e1p ) m 1 mz n
~ ~ (1 r ) 1 MR Kov( ~e1p ; M1G M1n ). Bei Realisation des Projekts im Unternehmen n ändert sich somit gemäß (VI.7) und (VI.21) der Marktwert sämtlicher Unternehmen (einschließlich des Unternehmens n) um: (VI.22) N
'M 0G { ¦ 'M 0m
(1 r ) 1 {E[ ~e1p (1 r ) A 0p ]
m 1
~ ~ ~ ~ MR [ Var ( ~e1p ) Kov( ~e1p ;M1n ) Kov( ~e1p ;M1G ) Kov( ~e1p ;M1G M1n )]} ~ ~ ~ oder wegen Kov( ~e1p ; M1n ) Kov( ~e1p ;M1G M1n ) (VI.23)
'M 0G
~ Kov( ~e1p ;M1G ):
(1 r)1 {E[e1p (1 r) A 0p ] ) ]}. MR [ Var(e1p ) 2 Kov(e1p ; M 1G ='V2p
254
Kapitel VI
Bei Orientierung am Marktwert M0G erscheint das Projekt dann als vorteilhaft, wenn (VI.23) positiv ist. Diese Bedingung kann wegen (1 +r)1 >0 wie folgt dargestellt werden: (VI.24)
~ E ( ~e1p ) (1 r ) A 0p ! MR [ Var ( ~e1p ) 2Kov( ~e1p ;M1G )] . {P p
{ 'V 2p
Interpretation: Der Ausdruck in der eckigen Klammer gibt an, wie sich die Varianz des Endwertes aller Aktien bei Durchführung des Projekts ändert. Wird diese Änderung mit der Risikoprämie je Risikoeinheit, MR, multipliziert, ergibt sich die für das Projekt geforderte Risikoprämie. Das Projekt ist beim Ziel der Maximierung des Marktwertes M0G aller Aktien vorteilhaft, wenn der Erwartungswert μp seines Residualgewinns höher ist als diese. Im Fall 'V 2p 0 ist das Projekt vorteilhaft, wenn μp > 0 gilt. Im Fall 'V 2p ! 0 ist die kritische Untergrenze für Pp positiv und umso höher, je größer 'V 2p ~ und MR { RPG / Var (M1G ) sind. Im Fall 'V 2p 0 ist die kritische Untergrenze negativ. Die Differenz zwischen dem Ausdruck in der eckigen Klammer auf der rechten Seite von (VI.24) und dem auf der rechten Seite der Bedingung (VI.8) (die dem Ziel der Maximierung von M0n entspricht) beträgt:
(VI.25)
~ ~ Kov( ~e1p ; M1n ) Kov( ~e1p ; M1G )
~ ~ Kov( ~e1p ; M1G M1n ).
~ ~ Gilt Kov(~e1p ; M1G M1n ) ! 0 , besteht die Tendenz, dass bei Orientierung am Marktwert M0G aller Aktien Projekte abgelehnt werden, die bei Orientierung am Marktwert M0n (d.h. bei individueller Marktwertmaximierung) noch als vorteilhaft erscheinen. Der Unterschied in der Beurteilung resultiert aus der unterschiedlichen Berücksichtigung des Einflusses des Projekts auf die Varianz des Endwertes des Marktportefeuilles. Während die Varianzänderung 'V 2p in der Bewertungsfunktion (VI.23) für 'M0G vollständig erfasst wird, wird sie in der Bewertungsfunktion (VI.7) für 'M0n und entsprechend in der Vorteilhaftigkeitsbedingung (VI.8) beim Ziel individueller Marktwertma~ ~ ximierung nur zum Teil berücksichtigt; der Term Kov(~e1p ; M1G M1n ) wird nicht zweifach, sondern nur einfach erfasst.
3.3
Problematik einer Vernachlässigung des Einflusses neuer Projekte auf die Marktwerte der Aktien anderer Unternehmen
Es stellt sich das Problem, mit welchem Gewicht die Marktwerte der Aktien der anderen Unternehmen bei der Planung im „eigenen“ Unternehmen n berücksichtigt werden sollen. Da die Anteilseigner dieses Unternehmens im gleichen Verhältnis auch an allen anderen Unternehmen m n beteiligt sind und mithin ihr Vermögen von M0G (und ~ nicht nur von M1n ) abhängt, ist es nicht sinnvoll, Änderungen der Marktwerte dieser Unternehmungen ohne theoretische Fundierung a priori zu vernachlässigen. Das Problem der Berücksichtigung dieser Änderungen wird aufgelöst, jedoch nicht gelöst, wenn unterstellt wird, dass die Investitionen im Unternehmen n keinen Einfluss auf die
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
255
Marktwerte der Aktien der anderen Unternehmen haben, also '(M0G M0n) = 0 gilt. Diese Annahme wird bei der theoretischen Begründung des Ziels individueller Marktwertmaximierung (auch für das CAPM) in der Literatur oft zugrunde gelegt. Sie impli~ ~ ziert jedoch gemäß (VI.21), dass die Kovarianz Kov(~e1p ; M1G M1n ) gleich null ist. Das für die individuelle Marktwertmaximierung relevante Vorteilhaftigkeitskriterium (VI.8) lautet für diesen Fall: (VI.8a)
~ P p ! MR [Var (~e1p ) 2 Kov(~e1p ; M1n )]
~ MR 'Var(M1n ) .
Die Annahme '(M0G M0n) = 0 impliziert somit, dass für die Bewertung des Projekts nur ~ die Varianzänderung 'Var(M1n ) relevant ist. Dagegen wird in der Literatur immer wieder hervorgehoben, dass für die Bewertung gemäß dem Ziel individueller Marktwert~ maximierung die Kovarianz Kov(~e1p ; M1G ) ein erheblich größeres Gewicht haben ~ kann als die Varianz Var (~e1p ) bzw. die Varianzänderung 'Var(M1n ) , die eher vernachlässigbar gering sei. Wegen ~ Kov( ~e1p ; M1G )
~ ~ ~ Kov( ~e1p ; M1G M1n ) Var ( M1n )
kann dieses Argument auch so formuliert werden: Insbesondere sollte die Kovarianz ~ ~ Kov(~e1p ; M1G M1n ) berücksichtigt werden, während die Varianz Var (~e1p ) bzw. die ~ Varianzänderung 'Var(M1n ) eher vernachlässigt werden könne. Nun erscheint aber in ~ ~ (VI.8a) gerade diese Varianzänderung und nicht die Kovarianz Kov(~e1p ; M1G M1n ) . ~ ~ Ist der Betrag der Kovarianz Kov(~e1p ; M1G M1n ) so hoch, dass man es als besonders wichtig erachtet, ihn bei der Maximierung von M0n zu berücksichtigen, darf bei der Begründung der individuellen Marktwertmaximierung nicht davon ausgegangen werden, das Projekt hätte keinen Einfluss auf die Marktwerte der anderen Unternehmen. Die Unveränderlichkeit von M0m bei Durchführung des Projekts im Unternehmen n ~ impliziert, dass sein Überschuss ~e1p den Endwert M1G des Marktportefeuilles nicht ~ ~ beeinflusst, also gilt: M1G ~e1p M1G . Die Fiktion eines unveränderlichen Endwertes des Marktportefeuilles impliziert wiederum, dass sich die zustandsabhängigen Grenznutzenwerte der Anteilseigner bei Durchführung des Projekts nicht ändern; unveränderlichen Grenznutzenwerten entsprechen unveränderliche Preise M0m. Der Einfluss des Projekts auf die Marktwerte M0m ( m z n) wird vor allem auch bei der in der Literatur üblichen Renditebetrachtung verschleiert. M0m kann wie folgt dargestellt werden: (VI.26)
M 0m
[1 r
E( ~rG ) r ~ Kov( ~rm ; ~rG )]1 E ( M1m ). Var ( ~rG )
Wie erläutert, wird in der Literatur im Allgemeinen davon ausgegangen, dass das Projekt keinen (bewertungsrelevanten) Einfluss auf die Rendite ~rG des Marktportefeuilles hat. Es ändern sich dann auch nicht die Terme E(~rG ) , Var(~rG ) und Kov(~rm ; ~rG ) , so dass gemäß (VI.26) auch M0m (m z n) als unveränderlich erscheint.
256
Kapitel VI
Die Unterstellung einer unveränderlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung über ~rG kann zwar akzeptabel sein, wenn es ausschließlich um die vereinfachende Analyse des (Markt-)Wertes eines neuen Projekts P geht, dessen Umfang relativ gering ist. Der Umfang des Portefeuilles aus den Aktien aller Unternehmen m z n ist dagegen sehr viel größer, so dass bezüglich des Marktwertes dieses Portefeuilles die Unterstellung einer unveränderlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung über ~rG wesentlich problematischer sein kann. Es stellt sich generell das Problem, inwieweit diesem Einfluss bei der Entscheidung über das Projekt bzw. bei der Ermittlung seines kollektiven Grenzpreises Rechnung getragen werden soll; die Maximierung des Marktwertes M0n der Aktien des „eigenen“ Unternehmens, die individuelle Marktwertmaximierung, ist keine selbstverständliche Zielfunktion für die Investitionsplanung und -bewertung. In Abschnitt 4.2 wird gezeigt, dass individuelle Marktwertmaximierung immerhin „näherungsweise“ im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung stehen kann, wenn ein Marktgleichgewicht existiert. Dagegen kann sich die Maximierung des Marktwertes aller Aktien als besonders problematisch erweisen (Abschnitt 4.3). Wenn sich jedoch der Markt in einem Übergang in ein neues Gleichgewicht befindet, gewinnen die Marktwerte der Aktien der anderen Unternehmen für die Geschäftspolitik im „eigenen“ Unternehmen n grundlegende Bedeutung (Abschnitt 4.4).
4
Marktwertmaximierung im Licht subjektiver Nutzenmaximierung
4.1
Nutzenmaximierung als Referenzziel
Im Abschnitt 2.2.2.1 wurde für exponentielle Nutzenfunktionen und Normalverteilung gezeigt, unter welcher Bedingung bei gegebenem Kapitalmarktgleichgewicht mit einem Projekt der Erwartungswert des Endvermögensnutzens jedes Anteilseigners erhöht wird. Darauf soll im Folgenden aufgebaut werden. Bei exponentiellen Nutzenfunktionen und normalverteiltem Endvermögen steigt bei Durchführung des Projekts der Nutzenerwartungswert jedes Anteilseigners, wenn folgende notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt ist: (VI.4)
Pp !
1 I
2 ¦ j 1
1 aj
'V 2p .
'V 2p bezeichnet die Änderung der Varianz des Endwertes des Marktportefeuilles bei Durchführung des Projekts. In Verbindung mit (IV.36) (Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.3) bzw. mit
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
(VI.27)
MR {
RPG ~ Var ( M1G )
1 I
¦ a1i
i 1
{ I
257
1
¦ a1 j 1 j
folgt aus (VI.4) die Vorteilhaftigkeitsbedingung: (VI.28)
Pp !
MR 'V 2p 2
oder (VI.29)
MR ~ E( ~e1p ) (1 r ) A 0p ! [ Var ( ~e1p ) 2 Kov( ~e1p ; M1G )].
2 {P p
{ ' V 2p
Bei Nutzenmaximierung wird das volle zusätzliche Risiko 'V 2p mit dem halben Marktpreis des Risikos MR / 2 gewichtet. Die Bedingung (VI.29) dafür, dass mit dem Projekt der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners steigt, berücksichtigt nur Marktgrößen und nicht direkt die Risikoeinstellungen oder die Nutzenfunktionen der Anteilseigner. Subjektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung unterscheiden sich somit nicht dadurch, dass im ersten Fall explizit subjektive Präferenzen und im zweiten Fall Marktgrößen bewertungsrelevant sind. Der Unterschied zwischen den betreffenden Zielfunktionen besteht ausschließlich in der unterschiedlichen Gewichtung eines Teils der Marktgrößen. Das Ziel subjektiver Nutzenmaximierung ist somit gleichermaßen operational wie das der individuellen Marktwertmaximierung und der Maximierung des Marktwertes aller Aktien.13 Da es außerdem (modellendogen) theoretisch fundiert ist, kann es, wie im Folgenden gezeigt wird, als Referenzziel für die Beurteilung der beiden Varianten der Marktwertmaximierung zugrunde gelegt werden.
4.2
Individuelle Marktwertmaximierung
4.2.1
Exaktes Entscheidungskriterium
Wie erläutert, gibt das Kriterium (VI.8) an, unter welcher Bedingung das Projekt den Marktwert M0n erhöht. Dieses Kriterium erfasst im Gegensatz zum (Nutzen-) Kriterium (VI.29) das zusätzliche Risiko 'V 2p nicht in vollem Umfang, sondern annähernd nur zur Hälfte.14 Andererseits wird in (VI.8) das betreffende Risikomaß mit MR multipli13
14
In der Literatur ist die Vorstellung weit verbreitet, dass die kollektive Nutzenmaximierung deshalb allgemein auf Probleme stößt, weil die Präferenzen der Anteilseigner unterschiedlich und zudem nicht bekannt sind, während die Marktwertmaximierung deshalb als Entscheidungskriterium geeignet sei, weil sie keine direkte Bezugnahme auf die Präferenzen der Anteilseigner erfordere. Vgl. z.B. FRANKE/ HAX (2004, S. 57); HAX/HARTMANN-WENDELS/V. HINTEN (1988, S. 693); BREUER (1997, S. 222). Das Risikomaß in der eckigen Klammer auf der rechten Seite von (VI.8) kann wie folgt dargestellt werden:
258
Kapitel VI
ziert und nicht wie bei subjektiver Nutzenmaximierung mit MR/ 2, so dass der Fehler bei der Erfassung des zusätzlichen Risikos in (VI.8) mehr oder weniger kompensiert wird (GILLENKIRCH/VELTHUIS, 1997, S. 135 ff.). Der Unterschied zwischen den Kriterien (VI.8) und (VI.29) resultiert letztlich daraus, dass für die dem (Markt-)Kriterium (VI.8) zugrunde liegenden Marktwerte M 0neu n und M0n Grenznutzenwerte relevant sind, während bei subjektiver Nutzenmaximierung die Änderung des Erwartungsnutzens über die Änderung des Sicherheitsäquivalents für das Endvermögen direkt und vollständig berücksichtigt wird. Die Differenz zwischen dem Term auf der rechten Seite von (VI.8) und dem auf der rechten Seite von (VI.29) beträgt: RPG 1 1 )] ). (VI.30) MR [ Var(e1p ) Kov(e1p ; M 'Var(M 1n 1n 2 Var(M1G ) 2
1 'Var(M ) 1n 2
{ MR
Der Betrag dieses „Fehlerterms“ ist umso größer, je größer MR ist, je geringer also die Zahl der Akteure auf dem Kapitalmarkt und je größer deren Risikoaver~ sion ist. Für Kov(~e1p ; M1p ) t 0 ist der Fehlerterm positiv. Die rechte Seite der Bedingung (VI.8) ist dann größer als die der Bedingung (VI.29). Es ist dann möglich, dass das Projekt bei Orientierung am Marktwert M0n abgelehnt wird, obwohl es den Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners erhöhen würde. Im Fall ~ Kov(~e1p ; M1n ) 0 kann der Fehlerterm (VI.30) negativ sein. Es ist dann möglich, dass das Projekt bei individueller Marktwertmaximierung angenommen wird, obwohl es den Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners reduziert. Jedoch kann der Fehler dann als irrelevant erscheinen, wenn die halbe Varianzänderung beim investierenden Unternehmen und mithin auch der Betrag des Terms (VI.30) sehr gering ist. Individuelle Marktwertmaximierung steht dann „annähernd“ im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung. Dies bedeutet, dass der (für alle Anteilseigner identische) subjektive Grenzpreis annähernd mit dem Marktwert des Überschusses übereinstimmt; wird das Projekt zu diesem Marktwert erworben, bleiben die individuellen Nutzenerwartungswerte annähernd konstant (Kapitel VII). Es ist zu beachten, dass hier die (näherungsweise) Übereinstimmung von individueller Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung modellendogen gezeigt wurde und nicht unter der widersprüchlichen Annahme, das Projekt habe keinen Ein ) Kov(e ;M Var(e1p ) Kov(e1p ; M 1n 1p 1G ) Dagegen gilt: 2
'V p
). Var(e1p ) 2 Kov(e1p ; M 1G
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
259
fluss auf die Marktwerte M0m ( m z n) . Diese Annahme hat weder Bedeutung für das Kriterium (VI.8) noch für (VI.29). Es liegt die Vermutung nahe, dass der Term (VI.30) dann vernachlässigbar ist, wenn ~ ) im Vergleich zur Varianz Var (M 'Var(M 1G ) klein ist oder das Projekt im Ver1n gleich zum Investitionsvolumen des Gesamtmarktes nur einen geringen Umfang hat.15 ~ Dieses Argument suggeriert, dass Var (M1G ) für die Vorteilhaftigkeitsbeurteilung über ) wird in (VI.30) nehaupt von Bedeutung ist. Das ist jedoch nicht der Fall; 'Var(M 1n ~ ben 0,5 mit dem Faktor MR { RPG / Var (M1G ) gewichtet, der seinerseits in der hier ~ betrachteten NE-Variante des CAPM von Var (M1G ) völlig unabhängig ist. MR hängt ausschließlich von den Risikoaversionskoeffizienten ai der Anteilseigner ab; je größer deren Risikoaversion, desto größer ist MR. Das Argument, dass der Term (VI.30) ver~ ) im Vergleich zur Varianz Var (M nachlässigt werden könne, wenn 'Var(M 1G ) 1n niedrig sei, hat die gleiche Qualität wie das Argument, die Risikoprämie μp des Projekts könne vernachlässigt werden, wenn sie im Vergleich zur Risikoprämie RPG des Marktportefeuilles gering sei. Auch wenn bei Orientierung am Ziel der individuellen Marktwertmaximierung die Gefahr oder die Konsequenzen von Fehlentscheidungen gering sein mögen, ist die Orientierung an diesem Ziel und die entsprechende Ermittlung kollektiver Grenzpreise nicht unproblematisch. Man kann sie allenfalls mit dem Argument rechtfertigen, dass dann der Planungsaufwand geringer sei als bei expliziter Orientierung am Ziel der Nutzenmaximierung. Das Kriterium (VI.29) ist jedoch nicht komplexer als (VI.8).
4.2.2
Vereinfachtes Entscheidungskriterium
Wie in Abschnitt 3.1.1.2 erläutert, folgt für die individuelle Marktwertmaximierung die Vorteilhaftigkeitsbedingung (VI.12), sofern der Marktwert von ~e1p vereinfachend nach denselben Bewertungsfunktionen ermittelt wird wie die Marktwerte der Papiere im Status quo. Die Differenz zwischen dem Term auf der rechten Seite von (VI.12) und dem auf der rechten Seite von (VI.29) beträgt: (VI.31)
1 MR Var (~e1p ). 2
Wegen MR > 0 und Var (~e1p ) ! 0 ist dieser Fehlerterm negativ; die kritische Untergrenze für die Risikoprämie ist bei dem vereinfachten Marktwertkriterium niedriger als bei subjektiver Nutzenmaximierung. Es ist möglich, dass das Projekt bei vereinfachter Marktbewertung durchgeführt wird, obwohl damit der Nutzenerwartungswert der Anteilseigner (wenn auch nur geringfügig) sinkt. Der Betrag des Fehlerterms (VI.31) kann ~ je nach der Höhe von Kov(~e1p ; M1n ) kleiner oder größer sein als der gemäß (VI.30). Ob die vereinfachte Marktbewertung gegenüber der exakten zu einer Annäherung an das Kriterium subjektiver Nutzenmaximierung führt, kann nicht generell, sondern nur für den konkreten Einzelfall festgestellt werden. 15
Vgl. hierzu HACHMEISTER (1995, S. 174 f.) und die dort zitierte Literatur.
260
Kapitel VI
4.3
Maximierung des Marktwertes aller Aktien
In der Bedingung (VI.24) dafür, dass das Projekt den Marktwert M0G der Aktien aller Unternehmen erhöht, wird zwar wie bei subjektiver Nutzenmaximierung das volle Risiko 'V 2p berücksichtigt, jedoch wird es mit MR gewichtet statt mit dem Faktor MR/ 2, der für die Bedingung (VI.29) subjektiver Nutzenmaximierung maßgeblich ist. Wie bei individueller Marktwertmaximierung wird der Risikoabschlag nicht korrekt erfasst. Der Ausdruck auf der rechten Seite von (VI.24) unterscheidet sich von dem auf der rechten Seite des (Nutzen-) Kriteriums (VI.29) durch den Fehlerterm (VI.32)
MR ~ ~ [ Var ( ~e1p ) 2 Kov(~e1p ;M1G )] MR [ 21 Var ( ~e1p ) Kov( ~e1p ;M1G )]. 2 1 2 'V p 2
~ Da der Betrag der Kovarianz Kov(~e1p ; M1G ) erheblich größer sein kann als der ~ der Kovarianz Kov(~e1p ; M1n ) , ist die Gefahr von Fehlentscheidungen bei Orientierung am Marktwert M0G aller Aktien erheblich größer als bei Orientierung am individuellen Marktwert M0n, für die der Fehlerterm (VI.30) relevant ist. Ist der Ausdruck (VI.33)
~ 1 Var ( ~ e1p ) Kov( ~e1p ; M1G ) 2
im Fehlerterm (VI.32) positiv (negativ), ist der Grenzwert für μp bei Orientierung am Marktwert M0G entsprechend höher (niedriger) als bei Maximierung des erwarteten Nutzens. Es besteht dann bei Maximierung von M0G die Tendenz zur Unterinvestition (Überinvestition). Fazit: Die Tatsache, dass die individuelle Marktwertmaximierung eher als Unternehmensziel relevant ist als die Maximierung des Marktwertes der Aktien aller Unternehmen, folgt daraus, dass der Fehlerterm (VI.30) tendenziell erheblich geringer ist als (VI.32) und nicht daraus, dass der Projektüberschuss e1p keinen Einfluss auf die Marktwerte M0m (m z n) hat.
4.4
Marktwertmaximierung im Licht subjektiver Nutzenmaximierung bei einem Übergang in ein neues Marktgleichgewicht [*]
4.4.1
Konflikte bei Investitionsentscheidungen
Wenn kein Kapitalmarktgleichgewicht gegeben ist, besteht keine Einmütigkeit im strengen Sinne. Wenn es nicht möglich ist, simultan den Erwartungsnutzen aller Anteilseigner zu maximieren, kann Marktwertmaximierung nicht generell im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung stehen. In LAUX (2006a, S. 288 ff.) wird der Konflikt gezeigt und untersucht, unter wel-
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
261
chen Bedingungen ein Projekt für einen Anteilseigner oder eine „homogene“ Gruppe von Anteilseignern vorteilhaft ist. Dabei wird davon ausgegangen, dass zu Beginn der Periode (Zeitpunkt 0) aufgrund von Änderungen der Risikoeinstellungen (der Risikoaversionskoeffizienten), Anteilseigner ihren Anteil am Marktportefeuille erhöhen und andere ihn reduzieren. Für den Anteil zni des Anteilseigners i (i = 1,2,...,I) am Marktportefeuille im neuen Gleichgewicht gilt: (VI.34)
zn i
1 I 1 /¦ . ai j 1 a j
Dabei bezeichnen jetzt a1, a2, ..., aI die „neuen“ Risikoaversionskoeffizienten, die für die betrachtete Periode relevant (und im Verlauf dieser Periode unveränderlich) sind. Der Anteil, den ein Anteilseigner im neuen Gleichgewicht am Marktportefeuille hält, ist (bei den unterstellten exponentiellen Nutzenfunktionen) unabhängig davon, ob das Projekt durchgeführt wird. Jedoch beeinflusst das Projekt grundsätzlich den Erlös (die zu leistende Zahlung) eines Anteilseigners für den Fall, dass er beim Übergang auf das neue Gleichgewicht seinen Anteil am Marktportefeuille reduziert (erhöht). Die Projektabhängigkeit der Transferzahlungen ist die eigentliche Ursache des Interessenkonflikts. Der Anteil am Marktportefeuille, den der Anteilseigner i (i = 1,2,...,I) in der Ausgangssituation (d. h. vor dem neuen Gleichgewicht) hält, wird nun mit zai bezeichnet. Im Fall zni = zai ändert er seinen Anteil nicht. Im Fall zni > zai (zni < zai) erhöht (reduziert) er ihn. Dies ist genau dann der Fall, wenn das Verhältnis aus seiner eigenen Risikotoleranz und der Summe aller Risikotoleranzen steigt (sinkt). Ein Anteilseigner i mag z.B. deshalb seinen Anteil am Marktportefeuille ändern, weil sich bei Konstanz der Risikoaversionskoeffizienten der anderen sein eigener Risikoaversionskoeffizient ai gegenüber der Vorperiode geändert hat oder weil sich bei konstantem ai die Risikoaversionskoeffizienten anderer Anteilseigner geändert haben. Die Risikoaversion eines Anteilseigners kann sich z.B. auf Grund von Ereignissen wie Krankheit, Heirat oder Geburt eines Kindes ändern. Der Anteilseigner i hat nur dann keinen Anlass, seinen Anteil am Marktportefeuille zu ändern, wenn
zn i
1 ai I
za i
¦ a1j
j 1
gilt, also die Risikoaversionskoeffizienten sich derart ändern, dass die neue relevante Relation für den Anteilseigner i mit der ursprünglichen übereinstimmt. Da er dann weder Anteile kauft noch verkauft, sind für ihn die Marktwerte zum Zeitpunkt 0 ohne direkte Bedeutung. Für ihn ist dasselbe Aktionsprogramm optimal wie für den Fall, dass kein Anteilseigner seinen Anteil am Marktportefeuille ändert. Da dann individuelle Marktwertmaximierung näherungsweise im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht, sofern der Betrag des Fehlerterms (VI.30) niedrig ist, gilt dies für den Anteilseigner i auch bei einem Übergang in ein neues Gleichgewicht. Will er zum Zeitpunkt 0 (fast) seinen gesamten Anteil am Marktportefeuille verkaufen, ist also zni (annähernd) null, wird sein Nutzen maximiert, indem sein Verkaufserlös zum Zeitpunkt 0 maximiert wird. Für ihn ist dann nicht allein der Marktwert M0n relevant, sondern der Marktwert M0G aller Aktien; je höher dieser Marktwert, desto höher ist sein Verkaufserlös und mithin
262
Kapitel VI
der zum Zinssatz r anlegbare Betrag und sein Endvermögen. Die Maximierung des Marktwertes aller Aktien ist dann kompatibel mit dem Ziel der Maximierung des Nutzens des Anteilseigners i. Allgemein steht das folgende Kriterium näherungsweise im Einklang mit dem Ziel der Maximierung des subjektiven Nutzens des Anteilseigners i (LAUX, 2006a, S. 295): (VI.35)
zn i zn 'M 0n +(1 i ) 'M 0G ! 0. za i za i
Das Projekt ist vorteilhaft, wenn die gewichtete Summe aus der Änderung des Marktwertes M0n und der Änderung des Marktwertes M0G bei Durchführung des Projekts positiv ist. Bei gegebenem zai ist das Gewicht von 'M0G umso höher und das von 'M0n umso niedriger, je kleiner zni ist, je weniger also der Anteilseigner i im neuen Gleichgewicht am Marktportefeuille beteiligt ist; für zni < zai ist das Gewicht von 'M0G positiv, für zni > zai ist es negativ. Für zni = zai folgt aus (VI.35) für den Anteilseigner i die Vorteilhaftigkeitsbedingung 'M0n > 0, die dem Ziel individueller Marktwertmaximierung entspricht. Für zni | 0 folgt für ihn die Vorteilhaftigkeitsbedingung 'M0G > 0; das Projekt ist vorteilhaft, wenn es den Marktwert der Aktien aller Unternehmen erhöht. Das Projekt kann auch dann vorteilhaft sein, wenn bei seiner Durchführung M 0n sinkt. Es wird ersichtlich, dass das Ziel individueller Marktwertmaximierung bei Fehlen eines Kapitalmarktgleichgewichts völlig anders zu beurteilen ist als bei Existenz eines Gleichgewichts. Da die Vorteilhaftigkeitsbedingungen (VI.35) analog für einen beliebigen Anteilseigner j gilt, ermöglicht sie eine anschauliche Analyse potenzieller Konflikte für zn j /za j z zn i /za i . Ein Projekt, das den (Erwartungs-)Nutzen eines Anteilseigners erhöht, kann für einen anderen von erheblichem Nachteil sein. Will z.B. der Anteilseigner i seinen Anteil am Marktportefeuille erhöhen und j ihn reduzieren, ist gemäß (VI.35) das Gewicht für 'M 0G ( 'M 0n ) vom Standpunkt des Anteilseigners i niedriger (höher) als für den Anteilseigners j; das Projekt kann je nach seinem Einfluss auf M0n und M0G für i vorteilhaft und für j nachteilig sein oder umgekehrt. Der Nutzen kann grundsätzlich immer nur für eine „homogene“ Gruppe von Anteilseignern maximiert werden, für die der Quotient zni/zai identisch ist; es existiert kein kollektiver subjektiver Grenzpreis. Die Darstellungen haben Bedeutung für die Entscheidung über den Kauf eines nicht börsennotierten Unternehmens. Wenn individuelle Marktwertmaximierung nicht im Interesse aller Anteilseigner steht, kann das Marktwertkriterium auch nicht ohne weiteres für die Bewertung dieses Unternehmens herangezogen werden. Bei einem Übergang in ein neues Gleichgewicht können sich erhebliche (Bewertungs-)Konflikte zwischen Anteilseignern ergeben, wobei – wie erläutert – individuelle Marktwertmaximierung allenfalls für diejenigen Anteilseigner eine geeignete Zielfunktion darstellt, die ihren Anteil am Marktportefeuille nicht (oder relativ wenig) ändern.
4.4.2
Konflikte bei Information der Anteilseigner
Der Anteil zni, den der Anteilseigner i im neuen Gleichgewicht am Marktportefeuille hält, hängt allein von seinem für die betrachtete Periode maßgeblichen Risikoaversionskoeffizienten ai sowie den Risikoaversionskoeffizienten der anderen Anteilseigner ab. Somit ist zni bei homogenen Erwartungen unabhängig davon, welche homogenen (öffentlichen) Informationen die Anteilseigner erhalten; homogene Informationen, aus denen alle die gleichen Schlüsse ziehen, lösen keine Kauf- und Verkaufentscheidungen aus. Jedoch beeinflussen die Informationen die Transferzahlungen beim Übergang in das neue Gleichgewicht. Im Fall zni > zai (zni < zai) ist es für den Anteilseigner i vorteilhaft, wenn Informationen gegeben werden, bei denen der Markt-
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
263
wert M0G aller Aktien sinkt (steigt). Der reale Marktwert hat nun gegenüber dem virtuellen grundlegende Bedeutung. Es kann das folgende Fazit gezogen werden: Ist individuelle Marktwertmaximierung (näherungsweise) mit Nutzenmaximierung kompatibel (gegebenes Marktgleichgewicht), erübrigt sich die Information der Anteilseigner über die zukünftigen Überschüsse neuer Projekte. Die Information wird erst dann relevant, wenn aufgrund eines Übergangs in ein neues Gleichgewicht ein Konflikt zwischen individueller Marktwertmaximierung und Nutzenmaximierung besteht. In diesem Fall ergeben sich Konflikte zwischen den Anteilseignern und zwar sowohl bezüglich der Projektauswahl als auch der Informationspolitik des Unternehmens; es stellt sich das Problem, an welcher Interessengruppe sich die Informationspolitik ausrichten soll.
5
Resümee
1. Ändern sich ausgehend von einem Marktgleichgewicht die (homogenen) Vorstellungen der Anteilseigner über den Erwartungswert und/oder die Varianz des Endwertes M 1G des Marktportefeuilles, bleibt sowohl in der NE- als auch in der BQ-Variante des CAPM der optimale Anteil jedes Anteilseigners am Marktportefeuille konstant. Es ist unerheblich, aus welchen Gründen sich die Erwartungen ändern. Den Anteilseignern mögen bei gegebenen Investitionsprogrammen aller Unternehmen Informationen zugehen, die einen probabili stischen Rückschluss auf M 1G zulassen. Es ist aber auch möglich, dass in einem Unternehmen ein zusätzliches Projekt ins Programm aufgenommen wird, dessen Überschuss bisher in den Wertpapierkursen nicht antizipiert worden ist, und die Anteilseigner (in gleicher Weise) mehr oder weniger detailliert darüber informiert werden. Sind in der NB-Variante weder exponentielle, quadratische noch andere Nutzenfunktionen der HARA-Klasse relevant, wird selbst in einem CAPM-Gleichgewicht grundsätzlich das Risiko nicht pareto-effizient geteilt. Änderungen der homogenen Erwartungen der Investoren auf dem Kapitalmarkt führen dann im Allgemeinen dazu, dass sich individuelle Anteile am Marktportefeuille ändern. Laufende Änderungen der Erwartungen bewirken fortlaufende Kapitalmarktanpassungen und Bewertungskonflikte zwischen Anteilseignern. 2. Ein Projekt P, mit dem Überschuss e1p und der Anschaffungsauszahlung A0p, ist bei individueller Marktwertmaximierung (d.h. bei Maximierung des Marktwertes der Aktien des investierenden Unternehmens n) vorteilhaft, wenn folgende Bedingung gilt: (VI.8)
) Kov(e ;M E(e1p ) (1 r) A 0p ! MR [Var(e1p ) 2 Kov(e1p;M 1n 1p 1G M1n )]. {P p
) 'Var(M 1n
Das Projekt ist also vorteilhaft, wenn der Erwartungswert μp seines Residualgewinns größer ist als der mit dem Marktpreis des Risikos (MR) gewichtete Term (VI.9)
) Kov (e ;M Var (e1p ) 2 Kov (e1p ;M 1n 1p 1G M1n ) . ) 'Var (M 1n
Ist der Term (VI.9) positiv, gilt dies wegen MR > 0 auch für die kritische Untergrenze für ), μp . Sie ist dann umso höher, je größer der Marktpreis des Risikos, MR { RPG / Var(M 1G ist. Ist der Term (VI.9) negativ, gilt dies auch für die kritische Untergrenze für Pp ; sie ist umso niedriger, je höher MR ist. RPG und mithin MR sind c.p. umso kleiner, je größer die Zahl der Anteilseigner I ist. Folglich ist bei positivem (negativem) Term (VI.9) die kritische Untergrenze für Pp umso niedriger (höher), je größer I ist. Da der Term (VI.9) im Allgemei-
264
Kapitel VI
nen positiv sein dürfte, besteht folgende Tendenz: Je größer die Zahl der Anteilseigner, desto größer ist die Zahl der für sie vorteilhaften Projekte. 3. Wird das Projekt P im Unternehmen n durchgeführt, ändert sich ohne Restriktions- und Erfolgsverbund der Marktwert aller Unternehmen m z n wie folgt: N
(VI.21)
1 ¦ 'M 0m (1 r) MR Kov(e1p ;M 1G M1n ) m 1 mzn
Es stellt sich das Problem, mit welchem Gewicht die Marktwerte der Aktien der anderen Unternehmen bei der Planung im „eigenen“ Unternehmen n berücksichtigt werden sollen. Da die Anteilseigner dieses Unternehmens im CAPM im gleichen Verhältnis auch an allen anderen Unternehmen beteiligt sind und mithin ihr Vermögen von M0G (und nicht allein von M0n) abhängt, ist es nicht sinnvoll, Änderungen der Marktwerte der anderen Unternehmungen ohne theoretische Fundierung zu vernachlässigen. Das Problem der Berücksichtigung dieser Änderungen wird aufgelöst, jedoch nicht gelöst, wenn – wie in der Literatur üblich – unterstellt wird, dass die Investitionen keinen Einfluss auf die Marktwerte der Aktien der anderen Unternehmen haben, also '(M0G M0n) = 0 gilt. Diese Annahme impli ziert jedoch gemäß (VI.21), dass die Kovarianz Kov(e1p ;M 1G M1n ) gleich null ist. Das für die individuelle Marktwertmaximierung relevante Vorteilhaftigkeitskriterium (VI.8) lautet für diesen Fall: (VI.8a)
)] MR 'Var(M ). P p ! MR [Var(e1p ) 2 Kov(e1p ;M 1n 1n
Die Annahme '(M0G M0n) = 0 impliziert somit, dass für die Bewertung des Projekts nur ) relevant ist. Dagegen wird in der Literatur immer wieder die Varianzänderung 'Var(M 1n hervorgehoben, dass für die Bewertung gemäß dem Ziel individueller Marktwertmaximierung die Kovarianz ein erheblich größeres Gewicht haben kann als die Varianz bzw. die Varianzänderung, die eher vernachlässigbar gering sei. 4. Für die Beurteilung des Ziels individueller Marktwertmaximierung ist eine modellendogene Analyse geboten, bei der der Einfluss des Projekts auf die Marktwerte aller Papiere konsequent erfasst wird. Als Referenzziel dient in dieser Arbeit das Ziel subjektiver Nutzenmaximierung. Bei Durchführung des Projekts P steigt der Nutzenerwartungswert jedes Anteilseigners, wenn folgende Bedingung erfüllt ist: (VI.29)
MR )]. E(e1p ) (1 r) A 0p ! [Var(e1p ) 2 Kov(e1p ;M 1G 2 {P p
{ ' V2p
Bei Nutzenmaximierung wird das volle aus dem Projekt resultierende zusätzliche Risiko 'V 2p mit dem halben Marktpreis des Risikos MR/2 gewichtet. 5. Das Kriterium (VI.8), das angibt, unter welcher Bedingung das Projekt den Marktwert M0n erhöht, erfasst im Gegensatz zum (Nutzen-)Kriterium (VI.29) das zusätzliche Risiko 'V 2p nicht in vollem Umfang, sondern annähernd nur zur Hälfte. Andererseits wird in (VI.8) das betreffende Risikomaß mit MR multipliziert und nicht wie bei subjektiver Nutzenmaximierung mit MR/2, so dass der Fehler bei der Erfassung des zusätzlichen Risikos in (VI.8) mehr oder weniger kompensiert wird. Die Differenz zwischen dem Term auf der rechten Seite von (VI.8) und dem auf der rechten Seite von (VI.29) ist umso größer, je größer MR ist, je geringer also die Zahl der Akteure auf dem Kapitalmarkt und je größer ihre Risikoaversion ist.
Kollektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung im CAPM
265
6. Beim Ziel der Maximierung des Marktwertes M0G der Aktien aller Unternehmen (Reichtumsmaximierung) erscheint das Projekt P dann als vorteilhaft, wenn folgende Bedingung gilt: (VI.24)
)] . E(e1p ) (1 r) A0p ! MR [Var(e1p ) 2Kov(e1p ;M 1G {P p
{'V2p
Der Ausdruck in der eckigen Klammer gibt an, wie sich die Varianz des Endwertes aller Aktien bei Durchführung des Projekts ändert. Wird diese Änderung mit der Risikoprämie je Risikoeinheit, MR, multipliziert, ergibt sich die für das Projekt geforderte Risikoprämie. Das Projekt ist beim Ziel der Maximierung des Marktwertes M0G aller Aktien vorteilhaft, wenn der Erwartungswert μp des Residualgewinns höher ist als diese Risikoprämie. In der Bedingung (VI.24) wird zwar wie bei subjektiver Nutzenmaximierung das volle Risiko 'V2p berücksichtigt, jedoch wird es mit MR gewichtet statt mit dem Faktor MR/2, der für die Bedingung (VI.29) subjektiver Nutzenmaximierung maßgeblich ist. Wie bei individueller Marktwertmaximierung wird die Risikoprämie (bzw. der Risikoabschlag) nicht kor ) in (VI.29) erheblich größer sein rekt erfasst. Da der Betrag der Kovarianz Kov(e1p ;M 1G kann als der der Kovarianz Kov(e1p ;M1n ) in (VI.24), ist die Gefahr von Fehlentscheidungen bei Orientierung am Marktwert M0G aller Aktien erheblich größer als bei Orientierung am individuellen Marktwert M0n. 7. Befindet sich der Markt aufgrund veränderlicher Nutzenfunktionen in einem Übergang in ein neues Gleichgewicht, wollen also Anteilseigner ihren Anteil am Marktportefeuille erhöhen und andere ihn reduzieren, gewinnt der Marktwert M0G der Aktien aller Unternehmen für die Maximierung des Nutzens dieser Anteilseigner eigenständige Bedeutung, da von M0G der Verkaufserlös bzw. der Kaufpreis abhängt. Allgemein steht das folgende Kriterium näherungsweise im Einklang mit der Maximierung des subjektiven Nutzens des Anteilseigners i: (VI.35)
zn i zn 'M 0n +(1 i ) 'M 0G ! 0 . za i za i
zn i (za i ) bezeichnet den neuen (alten) Anteil des Anteilseigners i am Marktportefeuille. Das Projekt ist vorteilhaft, wenn die gewichtete Summe aus der Änderung des Marktwertes M0n und der Änderung des Marktwertes M0G bei Durchführung des Projekts positiv ist. Bei gegebenem zai ist das Gewicht von 'M0G umso höher und das von 'M0n umso niedriger, je kleiner zni ist, d.h. je weniger der Anteilseigner i im neuen Gleichgewicht am Marktportefeuille beteiligt ist; für zni < zai ist das Gewicht von 'M0G positiv, für zni > zai ist es negativ. Für verschiedene Anteilseigner ist genau dann dasselbe Vorteilhaftigkeitskriterium relevant, wenn sie ihren Anteil am Marktportefeuille im gleichen Verhältnis ändern. Ist dies nicht der Fall, können (erhebliche) Konflikte zwischen ihnen bezüglich der Bewertung und Durchführung neuer Projekte bestehen; es existiert kein kollektiver subjektiver Grenzpreis.
Kapitel VII Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
1
Problemstellung
In den Kapiteln V und VI wurde untersucht, unter welchen Bedingungen Anreizkompatibilität (d.h. bei Fehlen nichtfinanzieller Ziele Einmütigkeit) zwischen den Anteilseignern eines börsennotierten Unternehmens besteht. Anreizkompatibilität ist Voraussetzung für die Existenz eines kollektiven subjektiven Grenzpreises. Bei Interessenkonflikten unterscheiden sich die subjektiven Grenzpreise. Der Grenzpreis für einen einzelnen Anteilseigner oder eine homogene Gruppe von Anteilseignern stimmt dann allenfalls zufällig mit dem Marktwert eines Bewertungsobjekts überein. Bisher wurde nur am Rande gezeigt, welche konkreten Konsequenzen sich aus den Darstellungen für die Bewertung ergeben. Damit befasst sich das vorliegende Kapitel. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird von einem potenziellen Kauf des Bewertungsobjekts ausgegangen. Theoretische Grundlagen sind der SPA und das CAPM, wobei vor allem Konflikte zwischen Anteilseignern oder (was eng damit zusammenhängt) zwischen subjektiver Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung bei Existenz von privaten Risiken und beschränkten Leerverkäufen gezeigt werden. In Abschnitt 2 werden am Beispiel eines ganzen Unternehmens Bewertungsprobleme für unterschiedliche Kapitalmarktzusammenhänge diskutiert. Es wird gezeigt, dass bei pareto-effizienter Risikoteilung der Unternehmenswert als Marktwert ermittelt werden kann. In diesem Fall kann aber bei homogenen Erwartungen über die Überschüsse nur bei Restriktions- und Erfolgsverbund eine Übertragung des Unternehmens vom Verkäufer auf den Käufer nutzensteigernd sein. In Abschnitt 3 wird untersucht, welche Bedeutung private (Hintergrund-)Risiken und Leerverkäufe für den SPA und das CAPM haben und welche Konflikte zwischen den Anteilseignern aus privaten Risiken und beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten resultieren können. Da im Konfliktfall kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert, kann der Marktwert allenfalls für eine bestimmte Gruppe von Anteilseignern als subjektiver Grenzpreis relevant sein. Subjektive Grenzpreise als Preisobergrenze werden häufig abgelehnt, weil sie im Gegensatz zu Marktwerten nicht intersubjektiv überprüfbar seien. Aber auch virtuelle Marktwerte lassen sich nicht „objektiv“ richtig ermitteln. Wie in Abschnitt 4 gezeigt wird, sind auch bei ihrer Ermittlung subjektive Ermessensentscheidungen geboten, so dass auch hier eine Objektivierung nur in engen Grenzen möglich ist.
268
Kapitel VII
Im Vordergrund der folgenden Darstellungen steht die Ermittlung virtueller Marktwerte. Es bleibt offen, wie Anteilseigner über die Entscheidungen informiert werden sollen und wie der Marktwert der Aktien des Unternehmens (kurzfristig) auf die Investitionsentscheidungen reagiert.
2
Der kollektive subjektive Grenzpreis eines Unternehmens
2.1
Kauf eines börsennotierten Unternehmens
Im Folgenden sollen Implikationen kapitalmarkttheoretischer Zusammenhänge für die Bewertung eines ganzen Unternehmens U aus Sicht eines börsennotierten Unternehmens n untersucht werden. Das Bewertungsobjekt U biete zum Zeitpunkt 1 den Über~ schuss Ü1 . Zunächst wird davon ausgegangen, er sei unabhängig davon, ob es gekauft wird oder nicht. ~ Ist das Unternehmen U börsennotiert, ist dessen Marktwert M 0 ( Ü1 ) bereits ge~ geben, wobei der Überschuss Ü1 mit der Ausschüttung zum Zeitpunkt 1 übereinstimmt. Im SPA gilt: (VII.1)
~ M 0 ( Ü1 )
S
¦ S s Ü1s s 1
und im CAPM: (VII.2)
~ M 0 ( Ü1 )
~ ~ E(~rG ) r (1 r ) 1 [E( Ü1 ) Kov( Ü1 ; ~rG )] ~ Var ( rG ) ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 )
~ ~ RPG Kov( Ü1 ; M1G )] . ~ Var (M1G ) MR
Wenn das Unternehmen U bei gegebenen Investitionsprogrammen vom Unternehmen n mit dem bisherigen Marktwert der Aktien M0n gekauft wird, ergibt sich ohne Berücksichtigung des Kaufpreises als Marktwert des Unternehmens n: (VII.3)
M 0neu n
~ M 0 n M 0 ( Ü1 ) .
Der Marktwert ergibt sich also additiv aus beiden Marktwerten. Wenn das Unternehmen ~ n für die Übernahme des Unternehmens U den Marktwert M 0 ( Ü1 ) an die Anteilseigner des Unternehmens U zahlt, ändert sich sein Marktwert nicht ( M 0neu M 0 n ). Ein n Marktwertzuwachs kann dann nur in Verbindung mit zusätzlichen Investitionen erzielt werden.
269
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
Da im Gleichgewicht des CAPM alle Anteilseigner einen Anteil am Marktportefeuille halten, gibt es in diesem Modell keinen kritischen Preis, von dem an die Übernahme des börsennotierten Unternehmens U durch das Unternehmen n für sie nachteilig wird. ~ Wenn das Unternehmen n einen höheren Preis als den Marktwert M 0 ( Ü1 ) zahlt, sinkt zwar sein Marktwert M0n. Trotzdem entsteht für die Anteilseigner des Unternehmens n kein Nachteil. Der Kaufpreis fließt ihnen als Erlös für den Verkauf ihrer Anteile am Unternehmen U in dem gleichen Verhältnis zu, mit dem sie am Unternehmen n beteiligt sind. Der Vorgang kann interpretiert werden als Kauf des Unternehmens U zum Markt~ wert M 0 ( Ü1 ) bei simultaner Erhöhung der Ausschüttung des Unternehmens n zum Zeitpunkt 0 in Höhe der Differenz aus der tatsächlichen Anschaffungsauszahlung und ~ Marktwert M 0 ( Ü1 ) . Im Rahmen des SPA können dagegen die Portefeuillestrukturen der Anteilseigner sehr verschieden sein. Bei Kauf des Unternehmens U zu einem höheren Preis als ~ M 0 ( Ü1 ) ergibt sich für diejenigen Anteilseigner ein Nachteil, die relativ stark am Unternehmen n und wenig am Unternehmen U beteiligt sind; sie erzielen keinen kompensierenden Vorteil aus dem Verkauf ihrer Anteile am Unternehmen U.
2.2
Potenzieller Kauf eines nicht börsennotierten Unternehmens
2.2.1
CAPM als Bewertungsgrundlage
Ist das Unternehmen U nicht börsennotiert (und auch nicht Teil eines börsennotierten Unternehmens), wird es bei Kauf durch das börsennotierte Unternehmen n neuer Bestandteil des Marktportefeuilles. Zur Erläuterung von Implikationen gehen wir zunächst davon aus, dass das Unternehmen U einem privaten Eigentümer gehört, der keine Wertpapiere hält und somit auch nicht Anteilseigner des Unternehmens n ist. Die Annahme, dass er keine Wertpapiere hält, impliziert, dass er den Unternehmensüberschuss nicht privat gehedgt hat. Unter den Voraussetzungen der NE-Variante des CAPM steigt dann mit dem Kauf analog zu (VI.29) (Kapitel VI, Abschnitt 4.1) der Nutzenerwartungswert jedes Anteilseigners des Unternehmens n, wenn für die Anschaffungskosten A0 des Unternehmens U gilt. (VII.4)
~ ~ ~ ~ MR E( Ü1 ) (1 r ) A 0 ! [Var( Ü1 ) 2 Kov( Ü1 ; M1G )] 2 (mit MR {
RPG ). ~ Var(M1G )
Voraussetzung ist, dass sich der Kapitalmarkt im Gleichgewicht befindet. Entsprechend gilt für den ~ Grenzpreis GPN( Ü1 ) beim Ziel kollektiver Nutzenmaximierung, bei dem der Kauf des Unternehmens U für die Anteilseigner des Unternehmens n weder vorteilhaft noch nachteilig ist:
270
Kapitel VII
(VII.5)
) (1 r) GP (Ü E(Ü 1 N 1)
1 ) Kov(Ü ;M MR [ Var(Ü 1 1 1G )] 2
oder (VII.6) ) (1 r)1 {E(Ü ) MR [ 1 Var(Ü ) Kov(Ü ;M GPN (Ü 1 1 1 1 1G )]} . 2 Unter dem Ziel der Maximierung des Marktwertes des Unternehmens n ergibt ~ ~ sich ein anderer Grenzpreis, GPM ( Ü1 ) { M 0 ( Ü1 ) .
Bei exakter Marktbewertung wird analog zu den Darstellungen in Kapitel VI, Abschnitt 3.1.1.1, berücksichtigt, dass sich mit dem Kauf des Unternehmens U der Endwert des ~ ~ Marktportefeuilles um den Überschuss Ü1 dieses Unternehmens ändert (aus M1G wird ~ ~ M1G Ü1 ). Gemäß (VI.8) (Kapitel VI, Abschnitt 3.1.1.1) steigt bei Kauf der Marktwert des Unternehmens n, wenn für die Anschaffungsauszahlung A0 gilt: (VII.7) ) (1 r) A ! E(Ü 1 0
) 2 Kov(Ü ;M ;M ) Kov(Ü MR [Var(Ü 1 1 1n 1 1G M1n )] ) Kov(Ü ;M ;M ) Kov(Ü )] . MR [Var(Ü 1
1
1n
1
1G
Hieraus folgt für den ~ Grenzpreis GPM ( Ü1 ) , bei dem der Kauf des Unternehmens U beim Ziel der Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens n weder vorteilhaft noch nachteilig ist:
(VII.8) ) (1 r) 1 { E(Ü ) MR [Var(Ü ) Kov(Ü ;M GPM (Ü 1 1 1 1 1n ) Kov(Ü1; M1G )]}. In Verbindung mit (VII.6) folgt: (VII.9)
) GP (Ü GPM (Ü 1 N 1)
1 ) Kov(Ü ;M (1 r)1 MR [ Var(Ü 1 1 1n )] . 2
Für ~ ~ ~ ~ ~ ~ 1 1 Var( Ü1 ) Kov( Ü1 ; M1n ) ! 0 bzw. Kov( Ü1 ; M1n ) ! Var ( Ü1 ) 2 2 ist der Grenzpreis bei Marktwertmaximierung niedriger als bei Nutzenmaximierung; es ist möglich, dass das Unternehmen U bei Marktwertmaximierung nicht erworben wird, obwohl bei Kauf der Nutzenerwartungswert aller Anteilseigner des
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
271
~ ~ ~ Unternehmens n steigen würde. Für Kov( Ü1 ; M1n ) (1 / 2) Var ( Ü1 ) gilt ~ ~ GPM ( Ü1 ) GPN ( Ü1 ) ; es ist möglich, dass das Unternehmen U bei Marktwertmaximierung gekauft wird, obwohl die Nutzenerwartungswerte aller Anteilseigner des Unternehmens n sinken.
Wird der Marktwert des Unternehmens vereinfachend gemäß den Bewertungsfunktio~ den Endwert M nen des Status quo ermittelt, d.h. nicht berücksichtigt, dass Ü 1G ver1 ändert, ergibt sich bei Marktwertmaximierung als Grenzpreis: * ~ GPM ( Ü1 )
(VII.10)
~ ~ ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) MR Kov( Ü1 ; M1G )] .
In Verbindung mit (VII.6) folgt: (VII.11)
* ) (1 r)1 MR 1 Var(Ü ) !0. GPM (Ü1 ) GPN (Ü 1 1 2
Der Grenzpreis bei vereinfachter Marktbewertung ist höher als der kollektive subjektive Grenzpreis. Es ist möglich, dass das Unternehmen bei Marktwertmaximierung gekauft wird und damit die Nutzenerwartungswerte sinken. Der Fehlerterm (VII.11), dessen Betrag niedriger aber auch höher sein kann als der in (VII.9), mag zwar gering sein. Ande~ rerseits kann er einfach ermittelt oder geschätzt werden. GPN ( Ü1 ) kann bestimmt wer* den, indem der Grenzpreis GPM gemäß (VII.10) (oder mit einem risikoangepassten ) subtrahiert wird. Zinssatz) ermittelt und hiervon (1 r)1 MR 1 Var(Ü 1 2
2.2.2
SPA als Bewertungsgrundlage
Bei der Bewertung auf der Basis des SPA mit unveränderlichen Preisen Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche gilt für den Grenzpreis des Unternehmens U: ~ (VII.12) GPN ( Ü1 )
~ GPM ( Ü1 )
S
¦ Ss Ü1s . s 1
Der Marktwert des Unternehmens U ist im SPA der kollektive subjektive Grenzpreis, bis zu dem bei Kauf dieses Unternehmens simultan mit dem Marktwert des Unternehmens n auch der Erwartungsnutzen aller Anteilseigner des Unternehmens n steigt. Ist der Markt (anders als im SPA) zwar nicht vollständig, kann der Überschuss ~ Ü1 jedoch trotzdem dupliziert werden, ist der Grenzpreis ebenfalls gleich dem Marktwert des Überschusses (dem Marktwert seines Duplikationsportefeuilles). Die Kompatibilität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung wurde in Kapitel V, Abschnitt 4, mit der Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte
272
Kapitel VII
der Anteilseigner begründet. Das bedeutet im vorliegenden Fall: Der Kauf des Unternehmens U bewirkt keinen Handel mit Wertpapieren. Wenn der Kaufpreis niedriger ist ~ als der Marktwert des Überschusses Ü1 steigt direkt der Erwartungsnutzen jedes Anteilseigners; ein Handel mit Wertpapieren, um das Risiko zu hedgen, wird nicht ausgelöst.
2.2.3
Bewertung eines Unternehmens, dessen Inhaber das Risiko durch private Kapitalmarkttransaktionen optimal gehedgt hat
In den Abschnitten 2.2.1 und 2.2.2 wurde davon ausgegangen, dass der private Eigentümer des Unternehmens U nicht Investor auf dem Kapitalmarkt ist. Bei Kauf des Unternehmens durch das börsennotierte Unternehmen n wird es neu in den Kapitalmarktzusammenhang aufgenommen, so dass die Anteilseigner ein zusätzliches Risiko tragen. Wenn aber der Eigentümer des Unternehmens U das Risiko gehedgt hat, ist dieses Unternehmen in gewissem Umfang bereits „börsengehandelt“, so dass es bei Kauf durch das Unternehmen n nicht völlig neu in den Kapitalmarkt aufgenommen wird. Zum Beispiel haben Leerverkäufe im Rahmen seiner Hedgemaßnahmen dieselbe Wir~ kung, wie wenn er bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ü1 entsprechende Wertpapiere kreiert, die Ansprüche darauf verbriefen, und diese auf dem Kapitalmarkt verkauft. ~ Wenn der Überschuss Ü1 duplizierbar ist, Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind und der Eigentümer des Unternehmens U durch Handel mit umlaufenden Papieren den ~ Überschuss Ü1 optimal gehedgt bzw. mit den Anteilseignern pareto-effizient geteilt hat, folgt (sofern die Anteilseigner und der Eigentümer des Unternehmens U homogene ~ Erwartungen hinsichtlich Ü1 haben): Wird das Unternehmen U bei gegebener Wahr~ scheinlichkeitsverteilung über Ü1 von dem börsennotierten Unternehmen n zum Marktwert (des Duplikationsportefeuilles) gekauft, erzielt bei gegebenem Überschuss niemand einen Vorteil oder einen Nachteil. Da sich das gesamte Endvermögen nicht ändert und außerdem das Risiko vor und nach Kauf des Unternehmens in gleicher Weise geteilt werden kann, ändern sich aufgrund entsprechender Kapitalmarkttransaktionen auch nicht die individuellen zustandsabhängigen Endvermögens- und Grenznutzenwerte; mit dem Unternehmenskauf wird nun keiner Gruppe von Investoren ein zusätzliches Risiko aufgebürdet. Wertpapierhandel bewirkt, dass jeder dieselbe Risikoposition hält wie vor Kauf. Dass sich bei Kauf die individuellen Grenznutzenwerte nicht ändern, muss dann nicht angenommen werden. Die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte wird jedoch dann wieder für die Begründung der Kompatibilität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung relevant, wenn bei dem Unternehmenskauf zusätzliche Investitionen durchgeführt werden, die neu in den Kapitalmarktzusammenhang eintreten. Wenn Risiken über Kapitalmarkttransaktionen pareto-effizient geteilt werden können, ist sowohl aus Sicht eines (potenziellen) Käufers als auch aus Sicht eines (potenziellen) Verkäufers der Unternehmenswert als virtuellen Marktwert zu ermitteln. Da dann die Bewertung nicht explizit mit optimalen Hedgemaßnahmen abgestimmt werden
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
273
muss, ist sie zwar relativ einfach, jedoch gibt es keinen Grund, das Unternehmen zu übertragen, wenn für Käufer und Verkäufer der Wert ohnehin identisch ist. Wenn der Kapitalmarkt es ermöglicht, das Risiko pareto-effizient zu teilen, kann (bei homogenen Erwartungen) eine Übertragung nur dann Vorteile mit sich bringen, wenn hierdurch aufgrund von Restriktions- und/oder Erfolgsverbund (durch „Synergieeffekte“) im Unternehmen n zusätzliche Kapitalwerte generiert werden können; Risiko- und Bewertungsverbund sind irrelevant. In der Praxis können jedoch gerade Fragen der besseren Risikoteilung im Vordergrund stehen, wenn erwogen wird ein Unternehmen zu transferieren.
3
Bedeutung von privaten Risiken und Leerverkäufen für die Bewertung
3.1
Vollständiger Kapitalmarkt und unbeschränkter Leerverkauf
Erzielen die Investoren auf dem Kapitalmarkt neben den Wertpapieren riskante private Überschüsse (etwa aus selbständiger oder unselbständiger Arbeit, privatem Hausbesitz und/oder anderen Vermögenswerten), sind diese grundsätzlich bei der Portefeuilleplanung zu erfassen. Zur Erläuterung der Implikationen privater Risiken gehen wir davon aus, dass bisher keine privaten Überschüsse existieren, und fragen nach Anpassungen auf dem Kapitalmarkt, wenn nicht antizipierte private Überschüsse anfallen. Werden diese durch zusätzliche Wertpapiere verbrieft und auf dem Kapitalmarkt gehandelt, lassen sich deren Preise und die der alten Papiere im neuen Gleichgewicht in gleicher Weise erklären wie die Preise der alten Papiere im alten Gleichgewicht. Im SPA sind für die neue Bewertung die neuen Preise Ss für zustandsbedingte Zahlungsansprüche relevant, im CAPM u.a. die Kovarianzen der Endwerte der Papiere mit dem Endwert des neuen Marktportefeuilles. Dieser unterscheidet sich vom Endwert des bisherigen Marktportefeuilles um den Endwert der neuen Papiere, der mit der Summe aller privaten Überschüsse übereinstimmt. Der explizite Verkauf privater Überschüsse durch Emission neuer Papiere wird jedoch grundsätzlich daran scheitern, dass diese Überschüsse nicht oder nur zu prohibitiv hohen Kosten verifizierbar sind und/oder die Emittenten nicht mehr motiviert sind, sie zu erzielen (Moral Hazard). Abgesehen davon kann die private Emission neuer Papiere (zu) hohe Kosten verursachen. Ist der Kapitalmarkt mit den bereits umlaufenden Papieren auch unter Berücksichtigung der privaten Überschüsse vollständig1 und sind Leerverkäufe unbeschränkt möglich, ist der explizite Verkauf der privaten Überschüsse allerdings gar nicht erforderlich. Diese Überschüsse sind dann mit bereits umlaufenden Papieren duplizierbar, so dass sie über Kauf und (Leer-)Verkauf solcher Papiere gehandelt werden können; es existieren auch ohne Emission neuer Papiere ideale Bedingungen der Risikotransformation.
1
Es ist zu beachten, dass sich aufgrund der zusätzlichen privaten Überschüsse die Menge der möglichen Zustände erweitern kann.
274
Kapitel VII
Der private Überschuss eines Investors kann zum Zeitpunkt 0 „verkauft“ werden, indem sein Duplikationsportefeuille leerverkauft wird. Wenn der Investor die betreffenden Papiere bereits in seinem Portefeuille hält, kann er natürlich auch einen „normalen“ Verkauf vornehmen; Leerverkauf gewinnt erst Bedeutung, wenn von einem Papier im Duplikationsportefeuille mehr Einheiten enthalten sind als der Investor bereits besitzt. Jedoch kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit vereinfachend davon ausgegangen werden, dass in jedem Fall das Duplikationsportefeuille leerverkauft wird. Am Ende der Periode kann der Investor mit seinem privaten Überschuss dieses Portefeuille am Kapitalmarkt (zurück-)kaufen und dem Käufer (oder Verleiher) liefern. Der Investor erzielt dann zum Zeitpunkt 0 denselben Erlös und zum Zeitpunkt 1 dasselbe Endvermögen wie für den Fall, dass er privat Wertpapiere emittiert, die einen Anspruch auf den privaten Überschuss verbriefen. Der (Leer-)Verkauf des Duplikationsportefeuilles führt zu derselben Risikoallokation wie die Neuemission der betreffenden Papiere. Bei Leerverkauf tritt an die Stelle des Marktwertes der nicht emittierten Papiere der Marktwert der leerverkauften Papiere. Voraussetzung ist allerdings, dass die privaten Überschüsse unabhängig davon sind, ob das Duplikationsportefeuille leerverkauft wird oder neue Papiere emittiert werden und die Käufer der neuen Papiere die gleichen Erwartungen über die privaten Überschüsse haben wie die Emittenten. Im CAPM sind annahmegemäß private Überschüsse von den Endwerten der umlaufenden Papiere stochastisch unabhängig, so dass sie nicht mit solchen Papieren dupliziert werden können. Mit der Annahme der Duplizierbarkeit wird somit streng genommen der Rahmen des CAPM gesprengt. Haben alle Investoren auf dem Kapitalmarkt homogene Erwartungen sowohl über die Endwerte der umlaufenden Papiere als auch über die privaten Überschüsse und orientieren sie sich wiederum am (P,V)-Prinzip, sprechen wir unter Berücksichtigung der privaten stochastisch abhängigen Überschüsse von einem „erweiterten“ CAPM. Wie bei explizitem Handel mit Zahlungsansprüchen auf die privaten Überschüsse durch Emission neuer Papiere sind in diesem Modell die Investoren im neuen Kapitalmarktgleichgewicht unter Berücksichtigung von Duplikation und Leerverkäufen proportional am End~ ~ ~ vermögen M1G GÜ1 beteiligt, wobei GÜ1 die Summe aller privaten Überschüsse be zeichnet. Entsprechend ergeben sich im erweiterten CAPM die Marktwerte M 0n ~ ~ (n = 1,2,…,N) nicht gemäß den Kovarianzen Kov(M1n ; M1G ) , sondern den Kovarian~ ~ ~ zen Kov(M1n ; M1G GÜ1 ) . Natürlich ist es schwierig, bei der Schätzung der bewertungsrelevanten Kovarianzen private Risiken zu erfassen. Diese im Sinne einer Objektivierung generell zu vernachlässigen, ist aber auch nicht zielführend. Wie in Abschnitt 4.2 erläutert wird, werden in der Praxis die risikoangepassten Zinssätze zur Bewertung von Wertpapieren ausschließlich unter Berücksichtigung von Wertpapierrisiken empirisch ermittelt. Dieses Verfahren ist allenfalls dann sinnvoll, wenn nur wenige Investoren existieren, die ihre Portefeuilles mit privaten Risiken abgestimmt haben, so dass ihr Einfluss auf die Wertpapierpreise vernachlässigbar ist. In dem durch private Überschüsse erweiterten CAPM besteht grundsätzlich keine strenge Anreizkompatibilität für ein Unternehmen n. Zwar wird im Kapitalmarktgleich~ ~ gewicht das Endvermögen M1G GÜ1 linear und damit z.B. bei quadratischen oder
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
275
exponentiellen Nutzenfunktionen auch pareto-effizient geteilt, jedoch ist die betreffende Teilungsregel aufgrund des Hedgens privater Überschüsse mit umlaufenden Papieren grundsätzlich nicht zugleich für den Erfolg des Unternehmens n (bzw. die Erfolge hierin durchgeführter neuer Projekte) maßgeblich,2 so dass die Bedingung der strengen Anreizkompatibilität verletzt ist. Da dann zwischen den Anteilseignern Konflikte bezüglich neuer Projekte bestehen, können für sie keine kollektiven subjektiven Grenzpreise existieren. Konflikte können insbesondere dann auftreten, wenn es optimal ist, die privaten Risiken derart zu hedgen, dass ein Teil der Anteilseigner des Unternehmens n Leerverkäufe von Aktien dieses Unternehmens vorgenommen haben, die größer sind als die Bestände, die sie von diesen Unternehmen besitzen. Solche Leerverkäufe ermöglichen zwar im vollständigen Kapitalmarkt pareto-effiziente Risikoteilung. Jedoch besteht dann keine proportionale Erfolgsteilung zwischen allen Anteilseignern des Unternehmens n, so dass trotzdem keine partielle Anreizkompatibilität bestehen kann.
3.2
Unvollständiger Kapitalmarkt und beschränkter Leerverkauf
Ist der Kapitalmarkt unter Berücksichtigung der privaten Überschüsse unvollständig, ist es allenfalls zufällig möglich, diese Überschüsse durch bereits umlaufende Papiere zu duplizieren. (Die Emission neuer Papiere könnte hier die Risikoallokation verbessern.) Dies gilt nicht nur für die private Emission durch die Investoren, sondern auch für die Emission durch Unternehmen. Die Hedgemöglichkeiten verbessern sich z.B. dann, wenn die Aktien eines einzelnen Unternehmens eingezogen und an deren Stelle neue Wertpapiertypen mit linear unabhängigen Endwerten emittiert werden. Die Implikationen einer Unvollständigkeit des Kapitalmarktes hängen von den stochastischen Beziehungen zwischen den Endwerten der umlaufenden Papiere und den privaten Überschüssen ab. Bei stochastischer Unabhängigkeit können die privaten Überschüsse überhaupt nicht gehedgt werden. Bei homogenen Erwartungen über diese Endwerte und Orientierung am (P,V)-Prinzip hält dann jeder Investor einen Anteil am Marktportefeuille; Leerverkäufe sind irrelevant.3 Im Rahmen der BQ- und der NE-Variante des CAPM besteht aufgrund stochasti~ scher Unabhängigkeit zwischen den Endwerten P1n und den privaten Überschüssen Einmütigkeit zwischen den Anteilseignern, wobei der kollektive subjektive Grenzwert eines Bewertungsobjekts näherungsweise mit seinem Marktwert übereinstimmt. Bei sto~ chastischen Abhängigkeiten zwischen Endwerten P1n und den privaten Überschüssen sind die Portefeuilles an die privaten Risiken anzupassen (Kapitel IX und X). Die Portefeuillestrukturen der Investoren unterscheiden sich dann, so dass kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert (Kapitel XI und XII).
2
3
~
GÜ stimmt allenfalls zufällig mit seinem Anteil an Der Anteil eines Investors am Endwert M 1G 1 den Aktien des Unternehmens n überein. Jedoch können private Überschüsse (private Risiken) einen Einfluss auf die individuellen Anteile sowie den Marktpreis des Risikos und die Gleichgewichtspreise P0n haben.
276
Kapitel VII
Die zu Konflikten führenden Bewertungsunterschiede bei neuen Projekten resultieren vor allem aus Unterschieden in den Korellationskoeffizienten zwischen den Projektüberschüssen und den Endvermögenswerten der Anteilseigner, d.h. den privaten Überschüssen zuzüglich der Endwerte der Portefeuilles, mit denen sie die privaten Überschüsse hedgen. Vom Standpunkt eines Anteilseigners z.B., der privat ein Untenehmen besitzt und relativ wenig Wertpapiere hält, sind die Kovarianzen zwischen den Projektüberschüssen und dem Unternehmensüberschuss in besonderem Maße bewertungsrelevant (Kapitel XI, XII und XV). Für Anteilseigner mit relativ geringen privaten Überschüssen und breit gestreuten Portefeuilles sind primär die Kovarianzen mit diesen Portefeuilles relevant; aus ihrer Sicht ist es naheliegend, gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM über neue Projekte zu entscheiden. Sind Leerverkäufe ausgeschlossen oder eingeschränkt, wird selbst im vollständigen ~ ~ Kapitalmarkt mit universeller Duplizierbarkeit das aus M1G und GÜ1 resultierende Gesamtrisiko nicht pareto-effizient geteilt. Es besteht dann weder strenge noch partielle Anreizkompatibilität und somit auch kein kollektiver subjektiver Grenzpreis. Je mehr sich die individuellen subjektiven Grenzpreise unterscheiden, desto größer ist der Konfliktbereich zwischen den Anteilseignern bezüglich neuer Projekte. Der Konfliktbereich wird tendenziell verstärkt, wenn auch die Duplikationsmöglichkeiten der privaten (exogenen) Überschüsse beschränkt sind. In den Kapiteln IX und X wird gezeigt, welche Eigenschaften ein mit einem exogenen (privaten) Überschuss abgestimmtes Portefeuille für alternative Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten in Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Überschusses und der Risikoeinstellung eines Investors hat. Darauf aufbauend wird in Kapitel XII untersucht, welche Höhe der subjektive Grenzpreis eines im Unternehmen n realisierbaren Bewertungsobjekts für einen Anteilseigner dieses Unternehmens hat, der zugleich privat Eigentümer eines Unternehmens ist. Es wird gezeigt, dass dieser Grenzpreis erheblich vom Marktwert abweichen kann. Noch problematischer erweist sich der Marktwert als Grenzpreis für den Fall, dass ein Investor ein ganzes Bewertungsobjekt privat ohne Risikoteilung mit anderen Investoren zu kaufen erwägt.
4
Subjektive Ermessensentscheidungen bei der Ermittlung von virtuellen Marktwerten
4.1
Prognose der Überschüsse
Subjektive Grenzpreise werden häufig mit dem Argument abgelehnt, dass sie nicht intersubjektiv überprüfbar seien, und für die Orientierung an Marktwerten plädiert. Wenn jedoch ein Bewertungsobjekt nicht bereits explizit am Markt gehandelt wird (weil es völlig neu ist oder von einem privaten Eigentümer zum Kauf angeboten wird) existiert hierfür gar kein realer Marktwert. Bewertungsrelevant zum Zeitpunkt der Entscheidung ist dann allenfalls der virtuelle Marktwert im Licht der Informationen und Schlussfolgerungen des potenziellen Käufers. Auch der virtuelle Marktwert ist subjektiv. Andere Bewerter mögen aufgrund anderer Informationen und/oder anderer Schlussfolgerungen
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
277
aus denselben Informationen dem Bewertungsobjekt einen anderen Marktwert beimessen. Abgesehen davon werden sich Wertänderungen grundsätzlich auch daraus ergeben, dass bei dessen Kauf aufgrund veränderter Pläne (z.B. weil es in ein kaufendes Unternehmen integriert wird) neue Risikoklassen von Überschüssen relevant werden. Marktbewertungsfunktionen bringen zwar zum Ausdruck, wie die Bewertung im Prinzip vorgenommen werden kann. Es bestehen jedoch weite Ermessensspielräume bei ihrer konkreten Anwendung; virtuelle Marktwerte sind (im Gegensatz zu realen) keine objektiven Größen. In der Praxis werden im Allgemeinen die zukünftigen erwarteten Cashflows eines Unternehmens als Bewertungsobjekt auf der Basis historischer Daten in Verbindung mit der Unternehmensplanung geschätzt.4 Oft werden z.B. die Jahresabschlüsse der letzten fünf Jahre betrachtet und diese um außergewöhnliche Ereignisse (wie Feuer oder Gerichtsverfahren) bereinigt. Vergangenheitsdaten haben jedoch für die Bewertung eines Unternehmens geringe Bedeutung, wenn mit dessen Kauf das Ziel verfolgt wird, die Unternehmensstrategie grundlegend zu ändern. Bei der Bewertung von ganzen Unternehmen, von Investitionsprogrammen oder von einzelnen Investitionsprojekten auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten oder eines risikoangepassten Zinssatzes genügt es nicht, nur die Erwartungswerte der betreffenden Überschüsse zu schätzen. Auch deren Risikostruktur ist zu beurteilen, um die Sicherheitsäquivalente oder den risikoangepassten Zinssatz ermitteln zu können. Im Fall divergierender Risikostrukturen müsste bei der Investitionsplanung und möglicherweise auch bei der Unternehmensbewertung ein risikoangepasster Zinssatz projektspezifisch oder zumindest spezifisch für verschiedene Unternehmensbereiche ermittelt werden. In der Literatur zur Unternehmensbewertung und in der Praxis wird der Ermittlung eines risikoangepassten Kalkulationszinsfußes erheblich mehr Beachtung gewidmet als der Prognose der zukünftigen Überschüsse. Jedoch können Prognosefehler wesentlich stärker den ermittelten Wert verfälschen als Fehler bei der Schätzung des Kalkulationszinsfußes. Oft werden die stochastischen Überschüsse (bzw. ihre Erwartungswerte) als gegeben angenommen und nur noch der zugehörige risikoangepasste Kalkulationszinsfuß untersucht. Da dieser aber von der Risikostruktur der Überschüsse abhängt, wird die Qualität seiner Ermittlung wesentlich durch die Qualität der Schätzung der möglichen Überschüsse bzw. ihrer Risikostruktur bestimmt. Wird der Kalkulationszinsfuß auf der Basis eines ß-Faktors ermittelt, der aus vergangenen Kursentwicklungen resultiert, wird das Problem der Prognose grundsätzlich nicht gelöst, sondern aufgelöst: Die Risikostrukturen der zukünftigen Überschüsse können erheblich von denen in der Vergangenheit abweichen. Die zukünftigen Überschüsse des Unternehmens oder eines Unternehmensbereichs hängen von den möglichen Umweltentwicklungen (Entwicklungen der relevanten Zustände) und den Maßnahmen ab, die jeweils ergriffen werden. Zukünftige Maßnahmen sind aber zum großen Teil allenfalls in Form von Globalplänen festgelegt, wodurch die Schätzung der zukünftigen Überschüsse erheblich erschwert wird. Darüber hinaus ist im 4
Vgl. IDW (2000, S. 18-21). Zur Planung und Prognose zukünftiger Zahlungsüberschüsse siehe BRETZKE (1975); ROLLBERG (2002); KUHNER/MALTRY (2006, S. 93-126); PENMAN (2007).
278
Kapitel VII
(Markt-)Wert des Unternehmens dasjenige Erfolgspotenzial zu erfassen, das aus Überschüssen solcher Projekte resultiert, die möglicherweise in Zukunft entdeckt oder „erfunden“ und in das Programm aufgenommen werden. Sowohl die Schätzung der Eintrittswahrscheinlichkeiten für alternative Umweltentwicklungen als auch die Schätzung der zugehörigen Überschüsse des Unternehmens ist subjektiv und daher nicht manipulationsfrei. Selbst die Prognose der Überschüsse eines konkreten Investitionsprojekts ist stark von Subjektivismen abhängig. Die Prognose zukünftiger Überschüsse eines Unternehmens beruht zwar im Allgemeinen auf den Ausprägungen beobachtbarer (Wert-) Indikatoren, wie z.B. von realisierten Überschüssen, Deckungsbeiträgen, Absatzmengen, Kundenstamm, Marktanteilen, Bekanntheitsgrad und Qualität der Produkte, technischer Stand der Produktionsanlagen und Kostenstrukturen. Aber die Rückschlüsse, die daraus gezogen werden, sind subjektiv; auch wenn verschiedene Personen dieselben Indikatoren zugrunde legen, können ihre Prognosen erheblich voneinander abweichen. Da die genauere Schätzung der zustandsabhängigen Überschüsse vor allem bei mehrperiodigem Planungszeitraum einen hohen Aufwand verursacht, stellt sich das Problem der Vereinfachung. Wie erläutert, wird im Shareholder Value-Ansatz im Allgemeinen vereinfachend davon ausgegangen, dass die verschiedenen Überschüsse des Leistungsbereichs eines Unternehmens derselben Risikoklasse angehören, so dass ein einheitlicher risikoangepasster Zinssatz maßgeblich ist. (Die Darstellungen gelten analog für den Fall, dass Unternehmensbereiche mit unterschiedlichen Risikoklassen und risikoangepassten Zinssätzen zugrunde gelegt werden.) Bei a priori gegebener Risikoklasse mit exogen vorgegebenem risikoangepasstem Zinssatz müssen die zukünftigen Projektüberschüsse nicht explizit zustandsabhängig prognostiziert werden. Es genügt, deren Erwartungswerte zu schätzen. Aber selbst hier können verschiedene Schätzer zu sehr unterschiedlichen Ergebnissen kommen.
4.2
Ermittlung des Kalkulationszinsfußes kn
Wie erläutert, wird beim Entity- oder Brutto-Ansatz der Marktwert eines Unternehmens im Allgemeinen ermittelt, indem die Überschüsse des Leistungsbereichs mit einem risikoangepassten (Markt-)Zinssatz diskontiert werden, hierzu der Marktwert des Finanzbereichs (vor Fremdkapital) sowie der mehr oder weniger pauschal ermittelte Marktwert des neutralen Bereichs addiert werden. Indem das Fremdkapital subtrahiert wird, erhält man den Marktwert der Aktien (den Marktwert des Eigenkapitals). Der grundlegende Vorteil der Diskontierung der erwarteten Überschüsse des Leistungsbereichs statt der erwarteten Ausschüttungen besteht darin, dass der für den Leistungsbereich maßgebliche Kalkulationszinsfuß unabhängig davon ist, welche Risiken für den neutralen Bereich und den Finanzbereich maßgeblich sind und wie zukünftige Überschüsse über Anlagen oder Aufnahmen von Kapital zum risikolosen Zinssatz und/oder andere Kapitalmarkttransaktionen in Ausschüttungen transformiert werden. Da diese Transformationen unter den getroffenen Voraussetzungen, die die Irrelevanz der Ausschüttungspolitik
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
279
implizieren, den Marktwert der Aktien des Unternehmens nicht beeinflussen, müssen sie auch nicht explizit berücksichtigt werden. Dagegen wird beim Equity-Ansatz der Marktwert der Aktien direkt ermittelt, indem die zukünftigen erwarteten Ausschüttungen des Unternehmens mit einem risikoangepassten Kalkulationszinsfuß diskontiert werden. Hierbei muss berücksichtigt werden, dass die Risikostruktur des Ausschüttungsstromes nicht nur von den Risikostrukturen der Überschüsse des Leistungsbereichs, des Finanzbereichs und des neutralen Bereichs, sondern auch von der Ausschüttungspolitik abhängt. Entsprechend ist auch der Ausschüttungspolitik Rechnung zu tragen, um den risikoadäquaten Zinssatz schätzen zu können (Kapitel XIV). Grundsätzlich ist (insbesondere bei einheitlicher Risikoklasse der Überschüsse des Leistungsbereichs) der Equity-Ansatz komplexer und mithin anfälliger für Fehlbewertungen als der Entity-Ansatz. In der Praxis wird ein einheitlicher risikoangepasster Zinssatz kn für die Überschüsse des Leistungsbereichs im Allgemeinen als gewogener Durchschnitt aus dem „Eigenkapitalkostensatz“ k en { E( ~rn ) und dem „Fremdkapitalkostensatz“ r ermittelt, wobei sich beide Gewichte zu 1 addieren. Wenn die Gläubiger nicht am Erfolgsrisiko partizipieren (und Steuern wieder ausgeblendet werden), gilt:5
(VII.13) k n
FK 0n M 0n k en r. M 0n FK 0n M 0n FK 0n
kn wird als durchschnittlicher gewogener Kapitalkostensatz für das Gesamtkapital (oder als Weighted Average Cost of Capital, kurz: WACC) bezeichnet. Bei Risikobeteiligung der Gläubiger ist nicht nur die „Renditeforderung“ der Anteilseigner, sondern auch die der Gläubiger durch einen risikoangepassten Zinssatz auszudrücken; dieser Zinssatz tritt dann an die Stelle des risikolosen, r. Wie erläutert, soll der für (VII.13) maßgebliche Eigenkapitalkostensatz k en { E(~rn ) in Anlehnung an das einperiodige CAPM gemäß (IV.45) oder (IV.46) (Kapitel IV, Abschnitt 5.4.1) ermittelt werden. Dabei wird im Sinne einer „Objektivierung“ empfohlen, sich bei der Schätzung der Risikoprämie E(~rG ) r und des Beta-Faktors En an Vergangenheitswerten für die Renditen rn und rG zu orientieren, insbesondere auch, um Nachprüfbarkeit zu gewährleisten und Ermessensmissbrauch oder unbewusste Fehler bei der 5
Jedoch ist die getrennte Erfassung der Eigenkapital- und Fremdkapitalkosten gerade aus steuerlichen Gesichtspunkten populär geworden. Unter Berücksichtigung von Ertragsteuern ist die Fremdfinanzierung in gewissem Umfang gegenüber der Eigenfinanzierung vorteilhaft. Dieser Vorteil wird in Literatur und Praxis oft in der Weise erfasst, dass der Fremdkapitalkostensatz mit einem Korrekturfaktor (1 – s) gewichtet und bei der Bewertung statt (VII.13) der folgende Kapitalkostensatz zugrunde gelegt wird: (VII.13a)
kn
M 0n FK 0n k en (1 s) r . M 0n FK 0n M 0n FK 0n
Dabei bezeichnet s den Steuersatz. Da es in dieser Arbeit um die Fundierung allgemeiner theoretischer Grundzusammenhänge geht, sollen der Einfachheit halber steuerliche Aspekte vernachlässigt werden.
280
Kapitel VII
Unternehmensbewertung und der Investitionsplanung in engen Grenzen zu halten.6 So empfehlen z.B. COPELAND/KOLLER/MURRIN (1993, S. 210) „für US-amerikanische Unternehmen eine Risikoprämie von 5 bis 6 Prozent anzusetzen. Das ergibt sich aus dem langfristigen geometrischen Mittel der Risikoprämie für die Rendite der S&P 500Aktien im Vergleich zur Rendite langfristiger Staatsanleihen zwischen 1926 und 1988 [...]“. Bei börsennotierten Unternehmen soll man bei der Beta-Schätzung auf Schätzwerte von Finanzdienstleistern zurückgreifen, die im Allgemeinen auf Grund von Regressionsanalysen aus historischen Renditeentwicklungen der Aktien des Unternehmens und des Marktportefeuilles hergeleitet werden. Bei starken Abweichungen zwischen den Schätzwerten verschiedener Finanzdienstleister sollen Schätzwerte für Branchen-Betas zugrunde gelegt werden (COPELAND/KOLLER/MURRIN, 1993, S. 214; 1994, S. 264 f.).7 Bei der empirischen Ermittlung der Risikoprämie E(~rG ) r und des Beta-Faktors En aus Vergangenheitswerten ergibt sich das allgemeine Problem, dass das Marktportefeuille letztlich nicht beobachtbar ist und somit das CAPM streng genommen nicht empirisch überprüft werden kann (ROLL, 1977). Bei praktischer Ermittlung wird daher nicht von einem umfassenden „Marktportefeuille“ ausgegangen, sondern ein „repräsentativer“ Aktienindex (etwa der DAX) zugrunde gelegt. Dieses Konzept ist vor allem dann problematisch, wenn für die Bewertung von Risiken bzw. die Preisbildung auf dem Kapitalmarkt Hintergrundrisiken relevant sind; davon soll im Folgenden abgesehen werden. Es stellt sich allgemein das folgende statistische Grundproblem: Beruht das Zufallsexperiment „Ermittlung des Beta-Faktors“ nur auf wenigen Beobachtungen von Periodenrenditen, kann dieser Faktor stark durch Zufälligkeiten verzerrt werden. Je größer jedoch die Zahl der Beobachtungen und je größer damit der Zeitraum ist, für den das Zufallsexperiment durchgeführt wurde, desto eher ist zu erwarten, dass sich der Ursachenkomplex des Zufallsexperiments geändert hat und somit die Daten nicht mehr aktuell sind. Dann kann der Beta-Faktor, der früheren Renditen entspricht, generell kein geeignetes Maß für den der laufenden Periode sein.8 In vielen Entscheidungssituationen sind Handlungsalternativen und/oder Ereignisse relevant, die das erste Mal vorliegen oder gar einmalig sind. Zum Beispiel kann die Aufnahme neuer Produkte ins Produktionsprogramm oder der Kauf von Unternehmen Änderungen der Geschäftspolitik und der Risikostruktur der Überschüsse bewirken, die den Beta-Faktor stark verändern. In diesem Zusammenhang ist zu beachten, dass die Bewertung eines ganzen Unternehmens insbesondere auch dazu dienen soll, grundle-
6
7
8
Zur empirischen Ermittlung von Beta-Faktoren mit Hilfe von Regressionsanalysen vgl. BREALEY/ MYERS (1991, S. 181 ff.). Für nichtbörsengehandelte Unternehmen oder für Unternehmen, die aus mehreren Geschäftsbereichen mit unterschiedlichen Risikostrukturen bestehen, stellt sich das Problem der Schätzung eines risikoangepassten Kalkulationszinsfußes als komplexer dar (COPELAND/KOLLER/MURRIN, 1994, S. 315-345). Zum Vorgehen bei der empirischen Ermittlung des Beta-Faktors in der Praxis vgl. auch TAETZNER (2000, S. 92 ff.). Zur Problematik der empirischen Ermittlung des Eigenkapitalkostensatzes auf Grund empirischer Erhebungen vgl. KRUSCHWITZ (1999, S. 203 ff.); SPREMANN (1991, S. 475-482); SCHMIDT/ TERBERGER (1997, S. 354); TAETZNER (2000, S. 127-136). Zu den Möglichkeiten und Grenzen einer Ermittlung von Eigenkapitalkostensätzen ohne Rückgriff auf historische Renditen und insbesondere zur zukunftsorientierten Schätzung des Beta-Faktors vgl. RAUSCH (2008, S. 104 ff.).
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
281
gende Strategieänderungen zu fundieren und zu bewerten. Es besteht folgende Tendenz: Gerade dann, wenn Beta-Faktoren für die Bewertung besondere Bedeutung haben, können sie nicht aus Vergangenheitswerten abgeleitet werden. Der Aussagegehalt empirisch ermittelter Beta-Faktoren und Risikoprämien E(~rG ) r wird auch dadurch eingeschränkt, dass je nach der angewendeten Untersuchungsmethode sehr verschiedene Resultate erzielt werden können. So wurde in der Literatur gezeigt, dass die Vergangenheitswerte für E(~rG ) r relativ anfällig bezüglich der Betrachtungszeiträume, der Meßmethoden und der Mittelwertbildung sind (CARLETON/ LAKONISHOK, 1985; BALLWIESER, 1994, S. 1398; GEBHARDT/DASKE, 2004). Weitere Probleme ergeben sich für den Fall, dass Kapitalkosten für nicht börsennotierte Unternehmen oder für verschiedene Geschäftsbereiche eines börsennotierten Unternehmens mit unterschiedlichen Risikostrukturen ermittelt werden sollen, für die keine historischen Kurs- bzw. Renditeentwicklungen für die Regressionsschätzung gegeben sind (COPELAND/KOLLER/MURRIN, 1994, S. 315-345).9 „Eine Möglichkeit, in diesem Fall zu EFaktoren zu kommen, besteht darin, am Kapitalmarkt ein dem jeweiligen Geschäftsbereich vergleichbares Unternehmen zu finden, dessen Anteile gehandelt werden und für das mithin ein E-Faktor ermittelt werden kann. Ein Problem besteht freilich darin, entsprechende Vergleichsunternehmen zu finden. Selbst wenn Unternehmen vorhanden sein sollten, die eine ähnliche Struktur und Ausrichtung wie ein betrachteter Geschäftsbereich haben, so hängt deren E doch von deren konkreter „Mischung“ der Aktivitäten inklusive der im Unternehmen getätigten Kapitalmarktanlagen ab. Zur Messung operativer Risiken eines Geschäftsbereichs müssen streng genommen auch diese Aspekte herausgerechnet werden“ (EWERT/ WAGENHOFER, 2000, S. 34).10 Der Nachprüfbarkeit der Qualität von Investitionsentscheidungen (die „Objektivierung“ der Entscheidungen) durch Vergangenheitsorientierung sind schon bei einperiodigen Investitionen enge Grenzen gesetzt. Im Mehrperioden-Fall gilt dies in noch stärkerem Maße. Selbst wenn der empirisch ermittelte Kalkulationszinsfuß für die Bewertung im Einperioden-Fall geeignet ist, kann er für zukünftige Perioden äußerst problematisch sein. Wie in Kapitel XIV, Abschnitt 7.2, gezeigt wird, erfüllt ein risikoangepasster Kalkulationszinsfuß kn nur bei speziellen stochastischen Zusammenhängen zwischen dem Überschuss für den Zeitpunkt 1 und den nachfolgenden Überschüssen die Bedingung der „Periodeneinheitlichkeit“. Da nicht objektiv festgestellt werden kann, ob diese Zusammenhänge gegeben sind, besteht auch ein Ermessensspielraum darüber, ob der Zinssatz für den Einperioden-Fall auf den Mehrperioden-Fall übertragen werden darf oder ob Modifikationen vorgenommen werden sollen. Die objektive Bindung an einen ungeeigneten Kalkulationszinsfuß kann wesentlich problematischer sein als der Versuch, nicht nur bei der Prognose der zukünftigen Überschüsse, sondern auch bei der Ermittlung des Kalkulationszinsfußes subjektive Erfahrungen und Informationen einzubringen. Der Entscheider – oder seine Berater – sollte dann allerdings mit den bewer-
9
10
Zwar stimmt der Beta-Faktor für das ganze Unternehmen mit der gewichteten Summe der Beta-Werte für die verschiedenen Unternehmensbereiche überein. Trotzdem kann aus einem Unternehmens-Beta nicht auf Bereichs-Betas geschlossen werden, sofern keine einheitliche Risikoklasse maßgeblich ist. Vgl. auch FULLER/KERR (1981).
282
Kapitel VII
tungsrelevanten Grundlagen vertraut sein und nicht nur wissen, welche Finanzdienstleister preisgünstig Beta-Faktoren verkaufen.
4.3
Virtueller Marktwert des Bewertungsobjekts als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles
Auch die Ermittlung des virtuellen Marktwerts eines Bewertungsobjekts als Marktwert seines Duplikationsportefeuilles ist grundsätzlich nicht frei von Ermessensentscheidungen. Damit überhaupt ein Duplikationsportefeuille bestimmt werden kann, muss man sich zunächst wieder ein fundiertes Urteil über die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der zukünftigen Überschüsse des Bewertungsobjekts bilden. Hierbei sind analoge Ermessensentscheidungen zu treffen wie für den Fall, dass der virtuelle Marktwert durch Diskontierung der Erwartungswerte mit einem risikoangepassten Zinssatz ermittelt wird. An die Stelle von Ermessensentscheidungen bei der Schätzung dieses Zinssatzes treten nun Ermessensentscheidungen bei der Ermittlung des Duplikationsportefeuilles. Um überhaupt beurteilen zu können, welche Papiere für das Duplikationsportefeuille in Betracht kommen, muss man analog zu den Überschüssen des Bewertungsobjekts die zukünftige Entwicklung der Marktwerte (einschließlich der Dividenden und anderer laufender Überschüsse) von Papieren prognostizieren. Auch diese Prognose ist in starkem Maße subjektiv (FIGLEWSKI, 1979; CAMPBELL/KYLE, 1993; SHLEIFER, 2000). Sie hängt ab vom subjektiven Informationsstand des Investors und seinen subjektiven Schlussfolgerungen aus Informationen. Andere Personen (etwa Wertpapieranalysten) mögen andere Vorstellungen über angemessene Duplikationsportefeuilles vertreten, wobei der Bewerter deshalb deren Urteile nicht übernehmen mag, weil sie untereinander sehr verschieden sind. Die Darstellungen verdeutlichen Probleme der praktischen Umsetzung der theoretischen Bewertungskonzepte. Diese Konzepte geben zwar wertvolle Orientierung bei der Ermittlung von Marktwerten, sie führen jedoch nicht zu eindeutigen, „objektiv richtigen“ Resultaten.
5
Resümee
1. Kann ein börsennotiertes Unternehmen n ein börsennotiertes Unternehmen U kaufen, existiert im CAPM beim Ziel subjektiver Nutzenmaximierung kein Grenzpreis. Da im Gleichgewicht des CAPM alle Anteilseigner einen Anteil am Marktportefeuille halten, kann es keinen kritischen Preis geben, von dem an die Übernahme des Unternehmens U durch n für sie nachteilig wird. Wenn das Unternehmen n für die Übernahme einen höheren Preis als den Marktwert der Aktien des Unternehmens U zahlt, sinkt zwar sein Marktwert M0n. Trotzdem entsteht für die Anteilseigner des Unternehmens n kein Nachteil. Der Kaufpreis fließt ihnen als Erlös für den Verkauf ihrer Anteile am Unternehmen U in dem gleichen Verhältnis zu, mit dem sie am Unternehmen n beteiligt sind. Im Rahmen des SPA können dagegen die Portefeuillestrukturen der Anteilseigner sehr verschieden sein. Bei Kauf des Unternehmens U zu einem höheren Preis als dem Marktwert seiner Aktien ergibt sich für diejenigen Anteilseigner ein Nachteil, die relativ stark am Unternehmen n und wenig am
283
Kollektive subjektive Grenzpreise und Marktwerte im Vergleich
Unternehmen U beteiligt sind; sie erzielen keinen kompensierenden Vorteil aus dem Verkauf ihrer Anteile am Unternehmen U. 2. Ist das Unternehmen U bisher nicht börsennotiert (und auch nicht Teil eines börsennotierten Unternehmens), wird es bei Kauf durch das Unternehmen n neuer Bestandteil des Marktportefeuilles. Wenn das Unternehmen U einem privaten Eigentümer gehört, der keine Wertpapiere hält und somit auch nicht Anteilseigner des Unternehmens n ist, steigt mit dem Kauf analog zu (VI.29) der Nutzenerwartungswert jedes Anteilseigners des Unternehmens n, wenn für die Anschaffungskosten A0 des Unternehmens U gilt. (VII.4)
) (1 r) A ! MR [Var(Ü ) 2 Kov(Ü ;M )] E(Ü 1 0 1 1 1G 2
(mit MR {
RPG ). ) Var(M 1G
bezeichnet den Überschuss des Unternehmens U. Entsprechend gilt für den Grenzpreis Ü 1 ) beim Ziel kollektiver Nutzenmaximierung: GPN( Ü 1 (VII.6)
) (1 r) 1 [E(Ü ) MR Var(Ü ) MR Kov(Ü ;M )] . GPN (Ü 1 1 1 1 1G 2
3. Für den Grenzpreis beim Ziel der Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens n gilt: (VII.8) ) (1 r) 1 {E(Ü ) MR [Var(Ü ) Kov(Ü ;M ;M ) Kov(Ü )]} . GPM (Ü 1 1 1 1 1n 1 1G Hieraus folgt in Verbindung mit (VII.6): 1 ) GP (Ü GPM (Ü 1 N 1 ) MR [ Var(Ü1 ) Kov(Ü1;M1n )] . 2 ) Kov(Ü ;M ;M ) ist der ) ! 0 bzw. Kov(Ü ) ! (1/ 2) Var(Ü Für (1/ 2) Var(Ü 1 1 1n 1 1n 1 Grenzpreis bei Marktwertmaximierung niedriger als bei Nutzenmaximierung; es ist möglich, dass das Unternehmen U bei Marktwertmaximierung nicht erworben wird, obwohl bei Kauf der Nutzenerwartungswert aller Anteilseigner des Unternehmens n steigen würde. Für ;M ) gilt GP (Ü ) (1/ 2) Var(Ü Kov(Ü 1 1n 1 M 1 ) GPN (Ü1 ) ; es ist möglich, dass das Unternehmen gekauft wird, obwohl die Nutzenerwartungswerte aller Anteilseigner des Unternehmens n sinken.
(VII.9)
4. Private (Hintergrund-)Risiken und beschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten können zu Bewertungskonflikten zwischen den Anteilseignern des Unternehmens n führen. Da im Konfliktfall kein kollektiver subjektiver Grenzpreis existiert, kann der Marktwert allenfalls für eine bestimmte Gruppe von Anteilseignern als subjektiver Grenzpreis relevant sein. 5. Subjektive Grenzpreise werden häufig mit dem Argument abgelehnt, dass sie nicht intersubjektiv überprüfbar seien, und für die Orientierung an Marktwerten plädiert. Wenn jedoch ein Bewertungsobjekt nicht bereits explizit am Markt gehandelt wird (weil es völlig neu ist oder von einem privaten Eigentümer zum Kauf angeboten wird) existiert hierfür gar kein realer Marktwert. Bewertungsrelevant zum Zeitpunkt der Entscheidung ist dann allenfalls der virtuelle Marktwert im Licht der Informationen und Schlussfolgerungen des potenziellen Käufers. Auch der virtuelle Marktwert ist subjektiv und lässt sich nicht objektiv (richtig) ermitteln.
284
Kapitel VII
6. In der Literatur zur Unternehmensbewertung und der Praxis wird der Ermittlung eines risikoangepassten Kalkulationszinsfußes erheblich mehr Beachtung gewidmet als der Prognose der zukünftigen Überschüsse. Jedoch können Prognosefehler wesentlich stärker den ermittelten Wert verfälschen als Fehler bei der Schätzung des Kalkulationszinsfußes. Oft werden die stochastischen Überschüsse als gegeben angenommen und nur noch der zugehörige risikoangepasste Kalkulationszinsfuß untersucht. Da dieser aber von der Risikostruktur der Überschüsse abhängt, wird die Qualität seiner Ermittlung wesentlich durch die Qualität der Schätzung der möglichen Überschüsse bestimmt. Wird der Kalkulationszinsfuß in Anlehnung an das CAPM auf der Basis eines ß-Faktors ermittelt, der aus vergangenen Kursentwicklungen resultiert, wird das Problem der Prognose grundsätzlich nicht gelöst, sondern aufgelöst: Die Risikostrukturen der zukünftigen Überschüsse können erheblich von denen in der Vergangenheit abweichen. Erhebliche Ermessensprobleme ergeben sich bereits für die Bewertung einperiodiger Objekte. Sie werden für den Mehrperioden-Fall noch gravierender; nur bei sehr speziellen stochastischen Zusammenhängen bezüglich der Überschüsse für verschiedene Zeitpunkte ist der risikoangepasste Zinssatz nach dem einperiodigen CAPM auch für mehrperiodige Objekte bewertungsrelevant.
TEIL D: OPTIMALE PORTEFEUILLEBILDUNG UND INDIVIDUELLE SUBJEKTIVE GRENZPREISE IM VERGLEICH ZU MARKTWERTEN
Kapitel VIII Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
1
Problemstellung
Im vorliegenden und in nachfolgenden Kapiteln wird untersucht, wie der subjektive Grenzpreis (der subjektive Wert) eines Bewertungsobjekts aus Sicht eines individuellen Investors (der individuelle subjektive Grenzpreis) ermittelt werden kann und wie er von seinen Determinanten (insbesondere der Risikoeinstellung des Investors, der Größe des Bewertungsobjekts und den Kapitalmarkteigenschaften) abhängt. Entweder erwägt der Investor das Bewertungsobjekt (allein, ohne direkte Beteiligung anderer Personen am Überschuss) zu kaufen oder er besitzt es bereits und erwägt, es zu verkaufen. Bei potenziellem Kauf ist der individuelle subjektive Grenzpreis gleich derjenigen Preisobergrenze, von der an bei Kauf der Erwartungsnutzen des Investors sinkt. Bei potenziellem Verkauf ist der individuelle subjektive Grenzpreis gleich derjenigen Preisuntergrenze, von der an bei Verkauf der Erwartungsnutzen steigt. Für beide Fälle wird angenommen, dass der Preis zu Beginn der Periode, dem Zeitpunkt 0, zu zahlen ist. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt kauft bzw. nicht verkauft, wird er es bis ~ zum Ende der betrachteten Periode nutzen. Er erzielt dann den Überschuss Ü1 , der auch einen Verkaufserlös als Marktwert des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt 1 enthalten kann. Die Annahme, dass der Investor bei Kauf das Bewertungsobjekt bis zum Zeitpunkt 1 nutzt, schließt eine vorteilhafte Arbitrage auf dem Realgütermarkt aus; der Investor hat nicht die Möglichkeit, das Bewertungsobjekt im Zeitpunkt 0 zu einem bekannten Preis wieder zu verkaufen, der höher ist als der Grenzpreis bei Nutzung bis zum Zeitpunkt 1. Würde ein solcher Wiederveräußerungspreis existieren, wäre er die Preisobergrenze.
286
Kapitel VIII
Direkte Formen der Risikoteilung (wie Versicherungen, Warentermingeschäfte) werden nicht explizit betrachtet. Jedoch mögen solche Formen bei der Planung der ~ möglichen Überschüsse Ü1 und ihrer Wahrscheinlichkeiten ex ante festgelegt worden ~ sein und die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ü1 beeinflusst haben.1 Wenn der Investor das Bewertungsobjekt kauft bzw. nicht verkauft, hedgt er im vor~ liegenden Kapitel das aus dem Überschuss Ü1 resultierende Risiko (auch) nicht durch Portefeuillebildung. Ein Portefeuille riskanter Wertpapiere hält er allenfalls dann, wenn er das Bewertungsobjekt nicht kauft bzw. es verkauft. Wie in Kapitel XI und XII ge~ zeigt wird, steigt zwar grundsätzlich der Grenzpreis, wenn das mit Ü1 verbundene Risiko gehedgt wird. Trotzdem haben die Darstellungen im vorliegenden Kapitel Bedeutung: Zum einen wird auf ihnen aufbauend in Kapitel XI und XII untersucht, unter welchen Bedingungen und in welchem Umfang der subjektive Grenzpreis durch Portefeuillebildung gesteigert werden kann. Zum anderen kann auch der unter Vernachlässigung eines Hedgeportefeuilles ermittelte Grenzpreis entscheidungsrelevant sein. Wenn er höher ist als der für das Bewertungsobjekt geforderte Preis, erweist sich der Kauf bereits als vorteilhaft. Ist er niedriger, kann geprüft werden, ob der Grenzpreis in Verbindung mit einem bestimmten (nicht notwendig optimalen) Portefeuille höher ist als der geforderte Preis. Wenn ja, erweist sich nun der Kauf als vorteilhaft, auch wenn der „richtige“ Grenzpreis immer noch nicht bekannt ist. Das optimale Hedgeportefeuille kann dann nach Kauf ermittelt werden. Analog gilt für den erwogenen Verkauf des Bewertungsob~ jekts: Wenn der ohne Hedgeportefeuille für den Überschuss Ü1 ermittelte Grenzpreis höher ist als der gebotene Preis, erweist sich der Verkauf bereits als nachteilig. Darüber hinaus zeigen die Darstellungen in Verbindung mit Kapitel XI und XII, welche grundsätzlichen Bewertungsfehler (Kunstfehler) gemacht werden, wenn Portefeuilleeffekte vernachlässigt werden. In Abschnitt 2 erfolgt ein allgemeiner Vergleich von Marktwert und individuellem subjektivem Grenzpreis des Bewertungsobjekts. In Abschnitt 3 wird gezeigt, wie der (individuelle) subjektive Grenzpreis für den Fall ermittelt werden kann, dass weder mit noch ohne Bewertungsobjekt Wertpapiere gehalten werden, sondern vorhandenes Geldvermögen ausschließlich zum risikolosen Zinssatz r angelegt wird. Darauf aufbauend wird untersucht, wie der Grenzpreis von seinen Einflussgrößen abhängt und wie er vom Marktwert des Bewertungsobjekts abweichen kann. Die Vernachlässigung jeglicher Portefeuillebildung entspricht der Konzeption der sogenannten „semi-subjektiven“ Bewertung (KRUSCHWITZ/LÖFFLER, 2003). Auch sonst wird im Allgemeinen in der Literatur bei der Diskussion von (Ertragswerten als) subjektiven Grenzpreisen von Portefeuillebildung abgesehen. In Abschnitt 4 erfolgt die Ermittlung und Analyse des subjektiven Grenzpreises für den Fall, dass der Investor zwar bei Verzicht auf Kauf bzw. bei Verkauf des Bewertungsobjekts einen optimalen Wertpapierbestand realisiert, in Verbindung mit dem Bewertungsobjekt jedoch keine Papiere hält. (Wie in Kapitel XI gezeigt wird, kann dieses 1
In den Kapiteln XIII, XIV und XV wird der Fall betrachtet, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht exogen gegeben ist, sondern vom Investor beeinflusst werden kann. Es wird untersucht, über Ü 1 wie explizit jene Maßnahmen ermittelt werden können, bei denen der Wert maximiert wird.
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
287
Verhalten durchaus optimal sein.) Die Portefeuillebildung bewirkt, dass der subjektive Grenzpreis bei potenziellem Kauf und bei potenziellem Verkauf sinkt; die für die Bewertung maßgebliche Vergleichsbasis verbessert sich eben, wenn ohne das Bewertungsobjekt statt einer ausschließlichen Anlage zum risikolosen Zinssatz ein optimales Portefeuille gehalten wird. Wir gehen wieder davon aus, dass sich der Investor am (P,V)-Prinzip orientiert. Dadurch lassen sich wesentliche Zusammenhänge anschaulich graphisch darstellen. Sie gelten jedoch im Prinzip auch dann, wenn dieses Kriterium bezüglich der Nutzenfunktion des Investors nicht im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht und somit der Bewertung explizit der Erwartungswert des Nutzens seines Endvermögens zugrunde gelegt wird. Die Darstellungen zum Einperioden-Fall gelten bei speziellen Nutzenfunktionen z.T. auch für Ströme von Überschüssen im Mehrperioden-Fall (Kapitel XV).
2
Marktrisikoprämie und subjektive Risikoprämie bzw. Marktwert und subjektiver Grenzpreis im Vergleich
~ Im Folgenden wird gezeigt, wie der subjektive Grenzpreis GPS ( Ü1 ) auf der Basis der zugehörigen subjektiven Risikoprämie ermittelt werden kann, also der Risikoprämie, die das Bewertungsobjekt bieten muss, damit sein Kauf für den individuellen Investor weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Dabei wird davon ausgegangen, dass die Anschaffungsauszahlung zum Zeitpunkt 0 zu zahlen ist. ~ Die (subjektive) Risikoprämie RPS ( Ü1 ) ist wie folgt definiert: ~ (VIII.1) RPS ( Ü1 )
~ ~ E( Ü1 ) (1 r ) GPS ( Ü1 ) .
Daraus folgt:
~ (VIII.2) GPS ( Ü1 )
~ ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPS ( Ü1 )] .
~ Analog gilt für den Marktwert M 0 ( Ü1 ) des Bewertungsobjekts: ~ (VIII.3) M 0 ( Ü1 )
~ ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPM ( Ü1 )] ,
~ ) die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü wobei RPM (Ü 1 bezeichnet. 1 Aus (VIII.3) und (VIII.2) folgt:
~ ~ (VIII.4) M 0 ( Ü1 ) GPS ( Ü1 )
~ ~ (1 r ) 1 [RPS ( Ü1 ) RPM ( Ü1 )] .
Man kann somit die Differenz zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis aus den entsprechenden Risikoprämien herleiten. Sie stehen im Folgenden im Vordergrund der Analyse.
288
Kapitel VIII
Wie noch gezeigt wird, unterscheidet sich der (individuelle) subjektive Grenzpreis grundsätzlich vom (virtuellen) Marktwert. Die Abweichung hängt u.a. von der Wahr~ scheinlichkeitsverteilung des Überschusses Ü1 ab. Enthält er einen Liquidationserlös, dann stellt sich das Problem, diesen im Bewertungszeitpunkt 0 zu schätzen. Anhaltspunkte hierfür können gegenwärtige Marktpreise für Objekte bieten, die dieselben Qualitätseigenschaften aufweisen wie voraussichtlich das Bewertungsobjekt am Ende der Periode. Da dann gegenwärtige Preise Rückschlüsse auf den Liquidationserlös und ent~ sprechend den Überschuss Ü1 ermöglichen, beeinflussen sie indirekt den (virtuellen) Marktwert und den (individuellen) subjektiven Grenzpreis. Kann aus gegenwärtigen Preisen ein sicherer Rückschluss auf den Liquidationserlös gezogen werden, steigen gegenüber einem Liquidationserlös von null der Marktwert und der subjektive Grenzpreis um den mit dem risikolosen Zinssatz r ermittelten Barwert des Liquidationserlöses; die Abweichung zwischen ihnen ändert sich nicht. Ist der Erlös mit einem beobachteten gegenwärtigen Preis identisch, ist der Wertzuwachs jeweils gleich dem Barwert dieses Preises. Lassen gegenwärtige Preise nur probabilistische Rückschlüsse auf den Liquidationserlös zu (z.B. weil der Zustand des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt 1 noch unsicher ist), kann nur auf dessen Erwartungswert – etwa als Durchschnittswert gegenwärtiger Preise – geschlossen werden. Wie weit dann der Marktwert (der subjektive Grenzpreis) steigt, hängt vom Marktrisikoabschlag (vom subjektiven Risikoabschlag) ab. Da beide Abschläge verschieden sein können, können die gegenwärtigen Preise den Marktwert und den subjektiven Grenzpreis in unterschiedlicher Weis beeinflussen. Gegenwärtige Preise als Determinanten des Marktwertes und des subjektiven Grenzpreises spielen vor allem für solche Bewertungsobjekte eine Rolle, für die ein funktionsfähiger Gebrauchsgütermarkt existiert, etwa für Kraftfahrzeuge oder andere Standardgüter mit vielen potenziellen Verwendern. Für Spezialobjekte ist der Einfluss eines Liquidationserlöses auf den Wert eher gering. Für ein Bewertungsobjekt „Untenehmen“ als Ganzes besteht ebenfalls kein Gebrauchsgütermarkt. Trotzdem können gezahlte Preise für „vergleichbare“ Unternehmen bekannt sein, aus denen probabilistische Rückschlüsse auf den Verkaufserlös am Ende der Periode gezogen werden können, so dass diese Preise den Marktwert und den subjektiven Grenzpreis indirekt beeinflussen. Der „Verkauf“ des Unternehmens zum Ende der Periode könnte auch in Form eines Börsengangs erfolgen; das Unternehmen wird an den „Markt“ verkauft. Gegenwärtige Marktwerte von Unternehmen der gleichen Risikoklasse können dann in dem Sinn bewertungsrelevant sein, dass sie als Indikatoren für den Verkaufserlös dienen.
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
3
Bewertung ohne jegliche Portefeuillebildung
3.1
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers
3.1.1
Ermittlung des Wertes
289
Zunächst wird der (individuelle) subjektive Wert für den Fall analysiert, dass der Investor weder bei Kauf des Bewertungsobjekts noch bei Verzicht auf Kauf riskante Wertpapiere hält; Kapital wird nur zum risikolosen Zinssatz r angelegt oder aufgenommen. des Ohne riskante Wertpapiere ist für die Bewertung nur das aus dem Überschuss Ü 1 Bewertungsobjekts resultierende Risiko relevant. Von der Voraussetzung, dass der Investor keine riskanten Wertpapiere hält, gehen z.B. auch KRUSCHWITZ/LÖFFLER (2003) bei ihrer Analyse von Problemen der Ermittlung des subjektiven Grenzpreises eines Unternehmens aus. Sie kennzeichnen ihr Bewertungskonzept als „semi-subjektiv“, um deutlich zu machen, dass es sich von dem „rein“ individualistischen Ansatz von KÜRSTEN (2002) unterscheidet, der unterstellt, dass vom Investor „weder sichere noch unsichere finanzielle Assets gehandelt“ werden (KRUSCHWITZ/LÖFFLER, 2003, S. 1336). Probleme der Bewertung unter völliger Vernachlässigung des Kapitalmarktes sollen in der vorliegenden Arbeit nicht untersucht werden. Die „semi-subjektive“ Bewertung dient hier vor allem als Ausgangsbasis für den in nachfolgenden Kapiteln behandelten realistischeren Bewertungsfall, dass das Risiko des Bewertungsobjekts durch Portefeuillebildung optimal gehedgt wird.2 In der Ausgangssituation verfüge der Investor ausschließlich über das Geldvermögen V0. Bei Verzicht auf Kauf legt er es zum risikolosen Zinssatz an, so dass er über ein sicheres Endvermögen von (1 r ) V0 verfügt. Bei Kauf des Bewertungsobjekts über~ nimmt er ein Risiko in Höhe von Sta ( Ü1 ) . Der subjektive Grenzpreis ist hier als derjenige Preis zu bestimmen, bei dem der ~ Investor in Verbindung mit dem Risiko Sta ( Ü1 ) des Bewertungsobjekts einen Nutzenerwartungswert erzielt, der mit dem Nutzen des sicheren Endvermögens (1 r ) V0 übereinstimmt. Er muss eine Risikoprämie (einen Zuwachs des erwarteten Endvermögens im Vergleich zur sicheren Anlage) erzielen, bei der er eine (P,V)-Position auf derjenigen Indifferenzkurve erreicht, die beim Abszissenwert (1 r ) V0 beginnt. Im Beispiel der Abbildung VIII.1 ist die (geforderte) subjektive Risikoprämie gleich der Strecke AB , wobei der Abszissenwert des Punktes A mit (1 r ) V0 übereinstimmt. ) explizit Bei dieser Grafik wird die Risikoprämie und nicht der Erwartungswert E(Ü 1
2
Zur Diskussion von Bewertungsfragen nach der Sicherheitsäquivalent-Methode im Mehrperioden-Fall bei Vernachlässigung von (optimalen) Hedgemaßnahmen vgl. KÜRSTEN (2002, S.137-142; 2003, S. 306-310); SCHWETZLER (2002a; 2002b; 2002c); DIEDRICH (2003); WIESE (2003); KRUSCHWITZ (2002, S. 15-16); KRUSCHWITZ/LÖFFLER (2003).
290
Kapitel VIII
betrachtet. Aus der Risikoprämie kann jedoch in einfacher Weise der zugehörige sub~ jektive Grenzpreis GPS ( Ü1 ) hergeleitet werden: (VIII.5)
~ GPS ( Ü1 )
~ ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPS ( Ü1 )] ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) AB] .
In Abschnitt 3.2 werden in analoger Weise Bewertungsprobleme untersucht, bei denen ~ ~ in der Graphik der Erwartungswert E( Ü1 ) explizit erfasst wird. Wenn E( Ü1 ) kleiner ist als AB , ist gemäß (VIII.5) der Grenzpreis negativ. ~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
A
B z
z
0
(1 r ) V0
z
z
b / 2c
~ E (V1 )
) ohne Portefeuillebildung Abb. VIII.1: Zur Ermittlung des subjektiven Grenzpreises GPS (Ü 1 aus Sicht eines potenziellen Käufers bei quadratischer Nutzenfunktion
Der Abbildung VIII.1 liegt eine quadratische Nutzenfunktion U(V1 ) b V1 c V12 zugrunde, bei der die Indifferenzkurven die Gestalt konzentrischer Halbkreise haben, deren Mittelpunkt auf der Abszisse liegt und den Abszissenwert b/2c aufweist. Wie in Kapitel II, Abschnitt 2.3.2.1, erläutert wurde, verstößt das (P,V)-Prinzip bei quadratischer Nutzenfunktion gegen das Dominanzprinzip. Es ist daher möglich, dass keine Risikoprämie existiert, bei der der Nutzenerwartungswert bei Kauf des Unternehmens mit dem Nutzenwert U[(1 r ) V0 ] übereinstimmt. Dies ist dann der Fall, wenn die Stan~ dardabweichung Sta ( Ü1 ) höher ist als der maximale Ordinatenwert der beim Abszissenwert (1 r ) V0 beginnenden Indifferenzkurve in Abbildung VIII.1. Für jede Risikoprämie (für jeden Preis des Bewertungsobjekts) erreicht dann der Investor eine Indifferenzkurve mit größerem Radius, was jeweils gegenüber dem Verzicht auf Kauf eine Nutzeneinbuße bedeutet. ~ Bei normalverteiltem Ü1 und exponentieller Nutzenfunktion verlaufen die Indifferenzkurven im (P,V)-Diagramm zwar ebenfalls konkav, jedoch sind die Steigungen im~ mer positiv, wobei unabhängig von Sta ( Ü1 ) stets ein subjektiver Grenzpreis existiert (Abbildung VIII.2).
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
291
~ Sta(V1 )
~ Sta(Ü1 )
A
B z
z
z
0
(1 r) V0
~ E(V1 )
) ohne Portefeuillebildung Abb. VIII.2: Zur Ermittlung des subjektiven Grenzpreises GPS (Ü 1 aus Sicht eines potenziellen Käufers bei exponentieller Nutzenfunktion und nor~ malverteiltem Ü 1
3.1.2
Zur Höhe des Wertes
3.1.2.1 Abhängigkeit vom Erwartungswert des Einzahlungsüberschusses
Gemäß der Darstellungen in Abschnitt 3.1.1 ist zwar die für die Ermittlung des subjek~ ) unabhängig tiven Grenzpreises GPS ( Ü1 ) maßgebliche kritische Risikoprämie RPS (Ü 1 ~ ~ vom Erwartungswert E( Ü1 ) . Trotzdem hängt natürlich GPS ( Ü1 ) von diesem Erwar~ tungswert ab. Gemäß (VIII.2) ist GPS ( Ü1 ) bei gegebener Risikoprämie eine linear stei~ ~ gende Funktion von E( Ü1 ) . Wenn E( Ü1 ) um den sicheren Betrag ' steigt, bleibt die ~ ) konstant, während gemäß (VIII.2) GP ( Ü subjektive Risikoprämie RPS (Ü S 1 ) um den 1 Barwert (1 r ) 1 ' steigt; wenn der Investor diesen Betrag zusätzlich zahlt, ändert sich bei Kauf des Bewertungsobjekts sein Nutzenerwartungswert wie auch in der Ausgangssituation nicht. ~ ) von Sta ( Ü Wie im Folgenden gezeigt wird, hängt die Risikoprämie RPS (Ü 1 ) , der 1 Risikoeinstellung des Investors und bei quadratischer Nutzenfunktion (allgemein: bei variabler absoluter Risikoaversion) auch von V0 ab. 3.1.2.2 Abhängigkeit von der Standardabweichung des Einzahlungsüberschusses
Wie die Abbildung VIII.1 verdeutlicht, ist die für den subjektiven Grenzpreis maßgebliche Risikoprämie (der entsprechende Risikoabschlag) wegen der Konkavität der Indif~ ferenzkurve eine konvex steigende Funktion von Sta ( Ü1 ) ; der waagrechte Abstand der durch A verlaufenden Parallelen zur Ordinate und der in (1 r ) V0 beginnenden Indif~ ferenzkurve wird mit steigender Standardabweichung Sta ( Ü1 ) immer größer. Wie erläutert, existiert allerdings bei quadratischer Nutzenfunktion ab einer bestimmten Stan-
292
Kapitel VIII
dardabweichung keine subjektive Risikoprämie mehr, so dass auch kein subjektiver Grenzpreis existiert. Dieser Aspekt soll im Folgenden nicht weiter berücksichtigt werden. ~ Wenn bei gegebenem oder fallendem Erwartungswert von Ü1 dessen Standardabweichung und mithin die subjektive Risikoprämie steigt, sinkt gemäß (VIII.2) der subjektive Grenzpreis. Er wird mit steigender Standardabweichung nur dann größer, wenn ~ simultan der Erwartungswert von Ü1 stärker steigt als die subjektive Risikoprämie. 3.1.2.3 Abhängigkeit vom Vermögen V0 vor Kauf
Bei normalverteiltem Endvermögen und exponentieller Nutzenfunktion ist die Risikoprämie und mithin auch der subjektive Grenzpreis unabhängig von V0. Bei exponentieller Nutzenfunktion besteht konstante absolute Risikoaversion, so dass die Bewertung riskanter Positionen unabhängig von einem sicheren Vermögen ist (es besteht kein Reichtumseffekt). Die Abbildungen VIII.3 zeigt dies für die Vermögenswerte V0* und V0** : ~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
A* z
B* z
z
0
(1 r ) V0*
z
A**
B** z
z
z
(1 r ) V0**
~ E (V1 )
Abb. VIII.3: Unabhängigkeit der subjektiven Risikoprämie von V0 bei exponentieller Nutzen~ funktion und normalverteiltem Ü 1
~ Bei der gegebenen Standardabweichung Sta ( Ü1 ) ist für V0 V0* die kritische Risikoprämie gleich A * B * und für V0 V0** gleich A * *B * * . Da die V0** entsprechende Indifferenzkurve aus einer Rechtsverschiebung der anderen hervorgeht, gilt A * B * A * *B * * ; die kritische Risikoprämie ist für alternative Standardabweichun~ gen Sta ( Ü1 ) für V0* und V0** jeweils identisch, so dass für die Bewertung kein Reichtumseffekt relevant ist; der subjektive Grenzpreis ist unabhängig von V0. Dies ist bei quadratischer Nutzenfunktion anders. Hier besteht steigende absolute Risikoaversion, wobei ein Anstieg von V0 bewirkt, dass die subjektive Risikoprämie steigt und der subjektive Grenzpreis sinkt; es besteht ein (negativer) Reichtumseffekt. Zur Verdeutlichung dient die Abbildung VIII.4:
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
293
~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
A*
B* z
z
A**
B**
z
z
S3
z
z
S1 z
S2 M z
0
(1 r ) V0*
z
(1 r ) V0**
z
b / 2c
~ E(V1 )
Abb. VIII.4: Abhängigkeit der subjektiven Risikoprämie von V0 bei quadratischer Nutzenfunktion
Die durch (1 r ) V0** verlaufende Indifferenzkurve (mit dem kleineren Radius) weist für jeden Ordinatenwert, der nicht größer ist als der maximale Ordinatenwert dieser Indifferenzkurve, eine geringere Steigung auf als die andere Indifferenzkurve. Sie verläuft somit im relevanten Bereich flacher.3 Dies impliziert A * *B * * ! A * B * und folglich, dass die subjektive Risikoprämie für V0 V0** höher und der subjektive Grenzpreis niedriger ist als für V0 V0* . Dabei ist der Unterschied umso größer, je größer die ~ Standardabweichung des Überschusses Ü1 ist. 3.1.2.4 Abhängigkeit von der Risikoeinstellung ~ ~ Bei gegebenen Werten für E( Ü1 ) , Sta ( Ü1 ) und V0 ist die subjektive Risikoprämie umso höher und der subjektive Grenzpreis umso niedriger, je höher die Risikoaversion des ~ Investors ist. Zunächst wird von normalverteiltem Ü1 und exponentieller Nutzenfunktion ausgegangen. Gemäß der Darstellungen in Kapitel II, Abschnitt 2.3.2.2, ist dann für jeden Ordinatenwert (für jede Standardabweichung) die Steigung der Indifferenzkurven eine fallende Funktion des Risikoaversionskoeffizienten a; je größer die Risikoaversion, desto „flacher“ verlaufen die Indifferenzkurven. Abbildung VIII.5 zeigt zwei für (1 r ) V0 maßgebliche Indifferenzkurven mit a ** ! a * .
3
Zum Beweis betrachten wir den durch den Mittelpunkt M verlaufenden Fahrstrahl in Abbildung VIII.4. In seinen Schnittpunkten S1 und S2 mit den beiden halbkreisförmigen Indifferenzkurven haben diese dieselbe Steigung. Da die Indifferenzkurven konkav verlaufen, ist die Indifferenzkurvensteigung im Punkt S3 kleiner als im Punkt S2 und somit auch kleiner als im Punkt S1, der denselben Ordinatenwert wie S3 aufweist. Analog kann gezeigt werden, dass im relevanten Bereich die Indifferenzkurve mit dem kleineren Radius auch für jeden anderen Ordinatenwert (für jede andere Standardabweichung) eine kleinere Steigung aufweist. Sie verläuft daher flacher als die andere, so dass der waagrechte Abstand zwischen beiden Indifferenzkurven mit steigendem Ordinatenwert monoton steigt.
294
Kapitel VIII
~ Sta (V1 ) für a für a ~ Sta ( Ü1 )
B*
A z
z
a **
B** z
z
0
a*
~ E(V1 )
(1 r ) V0
~ Abb. VIII.5: Zur Abhängigkeit der subjektiven Risikoprämie für den Überschuss Ü 1 vom Risikoaversionskoeffizienten a bei exponentieller Nutzenfunktion und ~ normalverteiltem Ü 1
Da die a a ** entsprechende Indifferenzkurve flacher verläuft, gilt AB * * ! AB * ; für den höheren Risikoaversionskoeffizienten ist die subjektive Risikoprämie höher. Allgemein gilt: Je höher a, desto größer ist für alternative Standardabweichungen ) ! 0 die subjektive Risikoprämie und desto niedriger ist jeweils der subjektive Sta(Ü 1 Grenzpreis. Dabei bewirkt eine Erhöhung von a einen umso größeren Zuwachs bezüg~ lich der subjektiven Risikoprämie, je größer Sta ( Ü1 ) ist. ~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
0
B*
A z
B** z
z
z
z
z
(1 r ) V0
b**
b*
**
*
2c
2c
~ E(V1 )
~ Abb. VIII.6: Zur Abhängigkeit der subjektiven Risikoprämie für den Überschuss Ü 1 vom Quotienten b/2c bei quadratischer Nutzenfunktion
Auch bei quadratischer Nutzenfunktion ist die subjektive Risikoprämie (im relevanten Bereich) eine steigende Funktion der Risikoaversion. Die Risikoaversion ist bei quadra-
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
295
tischer Nutzenfunktion umso größer, je kleiner der Abszissenwert b/2c des Mittelpunktes M der Indifferenzkurven ist. Abbildung VIII.6 verdeutlicht den Zusammenhang. Beide bewertungsrelevanten Indifferenzkurven beginnen auf der Abszisse beim Abszissenwert (1 r ) V0 . Da wegen b** /2c** b* /2c* der Radius der Indifferenzkurve für b** /2c** kleiner ist als für b* /2c* , verläuft die Indifferenzkurve für die Parameter b** und c** im Bereich rechts von (1 r ) V0 unterhalb der für die Parameter b* und c*. Folglich liegt der Punkt B** rechts von B*. Die subjektive Risikoprämie ist für die Parameter b** und c** um B*B** höher. Allgemein gilt: Je niedriger b/2c, je größer also die Risikoaversion, desto größer ist die subjektive Risikoprämie und desto kleiner ist der subjektive Grenzpreis. 3.1.2.5 Abweichungen vom (virtuellen) Marktwert (a) Marktwert auf Basis des CAPM
Im Folgenden sollen Abweichungen zwischen dem (individuellen) subjektiven Grenz~ ~ ~ preis und dem Marktwert M 0 ( Ü1 ) des Überschusses Ü1 betrachtet werden. M 0 ( Ü1 ) bezeichnet den virtuellen Marktwert beim Informationsstand (und den Schlussfolgerun~ gen) des Investors bezüglich Ü1 . Er ermittelt ihn auf der Basis seiner eigenen Wahrscheinlichkeitsvorstellungen über diesen Überschuss, die natürlich davon abhängen können, wie andere Personen (etwa Gutachter) die möglichen Überschüsse einschätzen. Dabei wendet er die Bewertungsfunktionen des CAPM an oder er ermittelt den Markt~ ~ wert von Ü1 als Marktwert desjenigen Portefeuilles, mit dem er den Überschuss Ü1 duplizieren kann. Personen mit anderen Erwartungen mögen dem Objekt einen anderen Marktwert beimessen. Somit kann der Investor das Bewertungsobjekt nicht ohne weiteres zum Marktwert verkaufen, auch nicht in der Weise, dass er es als Unternehmen an die Börse bringt; der „Markt“ kann aufgrund von Informationsasymmetrien andere Erwartungen hegen als der Investor. Abgesehen davon, kann bei Verkauf der Marktwert auch deshalb sinken, weil der Investor besonders qualifiziert und als Alleineigentümer besonders motiviert ist, mit dem Bewertungsobjekt Überschüsse zu erzielen. Die Kenntnis möglicher Abweichungen zwischen dem virtuellen Marktwert und dem subjektiven Grenzpreis und ihrer Determinanten ist deshalb besonders wichtig, weil oft Marktwerte als geeignete Grenzpreise angesehen werden. Auch in der Praxis pflegt man subjektive Unternehmenswerte als virtuelle Marktwerte zu ermitteln. Zunächst gehen wir von demjenigen Marktwert aus, der sich gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM (Kapitel IV, Abschnitt 5.3) ergibt: (VIII.6)
~ M 0 ( Ü1 )
~ (1 r ) 1 [E( Ü1 )
~ ~ RPG Kov( Ü1 ; M1G )] . ~ Var(M1G )
Der Unterschied zwischen dem subjektiven Grenzpreis und diesem Marktwert ~ lässt sich anschaulich zeigen, indem man die subjektive Risikoprämie RPS ( Ü1 )
296
Kapitel VIII
mit der Marktrisikoprämie ~ (VIII.7) RPM ( Ü1 )
~ ~ RPG Kov( Ü1 ; M1G ) ~ Var(M1G )
vergleicht. Wenn die subjektive Risikoprämie um D höher (niedriger) ist als die Marktrisikoprämie, ist gemäß (VIII.4) der Marktwert um (1 r ) 1 D höher (niedriger) als der subjektive Grenzpreis. Wie erläutert, hängt die subjektive Risikoprämie von der Standardabweichung ~ Sta ( Ü1 ) , der Risikoeinstellung des Investors und bei quadratischer Nutzenfunktion (allgemein: bei nicht konstanter absoluter Risikoaversion) von seinem Ver~ mögen V0 ab. Dagegen hängt die Marktrisikoprämie für Ü1 von den Risikoeinstellungen aller Akteure auf dem Kapitalmarkt ab, die ihren Niederschlag in dem ~ in (VIII.7) enthaltenen Quotienten RPG / Var (M1G ) finden. Außerdem ist für ~ ~ RPM ( Ü1 ) nicht die Standardabweichung bzw. Varianz von Ü1 relevant, son~ ~ dern die Kovarianz Kov( Ü1 ; M1G ) , die erheblich davon abweichen kann. Insbesondere kann die Kovarianz auch gleich null oder negativ sein. Im CAPM erfolgt ~ eben die Bewertung von Ü1 nicht aus Sicht eines Individuums, das keine weiteren Wertpapiere hält, sondern aus Sicht vieler Investoren, die einen Anteil am Marktportefeuille halten. Aus diesem Grund darf es nicht verwundern, dass die subjektive Risikoprämie grundsätzlich von der Marktrisikoprämie abweicht. ~ Wenn der Investor den Überschuss Ü1 zum Marktwert kauft, steigt der Erwartungswert ~ seines Endvermögens um die Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) . Wenn diese (zufällige) mit ~ der subjektiven Risikoprämie RPS ( Ü1 ) übereinstimmt, erzielt er weder einen Vorteil noch einen Nachteil; der Marktwert ist gleich dem subjektiven Grenzpreis. Ist die Marktrisikoprämie höher (niedriger) als die subjektive, erzielt er einen Vorteil (Nachteil). ~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
P1 z
P2 P3 P4 z z
z
0
(1 r ) V0
z
P5 z
~ E(V1 )
Abb. VIII.7: Zum Vergleich der subjektiven Risikoprämie mit alternativen Marktrisikoprämien
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
297
In Abbildung VIII.7 sind Positionen P dargestellt, die der Investor bei gegebener Stan~ ~ dardabweichung Sta ( Ü1 ) für alternative (Markt-)Risikoprämien RPM ( Ü1 ) erzielt, wenn er das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft. Für den Punkt P4 stimmt (zufällig) die Marktrisikoprämie mit der subjektiven Risikoprämie überein. Für P5 ist sie höher, so dass der Investor einen Vorteil erzielt. Beide Fälle dürften aber kaum bewer~ tungsrelevant sein, wenn man bedenkt, dass die Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) für den ~ Fall gilt, dass Ü1 bzw. das entsprechende Risiko auf viele Anteilseigner verteilt ist. ~ Der Zusammenhang zeigt sich anschaulich für normalverteilte Endwerte P1n und exponentielle Nutzenfunktionen der Investoren auf dem Kapitalmarkt, für die gilt: RPG ~ Var (M1G )
(VIII.8)
1 I
,
¦ a1 i 1 i
so dass aus (VIII.7) folgt:
~ RPM ( Ü1 )
(VIII.9)
~ ~ Kov( Ü1 ; M1G )] .
1 I
¦ a1
i 1
i
Der Betrag der Marktrisikoprämie ist c.p. umso kleiner, je größer die Zahl I der Investoren auf dem Kapitalmarkt ist und je größer deren Risikotoleranzen 1/ai sind. Dagegen gilt gemäß (II.37) (Kapitel II, Abschnitt 5.3.2) für die subjektive Risikoprämie aus Sicht des betrachteten Investors bei exponentieller Nutzenfunktion: (VIII.10)
~ RPS ( Ü1 )
~ a Var ( Ü1 ) 2
~ 1 1 Var ( Ü1 ) . 2 1 a
Hier ist der mit 1/2 gewichtete Kehrwert der Risikotoleranz 1/a des Investors maßgeb~ lich, während für die Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) der Marktrisikoaversionskoeffizient 1 / ¦ iI 1 1 relevant ist. Andererseits ist im Allgemeinen die Kovarianz ai
(VIII.11)
~ ~ Kov( Ü1 ; M1G )
~ N ~ Kov( Ü1 ; ¦ M1n ) n 1
N
~
~
¦ Kov( Ü1 ; M1n ) n 1
~ ~ ~ bei positiven Kovarianzen Kov( Ü1 ; M1n ) viel höher als die Varianz Var ( Ü1 ) . Die Ko~ ~ varianz Kov( Ü1 ; M1G ) kann allerdings auch negativ oder gleich null sein, während die ~ Varianz (bzw. Standardabweichung) von Ü1 stets positiv ist. Dem Punkt P1 in Abbildung VIII.7 entspricht eine negative Kovarianz ~ ~ ~ Kov( Ü1 ; M1G ) , so dass auch die Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) negativ ist. Dem Punkt P2 (mit dem Abszissenwert (1 r ) V0 ) entspricht eine Kovarianz und entsprechend ei~ ne Marktrisikoprämie von null (das aus Ü1 resultierende Risiko ist hier unsystematisch). Dem Punkt P3 entspricht eine positive Marktrisikoprämie, die allerdings kleiner ist als die subjektive Risikoprämie. Der Investor erzielt jeweils einen Nachteil, wenn er
298
Kapitel VIII
das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft; der Marktwert ist höher als der subjektive Grenzpreis. Für den Punkt Pp (p = 1,2,3) ist der Marktwert um seinen mit r abgezinsten waagrechten Abstand von P4 höher als der subjektive Grenzpreis; je geringer die Kovarianz ~ ~ Kov( Ü1 ; M1G ) , desto mehr muss der Marktwert reduziert werden, um auf den subjektiven Grenzpreis zu kommen. Bei gegebener Position des Punktes Pp (bei gegebener ~ ~ Marktrisikoprämie oder Kovarianz Kov( Ü1 ; M1G ) ) ist der Korrekturbetrag umso größer, je flacher die in (1 r ) V0 beginnende Indifferenzkurve verläuft, je größer also die Risikoaversion des Investors und entsprechend der Abszissenwert des Punktes P4 ist. (b) Abhängigkeit der Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis von der Größe des Bewertungsobjekts
Im Folgenden wird im Rahmen komparativ statischer Analysen für quadratische Nutzenfunktionen untersucht, wie die Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis bei gegebener Risikoklasse von der „Größe“ des Bewertungsobjekts abhängt, d.h. wie sich diese Abweichung ändert, wenn der Überschuss des Bewertungsob~ ~ jekts von Ü1 auf z Ü1 steigt (z > 1) oder sinkt (z < 1). z bezeichnen wir als Niveauparameter für den Überschuss. Dabei werden nur positive z-Werte betrachtet. ~ Ist die Marktrisikoprämie von Ü1 negativ oder gleich null, ist der subjektive Grenz ) z M (Ü preis für jedes z (z > 0) kleiner als der Marktwert M 0 (z Ü 1 0 1 ) , wobei die Differenz eine monoton steigende Funktion von z ist. Hier soll nur der Fall positiver Marktrisikoprämie näher betrachtet werden. Es existiert dann stets ein Niveauparameter ~ z, für den der Marktwert z M 0 ( Ü1 ) mit dem subjektiven Grenzpreis übereinstimmt. Zur Verdeutlichung dient die Abbildung VIII.8. ~ Sta (V1 )
P1
~ Sta ( Ü1 )
z z
z
P3 0
z
(1 r ) V0
z
P2 S
T
~ E(V1 )
Abb. VIII.8: Zur Ermittlung des z-Wertes, für den der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktpreis ist
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
299
~ Wenn das Bewertungsobjekt den Überschuss Ü1 (mit z = 1) aufweist und der Investor ~ es zum Marktwert M 0 ( Ü1 ) erwirbt, gelange er zur Position P1. Er erzielt dann eine (Markt-)Risikoprämie in Höhe des Abszissenwertes des Punktes P1 abzüglich (1 r ) V0 . Jedoch ist die subjektive Risikoprämie um die Differenz zwischen den Abszissenwerten der Punkte P2 und P1 höher, so dass der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert eine Nutzeneinbuße erfahren würde. Wenn er den Über~ ) z M (Ü schuss z Ü1 mit dem Niveauparameter z z 1 zum Marktwert M 0 (z Ü 1 0 1) erwirbt, erzielt er die z-fache Risikoprämie mit der z-fachen Standardabweichung. Die betreffende (P,V)-Position liegt auf dem Fahrstrahl P3 P1 . Wenn ausgehend von P1 (mit z = 1) der Niveauparameter z immer kleiner wird, wandert die maßgebliche (P,V)-Konstellation entlang dieses Fahrstrahls zum Punkt P3, wobei zunächst Indifferenzkurven mit höheren Nutzenwerten erreicht werden. Im Schnittpunkt S (Abbildung VIII.8) erzielt der Investor denselben Nutzenwert wie bei Verzicht auf Kauf; für den betreffenden Niveauparameter z* ist die subjektive Risikoprämie gleich der Marktrisikoprämie und somit der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert des Bewertungsobjekts. Für jeden Niveauparameter z (0 < z < z*) ist die Marktrisikoprämie größer als die subjektive Risikoprämie, so dass der Investor bei Kauf ~ des Überschusses z Ü1 zum Marktwert einen Vorteil erzielt. Er maximiert seinen subjektiven Nutzen bei demjenigen Niveauparameter (von etwa 0,4), der dem Tangentialpunkt T des Fahrstrahls P3 P1 mit einer Indifferenzkurve entspricht. ~ Wenn der Überschuss Ü1 einen Marktwert aufweist, bei dem der Investor bei Kauf statt P1 den Punkt P2 in Abbildung VIII.8 erreicht, stimmt die Marktrisikoprämie mit der subjektiven Risikoprämie überein; der Kauf zum Marktwert ist hier weder vorteilhaft noch nachteilig. Dagegen erzielt der Investor für jeden Niveauparameter z ~ (0 < z < 1) einen Vorteil, wenn er den Überschuss z Ü1 zum jeweiligen Marktwert ~ z M 0 ( Ü1 ) erwirbt. ~ Sta (V1 ) S
z
P1
~ Sta ( Ü1 )
z
Tz
P3 z
0
(1 r ) V0
~ E(V1 )
Abb. VIII.9: Zur Abweichung zwischen der Marktrisikoprämie und der subjektiven ) Risikoprämie für das Bewertungsobjekt (den Überschuss z Ü 1
300
Kapitel VIII
~ Bei Kauf des Überschusses Ü1 zum Marktpreis ergebe sich nun der Punkt P1 in Abbildung VIII.9, wobei die Marktrisikoprämie höher ist als die subjektive Risikoprämie. Hier würde der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktpreis einen Vor~ teil erzielen. Das würde bei Kauf zum Marktwert z M 0 ( Ü1 ) auch für jeden Niveauparameter z (0 < z < 1) gelten. Bei demjenigen z-Wert, der dem Tangentialpunkt T ent~ spricht, würde er seinen Nutzen maximieren. Wenn der Investor den Überschuss z Ü1 ~ (z > 1) zum Marktwert z M 0 ( Ü1 ) erwirbt, erzielt er bis zu einem bestimmten kritischen Wert von z ebenfalls einen Vorteil. Für denjenigen z-Wert (von annähernd 1,4) bei dem die Verlängerung der Strecke P3 P1 die durch (1 r ) V0 verlaufende Indifferenzkurve schneidet (Punkt S), stimmt die Marktrisikoprämie wieder mit der subjektiven Risikoprämie überein; Grenzpreis und Marktwert des Bewertungsobjekts sind dann identisch.
(c) Fazit
Die Darstellungen verdeutlichen einen für die Bewertung bedeutsamen Zusammenhang zwischen dem Marktwert eines Bewertungsobjekts und dem subjektiven Grenzpreis: ) z M (Ü Nur der Marktwert M 0 (z Ü 1 0 1 ) ist eine linear steigende Funktion des Niveauparameters z. Man kann diesen Zusammenhang damit begründen, dass für die Marktbewertung zahlreiche Investoren mit (sehr) kleinen Anteilen ~ am Überschuss z Ü1 relevant sind, deren Grenznutzenwerte sich praktisch nicht ändern, wenn sich der Niveauparameter z ändert. Wenn es jedoch darum geht, subjektive Grenzpreise für einen einzelnen Investor zu ermitteln, ist die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte nicht zu rechtfertigen. Veränderliche Grenznutzenwerte führen dazu, dass der individuelle subjektive Grenzpreis eine konkave Funktion des Niveauparameters z ist. ~ Der konkave Verlauf wird deutlich, wenn man (VIII.4) auf den Überschuss z Ü1 anwendet:
(VIII.4a)
~ ~ M 0 (z Ü1 ) GPS (z Ü1 )
~ ~ (1 r ) 1 [RPS (z Ü1 ) RPM (z Ü1 )] .
Hierfür kann man schreiben: (VIII.4b)
~ GPS (z Ü1 )
~ ~ ~ z M 0 ( Ü1 ) (1 r ) 1 [RPS (z Ü1 ) RPM (z Ü1 )] .
Die Differenz in der eckigen Klammer auf der rechten Seite von (VIII.4b) ist für alternative z-Werte gleich dem Betrag des jeweiligen waagrechten Abstandes des Fahrstrahls P3 P1 von der bei (1 r ) V0 beginnenden Indifferenzkurve (Abbildungen VIII.8 und VIII.9). Da diese Indifferenzkurve konkav verläuft, ist auch dieser Betrag eine konkave Funktion von z, so dass gemäß (VIII.4b) auch der subjektive Grenzpreis des Über~ schusses z Ü1 eine konkave Funktion von z ist.
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
~ M 0 (z Ü1 ) ~ GPs (z Ü1 )
~ M 0 (z Ü1 )
301
~ z M 0 ( Ü1 )
z
~ GPs (z Ü1 )
z
0
z
z*
z'
z
~ Abb. VIII.10: Zum Vergleich des subjektiven Grenzpreises und des Marktwertes von z Ü 1 in
Abhängigkeit von z
Die Abbildung VIII.10 verdeutlicht den Zusammenhang zwischen dem subjektiven ~ Grenzpreis und dem Marktwert von z Ü1 in Abhängigkeit von z. Sie beruht – wie die Abbildungen VIII.8 und VIII.9 – auf der Annahme, dass die Marktrisikoprämie ) positiv ist. (Wie erläutert, ist andernfalls der subjektive Grenzpreis für jedes RPM (Ü 1 z > 0 kleiner als der Marktwert.) Für z = z* stimmt der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert überein. Für die Abbildungen VIII.8 oder VIII.9 ist es derjenige z-Wert, der dem Punkt S entspricht. Vom kritischen z-Wert z' an sinkt der subjektive Grenzpreis mit steigendem z. Es zeigen sich wieder Probleme für den Fall, dass der (individuelle) subjektive ~ Grenzpreis für Ü1 aus dem Preis (dem Marktwert) einer realen Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse hergeleitet werden soll. Auch wenn man den Preis eines Vergleichs~ objekts mit dem Überschuss z Ü1 kennt, ist für die Ermittlung des subjektiven Grenz~ preises für Ü1 wenig (um nicht zu sagen: so gut wie nichts) gewonnen. Selbst wenn der ~ Preis des Überschusses z Ü1 mit dessen subjektivem Wert übereinstimmen sollte, bliebe ~ offen, wie hoch der subjektive Grenzpreis des Überschusses Ü1 ist, sofern z z 1 gilt; er ~ kann nicht einfach ermittelt werden, indem man den Preis für z Ü1 mit 1/z multipliziert. Man kann zwar die Abweichung zwischen dem subjektiven Grenzpreis und dem Marktpreis entscheidungstheoretisch ermitteln. Jedoch kann ebenso einfach der subjektive Grenzpreis direkt bestimmt werden. ~ Die Darstellungen für z < 1 gelten auch für den Fall, dass der Überschuss Ü1 zwar gegeben ist, der Investor jedoch beliebige Anteile z (z < 1) am Bewertungsobjekt – etwa einem Unternehmen – zum anteiligen Marktwert ~ ~ M 0 (z Ü1 ) z M 0 ( Ü1 ) erwerben kann. Es zeigt sich, warum es sinnvoll sein kann, einen kleinen Anteil z an einem Unternehmen zum anteiligen Marktwert zu kaufen. Die Tatsache, dass der (individuelle) subjektive Grenzpreis eine konkave
302
Kapitel VIII
Funktion des Unternehmensanteils ist, mag im Widerspruch zu der Erfahrung stehen, dass in der Praxis oft für größere Anteile an einem (börsennotierten) Unternehmen ein Zuschlag zum anteiligen Marktwert gezahlt wird. Dieser „Paketzuschlag“ kann damit begründet werden, dass größere Anteile größeren Einfluss ~ auf den Unternehmensüberschuss Ü1 ermöglichen. Dagegen wurde in unserer ~ Analyse die Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ü1 als gegeben angenommen.
3.1.3
Problematik der Sicherheitsäquivalent-Methode
~ Wie erläutert, ergibt sich der subjektive Grenzpreis, indem vom Erwartungswert E( Ü1 ) die (kritische) subjektive Risikoprämie abgezogen und die Differenz mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert wird. Die Differenz weicht grundsätzlich vom Marktsicherheitsäquivalent ab. Ist die Nutzenfunktion weder linear noch exponentiell (ist also keine konstante absolute Risikoaversion maßgeblich), stimmt die Differenz auch nicht mit einem ~ subjektiven Sicherheitsäquivalent für Ü1 überein (vgl. auch Kapitel II, Abschnitt 5.6). Zur Verdeutlichung wird die Abbildung VIII.11 für eine quadratische Nutzenfunktion bzw. halbkreisförmige Indifferenzkurven betrachtet. Es ist nun zweckmäßig, in der ~ graphischen Darstellung den Erwartungswert E( Ü1 ) explizit zu er fassen. Der Punkt P in Abbildung VIII.11 kennzeichne die (P,V)-Position, die sich bei Kauf des Bewertungsobjekts vor Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung ergebe: ~ Sta (V1 ) IK1
~ Sta ( Ü1 )
A
~ E( Ü1 ) z
z
B
C
z
IK 2 z
P
~ SÄ S ( Ü1 )
z
0
(1 r ) V0
z
~ E(V1 )
Abb. VIII.11: Zur Abweichung zwischen dem Barwert des subjektiven Sicherheitsäquivalents ~ und dem subjektiven Grenzpreis des Überschusses Ü 1
~ ) des Überschusses Ü Das subjektive Sicherheitsäquivalent SÄS (Ü als 1 ist definiert ~ 1 diejenige sichere Einzahlung zum Zeitpunkt 1, die denselben Nutzen stiftet, wie Ü1 ~ (vgl. Kapitel II, Abschnitt 5): Die sichere Vermögensposition (1 r) V0 SÄ S (Ü1 ) muss somit auf derselben Indifferenzkurve liegen wie die riskante Position P. Wenn der ), Investor zum Zeitpunkt 0 den Barwert des Sicherheitsäquivalents, (1 r) 1 SÄS (Ü 1
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
303
~ für Ü1 zahlt, sinkt ausgehend von Punkt P sein Endvermögen um den sicheren Betrag ) SÄ (Ü (1 r) (1 r)1 SÄS (Ü S 1 ) , so dass der Punkt C in Abbildung VIII.11 erzielt 1 wird. Da der waagrechte Abstand zwischen den dargestellten Indifferenzkurven mit steigendem Ordinatenwert immer größer wird, liegt C rechts von B. Der Investor erzielt ~ somit einen Vorteil, wenn er den Preis (1 r) -1 SÄ S (Ü1 ) zahlt; die Bewertung auf Ba ) führt zur Unterbewertung. Der Wert ist um sis des Sicherheitsäquivalents SÄ(Ü 1 1 (1 r ) BC höher als der Barwert des Sicherheitsäquivalents. BC ist seinerseits umso ~ höher, je größer Sta ( Ü1 ) ist. Bei exponentieller Nutzenfunktion für das Endvermögen ist der waagrechte Abstand zwischen zwei beliebigen Indifferenzkurven unabhängig vom Ordinatenwert, so dass ~ die Strecken BP und CP SÄ ( Ü1 ) identisch sind; das Sicherheitsäquivalent als Bewertungsgrundlage ist bei exponentieller Nutzenfunktion (und bei Risikoaversion nur bei ihr) zielführend.
3.2
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
Im Folgenden soll der subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts aus Sicht eines potenziellen Verkäufers betrachtet werden, also jener Preis, bei dem der Verkauf weder vorteilhaft noch nachteilig ist. In der Ausgangssituation verfüge der Investor neben dem ~ Überschuss Ü1 über das Geldvermögen V0, so dass er ein erwartetes Endvermögen von ~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
~ E(V1 )
erzielt. Diese Position entspreche dem Punkt P in Abbildung VIII.12. ~ Sta (V1 )
~ Sta ( Ü1 )
~ E ( Ü1 ) z
z
z
0
P
z
(1 r ) V0
(1 r ) G 0
z
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
~ E(V1 )
~ SÄ S ( Ü1 )
~ Abb. VIII.12: Zur Ermittlung des subjektiven Grenzpreises GPS( Ü 1 ) ohne Portefeuillebildung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
304
Kapitel VIII
Der subjektive Grenzpreis GPS des Bewertungsobjekts ist der Verkaufserlös, mit dem gemeinsam mit V0 bei Anlage zum risikolosen Zins r das Endvermögen (1 r ) G 0 erzielt wird. Dabei ist (1 r ) G 0 der Abszissenwert des Punktes, in dem die durch P verlaufende Indifferenzkurve beginnt. Es gilt also: (VIII.12)
~ (1 r ) V0 (1 r ) GPS ( Ü1 )
(1 r ) G 0
bzw. (VIII.13)
~ GPS ( Ü1 )
G 0 V0 .
Da der Investor indifferent ist zwischen dem unentgeltlichen Zufluss des Über~ schusses Ü1 und dem sicheren Endvermögenszuwachs (1 r ) G 0 (1 r ) V0 zum Zeitpunkt 1 gilt: ~ (VIII.14) SÄ S ( Ü1 ) (1 r ) (G 0 V0 ) . Hieraus folgt in Verbindung mit (VIII.13): (VIII.14a)
~ GPS ( Ü1 )
~ (1 r ) 1 SÄ S ( Ü1 ) .
Der potenzielle Verkäufer kann somit die Bewertung vornehmen, indem er das ~ ~ Sicherheitsäquivalent SÄ S ( Ü1 ) auf der Basis von V0 (ohne den Überschuss Ü1 ) ermittelt und dieses mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert. Da die Basis V0 den Status quo eines potenziellen Käufers darstellt, scheint dieses Bewertungskonzept gerade für ihn geeignet zu sein. Jedoch ist für einen potenziellen Käufer nur bei linearer oder exponentieller Nutzenfunktion der subjektive Wert gleich dem Bar~ wert des Sicherheitsäquivalents von Ü1 (Abschnitt 3.1.3). Bei jeder anderen Nutzenfunktion besteht ein Reichtumseffekt, so dass Wert und Barwert des Sicherheitsäquivalents voneinander abweichen; bei steigender absoluter Risikoaversion ist der Wert größer. Analog zum Fall des potenziellen Kaufs kann gezeigt werden, dass der subjektive ~ Grenzpreis für Ü1 allenfalls zufällig mit dem Marktwert übereinstimmt. Es bestehen folgende Tendenzen: ~ 1. Wenn c.p. die Standardabweichung Sta ( Ü1 ) steigt, sinkt der (subjektive) Grenzpreis. ~ 2. Wenn sich c.p. der Erwartungswert E ( Ü1 ) um ǻ ändert, ändert sich der Grenzpreis 1 um (1 r ) ' . 3. Der Grenzpreis ist eine fallende Funktion der Risikoaversion.
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
4
Bewertung bei ex ante optimaler Portefeuillebildung ohne das Bewertungsobjekt
4.1
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers
4.1.1
Ermittlung des subjektiven Wertes
305
Wie in Kapitel XI gezeigt wird, kann es zwar durchaus optimal sein, in Verbindung mit einem Bewertungsobjekt keine riskanten Wertpapiere zu halten. Jedoch ist die Annahme, dass der Investor auch ohne Bewertungsobjekt keine riskanten Papiere hält, unrealistisch. Ein Investor, der prinzipiell bereit ist, Risiko in Form des Kaufs des Bewertungsobjekts einzugehen, wird nicht das Risiko völlig meiden, wenn er es nicht kauft. Das „semi-subjektive“ Bewertungskonzept, das von dieser Voraussetzung ausgeht, vergleicht den Kauf oder Verkauf des Bewertungsobjekts mit einer irrelevanten Anlagealternative und führt zu Fehlbewertungen. ~ Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass der Investor zwar den Überschuss Ü1 nicht durch Portefeuillebildung hedgt, jedoch ein optimales Portefeuille hält, wenn er das Bewertungsobjekt nicht kauft oder es verkauft. Im Fall des Kaufs verzichtet er auf ein optimales Portefeuille, im Fall des Verkaufs bildet er es (Abbildung VIII.13). ~ Sta (V1 )
Basisparallele
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
~ RPS ( Ü1 ) ~ Sta ( Ü1 ) ~ Sta ( Ü1 )*
z
z
A
z
~ RPS' ( Ü1 )
z
0
(1 r ) V0
z
Basisindifferenzkurve z
C
B T
z
~ E(V1 )
~ Abb. VIII.13: Zur Ermittlung des subjektiven Grenzpreises GPS( Ü 1 ) aus Sicht eines potenziellen Käufers mit optimaler Portefeuillebildung bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts
Es wird wieder nach dem (individuellen) subjektiven Grenzpreis gefragt, bei dem der Kauf bzw. Verkauf weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Die Darstellungen dienen als Vorüberlegung zum komplexeren Fall, in dem der Investor auch dann einen optimalen
306
Kapitel VIII
Wertpapierbestand hält, wenn er das Bewertungsobjekt kauft bzw. nicht verkauft. Die ~ Portefeuillebildung dient dann jeweils dazu, den Überschuss Ü1 optimal zu hedgen. Zunächst wird der subjektive Grenzpreis aus Sicht eines potenziellen Käufers betrachtet. In der Ausgangssituation verfüge er wieder über das Geldvermögen V0. Wenn er das Bewertungsobjekt nicht kauft, erwirbt er dasjenige Portefeuille, bei dem die Effizienzkurve bei reiner Portefeuillebildung (Kapitel III) eine Indifferenzkurve tangiert (Punkt T in Abbildung VIII.13). Die betreffende Effizienzkurve bezeichnen wir als „Basiseffizienzkurve“ oder als „Referenzkurve“ (im (P,V)-Diagramm als „Referenzlinie“, weil sie hierin linear verläuft). Die von ihr tangierte Indifferenzkurve nennen wir „Basisindifferenzkurve“. ~ Der subjektive Grenzpreis ist nun als derjenige Preis GPS ( Ü1 ) zu bestimmen, bei dem der Investor mit dem Bewertungsobjekt denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie ohne und optimaler Portefeuillebildung. Er muss also mit dem ~ Bewertungsobjekt eine Risikoprämie RPS ( Ü1 ) erzielen, mit der er die Position ~ B mit dem Ordinatenwert Sta ( Ü1 ) auf der durch den Tangentialpunkt T verlau~ fenden (Basis-)Indifferenzkurve realisiert. Für GPS ( Ü1 ) muss somit gelten: ~ ~ ~ ! (VIII.15) RPS (Ü1 ) E(Ü1 ) (1 r) GPS (Ü1 ) AB .
Hieraus folgt: (VIII.16)
~ GPS (Ü1 )
~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) AB] .
Da die Basisindifferenzkurve rechts von der beim Abszissenwert (1 r ) V0 be ) AC ginnenden Indifferenzkurve verläuft (Abbildung VIII.13), ist RPS (Ü 1 ' ~ größer als die (geforderte) subjektive Risikoprämie RPS ( Ü1 ) für den Fall, dass der Investor bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts kein Portefeuille hält, also das sichere Endvermögen (1 r ) V0 erzielt. Die Differenz ) RP ' (Ü RPS (Ü 1 S 1 ) CB kann als Opportunitätskosten für den Verzicht auf Portefeuillebildung bei Kauf des Bewertungsobjekts interpretiert werden. Da bei exponentieller Nutzenfunktion der waagrechte Abstand zwischen zwei ~ beliebigen Indifferenzkurven unabhängig von der Standardabweichung Sta ( Ü1 ) ist, ist bei dieser Nutzenfunktion (und nur bei ihr oder bei Risikoneutralität) die Differenz zwischen den subjektiven Grenzpreisen mit und ohne Portefeuillebildung bei Verzicht auf Kauf unabhängig von dieser Standardabweichung. Bei ~ quadratischer Nutzenfunktion z.B. ist sie eine steigende Funktion von Sta ( Ü1 ) .
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
4.1.2
307
Vergleich des subjektiven Wertes mit dem Marktwert
4.1.2.1 Das Bewertungsobjekt fällt in dieselbe Risikoklasse wie das Marktportefeuille
Der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts weicht grundsätzlich von dessen ~ Marktwert M 0 ( Ü1 ) ab. Zur Erläuterung gehen wir von den Bewertungsfunktionen des CAPM aus. Unter den Voraussetzungen dieses Modells stellen die der Basiseffizienzkurve entsprechenden Portefeuilles Anteile am Marktportefeuille dar. Zunächst betrach~ ten wir den Fall, dass der Überschuss Ü1 in dieselbe Risikoklasse fällt wie der Endwert ~ M1G dieses Portefeuilles und somit auch die Endwerte der effizienten Portefeuilles. Für ~ ~ den Fall Sta ( Ü1 ) Sta ( Ü1 )* (Abbildung VIII.13) stimmt dann der Überschuss des Bewertungsobjekts mit dem Endwert des optimalen Portefeuilles bei Verzicht auf Kauf ~ ~ * überein. Der Marktwert M 0 ( Ü1 ) des Überschusses Ü1 ( Ü 1 Ü1 ) ist dann gleich dem Marktwert dieses (optimalen) Portefeuilles, der seinerseits mit dem subjektiven Grenzpreis dieses Portefeuilles übereinstimmt. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, gelangt er wie mit dem optimalen Portefeuille zu dem Punkt T. Dieses Portefeuille wird dann einfach durch das Bewertungsobjekt substituiert. Da dieses Por~ tefeuille Duplikationsportefeuille für Ü1 ist, gilt: Der subjektive Grenzpreis ist gleich dem Marktwert des Duplikationsportefeuilles. ~ Für jede andere Standardabweichung für Ü1 ist der subjektive Grenzpreis niedriger als der Marktwert. Dabei ist zu beachten, dass sich bei gegebener Risikoklasse mit einer Veränderung der Standardabweichung das Objektvolumen und im gleichen Verhältnis auch ~ der Erwartungswert E ( Ü1 ) , der Marktwert und die Marktrisikoprämie des Bewertungs~ objekts ändern. Wenn ausgehend vom Punkt T die Standardabweichung Sta ( Ü1 ) sinkt, ~ sinkt im gleichen Verhältnis die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü1 , so dass der In~ vestor bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert M 0 ( Ü1 ) einen Punkt auf der Basiseffizienzkurve links von T erreicht. Da er damit einen Nachteil erzielt, ist nun der subjektive Grenzpreis niedriger als der Marktwert. Da mit fallender Standardabweichung (mit sinkendem Objektvolumen) der waagrechte Abstand zwischen der Basiseffizienzkurve und der durch T verlaufenden Indifferenzkurve immer größer wird, sinkt mit fallender Standardabweichung der subjektive Grenzpreis immer mehr unter den Marktwert. Das Analoge gilt für den Fall, dass ausgehend von T die Standardabweichung von ~ Ü1 (das Objektvolumen) steigt. Je größer das Bewertungsobjekt und je größer die Risi~ koaversion des Investors, je kleiner also sein optimales Portefeuille im Vergleich zu Ü1 ist, desto mehr liegt der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert. Vor allem bei Kauf eines Unternehmens ist zu vermuten, dass dessen Standardabweichung größer ist als die des optimalen Portefeuilles. Es zeigt sich wieder die Bedeutung von Kapitalmarkttransaktionen zum Hedgen des ~ Überschusses Ü1 . Wenn das Bewertungsobjekt kleiner ist als das T entsprechende Portefeuille ist mit Wertpapierhandel der Grenzpreis gleich dem Marktwert des Bewertungsobjekts: Bei Kauf zum Marktwert gelangt der Investor zunächst zu einem Punkt auf der Basiseffizienzkurve links unterhalb von T. Durch Kauf eines entsprechenden Anteils am Marktportefeuille kommt er wieder zum Punkt T, so dass er weder einen
308
Kapitel VIII
Vorteil noch einen Nachteil erzielt; bei Kauf des Bewertungsobjekts wird es durch einen Teil des sonst gebildeten Portefeuilles ersetzt. Kann der Investor Anteile am Marktportefeuille leerverkaufen, stimmt der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts auch dann mit seinem Marktwert überein, wenn es größer ist als das dem Punkt T entsprechende optimale Portefeuille; nun kann der Investor durch Leerverkauf eines Anteils am Marktportefeuille den Punkt T erreichen. 4.1.2.2 Das Bewertungsobjekt fällt in eine andere Risikoklasse als das Marktportefeuille (a) Der subjektive Grenzpreis ist stets niedriger als der Marktwert des Überschusses Ü1
Das Bewertungsobjekt fällt jedoch grundsätzlich nicht in die gleiche Risikoklas~ se wie das Marktportefeuille. Wenn die Risikostruktur des Überschusses Ü1 von der des Marktportefeuilles abweicht, ist sein Verhältnis aus Standardabweichung und Marktrisikoprämie höher als die Steigung der Basiseffizienzkurve. Wird das Bewertungsobjekt zum Marktwert gekauft, kommt man somit zu einem Punkt P im (P,V)-Diagramm oberhalb der Basiseffizienzkurve (Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.4). Entsprechend ist der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts stets niedriger als sein Marktwert. ~ Das gilt auch dann, wenn die Standardabweichung des Überschusses Ü1 mit der des ~ ~ Endwertes des optimalen Portefeuilles übereinstimmt, also Sta ( Ü1 ) Sta ( Ü1 )* gilt. Zur Erläuterung dient die Abbildung VIII.14. ~ Sta (V1 )
Basisparallele
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
Basisindifferenzkurve
~ ~ Sta ( Ü1 ) Sta ( Ü1 )*
P
D* z
z
T
P
~ ~ Sta ( Ü1 ) Sta ( Ü1 )**
*
z
z
A z
0
(1 r ) V0
Abb. VIII.14: Zur Höhe des subjektiven Grenzpreises aus Sicht eines potenziellen Käufers im Vergleich zum Marktwert
~ E(V1 )
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
309
Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, erziele er eine Risikoprämie in Höhe der Differenz zwischen dem Abszissenwert des Punktes P und (1 r ) V0 . Bei Verzicht auf Kauf würde er eine um die Differenz D* der Abszissenwerte der Punkte T und P höhere Risikoprämie erzielen: Der Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert führt zu einer Nutzeneinbuße. Sein subjektiver Grenzpreis liegt um den Korrekturterm (1 r ) 1 D* unter dem Marktwert. Der subjektive Grenzpreis könnte sogar negativ sein. ~ ~ Der Korrekturterm ist bei gegebener Standardabweichung Sta ( Ü1 ) Sta ( Ü1 )* umso ~ höher, je geringer die Marktrisikoprämie von Ü1 ist. Diese ist ihrerseits umso niedriger, ~ ~ ~ je geringer die Kovarianz Kov( Ü1 ; M1G ) bzw. Kov( Ü1 ; ~r1G ) ist. Ist sie negativ, ist auch die Marktrisikoprämie negativ und der Abszissenwert des Punktes P ist kleiner als (1 r ) V0 . (b) Abhängigkeit der Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Wert von der Größe des Bewertungsobjekts
Im Folgenden wird untersucht, wie sich der Grenzpreis im Vergleich zum Marktwert ~ ändert, wenn statt des riskanten Überschusses Ü1 , der dem Punkt P in Abbildung ~ VIII.14 entspricht, der Überschuss z Ü1 (z z 1) maßgeblich ist. Für jeden Niveauparameter z (für jede Größe des Bewertungsobjekts) ergibt sich eine (P,V)-Position auf dem Fahrstrahl AP . Wenn ausgehend vom Punkt P in Abbildung VIII.14 (mit z = 1) der Niveauparameter z steigt, wandert P entlang dieses Strahls nach rechts oben. Damit wird sein waagrechter Abstand von der durch T verlaufenden Indifferenzkurve immer größer, so dass der subjektive Grenzpreis immer mehr unter den mit z proportional steigenden Marktwert des Bewertungsobjekts sinkt. Wenn ausgehend von Punkt P in Abbildung VIII.14 der Niveauparameter z sinkt, wird der Abstand von P zu der durch T verlaufenden Indifferenzkurve zunächst kleiner, so dass sich zunächst der subjektive Grenzpreis dem mit z fallenden Marktwert nähert. Die Differenz erreicht im Punkt P*, in dem der Fahrstrahl AP dieselbe Steigung aufweist wie die durch T verlaufende Indifferenzkurve, ihr Minimum und steigt dann mit weiter fallendem z wieder an. Für keinen z-Wert stimmt der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert überein. Die Abweichung zwischen dem subjektiven Grenzpreis und dem Marktwert hängt ~ bei gegebener Standardabweichung und Marktrisikoprämie für Ü1 von der Risikoaversion des Investors ab. Wie in Kapitel III, Abschnitt 5.2, gezeigt wurde, ist bei quadratischer Nutzenfunktion der Abszissenwert des Tangentialpunktes der Basiseffizienzkurve mit einer Indifferenzkurve umso größer, je größer der Abszissenwert b/2c des Mittelpunktes M der Indifferenzkurven ist, je geringer also die Risikoaversion des Investors ist. Bei „geringer“ Risikoaversion hält er ohne Bewertungsobjekt einen „großen“ Anteil am Marktportefeuille. Wenn das Bewertungsobjekt im Vergleich dazu „klein“ ist, erzielt er bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert schon dann einen Nachteil, wenn es in dieselbe Risikoklasse fällt wie das Marktportefeuille. Es ergibt sich derselbe Nachteil wie für den Fall, dass er statt des optimalen Anteils einen entsprechend kleinen
310
Kapitel VIII
Anteil am Marktportefeuille hält. Wenn der Überschuss in eine andere Risikoklasse fällt als das Marktportefeuille, erzielt er bei gegebener Standardabweichung eine noch kleinere Risikoprämie, wenn er das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, so dass der subjektive Grenzpreis noch niedriger ist. Das Analoge gilt für den Fall, dass die Risikoaversion des Investors hoch ist und er somit ohne das Bewertungsobjekt einen kleinen Anteil am Marktportefeuille hält und im Vergleich dazu das Bewertungsobjekt groß ist. Allgemein gilt folgende Tendenz: Je mehr die (P,V)-Position T des optimalen Anteils am Marktportefeuille bei Verzicht auf Kauf von der (P,V)-Position P bei Kauf zum Marktwert abweicht, desto mehr liegt der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert. Mit dem risikoangepassten Zinssatz einer Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse kann zwar der Marktwert des Bewertungsobjekts ermittelt werden, jedoch allenfalls zufällig dessen subjektiver Grenzpreis.
4.2
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
Wir betrachten nun die Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers. Wenn er das Objekt verkauft, legt er den Erlös nicht wie in Abschnitt 3.2 zum risikolosen Zinssatz r an, sondern realisiert den optimalen Anteil am Marktportefeuille. Der Verkaufserlös muss nun so hoch sein, dass er damit einen Nutzenerwartungswert erzielt, der mit demjenigen in der Ausgangssituation (d.h. mit dem Bewertungsobjekt) übereinstimmt. Die Ausgangssituation werde durch den Punkt P in Abbildung VIII.15 gekennzeichnet. Der Abszissenwert dieses Punktes ist gleich dem aufgezinsten Geldvermögen V0 zuzüg~ ~ lich des Erwartungswertes E ( Ü1 ) , also (1 r ) V0 E( Ü1 ) . Damit der Investor bei Verkauf denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie mit dem Bewertungsobjekt, muss er denjenigen Erlös erzielen, mit dem er gemeinsam mit V0 über dasjenige Geldvermögen G 0 verfügt, dem diejenige Basiseffizienzkurve entspricht, welche die durch P verlaufende Indifferenzkurve tangiert. Bei diesem Erlös erzielt er in Verbindung mit dem zugehörigen optimalen Anteil am Marktportefeuille (Tangentialpunkt T) denselben Nutzenerwartungswert wie im Ausgangspunkt P. Ohne Portefeuillebildung würde er dagegen einen Preis verlangen, bei dem er mit gemeinsamer Anlage von V0 zum risikolosen Zinssatz r ein Endvermögen in Höhe des Abszissenwertes des Ausgangspunktes E der durch P verlaufenden Indifferenzkurve erzielt; der subjektive Grenzpreis mit Portefeuillebildung ist niedriger als ohne Portefeuillebildung. Dem Geldbetrag G 0 entspricht der folgende subjektive Grenzpreis: (VIII.17)
~ GPS ( Ü1 )
G 0 V0 .
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
311
Ist die Steigung der Basiseffizienzkurve entsprechend gering, gilt (1+r) G 0 (1+r) V0 und mithin G 0 V0 , so dass der subjektive Grenzpreis negativ ist. Davon soll hier abgesehen werden. Aus (VIII.17) folgt in Verbindung mit (VIII.1): (VIII.18)
~ RPS (Ü1 )
~ E(Ü1 ) (1 r) (G 0 V0 ) . ~ GPS ( Ü 1 )
Wie Abbildung VIII.15 zeigt, beträgt die subjektive Risikoprämie, auf die der Investor bei Verkauf zum Grenzpreis verzichtet: (VIII.19)
~ RPS ( Ü1 )
Abszissenwert des Punktes P (1 r) G 0 .
Hieraus folgt in Verbindung mit (VIII.18): (VIII.20)
~ GPS ( Ü1 )
G 0 V0
~ ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPS ( Ü1 )] . ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) (Abszissenwert des Punktes P (1 r ) G 0 )] .
~ Sta (V1 ) ~ RPS ( Ü1 )
Basiseffizienzkurve P
~ Sta ( Ü1 )
z
z
T
D
A
z
z
z
E z
z
0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) (1 r ) V0
Basisindifferenzkurve
~ E(V1 )
(1 r ) G 0
~ E ( Ü1 )
Abb. VIII.15: Zur Ermittlung und Höhe des subjektiven Grenzpreises aus Sicht eines potenziellen Verkäufers mit optimaler Portefeuillebildung bei Verkauf
312
Kapitel VIII
Die Höhe des subjektiven Grenzpreises kann analog untersucht werden wie bei erwogenem Kauf. Insbesondere gilt wieder, dass der Marktwert des Bewertungsobjekts, der von den Präferenzen des Investors unabhängig ist, grundsätzlich höher (in keinem Fall niedriger) ist als der subjektive Grenzpreis.
4.3
Der subjektive Wert bei potenziellem Kauf bzw. Verkauf des Bewertungsobjekts im Vergleich [*]
Für das Verständnis der Höhe des subjektiven Grenzpreises für den potenziellen Verkauf ist es hilfreich, den prinzipiellen Unterschied zum Grenzpreis für den potenziellen Kauf zu erkennen. Er wird in Abbildung VIII.16 unter der Annahme gezeigt, dass derselbe Investor erwägt, das ) und dem Erwartungswert E(Ü ) des Bewertungsobjekt mit der Standardabweichung Sta(Ü 1 1 Überschusses zu kaufen bzw. zu verkaufen, wobei für beide Fälle dasselbe Geldvermögen V0 maßgeblich sei. ~ Sta (V1 )
T2 z
z
T1
RPSV ~ Sta ( Ü1 )
A z
B z
z
C
z
P
RPSK M z
0
z
(1 r ) G 0
z
b/2c
~ E(V1 )
(1 r ) V0 ~ E ( Ü1 )
Abb. VIII.16: Subjektive Risikoprämie bei potenziellem Kauf bzw. Verkauf des Bewertungsobjekts im Vergleich
Der Vergleich der beiden Grenzpreise kann in der Weise erfolgen, dass die (kritischen) subjektiven Risikoprämien verglichen werden. Für den Fall des potenziellen Kaufs ist die maßgebliche Risikoprämie gleich der Strecke AC . Mit dieser Risikoprämie gelangt der Investor bei Kauf ) aufweist und auf derselben Indifferenzkurve liegt zum Punkt C, der den Ordinatenwert Sta(Ü 1
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
313
wie der Punkt T2, der dem optimalen Portefeuille bei Verzicht auf Kauf entspricht. Für den potenziellen Verkauf ist P Ausgangspunkt der Betrachtung. Die (kritische) subjektive Risikoprämie ist dann gleich der Strecke BP . Wenn der Investor zum entsprechenden Grenzpreis ) G V verkauft, kommt er zum Geldvermögen G und in Verbindung mit dem GPS (Ü 1 0 0 0 Erwerb des optimalen Anteils am Marktportefeuille zum Punkt T1, der auf derselben Indifferenzkurve wie P liegt. Der Unterschied in der Bewertung resultiert zum einen aus der asymmetrischen Kapitalmarktrelevanz: Wenn der Investor das Bewertungsobjekt kauft, verzichtet er auf Portefeuillebildung, wenn er es verkauft, realisiert er seinen optimalen Anteil am Marktportefeuille. Zum anderen resultiert im Beispiel der Abbildung VIII.16 (mit quadratischer Nutzenfunktion) der Bewertungsunterschied aus einem Reichtumseffekt. Bei potenziellem Kauf erzielt der Investor in der Ausgangssituation ein sicheres Endvermögen von (1 r) V0 und bei potenziellem Verkauf ) . Ein Reichtumseffekt erüber ein Erwartungswert des Endvermögens von (1 r) V0 E(Ü 1 gibt sich immer dann, wenn die Nutzenfunktion weder linear noch exponentiell verläuft.
5
Resümee
1. Zunächst wird der subjektive Wert für den Fall analysiert, dass der Investor weder bei Kauf des Bewertungsobjekts noch bei Verzicht darauf riskante Wertpapiere hält. Ohne Wertpapiere ist für die Bewertung nur das aus dem Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts resultierende Risiko relevant. In der Ausgangssituation verfügt der Investor ausschließlich über das Geldvermögen V0. Bei Verzicht auf Kauf legt er es zum risikolosen Zinssatz r an, so dass er über ein sicheres Endvermögen von (1 r) V0 verfügt. Bei Kauf des Bewertungsob ) . Der subjektive Grenzpreis ist hier als jekts übernimmt er ein Risiko in Höhe von Sta(Ü 1 derjenige Preis zu bestimmen, bei dem der Investor in Verbindung mit diesem Risiko einen Nutzenerwartungswert erzielt, der mit dem Nutzen des sicheren Endvermögens (1 r) V0 übereinstimmt. ) um den sicheren Betrag ' steigt, bleibt die (kritische) subjektive Risikoprä2. Wenn E(Ü 1 ) für das Bewertungsobjekt konstant, während der subjektive Grenzpreis mie RPS (Ü 1 ) um (1 r) 1 ' steigt. Wenn bei gegebenem oder fallendem Erwartungswert von GPS (Ü 1 dessen Standardabweichung und somit die subjektive Risikoprämie steigt, sinkt der subÜ 1
jektive Grenzpreis. Er wird mit steigender Standardabweichung nur dann größer, wenn si stärker steigt als die subjektive Risikoprämie. multan der Erwartungswert von Ü 1 3. Bei normalverteiltem Endvermögen und exponentieller Nutzenfunktion ist die subjektive Risikoprämie und mithin auch der subjektive Grenzpreis unabhängig von V0. Bei exponentieller Nutzenfunktion besteht konstante absolute Risikoaversion, so dass die Bewertung riskanter Positionen unabhängig von einem sicheren Vermögen ist. Bei quadratischer Nutzenfunktion besteht steigende absolute Risikoaversion, wobei ein Anstieg von V0 bewirkt, dass c.p. die subjektive Risikoprämie steigt und der subjektive Grenzpreis sinkt; es besteht ein (negativer) Reichtumseffekt. ) , Sta(Ü ) und V ist die subjektive Risikoprämie umso Bei gegebenen Werten für E(Ü 1 1 0 höher und der subjektive Grenzpreis umso niedriger, je höher die Risikoaversion des Investors ist. 4. Der individuelle subjektive Grenzpreis kann größer oder kleiner als der Marktwert des Bewertungsobjekts sein oder zufällig damit übereinstimmen. Für den subjektiven Grenzpreis gilt:
314
Kapitel VIII
(VIII.2)
) (1 r)1 [E(Ü ) RP (Ü GPS (Ü 1 1 S 1 )]
) die (geforderte oder kritische) subjektive Risikoprämie bezeichnet. Nach wobei RPS (Ü 1 dem CAPM ergibt sich der folgende Marktwert: (VIII.6)
) (1 r)1 [E(Ü ) M 0 (Ü 1 1
RPG ;M )] . Kov(Ü 1 1G ) Var(M 1G
Der Unterschied zwischen dem subjektiven Grenzpreis und dem Marktwert lässt sich an ) mit der Marktrisikoschaulich zeigen, indem man die subjektive Risikoprämie RPS (Ü 1 prämie (VIII.7)
) RPM (Ü 1
RPG ;M ) Kov(Ü 1 1G ) Var(M 1G
vergleicht. Wenn die subjektive Risikoprämie um D höher (niedriger) ist als die Marktrisikoprämie, ist der Marktwert um (1 r) 1 D höher (niedriger) als der subjektive Grenzpreis. ) , der RisikoeinstelDie subjektive Risikoprämie hängt von der Standardabweichung Sta(Ü 1 lung des Investors und bei quadratischer Nutzenfunktion von seinem Vermögen V0 ab. Da von den Risikoeinstellungen algegen hängt die Marktrisikoprämie für den Überschuss Ü 1 ler Investoren auf dem Kapitalmarkt ab, die ihren Niederschlag in dem in (VIII.7) enthalte ) finden. Außerdem ist für RP (Ü nen Quotienten RPG / Var(M 1G M 1 ) nicht die Standard ;M ) , die erabweichung bzw. Varianz von Ü1 relevant, sondern die Kovarianz Kov(Ü 1 1G heblich davon abweichen kann. Insbesondere kann die Kovarianz auch gleich null oder ne nicht aus Sicht eines Indivigativ sein. Im CAPM erfolgt eben die Bewertung von Ü 1 duums, das keine weiteren Papiere hält, sondern aus Sicht vieler Anteilseigner, die einen Anteil am Marktportefeuille halten. Aus diesem Grund darf es nicht verwundern, dass die subjektive Risikoprämie grundsätzlich von der Marktrisikoprämie abweicht. 5. Der Zusammenhang zeigt sich anschaulich für normalverteilte Endwerte P1n und exponentielle Nutzenfunktionen der Investoren auf dem Kapitalmarkt. Es gilt dann: (VIII.8)
RPG ) Var(M 1G
1 I
¦ i 1
,
1 ai
so dass aus (VIII.7) folgt: (VIII.9)
) RPM (Ü 1
1 I
¦ i 1
;M ). Kov(Ü 1 1G
1 ai
Der Betrag der Marktrisikoprämie ist c.p. umso kleiner, je größer die Zahl I der Investoren auf dem Kapitalmarkt und je größer deren Risikotoleranzen 1/ai sind. Dagegen gilt für die (individuelle) subjektive Risikoprämie aus Sicht des betrachteten Investors bei exponentieller Nutzenfunktion: (VIII.10)
) RPS (Ü 1
a ) Var(Ü 1 2
1 1 ). Var(Ü 1 2 1 a
Hier ist der mit 1/2 gewichtete Kehrwert der Risikotoleranz 1/a des Investors maßgeblich, wäh ) der Marktrisikoaversionskoeffizient 1/ I 1 relerend für die Marktrisikoprämie RPM (Ü ¦i 1 ai 1 ;M ) in (VIII.9) bei positiven Kovarianzen vant ist. Andererseits ist die Kovarianz Kov(Ü 1 1G ;M ) in (VIII.10) als einzelne ) (n = 1,2,...,N) viel höher als die Varianz Var(Ü Kov(Ü 1 1n 1
Individuelle subjektive Bewertung ohne Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
315
;M ) kann allerdings auch negativ oder gleich null sein, Größe. Die Kovarianz Kov(Ü 1 1G während die Varianz von stets Ü1 positiv ist. 6. Wenn der Überschuss des Bewertungsobjekts von Ü auf z Ü1 steigt (z > 1) oder sinkt ) z M (Ü (z < 1), ergibt sich der Marktwert M 0 (z Ü 1 0 1 ) für das Bewertungsobjekt. Er ist eine linear steigende Funktion des Niveauparameters z. Man kann diesen Zusammenhang damit begründen, dass für die Marktbewertung zahlreiche Investoren mit sehr kleinen An relevant sind, deren Grenznutzenwerte sich praktisch nicht änteilen am Überschuss z Ü 1 dern, wenn sich der Niveauparameter z ändert. Wenn es jedoch darum geht, subjektive Grenzpreise für einen individuellen Investor zu ermitteln, ist die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte nicht zu rechtfertigen. Veränderliche Grenznutzenwerte führen dazu, dass der (individuelle) subjektive Grenzpreis eine konkave Funktion des Niveauparameters ) positiv, existiert ein kritischer z-Wert z*, für den z ist. Ist die Marktrisikoprämie RPM (Ü 1 der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt. Für z < z* (z > z*) ist der Grenzpreis größer (kleiner) als der Marktwert. Ab einem bestimmten Wert für z fällt der subjektive Grenzpreis sogar mit steigendem z. aus dem Es zeigen sich auch hier wieder Probleme für den Fall, dass der Grenzpreis für Ü 1 Preis (dem Marktwert) einer realen Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse hergeleitet werden soll. Auch wenn man den Preis eines Vergleichsobjekts mit dem Überschuss z Ü 1 wenig gewonnen. Selbst kennt, ist für die Ermittlung des subjektiven Grenzpreises für Ü 1 mit dessen subjektivem Wert übereinstimmen wenn der Marktwert des Überschusses z Ü 1 ist, sofern sollte, bliebe offen, wie hoch der subjektive Grenzpreis des Überschusses Ü 1 z z 1 gilt; er kann nicht ermittelt werden, indem man den subjektiven Grenzpreis bzw. den mit 1/z multipliziert. Marktwert für z Ü 1 nicht durch Portefeuillebildung hedgt, jedoch 7. Wenn der Investor zwar den Überschuss Ü 1
ein optimales Portefeuille hält, falls er das Bewertungsobjekt nicht kauft, ist der individuelle ) zu bestimmen, bei dem der Investor mit subjektive Grenzpreis als derjenige Preis GPS (Ü 1 dem Bewertungsobjekt denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie mit dem optimalen Portefeuille bei Verzicht auf Kauf. Die (kritische) subjektive Risikoprämie ist größer als die für den Fall, dass der Investor auch bei Verzicht auf Kauf kein Portefeuille hält, also das sichere Endvermögen (1 r) V0 erzielt. Die Differenz beider Risikoprämien kann als Opportunitätskosten für den Verzicht auf Portefeuillebildung bei Kauf interpretiert werden. Entsprechend ist der subjektive Grenzpreis für den Fall, dass der Investor nur bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts keine Wertpapiere hält, niedriger als für den Fall, dass er in jedem Fall keine Papiere hält. 8. Unter den Voraussetzungen des CAPM hält der Investor ohne das Bewertungsobjekt einen Anteil am Marktportefeuille. Der individuelle subjektive Grenzpreis stimmt dann mit dem ) überein, wenn der Überschuss Ü mit dem Endwert desjenigen PorteMarktwert M 0 (Ü 1 1 feuilles übereinstimmt, das ohne das Bewertungsobjekt für den Investor optimal ist. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, ist der Grenzpreis niedriger als der Marktwert. Die Abweichung ist tendenziell umso größer, je größer das Bewertungsobjekt sowie die Risikoaversion des Investors sind und je mehr die Risikoklasse des Überschusses Ü1 gegenüber der des Marktportefeuilles verzerrt ist.
Kapitel IX Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
1
Problemstellung
In Kapitel VIII wurde der individuelle subjektive Grenzpreis unter der vereinfachenden Annahme betrachtet, dass der Investor überhaupt keine oder nur in Verbindung mit dem Bewertungsobjekt keine Wertpapiere hält. Der individuelle subjektive Grenzpreis hängt jedoch grundsätzlich auch davon ab, wie der Überschuss des Bewertungsobjekts durch Portefeuillebildung mit originären Finanztiteln und Derivaten, die sich darauf beziehen, optimal gehedgt wird. Die Hedgemöglichkeiten hängen ihrerseits davon ab, inwieweit der Überschuss des Bewertungsobjekts dupliziert werden kann und welche Möglichkeiten des Leerverkaufs von Wertpapieren bestehen. Im vorliegenden und dem nachfolgenden Kapitel wird gezeigt, wie unter Berücksich~ tigung eines exogenen Überschusses Ü1 ein optimales Portefeuille ermittelt werden kann, wie es unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen von seinen Determinanten abhängt und wie es von demjenigen Portefeuille abweicht, das ohne den exogenen Über~ schuss Ü1 optimal ist (LAUX/SCHABEL, 2006; 2007). Im vorliegenden Kapitel wird davon ausgegangen, dass der exogene Überschuss durch Portefeuillebildung (vollständig) duplizierbar ist. Im nachfolgenden Kapitel wird der komplexere Fall beschränkter Duplizierbarkeit betrachtet, wobei allenfalls einzelne Komponenten des Überschusses (etwa bestimmte Auszahlungen) duplizierbar sind.1 Der Investor orientiere sich am (P,V)-Prinzip. Zwar wird nicht generell angenommen, dass sich die Wertpapierpreise gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM bilden. Jedoch werden gelegentlich Konkretisierungen vorgenommen, indem diese Bewertungsfunktionen zugrunde gelegt werden. Wir gehen wieder davon aus, dass der Investor keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise hat und der Handel mit Wertpapieren (einschließlich Leerverkauf) keine Transaktionskosten verursacht. Im Vordergrund der Darstellungen, die auf dem in Kapitel III, Abschnitt 3, beschriebenen Grundmodell aufbauen, steht die „modifizierte“ Effizienzkurve, die für die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises und die Analyse seiner Höhe von zentraler Bedeutung ist. Sie gibt an, wie unter Berücksichtigung des exogenen Über~ schusses Ü1 die minimale Varianz oder Standardabweichung des Endvermögens von 1
Aufbauend auf den Darstellungen wird in den Kapiteln XI und XII untersucht, wie der individuelle subjektive Grenzpreis bei optimaler Portefeuillebildung sowohl ohne als auch mit dem Bewertungsobjekt ermittelt werden kann und welche Höhe er aufweist. In Kapitel XV wird untersucht, wie die Darstellungen auf den Mehrperioden-Fall erweitert werden können.
318
Kapitel IX
dessen Erwartungswert abhängt. Ihr Tangentialpunkt mit einer Indifferenzkurve kenn~ zeichnet das optimale Portefeuille mit dem Überschuss Ü1 . In Abschnitt 2 wird die optimale Portefeuillebildung für den Fall betrachtet, dass das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden kann. Es bestehen dann ide~ ale Bedingungen, das aus dem exogenen Überschuss Ü1 resultierende Risiko zu eliminieren. Die modifizierte Effizienzkurve verläuft dann linear. In Abschnitt 3 wird untersucht, wie die modifizierte Effizienzkurve für den Fall ermittelt werden kann, dass überhaupt keine Leerverkäufe vorgenommen werden können, und die Gestalt dieser Kurve in Vergleich zur Basiseffizienzkurve untersucht. Darauf aufbauend werden Implikationen für die optimale Portefeuillebildung gezeigt. In Abschnitt 4 werden die Untersuchungen auf den Fall erweitert, dass immerhin ein Teil der Papiere des Duplikationsportefeuilles und eventuell auch Papiere außerhalb dieses Portefeuilles leerverkauft werden können. Die Darstellungen im vorliegenden und dem nachfolgenden Kapitel zeigen, wie schwierig es ist, die modifizierte Effizienzkurve und den entsprechenden individuellen subjektiven Grenzpreis „exakt“ zu ermitteln. Jedoch muss der „exakte“ Grenzpreis oft gar nicht bekannt sein, um eine vorteilhafte Entscheidung über Kauf oder Verkauf eines Bewertungsobjekts treffen zu können. Zum Beispiel erweist sich der Kauf bei gegebenem Verhandlungspreis bereits dann als vorteilhaft, wenn ein Portefeuille identifiziert werden kann, bei dem der darauf bezogene „relative Wert“ höher ist als dieser Preis (Kapitel XI, Abschnitt 6). Die Darstellungen im vorliegenden und dem nachfolgenden Kapitel, die allgemein zeigen, welche Implikationen die Portefeuillebildung hat, liefern auch die theoretische Grundlage für die Ermittlung relativer Werte. Nach Kauf kann dann immer noch versucht werden, das Risiko des Bewertungsobjekts durch Portefeuillebildung besser (oder optimal) zu hedgen.
2
Portefeuilleplanung bei unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles
Zunächst wird untersucht, wie das Grundmodell der Portefeuilleplanung zu modifizie~ ren ist, wenn der Überschuss Ü1 nicht direkt verkauft werden kann oder soll. Dabei ~ wird davon ausgegangen, dass der Investor neben dem Überschuss Ü1 nur über das Geldvermögen V0 zum Zeitpunkt 0 verfügt. Wenn er keine Wertpapiere hält, erzielt er ~ ~ ein Endvermögen mit dem Erwartungswert E(V1 ) (1 r ) V0 E( Ü1 ) und der Stan~ dardabweichung Sta ( Ü1 ) . Die betreffende Position entspreche dem Punkt P in Abbildung IX.1.
319
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
~ Sta (V1 ) Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
~ E ( Ü1 )
T
~ Sta ( Ü1 ) z
z
P
z
M 0
z
z
(1 r ) V0
(1 r ) G 0
(1 r ) MWDP
z
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
z
b/2c
E(V1 )
RPDP
Abb. IX.1: Optimales Portefeuille bei Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles
Wenn – wie angenommen – der Überschuss duplizierbar ist und außerdem das Duplikationsportefeuille ohne weiteres leerverkauft werden kann, ist für die Portefeuilleplanung direkt das Grundmodell (Kapitel III, Abschnitt 3) maßgeblich: Da verkaufte Papiere (ohne Transaktionskosten) zurückgekauft werden können, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit von der Fiktion ausgegangen wer~ den, dass der Leerverkauf vorgenommen und damit das aus Ü1 resultierende Ri~ siko perfekt gehedgt wird. Der exogene Überschuss Ü1 hat dann letztlich nur die Bedeutung, dass er das Geldvermögen beeinflusst, über das der Investor zum Zeitpunkt null verfügt. Für das Geldvermögen G0 nach Leerverkauf gilt: (IX.1)
G0
V0 MWDP ~ V0 (1 r ) 1 [E ( Ü1 ) RPDP ] . MWDP
Dabei bezeichnet MWDP den Marktwert und RPDP die (Markt-)Risikoprämie des Dup~ likationsportefeuilles. Sie stimmt mit der Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) des Überschus~ ses Ü1 überein. G0 ist ebenso groß wie für den Fall, dass der Investor den Überschuss ~ Ü1 direkt zum Marktwert verkauft. Bei Anlage des Betrages G0 zum risikolosen Zinssatz r erzielt er gemäß (IX.1) das sichere Endvermögen: (IX.1a)
(1 r ) G 0
~ (1 r ) V0 [E( Ü1 ) RPDP ] . (1 r ) MWDP
320
Kapitel IX
Dieser Betrag bestimmt den Ausgangspunkt der (linearen) Effizienzkurve im ( P, V )~ Diagramm. Sie kann wie im Grundmodell (ohne den exogenen Überschuss Ü1 ) ermittelt werden. Die für den Fall des unbeschränkten Leerverkaufs maßgebliche modifizierte Effizienzkurve bezeichnen wir wieder als „Basiseffizienzkurve“ oder als „Referenzkurve“ (für das ( P, V )-Diagramm auch als Referenzlinie, weil sie hierin linear verläuft). Es ist zu beachten, dass in der Basiseffizienzkurve explizit nur diejenigen Portefeuilles berücksichtigt werden, die nach Leerverkauf gebildet werden. Die Portefeuilles als Ganzes umfassen auch das leerverkaufte Duplikationsportefeuille, so dass deren Strukturen gegenüber der Struktur der Portefeuilles, die der Basiseffizienzkurve entsprechen, „ver~ zerrt“ sind. Zählt man jedoch zum „Portefeuille“ auch noch den Überschuss Ü1 , der durch Leerverkauf seines Duplikationsportefeuilles eliminiert wird, kommt man jeweils zum Endwert desjenigen Portefeuilles, das nach Leerverkauf erworben wird. Da der Punkt P in Abbildung IX.1 oberhalb der Basiseffizienzkurve liegt, ist das Du~ plikationsportefeuille für Ü1 ineffizient. Sein Risiko pro Einheit Risikoprämie ist höher (und entsprechend seine Risikoprämie pro Risikoeinheit niedriger) als bei den effizienten Portefeuilles gemäß der Basiseffizienzkurve. Optimal ist dasjenige Portefeuille, bei dem diese Kurve eine Indifferenzkurve (die sogenannte Basisindifferenzkurve) tangiert. Es wird hier der Anschaulichkeit halber von quadratischer Nutzenfunktion für das Endvermögen V1 ausgegangen, so dass die Indifferenzkurven die Gestalt konzentrischer Halbkreise haben. Bei gegebener Position von P in Abbildung IX.1 ist (1 r ) G 0 umso größer, je geringer die Risikoprämie RPDP des Duplikationsportefeuilles ist. Wie die Abbildung III.4 (Kapitel III, Abschnitt 5.2) verdeutlicht, impliziert eine Erhöhung von G0 bzw. von (1 r ) G 0 in Verbindung mit einer entsprechenden Verschiebung der Basiseffizienzkurve parallel nach rechts, dass die Standardabweichung und somit auch der Umfang des optimalen Portefeuilles (bei quadratischer Nutzenfunktion) sinkt. ~ Wenn sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ü1 ändert, ändert sich grundsätzlich auch die Position des Punktes P, die Höhe von G0 und der Umfang des optimalen Portefeuilles.
3
Portefeuilleplanung ohne Leerverkauf von Wertpapieren
3.1
Möglichkeiten und Grenzen für das Hedgen des exogenen Risikos durch Handel mit Wertpapieren ohne Leerverkauf
Im Folgenden untersuchen wir die Portefeuilleplanung ohne explizite Leerverkäufe von Wertpapieren. Entweder kann sie der Investor nicht vornehmen oder er will nicht, z.B. weil sie prohibitiv hohe Kosten in Form von Ausgaben und/oder durch Einsatz von Arbeit und Zeit verursachen. Wie in Kapitel XI, Abschnitt 3.3, verdeutlicht wird, kann es auch deshalb gerechtfertigt sein, mögliche Leerverkäufe ex ante auszuschließen, weil sie zu Konflikten mit Verleihern (oder den direkten Käufern) der leerverkauften Papiere
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
321
führen können, die dem Investor zusätzliche Risiken aufbürden, statt ihm Risiko abzunehmen. Wenn keine Papiere leerverkauft werden können, bedeutet dies nicht notwendig, dass das Duplikationsportefeuille überhaupt nicht durch „Leerverkäufe“ modifiziert werden kann. Im Duplikationsportefeuille können Papiere mit negativen Beständen enthalten sein, deren „Leerverkauf“ einen Kauf der betreffenden Papiere bedeutet. Für ein Wertpapier n kann der Bestand im Duplikationsportefeuil~ le x1, x 2 ,..., x N selbst dann negativ sein ( x n < 0), wenn der Überschuss Ü1 in jedem Fall positiv ist. ~ Zur Verdeutlichung dient die Matrix IX.1, die zeige, wie der Überschuss Ü1 und die Endwerte zweier Papiere 1 und 2 vom Umweltzustand abhängen: S1
S2
S3
Ü1
1000 (11000)
18000 (22000)
24000 (26000)
P11
120
400
500
P12
50
20
10
Matrix IX.1: Zur Duplikation nichtnegativer Überschüsse mit Portefeuilles mit negativen Wertpapierbeständen
Das Duplikationsportefeuille lautet hier: x1
50 ; x 2
100 . Es gilt nämlich:
50 120 100 50 1000, 50 400 100 20 18000, 50 500 100 10
24000 .
Bei Leerverkauf des Portefeuilles kehrt sich das Vorzeichen der Bestände um, so dass gilt: x1 = –50; x2 = 100. Beim Papier 2 erfolgt also kein Leerverkauf, sondern der Kauf von 100 Einheiten; nur das Papier 1, das mit einem positiven Bestand im Duplikationsportefeuille enthalten ist, wird im strengen Sinn leerverkauft. Werden 50 Wertpapiere 1 ~ leerverkauft und 100 Wertpapiere 2 gekauft, wird der Überschuss Ü1 für jeden Zustand kompensiert und der Investor erzielt zum Zeitpunkt 0 den Erlös 50 P01 100 P02 . ~ Sind in Matrix IX.1 die in den Klammern angegebenen möglichen Überschüsse Ü1 relevant, lautet das Duplikationsportefeuille: x1 50 ; x 2 100 . Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles impliziert jetzt, dass beide Papiere leerverkauft werden. Wären die in Klammer angegebenen Überschüsse negativ, würde für das Duplikationsportefeuille x1 50 ; x 2 100 gelten. „Leerverkauf“ würde dann den entsprechenden Kauf bedeuten; ein Leerverkaufsverbot hätte keine Relevanz.
322
Kapitel IX
~ Wenn der Überschuss Ü1 in jedem Zustand um einen sicheren Betrag ' steigt (sinkt), ist zur Duplikation zusätzlich die Anlage (Aufnahme) des Betrages x (1 r ) 1 ' zum risikolosen Zinssatz erforderlich. Leerverkauf bedeutet dann, dass der betreffende Betrag geliehen (angelegt) wird. ~ ~ Ergibt sich der Überschuss Ü1 als Differenz zwischen einer Einzahlung E1 und ei~ ~ ~ ~ ner Auszahlung A1 ( Ü1 E1 A1 ), kann es zweckmäßig sein, zur Analyse der Vorzeichen der Bestände im Duplikationsportefeuille als Ganzes die Duplikationsportefeu~ ~ ~ illes für E1 und A1 getrennt zu betrachten. Wenn z.B. E1 (mit E1 > 0) sicher und A1 unsicher ist, besteht das Duplikationsportefeuille als Ganzes aus einer Anlage des Betrages x (1 r ) 1 E1 zum risikolosen Zinssatz r und einem Duplikationsportefeuilles ~ für A1 . „Leerverkauf“ des gesamten Duplikationsportefeuilles bedeutet dann, dass ein Kredit in Höhe des Betrages von x aufgenommen wird und die negativen (positiven) ~ Bestände an Papieren des Duplikationsportefeuilles für A1 gekauft (leerverkauft) werden. Wenn dieses Duplikationsportefeuille nur Bestände x n d 0 enthält, ist das Leer~ ~ ~ verkaufsverbot für die Duplikation des Überschusses Ü1 E1 A1 irrelevant, jedoch muss immerhin die Möglichkeit einer entsprechenden Kreditaufnahme bestehen. ~ Wenn E1 ungewiss und A1 (A1 > 0) sicher ist, bedeutet Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles als Ganzes die Anlage des Betrages x (1 r ) 1 A1 zum Zinssatz r ~ und Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles für E1 . Bei möglichen positiven Einzahlungen muss dieses Portefeuille notwendig positive Wertpapierbestände enthalten, so dass eine Leerverkaufsbeschränkung der Eliminierung des Risikos entgegensteht. ~ ~ Sind sowohl E1 als auch A1 ungewiss, sind in beiden Duplikationsportefeuilles ris~ kante Papiere n enthalten. Bezeichnet man das Duplikationsportefeuille für E1 mit ~ E E E E A A A A x1 , x 2 ,..., x N ; x und das für A1 mit x1 , x 2 ,..., x N ; x , gilt für das DuplikationsA E A portefeuille als Ganzes: x n x E n x n (n = 1,2,…,N) und x x x . Wenn x n d 0 (n = 1,2,…,N) gilt, bedeutet „Leerverkauf“ des Duplikationsportefeuilles, dass die Bestände x n ! 0 gekauft werden; wieder erfolgt kein „echter“ Leerverkauf. Wenn für ein A Papier x n x E n x n ! 0 gilt, sind x n Einheiten streng leerzuverkaufen. Bei entsprechenden Endwertvektoren der Papiere gibt es unter Umständen unendlich ~ ~ ~ ~ ~ viele Möglichkeiten E1 und/oder A1 (und mithin Ü1 E1 A1 ) zu duplizieren. Bei beschränktem Leerverkauf ist es dann nicht gleichgültig, welches Duplikationsportefeu~ ~ ille gewählt wird. E1 und A1 sollten möglichst so dupliziert werden, dass das aus dem ~ Überschuss Ü1 resultierende Risiko durch Kauf von riskanten Wertpapieren gehedgt werden kann.
3.2
Ermittlung effizienter Portefeuilles durch Modifikation des Grundmodells
Im Folgenden wird untersucht, wie die modifizierte Effizienzkurve ohne (echte) Leerverkäufe ermittelt werden kann. Auf den Darstellungen aufbauend wird in Abschnitt 4 der Fall betrachtet, dass bei einzelnen Papieren (echte) Leerverkäufe vorgenommen werden können. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit nehmen wir stets an, dass ~ sämtliche Risikoprämien E (P1n ) (1 r ) P0n positiv sind. Dies bedeutet, dass für jedes
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
323
Papier n (n = 1,2,…,N) der Erwartungswert der Rendite, d.h. der risikoangepasste Zins~ satz, mit dem E(P1n ) vom „Markt“ diskontiert wird, höher als r ist.2 Definitionsgemäß gibt die modifizierte Effizienzkurve an, wie unter Berücksichti~ gung des exogenen Überschusses Ü1 die minimale Varianz bzw. Standardabweichung des Endvermögens von dessen Erwartungswert abhängt; ihr Tangentialpunkt mit einer Indifferenzkurve charakterisiert das optimale Portefeuille mit diesem Überschuss. Die modifizierte Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm ist bei gegebener Wahrschein~ ~ lichkeitsverteilung für Ü1 zu ermitteln, indem für alternative Erwartungswerte E(V1 ) ~ dasjenige Portefeuille bestimmt wird, das unter Berücksichtigung von Ü1 die geringste ~ Varianz Var(V1 ) für das Endvermögen aufweist. Wenn der Investor keine Wertpapiere ~ ~ ~ ~ hält, gilt E(V1 ) (1 r ) V0 E( Ü1 ) und Var (V1 ) Var ( Ü1 ) . Da annahmegemäß alle Risikoprämien positiv sind, kann für die Ermittlung der modifizierten Effizienzkurve ~ ~ ohne Leerverkäufe nur der Bereich E(V1 ) t (1 r ) V0 E( Ü1 ) in Betracht kommen. Zieht man aus jeder Varianz die positive Wurzel, erhält man jeweils die Standardabweichung des Endvermögens und die entsprechende modifizierte Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm. Wie noch gezeigt wird, kann die minimale Varianz zunächst sinken, wenn ausgehend ~ ~ von (1 r ) V0 E( Ü1 ) der Erwartungswert E(V1 ) durch Portefeuillehaltung sukzessive erhöht wird. Die modifizierte Effizienzkurve für das (P,V2)-Diagramm (bzw. (P,V)~ Diagramm) beginnt dann erst bei jenem Wert für E(V1 ) , von dem an mit steigendem ~ ~ E(V1 ) die Varianz (die Standardabweichung) von V1 wieder steigt. Wie noch gezeigt wird, kann dann die modifizierte Effizienzkurve ermittelt werden, indem das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz bestimmt wird und dann nur noch für jene Erwar~ tungswerte E(V1 ) jeweils das Portefeuille mit der kleinsten Varianz bestimmt wird, die höher sind als der Erwartungswert für das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz. Von dieser technischen Vereinfachungsmöglichkeit soll zunächst abgesehen werden. ~ ~ Man erhält das einem Erwartungswert E(V1 )* t (1 r ) V0 E( Ü1 ) des Endvermögens entsprechende Portefeuille mit minimaler Varianz, indem die Varianz (IX.2) ) Var(V 1
N
N
N
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) 2 Kov(Ü 1; ¦ x n P1n ) Var(Ü 1) n 1 m 1
2
n 1
Positive Risikoprämien implizieren im CAPM, dass für jedes Papier n (n = 1,2,…,N) die Kovarianz ) zwischen P und dem Endwert M Kov(P1n ; M 1G 1n 1G des Marktportefeuilles positiv ist. Trotzdem können einzelne Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) negativ sein, was von Bedeutung für das Hedgen des aus Ü1 resultierenden Risikos ist. Gemäß den Darstellungen in Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.1, gilt ) Kov(P1n ; M 1G
Var(P1n ) ,
wenn sämtliche Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) ( m z n ) gleich null sind. Wenn der Endwert des Papiers n von den Endwerten aller anderen Papieren stochastisch unabhängig ist, ist seine Risikoprämie zwar positiv, jedoch sie kann vernachlässigbar gering sein.
324
Kapitel IX
) Var(V 1
N
N
N
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) 2 ¦ x n Kov(Ü 1; P1n ) Var(Ü 1 ) n 1 m 1
n 1
unter den Nebenbedingungen3 (IX.3)
N ~ ~ (1 r ) V0 E ( Ü1 ) ¦ x n [E(P1n (1 r ) P0 ]
~ E(V1 )*
n 1
) )* t (1 r) V E(Ü mit E(V 1 0 1 und (IX.4)
xn t 0
(n = 1,2,…,N)
minimiert wird. ~ ~ Dieser Ansatz erfordert zusätzlich zu den Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) die Schätzung ~ ~ ~ der Kovarianzen Kov( Ü1 ; P1n ) sowie der Varianz Var ( Ü1 ) . Diese Schätzungen kön~ nen umgangen werden, indem an Stelle des Überschusses Ü1 dessen Duplikationsportefeuille x1, x 2 ,..., x N (ohne Berücksichtigung von x , d.h. einer Anlage oder Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz im Rahmen dieses Portefeuilles4) explizit in die Portefeuilleplanung einbezogen wird. Dabei wird von der Fiktion ausgegangen, das Duplikationsportefeuille werde leerverkauft und dann ein Portefeuille gebildet, in dem vom Papier n (n = 1,2,…,N) mindestens der Bestand x n enthalten ist. Im Rahmen der Portefeuilleplanung wird also der fiktive Leerverkauf wieder rückgängig gemacht. ~ Statt des Überschusses Ü1 in Verbindung mit Ergänzungsportefeuilles werden nun explizit äquivalente Portefeuilles bestehend aus dem Duplikationsportefeuille als Repräsentant dieses Überschusses und wiederum den Ergänzungsportefeuilles betrachtet. Zu minimieren ist nun statt (IX.2) die Varianz (III.3)
(III.3)
~ Var(V1 )
~
Var ( WP1 ) N
N
~
~
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) n 1m 1
(Kapitel III, Abschnitt 3.2) des Endwertes des Portefeuilles, wobei jetzt an die Stelle von (IX.3) und (IX.4) die Nebenbedingungen (IX.5)
N ~ (1 r ) G 0 ¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ]
~ E(V1 )*
n 1 3
4
Zur Ermittlung der Risikoprämien E(P1n ) (1 r) P0n auf der Basis der Bewertungsfunktionen des CAPM, vgl. Kapitel IV, Abschnitt 5.4.3. Diese Anlage oder Aufnahme kann deshalb ohne Einschränkung der Allgemeinheit vernachlässigt werden, weil sie keine Risikoprämie bietet.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
325
~ ~ mit E(V1 )* t (1 r ) V0 E ( Ü1 ) und (IX.6)
xn t xn
(n = 1,2,…,N)
treten. G0 bezeichnet das Geldvermögen, über das der Investor nach fiktivem Verkauf des Duplikationsportefeuilles verfügt: G0
V0 MWDP
~ V0 (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPDP ] .
Um den Vergleich mit den Darstellungen in Kapitel III zu erleichtern, wird die Nebenbedingung (IX.5) durch folgende äquivalente Bedingung ersetzt: N
(IX.7)
~
¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ] RPp*
mit RPp* t RPDP .
n 1
Hier werden für die Ermittlung effizienter Portefeuilles alternative Risikoprämien für das Portefeuille vorgegeben. ~ Da jedes Portefeuille das Duplikationsportefeuille für Ü1 als Teilmenge enthalten muss und alle Papiere positive Risikoprämien bieten, ist es nicht möglich, eine PortefeuilleRisikoprämie zu realisieren, die kleiner ist als die des Duplikationsportefeuilles. Effiziente Portefeuilles sind daher nur für den Bereich RPp* t RPDP definiert. Für RPp* RPDP führt das Modell zum Duplikationsportefeuille, womit der Erwartungs~ wert (1 r ) V0 E ( Ü1 ) des Endvermögens in der Ausgangssituation erzielt wird. Für RPp* ! RPDP ergibt sich ein Portefeuille mit zusätzlichen Papieren. Die Ermittlung eines effizienten Portefeuilles ist eine relativ einfache quadratische Programmierungsaufgabe mit linearen Nebenbedingungen. Im Folgenden sollen allgemeine Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles und Implikationen für den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve untersucht werden.
3.3
Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles [*]
3.3.1
Die Effizienzbedingungen
Analog zu (III.25), (III.26) und (III.27) (Kapitel III. Abschnitt 6) stellen nach dem Theorem von KUHN und TUCKER (KISTNER, 2003, S. 129 ff.) die Zahlen x1* , x*2 ,..., x*N genau dann eine optimale Lösung des Optimierungsprogramms (III.3), (IX.6) und (IX.7) dar, wenn es eine Zahl O* gibt und folgende Bedingungen gelten: N
(IX.8.n)
x*n t x n und 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) O* [E(P1n ) (1 r) P0n ] m 1
oder
326
Kapitel IX
N x n und 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) ! O* [E(P1n ) (1 r) P0n ]
x*n
(IX.9.n)
m 1
(n = 1,2,…,N) und N ! O* 0 und ¦ x*m [E(P1n ) (1 r) P0n ] RPp* .
(IX.10)
m 1
Der Faktor O* gibt wieder an, wie sich die minimale Varianz ändert, wenn ausgehend von der Risikoprämie RPp* bzw. vom Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N die Risikoprämie um eine marginale Einheit erhöht und dabei wieder ein Portefeuille mit minimaler Varianz bestimmt wird. Falls die minimale Varianz zunächst sinkt, wenn das Duplikationsportefeuille um Wertpapiere erweitert wird, ist der Faktor O* zunächst negativ, er wird dann gleich null und anschließend positiv. Die Varianz eines Portefeuilles, das gegenüber dem Duplikationsportefeuille (als Rep ) zusätzliche Papiere enthält, kann allerdings nur dann räsentant des exogenen Überschusses Ü 1 ), wenn die kleiner sein als die Varianz des Duplikationsportefeuilles (d.h. die Varianz von Ü 1 Endwerte einiger oder aller zusätzlichen Papiere negativ mit dem Endwert des Duplikationspor ) korreliert sind. tefeuilles (dem Überschuss Ü 1 Zur Erläuterung der alternativen O-Werten entsprechenden effizienten Portefeuillebeständen wird die Menge der Papiere, für die die Untergrenze x n streng bindend ist (d.h. durch Leerverkauf eine bessere (P,V)-Kombination erreicht werden könnte) mit Msb bezeichnet: Für die betreffenden Papiere gilt
(IX.11.n)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) ! O* [E(P1m ) (1 r) P0m ]
(für alle n Msb)
m 1
und für alle anderen: (IX.12.n)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) O* [E(P1m ) (1 r) P0m ]
(für alle n Msb).
m 1
(IX.11) und (IX.12) bezeichnen ein System aus insgesamt N Gleichungen oder Ungleichungen.
3.3.2
Fall O* < 0
Im Fall O* 0 bzw. | O* | ! 0 muss für die Papiere n, bei denen die Untergrenze x n nicht streng bindend ist, gemäß (IX.12.n) gelten: (IX.13.n)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) | O* | [E(P1n ) (1 r) P0n ]
(n Msb).
m 1
Für die Papiere, für die die Untergrenze streng bindend ist, gilt gemäß (IX.11.n): N
(IX.14.n)
2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) ! | O* | [E(P1n ) (1 r) P0n ] m 1
(n Msb).
327
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
Da annahmegemäß sämtliche Risikoprämien positiv sind, muss gemäß (IX.13.n) für alle Papiere n, für die x*n ! x n gilt, die Grenzvarianz negativ sein. Sind alle Kovarianzen positiv, kann im ) kein Portefeuille existieren, für das die minimale Varianz kleiner ist als ) ! E(Ü Bereich E(V 1 1 ) ). die Varianz ohne Portefeuillebildung (also die Varianz Var(Ü 1
3.3.3
Fall O* = 0
Für O* 0 gilt gemäß (IX.12.n) für die Papiere n, bei denen die Untergrenze x n nicht streng bindend ist: N
(IX.15.n)
¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) 0
(n Msb).
m 1
Für alle Papiere n mit strenger Bindung der Untergrenze gilt gemäß (IX.11.n): N
(IX.16.n)
¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) ! 0
(n Msb).
m 1
Im Portefeuille sind jetzt nur solche Papiere mit einem Bestand x*n ! x n enthalten, für die die Grenzvarianz gleich null ist. Für Papiere mit strenger Bindung der Untergrenze ist die Grenzvarianz positiv; hier könnte durch Leerverkauf die Varianz verkleinert werden. Auf den ersten Blick mag es überraschen, dass im Fall O* 0 für die Struktureigenschaft des effizienten Portefeuilles die Risikoprämien E(P1n ) (1 r) P0n keine Rolle spielen. Es ist jedoch zu beachten, dass für O* 0 das Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N die absolut kleinste Varianz aufweist. Dieses Portefeuille kann ermittelt werden, indem die Varianz (IX.3) des Portefeuilles ) unter Berücksichtigung von (IX.6) minimiert wird. Da hierbei kein exogener Wert für E(V 1 bzw. die Risikoprämie RPp vorgegeben wird (es soll eben das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz ermittelt werden), entfällt die Nebenbedingung (IX.5) bzw. (IX.7), so dass die Risikoprämien irrelevant sind. (Bei beliebigen Leerverkaufsmöglichkeiten wäre die absolut kleinste Varianz gleich null).5 Wenn alle Kovarianzen Kov(P1n ;P1m ) positiv sind, ist das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz das Duplikationsportefeuille; nur durch Leerverkäufe könnte demgegenüber die Varianz verkleinert werden. Für jedes Papier n gilt dann die Bedingung (IX.16.n). Sind einige Kovarianzen Kov(P1n ;P1m ) negativ, enthält das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz von einem Teil der Wertpapiere mehr als x n Einheiten. Für die betreffenden Papiere gilt die Gleichung (IX.15.n).
3.3.4
Fall O* > 0
Wird ausgehend von dem Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz der Erwartungswert ) bzw. die Risikoprämie sukzessive erhöht, steigt die Varianz des Endvermögens. Für jeE(V 1 des dieser (effizienten) Portefeuilles ist O* positiv und umso größer, je größer die angestrebte
5
Die Darstellungen setzten voraus, dass genau ein Portefeuille mit absolut kleinster Varianz existiert. Gibt es mehrere solcher Portefeuilles, ist dasjenige effizient, das die höchste Risikoprämie bietet, so dass dann die Risikoprämien für die Ermittlung des Punktes auf der Effizienzkurve mit der kleinsten Varianz doch eine Rolle spielen. Es ist zu beachten, dass (IX.15.n) und (IX.16.n) notwendige Bedingungen dafür sind, dass einem Portefeuille die kleinste Varianz entspricht, dass sie aber nicht hinreichend für die Effizienz dieses Portefeuilles sind.
328
Kapitel IX
Risikoprämie ist. Für den betreffenden Bereich lassen sich die Bedingungen (IX.8.n), (IX.9.n) und (IX.10) analog interpretieren wie für den in Kapitel III, Abschnitt 6, betrachteten Fall, dass alle Untergrenzen x n gleich null sind. Bei den folgenden graphischen Analysen wird davon ausgegangen, dass im Duplikationspor nur solche riskanten Papiere mit positivem Bestand x ! 0 enthalten sind, die tefeuille für Ü 1 n effizient sind. Es gilt mit positiven Beständen auch in jene Portefeuilles eingehen, die ohne Ü 1 dann: Ab einer bestimmten Risikoprämie enthalten diese Portefeuilles das Duplikationsporte als Teilmenge, so dass ab dieser Risikoprämie keine der Untergrenzen x ! 0 feuille für Ü 1 n mehr streng bindend ist. Es wird sich zeigen: Wenn die Risikoprämie ausgehend von RPDP sukzessive erhöht wird, nähert sich die Struktur des effizienten Portefeuilles unter Berücksichtigung des Überschusses bzw. seines Duplikationsportefeuilles immer mehr der ohne Ü effizienten PortefeuilleÜ 1 1 struktur, bis sie schließlich ab einer kritischen Risikoprämie damit übereinstimmt; Leerverkäufe verlieren tendenziell immer mehr an Gewicht.
3.4
Analyse der modifizierten Effizienzkurve
3.4.1
Vorüberlegungen: Konvexkombinationen von riskanten Portefeuilles als Basiselemente der Ermittlung von Effizienzkurven
Es werden nun Eigenschaften der modifizierten Effizienzkurve untersucht. Dabei wird ~ gezeigt, welche Papiere für alternativ angestrebte Erwartungswerte E(V1 ) bzw. Risiko~ prämien jeweils relativ gut geeignet sind, das mit Ü1 verbundene Risiko zu hedgen. Wenn man die Zusammenhänge kennt, kann man das Modell der Portefeuilleplanung vereinfachen, indem man Papiere vernachlässigt, die wenig zur Effizienzverbesserung beitragen. Da die modifizierte Effizienzkurve gemeinsam mit der Risikoeinstellung des Investors den subjektiven Grenzpreis determiniert, geben die Darstellungen auch Orientierung für Vereinfachungen bei dessen Ermittlung oder Schätzung. Zur Analyse des Verlaufs der modifizierten Effizienzkurve werden zunächst einige Vorüberlegungen angestellt: Der Entscheider habe die Wahl zwischen zwei riskanten Portefeuilles A und B oder zwei riskanten Positionen P(P A ; V 2A ) und P(P B ; V 2B ) , die (wie noch näher erläutert wird) beliebig miteinander konvex kombiniert werden können. ~ Dabei bezeichnet PA ( V 2A ) den Erwartungswert (die Varianz) des Endvermögens V1 bei alleiniger Realisation der Position P(P A ; V 2A ) . Das Entsprechende gilt für PB ( V 2B ). Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird davon ausgegangen, es gelte P B ! P A . (Die Darstellungen gelten für P A ! P B analog.) Das Endvermögen bei alleiniger Realisation der Portefeuilles A (der Position ~ P(P A ; V 2A ) ) wird im Folgenden mit V1A bezeichnet, das Endvermögen bei alleiniger ~ Realisation des Portefeuilles B (der Position P(P B ; V 2B ) ) mit V1B . Es gilt somit: PA
~ E(V1A ), V 2A
~ Var(V1A ),
PB
~ E(V1B ), V 2B
~ Var(V1B ).
Eine Konvexkombination der beiden Positionen besteht nun darin, dass von beiden Positionen ein nichtnegativer Teil realisiert wird, wobei sich beide Teile zu eins addieren.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
329
Zum Beispiel werden von der Position P(P A ; V 2A ) ein Drittel und von der Position P(P B ; V 2B ) zwei Drittel ins Programm aufgenommen. Wird der Teil der riskanten Position P(P B ; V 2B ) , der in der Konvexkombination enthalten ist, mit z ( 0 d z d 1 ) bezeichnet, gilt für den Erwartungswert des Endvermögens: (IX.17)
~ E(V1 )
(1 z) P A z P B
P A z (P B P A ) .
(1 z) gibt an, welcher Teil der Position P(P A ; V 2A ) realisiert wird. Da annahmegemäß ~ PB > PA gilt, ist E(V1 ) eine linear steigende Funktion von z. Für die Varianz des Endvermögens der Konvexkombination gilt: (IX.18)
~ Var(V1 )
(1 z) 2 V 2A 2U (1 z) z V A V B z 2 V 2B ,
~ ~ wobei U den Korrelationskoeffizienten zwischen V1A und V1B bezeichnet. Die Varianz ist für 0 < z < 1 eine linear steigende Funktion von U. Für die erste Ableitung von (IX.18) nach z gilt: (IX.19)
~ dVar (V1 ) dz
(2 z 2) V 2A 2 U (1 2 z) V A V B 2 z V 2B .
Hieraus folgt: (IX.20)
~ dVar(V1 ) dz
2 z (V 2A 2 U V A V B V 2B ) 2 V A (U V B V A ) .
In der ersten Klammer auf der rechten Seite von (IX.20) steht die Varianz der Differenz ~ ~ V1A V1B . Diese Varianz ist eine fallende Funktion von U, jedoch stets positiv (wenn ~ U > –1). Somit ist dVar(V1 ) / dz eine linear steigende Funktion von z; die Kurve, die ~ angibt wie Var(V1 ) von z abhängt, verläuft konvex in der Gestalt einer Parabel. An der Stelle z = 0 gilt gemäß (IX.20) für die Steigung: (IX.21)
~ dVar(V1 ) dz
2 V A (U V B V A ) .
Sie ist umso höher, je höher U ist. Für U V A / V B ist sie gleich null, für U V A / V B ist sie negativ und für U ! V A / V B positiv. Die Abbildung IX.2 verdeutlicht mögliche ~ Verläufe für die aus Konvexkombinationen resultierenden Varianzen Var(V1 ) des Endvermögens.
330
Kapitel IX
~ Var(V1 ) P (P B ; V 2B )
z
U ! VA / VB U
VA / VB
P(P A ; V 2A ) z U VA / VB
0 z
z
z
z
PA
~ E (V1 )*
PB
0
z 1
~ E (V1 ) z
Abb. IX.2: Zur Bildung effizienter (P,V2)-Kombinationen durch Konvexkombinationen zweier riskanter Positionen P( P A ;V A2 ) und P( P B ;V B2 )
~ ~ Wie gezeigt, ist E(V1 ) eine linear steigende Funktion von z. Für E(V1 ) P A gilt ge~ ~ ~ * mäß (IX.17) z = 0, für E(V1 ) P B gilt z = 1 und für E(V1 ) E(V1 ) gilt: z
~ E(V1 )* P A . PB PA
Für die Standardabweichung des Endvermögens gilt: (IX.18.a)
) Sta(V 1
2 . (1 z) 2 V2A 2 U (1 z) z VA VB z 2 VB
Für jedes z (0 < z < 1) ist die Standardabweichung der Konvexkombination wie ihre Varianz eine steigende Funktion des Korrelationskoeffizienten U (Abbildung IX.3). Für U = 1 folgt aus (IX.18.a): (IX.22)
~ Sta (V1 )
(1 z) V A z V B
V A z (V B V A ) ! 0 .
~ Gilt – wie in Abbildung IX.3 – die Relation V B ! V A , ist Sta (V1 ) für U = 1 eine linear ~ steigende Funktion von z. Da auch E(V1 ) eine linear steigende Funktion von z ist, folgt ~ ~ unmittelbar: Sta (V1 ) ist eine linear steigende Funktion von E(V1 ) . In Abbildung IX.3 wird die Menge der effizienten (P,V)-Kombinationen für U = 1 durch die Strecke P( P A ; V A ) P( P B; V B ) dargestellt. ~ Gilt V A ! V B (und weiterhin PB > PA), ist für U =1 die Standardabweichung Sta (V1 ) ~ eine linear fallende Funktion von E(V1 ) . Effizient ist dann nur die „reine“ Position P( P B; V B ) (mit z = 1).6 6
Im Fall V A ! V B ist der Ordinatenwert des Punktes P(P B ; V B ) niedriger als der des Punktes P(P A ; V A ) . Die Steigung der Strecke P(P A ; VA )P(P B ; VB ) ist dann negativ. Da für U = 1 nur (P,V)-Konstellationen auf dieser Strecke realisierbar sind, kann nur der Punkt P(P B ; V B ) eine effi-
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
~ Sta (V1 )
331
P(P B ; V B ) z
U 1 P(P A ; V A ) z
U1 U2 U3
z
0
PA (z
0)
U3 U 2 U1 U
z
PB (z 1)
~ E(V1 ) (z)
Abb. IX.3: Zur Bildung effizienter (P,V)-Konstellationen durch Konvexkombinationen zweier riskanter Positionen, P(PA;V$) und P(PB;V%)
In Abbildung IX.4 sind drei riskante Positionen (PA,PB und PC) dargestellt, aus denen beliebige Konvexkombinationen gebildet werden können. Der Anteil der riskanten Position PA (PB bzw. PC) an der Konvexkombination wird mit zA (zB bzw. zC) bezeichnet. Dabei gilt: zA + zB + zC = 1 und zA t 0, zB t 0 und zC t 0. Die Kurve PAPB in Abbildung IX.4 bringt zum Ausdruck, welche (P,V)-Konstellationen durch Konvexkombination der „reinen“ Positionen PA und PB realisierbar sind (dabei gilt jeweils yC = 0). Das Analoge gilt für die Kurven PAPC (mit zB = 0) und PBPC (mit zA = 0). Auch Konvexkombinationen aus reinen Positionen können miteinander konvex kombiniert werden. Die Kurve P1PC z.B. zeigt, welche (P,V)-Positionen erreicht werden können, indem die dem Punkt P1 entsprechende Konvexkombination mit der reinen Position PC kombiniert wird. Die Kurve P2P3 bringt zum Ausdruck, welche (P,V)Positionen durch Konvexkombination derjenigen Konvexkombinationen erreichbar sind, die den Punkten P2 und P3 entsprechen. Bei Ausnutzung aller Kombinationsmöglichkeiten ergibt sich eine konvexe „Umhüllende“, die zeigt, welche mini~ male Standardabweichung für die möglichen E(V1 ) -Werte durch Konvexkombination der Positionen PA, PB und PC letztlich erzielbar ist. (Vgl. die gestrichelte Kurve in Abbildung IX.4.)
ziente Position darstellen; bei Punkten auf der Strecke P(P A ; VA )P(P B ; VB ) links von P(P B ; V B ) ist der Erwartungswert niedriger und die Standardabweichung höher. (Es ist zu beachten, dass hier nur Konvexkombinationen betrachtet werden, für die 0 d z d 1 gilt.)
332
Kapitel IX
~ Sta (V1 ) PB PA
z
P1
z
z
P2z
PC z
P4 Ümhüllende
P3
P5
z
z
z
z
P6
~ E (V1 )
0
Abb. IX.4: Zur Ermittlung effizienter Portefeuilles
Hat der Entscheider keine anderen Aktionsmöglichkeiten, stimmt die Effizienzkurve mit demjenigen Teil der Umhüllenden überein, der rechts von ihrem Minimum verläuft.
3.4.2
Allgemeine Gestalt der modifizierten Effizienzkurve
3.4.2.1 Konvexkombinationen zwischen Portefeuilles als Elemente der modifizierten Effizienzkurve
Aufbauend auf den Darstellungen in Abschnitt 3.4.1 lässt sich anschaulich die prinzipielle Gestalt der modifizierten Effizienzkurve (unter Berücksichtigung des Überschus~ ses Ü1 ) im (P,V)-Diagramm für den Fall analysieren, dass dieser Überschuss duplizier~ bar ist und entsprechend umfangreiche effiziente Portefeuilles ohne den Überschuss Ü1 dessen Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthalten. Zunächst gehen wir davon aus, Leerverkäufe seien ausgeschlossen. Zwar kann dann das Duplikationsportefeuille nicht leerverkauft werden. Trotzdem vergleichen wir die modifizierte Effizienzkurve mit der Basiseffizienzkurve (als Referenzlinie), die sich ergäbe, wenn der Investor das Duplikationsportefeuille vollständig ~ leerverkaufte oder – was auf dasselbe hinausläuft – den Überschuss Ü1 direkt zum virtuellen Marktwert verkaufte. Dieser Vergleich ist vor allem auch für die Analyse von Abweichungen zwischen dem Marktwert eines Bewertungsobjekts mit dem Überschuss ~ Ü1 und seinem individuellem subjektivem Grenzpreis bei potenziellem Kauf oder Verkauf von Bedeutung (Kapitel XI und XII). Ohne Leerverkäufe sind für die Ermittlung der modifizierten Effizienzkurve nur ~ das Duplikationsportefeuille DP für Ü1 (als Repräsentant dieses Überschusses) und Portefeuilles relevant, die neben dem Duplikationsportefeuille eine Menge MZW zusätzlicher Papiere enthalten. Dabei enthält eine Konvexkombination solcher Portefeuilles wiederum zwangsläufig das Duplikationsportefeuille DP, was deshalb von Bedeutung ist, weil das Duplikationsportefeuille oder Teile davon nicht leerverkauft werden dürfen.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
333
Zur Verdeutlichung werden die Portefeuilles A und B mit den Mengen MZWA und MZWB zusätzlicher Papiere konvex kombiniert. Es gilt: (1 z) (DP MZWA ) z (DP MZWB )
DP (1 z) MZWA z MZWB .
Die Konvexkombination besteht also aus dem Duplikationsportefeuille DP und einer Konvexkombination der beiden Mengen zusätzlicher Papiere. 3.4.2.2 Modifizierte Effizienzkurve bei ausschließlich nichtnegativen Kovarianzen (a) Allgemeine Charakteristik
Bei der graphischen Analyse des Verlaufs der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit angenommen, dass das Duplikati~ onsportefeuille für Ü1 nur nichtnegative Bestände an riskanten Papieren enthält: x1 t 0 , x 2 t 0 ,…, x N t 0 . Da alle Papiere n eine positive Risikoprämie E(P1n ) (1 r) P0n bieten, ist folglich die Risikoprämie RPDP des Duplikationsportefeuilles positiv. ~ ~ Sind alle Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) bzw. Korrelationen U(P1n ; P1m ) nichtnegativ, ist dann für jedes Portefeuille, welches das Duplikationsportefeuille als echte Teilmenge ~ enthält, die Standardabweichung des Endvermögens höher als Sta ( Ü1 ) und (da annahmegemäß die Risikoprämien aller Papiere positiv sind) der Erwartungswert des End~ vermögens höher als (1 r ) V0 E( Ü1 ) . ) beträgt: Interpretation: Die Kovarianz Kov(P1n ; Ü 1 (IX.23)
) Kov(P1n ; Ü 1
N
Kov(P1n ; ¦ x m P1m ) m 1
N
¦ x m Kov(P1n ; P1m ) . m 1
) t 0 , wenn – wie angenommen – alle Kovarianzen Somit gilt Kov(P1n ; Ü 1 ~ ~ Kov(P1n ; P1m ) nichtnegativ sind und im Duplikationsportefeuille nur nichtnegative Bestände an riskanten Papieren enthalten sind. Ist x n positiv, gilt wegen ) ! 0 , andernfalls bereits dann, Kov(P1n ; P1n ) Var(P1n ) ! 0 die Relation Kov(P1n ; Ü 1 ~ ~ wenn für ein einziges Papier m n mit x m ! 0 die Kovarianz Kov(P1n ; P1m ) positiv ist. Im Folgenden wird realistischerweise davon ausgegangen, es gelte ) ! 0 für jedes n (n = 1,2,…,N).7 Kov(P1n ; Ü 1 Die Steigung der modifizierten Effizienzkurve im Punkt P in Abbildung IX.5, der ~ dem reinen Duplikationsportefeuille (bzw. dem Überschuss Ü1 ) entspricht, ist dann positiv.
7
Diese Bedingung kann gemäß (IX.23) auch bei negativen Kovarianzen gelten, sofern im Duplikationsportefeuille negative Wertpapierbestände – also entsprechende Leerverkäufe – enthalten sind. Mit dem Einfluss von Leerverkäufen einzelner Papiere auf die modifizierte Effizienzkurve befasst sich Abschnitt 4.
334
Kapitel IX
~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve
z
T
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) z
0
z
(1 r ) G 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
~ E(V1 )
RPDP
Abb. IX.5: Modifizierte Effizienzkurve bei ausschließlich nichtnegativen Kovarianzen bzw. nichtnegativen Korrelationen ohne Leerverkauf von Papieren
G0 bezeichnet wieder das Geldvermögen, über das der Investor bei Verkauf des Duplikationsportefeuilles zum Marktwert verfügen würde. Entsprechend stellt die gestrichelte, durch (1 r ) G 0 verlaufende Gerade diejenige (Basis-)Effizienzkurve dar, die relevant wäre, wenn der Investor zum Zeitpunkt 0 das Duplikationsportefeuille verkaufen würde. Wie erwähnt, dient sie als Referenzlinie für die Analyse der modifizierten Effizienzkurve mit dem nicht leerverkaufbaren Duplikationsportefeuille (als Repräsentant ~ des Überschusses Ü1 ). Die Referenzlinie wird unter Berücksichtigung von Nichtnegativitätsbedingungen ermittelt, die berücksichtigen, dass keine Leerverkäufe zulässig sind. Unter bestimmten Voraussetzungen (wie denen des CAPM) sind diese Bedingun~ gen allerdings deshalb überflüssig, weil ohne den Überschuss Ü1 Leerverkäufe ohnehin nachteilig sind. Es gilt: G0
V0 MWDP
~ V0 (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPDP ] .
Und entsprechend (IX.24)
(1 r ) G 0
~ (1 r ) V0 [E( Ü1 ) RPDP ]
bzw. (IX.25)
(1 r ) G 0 RPDP
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) .
Die Annahme, dass der Punkt P in Abbildung IX.5 oberhalb der Referenzlinie ~ liegt, impliziert, dass das Duplikationsportefeuille für Ü1 isoliert gesehen ineffi-
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
335
zient ist; wäre es effizient, läge P auf der Referenzlinie. Die modifizierte Effizienzkurve kann in keinem Bereich unterhalb der Referenzlinie verlaufen. Sie trifft jedoch die Referenzlinie im Punkt T und stimmt dann mit ihr überein. T kennzeichnet das Portefeuille mit dem kleinsten Erwartungswert und der kleinsten Standardabweichung aus der Menge derjenigen Portefeuilles, die sich ohne ~ (explizite Berücksichtigung) von Ü1 als effizient erweisen und das Duplikati~ onsportefeuille für Ü1 als Teilmenge enthalten. Wenn ausgehend von T der Er~ wartungswert E(V1 ) sukzessive erhöht wird, wird der Umfang des effizienten ~ Portefeuilles ohne Ü1 bei gegebener Struktur immer größer, wobei das Duplika~ tionsportefeuille für Ü1 stets als echte Teilmenge in diesem Portefeuille enthal~ ten ist. In dem Bereich rechts von T hat Ü1 keinen Einfluss auf die effiziente ~ Portefeuillestruktur als Ganzes: Man kommt jeweils von einem ohne Ü1 effi~ zienten Portefeuille zu dem äquivalenten Portefeuille mit Ü1 , indem man sein ~ Duplikationsportefeuille durch Ü1 substituiert; es ändert sich weder der Erwartungswert noch die Standardabweichung des Endvermögens. Die Existenz des Punktes T setzt allerdings voraus, dass das Duplikationsportefeuille keine positiven Bestände an Papieren enthält, die nicht Bestandteil derjenigen Portefeu~ ~ illes sind, die ohne Ü1 effizient sind. Wenn der Investor ohne Ü1 wie im CAPM einen Anteil am Marktportefeuille hält, bezeichnet der Punkt T den kleinsten Anteil an diesem Portefeuille, der das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält; rechts von T stimmt die modifizierte Effizienzkurve mit der Referenzlinie überein, links von T verläuft sie oberhalb dieser Linie. ~ Interpretation: Ist der angestrebte Erwartungswert E(V1 ) des Endvermögens mindestens so groß ist wie der Abszissenwert des Punktes T, werden die Untergrenzen (IX.6) (also der explizite Ausschluss von Leerverkäufen) bedeutungslos. Es erweist sich dann auch ohne diese Untergrenzen als effizient, nach (fiktivem) Leerverkauf ein Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N zu bilden, welches das Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x N als Teilmenge enthält, für das also x *n t x n (n = 1,2,…,N) gilt. Der Investor erzielt dasselbe Endvermögen, wenn er auf den Leerverkauf verzichtet und das „Ergänzungsportefeuille“ ~ x1* x1 , x *2 x 2 ,..., x *N x N bildet; unter Berücksichtigung des Überschusses Ü1 ergibt sich ein „Gesamtportefeuille“, das den Endwert des Portefeuilles x1* , x *2 ,..., x *N bietet. Ist die betreffende Position optimal, wird sie auch dann realisiert, wenn ein Leerver~ kauf nicht möglich ist. Der Wert des Überschusses Ü1 resultiert dann daraus, dass er den Kauf seines Duplikationsportefeuilles erspart. (b) Zur Konvexitätseigenschaft der modifizierten Effizienzkurve und deren Implikationen
Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 3.4.1 verläuft die modifizierte Effizienzkurve im Bereich links von T streng konvex, wobei rechts von P die Standardabweichung stets ~ größer sein muss als Sta ( Ü1 ) , so dass die Steigung der modifizierten Effizienzkurve im Punkt P positiv ist. Der konvexe Verlauf impliziert:
336
Kapitel IX
1. Die modifizierte Effizienzkurve ist im Bereich zwischen P und T (und nicht ~ nur rechts von T) eine monoton steigende Funktion von E(V1 ) . 2. Die Steigung der modifizierten Effizienzkurve ist in einem beliebigen Punkt links von T kleiner als die der Referenzlinie. Wäre sie größer oder ebenso hoch, könnte sie wegen ihrer Konvexitätseigenschaft den Punkt T nicht erreichen. Würde sie wie in Abbildung IX.6 in einem Bereich sinken, ergäbe sich ein Widerspruch. Man könnte z.B. die Positionen PA und PB miteinander konvex kombinieren, wobei sich durch Variation von z eine Kurve wie die gestrichelte ergeben würde. Analog könnten Punkte auf der neuen Kurve PPAPBT konvex kombiniert werden usw., so dass sich durchgehend eine konvexe modifizierte Effizienzkurve ergibt. ~ Sta (V1 ) z
PB
T
z
PA P
z
z
z
0
~ E(V1 )
Abb. IX.6: Zum Beweis der Konvexitätseigenschaft der modifizierten Effizienzkurve
Die Tatsache, dass die Steigung der modifizierten Effizienzkurve bis zum Punkt T kleiner ist als die der Referenzlinie impliziert, dass der senkrechte Abstand zwischen beiden und somit auch der waagrechte Abstand bis zum Punkt T immer kleiner wird. Die fehlende Leerverkaufsmöglichkeit des Duplikationsportefeuilles wirkt sich ~ mit zunehmendem E(V1 ) (mit zunehmendem Umfang des effizienten Portefeuilles) immer weniger restriktiv aus; die Portefeuillestruktur (unter Einschluss des ~ Duplikationsportefeuilles oder des hiermit repräsentierten Überschusses Ü1 ) nähert sich immer mehr derjenigen Struktur, die der Referenzlinie entspricht, wobei die Standardabweichung pro Risikoprämie immer kleiner bzw. die Risikoprämie pro Risikoeinheit immer größer wird, bis sie schließlich im Punkt T die der Refe~ renzportefeuilles (der Portefeuilles ohne den Überschuss Ü1 ) erreichen. Da die modifizierte Effizienzkurve bereits im Punkt P eine positive Steigung aufweist, ist es nicht ohne weiteres optimal, ausgehend von diesem Punkt durch Portefeuillebildung den Erwartungswert des Endvermögens zu erhöhen.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
337
Es ist zu beachten, dass die modifizierte Effizienzkurve im Bereich zwischen P und T nicht einfach aus unterschiedlichen Konvexkombinationen zwischen dem Duplikationsportefeuille DP und demjenigen effizienten Portefeuille hervorgeht, das dem Punkt T entspricht. Bezeichnet man die Menge der in diesem Portefeuille gegenüber dem Duplikationsportefeuille zusätzlich enthaltenen Papiere mit MZWT, ergibt sich für einen beliebigen z-Wert (0 < z < 1) folgende Konvexkombination: (1 z) DP z (DP MZWT )
DP z MZWT .
Die Punkte auf der modifizierten Effizienzkurve zwischen P und T würden sich somit nur dadurch unterscheiden, dass das Zusatzportefeuille MZWT bei gegebener Struktur auf unterschiedlichem Niveau z realisiert wird. Dies ist aber nicht der Fall; die Struktur ~ der Ergänzungsportefeuilles hängt von dem Erwartungswert E(V1 ) ab, für den das Portefeuille ermittelt wird. (c) Zu den Eigenschaften des dem Punkt T entsprechenden Portefeuilles [*] Das dem Punkt T entsprechende Portefeuille hängt vom Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x N ab. Man kann den Punkt T ermitteln, sowie der Struktur der effizienten Portefeuilles ohne Ü 1 bestimmt, das dieselbe (Markt-) indem man zunächst dasjenige effiziente Portefeuille ohne Ü 1 Risikoprämie bietet wie das Duplikationsportefeuille und somit durch denjenigen Punkt auf der Referenzlinie gekennzeichnet wird, dessen Abszissenwert mit dem von P übereinstimmt. Wir bezeichnen dieses Portefeuille mit x1P , x 2P ,..., x PN . Nun wird für jedes Papier n (n = 1,2,…,N) der P Quotient x n / x Pn bestimmt. Der maximale Quotient, max n (x n / x n ) , gibt an, wie oft das effiziente Portefeuille x1P , x 2P ,..., x PN in dem T entsprechenden Portefeuille enthalten ist. Entsprechend P ist die Standardabweichung dieses Portefeuilles gleich dem max n (x n ; x n ) -fachen der StandardP P P P abweichung des Portefeuilles x1 , x 2 ,..., x N und die Risikoprämie gleich dem max n (x n ; x n ) P max fachen der Risikoprämie RPDP . Die Größe n (x n ; x n ) bezeichnen wir als Niveauparameter. Zu seiner Erläuterung dient das Beispiel in Matrix IX.2 (mit N = 4): Papier
1
2
3
4
xn
7
3
40
2
x Pn
35
6
8
4
x n / x Pn
1/5
½
5
½
Matrix IX.2: Zur Ermittlung des dem Punkt T entsprechenden effizienten Portefeuilles
Der Niveauparameter (der größte Quotient x n / x P n ) beträgt hier 5, so dass das kleinste effiziente Portefeuille auf der Referenzlinie, welches das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält, folgendermaßen aussieht: x1 = 165; x2 = 30; x3 = 40; x4 = 20. Ist für ein Papier n x n positiv und x Pn gleich null, so geht der Quotient x n / x Pn gegen unendlich, so dass der Punkt T nicht existiert; es existiert kein effizientes Portefeuille auf der Refe-
338
Kapitel IX
renzlinie, welches das Duplikationsportefeuille als Teilmengen enthält. Unter den Voraussetzungen des CAPM besteht jedoch das Portefeuille x1P , x 2P ,..., x PN aus einem Anteil am Marktportefeuille, so dass jedes x Pn positiv ist.8 Wenn sich bei gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Endwerte P1n (und somit bei effizienten Portefeuilles) die Wahrscheinlichkeitsverteilung gegebener Struktur der ohne Ü 1 des Überschusses Ü1 und somit sein Duplikationsportefeuille ändert, ändern sich grundsätzlich auch die Position des Punktes P, die Risikoprämie des Duplikationsportefeuilles und der Umfang des effizienten Portefeuilles x1P , x 2P ,..., x PN auf der Referenzlinie, das diese Risikoprämie bietet. Man kommt zum Ordinatenwert des neuen Punktes T, indem man die Standardabweichung des neuen Portefeuilles x1P , x 2P ,..., x PN mit dem neuen Niveauparameter multipliziert. Den Abszissenwert des neuen Punktes T erhält man, indem zum neuen Abszissenwert (1 r) G 0 die mit dem neuen Niveauparameter gewichtete Risikoprämie des neuen Portefeuilles x1P , x 2P ,..., x PN (bzw. die damit übereinstimmende Risikoprämie des neuen Duplikationsportefeuilles) addiert wird. Zur Erläuterung möglicher Änderungen des Niveauparameters wird die Matrix IX.2 betrach derart, dass sich die Risikoprämie tet. Ändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ü 1 seines Duplikationsportefeuilles verdoppelt, verdoppelt sich auch das zugehörige auf der RefeP P renzlinie liegende effiziente Portefeuille auf x1 70; x 2 12; x 3P 16; x P4 8 . Der neue Niveauparameter hängt von der Struktur des neuen Duplikationsportefeuilles ab. Steigt der Über z.B. auf das Doppelte, so verdoppelt sich auch das Duplikationsportefeuille (es lautet schuss Ü 1 dann: x1 14; x 2 6; x 3 80; x 4 4 ). Der Niveauparameter ändert sich dann nicht. die Risikoprämie des DupliBleibt bei Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ü 1 kationsportefeuilles konstant, ändert sich auch das zugehörige auf der Referenzlinie liegende effiziente Portefeuille nicht. Wenn dabei die Zahl der im Duplikationsportefeuille enthaltenen Papiere des Typs 3 sinkt und die Bestände anderer Papiere steigen, sinkt der Niveauparameter so lange, bis schließlich ein Papier n 3 diesen Parameter bestimmt. Wenn sich die Struktur des annähert, sinkt tendenziell Duplikationsportefeuilles jener der effizienten Portefeuilles ohne Ü 1 der Strukturparameter. Er ist gleich 1, wenn die Strukturen identisch sind. Der neue Punkt P liegt dann auf der Referenzlinie, die demjenigen Abszissenwert (1 r) G 0 zugeordnet ist, der entspricht. dem neuen Überschuss Ü 1 Die Varianzen, Kovarianzen und Risikoprämien der Papiere haben zwar keinen direkten Einfluss auf den Niveauparameter. Jedoch sind die Strukturen des Duplikationsportefeuilles und relevant, wobei die Struktur der effizienten Portefeuilles des effizienten Portefeuilles ohne Ü 1 ohne Ü1 von den Varianzen, Kovarianzen und Risikoprämien abhängt.
3.4.2.3 Modifizierte Effizienzkurve bei teilweise negativen Kovarianzen
~ ~ Ist ein Teil der Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) bzw. der Korrelationen U(P1n ; P1m ) der Papiere im Duplikationsportefeuille mit anderen Papieren negativ, kann mög~ licherweise die Varianz und somit auch die Standardabweichung Sta (V1 ) des Endvermögens reduziert werden, indem zusätzlich zum Duplikationsportefeuille
8
Sind im Duplikationsportefeuille einzelne negative Wertpapierbestände (Leerverkäufe) enthalten, wird der Niveauparameter nach wie vor durch den größeren (positiven) Quotienten x n / x nP bestimmt. Sind im Duplikationsportefeuille ausschließlich negative Wertpapierbestände, kann dieses Portefeuille vollständig „leerverkauft“ werden, indem es gekauft wird. Leerverkaufsbeschränkungen spielen dann keine Rolle. Die „modifizierte“ Effizienzkurve stimmt dann vollständig mit der Referenzlinie überein, so dass der Punkt T nicht definiert ist.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
339
~ (als Repräsentant des Überschusses Ü1 ) Papiere ins Portefeuille genommen werden. Die Kurve, die den Zusammenhang zwischen minimaler Standardab~ ~ weichung Sta (V1 ) und dem Erwartungswert E(V1 ) zum Ausdruck bringt, sinkt dann zunächst bis zu einem Minimum M und steigt anschließend wieder, bis sie schließlich in einem Punkt T die Referenzlinie erreicht. Nur rechts von M verläuft die modifizierte Effizienzkurve (Abbildung IX.7). ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurve
z
T P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
M z
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) z
0
z
(1 r ) G 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
~ E(V1 )
RPDP
Abb. IX.7: Modifizierte Effizienzkurve bei teilweise negativen Kovarianzen bzw. Korrelationen ohne Leerverkauf von Wertpapieren
Da der Punkt P nicht auf der modifizierten Effizienzkurve liegt, kann er keine optimale (P,V)-Kombination repräsentieren; unabhängig von seiner Risikoaversion ist es für den ~ Investor optimal, das aus Ü1 resultierende Risiko zu hedgen. Es ist zu beachten, dass ~ ~ bei negativen Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) die Referenzlinie eine geringere Steigung haben kann als bei ausschließlich positiven Kovarianzen. Auch die Risikoprämie RPDP des Duplikationsportefeuilles und die Position des Punktes T ändern sich grundsätzlich, ~ ~ wenn ein Teil der Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) der Papiere im Duplikationsportefeuille mit anderen Papieren negativ wird. (Zum Einfluss der Kovarianzen auf die Preise und Risikoprämien der Papiere im CAPM-Gleichgewicht vgl. Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.1.) Jedoch verläuft die modifizierte Effizienzkurve im Bereich links von T wie bei ausschließlich positiven Kovarianzen konvex, wobei ihr senkrechter und waagrechter ~ Abstand von der Referenzlinie mit steigendem Erwartungswert E(V1 ) immer kleiner werden. ~ Wenn ausgehend vom Punkt P der Erwartungswert E(V1 ) durch Portefeuillebildung sukzessive erhöht wird, steht zunächst der Gesichtspunkt der Risikominimierung im Vordergrund. Es werden vor allem solche Papiere erworben, die mit
340
Kapitel IX
~ dem Überschuss Ü1 (mit Papieren des Duplikationsportefeuilles) negativ korre~ liert sind. Mit steigendem E(V1 ) nähert sich die Portefeuillestruktur unter Be~ rücksichtigung des Duplikationsportefeuilles (bzw. des Überschusses Ü1 ) immer mehr der Struktur der Referenzportefeuilles, bis schließlich ab dem Punkt T der ~ Überschuss Ü1 zuzüglich des ergänzenden Portefeuilles in dieselbe Risikoklasse fällt wie jene der Portefeuilles, die der Referenzlinie zugrunde liegen.
Der Verlauf der modifizierten Effizienzkurve hängt bei gegebenen Kovarianzen und Ri~ sikoprämien der Papiere von der Standardabweichung und dem Erwartungswert von Ü1 sowie der Struktur des Duplikationsportefeuilles ab. Diese Abhängigkeit und die Implikationen für den individuellen subjektiven Grenzpreis werden in Kapitel XI untersucht.
3.5
Eigenschaften des optimalen Portefeuilles
~ Das optimale Portefeuille unter Berücksichtigung des Überschusses Ü1 wird durch den Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Umfang und Struktur des optimalen Portefeuilles hängen vom Verlauf der modifizierten Effizienzkurve und der Risikoeinstellung des Investors ab.
) positiv, beginnt die Sind wie in Abschnitt 3.4.2.2 sämtliche Kovarianzen Kov(P1n ; Ü 1 modifizierte Effizienzkurve wie in Abbildung IX.5 im Punkt P und weist dort eine positive Steigung auf. Bei entsprechend hoher Risikoaversion ist im Punkt P die Steigung der hierdurch verlaufenden Indifferenzkurve kleiner als die der modifizierten Effizienzkurve (oder zufällig gleich). Es ist dann optimal, keine Papiere zu halten. Wenn die Steigung der Indifferenzkurve höher ist, liegt der Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve rechts von P; der Investor hält zusätzlich zum ~ Überschuss Ü1 ein Ergänzungsportefeuille. Mit fallender Risikoaversion wandert der Tangentialpunkt immer mehr nach rechts, so dass der Umfang des Ergänzungsportefeuilles (etwa gemessen durch seine Risikoprämie) immer größer wird. Zugleich nähert ~ sich die Struktur des Gesamtportefeuilles (d.h. des Überschusses Ü1 zuzüglich des Er~ gänzungsportefeuilles) immer mehr der Struktur der ohne Ü1 effizienten Portefeuilles. Bei entsprechend geringer Risikoaversion stimmt der Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve mit T überein oder er liegt rechts davon, also in dem Bereich, in dem die modifizierte Effizienzkurve mit der Referenzlinie übereinstimmt. Die Struktur des optimalen Gesamtportefeuilles stimmt dann mit der der effi~ zienten Portefeuilles ohne Ü1 überein. Das optimale Portefeuille mit und ohne Über~ schuss Ü1 unterscheidet sich jeweils allein dadurch, dass im ersten Portefeuille der Über~ schuss Ü1 und im zweiten sein Duplikationsportefeuille enthalten ist. Sind die Kovarianzen wie in Abschnitt 3.4.2.3 teilweise negativ, beginnt die modifizierte Effizienzkurve wie in Abbildung IX.7 in einem Punkt M rechts unterhalb von P.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
341
Unabhängig von seiner Risikoeinstellung hält hier der Investor ein Ergänzungsportefeu~ ille zum Hedgen des Überschusses Ü1 . Da die Steigung der modifizierten Effizienzkurve im Punkt M gleich null ist, muss ihr Tangentialpunkt mit einer Indifferenzkurve rechts davon liegen. Mit fallender Risikoaversion wandert der Tangentialpunkt nach ~ rechts, wobei sich wiederum die Struktur des optimalen Portefeuilles mit Ü1 immer ~ mehr der der effizienten Portefeuilles ohne Ü1 nähert, bis sie schließlich damit übereinstimmt.
4
Portefeuilleplanung mit Leerverkauf einzelner Papiere
4.1
Ermittlung effizienter Portefeuilles durch Modifikation des Grundmodells
Wir betrachten nun den Fall, dass ein Teil der im Duplikationsportefeuille enthaltenen Papiere leerverkauft werden kann. Möglicherweise können auch solche Papiere n leerverkauft werden, die nicht Bestandteil des Duplikationsportefeuilles sind (für die ~ x n 0 gilt). Auch mit solchen Papieren kann das aus dem Überschuss Ü1 resultieren~ ~ de Risiko durch Leerverkauf gehedgt werden, wenn ihr Endwert P1n mit Ü1 positiv korreliert ist. Können dagegen – anders als angenommen – alle Papiere des Duplikationsportefeuilles leerverkauft werden, kann durch dessen Leerverkauf eine sichere Vermögensposition realisiert werden. Wenn dagegen die Leerverkaufsmöglichkeit des Duplikationsportefeuilles beschränkt ist, gewinnen Leerverkaufsmöglichkeiten für Papiere außerhalb dieses Portefeuilles analog zum Kauf von Papieren mit negativer Kovarianz ~ für das Hedgen von Ü1 grundlegende Bedeutung. Der Einfachheit halber werden im Folgenden für die leerverkaufbaren Papiere keine Obergrenzen des Leerverkaufs berücksichtigt. Solche Obergrenzen können dagegen in der Realität besondere Bedeutung haben. Insbesondere kann die Bedingung gelten, dass nur solche Kombinationen an Leerverkaufsmengen zulässig sind, für die hinreichende Sicherheiten für die Erfüllung der Verpflichtungen aus den Leerverkäufen gestellt werden können. Im Vordergrund der Darstellungen steht das Problem, welche prinzipiellen Vorteile Leerverkäufe bieten können und welche Papiere bei Wahlmöglichkeiten leerverkauft werden sollten. Dabei nehmen wir an, dass Leerverkäufe – wie auch die anderen Formen des Wertpapierhandels – keine Transaktionskosten verursachen. Bei Leerverkauf eines Papiers verkaufe es der Investor zu Beginn der Periode ohne es zu besitzen zum Börsenkurs und kaufe es am Ende der Periode zum Börsenkurs, um es dem Käufer zu liefern; Leihgebühren fallen dabei nicht an. Leerverkauf stellt dann einfach eine Umkehrung der Überschüsse bei Kauf dar. ~ Bei gegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ü1 (also bei gegebener Position von P und gegebener Risikoprämie des Duplikationsportefeuilles) haben Leerverkäufe einzelner Papiere des Duplikationsportefeuilles keinen Einfluss auf den Abszissenwert (1 r ) G 0 , in dem die Referenzlinie beginnt. Sie beruht ohnehin auf der Fiktion, dass ~ das gesamte Duplikationsportefeuille leerverkauft wird. Wenn die ohne Ü1 effizienten
342
Kapitel IX
Portefeuilles (wie unter den Voraussetzungen des CAPM) auch dann keine Leerverkäufe enthalten, wenn sie zulässig sind, hat die nun betrachtete Möglichkeit von Leerverkäufen auch keinen Einfluss auf die Steigung der Referenzlinie; davon soll im Folgenden ausgegangen werden. Könnten alle im Duplikationsportefeuille enthaltenen Papiere leerverkauft werden, wäre – wie in Abschnitt 3 gezeigt wurde – die „modifizierte“ Effizienzkurve mit der Referenzlinie identisch. Die Tatsache, dass nur ein Teil dieser Papiere leerverkauft werden kann, bewirkt grundsätzlich, dass die modifizierte Effizienzkurve zunächst (wieder) oberhalb der Referenzlinie verläuft. Der Punkt, in dem sie beginnt, kann nun wegen der Leerverkaufsmöglichkeit eines Teils der im Duplikationsportefeuille enthaltenen und gegebenenfalls auch zusätzlicher Papiere links unterhalb von P liegen. Wenn a priori nicht bekannt ist, in welchem Punkt die modifizierte Effizienzkurve beginnt, ergeben sich hinsichtlich ihrer Ermittlung keine besonderen Probleme. Wie in Abschnitt 3.2 erläutert, wird zunächst das Portefeuille mit der absolut kleinsten Varianz bestimmt. Da die Effizienzkurve nur rechts von dem zugehörigen Erwartungswert ~ E(V1 ) verlaufen kann, wird anschließend für alternative Erwartungswerte in diesem Bereich das jeweilige Portefeuille mit minimaler Varianz ermittelt. Dabei kann analog zum Fall, dass überhaupt kein Leerverkauf zulässig ist, von der Fiktion ausgegangen werden, dass das gesamte Duplikationsportefeuille zum Marktwert leerverkauft und dann ein Portefeuille gebildet wird, für das gilt: (IX.26)
xn t xn
für n M kl und x n z 0
xn t 0
für n M kl und x n
und (IX.27)
0.
Hierin bezeichnet Mkl die Menge der Papiere, die nicht leerverkauft werden dürfen. Für die Papiere n, die mit einem positiven oder negativen Bestand im Duplikationsportefeuille enthalten sind ( x n z 0 ) gilt die Untergrenze x n z 0 . Für die Papiere n, die nicht im Duplikationsportefeuille enthalten sind und nicht leerverkauft werden dürfen, gilt x n 0 als Untergrenze. Für alle Papiere, die leerverkauft werden dürfen, existiert keine Untergrenze. Die Kurve im (P,V)-Diagramm, die angibt, welche Standardabweichung alternativen ~ Erwartungswerten E(V1 ) entspricht, stimmt auch hier wieder ab einem Punkt T mit der Referenzlinie überein. Links davon verläuft sie wie ohne Leerverkauf streng konvex.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
4.2
Analyse der modifizierten Effizienzkurve
4.2.1
Bedeutung von Leerverkäufen im Vergleich zu Käufen
343
4.2.1.1 Ein einziges leerverkaufbares Hedgeportefeuilles als Basis der modifizierten Effizienzkurve (a) Grenzvarianz und minimale Varianz des Endvermögens
Zur Analyse des Verlaufs der modifizierten Effizienzkurve soll zunächst gezeigt werden, unter welchen Bedingungen Leerverkäufe überhaupt effizient sind und wie sich die Implikationen von Leerverkäufen von denen von Käufen unterscheiden. Dabei ist es nun zweckmäßig, die graphischen Darstellungen auf das (P,V2)-Diagramm zu beziehen. Die folgenden Darstellungen haben auch Bedeutung für den Fall, dass der Überschuss ~ Ü1 nicht duplizierbar ist und Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Für die Varianz des Endvermögens gilt, sofern y Einheiten eines (Hedge-)Porte~ feuilles WP mit dem Endwert W1p erworben (y > 0) oder leerverkauft (y < 0) werden: ~ (IX.28) Var (V1 )
~ ~ ~ ~ Var ( Ü1 ) 2 y Kov( Ü1 ; W1P ) y 2 Var ( W1P ) ~ ~ ~ ~ Var ( Ü1 ) 2 U P y Sta ( Ü1 ) Sta ( W1P ) y 2 Var ( W1P ).
Dabei kann das (Hedge-)Portefeuille auch nur aus einem einzigen Wertpapiertyp ~ ~ bestehen. U P bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen W1p und Ü1 ~ (oder dem Endwert des Duplikationsportefeuilles von Ü1 ). Wird die erste Ableitung von (IX.28) nach y gebildet, erhält man die Grenzvarianz, die angibt, wie ~ sich die Varianz Var(V1 ) des Endvermögens ändert, wenn das Portefeuilleniveau um eine marginale Einheit erhöht wird: (IX.29)
~ dVar (V1 ) dy
~ ~ ~ 2 U P Sta ( Ü1 ) Sta ( W1P ) 2 y Var ( W1P ) ~ ~ 2 Kov( Ü 1 ; W1P )
~ ~ ~ 2 Sta ( W1P ) [U P Sta ( Ü1 ) y Sta ( W1P )] . Wird die erste Ableitung gleich null gesetzt, erhält man nach Umformung für den varianzminimierenden y-Wert: (IX.30)
y*
~ Sta ( Ü1 ) UP . ~ Sta ( W1P )
y* hat das entgegengesetzte Vorzeichen wie der Korrelationskoeffizient UP und ist betragsmäßig eine linear steigende Funktion dieses Koeffizienten. Für UP = 0 ist y* gleich null; es gibt keine Möglichkeit, durch Portefeuillebildung das aus Ü1 resultierende Risi-
344
Kapitel IX
ko zu reduzieren. Wenn der Korrelationskoeffizient positiv ist, kann durch Leerverkauf die Varianz reduziert (bzw. minimiert) werden. Einsetzen von y* gemäß (IX.30) in (IX.28) führt zu dem minimalen Varianzwert ~ Var(V1 ) Min : ~ ~ ~ Sta ( Ü1 ) ~ ~ (IX.31) Var (V1 ) Min Var ( Ü1 ) 2 ~ U p U p Sta ( Ü1 ) Sta ( W1p ) Sta ( W1 ) ~ Var( Ü1 ) ~ U 2p Var ( W1p ) ~ Var( W1p ) ~ ~ ~ Var ( Ü1 ) 2 Var( Ü1 ) U 2p Var ( Ü1 ) U 2p ~ Var ( Ü1 ) (1 U 2p ) .
Je größer der Betrag des Korrelationskoeffizienten, desto niedriger ist gemäß (IX.31) die minimale Varianz. Für das Duplikationsportefeuille ist dieser Koeffizient gleich 1; könnte es leerverkauft werden, würde sich eine Varianz von null ergeben. Allgemein gilt für die Grenzvarianz (IX.29): ~ 1. Wegen Sta ( W1P ) > 0 ist sie eine linear steigende Funktion von y. Entsprechend hat die (P,V2)-Kurve die Gestalt einer nach oben offenen Parabel mit dem Minimum an der Stelle y = y*. Das Vorzeichen der Grenzvarianz an der Stelle y = 0 stimmt mit dem des Korrelationskoeffizienten U P überein. 2. Für U P 0 ist die Grenzvarianz an der Stelle y = 0 negativ und ihr Betrag umso hö~ ~ her, je größer die Standardabweichungen Sta ( Ü1 ) und Sta ( W1P ) sind. Für gegebenen Korrelationskoeffizienten U P ( U P 0 ) und gegebene Standardabweichung ~ ~ Sta ( Ü1 ) liegt die Grenzvarianz für y = 0 umso mehr unter null, je größer Sta ( W1P ) ist. Je größer diese Standardabweichung, desto mehr steigt (sinkt) die Grenzvarianz, wenn ausgehend von null y steigt (aufgrund eines Leerverkaufs sinkt). 3. Für U P ! 0 ist die Grenzvarianz an der Stelle y positiv und umso höher, je größer ~ ~ die Standardabweichungen Sta ( Ü1 ) und Sta ( W1P ) sind. Für gegebenen Korrelati~ onskoeffizienten U P ( U P ! 0 ) und gegebene Standardabweichung Sta ( Ü1 ) ist die ~ Grenzvarianz für y = 0 umso niedriger, je niedriger Sta ( W1P ) ist; je niedriger ~ Sta ( W1P ) , desto weniger steigt (sinkt) die Grenzvarianz, wenn ausgehend von null y steigt (aufgrund eines Leerverkaufs sinkt). (b) Abhängigkeit der Varianz des Endvermögens von dessen Erwartungswert
Abbildung IX.8 zeigt die entsprechenden (P,V2)-Kurven für einen positiven Korrelationskoeffizienten (durchgezogene Kurve) und einen negativen Korrelationskoeffizienten (gestrichelte Kurve), wobei für beide Fälle der Betrag des Korrelationskoeffizienten als
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
345
gleich angenommen wird. Jede (P,V2)-Kurve verläuft symmetrisch um ihre minimale Varianz, die für beide Fälle identisch ist. ~ Var(V1 )
~ Var( Ü1 ) Up ! 0
Up 0
z z
z
M1
M2
0
Abb. IX.8:
y
Varianz des Endvermögens in Abhängigkeit von Kauf bzw. Leerverkauf eines gegebenen Hedgeportefeuilles auf dem Niveau y
Der symmetrische Verlauf folgt daraus, dass die Grenzvarianz gemäß (IX.29) eine linear steigende Funktion von y ist. Im Minimum M der (P,V2)-Kurve ist sie gleich null, für Abszissenwerte M1 – ǻ und M1 + ǻ sowie für M2 – ǻ und M2 + ǻ sind die Grenzvarianzen (die Steigungen der jeweiligen (P,V2)-Kurve) betragsmäßig gleich. Wie die Ab~ bildung IX.8 verdeutlicht, kann in beiden Fällen die Varianz gegenüber Var ( Ü1 ) in gleicher Weise reduziert werden. Jedoch besteht der folgende grundlegende Unterschied: Da die Risikoprämien aller Papiere annahmegemäß positiv sind, steigt mit Kauf der y* Einheiten des Portefeuilles WP (bei negativer Korrelation Up ) der Erwartungswert, während er mit Leerverkauf von | y* | Einheiten dieses Portefeuilles (bei positiver Korrelation) um denselben Betrag sinkt. Dabei erfüllt y* die Bedingung (IX.30). Für die weitere Darstellung gehen wir davon aus, dass das betrachtete (Hedge-)Portefeuille WP keine Leerverkäufe enthält und so normiert ist, dass ihm eine Risikoprämie von 1 entspricht. Bietet das Portefeuille zunächst eine Risikoprämie von rp z 1, ist (1/rp)-tel davon als Einheit zu definieren. Wegen rp > 0 gilt auch 1/rp > 0; der Normierungsfaktor ist positiv. Durch die Normierung ändert sich der Korrelationskoeffizient ~ mit Ü1 nicht9, jedoch ändern sich die Risikoprämie und die Standardabweichung auf (1/rp)-tel und die Varianz auf (1/rp2)-tel. 9
Es gilt allgemein: Gewichtet man die stochastischen Größen x und y mit den (deterministischen) Faktoren a > 0 und b > 0, so ändert sich der Korrelationskoeffizient U nicht: U
Sta(b y) Sta(a x) b y) Kov(a x;
b Sta(y) a Sta(x) y) a b Kov(x;
Sta(y) Sta(x) ; y) Kov(x;
346
Kapitel IX
Der Ausschluss von Leerverkäufen in Hedgeportefeuilles bedeutet hier keine Einschränkung der Allgemeinheit. Zum einen werden auch Leerverkäufe solcher Portefeuilles explizit betrachtet. Zum anderen stellen Konvexkombinationen aus leerverkauften Portefeuilles und gekauften Portefeuilles grundsätzlich Portefeuilles dar, in denen ein Teil der Papiere leerverkauft wird (Abschnitt 4.2.1.2 (b)). Aufgrund der Normierung ist die Risikoprämie des Hedgeportefeuilles gleich der Zahl y der darin enthaltenen Einheiten, so dass das erwartete Endvermögens wie folgt dargestellt werden kann: ~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y .
Somit kann – wie im Folgenden deutlich wird – der Zusammenhang zwischen der Varianz gemäß (IX.28) bzw. der Grenzvarianz gemäß (IX.29) einerseits und dem erwarteten Endvermögen andererseits anschaulich gezeigt werden. In den Abbildungen IX.9a und VIII.9b sind charakteristische Zusammenhänge dargestellt. Für den Punkt P auf der (P,V2)-Kurve, die angibt, wie die minimale Varianz ~ ) des Endvermögens von E(V Var(V 1 ) abhängt, gilt der Abszissenwert 1 ~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
mit y = 0,
so dass die (P,V2)-Kurve gemäß (IX.29) im Punkt P folgende Steigung STP aufweist: (IX.32)
STP
~ ~ 2 U P Sta ( Ü1 ) Sta ( W1P )
~ ~ 2 Kov( Ü1 ; W1P ) .
~ W1p bezeichnet jetzt den Endwert einer Einheit des normierten Portefeuilles. Im Fall ~ U P 0 ( U P ! 0 ) ist die Steigung im Punkt P negativ (positiv). Je größer Sta ( Ü1 ) , ~ Sta ( W1P ) und der Betrag von U P sind, desto mehr kann die Varianz zunächst reduziert werden, wenn ausgehend vom Punkt P für U P 0 (für U P ! 0 ) Einheiten des Portefeuilles gekauft (leerverkauft) werden. Die gestrichelte Hilfslinie tangiert in P die (P,V2)Kurve und hat ebenfalls die Steigung gemäß (IX.32). Sie gibt an, welche Höhe die Va~ rianz Var (V1 ) des Endvermögens gemäß (IX.28) vor Berücksichtigung des Terms ~ 2 y Var ( W1P ) für alternative y-Werte bzw. alternative erwartete Endvermögenswerte ~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
) ! 0 zum Ordinatenwert der gestrichelten Hilfslinie aufweist. Wird jeweils y 2 Var(W 1P ~ addiert, erhält man den exakten Wert von Var(V1 ) . Wenn ausgehend von y = 0 (also ausgehend vom Punkt P) y sukzessive steigt oder sinkt, steigt wegen der Gewichtung ~ ~ mit y2 der Einfluss der Varianz Var( W1P ) auf die Varianz Var (V1 ) progressiv an (Abbildungen IX.9a und IX.9b); das Gewicht der Standardabweichung wird mit steigendem Betrag von y im Vergleich zum Korrelationskoeffizienten immer größer.
der Korrelationskoeffizient ist von der Gewichtung unabhängig.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
347
~ Var(V1 )
~ y 2 Var( W1P )
~ Var( Ü1 )
Varianz ~ Var(V1 )
P z
z
M z
*
P !0 z
0
z
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y 0
~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E ( Ü1 ) y
Abb. IX.9a: Varianz des Endvermögens in Abhängigkeit von seinem Erwartungswert E(V 1 ) bei negativem Korrelationskoeffizienten UP (0 > UP > –1) ~ Var(V1 )
~ y 2 Var ( W1P )
Varianz ~ Var(V1 )
~ Var( Ü1 )
P z
M z
z
z
0
P * 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y 0
~ E(V ) ~ 1 (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
Abb. IX.9b: Varianz des Endvermögens in Abhängigkeit von seinem Erwartungswert E(V 1 ) bei positivem Korrelationskoeffizienten UP (0 < UP < 1)
In Abbildung IX.9a (mit Up 0 ) sinkt die Varianz zunächst, wenn die Zahl der Portefeuilleeinheiten und mithin die Risikoprämie sukzessive steigt. Im Punkt M, in dem sie ihr Minimum aufweist, beginnt die Effizienzkurve. Der Abszissenwert von M beträgt ~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y* , wobei y* die Bedingung (IX.30) erfüllt.
348
Kapitel IX
In Abbildung IX.9b (mit Up ! 0 ) liegt der Ausgangspunkt M der Effizienzkurve links von P; ein Leerverkauf über den Punkt M hinaus, würde nicht nur die Risikoprämie reduzieren, sondern zugleich auch die Varianz erhöhen; die Effizienzkurve liegt wieder in dem Bereich rechts von M. ~ Könnte mit dem betrachteten Hedgeportefeuille der Überschuss Ü1 dupliziert werden, würde Up 1 gelten und sich der in Abbildung IX.9c dargestellte Zusammenhang ergeben: ~ Var(V1 )
~ y 2 Var( W1p )
z
P
M z
0
(1 r ) G 0
z
~ E(V1 )
*
y 0 | y* |
RPDP
Abb. IX.9c: Varianz des Endvermögens in Abhängigkeit von seinem Erwartungswert beim Korrelationskoeffizienten UP = 1
Da das Hedgeportefeuille auf die Risikoprämie 1 normiert ist, könnte mit dem Leerver~ kauf von y* = RPDP Einheiten dieses Portefeuilles das aus Ü1 resultierende Risiko eliminiert werden. Der Verkauf dieser Einheiten entspricht dem expliziten Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles. 4.2.1.2 Mehrere leerverkaufbare Hedgeportefeuilles als Basis der modifizierten Effizienzkurve (a) Ohne Konvexkombination zwischen den betrachteten Portefeuilles (aa) Nur negative Korrelationskoeffizienten
Im Folgenden werden mehrere Hedgeportefeuilles berücksichtigt, wobei die Portefeuilleeinheiten wieder auf die Risikoprämie 1 normiert seien. Sie unterscheiden sich nur durch die Standardabweichung (Varianz) ihres Endwertes und dessen Korrelation mit ~ Ü1 . Jede Portefeuilleeinheit kann auf unterschiedlichem Niveau y realisiert werden. (Ein Portefeuille kann auch nur aus einem einzigen Wertpapiertyp bestehen.)
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
349
~ Für die Möglichkeit, mit den betrachteten Portefeuilles das aus Ü1 resultierende Ri~ siko zu hedgen, haben neben den Korrelationen mit Ü1 die Standardabweichungen der Endwerte der Portefeuilleeinheiten entscheidende Bedeutung. Weisen vor Normierung zwei Portefeuilles X und Y zwar dieselbe Standardabweichung, jedoch unterschiedliche Risikoprämien auf, ergeben sich mit der Normierung unterschiedliche Standardabweichungen. Ist z.B. für das Portefeuille X die Kovarianz zwischen seinem Endwert und dem Endwert bzw. der Rendite des Marktportefeuilles in der Ausgangssituation höher als für das Portefeuille Y, ist auch die Risikoprämie für das Portefeuille X zunächst (d.h. in der Ausgangssituation) höher. Die Normierung auf die Risikoprämie 1 führt dann da~ zu, dass bei unveränderlichen Korrelationen mit Ü1 dem Portefeuille X eine kleinere Standardabweichung entspricht als dem Portefeuille Y. Ist die Risikoprämie des Portefeuilles X zunächst größer als die des Portefeuilles Y, kann nach Normierung dem Portefeuille X auch dann eine niedrigere Standardabweichung als dem Portefeuille Y entsprechen, wenn seine Standardabweichung zunächst höher ist als die von Y. Wenn die folgende Analyse zeigt, dass von zwei normierten Portefeuilles mit glei~ chem Korrelationskoeffizienten bezüglich Ü1 dasjenige mit der kleineren (größeren) Standardabweichung besser zum Hedgen geeignet ist, sollte von zwei beliebigen Ausgangsportefeuilles mit gleichem Korrelationskoeffizienten dasjenige mit dem kleineren (größeren) Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie zum Hedgen herangezogen werden. Da die Risikoprämie eines Portefeuilles von der Kovarianz seines Endwertes mit dem Endwert (der Rendite) des Marktportefeuilles abhängt, haben diese Kovarianzen mittelbare Bedeutung für das Hedgen des Risikos, auch wenn sie bei der folgenden Analyse nicht explizit betrachtet werden. ~ Var(V1 )
für Portefeuille A P
~ Var( Ü1 )
z
für Portefeuille B
S z
MA 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
z
z
MB ~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E ( Ü1 ) y
0
Abb. IX.10: Zur Analyse der Effizienzkurve ohne Konvexkombinationen der betrachteten Hedgeportefeuilles
Von Konvexkombinationen zwischen verschiedenen Portefeuilles wird zunächst abgesehen. Als Erstes betrachten wir den Fall ausschließlich negativer Korrelationskoeffi-
350
Kapitel IX
~ ~ zienten zwischen den Endwerten W1p der betrachteten Hedgeportefeuilles und Ü1 . Gemäß (IX.31) kann die Varianz mit demjenigen Portefeuille minimiert werden, für das der Betrag des (negativen) Korrelationskoeffizienten U P am größten ist. Von zwei Portefeuilles A und B mit gleichem Korrelationskoeffizienten ( U PA U PB ) ist zwar die minimale Varianz dieselbe, jedoch entspricht gemäß (IX.30) demjenigen Portefeuille der höhere (positive) P*-Wert und somit gemäß der zugrunde gelegten Normierung ~ auch die höhere Risikoprämie, das die kleinere Standardabweichung Sta ( W1P ) aufweist. Wie die Abbildung IX.10 verdeutlicht, kann das Portefeuille mit der höheren Standardabweichung (ohne Konvexkombinationen) nicht effizient sein, wobei davon ausgegangen wird, dass das Portefeuille A die höhere Standardabweichung aufweist. Die (P,V2)-Kurve für das Portefeuille A kann isoliert gesehen nur im Bereich rechts von ihrem Minimum MA als Effizienzkurve relevant sein. Jedoch kann bei Zugrundelegung des Portefeuilles B bei gleicher minimaler Varianz ein Erwartungswert des Endvermögens in Höhe des Abszissenwertes des Punktes MB erzielt werden, so dass der Punkt MA durch MB dominiert wird. Da die Standardabweichung des Portefeuilles A größer ist als die von B muss wegen U PA U PB gemäß (IX.29) im Bereich rechts von MA die Grenzvarianz für das Portefeuille A für jeden Abszissenwert größer sein als für das Portefeuille B, so dass die (P,V2)-Kurve für Portefeuille A die für B in einem Punkt S links von MB schneidet. Die (P,V2)-Kurve für Portefeuille A kann somit nicht Effizienzkurve sein. Maßgeblich für die Effizienzkurve ist das Portefeuille B (mit der kleineren Standardabweichung). Zwar entspricht dem Portefeuille A im Bereich zwischen ~ den Punkten P und S für alternative E(V1 ) -Werte eine kleinere Varianz als dem Portefeuille B. Dies ist aber deshalb nicht relevant, weil dieser Bereich ineffiziente (P,V2)Positionen beschreibt.
Von mehreren Portefeuilles mit gleichem (negativem) Korrelationskoeffizienten ist ohne Konvexkombinationen nur dasjenige Portefeuille für die Effizienzkurve relevant, deren Standardabweichung nach Normierung am kleinsten ist; die anderen Portefeuilles werden dominiert. Analog kann gezeigt werden: Wenn das Portefeuille A nach Normierung nicht nur eine größere Standardabweichung aufweist, sondern auch einen höheren ~ Korrelationskoeffizienten mit Ü1 (d.h. einen kleineren Betrag des negativen Korrelationskoeffizienten), wird es ebenfalls vom Portefeuille B dominiert und kann für die Effizienzkurve nicht in Betracht kommen. Damit ein Portefeuille mit höherer Standardabweichung nicht dominiert wird, muss es ~ einen kleineren Korrelationskoeffizienten mit Ü1 aufweisen. Die Implikationen verdeutlicht die Abbildung IX.11. Hier besitzt das Portefeuille A wieder die höhere Stan~ dardabweichung, nun aber den kleineren Korrelationskoeffizienten mit Ü1 (d.h. den größeren Betrag des negativen Korrelationskoeffizienten). Aufgrund des kleineren Korrelationskoeffizienten ist jetzt gemäß (IX.31) die minimale Varianz für das Portefeuille A kleiner als für das Portefeuille B. Die Annahme, dass MA links von MB liegt, impli-
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
351
) für ziert nun gemäß (IX.30), dass der Betrag des (negativen) Quotienten UP / Sta(W 1P das Portefeuille A kleiner ist als für das Portefeuille B. Da das (negative) Produkt ~ U P Sta ( W1P ) für das Portefeuille A kleiner ist als für das Portefeuille B, ist nach (IX.29) an der Stelle y = 0, d.h. für den Punkt P, die Steigung der (P,V2)-Kurve für Portefeuille A kleiner als für B. Jedoch wächst wegen der höheren Standardabweichung für das Portefeuille A gemäß (IX.29) die Steigung der (P,V2)-Kurve für dieses Portefeuille mit steigendem P stärker als die für das Portefeuille B, so dass der senkrechte Abstand zwischen beiden (P,V2)-Kurven immer kleiner wird, bis schließlich ab dem Schnittpunkt S die (P,V2)-Kurve für Portefeuille A oberhalb der für B verläuft. Für die modifizierte Effizienzkurve sind nun beide Portefeuilles relevant. ~ Var(V1 )
für Portefeuille A
~ Var( Ü1 )
z
für Portefeuille B
P
MB z
z
S z
MA z
0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E ( Ü1 ) y
0
Abb. IX.11: Zur Analyse der Effizienzkurve ohne Konvexkombinationen der betrachteten Hedgeportefeuilles
Ohne Berücksichtigung von Konvexkombinationen beginnt die modifizierte Effizienzkurve im Punkt MA und stimmt zunächst mit der (P,V2)-Kurve für das Portefeuille A überein, ab dem Punkt S mit der für das Portefeuille B. Es zeigt sich auch hier, dass das ~ für das Hedgen des aus Ü1 resultierenden Risikos maßgebliche Portefeuille von der Risikoaversion des Investors abhängt. Ist sie hoch, so dass der Investor einen geringen ~ Erwartungswert E(V1 ) anstrebt, ist das Portefeuille A mit der niedrigeren Korrelation relevant, weil er damit in dem betreffenden Bereich das Risiko besonders gut reduzieren kann. Für hohe angestrebte Erwartungswerte gibt die kleinere Standardabweichung des Portefeuilles B den Ausschlag. Analoge Zusammenhänge gelten für den Fall, dass mehr als zwei Portefeuilles be~ rücksichtigt werden: Mit steigendem E(V1 ) gewinnt die Standardabweichung im Vergleich zum Korrelationskoeffizienten immer größeres Gewicht.
352
Kapitel IX
(ab) Nur positive Korrelationskoeffizienten ~ Es wird nun den Fall positiver Korrelationskoeffizienten mit Ü1 betrachtet (möglicher~ weise existiert gar kein Portefeuille mit negativer Korrelation mit Ü1 ). Für den Bereich ~ ~ y t 0 oder E(V1 ) t (1 r ) V0 E( Ü1 ) gelten hierfür die gleichen Zusammenhänge wie für U d 0 : Eine höhere Korrelation eines normierten Portefeuilles kann nur in Verbindung mit einer niedrigeren Standardabweichung für die Effizienzkurve relevant sein. ~ Interessanter bei positiven Korrelationskoeffizienten mit Ü1 ist allerdings der Be~ ~ reich E(V1 ) (1 r ) V0 E( Ü1 ) mit negativen Risikoprämien. Bei positivem Korrela~ tionskoeffizienten wird mit einem Portefeuille gemäß (IX.30) die Varianz Var(V1 ) bei negativem y*-Wert minimiert, also bei Leerverkauf. Dabei ist nach (IX.31) die minima~ le Varianz Var (V1 ) Min eine fallende Funktion von UP. Bei gegebenem UP ist nach (IX.30) der Betrag von y* und entsprechend auch der Betrag der zugehörigen (negati~ ven) Risikoprämie umso niedriger, je höher Sta ( W1P ) ist. Bei gleichem Korrelationskoeffizienten weisen somit zwei (normierte) Portefeuilles zwar dieselbe minimale Varianz auf, jedoch ist die zugehörige (negative) Risikoprämie für das Portefeuille mit der höheren Standardabweichung höher (betragsmäßig geringer), wie die Abbildung IX.12 verdeutlicht: ~ Var(V1 )
für Portefeuille B
für Portefeuille A
P
~ Var( Ü1 )
z
z
MA 0
z
MB ~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E ( Ü1 ) y
0
Abb. IX.12: Zur Analyse der Effizienzkurve ohne Konvexkombinationen der betrachteten Hedgeportefeuilles
~ ~ Die (P,V2)-Kurve für das Portefeuille A kann im Bereich E(V1 ) (1 r ) V0 E( Ü1 ) oder y 0 nicht effizient sein. In diesem Bereich kann jede mögliche Varianz mit ei~ nem höheren Erwartungswert E(V1 ) realisiert werden, wenn statt A das Portefeuille B ~ ~ zugrunde gelegt wird. Umgekehrt wird im Bereich E(V1 ) ! (1 r ) V0 E( Ü1 ) oder y > 0 die (P,V2)-Kurve für Portefeuille B von der für A dominiert. Ohne Berücksichtigung von Konvexkombinationen beginnt die Effizienzkurve im Punkt MB. Rechts von P wird sie durch die (P,V2)-Kurve für das Portefeuille A bestimmt.
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
353
Wenn ein (normiertes) Portefeuille eine höhere Standardabweichung aufweist als ein anderes (normiertes), muss es eine kleinere (positive) Korrelation aufweisen, damit es ~ ~ im Bereich E(V1 ) d (1 r ) V0 E( Ü1 ) Basis für die Effizienzkurve sein kann. Es gilt der folgende allgemeine Zusammenhang: Wenn die Risikoaversion des Investors hoch ist, geht es ihm primär darum, das exogene Risiko zu hedgen. Es gelingt tendenziell am besten, die Varianz zu reduzieren, wenn bei gegebener Standardabweichung das Portefeuille mit dem höchsten Betrag des Korrelations~ koeffizienten mit Ü1 zugrunde gelegt wird. Ist die Korrelation positiv, wird ein Leerverkauf vorgenommen; dabei wird eine negative Risikoprämie in Kauf ge~ ~ nommen, so dass E(V1 ) unter (1 r ) V0 E( Ü1 ) sinkt. ~ Je höher der angestrebte Erwartungswert E(V1 ) – je größer die Risikotoleranz des Investors – desto mehr gewinnt in (IX.28) die mit y2 gewichtete Varianz ~ Var( W1P ) im Vergleich zum Korrelationskoeffizienten UP an Gewicht. Bei ~ )t sukzessiver Erhöhung von E(V1 ) bzw. von y wird im Bereich E(V 1 (1 r) V0 E(Ü1 ) eine immer größere Korrelation in Kauf genommen, um den ~ Vorteil einer kleineren Varianz Var( W1P ) realisieren zu können. Von Bedeutung ist dabei, dass dasjenige Portefeuille mit der Risikoprämie 1 die kleinste ~ (Standardabweichung bzw.) Varianz Var( W1P ) aufweist, das in einem Anteil am Marktportefeuille besteht. Bisher wurde nur gezeigt, welche (P,V2)-Kurven als Basiselemente der Effizienzkurve überhaupt in Betracht kommen können. Zur theoretisch genauen Interpretation der Effizienzkurve sollten möglichst viele Korrelationskoeffizienten berücksichtigt werden. Sind Leerverkäufe ausgeschlossen, ist für jeden Korrelationskoeffizienten nur das Portefeuille mit der kleinsten Standardabweichung relevant. Wenn ab einem bestimmten ~ UP-Wert eine Erhöhung von UP nur in Verbindung mit einer Erhöhung von Sta ( W1P ) möglich ist, sind die betreffenden Portefeuilles für die Effizienzkurve irrelevant. Sind Leerverkäufe zulässig, kann damit auf der Basis von Portefeuilles mit positivem Korrelationskoeffizienten die Varianz reduziert werden. Für jede positive Korrelation ist ~ jetzt allerdings die größte Standardabweichung Sta ( W1P ) relevant. (b) Mit Konvexkombination zwischen den betrachteten Portefeuilles
Werden viele Portefeuilles mit unterschiedlichen Korrelationskoeffizienten mit ~ Ü1 und Standardabweichungen berücksichtigt, wird die Effizienzkurve grundsätzlich durch viele (P,V2)-Kurven bestimmt. Jede von ihnen ist dann für einen (kleinen) Abszissenbereich mit der modifizierten Effizienzkurve identisch. Jedoch kann vereinfacht werden, indem relativ wenige Portefeuilles explizit berücksichtigt und dann zusätzlich Konvexkombinationen zwischen Positionen auf ihnen betrachtet werden. Dabei sollten diese Portefeuilles den gesamten Bereich realisierbarer Korrelationskoeffizienten überspannen, um einen weiten Spielraum
354
Kapitel IX
für Anpassungen durch Konvexkombinationen zu ermöglichen. Konvexkombinationen haben für unsere Analyse auch aus folgendem Grund Bedeutung: Wir haben nur Portefeuilles betrachtet, in denen keine Leerverkäufe (also nur nichtnegative Wertpapierbestände) enthalten sind. Um zu Portefeuilles mit positiven und negativen Beständen zu kommen, sind daher Konvexkombinationen aus Käufen und (zulässigen) Leerverkäufen solcher Portefeuilles zu bilden. Existiert ein Portefeuille ~ mit negativer Korrelation mit Ü1 , kann durch alternative Konvexkombinationen aus Käufen von Einheiten dieses Portefeuilles und Leerverkäufen von Einheiten eines Porte~ feuilles mit positiver Korrelation mit Ü1 ausgehend von P die Varianz des Endvermögens reduziert werden, ohne dass sich dessen Erwartungswert ändert. Die Risikoprämien der betreffenden Portefeuilles sind dabei gleich null.
4.2.2
Allgemeine Charakteristik der modifizierten Effizienzkurve
Im Folgenden soll gezeigt werden, wie sich Leerverkaufsmöglichkeiten auf den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve auswirken können. Dabei beziehen sich die graphischen Darstellungen wieder auf das (P,V)-Diagramm; die Basiseffizienzkurve als Referenzlinie verläuft dann linear. ~ Sind (wie unter den Voraussetzungen des CAPM) ohne den Überschuss Ü1 Leerverkäufe nicht effizient, haben Leerverkaufsmöglichkeiten keinen Einfluss ~ auf die Referenzlinie. Wenn unter Berücksichtigung von Ü1 Leerverkäufe effizient sind, beginnt die modifizierte Effizienzkurve links unterhalb des Punktes P.10 Sie verläuft analog zum Fall ohne Leerverkauf (Abbildung IX.7) zunächst streng konvex, wobei sowohl ihr senkrechter als auch ihr waagrechter Abstand von der Basiseffizienzkurve (der Referenzlinie) mit steigendem Erwartungswert des Endvermögens immer kleiner werden, bis sie schließlich in einem (nicht eingezeichneten) Punkt Tl die Basiseffizienzkurve trifft. Dieser Punkt liegt tendenziell links von demjenigen Treffpunkt T, der für die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf maßgeblich ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass der Punkt Tl dem kleinsten effizienten Portefeuille auf der Referenzlinie entspricht, das statt des gesamten Duplikationsportefeuilles nur noch denjenigen Teil dieses Portefeuilles enthält, der nicht leerverkauft werden kann. Die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkauf verläuft dann bis zum ursprünglichen Punkt T (ohne Leerverkauf) unter der ohne Leerverkauf.
10
Bei unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles würde die modifizierte Effizienzkurve mit der Referenzlinie übereinstimmen.
355
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
Die Abbildungen IX.13 und IX.14 verdeutlichen, wie die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf im Prinzip durch Leerverkäufe und Konvexkombinationen daraus resultierender (P,V)-Positionen verbessert werden kann. Die Abbildung IX.13 beruht wie Abbildung IX.5, Abschnitt 3.4.2.2 (a), auf der An~ nahme, dass alle Korrelationskoeffizienten zwischen den Endwerten P1n und dem Über~ schuss Ü1 positiv sind, so dass die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf im Punkt P beginnt und dort bereits eine positive Steigung aufweist. Wenn nun ein leerverkaufbares Portefeuille (oder ein einzelnes leerverkaufbares Papier) existiert, dessen ~ Endwert mit Ü1 positiv korreliert ist, kann ausgehend von P durch Leerverkauf das Risiko in gewissem Umfang reduziert werden, im Beispiel der Abbildung IX.13 entlang der durch P verlaufenden Kurve bis zum Ordinatenwert des Punktes M1. Allerdings impliziert die Risikoreduktion, dass der Erwartungswert des Endvermögens sinkt. (Annahmegemäß sind die Risikoprämien aller Papiere positiv.) Durch Kauf von Einheiten des gleichen Portefeuilles könnten auch Positionen auf der durch P verlaufenden gestrichelten Kurve rechts oberhalb von P realisiert werden. Diese Positionen sind jedoch ineffizient. modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf
~ Sta (V1 )
T z
P*
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
z
z
z
z
M1
Referenzlinie
M2 RP*
z
0
z
(1 r) G 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
z
~ E(V1 )
RPDP
Abb. IX.13: Zum Verlauf der Effizienzkurve bei Leerverkauf einzelner Papiere
Beim Punkt P* auf der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf wird zusätzlich ~ zum Überschuss Ü1 ein Ergänzungsportefeuille gehalten, das ausschließlich nichtnegative Bestände an Papieren enthält. Dieses Portefeuille ist ohne Leerverkaufsmöglichkeiten effizient. Das Ergänzungsportefeuille enthält grundsätzlich zwei Typen von Papieren: Papiere, für die die Untergrenze x n (ohne Leerverkaufsmöglichkeiten) streng bindend ist und Papiere, für die das nicht der Fall ist. Für ein Papier n mit strenger Bindung der Untergrenze gilt gemäß den Darstellungen in Abschnitt 3.3.1, dass der Kauf zusätz-
356
Kapitel IX
licher Einheiten bei ansonsten unverändertem Portefeuille ineffizient ist, jedoch bei nun zulässigem Leerverkauf ein Vorteil erzielt werden kann. Allgemein kann ausgehend vom Punkt P* c.p. durch Leerverkauf eines Portefeuilles innerhalb gewisser Grenzen die Varianz (die Standardabweichung) reduziert werden, ~ wenn dessen Endwert positiv mit dem Überschuss Ü1 zuzüglich des Endwertes des Ergänzungsportefeuilles korreliert ist. Im Beispiel der Abbildung IX.13 ergibt sich als minimale Varianz der Ordinatenwert des Punktes M2. Die Darstellungen zum Punkt P ~ (dem Überschuss Ü1 ohne Ergänzungsportefeuille) gelten für P* analog. Durch Konvexkombination der den Punkten M1 und M2 entsprechenden Portefeuilles können die Positionen auf der gestrichelten konvexen Verbindungskurve zwischen diesen Punkten realisiert werden. Weitere Modifikationen durch Leerverkäufe und Konvexkombinationen können zusätzliche (P,V)-Kurven erzeugen, so dass schließlich die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkäufen analog zur Abbildung IX.4 als Umhüllende dargestellt werden kann. Je größer der Abszissenwert des Punktes P* auf der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf (je größer der angestrebte Erwartungswert des Endvermögens) ist, desto weniger Papiere mit strenger Bindung der Untergrenze x n sind in dem P* zugehörigen effizienten Portefeuille enthalten und desto weniger kann tendenziell die Position durch Leerverkäufe verbessert werden. Wenn P* mit P (Abbildung IX.13) übereinstimmt oder nur wenig rechts davon liegt, verbessert sich die Effizienzkurve tendenziell relativ stark, wenn solche Papiere leerverkauft werden ~ (können), für die die Kovarianz mit dem Überschuss Ü1 bzw. dem Endwert seines Duplikationsportefeuilles hoch ist. ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf z
P
~ Sta ( Ü1 ) z
T
z
M
P1
z
M2
z
M1
z
0
(1 r) G 0
z
z
z
z
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
Referenzlinie
~ E( V1 )
Abb. IX.14: Zum Verlauf der Effizienzkurve bei Leerverkauf einzelner Papiere
Die Abbildung IX.14 zeigt analoge Zusammenhänge für den Fall, dass aufgrund negati~ ~ ver Kovarianzen bzw. Korrelationen zwischen Endwerten P1n und Ü1 bzw. zwischen ~ Endwerten P1n und P1m die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf im Punkt M rechts unterhalb von P beginnt. Daneben können auch solche Papiere mit positiver Korrelation existieren, mit denen durch Leerverkauf das Risiko reduziert werden kann. Im
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
357
Beispiel der Abbildung IX.14 kann ausgehend von Punkt P (P1) die M1 (M2) entsprechende Standardabweichung erreicht werden. Durch Konvexkombinationen können außerdem (P,V)-Kombinationen auf der konvexen Verbindungskurve zwischen M1 und M2 realisiert werden, usw.
4.3
Eigenschaften des optimalen Portefeuilles
Das optimale Portefeuille wird durch den Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit Leerverkauf mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Bei gegebenem Verlauf dieser Effizienzkurve sind die Risikoprämie des optimalen Portefeuilles und der ent~ sprechende Erwartungswert E(V1 ) umso größer, je geringer die Risikoaversion des Investors ist, d.h. je größer bei quadratischer Nutzenfunktion der Abszissenwert b/2c des Mittelpunktes M der konzentrischen Halbkreise ist, die im (P,V)-Diagramm seine Indifferenzkurve bestimmen. Daraus folgt in Verbindung mit den Darstellungen zu den Abbildungen IX.6 und IX.7 folgende Tendenz: Je geringer die Risikoaversion, desto mehr ~ stimmt die Struktur des mit Ü1 optimalen Portefeuilles mit der jener Portefeuilles über~ ein, die der Referenzlinie entsprechen, also ohne Ü1 effizient sind. (Unter den Voraussetzungen des CAPM stellen diese Portefeuilles alternative Anteile am Marktportefeuille dar.) Wenn die Risikoaversion so gering ist, dass die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf in dem Bereich rechts von T eine Indifferenzkurve tangiert, dann hält der Investor ohne Leerverkauf dasselbe Portefeuille wie für den Fall, dass er das Duplikationsportefeuille vollständig leerverkaufen kann. Da es in diesem Bereich effizient ist, das Duplikationsportefeuille „zurückzukaufen“ bzw. nicht erst zu verkaufen, spielt hier der Ausschluss von Leerverkäufen keine Rolle; der Investor erzielt denselben Nutzenerwartungswert wie bei unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeit. Ist der Entscheidungsträger entsprechend risikoavers, liegt der Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf mit einer Indifferenzkurve oberhalb der Referenzlinie. Der Investor erzielt hier durch Ausschluss von Leerverkäufen eine Nutzeneinbuße, die vor allem dann groß ist, wenn überhaupt kein Leerverkauf möglich ist ~ ~ und wie für Abbildung IX.5 nur positive Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) relevant sind. Negative Kovarianzen und Leerverkaufsmöglichkeiten können allgemein vor allem dann Vorteile mit sich bringen, wenn der Investor eine hohe Risikoaversion hat und es für ihn also nicht optimal ist, ein Portefeuille mit hoher Risikoprämie zu realisieren.
5
Resümee
des Bewer1. Der individuelle subjektive Grenzpreis hängt davon ab, wie der Überschuss Ü 1 tungsobjekts durch Portefeuillebildung optimal gehedgt wird. Die Hedgemöglichkeiten hängen davon ab, inwieweit der Überschuss dupliziert werden kann und welche Möglichkeiten des Leerverkaufs von Papieren bestehen. Im vorliegenden und dem nachfolgenden Kapitel ein optimales wird gezeigt, wie unter Berücksichtigung eines exogenen Überschusses Ü 1 Portefeuille ermittelt werden kann, wie es unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen
358
Kapitel IX
von seinen Determinanten abhängt und wie es von demjenigen Portefeuille abweicht, das oh optimal ist. Im vorliegenden Kapitel wird davon ausgegangen, dass dieser Überschuss ne Ü 1 durch Portefeuillebildung duplizierbar ist. Im Vordergrund der Darstellungen steht die „modifizierte“ Effizienzkurve, die für die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises und die Analyse seiner Höhe von zentraler Bedeutung ist. Sie gibt an, wie unter Berück die minimale Varianz oder Standardabweichung des Endsichtigung des Überschusses Ü 1 vermögens von dessen Erwartungswert abhängt. Ihr Tangentialpunkt mit einer Indifferenz . Es wird davon ausgegangen, dass der kurve kennzeichnet das optimale Portefeuille mit Ü 1 Investor neben dem Überschuss Ü1 nur über das Geldvermögen V0 zum Zeitpunkt 0 verfügt. Wenn er keine Wertpapiere hält, erzielt er ein Endvermögen mit dem Erwartungswert ) und der Standardabweichung Sta(Ü ). ) (1 r) V E(Ü E(V 1 0 1 1 2. Wenn das Duplikationsportefeuille (vollständig) leerverkauft werden kann, ist für die Portefeuilleplanung direkt das Grundmodell der Portefeuilleplanung (Kapitel III) maßgeblich: Da verkaufte Papiere (ohne Transaktionskosten) zurückgekauft werden können, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit von der Fiktion ausgegangen werden, dass der Leerverkauf hat dann nur die Bedeutung, dass er das vorgenommen wird. Der exogene Überschuss Ü 1 Geldvermögen beeinflusst, über das der Investor zum Zeitpunkt null verfügt. Die Effizienzkurve verläuft dann im (P,V)-Diagramm so wie ohne den exogenen Überschuss linear. Die Effizienzkurve bei unbeschränktem Leerverkauf (oder direktem Verkauf des Überschusses zum Marktwert) wird als Basiseffizienzkurve bezeichnet. Sie dient als Referenzkurve Ü 1 (im (P,V)-Diagramm als Referenzlinie) für die Analyse des Verlaufs der modifizierten Effizienzkurve. 3. Anschließend wird der Fall betrachtet, dass überhaupt kein Leerverkauf vorgenommen werden (soll bzw.) darf, also nur nichtnegative Wertpapierbestände xn (n = 1,2,…,N) gehalten werden dürfen. Bei der Ermittlung der modifizierten Effizienzkurve stellt sich das Problem, für alternative Erwartungswerte unter expliziter Berücksichtigung von Ü 1 ) des Endvermögens V dasjenige Portefeuille mit der kleinsten ) t (1 r)V E(Ü E(V 1 0 1 1 Varianz (bzw. Standardabweichung) zu ermitteln. Es wurde gezeigt, wie dieses Problem gelöst werden kann. bzw. dem ihn repräsentierenden 4. Dem Geldvermögen V und dem exogenen Überschuss Ü 0
1
Duplikationsportefeuille entspricht der Punkt P im (P,V)-Diagramm. Dies ist der Ausgangspunkt der Analyse der modifizierten Effizienzkurve. P kann nicht unterhalb der Referenzli von der des nie liegen. Er liegt darüber, sofern die Risikoklasse des Überschusses Ü 1 Marktportefeuilles abweicht, wovon bei der Analyse der modifizierten Effizienzkurve ausgegangen wurde. Diese kann in keinem Bereich unterhalb der Referenzlinie verlaufen. Sie trifft jedoch die Referenzlinie in einem Punkt T. Er kennzeichnet das ohne den Überschuss effiziente Portefeuille mit dem kleinsten Erwartungswert und der kleinsten StandardabÜ 1 weichung (bzw. dem kleinsten Anteil am Marktportefeuille), welches das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält. Links von T verläuft die modifizierte Effizienzkurve oberhalb der Referenzlinie und streng konvex. Der senkrechte und der waagrechte Abstand zwischen ihr und der Referenzlinie werden bis zum Punkt T immer kleiner: Die fehlende Leer ) (mit verkaufsmöglichkeit des Duplikationsportefeuilles wirkt sich mit zunehmendem E(V 1 zunehmendem Umfang des effizienten Portefeuilles) immer weniger restriktiv aus; die Portefeuillestruktur (unter Einschluss des Duplikationsportefeuilles bzw. des hiermit repräsen ) nähert sich immer mehr derjenigen Struktur, die der Referenzlinie tierten Überschusses Ü 1 entspricht (annahmegemäß der Struktur des Marktportefeuilles). 5. Ist ein Teil der Kovarianzen Kov(P1n ;P1m ) der Papiere im Duplikationsportefeuille (als ) mit anderen Papieren negativ, kann möglicherweise die Repräsentant des Überschusses Ü 1
Portefeuilleplanung mit vollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
359
Standardabweichung des Endvermögens reduziert werden, indem zusätzlich zum Duplikati Papiere ins Portefeuille onsportefeuille bzw. dem hierdurch repräsentierten Überschuss Ü 1 genommen werden. Die Kurve, die den Zusammenhang zwischen minimaler Standardab ) und dem Erwartungswert E(V ) zum Ausdruck bringt, sinkt dann zuweichung Sta(V 1 1 nächst bis zu einem Minimum M und steigt anschließend wieder, bis sie schließlich in einem Punkt T die Referenzlinie erreicht. Nur rechts von M verläuft die modifizierte Effizienzkurve. 6. Die Möglichkeit, einzelne Papiere leer zu verkaufen, verbessert die Hedgemöglichkeiten mit der Folge, dass sich die modifizierte Effizienzkurve der Referenzdes Überschusses Ü 1 linie nähert. (Bei unbeschränktem Leerverkauf sind beide Kurven identisch.) Der Leerver positiv korreliert sind, hat bezüglich der Varianz des Endkauf von Papieren, die mit Ü 1 vermögens denselben Effekt wie der Kauf von Papieren mit betragsmäßig gleicher negativer Korrelation. Leerverkäufe nicht effizient, 7. Sind (wie unter den Voraussetzungen des CAPM) ohne Ü 1
haben Leerverkaufsmöglichkeiten keinen Einfluss auf die Referenzlinie. Wenn unter Be zulässige Leerverkäufe effizient sind, beginnt die modifizierte Effirücksichtigung von Ü 1 zienzkurve links unterhalb des Punktes P. Sie verläuft analog zum Fall ohne Leerverkauf zunächst streng konvex, wobei ihr senkrechter und ihr waagrechter Abstand von der Referenzlinie mit steigendem Erwartungswert des Endvermögens immer kleiner werden, bis sie schließlich in einem Punkt Tl die Referenzlinie trifft. Dieser Punkt liegt tendenziell links von demjenigen Treffpunkt T, der ohne Leerverkauf maßgeblich ist. Die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkauf verläuft dann bis zum ursprünglichen Treffpunkt T unter der alten. 8. Das optimale Portefeuille wird durch den Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Bei gegebenem Verlauf dieser Effizienzkurve sind die ) Risikoprämie des optimalen Portefeuilles und der entsprechende Erwartungswert E(V 1 umso größer, je geringer die Risikoaversion des Investors ist. Daraus ergibt sich folgende optiTendenz: Je geringer die Risikoaversion, desto mehr stimmt die Struktur des mit Ü 1 malen Portefeuilles mit der jener Portefeuilles überein, die der Referenzlinie zugrunde lie effizient sind. gen und ohne Ü 1 Wenn die Risikoaversion so gering ist, dass die ohne Leerverkauf maßgebliche modifizierte Effizienzkurve in dem Bereich rechts von T eine Indifferenzkurve tangiert, hält der Investor bei Leerverkaufsbeschränkungen letztlich dasselbe Portefeuille wie für den Fall, dass er das Duplikationsportefeuille vollständig leerverkaufen kann. Da es in diesem Bereich effizient ist, das Duplikationsportefeuille „zurückzukaufen“ bzw. nicht erst zu verkaufen, spielt hier der Ausschluss von Leerverkäufen keine Rolle; der Investor erzielt denselben Nutzenerwartungswert wie bei unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeit. Ist der Investor entsprechend risikoavers, liegt der Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf mit einer Indifferenzkurve links von T oberhalb der Referenzlinie. Der Investor erzielt hier durch Ausschluss von Leerverkäufen eine Nutzeneinbuße, die vor allem dann groß ist, wenn überhaupt kein Leerverkauf möglich ist und nur positive Kovarianzen Kov(P1n ;P1m ) relevant sind. Leerverkaufsmöglichkeiten können vor allem dann Vorteile mit sich bringen, wenn der Investor eine hohe Risikoaversion hat und keine negativen Korrelationskoeffizienten gegeben sind.
Kapitel X Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
1
Problemstellung
Im vorliegenden Kapitel werden die Darstellungen des vorhergehenden Kapitels für den Fall modifiziert, dass der exogene Überschuss nur unvollständig (bzw. „beschränkt“) duplizierbar ist, d.h. allenfalls einzelne Einzahlungen und/oder Auszahlungen (einzelne Überschusskomponenten) dupliziert werden können. Insbesondere wird untersucht, welche prinzipielle Bedeutung unvollständige Duplizierbarkeit für die Gestalt der modifizierten Effizienzkurve hat. Diese Kurve bestimmt gemeinsam mit den Indifferenzkurven ~ jenes Portefeuille, das unter Berücksichtigung des exogenen Überschusses Ü1 optimal ist, sowie den Nutzenzuwachs, der sich ergäbe, wenn der exogene Überschuss zum (virtuellen) Marktwert veräußerbar wäre. Im Vordergrund der Darstellungen steht der Fall, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Es wird sich zeigen, dass beschränkte Duplizierbarkeit bei unbeschränktem Leerverkauf im Prinzip dieselben Implikationen hat wie beschränkter Leerverkauf bei vollständiger Duplizierbarkeit. Beschränkungen der Duplizierbarkeit haben deshalb ähnliche Auswirkungen wie Beschränkungen von Leerverkäufen, weil sie die Möglich~ keiten begrenzen, das mit Ü1 verbundene Risiko durch Portefeuillebildung zu hedgen. Auf den folgenden Darstellungen aufbauend können die Implikationen von Leerverkaufsbeschränkungen analog analysiert werden wie in Kapitel IX. In Abschnitt 2 werden allgemeine Implikationen unvollständiger Duplizierbarkeit für den Fall unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten betrachtet. Um die Varianz des ~ ~ Endvermögens V1 (unter Berücksichtigung des Überschusses Ü1 ) zu minimieren, ist dasjenige Portefeuille heranzuziehen, für das der Betrag der Korrelation seines Endwer~ ~ tes mit Ü1 am größten ist. (Bei stochastischer Unabhängigkeit kann das aus Ü1 resultierende Risiko nicht gehedgt werden; Portefeuillebildung erhöht die Varianz.) Ist der betreffende Korrelationskoeffizient positiv (negativ), werden Einheiten dieses Portefeuilles leerverkauft (gekauft). Die Möglichkeit der vollständigen Duplikation stellt einen ~ Idealfall dar: Der Korrelationskoeffizient seines Endwertes mit dem Überschuss Ü1 ist hier entweder +1 oder –1. In Abschnitt 3 wird ein Modell der Portefeuilleplanung für unbeschränkten Leerverkauf von Wertpapieren dargestellt und die Bedingungen effizienter Portefeuilles interpretiert.
362
Kapitel X
Darauf aufbauend wird in Abschnitt 4 allgemein die Gestalt der modifizierten Effizienzkurve untersucht. Besondere Beachtung finden dabei die Implikationen beschränkter Duplizierbarkeit. In Abschnitt 5 werden die Darstellungen für den Fall konkretisiert, dass Beschrän~ kungen der Duplizierbarkeit aus Störtermen für den Überschuss Ü1 und/oder die Endwerte P1n der Wertpapiere resultieren, die nicht direkt gehedgt werden können (die nicht handelbar, also idiosynkratisch sind). Dabei gehen wir vereinfachend davon aus, ~ dass der Störterm für Ü1 keinen Einfluss auf dessen Marktwert hat und Störterme für die Papiere n (wie im modifizierten SPA) keinen Einfluss auf deren Preise P0n und Risikoprämien E(P1n ) (1 r) P0n haben.
2
Implikationen unvollständiger Duplizierbarkeit
Zunächst wird der Fall betrachtet, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Könn~ te der Überschuss Ü1 (vollständig) dupliziert werden, könnte das daraus resultierende Risiko durch Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles völlig beseitigt werden. ~ Da nun Ü1 nicht duplizierbar ist, bestehen selbst bei unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten keine idealen Möglichkeiten, das exogene Risiko zu hedgen. Welche Kon~ ~ sequenzen sich ergeben, hängt von den Kovarianzen Kov(P1n ; Ü1 ) (n = 1,2,…, N) ab. ~ Zur Erläuterung wird wieder ein Hedgeportefeuille WP mit dem Endwert W1p betrachtet. Werden y Einheiten dieses Portefeuilles erworben (im Fall y < 0 erfolgt ein Leerverkauf), ergibt sich folgende Varianz des Endvermögens: (X.1)
~ Var (V1 )
~ ~ ~ ~ Var( Ü1 ) 2 y U p Sta ( Ü1 ) Sta ( W1p ) y 2 Var( W1p ) .
~ ~ Dabei bezeichnet Up den Korrelationskoeffizient für Ü1 und W1p . Für den y-Wert, mit ~ dem die Varianz Var(V1 ) minimiert wird, gilt (Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.1):
(X.2)
y*
~ Sta ( Ü1 ) Up . ~ Sta ( W1p )
~ Der Betrag von y* ist umso größer, je größer die Standardabweichung Sta ( Ü1 ) und der Betrag der Korrelationskoeffizienten Up sind und je kleiner die Standardabweichung ~ Sta ( W1p ) ist. Für die y* entsprechende minimale Varianz (das „Basisrisiko“) gilt (Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.1):
(X.3)
~ Var (V1 ) Min
~ Var ( Ü1 ) (1 U 2p ) .
~ Für die Grenzfälle Up = 1 und Up = –1 ist die minimale Varianz gleich null. Das mit Ü1 verbundene Risiko wird völlig beseitigt (perfekt gehedgt), wenn das Portefeuille WP
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
363
~ mit dem Endwert W1p auf dem Niveau y* gemäß (X.2) realisiert wird. Im Fall Up = 1 erfolgt ein Leerverkauf, im Fall Up = –1 ein Kauf auf diesem Niveau. Die beiden Grenzfälle implizieren den folgenden linearen Zusammenhang, wobei a und b deterministische Größe sind: (X.4)
~ Ü1
~ a W1p b
(a 0 und b beliebig).
~ Der Überschuss Ü1 besteht also aus einer stochastischen Komponente, die mit a Einheiten des Portefeuilles WP übereinstimmt, und einem deterministischen Betrag b. Gemäß (X.4) gilt für Up:
(X.5)
Up
;W Kov(Ü 1 1p ) ) Sta(Ü1 ) Sta(W 1p
b; W ) Kov(a W 1p 1p ) Sta(a W1p b) Sta(W 1p
;W ) a Kov(W 1p 1p ) Sta(W ) | a | Sta(W 1p 1p
) a Var(W 1p ) | a | Var(W 1p
a . |a|
Da wegen a z 0 der Betrag von a, | a | , positiv ist, folgt: Up = –1 für a < 0 und Up = 1 für a > 0. Für a > 0 (d.h. für Up = 1) folgt aus (X.2): (X.6)
y*
) Sta(Ü 1 ) Sta(W 1p
) a Sta(W 1p ) Sta(W
a .
1p
Es werden also a Einheiten des Portefeuilles leerverkauft. Unter Berücksichtigung von (X.4) ergibt sich die Position: (X.7)
aW Ü 1 1p
baW aW 1p 1p
b.
Somit wird am Ende der Periode der sichere Überschuss b erzielt, wenn a Einheiten des ~ Portefeuilles mit dem Überschuss W1p leerverkauft werden. (Am Anfang der Periode wird der Leerverkaufserlös erzielt.) Das Risiko wird eliminiert. Für a < 0 (d.h. für Up = –1) werden gemäß (X.2) (X.8)
y*
~ Sta ( Ü1 ) (1) ~ Sta ( W1p )
~ | a | Sta ( W1p ) ~ Sta ( W1p )
|a|
Einheiten des Portefeuilles gekauft. Unter Berücksichtigung von (X.4) ergibt sich die Position: (X.9)
| a | W Ü 1 1p
b | a | W aW 1p 1p
b.
364
Kapitel X
Interpretation: Wegen a < 0 gilt a | a | , so dass sich am Ende der Periode der sichere Überschuss b ergibt, indem y* = | a | Einheiten des Portefeuilles gekauft werden. Am Anfang der Periode ist der Kaufpreis für das Portefeuille zu zahlen. Wieder wird das Risiko eliminiert. ~ ~ Für a > 0 kann gemäß (X.4) die riskante Komponente von Ü1 (d.h. a W1p ) durch Kauf von a Einheiten des Portefeuilles WP dupliziert werden. Der für a > 0 maßgebliche Leerverkauf der betreffenden Papiere kann somit als Leerverkauf des Duplikations~ portefeuilles für a W1p interpretiert werden. Für a < 0 besteht das Duplikationsporte~ ~ feuille für die riskante Komponente von Ü1 (d.h. für a W1p ) darin, dass das Duplikationsportefeuille für den Fall a > 0 leerverkauft wird, so dass der für a < 0 maßgebliche Kauf von | a | Einheiten des Portefeuilles WP wiederum als Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles interpretiert werden kann. Es zeigt sich, dass sowohl für U = +1 als auch für U = –1 die Risikoelimination in einem Leerverkauf des Duplikationsportefeuil~ les für die riskante Überschusskomponente von Ü1 besteht; dieser Überschuss wird in einen sicheren Überschuss zum Zeitpunkt 0 transformiert. ~ ~ Duplikation und Leerverkauf des gesamten Überschusses Ü1 a W1p b erfolgen 1 in der Weise, dass im Fall b > 0 zusätzlich ein Kredit von (1 r ) b aufgenommen und im Fall b < 0 der betreffende Kapitalbetrag zum risikolosen Zinssatz r angelegt wird. ~ Wenn der Überschuss Ü1 nicht dupliziert werden kann, ist es nicht möglich, ihn perfekt zu hedgen. Jedoch kann eine gute Annäherung an eine vollständige Duplikation gelingen, wenn ein Portefeuille existiert, für das der Betrag des Korrela~ tionskoeffizienten mit Ü1 hoch ist. Die Varianz des Endvermögens wird minimiert, wenn das Portefeuille mit dem betragsmäßig höchsten Korrelationskoeffizienten zugrunde gelegt wird und von diesem y* Einheiten gemäß (X.2) leerverkauft werden, wenn Up > 0, oder gekauft werden, wenn Up < 0 gilt. Man kann den Betrag des Korrelationskoeffizienten zwischen dem Endwert eines Portefeu~ illes und Ü1 als „Duplikationsgrad“ dieses Portefeuilles interpretieren. Ist er gleich 1 oder –1, besteht vollständige Duplizierbarkeit. Für Up = 0 besteht überhaupt keine Duplizierbarkeit; man kann mit dem betreffenden Portefeuille weder durch Kauf noch Leerverkauf das Risiko reduzieren (sondern nur erhöhen).
Es wird ersichtlich, dass a priori keine allgemeingültigen Aussagen über die Implikationen fehlender Duplizierbarkeit gemacht werden können. Wenn kein Duplikationsportefeuille existiert, kann zwar das Risiko nicht vollständig beseitigt werden. Ob es dann mehr oder weniger gut reduziert werden kann, hängt davon ab, in welcher Weise ein Duplikationsportefeuille durch ein anderes Portefeuille mit maximalem Betrag des Korrelationskoeffizienten approximiert werden kann. Bei unvollständiger Duplizierbarkeit kann die Portefeuilleplanung auch dann nicht ~ unabhängig vom Überschuss Ü1 erfolgen, wenn Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind.
365
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
3
Portefeuilleplanung mit exogenem Überschuss
~ Da nun der Überschuss Ü1 nicht duplizierbar ist, muss er bei der Ermittlung und Analyse effizienter Portefeuilles stets explizit berücksichtigt werden; er kann nicht durch ein Duplikationsportefeuille repräsentiert werden. Zunächst wird bis auf weiteres von unbeschränktem Leerverkauf ausgegangen. Man erhält dann den Ausgangspunkt M der modifizierten Effizienzkurve (mit der kleinsten Varianz), indem ohne Berücksichtigung von Nebenbedingungen (ohne Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen xn und ohne exogen vorgegebenen Erwartungswert für das Endvermögen) folgende Varianz minimiert wird:
(X.10) ~ Var (V1 )
N
N
~
~
N
~ ~
~
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) ¦ 2 x n Kov( Ü1 ; P1n ) Var( Ü1 ) . n 1m 1
n 1
Für das betreffende Portefeuille x1 , x 2 ,..., x N gelten die Effizienzbedingungen: (X.11.n)
N ~ ~ ~ ~ 2 ¦ x *m Kov(P1n ; P1m ) 2 Kov( Ü1 ; P1n )
0
(n = 1,2,…,N).
m 1
Dem Portefeuille entspricht ein O* -Wert von null. Es ist so strukturiert, dass für das Papier n (n = 1,2,…,N) die Grenzvarianz gemäß (X.11n) gleich null ist. Die Grenzvarianz für das Papier n wird nun allerdings unter Berücksichtigung der Kovarianz ~ ~ Kov( Ü1 ; P1n ) ermittelt. Rechts vom Punkt M mit der minimalen Varianz ist O* positiv ~ und umso größer, je höher der zugehörige Erwartungswert E(V1 ) ist. Bei unbeschränktem Leerverkauf erhält man das einem exogen vorgegebenem O* Wert ( O* ! 0 ) entsprechende effiziente Portefeuille, indem das folgende Gleichungssystem gelöst wird (mit N Variablen und N Gleichungen): (X.12.n)
N ~ ~ ~ ~ 2 ¦ x *m Kov(P1n ; P1m ) 2 Kov( Ü1 ; P1n )
~ O* [E(P1n ) (1 r ) P0n ]
m 1
(n = 1,2,…,N). ~ ~ Wären alle Kovarianzen Kov( Ü1 ; P1n ) gleich null, stimmten für jedes O* die Effizienzbedingungen (X.12.n) mit (III.13.n) (Kapitel III, Abschnitt 4.1) überein; der Über~ schuss Ü1 hätte keinen Einfluss auf die effiziente Portefeuillestruktur. (X.12.n) kann wie folgt umgestellt werden:
(X.13.n)
N ; P ) 2 ¦ x*m Kov(P1n ; P1m ) O* [E(P1n ) (1 r) P0n ] 2 Kov(Ü 1 1n m 1
(n = 1,2,…,N). ~ ~ Die Terme 2 Kov( Ü1 ; P1n ) im Gleichungssystem wirken sich im Prinzip so aus, als ob ~ ~ sich die Risikoprämien änderten. Je kleiner O* , desto größer sind für Kov( Ü1 ; P1n ) z 0
366
Kapitel X
die Beträge der Korrekturterme im Vergleich zu der mit O* gewichteten Risikoprämie und desto größer ist ihr Einfluss auf die effiziente Portefeuillestruktur.
4
Allgemeine Analyse der modifizierten Effizienzkurve
4.1
Charakteristik
Im Folgenden untersuchen wir Implikationen fehlender Duplizierbarkeit für die Gestalt der modifizierten Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm. Fehlende Duplizierbarkeit wirkt sich sehr unterschiedlich auf den Verlauf dieser Kurve aus, je nachdem, auf welche Papiere zurückgegriffen werden kann, um eine Approximation des Duplikationsportefeuilles ~ für Ü1 zu erzielen. Die Möglichkeiten, ausgehend vom Punkt P (mit dem Erwartungswert des Endver~ ~ ~ mögens (1 r ) V0 E( Ü1 ) und der Varianz Var (V1 ) Var ( Ü1 ) ) durch Portefeuillebildung den Erwartungswert und die Varianz des Endvermögens zu verändern, können bei unvollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf wie bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf analysiert werden (Kapitel IX, Abschnitt 4.2). Es soll nun wieder die modifizierte Effizienzkurve mit derjenigen Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) verglichen werden, die sich für den Fall ergäbe, dass der Investor den ~ Überschuss Ü1 zum virtuellen Marktwert verkaufte. Dieser Vergleich ist auch für die Analyse der Abweichung zwischen dem individuellen subjektiven Grenzpreis und dem ~ ~ Marktwert des Überschusses Ü1 relevant (Kapitel XI). Da Ü1 nicht duplizierbar ist, kann nun die Referenzlinie nicht erklärt werden, indem von einem fiktiven Leerverkauf eines Duplikationsportefeuilles ausgegangen wird. Wir beziehen daher die Referenzlinie ~ auf den fiktiven direkten Verkauf des Überschusses Ü1 zum (virtuellen) Marktwert ~ M 0 ( Ü1 ) gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM, die keine Duplizierbarkeit voraussetzen.1 Effizient seien für den Fall des Verkaufs des Überschusses nur solche Portefeuilles, die einen Anteil am Marktportefeuille darstellen; entsprechend resultiert die Referenzlinie daraus, dass alternative Anteile am Marktportefeuille gehalten werden. Wird der Anteil z am Marktportefeuille gehalten, ergibt sich das folgende Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie:
~ z Sta (M1G ) z RPG
~ Sta (M1G ) . RPG
Dies ist die Steigung der Referenzlinie im (P,V)-Diagramm. Gemäß (IV.41) (Kapitel IV, ~ Abschnitt 5.4.1) gilt Sta (M1G ) M 0 Sta (~rG ) . Somit kann unter Berücksichtigung von (IV.40) die Steigung wie folgt dargestellt werden: 1
nicht von den Endwerten aller Wertpapiere stochastisch unabhängig ist, wird Da der Überschuss Ü 1 streng genommen die Modellwelt des CAPM verlassen, in der stochastische Unabhängigkeit besteht. Trotzdem sollen hier deren Bewertungsfunktionen herangezogen werden, da man sie auch bei praktischer (Unternehmens-)Bewertung anzuwenden pflegt (obwohl die Voraussetzungen des CAPM auch in der Praxis nicht erfüllt sind).
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
~ Sta (M1G ) RPG
M 0 Sta (~rG ) M 0 [E(~rG ) r ]
367
Sta (~rG ) . E(~rG ) r
Die Steigung kann also als Quotient der Standardabweichung der Rendite ~rG und der Überrendite des Marktportefeuilles ermittelt werden. Die modifizierte Effizienzkurve verläuft wie bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten ausgehend von ihrem Minimum konvex steigend. Jedoch existiert nun streng genommen kein Punkt, von dem an sie mit der Referenzlinie übereinstimmt; sie verläuft stets oberhalb dieser Linie. ~ Dies mag zunächst als unplausibel erscheinen. Da der Überschuss Ü1 nicht duplizierbar ist, fällt er in eine Risikoklasse, die durch reine Portefeuillebildung nicht realisierbar ist, so dass die Vermutung nahe liegt, dass er die Möglichkeiten eröffnen kann, bessere (P,V)-Positionen zu erzielen als mit reiner Portefeuillebildung gemäß der Referenzlinie. Wie im Folgenden gezeigt wird, ist dies jedoch nicht der Fall.
4.2
Zur Position des Ausgangspunktes P ohne Portefeuillebildung
Ausgangspunkt der Betrachtung ist – wie üblich – der Punkt P (Abbildung X.1) mit dem ~ ~ Ordinatenwert Sta ( Ü1 ) und dem Abszissenwert (1 r ) V0 E( Ü1 ) . Dieser Punkt kennzeichnet die (P,V)-Position ohne Portefeuillebildung. ~ Sta (V1 )
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
0
Referenzlinie
z
z
(1 r ) G 0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
~ E(V1 )
~ RPM ( Ü1 )
Abb. X.1: Allgemeiner Verlauf der Referenzlinie
~ ~ Wir gehen davon aus, dass die Marktrisikoprämie RPM ( Ü1 ) des Überschusses Ü1 (wie die aller Papiere n) positiv ist, so dass der Ausgangspunkt (1 r ) G 0 der Refe-
368
Kapitel X
renzlinie auf der Abszisse einen kleineren Abszissenwert als der Punkt P aufweist. Für die Risikoprämie gilt also: (X.14)
~ RPM ( Ü1 )
~ ~ E ( Ü1 ) (1 r ) M 0 ( Ü1 ) ! 0 .
Die positive Risikoprämie impliziert, dass der risikoangepasste Zinssatz für den Über~ ~ ~ schuss Ü1 größer ist als der risikolose Zinssatz r; Ü1 ist mit M 1G bzw. mit rG positiv korreliert. Wie im Folgenden gezeigt wird, ist bei fehlender Duplizierbarkeit das Verhältnis aus ~ der Standardabweichung des Überschusses Ü1 und dessen Marktrisikoprämie ) stets größer als die Steigung der Referenzlinie, RPM (Ü 1 ~ Sta (M1G ) RPG
Sta (~rG ) , E(~rG ) r
so dass der Punkt P zwangsläufig wie in Abbildung X.1 oberhalb der Referenzlinie ~ liegt. Für die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü1 gilt analog zu (IV.27): (X.15)
~ RPM ( Ü1 )
~ ~ RPG Kov( Ü1 ; M1G ) ~ Var (M1G ) ~ ~ ~ RPG ~ Sta ( Ü1 ) U( Ü1 ; M1G ) Sta (M1G ) ~ Var (M1G ) ~ ~ ~ RPG Sta ( Ü1 ) U( Ü1 ; M1G ) . ~ Sta (M1G )
Hieraus folgt für das Verhältnis aus Standardabweichung und Marktrisikoprämie ~ des Überschusses Ü1 : (X.16)
~ Sta ( Ü1 ) ~ RPM ( Ü1 )
~ Sta (M1G ) 1 ~ ~ . RPG U( Ü1 ; M1G )
~ Für M1G gilt
(X.17)
~ M1G
(1 ~rG ) M 0G
M 0G ~rG M 0G ,
wobei M0G den Marktwert des Marktportefeuilles zum Zeitpunkt 0 bezeichnet. Da er deterministisch ist, folgt:
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
(X.18)
369
;M ; r M ) Kov(Ü Kov(Ü 1 1G ) 1 G 0G ) Sta(M ) Sta(r M ) ) Sta(Ü Sta(Ü 1 1G 1 G 0G M 0G Kov(Ü1; rG ) ) Sta(r ) M 0G Sta(Ü 1 G U(Ü ; r ) .
;M U(Ü 1 1G )
1 G
Somit kann (X.16) wie folgt dargestellt werden: (X.19)
~ Sta ( Ü1 ) ~ RPM ( Ü1 )
~ Sta (M1G ) 1 ~ . RPG U( Ü1 ; ~rG )
~ ~ ) positiv ist und folglich U( Ü Da annahmegemäß RPM (Ü 1 ; rG ) ! 0 gilt, ist ge1 mäß (X.19) die Standardabweichung pro Marktrisikoprämie des Überschusses ; r ) Ü1 positiv und eine fallende Funktion seines Korrelationskoeffizienten U(Ü 1 G mit der Rendite des Marktportefeuilles. Sie erreicht ihr Minimum für U( ) 1 und stimmt dann mit dem Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie für das Marktportefeuille, d.h. der Steigung der Referenzlinie, überein. Die Bedingung U( ) 1 ist erfüllt, wenn zwei deterministische Faktoren a (a > 0) und b ! ( b 0 ) existieren, so dass gilt: (X.20)
~ Ü1
a ~rG b
a (1 ~rG ) b a .
~ Dies bedeutet, dass Ü1 mit der Anlage des Geldbetrages a im Marktportefeuille und einer Anlage bzw. Aufnahme von (1 r ) 1 (b a ) Geldeinheiten zum risikolosen Zins~ satz r duplizierbar ist. Annahmegemäß ist aber Ü1 überhaupt nicht duplizierbar. Der ~ Korrelationskoeffizient des Überschusses Ü1 mit ~rG ist daher kleiner als 1, so dass der Punkt P oberhalb der Referenzlinie liegen muss.
4.3
Vergleich der modifizierten Effizienzkurve mit der Referenzlinie
Wir untersuchen nun den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve im Vergleich zur Referenzlinie. Dabei gehen wir davon aus, dass nur Portefeuilles, die gemeinsam mit ~ Ü1 eine positive Marktrisikoprämie bieten, auf der modifizierten Effizienzkurve liegen. Sie beginnt somit bei einem Abszissenwert, der höher ist als derjenige (1 r ) G 0 , bei dem die Referenzlinie beginnt. Bei möglichen Leerverkäufen wird jedoch der Beginn der modifizierten Effizienzkurve (ihr Minimalpunkt M) grundsätzlich links von Punkt P ~ liegen. Es gilt nun: Auch in Verbindung mit Portefeuillebildung kann mit Ü1 kein Punkt auf oder unterhalb der Referenzlinie erreicht werden.
370
Kapitel X
Beweis~: Bezeichnet man den Endwert eines beliebigen Ergänzungsportefeuilles für ~ Ü1 mit PÜ1 , gilt analog zu (X.16):
(X.21)
~ ~ Sta ( Ü1 PÜ1 ) ~ ~ RPM ( Ü1 PÜ1 )
~ Sta (M1G ) RPG
1 ~ ~ ~ U( Ü1 PÜ1 ; M1G )
bzw. analog zu (X.19):
(X.22)
~ ~ Sta ( Ü1 PÜ1 ) ~ ~ RPM ( Ü1 PÜ1 )
~ Sta (M1G ) RPG
1 . ~ ~ U( Ü1 PÜ1 ; ~rG )
~ ~ Da annahmegemäß die Marktrisikoprämie~ RPM ( Ü1 PÜ1 ) positiv ist, gilt dies auch PÜ ; r ) . Die Standardabweichung pro Marktfür den Korrelationskoeffizienten U(Ü ~ 1 ~ 1 G risikoprämie für den Überschuss Ü1 PÜ1 ist somit gemäß (X.22) eine fallende FunkU( ) und erreicht ihr Minimum für U( ) 1 . tion dieses Korrelationskoeffizienten ~ ~ ~ Wenn der Überschuss Ü1 PÜ1 und rG mit 1 korreliert wären, läge die entsprechende (P,V)-Position auf der Referenzlinie. Diese Bedingung ist aber bei fehlender Duplizierbarkeit nicht erfüllt. Eine Korrelation von 1 impliziert nämlich, dass zwei determi! nistische Faktoren a (a > 0) und b ( b 0 ) existieren, so dass gilt:
(X.23)
~ ~ Ü1 PÜ1
a ~rG b
a (1 ~rG ) b a .
Hieraus folgt: (X.24)
~ Ü1
~
a (1 ~rG ) b a PÜ1 .
~ Somit wäre der Überschuss Ü1 entgegen der getroffenen Annahme duplizierbar und zwar mit der Anlage des Geldbetrages a im Marktportefeuille, der Anlage bzw. Aufnahme von (1 r ) 1 (b a ) Geldeinheiten zum Zinssatz r und dem Leerverkauf des Ergän~ zungsportefeuilles mit dem Überschuss PÜ1 ; wegen der fehlenden Duplizierbarkeit verläuft die (modifizierte) Effizienzkurve durchgehend oberhalb der Referenzlinie. Ŷ Wird ausgehend von einem Punkt auf der modifizierten Effizienzkurve durch zusätz~ liche Portefeuillebildung der Erwartungswert von E(V1 ) sukzessive erhöht und dabei ~ das Portefeuille derart mit Ü1 abgestimmt, dass jeweils die Varianz (die Standardab~ weichung) des Endvermögens minimiert wird, verliert der Überschuss Ü1 im Rahmen ~ des Gesamtportefeuilles (bestehend aus Ü1 und dem Ergänzungsportefeuille) immer mehr an Gewicht, so dass der Korrelationskoeffizient zwischen dem Endwert dieses Portefeuilles und ~rG immer größer wird und sich das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie dieses Portefeuilles immer mehr der Steigung der Referenzlinie nähert. Entsprechend ist die Steigung des Fahrstrahls vom Ausgangspunkt A der Referenzlinie durch einen Punkt B auf der modifizierten Effizienzkurve eine fallende Funk-
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
371
tion des Abszissenwertes dieses Punktes (Abbildung X.2). Das kann (muss aber bei fehlender Duplizierbarkeit nicht) bewirken, dass der senkrechte Abstand zwischen der mo~ difizierten Effizienzkurve und der Referenzlinie mit steigendem Erwartungswert E(V1 ) immer kleiner wird. ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
M
B z
Referenzlinie
z
Risiko mit Ü1 A 0
z
z
(1 r ) G 0
~ E(V1 )
Risikoprämie
Abb. X.2: Fallendes Verhältnis aus Risiko und Risikoprämie mit steigender Risikoprämie (bzw. mit steigendem Abszissenwert des Punktes B)
Konkretere Aussagen über den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve können getroffen werden, wenn die Ursachen der fehlenden Duplizierbarkeit näher spezifiziert werden (Abschnitt 5).
4.4
Modifizierte Effizienzkurve und partielle Duplizierbarkeit
~ Auch wenn der Überschuss Ü1 nicht (vollständig) dupliziert werden kann, können i.d.R. einzelne Überschusskomponenten (einzelne Einzahlungs- und/oder Auszahlungsarten) dupliziert werden. Das Duplikationsportefeuille für den duplizierbaren Teil des Überschusses bezeichnen wir als „partielles“ Duplikationsportefeuille. Bei der Portefeuilleplanung und der Analyse der modifizierten Effizienzkurve kann davon ausgegangen werden, dass das partielle Duplikationsportefeuille leerverkauft wird. Ausgangspunkt der Darstellungen ist dann statt P der Punkt Pr mit dem Erwartungswert
(X.25)
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) RPPDP
~ ~ ~ und der Standardabweichung Sta ( Ü1r ) . Dabei bezeichnet Ü1r den Überschuss Ü1 abzüglich des Endwertes des partiellen Duplikationsportefeuilles und RPPDP die Risikoprämie dieses Portefeuilles. Es ist zu beachten, dass Pr wie auch P nicht notwendig einen Punkt auf der modifizierten Effizienzkurve darstellt, also die Transformation der duplizierbaren riskanten Überschusskomponente in einen sicheren Überschuss nicht
372
Kapitel X
notwendig effizient ist. Trotzdem ist die Annahme des Leerverkaufs dieser Komponente unproblematisch, wenn die anschließende Portefeuilleplanung und -analyse daran ange~ ~ passt wird. Statt der Kovarianzen Kov( Ü1 ; P1n ) sind dann eben die Kovarianzen ~r ~ ~ Kov( Ü1 ; P1n ) zu erfassen. Im Rahmen des Hedgeportefeuilles für Ü1r können leerverkaufte Papiere zurückgekauft werden (sie werden dann gar nicht erst verkauft). Bei korrekter Erfassung der Kovarianzen erweist sich die modifizierte Effizienzkurve als unabhängig davon, ob P oder Pr als Ausgangspunkt der Betrachtung dient. ~ ~ Bei entsprechenden stochastischen Abhängigkeiten kann Var ( Ü1r ) ! Var( Ü1 ) und ~ ~ entsprechend Sta ( Ü1r ) ! Sta ( Ü1 ) gelten. Das partielle Duplikationsportefeuille weist ~ zwar mit dem betreffenden Teil von Ü1 eine Korrelation von 1 auf. Diese Korrelation ~ ist aber nicht ausschlaggebend für die Varianz (die Standardabweichung) von V1 , son~ dern die Korrelation des partiellen Duplikationsportefeuilles mit dem Überschuss Ü1 als Ganzem. Ist diese Korrelation negativ, kann mit Leerverkauf des partiellen Duplikationsportefeuilles die Standardabweichung auch steigen. Je größer der duplizierbare Teil ~ von Ü1 , desto größer ist tendenziell die Korrelation des partiellen Duplikationsporte~ feuilles mit Ü1 und desto eher ist zu erwarten, dass bei Leerverkauf die Standardabweichung sinkt. (Könnte der gesamte exogene Überschuss dupliziert werden, wäre die Korrelation gleich 1, wobei mit dem Leerverkauf eine sichere Vermögensposition erreicht würde.)
4.5
Modifizierte Effizienzkurve und beschränkter Leerverkauf
Ist der Leerverkauf von Papieren nur beschränkt möglich, hat das grundsätzlich folgende Implikationen: 1. Nicht alle duplizierbaren riskanten Überschusskomponenten können in sichere transformiert werden, so dass sich nach dem noch möglichen Leerverkauf eine andere ~ Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Residualüberschuss Ü1r ergibt. 2. Dieser Überschuss kann durch Portefeuillebildung weniger gut gehedgt werden. Wenn überhaupt keine Papiere leerverkauft werden dürfen, kann nur noch derjenige Teil des Überschusses durch „Leerverkauf“ gehedgt werden, für den ein Portefeuille existiert, das nur negative Wertpapierbestände enthält. Dessen „Leerverkauf“ bedeutet dann den Kauf der betreffenden Papiere. Wie in Kapitel IX, Abschnitt 3.1, erläutert wurde, können mit Portefeuilles aus negativen Wertpapierbeständen vor allem Auszahlungen dupliziert werden. Die Beschränkung von Leerverkäufen bedeutet eine Beschränkung von Hedgemöglichkeiten und somit tendenziell eine Erhöhung der Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve. Nachteilige Konsequenzen können sich vor allem dann ergeben, wenn ~ Leerverkaufsmöglichkeiten bezüglich solcher Papiere beschränkt sind, die mit Ü1 hoch korreliert sind.
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
5
Störterme als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit
5.1
Störterm für den Überschuss Ü 1
5.1.1
Charakteristik des Störterms
373
Ein wesentlicher Grund für beschränkte Duplizierbarkeit kann darin bestehen, ~ dass der exogene Überschuss Ü1 von einem (stochastisch unabhängigen) „Störterm“ ~H mit der Varianz V2 überlagert wird, so dass dem Zustand Ss der folgende Überschuss entspricht: (X.26)
St Ü 1s
Ü1s H
(s = 1,2,…,S).
Hierin bezeichnet Ü1s den (deterministischen) Überschuss vor Störterm bei Ein~ treten des Zustands Ss und Ü1Sts den stochastischen Überschuss unter Berücksichtigung des Störterms ~H . Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird davon ausgegangen, dass der Störterm den Erwartungswert 0 aufweist. (X.27)
E(~H )
0.
Aus (IX.26) und (IX.27) folgt: (X.28)
St ) E(Ü 1s
Ü1s
(s = 1,2,…,S).
~ Der Störterm sei von Ü1 (und somit auch von den Zuständen Ss) stochastisch unabhängig, so dass gilt:
(X.29)
~ Var ( Ü1St )
~ Var ( Ü1 ) V 2 .
Der Störterm ~H ist auch von den Endwerten aller Papiere stochastisch unabhängig, so dass nicht direkt die Möglichkeit besteht, ihn durch Portefeuillebildung zu hedgen. Er resultiert z.B. aus Diebstahl, Feuerschäden, Forderungsausfällen, Kundenabwanderung oder -zugewinnen. Wir gehen davon aus, dass das ~H entsprechende unsystematische Risiko V2 keinen Einfluss auf den Marktwert des exogenen Überschusses hat, also ~ ~ ~ M 0 ( Ü1St ) M 0 ( Ü1 ) gilt. Das aus Ü1 resultierende (zustandsbedingte) Risiko ist da~ gegen grundsätzlich systematisch, so dass die Marktrisikoprämie von Ü1 von null abweicht. Wir gehen im Folgenden davon aus, sie sei positiv (es bestehe also eine positive ~ Korrelation zwischen Ü1 und der Rendite des Marktportefeuilles).
374
Kapitel X
5.1.2
Charakteristik des „approximativen“ Duplikationsportefeuilles für St den Überschuss Ü 1
Zunächst nehmen wir an, dass für die Wertpapiere keine Störterme relevant seien, so dass der Endwert eines beliebigen Portefeuilles aus ihnen eindeutig durch den eintretenden Zustand Ss bestimmt wird. Wir gehen davon aus, dass ein Portefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x existiert, für das N
¦ x n P1n , s (1 r ) x Ü1s
(X.30)
(s = 1,2,…,S)
n 1
gilt und das unbeschränkt leerverkauft werden kann. Dieses Portefeuille dupliziert nicht ~ streng den exogenen Überschuss Ü1Sts , sondern nur dessen zustandsabhängige Erwar~ ~ tungswerte E ( Ü1Sts ) Ü1s , also den Überschuss ohne Berücksichtigung des Störterms ~H . Da der Störterm nicht dupliziert wird, bezeichnen wir das Portefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x als „approximatives“ Duplikationsportefeuille. Da der Störterm ~H annahmegemäß keinen Einfluss auf den Marktwert des Überschusses hat, stimmt der Markt ) des Überwert des approximativen Duplikationsportefeuilles mit dem Marktwert M 0 (Ü 1 ~ schusses Ü1 ohne Störterm überein. Wird das approximative Duplikationsportefeuille leer~ verkauft, wird zwar das aus Ü1 resultierende Risiko vollständig gehedgt, jedoch bleibt das unsystematische Risiko V2 erhalten.
5.2
Störterme (Noise) auch für die Wertpapiere
5.2.1
Charakteristik der Störterme
~ Analog zum Überschuss Ü1 gibt es nun wie im modifizierten State Preference Ansatz (Kapitel IV, Abschnitt 6) auch (stochastisch unabhängige) „Störterme“ („Noise“) für die Endwerte der Papiere n, die (unsystematische Risiken erzeugen und) keinen bzw. einen vernachlässigbaren Einfluss auf die Preise P0n haben. Der Störterm für das Papier n wird mit ~Hn bezeichnet, so dass gilt:
(X.31)
~ St P1n
~ P1n ~Hn
(n = 1,2,…,N).
Der Störterm ~Hn habe den Erwartungswert null und die Varianz V 2n . Sämtliche Stör~ ~ terme seien untereinander sowie von Ü1 und P1n (n = 1,2,…,N) stochastisch unabhän~ gig. Für die Varianz von P1Stn gilt (X.32)
~ Var (P1Stn )
~ Var (P1n ) V 2n .
~ Für den unbedingten Erwartungswert des Preises P1Stn gilt
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
(X.33)
~ E(P1Stn )
~ E(P1n ~Hn )
~ E(P1n ) E(~Hn )
~ E(P1n )
375
(n = 1,2,…,N)
0
und für den bedingten (X.34)
~ E(P1Stn | Ss )
(s = 1,2,...,S).
P1n , s
Aufgrund der stochastischen Unabhängigkeit der Störterme gilt für die Kovarianzen zwischen den Endwerten der Papiere n und m (m n): (X.35) St St Kov(P1n ; P1m )
Kov(P1n H n ; P1m H m ) Kov(P1n ; P1m ) Kov(P1n ; H m ) Kov(H n ; P1m ) Kov(H n ; H m ) 0
0
0
Kov(P1n ; P1m ) .
Die Störterme haben also keinen Einfluss auf die Kovarianzen zwischen den Endwerten verschiedener Papiere. Analog gilt: (X.36)
~ ~ Kov( Ü1St ; P1Stn )
~ ~ Kov( Ü1 ; P1n )
(n = 1,2,…,N).
Die Störterme ~Hn und ~Hm (n z m) und entsprechend die Varianzen V 2n und V 2m (n z m) sind grundsätzlich verschieden. Insbesondere hängt der Störterm ~Hn für das Papier n davon ab, wie die Wertpapiereinheit definiert ist. Wird sie z.B. halbiert, sinkt der Störterm ~Hn auf die Hälfte, so dass dessen Varianz nur noch 1 V 2n beträgt. Da die 4 Störterme ~Hn Erwartungswerte von null aufweisen und keinen Einfluss auf die Preise P0n haben, beeinflussen sie auch nicht die Risikoprämien. Die Risikoprämie des Papiers ~ n ist wie ohne Störterm gleich E(P1n ) (1 r ) P0n . Könnte der Investor wie im modifizierten SPA explizit zustandsbedingte Zahlungsansprüche kaufen und verkaufen, behielten die Darstellungen in Abschnitt 5.1 ihre Gül~ tigkeit. Statt mit normalen Papieren würde er das aus Ü1 resultierende systematische (zustandsbedingte) Risiko durch direkten Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen hedgen, wobei keine Störterme aus dem Handel resultierten. Er könnte das systematische Risiko ganz beseitigen, indem er für den Zustand Ss (s = 1,2,…,S) einen Zahlungsanspruch von Ü1s verkaufte, wobei nur das aus dem Störterm ~H resultierende Risiko V 2 verbleiben würde. Von dieser Möglichkeit soll im Folgenden abgesehen werden: Der Investor kann das aus dem exogenen Überschuss resultierende Risiko nur hedgen, indem er mit normalen, störtermbehafteten Papieren n (n = 1,2,…,N) handelt. Maßnahmen zur Reduktion des systematischen Risikos haben dann Rückwirkungen auf unsystematische (störtermbedingte) Risiken. Die folgenden Analysen stellen Spezifizierungen der Darstellungen in Abschnitt 4 ~ ~ dar. Dort blieb offen, wie die Standardabweichungen von Ü1 und der Endwerte P1n (n = 1,2,…,N) zustande kommen, wobei im Rahmen der Bewertungsfunktionen die
376
Kapitel X
Standardabweichungen „korrekt“ erfasst wurden und nicht unterstellt wurde, die Stan~ dardabweichungen der Endwerte P1n (n = 1,2,…,N) oder einzelner Teile davon hätten ~ keinen Einfluss auf die Preise P0n bzw. die Risikoprämien E(P1n ) (1 r ) P0n .
5.2.2
St Struktur der effizienten Portefeuilles ohne den Überschuss Ü 1
Die ohne den exogenen Überschuss effizienten Portefeuilles können auch unter Berücksichtigung der Störterme H n in einfacher Weise ermittelt werden. Analog zu den Darstellungen in Kapitel III, Abschnitt 3.3, genügt es, für eine beliebige Risikoprämie RP* > 0 die Varianz des Portefeuilles zu minimieren. Man gewinnt damit wieder die Struktur aller effizienten Portefeuilles. Der Unterschied zu den Darstellungen in Kapitel ~ III, Abschnitt 3.3, ist lediglich der, dass die bisherigen Varianzen Var(P1n ) um die Va2 rianzen V n der Störterme H n zu erhöhen sind. Das x-fache (x > 0) eines beliebigen effizienten Portefeuilles ist wiederum effizient, so dass die Referenzlinie im (P,V)-Diagramm ausgehend von dem Punkt auf der Abszisse mit dem Abszissenwert (1 r ) G 0 auch unter Berücksichtigung der Störterme H n linear verläuft. Die Effizienzbedingungen für die Risikoprämie RP* lauten unter Berücksichtigung der Varianzen V 2n der Störterme N 2 ¦ x*m Kov(P1n ; P1m ) 2x*n V2n
(X.37.n)
m 1
E(P1n ) (1 r) P0n
O*
(n = 1,2,…,N).
Wird z.B. O* verdoppelt, so verdoppelt sich wie bei Fehlen der Störterme ~Hn (bzw. der Varianzen V 2n ) auch der Portefeuilleumfang; jedes x *n (n = 1,2,…,N) steigt auf 2 x *n . Zwar kann die Struktur der effizienten Portefeuilles mit Störtermen von der der effizienten Portefeuilles ohne Störterme abweichen. Wenn jedoch die Varianzen V 2n im ~ ~ Vergleich zu der Gesamtheit der Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) geringes Gewicht haben, ~ können diese Varianzen bei der Ermittlung der ohne den Überschuss Ü1St effizienten Portefeuillestruktur vernachlässigt werden, ohne dass sich diese Struktur in relevanter Weise ändert. Unter den Voraussetzungen des CAPM haben die Störterme ~Hn (bzw. deren Varianzen V 2n ) überhaupt keinen Einfluss auf die effizienten Portefeuillestrukturen. Die Wertpapierpreise bilden sich so, dass der Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) alternative Anteile am Marktportefeuille entsprechen.
5.2.3
Charakteristik des „approximativen“ Duplikationsportefeuilles für St den Überschuss Ü 1
Für das „approximative“ Duplikationsportefeuille gilt unter Berücksichtigung der Störterme ~Hn : Für jeden Zustand Ss (s = 1,2,…,S) stimmt der Erwartungswert des Endwertes dieses Portefeuilles mit dem Erwartungswert des exogenen Überschusses überein:
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
377
N
St St ) | Ss ) (1 r) x E(Ü ¦ x n E(P1n 1s
(s = 1,2,…,S)
n 1
oder unter Berücksichtigung von (X.28) und (X.34): N
(X.38)
¦ x n P1n,s (1 r) x Ü1s
(s = 1,2,…,S).
n 1
Da für jeden Zustand Ss der Erwartungswert des Endwertes des approximativen ~ Duplikationsportefeuilles mit dem Erwartungswert des Überschusses Ü1St übereinstimmt, gilt dies auch für die unbedingten Erwartungswerte. Jedoch unterscheidet sich grundsätzlich die Varianz des Endwertes des approximativen Dup~ likationsportefeuilles von der Varianz des Überschusses Ü1St . Da die Störterme keinen Einfluss auf die Marktwerte haben, stimmt der Marktwert des approxima~ tiven Duplikationsportefeuilles mit dem Marktwert des Überschusses Ü1St bzw. ~ Ü1 überein. Entsprechend stimmt auch die Marktrisikoprämie RPADP des approximativen Duplikati~ onsportefeuilles mit der Marktrisikoprämie des Überschusses Ü1 (ohne Störterm) überein: N
(X.39)
RPADP
~
~
¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ] RPM ( Ü1 ) . n 1
Für die Varianz des approximativen Duplikationsportefeuilles gilt: N
(X.40)
VarADP
N
N
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) ¦ x n2 Vn2 . n 1 m 1 ) Var(Ü
n 1
1
Da ohne Berücksichtigung der Störterme ~H , ~H1 , ~H2 ,..., ~H N der Endwert des (approximativen) Duplikationsportefeuilles mit dem exogenen Überschuss übereinstimmt, kann die Varianz dieses Überschusses wie folgt dargestellt werden: (X.41)
St ) Var(Ü 1
N
N
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) V2 . n 1 m 1 ) Var(Ü 1
Gemäß (X.40) und (X.41) unterscheiden sich die Varianzen des approximativen Dupli~ kationsportefeuilles und des Überschusses Ü1St nur um die Varianzen der Störterme. ~ Statt der Varianz V 2 des Störterms ~H für den Überschuss Ü1 ist beim approximativen Duplikationsportefeuille die gewichtete Summe der Varianzen V 2n der Störterme ~Hn der Wertpapiere relevant.
378
Kapitel X
Die Störterme für die Wertpapiere haben grundsätzlich Bedeutung für die optimale Anpassung des Portefeuilles an einen exogenen Überschuss und dessen Bewertung. Zwar sind die Störterme der verschiedenen Wertpapiertypen voneinander stochastisch unabhängig. Da jedoch für jede Einheit des Papiers n (n = 1,2,…,N) derselbe Störterm ~H maßgeblich ist, ist diesbezüglich ein Korrelationskoeffizient von 1 gegeben. Die ein nem Portefeuille entsprechende Varianz der Störterme hängt somit entscheidend von der Struktur dieses Portefeuilles ab. Dies lässt sich anschaulich für den Fall zeigen, dass V 2n V 2 (n = 1,2,…,N) gilt. Besteht das approximative Duplikationsportefeuille z.B. aus 1000 Papieren eines einzigen Typs, ist das idiosynkratische Risiko gleich 10002 V2 1000.000 V2 . Enthält es von 1000 verschiedenen Wertpapiertypen je eine Einheit, beträgt es nur 1000 V 2 . ~ Im Folgenden wird untersucht, wie für alternative Erwartungswerte E(V1 ) t (1 r ) G 0 ~ St effiziente Portefeuilles unter Berücksichtigung des Überschusses Ü1 ermittelt werden können, welche Strukturen diese Portefeuilles aufweisen und welche Gestalt die entsprechende modifizierte Effizienzkurve hat.
5.2.4
Ermittlung und Eigenschaften effizienter Portefeuilles unter St Berücksichtigung des Überschusses Ü 1
5.2.4.1 Ermittlung
Als Ausgangsbasis der Analyse effizienter Portefeuilles gehen wir davon aus, dass das approximative Duplikationsportefeuille zum Marktwert leerverkauft wird. Da die Papiere im Rahmen der analysierten Portefeuillebildung zurückgekauft werden können, wird hiermit die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse nicht beeinträchtigt. Jedoch wird der Vergleich mit den Darstellungen in Kapitel IX, Abschnitt 2, erleichtert, bei denen aufgrund fehlender Störterme durch Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles eine sichere Position erzielt und dann mit dem Grundmodell der Portefeuilleplanung ein optimales Portefeuille ermittelt wird. Wenn im Folgenden von „Portefeuille“ die Rede ist, ist jenes gemeint, das nach Leerverkauf gebildet wird; das Gesamtportefeuille an Wertpapieren enthält auch das leerverkaufte Portefeuille. Bei Anlage des Erlöses aus dem Verkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles zum Zinssatz r erzielt der Investor einen Erwartungswert des Endvermögens von: (X.42)
~ E(V1 )
(1 r ) (V0 MWADP )
(1 r ) G 0 .
Wegen der Störterme ist nun jedoch das Endvermögen in (X.42) nicht sicher. Vielmehr gilt für dessen Varianz: (X.43)
) Var(V 1
N
H (Ü Var[Ü 1 1 ¦ x n H n )] n 1 N
N
n 1
n 1
Var[H ¦ ( x n ) H n ] V2 ¦ x n2 Vn2 .
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
379
stimmt also mit der gewichteten Summe der VariDie Varianz des Endvermögens V 1 anzen V 2n der Störterme ~Hn für die Papiere des Duplikationsportefeuilles zuzüglich der ~ Varianz V 2 des Störterms ~H für Ü1 überein. Der Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles bewirkt also, dass der Erwartungswert des Endvermögens um die Risikoprämie dieses Portefeuilles sinkt und ~ ~ an die Stelle des exogenen Risikos Var ( Ü1St ) Var ( Ü1 ) V 2 das aus allen Störtermen resultierende idiosynkratische Risiko V 2 ¦ nN 1 x 2n V 2n tritt. Wären alle Störterme gleich null, würde der Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles zu dem Punkt auf der Abszisse mit dem Abszissenwert
(1 r ) G 0
(1 r ) (V0 MWDP )
führen, so dass die Darstellungen in Kapitel IX, Abschnitt 2, ihre Gültigkeit behielten; die Portefeuilleplanung könnte separiert vom exogenen Überschuss erfolgen. Wären nur für die Endwerte der Papiere keine Störterme relevant, verbliebe nach Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles das unsystematische Risiko V 2 , das durch Wertpapierhandel nicht gehedgt werden kann. Nun sind aber annahmegemäß auch Störterme H n für die Papiere maßgeblich. Die dem approximativen Duplikationsportefeuille entsprechende Varianz der Störterme hängt von der Struktur dieses Portefeuilles ab. Je mehr es diversifiziert ist, desto geringer ist tendenziell das bei seinem Leerverkauf verbleibende Risiko. Zwar halten im modifizierten SPA die Investoren, die durch ihre Transaktionen die Preise P0n bestimmen, relativ kleine und gut diversifizierte Portefeuilles, in deren Rahmen die aus den Störtermen H n resultierenden unsystematischen Risiken quasi nicht bewertungsrelevant sind. Der hier betrachtete Investor hält aber ~ unter Berücksichtigung eines „größeren“ exogenen Überschusses Ü1 grundsätzlich gar kein Portefeuille, für das diese Störterme vernachlässigbar sind. Er kann zwar darauf verzichten, das approximative Duplikationsportefeuille leerzuverkaufen. Dann tritt aber an die Stelle der Störterme dieses Portefeuilles der Über~ schuss Ü1 . Jedenfalls kann nicht ohne weiteres davon ausgegangen werden, die Varianzen V 2n der Störterme ~Hn seien für den hier betrachteten Investor nicht entscheidungsrelevant. Diese Vereinfachung ist allenfalls dann gerechtfertigt, wenn die Varianzen V 2n und die Beträge | x n | des approximativen Duplikationsportefeuilles x1 , x 2 ,..., x n gering sind. Die Beträge | x n | sind dann gering, ~ wenn Ü1 niedrig und das approximative Duplikationsportefeuille stark diversifiziert ist. Die effizienten Portefeuilles können nicht unabhängig von dem nach (fiktivem) Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles verbleibenden Risiko: N
V 2 ¦ x 2n V 2n n 1
380
Kapitel X
ermittelt werden. Zwar kann durch Portefeuillebildung nicht das aus dem Störterm ~H ~ für Ü1 resultierende Risiko V 2 gehedgt werden, wohl aber das aus dem Leerverkauf resultierende störtermbedingte Risiko ¦ nN 1 x 2n V 2n . Diesem unsystematischen Risiko ~ ~ muss zusätzlich zu den systematischen Risiken aus Ü1 und den Endwerten P1n der Papiere Rechnung getragen werden. Bezeichnet man die Zahl der Papiere n (n = 1,2,…,N), die nach Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles x1 , x 2 ,..., x N erworben werden, mit xn, gilt für die Varianz des Endvermögens: (X.44)
) Var(V 1
N
N
N
¦ ¦ x n x m Kov(P1n ; P1m ) ¦ (x n x n )2 V2n V2 . n 1 m 1 ) Var(Ü
n 1
1
Hierin bezeichnet x n x n den Bestand an Papieren n unter Berücksichtigung des Leerverkaufs. Für x n x n 0 (n =1,2,…,N) z.B. wird das leerverkaufte Portefeuille zurückgekauft, also faktisch nicht erst verkauft. Als Varianz ergibt sich dann in Verbin~ ~ dung mit (X.41) die Varianz Var ( Ü1St ) des exogenen Überschusses Ü1 ~H . Gilt x n ! x n , werden mehr Papiere n gekauft, als im Duplikationsportefeuille enthalten sind. Letztlich wird auf den Leerverkauf verzichtet und es werden x n x n Papiere erworben. Man erhält das effiziente Portefeuille mit der Risikoprämie RPp* ! 0 , indem man unter Beachtung der Nebenbedingung N
~
¦ x n [E(P1n ) (1 r ) P0n ] RPp*
(IX.7)
mit RPp* ! 0
n 1
(Kapitel IX, Abschnitt 3.2) die Varianz (X.44) minimiert. Da die Varianz V2 des Störterms ~H keinen Einfluss auf die Menge der effizienten Portefeuilles hat, kann sie bei ihrer Ermittlung vernachlässigt werden. Die modifizierte Effizienzkurve für das (P,V2)-Diagramm ergibt sich, indem zunächst diejenige ohne den Störterm ~H bestimmt wird und dann die betreffende Kurve um dessen Varianz V 2 parallel nach oben verschoben wird. 5.2.4.2 Eigenschaften [*] Für das einer Risikoprämie RPp* ! 0 entsprechende Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N mit minimaler Varianz gelten folgende Bedingungen:
(X.45.n)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) 2 (x*n x n ) V2n
O* [E(P1n ) (1 r) P0n ]
m 1
(n = 1,2,…,N). Hieraus folgt:
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) 2 (x*n x n ) V2n
(X.46.n)
m 1
E(P1n ) (1 r) P0n
O*
381
(n = 1,2,…,N).
Für jedes Papier muss also das Verhältnis aus Grenzvarianz und Risikoprämie gleich O* sein. Dabei gibt O* wieder an, wie sich die minimale Varianz ändert, wenn die Risikoprämie um eine marginale Einheit erhöht und dabei wieder ein varianzminimales Portefeuilles gebildet wird. Ist O* negativ, kann das Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N nicht effizient sein; es ist dann möglich, bei höherer Risikoprämie eine kleinere Varianz zu realisieren. Im Fall O* 0 weist das Portefeuille die absolut kleinste Varianz auf. Gemäß (X.45.n) gilt hierfür: (X.47)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) 2 x*n Vn2 2 x n V 2n
0
(n = 1,2,…,N).
m 1
Für jedes Papier muss also die Grenzvarianz gleich null sein. Da für einen Teil der Papiere im Duplikationsportefeuille x n z 0 gilt, kann wegen V2n ! 0 (n = 1,2,…,N) das Portefeuille x1 0, x 2 0,..., x N 0 nicht die kleinste Varianz aufweisen. Für Papiere mit x n ! 0 ( x n 0 ) wäre die Grenzvarianz kleiner (größer) als null, so dass es vorteilhaft wäre, ihren Bestand zu erhöhen (zu reduzieren). Im Folgenden betrachten wir Eigenschaften effizienter Portefeuilles für O* ! 0 . Für V2n 0 (n = 1,2,…,N) folgen aus (X.46.n) die bekannten Effizienzbedingungen (III.14.n) (Kapitel III, Abschnitt 4.1). Die Effizienzbedingung (X.46.n) unterscheidet sich von (III.14.n) nur durch den Term 2 (x*n x n ) V2n , der die Grenzvarianz bezüglich des Störterms H n angibt.2 Für x n 0 resultiert die störtermbedingte Grenzvarianz ausschließlich aus dem Wertpapierkauf. Für x n ! 0 ergibt sich eine niedrigere Grenzvarianz. Je größer x n , desto kleiner ist für alternative xn-Werte die störtermbedingte Grenzvarianz und desto größer ist der Bestand x*n im effizienten Portefeuille. Im Fall x n 0 werden im Rahmen des Leerverkaufs des approximativen Duplikationsportefeuilles | x n | Papiere gekauft. Unter Berücksichtigung von x*n ist somit insgesamt ein Bestand von x*n | x n | vorhanden, so dass für die Grenzvarianz des Störterms H n gilt
2 (x*n x n ) Vn2
2 x*n Vn2 2 | x n | Vn2 ! 2 x*n Vn2 .
Je größer der Betrag von x n ( x n 0 ), desto größer ist die störtermbedingte Grenzvarianz und desto kleiner ist der Bestand x*n im effizienten Portefeuille. 2
Diese Grenzvarianz kann wie folgt interpretiert werden: Das Papier n ist mit dem Bestand x n im Duplikationsportefeuille enthalten, womit zum Zeitpunkt 1 eine störtermbedingte Einzahlung x n H n verbunden ist (im Fall x n ! 0 ist sie positiv, im Fall x n 0 negativ). Der Leerverkauf führt zu einer entsprechenden Auszahlung von x n H n . Da der Kauf von x n Einheiten des Papiers n zu einer störtermbedingten Einzahlung von x n H n führt, ergibt sich insgesamt ein störtermbedingter Überschuss von x n H n x n H n . Dessen Varianz beträgt: Var(x n H n x n H n )
Var(x n H n ) 2 Kov(x n H n ; x n H n ) Var(x n H n ) x 2n V2n 2 x n x n V2n x 2n V2n .
Die Ableitung nach x n ergibt: dVar(x n H n x n H n ) dx n
2 x n Vn2 2 x n V2n
als Grenzvarianz des Störterms H n . Für x n
2 (x n x n ) V2n
x*n ergibt sich also 2 (x*n x n ) Vn2 .
382
Kapitel X
Die durch das Duplikationsportefeuille verursachten Verzerrungen eines effizienten Portefeuilles lassen sich veranschaulichen, indem man von einem gegebenen O* -Wert ausgeht. Hierbei ist zu beachten, dass sich alternative effiziente Portefeuilles nicht nur ermitteln lassen, indem für alternative Risikoprämien RPp* die Varianz (X.44) minimiert wird. Man kann auch unmittelbar die Effizienzbedingungen zugrunde legen und für alternative O* -Werte das Gleichungssystem (X.45) (mit N Variablen xn und N Gleichungen) nach x1* , x*2 ,..., x*N lösen. Einer Erhöhung von O* entspricht im Bereich O* t 0 eine Erhöhung der Risikoprämie RPp* . Zur Analyse des Einflusses der Störterme des (fiktiv) leerverkauften approximativen Duplikationsportefeuilles auf die Strukturen der effizienten Portefeuilles werden die Effizienzbedingungen (X.45.n) wie folgt umgestellt: (X.48.n)
N 2 ¦ x*m Kov(P1n ;P1m ) 2 x*n Vn2
O* [E(P1n ) (1 r) P0n ] 2 x n V2n
m 1
(n = 1,2,…,N). Das Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x N wirkt sich also bei gegebenem O* -Wert so aus, als würden die Risikoprämien für Papiere mit positivem (negativem) Bestand im Duplikationsportefeuille steigen (sinken). Der Betrag des Korrekturterms 2 x n V2n für ein Papier n ist umso höher, je größer V2n und der Betrag von x n sind. Wenn ausgehend von null x n c.p. steigt (sinkt), bewirkt dies eine Umschichtung des Portefeuilles in der Weise, dass von dem Papier n analog zu einer Erhöhung (Reduktion) seiner Risikoprämie ein höherer (niedrigerer) Bestand gehalten wird. Für x n 0 gilt für das Papier n zwar formal dieselbe Effizienzbedingung wie ohne den exogenen Überschuss (bzw. sein Duplikationsportefeuille). Jedoch ist zu beachten, dass Werte x m z 0 ( m z n ) einen Einfluss auf die Bestände der Papiere m im effizienten Portefeuille haben, was aufgrund der Kovarianzen Kov(P1n ;P1m ) Rückwirkungen auf x*n hat; die auf der linken Seite von (X.48.n) stehende Grenzvarianz des Papiers n bezüglich des durch die Bestände x m z 0 induzierten Portefeuilles muss (für x n 0 ) gleich der mit O* gewichteten Risikoprämie sein. Die Strukturen der effizienten Portefeuilles sind für verschiedene Risikoprämien bzw. O Werte unterschiedlich. Das zeigt sich, wenn man die effizienten Portefeuilles x1* , x*2 ,..., x*N und ** * ** x1** , x** z O* (z z 1) vergleicht. Für O** z O* gilt ge2 ,..., x N für die O -Werte O und O mäß (X.48.n): (X.49.n)
N ** 2 2 ¦ x** m Kov(P1n ;P1m ) 2 x n V n m 1
z, O* [E(P1n ) (1 r) P0n ] 2 x n Vn2 O**
(n = 1,2,…,N). Im Fall V2n 0 (n = 1,2,…,N) unterscheiden sich die effizienten Portefeuilles für O** und O* nur in ihrem Umfang, nicht in ihrer Struktur; es gilt dann x** z x*n (n =1,2,…,N). Da nun aber n 2 Vn ! 0 und außerdem x n z 0 für einige oder alle Papiere n gilt, ergeben sich mit der Veränderung des O-Wertes von O* auf z O** Strukturänderungen gegenüber dem Portefeuille x1* , x*2 ,..., x*N . Geht z gegen null, wird die mit z O* gewichtete Risikoprämie des Papiers n bei unveränderlichem Korrekturterm 2 x n V2n immer kleiner und dieser Korrekturterm gegenüber der Risikoprämie immer mehr strukturbestimmend. Wird z bzw. O** in (X.49.n) immer größer, wird das relative Gewicht der Risikoprämien des Papiers n immer größer und das relative Gewicht des Korrekturterms immer kleiner; der Einfluss der Störterme des Duplikationsportefeuilles auf die Struktur des effizienten Portefeuilles
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
383
wird immer geringer. Mit steigendem O** und folglich mit steigender Risikoprämie des Porte ) ) nähert sich die effiziente Portefeuillestruktur feuilles (mit steigendem Erwartungswert E(V 1 H effizient ist, also der immer mehr jener Portefeuillestruktur, die ohne den Überschuss Ü 1 Struktur des Marktportefeuilles. Es ist zu beachten, dass die Variablen x1 , x 2 ,..., x N das Portefeuille ohne Berücksichtigung H beschreiben. Unter exdes leerverkauften approximativen Duplikationsportefeuilles für Ü 1 pliziter Berücksichtigung des Leerverkaufs lautet das z** z O* entsprechende Portefeuille: ** x1** x1 , x** 2 x 2 ,..., x N x N . Der beschriebene Zusammenhang kann somit wie folgt ausgedrückt werden: Mit steigender Risikoprämie nähert sich das effiziente Portefeuille nach „Ab H immer mehr derjenizug“ des Leerverkaufs, jedoch unter Einschluss des Überschusses Ü 1 gen Struktur, die ohne diesen Überschuss effizient ist, d.h. der Struktur des Marktportefeuilles.
6
Analyse der modifizierten Effizienzkurve mit Störtermen
6.1
Modifizierte Effizienzkurve mit Störterm nur für den Überschuss
Bei der folgenden Analyse der Gestalt der modifizierten Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm wird zunächst davon ausgegangen, dass keine Störterme für die Wertpapiere existieren. ~ Da das aus dem Störterm ~H für den exogenen Überschuss Ü1 resultierende Risiko nicht gehedgt werden kann, hat der Störterm keinen Einfluss auf die Struktur der effizienten Portefeuilles. Die modifizierte Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm kann daher ermittelt werden, indem die beim Abszissenwert (1 r ) G 0 beginnende Basiseffizienz~ kurve für den Fall des direkten Verkaufs des Überschusses Ü1Sts zu seinem virtuellen Marktwert um die Varianz V2 des Störterms parallel nach oben verschoben wird (Abbildung X.3). Diese Verschiebung ist zulässig, weil wegen der stochastischen Unabhän ) addigigkeit des Störterms ~H von den Endwerten der Papiere sich die Varianz Var(V 1 2 tiv aus V und der Portefeuillevarianz zusammensetzt. Der Punkt Pr entspricht dem Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles. Damit wird zwar derselbe Erwartungswert des Endvermögens erzielt wie bei direk~ tem Verkauf des Überschusses Ü1Sts zum virtuellen Marktwert und Anlage des Betrages G0 zum risikolosen Zinsfuß r, jedoch bleibt bei Leerverkauf die Varianz V2 des Stör~ terms erhalten. Ausgehend von Pr wird der Erwartungswert E(V1 ) in effizienter Weise sukzessive erhöht, indem ein immer größerer Anteil am Marktportefeuille gehalten wird. Zwar sind bei Darstellung im (P,V2)-Diagramm die senkrechten Abstände zwischen der modifizierten Effizienzkurve und der Referenzkurve für jeden Abszissenwert identisch. Das gilt jedoch nicht für das (P,V)-Diagramm. Hierin verläuft die Basiseffizienzkurve (die Referenzlinie) nicht als Parabel, sondern linear steigend, während die modifizierte Effizienzkurve wiederum konvex steigend verläuft.
384
Kapitel X
~ Var(V1 )
modifizierte Effizienzkurve
~ Var( Ü1St ) ~ Var( Ü1 ) V 2
z
V2
z
P
z
Pr z
z
0
~ Var( Ü1 )
(1 r ) G 0
Basiseffizienzkurve (Referenzkurve)
z
z
~ (1 r ) V0 E( Ü1St )
~ E(V1 )
Abb. X.3: Modifizierte Effizienzkurve im Vergleich zur Basiseffizienzkurve bei einem ~ Störterm H für Ü 1 und approximativer Duplizierbarkeit
6.2
Modifizierte Effizienzkurve mit Störtermen nur für die Wertpapiere
6.2.1
Darstellung im (P,V2)-Diagramm
6.2.1.1 Allgemeine Charakteristik (a) Zur Existenz eines Schnittpunktes der modifizierten Effizienzkurve mit der Basiseffizienzkurve
Im Folgenden soll (zunächst wieder) für das (P,V2)-Diagramm die Gestalt der modifizierten Effizienzkurve mit der Basiseffizienzkurve (der Referenzkurve für den Fall des direkten Verkaufs des Überschusses zum (virtuellen) Marktwert) für den Fall verglichen werden, dass nur für die Wertpapiere Störterme relevant sind ( V2 0 ). Der Vergleich hat vor allem auch für die subjektive Bewertung Bedeutung. Da annahmegemäß der In~ vestor ohne den Überschuss Ü1 einen Anteil am Marktportefeuille hält, gibt die Basiseffizienzkurve im (P,V2)-Diagramm an, welche Konstellationen an Varianz und Erwar~ tungswert des Endvermögens der Investor bei Verkauf des Überschusses Ü1 zum Marktwert und Realisation alternativer Anteile am Marktportefeuille erzielen würde. Die Störterme H n erhöhen zwar die Varianz des Endwertes eines Anteils am Marktportefeuille. Da dieser Anteil jedoch ideal diversifiziert ist, ist der Einfluss der Störterme ~ relativ gering, vor allem wenn der Investor ohne den Überschuss Ü1 einen sehr kleinen Anteil am Marktportefeuille halten würde. ~ Anders ist grundsätzlich die Situation mit dem Überschuss Ü1 . Wenn dieser einen hohen Erwartungswert und eine hohe Varianz aufweist und es erforderlich ist, ihn mit Leerverkauf eines großen „verzerrten“ Portefeuilles zu hedgen, um das systematische Risiko zu verkleinern, kann das störtermbedingte Risiko hoch sein. Wenn man dieses
385
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
Risiko vermeiden will, muss man hohes systematisches Risiko in Kauf nehmen; es besteht ein Trade off zwischen systematischem und unsystematischem Risiko. ~ Var (V1 )
modifizierte Effizienzkurve z
~ Var( Ü1 )
S
P z
z
z
N
¦ x 2n V 2n n 1
z
Pr
z z
Basiseffizienzkurve
M
z
z
z
z
0
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
(1 r ) G 0
z
~ E(V1 )*
~ E(V1 )
RPADP
Abb. X.4: Modifizierte Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm im Vergleich zur Basiseffizienzkurve bei Störtermen nur für die Wertpapiere und approximativer Duplizierbarkeit
Ausgangsbasis der Analyse der modifizierten Effizienzkurve ist der Punkt P in Abbil~ ) des dung X.4 mit der Varianz Var ( Ü1 ) und dem Erwartungswert (1 r) V0 E(Ü 1 ~ Endvermögens. Könnte der Investor den Überschuss Ü1 explizit zum (virtuellen) Marktwert verkaufen, würde er bei Anlage des Erlöses gemeinsam mit dem vorhandenen Endvermögen V0 zum Zinssatz r das sichere Endvermögen (1 r ) G 0 erzielen. Dies ist der Ausgangspunkt der Referenzkurve (Basiseffizienzkurve). Analog zur Abbildung X.3 bezeichnet der Punkt Pr in Abbildung X.4 die Position bei Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles. Im Beispiel der Abbildung X.4 liegt P oberhalb der Basiseffizienzkurve. Das ist jetzt allerdings nicht mehr zwingend der Fall: Unter der hinreichenden (nicht notwendigen) Bedingung, dass das approximative Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x n mit einem Anteil am Marktportefeuille übereinstimmt, liegt P unterhalb der Basiseffizienzkurve. Wird an Stelle des approximativen Duplikationsportefeuilles (des betreffenden Anteils ~ am Marktportefeuille) der Überschuss Ü1 betrachtet, ergibt sich ohne Berücksichtigung der Störterme H n bei unveränderlichem Abszissenwert ein Punkt auf der Basiseffizienzkurve (Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2.2). Unter Berücksichtigung dieser Störterme ergibt sich zwar derselbe Abszissenwert, da sie annahmegemäß keinen Einfluss auf die Risikoprämien und Preise P0n der Papiere n haben und folglich die Risikoprämie des ~ approximativen Duplikationsportefeuilles mit der Marktrisikoprämie von Ü1 identisch ~ ist. Da jedoch der Überschuss Ü1 im Gegensatz zu dem (gedanklich) ersetzten Duplika-
386
Kapitel X
tionsportefeuille keinen Störterm enthält, ergibt sich eine kleinere Varianz des Endvermögens (Störtermeffekt). Wenn also das approximative Duplikationsportefeuille mit einem Anteil am Marktportefeuille übereinstimmt, liegt P unterhalb der Basiseffizienzkurve (der Referenzkurve). Der Punkt P kann wegen des entfallenden „Störeinflusses“ auch dann darunter liegen, wenn die Struktur des approximativen Duplikationsportefeuilles nur „annähernd“ mit der des Marktportefeuilles übereinstimmt. Wir gehen hier davon aus, die Struktur des approximativen Duplikationsportefeuilles sei gegenüber der des Marktportefeuilles derart „verzerrt“, dass P oberhalb der Basiseffizienzkurve liegt. (Zum Beispiel fällt der Überschuss in die Risikoklasse einer einzelnen Branche, so dass das approximative Duplikationsportefeuille nicht „gemischt“ ist.) Auch wenn P wie in Abbildung X.4 oberhalb der Basiseffizienzkurve liegt, können in Verbindung mit entsprechend großen Portefeuilles Positionen unterhalb der Basiseffizienzkurve realisiert werden, so dass in dem betreffenden Bereich die modifizierte Effizienzkurve unterhalb der Basiseffizienzkurve verläuft. Ab einem bestimmten Anteil am Marktportefeuille ist nämlich darin das approximative Duplikationsportefeuille enthalten. Wird nun für einen solchen Anteil das ~ approximative Duplikationsportefeuille durch den Überschuss Ü1 substituiert, wird ohne Berücksichtigung der Störterme ~Hn die Basiseffizienzkurve erreicht (Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2.2). Unter Berücksichtigung dieser Störterme ergibt sich dagegen bei unveränderlichem Abszissenwert bzw. unveränderlicher Risikoprämie (sie ist unabhängig von den Störtermen) eine kleinere Varianz, da der ~ Überschuss Ü1 im Gegensatz zum substituierten approximativen Duplikationsportefeuille keinen Störterm enthält (Störtermeffekt). Analog zu den Darstellungen in Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2.2 (c), gilt jedoch: Je mehr die Struktur des approximativen Duplikationsportefeuilles von der des Marktportefeuilles abweicht und je größer der Umfang des approximativen Duplikationsportefeuilles (bzw. ~ der Überschuss Ü1 ) ist, desto größer ist tendenziell der kleinste Anteil am Marktportefeuille, der das approximative Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält, und desto größer ist der Abszissenwert des Schnittpunktes S in Abbildung X.4. Allerdings ist zu beachten, dass der Störtermeffekt nicht erst ab demjenigen Erwar~ ~ tungswert E(V1 ) eintritt, von dem an die effizienten Portefeuilles ohne Ü1 das approximative Duplikationsportefeuille enthalten, sondern bereits in dem Bereich, in dem die entsprechenden Anteile am Marktportefeuille solche Portefeuilles enthalten, die „näherungsweise“ mit dem approximativen Duplikationsportefeuille übereinstimmen. Die je~ weilige Substitution eines solchen Portefeuilles durch den Überschuss Ü1 führt hier jeweils dazu, dass ohne Störtermeffekt die Varianz steigen würde, sie jedoch mit diesem ~ Effekt bei gegebenem Erwartungswert E(V1 ) sinkt. Bis zum Schnittpunkt S verläuft die modifizierte Effizienzkurve oberhalb der Basiseffizienzkurve und danach durchgehend darunter. Wie in Abschnitt 6.2.2 gezeigt wird,
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
387
ist ausgeschlossen, dass die modifizierte Effizienzkurve die Basiseffizienzkurve zweimal schneidet. (b) Zum Einfluss der Störterme H n auf den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve
Analog zur Abbildung X.3 kennzeichnet der Punkt Pr in Abbildung X.4 die Position nach Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles. Diesem Punkt entspricht (wegen V2 = 0) die Varianz ~ Var(V1 )
N
¦ x 2n V 2n . n 1
Dem Punkt Pr kann keine minimale Varianz entsprechen. Dies kann man erkennen, indem man die Grenzvarianz bezüglich des Papiers n (n = 1,2,…,N) als erste Ableitung der Varianz (X.44) nach xn ermittelt: (X.50.n)
~ dVar(V1 ) dx n
N ~ ~ 2 ¦ x m Kov(P1n ; P1m ) 2 ( x n x n ) V 2n m 1
(n = 1,2,…,N). Für das Portefeuille xn = 0 (n = 1,2,…,N), das dem Punkt Pr entspricht, gilt (X.51.n)
~ dVar(V1 ) dx n
2 x n V 2n
(n = 1,2,…,N).
~ Ausgehend von Pr kann somit bei gegebenem Erwartungswert E(V1 ) die Varianz ~ Var(V1 ) reduziert werden, indem Papiere mit x n ! 0 gekauft und Papiere mit x n 0 verkauft werden. Dieser Sachverhalt lässt sich wie folgt interpretieren: Papiere mit x n ! 0 werden beim Übergang von P auf Pr (fiktiv) leerverkauft. Nun erweist es sich als effizient, solche Papiere zu kaufen, also den Leerverkauf zumindest teilweise rückgängig zu machen, um die aus den Störtermen resultierenden Varianzen zu verkleinern. Papiere mit x n 0 werden beim Übergang von P auf Pr gekauft. Nun erweist es sich als effizient, den Kauf zumindest teilweise rückgängig zu machen. Je mehr das Portefeuille nach (fiktivem) Leerverkauf verändert wird, desto mehr ge~ ~ winnen jedoch die Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) und die Varianzen V 2n an Gewicht. ) , kann der AusExistiert genau ein Portefeuille mit absolut kleinster Varianz Var(V 1 gangspunkt M der modifizierten Effizienzkurve ermittelt werden, indem das folgende Gleichungssystem (mit O 0 ) gelöst wird: N
(X.52.n)
~
~
¦ x m Kov(P1n ; P1m ) ( x n x n ) V 2n m 1
0
(n = 1,2,…,N).
388
Kapitel X
Je größer die Varianzen V 2n und die Beträge von x n , desto mehr unterscheidet sich tendenziell das Portefeuille mit der kleinsten Varianz vom Portefeuille x1 0, x 2 0,..., x N 0 , das dem Punkt Pr entspricht (Abbildung X.4). Zwar kann die aus dem Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles resultierende Varianz ¦ nN 1 x 2n V 2n eliminiert werden, indem (nach Leerverkauf) das Portefeuille x1 x1, x 2 x 2 ,..., x N x N gebildet wird, so dass wieder der Ausgangspunkt P erzielt wird. Dann tritt aber an die Stelle der Varianz ¦ nN 1 x 2n V 2n die Varianz ~ ~ Var ( Ü1 ) des Überschusses Ü1 . Auch diese Lösung ist nicht effizient. Dies erkennt man, indem die Grenzvarianzen (X.50.n) für x n x n betrachtet werden: (X.53.n)
) dVar(V 1 dx n
N
2 ¦ x m Kov(P1n ; P1m ) m 1
N
2 Kov( ¦ x m P1m ; P1n ) m 1 Ü 1
; P ) 2 Kov(Ü 1 1n
(n
1,2, },N).
~ Ausgehend vom Punkt P kann bei gegebenem Erwartungswert E(V1 ) die Varianz ~ ~ ~ Var(V1 ) reduziert werden, indem Papiere mit negativer Kovarianz Kov( Ü1 ; P1n ) erworben und mit positiver leerverkauft werden. Allgemein verläuft die modifizierte Effizienzkurve wie in Abbildung X.4 konvex. Sie beginnt im Punkt M mit der absolut kleinsten Varianz und weist beim Abszissenwert des Punktes P eine Varianz auf, die kleiner ist als der Ordinatenwert dieses Punktes. Der konkrete Verlauf der modifizierten Effizienzkurve wird durch einen Trade off zwischen den störtermbedingten Risiken aus ~Hn einerseits und den systematischen Ri~ ~ siken aus Ü1 und P1n (n = 1,2,…,N) andererseits bestimmt. Der Verlauf hängt ab von ~ ~ ~ ~ ~ 2 den Varianzen V n , Var(P1n ) , den Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) und Kov(P1n ; Ü1 ) so~ ~ wie den Marktrisikoprämien von Ü1 und P1n (n = 1,2,…,N). Wenn die Varianzen V 2n der Störterme der Papiere steigen, ändern sich annahmegemäß deren Risikoprämien nicht. Somit ändern sich auch nicht die Risikoprämien von Anteilen am Marktportefeuille. Jedoch steigen deren Varianzen, so dass rechts vom Abszissenwert (1 r ) G 0 die Ordinatenwerte der Basiseffizienzkurve größer werden. Da jedoch Anteile am Marktportefeuille ideal diversifizierte Portefeuilles darstellen, ist der Einfluss der Störterme ~Hn und ihrer Änderungen auf die Varianzen bzw. Ordinatenwerte der Basiseffizienzkurve vor allem im Bereich kleinerer Risikoprämien absolut gesehen gering. Dagegen können die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve je nach Umfang und Struktur des jeweiligen Portefeuilles (einschließlich des leerverkauften appro~ ximativen Duplikationsportefeuilles für Ü1 ) stark steigen. Es ist ausgeschlossen, dass einige oder alle Ordinatenwerte konstant bleiben oder sinken; die Erhöhung der Varian~ zen der Störterme ~Hn kann nur bewirken, dass sich das Hedgepotenzial für Ü1 verschlechtert mit der Folge, dass die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve steigen. Wenn sich die Varianzen V 2n von Störtermen ~Hn ändern, ergeben sich Rückwirkungen auf die Strukturen der effizienten Hedgeportefeuilles. Zur Erläuterung betrachten
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
389
wir die Effizienzbedingungen (X.45.n) für das Portefeuille x1* , x *2 ,..., x *N mit O* ! 0 . Wenn z.B. V 2n steigt, steigt (sinkt) für x *n ! x n ( x *n x n ) die Grenzvarianz auf der linken Seite von (X.45.n), so dass aus dieser Gleichung eine Ungleichung „>“ („ 0) oder leerverkauft (y < 0), ergibt sich analog zu (IX.28) (Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.1 (a)) folgende Varianz des Endvermögens: (X.54) ) Var(V 1
2 ) 2 y Kov(Ü ;W Var(Ü 1 1 1p H p ) y Var(W1p H p ) 2 2 ) 2 y Kov(Ü ;W Var(Ü 1 1 1p ) y [Var(W1p ) Vp ]
) 2 U y Sta(Ü ) Sta(W H ) y2 [Var(W ) V2 ] . Var(Ü 1 p 1 1p p 1p p ~ H . Hierfür gilt: Up bezeichnet den Korrelationskoeffizienten zwischen Ü1 und W 1p p
(X.55)
Up
;W Kov(Ü 1 1p H p ) ) Sta(W H ) Sta(Ü 1 1p p
;W Kov(Ü 1 1p ) ) Var(W ) V2 Sta(Ü 1 1p p
.
Der Betrag des Korrelationskoeffizienten Up ist somit niedriger als der des Korrelationskoeffizienten U p ohne den Störterm ~Hp . Analog zu (IX.31) (Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.1 (a)) gilt nun für die minimale Varianz des Endvermögens, die mit dem betrachteten Portefeuille WP erzielt werden kann: (X.56)
~ Var(V1 ) Min
~ Var ( Ü1 ) (1 Up2 ) .
390
Kapitel X
Je größer V 2p , desto niedriger ist gemäß (X.55) der Betrag des Korrelationskoeffizienten Up und desto größer ist somit nach (X.56) die minimale Varianz des Endvermögens. Die (P,V2)-Kurven in den Abbildungen IX.9a, IX.9b und IX.9c, die angeben, wie die ~ ~ Varianz Var(V1 ) von y bzw. von E(V1 ) abhängt, gelten analog für den Fall mit dem . Auch mit Störterm verlaufen die (P,V2)-Kurven durch den Punkt Störterm ~Hp für W 1p P. Die gestrichelte Linie, die in Abbildung IX.9a, IX.9b bzw. IX.9c (Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.1 (b)) die (P,V2)-Kurve im Punkt P tangiert, hat gemäß (IX.32) die Stei ;W gung 2 Kov(Ü 1 1p ) . Wegen ;W Kov(Ü 1 1p H p )
;W Kov(Ü 1 1p )
wird der Verlauf der gestrichelten Linie durch den Störterm ~Hp nicht beeinflusst. Jedoch ist nun für alternative y-Werte y 0 bzw. Endvermögenswerte ~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E( Ü1 ) y
) der Term y 2 [Var(W ) V2 ] vertikal zu addieren, um jeweils statt y2 Var(W 1p 1p p vom Ordinatenwert der gestrichelten Linie auf den der (P,V2)-Kurve zu kommen. Je größer die Varianz V 2p des Störterms ~Hp desto stärker ist nun die (P,V2)-Kurve rechts und links von Punkt P nach oben gekrümmt. Von zwei Portefeuilles mit derselben Ko~ varianz mit Ü1 und derselben Varianz vor Störterm ~Hp sollte dasjenige mit der kleine~ ren Varianz des Störterms zum Hedgen des aus Ü1 resultierenden Risikos herangezogen werden. (b) Approximatives Duplikationsportefeuille vs. Marktportefeuille als Hedgeportefeuilles ~ Insbesondere folgende Portefeuilles mögen sich zum Hedgen des Überschusses Ü1 anbieten: Das (normierte) approximative Duplikationsportefeuille und das (normierte) Marktportefeuille. Ohne die Störterme H n wäre das „approximative“ Duplikationsportefeuille ein „strenges“ Duplikationsportefeuille, so dass gemäß Abbildung IX.9c durch Leerverkauf von RPDP Einheiten dieses Portefeuilles (d.h. des gesamten approximativen Duplikationsportefeuilles) das Risiko eliminiert werden könnte. Da die Störterme keinen Einfluss auf den Marktwert des approximativen Duplikationsportefeuilles haben, führt sein Leerverkauf zwar zu demselben Abszissenwert wie der Verkauf eines Duplikationsportefeuilles ohne Störterme, jedoch nicht wie in Abbildung IX.9c zu einer sicheren Position, sondern wie in Abbildung X.5 zur Position Pr mit der Varianz ¦ nN 1 x 2n V 2n . Der senkrechte Abstand zwischen den (P,V2)-Kurven mit und ohne Störterm beträgt aufgrund der Normierung des approximativen Duplikationsportefeuilles:
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
391
2
y 2 Var(H p )
§ 1 · § N 2 2· y2 ¨ ¸ ¨ ¦ x n Vn ¸ . RPADP ¹ © n 1 ©
¹
y 2 Vp2
V2p
Da der senkrechte Abstand zwischen den (P,V2)-Kurven mit und ohne Störterm mit steigendem Betrag von y immer größer wird, liegt der Punkt M, in dem die (P,V2)Kurve mit Störterm ihr Minimum aufweist, rechts unterhalb von Pr, jedoch ist die betreffende Varianz positiv.3 Je „verzerrter“ (d.h. je weniger gut gehedgt) das approximative Duplikationsportefeuille, desto größer ist für gegebene Risikoprämie RPADP die ) die Varianz ) z (1 r) V E(Ü Varianz V 2p und somit für y z 0 bzw. für E(V 1 0 1 ~ Var(V1 ) sowie der Abszissenwert von M. ~ Var(V1 ) y 2 V 2p
(P, V2 ) -Kurve mit Störterm H p
) y2 Var(W 1p
(P, V2 ) -Kurve ohne Störterm H p z
N
¦ x 2n n 1
V 2n z
Pr M z
P
z
y
0
z
z
0
RPADP
RPDP
) E(V 1
)y (1 r) V0 E(Ü 1
Abb. X.5: Varianz des Endvermögens in Abhängigkeit von seinem Erwartungswert beim approximativen Duplikationsportefeuille als Hedgebasis
Das normierte Marktportefeuille (der Anteil am Marktportefeuille mit der Risikoprämie 1) weist von allen normierten Portefeuilles die kleinste Varianz des Endwertes auf. Die Varianz des normierten Marktportefeuilles kann erheblich niedriger sein als die des normierten approximativen Duplikationsportefeuilles. Jedoch ist grundsätzlich auch die ~ Kovarianz des normierten Marktportefeuilles mit Ü1 kleiner als die Kovarianz des ~ normierten approximativen Duplikationsportefeuilles mit Ü1 ; davon soll im Folgenden ~ ausgegangen werden. Da (annahmegemäß) die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü1 ~ positiv ist, muss auch die Kovarianz zwischen Ü1 und dem Endwert des (normierten) 3
Da die Steigung der (P,V2)-Kurve ohne Störterm H p beim Abszissenwert des Punktes Pr gleich null ist, muss die Steigung der (P,V2)-Kurve mit Störterm in diesem Punkt negativ sein. Somit liegt der Punkt M rechts von Pr.
392
Kapitel X
Marktportefeuilles positiv sein. Das bedeutet, dass die Steigung der (P,V2)-Kurve für das Marktportefeuille im Punkt P ebenfalls positiv ist. Sie ist jedoch niedriger als für das approximative Duplikationsportefeuille, da die Kovarianz des normierten Marktpor~ tefeuilles mit Ü1 (annahmegemäß) kleiner ist als die Kovarianz des normierten appro~ ximativen Duplikationsportefeuilles mit Ü1 . Andererseits sind beim Marktportefeuille als Hedgeportefeuille für alternative y-Werte y 0 geringere Varianzzuschläge zu den alternativen Ordinatenwerten der betreffenden Tangente4 vorzunehmen, um auf die (P,V2)-Kurve zu kommen. Dies impliziert: Soll ausgehend von P das Risiko reduziert werden, ist zunächst das approximative Duplikationsportefeuille relevant, dann das Marktportefeuille. Mit dem approximativen Duplikationsportefeuille, dem Marktportefeuille und ande~ ren Portefeuilles mit positiver Kovarianz mit Ü1 kann ausgehend von P nur durch Leerverkauf das Risiko reduziert werden, so dass zugleich der Erwartungswert des Endvermögens sinkt. Um das Risiko bei simultaner Erhöhung dieses Erwartungswertes zu reduzieren, ~ muss ein Hedgeportefeuille zugrunde gelegt werden, dessen Kovarianz mit Ü1 negativ ist (sofern ein solches existiert). Von zwei (normierten) Portefeuilles mit derselben negativen Kovarianz ist dasjenige besser zur Risikoreduktion geeignet, das unter Berücksichtigung seines Störterms die geringere Varianz aufweist. Dabei besteht folgende ~ Tendenz: Damit der Betrag der negativen Kovarianz mit Ü1 hoch ist, kann das Hedgeportefeuille grundsätzlich nicht gut diversifiziert sein, sondern muss vorwiegend Papie~ re enthalten, die mit Ü1 stark negativ korreliert sind. Da dann die Struktur des Hedgeportefeuilles im Vergleich zu der des Marktportefeuilles stark „verzerrt“ ist, muss die Standardabweichung des normierten Hedgeportefeuilles relativ hoch sein, was die Hedgemöglichkeiten verschlechtert. ~ Wenn ein Portefeuille mit negativer Kovarianz (Korrelation) mit Ü1 existiert, kann durch Konvexkombinationen von Käufen von Einheiten dieses Portefeuilles und Leer~ verkäufen von Einheiten eines Portefeuilles mit positiver Kovarianz mit Ü1 gegenüber ~ dem Punkt P bei unveränderlichem Erwartungswert E(V1 ) die Varianz reduziert werden (die Risikoprämien dieser Konvexkombinationen sind gleich null). Die Analysen der modifizierten Effizienzkurve auf der Basis mehrerer Hedgeportefeuilles in Kapitel IX, Abschnitt 4.2.1.2, gelten analog auch unter Berücksichtigung von Störtermen für die Papiere. Diese verbessern wegen ihrer stochastischen Unabhängigkeit nicht die Hedge~ möglichkeiten von Ü1 , sondern erhöhen die entscheidungsrelevanten Varianzen.
6.2.2
Darstellung im (P,V)-Diagramm
Für das (P,V)-Diagramm können der Verlauf der modifizierten Effizienzkurve und die Strukturen der zugrunde liegenden Portefeuilles analog zu Kapitel IX, Abschnitte 3.4 und 4.2.2, allgemein dargestellt und interpretiert werden (Abbildung X.6).
4
Analog zur Abbildung X.5 für das approximative Duplikationsportefeuille entspricht dem Marktportefeuille als Hedgeportefeuille eine (gestrichelte) Tangente, die im Punkt P die (P,V2)-Kurve tangiert.
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
393
~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve P
~ Sta ( Ü1 ) z N
¦ x 2n n 1
V 2n z
z
S
Pr z
z
M
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
z
z
0
z
z
~ ~ (1 r ) G 0 (1 r ) V0 E(V1 ) E(V1 )*
~ E(V1 )
RPADP
Abb. X.6: Modifizierte Effizienzkurve im Vergleich zur Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) bei Störtermen für die Endwerte der Wertpapiere und approximativer Duplizierbarkeit im (P,V)-Diagramm
Im (P,V)-Diagramm verläuft die Basiseffizienzkurve (die Referenzlinie) linear. Für die Analyse der modifizierten Effizienzkurve ist von Bedeutung, dass auch unter Berücksichtigung von Störtermen H n für die Papiere der in Abbildung IX.3 (Kapitel IX, Abschnitt 3.4.1) dargestellte Zusammenhang gilt: Werden zwei riskante Positionen auf verschiedene Weise miteinander konvex kombiniert, ergibt sich für den Fall, dass der Korrelationskoeffizient zwischen den Überschüssen der beiden Positionen kleiner ist als 1, eine konvexe (P,V)-Kurve. Daraus folgt gemäß den Darstellungen in Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2.2 (b), dass die modifizierte Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm auch mit den Störtermen H n streng konvex verläuft.5 Analog zur Abbildung X.4 schneidet sie die Basiseffizienzkurve in einem Punkt S und verläuft dann unterhalb dieser Kurve. Links von S werden der senkrechte und der waagrechte Abstand der modifizierten ) des Effizienzkurve von der Basiseffizienzkurve mit steigendem Erwartungswert E(V 1 Endvermögens immer kleiner. Das Verhältnis aus Standardabweichung und Risikoprämie nähert sich immer mehr dem für das Marktportefeuille oder einem Anteil daran (also der Steigung der Referenzlinie). Ursache hierfür ist, dass sich die Struktur des nach Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles gebildeten Portefeuilles x1 , x 2 ,..., x N immer mehr der des Marktportefeuilles nähert. Unter Berücksichtigung ~ des Überschusses Ü1 und seines leerverkauften approximativen Duplikationsportefeuilles bedeutet das: Die Risikoklasse des Gesamtportefeuilles bestehend aus den Wertpa~ pierbeständen x1 x1 , x 2 x 2 ,..., x N x N zuzüglich des Überschusses Ü1 nähert sich immer mehr der des Marktportefeuilles. Große Abweichungen zwischen der modifizier-
5
Positionen auf der Referenzlinie repräsentieren unterschiedliche Anteile am Marktportefeuille. Hier ist der Korrelationskoeffizient zwischen den Endwerten der verschiedenen Positionen auch unter Berücksichtigung der Störterme H n gleich 1; die Referenzlinie verläuft linear.
394
Kapitel X
ten Effizienzkurve und der Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) ergeben sich vor allem in der Nähe des Minimalpunktes M der modifizierten Effizienzkurve, wo es primär darum geht, dem unsystematischen Risiko aus dem Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles Rechnung zu tragen. Obwohl die modifizierte Effizienzkurve streng konvex verläuft, kann sie rechts vom Schnittpunkt S die Basiseffizienzkurve nicht nochmals schneiden. Zur Verdeutlichung dient die Abbildung X.7: ~ Sta (V1 )
z
S*z
S
z
z
0
(1 r ) G 0
z
P3
P2
z
P1
~ E(V1 )
Abb. X.7: Zum Nachweis, dass die modifizierte Effizienzkurve die Basiseffizienzkurve nur einmal schneiden kann
Geht man davon aus, dass die modifizierte Effizienzkurve die Basiseffizienzkurve wie in Abbildung X.7 auch in einem zweiten Punkt S* schneidet, ergibt sich ein Widerspruch. Es existieren nämlich (unendlich viele) Anteile am Marktportefeuille, denen eine höhere Risikoprämie als dem Punkt S* entspricht und das approximative Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthalten. Wird jeweils das approximative Duplikations~ portefeuille (gedanklich) durch Ü1 substituiert, ergibt sich bei konstanter Risikoprämie ~ bzw. konstantem Erwartungswert E(V1 ) ohne Berücksichtigung der Störterme H n für die Wertpapiere in diesem Portefeuille dieselbe Standardabweichung wie für den betreffenden Anteil am Marktportefeuille. Jedoch sinkt unter Berücksichtigung dieser Störterme die Standardabweichung, etwa vom Ordinatenwert des Punktes P3 auf den des Punktes P2.6 Man könnte dann durch Konvexkombinationen der Risikopositionen P1 und P2 Positionen auf der gestrichelten Verbindungskurve P1P2 erreichen. Es zeigt sich, dass die modifizierte Effizienzkurve trotz ihres konvexen Verlaufs nur in einem Punkt die Basiseffizienzkurve schneiden kann.
6
(noch) kein Störterm maßgeblich ist. Es sei daran erinnert, dass annahmegemäß für Ü 1
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
6.3
395
Modifizierte ~Effizienzkurve mit Störterm für den Überschuss Ü1 und Störtermen für die Wertpapiere
~ Da ein Störterm ~H für den Überschuss Ü1 durch Portefeuillebildung nicht gehedgt werden kann, ist seine Erfassung einfach. Im (P,V2)-Diagramm bewirkt er eine Verschiebung der ohne diesen Störterm maßgeblichen modifizierten Effizienzkurve um dessen Varianz V2 parallel nach oben. Die Parallelverschiebung der modifizierten Effizienzkurve bewirkt, dass sich der Punkt, ab dem sie unterhalb der Basiseffizienzkurve verläuft, nach rechts verlagert. Möglicherweise existiert gar kein Schnittpunkt mehr; die modifizierte Effizienzkurve verläuft durchgehend oberhalb der Basiseffizienzkurve. Zieht man aus den Ordinatenwerten der modifizierten Effizienzkurve im (P,V2)-Diagramm für alternative Abszissenwerte die positive Wurzel, erhält man die modifizierte Effizienzkurve im (P,V)-Diagramm. Hier ergibt sich die modifizierte Effizienzkurve mit dem Störterm nicht durch Parallelverschiebung der modifizierten Effizienzkurve ohne den Störterm.
6.4
Eigenschaften des optimalen Portefeuilles
bzw. Ü H optimale Portefeuille wird wieder durch den Tangentialpunkt Das mit Ü 1 1 der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Die Eigenschaften des optimalen Portefeuilles lassen sich im Prinzip ebenso analysieren wie für den Fall vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf. Da im Rahmen der Darstellungen in Abschnitt 4 die modifizierte Effizienzkurve stets oberhalb der Basiseffizienzkurve verläuft, würde hier der Investor unabhängig von seiner Risikoeinstellung ~ einen Vorteil erzielen, wenn er den Überschuss Ü1 zum (virtuellen) Marktwert verkaufen könnte. (Er würde dann seinen optimalen Anteil am Marktportefeuille erwerben.) Im Folgenden soll nur der Fall betrachtet werden, dass die fehlende Duplizierbarkeit gemäß den Darstellungen in Abschnitt 5 aus den Störtermen ~H und ~Hn (n = 1,2,…,N) resultiert. Diese können eine bedeutende Ursache für eine Abweichung zwischen dem Marktwert und dem individuellen subjektiven Grenzpreis eines Bewertungsobjekts darstellen (Kapitel XI). ~ Wie erläutert, bewirkt ein Störterm ~H für den Überschuss Ü1 im (P,V2)-Diagramm eine Parallelverschiebung der ohne diesen Störterm maßgeblichen modifizierten Effi~ zienzkurve um V2 parallel nach oben. Dabei bleibt für jeden Erwartungswert E(V1 ) die Steigung der modifizierten Effizienzkurve konstant. Da bei quadratischer oder exponentieller Nutzenfunktion auch die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm für alternative ~ Erwartungswert E(V1 ) jeweils dieselbe Steigung aufweisen (sie verlaufen äquidistant zueinander) hat der Störterm ~H bzw. seine Varianz V2 keinen Einfluss auf den Abszissenwert des Tangentialpunktes der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve. Somit hat er auch keinen Einfluss auf das optimale Portefeuille; der Investor erzielt bei steigendem V2 eine immer größere Nutzeneinbuße. ~ Ohne Störterm für Ü1 ergibt sich im (P,V)-Diagramm eine modifizierte Effizienzkurve wie in Abbildung X.6. Wenn sie rechts vom Schnittpunkt S mit der Referenzlinie
396
Kapitel X
eine Indifferenzkurve tangiert und diese durchgehend unterhalb der Basiseffizienzkurve ~ verläuft, würde der Investor bei direktem Verkauf des Überschusses Ü1 zum virtuellen Marktwert einen Nachteil erzielen. Es wäre dann nämlich dasjenige Portefeuille optimal, bei dem die Referenzlinie die Basisindifferenzkurve tangiert. Wenn nun aber die die modifizierte Effizienzkurve tangierende Indifferenzkurve durchgehend unterhalb der Referenzlinie verläuft, muss sie auch unterhalb der Basisindifferenzkurve verlaufen. Mit ~ dem direkten Verkauf des Überschusses Ü1 ergibt sich somit eine Nutzeneinbuße. Sie resultiert daraus, dass der Investor mit dem Verkauf auf einen nicht störtermbehafteten Überschuss verzichtet und für die gekauften Papiere Störterme maßgeblich sind und diese Papiere keine Risikoprämien für ihre Störterme bieten. Für die Portefeuilleplanung und die individuelle subjektive Bewertung dürfte aller~ dings – vor allem, wenn der Überschuss Ü1 bzw. sein approximatives Duplikationsportefeuille groß ist, dessen Struktur stark von der des Marktportefeuilles abweicht und die Risikoaversion des Investors hoch ist – der Bereich rechts vom Schnittpunkt S für die Portefeuillebildung und die individuelle subjektive Bewertung kaum in Betracht kommen (Kapitel XI, Abschnitt 5.3.2.2). Wenn die modifizierte Effizienzkurve links von S eine Indifferenzkurve tangiert, muss diese oberhalb der Basisindifferenzkurve verlaufen. Wenn nunmehr der Investor den Überschuss direkt zum virtuellen Marktwert verkaufen (könnte und) würde (statt des approximativen Duplikationsportefeuilles), würde er einen Vorteil erzielen. Dieser Vorteil ist tendenziell umso größer, je höher die Risikoaversion des Investors, je kleiner also der Abszissenwert des Tangentialpunktes der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve ist und je mehr dieser Tangentialpunkt oberhalb der Referenzlinie liegt.
7
Resümee
1. Es wird untersucht, welche Bedeutung unvollständige Duplizierbarkeit für die Gestalt der modifizierten Effizienzkurve hat. Im Vordergrund der Darstellungen steht der Fall, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Beschränkungen der Duplizierbarkeit haben bei unbeschränktem Leerverkauf im Prinzip dieselben Implikationen wie Beschränkungen des Leerverkaufs bei vollständiger Duplizierbarkeit. nicht dupliziert werden kann, ist es nicht möglich, ihn vollstän2. Da nun der Überschuss Ü 1
dig zu hedgen. Jedoch kann eine gute Annäherung an eine vollständige Duplikation gelingen, wenn ein Portefeuille WP existiert, für das der Betrag des Korrelationskoeffizienten hoch ist. Die Varianz des Endvermögens wird minimiert, wenn das Portefeuille mit mit Ü 1 dem betragsmäßig höchsten Korrelationskoeffizienten zugrunde gelegt wird und von diesem Portefeuille entsprechende Einheiten leerverkauft werden, wenn er positiv ist, oder gekauft werden, wenn er negativ ist. Man kann den Betrag des Korrelationskoeffizienten zwischen als „Duplikationsgrad“ dieses Portefeuilles interdem Endwert eines Portefeuilles und Ü 1 pretieren. Ist er gleich +1 oder –1, besteht vollständige Duplizierbarkeit. Für Up = 0 besteht überhaupt keine Duplizierbarkeit; man kann mit dem betreffenden Portefeuille weder durch Kauf noch durch Leerverkauf das Risiko reduzieren, sondern nur erhöhen. 3. Die modifizierte Effizienzkurve verläuft wie bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf ausgehend von ihrem Minimum konvex steigend. Jedoch existiert
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
397
nun streng genommen kein Punkt, von dem an sie mit der Referenzlinie übereinstimmt; sie verläuft stets oberhalb dieser Linie. 4. Beschränkungen von Leerverkäufen bedeutet eine Beschränkung von Hedgemöglichkeiten und somit tendenziell eine Erhöhung der Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve. Nachteilige Konsequenzen können sich vor allem dann ergeben, wenn Leerverkaufs hoch positiv korreliert möglichkeiten bezüglich solcher Papiere beschränkt sind, die mit Ü 1 sind. 5. Ein wesentlicher Grund für unvollständige (oder beschränkte) Duplizierbarkeit kann darin nicht eindeutig vom eintretenden Umweltzubestehen, dass der exogene Überschuss Ü 1 stand abhängt, sondern von einem „Störterm“ H mit der Varianz V2 überlagert wird und/oder Störterme H n für die Endwerte der Papiere n mit den Varianzen V2n existieren. Es wird angenommen, dass die Störterme unsystematische Risiken erzeugen und keinen Einfluss auf ) und die Preise P der Papiere haben. Für die Analyse der modifiden Marktwert M 0 (Ü 1 0n zierten Effizienzkurve hat nun das approximative Duplikationsportefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x besondere Bedeutung, für das gilt: In jedem möglichen Zustand s (s = 1,2,…,S) stimmt der (bedingte) Erwartungswert seines Endwertes mit dem (bedingten) Erwartungswert des exogenen Überschusses überein. Der Marktwert des approximativen Duplikationsportefeuilles (ohne Störterm) überein. stimmt mit dem des Duplikationsportefeuilles für Ü 1 6. Als Ausgangsbasis der Analyse effizienter Portefeuilles wird davon ausgegangen, dass das approximative Duplikationsportefeuille zum Marktwert leerverkauft wird. Da die Papiere im Rahmen der analysierten Portefeuillebildung zurückgekauft werden können, wird hiermit die Allgemeingültigkeit der Ergebnisse nicht beeinträchtigt. Der Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles bewirkt, dass der Erwartungswert des Endvermögens um die Risikoprämie dieses Portefeuilles sinkt und an die Stelle des exogenen Risikos ) V2 das aus allen Störtermen resultierende idiosynkratische Risiko Var(Ü 1 2 V ¦ nN 1 x 2n V 2n tritt. Zwar halten die Investoren, die durch ihre Transaktionen die Preise P0n bestimmen, relativ kleine und gut diversifizierte Portefeuilles, in deren Rahmen die aus den Störtermen H n resultierenden unsystematischen Risiken quasi nicht bewertungsrelevant sind. Der betrachtete Investor hält aber unter Berücksichtigung eines größeren exogenen Überschusses grundsätzlich gar kein Portefeuille, für das die Störterme vernachlässigbar sind. Er kann zwar z.B. darauf verzichten, das approximative Duplikationsportefeuille leer zu verkaufen. Dann tritt . Jedenfalls kann aber an die Stelle der Störterme dieses Portefeuilles der Überschuss Ü 1 2 nicht davon ausgegangen werden, die Varianzen Vn der Störterme Hn seien für den Investor nicht entscheidungsrelevant. 7. Die effizienten Portefeuilles können nicht unabhängig von dem nach (fiktivem) Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles bestehenden Risiko: N
V 2 ¦ x 2n V 2n n 1
ermittelt werden. Zwar kann durch Portefeuillebildung nicht das aus dem Störterm H für resultierende Risiko V2 gehedgt werden, wohl aber das aus dem Leerden Überschuss Ü 1 verkauf resultierende störtermbedingte Risiko ¦ nN 1 x 2n V2n . Diesem unsystematischen Ri und den Endwerten P siko muss nun zusätzlich zu den systematischen Risiken aus Ü 1 1n Rechnung getragen werden. Es wurde gezeigt, wie das geschehen kann. 8. Im (P,V)-Diagramm verläuft die Referenzlinie wieder linear. Dagegen verläuft die modifizierte Effizienzkurve wieder streng konvex. Sie schneidet die Referenzlinie in einem Punkt
398
Kapitel X
S und verläuft dann stets unterhalb dieser Linie. Links von S werden der senkrechte und der waagrechte Abstand der modifizierten Effizienzkurve von der Referenzlinie mit steigendem Erwartungswert des Endvermögens immer kleiner. 9. Auch wenn die modifizierte Effizienzkurve zunächst oberhalb der Referenzlinie verläuft, können in Verbindung mit entsprechend großen Portefeuilles Positionen unterhalb dieser Linie realisiert werden, so dass in dem betreffenden Bereich die modifizierte Effizienzkurve unterhalb dieser Linie verläuft. Zur Erläuterung wird ohne Einschränkung der Allgemein kein Störterm H relevant ist. Ab einem heit der Fall betrachtet, dass für den Überschuss Ü 1 bestimmten Anteil am Marktportefeuille ist darin das approximative Duplikationsportefeuil enthalten. Wenn für einen solchen Anteil dieses Duplikationsportefeuille durch le für Ü 1 substituiert wird, wird ohne Berücksichtigung der Störterme H die Reden Überschuss Ü 1 n ferenzlinie erreicht. Unter Berücksichtigung dieser Störterme ergibt sich dagegen bei konstantem Abszissenwert bzw. konstanter Risikoprämie (sie ist annahmegemäß unabhängig von den Störtermen) eine kleinere Varianz bzw. Standardabweichung, da der Überschuss im Gegensatz zum substituierten approximativen Duplikationsportefeuille keinen StörÜ 1 term enthält (Störtermeffekt). Je mehr die Struktur des approximativen Duplikationsportefeuilles von der des Marktportefeuilles abweicht und je größer das approximative Duplikationsportefeuille bzw. der Über ist, desto größer ist tendenziell der kleinste Anteil am Marktportefeuille, der das schuss Ü 1 approximative Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält, und desto größer ist der Abszissenwert des Schnittpunktes S. Allerdings ist zu beachten, dass der Störtermeffekt nicht ) eintritt, von dem an die effizienten Portefeuilles erst ab demjenigen Erwartungswert E(V 1 dessen approximatives Duplikationsportefeuille enthalten, sondern bereits in dem ohne Ü 1 Bereich, in dem die entsprechenden Anteile am Marktportefeuille solche Portefeuilles enthalten, die „näherungsweise“ mit dem approximativen Duplikationsportefeuille überein stimmen. Die jeweilige Substitution eines solchen Portefeuilles durch den Überschuss Ü 1
führt jeweils dazu, dass ohne Störtermeffekt die Varianz zwar steigen würde, jedoch mit diesem Effekt sinkt. Bis zum Schnittpunkt S verläuft die modifizierte Effizienzkurve oberhalb der Referenzlinie und danach durchgehend darunter. Es ist ausgeschlossen, dass die modifizierte Effizienzkurve die Referenzlinie zweimal schneidet. 10. Das optimale Portefeuille mit dem exogenen Überschuss wird wieder durch den Tangentialpunkt der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve bestimmt. Die Eigenschaften des optimalen Portefeuilles lassen sich im Prinzip ebenso analysieren wie für den Fall vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf. ergibt sich für das (P,V)-Diagramm eine modifizierte Effizienzkurve Ohne Störterm für Ü 1 wie in Abbildung X.6. Wenn sie rechts vom Schnittpunkt S mit der Referenzlinie eine Indifferenzkurve tangiert und diese durchgehend unterhalb der Referenzlinie verläuft, würde zum virtuellen Marktwert einen der Investor bei direktem Verkauf des Überschusses Ü 1 Nachteil erzielen. Er resultiert daraus, dass der Investor bei diesem Verkauf auf einen nicht störtermbehafteten Überschuss verzichtet und für die gekauften Papiere Störterme maßgeblich sind und diese Papiere (annahmegemäß) keine Risikoprämien für ihre Störterme bieten. Für die Portefeuilleplanung und die individuelle subjektive Bewertung dürfte allerdings – oder Ü H bzw. sein approximatives Duplikationsvor allem, wenn der Überschuss Ü 1 1 portefeuille groß ist, seine Struktur stark von der des Marktportefeuilles abweicht und die Risikoaversion des Investors hoch ist – der Bereich rechts von S kaum in Betracht kommen. Wenn die modifizierte Effizienzkurve links von S eine Indifferenzkurve tangiert, muss diese zwangsläufig oberhalb der die Referenzlinie tangierenden Basisindifferenzkurve verlaufen. Wenn nunmehr der Investor den Überschuss direkt zum virtuellen Marktwert verkaufen
Portefeuilleplanung mit unvollständig duplizierbarem exogenem Überschuss
399
(könnte und) würde, würde er einen Vorteil erzielen. Dieser Vorteil wäre tendenziell umso größer, je höher seine Risikoaversion und je kleiner folglich der Abszissenwert des Tangentialpunktes der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve ist und je mehr dieser Tangentialpunkt oberhalb der Referenzlinie liegt.
Kapitel XI Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
1
Problemstellung
In diesem Kapitel soll die Analyse des individuellen subjektiven Grenzpreises von Kapitel VIII auf den Fall erweitert werden, dass der Investor den Überschuss des Bewertungsobjekts gemäß den Darstellungen in Kapitel IX bzw. X durch Portefeuillebildung mit originären Finanztiteln und/oder Derivaten, die sich darauf beziehen, optimal hedgt (LAUX/SCHABEL, 2006; 2007). Dabei wird wieder von Bewertungsproblemen in einem Unternehmensverbund abgesehen; ohne das Bewertungsobjekt hält der Investor ausschließlich ein optimales Wertpapierportefeuille.1 Wenn er das Bewertungsobjekt kauft, nutzt er es – wie in Kapitel VIII – bis zu Ende der Periode. Er erzielt dann wieder den ~ Überschuss Ü1 . Arbitrage auf dem Realgütermarkt zum Zeitpunkt 0 sei wieder ausgeschlossen. Der individuelle subjektive Grenzpreis für einen potenziellen Käufer ist nun derjenige Preis für das Bewertungsobjekt, mit dem der Investor bei Kauf in Verbindung mit einem optimal an das Bewertungsobjekt angepasstem Portefeuille denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie bei Verzicht auf Kauf und Realisation des dann optimalen Portefeuilles. Analog ist der Grenzpreis für einen potenziellen Verkäufer gleich demjenigen Erlös, mit dem er bei Verkauf des Bewertungsobjekts und Realisation des dann optimalen Portefeuilles denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie mit dem Bewertungsobjekt und dem hierfür optimalen Hedgeportefeuille. Für beide Fälle wird wieder angenommen, dass der Preis zu Beginn der Periode, dem Zeitpunkt 0, zu zahlen ist. ~ Es ist wieder zu beachten, dass der Überschuss Ü1 einen Liquidationserlös enthalten kann, auf den aus gegenwärtigen Preisen (probabilistische) Rückschlüsse gezogen werden können. Gegenwärtige Preise können dann den individuellen subjektiven Grenzpreis beeinflussen. Der Liquidationserlös könnte auch aus einem Börsengang resultieren, so dass gegenwärtige Marktwerte von Portefeuilles der gleichen Risikoklasse als Wertindikatoren relevant sein können.
1
Zur Bewertung im Rahmen eines privaten Unternehmensverbunds vgl. Kapitel XII.
402
Kapitel XI
Wie im Folgenden gezeigt wird, ist auch in Verbindung mit einem optimalen Hedgeportefeuille der subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts grundsätzlich kleiner als der (virtuelle) Marktwert. Es wird untersucht, wie mögliche Abweichungen von der ~ Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ü1 , den Kapitalmarktbedingungen und der Risikoeinstellung des Investors abhängen. Dabei wird ersichtlich, dass Leerverkaufsbeschränkungen und unvollständige Duplizierbarkeit im Prinzip dieselben Auswirkungen haben: ~ Sie beschränken die Hedgemöglichkeiten des Überschusses Ü1 des Bewertungsobjekts und beeinträchtigen damit den individuellen subjektiven Grenzpreis. Die Kenntnis der möglicher Abweichungsursachen ist auch deshalb von Bedeutung, weil es verbreitete Praxis ist, subjektive Grenzpreise (vor allem auch Unternehmenswerte) als Marktwerte zu ermitteln. Im Rahmen der folgenden Darstellungen kann zum Teil offen bleiben, wie die Wertpapierpreise zustande kommen. Daneben werden jedoch immer wieder die Bewertungsfunktionen des CAPM zugrunde gelegt. Auch in der Praxis erfolgt die (Unternehmens-) Bewertung oft in Anlehnung an dieses Modell. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt nicht kauft oder es verkauft, hält er unter den Voraussetzungen des CAPM einen Anteil am Marktportefeuille. Wir nehmen wieder an, dass er keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise hat und der Handel mit Wertpapieren (einschließlich Leerverkauf) keine Transaktionskosten verursacht. Wenn der Investor ausgehend von einem CAPMGleichgewicht mit anderen Anteilseignern auf dem Kapitalmarkt handelt, stimmt zumindest für einige von ihnen die Portefeuillestruktur nicht mehr mit der des Marktportefeuilles überein. Bei unveränderlichen Preisen bedeutet dies streng genommen, dass die betreffenden Anteilseigner einen Nachteil erzielen, eine Implikation, die allerdings generell gilt und nicht nur für ein CAPM-Gleichgewicht. Man kann sich jedoch vorstellen, dass der Investor mit vielen anderen Anteilseignern handelt deren Grenznutzenwerte praktisch konstant bleiben, so dass sich die Preise trotz der betrachteten Kapitalmarkttransaktionen nicht wahrnehmbar ändern. In Abschnitt 2 wird der grundsätzliche Einfluss von Kapitalmarkttransaktionen auf individuelle subjektive Grenzpreise erläutert. In Abschnitt 3 wird der Idealfall der Bewertung bei vollständiger Duplizierbarkeit ~ des Überschusses Ü1 des Bewertungsobjekts und unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles betrachtet. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist dann (wie auch der kollektive) gleich dem virtuellen Marktwert des Duplikationsportefeuilles aus Sicht des Investors. Wie erläutert wird, ist die Annahme vollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränkter Leerverkäufe wenig realistisch, auch wenn sie in der Literatur oft zur Begründung der Äquivalenz von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung herangezogen wird. Bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränktem Leerverkauf stellt sich das Bewertungsproblem als komplexer dar. Abschnitt 4 befasst sich mit der Ermittlung und der Höhe des individuellen subjektiven Grenzpreises für den Fall, dass der Überschuss des Bewertungsobjekts zwar duplizierbar ist, aber aufgrund von Leerverkaufsbeschränkungen trotzdem nicht eliminiert werden kann. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist dann grundsätzlich kleiner, aber niemals größer als der virtuelle Markt-
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
403
wert des Bewertungsobjekts (der Marktwert des aus Sicht des Investors maßgeblichen Duplikationsportefeuilles). Es wird untersucht, welche Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis in unterschiedlichen Entscheidungssituationen bestehen. Analoge Untersuchungen werden in Abschnitt 5 für den Fall angestellt, dass der Überschuss nicht vollständig (sondern allenfalls einzelne Einzahlungs- und/oder Auszahlungskomponenten) dupliziert werden kann. Hier ist der individuelle subjektive Grenzpreis selbst bei unbeschränktem Leerverkauf kleiner als der virtuelle Marktwert. Die Höhe der Differenz zwischen beiden Werten wird für verschiedene Entscheidungssituationen untersucht. Besondere Beachtung finden dabei Störterme für den Überschuss des Bewertungsobjekts und/oder für die Endwerte der Papiere als Grund fehlender Duplizierbarkeit. Diese Störterme bewirken, dass der subjektive Grenzpreis bereits bei unbeschränktem Leerverkauf unter den Marktwert sinkt. Darüber hinaus führen sie zu Wertminderungen, weil sie Leerverkaufsbeschränkungen verursachen oder bereits bestehende verstärken. In Abschnitt 6 wird untersucht, wie das Bewertungskonzept vereinfacht werden kann: Bei der Preisverhandlung mit einem potenziellen Verkäufer muss der Investor nicht unbedingt ex ante den „genauen“ Wert kennen, um gute Entscheidungen über den Kauf oder Nichtkauf oder die Fortführung des Verhandlungsprozesses treffen zu können. Abschnitt 7 befasst sich mit Implikationen veränderlicher Nutzenfunktion des Investors für seinen subjektiven Grenzpreis. Es wird gezeigt, dass mögliche Änderungen der Nutzenfunktion tendenziell eine Wertminderung induzieren. In Abschnitt 8 werden Implikationen für die Sicherheitsäquivalent-Methode gezeigt. Wie die Darstellungen verdeutlichen, hängt der individuelle subjektive Grenzpreis ~ davon ab, wie der Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts gehedgt wird. Dabei ist es nicht sinnvoll die aus verschiedenen Überschusskomponenten (aus verschiedenen Einzahlungs- bzw. Auszahlungsarten) resultierenden Risiken unabhängig voneinander zu hedgen. Vielmehr ist integratives Risikomanagement geboten, bei dem Hedgemaßnahmen im Verbund mit allen Risiken analysiert werden: Für die Qualität von Hedgemaßnahmen kommt es primär nicht darauf an, wie deren Überschüsse mit einzelnen Überschusskomponenten korreliert sind, sondern welcher Risikoverbund mit dem gesamten ~ Überschuss Ü1 besteht. Dabei zeigt sich eine Parallele zur optimalen Portefeuillebildung (Kapitel III): Wie sich bei Herausnahme von Wertpapieren aus einem Portefeuille dessen Varianz ändert, hängt nicht von der Varianz dieser Papiere ab, sondern von der Kovarianz ihres Endwertes mit dem Endwert des gesamten Portefeuilles; bei negativer (positiver) Kovarianz steigt (sinkt) mit der Herausnahme das Portefeuillerisiko. In Kapitel XII wird davon ausgegangen, dass der Investor bereits Eigentümer eines Unternehmens ist. Beim potenziellen Kauf (Verkauf) des Bewertungsobjekts ist dann auch der stochastische Zusammenhang zwischen dem Überschuss des Bewertungsobjekts und dem bisherigen (dem verbleibenden) Überschuss des Leistungsbereichs zu erfassen. Es ist nun möglich, dass der subjektive Grenzpreis höher ist als der Marktwert, weil das Bewertungsobjekt aufgrund fehlender Duplizierbarkeit vorteilhafte Möglich-
404
Kapitel XI
keiten der Risikomischung eröffnet, die durch Portefeuillebildung über den Kapitalmarkt nicht realisiert werden können. Insbesondere in Kapitel XV wird untersucht, wie die Darstellungen im vorliegenden Kapitel XI und im Kapitel XII auf den Mehrperioden-Fall übertragen werden können. Dabei wird u.a. gezeigt, wie im Rahmen flexibler Planung auf der Basis einperiodiger Betrachtungen sukzessive die Abweichung zwischen dem Marktwert und dem subjektiven Grenzpreis für den Mehrperioden-Fall analysiert (geschätzt) werden kann. In Kapitel XV wird auch ein Programmierungsansatz zur Ermittlung eines subjektiven Grenzpreises dargestellt, der in strukturgleicher Form auch im Einperioden-Fall zugrunde gelegt werden kann. Im vorliegenden Kapitel geht es jedoch weniger um Fragen der praktischen Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises. Im Vordergrund stehen Ursachen für dessen Abweichung vom Marktwert. Wir gehen wieder davon aus, dass sich der Investor am (P,V)-Kriterium orientiert. Dadurch lassen sich wesentliche Grundzusammenhänge in anschaulicher Weise graphisch darstellen. Sie gelten jedoch im Prinzip auch dann, wenn dieses Kriterium bezüglich der Nutzenfunktion des Investors nicht im Einklang mit dem BERNOULLI-Prinzip steht und bei der Bewertung explizit der Erwartungswert des Nutzens seines Endvermögens zugrunde gelegt wird.
2
Bedeutung von Kapitalmarkttransaktionen für die individuelle subjektive Bewertung
Der Wert eines Bewertungsobjekts aus Sicht eines individuellen Investors hängt vom Umfang und der Struktur seines Wertpapierportefeuilles ab. Bei der Bewertung muss ~ berücksichtigt werden, wie er den Überschuss Ü1 hedgt und welches Portefeuille ohne das Bewertungsobjekt für ihn optimal ist. Wenn der Investor es kauft oder verkauft, können erhebliche Rückwirkungen auf sein optimales Portefeuille resultieren, die bei der Bewertung zu erfassen sind; sie kann nur unter Berücksichtigung der optimalen Portefeuilleanpassungen korrekt erfolgen. Völlig anders ist die Situation, wenn das Bewertungsobjekt von einem börsennotierten Unternehmen gekauft oder verkauft wird. Der Kauf hat weder im CAPM noch im SPA bei unveränderlichen Grenznutzenwerten Rückwirkungen auf die individuellen Portefeuilles der Anteilseigner, d.h. er löst keinen Handel mit Wertpapieren aus, um das zusätzliche Risiko besser zu hedgen. Entsprechend ergeben sich grundsätzlich verschiedene Bewertungsprobleme, je nachdem, ob ein börsennotiertes Unternehmen oder ein privater Investor erwägt, ein Objekt zu kaufen. Zur Verdeutlichung gehen wir von der NE-Variante des CAPM (mit Normalverteilungen und exponentiellen Nutzenfunktionen der Anteilseigner) aus. Wir betrachten die Bewertung vom Standpunkt eines Investors i, der den Anteil zi am Marktportefeuille hält. Zwei Bewertungsfälle werden miteinander verglichen:
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
405
Fall A: Das Bewertungsobjekt wird (potenziell) von dem börsennotierten Unternehmen n erworben, an dem der Investor i (wie am Marktportefeuille) mit dem Anteil zi beteiligt ist. Fall B: Das Objekt wird (potenziell) von dem Investor i privat erworben. Es wird gezeigt, dass im Fall B der Marktwert des Überschusses erheblich größer ist als der subjektive Grenzpreis, sofern der Investor bei Kauf sein Portefeuille nicht ändert, d.h. nach wie vor mit dem Anteil zi am Marktportefeuille beteiligt ist. Die Varianz des Endvermögens des Investors i in der Ausgangssituation ist gleich ~ z i2 Var (M1G ) . Bei privatem Kauf ohne Änderung seines Portefeuilles ergibt sich die Varianz: ~ ~ ~ ~ Var ( Ü1 ) 2 Kov( Ü1 ; z i M1G ) z i2 Var (M1G ) .
Die Varianz ändert sich dann also um: (XI.1)
~ ~ ~ 'Var Var ( Ü1 ) z i 2 Kov( Ü1 ; M1G ) .
Entsprechend ist der Kauf im Fall B für den Investor i bei exponentieller Nutzenfunktion vorteilhaft, wenn für die Anschaffungsauszahlung A0 des Bewertungsobjekts gilt: (XI.2)
! a ~ ~ ~ ~ E( Ü1 ) (1 r ) A 0 ! i [Var( Ü1 ) z i 2 Kov( Ü1 ; M1G )] . 2
Wegen (Kapitel IV, Abschnitt 5.2.2)
(IV.18)
1 ai I
zi
¦ a1
j 1
j
und analog zu (IV.36) (Kapitel IV, Abschnitt 5.3.2.3) (XI.3)
MR {
RPG ~ Var (M1G )
1 I
¦ a1 j 1 j
gilt: zi
1 MR , ai
so dass die Bedingung (XI.2) wie folgt dargestellt werden kann: (XI.4)
! a ~ ~ ~ ~ E( Ü1 ) (1 r ) A 0 ! i Var ( Ü1 ) MR Kov( Ü1 ; M1G ) . 2
406
Kapitel XI
Entsprechend gilt für die kritische Anschaffungsauszahlung A0 bzw. den indivi~ duellen subjektiven Grenzpreis GPS ( Ü1 ) , von dem an der private Kauf des Bewertungsobjekts durch den Investor i nachteilig wird: (XI.5)
~ ~ ~ ~ ~ 1 GPS ( Ü1 ) (1 r ) 1 [E( Ü1 ) a i Var( Ü1 ) MR Kov( Ü1 ; M1G )] . 2
Wird dieser Grenzpreis von (VII.6)
) (1 r)1 {E(Ü ) MR [ 1 Var(Ü ) Kov(Ü ;M GPN (Ü 1 1 1 1 1G )]} , 2
dem Grenzpreis bei (potenziellem) Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n und Orientierung am Ziel kollektiver subjektiver Nutzenmaximierung (Kapitel VII, Abschnitt 2.2.1), subtrahiert, erhält man: (XI.6)
1 1 ) GP (Ü GPN (Ü 1 S 1 ) (1 r) (a i MR) Var(Ü1 ) 2 1 1 1 )!0 . (1 r)1 ( ) Var(Ü 1 1 I 2 1 ai
¦a j 1 j
) bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n Der Grenzpreis GPN (Ü 1 (Fall A) ist erheblich höher als für den privaten Kauf durch den Anteilseigner i (Fall B) bei unveränderlichem Anteil am Marktportefeuille. Bei gegebener Risikotoleranz 1/ai ) und GP (Ü ist die Differenz zwischen den beiden Grenzpreisen GPN (Ü 1 S 1 ) umso hö her, je größer die Varianz Var(Ü1 ) und je kleiner der Kehrwert der Summe aller Risikotoleranzen,
1 I
,
¦ a1 j 1 j ist. Dieser Kehrwert ist seinerseits bei gegebenen individuellen Risikotoleranzen umso kleiner, je größer die Zahl I der Investoren auf dem Kapitalmarkt ist, zwischen denen das Risiko des Bewertungsobjekts geteilt wird. * ~ Für die Differenz zwischen dem Marktwert GPM ( Ü1 ) des Bewertungsobjekts gemäß (VII.10)
~ ~ ~ * ~ GPM ( Ü1 ) (1 r ) 1 [E( Ü1 ) MR Kov( Ü1 ; M1G )]
~ (Kapitel VII, Abschnitt 2.1.1) und dem subjektiven Grenzpreis GPS ( Ü1 ) gilt:
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
(XI.7)
407
* ) (1 r)1 1 a Var(Ü )!0 . GPM (Ü1 ) GPS (Ü 1 i 1 2
~ Je größer die Varianz des Überschusses Ü1 und der Risikoaversionskoeffizient ai sind, ~ ~ * desto weiter liegt der Marktwert GPM ( Ü1 ) über dem subjektiven Grenzpreis GPS ( Ü1 ) . Der private Kauf zum Marktwert ist für den Anteilseigner i bei unveränderlichem Anteil ~ am Marktportefeuille nachteilig. Es ist eben ein Unterschied, ob er das mit Ü1 verbundene Risiko allein trägt oder gemeinsam mit den (zahlreichen) anderen Anteilseignern für den Fall des Kaufs durch das Unternehmen n. Damit der private Kauf des Bewertungsobjekts für den Investor nicht nachteilig ist, muss vom Marktwert ein Preisabschlag von mindestens
1 ) (1 r)1 a i Var(Ü 1 2 vorgenommen werden. Wie in Kapitel VIII, Abschnitt 4, gezeigt wurde, kann im Fall B auch dann ein erheblicher Abschlag vom Marktwert des Bewertungsobjekts geboten sein, wenn der Investor bei dessen Kauf überhaupt keine Papiere mehr hält, also seinen Anteil zi am Marktportefeuille veräußert (oder erst gar nicht erwirbt). Jedoch sind beide Verhaltenshypothesen, keine Änderung des Wertpapierbestandes oder Verkauf aller Papiere als Basis individueller subjektiver Bewertung problematisch. Im Folgenden wird für verschiedene Kapitalmarktbedingungen untersucht, wie der subjektive Grenzpreis unter Berücksichtigung jeweils optimaler Kapitalmarkttransaktionen ermittelt werden kann.
3
Bewertung bei Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf
3.1
Individueller subjektiver Grenzpreis als Marktwert
~ Kann der Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts dupliziert und das Duplikations~ portefeuille vollständig leerverkauft (also das aus Ü1 resultierende Risiko perfekt gehedgt) werden, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung über ~ Ü1 und der Risikoeinstellung des Investors der subjektive Grenzpreis gleich dem ~ Marktwert des Überschusses Ü1 bzw. dem Marktwert seines Duplikationsportefeuilles. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft und simultan das Duplikationsportefeuille zu dem identischen Preis verkauft, kompensieren sich die Anschaffungsauszahlung und der Erlös aus dem Duplikationspor~ tefeuille. Der Investor kann den Überschuss Ü1 dazu verwenden, seine Verpflichtung aus dem Leerverkauf zu erfüllen; der Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert in Verbindung mit den Kapitalmarkttransaktionen ist ohne jegliche Vermögenswirkung. Ist der Preis des Bewertungsobjekts kleiner als der Marktwert, erzielt der Inves-
408
Kapitel XI
tor zum Zeitpunkt 0 einen sicheren Überschuss in Höhe des Marktwertes abzüg~ lich des Preises, wobei sich wiederum Ü1 und die Auszahlung zum Zeitpunkt 1 aus dem leerverkauften Duplikationsportefeuille kompensieren. Der Investor kann somit über den sicheren Überschuss zum Zeitpunkt 0 frei verfügen. Insbesondere kann er ihn (zusätzlich zu V0) optimal am Kapitalmarkt investieren, wobei die Kapitalanlage auch darin bestehen kann, dass er die leerverkauften Papiere (zum Teil) zurückkauft; sie werden dann gar nicht erst verkauft. Je größer die Differenz aus Marktwert und Preis des Bewertungsobjekts, desto größer ist der Nutzenzuwachs für den Investor. Ist der geforderte Preis höher als der Marktwert, ist der Kauf nachteilig. Es ist wieder zu beachten, dass es sich grundsätzlich um einen virtuellen (oder intrinsischen) Marktwert aus Sicht des Investors handelt. Er bildet das Duplikationsportefeuille ~ gemäß seiner subjektiven Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich Ü1 . Aus Sicht von Personen mit anderen Informationen und/oder anderen Schlussfolgerungen mag ein anderes Duplikationsportefeuille und entsprechend auch ein anderer Marktwert maßgeb~ lich sein. Somit kann der Investor nicht ohne weiteres den Überschuss Ü1 direkt zum Marktwert aus seiner Sicht verkaufen. Bewertungsunterschiede können auch daraus resultieren, dass der Investor bessere Verwendungsmöglichkeiten für das Bewertungsobjekt hat oder besser befähigt ist, damit Überschüsse zu erzielen als andere; Informationen über eigene Verwendungen und Fähigkeiten fließen ebenfalls in den virtuellen Marktwert (in den individuellen subjektiven Grenzpreis) ein. Dass bei unbeschränkter Duplizierbarkeit und unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert ist, kann anschaulich interpretiert werden: Aufgrund der Duplizierbarkeit bietet das Bewertungsobjekt keine Risikokategorie, die nicht über den Kapitalmarkt realisierbar ist; der subjektive Grenzpreis kann nicht höher als der Marktwert des Duplikationsportefeuilles sein. Zwar ist es für den Investor bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts im Allgemeinen nicht optimal, alternativ das Duplikationsportefeuille zu halten, da dessen subjektiver Wert kleiner ist als der Marktwert. ~ Dann entspricht auch die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ü1 nicht direkt den Präferenzen des Investors. Er kann jedoch bei Kauf des Bewertungsobjekts den ~ Überschuss Ü1 derart über Kapitalmarkttransaktionen (durch Leerverkauf) transformieren, dass ihm zum Zeitpunkt 0 ein Erlös in Höhe des Marktwertes zufließt. Der subjektive Grenzpreis kann somit auch nicht kleiner sein als der Marktwert; er stimmt damit überein. Wenn das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden kann, ist im übrigen auch die Finanzierung des Bewertungsobjekts gesichert, sofern dessen Kauf finanziell nicht nachteilig ist, d.h. die Anschaffungsauszahlung nicht höher als der Erlös aus
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
409
dem Verkauf des Duplikationsportefeuilles ist. Der Leerverkauf kann als stochastische Fremdfinanzierung interpretiert werden. Da die explizite Bestimmung des Marktwertes eines Duplikationsportefeuilles einen großen Aufwand verursachen kann, stellt sich das Problem der Vereinfachung. Möglicherweise kann sie in der Weise vorgenommen werden, dass auf den bekannten Preis eines Vergleichsobjekts derselben Risikoklasse zurückgegriffen wird. Ist der Überschuss des Bewertungsobjekts das x-fache des Überschusses des Vergleichsobjekts, ist auch der Marktwert das x-fache des Preises des Vergleichsobjekts. Voraussetzung für diese Umrechnung ist allerdings, dass der Preis des Vergleichsobjekts korrekt als Marktwert ermittelt worden ist und dabei Erwartungen bezüglich des Überschusses des Vergleichsobjekts zugrunde gelegt wurden, die mit denen des Investors übereinstimmen. Unter den Voraussetzungen des CAPM kann der Marktwert des Duplikationsportefeuilles ermittelt werden, indem mit einer Bewertungsfunktion dieses Modells der ~ Marktwert von Ü1 direkt ermittelt wird. Ist die Anschaffungsauszahlung niedriger als der so ermittelte Marktwert, ist der Kauf des Bewertungsobjekts in Verbindung mit Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles vorteilhaft. Dieses Portefeuille muss auch bei vereinfachter Bewertung bestimmt werden, wenn auch erst nach Kauf des Bewertungsobjekts. Der Überschuss nach Leerverkauf wird dann optimal angelegt. Unter den Voraussetzungen des CAPM realisiert der Investor auch bei Kauf des Bewertungsobjekts in Verbindung mit dem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles einen optimalen Anteil am Marktportefeuille. Bei quadratischer Nutzenfunktion bewirkt ein sicherer Reichtumszuwachs bei Kauf, dass der Investor sein Portefeuillevolumen reduziert und entsprechend mehr Kapital risikolos anlegt. Bei exponentieller Nutzenfunktion ist das optimale Portefeuille unabhängig von einem sicheren Vermögen; der Investor legt einen sicheren Vermögenszuwachs bei Kauf in vollem Umfang zum risikolosen Zinssatz r an.
3.2
Implikationen
Unter den Voraussetzungen der vollständigen Duplizierbarkeit und des unbeschränkten Leerverkaufs ist die Ermittlung des individuellen Grenzpreises als virtueller Marktwert aus folgenden Gründen relativ einfach: 1. „Präferenzfreiheit“: Die Bewertung kann präferenzfrei vorgenommen werden. Lediglich Nichtsättigung muss angenommen werden, d.h., dass der Investor in jedem Zustand einen höheren Geldbetrag einem niedrigeren vorzieht. Die Bewertung kann nach dem Dominanzprinzip erfolgen; die Nutzenfunktion des Investors muss erst dann spezifiziert werden, wenn es darum geht, einen Überschuss zwischen dem Erlös aus Verkauf des Duplikationsportefeuilles und dem Preis für das Bewertungsobjekt optimal anzulegen. 2. Separierbarkeit: Die Bewertung kann (bei Fehlen von Restriktions- und Bewertungsverbund) unabhängig davon vorgenommen werden, welche zusätzlichen Überschüsse der Investor im Umfeld des Bewertungsobjekts erzielt, ins-
410
Kapitel XI
besondere, welche Investitionsprojekte er sonst noch realisiert oder bereits durchgeführt hat. 3. Finanzierbarkeit: Wenn das Bewertungsobjekt für den Investor finanziell vorteilhaft (oder zumindest nicht nachteilig) ist, ist es mit dem Erlös aus dem Verkauf des Duplikationsportefeuilles auch finanzierbar. Die Annahme universeller Duplizierbarkeit und unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten ist jedoch generell kaum sinnvoll. Unter diesen Kapitalmarktbedingungen würden wesentliche Grundprobleme der Betriebswirtschaftslehre entfallen, z.B.: 1. Irrelevanz der Finanzierung: Bei Arbitragefreiheit des Kapitalmarktes sind bei gegebenem Investitionsprogramm alle Finanzierungsparten gleichwertig. Kapitalbudgetierung ist ausgeschlossen; jedes Investitionsprojekt, dessen Marktwert nach Abzug der Anschaffungsauszahlung nicht negativ ist, kann finanziert werden, indem sein Duplikationsportefeuille zum Marktwert leerverkauft wird (stochastische Fremdfinanzierung). 2. Irrelevanz von Risikoteilung: Die Risikoteilung mit anderen Gesellschaftern erübrigt sich, weil ideale Voraussetzungen bestehen, das Risiko durch Kapitalmarkttransaktionen zu hedgen. Durch Verzicht auf Beteiligungsfinanzierung lassen sich auch Motivationsprobleme und Konflikte mit anderen Gesellschaftern hinsichtlich der Durchführung neuer Projekte vermeiden. Konflikte können allerdings bei universeller Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf nur aus Unterschieden bezüglich nichtfinanzieller Ziele und/oder subjektiver Erwartungen über die Projektüberschüsse resultieren. Unter diesen Kapitalmarktbedingungen ist es nämlich für alle Gesellschafter in finanzieller Hinsicht optimal, den Marktwert des Unternehmens zu maximieren. 3. Irrelevanz von Risikomanagement: Auch Risikomanagement z.B. durch Abschluss von Versicherungen, Kauf von Optionen, Abschluss von Termingeschäften ist irrelevant, weil die Risiken ohne Moral Hazard Probleme durch Duplikation und Leerverkauf ideal gehedgt werden können. 4. Irrelevanz linearer Erfolgsbeteiligung: Die in der Praxis übliche lineare Erfolgsbeteiligung ist für das Management eines börsennotierten Unternehmens irrelevant, da jeder Entscheidungsträger einerseits das betreffende Anreizsystem privat durch Kauf von Aktien „seines“ Unternehmens realisieren kann und es andererseits durch (Leer-) Verkauf von Aktien seines Unternehmens zu demjenigen optimalen Erfolgsanteil reduziert, den er ohne dieses Anreizsystem durch privaten Aktienkauf realisiert hat (NEUS, 1989; LAUX, 1990b; 1991; 2006a, S. 516 ff.). Im Prinzip kann ein einzelner Entscheidungsträger für sich ein ideales Anreizsystem etablieren, indem er alle Aktien „seines“ Unternehmens zum Marktwert kauft und das Risiko durch Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles optimal hedgt. Es besteht dann eine ideale Motivationswirkung: Der Entscheidungsträger kann bei jedem Investitionsprojekt das Risiko durch Duplikation und Leerverkauf beseitigen, wobei ihm jeweils ein sicherer Betrag in Höhe des Marktwertes nach Abzug der Anschaffungsauszahlung zufließt, so
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
411
dass kein Bedarf besteht, das Risiko direkt mit anderen Gesellschaftern zu teilen. Da ihm der jeweilige Marktwert nach Anschaffungsauszahlung allein zufließt, entstehen keine Free Rider-Probleme; die Motivation des Entscheidungsträgers, mit Arbeitsleid und anderen nichtfinanziellen Nachteilen verbundenen Projekte durchzuführen, ist relativ hoch.
3.3
Grenzen von Leerverkäufen
Wie in Kapitel IV, Abschnitt 2.2, erläutert wurde, sind Leerverkäufe in der Realität vor allem für private Investoren nur in Grenzen möglich oder vorteilhaft. Grenzen ergeben sich grundsätzlich schon dann, wenn man davon absieht, dass aufgrund von Leihgebühren für die geliehenen und an der Börse verkauften Papiere die Kosten von Leerverkäufen prohibitiv hoch sein können. Leerverkauf des gesamten Duplikationsportefeuilles zum Marktwert ist allenfalls dann möglich, wenn der Investor ausreichend Sicherheit bieten kann. Diese Bedingung wird aber für einen individuellen Investor, der gerade ein größeres Bewertungsobjekt (etwa ein Unternehmen) erworben hat, oft nicht erfüllt sein. ~ Auch der Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts wird nicht ohne weiteres als Sicherheit ausreichen. Zwar stimmt er im Urteil des Investors mit dem Endwert des Duplikationsportefeuilles überein, so dass er selbst davon überzeugt ist, seine Verpflichtung aus dem Leerverkauf dieses Portefeuilles erfüllen zu können. Ob er auch andere (etwa Banken) davon überzeugen kann, ist bei Informationsasymmetrie, hohen Informationskosten und unterschiedlichen Schlussfolgerungen aus Informationen keinesfalls gewährleistet. Zwar mag ein potenzieller Vertragspartner existieren, der sich nach entsprechender Information auf den Leerverkauf einlassen würde, jedoch kann dessen Suche und Information prohibitiv hohe Kosten verursachen. Von Bedeutung in diesem Zusammenhang ist, dass der Überschuss des Bewertungsobjekts grundsätzlich nicht objektiv gegeben ist, sondern u.a. vom Arbeitseinsatz des Investors abhängt. Wenn er mangels privater Vermögenswerte nicht für die Verbindlichkeiten haftet, besteht aus Sicht eines potenziellen Verleihers der Papiere des Duplikationsportefeuilles die Gefahr, dass er sich nicht anstrengt, die versprochenen Überschüsse zu realisieren, da er sie abführen muss. Außerdem besteht aus Sicht des Verleihers die Gefahr, dass er deshalb nicht uneingeschränkt über den erzielten Überschuss verfügen kann, weil auch andere einen Anspruch darauf haben. Der Verleiher hat somit gute Gründe, Sicherheiten in Form von Finanzvermögen oder anderen Vermögenswerten zu fordern. Der Investor hat üblicherweise in der Weise Sicherheit zu bieten, dass er beim Verleiher ein Konto (ein sogenanntes Margin-Account) einrichtet, über welches dieser verfügen kann, wenn der Investor seinen Verpflichtungen nicht nachkommt. Je größer die
412
Kapitel XI
geforderte Einlage, desto mehr wird der Finanzierungsspielraum des Investors für das Bewertungsobjekt beeinträchtigt. Wenn er zunächst einen Betrag in Höhe des Marktwertes der leerverkauften Papiere in das Margin-Account einzahlen muss, kann der Leerverkauf überhaupt nicht zur Finanzierung herangezogen werden, sondern allenfalls zum Hedgen des Risikos dienen. Der individuelle subjektive Grenzpreis stimmt in diesem Fall nur dann mit dem Marktwert überein, wenn der Investor in anderer Weise die Finanzierung vornehmen kann. Der Leerverkauf bietet immerhin die Möglichkeit, das Bewertungsobjekt teilweise zu finanzieren, wenn der Investor zunächst einen kleineren Betrag als den Marktwert der leerverkauften Papiere im Margin-Account halten muss. Üblicherweise muss der Leerverkäufer bei Kurssteigerungen Geld nachschießen, um größere Ausfallrisiken des Verleihers zu verhindern. Wenn der Investor nicht über die betreffenden Mittel bereits verfügt und diese auch nicht beschaffen kann, kommt es zu Schwierigkeiten. Damit ist vor allem bei größeren Bewertungsobjekten mit hohen Anschaffungsauszahlungen zu rechnen. Zwar ist der Investor davon überzeugt, dass er seinen Verpflichtungen am Ende der Periode aus dem Überschuss des Bewertungsobjekts erfüllen könnte, er muss aber schon vorher Zahlungen leisten, wenn er aufgrund von Informationsasymmetrie den Verleiher nicht mit dem Hinweis auf zukünftige Überschüsse beschwichtigen kann. Werden die Zahlungsprobleme des Investors öffentlich, wird er auch kaum einen anderen Verleiher finden, der ihm die leerverkauften Papiere zur Verfügung stellt, damit er seine Verpflichtungen gegenüber dem aktuellen Verleiher erfüllen kann. Der Investor kann somit gezwungen sein, das Bewertungsobjekt oder Teile davon zu liquidieren, um mit dem Verkaufserlös seine Verpflichtungen zu erfüllen. Die zunächst geplanten möglichen Überschüsse, deren Marktwert als Grenzpreis diente, wird dann gar nicht erzielt. Aus Sicht des Investors können also Leerverkäufe das Risiko erhöhen, statt es zu reduzieren. Damit ist vor allem dann zu rechnen, wenn im Zeitablauf die Streuung des Marktwertes der leerverkauften Papiere hoch ist, weil das betreffende Portefeuille wenig gemischt ist, sondern vorwiegend aus Papieren eines einzelnen Typs besteht, um damit den Überschuss des Bewertungsobjekts wirksam zu hedgen. Für den Investor kann es sinnvoll sein, bei Kauf des Bewertungsobjekts mögliche Leerverkäufe nicht vorzunehmen. Zwar ist dann sein subjektiver Grenzpreis niedriger als der Marktwert, jedoch kann er trotzdem größer sein als der mit den Leerverkäufen. Aus realen und/oder selbst auferlegten Leerverkaufsbeschränkungen resultierende Finanzierungsgrenzen sind nicht gleichermaßen für die Kreditaufnahme zum Zinssatz r maßgeblich. Zwischen ihr und stochastischer Fremdfinanzierung durch Leerverkauf bestehen grundsätzliche risikopolitische Unterschiede. Bei Fremdfinanzierung zum Zinssatz r ist die vereinbarte Rückzahlung zum Zeitpunkt 1 sicher, während bei Leerverkauf je nach Struktur des verkauften (Duplikations-)Portefeuilles die Streuung der Rückzah-
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
413
lungsverpflichtung (in Form der zu liefernden Papiere) sehr hoch sein kann. Im Urteil eines potenziellen Verleihers der Papiere kann (bei Informationsasymmetrie) die Wahrscheinlichkeit, dass der Investor seine Verpflichtungen nicht erfüllen kann, wesentlich höher sein als im Urteil eines Gläubigers bei Verschuldung zum Zinssatz r. Gravierende Unterschiede können sich aus Sicht des Investors vor allem dann ergeben, wenn er aufgrund hoher Streuung des Marktwertes des Duplikationsportefeuilles vor dem Zeitpunkt ~ 1 (also vor Realisation des Überschusses Ü1 ) mit hoher Wahrscheinlichkeit hohe Einzahlungen ins „Margin-Account“ zu leisten hat. Bei Verschuldung zum Zinssatz r besteht dagegen im Allgemeinen die Zahlungsverpflichtung erst zum Zeitpunkt 1.
3.4
Grenzen der Erfassung der Folgen von Leerverkäufen
Wenn der Investor neben dem Bewertungsobjekt relativ geringe Sicherheiten bieten kann, sind zum einen die Leerverkaufsmöglichkeiten von vornherein begrenzt. Zum anderen kann der Investor eventuell späteren Zahlungsverpflichtungen bei Kurssteigerung vor dem Zeitpunkt 1 nur dadurch nachkommen, dass er das Bewertungsobjekt (etwa ein Unternehmen) oder Teile davon verkauft, so dass der ursprünglich geplante zustandsabhängige Überschuss nicht realisiert wird. Im Bewertungskalkül müsste antizipiert werden, wie sich die Kurse leerverkaufter Papiere bis zum Zeitpunkt 1 entwickeln können, welche Zahlungsverpflichtungen gegenüber dem Verleiher jeweils resultieren, wie diese durch Verkaufsmaßnahmen im Rahmen des Bewertungsobjekts und andere Maßnahmen ~ erfüllt werden können und wie hierdurch der Überschuss Ü1 beeinflusst wird. Das Konzept flexibler Planung bietet hierfür die theoretische Grundlage (Kapitel XIII, XIV und XV). Allerdings wäre damit ein (prohibitiv) hoher Prognose- und Planungsaufwand verbunden. Bei den folgenden Darstellungen im vorliegenden und dem nachfolgenden Kapitel wird von sequentiellen Anpassungsproblemen abgesehen. Es geht um die prinzipielle Bedeutung von Leerverkäufen für die Bewertung. Wenn der Investor Leerverkäufe vornimmt, erziele er zu Beginn der Periode den entsprechenden Erlös, während am Ende der Periode die Auszahlung für den Kauf dieser Papiere anfällt; zwischenzeitliche Zahlungen werden nicht ausgelöst. Haftungsbeschränkungen werden nicht explizit betrachtet. Der Einfachheit halber wird angenommen, betrachtete Leeverkaufsbeschränkungen seien exogen vorgegeben oder Ergebnis einer Vorentscheidung durch den Investor.
3.5
Grenzen der Duplizierbarkeit
Für die Begründung der Identität von individuellem subjektivem Grenzpreis und Marktwert ist auch die Bedingung der Duplizierbarkeit von grundlegender Bedeutung. Da im CAPM der Kapitalmarkt auch unvollständig sein kann, ist diese Bedingung nicht ohne weiteres erfüllt, so dass der Marktwert als Grenzpreis selbst bei unbeschränktem Leer~ verkauf mit Skepsis zu beurteilen ist. Angenommen, der Überschuss Ü1 sei deshalb ~ nicht duplizierbar, weil er von den Endwerten P1n aller Papiere stochastisch unabhän~ gig ist. Gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM ist dann E( Ü1 ) mit dem risikolo-
414
Kapitel XI
sen Zinssatz r zu diskontieren, weil diese Funktionen implizieren, dass der Überschuss ~ Ü1 zwischen sehr vielen Investoren geteilt wird, so dass das resultierende unsystematische Risiko (praktisch) nicht bewertungsrelevant ist. Wenn nun aber der Investor privat das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, erzielt er keine Risikoprämie und trägt das ~ aus Ü1 resultierende Risiko allein. Der subjektive Grenzpreis kann weit unter dem Marktwert liegen. Im Vordergrund der folgenden Darstellungen stehen Grenzen der Duplizierbarkeit ~ aufgrund von Störtermen für den Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts und/oder die ~ Endwerte P1n der Wertpapiere. Es wird gezeigt, dass diese bewirken, dass der individuelle subjektive Grenzpreis schon dann niedriger ist als der Marktwert, wenn Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Darüber hinaus wirken sie grundsätzlich auch dadurch wertmindernd, dass sie Leerverkaufsbeschränkungen verursachen oder bestehende Beschränkungen verstärken, sofern der Investor neben dem Überschuss des Bewertungsobjekts nur über geringe Mittel verfügt, mit denen er seine Verpflichtungen aus Leerverkäufen erfüllen kann. Bei Störtermen tritt an die Stelle des Duplikationsportefeuilles das approximative Duplikationsportefeuille, für das gilt: Für jeden Zustand Ss stimmt der Erwartungswert seines Endwertes mit dem Erwartungswert des Überschusses des Bewertungsobjekts überein. Jedoch kann der reale Endwert des approximativen Duplikationsportefeuilles erheblich unter dem realisierten Überschuss des Bewertungsobjekts liegen. Vor allem bei größeren Streuungen der Störterme kann das Risiko für den Verleiher prohibitiv hoch sein, wenn nur der Überschuss des Bewertungsobjekts als „Sicherheit“ in Betracht kommt. Je größer die Streuungen der Störterme und je geringer das übrige Vermögen des Investors nach Kauf des Bewertungsobjekts, desto mehr sind selbst bei homogenen Erwartungen die Leerverkaufsmöglichkeiten durch potenzielle Verleiher beschränkt. (Weitere) Beschränkungen mag sich der Investor auch wieder selbst auferlegen, weil er mit zusätzlichen Leerverkäufen das Risiko erhöhen, statt reduzieren würde.
4
Bewertung bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf
4.1
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Käufers
4.1.1
Ohne Leerverkauf
4.1.1.1 Ermittlung des Wertes (a) Bewertung auf Basis zweier Teilmodelle
Der subjektive Grenzpreis eines Bewertungsobjekts hängt allgemein davon ab, ~ wie das aus seinem Überschuss Ü1 resultierende Risiko durch Portefeuillebildung (und eventuell andere Maßnahmen des Risikomanagements) optimal gehedgt werden kann. Bei potenziellem Kauf lässt sich der Wert in folgenden zwei Stufen ermitteln und analysieren. Zunächst wird das optimale Portefeuille ohne
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
415
das Bewertungsobjekt ermittelt (erstes Teilmodell). Sodann wird derjenige Preis für das Bewertungsobjekt bestimmt, bei dem in Verbindung mit optimaler Portefeuilleanpassung derselbe Nutzenerwartungswert wie ohne Bewertungsobjekt erzielt wird (zweites Teilmodell). Für die Ermittlung dieses Preises bei simultaner Portefeuilleoptimierung ist die modifizierte Effizienzkurve von grundlegender Bedeutung. Zunächst untersuchen wir den Fall, dass der Überschuss duplizierbar ist, jedoch Leerverkäufe nicht oder nur beschränkt möglich sind. Mit der Ermittlung und Gestalt der dann bewertungsrelevanten modifizierten Effizienzkurve befasst sich Kapitel IX. In der Ausgangssituation verfüge der Investor ausschließlich über Geldvermögen in Höhe von V0. Er habe nun die Möglichkeit, ein Investitionsprojekt mit dem Überschuss ~ Ü1 zu erwerben. Wenn er den Überschuss nicht kauft, erwerbe er gemäß den Darstellungen in Kapitel III, Abschnitt 3 (Grundmodell der Portefeuilleplanung ohne exogenes Risiko), ein optimales Portefeuille und erzielt damit einen bestimmten Nutzenerwartungswert. Entsprechend ist der subjektive Grenzpreis jener Preis, bei dem er bei Kauf des Bewertungsobjekts in Verbindung mit einer damit abgestimmten optimalen Portefeuillebildung wieder diesen Nutzenerwartungswert erzielt. (b) Spezialfall: Identität von individuellem subjektivem Grenzpreis und (virtuellem) Marktwert unter der Bedingung, dass es für den Investor optimal ist, ohne das Bewertungsobjekt ein Portefeuille zu halten, in dem das Duplikationsportefeuille des Bewertungsobjekts als Teilmenge enthalten ist
Zunächst wird angenommen, dass Leerverkäufe ausgeschlossen sind. (Die Darstellungen gelten analog für den Fall, dass sie zwar vorgenommen werden können, jedoch bei der Bewertung – aus welchen Gründen auch immer – vernachläs~ sigt werden.) Wenn es für den Investor optimal ist, ohne den Überschuss Ü1 ein Portefeuille zu bilden, in dem das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthalten ist, ist dann der subjektive Grenzpreis trotzdem gleich dem (virtuellen) Marktwert des Überschusses.2 Wenn er den Überschuss zum Marktwert kauft und zugleich darauf verzichtet, dessen Duplikationsportefeuille zu kaufen, erzielt ~ er dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen V1 und entsprechend denselben Nutzenerwartungswert wie bei Verzicht auf den Kauf des Überschusses. Ist der Kaufpreis niedriger, erzielt er einen Nutzenzuwachs.
Jedoch wird die Voraussetzung, dass es bei Kauf des Überschusses optimal ist, auf den Kauf des Duplikationsportefeuilles zu verzichten, insbesondere dann nicht erfüllt sein, ~ wenn die Standardabweichung und der Erwartungswert von Ü1 (der Umfang des Bewertungsobjekts) sowie die Risikoaversion des Investors hoch sind. Der (individuelle) 2
Vgl. auch V. WEIZSÄCKER/KREMPEL (2004, S. 810).
416
Kapitel XI
subjektive Grenzpreis ist dann kleiner als der (virtuelle) Marktwert. Da dieser Marktwert größer sein kann als der realisierbare Marktwert als Erlös für den Fall, dass das Bewertungsobjekt als Unternehmen an die Börse gebracht wird, kann der subjektive Grenzpreis trotzdem höher sein als der realisierbare Marktwert. (c) Regelfall: Der subjektive Grenzpreis ist kleiner als der Marktwert
Zur Verdeutlichung wird die Abbildung XI.1 betrachtet. ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve z
T
T2 z
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
z
T1 Basisindifferenzkurve
M z
0
z
z
(1 r ) V0
b/2c
(1 r ) V0 RPDP
~ E(V1 )
RPDP
Abb. XI.1: Zur Analyse des subjektiven Grenzpreises im Vergleich zum Marktwert bei quadratischer Nutzenfunktion
Wenn der Investor das Bewertungsobjekt nicht kauft, erwirbt er dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt T1 der gestrichelten Basiseffizienzkurve (Referenzlinie) mit einer Indifferenzkurve – der sogenannten Basisindifferenzkurve – entspricht. (Die Refe~ renzlinie charakterisiert die Menge der Portefeuilles, die ohne den Überschuss Ü1 effi~ zient sind.) Wenn er das Bewertungsobjekt (den Überschuss Ü1 ) zum Marktwert kauft, gelange er ohne Portefeuillebildung zum Punkt P. Diesem entspricht die Standardab~ ~ weichung Sta ( Ü1 ) und ein Erwartungswert E(V1 ) von (1 r ) V0 zuzüglich der Markt~ risikoprämie des Überschusses Ü1 bzw. der Risikoprämie RPDP seines Duplikationsportefeuilles. ~ ~ Für den Marktwert M 0 ( Ü1 ) des Überschusses Ü1 bzw. den Marktwert MWDP des Duplikationsportefeuilles zum Zeitpunkt 0 gilt: ~ M 0 ( Ü1 ) { MWDP
~ (1 r ) 1 [E ( Ü1 ) RPDP ] .
Hieraus folgt für die Risikoprämie:
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
RPDP
417
~ E( Ü1 ) (1 r ) MWDP .
Die modifizierte Effizienzkurve in Abbildung XI.1 entspricht der in Abbildung IX.5 in Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2.2 (a). Sie unterscheiden sich nur durch die Blickrichtung der Betrachtung. Die Abbildung IX.5 beruht auf der Annahme, dass der Investor bereits über ~ den Überschuss Ü1 verfügt und somit zusammen mit dem Geldvermögen V0 vor Porte~ feuillebildung einen erwartetes Endvermögen von (1 r ) V0 E( Ü1 ) erzielt. Die Referenzlinie bezieht sich in dieser Abbildung auf den Fall, dass der Investor den Über~ schuss Ü1 zum (virtuellen) Marktwert verkauft. Die Abbildung XI.1 beruht dagegen auf der Annahme, dass er erwägt, diesen Überschuss zu kaufen; dem Punkt P in dieser Abbildung entspricht ein erwartetes Endvermögen von (1 r ) V0 RPDP . Wenn sich der Abszissenwert des Punktes P in Abbildung XI.1 von dem in Abbildung IX.5 unterscheidet, hat das keinen Einfluss auf die Krümmung der modifizierten Effizienzkurve. Parallelverschiebung des Punktes P bedeutet stets die Verschiebung der modifizierten Effizienzkurve um den gleichen Betrag. Der Punkt P in Abbildung XI.1 liegt oberhalb der Referenzlinie. Das bedeutet, dass ~ der Überschuss Ü1 bzw. sein Duplikationsportefeuille für sich gesehen eine schlechtere ~ Risikostruktur als jene Portefeuilles aufweist, die ohne Ü1 effizient sind. (Es sei daran erinnert, dass P nicht unterhalb der Referenzlinie liegen kann.) P liegt im Vergleich zum Punkt T1 auf einer Indifferenzkurve mit niedrigerem Nutzenwert. Der Investor kann allerdings seine Position verbessern, indem er Wertpapiere erwirbt. Optimal ist bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert dasjenige Portefeuille, bei dem die durch den Punkt P verlaufende modifizierte Effizienzkurve eine Indifferenzkurve tangiert. Auch der dem betreffenden Tangentialpunkt T2 entsprechende Nutzenerwartungswert ist kleiner als derjenige, der bei Verzicht auf den Kauf des Überschusses erzielt wird (Punkt T1); wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, erzielt er also selbst in Verbindung mit optimaler Portefeuillebildung einen Nachteil. Er ist ebenso groß wie für den Fall, dass er statt des Bewertungsobjekts das Duplikationsportefeuille kaufen muss. (Wenn der Kauf dieses Portefeuilles für den Investor nachteilig ist, ist der Kauf des Bewertungsobjekts in gleicher Weise nachteilig.) (d) Abschlag vom Marktwert, um den subjektiven Grenzpreis zu erhalten
Damit der Investor denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie ohne Bewertungsobjekt, muss dessen Preis unter den Marktwert gesenkt werden, so dass dessen Risikoprämie steigt. Damit bewegt sich der Punkt P bei gegebenem Ordinatenwert und entsprechend auch die modifizierte Effizienzkurve parallel nach rechts. Man erhält den gebotenen Abschlag vom Marktwert, indem man die modifizierte Effizienzkurve derart parallel nach rechts verschiebt, dass sie die durch T1 verlaufende Basisindifferenzkurve tangiert, und den Betrag der Verschiebung mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. (Die bei Kauf erzielbare Risikoprämie steigt um den Betrag der Rechtsverschiebung.)
418
Kapitel XI
Interpretation: Bezeichnet man die subjektive Risikoprämie, mit der bei Kauf des Be~ wertungsobjekts weder ein Vorteil noch ein Nachteil erzielt wird, mit RPS ( Ü1 ) , folgt für den subjektiven Grenzpreis:
(XI.8)
~ ~ ~ GPS ( Ü1 ) (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPS ( Ü1 )] . subjektives Sicherheits ~ äquivalent für Ü 1
~ Die (kritische) subjektive Risikoprämie RPS ( Ü1 ) kann wie folgt dargestellt werden: (XI.9)
~ RPS ( Ü1 ) RPDP ZS ,
wobei ZS den subjektiven Zuschlag zur Marktrisikoprämie (in Höhe des Betrags der Rechtsverschiebung) bezeichnet, der zu der insgesamt maßgeblichen subjektiven Risikoprämie führt. Es gilt somit: (XI.10)
~ ~ ~ M 0 ( Ü1 ) GPS ( Ü1 ) (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPDP ] ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 ) RPDP ZS ] (1 r ) 1 ZS ! 0 .
Man erhält somit – wie erläutert – den subjektiven Grenzpreis, indem man den Betrag der Rechtsverschiebung (ZS) mit r diskontiert und diesen Betrag vom Marktwert subtrahiert. Der (kritischen) subjektiven Risikoprämie entspricht ein subjektiver risikoange~ passter Zinssatz, der größer ist als der risikoangepasste Marktzins für Ü1 . Für den subjektiven Zinssatz ist nicht nur, wie bei der Ermittlung von Unternehmenswerten gemäß der traditionellen Ertragswertmethode unterstellt wird, das ~ aus Ü1 resultierende Risiko relevant. Vielmehr sind auch die optimalen Portefeuilles mit und ohne Bewertungsobjekt zu berücksichtigen. Die Darstellungen entsprechen denen in Kapitel VIII, Abschnitt 3, für den Fall, dass der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts (aus welchen Gründen auch immer) keine Wertpapiere hält. Die Differenz zwischen dem Marktwert und dem subjektiven Grenzpreis ist in diesem Fall gleich dem mit r diskontierten waagrechten Abstand zwischen dem Punkt P und der durch T1 verlaufenden Basisindifferenzkurve. Bei entsprechender Lage des Punktes P und entsprechendem Verlauf der Indifferenzkurven kann es auch nachteilig sein, bei Kauf des Bewertungsobjekts zum subjektiven Grenzpreis Wertpapiere zu halten. Dies ist dann der Fall, wenn die Steigung der modifizierten Effizienzkurve im Punkt P größer ist als die Steigung der Basisindifferenzkurve beim Ordinatenwert von P oder damit übereinstimmt. Die Parallelverschiebung der mo-
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
419
difizierten Effizienzkurve nach rechts führt dann zu einem Treffpunkt mit der Basisindifferenzkurve, in dem die Steigung der verschobenen modifizierten Effizienzkurve größer als die Steigung dieser Indifferenzkurve oder damit übereinstimmt. Die Darstellungen in Kapitel VIII, Abschnitt 3, behalten dann ihre Gültigkeit; die Differenz zwischen Marktwert und subjektiven Grenzpreis ist gleich dem mit r diskontierten waagrechten Abstand zwischen P und der Basisindifferenzkurve. Bei den Darstellungen wurde diejenige Risikoprämie (derjenige Punkt P) als Basis der Bewertung gewählt, die sich bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert ergibt. Wenn es allein darum geht, den subjektiven Grenzpreis zu ermitteln, kann man ohne ~ Schätzung des Marktwerts eine beliebige andere Basis mit dem Ordinatenwert Sta ( Ü1 ) wählen und dann analog prüfen, wie die dieser Basis entsprechende modifizierte Effizienzkurve nach rechts (oder links) zu verschieben ist, um die kritische subjektive Risikoprämie zu erhalten; sie ist gleich der Risikoprämie für die gewählte Basis zuzüglich des Betrages einer Rechtsverschiebung (oder abzüglich des Betrages einer Linksverschiebung). Da hier jedoch die Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis gezeigt werden soll, wird auch im Folgenden stets der Punkt P bei Kauf zum Marktwert als Basis zugrunde gelegt. Zwar existiert stets ein subjektiver risikoangepasster Zinssatz, mit dem bei Diskon~ tierung von E( Ü1 ) der subjektive Grenzpreis erzielt wird. Jedoch kann er erst ermittelt werden, wenn dieser Preis gemäß den obigen Darstellungen bekannt ist und somit nicht mehr benötigt wird. (Die explizite Betrachtung von Endvermögenswerten ist auch bei der vorliegenden Problemstellung einfacher und anschaulicher.3) (e) Einfluss einer Reduktion des Preises des Bewertungsobjekts auf das optimale Portefeuille
Bei quadratischer Nutzenfunktion (also bei halbkreisförmigen Indifferenzkurven wie in Abbildung XI.1) bewirkt eine Reduktion des Preises vom Marktwert auf den subjektiven Grenzpreis oder einen kleineren Betrag nicht einfach, dass der Investor die Differenz risikolos anlegt. Die steigende absolute Risikoaversion bei dieser Nutzenfunktion (der Reichtumseffekt) bewirkt vielmehr, dass er ein Portefeuille mit kleinerer Risikoprämie hält als bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert. Bei exponentieller Nutzenfunktion mit konstanter absoluter Risikoaversion gibt es keinen Reichtumseffekt. Hier bewirkt eine Verschiebung der modifizierten Effizienzkurve nach rechts, dass der Ordinatenwert ihres Tangentialpunktes mit einer Indifferenzkurve konstant bleibt. Das optimale Portefeuille ändert sich ebenfalls nicht. Wenn es für den Investor nicht optimal ist, bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert 3
Damit eine Rechtsverschiebung der modifizierten Effizienzkurve überhaupt zu einem Tangentialpunkt mit der Basisindifferenzkurve führen kann, muss (bei quadratischer Nutzenfunktion bzw. bei halbkreisförmigen Indifferenzkurven) der Ordinatenwert des Punktes P kleiner sein als der maximale Ordinatenwert dieser Indifferenzkurve. Ist er größer, existiert kein Preis, bei dem der Erwartungsnutzen bei Kauf des Bewertungsobjekts ebenso hoch ist wie bei Verzicht auf Kauf. Bei exponentieller Nutzenfunktion haben die Indifferenzkurven durchgehend positive Steigungen, so dass stets ein individueller subjektiver Grenzpreis existiert.
420
Kapitel XI
Wertpapiere zu halten, gilt dies auch bei Kauf zum individuellen subjektiven Grenzpreis oder einem kleineren Preis. Wenn der Preis des Bewertungsobjekts ausgehend vom Marktwert um einen Betrag reduziert wird, legt der Investor den Betrag risikolos an. (f) Bewertungsrelevanz von Sicherheitsäquivalenten
Die Abbildung XI.2 verdeutlicht die Bewertungsrelevanz von Sicherheitsäquivalenten ~ bei exponentieller Nutzenfunktion und normalverteiltem Ü1 . ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurve
z
T
T2 z
z
z
(1 r ) V0
T3
T1
z
0
z
z
P
z
z
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
~ E(V1 )
SÄ 2 SÄ1
(1 r ) V0 RPDP
Abb. XI. 2:
Zur Analyse des subjektiven Grenzpreises im Vergleich zum Marktwert bei ~ exponentieller Nutzenfunktion und normalverteiltem Ü 1
Da die Steigungen der dargestellten Indifferenzkurven in den Punkten T2 und T3 identisch sind, muss die modifizierte Effizienzkurve um den Betrag T2 T3 nach rechts verschoben werden, um von der Marktrisikoprämie auf die subjektive Risikoprämie zu kommen. Da die Strecke T2 T3 mit der Differenz der Sicherheitsäquivalente SÄ1 und SÄ2 der Positionen T1 und T2 übereinstimmt, folgt: Der Zuschlag ZS zur Marktrisiko ) führt, ist gleich der Differenz zwiprämie, der zur subjektiven Risikoprämie RPS (Ü 1 schen dem Sicherheitsäquivalent SÄ1 der Position T1 (optimales Portefeuille ohne Bewertungsobjekt) und dem Sicherheitsäquivalent SÄ2 der Position T2 (Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert und Realisation des dann optimalen Portefeuilles). Daraus folgt: (XI.11)
~ ~ GPS ( Ü1 ) M 0 ( Ü1 ) (1 r ) 1 (SÄ1 SÄ 2 )
ZS
bzw.
421
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
(XI.12)
~ ~ GPS ( Ü1 ) M 0 ( Ü1 ) (1 r ) 1 (SÄ1 SÄ 2 ) .
ZS
Bei quadratischer Nutzenfunktion gilt dagegen: (XI.13)
~ ~ GPS ( Ü1 ) M 0 ( Ü1 ) (1 r ) 1 (SÄ1 SÄ 2 ) .
ZS
(g) Einfluss negativer Kovarianzen
~ ~ Sind einige der Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) negativ, sinkt wie in Abbildung IX.7 (Ka~ pitel IX, Abschnitt 3.4.2.3) die Standardabweichung Sta (V1 ) zunächst, wenn ausge~ hend von P der Erwartungswert E(V1 ) sukzessive erhöht und dabei jeweils ein Porte~ feuille gebildet wird, mit dem unter Berücksichtigung von Ü1 (oder des repräsentativen Duplikationsportefeuilles für diesen Überschuss) die Standardabweichung minimiert wird. Die modifizierte Effizienzkurve bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert beginnt dann im Punkt M mit der absolut kleinsten Standardabweichung (Abbildung XI.3). ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurve z
T
T2
P
Sta ( Ü1 ) z
z
z
M
Basiseffizienzkurve (Referenzlinie)
z z
T1 Basisindifferenzkurve
z
0
z
(1 r ) V0
z
b/2c
(1 r ) V0 RPDP
~ E(V1 )
Abb. XI.3: Zur Höhe des subjektiven Grenzpreises im Vergleich zum Marktwert bei negativen Kovarianzen
Damit der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie ohne Kauf – die betreffende Position wird wieder durch den Tangentialpunkt T1 repräsentiert – muss auch hier der Preis unter den Marktwert gesenkt werden. Man erhält wiederum den betreffenden Korrekturterm, indem die dem Punkt P entsprechende modifizierte Effizienzkurve (die nun im Punkt M beginnt) derart parallel nach rechts
422
Kapitel XI
verschoben wird, dass sie die durch T1 verlaufende Basisindifferenzkurve tangiert, und den Betrag der Rechtsverschiebung mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert.4 4.1.1.2 Höhe des Wertes (a) Die Wertdeterminanten im Überblick
Der subjektive Grenzpreis (die Differenz aus Marktwert und Korrekturterm) hängt von den folgenden Determinanten ab: 1. Der Risikoeinstellung des Investors (der Gestalt seiner Nutzenfunktion bzw. seiner Indifferenzkurven), 2. bei quadratischer Nutzenfunktion seinem Geldvermögen V0 in der Ausgangssituation, 3. den Portefeuille- und Kapitalmarktzusammenhängen, ~ 4. der Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Überschuss Ü1 und (was eng damit zusammenhängt) 5. dem Umfang des unsystematischen Risikos. Zwischen diesen Determinanten bestehen zum Teil enge Interdependenzen. Im Rahmen von komparativ-statischen Analysen wird nun untersucht, wie sich einzelne Determinanten auswirken können. (b) Einfluss der Risikoeinstellung des Investors
Wie in Kapitel IX, Abschnitte 3.4.2.2 und 3.4.2.3, erläutert wurde, wird der waagrechte Abstand zwischen der modifizierten Effizienzkurve und der Basiseffizienzkurve (der Referenzlinie) in den Abbildungen XI.1 und XI.3 mit steigendem Erwartungswert ~ E(V1 ) immer kleiner. Dies impliziert folgende Tendenz: Je geringer die Risikoaversion des Investors, desto geringer ist die Abweichung seines subjektiven Grenzpreises vom Marktwert. Zur Erläuterung wird die quadratische Nutzenfunktion betrachtet. Je geringer die Risikoaversion des Investors ist, d.h. je größer der Abszissenwert b/2c des Mittelpunktes M seiner Indifferenzkurven, desto weniger muss die P entsprechende modifizierte Effizienzkurve nach rechts verschoben werden, damit sie die Basisindifferenzkurve tangiert, und desto geringer ist der Abschlag, der vorgenommen werden muss, um vom Marktwert auf den subjektiven Grenzpreis zu kommen. Ist die Risikoaversion oder der Umfang des Bewertungsobjekts allerdings so gering, dass der Tangentialpunkt der Basiseffizienzkurve mit der Basisindifferenz4
Damit bei quadratischer Nutzenfunktion eine Parallelverschiebung der P entsprechenden modifizierten Effizienzkurve zu einem Tangentialpunkt mit der durch T1 verlaufenden Indifferenzkurve führt, darf der Ordinatenwert des Punktes M nicht höher sein als der maximale Ordinatenwert dieser Indifferenzkurve. Es ist nun eher damit zu rechnen, dass ein subjektiver Grenzpreis existiert als bei ausschließlich positiven Kovarianzen Kov(P1n ; P1m ) (Abbildung XI.1).
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
423
kurve rechts vom Treffpunkt T liegt, ist überhaupt keine Modifikation vorzunehmen; der subjektive Grenzpreis stimmt mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts überein. Wenn der Investor es zum Marktwert kauft, erzielt er weder einen Vorteil noch einen Nachteil; das Duplikationsportefeuille wird einfach durch ~ den Überschuss Ü1 substituiert, wobei an die Stelle der Auszahlung für das Duplikationsportefeuille die identische Anschaffungsauszahlung für das Bewertungsobjekt tritt. Dieses Ergebnis kann anschaulich interpretiert werden: Je geringer die Risikoaversion des Investors, desto geringer ist der Unterschied zwischen den optimalen Risikoklassen ~ für das Endvermögen mit Kauf des Überschusses Ü1 zum Marktwert und ohne Kauf und desto weniger muss der Marktwert nach unten korrigiert werden, um den subjektiven Grenzpreis zu erhalten. (c) Einfluss des Geldvermögens V0
Da bei quadratischer Nutzenfunktion steigende absolute Risikoaversion besteht, ist bei ihr die Bereitschaft, Risiko einzugehen, eine fallende Funktion des Geldvermögens V0 in der Ausgangssituation. Dies impliziert, dass c.p. der subjektive Grenzpreis umso mehr unter dem Marktwert liegt, je höher V0 ist (Reichtumseffekt). Man kann den Zusammenhang relativ einfach erkennen, wenn man berücksichtigt, dass bei quadratischer Nutzenfunktion die Risikoaversion durch die Differenz zwischen dem Abszissenwert b/2c des Mittelpunkts der Indifferenzkurven und dem sicheren Endvermögen (1 r ) V0 bei Verzicht sowohl auf Kauf des Bewertungsobjekts als auch auf Portefeuillebildung ausgedrückt werden kann. Eine Erhöhung dieses Vermögens von (1 r ) V0 auf (1 r ) (V0 ') wirkt sich in derselben Weise auf die Risikobeurteilung aus wie eine Erhöhung der Risikoaversion gemäß einer Verschiebung der Indifferenzkurven um den Betrag (1 r ) ' nach links. Wie in Abschnitt (b) gezeigt wurde, bewirkt dies, dass der Abschlag vom Marktwert steigt. Bei exponentieller Nutzenfunktion ist dagegen die absolute Risikoaversion konstant; sämtliche Indifferenzkurven haben hier für alternative Ordinatenwerte jeweils dieselbe Steigung. (Die Indifferenzkurven unterscheiden sich nur durch Parallelverschiebungen nach links oder rechts.) Es gibt hier keinen Reichtumseffekt, so dass der subjektive Grenzpreis von V0 unabhängig ist.
424
Kapitel XI
(d) Einfluss von Korrelationskoeffizienten [*] Es wird nun untersucht, wie sich der Verlauf der modifizierten Effizienzkurve und entsprechend der individuelle subjektive Grenzpreis ändern können, wenn sich bei gegebenen Wahrschein (also bei lichkeitsverteilungen der Endwerte P1n und gegebener Standardabweichung von Ü 1 gegebenem Ordinatenwert des Punktes P) Korrelationskoeffizienten U(Ü1;P1n ) ändern. Zwar ändert sich mit Änderungen von Korrelationskoeffizienten grundsätzlich auch die Marktrisiko , so dass sich auch der Abszissenwert des Punktes P ändert. Trotzdem soll zuprämie von Ü 1 nächst von einem gegebenen Abszissenwert ausgegangen werden.5 Da die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Endwerte P1n annahmegemäß unveränderlich sind, ändert sich auch nicht die Lage der Basiseffizienzkurve (der Referenzlinie) und das optimale Portefeuille ohne Bewertungsobjekt. ;P ) sinken, kann eine bessere Möglichkeit Wenn einzelne Korrelationskoeffizienten U(Ü 1 1n durch Portefeuillebildung zu hedgen. Zur Verdeutlichung möglibestehen, den Überschuss Ü 1 cher Implikationen dient Abbildung XI.4. Darin führt die Reduktion einzelner Korrelationskoeffizienten (die auch negativ werden könnten) dazu, dass die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve bis zum Treffpunkt T sinken. Dies bewirkt, dass die neue modifizierte Effizienzkurve weniger weit nach rechts verschoben werden muss als die ursprüngliche, damit sie die durch T1 verlaufende Basisindifferenzkurve tangiert; der subjektive Grenzpreis liegt um einen geringeren Betrag unter dem Marktwert als bei den ursprünglichen Korrelationskoeffizienten. ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurven z
P
~ Sta ( Ü1 ) z
T
Referenzlinie
z
z
z
T1 Basisindifferenzkurve
P* z
z
0
(1 r ) V0
z
z
b/2c
(1 r ) V0 RPDP
~ E(V1 )
Abb. XI.4: Zum Einfluss der Reduktion einzelner Korrelationskoeffizienten auf den subjektiven Grenzpreis
5
ändert sich im CAPM trotz veränderliDer Abszissenwert von P bzw. die Marktrisikoprämie für Ü 1 ; P ) dann nicht, wenn dabei die Kovarianz cher Korrelationskoeffizienten U(Ü 1 1n
;M ) Kov(Ü 1 1G
N
) ¦ Kov(Ü 1; M 1n n 1
;M ) gilt: konstant bleibt. Für die Kovarianz Kov(Ü 1 1n ;M ) Kov(Ü 1 1n
; X P ) Kov(Ü 1 n 1n
; P ) X n Kov(Ü 1 1n
) U(Ü ; P ) Sta(P ) . X n Sta(Ü 1 1 1n 1n
Hierin bezeichnet X n die Zahl der Einheiten des Papiers n im Marktportefeuille.
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
425
;P ) andere KorWenn simultan mit einer Reduktion einzelner Korrelationskoeffizienten U(Ü 1 1n relationskoeffizienten derart steigen, dass die Kovarianz Kov(Ü1;M1G ) und mithin die Markt steigt, wandert der Punkt P bei gegebenem Ordinatenwert nach rechts. Im risikoprämie für Ü 1 Beispiel der Abbildung XI.5 ergibt sich hierbei der Punkt P*. ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurven z
P z
z
T
P* z z
z
z
T1
Referenzlinie
Basisindifferenzkurve z
0
z
(1 r ) V0
z
~ E(V1 )
RPDP * RPDP
Abb. XI.5: Zum Einfluss der Risikoprämie des Duplikationsportefeuilles auf den subjektiven Grenzpreis
Wie die Abbildung verdeutlicht, kann es dann zwei Gründe dafür geben, dass mit Änderungen ;P ) die Differenz zwischen Marktwert und subjektivem von Korrelationskoeffizienten U(Ü 1 1n Grenzpreis sinkt: 1. Zum einen verläuft die Kurve minimaler Standardabweichungen analog zur Abbildung XI.4 stärker nach unten gekrümmt. 2. Zum anderen ist der Abszissenwert des Punktes P* größer als der von P. Somit muss die P* entsprechende modifizierte Effizienzkurve weniger nach rechts verschoben werden, um einen Tangentialpunkt mit der Basisindifferenzkurve zu erreichen, als die dem Punkt P entsprechende; der individuelle subjektive Grenzpreis steigt.
(e) Einfluss der Größe des Bewertungsobjekts bei konstanter Risikoklasse des Überschusses Ü 1
Es wird nun untersucht, wie der subjektive Grenzpreis bei gegebenen Wahrscheinlich~ keitsverteilungen der Endwerte P1n und somit bei gegebener Referenzlinie (Basiseffizienzkurve) und gegebenem optimalem Portefeuille ohne Bewertungsobjekt von der ~ Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ü1 abhängt. Die betrachteten Änderungen dieser Verteilung können auch daraus resultieren, dass bei Kauf eines Bewertungsobjekts (eines Unternehmens) alternative Investitionsprogramme durchgeführt werden.
426
Kapitel XI
~ Mit Variation der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ü1 ändern sich grundsätzlich ~ auch die Standardabweichung von Ü1 , die Risikoprämie des Bewertungsobjekts (bzw. ~ ~ ~ das Duplikationsportefeuilles für Ü1 ) und die Kovarianzen Kov( Ü1 ; P1m ) . Zur Erläuterung betrachten wir zunächst Auswirkungen einer Änderung der Größe des Bewer~ ~ tungsobjekts in dem Sinne, dass statt Ü1 der Überschuss z Ü1 (z > 0; z 1) relevant ist. Im Beispiel der Abbildung XI.6 ist der „Niveauparameter“ z gleich 2. (Analoge Darstellungen gelten für z 2.) ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurven
T*
z
~ Sta ( Ü1* )
~ 2 Sta ( Ü1 )
P* z
z
z
z
T
T1
Referenzlinie
z
~ Sta ( Ü1 )
P z
Basisindifferenzkurve z
z
0
(1 r ) V0
z
z
b/2c
~ E(V1 )
~ Abb. XI.6: Zum Einfluss einer Verdoppelung des Überschusses Ü 1 auf den subjektiven Grenzpreis
Der Punkt P bezeichnet die Position, die der Investor erzielt, wenn er das Bewertungs~ objekt beim Überschuss Ü1 zum Marktwert kauft und dabei keine Wertpapiere hält. ~ ~ Der Punkt P* gilt analog für den Überschuss Ü1* 2 Ü1 . Die zugehörige Standardab~ weichung und die Marktrisikoprämie sind doppelt so hoch wie für den Überschuss Ü1 . (Entsprechend ist auch der Marktwert des Bewertungsobjekts doppelt so hoch.) Da auch ~ ~ ~ das Duplikationsportefeuille für Ü1* 2 Ü1 den doppelten Umfang wie das für Ü1 hat, ist auch das kleinste effiziente Portefeuille ohne das Bewertungsobjekt, welches das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält, doppelt so groß. Dem Treffpunkt T* entspricht somit eine doppelt so große Standardabweichung und Risikoprämie wie dem Treffpunkt T. Analog gilt: Werden die einem beliebigen Punkt auf der modifizierten Effizienzkurve für P entsprechende Standardabweichung und Risikoprämie verdoppelt, so gelangt man zu einem Punkt auf der modifizierten Effizienzkurve für P*, also für den ~ ~ Überschuss Ü1* 2 Ü1 . Der Beweis kann analog geführt werden wie der, dass die Basiseffizienzkurve (im (P,V)-Diagramm) linear verläuft (Kapitel III, Abschnitt 3.3). ~ Die Auswirkungen der Verdopplung des Überschusses Ü1 auf den Abschlag vom Marktwert hängt von der Risikoeinstellung des Investors ab. Da bei der in Abbildung XI.6 dargestellten Referenzlinie der Tangentialpunkt T1 rechts vom ~ Treffpunkt T liegt, ist für den Überschuss Ü1 der subjektive Grenzpreis gleich dem
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
427
Marktwert. Da jedoch T1 links vom Treffpunkt T* liegt, verläuft die dem Punkt ~ ~ P* (dem Überschuss Ü1* 2 Ü1 ) entsprechende modifizierte Effizienzkurve oberhalb der Basisindifferenzkurve. Damit ein Tangentialpunkt mit dieser Indifferenzkurve entsteht, muss die P* entsprechende modifizierte Effizienzkurve nach rechts verschoben werden. Wird der Betrag der Rechtsverschiebung bis zum Tangentialpunkt mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert, erhält man denjeni * ) , der den subjektiven Grenzpreis des Übergen Abschlag vom Marktwert M 0 (Ü 1 ~* ~ 6 schusses Ü1 2 Ü1 ergibt. ~ Liegt der Tangentialpunkt T1 links von T, so ist bereits für den Überschuss Ü1 ~* ~ ein Abschlag vom Marktwert geboten. Er steigt für den Überschuss Ü1 2 Ü1 ; die dem Punkt P* entsprechende modifizierte Effizienzkurve muss um einen größeren Betrag nach rechts verschoben werden, damit sie die Basisindifferenzkurve tangiert. Allgemein gilt folgende Tendenz: Je größer die Risikoaversion des Investors ist, je kleiner also der Ordinatenwert und der Abszissenwert des Tangen~ ~ tialpunktes T1 sind, desto mehr liegt der für den Überschuss Ü1* 2 Ü1 gebote~ ne Abschlag vom Marktwert über dem Abschlag für Ü1 . ~ ~ Ist statt 2 Ü1 der Überschuss z Ü1 mit z > 2 relevant, ist der gebotene Wertabschlag tendenziell noch höher. Das Umgekehrte gilt für z < 2. Je größer das Bewertungsobjekt und/oder die Risikoaversion, desto mehr liegt also tendenziell der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert. Der Zusammenhang zwischen subjektivem Grenzpreis und Marktwert in Abhängigkeit von der Größe eines Bewertungsobjekts (ausgedrückt durch den Niveauparameter z) gilt analog für den Fall, dass unterschiedliche Anteile am Bewertungsobjekt (etwa ei~ nem Unternehmen) mit gegebenem Überschuss Ü1 zu bewerten sind, wobei dann jeweils z < 1 gilt: Je größer der zu bewertende Unternehmensanteil, desto mehr liegt tendenziell der subjektive Grenzpreis unter dem anteiligen Marktwert.
(f) Einfluss der Risikoklasse des Überschusses Ü 1 ~ ~ Die Auswirkungen einer Veränderung des Überschusses von Ü1 auf z Ü1 lässt sich deshalb relativ einfach analysieren, weil beide Überschüsse in dieselbe Risikoklasse fallen. Die Überlegungen lassen sich jedoch ohne weiteres verallgemeinern. Hier soll nur ~ noch der Fall betrachtet werden, dass sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung über Ü1 ~* derart ändert, dass der neue Überschuss Ü1 in dieselbe Risikoklasse fällt wie das ~ Marktportefeuille. Das Duplikationsportefeuille für Ü1* besteht dann in einem Anteil am Marktportefeuille, so dass der resultierende Punkt P* auf der Referenzlinie liegt. Im
6
Es sei an ein Problem erinnert, dem (auch) hier nicht Rechnung getragen wird: Da die quadratische Nutzenfunktion gegen das Dominanzprinzip verstößt, ist es bei ihr möglich, dass gar kein individueller subjektiver Grenzpreis existiert. Damit ist vor allem dann zu rechnen, wenn der Umfang des Bewertungsobjekts und/oder die Risikoaversion des Investors hoch sind. Bei exponentieller Nutzenfunktion (z.B.) existiert dagegen stets ein individueller subjektiver Grenzpreis; bei ihr verlaufen die Indifferenzkurven nicht halbkreisförmig, sondern monoton steigend. (Vgl. auch Fußnote 3.)
428
Kapitel XI
~ Beispiel der Abbildung XI.7 führt die Änderung des Überschusses Ü1 ausgehend von P zu einem Punkt P* mit kleinerer Standardabweichung des Überschusses und größerer Risikoprämie. ~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurve
T
z
P
Sta ( Ü1 )
z
z
0
z
P* z
Sta ( Ü1* )
z
z
z
(1 r ) V0
Referenzlinie
T1
Basisindifferenzkurve
z
b/2c
~ E(V1 )
RPDP * RPDP
Abb. XI.7: Zum Einfluss einer Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Überschusses ~ Ü 1 auf den subjektiven Grenzpreis
Während für den Ausgangspunkt P der subjektive Grenzpreis kleiner ist als der Markt~ wert, sind für den Überschuss Ü1* bzw. den Punkt P* beide Werte identisch. Der Investor erzielt jetzt bei Kauf zum Marktwert denselben Erwartungsnutzen wie bei Verzicht auf Kauf. Ohne zusätzliches Portefeuille gelangt er bei Kauf zum Punkt P*. Darüber hinaus erwirbt er einen Anteil am Marktportefeuille mit einer Risikoprämie in Höhe der Differenz zwischen den Abszissenwerten der Punkte T1 und P*. Damit gelangt er zu demselben Tangentialpunkt T1 (oder Nutzenerwartungswert) wie bei Verzicht auf Kauf. Wenn sich der Punkt P* entlang der Basiseffizienzkurve dem Punkt T1 nähert, bleibt die Identität von subjektivem Grenzpreis und Marktwert so lange erhalten, bis schließlich der Punkt T1 erreicht wird, wobei der Marktwert und der individuelle subjektive Grenzpreis proportional steigen. Wäre der Leerverkauf von Papieren unbeschränkt möglich, bliebe die Identität von Marktwert und subjektivem Grenzpreis auch dann erhalten, wenn der Punkt P* wie in Abbildung XI.8 rechts von T1 auf der Basiseffizienzkurve läge. Bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert würde der Investor den Anteil am Marktportefeuille mit der Risikoprämie in Höhe der Differenz aus den Abszissenwerten der Punkte P* und T1 leerverkaufen; wieder würde er zum Tangentialpunkt T1 gelangen. Da nun aber Leerverkäufe annahmegemäß ausgeschlossen sind, könnte der Investor nur dann denselben Nutzenerwartungswert wie ohne Kauf erzielen, wenn er jenen Teil des Bewertungsobjekts (etwa jenen Anteil an einem Unternehmen) zum anteiligen Marktwert kaufte, der dem Tangentialpunkt T1 entspricht. Im Beispiel der Abbildung
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
429
XI.8 würde er einen Anteil in Höhe des Verhältnisses der Strecken AT1 und AP * kaufen. ~ Sta (V1 )
z
Sta ( Ü1* ) z
P
P*
B z
T1
z
z
C
z
Basisindifferenzkurve
A 0
Abb. XI.8:
z
(1 r ) V0
z
b/2c
~ E(V1 )
Marktwert und subjektiver Grenzpreis im Vergleich
Annahmegemäß kann aber der Investor wegen fehlender Teilbarkeit das Bewertungsobjekt nur ganz oder gar nicht kaufen. Wenn er es kauft, erzielt er allenfalls dann denselben Nutzenerwartungswert wie bei Verzicht auf Kauf, wenn ein Abschlag vom Marktwert vorgenommen wird; der subjektive Grenzpreis ist niedriger als der Marktwert und zwar um den mit r diskontierten Betrag der Strecke P * C in Abbildung XI.8. Wenn der Preis um diesen Barwert unter den Marktwert gesenkt wird, erzielt der Investor mit dem Bewertungsobjekt insgesamt eine Risikoprämie von BC . Damit gelangt er zu dem Punkt C auf derselben (Basis-)Indifferenzkurve wie T1, so dass er denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie ohne Kauf. Je näher der Punkt P* bei T1 liegt, desto kürzer ist die entsprechende Strecke P * C und desto geringer ist der gebotene Abschlag vom Marktwert. Ausgehend von Punkt C kann der Investor durch Portefeuillebildung seinen Nutzen nicht erhöhen. C liegt auf der gestrichelten Basiseffizienzkurve für den Fall, dass der Investor in der Ausgangssituation statt über V0 über das Geldvermögen V0 (1 r ) 1 P * C bzw. bei Anlage zum risikolosen Zinssatz r über das Endvermögen (1 r) V0 P *C verfügt. Könnte er einen beliebigen Anteil am Marktportefeuille leerverkaufen, könnte er bei Kauf zum reduzierten Preis ausgehend vom Punkt C jeden Punkt auf dieser Basiseffizienzkurve realisieren. Da nun aber Leerverkäufe ausgeschlossen sind, kann er keinen Punkt darauf links von C erreichen. Er könnte zwar durch Kauf von Anteilen am Marktportefeuille Positionen rechts von C auf der gestrichelten Basiseffizienzkurve erreichen. Sie liegen aber auf Indifferenzkurven mit geringerem Nutzenwert als der Punkt C. Wenn er ausgehend von C ein Portefeuille erwirbt, dessen Struktur nicht mit der des Marktportefeuilles übereinstimmt, gelangt er zu einem Punkt rechts von C oberhalb der gestrichelten Basiseffizienzkurve, also ebenfalls zu einem kleineren Nutzenwert. Dabei ist zu beachten, dass im CAPM für jede Portefeuillestruk-
430
Kapitel XI
tur, die von der des Marktportefeuilles abweicht, das Verhältnis aus Standardabweichung und Marktrisikoprämie größer ist als die Steigung der Basiseffizienzkurve.
4.1.2
Leerverkauf einzelner Papiere
4.1.2.1 Das allgemeine Bewertungskonzept
Es wird nun der Fall betrachtet, dass ein Teil der Papiere leerverkauft werden kann. Könnten alle Papiere des Duplikationsportefeuilles leerverkauft werden, könnte das aus ~ Ü1 resultierende Risiko völlig eliminiert werden mit der Folge, dass der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmte. Die Möglichkeit des Leerverkaufs nur einzelner Papiere bewirkt tendenziell immerhin eine Annäherung des subjektiven Grenzpreises an den Marktwert. Dabei geht es nicht allein um den Leerverkauf von Papieren des Duplikationsportefeuilles; wenn nur ein Teil davon leerverkauft werden kann, können auch Leerverkäufe von Papieren außerhalb dieses Portefeuilles grundlegende Bedeutung haben. Bei den folgenden Darstellungen gehen wir davon aus, dass die Menge der ohne den ~ Überschuss Ü1 effizienten Portefeuilles (wie im CAPM-Gleichgewicht) auch dann keine Leerverkäufe enthält, wenn diese zulässig sind. Der betrachtete mögliche Leerverkauf hat dann keinen Einfluss auf die Steigung der Referenzlinie (der Basiseffizienzkurve). Die Auswirkung von Leerverkäufen auf den subjektiven Grenzpreis hängt dann ab – von der Gestalt der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf, – ihrer Änderung durch Leerverkäufe7 und – der Risikoeinstellung des Investors. Ausgehend von einem beliebigen Punkt P* auf der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf kann durch Leerverkauf eines Portefeuilles (oder Papiers) die Standardab~ weichung Sta (V1 ) reduziert werden, wenn eine positive (Kovarianz bzw.) Korrelation besteht zwischen dem Endwert dieses Portefeuilles und der Summe aus dem Überschuss ~ Ü1 und dem Endwert desjenigen Ergänzungsportefeuilles, das dem Punkt P* entspricht.8 Die Abbildung XI.9 betrachtet den Fall ausschließlich positiver Korrelationen für die Hedgeportefeuilles. Diese Abbildung entspricht der Abbildung IX.13 in Kapitel IX, Abschnitt 4.2.2. Sie unterscheidet sich von ihr analog zu den Abbildungen XI.1 und IX.3 nur durch die Blickrichtung der Betrachtung; die Krümmung der modifizierten Effi~ zienzkurve ist unabhängig davon, ob der Überschuss Ü1 gekauft oder verkauft werden soll.
7
8
Möglichkeiten, ausgehend von der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf mit Leerverkäufen die modifizierte Effizienzkurve zu verbessern, werden in Kapitel IX, Abschnitt 4, untersucht. Wenn ausschließlich Portefeuilles mit negativem Korrelationskoeffizienten leerverkauft werden dürfen, kann durch Leerverkauf keine Annäherung an die Referenzlinie erzielt werden; Leerverkäufe dieser Portefeuilles sind (da die Risikoprämien aller Papiere positiv sind) nachteilig.
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
431
modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf
~ Sta (V1 )
T z
P*
P
~ Sta ( Ü1 ) z
z
z
z
z
z
M1
Referenzlinie
M2 RP*
z
0
z
(1 r) V0
(1 r) V0 RPDP
z
~ E(V1 )
RPDP
Abb. XI.9:
Zum Einfluss von Leerverkäufen auf die modifizierte Effizienzkurve bei ausschließlich positiven Korrelationen für die Hedgeportefeuilles
Wie in Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2, gezeigt wurde, ergibt sich die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkäufen als Umhüllende mit folgender Eigenschaft: Sie verläuft zunächst konvex, wobei sie sich immer mehr der Referenzlinie (der Basiseffizienzkurve) nähert, bis sie diese in einem Punkt erreicht, der tendenziell links (jedoch in keinem Fall rechts) von demjenigen Punkt T liegt, in dem die modifizierte Effizienzkurve ohne Leerverkauf die Referenzlinie trifft. Wenn in der Ausgangssituation (vor Kauf des Bewertungsobjekts) die Referenzlinie rechts von T die Basisindifferenzkurve tangiert, ist der subjektive Grenzpreis auch mit Leerverkaufsmöglichkeiten gleich dem Marktwert; sie werden nicht wahrgenommen und haben somit keinen Einfluss auf die Bewertung. Leerverkaufsmöglichkeiten können den subjektiven Grenzpreis nur für den Fall beeinflussen, dass die Referenzlinie links von T die Basisindifferenzkurve tangiert. Da der waagrechte Abstand zwischen der modifizierten Effizienzkurve ohne Leerverkauf und der Referenzlinie im Bereich links von T mit steigendem ~ Erwartungswert E(V1 ) immer kleiner wird, gilt folgende Tendenz: Je näher der Tangentialpunkt der Referenzlinie mit der Basisindifferenzkurve beim Punkt T liegt – je geringer also die Risikoaversion des Investors und/oder der Umfang des Bewertungsobjekts – desto weniger liegt der individuelle subjektive Grenzpreis ohne Leerverkauf unter dem Marktwert (Abschnitt 4.1.1.2) und desto geringer ist der wertsteigernde Einfluss von Leerverkäufen (wobei der subjektive Grenzpreis auch mit Leerverkäufen nicht größer werden kann als der Marktwert). Man erhält den subjektiven Grenzpreis, indem man die mit den Leerverkäufen maßgebliche modifizierte Effizienzkurve derart parallel nach rechts verschiebt,
432
Kapitel XI
dass sie die Basisindifferenzkurve tangiert, und den mit dem Zinssatz r ermittelten Barwert des Betrags der Rechtsverschiebung vom Marktwert des Bewertungsobjekts subtrahiert. Je mehr sich durch Leerverkäufe die modifizierte Effizienzkurve der Referenzlinie nähert, desto kleiner wird der gebotene Betrag der Rechtsverschiebung und desto mehr nähert sich der subjektive Grenzpreis dem Marktwert. Sind die Risikoaversion des Investors und/oder der Umfang des Bewertungsobjekts relativ groß, ist ohne Leerverkauf die Abweichung des subjektiven Grenzpreises vom Marktwert relativ hoch. Durch Leerverkäufe kann hier eine relativ starke Wertsteigerung realisiert werden. Allgemein gilt, dass die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkäufen nicht oberhalb der ohne Leerverkauf verlaufen kann: Die Möglichkeit des Leerverkaufs kann nur zu einer besseren Risikoallokation führen. Grundsätzlich ist zu vermuten, dass die modifizierte Effizienzkurve mit Leerverkäufen bis zum Treffpunkt T unterhalb der ohne verläuft. Dies bewirkt, dass sich der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts vor allem bei großer Risikoaversion dem Marktwert annähert. (Möglicherweise stimmt er damit überein, während er ohne Leerverkauf niedriger ist.) Je mehr Überschusskomponenten durch Leerverkäufe kompensiert werden können, desto mehr nähert sich tendenziell die modifizierte Effizienzkurve der Referenzlinie und desto mehr nähert sich der subjektive Grenzpreis dem Marktwert. Da mit Leerverkäufen tendenziell der subjektive Wert steigt (nicht sinkt) gilt das folgende Theorem: Wenn ohne Berücksichtigung von Leerverkäufen der subjektive Wert höher ist als der geforderte Preis, erweist sich der Kauf bereits als vorteilhaft. Das optimale Hedgeportefeuille kann nach Kauf ermittelt werden, z.B. nachdem geprüft worden ist, welche Papiere überhaupt leerverkauft werden können. Die modifizierte Effizienzkurve in Abbildung XI.9 beruht auf der Annahme, dass ) nichtnegativ sind. Ist ein Teil der Kovarianzen sämtliche Kovarianzen Kov(P1n ; Ü 1 negativ, kann möglicherweise ausgehend von Punkt P mit steigendem Erwartungswert ~ E(V1 ) die Standardabweichung zunächst reduziert werden. Die modifizierte Effizienzkurve beginnt dann in einem Punkt M mit minimaler Standardabweichung rechts unterhalb von P. Die betreffende Annäherung der modifizierten Effizienzkurve an die Referenzlinie bewirkt, dass vor Leerverkauf der individuelle subjektive Grenzpreis steigt. Entsprechend bewirken negative Kovarianzen, dass die wertsteigernde Wirkung von Leerverkäufen reduziert wird. Dies folgt auch daraus, dass nur bei positiven Kovarianzen Leerverkäufe wertsteigernd sein können.
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
433
4.1.2.2 Splitting der Bewertung: Der subjektive Grenzpreis als Summe aus dem Marktwert des (leer-)verkaufbaren Teils des Duplikationsportefeuilles und dem subjektiven Grenzpreis des residualen Duplikationsportefeuilles
Der (individuelle) subjektive Grenzpreis lässt sich anschaulich interpretieren, in~ dem man das Duplikationsportefeuille des Überschusses Ü1 in zwei Teile zerlegt, den leerverkaufbaren Teil und den verbleibenden Teil, das „residuale Duplikationsportefeuille“. Es gilt dann: Subjektiver Grenzpreis
=
Marktwert des leerverkaufbaren Teils des Duplikationsportefeuilles + Subjektiver Grenzpreis des residualen Duplikationsportefeuilles.
Ohne Leerverkaufsmöglichkeiten stimmt das residuale mit dem gesamten Duplikationsportefeuille überein und der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts ist wie in Abschnitt 4.1.1 gleich dem subjektiven Grenzpreis des gesamten Duplikationsportefeuilles. Bei unbeschränktem Leerverkauf ist der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts gleich dem Marktwert des gesamten Duplikationsportefeuilles. Enthält das residuale Duplikationsportefeuille (aufgrund beschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten) einen positiven Bestand an Wertpapieren, ist sein subjektiver Grenzpreis grundsätzlich niedriger als sein Marktwert. Entsprechend ist auch der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts als Ganzem niedriger als sein Marktwert. Hinsichtlich der Abweichung zwischen dem subjektiven Grenzpreis des residualen Duplikationsportefeuilles und dessen Marktwert gelten die Darstellungen in Abschnitt 4.1.1 zur Abweichung zwischen dem subjektiven Grenzpreis und dem Marktwert des Bewertungsobjekts als Ganzem analog: Die Abweichung ist tendenziell umso niedriger, je geringer der „Umfang“ des residualen Duplikationsportefeuilles sowie die Risikoaversion des Investors sind und je besser das Risiko des residualen Duplikationsportefeuilles durch Kauf von Papieren und Leerverkauf von Papieren, die nicht in diesem Portefeuille enthalten sind (die darin enthaltenen können definitionsgemäß nicht leerverkauft werden), gehedgt werden kann.9 Die Hedgemöglichkeiten hängen davon ab, wie die Endwerte der Papiere des residualen Duplikationsportefeuilles mit denen der anderen Papiere korreliert sind und welche Risikoprämien die Papiere bieten. 9
Es sei daran erinnert, dass der Leerverkauf des leerverkaufbaren Teils des Duplikationsportefeuilles ohne weitere Portefeuillebildung grundsätzlich nicht optimal ist. Zum Beispiel ist es möglich, dass dann die Standardabweichung des Endvermögens steigt und simultan der Erwartungswert des Endvermögens sinkt. Die Fiktion des Leerverkaufs ist hier jedoch deshalb unproblematisch, weil sie im Rahmen der Analyse des subjektiven Grenzpreises des residualen Duplikationsportefeuilles zurückgekauft werden können und bei Rückkauf letztlich nicht oder nur zum Teil verkauft werden.
434
Kapitel XI
Ist das residuale Duplikationsportefeuille in dem ohne das Bewertungsobjekt optimalen Portefeuille enthalten, ist der subjektive Grenzpreis des residualen Duplikationsportefeuilles gleich seinem Marktwert, so dass der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts als Ganzem mit seinem Marktwert übereinstimmt.
4.2
Bewertung aus Sicht eines potenziellen Verkäufers [*]
Es soll nun untersucht werden, wie der subjektive Grenzpreis aus Sicht eines potenziellen Verkäufers bestimmt werden kann und wie er vom Marktwert abweicht. Dabei gehen wir wie bei optimal mit eiden bisherigen Darstellungen davon aus, dass der Investor den Überschuss Ü 1 nem Wertpapierportefeuille abstimmt und bei Verkauf des Bewertungsobjekts einen optimalen Anteil am Marktportefeuille hält. Der Wert ist dann gleich demjenigen Erlös, mit dem der Investor bei Verkauf denselben Erwartungsnutzen erzielt wie mit dem Bewertungsobjekt. Vor Verkauf und Portefeuillebildung sei diejenige (P,V)-Position relevant, die durch den Punkt P in Abbildung XI.10 repräsentiert wird. Dem Punkt P entspricht ein Abszissenwert in ) . Unabhängig von der Position des Höhe von (1 r) V0 zuzüglich des Erwartungswertes E(Ü 1 Punktes P kann die modifizierte Effizienzkurve in der gleichen Weise ermittelt werden wie für den Fall, dass erwogen wird, das Bewertungsobjekt zu kaufen. Bei gegebener Wahrscheinlich ist die Krümmung der P entsprechenden modifizierten Effizienzkurve keitsverteilung von Ü 1 unabhängig davon, ob der Investor das Bewertungsobjekt zu verkaufen oder zu kaufen erwägt. ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve für den potenziellen Verkäufer T z
~ RPS ( Ü1 ) ~ Sta ( Ü1 )
T1
P
z
z z z
T2
z
z
0
A
(1 r ) V0 (1 r ) G 0 ~ E ( Ü1 )
z
B ~ RPM ( Ü1 ) z
z
b / 2c RPEP
z
C
~ E(V1 )
~ (1 r ) V0 E( Ü1 )
Abb. XI.10: Zur Ermittlung des (individuellen) subjektiven Grenzpreises aus Sicht eines potenziellen Verkäufers
Ausgehend von P realisiert der Investor bei Verzicht auf Verkauf dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt T1 der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve entspricht. Auf der Grundlage dieser Indifferenzkurve kann der subjektive Grenzpreis in gleicher Weise
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
435
ermittelt werden wie auf der Basis der durch P verlaufenden Indifferenzkurve für den Fall, dass der Investor in Verbindung mit dem Bewertungsobjekt keine Wertpapiere hält (Kapitel VIII, Abschnitt 4.2). Die Abbildung XI.10 verdeutlicht die Grenzpreisermittlung. ) ist gleich demjenigen Erlös, mit dem der Investor unter Der subjektive Grenzpreis GPS (Ü 1 Berücksichtigung von V0 über dasjenige Geldvermögen G0 verfügt, für das die Referenzlinie (die Basiseffizienzkurve) dieselbe Indifferenzkurve tangiert wie die modifizierte Effizienzkurve. Bei diesem Erlös erzielt der Investor in Verbindung mit dem entsprechenden optimalen Anteil und dem am Marktportefeuille denselben Nutzenerwartungswert wie mit dem Überschuss Ü 1 zugehörigen optimalen Ergänzungsportefeuille (Tangentialpunkt T1). Analog zu (VIII.17) (Kapitel VIII, Abschnitt 4.2) gilt für den subjektiven Grenzpreis: (XI.14)
) G V . GPS (Ü 1 0 0
Die diesem Preis entsprechende subjektive Risikoprämie RPS bezogen auf das Bewertungsobjekt ist gleich der Differenz zwischen dem Abszissenwert des Punktes P und (1 r) G 0 : ) Abszissenwert des Punktes P (1 r) G RPS (Ü 1 0 ) (1 r) G . (1 r) V E(Ü 0
1
0
Hieraus folgt: G0
) RP (Ü V0 (1 r)1 [E(Ü 1 S 1 )] .
Einsetzen in (XI.14) ergibt den bekannten Zusammenhang: (XI.15)
) (1 r) 1 [E(Ü ) RP (Ü GPS (Ü 1 1 S 1 )] .
) umso Bei gegebener Steigung der Referenzlinie ist G 0 und mithin gemäß (XI.14) GPS (Ü 1 höher, je höher der Nutzenerwartungswert des Investors mit dem Bewertungsobjekt (je geringer also der Radius der die modifizierte Effizienzkurve tangierenden Indifferenzkurve) ist, je besser zu hedgen. es also gelingt, den Überschuss Ü 1 Wenn Ü1 nicht gemeinsam mit dem zugehörigen optimalen Ergänzungsportefeuille in die ) gleiche Risikoklasse fällt wie das Marktportefeuille, ist die subjektive Risikoprämie RPS (Ü 1 ) und somit der (individuelle) subjektive Grenzpreis größer als die Marktrisikoprämie RPM (Ü 1 ) niedriger ist als der Marktwert M (Ü GPS (Ü 1 0 1) . Beweis: Dem Tangentialpunkt T entspricht ein Ergänzungsportefeuille (kurz: EP), das in in dieselbe Risikoklasse fällt wie das Marktportefeuille; Verbindung mit dem Überschuss Ü 1 zuzüglich des Überdas Verhältnis aus Standardabweichung und Marktrisikoprämie von Ü 1 schusses von EP stimmt mit dem Quotienten Sta(M1G ) / RPG für das Marktportefeuille überein, der die Steigung aller Referenzlinien (Basiseffizienzkurven) bestimmt. Da die Standardabwei und dem Endwert von EP mit dem Ordinatenwert des Punktes T überchung der Summe aus Ü 1 einstimmt, erhält man deren Marktrisikoprämie, indem man durch T eine Hilfslinie mit der Steigung der Referenzlinien einzeichnet (vgl. die in Punkt A beginnende gestrichelte Linie in Abbildung XI.10) und die Differenz der Abszissenwerte der Punkte C und A bildet, wobei C senkrecht unter T liegt. Bezeichnet man die Marktrisikoprämie des Ergänzungsportefeuilles EP mit RPEP, folgt für die EP entsprechende Position: ) RP RPM (Ü 1 EP
AC .
436
Kapitel XI
Da die Marktrisikoprämie des Ergänzungsportefeuilles EP mit der Differenz der Abszissenwerte der Punkte T und P übereinstimmt und C (B) senkrecht unter T (P) liegt, gilt: RPEP
BC .
wie folgt dargestellt werden: Somit kann die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü 1 ) AC BC AB . RPM (Ü 1 Wenn also der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert verkauft, ist für seinen optimalen Anteil am Marktportefeuille diejenige Basiseffizienzkurve relevant, die beim Abszissenwert des Punktes A, also bei 1 ) RP (Ü )]} (1 r) V0 E(Ü (Ü 1 M 1 ) (1 r) {V0 (1 r) [E(Ü1 ) RP M 1
AB
)] (1 r) [V0 M 0 (Ü 1 beginnt. Sie tangiert eine Indifferenzkurve im Punkt T2, der gegenüber T1 einen Nutzenzuwachs ) ist somit höher als RP (Ü verkörpert. RPS (Ü 1 M 1 ) und folglich der (individuelle) subjektive Grenzpreis niedriger als der Marktwert. Dieses Ergebnis resultiert daraus, dass der Tangential und dem eines Ergänzungsportepunkt T1 ein Portefeuille (bestehend aus dem Überschuss Ü 1 feuilles) verkörpert, das gegenüber einem Anteil am Marktportefeuille strukturverzerrt ist und folglich eine höhere Standardabweichung pro Risikoprämie als alternative Anteile am Marktportefeuille aufweist. Ŷ Interpretation: Der Investor erzielt bei Verkauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert we in Form des Duplikatider einen Vorteil noch einen Nachteil, wenn er dessen Überschuss Ü 1 onsportefeuilles zurückkauft. Wenn nun aber wie in Abbildung XI.10 dieser Überschuss in Verbindung mit dem zugehörigen optimalen Ergänzungsportefeuille gegenüber einem beliebigen Anteil am Marktportefeuille eine nachteilige Verzerrung der Portefeuillestruktur bewirkt, erzielt er einen Vorteil, wenn er statt des Duplikationsportefeuilles den optimalen Anteil am Marktportefeuille realisiert; der subjektive Grenzpreis ist niedriger als der Marktwert. Dieser Zusammenhang ist immer dann maßgeblich, wenn der Tangentialpunkt T1 auf der gemodifizierten Effizienzkurve links vom Treffpunkt T liegt, von dem an der Überschuss Ü 1 meinsam mit einem effizienten Ergänzungsportefeuille einen Anteil am Marktportefeuilles darstellt und folglich die modifizierte Effizienzkurve mit einer Referenzlinie (mit der Steigung ) / RP ) übereinstimmt. Sta(M 1G G In Abbildung XI.11 liegt der Tangentialpunkt T1 auf einer Referenzlinie, nämlich derjeni ) RP (Ü gen, die in Punkt (1 r) G 0 beginnt. Hierfür gilt RPS (Ü 1 M 1 ) . Der Investor hält hier gemeinsam mit dem Überschuss Ü1 ein Portefeuille, das mit Ü1 mit einem Anteil am Markt zum Marktwert verkauft, erwirbt er statt dessen das portefeuille übereinstimmt. Wenn er Ü 1 und erzielt weder einen Vorteil noch einen Nachteil. Duplikationsportefeuille für Ü 1
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
437
~ Sta (V1 ) modifizierte Effizienzkurve
T1 z
T z
P
~ Sta ( Ü1 )
z z
z
0
z
(1 r ) G 0 ~ RPS ( Ü1 )
z
b / 2c
~ E(V1 )
~ RPM ( Ü1 )
Abb. XI.11: Zur möglichen Übereinstimmung des(individuellen) subjektiven Grenzpreises aus Sicht eines potenziellen Verkäufers mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts
5
Bewertung bei unvollständiger Duplizierbarkeit
5.1
Allgemeine Darstellung
5.1.1
Ermittlung des Wertes
Im Folgenden werden Bewertungsprobleme aus Sicht eines potenziellen Käufers für ~ den Fall untersucht, dass der Überschuss Ü1 nicht vollständig dupliziert werden kann. Jedoch mögen einzelne Überschusskomponenten (einzelne Einzahlungen oder Auszahlungen) duplizierbar sein. Die Konsequenzen unvollständiger Duplizierbarkeit hängen insbesondere davon ab, in welchem „Umfang“ die Duplikation möglich ist und Papiere leerverkauft werden können. ~ Da der Überschuss Ü1 nur unvollständig duplizierbar ist, kann sein Marktwert nicht als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles ausgedrückt werden. Wir gehen zunächst wieder davon aus, dass der Marktwert gemäß den Bewertungsfunktionen des CAPM ermittelt wird (das keine Vollständigkeit des Kapitalmarktes bzw. keine universelle Duplizierbarkeit von Überschüssen voraussetzt).
Bei dem betrachteten Marktwert handelt es sich wieder um eine virtuelle Größe aus Sicht des Investors. Er ermittelt sie, indem er die Bewertungsfunktionen des CAPM ~ gemäß seiner Vorstellungen über den Erwartungswert von Ü1 und dessen Kovarianz mit der Rendite des Marktportefeuilles oder eines repräsentativen Fonds anwendet. Wie gezeigt wird, ist der subjektive Grenzpreis niedriger als der virtuelle Marktwert.
438
Kapitel XI
Der Punkt P im (P,V)-Diagramm bezeichnet wieder jene (P,V)-Position, die ohne Kapitalmarkttransaktionen erzielt wird, wenn das Bewertungsobjekt zum Marktwert gekauft wird. Für den subjektiven Grenzpreis ist zusätzlich zur Referenzlinie (Basiseffizienzkurve) die P entsprechende modifizierte Effizienzkurve bewertungsrelevant (zu ihrem Verlauf vgl. Kapitel X). Der subjektive Grenzpreis ergibt sich wie üblich, indem die modifizierte Effizienzkurve derart nach rechts verschoben wird, dass sie dieselbe Basisindifferenzkurve tangiert wie die Referenzlinie und den mit r diskontierten Betrag der Rechtsverschiebung vom Marktwert subtrahiert.
5.1.2
Höhe des Wertes
Sind keine Leerverkäufe relevant, verläuft – da annahmegemäß sämtliche Papiere eine positive Risikoprämie bieten – die modifizierte Effizienzkurve in einem Bereich rechts ~ ~ von P. Sind alle Korrelationskoeffizienten U( Ü1 ; P1n ) nichtnegativ, beginnt die Effizienzkurve im Punkt P und hat durchgehend eine positive Steigung. Bei negativen Kor~ relationskoeffizienten kann die Standardabweichung von V1 zunächst sinken, wenn ~ ausgehend von P der Erwartungswert E(V1 ) sukzessive erhöht wird. Die modifizierte Effizienzkurve beginnt dann in jenem Punkt M, von dem an die Kurve minimaler Stan~ dardabweichungen mit steigendem E(V1 ) wieder steigt. Zwar kann die modifizierte Effizienzkurve im Prinzip ebenso ermittelt werden wie ~ bei vollständiger Duplizierbarkeit von Ü1 . Jedoch können nun andere Korrelationskoeffizienten relevant sein, so dass aufgrund eines anderen Verlaufs der modifizierten Effizienzkurve ein höherer oder niedrigerer subjektiver Grenzpreis maßgeblich ist. Wie in Kapitel X, Abschnitte 3 und 4, gezeigt wurde, verläuft die modifizierte Effizienzkurve bei unvollständiger Duplizierbarkeit streng genommen durchgehend oberhalb der Referenzlinie. Somit ist der subjektive Grenzpreis stets niedriger als der Marktwert. Allerdings kann die Abweichung gering sein, vor allem dann, wenn das Bewertungsobjekt klein und/oder die Risikoaversion des Investors gering sind. Die Möglichkeit des Leerverkaufs hat bei unvollständiger Duplizierbarkeit ähnliche Auswirkungen auf den Verlauf der modifizierten Effizienzkurve wie bei ~ vollständiger. Da der Investor ohne den Überschuss Ü1 einen Anteil am Marktportefeuille hält, können für ihn Leerverkäufe nur in Verbindung mit dem Über~ schuss Ü1 vorteilhaft sein. Unter Berücksichtigung von Leerverkäufen sinken tendenziell die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve, wobei sie nun auch in einem (Minimal-)Punkt M links von P beginnen kann. Jedoch verläuft sie selbst bei unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten durchgehend oberhalb der Referenzlinie, so dass der subjektive Grenzpreis wiederum unter dem Marktwert liegt. Leerverkaufsmöglichkeiten können jedoch eine erhebliche Annäherung dieses Preises an den Marktwert bewirken.
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
439
Bei gegebenen Verläufen der modifizierten Effizienzkurve und der Referenzlinie hängt der subjektive Grenzpreis (seine Abweichung vom Marktwert) von der Risikoeinstellung des Investors ab. Da die modifizierte Effizienzkurve bei unvollständiger Duplizierbarkeit durchgehend oberhalb der Referenzlinie verläuft, ist zwar unabhängig von der Risikoeinstellung der individuelle subjektive Wert kleiner als der Marktwert. Wenn jedoch der senkrechte (und mithin auch der waagrechte) Abstand zwischen der modifi~ zierten Effizienzkurve und der Referenzlinie mit steigendem Erwartungswert E(V1 ) immer kleiner wird, ist – wie bei vollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf – die Abweichung zwischen beiden Werten umso kleiner, je geringer die Risikoaversion des Investors und/oder der Umfang des Bewertungsobjekts sind. Allerdings ist bei unvollständiger Duplizierbarkeit der senkrechte Abstand nicht notwendig ~ eine fallende Funktion von E(V1 ) . ~ In Abschnitt 4.1.1.2 (e) wurde untersucht, wie es sich auswirkt, wenn statt Ü1 der ~ Überschuss z Ü1 (z z 1; z ! 0) bewertungsrelevant ist. Die Darstellungen gelten analog für den Fall fehlender Duplizierbarkeit. Der Unterschied ist nur, dass in diesem Fall die modifizierte Effizienzkurve unabhängig von z die Basiseffizienzkurve nicht trifft. Es besteht wieder folgende Tendenz: Je größer das Bewertungsobjekt (je größer z), desto mehr liegt der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert.
5.1.3
Splitting der Bewertung: Der subjektive Grenzpreis als Summe aus dem Marktwert des duplizier- und zugleich leerverkaufbaren Teils des Überschusses und dem subjektiven Grenzpreises des residualen Überschusses
Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 4.1.2.2 kann der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts wie folgt zerlegt werden: Subjektiver Grenzpreis des Bewertungsobjekts
=
Marktwert des duplizier- und leerverkaufbaren Teils des Überschusses + Subjektiver Grenzpreis des residualen Überschusses
Da nun annahmegemäß der Überschuss des Bewertungsobjekts nicht vollständig dupliziert werden kann, ist auch bei unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten der residuale Überschuss nicht gleich null; er enthält dann alle Überschusskomponenten, die nicht duplizierbar sind. Bei beschränktem Leerverkauf enthält der residuale Überschuss zusätzlich solche Erfolgskomponenten, die zwar duplizierbar sind, jedoch nicht über Leerverkauf kompensiert werden können. Hinsichtlich der Abweichung zwischen dem subjektivem Grenzpreis und dem Marktwert des residualen Überschusses gelten im Prinzip die gleichen Zusammenhänge wie für die Abweichung zwischen dem subjektivem Grenzpreis und dem Marktwert des Bewertungsobjekts als Ganzem. Je geringer das „Niveau“ des residualen Überschusses
440
Kapitel XI
(seine Marktrisikoprämie und seine Standardabweichung) und/oder die Risikoaversion des Investors sind, desto weniger liegt tendenziell der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert und desto weniger liegt der subjektive Grenzpreis des gesamten Bewertungsobjekts unter seinem Marktwert. (Er kann bei unvollständiger Duplizierbarkeit streng genommen nicht damit übereinstimmen.)
5.2
Störterm für den Überschuss des Bewertungsobjekts als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit
5.2.1
Charakteristik des Störterms
Wie in Kapitel X, Abschnitt 5, erläutert wurde, können stochastisch unabhängige Stör~ terme für den Überschuss Ü1 und die Endwerte der Papiere (die unsystematische Risiken erzeugen) entscheidende Ursache für beschränkte Duplizierbarkeit sein. Dort wurde auch gezeigt, wie die Störterme bei der Ermittlung der modifizierten Effizienzkurve erfasst werden und wie sie deren Gestalt beeinflussen können. Darauf aufbauend betrachten wir zunächst Implikationen bezüglich des subjektiven Grenzpreises bei unbe~ schränkten Leerverkaufsmöglichkeiten für den Fall, dass nur der Überschuss Ü1 von einem Störterm ~H überlagert wird. Dem Zustand Ss entspricht nun der folgende Überschuss: (XI.16)
~ Ü1Sts
Ü1s ~H
(s = 1,2,…,S).
~ Ü1Sts bezeichnet den Überschuss bei Eintreten des Zustandes Ss unter Berücksichtigung des Störterms ~H . Da der Störterm den Erwartungswert 0 aufweist, gilt gemäß (XI.16) gilt:
(XI.17)
~ E ( Ü1Sts )
Ü1s
(s = 1,2,…,S).
~ Der Störterm ~H ist nicht nur von Ü1 stochastisch unabhängig, sondern auch von den Endwerten aller Papiere, so dass nicht die Möglichkeit besteht, ihn durch Portefeuillebildung zu hedgen. Wir gehen davon aus, dass ein Portefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x existiert, für das N
(XI.18)
¦ x n P1n , s (1 r ) x Ü1s
(s = 1,2,…,S)
n 1
gilt und das unbeschränkt leerverkauft werden kann. Dieses Portefeuille dupliziert nicht St , sondern nur dessen zustandsabhängigen Erwartungswerte streng den Überschuss Ü 1 ~ St E ( Ü1s ) Ü1s , also den Überschuss ohne ~H . Da der Störterm nicht dupliziert wird, wird das Portefeuille x1 , x 2 ,..., x N ; x als „approximatives“ Duplikationsportefeuille ~ bezeichnet. Bei Leerverkauf wird zwar das aus Ü1 resultierende Risiko vollständig gehedgt, jedoch bleibt das aus ~H resultierende idiosynkratische Risiko erhalten (Kapitel X, Abschnitt 5.1); für jeden Zustand Ss verbleibt nach Leerverkauf (ohne Berücksichti-
441
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
gung der Anlage des Verkaufserlöses) ein Überschuss mit dem Erwartungswert 0 und der Varianz V2. Annahmegemäß hat der Störterm einen vernachlässigbaren Einfluss auf den Marktwert des Bewertungsobjekts, so dass dieser Marktwert mit dem Marktwert MWADP des approximativen Duplikationsportefeuilles übereinstimmt: ~ M 0 ( Ü1St )
(XI.19)
5.2.2
MWADP .
Graphische Ermittlung des subjektiven Grenzpreises
5.2.2.1 Exponentielle Nutzenfunktion
Der individuelle subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts soll graphisch auf der Basis des (P,V)-Prinzips analysiert werden. Dabei ist es wieder zweckmäßig, (P,V2)-Diagramme statt (P,V)-Diagramme zu betrachten. Bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilungen verlaufen dann die Indifferenzkurven linear mit der Steigung 2/a (Abbildung XI.12). Für den Fall, dass der Investor das Bewertungsobjekt nicht kauft, ist diejenige Basiseffizienzkurve relevant, die beim Abszissenwert (1 r ) V0 auf der Abszisse beginnt. Er wählt dann dasjenige Portefeuille (denjenigen Anteil am Marktportefeuille), das dem Tangentialpunkt T1 dieser Kurve mit einer Indifferenzkurve (der Basisindifferenzkurve) entspricht. ) Var(V 1
Basisindifferenzkurve modifizierte Effizienzkurve
P z 2
) V2 Var(Ü 1
T2 V
) Var(Ü 1
z
z
z
2
T3
B P1
z
T1
P3
z
V2
Basiseffizienzkurve z
0
(1 r ) V0
z
z
z
SÄ 2
SÄ1
) E(V 1
(1 r ) V0 RPADP
Abb. XI.12: Zur Ermittlung und Höhe des subjektiven Grenzpreises bei einem Störterm für ~ Ü 1 und approximativer Duplizierbarkeit bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilungen
Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, kommt er vor Berücksichtigung des Störterms ~H und vor Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles zum Punkt P1. Diesem Punkt entspricht eine Varianz des Endvermögens von
442
Kapitel XI
~ Var ( Ü1 ) und ein Abszissenwert (1 r ) V0 RPADP , wobei RPADP die Risikoprämie des approximativen Duplikationsportefeuilles bezeichnet. Unter Berücksichtigung des Störterms wird der Punkt P2 erreicht, der einen um V2 höheren Ordinatenwert als P1 aufweist. Jedoch stimmt der Abszissenwert von P2 mit dem von P1 überein. Hierin kommt zum Ausdruck, dass dem Investor bei einem Preis in Höhe des Marktwertes keine Risikoprämie für das unsystematische Risiko V2 gewährt wird. Bei Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles gelangt der Investor zum Punkt P3. Ihm entspricht derselbe Abszissenwert (1 r ) V0 wie in der Ausgangsituation, jedoch statt 0 die Varianz V2. Das approximative Duplikationsportefeuille dupliziert eben nicht den ~ Störterm ~H für den Überschuss Ü1 , so dass bei Leerverkauf die Varianzkomponente V2 erhalten bleibt. Dem Punkt P3 entspricht ein niedrigerer Nutzenwert als dem Tangentialpunkt T1. Jedoch kann der Investor seine Position verbessern, indem er auch bei Kauf des Bewer~ tungsobjekts Wertpapiere hält. Da der Störterm ~H von allen Endwerten P1n stochastisch unabhängig ist, hat er keinen Einfluss auf die Struktur der effizienten Portefeuilles; sie stimmt mit der ohne den Störterm überein. Man erhält daher die modifizierte Effizienzkurve, indem die Basiseffizienzkurve um V2 parallel nach oben verschoben wird. Da die Indifferenzkurven bei exponentieller Nutzenfunktion und Normalverteilungen im (P,V2)-Diagramm (linear und) parallel zueinander verlaufen, liegt der Tangentialpunkt T2 der modifizierten Effizienzkurve mit einer Indifferenzkurve senkrecht oberhalb von T1; der Investor erwirbt nach Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles denselben Anteil am Marktportefeuille wie bei Verzicht auf Kauf. Jedoch entspricht dem Tangentialpunkt T2 ein kleinerer Erwartungsnutzen als T1, so dass sich der Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert als nachteilig erweist; der subjektive Grenzpreis ist kleiner als der Marktwert. Man erhält den subjektiven Grenzpreis, indem man
1. die in P3 beginnende modifizierte Effizienzkurve für den Kauf zum Marktwert derart parallel nach rechts verschiebt, dass sie die durch T1 verlaufende Basisindifferenzkurve tangiert (Punkt T3) und 2. den Barwert (1 r ) 1 B des Betrages B der Rechtsverschiebung vom Marktwert des Bewertungsobjekts subtrahiert. Der Betrag B der Rechtsverschiebung ist gleich der Strecke T2 T3 (wobei der Ordinatenwert von T3 ebenso hoch ist wie der von T2). Diese Strecke stimmt ihrerseits mit der Differenz der Sicherheitsäquivalente SÄ1 und SÄ2 der riskanten Positionen T1 (optimales Portefeuille ohne Kauf des Bewertungsobjekts) und T2 (optimale Position bei Kauf zum Marktwert) überein. Der Investor hält bei Kauf zum subjektiven Grenzpreis denselben Anteil am Marktportefeuille wie bei Kauf zum Marktwert; es gibt keinen Reichtumseffekt. Da alle Indifferenzkurven die Steigung 2/a aufweisen, muss für B gelten: B
2 a
V2 .
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
443
Hieraus folgt: B
a 2 V , 2
so dass gilt: ~ Subjektiver Grenzpreis GPS ( Ü1 ) a = Marktwert des Bewertungsobjekts – V 2 . 2 Der subjektive Grenzpreis liegt umso mehr unter dem Marktwert, je größer V2 (das störtermbedingte Risiko) und der Risikoaversionskoeffizient a sind. 5.2.2.2 Quadratische Nutzenfunktion
Bei quadratischer Nutzenfunktion ergeben sich analoge Zusammenhänge wie bei exponentieller. Unterschiede resultieren allein daraus, dass bei quadratischer Nutzenfunktion die Indifferenzkurven im (P,V2)-Diagramm nicht linear, sondern konkav verlaufen, wobei allerdings wie bei exponentieller Nutzenfunktion für alternative Erwartungswerte jeweils alle Indifferenzkurvensteigungen miteinander übereinstimmen. Zur Erläuterung betrachten wir die Abbildung XI.13, die im Prinzip bis auf die Indifferenzkurvensteigungen mit XI.12 übereinstimmt. ~ Var(V1 ) modifizierte Effizienzkurve
z
~ Var( Ü1 )
z
P2 V2
T2
P1 P5
P3 V2 0
Basiseffizienzkurve
z
z
P4 z
z
T1
z
Basisindifferenzkurve
z
z
z
(1 r ) V0
SÄ 2
SÄ1
~ E(V1 )
Abb. XI.13: Zur Ermittlung und Höhe des subjektiven Grenzpreises bei einem Störterm für ~ Ü 1 und approximativer Duplizierbarkeit bei quadratischer Nutzenfunktion
Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft, hält er wieder dasselbe Portefeuille wie ohne Kauf; der Tangentialpunkt T2 liegt senkrecht oberhalb von T1. Wieder erzielt er bei Kauf zum Marktwert eine Nutzeneinbuße. Man erhält analog zur Abbildung XI.12 den subjektiven Grenzpreis, indem man die durch P3 verlaufende mo-
444
Kapitel XI
difizierte Effizienzkurve derart nach rechts verschiebt, dass sie die durch T1 verlaufende Basisindifferenzkurve tangiert, und den Barwert (1 r ) 1 B des Betrages B der Rechtsverschiebung vom Marktwert des Bewertungsobjekts subtrahiert. Allerdings bewirkt nun die Preisreduktion, dass der Investor bei Kauf einen kleineren Anteil am Marktportefeuille hält. Wegen der steigenden absoluten Risikoaversion besteht bei quadratischer Nutzenfunktion ein „negativer“ Reichtumseffekt. Der (hier nicht eingezeichnete) Tangentialpunkt T3 der verschobenen modifizierten Effizienzkurve mit der Basisindifferenzkurve liegt links von P4 und rechts von T1. Beweis: Die Steigung in P4 ist kleiner als die in T1 und somit auch kleiner als die in T2. Da die Indifferenzkurven konkav und die modifizierte Effizienzkurve konvex verlaufen, muss somit T3 links von P4 liegen. Die Steigung der modifizierten Effizienzkurve in Punkt P5 (er hat denselben Ordinatenwert wie T1) ist kleiner als die in T1. Dasselbe gilt für alle Punkte auf der modifizierten Effizienzkurve links von P5. Somit muss der Ordinatenwert des Tangentialpunktes T3 höher sein als der Ordinatenwert von P5 bzw. von T1; T3 liegt rechts von T1 auf der Basisindifferenzkurve. Ŷ Interpretation: Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum subjektiven Grenzpreis erwirbt, hält er zwar einen kleineren Anteil am Marktportefeuille. Jedoch steigt unter Berücksichtigung von V2 insgesamt die Varianz des Endvermögens. Entsprechend steigt die geforderte Risikoprämie, und zwar so, dass der Varianzzuwachs kompensiert wird. Der Betrag B der gebotenen Rechtsverschiebung ist nun höher als die Differenz der Sicherheitsäquivalente SÄ1 und SÄ2. 5.2.2.3 Exkurs: Versicherung als direkter Risikotransfer [*] Bei Verifizierbarkeit des Störterms H und Fehlen von (Informationsasymmetrie sowie von) Moral Hazard liegt es nahe, darauf eine Versicherung abzuschließen. In Verbindung mit Portefeuillebildung kann dann das aus dem Überschuss des Bewertungsobjekts resultierende Risiko perfekt gehedgt werden. Bei den bisherigen Darstellungen war der Erwartungswert des Störterms gleich null; der Störterm konnte auch positive Werte annehmen. Dagegen geht es bei Versicherungen als direktem Risikotransfer im Allgemeinen um Schäden, die nur positive Werte annehmen und somit den Überschuss nur reduzieren können; ihre Erwartungswerte sind positiv. Jedoch lässt sich auch eine Versicherung mit Hilfe eines Störterms mit dem Erwartungswert null darstellen. Zur Erläuterung betrachten wir einen Schaden, der mit der Wahrscheinlichkeit w > 0 gleich D und mit der Gegenwahrscheinlichkeit 1 – w > 0 gleich null ist und somit den Erwartungswert w D aufweist. Bezeichnet man den Überschuss des Bewertungsobjekts im Zustand Ss * (s = 1,2,…,S) vor Schaden mit Ü1s , ergibt sich nach Schaden der Erwartungswert des Überschusses: (XI.20)
Ü1s
* Ü1s w D .
Ausgehend von diesem Erwartungswert ist ein Störterm H bewertungsrelevant, der mit der Wahrscheinlichkeit 1 – w den Wert H1 w D ! 0 und der Wahrscheinlichkeit w den Wert H 2 (D w D) 0 annimmt. Unter Berücksichtigung dieses Störterms ergeben sich folgende mögliche Überschüsse für den Zustand Ss (s = 1,2,…,S):
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
* Ü1s w D w Dx
Überschuss
* Ü1s
{H1
{ Ü1s
* Ü1s w D (D w D x )
1 w
Wahrscheinlichkeit
* Ü1s D
{H 2
{ Ü1s
445
.
w
Unter Berücksichtigung der beiden Ausprägungen des Störterms kommt man somit zu den beiden möglichen Überschüssen nach Schaden. Wieder ist – wie üblich – der Erwartungswert des Störterms gleich null: (XI.21)
E(H ) (1 w) H1 w H 2
(1 w) w D w [ (D w D)] 0 .
Wegen E(H ) 0 folgt für die Varianz des Störterms: (XI.22)
Var(H ) { V 2
(1 w) H12
w H 22
(1 w) (w D) 2
w [(D w D)]2
(1 w) (0 w D)2
w (D w D)2
. Var(D)
Die Varianz des Störterms ist also gleich der Varianz des Schadens. Auf der Basis des erwarteten ) E(Ü * ) w D und der Varianz Var(H ) V2 Var(D) kann der indiviÜberschusses E(Ü 1 1 duelle subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts ohne Versicherung wie in Abschnitt 5.2.2.1 bzw. 5.2.2.2 ermittelt werden. Der Einfluss der Versicherungsmöglichkeit auf den Grenzpreis hängt von der Versicherungsprämie ab. Bei „fairer“ Versicherung stimmt die Prämie mit dem Erwartungswert w D des Schadens überein. Für den Zustand Ss (s = 1,2,…,S) wird dann ein deterministischer Über * w D erzielt, wobei bei unveränderlichem Erwartungswert des Überschusses die schuss Ü 1s Varianz des Störterms eliminiert wird; für den Investor ist die faire Versicherung vorteilhaft, was impliziert, dass mit ihr der individuelle subjektive Grenzpreis steigt. Wenn nun ausgehend von w D die Versicherungsprämie sukzessive steigt, sinkt mit der Versicherung der Erwartungswert des Überschusses, wobei diese jedoch trotzdem zunächst vorteilhaft bleibt. Der individuelle subjektive Grenzpreis sinkt zwar ebenfalls, er ist jedoch zunächst immer noch größer als ohne die Versicherungsmöglichkeit. Ab einer kritischen Prämie wird die Versicherung für den Investor nachteilig. Die Versicherungsmöglichkeit hat dann keinen Einfluss mehr auf den Grenzpreis.
5.3
Störterme für die Endwerte der Wertpapiere als Ursache beschränkter Duplizierbarkeit
5.3.1
Ermittlung des Wertes
Es werden nun die in Kapitel X, Abschnitt 5.2.1, dargestellten Störterme ~Hn für die ~ Endwerte P1n der Papiere berücksichtigt. Wie in diesem Abschnitt gehen wir davon aus, dass nicht die Möglichkeit besteht, für die Zustände Ss (s = 1,2,…,S) bedingte Zahlungsansprüche zu kaufen und zu verkaufen; der Investor kann das aus dem Bewertungsobjekt resultierende Risiko allenfalls mit störtermbedingten normalen Papieren n (n = 1,2,…,N) hedgen.
446
Kapitel XI
Annahmegemäß haben sie (praktisch) keinen Einfluss auf die Preise und die Risiko~ prämien der Papiere. Zunächst sehen wir vom Störterm ~H für den Überschuss Ü1 ab. Der Verlauf der entsprechenden modifizierten Effizienzkurve wurde bereits in Kapitel X, Abschnitt 6.2, untersucht. Wir bauen im Folgenden auf der Abbildung X.6 für das (P,V)-Diagramm auf, der für den Fall des potenziellen Kaufs des Bewertungsobjekts die Abbildung XI.14 entspricht. Es sei daran erinnert, dass die modifizierte Effizienzkurve rechts vom Schnittpunkt S die Referenzlinie (die Basiseffizienzkurve) nicht nochmals schneiden kann. Der Punkt P repräsentiere die (P,V)-Position bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert ohne Portefeuillebildung. Ausgehend von diesem Punkt kann mit effizienter Portefeuillebildung die dargestellte modifizierte Effizienzkurve bewirkt werden. Auf der Basis der Abbildung XI.14 kann die Höhe des individuellen subjektiven Grenzpreises in der gleichen Weise untersucht werden wie in Abschnitt 4.1.1. Man erhält den subjektiven Grenzpreis, indem man die modifizierte Effizienzkurve derart parallel nach rechts oder links verschiebt, dass sie die (hier nicht eingezeichnete) Basisindifferenzkurve tangiert und den mit dem Zinssatz r diskontierten Betrag der Rechts- oder Linksverschiebung vom Marktwert des Bewertungsobjekts subtrahiert oder hinzuaddiert. (Definitionsgemäß ist die Basisindifferenzkurve jene Indifferenzkurve, die von der Basiseffizienzkurve tangiert wird.) ~ Sta (V1 )
modifizierte Effizienzkurve P
~ Sta ( Ü1 ) z N
¦ x 2n n 1
V 2n z
z
S
Pr z
z
M
Referenzlinie (Basiseffizienzkurve)
z
z
0
(1 r ) V0
z
(1 r ) V0 RPADP
~ E(V1 )
Abb. XI.14: Zur Ermittlung und Höhe des subjektiven Grenzpreises bei Störtermen für die Endwerte der Wertpapiere und approximativer Duplizierbarkeit
Wie in Kapitel IV, Abschnitt 6.2, erläutert wurde, können die Störterme H n aus beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Investoren in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen resultieren, die in gewissem Umfang nach dem Zufallsprinzip entscheiden. Die dargestellte Bewertungskonzeption zeigt, wie beschränkt rationale Entscheidungen anderer rational im eigenen Be-
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
447
wertungskalkül antizipiert werden können.10 Wie im Folgenden gezeigt wird, beeinträchtigen Störterme die Hedgemöglichkeiten und führen grundsätzlich bei rationaler Bewertung zu einem Abschlag vom Marktwert, um den individuellen subjektiven Grenzpreis zu erhalten.
5.3.2
Höhe des Wertes
5.3.2.1 Zum Einfluss der Risikoeinstellung
Wenn die Referenzlinie (die Basiseffizienzkurve) links vom Schnittpunkt S die Basisindifferenzkurve tangiert und diese durchgehend unterhalb der modifizierten Effizienzkurve verläuft, ist eine Rechtsverschiebung dieser Kurve geboten, damit sie die Basisindifferenzkurve tangiert; der subjektive Grenzpreis ist kleiner als der Marktwert. Im Gegensatz zur Duplizierbarkeit ohne Störterm kann nun allerdings der subjektive Grenzpreis auch höher sein als der Marktwert. Das ist dann der Fall, wenn die Referenzlinie rechts vom Schnittpunkt S die Basisindifferenzkurve tangiert. Die Basiseffizienzkurve verläuft dann in einem Bereich oberhalb der modifizierten Effizienzkurve, so dass diese Effizienzkurve nach links zu verschieben ist, damit auch sie die Basisindifferenzkurve tangiert. Zur Interpretation des Ergebnisses, dass nun der Grenzpreis theoretisch höher als der Marktwert sein kann, nehmen wir an, dass der Investor ohne Bewertungsobjekt einen so großen Anteil am Marktportefeuille realisiert, dass dieser das approximative Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält. Wenn nun der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft und zugleich das approximative Duplikationsportefeuille verkauft (oder darauf verzichtet, es zu kaufen) erzielt er einen Vorteil, weil er sich bei unveränderlichem systematischem Risiko der Störterme dieses Portefeuilles entledigt und dabei die Risikoprämie konstant bleibt. (Es sei daran erinnert, dass der Marktwert des approximativen Duplikationspor~ tefeuilles mit dem Marktwert des Überschusses Ü1 übereinstimmt, weil die Störterme ~Hn keinen Einfluss auf die Wertpapierpreise haben.) Grundsätzlich wird der Investor einen weiteren Vorteil erzielen, indem er sein verbleibendes Portefeuille umstrukturiert, um dem Wegfall von Störtermen Rechnung zu tragen. Wenn der Tangentialpunkt der Referenzlinie mit der Basisindifferenzkurve zwar links vom Schnittpunkt S liegt, die Basisindifferenzkurve jedoch trotzdem in einem Bereich rechts vom Tangentialpunkt oberhalb der modifizierten Effizienzkurve verläuft, ist ebenfalls eine Linksverschiebung dieser Effizienzkurve geboten, damit sie die Basisindifferenzkurve tangiert; wiederum ist der subjektive Grenzpreis größer als der Marktwert. Bei entsprechend hoher Risikoaversion liegt jedoch der Tangentialpunkt von Referenzlinie und Basisindifferenzkurve so weit links von S, dass die Basisindifferenzkurve 10
Zur rationalen Investitions- und Finanzplanung in einer „irrationalen Welt“ vgl. auch STEIN (1996).
448
Kapitel XI
durchgehend unterhalb der modifizierten Effizienzkurve verläuft. Es ist dann eine Rechtsverschiebung dieser Effizienzkurve geboten, damit sie die Basiseffizienzkurve tangiert, so dass der individuelle subjektive Grenzpreis kleiner ist als der Marktwert. Je größer die Risikoaversion, desto kleiner ist der Abszissenwert des Tangentialpunkts der Referenzlinie mit der Basisindifferenzkurve und desto größer ist der erforderliche Betrag der Rechtsverschiebung und desto mehr liegt der Grenzpreis unter dem Marktwert. Die Störterme für die Wertpapiere wirken sich im Bereich links von S im Prinzip so aus wie der Ausschluss des Leerverkaufs bei Duplizierbarkeit ohne Störterme. 5.3.2.2 Zum Einfluss der Größe des Bewertungsobjekts
Der Einfluss der Größe des Bewertungsobjekts auf die Abweichung zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis bei gegebenem Verlauf der Indifferenzkurven kann analog zu Abschnitt 4.1.1.2 (e) untersucht werden, indem davon ausgegangen wird, dass ~ ~ statt Ü1 der Überschuss z Ü1 (z > 0; z z 1) relevant ist. Es ist dann auch das z-fache des bisherigen approximativen Duplikationsportefeuilles maßgeblich. Bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert wird nun ohne Portefeuillebildung die Risikoprämie ~ z RPADP und die Standardabweichung z Sta ( Ü1 ) erzielt. Bei Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles kommt man wieder zum Erwartungswert des Vermögens (1 r ) V0 . Jedoch wird nun eine Standardabweichung in Höhe des z-fachen der Standardabweichung bei Leerverkauf des approximativen Duplikationsportefeuilles ~ für Ü1 erzielt. Bezüglich der modifizierten Effizienzkurve gilt wieder: Jedem Punkt auf ~ der modifizierten Effizienzkurve für Ü1 entspricht ein Punkt auf der modifizierten Effi~ zienzkurve für z Ü1 mit der z-fachen Risikoprämie und der z-fachen Standardabweichung. Für z = 2 ergeben sich analoge Änderungen wie in Abbildung XI.6. Es bestehen folgende bewertungsrelevante Zusammenhänge: Wenn beim Über~ schuss Ü1 ein Abschlag vom Marktwert geboten ist, um auf den subjektiven Grenzpreis zu kommen, steigt dieser Abschlag für z > 1. Für z < 1 sinkt er, wobei er auch negativ werden kann, so dass ein Zuschlag zum Marktwert erforder~ lich wird. Wenn für Ü1 ein Zuschlag zum Marktwert maßgeblich ist, steigt er für z < 1. Für z > 1 sinkt er, wobei er auch negativ werden kann, so dass ein Abschlag vom Marktwert vorzunehmen ist, um auf den Grenzpreis zu kommen. Allerdings dürfte der Bereich rechts vom Schnittpunkt S der modifizierten Effizienzkurve mit der Basiseffizienzkurve und mithin ein Zuschlag zum Marktwert für die Bewertung kaum in Betracht kommen. Zur Begründung sei daran erinnert, warum überhaupt die Störterme für die Papiere keinen Einfluss auf deren Preise und Risikoprämien haben: Es wurde davon ausgegangen, dass es auf dem Kapitalmarkt viele Investoren mit kleinen und stark diversifizierten Portefeuilles gibt (im CAPM halten sie Anteile am Marktportefeuille), so dass die Störterme für die Portefeuille- und Preisbildung kaum relevant sind.
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
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Wenn nun das Bewertungsobjekt so klein ist, dass sein approximatives Duplikationsportefeuille eine Teilmenge desjenigen kleinen Portefeuilles ist, das der betrachtete Investor ohne Bewertungsobjekt bilden würde, ist dessen subjektiver Grenzpreis streng genommen zwar höher als der Marktwert; wie erläutert, realisiert der Investor bei gleichem systematischem Risiko und gleicher Risikoprämie ein kleineres unsystematisches Risiko, wenn er das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft und dessen approximatives Duplikationsportefeuille aus seinem Portefeuille herausnimmt oder gar nicht erst erwirbt. Nun sind jedoch im Rahmen der kleinen Portefeuilles die Störterme annahmegemäß nicht bewertungsrelevant, so dass der Grenzpreis „faktisch“ mit dem Marktwert übereinstimmt. Anders ist die Situation bei einem größeren Bewertungsobjekt. Je mehr Papiere das approximative Duplikationsportefeuille enthält und je mehr dessen Struktur von der des Marktportefeuilles abweicht, desto höher ist tendenziell der Abszissenwert des Schnittpunktes S. Insbesondere bei einem größeren Unternehmen als Bewertungsobjekt ist davon auszugehen, dass der Tangentialpunkt der Basiseffizienzkurve mit der Basisindifferenzkurve (weit) links von S liegt und der subjektive Grenzpreis kleiner ist als der Marktwert. 5.3.2.3 Zum Einfluss der Varianzen V n2
In Kapitel X, Abschnitt 6.2.1.1 (b), wurde der Einfluss einer Erhöhung der Varianzen V 2n der Störterme der Papiere auf die Ordinatenwerte der Referenzlinie (Basiseffizienzkurve) und der modifizierten Effizienzkurve untersucht. Rechts vom Abszissenwert (1 r) V0 steigen zwar die Ordinatenwerte der Referenzlinie. Da jedoch die Portefeuilles, die ihr zugrunde liegen, Anteile am Marktportefeuille darstellen, sind sie ideal diversifiziert, so dass diese Störterme und deren Änderungen einen relativ geringen Einfluss auf die Varianzen (Standardabweichungen) dieser Portefeuilles haben. Im Vergleich dazu können die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve je nach Umfang und Struktur der jeweiligen Portefeuilles mit steigenden Varianzen V 2n stark wachsen. Ein Anstieg dieser Varianzen kann das Hedgepotenzial nur verschlechtern. Insbesondere bei einem großen „risikoverzerrten“ Bewertungsobjekt (mit einem großen approximativen Duplikationsportefeuille, dessen Struktur von der des Marktportefeuilles stark abweicht) und hoher Risikoaversion kann bei Anstieg der Varianzen V 2n der subjektive Grenzpreis erheblich sinken. Wie erläutert, können die Störterme aus beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Investoren in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen resultieren. Je größer im Urteil des Investors der Umfang von Entscheidungen ist, die nach dem Zufallsprinzip getroffen werden, desto größer sind tendenziell die Varianzen V 2n und desto mehr liegt der individuelle subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert des Bewertungsobjekts.
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Kapitel XI
5.4
Störterm auch für den Überschuss des Bewertungsobjekts
Wie erläutert, ist aufgrund der Störterme für die Wertpapiere der subjektive Grenzpreis grundsätzlich kleiner als der Marktwert des Bewertungsobjekts. Ist zusätzlich ein Stör~ term für den Überschuss Ü1 wirksam, ergibt sich analog zu den Darstellungen in den Abschnitten 5.2.2.1 und 5.2.2.2 ein noch kleinerer subjektiver Grenzpreis, während der Marktwert des Bewertungsobjekts (praktisch) konstant bleibt.
5.5
Zum Einfluss der Störterme auf Leerverkaufsmöglichkeiten und Implikationen
Bisher wurde davon ausgegangen, dass Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Grenzen für Hedgemöglichkeiten des Überschusses resultierten ausschließlich aus der stochastischen Unabhängigkeit der Störterme H n für die Endwerte P1n der Papiere und ~ dem Störterm H für den Überschuss Ü1 . Sind die Leerverkaufsmöglichkeiten des Investors beschränkt, hat das keinen Einfluss auf den Marktwert des Bewertungsobjekts, jedoch ergibt sich grundsätzlich ein noch kleinerer individueller subjektiver Grenzpreis. Er kann vor allem dann stark sin~ ken, wenn es keine Papiere gibt, deren Endwert mit dem Überschuss Ü1 negativ korreliert ist und insbesondere Papiere mit hoher positiver Korrelation nicht leerverkauft werden können. ~ Da die Störterme für die Papiere und den Überschuss Ü1 den Aktionsraum für Leerverkäufe grundsätzlich einengen, beeinträchtigen die Störterme in zweifacher Hinsicht den individuellen subjektiven Grenzpreis: – Er sinkt schon bei gegebenen Leerverkaufsmöglichkeiten. – Darüber hinaus sinkt er deshalb, weil die Leerverkaufsmöglichkeiten des Investors eingeengt werden. Annahmegemäß sind die Störterme stochastisch unabhängig voneinander. In der Realität können dagegen Störterme H n für verschiedene Papiere positiv korreliert sein, weil sie aus vergleichbaren Ursachen resultieren, etwa aus prinzipiell gleichen Bewertungsfehlern der Akteure auf dem Kapitalmarkt, aus allgemeinem Stimmungstief oder -hoch oder aus Fehlprognosen der gesamtwirtschaftlichen Entwicklung. Die Störterme bewirken dann systematisches Risiko, das nicht durch Portefeuillebildung eliminiert werden kann. Da dann die Störterme die Kovarianzen der Papiere n (n = 1,2,…,N) mit dem Endwert des Marktportefeuilles erhöhen, erhöhen sie auch deren Risikoprämien E(P1n ) (1 r) P0n . Der Einfluss positiver Korrelationen zwischen Störtermen H n auf Leerverkaufsmöglichkeiten und die Abweichung zwischen dem Marktwert eines Bewertungsobjekts und seinem individuellen subjektiven Grenzpreis soll hier nicht weiter untersucht werden.
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Relative Bewertungen im Verhandlungsprozess
Wie gezeigt, kann zwar bei vollständiger Duplizierbarkeit des Überschusses und unbeschränktem Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles der subjektive Grenzpreis ohne Rücksicht auf die Risikoeinstellung des Investors als Marktwert des Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränktem Leerverkauf stellt sich das Problem der Ermittlung eines subjektiven Grenzpreises als komplexer dar. Hier kann – wie in den Abschnitten 4 und 5 gezeigt wurde – die „exakte“ Bewertung nur simultan mit der Planung derjenigen optimalen Portefeuilles vorgenommen werden, die mit und ohne Bewertungsobjekt gehalten werden. Eine „exakte“ Bewertung kann einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Er besteht nicht nur in der technischen Ermittlung optimaler Portefeuilleanpassung, sondern vor allem auch in der verlässlichen Schätzung der Risikoprämien der Wertpapiere, der Standardabweichungen und Korrelationskoeffizienten. Diese Schätzung setzt einen guten Informationsstand zur Prognose der stochastischen ~ Eigenschaften der Preise P1n voraus, der hohe Kosten verursacht. Wie im Folgenden gezeigt wird, kann jedoch die Entscheidung über Kauf oder Nichtkauf möglicherweise ohne Kenntnis des „exakten“ Wertes getroffen werden. Der Kauf zu einem gegebenen Preis erweist sich schon dann als vorteilhaft, wenn ein Portefeuille identifiziert werden kann, das gemeinsam mit dem Über~ schuss Ü1 einen Nutzenerwartungswert ermöglicht, der höher ist als der des optimalen Portefeuilles ohne Bewertungsobjekt. Welches Portefeuille bei Kauf zu dem gegebenen Preis optimal ist, kann dann zunächst offen bleiben; ein Optimum kann im Anschluss an den Kauf ermittelt werden. Diesem Sachverhalt kann der Investor Rechnung tragen, indem er für den Beginn des Verhandlungsprozesses nicht den exakten Wert ermittelt, sondern einen „relativen“ Wert WR als Untergrenze des exakten. WR bezieht sich nicht auf das optimale Portefeuille bei Kauf des Bewertungsobjekts, sondern auf den optimalen Umfang eines modellexogen gewählten Hedgeportefeuilles. WR wird als derjenige Preis definiert, bei dem der Kauf des Bewertungsobjekts in Verbindung mit dem optimalen Umfang dieses Portefeuilles weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Da mit dem exogen vorgegebene Portefeuille allenfalls zufällig ein Optimum erzielt wird, ist der exakte Wert grundsätzlich höher als WR. Ein relativer Wert kann analog zum exakten Wert ermittelt werden. Statt der modifizierten Effizienzkurve auf der Basis aller Papiere und unter Berücksichtigung optimaler ~ Strukturanpassungen des Ergänzungsportefeuilles bei sukzessiver Erhöhung von E(V1 ) wird nun ausschließlich das exogen gewählte Hedgeportefeuille und zwar auf alternativen Niveaus berücksichtigt. In den Kapiteln IX und X wurde untersucht, wie auf der Basis eines gegebenen Portefeuilles (das auch nur einen Wertpapiertyp umfassen mag) die (P,V2)-Kurve ermittelt werden kann. Man erhält die entsprechende Kurve für das
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Kapitel XI
(P,V)-Diagramm, indem man aus den Ordinatenwerten der (P,V2)-Kurve die positiven Quadratwurzeln zieht. Der dieser Kurve entsprechende relative Wert kann ebenso ermittelt werden wie der „exakte“ auf der Basis der modifizierten Effizienzkurve. Zur Ermittlung des relativen Wertes ist lediglich abzuschätzen, welche Risikoprämie das exogen vorgegebene Hedgeportefeuille bietet und welche Korrelation zwischen seinem Endwert ~ und Ü1 besteht. Die Schätzung ist tendenziell umso einfacher, je geringer die Zahl der Wertpapiertypen ist, die in dem exogen vorgegebenen Hedgeportefeuille enthalten sind. Wenn der potenzielle Verkäufer des Bewertungsobjekts einen Preis fordert, der niedriger ist als der ermittelte relative Wert, erweist sich der Kauf bereits als vorteilhaft. (Trotzdem mag der Investor die Preisverhandlung fortsetzen, um einen noch niedrigeren Preis durchzusetzen.) Wenn der Investor erkennt, dass nur ein Preis durchsetzbar ist, der höher ist als der ermittelte relative Wert, fehlt ihm zunächst die Entscheidungsgrundlage. Er weiß zwar, dass der exakte Wert grundsätzlich höher ist als WR, nicht jedoch, um welchen Betrag, so dass er nicht beurteilen kann, ob der geforderte Preis unter dem exakten Wert liegt. Es ist dann geboten, den Wert genauer zu ermitteln, um eine Entscheidung treffen zu können. Um frühzeitige Nachbewertungen zu vermeiden, sollte der Investor sich bemühen, ein exogenes Hedgeportefeuille zu wählen, bei dem WR möglichst nahe beim exakten liegt. Anhaltspunkte hierfür geben die Darstellungen in den Kapiteln IX und X. Im Folgenden soll der Verhandlungsprozess auf der Basis relativer Werte näher betrachtet werden. Dabei werden die bisherigen Darstellungen durch die Annahme erweitert, dass der Investor alternativ zum Bewertungsobjekt eine reale Vergleichsinvestition der gleichen Risikoklasse und Größe zu einem gegebenen (nicht verhandelbaren) Preis PV erwerben kann. Wenn PV niedriger ist als der relative Wert WR, also die ermittelte Untergrenze für den exakten (Abbildung XI.15), ist die Entscheidung wie folgt zu treffen: Kauf des Bewertungsobjekts
Kauf der Vergleichsinvestition
z
PV Preis der Vergleichsinvestition
z
WR Relativer Wert
Preis für das Bewertungsobjekt
Abb. XI.15: Zur (Kauf-)Entscheidung auf der Grundlage eines relativen Wertes
Zeigt sich im Verhandlungsprozess, dass kein Preis für das Bewertungsobjekt durchsetzbar ist, der kleiner als PV ist, wird die Vergleichsinvestition erworben (da PV < WR). Ist der für das Bewertungsobjekt geforderte Preis kleiner als der der Vergleichsinvestition oder ebenso hoch, wird das Bewertungsobjekt erworben (oder der
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Verhandlungsprozess fortgesetzt, um eventuell einen noch kleineren Preis durchzusetzen). Ist der Preis der Vergleichsinvestition wie in Abbildung XI.16 höher als der ermittelte relative Wert (PV > WR), ist die Entscheidung wie folgt zu treffen: 1. Vorläufiger Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts 2. Verzicht auf Kauf der Vergleichsinvestition
Kauf des Bewertungsobjekts
0
1. Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts 2. Vorläufiger Verzicht auf Kauf der Vergleichsinvestition
z
z
WR
PV
Relativer Wert
Preis der Vergleichsinvestition
Preis für das Bewertungsobjekt
Abb. XI.16: Zur (Kauf-)Entscheidung auf der Grundlage eines relativen Wertes
Ist der für das Bewertungsobjekt geforderte Preis kleiner als WR, wird das Bewertungsobjekt gekauft, da dann dieser Preis niedriger ist als der relative Wert und der Preis der Vergleichsinvestition. Ist der geforderte Preis größer als WR und kleiner als PV, steht zunächst nur fest, dass die Vergleichsinvestition gegenüber dem Bewertungsobjekt nachteilig ist. Ob der Kauf des Bewertungsobjekts seinerseits vorteilhaft ist, ist jedoch zunächst noch offen. Zur Entscheidung müssen weitere Wertanalysen vorgenommen werden. Das kann in der Weise geschehen, dass auf der Basis zusätzlicher Papiere ein neuer relativer Wert ermittelt wird. Wird ein relativer Wert entdeckt, der höher ist als der geforderte Preis, erweist sich der Kauf des Bewertungsobjekts als vorteilhaft. Möglicherweise muss der „exakte“ Wert des Bewertungsobjekts ermittelt werden, um die Entscheidung treffen zu können; ist er niedriger als der geforderte Preis, ist der Kauf des Bewertungsobjekts endgültig nachteilig. (Da der geforderte Preis niedriger ist als PV, ist auch die Vergleichsinvestition nachteilig.) Ist der für das Bewertungsobjekt geforderte Preis höher als PV, steht fest, dass es gegenüber der Vergleichsinvestition nachteilig ist. Ob allerdings die Vergleichsinvestition vorteilhaft ist, ist bei dem zunächst ermittelten relativen Wert WR noch offen, da er annahmegemäß (Abbildung XI.16) niedriger ist als PV. Um die Entscheidung über den Kauf der Vergleichsinvestition treffen zu können, müssen genauere Wertanalysen vorgenommen werden.
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Implikationen veränderlicher Nutzenfunktionen
Wie erläutert, resultiert der Störterm ~Hn (n = 1,2,…N) nicht nur aus spezifischen Daten oder Ereignissen, die primär den Endwert des Wertpapiers n beeinflussen; Störterme können auch daraus resultieren, dass die Investoren im Kapitalmarkt nicht streng rational handeln, sondern stochastische Bewertungsfehler bezüglich zukünftiger Überschüs-
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Kapitel XI
~ se von Wertpapieren machen, die sich nicht kompensieren, so dass deren Endwerte P1n nicht eindeutig durch den eintretenden Zustand Ss bestimmt werden, sondern um ihre bedingten Erwartungswerte für diesen Zustand streuen. Streuungen können z.B. auch daraus resultieren, dass sich die Nutzenfunktionen der Investoren auf dem Kapitalmarkt (ihre Risiko- und Zeitpräferenzen) stochastisch ändern. Oft wird in der Literatur behauptet (Kapitel I, Abschnitt 6.3), dass ein individueller subjektiver Grenzpreis nicht bestimmt werden könne, weil die Nutzenfunktion des Investors nicht ermittelt werden und sich im Zeitablauf ändern könne, und empfohlen, auf den Marktwert des Bewertungsobjekts zurückzugreifen. Wenn nun aber aufgrund beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt und/oder stochastischer Änderungen ihrer Nutzenfunktionen die zukünftigen Wertpapierpreise störtermbehaftet sind, ist der subjektive individuelle Grenzpreis selbst dann kleiner als der Marktwert, wenn Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Je größer im Urteil des Investors die Varianzen der Störterme ~Hn sind, je mehr er also die „Rationalität“ der Akteure auf dem Kapitalmarkt bezweifelt, desto mehr liegt sein subjektiver Grenzpreis unter dem Marktwert. Zwar ist es schwierig, die Abweichung vom Marktwert zu ermitteln. Das rechtfertigt aber nicht die Unterstellung, sie sei gleich null. Wenn man individuellen Bewertern generell nicht zutraut, ihre Präferenzen zu offenbaren, sollte man auch nicht damit rechnen, dass Marktwerte ohne weiteres das Ergebnis rationaler Entscheidungen sind. (Abgesehen davon ist der Marktwert auch dann grundsätzlich als individueller subjektiver Grenzpreis irrelevant, wenn keine bewertungsbezogenen Störterme existieren, jedoch aus anderen Gründen keine Duplikationsmöglichkeit für den Überschuss des Bewertungsobjekts besteht und/oder der Leerverkauf beschränkt ist.) Statt auf Bewertungen durch andere zu verweisen, sollte man einem Rat suchenden Investor helfen, seine eigenen Präferenzen zu erforschen, und ihm zeigen, welche Implikationen sich für den subjektiven Grenzpreis – auch unter Berücksichtigung vermuteter Störterme aus beschränkter Rationalität der Investoren auf dem Kapitalmarkt (sowie der Investoren in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen) – ergeben. Natürlich kann sich die Nutzenfunktion eines individuellen Investors ändern. Dies ist aber kein Grund, auf individuelle subjektive Bewertung zu verzichten und generell den Marktwert als Grenzpreis zu wählen. Die Nutzenfunktion kann sich auch dann ändern, wenn man einen Preis in Höhe des Marktwerts zahlt. Wenn man damit rechnet, dass sich die Nutzenfunktion (die Risikoeinstellung) ändern kann, ohne zu wissen, in welcher Weise, wird man tendenziell vor allem dann einen Abschlag vom ermittelten subjektiven Grenzpreis vornehmen, wenn aufgrund unvollkommener Duplizierbarkeit und/oder Leerverkaufsmöglichkeiten
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beschränkte Möglichkeiten bestehen, die Überschüsse des Bewertungsobjekts durch Kapitalmarktgeschäfte zu transformieren, um Änderungen der Nutzenfunktion Rechnung zu tragen. Unter den betreffenden Kapitalmarktbedingungen ist aber der Marktwert höher als der ermittelte subjektive Grenzpreis, so dass bei Marktbewertung statt eines Abschlags ein Zuschlag zu diesem Grenzpreis vorgenommen wird. Die Anpassungsproblematik resultiert aus der fehlenden Teilbarkeit des Bewertungsobjekts. Je größer es ist, desto größer ist tendenziell der Bewertungsfehler, wenn wegen möglicher Änderungen der Nutzenfunktion der Marktwert als Grenzpreis herangezogen wird, statt einen Abschlag vom ermittelten subjektiven Grenzpreis vorzunehmen.
8
Sicherheitsäquivalent-Methode im Licht der theoretischen Darstellungen
Wie gezeigt, ist bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränktem Leerverkauf der (individuelle) subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger als der Marktwert des Bewertungsobjekts. Der subjektive Grenzpreis kann dann nur im Rahmen eines Simultankalküls ermittelt werden, in dem explizit untersucht wird, welches Portefeuille ohne das Bewertungsobjekt und welche Portefeuilleanpassung bei Kauf optimal sind. Im Vergleich dazu versagt die traditionelle Sicherheitsäquivalent-Methode bei der Ermittlung des subjektiven Grenzpreises. Bei der üblichen Ermittlung der Sicherheitsäquivalente wird davon ausgegangen, dass Risiken im Umfeld des Bewertungsobjekts überhaupt keine Rolle spielen. Charakteristisch ist auch die semi-subjektive Bewertung (Kapitel VIII, Abschnitt 1), bei der neben dem Über~ schuss Ü1 nur die Anlage und Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r berücksichtigt werden. Da es grundsätzlich optimal ist, Risiken im Umfeld des Bewertungsobjekts bei Kauf anzupassen, sind die betreffenden Anpassungen bei der Bewertung zu berücksichtigen. Sicherheitsäquivalente bzw. die zugrunde liegenden Risikoprämien dürfen nicht „isoliert“ ermittelt werden. Es ist nicht sinnvoll, den Wert in Bezug auf eine gegebene, unveränderliche Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen als Basis zu ermitteln. Eine naheliegende Möglichkeit wäre, den subjektiven Wert mit demjenigen Portefeuille abzustimmen, das ohne das Bewertungsobjekt optimal ist. Für das Sicherheitsäquivalent ~ wäre dann (neben dem Erwartungswert und der Varianz von Ü1 sowie der Nutzenfunk~ tion des Investors) die Kovarianz von Ü1 mit dem Endwert dieses Portefeuilles relevant. Dieses Bewertungskonzept wäre jedoch nur dann sinnvoll, wenn das alte Portefeuille bei Kauf des Bewertungsobjekts nicht angepasst werden könnte. Nun wird aber auf-
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Kapitel XI
grund einer Anpassung ein Vorteil erzielt, dessen Vernachlässigung einen zu niedrigen subjektiven Grenzpreis impliziert. Auch die Abstimmung des Wertes allein mit demjenigen Portefeuille, das bei Kauf des Bewertungsobjekts gebildet wird, ist nicht sinnvoll. Nun wird die Kovarianz zwi~ schen Ü1 und dem Endwert des neuen Portefeuilles als bewertungsrelevant angenommen mit der Folge, dass ein zu hoher Wert ausgewiesen wird. Der subjektive Grenzpreis wird dann eben als derjenige Preis bestimmt, bei dem ausgehend vom neuen Portefeuille durch Kauf des Bewertungsobjekts weder ein Vorteil noch ein Nachteil erzielt wird. Der Investor erhält bei diesem Preis keine Kompensation dafür, dass das neue Portefeuille isoliert gesehen gegenüber dem alten nachteilig ist. Der subjektive Grenzpreis ist vielmehr derjenige Preis, mit dem der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts in Verbindung mit dem neuen Portefeuille denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie mit dem alten Portefeuille. Es wurde gezeigt, wie unter Berücksichtigung optimaler Portefeuilleanpassungen diejenige subjektive Risikoprämie für das Bewertungsobjekt ermittelt werden kann, bei der dessen Kauf bzw. Verkauf weder vorteilhaft noch nachteilig ist. Wird diese Risiko~ prämie vom Erwartungswert des Überschusses Ü1 subtrahiert, erhält man ein Sicherheitsäquivalent, dessen Diskontierung mit dem risikolosen Zinssatz r zum individuellen subjektiven Grenzpreis führt. Der betreffende Grenzpreis stimmt nur bei exponentieller Nutzenfunktion für den Fall des (potenziellen) Kaufs mit dem für den Fall des Verkaufs überein. Bei allen anderen (nichtlinearen) Nutzenfunktionen besteht ein Reichtumseffekt. Es ist dann zu diffe~ renzieren zwischen einer sicheren Einzahlung als Alternative zur Einzahlung Ü1 und ~ einer sicheren Auszahlung, um die Einzahlung Ü1 zu erwerben. Die Zusammenhänge gelten analog für den Fall, dass der Investor im Umfeld des Bewertungsobjekts nicht nur Überschüsse aus Portefeuillebildung, sondern auch aus Investitionen im Leistungsbereich erzielt (Kapitel XII) und/oder das Bewertungsobjekt eine mehrperiodige Nutzungsdauer hat (Kapitel XV).
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Resümee
1. Die Analyse des individuellen subjektiven Grenzpreises in Kapitel VIII wird auf den Fall erweitert, dass der Überschuss des Bewertungsobjekts durch Portefeuillebildung optimal gehedgt wird. Ohne das Bewertungsobjekt hält der Investor ausschließlich ein optimales Wertpapierportefeuille. Mit dem Bewertungsobjekt erzielt er am Ende der Periode den Über . Der individuelle subjektive Grenzpreis ist nun derjenige Preis für das Bewerschuss Ü 1 tungsobjekt, mit dem der Investor bei Kauf in Verbindung mit einem daran optimal angepasstem Portefeuille denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie bei Verzicht auf Kauf und Realisation des dann optimalen Portefeuilles. Analog ist der Grenzpreis bei potenziellem Verkauf gleich demjenigen Erlös, mit dem der Investor bei Verkauf und Realisation des dann optimalen Portefeuilles denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie mit dem Bewertungsobjekt und dem hierfür optimalen Hedgeportefeuille. des Bewertungsobjekts vollständig dupliziert und das Duplikati2. Kann der Überschuss Ü 1
onsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden, ist unabhängig von der Risikoeinstellung
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des Investors der subjektive Grenzpreis gleich dem virtuellen Marktwert des Überschusses bzw. dem Marktwert des Duplikationsportefeuilles. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt zum (virtuellen) Marktwert kauft und zugleich das Duplikationsportefeuille zu dem identischen Preis verkauft, kompensieren sich die Anschaffungsauszahlung und der Erlös aus dem Duplikationsportefeuille. Ist der Preis des Bewertungsobjekts kleiner als der Marktwert, erzielt der Investor zum Zeitpunkt 0 einen sicheren Überschuss in Höhe des Marktwertes abzüglich des Preises und somit einen Nutzenzuwachs. 3. Leerverkauf des Duplikationsportefeuilles zum Marktwert ist jedoch allenfalls dann möglich, wenn der Investor ausreichend Sicherheit bieten kann. Diese Bedingung wird für einen individuellen Investor, der gerade ein größeres Bewertungsobjekt (etwa ein Unternehmen) des Bewertungsobjekts wird erworben hat, oft nicht erfüllt sein. Auch der Überschuss Ü 1 nicht ohne weiteres als Sicherheit ausreichen. Der Investor kann bei zunächst möglichem Leerverkauf gezwungen sein, das Bewertungsobjekt oder Teile davon zu liquidieren, um mit dem Verkaufserlös Verpflichtungen aus steigenden Kursen der leerverkauften Papiere erfüllen zu können. Die zunächst geplanten möglichen Überschüsse, deren Marktwert als Grenzpreis diente, werden dann gar nicht erzielt. Aus Sicht des Investors können somit Leerverkäufe das Risiko erhöhen, statt es zu reduzieren. Für den Investor kann es daher sinnvoll sein, bei Kauf des Bewertungsobjekts auf mögliche Leerverkäufe zu verzichten. Zwar ist dann sein subjektiver Grenzpreis niedriger als der Marktwert, jedoch kann er trotzdem größer sein als mit Leerverkäufen. zwar dupliziert werden kann, jedoch Leerverkäufe ausgeschlossen sind, gilt: 4. Wenn Ü 1 ein Portefeuille zu bilden, in Wenn es für den Investor optimal ist, ohne den Überschuss Ü 1
dem das Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthalten ist, ist trotzdem der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert; wenn er diesen Überschuss zum Marktwert kauft und zugleich darauf verzichtet, das Duplikationsportefeuille zu kaufen, erzielt er dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Endvermögen und entsprechend denselben Nutzenerwartungswert wie bei Verzicht auf den Kauf. Jedoch wird die Voraussetzung, dass es bei Kauf des Überschusses optimal ist, auf den Kauf des Duplikationsportefeuilles zu verzichten, insbesondere dann nicht erfüllt sein, wenn die Standardabweichung und der Erwartungswert sowie die Risikoaversion des Investors hoch sind. Der (individuelle) subjektive von Ü 1 Grenzpreis ist dann kleiner als der Marktwert. Je größer die Risikoaversion und das Bewertungsobjekt sind, desto mehr liegt tendenziell der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert. 5. Wenn (bei Duplizierbarkeit und Ausschluss von Leerverkäufen) einzelne Korrelationskoef ;P ) sinken, kann eine bessere Möglichkeit bestehen, den Überschuss Ü fizienten U(Ü 1 1n 1 durch Portefeuillebildung zu hedgen. Dies kann bewirken, dass der subjektive Grenzpreis um einen geringeren Betrag unter dem Marktwert liegt als bei den ursprünglichen Korrelationskoeffizienten. ändern sich grundsätzlich auch die 6. Mit Variation der Wahrscheinlichkeitsverteilung von Ü 1 , die Marktrisikoprämie des Bewertungsobjekts (die seines Standardabweichung von Ü 1 ;P ) . Zur Erläuterung der Folgen Duplikationsportefeuilles) und die Kovarianzen Kov(Ü 1 1m
für die Höhe des Grenzpreises wurden vor allem Auswirkungen einer Änderung der Größe der Überschuss z Ü (z > 0; des Bewertungsobjekts in dem Sinne betrachtet, dass statt Ü 1 1 z 1) relevant ist. Wenn für den Überschuss Ü1 (mit z = 1) der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt, bleibt diese Übereinstimmung bestehen, wenn der Niveauparameter z unter 1 sinkt. Wenn z ausgehend von z = 1 sukzessive steigt, mag zwar die Übereinstimmung zunächst erhalten bleiben. Ab einem bestimmten z-Wert sinkt jedoch der indi-
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viduelle subjektive Grenzpreis unter den Marktwert, wobei die Abweichung mit weiterem Anstieg von z immer größer wird. (mit z = 1) der subjektive Grenzpreis bereits kleiner ist als der Wenn für den Überschuss Ü 1 Marktwert, sinkt die Abweichung, wenn z kleiner wird. Ab einem entsprechend kleinen zWert stimmt der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert überein. Wenn dagegen z ausgehend von z = 1 sukzessive steigt, wird die Abweichung zwischen beiden Werten immer größer. Die Obergrenze für das Intervall des Niveauparameters z, von dem an der Grenzpreis unter den Marktwert sinkt, ist umso niedriger, je größer die Risikoaversion des Investors ist. 7. Die Möglichkeit des Leerverkaufs einzelner Papiere hat bei unvollständiger (oder beschränkter) Duplizierbarkeit ähnliche Auswirkungen auf den Verlauf der modifizierten Ef annahmegefizienzkurve wie bei vollständiger. Da der Investor ohne den Überschuss Ü 1 mäß einen Anteil am Marktportefeuille hält, können für ihn Leerverkäufe nur in Verbindung vorteilhaft sein. Unter Berücksichtigung von Leerverkäufen sinken mit dem Überschuss Ü 1 tendenziell die Ordinatenwerte der modifizierten Effizienzkurve. Jedoch verläuft sie (im Fall unvollständiger Duplizierbarkeit) selbst bei unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten durchgehend oberhalb der Referenzlinie, so dass der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert liegt. Leerverkaufsmöglichkeiten können jedoch eine Annäherung dieses Preises an den Marktwert bewirken. und die Endwerte der Papiere 8. Stochastisch unabhängige Störterme für den Überschuss Ü 1
können entscheidende Ursache für beschränkte Duplizierbarkeit sein. Wird nur der Über von einem Störterm H überlagert, ist der subjektive Grenzpreis eindeutig kleiner schuss Ü 1 als der Marktwert. 9. Da die Störterme H n für die Endwerte P1n der Papiere annahmegemäß keinen Einfluss auf die Preise P0n und die Risikoprämien der Papiere haben, bewirken sie, dass die modifizierte Effizienzkurve die Referenzlinie in einem Punkt S schneidet und dann durchgehend unter ihr verläuft. Wenn die Referenzlinie links vom Schnittpunkt S die Basisindifferenzkurve tangiert und diese durchgehend unterhalb der modifizierten Effizienzkurve verläuft, ist der subjektive Grenzpreis kleiner als der Marktwert. Im Gegensatz zur Duplizierbarkeit ohne Störterm könnte nun allerdings der subjektive Grenzpreis auch höher sein als der Marktwert. Das ist dann der Fall, wenn die Referenzlinie rechts vom Schnittpunkt S die Basisin kein differenzkurve tangiert. Zur Interpretation nehmen wir an, dass für den Überschuss Ü 1 Störterm relevant ist und der Investor ohne Bewertungsobjekt einen so großen Anteil am Marktportefeuille realisiert, dass dieser das approximative Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält. Wenn nun der Investor das Bewertungsobjekt zum Marktwert kauft und zugleich das approximative Duplikationsportefeuille verkauft (oder darauf verzichtet, es zu kaufen) erzielt er einen Vorteil, weil er sich bei unveränderlichem systematischen Risiko der Störterme dieses Portefeuilles entledigt und dabei die Risikoprämie konstant bleibt. (Annahmegemäß bietet das substituierte Duplikationsportefeuille dieselbe Marktrisikoprämie wie das Bewertungsobjekt, obwohl dieses Portefeuille im Gegensatz zum Überschuss Ü 1 störtermbehaftet ist.) Grundsätzlich wird der Investor einen weiteren Vorteil erzielen, indem er sein verbleibendes Portefeuille umstrukturiert, um dem Wegfall von Störtermen Rechnung zu tragen. 10. Bei entsprechender Risikoaversion und/oder Größe des Bewertungsobjekts liegt jedoch der Tangentialpunkt von Referenzlinie und Basisindifferenzkurve so weit links vom Schnittpunkt S, dass die Basisindifferenzkurve durchgehend unterhalb der modifizierten Effizienzkurve verläuft. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist dann kleiner als der Marktwert. Je größer die Risikoaversion und das Bewertungsobjekt, desto weiter links von S liegt der Ab-
Individuelle subjektive Bewertung mit Hedgen des Überschusses des Bewertungsobjekts
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szissenwert des Tangentialpunkts der Referenzlinie mit der Basisindifferenzkurve und desto mehr liegt tendenziell der Grenzpreis unter dem Marktwert. 11. Wie erläutert, resultieren die Störterme für die Wertpapierkurse auch aus beschränkter Rationalität der Akteure auf dem Kapitalmarkt, der Entscheidungsträger in den Unternehmen und staatlicher bzw. politischer Entscheidungsinstanzen. Je größer die Varianzen der Störterme im Urteil des Investors sind (je mehr er u.a. dem „Kapitalmarkt“ misstraut), desto mehr liegt – bei größeren Bewertungsobjekten – tendenziell der individuelle subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert. Ein Unternehmensberater sollte die Problematik der Erfassung subjektiver Präferenzen nicht zum Anlass nehmen, der Einfachheit halber den Marktwert zum Maßstab zu erheben, sondern seinen Mandanten zeigen, wie er bei der Bewertung rational Irrationalitäten des „Kapitalmarktes“ Rechnung tragen kann. 12. Eine „exakte“ Bewertung kann einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Jedoch kann die Entscheidung über Kauf oder Nichtkauf möglicherweise ohne Kenntnis des exakten Wertes getroffen werden. Der Kauf zu einem gegebenen Preis erweist sich schon dann als vorteilhaft, wenn ein Portefeuille identifiziert werden kann, das gemeinsam mit dem Über einen Nutzenerwartungswert ermöglicht, der höher ist als der des optimalen Porschuss Ü 1 tefeuilles ohne Bewertungsobjekt. Welches Portefeuille bei Kauf zu dem gegebenen Preis optimal ist, kann dann zunächst offen bleiben. Ein Optimum kann immer noch im Anschluss an einen Kauf ermittelt werden. 13. Oft wird behauptet, dass ein subjektiver Grenzpreis nicht bestimmt werden könne, weil die Nutzenfunktion des Investors nicht ermittelt werden und sie sich im Zeitablauf ändern könne, und empfohlen, auf den Marktwert zurückzugreifen. Wenn nun aber aufgrund beschränkter Rationalität der Investoren auf dem Kapitalmarkt und/oder stochastischer Änderungen ihrer Nutzenfunktionen die zukünftigen Wertpapierpreise störtermbehaftet sind, ist der subjektive individuelle Grenzpreis selbst dann kleiner als der Marktwert, wenn Leerverkäufe unbeschränkt möglich sind. Je größer im Urteil des Investors die Varianzen der Störterme H n sind, je mehr er die „Rationalität“ der Akteure auf dem Kapitalmarkt bezweifelt, desto mehr liegt bei rationaler eigener Bewertung sein subjektiver Grenzpreis unter dem Marktwert.
Kapitel XII Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
1
Problemstellung
Das Kapitel XI beruht auf der Annahme, dass der Investor ohne Bewertungsobjekt den optimalen Anteil am Marktportefeuille hält und mit dem Bewertungsobjekt ein Porte~ feuille, das mit dem Überschuss Ü1 optimal abgestimmt ist. Der subjektive Grenzpreis kann dann nicht höher sein als der Marktwert. Jedoch liegt er grundsätzlich darunter, wobei die Abweichung vom Marktwert vom Umfang des Bewertungsobjekts, der Risikoaversion des Investors und seinen Hedgemöglichkeiten abhängt. Im Folgenden wird die Problemstellung auf den Fall erweitert, dass der Investor als potenzieller Käufer des Bewertungsobjekts Alleineigentümer eines Unternehmens ist, ~ mit dem er ohne Bewertungsobjekt im Leistungsbereich den Überschuss ÜL1 erzielt. Es wird untersucht, wie der subjektive Grenzpreis bestimmt werden und wie er vom Marktwert abweichen kann. Insbesondere wird gezeigt, dass der subjektive Grenzpreis ~ höher als der Marktwert sein kann, wenn mit dem Überschuss Ü1 aufgrund fehlender ~ Duplizierbarkeit das aus ÜL1 resultierende Risiko besser gehedgt werden kann als durch Portefeuillebildung. ~ ~ Der Hedgeaspekt von ÜL1 durch Ü1 ist vor allem dann bewertungsrelevant, wenn Portefeuillebildung überhaupt nicht in Betracht gezogen wird (Abschnitt 2). In Abschnitt 3 wird für verschiedene Entscheidungssituationen der subjektive Grenzpreis für den Fall untersucht, dass der Investor mit und ohne Bewertungsobjekt das Unternehmensrisiko optimal durch Portefeuillebildung hedgt. Der subjektive Grenzpreis ist dann gleich dem Preis, bei dem der Investor bei Kauf und optimaler Portefeuilleanpassung denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie bei Verzicht auf Kauf. In Abschnitt 4 wird untersucht, welche charakteristischen Unterschiede sich hinsichtlich der Ermittlung und Höhe des subjektiven Grenzpreises vom Standpunkt des Investors ergeben, wenn das Bewertungsobjekt nicht im Rahmen seines Unternehmens erworben wird, sondern von einem börsennotierten Unternehmen, an dem er als Anteilseigner beteiligt ist. Es wird gezeigt, dass der individuelle subjektive Grenzpreis im Rahmen eines Einzelunternehmens im Prinzip ebenso ermittelt werden kann wie der subjektive Grenzpreis aus Sicht eines einzelnen Anteilseigners eines börsennotierten Unternehmens. Der Unterschied liegt allein in der Größendimension: Während der Anteilseigner nur mit kleinem Anteil am Projekt beteiligt ist, ist für den individuellen Investor das Projekt als Ganzes bewertungsrelevant. Entsprechend können sich die beiden Grenzpreise erheblich unterscheiden.
462
2
Kapitel XII
Bewertung ohne Portefeuillebildung ~
Wenn der Investor als potenzieller Käufer bereits den stochastischen Überschuss ÜL1 im Leistungsbereich erzielt, bevor er das Bewertungsobjekt kauft, ergeben sich gegenüber den bisherigen Darstellungen zwei Besonderheiten, sofern er mit und ohne Bewertungsobjekt keine Wertpapiere hält: 1. Ausgangspunkt der Betrachtung (vor Kauf) ist nun eine Position P im (P,V)-Diagramm mit positiver Standardabweichung (Abbildung XII.1). 2. Bei der Ermittlung des subjektiven Grenzpreises ist der stochastischen Abhängigkeit ~ zwischen dem Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts und dem bereits gegebenen ~ Überschuss ÜL1 Rechnung zu tragen. bei Kauf des Bewertungsobjekts Für die Standardabweichung des Endvermögens V 1 gilt nun:
(XII.1)
~ ~ Sta ( Ü1 ÜL1 )
~ ~ ~ ~ Var ( Ü1 ) 2 Kov( Ü1 ; ÜL1 ) Var ( ÜL1 ) .
Gegenüber dem Status quo ändert sie sich um: (XII.2)
'Sta
~ ~ ~ Sta ( Ü1 ÜL1 ) Sta ( ÜL1 ) .
Die Änderung der Standardabweichung des Endvermögens hängt bei gegebenen Stan~ ~ ~ ; ÜL dardabweichungen der Überschüsse Ü1 und ÜL1 von der Kovarianz Kov(Ü 1 1) ab; je höher die Kovarianz desto mehr steigt c.p. mit dem Bewertungsobjekt die Standardabweichung des Endvermögens und desto kleiner ist der individuelle subjektive Grenzpreis. Es sind drei charakteristische Fälle für die Standardabweichung des Endvermögens bei Kauf des Bewertungsobjekts zu unterscheiden (Abbildung XII.1). ~ ~ ~ Gilt 2 Kov( Ü1 ; ÜL1 ) Var ( ÜL1 ) , ändert sich die Varianz und entsprechend die nicht; sie stimmt nach wie vor mit dem Ordinatenwert des Standardabweichung von V 1 Punktes P überein. Entsprechend fordert der Investor gegenüber dem Status quo keine zusätzliche Risikoprämie; der Grenzpreis ist gleich dem mit dem risikolosen Zinssatz r ~ diskontierte Erwartungswert E( Ü1 ) . P2 charakterisiert einen Fall, in dem bei Kauf des Bewertungsobjekts die Standardabweichung steigt. Der Investor fordert hier eine zusätzliche subjektive Risikoprämie in Höhe der Differenz D der Abszissenwerte der Punkte P2 und P, so dass nun für den subjektiven Grenzpreis gilt: (XII.3)
) (1 r)1 [E(Ü ) D] . GPS (Ü 1 1
~ ~ ; ÜL Je höher die Kovarianz Kov(Ü 1 1 ) und die Varianz Var ( Ü1 ) sind, desto höher ist der Ordinatenwert von P2 und mithin die Differenz D und desto mehr liegt der subjekti . ve Grenzpreis unter dem Barwert des erwarteten Überschusses Ü 1
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
463
Für P1 sinkt die Standardabweichung bei Kauf1, so dass der subjektive Grenzpreis ) ist. höher als (1 r)1 E(Ü 1 ~ Sta (V1 ) Indifferenzkurve
D ~ )** Sta(ÜL1 Ü 1
~ ~ Sta ( ÜL1 Ü1 )
z
z
P2 P
z
z
~
Sta ( ÜL1 ) ~ )* Sta(ÜL1 Ü 1
0
Abb. XII.1:
P1
z
z
z
z ~ (1 r ) V0 E ( Ü1 )
z
(1 r ) V0
~ E(V1 )
Zur Ermittlung des subjektiven Grenzpreises bei bereits bestehendem Risiko ohne Kapitalmarkttransaktionen
Der individuelle subjektive Grenzpreis weicht grundsätzlich vom Marktwert des Über~ schusses Ü1 ab. Das kann man anschaulich für den Fall von Normalverteilungen und ~ exponentieller Nutzenfunktionen zeigen. Für den Marktwert des Überschusses Ü1 gilt dann: (XII.4)
~ M 0 ( Ü1 )
~ ~ ~ RPG Kov( Ü1 ; M1G Ü1 )] Var(M1G ) ~ ~ ~ ~ 1 (1 r ) 1 {E( Ü1 ) [Var ( Ü1 ) Kov( Ü1 ; M1G )]} . ~ (1 r ) 1 [E( Ü1 )
I
¦ a1
i
i 1 ~ RPM ( Ü 1 )
~ Entsprechend gilt für die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü1 :
(XII.5)
~ RPM ( Ü1 )
~ ~ ~ [Var( Ü1 ) Kov( Ü1 ; M1G )] .
1 I
¦ a1
i 1
i
Für den individuellen subjektiven Grenzpreis des Überschusses gilt dagegen:
1
~
Das Bewertungsobjekt bildet hier einen „natürlichen Hedge“ für ÜL1 .
464
(XII.6)
Kapitel XII
~ ) (1 r) 1 {E(Ü ) a [Var(Ü ) 2 Kov(Ü ; ÜL GPS (Ü 1 1 1 1 1 )]} 2 ) RPS (Ü 1
und für die subjektive Risikoprämie: (XII.7)
~ RPS ( Ü1 )
1 1 a
~ ~ ~ 1 [ Var ( Ü1 ) Kov( Ü1 ; ÜL1 )] . 2
Für die Marktrisikoprämie ist der Kehrwert der Summe der Risikotoleranzen aller Anteilseigner relevant, für die individuelle subjektive Risikoprämie der wesentlich höhere Kehrwert der Risikotoleranz des Investors (der annahmegemäß keine Wertpapiere hält). ~ ~ Da jedoch der Betrag der Kovarianz Kov( Ü1 ; M1G ) wesentlich höher sein kann als der ~ ~ der Kovarianz Kov( Ü1 ; ÜL1 ) , mögen die gewichteten Kovarianzen für (XII.5) und (XII.7) (annähernd) übereinstimmen, wenn sie dasselbe Vorzeichen haben. Die Übereinstimmung wird allerdings die Ausnahme sein. ~ Bewertungsunterschiede können auch aus der Varianz Var ( Ü1 ) resultieren. Sie wird in (XII.4) und in (XII.5) mit dem Kehrwert der Summe aller Risikotoleranzen gewichtet, die bei großer Zahl von Anteilseignern tendenziell so gering ist, dass die gewichtete Varianz vernachlässigt werden kann. In (XII.6) und (XII.7) ist dagegen das Gewicht ~ von Var ( Ü1 ) als Hälfte des Kehrwertes der Risikotoleranz des Investors erheblich höher. ~ Wird – wie in der Literatur üblich – bei der Marktbewertung des Überschusses Ü1 vereinfachend von den Bewertungsfunktionen des Status quo ausgegangen, gilt: (XII.8)
~ M 0 ( Ü1 )
~ (1 r ) 1 [E( Ü1 )
1 I
~ ~ Kov( Ü1 ; M1G )] .
¦ a1
i 1 i
~ Der Marktwert von Ü1 erscheint dann im Gegensatz zu (XII.4) als unabhängig von der ~ Varianz Var ( Ü1 ) , während sie für den subjektiven Grenzpreis nach wie vor dieselbe Rolle spielt. (XII.8) impliziert, dass das Bewertungsobjekt die Marktrendite rG nicht beeinflusst, wenn es in den Marktzusammenhang aufgenommen wird. Analog zu (IV.57) (Kapitel IV, Abschnitt 5.4.4) kann (XII.8) auch wie folgt dargestellt werden:
(XII.8a)
) (1 r)1 [E(Ü ) E(rG ) r Kov(Ü ; r )] . M 0 (Ü 1 1 1 G Var(rG ) ) RPM (Ü 1
) auf der Basis von r und der Rendite r des Hier wird die Marktrisikoprämie RPM (Ü 1 G Marktportefeuilles ermittelt, statt wie in (XII.4) und (XII.8) auf der Basis des Endwertes
465
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
M 1G des Marktportefeuilles, wodurch der direkte Vergleich mit dem subjektiven Grenzpreis erschwert wird.
3
Bewertung mit optimaler Portefeuillebildung
3.1
Bewertungskonzept bei potenziellem Kauf ~
Wir betrachten nun den Fall, dass der Investor das aus den Überschüssen ÜL1 und bei ~ ~ privatem Kauf des Bewertungsobjekts auch das aus dem Überschuss ÜL1 Ü1 resultierende Risiko optimal durch Portefeuillebildung hedgt. Der individuelle subjektive Grenzpreis bezeichnet dann denjenigen Preis, bei dem der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts unter Berücksichtigung optimaler Portefeuilleanpassungen denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie in der Ausgangssituation. Der subjektive Grenzpreis kann bestimmt werden, indem zunächst diejenige modifizierte Effizienzkurve ermittelt wird, die dem Über~ schuss ÜL1 entspricht. Wir bezeichnen sie als „Fokuseffizienzkurve“. Bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts realisiert der Investor dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt der Fokuseffizienzkurve mit einer Indifferenzkurve, der „Fokusindifferenzkurve“ entspricht. Danach wird diejenige modifizierte Effizienzkurve bestimmt, die bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert maßgeblich ist. Ihr Tangentialpunkt mit einer Indifferenzkurve charakterisiert das zugehörige Optimum. Entspricht dieser Indifferenzkurve ein geringerer (höherer) Nutzenerwartungswert als der Fokusindifferenzkurve, ist der subjektive Grenzpreis niedriger (höher) als der Marktwert. Man erhält den individuellen subjektiven Grenzpreis, indem man die für den Kauf zum Marktwert maßgebliche modifizierte Effizienzkurve derart parallel nach rechts (links) verschiebt, dass sie die Fokusindifferenzkurve tangiert, und den mit r diskontierten Betrag der Rechtsverschiebung (Linksverschiebung) vom Marktwert subtrahiert (zum Marktwert addiert). Die Höhe des subjektiven Grenzpreises (seine Abweichung vom Marktwert) soll im Folgenden für unterschiedliche Entscheidungssituationen untersucht werden.
3.2
des Vollständige Duplizierbarkeit des Überschusses Ü 1 Bewertungsobjekts
3.2.1
Unbeschränkter Leerverkauf dieses Überschusses
~ Ist der Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts vollständig duplizierbar, bietet es keine ~ ~ neuen Hedgemöglichkeiten für ÜL1 , so dass der subjektive Grenzpreis für Ü1 nicht ~ höher sein kann als der Marktwert von Ü1 . Kann das Duplikationsportefeuille unbe-
466
Kapitel XII
~ ~ schränkt leerverkauft werden, ist unabhängig von ÜL1 und Ü1 und der Risikoeinstellung des Investors der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts gleich seinem Markt~ wert. Es bestehen dann ideale Möglichkeiten, das aus Ü1 resultierende Risiko zu hed~ gen; der Überschuss Ü1 kann durch Portefeuillebildung nicht nur nachgebildet, sondern auch eliminiert werden. Der (individuelle) subjektive Grenzpreis stimmt auch dann mit ~ dem Marktwert überein, wenn der Überschuss ÜL1 selbst nicht dupliziert und/oder leerverkauft werden kann.
3.2.2
Kein Leerverkauf
3.2.2.1 Zerlegung des Duplikationsportefeuilles für Ü 1 ~ Ist Leerverkauf ausgeschlossen, kann das Duplikationsportefeuille für Ü1 nur insoweit „leerverkauft“ werden, als darin mit negativen Beständen enthaltene Papiere gekauft werden. Um diesem Sachverhalt bei der Analyse des subjektiven Grenzpreises Rechnung tragen zu können, wird die Menge der riskanten Papiere des Duplikationsportefeu~ illes für Ü1 , also ^x1, x 2 ,..., x N ` , wie folgt erfasst:
TP+ { Teilportefeuille mit ausschließlich positiven Beständen an Papieren, TP– { Teilportefeuille mit ausschließlich negativen Beständen an Papieren. Die Indexmenge der in TP+ (TP–) enthaltenen Wertpapiere wird mit M+ (M–) bezeich~ net. Für das Duplikationsportefeuille bezüglich Ü1 gilt somit: (XII.9)
Ü 1
N
¦ x n P1n x (1+r) n 1
¦ x n P1n ¦ x n P1n x (1+r)
nM
nM
¦ x n P1n ¦ |x n | P1n x (1+r) .
nM
nM
Hierfür kann man vereinfachend schreiben: (XII.10)
Ü 1
mit
~ W1
und
W 1
x (1+r) W1 W 1
~
¦ x n P1n
nM
¦ | x n | P1n .
nM
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
467
~ den Endwert aller PaW1 bezeichnet den Endwert des Teilportefeuilles TP+ und W 1 piere, die mit negativen Beständen (also in Form von Leerverkäufen) im Duplikations~ portefeuille enthalten sind. Für den Marktwert von Ü1 gilt: (XII.11)
) M 0 (Ü 1
) M (W M 0 (W 1 0 1 ) x.
In Worten: Der Marktwert des Bewertungsobjekts ist gleich ~ – dem Marktwert von W1 (dem Marktwertes aller im Duplikationsportefeuille mit positiven Beständen enthaltenen Papieren) (des Marktwertes aller Papiere, die in Form – abzüglich des Marktwertes von W 1 von eines Leerverkaufs im Duplikationsportefeuille enthalten sind) und – zuzüglich (abzüglich) des zum Zinssatz r angelegten (aufgenommenen) Betrags x . ~ Für die Varianz von Ü1 gilt gemäß (XII.10):
(XII.12)
~ Var( Ü1 )
~ ~ ~ ~ Var ( W1 ) 2 Kov( W1 ; W1 ) Var ( W1 ) .
~ ~ ~ Die Varianz von Ü1 ist bei gegebenen Varianzen für die Endwerte W1 und W1 umso niedriger, je höher deren Kovarianz oder Korrelationskoeffizient ist.
enthält nur negative Bestände 3.2.2.2 Das Duplikationsportefeuille für Ü 1 riskanter Wertpapiere ~ Enthält das Duplikationsportefeuille für Ü1 nur negative Bestände an riskanten Papieren (die Indexmenge TP+ ist dann leer), gilt also2
(XII.13)
Ü 1
x (1+r) , W 1
ist der Marktwert des Bewertungsobjekts gleich x abzüglich des Marktwertes der im Duplikationsportefeuille enthaltenen Papiere. Da hier das aus dem Bewertungsobjekt re~ sultierende Risiko durch Kauf des Duplikationsportefeuilles für W1 eliminiert werden kann, kann der Investor dieselbe (P,V)-Position wie ohne Kauf des Bewertungsobjekts realisieren, so dass der subjektive Grenzpreis nicht unter dessen Marktwert liegen kann. Der subjektive Grenzpreis kann jedoch deshalb höher als der Marktwert sein, ~ weil das Bewertungsobjekt ein Hedgepotential für den Überschuss ÜL1 eröffnet, das ohne Leerverkaufsmöglichkeiten durch reinen Wertpapierhandel nicht reali~ sierbar ist. Angenommen, es wäre bezüglich des Überschusses ÜL1 optimal, einen (nicht zulässigen) Leerverkaufsmöglichkeiten von 1000 Einheiten (nur) des Papiers n vorzunehmen und im Duplikationsportefeuille seien –3000 Einheiten
2
mit der DiffeDiese Gleichung kann insbesondere dann Bedeutung haben, wenn der Überschuss Ü 1 renz aus einer sicheren Komponente (z.B. Erlös) und aus einer ungewissen Komponente (z.B. Kosten), die in jedem Zustand positiv ist, übereinstimmt.
468
Kapitel XII
dieses Papiers enthalten. Durch Kauf des Bewertungsobjekts kann dann der Investor den optimalen Leerverkauf implizit vornehmen, indem er 2000 Einheiten dieses Papiers sowie alle anderen Papiere im Duplikationsportefeuille (das annahmegemäß nur negative Bestände an riskanten Wertpapieren enthält) kauft. Er hält dann faktisch noch –1000 Einheiten des Papiers n. Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert ermöglicht also implizit den direkt nicht möglichen optimalen Leerverkauf. Der Grenzpreis ist somit höher als der Marktwert des Bewertungsobjekts. ~
Wenn im Duplikationsportefeuille für ÜL1 mehr als –1000 Einheiten des Papiers n enthalten sind, ist der subjektive Grenzpreis niedriger als bei –3000 Einheiten, aber immer noch höher als der Marktwert, sofern die Zahl der Papiere n im Duplikationsportefeuille immer noch negativ ist. Auf den Vorteil eines impliziten Leerverkaufs durch Kauf des Bewertungsobjekts kommen wir zurück. enthält nur positive Bestände 3.2.2.3 Das Duplikationsportefeuille für Ü 1 riskanter Wertpapiere (a) Optimales Portefeuille ohne Bewertungsobjekt ~ Wir betrachten nun den Fall, dass das Duplikationsportefeuille für Ü1 nur positive Bestände an riskanten Papieren enthält (die Indexmenge TP– also leer ist). Dabei gehen ~ wir davon aus, dass auch ÜL1 duplizierbar ist und der Investor ohne den Überschuss ~ ~ ~ ÜL1 bzw. ÜL1 Ü1 wie im CAPM einen Anteil am Marktportefeuille halten würde. Ausgangspunkt der Betrachtung ist analog zur Abbildung XII.1 der Punkt P in Abbildung XII.2, der die Position ohne Bewertungsobjekt und ohne Portefeuillebildung charakterisiert. Ohne das Bewertungsobjekt wählt der Investor dasjenige Portefeuille, das dem Tangentialpunkt der zu P gehörenden modifizierten Effizienzkurve (der Fokuseffizienzkurve) mit einer Indifferenzkurve (der Fokusindifferenzkurve) entspricht. Da annahmegemäß keine Leerverkäufe vorgenommen werden, sind für die Fokuseffizienzkurve Punkte links von P irrelevant. Im Beispiel der Abbildung XII.2 beginnt diese Kurve im Punkt ~ P. Dies impliziert, dass durch Portefeuillebildung das aus ÜL1 resultierende Risiko nicht reduziert werden kann. Zur Erleichterung der weiteren Analyse berücksichtigen wir wieder als Referenzlinie diejenige Basiseffizienzkurve, die sich ergäbe, wenn der Investor das Duplikationspor~ tefeuille des Überschusses ÜL1 leerverkaufte und alternative Anteile am Marktportefeuille hielte. Der Abszissenwert ihres Ausgangspunktes auf der Abszisse beträgt
(1 r) G 0 ~
~
~
(1 r) V0 E(ÜL1 ) RPM (ÜL1 ) , ~
wobei RPM (ÜL1 ) die Risikoprämie RPDP des Duplikationsportefeuilles für ÜL1 bezeichnet. Die Fokuseffizienzkurve trifft die Referenzlinie im Punkt T, der den kleinsten
469
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
Anteil am Marktportefeuille charakterisiert, der dieses Duplikationsportefeuille als Teilmenge enthält. ~ Sta (V1 ) Fokuseffizienzkurve z
P1
~ ~ Sta ( ÜL1 Ü1 )
z
Sta ( ÜL1 )
z
~
T
z z
z
P
~
Referenzlinie
E( ÜL1 ) (1 r ) G 0 z
0
z
z
(1 r ) V0
~
(1 r ) V0 E( ÜL1 ) ~
RPM (ÜL1 )
~ E(V1 )
)!0 RPM (Ü 1
RPDP
Abb. XII.2: Zur Analyse des subjektiven Grenzpreises für den Fall, dass das Duplikationsportefeuille nur positive Bestände riskanter Papiere enthält (die nicht leerverkauft werden dürfen)
mit dem optima(b) Bewertung für den Fall, dass das Duplikationsportefeuille für Ü 1 ~ len Ergänzungsportefeuille für ÜL1 ohne Bewertungsobjekt übereinstimmt Wird das Bewertungsobjekt zum Marktwert gekauft, ergibt sich ohne Portefeuillebildung ein Punkt P1 im (P,V)-Diagramm, dessen Abszissenwert um die Marktrisikoprä ) höher ist als der Abszissenwert des Punktes P.3 Der Ordinatenwert ist mie RPM (Ü ~ ~1 ~ gleich Sta ( Ü1 ÜL1 ) gemäß (XII.1). Da der Überschuss Ü1 annahmegemäß duplizierbar ist, kann mit dem Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert keine bessere Position erreicht werden als mit Wertpapierkauf. Der Punkt P1 kann somit nicht unterhalb der Fokuseffizienzkurve liegen. Er kann jedoch wie in Abbildung XII.2 (zufällig) darauf liegen. Das bedeutet, dass das dem Punkt P1 entsprechende effiziente Ergän~ ~ zungsportefeuille für ÜL1 mit dem Duplikationsportefeuille für Ü1 übereinstimmt. Wenn das Bewertungsobjekt zum Marktwert gekauft wird, ergeben sich dieselben Konsequenzen wie bei Kauf dieses Ergänzungsportefeuilles. Wird ausgehend von P1 durch ~ Portefeuillebildung der Erwartungswert E(V1 ) erhöht, ergibt sich mit und ohne Bewertungsobjekt dieselbe kleinste Standardabweichung. Für den Bereich rechts von P1 3
annahmegemäß nur positive Bestände an riskanten Papieren Da das Duplikationsportefeuille für Ü 1 ) ! 0 gelten und folg enthält und alle Risikoprämien E(P1n ) (1 r) P0n positiv sind, muss RPM (Ü 1 lich P1 rechts von P liegen.
470
Kapitel XII
stimmt somit die dem Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert entsprechende modifizierte Effizienzkurve mit der Fokuseffizienzkurve überein. Da Leerverkäufe ausgeschlossen sind, können bei Kauf des Bewertungsobjekts Positionen links von P1 nicht realisiert werden. Die dem Kauf des Bewertungsobjekts entsprechende modifizierte Effizienzkurve beginnt somit im Punkt P1 der Fokuseffizienzkurve. Wenn der Tangentialpunkt der Fokuseffizienzkurve mit der Fokusindifferenzkurve mit P1 übereinstimmt oder rechts davon liegt, ergibt sich weder ein Vorteil noch ein Nachteil, wenn das Bewertungsobjekt zum Marktwert gekauft wird; er ist gleich dem subjektiven Grenzpreis. Liegt der Tangentialpunkt links von P1, ist der subjektive Grenzpreis niedriger als der Marktwert des Bewertungsobjekts. Da die Fokuseffizienzkurve konvex verläuft und die Fokusindifferenzkurve konkav, liegt der Punkt P1 zwangsläufig oberhalb der Fokusindifferenzkurve, also auf einer Indifferenzkurve mit geringerem Nutzenwert. Der Preis muss dann gegenüber dem Marktwert derart reduziert werden, dass sich die im Punkt P1 beginnende modifizierte Effizienzkurve derart nach rechts verschiebt, dass sie die Fokusindifferenzkurve erreicht. Je größer die Risikoaversion des Investors und das Bewertungsobjekt, desto mehr liegt tendenziell der subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert.
vom optimalen (c) Bewertung für den Fall, dass das Duplikationsportefeuille für Ü 1 ~ Ergänzungsportefeuille für ÜL1 ohne Bewertungsobjekt abweicht Im Beispiel der Abbildung XII.3 führt der Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert ohne Portefeuillebildung zu einem Punkt P1 oberhalb der Fokuseffizienzkurve (und dies ist der Regelfall). Demgegenüber kann der Investor bei gleicher Risikoprämie eine geringere Standardabweichung realisieren, indem er auf den Kauf (zum Marktwert) verzichtet und durch Portefeuillebildung den Punkt P2 auf der Fokuseffizienzkurve realisiert. Die in P1 beginnende modifizierte Effizienzkurve verläuft zunächst oberhalb der ~ Fokuseffizienzkurve und der Referenzlinie. Mit steigendem E(V1 ) nähert sie sich analog zu den Darstellungen in Kapitel IX, Abschnitt 3.4.2, immer mehr der Referenzlinie. Sie kann die Fokuseffizienzkurve schon vor dem Punkt T erreichen, aber auch – wie in Abbildung XII.3 – erst rechts davon, also in jenem Bereich, in dem die Fokuseffizienzkurve mit der Referenzlinie übereinstimmt. Man erhält den subjektiven Grenzpreis des Bewertungsobjekts, indem man die in P1 beginnende modifizierte Effizienzkurve derart parallel nach rechts verschiebt, dass sie die Fokusindifferenzkurve tangiert und den mit r diskontierten Betrag der Rechtsver~ schiebung vom Marktwert des Überschusses Ü1 subtrahiert.4 Der erforderliche Betrag der Rechtsverschiebung hängt von der Risikoeinstellung des Investors (vom Abszis4
Es sei daran erinnert, dass bei quadratischer Nutzenfunktion die Indifferenzkurven die Form von Halbkreisen haben. Wenn der Ordinatenwert des Punktes P1 höher ist als der maximale Ordinatenwert der Fokusindifferenzkurve, führt die beschriebene Rechtsverschiebung nicht zu einem Tangentialpunkt mit ihr. Die quadratischen Nutzenfunktionen verstoßen eben vom Endvermögenswert b/2c an gegen das Dominanzprinzip. Dagegen verlaufen die Indifferenzkurven bei exponentieller Nutzenfunktion monoton steigend.
471
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
senwert b/2c des Mittelpunktes seiner Indifferenzkurven) und entsprechend vom Abszissenwert des Tangentialpunktes der Fokuseffizienzkurve mit der Fokusindifferenzkurve ab. Liegt dieser Tangentialpunkt rechts von T1, ist der gebotene Betrag der Rechtsverschiebung gleich null; der subjektive Grenzpreis hier ist gleich dem Markt~ wert von Ü1 . Wandert ausgehend von T1 aufgrund steigender Risikoaversion der Tangentialpunkt zwischen Fokuseffizienzkurve und Fokusindifferenzkurve nach links, sinkt der subjektive Grenzpreis immer mehr unter den Marktwert des Bewertungsobjekts. ~ Sta (V1 )
z
T1 ~ ~ Sta ( ÜL1 Ü1 )
P1 z
z
P2
~
Sta ( ÜL1 )
z
z
z
T Referenzlinie
z
P Fokuseffizienzkurve
z
0
(1 r ) G 0
)!0 RPM (Ü 1
~ E(V1 )
Abb. XII.3: Zur Analyse des subjektiven Grenzpreises für den Fall, dass das Duplikationsportefeuille nur positive Bestände riskanter Wertpapiere enthält (die nicht leerverkauft werden dürfen)
(d) Abhängigkeit des Werts von der Größe des Bewertungsobjekts
Bei gegebener Risikoeinstellung ist die Differenz zwischen Marktwert und subjektivem Grenzpreis eine tendenziell steigende Funktion der Größe des Bewertungsobjekts. Zur ~ ~ Erläuterung wird davon ausgegangen, dass statt Ü1 der Überschuss z Ü1 (z > 1) relevant sei. Der Punkt P1 wandert dann (vor Portefeuillebildung) nach rechts oben zu ei~ nem Punkt P1* . Bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert M 0 (z Ü1 ) wird nun ~ ) die Risikoprämie z RP ( Ü ) erzielt. Für das Beispiel in Abbildung statt RPM (Ü M 1 1 XII.4 gilt z = 1,8. ~ Da die im Duplikationsportefeuille für z Ü1 (z > 1) gegenüber dem Duplikations~ portefeuille für Ü1 zusätzlich enthaltenen Papiere auch am Markt erworben werden ~ können, kann der Punkt P1* nicht unterhalb der dem Punkt P1 bzw. dem Überschuss Ü1 entsprechenden modifizierten Effizienzkurve liegen. Vielmehr liegt er darüber: Ausge~ ~ hend vom Punkt P1 wird mit steigendem E(V1 ) das Ergänzungsportefeuille für Ü1 derart verändert, dass sich die Struktur des Gesamtportefeuilles (unter Einschluss von ~ Ü1 ) immer mehr der des Marktportefeuilles annähert, bis sie schließlich im Punkt T1 ~ damit übereinstimmt. Wenn nun der Überschuss des Bewertungsobjekts von Ü1 auf ~ * z Ü1 steigt, ergibt sich eine Strukturverzerrung, so dass P1 oberhalb der modifizierten
472
Kapitel XII
~ ~ Effizienzkurve für Ü1 liegt. Wird ausgehend von P1* der Erwartungswert E(V1 ) sukzessive durch Portefeuillebildung erhöht, wird die Struktur des Gesamtportefeuilles ~ ~ (nun unter Einschluss des Überschusses z Ü1 statt Ü1 ) immer mehr der des Marktportefeuilles angenähert, bis sie schließlich ab einem Punkt T1* mit ihr übereinstimmt. ~ Sta (V1 ) T1*
z
z
P1* z
~ ~ Sta ( ÜL1 Ü1 )
P1 z
z
P2
~
Sta ( ÜL1 )
z
z
T1 z
T
z
Referenzlinie
P Fokuseffizienzkurve
z
0
(1 r ) G 0
~ RPM ( Ü1 )
~ E(V1 )
Abb. XII.4: Zur Analyse des subjektiven Grenzpreises in Abhängigkeit des Niveauparameters z
~ Da das Duplikationsportefeuille für z Ü1 den z-fachen (z > 1) Wertpapierbestand ent~ hält als das für Ü1 , muss der kleinste Anteil am Marktportefeuille, der das Duplikati~ ~ onsportefeuille von z Ü1 als Teilmenge enthält, größer sein als der für Ü1 , so dass der * * Punkt T1 rechts von T1 auf der Referenzlinie liegt. Im Bereich von P1 bis T1* verläuft ~ ~ somit die modifizierte Effizienzkurve für z Ü1 oberhalb der für Ü1 . Wenn (bei entspre~ chend kleinem Überschuss z Ü1 und geringer Risikoaversion bzw. geringem Abszissenwert b/2c des Mittelpunktes der Indifferenzkurven) die Referenzlinie rechts von T1* ~ eine Indifferenzkurve tangiert, ist der subjektive Grenzpreis sowohl für Ü1 als auch für ~ z Ü1 gleich dem jeweiligen Marktwert des Bewertungsobjekts. ~ Liegt der Tangentialpunkt links von T1* , ist der subjektive Grenzpreis von z Ü1 niedriger als der Marktwert. Die Abweichung ist tendenziell umso höher, je größer z und die Risikoaversion des Investors sind. Bei hoher Risikoaversion kann eine Wertminderung vor allem auch daraus resultieren, dass keine (P,V)-Position links von P1* re~ alisiert werden kann. Bei hohem z-Wert (und hohem Überschuss Ü1 ) wird dem Investor mit dem Kauf des Bewertungsobjekts ein hohes Risiko aufgebürdet, dessen er sich nicht durch Leerverkauf entledigen kann.
enthält positive und negative 3.2.2.4 Das Duplikationsportefeuille für Ü 1 Bestände riskanter Wertpapiere ~ Wir betrachten nun den Fall, dass das Duplikationsportefeuille für Ü1 neben positiven auch negative Wertpapierbestände enthält, also beide Indexmengen M+ und M– nicht
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
473
leer sind. Der Kauf des Bewertungsobjekts bietet dann im Vergleich zu dem Fall, dass die Menge M– leer ist, einen grundlegenden Vorteil, der bewirken kann, dass der subjektive Grenzpreis höher als der Marktwert ist: Wenn Leerverkäufe – wie angenommen – ausgeschlossen sind, können explizit nur Wertpapierportefeuilles mit positiven Beständen gebildet werden. Der Kauf des Bewertungsobjekts führt dagegen implizit zum Leerverkauf jener Papiere, die mit negativen Beständen im Duplikationsportefeuille für ~ Ü1 enthalten sind, der durch simultanen Kauf betreffender Papiere reduziert oder völlig kompensiert werden kann. Mit dem Kauf des Bewertungsobjekts wird ein Potenzial geschaffen, Risiko zu hedgen. Der subjektive Grenzpreis weicht nun in gleicher Weise vom Marktwert des Bewer~ tungsobjekts ab wie für den Fall, dass das Duplikationsportefeuille für Ü1 nicht die negativen Bestände an Papieren enthält, jedoch mit dem Kauf des Bewertungsobjekts die Option erworben wird, die betreffenden Papiere oder beliebige Teile davon privat leer zu verkaufen. Die modifizierte Effizienzkurve kann in zwei Phasen ermittelt werden: 1. Phase: Zunächst wird von der Fiktion ausgegangen, dass bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert das mit dem Kauf implizit leerverkaufte Teilduplikationsportefeuille TP– (mit den negativen Wertpapierbeständen) simultan am in Kapitalmarkt gekauft und somit die Überschusskomponente W 1 (XII.10) kompensiert wird. Dies führt analog zu P1 in Abbildung XII.3 ohne weitere Portefeuillebildung zu einem Punkt mit der Standardabweichung ~ ) , ) und – gegenüber dem Punkt P – der Risikoprämie RP(Ü Sta(ÜL1 W 1 1 d.h. der Risikoprämie RPM (Ü1 ) zuzüglich des Betrages der Risikoprämie des Teilduplikationsportefeuilles TP–. Sodann wird wie in Abschnitt 3.2.2.3 ohne Berücksichtigung von Leerverkäufen die zugehörige modifizierte Effizienzkurve ermittelt. 2. Phase: Nun wird analog zu den Darstellungen in Kapitel XI, Abschnitt 5.1.2, geprüft, wie diese Kurve mit Leerverkäufen verbessert werden kann. Zwar sind explizite Leerverkäufe annahmegemäß ausgeschlossen. Jedoch können sie im Rahmen des Teilduplikationsportefeuilles TP– implizit vorgenommen werden. Auf der Basis der in Phase 1 ermittelten modifizierten Effizienzkurve kann von einem Papier n, das in diesem Teilduplikationsportefeuille enthalten ist und auf dem Niveau x n fiktiv gekauft wurde, ein Leerverkauf von höchstens x n Einheiten vorgenommen werden, was natürlich bedeutet, dass es erst gar nicht oder nur zum Teil gekauft wird; Leerverkauf von x ln Einheiten des Papiers n impliziert den Kauf von x n x ln Einheiten in Verbindung mit dem Kauf des Bewertungsobjekts.
Mit Hilfe der in Phase 2 gewonnenen modifizierten Effizienzkurve wird dann – wie üblich – ein Abschlag oder ein Zuschlag zum Marktwert des Bewertungsobjekts bestimmt. Unter Berücksichtigung der impliziten Leerverkaufsmöglichkeiten kann die für den ~ Kauf von Ü1 maßgebliche modifizierte Effizienzkurve bis zu einem Punkt unterhalb der Fokuseffizienzkurve verlaufen, so dass bei Kauf des Bewertungsobjekts zum
474
Kapitel XII
Marktwert ein Nutzenzuwachs erzielt wird. Der subjektive Grenzpreis ist dann höher als der Marktwert. ~ Fazit: Sind im Duplikationsportefeuille für Ü1 keine negativen Bestände an Papieren enthalten, kann der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts nicht höher sein als dessen Marktwert. Wie erläutert, liegt er tendenziell umso mehr darunter, je größer das Bewertungsobjekt und die Risikoaversion des Investors ~ sind. Enthält das Duplikationsportefeuille für Ü1 auch negative Bestände, ist also die Indexmenge M– nicht leer, nähert sich der subjektive Grenzpreis dem Marktwert und kann sogar darüber liegen. Diese Komponente ermöglicht implizi~ te Leerverkäufe. Je vorteilhafter sie zum Hedgen des Überschusses ÜL1 sind, des~ to höher ist der subjektive Grenzpreis. Wenn aus dem Überschuss ÜL1 ein hohes Risiko resultiert, kann sich eine große Wertsteigerung ergeben, wenn das Bewertungsobjekt in großem Umfang implizite Leerverkaufsmöglichkeiten eröffnet.
3.2.3
Partieller Leerverkauf
Können einzelne Papiere real (also explizit) leerverkauft werden, verändert dies grundsätzlich die Fokuseffizienzkurve und somit ihren Tangentialpunkt mit der Fokusindifferenzkurve. Wie im Vergleich dazu die modifizierte Effizienzkurve bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert verläuft, hängt u.a. davon ab, welche Papiere leerverkauft werden können und welche Papiere mit negativen Beständen im Duplikationsportefeuil~ le für Ü1 enthalten sind. Können die im Duplikationsportefeuille mit negativen Beständen enthaltenen Papiere ohnehin leerverkauft werden, bietet das Bewertungsobjekt unter dem Gesichtspunkt eines impliziten Leerverkaufs keinen Vorteil. Die entsprechende Effizienzkurve kann dann nicht unterhalb der Fokuseffizienzkurve verlaufen, so dass der subjektive Grenzpreis nicht höher sein kann als der Marktwert des Bewertungsobjekts. Wenn das Duplikationsportefeuille negative Bestände an Papieren enthält, die nicht explizit leerverkauft werden dürfen, kann dagegen der subjektive Grenzpreis wieder höher als der Marktwert sein.
3.3
Unvollständige Duplizierbarkeit des Überschusses des Bewertungsobjekts
~ ~ Kann der Überschuss Ü1 nicht dupliziert werden, ergibt sich ohne ÜL1 bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert zwar grundsätzlich ein Nachteil. Unter ~ Berücksichtigung von ÜL1 kann dagegen ein Vorteil entstehen, so dass der sub~ jektive Grenzpreis höher als der Marktwert ist. Wenn der Überschuss Ü1 nicht ~ duplizierbar ist, kann er vorteilhafte Hedgemöglichkeiten für ÜL1 eröffnen, die durch Portefeuillebildung nicht realisierbar sind. Die Implikationen für den sub-
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
475
jektiven Grenzpreis hängen davon ab, in welchen Grenzen Leerverkäufe möglich ~ ~ ~ sind, wie der Überschuss Ü1 mit ÜL1 korreliert ist und wie die Endwerte P1n ~ ~ (n = 1,2,…,N) untereinander sowie mit Ü1 und ÜL1 korreliert sind. ~ ~ Wenn z.B. ÜL1 von sämtlichen Endwerten P1n stochastisch unabhängig ist (dies imp~ ~ liziert, dass ÜL1 nicht duplizierbar ist), kann das mit ÜL1 verbundene Risiko durch ~ Portefeuillebildung überhaupt nicht gehedgt werden. Kann der Überschuss Ü1 des Be~ wertungsobjekts dupliziert werden, ist auch er wie die Endwerte P1n der Papiere von ~ ~ ÜL1 stochastisch unabhängig. Ist jedoch der Überschuss Ü1 nicht duplizierbar, kann ~ er neue Möglichkeiten eröffnen, das aus ÜL1 resultierende Risiko zu hedgen. Bei nega~ ~ tivem Korrelationskoeffizienten zwischen Ü1 und ÜL1 kann bei Kauf des Bewertungsobjekts die Varianz des Unternehmensüberschusses direkt sinken, so dass der subjektive Grenzpreis höher ist als der Marktwert. ~ ~ Wenn Endwerte P1n stochastisch von ÜL1 anhängen, kann bei unbeschränktem ~ Leerverkauf bereits durch Portefeuillebildung das aus ÜL1 resultierende Risiko in gewissem Umfang reduziert werden. Welche zusätzlichen Möglichkeiten der Risikoreduk~ tion dann der Überschuss Ü1 bietet, hängt davon ab, inwieweit es gelingt, ein Portefeu~ ille zu bilden, dessen Endwert mit Ü1 hoch korreliert ist. Existiert ein Portefeuille mit einem Korrelationskoeffizienten von annähernd 1, wird mit Kauf des Bewertungsobjekts im Vergleich zu diesem Portefeuille kein besonderer (Hedge-)Vorteil erzielt; der Grenzpreis ist tendenziell niedriger als der Marktwert. Sind in diesem Vergleichsportefeuille allerdings negative Bestände an Wertpapieren enthalten, die nicht leerverkauft werden können, kommt dieses Portefeuille als Ver~ gleichsbasis für den Überschuss Ü1 gar nicht in Betracht, da es nicht realisiert werden kann. ~ ~ Wenn Portefeuilles ohne Leerverkäufe nur schwach mit Ü1 korreliert sind, kann Ü1 ~ bei betragsmäßig hoher negativer Korrelation mit ÜL1 besondere Vorteile hinsichtlich der Reduktion des Unternehmensrisikos bieten. Das Bewertungsobjekt kann bei beschränktem Leerverkauf wie bei vollständiger Duplizierbarkeit den Vorteil eines impliziten Leerverkaufs bieten. Angenommen, es sei ~ optimal, den Überschuss ÜL1 mit dem Leerverkauf von x Einheiten des Papiers n zu ~ hedgen, jedoch sei dieser Leerverkauf nicht zulässig. Der Überschuss Ü1 enthalte nun eine einzelne Überschusskomponente, die durch diesen Leerverkauf dupliziert werden kann. Mit dem Kauf des Bewertungsobjekts nimmt der Investor diesen Leerverkauf implizit vor. Jedoch erwirbt er mit dem Bewertungsobjekt auch einen residualen Über~ schuss, der ebenso wenig wie der Überschuss Ü1 als Ganzes dupliziert werden kann. Der residuale Überschuss kann je nach seinen stochastischen Eigenschaften und den Leerverkaufsmöglichkeiten für Papiere n ' z n zusätzlich werterhöhend sein, aber den individuellen subjektiven Grenzpreis derart beeinträchtigen, dass er trotz des Vorteils des impliziten Leerverkaufs kleiner ist als der Marktwert.
476
Kapitel XII
4
Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens und eines börsengehandelten Unternehmens im Vergleich
4.1
Die beiden Bewertungsfälle
Im Folgenden vergleichen wir den individuellen Kauf des Bewertungsobjekts durch den Investor mit dem Kauf des Bewertungsobjekts durch ein börsennotiertes Unternehmen n, an dem der Investor als Aktionär beteiligt ist, wobei in beiden Fällen der Investor im ~ Rahmen seines Einzelunternehmens bereits den Überschuss ÜL1 erzielt. Wenn das Bewertungsobjekt durch das Unternehmen n erworben wird, wird der In~ vestor entsprechend seines Anteils daran am Überschuss Ü1 beteiligt, wobei er diesen Anteil durch Kauf oder Verkauf von Aktien des Unternehmens beliebig erhöhen oder reduzieren kann. ~ Wenn er das Bewertungsobjekt privat kauft, trägt er das aus dem Überschuss Ü1 resultierende Risiko allein. Er kann seinen Anteil daran nicht wie als Aktionär bei Kauf durch das Unternehmen n direkt verändern. (Er kann ihn deshalb nicht reduzieren, da die Aufnahme von Gesellschaftern annahmegemäß ausgeschlossen ist.) Kann der Über~ schuss Ü1 vollständig dupliziert und das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerver~ kauft werden, ist unabhängig von der Wahrscheinlichkeitsverteilung für Ü1 für beide Bewertungsfälle der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert des Bewertungsob~ jekts. Es bestehen dann ideale Möglichkeiten, das aus Ü1 resultierende Risiko zu hedgen, so dass es für die Bewertung irrelevant ist, in welchem Umfang der Investor zu~ nächst am Überschuss Ü1 beteiligt ist. Bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten gewinnt jedoch die Größenproblematik grundlegende Bedeutung. Im Folgenden wird gezeigt, dass der subjektive Grenzpreis für den Investor bei privatem Kauf des Bewertungsobjekts grundsätzlich (erheblich) niedriger ist als bei Kauf durch das Unternehmen n, sofern es nicht möglich ist, den Überschuss des Bewertungsobjekts vollständig zu duplizieren und die Papiere unbeschränkt leer zu verkaufen. Die ~ Abweichung resultiert aus Unterschieden in der (Risiko-)Teilung des Überschusses Ü1 . ~
4.2
Stochastische Unabhängigkeit des Überschusses ÜL1 von den Endwerten der Papiere
Wir gehen wieder vom CAPM aus und nehmen an, dass alle Anteilseigner (auch der betrachtete Investor) bereits ihre optimalen Portefeuilles gebildet haben. Nun biete sich dem Unternehmen n die Möglichkeit, das Bewertungsobjekt zu erwerben. Es sei in dem Sinne „neu“, dass es in den individuellen Portefeuillebildungen bzw. den Kurswerten der Papiere nicht antizipiert worden ist. Es wird unterstellt, dass die Anteilseigner im privaten Bereich keine von den End~ werten P1n der Papiere stochastisch abhängigen Überschüsse erzielen, also ihre Nutzenfunktionen zustandsunabhängig sind. Dies gelte (zunächst) auch für den betrachteten ~ Investor, was impliziert, dass die Endwerte aller Papiere auch von ÜL1 stochastisch
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
477
unabhängig sind. Folglich hält der Investor in der Ausgangssituation (vor Kauf des Bewertungsobjekts) wie alle anderen Anteilseigner einen Anteil am Marktportefeuille. ~ ~ Sofern auch Ü1 vom Überschuss ÜL1 des Investors wie auch von den privaten Überschüssen aller anderen Anteilseigner stochastisch unabhängig ist, existiert ein kollektiver subjektiver Grenzpreis, bis zu dem der Kauf durch das Unternehmen n für alle (auch für den Investor) vorteilhaft ist. Wie in Kapitel VI, Abschnitt 4, gezeigt wurde, ist dieser annähernd gleich dem Marktwert des Bewertungsobjekts. Dagegen liegt der individuelle subjektive Grenzpreis für den Investor bei privatem Kauf (wegen der angenommenen ~ ~ stochastischen Unabhängigkeit des Überschusses Ü1 von ÜL1 ) unter dem Marktwert. ~ ~ Ist z.B. der Überschuss Ü1 von den Endwerten P1n aller Papiere stochastisch unabhängig, erzeugt er ausschließlich unsystematisches Risiko, das im Rahmen der breit gestreuten Portefeuilles der Investoren im CAPM (praktisch) vernachlässigt werden kann, ~ so dass der Marktwert des Bewertungsobjekts (1 r ) 1 E( Ü1 ) beträgt. Wenn nun der Investor das Bewertungsobjekt privat zu diesem Marktwert kauft, erzielt er keine Risikoprämie und muss das unsystematische Risiko in vollem Umfang tragen. (Er kann bei ~ ~ ~ stochastischer Unabhängigkeit zwischen Ü1 und den Endwerten P1n das aus Ü1 resul~ tierende Risiko ebenso wenig hedgen wie das aus ÜL1 resultierende.) Je „größer“ das Bewertungsobjekt, desto größer ist der Risikoabschlag des Investors und desto mehr liegt sein individueller subjektiver Grenzpreis unter dem Marktwert. ~ ~ Ist der Überschuss Ü1 von Endwerten P1n stochastisch abhängig, kann der Investor ~ in Grenzen das aus Ü1 resultierende Risiko durch Portefeuillebildung hedgen. Die Hedgemöglichkeiten hängen von den Korrelationskoeffizienten und den Leerverkaufs~ möglichkeiten ab. Analog zu den Entscheidungssituationen ohne den Überschuss ÜL1 kann auch mit diesen Hedgemöglichkeiten der individuelle subjektive Grenzpreis (vor allem bei großem Umfang des Bewertungsobjekts und begrenzten Leerverkaufsmöglichkeiten) weit unter dem Marktwert liegen. ~ ~ Ist dagegen – anders als bisher angenommen – der Überschuss Ü1 von ÜL1 sto~ chastisch abhängig, kann er ein vorteilhaftes Hedgepotenzial für ÜL1 bieten, das bei ~ fehlender Duplizierbarkeit von Ü1 mit Wertpapieren nicht realisierbar ist und den Grenzpreis vom Standpunkt des Investors über den Marktwert steigert. Dabei dürften solche Vorteile aus Sicht des Investors bei privatem Kauf des Bewertungsobjekts und ~ großem Umfang des ÜL1 entsprechenden Investitionsprogramms absolut stärker wertsteigernd wirken als bei Kauf durch das Unternehmen n und entsprechend einem sehr geringem Anteil des Investors am Bewertungsobjekt. ~
4.3
Stochastische Abhängigkeit des Überschusses ÜL1 von den Endwerten der Papiere
~ ~ Bei stochastischer Abhängigkeit des Überschusses ÜL1 von den Endwerten P1n einiger oder aller Papiere hält der Investor in der Ausgangssituation keinen Anteil am Markt~ portefeuille, sondern bildet sein Portefeuille unter dem Gesichtspunkt, das aus ÜL1 resultierende Risiko optimal zu hedgen. Die anderen Anteilseigner halten einen Anteil am
478
Kapitel XII
„residualen Marktportefeuille“, d.h. dem Marktportefeuille nach Abzug der vom Investor gehaltenen Papiere. Wieder stimmen deren Portefeuillestrukturen überein, so dass für sie subjektive Nutzenmaximierung (annähernd) mit Marktwertmaximierung kompatibel ist. Entsprechend ist für sie der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts bei potenziellem Kauf durch das Unternehmen n gleich dem Marktwert. Jedoch kann der subjektive Grenzpreis aus Sicht des Investors vom Marktwert unabhängig davon abweichen, ob das Unternehmen das Bewertungsobjekt erwirbt oder er privat. Zunächst wird der Fall betrachtet, dass im Unternehmen n erwogen wird, das Bewertungsobjekt zu kaufen. Diesbezügliche Unterschiede in der Bewertungskonzeption vom Standpunkt des Investors und der anderen Anteilseigner zeigen sich anschaulich unter der Hypothese, dass bei Kauf der Investor und die anderen Anteilseigner keine Portefeuilleanpassungen vornehmen. Aus Sicht des Investors ist dann für die Bewertung die ~ ~ Korrelation zwischen Ü1 und der Summe aus seinem privaten Überschuss ÜL1 und dem Endwert seines hierfür optimalen Ergänzungsportefeuilles (dessen Struktur grundsätzlich von der des residualen Marktportefeuilles abweicht) bewertungsrelevant und für ~ die anderen Anteilseigner die Korrelation zwischen dem Überschuss Ü1 und dem Endwert des residualen Marktportefeuilles. Je nach der für den Investor maßgeblichen stochastischen Abhängigkeit kann für ihn der Grenzpreis bei potenziellem Kauf durch das Unternehmen n höher oder niedriger als der Marktwert des Bewertungsobjekts sein. Jedoch wird der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen sein Portefeuille optimal anpassen, was bei der Ermittlung seines subjektiven Grenzpreises zu antizipieren ist. Bei der Analyse der Implikationen von Portefeuilleanpassungen gehen wir – wie in der Literatur üblich – vereinfachend davon aus, dass sich bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n die Marktwerte der Papiere m (m n) nicht ändern (vgl. zu dieser Annahme Kapitel VI, Abschnitte 3.2 und 3.3). Jedoch ändert sich der Marktwert der Aktien des Unternehmens n um den Marktwert des ~ Überschusses Ü1 abzüglich der Anschaffungsauszahlung. In der Ausgangssituation, d.h. vor Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unterneh~ men n, hält der Investor dasjenige Ergänzungsportefeuille, bei dem die ÜL1 entsprechende Effizienzkurve (die Fokuseffizienzkurve) eine Indifferenzkurve (die Fokusindif~ ferenzkurve) tangiert. Es ist möglich, dass er zur Absicherung des aus ÜL1 resultierenden Risikos einen Leerverkauf von Aktien des Unternehmens n vornimmt, so dass er ein Interesse daran hätte, dass in diesem Unternehmen Projekte mit negativen Markt~ werten durchgeführt werden, die mögliche Endwerte P1n und entsprechend seine Verbindlichkeit aus dem Leerverkauf reduzieren. Von Leerverkäufen wird jedoch im Folgenden abgesehen. Es ist nun zu prüfen, wie sich bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert durch das Unternehmen n die Fokuseffizienzkurve des Investors verändert. Hierzu wird angenommen, dass er bei diesem Kauf seinen gesamten Wertpapierbestand (fiktiv) veräußert und dann ein neues optimales Portefeuille bestimmt. Da er die verkauften Papiere (ohne Transaktionskosten) zu den gleichen Preisen zurückkaufen kann, stellt diese Annahme keine Einschränkung der Allgemeinheit dar. Da der Kauf des Bewertungsobjekts zu seinem Marktwert den Marktwert der Aktien des Unternehmens n nicht beeinflusst (und
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
479
sich annahmegemäß auch die Marktwerte der Papiere m z n nicht ändern), erreicht der Investor nach Verkauf seiner Papiere zunächst wieder die Ausgangsposition P mit dem ~ ~ Abszissenwert (1 r ) V0 E( ÜL1 ) und dem Ordinatenwert Sta ( ÜL1 ) . Ob nun der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n zum Marktwert ) einen Vorteil oder Nachteil erzielt, hängt davon ab, wie sich dabei seine FoM 0 (Ü 1 ~ kuseffizienzkurve ändert. Wenn sich seine Möglichkeiten, das aus ÜL1 resultierende Risiko zu hedgen, verbessern (verschlechtern), erzielt er einen Vorteil (Nachteil), so dass der subjektive Grenzpreis aus Sicht des Investors höher (niedriger) ist als der Marktwert. ~ Bei Duplizierbarkeit des Überschusses Ü1 des Bewertungsobjekts kann dessen subjektiver Grenzpreis für den Investor nicht höher, wohl aber niedriger sein als der ~ Marktwert. Die Möglichkeit, das aus ÜL1 resultierende Risiko durch Portefeuillebildung zu hedgen, wird dann bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n nicht verbessert, sondern – da Leerverkäufe annahmegemäß ausgeschlossen sind – allenfalls verschlechtert, so dass mit dem Bewertungsobjekt die Fokuseffizienzkurve in einem Bereich allenfalls oberhalb der ursprünglichen verlaufen kann. Interpretation: Bei Erwerb des Bewertungsobjekts zum Marktwert durch das Unternehmen n stimmt die Rendite seiner Aktien mit der eines Portefeuilles überein, das aus diesen Aktien ohne das Bewertungsobjekt und dem Duplikationsportefeuille für das Bewertungsobjekt besteht. Da das Duplikationsportefeuille auch privat erworben werden kann, kann der Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert für den Investor nicht ~ vorteilhaft sein. Das Bewertungsobjekt kann das Hedgepotenzial des Investors für ÜL1 nicht verbessern, sondern nur beeinträchtigen. Ohne Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n kann er differenzieren, indem er unterschiedliche Anteile an den Aktien dieses Unternehmens n und an den einzelnen Papieren des Duplikationsportefeu~ illes für Ü1 hält. Wird das Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n gekauft, übernimmt er faktisch mit dem Kauf von Aktien dieses Unternehmens simultan einen ent~ sprechenden Anteil am Duplikationsportefeuille von Ü1 (den er nicht durch Leerverkauf rückgängig machen kann). Angenommen, für den Investor sei es optimal, in der ~ Ausgangssituation das aus ÜL1 resultierende Risiko mit einer relativ großen Zahl von Aktien des Unternehmens n und einem geringen Anteil am Duplikationsportefeuille für ~ Ü1 zu hedgen. Dann wird er bei Erwerb des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n gezwungen, seine optimale Anzahl an Aktien dieses Unternehmens zu reduzieren, um den Nachteil einer überhöhten Beteiligung am Duplikationsportefeuille zu begrenzen; sein subjektiver Grenzpreis ist niedriger als der Marktwert. ~ Ist der Überschuss Ü1 nicht duplizierbar, können sich die Hedgemöglichkeiten je nach Änderung der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Rendite der Aktien des Unternehmens n aus Sicht des Investors auch verbessern, wenn es das Bewertungsobjekt er~ wirbt. Verläuft die Fokuseffizienzkurve mit Ü1 in einem Bereich unterhalb der ursprünglichen, in dem diese eine Indifferenzkurve tangiert, erzielt der Investor bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n zum Marktwert einen Nutzenzuwachs, so dass für ihn der Grenzpreis höher ist als der Marktwert. Damit ist z.B. dann ~ zu rechnen, wenn durch das Bewertungsobjekt der Korrelationskoeffizient für P1n und
480
Kapitel XII
~ ~ ÜL1 negativ wird und die Korrelationskoeffizienten zwischen P1n mit den Endwerten ~ anderer Papiere, die ebenfalls für das Hedgen des Überschusses ÜL1 in Betracht kommen, nicht spürbar steigen (sondern ebenfalls sinken). Bei Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n hat der Investor grundsätzlich bessere Möglichkeiten, das damit verbundene Risiko mit anderen zu teilen, als bei privatem Kauf. Im ersten Fall kann er sich dieses Risikos vollständig durch Verkauf seiner Anteile am Unternehmen entledigen, im zweiten Fall nur bei vollständiger Dupli~ zierbarkeit von Ü1 und unbeschränktem Leerverkauf. Bei privatem Kauf liegt bei unvollständiger Duplizierbarkeit und beschränktem Leerverkauf sein Grenzpreis tendenziell umso mehr unter dem Marktwert, je größer das Bewertungsobjekt ist, je risikoaverser er ist und je mehr seine Leerverkaufsmöglichkeiten begrenzt sind (Abschnitt 3). Wie erläutert, kann bei unvollständiger Duplizierbarkeit der individuelle subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts wegen damit eröffneter vorteilhafter Hedgemöglich~ ~ keiten für ÜL1 auch höher sein als der Marktwert. Ist die Varianz von Ü1 hoch und die ~ von ÜL1 niedrig, kann auch bei hohem Betrag eines negativen Korrelationskoeffizien~ ; ÜL ten U(Ü 1 1 ) 0 die Relation
(XII.14) ~ ~ ÜL Var(Ü 1 1 ) Var(ÜL1 )
~ ~ ) 2 | U(Ü ÜL Var(Ü 1 1 1 ) | Sta(Ü1 ) Sta(ÜL1 ) ! 0
gelten und somit bei Kauf des Bewertungsobjekts die Varianz des Endvermögens V 1 ohne Portefeuillebildung steigen. Die Bedingung (XII.14) für eine höhere Varianz kann wie folgt dargestellt werden:
(XII.14)
~ ~ ) 2 | U(Ü ÜL Sta(Ü 1 1 1 ) | Sta(ÜL1 ) ! 0
bzw. (XII.15)
) Sta(Ü 1 ~
~ ÜL ! 2 | U(Ü 1 1) | .
Sta(ÜL1 ) ~ ) im Vergleich zu Sta(ÜL Man erkennt: Je höher Sta(Ü 1 ) , desto eher ist bei gegebe1 nem Korrelationskoeffizienten zu erwarten, dass mit dem Bewertungsobjekt die Varianz ~ des Endvermögens ohne Portefeuillebildung steigt. Wenn die Varianz von Ü1 nicht oder nur in geringem Maße durch Leerverkäufe reduziert werden kann, ist zu erwarten, dass auch mit Portefeuillebildung die Varianz steigt. Kauf durch das Unternehmen n, bei dem der Investor in geringem Maße an dem Bewertungsobjekt beteiligt ist, kann die Größenproblematik reduzieren. Allerdings kann der private Kauf durch den Investor ~ ) im Vergleich zu Var(ÜL dann vorzuziehen sein, wenn die Varianz Var(Ü 1 1 ) niedrig ist.
481
Individuelle subjektive Bewertung im Rahmen eines Einzelunternehmens
5
Resümee
1. Die Problemstellung wird auf den Fall erweitert, dass der Investor als potenzieller Käufer des Bewertungsobjekts bereits Alleineigentümer eines Unternehmens ist, mit dem er ohne ~ Bewertungsobjekt im Leistungsbereich den Überschuss ÜL1 erzielt. Es wird untersucht, wie der subjektive Grenzpreis bestimmt werden und wie er vom Marktwert abweichen kann. 2. Wenn der Investor mit und ohne Bewertungsobjekt keine Wertpapiere hält, weicht der indi ab. Das viduelle subjektive Grenzpreis grundsätzlich vom Marktwert des Überschusses Ü 1 kann anschaulich für den Fall von Normalverteilungen und exponentiellen Nutzenfunktio gilt dann: nen gezeigt werden. Für die Marktrisikoprämie des Überschusses Ü 1
(XII.5)
1
) RPM (Ü 1
I
¦ i 1
) Kov(Ü ;M )] [Var(Ü 1 1 1G
1 ai
und für die subjektive Risikoprämie: (XII.7)
) RPS (Ü 1
1 1 a
~ 1 ) Kov(Ü ; ÜL [ Var(Ü 1 1 1 )] . 2
Für die Marktrisikoprämie ist der Kehrwert der Summe der Risikotoleranzen aller Anteilseigner relevant und für die individuelle subjektive Risikoprämie der wesentlich höhere Kehrwert der Risikotoleranz des Investors. Da jedoch der Betrag der Kovarianz ~ ;M ; ÜL ) wesentlich höher sein kann als der der Kovarianz Kov(Ü Kov(Ü 1 1G 1 1 ) , mögen die gewichteten Kovarianzen für (XII.5) und (XII.7) (annähernd) übereinstimmen, wenn sie dasselbe Vorzeichen haben. Die Übereinstimmung wird aber die Ausnahme sein. Bewer ) resultieren. Sie wird in (XII.5) tungsunterschiede können auch aus der Varianz Var(Ü 1 mit dem Kehrwert der Summe aller Risikotoleranzen gewichtet, die bei großer Zahl von Anteilseignern tendenziell so gering ist, dass die gewichtete Varianz vernachlässigt werden ) als Hälfte des Kehrwertes der Risikann. In (XII.7) ist dagegen das Gewicht von Var(Ü 1 kotoleranz des Investors erheblich höher. ~
3. Wenn der Investor das aus dem Überschuss ÜL1 und bei privatem Kauf des Bewertungs~ resultierende Risiko optimal durch Portefeuillebildung objekts auch das aus ÜL1 Ü 1 hedgt, ist sein individueller subjektiver Grenzpreis derjenige Preis, bei dem er bei Kauf des Bewertungsobjekts unter Berücksichtigung optimaler Portefeuilleanpassungen denselben Nutzenerwartungswert erzielt wie in der Ausgangssituation. vollständig duplizierbar, bietet das Bewertungsobjekt keine neuen 4. Ist der Überschuss Ü 1 ~ nicht Hedgemöglichkeiten für ÜL , so dass der individuelle subjektive Grenzpreis für Ü 1
1
höher sein kann als dessen Marktwert. Kann das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leer~ und der Risikoeinstellung des Investors verkauft werden, ist unabhängig von ÜL1 und Ü 1 . Es bestehen dann ideale Möglichder subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert von Ü 1 resultierende Risiko zu hedgen; der Überschuss Ü kann durch Portefeukeiten, das aus Ü 1 1 illebildung nicht nur nachgebildet, sondern auch eliminiert werden. nur insoweit 5. Sind Leerverkäufe ausgeschlossen, kann das Duplikationsportefeuille für Ü 1 „leerverkauft“ werden, als darin mit negativen Beständen enthaltene Papiere gekauft wer keine negativen Bestände an Papieren enthalden. Sind im Duplikationsportefeuille für Ü 1 ten, kann der subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts nicht höher sein als dessen Marktwert. Er liegt vielmehr tendenziell umso mehr darunter, je größer das Bewertungsob-
482
Kapitel XII
jekt und die Risikoaversion des Investors sind. Enthält das Duplikationsportefeuille auch negative Bestände, nähert sich der subjektive Grenzpreis dem Marktwert und kann sogar darüber liegen. Das betreffende Teilportefeuille ermöglicht „implizite“ Leerverkäufe. Je vorteilhafter sie sind, desto höher ist der subjektive Grenzpreis. Wenn aus dem Überschuss ~ ÜL1 ein hohes Risiko resultiert, kann sich eine große Wertsteigerung ergeben, wenn das Bewertungsobjekt in großem Umfang implizite Leerverkaufsmöglichkeiten eröffnet. nicht dupliziert werden, ergibt sich zwar ohne den Überschuss 6. Kann der Überschuss Ü 1 ~ ÜL1 bei Kauf des Bewertungsobjekts zum Marktwert grundsätzlich ein Nachteil. Unter Be~ rücksichtigung von ÜL1 kann dagegen ein Vorteil entstehen, wobei dann der subjektive nicht duplizierbar ist, Grenzpreis höher ist als der Marktwert. Wenn der Überschuss Ü 1 ~ kann er eben vorteilhafte Hedgemöglichkeiten für ÜL1 eröffnen, die durch Portefeuillebildung nicht realisierbar sind. Die Implikationen für den subjektiven Grenzpreis hängen da~ mit ÜL von ab, in welchen Grenzen Leerverkäufe möglich sind, wie der Überschuss Ü 1 1 und korreliert ist und wie die Endwerte P1n (n = 1,2,…,N) untereinander sowie mit Ü 1 ~ ÜL1 korreliert sind. 7. Verglichen wird auch der private (potenzielle) Kauf des Bewertungsobjekts durch den Investor mit dem (potenziellen) Kauf des Bewertungsobjekts durch ein börsennotiertes Unternehmen n, an dem der Investor als Aktionär beteiligt ist, wobei in beiden Fällen der Investor ~ im Rahmen seines Einzelunternehmens bereits den Überschuss ÜL1 erzielt. Wenn das Bewertungsobjekt durch das Unternehmen n erworben wird, wird der Investor entsprechend beteiligt, wobei er diesen Anteil durch Kauf oder seines Anteils daran am Überschuss Ü 1 Verkauf von Aktien des Unternehmens n beliebig erhöhen oder reduzieren kann. resultieWenn er das Bewertungsobjekt privat kauft, trägt er das aus dem Überschuss Ü 1 rende Risiko allein. Er kann seinen Anteil daran nicht wie als Aktionär bei Kauf durch das vollständig dupliziert und das Unternehmen n direkt verändern. Kann der Überschuss Ü 1 für beiDuplikationsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden, ist unabhängig von Ü 1 de Bewertungsfälle der subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert des Bewertungsob resultierende Risiko zu hedgen, jekts. Es bestehen dann ideale Möglichkeiten, das aus Ü 1 beso dass es irrelevant ist, in welchem Umfang der Investor zunächst am Überschuss Ü 1 teiligt ist. Bei beschränkter Duplizierbarkeit und/oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten gewinnt jedoch die Größenproblematik grundlegende Bedeutung für die Bewertung; für den Kauf des Bewertungsobjekts durch das Unternehmen n und den privaten Kauf durch den Investor können dann unterschiedliche Grenzpreise aus Sicht des Investors relevant sein.
TEIL E: MARKTBEWERTUNG UND INDIVIDUELLE SUBJEKTIVE BEWERTUNG IM MEHRPERIODEN-FALL
Kapitel XIII Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
1
Problemstellung
Im vorliegenden und den beiden nachfolgenden Kapiteln werden Probleme und Lösungsansätze der Bewertung im Mehrperioden-Fall untersucht. Bei den bisherigen Darstellungen zum Einperioden-Fall wurde davon ausgegangen, dass die Wahrscheinlich~ keitsverteilung für den Überschuss Ü1 des Bewertungsobjekts am Ende der Periode bekannt (bereits ermittelt worden) sei; es ging ausschließlich darum, wie bewertet werden kann und welche Höhe der Wert unter verschiedenen Bedingungen aufweist. Die Annahme gegebener Überschüsse für ein Bewertungsobjekt ist vor allem im Mehrperioden-Fall problematisch. Wenn z.B. ein Unternehmen gekauft wird, mögen zwar gewisse Überschüsse ohne weitere Aktivitäten direkt dem Investor zufließen. Der Wert des Unternehmens (oder eines anderen Bewertungsobjekts) wird jedoch vor allem daraus resultieren, dass es Aktionsräume in Beschaffung, Produktion, Absatz und anderen Bereichen schafft, die im Zeitablauf je nach Umweltentwicklung (der Entwicklung der entscheidungsrelevanten Daten) optimal genutzt werden. Der Wert eines Bewertungsobjekts hängt von den damit erzielbaren Überschüssen ab, die ohne genauere Planung schwer zu schätzen sind. Dies gilt vor allem dann, wenn aufgrund eines Erfolgsund/oder Restriktionsverbundes bereits vorhandene Aktionsräume durch das Bewertungsobjekt erweitert, ergänzt oder kostensparend substituiert werden. Die mit dem Kauf eines Unternehmens oder einer anderen Realinvestition erworbenen Aktionsräume lassen sich als „Realoptionen“ für zukünftige Folgemaßnahmen interpretieren (im Gegensatz zu „Finanzoptionen“, die sich auf Finanztitel beziehen). Zu den Optionen für Realinvestitionen zählen allgemein Aufschuboptionen für Investiti-
484
Kapitel XIII
onsprojekte, Abbruchoptionen, Erweiterungsoptionen, Optionen auf die Nutzung und die vorübergehende Stilllegung von Produktionsanlagen und Umstellungsoptionen. Ein Instrument zur Gestaltung und Nutzung von Aktionsräumen stellt die flexible Planung dar. Bei diesem Planungsverfahren werden gegenwärtige und zukünftige Maßnahmen optimal untereinander abgestimmt, wobei für zukünftige Perioden bedingte Pläne (Eventualpläne) erstellt werden, die zeigen, welche Maßnahmen zur Schaffung von Aktionsräumen in unterschiedlichen Umweltentwicklungen jeweils vorteilhaft sind und welche Folgemaßnahmen im Rahmen geschaffener Aktionsräume jeweils durchgeführt werden. In Abschnitt 2 wird das Konzept der flexiblen Planung dargestellt und begründet. Danach werden das „Entscheidungsbaum-“ und das „Zustandsbaumverfahren“ der flexiblen Planung erläutert. In Abschnitt 3 wird ein Bewertungskonzept vorgestellt, das auf dem Zustandsbaumverfahren der flexiblen Planung aufbaut. Im Rahmen dieses Modells wird simultan mit dem Grenzpreis das optimale Aktionsprogramm für den Fall bestimmt, dass das Bewertungsobjekt zu diesem Preis gekauft wird. Das Bewertungskonzept kann im Prinzip unabhängig davon angewendet werden, ob das übergeordnete Ziel der Bewertung in der Marktwertmaximierung oder der individuellen subjektiven Nutzenmaximierung besteht. Im ersten Fall werden die Überschüsse gemäß einer Marktbewertungsfunktion ohne explizite Berücksichtigung von Hedgemaßnahmen bewertet1 (Kapitel XIV), im zweiten Fall nach dem BERNOULLI-Prinzip als Erwartungswert ihres Nutzens in Verbindung mit optimalen Hedgemaßnahmen (allgemein: mit optimalem integriertem Risikomanagement) (Kapitel XV). Wie deutlich wird, verursacht eine „exakte“ flexible Planung bzw. Bewertung prohibitiv hohe Kosten, so dass die Notwendigkeit radikaler Vereinfachungen besteht. Fundierte Vereinfachungen können jedoch nur dann vorgenommen werden, wenn die theoretisch richtige Bewertungskonzeption bekannt ist. Das Konzept der flexiblen Planung bietet Leitlinie und Orientierungshilfe für eine theoriegeleitete Bewertung. Probleme und Lösungsansätze der Vereinfachung werden in Abschnitt 4 untersucht.
2
Flexible Planung als theoretische Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
2.1
Das Konzept der flexiblen Planung
Rationale Bewertung setzt voraus, dass diejenigen (zustandsabhängigen) Überschüsse bekannt sind oder geplant werden, die mit und ohne Bewertungsobjekt erzielt werden. Planung bedeutet, dass Aktionen aufeinander abgestimmt werden, bei Kauf eines Bewertungsobjekts im Allgemeinen auch die damit realisierten Maßnahmen mit den sonstigen Maßnahmen. Ein Bedarf an Planung entsteht immer dann, wenn die Konsequen1
Dies bedeutet freilich nicht, dass Risikostreuung für die Anteilseigner nicht vorteilhaft ist, sondern nur, dass sich unternehmensinterne Hedgemaßnahmen deshalb erübrigen (deshalb nicht bewertungsrelevant sind), weil die Anteilseigner sie ebenso gut privat durchführen können.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
485
zen einzelner Aktionen nicht unabhängig voneinander betrachtet werden können, sondern die Einzelmaßnahmen koordiniert werden müssen. Abhängigkeiten sind bei Entscheidungen im Unternehmen praktisch immer zu berücksichtigen. So müssen vor allem die Entscheidungen der verschiedenen Teilbereiche im Rahmen einer Planung koordiniert werden. Ein Bedarf an Planung ergibt sich aber nicht nur auf Grund von Interdependenzen zwischen verschiedenen Teilbereichen, sondern auch deshalb, weil die Aktionen verschiedener Zeitpunkte aufeinander abzustimmen sind. Die Interdependenzen zwischen den Entscheidungen verschiedener Zeitpunkte können auf folgende Ursachen zurückgeführt werden: 1. Die zu einem Zeitpunkt durchgeführten Maßnahmen beeinflussen den Handlungsspielraum für spätere Aktionen; es besteht Restriktionsverbund. So hängen zum Beispiel die Produktionsmöglichkeiten späterer Zeitpunkte davon ab, welche Anlagen in den vorhergehenden Zeitpunkten installiert werden. Das zukünftige Absatzpotenzial eines Unternehmens wird u.a. durch die jetzigen Werbemaßnahmen bestimmt. Die gegenwärtigen Investitions- und Finanzierungsmaßnahmen beeinflussen eventuell den zukünftigen Finanzierungsspielraum. 2. Wie weit der Erfolg (allgemein: die Ausprägungen der Zielgrößen) steigt oder sinkt, wenn zu einem Zeitpunkt bestimmte Maßnahmen durchgeführt werden, hängt i.d.R. auch von den Aktionen anderer Zeitpunkte ab. Der Erfolg wird also nicht allein von Einzelmaßnahmen bestimmt, sondern von der Gesamtheit aller Aktionen, die im Zeitablauf realisiert werden; es besteht Erfolgsverbund. So hängen etwa die Erfolge zukünftiger Werbemaßnahmen im Allgemeinen davon ab, welche Werbeaktivitäten gegenwärtig erfolgen. Die Einzahlungsüberschüsse zukünftiger Investitionen werden u.a. dadurch bestimmt, welche Investitionen in den vorhergehenden Zeitpunkten durchgeführt werden. 3. Sofern sich der Investor am Ziel subjektiver Nutzenmaximierung (statt am Ziel der Marktwertmaximierung) orientiert und nicht risikoneutral ist, gibt es in Risikosituationen grundsätzlich eine dritte Ursache für Interdependenzen zwischen den Einzelmaßnahmen zu verschiedenen Zeitpunkten: Wie die mit den Maßnahmen eines Zeitpunkts verbundenen Risiken bewertet werden, hängt davon ab, welche Risiken den Maßnahmen in anderen Zeitpunkten entsprechen und welcher Risiko- und/ oder Bewertungsverbund zwischen diesen Maßnahmen besteht. Zur expliziten Erfassung von intertemporalen Interdependenzen sind mehrstufige (sequentielle) Entscheidungsmodelle erforderlich, die simultan mit den gegenwärtigen Maßnahmen mehr oder weniger grob auch die Aktionen für spätere Zeitpunkte erfassen. Wären die Umweltentwicklung – d.h. die im Zeitablauf eintretende Sequenz der entscheidungsrelevanten Daten (etwa die Preisentwicklung) – und die zukünftigen Aktionsmöglichkeiten mit Sicherheit bekannt, könnten alle zukünftigen Aktionen endgültig und unwiderruflich festgelegt werden; es könnten dann keine Ereignisse eintreten, die eine Revision der Pläne erforderlich machen. In Risikosituationen bestehen jedoch zumindest mehrwertige Erwartungen über die Umweltentwicklung, wobei sich grundsätzlich die Wahrscheinlichkeiten für die zukünftigen Entwicklungen der Umwelt im Zeitablauf mit den zwischenzeitlich zugehenden Informationen ändern. Zum Beispiel erhält
486
Kapitel XIII
der Entscheider Informationen über die Entwicklung der Preise seiner Erzeugnisse, über die Anschaffungsauszahlungen für Investitionsprojekte, die Entwicklungen des Kapitalmarktes usw. Da in Zukunft weitere Informationen zugehen, ist es nicht sinnvoll, zukünftige Aktionen vorher schon endgültig festzulegen. Über die in einem zukünftigen Zeitpunkt zu ergreifende Aktion sollte erst dann definitiv entschieden werden, wenn dieser Zeitpunkt tatsächlich eingetreten ist. Nur dann können alle Informationen berücksichtigt werden, die bis dahin vorliegen. Trotzdem darf nicht auf die Planung zukünftiger Maßnahmen verzichtet werden, da sonst die Voraussetzung für eine optimale Entscheidung über die Aktionen zu Beginn des Planungszeitraums fehlt. Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet das Konzept der flexiblen Planung (BÜHLER, 1981; HART, 1940; HAX (1993); HAX/LAUX, 1972; JOCHUM, 1969; LAUX, C., 1993; LAUX, 1969; 1971b; 1971c; 2007, Kapitel IX), bei dem nur die zu Beginn des Planungszeitraums zu ergreifenden Aktionen endgültig festgelegt werden. Simultan damit wird für jeden zukünftigen Aktionszeitpunkt ein System von bedingten Plänen (Eventualplänen) erstellt, wobei die oben beschriebenen Interdependenzen zwischen den Aktionen zu verschiedenen Zeitpunkten berücksichtigt werden. Welcher Plan zu einem zukünftigen Zeitpunkt tatsächlich realisiert wird, hängt von der Umweltentwicklung ab, die bis zu diesem Zeitpunkt eintritt. Die flexible Planung führt zu einem gegenwärtigen Aktionsprogramm, das einen optimalen (grundsätzlich nicht „maximalen“) Aktionsraum bzw. eine optimale Elastizität für zukünftige Anpassungen an die möglichen Umweltentwicklungen offen lässt: Schon bei der Formulierung der Eventualpläne wird berücksichtigt, welche zukünftigen Entscheidungsspielräume bestehen und in welcher Weise sie jeweils genutzt werden. Eine wesentliche Fragestellung der flexiblen Planung besteht auch darin, ob bestimmte Maßnahmen wie etwa Investitionen zu Beginn des Planungszeitraums durchgeführt werden sollen, oder in einem zukünftigen Zeitpunkt in Abhängigkeit von der bis dahin eingetretenen Umweltentwicklung bzw. den entsprechenden Erwartungen über die weitere Entwicklung. Es werden dann die Konsequenzen verschiedener Strategien zustandsabhängiger Durchführung oder Unterlassung mit denen bei definitiver Durchführung zu Beginn des Planungszeitraums verglichen. Das Prinzip der flexiblen Planung hat auch grundlegende Bedeutung für die Ermittlung optimaler (bedingter) Bestände an riskanten Wertpapieren. Bei den folgenden Darstellungen wird davon ausgegangen, dass Investoren nach diesem Prinzip ihre Portefeuillestrategien bestimmen.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
2.2
Präzisierung der Entscheidungssituation
2.2.1
Annahmen
487
Für die folgenden Überlegungen soll die Entscheidungssituation präzisiert werden: 1. Die Anzahl der Perioden, in denen Entscheidungen zu treffen sind, ist T ( T t 2 ). 2. Der Beginn der t-ten Periode wird als Zeitpunkt t – 1 bezeichnet, das Ende der letzten als Zeitpunkt T. Zu jedem Entscheidungszeitpunkt t (t = 0,1,...,T) ist mit Sicherheit bekannt, welche Aktionen jeweils möglich sind. Unter der Aktion eines Zeitpunkts wird die Gesamtheit der Maßnahmen verstanden, die zu diesem Zeitpunkt ergriffen werden. Die Menge der Aktionsmöglichkeiten eines Zeitpunkts wird als Entscheidungsspielraum (Aktionsraum) dieses Zeitpunkts bezeichnet. 3. Der Entscheidungsspielraum zum Zeitpunkt 0 hängt von der zu diesem Zeitpunkt gegebenen Umwelt W0 ab; der Entscheidungsspielraum zum Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T) hängt von den Aktionen ab, die zu den Zeitpunkten 0,...,t1 realisiert werden, und von der bis zum Zeitpunkt t eintretenden Umweltfolge W0,W1,...,Wt. Dabei wird unter der Umwelt Wt die zum Zeitpunkt t eintretende Konstellation von entscheidungsrelevanten Daten verstanden, die durch den Entscheider nicht beeinflusst werden können. W0 wird z.B. determiniert durch die zum Zeitpunkt 0 angebotenen Investitionsgüter, deren Anschaffungskosten, die Preise und Produktionskosten der Fertigerzeugnisse usw. 4. Das Endergebnis der gesamten Entscheidungssequenz zum Zeitpunkt T hängt davon ab, welche Aktionen zu den Zeitpunkten 0,1,...,T realisiert werden und welche Umweltentwicklung W0,W1,...,WT eintritt. 5. Der Entscheider kennt zu Beginn des Planungszeitraumes die Umwelt W0. Zu einem späteren Zeitpunkt t kennt er die Umweltentwicklung W0,W1,...,Wt. Zu jedem Zeitpunkt t (t = 0,1,...,T1) ist jedoch noch ungewiss, welche Umweltentwicklung Wt+1,Wt+2,...,WT in den nachfolgenden Zeitpunkten t + 1,t + 2,…,T eintreten wird. Der Investor verfügt jeweils über subjektive Wahrscheinlichkeiten für die denkbaren Umweltentwicklungen. Dabei hängt das Wahrscheinlichkeitsurteil zum Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T1) von der Umweltfolge W0,...,Wt ab, die bis dahin eingetreten ist. Zur Vereinfachung der Darstellung wird die bis einschließlich Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T) eintretende Umweltfolge W,...,Wt als Umweltzustand (oder kurz als Zustand) des Zeitpunktes t bezeichnet und die zum Zeitpunkt 0 gegebene Umwelt W0 als Ausgangszustand. Die Erwartungsstruktur hinsichtlich der möglichen Entwicklungen der Umwelt kann in anschaulicher Weise mit Hilfe eines Zustandsbaumes dargestellt werden, der für die flexible Planung von grundlegender Bedeutung ist. Die Abbildung XIII.1 zeigt einen sehr einfachen Zustandsbaum. Die Knoten repräsentieren die zu den verschiedenen Zeitpunkten möglichen Zustände; sie werden hier durch den Index z fortlaufend nummeriert. Der Knoten 1 kennzeichnet den Ausgangszustand W0. Die von einem Knoten für den Zeitpunkt t (t = 0,1,...,T1) ausgehenden Kanten repräsentieren die Übergänge zu den
488
Kapitel XIII
Zuständen, die zum Zeitpunkt t + 1 noch eintreten können, wenn zum Zeitpunkt t der dem Knoten entsprechende Zustand eintritt. Den einem Knoten z entsprechenden Zustand bezeichnen wir als Zustand z. Jeder Kante ist eine Übergangswahrscheinlichkeit w ( z* z ) > 0 zugeordnet, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Zustand z* eintritt, falls zum vorhergehenden Zeitpunkt der Zustand z eingetreten ist. Mit Hilfe der den Kanten zugeordneten Wahrscheinlichkeiten können die unbedingten Eintrittswahrscheinlichkeiten zukünftiger Zustände berechnet werden. Dabei wird deutlich, wie sich diese Wahrscheinlichkeiten im Zeitablauf ändern können. 3/ 5
9
2/5
10
4
1/ 3 1/ 3 2
1/ 6
5
1/ 3 1/ 3
11
12
13
1/ 3 1/ 2 3/8
14
5/8
15
1/ 2
16
1/ 2
17
6 1
7
2/3
1/ 4
3
18
1/ 4 3/ 4
1/ 4
19
1/ 8
20
8
3/8 21
Zeitpunkt 0
Zeitpunkt 1
Zeitpunkt 2
Zeitpunkt 3
Abb. XIII.1: Beispiel eines Zustandsbaumes (T=3)
Zum Zeitpunkt 0 ist die Wahrscheinlichkeit für den Zustand 2 (bzw. 3) gleich 1/3 (bzw. 2/3). Die Wahrscheinlichkeit eines Zustandes für den Zeitpunkt 3 oder 4 ermittelt sich als Produkt derjenigen Wahrscheinlichkeiten, die dem Kantenzug vom Knoten 1 zum Knoten z zugeordnet sind. Z.B. ist die (unbedingte) Wahrscheinlichkeit für den Zustand 21 zum Zeitpunkt 0 gleich 2/3 3/4 3/8 = 3/16. Zum Zeitpunkt 1 sind die Wahrscheinlichkeiten eines Zustandes für den Zeitpunkt 2 oder 3 davon abhängig, ob Zustand 2 oder 3 eintritt. Tritt der Zustand 3 ein, haben die Zustände 4 -6 und 9 - 15 eine Wahrscheinlichkeit von null. Lediglich die Zustände 7, 8
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
489
und 16 - 21 sind noch möglich. Der Zustand 7 (8) hat dann die Wahrscheinlichkeit 1/4 (3/4). Die Wahrscheinlichkeit für einen Zustand z ^16,17,...,21` ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, die dem Kantenzug vom Knoten 3 zum Knoten z zugeordnet sind. Z.B. ist die Wahrscheinlichkeit für Zustand 21 jetzt gleich 3/4 3/8 =9/32 ! 3/16. Zum Zeitpunkt 2 sind die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Zustände des Zeitpunkts 3 davon abhängig, welcher der Zustände 4,5,...,8 eintritt. Tritt Zustand 8 ein, so sind nur noch die Zustände 18,19,20 bzw. 21 möglich. Zustand 21 z.B. hat dann die Wahrscheinlichkeit 3/8 ! 9/32.
2.2.2
Zur Bedeutung der flexiblen Planung
In der beschriebenen Entscheidungssituation ist es aus folgenden Gründen nicht sinnvoll, schon zum Zeitpunkt 0 die Aktionen der zukünftigen Zeitpunkte definitiv festzulegen: 1. Der Entscheidungsspielraum zu einem zukünftigen Zeitpunkt hängt (außer von den Aktionen zu den vorhergehenden Zeitpunkten) von der bis zum Zeitpunkt t eingetretenen Umweltentwicklung W0, W1,...,Wt ab, die zum Zeitpunkt 0 noch unbekannt ist. 2. Welche der zum Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T–1) möglichen Aktionen optimal ist, hängt von der Erwartungsstruktur zum Zeitpunkt t über die weitere Entwicklung der Umwelt ab. Diese Erwartungsstruktur ist ihrerseits von der zum Zeitpunkt 0 noch unbekannten Umweltentwicklung bis zum Zeitpunkt t abhängig. Somit kann die optimale Aktion eines zukünftigen Zeitpunktes nicht unabhängig von der bis dahin eintretenden Umweltentwicklung bestimmt werden; es ist sinnvoll, flexibel zu planen. Hierbei wird – sofern keine Modellvereinfachung erfolgt – jedem Knoten des Zustandsbaumes ein optimaler Teilplan zugeordnet. Die optimale Aktion für den Zeitpunkt 0 wird ermittelt unter Berücksichtigung der in Zukunft möglichen Umweltzustände und den in diesen Zuständen optimalen (Folge-) Aktionen. Die Zuordnung von optimalen Teilplänen zu den künftigen Zuständen dient primär nicht der Festlegung künftiger Entscheidungen, sondern dazu, eine möglichst gute Entscheidung über die Aktion zu Beginn des Planungszeitraums (dem Zeitpunkt 0) zu treffen: Die Erstellung von Eventualplänen ermöglicht die Erfassung temporaler Interdependenzen bei mehrwertigen Erwartungen über die zukünftige Umweltentwicklung. Diejenigen Eventualpläne werden realisiert, die der eintretenden Zustandsfolge entsprechen.
2.3
Allgemeine Charakteristik von Modellansätzen der flexiblen Planung
In der Literatur wird häufig die flexible Planung auf der Basis eines Entscheidungsbaums (Entscheidungsbaumverfahren) diskutiert. Der Entscheidungsbaum stellt eine Erweiterung des Zustandsbaumes dar und kennzeichnet nicht nur die Erwartungsstruktur des Entscheiders über die möglichen Umweltentwicklungen (W0,W1,...,WT), sondern auch die in den einzelnen Zuständen möglichen Aktionen sowie die Ergebnisse der möglichen Aktionsfolgen.
490
Kapitel XIII
In komplexeren Entscheidungssituationen wird der Entscheidungsbaum so umfangreich, dass praktisch nicht damit gearbeitet werden kann. Es besteht jedoch auch die Möglichkeit, unmittelbar auf dem Zustandsbaum aufbauend die optimale Strategie zu bestimmen, ohne sämtliche Strategien explizit zu beschreiben (Zustandsbaumverfahren). Jedem Knoten des Zustandsbaumes werden dabei besondere Entscheidungsvariablen zugeordnet; jede Wertekonstellation der einem Knoten zugeordneten Entscheidungsvariablen bezeichnet eine Aktion (eine Menge von Einzelmaßnahmen) für den entsprechenden Zustand. Außerdem werden für jeden Knoten Nebenbedingungen aufgestellt, die den Aktionsspielraum des zugehörigen Zustandes abgrenzen. Dabei wird berücksichtigt, dass der Aktionsspielraum in einem zukünftigen Zustand z außer von den entsprechenden Datenausprägungen auch von den Maßnahmen abhängt, die in denjenigen Zuständen realisiert werden, die dem Zustand z vorausgehen. Unter bestimmten Voraussetzungen lassen sich diese Nebenbedingungen als lineare Gleichungen oder Ungleichungen formulieren (BÜHLER, 1981; HAX, 1993, S. 185-182; JOCHUM, 1969; LAUX, 1969; 1971b; 1971c). Durch entsprechende Nebenbedingungen lassen sich, wenn man vom Planungsaufwand absieht, auch Probleme der folgenden Art lösen, die für die Bewertung von Bedeutung sind (LAUX, 1971b): Optimaler Aufschub von Investitionen, um dann mit zusätzlichen Informationen (zustandsabhängig) endgültig über Realisation oder Unterlassung zu entscheiden; optimale zustandsabhängige Nutzungsdauern von Investitionsprojekten; Auswahl der optimalen Investitionen aus einer Menge sich (etwa aus technischen oder absatzwirtschaftlichen Gründen) einander ausschließender Alternativen. In der Zielfunktion des Modells wird berücksichtigt, dass bei der Planung noch unbekannt ist, welche Folge von Zuständen im Zeitablauf eintreten wird. Hierzu werden (wie noch näher erläutert wird) für jede mögliche Zustandsfolge (d.h. für jeden Kantenzug des Zustandsbaumes vom Ausgangszustand 1 zu einem Endzustand für den Zeitpunkt T) die Überschüsse des Leistungsbereichs (bzw. die Ausschüttungen oder Entnahmen des Investors) in Abhängigkeit von der jeweiligen Zustandsfolge und der jeweiligen Aktionsfolge ausgedrückt. Außerdem werden in der Zielfunktion die Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Zustandsfolgen erfasst. Jedem möglichen Aktionsplan entspricht also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die zukünftigen Überschüsse. In der Zielfunktion erfolgt deren Bewertung entweder in Form eines Marktwertes oder gemäß dem BERNOULLI-Prinzip als Erwartungswert des Nutzens. Unter bestimmten Voraussetzungen – z.B. bei Maximierung des Erwartungswertes des Erfolges – ist die Zielfunktion linear. Sind außerdem auch die Nebenbedingungen linear, kann die optimale Lösung mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung ermittelt werden. Diese Rechentechnik setzt jedoch nicht generell voraus, der Entscheider sei risikoneutral: Auch der Fall der Risikoaversion lässt sich berücksichtigen. Die dann konkave Nutzenfunktion kann durch eine stückweise lineare Funktion approximiert werden.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
491
Die Zahl der Variablen und Nebenbedingungen des Modells kann allerdings so groß werden, dass die optimale Lösung nicht in einem Rechengang ermittelt werden kann, weil die Kapazität der Rechenanlage nicht ausreicht. Eine Lösungsmöglichkeit kann dann darin bestehen, das Entscheidungsmodell nach dem Prinzip der dynamischen Programmierung zu zerlegen (BÜHLER, 1981; JOCHUM, 1969; HAX, 1993, S. 176-182 und 187-195; LAUX, 1971b, S. 52-60).
2.4
Beispiel
2.4.1
Die betrachtete Entscheidungssituation
Mit Hilfe eines einfachen Beispiels soll das Grundkonzept der flexiblen Planung erläutert werden. Das Beispiel – das auch bei späteren Darstellungen zugrunde gelegt wird – beruht auf folgenden Annahmen: l. Es besteht die Möglichkeit, zur Erledigung bestimmter Aufträge ein Werk aufzubauen. Die zukünftigen Auftragseingänge sind ungewiss. 2. Der Planungszeitraum umfasst drei Perioden. Der Beginn der t-ten Periode (t = 1,2,3) wird als Zeitpunkt t–1 bezeichnet, das Ende des Planungszeitraumes als Zeitpunkt 3. 3. Lediglich zu den Zeitpunkten 0, 1 und 2 (also zu Beginn der Perioden 1, 2 und 3) können Aufträge eingehen. Zu jedem Zeitpunkt muss sofort entschieden werden, welche der Aufträge angenommen werden. (Es ist nicht möglich, die Entscheidung aufzuschieben, bis sich der Informationsstand bezüglich zukünftiger Auftragseingänge verbessert hat.) Jeder Auftrag, der zu Beginn einer Periode angenommen wird, muss zum Ende dieser Periode ausgeführt sein. 4. Zur Erledigung der Aufträge werden Produktionsanlagen eines bestimmten Typs benötigt. Mit einer Anlage kann je Periode höchstens ein Auftrag abgewickelt werden. Bisher ist noch keine Anlage vorhanden. Neue Anlagen können zu den Zeitpunkten 0, 1 und 2 angeschafft werden. Jede Anlage kann bis zum Zeitpunkt 3, dem Ende des Planungszeitraums, genutzt werden und ist dann wertlos. Die Anschaffungskosten je Anlage betragen 500 GE. 5. Jeder Auftrag bietet einen Deckungsbeitrag (Differenz aus Erlös und variablen Kosten) von 300 GE. Der betreffende Überschuss wird zum Ende jener Periode erzielt, zu deren Beginn er angenommen wird. 6. Zum Zeitpunkt 0 ist ein Geldvermögen von V0 vorhanden. Der Investor kann in jeder Periode zum risikolosen Zinssatz r Kapital anlegen und aufnehmen. (Handel mit riskanten Wertpapieren wird noch nicht berücksichtigt.) 7. Hinsichtlich der Zahl der eingehenden Aufträge hat der Investor Erwartungen, die als Zustandsbaum dargestellt werden können (Abbildung XIII.2):
492
Kapitel XIII
1 Auftrag 2 0,7
0,8
0,2
1 Auftrag 4
2 Aufträge 5
2 Aufträge 1
0,3
0,2 2 Aufträge 3 0,8
Zeitpunkt 0
1 Auftrag 6
Zeitpunkt 1
2 Aufträge 7 Zeitpunkt 2
Abb. XIII.2: Zustandsbaum
Knoten 1 kennzeichnet die zu Beginn des Planungszeitraums eingehenden Aufträge. Jeder Knoten z (z = 2,3,...,7) kennzeichnet eine bestimmte Auftragsentwicklung. So entspricht zum Beispiel dem Knoten 6 die Auftragsfolge: 2 Aufträge in Periode l (Zeitpunkt 0), 2 Aufträge in Periode 2, 1 Auftrag in Periode 3. 8. Optimal sei für den Investor die Strategie, bei der der Erwartungswert des Endvermögens (des Vermögens zum Zeitpunkt 4) maximiert wird. Diese Zielfunktion ist sehr einfach. Es geht hier darum, die allgemeine Modellstruktur zu erläutern. In späteren Darstellungen werden realistischere Zielfunktionen erfasst.
2.4.2
Entscheidungsbaumverfahren
2.4.2.1 Der Entscheidungsbaum
Zunächst wird gezeigt, wie die optimale Strategie auf der Basis eines Entscheidungsbaumes bestimmt werden kann, in dem nicht nur die möglichen Folgen von Auftragseingängen und die stochastischen Beziehungen zwischen den Auftragseingängen aufeinander folgender Zeitpunkte dargestellt sind, sondern auch mögliche Aktionsstrategien. Dabei wird ohne Einschränkung der Allgemeinheit vereinfachend angenommen, der Zinssatz r sei gleich null. Da die explizite Erfassung von Aktionsstrategien einen hohen Aufwand verursacht, ist es beim Entscheidungsbaumverfahren besonders wichtig, zu vereinfachen. Im Beispiel kann die Vereinfachung wie folgt vorgenommen werden, ohne dass die Gefahr von Fehlentscheidungen besteht: 1. Da in keiner Periode mehr als zwei Aufträge eingehen können, ist es nicht sinnvoll, mehr als zwei Produktionsanlagen zu beschaffen. Sämtliche Strategien, bei denen mehr als zwei Anlagen gekauft werden, können daher als suboptimal vernachlässigt werden.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
493
2. Da in jeder Periode mindestens ein Auftrag eingeht, ist es sinnvoll, zum Zeitpunkt 0 mindestens eine Anlage zu beschaffen: Wird eine Anlage gekauft, kann zu jedem Zeitpunkt t (t = 0,1,2) ein Auftrag angenommen werden, wobei im gesamten Planungszeitraum ein Gewinn von 3 300 500 = 400 erzielt wird. 3. Es ist nachteilig, zum Zeitpunkt 2 eine zweite Anlage zu beschaffen, da mit ihr allenfalls noch ein Auftrag abgewickelt werden kann, dessen Deckungsbeitrag (300) niedriger ist als die Anschaffungskosten der Anlage (500). Entsprechend kann es auch nicht vorteilhaft sein, zum Zeitpunkt 1 eine zweite Anlage anzuschaffen, sofern dann nur ein Auftrag eingeht, also Zustand 2 eintritt. 4. Es ist nachteilig, zu einem Zeitpunkt t (t = 0,1,2) einen Auftrag abzulehnen, der mit einer vorhandenen Anlage abgewickelt werden kann. Im Entscheidungsbaum der Abbildung XIII.3 sind diese Vereinfachungsgesichtspunkte berücksichtigt. Die den Zeitpunkten 0, 1 und 2 zugeordneten eckigen Knoten kennzeichnen Entscheidungssituationen, die dem Zeitpunkt 3 zugeordneten Knoten charakterisieren Ergebnissituationen, bei denen der Gesamtgewinn des Planungszeitraums festliegt. Ys bezeichnet die Zahl der Produktionsanlagen, die in der Entscheidungssituation s (s = 1,2,...,15) erworben werden, Xs bezeichnet die Zahl der jeweils angenommenen Aufträge. Wt kennzeichnet als charakterisierende Umweltvariable die Anzahl der zum Zeitpunkt t (t = 0,1,2) eingehenden Aufträge. In einer Entscheidungssituation liegt der Gesamtgewinn noch nicht endgültig fest, sondern kann durch Aktionen (Annahme von Aufträgen, Beschaffung von Produktionsanlagen) noch beeinflusst werden. Jeder möglichen Entscheidungssituation des Zeitpunkts 1 bzw. 2 entspricht eine bestimmte Folge von Auftragseingängen – also ein bestimmter Zustand – und bestimmte Aktionen, die bereits vor diesem Zeitpunkt durchgeführt worden sind. Für die Entscheidungssituation 10 gilt zum Beispiel: Zustand 4 ist eingetreten, eine Produktionsanlage ist gekauft und zwei Aufträge sind bearbeitet worden. Von jedem Entscheidungsknoten gehen eine oder zwei Kanten aus, von denen jede eine zulässige Aktion kennzeichnet. Jede (Aktions-) Kante, die aus einem dem Zeitpunkt 0 bzw. 1 zugeordneten Entscheidungsknoten herausführt, mündet in einen runden Verzweigungsknoten, der die unsicheren Erwartungen hinsichtlich des folgenden Umweltzustandes repräsentiert. Die entsprechenden (Zustands-) Kanten kennzeichnen den Übergang zu der Entscheidungssituation im nachfolgenden Zeitpunkt. Die diesen Kanten zugeordneten Übergangswahrscheinlichkeiten sind gleich den entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten des Zustandsbaumes. So ist zum Beispiel die Übergangswahrscheinlichkeit, die der in den Entscheidungsknoten 12 führenden Kante zugeordnet ist, gleich der Wahrscheinlichkeit für den Zustand 6 unter der Bedingung, dass zum Zeitpunkt 1 der Zustand 3 eintritt. Jede Aktionskante, die aus einem Entscheidungsknoten herausführt, der dem Zeitpunkt 2 entspricht, mündet in einen Ergebnisknoten. In jeden Ergebnisknoten ist der entsprechende Gesamtgewinn eingetragen. So entspricht der Ergebnissituation, die auf die Entscheidungssituation 6 folgt, der Gesamtgewinn 4 300 2 500 = 200 (insgesamt 4 Aufträge werden angenommen und zwei Produktionsanlagen gekauft).
494
Zeitpunkt 3
( = 5·300 - 2·500)
500
Zeitpunkt 2
15 Y5 = 1
0,8
X15 7 W2 = 2 Y15
X15 = 2 Y15 = 0
500
( = 4·300 - 2·500) Y14 = 0
X14 = 1 X14 6
W2 = 1 Y14
0,2
Zeitpunkt 1
X5 3 W1 = 2 Y5 440
5
X5 = 2
Zeitpunkt 0
X1 1 W0 = 2 Y1
1
X1 = 1 Y1 = 1
0,3
0,7
200
400 7 X13 W2 = 2 Y13 400 14
X5 = 1 Y5 = 0
0,8
0,2
13
X13 = 1 Y13 = 0
200
( = 3·300 - 500)
( = 3·300 - 500) 400 X12 = 1 Y12 = 0 X12 6 W2 = 1 Y12 400
( = 3·300 - 500)
400 X11 = 1 Y11 = 0 X4 = 1 Y4 = 0 2 X4 W1 = 1 Y4 400
4
740
X3 = 2 Y3 = 0 3
X3 3 W1 = 2 Y3
0,3 X1 = 2 Y1 = 2
0,7
X11 5 W2 = 2 Y11 400 12
Y10 = 0
X10 4 W2 = 1 Y10 400 11
0,8
9
0,8
X9 7 W2 = 2 Y9 800 10
X9 = 2 Y9 = 0
X10 = 1
800
400
( = 3·300 - 500)
( = 6·300 - 2·500)
( = 5·300 - 2·500)
500
X8 6 W2 = 1 Y8
X8 = 1 Y8 = 0
500
( = 5·300 - 2·500) 500 X7 5
W2 = 2 Y7 500 8
7 0,2
X 7= 2
Y7 = 0
200 X2 2 W1= 1 Y2 260
2
X2 = 1 Y2 = 0
X6 4 W2 = 1 Y6 200
0,8
6
X6 = 1 Y6 = 0
Gewinne
( = 4·300 - 2·500)
Kapitel XIII
Abb. XIII.3: Entscheidungsbaum für das Beispiel
2.4.2.2 Erstellung einer Ergebnismatrix
Die optimale Strategie kann in der Weise bestimmt werden, dass auf der Basis des Entscheidungsbaumes XIII.3 eine Ergebnismatrix konstruiert wird. Hierzu werden zunächst die (drei) Strategien beschrieben, die im Entscheidungsbaum enthalten sind: Strategie A1: In der Entscheidungssituation 1, also zum Zeitpunkt 0, werden zwei Produktionsanlagen angeschafft und beide Aufträge angenommen (Y1 = X1 = 2). In jeder später noch möglichen Entscheidungssituation 2, 3, 6, 7, 8 bzw. 9 werden keine weiteren Produktionsanlagen gekauft und die jeweils eingehenden Aufträge angenommen. Mit anderen Worten: Zum Zeitpunkt 0 werden zwei Produktionsanlagen angeschafft und zu den Zeitpunkten 0, 1 und 2 alle eingehenden Aufträge angenommen. Strategie A2: In der Entscheidungssituation 1 wird eine Produktionsanlage angeschafft und ein Auftrag angenommen (Y1 = X1 = 1). In den später möglichen Entschei-
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
495
dungssituationen 4 und 5 wird jeweils ein Auftrag angenommen und keine weitere Anlage gekauft. Dasselbe gilt für die jeweils noch möglichen Folgesituationen 10 und 11 bzw. 12 und 13. Mit anderen Worten: Zum Zeitpunkt 0 wird eine Produktionsanlage angeschafft und zu jedem Zeitpunkt 0, 1 und 2 ein Auftrag angenommen. Strategie A3: In der Entscheidungssituation 1 wird eine Produktionsanlage beschafft und ein Auftrag angenommen (Y1 = X1 = 1). Tritt zum Zeitpunkt 1 der Zustand 2 und damit die Entscheidungssituation 4 ein, wird keine weitere Produktionsanlage beschafft und ein Auftrag angenommen (Y4 = 0; X4 = 1). Dasselbe gilt für die Entscheidungssituationen 10 und 11. Tritt zum Zeitpunkt 1 der Zustand 3 und damit die Entscheidungssituation 5 ein, wird eine zweite Produktionsanlage gekauft und es werden beide Aufträge angenommen (Y5 = 1 und X5 = 2). In den Entscheidungssituationen 14 und 15 werden die jeweils eingehenden Aufträge angenommen und keine Produktionsanlage mehr gekauft. Jeder Strategie entspricht eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über den Gesamtgewinn. Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit Hilfe der Ergebnismatrix XIII.1 dargestellt: Wahrscheinlichkeiten 10,70,8 = 0,56
10,70,2 = 0,14
W0 = 2, W1 = 1, W2 = 1
W0 = 2, W1 = 1, W2 = 2
10,30,2 = 0,06
10,30,8 = 0,24
Entwicklung der Auftragseingänge W0 = 2, W1 = 2, W2 = 1
W0 = 2, W1 = 1, W2 = 2
(Zustände 1,2,4) (Zustände 1,2,5) (Zustände 1,3,6) (Zustände 1,3,7) A1
200
500
500
800
A2
400
400
400
400
A3
400
400
200
500
Matrix XIII.1: Ergebnismatrix für das Beispiel
In der Vorspalte werden die Strategien aufgeführt, in der Kopfzeile die möglichen Auftragsfolgen, gekennzeichnet durch die entsprechenden Knotenfolgen des Zustandsbaumes, und deren Wahrscheinlichkeiten. Jeder Konstellation von Strategie und Auftragsfolge wird der entsprechende Gesamtgewinn zugeordnet. Zur Bestimmung der optimalen Alternative wird zunächst davon ausgegangen, der Investor sei risikoneutral. Auf der Grundlage der Ergebnismatrix XIII.1 kann für jede Strategie der Erwartungswert des Gewinns bestimmt werden: A1 A2 A3
o o o
404 400 412.
Optimal ist die Strategie A3: Zum Zeitpunkt 0 wird eine Produktionsanlage beschafft. Die endgültige Entscheidung über die zweite Anlage wird um eine Periode „verscho-
496
Kapitel XIII
ben“. Sie wird zum Zeitpunkt 1 genau dann erworben, wenn zwei Aufträge eingehen, d.h. Zustand 3 eintritt. Ist der Entscheider nicht risikoneutral, so wird zunächst die Ergebnismatrix XIII.1 in eine Entscheidungsmatrix überführt, indem die Gewinne durch Nutzenwerte substituiert werden. Dann werden die Nutzenerwartungswerte der Alternativen A1, A2 und A3 berechnet. Optimal ist die Alternative mit dem höchsten Nutzenerwartungswert. 2.4.2.3 Roll-Back-Verfahren
Die Planungsarbeit kann vereinfacht werden, indem keine Ergebnismatrix ermittelt, sondern auf dem Entscheidungsbaum aufbauend durch retrogrades (rekursives) Aufrollen des Entscheidungsproblems die optimale Strategie bestimmt wird („Roll-Back“Verfahren). Dabei ist es nicht notwendig, alle Strategien explizit zu bewerten. Zunächst wird wieder angenommen, der Investor sei risikoneutral. Ausgangspunkt für die Lösung des Entscheidungsproblems ist der Zeitpunkt 2. Jedem der Entscheidungsknoten 6,7,...,15 wird derjenige Gesamtgewinn zugeordnet, der bei Eintreten der entsprechenden Entscheidungssituation erzielt wird (Abbildung XIII.3). Danach wird jedem Entscheidungsknoten, der dem Zeitpunkt 1 entspricht (das sind die Knoten 2,3,4 und 5), der Erwartungswert des Gewinns zugeordnet, der bei Eintreten dieser Entscheidungssituation erzielt wird: In der Entscheidungssituation 2 zum Beispiel ist es optimal, wenn keine Anlage gekauft und der eingehende Auftrag angenommen wird. Bei dieser Entscheidung tritt zum Zeitpunkt 2 mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 (0,2) die Entscheidungssituation 6 (7) ein, der ein Gewinn von 200 (500) entspricht. Somit entspricht der Entscheidungssituation 2 ein Gewinnerwartungswert von 0,8 200 + 0,2 500 = 260. Entsprechend sind die Gewinnerwartungswerte für die Entscheidungssituationen 3 und 4 zu bestimmen. Vom Knoten für die Entscheidungssituation 5 gehen zwei Aktionskanten aus. Der Aktion „Y5 = 0,X5 = 1“ entspricht der Gewinnerwartungswert 0,2 400 + 0,8 400 = 400. Der Aktion „Y5 = 1,X5 = 2“ entspricht der Gewinnerwartungswert 0,2 200+0,8 500 = 440. Diese zweite Aktion ist somit optimal; dem Knoten für die Entscheidungssituation 5 wird ein Gewinnerwartungswert von 440 zugeordnet. Im Entscheidungsbaum kann diese Auswahl durch Abstreichen des suboptimalen Kantenzuges verdeutlicht werden. Schließlich wird die optimale Aktion für die Entscheidungssituation 1 bestimmt. Bei Wahl der Aktion „Y1 = 2, X1 = 2“ ergibt sich zum Zeitpunkt 1 entweder die Entscheidungssituation 2 oder 3; bei Wahl der Aktion „Y1 = 1, X1 = 1“ tritt entweder die Entscheidungssituation 4 oder 5 ein. Jeder der Entscheidungssituationen 2,3,4 und 5 wurde bereits der entsprechende Gewinnerwartungswert zugeordnet. Mit Hilfe dieser Erwartungswerte kann die optimale Aktion für die Entscheidungssituation 1 bestimmt werden: Bei der Aktion „Y1 = 2,X1 = 2“ wird der Gewinnerwartungswert 0,7 260 + 0,3 740 = 404 erzielt, bei der Aktion „Y1 = 1, X1 =1“ der Gewinnerwartungswert 0,7 400 + 0,3 440 = 412. Die zuletzt genannte Aktion ist somit optimal. Es erweist sich also wieder die Strategie A3 als optimal: Zum Zeitpunkt 0 wird eine Produktionsanlage beschafft. Zum Zeitpunkt 1 wird genau dann eine zweite Produkti-
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
497
onsanlage erworben, wenn die Entscheidungssituation 5 eintritt, also zwei Aufträge eingehen. In jeder möglichen Entscheidungssituation werden so viele Aufträge angenommen, wie eingehen und abgewickelt werden können. Bei Risikoaversion kann die optimale Strategie im Prinzip ebenso bestimmt werden wie bei Risikoneutralität: Anstelle der Gewinne treten die entsprechenden Nutzenwerte. Den Entscheidungssituationen werden keine Gewinnerwartungswerte, sondern die entsprechenden Nutzenerwartungswerte zugeordnet. Optimal ist die Strategie mit dem maximalen Nutzenerwartungswert. Sie hängt von der Gestalt der Nutzenfunktion ab. Der Entscheidungsbaum stellt lediglich ein Instrument zur Strukturierung und Beschreibung von Strategien dar. Er lässt offen wie diese zu bewerten sind. Hier wurde vom Ziel subjektiver Nutzenmaximierung (Maximierung des Erwartungswertes bzw. des Erwartungsnutzens) ausgegangen. Das Roll-Back-Verfahren kann jedoch analog auch beim Ziel der Maximierung des Marktwertes des Investitionsprogramms angewendet werden. Darauf kommen wir in Kapitel XIV, Abschnitt 9, zurück.
2.4.3
Zustandsbaumverfahren
2.4.3.1 Symbole
Es wird nun gezeigt, wie die optimale Strategie für einen beliebigen Zinssatz rt0 mit Hilfe des Zustandsbaumverfahrens ermittelt werden kann. Das Modell beschreibt nicht wie das Entscheidungsbaumverfahren Aktionsstrategien explizit, sondern mit Hilfe von Entscheidungsvariablen, deren optimalen Werte mit ganzzahliger linearer Programmierung bestimmt werden können. Zur Erfassung der möglichen Endvermögenswerte für den Zeitpunkt 3 müssen nun auch für diesen Zeitpunkt Zustände definiert werden. Der für die Auftragseingänge maßgebliche Zustandsbaum XIII.2 kann in einfacher Weise zu einem vollständigem Zustandsbaum erweitert werden (Zustandsbaum XIII.4). Um den Vergleich mit späteren Darstellungen zu erleichtern, werden nun die Zustände allgemein mit St,s bezeichnet. Der Index t bringt den Zeitpunkt zum Ausdruck, auf den sich der Zustand bezieht. Mit dem Index s werden die in einem Zeitpunkt t > 0 möglichen Zustände fortlaufend nummeriert. Neben den Zustandsknoten für die Zeitpunke 0, 1 und 2 ist in Abbildung XIII.4 die Zahl der jeweils eingehenden Aufträge dargestellt. Jedem Zustand S2,s folgt nur ein Zustand für den Zeitpunkt 3. Damit wird zum Ausdruck gebracht, dass zum Zeitpunkt 2 nach Eintreten eines Zustands S2,s sichere Erwartungen bestehen: Die Annahme eines oder zweier Aufträge zum Zeitpunkt 2 führt zu einem sicheren Deckungsbeitrag, die Anlage von Kapital zum Zinssatz r zu einem sicheren Mittelrückfluss, so dass ein sicheres Endvermögen erzielt wird.
498
Kapitel XIII
2
S0
Zeitpunkt 0
0,3
2
0,8
2
S 2,1
0,7
S1,1
1
0,2
1
0,2
S 2, 2
2
1
1
S3,1
S3,2
S3,3
Zeitpunkt 1
0,8
S 2,3
1
S1,2
1
S 2, 4
Zeitpunkt 2
1 Zeitpunkt 3 S3,4
Abb. XIII.4: Zustandsbaum für alle bewertungsrelevanten Zuständen des Beispiels
Symbole V3,s x0
x1,s (s = 1,2)
x2,s (s = 1,2,3,4) y0
y1,s (s = 2,3)
k0
kt,s
Endvermögen bei Eintreten des Zustands S3,s (s = 1,2,3,4) Zahl der Aufträge, die zu Beginn der ersten Periode angenommen (und während dieser Periode abgewickelt) werden, Zahl der Aufträge, die zu Beginn der zweiten Periode angenommen werden, falls dann Zustand S1,s eintritt, Zahl der Aufträge, die zu Beginn der dritten Periode angenommen werden, falls dann Zustand S2,s eintritt, Zahl der Produktionsanlagen, die zum Zeitpunkt 0 gekauft werden, Zahl der Produktionsanlagen, die zum Zeitpunkt 1 gekauft werden, falls dann Zustand S1,s eintritt. Betrag, der im Zeitpunkt 0 bis zum Zeitpunkt 1 zum Zinssatz r angelegt wird. (Im Fall k0 < 0 wird der entsprechende Betrag geliehen.) Betrag, der im Zustand St,s (t=1,2) bis zum Ende der jeweiligen Periode angelegt wird.
2.4.3.2 Das Modell
Die Zielfunktion des Modells lautet bei Risikoneutralität des Investors: (XIII.1)
~ E(V3 )
0,24 V3,1 0,06 V3,2 0,14 V3,3 0,56 V3,4 o Max!
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
499
Jede Variable V3,s (s =1,2,3,4) wird mit der Eintrittswahrscheinlichkeit für die entsprechende Auftragsfolge multipliziert. (Vgl. Matrix XIII.1.) V3,s (s = 1,2,3,4) ist gleich dem Deckungsbeitrag der im Zustand S2,s angenommen x2,s Aufträge zuzüglich des in diesem Zustand angelegten Betrages k2,s einschließlich der Zinsen r k2,s. Somit gelten folgenden Nebenbedingungen: (XIII.2)
V3,1 = x2,1 300 + (1 + r) k2,1,
(XIII.3)
V3,2 = x2,2 300 + (1 + r) k2,2,
(XIII.4)
V3,3 = x2,3 300 + (1 + r) k2,3,
(XIII.5)
V3,4 = x2,4 300 + (1 + r) k2,4.
In keinem Zustand können mehr Aufträge angenommen werden als eingehen. Es gilt folglich (vgl. den Zustandsbaum in Abbildung XIII.3 bzw. XIII.4): (XIII.6)
x0 d 2,
(XIII.7)
x1,1 d 2,
(XIII.8)
x1,2 d 1,
(XIII.9)
x2,1 d 2,
(XIII.10)
x2,2 d 1,
(XIII.11)
x2,3 d 2,
(XIII.12)
x2,4 d 1.
In der Periode 1 können höchstens so viele Aufträge abgewickelt wie zu deren Beginn Produktionsanlagen gekauft werden. Es gilt daher die „Kapazitätsbedingung“: (XIII.13)
x0 d y0.
Die Zahl der Aufträge, die in Periode 2 abgewickelt werden, kann nicht größer sein als die Zahl der Produktionsanlagen, die zu den Zeitpunkten 0 und 1 gekauft werden. Für Periode 2 gelten daher folgende Kapazitätsbedingungen: (XIII.14)
x1,1 d y0 + y1,1,
(XIII.15)
x1,2 d y0 + y1,2.
Analog gelten folgende Kapazitätsbedingungen für Periode 3: (XIII.16)
x2,1 d y0 + y1,1,
(XIII.17)
x2,2 d y0 + y1,1,
(XIII.18)
x2,3 d y0 + y1,2,
(XIII.19)
x2,4 d y0 + y1,2.
500
Kapitel XIII
Zur Aufrechterhaltung des finanziellen Gleichgewichts gelten folgende Nebenbedingungen (Finanzrestriktionen). Für den Zeitpunkt 0: (XIII.20)
500 y0 + k0 = V0.
Hierin bezeichnet V0 wie üblich das zum Zeitpunkt 0 vorhandene Geldvermögen. Es ist hier eine modellexogene Größe und erhöht die Endvermögenswerte V3,s (s = 1,2,3,4) in der Zielfunktion (XIII.1) um den Betrag (1 r ) 3 V0 . Bei der angenommenen Risikoneutralität könnte V0 ohne weiteres vernachlässigt werden. Da dann kein Reichtumseffekt besteht, wird dieselbe optimale Strategie bestimmt, dieser allerdings ein um (1 r ) 3 V0 geringerer Erwartungswert des Endvermögens zugeordnet. Ist der Investor risikoavers und verläuft seine Nutzenfunktion nicht exponentiell, besteht ein Reichtumseffekt, so dass die optimale Strategie nicht unabhängig von V0 bestimmt werden kann. V0 hat dann als Modellbestandteil eigenständige Bedeutung. Für den Zeitpunkt 1 gelten die Finanzrestriktionen: (XIII.21)
500 y1,1 + k1,1 = 300 x0 + (1 + r) k0,
(XIII.22)
500 y1,2 + k1,2 = 300 x0+ (1 + r) k0.
Für den Zeitpunkt 2 gelten die Finanzrestriktionen (es sei daran erinnert, dass hier keine Produktionsanlage mehr gekauft wird): (XIII.23)
k2,1 = 300 x1,1 + (1 + r) k1,1,
(XIII.24)
k2,2 = 300 x1,1 + (1 + r) k1,1,
(XIII.25)
k2,3 = 300 x1,2 + (1 + r) k1,2,
(XIII.26)
k2,4 = 300 x1,2 + (1 + r) k1,2.
Schließlich gelten noch Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen y und x. Die optimale Lösung des Modells hängt (auch) von r ab. Für r=0 stimmt sie mit der nach dem Entscheidungsbaumverfahren ermittelten überein: y0 = 1,
y1,1 = 1,
y1,2 = 0,
x0 = 1,
x1,1 = 2,
x1,2 = 1,
x2,1 = 2,
x2,2 = 1,
x2,3 = 1,
x2,4 = 1.
Optimal ist Strategie A3: Im Zustand S0 (Zeitpunkt 0) wird eine Anlage gekauft (y0 = 1) und ein Auftrag angenommen (x0 = 1). Tritt zum Zeitpunkt 1 der Zustand S1,1 ein, gehen also zwei Aufträge ein, werden eine zweite Produktionsanlage gekauft (y1,1 = 1) und beide Aufträge angenommen (x1,1 =2). Tritt zum Zeitpunkt 1 der Zustand S1,2 ein, geht also ein Auftrag ein, wird der Auftrag angenommen (x1,2 =1) und keine weitere Produktionsanlage erworben (y1,2 = 0). Tritt zum Zeitpunkt 2 einer der Zustände S2,2, S2,3 und S2,4 ein, wird jeweils ein Auftrag angenommen (x2,2 = 1; x2,3 =1; x2,4 =1). Zwar gehen
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
501
im Zustand S2,3 zwei Aufträge ein. Die Kapazität erlaubt aber nur die Abwicklung eines Auftrages, da dem Zustand S2,3 der Zustand S1,2 vorausgeht, in dem keine zweite Produktionsanlage beschafft wird. Tritt zum Zeitpunkt 2 der Zustand S2,1 ein, werden beide zum Zeitpunkt 2 eingehenden Aufträge angenommen (x2,1 =2). Ist der Investor risikoavers, tritt an die Stelle der Zielfunktion (XIII.1) Zielfunktion: (XIII.1a) ~ E[ U(V3 )]
0,24 U(V3,1 ) 0,06 U(V3,2 ) 0,14 U(V3,3 ) 0,56 U(V3,4 ) o Max!
U(V3,s) (s =1,2,3,4) bezeichnet den Nutzen des Endvermögens V3,s. Die Nebenbedingungen des Modells müssen nicht modifiziert werden. Die Zielfunktion (XIII.1a) ist (wegen der Konkavität der Funktion U) nicht linear. Damit das Modell (XIII.1a), (XIII.2) bis (XIII.26) mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung gelöst werden kann, ist die Zielfunktion in eine lineare zu überführen, Dies kann in der Weise geschehen, dass die Nutzenfunktion U stückweise linearisiert wird.2 Im Modell können im Prinzip auch riskante zustandsabhängige Kapitalmarkttransaktionen erfasst werden (Kapital XIV und XV). Dazu ist allerdings im Allgemeinen der Zustandsbaum zu erweitern, um der Ungewissheit hinsichtlich der Wertpapierpreise (einschließlich Zinsen und Dividenden) Rechnung tragen zu können.
2.5
Starre versus flexible Planung
Bei starrer Planung wird in der Weise gegen das Prinzip der flexiblen Planung verstoßen, dass zwar simultan über gegenwärtige und zukünftige Maßnahmen entschieden wird, die zukünftigen Maßnahmen aber nicht in Form bedingter Pläne (Eventualpläne), sondern ohne Rücksicht auf die Umweltentwicklung festgelegt werden. Starre Planung impliziert, es müsse schon bei der Festlegung der Aktionen für den Beginn des Planungszeitraumes eine endgültige und unwiderrufliche Entscheidung darüber getroffen werden, welche Folgeaktionen in den späteren Perioden des Planungszeitraumes realisiert werden. Natürlich müssen auch bei starrer Planung die ursprünglichen Pläne nicht unbedingt eingehalten werden. Diese Pläne können im Zeitablauf immer wieder revidiert werden, wenn Zustände eintreten, für die sie nachteilig erscheinen. Starre Planung mit ständiger Planrevision wird als „rollende“ oder „revolvierende“ Planung bezeichnet.3
2
3
Zur stückweisen linearen Approximation von Zielfunktionen und Nebenbedingungen vgl. KISTNER (2003, S. 165 ff.) Bei rollender Planung erfolgt im Allgemeinen noch eine weitere Vereinfachung in der Weise, dass der Planungszeitraum „verkürzt“ wird. Dabei werden bei der Planung zum Zeitpunkt 0 noch nicht alle Zeitpunkte bis zum Zeitpunkt T explizit berücksichtigt, sondern nur die bis zu einem Zeitpunkt T* < T. Bei der Planung in zukünftigen Zeitpunkten wird dann der Planungshorizont (bis zu dem ex-
502
Kapitel XIII
Bei rollender Planung werden also die Pläne im Zeitablauf immer wieder der eintretenden Umweltentwicklung angepasst. Trotzdem handelt es sich um starre Planung, da die Möglichkeiten einer späteren Anpassung nicht von vornherein gesehen und einkalkuliert werden. Dem Prinzip der flexiblen Planung wird nicht schon damit entsprochen, dass die Planung im Zeitablauf fortwährend revidiert wird; die Revisionsmöglichkeiten und deren Folgen sind im Rahmen bedingter Pläne vorweg im Kalkül zu erfassen. Starre und flexible Planung können zu unterschiedlichen Aktionen (auch) für den Zeitpunkt 0 führen. Bei starrer Planung werden eben die Aktionen für den Zeitpunkt 0 nur mit genau einer Folge späterer Aktionen „optimal“ abgestimmt. Zwar können in Zukunft die Pläne für die Zeitpunkte 1,2,…,T revidiert werden. Der Plan für den Zeitpunkt 0 ist dann aber realisiert, so dass vorteilhafte Anpassungen an die Besonderheiten alternativer Umweltentwicklungen möglicherweise von vornherein „verbaut“ sind. Die Erstellung von Eventualplänen für zukünftige Zeitpunkte ermöglicht dagegen, für den Beginn des Planungszeitraumes einen Aktionsplan zu bestimmen, der unter Berücksichtigung der möglichen Folgeaktionen zu einer guten Wahrscheinlichkeitsverteilung über das Gesamtergebnis führt. Zur Verdeutlichung dient nochmals das Beispiel von Abschnitt 2.4, wobei angenommen wird, der Entscheider sei risikoneutral. Bei flexibler Planung erweist sich für r = 0 die Strategie A3 als optimal. Diese Strategie wird bei starrer Planung überhaupt nicht in Betracht gezogen. Mit der Zahl der zum Zeitpunkt 0 anzuschaffenden Produktionsanlagen wird (bei starrer Planung) zugleich die Zahl der in Zukunft zu installierenden Anlagen definitiv (nicht zustandsabhängig) festgelegt. Es werden nur die Alternativen A1 und A2 erwogen, von denen A1 den höheren Gewinnerwartungswert aufweist. Bei starrer Planung werden somit zum Zeitpunkt 0 zwei Anlagen beschafft (statt einer Anlage bei flexibler Planung). Dadurch sinkt der Gewinnerwartungswert gegenüber der Wahl der Alternative A3 um (412 404 =) 8 GE. Bei bestimmten Problemstrukturen kann natürlich die starre Planung zu (annähernd) ebenso guten Aktionen führen wie die flexible Planung. A priori ist jedoch in komplexeren Entscheidungssituationen nur schwer abzuschätzen, ob sich bei starrer Planung wesentliche oder nur geringfügige Nachteile ergeben. Die Forschung kann den Einblick in die Zusammenhänge erleichtern, indem sie für verschiedene Typen von Entscheidungssituationen untersucht, zu welchen Unterschieden starre und flexible Planung jeweils führen. Einen ersten Versuch in dieser Hinsicht hat INDERFURTH (1977; 1979) unternommen.
2.6
Flexibilität und Elastizität
Hier wird „Flexibilität als Eigenschaft eines Planungsverfahrens definiert, das durch eine bestimmte Vorgehensweise gekennzeichnet ist, nämlich dadurch, dass Eventualentscheidungen für spätere Zeitpunkte getroffen werden, soweit die zu früheren Zeitpunk-
plizit Pläne erstellt werden) sukzessive erweitert, so dass den laufenden Planungsaktivitäten jeweils dieselbe Anzahl von Planperioden zugrunde liegt.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
503
ten gewählten Aktionen noch einen Entscheidungsspielraum belassen“ (HAX/LAUX, 1972, S. 322). Eine andere Bedeutung hat der Ausdruck „Flexibilität“, wenn damit eine Eigenschaft eines bestimmten Aktionsprogramms bezeichnet wird. Flexibel in diesem Sinne ist ein Programm in dem Maße, wie es für zukünftige Zeitpunkte noch ein Entscheidungsspielraum belässt. Flexible Planung führt nicht notwendig zur Wahl eines elastischen (d.h. an unterschiedliche Umweltentwicklungen anpassungsfähigen) Aktionsprogramms. Sie kann auch zu dem Ergebnis führen, dass man sich für eine unelastische Planalternative entscheidet. Flexible Planung bedeutet lediglich, dass man für jede Alternative im Rahmen ihrer Elastizität die Möglichkeit bedingter Entscheidungen über zukünftige Aktionen berücksichtigt. Allerdings wird nur bei flexibler Planung der Vorteil korrekt erfasst, der in der Elastizität eines Aktionsprogramms liegt. Dies folgt daraus, dass die flexible Planung in Form von Eventualentscheidungen vorwegnimmt, welchen Gebrauch man von einem zukünftigen Entscheidungsspielraum machen wird. Flexible Planung kann vor allem bei subjektiver Nutzenmaximierung (im Vergleich zur Marktwertmaximierung) geboten sein, weil dann die Optimierung des Risikos durch Planung von Anpassungsfähigkeit im Leistungsbereich besonderes Gewicht hat. Flexible Planung ermöglicht es, das aus alternativen Aktionsprogrammen in diesem Bereich resultierende Risiko mit Hedgemaßnahmen im Finanzbereich abzustimmen und damit ein optimales „Gesamtportefeuille“ von Maßnahmen zu erzielen.
3
Ein allgemeines Bewertungskonzept auf der Basis flexibler Planung
3.1
Planung der optimalen Überschüsse und Ermittlung eines Grenzpreises als simultanes Entscheidungsproblem
Eine exakte Bewertung setzt – wenn man von der Notwendigkeit der Vereinfachung vorerst absieht (vgl. hierzu Abschnitt 4) – im Allgemeinen die Kenntnis der optimalen Aktionen des Investors bei Kauf des Bewertungsobjekts und bei Verzicht auf Kauf voraus. Andernfalls ist der Preis nicht zu ermitteln, der höchstens gezahlt werden kann, ohne dass infolge des Kaufs die Zielvariable des potenziellen Käufers sinkt. Der Wert des Bewertungsobjekts ist tendenziell dann hoch, wenn es gegenüber dem Status quo vorteilhafte Aktionsräume eröffnet, etwa durch die Bereitstellung von Produktionskapazitäten für alte und neue Produkte, die Durchführung von Rationalisierungsmaßnahmen oder die Erschließung neuer bzw. erweiterter Beschaffungs- oder Absatzmärkte Bei der Bewertung auf Basis der flexiblen Planung wird noch nicht definitiv festgelegt, welche Aktionen in Zukunft mit und ohne Bewertungsobjekt ergriffen werden. Für jeden zukünftigen Aktionszeitpunkt wird vielmehr ein System bedingter Teilpläne aufgestellt: Welcher Teilplan in einem zukünftigen Zeitpunkt realisiert wird, hängt von der bis zu diesem Zeitpunkt eingetretenen Umweltentwicklung ab, also auch von den Informationen, die dem potenziellen Käufer bis zu diesem Zeitpunkt zugehen.
504
Kapitel XIII
In Literatur und Praxis erfolgt die Bewertung im Allgemeinen, indem dem Bewertungsobjekt ex ante (ungewisse) Überschüsse zugerechnet werden. Die ex ante Zurechnung ist zwar relativ einfach, wenn zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt keine bewertungsrelevanten Verbundeffekte bestehen. Jedoch gibt es im Allgemeinen solche Verbundeffekte. Zur Lösung des Zurechnungsproblems wird für diesen Fall vorgeschlagen, die Änderungen der gesamten Überschüsse des Leistungsbereichs zu planen (zu schätzen), die sich gegenüber dem Status quo ergeben, wenn das Bewertungsobjekt gekauft wird und damit optimale Anpassungen vorgenommen werden, und diese Änderungen dem Bewertungsobjekt als dessen Überschüsse zuzurechnen (MOXTER, 1983, S. 91 ff.). Wie soll jedoch die Zurechnung konkret erfolgen?4 Die Änderungen der Überschüsse hängen von den Maßnahmen ab, die der Investor mit und ohne Bewertungsobjekt ergreift. Insbesondere die Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt sind dem Entscheidungsproblem nicht vorgegeben und können i.d.R. auch nicht isoliert von den bisherigen Maßnahmen und deren Änderungen optimal festgelegt werden. Eine simultane Planung aller Maßnahmen ist nicht nur wegen der engen Interdependenzen zwischen den Produktions-, Absatz-, Investitions- und Finanzbereichen erforderlich (Restriktions- und/oder Erfolgsverbund), sondern – bei individueller subjektiver Bewertung – auch aus risikopolitischen Gründen (Risiko- und/oder Bewertungsverbund): Das Risiko, das der Investor bei der Nutzung des Bewertungsobjekts eingeht, hängt auch von den Risiken ab, die mit den Maßnahmen verbunden sind, die er außerhalb dieses Objekts ergreift. In LAUX (1971c) wurde ein allgemeines Modell der Unternehmensbewertung auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung entwickelt, das nicht voraussetzt, dass dem Bewertungsobjekt exogene Zahlungsreihen zugerechnet werden. Durch das Modell werden simultan mit dem Wert die optimalen zustandsabhängigen Aktionen eines potenziellen Käufers für die Fälle festgelegt, dass er das Unternehmen nicht kauft und dass er es zu einem Preis in Höhe seines Wertes kauft. (In ähnlicher Weise kann auch der Unternehmenswert für einen potenziellen Verkäufer ermittelt werden.) Bei der Formulierung des Modells wird berücksichtigt, dass der potenzielle Käufer bei der Bewertung noch nicht endgültig darüber entscheidet, welche Aktionen er bei Kauf durchführen wird, sondern dass seine zukünftigen Aktionen von der Entwicklung seiner Umwelt abhängen.
4
Zur Analyse von Interdependenzproblemen bei der Unternehmensbewertung vgl. LEUTHIER (1988a).
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
3.2
Charakteristik der Bewertungskonzeption
3.2.1
Bewertung auf Basis zweier Teilmodelle
505
Das Modell dient zwar der Ermittlung des individuellen subjektiven Grenzpreises aus Sicht eines potenziellen Käufers, der sich am Ziel orientiert, den Erwartungswert des Nutzens seines Vermögens am Ende des Planungszeitraums („Endvermögen“) zu maximieren. Es ist jedoch so konzipiert, dass es auch die Berücksichtigung anderer Ziele, insbesondere das der Marktwertmaximierung ermöglicht. Bei der folgenden allgemeinen Darstellung der Bewertungskonzeption bleibt z.T. offen, welche konkrete Zielfunktion bewertungsrelevant ist. Dabei ist zu beachten, dass der Wert allgemein definiert werden kann als derjenige Grenzpreis, bei dem sich der Zielfunktionswert (Marktwert oder Erwartungsnutzen der Überschüsse) nicht ändert, sofern das Unternehmen (allgemein: das Bewertungsobjekt) gekauft wird. Zwar kann das Bewertungsmodell im Prinzip unabhängig davon angewendet werden, ob für die Bewertung das Ziel der Marktwertmaximierung oder der subjektiven Nutzenmaximierung maßgeblich ist. Jedoch bestehen – wie noch erläutert wird – bei Marktbewertung erheblich mehr Vereinfachungsmöglichkeiten ohne Einfluss auf den ermittelten Grenzpreis als bei individueller subjektiver Bewertung. Das in LAUX (1971c) beschriebene Bewertungsmodell besteht analog zu den in den Kapiteln VIII, XI und XII beschriebenen Bewertungskonzepten für den Einperioden-Fall grundsätzlich aus zwei (Teil-)Modellen. Mit dem ersten (Teil-)Modell werden die optimalen Aktionen und damit der maximale Zielfunktionswert für den Fall bestimmt, dass das zu bewertende Unternehmen nicht gekauft wird. Das zweite (Teil-)Modell beruht auf der Hypothese, es werde gekauft. Mit Hilfe dieses Modells wird nun der Preis ermittelt, der höchstens gezahlt werden kann, ohne dass bei Kauf der Zielfunktionswert unter den zuvor bestimmten maximalen ohne das Unternehmen sinkt. Simultan damit werden alle Aktionen optimal festgelegt, die bei Kauf zu einem Preis in Höhe des Wertes realisiert werden. Damit wird auch die optimale Verwendung des Bewertungsobjekts geplant. Das zweite Modell erfasst also nicht nur diejenigen Maßnahmen, die direkt mit dem Bewertungsobjekt durchgeführt werden können, sondern auch die ohne das Bewertungsobjekt möglichen Maßnahmen. Nur so kann mit diesem festgestellt werden, welche optimalen Rückwirkungen die Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt auf die Maßnahmen haben, die ohne es durchgeführt werden. Im Rahmen der beiden Modelle wird jeweils jedem Knoten des Zustandsbaumes gemäß dem Zustandsbaumverfahren der flexiblen Planung ein optimaler Teilplan zugeordnet. Den beiden Modellen liegt nicht unbedingt derselbe Zustandsbaum zugrunde. Die Zustände eines Zeitpunkts sind bestimmt durch die für die Planung relevanten Datenkonstellationen, die sich mit und ohne Bewertungsobjekt unterscheiden können.
506
Kapitel XIII
Bezeichnet man den für das Unternehmen gezahlten Preis mit P, lautet die Zielfunktion des zweiten Modells: (XIII.27)
P o Max!
Dabei gilt die Nebenbedingung, dass in Verbindung mit der optimalen Strategie bei Kauf des Bewertungsobjekts ein Markt- oder Nutzenerwartungswert erzielt wird, der mindestens so groß ist wie der ohne es. Im zweiten Modell werden diejenigen Aktionsräume durch Nebenbedingungen erfasst, die sich bei Kauf ergeben. So ist z.B. in Kapazitätsrestriktionen für die Erzeugnisse, deren Herstellung erwogen wird, auch die Kapazität des Unternehmens zu berücksichtigen. Außerdem müssen z.B. in den Nebenbedingungen zur Wahrung des finanziellen Gleichgewichts die fixen Auszahlungen berücksichtigt werden, die mit dem Unternehmen verbunden sind. In der Nebenbedingung zur Wahrung des finanziellen Gleichgewichts für den Zeitpunkt 0 wird auch der Preis P als Auszahlung erfasst. Damit wird berücksichtigt, dass infolge der Zahlung des Kaufpreises zusätzliche finanzielle Mittel beschafft werden müssen und/oder weniger Mittel für andere Kapitalverwendungen zur Verfügung stehen. Das beschriebene Bewertungskonzept für ein Unternehmen kann im Prinzip für ein beliebiges Bewertungsobjekt zugrunde gelegt werden. Dabei hängen der Umfang des zweiten Modells und die Möglichkeiten der Modellvereinfachung von dessen Eigenschaften ab. Das Bewertungskonzept kann auch dann angewendet werden, wenn der Investor wie in den Kapiteln VIII und XI ohne Bewertungsobjekt nur Wertpapiere hält. Mit dem ersten Modell wird dann die optimale Portefeuillestrategie ermittelt, mit dem zweiten der Grenzpreis für das Bewertungsobjekt, wobei simultan auch die optimale Hedgestrategie für dessen Überschüsse bestimmt wird. Wenn kein Reichtumseffekt besteht, kann die Bewertung auch wie folgt vorgenommen werden, ohne dass P simultan mit der Lösung des zweiten Modells bestimmt wird: Es wird von der Fiktion ausgegangen, dass das Bewertungsobjekt unentgeltlich erworben wird. Statt der Zielfunktion (XIII.27) wird dann analog zur Zielfunktion für das erste Modell der maximale Marktwert oder der maximale Erwartungswert des Nutzens mit dem Bewertungsobjekt bestimmt. Ist dieser größer als der ohne Bewertungsobjekt, ist der Wert positiv. Es wird dann jene Anschaffungsauszahlung (zum Zeitpunkt 0) als Grenzpreis bestimmt, die den Zuwachs an Marktwert oder Nutzenerwartungswert gerade kompensiert. Dieses Konzept ist vor allem dann naheliegend, wenn als Zielfunktion die Marktwertmaximierung maßgeblich ist (Abschnitt 4.4). Der Grenzpreis ist dann gleich der Differenz zwischen den Marktwerten der Überschüsse mit und ohne Bewertungsobjekt. Bei Marktwertmaximierung ist die Bewertung durch Differenzbildung deshalb unproblematisch, weil dann (kein Reichtumseffekt besteht und außerdem) die beiden Marktwerte dieselbe Dimension haben wie der Grenzpreis, und zwar GE.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
507
Bei subjektiver Nutzenmaximierung dagegen stellt sich bei nichtlinearer Nutzenfunktion das komplexe Problem, dem Sachverhalt Rechnung zu tragen, dass der Grenzpreis eine andere Dimension als die Differenz der Nutzenerwartungswerte mit und ohne Bewertungsobjekt hat, nämlich GE statt Nutzeneinheit. Besteht zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt weder Restriktionsnoch Erfolgsverbund, kann beim Ziel der Marktwertmaximierung hinsichtlich der Bewertung offen bleiben, welcher Marktwert ohne das Bewertungsobjekt erzielt wird. Wie hoch dieser Marktwert auch sein mag, mit dem Bewertungsobjekt steigt vor Berücksichtigung seiner Anschaffungsauszahlung der Marktwert um den maximalen Marktwert seiner Überschüsse. Der Grenzpreis stimmt mit diesem Marktwert(-zuwachs) überein. Fehlen von Restriktions- und Erfolgsverbund impliziert, dass die Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt keine Rückwirkungen auf die Maßnahmen des sonstigen Leistungsbereichs haben. Es ist z.B. ausgeschlossen, dass im Rahmen des Bewertungsobjekts Maßnahmen mit positivem Marktwert nach Anschaffungsauszahlung durchgeführt werden können, die gleichermaßen auch ohne Bewertungsobjekt realisierbar sind. Da der isoliert ermittelte maximale Marktwert auch diese Maßnahmen enthalten würde, wäre er um die Summe ihrer Marktwerte höher als der (korrekte) Grenzpreis. Allerdings könnte man die betreffenden Maßnahmen im Bewertungskalkül vernachlässigen. Jedoch lassen sich in realistischen Entscheidungssituationen die Auswirkungen von Interdependenzen nicht einfach abschätzen. Bei Restriktions- und/oder Erfolgsverbund stellt sich das Problem der Bewertung als komplexer dar. Bei individueller subjektiver Bewertung sind grundsätzlich darüber hinaus auch Risiko- und Bewertungsverbund zu erfassen.
3.2.2
Relevanz eines Reichtumseffekts
Wenn ein individueller Investor erwägt, das Bewertungsobjekt zu kaufen und der subjektive Grenzpreis nicht mit dem Marktwert identisch ist (weil der Markt unvollständig ist und/oder die Leerverkaufsmöglichkeiten beschränkt sind), besteht bei Risikoaversion grundsätzlich ein Reichtumseffekt, so dass die optimale Strategie bei Kauf des Bewertungsobjekts vom gezahlten Kaufpreis abhängt. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist dann simultan mit der optimalen Strategie bei Kauf zu ermitteln (LAUX, 1971c, S. 534).5
5
Da der Investor annahmegemäß unbegrenzt Kapital zum Zinssatz r aufnehmen kann, dient der Wertpapierhandel primär dazu, Risiken zu hedgen. Ohne Reichtumseffekt sind diese Maßnahmen unabhängig von sicheren Vermögenspositionen des Investors. Wenn der Verhandlungspreis niedriger ist als der ermittelte subjektive Grenzpreis, werden keine zusätzlichen Finanzierungsmöglichkeiten eröffnet. Der Investor legt den ersparten Betrag zum Zinssatz r an (was auch heißen kann, dass er einen geringen Kredit aufnimmt). Wenn die Fremdkapitalaufnahme exogen begrenzt ist, ist P auch für den Fall im Rahmen eines Simultankalküls zu ermitteln, dass bezüglich der Nutzenfunktion kein Reichtumseffekt besteht. (Zur Erfassung von Fremdfinanzierungsobergrenzen bei flexibler Planung nach dem Zustandsbaumverfahren vgl. LAUX, 1971b.)
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Kapitel XIII
Die simultane Ermittlung des individuellen subjektiven Grenzpreises ist auch bei Fehlen eines Reichtumseffekts naheliegend. Die Ermittlung des Preises, der den Unterschied zwischen den Nutzenerwartungswerten mit und ohne Bewertungskonzept kompensiert, stellt jedoch bei nichtlinearer Nutzenfunktion ein komplexes Problem dar. Wird – wie erläutert – im zweiten Modell der Preis P unter der Nebenbedingung maximiert, dass der Nutzenerwartungswert mit dem Bewertungsobjekt nicht unter den ohne es sinkt, erübrigt sich die Kompensationsrechnung. Dabei ist das zweite Modell bei dieser Formulierung nicht komplexer als bei Zugrundelegung des Ziels der Maximierung des erwarteten Nutzens ohne Berücksichtigung eines Kaufpreises für das Bewertungsobjekt. Wenn kein Reichtumseffekt besteht, kann (wenn vom Planungsaufwand abgesehen wird) die individuelle subjektive Bewertung auch auf der Basis des Entscheidungsbaumverfahrens der flexiblen Planung vorgenommen werden. Hierzu wird zunächst der maximale Nutzenerwartungswert ohne Bewertungsobjekt ermittelt. Sodann wird der maximale Nutzenerwartungswert für den Fall ermittelt, dass es unentgeltlich erworben wird. Schließlich wird derjenige (Grenz-)Preis bestimmt, bei dem mit und ohne Bewertungsobjekt derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird. Wie erläutert, stellt jedoch die Ermittlung des Preises, der den Nutzenunterschied für die Fälle mit und ohne Bewertungsobjekt kompensiert, (bei nichtlinearer Nutzenfunktion) ein komplexes Problem dar. Bei Reichtumseffekt versagt jedoch die Bewertung nach dem Entscheidungsbaumverfahren. Die bei Kauf des Bewertungsobjekts optimalen Aktionen bzw. Überschüsse des Bewertungsobjekts hängen dann vom Kaufpreis ab, dessen Obergrenze zu ermitteln ist. Bei der Bewertung ergibt sich ein Zirkularitätsproblem: Zum einen hängt der Grenzpreis von den Überschüssen der optimalen Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt ab, zum anderen werden diese durch den gezahlten Preis bestimmt. Man kann dieses Zirkularitätsproblem im Prinzip durch Iteration lösen: Für das Bewertungsobjekt wird zunächst ein bestimmter Preis angenommen und damit die optimale Strategie und der entsprechende Zielgrößenwert (Nutzenerwartungswert) mit dem Bewertungsobjekt ermittelt. Stimmt er (zufällig) mit dem ohne Bewertungsobjekt überein, stimmt der angenommene Preis mit dem Grenzpreis überein. Ist der Zielgrößenwert mit dem Bewertungsobjekt höher (niedriger), ist der angenommene Preis zu erhöhen (zu reduzieren) und erneut ein maximaler Zielfunktionswert mit dem Bewertungsobjekt zu ermitteln. Der angenommene Preis ist so lange zu modifizieren, bis schließlich die Zielgrößenwerte mit und ohne Bewertungsobjekt übereinstimmen. Jedoch verursacht dieses iterative Verfahren in realen Entscheidungssituationen (ohne radikale Vereinfachung) einen prohibitiv hohen Aufwand. Dabei ist zu beachten, dass der Entscheidungsbaum im Allgemeinen wesentlich umfangreicher ist als der Zustandsbaum. Abgesehen davon kann nach dem Zustandsbaumverfahren der subjektive Grenzpreis simultan mit den optimalen Maßnahmen bei Kauf des Bewertungsobjekts zu diesem Preis ermittelt werden. Zwar verursacht das Zustandsbaumverfahren einen geringeren Bewertungsaufwand, trotzdem wird auch seine explizite Anwendung am Planungsaufwand scheitern. Man
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muss bei der Bewertung erhebliche Vereinfachungen vornehmen. Jedoch kann nur dann zielführend über Vereinfachungen entschieden werden, wenn die „theoretisch richtige“ Bewertungskonzeption bekannt ist. Ist der (ausgehandelte) Kaufpreis niedriger als der individuelle subjektive Grenzpreis und somit der Kauf überhaupt vorteilhaft, ist streng genommen bei Reichtumseffekt im Rahmen eines dritten Modells der flexiblen Planung noch diejenige Strategie zu ermitteln, die in Bezug auf diesen Kaufpreis optimal ist. Dieses Modell erübrigt sich bei Fehlen eines Reichtumseffekts, weil dann das mit dem Bewertungsobjekt optimale Investitions-, Produktions- und Absatzprogramm vom Preis unabhängig ist.
3.3
Beispiel
3.3.1
Bewertung bei Risikoneutralität
Aufbauend auf dem Beispiel in Abschnitt 2.4 soll die Bewertungskonzeption erläutert werden. Es bestehe die Möglichkeit, ein „Unternehmen“ zu kaufen, in dem die in Abschnitt 2.4.1 beschriebenen Aktionen durchgeführt werden können. Das Unternehmen verkörpert hier ausschließlich Optionen auf Realinvestitionen. Wenn der Investor das Unternehmen nicht kauft, lege er das vorhandene Geldvermögen V0 zum Zinssatz r an, womit er ein sicheres Endvermögen von (1 r ) 3 V0 erzielt. Ist der Investor risikoneutral, kann der Wert in der Weise ermittelt werden, dass das in Abschnitt 2.4.3 dargestellte Modell (ohne Berücksichtigung eines Kaufpreises für das Unternehmen) mit der Zielfunktion (XIII.1) gelöst, von dem erzielten Erwartungswert ~ E (V3 ) des Endvermögens das sichere Endvermögen (1 r ) 3 V0 bei Verzicht auf Kauf subtrahiert und die Differenz mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert wird: GPS
~ (1 r ) 3 [E(V3 ) (1 r ) 3 V0 ]
~ (1 r ) 3 E(V3 ) V0 .
Wie erläutert, erhöht der in der Finanzrestriktion (XIII.20) erfasste Vermögenswert V0 bei Risikoneutralität die Endvermögenswerte V3,s (s = 1,2,3,4) und mithin deren Erwartungswert um (1 r ) 3 V0 . Bezeichnet man den Erwartungswert des Endvermögens, der ~ direkt mit dem Unternehmen ohne Berücksichtigung von V0 erzielt wird, mit E(V3 )* , folgt für den subjektiven Grenzpreis: GPS
~ (1 r ) 3 [E (V3 )* (1 r ) 3 V0 (1 r ) 3 V0 ]
~ (1 r ) 3 E (V3 )* .
~ E ( V3 )
3.3.2
Bewertung bei Risikoaversion
Bei Risikoaversion des Investors liegt es nahe, den Grenzpreis analog zur Risikoneutralität wie folgt zu bestimmen: Auf der Basis der Zielfunktion (XIII.1a) wird der maximale Nutzenerwartungswert ohne Berücksichtigung eines Kaufpreises für das Unternehmen ermittelt. Sodann wird diejenige kritische Auszahlung zum Zeitpunkt 3 bestimmt,
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Kapitel XIII
welche die Differenz zwischen diesem Nutzenerwartungswert und dem Nutzen U[(1 r ) 3 V0 ] des sicheren Endvermögens ohne das Unternehmen kompensiert und diese Auszahlung mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Jedoch stellt die Ermittlung der kritischen Auszahlung ein (zu) komplexes Problem dar. Gewichtiger ist folgende Problematik: Wenn die Nutzenfunktion für das Endvermögen nicht exponentiell ist, also ein Reichtumseffekt besteht, ist – wie erläutert – die optimale Strategie bei Unternehmenskauf vom gezahlten Preis abhängig. Der subjektive Grenzpreis kann dann nur simultan mit der optimalen Strategie bestimmt werden. Hierzu ist das in Abschnitt 2.4.3 beschriebene Modell geringfügig zu modifizieren: An die Stelle der Zielfunktion (XIII.1a) tritt die Zielfunktion (XIII.27) P o Max! Dabei ist die Nebenbedingung zu beachten, dass der Erwartungswert des Nutzens bei Kauf des Unternehmens nicht kleiner sein darf als U[(1 r)3 V0 ] : (XIII.28) ~ E[ U(V3 )]
0,24 U(V3,1 ) 0,06 U(V3,2 ) 0,14 U(V3,3 ) U(V3,4 ) t U[(1 r) 3 V0 ] .
An die Stelle von (XIII.20) tritt nun die Finanzrestriktion (XIII.20a) 500 y0 + k0+ P = V0. Alle anderen Nebenbedingungen des Modells in Abschnitt 2.4.3 gelten unverändert.
4
Notwendigkeit und Formen der Vereinfachung bei Planung und Bewertung
4.1
Vereinfachungsproblematik
Bei Verzicht auf Vereinfachung eines Modells der flexiblen Planung würde schon zu Beginn des Planungszeitraumes eine umfassende Strategie bis zum Ende des Planungszeitraumes erarbeitet werden. Für alle als möglich erkannten Umweltentwicklungen würde eine Folge detaillierter (bedingter) Teilpläne erstellt. Von diesen Plänen würde man allenfalls dann abweichen, wenn in Zukunft eine bisher nicht als möglich erkannte Umweltentwicklung eintritt und/oder neue Aktionsmöglichkeiten entdeckt werden. Es ist unmittelbar einsichtig, dass eine solch umfassende Planung in der Realität nicht möglich ist, da hierzu die Planungskapazität nicht ausreicht; zumindest würden zu hohe Planungskosten entstehen. Es stellt sich daher das Problem, an der als theoretisch richtig erkannte Modellstruktur Vereinfachungen vorzunehmen. Wird es vereinfacht, so werden Planungskosten verringert, was tendenziell zu einer Erhöhung der Zielvariablen führt. Die Vereinfachung des Modells kann jedoch andererseits dazu führen, dass der Wert des Unternehmens falsch bestimmt wird. Werden z.B.
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eine oder mehrere mögliche Umweltentwicklungen im Modell vernachlässigt, wird ein zu niedriger Wert ausgewiesen, wenn in diesen Umweltentwicklungen besonders vorteilhafte Aktionsmöglichkeiten für das Bewertungsobjekt gegeben sind. Die Ermittlung eines zu niedrigen Wertes kann dazu führen, dass das Unternehmen nicht gekauft wird, obwohl der geforderte Preis unter dem tatsächlichen Wert liegt. Die Ermittlung eines zu hohen Wertes kann andererseits dazu führen, dass das Unternehmen zu einem Preis gekauft wird, der über dem tatsächlichen Wert liegt. Wie eine Vereinfachung des Modells den Erwartungswert des Endvermögensnutzens des potenziellen Käufers beeinflusst, ist bei der Modellformulierung noch nicht mit Sicherheit bekannt, da dann weder die Lösung des nichtvereinfachten noch die des vereinfachten Modells bekannt ist. Die Modellvereinfachung ist daher ebenfalls ein Entscheidungsproblem bei Unsicherheit. In der Praxis erfolgt die Vereinfachung im Allgemeinen in der Weise, dass die mit dem Bewertungsobjekt verbundenen Überschüsse auf der Basis von Teil- und Globalplänen und von Überschüssen in der Vergangenheit die Erwartungswerte der zukünftigen Überschüsse mehr oder weniger pauschal geschätzt und diese dann mit einem risikoangepassten Zinssatz diskontiert werden. Die pauschale Schätzung ist vor allem dann problematisch, wenn das Bewertungsobjekt nicht isoliert bewertet werden kann, weil es in einem bestehenden Aktionsraum (z.B. den eines Unternehmens) integriert wird. Dem Bewertungsobjekt sind dann als erwartete Überschüsse jene Beträge zuzurechnen, um die sich die erwarteten Überschüsse gegenüber dem Status quo ändern, wenn es gekauft und das Aktionsprogramm „optimal“ an dessen Aktionsräume angepasst wird. In Literatur und Praxis wird der Problematik der Bewertung gegebener stochastischer Überschüsse (etwa der Festlegung eines risikoangepassten Zinssatzes) wesentlich mehr Raum gewidmet als der Prognose zukünftiger Überschüsse. Oft wird davon ausgegangen, diese Überschüsse seien gegeben und nur noch die Problematik ihrer Bewertung behandelt. Bei Diskussion der Sicherheitsäquivalent- und der Risikozuschlagsmethode für die Ermittlung eines subjektiven Grenzpreises werden außerdem i.d.R. nicht die Risiken adäquat erfasst, die zusätzlich zum Bewertungsobjekt für den individuellen Investor bestehen, oder sie werden völlig vernachlässigt. Immer populärer wird auch die „objektivierte“ Marktbewertung gemäß dem CAPM, was impliziert, dass der individuelle subjektive Grenzpreis mit dem kollektiven subjektiven Grenzpreis für den Fall übereinstimmt, dass das Bewertungsobjekt im Rahmen eines börsenorientierten Unternehmens bewertet wird, an dem viele Anteilseigner mit breit gestreuten Risiken beteiligt sind. Zwar sind Vereinfachungen unumgänglich. Jedoch sollte Klarheit darüber bestehen, welche Gefahren von Fehlbewertungen resultieren können, insbesondere ob die Tendenz zur Über- oder zur Unterbewertung besteht. Im Folgenden wird zunächst die Problematik der Vereinfachung eines Planungsmodells mit gegebenen Anschaffungsauszahlungen untersucht. Abschnitt 4.2 befasst sich mit Vereinfachungen bei der Ermittlung einer optimalen Alternative im einstufigen (einperiodigen) Modell. Darauf aufbauend werden in Abschnitt 4.3 Vereinfachungen im mehrstufigen (mehrperiodigen) Modell zur Ermittlung einer optimalen Strategie analysiert. Da die Anschaffungsauszahlungen jeweils gegeben sind, entfallen Bewertungsprobleme.
512
Kapitel XIII
In Abschnitt 4.4 wird die Problematik der Vereinfachung im Bewertungsmodell angesprochen. Dabei werden charakteristische Unterschiede bezüglich der Konsequenzen gegenüber der Vereinfachung eines Planungsmodells mit gegebenen Anschaffungsauszahlungen gezeigt.
4.2
Vorüberlegungen: Vereinfachungen im Einperioden-Modell
Zur Vorbereitung auf Probleme und Möglichkeiten der Vereinfachung sequentieller (mehrperiodiger) Entscheidungsmodelle werden zunächst einstufige (einperiodige) Entscheidungsmodelle betrachtet: Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist aus der Menge mehrerer Alternativen eine auszuwählen. Das Ergebnis der gewählten Alternative hängt vom eintretenden Zustand ab. Eine erste Möglichkeit der Vereinfachung besteht darin, Alternativen zu vernachlässigen (bzw. nicht näher in Betracht zu ziehen): Wenn bereits offensichtlich ist, dass mehrere Alternativen in jedem Zustand jeweils dasselbe Ergebnis bieten, so genügt es, nur eine dieser Alternativen in die Analyse einzubeziehen. Alternativen, die von einer anderen dominiert werden, können ebenfalls vernachlässigt werden, ohne dass die Vereinfachung zu einem Nachteil führen kann. Bieten mehrere Alternativen in jedem Zustand jeweils ähnliche Ergebnisse, ist es immer noch naheliegend, nur eine dieser Alternativen zu berücksichtigen; dadurch sinken die Planungskosten ohne dass besondere Nachteile entstehen können. Eine zweite Möglichkeit der Vereinfachung besteht darin, einen oder mehrere Zustände völlig zu vernachlässigen und/oder Teilmengen von Zuständen, denen ähnliche Ergebnisse entsprechen, jeweils durch einen „mittleren“ Zustand zu repräsentieren. Ein Zustand kann ohne weiteres vernachlässigt werden, wenn alle erwogenen Alternativen in diesem Zustand dasselbe Ergebnis bieten; die Vereinfachung trifft in diesem Fall alle Alternativen gleichermaßen und die Präferenzordnung über die Alternativen bleibt unverändert. Die Vernachlässigung eines Zustandes ist auch dann naheliegend, wenn die Ergebnisse aller Alternativen in diesem Zustand „ähnlich“ sind. Eine dritte Vereinfachungsmöglichkeit besteht bei der Bildung eines Wahrscheinlichkeitsurteils über die Zustände. Eine weitere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, die Ergebnisse der Alternativen weniger genau zu beschreiben. Der Investor überprüft dann nicht mehr exakt, zu welchen Ergebnissen die Alternativen in den einzelnen Zuständen führen, sondern setzt mehr oder weniger grobe Schätzwerte ein. Ein solches Vorgehen kann vor allem im Hinblick auf Zustände mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit sinnvoll sein. Schließlich besteht die Möglichkeit, Vereinfachungen bei der Ermittlung der Nutzenfunktion vorzunehmen. Dabei werden nur für einige der möglichen Ergebnisse die Nutzenwerte explizit nach dem in Kapitel II, Abschnitt 2.2.1, beschriebenen Konzept bestimmt, während die Nutzenwerte für die anderen Ergebnisse mehr oder weniger grob geschätzt werden. Orientiert sich der Entscheider z.B. nur an einer Zielgröße, werden die Nutzenwerte (die Indifferenzwahrscheinlichkeiten) nur für einige Zielgrößenwerte
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explizit bestimmt. Danach wird die Nutzenfunktion approximativ so festgelegt, dass sie durch die bestimmten Punkte verläuft. Zur Beantwortung der Frage, in welcher Weise das Entscheidungsmodell vereinfacht werden soll, muss sich der Entscheider ein Urteil bilden über die möglichen Konsequenzen alternativer Varianten der Vereinfachung. Wäre das Modell (etwa eine Ergebnismatrix) bereits vollständig beschrieben, so wären die Konsequenzen einer nachträglichen Vereinfachung (z.B. einer Vernachlässigung von Zuständen und/oder von Alternativen) noch relativ gut überschaubar. Wenn jedoch das Modell (die Ergebnismatrix) bereits erstellt ist, kann durch eine nachträgliche Vereinfachung allenfalls der Rechenaufwand im Hinblick auf die Bestimmung der Nutzenerwartungswerte der Alternativen verringert werden. Der wesentliche Planungsaufwand wird aber gerade durch die Konstruktion des Modells verursacht: Es müssen Alternativen gefunden (oder erfunden) und beschrieben werden, es muss überprüft werden, von welchen Daten die Ergebnisse abhängen usw. Damit überhaupt eine ins Gewicht fallende Verringerung der Planungsarbeit erreicht wird, müssen schon zu einem Zeitpunkt Modellvereinfachungen vorgenommen werden, zu dem nur vage Anhaltspunkte über die Konsequenzen der des Verzichts auf stärkere Durchdringung des eigentlichen Entscheidungsproblems gegeben sind.
4.3
Vereinfachungen im Mehrperioden-Modell
4.3.1
Vereinfachung durch Globalplanung zukünftiger Maßnahmen
Im Folgenden werden Möglichkeiten und Konsequenzen der Vereinfachung im Rahmen eines sequentiellen Entscheidungsmodells bei Risiko diskutiert. Es wird kein spezielles Modell der flexiblen Planung zugrunde gelegt. Die zu diskutierenden Varianten der Modellvereinfachung können unabhängig davon angewendet werden, ob die flexible Planung mit Hilfe der mathematischen Programmierung erfolgt oder z.B. nach dem „Roll-Back“-Verfahren. Es darf aber nicht übersehen werden, dass eine bestimmte Variante der Vereinfachung den Planungsaufwand in sehr unterschiedlicher Weise verringern kann, je nachdem, welches Modell zugrunde gelegt wird. Die flexible Planung dient in erster Linie dazu, unsichere zukünftige Entwicklungen und Handlungsmöglichkeiten bei der Entscheidung über die gegenwärtigen Aktionsmöglichkeiten zu berücksichtigen. Sie zielt darauf hin, dass gegenwärtig ein solches Aktionsprogramm gewählt wird, das einen „guten“ Entscheidungsspielraum für zukünftige Entwicklungen offen lässt. Im Rahmen der flexiblen Planung kann eine Vereinfachung vor allem in der Weise erfolgen, dass zum Zeitpunkt 0 noch keine umfassende Strategie bis zum Zeitpunkt T bestimmt wird: Ein Detailplan wird zunächst nur für die Aktionen des Zeitpunkts 0 erstellt. Damit diese Aktionen zu einer guten Ausgangsposition für spätere Anpassungen an mögliche Umweltentwicklungen führen, werden die zukünftigen Folgemaßnahmen nicht völlig vernachlässigt. Sie werden jedoch nur in Form einer Grobplanung erfasst, d.h. es werden für zukünftige Entscheidungszeitpunkte relativ wenige Eventualpläne er-
514
Kapitel XIII
stellt, die mehr oder weniger umrissartig vorsehen, was jeweils zu tun ist (Global- oder Grobpläne). Die Aktionen eines Zeitpunkts t (t = 1,2,...,T) werden erst zu diesem Zeitpunkt detailliert festgelegt, wobei im Prinzip ebenso vorgegangen wird wie bei der Erstellung des (Detail-) Planes für den Zeitpunkt 0 (rollende flexible Planung). Bei einem derartigen Planungskonzept erfolgen im Zeitablauf stets neue Planungsaktivitäten. Dabei werden je nach der eintretenden Umweltentwicklung vorhandene bedingte Teilpläne revidiert und/oder detailliert (detaillierter) ausgearbeitet bzw. völlig neue Detailpläne bzw. Globalpläne für spätere Zeitpunkte erstellt. Folgende Formen der Vereinfachung sollen näher betrachtet werden: Vereinfachung des Zustandsbaumes und Vereinfachung bei der Erfassung von Aktionsmöglichkeiten. Grundsätzlich dürfte es bei der praktischen Planung sinnvoll sein, beide Varianten miteinander zu verbinden. Trotzdem sollen sie hier getrennt diskutiert werden, wodurch der Einblick in die Zusammenhänge erleichtert wird.
4.3.2
Vereinfachung des Zustandsbaumes
Eine Vereinfachung des Zustandsbaumes kann dadurch erfolgen, dass mögliche Umweltentwicklungen (Zustandsfolgen) völlig vernachlässigt oder Teilmengen möglicher Umweltentwicklungen durch jeweils „mittlere“ Zustandsfolgen repräsentiert werden und/oder einige Umweltentwicklungen, die ins Modell einbezogen werden, nicht explizit bis zum Zeitpunkt T, sondern nur bis zu einem früheren Zeitpunkt T* < T erfasst werden. Die völlige Vernachlässigung einzelner Umweltentwicklungen ist vor allem dann naheliegend, wenn sie als äußerst unwahrscheinlich anzusehen sind. Die Zusammenfassung eines Bündels von Umweltentwicklungen zu einer mittleren Entwicklung liegt dann nahe, wenn die entsprechenden entscheidungsrelevanten Daten nur wenig voneinander abweichen. Werden mögliche Umweltentwicklungen vernachlässigt oder zusammengefasst, so sinkt die Zahl der Knoten des Zustandsbaumes und damit auch der Planungsaufwand: Erfolgt die Optimierung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes, sind weniger Entscheidungssituationen zu berücksichtigen. Bei Anwendung eines Programmierungsansatzes sinkt die Zahl der Variablen und Nebenbedingungen des Modells. Das vereinfachte Modell weist keine Pläne für die im Zustandsbaum nicht explizit berücksichtigten Umweltentwicklungen aus. Außerdem ergeben sich für die berücksichtigten Zustände i.d.R. andere Teilpläne als bei genauerer Erfassung der Umweltentwicklungen. Das gilt vor allem auch für den Zustand zum Zeitpunkt 0; der Teilplan für diesen Zustand kann eben nur optimal sein im Hinblick auf die im Modell erfassten Umweltentwicklungen. Da bei Vernachlässigung und/oder Zusammenfassung von Zuständen zu Beginn des Planungszeitraumes noch keine vollständige Strategie bis zum Zeitpunkt T bestimmt wird, werden im Zeitablauf immer wieder neue Planungsaktivitäten notwendig. So ist es z.B. nicht sinnvoll, zum Zeitpunkt 1 einen jener Eventualpläne zu realisieren, die zu
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Beginn des Planungszeitraumes für diesen Zeitpunkt 1 erarbeitet wurden; vielmehr werden zum Zeitpunkt 1 die jeweiligen Aktionen im Rahmen weiterer Planungsmaßnahmen festgelegt. Dies kann z.B. in der Form geschehen, dass einer der bereits vorliegenden Eventualpläne für den Zeitpunkt 1 geringfügig verändert wird, ohne dass ein neues konkretes Modell formuliert und gelöst wird. Dieses Vorgehen ist vor allem dann naheliegend, wenn der tatsächlich eingetretene Zustand einem der in den Eventualplänen angenommenen Zustände sehr ähnlich ist. Bei größeren Unterschieden zwischen dem tatsächlichen Zustand und jenen Zuständen, für die Eventualpläne bereits vorliegen, kann sich die Formulierung und Lösung eines neuen Modells der flexiblen Planung als sinnvoll erweisen. Da nun alle Umweltentwicklungen, die nicht mehr eintreten können, im Modell vernachlässigt werden, können die noch möglichen Entwicklungen umfassender berücksichtigt werden als bei der Ausgangsplanung zum Zeitpunkt 0. Bei Zusammenfassung mehrerer möglicher Umweltentwicklungen zu einer „mittleren“ Entwicklung wird für alle diese Umweltentwicklungen dieselbe Folge von Teilplänen erstellt. In der Regel ist es aber selbst dann nicht sinnvoll, diese Teilpläne tatsächlich zu realisieren, wenn eine der betreffenden Umweltentwicklungen eintritt. Denn diese Pläne beziehen sich auf eine fiktive „mittlere“ Umweltentwicklung und nehmen nicht konkret Bezug auf die Besonderheiten jener Umweltentwicklungen, die durch die mittlere repräsentiert werden. Es ist daher in aller Regel vorteilhaft, die betreffenden Pläne im Zeitablauf der tatsächlichen Entwicklung anzupassen. Eine andere Vereinfachungsmöglichkeit besteht darin, den Zustandsbaum und mithin auch den Planungszeitraum zu „verkürzen“. In diesem Fall werden bei der Planung zum Zeitpunkt l nur die Entscheidungen bis zu einem Zeitpunkt T* < T explizit berücksichtigt. (Eventual-) Pläne werden also zunächst nur für die Zeitpunkte 1,2,...,T* erstellt. Eine derartige Vereinfachung ist vor allem dann unumgänglich, wenn T groß ist. Sie führt jedoch im allgemeinen dazu, dass einige oder alle Aktionen, die innerhalb des verkürzten Planungszeitraumes anlaufen, am Ende dieses Zeitraumes (dem Zeitpunkt T*) noch nicht abgeschlossen sind und nach diesem Zeitpunkt noch zu bestimmten Konsequenzen führen. Diese Konsequenzen dürfen nicht ohne weiteres im Modell vernachlässigt werden, da von ihnen abhängt, ob ein bestimmtes Aktionsprogramm auch für die Zeitpunkte t d T* „gut“ oder „schlecht“ ist. Das Problem der Erfassung von Konsequenzen nach dem Ende des Planungszeitraumes ergibt sich vor allem auch bei der betrieblichen Investitionsplanung. Am Ende eines Planungszeitraumes sind nämlich noch nicht abgeschlossene Investitions- und Finanzierungsprojekte vorhanden, die zu späteren Zeitpunkten zu Ein- und Auszahlungen führen oder andere Auswirkungen haben werden. Diese Konsequenzen können in der Weise berücksichtigt werden, dass die zum Zeitpunkt T* noch nicht abgeschlossenen Projekte für den Zeitpunkt T* bewertet und die betreffenden Wertansätze in die Zielfunktion des Modells einbezogen werden (HAX, 1993, S. 91 f.).
516
4.3.3
Kapitel XIII
Vereinfachung bei der Erfassung der Aktionsmöglichkeiten
Es besteht auch die Möglichkeit, bei der Erfassung der (bedingten) Aktionsmöglichkeiten Vereinfachungen vorzunehmen, z.B.: Aktionsmöglichkeiten für die im Modell erfassten Zustände werden nicht berücksichtigt (oder es wird darauf verzichtet, weitere Aktionsmöglichkeiten zu suchen), die Aktivitätsniveaus von Aktionsmöglichkeiten werden dem Modell als Daten vorgegeben, Aktionsmöglichkeiten und deren Konsequenzen werden bei der Formulierung des Modells (zunächst) nur grob umrissen. Werden Aktionsmöglichkeiten für den Zeitpunkt 0 vernachlässigt, so besteht die Gefahr, dass die Berücksichtigung dieser Aktionsmöglichkeiten im Modell erwiesen hätte, dass sie vorteilhaft sind. Zukünftige Aktionsmöglichkeiten, die zum Zeitpunkt 0 vernachlässigt werden, können zwar bei späterer Planung immer noch in den Entscheidungskalkül aufgenommen werden; trotzdem können sich aus ihrer Vernachlässigung zum Zeitpunkt 0 erhebliche Nachteile ergeben. Die Vernachlässigung zukünftiger Absatzmöglichkeiten z.B. kann dazu führen, dass die Produktionskapazität jetzt nicht vergrößert wird. Später wird es vielleicht nicht mehr möglich sein, die Kapazitäten schnell genug zu erweitern, um die sich bietenden Absatzchancen nutzen zu können. Die Vernachlässigung zukünftiger Investitionsmöglichkeiten kann dazu führen, dass bereits jetzt schon alle finanziellen Mittel gebunden werden, obwohl ihre Anlage in den vernachlässigten Projekten vorteilhafter gewesen wäre. Bei Orientierung am Ziel der Marktwertmaximierung resultieren Grenzen der Vereinfachung vorwiegend aus Restriktions- und Erfolgsverbund. Da Transaktionen auf dem Kapitalmarkt keinen Einfluss auf den Marktwert haben, genügt es, Maßnahmen des Leistungsbereichs im Bewertungsmodell zu erfassen. Wenn zwischen bestimmten zukünftigen Maßnahmen und den gegenwärtigen weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht, können die zukünftigen zunächst vernachlässigt werden, ohne dass die Gefahr von Fehlentscheidungen besteht. Die Planung zukünftiger Maßnahmen unter dem Aspekt der unternehmensinternen Risikostreuung hat relativ geringe Bedeutung für ein Unternehmen mit zahlreichen Anteilseignern mit breit gestreuten Portefeuilles. Für einen individuellen Investor, der sich am Ziel subjektiver Nutzenmaximierung orientiert (und für den dieses Ziel aufgrund beschränkter Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten nicht im Einklang mit Marktwertmaximierung steht), resultieren Grenzen der Vereinfachung im wesentlichen auch aus Risiko- und Bewertungsverbund. Es genügt hier nicht, allein den Leistungsbereich zu betrachten. Die optimalen Maßnahmen darin hängen davon ab, wie durch Kapitalmarkttransaktionen das Risiko gehedgt werden kann. Auch wenn zwischen bestimmten zukünftigen und gegenwärtigen Investitionen im Leistungsbereich weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht, kann es sinnvoll sein, sie bei der Planung zu berücksichtigen, weil damit möglicherweise das Risiko erwogener gegenwärtiger Investitionen besser gehedgt werden kann als mit Kapitalmarkttransaktionen. Über bestimmte Teilaktionen kann schon vor der Modellkonstruktion entschieden werden; die gewählten Teilaktionen werden dem Modell als Daten vorgegeben. Beispielsweise könnte im Voraus festgelegt werden, dass zum Zeitpunkt 0 die Maschinen A, B und C gekauft werden und zum Zeitpunkt 1 die Maschinen D, E und F, falls dann
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ein bestimmter Zustand 1 eintritt (z.B. die Nachfrage in einer bestimmten Weise steigt). Durch das Modell wird zwar nicht die Vorteilhaftigkeit der vorgegebenen Teilaktionen überprüft, jedoch die der anderen Aktionen unter Berücksichtigung der vorgegebenen Teilaktionen. Weiterhin kann vereinfacht werden, indem die zukünftigen relevanten Aktionsmöglichkeiten bei der Beschreibung des Modells nur grob umrissen werden. Das Modell führt bei derartigen Vereinfachungen nur zu groben Rahmenplänen für zukünftige Zeitpunkte. Entsprechend den zunächst nur groben Umrissen zukünftiger Aktionsmöglichkeiten können auch die damit verbundenen Konsequenzen zunächst nur grob geschätzt werden. Z.B. können die mit dem Zweigwerk verbundenen Ein- und Auszahlungen deshalb zunächst nur vage antizipiert werden, weil u.a. noch weitgehend offen ist, welche Maschinen bei Errichtung des Zweigwerkes beschafft, welche Produktmenge hergestellt und welche Preise dafür erzielt werden.
4.3.4
Vereinfachung durch die Annahme gegebener zustandsabhängiger Überschüsse
In der Literatur wird oft vereinfacht, indem die Aktionen mit und ohne Bewertungsobjekt nicht genau geplant, sondern als gegeben angenommen oder global geschätzt werden. Im Vordergrund steht das Problem, wie eine gegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung von Überschüssen bewertet werden können. Auch in den beiden nachfolgenden Kapiteln werden eingehend Probleme der Bewertung solcher Wahrscheinlichkeitsverteilungen untersucht. Die Darstellungen dienen auch dazu, Zielfunktionen für Modelle zu begründen, in denen die Überschüsse nicht vorgegeben, sondern modellendogen geplant werden.
4.4
Vereinfachung bei der Bewertung vs. Vereinfachung bei der Investitionsplanung mit gegebenen Anschaffungsauszahlungen
Die Darstellungen zur Vereinfachung der Planung bei gegebenen Anschaffungsauszahlungen („reine“ Planung) können nur zum Teil auf Bewertungsmodelle übertragen werden. Bei „reiner“ Planung können sämtliche zukünftige Maßnahmen vernachlässigt werden, die keinen oder einen „geringen“ Einfluss auf die optimalen gegenwärtigen Maßnahmen haben. Diese Maßnahmen können immer noch in Zukunft auf der Basis des dann vorliegenden Informationsstandes geplant werden. Wie erläutert, besteht bei Orientierung am Ziel der Marktwertmaximierung ein relativ weiter Spielraum für Vereinfachungen. Wird jedoch erwogen, ein Bewertungsobjekt (etwa ein Unternehmen) zu kaufen, ist in stärkerem Maße die Zukunft zu antizipieren. Die durch das Bewertungsobjekt ermöglichten vorteilhaften oder erzwungenen nachteiligen zukünftigen Maß-
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Kapitel XIII
nahmen haben auch dann einen Einfluss auf dessen Wert, wenn sie die gegenwärtigen Maßnahmen bei Kauf nicht beeinflussen. Werden sie vernachlässigt, wird eventuell eine Fehlentscheidung über den Kauf getroffen: Das Bewertungsobjekt wird (nicht) gekauft, obwohl sein Wert niedriger (höher) ist als der Verhandlungspreis. Probleme der Vereinfachung bei gegebener Marktbewertungsfunktion werden in Kapitel XIV, Abschnitt 11, näher untersucht. Beim Ziel individueller subjektiver Nutzenmaximierung ist im Rahmen der Planung aufgrund von Aspekten der Risikomischung eine stärkere Antizipation zukünftiger Maßnahmen als bei Marktwertmaximierung geboten. Die Bewertung des Unternehmens erfordert dann zusätzliche Planungsaktivitäten. Probleme der Vereinfachung individueller subjektiver Bewertung werden in Kapitel XV, Abschnitt 6, untersucht. Kapitel XIV, Abschnitt 12, befasst sich mit der Marktbewertung zukünftiger Erfolgspotentiale gemäß der Optionspreistheorie, wobei Handlungsspielräume im Leistungsbereich eines Unternehmens als „Realoptionen“ interpretiert werden.
5
Resümee
1. Rationale Bewertung setzt voraus, dass diejenigen Überschüsse geplant werden, die mit und ohne Bewertungsobjekt erzielt werden. Planung bedeutet, dass Aktionen aufeinander abgestimmt werden, bei Kauf eines Bewertungsobjekts im Allgemeinen auch die damit realisierten Maßnahmen mit den sonstigen Maßnahmen. Ein Bedarf an Planung entsteht immer dann, wenn die Konsequenzen einzelner Aktionen nicht unabhängig voneinander betrachtet werden können, sondern die Einzelmaßnahmen koordiniert werden müssen. 2. Zur expliziten Erfassung von intertemporalen Interdependenzen sind mehrstufige (sequentielle) Entscheidungsmodelle erforderlich, die simultan mit den gegenwärtigen Maßnahmen mehr oder weniger grob auch die Aktionen für spätere Zeitpunkte erfassen. Da in Zukunft weitere Informationen zugehen, ist es nicht sinnvoll, zukünftige Aktionen vorher schon endgültig festzulegen. Trotzdem darf nicht auf die Planung zukünftiger Maßnahmen verzichtet werden, da sonst die Voraussetzung für eine optimale Entscheidung über die Aktionen zu Beginn des Planungszeitraums fehlt. Einen Ausweg aus diesem Dilemma bietet das Konzept der flexiblen Planung, bei dem nur die gegenwärtig zu ergreifenden Aktionen endgültig festgelegt werden. Simultan damit wird für jeden zukünftigen Aktionszeitpunkt ein System von bedingten Plänen (Eventualplänen) erstellt, wobei die Interdependenzen zwischen den Aktionen verschiedener Zeitpunkte berücksichtigt werden. Welcher Plan zu einem zukünftigen Zeitpunkt tatsächlich realisiert wird, hängt von der Umweltentwicklung ab, die bis dahin eintritt. 3. Oft wird die flexible Planung auf der Basis eines Entscheidungsbaums (Entscheidungsbaumverfahren) diskutiert. Der Entscheidungsbaum stellt eine Erweiterung des Zustandsbaumes dar und kennzeichnet nicht nur die Erwartungsstruktur des Entscheiders über die möglichen Umweltentwicklungen, sondern auch die in den einzelnen Zuständen möglichen Aktionen sowie die Ergebnisse der möglichen Aktionsfolgen.
Das Konzept der flexiblen Planung als Grundlage der Bewertung im Mehrperioden-Fall
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In komplexeren Entscheidungssituationen wird der Entscheidungsbaum so umfangreich, dass praktisch nicht damit gearbeitet werden kann. Es besteht jedoch die Möglichkeit, unmittelbar auf dem Zustandsbaum aufbauend mit Hilfe eines linearen Programmierungsansatzes die optimale Strategie zu bestimmen, ohne sämtliche Strategien explizit beschreiben zu müssen (Zustandsbaumverfahren). 4. Bei der Bewertung auf Basis der flexiblen Planung wird noch nicht definitiv festgelegt, welche Aktionen in Zukunft mit und ohne Bewertungsobjekt ergriffen werden. Für jeden zukünftigen Aktionszeitpunkt wird vielmehr ein System bedingter Teilpläne aufgestellt: Welcher Teilplan in einem zukünftigen Zeitpunkt realisiert wird, hängt von der bis zu diesem Zeitpunkt eingetretenen Umweltentwicklung ab, also auch von den Informationen, die dem potenziellen Käufer bis zu diesem Zeitpunkt zugehen. 5. In Literatur und Praxis erfolgt die Bewertung im Allgemeinen, indem dem Bewertungsobjekt ex ante (ungewisse) Überschüsse zugerechnet werden. Die ex ante Zurechnung ist zwar relativ einfach, wenn zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt keine Verbundeffekte bestehen. Jedoch gibt es vielfach solche Verbundeffekte. Sie können der eigentliche Grund dafür sein, dass der Kauf überhaupt erwogen wird. Die Änderungen der Überschüsse hängen dann von den Maßnahmen ab, die der Investor mit und ohne Bewertungsobjekt ergreift. Insbesondere die Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt sind dem Entscheidungsproblem nicht vorgegeben und können i.d.R. auch nicht isoliert von anderen Maßnahmen optimal festgelegt werden. Eine simultane Planung aller Maßnahmen ist nicht nur wegen Restriktions- und/oder Erfolgsverbund, sondern – vor allem bei individueller subjektiver Bewertung – auch aus risikopolitischen Gründen (Risikound/oder Bewertungsverbund) erforderlich. 6. Es wurde ein allgemeines Bewertungsmodell auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung dargestellt, das nicht voraussetzt, dass dem Bewertungsobjekt exogen Zahlungsreihen zugerechnet werden. Durch das Modell werden simultan mit dem Wert die optimalen Aktionen eines potenziellen Käufers für die Fälle festgelegt, dass er das Unternehmen nicht kauft und dass er es zu einem Preis in Höhe seines Wertes kauft. Das Modell ist so konzipiert, dass es in seiner Grundstruktur sowohl für die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises als auch eines Marktwertes zugrunde gelegt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass der Wert allgemein definiert werden kann als derjenige Grenzpreis, bei dem sich der Zielfunktionswert (Marktwert oder Erwartungsnutzen der Überschüsse) nicht ändert, sofern das Bewertungsobjekt gekauft wird. 7. Das Bewertungsmodell besteht grundsätzlich aus zwei Teilmodellen. Mit dem ersten Modell werden die optimalen Aktionen und damit der maximale Zielfunktionswert für den Fall bestimmt, dass das Bewertungsobjekt (im Beispiel ein Unternehmen) nicht gekauft wird. Das zweite Modell beruht auf der Hypothese, es werde gekauft. Mit Hilfe dieses Modells wird der Preis ermittelt, der höchstens gezahlt werden kann, ohne dass bei Kauf der Zielfunktionswert unter den zuvor bestimmten maximalen ohne Bewertungsobjekt sinkt. Simultan damit werden alle Aktionen optimal festgelegt, die bei Kauf realisiert werden. Damit wird auch die optimale Verwendung des Bewertungsobjekts geplant. Das zweite Modell erfasst also nicht nur diejenigen Maßnahmen, die direkt mit dem Bewertungsobjekt durchgeführt werden können, sondern auch die ohne das Bewertungsobjekt möglichen Maßnahmen. Nur so kann mit dem zweiten Modell festgestellt werden, welche optimalen Rückwirkungen die Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt auf die Maßnahmen haben, die ohne es durchgeführt werden.
520
Kapitel XIII
8. Bei Verzicht auf Vereinfachung würde schon zu Beginn des Planungszeitraumes eine umfassende Strategie bis zum Ende des Planungszeitraumes erarbeitet werden. Für alle als möglich erkannten Umweltentwicklungen würde eine Folge detaillierter (bedingter) Teilpläne erstellt. Es ist unmittelbar einsichtig, dass eine solch umfassende Planung in der Realität nicht möglich ist. Es stellt sich daher das Problem, an der als theoretisch richtig erkannte Modellstruktur Vereinfachungen vorzunehmen. 9. Bei Orientierung am Ziel der Marktwertmaximierung resultieren Grenzen der Vereinfachung vorwiegend aus Restriktions- und Erfolgsverbund. Da zukünftige Transaktionen auf dem Kapitalmarkt keinen Einfluss auf den Marktwert haben, genügt es, Maßnahmen des Leistungsbereichs im Bewertungsmodell zu erfassen. Wenn zwischen bestimmten zukünftigen Maßnahmen und den gegenwärtigen weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht, können bei „reiner“ Investitionsplanung (bei der es nicht um die Bewertung, sondern um die Planung bei gegebenen Anschaffungsauszahlungen geht) diese zukünftigen Maßnahmen zunächst vernachlässigt werden, ohne dass die Gefahr von Fehlentscheidungen besteht. Die Planung zukünftiger Maßnahmen unter dem Aspekt der internen Risikostreuung hat relativ geringe Bedeutung für ein Unternehmen mit zahlreichen Anteilseignern mit breit gestreuten Portefeuilles. 10. Für einen individuellen Investor, der sich am Ziel subjektiver Nutzenmaximierung orientiert und für den dieses Ziel aufgrund beschränkter Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten nicht im Einklang mit Marktwertmaximierung steht, resultieren Grenzen der Vereinfachung im wesentlichen auch aus Risiko- und Bewertungsverbund. Es genügt hier nicht, allein den Leistungsbereich zu betrachten. Die optimalen Maßnahmen darin hängen davon ab, wie durch Kapitalmarkttransaktionen das Risiko gehedgt werden kann. Auch wenn zwischen bestimmten zukünftigen und gegenwärtigen Investitionen im Leistungsbereich weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht, kann es sinnvoll sein, sie bei der Planung zu berücksichtigen, weil damit möglicherweise das Risiko erwogener gegenwärtiger Investitionen besser gehedgt werden kann als mit Kapitalmarkttransaktionen. 11. Vereinfachungen der Planung bei gegebenen Anschaffungsauszahlungen können nur zum Teil auf Bewertungsmodelle übertragen werden. Wie erläutert, können bei „reiner“ Planung sämtliche zukünftige Maßnahmen vernachlässigt werden, die keinen oder einen geringen Einfluss auf die optimalen gegenwärtigen Maßnahmen haben; die betreffenden zukünftigen Maßnahmen können immer noch in Zukunft auf der Basis des dann vorliegenden Informationsstandes geplant werden. Wird jedoch erwogen, ein Bewertungsobjekt zu kaufen, ist in stärkerem Maße die Zukunft zu antizipieren. Die durch das Bewertungsobjekt ermöglichten vorteilhaften oder erzwungenen nachteiligen zukünftigen Maßnahmen haben auch dann einen Einfluss auf den Wert, wenn sie die gegenwärtigen Maßnahmen bei Kauf nicht beeinflussen. Werden sie vernachlässigt, wird eventuell eine Fehlentscheidung über den Kauf getroffen. Beim Ziel individueller subjektiver Nutzenmaximierung ist im Rahmen der Planung aufgrund von Aspekten der Risikomischung eine wesentlich stärkere Antizipation zukünftiger Maßnahmen als bei Marktwertmaximierung geboten. Die Bewertung erfordert dann gegenüber „reiner“ Planung zusätzliche Planungsaktivitäten.
Kapitel XIV Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
1
Problemstellung
Wie in Kapitel XIII erläutert wurde, können das Konzept der flexiblen Planung und darauf basierende Bewertungsmodelle unabhängig davon angewendet werden, ob es um die Ermittlung eines Marktwertes oder eines davon abweichenden subjektiven Grenzpreises geht. Im Prinzip sind nur Unterschieden in den Bewertungsfunktionen für die Überschüsse Rechnung zu tragen, wobei die Nebenbedingung des Modells im Wesentlichen unabhängig von der Bewertungsfunktion sind. Im vorliegenden Kapitel werden Marktbewertungsfunktionen diskutiert und gezeigt, wie sie im Bewertungskalkül erfasst werden können. Wir betrachten die Bewertung eines Bewertungsobjekts für ein börsenorientiertes Unternehmen, dessen Management sich am Ziel der Marktwertmaximierung orientiert. Es werde erwogen, das Bewertungsobjekt zu kaufen. Die Darstellungen sind relativ ausführlich. Sie gelten auch unmittelbar für einen individuellen Investor, sofern (aufgrund vollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten) sein subjektiver Grenzpreis mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts übereinstimmt. Sie haben auch mittelbare Bedeutung für die individuelle subjektive Bewertung. In Kapitel XV, Abschnitt 6.2, wird untersucht, wie der Marktwert eines Bewertungsobjekts tendenziell zu modifizieren ist, um einen Schätzwert für den individuellen subjektiven Grenzpreis zu erhalten. Besondere Beachtung findet im vorliegenden Kapitel die Ermittlung des virtuellen Marktwerts der Aktien eines Unternehmens. Die Darstellungen hierzu gelten analog für einen Teilbereich des Unternehmens oder ein einzelnes Investitionsprojekt, dem Überschüsse zugerechnet werden können. Der Grenzpreis des Bewertungsobjekts ist gleich der Änderung des Marktwertes des Unternehmens als potenziellem Käufer ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung. Wenn zwischen dem Bewertungsobjekt und dem Unternehmen Erfolgs- und/oder Restriktionsverbund besteht, erfordert die Bewertung die Kenntnis des Marktwerts des Unternehmens mit und ohne Bewertungsobjekt. Hat das Bewertungsobjekt keinen Einfluss auf die übrigen Überschüsse des Unternehmens, stimmt der Grenzpreis mit dem Marktwert seiner isoliert ermittelten zukünftigen Überschüsse überein. Es sei daran erinnert, dass zukünftige Transaktionen auf dem Kapitalmarkt keinen Einfluss auf den gegenwärtigen Marktwert (der Aktien) des Unternehmens haben, da die
522
Kapitel XIV
Wertpapierpreise mit den Marktwerten ihrer zukünftigen Überschüsse übereinstimmen. Werden die Überschüsse des Leistungsbereichs im Unternehmen durch Portefeuillebildung gehedgt, erzielen die Anteilseigner keinen Vorteil (aber auch keinen Nachteil); sie können die betreffenden Risikotransformationen gleichermaßen auch privat durchführen (und sie privat auch neutralisieren). Aus diesem Grund stehen im vorliegenden Kapitel die Überschüsse des Leistungsbereichs im Vordergrund.1 In Abschnitt 2 erfolgt die Marktbewertung durch Duplikation der Überschüsse auf der Basis dynamischer Portefeuillebildung, wobei der Marktwert des Bewertungsobjekts als Marktwert des Duplikationsportefeuilles zum Zeitpunkt 0 ermittelt wird, indem Arbitragefreiheit des Kapitalmarktes angenommen wird. Jedoch kann die explizite Duplikation der Überschüsse einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Der Bewertungsprozess wird erheblich vereinfacht, wenn Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche bekannt sind, mit denen analog zum Einperioden-Fall der Marktwert als gewichtete Summe zustandsabhängiger Überschüsse ermittelt werden kann. Eine derartige Bewertungskonzeption bietet der SPA, der in Abschnitt 3 diskutiert wird. Hierin kann der Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen entweder direkt oder indirekt mit „normalen“ Wertpapieren erfolgen. Wenn ein direkter Handel ausgeschlossen ist, sind die Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche zwar nicht exogen vorgegeben. Wie gezeigt wird, lassen sie sich jedoch aus zustandsabhängigen Preisen normaler Papiere herleiten. Zwar erfordert die Ermittlung der Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche im Prinzip denselben Aufwand wie die Ermittlung des Duplikationsportefeuilles für ein einzelnes Bewertungsobjekt. Jedoch können sich erhebliche Vereinfachungen ergeben, wenn mehrere unterschiedliche Ströme an Überschüssen zu bewerten sind, für die das ermittelte einheitliche Preissystem zugrunde gelegt werden kann. In Abschnitt 4 wird die Bewertung im „modifizierten“ SPA erläutert. Abschnitt 5 befasst sich mit der Preisbildung für riskante Wertpapiere und der marktwertorientierten Investitionsplanung auf der Grundlage der BQ- und der NE-Variante des CAPM. Dabei wird davon ausgegangen, dass zu Beginn des Planungszeitraums bereits ein Marktgleichgewicht vorliegt und sich in diesem Zeitraum die Nutzenfunktionen der Anteilseigner bezüglich ihres Endvermögens nicht ändern. Dies hat zwei Implikationen: Zum einen kann analog zum Einperioden-Fall individuelle Marktwertmaximierung näherungsweise im Einklang mit Nutzenmaximierung stehen. Zum anderen können die Marktwerte riskanter Überschüsse in einfacher Weise erklärt werden, indem deren Sicherheitsäquivalente mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert werden (Sicherheitsäquivalent-Methode). Dabei erfolgt die Bewertung im Prinzip wie im Einperioden-Fall. Wie gezeigt wird, ergeben sich bei Erweiterung des CAPM auf den Mehrperioden-Fall dagegen wesentlich komplexere Probleme, sofern die Bewertungen mit Hilfe risikoangepasster Zinssätze (Risikozuschlags-Methode) angestrebt werden.
1
Dagegen haben Kapitalmarkttransaktionen (optimale Hedgemaßnahmen bezüglich der Überschüsse des Leistungsbereichs) für die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises zentrale Bedeutung (Kapitel XV). Die optimalen Hedgemaßnahmen sind simultan mit dem individuellen subjektiven Grenzpreis zu ermitteln; es besteht keine Separierbarkeit.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
523
Oft wird die Ermittlung von Marktwerten mit einem einheitlichen risikoangepassten Zinssatz – vor allem auch in der Praxis – der Diskontierung von Sicherheitsäquivalenten mit dem risikolosen Zinssatz vorgezogen. Dabei wird im Allgemeinen der für die Unternehmensbewertung bzw. -planung maßgebliche risikoangepasste Kalkulationszinsfuß auf der Basis des einperiodigen CAPM ermittelt und damit auch die erwarteten Überschüsse späterer Perioden diskontiert (Discounted Cash Flow- oder DCF-Verfahren). Charakteristisch für diese Erweiterung auf den Mehrperioden-Fall ist der Shareholder Value Ansatz (COPELAND/KOLLER/MURRIN, 1994; RAPPAPORT, 1986). Oft wird auch davon ausgegangen, dass der für die bisherigen Überschüsse maßgebliche periodeneinheitliche Kalkulationszinsfuß auch für neue Projekte bewertungsrelevant ist. In Abschnitt 6 wird zunächst untersucht, unter welcher Bedingung ein für den Einperioden-Fall maßgeblicher risikoabgepasster Zinssatz auf den Mehrperioden-Fall übertragen werden darf (Bedingung der Periodeneinheitlichkeit). Darauf aufbauend wird untersucht, unter welcher Bedingung ein periodeneinheitlicher risikoangepasster Kalkulationszinsfuß auch für neue Projekte bewertungsrelevant ist (Bedingung der Projekteinheitlichkeit). In Abschnitt 7 wird untersucht, welche Voraussetzungen unter verschiedenen Kapitalmarktbedingungen gegeben sein müssen, damit die Bedingung eines einheitlichen Kalkulationszinsfusses erfüllt ist, und welche Implikationen sich für die Bewertung ergeben. Die Darstellungen in den Abschnitten 6 und 7 zeigen, dass nur bei sehr speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die zukünftigen Überschüsse Periodenund Projekteinheitlichkeit gegeben ist. Aufbauend auf den Bedingungen der Perioden- und der Projekteinheitlichkeit werden in Abschnitt 8 Möglichkeiten und Grenzen der Bewertung auf der Basis des internen Zinsfußes einer „Vergleichsinvestition“ gezeigt In den Abschnitten 2 bis 8 wird davon ausgegangen, die bewertungsrelevanten zustandsabhängigen Überschüsse und deren Wahrscheinlichkeiten seien bekannt. Jedoch sind diese grundsätzlich nicht exogen gegeben, sondern nur in Verbindung mit (komplexen) Planungsaktivitäten zu prognostizieren. Eine zielführende Prognose kann allenfalls im Rahmen flexibler Planung vorgenommen werden. Damit befassen sich die Abschnitte 9 und 10. Da das Bewertungskonzept auf der Basis flexibler Planung bereits in Kapitel XIII diskutiert worden ist, steht das Problem im Vordergrund, wie unterschiedliche Markbewertungsfunktionen bei der Bewertung nach dem Entscheidungs- und Zustandsbaumverfahren der flexiblen Planung erfasst werden können. In Abschnitt 11 werden Probleme der Vereinfachung bei der Marktbewertung untersucht. Abschnitt 12 befasst sich mit der Bewertung von Aktionsräumen gemäß der Optionspreistheorie und der Bedeutung dieser Theorie für die flexible Planung. Abschnitt 13 beschreibt Bewertungsprobleme vor dem Hintergrund einer Unvollkommenheit des Kapitalmarktes, die Kapitalrationierung impliziert, bei der nicht jedes Investitionsprojekt mit positiven Marktwert seiner Überschüsse nach Abzug seiner Anschaffungsauszahlung realisiert werden kann, sondern Prioritäten gesetzt werden müssen.
524
Kapitel XIV
Im Folgenden wird gelegentlich davon ausgegangen, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen. Bei der Bewertung wird dann nur dessen Leistungsbereich berücksichtigt. Werden mit dem Kauf auch Kassenbestände, Wertpapiere, nicht betriebsnotwendige Realvermögensgüter und Schulden übernommen, ist der ermittelte Wert um das betreffende Nettovermögen zu korrigieren.
2
Bewertung durch explizite (dynamische) Duplikation der Überschüsse
Bei der Ermittlung des Marktwertes der zukünftigen Überschüsse eines einzelnen Investitionsprojekts, eines Investitionsprogramms oder eines ganzen Unternehmens kann sich die Anwendung einer Marktbewertungsfunktion erübrigen, wenn diese Überschüsse durch Portefeuillebildung duplizierbar sind und somit (bei Arbitragefreiheit) ihr Marktwert explizit auf den des Duplikationsportefeuilles zurückgeführt werden kann. Zwar gelten die diesbezüglichen Darstellungen für den Einperioden-Fall in Kapitel IV, Abschnitt 3.2, im Prinzip auch für den Mehrperioden-Fall. Jedoch kann das Problem der Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles im Mehrperioden-Fall aus folgenden Gründen wesentlich komplexer sein: 1. Es ist anders als im Einperioden-Fall grundsätzlich nicht möglich, Überschüsse zu duplizieren, indem zum Zeitpunkt 0 ein statisches Portefeuille gebildet wird, das über den Bewertungszeitraum hinweg unveränderlich ist und erst zum Ende dieses Zeitraums wieder aufgelöst wird. Vielmehr ist auch zwischenzeitlich mit Wertpapieren zu handeln. 2. Um die Duplizierbarkeit der Überschüsse zu ermöglichen, ist der zwischenzeitliche Handel gemäß dem Prinzip der flexiblen Planung zustandsabhängig (insbesondere in Abhängigkeit von dem im jeweiligen Zustand erzielten Überschuss des Bewertungsobjekts) vorzunehmen (dynamische Duplikation). 3. Damit das Duplikationsportefeuille überhaupt gebildet werden kann, müssen (auch) die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die zukünftigen Preise der Wertpapiere über den Bewertungszeitraum hinweg bekannt sein oder geschätzt werden können. Je größer die Zahl der Perioden, desto schwieriger ist die Prognose. Man wird nicht ohne vereinfachende Annahmen über die stochastischen Prozesse der Kursentwicklungen auskommen. Der Marktwert der zu bewertenden Überschüsse ist identisch mit dem Marktwert des Duplikationsportefeuilles (zum Zeitpunkt 0). Wird im Rahmen dieses Portefeuilles zum Zeitpunkt 0 ein Leerverkauf vorgenommen, ist die entsprechende Einzahlung von der Auszahlung für die anderen Papiere zu subtrahieren. Bei negativer Differenz ist der Marktwert der duplizierten Überschüsse zum Zeitpunkt 0 negativ. Papiere im Duplikationsportefeuille, die erst in Zukunft gehandelt werden, haben zwar keinen Einfluss auf
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
525
diesen Marktwert; sie sind gewissermaßen „bewertungsneutral“. Trotzdem sind sie ex ante im Duplikationsportefeuille zu erfassen, damit die Garantie besteht, dass in Verbindung mit den Papieren, die den Marktwert des Portefeuilles zum Zeitpunkt 0 bestimmen, die Duplikation gelingt. Zur Erläuterung dient das Beispiel in Abbildung XIV.1. Links neben den Knoten für die in den Zeitpunkten 1 und 2 möglichen Zuständen stehen die zu duplizierenden Überschüsse. Rechts von diesen Knoten und dem Zustandsknoten für den Zeitpunkt 0 stehen die jeweiligen Preise zweier Papiere A und B, mit denen die Duplikation vorgenommen werden kann und soll. Die obere Zahl steht für das Papier A und die untere für das Papier B. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird hier davon ausgegangen, dass in den Zeitpunkten 0, 1 und 2 keine Zinsen oder Dividenden auf die Papiere entfallen. S0 9 7,5
Zeitpunkt 0
S1,1 100
16 200 8 S2,1
S1,2 13 7
12 150 6 S2,2
10
5 110 10 S2,3
6 8
Zeitpunkt 1
8 -4 4 S2,4
Zeitpunkt 2
Abb. XIV.1: Zur Duplikation von Überschüssen durch Portefeuillebildung
Die Überschüsse für die Zustände S2,1 und S2,2 (also 200 und 150) können dupliziert werden, indem unter der Bedingung, dass zum Zeitpunkt 1 der Zustand S1,1 eintritt, für die zweite Periode ein Portefeuille aus 10 Papieren des Typs A und 5 Papieren des Typs B gehalten wird. Es gilt: 10 16 5 8 200 10 12 5 6 150
( für Zus tan d S 2,1 ) ( für Zus tan d S 2,2 ).
Analog lassen sich die Überschüsse für die Zustände S2,3 und S2,4 duplizieren, indem unter der Bedingung, dass zum Zeitpunkt 1 der Zustand S1,2 eintritt, ein Portefeuille aus –8 Papieren des Typs A (es erfolgt hier ein Leerverkauf) und 15 Papieren des Typs B gehalten wird. Die Anschaffungsauszahlung des Portefeuilles für den Zustand S1,1 beträgt somit 10 13 5 7 165 und für den Zustand S1,2
526
Kapitel XIV
8 6 15 8 72. Da gemäß dem Zustandsbaum XIV.1 für den Zustand S1,1 ein Überschuss von 100 und für den Zustand S1,2 ein Überschuss von 10 zu duplizieren ist, muss für die erste Periode ein Portefeuille gehalten werden, das im Zustand S1,1 eine Einzahlung von 165 + 100 = 265 und im Zustand S1,2 eine Einzahlung von 72 + 10 = 82 erbringt. In jedem Zustand reicht die Einzahlung aus, den Überschuss zu duplizieren und das Duplikationsportefeuille für die zweite Periode zu finanzieren. Das Portefeuille für die erste Periode enthält 24,93 Papiere des Typs A und –8,45 Papiere des Typs B. Damit wird zum Zeitpunkt 1 die folgende Einzahlung erzielt:
24,93 13 8, 45 7 | 265
(Zustand S1,1 )
24,93 6 8,45 8 | 82
(Zustand S1,2 ).
Der Marktwert des betreffenden Portefeuilles zum Zeitpunkt 0 beträgt: 24,93 9 8,45 7,5 161.
Dies ist auch der Marktwert der duplizierten zukünftigen Überschüsse. Es wurde davon ausgegangen, dass das im Zeitpunkt 0 gebildete Portefeuille zum Zeitpunkt 1 wieder veräußert und ein neues Portefeuille gebildet wird. Auf dasselbe läuft es hinaus, wenn das Portefeuille für die erste Periode zum Zeitpunkt 1 wie folgt modifiziert wird: Bei Eintreten des Zustands S1,1 werden 24,93 – 10 = 14,93 Papiere des Typs A verkauft und | –8,45 – 5 | = 13,45 Papiere des Typs B gekauft, wovon 8,45 an den Käufer im Rahmen des Leerverkaufs zum Zeitpunkt 0 geliefert werden. Dabei wird der zu duplizierende Überschuss erzielt: 14,93 13 13,45 7 | 100.
Das Analoge gilt für den ZustandS1,2 : (24,93 ( 8)) 6 (15 ( 8,45)) 8 | 10. Der Wertpapierhandel zum Zeitpunkt 1 hat keinen eigenständigen Einfluss auf den Marktwert zum Zeitpunkt 0. Der Handel wird in der Portefeuillebildung zum Zeitpunkt 0 antizipiert; nur die Anschaffungsauszahlung für das Portefeuille zum Zeitpunkt 0 bestimmt den Marktwert der zu bewertenden Überschüsse. Analog zum Einperioden-Fall steigt bei Durchführung eines zusätzlichen Projekts der Erwartungsnutzen aller Anteilseigner, wenn der Marktwert seiner zukünftigen Überschüsse bzw. seines Duplikationsportefeuilles größer ist als die Anschaffungsauszahlung des Projekts.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
3
Bewertung im State Preference Ansatz (SPA)
3.1
Entscheidungssituation
527
Als theoretische Grundlage für die Unternehmensbewertung und die Investitionsplanung im Mehrperioden-Fall dient zunächst der State Preference Ansatz. Dabei wird folgende Entscheidungssituation zugrunde gelegt: 1. Die Restlebensdauer des betrachteten Unternehmens n besteht aus T Perioden. Der Beginn der t-ten Periode (t = 1,2,...,T) wird als Zeitpunkt t1 bezeichnet, das Ende der letzten Periode als Zeitpunkt T. Zu diesem Zeitpunkt wird das Unternehmen liquidiert. 2. Mit den Maßnahmen des Unternehmens sind nur in den Zeitpunkten 0,1,...,T Einund Auszahlungen verbunden. 3. In jeder Periode t (t = 1,2,...,T) kann zum risikolosen Zinssatz r Kapital angelegt und aufgenommen werden, d. h. es wird eine flache Zinsstruktur angenommen. 4. Der Überschuss ÜLtn des Leistungsbereichs des Unternehmens n zum Zeitpunkt t (t = 0,1,...,T) (nach Abzug von Anschaffungsauszahlungen für neue Investitionen) hängt von der gewählten Investitionsstrategie und dem zu diesem Zeitpunkt eintretenden Zustand St,s ab. Der Zustand S0 zum Zeitpunkt 0, dem Beginn des betrachteten Zeitraums, ist allen Investoren auf dem Kapitalmarkt bekannt. Jedoch ist zu diesem Zeitpunkt noch ungewiss, welcher Zustand in einem zukünftigen Zeitpunkt eintreten wird. Alle Investoren können jedoch zum Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T) den dann eintretenden Zustand kostenlos beobachten und verifizieren. 5. Für jeden in Zukunft möglichen Zustand können zustandsbedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden. Der Handel kann entweder direkt durch Handel mit „reinen“ Papieren oder indirekt über Portefeuillebildung mit „normalen“ Papieren (einschließlich der Anlage bzw. Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r) erfolgen. Der Preis, zu dem im Zeitpunkt 0 (also im Zustand S0) Ansprüche auf einen zukünftigen Zustand gehandelt werden, ist allen Investoren bekannt. Auch in zukünftigen Zeitpunkten können Zahlungsansprüche für später mögliche Zustände zu allseits bekannten Preisen gehandelt werden. 6. Es besteht Arbitragefreiheit. Der Handel setzt voraus, dass der Kapitalmarkt für jede Periode vollständig ist. Wenn der direkte Handel mit „reinen“ Papieren nicht möglich ist, muss in jedem Zustand die Möglichkeit bestehen, ein Portefeuille zu bilden, das in genau einem der möglichen Folgezuständen einen positiven oder negativen Überschuss (Endwert) und in jedem anderen Folgezustand einen Überschuss von null bietet. Dies bedeutet analog zum Einperioden-Fall: Zu jedem Zeitpunkt t (t = 0,1,...,T–1) stimmt unabhängig von dem dann eintretenden Zustand St,s die Zahl der Papiere mit linear unabhängigen Endwertfaktoren für den Zeitpunkt t + 1 mit der Zahl der Zustände überein, die im Zeitpunkt t + 1 folgen können.
528
Kapitel XIV
Die Zustände für den Zeitpunkt t (t =1,2,...,T), die die Akteure zum Zeitpunkt 0 für möglich halten, werden mit St,1,St,2,..., St,S(t) bezeichnet, der Preis zum Zeitpunkt 0 für einen Zahlungsanspruch von 1 GE im Zustand St,s mit S(St,s).
3.2
Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen und Höhe ihrer Preise
3.2.1
Direkter Handel mit reinen Wertpapieren
Die Preise S (St,s) lassen sich mit Hilfe von Arbitrageüberlegungen relativ anschaulich erklären, indem davon ausgegangen wird, dass ein direkter Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen möglich ist. Die Bedingung der Arbitragefreiheit impliziert, dass sämtliche Preise S(St,s) positiv sind. Weitere Aussagen über die Höhe dieser Preise lassen sich herleiten, indem die Möglichkeit der Anlage und Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz berücksichtigt wird. Wird zum Zeitpunkt 0 für jeden Zustand St,s (s =1,2,...,S(t)) des Zeitpunkts t ein Zahlungsanspruch auf 1 GE gekauft, dann wird zum Zeitpunkt t mit Sicherheit eine Einzahlung von 1 GE erzielt. Dafür ist ein Preis von ¦ Ss ( t1)S(S t , s ) zu zahlen. Andererseits kann der sichere Anspruch auf 1 GE auch erworben werden, indem im Zeitpunkt 0 (1 + r)t GE zum risikolosen Zinssatz r angelegt werden. Folglich muss bei Arbitragefreiheit gelten: S( t )
(XIV.1)
¦ S(S t , s ) (1 r ) t .
s 1
Die in (XIV.1) aufgeführten Preise S( ) beziehen sich auf den Zeitpunkt 0. S0 w(S1,1 ) S1 ,1
Zeitpunkt 0 w(S1,3 )
S1,2
S1,3
Zeitpunkt 1
w (S2 ,8 S1,3 )
w (S2 ,1 S1,1 )
Zeitpunkt 2 (T=2) S2 ,1 S 2 ,2 S2 ,3
S 2 ,4 S2 ,5
S 2 ,6 S 2 ,7 S2 ,8
Abb. XIV.2: Zustandsbaum
Wie im Folgenden gezeigt wird, lassen sich aufgrund dynamischer Arbitrageüberlegungen auch Aussagen darüber herleiten, welche Preise bedingte Zahlungsansprüche für Zustände St,s zum Zeitpunkt t* (0< t* 0 eine proportionale Beziehung zwischen den Überschüssen. Beweis: Da der Marktwert des at-fachen eines Überschusses gleich dem at-fachen des Marktwertes dieses Überschusses ist, gilt unter der Bedingung (XIV.24): ~ ~ ~ M 0 ( Ü t ) M 0 (a t ÜL tn ) a t M 0 ( ÜL tn )
(t = 1,2,…,T).7
Hieraus folgt in Verbindung mit (XIV.23): (XIV.25)
~ ~ M 0 ( Ü t ) a t (1 k n ) t E( ÜL tn )
(t = 1,2,…,T).
Unter der Bedingung (XIV.24) gilt auch: at
~ E( Ü t ) ~
.
E( ÜL tn )
Wird at in (XIV.25) eingesetzt, ergibt sich: 7
~ negativ Diese Gleichung gilt auch für a t 0 , wobei dann für M 0 (ÜL tn ) ! 0 der Marktwert von Ü t ist.
548
(XIV.26)
Kapitel XIV
) (1 k ) t E(Ü ) M 0 (Ü t n t
(t = 1,2,…,T).
Somit folgt für den Marktwert aller zukünftigen Überschüssen des Bewertungsobjekts: (XIV.27)
,Ü M 0 (Ü 1 2 ,..., Ü T )
T
¦ (1 k n ) t E(Ü t ) . t 1
Der für die bisherigen Überschüsse des Leistungsbereichs maßgebliche Kalkulationszinsfuß kn ist folglich unter der Bedingung (XIV.24) auch für das neue Projekt bewertungsrelevant, sofern dieser Zinsfuß periodeneinheitlich ist. Ŷ Projekte, die die Bedingung (XIV.24) der Projekteinheitlichkeit erfüllen, werden im Folgenden zu derselben Risikoklasse gezählt wie die „alten“ Projekte. Für die Planung und Bewertung ist von großer Bedeutung, dass die Proportionalitätsbedingung (XIV.24) nicht fordert, dass zu jedem Zeitpunkt t dieselbe proportionale ~ und ÜL Beziehung zwischen Ü t besteht. Der Proportionalitätsfaktor at kann für t verschiedene Zeitpunkte unterschiedlich sein, so dass ein relativ weiter Spielraum für die Maßgeblichkeit eines einheitlichen Zinssatzes kn für neue und alte Projekte besteht. Der Faktor at kann ab einem Zeitpunkt auch gleich null sein, so dass die Nutzungsdauern von Projekten, die mit dem Zinssatz kn bewertbar sind, verschieden sein können. Die Projekte können auch zu verschiedenen Zeitpunkten beginnen. Ein zum Zeitpunkt t ~ durchführbares Projekt mit der erwarteten Anschaffungsauszahlung E(A t ) und dem erwarteten Überschuss E(Ü W ) zum Zeitpunkt W (W t 1, t 2,..., T) hat im Zeitpunkt 0 den folgenden Marktwert: T ~ ~ (1 k n ) t E(A t ) ¦ (1 k n ) W E( Ü W ) W t 1
T
~ ~ (1 k n ) t [ ¦ (1 k n ) ( W t ) E( Ü W ) E (A t )] . W t 1
Diese Formel impliziert, dass die Proportionalitätsbedingung (XIV.24) auch für die Anschaffungsauszahlung At erfüllt ist also diese z.B. nicht sicher ist. Fazit: Wenn sowohl die Bedingung (XIV.23) der Periodeneinheitlichkeit als auch die Bedingung (XIV.24) der Projekteinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes kn erfüllt sind, fallen die bisherigen und die neuen Überschüsse des Leistungsbereichs in eine Risikoklasse, bei der die Bewertung (bisheriger) gegenwärtiger und (neuer) zukünftiger Projekte in relativ einfacher Weise mit einem einheitlichen – aus einem EinperiodenKalkül herleitbaren – Zinssatz vorgenommen werden kann. Jedoch werden die beiden Bedingungen in der Realität allenfalls „näherungsweise“ erfüllt sein. Ist zunächst keine befriedigende Annäherung gegeben, kann versucht werden, den Leistungsbereich in Teilbereiche zu zerlegen, für die jeweils die beiden Bedingungen (näherungsweise) erfüllt sind und jeweils ein spezifischer risikoadäquater Kalkulationszinsfuß maßgeblich ist. Die Bedingungen der Periodeneinheitlichkeit und der Projekteinheitlichkeit haben auch Bedeutung für die Bewertung einzelner Teilüberschüsse (einzelner Einzahlungen,
549
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
Auszahlungen oder Differenzen hieraus): Wenn der für bestimmte Teilüberschüsse maßgebliche Kalkulationszinsfuß die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit erfüllt und für diese und andere Teilüberschüsse analog zu (XIV.24) die Proportionalitätsbedingung erfüllt ist, gilt dieser Kalkulationszinsfuß auch für die anderen Teilüberschüsse. Beide Bedingungen haben vor allem Bedeutung für die Bewertung auf der Basis des internen Zinsfußes einer „Vergleichsinvestition“ (Abschnitt 8). Im Folgenden werden Implikationen eines einheitlichen risikoangepassten Zinssatzes untersucht. Nach Kenntnis dieser Implikationen kann es sich als vorteilhaft erweisen, einen zunächst erwogenen (etwa einen in Anlehnung an das einperiodige CAPM ermittelten) Kalkulationszinsfuß zu modifizieren.
7
Implikationen
7.1
Allgemeine Implikationen für die Sicherheitsäquivalente
Die Bedingung (XIV.23) der Periodeneinheitlichkeit impliziert allgemein, dass der Risikoabschlag (die Marktrisikoprämie) RAtn, der zum Marktsicherheitsäquivalent des Überschusses ÜLtn führt, folgende Gleichung erfüllt (ROBICHEK/ MYERS, 1965a, S. 82; BREALEY/MYERS, 1991, S. 201 ff.): (XIV.28)
~
(1 k n ) t E( ÜL tn )
!
~
(1 r ) t [ E( ÜL tn ) RA tn ] ( t 1,2,..., T) .
a
SÄ (ÜL tn ) ~
Auf der linken Seite von (XIV.28) wird der Marktwert des Überschusses ÜL tn (t =1,2,...,T) für den Zeitpunkt 0 mit Hilfe des risikoangepassten Zinssatzes kn dargestellt. Auf der rechten Seite wird dieser Marktwert als Barwert des Sicher~ heitsäquivalents E( ÜL tn ) RAtn beim risikolosen Zinssatz r beschrieben. Für den Risikoabschlag (die Risikoprämie) RAtn folgt aus (XIV.28): (XIV. 29) RA tn
~
E ( ÜL tn ) [1 (
1 r t ) ] 1 kn
( t 1,2,..., T) .
Entsprechend beträgt das Sicherheitsäquivalent:
(XIV.30)
ª § 1 r ·t º ~ ~ ~ SÄ(ÜL tn ) E(ÜL tn ) E(ÜL tn ) «1 ¨ ¸ » « © 1 kn ¹ » ¬ ¼ RA tn ~ § 1 r · E(ÜL tn ) ¨ ¸ © 1 kn ¹
t
(t 1, 2,..., T).
Wegen r > 0 und für kn > –1 ist das Sicherheitsäquivalent für den Zeitpunkt t ei-
550
Kapitel XIV
~
~
ne linear steigende Funktion von E( ÜL tn ) ; für E( ÜL tn ) > 0 ist es positiv und ~ für E( ÜL tn ) < 0 negativ. ~
Im Folgenden soll nur der Fall E( ÜL tn ) > 0 näher betrachtet werden. Das Steigungsmaß [(1 + r)/(1 + kn)]t in (XIV.30) und mithin das Sicherheitsäquivalent ist für jedes t eine fallende Funktion von kn. Für kn = r (d.h. bei Risikoneutralität oder ausschließlich unsystematischem Risiko) stimmt das Sicherheitsäquivalent mit dem ~Erwartungswert ~ von ÜL tn überein. Für kn > r ist es ~kleiner als der Erwartungswert E( ÜL tn ) . Dabei ist bei gegebenem Erwartungswert E( ÜL tn ) das Sicherheitsäquivalent eine fallende Funktion von t; geht t gegen unendlich, geht es gegen null. Für kn < r ist nach (XIV.30) das Sicherheitsäquivalent größer als der Erwartungs~ wert. Der „Risikoabschlag“ gemäß (XIV.29) ist nun für E( ÜL tn ) > 0 negativ; es wird ein Risikozuschlag vorgenommen, der eine steigende Funktion von t ist. Im Folgenden soll verdeutlicht werden, dass die Grundbedingung (XIV.28) bzw. (XIV.29) für einen periodeneinheitlichen Zinssatz k n nur bei speziellen stochastischen ~ Zusammenhängen zwischen den Überschüssen ÜL tn erfüllt ist, so dass die generelle Übertragung des für den Einperioden-Fall maßgeblichen Zinssatzes auf den Mehrperioden-Fall problematisch ist. Es wird wie folgt methodisch vorgegangen: Vor dem Hintergrund des CAPM werden die „theoretisch richtigen“ Risikoabschläge für die Ermittlung der Marktsicherheitsäquivalente bestimmt und untersucht, unter welchen Bedingungen ein Kalkulationszinsfuß k n existiert, bei dem diese Risikoabschläge mit denen in (XIV.29) übereinstimmen.
7.2
Implikationen im CAPM8 [*]
Die Kompatibilitätsuntersuchungen werden vor dem Hintergrund einer Variante des CAPM vorgenommen, in der nicht die Menge der Marktrenditen, sondern, analog zu den Darstellungen in Abschnitt 5.2, der Endwert des Marktportefeuilles als Bewertungsgrundlage dient. Die Analyse kann bei dieser Variante in relativ einfacher Weise unabhängig davon erfolgen, ob die Überschüsse des Leistungsbereichs bzw. die Periodenrenditen des Marktportefeuilles jeweils voneinander stochastisch abhängen oder nicht. Für den Zweiperioden-Fall kann MZÜL0n auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten wie folgt dargestellt werden: (XIV.31)
MZÜL0n
~
~
(1 r) 1 SÄ(ÜL1n ) (1 r) 2 SÄ(ÜL 2n ) .
Hieraus folgt in Verbindung mit (XIV.30):
8
Vgl. zu den folgenden Darstellungen BLACK (1988); BRENNAN (1973); FAMA (1977; 1996); HACHMEISTER (1998); KRUSCHWITZ (2001); LAUX (1999); RICHTER (1999); RÖDER/MÜLLER (2001); ROSS (1978); SCHWETZLER (2000a; 2000b); SICK (1986).
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
(XIV.32)
MZÜL0n
~
~
~
~
(1 r)1 {E(ÜL1n ) E(ÜL1n ) [1
551
1 r ]} 1 kn
(1 r)2 {E(ÜL 2n ) E(ÜL 2n ) [1 (
1 r 2 ) ]}. 1 kn
(XIV.32) steht im Einklang mit der allgemeinen Bewertungsfunktion (XIV.20) für das CAPM, wenn die einander entsprechenden Risikoabschläge übereinstimmen, also gilt:
~
1 r ! ~ ) ) MR Kov(ÜL1n ;M 2G 1 kn
(XIV.33)
E(ÜL1n ) (1
(XIV.34)
E(ÜL 2n ) [1 (
~
1 r 2 ! ~ ). ) ] MR Kov(ÜL 2n ;M 2G 1 kn
Die Diskontierung der Erwartungswerte der künftigen Überschüsse mit einem einheitlichen risikoangepassten Zinssatz kn impliziert also, dass zwischen den Erwartungswerten dieser Über schüsse und ihren Kovarianzen mit dem Endwert M 2G des Marktportefeuilles eine bestimmte Beziehung besteht. Die Beziehung wird unmittelbar ersichtlich, wenn (XIV.33)~ und (XIV.34) wie ~folgt umgeformt werden, wobei davon ausgegangen wird, dass sowohl E( ÜL1n ) als auch E( ÜL 2n ) ungleich null sind.
Bedingungen eines periodeneinheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfußes kn für das CAPM:
(XIV.33a)
~ ) ! Kov(ÜL1n ;M 2G ~ E(ÜL
1n )
(XIV.34a)
~ ) ! Kov(ÜL 2n ;M 2G ~ E(ÜL
2n )
1 1 r (1 ) MR 1 kn
1 1 r 2 ) ]. [1 ( MR 1 kn
Im Fall kn > r gilt: 1 (
1 r 2 1 r ) !1 . 1 kn 1 kn
Der Quotient auf der linken Seite von (XIV.34a) muss dann höher sein als der auf der linken Seite von (XIV.33a). Wird die Gleichung (XIV.34a) durch (XIV.33a) dividiert, ergibt sich nach Umstellung:
(XIV.35)
~ ) ! Kov(ÜL 2n ;M 2G ~ ) Kov(ÜL1n ;M 2G
~
Q
E(ÜL 2n )
~
E(ÜL1n )
552
Kapitel XIV
mit
1 r 2 ) 1 kn Q{ 1 r 1 1 kn 1 (
(XIV.36)
(1
1 r 1 r ) (1 ) 1 kn 1 kn 1 r 1 1 r 1 kn 1 1 kn Q ! 1 und (für k n ! r ) Q 2 .
Die Gleichung (XIV.35) in Verbindung mit (XIV.36) wird allenfalls zufällig erfüllt sein. Für einen gegebenen Wert von kn impliziert sie z.B.: 1. Ist genau einer der Erwartungswerte negativ, gilt dies auch für genau eine der Kovarianzen. Sind beide Erwartungswerte positiv, so haben beide Kovarianzen das gleiche (positive oder negative) Vorzeichen. Für positive Erwartungswerte und Kovarianzen gilt: ~ ~ 2. Bei gegebenen Erwartungswerten E( ÜL1n ) und E( ÜL~ 2n ) ist die Kovarianz ~ ~ ) eine linear steigende Funktion von Kov( ÜL ;M ) . Für E( ÜL1n ) Kov( ÜL ;M 1n 2G 2G ~ 2n ~ ~ ). E( ÜL 2n ) ist Kov( ÜL 2n ;M doppelt so groß wie Kov( ÜL1n ;M 2G ) näherungsweise 2G ~ ~ E( ÜL ) eine linear steigende Funktion von E( ÜL ). Für 3. Bei gegebenen Kovarianzen ist 2n 1n ~ ~ ~ ) Kov( ÜL 2n ;M ) ist E( ÜL 2n ) annähernd halb so groß wie der ErKov( ÜL1n ;M 2G ~ 2G wartungswert E( ÜL1n ) . Die Zugrundelegung eines einheitlichen risikoangepassten Zinssatzes kann vor allem dann zu Fehlentscheidungen führen, wenn es darum geht, ob zusätzliche Investitionsprojekte durchgeführt werden sollen oder nicht. Die gezeigten Implikationen der Unternehmenswertung gelten auch für die Bewertung neuer Projekte. Das Konzept eines für „neue“ und „alte“ Projekte einheitlichen Kalkulationszinsfußes kn setzt allgemein und somit auch im CAPM voraus, dass die Überschüsse der neuen und der alten Projekte zur gleichen Risikoklasse gehören, d.h. zu jedem Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T) eine proportionale Beziehung zwischen den neuen und den alten Überschüssen besteht; dabei kann (bei Periodeneinheitlichkeit von kn) der Proportionalitätsfaktor für verschiedene Zeitpunkte unterschiedlich sein. Dies wird explizit in LAUX (1999) für das CAPM gezeigt, indem auf den obigen Darstellungen aufgebaut wird.
7.3
Allgemeine Implikationen für die Unternehmensbewertung
Die Unternehmensbewertung auf der Basis eines einheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfußes kn könnte vor allem dann in Betracht kommen, wenn keine zukünftigen Investitionen geplant werden. Jedoch ist die Unternehmensbewertung im Allgemeinen gerade in Verbindung mit der Planung bzw. Bewertung neuer Investitionen vorzunehmen ist. Bei zukünftigen Investitionen müssen dann nicht nur deren laufenden Überschüsse, sondern auch deren Anschaffungsauszahlungen in die maßgebliche Risikoklasse fallen. Bei sicheren zukünftigen Anschaffungsauszahlungen führt die einheitliche Diskontierung der erwarteten Überschüsse mit kn im Fall k n ! r zu einem zu hohen und im Fall k n r zu einem zu niedrigen (virtuellen) Unternehmenswert; sichere Anschaffungsauszahlungen sind mit dem risikolosen Zinssatz r zu diskontieren. Man kann allerdings zunächst einen einheitlichen Zinssatz kn zugrunde legen und dann den erzielten Unter-
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
553
nehmenswert um Korrekturposten verändern, die berücksichtigen, dass für sichere Auszahlungen nicht kn, sondern r als Kalkulationszinsfuß relevant ist. Für eine sichere Anschaffungsauszahlung von At zum Zeitpunkt t ( t ! 0 ) lautet der Korrekturterm: [(1 k n ) t (1 r ) t ] A t . Für k n ! r ist er negativ; entsprechend ist der zuvor ermittelte Unternehmenswert zu reduzieren. Für k n r ist er zu erhöhen. Die Darstellungen beruhen auf der Annahme, dass über zukünftige Investitionen bereits definitiv entschieden worden ist. Jedoch kann es sinnvoll sein, eine definitive Entscheidung über ein zukünftiges Investitionsprojekt erst in Zukunft zu treffen, weil dann die bis dahin zugehenden Informationen berücksichtigt werden können. Die Unternehmensbewertung sollte dann nach dem Prinzip der flexiblen Planung erfolgen, wobei bedingte (zustandsabhängige) Entscheidungen über die Durchführung von Projekten getroffen werden. Dieses Vorgehen ist vor allem dann naheliegend, wenn die Anschaffungsauszahlung zum Zeitpunkt 0 noch ungewiss ist. Wird die Entscheidung in Abhängigkeit von der zukünftigen Anschaffungsauszahlung bedingt getroffen, stellt sich ein gravierendes Bewertungsproblem: Die entsprechenden Überschüsse fallen nicht mehr in die maßgebliche Risikoklasse, auch wenn dies bei definitiver Durchführung der Fall sein sollte. Selbst wenn die zukünftige Anschaffungsauszahlung zum Zeitpunkt 0 bekannt ist, kann flexible Planung sinnvoll sein, und zwar deshalb, weil sich die Erwartungswerte der Projektüberschüsse und/oder der für ihre Bewertung maßgebliche risikoangepasste Zinssatz ändern können. Auf Konzepte der Bewertung bei flexibler Planung kommen wir in den Abschnitten 9 und 10 zurück.
7.4
Problematik der Diskontierung der erwarteten Ausschüttungen mit einem einheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß
Bei Anwendung des Equity-Ansatzes wird im Allgemeinen analog zur Ermittlung des Marktwertes MZÜL0n der Überschüsse des Leistungsbereichs beim En~ tity-Ansatz vereinfacht, indem die Erwartungswerte der Ausschüttungen D t (t = 1,2,…,T) mit einem einheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß ken, dem Eigenkapitalkostensatz oder der „Renditeforderung“ der Anteilseigner, diskontiert werden (Equity-Ansatz als Dividendendiskontierungs-Modell).9 Für den Vergleich des Equity-Ansatzes mit dem Entity-Ansatz ist von Bedeutung, dass der für die Ermittlung von MZÜL0n maßgebliche Zinssatz kn unabhängig davon ist, welche Maßnahmen im Finanzbereich und im neutralen Bereich durchgeführt werden. Dagegen ist die Risikostruktur (die Risikoklasse) der Ausschüttungen und mithin auch der risikoadäquate Eigenkapitalkostensatz ken von diesen Maßnahmen abhängig; alle drei Bereiche müssen beim Equity-Ansatz als Einheit betrachtet werden. Die Annahme einer gegebenen Risikoklasse mit gege-
9
Zum Vergleich des Equity-Ansatzes mit dem Entity-Ansatz vor dem Hintergrund des Irrelevanztheorems der Finanzierung von MODIGLIANI/MILLER (1958) vgl. LAUX ( 2006a, S. 429 ff.).
554
Kapitel XIV
benem risikoangepasstem Kalkulationszinsfuß ist für die Ausschüttungen wesentlich problematischer als für die Überschüsse des Leistungsbereichs. Der für die Diskontierung der erwarteten Ausschüttungen maßgebliche Eigenkapitalkostensatz kann sich bei gegebenen Risiken im Leistungsbereich und im neutralen Bereich schon dann ändern, wenn c.p. der Ausschüttungsstrom durch Verschuldung und/oder Anlage von Kapital zum Zinssatz r um sichere Beträge verändert wird. Er kann sich in noch stärkerem Maße ändern, wenn der Ausschüttungsstrom durch riskante Finanztransaktionen in eine neue Risikoklasse transformiert wird. Zur Verdeutlichung dient ein Beispiel: In der Ausgangssituation gelte ken = 0,15. Nun werde für den Zeitpunkt t die Ausschüttung Dt um ' reduziert und der Betrag bis zum Zeitpunkt t' > t zum Zinssatz r = 0,05 angelegt und dann einschließlich Zinsen und Zinseszinsen zusätzlich ausgeschüttet. Diese Maßnahme ist (bei Irrelevanz der Finanzierung bzw. der Ausschüttungspolitik) für die Anteilseigner weder vorteilhaft noch nachteilig. Jedoch ergibt sich ein kleinerer Marktwert M0n, sofern nach wie vor die erwarteten Ausschüttungen mit dem Zinssatz 0,15 diskontiert werden. Er sinkt um den Betrag: | 1,15 t ' 1,15 t ' ' 1,05 t ' t | | 1,15 t ' 1,15 t 1,15 ( t ' t ) ' 1,05 t ' t | t ' t
1,05 · 1,15 t ' | §¨ 1| ! 0 ¸ 1,15 ¹ ©
0
Dieser Betrag ist bei gegebenem t umso größer, je höher t' ist. Damit auch bei Diskontierung der neuen erwarteten Ausschüttungen mit einem einheitlichen Kalkulationszinsfuß der richtige Marktwert M0n erzielt wird, muss der Kalkulationszinsfuß umso mehr gesenkt werden, je höher t' ist. M0n ändert sich auch dann nicht, wenn die zukünftigen Ausschüttungen durch Handel mit riskanten Papieren verändert werden. Jedoch müssen grundsätzlich auch hier die neuen Erwartungswerte der Ausschüttungen mit einem neuen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß diskontiert werden, um wiederum den richtigen M0n-Wert zu erhalten. Man erkennt, dass ken nicht ohne Rücksicht auf die zukünftige Ausschüttungspolitik und die eng damit verbundene Verschuldungspolitik aus einem Einperioden-Modell hergeleitet werden darf. Wie jedoch z.B. in Laux (2006a, S. 420 ff.) gezeigt wird, kann die Bewertung in relativ einfacher Weise vorgenommen werden, indem ein bestimmter fiktiver stochastischer Ausschüttungsstrom zugrunde gelegt wird, der zwar grundsätzlich nicht mit dem realen übereinstimmt, damit jedoch wertäquivalent ist.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
8
Möglichkeiten und Grenzen der Bewertung auf der Basis des internen Zinsfußes einer „Vergleichsinvestition“
8.1
Allgemeine Darstellung
555
Wenn die Bewertung auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles möglich ist, mögen die Sicherheitsäquivalentmethode und die Risikozuschlags-Methode als überflüssig erscheinen. Jedoch kann die Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles vor allem im Mehrperioden-Fall einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Eventuell kann jedoch die Ermittlung des Marktwertes eines Bewertungsobjekts vereinfacht werden, indem man auf eine Vergleichsinvestition derselben „Risikoklasse“ mit bekanntem Marktwert zurückgreift, auf der Basis der Erwartungswerte ihrer Überschüsse und ihres Marktwertes ihren internen Zinsfuß ermittelt und damit die erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts diskontiert. Dabei ist es irrelevant, ob diese Vergleichsinvestition zum Marktwert tatsächlich gekauft werden kann. Der interne Zinsfuß der Vergleichsinvestition kann als risikoangepasster Zinssatz der maßgeblichen Risikoklasse interpretiert werden. Voraussetzung ist allerdings, dass der Kapitalmarkt arbitragefrei ist, so dass der Marktwert der Vergleichsinvestition seinerseits mit dem Marktwert ihres Duplikationsportefeuilles übereinstimmt. Unabhängig vom Volumen der Vergleichsinvestition führt dann die Diskontierung der erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts mit dem internen Zinsfuß der Vergleichsinvestition als Repräsentant der Risikoklasse zu dem Marktwert desjenigen Portefeuilles, mit dem die Überschüsse des Bewertungsobjekts dupliziert werden könnten, und somit auch zum Marktwert des Bewertungsobjekts. Wenn die Anschaffungsauszahlung niedriger (höher) ist als dieser Marktwert, ist der Kauf des Bewertungsobjekts vorteilhaft (nachteilig). Der Rückgriff auf die Vergleichsinvestitionen soll die explizite Ermittlung des Duplikationsportefeuilles zum Zeitpunkt der Bewertung ersparen. Bezeichnet man den Marktwert der Vergleichsinvestition mit MV0 und ihren Über~ schuss zum Zeitpunkt t (t = 1,2,...,T) mit ÜV t , gilt für ihren internen Zinsfuß kv*: ! T
(XIV.37)
MV0
~
¦ (1 kv* ) t E(ÜV t ) .
t 1
Es ist zu beachten, dass sich hier kv* nicht (wie ein interner Zinsfuß im üblichen Sinn) auf eine tatsächliche Anschaffungsauszahlung bezieht, sondern auf den Marktwert der Vergleichsinvestition. Wir bezeichnen kv* daher als „wertorientierten“ internen Zinsfuß.
556
Kapitel XIV
Unabhängig davon, ob der interne Zinsfuß gemäß (XIV.37) die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit erfüllt oder nicht, führt mit ihm die Diskontierung der erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts dann zu seinem richtigen (virtuellen) Marktwert, gilt: wenn für seinen Überschuss Ü t (XIV.38)
Ü t
~
a ÜV t
(t = 1,2,….,T).
Das Bewertungsobjekt fällt dann in dem Sinn in die gleiche Risikoklasse wie die Vergleichsinvestition, dass es in jedem möglichen Zustand den a-fachen Überschuss der Vergleichsinvestition bietet. In diesem Spezialfall erübrigt sich allerdings die Ermittlung des internen Zinsfußes kv* der Vergleichsinvestition und die Diskontierung der ) ; der Marktwert des Bewertungsobjekts ist das a-fache des Erwartungswerte E(Ü t Marktwerts der Vergleichsinvestition. Eine solche Vergleichsinvestition dürfte allerdings kaum existieren. Wenn jedoch der aus (XIV.37) resultierende interne Zinsfuß die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit erfüllt (ist er also für die Bewertung jedes einzelnen Überschusses ~ ÜV t relevant), kann das Konzept der „Risikoklasse“ weiter gefasst werden. Nach den Darstellungen in Abschnitt 6.2 ist dann der interne Zinsfuß gemäß (XIV.37) auch dann für das Bewertungsobjekt maßgeblich, wenn statt (XIV.38) gilt: (XIV.39)
Ü t
~
a t ÜV t
(t = 1,2,….,T).
Zwar muss wieder eine proportionale Beziehung zwischen dem Überschuss des Bewertungsobjekts und dem der Vergleichsinvestition bestehen. Jedoch kann der Proportionalitätsfaktor für verschiedene Zeitpunkte t unterschiedlich sein. Wenn der interne Zinsfuß gemäß (XIV.37) nicht die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit erfüllt, stellt er einen „Durchschnittszins“ dar, der für einzelne Überschüsse höher und für andere niedriger ist als der jeweils spezifische Kalkulationszinsfuß. Bei unterschiedlichen Proportionalitätsfaktoren at ist ein solcher Durchschnittszins für die Bewertung eines neuen Projekts kaum geeignet. Wenn z.B. dieses Projekt relativ hohe erwartete Überschüsse primär in solchen Zeitpunkten bietet, für die der kv* entsprechende Diskontfaktor zu hoch ist, wird ein zu hoher Wert ermittelt.
8.2
Beispiel
Ein Beispiel soll einige Zusammenhänge verdeutlichen (mit T = 2): Gegeben sei ein ~ ~ Strom von Überschüssen ÜV1 und ÜV 2 für die Vergleichsinvestition mit den Erwar~ ~ tungswerten E( ÜV1 ) = 120 und E( ÜV 2 ) = 144. Für den ersten Erwartungswert sei der Kalkulationszinsfuß 0,11 relevant und für den zweiten der Kalkulationszinsfuß 0,25. Entsprechend ergibt sich der folgende Marktwert MV0:
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
1 2 MV0 1,11 120 25 144 1, |108
557
200 .
| 92
Man erzielt diesen Marktwert auch, wenn mit dem einheitlichen (internen) Zinssatz kv* = 0,2 diskontiert wird: MV0 1, 21 120 1, 22 144 200 . Da der Zinssatz kv* = 0,2 nicht die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit für die Vergleichsinvestition erfüllt, kann~ man damit zwar das Bewertungsobjekt bewerten, falls ~ ~ ~ Ü1 a ÜV1 und Ü 2 a ÜV2 gilt. Für divergierende Proportionalitätsfaktoren ( a 1 z a 2 ) hat das Bewertungsobjekt den richtigen Marktwert 111 , 1 a1 120 1,252 a 2 144 . Erfolgt dagegen die Bewertung einheitlich mit dem Zinssatz 0,2, ergibt sich je nach dem Verhältnis zwischen a1 und a 2 ein zu hoher oder ein zu niedriger Marktwert. Für a1 0,5 und a 2 5 zum Beispiel gilt für den richtigen Marktwert des Bewertungsobjekts: 1,111 0,5 120 1, 252 5 144 1,111 60 1, 252 720 54,5 461 = 515,5. Wird es dagegen mit dem Zinssatz 0,2 bewertet, ergibt sich ein zu hoher Marktwert: 1, 21 60 1, 22 720 50 500 550. Die Überbewertung (550 statt 515,5) ergibt sich daraus, dass 720 mit einem Zins diskontiert wird, der niedriger ist als der richtige (0,2 statt 0,25). Zwar wird der Erwartungswert 60 mit einem zu hohen Kalkulationszinsfuß diskontiert (0,2 statt 0,11). Da dieser Erwartungswert jedoch relativ niedrig ist, kann der hieraus resultierende Bewertungsfehler den anderen nicht kompensieren. Ist der Proportionalitätsfaktor a1 im Vergleich zu a 2 entsprechend hoch, ergibt sich beim Zinssatz 0,2 eine Unterbewertung. Die Problematik der Bewertungsfunktion (XIV.37) besteht darin, dass hieraus ohne zusätzliche theoretische Überlegungen nicht ersichtlich wird, ob kv* die Bedingung der Periodeneinheitlichkeit erfüllt oder nicht; MV0 bringt den Marktwert aller Überschüsse der Vergleichsinvestition als Ganzes zum Ausdruck und nicht die Marktwerte der Überschüsse zu den verschiedenen Zeitpunkten. Abgesehen davon setzt (XIV.37) voraus, dass das Problem der Ermittlung des „richtigen“ Marktwertes MV0 für die Vergleichsinvestition bereits gelöst ist. Vor allem bei größerer Zahl von Perioden (T) ist dies eine unrealistische Annahme. Daher ist es – wie erwähnt – üblich, den risikoangepassten Zinssatz in Anlehnung an das CAPM aus einem relativ einfachen Einperioden-Kalkül herzuleiten und diesen zugleich auch für die Bewertung der Überschüsse der Zeitpunkte 2,3,...,T heranzuzie-
558
Kapitel XIV
hen. Die hierbei implizit unterstellte Bedingung der Periodeneinheitlichkeit ist allerdings – wie gezeigt – nur für sehr spezielle Risikostrukturen erfüllt. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, ergibt sich nur dann der richtige Marktwert für ein Bewertungsobjekt, wenn sich Bewertungsfehler bezüglich der Überschüsse für verschiedene Zeitpunkte (zufällig) kompensieren. Ob dies der Fall ist, lässt sich nur schwer beurteilen. Die Komplexität der Bewertung im Mehrperioden-Fall, die die Orientierung am Einperioden-Fall nahe legt, erschwert zugleich die allgemeine Beurteilung der Sinnhaltigkeit dieses Vorgehens.
9
Bewertung auf der Basis flexibler Planung nach dem Entscheidungsbaumverfahren
9.1
Bewertung und flexible Planung
Bisher wurde davon ausgegangen, die betrachteten zustandsabhängigen Überschüsse bzw. deren Wahrscheinlichkeitsverteilungen seien bekannt. Es ging um deren Bewertung, nicht um deren Prognose. In der Literatur wird der Bewertung von Überschüssen wesentlich mehr Aufmerksamkeit gewidmet als der Prognose. Wären die Maßnahmen, die mit und ohne Bewertungsobjekt durchgeführt werden, ex ante bekannt, wäre die Prognose noch relativ einfach. Diese Bedingung ist jedoch grundsätzlich nicht erfüllt. Die Maßnahmen sind das Ergebnis von Planungsaktivitäten, in deren Rahmen ihrerseits Prognosen und Bewertungen vorgenommen werden müssen. Bei der Bewertung auf der Basis flexibler Planung ist zu prüfen, wie sich das optimale System an Teilplänen und entsprechend die zustandsabhängigen Überschüsse ändern, wenn das Bewertungsobjekt gekauft und optimal genutzt wird. Bei Orientierung am Ziel der Marktwertmaximierung ergibt sich der Wert als Marktwertzuwachs ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung. Wenn weder Restriktions- noch Erfolgsverbund zwischen dem Bewertungsobjekt und anderen Leistungsbereichen existiert, ist sein Wert gleich dem Marktwert seiner zukünftigen Überschüsse bei optimaler Nutzung der geschaffenen Entscheidungsspielräume. Die Bewertung auf der Basis flexibler Planung konzentriert sich dann darauf, dasjenige System an bedingten Plänen zu bestimmen, mit dem der Marktwert der direkten Überschüsse des Bewertungsobjekts maximiert wird; bei der Bewertung kann (noch) offen bleiben, welche Maßnahmen im Leistungsbereich außerhalb des Bewertungsobjekts realisiert werden. Die Bewertungskonzeption auf der Basis flexibler Planung wurde bereits in Kapitel XIII erläutert. Im Folgenden soll untersucht werden, wie Marktbewertungsfunktionen für Überschüsse im Modell der flexiblen Planung erfasst werden können. Zunächst betrachten wir das Roll-Back-Verfahren (vgl. auch BALLWIESER, 2002a). Dabei wird davon ausgegangen, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen, in dem die in Kapitel XIII, Abschnitt 2.4.1, beschriebenen Aktionen durchgeführt werden können. Das Unternehmen verkörpert hier ausschließlich Optionen auf Realinvestitionen und die Annahme von Aufträgen. Wenn der Investor das Unternehmen nicht kauft, lege er sein Geldvermögen V0 zum risikolosen Zinssatz r an. Es wird untersucht, wie für verschiedene
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
559
Marktbewertungsfunktionen der Marktwert des Unternehmens in Verbindung mit der optimalen Ausübung der Optionen ermittelt werden kann.
9.2
Einführung: Bewertung bei ausschließlich unsystematischem Risiko
Zunächst soll vereinfachend der Fall unsystematischen Risikos betrachtet werden. Der Marktwert des Bewertungsobjekts ist dann gleich dem mit dem Zinssatz r ermittelten Barwert der zukünftigen erwarteten Überschüsse. Der maßgebliche Entscheidungsbaum ist in Abbildung XIV.4 dargestellt (vgl. hierzu auch Abbildung XIII.3 in Kapitel III, Abschnitt 2.4.2.1). Unterhalb der Entscheidungs- bzw. Ergebnisknoten stehen jetzt die Überschüsse für den jeweiligen Zeitpunkt. Einem Ergebnisknoten für den Zeitpunkt 3 wird jetzt nur der Überschuss für diesen Zeitpunkt zugeordnet und nicht wie im Entscheidungsbaum XIII.3 ein „Totalergebnis“. Bei den Entscheidungsknoten, für die Wahlmöglichkeiten dargestellt sind, bezeichnet die obere (untere) Zahl den Überschuss für die durch die obere (untere) Kante repräsentierte Aktion. Im Beispiel sind die Strategien A1, A2 und A3 relevant. (Zu ihrer Definition vgl. Kapitel XIII, Abschnitt 2.4.2.2.) Bei der Strategie A1 werden zum Zeitpunkt 0 zwei Anlagen erworben. Ihr entspricht der Kapitalwert KW0(A1): (XIV.40)
KW0 (A1 )
(1 r)1 600 (1 r)2 (0,7 300 0,3 600) (1 r)3 (0,7 0,8 300 0,7 0, 2 600 0,3 0, 2 300 0,3 0,8 600) 1000.
Bei der Strategie A2 wird genau eine Anlage erworben (wieder zum Zeitpunkt 0). Damit wird in jeder Periode ein Auftrag erledigt, so dass der folgende Kapitalwert erzielt wird: 3
(XIV.41)
KW0 (A 2 )
¦ (1 r) t 300 500 . t 1
Der Kapitalwert der Strategie A3 kann analog zu KW0(A1) ermittelt werden. Jedoch erübrigt sich die explizite Bewertung. A3 unterscheidet sich von A2 nur dadurch, dass bei A3 in der Entscheidungssituation 5 (im Zustand 3 des zugrunde liegenden Zustandsbaums von Abbildung XIII.2, Kapitel XIII, Abschnitt 2.2.1) eine zweite Anlage erworben wird und in dieser Entscheidungssituation sowie der Entscheidungssituation 15 (mit dem Zustand 7) auch der zweite Auftrag angenommen und damit am Ende der jeweiligen Periode ein zusätzlicher Überschuss von 300 erzielt wird. Der bedingte Kauf der zweiten Anlage weist den folgenden bedingten Kapitalwert (bezogen auf die Entscheidungssituation 5 und ermittelt mit den bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Überschüsse zum Zeitpunkt 3) auf:
560
Kapitel XIV
(1 r ) 1 300 (1 r ) 2 (0,2 0 0,8 300) 500
KW15
(XIV.42)
600
Zeitpunkt 3 Zeitpunkt 2
0,8
Y14 W2 = 1
Y15 = 0
300
Zeitpunkt 1
300-500
5
3 X5 W1= 2 Y5 300
X 5= 2
Y5 = 1
X5= 1 Y5 = 0
0,2
600 15 X15 7 W2 = 2 Y15 600
Y14 = 0
X15 = 2
300 X 14 = 1
300 X13 = 1 Y13 = 0
13 0,8
0,2
7 X13 W2 = 2 Y13 300 14 6 X14
X12 6 W2 = 1 Y12 300
0,3
Zeitpunkt 0
0
-1000 -500
1
1 W=2
X1 Y1
X1=1 Y 1= 1
X1=2 Y1 = 2
0,7
X4 2 W1 = 1 Y4 300
4
X12 = 1 Y12 = 0
300
300
X11 5 W2 = 2 Y11 300 12
X11 = 1 Y11 = 0
0,8
X4 = 1 Y4 = 0
X3 = 2 Y3 = 0 X3 3 W1 = 2 Y3 600
3
0,2
X10 4 W2 = 1 Y10 300 11
X10 = 1 Y10 = 0
600
300 X 9= 2 Y9 = 0 0,8
0,3
0,7
7 X9 W2 = 2 Y9 600 10
600 X8 = 1 Y8 = 0
X8 6 W2 = 1 Y8 600 9
X 7= 2 Y7 = 0 X7
W2 = 2 Y7 300 8
5
0,2
7
X6 4 W2 = 1 Y6 300
X2 2 W1 = 1 Y2 600
2
X2 = 1 Y2 = 0
0,8
6
X6 = 1 Y6 = 0
300
(1 r ) 1 300 (1 r ) 2 240 500.
Abb. XIV.4: Entscheidungsbaum für das Beispiel
Die optimale Strategie kann nun in folgenden Schritten ermittelt werden, wobei zu beachten ist, dass die Kapitalwerte gemäß (XIV.40), (XII.41) und (XII.42) von r abhängen: 1. Zunächst werden nach (XIV.40) und (XIV.41) die Kapitalwerte KW0(A1) und KW0(A2) ermittelt. Im Fall KW0 (A 2 ) > KW0 (A1 ) scheidet die Alternative A1 bereits als nachteilig aus. Es wird zunächst nur eine Anlage erworben, sofern KW0(A2) positiv ist. Ob in der Entscheidungssituation 5 (in der zwei Aufträge eingehen) eine zweite Anlage erworben wird, kann zunächst offen bleiben. Die Entscheidung wird erst getroffen, wenn die Entscheidungssituation 5 tatsächlich eintritt.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
561
Es wird dann der hierfür maßgebliche Kapitalwert gemäß (XIV.42) ermittelt und die zweite Anlage erworben, wenn er positiv ist. 2. Gilt KW0 (A1 ) > KW0 (A 2 ) , ist zum Zeitpunkt 0 zu prüfen, ob auch KW0 (A1 ) > KW0 (A 3 ) gilt. Hierzu ist im voraus der bedingte Kapitalwert der zweiten Anlage gemäß (XIV.42) zu ermitteln. Ist er negativ, gilt die Ungleichung KW0 (A 3 ) < KW0 (A 2 ) und somit auch KW0 (A1 ) ! KW0 (A3 ) ; zum Zeitpunkt 0 werden zwei Anlagen erworben, sofern KW0(A1) positiv ist. Ist der bedingte Kapitalwert der zweiten Anlage positiv, so steht zwar fest, dass KW0 (A 3 ) ! KW0 (A 2 ) gilt. Jedoch muss noch geprüft werden, wie weit KW0 (A 3 ) über KW0 (A 2 ) liegt, damit zum Entscheidungszeitpunkt 0 beurteilt werden kann, ob A3 auch besser ist als A1. Hierzu muss dem Sachverhalt Rechnung getragen werden, dass der ermittelte bedingte Kapitalwert erst im Zeitpunkt 1 und nur mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 realisiert werden kann. Der entsprechende unbedingte Kapitalwert bezogen auf den Zeitpunkt 0 beträgt 1,11 0,3 KW15 . Wird er zum Kapitalwert KW0 (A 2 ) addiert, ergibt sich der Kapitalwert der Strategie A3; ist er größer als KW0 (A1 ), wird A3 gewählt: Zum Zeitpunkt 0 wird dann also eine Anlage erworben und zum Zeitpunkt 1 die zweite, sofern dann 2 Aufträge eingehen. Gilt KW0 (A 3 ) < KW0 (A1 ), bleibt es bei Wahl der Alternative A1; zum Zeitpunkt 0 werden 2 Anlagen erworben.
9.3
Bewertung und SPA
Auch im Rahmen des SPA besteht kein Bewertungsverbund, sofern sich bei Durchführung zusätzlicher Projekte die Preise S(St,s) für zustandsbedingte Zahlungsansprüche nicht ändern. Mit Hilfe dieser Preise können nicht nur einzelne Projekte mit gegebenem stochastischem Strom von Einzahlungsüberschüssen bewertet werden. Es lassen sich auch optimale Investitionsstrategien nach dem Konzept der flexiblen Planung ermitteln, bei denen gegenwärtige und zukünftige bedingte Investitionsentscheidungen aufeinander abgestimmt werden. Die Zielfunktion des Kalküls besteht allgemein in der Maximierung der gewichteten Summe der positiven oder negativen Überschüsse in allen möglichen Zuständen (unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlungen für Investitionsprojekte), wobei als Gewichtungsfaktoren die Preise S(St,s) dienen. Da die Überschüsse der erwogenen Strategien für den Zeitpunkt 0 sicher sind, werden sie mit 1 gewichtet. Zur Bewertung der Überschüsse zum Zeitpunkt 3 mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche müssen nun auch für diesen Zeitpunkt Zustände definiert werden. Der für die Auftragseingänge maßgebliche Zustandsbaum XIII.2 (Kapitel XIII, Abschnitt 2.2.1) kann jedoch in einfacher Weise zu einem Zustandsbaum für die relevanten Zahlungsansprüche erweitert werden (Zustandsbaum XIV.5):
562
Kapitel XIV
2
2
2
S1,1
S2,1
1
S0
Zeitpunkt 0
1
S2,2
S2,3
2
Zeitpunkt 1
S1,2
1
S2,4
Zeitpunkt 2
Zeitpunkt 3 S3,1
S3,2
S3,3
S3,4
Abb. XIV.5: Zustandsbaum mit den bewertungsrelevanten Zuständen für das Beispiel
Um den Vergleich mit den Darstellungen in Abschnitt 2 zu erleichtern, werden hier die Zustände wieder allgemein mit St,s bezeichnet. Links neben den Zustandsknoten für die Zeitpunke 0, 1 und 2 steht die Zahl der jeweils eingehenden Aufträge. Deren (bedingten) Wahrscheinlichkeiten sind hier deshalb nicht aufgeführt, weil sie bei der Bewertung nicht explizit berücksichtigt werden müssen. An die Stelle dieser Wahrscheinlichkeiten und des risikolosen Zinssatzes treten nun die Preise für die zustandsbedingten Zahlungsansprüche. Da nach dem Auftragseingang zum Zeitpunkt 2 keine Ungewissheit mehr besteht, folgt jedem Zustand S2,s (s = 1,2,3,4) genau ein Zustand für den Zeitpunkt 3. Da sich die einander entsprechenden Zustände nur durch eine Zeitverschiebung von einer Periode unterscheiden, gilt: (XIV.43)
S 3,s
(1 r ) 1 S 2,s
(s = 1,2,3,4).
Man erhält den Marktwert (nach Anschaffungsauszahlung) der Strategie A1, indem man die in Zukunft möglichen Überschüsse mit den Preisen für die zugehörigen Zustände gewichtet und von der gewichteten Summe die Anschaffungsauszahlung 1000 subtrahiert: (XIV.44)
M 0 ( A1 )
S(S1,1 ) 600 S(S1,2 ) 600 S(S2,1 ) 600 S(S2,2 ) 600 S(S2,3 ) 300 S(S2,4 ) 300 S(S3,1 ) 600 S(S3,2 ) 300 S(S3,3 ) 600 S(S3,4 ) 300 1000.
Für den Marktwert der Strategie A2 gilt: 3
(XIV.45)
M 0 (A 2 )
¦ (1 r ) t 300 500. t 1
563
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
Der Marktwert M0(A3) der Strategie A3 kann analog zu M0(A1) ermittelt werden. Jedoch erübrigt sich auch hier wieder eine explizite Bewertung. Wie erläutert, unterscheidet sich A3 von A2 nur dadurch, dass bei A3 in der Entscheidungssituation 5 (im Zustand S1,1) eine zweite Anlage erworben wird, die gemeinsam mit den Deckungsbeiträgen der zusätzlich angenommenen Aufträge analog zu (XIV.42) den folgenden bedingten Marktwert aufweist: (XIV.46)
M15
S(S2,1 S1,1 ) 300 S(S2,2 S1,1 ) 300 S(S3,1 S1,1 ) 300 S(S3,2 S1,1 ) 0 500 (1 r)1 300 S(S3,1 S1,1 ) 300 500.
Hierin bezeichnet S(.|S1,1 ) den Preis, der dem betreffenden Zustand zum Zeitpunkt 1 unter der Bedingung entspricht, dass dann der Zustand S1,1 eintritt. Die optimale Strategie kann völlig analog zum Fall der Risikoneutralität ermittelt werden: 1. Zunächst werden die Marktwerte M0(A1) und M0(A2) ermittelt. Im Fall M0(A2) > M0(A1) wird zum Zeitpunkt 0 eine Anlage erworben, sofern M0(A2) positiv ist. Die Entscheidung über den Kauf einer zweiten Anlage im Zustand S1,1 (in der Entscheidungssituation 5) wird erst dann getroffen, wenn dieser Zustand tatsächlich eintritt. Hierzu wird mit den dann maßgeblichen Preisen für die Zustände S2,1, S2,2 und S3,1 der Marktwert M15 gemäß (XIV.46) bestimmt und die zweite Anlage erworben, wenn dieser Marktwert positiv ist. 2. Gilt M0(A1) > M0(A2), ist zum Zeitpunkt 0 noch zu prüfen, ob auch M0(A1) > M0(A3) gilt. Hierzu muss im Voraus der bedingte Marktwert M15 der zweiten Anlage nach (XIV.46) ermittelt werden. Die maßgeblichen bedingten Preise können gemäß den Darstellungen in Abschnitt 3.2 ex ante wie folgt aus unbedingten gegenwärtigen Preisen hergeleitet werden: (XIV. 47)
S(S2,1 S1,1 ) S(S3,1 S1,1 )
S(S2,1 ) S(S1,1 ) S(S3,1 ) S(S1,1 )
; S(S2,2 S1,1 )
S (S2,2 ) S(S1,1 )
;
.
Ist der bedingte Marktwert M15 negativ, gilt M0(A3) < M0(A2) und folglich auch M0(A1) > M0(A3); zum Zeitpunkt 0 werden zwei Anlagen erworben (sofern M0(A1) positiv ist). Ist der bedingte Marktwert positiv, steht zwar fest, dass M0(A3) > M0(A2) gilt. Jedoch muss noch geprüft werden, wie weit M0(A3) über M0(A2) liegt, damit zum Entscheidungszeitpunkt 0 beurteilt werden kann, ob A3 auch besser ist als A1. Hierzu wird der bedingte Marktwert M15 mit dem Preis S(S1,1) für den Zustand S1,1 multipliziert. Gemäß (XIV.46) und (XIV.47) ergibt sich: (XIV.48)
S(S1,1 ) M15
S(S2,1 ) 300 S(S2,2 ) 300 S(S3,1 ) 300 S(S1,1 ) 500.
564
Kapitel XIV
Der unbedingte Marktwert ist somit gleich der gewichteten Summe der möglichen Projektüberschüsse, wobei als Gewichtungsfaktoren die Preise S zum Zeitpunkt 0 für diejenigen Zustände dienen, in denen sie erzielt werden. Wird dieser Marktwert zum Marktwert M0(A2) addiert, ergibt sich der Marktwert der Strategie A3; ist er größer als M0(A1) wird A3 gewählt. Andernfalls bleibt es bei Wahl von A1. Der Lösungsweg kann analog zum Fall der Risikoneutralität wie folgt interpretiert werden: Zum Zeitpunkt 0 wird genau eine Anlage erworben, falls deren Kapitalwert (Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung) zuzüglich des Wertes der Option auf die zweite (positiv und) höher als der Marktwert der Strategie A1 ist.
9.4
Bewertung und CAPM
9.4.1
Bewertung mit zustandsabhängigen risikoangepassten Zinssätzen
Wie auch immer die Strategie mit dem maximalen Marktwert ermittelt worden ist, gilt stets der folgende elementare Zusammenhang: Es existiert ein einheitlicher risikoangepasster Zinssatz, mit dem der Marktwert (der Kapitalwert) dieser Strategie exakt berechnet werden kann, indem für jeden zukünftigen Zeitpunkt der Erwartungswert des Überschusses unter Berücksichtigung von Investitionsauszahlungen diskontiert und von der Summe der Barwerte die Anschaffungsauszahlung für den Zeitpunkt 0 subtrahiert wird. Die Tatsache, dass dieser Zinssatz existiert, bedeutet allerdings nicht, dass er bei der Ermittlung der betreffenden Strategie ex ante bekannt ist. Er ist im Allgemeinen keine dem Entscheidungskalkül exogen vorgegebene Größe, sondern eine endogene Größe, die erst ermittelt werden kann, wenn die optimale Strategie vorliegt. Dann ist er aber für die Planung irrelevant. Selbst wenn der der optimalen Strategie entsprechende risikoangepasste Kalkulationszinsfuß ex ante bekannt wäre, wäre er grundsätzlich für die flexible Planung ungeeignet. Bei Anwendung dieses Kalkulationszinsfußes kann sich nämlich eine Strategie als optimal erweisen, für die er gar nicht maßgeblich ist. Ein für die Investitionsplanung a priori vorgegebener einheitlicher risikoangepasster Zinssatz impliziert, dass unabhängig von den konkreten Entscheidungen die zukünftigen Überschüsse einer gegebenen Risikoklasse angehören, eine Voraussetzung, die gerade in solchen Entscheidungssituationen nicht erfüllt ist, in denen die Anwendung des Prinzips der flexiblen Planung geboten ist (wo es u.a. gerade darum geht, Risiken optimal zu gestalten). Bei flexibler Planung nach dem Roll-Back-Verfahren ist grundsätzlich (sofern man von der Notwendigkeit der Vereinfachung absieht) in jeder Entscheidungssituation für jede erwogene Alternative ein spezifischer risikoangepasster Zinssatz heranzuziehen. Die maßgeblichen Zinssätze können auf der Grundlage des einperiodigen CAPM ermittelt
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
565
werden. Es bietet gegenüber dem SPA den Vorzug, dass der Kapitalmarkt nicht vollständig sein muss. In Abschnitt 5.3 wurde gezeigt, wie der Marktwert eines einzelnen Investitionsprojekts oder M0n rekursiv mit zustandsabhängigen risikoangepassten Zinssätzen auf der Grundlage des einperiodigen CAPM ermittelt werden kann. Analog kann im Rahmen einperiodiger Entscheidungsmodelle gemäß dem Roll-Back-Verfahren rekursiv von den letzten Entscheidungssituationen bis zur ersten die jeweils optimale Investitionsalternative bestimmt werden, bis schließlich die optimale Strategie als Ganzes vorliegt. Von besonderer Bedeutung ist dabei der folgende Sachverhalt: Geht man davon aus, dass die Investitionen im Unternehmen keinen Einfluss auf den Marktpreis des Risikos haben und die Varianzen der Überschüsse des Unternehmens vernachlässigbar sind, ist wie bei Risikoneutralität bzw. wie im SPA bei der Lösung der Teilprobleme weder einem Bewertungsverbund noch einem unternehmensinternen Risikoverbund Rechnung zu tragen. Die Lösung der einperiodigen Bewertungs- und Entscheidungsprobleme kann auch erfolgen, indem (bedingte) Sicherheitsäquivalente ermittelt und diese mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert werden. Es stellt sich dann nicht das Zirkularitätsproblem, wodurch der Planungsumfang in gewissem Umfang reduziert wird.
9.4.2
Bewertung mit Sicherheitsäquivalenten
Erfolgt die Bewertung mit zustandsabhängigen Kalkulationszinsfüssen gemäß dem einperiodigen CAPM, ist grundsätzlich die Zerlegung in einperiodige Kalküle erforderlich, und zwar unabhängig davon, ob flexibel geplant oder der Marktwert eines einzelnen Projekts ermittelt wird. Jedoch kann mit einer solch weitreichenden Zerlegung ein prohibitiv hoher Planungsaufwand verbunden sein. Wie in Abschnitt 5.2 gezeigt wurde, können dagegen mehrperiodige Investitionsprojekte in relativ einfacher Weise bewertet werden, indem die Sicherheitsäquivalente ihrer zukünftigen Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert werden. Diese Bewertungskonzeption kann auch bei flexibler Planung angewendet werden. Von Bedeutung ist dabei, dass das Roll-Back-Verfahren nicht voraussetzt, dass ausschließlich einperiodige Bewertungskalküle verwendet werden. Im obigen Beispiel kann die optimale Strategie wie folgt ermittelt werden: 1. Zunächst wird analog zu (XIV.21) (Abschnitt 5.2) der Marktwert der zukünftigen Überschüsse der Strategie A1 (mit T = 3) ermittelt. Wird hiervon die Anschaffungsauszahlung 1000 subtrahiert, ergibt sich M 0 (A1 ) . Ist der Kapitalwert der Strategie A2 gemäß (XIV.45) größer als M 0 (A1 ) , wird zunächst eine Anlage erworben. Eine Entscheidung über den Kauf der zweiten Anlage im Zustand S1,1 (Entscheidungssituation 5) wird nur dann getroffen, wenn dieser Zustand eintritt. Die Bewertung dieser Alternative kann im Prinzip in gleicher Weise erfolgen wie die der Alternative A1, wobei die bewertungsrelevanten Erwartungswerte und Kovarianzen der zukünftigen Überschüsse der zweiten Anlage aufgrund des dem Zustand S1,1 entsprechenden Informationsstandes ermittelt werden. 2. Gilt M 0 (A1 ) > M 0 (A 2 ) , ist zum Zeitpunkt 0 zu prüfen, ob auch die Relation M 0 (A1 ) > M 0 (A 3 ) gilt. Hierzu muss im voraus der bedingte Marktwert der zweiten
566
Kapitel XIV
Anlage für den Zustand S1,1 ermittelt werden. Das kann in gleicher Weise geschehen wie für den Fall, dass dieser Zustand bereits eingetreten ist. Wenn der bedingte Marktwert der zweiten Anlage negativ ist, gilt M 0 (A 3 ) M 0 (A 2 ) und folglich auch M 0 (A1 ) ! M 0 (A3 ) ; zum Zeitpunkt 0 werden zwei Anlagen erworben. Ist der bedingte Marktwert der zweiten Anlage positiv, muss der Marktwert der Strategie A3 ermittelt werden. Dieser Marktwert könnte zwar in gleicher Weise bestimmt werden wie der der Strategie A1. Bei der Ermittlung der bewertungsrelevanten Erwartungswerte und Kovarianzen der zukünftigen Überschüsse der Strategie A3 müsste auch die mögliche Auszahlung für die zweite Anlage berücksichtigt werden. Andererseits müsste vom Marktwert der zukünftigen Überschüsse nur die Anschaffungsauszahlung für die erste Anlage zum Zeitpunkt 0 subtrahiert werden. Da jedoch der bedingte Marktwert für die zweite Anlage schon ermittelt worden ist, kann M 0 (A 3 ) einfacher in der Weise bestimmt werden, dass dieser bedingte Marktwert in einen unbedingten bezogen auf den Zeitpunkt 0 transformiert und zum Marktwert M 0 (A 2 ) addiert wird. Der unbedingte Marktwert der zweiten Anlage kann im Prinzip ebenso ermittelt werden wie der Marktwert eines riskanten Überschusses, der im Zustand S1,1 erzielt wird. Gilt nun M0(A3) > M0(A1), wird die Strategie A3 gewählt (falls M0(A3) > 0), andernfalls bleibt es bei der Wahl der Strategie A1.
10
Bewertung auf der Basis flexibler Planung nach dem Zustandsbaumverfahren
10.1
Bewertung mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche
10.1.1 Allgemeine Charakteristik Im Folgenden soll allgemein untersucht werden, wie unterschiedliche Marktbewertungsfunktionen im Rahmen des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung erfasst werden können. Sind Verrechnungspreise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche bekannt, kann die Bewertung auf der Basis der folgenden Zielfunktion vorgenommen werden: T S(t)
(XIV.49)
ÜL0 ¦ ¦ S St,s ÜL t,s o Max! t 1s 1
Zu maximieren ist also der Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs. Da der Zustand S0 zum Zeitpunkt 0 mit Sicherheit bekannt ist, wird ÜL0 mit 1 gewichtet, alle anderen Überschüsse mit den entsprechenden Preisen ʌ(St,s). Finanzrestriktionen erübrigen sich in diesem Modell. In den Nebenbedingungen muss allerdings erfasst werden, wie ÜL0 und die zukünftigen zustandabhängigen Überschüsse ÜLt,s (t > 0) des Leistungsbereichs von den Maßnahmen in diesem Bereich und der Umweltentwicklung abhängen. Die Bewertung der Überschüsse ÜL erfolgt über die Zielfunktion (XIV.49). Außerdem muss dem Sachverhalt Rechnung getragen werden,
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
567
dass der Aktionsraum des Leistungsbereichs in einem zukünftigen Zustand nicht nur von diesem Zustand, sondern auch den realen Maßnahmen in den vorgelagerten Zuständen abhängt. Das Modell der flexiblen Planung ist im Allgemeinen zweimal zu lösen, einmal ohne und einmal mit dem Bewertungsobjekt. Im ersten (Teil-)Modell (ohne Bewertungsobjekt) stellt ÜL0 denjenigen Überschuss zum Zeitpunkt 0 dar, der in Verbindung mit neuen Maßnahmen erzielt wird. Ein Überschuss zum Zeitpunkt 0 aus früheren Maßnahmen stellt ein nicht mehr beeinflussbares Datum dar und kann folglich bei der Bewertung vernachlässigt werden. Grundsätzlich ist ÜL0 negativ. Es handelt sich dann um einen Auszahlungsüberschuss. Im zweiten (Teil-)Modell wird das Bewertungsobjekt ohne Berücksichtigung einer Anschaffungsauszahlung einbezogen. Jedoch werden in ÜL0 die Auszahlungen zum Zeitpunkt 0 für alle Maßnahmen erfasst, die bei Kauf des Bewertungsobjekts realisiert werden. Bei erwogenem Kauf eines Unternehmens werden z.B. auch Auszahlungen für zusätzliche Investitionen darin berücksichtigt.10 Der Grenzpreis des Bewertungsobjekts ergibt sich als Differenz zwischen den maximalen Marktwerten mit und ohne Bewertungsobjekt. Eine simultane Ermittlung des Grenzpreises und des optimalen Aktionsprogramms bei Kauf des Bewertungsobjekts erübrigt sich bei marktorientierter Bewertung, da dann kein Reichtumseffekt besteht und außerdem die beiden Marktwerte dieselbe Dimension wie der Grenzpreis haben, nämlich GE. (Bei subjektiver Nutzenmaximierung stellt sich dagegen bei nichtlinearer Nutzenfunktion das Problem, einem Reichtumseffekt und Dimensionsunterschieden zwischen den Nutzenerwartungswerten mit und ohne Bewertungsobjekt einerseits und der Anschaffungsauszahlung andererseits Rechnung zu tragen; während der Grenzpreis die Dimension GE aufweist, hat ein Nutzenerwartungswert die Dimension Nutzeneinheit.) Besteht zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt weder Restriktions- noch Erfolgsverbund genügt es, bei Marktwertmaximierung im Bewertungsmodell nur das Bewertungsobjekt zu berücksichtigen. Welcher Marktwert ohne es auch immer erzielt wird, steigt bei dessen Kauf vor Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung der Marktwert um den maximalen Marktwert seiner Überschüsse; der Grenzpreis des Bewertungsobjekts stimmt mit diesem Marktwert überein. Das Zustandsbaumverfahren der Bewertung beschränkt sich dann darauf, das optimale (marktwertmaximale) System an Teilplänen für das Bewertungsobjekt zu bestimmen; nur das zweite Modell ist dann bewertungsrelevant.
10.1.2 Beispiel Zur Erläuterung des Bewertungskonzepts wird nochmals das Beispiel in Kapitel XIII, Abschnitt 2.4, betrachtet, in dem es um die Bewertung eines Unternehmens geht. An die Stelle der Zielfunktion (XIII.1) bzw. (XIII.1a) tritt nun gemäß (XIV.49):
10
Ein Überschuss des Unternehmens zum Zeitpunkt 0 aus früheren Maßnahmen fließe dem (potenziellen) Verkäufer zu und sei nicht bewertungsrelevant.
568
Kapitel XIV
2
(XIV.50)
4
4
ÜL0 ¦ S(S1,s ) ÜL1,s ¦ S(S2,s ) ÜL 2,s ¦ S(S3,s ) ÜL3,s o Max! s 1
s 1
s 1
Dabei gilt S(S3,s ) (1 r)1 S(S2.s )
(s = 1,2,3,4).
Da nun nicht mehr das Endvermögen bewertungsrelevant ist, entfallen die Definitionsgleichungen (XIII.2) bis (XIII.5) (Kapitel XIII, Abschnitt 2.4.3.2) für die möglichen Endvermögenswerte sowie die Finanzrestriktionen (XIII.20) bis (XIII.26), die dem Sachverhalt Rechnung tragen, dass (im Beispiel) dieses Endvermögen nicht nur von den realen Maßnahmen, sondern auch den Anlagen oder Aufnahmen von Kapital zum risikolosen Zinssatz abhängt. Jedoch sind nun Nebenbedingungen zu berücksichtigen, die die Abhängigkeit der zustandsabhängigen Überschüsse des Leistungsbereichs von den Maßnahmen in diesem Bereich erfassen. Sie ähneln den entfallenden Nebenbedingungen. An die Stelle der Definitionsgleichungen (XIII.2) bis (XIII.5) treten nun die Gleichungen: (XIV.51)
ÜL3,1 = x2,1 300,
(XIV.52)
ÜL3,2 = x2,2 300,
(XIV.53)
ÜL3,3 = x2,3 300,
(XIV.54)
ÜL3,4 = x2,4 300.
An Stelle der Finanzrestriktion (XIII.20) für den Zeitpunkt 0 gilt nun: (XIV.55)
ÜL0 = –500 y0
Analog werden die anderen Finanzrestriktionen substituiert. Z.B. tritt an die Stelle von (XIII.21) die Gleichung: (XIV.56)
ÜL1,1 = –500 y1,1 + 300 x0
und an die Stelle von (XIII.23) die Gleichung: (XIV.57)
ÜL2,1 = 300 x1,1.
Die Obergrenzen (XIII.6) bis (XIII.19) für die Auftragsannahme und die Nichtnegativitätsbedingungen für die Entscheidungsvariablen x und y gelten nach wie vor. Nachdem die Lösung des Modells und mithin der maximale Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs des zu bewertenden Unternehmens bekannt ist, ist auch der Grenzpreis bekannt; er stimmt mit diesem Marktwert überein. Im Beispiel verfügt der Investor zum Zeitpunkt 0 über das Geldvermögen V0, das er bis zum Zeitpunkt 3 zum risikolosen Zinssatz r anlegt, wenn er das Unternehmen nicht
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
569
erwirbt. Dieses Vermögen muss bei der (Markt-)Bewertung des Unternehmens nicht berücksichtigt werden. Es kann jedoch zur Finanzierung des Unternehmenskaufs herangezogen werden. Da die Finanzierung irrelevant ist, kann es ebenso gut auch an die Anteilseigner ausgeschüttet und die Finanzierung durch Kreditaufnahme und/oder Verkauf zustandsabhängiger Zahlungsansprüche im Unternehmen vorgenommen werden.
10.2
Bewertung durch explizite Erfassung von Duplikationsmöglichkeiten
10.2.1 Allgemeine Charakteristik Das in Abschnitt 10.1 beschriebene Bewertungskonzept setzt die Kenntnis der Preise bedingter Zahlungsansprüche für die im Zustandsbaum erfassten Zustände voraus. In Abschnitt 3.2.2 wurde gezeigt, wie sie auf der Basis dynamischer Duplikation mit normalen Papieren ermittelt werden können, sofern kein Markt existiert, auf dem explizit zustandsbedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden. Diese Berechnungen erübrigen sich, wenn der zustandsabhängige Handel mit Papieren, mit denen die Überschüsse des Leistungsbereichs dupliziert werden können, explizit im Bewertungsmodell erfasst werden. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird im Folgenden davon ausgegangen, dass die zu Beginn einer Periode erworbenen Wertpapiere am Ende der Periode wieder veräußert werden und dann (vor dem Zeitpunkt T) erneut ein einperiodiges zustandsabhängiges Portefeuille gebildet wird. Damit die (dynamische) Duplikation innerhalb des Modells gelingt, sind für jeden möglichen Zustand des Zeitpunkts t (t = 0,1,2,…,T–1) so viele Wertpapiere (einschließlich der Anlage bzw. Aufnahme von Kapital zum Zinssatz r) zu erfassen, wie diesem Zustand zum Zeitpunkt t + 1 Zustände folgen können, wobei die Endwertvektoren dieser Papiere (einschließlich Zinsen und Dividenden) für diese Zustände voneinander linear unabhängig sein müssen. Man erhält nun allgemein den maximalen Marktwert ohne und mit dem Bewertungsobjekt, indem jeweils der gesamte Überschuss GÜ0 = ÜL0 + ÜF0 des Leistungs- und Finanzbereichs für den Zeitpunkt 0 maximiert wird. Analog zu den Darstellungen in Abschnitt 10.1 wird im zweiten Modell (mit Bewertungsobjekt) keine Anschaffungsauszahlung für das Bewertungsmodell berücksichtigt; dessen kritische Obergrenze soll eben als Differenz zwischen dem maximalen Marktwert des Leistungsbereichs mit Bewertungsobjekt ohne Anschaffungsauszahlung und dem maximalen Marktwert des Leistungsbereichs ohne Bewertungsobjekt ermittelt werden. Der Finanzbereich umfasst hier ausschließlich Finanztransaktionen für die Duplikation und den Leerverkauf der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs. Der Überschuss (Erlös) ÜF0 resultiert aus dem Marktwert des leerverkauften Duplikationsportefeuilles zum Zeitpunkt 0. Im ersten (zweiten) Modell handelt es sich um das Duplikationsportefeuille ohne (mit) Bewertungsobjekt. Die Zielfunktion beider Modelle lautet also:
570
Kapitel XIV
(XIV.58)
GÜ 0
ÜL0 ÜF0 o Max!
Die Maximierung von GÜ0 führt unter Berücksichtigung der noch zu beschreibenden Nebenbedingungen dazu, dass für den Leistungsbereich die Investitionsstrategie mit dem höchsten Marktwert unter Berücksichtigung des Überschusses ÜL0 ermittelt wird und deren zukünftigen zustandsabhängigen Überschüsse ÜLt,s durch Duplikation und (Leer-)Verkauf der betreffenden Papiere in einen möglichst hohen Finanzüberschuss ÜF0 transformiert werden. Das Duplikationsportefeuille wird simultan mit dem maximalen Marktwert für den Leistungsbereich ermittelt. Geht man davon aus, dass ÜL0 negativ ist, fordert die Zielfunktion (XIV.54): Maximierung der Differenz aus dem Marktwert ÜF0 des Duplikationsportefeuilles (d.h. dem Marktwert der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs) und der Auszahlung im Leistungsbereich zum Zeitpunkt 0. (Möglicherweise handelt es sich ausschließlich um Anschaffungsauszahlungen für Investitionen.) In beiden Modellen entfallen die Nebenbedingungen, des in Abschnitt 10.1 beschriebenen Modells, die (ausschließlich) zum Ausdruck bringen, wie die zustandsabhängigen Überschüsse ÜLt des Leistungsbereichs von den Maßnahmen in diesem Bereich abhängen. An ihre Stelle treten nun Finanzrestriktionen, die fordern, dass für jeden zukünftigen Zustand St,s der gesamte Überschuss GÜt,s des Leistungs- und Finanzbereichs gleich null ist; der jeweilige Überschuss des Leistungsbereichs wird durch Wertpapierhandel kompensiert. Die Überschüsse des Leistungsbereichs lassen sich in den Finanzrestriktionen in gleicher Weise erfassen wie in den entfallenden Nebenbedingungen. Zusätzlich zu den Überschüssen des Leistungsbereichs sind allerdings in den Finanzrestriktionen die Überschüsse des Finanzbereichs zu erfassen. Diese enthalten die Auszahlungen aus dem Kauf von Wertpapieren (einschließlich der Anlage von Kapital zum risikolosen Zinssatz r) und der Tilgung von Schulden einschließlich Fremdkapitalzinsen und die Einzahlungen aus dem Verkauf von Wertpapieren (einschließlich der Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r) sowie Zinserträge und Dividenden. Die betreffenden Finanzrestriktionen sind von grundlegender Bedeutung. Wird die für einen Zustand maßgebliche Finanzrestriktion vernachlässigt, kann ÜF0 und entsprechend auch GÜ0 unbegrenzt erhöht werden, indem zum Zeitpunkt 0 für den betreffenden Zustand ein immer größerer bedingter Zahlungsanspruch direkt oder indirekt (leer-) verkauft wird, wobei im Modell nicht dem Sachverhalt Rechnung getragen wird, dass er auch erfüllt werden muss; das Modell hat keine Lösung. Im Übrigen gelten dieselben Nebenbedingungen wie bei der Bewertung auf der Basis gegebener Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche gemäß der Zielfunktion (XIV.49). Jedes Investitionsprojekt, dessen Anschaffungsauszahlung niedriger ist als der Marktwert seines Duplikationsportefeuilles wird ins optimale Programm aufgenommen, weil es in Verbindung mit Duplikation und Leerverkauf GÜ0 erhöht. Ein Investitionsprojekt, dessen Preis höher ist als der Marktwert seines Duplikationsportefeuilles, wird vom Modell als nachteilig abgelehnt, weil es GÜ0 reduzieren würde. Obwohl die Preise für
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
571
zustandsbedingte Zahlungsansprüche im Modell nicht explizit berücksichtigt werden gilt: Im Optimum sind alle jene Projekte enthalten, die bezüglich dieser Preise einen positiven Marktwert haben. Es ist zu beachten, dass der zustandsabhängige Handel mit Wertpapieren nicht erfolgt, um den Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs zu erhöhen. Dieser Handel hat darauf gar keinen Einfluss. Die Maximierung von GÜ 0 ÜL0 ÜF0 ist lediglich das Vehikel, den Marktwert der (zustandsabhängigen) Realinvestitionen ohne die explizite Ermittlung von Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche zu bestimmen; der maximale Wert von GÜ 0 ÜL0 ÜF0 stimmt mit dem maximalen Marktwert des Realinvestitionsprogramms unter Berücksichtigung des Überschusses ÜL0 überein. Interpretation: Der Überschuss ÜF0 ist gleich dem Marktwert des Duplikationsportefeuilles, also der Differenz zwischen der Einzahlung aus dem Leerverkauf von Papieren (einschließlich einer Kreditaufnahme zum Zinssatz r) und der Auszahlung für den Kauf von Papieren (einschließlich einer Anlage von Kapital zum Zinssatz r) jeweils zum Zeitpunkt 0. Das zum Zeitpunkt 0 erworbene Portefeuille wird im Zeitablauf derart umgeschichtet, dass in jedem Zustand der jeweilige positive oder negative Überschuss des Leistungsbereichs kompensiert wird. ÜF0 stimmt mit dem Marktwert aller zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs (dem Marktwert ihres dynamischen Duplikationsportefeuilles) überein. Unter Berücksichtigung des Überschusses ÜL0 ergibt sich der Netto-Marktwert des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt 0; wie erwähnt, ist der Überschuss ÜL0 grundsätzlich negativ. Besteht weder Erfolgs- noch Restriktionsverbund zwischen den Maßnahmen des Bewertungsobjekts und denen eines bereits vorhandenen Leistungsbereichs oder werden bei Verzicht auf Kauf des Bewertungsobjekts ohnehin nur Finanzinvestitionen durchgeführt, erübrigt sich für die Bewertung die Ermittlung des maximalen Marktwertes ohne Bewertungsobjekt. Nur das zweite Modell ist dann für die Bewertung zu erstellen und zu lösen. Seine Zielfunktion lautet dann: Maximierung des Marktwertes ÜF0 (des Duplikationsportefeuilles) der zukünftigen Überschüsse des Bewertungsobjekts zuzüglich des Überschusses ÜL0 des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt 0 ohne dessen Anschaffungsauszahlung. Ist dieser Überschuss negativ, wird sein Betrag subtrahiert. Die maximale Differenz ist der gesuchte Grenzpreis. Bei Restriktionsverbund und/oder Erfolgsverbund zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt ist das beschriebene Modell zwei Mal zu lösen, zum einen ohne Bewertungsobjekt (erstes Modell) und zum anderen mit Bewertungsobjekt (zweites Modell). Wieder ergibt sich der Grenzpreis für das Bewertungsobjekt als Differenz zwischen den maximalen Marktwerten bzw. Zielfunktionswerten von (XIV.58) mit und ohne Bewertungsobjekt (wobei der Marktwert mit Bewertungsobjekt ohne Berücksichtigung einer Anschaffungsauszahlung hierfür ermittelt wird). Sind alle Nebenbedingungen linear, kann der maximale Marktwert (die optimale Lösung des Modells) mit bzw. ohne Bewertungsobjekt mit Hilfe der (ganzzahligen) linearen Programmierung ermittelt werden.
572
Kapitel XIV
10.2.2 Beispiel Zur Erläuterung des in Abschnitt 10.2.1 beschriebenen Modells kommen wir auf das Beispiel zurück. (Vgl. hierzu den Zustandsbaum in Abbildung XIV.5.) Da hier jedem Zustand höchstens zwei Zustände folgen können (dem Zustand S2,s (s = 1,2,3,4) folgt mit Sicherheit der Zustand S3,s), kann die Duplikation mit einem einzigen riskanten Papier, dessen Preis zum Zeitpunkt t (t = 1,2) eindeutig durch den eintretenden Zustand St,s bestimmt ist, und der Anlage bzw. Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r vorgenommen werden. Der Preis einer Einheit des (riskanten) Papiers im Zustand 0 wird mit P0 bezeichnet und der Preis im Zustand St,s (t > 0) mit Pt,s. Neben den Entscheidungsvariablen x0, y0, k0, xt,s, yt,s und kt,s (Kapitel XIII, Abschnitt 2.4.3.1) sind nun noch folgende Entscheidungsvariablen relevant:
Zahl der Einheiten des Papiers, die zum Zeitpunkt 0 erworbene werden. (Im Fall w0 < 0 erfolgt ein Leerverkauf.) w1,s Zahl der Einheiten des Papiers, die zum Zeitpunkt 1 erworben werden, falls dann der Zustand S1,s (s = 1,2) eintritt.
w0
Da dem Zustand S2,s (s = 1,2,3,4) mit Sicherheit der Zustand S3,s folgt, enthält das Duplikationsportefeuille für jeden Zustand S2,s nur eine Anlage (bzw. Aufnahme) von Kapital zum risikolosen Zinssatz r; zum Zeitpunkt 2 werden keine Einheiten des riskanten Papiers mehr erworben. Zu maximieren ist nun die Zielfunktion: (XIV.59)
GÜ 0
ÜL0 ÜF0
k 0 P0 w 0 500 y0 o Max!
GÜ0 kann für y0 > 0 nur dann positiv sein, wenn k0 und/oder w0 negativ sind, also Kredit aufgenommen (k0 < 0) und/oder ein Leerverkauf des riskanten Papiers vorgenommen wird (w0 < 0). Für den Zeitpunkt 1 gelten 2 zustandsbezogene Finanzrestriktionen. Für den Zustand S1,1 gilt: (XIV.60)
(1 r) k 0 P1,1 w 0 k1,1 P1,1 w 1,1 300 x 0 500 y1,1 0
und für den Zustand S1,2: (XIV.61)
(1 r) k 0 P1,2 w 0 k1,2 P1,2 w 1,2 300 x 0 500 y1,2
0.
Für den Zeitpunkt 2 gelten 4 zustandsbezogene Finanzrestriktionen. Zum Beispiel gilt für den Zustand S2,1: (XIV.62)
(1 r) k1,1 P2,1 w1,1 k 2,1 300 x1,1 500 y 2,1
0.
Hier wird berücksichtigt, dass in der letzten Periode kein Bestand des riskanten Papiers gehalten wird, weil zu Beginn dieser Periode der Überschuss ÜL3 des Leistungsbereichs deterministisch ist. Auch für den Zeitpunkt 3 gelten 4 Finanzrestriktionen. Zum Beispiel gilt für den Zustand S3,1:
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
(XIV.63)
(1 r) k 2,1 300 x 2,1
573
0.
Außerdem gelten Obergrenzen (XIII.6) bis (XIII.19) für die Auftragsannahme (Kapitel XIII, Abschnitt 2.4.3.2) und die Nichtnegativitätsbedingungen für die Variablen x und y.
10.2.3 Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche als Dualvariablen für die Finanzrestriktionen Im Beispiel erübrigt sich die Formulierung zweier Modelle, um den Grenzpreis des Bewertungsobjekts zu ermitteln, da der Investor ohne das Bewertungsobjekt keine Maßnahmen im Leistungsbereich durchführt. Das Bewertungsmodell konzentriert sich auf die mit dem Unternehmen durchführbaren Maßnahmen. Dieses Bewertungskonzept ist auch dann zielführend, wenn der Investor zwar auch ohne das Bewertungsobjekt Maßnahmen im Leistungsbereich durchführt, diese und deren Überschüsse aber durch das Bewertungsobjekt nicht beeinflusst werden. Besteht zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt Restriktionsund/oder Erfolgsverbund – dies ist der Regelfall – dann sind die maximalen Marktwerte ohne Bewertungsobjekt (erstes Modell) und mit Bewertungsobjekt (zweites Modell) explizit zu ermitteln. Das zweite Modell enthält nicht nur die mit dem Bewertungsobjekt durchführbaren Maßnahmen, sondern auch diejenigen Maßnahmen, die ohne es möglich sind, damit den Rückwirkungen der Maßnahmen mit dem Bewertungsobjekt auf die anderen Maßnahmen und die resultierenden Überschüsse Rechnung getragen werden kann. Dabei sind radikale Vereinfachungen unumgänglich. Eventuell können Vereinfachungen auf der Basis des Dualtheorems (Preistheorems) der linearen Programmierung vorgenommen werden. Mit Hilfe dieses Theorems lassen sich in Analogie zu Diskontfaktoren bei sicheren Erwartungen über die Überschüsse11 Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche herleiten, mit denen die Marktwerte der zukünftigen Überschüsse ermittelt werden können. Damit das Dualtheorem angewendet werden kann, müssen die Zielfunktion und die Nebenbedingungen linear sein und es dürfen keine Ganzzahligkeitsbedingungen für Entscheidungsvariablen maßgeblich sein. In der optimalen Lösung ist dann jeder Finanzrestriktion eine Dualvariable zugeordnet, die angibt, wie der Zielfunktionswert steigt, wenn in dem zugrunde liegenden Zustand eine zusätzliche Geldeinheit unentgeltlich zufließt und diese optimal verwendet wird. Wie erläutert wurde, orientiert sich (auch) das erste Modell an der Zielfunktion (XIV.58)
GÜ 0
ÜL0 ÜF0 o Max!
Bei dieser Zielfunktion wird die zusätzliche Geldeinheit für einen zukünftigen 11
Vgl. WEINGARTNER (1963); HAX (1964; 1993); FRANKE/LAUX (1968) für den Fall sicherer Erwartungen und LAUX (1971b) für das Konzept der flexiblen Planung bei subjektiver Nutzenmaximierung. Zum Preistheorem und zur Dualitätstheorie vgl. allgemein KISTNER (2003, S. 46 ff.).
574
Kapitel XIV
Zustand zum Zeitpunkt 0 am Kapitalmarkt verkauft, so dass der Zielfunktionswert ÜL0 + ÜF0 um den Preis eines bedingten Zahlungsanspruchs für diesen Zustand steigt. Zwar erhält man simultan mit der optimalen Lösung des linearen Programmierungsansatzes die Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche. Da dann aber die optimale Lösung vorliegt, werden sie für deren Ermittlung nicht mehr benötigt. Wenn den Modellen mit und ohne Bewertungsobjekt derselbe Zustandsbaum zugrunde liegt, können Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche immerhin in der folgenden Weise verwendet werden: Im Rahmen des ersten Modells wird der maximale Marktwert ohne das Bewertungsobjekt gemäß der Zielfunktion (XIV.58) ermittelt und zwar unter Berücksichtigung eines Handels mit Wertpapieren, mit denen die Überschüsse des Leistungsbereichs dupliziert werden können. Nachdem die optimale Lösung des ersten Modells vorliegt und die Preise für die zustandsbedingten Zahlungsansprüche bekannt sind, wird mit ihnen gemäß der Zielfunktion (XIV.49) der maximale Marktwert mit dem Bewertungsobjekt ermittelt, wobei jetzt im Modell nur die Überschüsse des Leistungsbereichs erfasst werden und sich die Finanzrestriktionen erübrigen. Wenn allerdings dem zweiten Modell (wegen des Bewertungsobjekts) ein anderer Zustandsbaum zugrunde liegt als dem ersten, lassen sich die dem ersten Modell entsprechenden Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche nicht ohne weiteres für das zweite Modell heranziehen. Jedoch erübrigen sich auch für das zweite Modell solche Preise, wenn darin explizit hinreichende Duplikationsmöglichkeiten mit entsprechenden Finanzrestriktionen erfasst werden. Sind für dieses Modell keine Ganzzahligkeitsbedingungen relevant, geben dessen optimalen Dualvariablen wiederum die Preise für die darin erfassten Zustände an. Da dann aber die optimale Lösung des zweiten Modells vorliegt, sind diese Preise für dessen Ermittlung irrelevant. Immerhin können sie zur Bewertung zusätzlicher Maßnahmen herangezogen werden, die nach Kenntnis dieser Lösung (etwa im Verlauf des Verhandlungsprozesses) entdeckt werden und mit dem Bewertungsobjekt zusätzlich realisiert werden können. Der Marktwert (der Grenzpreis) des Bewertungsobjekts steigt dann um die mit den Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche ermittelten Marktwerte der laufenden Überschüsse dieser Maßnahmen abzüglich ihrer Anschaffungsauszahlungen, soweit diese Differenzen positiv und somit die betreffenden Maßnahmen vorteilhaft sind. Wie gesagt, setzt das Dualtheorem voraus, dass keine Ganzzahligkeitsbedingungen relevant sind. Die Tatsache, dass das Bewertungsobjekt nicht teilbar ist, steht dieser Bedingung nicht entgegen. Es wird eben im zweiten Modell nicht über eine (ganzzahlige) Entscheidungsvariable erfasst, sondern über die Aktionsräume, die es eröffnet. Sind alle Objektverwendungsmöglichkeiten (etwa Produktions- und Absatzmaßnahmen) und auch die anderen bei Kauf des Bewertungsobjekts zur Disposition stehenden Maßnahmen (hinreichend genau) teilbar, sind keine Ganzzahligkeitsbedingungen bewertungsrelevant.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
10.3
575
Bewertung durch Diskontierung der Überschüsse mit einem perioden- und projekteinheitlichen risikoangepassten Kalkulationszinsfuß
Existiert ein perioden- und projekteinheitlicher risikoangepasster Zinssatz k, mit dem die Marktwerte mit und ohne Bewertungsobjekt ermittelt werden können (zu den Bedingungen hierfür vgl. die Abschnitte 6.1 und 6.2), kann statt (XIV.49) folgende Zielfunktion bei der Planung und Bewertung zugrunde gelegt werden: T
(XIV.59)
~
ÜL0 ¦ (1 k) t E(ÜL t ) t 1 T
S(t)
ÜL0 ¦ (1 k) t ¦ w(St,s ) ÜL t,s o Max! t 1 s 1 ~
E(ÜL t )
w(St,s) bezeichnet die Eintrittswahrscheinlichkeit des Zustands St,s aus Sicht des Zeitpunkts 0. Für die Zielfunktion (XIV.59) sind dieselben Nebenbedingungen maßgeblich wie für die Zielfunktion (XIV.49). Die Schwäche der Zielfunktion (XIV.59) besteht darin, dass sie spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezüglich der Überschüsse, also entsprechende Beschränkungen des Aktionsraums voraussetzt. Sie unterscheidet sich von (XIV.49) grundlegend in der Bewertung der zukünftigen Überschüsse. Der Unterschied wird ersichtlich, indem (XIV.59) wie folgt umgeformt wird: T S( t )
(XIV.59a) ÜL 0 ¦ ¦ (1 k ) t w (S t , s ) ÜL t , s o Max! t 1 s 1
Hierin wird ÜL t,s mit dem Faktor (1 k) t w(St,s ) gewichtet und in (XIV.49) mit dem Preis S(St,s ) eines bedingten Zahlungsanspruchs für den Zustand St,s . Wie in LAUX (2006a, S. 327) gezeigt wird, hängt S(St,s ) zwar ebenfalls von der Wahrscheinlichkeit w(St,s ) ab, jedoch wird diese mit einem Multiplikator gewichtet, der eine steigende Funktion des Grenznutzens eines beliebigen (repräsentativen) Investors auf dem Kapitalmarkt ist. Der Grenznutzen ist zustandsabhängig; für Zustände, mit hohen (niedrigen) Überschüssen aus der Gesamtheit aller Investitionen der Volkswirtschaft ist er relativ niedrig (hoch). Entsprechend sind auch die Multiplikatoren für die Wahrscheinlichkeiten zustandsabhängig. Für einen „armen“ („reichen“) Zustand St,s eines Zeitpunkts t > 0 ist der Multiplikator und mithin auch der Preis S(St,s ) relativ hoch (niedrig), weil der entsprechende zustandsbedingte Zahlungsanspruch von 1 GE bei hohem (niedrigem) Grenznutzen zufließt. Dagegen ist der Gewichtungsfaktor (1 k) t für w(St,s ) in (XIV.59a) zustandsunabhängig. Für zwei Zustände St,s ' und St,s '' mit derselben Wahrscheinlichkeit w gilt (1 k) t w als Gewicht für die Überschüsse ÜL t,s ' und ÜL t,s '' . Es gilt jedoch nur
576
Kapitel XIV
dann S t,s ' St,s '' , wenn für beide Zustände die Grenznutzenwerte des repräsentativen Investors identisch sind. Ist der Grenznutzenwert für den Zustand St,s ' höher (bzw. niedriger) als für St,s '' , gilt S(St,s ' ) ! S(St,s '' ) (bzw. S(St,s ' ) S(St,s '' ) ). Bewertungsfehler bei Zugrundelegung eines einheitlichen (zustandsunabhängigen) Kalkulationszinsfußes k können sich nur bei speziellen Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die Überschüsse kompensieren. Bezüglich der Zielfunktion (XIV.59a) stellt sich das folgende Problem: Da die optimalen Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt a priori nicht bekannt sind, sondern mit dem Modell ermittelt werden sollen, ist auch ihre Risikostruktur a priori kaum zu beurteilen. Die Gefahr ist groß, dass mit dem exogen vorgegebenen Zinssatz k mit und ohne Bewertungsobjekt riskante Maßnahmen als optimal ermittelt werden, für die er nicht maßgeblich ist; allenfalls bei stark eingeschränkten Aktionsmöglichkeiten kann er dem Bewertungsmodell exogen vorgegeben werden. Hier zeigt sich allerdings eine Problematik, die ganz generell für die Bewertung auf Basis eines risikoangepassten Zinssatzes gilt. Da die Überschüsse eines Bewertungsobjekts (die Änderungen der Überschüsse im Leistungsbereich bei dessen Kauf) nicht ex ante gegeben sind, ist es nicht sinnvoll, einen risikoangepassten Zinssatz exogen „festzulegen“. Wenn Wahlmöglichkeiten für die Nutzung des Bewertungsobjekts bestehen – dies ist der Regelfall – müssen die Überschüsse geplant werden. Dabei sind ständig Marktwerte für erwogene Einzelmaßnahmen zu ermitteln (zu schätzen). Zusätzlich zur Erfassung von Restriktions- und Bewertungsverbund stellt sich das Problem, für die Einzelmaßnahmen „maßgeschneiderte“ risikoadäquate Zinssätze zu ermitteln. Diese Differenzierung der Zinssätze verursacht einen großen Aufwand. Werden die Bewertungen vereinfachend auf der Basis eines einheitlichen risikoangepassten Zinssatzes vorgenommen, mit dem dann auch der Marktwert des Bewertungsobjekts als Ganzes ermittelt wird, ergeben sich Fehlentscheidungen: Maßnahmen, für die der risikoadäquate Zinssatz höher (niedriger) ist als der exogen festgelegte einheitliche Zinssatz, werden möglicherweise ins Programm aufgenommen (abgelehnt), obwohl sie nachteilig (vorteilhaft) sind.
11
Problematik der Vereinfachung
Wie in Kapitel XIII, Abschnitt 4.4, angesprochen wurde, ergeben sich unterschiedliche Probleme der Vereinfachung, je nachdem, ob es um die Ermittlung eines optimalen Investitionsprogramms bei allseits gegebenen Anschaffungsauszahlungen („reine“ Investitionsplanung) oder die Bewertung eines Investitionsobjekts geht. Zwar müssen in beiden Fällen zukünftige Maßnahmen bzw. Überschüsse antizipiert werden, jedoch in unterschiedlichem Ausmaß. Zur Erläuterung betrachten wir den potenziellen Kauf eines Unternehmens U, wobei wir vereinfachend annehmen, dass zwischen den Maßnahmen in ihm und Maßnahmen außerhalb weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht. Der Grenzpreis ist dann gleich dem separat ermittelten maximalen Marktwert des Unternehmens U. Da er ohne Rücksicht darauf ermittelt werden kann, welche Maßnahmen ohne dieses Unternehmen realisiert werden, erübrigt sich das erste Modell bezüg-
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
577
lich der Bewertung. Es ist dann für die Bewertung irrelevant, wie stark dieses Modell zur Ermittlung der optimalen Maßnahmen ohne das Unternehmen U vereinfacht wird und welche Folgen für Fehlentscheidungen bezüglich dieser Maßnahmen resultieren. Wenn auch zwischen den gegenwärtigen und zukünftigen Investitionen im Unternehmen U weder Restriktions- noch Erfolgsverbund besteht, also der Aktionsraum für zukünftige Investitionen und deren Überschüsse unabhängig von den gegenwärtigen Investitionen sind, können bei reiner Investitionsplanung für das Unternehmen U auch die zukünftigen Investitionen in diesem Unternehmen zunächst vernachlässigt werden; zu berücksichtigen sind nur diejenigen zukünftigen (Produktions- und Absatz-)Maßnahmen, die mit den gegenwärtig erwogenen Investitionen durchgeführt werden können. Diese sind im Allgemeinen auch mit den Aktionsräumen noch nicht abgeschlossener früherer Investitionen im Unternehmen U abzustimmen. Für dessen Bewertung sind dagegen alle zukünftigen Überschüsse relevant, auch wenn sie von den gegenwärtigen Investitionen unabhängig sind. Je größer das Potenzial des Unternehmens für vorteilhafte zukünftige Investitionen ist, desto mehr liegt sein Marktwert über dem der Überschüsse des gegenwärtigen Investitionsprogramms und der noch nicht abgeschlossenen früheren Investitionen. Wird aufgrund von Vereinfachungen ein zu hoher (zu niedriger) Marktwert ermittelt, besteht die Gefahr, dass das Unternehmen gekauft (nicht gekauft) wird, obwohl sein Kauf nachteilig ist (vorteilhaft gewesen wäre). Ist der Kauf oder der Verzicht auf Kauf nicht mehr rückgängig zu machen, lassen sich solche Fehlentscheidungen später nicht mehr revidieren. Anders ist die Problemlage hinsichtlich reiner Investitionsplanung bei gegebenen Anschaffungsauszahlungen. Werden aufgrund von Vereinfachungen Fehlentscheidungen hinsichtlich gegenwärtiger Investitionen getroffen, können diese möglicherweise relativ gut revidiert werden, indem unterlassene Investitionen später nachgeholt oder die Pläne für realisierte Investitionen geändert werden, wenn sie sich als nachteilig erweisen. Die Vereinfachungen bei der Bewertung können wesentlich größere Nachteile mit sich bringen als zunächst vorgenommene Vereinfachungen bei reiner Planung. Bei „exakter“ Bewertung müssten zwar auch zukünftige Realinvestitionen und damit verbundene (Produktions- und Absatz-)Maßnahmen zustandsabhängig geplant und deren Überschüsse im gegenwärtigen Marktwert antizipiert werden. Jedoch sind damit grundsätzlich prohibitiv hohe Kosten verbunden. Eine wesentliche Vereinfachung kann in der Weise erfolgen, dass nur gegenwärtige Investitionen und damit verbundene Maßnahmen „optimal“ geplant werden und zu ihrem Marktwert (unter Berücksichtigung von Anschaffungsauszahlungen) und dem Marktwert der zukünftigen Überschüsse noch nicht abgeschlossener früherer Investitionen im Unternehmen U die Marktwerte zukünftiger Investitionen auf der Basis geschätzter (nicht optimal geplanter) zustandsabhängiger Überschüsse addiert werden. Dabei werden vor allem die Überschüsse und entsprechend die Marktwerte jener zukünftigen Investitionen relativ pauschal geschätzt, die mit geringer Wahrscheinlichkeit realisiert werden können. Solche Projekte heben einen geringen Einfluss auf den Marktwert des Unternehmens U, so dass Bewertungsfehler hierfür relativ wenig ins Gewicht fallen.
578
Kapitel XIV
Der Einfluss eines zukünftigen Investitionsprojekts auf den gegenwärtigen Marktwert des Unternehmens lässt sich anschaulich für den SPA zeigen. Wenn das Projekt in einem zukünftigen Zeitpunkt t realisiert werden kann und die Anschaffungsauszahlung At aufweist, kann im Prinzip wie folgt vorgegangen werden: Zunächst wird für jeden zum Zeitpunkt t möglichen Zustand St,s auf der Basis der zugehörigen Preise für Zahlungsansprüche der bedingte Marktwert der Überschüsse in den möglichen Folgezuständen ermittelt (geschätzt) und hiervon At subtrahiert. Da das Projekt in jedem Zustand durchgeführt wird, für den der Marktwert der Überschüsse nach Abzug der Anschaffungsauszahlung At (der Kapitalwert) positiv ist, ergibt sich der Einfluss des Projekts auf den gegenwärtigen Marktwert als gewichtete Summe aller positiven Kapitalwerte, wobei als Gewichtungsfaktoren die Preise ʌ(St,s) der betreffenden Zustände dienen. Analog kann bewertet werden, wenn die Anschaffungsauszahlung zustandsabhängig ist oder das Projekt überhaupt nur in einzelnen Zuständen realisiert werden kann bzw. darf. Der Einfluss eines positiven Kapitalwertes für einen Zustand St,s auf den gegenwärtigen Marktwert des Unternehmens ist umso größer, je höher dieser Kapitalwert und der Preis ʌ(St,s) ist. Die Ermittlung des Marktwertes zukünftiger Investitionen auf der Basis ihrer geschätzten Überschüsse kann ebenfalls einen hohen Aufwand verursachen, so dass eine mehr oder weniger pauschale Schätzung des Marktwertes zukünftiger Erfolgspotenziale als unumgänglich erscheinen mag.
12
Bewertung von Aktionsräumen und Optionspreistheorie [*]
12.1
Charakteristik und Bewertung von Finanzoptionen im Einperioden-Fall
Die Bewertung bei flexibler Planung verursacht gegenüber starrer Planung keine grundsätzlich neuen Probleme. Bei flexibler Planung werden zwar aufgrund bedingter Entscheidungen andere Risikostrukturen für die Überschüsse relevant, jedoch sind hierfür im Prinzip die gleichen Bewertungskonzepte anwendbar wie bei starrer Planung. Die flexible Planung setzt somit kein spezielles Bewertungskonzept voraus. Es kann insbesondere auch sinnvoll sein, bei der Lösung verschiedener Teilprobleme bzw. bei der Bewertung verschiedener Teilstrategien unterschiedliche Bewertungsansätze anzuwenden. Auch Modelle der Bewertung von Optionen lassen sich bei flexibler Planung integrieren. Sie können vor allem eine vereinfachte Bewertung von Erfolgspotenzialen und Aktionsräumen ermöglichen. Der Inhaber einer Option verfügt allgemein über das Recht, vom Vertragspartner, dem sogenannten Stillhalter, zu einem zukünftigen Zeitpunkt oder in einem Zeitraum zu einem festgelegten Preis, dem Basispreis, eine bestimmte Menge eines Gutes (Basisgut, Underlying) zu kaufen (Kaufoption oder Call-Option) oder an ihn zu verkaufen (Verkaufsoption oder Put-Option). „Finanzoptionen“ beziehen sich auf Finanztitel und „Realoptionen“ auf Sachgüter (z.B. Rohstoffe oder die Durchführung eines Investitionsprojekts). Für das Recht, die Option auszuüben, zahlt der Erwerber der Option bei Vertragsabschluß an den Stillhalter den Optionspreis. Lieferung der Finanztitel bzw. der Sachgüter und Zahlung des Basispreises sind bei Ausübung der Option fäl-
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
579
lig. Oft wird allerdings nicht tatsächlich geliefert, sondern eine entsprechende Transferzahlung geleistet. Eine „europäische“ Option darf nur zu einem bestimmten Zeitpunkt ausgeübt werden, eine „amerikanische“ Option jederzeit während ihrer Laufzeit. Da die amerikanische Option dem Inhaber mehr Rechte gewährt als die europäische, ist die amerikanische mindestens so wertvoll wie die europäische. Der Inhaber der Option wird diese nur dann ausüben, wenn er einen Gewinn erzielt. Für den Stillhalter entsteht damit ein gleich hoher Verlust. Analog zu den Darstellungen in Kapitel IV, Abschnitt 4.3.1, hat bei Vollständigkeit und Arbitragefreiheit des Kapitalmarktes eine Option auf eine Einheit des Papiers n, die am Ende der Periode zum Basispreis B ausgeübt werden kann, zum Zeitpunkt 0 den Preis: S
(XIV.64)
P0o
¦ Ss max ^P1n,s B;0` .
s 1
Hierbei bezeichnet max{.} den inneren Wert der Option zum Zeitpunkt 1 bei Eintreten des Zustands Ss. Die Bewertung folgt dem Prinzip der flexiblen Planung. Es wird antizipiert, dass die Option nur in jenen Zuständen ausgeübt wird, in denen P1n,s ! B gilt. Der Marktwert der Option ist gleich dem Kapitalwert der Maßnahme „Kauf des Papiers n im Zeitpunkt 1 zum Preis B unter der Bedingung, dass der Marktwert P1n höher ist als dieser Preis“. Zwar existiert im vollständigen Kapitalmarkt bei Arbitragefreiheit ein eindeutiger Preisvektor S1, S2,..., SS mit dem der Optionswert ermittelt werden kann. Jedoch kann die umfassende Bestimmung dieses Vektors einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Andererseits ist es für eine Bewertung im Rahmen von Arbitrageüberlegung im Allgemeinen gar nicht nötig, sämtliche Zustände Ss explizit zu erfassen. Die Menge {S1 ,S2 ,...,SS} aller Zustände kann in Teilmengen von Zuständen zerlegt werden, für die P1n,s jeweils denselben Wert aufweist. Werden diese Teilmengen mit M1 , M 2 ,...,M Z bezeichnet und derjenige Zustand, der die Zustände der Teilmenge Mz ( z 1,2,..., Z) repräsentiert, mit Zz, gilt: (XIV.65)
P1n,s
P1n,z
für alle s M z (z 1, 2,..., Z).
Wenn es zusätzlich zum Papier n noch Z 1 Papiere gibt (ohne Berücksichtigung der Option), deren Endwert in jedem Zustand Zz (z 1, 2,..., Z) ebenfalls deterministisch ist, ist bei linearer Unabhängigkeit der Endwertvektoren der Markt „vollständig“ bezüglich der Zustände Zz (z 1, 2,..., Z). Bei Arbitragefreiheit existieren dann Preise Sz für diese Zustände, mit denen Gleichgewichtspreise aller Papiere, die in dem Zustand Zz (z 1, 2,..., Z) einen deterministischen Endwert bieten, erklärt werden können. Entsprechend lässt sich auch der Marktwert einer Option auf ein Wertpapier n bestimmen. Die Bewertung dieser Option ist besonders einfach, wenn dessen Endwert wie in Matrix XIV.1 nur zwei Ausprägungen annehmen kann, also nur die Zustände Z1 und Z2 maßgeblich sind. In Bezug auf diese Zustände ist der Kapitalmarkt bereits dann vollständig, wenn neben dem Papier n die Möglichkeit einer Geldanlage zum risikolosen Zinssatz r besteht. Es wird davon ausgegangen, es gelte r 0,1 , P0n = 154, P1n,1 = 200 und P1n,2 = 110, und der Preis einer Option auf eine Einheit des Papiers n mit dem Basispreis (Basiskurs) 140 untersucht.
580
Kapitel XIV
Zustand Wertpapier
Preis zum Zeitpunkt 0
Z1
Z2
Originäres Wertpapier n
200
110
154
Anlage einer GE zum Zinssatz r = 0,1
1,1
1,1
1
Kaufoption mit Basispreis 140
60
0
?
Matrix XIV.1: Zur Bewertung einer Option
Bei Arbitragefreiheit existieren Preise Sz, für die gilt:
S1 200 S2 110 154 S1 1,1 S2 1,1 1. Hieraus folgt: S1 0,6 und S2 0,31 . Somit gilt für den Preis der Kaufoption: 0,6 60 36. Dieser Preis kann auch ohne explizite Berücksichtigung der Preise Sz direkt ermittelt werden. Hierzu wird zunächst untersucht, wie der Endwert des originären Papiers n durch ein Portefeuille aus risikofreier Geldanlage und Kaufoption dupliziert werden kann: Das Papier n bietet einen minimalen Endwert von 110. Man erzielt diesen auch durch Anlage von 100 GE zum risikolosen Zinssatz r 0,1 . Jedoch ist der Endwert des Papiers n im Zustand Z1 um 90 höher als 110. Diese Differenz kann kompensiert werden, indem 1,5 Optionen erworben werden (1,5 60 90) . Da nun die Kombination aus 1,5 Optionen und der Anlage von 100 GE zum risikolosen Zins zum Zeitpunkt 1 dieselbe Zahlung abwirft wie das Papier n, muss diese Kombination genau so viel wie das Papier n kosten: 100 1,5 Preis der Kaufoption 154 bzw.
Preis der Kaufoption 54:1,5 36 . Zwar bringen die Preise S1 0,6 und S2 0,31 nicht direkt zum Ausdruck, wie bei unterschiedlichen Optionstypen in Verbindung mit risikoloser Geldanlage oder -aufnahme der Endwert des Papiers n dupliziert werden kann. Jedoch kann auf deren Grundlage ohne explizite Duplikationsanalysen direkt die Bewertung beliebiger Optionen vorgenommen werden. Zum Beispiel hat die Kaufoption für einen beliebigen Basispreis B (200 > B >110) den Preis S1 (200 B) 0,6 (200 B) und die Option auf den Verkauf einer Einheit des Papiers n den Preis S2 (B 110) 0,31 (B 100). Sind für das Papier n mehr als zwei mögliche Zustände Zz relevant, kann der Preis einer Option auf dieses Papier nicht mehr aus dem Endwertvektor dieses Papiers und dem für die risikolose Anlage hergeleitet werden, da dann der Endwertvektor der Option nicht als Linearkombination der beiden anderen Endwertvektoren dargestellt werden kann. Existiert jedoch bereits eine Option für das Papier n, deren Marktpreis zum Zeitpunkt 0 bekannt ist, können bei drei möglichen Zuständen Zz die entsprechenden Preise S1 , S2 und S3 bestimmt werden, mit denen die Preise beliebiger zusätzlicher Optionen ermittelt werden können.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
12.2
581
Flexible Planung, Realoptionen und deren Bewertung analog zu Finanzoptionen
Von besonderer Bedeutung für die Bewertung von Erfolgspotenzialen im Leistungsbereich eines Unternehmens sind Realoptionen auf Sachgüter. Optionen schaffen allgemein Aktionsräume, die in Zukunft je nach der Entwicklung der entscheidungsrelevanten Daten optimal genutzt werden. Ihr Wert hängt von den damit verbundenen möglichen Überschüssen ab. Da es auch bei flexibler Planung letztlich um das Problem geht, wie Aktionsräume gestaltet und genutzt werden können und sollen, besteht eine enge Verbindung zwischen ihr und der Theorie der Bewertung von Optionen. Der Kauf eines Investitionsprojekts (eines Bewertungsobjekts) lässt sich als Kauf von Realoptionen für zukünftige Folgeaktionen interpretieren. Zum Beispiel wird mit dem Kauf einer Produktionsanlage die Option erworben, innerhalb der Nutzungsdauer Produkte herzustellen, wobei die Basispreise mit den variablen Produktionskosten übereinstimmen. Im Beispiel von Abschnitt 9 wird mit dem Kauf des Unternehmens die Option erworben, Produktionsanlagen zu kaufen und Aufträge anzunehmen und abzuwickeln. Der Kauf nur einer Anlage zum Zeitpunkt 0 bedingt die Option, zum Zeitpunkt 1 eine zweite zu erwerben. Zu den Realoptionen zählen allgemein Aufschuboptionen, Abbruchoptionen, Erweiterungsoptionen, Optionen auf die vorübergehende Stilllegung von Produktionsanlagen und Umstellungsoptionen (COPELAND/ KOLLER/MURRIN, 1994, S. 456 ff.; LAUX, C., 1993; BALLWIESER, 2002a, S. 136).12 Dabei ist von Bedeutung, dass viele Realoptionen vom „amerikanischen Typ“ sind, d.h. jederzeit oder zumindest innerhalb eines Zeitraums ausgeübt werden können. Die flexible Planung liefert nicht nur das Instrumentarium, solche Optionen optimal zu nutzen, sondern auch, sie zu bewerten. Dies gilt unabhängig davon, ob das Ziel subjektiver Nutzenmaximierung oder der Marktwertmaximierung verfolgt wird. Beim Ziel der Marktwertmaximierung kann die Bewertung von Realoptionen möglicherweise vereinfacht werden, indem sie auf die Technik der Bewertung von Finanzoptionen zurückgeführt wird. Zur Erläuterung wird eine Option auf ein Realinvestitionsprojekt betrachtet, die in einem gegebenen Zeitpunkt t ' (1 d t ' T) ausgeübt werden darf. Mit dem Projekt werden in den Zeit punkten t ' 1, t ' 2,...,T stochastische Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T erzielt, deren Marktwert zum Zeitpunkt t ' im Zeitpunkt 0 der Bewertung noch ungewiss ist. Die Anschaffungsauszahlung des Projekts, also der Basispreis für den Erwerb seiner Überschüsse, betrage A t ' . Es wird verdeutlicht, wie die Bewertung dieser Realoption mit Hilfe der Technik der Bewertung von Finanzoptionen im Prinzip vorgenommen werden kann und welche Probleme sich dabei ergeben. Die betreffenden Optionspreisformeln setzen voraus, dass der gegenwärtige Marktwert der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T (ohne die Anschaffungsauszahlung A t ' ) bei definitiver Realisation des Projekts – kurz: der Marktwert des „Underlying“ – bekannt ist. Bei einer Option auf einen Finanztitel ist diese Bedingung erfüllt, sofern bei diesem Finanztitel vor dem Zeitpunkt t ' 1 keine Überschüsse anfallen;13 der gegenwärtige Marktwert ist der gegenwärtig beobachtbare Kurswert dieses Finanztitels. Werden vor dem Zeitpunkt t ' 1 Überschüsse erzielt, ist deren Marktwert vom gegenwärtigen Kurswert zu subtrahieren (sie haben keinen Einfluss auf den Optionswert). Dieser Marktwert und entsprechend der Marktwert des Underlying kann von Spezialfällen abgesehen nicht direkt beobachtet, sondern muss ermittelt werden. Wenn der Marktwert des Underlying (der gegenwärtige Marktwert der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., ÜT ) bekannt ist, kann der Wert der Option auf das betrachtete Realinvestitionsprojekt mit Hilfe einer Optionspreisformel ermittelt werden, wobei die Anschaffungsauszahlung A t '
12 13
Zur expliziten Erfassung entsprechender Maßnahmen bei flexibler Planung vgl. LAUX (1971b). Es wäre dann auch nicht sinnvoll, die Option bei gegebenem Basispreis vor dem Zeitpunkt t' (in dem sie annahmegemäß ausgeübt werden darf) auszuüben.
582
Kapitel XIV
als Basispreis zugrunde gelegt wird. Der Optionswert ist gleich dem Marktwert des Projekts nach Anschaffungsauszahlung bei Durchführung unter der Bedingung, dass zum Zeitpunkt t ' der Marktwert seiner zukünftigen Überschüsse größer ist als die Anschaffungsauszahlung A t ' . In Abschnitt 12.1 wurde gezeigt, wie im Einperioden-Fall der Marktwert einer Option auf einen Finanztitel als Marktwert eines Duplikationsportefeuilles aus ihm und einer Anlage bzw. Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r ermittelt werden kann, sofern diese Option zum Ende der Periode ausübbar ist und zu diesem Zeitpunkt für den Markwert des Finanztitels nur zwei Ausprägungen möglich sind. Der Kapitalmarkt muss hierbei nicht vollständig sein. BLACK/SCHOLES (1973) und MERTON (1973) haben gezeigt, wie ein solches statisches Duplikationsprinzip zu einer dynamischen Duplikation für den Mehrperioden-Fall erweitert werden kann. Sie haben gezeigt, dass Finanzoptionen bei entsprechenden stochastischen Kursentwicklungen durch Kreditaufnahme und Kauf des der Option zugrunde liegenden Finanztitels hinsichtlich aller maßgeblichen Merkmale in einem sogenannten „hedging portfolio“ rekonstruiert werden können. Damit ist gewinnbringende Arbitrage im Prinzip möglich. Sie ist nur dann ausgeschlossen, wenn die Option denselben Marktpreis hat wie das äquivalente hedging portfolio. BLACK/SCHOLES (1973) haben auch gezeigt, dass sich durch die Bedingung der Arbitragefreiheit eine eindeutige Beziehung herstellen lässt zwischen dem Optionspreis und dem Preis des der Option zugrunde liegenden Finanztitels. Diese Beziehung hängt von mehreren Größen ab, die in der BLACK/SCHOLES-Formel enthalten sind, und zwar unter anderem dem Zinssatz, der Laufdauer der Option und der Varianz der als Zufallsgröße betrachteten Preisentwicklung des Finanztitels im Zeitablauf (vgl. COX/ROSS/RUBINSTEIN, 1979). Da sowohl bei Finanztransaktionen als auch bei Sachinvestitionen häufig optionsähnliche Positionen entstehen, hat die BLACK/SCHOLES-Formel in der theoretischen und empirischen Forschung weite Beachtung und Anerkennung gefunden (SMITH Jr., 1979; LAUX, C., 1993; DIXIT/ PINDYCK, 1994; NIPPEL, 1996). Zwar unterstellen die Bewertungsfunktionen der Optionspreistheorie nicht, dass der Kapitalmarkt vollständig ist, also für sämtliche Zustände, die für die Überschüsse beliebiger Papiere im Kapitalmarkt relevant sind, explizit oder implizit bedingte Zahlungsansprüche gehandelt werden können. Wie erläutert, setzt jedoch ihre theoretische Begründung und Herleitung bestimmte Annahmen über die stochastische Kursentwicklung des der Option zugrunde liegenden Finanztitels voraus. Bei der BLACK/SCHOLES-Formel z.B. wird die Kursentwicklung durch eine geometrische BROWN`sche Bewegung approximiert. Die Optionspreisformeln gelten natürlich auch für den vollständigen Kapitalmarkt, in dem die Bewertung im Prinzip mit Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche vorgenommen werden kann. Für diesen Kapitalmarkt können jedoch die Optionspreisformeln den Vorteil bieten, dass die Bewertung in relativ einfacher Weise ohne die explizite Ermittlung und Anwendung dieser Preise vorgenommen werden kann. Bei der Anwendung der Optionspreistheorie zur Bewertung der Option auf die betrachtete Realinvestition ist zunächst der stochastische Prozess der Entwicklung des Marktwertes der Projektüberschüsse für die Zeitpunkte t ' 1, t ' 2,...,T bis zum möglichen Ausübungszeitpunkt t ' zu prognostizieren. Sodann ist eine Optionspreisformel heranzuziehen, die einen vergleichbaren Prozess unterstellt. Die entwickelten Grundtypen von Optionspreisformeln mit variierbaren Parametern eröffnen ein weites Feld von Anpassungsmöglichkeiten. Wie erläutert, setzt die Anwendung einer Optionspreisformel voraus, dass der gegenwärtige Marktwert der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T des Projekts (ohne die Anschaffungsauszahlung A t ' ) bei definitiver Realisation bekannt ist. Die Ermittlung dieses Marktwertes kann z.B. in Anlehnung an das CAPM durch Diskontierung der Sicherheitsäquivalente dieser Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz oder der Erwartungswerte der Überschüsse mit einem risikoangepassten Zinssatz erfolgen. Möglicherweise kann die Bewertung auch durch Rückgriff auf den Marktwert eines Duplikationsportefeuilles vorgenommen werden. Es zeigt sich wieder, dass die
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
583
bisher dargestellten Bewertungskonzepte bei flexibler Planung in Verbindung mit der Optionspreistheorie ihre Relevanz behalten. Zu beachten ist auch, dass die Anwendung einer Optionspreisformel allenfalls dann eine Vereinfachung ermöglicht, wenn der hierbei benötigte gegenwärtige Marktwert der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T bei definitiver Durchführung des Projekts einfacher zu ermitteln bzw. zu schätzen ist als ihr gegenwärtiger Marktwert bei Durchführung unter der Bedingung, dass zum Zeitpunkt t ' ihr Marktwert höher ist als die Anschaffungsauszahlung A t ' . Jedes Bewertungskonzept zur Ermittlung des Marktwertes bei definitiver Durchführung kann im Prinzip auch bei bedingter Durchführung zugrunde gelegt werden.
12.3
Optionsbewertung mit Hilfe eines risikoangepassten Zinssatzes
Das CAPM als Bewertungsgrundlage bietet den allgemeinen Vorteil, dass es nicht Vollständigkeit des Kapitalmarktes voraussetzt; entsprechend setzt es auch nicht voraus, dass die zu bewertenden Überschüsse durch Portefeuillebildung duplizierbar sein müssen. Bei Anwendung einer Optionspreisformel sind bei Orientierung an den Bewertungsfunktio nen des CAPM die Sicherheitsäquivalente der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T des Projekts bei dessen definitiver Durchführung oder entsprechende risikoangepasste Zinssätze zu ermitteln. Es ist jedoch im Prinzip kaum schwieriger, diese Größen analog für den Fall zu schätzen, dass das Projekt zustandsabhängig (bedingt) durchgeführt wird. Der Wert der Option bzw. der Marktwert des Projekts bei bedingter Durchführung ergibt sich dann direkt – ohne Optionspreisformel – indem die entsprechenden Sicherheitsäquivalente (bzw. Erwartungswerte) der Überschüsse mit dem risikolosen Zinssatz r (bzw. mit risikoangepassten Zinssätzen) diskontiert werden und vom Barwert der Marktwert der Anschaffungsauszahlung subtrahiert wird. Da diese Auszahlung aufgrund der bedingten Realisation ungewiss ist, ist ihr Erwartungswert kleiner als A t ' . Entweder wird der Erwartungswert mit einem risikoangepassten Zinssatz oder das Sicherheitsäquivalent mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Die Anwendung einer Optionspreisformel kann allenfalls dann die Bewertung erleichtern, wenn die Ermittlung oder Schätzung des Marktwertes der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T für die definitive Durchführung des Projekts einen geringeren Aufwand verursacht als für die bedingte. Fallen die Projektüberschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T in eine Risikoklasse mit perioden- und projekteinheitlichem risikoangepasstem Zinssatz k, kann der unbedingte Marktwert dieser Überschüsse relativ einfach ermittelt werden, indem deren Erwartungswerte mit k diskontiert werden. Zwar könnte man auch die Option im Prinzip direkt bewerten, indem man antizipiert, dass sie zum Zeitpunkt t ' genau dann ausgeübt wird, wenn der Marktwert der Projektüberschüsse größer ist als die Anschaffungsauszahlung. Jedoch gehören die bei bedingter Durchführung möglichen Überschüsse nicht zur ursprünglichen Risikoklasse, so dass sich bei direkter Bewertung das Problem stellen würde, den nunmehr maßgeblichen risikoangepassten Zinssatz zu ermitteln;14 durch Anwendung der Optionspreisformel auf der Basis des unbedingten Marktwertes kann dieses Problem umgangen werden. Der risikoangepasste Zinssatz k ist auch dann entscheidungsrelevant, wenn es darum geht, ob das Projekt zum Zeitpunkt 0 durchgeführt werden soll (es werden dann mit ihm auch laufen-
14
Wenn die ursprünglichen Überschüsse normalverteilt sind, gilt dies nicht für die Überschüsse bei bedingter Durchführung. (Allgemein: Wenn die Überschüsse des Underlying normalverteilt sind, gilt dies nicht für eine darauf bezogene Option.) Wenn man von quadratischen Nutzenfunktionen absieht, sind Normalverteilungen (in Verbindung mit konkaven Nutzenfunktionen) die übliche Bedingung für die Rechtfertigung des im CAPM zugrunde gelegten (P,V)-Prinzips. Streng genommen wird bei unterstellten Normalverteilungen mit der Berücksichtigung von Optionen die Welt des CAPM verlassen.
584
Kapitel XIV
,Ü de Überschüsse Ü 1 2 ,..., Ü t ' in den Zeitpunkten 1,2,…, t ' erzielt) oder zum Zeitpunkt t' , sofern dann der Marktwert der Überschüsse für die Zeitpunkte t ' 1, t ' 2,...,T größer ist als die Anschaffungsauszahlung A t ' . Voraussetzung ist allerdings, dass k auch bezüglich der Über ,Ü schüsse Ü 1 2 ,..., Ü t ' periodeneinheitlich ist. Es wird dann zunächst der Marktwert aller erzielbaren Überschüsse zum Zeitpunkt 0 durch Diskontierung ihrer Erwartungswerte mit k ermittelt. Nach Abzug der Anschaffungsauszahlung ergibt sich der Kapitalwert bei Durchführung zum Zeitpunkt 0. Ist er positiv, wird das Projekt direkt durchgeführt, es sei denn, der (Markt-) Wert der Option auf Durchführung des Projekts zum Zeitpunkt t ' ist höher. Die Ermittlung dieses Marktwertes mit einer Optionspreisformel setzt voraus, dass der gegenwärtige Marktwert der Überschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T bekannt ist. Dieser Marktwert kann jedoch bei Periodeneinheitlichkeit von k in relativ einfacher Weise bestimmt werden, indem von dem bereits ermittelten Barwert aller erwarteten Projektüberschüsse der mit k berechnete Barwert der erwarteten Überschüsse für die Zeitpunkte 1,2,..., t ' , die ja entfallen, wenn die Investition nicht zum Zeitpunkt 0 durchgeführt wird, abgezogen wird. Analog kann auf der Grundlage eines periodeneinheitlichen Zinssatzes k auch untersucht werden, ob als möglicher Zeitpunkt der Ausübung der Option der Zeitpunkt t ' oder t '' gewählt werden soll; optional ist jener Zeitpunkt, für den der ermittelte Optionswert am höchsten (und positiv) ist.
12.4
Optionsbewertung mit Hilfe von Duplikationsportefeuilles
Wenn die Projektüberschüsse Ü t '1 , Ü t ' 2 ,..., Ü T nicht in eine Risikoklasse mit bekanntem Kalkulationszinsfuß k fallen, stellt sich die Ermittlung ihres Marktwertes zum Zeitpunkt 0 als komplexer dar. Möglicherweise kann jedoch die Bewertung gemäß dem Prinzip der (statischen oder dynamischen) Duplikation erfolgen. Auf der Basis des Marktwertes dieses Portefeuilles wird dann mit einer Optionspreisformel unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung A t ' als Basispreis der Marktwert der Option bzw. der Marktwert des Investitionsprojekts nach Anschaffungsauszahlung bei bedingter Durchführung ermittelt. Bei Vollständigkeit des Kapitalmarktes existiert zwar in jedem Fall ein Duplikationsportefeuille für die Projektüberschüsse. Jedoch existieren dann auch Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche, mit denen die flexible Planung ohne Rückgriff auf die Optionspreistheorie möglich ist. Allerdings kann die Optionspreistheorie angewendet werden, wobei kompakte Optionspreisformeln wiederum Vereinfachungen ermöglichen können. Sieht man vom Planungsaufwand ab, kann im vollständigen Kapitalmarkt der Wert der Option auf die Durchführung des Investitionsprojekts wie folgt direkt ermittelt werden: Zunächst wird für jeden zum Zeitpunkt t ' möglichen Zustand St',s auf der Basis von Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche der jeweilige bedingte Marktwert der Überschüsse in den möglichen Folgezuständen ermittelt. Da für jeden Zustand, für den dieser Marktwert höher ist als A t ' , also die Realisation des Projekts bzw. die Ausübung der Option vorteilhaft ist, ergibt sich der Marktwert der Option analog zum Einperioden-Fall als gewichtete Summe aller positiven Differenzen aus bedingtem Marktwert der Überschüsse und Anschaffungsauszahlung, wobei als Gewichtungsfaktoren die zugehörigen Preise ʌ(St',s) dienen. Bei unvollständigem Kapitalmarkt ist es nur bei entsprechenden Begrenzungen der Aktionsräume bzw. der Wahrscheinlichkeitsverteilungen bezüglich der Projektüberschüsse möglich, Marktwerte durch Duplikation zu ermitteln. Selbst wenn für einzelne Entscheidungssituationen der Rückgriff auf Duplikationsportefeuilles möglich ist, können sich deshalb Grenzen für den Realoptionsansatz in Verbindung mit Duplikation ergeben, weil dies für andere Entscheidungssituationen nicht der Fall ist.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
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Bezüglich der Bewertung auf der Basis des Duplikationsprinzips gilt allgemein: Die Anwendung einer Optionspreisformel kann die Ermittlung des Optionswertes nur erleichtern, wenn die unbedingten Projektüberschüsse einfacher zu duplizieren sind als die bedingen, die mit der Option erzielt werden, oder wenn überhaupt nur die unbedingten Überschüsse dupliziert werden können. Eine Vereinfachung ist insbesondere dann möglich, wenn auf beobachtbare Marktwerte bereits begonnener gleichartiger Projekte zurückgegriffen werden kann. Dieser Fall wird auch häufig angesprochen, wenn es darum geht, die Vorteilhaftigkeit des Realoptionsansatzes zu demonstrieren. Angenommen, es existiere bereits ein „vergleichbares“ Projekt, das ohne weitere Projekte in einem Unternehmen durchgeführt wird, dessen Marktwert bekannt ist. Dieser Marktwert enthält zwar auch die Marktwerte der laufenden Überschüsse der Zeitpunkte 1,2,..., t ' , die im Rahmen der zu bewertenden Realoption nicht erzielt werden. Möglicherweise können sie jedoch in einfacher Weise eliminiert werden (etwa durch Subtraktion des Marktwertes eines Duplikationsportefeuilles für diese Überschüsse oder durch Subtraktion des mit einem risikoangepassten Zinssatz ermittelten Barwertes ihrer Erwartungswerte). Jedoch dürfte selten ein Projekt existieren, das „vergleichbar“ ist und für das außerdem ein spezifischer Marktwert beobachtet werden kann; der beobachtbare Marktwert eines Unternehmens kann immer dann nicht direkt dem Vergleichsprojekt zugerechnet werden, wenn es im Unternehmen gemeinsam mit anderen Projekten durchgeführt wird.
12.5
Integration von Realoptionsansatz und Entscheidungsbaumverfahren
Wenn es gelingt, die Bewertung von Realoptionen auf die Technik der Bewertung von Finanzoptionen zurückzuführen, kann auch die Investitionsplanung und -bewertung auf der Grundlage der flexiblen Planung vereinfacht werden, indem im Modell nur wenige Aktionsmöglichkeiten explizit erfasst und Handlungsspielräume für weitere Aktionen mehr oder weniger pauschal auf Basis der Optionspreistheorie bewertet werden. Gewählt wird dasjenige Programm, das in Verbindung mit den Optionen für zusätzliche Maßnahmen den höchsten Marktwert aufweist. Wird der Grenzpreis eines Bewertungsobjekts unter Vernachlässigung hiermit möglicher Maßnahmen ermittelt, wird der Marktwert von Optionen auf zusätzliche Maßnahmen hinzuaddiert. Die Anwendung der Optionspreistheorie (des Realoptionsansatzes) und das Konzept der flexiblen Planung stellen keine einander ausschließenden Alternativen dar. Dies gilt auch für das Entscheidungsbaumverfahren. Die Vorstrukturierung mit einem Entscheidungsbaum kann zumindest bruchstückhaft offen legen, welche Optionen noch bewertungsrelevant sind und welche möglichen Überschüsse ihnen entsprechen. Der Realoptionsansatz und das Entscheidungsbaumverfahren werden gelegentlich als Alternativen angesehen, wobei unterstellt wird, das Entscheidungsbaumverfahren setze die Bewertung nach der Kapitalwertmethode auf der Basis eines einheitlichen (von der Risikostruktur der Überschüsse unabhängigen) risikoangepassten Zinssatzes voraus. So kommen z.B. COPELAND/KOLLER/MURRIN (1994, S. 452) zu dem Ergebnis, dass die Bewertung auf der Basis der Optionspreistheorie dem Entscheidungsbaumverfahren überlegen sei, wobei sie beim Entscheidungsbaumverfahren erwartete Überschüsse mit sehr unterschiedlichen Risikostrukturen mit demselben Kalkulationszinsfuß diskontieren und bei der Anwendung der Optionspreistheorie eine korrekte Bewertung vornehmen. Die Optionspreistheorie stellt jedoch keine Bewertungskonzeption dar, die dem
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Kapitel XIV
Entscheidungsbaumverfahren prinzipiell überlegen ist; man muss dieses Verfahren nur sinnvoll anwenden.15
13
Exkurs: Bewertung und Kapitalrationierung (Kapitalbudgetierung) [*]
Wir sind bisher davon ausgegangen, dass im Unternehmen sämtliche Investitionen mit positivem (allgemein: mit nichtnegativem) Marktwert nach Anschaffungsauszahlung (also mit positivem Kapitalwert) finanziert werden können. Es existierte kein Restriktionsverbund aufgrund von Kapitalrationierung: Die Anschaffungsauszahlungen von Investitionen konnten keine (vorteilhaften) Investitionen verdrängen und die Überschüsse nicht die Finanzierung zusätzlicher Investitionen ermöglichen. Bei Kapitalrationierung besteht jedoch auch beim Ziel der Maximierung des Marktwertes des Investitionsprogramms Koordinationsbedarf, selbst wenn weder anderer Restriktionsverbund noch Erfolgsverbund existiert; die Vorteilhaftigkeitsbeurteilung von Investitionen kann nicht isoliert gemäß den Kapitalwerten ihrer direkten Überschüsse, sondern nur in Verbindung mit verdrängten oder ermöglichten gegenwärtigen und zukünftigen Investitionen vorgenommen werden. Möglicherweise verzichtet der Investor auf gegenwärtige Investitionen um Liquiditätsreserven für zukünftige Investitionen zu haben. Kapitalrationierung resultiert ohne Berücksichtigung von Beteiligungsfinanzierung aus exogenen Grenzen für die Fremdkapitalaufnahme und den Leerverkauf von Wertpapieren. Grenzen für die Fremdkapitalaufnahme können sich insbesondere aus Haftungsbeschränkungen ergeben. Je geringer die zukünftigen Überschüsse des Unternehmens im Urteil potenzieller Gläubiger, desto enger ist der Fremdfinanzierungsspielraum. Sind die zukünftigen Überschüsse der Investitionsprojekte duplizierbar, kann zwar bei unbeschränktem Leerverkauf jedes Investitionsprojekt mit positivem (allgemein: mit nichtnegativem) Kapitalwert finanziert werden, indem sein Duplikationsportefeuille (leer-)verkauft wird. Jedoch können insbesondere aufgrund von Informationsasymmetrien auch Leerverkaufsbeschränkungen bestehen, die die Finanzierung von Projekten begrenzen. Das Management des Unternehmens mag Leerverkäufe auch selbst ausschließen, weil diese auf Unverständnis einiger oder aller Anteilseigner stoßen und Kritik (möglicherweise auch Sanktionen) hervorrufen könnten. Auch die Beteiligungsfinanzierung durch Aufnahme neuen Eigenkapitals stellt vielfach keinen Ausweg aus der Problematik dar. Ein wesentlicher Grund für begrenzte Beteiligungsfinanzierung kann darin bestehen, dass alte Gesellschafter ihrerseits aufgrund von Kapitalrationierung nicht in der Lage sind, genügend Kapital aufzubringen und potenzielle neue Gesellschafter das Ertragspotenzial des Unternehmens gering schätzen und nur dann Aktien erwerben, wenn sie für ihre Einlagen prohibitiv hohe Anteile an den Ausschüttungen des Unternehmens erhalten.16 Im Folgenden soll von Beteiligungsfinanzierung weiterhin abgesehen werden. Kapitalrationierung hat grundlegende Rückwirkungen auf die Ermittlung eines Grenzpreises. Dies gilt bereits für den Fall, dass ansonsten kein Restriktionsverbund und auch kein Erfolgsverbund zwischen dem Bewertungsobjekt und dem übrigen Leistungsbereich des Unternehmens besteht. Wie erläutert, würde sich in diesem Fall ohne Kapitalrationierung das erste Teilmodell (die Ermittlung des maximalen Marktwertes des Leistungsbereichs ohne Bewertungsobjekt) erübrigen. Bei Kapitalrationierung ergeben sich jedoch bei Kauf Rückwirkungen auf diejenigen 15
16
Grenzen der Unternehmungsbewertung und -planung vor dem Hintergrund der Optionspreistheorie werden z.B. in BALLWIESER (2002a) und LAUX, C. (1993) gezeigt. Bei privater Kapitalrationierung ist zudem zu erwarten, dass das Ziel der Maximierung des Marktwertes der Aktien des Unternehmens nicht im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung steht und Bewertungskonflikte existieren.
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
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Investitionen, die außerhalb des Bewertungsobjekts durchgeführt werden (können). Diese Rückwirkungen müssen bei der Bewertung erfasst werden, wozu auch das erste Teilmodell benötigt wird. Dabei müssen auch im zweiten Modell diejenigen Maßnahmen berücksichtigt werden, die für das erste Modell maßgeblich sind; der Grenzpreis ergibt sich als Differenz zwischen dem maximalen Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs mit Bewertungsobjekt vor Berücksichtigung seiner Anschaffungsauszahlung (zweites Teilmodell) und dem maximalen Marktwert der Überschüsse des Leistungsbereichs ohne Bewertungsobjekt (erstes Teilmodell). Zwar haben die Finanzierungsmaßnahmen – Aufnahme von Fremdkapital und Leerverkauf von Wertpapieren – keinen expliziten Einfluss auf die Marktbewertung der Überschüsse, jedoch müssen sie jetzt deshalb explizit in beiden Teilmodellen berücksichtigt werden, weil sie die Menge der vorteilhaften Investitionen begrenzen und Prioritäten erfordern. Zum einen sind in den Finanzrestriktionen die mit diesen Maßnahmen verbundenen Ein- und Auszahlungen zu erfassen, zum anderen sind exogene Obergrenzen für die Fremdfinanzierung17 und den Leerverkauf von Wertpapieren zu berücksichtigen.18 Die Notwendigkeit der expliziten Berücksichtigung der Finanzierungsmaßnahmen erhöht den Komplexitätsgrad sowohl des ersten als auch des zweiten Teilmodells der Bewertung. Der Planungsaufwand steigt nicht nur aufgrund der Ergänzungen der Finanzrestriktionen und der zusätzlichen Obergrenzen. Für beide Teilmodelle ist grundsätzlich der Planungszeitraum zu verlängern, um auch dem aus der Kapitalrationierung resultierenden Bedarf an Koordination der gegenwärtigen Investitionen mit zukünftigen hinreichend Rechnung zu tragen. Kapitalrationierung verursacht bei Marktbewertung im Prinzip dieselben Probleme wie Nichtlinearität der Nutzenfunktion bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises.
14
Resümee
1. Es werden Marktbewertungsfunktionen diskutiert und gezeigt, wie sie im Bewertungskalkül erfasst werden können. Betrachtet wird die Bewertung für ein börsenorientiertes Unternehmen, dessen Management sich am Ziel der Marktwertmaximierung orientiert. Es werde erwogen, das Bewertungsobjekt zu kaufen. 2. Der Grenzpreis des Bewertungsobjekts ist gleich der Änderung des Marktwertes des Unternehmens als potenziellem Käufer ohne Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung. Wenn zwischen dem Bewertungsobjekt und dem Unternehmen Erfolgs- und/oder Restriktionsverbund besteht, erfordert die Bewertung die Kenntnis des Marktwerts des Unternehmens mit und ohne Bewertungsobjekt. Hat das Bewertungsobjekt keinen Einfluss auf die übrigen Überschüsse des Unternehmens, stimmt der Grenzpreis mit dem Marktwert seiner isoliert ermittelten zukünftigen Überschüsse überein.
17
18
Zur Erfassung von Grenzen der Fremdkapitalaufnahme aufgrund beschränkter Haftung und heterogener Erwartungen von potenziellen Gläubigern und Investor bei flexibler Planung vgl. LAUX (1971b, S. 102 ff.). Interessant ist, dass sich bei Kapitalrationierung auch solche Versicherungen als vorteilhaft erweisen können, deren Prämie mit dem Marktwert des Schadens übereinstimmt, weil der Schadensausgleich Investitionen mit positiven Kapitalwerten ermöglicht, die sonst nicht finanzierbar gewesen wären. Der Wert der Versicherung resultiert hier aus der Einzahlung in Form des direkten Schadensausgleichs und dem Kapitalwert der hierdurch ermöglichten Folgeinvestitionen. Eventuell ist auch zu berücksichtigen, dass durch die Versicherungsprämien vorteilhafte Investitionen verdrängt werden (C. LAUX, 2004, S. 444 ff.).
588
Kapitel XIV
3. Der Marktwert des Bewertungsobjekts kann möglicherweise als Marktwert seines Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Jedoch kann die explizite Duplikation der Überschüsse einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Der Bewertungsprozess wird erheblich vereinfacht, wenn Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche bekannt sind, mit denen der Marktwert als gewichtete Summe zustandsabhängiger Überschüsse ermittelt werden kann. Eine derartige Bewertungskonzeption bietet der SPA. Hierin kann der Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen entweder direkt oder indirekt mit „normalen“ Papieren erfolgen. Wenn ein direkter Handel ausgeschlossen ist, sind die Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche zwar nicht exogen gegeben, sie lassen sich jedoch aus zustandsabhängigen Preisen normaler Papiere herleiten. Zwar erfordert deren Ermittlung im Prinzip denselben Aufwand wie die Ermittlung des Duplikationsportefeuilles für ein einzelnes Bewertungsobjekt. Jedoch können sich erhebliche Vereinfachungen ergeben, wenn mehrere unterschiedliche Ströme an Überschüssen zu bewerten sind, da dann das ermittelte einheitliche Preissystem zugrunde gelegt werden kann. 4. Zur Analyse der Preisbildung für riskante Papiere und der marktwertorientierten Investitionsplanung bzw. Bewertung auf der Grundlage der BQ- und der NE-Variante des CAPM wird davon ausgegangen, dass zu Beginn des Planungszeitraums bereits ein Marktgleichgewicht vorliegt und sich in diesem Zeitraum die Nutzenfunktionen der Anteilseigner bezüglich ihres Endvermögens nicht ändern. Zum einen kann dann analog zum Einperioden-Fall individuelle Marktwertmaximierung näherungsweise im Einklang mit subjektiver Nutzenmaximierung stehen. Zum anderen können die Marktwerte riskanter Überschüsse in einfacher Weise erklärt werden, indem deren Sicherheitsäquivalente mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert werden (Sicherheitsäquivalent-Methode). Dabei erfolgt die Bewertung im Prinzip wie im Einperioden-Fall. Bei Erweiterung des CAPM auf den Mehrperioden-Fall ergeben sich dagegen wesentlich komplexere Probleme, sofern die Bewertung mit Hilfe zustandsabhängiger risikoangepasster Zinssätze angestrebt wird. 5. In Theorie und Praxis wird bei der Bewertung von mehrperiodigen Überschüssen in der Weise vereinfacht, dass ihre Erwartungswerte mit einem für alle Perioden einheitlichem risikoangepasstem Zinssatz diskontiert werden (Discounted Cash Flow- oder DCF-Verfahren), der aus einem einperiodigen Kalkül hergeleitet wird. Dieses Bewertungskonzept ist charakteristisch für den Shareholder Value Ansatz, bei dem der risikoangepasste Zinssatz in Anlehnung an das einperiodige CAPM ermittelt wird. Wie auch immer der Kalkulationszinsfuß für den Einperioden-Fall ermittelt wird, impliziert seine Übertragung auf den Mehrperioden-Fall, dass die bewertungsrelevanten Überschüsse in eine spezielle „Risikoklasse“ fallen. 6. Die Ermittlung eines risikoadäquaten Kalkulationszinsfußes kn für die bisherigen erwarteten ~ Überschüsse ÜL tn (t=1,2,...,T) des Leistungsbereichs hängt davon ab, ob er einheitlich für ~ jede Periode (für jeden einzelnen erwarteten Überschuss E(ÜL tn ) ) bewertungsrelevant ist oder ob es sich um einen Durchschnittswert aus unterschiedlichen (unbekannten) Periodenzinssätzen handelt. Bei Periodeneinheitlichkeit des Zinssatzes kn setzt sich MZÜL0n additiv ~ aus den mit kn diskontierten Marktwerten der einzelnen Überschüsse ÜL tn zusammen: T
(XIV.23)
MZÜL0n
~
¦ M 0 (ÜL tn )
~
~
mit M 0 (ÜL tn ) (1 k n ) t E(ÜL tn )
t 1
(t = 1,2,…,T). Ist diese Bedingung der erfüllt, kann kn aus einem einperiodigen Kalkül hergeleitet und unabhängig von T auch für jede folgende Periode zugrunde gelegt werden.
589
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
7. Mit dem gemäß (XIV.23) maßgeblichen Zinssatz k n können zum Zeitpunkt 0 nicht nur die bisherigen Überschüsse des Leistungsbereichs bewertet werden, sondern unabhängig von ihrer Nutzungsdauer auch die neuer Projekte, sofern sie in dieselbe „Risikoklasse“ wie die bisherigen fallen. Für die Bewertung eines Bewertungsobjekts (eines neuen Projekts oder Programms) ist derselbe Kalkulationszinsfuß k n wie für bisherigen Überschüsse maßgeblich, wenn folgende Bedingung der Proportionalität zwischen den Projektüberschüssen und den bisherigen Überschüssen erfüllt ist: Es existieren deterministische at-Werte, für die gilt (Bedingung der „Projekteinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes“): (XIV.24)
~ Üt
~
a t ÜL tn
mit
at
!
0
(t 1, 2,...,T).
Wenn sowohl die Bedingung (XIV.23) der Periodeneinheitlichkeit als auch für alle neuen Projekte die Bedingung (XIV.24) der Projekteinheitlichkeit erfüllt ist, fallen die bisherigen und die neuen Überschüsse in eine Risikoklasse, bei der die Bewertung gegenwärtiger und zukünftiger Projekte in relativ einfacher Weise mit einem einheitlichen – aus einem Einperioden-Kalkül herleitbaren – Zinssatz vorgenommen werden kann. 8. Die Bedingung (XIV.23) der Periodeneinheitlichkeit impliziert, dass der Risikoabschlag (die ~ Risikoprämie) RAtn, der zum (Markt-)Sicherheitsäquivalent des Überschusses ÜL tn führt, folgende Gleichung erfüllt: (XIV.28)
~
(1 k n ) t E(ÜL tn )
!
~
(1 r) t [E(ÜL tn ) RA tn ]
a SÄ (ÜL
(t 1, 2,...,T) .
tn )
~
Auf der linken Seite von (XIV.28) wird der Marktwert des Überschusses ÜL tn (t=1,2,...,T) zum Zeitpunkt 0 mit Hilfe des risikoangepassten Zinssatzes kn dargestellt. Auf der rechten ~ Seite wird er als Barwert des Sicherheitsäquivalents E( ÜL tn ) RAtn beschrieben, dessen Diskontierung mit dem risikolosen Zinssatz r erfolgt. Gemäß (XIV.28) beträgt das Sicherheitsäquivalent: (XIV.30)
~ ~ § 1 r · SÄ(ÜL tn ) E(ÜL tn ) ¨ ¸ © 1 kn ¹
t
(t 1, 2,...,T) .
für den Zeitpunkt t eine linear steiWegen r > 0 und kn > –1~ ist das Sicherheitsäquivalent ~ ~ gende Funktion von E( ÜL tn ) ; für E( ÜL tn ) > 0 ist es positiv und für E( ÜL tn ) < 0 negativ. Wie gezeigt wurde, ist die Grundbedingung (XIV.28) eines periodeneinheitlichen Zinssatzes kn nur bei speziellen stochastischen Zusammenhängen erfüllt, so dass die Übertragung des für den Einperioden-Fall maßgeblichen Zinssatzes auf den Mehrperioden-Fall mit großer Skepsis zu beurteilen ist. 9. Bei Anwendung des Equity-Ansatzes wird im Allgemeinen analog zur Ermittlung des Marktwertes der Überschüsse des Leistungsbereichs beim Entity-Ansatz vereinfacht, indem (t = 1,2,…,T) mit einem einheitlichen risikodie Erwartungswerte der Ausschüttungen D t angepassten Kalkulationszinsfuß, dem Eigenkapitalkostensatz ken oder der „Renditeforderung“ der Anteilseigner, diskontiert werden (Equity-Ansatz als DividendendiskontierungsModell). Für den Vergleich des Equity-Ansatzes mit dem Entity-Ansatz ist von Bedeutung, dass der für den Leistungsbereich maßgebliche Zinssatz kn unabhängig davon ist, welche Maßnahmen im Finanzbereich und im neutralen Bereich durchgeführt werden. Dagegen ist
590
Kapitel XIV
die Risikostruktur (die Risikoklasse) der Ausschüttungen und mithin auch der risikoadäquate Eigenkapitalkostensatz ken von diesen Maßnahmen abhängig; alle drei Bereiche müssen beim Equity-Ansatz als Einheit betrachtet werden. Die Annahme einer gegebenen Risikoklasse mit gegebenem risikoangepasstem Kalkulationszinsfuß ist für die Ausschüttungen wesentlich problematischer als für die Überschüsse des Leistungsbereichs. 10. Wenn die Bewertung auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles möglich ist, mögen die Sicherheitsäquivalentmethode und die Risikozuschlags-Methode als überflüssig erscheinen. Jedoch kann die Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles vor allem im Mehrperioden-Fall einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen. Eventuell kann die Ermittlung eines Marktwertes vereinfacht werden, indem man auf eine Vergleichsinvestition derselben „Risikoklasse“ mit bekanntem Marktwert zurückgreift, auf der Basis der Erwartungswerte ihrer Überschüsse und ihres Marktwertes ihren internen Zinsfuß ermittelt und damit die erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts diskontiert. Der interne Zinsfuß der Vergleichsinvestition kann als risikoangepasster Zinssatz der maßgeblichen Risikoklasse interpretiert werden. Zwar muss wieder eine proportionale Beziehung zwischen dem Überschuss des Bewertungsobjekts und dem der Vergleichsinvestition bestehen. Jedoch kann bei Periodeneinheitlichkeit des internen Zinsfußes der Vergleichsinvestition der Proportionalitätsfaktor analog zu (XIV.24) für verschiedene Zeitpunkte unterschiedlich sein. 11. Die Bewertung auf Basis der flexiblen Planung nach dem Zustandsbaumverfahren kann in relativ einfacher Weise vorgenommen werden, wenn die Preise zustandsbedingter Zahlungsansprüche für die im Zustandsbaum erfassten Zustände bekannt sind. Wie erläutert, können sie auf der Basis dynamischer Duplikation mit normalen Wertpapieren ermittelt werden, sofern der Kapitalmarkt vollständig ist. Diese Berechnungen erübrigen sich jedoch, wenn der zustandsabhängige Handel mit Wertpapieren, mit denen die Überschüsse des Leistungsbereichs dupliziert werden können, explizit in den Finanzrestriktionen des Bewertungsmodells erfasst werden. 12. Besteht zwischen den Maßnahmen mit und ohne Bewertungsobjekt Restriktions- und/oder Erfolgsverbund – dies ist der Regelfall – dann sind die maximalen Marktwerte ohne Bewertungsobjekt (erstes Teilmodell) und mit Bewertungsobjekt (zweites Teilmodell) explizit zu ermitteln. Dabei sind radikale Vereinfachungen unumgänglich. Eventuell können Vereinfachungen auf der Basis des Dualtheorems (Preistheorems) der linearen Programmierung vorgenommen werden. Mit Hilfe dieses Theorems lassen sich bei expliziter Erfassung von Duplikationsmöglichkeiten im Bewertungsmodell Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche herleiten, mit denen die Marktwerte der zukünftigen Überschüsse ermittelt werden können. Damit das Dualtheorem angewendet werden kann, müssen die Zielfunktion und die Nebenbedingungen linear sein und es dürfen keine Ganzzahligkeitsbedingungen für Entscheidungsvariablen maßgeblich sein. In der optimalen Lösung ist dann jeder Finanzrestriktion eine Dualvariable zugeordnet, die angibt, wie der Marktwert steigt, wenn in dem zugehörigen Zustand eine zusätzliche Geldeinheit unentgeltlich zufließt und diese optimal verwendet wird. Zwar erhält man damit auch die Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche. Da dann aber die optimale Lösung vorliegt, werden sie für deren Ermittlung nicht mehr benötigt. Wenn den Modellen mit und ohne Bewertungsobjekt derselbe Zustandsbaum zugrunde liegt, können Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche immerhin in der folgenden Weise verwendet werden: Im Rahmen des ersten Modells wird der maximale Marktwert ohne das Bewertungsobjekt ermittelt und zwar unter Berücksichtigung eines Handels mit Wertpapieren, mit denen die Überschüsse des Leistungsbereichs dupliziert werden können. Nachdem die optimale Lösung dieses Modells vorliegt und somit die Preise für die zu-
Marktbewertung im Mehrperioden-Fall
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standsbedingten Zahlungsansprüche bekannt sind, wird mit ihnen der maximale Marktwert mit dem Bewertungsobjekt ermittelt, wobei jetzt im Modell nur die Überschüsse des Leistungsbereichs erfasst werden und sich Finanzrestriktionen erübrigen. 13. Auch Modelle der Bewertung von Optionen lassen sich bei flexibler Planung integrieren. Optionen schaffen allgemein Aktionsräume, die in Zukunft je nach der Entwicklung der entscheidungsrelevanten Daten optimal genutzt werden. Ihr Wert hängt von den damit verbundenen möglichen Überschüssen ab. Da es auch bei flexibler Planung letztlich um das Problem geht, wie Aktionsräume gestaltet und genutzt werden können und sollen, besteht eine enge Verbindung zwischen ihr und der Theorie der Bewertung von Optionen. Der Kauf eines Investitionsprojekts (eines Bewertungsobjekts) lässt sich als Kauf von Realoptionen für zukünftige Folgeaktionen interpretieren. Die flexible Planung liefert nicht nur das Instrumentarium, solche Optionen optimal zu nutzen, sondern auch, sie zu bewerten. Dies gilt unabhängig davon, ob das Ziel subjektiver Nutzenmaximierung oder das der Marktwertmaximierung verfolgt wird. Beim Ziel der Marktwertmaximierung kann die Bewertung von Realoptionen möglicherweise vereinfacht werden, indem sie auf die Technik der Bewertung von Finanzoptionen zurückgeführt wird. Wenn dies gelingt, kann die Investitionsplanung und -bewertung auf der Grundlage der flexiblen Planung vereinfacht werden, indem im Modell nur wenige Aktionsmöglichkeiten explizit erfasst und Handlungsspielräume für weitere Aktionen mehr oder weniger pauschal auf Basis der Optionspreistheorie bewertet werden. Gewählt wird dasjenige Programm, das in Verbindung mit den Optionen für zusätzliche Maßnahmen den höchsten Marktwert aufweist. Wird der Grenzpreis eines Bewertungsobjekts unter Vernachlässigung hiermit möglicher Maßnahmen ermittelt, wird der Marktwert von Optionen auf zusätzliche Maßnahmen hinzuaddiert. Die Anwendung der Optionspreistheorie (des Realoptionsansatzes) und das Konzept der flexiblen Planung stellen somit keine einander ausschließenden Alternativen dar, sondern können sich ergänzen. Dies gilt auch für das Entscheidungsbaumverfahren. Die Vorstrukturierung mit einem Entscheidungsbaum kann zumindest bruchstückhaft offen legen, welche Optionen noch bewertungsrelevant sind und welche möglichen Überschüsse ihnen entsprechen. Der Realoptionsansatz und das Entscheidungsbaumverfahren werden gelegentlich als Alternativen angesehen, wobei unterstellt wird, das Entscheidungsbaumverfahren setze die Bewertung nach der Kapitalwertmethode auf der Basis eines einheitlichen (von der Risikostruktur der Überschüsse unabhängigen) risikoangepassten Zinssatzes voraus. So kommt man z.B. zu dem Ergebnis, dass die Bewertung auf der Basis der Optionspreistheorie dem Entscheidungsbaumverfahren überlegen sei, wobei beim Entscheidungsbaumverfahren erwartete Überschüsse sehr unterschiedlicher Risikostrukturen mit einem einheitlichen Kalkulationszinsfuß diskontieren werden und bei der Anwendung der Optionspreistheorie eine korrekte Bewertung vorgenommen wird. Die Optionspreistheorie stellt jedoch keine Bewertungskonzeption dar, die dem Entscheidungsbaumverfahren prinzipiell überlegen ist; man muss dieses nur sinnvoll anwenden.
Kapitel XV Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
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Problemstellung
In diesem Kapitel wird untersucht, wie im Mehrperioden-Fall der individuelle subjektive Grenzpreis ermittelt werden kann, wobei mit Ausnahme von Abschnitt 4 davon ausgegangen wird, dass er nicht mit dem Marktwert übereinstimmt, weil keine vollständige Duplizierbarkeit der Überschüsse des Bewertungsobjekts besteht und/oder Leerverkäufe beschränkt sind. Darauf aufbauend wird untersucht, von welchen Determinanten die Abweichung vom Marktwert abhängt. Es wird davon ausgegangen, der Investor erwägt, das Bewertungsobjekt privat zu kaufen. Ohne das Bewertungsobjekt hält er entweder ausschließlich Wertpapiere oder er erzielt (als Eigentümer eines Unternehmens) darüber hinaus Überschüsse aus alten oder neuen Realinvestitionen. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist nun gleich demjenigen Preis, bei dem der Investor mit dem Bewertungsobjekt (und optimaler Verwendung) denselben Nutzenerwartungswert bezüglich des Stroms an Überschüssen bzw. an Konsumausgaben erzielt wie ohne das Bewertungsobjekt. Der Preis sei zu Beginn des Planungszeitraums, dem Zeitpunkt 0, zu zahlen. Die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises ist grundsätzlich schwieriger als die Ermittlung eines Marktwertes. Während bei Marktbewertung allenfalls einem Restriktions- und/oder Erfolgsverbund Rechnung zu tragen ist, ist bei individueller subjektiver Bewertung grundsätzlich auch Risiko- und Bewertungsverbund zwischen den Maßnahmen des Bewertungsobjekts und anderen Maßnahmen des Investors zu erfassen. Da Kapitalmarkttransaktionen keinen Einfluss auf den Marktwert eines Bewertungsobjekts haben, können sie zwar bei Marktbewertung vernachlässigt werden; es genügt, explizit die Überschüsse des Leistungsbereichs zu betrachten. Dagegen sind optimale Kapitalmarkttransaktionen für die individuelle subjektive Bewertung von grundlegender Bedeutung. Es muss geprüft werden, wie die Überschüsse des Bewertungsobjekts durch Portefeuillebildung optimal gehedgt werden und welche Risikoanpassungen bei Kauf eventuell auch im Leistungsbereich vorgenommen werden. Die Bewertung erfordert nun allgemein simultanes integratives Risikomanagement. Es besteht keine Separierbarkeit in dem Sinne, dass zunächst die Strategie mit dem maximalen Marktwert der Überschüsse des Bewertungsobjekts, dann die entsprechenden optimalen Hedgemaßnahmen und schließlich der entsprechende Abschlag vom Marktwert bestimmt werden; die Überschüsse des Bewertungsobjekts müssen mit den Hed-
594
Kapitel XV
gemaßnahmen nutzenmaximal abgestimmt werden. Sind allerdings die zustandsabhängigen Überschüsse des Bewertungsobjekts exogen gegeben (nicht veränderlich), erübrigt sich deren Koordination mit den Hedgemaßnahmen; die Hedgemaßnahmen werden „einseitig“ an die gegebenen Überschüsse optimal angepasst, um den individuellen subjektiven Grenzpreis zu erzielen. Der Unterschied zwischen dem individuellen subjektiven Grenzpreis und dem Marktwert als Approximation eines kollektiven subjektiven Grenzpreises resultiert aus unterschiedlichen Änderungen der bewertungsrelevanten Grenznutzenwerte. Bei Kauf eines Bewertungsobjekts durch ein börsennotiertes Unternehmen partizipieren viele Anteilseigner an dessen Überschüssen, so dass vom Standpunkt eines einzelnen Anteilseigners das Bewertungskalkül ein Marginalkalkül darstellt. Wegen des kleinen Anteils der Anteilseigner am Bewertungsobjekt kann angenommen werden, dass sich bei dessen Erwerb ihre zustandsabhängigen Grenznutzenwerte quasi nicht ändern, so dass sich auch ihre Portefeuilles und riskanten Maßnahmen im privaten Leistungsbereich nicht ändern (Kapitel V). Dagegen ist die Annahme unveränderlicher Grenznutzenwerte bei privatem Kauf des Bewertungsobjekts äußerst problematisch. Vor allem bei größeren Streuungen seiner Überschüsse können Änderungen der Grenznutzenwerte resultieren, die erhebliche bewertungsrelevante Anpassungen im Finanz- und Leistungsbereich erforderlich machen. In Abschnitt 2 werden mehrperiodige Nutzenfunktionen für Ströme an Überschüssen bzw. Konsumausgaben betrachtet. In den Abschnitten 3 und 4 wird die Problematik individueller subjektiver Bewertung nach der Sicherheitsäquivalent- und der Risikozuschlagsmethode untersucht. In Abschnitt 5 wird ein allgemeines Bewertungsmodell auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung dargestellt. Abschnitt 6 befasst sich mit Möglichkeiten der Vereinfachung bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises. Wie erläutert wird, kann die Vereinfachung insbesondere in der Weise erfolgen, dass statt des subjektiven Grenzpreises explizit der Marktwert ermittelt wird und dieser dann vor dem Hintergrund der Darstellungen in den Kapiteln VIII bis XII durch Abschläge, möglicherweise auch durch Zuschläge „bereinigt“ wird, um näherungsweise den subjektiven Grenzpreis zu erhalten. Die Darstellungen können auch Orientierungshilfe für die Lösung von Objektivierungsproblemen bei Schiedsgutachten geben. Bei den folgenden Darstellungen wird gelegentlich davon ausgegangen, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen. Bei der Bewertung wird dann nur sein Leistungsbereich berücksichtigt. Werden mit dem Kauf auch Kassenbestände, Wertpapiere, nicht betriebsnotwendige Realvermögensgüter und Schulden übernommen, ist der ermittelte Wert um das betreffende Nettovermögen zu korrigieren.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
595
2
Mehrperiodige Nutzenfunktionen
2.1
Notwendigkeit der expliziten Erfassung der Nutzenfunktion des Investors bei Konflikt zwischen Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung
Lassen sich die Überschüsse des Bewertungsobjekts vollständig (dynamisch) duplizieren und können die Papiere des Duplikationsportefeuilles unbeschränkt leerverkauft werden, ist auch im Mehrperioden-Fall der individuelle subjektive Grenzpreis gleich dem Marktwert. Die Bewertung kann dann ohne explizite Erfassung der Nutzenfunktion des Investors vorgenommen werden (aber nicht nach Kauf die Transformation der mit dem Bewertungsobjekt erzielten Überschüsse in einen optimalen Konsumstrom). Besteht Konflikt zwischen individueller subjektiver Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung, ist im Bewertungskalkül (wenn auch nur Bruchstückhaft) der Nutzenfunktion des Investors Rechnung zu tragen. Der Nutzen eines Stromes an Überschüssen wird durch den entsprechenden optimalen Strom an Konsumausgaben bestimmt. Die nutzenorientierte Bewertung ist insbesondere dann schwierig, wenn der Strom an Überschüssen vom optimalen Konsumstrom abweicht. Dies ist vor allem dann der Fall, wenn zusätzlich zu den Überschüssen des Bewertungsobjekts noch weitere Überschüsse bzw. Einkünfte des Investors bewertungsrelevant sind.
2.2
Nutzenfunktionen für Konsumausgaben
2.2.1
Allgemeine Charakteristik
Zunächst betrachten wir die Nutzenfunktion für mehrperiodige Konsumausgaben. Die Darstellungen gelten analog für Überschüsse, die noch in Konsumausgaben transformiert werden müssen. Bezeichnet man die Konsumausgabe zum Zeitpunkt t (t = 0, 1,…, T) mit Kt, lautet die Nutzenfunktion U(K0, K1, …, KT). Da der Strom an Konsumausgaben ebenso wie die Überschüsse der Investitionen ungewiss ist, orientiert sich der (individuelle) Investor am Ziel, den Erwartungswert seines Nutzens zu maximieren: (XV.1)
,..., K )] o Max! E[U(K 0 , K 1 T
Hierin wird jedem möglichen Strom an Konsumausgaben ein BERNOULLI-Nutzen zugeordnet und die gewichtete Summe der möglichen Nutzenwerte gebildet, wobei als Gewichtungsfaktoren die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Konsumströme dienen. Die Wahrscheinlichkeit eines Stromes ist gleich dem Produkt der (bedingten) Wahrscheinlichkeiten für jene Konsumausgaben, die Element dieses Stromes sind.
596
Kapitel XV
Zum Beispiel gilt für den Zustandsbaum in Abbildung XV.I folgender Erwartungsnutzen (mit T=3): ,K E[U(K 0 , K 1 2 , K 3 )]
(1/ 3) (1/ 3) (3 / 5) U(K 0 , K1,2 , K 2,5 , K 3,13 ) (1/ 3) (1/ 3) (2 / 5) U(K 0 , K1,2 , K 2,5 , K 3,12 ) (2 / 3) (3 / 4) (1/ 8) U(K 0 , K1,1, K 2,1, K 3,2 ) (2 / 3) (3 / 4) (3 / 8) U(K 0 , K1,1, K 2,1, K 3,1) . K 2, 5
3/ 5
9
K 3,13
2/5
10
K 3,12
11
K 3,11
12
K 3,10
13
K 3,9
3/8
14
K 3,8
5/8
15
K 3,7
1/ 2
16
K 3,6
1/ 2
17
K 3,5
18
K 3,4
1/ 4
19
K 3,3
1/ 8
20
K 3,2
21
K 3,1
4
1/ 3
K1,2 2
1/ 6
K 2, 4 5
1/ 3 1/ 3 1/ 3
1/ 3
1/ 2
K 2, 3 K0
6
1
K 2, 2 7
2/3
1/ 4
K1,1 3
1/ 4 3/ 4
K 2,1 8
3/8
Zeitpunkt 0
Zeitpunkt 1
Zeitpunkt 2
Zeitpunkt 3
Abb. XV.1: Mögliche Konsumausgaben und deren (Übergangs-)Wahrscheinlichkeiten (T=3)
Grundsätzlich besteht Periodennutzenabhängigkeit: Wie sich der Nutzen eines Konsumstroms ändert, wenn ein einzelner Konsumbetrag Kt steigt oder sinkt, hängt nicht nur von der bisherigen Höhe dieses Betrages ab, sondern auch von den anderen Konsumausgaben K t * (t * z t) . Die formale (mathematische) Erfassung dieses Bewertungsverbundes stellt ein komplexes Problem dar, so dass Vereinfachungen unumgänglich sind.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
2.2.2
597
Vereinfachung der Nutzenfunktion
Vereinfachungen werden in der Literatur u.a. in der Weise analysiert, dass Periodennutzenunabhängigkeit angenommen wird.1 Die Nutzenfunktion ist dann separierbar, wobei der Nutzenwert eines einzelnen Konsumbetrages unabhängig von den anderen Konsumausgaben ist. Separierbarkeit kann in folgenden Varianten bestehen: Bei additiver Separierbarkeit gilt für die Nutzenfunktion: T
(XV.2)
U(K 0 , K1 ,..., K T )
¦ U t (K t ) U 0 (K 0 ) U1 (K1 ) ... U T (K T ) . t 0
Dabei können sich die Nutzenfunktionen U t ( ) für die Konsumausgaben zu verschiedenen Zeitpunkten unterscheiden (daher der Zeitindex), sie müssen aber nicht. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass gemäß (XV.2) die separierte Bewertung der einzelnen Konsumausgaben vorgenommen werden kann. Das Sicherheitsäquivalent und der Wert ist unabhängig von einer positiv linearen Transeines ungewissen Konsumbetrages K t formation der Nutzenfunktion Ut(Kt).
Bei multiplikativer Separierbarkeit gilt für die Nutzenfunktion: T
(XV.3)
U (K 0 , K1 ,..., K T )
U t (K t ) U 0 (K 0 ) U1 (K1 ) ... U T (K T ) . t 0
Auch hier können sich die Nutzenfunktionen U t ( ) für verschiedene Zeitpunkte unterscheiden. Wiederum ist die separierte Bewertung möglich. Zwar wird nun jeder Nutzenwert Ut(Kt) mit dem Produkt aus den anderen Nutzenwerten gewichtet. Jedoch hat diese Gewichtung ebenso keinen Einfluss auf das Sicherheitsäquivalent und den Wert von Kt wie eine direkte positiv lineare Transformation der Nutzenfunktion Ut(Kt). Analog besteht Separierbarkeit, wenn additive und multiplikative Separierbarkeit wie z.B. bei der folgenden Nutzenfunktion simultan bestehen: (XV.4) U(K 0 , K1, K 2 ,..., K T ) U0 (K 0 ) U1 (K1 ) ... U t* (K t* ) U t*1 (K t*1 ) U t*2 (K t*2 ) ... U T (K T ). Bei gegebener Separierbarkeit sind Sicherheitsäquivalent und Wert eines riskan1
Vgl. zu den folgenden Darstellungen HAKANSSON (1970); RICHARD (1975); FELLINGHAM/NEWMANN/ SUH (1985); BELL (1996); VELTHUIS (2004, S. 69-75); SCHABEL (2004, S. 164-167).
598
Kapitel XV
ten Konsumbetrages unabhängig von den anderen Konsumausgaben. Es ist jeweils irrelevant, wie die Konsumausgaben verschiedener Zeitpunkte miteinander korreliert sind. Bei gegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Konsumausga und K ben K t t 1 ist z.B. das Sicherheitsäquivalent für K t 1 unabhängig davon, ob sich K t und K t 1 zu einem sicheren Betrag addieren oder hoch korreliert sind, so das ihre Summe eine hohe Streuung aufweist. Das Sicherheitsäquivalent eines stochastischen Überschusses für einen beliebigen Zeitpunkt t hängt allein von der Nutzenfunktion Ut ab. Ist sie konkav, ist das Sicherheitsäquivalent kleiner als der Erwartungswert . Da in der Realität grundsätzlich Bewertungsverbund zwischen den Konsumvon K t ausgaben verschiedener Zeitpunkte besteht, ist die Annahme der Separierbarkeit als Basis der Bewertung mit Skepsis zu beurteilen, auch wenn es sich nach KRUSCHWITZ/ LÖFFLER (2003, S. 1338) „um ein in der Finanzierungstheorie übliches Vorgehen“ handeln mag.
2.3
Nutzenfunktionen für Überschüsse, die noch in optimale Konsumströme transformiert werden müssen
Die explizite Orientierung an der Nutzenfunktion für Konsumausgaben bei der Bewertung erfordert, dass im Bewertungskalkül hinreichende Möglichkeiten erfasst werden, Überschüsse des Leistungsbereichs durch Finanztransaktionen in Konsumausgaben zu transformieren. Die Überschüsse des Leistungs- und des Finanzbereichs stimmen dann in der Summe mit den Konsumausgaben überein, so dass die Nutzenfunktion für diese Überschüsse mit der für die Konsumausgaben übereinstimmt. Aus Gründen der Vereinfachung erfassen aber Bewertungskalküle im Allgemeinen nur die zukünftigen sto (t = 1,2,…,T) des Bewertungsobjekts, die grundsätzlich chastischen Überschüsse Ü t nicht mit den Konsumausgaben übereinstimmen. Zum einen mag der Investor neben den Überschüssen des Bewertungsobjekts (etwa als Eigentümer eines Unternehmens) Überschüsse aus anderen Realinvestitionen erzielen, zum andererseits kann es vorteilhaft sein, Überschüsse über Kapitalmarkttransaktionen in Konsumausgaben zu transformieren. Die Nutzenfunktion für Konsumausgaben kann dann nicht direkt für die Bewertung zugrunde gelegt werden. Da diese Nutzenfunktion jedoch letztlich den Maßstab für die Bewertung bildet, ist eine Verbindung zwischen der Nutzenfunktion für die Überschüsse und der für Konsumausgaben herzustellen. Für die Bewertung eines riskanten Stroms an Überschüssen sind letztlich die Nutzenwerte derjenigen optimalen Konsumströme für die möglichen Umweltentwicklungen relevant, die diese Überschüsse in Verbindung mit Überschüssen anderer Investitionen und optimaler Transformationen auf dem Kapitalmarkt ermöglichen. Die Problematik der Ermittlung einer Nutzenfunktion für die Überschüsse zeigt sich bereits für den relativ einfachen Fall, dass feststeht, welche Konsumströme der Investor ohne Bewertungsobjekt in den möglichen Umweltentwicklungen realisiert, und er bei Kauf des Bewertungsobjekts die Konsumausgabe zum Zeitpunkt 0 um dessen Anschaf-
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
599
fungsauszahlung reduziert und in späteren Perioden die Konsumausgaben um dessen erhöht. Analog zu den Darstellungen in Kapitel II, Abschnitt 4, ist Überschüsse Ü t dann der Nutzenwert der Anschaffungsauszahlung in Verbindung mit einem Strom zukünftiger Überschüsse des Bewertungsobjekts gleich dem Nutzen der betreffenden Änderungen des bisherigen Konsumstroms. Da die bisherigen Konsumausgaben unsicher und mithin zustandsabhängig sind und außerdem die Änderung des Konsumnutzens bei Änderung einer Konsumausgabe vom bisherigen Wert dieser Ausgabe (und grundsätzlich auch von den Konsumausgaben in anderen Zuständen) abhängt, müsste die Nutzenfunktion für die Überschüsse des Bewertungsobjekts zustandsabhängig formuliert werden. Es müsste berücksichtigt werden, dass der Nutzen eines Stroms zusätzlicher Überschüsse davon abhängt, in welcher Zustandsfolge er erzielt wird und welche Konsumausgaben dieser Zustandsfolge ohne Bewertungsobjekt entsprechen. Hier zeigt sich bereits die Problematik der Vereinfachung durch explizite Betrachtung allein der Überschüsse des Bewertungsobjekts; die Problematik wird in den Bereich der Ermittlung der Nutzenfunktion verlagert. Noch komplexer wird die nutzenorientierte Bewertung auf alleiniger Basis der Über , wenn man berücksichtigt, dass diese grundsätzlich nicht direkt zu Ändeschüsse Ü t rungen der Konsumausgaben führen. Geht man davon aus, dass die Überschüsse der Realinvestitionen im Umfeld des Bewertungsobjekts unveränderlich sind, werden die Überschüsse des Bewertungsobjekts über riskante Kapitalmarkttransaktionen in optimale Konsumströme für alternative Umweltentwicklungen transformiert. Der subjektive Grenzpreis ist dann derjenige Preis, bei dem mit und ohne Bewertungsobjekt derselbe Erwartungsnutzen des Konsumstromes erzielt wird. Wäre der Kapitalmarkt vollständig und vollkommen, könnten alle Überschüsse (dynamisch) dupliziert und (leer-)verkauft werden und der Grenzpreis wäre gleich dem Marktwert. Bei Kauf zum Marktwert würde der Investor auf dem Kapitalmarkt Transaktionen vornehmen, bei denen er mit dem Bewertungsobjekt in jeder Zustandsfolge denselben Konsumstrom erzielt wie ohne Bewertungsobjekt. Nun sind aber annahmegemäß die Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten beschränkt, so dass der subjektive Grenzpreis grundsätzlich niedriger ist als der Marktwert. Hier ergibt sich bei Kauf zum Grenzpreis in einigen Umweltentwicklungen ein niedriger Nutzenwert und in anderen ein höherer, wobei sich Nutzenänderungen kompensieren. Um elementare Bewertungsfehler zu vermeiden, sollte die Nutzenfunktion für die Überschüsse des Bewertungsobjekts zumindest folgende Grundbedingung erfüllen: Wenn zwei riskanten Ströme A und B an Überschüssen derselbe optimale Konsumstrom entspricht, führt für beide die nutzenorientierte Bewertung zu demselben individuellen subjektiven Grenzpreis. Wenn mit dem Strom A ein optimaler Konsumstrom generiert werden kann, der den beim Strom B dominiert, resultiert für den Strom A ein höherer Grenzpreis.
600
Kapitel XV
Da der Investor annahmegemäß zum risikolosen Zinssatz r Kapital anlegen und aufnehmen kann, impliziert diese Bedingung: Wenn sich der riskante Strom A an Überschüssen vom Strom B nur durch sichere Beträge ǻt (t = 0,1,…,T) unterscheidet, deren Barwert BW beim risikolosen Zinssatz r gleich null ist, entspricht beiden Strömen derselbe Grenzpreis; beide Ströme können in Verbindung mit Anlagen und Aufnahmen zum Zinssatz r in denselben Konsumstrom transformiert werden. Wenn der Barwert BW der Beträge ǻt positiv (negativ) ist, soll der Grenzpreis für den Strom A um BW höher (niedriger) sein. (Vgl. hierzu Abschnitt 3.1.) Kann der Investor auch riskante Papiere kaufen und verkaufen, impliziert die Grundbedingung außerdem: Unterscheidet sich der Strom A der Überschüsse vom Strom B nur durch duplizierbare Beträge und kann das Duplikationsportefeuille zum Zeitpunkt 0 (leer-)verkauft werden, dann unterscheidet sich der Grenzpreis des Stroms A um den Marktwert dieses Portefeuilles vom Grenzpreis des Stroms B. Es ist klar, dass die entscheidungstheoretisch „exakte“ Ermittlung eines (individuellen) subjektiven Grenzpreises einen prohibitiv hohen Aufwand verursacht, so dass sich das Problem der Vereinfachung stellt. In Literatur und Praxis finden hierfür die Sicherheitsäquivalent- und die Risikozuschlags-Methode besondere Beachtung. Bei der Sicherheitsäquivalent-Methode werden die subjektiven Sicherheitsäquivalente der riskanten Überschüsse (bei subjektiver Unternehmensbewertung der Ausschüttungen oder die Entnahmen aus dem Unternehmen) mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Bei der Risikozuschlags-Methode werden die Erwartungswerte der riskanten Überschüsse mit einem risikoangepasstem Zinssatz abgezinst, wobei ein subjektiver Risikozuschlag auf den risikolosen Zinssatz vorgenommen wird. Weder die Sicherheitsäquivalente noch der risikoangepasste Zinssatz können losgelöst von der Nutzenfunktion des Investors ermittelt werden. Letztlich wird die Problematik der direkten Ermittlung oder Schätzung eines Grenzpreises auf die der Ermittlung von Sicherheitsäquivalenten oder eines risikoangepassten Zinssatzes verlagert. Dies ist jedoch nur unter der Bedingung hilfreich, dass die Ermittlung der Sicherheitsäquivalente oder des risikoangepassten Zinssatzes einfacher und zuverlässiger möglich ist als die direkte Ermittlung oder Schätzung eines Grenzpreises. Ob diese Bedingung erfüllt ist, erscheint jedoch vor allem dann als zweifelhaft, wenn kein periodeneinheitlicher risikoadäquater Zinssatz maßgeblich ist. Wie auch immer vereinfacht wird, stellt sich das Problem, der Nutzenfunktion des Investors mehr oder weniger bruchstückhaft Rechnung zu tragen. Im Folgenden wird untersucht, wie die Vereinfachung bei der Sicherheitsäquivalent- und der RisikozuschlagsMethode vorgenommen wird und wie sie zu beurteilen ist.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
3
Bewertung auf der Grundlage von Sicherheitsäquivalenten (Risikoabschlags-Methode)
3.1
Bewertung ohne Portefeuillebildung
3.1.1
Zur allgemeinen Problematik der isolierten Ermittlung der Sicherheitsäquivalente
601
In der traditionellen subjektiven (Unternehmens-)Bewertung auf der Basis von Sicherheitsäquivalenten für die Überschüsse eines Bewertungsobjekts werden diese Sicherheitsäquivalente mit einer für alle Zeitpunkte 1,2,…,T gleichen zustandsunabhängigen Nutzenfunktion ermittelt und diese mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert (der bei uns annahmegemäß für alle Perioden einheitlich ist): (XV.5)
~ ~ ~ GPS ( Ü1 , Ü 2 ,..., Ü T )
T
~
¦ (1 r) t SÄ(Ü t ) . t 1
Wäre diese Bewertungskonzeption korrekt, könnte GPS ( ) als isoliert ermitteltes Si~ ~ ~ cherheitsäquivalent des gesamten Stromes Ü1, Ü 2 ,..., Ü T bezogen auf den Zeitpunkt 0 interpretiert werden, wobei die zum Zeitpunkt 0 zufließende äquivalente Einzahlung mit dem individuellen subjektiven Grenzpreis übereinstimmte. Nun wird zum einen gemäß (XV.5) dieses Sicherheitsäquivalent grundsätzlich falsch ermittelt. Zum anderen stimmt es selbst bei korrekter Ermittlung grundsätzlich nicht mit dem individuellen subjektiven Grenzpreis überein. Die Ermittlung der Sicherheitsäquivalente auf der Basis einer zustandsunabhängigen Nutzenfunktion impliziert, dass es im Umfeld des Bewertungsobjekts keine riskanten (exogenen) Überschüsse z.B. aus Realinvestitionen oder Wertpapierhandel gibt, die von denen des Bewertungsobjekts stochastisch abhängig sind, eine Annahme, die als allgemeine Basis der Bewertung kaum sinnvoll ist. Selbst wenn man von exogenen Überschüssen absieht, ist die Nutzenfunktion für ei~ nen einzelnen Überschuss Ü t grundsätzlich nicht zustandsunabhängig; sie hängt derart von den Überschüssen des Bewertungsobjekts in anderen Zeitpunkten ab, dass das Si~ cherheitsäquivalent SÄ(Ü t ) nicht unabhängig von diesen Überschüssen und der Anschaffungsauszahlung ermittelt werden kann (LAUX, 1971c, S. 572). Schließlich ist zu beachten, dass analog zu den Darstellungen in Kapitel II, Abschnitte 5.7 und 5.8, das Sicherheitsäquivalent eines riskanten Überschusses grundsätzlich von dessen Wert abweicht: Zwar ist der Investor indifferent zwischen dem unentgeltlichen Zufluss des un~ ~ gewissen Überschusses Ü t und dem eines sicheren Betrags in Höhe von SÄ(Ü t ) . Daraus folgt jedoch nicht, dass er weder einen Vorteil noch einen Nachteil erzielt, wenn er ~ zum Zeitpunkt t den Betrag SÄ(Ü t ) oder – äquivalent – zum Zeitpunkt 0 den Betrag ~ ~ (1 r ) t SÄ(Ü t ) zahlt, um Ü t zu erwerben. Wie im Folgenden gezeigt wird,2 ist die Bewertungsfunktion (XV.5) selbst dann nur unter speziellen Bedingungen zielführend, wenn außer denen des Bewertungsobjekts 2
Vgl. hierzu insbesondere auch KRUSCHWITZ/LÖFFLER (2003).
602
Kapitel XV
keine riskanten Überschüsse existieren, was u.a. impliziert, dass der Investor am Finanzmarkt nur (deterministische) Kapitalbeträge zum risikolosen Zinssatz r anlegen und aufnehmen kann (oder will). Damit die Sicherheitsäquivalente voneinander unabhängig und unabhängig von der Anschaffungsauszahlung ermittelt werden können, muss analog zu den Darstellungen in Abschnitt 2.2.2 die Nutzenfunktion für den Zahlungsstrom bestehend aus A0 (Anschaffungsauszahlung des Bewertungsobjekts, deren kritische Obergrenze gesucht ist) und Ü1,Ü2,…,ÜT (laufende Überschüsse des Bewertungsobjekts) additiv oder multiplikativ separierbar sein: (XV.6)
U(A 0 , Ü1 ,..., Ü T )
U 0 (A 0 ) U1 ( Ü1 ) ... U T ( Ü T )
U(A 0 , Ü1 ,..., Ü T )
U 0 (A 0 ) U1 ( Ü1 ) ... U T ( Ü T ) .
oder (XV.7)
~ Hier ist das Sicherheitsäquivalent jedes Überschusses Ü t unabhängig von der Anschaffungsauszahlung A0 und den anderen Überschüssen. Wäre der Investor Eigentümer des Bewertungsobjekts, würde er bei dessen Verkauf weder einen Vorteil noch einen Nachteil erzielen, wenn er hierfür zum Zeitpunkt t ~ (t = 1,2,…,T) einen Geldbetrag in Höhe des Sicherheitsäquivalents SÄ(Ü t ) bekäme. Da der Investor Kapital zum Zinssatz r anlegen und aufnehmen kann, ist er auch indifferent zwischen dem betreffenden sicheren Einzahlungsstrom und einem Verkaufserlös zum Zeitpunkt 0 in Höhe seines Barwertes gemäß (XV.5). Nun erwägt aber der Investor, das Bewertungsobjekt zu kaufen. Für ihn sind grundsätzlich nicht die Sicherheitsäquivalente der Überschüsse als Basis der Be~ wertung relevant, sondern deren Wertäquivalente WK(Ü t ) , d.h. diejenigen Auszahlungen in den Zeitpunkten t (t = 1,2,…,T), die die Zuflüsse der Überschüsse ~ Ü t kompensieren. Weichen die Wertäquivalente von den Sicherheitsäquivalenten ab, ist statt der Sicherheitsäquivalentmethode eine „Wertäquivalent-Methode“ anzuwenden, wobei die Wertäquivalente der einzelnen zukünftigen Überschüsse mit dem Zinssatz r diskontiert und addiert werden, um auf den subjekti~ ~ ~ ven Grenzpreis des gesamten Stroms Ü1, Ü 2 ,..., Ü T zu kommen. Dabei kann bei Nutzenfunktionen des Typs (XV.6) oder (XV.7) für jeden einzelnen Überschuss ~ Ü t das Wertäquivalent (die Auszahlung zum Zeitpunkt t, die den Zugang von ~ Ü t kompensiert) wie in Kapitel II, Abschnitt 5.6, ermittelt werden. ~ ~ Damit für jeden Überschuss Ü t (t = 1,2,…,T) das Sicherheitsäquivalent SÄ(Ü t ) mit ~ dem Wertäquivalent WK(Ü t ) übereinstimmt, muss gemäß den Darstellungen in Kapitel II, Abschnitt 5.7.1, jede Nutzenfunktion U t ( ) (t = 1,2,…,T) exponentiell (oder linear) verlaufen. Bei exponentiellen Nutzenfunktionen bestehen keine Reichtumseffekte:
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
603
~ 1. Das Sicherheitsäquivalent SÄ(Ü t ) ist von einem sicheren Vermögen (oder Überschuss) im Umfeld des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt t oder einem anderen Zeitpunkt unabhängig. ~ 2. Wenn der Überschuss Ü t (t > 0) um einen sicheren Betrag steigt oder sinkt, ändert ~ sich in gleicher Weise auch das Sicherheitsäquivalent SÄ(Ü t ) . ~ ~ 3. Wenn der Investor zum Zeitpunkt t für den Überschuss Ü t den Betrag SÄ(Ü t ) zahlt, wird der Zufluss dieses Überschusses kompensiert. Das Bewertungsobjekt hat dann denselben Wert wie ein sicherer Strom an Einzahlun~ ~ ~ gen in Höhe der Sicherheitsäquivalente SÄ(Ü1 ), SÄ(Ü 2 ),..., SÄ(Ü T ) . Wenn der Investor sich verpflichtet, in den Zeitpunkten 1,2,…,T Beträge in Höhe dieser Sicherheitsäquivalente zu zahlen, erzielt er mit dem Erwerb des Bewertungsobjekts weder einen Vorteil noch einen Nachteil. Da er zum risikolosen Zinssatz r Kapital anlegen und aufnehmen kann, gilt dies auch, wenn er zum Zeitpunkt 0 einen Preis in Höhe des Barwertes der Sicherheitsäquivalente gemäß (XV.5) zahlt. Bei quadratischen Nutzenfunktionen Ut(Üt) (mit steigender absoluter Risikoaversi~ ~ on) sind die Werte WK(Ü t ) der Überschüsse Ü t höher als ihre Sicherheitsäquivalente ~ SÄ(Ü t ) (Kapitel II, Abschnitt 5.7.2). Entsprechend ist der Wert des Bewertungsobjekts größer als der Barwert der Sicherheitsäquivalente. Exponentielle (bzw. lineare) Nutzenfunktionen Ut(Üt) sind nicht nur notwendige und hinreichende Voraussetzung dafür, dass die subjektiven Werte mit den subjektiven Si übereinstimmen, sondern auch dafür, dass cherheitsäquivalenten der Überschüsse Ü t die folgende Grundbedingung rationaler Bewertung erfüllt ist: Ändert sich der Strom an ~ ~ ~ Überschüssen Ü1, Ü 2 ,..., Ü T um sichere Beträge, so ändert sich der Barwert der subjektiven Sicherheitsäquivalente (der individuelle subjektive Grenzpreis) gemäß (XV.5) um den mit dem risikolosen Zinssatz r ermittelten Barwert dieser Änderungen. Der subjektive Grenzpreis ändert sich unter dieser Grundbedingung nicht, wenn die Überschüsse des Bewertungsobjekts endogen um Anlagen und Aufnahmen von Kapital zum risikolosen Zinssatz verändert werden. Angenommen es handele sich um ein Un~ ~ ~ ternehmen und die Überschüsse Ü1 , Ü 2 ,..., Ü T seien Ausschüttungen bzw. Entnahmen. ~ Wird der Überschuss Ü t um den sicheren Betrag ǻ reduziert, der Betrag bis zum Zeitpunkt t' (t' > t) zum Zinssatz r angelegt und dann gemeinsam mit den Zinsen und Zinseszinsen zusätzlich ausgeschüttet, sinkt das Sicherheitsäquivalent für den Zeitpunkt t um ǻ, während es für den Zeitpunkt t' um (1 r ) t' t ǻ steigt. Der subjektive Grenzpreis gemäß (XV.5) ändert sich nicht, denn es gilt: (1 r ) t ǻ (1 r ) t' (1 r ) t' t ǻ
0.
(1 r ) t ǻ
Somit ist unter der Bedingung der Separierbarkeit der Nutzenfunktion gemäß (XV.6) bzw. (X.7) eine wichtige Bedingung rationaler Bewertung erfüllt, sofern nur exponentielle (oder lineare) Nutzenfunktionen Ut(Üt) maßgeblich sind. Bei anderen Nutzenfunktionen ergeben sich wegen eines Reichtumseffekts selbst dann Bewertungsprobleme, wenn die Bedingung der Separierbarkeit erfüllt ist. Wie erläutert,
604
Kapitel XV
~ sind bei diesen Nutzenfunktionen statt der Sicherheitsäquivalente SÄ(Ü t ) die Wert~ äquivalente WK(Ü t ) bewertungsrelevant.
3.1.2
Bewertung bei Änderung des Stromes an Überschüssen durch stochastische Anlage und/oder Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r
Nun ist aber die Annahme, dass im Umfeld des Bewertungsobjekts keine Risiken relevant sind, schon dann problematisch, wenn der Investor nur die Möglichkeit hat, Kapital zum risikolosen Zinssatz r anzulegen und aufzunehmen. Er kann Ungewissheit durch zustandsabhängige Transaktionen zu diesem Zinssatz erzeugen. Die Bewertungsfunktion (XV.5), bei der die Sicherheitsäquivalente unabhängig von Risiken außerhalb des Bewertungsobjekts ermittelt werden, führt dann zu Fehlbewertungen, auch wenn die Sicherheitsäquivalente auf der Basis exponentieller Nutzenfunktionen Ut(Üt) ermittelt werden. Bezeichnet man den Risikoaversionskoeffizienten, der der exponentiellen Nutzenfunktion Ut(Üt) entspricht, mit at, kann das Sicherheitsäquivalent für den Überschuss ~ Ü t wie folgt dargestellt werden (Kapitel II, Abschnitt 5.3.2): (XV.8)
) SÄ(Ü t
) a t Var(Ü ), E(Ü t t 2
so dass (XV.5) wie folgt geschrieben werden kann: (XV.9)
T
~ ~ ~ GPS ( Ü1 , Ü 2 ,..., Ü T )
~
t ¦ 1 r [E(Ü t )
t 1
~ at Var(Ü t )]. 2
Zur weiteren Erläuterung gehen wir davon aus, das Bewertungsobjekt sei ein Unter~ nehmen, wobei die Überschüsse Ü t Ausschüttungen an den Investor bezeichnen. Nun erhalte der Investor zum Zeitpunkt 0 die Information, dass (aus welchen Gründen auch immer) zu einem gegebenen Zeitpunkt t (t > 0) die Ausschüttung in einem Teil der Umweltzustände um den Betrag B reduziert und dieser Betrag im Unternehmen bis zum Zeitpunkt t' (t' > t) zum risikolosen Zinssatz r angelegt wird. Der Betrag ǻ, um den die Ausschüttung zum Zeitpunkt t reduziert wird, ist nun eine stochastische Größe: Für die Zustände, in denen die Ausschüttung um B verringert wird, gilt ' B , und für die anderen Zustände ' 0 . Entsprechend sinkt der Erwartungswert der Ausschüttung zum ~ ~ Zeitpunkt t um E (') . Die Varianz der Ausschüttung Ü t ändert sich wie folgt:
(XV.10)
~ ~ ~ Var ( Ü t ǻ) Var ( Ü t )
~ ~ ~ ~ ~ Var ( Ü t ) 2 Kov( Ü t ; ǻ) Var (ǻ) Var ( Ü t ) ~ ~ ~ 2 Kov( Ü t ; ǻ) Var (').
~ ; ' ) ist grundsätzlich ungleich null, denn ' ist ebenso wie Ü Die Kovarianz Kov(Ü t t t zustandsabhängig (wie erläutert, ist ' für einen Teil der Zustände gleich B und für die anderen gleich null). Bei positiver Kovarianz kann die Varianz der Ausschüttung sin-
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
605
ken. Gemäß (XV.10) ändert sich das Sicherheitsäquivalent für die Ausschüttung zum Zeitpunkt t um: (XV.11)
ǻSÄ t
;ǻ) a t [2 Kov(Ü Var(ǻ)] E(ǻ) t 2 ;ǻ) a t Var(ǻ) a Kov(Ü . E(ǻ) t t 2
Analog steigt der Erwartungswert der Ausschüttung zum Zeitpunkt t' um den Betrag (1 r) t ' t E(' ) während sich die Varianz wie folgt ändert: (XV.12) (1 r) t' t ǻ] ) Var(Ü Var[Ü t' t'
;ǻ) [(1 r) t' t ]2 Var(ǻ) . 2 (1 r) t' t Kov(Ü t'
Entsprechend ändert sich das Sicherheitsäquivalent für die Ausschüttung zum Zeitpunkt t' um: (XV.13) ǻSÄ t'
~ ~ ~ a ~ (1 r ) t' t E(ǻ) t' [(1 r ) t' t ] 2 Var (ǻ) a t' (1 r ) t' t Kov(Ü t' ; ǻ) . 2
Wenn man die Änderungen der beiden Sicherheitsäquivalente, (XV.11) und (XV.13), mit dem Zinssatz r diskontiert, erkennt man, dass sie sich allenfalls zufällig kompensie~ ~ ~ ren. Der subjektive Grenzpreis GPS ( Ü1, Ü 2 ,..., Ü T ) gemäß (XV.9) ändert sich in Ab~ ~ ~ ~ ~ hängigkeit von r, Var(ǻ) , Kov( Ü t ; ǻ) und Kov( Ü t' ; ǻ) ; er kann sinken aber auch steigen. Unterstellt man, dass der Investor außerhalb des Bewertungsobjekts nur in deterministischer Weise (also nicht zustandsabhängig) Kapital zum Zinssatz r anlegen und auf~ ~ ~ nehmen kann, ist eine Reduktion oder Erhöhung von GPS ( Ü1, Ü 2 ,..., Ü T ) durchaus begründbar: Der Strom an Überschüssen wird in einer stochastischen Weise verändert, die der Investor außerhalb des Bewertungsobjekts nicht realisieren und auch nicht kompensieren kann. Jedoch impliziert diese Unterstellung eine extreme (irreale) Einengung des privaten Handlungsspielraums des Investors. Unter Berücksichtigung zustandsabhängiger privater Anlagen und Aufnahmen von Kapital zum Zinssatz r ist die beschriebene stochastische Transformation der Überschüsse des Bewertungsobjekts für den Investor weder vorteilhaft noch nachteilig; entsprechend sollte sich mit ihr auch der subjektive Grenzpreis nicht ändern: Die Reduktion der Ausschüttung zum Zeitpunkt t in bestimmten Zuständen und Anlage zum Zinssatz r im Unternehmen kann für den Investor deshalb nicht vorteilhaft sein, weil er diese Anlage auch privat zustandsabhängig vornehmen kann. Die Reduktion der Ausschüttung kann auch nicht nachteilig sein, weil er sie kompensieren kann, indem er sich in den betreffenden Zuständen in Höhe von B verschuldet. Zum Zeitpunkt t' muss er dann (einschließlich Zinsen und Zinsenszinsen) den Be-
606
Kapitel XV
trag (1 r ) t ' t B zurückzahlen, der mit der höheren Ausschüttung zu diesem Zeitpunkt übereinstimmt. Aus der Tatsache, dass Maßnahmen, die für den Investor weder vorteilhaft noch nachteilig sind, den Grenzpreis gemäß (XV.9) sowohl erhöhen als auch reduzieren können, folgt auch, dass vorteilhafte (nachteilige) Maßnahmen zu einem kleineren (größeren) Grenzpreis führen können. Angenommen, die beschriebene stochastische Transformation des Ausschüttungsstromes impliziere eine Reduktion des Grenzpreises. Dann gilt dies innerhalb gewisser Grenzen auch für den Fall, dass die unternehmensinterne Anlage eine ungewisse Rendite erbringt, die mit Sicherheit nicht niedriger, jedoch mit positiver Wahrscheinlichkeit höher ist als r; der Grenzpreis des Unternehmens sinkt, obwohl diese Transformation des Ausschüttungsstroms für den Investor unabhängig von seiner Nutzenfunktion vorteilhaft (weil dominant) ist. Nur für den Fall, dass die Sicherheitsäquivalente mit den Erwartungswerten der Ausschüttungen übereinstimmen, ist ihr Barwert von der beschriebenen stochastischen Transformation unabhängig. Dies impliziert Risikoneutralität im Sinne linearer Nutzenfunktionen für die einzelnen Ausschüttungen. Es kann somit das folgende Fazit für die Sicherheitsäquivalent-Methode gezogen werden: Die isolierte Ermittlung der einzelnen Sicherheitsäquivalente setzt zunächst voraus, dass außerhalb des Bewertungsobjekts keine Überschüsse erzielt werden, die von denen des Bewertungsobjekts stochastisch abhängen. Darüber hinaus muss die Nutzenfunktion für die Überschüsse des Bewertungsobjekts separierbar sein und die Nutzenfunktionen für die einzelnen Überschüsse müssen exponentiell oder linear verlaufen. Bei anderen Nutzenfunktionen für die einzelnen Überschüsse stimmen die Sicherheitsäquivalente nicht mit den Wertäquivalenten überein, die für die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises letztlich maßgeblich sind. Nur bei exponentiellen oder linearen Nutzenfunktionen ist der Barwert der Sicherheitsäquivalente unabhängig von sicheren Transformationen der Überschüsse durch Anlage oder Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r, also durch Transformationen, deren Kapitalwert gleich null ist. Diese Unabhängigkeit ist eine Grundbedingung rationaler Bewertung. Der Barwert der Sicherheitsäquivalente sollte – ebenso wie der zu ermittelnde individuelle subjektive Grenzpreis – auch unabhängig von der beschriebenen stochastischen Transformation des Überschusses zum risikolosen Zinssatz r sein, da diese gleichermaßen privat durchgeführt werden kann. Die Sicherheitsäquivalent-Methode genügt dieser Bedingung aber nur noch dann, wenn Risikoneutralität unterstellt wird. Es zeigt sich, dass die traditionelle subjektive (Unternehmens-)Bewertung auf der Basis isoliert ermittelter Sicherheitsäquivalente auf überaus enge Grenzen stößt. Insbesondere auch die Annahme, die Nutzenfunktion sei gemäß (XV.6) oder (XV.7) separierbar, erscheint wenig realistisch. Natürlich existieren stets Sicherheitsäquivalente, deren Barwert den korrekten individuellen subjektiven Grenzpreis ergibt. Es fragt sich indessen, wie solche Sicherheitsäquivalente ermittelt werden sollen.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
3.1.3
607
Bewertung bei veränderlichen Überschüssen
~ Grundsätzlich sind die stochastischen Überschüsse Ü t (t = 1,2,…,T) nicht exogen vorgegeben, sondern von den mit Bewertungsobjekt realisierten Maßnahmen abhängig. Bei der Planung der optimalen Maßnahmen für das Bewertungsobjekt stellt sich bei Risikoaversion das Problem, dass selbst bei den vereinfachten Nutzenfunktionen (XV.6) und (XV.7) das Sicherheitsäquivalent des Überschusses einer einzelnen Maßnahme zum Zeitpunkt t (t = 1,2,…,T) nicht unabhängig davon ist, welche Überschüsse zu diesem Zeitpunkt mit den anderen Maßnahmen des Bewertungsobjekts erzielt werden. Zwar existiert bei exponentiellen Nutzenfunktionen U t (Ü t ) kein Bewertungsverbund, jedoch sind (im Gegensatz zu linearen Nutzenfunktionen, bei denen ebenfalls kein Bewertungsverbund besteht) Risikoverbünden in Form positiver oder negativer Korrelationskoeffizienten zwischen den Überschüssen der verschiedenen Einzelmaßnahmen zum Zeitpunkt t (t = 1,2,…,T) Rechnung zu tragen. Dies bedeutet, dass die Einzelmaßnahmen für das Bewertungsobjekt auch bei Separierbarkeit der Bewertung der Überschüsse verschiedener Zeitpunkte nicht unabhängig voneinander geplant werden können. Vielmehr ist eine mehrperiodige simultane Abstimmung erforderlich. Die traditionelle Bewertungslehre lässt offen, wie die Planung erfolgen soll.
3.2
Bewertung mit Portefeuillebildung
Hat der Investor (der potenzielle Käufer des Bewertungsobjekts) Zugang zum Markt riskanter Wertpapiere, ist diesem bei der Bewertung Rechnung zu tragen, wobei sich wegen der besseren Möglichkeit der Risikostreuung grundsätzlich ein höherer individueller subjektiver Wert ergibt als für den Fall, dass er Kapital nur zum Zinssatz r anlegen und aufnehmen kann. Die Art der gebotenen Bewertung und die Höhe des Wertes hängen von den Kapitalmarkteigenschaften ab. Zur Erläuterung gehen wir wieder davon aus, das Bewertungsobjekt sei ein Unternehmen und es bestehe weder Erfolg- noch Risikoverbund zwischen ihm und einem anderen Leistungsbereich des Investors. Wir gehen davon aus, dass mit dem Unternehmen keine Kassenbestände, Wertpapiere, nicht betriebsnotwendige Realvermögenswerte und Schulden erworben werden. Sonst müsste der ermittelte Wert um das betreffende Nettovermögen korrigiert werden. Im vollkommenen und vollständigen Kapitalmarkt realisiert der Investor bei Kauf des Unternehmens dasjenige Investitionsprogramm, mit dem er dessen Marktwert unter Berücksichtigung (auch) der Anschaffungsauszahlungen für zusätzliche Investitionen maximiert. Der ermittelte maximale Marktwert ist der individuelle subjektive Unternehmenswert unter der Bedingung, dass der Investor in Zukunft keine zusätzlichen Investitionsprojekte mit positiven Kapitalwerten entdecken und ins Programm aufnehmen wird. Von dieser Bedingung soll zunächst ausgegangen werden. Der Wert kann dann ermittelt werden, indem die geplanten zukünftigen zustandsabhängigen Ausschüttungen (Entnahmen) mit den Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche multipliziert werden und zu der Summe der gewichteten Ausschüttungen die Ausschüttung zum Zeitpunkt 0 addiert wird. Macht der Investor zu diesem Zeitpunkt eine Einlage (Ü0 < 0),
608
Kapitel XV
um Investitionsprojekte im Unternehmen zu finanzieren, ist der betreffende Betrag zu subtrahieren. Ist der Markt vollständig oder trotz Unvollständigkeit Duplizierbarkeit der Ausschüttungen gegeben, kann die Unternehmensbewertung nicht nur unabhängig von der konkreten Nutzenfunktion des Investors vorgenommen werden, sondern auch unabhängig von den anderen riskanten Investitionen, die er außerhalb des Unternehmens bereits realisiert hat oder noch realisieren wird. Ist die Spanning-Bedingung verletzt, stehen auch bei Vollkommenheit des Kapitalmarktes (mit unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten) Marktwert- und Nutzenmaximierung nicht im Einklang miteinander. Besteht jedoch immerhin bei einem Teil der Projekte im Unternehmen Duplizierbarkeit, ist es sinnvoll, mit ihnen ein Programm mit maximalem Marktwert zu bilden, sofern weder Restriktions- noch Bewertungsverbund mit anderen Projekten besteht. Der betreffende Marktwert stellt eine untere Grenze des Unternehmenswertes dar. Zusätzlich sind bei der Bewertung diejenigen Projekte zu berücksichtigen, für die keine Duplizierbarkeit besteht. Da hinsichtlich der Auswahl dieser Projekte das Marktwertkriterium versagt, ist hierfür analog zu den Darstellungen in Kapitel XI und XII ein mehrperiodiges subjektives Bewertungskalkül erforderlich, in dem der Nutzenfunktion des Investors und dem Marktwert des bereits ermittelten Teilinvestitionsprogramms Rechnung zu tragen ist. Sind nur einzelne Teilüberschüsse (einzelne Einzahlungen, Auszahlungen oder Differenzen hieraus) duplizierbar, kann immerhin deren Risiko vollständig gehedgt werden, sofern die betreffenden Duplikationsportefeuilles (leer-)verkauft werden können. Für die Bewertung der betreffenden Teilüberschüsse sind dann die Marktwerte ihrer Duplikationsportefeuilles maßgeblich. Für die übrigen Überschüsse gelten die beschriebenen Bewertungsprobleme. Die allgemeine Problematik der Bewertung kann mit der Sicherheitsäquivalent- und der Risikozuschlags-Methode gut verdeutlicht werden: Weder die Sicherheitsäquivalente noch der risikoadäquate Zinssatz sind bei isolierter Betrachtung der Überschüsse des Bewertungsobjekts durch die Nutzenfunktion des Investors bestimmt. Sie hängen von den Risiken seiner Überschüsse im Umfeld des Bewertungsobjekts und den stochastischen Zusammenhängen zwischen ihnen und den Überschüssen (bzw. den Ausschüttungen) des Bewertungsobjekts ab. Solchen Zusammenhängen trägt zwar das CAPM Rechnung. Trotzdem sind seine Bewertungsfunktionale hier nicht relevant. Sie führen nicht zu einem individuellen subjektiven Grenzpreis, sondern zu einem Marktwert für den Fall, dass die Anteile am betrachteten Unternehmen Teil eines Marktportefeuilles sind. Ein gravierender Unterschied zwischen dem Marktwert eines Unternehmens im einperiodigen CAPM und einem subjektiven individuellen Grenzpreis für dieses Unternehmen zeigt sich anschaulich für den Fall, dass sein Überschuss am Ende der Periode stochastisch unabhängig von den Überschüssen der anderen Unternehmen (also das zu bewertende Risiko unsystematisch) ist und der individuelle Investor, für den der Grenzpreis ermittelt werden soll, selbst nicht an anderen Unternehmen beteiligt ist. Für den Marktwert ist dann als Kalkulationszinsfuß der risikolose Zinssatz r relevant und für
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
609
den individuellen subjektiven Grenzpreis ein risikoangepasster Zinssatz, der tendenziell umso höher ist, je größer die Risikoaversion des Investors ist. Wenn er damit rechnet, in Zukunft neue, in einem Marktbewertungsmodell nicht erfasste Projekte mit positivem Kapitalwert zu finden, hat er – sofern der Marktwert für ihn überhaupt bewertungsrelevant ist – einen Wert-Zuschlag auf den bereits ermittelten Marktwert vorzunehmen, dessen Höhe nur subjektiv geschätzt werden kann. Wenn er weiß, dass er in bestimmten Zuständen mit Sicherheit zusätzliche Projekte entdecken wird und deren Anschaffungsauszahlungen und Überschüsse einwertig zustandsabhängig sind, besteht bei vollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf kein Grund, das Prinzip der Marktbewertung aufzugeben. Den Projekten entsprechen bedingte Marktwerte nach Anschaffungsauszahlung, die in einen unbedingten Marktwert zum Zeitpunkt 0 überführt werden können; der Grenzpreis steigt um den betreffenden Marktwert. Jedoch ist die Entdeckung zusätzlichen Erfolgspotenzials grundsätzlich nicht eindeutig durch die eintretende Zustandsfolge bestimmt. Überschüsse von Projekten, die der Investor mehr oder weniger zufällig entdecken wird, kann er nicht durch Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen vollständig hedgen und somit auch nicht in einen gegenwärtigen sicheren Überschuss überführen; der individuelle subjektive Grenzpreis ist dann grundsätzlich niedriger als der Marktwert. Bei der Ermittlung des Wertzuschlages für zukünftiges Erfolgspotenzial sind nicht nur die Erwartungen des Investors bezüglich dieses Erfolgspotenzials des Unternehmens, sondern auch seine individuelle Nutzenfunktion zu berücksichtigen. Sind zukünftige Erfolgspotenziale (etwa aus Erfindungen, der Entdeckung neuer Produkteigenschaften, neuer technischer Produktionsmöglichkeiten und neuer Mitarbeiter) von der Folge der planungsrelevanten Zustände einschließlich der Wertpapierpreise stochastisch unabhängig, kann das betreffende Risiko überhaupt nicht gehedgt werden. Bei Marktbewertung etwa nach dem CAPM könnte dieses unsystematische Risiko zwar völlig vernachlässigt werden und der Wertzuschlag als Barwert der Erwartungswerte der zukünftigen Erfolgspotenziale mit dem Zinssatz r ermittelt werden. Nun wird hier aber das unsystematische Risiko nicht wie im Rahmen des CAPM von vielen Anteilseignern mit kleinen Anteilen daran getragen, sondern allein von dem betrachteten Investor. Für ihn können gemäß den Darstellungen in Kapitel XI hohe Risikoabschläge geboten sein, so dass sein subjektiver Wertzuschlag für zukünftiges Erfolgspotenzial relativ gering ist. Es ist auch möglich, dass in Zukunft entdeckte Erfolgspotenziale von der Zustandsfolge und der Entwicklung der Wertpapierpreise stochastisch abhängen, so dass immerhin die Möglichkeit besteht, in Grenzen zu hedgen. Der Wertzuschlag ist dann höher als bei rein unsystematischem Risiko.
610
Kapitel XV
4
Bewertung mit risikoangepassten Zinssätzen (Risikozuschlags-Methode)
4.1
Bewertung für den Fall, dass der subjektive Grenzpreis mit dem Marktwert übereinstimmt
4.1.1
Bewertung aufgrund des internen Zinsfußes einer Vergleichsinvestition
Bei der Risikozuschlags-Methode erfolgt die individuelle subjektive Bewertung durch Diskontierung der erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts mit einem subjektiven risikoangepassten Zinssatz. Dabei wird in Literatur und Praxis im Allgemeinen davon ausgegangen, dass der Investor risikoavers ist und somit ein Risikozuschlag auf den risikolosen Zinssatz vorzunehmen sei. Die direkte Ermittlung eines subjektiven risikoangepassten Zinssatzes stellt grundsätzlich schon dann ein komplexes Problem dar, wenn neben dem Bewertungsobjekt keine weiteren ungewissen Überschüsse existieren. Analog zur SicherheitsäquivalentMethode resultiert dieses Problem daraus, Nutzenabhängigkeiten zwischen den Überschüssen des Bewertungsobjekts zu verschiedenen Zeitpunkten Rechnung zu tragen. Sind im Umfeld des Bewertungsobjekts weitere riskante Überschüsse gegeben, sind auch Nutzenabhängigkeiten mit ihnen zu erfassen. Wie in Kapitel I, Abschnitt 8.1, erläutert wurde, wird in der Literatur vorgeschlagen, bei subjektiver Bewertung den internen Zinsfuß einer (besten) Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse mit bekanntem Preis zugrunde zu legen. Dieses Konzept wird vor allem auch unter dem Gesichtspunkt der Objektivierung empfohlen. Ob es sinnvoll ist, hängt davon ab, ob der individuelle subjektive Grenzpreis des Bewertungsobjekts mit dessen Marktwert übereinstimmt. Dies ist grundsätzlich nur dann der Fall, wenn die Überschüsse des Bewertungsobjekts (dynamisch) duplizierbar sind und das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerverkauft werden kann. Der (virtuelle) Marktwert aus Sicht des Investors kann dann als Marktwert des Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Dabei muss bei der Bewertung weder der konkreten Gestalt seiner Nutzenfunktion noch den Überschüssen, die er sonst noch erzielt, Rechnung getragen werden; der Wert kann separiert und präferenzfrei ermittelt werden. Wenn die Bewertung auf der Basis eines Duplikationsportefeuilles theoretisch möglich ist, mag die Risikozuschlags-Methode als überflüssig erscheinen. Jedoch kann die Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles vor allem im Mehrperioden-Fall einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen (dynamische Duplikation). Eventuell kann die Ermittlung eines Marktwertes vereinfacht werden, indem man auf eine Vergleichsinvestition derselben Risikoklasse mit bekanntem Marktwert zurückgreift, auf der Basis der Erwartungswerte seiner Überschüsse und seines Marktwertes seinen internen Zinsfuß ermittelt und damit die erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts diskontiert. Dieses Konzept wurde bereits in Kapitel XIV, Abschnitt 8.1, beschrieben.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
611
Der Rückgriff auf die Vergleichsinvestition kann bei diesem Konzept die explizite Ermittlung des Duplikationsportefeuilles zum Zeitpunkt der Bewertung ersparen. Damit wird das Problem optimaler Portefeuillebildung für den Investor jedoch noch nicht gelöst, sondern seine Lösung nur zeitlich verschoben. Wenn er das Bewertungsobjekt kauft, muss er anschließend prüfen, wie er dessen Überschüsse optimal hedgen soll. Hierbei muss er im Prinzip dieselben Probleme lösen wie bei expliziter Ermittlung eines Duplikationsportefeuilles schon zum Zeitpunkt der Bewertung. Die Vergleichsinvestition ist wie bei der Argumentation in Kapitel XIV, Abschnitt 8.1, ein Vehikel, den Marktwert des Duplikationsportefeuilles für das Bewertungsobjekt zu ermitteln. Hierzu muss der Marktwert der Vergleichsinvestition bekannt sein. Wenn der Marktwert (und die entsprechenden erwarteten Überschüsse) jeweils bekannt ist, ist es völlig gleichgültig, welche Vergleichinvestition der gegebenen Risikoklasse zur Unternehmensbewertung herangezogen wird; es muss sich nicht um die „durch den Kauf des Bewertungsobjekts (den Unternehmenskauf) beste verdrängte Alternative“ handeln. Verdrängt wird eben nicht die Vergleichsinvestition, sondern das Duplikationsportefeuille. Es muss im Übrigen gar nicht die Möglichkeit bestehen, die Vergleichsinvestition zu erwerben, so dass von einer Verdrängung dieser Alternative nicht die Rede sein kann. Als Vergleichsinvestition kann auch ein nicht börsennotiertes Unternehmen der gegebenen Risikoklasse dienen, für das ein Kaufpreis bekannt ist, von dem angenommen werden kann, dass er mit dem Marktwert der zukünftigen Überschüsse übereinstimmt. Damit diese Übereinstimmung gegeben ist, müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: 1. Käufer und Verkäufer haben sich bei der Bewertung nur an finanziellen Überschüssen orientiert; immaterielle Zielgrößen wie Ansehen, Macht, Arbeitsleid oder Arbeitsfreude haben den vereinbarten Preis nicht beeinflusst. Der Preis wurde als Marktwert des Duplikationsportefeuilles der Überschüsse des Unternehmens ermittelt. 2. Der Investor kennt die Erwartungswerte der Überschüsse des Unternehmens (der Vergleichsinvestition) und weiß, dass Käufer und Verkäufer die Überschüsse so wie er selbst prognostiziert haben.
4.1.2
Die Problematik der Bewertung aufgrund des internen Zinsfußes der besten „verdrängten“ Vergleichsinvestition
Möglicherweise werden dem Investor mehrere Bewertungsobjekte (z.B. mehrere Unternehmen) derselben Risikoklasse zum Kauf angeboten, von denen er (aus welchen Gründen auch immer) nur eins kaufen will oder kann. Durch Kauf eines Projekts wird dann jedes andere „verdrängt“. Der Investor sollte dann (bei vollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf) das Projekt mit der höchsten positiven Differenz aus Marktwert seiner Überschüsse und Anschaffungskosten kaufen, wobei für alle Projekte
612
Kapitel XV
derselbe risikoangepasste Kalkulationszinsfuß bewertungsrelevant ist. Dieser kann – wie erläutert – auf der Basis einer beliebigen Vergleichsinvestition der gegebenen Risikoklasse mit bekanntem Marktwert ermittelt werden. Bei der Bewertung eines Projekts muss der Investor nicht wissen, welches die beste der bei dessen Kauf „verdrängten“ Alternativen ist. Das Wissen um die jeweils beste verdrängte Alternative hat man ohnehin erst, wenn für alle Alternativen die Differenz aus Marktwert und Anschaffungskosten bekannt ist. Selbst wenn man im Voraus weiß, welche Alternative bei Kauf eines Unternehmens „verdrängt“ wird, kann daraus nicht der maßgebliche risikoangepasste Zinssatz abgeleitet werden, sofern ihr Preis nicht mit ihrem Marktwert (dem Marktwert ihres Duplikationsportefeuilles) übereinstimmt. Zur Verdeutlichung wird der Einperioden-Fall betrachtet und davon ausgegangen, dass nur eines der folgenden beiden Unternehmen derselben Risikoklasse gekauft werden kann. Mit dem ersten Unternehmen wird zum Zeitpunkt 1 ein erwarteter Überschuss von 12.000 GE erzielt. Das zweite Unternehmen bietet dann einen erwarteten Überschuss von 1.200 GE und hat einen Preis von 1.000. Wird für die Bewertung des ersten Unternehmens der interne Zinsfuß von 0,2 des zweiten als Vergleichsinvestition herangezogen, ergibt sich der Wert (1 0,2) 1 12.000 10.000 . Ist der Preis des ersten Unternehmens höher, erscheint sein Kauf als nachteilig. Das wäre auch der Fall, wenn der für die Risikoklasse maßgebliche risikoangepasste Zinssatz mit dem ermittelten internen Zinssatz der Vergleichsalternative (0,2) übereinstimmte. Dies setzt jedoch voraus, dass der Preis dieser Alternative mit ihrem Marktwert identisch ist. Unter dieser Bedingung kann aber der geeignete risikoangepasste Zins aus der „Vergleichsalternative“ – dem zweiten Unternehmen – unabhängig davon hergeleitet werden, ob sie durch den Kauf des ersten Unternehmens „verdrängt“ wird oder nicht. Es fragt sich außerdem, in welchem Sinn das zweite Unternehmen überhaupt verdrängt wird, wenn es einen Preis in Höhe des Marktwertes (hier des subjektiven Grenzpreises) hat, so dass gar kein Nachteil entsteht, wenn von vornherein auf dessen Kauf verzichtet wird. Beträgt der für die Risikoklasse maßgebliche risikoangepasste Zinssatz statt 0,2 nur 0,1, entspricht der betrachteten Vergleichsinvestition ein Kapitalwert in Höhe von 1,11 1.200 1.000 90,9 und dem ersten Unternehmen ein Marktwert in Höhe von 1,11 12.000 10.909,1 . Für den kritischen Preis Pk für das erste Unternehmen, bis zu dem sein Kauf im Vergleich zum Kauf des zweiten Unternehmens vorteilhaft ist, gilt: 10.909,1 Pk
90,9 .
Somit folgt: Pk = 10.818,2. Die kritische Preisgrenze ist also höher als diejenige (von 10.000), die für den Fall errechnet wird, dass der erwartete Überschuss mit dem internen Zinsfuß 0,2 des zweiten Unternehmens (der Vergleichsinvestition) bezüglich ihres Preis 1.000 diskontiert wird. Die Herleitung des risikoangepassten Zinssatzes aus dem internen Zinssatz einer Vergleichsinvestition ist ebenso problematisch wie die Anwendung der internen Zinsfußmethode, nach der von mehreren einander ausschließenden Investitionen mit jeweils gegebener Anschaffungsauszahlung die mit dem höchsten internen Zinsfuß zu wählen
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
613
ist (sofern dieser über dem Kalkulationszinsfuß liegt). Die Problematik der internen Zinsfußmethode besteht darin, dass sie im Widerspruch zur Kapitalwertmethode steht Wird der erwartete Überschuss des ersten Unternehmens mit dem internen Zinsfuß 0,2 des zweiten als Vergleichsinvestition diskontiert, ergibt sich – wie erläutert – ein Wert von 10.000. Wenn der Preis ebenso hoch ist, erscheint der Kauf des ersten Unternehmens gegenüber dem Kauf des zweiten als weder vorteilhaft noch nachteilig. Dies entspricht der Methode interner Zinsfüsse, denn bei einem Kaufpreis in Höhe von 10.000 ist der interne Zinsfuß des ersten Unternehmens wie der des zweiten gleich 20%, so dass beide als gleichwertig erscheinen. Ist der Kaufpreis höher als 10.000, erscheint der Kauf des ersten Unternehmens als nachteilig, was wiederum der Methode interner Zinsfüße entspricht; bei einem solchen Preis ist der interne Zinsfuß des ersten Unternehmens kleiner als der des zweiten. Wie gezeigt, ist jedoch sein Grenzpreis bei dem für die Risikoklasse angenommenen risikoangepassten Zinssatz von 0,1 nicht 10.000, sondern 10.818,2.
4.2
Bewertung für den Fall, dass der subjektive Grenzpreis nicht mit dem Marktwert übereinstimmt
Bei beschränkter Duplizierbarkeit und/oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten stellt sich die Bewertung als komplexer dar. Bei gegebenen stochastischen Überschüssen des Bewertungsobjekts hängt dann dessen Wert und somit auch der risikoadäquate Zinssatz von der Nutzenfunktion des Investors ab und außerdem davon, welche Überschüsse ohne Bewertungsobjekt erzielt werden und wie dessen Überschüsse durch Portefeuillebildung und Anpassungen im Leistungsbereich optimal gehedgt werden (können). Dagegen soll bei traditioneller Unternehmensbewertung nach der Ertragswertmethode ohne Rücksicht auf diese Zusammenhänge der maßgebliche Kalkulationszinsfuß aus einer alternativ realisierbaren Vergleichsinvestition der gleichen Risikoklasse hergeleitet werden. Auch wenn nur das Entscheidungsproblem zur Debatte steht, ob das Unternehmen gekauft werden soll oder eine bestimmte (bei Unternehmenskauf „verdrängte“) Alternativanlage derselben Risikoklasse oder keine der beiden Alternativen, kann nun der für die Ermittlung des subjektiven Unternehmenswertes maßgebliche Kalkulationszinsfuß grundsätzlich nicht aus dieser Vergleichsinvestition hergeleitet werden. Wie im Folgenden gezeigt wird, darf man (bei beschränkter Duplizierbarkeit und/oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten) nicht generell so verfahren, als ob es bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Unternehmenswertes um die Ermittlung eines Marktwertes ginge. Wäre der interne Zinsfuß einer Vergleichsinvestition tatsächlich für das zu bewertende Unternehmen maßgeblich, würde gelten: Der entsprechende Barwert der erwarteten Überschüsse (Entnahmen) des Unternehmens ist sein subjektiver Grenzpreis. Zwar ist der interne Zinsfuß der Vergleichsinvestition für die Ermittlung des subjektiven Grenzpreises geeignet, wenn die Überschüsse der Vergleichsinvestition mit denen des Bewertungsobjekts übereinstimmen und außerdem bereits bekannt ist, dass der Wert
614
Kapitel XV
der Vergleichsinvestition nicht niedriger ist als ihr Preis. Dann ist aber die Ermittlung eines Kalkulationszinsfußes überflüssig; der Grenzpreis des Bewertungsobjekts ist gleich der Anschaffungsauszahlung der „identischen“ Vergleichsalternative. Das eigentliche Problem besteht hierbei darin, wie festgestellt werden kann, dass der Wert der Vergleichsinvestition nicht niedriger ist als ihr Preis. Bei unterschiedlicher Größe des Bewertungsobjekts und der Vergleichsalternative wird das Bewertungsproblem komplexer. Die kapitalmarktbezogene Bewertungskonzeption kann in diesem Fall grundsätzlich nur dann auf die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises gemäß der Ertragswertmethode übertragen werden, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Der aus der Vergleichsinvestition hergeleitete risikoangepasste Kalkulationszinsfuß bringt zum Ausdruck, wie der Investor tatsächlich die Überschüsse dieser Alternative bewertet. 2. Dieser Zinssatz ist unabhängig von deren Größe auch für andere Investitionen der gleichen Risikoklasse maßgeblich. Damit die erste Bedingung erfüllt sein kann, muss (analog zu einer Marktwertbewertung) für die Vergleichsalternative derjenige Zinssatz bestimmt werden, bei dem der Barwert der erwarteten Überschüsse mit dem subjektiven Wert dieser Überschüsse für den Investor (statt mit einer realen Anschaffungsauszahlung) übereinstimmen. Dieser Wert ist jedoch nicht bekannt, sondern muss erst ermittelt werden. Wenn der Investor hierzu in der Lage ist, kann er analog direkt auch den Grenzpreis für das Bewertungsobjekt ermitteln. Bei der subjektiven Bewertung der Vergleichsinvestition ergeben sich im Prinzip die gleichen Probleme wie bei der subjektiven Bewertung des Bewertungsobjekts, die man durch Anwendung der Ertragswertmethode und Herleitung des Kalkulationszinsfußes aus der Vergleichsinvestition zu umgehen bzw. zu vereinfachen sucht. Wäre der für die subjektive Bewertung der Vergleichsinvestition maßgebliche risikoadäquate Zinssatz – aus welchen Gründen auch immer – bekannt, könnte er bei abweichender Größe des Bewertungsobjekts von derjenigen der Vergleichsinvestition nur dann für das Bewertungsobjekt herangezogen werden, wenn auch die obige zweite Bedingung erfüllt wäre. Die von ihr geforderte Unabhängigkeit des risikoadäquaten Kalkulationszinsfußes vom Investitionsvolumen mag zwar für die Bewertung aus Sicht vieler beteiligter Anteilseigner mit quasi-konstanten Grenznutzenwerten gegeben sein. Hinsichtlich der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises ist diese Unabhängigkeitsbedingung bei Risikoaversion (bei konkaver Nutzenfunktion) jedoch verletzt. Dieser Grenzpreis ist auch bei gegebener Risikoklasse keine linear steigende Funktion des Niveaus der Erwartungswerte der Überschüsse, sondern eine konkave (Kapitel VIII, XI und XII). Entsprechend ist der risikoadäquate Kalkulationszinsfuß für das Bewertungsobjekt höher (niedriger), sofern seine Überschüsse höher (niedriger) sind als die der Vergleichsinvestition; das Problem ist nun, um welchen Betrag.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
615
Bei der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises bzw. des hierfür maßgeblichen risikoangepassten Zinssatzes kommt man nicht ohne explizite Anwendung eines Entscheidungskriteriums bei Risiko aus. Die theoretischen Grundlagen für diese Bewertung liefert die Entscheidungstheorie (BALLWIESER, 1990; BITZ, 1977; 1981; EISENFÜHR/WEBER, 2003; LAUX, 2007), die sich auch mit der (experimentellen) Ermittlung von Nutzenfunktionen und der Vereinfachung von Entscheidungs- oder Bewertungskalkülen mit dem Ziel subjektiver Nutzenmaximierung befasst.
5
Ein allgemeines Bewertungskonzept auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung
5.1
Allgemeine Charakteristik
Wie deutlich wurde, verursacht sowohl die Sicherheitsäquivalent- als auch die Risikozuschlags-Methode komplexe Probleme, wenn der subjektive individuelle Grenzpreis vom Marktwert abweicht, da dann die Bewertung eines Überschusses nicht separiert und präferenzfrei vorgenommen werden kann. Zum einen lassen sich Nutzenabhängigkeiten zwischen den Überschüssen bzw. den Konsumausgaben verschiedener Zeitpunkte nur in engen Grenzen erfassen. Zum andern sind den Risiken ohne Bewertungsobjekt und den optimalen Hedgemaßnahmen bei Kauf des Bewertungsobjekts Rechnung zu tragen. Beide Methoden lassen jedoch weitgehend offen, wie diese Probleme zu lösen sind. Im Folgenden wird ein Bewertungsmodell auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens3 der flexiblen Planung beschrieben, das gemäß den Darstellungen in Kapitel XIII, Abschnitt 3.2, aus zwei (Teil-)Modellen besteht: Im ersten Modell wird das optimale Programm im Leistungs- und Finanzbereich ohne Bewertungsobjekt ermittelt; seine Zielfunktion besteht in der Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens von Überschüssen für Konsumzwecke. Im zweiten Modell wird als individueller subjektiver Grenzpreis der maximale Preis P für das Bewertungsobjekt bestimmt, mit dem bei Kauf in Verbindung mit entsprechenden optimalen Anpassungen im Leistungs- und Finanzbereich derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird wie für das erste Modell. Da die Berücksichtigung einer mehrperiodigen Nutzenfunktion ein (zu) komplexes Problem darstellt, sind diesbezüglich Vereinfachungen unumgänglich. Eine Möglichkeit besteht darin, additive Separierbarkeit der Nutzenfunktion zu unterstellen und die Zielfunktion des ersten Modells wie folgt darzustellen: T
(XV.14)
t 1
3
T
S(t)
)] U (Ü ) U 0 (Ü 0 ) ¦ E[U t (Ü ¦ ¦ w(St,s ) U t (Ü t,s ) o Max! t 0 0 t 1 s 1
In Kapitel XIII, Abschnitt 3.2, wurde erläutert, dass die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises bei Reichtumseffekt auf der Basis eines Entscheidungsbaumes problematisch ist.
616
Kapitel XV
Da die einzelnen Nutzenfunktionen Ut nicht linear sind, müssen sie stückweise linearisiert werden, womit ebenfalls ein hoher Aufwand verbunden ist. Eine Vereinfachung kann auch nicht erzielt werden, indem statt (XV.14) die Zielfunktion (XV.15)
T ~ Ü 0 ¦ (1 r ) t SÄ ( Ü t ) o Max! t 1
zugrunde gelegt wird. Hierbei müssten die in (XV.14) enthaltenen Nutzenerwartungswerte als Basis der Sicherheitsäquivalente explizit im Modell erfasst werden und sie müssten außerdem modellendogen in Sicherheitsäquivalente überführt werden.4 Unabhängig davon, kann auch die Annahme der Separierbarkeit der Nutzenfunktion als äußerst unbefriedigend erscheinen. Wir legen daher folgende Vereinfachung der Nutzenfunktion zugrunde, bei der zum einen die Zielfunktion relativ einfach darstellbar ist und zum anderen keine generelle Separierbarkeit der Nutzenfunktion unterstellt werden muss: Der Investor orientiere sich am Ziel, den Erwartungswert des Nutzens seines Endvermögens („Endüberschusses“) zum Zeitpunkt T zu maximieren, wobei er gewünschte Überschüsse für die ZeitÜ T punkte 0,1,…,T–1 dem Modell zustandsabhängig oder -unabhängig als Daten vorgibt. Insbesondere, wenn die exogen vorgegebenen Überschüsse Üt für Zeitpunkte t (0 < t < T) zustandsabhängig sind, ist zu vermuten, dass auch die Nutzenfunktion U(ÜT) zustandsabhängig zu formulieren ist, um Nutzenabhängigkeiten zwischen dem Endvermögen und den exogen vorgegebenen Überschüssen zu erfassen (Kapitel II, Abschnitt 4). Bei diesem Ansatz muss „nur“ die Nutzenfunktion für ÜT explizit im Modell berücksichtigt und stückweise linearisiert werden. Außerdem können im Gegensatz zu (XV.14) immerhin implizit Nutzenabhängigkeiten erfasst werden, indem – wie erläutert – die Nutzenfunktion U T ( Ü T ) mit den exogen vorgegebenen Überschüssen für die Zeitpunkte t < T (zustandsabhängig) abgestimmt wird.
5.2
Ermittlung und Eigenschaften des optimalen Investitionsprogramms ohne das Bewertungsobjekt
Wie bereits erläutert, wird im ersten Modell der Erwartungswert des Nutzens des Endvermögens ohne Bewertungsobjekt maximiert. Dabei werden im Modell neben den erwogenen Realinvestitionen auch Möglichkeiten des zustandsabhängigen Handels mit Wertpapieren erfasst. (Bei Ausschluss von Leerverkäufen werden Nichtnegativitätsbedingungen für die Wertpapierbestände ins Modell einbezogen.) Auf diese Weise wird das Risiko im Leistungsbereich optimal mit dem im Finanzbereich abgestimmt; es wird dem Sachverhalt Rechnung getragen, dass die Vorteilhaftigkeit eines Realinvestitionsprojekts oder -programms davon
4
Auch die Alternative, die Sicherheitsäquivalente direkt als quadratische Funktionen der Überschüsse darzustellen, kann einen prohibitiv hohen Aufwand verursachen.
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
617
abhängt, wie das Risiko optimal gehedgt wird. Die Zielfunktion des ersten Modells lautet bei zustandsunabhängiger Nutzenfunktion U(Ü T ) : S(T)
(XV.16)
¦ w(ST,s ) U(ÜT,s ) o Max! s 1
Die Finanzrestriktionen haben im Prinzip dieselbe Struktur wie in dem in Kapitel XIV, Abschnitt 10.2, beschriebenen Modell. Für jeden Zustand St,s (t = T) wird gefordert, dass der Überschuss aus Leistungs- und Finanzbereich mit dem jeweils exogen vorgegebenen Überschuss übereinstimmt. Dabei wird berücksichtigt, wie durch Handel mit Wertpapieren die Überschüsse des Leistungsbereichs transformiert werden können. Für die Zustände des Zeitpunkts T sind die Überschüsse nicht exogen vorgegeben; ihr Erwartungsnutzen soll gemäß der Zielfunktion (XV.16) maximiert werden. Die Finanzrestriktionen für den Zeitpunkt T bringen zum Ausdruck, wie im jeweiligen Zustand der Überschuss ÜT,s von den Maßnahmen im Leistungs- und Finanzbereich abhängt, so dass die Verbindung zur Zielfunktion (XV.15) hergestellt wird. Wenn der Investor ohne Bewertungsobjekt nur Wertpapiere hält, wird er unter den Voraussetzungen des CAPM einen optimalen Anteil am Marktportefeuille realisieren. Wenn er bereits Eigentümer eines Unternehmens ist, wird das erste Modell zu einer optimalen Mischung aus Realinvestitionen und Portefeuillebildung führen. Dabei hängt die als optimal ermittelte Strategie bezüglich der Realinvestitionen von den in diesem Modell erfassten Möglichkeiten des Wertpapierhandels ab. Lassen sich die Überschüsse aller Realinvestitionen durch die berücksichtigten Papiere (dynamisch) duplizieren und ist deren Leerverkauf unbeschränkt zulässig, bestimmt das Modell das Realinvestitionsprogramm mit dem höchsten Marktwert, obwohl seine Zielfunktion in der Maximierung des Erwartungswertes des Nutzen des Endvermögens besteht. Ein Projekt, dessen Anschaffungsauszahlung höher ist als der Marktwert seiner Überschüsse ist dann deshalb nicht im Optimum enthalten, weil es von seinem (dynamischen) Duplikationsportefeuille dominiert wird; wenn statt des Projekts das Duplikationsportefeuille realisiert wird, steigt der Erwartungsnutzen des Endvermögens. Ein Projekt, dessen Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung positiv ist, wird ins optimale Programm aufgenommen, weil hiermit in Verbindung mit optimalem Handel mit Wertpapieren ein höherer Erwartungsnutzen des Endvermögens erzielt wird. Das Realinvestitionsprogramm mit dem höchsten Marktwert unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlungen wird sogar unabhängig davon als optimal ausgewiesen, wie die Nutzenfunktion für das Endvermögen konkret formuliert wird; sie muss lediglich die Bedingung erfüllen, dass für jeden Zustand der Nutzen eine streng monoton steigende Funktion des Endvermögens ist. Bei entsprechenden Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten wird das Realinvestitionsprogramm mit dem höchsten Marktwert selbst dann als optimal ausgewiesen, wenn die Zielfunktion darin besteht, das Endvermögen in einem einzigen möglichen
618
Kapitel XV
Zustand des Zeitpunktes T zu maximieren und dabei Nebenbedingungen erfasst werden, wonach in den anderen möglichen Zuständen dieses Zeitpunktes das Endvermögen nicht negativ werden darf. Gegenüber dem Ziel der Maximierung des Nutzenerwartungswertes ändert sich dann nur die optimale Lösung für den Finanzbereich, nicht die des Leistungsbereichs. Zwar bestimmt das Modell jeweils das optimale Realinvestitionsprogramm, jedoch grundsätzlich nicht den optimalen zustandsabhängigen Konsumstrom. Dem Modell wurden ja die Konsumausgaben (die entsprechenden Überschüsse) für die Zeitpunkte 0,1,…,T–1 als Daten vorgegeben. Nur in Bezug auf diese wird der Erwartungswert des Nutzens des Endvermögens maximiert. Da bei Duplizierbarkeit und unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten das optimale Realinvestitionsprogramm davon unabhängig ist, wie Projektüberschüsse durch Kapitalmarkttransaktionen in Konsumausgaben transformiert werden, kann der Investor nach Kenntnis der Modelllösung diese durch Umverteilungen von Konsumausgaben verbessern. Sind die Projektüberschüsse duplizierbar (und wird dies im Modell berücksichtigt), jedoch Leerverkäufe nicht oder nur eingeschränkt möglich, werden nach wie vor Projekte mit negativem Marktwert (unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung) nicht ins Programm aufgenommen, da ihr Kauf durch den Kauf ihrer Duplikationsportefeuilles dominiert wird. Dagegen können sich nun Projekte mit positivem Marktwert als nachteilig erweisen, weil sie aufgrund der Leerverkaufsbeschränkungen dem Investor ein zu hohes Risiko aufbürden würden. Auch bei unvollständiger Duplizierbarkeit können sich Projekte mit positivem Marktwert als nachteilig erweisen. Es ist andererseits auch möglich, dass bei unvollständiger Duplizierbarkeit Projekte mit negativem Marktwert im optimalen Programm enthalten sind, da sie vorteilhafte Hedgemöglichkeiten für die Überschüsse anderer Investitionsprojekte bieten, die durch Portefeuillebildung nicht realisierbar sind. Bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder Leerverkaufsbeschränkungen ist somit nicht unabhängig von der Nutzenfunktion U(Ü0, Ü1, …, ÜT) das Realinvestitionsprogramm mit dem höchsten Marktwert optimal. Wird diese Nutzenfunktion (aus Gründen der Vereinfachung) nicht exakt erfasst, sondern – wie erläutert – der Erwartungsnutzen des Endvermögens bei exogen vorgegebenen (zustandsabhängigen) Überschüssen für Zeitpunkte t < T maximiert, ergibt sich bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten ein Realinvestitionsprogramm, das erheblich von demjenigen bei „exakter“ Erfassung der Nutzenfunktion abweichen kann. Erscheint die Lösung des vereinfachten Modells als unbefriedigend (etwa weil Endvermögenswerte im Vergleich zu den exogen vorgegebenen Überschüssen für Zeitpunkte t < T unerwartet hoch oder niedrig sind), ist es grundsätzlich geboten, auch das Realinvestitionsprogramm zu modifizieren. Zur Erläuterung wird die Abbildung XV.1 betrachtet, wobei wir nun davon ausgehen, die Symbole K3,s (s = 1,2,…,13) repräsentierten Endvermögenswerte für den Zeitpunkt 3 und die übrigen Symbole exogen vorgegebene Überschüsse zur Deckung von Konsumausgaben. Angenommen, die Endvermögenswerte K3,7 bis K3,13 seien gegenüber dem exogen vorgegebenen Überschuss K0 unvorhergesehen hoch und der Investor erwäge, K0 zu Lasten dieser Werte zu erhöhen. Nimmt er zum Zeitpunkt 0 bis zum Zeit-
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
619
punkt 3 einen (zusätzlichen) Kredit auf (oder legt er weniger Mittel zum Zinssatz r an), sinkt c.p. das Endvermögen auch für den Fall, dass einer der Zustände S3,1 bis S3,6 eintritt. Sind die zugehörigen Endvermögenswerte K3,1 bis K3,6 in der Ausgangssituation bereits relativ niedrig und der zusätzliche Kredit hoch, mögen für diese Zustände zu niedrige Endvermögenswerte resultieren. Wenn aufgrund unvollständiger Duplizierbarkeit und Leerverkaufsbeschränkungen keine befriedigende Transformation der Überschüsse möglich ist, kann es vorteilhaft sein, das (zustandsabhängige) Investitionsprogramm derart zu ändern, dass der Überschuss K0 aufgrund ersparter Auszahlungen steigt und die Beträge K3,1 bis K3,6 im Vergleich zu den anderen möglichen Endvermögenswerten zum Zeitpunkt 3 wenig sinken. Die (gegebenenfalls revidierte) Lösung des Modells ohne das Bewertungsobjekt (erstes Modell) stellt die Basis für die Ermittlung des individuellen subjektiven Grenzpreises des Bewertungsobjekts im Rahmen des zweiten Modells dar.
5.3
Ermittlung und Höhe des Grenzpreises und Eigenschaften des optimalen Programms mit dem Bewertungsobjekt
Im Rahmen des zweiten Modells wird entsprechend den Darstellungen in Kapitel XIII der individuelle subjektive Grenzpreis als derjenige maximale Preis bestimmt, bei dem der Investor mit Kauf des Bewertungsobjekts weder einen Vorteil noch einen Nachteil erzielt. Die Zielfunktion für das zweite Modell lautet wieder: (XV.17) P o Max!
Dabei gilt u.a. die Nebenbedingung, dass mit dem Bewertungsobjekt ein Erwar erzielt wird, der nicht niedriger ist tungswert des Nutzens des Endvermögens Ü T als der ohne Bewertungsobjekt, und außerdem wiederum die im ersten Teilmodell exogen vorgegebenen Überschüsse für die Zeitpunkte t < T erzielt werden. Bei gleichem Zustandsbaum für die beiden Modelle kann die Nebenbedingung dafür, dass mit dem Bewertungsobjekt kein kleinerer Erwartungsnutzen für das Endvermögen erzielt werden darf als ohne es, wie folgt dargestellt werden: Ü T S(T)
(XV.18)
¦ w(ST,s ) U(ÜT,s ) t U . s 1
U bezeichnet den maximalen Nutzenerwartungswert ohne Bewertungsobjekt. Da der Zielfunktionswert P in (XV.17) stets zu Lasten des Nutzenerwartungswertes auf der linken Seite von (XV.18) erhöht werden kann, ist diese Nebenbedingung im Optimum des zweiten Modells als Gleichung erfüllt. Sie kann somit auch von vornherein als Gleichung geschrieben werden.
620
Kapitel XV
Die Finanzrestriktionen des zweiten Modells stimmen in ihrer Struktur mit denen des ersten überein. Jedoch müssen zusätzlich die mit dem Bewertungsobjekt erzielbaren Überschüsse (ihre Abhängigkeiten von den Maßnahmen im Leistungsbereich) erfasst werden. Die Darstellungen in Abschnitt 5.2 gelten analog für die Eigenschaften des optimalen Programms mit dem Bewertungsobjekt. Sind die Überschüsse des Bewertungsobjekts duplizierbar und kann das Duplikationsportefeuille unbeschränkt (leer-)verkauft werden, ergibt sich (wenn diesem Sachverhalt im Modell Rechnung getragen wird) als subjektiver Grenzpreis des Bewertungsobjekts gemäß (XV.17) der maximale Marktwert seiner Überschüsse: Das Modell sucht dasjenige Verwendungsprogramm für das Bewertungsobjekt, das den maximalen Marktwert bietet und weist diesen Marktwert als maximalen Preis gemäß (XV.17) aus. Simultan damit werden im Rahmen des Modells diese Überschüsse dupliziert und das Duplikationsportefeuille (leer-)verkauft. Gibt es weder Restriktions- noch Erfolgsverbund, sind die Überschüsse des Bewertungsobjekts unabhängig davon, welche Realinvestitionen in seinem Umfeld durchgeführt werden. Bei Restriktions- und/oder Erfolgsverbund ergeben sich bei Kauf grundsätzlich Rückwirkungen auf diese Investitionen. Es sind dann die Änderungen aller Überschüsse des Leistungsbereichs als Überschüsse des Bewertungsobjekts zu interpretieren; der Grenzpreis des Bewertungsobjekts ergibt sich als Marktwert des Duplikationsportefeuilles dieser Überschussänderungen. Bei a priori bekannten zustandsabhängigen Überschüssen des Bewertungsobjekts, vollständiger Duplizierbarkeit und unbeschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten bietet das Bewertungsmodell (mit seinen beiden (Teil-)Modellen) bereits den Vorteil, dass sich die explizite Ermittlung eines (dynamischen) Duplikationsportefeuilles und dessen Marktwert erübrigt. Sind die Überschüsse nicht exogen gegeben, sondern von den zunächst unbekannten optimalen Aktionen abhängig, ergibt sich der weitere Vorteil, dass das Modell diese und die zugehörigen Überschüsse ermittelt. Insbesondere bei Synergieeffekten mit einem bereits bestehenden Leistungsbereich sind diese Überschüsse ohne fundierte Planungsaktivitäten kaum verlässlich zu prognostizieren. Besondere Relevanz gewinnt jedoch das Bewertungsmodell bei unvollständiger Duplizierbarkeit und/ oder beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten des Kapitalmarktes. Besteht zwar Duplizierbarkeit, kann jedoch das Duplikationsportefeuille für das Bewertungsobjekt nicht oder nur teilweise (leer-)verkauft werden, ist sein Marktwert zwar eine absolute Obergrenze für den maximalen Preis gemäß (XV.17) bzw. den subjektiven Grenzpreis. Der maximale Preis wird jedoch grundsätzlich unter dem Marktwert liegen. Existiert keine Duplizierbarkeit für die Überschüsse des Bewertungsobjekts, kann sein subjektiver Grenzpreis auch über dem Marktpreis liegen, weil es Hedgemöglichkeiten für Überschüsse des übrigen Leistungsbereichs bietet, die durch Portefeuillebildung nicht realisierbar sind. Grundsätzlich sind die Überschüsse des Bewertungsobjekts nicht exogen gegeben, sondern von den Maßnahmen abhängig, die noch im Rahmen der Bewertung zu planen sind. Das gilt vor allem auch für ein ganzes Unternehmen als Bewertungsobjekt. Dabei kann sich z.B. das Problem stellen, ob hierin ein Investitionsprogramm (in Verbindung
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
621
mit einem Produktions- und Absatzprogramm) mit hoher oder geringer Elastizität realisiert werden soll. Möglicherweise wird der individuelle subjektive Grenzpreis mit einem Programm maximiert, das nicht den höchsten Marktwert jedoch unter Berücksichtigung unvollkommener Hedgemöglichkeiten relativ geringes Risiko aufweist, weil es gute Anpassungsmöglichkeiten im Leistungsbereich an die möglichen Umweltentwicklungen (oder gute Hedgemöglichkeiten für bisherige Überschüsse im Leistungsbereich) bietet. Ist die Nutzenfunktion für das Endvermögen weder linear noch exponentiell, gibt es bei einem Konflikt zwischen Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung einen Reichtumseffekt (auch) bezüglich Realinvestitionen, wobei gilt: Ist der zu zahlende Preis (der Einigungspreis) niedriger als der subjektive Grenzpreis, werden für den Investor andere riskante Maßnahmen optimal sein als jene, die dem subjektiven Grenzpreis entsprechen. Eventuell ist nach Kenntnis der Anschaffungsauszahlung im Rahmen eines dritten Modells das dem gezahlten Preis entsprechende riskante Aktionsprogramm zu ermitteln. Möglicherweise gelingt es jedoch, die gebotenen Änderungen ohne fundierte Modellanalyse abzuschätzen. Bei exponentieller Nutzenfunktion für das Endvermögen sind die riskanten Maßnahmen im Leistungsbereich mit dem Bewertungsobjekt unabhängig vom gezahlten Preis. Ist der Einigungspreis niedriger ist als der Grenzpreis, wird die Ersparnis bis zum Zeitpunkt T zum risikolosen Zinssatz r angelegt (was auch heißen kann, dass ein geringerer Kredit aufgenommen wird). Sind individuelle subjektive Nutzenmaximierung und Marktwertmaximierung äquivalente Ziele, hat unabhängig von der Nutzenfunktion das Vermögen des Investors keinen Einfluss auf das optimale Realinvestitionsprogramm. Wenn die Anschaffungskosten des Bewertungsobjekts niedriger sind als der Marktwert seiner Überschüsse, hat das nur Rückwirkungen auf die Transaktionen des Investors auf dem Kapitalmarkt.
6
Problematik der Vereinfachung
6.1
Bewertung und vereinfachte Investitionsplanung
Wie erläutert, ist bei individueller subjektiver Bewertung das Problem der Modellvereinfachung grundsätzlich komplexer als bei Marktbewertung. Zur Erläuterung einiger Zusammenhänge betrachten wir wie in Kapitel XIV, Abschnitt 11, den potenziellen Kauf eines Unternehmens U, wobei wir wieder vereinfachend davon ausgehen, dass zwischen den Maßnahmen in diesem Unternehmen und in seinem Umfeld weder Restriktions- noch Erfolgsverbund bestehen. Der kollektive subjektive Grenzpreis bei potenziellem Kauf durch ein börsennotiertes Unternehmen wäre dann gleich dem separat ermittelten maximalen Marktwert des Unternehmens U. Da dann bei der Bewertung offen bleiben kann, welche Maßnahmen ohne das Unternehmen U realisiert werden, würde sich das erste (Teil-)Modell für die Bewertung erübrigen. Bei individueller subjektiver Bewertung stellt sich dagegen (sofern es nicht möglich ist, die Überschüsse des Bewertungsobjekts vollständig zu duplizieren und das Duplikationsportefeuille unbeschränkt leerzuverkaufen) das Problem, Risiko- und grundsätzlich
622
Kapitel XV
auch Bewertungsverbund Rechnung zu tragen, so dass keine Separierbarkeit besteht; der Grenzpreis muss gemäß (XV.16) ermittelt werden als derjenige maximale Preis, bei dem mit Unternehmen unter Berücksichtigung optimaler Hedgemaßnahmen (allgemein: in Verbindung mit optimalem integriertem Risikomanagement) derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird wie ohne es. Wie erläutert, muss zunächst im Rahmen des ersten Teilmodells der maximale Nutzenerwartungswert ohne das Unternehmen (die „Bewertungsbasis“) bestimmt werden. Probleme der Vereinfachung dieses Modells sind nun – im Gegensatz zur Marktbewertung – wesentlicher Bestandteil der Bewertungskonzeption. Wird aufgrund von Vereinfachungen ein zu hoher (zu geringer) Nutzenerwartungswert ausgewiesen, besteht die Tendenz, im Rahmen des zweiten (Teil-)Modells einen zu geringen (zu hohen) Grenzpreis zu bestimmen. Im Rahmen dieses Modells wird eben der maximale Preis für das Unternehmen U unter der Nebenbedingung bestimmt, dass der Nutzenerwartungswert bei Kauf nicht niedriger ist als der mit dem ersten Modell ermittelte. Wie bei Marktbewertung sind im zweiten Modell nicht nur diejenigen zukünftigen Realinvestitionen zu erfassen, die einen Einfluss auf das gegenwärtige Investitionsprogramm bei Kauf des Unternehmens U haben, sondern alle, die mit ihrem Erfolgspotenzial dessen Grenzpreis erhöhen könnten. Anders als bei Marktbewertung sind nun aber auch zukünftige Kapitalmarkttransaktionen zu berücksichtigen, die zwar nicht den Marktwert erhöhen können, wohl aber den individuellen subjektiven Grenzpreis. Ihr wertsteigernder Einfluss kann vor allem dann hoch sein, wenn es mit ihnen gelingt, das Unternehmensrisiko gut zu hedgen. Wenn auch außerhalb des Unternehmens Realinvestitionen durchgeführt werden, sind diese ins zweite Modell einzubeziehen, um Synergieeffekte auf das bei Kauf des Unternehmens maßgebliche Gesamtrisiko zu erfassen. Zum einen ist das zweite Modell wesentlich komplexer als bei Maximierung des Marktwertes des Unternehmens U bei Kauf. Zum anderen ist für die Ermittlung des individuellen subjektiven Grenzpreises auch das komplexe erste (Teil-)Modell wesentlicher Bestandteil des Bewertungskonzepts. Daher besteht bei individueller subjektiver Bewertung ein besonderer Bedarf an Vereinfachungen. Jedoch ist es äußerst schwierig, deren Konsequenzen a priori abzuschätzen. Zur Erläuterung betrachten wir Tabelle (XV.1), wobei von der Problematik der Erfassung einer mehrperiodigen Nutzenfunktion abgesehen wird. Außerdem nehmen wir an, dass in Zukunft keine Ereignisse (Zustände, Erträge, Verluste) eintreten, die nicht schon bei der Bewertung als möglich erkannt werden. „v“ („nv“) steht für „vereinfacht“ („nicht vereinfacht“). Eine Vereinfachung des Zustandsbaums bedeutet, dass hierin Umweltentwicklungen ersatzlos vernachlässigt werden oder „Bündel“ von Entwicklungen jeweils durch eine „mittlere“ repräsentiert werden. Die Vereinfachung bei den Aktionsmöglichkeiten bedeutet u.a., dass Maßnahmen des Leistungs- und/oder des Finanzbereichs vernachlässigt werden bzw. ihre Überschüsse mehr oder weniger pauschal in Form von Schätzwerten im Modell erfasst werden. Unterhalb von „Vergleich“ stehen mögliche Größenbeziehungen zwischen dem modellendogenen ermittelten und dem „tatsächlichen“ subjektiven Grenzpreis.
623
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
Fall
1. (Teil-)Modell
2. (Teil-)Modell
ermittelter Grenzpreis
„tatsächlicher“ Grenzpreis
1
Zustandsbaum nv
Aktionsmöglichkeiten nv
Zustandsbaum nv
Aktionsmöglichkeiten nv
2
nv
nv
nv
v
3
nv
nv
v
nv
!
4
nv
v
nv
nv
!
5
v
nv
nv
nv
!
6
nv
v
nv
v
!
7
v
v
v
v
!
Vergleich =
Tabelle XV.1: Zum Einfluss von Vereinfachungen auf den ermittelten Grenzwert im Vergleich zum „tatsächlichen“
Im Fall 1 wird weder das erste noch das zweite Modell vereinfacht. Der Wert wird „exakt“ ausgewiesen (freilich ein utopischer Idealfall). Im Fall 2 wird nur der Nutzenerwartungswert ohne Bewertungsobjekt (die Basis) exakt ermittelt. Die vereinfachte Erfassung der Aktionsmöglichkeiten im zweiten Modell – insbesondere von Verwendungsmöglichkeiten für das Bewertungsobjekt und Möglichkeiten, durch Portefeuillebildung das Risiko zu hedgen – bewirkt grundsätzlich, dass der hiermit ermittelte Maximalpreis (der Grenzpreis) niedriger ist als der tatsächliche.5 Es ist allerdings auch möglich, dass der ermittelte Grenzpreis mit dem tatsächlichen Grenzpreis übereinstimmt, weil die vernachlässigten Aktionsmöglichkeiten ohnehin nicht vorteilhaft sind. Dieses Resultat kann zufällig erzielt werden, möglicherweise auch aufgrund einer gezielten Vorauswahl nicht vorteilhafter Aktionsmöglichkeiten. Es ist schwierig, modellexogen abzuschätzen, ob der erzielte Grenzpreis unter dem tatsächlichen liegt und gegebenenfalls um welchen Betrag. Im Fall 3 wird nur der Zustandsbaum des zweiten Modells vereinfacht. Im Gegensatz zum Fall 2 kann nun der ermittelte Grenzpreis auch höher sein als der tatsächliche, z.B. wenn mögliche Umweltentwicklungen vernachlässigt werden, für die das Bewertungsobjekt relativ geringe Überschüsse bietet. Im Fall 4 wird zwar das zweite Modell nicht vereinfacht, wohl aber das erste durch Vernachlässigung von Handlungsalternativen. Dies impliziert grundsätzlich, dass der Erwartungsnutzen ohne das Bewertungsobjekt zu niedrig (in Ausnahmefällen aber auch korrekt) ausgewiesen wird. Im zweiten Modell wird zwar gegenüber dieser Basis der
5
Es wird davon ausgegangen, dass keine nachteiligen Aktionsmöglichkeiten vernachlässigt werden, die (z.B. aufgrund vertraglicher Verpflichtungen) die bei Kauf des Unternehmens realisiert werden müssen. Der ermittelte Maximalpreis kann dann auch höher sein als der „wahre“ Grenzpreis.
624
Kapitel XV
Grenzpreis „korrekt“ ermittelt. Wenn jedoch die Basis zu niedrig ist, liegt der ermittelte Grenzpreis über dem tatsächlichen. Im Fall 5 wird nur der Zustandsbaum des ersten Modells vereinfacht. Dadurch kann sich im Gegensatz zu Fall 4 auch eine zu hohe Basis ergeben. Die korrekte Bewertung in Bezug auf eine überhöhte Basis durch das zweite Modell führt zu einem Grenzpreis, der niedriger ist als der tatsächliche. In den Fällen 6 und 7 sind wie in der Realität beide Modelle vereinfacht. Hier gibt es grundsätzlich Bewertungsfehler aus zwei Gründen. Zum einen wird der Erwartungsnutzen ohne Bewertungsobjekt (die Basis) zu hoch oder zu niedrig ausgewiesen. Zum anderen wird auch der Maximalpreis (Grenzpreis) fehlerhaft an die ermittelte Basis angepasst. Die Bewertungsfehler können sich (teilweise) kompensieren, aber auch kumulieren; der ermittelte Grenzpreis kann höher oder niedriger sein als der tatsächliche (oder zufällig damit übereinstimmen). Vereinfachungen können bei Orientierung am Prinzip der flexiblen Planung in vielfältiger Weise vorgenommen werden, von einer vereinfachten expliziten Anwendung des Entscheidungsbaum- oder Zustandsbaumverfahrens bis hin zur Sicherheitsäquivalent-Methode unter globaler Schätzung der Überschüsse und der zugehörigen Sicherheitsäquivalente. Für den Fall einer expliziten Anwendung des Zustandsbaumverfahrens gibt es trotz ihrer Komplexität gewisse Anhaltspunkte der Vereinfachung, z.B.: Es werden vor allem solche Wertpapiere berücksichtigt, mit denen man die Überschüsse des Bewertungsobjekts gut hedgen kann. Aus den alternativen Mengen von Papieren jeweils ähnlicher Risikoklasse (etwa Aktien von Unternehmen der gleichen Branche) werden nur einzelne Repräsentanten ausgewählt.
6.2
Vereinfachung durch Orientierung an Marktwerten
6.2.1
Konzept
Da das Bewertungsmodell für Marktwertmaximierung einfacher ist als für individuelle subjektive Nutzenmaximierung, besteht eine nahe liegende Vereinfachung darin, explizit den (virtuellen) Marktwert des Bewertungsobjekts zu ermitteln (zu schätzen) und hiervon einen Abschlag vorzunehmen, um den individuellen subjektiven Grenzpreis zu schätzen. Zur Erläuterung nehmen wir an, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die zukünftigen Überschüsse des Bewertungsobjekts seien gegeben. Der Abschlag vom Marktwert könnte mehr oder weniger pauschal ohne differenzierende Betrachtung einzelner Perioden vorgenommen werden. Da eine derartige pauschale Analyse kaum zielführend ist, wird im Folgenden eine Periodenbetrachtung vorgenommen, indem durch „retrogrades Aufrollen“ des Bewertungsproblems von der letzten bis zur ersten Periode der jeweilige Marktwert nachfolgend möglicher Überschüsse sukzessive im Rahmen einperiodiger Analysen nach den Darstellungen in den Kapiteln VIII bis XII an den (individuellen) sub-
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
625
jektiven Grenzpreis angenähert wird. Wie das Konzept konkretisiert werden kann, hängt von der Nutzenfunktion des (t = 1,2,…,T) Investors, den stochastischen Eigenschaften der Überschüsse Ü t des Bewertungsobjekts sowie den Aktionsmöglichkeiten des Investors außerhalb des Bewertungsobjekts ab. Bei der folgenden Charakteristik des Konzepts retrograder Anpassung des Marktwertes an den subjektiven Grenzpreis wird von folgenden Annahmen ausgegangen: 1. Wenn der Investor das Bewertungsobjekt nicht kauft, hält er in jeder Periode t (t = 1,2,…,T–1) einen Anteil am Marktportefeuille; er führt keine Realinvestitionen durch. 2. Die zustandsabhängigen zukünftigen Überschüsse Üt des Bewertungsobjekts sind dem Investor (hinreichend genau) bekannt; sie müssen nicht erst noch geplant werden. Bei Kauf des Bewertungsobjekts wird er das Risiko durch Portefeuillebildung hedgen. 3. Die Nutzenfunktion über alle Überschüsse ist analog zu (XV.6) bzw. (XV.7) separierbar und die Nutzenfunktion U t ( ) für jeden einzelnen Überschuss exponentiell. Von besonderer Bedeutung ist, dass nun die Nutzenfunktion für einen Zeitpunkt den gesamten stochastischen Überschuss dieses Zeitpunkts erfasst, nicht nur den Überschuss Üt des Bewertungsobjekts; sie bezieht sich auf die Summe aus dem Überschuss des Bewertungsobjekts und des Portefeuilles.
6.2.2
Konkretisierung auf der Basis flexibler Planung
Um zustandsabhängige Anpassungen vornehmen zu können, sind die Erwartungen des Investors bezüglich der Überschüsse des Bewertungsobjekts mehr oder weniger genau durch einen Zustandsbaum darzustellen. Zur Erläuterung betrachten wir den in Abbildung XV.2. Zur retrograden Überführung des Marktwertes des Bewertungsobjekts in einen subjektiven Grenzpreis wird zunächst für jeden Zustand S2,1,S2,2,…,S2,5 der entsprechende er(bedingte) Marktwert M2,1,M2,2,…,M2,5 der jeweils nachfolgenden Überschüsse Ü 3 mittelt. Jeder dieser Marktwerte kann im Prinzip auf der Basis des einperiodigen CAPM oder eventuell als Preis eines Duplikationsportefeuilles ermittelt werden. Der Marktwert M2,1 z.B. ergibt sich auf der Basis der Überschüsse Ü3,1, Ü3,2, Ü3,3 und Ü3,4. Nun wird für jeden Zustand S2,s (s = 1,2,…,5) der Marktwert M2,s in ein Sicherheitsäquivalent SÄ2,s für die Überschüsse in den jeweils möglichen Folgezuständen transformiert. Zum Beispiel bezeichnet SÄ2,1 das Sicherheitsäquivalent der Überschüsse Ü3,1, Ü3,2, Ü3,3 und Ü3,4, wobei davon ausgegangen wird, dass der äquivalente Betrag im Zustand S2,1 zufließt. Die Sicherheitsäquivalente werden nicht isoliert nur unter Berücksichtigung der Überschüsse des Bewertungsobjekts ermittelt, sondern in Verbindung mit „optimaler“ Portefeuillebildung (Portefeuilleanpassung). Wegen der angenommenen Nutzenfunktion stimmt das Sicherheitsäquivalent für den Zustand S2,s
626
Kapitel XV
(s = 1,2,…,5) mit dem subjektiven Grenzpreis der Überschüsse der möglichen Folgezustände überein. Der Grenzpreis für den Zustand S2,1 z.B. ist derjenige Preis, zahlbar in diesem Zustand, für den bei Kauf der Überschüsse Ü3,1, Ü3,2, Ü3,3 und Ü3,4 in Verbindung mit entsprechender Portefeuillebildung derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird wie bei Verzicht auf Kauf und Realisation des optimalen Portefeuilles, das Periode 3 ohne Bewertungsobjekt bei Eintreten des Zustandes S2,1 entspricht. Dieser Grenzpreis sowie die Sicherheitsäquivalente bzw. Grenzpreise für die Zustände S2,2, S2,3, S2,4 und S2,5 können im Rahmen eines Einperioden-Modells ermittelt werden (Kapitel XI). S3,13 Ü 2,5
3/ 5
Ü3,13
S2,5
2/5
Ü3,12
1/ 3
Ü3,11
1/ 3
Ü1,2
1/ 6
S1,2
Ü 2,4 S2,4
1/ 3
Ü3,10
1/ 3
Ü3,9
1/ 3 1/ 2
Ü 2,3
3/8
Ü3,8
S2,3
5/8
Ü3,7
Ü 2,2
1/ 2
Ü3,6
S2,2
1/ 2
Ü3,5
S0
2/3
1/ 4
Ü1,1 Ü3,4
1/ 4
S1,1 3/ 4
Ü 2,1
1/ 4
Ü3,3
S2,1
1/ 8
Ü3,2
3/8
Ü3,1 S3,1
Zeitpunkt 0
Zeitpunkt 1
Zeitpunkt 2
Zeitpunkt 3
Abb. XV.2: Beispiel eines Zustandsbaumes (T = 3)
Im nächsten Schritt werden die „Marktwerte“ M1,1 und M1,2 für die Zustände S1,1 und S1,2 hergeleitet: M1,1 ergibt er sich auf Basis der Endwerte Ü 2,1 SÄ 2,1 und Ü 2,2 SÄ 2,2 und M2,2 auf Basis der Endwerte Ü 2,3 SÄ 2,3 , Ü 2,4 SÄ 2,4 und Ü 2,5 SÄ 2,5 . Die Marktwerte M1,1 und M1,2 werden sodann im Rahmen einperiodiger Analysen in subjektive Sicherheitsäquivalente transformiert und schließlich auf der Basis der Endwerte Ü1,1 SÄ1,1 und Ü1,2 SÄ1,2 der Marktwert M0 und daran angepasst
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
627
das Sicherheitsäquivalent SÄ0 für den Zeitpunkt 0 ermittelt. Dies ist der subjektive Grenzpreis für das Bewertungsobjekt.
6.2.3
Subjektiver Grenzpreis als Marktwert
Ist für jede Periode aufgrund vollständiger Duplikations- und Leerverkaufsmöglichkeiten der Abschlag vom Marktwert (um jeweils auf das Sicherheitsäquivalent zu kommen) gleich null, ergibt sich im Rahmen des rekursiven Bewertungsverfahrens zum Zeitpunkt 0 der individuelle subjektive Grenzpreis als Marktwert aller möglichen Überschüsse des Bewertungsobjekts. Zur Erläuterung betrachten wir wieder den Zustandsbaum im Abbildung XV.2. Zur retrograden Bewertung wird zunächst – wie erläutert – für jeden Zustand S2,1, S2,2,…, S2,5 der entsprechende Marktwert M2,1, M2,2,…,M2,5 ermittelt oder geschätzt. Da nun keiner dieser Marktwerte korrigiert wird, werden im nächsten Schritt M1,1 auf Basis der Endwerte Ü 2,1 M 2,1 und Ü 2,2 M 2,2 und M1,2 auf Basis der Endwerte Ü 2,3 M 2,3 , Ü 2,4 M 2,4 und Ü 2,5 M 2,5 ermittelt. Da die Marktwerte M2,s (s = 1,2,…,5) aus den zugehörigen Überschüssen Ü3,s resultieren, ergibt sich nun M1,1 als Marktwert der Überschüsse Ü2,1, Ü2,2, Ü3,1, Ü3,2,…,Ü3,6 und M1,2 als Marktwert der Überschüsse Ü2,3, Ü2,4, Ü2,5, Ü3,7,…,Ü3,13. Schließlich ergibt sich der subjektive Grenzpreis als Marktwert M0 der Endwerte Ü1,1 M1,1 und Ü1,2 M1,2 , d.h. als Marktwert aller zukünftigen Überschüsse des Bewertungsobjekts. Ist für die erste Periode ein Abschlag vom Marktwert erforderlich, weil nur in den Perioden 2 und 3 der jeweilige Überschuss dupliziert und leerverkauft werden kann, erfolgt die Wertanpassung völlig analog zum Einperioden-Fall. An die Stelle des Über im Einperioden-Fall tritt nun eben der Überschuss Ü zuzüglich des schusses Ü 1 1 Marktwertes der Überschüsse der Zeitpunkte 2 und 3 bezogen auf den Zeitpunkt 1. Je weniger gut für die erste Periode das Risiko durch Portefeuillebildung (einschließlich Leerverkauf von Papieren) gehedgt werden kann, je größer die Risikoaversion und das Bewertungsobjekt, desto mehr liegt tendenziell der auf den Zeitpunkt 0 bezogene individuelle subjektive Grenzpreis unter dem Marktwert des Bewertungsobjekts.
7
Resümee
1. Es wird untersucht, wie für den Mehrperioden-Fall der individuelle subjektive Grenzpreis ermittelt werden kann, wobei (mit Ausnahme von Abschnitt 4) davon ausgegangen wird, dass er nicht mit dem Marktwert übereinstimmt, weil keine vollständige Duplizierbarkeit der Überschüsse des Bewertungsobjekts besteht und/oder Leerverkäufe beschränkt sind. Darauf aufbauend wird untersucht, von welchen Determinanten die Abweichung vom Marktwert abhängt. Der individuelle subjektive Grenzpreis ist nun derjenige Preis, bei dem der Investor mit dem Bewertungsobjekt denselben Nutzenerwartungswert bezüglich des Stroms an Überschüssen bzw. Konsumausgaben erzielt wie ohne Bewertungsobjekt. Die Ermittlung dieses Preises ist grundsätzlich schwieriger als die Ermittlung eines Marktwertes. Während bei Marktbewertung nur einem Restriktions- und/oder Erfolgsverbund Rechnung zu tragen ist, ist bei individueller subjektiver Bewertung grundsätzlich auch Risiko-
628
Kapitel XV
und Bewertungsverbund zwischen den Maßnahmen des Bewertungsobjekts und den anderen Maßnahmen zu erfassen. 2. Die entscheidungstheoretisch „exakte“ Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises verursacht einen prohibitiv hohen Aufwand, so dass sich das Problem der Vereinfachung stellt. In Literatur und Praxis finden hierfür die Sicherheitsäquivalent- und die Risikozuschlags-Methode besondere Beachtung. Bei der Sicherheitsäquivalent-Methode werden die subjektiven Sicherheitsäquivalente der riskanten Überschüsse (bei subjektiver Unternehmensbewertung der Entnahmen aus dem Unternehmen) mit dem risikolosen Zinssatz r diskontiert. Bei der Risikozuschlags-Methode werden die Erwartungswerte der riskanten Überschüsse mit einem risikoangepasstem Zinssatz abgezinst. Weder die Sicherheitsäquivalente noch der risikoangepasste Zinssatz können losgelöst von der Nutzenfunktion des Investors ermittelt (geschätzt) werden. 3. In der traditionellen subjektiven (Unternehmens-)Bewertung auf der Grundlage von Sicher ,Ü heitsäquivalenten für die zukünftigen Überschüsse Ü 1 2 ,..., Ü T werden deren Sicher heitsäquivalente SÄ(Ü t ) mit einer zustandsunabhängigen Nutzenfunktion ermittelt. Dies impliziert, dass es im Umfeld des Bewertungsobjekts keine riskanten (exogenen) Überschüsse gibt, die von denen des Bewertungsobjekts stochastisch abhängig sind, eine Annahme, die als allgemeine Basis der Bewertung kaum sinnvoll ist. Selbst wenn man von exogenen Überschüssen absieht, ist die Nutzenfunktion für einen einzelnen Überschuss Ü t
grundsätzlich nicht zustandsunabhängig; sie hängt derart von den Überschüssen anderer ) nicht unabhängig von diesen ÜberZeitpunkte ab, dass das Sicherheitsäquivalent SÄ(Ü t schüssen sowie der Anschaffungsauszahlung ermittelt werden kann. Schließlich ist zu beachten, dass das Sicherheitsäquivalent eines riskanten Überschusses grundsätzlich von dessen Wert abweicht. Hat der Investor (der potenzielle Käufer des Bewertungsobjekts) Zugang zum Markt riskanter Papiere, ist diesem bei der Bewertung Rechnung zu tragen, wobei sich wegen der besseren Möglichkeit der Risikostreuung grundsätzlich ein höherer Grenzpreis ergibt als für den Fall, dass der Investor Kapital nur zum Zinssatz r anlegen und aufnehmen kann. Art der Bewertung und Höhe des Wertes hängen von den Kapitalmarkteigenschaften ab. 4. Bei der Risikozuschlags-Methode erfolgt die subjektive Bewertung durch Diskontierung der erwarteten Überschüsse des Bewertungsobjekts mit einem subjektiven risikoangepassten Zinssatz. Dabei wird in Literatur und Praxis im Allgemeinen davon ausgegangen, dass der Investor risikoavers ist und ein Risikozuschlag auf den risikolosen Zinssatz (den Basiszinssatz) vorzunehmen sei. Die direkte Ermittlung eines risikoangepassten Zinssatzes stellt grundsätzlich schon dann ein komplexes Problem dar, wenn neben dem Bewertungsobjekt keine weiteren ungewissen Überschüsse existieren. Analog zur SicherheitsäquivalentMethode resultiert dieses Problem daraus, Nutzenabhängigkeiten zwischen den Überschüssen des Bewertungsobjekts für verschiedene Zeitpunkte Rechnung zu tragen. Sind im Umfeld des Bewertungsobjekts weitere riskante Überschüsse gegeben, sind auch Nutzenabhängigkeiten mit ihnen zu erfassen. 5. Selbst wenn man weiß, dass bei Kauf eines Unternehmens (allgemein: eines Bewertungsobjekts) eine bestimmte Vergleichsinvestition der gleichen Risikoklasse mit gegebenem Preis „verdrängt“ wird, kann daraus grundsätzlich nicht der maßgebliche risikoangepasste Zinssatz hergeleitet werden. Zwar ist der interne Zinsfuß dieser Investition für die Ermittlung des Grenzpreises dann geeignet, wenn ihre Überschüsse mit denen des Bewertungsobjekts übereinstimmen und außerdem a priori bekannt ist, dass der Wert der Vergleichsinvestition nicht niedriger ist als ihr Preis. Dann ist aber die Ermittlung eines Kalkulationszinsfußes überflüssig; der Grenzpreis
Individuelle subjektive Bewertung im Mehrperioden-Fall
629
des Bewertungsobjekts ist gleich dem Preis der „identischen“ Vergleichsalternative. Das eigentliche Problem besteht nun aber darin, wie überhaupt festgestellt werden kann, dass der Wert der Vergleichsinvestition nicht niedriger ist als ihr Preis. Bei unterschiedlichem Umfang des Bewertungsobjekts und der Vergleichsalternative wird das Bewertungsproblem komplexer. Die kapitalmarktbezogene Bewertungskonzeption kann in diesem Fall grundsätzlich nur dann auf die Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises gemäß der Ertragswertmethode übertragen werden, wenn der aus der Vergleichsinvestition hergeleitete risikoangepasste Kalkulationszinsfuß zum Ausdruck bringt, wie der Investor tatsächlich die Überschüsse dieser Alternative bewertet und dieser Zinssatz unabhängig von deren Volumen auch für andere Investitionen der gleichen Risikoklasse maßgeblich ist. 6. Diese Unabhängigkeitsbedingung mag zwar aus Sicht vieler beteiligter Anteilseigner mit quasi-konstanten Grenznutzenwerten gegeben sein. Hinsichtlich der Ermittlung eines individuellen subjektiven Grenzpreises ist sie bei Risikoaversion (bei konkaver Nutzenfunktion) jedoch verletzt. Dieser Grenzpreis ist (wie die Sicherheitsäquivalente der Überschüsse) auch bei gegebener Risikoklasse keine linear steigende Funktion der Erwartungswerte der Überschüsse, sondern eine konkave. Entsprechend ist der risikoadäquate Kalkulationszinsfuß für das Bewertungsobjekt höher (niedriger), sofern das Niveau seiner Überschüsse höher (niedriger) ist als das der Vergleichsinvestition; Problem ist, um welchen Betrag sich die Kalkulationszinsfüße unterscheiden. 7. Es wird ein Bewertungsmodell auf der Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung beschrieben, das wieder aus zwei Teilmodellen besteht: Im ersten wird das optimale Programm im Leistungs- und Finanzbereich ohne das Bewertungsobjekt ermittelt; seine Zielfunktion besteht in der Maximierung des Erwartungswertes des Nutzens von Überschüssen für Konsumzwecke. Im zweiten Teilmodell wird als individueller subjektiver Grenzpreis der maximale Preis für das Bewertungsobjekt bestimmt, bei dem mit dessen Kauf in Verbindung mit entsprechenden optimalen Anpassungen im Leistungs- und Finanzbereich derselbe Nutzenerwartungswert erzielt wird wie für das erste Teilmodell. Da die Berücksichtigung einer mehrperiodigen Nutzenfunktion ein (zu) komplexes Problem darstellt, sind Vereinfachungen unumgänglich. Möglichkeiten der vereinfachten Erfassung subjektiver Präferenzen im Bewertungskalkül und deren möglichen Implikationen für den Grenzpreis werden untersucht. 8. Da das Bewertungsmodell für Marktwertmaximierung einfacher ist als für individuelle subjektive Nutzenmaximierung, besteht eine nahe liegende Vereinfachung darin, explizit den (virtuellen) Marktwert des Bewertungsobjekts zu ermitteln (zu schätzen) und hiervon einen subjektiven Abschlag vorzunehmen, um zu einem Schätzwert des individuellen subjektiven Grenzpreises zu kommen. Der Abschlag könnte mehr oder weniger pauschal ohne differenzierende Betrachtung einzelner Perioden geschätzt werden. Da eine derart pauschale Analyse kaum zielführend ist, wird eine Periodenbetrachtung vorgenommen, indem durch „retrogrades Aufrollen“ des Bewertungsproblems von der letzten bis zur ersten Periode der jeweilige Marktwert nachfolgender möglicher Überschüsse sukzessive im Rahmen einperiodiger Analysen dem individuellen subjektiven Grenzpreis angenähert wird.
Anhang 1
1
Die Varianz von Zufallsgrößen
1.1
Die Varianz einer einzigen Zufallsgröße
In vielen ökonomischen Modellen bei Risiko und im Allgemeinen auch in dieser Arbeit wird die Varianz (bzw. deren positive Quadratwurzel, die Standardabweichung) der Zielgröße als Maßstab für das Risiko herangezogen. Die Varianz Var( Z ) einer Zufallsgröße Z ist definiert als der Erwartungswert der quadrierten Abweichung dieser Zufallsgröße von ihrem Erwartungswert: (A1.1)
Var( Z ) = E[( Z E( Z ))2].
Wegen (Z E( Z ))2 t 0 ist die Varianz stets nichtnegativ. Beispiel 1: Für die Varianz Var( Z ) der Augenzahl Z bei einem Wurf mit einem idealen Wür 3,5 : fel gilt wegen E(Z)
Var(Z)
1 1 1 (1 3,5) 2 (2 3,5) 2 (3 3,5)2 6 6 6 1 2 1 2 1 (4 3,5) (5 3,5) (6 3,5)2 6 6 6 2,916
Aus der Definition der Varianz folgen unmittelbar einige Eigenschaften: x Z y (x und y sind deterministische Größen) Für die Varianz einer Zufallsvariablen Y gilt: (A1.2)
Var(Y)
Var(x Z y)
x 2 Var(Z).
Beweis: Gemäß (A1.1) gilt:
(A1.1a)
^ ^
Var(x Z y) E ª¬(x Z y) E(x Z y) º¼ E(x Z) º E ª¬(x Z) ¼
^
º x 2 E ª¬ Z E(Z) ¼ Insbesondere gilt: (A1.3)
Var(y) 0; Var(Z y) Var(Z).
2
`
2
2
`
` . x 2 Var(Z)
Ŷ
632
Anhang
1.2
Die Varianz einer gewichteten Summe von Zufallsgrößen
1.2.1
Stochastisch unabhängige Zufallsgrößen
Zufallsgrößen werden als (stochastisch) unabhängig bezeichnet, wenn für jede dieser Größen die Eintrittswahrscheinlichkeiten der einzelnen Ausprägungen davon unabhängig sind, welche Ausprägungen die anderen Zufallsgrößen annehmen. Für die Varianz einer gewichteten Summe stochastisch unabhängiger Zufallsgrößen Z 1, Z 2,..., Z N gilt: (A1.4)
Var(x1 Z 1 x 2 Z 2 ... x N Z N ) x12 Var(Z 1 ) x 22 Var(Z 2 ) ... x 2N Var(Z N )
N
¦ x n2 Var(Z n ). n 1
1.2.2
Stochastisch abhängige Zufallsgrößen
Zwei Zufallsgrößen werden als voneinander stochastisch abhängig bezeichnet, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeiten der möglichen Ausprägungen der einen Zufallsgröße davon abhängen, welchen Wert die andere annimmt (und umgekehrt). Vor allem bei ökonomischen Entscheidungsproblemen sind häufig Zufallsgrößen maßgeblich, zwischen denen stochastische Abhängigkeiten bestehen. Bei der Bestimmung der Varianz einer (gewichteten) Summe stochastisch abhängiger Zufallsvariablen gilt es, den betreffenden Abhängigkeiten Rechnung zu tragen. Dies geschieht mit Hilfe der Kovarianzen. Die Kovarianz Kov(Z n ; Z m ) der Zufallsvariablen Z n und Z m ist wie folgt definiert: (A1.5)
Kov(Z n ; Z m ) E{[Z n E(Z n )] [Z m E(Z m )]}.
Zur Ermittlung von Kov(Z n ; Z m ) muss gemäß (A1.5) für jede mögliche Wertekombination (Zn; Zm) der beiden Zufallsvariablen das jeweilige Produkt [Zn E(Z n )] [Zm E(Z m )] mit der Eintrittswahrscheinlichkeit für die betreffende Wertekombination gewichtet werden; die gewichteten Produkte werden addiert. Beispiel 2: Gegeben seien die in Tabelle A1.1 dargestellten möglichen Wertekonstellationen und die betreffenden Wahrscheinlichkeiten: Wahrscheinlichkeit
0,25
0,25
0,5
Wertekonstellation
Zn = 80;
Zn = 100;
Zn = 60;
Zm = 40
Zm = 200
Zm = 40
Tabelle A1.1: Mögliche Wertekonstellationen und ihre Wahrscheinlichkeiten
Es gilt hier: E( Z n) = 75; E( Z m) = 80 und mithin:
Kov(Z n ; Z m )
0, 25 (80 75) (40 80) 0, 25 (100 75) (200 80) 0,5 (60 75) (40 80) 0, 25 (200) 0, 25 3000 0,5 600 1000.
633
Anhang
Es ist unmittelbar einleuchtend, dass (A1.6)
Kov(Z n ; Z m ) = Kov(Z m ; Z n ) , Kov(Z n ; Z n ) = Var( Z n),
Kov(Z m ; Z m ) = Var( Z m).
Die Kovarianz Kov(Z n ; Z m ) liegt bei gegebenen Erwartungswerten für Z n und Z m umso mehr über null, je stärker die Zufallsgröße Z n in die „gleiche Richtung tendiert“ wie die Zufallsgröße Z m. Analog liegt Kov(Z n ; Z m ) umso mehr unter null, je stärker Z n in „gegenläufiger Richtung tendiert“ wie Z m. Sind die Zufallsgrößen Z n und Z m voneinander stochastisch unabhängig, so ist ihre Kovarianz gleich null (Abschnitt 3). Für die Varianz der Summe der Zufallsvariablen Z 1 und Z 2 gilt: (A1.7)
Var(Z 1 Z 2 ) Var(Z 1 ) Kov(Z 1;Z 2 ) Kov(Z 2 ;Z 1 ) Var(Z 2 ) 2
¦ Var(Z n ) 2 Kov(Z 1;Z 2 ). n 1
Die Varianz der Summe der beiden Zufallsvariablen ist bei stochastischer Abhängigkeit nicht gleich der Summe der beiden Varianzen. Von Bedeutung ist auch die (mit zwei gewichtete) Kovarianz Kov(Z 1; Z 2 ) . Für die Varianz der Summe Z 1 Z 2 ... Z N gilt, wenn abkürzend die Varianz Var( Z n) mit Knn und die Kovarianz Kov(Z n ; Z m ) mit Knm dargestellt werden: N
(A1.8)
Var( ¦ Z n ) n 1
K11 K 21 K 31 K N1
N
K12 K 22 K 32 K N2 N
¦ K nn ¦ n 1 N
K13 K 23 K 33 K N3
K14 K 24 K 34 K N4
N
¦ K nm
n 1 m 1 mzn N
N
¦ Var(Z n ) ¦ ¦ n 1
n 1m 1 mzn
Wegen Knm = Kmn kann man hierfür auch schreiben:
Kov(Z n ; Z m ).
K1N K 2N K 3N K NN
634
Anhang
N
(A1.9)
Var( ¦ Z n )
K11 2 K12 2 K13 2 K14 2 K1N
n 1
K 22 2 K 23 2 K 24 2 K 2N K 33 2 K 34 2 K 3N K 44 2 K 4N K NN N
N
N
¦ K nn ¦
¦ 2 K nm
n 1 m n 1 N N ¦ Var(Z n ) 2 ¦ ¦ n 1 n 1 m n 1 n 1 N
{
Kov(Z n ; Z m ).
Sind die einzelnen Summanden mit den (sicheren) Faktoren x1,x2,...,xN gewichtet, so gilt für N = 2: (A1.10)
Var(x1 Z 1 x 2 Z 2 ) Var(x1 Z 1 ) Var(x 2 Z 2 ) Kov(x1 Z 1; x 2 Z 2 ) Kov(x 2 Z 2 ; x1 Z 1 ) x 2 Var(Z ) x 2 Var(Z ) 2 Kov(x Z ; x Z ). 1
1
2
2
1
1
2
2
Wie im nächsten Abschnitt gezeigt wird, gilt: Kov(x1 Z 1; x 2 Z 2 )
x1 x 2 Kov(Z 1; Z 2 ).
Somit folgt aus (A1.10): (A1.11)
Var(x1 Z 1 x 2 Z 2 )
x12 Var(Z 1 ) 2 x1 x 2 Kov(Z 1; Z 2 ) x 22 Var(Z 2 ).
Allgemein gilt für die Varianz der gewichteten Summe von Zufallsvariablen: (A1.12)
Var(x1 Z 1 x 2 Z 2 ... x N Z N ) N
N
N
¦ x 2n Var(Z n ) ¦ ¦ Kov(x n Z n ; x m Z m ) n 1 N
n 1m 1 mzn N N
¦ x 2n Var(Z n ) 2 ¦ n 1
¦ x n x m Kov(Z n ; Z m ).
n 1 m n 1
Für den Anstieg der Varianz Var(...), die die Zufallsgröße Z n bewirkt, können die 2 (N 1) eine erheblich größere Bedeutung haben als Kovarianzen mit den N – 1 Zufallsvariablen Z m die Varianz Var( Z n) als einzelne Größe.
1.2.3
Sätze über Kovarianzen
Für die Kovarianz der Zufallsgrößen xn Z n + yn und xm Z m + ym gilt:
635
Anhang
Kov(x n Z n y n ; x m Z m y m ) E ª¬ x n Z n y n E(x n Z n y n ) º¼ ª¬ x m Z m y m E(x m Z m y m ) º¼
(A1.13)
^ E ^ª¬ x n Z n E(x n Z n ) º¼ ª¬ x m Z m E(x m Z m ) º¼` E ^x n ª¬ Z n E(Z n ) º¼ x m ª¬ Z m E(Z m ) º¼` x n x m E ^ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z m E(Z m ) º¼` .
`
Hieraus folgt in Verbindung mit (A1.5): Kov(x n Z n y n ; x m Z m y m )
(A1.14)
x n x m Kov(Z n ; Z m ).
Für die Kovarianz der Zufallsgrößen x Z y und Z gilt:
^ ^ ` º ª Z E(Z) º` E ^x ª¬ Z E(Z) ¼ ¬ ¼
`
E ª x Z y E(x Z y) º ª Z E(Z) º Kov(x Z y; Z) ¬ ¼ ¬ ¼ ª º ª º E ¬ x Z E(x Z) ¼ ¬ Z E(Z) ¼
(A1.15)
^
º2 x E ª¬ Z E(Z) ¼
`
. x Var(Z)
Im Fall x > 0 (x < 0) ist die Kovarianz positiv (negativ). Für die Kovarianz zwischen der Zufallsgröße Z n und der Summe Z 1 + Z 2 + ... + Z n + ... + Z gilt: N
N
(A1.16)
Z ... Z ) = Kov(Z ; ¦ Z ) Kov(Z n ; Z 1 2 N n m m 1
`
^ ^ ^
E ¬ª Z n E(Z n ) ¼º ¬ª Z 1 Z 2 ... Z N E(Z 1 Z 2 ... Z N ) ¼º E ¬ª Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z 1 E(Z 1 ) Z 2 E(Z 2 ) ... Z N E(Z N ) º¼ E ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z 1 E(Z 1 ) º¼ ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z 2 E(Z 2 ) º¼ ... ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z N E(Z N ) º¼ E ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z 1 E(Z 1 ) º¼ E ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z 2 E(Z 2 ) º¼ ... E ª¬ Z n E(Z n ) º¼ ª¬ Z N E(Z N ) º¼ .
`
`
^
` ^ ^
In Verbindung mit (A1.5) folgt hieraus wegen Kov(Z n ; Z n ) Var(Z n ) :
` `
636
Anhang
N
(A1.17)
Kov(Z n ; ¦ Z m ) m 1 n 1
N
¦ Kov(Z n ; Z m ) Kov(Z n ; Z n ) ¦ Kov(Z n ; Z m ) m n 1
m 1 N
Var(Z n ) ¦ Kov(Z n ; Z m ) . m 1 mzn
Für die Kovarianz zwischen der Zufallsgröße xn Z n und der Summe x1 Z 1 x 2 Z 2 ... x n Z n ... x N Z N gilt: N
(A1.18)
Kov(x n Z n ; ¦ x m Z m ) m 1 N
¦ x n x m Kov(Z n ; Z m ) m 1 N
x n ¦ x m Kov(Z n ; Z m ) m 1
x 2n
N
Var(Z n ) x n ¦ x m Kov(Z n ; Z m ) . m 1 mzn
Im Rahmen der Darstellungen in dieser Arbeit sind folgende Zusammenhänge von besonderer Bedeutung: Kov(x n Z n ; Z m ) x n Kov(Z n ; Z m ), Kov(Z n ; x m Z m ) x m Kov(Z n ; Z m ), Kov(x n Z n ; x m Z m ) x n x m Kov(Z n ; Z m ), N
Kov(Z n ; ¦ x m Z m ) m 1
N
¦ x m Kov(Z n ; Z m ), m 1
Kov(Z n Z m ; Z o ) Kov(Z n ; Z o ) Kov(Z m ; Z o ) .
2
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße
Der Erwartungswert E( Z ) einer Zufallsvariable Z hat dieselbe Dimension wie die Zufallsgröße selbst (z.B. €, GE, ME). Die Varianz Var( Z ) hat dagegen als Dimension das Quadrat der Dimension der Zufallsgröße Z (z.B. €2, GE2, ME2). Um auch für die Messung der Streuung einer Zufallsgröße einen Parameter verfügbar zu haben, der die gleiche Dimension besitzt wie die Zufallsgröße, wurde in der Statistik die Standardabweichung eingeführt. Die Standardabweichung Sta( Z ) einer Zufallsgröße Z ist definiert als die positive Quadratwurzel aus der Varianz Var( Z ) der Zufallsgröße: (A1.19)
Sta(Z)
|
|. Var(Z)
Für die Standardabweichung einer Zufallsvariablen Y (A1.2):
x Z y gilt gemäß (A1.19) und
Anhang
(A1.20)
637
Sta(Y) Sta(x Z y) Var(x Z y) | x 2 Var(Z) . x Sta(Z)
|
Die Standardabweichung von x Z y ist somit gleich der mit dem Betrag von x gewichteten Standardabweichung von Z . Im Fall x z 0 gilt | x | ! 0 unabhängig davon, ob x > 0 oder x < 0 gilt; die Standardabweichung ist in beiden Fällen positiv. Die Standardabweichung einer gewichteten Summe von Zufallsvariablen kann bestimmt werden, indem die Varianz dieser Summe berechnet und dann die positive Wurzel aus der Varianz gezogen wird.
3
Korrelationskoeffizient und Kovarianz
Zwischen der Kovarianz und dem Korrelationskoeffizienten U( Z n; Z m) der Zufallsgrößen Z n und Z m gilt die folgende Beziehung: (A1.21)
U(Z n ; Z m )
Kov(Z n ; Z m ) Sta(Z n ) Sta(Z m )
bzw. (A1.22)
Kov(Z n ; Z m ) U(Z n ; Z m ) Sta(Z n ) Sta(Z m ) .
Wegen Kov(Z n ; Z m )
Kov(Z m ; Z n ) folgt unmittelbar aus (A1.21):
U(Z n ; Z m ) U(Z m ; Z n ) . Für die Zufallsgrößen x Z y und Z gilt gemäß (A1.21): (A1.23)
U(x Z y; Z)
Kov(x Z y; Z) . Sta(x Z y) Sta(Z)
In Verbindung mit (A1.15) und (A1.20) folgt hieraus: (A1.24)
U(x Z y; Z)
x Var(Z) | x | Sta(Z) Sta(Z)
x . |x|
Hieraus folgt: (A1.25)
®1 für x ! 0 U(x Z y; Z) ¯1 für x 0 .
Aus (A1.21) folgt in Verbindung mit (A1.7) für die Varianz der Summe zweier Zufallsgrößen Z 1 und Z 2:
638
(A1.26)
Anhang
Var(Z 1 Z 2 ) Var(Z 1) Var(Z 2 ) 2 U(Z 1; Z 2 ) Sta(Z 1) Sta(Z 2) .
Bei gegebenen Werten für Sta( Z 1) und Sta( Z 2) ist Var( Z 1+ Z 2) eine linear steigende Funktion des Korrelationskoeffizienten U( Z 1; Z 2).
Anhang 2
Beweis der Identität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung bei Spanning und unveränderlichen Grenznutzenwerten Ausgehend von einem Marktgleichgewicht könne im Unternehmen ein Investitionsprojekt P durchgeführt werden, das zum Zeitpunkt 0 die Anschaffungsauszahlung A0p verursacht und im Zustand Ss (s=1,2,...,S) den Einzahlungsüberschuss e1p,s bietet. Wenn bei Durchführung für jeden Zustand Ss der Grenznutzenwert unverändert bleibt, ist das Projekt für den Anteilseigner i (i=1,2,...,I) unter der folgenden Bedingung vorteilhaft: S
(A2.1)
¦ w i (Ss ) zi [e1p,s (1 r) A 0p ] Uis' !0 .
s 1
{G ps
Hierin bezeichnet zi (zi > 0) den Anteil des Anteilseigners i an den Aktien des Unternehmens. Entsprechend wird der Anteilseigner proportional am Erfolg beteiligt. Gemäß (A2.1) ist das Projekt für ihn vorteilhaft, wenn der Erwartungsnutzen seines Anteils am Residualgewinn positiv ist. (Aufgrund der Konstanz der Grenznutzenwerte kann die Änderung des Erwartungsnut' zens mit Hilfe der Grenznutzenwerte Uis in der Ausgangssituation ermittelt werden.) Wegen zi > 0 folgt aus (A2.1) die Vorteilhaftigkeitsbedingung: S
(A2.2)
¦ w i (Ss ) [e1p,s (1 r) A 0p ] Uis' ! 0. s 1
Die Bedingung der Duplizierbarkeit ist für das Projekt P erfüllt, wenn ein Wertpapierportefeuille mit ym (m=1,2,...,N) Einheiten des Wertpapiers m konstruiert werden kann, für das gilt:1 (A2.3)
e1p,s
! N
¦ y m P1m,s
(s = 1,2,...,S).
m 1
Hierin kann ein Teil der ym-Werte gleich null oder negativ sein. Unter Berücksichtigung von (A2.3) kann die Bedingung (A2.2) dafür, dass das Projekt für den Anteilseigner i vorteilhaft ist, wie folgt dargestellt werden: (A2.4)
S
N
s 1
m 1
¦ w i (Ss ) [ ¦ y m P1m,s (1 r) A0p ] Uis' ! 0 .
Das Portefeuille des Anteilseigners i muss in der Ausgangssituation (vor dem Projekt) folgende Optimalitätsbedingungen erfüllen:
1
Ohne Einschränkung der Allgemeinheit wird nicht berücksichtigt, dass auch die Anlage bzw. Aufnahme von Kapital zum risikolosen Zinssatz r zur Duplikation herangezogen werden kann.
640
Anhang
S
(A2.5.m)
¦ w i (Ss ) [P1m,s (1 r) P0m ] Uis' 0
(m=1,2,...,N).
s 1
Interpretation: Wird ausgehend vom optimalen Portefeuille eine weitere (marginale) Einheit des Papiers m erworben, so ändert sich das Endvermögen im Zustand Ss um den Residualgewinn P1m,s – (1 + r)· P0m und entsprechend der Nutzenwert dieses Endvermögens um den folgenden ' . Gemäß (A2.5.m) muss im Optimum der Erwartungswert der Term: [P1m,s (1 r) P0m ] Uis Nutzenänderung unter Berücksichtigung aller Zustände Ss (s = 1,2,...,S) für jedes Papier m gleich null sein. Werden beide Seiten jeder Gleichung des Gleichungssystems (A2.5.m) mit dem jeweiligen Faktor ym in (A2.3) multipliziert, so ergibt sich das folgende Gleichungssystem: S
(A2.6.m)
¦ w i (Ss ) [ym P1m,s (1 r) ym P0m ] Uis' 0
(m=1,2,...,N).
s 1
Die Addition dieser N Gleichungen führt zu: N S
(A2.7)
¦ ¦ w i (Ss ) [ym P1m,s (1 r) ym P0m ] Uis' 0 . m 1s 1
Hierfür kann man schreiben: S
(A2.8)
N
N
¦ w i (Ss ) [ ¦ y m P1m,s (1 r) ¦ ym P0m ] Uis' 0 . s 1
m 1 e1p,s
m 1
N Hierin bezeichnet ¦ m 1 y m P0m den Marktwert jener Papiere zum Zeitpunkt 0, mit denen gemäß (A2.3) der Projektüberschuss e1p dupliziert werden kann (Marktwert des Duplikationsportefeuilles). Bei quasi-konstanten Grenznutzenwerten bzw. Preisen Ss stimmt dieser Marktwert mit dem Marktwert des Projektüberschusses überein:
(A2.9)
M 0 (e1p )
N
¦ ym P0m . m 1
Somit kann (A2.8) wie folgt dargestellt werden: (A2.10)
S
N
s 1
m 1
¦ w i (Ss ) [ ¦ y m P1m,s (1 r) M 0 (e1p )] Uis' 0 .
Diese Gleichung (die im Marktgleichgewicht zwingend erfüllt sein muss) impliziert, dass die Vorteilhaftigkeitsbedingung (A2.4) für das Projekt genau dann erfüllt ist, wenn gilt: (A2.11)
(1 r) A 0p (1 r) M 0 (e1p ) oder A0p < M 0 (e1p ) .
Wenn also die Anschaffungsauszahlung des Projekts kleiner ist als der Marktwert des Duplikationsportefeuilles für e1p , steigt mit dem Projekt der Erwartungsnutzen des Anteilseigners i. Die Vorteilhaftigkeitsbedingung kann auch wie folgt formuliert werden: Der Marktwert des Projekts unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung, M 0 (e1p ) A 0p , ist positiv.
Anhang
641
Die Vorteilhaftigkeitsbedingung (A2.11) gilt nicht nur für den Anteilseigner i, sondern auch für jeden anderen Investor mit einem positiven Bestand an Aktien des Unternehmens. Einmütigkeit bezüglich der betreffenden Anteilseigner besteht unabhängig davon, welche konkrete Gestalt ihre Portefeuilles aufweisen. Deren Strukturen können aufgrund heterogener Wahrscheinlichkeitsvorstellungen bezüglich der Zustände und/oder verschiedener Nutzenfunktionen sehr unterschiedlich sein. Ein Spezialfall der Bedingung (A2.3) der Duplizierbarkeit liegt vor, wenn der Projektüberschuss ausschließlich mit Aktien des Unternehmens n, in dem das Projekt erwogen wird, rekonstruiert werden kann. Es existiert dann ein yn-Wert, für den gilt: e1p,s y n P1n,s . Das Projekt ist in diesem Fall vorteilhaft, wenn A0p y n P0n gilt. Der Beweis der Identität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung unter der Spanning-Bedingung beruht wiederum auf der Annahme unbeschränkter Leerverkaufsmöglichkeiten. Zwar wurde diese Annahme nicht explizit getroffen, jedoch beruhen die Optimumbedingungen (A2.5.m) für ein Portefeuille, die für den Beweis zentrale Bedeutung haben, auf dieser Annahme. Die Bedingungen (A2.5.m) für das (optimale) Portefeuille des Anteilseigners i lässt offen, ob in diesem Portefeuille der Bestand an Wertpapieren m (m z n) positiv, negativ oder gleich null ist. Die Vorteilhaftigkeitsbedingung (A2.11) für das Projekt gilt somit auch dann, wenn beim Wertpapier m z n ein Leerverkauf vorgenommen wurde oder keine Wertpapiere dieses Typs im Portefeuille gehalten werden. Jedoch muss im Portefeuille des Anteilseigners i ein positiver Bestand an Aktien des Unternehmens n enthalten sein (zi > 0), damit das Projekt bei positivem Kapitalwert seinen Erwartungsnutzen erhöht.
Verzeichnis häufig verwendeter Symbole
a
Risikoaversionskoeffizient
1/a
Risikotoleranz
A0
Anschaffungsauszahlung zum Zeitpunkt 0
A0p
Anschaffungsauszahlung des Projekts P zum Zeitpunkt 0
b,c
Parameter der quadratischen Nutzenfunktion U(Z) b Z c Z2 für eine Zielgröße Z
Kov( ~rn ; ~rG ) Beta-Faktor für das Wertpapier n (auf Renditen bezogen) Var ( ~rG ) ~ ~ Kov( M1n ; M1G ) En { Beta-Faktor für das Wertpapier n (auf die Endwerte bezogen) ~ Var ( M1G ) En {
B(G)
(absoluter) Anteil des betrachteten Individuums am Erfolg G
CAPM
Capital Asset Pricing Model
Dt
Ausschüttung (Dividende) des Unternehmens zum Zeitpunkt t an die Anteilseigner oder Entnahme des Alleineigentümers (ist Dt negativ, erfolgt eine Eigenkapitaleinlage)
e tp
Einzahlungsüberschuss eines Projekts (bzw. Programms) P zum Zeitpunkt t
E( )
Erwartungswert des in Klammer aufgeführten Terms des Bewertungsobstochastischer Störterm für den Überschuss Ü
H
1
jekts
H n
stochastischer Störterm für den Endwert P1n einer Einheit des Wertpapiers n
G0
Geldvermögen nach realem oder fiktivem Verkauf des Überschus St bzw. Verkauf des Bewertungsobjekts oder Ü ses Ü 1 1 ) M (Ü ) Grenzpreis als Marktwert des Überschusses: GP (Ü
) GPM (Ü 1 GPS (Ü1 )
M
1
(individueller) subjektiver Grenzpreis des Überschusses Ü 1
0
i,j
Index für Anteilseigner
kn
risikoangepasster Kalkulationszinsfuß für das Unternehmen n
Kov( ; )
Kovarianz zwischen den in der Klammer aufgeführten Termen
1
Verzeichnis häufig verwendeter Symbole
644
Kt
Konsumausgabe zum Zeitpunkt t
O
LAGRANGE-Faktor (auf ein individuelles Portefeuille bezogen)
m
Index für einen Wertpapiertyp oder ein Unternehmen
MR
Marktpreis des Risikos (auch Risikoprämie pro Risikoeinheit ge ) nannt): MR { RPG / Var(M 1G
M0 ( )
Marktwert des in der Klammer aufgeführten Terms oder der Terme zum Zeitpunkt 0
M 0n
Marktwert aller Wertpapiere n zum Zeitpunkt 0 (häufig als Marktwert der Aktien des Unternehmens n ex Dividende interpretiert): M 0n { X n P0n
M 0G
Marktwert des Marktportefeuilles zum Zeitpunkt 0: N
M 0G { ¦ M 0n n 1
M 1n
Marktwert aller Wertpapiere n zum Zeitpunkt 1 (häufig als Endwert der Aktien des Unternehmens n cum Dividende interpretiert): M 1n X n P1n
M 1G
Marktwert des Marktportefeuilles zum Zeitpunkt 1: M 1G
N
¦M 1n n 1
Mt,s
Marktwert der Aktien des betrachteten Unternehmens zum Zeitpunkt t bei Eintreten des Zustandes St,s
MP0
Marktwert des Realinvestitionsprojekts bzw. -programms zum Zeitpunkt 0 unter Berücksichtigung der Anschaffungsauszahlung A0p Marktwert des Duplikationsportefeuilles für den Überschuss Ü
MWDP
1
des Bewertungsobjekts MWADP
Marktwert des approximativen Duplikationsportefeuilles für den bzw. Ü St des Bewertungsobjekts Überschuss Ü 1 1
MZÜLt
Marktwert der zukünftigen Überschüsse des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt t
n
Index für einen Wertpapiertyp oder ein Unternehmen
N
Zahl der Wertpapiertypen
P0n
Preis einer Einheit des Wertpapiers n zum Zeitpunkt 0 nach Dividenden bzw. Zinsen
P1n
Preis einer Einheit des Wertpapiers n zum Zeitpunkt 1 vor Dividenden bzw. Zinsen
Verzeichnis häufig verwendeter Symbole
645
Ss
Preis im eines (bedingten) Zahlungsanspruches auf 1 GE zum Zeitpunkt 1 bei Eintreten des Zustandes Ss
S(St,s )
Preis eines (bedingten) Zahlungsanspruches auf 1 GE zum Zeitpunkt t bei Eintreten des Zustandes St,s
RA r
Risikoabschlag risikoloser Zinssatz
rG
Rendite des Marktportefeuilles im Einperioden-Fall
rn
Rendite der Wertpapiere n
RPG
Risikoprämie des Marktportefeuilles: ) (1 r) M RPG { E(M 1G 0G
RPADP
(Markt-)Risikoprämie des approximativen Duplikationsportefeuil bzw. Ü St les für den Überschuss Ü 1 1
RPDP
(Markt-)Risikoprämie des Duplikationsportefeuilles für den Über . Es gilt: RP schuss Ü 1 DP RPM (Ü1 )
RPp
Risikoprämie des Projekts p
) RPM (Ü 1 ) RP (Ü
Marktrisikoprämie des Überschusses Ü 1 individuelle subjektive Risikoprämie des Überschusses Ü 1
RPn
Risikoprämie aller Wertpapiere des Typs n: RPn E(P1n ) (1 r) P0n
) RPG / Var(M 1G
Marktpreis des Risikos (auch Risikoprämie pro Risikoeinheit genannt)
S
1
s
V
Zustandsindex 2
Varianz des Störterms H
V2n S1 , S2 , ..., SS
Varianz des Störterms H n mögliche Zustände zum Zeitpunkt 1
St,s
möglicher Zustand zum Zeitpunkt t
S(t)
Zahl der möglichen Zustände zum Zeitpunkt t (aus Sicht des Zeitpunkts 0)
SÄ( )
Sicherheitsäquivalent (oder Markt-Sicherheitsäquivalent) des in der Klammer aufgeführten Terms
SPA
State Preference-Ansatz
Sta( )
Standardabweichung (Synonym: Volatilität) des in der Klammer aufgeführten Terms
t
Zeitindex
T
Zeitpunkt der Liquidation bzw. Ende des betrachteten Planungszeitraums
646
Verzeichnis häufig verwendeter Symbole
U( )
Nutzenfunktion für die in der Klammer aufgeführten Zielgröße(n)
Us
Nutzenfunktion für den Zustand Ss (zustandsabhängige Nutzenfunktion)
Ü 1 Ü
Überschuss des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt 1
t
Überschuss des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt t
St Ü 1
Überschuss des Bewertungsobjekts zum Zeitpunkt 1 unter Berück St Ü H sichtigung eines Störterms H : Ü 1 1
ÜL0
Überschuss des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt 0 vor Durchführung erwogener neuer Investitionen
~
ÜL t
riskanter Überschuss des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt t vor Durchführung erwogener neuer Investitionen
ÜL t,s
Überschuss des Leistungsbereichs zum Zeitpunkt t unter der Bedingung, dass in diesem Zeitpunkt der Zustand St,s eintritt
Var( )
Varianz des in der Klammer aufgeführten Terms
V0
Geldvermögen eines Anteilseigners oder Investors zum Zeitpunkt 0 (Ausgangsvermögen)
V 1
Vermögen eines Anteilseigners oder Investors zum Zeitpunkt 1 (Endvermögen)
V1i,s
Endvermögen des Anteilseigners oder Investors i bei Eintreten des Zustandes Ss
wi(Ss) bzw. wj(Ss) (Eintritts-)Wahrscheinlichkeit des Zustandes Ss aus Sicht des Individuums i bzw. j ~
WP1
(End-)Wert eines Wertpapierportefeuilles zum Zeitpunkt 1
Xn
Zahl aller Wertpapiere des Typs n
xn
Zahl der Wertpapiere n in einem individuellen Portefeuille
xn
Zahl der Wertpapiere n im (approximativen) Duplikationsportefeu (bzw. Ü St ) des Bewertungsobjekts ille für den Überschuss Ü 1 1
x n
Zahl der Wertpapiere n in einem effizienten Portefeuille
y
Zahl der von einem gegebenen Hedgeportefeuille realisierten Einheiten
Z
Zielgröße
zi bzw. zj
Anteil des Anteilseigners i bzw. j am Marktportefeuille
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Sachverzeichnis
Alleineigentum an einem Unternehmen -, Gründe für 43ff. Anreizkompatibilität (Einmütigkeit) 108ff. -, Bedingung der - im strengen Sinne 110ff. -, partielle 116ff. -, Vergleich von Begründungen der 225f. anreizkompatible Risiko- bzw. Erfolgsteilung 108ff. - im Vergleich mit paretoeffizienter 115f. Anteil eines Investors am Marktportefeuille im CAPM 176ff. approximatives Duplikationsportefeuille 374f. Arbitrage 159ff. Arbitragefreiheit -, Bedingungen der 162 - und Bewertung von Wertpapieren 163ff. ARROW-PRATT-Risikoaversionskoeffizient 78ff., 89ff. - und Anteil am Marktportefeuille 176ff. Basiseffizienzkurve: siehe auch Referenzlinie oder Referenzkurve 130ff., 320, 332, 367ff. Basisindifferenzkurve 320 Basiszins 31 Bedingung der Periodeneinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes 544ff. Bedingung der Projekteinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes 547ff. 68ff. BERNOULLI-Prinzip -, Ermitttlung und Eigenschaften der Nurzenfunktion 69ff. -, Konzept 69 Beschränkte Rationalität als Ursache für Störterme (Noise) 179f. Beta-Faktor 190 -, praktische Ermittlung 278ff. Bewertung: siehe auch unter Grenzpreis -, Anlässe der 7 - auf Basis des Entscheidungsbaumverfahrens der flexiblen Planung 508, 558ff. - auf Basis der flexiblen Planung
-, Konzept der 503ff. - auf Basis des Zustandsbaumverfahrens der flexiblen Planung 566ff., 615ff. - auf Basis einer Vergleichsinvestition 30f., 555ff., 610ff. - auf Basis von Dualvariablen 573f. -, auf Basis eines oder mehrerer risikoangepasster Kalkulationszinsfüße - im Einperioden-Fall 249ff. - im Mehrperioden-Fall 278ff., 541ff., 544ff., 564ff., 610ff. - auf Basis von Preisen für zustandsbedingte Zahlungsansprüche 167ff., 210ff., 566ff. - und Kapitalrationierung 586f. - und Optionspreistheorie 578ff. - von Wertpapieren aufgrund der CAPM-Preisgleichung 179ff. Bewertungsfunktionen - im CAPM 179ff., 537ff., 575ff. - im State Preference Ansatz 167ff., 210ff., 527ff. Bewertungsmodell als Entscheidungsmodell 20ff. Bewertungsverbund 103f. BQ-Variante des CAPM 199 Brutto-Ansatz 28 Capital Asset Pricing Model (CAPM) -, BQ-Variante -, NB-Variante -, NE-Variante - im Mehrperioden-Fall CAPM-Preisgleichung (Marktwertgleichung) CAPM-Renditegleichung Competitivity-Bedingung
174ff. 199 199 199 537ff. 179ff. 190 217ff.
55ff. DEAN-Modell Discounted Cashflow- (DCF-)Verfahren 31ff., 189ff., 249ff., 537ff. Dominanzprinzip 68 Dualvariablen als Basis der Bewertung 573ff. Duplikation -, Grenzen der 362ff., 413f.
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-, dynamische im Mehrperioden-Fall 524ff. -, statische im Einperioden-Fall 164ff. - und Bewertung 163ff., 414ff., 524ff., 569ff. Duplikationsgrad 364 Duplikationsportefeuille -, approximatives 374 -, allgemeine Ermittlung 164ff. Effizienz eines Portefeuilles -, Definition 130 - mit exogenem Überschuss 380ff. - ohne exogenem Überschuss 135ff. Effizienzkurve - im (P,V)-Diagramm 133ff. - im (P,V)-Diagramm 134f. Eigenkapitalkostensatz 191 Einmütigkeit (Anreizkompatibilität) 205, 260 Elastizität 502f. Entity-Ansatz 28f. Entscheidungsbaum 492ff. Entscheidungsbaumverfahren: siehe unter flexible Planung Equity-Ansatz 28f. Erfolgsverbund 102 Fall A 9, 47f. Fall B 9f., 47f. Finanzbereich 27 Finanzierung(sformen) 18f., 232f. -, Relevanz für die Bewertung 232f. Finanzoption 578f. Flexibilität und Elastizität 502f. flexible Planung 483ff. -, Konzept der 484ff. -, Entscheidungsbaumverfahren der 489f., 558ff. -, Komplexitätsreduktion bei 510ff., 576ff., 621ff. - und Bewertung 484ff., 503ff., 566ff. - und CAPM 564ff., 575f. - und Ergebnismatrix 494ff. - und State Preference Ansatz 566ff. - und subjektive Nutzenmaximierung 491ff., 615ff. -, Zustandsbaumverfahren der 490, 479ff., 566ff. Fokuseffizienzkurve 465 Fokusindifferenzkurve 465 Grenzpreis eines Bewertungsobjekts siehe unter - individueller subjektiver Grenzpreis
- kollektiver subjektiver Grenzpreis - Marktwert Grenznutzenwerte -, Einfluss auf Marktwerte von Wertpapieren im Marktgleichgewicht 171ff. -, Problematik der Marktwertmaximierung bei veränderlichen 218ff. -, unveränderliche Grenznutzenwerte als Bedingung für die Kompatibilität von Marktwert- und subjektiver Nutzenmaximierung 222ff. Grundmodell der Portefeuilleplanung (ohne exogenem Überschuss) 125ff. Handel mit zustandsbedingten Zahlungsansprüchen 169 - als Basis für einen Nachweis der Kompatibilität von Marktwertmaximierung und subjektiver Nutzenmaximierung 206ff. Hedgen (Hedging) 320ff. Hintergrundrisiken 81 Illiquide Finanzmärkte 42 Indifferenzkurven - bei zwei Zuständen 206ff. - im (P,V)-Diagramm 72ff. 72ff. - im (P,V)-Diagramm individuelle Marktwertmaximierung (Maximierung des Marktwertes des investierenden Unternehmens) 245ff. individueller subjektiver Grenzpreis als Marktwert bei Duplizierbarkeit und unbeschränktem Leerverkauf 37ff., 407ff. individueller subjektiver Grenzpreis bei beschränktem Leerverkauf 39f., 414ff., 593ff. -, Abhängigkeit von der Größe des Bewertungsobjekts 425ff. -, Abhängigkeit von Korellationskoeffizienten 224f. -, Abhängigkeit von Leerverkaufsmöglichkeiten 430ff. -, Abhängigkeit von der Risikoeinstellung 422f. -, Abhängigkeit von der Risikoklasse des Bewertungsobjekts 427ff. -, Ermittlung im Einperioden-Fall 414ff., 434ff. -, Ermittlung im Mehrperioden-Fall nach dem Konzept der flexiblen Planung 615ff.
Sachverzeichnis
-, Problematik der Ermittlung auf Basis des CAPM 51ff. - Vergleich mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts 415ff., 624ff. individueller subjektiver Grenzpreis bei unvollständiger Duplizierbarkeit 41f., 437ff., 593ff. -, Abhängigkeit von der Größe des Bewertungsobjekts 448f. -, Abhängigkeit von Leerverkaufsmöglichkeiten 450f. -, Abhängigkeit von der Risikoeinstellung 447f. -, Abhängigkeit von der Varianz des Überschusses des Bewertungsobjekts 441ff. -, Ermittlung im Einperioden-Fall 437ff., 441ff. -, Ermittlung im Mehrperioden-Fall nach dem Konzept der flexiblen Planung 615ff. -, Störterme als Ursache für unvollständige Duplizierbarkeit 440ff., 445ff. - Vergleich mit dem Marktwert des Bewertungsobjekts 447f. individueller subjektiver Grenzpreis ohne Portefeuillebildung mit dem Bewertungsobjekt, jedoch mit Portefeuilleplanung ohne es 305ff. -, Abhängigkeit von der Größe des Bewertungsobjekts 309f. - aus Sicht eines potenziellen Verkäufers 310ff. -, Ermittlung 305f. -, Vergleich mit dem Marktwert 307ff. -, Vergleich des Grenzpreises für den potenziellen Käufer mit dem für den potenziellen Verkäufer 312f. individueller subjektiver Grenzpreis ohne jegliche Portefeuillebildung (semi-subjektive Bewertung) 93ff., 289ff., 462ff. -, Abhängigkeit vom Erwartungswert des Überschusses des Bewertungsobjekts 291f. -, Abhängigkeit von der Größe des Bewertungsobjekts 298ff. -, Abhängigkeit von der Risikoeinstellung 293ff. -, Abhängigkeit von der Standardabweichung des Überschusses des Bewertungsobjekts 291f.
661
- aus Sicht eines potenziellen Verkäufers 303f. -, Ermittlung 289ff. -, Vergleich mit dem Marktwert 295ff. Information -, Relevanz für einen individuellen Investor 22ff. Information der Anteilseigner -, Irrelevanz bei gegebenem CAPMGleichgewicht 262f. -, Relevanz bei einem Übergang in ein neues CAPM-Gleichgewicht 262f. intrinsischer (virtueller) Marktwert 34f. Investitionsplanung - bei gegebenem Marktgleichgewicht 245ff. - bei einem Übergang in ein neues Marktgleichgewicht 260ff. -, flexible: siehe unter flexible Planung Kalkulationszinsfuß -, periodeneinheitlicher 544ff. -, projekteinheitlicher 547ff. -, risikoangepasster 31, 249ff., 279 Kapitalkostensatz -, durchschnittlicher gewogener (WACC) 279 Kapitalmarkt -, kompetitiver 217f. -, Preisbildung im 159ff., 527ff. -, vollkommener 156f. -, vollständiger 165f. -, unvollkommener 157f. -, unvollständiger 165 Kapitalrationierung (und Bewertung) 586f. kollektive Nutzenmaximierung 242ff. kollektiver subjektiver Grenzpreis 210ff., 222ff., 256ff., 267ff. -, Definition 237, 259 - im Vergleich mit dem Marktwert 210ff., 267ff. Komplexitätsreduktion (Vereinfachung) bei der Bewertung - im Einperioden-Fall 451ff., 512f. - im Mehrperioden-Fall 513ff., 576ff., 621ff. Komplexitätsreduktion (Vereinfachung) bei flexibler Planung 510ff., 576ff., 621ff. Kovarianz -, Abhängigkeit von Varianzen 149f. -, Bedeutung für das Portefeuillerisiko 146ff. -, Bedeutung für die Höhe der Marktwerte (der Marktrisikoprämien) von Wertpapieren 182ff.
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Sachverzeichnis
Leerverkauf von Wertpapieren -, Definition 128 -, Grenzen 157ff., 212f., 411ff. -, Kosten 157 -, Relevanz von 145f., 200f., 273ff. - und Portefeuilleplanung 341ff. -, Verfahren in der Praxis 157f. Leistungsbereich 27f. Marktbewertung -, subjektive Ermessensentscheidungen bei 276ff. Marktportefeuille 172, 176 Marktpreis des Risikos (Risikoprämie pro Risikoeinheit) 179 -, Abhängigkeit von den Risikoaversionskoeffizienten bzw. den Risikotoleranzen der Anteilseigner 184ff. -, Abhängigkeit von der Zahl der Anteilseigner 187 -, mögliche Konstanz bei Neuinvestitionen 245 Marktrisikoaversionskoeffizient 186 Marktrisikoprämie - eines Wertpapiers 180 - des Überschusses des Bewertungsobjekts 287f. - pro Risikoeinheit: siehe Marktpreis des Risikos Marktsicherheitsäquivalent 180, 245ff., 538ff. Marktwert der Aktien aller Unternehmen im Marktgleichgewicht -, Änderung bei Investitionen 253 Marktwert der Aktien eines einzelnen Unternehmens -, Änderung bei Investitionen in diesem Unternehmen 245ff. -, Änderung bei Investitionen in anderen Unternehmen 252ff. -, Ermittlung 179ff., 533ff. -, Höhe 181ff. Marktwert eines Bewertungsobjekts im Vergleich zum kollektiven subjektiven Grenzpreis 267ff. Marktwertgerade 209f. Marktwerte von Wertpapieren -, im CAPM 179ff. -, im State Preference Ansatz 170ff. Marktwertmaximierung im CAPM 245ff. - bezüglich der Aktien des investierenden Unternehmens (individuelle Marktwertmaximierung) 245ff.
- bezüglich der Aktien aller Unternehmen (Reichtumsmaximierung) 252ff., 260 - bezüglich einer gewichteten Summe dieser Marktwerte 260ff. Marktwertmaximierung und Spanning 217f. Marktwertmaximierung und (subjektive) Nutzenmaximierung im Vergleich 205ff., 222ff., 256ff. P-Kriterium 72 (P,V)-Prinzip 72ff. modifizierte Effizienzkurve 194 - bei beschränkten Leerverkaufsmöglichkeiten von Wertpapieren 332ff., 343ff., 354ff. - bei unvollständiger (oder beschränkter) Duplizierbarkeit des Überschusses des Bewertungsobjekts 366ff., 369ff., 383ff., 389ff. modifizierter State Preference Ansatz 194ff. Moral Hazard 15 multiplikative Separierbarkeit der Nutzenfunktion 597f. NB-Variante des CAPM 199 NE-Variante des CAPM 199 Netto-Ansatz 28 Neutraler Bereich 27f. Noise 194 Nutzenfunktion -, Änderung der Nutzenfunktion und subjektive Bewertung 42f., 453ff. -, additive Separierbarkeit der 597 -, Ermittlung der 69f. -, exponentielle 75ff., 80 - im Mehrperioden-Fall 595ff. -, multiplikative Separierbarkeit 597 -, quadratische 72ff., 79f. -, zustandsabhängige 81ff. -, positiv lineare Transformation der 70f. Nutzenmaximierung und finanzwirtschaftliche Entscheidungskriterien im CAPM 256ff. Nutzenmaximierung und Investition -, direkte 222ff. - im CAPM-Gleichgewicht 240ff., 257ff., 537ff. - im Einklang mit Marktwertmaximierung 206ff., 222ff., 237ff. - im Konflikt mit Marktwertmaximierung 212ff., 218ff.
Sachverzeichnis
-, indirekte in Verbindung mit Handel zustandsbedingter Zahlungsansprüche 206ff. -, kollektive 242ff. - und flexible Planung 615ff. Optionspreistheorie
578ff.
Pareto-effiziente Risiko- bzw. Erfolgsteilung 104f. -, Grundbedingung der 106f. -, lineare 107f. -, nichtlineare 107f. - im Vergleich mit anreizkompatibler 115f. pareto-effiziente Risikoteilung und Kapitalmarkt -, CAPM 244 -, State Preference Ansatz 173f. Periodeneinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes 544ff. Planung: siehe unter - flexible Planung - Portefeuilleplanung Portefeuilleplanung mit exogenem Überschuss und beschränktem Leerverkauf 320ff. -, Ermittlung effizienter Portefeuilles 322ff. -, Ermittlung und Eigenschaften des optimalen Portefeuilles 340f., 357 -, Ermittlung und Verlauf der modifizierten Effizienzkurve 328ff. -, Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles 325 Portefeuilleplanung mit exogenem Überschuss und unvollständiger Duplizierbarkeit 361ff. -, Ermittlung effizienter Portefeuilles 365ff. -, Ermittlung und Eigenschaften des optimalen Portefeuilles 395f. -, Ermittlung und Verlauf der modifizierten Effizienzkurve 366ff., 383ff. -, Störterme als Ursache unvollständiger Duplizierbarkeit 373ff. -, Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles 378ff. Portefeuilleplanung ohne exogenem Überschuss (Grundmodell) 125ff. -, Eigenschaften eines effizienten Portefeuilles 139ff. -, Ermittlung eines effizienten Portefeuilles 130ff., 135ff.
-, Ermittlung und Eigenschaften des optimalen Portefeuilles -, Ermittlung und Verlauf der (Basis-) Effizienzkurve -, Struktureigenschaften effizienter Portefeuilles Preise für zustandsbedingte Zahlungsansprüche -, Änderung bei Investitionen - als Dualvariablen -, Höhe -, mögliche Konstanz bei Investitionen Private Risiken -, Relevanz für die Bewertung Prognose von Überschüssen Projekteinheitlichkeit des Kalkulationszinsfußes
663
133ff. 130ff. 135ff.
218ff. 573ff. 170ff. 222ff. 273ff. 276ff. 547ff.
Rationalität -, beschränkte 197ff. - im vollkommenen Kapitalmarkt 156 Realoptionen 581ff. Referenzlinie (Referenzkurve) 320 Relative Bewertung im Verhandlungsprozess 320 Reichtumseffekt 507ff. Rendite - des Marktportefeuilles 189 - eines einzelnen Wertpapiers 189 -, erwartete 190 Renditegleichung des CAPM 190f. repräsentativer Investor 172 Residualgewinn -, als Grundlage der Portefeuilleplanung 126f. Restriktionsverbund 102f. Risiko -, idiosynkratisches 195 -, störtermbedingtes 195, 197f. -, systematisches 146ff., 195 -, unsystematisches (diversifizierbares) 146ff., 195 -, zustandsbedingtes 195 Risikoabschlagsmethode: siehe unter Sicherheitsäquivalentmethode Risikoklasse 176, 189, 251f., 409 Risikoprämie: siehe unter Marktrisikoprämie bzw. subjektive Risikoprämie Risiko- bzw. Erfolgsteilung -, anreizkompatible 108ff. -, direkte 14ff.
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Sachverzeichnis
-, indirekte 16ff. -, pareto-effiziente 104ff. - im Kapitalmarkt 173f., 244 Risikoprämie pro Risikoeinheit: siehe unter Marktpreis des Risikos Risikotoleranz 79 Risikoverbund 102f. Risikozuschlagsmethode -, Definition der 31f. - im Einperioden-Fall 179ff., 245ff. - bei subjektiver Bewertung 610ff. - im Mehrperioden-Fall 538ff. Roll-Back-Verfahren 496f., 621ff. Semi-subjektive Bewertung (siehe auch unter individueller subjektiver Grenzpreis ohne jegliche Portefeuillebildung) 289ff. Separierbarkeit der Nutzenfunktion im Mehrperioden-Fall -, Bedeutung 597f., 624ff. -, additive 597 -, multiplikative 597 Sicherheitsäquivalent 84ff., 179ff. Sicherheitsäquivalentmethode - im Einperioden-Fall 100ff., 245ff., 252, 302f., 455f. - im Mehrperioden-Fall 538ff., 549ff., 601ff. - und individueller subjektiver Grenzpreis 84ff. Spanning - und Marktwertmaximierung 217f., 227ff. starre Planung 501f. State Preference Ansatz (SPA) - im Einperioden-Fall 167ff. - im Mehrperioden-Fall 527ff. -, pareto-effiziente Risikoteilung im 173f. -, modifizierter 194ff. Störterme (Noise) als Ursache unvollständiger Duplizierbarkeit 373ff., 445ff. - und beschränkte Rationalität 197f. subjektive Ermessensentscheidungen bei der Ermittlung von Marktwerten 276ff. subjektiver Grenzpreis: siehe unter -, kollektiver -, individueller subjektiver Wert: siehe unter subjektiver Grenzpreis subjektive Risikoprämie 76, 88, 289, 291ff., 418, 420
Unternehmensbewertung -, Entity-Ansatz der -, Equity-Ansatz der unvollkommener Kapitalmarkt unvollständiger Kapitalmarkt
28f. 29f. 157f. 165
Varianz -, Bedeutung für das Portefeuillerisiko 146ff. -, Bedeutung für die Höhe der Marktwerte von Wertpapieren im CAPM 182ff. veränderliche Nutzenfunktion und individuelle subjektive Bewertung 42f., 453ff. Verbundeffekte -, Bewertungsverbund 103 -, Erfolgsverbund 102 -, Restriktionsverbund 102 -, Risikoverbund 102f. Vereinfachung: siehe unter Komplexitätsreduktion Versicherung 444f. virtueller (intrinsischer) Marktwert 34f. vollkommener Kapitalmarkt 156f. vollständiger Kapitalmarkt 165f. WACC-Formel Wert eines Bewertungsobjekts: siehe unter - Marktwert - individueller subjektiver Grenzpreis - kollektiver subjektiver Grenzpreis Zielkonflikte zwischen Anteilseignern - bei pareto-inferiorer Risikoteilung - bei veränderlichen Grenznutzenwerten zustandsabhängige Nutzenfunktion Zustandsbaum Zustandsbaumverfahren: siehe unter flexible Planung Zustandsbedingte Zahlungsansprüche -, Charakteristik -, Höhe der Preise für -, Handel mit
279
119f. 244 218ff. 81ff. 487ff.
167 170ff. 169
