Optische Netzwerke: Ein feldtheoretischer Zugang, Mit 29 Abbildungen, 12 Tabellen, 904 Formeln und 29 Aufgaben mit Lösungen

Reiner Thiele

Optische Netzwerke

Aus dem Programm Informationstechnik Hochfrequenztechnik von H. Heuermann Antennen und Strahlungsfelder von K. W. Kark Satellitenortung und Navigation von W. Mansfeld Kommunikationstechnik von M. Meyer Signalverarbeitung von M. Meyer Digitale Kommunikationssysteme 1 und 2 von R. Nocker Bussysteme in der Automatisierungs- und Prozesstechnik herausgegeben von G. Schnell und B. Wiedemann Digitale Signalverarbeitung mit MATLAB von M. Werner Nachrichtentechnik von M. Werner Nachrichten-Übertragungstechnik von M. Werner Netze, Protokolle, Schnittstellen und Nachrichtenverkehr von M. Werner Signale und Systeme von M. Werner Bussysteme in der Fahrzeugtechnik von W. Zimmermann und R. Schmidgall

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Reiner Thiele

Optische Netzwerke Ein feldtheoretischer Zugang Mit 29 Abbildungen und 12 Tabellen sowie 904 Formeln und 29 Aufgaben mit Lösungen

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1. Auflage 2008 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden, 2008 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Technische Redaktion: FROMM MediaDesign, Selters/Ts. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heusenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0406-8

V

Vorwort

Optische Netzwerke mit Lichtwellenleitern sind für die moderne Informationstechnik von zentraler Bedeutung, weil mit ihnen hohe Bitraten störungssicher übertragen werden können. Dem Streben, immer höhere Bitraten zu verwenden, wirken jedoch begrenzende Effekte, wie die Polarisationsmodendispersion und die polarisationsabhängige Dämpfung im Zusammenwirken mit der Modenkopplung und der Doppelbrechung, entgegen. Diese nachteiligen Erscheinungen in Lichtwellenleitern gilt es zu eliminieren, wenn man davon ausgeht, dass die polarisationsunabhängige Dämpfung schon durch faseroptische Verstärker und die chromatische Dispersion durch Faser-Bragg-Gitter kompensiert sind. Zunehmend erlangen optische Prinzipien der Präzisionsmesstechnik an Bedeutung. Mit faseroptischen Sensornetzwerken gelingt bauelementekompatibel zur Informationsübertragungstechnologie die Messgrößenerfassung bei hoher Empfindlichkeit und ausreichender Streckenneutralität. Dem Wunsch, hochpräzise Verfahren bei der messtechnischen Erfassung physikalischer Größen einzusetzen, wirken jedoch die gleichen Effekte begrenzend entgegen, wie sie von optischen Nachrichtensystemen her bekannt sind. Das vorliegende Buch soll feldtheoretische Methoden zur Berechnung optischer Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke vermitteln. Es wendet sich sowohl an die in der Praxis tätigen Ingenieure als auch an Studierende an Universitäten und Fachhochschulen. Zahlreiche Aufgaben mit ausführlichen Lösungen sollen zum Verständnis der zum Teil mathematisch aufwendigen Verfahren beitragen. Das Buch gliedert sich in zehn Kapitel. Nach der Einleitung, in der ein Überblick zu optischen Netzwerken gegeben wird und das Ziel für das Studium des Buches formuliert ist, erfolgt im 2. Kapitel die Darstellung der Grundlagen mit den Maxwell-Gleichungen als Ausgangspunkt. Im Kapitel 3 finden Sie eine erweiterte Form des Jones-Kalküls bei Verwendung aller drei Komponenten des jeweiligen Feldes für Licht als elektromagnetische Welle. Das Kapitel 4 ist dem erweiterten Kohärenz-Matrizen-Kalkül zur Erfassung stochastischer Eigenschaften optischer Netzwerke gewidmet. Im 5. Kapitel wird gezeigt, dass es häufig möglich ist, optische Netzwerke durch die skalare z-Komponenten-Übertragungsfunktion zu charakterisieren. Anschließend erfolgt im Kapitel 6 eine Klassifizierung optischer Netzwerke, mit der Rechenvereinfachungen möglich sind. Die z-Komponenten-Eigenanalyse im Kapitel 7 ist der Störungsrechnung bei schwankenden Dielektrizitätstensoren von Lichtwellenleitern gewidmet. Im Kapitel 8 finden Sie ein ausführliches Anwendungsbeispiel für die Theorie der vorhergehenden Kapitel. Nach der Zusammenfassung im Kapitel 9 sind im 10. Kapitel Anhänge dargestellt, die das Verständnis der ausgearbeiteten Theorie erleichtern sollen. Es ist mir ein Bedürfnis, besonders unserer Sekretärin, Frau Karola Sperlich, für die korrekte Ausführung der Schreibarbeiten einschließlich der Zeichnungen zu danken. Dem Verlag danke ich für die Möglichkeit der Veröffentlichung des vorgelegten Werkes. Nicht zuletzt gebührt meiner Frau Karola Thiele herzlicher Dank für die moralische Unterstützung, auch in vielen Stunden der beschnittenen gemeinsamen Freizeit. Hörnitz, im Oktober 2007

Reiner Thiele

VII

Inhaltsverzeichnis

Vorwort ...................................................................................................................................... V 1 Einleitung ............................................................................................................................. 1 1.1 Überblick ....................................................................................................................... 1 1.2 Ziel................................................................................................................................. 1 1.3 Literatur ......................................................................................................................... 1 2 Grundlagen .......................................................................................................................... 2 2.1 Maxwell-Gleichungen ................................................................................................... 2 2.1.1 Integralform........................................................................................................ 2 2.1.2 Differenzialform................................................................................................. 4 2.2 Grenzflächenbedingungen ............................................................................................. 5 2.2.1 Grenzflächen ...................................................................................................... 5 2.2.2 Normalkomponenten [2.3] ................................................................................. 5 2.2.3 Tangentialkomponenten [2.3]............................................................................. 6 2.2.4 Stetigkeitsbedingungen in Differenzenform....................................................... 7 2.2.5 Feldgleichungen an Grenzflächen ...................................................................... 8 2.2.5.1 Grundzusammenhänge ......................................................................... 8 2.2.5.2 Photonenstromdichte.......................................................................... 11 2.2.5.3 Relaxationszeit ................................................................................... 12 2.2.5.4 Energiebilanz...................................................................................... 12 2.2.6 Ebene Wellen an Grenzflächen ........................................................................ 15 2.2.6.1 Übergang isotrop o anisotrop ........................................................... 15 2.2.6.2 Übergang anisotrop o isotrop ............................................................ 28 2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen............................................... 37 2.3.1 Gleichungssysteme für die Em- und Hm-Moden................................................ 37 2.3.2 Em-Moden......................................................................................................... 39 2.3.2.1 Lösungsansatz .................................................................................... 39 2.3.2.2 Stetigkeitsbedingungen an den Längs-Grenzflächen .......................... 40 2.3.2.3 Eigenwertgleichung für die Em-Moden .............................................. 41 2.3.2.4 Feldverteilung für den E0-Mode......................................................... 42 2.3.2.5 Anregung des E0-Modes..................................................................... 44 2.3.3 Hm-Moden ........................................................................................................ 47 2.3.3.1 Lösungsansatz .................................................................................... 47 2.3.3.2 Stetigkeitsbedingungen an den Längs-Grenzflächen ......................... 48 2.3.3.3 Eigenwertgleichung für die Hm-Moden.............................................. 49 2.3.3.4 Feldverteilung für den H0-Mode ........................................................ 50 2.3.3.5 Anregung des H0-Modes .................................................................... 51 2.4 Aufgaben...................................................................................................................... 53 2.5 Lösungen...................................................................................................................... 54 2.6 Literatur ....................................................................................................................... 59

VIII

Inhaltsverzeichnis

3 Erweiterter Jones-Kalkül...................................................................................................60 3.1 Erweiterte Jones-Matrix bei diagonalem Dielektrizitätstensor ....................................60 3.1.1 Lösungsansätze.................................................................................................60 3.1.2 Differenzialgleichungen für die Jones-Matrix-Elemente..................................61 3.1.3 Lösung der Jones-DGL.....................................................................................62 3.1.3.1 Allgemeine Lösung ............................................................................62 3.1.3.2 Anfangswerte .....................................................................................63 3.2 Diagonale Jones-Matrizen............................................................................................64 3.2.1 Lichtwellenleiter...............................................................................................64 3.2.2 Polarisatoren .....................................................................................................64 3.2.3 Retarder ............................................................................................................67 3.2.4 Faseroptischer Verstärker .................................................................................69 3.2.5 Zusammenfassung ............................................................................................72 3.2.5.1 Modenanregungsbedingungen............................................................72 3.2.5.2 Jones-Matrizen ...................................................................................74 3.3 z-Komponenten-Übertragungsfunktion bei diagonalem Dielektrizitätstensor .............81 3.3.1 Ableitung der z-Komponenten-Übertragungsfunktion .....................................81 3.3.2 z-Komponenten-Übertragungsfunktionen ........................................................82 3.4 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem oder hermiteschem Dielektrizitätstensor.....................................................................................................83 3.4.1 Dielektrizitätstensoren ......................................................................................83 3.4.1.1 Symmetrischer Dielektrizitätstensor...................................................83 3.4.1.2 Hermitescher Dielektrizitätstensor .....................................................86 3.4.2 Ableitung der erweiterten Jones-Matrix ...........................................................88 3.4.2.1 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem Dielektrizitätstensor ...........................................................................88 3.4.2.2 Erweiterte Jones-Matrix bei hermiteschem Dielektrizitätstensor ...........................................................................89 3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse...............................................................................................................89 3.5.1 Absorbierende Medien mit komplexem Dielektrizitätstensor ..........................89 3.5.2 Nichtdiagonale Jones-Matrizen und zugehörige z-Komponentenübertragungsfunktion .......................................................................................90 3.5.2.1 Voraussetzungen ................................................................................90 3.5.2.2 Nichtdiagonale Jones-Matrix..............................................................91 3.5.2.3 z-Komponenten-Übertragungsfunktion ..............................................93 3.5.2.4 Polarisationsübertragungsgleichung...................................................95 3.5.2.5 Diskussion ..........................................................................................97 3.5.3 Beispiele ...........................................................................................................99 3.5.3.1 Lichtwellenleiter.................................................................................99 3.5.3.2 Polarisatoren.....................................................................................103 3.5.3.3 Rotatoren ..........................................................................................105 3.5.3.4 Optische Isolatoren...........................................................................108 3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen ........................................110 3.6.1 Orthogonale Transformationsmatrix ..............................................................110 3.6.1.1 Orthogonale RT-Zerlegung ..............................................................110 3.6.1.2 Beispiel zur orthogonalen RT-Zerlegung .........................................116 3.6.2 Unitäre Transformationsmatrix ......................................................................121 3.6.2.1 Unitäre RT-Zerlegung ......................................................................121 3.6.2.2 Beispiel zur unitären RT-Zerlegung .................................................122

Inhaltsverzeichnis

IX

3.7 Erweiterte Fourier-Matrizen ...................................................................................... 124 3.7.1 Ableitung der erweiterten Fourier-Matrix ...................................................... 124 3.7.2 Beispiele ......................................................................................................... 125 3.7.2.1 Amplitudenmodulator ...................................................................... 125 3.7.2.2 Phasenmodulator .............................................................................. 127 3.8 z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten...................................................................... 128 3.8.1 Ableitung der z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten ................................... 128 3.8.1.1 Diagonale periodische Matrizenfunktion ......................................... 128 3.8.1.2 Nichtdiagonale periodische Matrizenfunktion ................................. 129 3.8.2 Beispiele ......................................................................................................... 130 3.8.2.1 Amplitudenmodulator ...................................................................... 130 3.8.2.2 Phasenmodulator .............................................................................. 131 3.9 Aufgaben ................................................................................................................... 132 3.10 Lösungen zu den Aufgaben ...................................................................................... 133 3.11 Literatur .................................................................................................................... 142 4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül .......................................................................... 143 4.1 Definition der erweiterten Kohärenzmatrix ............................................................... 143 4.2 Erwartungswert der Intensität .................................................................................... 144 4.3 Leistungsspektrum und Intensität .............................................................................. 145 4.4 Erwartungswert der Ausgangsintensität eines linearen zeitinvarianten optischen Systems ..................................................................................................... 146 4.5 z-Komponenten-Kohärenzfunktion............................................................................ 147 4.5.1 Diagonale erweiterte Kohärenzmatrix............................................................ 147 4.5.2 Nichtdiagonale erweiterte Kohärenzmatrix .................................................... 150 4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix....................................................... 153 4.6.1 Transformation auf Diagonalform.................................................................. 153 4.6.1.1 Erweiterte Kohärenzmatrix bei Laserphasenrauschen ..................... 153 4.6.1.2 Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix........................... 156 4.6.1.3 Realisierung der Transformation auf Diagonalform ........................ 160 4.6.2 Transformation auf die Jones-Matrix-äquivalente Form ................................ 163 4.6.2.1 Spezialfall der erweiterten Kohärenzmatrix bei Laserphasenrauschen.................................................................. 163 4.6.2.2 Ableitung der Transformationsmatrix .............................................. 165 4.6.2.3 Realisierung der Jones-Matrix-äquivalenten Transformation .......... 167 4.7 Aufgaben.................................................................................................................... 171 4.8 Lösungen zu den Aufgaben ....................................................................................... 174 4.9 Literatur ..................................................................................................................... 182 5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte über lineare optische Systeme......................................................................................... 183 5.1 Determinierte Beschreibung ...................................................................................... 183 5.1.1 Zusammenschaltungsregeln ........................................................................... 183 5.1.2 Erzeugung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Eingang........................................................... 185 5.1.3 Elimination der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Ausgang.......................................................... 185 5.1.3.1 Grundprinzip .................................................................................... 185 5.1.3.2 z-Komponenten-Analysator ............................................................. 186 5.2 Stochastische Beschreibung....................................................................................... 192

X

Inhaltsverzeichnis 5.3 Aufgaben....................................................................................................................194 5.4 Lösungen zu den Aufgaben........................................................................................196 5.5 Literatur .....................................................................................................................200

6 Klassifizierung optischer Netzwerke...............................................................................201 6.1 Streumatrix.................................................................................................................201 6.2 Verlustlosigkeit, Passivität, Aktivität.........................................................................202 6.3 Reziprozität [6.1] .......................................................................................................203 6.4 Reflexionsfreiheit.......................................................................................................204 6.5 Symmetrie..................................................................................................................204 6.6 Aufgaben....................................................................................................................205 6.7 Lösungen zu den Aufgaben........................................................................................206 6.8 Literatur .....................................................................................................................209 7 z-Komponenten-Eigenanalyse .........................................................................................210 7.1 Verfahren der z-Komponenten-Eigenanalyse ............................................................210 7.1.1 Änderung des Dielektrizitätstensors ...............................................................210 7.1.2 Eigenwertänderung in der diagonalen erweiterten Jones-Matrix....................211 7.1.3 z-Komponenten-Eigenanalyse ........................................................................212 7.2 Schlussfolgerungen aus Anwendersicht.....................................................................215 7.3 Aufgaben....................................................................................................................215 7.4 Lösungen zu den Aufgaben........................................................................................216 7.5 Literatur .....................................................................................................................219 8 Anwendungsbeispiel: Faseroptischer Stromsensor .......................................................220 9 Zusammenfassung ............................................................................................................221 10 Anhänge............................................................................................................................222 A1 Ableitung der komplexen Dielektrizitätskonstanten ..................................................222 A2 Ableitung der x-Komponenten-Übertragungsfunktion...............................................223 A3 Ableitung der y-Komponenten-Übertragungsfunktion...............................................225 A4 Statistik des Laserrauschens.......................................................................................227 A4.1 Phasenrauschdifferenz ....................................................................................227 A4.2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Intensitätsrauschens .........................230 A4.3 Kohärenzfunktion des Laserrauschens ...........................................................232 A5 Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers .................................................233 A5.1 Ansätze ...........................................................................................................233 A5.2 Lorentz-Näherung für den Verstärkungskoeffizienten ...................................234 A5.3 Effektiver Verstärkungskoeffizient.................................................................234 A5.4 z-Komponenten-Übertragungsfunktion ..........................................................235 A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor .....................................................................236 A7 Signalverarbeitung in faseroptischen Stromsensoren.................................................257 A7.1 Beschreibung der Erfindung ..........................................................................257 A7.2 Erläuterung der Erfindung ..............................................................................258 Bildverzeichnis ........................................................................................................................262 Tabellenverzeichnis .................................................................................................................263 Abkürzungsverzeichnis ...........................................................................................................263 Formelzeichen .........................................................................................................................264 Sachwortverzeichnis................................................................................................................271

1

1 Einleitung

1.1 Überblick Die Theorie optischer Netzwerke ist für die wellenleitergebundene Informationsübertragung einerseits und die sensorische Messwerterfassung andererseits von zentraler Bedeutung, weil damit viele Probleme lösbar sind. So bilden die Polarisationsmodendispersion (PMD) und die polarisationsabhängige Dämpfung (PDL) die begrenzenden Effekte bei der Erhöhung der Bitrate in optischen Netzwerken, wenn man davon ausgeht, dass die chromatische Dispersion und die polarisationsunabhängige Grunddämpfung durch Faser-Bragg-Gitter bzw. faseroptische Verstärker kompensiert sind. In dieser Arbeit finden Sie Ansätze, wie die nachteiligen Effekte PMD und PDL grundsätzlich vermieden werden können. Dazu dient ein feldtheoretischer Ansatz für Licht als elektromagnetische Welle im Zusammenhang mit dem erweiterten Jones-Kalkül für alle drei Komponenten des jeweiligen Feldvektors, der vom Prinzip her durch die Maxwell-Gleichungen bestimmt ist. Unter Verwendung orthogonaler und unitärer Transformationen können auch Modenkopplungsprobleme und Doppelbrechungseigenschaften, z. B. bei faseroptischen Stromsensoren, durch Diagonalisierung der erweiterten Jones-Matrix oder die Anwendung der z-Komponenten-Übertragungsfunktion eliminiert werden.

1.2 Ziel Das Hauptziel, dass die Leserinnen und Leser bei Studium dieses Buches verfolgen sollten, ist die Aneignung grundlegender Methoden zur Analyse und zum Entwurf optischer Netzwerke. Dabei ist das Wissen nach feldtheoretischen Gesichtspunkten dargestellt und umfasst die Teilgebiete x Grundlagen der Feldtheorie, x Jones-Kalkül in erweiterter Form, x Erweiterter Kohärenz-Matrizen-Kalkül, x z-Komponenten-Übertragungsfunktionen, x Klassifizierung optischer Netzwerke, x z-Komponenten-Eigenanalyse und x Anwendungsbeispiele. Die elementaren systemtheoretischen Grundlagen der optischen Nachrichtentechnik und der Stand der Technik sind dabei in [1.1] abgehandelt.

1.3 Literatur [1.1] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 2002

2

2 Grundlagen

2.1 Maxwell-Gleichungen 2.1.1 Integralform Ausgangspunkt. Licht lässt sich bei seiner Ausbreitung als elektromagnetische Welle auffassen [2.1]. Elektromagnetische Wellen genügen den aus der Feldtheorie bekannten MaxwellGleichungen in Integral- oder Differenzialform. Feldbegriff. Unter einem Feld versteht man dabei die Gesamtheit der allen Punkten des leeren oder stofferfüllten Raumes zugeordneten Werte einer physikalischen Größe, der Feldgröße. Als Feldgrößen verwendet man orts- und zeitabhängige Vektoren der elektrischen und magnetischen Feldstärke sowie der elektrischen Verschiebungsflussdichte, der magnetischen Flussdichte und der elektrischen Stromdichte. Gleichungssystem. Die Maxwell-Gleichungen charakterisieren ein elektromagnetisches Feld vollständig und lauten: x Integrales Induktionsgesetz G G G sB G ¨v r E ¸ dr = ¨ F st ¸ dF

(2.1)

G In Worten: Das Linienintegral der elektrischen Feldstärke E über die geschlossene Kurve r ist gleich dem G Flächenintegral über die negative zeitliche Änderung der magnetischen Flussdichte B , wobei F die von der geschlossenen Kurve r eingespannte Fläche darstellt.

x Integrales Durchflutungsgesetz G  G sD ¬­ G G G žž ¨v r H ¸ dr = ¨ F žžŸS + st ®­­­­¸ dF

(2.2)

G In Worten: Das Linienintegral der magnetischen Feldstärke H über die G geschlossene Kurve r ist gleich dem Flächenintegral über die elektrische Stromdichte S plus der zeitlichen G Änderung der elektrischen Verschiebungsflussdichte D , wobei F die von der geschlossenen Kurve r eingespannte Fläche bezeichnet.

x Grundgesetz der Elektrostatik in integraler Form G G ¨v D ¸ d F = ¨ SdV F

V

(2.3)

G In Worten: Das Hüllenintegral der elektrischen Verschiebungsflussdichte D über die Hüllfläche F ist gleich dem Volumenintegral über die Raumladungsdichte U , wobei V das von der Hüllfläche F eingeschlossene Volumen darstellt.

2.1 Maxwell-Gleichungen

3

x Grundgesetz der Magnetostatik in integraler Form G G ¨v B ¸ dF = 0 F

(2.4)

G In Worten: Das Hüllenintegral der magnetischen Flussdichte B über die Hüllfläche F ist gleich Null.

x Materialgleichungen G G S NE

(2.5)

G G D HE G G B PH

(2.6) (2.7)

Gleichung 2.5 beschreibt die leitenden Eigenschaften eines Stoffes mit dem Leitfähigkeitstensor N , der vorerst Diagonalform besitzen soll. 2.6 ist die Materialgleichung für die dielektrischen Eigenschaften eines Stoffes mit dem Dielektrizitätstensor H , hier ebenfalls in Diagonalform. Diese Tensoren sind in 2.8 für das kartesische x, y, z-Koordinatensystem gezeigt.

N

§Nx ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0 Ny 0

0 · ¸ 0 ¸ , H ¸ N z ¸¹

§Hx ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0 Hy 0

0· ¸ 0¸ ¸ H z ¸¹

(2.8)

G 2.8 beschreibt isotrope Stoffe, bei denen dieGStromdichte S bzw. die VerschiebungsflussG dichte D mit der elektrischen Feldstärke E jeweils ein Paar gleichgerichteter Vektoren bilden, falls für die Hauptleitfähigkeiten und Hauptdielektrizitäten gilt: G G Nx N y Nz N o S E (2.9) G G Hx H y Hz H o D E G G In allen G anderen Fällen kennzeichneten N und H anisotrope Stoffe, bei denen S bzw. D und E unterschiedliche Richtungen aufweisen. 2.7 beschreibt die magnetischen Materialeigenschaften, vermittelt durch die Permeabilität μ. Es wird vorausgesetzt, dass μ gleich der Induktionskonstanten P o für die zu behandelnden optischen Netzwerke sei: P

Po

(2.10)

Außerdem sollen die Voraussetzungen N

const .

H

const .

P

const .

(2.11)

für lineare und homogene Stoffe gelten. Bei linearen Stoffen hängen N, H und μ nicht von den jeweiligen Feldstärken in 2.5 bis 2.7 ab. Homogenität bedeutet, dass N, H und μ nicht von den Ortskoordinaten abhängen.

4

2 Grundlagen

2.1.2 Differenzialform Integralsätze. Ausgangspunkt zur Ableitung der Maxwell-Gleichungen in Differenzialform sind die Integralsätze von Gauß und Stokes. Der Integralsatz von Gauß ermöglicht die Umformung zwischen Hüllen- und Volumenintegral in der Form G G G (2.12) ¨v A ¸ dF = ¨ div A dV , F

V

G G G wobei A einen beliebigen Vektor und div A die Divergenz von A im jeweiligen Raumpunkt darstellt [2.2].

Der Integralsatz von Stokes gestattet die Umformung zwischen Umlauf- und Flächenintegral in folgender Form: G G G G (2.13) ¨v A ¸ dr = ¨ rot A ¸ dF r

F

G G rot A ist die Rotation des Vektors A im entsprechenden Raumpunkt [2.2].

Gleichungssystem. Mit Hilfe der Integralsätze von Gauß und Stokes erhält man die MaxwellGleichungen in Differenzialform [2.3]. x Induktionsgesetz in Differenzialform G G wB rot E  wt

(2.14)

Beweis:

¨v r

G G E ¸ dr = ¨

F

G G rot E ¸ dF = ¨

G sB F

st

G ¸ dF

Die beiden Flächenintegrale sind identisch für gleiche Integranden. Daraus folgt 2.14. G In Worten: In jedem Punkt des Raumes ist der Wirbel der elektrischen Feldstärke E gleich G der negativen zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte B .

x Durchflutungsgesetz in Differenzialform G G G wD rot H S  wt

(2.15)

Beweis: G G sD G l rot H = S + ¨v r F st G In Worten: Der Wirbel der magnetischen Feldstärke H ist in jedemGPunkt des Raumes G  gleich der Leitungsstromdichte S plus der Verschiebungsstromdichte D . G G H ¸ dr = ¨

G G rot H ¸ dF = ¨

G  G s D ¬­ G žž ­ žS + ­­¸ dF F žŸž s t ®­

x Grundgesetz der Elektrostatik in Differenzialform G div D U

(2.16)

2.2 Grenzflächenbedingungen

5

Beweis: G

G

G

¨v F D ¸ dF = ¨ V div D dV = ¨ V S dV Die beiden Volumenintegrale sind gleich für identische Integranden. Daraus folgt 2.16. G In Worten: Die Divergenz der Verschiebungsflussdichte D ist an jedem Ort gleich der Raumladungsdichte U. x Differenzialform des Grundgesetzes der Magnetostatik G div B 0

(2.17)

Beweis: G

G

G

¨v F B ¸ dF = ¨ V div B dV = 0

G l div B = 0

G In Worten: Das Feld der magnetischen Flussdichte B ist überall quellenfrei.

2.2 Grenzflächenbedingungen 2.2.1 Grenzflächen In Bild 2.1 sind die zu untersuchenden Grenzflächen gezeigt. Es wird für beide Medien die Permeabilität P o vorausgesetzt. Die Leitfähigkeits- und Dielektrizitätstensoren sollen unterschiedlich sein und sind mit N1 , H1 , N 2 , H 2 bezeichnet. a)

b) z y x

z

G dF1

G n

y x

Medium 1

G dr

N1, H1, Po

d G dF2

G t

N 2 , H2 , P o

N1, H1, Po N 2 , H2 , P o

d

G dF

G dr2

Grenzfläche Medium 2

Bild 2-1

Medium 1

Grenzfläche Medium 2

Zu den Stetigkeitsbedingungen a) Normalkomponenten b) Tangentialkomponenten

2.2.2 Normalkomponenten [2.3] Magnetische Flussdichte. Aus 2.4 folgt, angewandt auf den im Bild 2-1a gezeigten Bereich, G G G G G G G G G Aim ¨ (2.18) v B ¸ dF = ¨ B1 ¸ dF1 + ¨ B2 ¸ dF2 = ¨ B1  B2 ¸ n dF = 0 , d l0

(

)

6

2 Grundlagen

G G G G wenn man beachtet, dass dF1  dF2 n dF gesetzt werden darf, wobei n die Flächennormale bezeichnet. Da 2.18 für beliebige Oberflächen gilt, muss der Integrand verschwinden. Damit besteht die Bedingung G G G B1  B2 ˜ n 0 oder Bn1 Bn 2 (2.19) G G G G mit Bn1 B1 ˜ n und Bn 2 B2 ˜ n . G G In Worten: An der Grenzfläche zwischen zwei Stoffen ist die Normalkomponente Bn B ˜ n der magnetischen Flussdichte stetig.





Magnetische Feldstärke. Da entsprechend 2.7 und Bild 2-1a G G G G B1 P o H1,B2 P o H 2 gelten soll, folgt aus 2.19 auch die Stetigkeit der Normalkomponenten der magnetischen Feldstärke. G G G G H n1 H 1 ˜ n H n 2 H 2 ˜ n (2.20) Verschiebungsflussdichte. Aus 2.3 ergibt sich bei Anwendung des Grundgesetzes der Elektrostatik auf die Anordnung nach Bild 2-1a: G G G G G Aim ¨ v D ¸ dF = ¨ D1  D2 ¸ n dF = Aim ¨ S dV = Aim ¨ dQ = ¨ %T dF (2.21)

(

d l0

)

d l0

d l0

Hierbei ist 'V dQ / dF die Flächenladungsdichte. Damit folgt in Analogie zu 2.19: G G G D1  D2 ˜ n 'V oder Dn1 Dn 2  'V G G G G mit Dn1 D1 ˜ n und Dn 2 D2 ˜ n .





Im Fall einer verschwindenden Grenzflächenladung gilt: G G G D1  D2 ˜ n 0 oder Dn1 Dn 2





In Worten: Bei fehlender Grenzflächenladung ist die Normalkomponente Dn trischen Verschiebungsflussdichte an der Grenzfläche stetig.

(2.22)

(2.23) G G D ˜ n der elek-

2.2.3 Tangentialkomponenten [2.3] Elektrische Feldstärke. Aus 2-1b und G2.1 Gfolgt für die TangentialkomponentenK der elekG Bild G trischen Feldstärke Et1 E1 ˜ t und E t 2 E 2 ˜ t mit dem Tangenteneinheitsvektor t : G G G G G G G G G G G Aim ¨ v E ¸ dr = ¨ E1 ¸ dr1 + ¨ E2 ¸ dr2 = ¨ E1  E2 ¸ t dr =  Aim ¨ B ¸ dF , (2.24)

(

d l0

)

d l0

G G G G sofern man noch d r1 d r2 t dr setzt. Bei endlichem B verschwindet für d o 0 das Flächenintegral in 2.24, und es ergibt sich G G G E1  E 2 ˜ t 0 oder E t1 E t 2 , (2.25)





wenn man beachtet, dass im Linienintegral 2.24 für beliebige Wege der Integrand verschwinden muss.

2.2 Grenzflächenbedingungen

7

Aus 2.25 erkennt man: AnG einer Grenzfläche zwischen verschiedenen Stoffen bleibt die TanG gentialkomponente E t E ˜ t der elektrischen Feldstärke stetig. Magnetische Feldstärke. Für 2.2 und Bild 2-1b führen die gleichen Überlegungen mit G G G G G Aim ¨ v H ¸ dr = ¨ H1  H 2 ¸ t dr

(

d l0

)

 G G ¬­ G žž D + S ­¸ dF Ÿ ®­ G G D ¸ dF + Aim

= Aim

¨ d l0

= Aim

d l0

¨

d l0

(2.26)

¨ dI

= 0 + ¨ %ST dr

zu der Bedingung G G G H 1  H 2 ˜ t  'S V dr

³ >

@



0

bzw.

HG 1  HG 2 ˜ tG wobei H t1

'S V G G H1 ˜ t , H t 2

Dabei bezeichnet 'S V

oder H t1 H t 2  'S V , G G H 2 ˜ t gilt.

(2.27)

dI / dr die Flächenstromdichte.

Somit Ggilt: G Bei verschwindender Flächenstromdichte 'S V ist die Tangentialkomponente H t H ˜ t der magnetischen Feldstärke an der Grenzfläche stetig. Magnetische Flussdichte. Wegen Bild 2-1b und G G G G B1 P o H 1 , B2 P o H 2

G folgt dann auch die Stetigkeit der Tangentialkomponenten von B in der Form G G G G Bt1 B1 ˜ t Bt 2 B2 ˜ t

(2.28)

2.2.4 Stetigkeitsbedingungen in Differenzenform Flächenladungsdichte und Flächenstromdichte. Die grundsätzlichen Stetigkeitsbedingungen lauten also: G G G B1  B2 ˜ n 0 G G G D1  D2 ˜ n 'V (2.29) G G G E1  E 2 ˜ t 0 G G G H 1  H 2 ˜ t 'S V

   



Nun werden die Flächenladungsdichte 'V und die Flächenstromdichte 'S V aufgeteilt in die Größen V1 , S V1 unmittelbar oberhalb der Grenzflächen nach Bild 2-1 und V 2 , S V2 unmittelbar unterhalb davon.

8

2 Grundlagen 'V 'S V

V1  V 2 S V1  S V2

Mit den Vektoren G G G G G G 'V 'V n V1 n  V 2 n V1  V 2 G G G G G G 'S V 'S V t S V1 t  S V2 t S V1  S V2

(2.30)

(2.31)

kann man eine Differenzenform der Stetigkeitsbedingungen angeben. Differenzenform. Die Grenzflächenbedingungen 2.29 lauten nun mit 2.30 und 2.31: G G G G ' E1 ˜ t ' E 2 ˜ t G G G G ' D1 ˜ n ' D2 ˜ n G G G G ' H1 ˜ t ' H 2 ˜ t G G G G ' B1 ˜ n ' B2 ˜ n

(2.32)

Dabei gilt: G G VQ EQ  H nQ G G G ' DQ DQ  V Q G G G ' H Q H Q  S VQ G G G ' BQ BQ  P o S VQ G ' EQ

(2.33)

für Q 1,2 .

Die H nQ sind die Dielektrizitäten in Normalenrichtung zur Grenzfläche.

2.2.5 Feldgleichungen an Grenzflächen 2.2.5.1 Grundzusammenhänge Ausgangspunkt. Bisher wurde für die gezeigten Ansätze das Kollektiv von Photonen und Ladungsträgern gemeinsam betrachtet. Die Maxwellsche Theorie sagt aus, dass die Feldgleichungen sowohl für G die G Photonen G G als auch für die Ladungsträger gelten. In 2.33 beschreiben Nimmt man Felder auf oder durch Flächen die Feldvektoren E Q , DQ , H Q , BQ das Gesamtfeld. G G V und S das an, so kennzeichnen die Terme mit VQ G elektromagnetische Feld der LadungsträG G Q G ger und die Differenzen 'E Q , 'DQ , 'H Q und 'BQ das elektromagnetische Feld der Photonen. Die Überlagerung der einzelnen Anteile in 2.33 ist zulässig, da lineare Stoffe vorausgesetzt werden. Bei alleiniger Anwesenheit der Ladungsträger sind die in 2.33 gebildeten Differenzen Null.

2.2 Grenzflächenbedingungen

9

Gleichungssystem für die Photonen. Die Feldgleichungen für die Photonen lauten:

G rot ' E

G w'B  wt

(2.34)

G rot ' H

G G w'D 'S  wt

(2.35)

G div ' D 0 G div ' B 0 G G ' D H' E G G 'S N'E G G ' B Po ' H

(2.36)

(2.37) (2.38) (2.39) (2.40)

Gleichungssystem für die Ladungsträger. Für die Ladungsträger gelten die Feldgleichungen: G w SV P o H n wt G G Nn G w V rot S V V Hn wt G div V U G rot V

G div S V

0

(2.41) (2.42) (2.43) (2.44)

.

In 2.34 bis 2.44 ist dabei der Index Q aus 2.33 weggelassen. Zu diesen Gleichungssystemen gelangt man wie folgt: x Induktionsgesetz: G rot E

G wB  wt

G G G 1 G w SV w'B rot 'E  rot V   Po Hn wt wt G G Mit rot ' E  ' B erhalten Sie: G G w SV rot V P o H n wt

10

2 Grundlagen

x Durchflutungsgesetz: G rot H

G G wD S wt G G G w'D wV  S wt wt

G G G w'D wV NE   wt wt G G G G G G w ' D Nn G w V G NV w'D wV N'E    'S   V 

Hn wt wt wt Hn wt G

G G rot ' H  rot S V

' S

G G ' S  ' D gilt: G G Ln G s T T+ rot ST = Fn st

G Mit rot ' H

N n ist die Leitungsfähigkeit in Normalenrichtung zur Grenzfläche.

x Grundgesetz der Elektrostatik: G div D U G G o div ' D  div V U . Mit V

w 2 Q / w F und U

G div V

wV wz

w3 Q wz wF

w 3 Q / w V sieht man ein, dass w3 Q wV

U,

wobei w V w z w F gilt. Daraus folgt G div ' D 0 . x Grundgesetz der Magnetostatik: G div B 0 G G o div ' B  P o div S V 0 G G o div ' B  P o div S V

Wegen 2.34 gilt G div rot ' E 0

0

G div ' B

Damit ergibt sich auch G div S V 0 Die Lösung der Feldgleichungen für die Ladungsträger ist für einen Spezialfall Gegenstand der Aufgabe A 2.1.

2.2 Grenzflächenbedingungen

11

Punktladung und Punktphoton. Führt man als Modelle für die Ladungsträger und Photonen die Punktladung und das Punktphoton ein, so lassen sich beide Felder nach Bild 2-2 veranschaulichen. a) b) G G  S V ,  SV

+

G G  'B , 'H G G N G wV V, n V  Hn wt

G G G w 'D 'D , 'S  wt

Punktladung

Punktphoton Bild 2-2

Feldbilder a) Punktladung b) Punktphoton

Das Punktphoton kann dabei in der Bewegung als Vereinigung von Elektron und Loch aufgefasst werden. Aus Punktladungen und Punktphotonen kann man kompliziertere Ladungs- und Photonenverteilungen im Raum zusammensetzen. Für die nachfolgenden Betrachtungen werden grundsätzlich Punktladungen und Punktphotonen vorausgesetzt. Damit befindet sich an einem Ort entweder eine Punktladung oder ein Punktphoton, und es wird nur die Wirkung der zugehörigen Felder auf die Emissions-, Transmissions- und Absorptionseigenschaften untersucht.

2.2.5.2 Photonenstromdichte G Divergenz. Die Divergenz der Photonenstromdichte ' S erhalten Sie aus 2.35:

G div rot ' H G o div ' S

G w G div ' S  div ' D w t 

0

0

0

(2.45)

G In Worten: Die Divergenz von ' S ist überall gleich Null.

Stetigkeitsbedingung. Mit dem Integralsatz von Gauß nach 2.12 gilt unter Beachtung von 2.45 und Bild 2-1 a: G G G ¨v % S ¸ d F = ¨ div % S dV = 0 G G G ³ ' S1  ' S 2 ˜ n dF

G G o ' S1 ˜ n

0

G G ' S2 ˜ n

In Worten: Die Normalkomponente der Photonenstromdichte ' S n fläche zweier Medien stetig.

(2.46 a) G G ' S ˜ n ist an der Grenz-

12

2 Grundlagen G G N ' E Q und S Q G G N G ' S Q S Q  nQ V Q H nQ

G Mit ' S Q

G N Q E Q gilt dabei

(2.46 b)

für Q 1, 2 .

2.2.5.3 Relaxationszeit Aus 2.42 ergibt sich durch Divergenzbildung und Berücksichtigung von 2.43: G div rot S V

G w G Nn V div div V N N Hn wt U

o

0

U

w U Nn  U 0 w t Hn

(2.47)

Diese Differenzialgleichung für die Raumladungsdichte U besitzt folgende Lösung: § N · G G U r , t U o ( r ) exp ¨¨  n t ¸¸ (2.48 a) © Hn ¹ G In Worten: Eine am Ort r zur Zeit t = 0 irgendwie zustande gekommene Raumladungsdichte G U o r zerstreut sich nach dem Gesetz 2.48a mit der Zeitkonstanten T

Hn , Nn

(2.48 b)

der so genannten Relaxationszeit.

2.2.5.4 Energiebilanz Poynting-Vektoren. Will man Aussagen über die Energiebilanz in elektromagnetischen Feldern treffen, wird der Poynting-Vektor bzw. seine Divergenz benötigt. Die Poynting-Vektoren lassen sich in den Darstellungen x Poynting-Vektor für das Gesamtfeld G G G Sp E u H

(2.49)

x Poynting-Vektor für das Photonenfeld G G G 'Sp 'E u 'H

(2.50)

x Poynting-Vektor für das Ladungsträgerfeld G G G V uS S pV V

(2.51)

Hn

definieren. Führt man Geine Einheitenbetrachtung für 2.49 bis 2.51 durch, ergibt sich z. B. für den Poynting-Vektor S p :

2.2 Grenzflächenbedingungen

>SG p @

V A ˜ m m

13

W

m2 G Also hat S p den Charakter einer Leistungsdichte.

Divergenz der Poynting-Vektoren. Aus Vorstehendem erhält man für die Divergenz der Poynting-Vektoren: G G G G G G G G G G wD G wB (2.52)  div S p E ˜ rot H  H ˜ rot E S ˜ E  E ˜ H˜ wt wt G G G G G G G G G G w'D G w'B (2.53) 'H ˜  div ' S p ' E ˜ rot ' H  ' H ˜ rot ' E ' S ˜ ' E  ' E ˜ wt wt G G G G G G G G G wS V V Nn G G V w V V˜V  ˜  Po SV ˜ V  div S pV ˜ rot S V  S V ˜ rot (2.54) wt Hn w t Hn Hn H2 n

G G G Poyntingscher Satz. Mit S p ' S p  S pV lautet der Poyntingsche Satz G G G div S p div ' S p  div S pV

(2.55)

Aus 2.33, 2.46 b und 2.52 folgt G  div S p

G Nn G · § G V · ¸ V ¸¸ ˜ ¨¨ ' E  H n ¸¹ Hn ¹ © G G G § G V · w ¸¸ ˜ 'DV  ¨¨ ' E  Hn ¹ w t © § G ¨¨ ' S  ©





G G G G w ' B  Po SV  'H S V ˜ wt G G div ' S p  div S pV





(2.56)

G G V G N G  n V˜'E 'S ˜ Hn Hn G G G G wV V w'D ˜  'E˜ wt w t Hn G G G w SV G w ' B  SV ˜  Po ' H ˜ wt wt

Wechselwirkungsrelation. Unter Zuhilfenahme der Materialgleichungen 2.38 bis 2.40 folgt aus 2.55 und 2.56 die Wechselwirkungsrelation zwischen Photonen- und Ladungsträgerfeld N w ' wM w ' wE  2 n ' wE  wt Hn wt

0

(2.57)

14

2 Grundlagen

Dabei sind ' w E und ' wM die Wechselwirkungsenergiedichten des elektrischen und magnetischen Feldes: x Wechselwirkungsenergiedichte des elektrischen Feldes G G V G G ' wE V ˜ ' E ˜'D Hn x Wechselwirkungsenergiedichte des magnetischen Feldes G G G G ' wM P o S V ˜ ' H S V ˜ ' B

(2.58)

(2.59)

Orthogonalitätsrelation. Die Wechselwirkungsenergiedichten verschwinden, wenn die entsprechenden Felder der Ladungsträger und Photonen orthogonal zueinander sind. G G G G ' wE 0 o V ˜ ' E 0, V ˜ ' D 0 (2.60) G G G G ' wM 0 o S V ˜ ' H 0, S V ˜ ' B 0 2.60 soll als Orthogonalitätsrelation bezeichnet werden. Parallelitätsrelationen. Die Wechselwirkungsenergiedichten sind maximal bzw. minimal, wenn die entsprechenden Felder parallel oder antiparallel zueinander sind: x Parallelitätsrelation V 'D Hn

' w E max

V' E

' w M max

Po SV ' H

(2.61)

SV ' B

x Antiparallelitätsrelation V 'D Hn

' w E min

V ' E

' w M min

P o S V ' H



(2.62)

SV ' B .

Für 2.61 und 2.62 sind dabei nichtverschwindende Felder vorausgesetzt. Um die Wechselwirkungsrelation 2.57 zu erfüllen, muss nach 2.61 und 2.62 die eine Wechselwirkungsenergiedichte maximal und die andere minimal sein. Ein Beispiel für die Parallelitätsrelationen enthält Aufgabe A2.2. Anwendungen. In optoelektronischen Sende- und Empfangsbauelementen realisiert man offenbar die Parallelitäts-(Antiparallelitäts-)Relation 2.61, 2.62 zwischen Ladungsträger- und Photonenfeld. In Lichtwellenleitern (LWL) zur Übertragung optischer Signale gilt die Orthogonalitätsrelation 2.60. Bild 2-3 zeigt diese Zusammenhänge am Beispiel der Kopplung eines optoelektronischen Sendebauelements mit einem LWL. Für das Photonenfeld wurde dabei eine ebene Welle als Lösung der Feldgleichungen vorausgesetzt.

2.2 Grenzflächenbedingungen

15

I = konst

G SV

G V

G G V 0 G G SV z 0

a) Sendebauelement

Lichtwellenleiter

I = konst

G 'E

G 'H G 'S p

G 'H

b) Sendebauelement Bild 2-3

G 'E

G 'S p

Lichtwellenleiter

Zur Wechselwirkungsrelation a) Ladungsträgerfeld b) Photonenfeld für einen konstanten Strom I

Um die Wechselwirkungsrelation für den LWL zu erfüllen, ist eine Drehung der PolarisationsS ebene des Photonenfeldes um r erforderlich. Dieser Effekt soll als RT-Effekt bezeichnet 2 werden. R steht für Rotation und T für Transmission.

2.2.6 Ebene Wellen an Grenzflächen 2.2.6.1 Übergang isotrop o anisotrop Grenzschicht. Betrachtungsgegenstand ist eine dielektrische Grenzschicht mit dem Übergang vom isotropen in ein anisotropes Medium nach Bild 2-4.

16

2 Grundlagen

anisotrop

isotrop H1

H 0 n12

§Hx ¨ ¨0 ¨ ¨0 ©

H

G kR

0

0· ¸ 0¸ ¸ H z ¸¹

Hy 0

G k yT

z’

G k xT

0

M G kq

z

Grenzschicht y

Bild 2-4

Grenzschicht isotrop o anisotrop

G G G G In Bild 2-4 bezeichnen k q , k R , k xT , k yT die Wellenvektoren der einfallenden, reflektierten G und transmittierten ebenen Welle. Der Wellenvektor k q liege in der yz-Ebene, und M ist der Einfallswinkel der Quellenwelle. Das isotrope Medium wird durch die Dielektrizitätskonstante H1 beschrieben, die sich zusammensetzt aus der absoluten Dielektrizitätskonstanten Ho und der optischen Brechzahl n1 . Der Dielektrizitätstensor H des anisotropen Mediums besitze Diagonalform mit den Hauptdielektrizitäten H x , H y , H z , die auch komplex sein können. Die Ableitung der komplexen Dielektrizitätskonstanten enthält Anhang A1. Ansätze. Angesetzt wird mit einer ebenen Quellenwelle der elektrischen Verschiebungsflussdichte für das Photonenfeld als Transversalwelle in der Form § D x'  y , z · ¸ ¨ ¨ D ( y , z )¸ y ' ¹ ©

G ˆ exp  j k ˜ rG eG D o q





ˆ exp  j E' y sin M  j E' z cos M eG D o

mit dem Wellenvektor

G kq

Ortsvektor

G r

G G E' sin M e y  E' cos M e z , G G y e y  z ez ,

und dem Polarisationseinheitsvektor G e

§ e x' exp  j \ x' · ¸ ¨ ¨¨ e exp  j \ ¸¸ , y' ¹ © y'





(2.63)

2.2 Grenzflächenbedingungen wobei e x'

2

 e y'

2

17

1 gilt,

ˆ . sowie der Feldamplitude D o

Z n1 ist die Phasenkonstante der einfallenden Welle. Im übrigen schreiben wir den genec rellen Faktor der Zeitabhängigkeit exp  j Z t nicht mit. Auch das Differenzzeichen ' für das Photonenfeld wird für eine bequemere Schreibweise weggelassen. Es werden hier ausschließlich Photonenfelder betrachtet. E'

Das Quellenfeld auf der linken Seite der Grenzfläche bei z § D xq  y , 0  · ¨ ¸ ¨ D  y , 0 ¸  ¸ ¨ yq ¨¨ ¸¸ © D zq  y , 0  ¹

0 · §1 ¸ § D x'  y , 0  · ¨ ¸ ¨ 0 cos M ¸ ¨ ¸ ¨ D  y . 0 ¸ ¨  ¹ ¨ 0 sin M ¸ © y' ¹ ©

0 ergibt sich aus

(2.64)

Die Materialgleichungen beider Medien lauten x für die einfallende Welle § D xq  y , 0  · ¨ ¸ ¨ D y, 0 ¸  ¸ ¨ yq ¨¨ ¸¸ © D zq  y , 0  ¹

§ E xq  y , 0  · ¨ ¸ ¨ H1 ¨ E yq  y , 0  ¸¸ ¨¨ ¸¸ © E zq  y , 0  ¹

(2.65)

x für die reflektierte Welle § D xR  y , 0  · ¸ ¨ ¨ D  y , 0 ¸  ¸ ¨ yR ¨ D y, 0 ¸  ¹ © zR

§ E xR  y , 0  · ¸ ¨ H1 ¨ E yR  y , 0  ¸ ¸ ¨ ¨ E  y , 0 ¸  ¹ © zR

(2.66)

x für die transmittierte Welle § D xT  y , 0  · ¸ ¨ ¨ D  y , 0 ¸  ¸ ¨ yT ¨ D  y , 0 ¸  ¹ © zT

§Hx ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0 Hy 0

0 · § E xT  y , 0  · ¸ ¸¨ ¨ ¸ 0 E yT  y , 0  ¸ ¸ ¸¨ ¨ ¸ H z ¹ © E zT  y , 0  ¸¹ .

(2.67)

Als Ansätze für die elektrischen Feldstärken von einfallender, reflektierter und transmittierter ebener Welle sind zweckmäßig: x einfallende Welle § E xq  y , z · ¸ ¨ ¨ E  y , z ¸ ¸ ¨ yq ¸ ¨¨ zq  y , z ¸¹ ©E G 

Eq

§ Eˆ xq · ¨ ¸ ¨ˆ ¸ ¨ E yq ¸ exp > j E' y sin M  E' z cos M @ ¨¨ ˆ ¸¸ zq ¹ ©E G

E qo

(2.68)

18

2 Grundlagen

x reflektierte Welle § Eˆ xR · ¸ ¨ ¨ˆ ¸ ¨ E yR ¸ exp  j k yR y  k zR z ¨¨ ˆ ¸¸ zR ¹ ©E G

§ E xR  y , z · ¸ ¨ ¨ E  y , z ¸ yR ¸ ¨ ¨ E  y ,z ¸ zR 

¹ ©  G  ER

> 

@

(2.69)

>  >  > 

@·¸ @¸¸ @ ¸¸¹

(2.70)

E Ro

x transmittierte Welle § Eˆ xT exp  j k yT y  E xT z ¨ ¨ˆ ¨ E yT exp  j k yT y  E yT z ¨¨ ˆ © E zt exp  j k yT y  E yT z

§ E xT  y , z · ¨ ¸ ¨ E  y , z ¸ ¨ yT ¸ ¨ E  y , z ¸ zT 

© ¹  G  ET

mit

G k xT

G G G k yT e y  E xT e z , k yT

G G k yT e y  E yT e z

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt für die Quellenwelle G E qo

mit

G kq



1

G G G k q u k q u E qo



(2.71)

§ E' 2 sin 2 M Eˆ  E' 2 cos 2 M Eˆ · xq xq ¨ ¸ ¨ 2 ¸ 1 2 2 ˆ ˆ ¨ E' cos M sin M E zq  E' cos M E yq ¸ 2 Z P o H1 ¨ ¸ ¨ E' 2 sin 2 M Eˆ zq  E' 2 cos M sin M Eˆ yq ¸ © ¹

(2.72)

Z2 P o H1



G G E' sin M e y  E' cos M e z

In ausgeschriebener Form lautet 2.71: § Eˆ xq · ¸ ¨ ¨ˆ ¸ ¨ E yq ¸ ¨¨ ˆ ¸¸ © E zq ¹

Aus der ersten Zeile von 2.72 erhalten Sie

E' 2

Z2 P o H1

o E'

(2.73)

Z P o H1

für Ausbreitung in positive zc-Richtung. Außerdem folgt aus 2.72: Eˆ zq

Eˆ yq tan M

(2.74)

Für die reflektierte Welle folgt aus den Maxwell-Gleichungen in Analogie zu 2.71:

G E Ro



1 Z2 P o H1

G G G k R u k R u E Ro





(2.75)

2.2 Grenzflächenbedingungen

19

mit

G kR

G G k yR e y  k zR e z

Aus 2.75 erhält man G §  k 2 E  k 2 Eˆ · ¨ yR xR zR xR ¸ ¨ ¸ 1 2 ˆ ˆ  ¨ k yR k zR E zR  k zR E yR ¸ 2 Z P o H1 ¨ ¸ ¨  k 2yR Eˆ zR  k yR k zR Eˆ yR ¸ © ¹

§ Eˆ xR · ¨ ¸ ¨ˆ ¸ ¨ E yR ¸ ¨¨ ˆ ¸¸ © E zR ¹

(2.76)

Die erste Zeile von 2.76 liefert 2 k 2yR  k zR

Z2 P o H1

(2.77)

Außerdem erbringt 2.76: Eˆ zR



k yR k zR

Eˆ yR

(2.78)

Für die transmittierte Welle folgt auch im verlustbehafteten Medium aus den MaxwellGleichungen G G rot ET  jZ P o H T G G (2.79) rot H T j Z DT G G DT H ET . G G Daraus ergibt sich bei Elimination von H T und DT : G G rot rot ET Z2 P o H ET (2.80) G Für die Rotation von ET gilt allgemein s E G s E yT ¬­ G zT ­­ ex rot ET = žžž  žŸ s y s z ®­  s E xT s E zT ¬­ G ­­ e y + žžž  s x ®­ Ÿž s z s E s E xT yT ž + žž  žžŸ s x sy

(2.81)

¬­ G ­­ e ­ z ®­

Beachtet man, dass das vorgestellte Grenzflächenproblem nicht von x abhängt, dann entfallen alle partiellen Ableitungen nach x. Damit gilt:

20

2 Grundlagen 2 § w2 E xT  w E xT ¨ ¨ w y2 w z2 ©

G rot rot ET

2 § w2 E zT  w E yT  ¨¨ ¨ w y wz w z2 ©

·G ¸e ¸ x ¹

·G ¸e ¸¸ y ¹

§ w2 E w 2 E yT ¨ zT  ¨  w y wz ¨ w y2 ©

(2.82)

·G ¸e ¸¸ z ¹

Wird 2.82 in 2.80 eingesetzt, so erhalten Sie das Gleichungssystem 





w 2 E xT w 2 E xT  w y2 w z2 w 2 E yT

Z2 P o H x E xT

w 2 E zT w y wz

Z2 P o H y E yT

2 w 2 E zT w E yT  w y wz w y2

Z2 P o H z E zT

w z2



(2.83)

Die Lösung von 2.83 ergibt sich mit 2.70 und lautet: E xT

Z2 P o H x  k 2yT

E yT

Z2 P o H y 

Eˆ zT

k yT 

Hy Hz

(2.84) k 2yT

Z2 P o H y 

Hy

Hz 2 Z P o H z  k yT 2

(2.85) k 2yT

Eˆ yT

(2.86)

Die Ansätze für die magnetischen Feldstärken sind gegeben x für die einfallende Welle durch § H xq  y , z · ¸ ¨ ¨ H  y , z ¸ ¸ ¨ yq ¸ ¨¨ zq  y , z ¸¹ ©H  G 

 Hq

§ Hˆ xq · ¸ ¨ ¨ˆ ¸ ¨ H yq ¸ exp > j E' y sin M  j E' z cos M@ ¨¨ ˆ ¸¸ zq ¹ ©H G

H qo

(2.87)

2.2 Grenzflächenbedingungen

21

x für die reflektierte Welle in der Form § H xR  y , z · ¸ ¨ ¨ H  y , z ¸ ¸ ¨ yR ¨ H  y ,z ¸ zR 

¹ ©  G  HR

§ Hˆ xR · ¸ ¨ ¸ ¨ˆ ¨ H yR ¸ exp  j k yR y  k zR z ¨¨ ˆ ¸¸ H zR ¹ © 

G

> 

@

(2.88)

@·¸ @¸¸ @¸¸¹

(2.89)

H Ro

x für die transmittierte Welle in der Darstellung

§ H xT  y , z · ¸ ¨ ¨ H  y , z ¸ ¸ ¨ yT ¨ H  y , z ¸ zT 

¹ ©  G 

>  >  > 

§ Hˆ xT exp  j k yT y  E yT z ¨ ¨ˆ ¨ H yT exp  j k yT y  E xT z ¨¨ ˆ © H zT exp  j k yT y  E xT z

HT

Aus dem Induktionsgesetz folgt mit 2.87

x für die Quellenwelle G G 1 G H qo k q u E qo ZP o § Hˆ xq · ¸ ¨ ¨ˆ ¸ ¨ H yq ¸ ¨¨ ˆ ¸¸ © H zq ¹

(2.90 a)

§  E' sin M Eˆ zq  E' cos M Eˆ yq · ¸ ¨ 1 ¨ ¸ ˆ E' cos M E xq ¸ ¨ ZP o ¸¸ ¨¨ ˆ E' sin M E xq ¹ ©

x für die reflektierte Welle G G 1 G H Ro k R u E Ro ZP o § Hˆ xR · ¸ ¨ ¸ ¨ˆ ¨ H yR ¸ ¨¨ ˆ ¸¸ © H zR ¹

§ k yR ¨ 1 ¨ ZP o ¨ ¨¨ ©

Eˆ zR  k zR Eˆ yR · ¸ ¸ ˆ k zR E xR ¸ ¸¸ ˆ  k yR E xR ¹

x für die transmittierte Welle G G 1 HT  rot ET j ZP o § w E zT w E yT · G w E xT G w E xT G ¨ ¸ ¨ w y  w z ¸ ex  w z e y  w y ez © ¹

G rot ET

§ Hˆ xT ¨ ¨ˆ ¨ H yT ¨¨ ˆ © H zT

· ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¹

§ k yT ¨ 1 ¨ ZP o ¨ ¨¨ ©

Eˆ zT  E yT Eˆ yT · ¸ ¸ ˆ E xT E xT ¸ ¸¸ ˆ  k yT E xT ¹

(2.90 b)

(2.91 a)

(2.91 b)

(2.92)

(2.93 a)

(2.93 b)

22

2 Grundlagen

Stetigkeitsbedingungen. Nachdem prinzipielle Zusammenhänge für die Parameter der ebenen Wellen aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet wurden, erfolgt nun die wechselseitige Anpassung der Lösungen links und rechts der Grenzschicht nach Bild 2-4 mit Hilfe der Stetigkeitsbedingungen 2.32. Dazu setzt man die Überlagerung von einfallender und reflektierter Welle gleich der transmittierten Welle in der Ebene z 0 . Für die x-Komponenten der elektrischen Feldstärke gilt E xq  y , 0   E xR  y , 0  E xT  y , 0 



Eˆ xq exp  j E' y sin M  Eˆ xR exp  j k yR y





Eˆ xT exp  j k yT y



(2.94)

Rechts und links von 2.94 muss die gleiche y-Abhängigkeit stehen. Daraus folgt k yT

k yR

Eˆ xT

Eˆ xq  Eˆ xR

Z P o H1 sin M ,

E' sin M

(2.95) (2.96)

Unter der Voraussetzung 2.95 liefert die Stetigkeitsbedingung für die y-Komponenten der magnetischen Feldstärke mit 2.87 bis 2.89 und 2.90 bis 2.93: H yq  y , 0   H yR  y , 0  Hˆ yq  Hˆ yR E' cos M Eˆ xq  k zR Eˆ xR

H yT  y , 0  Hˆ yT

(2.97)

E xT Eˆ xT .

Aus 2.77 ergibt sich mit 2.95:

k zR

 Z P o H1 cos M

(2.98)

Für die Phasenkonstante E xT gilt mit 2.84 und 2.95:

E xT



Z P o H x  H1 sin 2 M



(2.99)

Aus 2.96 und 2.97 können bei Beachtung von 2.98 und 2.99 die Feldamplituden Eˆ xT , Eˆ xR bei vorgegebenen Materialeigenschaften, bekannten Einfallswinkel M und vorgegebener Amplitude der Quellenwelle Eˆ xq berechnet werden, sehen Sie 2.100. 1 § ¨ ¨ H  H sin 2 M 1 x ©

· § Eˆ xT · ¸ ¸¨ H1 cos M ¸¹ ¨© Eˆ xR ¸¹ 1

Die Lösung von 2.100 lautet mit H1 x-Richtung:

1 § · ¨ ¸ Eˆ ¨ H cos M ¸ xq © 1 ¹

H o n12 und H x

(2.100)

H o n 2x sowie n x als Hauptbrechzahl in

2.2 Grenzflächenbedingungen Eˆ xT ai T xT

Eˆ xR ai T xR

23

ai ˆ T xT E xq

(2.101)

2 n1 cos M

(2.102)

n1 cos M  n x2  n12 sin 2 M ai E ˆ T xR xq

(2.103)

n1 cos M 

n x2  n12 sin 2 M

n1 cos M 

n 2x  n12 sin 2 M

(2.104)

ai und T ai sind der Transmissions- und der Reflexionsfaktor für die x-Komponente der T xT xR elektrischen Feldstärke am Übergang isotrop o anisotrop.

In Analogie dazu ergibt sich aus E yT  y , 0  E yR  y , 0   E yq  y , 0 

(2.105)

H xT  y , 0  H xR  y , 0   H xq  y , 0 

das Gleichungssystem 1 § ¨ ¨ ¨ ¨ H H  H y H sin 2 M ¨ z y Hz 1 ¨ ¨ H z  H1 sin 2 M ©

 1 · § Eˆ · ¸ ¨ yT ¸ ¸¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸¨ ¸ H1 ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ Eˆ ¸ ¸ cos M © yR ¹ ¹

§ 1 · ¸ ¨ ¸ ˆ ¨ ¸ E yq ¨ ¨ H1 ¸ ¨ cos M ¸ ¹ ©

(2.106)

mit der Lösung

Eˆ yT

ai E ˆ T yT yq

(2.107) 2

ai T yT

n 2 n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n © z¹ 2

(2.108)

§n · n1 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M  n y cos M © nz ¹

Eˆ yR

ai E ˆ T yR yq

(2.109) 2

ai T yR

n n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n y cos M © nz ¹ 2

n n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n y cos M n © z¹

(2.110)

24

2 Grundlagen

ai , T ai ist der Transmissions-, Reflexionsfaktor für die y-Komponente der elektrischen T yT yR

Feldstärke und n y

Hy

, nz

Ho

Hz die Hauptbrechzahl in y-, z-Richtung. Ho

Transmissions- und Reflexionsmatrix. Damit können folgende Matrizenformen für das Transmissions- und Reflexionsverhalten der tangentialen elektrischen Feldstärkekomponenten angegeben werden: x Transmissionsverhalten § T ai ¨ xT ¨ ¨ 0 ©

§ E xT  y , 0  · ¨ ¸ ¨ E  y , 0 ¸  ¹ © yT

0 ·¸ § E xq  y , 0  · ¨ ¸ ¸¨ ai ¸  E y , 0 T yT ¸ © yq  ¹ ¹

(2.111)

x Transmissionsmatrix T Tai

§ T ai ¨ xT ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ai ¸¸ T yT ¹

(2.112)

x Reflexionsverhalten § E xR  y , 0  · ¨ ¸ ¨ E  y , 0 ¸  ¹ © yR

§ T ai ¨ xR ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ § E xq  y , 0  · ¨ ¸ ai ¸¸ ¨ E  y , 0 ¸ T yR  ¹ ¹ © yq

(2.113)

x Reflexionsmatrix

T ai R

§ T ai ¨ xR ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ai ¸¸ T yR ¹

(2.114)

Ansätze. Die bisherigen Ausführungen erbrachten eine Aussage über das Transmissions- und Reflexionsverhalten der tangentialen Komponenten der Feldstärken. Dabei spielten das Induktions- und Durchflutungsgesetz eine entscheidende Rolle. Es ist nun zu erwarten, dass die Grundgesetze der Elektro- und Magnetostatik Aussagen über die Normalkomponenten der G G D und der magnetischen Induktion B liefern. Dazu elektrischen Verschiebungsflussdichte G verwendet man für D folgende Ansätze:

x einfallende Welle § D x q  y , z · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ D y q y, z ¸ ¨¨ ¸ z q  y , z ¸¹ ©D   

G Dq

ˆ §D · ¨ xq ¸ ¨ˆ ¸ ¨ D y q ¸ exp > j E' y sin M  j E' z cos M@ ¨¨ ˆ ¸ D z q ¸¹ ©  

G D qo

(2.115)

2.2 Grenzflächenbedingungen

25

x reflektierte Welle § D x R  y , z · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D y R  y , z ¸ ¸ ¨¨ z R  y , z ¸¹ ©D 

G  DR

ˆ · §D ¨ xR ¸ ¸ ¨ˆ ¨ D y R ¸ exp > j E' y sin M  E' z cos M @ ¸ ¨¨ ˆ D z R ¸¹ © 

G

(2.116)

D Ro

x transmittierte Welle

§ D x T  y , z · ¸ ¨ ¸ ¨  D y , z ¸ ¨ yT ¸ ¨¨ z T  y , z ¸¹ ©D 

G 

> k yT y  E xT z @·¸ > k yT y  E yT z @¸¸ > k yT y  E yT z @¸¸¹

ˆ §D exp  j ¨ xT ¨ˆ ¨ D yT exp  j ¨¨ ˆ © D zT exp  j

(2.117)

DT

G Divergenzen. Für die Quellenwelle folgt aus div Dq G G k q ˜ Dqo 0

ˆ  E' cos M D ˆ o E' sin M D yq zq ˆ o D yq

(2.118 b)

G Für die reflektierte Welle erhalten Sie aus div D R G G k R ˜ D Ro 0

ˆ o D zR

(2.118 a)

0

ˆ . cot M D zq

ˆ ˆ o E' sin M D yR  E' cos M D zR

0:

0:

(2.119 a)

0

ˆ  tan M D yR

(2.119 b)

Aus den Materialgleichungen für das isotrope Medium mit H1 und 2.104 erhalten Sie bei Beachtung von 2.118 b, 2.119 b: ˆ D zR

ˆ  tan M D yR

 tan M H1 Eˆ yR

ai ˆ  tan M H1 T yR E yq ai ˆ  tan M T yR D yq ai ˆ  tan M cot M T yR D zq

ˆ D zR

ai D ˆ T yR zq

ai o TzR

ai TyR

ai D ˆ TzR zq

(2.120) (2.121)

Dabei beschreibt 2.120 das Reflexionsverhalten für die z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte, das verallgemeinert wie folgt dargestellt werden kann:

26

2 Grundlagen

x Reflexionsverhalten ai D  y , 0 D zR  y , 0  TzR zq 

(2.122)

G ai TzR ist der Reflexionsfaktor für die z-Komponente von D :

x Reflexionsfaktor 2

n n y cos M  n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n © z¹

ai TzR

(2.123)

2 n n y cos M  n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M © nz ¹

Für die übertragene Welle gilt: G div DT 0

o

w D yT wy



w D zT wz

(2.124 a)

(2.124 b)

0

Mit

>  @ ˆ exp > j k D zT yT y  E yT z @

D yT  y , z H y Eˆ yT exp  j k yT y  E yT z D zT  y , z

folgt aus 2.124 b: ˆ D zT



k yT E yT

H y Eˆ yT

und weiter mit 2.85 und 2.95: Hy

ˆ D zT

Hy 

H1 sin M Hy Hz

H1 sin 2 M

Eˆ yT

(2.125)

Für Eˆ yT gilt: Eˆ yT

ai E ˆ T yT yq ai T yT

H1

ai cot M E ˆ T yT zq

ˆ cot M D zq

.

Eˆ yT eingesetzt in 2.125 ergibt mit H1

Ho n12 , H y

H o n 2y und H z

Ho n z2 :

2.2 Grenzflächenbedingungen

27

n y cos M

ˆ D zT n1

§n 2 · 1  ¨ 1 sin 2 M ¸ ¨ nz ¸ ©

ai ˆ T yT D zq

(2.126)

¹

ai ˆ TzT D zq .

Damit erhalten Sie das x Transmissionsverhalten ai D zT  y , 0  T zT D zq  y , 0 

(2.127)

mit dem x Transmissionsfaktor ai TzT

2 n y cos M

(2.128)

2

n n1 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n y cos M © nz ¹

für die z-Komponenten der Verschiebungsflussdichte. Zum Schluss dieses Unterabschnittes wird gezeigt, dass das Grundgesetz der Magnetostatik durch die bisherigen Ansätze und Lösungen automatisch erfüllt ist. Ohne das Differenzzeichen ' für das Photonenfeld schreibt man zunächst für ebene Wellen: G G div B P o div H 0 G o div H 0 G o jZ div H 0 G o div H 0 .

(2.129)

x Für die Quellenwelle gilt demzufolge G div H q 0 o E' sin M Hˆ yq  E' cos M Hˆ zq Hˆ yq

E' cos M ˆ E xq Z Po

Hˆ zq

E' sin M ˆ E xq ZP o



0

o E' 2 cos M sin M  E' 2 cos M sin M

(2.130)

ˆ

ZEPxqo 0

0 0 .

28

2 Grundlagen

x Für die reflektierte Welle ergibt sich G div H R 0

o  k yR Hˆ yR  k zR Hˆ zR Hˆ yR Hˆ zR

0

k zR ˆ E xR Z P0  k yR Z Po

(2.131)

Eˆ xR



o  k yR k zR  k yR k zR

ˆ

ZE PxR

0

o

0 0.

x Für die übertragene Welle folgt aus G div HT 0:  k yT Hˆ yT  E xT Hˆ zT Hˆ yT Hˆ zT



0

E xT ˆ E xT Z Po  k yT Z Po

(2.132)

Eˆ xT

o  k yT E xT  k yT E xT

ˆ

ZE xT P

0

0

0.

o

Durch Multiplikation von 2.130 bis 2.132 mit P o erkennt man, dass das Grundgesetz der Magnetostatik auch für die magnetische Flussdichte automatisch erfüllt ist.

2.2.6.2 Übergang anisotrop o isotrop Grenzschicht. Bild 2.5 zeigt die dielektrische Grenzschicht mit dem Übergang von einem anisotropen in ein isotropes Medium.

2.2 Grenzflächenbedingungen

29

anisotrop H

0

§Hx ¨ ¨0 ¨ ¨0 ©

isotrop

0· ¸ 0¸ ¸ H z ¸¹

Hy 0

H 0 n32

H3

G k yR

G k xR

G kT Mout

z

L G k xq G k yq Bild 2-5

y

Grenzschicht anisotrop o isotrop

G G In Bild 2-5 bezeichnen k xq , k yq der einfallenden ebenen Wellen als so G die Wellenvektoren G genannte Polarisationsmoden. k xR und kG yR stellen die Wellenvektoren für die reflektierten Anteile der Polarisationsmoden dar und kT kennzeichnet den Wellenvektor für die transmittierte ebene Welle, die unter dem Winkel M out läuft. Das isotrope Medium lässt sich durch die Dielektrizitätskonstante H 3 oder die optische Brechzahl n3 beschreiben. Für das anisotrope Medium gilt der Dielektrizitätstensor H mit den Hauptdielektrizitäten H x , H y , H z als Diagonalform. Ansätze. Angesetzt wird mit den elektrischen Feldstärken der x Quellenwelle § E xq  y , z · § Eˆ xq exp > j E' y sin M  E xT z  L @· ¸ ¸ ¨ ¨ ¸ ¨ E  y , z ¸ ¨ Eˆ ¸ ¨ yq exp j E' y sin M  E yT z  L ¸ ¨ yq ¸ ¸ ¨ˆ ¨¨ zq  y , z ¸¹ ¨© E zq exp j E' y sin M  E yT z  L ¸¹ ©E 

G 

> >

@ @

>  >  > 

@ ·¸ @¸¸ @¸¸¹

(2.133)

Eq

x reflektierten Welle § E xR  y , z · ¨ ¸ ¨ E  y , z ¸ ¨ yR ¸ ¨ E  y , z ¸ zR ©  G 

¹ ER

§ Eˆ xR exp  j k yR y  E xR z  L ¨ ¨ˆ ¨ E yR exp  j k yR y  E yR z  L ¨¨ ˆ © E zR exp  j k yR y  E yR z  L

(2.134)

30

2 Grundlagen

x transmittierten Welle § E xT  y , z · ¸ ¨ ¨E  y , z ¸ yT ¸ ¨ ¨ E y, z ¸ zT ©  G 

¹ ET

§ Eˆ xT · ¸ ¨ ¨ˆ ¸ ¨ E yT ¸ exp  j k yT y  k zT z  L ¨¨ ˆ ¸¸ zT ¹ ©E G

> 

@

(2.135)

ETo

Für die magnetischen Feldstärken lauten die Ansätze: x Quellenwelle § H xq  y , z · ¸ ¨ ¨ H  y , z ¸ ¸ ¨ yq ¸ ¨¨ zq  y , z ¸¹ ©H 

G 

> 

@

§ Hˆ xq exp j E' y sin M  E yT z  L · ¸ ¨ ¸ ¨ˆ ¨ H yq exp > j E' y sin M  E xT z  L @ ¸ ¸¸ ¨¨ ˆ © H zq exp > j E' y sin M  E xT z  L @ ¹

(2.136)

Hq

x reflektierte Welle § H xR  y , z · ¸ ¨ ¨H  y , z ¸¸ ¨ yR ¨ H  y , z ¸ zR  © 

¹ G

>  >  > 

@ ·¸ @ ¸¸ @ ¸¸¹

§ Hˆ xR exp  j k yR y  E yR z  L ¨ ¨ˆ ¨ H yR exp  j k yR y  E xR z  L ¨¨ ˆ © H zR exp  j k yR y  E xR z  L

(2.137)

HR

x übertragene Welle

§ H xT  y , z · ¨ ¸ ¨H  y , z ¸ yT ¨ ¸ ¨ H  y , z ¸ zT  © 

¹ G HT

§ Hˆ xT · ¨ ¸ ¨ˆ ¸ ¨ H yT ¸ ¨¨ ˆ ¸ H zT ¸¹ © 

G

> 

@

exp  j k yT y  k zT z  L

(2.138)

H To

Die gezeigten Ansätze für die elektrischen und magnetischen Feldstärken gelten unter der Voraussetzung, dass die dielektrische Grenzschicht nach Bild 2-5 an der Stelle z L ! 0 angeordnet ist und die Quellenwelle für Bild 2-5 der transmittierten Welle nach Bild 2-4 ohne seitliche Begrenzung parallel zur z-Achse entspricht. Außerdem werden nur die primären Reflexionen an den Grenzschichten nach Bild 2-4 und 2-5 berücksichtigt und nicht das Signalspiel durch Reflexion und Transmission zwischen den Grenzflächen bei z 0 und z L . Das ist näherungsweise immer dann zulässig, wenn sich die Dielektrizitäten H1 , H x , H y , H z , H 3 wenig unterscheiden. In Analogie zu Unterabschnitt 2.2.6.1 lassen sich aus den MaxwellGleichungen Bedingungen an die Parameter der ebenen Wellen nach 2.133 bis 2.138 ableiten. Nimmt man vorweg, dass auch hier

2.2 Grenzflächenbedingungen k yR

k yT

31 (2.139)

E' sin M

gilt und bestätigt diesen Sachverhalt im nachhinein durch die Stetigkeitsbedingungen, so folgt für die in den Wellenvektoren G G G k xq E' sin M e y  E xT e z G k yq

G K E' sin M e y  E yT e z

G k xR

G E' sin M e y  E xR e z

G k yR

G G E' sin M e y  E yR e z

G kT

G G E' sin M e y  k zT e z

stehenden Parameter



P o H x  H1 sin 2 M



E xR

E xT

Z

E yR

E yT

H  Z P o H y §¨1  1 sin 2 M ·¸ © Hz ¹

k zT

Z P o H 3  H1 sin 2 M



In 2.140 bezeichnet c kel M out erhält man mit E' tan M out

P o Ho

Z n 2x  n12 sin 2 M c 

2 Z n n y 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M c © nz ¹

2 Z n n3 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M c © n3 ¹

(2.140)

.

die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Den Brechungswin-

Z n1 aus c

E' sin M k zT

sin M out

1  sin 2 M out

o sin M out

1





n1 sin M n3 2

n 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n © 3¹

n1 sin M , n3

also aus dem Brechungsgesetz nach Snellius van Roijen.

(2.141)

32

2 Grundlagen

Stetigkeitsbedingungen. Das Gleichungssystem für die x-Komponenten der elektrischen Feldstärken erhalten Sie aus E xT  y , L E xR  y , L  E xq  y , L H yT  y , L H yR  y , L  H yq  y , L

und

(2.142)

Hˆ yT

k zT ˆ E xT Z Po

Hˆ yR

 E xT ˆ E xR Z Po

Hˆ yq

E xT ˆ E xq . Z Po

Damit gilt § 1 ¨ ¨k © zT

 1 · § Eˆ xT · ¸ ¸¨ ¨ ¸ ˆ E xT ¹ © E xR ¸¹

§ 1 ¨ ¨E © xT

· ¸ Eˆ . ¸ xq ¹

(2.143)

Die Lösung von 2.143 lautet: Eˆ xT ia T xT

Eˆ xR ia T xR

ia ˆ T xT E xq

2 n 2x  n12 sin 2 M n 2x  n12 sin 2 M  n32  n12 sin 2 M ia E ˆ T xR xq

n 2x  n12 sin 2 M  n32  n12 sin 2 M n 2x  n12 sin 2 M  n32  n12 sin 2 M

(2.144) (2.145)

(2.146)

(2.147)

ia und T ia sind der Transmissions- und Reflexionsfaktor für die x-Komponente der elekT xT xR trischen Feldstärke am Übergang anisotrop o isotrop bei z = L.

In Analogie dazu ergibt sich aus E yT  y , L E yR  y , L  E yq  y , L H xT  y , L H xR  y , L  H xq  y , L

und

(2.148)

2.2 Grenzflächenbedingungen

33

Hˆ xT

 E' sin M Eˆ zT  k zT Eˆ yT Z 1P

Hˆ xR

 E' sin M Eˆ zR  E yT Eˆ yR Z 1P

Hˆ xq

 E' sin M Eˆ zq  E yT Eˆ yq Z 1P

o

o

o

das Gleichungssystem · ¸ § Eˆ · ¸ ¨ yT ¸ ¸ ¸¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸¨ Hy ¸ ¸¨ H1 ¸ ¨ Eˆ yR ¸ 2 sin M ¸ © 1 ¹ Hz ¹

§ ¨ 1 ¨ ¨ ¨ ¨ H3 ¨ H1 ¨ 2 ¨ 1  H sin M 3 ©

· § ¸ ¨ 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ Eˆ ¨ ¸ yq ¨ Hy ¸ ¨ H1 ¨ 2 ¸ ¨ 1  H sin M ¸ z ¹ ©

1

(2.149)

mit der Lösung

Eˆ yT

ia E ˆ yq T yT

(2.150) 2

ia T yT

Eˆ yR

n 2 n y 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n © 3¹ 2

2

n n n y 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n3 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M © nz ¹ © n3 ¹

ia E ˆ T yR yq

(2.152) 2

ia T yR

(2.151)

2

n n n y 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n3 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n n © z¹ © 3¹

ny

2 n n 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n3 1  §¨ 1 n n © z © 3¹

2

(2.153)

· sin 2 M ¸ ¹

ia , T ia ist der Transmissions-, Reflexionsfaktor für die y-Komponente der elektrischen T yT yR Feldstärke am Übergang anisotrop o isotrop bei z L .

Transmissions- und Reflexionsmatrix. In Analogie zu Unterabschnitt 2.2.6.1 gelten am Übergang anisotrop o isotrop folgende Matrizenformen: x Transmissionsverhalten § E xT  y , L · ¨ ¸ ¨E ¸  y , L  ¹ © yT

§ T ia ¨ xT ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ § E xq  y , L · ¨ ¸ ¸¨ ia ¸  E y , L ¸ T yT © yq  ¹ ¹

(2.154)

34

2 Grundlagen

x Transmissionsmatrix T Tia

§ T ia ¨ xT ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ia ¸¸ T yT ¹

(2.155)

x Reflexionsverhalten § T ia ¨ xR ¨ ¨ 0 ©

§ E xR  y , L · ¨ ¸ ¨ E  y , L ¸  ¹ © yR

0 ·¸ § E xq  y , L · ¸ ¨ ia ¸¸ ¨ Eyq  y , L ¸ T yR ©  ¹ ¹

(2.156)

x Reflexionsmatrix T ia R

§ T ia ¨ xR ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ia ¸¸ T yR ¹

(2.157)

Ansätze. Zur Ermittlung des Transmission- und Reflexionsverhaltens der z-Komponenten der Verschiebungsflussdichte wird wie folgt angesetzt: x Quellenwelle § D xq  y , z · ¸ ¨ ¨ D  y , z ¸ ¸ ¨ yq ¸ ¨¨ zq  y , z ¸¹ ©D  G 



ˆ exp > j E' y sin M  E z  L @· §D xT ¨ xq ¸ ¨ˆ ¸ ¨ D yq exp j E' y sin M  E yT z  L ¸ ¨¨ ˆ ¸¸ © D zq exp j E' y sin M  E yT z  L ¹

(2.158)

ˆ §D exp > j E' y sin M  E xT z  L @· ¨ xR ¸ ¨ˆ ¸  E M  E  D exp j ' y sin z L yT ¨ yR ¸ ¨¨ ˆ ¸  E M  E  yT z L ¸¹ © D zR exp j ' y sin

(2.159)

> >

@ @

Dq

x reflektierte Welle § D xR  y , z · ¨ ¸ ¨ D  y , z ¸ ¨ yR ¸ ¨ D  y , z ¸ zR © 

¹ G 

> >

@ @

DR

x transmittierte Welle

§ D xT  y , z · ¨ ¸ ¨ D  y , z ¸ ¨ yT ¸ ¨ D  y , z ¸ zT © 

¹ G  DT

ˆ · §D ¨ xT ¸ ¸ ¨ˆ ¨ D yT ¸ exp > j E' y sin M  k zT z  L @ ¨¨ ˆ ¸¸ zT ¹ ©D G

DTo

G Divergenzen. Für die Quellenwelle folgt aus div Dq ˆ D zq

(2.160)

E' sin M ˆ D yq E yT

E' sin M H y Eˆ yq . E yT

0:

(2.161)

2.2 Grenzflächenbedingungen G Aus div D R

ˆ D zR

35

0 ergibt sich für die reflektierte Welle



E' sin M ˆ D yR E yT



E' sin M H y Eˆ yR E yT

(2.162)

Damit gilt bei Verwendung von 2.152, 2.161 und 2.162: ˆ D zR

ia D ˆ . TzR zq

ia D ˆ T yR zq

(2.163)

x Reflexionsverhalten ia D  y , L D zR  y , L TzR zq 

(2.164)

x Reflexionsfaktor ia TzR

ia . T yR

(2.165)

G Für die übertragene Welle erhält man aus div DT

ˆ D zT

0:

E' sin M ˆ D yT k zT

(2.166)

und weiter ergibt sich mit ˆ D yT ˆ o D zT

ia E ˆ H 3 T yT yq

H 3 Eˆ yT

H 3 E yT ia ˆ T D zq H y k zT yT

H 3 E yT ia D ˆ T yT zq H y E' sin M

ia D ˆ . TzT zq

(2.167)

Damit gilt für die z-Komponenten der Verschiebungsflussdichte:

x Transmissionsverhalten ia D  y , L D zT  y , L TzT zq 

(2.168)

x Transmissionsfaktor 2

ia TzT

n 2 n3 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M © nz ¹ 2

2

(2.169)

n n n y 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M  n3 1  §¨ 1 ·¸ sin 2 M n n © z¹ © 3¹

Auch an der Grenzschicht anisotrop o isotrop ist das Grundgesetz der Magnetostatik durch die in Unterabschnitt 2.2.6.2 dargestellten Ansätze und Lösungen automatisch erfüllt. Das sieht man wie folgt ein

x Für die einfallende Welle gilt: G div H q 0 o E' sin M Hˆ yq  E xT Hˆ zq

0

36

2 Grundlagen

o

Hˆ yq

E xT ˆ E xq Z Po

Hˆ zq

E' sin M ˆ E xq Z Po

E' sin M ˜ E xT

(2.170)

 E' sin M ˜ E xT

Eˆ xq

0

Z Po 0

0.

x Für die reflektierte Welle ergibt sich: G div H R 0

o E' sin M Hˆ yR  E xT Hˆ zR

o

Hˆ yR

E xT ˆ E xR Z Po

Hˆ zR

E' sin M ˆ E xR ZP o

 E' sin M ˜ E xT

0

(2.171)

 E' sin M ˜ E xT

Eˆ xR Z Po

0

0

0.

x Für die übertragene Welle erhalten Sie: G div H T 0 o E' sin M Hˆ yT  k zT Hˆ zT

o

Hˆ yT

k zT ˆ E xT Z Po

Hˆ zT

E' sin M ˆ E xT Z Po

E' sin M ˜ k zT

0

 E' sin M ˜ k zT

(2.172)

Eˆ xT Z Po

0

0

0.

Durch Multiplikation sämtlicher Gleichungen 2.170 bis 2.172 mit P o erkennt man auch hier, dass das Grundgesetz der Magnetostatik ebenfalls für die magnetische Flussdichte automatisch durch die gewählten Ansätze und ermittelten Lösungen erfüllt ist.

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen

37

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen 2.3.1 Gleichungssysteme für die Em- und Hm-Moden Problemdarstellung. Für ein anisotropes optisches Bauelement soll die Feldverteilung für bevorzugte Moden bestimmt werden. Dazu geht man von der Darstellung eines optischen Bauelementes nach Bild 2-6 aus. Mantel

z'

Längsgrenzfläche Kern

U K

x Quergrenzfläche

M

x'

0

L

Quergrenzfläche

UK M y Bild 2-6

z

optisches Bauelement

Längsgrenzfläche

Mantel

y'

Optisches Bauelement mit Quer- und Längsgrenzflächen

Maxwell-Gleichungen. Das Induktionsgesetz für cosinusförmige Vorgänge lautet: G G rot E  j Z P o H

(2.173)

Nehmen Sie nun bitte an, dass ein optisches Bauelement durch eine ebene Welle in der yzEbene nach Bild 2-6 angeregt wird. Dann hängt das Problem der Berechnung der Feldverteilung nicht von x ab und es gilt G rot E

§ w Ez w E y ¨ ¨ wy  wz © G  j Z Po H

·G w Ex G w Ex G ¸ ex  ey  ez ¸ wz wy ¹

G G G  j Z Po H x e x  H y e y  H z ez





oder komponentenweise

w Ez w E y  wy wz

 j Z Po H x

w Ex wz

 j Z Po H y

w Ex wy

j Z Po H z

(2.174)

38

2 Grundlagen

Aus dem Durchflutungsgesetz G G rot H j Z H E

(2.175)

folgt §w Hz w H y · G w Hx G w Hx G ¨ ¸ ¨ w y  w z ¸ ex  w z e y  w y ez © ¹ G j ZH E G G j Z H x E x ex  H y E y e y  H z E z ez

G rot H





oder komponentenweise

w Hz w H y  wy wz

j Z Hx Ex

w Hx wz

j Z Hy Ey

w Hx wy

j Z Hz Ez



(2.176)

Aus 2.174 und 2.176 lassen sich folgende eigenständige Gleichungssysteme bilden: x Gleichungssystem der Em-Moden w Ez w E y  wy wz



 j Z Po H x

w Hx wz

j Z Hy Ey

w Hx wy

j Z Hz Ez

(2.177)

x Gleichungssystem der Hm-Moden w Hz w H y  wy wz

j Z Hx Ex

w Ex wz

 j Z Po H y

w Ex wy

j Z Po H z

(2.178)

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen

39

2.3.2 Em-Moden 2.3.2.1 Lösungsansatz Ansatz. Zur Lösung des Gleichungssystems 2.177 der Em-Moden ist folgender Ansatz für den Kernbereich, Index 1, und den Mantelbereich, Index 2, des optischen Bauelementes zweckmäßig:

H x2

 B exp  k "yz y  j E y z , y t U K

H x1

>C cos k yz y  D sin k yz y @ exp  j E y z ,  U K d y d U K

H x2

A exp k "yz y  j E y z , y d U K

(2.179)

Im Kern wird also für die magnetische Feldstärke H x1 Stehwellenverhalten und im Mantel für H x 2 Abklingverhalten in der Transversalebene sowie Wellenausbreitung in z-Richtung verlangt. Auswertung. Die Ansatzgleichungen 2.179 werden nun in das Gleichungssystem der E m Moden 2.177 eingeführt und Bedingungen an die Parameter abgeleitet: x

y d U K : E y2

w H x2 1 j Z H y2 w z

E z2

 1 w H x2 j Z H z2 w y

w E z2 w E y2  wy wz o k "yz

x

E y Z H y2  k "yz j Z H z2









A exp k "yz y  j E y z

A exp k "yz y  j E y z

(2.180)

 j Z Po H x2 H z2 2 E y  Z2 P o H z 2 H y2

y t UK :

E y2

w H x2 1 j Z H y2 w z

E z2

 1 w H x2 j Z H z2 w y

E y Z H y2 k "yz j Z H z2









B exp  k "yz y  j E y z

B exp  k "yz y  j E y z

(2.181)

40

2 Grundlagen w E z2 w E y2  wy wz

 j Z Po H x2 H z2 2 E y  Z2 P o H z 2 H y2

o k "yz

x

U K d y d U K : E y1

E y1 E z1

E z1

w H x1 1 jZHy w z

E y ZHy

>C cos k yz y  D sin k yz y @ exp  j E y z

1 w H x1 j Z Hz w y

k yz j Z Hz

(2.182)

>C sin k yz y  D cos k yz y @ exp  j E y z

w E z1 w E y1  wz wy

 j Z P o H x1

o k yz

H Z2 P o H z  z E 2y Hy

.

Schlussfolgernd aus 2.180 bis 2.182 erkennt man, dass A, B, C, D und E y noch unbekannte G Parameter sind. Außerdem wird es dem Leser überlassen zu zeigen, dass div B 0 und G div D 0 durch die verwendeten Ansätze und Lösungen automatisch erfüllt sind. Sehen Sie dazu Aufgabe A 2.3.

2.3.2.2 Stetigkeitsbedingungen an den Längs-Grenzflächen Bedingungen. Die Lösungen 2.180 bis 2.182 müssen an der Kern-Mantel-Grenzfläche für y r U K aneinander angepasst werden. Das erfolgt durch Auswertung der Stetigkeitsbedingungen des Photonenfeldes: E z1  U K , z E z1 U K , z H x1  U K , z H x1 U K , z

E z 2  U K , z E z 2 U K , z H x 2  U K , z

(2.183)

H x 2 U K , z

In x-Richtung sei das optische Bauelement unendlich weit ausgedehnt. Auswertung. Aus 2.180 bis 2.183 folgt das homogene Gleichungssystem 2.184 für die Konstanten A, B, C, D als Unbekannte.

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen § m11 m12 m13 m14 · § A · ¸¨ ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨m m m m 22 23 24 ¸ ¨ B ¸ ¨ 21 ¨m m32 m33 m34 ¸ ¨ C ¸ ¸¨ ¸ ¨ 31 ¸ ¨D¸ ¨m m m m 4142 ©   43 44 

¹ © ¹

41

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(2.184)

M

k "yz



exp  k "yz U K

m11

m22

m12

m21

0

m31

m42

exp  k "yz U K

m32

m41

0

m13

m23



m14

m24

m33

m43

m34

m44

H z2





(2.185)

k yz Hz 

k yz Hz



sin k yz U K





cos k yz U K



 sin k yz U K

 cos k yz U K

Das Gleichungssystem 2.184 mit den Koeffizienten 2.185 besitzt nur dann nichttriviale Lösungen, wenn die Koeffizientendeterminante verschwindet, sehen Sie dazu Unterabschnitt 2.3.2.3.

2.3.2.3 Eigenwertgleichung für die Em-Moden Determinante. Aus 2.184 und 2.185 erhält man die Eigenwertgleichung für die Em-Moden: det M

0

§ k" 2 k 2 yz yz o ¨¨  2 ¨ H2 © z2 H z

" · ¸ 1 sin 2 k U  k yz k yz cos 2 k U yz K yz K H z H z2 ¸¸ 2 ¹









0

(2.186)

Lösung der Eigenwertgleichung. Da später die Übertragung optischer Signale mit den z-Komponenten der elektrischen Feldstärke bzw. Verschiebungsflussdichte im Mittelpunkt der Betrachtung stehen soll, wird die Lösungsschar der Eigenwertgleichung 2.186 gewählt, die G G auch auf eine nichtverschwindende z-Komponente von E bzw. D führt. Diese Lösung lautet: k "yz2

k 2yz

H 2z 2

H 2z

, k yz U K

2 m  1 S , 4

m

0, 1, 2 ,"

(2.187)

42

2 Grundlagen

Parameterbestimmung. Aus 2.180 bis 2.182 und 2.187 erhalten Sie für die Parameter der Feldverteilung folgende Lösungen: H z2 Hz H y2 H z2

1 Ey

Z

Po H y 2 1

(2.188)

H y Hz

H y  H y2 H y H z  H y2 H z2

k yz

Z

P o H 2z

k "yz

Z

P o H 2z 2

(2.189)

H y  H y2

(2.190)

H y H z  H y2 H z2

Der Kernradius U K ergibt sich mit 2.187 und 2.189: S 2 m  1

UK 4 Z Hz

(2.191)

H y H y2 Po H y H z  H y2 H z2

Für den Monomode-LWL erhalten Sie aus 2.191 mit m

0:

S

UK 4 Z Hz

(2.192)

H y H y2 Po H y H z  H y2 H z2

2.192 zeigt, dass der Kernradius U K und die Kreisfrequenz Z der das optische Bauelement anregenden Lichtwelle aneinander angepasst sein müssen. Der aus der Praxis bekannte schwach führende Monomode-LWL ist mit H y | H y 2 und H z | H z 2 durch Ey |

Z n y , k yz | k "yz | 0 , U K o f c

(2.193)

gekennzeichnet. Die Bedingung U K o f drückt dabei aus, dass näherungsweise ein unendlich weit ausgedehntes homogenes Medium in diesem Fall vorliegt. Aufgabe A2.4 hat die Parameterbestimmung aus 2.188 bis 2.192 zum Inhalt.

2.3.2.4 Feldverteilung für den E0-Mode E0-Mode. Aus 2.187 folgen an den E0-Mode die Bedingungen m

0 , k yz U K

S , k "yz U K 4

H z2 S Hz 4

(2.194)

Konstanten. 2.194 wird in 2.184, 2.185 eingeführt und liefert für die speziellen Konstanten A0, B0, C0, D0 des E0-Modes das homogene Gleichungssystem

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen

§ § H ¨ exp ¨  z 2 © Hz ¨ ¨ 0 ¨ ¨ ¨ exp §¨  H z 2 ¨ © Hz ¨ 0 ¨ ©

S· ¸ 4¹

 1

0

2

H exp §¨  z 2 S ·¸  1 2 © Hz 4 ¹ S· 4 ¸¹

 1 2 1  2

0 H exp §¨  z 2 S ·¸ © Hz 4 ¹

43

· § A0 ·  1 ¸¨ ¸ ¸ 2¸¨ ¨ ¸ 1 ¸ ¨ B0 ¸ ¸ 2 ¨ ¸ ¸ ¸ 1 ¸¨ C0 ¸ ¨ ¸ 2 ¸¨ ¸  1 ¸¨ ¸ 2 ¹ ¨ D0 ¸ © ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(2.195)

·  1 ¸ § A0 · ¸ 2¸¨ ¨ ¸ B ¸ 1 ¨ 0¸ ¸ 2 ¨ ¸ 2 ¸ ¨ C0 ¸ ¸ 2 ¸¨ D ¸ 0 ¸¹ © 0 ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(2.196)

Durch elementare Umformung geht 2.195 in § § H ·  1 0 ¨ exp ¨  z 2 S ¸ Hz 4 ¹ 2 © ¨ H z2 S · ¨ § 1 exp ¨  0 ¸  ¨ 2 © Hz 4 ¹ ¨ 0 0 0 ¨ ¨¨ 0 0 0 ©

über. An 2.196 ist der erforderliche Rangabfall des Gleichungssystems deutlich zu erkennen, so dass die nichttriviale Lösung lautet

A0

H exp §¨ z 2 S ·¸ © Hz 4 ¹ C , D 0 0 2

B0

(2.197)

0

C0 wird durch die Anregungsbedingungen des E0-Modes bestimmt. Sehen Sie dazu Unterabschnitt 2.3.2.5. Feldverteilungen im Mantel. Mit 2.179 erhalten Sie folgende Feldverteilungen für den E0Mode im Mantel eines anisotropen optischen Bauelementes: x

y d U K :

 E y C0 ªH S§ y exp « z 2 ¨¨1  H U 4 2 Z H y2 «¬ z K ©

E y2

E z2

H x2

j

º · ¸¸  j E y z » ¹ ¼»

S C0

ªH y S§ exp « z 2 ¨¨1  4 2 Z Hz UK «¬ H z 4 © U K

C0

ªH y S§ exp « z 2 ¨¨1  2 «¬ H z 4 © U K

º · ¸¸  j E y z » »¼ ¹

º · ¸¸  j E y z » »¼ ¹

(2.198)

44 x

2 Grundlagen y t UK : E y2

E z2

H x2

 E y C0

ªH S§ y exp « z 2 ¨¨1  4 U H 2 Z H y2 K © ¬« z

º · ¸¸  j E y z » »¼ ¹

S C0

ªH S§ y exp « z 2 ¨¨1  4 H U 4 2 Z Hz UK K © ¬« z

j

C0

ªH S§ y exp « z 2 ¨¨1  4 U H 2 K © ¬« z

º · ¸¸  j E y z » »¼ ¹

(2.199)

º · ¸¸  j E y z » »¼ ¹

Feldverteilung im Kern. Die Feldverteilung des E0-Mode im Kern eines anisotropen optischen Bauelementes ergibt sich aus 2.182, 2.194 und 2.197: x

U K d y d U K : E y1

 E y C0 ZHy

§S y · ¸¸ exp  j E y z cos ¨¨ © 4 Uk ¹





§S y · S C0 ¸¸ exp  j E y z sin ¨¨ 4 Z Hz UK © 4 UK ¹



E z1

j

H x1

§S y · ¸¸ exp  j E y z . C0 cos ¨¨ © 4 UK ¹





(2.200)



2.3.2.5 Anregung des E0-Modes Algorithmus. Die Modenanregung erfolgt durch Überlagerung schräg einfallender ebener Wellen nach dem Schema: 1. Einkopplung an der Kernstirnfläche 2. Reflexion an der Kern-Mantel-Grenzfläche 3. Interferenz von Quellen- und reflektierter Welle 4. „Ankopplung“ an die Feldverteilung x Einkopplung an der Kernstirnfläche Rechts der eingangsseitigen Quergrenzfläche nach Bild 2-6 liege im Kern des anisotropen optischen Bauelementes die schräg laufende ebene Welle nach 2.201 vor. E ( y , z ) Eˆ exp  j k y  E z yT

>  yT yT @ Eˆ zT exp > j k yT y  E yT z @ Hˆ xT exp > j k yT y  E yT z @ yT

E zT ( y , z ) H xT ( y , z ) E yT

H Z P 0 H y §¨1  1 sin 2 M ·¸ © Hz ¹

k yT

Z P 0 H1 sin M

(2.201)

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen

45

Links der eingangsseitigen Grenzfläche befinde sich ein isotropes Medium mit der Dielektrizitätskonstanten H1 , in dem eine unter dem Einfallswinkel M von einer Monomode-Laserdiode erzeugte, näherungsweise ebene Welle läuft. Für die Amplituden von 2.201 gilt unter Bezug auf die Ausführungen zur Grenzschicht isotrop o anisotrop: Eˆ yT

ai E ˆ T yT yq

Eˆ zT

H1 ai ˆ T E zq H z zT

Hˆ xT

k yT Eˆ zT  E yT Eˆ yT Z 1P § ¨ ¨¨ k yT ©

2

§ n1 · ai E ˆ ¨¨ ¸¸ TzT zq © nz ¹ o

2 · § n1 · ai E ˆ  E T ai Eˆ ¸ 1 ¨¨ ¸¸ TzT zq yT yT yq ¸ ¸ Z Po © nz ¹ ¹

Eˆ yq

ˆ D 0 cos M H1

Eˆ zq

ˆ D 0 sin M . H1

(2.202)

In 2.202 ist Dˆ 0 die Feldamplitude der Verschiebungsflussdichte der anregenden MonomodeLaserdiode. Bezüglich der Polarisation der anregenden Lichtwelle wird vorerst e y'

1 , \ y'

0

(2.203)

vorausgesetzt. x Reflexion an der Kern-Mantel-Grenzfläche Die an der Kern-Mantel-Grenzfläche reflektierte Welle läuft ebenfalls schräg durch den Kern. Für sie gilt: E yR ( y , z ) E zR ( y , z ) H xR ( y , z )

> @  Eˆ zT exp > j k yT y  E yT z @ Hˆ xT exp > j k yT y  E yT z @ Eˆ yT exp j k yT y  E yT z

(2.204)

x Interferenz von Quellen- und reflektierter Welle Für die Quellenwelle und die reflektierte Welle gilt in linearen Medien für die Komponenten, die die gleiche Polarisationsrichtung besitzen, das Superpositionsprinzip. Daraus folgt mit 2.201, 2.202 und 2.204:

46

2 Grundlagen E y1( y , z )

E yT ( y , z )  E yR ( y , z )







2 Eˆ yT cos k yT y exp  j E yT z E y1  y , z

E z1( y , z )

ai ˆ 2 T yT D0 cos M

H1







(2.205)



cos k yT y exp  j E yT z



E zT ( y , z )  E zR ( y , z )







2 j Eˆ zT sin k yT y exp  j E yT z



(2.206)

2

E z1( y , z )

H x1( y , z )

n ai ˆ  2 j §¨ 1 ·¸ T zT Do sin M © nz ¹ sin k yT y exp (  j E yT z ) H1



H xT ( y , z )  H yR ( y , z )







2 Hˆ xT cos k yT y exp  j E yT z H x1( y , z )



ª «k yT « ¬



2 º ˆ § n1 · ai sin M  E ai cos M» 2 Do ˜ ¨¨ ¸¸ T zT T yT yT » Z P o H1 © nz ¹ ¼







cos k yT y exp  j E yT z



(2.207)

.

x „Ankopplung“ an die Feldverteilung

Durch Gleichsetzen der entsprechenden Gleichungen 2.200 und 2.205 bis 2.207 ergeben sich die Bedingungen E yT

Ey

k yT



Z n1 sin M c



 E y Co

ai D ˆ cos M 2 T yT o

ZHy

H1

S 4 UK

(2.208)

2

S Co 4 Z Hz UK Co

n ai D ˆ sin M  2 §¨ 1 ·¸ TzT o n © z¹ H1

ˆ ª º 2D § n1 · ai ai o «k yT ¨© n z ¸¹ TzT sin M  E yT T yT cos M» Z P H ¬ ¼ o 1

Modenanregungsbedingungen. Aus 2.208 folgen die Modenanregungsbedingungen Co



2 c ai ˆ T Do n1 zT

für

e y'

1, \ y'

0

(2.209 a)

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen Co



sin M

2 c ai ˆ T Do e y' exp  j \ y' n1 zT



n z2 n1

n 2y  n 2y 2 n 2y n z2  n 2y 2 n z22



für

47

e y' , \ y' beliebig

Sc 4 Z n1 U K

(2.209 b)

(2.210)

mit U K nach 2.192.

2.3.3 Hm-Moden 2.3.3.1 Lösungsansatz Ansatz. Zur Lösung des Gleichungssystems 2.178 der Hm-Moden wird folgender Ansatz für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke verwendet:

E x2

 G exp  k "yx y  j E x z ,

E x1

>K cos k yx y  L sin k yx y @ exp  j E x z ,

E x2

F exp k "yx y  j E x z , y d U K y t UK

(2.211)

 UK d y d UK

Auswertung: Den Ansatz 2.211 führt man in das Gleichungssystem 2.178 der Hm-Moden ein, und es ergeben sich folgende Bedingungen an die Parameter: x

y d U K : H y2

1 w E x 2 j Z Po w z

H z2

w E x2 1 j Z Po w y



Ex F exp k "yx y  j E x z Z Po k "yx j Z Po





F exp k "yx y  j E x z

(2.212)

w H z2 w H y2  wy wz

j Z H x2 E x2 o k "yx

x

E 2x  Z2 P o H x 2

y t UK : H y2

1 w E x 2 j Z Po w z



Ex G exp  k "yx y  j E x z Z Po

(2.213)

H z2

w E x2 1 j Z Po w y

 k "yx j Z Po



G exp  k "yx y  j E x z



48

2 Grundlagen w H z2 w H y2  wy wz

j Z H x2 E x2 o k "yx

x

E 2x  Z2P o H x 2

U K d y d U K : H y1

1 w E x1 j Z Po w z

H y1

Ex K cos k yx y  L sin k yx y exp  j E x z Z Po

H z1

w E x1 1 j Z Po w y

>

k yx

H z1







@

>L cos k yx y  K sin k yx y @ exp  j E x z

j Z Po

w H z1 wy



w H y1

(2.214)

j Z H x E x1

wz

Z 2 Po H x  E x2

o k yx

2.3.3.2 Stetigkeitsbedingungen an den Längs-Grenzflächen Bedingungen. Die Stetigkeitsbedingungen an den Längs-Grenzflächen nach Bild 2-6 lauten hier: E x1   U K , z E x1  U K , z

Ex 2   U K , z Ex 2  U K , z

H z1   U K , z H z1  U K , z

(2.215)

H z2  UK , z H z2  UK , z

Auswertung. Aus 2.211 bis 2.215 folgt das homogene Gleichungssystem 2.216 mit den Koeffizienten 2.217. § n11 n12 n13 n14 · § F · ¸¨ ¸ ¨ ¨n n22 n 23 n 24 ¸ ¨ G ¸ 21 ¸¨ ¸ ¨ ¨n n32 n33 n34 ¸ ¨ K ¸ ¸¨ ¸ ¨ 31 ¨n n42 n 43 n 44 ¸¹ ¨© L ¸¹ 41 ©  

N

n11

n22



exp  k "yx U K



§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(2.216)

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen n12

n21

0

n31

n42

k"yx exp  k "yx U K

n31

n41

0

n13

n23



49

(2.217)

 n24 sin k yx U K n43 k yx sin k yx U K n44 k yx cos k yx U K

n14 n33 n34

 cos k yx U K

2.3.3.3 Eigenwertgleichung für die Hm-Moden Determinante. Mit 2.216 und 2.217 gilt als Eigenwertgleichung für die Hm-Moden: 0

det N

o

k"yx2  k 2yx 12 sin 2 k yx Uk  k yx k"yx cos 2 k yx U K

0

(2.218)

Lösung der Eigenwertgleichung. Unter den gleichen Voraussetzungen wie im Unterabschnitt 2.3.2.3 aber bei Vertauschung elektrisches Feld l magnetisches Feld wird folgende Lösung der Eigenwertgleichung favorisiert: k "yx

k yx , k yx U K

2m  1 S , 4

m

0, 1, 2 , "

(2.219)

Parameterbestimmung. Für die Parameter der Feldverteilung ergeben sich mit 2.212 bis 2.214 und 2.219 folgende Lösungen: Ex k yx

Z

H  H x2 Po x 2

k "yx

(2.220)

H  H x2 Po x 2

Z

(2.221)

Die Bedingung an den Kernradius U K lautet hier:

2m  1 S

UK 4Z

Der Monomode-LWL ist mit m S

UK 4Z

(2.222)

H H Po x x2 2

H H Po x x 2 2

0 durch

(2.223)

50

2 Grundlagen

gekennzeichnet. Sollen sowohl E0- als auch H0-Mode gleichzeitig mit einer Laserdiode angeregt werden, dann folgt aus 2.192 und 2.223 die Bedingung an die Dielektrizitätskonstanten des anisotropen optischen Bauelementes H x  H x2 2

H 2z

H y  H y2

(2.224)

H y H z  H y2 H z2

2.3.3.4 Feldverteilung für den H0-Mode H0-Mode. Der H0-Mode ist durch m

0 , k yx

S 4 UK

k "yx

(2.225)

gekennzeichnet. Konstanten. 2.225 wird in 2.216, 2.217 eingeführt und liefert für die speziellen Konstanten F0, G0, K0, L0 des H0-Modes das homogene Gleichungssystem

 S4

§ exp  ¨ ¨ 0 ¨ ¨ ¨ exp  ¨ ¨ 0 ¨ ©

 S4

 1

0



exp  S 4 0

 4

exp  S

2  1 2  1 2 1  2

1 · 2 ¸ §¨ Fo ·¸ ¸  1 ¸ ¨ Go ¸ 2¸¨ ¸  1 ¸ ¨ Ko ¸ ¸ 2¸¨ 1 ¸¨L ¸ ¸© o ¹ 2 ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(2.226)

mit der Lösung Fo

4 K

exp S

Go

2

o , Lo

(2.227)

0

Feldverteilungen im Mantel. Mit 2.211 bis 2.213 und 2.225 sowie 2.227 erhalten Sie die nachstehenden Feldverteilungen für den H0-Mode im Mantel eines anisotropen optischen Bauelementes: x

y d U K : E x2

H y2

H z2

Ko

ªS exp « 2 ¬« 4

E x Ko

§ y ¨¨1  U K ©

ªS exp « 2 Z Po ¬« 4

j

k "yx K o

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

§ y ¨¨1  U K ©

ªS exp « 2 Z Po «¬ 4

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

§ y ¨¨1  © UK

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

(2.228)

2.3 Feldverteilung in anisotropen optischen Bauelementen x

51

y t UK : E x2

Ko

ªS exp « 2 ¬« 4

ªS E x Ko exp « 2 Z Po ¬« 4

H y2

H z2

§ y ¨¨1  U K ©

j

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

§ y ¨¨1  U K ©

k "yx K o

ªS exp « 2 Z Po «¬ 4

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

§ y ¨¨1  © UK

(2.229)

º · ¸¸  j E x z » »¼ ¹

Feldverteilung im Kern. Aus 2.211, 2.214 und 2.225 sowie 2.227 folgt: x

U K d y d U K : E x1

§S y · ¸¸ exp  j E x z K o cos ¨¨ © 4 UK ¹

H y1

§S y E x Ko cos ¨¨ Z Po © 4 UK

H z1

j

· ¸¸ exp  j E x z ¹

(2.230)

k yx K o §S y · ¸¸ exp  j E x z sin ¨¨ Z Po © 4 UK ¹

2.3.3.5 Anregung des H0-Modes Algorithmus. Die Modenanregung des H0-Modes erfolgt ebenfalls nach dem im Unterabschnitt 2.3.2.5 dargestellten Schema: x Einkopplung an der Kernstirnfläche Rechts der eingangsseitigen Quergrenzfläche nach Bild 2-6 liege im Kern des anisotropen Bauelementes die schräg laufende ebene Welle nach 2.231 vor. E xT H yT H zT

>  @ Hˆ yT exp > j k yT y  E xT z @ Hˆ zT exp > j k yT y  E xT z @

Eˆ xT exp  j k yT y  E xT z

E xT

Z

k yT

Z



P o H x  H1 sin 2 M P o H1 sin M



(2.231)

52

2 Grundlagen

Für die Amplituden von 2.231 gilt Eˆ xT Hˆ yT Hˆ zT

ai E ˆ T xT xq

E xT ˆ E xT Z Po  k yT Z Po

Eˆ xT

E xT ai ˆ T E xq Z P o xT  k yT Z Po

ai E ˆ T xT xq

Eˆ xq

ˆ D o H1

Eˆ xq

ˆ D o e exp  j \ x' x' H1

für

e x'

1 , \ x'

(2.232)

0

für

e x' , \ x'

beliebig .

x Reflexion an der Kern-Mantel-Grenzfläche Die an der Kern-Mantel-Grenzfläche reflektierte Welle lautet hier: E xR  y , z H yR  y , z H zR  y , z

@ >  Hˆ yT exp > j k yT y  E xT z @  Hˆ zT exp > j k yT y  E xT z @ .

Eˆ xT exp j k yT y  E xT z

(2.233)

x Interferenz von Quellen- und reflektierter Welle Nach dem Superpositionsprinzip in linearen Medien ergibt sich nun für e x' E x1  y , z

0:

E xT  y , z  E xR  y , z





2 Eˆ xT cos k yT y exp  j E xT z E x1  y , z

ai ˆ 2 T xT Do cos k yT y exp  j E xT z H1

H y1  y , z

H yT  y , z  H yR  y , z







H y1  y , z

ai D ˆ 2 E xT T xT o cos k yT y exp  j E xT z Z P o H1

H z1  y , z

H zT  y , z  H zR  y , z





(2.234)



2 Hˆ yT cos k yT y exp  j E xT z



ai ˆ 2 j k yT T xT Do sin k yT y exp  j E xT z Z P o H1



(2.235)



2 j Hˆ zT sin k yT y exp  j E xT z H z1  y , z

1 und \ x'



(2.236)

2.4 Aufgaben

53

x „Ankopplung“ an die Feldverteilung Durch Gleichsetzen der entsprechenden Gleichungen 2.230 und 2.234 bis 2.236 ergeben sich die Bedingungen E xT

Ex

k yT



Ko

Z n1 sin M c

ai 2 T xT

H1

 k yx



S 4 UK

ˆ D o

(2.237)

ai 2 E xT T xT ˆ D o Z P o H1

E x Ko Z Po

S Ko 4 Z Po U K

ai 2S T xT

4 Z P o H1 U K

ˆ . D o

Modenanregungsbedingungen. Aus 2.237 folgen die Modenanregungsbedingungen Ko Ko

sin M

ai 2 T xT

H1 ai 2 T xT

H1 1 n1

ˆ D o

für e x'

1 , \ x'

ˆ e exp  j \ D o x' x' n 2x  n 2x 2 2

(2.238 a)

0

für

e x' , \ x'

Sc 4 Z n1 U K

beliebig

(2.238 b)

(2.239)

mit U K nach 2.223. Man erkennt, dass durch die Wahl der Polarisation entschieden werden kann, ob der jeweilige Mode, hier der H 0 -Mode, angeregt wird oder nicht.

2.4 Aufgaben A 2.1 Für eine örtlich konstante Raumladungsdichte U 0 ist das Gleichungssystem 2.41 bis 2.44 für die Ladungsträger zu lösen. A 2.2 Ein optoelektronisches Bauelement sei so konstruiert, dass die Wechselwirkungsenergiedichte des elektrischen Feldes maximal und die des magnetischen Feldes minimal ist. Leiten Sie aus der Wechselwirkungsrelation 2.57 Bedingungen für die Amplituden und Phasen der elektrischen und magnetischen Feldstärke des Photonenfeldes ab, wenn die Flächenladungsdichte V und die Flächenstromdichte S V als konstant vorausgesetzt werden können. Benutzen Sie dazu die Ansätze für das Photonenfeld ' Ex

' Eˆ x cos Z t

(A 2.1)

' Hy

' Hˆ y cos Z t  G

(A 2.2)

für einen geeignet gewählten Ort auf der Grenzfläche.

54

2 Grundlagen

A 2.3 Zeigen Sie, dass der Ansatz 2.179 und die Lösungen 2.180 bis 2.182 für die E m -Moden die Grundgesetze der Elektro- und Magnetostatik erfüllen. A 2.4 Bestimmen Sie für den E 0 -Mode, d. h. m 0 , die Parameter E y , k yz , k"yz und U K m mit den angegebenen Daten: c | 3˜ 108 s

Z | 2 S ˜ 1,9 ˜ 1014 s 1

(A 2.3)

n y | n z | 1,47 n y 2 | n z 2 | 1,46

2.5 Lösungen L 2.1 Es gilt gemäß 2.48a: U

§ N U o exp ¨¨  z © Hz

· t ¸¸ ¹

(L 2.1)

Eingesetzt in 2.43 ergibt sich unter Beachtung von 2.48a: w Vz wz

§ N U 0 exp ¨¨  z © Hz

U

· t ¸¸ ¹

§ o V z x , y , z , t U o z exp ¨¨  ©

(L 2.2) Nz Hz

· t ¸¸  V zo x , y , t ¹

(L 2.3)

Eingesetzt in 2.42 erhalten Sie: G rot S V

ªNz § N · N § N ·º G U o z exp ¨¨  z t ¸¸  z U o z exp ¨¨  z t ¸¸» e z « «¬ H z © Hz ¹ Hz © H z ¹»¼ §N w V zo  ¨¨ z V zo  wt H © z

·G ¸¸ e z ¹

§ Nz w V zo ¨¨ V zo  wt © Hz

·G ¸¸ e z ¹

G rot S V

o

o



w S Vy wz

w S Vy G § w S Vy w S Vx w S Vx G  e y  ¨¨ ex  wy wz wz © wx

0,

w S Vx wz

S Vy

S Vy x , y , t

S Vx

S Vx x , y , t

0

(L 2.4)

·G ¸ ez ¸ ¹

(L 2.5) (L 2.6)

(L 2.7)

2.5 Lösungen

o

55

w S Vy wx



w S Vx wy

w V zo Nz V zo  Hz wt

(L 2.8)

Aus 2.44 folgt: G div S V

o

0

w 2 SVx w x2 w 2 S wy

w x2 w 2 S

Vy

wx wy w 2 SVy

o



w x2

w 2 SVy wx wy

(L 2.10) wx wy







w 2 S Vx wx wy w 2 S wy

Vx 2

w 2 SVy w y2

w 2 S

w 2 S

wx

wy

Vx  2

Vx 2

 zo N z w V zo w V  Hz w x wx

 zo N z w V zo w V  Hz w x wx

o

o

w Vz G w Vz G ex  ey wy wx P o H z SVx

w Vz wx

P o H z SVy

(L 2.12)

 zo N w V zo w V  z  Hz w y wy



w Vz wy

(L 2.11)

 zo N z w V zo w V  Hz w y wy

Aus 2.41 erhält man G G G rot V P o H z S Vx e x  S Vy e y G rot V

(L 2.9)

w 2 SVx 

Vy 2

w 2 S Vy

o

w SVx w SVy  wx wy



(L 2.13) (L 2.14)

(L 2.15)

w V zo wy

P o H z SVx

w V zo wx

P o H z S Vy

(L 2.16)

56

2 Grundlagen

Aus L 2.12 und L 2.16 folgt:

1 §¨ w 2 V zo w 2 V zo ·¸  Po H z ¨ w x 2 w y 2 ¸¹ © w 2 V zo

o

w x2



w 2 V zo w y2

Nz  zo V zo  V Hz

 zo P o N z V zo  P o H z V

(L 2.17)

L 2.17 stellt die so genannte Telegraphengleichung für die Flächenladungsdichte V zo dar [2.4]. Setzt man umgekehrt L 2.16 in L 2.12 ein, so ergibt sich: w 2 S Vy



w x2

w 2 S Vy w y2

w 2 S Vx w 2  w x2 w

S Vx y

2

P o N z SVy  P o H z SVy

(L 2.18) P o N z SVx  P o H z SVx

L 2.18 zeigt die Telegraphengleichungen für die Komponenten der Flächenstromdichte S Vx und S Vy . Sie wollen sich nun der Lösung der Telegraphengleichung widmen. Dazu schreibt man in allgemeiner Darstellung w 2U w x2



w 2U w y2

P o N z U  P o H z U

^

mit

U  V zo , S Vx , S Vy

(L 2.19)

`

Als Lösungsansatz kommt z. B. U

Uˆ exp > jZt  J x  y @

(L 2.20)

mit den Konstanten Uˆ und J sowie der Kreisfrequenz Z und der imaginären Einheit j für den eingeschwungenen Zustand in Frage. Wird L 2.20 in L 2.19 eingesetzt, so folgt

1

jZ Po N z  Z2 Po H z U

2 J2 U

oder J2

1 jZ Po N z  Z2 Po H z 2





(L 2.21)

Die so genannte Ausbreitungskonstante J wird zerlegt in die Dämpfungskonstante D und die Phasenkonstante E: J

D jE

(L 2.22)

Für J 2 gilt dann J2

D 

j E 2

D2  E2  j 2DE

(L 2.23)

2.5 Lösungen

57

Durch Vergleich von L 2.23 mit L 2.21 erhält man zwei Bestimmungsgleichungen für D und E: D2  E2



Z2 P o H z 2

Z Po N z 2

2DE

(L 2.24)

.

Aus dem Vorstehenden ergeben sich die reellen Werte:

D

E

Z

Po H z 2

Z

Po H z 2

§ N  1  1  ¨¨ z © Z Hz

· ¸¸ ¹

§ Nz 1  1  ¨¨ © Z Hz

· ¸¸ ¹

2

(L 2.25)

2

Damit gelten die typgleichen Lösungen für V zo , S Vx , S Vy der Form U

Uˆ exp > jZt  D  jE ˜ x  y @

^

mit

(L 2.26)

`

U  V zo , S Vx , S Vy ,

wenn nur die Ausbreitung für x t 0, y t 0 vorausgesetzt wird. L 2.2 V 'Eˆ x cos Zt

'w E max

V 'E x

'w M min

P o S V 'H y

(L 2.27)

P o S V 'Hˆ y cos Zt  G

w 'w E max N w 'wM min  2 n 'wE max  wt Hn wt

0

N o  V Z'Eˆ x sin Zt  2 n V 'Eˆ x cos Zt Hn

 P o S V Z'Hˆ y sin Zt  G 0 o

1 2

§ Nn · ¨¨ 2  jZ ¸¸ V 'Eˆ x exp  jZt H n © ¹



1 2

§ ¨¨ 2 ©

· Nn  jZ¸¸ V 'Eˆ x exp  jZt Hn ¹

(L 2.28)

(L 2.29)

 P o S V Z 'Hˆ y sin Zt  G 0 2

o

§ N · § 2 Nn · ¸  ¨¨ 2 n ¸¸  Z2 V 'Eˆ x sin ¨¨ Zt  arc tan ZHn ¸¹ © Hn ¹ ©  P o S V Z 'Hˆ y sin Zt  G 0

(L 2.30)

58

2 Grundlagen

o

'Eˆ x 'Hˆ

y

2

§ 2 N n ·  Z2 ¨ H ¸ © n¹

arc tan

G

SV V

Z Po

(L 2.31)

2 Nn Z Hn

(L 2.32)

L 2.3 x Grundgesetz der Magnetostatik G G div B P o div H 0 G o div H 0

(L 2.33) (L 2.34)

Für die E m -Moden gilt mit L 2.34: w H xQ wx

(L 2.35)

0 für Q 1,2 .

L 2.35 ist erfüllt, da H xQ für Q 1, 2 nicht von x abhängt, wie 2.179 zeigt. x Grundgesetz der Elektrostatik G G div D div H E 0 y d U K : H y 2 o

w E y2 wy

(L 2.36)

 H z2

w E z2 wz

(L 2.37)

0

 E y k"yz  k"yz E y ZA exp k"yz y  j E yz

(L 2.38)

0

0=0

y t U K : H y2 o

w E y2 wy

 H z2

w E z2 wz

0

E y k"yz  k"yz E y ZB exp  k"yz y  j E yz

(L 2.39)

0

0=0  UK d y d UK : H y o

w E y1 wy

 Hz

w E z1 wz

(L 2.40)

0

> E y k yz  C sin k yz y  D cos k yz y 







 k yz E y C sin k yz y  D cos k yz y

@



exp  j E y z Z



(L 2.41) 0

0=0

2.6 Literatur

59

L 2.4

Ey |

Z n 2y 2 c

1 1

n 2y 2 n 2y n 4y 2 n 4y

|

2 S ˜ 1,9 ˜ 1014 3 ˜ 108

1,46 2

1 1

1,46 2 1,47 2 m 1 4 1,46

(L 2.42)

1,47 4

E y | 4 Pm 1

Z 2 ny c

k yz |

(L 2.43) n 2y  n 2y 2

|

n 4y  n 4y 2

2 S ˜ 1,9 ˜ 1014 3 ˜ 108

1,47 2

1,47 2  1,46 2 1,47 4  1,46 4

m 1

k yz | 0,5 Pm 1 k "yz |

n 2y 2 n 2y

k yz |

(L 2.45) 1,46 2 1,47

2

˜ 0,5 Pm 1

k "yz | 0,5 Pm 1 k yz U K

UK

(L 2.44)

(L 2.46) (L 2.47)

S 4

S S | Pm 4 k yz 4 ˜ 0,5

U K | 1,57 Pm

(L 2.48) (L 2.49)

2.6 Literatur [2.1] Huard, S.: Polarization of Light. John Wiley & Sons, Paris 1997 [2.2] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 2002 [2.3] Wunsch, G.: Feldtheorie. Band 1, Verlag Technik Berlin 1973 [2.4] Strassacker, G.: Rotation, Divergenz und das Drumherum. Eine Einführung in die elektromagnetische Feldtheorie. Teubner Studienskripte, B.G. Teubner, Stuttgart 1992

60

3 Erweiterter Jones-Kalkül

3.1 Erweiterte Jones-Matrix bei diagonalem Dielektrizitätstensor 3.1.1 Lösungsansätze Jones-Matrix. Ursprünglich wurde die Jones-Matrix als 2 x 2-Matrix im Frequenzbereich zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens der an den Quergrenzflächen nach Bild 2-6 vorhandenen tangentialen elektrischen Feldstärkekomponenten bei paralleler Anregung eingeführt [3.1]. Erweiterte Jones-Matrix. Bei schräger Anregung mit einer transversalen Lichtwelle im xc, yc, zc-Koordinatensystem muss die Jones-Matrix um den Beitrag erweitert werden den die z-Komponente der elektrischen Feldstärke im x, y, z-Koordinatensystem zur Übertragung liefert. Mit Vorstehendem gilt der Ansatz für die erweiterte Jones-Matrix J derw ( z ) bei schräger Anregung: § E x  y , z · ¨ ¸ ¨ E  y , z ¸ ¨ y ¸ ¨ E  y , z ¸ z  ¹ © G E y, z

§J d ( z) 0 0 ·¸ § E x  y , 0 · ¨ 11 ¨ ¸ ¨ ¸¨ d (z) ¸  0 J 0 E y , 0 ¨ ¸¨ y 22 ¸ ¨ ¸ d ( z ) ¨ E  y , 0 ¸ 0 J 33 ¨ 0 ¸© z ¹ ©  ¹  G 

J derw ( z )

(3.1)

E  y , 0

Nachstehend wird bewiesen, dass bei diagonalem Dielektrizitätstensor H d die erweiterte Jod (z), nes-Matrix J derw ( z ) ebenfalls Diagonalform mit den Hauptdiagonalelementen J 11 d ( z ) und J d ( z ) besitzt. J 22 33

G Quellensignal. Das Quellensignal E  y , 0 finden Sie aus den Feldverteilungen im Kern des betrachteten anisotropen optischen Bauelementes nach 2.200 und 2.230 für z 0 :

§ E x  y , 0 · ¸ ¨ ¨ E  y , 0 ¸ ¸ ¨ y ¨ E  y , 0 ¸ ¹ © z

§ ·· § ¨ Eˆ x cos ¨ S y ¸ ¸ ¸ ¨ ¨ © 4 UK ¹ ¸ ¨ ·¸ § ¨ Eˆ y cos ¨ S y ¸ ¸ ¨ 4 U ¸¸ ¨ K ¹ © ¨ · ¸¸ § y S ¨ Eˆ z sin ¨ ¸¸ ¨ ¸ ¨ © 4 UK ¹ ¹ ©

mit Eˆ x

Ko

ai 2 TxT ˆ e exp  j \ D o x' x' H1

(3.2)

3.1 Erweiterte Jones-Matrix bei diagonalem Dielektrizitätstensor ai D ˆ cos M 2 T yT o

 E y Co Z Hy

Eˆ y

H1



e y' exp  j \ y'

61



(3.3)

2

Eˆ z

j

n ai D ˆ sin M 2 §¨ 1 ·¸ T zT o nz ¹ © j e y' exp  j \ y' H1

S Co 4 Z Hz UK





Außerdem muss bei gleichzeitiger Anregung von Eo- und Ho-Mode aus einer Laserdiode die Bedingung 2.224 erfüllt sein. Wellengleichungen. Durch ineinander Einsetzen von 2.177 bzw. 2.178 erhält man die Wellengleichungen

w2 Ex y, z wy

2



w2 Ex y, z wz

H y w2 E y y, z Hz

w y2

w2 Ez y, z  w y2



2

 Z2 P o H x E x  y , z 0

w2 E y y, z w z2

 Z2 P o H y E y  y , z 0

(3.4)

Hz w2 Ez y, z  Z2 P o H z E z  y , z 0 2 Hy wz

Man erkennt, dass die Wellengleichungen 3.4 ungekoppelt sind, so dass ein diagonaler Ansatz für die erweiterte Jones-Matrix möglich ist. 3.4 wird benötigt, um mit 3.1 und 3.2 die Differend ( z ) , J d ( z ) und J d ( z ) abzuleiten. zialgleichungen für die Jones-Matrix-Elemente J 11 22 33

3.1.2 Differenzialgleichungen für die Jones-Matrix-Elemente G Schreibt man das Quellensignal E  y , 0 in der Form

§ E x  y , 0 · ¨ ¸ ¨ E  y , 0 ¸ ¨ y ¸ ¨ E  y , 0 ¸ © z ¹

§ˆ §Z ·· ¨ E x cos ¨ n1 y sin M ¸ ¸ ©c ¹¸ ¨ ¨ˆ ·¸ §Z ¨ E y cos ¨ n1 y sin M ¸ ¸ c ¹¸ © ¨ ¨ Eˆ sin § Z n y sin M · ¸ ¸¸ ¨ 1 ¨ z ¹¹ ©c ©

(3.5)

mit S 4 UK

Z n1 sin M , c

so ergeben sich mit den gezeigten Ansätzen aus den Wellengleichungen 3.4 folgende Differenzialgleichungen für die Jones-Matrix-Elemente:

62

3 Erweiterter Jones-Kalkül d (z) w 2 J 11



w z2

d (z) w 2 J 22

w z2

d (z) w 2 J 33

w z2



Z2 c2

n x2  n12 sin 2 M J11d ( z )

0

(3.6 a)

ª § ·2 º n d n 2y «1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M» J 22 (z) 0 2 « » n c z¹ © ¬ ¼

Z2

(3.6 b)

2 º ª Z2 2 « § n1 · d n y 1  ¨¨ ¸¸ sin 2 M» J 33 (z) 0  » « © nz ¹ c2 ¼ ¬

(3.6 c)

Die Ableitung der so bezeichneten Jones-Differenzialgleichungen 3.6 ist Gegenstand der Aufgabe A 3.1.

3.1.3 Lösung der Jones-DGL 3.1.3.1 Allgemeine Lösung Die Jones-Differenzialgleichungen 3.6, kurz Jones-DGL, sind vom Typ w2J d ( z ) w z2

 J2 J d ( z ) 0

(3.7)

mit Jd(z)

d ( z)šJ J 11

j

Jx

Z n 2x  n12 sin 2 M c

(3.8 a)

oder

^

`

d d J d ( z )  J 22 ( z ), J 33 (z) šJ

2

Jy

j

§n · Z n y 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M c © nz ¹

(3.8 b)

Die Lösung von 3.7 erfolgt durch Laplace-Transformation in den Ortsfrequenzbereich unter Einführung der komplexen Ortskreisfrequenz q. Das ergibt mit dem Differentationssatz der Laplace-Transformation

>q 2  J 2 @ J d q J d q

J d q

q J d 0 

w J d 0 wz

(3.9)

w J d (0) wz 2 2 q J

q J d (0)

q J d (0)

w J d (0) wz

q  J q  J

(3.10)

Die Rücktransformation von 3.10 in den Ortsbereich erfolgt mittels Residuensatz unter der Bedingung J z 0 :

3.1 Erweiterte Jones-Matrix bei diagonalem Dielektrizitätstensor

J d z

w J d 0 w J d 0 q J d 0  wz wz exp q z  lim exp q z qJ qJ qo J

63

q J d 0  lim

qoJ

(3.11)

d

J d z

w J 0 w J d 0 J J d 0  J J d 0  wz wz exp J z  exp  J z 2J 2J

(3.12)

J d  z J L z  J R  z

J

L

z

J R z

wJ J J d (0)

d

0

wz

2J w J d 0 J J d (0) wz

2J

exp J z

(3.13)

exp  J z

(3.14)

3.12 ist die allgemeine Lösung der Jones-DGL mit J z 0 . Da es sich bei den Jones-DGL vom Typ her um Wellengleichungen handelt, liefert 3.12 nach D’Alembert sowohl die Linkswelle J L ( z ) nach 3.13 mit Ausbreitung in negative z-Richtung als auch die Rechtswelle J R ( z ) nach 3.14 mit Ausbreitung in positive z-Richtung. Die Anfangswerte werden im Unterabschnitt 3.1.3.2 bestimmt.

3.1.3.2 Anfangswerte Zur Bestimmung der Anfangswerte in der Lösung der Jones-DGL wird vorausgesetzt, dass die Signalübertragung nur in positive z-Richtung stattfindet. Dann muss der die Übertragung in negative z-Richtung beschreibende Anteil der Lösung der Jones-DGL 3.13 verschwinden und der Anteil für die positive z-Richtung 3.14 in Übereinstimmung mit den allgemeinen Stetigkeitsbedingungen bei z 0 gleich 1 werden. Es gilt also: w J d 0 J J d 0  wz

2J w J d 0 J J d 0  wz

2J

1

(3.15)

0

(3.16)

oder · § d § J  1· ¨ J 0 ¸ ¸¨ ¨ d ¸ ¨ J 1 ¸ ¨ w J 0 ¸ ¹ © © wz ¹

§2 J· ¨ ¸ ¨ 0 ¸ © ¹

(3.17)

64

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Die Lösung des Gleichungssystems 3.17 lautet: J d 0 1 ,

^

für J  J x , J y

w J d 0 wz

J

(3.18)

`

und

^

`

d  d  d  J d 0  J 11 0 , J 22 0 , J 33 0

d  d  d  Dabe ist J x dem Element J 11 0 und J y den Größen J 22 0 und J 33 0 zugeordnet.

3.2 Diagonale Jones-Matrizen 3.2.1 Lichtwellenleiter Anisotroper LWL. Beim anisotropen Lichtwellenleiter, kurz LWL, sind die Jones-Matrix-Elemente gegeben durch R J 11 z exp  J x z

 exp  J y z .

R  J 22 z exp  J y z R J 33 z

(3.19)

Isotroper LWL. Der isotrope LWL ist durch die Brechzahlbedingung n1

nx

ny

nz

n3

(3.20)

gekennzeichnet. Mit 3.8 ergibt sich seine erweiterte Jones-Matrix entsprechend 3.21: d z J erw

§ 1 0 0· ¸ ¨ exp  J z ¨ 0 1 0 ¸ ¸ ¨ ¨ 0 0 1¸ ¹ ©

(3.21)

wobei J

Jx

Jy

j E' cos M

gilt.

3.2.2 Polarisatoren Jones-Matrizen. Die Polarisatoren sollen entweder den H0- oder den E0-Mode unterdrücken, wenn beide Moden aus irgendwelchen Gründen vorhanden sind. Der E0-Polarisator besitzt die rechtsseitige Jones-Matrix

3.2 Diagonale Jones-Matrizen

65

§ 0 0 0· ¨ 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 1¸ © ¹

R J erw

(3.22)

und unterdrückt den H0-Mode. Der H0-Polarisator besitzt entsprechend die rechtsseitige Jones-Matrix §1 0 0· ¨0 0 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 0¸ © ¹

R J erw

(3.23)

bei Unterdrückung des E0-Modes. E0-Polarisator. Damit gelten für den E0-Polarisator die Bedingungen mit der Länge L des Bauelementes: R J 11 L exp  J x L 0

 exp  J y L

R  J 22 L exp  J y L

1

R L J 33

1.

(3.24)

R L ist erfüllt, wenn J positiv reell und J o f gewählt wird. Das Die Gleichung für J 11 x x erreicht man wie folgt:

Jx

j

Z n x2  n12 sin 2 M c

n1 sin M

n 2x  n 2x 2 2

Komplexe Brechzahlen: nx

n'x  j n"x , n x 2

n'x 2  j n"x 2

n"x !! n'x : n x |  j n"x ; n"x 2 !! n'x 2 : n x 2 |  j n"x 2

(3.25a) (3.25b)

Physikalisch sinnvolle Lösung: Jx |

Z c

n"x2  n"x22 of 2

o n"x , n"x 2 o f

(3.26a) (3.26b)

Das heißt, die komplexen Brechzahlen 3.25a müssen große Werte in den Absorptionszahlen n"x , n"x 2 für Kern und Mantel nach 3.25b und 3.26b annehmen. Außerdem muss die Bedingung n1 sin M |

erfüllt sein.

n"x22  n"x2 2

const .

66

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Die restlichen Gleichungen von 3.24 befriedigt man folgendermaßen: j E' cos M o n1

Jy

o

Z n1 cos M L c

cos M

ny

(3.28a)

m 2S ; m 1, 2 , "

n12  n z22

n y2

(3.27)

nz

n14  n 2y 2 n z22

1 n1

2 n12  n"x  n"x22 2

const .

(3.28b)

Bei paralleler Anregung mit M 0 gilt zusätzlich. n1

n y 2 und n"x

n"x 2

(3.29)

In diesem Fall verschwindet jedoch wegen sin M stärke.

0 die z-Komponente der elektrischen Feld-

H0-Polarisator. Mit 3.23 ergibt sich für den H0-Polarisator: R J 11 L exp  J x L 1

 exp  J y L

R  J 22 L exp  J y L

0

R J 33 L

0.

(3.30)

R L 1 verlangt folgende Bedingungen: J 11

j E' cos M

Jx

o n1

Z n1 cos M L c

m 2S , m 1, 2 ," ,

n12  n 2x 2

1 n1

cos M

(3.31)

nx

(3.32b)

const .

2

(3.32a)

Die restlichen Gleichungen von 3.30 sind erfüllt für: 2

j

Jy n1

§n · Z n y 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M o f c © nz ¹

nz : J y

cos M

j

Z n y cos M c

n12 n 2y 2  n 2y 2 n z22 n12 n 2y  n 2y 2 n z22

(3.33)

const .

3.2 Diagonale Jones-Matrizen

67

Komplexe Brechzahl: ny

n'y  j n"y , n y 2

n'y 2  j n"y 2

n"y !! n'y : n y |  j n"y , n"y 2 !! n'y 2 : n y 2 |  j n"y 2

o cos M

o Jy |

n12 n"y22  n"y22 n"z22 n12 n"y2  n"y22 n"z22

(3.34b)

const . ,

Z " n y cos M o f , c

o n"y , n"y 2 o f

(3.35)

Bei paralleler Anregung mit M n1

(3.34a)

n x 2 und n"y

0 gilt hier zusätzlich:

n"y 2

(3.36)

In diesem Fall verschwindet wegen sin M

0 die z-Komponente der magnetischen Feldstärke.

3.2.3 Retarder Jones-Matrizen. Retarder oder Verzögerungsplatten verzögern einen Mode gegenüber dem anO O deren. Praktisch interessant sind die  und -Platte. Ihre erweiterten Jones-Matrizen lauten: 4 2

y

y

O 4

O R ( L)  Platte : J erw 4

0 · §1 0 ¨ ¸ ¨0 r j 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 0 r j¸ © ¹

(3.37)

O R ( L)  Platte : J erw 2

0· §1 0 ¨ ¸ ¨0 1 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0  1¸ © ¹

(3.38)

- Platte . Die Bedingungen an die Jones-Matrix-Elemente der rechtsseitigen erweiterten

Jones-Matrix 3.37 sind für die

M -Platte : 4

R(L) J 11

exp  J x L 1

R ( L) J 22

 exp  J y L

R (L) J 33

exp  J y L

rj rj.

Für die erste Gleichung von 3.39 gelten wieder die Bedingungen 3.31 und 3.32.

(3.39)

68

3 Erweiterter Jones-Kalkül

R (L) J 22

R (L) r j und J 33

r j werden einfach erfüllt für

j Ec cos M

Jy

o n1

nz ,

ny

(3.40)

n12 n 2y 2  n 2y 2 n z22

cos M

n14  n 2y 2 n z22

und R J 22 (L)

o

O

j

2

 j : J yL

M

2 elementen:

2

j

2

S ; m 1, 3, 5, " 2

(3.41a)

m

j 2m  1

S ; m 2

0, 2, 4, "

0, 2 , 4 , "

(3.41b)

-Platte gilt für die rechtsseitige erweiterte Jones-Matrix in den Matrizen-

R( L) J 11

exp  J x L 1

R (L) J 22

 exp  J y L

R ( L) J 33

j 2m  1

m 1, 3, 5, "

Z n1 cos M L c

2m  1 S ;

Z n1 cos M L c

-Platte . Bei der

Z n1 cos M L c

2m  1 S ;

Z n1 cos M L c

R J 22 (L)

o

 j : J yL

exp  J y L

(3.42)

1 1 .

R ( L ) 1 finden Sie wieder in 3.31 und 3.32. Die Bedingungen für J 11 R (L) Aus J 22

R ( L) J 33

1 folgt die einfach zu realisierende Bedingung

j E' cos M

Jy

o n1

ny

nz ,

(3.43)

n12 n 2y 2  n 2y 2 n z22

cos M

n14  n 2y 2 n z22

und J yL o

j

Z n1 cos M L c

Z n1 cos M L c

j 2m  1 S , m

2m  1 S ,

m

0, 1, 2 , "

0, 1, 2 , "

(3.44a) (3.44b)

3.2 Diagonale Jones-Matrizen

69

Damit liegen die Dimensionierungsbedingungen für die

M O  und -Platte vor. 4 2

3.2.4 Faseroptischer Verstärker H0-Mode. Wird nur der H0-Mode angeregt, muss für den faseroptischen Verstärker das Jonesd ( L ) bestimmt werden. Dazu gehen Sie bitte vom Eigenwert der zugehöriMatrix-Element J 11 gen Jones-DGL, also von

j

Jx

Z n x2  n12 sin 2 M c

(3.45)

aus. Es gilt für n1sin M : n x2  n 2x 2

n1 sin M

(3.46)

2

Beschreibt man nun die verstärkende Wirkung des faseroptischen Verstärkers durch die imaginären Ersatzbrechzahlen

n x | j n"x , n x 2 | j n"x 2 , n1 | j n1" ,

(3.47)

so geht 3.46 über in  n"x2  n"x22

j n1" sin M

j

2

o n1" sin M

n"x2  n"x22

n"x2  n"x22

2

(3.48)

2

Mit 3.47, 3.48 ergibt sich für 3.45: j

Jx

Z  n"x2  n1" 2 sin 2 M c

n"x2  n"x22 Z " 2  nx  j 2 2 j

Jx

Z c

Z  c

 n"x2  n"x22 2 n"x2  n´"x22

(3.49)

2

Für cos M gilt: cos M

1  sin 2 M

1

n"x2  n"x22 2 n1" 2

70

3 Erweiterter Jones-Kalkül 2 n1" 2  n"x2  n"x22

n1" cos M

2

Mit der Wahl n1"

n"x erhalten Sie: n"x2  n"x22

n1" cos M o Jx

2 

j E' cos M

,

Z " n1 cos M , c 

(3.50) (3.51a)

Z " n1 cos M c

(3.51b)

Damit ergeben sich folgende Zusammenhänge für das zu 3.51 gehörige Jones-Matrix-Element R(L): J 11

Z " n1 cos M : c

x

Jx

x

R J 11 (L)



· §Z exp ¨ n1" cos M L ¸ ¹ ©c

(3.52)

3.52 ist nur richtig für n1" konst . , so lange der faseroptische Verstärker als linear angenommen werden kann, d. h. er sich nicht im Sättigungsbereich befindet. E0-Mode. Analog gilt bei Anregung des E0-Modes: 2

Jy

j

§n · Z n y 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M c © nz ¹

n1 sin M nz

n 2y n z2  n 2y 2 n z2 n 2y n z2  n 2y 2 n z22

Imaginäre Ersatzbrechzahlen: n y | j n"y , n z | j n"z , n y 2 | j n"y 2 , n z 2 | j n"z 2 , n1 | j n1"

n1"

sin M

Jy

j

n"z

n"y2 n"z2  n"y22 n"z2 n"y2 n"z2  n"y22 n"z22

n"y22 n"z22  n"y22 n"z2 Z  n"y2 c n"y2 n"z2  n"y22 n"z22

(3.53)

(3.54)

3.2 Diagonale Jones-Matrizen n"y22 n"z22  n"y22 n"z2

Z  n"y c

Jy

Wahl: n1"

n"y

,

Z " n1 cos M , c 

n"z2 n"z22

n"z :

n"y2 n"z2  n"y22 n"z22 

j E' cos M

"2 "2 "2 n" 2 n y n z  n y 2 1 z n1" 2 n"y2 n"z2  n"y22

n"y22 n"z22  n"y22 n"z2

o cos M

o Jy

(3.55)

n"y2 n"z2  n"y22 n"z22

1  sin 2 M

cos M

71

(3.56)

(3.57a)

Z " n1 cos M c

(3.57b)

R ( L ) und Somit erhalten Sie zu 3.52 analoge Formeln für die Jones-Matrix-Elemente J 22 R ( L): J 33

Z " n1 cos M : c

x

Jy

x

R J 22 (L)

· §Z exp ¨ n1" cos M L ¸ c ¹ ©

x

R J 33 (L)

· §Z exp ¨ n1" cos M L ¸ ¹ ©c



(3.58)

Jones-Matrix. Die erweiterte rechtsseitige Jones-Matrix des faseroptischen Verstärkers lautet also bei Anregung beider Polarisationsmoden aus einer Laserdiode: § 1 0 0· ¸ ¨ exp Z n1" cos M L ¨ 0 1 0 ¸ c ¸ ¨ ¨ 0 0 1¸ ¹ ©



R J erw



(3.59)

Mit den Dimensionierungsbedingungen n1"

n"x

cos M

n"y

n"z ,

n1" 2  n"x22

2 n1" 2

(3.60a) n"y22 n"z22  n"y22 n1" 2 n1" 4  n"y22 n"z22

(3.60b)

72

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Für n"2

n"x 2 cos M

n"y 2

n"z 2 geht 3.60b über in

n1" 2  n"22 2 n1" 2

n"24  n"22 n1" 2 n1" 4  n"24

(3.60c)

3.60c ergibt: n1" 6  n1" 2 n"24  n"22 n1" 4  n"26

d. h. n1"

0,

(3.60d)

n"2 als physikalisch sinnvolle Lösung.

Damit folgt der wichtige Satz: Der isotrope faseroptische Verstärker lässt wegen M 0 nur parallel mit einer Laserdiode anregen, wenn sich beide Polarisationsmoden im Verstärker ausbreiten sollen. Die z-Komponente der elektrischen Feldstärke verschwindet wegen M 0 in diesem Fall und ebenso die z-Komponente der magnetischen Feldstärke. Die gleichzeitige Anregung von E0- und H0-Mode aus einer Laserdiode führt offenbar grundsätzlich bei isotropen Bauelementen auf den Spezialfall der parallelen Anregung. Das liegt für die anregenden Lichtwellen im isotropen Medium daran, dass die z-Komponenten aller ihrer Feldvektoren verschwindend klein vorausgesetzt wurden. Dies führt auf die Bedingung 2.224 bei gleichem sin M und cos M für E0- und H0-Mode und damit auf M 0 sowie auf schwache Führung der Wellen.

3.2.5 Zusammenfassung 3.2.5.1 Modenanregungsbedingungen Die Modenanregungsbedingungen von E0- und H0-Mode aus einer Laserdiode führt zur parallelen Anregung. Bei schräger Anregung des E0- und H0-Mode sind zwei Laserdioden unterschiedlicher Frequenz und Polarisation im Tandembetrieb notwendig. Tandembetrieb soll bedeuten, dass die beiden Monomode-Laserdioden vom gleichen elektrischen Strom angesteuert werden, jedoch unterschiedliche Frequenzen und Polarisationen besitzen sollen. Auch die Winkel der schrägen Anregung müssen unterschiedlich sein. Dann ergeben sich die allgemeinen Modenanregungsbedingungen nach Tabelle 3-1. Der Tandembetrieb zweier Laserdioden ist im Bild 3-1 skizziert.

3.2 Diagonale Jones-Matrizen

73

Laserdiode x Zx

i

Optisches Bauelement

M My x

Laserdiode y Zy

Bild 3-1

Tandembetrieb zweier Laserdioden

Tabelle 3-1

Modenanregungsbedingungen

Größe Z

E0-Mode S

Zy 4UN H z

sin M

n z2 n1

sin M y

cos M y

cos M

E 'y

Ec G e

J

e y'

Jy

H0-Mode

Zy

H y H y2 H y H z  H y2 H z2

Po

4 U N Po

n 2y  n 2y 2

sin M x

n 2y n z2  n 2y 2 n z22 1  sin 2 M y

Zy c

S

Zx

cos M x E'x

n1

1 , \ y'

e x'

0 2

§n · j n y 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M y c © nz ¹

Jx

j

Zx c

1 n1

H x H x2 2

n x2  n x22 2

1  sin 2 M x Zx n1 c 1 , \ x'

0

n x2  n12 sin 2 M x

74

3 Erweiterter Jones-Kalkül

3.2.5.2 Jones-Matrizen In den nachstehenden Tabellen sind die Eigenschaften von LWL, Polarisatoren, Retardern und faseroptischen Verstärkern mit diagonaler Jones-Matrix zusammengefasst. Dabei sind die Modenanregungsbedingungen nach Tabelle 3-1 berücksichtigt bzw. spezialisiert. Außerdem sind die Transmissionsfaktoren für die ein- und ausgangsseitige Grenzschicht mit den Übergängen isotrop o anisotrop und anisotrop o isotrop nach den Unterabschnitten 2.2.6.1 und 2.2.6.2 eingearbeitet. Des Weiteren werden nur die Lösungen für den Kern des optischen Bauelementes angegeben. Überwiegend ist die gemeinsame Phase in den Jones-Matrizen weggelassen, weil Sie bei der Detektion der optischen Signale ohnehin keine Rolle spielt. Die Matrix T erw

R T ai T Tia J erw T

(3.61)

ist die gesamte Transfermatrix des optischen Bauelementes zwischen ein – und ausgangsseitigen isotropen Medien in der Form

T erw

§ Tx ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0 Ty 0

0· ¸ 0¸ ¸ Tz ¸¹

Als Entwurfsbeispiel wird die

(3.62)

O  Platte gemäß Aufgabe A 3.2 betrachtet. 4

Tabelle 3-2 beinhaltet die Eigenschaften des anisotropen LWL. In Tabelle 3-3 sind die Merkmale des isotropen LWL dargestellt. Die Dimensionierungsbedingungen für den Eo - und H o Polarisator finden Sie in den Tabellen 3-4 und 3-5. Ausführlich sind in den Tabellen 3-6 und 3O O 7 die Realisierungsbedingungen für die - und - Platte dargestellt. Schließlich zeigt Tabelle 4 2 3-8 wichtige Eigenschaften linearer faseroptischer Verstärker.

3.2 Diagonale Jones-Matrizen Tabelle 3-2

75

Anisotroper LWL

Größe

Dimensionierungsbedingung n1

n Sc

Zx

Z

sin M

sin M x

cos M

J

Jx

j

Zx c ai T xT

T Tai

R J erw

2 j E'x cos M x

J x  j E'x cos M x 2

ia T yT

T Tia 2

§ nz · ia ¨¨ ¸¸ TzT n © 1¹

R T ai T Tia J erw T

c

j

ai , T yT

§ n1 · ¨¨ ¸¸ © nz ¹

R exp  J x L , J 22 ia T xT

T erw

n 2y n z2  n 2y 2 n z22 1  sin 2 M y

Zy

Zx n1 , E'y c

n 2x  n12 sin 2 M x ; J y

§ n1 · ai ¨¨ ¸¸ T zT © nz ¹ R J 11

n 2y  n 2y 2

1  sin 2 M x , cos M y

E'x

E’

n 2y n z2  n 2y 2 n z22

n z2 n1

, sin M y

2

cos M x

n 2y  n 2y 2

4 U N n z2

n 2x  n 2x 2

1 n1

Sc

, Zy

n x2  n x22 2

4 UN

n3

2

n1 2

Zy

§n · n y 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M y c © nz ¹ 2 j E'y cos M y

J y  j E'y cos M y 2 Jy

J y  j E'y cos M y





R exp  J y L , J 33

2 Jx

J x  j E'x cos M x 2 Jy

J y  j E'y cos M y 2 2 j E'y cos M y § nz · ¨¨ ¸¸ © n1 ¹ J y  j E'y cos M y

Tx

ia exp  J L T ai T xT x xT

Ty

 ia exp  J L T ai TzT y zT

Tz

ia exp  J L T ai T yT y yT



exp  J y L



76

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Tabelle 3-3

Isotroper LWL

Größe

Dimensionierungsbedingung

n

Z

cos M

cos M x

T Tia

T erw

R T ai T Tia J erw T

nx2

ny

Jx

nz

n y2

nz2 Sc n14  n12 n 22

4 UN

2

n12  n22

1 n1

n3

, Zy

n12  n 22

2

n14  n 24

n14  n12 n22

, sin M y

n14  n24

1  sin 2 M x , cos M y

c

j E'x cos M x , J y ai TxT

ai T yT

ai TzT

exp  J x L

R J 22

R J 33

1



exp  J y L

ia T yT

ia TzT

Tx

exp  J x L

Ty

Tz



n1

j E'y cos M y

R J 11

ia TxT

1  sin 2 M y

Zy

Zx n1 , E'y c

E'x

E'

R J erw

n2

4 UN

sin M x

T Tai

nx

Sc

Zx

sin M

J

n1



1

exp  J y L



Wegen der unterschiedlichen Frequenzen Z x und Z y sind selbst beim isotropen LWL unter Beachtung von M x z M y die Übertragungseigenschaften wegen J x z J y unterschiedlich.

3.2 Diagonale Jones-Matrizen Tabelle 3-4

77

E0-Polarisator

Größe n

Z

sin M

cos M

Dimensionierungsbedingung n"x , n"x 2 o f ; n1 Sc

Zx

L

T erw

n"x22  n"x2

4 UN

cos M x

Jx

n3 , n 2

2

n14  n 24

n14  n12 n22

, sin M y

n14  n24

1  sin 2 M y

Zy

Zx n1 , E'y c

c

n"x2  n"x22 of , Jy 2 m 2S E'y cos M y

n1 j E'y cos M y

; m 1, 2 , "

T Tai

ai TxT

ai 0 , T yT

ai TzT

1

R J erw

R J 11

R 0 , J 22

R J 33

1

T Tia

ia T xt

2 , T yia

ia TzT

1

Tx

0 , Ty

Tz

R T ai T Tia J erw T

nz2

n14  n12 n 22

4 UN

1  sin 2 M x , cos M y

L

n y2 Sc

, Zy

n"x22  n"x2

E'x Z c

nz

2

1 n1

sin M x

E'

J

ny

1

Bei den Dimensionierungsbedingungen für den E0 -Polarisator bleibt die gemeinsame Phase unberücksichtigt.

78

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Tabelle 3-5

H0-Polarisator

Größe n

Dimensionierungsbedingung n1

nx

nz Sc

Zx

Z

sin M

cos M

sin M x

cos M x

2

n"y2  n"y22

n1

n"y2 n12  n"y22 n22

m 2S

ai T xT

E'x cos M x

ia TxT

n1

; m 1, 2 , "

R 1 , J 22

ia 1 , T yT

Tx

c

Zy " n y cos M y o f c

ai 1 , T yT

R J 11

1  sin 2 M y

Zy

Zx n1 , E'y c

j E'x cos M x , J y

T Tai

R T ai T Tia J erw T

, sin M y

n"y2 n12  n"y22 n 22

1  sin 2 M x , cos M y

L

T Tia T erw

n12  n22

L

R J erw

n"y2  n"y22

4 U N n12

E'x

Jx

Sc

2

1 n1

n z 2 ; n"y , n"y 2 o f

n x2

, Zy

n12  n 22

4 UN

E'

J

n3 , n 2

1 , Ty

ai 0 , TzT R J 33

0

ia 2 , TzT

Tz

2

0

0

Ebenso wurde bei H 0 -Polarisator die Wirkung der gemeinsamen Phase nicht berücksichtigt.

3.2 Diagonale Jones-Matrizen Tabelle 3-6

O 4

79

-Platte

Größe

Dimensionierungsbedingung

n

n1

nx

ny

n2

n x2

n12  n 22

4 UN

cos M

2



L





Jx

8 mx UN

R T ai T Tia J erw T

Tx §1 0 0· ¸ mx ¨ ¨0 j 0¸ : m y ¨0 0 j¸ ¹ ©

 64 m x2  4 m y  2 2

ai T yT

Zy c

1, 2 , 3, "

ia T yT

n1

j E'y cos M y

ai TzT

R 1 , J 22

ia TxT

T Tia



64 m 2x  4 m y  2 2

j E'x cos M x , J y

R J 11

R J erw







Zx n1 , E'y c

ai TxT

T Tai

m

 

4096 m 4x  4 m y  2 4

E'x

R J erw



64 m 2x 4 m y  2 2  4 m y  2 4



E'

T



64 m x2  4 m y  2 2

ª º 4096 m 4x  4 m y  2 4 128 m x « »  « » 4 2 2 2 2 4096 m x  64 m x 4 m y  2 » «¬ 64 m x  4 m y  2 ¼

L

J

n14  n 24



Sc 4 n1 Z x  Z y

n12  n 22

n12 n22  n24 n14  n24

, cos M y

1

cos M y

UN

Sc 4 U N n12

128 m x

cos M

8 mx 4 my  2

n1 n2

, Zy

n12  n22

cos M x

UN

n z2 ,

2

1 n1

cos M x

n3 ,

n y2

Sc

Zx

Z

nz

1

R J 33

r j

ia TzT

1

1 , Ty

R , J erw 1, 3, 5, "

Tz

r j

0 · §1 0 ¸ mx ¨ ¨0  j 0 ¸ : m y ¨0 0  j¸ ¹ ©

1, 2 , 3, " 0, 2 , 4 , "

:

80

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Tabelle 3-7

O 2

-Platte

Größe

Dimensionierungsbedingung

n

n1

nx

ny

n2

n x2

n12

4 UN

cos M

n12  n 22

4 U N n12

n14  n 24

n12 n22  n24 n14  n24





64 m x2  8 m y  4 2



 

64 m 2x 8 m y  4 2  8 m y  4 4 4096 m x4  8 m y  4 4

ª º 4096 m 4x  8 m y  4 4 128 m x Sc « »  » 4 2 2 4 n1 Z x  Z y « 2 2 4096 m x  64 m x 8 m y  4 » «¬ 64 m x  8 m y  4 ¼

L









L

Jx

J

 64 m x2  8 m y  4 2 64 m 2x  8 m y  4 2

Zx n1 , E'y c

j E'x cos M x , J y ai T xT

T Tai

R J 11

R J erw

ia T xT

T Tia R T ai T Tia J erw T

ai T yT

R 1 , J 22 ia T yT

Tx

mx







8 mx UN

E'x

E'

m

Sc

, Zy

 n 22

128 m x

cos M y

T

n z2 ,

1

cos M

UN

8 mx 8 my  4

n1 n2

n12  n 22 , cos M y 2

1 n1

cos M x

n3 ,

2

cos M x

UN

n y2

Sc

Zx

Z

nz

Zy

j E'y cos M y

ai T zT

1

R J 33 ia T zT

1 , Ty

1, 2 , 3, " ; m y

n1

c

1 1 Tz

1

0, 1, 2 , "



3.3 z-Komponenten-Übertragungsfunktion bei diagonalem Dielektrizitätstensor Tabelle 3-8

Faseroptischer Verstärker

Größe

Dimensionierungsbedingung

"

n

Z

cos M

J

n1"

n"x

n"2

n"x 2

n "22

4 UN

cos M x

n"y 2

n"3 n"z 2 Sc

, Zy

 n1" 2

4 U N n1" 2

n1" 2  n"22 , cos M y 2

1 n1"

Zx " n1 , E'y c

E'x Jx

n"z

2

Z  x n1" cos M x , J y c ai T xT

T Tai

R( L) J 11 R J erw

n"y

Sc

Zx

E'

R J 22 (L)

ai T yT

ai T zT

c

n1"

Zy c

n1" cos M y

1

§ Zy " · exp ¨¨ n y cos M y L ¸¸ © c ¹

ia T yT

ia T zT

1

Tx

§Z · exp ¨ x n1" cos M x L ¸ © c ¹

Ty

Tz

R T ai T Tia J erw T

n1" 4  n "24

n1" 2 n"22  n"24 n1" 4  n"24

Zy



n "22  n1" 2

§Z · exp ¨ x n1" cos M x L ¸ © c ¹

R J 33 (L)

ia T xT

T Tia

T erw

81

· § Zy " exp ¨¨ n1 cos M y L ¸¸ ¹ © c

3.3 z-Komponenten-Übertragungsfunktion bei diagonalem Dielektrizitätstensor 3.3.1 Ableitung der z-Komponenten-Übertragungsfunktion Die z-Komponenten-Übertragungsfunktion als Verhältnis der z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Aus- und Eingang wird definiert in der Form:

82

3 Erweiterter Jones-Kalkül Tz ( L )

D z  y , L Dz  y , 0

(3.63)

Allgemein erhält man T zd ( L ) bei diagonalem Dielektrizitätstensor aus ia D  y , L D z  y , L TzT  z ia H E  y , L TzT  z z ia J d ( L ) H E  y , 0 TzT  z z 33 ia J d L D  y , 0 TzT  z 33 ia J d L T ai D  y , 0 D z  y , L TzT  zT z 33 ia J d L T ai o Tzd L TzT zT 33

(3.64)

3.3.2 z-Komponenten-Übertragungsfunktionen Die z-Komponenten-Übertragungsfunktionen, kurz z-KÜF, sind für die Bauelemente nach Unterabschnitt 3.2.5.2 in Tabelle 3-4 zusammengestellt. Sie stimmen formal entsprechend den Bedingungen im Unterabschnitt 3.2.5.2 mit T z überein. Tabelle 3-9

z-Komponenten-Übertragungsfunktionen bei diagonalem Dielektrizitätstensor

Bauelement

z-KÜF



T zd

Anisotroper LWL Jy

Isotroper LWL

T zd

j

Zy c





exp  J y L , 2

§n · 1  ¨¨ 1 ¸¸ sin 2 M y © nz ¹

ny



exp  J y L , J y

E0-Polarisator

T zd

1

H0-Polarisator

T zd

0

O  Platte 4

T zd

r j

O  Platte 2

T zd

1

Faseroptischer Verstärker

T zd

j E'y cos M y

§ Zy " · exp ¨¨ n1 cos M y L ¸¸ © c ¹

3.4 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem oder hermiteschem Dielektrizitätstensor

83

3.4 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem oder hermiteschem Dielektrizitätstensor 3.4.1 Dielektrizitätstensoren 3.4.1.1 Symmetrischer Dielektrizitätstensor Symmetriebedingung. Für homogene, nichtabsorbierende und magnetisch isotrope Stoffe soll die Symmetrieeigenschaft des Dielektrizitätstensors H abgeleitet werden. Dazu geht man von der Energiedichte des elektrischen Feldes, hier mit w E bezeichnet, aus, differenziert diese nach der Zeit t und vergleicht den entstehenden Ausdruck mit dem entsprechenden Term im Poyntingschen Satz. In Gleichungen gefasst, gilt also: 1 G G wE E˜D 2 G E' E x , E y ,E z

 D x , D y , D z

G D' G G D HE § Dx · ¸ ¨ ¨D ¸ ¨ y¸ ¨D ¸ © z¹

wE

§ H xx ¨ ¨H ¨ yx ¨¨ © H zx

H xy H yy H zy

H xz · § E x · ¸¨ ¸ H yz ¸¸ ¨ E y ¸ ¸ ¨ ¸ H zz ¸¹ ¨© E z ¸¹

1 E x Dx  E y D y  E z Dz 2

>

@

>

1 H xx E x2  H xy E x E y  H xz E x E z 2

 H yx E y E x  H yy E 2y  H yz E y E z  H zx E z E x  H zy E z E y  H zz E z2

wE

>

1 H xx E x2  H xy  H yx E x E y 2





 H xz  H zx E x E z  H yy E 2y





 H yz  H zy E y E z  H zz E z2

w E

@

1 2 H xx E x E x  H xy  H yx E x E y  E x E y 2  H xz  H zx E x E z  E x E z  2 H yy E y E y

>





  H yz  H zy E y E z  E y E z  2 H zz E z E z @



@

84

3 Erweiterter Jones-Kalkül

G G div E u H



G G E˜D



G G G G E˜D H ˜B

H xx E x E x  H xy E x E y  H xz E x E z  H yx E x E y  H yy E y E y  H yz E y E z  H zy E x E z  H zy E y E z  H zz E z E z G G E˜D

w E

H yx , H xz

o H xy

o H

H zx , H yz

H zy

H'

(3.65)

Nach 3.65 ist also für o. g. Materialien der Dielektrizitätstensor H symmetrisch:

H

§ H xx ¨ ¨H ¨ xy ¨¨ © H xz

H xy H yy H yz

H xz · ¸ H yz ¸¸ ¸ H zz ¸¹

(3.66)

Beispiel 3.1: Symmetrischer Dielektrizitätstensor Einen symmetrischen Dielektrizitätstensor zeigt 3.67.

H

§9 1 1· ¸ ¨ Ho ¨ 1 9 1¸ ¸ 4 ¨ ¨1 1 9¸ ¹ ©

(3.67)

Definitheit. Mit Hilfe dieses Begriffes können dielektrische Medien auf positive oder negative Bestimmtheit geprüft werden: x positiv definit Ein dielektrisches Medium heißt positiv definit, wenn G G wE ! 0 o E' H E ! 0

(3.68)

gilt. In diesem Fall muss die quadratische Form 3.68 mit der Formenmatrix H ebenfalls positiv definit sein. Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten von H positiv sind.

H

§ H xx ¨ ¨H ¨ xy ¨¨ © H xz

H xy H yy H yz

H xz · ¸ H yz ¸¸ ¸ H zz ¸¹

3.4 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem oder hermiteschem Dielektrizitätstensor

D1

D3

H xx ! 0 , D2

H xx

H xy

H xy

H yy

H xx

H xy

H xz

H xy

H yy

H yz ! 0

H xz

H yz

H zz

85

!0

(3.69)

x negativ definit Ein dielektrisches Medium heißt negativ definit, wenn G G wE  0 o E' H E  0

(3.70)

gilt. In diesem Fall muss die quadratische Form mit der Formenmatrix H ebenfalls negativ definit sein. Eine quadratische Form ist genau dann negativ definit, wenn alle ungeraden Hauptabschnittsdeterminanten von H negativ und alle geraden Hauptabschnittsdeterminanten positiv sind: D1

D3

H xx  0 , D2

H xx

H xy

H xy

H yy

H xx

H xy

H xz

H xy

H yy

H yz  0

H xz

H yz

H zz

! 0,

(3.71)

Beispiel 3.2: Definitheit eines symmetrischen Dielektrizitätstensors

Untersucht wird der Dielektrizitätstensor 3.67. Ohne Berücksichtigung des positiven Vorfaktors H o / 4 gilt: D1

9 ! 0 , D2

9 1 1 9

80 ! 0

9 1 1 D3

1 9 1

9 ˜ 80  80  8

632 ! 0

1 1 9

Das zugehörige Medium ist offenbar positiv definit. Hauptachsentransformation. Ein symmetrischer Dielektrizitätstensor H kann durch die so genannte Hauptachsentransformation auf Diagonalform gebracht werden. Die Lage der Hauptachsen kennzeichnet ein neues Koordinatensystem, dass durch Drehung aus dem ursprünglichen hervorgeht.

86

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Zunächst sind aus H  O E aG

G 0

G die Eigenwerte O von H und die zugehörigen Eigenvektoren a zu bestimmen. Die Eigenvektoren lassen sich nach Gram-Schmidt orthogonalisieren: G G a1 n1 G a1 G G G G G a 2  n1 ˜ a 2 n1 (3.72) n2 G a2 G G G G G G G G a 3  n1 ˜ a 3 n1  n 2 ˜ a 3 n 2 n3 G a3 G G G n1 , n2 , n3 bilden die orthogonale Matrix A: G G G A n1 n2 n3 (3.73)

Damit lässt sich die orthogonale Transformation auf Diagonalform mit dem diagonalem Dielektrizitätstensor H d formulieren: A' H A

Hd

(3.74)

Ein Beispiel zur Hauptachsentransformation symmetrischer, positiv definiter Dielektrizitätstensoren findet sich in Aufgabe A3.3.

3.4.1.2 Hermitescher Dielektrizitätstensor Symmetriebedingung. Auf gleichem Wege wie in Unterabschnitt 3.4.1.1 kann für homogene, nichtabsorbierende und magnetisch isotrope Materialien gezeigt werden, dass der Dielektrizitätstensor auch hermitesch sein kann. Verallgemeinert zu 3.65 gilt also: H

H'*

(3.75)

Das sieht man wie folgt ein: G G S NE § Sx · ¨ ¸ ¨S ¸ ¨ y¸ ¨S ¸ © z¹ G G S ˜E

w E o H

§ N xx ¨ ¨N ¨ yx ¨¨ © N zx

N xy N yy N zy

N xz · § E x · ¸¨ ¸ N yz ¸¸ ¨ E y ¸ ¸ ¨ ¸¸ ¨ N zz ¹ © E z ¸¹

  N yy E 2y  N yz  N zy E y E z  N zz E z2

N xx E x2  N xy  N yx E x E y  N xz  N zx E x E z

G G G G G G E˜DS˜E o S˜E H' , N

 N'

0 (3.76)

3.4 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem oder hermiteschem Dielektrizitätstensor mit

87

0

N xx

N yy

N zz

N xy

 N yx , N xz

 N zx , N yz

 N zy

Der Dielektrizitätstensor H ist symmetrisch und der Leitfähigkeitstensor N schiefsymmetrisch. Mit H ges

H j

H ges

H'* ges

N Z

(3.78)

folgt

Für H ges wird wieder H geschrieben. 3.78 setzt eine einheitliche Kreisfrequenz Z der Polarisationsmoden voraus. was jedoch nur näherungsweise erfüllt ist. Daher muss auch 3.75 als Näherung, z. B. für die mittlere KreisfreZx  Z y quenz Z der Polarisationsmoden betrachtet werden. 2 Beispiel 3.3: Hermitescher Dielektrizitätstensor Ein hermitescher Dielektrizitätstensor ist z. B.:

H

1 j 1 § 9 ¨ Ho ¨ 1 j 9 1 4 ¨ ¨1  j 1  j 9 ©

j· ¸ j¸ ¸ ¸ ¹

(3.79)

Definitheit. Ist H hermitesch, so spricht man in 3.68 und 3.70 von hermiteschen Formen, wenn G G noch E ' durch E '* ersetzt wird. Bei hermiteschen Formen lauten die Testbedingungen: x positiv definit G G w E ! 0 o E '* H E ! 0

(3.80)

x negativ definit G G w E  0 o E '* H E  0

(3.81)

Bezüglich positiver und negativer Bestimmtheit gelten hier die gleichen Sätze wie bei reellen quadratischen Formen. Beispiel 3.4: Definitheit eines hermiteschen Dielektrizitätstensors Untersucht wird der Dielektrizitätstensor nach 3.79.

D1

9 ! 0 , D2

9

1 j

1 j

9

79 ! 0

88

3 Erweiterter Jones-Kalkül 9 D3

1 j 1 j

1 j

9

1 j 1 j

1 j

679 ! 0

9

Das Medium ist positiv definit. Die Berücksichtigung des positiven Vorfaktors H o / 4 ändert nichts an dieser Aussage. Hauptachsentransformation. Die Diagonalisierung eines hermiteschen Dielektrizitätstensors H erfolgt durch die verallgemeinerte Hauptachsentransformation mit einer unitären Transformationsmatrix B : Hd

B'* H B

(3.82)

Ein Beispiel zu der auch als unitäre Transformation bekannten Diagonalisierungsvorschrift 3.82 enthält Aufgabe A3.4:

3.4.2 Ableitung der erweiterten Jones-Matrix 3.4.2.1 Erweiterte Jones-Matrix bei symmetrischem Dielektrizitätstensor Die bisherigen Ausführungen zur erweiterten Jones-Matrix J derw und zu den Transmissionsmatrizen für die Übergänge isotrop o anisotrop, hier bezeichnet mit T dai , und anisotrop o d , bezogen sich auf das diagonale Übertragungsproblem: isotrop, gekennzeichnet durch T ia Gd d J d T d EG d E out T ia (3.83) erw ai in

Mit der Transformationsmatrix A, herrührend von der Diagonalisierung eines symmetrischen Dielektrizitätstensors H , lässt sich unter Nutzung orthogonaler Transformationen der Form T ai J erw

A T dai A' A J derw A'

T ia

d A' A T ia

G E in

Gd A Ein

G E out

Gd A Eout

das nichtdiagonale Übertragungsproblem wie folgt ableiten:

(3.84)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 89 Gd Eout

d J d T d EG d T ia erw ai in

Gd A Eout

d J d T d A' EG A T ia in erw ai

G Eout G E out

d A' A J d A' A T d A' EG A T ia in ai erw G T ia J erw T ai Ein

(3.85)

Zur Ableitung der nichtdiagonalen Übertragungsgleichung 3.85 wurde die Eigenschaft

A' A

E

(3.86)

mit der Einheitsmatrix E benutzt.

3.4.2.2 Erweiterte Jones-Matrix bei hermiteschem Dielektrizitätstensor Mit der unitären Transformationsmatrix B, herrührend von der Diagonalisierung eines hermiteschen Dielektrizitätstensors H , lauten die Transformationsbeziehungen zwischen diagonalem und nichtdiagonalem Übertragungsproblem: T ai J erw T ia

B T dai B'* B J derw B'* d B'* B T ia

(3.87)

G Ein

Gd B E in G Gd Eout B Eout .

Es gelten auch hier strukturgleich Zusammenhänge wie in 3.83 und 3.85. Ein Beispiel zur Berechnung der erweiterten Jones-Matrix J erw bei gegebener diagonaler erweiterter Jones-Matrix J derw enthält Aufgabe A3.5.

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 3.5.1 Absorbierende Medien mit komplexem Dielektrizitätstensor Absorbierende Medien. In nichtabsorbierenden dielektrischen Medien war der Dielektrizitätstensor entweder symmetrisch oder hermitesch. Im ersten Fall spricht man von linearer Anisotropie und im zweiten von zirkularen anisotropen Medien. Die Polarisationshauptzustände sind bei symmetrischem Dielektrizitätstensor linear und bei hermiteschem Tensor zirkular. Absorbiert das betrachtete Medium optische Wellen, so spricht man von Dichroismus. In Analogie spricht man bei absorbierenden Medien vom linearen und zirkularen Dichroismus. Der Dielektrizitätstensor besitzt dann nicht mehr Symmetrie oder Hermitizität. Er muss allgemein komplex angesetzt werden.

90

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Komplexer Dielektrizitätstensor. Für den komplexen Dielektrizitätstensor schreibt man H

H'  j H"

(3.88)

Transformation auf Diagonalform. Im Falle kleiner Absorption lässt sich H nach 3.88 näherungsweise auf Diagonalform transformieren [3.3]. Dazu wird das Eigenwertproblem G G H' ni H'i ni (3.89)

^

`

G G G G für die Eigenwerte H'i  H'x , H'y , H'z und die Eigenvektoren ni  ^n1 , n2 , n3 ` unter der Vor-

aussetzung eines symmetrischen positiv definiten Realteils H ' von H gelöst. Dann sind die Eigenwerte H 'i sämtlich positiv reell und die Eigenvektoren können in ein Orthonormalsystem überführt werden. Unter Anwendung der Störungsrechnung erster Ordnung bestimmt man dann die Imaginärteile ' H i  ' H x , ' H y , ' H z aus

^

' Hi

`

G G ni' H" ni

(3.90)

Unter der weiteren Voraussetzung H"  H' ist die näherungsweise Diagonalform gegeben durch § H'  j ' H x ¨ x ¨ 0 Hd | ¨ ¨ 0 ¨ ©

0 H'y  j ' H y 0

· ¸ ¸ 0 ¸ ¸ ' Hz  j ' Hz ¸ ¹ 0

(3.91)

abgeleitet aus mit

und

H d | A' H A G G G A n1 n2 n3

A'

§ nG' · ¨ 1¸ ¨ G' ¸ ¨ n2 ¸ ¨ G' ¸ ¨ n3 ¸ © ¹

(3.92) (3.93)

(3.94)

Ein Beispiel zu diesem Verfahren enthält Aufgabe A3.7. Besitzt ein komplexer Dielektrizitätstensor nach 3.88 großes Absorptionsverhalten, so wird seine Diagonalform vorausgesetzt.

3.5.2 Nichtdiagonale Jones-Matrizen und zugehörige z-Komponenten-Übertragungsfunktion 3.5.2.1 Voraussetzungen Die Darstellung der Zusammenhänge für nichtdiagonale Jones-Matrizen und die zugehörigen z-Komponenten-Übertragungsfunktionen erfolgt unter den Voraussetzungen:

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 91 x Es liege ein symmetrischer oder hermitescher Dielektrizitätstensor oder ein komplexer Dielektrizitätstensor mit kleiner Absorption bzw. großer Absorption, letzterer in Diagonalform, vor. x Die nachfolgende Rechnung gilt näherungsweise für die mittlere Frequenz Z

Zx  Z y 2

der beiden Polarisationsmoden. x Die Winkel der schrägen Anregung seien M

M y  Mx und M out 2

M yout  M xout . 2

x Eine eventuelle Berücksichtigung des Transmissionsverhaltens von ein- und ausgangsseitiger Grenzschicht soll zusätzlich zur Jones-Matrix J und zur z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz erfolgen. x Für jede optische Komponente wird gleiches vor- und nachgeschaltetes isotropes, homogenes und lineares Dielektrikum mit H1 H 3 vorausgesetzt. x Es werden nur die Lösungen für den Kern und nicht für den Mantel eines optischen Bauelementes angegeben.

3.5.2.2 Nichtdiagonale Jones-Matrix Transformation. Für einen symmetrischen, hermiteschen oder komplexen Dielektrizitätstensor geringer Absorption ist die Transformation auf Diagonalform mit einer i. A. unitären Transformationsmatrix B gezeigt worden. B ist auch die Matrix, die J erw auf Diagonalform J derw gemäß J derw

B'* J erw B

(3.95)

transformiert. Zum Beispiel durch Verdrehung des x, y, z-Koordinatensystems um den Winkel 4 mit der zAchse als Drehachse weist die erweiterte Jones-Matrix J erw entsprechend 3.95 keine Diagonalform J derw mehr auf, sondern die spezielle Form

J J erw

§ J 11 ¨ ¨J ¨ 21 ¨¨ © 0

J 12 J 22 0

0 · ¸ 0 ¸¸ d ¸¸ J 33 ¹

(3.96)

mit der Jones-Matrix

J

§ J 11 ¨ ¨J © 21

J 12 · ¸ J 22 ¸¹

(3.97)

J in der Form Unter Verwendung der unitären Transformationsmatrix A kann J erw J J erw

A J derw A'*

(3.98)

92

3 Erweiterter Jones-Kalkül

mit A

§ a11 ¨ ¨a ¨ 21 ¨ 0 ©

a12 a 22 0

0· ¸ 0¸ ¸ 1 ¸¹

(3.99)

dargestellt werden. Beispiele für A sind:

A

§ cos 4  sin 4 0 · ¸ ¨ ¨ sin 4 cos 4 0 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 1 ¹ ©

(3.100)

A

§ cos 4 ¨ ¨ j sin 4 ¨ ¨ 0 ©

(3.101)

oder j sin 4 0 · ¸ cos 4 0 ¸ ¸ 0 1 ¸¹

J lässt sich auch aus J J erw erw mit der unitären Transformationsmatrix C gemäß J J erw

C '* J erw C

(3.102)

ermitteln. Zwischen A, B und C gelten folgende Zusammenhänge: J J erw

A J derw A'*

C '* J erw C

C '* B J derw B'* C

o C'*

A B'* , C

B A'*

Beispiel 3.5: Transformationsmatrizen x Gegeben:

B

§ 1 ¨ 1 1 ¨  3 j ¨ j 2 3¨ 1  j 3 ¨1 2 ©

A

§ 1 1 0 · ¸ 1 ¨ ¨1 1 0 ¸ 2¨ ¸ 2¹ ©0 0

x Gesucht: J C , J erw

· ¸ 3 j ¸ ¸ 2 ¸ 1 j 2 ¸ 2 ¹ 1

(3.103)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 93 x Lösung:

C

B A'*

J J erw

ª 0 « 1 « 3 3 j « 2 6 « «  3 j 3 2 ¬«

º » 6 2 j» » , 2 » 2 j 6» 2 ¼»

2

2

 3 j 2 1  j 3 2

A J derw A'* d d § J 11  J 22 ¨ 2 ¨ d d ¨ J 11  J 22 ¨ 2 ¨ ¨ 0 ¨ ©

d d J 11  J 22 2 d d J 11  J 22 2

0

· 0 ¸ ¸ ¸ 0 ¸ ¸ d ¸ J 33 ¸ ¹

J J erw kann auch unter Verwendung von C aus J erw gemäß L 3.45 und L 3.46 erhalten wer-

den, wovon sich der Leser überzeugen mag. Die Jones-Matrix J lautet hier: J

§J d  J d 22 1 ¨ 11 ¨ 2¨ d d © J 11  J 22

d d · J 11  J 22 ¸ ¸ d d ¸ J 11  J 22 ¹

J Die Übertragung der z-Komponente erfolgt bei J erw verglichen mit J derw für eine geeignet gewählte Eingangspolarisation invariant.

3.5.2.3 z-Komponenten-Übertragungsfunktion Ziel. Es soll die z-KÜF für die z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte unter der Voraussetzung abgeleitet werden, dass die Jones-Matrix J die Form 3.97 besitzt. Eingangssignal im xc, yc, zc-Koordinatensystem. Dazu regen wir ein optisches Bauelement gemäß Bild 2-6 mit folgendem Signal einer Laserdiode an: § D x' z' · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D y' z' ¸ ¹ ©

§ e x' exp  j \ x' · ¸ ˆ exp  j E' z' ¨ D ¸ ¨ o ¨ e y' exp  j \ y' ¸ ¹ ©





(3.104)

Drehungsmatrix. Die Drehung um den Winkel M in Bild 2-6 wird durch die Drehungsmatrix nach 3.105 beschrieben. § x' · ¨ ¸ ¨ y' ¸ ¨ ¸ ¨ z' ¸ © ¹

0 0 · § x· §1 ¸¨ ¸ ¨ ¨ 0 cos M sin M ¸ ¨ y ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¨ 0  sin M cos M ¸ ¨ z ¸ ¹© ¹ ©

(3.105)

94

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Eingangssignale im x, y, z-Koordinatensystem. Bedingt durch die Koordinatentransformation 3.105 geht das optische Signal der Laserdiode über in § D x'  y , z · ¨ ¸ ¨ D  y , z ¸ © y' ¹

§ ˆ exp  j E' y sin M  j E' z cos M ¨ D o ¨¨ ©

e x' exp  j \ x' · ¸ e y' exp  j \ y' ¸¸ ¹





(3.106)

Am Eingang des optischen Bauelementes liegt im x, y, z-Koordinatensystem das Signal § D x in  y , 0 · ¸ ¨ ¨ D y in  y , 0 ¸ ¸¸ ¨¨ © D z in  y , 0 ¹

0 · §1 ¨ ¸ § D x'  y , 0 · ¸ M ¸ ¨¨ 0 cos ¨ ¸ ¨ 0 sin M ¸ © D y'  y , 0 ¹ © ¹

(3.107)

vor. Das Eingangssignal für die elektrische Feldstärke bezüglich x- und y-Komponente lässt sich darstellen in der Form: 1 · D  y , 0 § ¨ F' in sin M ¸ z in ¨ cot M ¸ H1 ¹ © G Für die z-Komponente von Din gilt:

§ E x in  y , 0 · ¨ ¸ ¨ E y in  y , 0 ¸ © ¹

D z in  y , 0



ˆ e sin M exp j E' y sin M  \ D o y' y'

(3.108)



(3.109)

Polarisationsvariable. Die Größe F' in ist die Polarisationsvariable auf der Eingangsseite mit F' in

e y' e x'

exp  j \' , \'

\ y'  \ x'

(3.110)

Ausgangssignale im x, y, z-Koordinatensystem. Auf der Ausgangsseite des optischen Bauelementes bei z L erhält man: § E x out  y , L · ¨ ¸ ¨ E y out  y , L ¸ © ¹

§ J 11 L J 12 L · § E x in  y , 0 · ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ ¨ ¸ © J 21 L J 22 L ¹ © E y in  y , 0 ¹

(3.111)

Unter der Annahme gleichen vor- und nachgeschaltetem Dielektrikums H1 H 3 kann 3.111 auch für die x- und y-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte formuliert werden. Wenn zusätzlich 3.108 berücksichtigt wird, dann gilt: § E x out  y , L · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ E y out  y , L ¸ © ¹

§ J 11  J cot M · ¨ F' sin M ¸ D z in  y , 0 12 ¨ in ¸ H1 ¨ J 21  J cot M ¸ ¨ F' sin M ¸ 22 © in ¹

§ D x out  y , L · ¨ ¸ o ¨ ¸ ¨ D y out  y , L ¸ © ¹

§ J 11 ·  J 12 cot M ¸ ¨ ¨ F' in sin M ¸ D  y , 0 ¨ J 21 ¸ z in ¨ F' sin M  J 12 cot M ¸ © in ¹

(3.112)

(3.113)

z-Komponenten-Übertragungsfunktion. Die Gz-KÜF lässt sich unter der Voraussetzung der am Ausgang verschwindenden Divergenz von D wie folgt ableiten:

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 95 w D x out  y , L wx



w D x out  y , L wx

w D y out  y , L wy

w D y out  y , L wy 0:



w D z out  y , L wL

w D z out  y , L wL



0

w D y out  y , L wy

§ J 21 ·  J 22 cot M ¸¸ D z in  y , 0 j E' sin M ¨¨ © F' in sin M ¹

(3.114) (3.115) (3.116)

Es gilt: J 21 o

J 21( L ) , J 22 w D z out  y , L wL

(3.117)

J 22 ( L ) ª J ( L) º  j E' cos M « 21  J 22 ( L )» D z in  y , 0 ¬ F' in cos M ¼

D z out  y , L T z L D z in  y , 0

o

w Tz wL

(3.118) (3.119)

ª J ( L) º  j E' cos M « 21  J 22 ( L )» ¬ F' in cos M ¼

(3.120)

Somit gilt die Form I der z-KÜF: L

Tz ( L )

T z ( 0 )  j E' cos M

ª J 21( z ) º  J 22 ( z )» dz « ¬ F' in cos M ¼ 0

³

(3.121)

3.5.2.4 Polarisationsübertragungsgleichung Drehungsmatrix. Auf der Ausgangsseite bei z L erhält man mit der in 3.122 angegebenen Drehungsmatrix den Zusammenhang bezüglich der Verschiebungsflussdichten des xc, yc, zcKoordinatensystems, dargestellt im x, y, z-Koordinatensystem: § D x' out ( y , L ) · ¨ ¸ ¨D ¸ ( y , L ) ¨ y' out ¸ ¨D ¸ ( y , L ) © z' out ¹

0 §1 ¨ ¨ 0 cos M out ¨ ¨ 0  sin M out ©

· §¨ D x out ( y , L ) ·¸ ¸ ¸ ¨ sin M out ¸ ¨ D y out ( y , L ) ¸ ¸ ¸ ¨ cos M out ¸¹ ¨© D z out ( y , L ) ¸¹ 0

(3.122)

Mit 3.113 und 3.119 ergibt sich: § D x' out ( y , L ) · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D y' out ( y , L ) ¸ ¹ ©

· § J 11  J 22 cot M ¸ ¨ ' sin F M ¸ ¨ in ¸ D z in ( y , 0 ) ¨ ¸ ¨ J 21 cos M out ¨ F' sin M  J 22 cot M cos M out  T z sin M out ¸ in ¹ ©

(3.123) D z' out ( y , L )

ª  J 21 sin M out º  J 22 cot M sin M out  T z cos M out » D z in ( y , 0 ) (3.124) « ' sin F M in ¬ ¼

96

3 Erweiterter Jones-Kalkül

zc-Komponente. Der Winkel M out soll nun so gewählt werden, dass die zc-Komponente D z' out ( y , L ) verschwindet. Dann liegen äquivalente Verhältnisse bezüglich der transversalen Lichtwellen am Ein- und Ausgang vor, was die Beschreibung der Zusammenschaltung von optischen Bauelementen erleichtert. In diesem Falle ist nämlich der Winkel M out derjenige für die schräge Anregung eines in Kette geschalteten nachfolgenden optischen Bauelementes und die noch zu definierende Polarisationsvariable F' out am Ausgang eines vorgeschalteten Bauelementes die die Eingangspolarisation beschreibende Kenngröße der nachfolgenden Baugruppe. Aus 3.124 folgt mit D z' out ( y , L ) tan M out

tan M

Andererseits gilt mit E' sin M out

0 die Bedingung:

Tz J 21  J 22 F' in cos M

Z P 0 H1

E' sin M E'

 j E' sin M

Tz w Tz wL

(3.125)

Z P0 H3 :

sin M o M out

(3.126)

M

Bei gleichem vor- und nachgeschaltetem Dielektrikum H1 H 3 sind also die Winkel M out und M identisch. Diese Aussage entspricht dem Brechungsgesetz von Snellius van Roijen. DGL für die z-KÜF. Mit M out M erhält man aus 3.125 und 3.120 folgende Differenzialgleichung für die z-Komponentenübertragungsfunktionen w Tz  j E' cos M T z wL

(3.127)

0

Die Lösung von 3.129 ergibt die Form II der z-KÜF: Tz ( L )

T z ( 0 ) exp  j E' cos M L

Weiterhin erhalten Sie aus 3.124 und 3.126 mit D z' out ( y , L ) III der KÜF: Tz ( L )

(3.128) 0 sowie M out

M die Form

J 21( L )  J 22 ( L ) F' in cos M

(3.129a)

J 21( 0 )  J 22 ( 0 ) F' in cos M

(3.129b)

mit Tz ( 0 )

Polarisationsvariable am Ausgang. Über D z out ( y , L )

tan M D y out ( y , L ) ,

ermittelt aus 3.122 mit D z' out ( y , L ) D y' out ( y , L )

0 , folgt

>cos M  sin M tan M@ D y out ( y , L ) cos 2 M  sin 2 M D y out ( y , L ) cos M

(3.130)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 97 D y out ( y , L )

D y' out ( y , L )

cos M

(3.131)

und somit aus 3.113: § D x' out ( y , L ) · ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D y' out ( y , L ) ¸ ¹ ©

J 21 · §  J 12 cot M ¸ ¨ ¸ ¨ F' in sin M ¸ D z in ( y , 0 ) ¨ J 21 J 22 ¸ ¨ ¨ F' cos M sin M  sin M ¸ ¹ © in

(3.132)

Die Polarisationsvariable am Ausgang wird nun in der Darstellung D y' out ( y , L )

F' out

(3.133)

D x' out ( y , L )

definiert, und mit 3.132 ergibt sich die Polarisationsübertragungsgleichung als Bilinearform in F' in cos M : J 21  J 22 F' in cos M J 11  J 12 F' in cos M

F' out cos M

(3.134)

Des weiteren folgen aus 3.129 und 3.134 die Parameterdarstellungen für die Polarisationsvariablen auf der Ein- und Ausgangsseite nach 3.135 und 3.136. J 21 ( L ) T z ( L )  J 22 ( L )

F' in cos M F' out cos M det J

J 21( L ) T z ( L ) J 11( L ) T z ( L )  det J

J 11 J 22  J 12 J 21

(3.135) (3.136) (3.137)

Die Gleichungen 3.135 und 3.136 sind insofern von Bedeutung, wenn man sich bei einem Systementwurf die rechten Seiten vorgibt, muss die Eingangspolarisation nach 3.135 realisiert werden, bzw. es ergibt sich dann die Ausgangspolarisation nach 3.136.

3.5.2.5 Diskussion Die Rechnungen im Unterabschnitt 3.5.2 bezogen sich auf die mittlere Kreisfrequenz Zx  Z y Mx  M y und den mittleren Winkel M . Z 2 2 Die Form I der z-KÜF benötigte zu ihrer Herleitung Differenzialausdrücke, die die Stetigkeit an den Stellen z 0 und z L voraussetzen. Die Stetigkeit an den Grenzschichten bei z 0 und z L ist jedoch nur für gleiche Brechzahlen n1

nx

ny

nz

n3

gegeben. Dann gilt wegen der Stetigkeit bei z 0 der Anfangswert der z-KÜF: T z ( 0 ) 1 . Für gleiche Brechzahlen ist der Dielektrizitätstensor isotrop und die Transformationsmatrix B

98

3 Erweiterter Jones-Kalkül

gleich der Einheitsmatrix E . Die Jones-Matrix J weist also Diagonalform J d mit J 21 und J 22

0

d auf. Für J d gilt: J 22 22

d (z) J 22



exp  J y z



Wegen der gleichen Brechzahlen gilt in diesem Falle weiterhin: Jy

j E' cos M

Damit folgt für die Form I: L

Tz ( L ) 1  J y





exp  J y z dz

³

0 L

1  exp  J y z 0





1  exp  J y L  1 Tz ( L )



exp J y L

.

Die Form II der z-KÜF wurde abgeleitet aus der DGL w Tz  j E' cos M T z wL

0

Daraus folgte: Tz ( L ) T z ( 0 ) exp  j E' cos M L

Da

w Tz Verwendung fand, musste die Stetigkeit an der Stelle z wL

Außerdem bildete sich j E' cos M teilweise aus auch Stetigkeit bei z gleiche Brechzahlen n1

nx

ny

wy

an der Stelle z

0 . Daher wurde

0 vorausgesetzt. Deshalb gilt T z ( L ) nach Form II ebenfalls nur für nz

n3

Allgemeiner gilt unter der Voraussetzung H1 Tz ( L )

w D y  y , 0

L vorausgesetzt werden.

H 3 die Form III der z-KÜF:

J 21( L )  J 22 ( L ) F' in cos M

Zur Ableitung der Form III benötigte man keine Differenzialausdrücke und somit nicht die Stetigkeit bei z 0 und z L . Weiterhin zeigt Form III, dass die Invarianz der z-KÜF bei Anwendung einer unitären Transformation mit der z-Achse als Drehachse i. A. nur für eine geschickt gewählte Eingangspolarisation F' in gegeben ist.

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 99

3.5.3 Beispiele 3.5.3.1 Lichtwellenleiter Näherungen. Aus den Tabellen 3-2 und 3-3 lassen sich die in den Tabellen 3-10 und 3-11 gezeigten Näherungen für den anisotropen oder isotropen LWL ableiten. Diese Näherungen führen bei beiden LWL-Typen auf die strukturgleiche diagonale Jones-Matrix Jd( L)

0 § exp  j ' E' L · ¨ ¸ exp  j E' L ¨ ¸ ¨ exp  j ' E' L ¸¹ 0 ©

(3.138)

Die Forderung sin M | 0 lässt sich dabei nur für die Ermittlung der Jones-Matrix und der z-KÜF aufrechterhalten und nicht für die Einspeisung der z-Komponente D z ( y , 0 ) , die mit Dz ( y , 0 )

D y'  y , 0 sin M

geht. Hier muss mit dem genauen Wert für sin M gerechnet werden. Tabelle 3-10

Näherungen für den anisotropen LWL

Größe

Näherung nx

n1  'n1 ,

ny

nz

n1

n , 'n n1  'n1 ,

'n1

nx  n y 2 n y  nx 2

Z | Zx | Z y

Z sin M

sin M | sin M x | sin M y | 0

cos M

cos M | cos M x | cos M y | 1

E' , ' E'

E' | E' x | E' y |

Jx | j

Z n1 , ' E' c

Z ' n1 c

Z Z Z n x | j n1  j ' n1 c c c

J x | j E'  j ' E'

J Jy | j

Z Z Z n y | j n1  j ' n1 c c c

J y | j E'  j ' E'

Jd

§J d ¨ 11 ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ¸ d ¸ J 22 ¹

d J 11 d J 22

d | exp  j E' L exp  j ' E' L exp  J x L , J 11





d | exp  j E' L exp  j ' E' L exp  J y L , J 22

100

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Tabelle 3-11 Näherungen für den isotropen LWL

Größe

Näherung

n

n1

nx

ny

n z | n2

Zx

Z 'Z ,

Z

Zy

Z ' Z,

'Z

Zx  Z y 2

Z, ' Z

Z y  Zx 2

sin M

sin M | sin M x | sin M y | 0

cos M

cos M | cos M x | cos M y | 1 E' x |

Zx 'Z Z n1 | n1  n1 c c c

E' x | E'  ' E' E' , ' E'

E' y |

Zy c

n1 |

'Z Z n1  n1 c c

E' y | E'  ' E'

E'

'Z n1 c

J x | j E'  j ' E' , J y | j E'  j ' E'

J

Jd

Z n1 , ' E' c

§J d ¨ 11 ¨ ¨ 0 ©

0 ·¸ ¸ d ¸ J 22 ¹

d | exp  j E' L exp  j ' E' L J 11 d | exp  j E' L exp  j ' E' L J 22

Jones-Matrizen. Aus der diagonalen Jones-Matrix 3.138 lassen sich z. B. mit der Transformationsmatrix A nach 3.100 oder 3.101 nichtdiagonale Jones-Matrizen erzeugen. Wählt man z. B. 4 J( L )

J( L ) Mit 4

S , so ergibt sich aus 3.98, 3.100 und 3.138: 4

0 § exp  j ' E' L · 1 § 1 1· 1 §¨1 1·¸ ¸ ¨ ¸ (3.139a) exp  j E' L ¨ ¨ ¸ 2 ¨  1 1¸ 2 ¨©1 1¸¹  exp j ' L 0  ' E © ¹ © ¹

§ cos ' E' L exp  j E' L ¨ ¨ j sin ' E' L ©

j sin ' E' L · ¸ cos ' E' L ¸¹

S und 3.98, 3.101 sowie 3.138 erhält man: 4

(3.139b)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 101

J( L )

0 · 1 § 1  j· § exp  j ' E' L 1 §¨ 1 j ·¸ ¸ ¨ ¸ exp  j E' L ¨ ¸ 2 ¨ j 1 ¸ ¨ 2 ¨© j 1 ¸¹   ' E 0 exp j ' L ¹ © ¹ © (3.140a)

J( L )

§ cos ' E' L sin ' E' L · ¸ exp  j E' L ¨ ¨  sin ' E' L cos ' E' L ¸ ¹ ©

(3.140b)

z-KÜF. Die z-Komponenten-Übertragungsfunktion für den LWL mit der Jones-Matrix 3.139b ergibt sich aus Tz ( L )

J 21( L )  J 22 ( L ) F' in cos M

und lautet: Tz ( L )

ª sin ' E' L º «cos ' E' L  j » exp  j E' L F' in cos M ¼ ¬

(3.141)

Für die Eingangspolarisation F' in cos M

1 | F' in

(3.142)

erhält man aus 3.141: Tz ( L )

exp > j E'  ' E' L@

(3.143)

d ( L ) J R ( L ) nach Tabelle 3-2 oder 3-3 bei AnNur für 3.142 bleibt T z ( L ) gegenüber J 33 33 wendung der unitären Transformation mit z-Achse als Drehachse entsprechend 3.139a invariant.

Wiederum aus Tz ( L )

J 21( L )  J 22 ( L ) F' in cos M

erhalten Sie mit der Jones-Matrix 3.140b die z-KÜF Tz ( L )

ª sin ' E' L º «cos ' E' L  » exp  j E' L F' in cos M ¼ ¬

(3.144)

Für die Eingangspolarisation F' in cos M

 j | F' in

(3.145)

ergibt sich T z ( L ) gemäß 3.143. d ( L ) J R ( L ) gemäß Tabelle 3-3 Nur mit 3.145 ist die Invarianz von T z ( L ) gegenüber J 33 33 bei Anwendung einer unitären Transformation mit der z-Achse als Drehachse entsprechend 3.140a gegeben.

Ausgangspolarisation. Die Ausgangspolarisation des LWL erhält man z. B. aus F' out cos M

J 21  J 22 F' in cos M J 11  J 12 F' in cos M

102

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Daraus ergibt sich mit der Wahl F' in cos M

1 | F' in

und der Jones-Matrix 3.139b: F' out cos M

j sin ' E' L  cos ' E' L cos ' E' L  j sin ' E' L

F' out cos M

1 | F' out

(3.146)

Aus F' in cos M

 j | F' in

und der Jones-Matrix 3.140b erhalten Sie für die Ausgangspolarisation F' out cos M

 sin ' E' L  j cos ' E' L cos ' E' L  j sin ' E' L

F' out cos M

 j | F' out

(3.147)

Die Invarianz der z-KÜF bei Anwendung einer unitären Transformation mit z-Achse als Drehachse ist offenbar nur gegeben, wenn man das optische Bauelement mit einer so genannten Eigenpolarisation Ȥ'e entsprechend der Definition F' e

F' in

F' out

(3.148)

anregt. Eigenpolarisationen. Die Eigenpolarisationen ergeben sich aus der Polarisationsübertragungsgleichung 3.134 mit 3.148 zu F' e1,2 cos M

1 2 J 12

ª «¬ J 22  J 11 r

J 22  J 11 2  4 J 12

º J 21 » ¼

(3.149)

Beispiel 3.6: Eigenpolarisationen Für die Jones-Matrix 3.139b sollen die Eigenpolarisationen F' e1, 2 berechnet werden. Man erhält: F' e1, 2 cos M F' e1, 2 cos M

r  4 sin 2 ' E' L 2 j sin ' E' L r1 | F' e1, 2

(3.150)

Ebenso bestimmt man die Eigenpolarisationen für die Jones-Matrix 3.140b: F' e1, 2 cos M

F' e1, 2 cos M

r  4 sin 2 ' E' L 2 sin ' E' L

r j | F' e1, 2

(3.151)

Das zu wählende Vorzeichen von 3.150 oder 3.151 richtet sich bei der Forderung nach Invarianz der z-KÜF bei Anwendung einer unitären Transformation mit der z-Achse als Drehachse nach dem in der Exponentialfunktion für

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 103 d ( L) J 22

d ( L) J 33

R ( L) J 22

R (L) J 33

Das ist hier gemäß den Tabellen 3-10 und 3-11 das Minuszeichen.

3.5.3.2 Polarisatoren Jones-Matrizen. Ausgehend von den diagonalen Jones-Matrizen für den x

E o -Polarisator R J erw

und

§ 0 0 0· ¸ ¨ ¨ 0 1 0¸ ¸ ¨ ¨ 0 0 1¸ ¹ ©

y

H o -Polarisator: R J erw

§ 1 0 0· ¸ ¨ ¨ 0 0 0¸ , ¸ ¨ ¨ 0 0 0¸ ¹ ©

gewinnt man mit den Transformationsmatrizen A nach 3.100 und 3.101 folgende Formen der S Jones-Matrix für 4  : 4 x aus dem Eo -Polarisator: J1

1 2

§ 1 1· § 0 0 · § 1  1· ¨ ¸¨ ¸¨ ¸, ¨  1 1¸ ¨ 0 1 ¸ ¨ 1 1 ¸ © ¹© ¹© ¹

(3.152a)

J1

1 2

§ 1 1· ¸, ¨ ¨ 1 1¸ ¹ ©

(3.152b)

J2

1 2

§ 1  j · § 0 0· § 1 j · ¸, ¸¨ ¸¨ ¨ ¨  j 1 ¸ ¨0 1¸ ¨ j 1¸ ¹ ¹© ¹© ©

(3.153a)

J2

1 2

§1  j· ¨ ¸ ¨j 1 ¸ © ¹

(3.153b)

x aus dem H o -Polarisator: J3

1 2

§ 1 1· § 1 0 · § 1  1· ¨ ¸¨ ¸¨ ¸, ¨  1 1¸ ¨ 0 0 ¸ ¨ 1 1 ¸ © ¹© ¹© ¹

(3.154a)

J3

1 2

§ 1  1· ¸, ¨ ¨1 1 ¸ ¹ ©

(3.154b)

J4

1 2

§ 1  j · §1 0· § 1 j · ¸, ¸¨ ¸¨ ¨ ¨  j 1 ¸ ¨ 0 0¸ ¨ j 1 ¸ ¹ ¹© ¹© ©

(3.155a)

104

3 Erweiterter Jones-Kalkül

J4

1 2

j· § 1 ¸ ¨ ¨ j 1¸ ¹ ©

(3.155b)

Ausgangspolarisationen. Für die Ausgangspolarisationen der Systemelemente mit den JonesMatrizen J 1 bis J 4 erhalten Sie: 1  F' in1 cos M

F' out1 cos M

j  F' in 2 cos M

F' out 2 cos M

1  j F' in 2 cos M 1  F' in 3 cos M

F' out 3 cos M

1  F' in 3 cos M  j  F' in 4 cos M

F' out 4 cos M

(3.156)

1

1  F' in1 cos M

1  j F' in 4 cos M

j

(3.157)

1

(3.158)

j

(3.159)

Für realisierbare M drücken 3.156 bis 3.159 folgende Zusammenhänge aus. 3.156 und 3.152 kennzeichnen den linearen 45O-Polarisator. 3.158 und 3.154 beschreiben den linearen –45O-Polarisator. 3.157 und 3.153 ergeben einen rechtsdrehenden zirkularen Polarisator. 3.159 und 3.155 gelten für den linksdrehenden zirkularen Polarisator. z-KÜF. Aus den Jones-Matrizen J 1 bis J 4 leitet man folgende z-KÜF ab: T z1

· 1 §¨ 1  1¸ 1 2 ¨ F' in1 cos M ¸ © ¹

(3.160)

Tz 2

1 2

· § j ¨  1¸ 1 ¨ F' in cos M ¸ 2 ¹ ©

(3.161)

Tz 3

· 1 §¨ 1  1¸ 2 ¨ F' in 3 cos M ¸ ¹ ©

0

(3.162)

Tz 4

· 1 §¨ j  1¸ 2 ¨ F' in 4 cos M ¸ ¹ ©

0

(3.163)

Die rechten Seiten von 3.160 bis 3.163 kennzeichnen die Invarianzbedingung bei Durchführung einer unitären Transformation mit der z-Achse als Drehachse. Dafür ergeben sich die Eingangspolarisationen zu F' in1 cos M 1

(3.164)

F' in 2 cos M

j

(3.165)

F' in 3 cos M 1

(3.166)

F' in 4 cos M

(3.167)

j

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 105 Während sich für T z1 und T z 2 die gleichen Eigenpolarisationen ergeben, erhalten Sie bei T z 3 und T z 4 die invertierten Werte, also die jeweils andere Eigenpolarisation, bezüglich Eingangsund Ausgangspolarisation.

3.5.3.3 Rotatoren Jones-Matrizen. Für kleine M kann man die folgenden Jones-Matrizen für Rotatoren angeben, die eine Drehung der Polarisationsebene eingekoppelten linear polarisierten Lichtes um den Faraday-Winkel (3.168)

D V Ni

mit der Verdetkonstante V, der Windungszahl N eines um den elektrischen Leiter gewickelten LWLs durchführen. i ist dabei der vom elektrischen Leiter geführte Strom. Diese Jones-Matrizen lauten

§ cos D  sin D · ¸ ¨ ¨ sin D cos D ¸ ¹ ©

J( D )

(3.169)

c · §a  j b ¸ J D , G ¨ ¸ ¨ c  a j b ¹ ©

(3.170)

mit a d

sin d / 2 G sin d / 2 , c D d/2 2 d/2 Z G2  4 D2 , G ' n L , ' n n y  nx . c

§d · cos ¨ ¸ , b ©2¹

(3.171)

In 3.171 kennzeichnet G die Doppelbrechung des verwendeten LWL als unerwünschten Effekt. Aus 3.171 folgt die Nebenbedingung a 2  b2  c 2

(3.172)

1

Während 3.169 den idealen Rotator mit G Matrix 3.170.

0 beschreibt, genügt der reale Rotator der Jones-

Die Matrix

A

1 §¨ 1  j ·¸ 2 ¨©  j 1 ¸¹

(3.173)

und ihre transponiert konjugiert Komplexe transformieren die Jones-Matrix 3.169 auf die Diagonalform J d (D)

0 · § exp  j D ¸ ¨ ¸ ¨  0  D exp j ¹ ©

Auf A nach 3.173 kommt man durch Lösung des zugehörigen Eigenwertproblems:

(3.174)

106

3 Erweiterter Jones-Kalkül

§ cos D  O  sin D · ¸ det ¨ ¸ ¨ sin D cos D  O ¹ ©

0

o O2  2 cos D O  1 0

exp r j D

o O1 / 2

§  j 1 · § a11 · ¸ ¨ ¸¨ ¨ 1  j¸ ¨a ¸ © ¹ © 21 ¹

O1 :

§ a11 · ¸ o ¨ ¨a ¸ © 21 ¹

§ a12 · ¸ o ¨ ¨a ¸ © 22 ¹ o

1 §¨ 1 ·¸ 2 ¨©  j ¸¹

§ j  1· § a12 · ¸ ¨ ¸¨ ¨1 j ¸ ¨a ¸ © ¹ © 22 ¹

O2 :

A

§ a11 a12 · ¨ ¸ ¨a ¸ a 22 ¹ © 21

§0· ¨ ¸ ¨0¸ © ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

1 §¨  j ·¸ 2 ¨© 1 ¸¹ 1 §¨ 1  j ·¸ 2 ¨©  j 1 ¸¹

In Analogie dazu transformiert die Matrix  j d  G · § 2D ¨ ¸ ¨  j d  G ¸ 2 D 2 ¹ d  Gd © 1

A 2

(3.175)

zusammen mit ihrer transponiert konjugiert Komplexen die Jones-Matrix 3.170 auf die Diagonalform J d D , G

§ § · 0 ¨ exp ¨ j 1 G 2  4 D 2 ¸ 2 © ¹ ¨ ¨ § 0 exp ¨  j 1 G 2  4 D 2 ¨ 2 © ©

Da sieht man wie folgt ein:

c §a  j b  O · ¸ det ¨ ¨ ¸ c a  j b  O © ¹

0

o O2  2 a O  1 0 o O1, 2

1 § exp ¨ r j 2 ©

· G2  4 D2 ¸ ¹

· ¸ ¸ ·¸ ¸¸ ¹¹

(3.176)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 107 § § · ¨ j ¨ b  b2  c 2 ¸ c ¹ ¨ © ¨ § c  j ¨ b  b2  c 2 ¨ © ©

O1:

§ a11 · ¸ o ¨ ¨a ¸ © 21 ¹

§ a12 · ¸ o ¨ ¨a ¸ © 22 ¹

o

A

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

§ 2D · ¨ ¸ ¨  j d  G ¸ 2 ¹ d Gd © 1

2

§ § · ¨ j ¨ b  b2  c2 ¸ c © ¹ ¨ ¨ §  j ¨ b  b2  c 2 c ¨ © ©

O2 :

· ¸ §a · ¸ ¨ 11 ¸ · ¸ ¨ a 21 ¸ ¹ ¸¸ © ¹¹

· ¸ §a · ¸ ¨ 12 ¸ · ¸ ¨ a 22 ¸ ¹ ¸¸ © ¹¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

§  j d  G · ¨ ¸ ¨ ¸ d2 G d © 2 D ¹ 1

2

§ a11 a12 · ¸ ¨ ¸ ¨a © 21 a 22 ¹  j d  G · § 2D ¨ ¸ ¨  j d  G ¸ 2 2 D ¹ d Gd © 1

A 2

Durch Vergleich von 3.173 mit 3.175 erkennt man, dass die Transformationsmatrix A nur für eine verschwindende Doppelbrechung G 0 von D unabhängig ist. z-KÜF. Die z-Komponenten-Übertragungsfunktionen für die Jones-Matrizen 3.169 und 3.170 lauten Tz ( D )

sin D  cos D , F' in cos M c a jb F' in cos M

T z D , G

(3.177) (3.178)

Für F' in cos M

j

(3.179)

geht T z ( D ) über in Tz ( D )

exp  j D

(3.180)

und ist damit transformationsinvariant gegenüber einer unitären Transformation mit der zAchse als Drehachse.

108

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Um die z-KÜF in der Form 1 § T z D , G exp ¨  j 2 ©

· G2  4 D2 ¸ ¹

(3.181)

zu realisieren, wäre eine von D abhängige Eigenpolarisation in der Form F' in cos M

j

2D d G

(3.182)

zu verwenden. Um dies zu vermeiden, geht man z. B. bei der Messung elektrischer Ströme mittels D ein anderen Weg. Wie später noch gezeigt wird, findet das Kompensationsprinzip zur Elimination der Doppelbrechung G bei Verwendung der z-KÜF mit konstanter Eingangspolarisation Anwendung.

3.5.3.4 Optische Isolatoren Aufbau. Ein optischer Isolator lässt das Licht nur in einer Richtung durch und kann für die Wellenausbreitung in positive z-Richtung nach Bild 3.2 aufgebaut werden.

Laser diode M

E0-Plarisator

0

-45o-Rotator

Spiegel

L

z

Optischer Isolator, bestehend aus E 0 -Polarisator und –45O-Rotator

Bild 3-2

Zum optischen Isolator gehört also die Reihenschaltung von E 0 -Polarisator und –45O-Rotator. Zur Beschreibung des Prinzips wird der optische Isolator durch eine Laserdiode schräg angeregt, und der Spiegel dient als Reflektor zum Nachweis der Funktion. Die Jones-Matrizen sind gegeben x

für den E 0 -Polarisator durch J1

x

§ 0 0· ¨ ¸ ¨0 1¸ © ¹

(3.183)

für den –45O-Rotator in der Form J2

1 §¨ 1 1·¸ 2 ¨©  1 1¸¹

(3.184)

3.5 Jones-Matrizen und z-Komponenten-Übertragungsfunktion mit z-Achse als Drehachse 109 Die zugehörigen z-KÜF lauten x

E 0 -Polarisator: T z1

x

(3.185)

1

O

–45 -Rotator: Tz 2

1

(3.186)

2

3.186 erhält man aus 3.129a und 3.184 für F' in 2 cos M

F' out1 cos M o f ,

(3.187)

was durch den E 0 -Polarisator sicher gestellt wird. Mathematischer Nachweis des Funktionsprinzips. Die Ausbreitung des Lichtes in positive z-Richtung wird beschrieben durch § D x out  y , L · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D y out  y , L ¸ ¸¸ ¨¨ © D z out  y , L ¹

§ 1 1 0 · § 0 0 0 · §¨ D x in  y , 0 ·¸ ¸ ¸¨ ¨ 1 ¨ ¸ ¨  1 1 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸ ¨ D y in  y , 0 ¸ ¸ ¸¨ 2 ¨ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 1 ¸ ¨¨ D  y , 0 ¸¸ ¹ © z in ¹© © ¹

§ D x out  y , L · ¸ ¨ ¸ ¨ o ¨ D y out  y , L ¸ ¸¸ ¨¨ © D z out  y , L ¹

Das am Spiegel bei z § D x in  y , L · ¸ ¨ ¸ ¨  D y , L ¸ ¨ y in ¸¸ ¨¨  D y , L ¹ © z in

§ D y in  y , 0 · ¸ ¨ 1 ¨ ¸  0 D y , y in ¸ ¨ 2 ¨ ¨ D z in  y , 0 ¸¸ ¹ ©

(3.188)

L reflektierte Licht ist gegeben in der Form

§ D y in  y , 0 · ¸ ¨ 1 ¨ ¸   D y , 0 y in ¸ ¨ 2 ¨ ¨ D z in  y , 0 ¸¸ ¹ ©

(3.189)

Nun wird gezeigt, dass die reflektierte Welle am Eingang verschwindet. Es gilt: § D x out  y , 0 · ¨ ¸ ¨ ¸  D y , 0 ¨ y out ¸ ¨¨ ¸¸  D y , 0 © z out ¹

§ 0 0 0 · § 1  1 0 · §¨ D y in  y , 0 ·¸ ¸ ¸¨ ¨ 1¨ ¨ ¸ 0 1 0 ¸ ¨ 1 1 0 ¸ ¨  D y in  y , 0 ¸ ¸ ¸¨ 2¨ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨¨ D  y , 0 ¸¸ ¹ © z in ¹© © ¹

§ D x out  y , 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ o ¨ D y out  y , 0 ¸ ¨¨ ¸¸ © D z out  y , 0 ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

(3.190)

110

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Dabei ist die z-KÜF in Rückwärtsrichtung für den 45O-Rotator gleich Null, denn die Ausgangspolarisation unmittelbar vor dem Spiegel lautet (3.191)

F' out 2 cos M 1

Damit gilt für die eingangsseitige Polarisation in Rückwärtsrichtung, Index r , unmittelbar am Spiegel F'inr 2 cos M r Mit J 21

T zr2

r J 22

1 .

(3.192)

1 des 45O-Rotators folgt r J 21

F'inr 2 cos M

r  J 22

1  1 0 1

(3.193)

Bei der Bildung von 3.193 ist zu beachten, dass die z-KÜF in Rückwärtsrichtung nicht etwa der Kehrwert der z-KÜF in Vorwärtsrichtung ist, sondern wegen der benötigten Eingangspolarisation eben nach 3.193 zu bestimmen ist.

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen 3.6.1 Orthogonale Transformationsmatrix 3.6.1.1 Orthogonale RT-Zerlegung Die Realisierung einer reellen orthogonalen Transformationsmatrix soll durch Zerlegung in Matrizen erfolgen, die verfügbaren optischen Bauelementen entsprechen. Jede reelle Matrix A lässt sich als Summe des symmetrischen Teiles A s und des schiefsymmetrischen Anteiles A a gemäß

A

A s  Aa

(3.194)

mit

As

A  A' 2

(3.195)

und

Aa

A  A' 2

(3.196)

darstellen. Dabei bezeichnet A' die zu A transponierte Matrix. Der symmetrische Teil von A kann mit Hilfe linearer Polarisatoren durch Überlagerung ihrer erweiterten Jones-Matrizen L 4 , L E und L J mit einer noch zu bestimmenden Diagonalmatrix D realisiert werden. Es soll gelten: ~ A s L 4  LE  L J  D

(3.197)

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen

111

mit

L4

§ cos 2 4 sin 4 cos 4 0 ·¸ ¨ ¸ ¨ sin 2 4 0 ¸ ¨ sin 4 cos 4 ¸ ¨ 0 0 T z 4 ¸ ¨ ¹ ©

(3.198)

LE

§ cos 2 E 0 sin E cos E ·¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 T y E ¸ ¨ ¸ ¨ 2 0 sin E ¸ ¨ sin E cos E ¹ ©

(3.199)

LJ

0 0 § T x J ¨ 2 ¨ 0 cos J sin J cos ¨ ¨ 0 sin J cos J sin 2 J ©

(3.200)

· ¸ J¸ ¸ ¸ ¹

In 3.198 bis 3.200 kennzeichnen Tz 4 T y E sowie T x J die z-KÜF, y-KÜF und x-KÜF. Die Bildung der x- und y-KÜF ist in den Anhängen A2 und A3 dargestellt. Kennzeichnet man den symmetrischen Teil von A durch

As

§as ¨ 11 ¨ s ¨ a12 ¨ s ¨ a13 ©

s a12

s · a13 ¸ s ¸ a 23 ¸ s ¸ a 33 ¸ ¹

s a 22 s a 23

(3.201)

und schreibt für die Diagonalmatrix

D

0 § d11 ¨ ¨ 0 d 22 ¨ ¨ 0 0 ©

0 · ¸ 0 ¸ , ¸ d 33 ¸¹

(3.202)

so gilt: cos 2 4  cos 2 E  T x J  d11 sin 4 cos 4 sin E cos E

s S a12 s S a13

s S a 23

s a~11

s S a 22

s a~22

s a~12 s a~13

sin 2 4  T y E  cos 2 J  d 22 sin J cos J

s S a11

s a~23

T z 4  sin 2 E  sin 2 J  d 33

s S a 33

s a~33

(3.203)

112

3 Erweiterter Jones-Kalkül

s , a ~ s und a~ s nach 3.203 höchstens 1 sein dürfen, ist eine Da die Beträge der Elemente a~12 13 23 2 Skalierung mit dem Skalierungsfaktor S gemäß

Sd

1 2 ˜ Betrag des betragsgrößten Elementes in A s

notwendig. Somit gilt ~ A s S As

(3.204)

(3.205)

Dabei ist berücksichtigt, dass das betragsgrößte Element in einer orthogonalen Matrix höchstens 1 ist. Ebenso muss man den schiefsymmetrischen Teil skalieren. ~ A a S Aa

(3.206)

~ A a wird zerlegt in ~ Aa

(3.207)

DD  DG  DI

mit den Matrizen

DD

 sin D 0 · § 0 ¨ ¸ ¨ sin D 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ 0 0 © ¹

(3.208)

DG

0  sin G · § 0 ¨ ¸ ¨ 0 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ sin G 0 ¸ 0 © ¹

(3.209)

DI

0 0 · §0 ¨ ¸ ¨0  sin I ¸ 0 ¨ ¸ ¨ 0 sin I 0 ¸¹ ©

(3.210)

Bekannt ist ~ Aa

§ 0 ¨ ¨ ~a ¨  a12 ¨ ~a ¨  a13 ©

a a~12

0  a~23

a · a~13 ¸ a ¸ ~ a 23 ¸ ¸ 0 ¸ ¹

(3.211)

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen

113

Damit folgt  sin D

a a~12

 sin G

a a~13

 sin I

a a~23

(3.212)

Realisierbar sind jedoch nur Rotatormatrizen der Form

BD

0 · § cos D  sin D ¸ ¨ ¨ sin D cos D 0 ¸ ¸ ¨ ¨ 0 0 T z D ¸¹ ©

(3.213)

BG

0  sin G · § cos G ¸ ¨ ¨ 0 T y G 0 ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ sin G 0 cos G ¹ ©

(3.214)

BI

0 0 · § T x I ¸ ¨ ¨ 0 cos I  sin I ¸ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 sin cos I I ¹ ©

(3.215)

Daher wird die Diagonalmatrix D zerlegt in zwei Diagonalmatrizen D s und D a :

D

Ds  Da

(3.216)

mit d11

s a d11  d11

d 22

s a d 22  d 22

d 33

s a d 33  d 33

(3.217)

D a bildet man aus den Hauptdiagonalelementen von B D , B G und B I : a d11

cos D  cos G  Tx I

a d 22

cos D  T y G  cos I

a d 33

Tz D  cos G  cos I

(3.218)

114

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Somit erhalten Sie für D s : s d11

s a a~11  d11  cos 2 4  cos 2 E  T x J

s d 22

s a a~22  d 22  sin 2 4  T y E  cos 2 J

s d 33

s  d a  T 4  sin 2 E  sin 2 J a~33 z 33

(3.219)

Für die x, y, z-Komponentenübertragungsfunktionen gilt: T x J

sin J cos J  sin 2 J F' in x sin M x

T y E

sin E cos E  sin 2 E F' in y sin M y

T z 4

sin 4 cos 4  sin 2 4 F' in z cos M z

T x I

sin I  cos I F' in x sin M x

T y G

sin G  cos G F' in y sin M y

T z D

sin D  cos D F' in z cos M z

(3.220)

Die Diagonalmatrix D s lässt sich durch Parallelschaltung von x, y, z-Polarisatoren in Reihenschaltung mit laufzeiterzeugenden und dämpfenden Lichtwellenleitern oder Verstärkern gemäß

Ds

§ 1 0 0· § 0 0 0· § 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ s ¨ 0 0 0¸  d s ¨ 0 1 0¸  d s ¨ 0 0 0¸ d11 22 ¨ 33 ¨ ¨ ¸ ¸ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ 0 0 1¸ ©  ¹ ©  ¹ ©  ¹ x  Polarisator

y  Polarisator

(3.221)

z  Polarisator

laufzeiterzeugende und dämpfende Lichtwellenleiter oder Verstärker realisieren. Der x-Polarisator entspricht dabei dem H o -Polarisator. Aus dem H o -Polarisator können mit entsprechenden Koordinatentransformationen, realisiert durch Spiegel, y- und z-Polarisator wie folgt abgeleitet werden:

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen x

y-Polarisator §0 1 0 · ¨ ¸ ¨1 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0  1¸ ©  ¹ Spiegel

x

115

(3.222)

Spiegel

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ©  ¹

y  Polarisator

§ 0 0 1· ¨ ¸ ¨ 0  1 0¸ ¨ ¸ ¨ 1 0 0¸ ©  ¹

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 1¸ ©  ¹

(3.223)

§ 1 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ©  ¹

§0 1 0 · ¨ ¸ ¨1 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0  1¸ ©  ¹

§ 1 0 0· ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ©  ¹

H o  Polarisator

z-Polarisator § 0 0 1· ¨ ¸ ¨ 0  1 0¸ ¨ ¸ ¨ 1 0 0¸ ©  ¹ Spiegel

´ H o  Polarisator

Spiegel

z  Polarisator

Auf diese Art und Weise ergibt sich das Netzwerk zur Realisierung einer orthogonalen Transformationsmatrix nach Bild 3-3. L x , L y , L z kennzeichnen darin die erweiterten JonesMatrizen von x, y, z-Polarisator. Zum Ausgleich der Skalierung S

1 9

1 3

ist am Ausgang ein faseroptischer Verstärker mit der Leistungsverstärkung G = 9 angeordnet. Die Zerlegung der orthogonalen Transformationsmatrix A nach Bild 3-3 soll als orthogonale RT-Zerlegung bezeichnet werden. Sie ist für eine vorgegebene Eingangspolarisation F' in z und dem bekannten Winkel der schrägen Anregung M z nach dem angegebenen Verfahren berechenbar. Im Unterabschnitt 3.6.1.2 ist ein Beispiel zur orthogonalen RT-Zerlegung angegeben. Dabei wurde eine größere Genauigkeit in den beschreibenden Matrizen zugrunde gelegt als zurzeit realisierbar ist. Die erforderlichen Winkel sind jedoch praxisrelevant bezüglich des jeweils angegebenen Gradmaßes.

116

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Lx

1- auf 9Koppler 1 3 1 31

1 3

s d 33

L4

1 1 1

LE

G

9

1 LJ

1 3 1 3

BD BG

1 3

S

1 1

Lz

1 3 1 3

9- auf 1Koppler

s d 22

Ly

3 1 3

1 3

s d11

BI

ˆ

1 1 1 S

1

A

RT-Zerlegung einer orthogonalen Transformationsmatrix A

Bild 3-3

3.6.1.2 Beispiel zur orthogonalen RT-Zerlegung Für die orthogonale Matrix

A

§ 2 ¨ 1 ¨ ¨ 2 6 ¨ ¨ 2 ©

3 ·¸ ¸ 2 0 ¸ ¸ 1  3¸ ¹ 1

führt man die RT-Zerlegung wie folgt durch:

(3.224)

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen 1.

Bildung von A' :

A'

2.

3.

A  A' 2

As

0,6422 · § 0,5774 0,4928 ¨ ¸ ¨ 0,4928  0,8165 0,2041 ¸ ¨ ¸ ¨ 0,6422 0,2041  0,7071¸ © ¹

(3.225)

(3.226)

Skalierung des symmetrischen Teils A s : 1 ~ A s S As A 3 s 0,2141 · § 0,1925 0,1643 ¨ ¸ ¨ 0,1643  0,2722 0,0680 ¸ ¨ ¸ ¨ 0,2141 0,0680  0,2357 ¸ © ¹

(3.227)

Bildung des schiefsymmetrischen Teils von A : A  A' Aa 2 0  0,0846 0,0649 · § ¨ ¸ ¨ 0,0846 0  0,2041¸ ¨ ¸ ¨  0,0649 0,2041 ¸ 0 © ¹

(3.228)

Skalierung des schiefsymmetrischen Teils Aa : 1 ~ A a S Aa A 3 a ~ Aa

6.

2 ·¸ ¸ 2 1 ¸ ¸ 0  3¸ ¹ 2

As

Aa

5.

§ 2 ¨ 1 ¨ 1 6 ¨¨ ¨ 3 ©

Bildung des symmetrischen Teils von A :

~ As

4.

117

0  0,0282 0,0216 · § ¨ ¸ ¨ 0,0282 0  0,0680 ¸ ¨ ¸ ¨  0,0216 0,0680 ¸ 0 © ¹

(3.229)

Ermittlung von 4 , E und J : 4 E

 1 s arc sin 2 a~13 2 1 s arc sin 2 a~12 2

1 arc sin 0,3286 0,1674 ˆ 9 ,6 o 2

(3.230)

1 arc sin 0,4282 0,2212 ˆ 12 ,7 o 2

(3.231)

118

3 Erweiterter Jones-Kalkül

J

7.



1 s arc sin 2 a~23 2

1 arc sin 0,1360 0,0682 ˆ 3,9 o 2

0,0873 ˆ 5o

(3.233)

o Mx

S  Mz 2

1,6580 ˆ 95o

(3.234)

o My

S  Mz 2

1,6580 ˆ 95 o

(3.235)

Berechnung von F' in x und F' in y : Vorgabe: F' in z o f o D x' o 0

(3.236)

D z z , x 0 o f D y z , x 0 sin M x

(3.237)

F' in x

F' in x sin M x o f wegen D y o 0

(3.238)

D z z , y 0 o f D x z , y 0 sin M y

F' in y

(3.239)

F' in y sin M y o f wegen D x o 0

9.

(3.232)

Bestimmung von M x und M y : Vorgabe: M z

8.



(3.240)

Berechnung von T z 4 , T y E und T x J : T z 4

sin 4 cos 4  sin 2 4 F' in z cos M z

sin 2 4

T y E

sin E cos E  sin 2 E F' in y sin M y

sin 2 E

sin 2 0,2212 0,0481

(3.242)

T x J

sin J cos J  sin 2 J F' in x sin M x

sin 2 J

sin 2 0,0682 0,0046

(3.243)

L4

§ cos 2 4 sin 4 cos 4 0 ¨ ¨ sin 2 4 0 ¨ sin 4 cos 4 ¨ 0 0 T z 4 ¨ ©

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

(3.244)

LE

§ cos 2 E 0 sin E cos E ¨ ¨ 0 T y E 0 ¨ ¨ 0 sin 2 E ¨ sin E cos E ©

0 0,2141· § 0,9519 ¨ ¸ ¨ 0 0,0481 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0,2141 0 0,0481¸¹ ©

sin 2 0,1674 0,0278

(3.241)

10. Angabe von L 4 , L E und L J :

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

0 · § 0,9722 0,1643 ¨ ¸ ¨ 0,1643 0,0278 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ 0 0 , 0278 © ¹

(3.245)

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen

LJ

0 0 § T x J ¨ ¨ 0 cos 2 J sin J cos J ¨ ¨ 0 sin J cos J sin 2 J ©

119

0 0 · § 0,0046 ¨ ¸ ¨ 0 0,9954 0,0680 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ 0 , 0680 0 , 0046 © ¹

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹

(3.246)

11. Berechnung von D , G und I : D G I

 a arc sin  a~13 a arc sin  a~23 a arc sin  a~12

arc sin 0,0282 0,0282 ˆ 1,6 o

(3.247)

0,0216 ˆ 1,2 o

arc sin  0,0216

(3.248)

arc sin 0,0680 0,0681 ˆ 3,9 o

(3.249)

12. Ermittlung von T z D , T y G und T x I : T z D

sin D  cos D F' in z cos M z

cos D

cos 0,0282 0,9996

(3.250)

T y G

sin G  cos G F' in y sin M y

cos G

cos  0,0216 0,9998

(3.251)

T x I

sin I  cos I F' in x sin M x

cos I

cos 0,0681 0,9977

(3.252)

13. Angabe von B D , B G und B I :

BD

0 · § cos D  sin D ¨ ¸ ¨ sin D cos D 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 T z D ¸¹ 0 ©

BG

 sin G · 0 § cos G ¨ ¸ ¨ 0 T y G 0 ¸ ¨ ¸ ¨ sin G cos G ¸¹ 0 ©

0 0,0216 · § 0,9998 ¨ ¸ ¨ 0 0,9998 0 ¸ ¨ ¸ ¨  0,0216 0 0,9998 ¸¹ ©

(3.254)

BI

0 0 · § T x I ¨ ¸ ¨ 0 cos I  sin I ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ I I sin cos © ¹

0 0 § 0,9977 · ¨ ¸ ¨ 0 0,9977  0,0680 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ 0 , 0680 0 , 9977 © ¹

(3.255)

0 · § 0,9996  0,0282 ¨ ¸ ¨ 0,0282 0,9996 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0,9996 ¸¹ ©

(3.253)

a , d a und d a : 14. Ermittlung von d11 22 33 a d11

cos D  cos G  T x I 0,9996  0,9998  0,9977

2 ,9971

(3.256)

a d 22

cos D  T y G  cos I

2 ,9971

(3.257)

a d 33

Tz D  cos G  cos I 0,9996  0,9998  0,9977

0,9996  0,9998  0,9977

2 ,9971

(3.258)

120

3 Erweiterter Jones-Kalkül

s , d s und d s : 15. Ermittlung von d11 22 33 s d11

s a a~11  d11  cos 2 4  cos 2 E  T x J

(3.259)

0,1925  2 ,9971  0,9722  0,9519  0,0046 4 ,7333 s d 22

s a a~22  d 22  sin 2 4  T y E  cos 2 J 0,2722  2 ,9971  0,0278  0,0481  0,9954

(3.260)

4 ,3406 s d 33

s a a~33  d 33  T z 4  sin 2 E  sin 2 J

(3.261)

0,2357  2 ,9971  0,0278  0,0481  0,0046 3,3133

16. Berechnung der Steuerströme für die Faraday-Rotatoren: Es gilt: D V N M ID

Vorgaben:

1,5 ˜ 10 4 o

Verdet-Konstante:

V

Windungszahl des LWL:

N = 500

Windungszahl des elektrischen Leiters:

M = 500

A

o Steuerströme I D , I G und I I :

ID

D V N M

IG

G V N M

II

I V N M

1,6 o 1,5 ˜ 10 - 4 o A ˜ 25 ˜ 10 4  1,2 o 1,5 ˜ 10 - 4 o A ˜ 25 ˜ 10 4 3,9 o 1,5 ˜ 10 - 4 o A ˜ 25 ˜ 10 4

42 ,67 mA

(3.262)

32 mA

(3.263)

104 mA

(3.264)

17. Berechnung der Laufzeiten W in den faseroptischen Verstärkern gemäß 15.: Es gilt: Z0 W

2m  1

S

2S n1 L Oo

Vorgaben: Mittenfrequenz:

Z0

4 S ˜ 1014 s 1

Wellenlänge:

O0

1,5 Pm

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen m:

m

20 ˜ 10 6

Kernbrechzahl:

n1

1,5

121

o Länge der aktiven Faser: § 6 1 · 1,5 Pm ¨ 20 ˜ 10  ¸ 2 ¹ 1,5 ©

1 · O0 § ¨m  ¸ 2 ¹ n1 © L | 20 m L

o Laufzeiten: W

W11

W 22

W 33

2m  1 S Z0

40 ˜106  1 S 4 S ˜ 1014 s 1

(3.265)

W | 100 ns

18. Berechnung der Leistungsverstärkungen der faseroptischen Verstärker gemäß 15.: G11

4,7333 2

22 ,4

(3.266)

G22

4,3406 2

18,84

(3.267)

G33

3,3133 2

10,98

(3.268)

Damit liegt das optische Netzwerk zur Realisierung der Transformationsmatrix 3.224 nach Bild 3-3 vor.

3.6.2 Unitäre Transformationsmatrix 3.6.2.1 Unitäre RT-Zerlegung Zur Ermittlung der unitären RT-Zerlegung geht man von einer vorgegebenen unitären Transformationsmatrix B aus und bildet die Matrizen B1

B  B'* 2

B1s  j B1a

(3.269)

B2

B  B'* 2

B 2a  j B 2 s

(3.270)

In 3.269 ist B1s eine reelle symmetrische und B1a eine reelle schiefsymmetrische Matrix. In 3.270 stellt B 2a eine reelle schiefsymmetrische und B 2 s eine reelle symmetrische Matrix dar. Damit folgt die Zerlegung von B in der Form

B

B1  B 2

B1s  B 2a  j B1a  B 2 s

(3.271)

Wegen der Unitaritäsbedingung für B sind die Elemente von B1s , B1a und B 2 s betragsmäßig höchstens gleich 1. Damit kann auf die Summen B1s  B 2a sowie B1a  B 2 s jeweils getrennt das Verfahren zur orthogonalen RT-Zerlegung angewandt werden.

122

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Das optische Netzwerk zur Realisierung der unitären RT-Zerlegung ist in Bild 3-4 dargestellt. Es besteht aus einem optischen Koppler als 3 dB-Koppler auf der Eingangsseite, wobei die relevanten Signalübertragungen durch Pfeile im Signalflussgraphen und die Angabe der jewei1 1 ligen Übertragungsfunktion oder j gekennzeichnet sind. Links unten am 3 dB-Kop2 2 pler sitzt ein reflexionsfreier Abschluss. An den Ausgangstoren des optischen Kopplers sind die Netzwerke zur orthogonalen RT-Zerlegung von B1s  B 2a und B1a  B 2 s entsprechend Bild 3-3 angeschlossen. Mit Hilfe eines 2- auf 1-Kopplers erfolgt ausgangsseitig die Zusammenführung, d. h. Überlagerung der Signale aus den Blöcken B1  B 2a und B1a  B 2 s , bewertet mit Übertragungsfunktionen vom Wert 1. Zum Ausgleich der Leistungsaufteilung von 1 auf die Ausgangstore des 3 dB-Kopplers wird ausgangsseitig ein faseroptischer jeweils 2 Verstärker mit der Leistungsverstärkung G = 2 benötigt. 1 2 B1s  B 2a

2- auf 1Koppler G=2

B1a  B 2 s

3 dB-Koppler

j

1 2 B

ˆ

RT-Zerlegung einer unitären Transformationsmatrix B

Bild 3-4

3.6.2.2 Beispiel zur unitären RT-Zerlegung Gegeben sei die unitäre Transformationsmatrix

B

§ 1 1 ¨ ¨  3 j 1 ¨ ¨ j 2 3¨ ¨ 1 j 3 ¨1 2 ©

1 3 2 1 j 2

· ¸ ¸ j ¸ ¸ ¸ 3¸ ¸ ¹

(3.272)

3.6 Realisierung orthogonaler und unitärer Transformationen

123

Daraus folgt für B1

B  B'* 2 ª§ «¨ 1 1 «¨ 1 «¨  3 j j 2 2 3«¨ ¨ « 1 j 3  « ¨¨  1 2 © ¬

· § ¸ ¨1  j 1 ¸ ¨ 3 j ¸ ¨  3 j ¸  ¨1 2 2 ¸ ¨ 1 j 3 ¸ ¨ 3 j ¸ ¨1 2 2 ¹ ©

§ ¨ 2 1 j ¨ 1 ¨ 1 j  3 2 3 ¨ ¨ 1 3  j 1 3 ¨¨ 0 2 ©



(3.273)

· ¸ 0 ¸ 1 3  j 1 3 ¸ ¸. 2 ¸ ¸¸ 1 ¹





·º  1 ¸» ¸» 1  j 3 ¸» ¸» 2 ¸ 1  j 3 ¸» ¸» 2 ¹¼



Somit sind

B1s

§2 1 ¨ ¨ 1 ¨ ¨1  3 2 3¨ ¨ 1 3 ¨0 2 ©

· ¸ ¸ 1 3 ¸ ¸ 2 ¸ ¸ 1 ¸ ¹

B1a

§0 1 ¨ ¨ 1 ¨ 0 ¨1 2 3¨ ¨ 1 3 ¨0 2 ©

· ¸ ¸  1 3 ¸ ¸ 2 ¸ ¸ ¸ 0 ¹

0

(3.274)

und 0





(3.275)

124

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Für B 2 gilt: B2

B  B'* 2 ª§ «¨ 1 1 «¨ 1 «¨  3 j j 2 2 3 «¨ «¨ j 3 1  «¨¨  1 2 © ¬

· § ¸ ¨1 j 1 ¸ ¨ 3 j ¸ ¨  3 j  1 ¸ ¨ 2 2 1  j 3 ¸¸ ¨¨ 3 j ¸ ¨1 2 2 ¹ ©

§ ¨ 0 1 j ¨ 1 ¨ 1 j j 2 3¨ ¨ 1 3  j 3 1 ¨¨  2 2 ©





·º  1 ¸» ¸» 1  j 3 ¸» ¸» 2 1  j 3 ¸¸» ¸» 2 ¹¼

(3.276)

· ¸ ¸ 3 1 ¸ ¸. ¸ ¸¸  j 3 ¹

2 3 1 j 2





Daraus folgen

B 2s

§0 ¨ ¨ 1 ¨ ¨1 2 3¨ ¨ ¨0 ©

1

· ¸ ¸ 3 1¸ ¸ 2 ¸ ¸  3 ¸ ¹ 0

1 3 1 2

(3.277)

und

B 2a

§ 0 ¨ ¨ 1 ¨ ¨ 1 2 3¨ ¨ ¨ 2 ©

1 0 

 3  1 2

· ¸ ¸ 3 1¸ ¸ 2 ¸ ¸ 0 ¸ ¹ 2

(3.278)

Somit liegen die für die orthogonale RT-Zerlegung benötigten Matrizen B1s , B1a , B 2 s und B 2a nach 3.274, 3.275 und 3.277, 3.278 vor. Die orthogonale RT-Zerlegung von B1s  B 2a und B1a  B 2 s wird dem Leser überlassen.

3.7 Erweiterte Fourier-Matrizen 3.7.1 Ableitung der erweiterten Fourier-Matrix Optische Modulatoren. Die Modulationsoperation linearer optischer Modulatoren beschreibt man gemäß [3.1] durch den Ein- und Ausgangs-Jones-Vektor und eine zeitabhängige Matrizenfunktion V erw ( t ) . Dabei enthalten die Jones-Vektoren als elektrische Feldstärken alle drei

3.7 Erweiterte Fourier-Matrizen

125

Komponenten in einem kartesischen Koordinatensystem, so dass V erw ( t ) eine 3 x 3-Matrix darstellt. Es gilt, bezogen auf die Zeitabhängigkeit: G G E out ( t ) V erw ( t ) ˜ Ein ( t ) (3.279) Erweiterte Jones-Matrix. Die erweiterte Jones-Matrix J erw t 2 , t1 im Zeitbereich findet man unter Berücksichtigung der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses G t und 3.279 aus dem Integral f

G E out t 2

³

G V erw t 2 G t 2  t1 Ein t1 dt1

(3.280)

f

o

J erw t 2 , t1 V erw t 2 G t 2  t1

(3.281)

Erweiterte Fourier-Matrizen. Für die Darstellung der Eigenschaften linearer optischer Modulatoren im Frequenzbereich setzen wir V erw t 2 als periodische Matrizenfunktion voraus. Damit ergeben sich folgende Fourier-Matrizenkoeffizienten, die als erweiterte FourierMatrizen j erw bezeichnet werden sollen: n

j erw n

1 T

T

V erw t 2 exp  j n Zm t 2 dt 2

³

(3.282)

0

2S ist die konstante Grundkreisfrequenz und T die Periodendauer der periT odischen Matrizenfunktion V erw t 2 .

Die Größe Zm

Übertragungsgleichung im Frequenzbereich. Für lineare zeitperiodische optische Modulatoren gilt nach [3.1] die Übertragungsgleichung im Frequenzbereich: f

G E out  jZ

¦

n f

G j erw Ein > j Z  n Zm @ n

(3.283)

Fourier-Reihe. Mit den erweiterten Fourier-Matrizen nach 3.282 ergibt sich die Fourier-Reihe für die erweiterte Jones-Matrix im Zeitbereich: J erw t 2 , t1

f

j erw exp  j n Zm t 2 G t 2  t1 n n f  

¦

(3.284)

V erw t 2

3.7.2 Beispiele 3.7.2.1 Amplitudenmodulator Periodische Matrizenfunktion. Der Amplitudenmodulator lässt sich im Sinne einer worst case-Betrachtung z. B. durch die periodische Matrizenfunktion

126

3 Erweiterter Jones-Kalkül

V erw ( t )

Vo 2

>1  cos Zm t @

(3.285)

beschreiben. Darin ist V o eine konstante Matrix, die bei alleiniger Modulation des E o -Modes die Gestalt

Vo

§ 0 0 0· ¸ ¨ ¨ 0 1 0¸ ¸ ¨ ¨0 0 1¸ ¹ ©

(3.286)

hat. Erweiterte Fourier-Matrizen. Die erweiterten Fourier-Matrizen j erw erhalten Sie aus 3.282. n

V erw t 2 Vo

j erw n

2T 



j erw n

Vo 4T Vo 4T

V o ­ exp  j Zm t 2  exp  j Zm t 2 ½ ®1  ¾ 2 ¯ 2 ¿ T

³

exp  j n Zm t 2 dt 2

³

exp > j n  1 Zm t 2 @ dt 2

³

exp > j n  1 Zm t 2 @ dt 2

0 T o T 0

Vo ª 1 º G n ,0  G  n ,1  G n ,1 » 2 «¬ 2 ¼





(3.287)

G n , k ist das Kroneckersymbol mit

Gn, k

­°1 n k ® °¯0 n z k

(3.288)

Übertragungsgleichung im Frequenzbereich. Aus 3.283 ergibt sich G Vo G V G E out  j Z E in > j Z  Zm @  o Ein  j Z 4 2 G V  o Ein > j Z  Zm @ . 4

(3.289)

Das Spektrum des Jones-Vektors am Ausgang des Amplitudenmodulators setzt sich für die anregende monochromatische Laserdiode aus drei Spektrallinien, herrührend vom JonesVektor am Eingang und dessen Verschiebungen um r Zm zusammen. Das gilt sowohl für die y-Komponente als auch für die z-Komponente des E o -Modes, wenn 3.286 berücksichtigt wird. Die x-Komponente ist Null.

3.7 Erweiterte Fourier-Matrizen

127

3.7.2.2 Phasenmodulator Periodische Matrizenfunktion. Ein Phasenmodulator wird durch die periodische Matrizenfunktion

V erw ( t ) V o exp > j J sin Zm t @

(3.290)

charackterisiert. Darin ist J eine reelle Konstante, die den Modulationsindex bezeichnet. Erweiterte Fourier-Matrizen. Die erweiterten Fourier-Matrizen des Phasenmodulators berechnet man mit j erw n

Vo T

T

exp ^ j >n Zm t 2  J sin Zm t 2 @` dt 2

³

(3.291)

0

Im Integral 3.291 führen wir folgende Substitution durch: 4

Zm t 2

d4

, 4o , 4u

Zm dt 2

2S 0.

(3.292)

Einsetzen von 3.292 in 3.291 ergibt j erw n

1 Vo 2S

2S

exp > j n 4  j J sin 4@ d 4

³

(3.293)

0

Das Integral in 3.293 kennzeichnet die Integraldarstellung der Bessel-Funktionen J n J : 1 J n J ) 2S

2S

³

exp > j n 4  j J sin 4@ d 4

(3.294)

0

Damit erhalten Sie für die erweiterten Fouriermatrizen j erw n

V o J n J

(3.295)

Aus 3.295 folgt, dass das Spektrum des Phasenmodulators wegen der Eigenschaften der Bessel-Funktionen theoretisch unendlich viele nichtverschwindende Spektrallinien enthalten. Praktisch gesehen, berücksichtigt man wegen des Abklingverhaltens des Spektrums zu höheren Frequenzen hin eine endliche Anzahl von Spektrallinien bei entsprechend kalkulierbaren Fehlern. Übertragungsgleichung im Frequenzbereich. Die Übertragungsgleichung für den Phasenmodulator lautet G E out  j Z V o

f

¦

n f

G J n J Ein > j Z  n Zm @

(3.296)

128

3 Erweiterter Jones-Kalkül

3.8 z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten 3.8.1 Ableitung der z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten 3.8.1.1 Diagonale periodische Matrizenfunktion Periodische Matrizenfunktion. Zur Ableitung der z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten (z-KFK) setzen wir hier eine diagonale periodische Matrizenfunktion voraus und stellen wie auch schon im Unterabschnit 3.7 die Wirkung der ein- und ausgangsseitigen dielektrischen Grenzschichten bei gleichem vor- und nachgeschaltetem Dielektrikum H1 H 3 nicht explizit dar. Für die diagonale periodische Matrizenfunktion schreiben wir: § v d t 0 0 ·¸ ¨ 11 ¨ ¸ d t v 22 0 ¸ ¨ 0 ¨ d t ¸ 0 v 33 ¨ 0 ¸ © ¹

V derw t

(3.297)

z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten. Zunächst ergibt sich aus 3.279 und 3.297 der folgende Zusammenhang für die elektrischen Feldstärken am Ein- und Ausgang des Modulators bezüglich der z-Komponenten: d t v d t E d t E zout zin 33

Durch Multiplikation mit der Dielektrizitätskonstanten H1

(3.298) H 3 erhalten Sie:

d t v d t H E d t H 3 E zout 1 zin 33

o

d t v d t D d t D zout zin 33

(3.299)

Gleichung 3.299 beschreibt die Modulation der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsd t . flussdichte D zout

In Analogie zu 3.280 erhalten Sie aus d  D zout t2

f

³

d   d  v 33 t 2 G t 2  t1 D zin t1 dt1

(3.300)

f

die so bezeichnete z-Komponenten-Impulsfunktion (z-KIF): d t G t  t T zd t 2 , t1 v 33 2 2 1

(3.301)

Spezialisiert aus 3.282, gilt für die z-KFK: d j zn

1 T

T

³

0

d  v 33 t 2 exp  jn Zm t 2 dt 2

(3.302)

3.8 z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten

129

Übertragungsgleichung im Frequenzbereich. Die Übertragungsgleichung im Frequenzbereich lautet für die z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte: d  D zout jZ

f

d d >  j zn D zin j Z  nZm @

¦

(3.303)

n f

d nach 3.302. mit j zn

3.8.1.2 Nichtdiagonale periodische Matrizenfunktion Periodische Matrizenfunktion. Zur Ableitung der z-KFK wird hier die periodische Matrizenfunktion nach 3.304 vorausgesetzt. 0 · § v11 t v12 t ¸ ¨ ¸ ¨ v t v t 0 22 ¸ ¨ 21 ¸ ¨ 0  0 v t 33 ¹ ©

V erw t

(3.304)

§ v11 t v12 t · ¸ V t ¨ ¨ v t v t ¸ 22 ¹ © 21

(3.305)

Die z-KIF lautet dann: T z t 2 , t1 v 33 t 2 G t 2  t1

(3.306)

Für die Jones-Matrix im Zeitbereich gilt J t 2 , t1 V t 2 G t 2  t1

(3.307)

In 3.307 fand 3.305 Berücksichtigung. z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten. Zunächst bildet man mit 3.305 die Fourier-Matrizen der periodischen Matrizenfunktion V t 2 : j

n

1 T

T

³

V t 2 exp  jn Zm t 2 dt 2

0

§ ¨ ¨¨ ©

j11 n jn21

· j12 n ¸ ¸ jn22 ¸¹

(3.308)

Die Übertragungsgleichungen im Frequenzbereich lauten: § D xout  jZ · ¨ ¸ ¨D ¸  Z j © yout ¹ D zout  jZ

f

§ ¨ ¨¨ n f ©

¦

f

¦

jn11 jn21

jn12 ·¸ §¨ D xin > j Z  nZm @·¸ ¸¨ ¸ jn22 ¸¹ © D yin > j Z  nZm @ ¹

j zn D zin > j Z  nZm @

(3.309)

(3.310)

n f

Mit 3.309 und 3.310 gilt der gleiche Formalismus für die z-KFK wie für die z-KÜF nach Unterabschnitt 3.5.2.3, allerdings für jedes ganzzahlige n . Damit erhalten Sie die z-KFK in der Form j zn

jn21  jn22 F' inn cos M n

(3.311)

130

3 Erweiterter Jones-Kalkül

mit D yin > j Z  nZm @

F' inn cos M n

D xin > j Z  nZm @

(3.312)

Fourier-Reihen. Die Fourier-Reihe für die Jones-Matrix im Zeitbereich ist: J t 2 , t1

f

¦

n f

j exp  jn Zm t 2 G t 2  t1 n

(3.313)

Für die Fourier-Reihe der z-KIF ergibt sich:

T z t 2 , t1

f

¦

j zn exp  jn Zm t 2 G t 2  t1

n f f §

· jn21 ¨  jn22 ¸ exp  jn Zm t 2 G t 2  t1 ¨ F' inn cos M n ¸ ¹  f© n   

¦

(3.314)

v 33 t 2

Damit gilt für das Element v 33 t 2 von V erw t nach 3.304 die Fourier-Reihenentwicklung v 33 t 2

§ · jn21 ¨  jn22 ¸ exp  jn Zm t 2 ¨ F' cos M n ¸ ¹ n f © inn f

¦

(3.315)

3.8.2 Beispiele 3.8.2.1 Amplitudenmodulator Bezüglich der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte untersuchen wir den Amplitudenmodulator nach Unterabschnitt 3.7.2.1. Mit

Vo

§ 0 0 0· ¸ ¨ ¨ 0 1 0¸ ¸ ¨ ¨0 0 1¸ ¹ ©

ergeben sich aus 3.197 die z-KFK j zn

1 1 G n ,o  G  n ,1  G n ,1 2 4





Die z-KIF des Amplitudenmodulators lautet d t G t  t T z t 2 , t1 v 33 2 2 1

(3.316)

3.8 z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten

131

mit d  v 33 t2

f

¦

j zn exp  jn Zm t 2

n f

1 1  >exp  jZm t 2  exp  jZm t 2 @ 2 4 1 >1  cos Zm t2 @ 2

G t 2  t1 >1  cos Zm t 2 @ 2

o T z t 2 , t1

(3.317)

Als Übertragungsgleichung im Frequenzbereich gilt: 1 1 1 D zin > j Z  Zm @  D zin > j Z@  D zin > j Z  Zm @ 4 2 4

D zout  j Z

(3.318)

Die Übertragungsgleichung im Zeitbereich lautet D zin t >1  cos Zm t @ 2

D zout t

(3.319)

3.8.2.2 Phasenmodulator § 0 0 0· ¨ ¸ Für V o ¨ 0 1 0 ¸ untersuchen wir den Phasenmodulator nach Unterabschnitt 3.7.2.2 be¨ ¸ ¨ 0 0 1¸ © ¹ züglich der z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte.

Die z-KFK lauten mit 3.295: j zn

J n J

(3.320)

Die z-KIF des Phasenmodulators ist: d t G t  t T z t 2 , t1 v 33 2 2 1 d  v 33 t2

f

¦

j zn exp  jn Zm t 2

n f f

¦ J n J exp  jn Zm t2

n f

exp > j J sin Zm t 2 @

o T z t 2 , t1 G t 2  t1 exp > j J sin Zm t 2 @

(3.321)

Als Übertragungsgleichung im Frequenzbereich erhalten Sie: D zout  j Z

f

¦ J n J D zin > j Z  n Zm @

n f

(3.322)

132

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Als Übertragungsgleichung im Zeitbereich gilt: D zout t exp > j J sin Zm t @ D zin t

(3.323)

3.9 Aufgaben A 3.1 Leiten Sie aus den Wellengleichungen 3.4 die Differenzialgleichungen für die Jonesd z , J d z und J d ( z ) ab. Matrix-Elemente J 11 22 33

A 3.2 Ermitteln Sie für eine isotrope

R L J erw

O -Platte mit der erweiterten Jones-Matrix 4

§1 0 0· ¨ ¸ ¨0 j 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 j¸ © ¹

(A 3.1)

die Dimensionierungsbedingungen unter Berücksichtigung der Modenanregungsbedingungen nach Tabelle 3-1. A 3.3 Transformieren Sie den symmetrischen Dielektrizitätstensor

H

§9 1 1· ¨ ¸ Ho ¨ 1 9 1¸ ¸ 4 ¨ ¨1 1 9¸ © ¹

(A 3.2)

auf Diagonalform [3.2]. A 3.4 Transformieren Sie den hermiteschen Dielektrizitätstensor

H

1 j 1 § 9 ¨ Ho ¨ 1 j 9 1 4 ¨ ¨1  j 1  j 9 ©

j· ¸ j¸ ¸ ¸ ¹

(A 3.3)

auf Diagonalform [3.2]. A 3.5 Bekannt sei die diagonale erweiterte Jones-Matrix für einen anisotropen LWL in der Form

J derw

§J d ¨ 11 ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

0 d J 22

0

0 ·¸ ¸ 0 ¸ d ¸ J 33 ¸ ¹

(A 3.4)

mit den Hauptdiagonalelementen nach Tabelle 3-2. Der anisotrope LWL besitze den hermiteschen Dielektrizitätstensor H nach 3.79. Unter Nutzung der Ergebnisse von Aufgabe A3.4 ist die erweiterte Jones-Matrix J erw für diesen LWL anzugeben.

3.10 Lösungen zu den Aufgaben

133

A 3.6 Beweisen Sie, dass bei unitärem J derw und unitärer Transformationsmatrix B auch J erw unitär ist, wenn ein hermitescher Dielektrizitätstensor H zugrunde liegt. A 3.7 Transformieren Sie den komplexen Dielektrizitätstensor § 9  j 0,1 1  j 0,1 1  j 0,1 · ¸ ¨ Ho ¨ 1  j 0,1 9  j 0,1 1  j 0,1 ¸ ¸ 4 ¨ ¨ 1  j 0,1 1  j 0,1 9  j 0,1¸ ¹ ©

H

(A 3.5)

auf die näherungsweise Diagonalform.

3.10 Lösungen zu den Aufgaben L 3.1 w 2 E x y, z 2

wy

d z o J 11



c

2

wz

2

w 2 E x  y , 0 w y2



Z2 c

2

n 2x E x  y , z 0



(L 3.1) (L 3.2)

d  w 2 J 11 z

w z2

E x  y , 0

(L 3.3)

d z E  y , 0 0 n x2 J 11 x

w 2 E x  y , 0 wy

w 2 E x y, z

d  J 11 z E x  y , 0

E x y, z

Z2



2



Z2 c

2

n12 sin 2 M E x  y , 0

(L 3.4)

ª w 2 J d z Z2 º d  » 11 n 2x  n12 sin 2 M J 11 z E x  y , 0 0 o «  « w z2 » c2 ¬ ¼





(L 3.5)

Für beliebiges E x  y , 0 muss gelten: d z w 2 J 11

w z2



Z2 c2

n 2y w 2 E y  y , z n z2

w y2

E y y, z

n 2x  n12 sin 2 M J11d z 

w2 E y y, z w z2

d z E  y , 0 J 22 y



Z2 c2

0

n 2y E y  y , z 0

(L 3.6)

(L 3.7) (L 3.8)

134

3 Erweiterter Jones-Kalkül n 2y n z2 

w 2 E y  y , 0

d  J 22 z

Z2 c

2

w y2



d z w 2 J 22

w z2

E y  y , 0

(L 3.9)

d  n 2y J 22 z E y  y , 0 0

w2E

y  y , 0 w y2



Z2 c2

n12 sin 2 M E y  y , 0

2 º ª w 2 J d z ª º Z2 2 « § n1 · d  » 22 o « n y 1  ¨¨ ¸¸ sin 2 M» J 22  z E y  y , 0 0 » « w z2 « © nz ¹ » c2 ¬ ¼ ¼ ¬

(L 3.10)

(L 3.11)

Für beliebiges E y  y , 0 folgt d z w 2 J 22

w z2



w2 E z y, z w y2 E z y, z



c2

2 º · d  ¸¸ sin 2 M» J 22 z 0 » ¹ ¼

n 2 w 2 E z  y , z Z2 2  z  nz Ez y, z 0 w z2 n 2y c2

d z E  y , 0 J 33 z

d z o J 33

Z2

ª §n n 2y «1  ¨¨ 1 « © nz c2 ¬

Z2

w 2 E z  y , 0 w y2

(L 3.12)

(L 3.13) (L 3.14)

2 d n 2 w J 33 z E z  y , 0  z n 2y w z2

(L 3.15)

d z E  y , 0 0 n z2 J 33 z

w 2 E z  y , 0 w y2



Z2 2 n sin 2 M E z  y , 0 2 1 c

ª w 2 J d z ª Z2 2 « § n1 33  o « n y 1  ¨¨ « w z2 « © nz c2 ¬ ¬

2 º º · d z » E  y , ¸¸ sin 2 M» J 33 0 0 » z » ¹ ¼ ¼

(L 3.16)

(L 3.17)

Für beliebiges E z  y , 0 gilt: d  z w 2 J 33

w z2



ª §n n 2y «1  ¨¨ 1 « © nz c2 ¬

Z2

2 º · d  ¸¸ sin 2 M» J 33 z 0 » ¹ ¼

(L 3.18)

3.10 Lösungen zu den Aufgaben

135

L 3.2 Isotrope

O -Platte: 4

n1

nx

n2

n x2

ny

nz

n y2

n3

R J 11 L 1: R L J 22

(L 3.19)

n z2

R L J 33

j:

Zx n1 cos M x L m x 2S; mx c Zy S n1 cos M y L 2m y  1 ; m y c 2





1, 2 , 3, "

(L 3.20) 1, 3, 5, "

Sc

Zx

n12  n 22 2 Sc

4 UK Zy

n12  n 22 n14  n 24

4 U K n12

1 n1

cos M x

(L 3.21)

n12  n 22 2

(L 3.22)

n12 n 22  n 24 n14  n 24

cos M y

L 3.21 und L 3.22 eingesetzt in L 3.20: o

n12  n 22 L n12  n 22

mx 8 UK

n12  n 22 L n12  n 22

4 m y  2 nn1 U K

(L 3.23) 2

Aus L 3.23 folgt: n1 n2

8 mx 4 my  2

Beachten Sie: n1 ! n 2

(L 3.24) o 8 mx ! 4 m y  2 !

L 3.24 eingesetzt in L 3.23: L o UK

8 mx

 



64 m 2x  4 m y  2 2 64 m 2x  4 m y  2 2

(L 3.25)

136

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Differenzbildung der Gleichungen L 3.21 und Einsetzen von L 3.24 ergibt, aufgelöst nach U K : UK

º ª 4096 m 4x  4 m y  2 4 128 m x Sc » «  » 4 2 2 4 n1 Z x  Z y « 2 2 4096 m x  64 m x 4 m y  2 » «¬ 64 m x  4 m y  2 ¼

















(L 3.26)

Einsetzen von L 3.24 in L 3.22 ergibt: cos M x

cos M y

Bei der





64 m 2x  4 m y  2 2

128 m x

(L 3.27)



 4096 m 4x  4 m y  2 4

64 m x2 4 m y  2 2  4 m y  2 4

O -Platte mit 4 R L J erw

ist m y

1

0 · §1 0 ¨ ¸ ¨0  j 0 ¸ ¨ ¸ ¨0 0  j¸ © ¹

1, 3, 5, " durch m y

(L 3.28)

0, 2 , 4 , " zu ersetzen.

L 3.3 Die charakteristische Gleichung für einen symmetrischen Dielektrizitätstensor lautet:





O3  H xx  H yy  H zz O2





 H xx H yy  H xx H zz  H yy H zz  H 2xy  H 2xz  H 2yz O  H xx H yy H zz  2 H xy H xz H yz  H xx H 2yz  H yy H 2xz  H zz H 2xy

0

Speziell für den Dielektrizitätstensor nach A 3.2 folgt: O3  6,75 H o O2  15 H o2 O  11 H o3

0

Daraus erhält man die Eigenwerte: O1

2 ,75 H o , O 2

O3

2 Ho .

(L 3.29)

Die Hauptbrechzahlen sind für ein uniaxiales Medium nx

1,658 , n y

O1

Hx

nz

(L 3.30)

1,414

mit n x2 H o , O 2

O3

Hy

Hz

n 2y H o

n z2 H o

3.10 Lösungen zu den Aufgaben

137

Die Eigenvektoren ergeben sich aus: O1

2 ,75 H o : 1 · § x1 · § 2 1 ¸¨ ¸ ¨ ¨ 1 2 1 ¸¨y ¸ ¸ ¨ 1¸ ¨ ¨ 1 1  2 ¸¹ ¨© z1 ¸¹ ©

O2

O3

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0 ¸ o aG 1 ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

§ x1 · ¨ ¸ ¨x ¸ ¨ 1¸ ¨x ¸ © 1¹

(L 3.31)

2 Ho :

§1 1 1· §¨ x 2 , 3 ·¸ ¨ ¸ ¨ 1 1 1¸ ¨ y ¸ ¨ ¸ ¨ 2, 3 ¸ ¸ ¨1 1 1¸ ¨¨ z © ¹ © 2 , 3 ¸¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ 0 ¸ o aG 2, 3 ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

§ x2, 3 ¨ ¨ y2, 3 ¨ ¨¨ ©  x2, 3  y2, 3



· ¸ ¸ ¸ ¸¸ ¹



Die Orthogonalisierung ergibt: G G a'1 ˜a 2 0 x1 >x 2  y 2  x 2  y 2 @ (wahr) G G a'1 ˜a 3 0 x1 >x 3  y 3  x3  y 3 @ (wahr) G G a' 2 ˜a 3 0 x 2 x 3  x 2  y 2 x´ 3  y 3  y 2 y 3 2 x 2 x3  2 y 2 y 3  x 2 y 3  x3 y 2 x1

x2

1:

x3

2  y3 1  2 y3

y2



y3

0 o y2

2

G a1

§ 1· ¨ ¸ ¨1¸ , aG 2 ¨ ¸ ¨ 1¸ © ¹

§ 1 · ¨ ¸ ¨  2 ¸ , aG ¨ ¸ 3 ¨ 1 ¸ © ¹

§1· ¨ ¸ ¨ 0¸ ¨ ¸ ¨  1¸ © ¹

(L 3.32)

Die orthonormalen Eigenvektoren sind: G n1

§1· ¨ ¸ 3¨ ¸ G 1 , n2 3 ¨ ¸ ¨1¸ © ¹

§ 1 · ¨ ¸ 6 ¨ ¸ G  2 , n3 6 ¨ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

§ 1· ¨ ¸ 2 ¨ ¸ 0 2 ¨ ¸ ¨  1¸ © ¹

(L 3.34)

Aus L 3.34 folgt die orthogonale Transformationsmatrix:

A

nG1 nG2 nG3

§ 2 ¨ 6 ¨ 2 6 ¨ ¨ ¨ 2 ©

3 ·¸ ¸ 2 0 ¸ ¸ 1  3¸ ¹ 1

(L 3.35)

138

3 Erweiterter Jones-Kalkül

A 1

Probe:

A'

2 ·¸ ¸ 1 ¸ 2 ¸ 0  3¸ ¹

§ 2 ¨ 6 ¨ 1 6 ¨ ¨ ¨ 3 ©

2

A' H A

Hd

Hd

G § n'1 · ¨ ¸ ¨ nG' ¸ ¨ 2¸ ¨ nG' ¸ © 3¹

§ 2 ¨ Ho ¨ 1 24 ¨ ¨ ¨ 3 © Ho 24

Ho 24

2 ·¸ § 9 1 1 · §¨ 2 ¸ ¨ ¨ ¸¨ 1 ¸ 1 9 1¸ ¨ 2 2 ¸ ¨ ¨ ¸ 0  3 ¸ ¨© 1 1 9 ¸¹ ¨ 2 © ¹ 2

§11 2 11 2 11 2 · § ¸¨ ¨ ¸¨ ¨ 8 ¸¨  16 ¨ 8 ¸¨ ¨ ¨8 3 0 8 3¸ ¨ ¹© © § 2 ,75 § 66 0 0 · ¨ ¸ ¨ ¨ 0 48 0 ¸ H ¨ 0 o¨ ¸ ¨ ¨ 0 ¨ 0 0 48 ¸ © ¹ ©

2 2 2

3 ·¸ ¸ 0 ¸ 2 ¸ 1  3¸ ¹ 1

3 ·¸ ¸ 0 ¸ 2 ¸ 1  3¸ ¹ 1

0 0· ¸ 2 0¸ . ¸ 0 2 ¸¹

L 3.4 Eigenwerte: Ohne Vorfaktor H o / 4 : O1

7 , O2

10  3 , O 3

(L 3.36)

10  3

Es handelt sich um ein biaxiales Medium. Eigenvektoren: O1

7:

1  j 1  j · § x1 · § 2 ¸¨ ¸ ¨ ¨1  j 2 1  j ¸ ¨ y2 ¸ ¸¨ ¸ ¨ ¸¨z ¸ ¨1  j 1  j 2 ¹© 3¹ © O2

§0· ¨ ¸ G ¨0¸ o b 1 ¨ ¸ ¨0¸ © ¹

§ 1· ¨ ¸ ¨ j ¸ ¨ ¸ ¨  1¸ © ¹

(L 3.37)

10  3 :

§1 3 ¨ ¨ ¨ ¨ 1 j ¨ ¨ ¨ 1 j ©

1 j 1 3 1 j

1  j ·¸ § x 2 · ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸ 1  j ¸ ¨ y2 ¸ ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸  1  3 ¸ ¨© z 2 ¸¹ ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ 0¸ o b 2 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

· § 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 3 j¸ ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ¨ 1 j 3 ¸ ¸ ¨ 2 ¹ ©

(L 3.38)

3.10 Lösungen zu den Aufgaben O3

139

10  3 :

§1 3 ¨ ¨ ¨ ¨ 1 j ¨ ¨ ¨ 1 j ©

1 j 1 3 1 j

1  j ·¸ § x 3 · ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸ 1  j ¸ ¨ y3 ¸ ¨ ¸ ¸¨ ¸ ¸  1  3 ¸ ¨© z 3 ¸¹ ¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ 0¸ o b 3 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ © ¹

· § 1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 3 j ¸ ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ¨1 j 3 ¸ ¸ ¨ 2 ¹ ©

(L 3.39)

Unitarisierung der Eigenvektoren:

G n1

· § 1 ¸ ¨ ¸ ¨ 1 ¨ 3 j¸ G ¸ , n3 ¨ 2 3¨ ¸ ¨ 1 j 3 ¸ ¸ ¨ 2 ¹ ©

§ 1· ¨ ¸ ¨ ¸ G 1 ¨ ¸ j ; n2 3¨ ¸ ¨ ¸ ¨  1¸ © ¹

· § 1 ¸ ¨ ¸ ¨ 1 ¨ 3 j ¸ ¸ ¨ 2 3¨ ¸ ¨1 j 3 ¸ ¸ ¨ 2 ¹ ©

(L 3.40)

Unitäre Transformationsmatrix:

B

B 1

§ 1 1 ¨ ¨  3 j 1 ¨ ¨ j 2 3¨ ¨ 1 j 3 ¨1 2 ©

B'*

1 3 2 1 j 2

§1 j ¨ ¨ 1 ¨  3 j ¨1 2 3¨ ¨ 3 j ¨1 2 ©

· ¸ ¸ j ¸ ¸ , ¸ 3¸ ¸ ¹ 1 1 j 2 1 j 2

(L 3.41)

· ¸ ¸ 3¸ ¸ ¸ 3¸ ¸ ¹

(L 3.42)

Diagonaler Tensor:

Hd

B'* H B

Hd

§n2 ¨ x ¨ Ho ¨ 0 ¨ ¨ 0 ©

§ O1 0 ¨ Ho ¨ 0 O2 4 ¨ ¨0 0 © 0 n 2y 0

0 ·¸ ¸ 0 ¸ ¸ n z2 ¸ ¹

0· ¸ 0¸ ¸ O 3 ¸¹

(L 3.43)

140

3 Erweiterter Jones-Kalkül

mit den Hauptbrechzahlen nx

1,3229 , n y

1,4377 , n z

1,7126

L 3.5 Mit L 3.41 und L 3.42 sowie Gleichung A 3.4 folgt aus J erw

B J derw B'*

(L 3.44)

die erweiterte Jones-Matrix

J erw

§ J 11 ¨ ¨J ¨ 21 ¨J © 31

J 12 J 22 J 32

J 13 · ¸ J 23 ¸ , ¸ J 33 ¸¹

(L 3.45)

wobei J 33



1 d d d J  J 22  J 33 3 11



J 11

J 22

J 12

1 §¨ 3 j d 3  j d ·¸ d  j J 11  J 22  J 33 ¸ ¨ 3© 2 2 ¹

J 13

1  j 3 d ·¸ 1 §¨ d 1 j 3 d J 22  J 33  J 11  ¸ 3 ¨© 2 2 ¹

J 21

1 §¨ 3 j d 3  j d ·¸ d  j J 11 J 22  J 33 ¸ 3 ¨© 2 2 ¹

J 23

1 §¨ 3 j d 3  j d ·¸ d  j J 11  J 22  J 33 ¸ ¨ 3© 2 2 ¹

J 31

1  j 3 d ·¸ 1 §¨ d 1 j 3 d J 22  J 33  J 11  ¸ ¨ 3© 2 2 ¹

J 32

1 §¨ d  3  j J d  3  j J d ·¸ j J 11 22 33 ¸ 3 ¨© 2 2 ¹

(L 3.46)

gilt. Diskussion: 1.

Ist J derw unitär, so ist wegen B unitär für einen hermiteschen Dielektrizitätstensor H auch J erw unitär. Den Beweis dieser Aussage enthält Aufgabe A 3.6.

2.

d , J d , J d gleich, dann besitzt J Sind die Hauptdiagonalelemente J 11 erw Diagonal22 33 form, wovon man sich durch Berechnung von L 3.46 überzeugen mag.

3.10 Lösungen zu den Aufgaben

141

L 3.6 Es soll gelten: '* J derw

B

1 J derw

(L 3.47)

B'* 1 , B'*

B 1

(L 3.48)

Dann folgt mit dem Ansatz B J derw B'*

(L 3.49)

1 J erw

1 B 1 B'* 1 J derw

(L 3.50)

1 J erw

'* B'* B J derw

J erw

über

auch

B J derw B'* '*

J '* erw

(L 3.51)

L 3.7 Da der Realteil von H identisch ist mit Gleichung A 3.2, gilt für die Eigenwerte nach L 3.29: H'x

2 ,75 H o , H'y

H'z

2 Ho

(L 3.52)

Die Transformationsmatrix A lautet dann gemäß L 3.35:

A

§ 2 ¨ 1 ¨ ¨ 2 6 ¨ ¨ 2 ©

3 ·¸ ¸ 2 0 ¸ ¸ 1  3¸ ¹ 1

(L 3.53)

Für die zu A transponierte Matrix A' gilt:

A'

§ 2 ¨ 1 ¨ ¨ 1 6 ¨ ¨ 3 ©

2 ·¸ ¸ 2 1 ¸ ¸ 0  3¸ ¹ 2

(L 3.54)

Der Imaginärteil von H ist H"

§ 1 1 1· ¸ ¨ ¨ 0,025 H o 1 1 1¸ ¸ ¨ ¨ 1 1 1¸ ¹ ©

(L 3.55)

142

3 Erweiterter Jones-Kalkül

Mit L 3.53, L 3.54 und L 3.55 folgt:

' Hx

G G n1' H" n1

' Hx

0,075 H o

' Hy

G G n'2 H" n 2

' Hy

0

' Hz

G G n'3 H" n3

' Hz

0

§ 1 1 1· § 1· ¸¨ ¸ ¨ 0,025 H o 1 1 1 ¨1 1 1¸ ¨1¸ ¸¨ ¸ ¨ 3 ¨ 1 1 1¸ ¨ 1¸ ¹© ¹ ©

(L 3.56) §1 1 1· § 1 · ¸¨ ¸ ¨ 0,025 H o 1  2 1 ¨1 1 1¸ ¨  2 ¸ ¸¨ ¸ ¨ 6 ¨1 1 1¸ ¨ 1 ¸ ¹© ¹ ©

(L 3.57) §1 1 1 · § 1 · ¸¨ ¸ ¨ 0,025 ¨ H o 1 0  1 1 1 1 ¸ ¨ 0 ¸ ¸¨ ¸ ¨ 2 ¨ 1 1 1 ¸ ¨  1¸ ¹© ¹ ©

(L 3.58)

Damit lautet die näherungsweise Diagonalform

Hd

§ 2 ,75  j 0,075 0 0 · ¨ ¸ Ho ¨ 0 2 0¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 2 © ¹

(L 3.59)

3.11 Literatur [3.1] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Vieweg Verlag Braunschweig, Wiesbaden 2002 [3.2] Hay, S.: Transformation von Dielektrizitätstensoren auf Diagonalform. Studienarbeit im 6. Semester, Staatliche Studienakademie Bautzen, 2004 [3.3] Huard, S.: Polarization of Light. John Wiley & Sons, Paris 1997

143

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

4.1 Definition der erweiterten Kohärenzmatrix Kohärenzmatrix im Zeitbereich. Zur Verallgemeinerung der Ausführungen in [4.1] erfassen wir G die statistischen Eigenschaften des Vektors der elektrischen Verschiebungsflussdichte D( t ) in allen drei Feldkomponenten durch die folgende Definition der erweiterten Kohärenzmatrix G erw t1 , t 2 im Zeitbereich: G G G erw t1 , t 2 D t1 D'* t 2 . (4.1)

G G Dabei verstehen wir unter dem rechten Ausdruck den Erwartungswert von D t1 D'* t 2 . Man erkennt aus G'* erw t , t

G G D t D'* t

G erw t , t ,

(4.2)

dass G erw t , t hermitesch ist. Frequenzdarstellung der Kohärenzmatrix. Die Frequenzdarstellung der erweiterten Kohärenzmatrix wird durch 4.3 definiert. f

G erw Z1 , Z2

f

³ ³

G erw t1 , t 2 exp > j Z1 t1  Z2 t 2 @ dt1 dt 2

f f

(4.3)

G G D  j Z1 D'*  j Z2

Im Falle eines stationären Prozesses hängt G erw t1 , t 2 nur von der Differenz der Zeitpunkte, also von t1  t 2 ab. Dann folgt aus 4.3: f

G erw Z1 , Z2

f

³ ³

R erw W1 exp ^ j >Z1 W1  Z1  Z2 W 2 @ ` dW1 dW 2

f f

(4.4)

2 S R erw Z1 G Z1  Z2

mit W1

t1  t 2 und W 2

t2 .

Außerdem wurde R erw W1 G erw t1  t 2

(4.5)

gesetzt. Stationarität und Ergodizität. Bei stationären und ergodischen Prozessen kann der ErwarG G G tungswert D t1 D'* t 2 der Zufallsgröße D durch den zugehörigen Zeitmittelwert einer G Realisierungsfunktion, ebenfalls mit D bezeichnet, ersetzt werden.

144

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

Es gilt G G D t1 D'* t 2  

Erwartungswert

T

G G 1 lim D t1 D'* t 2 dt1 T o f 2T  T 



(4.6)

³

Zeitmittelwert

Wegen der vorauszusetzenden Stationarität und Ergodizität des Zufallsprozesses folgt mit W1 t1  t 2 : G G D t1 D'* t1  W1

R erw W1

1 lim T o f 2T

T

³

G G D t1 D'* t1  W1 dt1

(4.7)

T

Die erweiterte Kohärenzmatrix R erw W1 eines stationären und ergodischen Prozesses hat die Eigenschaft R'* erw W1

R erw  W1

(4.8)

Beweis: R'* erw W1

Substitution: u1

1 lim T o f 2T

T

³

G G D t1  W1 D'* t1 dt1

T

t1  W1 , du1

dt1

Die Substitution der Integrationsgrenzen kann wegen T o f entfallen. o R'* erw W1

1 lim T o f 2T

T

G G D u1 D'* u1  W1 du1

³

R erw  W1

T

Aus Vorstehendem folgt, dass die erweiterten Kohärenzmatrizen im Zeit- und Frequenzbereich bei stationären ergodischen Prozessen wechselseitige Fourier-Transformierte im Sinne des Wiener-Chintchin-Theorems sind: f

R erw Z

³

R erw W exp  j Z W dW

f

R erw W

1 2S

(4.9)

f

³

R erw Z exp  j Z W dZ .

f

Dabei wurden W1 und Z1 durch W und Z ersetzt.

4.2 Erwartungswert der Intensität Intensität. Wir kommen nun zur Definition der Intensität eines optischen Signals mit Hilfe der elektrischen Verschiebungsflussdichte. Zunächst schreibt man für den Vektor G D' t D x t , D y t , D z t (4.10)





4.3 Leistungsspektrum und Intensität

145

Die Intensität I t eines optischen Signals wird nach 4.11 definiert. G G I t D'* t D t

(4.11)

Mit 4.10 folgt I t

D x t D*x t  D y t D*y t  D z t D*z t 2

2

(4.12)

2

D x t  D y t  D z t .

Erwartungswert der Intensität. Der Erwartungswert der Intensität wird definiert durch G G I t D'* t D t (4.13) Mit 4.12 erhalten Sie I t

D x t

2

 D y t

2

 D z t

2

(4.14)

Gleichwertig ist die Definition I t

sp >G erw t , t @

(4.15)

Dabei bezeichnet sp die Spur von G erw t , t als Summe ihrer Hauptdiagonalelemente in Übereinstimmung mit 4.14. Im stationären ergodischen Fall folgt aus 4.5 und 4.15 mit W I

sp >R erw W

0:

0 @

(4.16)

d. h. der Erwartungswert der Intensität I ist dann zeitunabhängig.

4.3 Leistungsspektrum und Intensität Für stationäre ergodische Prozesse definieren wir das Leistungsspektrum S Z in der Form S Z

sp >R erw Z @

(4.17)

Über das Wiener-Chintchin-Theorem 4.9 folgt f

S Z

³

sp >R erw W @ exp  j Z W dW

(4.18)

f

Mit 4.16, 4.17 und 4.9 ergibt sich der Zusammenhang I

1 2S

f

³

f

sp >R erw Z @ dZ

1 2S

f

³

S Z dZ

f

zwischen dem Erwartungswert der Intensität I und dem Leistungsspektrum S Z .

(4.19)

146

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

4.4 Erwartungswert der Ausgangsintensität eines linearen zeitinvarianten optischen Systems Zur Berechnung des Erwartungswertes der Ausgangsintensität I out setzen wir eine stationäerw Z voraus, die re ergodische optische Quelle mit gegebener erweiterter Kohärenzmatrix R in ein lineares zeitinvariantes optisches System mit der 3x3-Transfermatrix T erw  j Z anregt. Die erweiterte Kohärenzmatrix auf der Ausgangsseite eines linearen zeitinvarianten optischen Systems ist definiert durch G G '* erw Z , Z  j Z2 (4.20) G out Dout  j Z1 Dout 1 2 Mit der Übertragungsgleichung des linearen zeitinvarianten optischen Systems G G Dout  j Z T erw  j Z Din  j Z

(4.21)

ergibt sich aus 4.20: G G '* '* erw Z , Z T G out 1 2 erw  j Z1 Din  j Z1 Din  j Z2 T erw  j Z2

(4.22)

Unter Verwendung der erweiterten Kohärenzmatrix auf der Eingangsseite, definiert durch G G '* erw Z , Z  j Z2 , (4.23) G in Din  j Z1 Din 1 2 wird aus 4.22: erw Z , Z T erw '* G out 1 2 erw  j Z1 G in Z1 , Z2 T erw  j Z2

(4.24)

Für stationäre ergodische Prozesse gilt mit 4.4: erw Z , Z 2 S R erw Z G Z  Z G in 1 2 1 1 2 in

(4.25a)

erw Z , Z 2 S R erw Z G Z  Z G out 1 2 1 2 out 1

(4.25b)

Durch Einsetzen von 4.25a und 4.25b in 4.24 erhalten Sie die verallgemeinerte Wiener-LeeBeziehung im Frequenzbereich: erw Z T erw '* R out erw  j Z R in Z T erw  j Z

(4.26)

Über 4.19 ermittelt man mit 4.26 den Erwartungswert der Ausgangsintensität I out

I out

I out

1 2S 1 2S 1 2S

f

³

S out Z dZ

³

erw Z dZ sp R out

³

erw Z T '*  jZ dZ . sp T erw  jZ R in erw

f f f f f

> >

@

(4.27)

@

4.5 z-Komponenten-Kohärenzfunktion

147

4.5 z-Komponenten-Kohärenzfunktion 4.5.1 Diagonale erweiterte Kohärenzmatrix Diagonale Kohärenzmatrix. Sind Gdie Erwartungswerte sämtlicher Produkte zweier unterschiedlicher Feldkomponenten von D gleich Null, dann besitzt die erweiterte Kohärenzmatrix entsprechend 4.28 Diagonalform. § D d t D* d t ¨ x 1 x 2 ¨ ¨ 0 ¨ ¨ 0 ¨ ©

G derw t1 , t 2

0 D dy t1 D*yd t 2 0

· ¸ ¸ ¸ 0 ¸ ¸ D zd t1 D*z d t 2 ¸ ¹ 0

· § G d t , t 0 0 ¸ ¨ x 1 2 ¸ ¨ ¸ ¨ G dy t1 , t 2 0 0 ¸ ¨ ¸ ¨ G zd t1 , t 2 ¸ 0 0 ¨ ¹ ©

(4.28)

Eine solche Quelle wird auch als separierbare optische Quelle bezeichnet [4.3]. Aus Beispiel 2.8 in [4.1] erkennt man, dass die Diagonalform von der Polarisation der Lichtwelle einer das optische System anregenden Laserdiode abhängig ist. z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich. Aus 4.28 entnimmt man die so bezeichnete z-Komponenten-Kohärenzfunktion (z-KKF) G zd t1 , t 2 : G zd t1 , t 2

D zd t1 D*z d t 2

(4.29)

Sie besitzt die Eigenschaft G*z d t , t

D*zd t D zd t

G zd t , t

(4.30)

Frequenzdarstellung z-Komponenten-Kohärenzfunktion. In Analogie zu 4.3 ergibt sich die Frequenzdarstellung der z-KKF: G zd Z1 , Z2

f

f

³ ³

G zd t1 , t 2 exp > j Z1 t1  Z2 t 2 @ dt1 dt 2

f f D zd  jZ1 D*z d  jZ2 .

(4.31)

Für stationäre Prozesse gilt G zd Z1 , Z2

f

f

³ ³

R zd W1 exp ^ j >Z1 W1  Z1  Z2 W 2 @ ` dW1 dW 2

f f 2 S R zd Z1 G Z1  Z2

mit W1

t1  t2 und W 2

t2 .

(4.32)

148

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

Außerdem wurde R zd W1 G zd t1  t 2

(4.33)

gesetzt. Stationarität und Ergodizität. In Analogie zu 4.6 gilt bei stationären ergodischen Prozessen für die z-KKF: T

1 lim D zd t1 D*z d t 2 dt1 T o f 2T  T  

D zd t1 D*z d t 2

³

  

Erwartungswert

Mit W1

(4.34)

Zeitmittelwert

t1  t 2 folgt R zd W1

D zd t1 D*z d t1  W1

1 T o f 2T lim

T

³

D zd t1 D*z d t1  W1 dt1

(4.35)

T

Die z-KKF besitzt die Eigenschaft R*zd W1

R zd  W1

(4.36)

Im Falle von Stationarität und Ergodizität folgt aus 4.9 die Gültigkeit des Wiener-ChintchinTheorems für die z-KKF. Sehen Sie dazu 4.37 und 4.38. R zd Z

f

³

R zd W exp  jZW dW

(4.37)

f

R zd W

1 2S

f

³

R zd Z exp  jZW dZ

(4.38)

f

z-Komponenten-Intensität. Die Intensität der z-Komponente ist gegeben durch

I zd t

D zd t D*z d t

D zd t

2

(4.39)

Der Zusammenhang 4.39 wird an späterer Stelle, ebenso wie 4.40, benötigt. Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität. Den Erwartungswert der z-KomponentenIntensität berechnet man aus I zd t

D zd t

2

G zd t , t

(4.40)

Im stationären ergodischen Fall ist der Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität nach 4.41 zeitunabhängig mit W 0 . I zd

R zd W

0

Gleichung 4.41 folgt aus 4.33 und 4.40.

(4.41)

4.5 z-Komponenten-Kohärenzfunktion

149

z-Komponenten-Leistungsspektrum. Für stationäre ergodische Prozesse ist das Leistungsspektrum für die z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte definiert in der Form

S zd Z

R zd Z

(4.42)

Das heißt, das Leistungsspektrum der z-Komponente stimmt formal mit der z-KKF im Frequenzbereich überein. Daher gilt folgender Zusammenhang mit dem Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität: 1 2S

I zd

f

S zd Z dZ

³

f

1 2S

f

³

R zd Z dZ

(4.43)

f

Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität am Ausgang eines linearen zeitinvarianten optischen Systems. Zur Berechnung der z-Komponenten-Ausgangsintensität bezüglich ihres Erwartungswertes I zout setzen wir eine stationäre ergodische optische Quelle mit dem d Z voraus, die ein lineares zeitinvariantes Leistungsspektrum für die z-Komponente R zin d optisches System mit der z-KÜF Tz  jZ anregt. Des Weiteren nehmen wir die Diagonalform der Jones-Matrix J  jZ J d  jZ an. Wegen der Diagonalform der erweiterten Kohärenzmatrix G derw t1 , t 2 nach 4.28 folgt: d  G zout Z1 , Z2

d  d  D zout jZ1 D*zout jZ2 ,

d  jZ T d  jZ D d  jZ D zout z zin

d Z , Z T d  jZ D d  jZ D* d  jZ T * d  jZ , o G zout 1 2 1 1 2 2 z z zin zin d Z , Z G zin 1 2

d  jZ D* d  jZ D zin 1 2 zin

d Z , Z T d  jZ G d Z , Z T * d  jZ o G zout z 1 2 1 2 zin 1 2 z d Z , Z 2 S R d Z G Z  Z , G zin 1 2 1 2 zin 1 d Z , Z 2 S R d Z G Z  Z G zout zout 1 1 2 1 2

Somit erhalten Sie 4.44 als Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich [4.2]: d Z R zout

2

d Z T zd  jZ R zin

(4.44)

Der Erwartungswert der z-Komponenten-Ausgangsintensität ist definiert in der Form d I zout

1 2S

f

³

f

d  R zout Z dZ

(4.45)

150

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

und ergibt mit 4.44: 1 2S

d I zout

f

³

2

d  T zd  jZ R zin Z dZ

(4.46)

f

2

Dabei ist T zd  jZ , z. B. für einen anisotropen LWL nach Tabelle 3.2 und Hauptachsenform eines symmetrischen Dielektrizitätstensors gleich

T zd  jZ

2

ia T ai T zT zT

2

,

(4.47)

ia , T ai von ein- und ausgangsseitiger Grenzschicht wobei für die Transmissionsfaktoren T zT zT 2.128 und 2.169 gelten.

4.5.2 Nichtdiagonale erweiterte Kohärenzmatrix Nichtdiagonale Kohärenzmatrix. Wir nehmen nun an, dass die erweiterte Kohärenzmatrix die Form

G erw t1 , t 2

§ G11 t1 , t 2 G12 t1 , t 2 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ G21 t1 , t 2 G22 t1 , t 2 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0 0 © ¹

(4.48)

hat. Nichtdiagonale Jones-Matrix. Die Jones-Matrix eines zugrunde liegenden linearen zeitinvarianten optischen Systems habe Nichtdiagonalform nach 4.49. § J 11  jZ J 12  jZ · ¨ ¸ J  jZ ¨ ¨ J  jZ J  jZ ¸¸ 22 © 21 ¹

(4.49)

z-Komponenten-Übertragungsfunktion. Für die z-KÜF gilt dann mit der Jones-Matrix 4.49 die Gestalt T z  jZ

J 21  jZ  J 22  jZ F' in cos M

(4.50)

z-Komponenten-Kohärenzfunktion. Es soll ein allgemeiner Zusammenhang zwischen der Kohärenzmatrix auf der Ausgangsseite G out Z1 , Z2

§ G11 Z , Z G12 Z ,Z · out 1 2 ¸ ¨ out 1 2 ¨ ¸ ¨ G 21 Z , Z G 22 Z , Z ¸ out 1 2 ¹ © out 1 2

(4.51)

erw Z , Z und der z-KKF G als nichtdiagonaler Teil von G out zout Z1 , Z2 abgeleitet werden. 1 2

Dazu gehen wir von der Definitionsgleichung für G out Z1 , Z2 im Frequenzbereich aus.

4.5 z-Komponenten-Kohärenzfunktion

151

Sie lautet G out Z1 , Z2

§ D xout  j Z1 · ¸ * ¨ * ¸ D xout  j Z2 , D yout  j Z2 ¨ ¨ D yout  j Z1 ¸ ¹ ©





(4.52)

Die rechte Seite von 4.52 lässt sich mit Hilfe der Ausgangspolarisation F'out und dem Winkel M der schrägen Anregung bei vorausgesetzten gleichen Dielektrizitätskonstanten H1 H 3 auf der Eingangs- und Ausgangsseite des linearen zeitinvarianten optischen Systems darstellen. Es gilt § D xout  j Z · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D yout  j Z ¸ ¹ ©

1 § · ¨ ¸ F M ' sin ¨ out ¸ D zout  j Z ¨ cot M ¸ © ¹

(4.53)

Damit erhalten Sie die folgende Form für G out Z1 , Z2 : G out Z1 , Z2

1 § · § · ¨ ¸ 1 * F M ' sin , cot M ¸ ¨ out ¸ D zout  j Z1 D zout  j Z2 ¨ '* ¸  

¨© F out sin M ¨ cot M ¸  ¹ © ¹ G Z , Z zout

1

2

1 § · § · ¨ ¸ 1 F M ' sin , cot M ¸ . ¸ G zout Z1 , Z2 ¨ '* ¨ out ¨F ¸ ¨ cot M ¸ © out sin M ¹ © ¹

(4.54)

22 Z , Z Der Vergleich für das Element Gout 1 2 nach 4.51 mit 4.54 liefert: 22 Z , Z G 2 Gout 1 2 zout Z1 , Z2 cot M

bzw. 22 Z , Z tan 2 M G zout Z1 , Z2 Gout 1 2

(4.55)

22 Z , Z Die z-KKF G zout Z1 , Z2 ist also durch das Element Gout 1 2 aus G out Z1 , Z2 und den Winkel M der schrägen Anregung vollständig bestimmt.

Gleichung 4.55 stimmt formal mit G zout Z1 , Z2 T z  j Z1 G zin Z1 , Z2 T z*  j Z2

(4.56)

überein, wenn T z  j Z nach 4.50 Verwendung findet. Das zeigt man wie folgt: § D xin  j Z · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ D yin  j Z ¸ ¹ ©

1 § · ¨ ¸ ¨ F' in sin M ¸ D zin  j Z , ¨ cot M ¸ © ¹

(4.57)

152

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül § J 11  j Z1 J 12  j Z1 · ¸˜ G out Z1 , Z2 ¨ ¨ ¸ © J 21  j Z1 J 22  j Z1 ¹

§ J *  j Z J *  j Z · § D xin  j Z1 · 2 21 2 ¸ ¨ 11 ¨ ¸ * * ˜ ¨ D xin  j Z2 , D yin  j Z2 ˜ ¨ ¸ ¸ ¨ D yin  j Z1 ¸ ¨ J *  j Z J *  j Z ¸ © ¹ 2 22 2 ¹ © 12





(4.58)

Einsetzen von 4.57 in 4.58 liefert G out Z1 , Z2

1 · § J 11  j Z1 J 12  j Z1 · §¨ ¨ ¸ F' sin M ¸ ¸ ¨¨ ¸¸ ¨ in © J 21  j Z1 J 22  j Z1 ¹ ¨© cot M ¸¹ § · 1 ˜ D zin  j Z1 D*zin  j Z2 ˜ ¨ , cot M ¸ ¸   ¨© F'* in sin M ¹

(4.59)

G zin Z1 , Z 2

§ J *  j Z J *  j Z · 2 21 2 ¸ ¨ 11 ˜¨ ¸. ¨ J *  j Z J *  j Z ¸ 2 22 2 ¹ © 12 22 Z , Z erhält man aus 4.59 und 4.51: Für das Element Gout 1 2 22  Gout Z1 ,Z2

º ª J 21  j Z1  J 22  j Z1 » ˜ « ' cos F M ¼ ¬ in ª J*  j Z º 2  J *  j Z » ˜ G zin Z1 , Z2 cot 2 M « 21 22 2 «¬ F'* »¼ in cos M

(4.60)

T z  j Z1 G zin Z1 , Z2 cot 2 M T z*  j Z2 .

Mit 4.56 wird daraus 22 Z , Z G 2 Gout 1 2 zout Z1 , Z2 cot M

bzw. 22 Z , Z tan 2 M G zout Z1 , Z2 Gout 1 2

(4.61)

Bei stationären ergodischen Prozessen gilt mit 22 Z , Z 2 S R 22 Z G Z  Z Gout 1 2 out 1 1 2

und G zout Z1 , Z2 2S R zout Z1 G Z1  Z2

der Zusammenhang R zout Z1

22 Z tan 2 M Rout

(4.62)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

153

22 Z in der Kohärenzmatrix R Dabei findet man Rout out Z für stationäre ergodische Prozesse nach 4.63 wieder.

R out Z

ª R11 Z R12 Z º out « out » « 21 » 22 «¬ Rout Z Rout Z »¼

(4.63)

R out Z ergibt sich aus der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich R out Z

J  j Z R in Z J '*  jZ

(4.64)

mit der Jones-Matrix J  jZ nach 4.49. Für R in Z gilt dabei die Definition R in Z

§ D xin  j Z · ¸ * ¨ * ¸ D xin  j Z , D yin  j Z ¨ ¨ D yin  j Z ¸ ¹ ©





(4.65)

Mit 4.57 ergibt sich aus 4.65: R in Z

1 § · § · ¨ ¸ 1 * ' sin F M , cot M ¸ ¨ in ¸ D zin  j Z D zin  j Z ˜ ¨ '* ¸  

¨© F in sin M ¨ cot M ¸  ¹ © ¹ R Z zin

1 · § ¸ ¨ § · 1 ' sin F M ,cot M ¸¸ ¸ R zin Z ¨¨ ¨ in F M ' sin © in ¹ ¨ cot M ¸ ¹ ©

(4.66)

Die Kohärenzmatrix R in Z auf der Eingangsseite eines linearen zeitinvarianten optischen Systems lässt sich also darstellen mit Hilfe der Eingangsspolarisation F' in , dem Winkel M der schrägen Anregung und durch die eingangsseitige z-KKF R zin Z im Frequenzbereich. Es bleibt zu bemerken, dass alle Ausführungen im Abschnitt 4 eine konstante Polarisation voraussetzen.

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix 4.6.1 Transformation auf Diagonalform 4.6.1.1 Erweiterte Kohärenzmatrix bei Laserphasenrauschen Laserphasenrauschen. Als Beispiel eines stationären ergodischen Zufallsprozesses betrachten wir im Abschnitt 4.6 das Laserphasenrauschen. Die Kohärenzfunktion G t1 , t 2 und das Leistungsspektrum dieses Zufallsprozesses sind bezüglich ihrer Herleitung Gegenstand der Aufgabe A 4.1. Im Anhang A4 findet sich eine näherungsweise Beschreibung der Statistik des Laserrauschens.

154

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

In Aufgabe A 4.2 werden sowohl die jeweilige Kohärenzmatrix als auch der Erwartungswert der Ausgangsintensität bei paralleler Anregung berechnet. Aufgabe A 4.3 hat die Ermittlung der z-Komponenten-Kohärenzfunktionen und der z-Komponenten-Ausgangsintensität bei schräger Anregung zum Inhalt. Dazu wurden spezielle Formen der Kohärenzmatrizen vorausgesetzt, die wir nun berechnen. Erweiterte Kohärenzmatrix. Die eingangsseitige erweiterte Kohärenzmatrix im Zeitbereich lautet bei schräger Anregung

erw t , t G in 1 2

§ D xin t1 · ¸ ¨ ¸ * ¨ * * ¨ D yin t1 ¸ D xin t 2 , D yin t 2 , D zin t 2 ¸ ¨ ¨ D t ¸ © zin 1 ¹





(4.67)

mit D xin ( t )

ˆ e exp > j Z t  ) t  \ @ D o x' o x'

D yin ( t )

ˆ e cos M exp j Z t  ) t  \ D o y' o y'

Dzin ( t )

ˆ e D o y'

> @ sin M exp > j Zo t  ) t  \ y' @

(4.68)

Unter Berücksichtigung der Lösung L 4.1 von Aufgabe A 4.1 erhalten wir mit den Abkürzungen W

t1  t 2 , ' ) e x' ,

ex

\

\'

ey

\ y'  \ x'

) t1  ) t 2

(4.69)

e y' cos M \ y  \x

durch Einsetzen von 4.68 in 4.67 die folgende Form der erweiterten Kohärenzmatrix erw t , t G in 1 2

erw W . R in

erw W R in

º ª ˆ 2 exp « jZ W  ' Z W » ˜ D o o 2 »¼ «¬ 2 § ex e x e y exp  j\ e x e y tan M exp  j\ ·¸ ¨ ¨ ¸ (4.70) 2 2 ¸ ˜¨ e x e y exp  j\ ey e y tan M ¨ ¸ ¨ ¸ 2 2 e y tan M e y tan 2 M ¨ e x e y tan M exp  j\ ¸ ©  

¹ R inerw0

Für 4.70 wurde eine konstante Polarisation und ein konstanter Winkel M der schrägen Anregung vorausgesetzt.

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix Bei paralleler Anregung ergibt sich aus 4.70 mit M R in 0

2 § ex ¨ ¨ ¨ e e exp  j\ © x y

155 0 der i. A. nichtverschwindende Teil

e x e y exp  j\ ·¸ ¸ 2 ¸ ey ¹

(4.71)

in Übereinstimmung mit Gleichung L 4.5. Damit kann die parallele Anregung als Spezialfall der schrägen Anregung aufgefasst werden. Bei den folgenden Transformationen bleibt der Vorfaktor in 4.70 abgesehen von einer eventuellen Fourier-Transformation erhalten, so dass erw bzw. R die Betrachtung von R in 0 in 0 genügt.

Bei vertikaler Polarisation mit e y

erw R in 0

0 und e x

1 erhalten Sie aus 4.70:

§ 1 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ © ¹

(4.72)

Die Diagonalform der erweiterten G Kohärenzmatrix wird zwar damit erreicht, es verschwindet jedoch die z-Komponente von Din und auch die y-Komponente. Für die später zu diskutierenden Anwendungen derGTheorie der schrägen Anregung wird gerade die z-Komponente und für die Übertragung von Din auch die y-Komponente nach dem gewählten Koordinatensystem im Bild 2-6 benötigt. Bei horizontaler Polarisation ergibt sich aus 4.70 mit e y'

erw R in 0

0 0 · §0 ¸ ¨ ¸ ¨ 2 cos M cos M sin M ¸ ¨0 ¸ ¨ 2 ¸ ¨ 0 cos M sin M sin M ¹ ©

1, ey

cos M und e x

0:

(4.73)

G Gemäß 4.73 bleiben Anteile für die Produkte zwischen y- und z-Komponente von Din übrig. G 4.73 ist genauso wie 4.70 für die Übertragung mit y- und z-Komponente von Din brauchbar. Es erw auf, die für eine nichtgekoppelte Beschreitritt jedoch keine einfache Diagonalform von R in 0 bung der Übertragung von y- und z-Komponente sinnvoll wäre. Damit besteht die Aufgabe in der Diagonalisierung von 4.70 bzw. 4.73.

156

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

4.6.1.2 Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix Eigenwerte. Zur Diagonalisierung von 2 § ex ¨ ¨ ¨ e e exp  j\ x y ¨ ¨ ¨ e x e y tan M exp  j\ © § R11 R12 R13 · ¨ ¸ ¨ * ¸ ¨ R12 R22 R23 ¸ ¨ ¸ ¨ R* R* ¸ R 23 33 ¹ © 13

erw R in 0

e x e y exp  j\ ey ey

2

2

tan M

e x e y tan M exp  j\ ·¸ ¸ 2 ¸ e y tan M ¸ ¸ 2 2 e y tan M ¸ ¹

(4.74)

ist die Berechnung der Eigenwerte O aus



erw  O E det R in 0



(4.75)

0

erw : erforderlich. 4.75 ergibt für die hermitesche Matrix R in 0

O3  a 2 O2  a1 O  ao

(4.76)

0

Die Koeffizienten der charakterischen Gleichung 4.76 sind dabei gegeben durch a 2

R11  R22  R33

 a2 a1

2

 ey

e x'

2

 e y'

e x'

 ex

a0

2

 e y'

 ey

2

2

tan 2 M

cos 2 M  e y'

2

2

sin 2 M

1,

R11 R22  R11 R33  R22 R33  R12 ex

a1

2

ex

2 2

ey ey

2 2

 ex  ex

2

ey

2

ey

2 2

2

tan 2 M  e y 2

tan M  e y

 R13 4 4

tan 2 M

2

2

R23 R11  R13 R22  R12 R33 * R*  R R R*  R11 R22 R33  R13 R12 23 12 23 13 erw det R in 0

3 ex a0

0.

2

ey

4

tan 2 M  3 e x

2

ey

4

2

tan M

0 2

2

tan 2 M

 R23

2

(4.77)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

157

Damit erhalten Sie als charakteristische Gleichung O3  O2

O  1 O2

(4.78)

0

mit den Eigenwerten 0 , O2

O1

0 , O3

1

(4.79)

als Lösungen. 0 gilt mit

Eigenvektoren. Für O1, 2 erw Rang R in 0

(4.80)

1

und der Polarisationsvariablen ey F in exp  j \ ex

(4.81)

G G folgende Bestimmungsgleichung für die zugehörigen Eigenvektoren b1 und b2 : § x1, 2 · ¸ ¨ ¸ ¨ 2 §¨ e , e e exp  j \ , e e tan M exp  j \ ·¸ ¨ y ¸ 0 , x x y x y 1, 2 ¹¨ © ¸ ¸¸ ¨¨ © z1, 2 ¹ § x1, 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ * * o 1, F in , F in tan M ¨ y1, 2 ¸ 0 ¨ ¸ ¨¨ ¸¸ © z1, 2 ¹





(4.82)

Die Lösung von 4.82 lautet:

G o b1

Für O 3

§  F*  y  z tan M · ¨ in 1 1 ¸ ¨ ¸ G ¨ ¸ ; b2 y1 ¨ ¸ ¨ ¸ z1 ¨ ¸ © ¹

§  F*  y  z tan M · 2 ¨ in 2 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ y2 ¨ ¸ ¨ ¸ z2 ¨ ¸ © ¹

(4.83)

1 ergibt sich mit



erw  E Rang R in 0



(4.84)

2

aus § x3 · 2 § sin 2 M ·¸ ¨ ¸ ¨  1 cos M ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ y3 ¸ F in F in ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ 2 © 0  sin M cos M sin M ¹ ¨ z ¸ © 3¹ G der Eigenvektor b3 nach 4.86.

§0· ¨ ¸ ¨¨ ¸¸ ©0¹

(4.85)

158

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

G b3

§ 1 · ¸ ¨ ¨ F in ¸ y 3 ¨¨ 1 ¸¸ ¸ ¨ ¨¨ tan M ¸¸ ¹ ©

(4.86)

Unitarisierung der Eigenvektoren. Die Unitarisierung in der Form G G G G G G b1'* b1 b2'* b2 b3'* b3 1 G G G G G b1'* b2 b1'* b3 b2'* b3 0

(4.87)

führt auf die unitäre Transformationsmatrix G G G B in n1 , n 2 , n3 bzw. auf

B'* in

§ nG'* · ¨ 1 ¸ ¨ ¸ ¸ ¨ nG'* ¨ 2¸ ¨ G'* ¸ ¨ n3 ¸ © ¹

(4.88)

mit den unitären Eigenvektoren

G n1

G n2

G n3

§  F* · ¨ in ¸ ¸ ¨ 1 ¨ 1 ¸ ¸ 2 ¨ 1  F in ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¹ © §  F* tan M · in ¸ ¨ ¸ ¨ 1 ¨  F in 2 tan M ¸ ¸ ª1  F 2 º ª1  F 2 1  tan 2 M º ¨ ¸ ¨ in in 2 «¬ »¼ «¬ »¼ ¨ 1  F ¸ in ¹ © § 1 · ¸ ¨ ¨ F in ¸ F in ¨ 1 ¸. ¸ ¨ 2 2 1  F in 1  tan M ¨ ¸ ¨¨ tan M ¸¸ ¹ ©







(4.89)



Diagonalform der erweiterten Kohärenzmatrix. Die Diagonalform der erweiterten Kohärenzmatrix erhalten Sie aus derw W R in

erw B'* in R in W B in

bzw. nach Fourier-Transformation von 4.90 in der Form

(4.90)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix derw Z R in

159

erw B'* in R in Z B in

(4.91)

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¸ ª º¨ ' Z W 2 ˆ exp « j Z W  D » ¨ 0 0 0¸ o o 2 »¼ ¨ «¬ ¸ ¨ 0 0 1¸ © ¹

(4.92)

Damit gilt

derw W R in

und

derw Z R in

4 ˜ 'Z

Do Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z/ 2 ¹

2

§ 0 0 0· ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 1¸ © ¹

(4.93)

Spezialfall der Transformationsmatrix. Die unitären Eigenvektoren 4.89 werden nun für den Fall einer horizontalen Eingangspolarisation mit F in o f nach 4.81 spezialisiert. Es gilt dann G n1

§1· ¨ ¸ ¨ ¸ G ¨ 0 ¸ , n2 ¨ ¸ ¨0¸ © ¹

§ 0 · ¸ ¨ ¸ G ¨ ¨  sin M ¸ , n3 ¸ ¨ ¨ cos M ¸ ¹ ©

§ 0 · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ cos M ¸ ¸ ¨ ¨ sin M ¸ ¹ ©

(4.94)

Für die Transformationsmatrix B in ergibt sich mit 4.94 u.a. Orthogonalität und Symmetrie:

B in

0 0 · §1 ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0  sin M cos M ¸ ¸ ¨ ¨ 0 cos M sin M ¸ ¹ ©

B'in

(4.95)

Gd  jZ und dem ursprüngZwischen dem diagonalisiertem Verschiebungsflussdichte-Vektor Din G lichem Vektor Din  jZ gilt die Beziehung Gd G  jZ B'in Din  jZ Din (4.96)

Mit

G' d  jZ Din

Dxind  jZ , D dyin  jZ , Dzind  jZ

(4.97)

G'  jZ Din

0, D yin  jZ , D zin  jZ

(4.98)

und

folgt bei horizontaler Eingangspolarisation aus 4.95 und 4.96 unter Verwendung von D yin  jZ D zin  jZ cot M

(4.99)

160

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

der Zusammenhang § D d  jZ · ¸ ¨ xin ¸ ¨ ¨ D d  jZ ¸ ¸ ¨ yin ¸ ¨ d ¨ D zin  jZ ¸ ¹ ©

· § ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ , ¨ ¨ D  jZ ¸ ¸ ¨ zin ¨ sin M ¸ ¹ ©

(4.100)

d  jZ ist gemäß d. h. die einzige verbleibende Komponente D zin d  jZ sin M D zin

D zin  jZ

(4.101)

schräg zu D zin  jZ angeordnet. Setzt man 4.101 in 4.99 ein, so folgt weiterhin d  jZ cos M D zin

D yin  jZ

(4.102)

d  jZ formal mit D Damit stimmt D zin y' in  jZ der anregenden Laserdiode überein.

Hat man nur den eben dargestellten Spezialfall der Transformationsmatrix B in im Blickfeld, so ist die Realisierung der Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix auf Diagonalform schon durch schräge Anregung des optischen Netzwerkes unter dem Winkel M gegeben. Die Systemberechnung erfolgt dann mit R zin W

ª º ˆ 2 exp « j Z W  ' Z W » sin 2 M D o o 2 ¼» ¬«

(4.103)

bzw. R zin Z

ˆ 2 sin 2 M D 4 o ˜ 2 'Z Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z/ 2¹

als Eingangssignal. Die Gleichungen 4.103 und 4.104 stimmen für e y den Gleichungen L 4.14 und L 4.15 überein.

(4.104)

2

cos 2 M formal mit

4.6.1.3 Realisierung der Transformation auf Diagonalform Nichtdiagonalform. Ausgangspunkt zu allgemeingültigen Realisierungen der Transformation auf Diagonalform ist die Nichtdiagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich 4.26: erw Z T erw '* R out erw  jZ R in Z T erw  jZ

Dafür gilt Bild 4-1.

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

161

M optischer Detektor

optisches Netzwerk op Q tisc ue he lle

T erw  jZ

Bild 4-1

erw Z R out

erw Z R in

Zur Nichtdiagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich

Eingangsseitige Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix. Wir wollen nun die vollständige Diagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung 4.26 im Frequenzbereich angeben. Bild 4-2 zeigt dazu das gegenüber Bild 4-1 modifizierte optische Netzwerk durch Einfügen von Transformationsnetzwerken zur Realisierung der Diagonalform von erw Z . T erw  jZ und R in

d erw

erw Z R in

d erw

Z

R out

Transformationsnetzwerk

Transformationsnetzwerk

optisches Netzwerk

Transformationsnetzwerk

B'* in

BT

T erw  jZ

B'* T

op Q tisc ue he lle

M

R in

Z optischer Detektor

T derw  j Z B'* T T erw  j Z B T

Bild 4-2

Zur Diagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich mit eingangsseitiger Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix

Aus Bild 4-2 folgt mit derw Z B'* R erw Z B R in in in in

(4.105)

T derw  j Z B'* T T erw  j Z B T

(4.106)

und

die Diagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich nach 4.107. derw Z T d  j Z R derw Z T '* d  jZ R out erw in erw

(4.107)

162

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

~ Dabei können die unitären Transformationsmatrizen B T und B'* in zu einer neuen Matrix B in in der Form ~ '* B in B T Bin (4.108) ~ zusammengefasst werden. B in lässt sich, genauso wie B'* T , durch die schon beschriebene ~ unitäre RT-Zerlegung realisieren. Die Matrix B in nach 4.108 ist unitär, den mit B T1

B'* T , B in

1 B'* in

gilt über ~'* B in

B in B'* T

die Aussage ~ 1 B in

1 1 B'* in B T

B in B'* T

~'* B in

~ als Kriterium für unitäre Matrizen. Die Voraussetzungen für die Unitarität von B in sind:

x Dem optischen Netzwerk liegt ein hermitescher oder als Spezialfall symmetrischer Dielektrizitätstensor zugrunde. erw hermitesch oder als Spezialfall x Die eingangsseitige Kohärenzmatrix ist bezüglich R in 0 symmetrisch.

Ausgangsseitige Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix. Das gegenüber Bild 4-1 modifizierte optische Netzwerk mit ausgangsseitiger Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix zeigt Bild 4-3. erw Z R in

derwZ R out

Transformationsnetzwerk

optisches Netzwerk

Transformationsnetzwerk

Transformationsnetzwerk

BT

T erw  jZ

B'* T

B'* out

op Q tisc ue he lle

M

erw Z R out

optischer Detektor

T derw  j Z B'* T T erw  j Z B T

Bild 4-3

Zur Diagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich mit ausgangsseitger Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix

Aus Bild 4-3 folgt derw Z B'* R erw Z B R out out out out , erw Z T d  jZ R erw Z T '* d  jZ , R out erw in erw

o

derw Z R out

d erw '* d B'* out T erw  jZ R in Z T erw  jZ B out

(4.109)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

163

Gleichung 4.107 liefert mit dem Zusammenhang 4.105: derw Z T d  jZ B'* R erw Z B T '* d  jZ R out erw in in in erw

(4.110)

Der Vergleich von 4.109 mit 4.110 führt für eine beliebige erweiterte Kohärenzmatrix erw Z , selbstverständlich nur bei einem stationären ergodischen Prozess, auf die BedingunR in

gen für B out : d d '* B'* out T erw  jZ T erw  jZ B in d T '* erw  jZ B out

d B in T '* erw  jZ

'* d  1  jZ auf bzw. bei Terw jZ T derw

B'* out

'* d T derw  jZ B'* in T erw  jZ

(4.111)

B out

d T derw  jZ B in T '* erw  jZ

(4.112)

Oft wird es einfacher sein, die Kohärenzmatrix eingangsseitig zu diagonalisieren und dann d '* d B in bzw. B'* in mit den Diagonalmatrizen T erw  jZ und T erw  jZ zur Bestimmung von

B out und B'* out gemäß 4.111 und 4.112 zu multiplizieren. '* Die Transformationsnetzwerke mit B'* T und B out können zu einem neuen Transformationsnetzwerk mit der Matrix ~ '* B out B'* (4.113) out B T

zusammengefasst werden. Unter den gleichen Voraussetzungen wie bei der eingangsseitigen ~ Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix erfüllt die Matrix B out die Uniteritätsbedingung ~ B out

~'* 1 B out

Die ausgangsseitige Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix ist bei horizontaler Eingangspolarisation Gegenstand der Aufgabe A 4.4.

4.6.2 Transformation auf die Jones-Matrix-äquivalente Form 4.6.2.1 Spezialfall der erweiterten Kohärenzmatrix bei Laserphasenrauschen Erweiterte Kohärenzmatrix. Im gesamten Unterabschnitt 4.6.2 wird als Eingangssignal im Frequenzbereich die erweiterte Kohärenzmatrix bei Laserphasenrauschen und horizontaler Eingangspolarisation nach 4.114 angenommen.

164

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

4 ˜ 'Z

erw Z R in

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z/ 2¹

2

0 0 · §0 ¸ ¨ ¸ ¨ 2 cos M cos M sin M ¸ ˜ ¨0 ¸ ¨ 2 ¨ 0 cos M sin M M ¸¹ © sin 

(4.114)

erw R ino

Erweiterte Jones-Matrix. Das lineare zeitinvariante optische Netzwerk mit dem EingangssigJ  jZ nach 4.115. Dabei wird nal 4.114 beschreiben wir durch die erweiterte Jones-Matrix J erw G J  jZ bezüglich Ein- und Ausgangssignal in Termen von D  jZ aufgefasst: J erw

J  jZ J erw

0 · § J 11  jZ J 12  jZ ¨ ¸ ¨ ¸ 0 ¸ ¨ J 21  jZ J 22  jZ ¨ ¸ ¨ 0 Tz  jZ ¸¹ 0 ©

(4.115)

mit Tz  jZ

J 21  jZ FVin

 J 22  jZ

(4.116)

für die noch zu bestimmende Eingangspolarisation FVin . Verallgemeinerte Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich. Die verallgemeinerte Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich hat mit 4.114 und 4.115 die Form erw Z J J  jZ R erw Z J '* J  jZ R out in erw erw

(4.117)

Im Unterabschnitt 4.5.2 wurde die erweiterte Kohärenzmatrix in den Formen 4.48, 4.51, 4.63 und 4.66 verwendet. Es besteht nun die Aufgabe, diese Formen der Kohärenzmatrix ausgehend von 4.114 herzustellen. Jones-Matrix-äquivalente Form der erweiterten Kohärenzmatrix. Ausgehend von der Definition der eingangsseitigen erweiterten Kohärenzmatrix im Frequenzbereich bei stationären ergodischen Prozessen, also von G G '* erw Z  jZ , (4.118) R in Din  jZ Din soll durch die Transformation G GV  jZ Din  jZ C in Din

(4.119)

mit der orthogonalen Transformationsmatrix C in eine zur Jones-Matrix 4.115 äquivalente Form abgeleitet werden. Dabei sollen die Nullen wie in 4.48 angeordnet sein und die nichtverschwindenden Matrixelemente nur gegenüber 4.114 andere Plätze im Sinne einer Vertauschung einnehmen. Im neuen Koordinatensystem beschreiben wir die Komponenten der elektGV G  jZ . Setzt man Din  jZ nach 4.119 in rischen Verschiebungsflussdichte mit dem Vektor Din 4.118 ein, so ergibt sich

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

165

GV G '*V erw Z C ' R in in Din  jZ Din  jZ C in  

Verw

R in

Z

erw Z C RVerw Z C' o R in in in in

(4.120)

Aufgelöst nach RVerw in Z , erhalten wir die gesuchte vertauschte eingangsseitige erweiterte Kohärenzmatrix ' erw RVerw in Z C in R in Z C in ,

(4.121)

wobei für GV G  jZ C'in Din  jZ Din

(4.122)

wegen der vorausgesetzten Orthogonalität von C in gilt. Um die orthogonale Transformation 4.121 ausführen zu können, wird die Matrix C in benötigt. Die Ermittlung von C in ist Gegenstand des Unterabschnittes 4.6.2.2.

4.6.2.2 Ableitung der Transformationsmatrix Die Bestimmung der orthogonalen Transformationsmatrix C in erfolgt durch direkte Berechnung aus erw C in RVerw in Z R in Z C in

(4.123)

erw Z nach 4.114 und mit R in

RVerw in Z

4 ˜ 'Z

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2 ¹

2

§ sin 2 M cos M sin M 0 ·¸ ¨ ¸ ¨ 0¸ cos 2 M ˜ ¨ cos M sin M ¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ ¨ © 

¹

(4.124)

Verw

R in 0

Somit gilt C in RVerw in 0

bzw.

erw C , R in 0 in

(4.125)

166

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül cos M sin M C13 · §¨ sin 2 M ¸ ¨ ¸ cos 2 M C23 ¸ ¨ cos M sin M ¨ ¸ ¨ C33 ¸¹ ¨ 0 0 © 0 0 · § C11 C12 §0 ¸¨ ¨ ¸¨ ¨ 2 cos M cos M sin M ¸ ¨ C21 C22 ¨0 ¸¨ ¨ 2 ¸ ¨C ¨ 0 cos M sin M sin M ¹ © 31 C32 ©

§ C11 C12 ¨ ¨ ¨ C21 C22 ¨ ¨C © 31 C32

0 ·¸ ¸ 0¸ ¸ ¸ 0¸ ¹ C13 · ¸ ¸ C23 ¸ ¸ C33 ¸¹ .

(4.126)

Aus 4.126 erhalten Sie die Gleichungen C11 sin 2 M  C12 cos M sin M 0, C11 cos M sin M  C12 cos 2 M 0, C23 cos 2 M  C33 cos M sin M

0,

C23 cos M sin M  C33 sin 2 M 0, C21 sin 2 M  C22 cos M sin M C21 cos 2 M  C31 cos M sin M ,

(4.127)

C21 cos M sin M  C22 cos 2 M C22 cos 2 M  C32 cos M sin M , C31 sin 2 M  C32 cos M sin M C21 cos M sin M  C31 sin 2 M , C31 cos M sin M  C32 cos 2 M C22 cos M sin M  C32 sin 2 M ,

mit den Lösungen C11

cos M , C12

 sin M , C13

C21

r cos M sin M , C22

C31

r sin 2 M , C32

(4.128)

0

r cos 2 M , C23

 sin M

r cos M sin M , C33

cos M ,

wenn man zusätzlich noch die Orthogonalisierung der Spaltenvektoren von C in durchführt. Ein mögliche Variante der orthogonalen Matrizen C in und C'in ist damit gegeben durch

C in

 sin M 0 · § cos M ¨ ¸ ¨ ¸ 2 cos M  sin M ¸ , ¨ cos M sin M ¨ ¸ ¨ sin 2 M ¸ cos M sin M cos M © ¹

(4.129)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

C'in

167

§ cos M cos M sin M sin 2 M ·¸ ¨ ¸ ¨ ¨  sin M cos 2 M cos M sin M ¸ ¸ ¨ ¸ ¨  sin M cos M ¸ ¨ 0 ¹ ©

(4.130)

C in und C'in können durch die schon beschriebene orthogonale RT-Zerlegung realisiert werden.

Mit C in und C 'in nach 4.129 und 4.130 erhalten Sie aus 4.121: § RV Z 0 · ¨ in ¸  Z RVerw ¨ ¸ in ¨ 0 ¸ 0 © ¹

(4.131)

mit 4 ˜ 'Z

RVin Z

§ sin 2 M cos M sin M ·¸ ¨ ˜¨ ¸ 2 Z  Zo · ¨ cos M sin M cos 2 M ¸¹ © 1  §¨ ¸  

© 'Z/ 2¹ V ˆ2 D o

(4.132)

R in 0

RVin Z nach 4.132 soll als Jones-Matrix-äquivalente Form der eingangsseitigen Kohärenz-

matrix im Frequenzbereich bezeichnet werden. Dabei wurde der Index V in allen die Kohärenzmatrizen betreffenden Gleichungen des Unterabschnittes 4.5.2 weggelassen.

4.6.2.3 Realisierung der Jones-Matrix-äquivalenten Transformation Eingangsseitige Jones-Matrix-äquivalente Transformation. Das optische System mit eingangsseitiger Jones-Matrix-äquivalenter Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix bei horizontaler Eingangspolarisation zeigt Bild 4-4. erw Z R in

RVerw out Z

RVerw in Z

op Q tisc ue he lle

M

Bild 4-4

Transformationsnetzwerk

optisches Netzwerk

C'in

J  j Z J erw

R in Z

RVin Z

J  j Z

optischer Detektor

RVout Z

Zur eingangsseitigen Jones-Matrix-äquivalenten Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

168

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

Wiener-Lee-Beziehungen. Bevor wir zu den Wiener-Lee-Beziehungen für das Bild 4-4 komGV  j Z als Funktion von Dzin  j Z her. Zumen, leiten wir eine einfache Gleichung für Din nächst gilt am Eingang des Systems nach Bild 4-4: D yin  j Z D zin  j Z cot M

(4.133)

und bei horizontaler Eingangspolarisation 0 · § ¸ ¨ G Din  jZ ¨ D yin  jZ ¸ ¸ ¨ ¨ D  jZ ¸ ¹ © zin

(4.134)

Mit 4.122 und 4.130 erhalten Sie bei Berücksichtigung von 4.133 und 4.134: GV  jZ Din

§ cos M sin M cot M  sin 2 M · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 ¨ cos M cot M  cos M sin M ¸ D zin  jZ , ¨ ¸ ¨  sin M cot M  cos M ¸ © ¹

§ 1 · ¸ ¨ GV Din  jZ ¨ cot M ¸ D zin  jZ ¸ ¨ ¨ 0 ¸ ¹ ©

(4.135)

Aus 4.135 folgt, dass die Eingangspolarisation des optischen Netzwerkes nach Bild 4-4 durch FVin

DVyin  jZ DVxin  jZ

cot M

(4.136)

mit GV  jZ Din

gegeben ist.

§ DV  jZ · ¸ ¨ xin ¸ ¨ V ¨ D yin  jZ ¸ ¸ ¨ V ¨ D zin  jZ ¸ ¹ ©

(4.137)

4.6 Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

169

Aus 0 · § RV Z 0 · § J '*  jZ § J  jZ 0 ·¸ ¸¨ ¨ ¸ ¨ in  Z RVerw out ¸ ¸¨ ¨ 0 Tz  jZ ¸¹ ¨© 0 Tz*  jZ ¹ 0¹ © 0 © § J  jZ RV Z J '*  jZ 0 · in ¨ ¸ ¨ ¸ 0 0¹ ©

(4.138)

§ RV Z 0 · ¨ out ¸ ¨ ¸ 0¹ © 0

folgt nun die Wiener-Lee-Beziehung RVout Z J  jZ RVin Z J '*  jZ

(4.139)

Mit RVin Z

§ DV  jZ · ¸ *V ¨ xin *V ¸ D xin  jZ , D yin  jZ ¨ V ¨ D yin  jZ ¸ ¹ ©





(4.140)

und 4.135 ergibt sich aus 4.139: § 1 · ¸ D  jZ D*  jZ ˜ 1, cot M J '*  jZ RVout Z J  jZ ¨ zin zin ¨ cot M ¸   

© ¹

(4.141)

R zin Z

Weiterhin folgt mit 4.115: § J 11  J 12 cot M · ¸ R Z J *  J * cot M , J *  J * cot M RVout Z ¨ 11 12 21 22 ¨ J  J cot M ¸ zin 22 ¹ © 21





(4.142)

22 Z ist gegeben durch Das Element Rout 22 Z Rout

2

J 21  J 22 cot M R zin Z 2

J 21  J 22 R zin Z cot 2 M cot M

(4.143)

2

J 21

 J 22 R zin Z cot 2 M V F in   

T  jZ

2

z   

R zout >Z@

Somit gilt die Wiener-Lee-Beziehung R zout Z

2

Tz  jZ R zin Z

(4.144)

170

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

für die spezielle Eingangspolarisation FVin

cot M . Außerdem wird der Zusammenhang

22 Z tan 2 M R zout Z Rout

(4.145)

aus 4.143 folgend bestätigt. Ausgangsseitige Jones-Matrix-äquivalente Transformation. Das optische System mit ausgangsseitiger Jones-Matrix-äquivalenter Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix bei horizontaler Eingangspolarisation zeigt Bild 4-5. erw Z R out

erw Z R in

RVerw out Z

op Q tisc ue he lle

M

Bild 4-5

optisches Netzwerk

Transformationsnetzwerk

J  j Z J erw

C'* out

R in Z

J  j Z

R out Z

optischer Detektor

RVout Z

Zur ausgangsseitigen Jones-Matrix-äquivalenten Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

Wiener-Lee-Beziehungen. Die Wiener-Lee-Beziehungen bei ausgangsseitiger Jones-Matrixäquivalenter Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix erhält man aus '* erw RVerw out Z C out R out Z C out

(4.146)

erw Z J J  jZ R erw Z J '* J  jZ R out in erw erw

(4.147)

und

einerseits zu '* J erw '* J RVerw out Z C out J erw  jZ R in Z J erw  jZ C out

(4.148)

und andererseits, wie aus 4.138 bekannt, in der Form J ' erw '* J RVerw out Z J erw  jZ C in R in Z C in J erw  jZ erw Z die Beziehungen Der Vergleich von 4.148 und 4.149 liefert bei beliebigem R in J C '* out J erw  jZ

J  jZ C ' J erw in

J J '* erw  jZ C out

J C in J '* erw  jZ

(4.149)

4.7 Aufgaben

171

J  jZ ist gemäß und nur für unitäres J erw

C'* out

J  jZ C' J '* J  jZ , J erw in erw

(4.150)

C out

J  jZ C J '* J  jZ J erw in erw

(4.151)

die Transformationsmatrix C out , selbst bei orthogonalem C in , i. A. unitär. Dadurch tritt bei der Realisierung nach Bild 4-5 gegenüber Bild 4-4 ein erhöhter Aufwand auf.

4.7 Aufgaben A 4.1 Die Beschreibung des Phasenrauschens ) t einer Laserdiode erfolgt mit dem komplexen stochastischen Prozess z t exp> j ) t @

(A 4.1)

Die Dichtefunktion f ' ) für die Phasenrauschdifferenz ') mit W t1  t 2 : f ')

ª  ') 2 º exp « » «¬ 2 ' Z W »¼ 2S' Z W 1

) t1  ) t 2 lautet

(A 4.2)

Dabei stellt ' Z die konstante Laserlinienbreite dar. Bestimmen Sie: a) die Kohärenzfunktion G t1 , t 2

z t1 z * t 2 ,

b) das Leistungsspektrum S Z . A 4.2 Gegeben sei eine Laserdiode mit dem optischen Sendesignal als Verschiebungsflussdichte in der Form § e x exp  j\ x · G ¸ ¨ ˆ Din t Do exp> j ) t @exp  j Zo t ¨ ¸ , ¨ e y exp  j\ y ¸ ¹ ©





(A 4.3)

mit ˆ D o

Feldamplitude

) t

Laserphasenrauschen

Zo

Mittenfrequenz

G e

§ e x exp  j \ x · ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ e y exp  j \ y ¸ ¹ ©





Polarisationseinheitsvektor.

Dabei soll die Laserdiode parallel an eine LWL angeschlossen sein. Bekannt sei die Transfermatrix des LWL in der Form:

172

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

T  jZ

mit W o

ZW · § §ZW ·  j sin §¨ o ·¸ ¸ ¨ cos ¨ o ¸ 2 © ¹ © 2 ¹¸ ¨ ¸ ¨ ZW ZW ¨¨  j sin §¨ o ·¸ cos §¨ o ·¸ ¸¸ © 2 ¹ © 2 ¹ ¹ ©

const .

Bestimmen Sie: a) die Frequenzdarstellung der Kohärenzmatrix R in Z der Laserdiode, b) die Kohärenzmatrix R out Z auf der Ausgangsseite des LWL, c) die Spur sp >R out Z @ , d) den Erwartungswert der Ausgangsintensität I out . Es gilt:

4 'Z

f

³

dZ

Z  Zo ·  f 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

2

(A 4.5)

2S

A 4.3 Die y-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte einer Laserdiode, die schräg unter dem Wnkel M auf der Eingangsseite eines LWL angeordnet ist, lautet: D yin t

> 

ˆ e exp  j Z t  ) t  \ D o y o y

@

(A 4.6)

Dabei gelten die Größenbezeichnungen wie in Aufgabe A 4.2. Der LWL besitze die Transformationsmatrix

T  jZ

mit ao

· § Z Wo º ªa ¸ ¨ exp « o  j 0 » 2 2 ¼ ¸. ¨ ¬ ¨ Z W o ·º ¸ ª § ao 0 exp «  ¨  j ¸ ¨ 2 ¸¹»¼ ¬ © 2 ¹ © const . und W o

(A 4.7)

const .

ao beschreibt die polarisationsabhängige Dämpfung und W o kennzeichnet die differenzielle Gruppenlaufzeit infolge Polarisationsmodendispersion.

Ermitteln Sie: a) die z-Komponente der Verschiebungsflussdichte D zin t am Eingang des LWL, b) die z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich am Eingang, d. h. R zin W , c) die z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich am Eingang, d. h. R zin Z , d) die z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich am Ausgang R zout Z , zu ermitteln aus der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich 4.64, wobei Gleichung L 4.6 für R in Z gelten soll,

4.7 Aufgaben

173

e) die z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich am Ausgang R zout Z , zu ermitteln aus der Wiener-Lee-Beziehung im Frquenzbereich 4.44, f) den Erwartungswert der z-Komponenten-Ausgangsintensität I zout . A 4.4 Auf der Grundlage der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich erw Z T d  jZ R erw Z T '* d  jZ R out erw in erw

(A 4.8)

ist mit

T derw  jZ

0 0 · § T x  jZ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ T y  jZ ¨ 0 ¸ ¨ ¨ 0 0 T z  jZ ¸¹ ©

(A 4.9)

und erw Z R in

erw R ino

4 ˜ 'Z

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

2

erw , R ino

2 § ex ¨ ¨ ¨ e x e y exp  j\ ¨ ¨ e e tan M exp  j\ ¨ x y ©

(A 4.10)

e x e y exp  j\ ey ey

2

2

tan M

e x e y tan M exp  j\ ·¸ ¸ 2 ¸ (A 4.11) e y tan M ¸ 2 ¸ 2 e y tan M ¸ ¹

erw Z bei horizontaler Eingangspolarisation, d. h. e die Diagonalisierung von R out x

und e y

0

cos M , durchzuführen.

Ermitteln Sie dazu: erw a) R outo

erw T '*d  jZ T derw  jZ R ino erw

(A 4.12)

in allgemeiner Form, erw für den Spezialfall b) R outo

ex

0, e y





cos M , T y  jZ T z  jZ , T z  jZ exp  J y L ,



T z*  jZ exp J y L

erw nach b) c) die Eigenwerte von R outo

d) die Eigenvektoren für die Eigenwerte nach c), e) die zugehörigen unitären Eigenvektoren und die Transformationsmatrizen B out sowie B'* out ,

174

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül derw und R derw Z f) Routo out

g) den Zusammenhang zwischen D zout  jZ D*zout  jZ

R zout Z

und d  R zout Z

d  *d  D zout jZ D zout jZ

4.8 Lösungen zu den Aufgaben L 4.1 a) G t1 , t 2

z t1 z * t 2 exp > j ) t1 @ exp > j ) t 2 @ exp > j ' ) @ f

³

exp > j ' ) @ f ' ) d ' )

f f

ª  ' )2 exp > j ' ) @ exp « «¬ 2 ' Z W 2S'Z W f 1

³

ª 'Z W º G t1 , t 2 exp «  » 2 ¼» ¬«

R W

b) f

S Z

³

f f

³

f 0

³

f f

R W exp  j Z W dW ª 'Z W exp «  2 ¬«

º » exp  j Z W dW ¼»

ª§ ' Z · º  j Z¸ W» dW exp «¨ 2 ¹ ¼ ¬©

ª § 'Z · º  exp «  ¨  j Z ¸ W» dW 2 ¹ ¼ ¬ ©

³

0

º » d ' ) »¼

(L 4.1)

4.8 Lösungen zu den Aufgaben S Z

4 ˜ 'Z

175

1 1  §¨ Z ·¸ © ' Z/ 2 ¹

(L 4.2)

2

L 4.2 a) G G '* t 2 Din t1 Din

G in t1 , t 2

2 § ex ¨ ¨ ¨ e x e y exp j \ x  \ y ©

>

ˆ 2 exp  j Z W exp > j ' ) @ ˜ D o o

> 

@

@

e x e y exp  j \ x  \ y ·¸ ¸ 2 ¸ ey ¹

,

(L 4.3)

ª 'Z W º exp «  » 2 ¼» ¬«

exp > j ' ) @

R in W G in t1 , t 2 G in t1  t 2

(L 4.4) ª º ˆ 2 exp  j Z W exp «  ' Z W » ˜ D o o 2 »¼ «¬

> 

@

2 § ex e x e y exp  j \ x  \ y ·¸ ¨ ¸ ¨ 2 ¸ ¨ e x e y exp j \ x  \ y ey ©  ¹

>

(L 4.5)

@

R ino

f

R in Z

³

R in W exp  j Z W dW

f

R in Z

4 ˜ 'Z

2 § ex ¨ ¨ Z  Zo · ¨ 1  §¨ ¸ e x e y exp j \ x  \ y © 'Z/ 2¹ ©

> 

ˆ2 D o

>

@

@

e x e y exp  j \ x  \ y ·¸ ¸ 2 ¸ ey ¹

(L 4.6) b)

R out Z T  j Z R in Z T '*  j Z R out Z

~11 §R ¨ out Z ¨~ ¨ R 21 Z © out

~12 Z ·¸ 4 Rout ˆ2 D o ˜ ¸ 'Z 2 ~ 22 ¸ Z  Zo · Rout Z ¹ 1  §¨ ¸ © 'Z/ 2¹

176

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül ~11 Z Rout

2

ex

§ ZW · cos 2 ¨ o ¸ © 2 ¹

§ ZW  2 e x e y sin \ x  \ y cos ¨ o © 2 2 § ZW ·  e y sin 2 ¨ o ¸ © 2 ¹



~12 Z Rout



· § ZW · ¸ sin ¨ o ¸ ¹ © 2 ¹

2º § ZW · § ZW · ª 2 j « e x  e y » cos ¨ o ¸ sin ¨ o ¸ ¬ ¼ © 2 ¹ © 2 ¹ § ZW ·  e x e y exp j \ x  \ y sin 2 ¨ o ¸ © 2 ¹

>

@

> 

 e x e y exp  j \ x  \ y

~ 21 Z Rout

~12* Z Rout

~ 22 Z Rout

ex

2

@ cos 2 §¨ Z2Wo ·¸ ©

¹

(L 4.7)

§ ZW · sin 2 ¨ o ¸ © 2 ¹

§ ZW · § ZW ·  2 e x e y sin \ x  \ y cos ¨ o ¸ sin ¨ o ¸ © 2 ¹ © 2 ¹ 2 § ZW ·  e y cos 2 ¨ o ¸ © 2 ¹





ˆ2 D o

>

c) 4 ˜ 'Z

sp >R out Z @

o

sp >R out Z @

@

~ ~ 22 Z R 11 Z  Rout      2 out Z  Zo · § 1 1 ¨ ¸ © 'Z/ 2¹ 4 ˜ 'Z

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

(L 4.8)

2

d) I out

1 2S

f

³

f

sp >R out Z @ dZ

ˆ2 4 f D o ˜ 2S ' Z

³

dZ Z  Zo · ¸ ' © Z/ 2¹

 f 1  §¨

2

 

2S

I out

ˆ2 D o

(L 4.9)

4.8 Lösungen zu den Aufgaben

177

L 4.3 a) D zin t D yin t tan M

>

ˆ e tan M exp j Z t  ) t  \ D o y o y

D zin t

@

(L 4.10)

b) D zin t1 D*zin t 2

G zin t1 , t 2

(L 4.11)

ˆ 2 e 2 tan 2 M exp  j Z W exp > j ' ) @ D o y o

mit W

t1  t 2 und ')

ª 'Z W º exp «  », 2 ¼» ¬«

exp > j ') @ G zin t1 , t 2 R zin W

) t1  ) t 2 ,

(L 4.12)

R zin W

(L 4.13)

º ª ˆ 2 e 2 tan 2 M exp « j Z W  ' Z W » D o y o 2 ¼» ¬«

(L 4.14)

c) f

R zin Z

³

R zin W exp  j Z W dW

f

ˆ 2 e 2 tan 2 M D o y R zin Z

f

ª 'Z W º exp «  » exp > j Z  Zo W@ dW 2 »¼ «¬ f

³

ˆ 2 e 2 tan 2 M 4 D o y 'Z

1 Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

(L 4.15)

2

d)

R out Z T  jZ R in Z T '* jZ , R in Z

4 ˜ 'Z

2 § ex ¨ ˜ 2 ¨ Z  Zo · ¨ e x e y exp j \ x  \ y § 1 ¨ ¸ © © 'Z / 2 ¹

> 

ˆ2 D o

>

@

@

e x e y exp  j \ x  \ y ·¸ ¸ 2 ¸ ey ¹

178

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül 4 ˜ 'Z

R out Z

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

2

˜

>

2 § e x exp ao ¨ ˜¨ ¨ e x e y exp  j Z W o  \ x  \ y ©

> 

@

e x e y exp j Z W o  \ x  \ y ·¸ ¸ 2 ¸ e y exp  ao ¹

@

(L 4.16)

R zout Z

22 Z tan 2 M Rout

R zout Z

ˆ 2 exp  a e 2 tan 2 M 4 ˜ D o o y 'Z

R zout Z

T z  j Z R zin Z ,

1 Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

(L 4.17)

2

e) 2

ª §a Z W o ·º T z  jZ exp «  ¨ o  j ¸» , 2 2 ¹¼ ¬ © T z  j Z

2

exp  ao , ˆ 2 e 2 tan 2 M 4 ˜ D o y 'Z

R zin Z

1 Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

ˆ 2 exp  a e 2 tan 2 M 4 ˜ D o o y 'Z

R zout Z

2

,

1 Z  Zo · 1  §¨ ¸ ' © Z/ 2¹

(L 4.18)

2

f) I zout

1 2S

f

³

R zout Z dZ

f

f ˆ 2 exp  a e 2 tan 2 M D o o y 4 ˜ 'Z 2S

³

dZ Z  Zo · ¸ ' © Z/ 2¹

 f 1  §¨

2

  

2S

o

I zout

ˆ 2 exp  a e 2 tan 2 M D o o y

(L 4.19)

4.8 Lösungen zu den Aufgaben

179

L 4.4 a) erw R outo 2 § T x e x T x* ¨ ¨ ¨ T y e x e y exp  j\ T x* ¨ ¨ T e e tan M exp  j\ T * ¨ z x y x ©

T x e x e y exp  j\ T y* 2

T y e y T y* Tz e y

2

tan M T y*

T x e x e y tan M exp  j\ T z* ·¸ ¸ 2 ¸ T y e y tan M T z* ¸ 2 ¸ 2 * T z e y tan M T z ¸ ¹

(L 4.20) b) 0 0 · §0 ¸ ¨ ¸ ¨ 2 cos M cos M sin M ¸ ¨0 ¸ ¨ ¨ 0 cos M sin M sin 2 M ¸¹ ©

erw R outo

erw R ino

(L 4.21)

c) 0

O

O

0

0

cos 2 M  O cos M sin M

0

cos M sin M

sin 2 M  O

cos 2 M  O cos M sin M cos M sin M

>

0

0

sin 2 M  O





O cos 2 M  O sin 2 M  O  cos 2 M sin 2 M ª º O «O2  cos 2 M  sin 2 M O »  

» « 1 ¬ ¼





@

0

0

O2 O  1 0

(L 4.22)

Eigenwerte: o O1

0 , O2

0 , O3

1

(L 4.23)

180

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

d) O1, 2

erw 0 : Rang R outo

1

§ x1, 2 · ¨ ¸ ¨ ¸ 2 0 cos M cos M sin M ¨ y1, 2 ¸ ¨ ¸ ¨ z1, 2 ¸ © ¹





0

(L 4.24)

G b2

x2 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨  z 2 tan M ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ z2 © ¹

(L 4.25)

Eigenvektoren: G b1

x1 § · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨  z1 tan M ¸ , ¨ ¸ ¨ ¸ z1 © ¹

O3

1:



erw  E Rang R outo



2

§ x3 · ¨ ¸ 0 0 §1 ·¨ ¸ ¨ ¸ y ¨ ¸ ¨ 3¸ 2 © 0  sin M cos M sin M ¹ ¨ ¸ ¨z ¸ © 3¹

§ 0· ¨ ¸ ¨ ¸ © 0¹

(L 4.26)

Eigenvektor: G b3

§ 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ z 3 ¨ cot M ¸ ¨ ¸ ¨ 1 ¸ © ¹

(L 4.27)

e) Unitäre Eigenvektoren: G n1

§1· ¨ ¸ G ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ; n2 ¨ ¸ ¨0¸ © ¹

§ 0 · ¨ ¸ G ¨ ¸ ¨  sin M ¸ ; n3 ¨ ¸ ¨ cos M ¸ © ¹

§ 0 · ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ cos M ¸ ¨ ¸ ¨ sin M ¸ © ¹

(L 4.28)

B'out

(L 4.29)

Transformationsmatrix:

B out

0 0 · §1 ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0  sin M cos M ¸ ¨ ¸ ¨ 0 cos M sin M ¸ © ¹

B'* out

4.8 Lösungen zu den Aufgaben

181

f) § O1 0 ¨ ¨ ¨ 0 O2 ¨ ¨0 0 ©

derw R outo

derw Z R out

derw Z R out

4 ˜ 'Z

4 ˜ 'Z

§ 0 0 0· ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 0 0¸ ¸ ¨ ¨ 0 0 1¸ ¹ ©

0· ¸ ¸ 0¸ ¸ O 3 ¸¹

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

2

ˆ2 D o Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

2

(L 4.30)

derw R outo

§ 0 0 0· ¸ ¨ ¸ ¨ ¨ 0 0 0¸ ¸ ¨ ¨0 0 1¸ ¹ ©

(L 4.31)

g) ˆ2 D o

d  R zout Z

4 ˜ 'Z

Gd  jZ Dout

G B'out Dout  jZ ,

(L 4.33)

D yout  jZ

(L 4.34)

H1

H3 :

§ D d  jZ · ¸ ¨ xout ¸ ¨ ¨ D dyout  jZ ¸ ¸ ¨ ¨¨ D d  jZ ¸¸ ¹ © zout

o

2

D zout  jZ cot M

· § 0 ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨ 0 ¸ ¨ ¨ D zout  jZ ¸ ¨ sin M ¸ ¹ ©

D zout  jZ

R zout Z

Z  Zo · 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

d  D zout jZ sin M

(L 4.32)

(L 4.35)

(L 4.36)

D zout  jZ D*zout  jZ d  jZ D* d  jZ sin 2 M D zout zout

o R zout

R zout Z

d R zout sin 2 M

ˆ 2 sin 2 M D 4 o ˜ 2 'Z Z  Z0 · 1  §¨ ¸ © 'Z / 2 ¹

(L 4.37) (L 4.38)

182

4 Erweiterter Kohärenzmatrizen-Kalkül

d  Gemäß L 4.36 kann mit D zout jZ D y" out  jZ festgestellt werden, dass die Diagonalisierung der ausgangsseitigen Kohärenzmatrix bei horizontaler Eingangspolarisation schon bei Verwendung der schrägen Komponente D y" out  jZ im x" , y" , z" -Koordinatensystem am Ausgang gegeben ist.

4.9 Literatur [4.1] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 2002 [4.2] Meyer, M.: Grundlagen der Informationstechnik. Signale, Systeme und Filter. Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 2002 [4.3] Weissmann, Y.: Optical Network Theory. Artech House, Boston, London 1992 [4.4] Franz, J.: Optische Übertragungssysteme mit Überlagerungsempfang. Springer-Verlag, Berlin 1988

183

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte über lineare optische Systeme

5.1 Determinierte Beschreibung 5.1.1 Zusammenschaltungsregeln Darstellung der z-KÜF. Man rechnet leicht nach, dass die z-KÜF T z in der Form G G T z T1 J T2

(5.1)

dargestellt werden kann. Dabei sind G T1 0,1 G T2

1 § · ¨ ¸ ' cos F M ¨ in ¸ ¨ ¸ 1 © ¹

(5.2)

die durch schräge Anregung und die Eingangspolarisation bestimmten Transformationsvektoren. Der Tabelle 2-2 in [5.1] entnimmt man die Regeln der Zusammenschaltung optischer Netzwerke auf der Grundlage der Jones-Matrizen. Darauf aufbauend ergeben sich für die Reihen-, Parallel- und Rückkopplungsschaltung folgende Regeln für die Übertragungsfunktionen der zKomponenten. Reihenschaltung. Bei Reihenschaltung gilt für die Gesamtübertragungsfunktion Tz

T z 2 ˜ T z1

(5.3)

Beweis durch Multiplikation der Jones-Matrizen: G G G G T z T1 J T2 T1 J 2 J 1 T2 2 § J 11 ¨ 0,1 ¨ ¨J 2 © 21

2 ·§ 1 J 12 ¸ ¨ J 11 ¸¨ 2 ¸¨ 1 J 22 ¹ © J 21

1 1 ·§ · J 12 ¸ ¸¨ ' cos F M ¸ ¸ ¨ in ¸ J 122 ¸¹ ¨© 1 ¹

1 · § J 11 1 ¸ 2 2 ¨ J 21  J 22  J 12 ¸ ¨ F' in cos M ¹ ©

T z1

J 121  J 122 F' in cos M

· § J 121 ¨  J 122 ¸ ¸ ¨ F' in cos M ¹ ©

184

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte 1 J11 1  J12 F'in cos M

Tz1 F'out1 cos M

2 § · J 21 2 ¸T ¨  J 22 ¨ F'out1 cos M ¸ z1 © ¹

Tz

Tz 2

2 J 21 2  J 22 F'out1 cos M

o Tz

T z 2 ˜ T z1

Der Signalflussgraph für die Reihenschaltung ist im Bild 5-1a dargestellt. Tz1

Dzin

Tz 2

Dzout1

Dzin 2

Dzout

a)

Tz1 Dzout

Dzin

Dzout1  Dzout 2

Tz

 Tz 2

b)

Dzin

Dzout

Tz 2 Tz1

Dzout

Dzin

c)

Bild 5-1

Signalflussgraphen für die z-KÜF a) Reihenschaltung b) Parallelschaltung c) Rückkopplungsschaltung

Aufgabe A5.1 behandelt die Multiplikation der z-KÜF am Beispiel der Reihenschaltung zweier LWLs bei Berücksichtigung von Dämpfung, Gruppenlaufzeit und Modenkopplung für den Spezialfall der Anregung mit den Eigenpolarisationen. Parallelschaltung. Für die Parallelschaltung erhalten wir Tz

T z1  T z 2

(5.4)

5.1 Determinierte Beschreibung

185

Beweis durch Addition der Jones-Matrizen: G G G G T z T1 J T2 T1 J 1  J 2 T2 G G G G T1 J 1 T2  T1 J 2 T2 G G T z1 T1 J 1 T2 G G T z 2 T1 J 2 T2 Tz

o

T z1  T z 2

Der zugehörige Signalflussgraph ist im Bild 5-1b gezeigt. Aufgabe A5.2 behandelt die Parallelschaltung zweier LWLs mit unterschiedlichen Laufzeiten, wie sie in faseroptischen Interferometern zum Einsatz kommt. Rückkopplungsschaltung. Der Signalflussgraph für die Rückkopplungsschaltung ist im Bild 5-1c dargestellt. Zur Ableitung der Gesamt-z-KÜF benutzen wir aus Gründen des geringeren Rechenaufwandes die aus dem Signalflussgraphen resultierende Gleichung D zout

T z1 D zin  T z 2 D zout

(5.5)

Aus 5.5 ergibt sich die Gesamtübertragungsfunktion für die Rückkopplungsschaltung Tz

D zout D zin

T z1 1  Tz 2

(5.6)

Aufgabe A 5.3 behandelt ein Beispiel zur Rückkopplung.

5.1.2 Erzeugung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Eingang Bezug nehmend auf die Koordinatensysteme im Bild 2-6 lässt sich die z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Eingang durch Schrägstellung der Laserdiode gegenüber dem nachfolgenden optischen Netzwerk erzeugen [5.2], [5.3], [5.4]. Zur exakten Einhaltung der Modenanregungsbedingungen nach Tabelle 3.1 schaltet man zwei Laserdioden zur Erzeugung des E0 - und H 0 -Modes im Tandembetrieb nach Bild 3-1 zusammen. Wie vorstehend beschrieben, muss bei einem symmetrischen oder hermiteschen Dielektrizitätstensor ein Transformationsnetzwerk zur Diagonalisierung dieses Tensors zwischen Laserdiode und optisches Netzwerk eingefügt werden [5.4], [5.5], [5.6].

5.1.3 Elimination der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Ausgang 5.1.3.1

Grundprinzip

Zur alleinigen Signalübertragung mit den z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte über lineare optische Netzwerke ist deren Elimination aus dem Gesamtfeld am Ausgang notwendig. Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß mit so genannten z-KomponentenAnalysatoren gelöst [5.2], [5.3], [5.4], [5.7].

186

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Vom Grundprinzip her, muss die erweiterte Jones-Matrix dazu die Gestalt d J erw

§0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0

0· ¸ 0¸ 1 ¸¹

0 0

(5.7)

haben. Bei Einbeziehung der Eigenschaften von dielektrischen Grenzschichten gilt für die Transfermatrix des z-Komponenten-Analysators T erw

§0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0

0· ¸ 0¸ 9 ¸¹

0 0

(5.8)

mit 9 z 0 . Vom theoretischen Standpunkt betrachtet, sind also zur Realisierung von z-KomponentenAnalysatoren alle Zusammenschaltungen optischer Bauelemente geeignet, die auf die Matrizen 5.7 und 5.8 führen.

5.1.3.2

z-Komponenten-Analysator

Als Beispiel für einen faseroptischen z-Komponenten-Analysator sei das Bild 5-2 betrachtet. Dieser Analysator besteht aus einem E0 -Polarisator mit den Hauptbrechzahlen n x , n y , n z , der zwischen isotropen LWLs mit den Brechzahlen n1 und n3 angeordnet ist, und einer erfindungsgemäßen Ringphotodiode mit innerem isotropen Medium der Brechzahl n 4 . Den rechten Abschluss des z-Komponenten-Analysators (ZKA) bildet eine ideal leitende Schicht oder ein optischer Isolator zum Schutz der Ringphotodiode gegenG einfallendes G G Fremdlicht. Im Bild 5-2 ist außerdem die gewünschte Lage der Wellenvektoren k1 , k 3 und k 4 unter den Winkeln M1 , M 3 und M 4 für die zugehörigen analytischen Signale in den einzelnen Medien eingetragen. Eine analoge Betrachtung gilt für die Signalanteile, die unter den Winkeln M1 , M 3 und M 4 laufen und im Medium mit n 4 zu einem analysierten Signal in entgegengesetzter Richtung zum eingetragenen führen. Damit nur die z-Komponenten der Signalanteile mit M 4 und M 4 von der Ringphotodiode empfangen werden, müssen folgende Dimensionierungsbedingungen für den ZKA gelten: 1. n x

n1 sin M1 ,

2. n1

ny

3. n 4

n3 sin M 3

nz

n3

o M1

o M4

M3

M,

(5.9)

S 2

Aus 2.102, 2.108, 2.128, 2.145, 2.151 und 2.169 folgen mit 5.9 die Transfermatrizen für die Grenzschichten im ZKA nach 5.10. T Tai

§2 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 1 0

0· ¸ 0 ¸ , T Tia 1 ¸¹

§0 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 1 0

0· ¸ 0 ¸ , T Tii 1 ¸¹

§2 ¨ ¨0 ¨0 ©

0 0 0

0· ¸ 0¸ 2 ¸¹

(5.10)

y

z

n1

Bild 5-2 Aufbau eines z-Komponenten-Analysators [5.4], [5.7]

x

LWL-Kern

LWLMantel

isotroper LWL

z

nx ny nz n3

z

E o - Polarisator

z

analysiertes Signal

n4

Ring-Photodiode optischer Isolator oder ideal leitende Schicht

5.1 Determinierte Beschreibung 187

188

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Zusammen mit der erweiterten Jones-Matrix des E0 -Polarisators §0 ¨ ¨0 ¨0 ©

d J erw

0 1 0

0· ¸ 0¸ 1 ¸¹

(5.11)

ergibt sich für die erweiterte Transfermatrix T erw des ZKA nach Bild 5-2: d T Tii T Tia J erw T Tai

T erw o

§0 ¨ ¨0 ¨0 ©

T erw

0

0· ¸ 0¸ 2 ¸¹

0 0

(5.12)

Mit 9 2 z 0 liegt tatsächlich ein ZKA im Bild 5-2 vor. Mit 2.177 , 2.178 und 5.12 folgt im Medium 4 des ZKA nach Bild 5-2: Ex4

0 o H y4

H z4

0

E y4

0 o H x4

f  y z f  z ,

(5.13)

g  y ,

Ez4

d. h., die verbleibenden Feldkomponenten H x 4 und E z 4 sind nur Funktionen von y. Somit erhalten Sie aus 2.177: w Ez4 wy 

 j Z P o H x4 ,

(5.14)

j ZH4 E z 4

(5.15)

w H x4 wy

und damit die Wellengleichung w 2 E z4 w y2

 Z2 P o H 4 E z 4

(5.16)

0

Die Lösung von 5.16 lautet mit den Konstanten A und B: E z4

>

@

>

A exp jZ P o H 4 y  B exp  jZ P o H 4 y

@

(5.17)

Gleichung 5.17 wird in 5.14 eingesetzt und ergibt H x4



A Z o4

>

@

exp jZ P o H 4 y 

B exp  jZ P o H 4 y Z o4

>

@

(5.18)

Mit dem Feldwellenwiderstand Z o 4 , der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und der Dielektrizitätskonstanten H 4 , ausgedrückt durch die Brechzahl n 4 , gemäß Z o4

1 n4

Po Ho

Zo , n4

c

1 Po Ho

,

H4

H o n 42 ,

5.1 Determinierte Beschreibung

189

erhalten Sie die Lösungen für das Feld im Medium 4: E z4

ª Z A exp « j n 4 ¬ c

H x4

n4

Z ª º y »  B exp « j n 4 c ¬ ¼

Z B ª exp « j n 4 Zo c ¬

º y» ¼

A º ª Z y »  n4 exp « j n 4 Zo ¼ ¬ c

(5.19) º y» , ¼

(5.20)

Die Konstanten A und B ermittelt man aus der Grenzschichtbedingung zwischen Medium 3 und Medium 4 des ZKA nach Bild 5-2. Aus ii TzT Dz 3 2 H3 E z 3

Dz 4 H4 E z 4

2 Dz 3

H o n 42 und H 3

folgt mit H 4

H o n32 :

n2 2 3 Ez3 n42

Ez4

(5.21)

Im Medium 3 folgen mit 1 n3

Z o3

Zo ; n4 n3

Po Ho

(5.22)

n3 sin M

und 2.200 die Feldkomponenten

Ez3

ª ª Z Eˆ z 3 exp  j E y L « exp « j n4 ¬ c ¬

H x3







º ª Z y »  exp «  j n4 c ¼ ¬

Eˆ z 3 exp  j E y L ª ª Z « exp « j c n4 Zo3 ¬ ¬





ºº y »» , ¼¼

º ª Z y »  exp «  j n4 c ¼ ¬

ºº y »» , ¼¼

wenn sich die Grenzschicht zwischen Medium 3 und Medium 4 am Ort z

(5.23)

(5.24) L befindet. Wegen

2

§n · Z n4 1  ¨ 3 ¸ sin 2 M c n4 ¹ ©  

Ey

0

(5.25)

1

und 5.21 bis 5.24 ergeben sich mit A § n3 ¨¨ © n4

2 Eˆ z 3

sin 2 M · ¸¸ ¹

2

, B

1 sin 2 M

2 Eˆ z 3 sin 2 M

,

(5.26)

(5.27)

190

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

die Feldverteilungen im Medium 4: Eˆ z 3

§Z sin ¨ n4 ©c sin M

Ez4

4j

Ez4

§Z 2 j Eˆ z 4 sin ¨ n4 ©c

H x4



H x4

2

· y¸ , ¹

· y¸ , ¹

(5.28)

4 Eˆ z 3

§Z · cos ¨ n4 y ¸ , ©c ¹ Zo 4 sin M



2

2 Eˆ z 4 §Z cos ¨ n4 Zo4 ©c

· y¸ ¹

(5.29)

Damit erhalten Sie die Feldvektoren als Links- und Rechtswelle in der Form G ª Z ºG ª Z º G E z 4 Eˆ z 4 exp « j n4 y » ez  Eˆ z 4 exp «  j n4 y »   ez c c ¬  ¼  ¬   ¼

  G G Linkswelle EZ 4

G H x4

(5.30)

Re chtswelle EZ 4

n4 Eˆ z 4 n Eˆ ª Z º G ª Z º G exp « j n4 y »  ex  4 z 4 exp «  j n4 y »   ex Zo c Zo c ¬  ¼ ¬ ¼ 

 

G G Linkswelle H x4

(5.31)

Re chtswelle H x4

Die zugehörigen komplexen Poynting-Vektoren werden definiert für die x Linkswelle in der Form: G G 1 G S p E z 4 u H x4* 2 x Rechtswelle in der Darstellung: G G 1 G S p E z 4 u H x4* 2

(5.32)

(5.33)

Sie lauten mit den Feldvektoren aus 5.30 und 5.31: x Linkswelle: G S p

n4 Eˆ z24 G e y 2 Zo





(5.34)

x Rechtswelle: G S p

n4 Eˆ z24 G ey 2 Zo

Zur Ableitung des Photostromes i ph betrachten wir die Ringphotodiode nach Bild 5-3.

(5.35)

5.1 Determinierte Beschreibung

191

G dF

D G Sp

dD

dr UK

L y

Bild 5-3

G

G

Ringphotodiode mit Poynting-Vektor S p und differenziellen Flächenelement dF

G G Der Photostrom i ph ergibt sich durch Integration der Poynting-Vektoren S p und S p über

jeweils eine halbe Zylindermantelfläche. Mit der Photoempfindlichkeit S E gilt:

i ph

ª SE « ¬

³

F 2

G G S p ˜ dF 

³

F 2

G Lº S p ˜ dF » ¼

(5.36)

Für das Flächenelement dF gilt laut Bild 5-3: dF

L dr , dr

o

dF

U K dD

(5.37)

U K L dD

Somit wird aus 5.36 mit 5.37 und 5.34, 5.35: i ph

n4 S E Eˆ z24 U K L Zo

S 2

³

cos D d D

(5.38)

 S2

  

2

o

i ph

2 n4 S E Eˆ z24 U K L Zo

Damit liegt das Empfangssignal in Form des Photostromes i ph vor.

(5.39)

192

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

5.2 Stochastische Beschreibung Grundbeziehungen. Am Beispiel stationärer ergodischer Prozesse sollen Zusammenschaltungsregeln unter stochastischen Bedingungen angegeben werden, die auf der Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich 2

R zout Z

T z  jZ R zin Z

(5.40)

basieren. Wegen D zin  jZ D*zin  jZ , R zout Z

R zin Z

D zout  jZ D*zout  jZ

folgen die im Bild 5-4 dargestellten Zusammenschaltungsbedingungen.

Tz1

Rzin

2

Tz 2

Rzout1

2

Rzout

Rzin 2

a)

T z1

2

R zin

Tz

R zout

 Tz 2

b)

Tz 2

Tz1

Rzin

2

2

2

Rzout

c)

Bild 5-4

Signalflussgraphen für die Betragsquadrate der z-KÜF a) Reihenschaltung b) Parallelschaltung c) Rückkopplungsschaltung

Rzin

2

Rzout

5.2 Stochastische Beschreibung

193

Reihenschaltung. Bei Reihenschaltung gilt nach Bild 5-4a: Tz

2

2

Tz 2

Tz1

2

(5.41)

Beweis: Wegen D zin 2

D zout1 gilt D zin 2 D*zin 2

R zin 2

D zout1 D*zout1

R zout1

und somit erhalten wir 2

Rzout

2

Tz 2 Rzin 2

Tz 2 Rzout1

2

Mit Rzout1

Tz1 Rzin folgt

Rzout

Tz 2 Tz

o

2

2

2

Tz1 Rzin

Tz 2

2

Tz1

Tz

2

Rzin

2

Parallelschaltung. Bei Parallelschaltung ergibt sich mit Bild 5-4b; Tz

2

2

2

Tz1  Tz 2  2 Tz1 Tz 2 cos  M z1  M z 2

Beweis: Wegen D zout

D zout1  DZout 2

D*zout

D*zout1  D*zout 2

gilt D zout D*zout

R zout

D zout1

2

 D zout 2

2

 2 D zout1 D zout 2 cos M zout1  M zout 2 .

Mit den Winkeln

M zout1

M z1  M zin

M zout 2

M z 2  M zin

und Dzout1

Tz1 Dzin

Dzout 2

Tz 2 Dzin , Rzin

Dzin

2

erhält man weiter Rzout

ª T 2  T 2  2 T T cos  M  M º ˜ D 2 z2 z1 z 2 z1 z 2 »¼ zin «¬ z1 TZ

o

Tz

2

2

Rzin . 2

2

Tz1  Tz 2  2 Tz1 Tz 2 cos  M z1  M z 2

(5.42)

194

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Rückkopplungsschaltung. Bei Rückkopplungsschaltung erhält man mit Bild 5-4c: Tz

Tz1

2

2

1  2 Tz 2 cos M z 2  Tz 2

(5.43)

2

Beweis: Wegen Dzout

Tz1 Dzin , 1  Tz 2

D*zout

2

Tz1

Tz*1

1  Tz*2

D*zin

gilt Dzout

o

Tz

2

1  2 Tz 2 cos M z 2  Tz 2 Tz1

2

2

Dzin

2

Rzout

Tz

2

Rzin

2

1  2 Tz 2 cos M z 2  Tz 2

2

Die Aufgaben A 5.4 bis A 5.6 beschäftigen sich mit den eben bewiesenen Formeln für die Zusammenschaltung optischer Bauelemente unter stochastischen Bedingungen.

5.3 Aufgaben A 5.1 Für die Reihenschaltung zweier LWLs mit den Jones-Matrizen

J1

§ J1 ¨ 11 ¨ J1 © 21

1 · J12 ¸ 1 ¸ J 22 ¹

§ § a1  jZW1 · § a1  jZW1 · · ¸  sinh ¨ ¸¸ ¨ cosh ¨ 2 2 © ¹ © ¹¸ ¨ ¨ a j a j  ZW  ZW § 1 1 · cosh § 1 1· ¸ ¨  sinh ¨ ¸ ¨ ¸¸ 2 2 © ¹ © ¹¹ ©

(A 5.1)

J2

§ J2 ¨ 11 ¨J2 © 21

2 · J12 ¸ 2 ¸ J 22 ¹

§ § a2  jZW2 · § a2  jZW2 · · ¸  sinh ¨ ¸¸ ¨ cosh ¨ 2 2 © ¹ © ¹¸ ¨ ¨ § a2  jZW2 · § a2  jZW2 · ¸ ¨  sinh ¨ ¸ cosh ¨ ¸¸ 2 2 © ¹ © ¹¹ ©

(A 5.2)

ist bei Anregung des optischen Netzwerkes durch die Eigenpolarisationen die Gesamtz-KÜF zu bestimmen: a) Methode 1:

Multiplikation der Jones-Matrizen,

b) Methode 2:

Multiplikation der z-KÜF.

A 5.2 Für die Parallelschaltung zweier LWLs mit den Jones-Matrizen J1

§ J1 ¨ 11 ¨ J1 © 21

1 · J12 ¸ 1 ¸ J 22 ¹

§ 1 0· exp   jZW1 ¨ ¸ ©0 1¹

(A 5.3)

5.4 Lösungen zu den Aufgaben

J2

§J2 ¨ 11 ¨ ¨J2 © 21

2 · J12 ¸ ¸ 2 ¸ J 22 ¹

195

§ 1 0· ¸ exp  jZ W 2 ¨ ¨ ¸ © 0 1¹

(A 5.4)

ist bei Anregung des optischen Netzwerkes mit horizontaler Eingangspolarisation die Gesamt-z-KÜF zu ermitteln: a) Methode 1:

Addition der Jones-Matrizen,

b) Methode 2:

Addition der z-KÜF.

A 5.3 Für die Rückkopplungsschaltung zweier LWLs mit den Jones-Matrizen nach den Gleichungen A 5.3 und A 5.4 ist die Gesamt-z-KÜF zu berechnen nach: a) Methode 1:

Multiplikation der Jones-Matrizen,

b) Methode 2:

Rückkopplungsformel.

Die Eingangspolarisation sei dabei horizontal. A 5.4 Für zwei optische Bauelemente mit den z-KÜF Tz1

ª a  jZW1 º exp «  1 »¼ , Tz 2 2 ¬

ª a  jZW2 º exp «  2 »¼ 2 ¬

ist die Gesamtübertragungsfunktion Tz Bedingungen zu berechnen, nach

2

(A 5.5)

bei Reihenschaltung unter stochastischen

a) Methode 1:

Reihenschaltungsformel 5.3,

b) Methode 2:

Betragsformel 5.41.

A 5.5 Zwei optische Bauelemente besitzen die z-KÜF Tz1

exp   jZW1 , Tz 2

exp   jZW2

(A 5.6)

Bestimmen Sie die Gesamtübertragungsfunktion Tz gen für die Parallelschaltung nach a) Methode 1:

Parallelschaltungsformel 5.4,

b) Methode 2:

Betragsformel 5.42.

2

unter stochastischen Bedingun-

A 5.6 Zwei optische Bauelemente besitzen die z-KÜF nach Gleichung A 5.6. Ermitteln Sie die Gesamtübertragungsfunktion Tz nach a) Methode 1:

Rückkopplungsformel 5.6,

b) Methode 2:

Betragsformel 5.43.

2

für die Rückkopplung mit Tz 2

196

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

5.4 Lösungen zu den Aufgaben L 5.1 a) Methode 1: J

Multiplikation der Jones-Matrizen

J 2 J1

§ J11 ¨J © 21

J12 · J 22 ¸¹

§ ª a1  a2  jZ  W1  W2 º ª a1  a2  jZ  W1  W2 º · ¨ cosh « »  sinh « »¸ 2 2 ¬ ¼ ¬ ¼¸ ¨ ¨   Z W  W   Z W  W a a j a a j ª 1 2  1 2 º  1 2 º ¸¸ ¨  sinh ª« 1 2 cosh » « »¸ ¨ 2 2 ¬ ¼ ¬ ¼¹ ©

(L 5.1)

Eigenpolarisationen: J 21  J 22 F'e cos M J11  J12 F'e cos M

F'e cos M

o

F'e1,2 cos M

F'e1,2 cos M Tz Tz r

1 2 J12

ª « J 22  J11 r ¬

 J 22  J11 2  4 J12 J 21 º» ¼

(L 5.2) (L5.3)

r1

J 21  J 22 F'e cos M ª a  a  jZ  W1  W2 º ª a1  a2  jZ  W1  W2 º cosh « 1 2 » r sinh « » 2 2 ¬ ¼ ¬ ¼

o Tz r

ª a  a  jZ  W1  W2 º exp « r 1 2 » 2 ¬ ¼

für F'e2 ,1 cos M b) Methode 2:

(L 5.4)

B1

Multiplikation der z-KÜF

Tz1r

1 J 21 1  J 22 F'e2 ,1 cos M

Tz1r

ª a  jZ W1 º exp « r 1 »¼ 2 ¬

Tz 2 r

2 J 21 2  J 22 F'out cos M

ª a  jZ W1 º ª a  jZ W1 º r sinh « 1 cosh « 1 » »¼ 2 2 ¬ ¼ ¬

(L 5.6)

5.4 Lösungen zu den Aufgaben

F'out cos M

197

1 F' J 121  J 22 e2 ,1 cos M 1  J 1 F' J11 12 e2 ,1 cos M a  jZW1 º a  jZ W1 º B cosh ª 1  sinh ª 1 2 2 «¬ »¼ «¬ »¼ a jZ W1 º a  jZW1 º r sinh ª 1 cosh ª 1 2 «¬ 2 »¼ «¬ »¼ B 1 F'e2 ,1 cos M

ª a  jZ W2 º ª a  jZW2 º r sinh « 2 cosh « 2 » »¼ 2 2 ¬ ¼ ¬ ª a  jZW2 º exp « r 2 »¼ 2 ¬

Tz 2 r Tz 2 r

o

Tz r

Tz 2 r Tz1r

für F'e2 ,1 cos M

(L 5.7)

(L 5.8)

ª a  a  jZ  W1  W2 º exp « r 1 2 » 2 ¬ ¼ (L 5.9)

B1

L 5.2 a) Methode 1:

J

Addition der Jones-Matrizen

J1  J 2

§ J11 ¨J © 21

Tz

J 21  J 22 F'in cos M

o

Tz

b) Methode 2:

J12 · J 22 ¸¹

§1 0· ª¬ exp   jZW1  exp   jZW2 º¼ ¨ ¸ ©0 1¹

(L 5.10)

J 22

exp   jZW1  exp   jZW2

(L 5.11)

Addition der z-KÜF

Tz1

1 J 21 1  J 22 F'in cos M

exp   jZW1

(L 5.12)

Tz 2

2 J 21 2  J 22 F'in cos M

exp   jZW2

(L 5.13)

o

Tz

Tz1  Tz 2

exp   jZW1  exp   jZW2

(L 5.14)

198

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

L 5.3 a) Methode 1:

Multiplikation der Jones-Matrizen

§ J11 ¨J © 21

J

 E  J 2 1 J 1

J

exp   jZW1 § 1 0 · ¨ ¸ 1  exp   jZW2 © 0 1 ¹

Tz

J 21  J 22 F'in cos M

o

Tz

b) Methode 2:

J12 · J 22 ¸¹ (L 5.15)

J 22

exp   jZW1 1  exp   jZW2

(L 5.16)

Rückkopplungsformel

Tz1

1 J 21 1  J 22 F'in cos M

Tz 2

2 J 21 2  J 22 F'out cos M

exp   jZW1 exp   jZW2

(L 5.17)

(L 5.18)

mit F'out cos M o f Tz

o

Tz1 1  Tz 2

exp   jZW1 1  exp   jZW2

(L 5.19)

L 5.4 a) Methode 1: Tz Tz

ª a  a  jZ  W1  W2 º exp «  1 2 » 2 ¬ ¼

Tz 2 Tz1 2

exp ª¬   a1  a2 º¼

b) Methode 2: Tz

Reihenschaltungsformel

2

(L 5.20) (L 5.21)

Betragsformel Tz 2

2

Tz1

2

(L 5.22)

Tz1

2

exp > a1 @

(L 5.23)

Tz 2

2

exp > a2 @

(L 5.24)

Tz

2

exp ¬ª   a1  a2 ¼º

(L 5.25)

5.4 Lösungen zu den Aufgaben

199

L 5.5 a) Methode 1: Tz

Tz

Tz

Parallelschaltungsformel

Tz1  Tz 2

2

2

2

2

(L 5.28)

2 ª¬1  cos  ZW1 cos  ZW2  sin  ZW1 sin  ZW2 º¼

(L 5.29)

2 ª¬1  cos ª¬ Z  W1  W2 º¼ º¼

(L 5.30)

Betragsformel 2

Tz1

2

Tz1  Tz 2  2 Tz1 Tz 2 cos  M z1  M z 2

(L 5.31)

Tz 2

(L 5.32)

Tz

o

(L 5.27)

ª¬ cos  ZW1  cos  ZW2 º¼  ª¬ sin  ZW1  sin  ZW2 º¼ 2

b) Methode 2: Tz

exp >  jZW1 @  exp >  jZW2 @

2

1 , M z1

ZW1 , M z 2

2 ¬ª1  cos ª¬ Z  W1  W2 º¼ ¼º

ZW2

(L 5.33)

L 5.6 a) Methode 1:

Rückkopplungsformel

Tz

Tz1 1  Tz 2

(L 5.34)

Tz

exp >  jZW1 @ 1  exp >  jZW2 @

(L 5.35)

Tz

2

Tz

2

1 2

ª¬1  cos  ZW2 º¼  sin 2  ZW2 1 2 ª¬1  cos  ZW2 º¼

b) Methode 2: Tz

o

(L5.37)

Betragsformel Tz1

2

Tz1

(L 5.36)

2

1  2 Tz 2 cos M z 2  Tz 2 Tz 2 Tz

2

1 , Mz2

ZW2

1 2 ª¬1  cos  ZW2 º¼

2

(L 5.38) (L 5.39) (L 5.40)

200

5 Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

5.5 Literatur [5.1] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Ein systemtheoretischer Zugang. Vieweg Verlag, Braunschweig/Wiesbaden 2002 [5.2] Thiele, R.; Benedix, W. S.: Schaltungsanordnung eines optischen Nachrichtensystems zur Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte und deren Auswertung mittels z-Komponenten-Analysator auf der Empfangsseite. Erfindungsmeldung 1, Hochschule Zittau/Görlitz (FH), 19.12.2003 [5.3] Thiele, R.; Benedix, W. S.: Schaltungsanordnung eines optischen Nachrichtensystems zur Übertragung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte und deren Auswertung mittels z-Komponenten-Analysator auf der Empfangsseite. Offenlegungsschrift, Deutsches Patent- und Markenamt, DE 10327881A1 2005.01.05, Anmelderin: Hochschule Zittau/Görlitz (FH), DE. [5.4] Thiele, R.; Benedix, W. S.; Nette, R.: Einrichtung und Verfahren zur Übertragung von Lichtsignalen in Lichtwellenleitern. PCT-Anmeldung PCT/DE 2004/002734, 09.12.2004, Anmelderin: Hochschule Zittau/Görlitz (FH) DE. [5.5.] Thiele, R.; Nette, R.: Schaltungsanordnung zur Transformation optischer Netzwerke auf Diagonalform. Erfindungsmeldung 3, Hochschule Zittau/Görlitz (FH), 03.01.2004 [5.6] Thiele, R.: Verfahren und Schaltungsanordnung zur RT-Zerlegung einer orthogonalen Transformationsmatrix für die Überführung optischer Netzwerke in die Diagonalform. Erfindungsmeldung 6, Hochschule Zittau/Görlitz (FH), 01.04.2005 [5.7] Thiele, R.; Benedix, W. S.: Schaltungsanordnung eines z-Komponenten-Analysators zur Auswertung der z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte. Erfindungsmeldung 2, Hochschule Zittau/Görlitz (FH), 19.12.2003

201

6 Klassifizierung optischer Netzwerke

6.1 Streumatrix Definition. Zur vollständigen Beschreibung linearer zeitinvarianter optischer Netzwerke definieren wir die Streumatrix S im Frequenzbereich durch Aout  jZ

S  jZ Ain  jZ (6.1)   jZ die Hyper-Jones-Vektoren dar, die sich aus den dreidiDabei stellen Aout  jZ und A in mensionalen Jones-Vektoren an den einzelnen Toren eines N-Tores zusammensetzen. Es gilt also Bild 6-1 und G G G ' Aout  jZ A'out1  jZ , A'out 2  jZ ," , A'outN  jZ (6.2) G G G ' jZ Ain  A'in1  jZ , A'in 2  jZ ," , A'inN  jZ .









G Ain1  jZ G Aout1  jZ G Ain 2  jZ G Aout 2  jZ

G AinN  jZ G AoutN  jZ Bild 6-1

Ain  jZ

N-Tor



S

#

Aout  jZ

N-Tor S

N-Tor

Die Streumatrix besitzt erweiterte Jones-Matrizen als Elemente, in der Hauptdiagonale Reflexionsmatrizen an den einzelnen Toren und außerhalb der Hauptdiagonale Transmissionsmatrizen zwischen den Toren. Dabei sind die erweiterten Jones-Matrizen dreidimensional, als 3x3Matrix, anzusetzen. Es gilt:

S

§ J 11 ¨J ¨ 21 ¨ # ¨ © J N1

J 12 J 22 #

J 1N " J 2N % # J N 2 " J NN "

· ¸ ¸ ¸ ¸ ¹.

(6.3)

202

6 Klassifizierung optischer Netzwerke

Auf der Grundlage von 6.1 bis 6.3 werden nun weitere Eigenschaften linearer zeitinvarianter optischer Netzwerke als N-Tore definiert.

6.2 Verlustlosigkeit, Passivität, Aktivität Verlustlosigkeit. Ein optisches N-Tor-Netzwerk heißt verlustlos, wenn gilt

^

'*  Re Aout Aout

`

^

'*  Re Ain Ain

`

(6.4)

Dabei bezeichnet Re den Realteil der entsprechenden Größen. Aus 6.4 folgt mit 6.1:

^

'* ª Re Ain E  S'* S º Ain ¬ ¼

`

0

(6.5)

6.5 ist allgemein nur erfüllt, wenn die Streumatrix unitär ist:

S'* S

E

(6.6)

Beispiel 6.1: Für die spezielle Streumatrix

S

§ 0 ¨ ¨J © erw

J 'erw · ¸ 0 ¸¹

(6.7)

ergibt sich aus S'* S

· J '* erw ¸ § 0 ¨ 0 ¸¹ ¨© J erw

§ 0 ¨ ¨ J* © erw

J 'erw · ¸ 0 ¸¹

§E ¨0 ©

0· E ¸¹

(6.8)

die Unitaritätsbedingung J '* erw J erw

(6.9)

E

der erweiterten Jones-Matrix J erw . Aufgabe A 6.1 behandelt ein Beispiel für eine verlustlose optische Komponente. Passivität. Ein optisches N-Tor-Netzwerk heißt passiv, wenn gilt

^

`

^

'*  '*  Re Aout Aout d Re Ain Ain

`

(6.10)

Dann ergibt sich mit 6.1:

^

`

'* E  S'* S A  t0 Ain in

(6.11)

Aus 6.11 folgt für die Formenmatrix E  S'* S , dass ihre Hauptabschnittsdeterminanten sämtlich größer gleich Null sein müssen.

6.3 Reziprozität [6.1]

203

Beispiel 6.2: Für die spezielle S-Matrix 6.7 müssen die Hauptabschnittsdeterminanten von E  S '* S

§ E  J '* J erw erw ¨ ¨ 0 ©

· ¸ E  J *erw J 'erw ¸¹ 0

(6.12)

sämtlich größer gleich Null sein. Ein Beispiel dazu findet man in Aufgabe A 6.2. Aktivität. Ein optisches N-Tor-Netzwerk heißt aktiv, wenn es nicht passiv ist. Beispiel 6.3: Die Streumatrix eines aktiven 2-Tor-Netzwerkes besitze die Gestalt S

§ 0 ¨J © erw

0· 0 ¸¹

(6.13)

mit J erw

§1 0 0· exp ª¬  g  jE L º¼ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨0 0 1¸ © ¹

(6.14)

und g > 0. In der Lösung der Aufgabe A 6.3 findet sich der Beweis für die Aktivität dieses 2-Tores.

6.3 Reziprozität [6.1] Definition. Ein optisches N-Tor-Netzwerk heißt reziprok, wenn gilt '  Aout 1 Ain 2

'  Ain 1 Aout 2

(6.15)

für Aout1,2

S Ain1,2

(6.16)

Durch Einsetzen von 6.16 in 6.15 ergibt sich ' '  Ain 1 S Ain 2

'  Ain 1 S Ain 2 ,

(6.17)

was für beliebige Eingangssignale nur für S'

S

(6.18)

erfüllt ist. Die Streumatrix S muss bei reziproken optischen Komponenten symmetrisch sein. Beispiel 6.4: Gleichung 6.7 kennzeichnet wegen ihrer Symmetrie die Streumatrix einer speziellen reziproken optischen Komponente. Definition. Ein optisches N-Tor-Netzwerk heißt nichtreziprok, wenn es nicht die Reziprozitätsdefinition 6.15 erfüllt bzw. nicht 6.18 gilt. Reziproke N-Tore werden auch als übertragungssymmetrische N-Tore bezeichnet.

204

6 Klassifizierung optischer Netzwerke

6.4 Reflexionsfreiheit Definition. Ein optisches N-Tor-Netwerk heißt reflexionsfrei, wenn gilt: J QQ

0 für alle Q

(6.19)

Beispiel 6.5: Laut Lösung L 6.5 sind der anisotrope und isotrope LWL sowie der faseroptische Verstärker reflexionsfrei, wenn sie, wie vorausgesetzt, zwischen gleichartigen LWLs betrieben werden.

6.5 Symmetrie 2M-Tor. Ein N-Tor-Netzwerk lässt mit N = 2M die Zerlegung in M-Eingangstore und M-Ausgangstore gemäß Bild 6-2 zu. Ain I

§ S II ¨ ¨ S II I ©

S Aout I Bild 6-2

S I II · ¸ S II II ¸ ¹

Ain II

Aout II

2M-Tor

Definition. Ein 2M-Tor heißt torsymmetrisch, wenn gilt: Aout

§ AoutI · ¨ ¸ © AoutII ¹

E · § AoutI · ¨ ¸ V Aout 0 ¸¹ © AoutII ¹

§0 ¨E ©

(6.20)

und Ain

§ AinI · ¨ ¸ © AinII ¹

§0 ¨E ©

E · § AinI · ¨ ¸ V Ain 0 ¸¹ © AinII ¹

Dann folgt mit der Streumatrix § S II ¨ ¨ S II I © die Bedingung S

Aout

S Ain

S I II · ¸ und V S II II ¸ ¹

§0 ¨E ©

E· 0 ¸¹

V S V Ain

(6.21)

(6.22)

Gleichung 6.22 ist für beliebige Eingangssignale Ain nur erfüllt, wenn gilt: S V SV

(6.23)

Äquivalent zu 6.23 ist die Forderung: § SI I ¨ ¨ S II I ©

S I II · ¸ S II II ¸ ¹

§ S II II ¨ ¨ S I II ©

S II I · ¸ SI I ¸ ¹

(6.24)

6.6 Aufgaben

205

Aufgabe A 6.5 behandelt u. A. die Torsymmetrie.

6.6 Aufgaben A 6.1 Ein anisotroper LWL sei durch seine erweiterte Jones-Matrix § exp  J L 0 x ¨ ¨ 0 exp J y L ¨ ¨ 0 0 ©



J erw

· ¸ ¸ 0 ¸ exp J y L ¸ ¹ 0





(A 6.1)



mit Z 2 n x  n12 sin 2 M c

Jx

j

Jy

§n · Z j n y 1  ¨ 1 ¸ sin 2 M c © nz ¹

(A 6.2)

2

(A 6.3)

charakterisiert. Zeigen Sie, dass dieser LWL für reelle Brechzahlen n1 , n x , n y , n z verlustlos ist. A 6.2. Ein isotroper LWL werde durch die erweiterte Jones-Matrix J erw

§1 0 0· exp ª¬   D  jE L º¼ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨0 0 1¸ © ¹

(A 6.4)

mit der Dämpfungskonstanten D ! 0 und der Phasenkonstanten E beschrieben. Zeigen Sie, dass dieser LWL für D z 0 eine passive optische Komponente darstellt. A 6.3 Ein faseroptischer Verstärker wird durch die erweiterte Jones-Matrix J erw

§1 0 0· exp ª¬ g  jE L º¼ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨0 0 1¸ © ¹

(A 6.5)

mit g ! 0 beschrieben. Zeigen Sie, dass der Verstärker eine aktive optische Komponente darstellt, wenn für ihn die Streumatrix-Darstellung S

§ 0 ¨J © erw

0· 0 ¸¹

(A 6.6)

gilt. A. 6.4 Untersuchen Sie die optischen Bauelemente nach den Aufgaben A 6.1 bis A 6.3 auf Reziprozität, indem Sie die Bedingung an die Streumatrix S auswerten. A 6.5 Sind die optischen Bauelemente aus den Aufgaben A 6.1 bis A 6.3 a) reflexionsfrei, b) torsymmetrisch?

206

6 Klassifizierung optischer Netzwerke

6.7 Lösungen zu den Aufgaben L 6.1

J erw

J '* erw

§ exp  J L 0 x ¨ ¨ 0 exp J y L ¨ ¨ 0 0 ©



§ exp  J L 0 x ¨ ¨ 0 exp J y L ¨ ¨ 0 0 ©

· ¸ ¸ 0 ¸ exp J y L ¸ ¹





· ¸ ¸ 0 ¸ exp J y L ¸ ¹ 0





0





(L 6.1)



Unitaritätsbedingung: J '* erw J erw

E

(L 6.2)

§ exp J L 0  x ¨ ¨ 0 exp J y L ¨ ¨ 0 0 © § 1 0 0· ¨ 0 1 0¸ ¨ ¸ ¨0 0 1¸ © ¹



· § exp J L 0  x ¸¨ ¸¨ 0 0 exp J y L ¸¨ exp J y L ¸ ¨ 0 0 ¹© 0







· ¸ ¸ 0 ¸ exp J y L ¸ (L 6.3) ¹ 0









L 6.2 E  J '* erw J erw

0 0 § 1  exp > 2DL @ ¨ 0 1  exp > 2DL@ 0 ¨ ¨ 0 0 1  exp > 2DL @ ©

· ¸ ¸ ¸ ¹

(L 6.4)

E  J *erw J 'erw

0 0 § 1  exp > 2DL @ ¨ 0 1  exp > 2DL @ 0 ¨ ¨ 0 0 1  exp > 2DL @ ©

· ¸ ¸ ¸ ¹

(L 6.5)

6.7 Lösungen zu den Aufgaben

207

Hauptabschnittsdeterminanten: D1 1  exp > 2 DL @ ! 0 ½ ° ° D2 D12 ! 0 ° D3 D13 ! 0 °° für D ! 0 ¾ D4 D14 ! 0 ° ° D5 D15 ! 0 ° ° 6 D6 D1 ! 0 °¿

(L 6.6)

o Der isotrope LWL mit D ! 0 ist passiv. L 6.3 Es werden die Hauptabschnittsdeterminanten von E  S'* S

§ E  J '* J erw erw ¨¨ 0 ©

0· ¸ E ¸¹

(L 6.7)

hinsichtlich Passivität untersucht. Es gilt: E  J '* erw J erw

§1 0 0· 1  exp > 2 gL@ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨0 0 1¸ © ¹

(L 6.8)

mit g ! 0 . Hauptabschnittsdeterminanten: D1 1  exp > 2 gL @  0 ½ ° ° D2 D12 ! 0 ° D3 D13  0 °° ¾ für g > 0 3 D4 D1  0 ° ° 3 D5 D1  0 ° ° 3 D6 D1  0 °¿

(L 6.9)

Das betrachtete N-Tor-Netzwerk ist gemäß L 6.9 aktiv, weil nicht alle Hauptabschnittsdeterminanten größer gleich Null sind.

208

6 Klassifizierung optischer Netzwerke

L 6.4 Anisotroper LWL:

S

0 §0 ¨ 0 ¨0 ¨ 0 ¨0 ¨ ¨ exp  J x L 0 ¨ exp J y L ¨0 ¨ ¨0 0 © S ' o reziprok





0

exp  J x L 0

0

0

exp J y L

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



exp J y L



0





· ¸ 0 ¸ ¸ exp J y L ¸ ¸ 0 ¸ ¸ 0 ¸ ¸ ¸ 0 ¹





(L 6.10) Isotroper LWL:

S

§0 ¨0 ¨ ¨0 exp ª¬   D  jE L º¼ ¨ ¨1 ¨0 ¨ ©0

0 0 1 0 0· 0 0 0 1 0 ¸¸ 0 0 0 0 1¸ ¸ 0 0 0 0 0¸ 1 0 0 0 0¸ ¸ 0 1 0 0 0¹

(L 6.11)

S ' o reziprok

Faseroptischer Verstärker: §0 ¨0 ¨ ¨0 S exp ª¬ g  jE L º¼ ¨ ¨1 ¨0 ¨ ©0 z S ' o nichtreziprok

0 0 0 0 0· 0 0 0 0 0 ¸¸ 0 0 0 0 0¸ ¸ 0 0 0 0 0¸ 1 0 0 0 0¸ ¸ 0 1 0 0 0¹

(L 6.12)

L 6.5 a) Anisotroper und isotroper LWL sowie faseroptischer Verstärker sind wegen J 11

J 22

§ 0 0 0· ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ © ¹

in L 6.10 bis L 6.12 hier reflexionsfrei.

(L 6.13)

6.8 Literatur

209

b) Anisotroper LWL (L 6.10): SI I

S II II

§ 0 0 0· ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ © ¹

(L 6.14)

§ exp J L 0  x ¨ S I II S II I ¨ 0 exp J y L ¨ ¨ 0 0 © o torsymmetrisch



· ¸ ¸ 0 ¸ exp J y L ¸ ¹ 0







Isotroper LWL (L 6.11): SI I

S II II

§ 0 0 0· ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ © ¹

(L 6.15)

§ 1 0 0· exp ª¬   D  jE L º¼ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨0 0 1¸ © ¹ o torsymmetrisch S I II

S II I

Faseroptischer Verstärker (L 6.12): SI I

S II II

§ 0 0 0· ¨ 0 0 0¸ ¨ ¸ ¨ 0 0 0¸ © ¹

§ 0 0 0· §1 0 0· ¨ ¸ S I II ¨ 0 0 0 ¸ z exp ª¬  g  jE L º¼ ¨¨ 0 1 0 ¸¸ ¨ 0 0 0¸ ¨0 0 1¸ © ¹ © ¹ o nicht torsymmetrisch.

(L 6.16)

S II I

6.8 Literatur [6.1] Newcomb, R. W.: Linear Multiport Synthesis. Mc Graw-Hill Book Company, New York, San Francisco, St. Louis, Toronto, London, Sydney 1966

210

7 z-Komponenten-Eigenanalyse

7.1 Verfahren der z-Komponenten-Eigenanalyse 7.1.1 Änderung des Dielektrizitätstensors Einführung. Wir nehmen nun an, dass sich die Übertragungseigenschaften eines LWL durch interne und externe Effekte ändern. Interne Effekte sind nichtzirkularer Kern und Mantel sowie Zugspannungen. Seitliche mechanische Beanspruchungen, Faserbiegungen und -torsionen bilden externe Effekte. Die Änderung der Übertragungseigenschaften eines LWL wird durch einen geänderten Dielektrizitätstensor vermittelt. Hier soll nur die gleichmäßige Schwankung des Dielektrizitätstensors H um den Schwankungsparameter a ! 0 untersucht werden, die zu einem geänderten Tensor

H'

(7.1)

aH

führt. Charakteristische Gleichungen. Zur Untersuchung der Auswirkungen eines schwankenden hermiteschen Dielektrizitätstensors auf seine Eigenwerte und Eigenvektoren betrachten wir die charakteristischen Gleichungen x vor der Schwankung O 3  H xx  H yy  H zz O 2





2 2· § 2  ¨ H xx H yy  H xx H zz  H yy H zz  H xy  H xz  H yz ¸ O © ¹

^

H xx H yy H zz  2 Re H xy H*xz H yz H xx H yz

2

 H yy H xz

2

`

 H zz H xy

2

(7.2)

0

x nach der Schwankung O' 3  a H xx  H yy  H zz O' 2





2 2· § 2  a 2 ¨ H xx H yy  H xx H zz  H yy H zz  H xy  H xz  H yz ¸ O' © ¹ 2 2 ª 2  a 3 « H xx H yz  H yy H xz  H zz H xy ¬

^

`

H xx H yy H zz  2 Re H xy H*xz H yz º »¼

0.

(7.3)

7.1 Verfahren der z-Komponenten-Eigenanalyse

211

Aus 7.3 folgt mit a ! 0 : 3

§ O' · § O' · ¨ ¸  H xx  H yy  H zz ¨ ¸ ©a¹ ©a¹





2

2 2 · § O' · § 2  ¨ H xx H yy  H xx H zz  H yy H zz  H xy  H xz  H yz ¸ ¨ ¸ © ¹© a ¹

 H xx H yz

2

 H yy H xz

2

 H zz H xy

^

 H xx H yy H zz  2 Re H xy H*xz H yz

`

(7.4)

2

0

Durch Vergleich von 7.4 mit 7.2 ergibt sich die Verschiebung der Eigenwerte des Dielektrizitätstensors bei seiner gleichmäßigen Schwankung gemäß O'

(7.5)

aO

Die Eigenvektoren ermittelt man aus: x vor der Schwankung G G H  O E n 0

(7.6)

x nach der Schwankung G G  H'  O ' E n' 0

(7.7)

Durch Einsetzen von 7.1 und 7.5 in 7.7 erhalten Sie G G  a H  a O E n' 0 G G o  H  O E n' 0

(7.8)

Durch Vergleich von 7.8 mit 7.6 ergibt sich als mögliche Wahl der Eigenvektoren vor und nach der Schwankung G G n' n (7.9) Damit folgt das wichtige Resultat: Die Änderung von H braucht nur in den Eigenwerten O ' a O berücksichtigt werden, nicht G G aber in den unitären Transformationsmatrizen, die den hermiteschen Tensor H' wegen n' n auf seine Diagonalform transformieren.

7.1.2 Eigenwertänderung in der diagonalen erweiterten Jones-Matrix Eigenwerte vor der Schwankung. Die Eigenwerte in den Eigenfunktionen der diagnonalen erweiterten Jones-Matrix eines anisotropen LWL sind:





x

H o -Mode :

Jx

jZ Po H x  H1 sin 2 M

x

Eo -Mode :

Jy

§ H · jZ Po H y ¨ 1  1 sin 2 M ¸ © Hz ¹

(7.10) (7.11)

212

7 z-Komponenten-Eigenanalyse

Eigenwerte nach der Schwankung. Die Schwankungswerte H' x

a H x , H' y

a H y , H' z

a H z , H '1

(7.12)

a H1

führen mit den Eigenwerten nach der Schwankung





x

H o -Mode :

J'x

jZ Po H' x  H'1 sin 2 M

x

Eo -Mode :

J' y

§ H' · jZ Po H' y ¨ 1  1 sin 2 M ¸ H ' z © ¹

(7.13) (7.14)

auf x

J'x



jZ a Po H x  H1 sin 2 M

J'x

x



(7.15 b)

a Jx § H · jZ a Po H y ¨ 1  1 sin 2 M ¸ © Hz ¹

J' y J' y

(7.15 a)

(7.16 a) (7.16 b)

a Jy .

Umrechnung auf Frequenzänderung. Die Verschiebung in den Eigenwerten 7.15a und 7.16a kann als Frequenzänderung Z'

a Z Z  'Z

(7.17)



(7.18)

mit 'Z



a 1 Z

aufgefasst werden.

7.1.3 z-Komponenten-Eigenanalyse Jones-Matrix-Eigenanalyse. Wie in [7.1] dargestellt, bestimmt die Jones-Matrix-Eigenanalyse die differenzielle Gruppenlaufzeit infolge Polarisationsmodendispersion (PMD) am Ende eines langen LWL. PMD ist als ein für die übertragbare Bitrate begrenzender Effekt unerwünscht. z-Komponenten-Eigenanalyse. Führt man die Signalübertragung letztendlich nur mit den zG Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte D durch, so wird der für die PMD mitbestimmende Anteil des Eigenwertes in der Eigenfunktion der z-KÜF nur als Anteil für die so genannte chromatische Dispersion wirksam. Die chromatische Dispersion kann mit FaserBragg-Gittern (FBG) eliminiert werden [7.1]. Der Ansatz für die z-Komponenten-Eigenanalyse ist durch Dzout ª¬ j  Z  'Z º¼

exp  jN'Z Dzout  jZ

mit dem komplexen Eigenwert N gegeben.

(7.19)

7.1 Verfahren der z-Komponenten-Eigenanalyse

213

Aus 7.19 folgt d Dzout  jZ dZ

j N Dzout  jZ

(7.20)

d Tz  jZ d Dzin  jZ , Dzin  jZ  Tz  jZ dZ dZ wenn noch der Zusammenhang mit der z-KÜF Tz  jZ : Dzout  jZ Tz  jZ Dzin  jZ

(7.21)

Berücksichtigung findet. Da voraussetzungsgemäß Änderungen des Ausgangssignals Dzout  jZ nur von den optischen Komponenten abhängig sein sollen, gilt für die Änderung des Eingangssignals Dzin  jZ , d Dzin  jZ

0

dZ

(7.22)

Somit wird aus 7.20 bis 7.22 das Eigenwertproblem: N

j

T ' z  jZ Tz  jZ

(7.23)

Dabei bedeutet T ' z  jZ

d Tz  jZ dZ

(7.24)

die erste Ableitung von Tz  jZ nach Z . Rekursionsformel. Mit der Eigenfunktion exp ª J N L º des N-ten Teils der mit (N–1) Tei¬ y N¼ len in Reihe geschaltet ist und die die resultierende z-KÜF TzN 1  jZ besitzen, erhält man für die Reihenschaltung aller N-Teile: TzN  jZ

exp ª J N L º T N 1  jZ ¬ y N¼ z

(7.25)

Die erste Ableitung von 7.25 ist: Tz' N  jZ

d JN y

LN exp ª J N L º T N 1  jZ ¬ y N¼ z dZ L º T ' N 1  jZ .  exp ª J N ¬ y N¼ z 

(7.26)

Mit NN

T ' N  jZ j z TzN  jZ

(7.27)

erhalten Sie aus 7.25 und 7.26 die Rekursionsformel zur Bestimmung der Eigenwerte der z-Komponenten-Eigenanalyse in der Form

214

7 z-Komponenten-Eigenanalyse

NN

j

d JN y

LN  N N 1 ,

dZ

(7.28)

wobei die Initialbedingungen Tzo  jZ 1 und

No

(7.29)

0

lauten. Wie aus 7.28 ersichtlich, benötigt man die erste Ableitung von J N y nach Z Z y . Unter Bed Jy rücksichtigung der Tabelle 3-9 sind in Tabelle 7-1 die Werte für die wichtigsten optidZ schen Bauelemente zusammengestellt. Aus Tabelle 7-1 zieht man die Schlussfolgerung, dass in die Eigenwerte N N die effektiven Brechzahlen n1 cos M y bzw. die effektiven Absorptionszahlen n"1 cos M y maßgeblich neben den jeweiligen Längen LN der Bauelemente eingehen. Dabei wurden die Größen n1 , n"1 , M y , LN als konstant vorausgesetzt. Tabelle 7-1

Eigenwerte und ihre erste Ableitung für optische Bauelemente



LWL n1

ny

nz



j

E0 -Polarisator

O -Platte 4

O -Platte 2

Verstärker

d Jy

Jy

Bauelement

j j

j

Zy c

Zy

Zy c

d Zy

n1 cos M y

n1 cos M y

j

m 2S L

n1 cos M y

c Zy 8 mx j n2 cos M y c 4 my  2 Zy

n1 cos M y c Zy 8 mx j n2 cos M y c 8my  4



Zy c

j

n"1 cos M y

j

j

n1 cos M y c

n1 cos M y c

j

m 2S Zy L

n1 cos M y c 8 mx n j 2 cos M y c 4 my  2

j

n1 cos M y c n2 8 m x j cos M y c 8my  4



n"1 cos M y c

7.3 Aufgaben

215

7.2 Schlussfolgerungen aus Anwendersicht Wie die z-Komponenten-Eigenanalyse optischer Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke laut Abschnitt 7.1 zeigt, ist die Übertragung mit den z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte ein effektives Verfahren zur Elimination von Polarisationsmodendispersionen (PMD) und polarisationsabhängiger Dämpfung (PDL) in hochbitratigen Übertragungssystemen. Das trifft auch für die Lösung des Übertragungsproblems unter Rauscheinflüssen zu. Die Voraussetzungen für die Anwendung dieses Verfahrens sind 1. 2.

Schräge Anregung des optischen Netzwerkes mit ebenen Wellen, G Elimination der Transversalkomponenten von D im z-Komponenten-Analysator (ZKA) am Ausgang,

3.

Transformation der erweiterten Jones-Matrix auf Diagonalform, falls erforderlich,

4.

Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix auf Diagonalform, falls erforderlich.

Bitte beachten Sie auch die Aufgaben A 7.1 bis A 7.3, die weitere Erkenntnisse offenbaren.

7.3 Aufgaben A 7.1 Bekannt sei der Fortpflanzungskoeffizient J N y  Z für die Reihenschaltung mit dem N-ten Systemelement in der Form JN y  Z

D N  Z  jE N  Z

mit D N  Z

Dämpfungskoeffizient,

E N  Z

Phasenkoeffizient.

(A 7.1)

Leiten Sie eine Formel zur Berechnung der sich ändernden z-Komponente der Verschiebungsflussdichte Dzout ª¬ j  Z  'Z º¼ bei einem gleichmäßig schwankenden Dielektrizitätstensor ab. Benutzen Sie dazu die bekannten Fortpflanzungskoeffizienten der Systemelemente J ny

Dn  Z  j E n  Z

für

1d n d N .

(A 7.2)

A 7.2 Ermitteln Sie das Ausgangssignal Dzout ( t ) , wenn gilt: ˆ ( t )exp > j Z t @ , D zin o

(A 7.3)

Dzout ( j a Z ) Tz ª¬ j a Zº¼ Dzin  jZ ,

(A 7.4)

Tz ( j a Z ) exp ª¬  j a ZWG º¼ .

(A 7.5)

Dzin ( t )

Dabei bedeuten: a Schwankungsparameter eines hermiteschen Dielektrizitätstensors, WG konstante Gruppenlaufzeit, Zo Mittenfrequenz der das optische System schräg anregenden Laserdiode.

216

7 z-Komponenten-Eigenanalyse

A 7.3 Ausgehend von der Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers wird in Anhang A 5 seine z-KÜF in der Form ª g L 1   Z  Z 2 W2 º o o» Tz  jZ | exp « o « 2 1   Z  Z 2 W2 » o o¼ ¬

(A 7.6)

hergeleitet. Bestimmen Sie: a)

den Eigenwert N der z-Komponenten-Eigenanalyse bei einer Frequenzverschiebung 'Z Z  Zo





a  1 Zo

(A 7.7)

a Zo ,

mit Z

wobei a der Schwankungsparameter ist, b)

die spezielle z-KÜF

Dzout ª¬ j  Zo  'Z º¼

Tz  j 'Z

Dzin  jZo

(A 7.8)

für kleine Frequenzverschiebungen 'Z  Zo .

7.4 Lösungen zu den Aufgaben L 7.1 j NN

d JN y

j N N 1 

d JN y dZ

LN

(L 7.1)

D ' N  Z  j E ' N  Z

(L 7.2)

j NN

j N N 1  ª¬ D' N  Z  j E ' N  Z º¼ LN

(L 7.3)

j NN



dZ

N

¦ ª¬D'n  Z  j E'n  Z º¼ Ln

(L 7.4)

n 1

N

Dzout  jZ

– exp ª¬ J n  Z Ln º¼ Dzin  jZ

n 1 N

– exp ª¬  ª¬Dn  Z  j En  Z º¼ Ln º¼ Dzin  jZ

n 1

ª N º Dzout  jZ exp «  ¦ ¬ª Dn  Z  j En  Z ¼º Ln » Dzin  jZ «¬ n 1 »¼

(L 7.5)

7.4 Lösungen zu den Aufgaben

217

exp > j N N 'Z@ Dzout  jZ

Dzout ¬ª j  Z  'Z ¼º

­° N ½° ª¬ Dn  Z  D'n  Z 'Z  j En  Z  E 'n  Z 'Z ¼º Ln ¾ Dzin  jZ exp ®  °¯ n 1 °¿

¦

(L 7.6)

'Dn  Z | D'n  Z 'Z

(L 7.7)

'En  Z | E 'n  Z 'Z

(L 7.8)

­° N ½° ª¬ Dn  Z  'Dn  Z  j En  Z  'E n  Z º¼ Ln ¾ Dzin  jZ Dzout ª¬ j  Z  'Z º¼ | exp ®  ¯° n 1 ¿°

¦

(L 7.9) Diskussion: Ein schwankender Dielektrizitäts- und ein ebenfalls schwankender Leitfähigkeitstensor führen bei gleichmäßiger Änderung auf eine Frequenzverschiebung 'Z und damit auf einen geänderten Phasenkoeffizienten En  Z  'En  Z und einen geänderten Dämpfungskoeffizienten Dn  Z  'Dn  Z in jeder Stufe n des optischen Übertragungssystems. Die Änderungen 'Dn  Z und 'En  Z müssen mit einem faseroptischen Verstärker bzw. einem Faser-BraggGitter ausgeglichen werden. L 7.2 Mit A 7.3 gilt: f

Dzin  jZ

ˆ  t exp ª  j  Z  Z t º dt D zin o ¼ ¬

³

(L 7.10)

f

ˆ D zin ª¬ j  Z  Zo º¼

o Dzin  jZ

(L 7.11)

Mit A 7.4 und A 7.5 folgt: Dzout  t

1 2S 1 2S

f



f f

³

f

Substitution: :

(L 7.12)







ˆ ª º D zin ª¬ j  Z  Zo º¼ exp ¬ jZ t  a WG ¼ d Z Z  Zo , d :

1 2S

o Dzout  t



Dzout j a Z exp > jZt @ d Z

³

f

³

f

(L 7.13)

dZ





ˆ  j: exp ª j: t  a W º d : ˜ D zin G ¼ ¬



˜ exp ª jZo t  a WG º ¬ ¼

(L 7.14)

218

7 z-Komponenten-Eigenanalyse









ˆ ª º D zin t  a WG exp ¬ jZo t  a WG ¼

o Dzout  t

(L 7.15)

mit



ˆ D zin t  a WG



1 2S

f



³

f



ˆ  j: exp ª j: t  a W º d : D zin G ¼ ¬

(L 7.16)

Diskussion: Die zeitlichen Schwankungen gemäß a WG im Ausgangssignal Dzout  t nach L 7.15 müssen mit einem Faser-Bragg-Gitter ausgeglichen werden. L 7.3 a)

Tz  jZ

T ' z  jZ

b)

ª g L 1   Z  Z 2 W2 º o o» exp « o « 2 1   Z  Z 2 W 2 » o o¼ ¬



2 go L  Z  Zo Wo2 ª1   Z  Z 2 W2 º o o» «¬ ¼

T  j Z 2 z

T ' z  jZ Tz  jZ

N

j

N

j 2 go L

N

j 2 go L

Tz  j 'Z Tz  j 'Z

(L 7.17)

(L 7.18)

(L 7.19)

 Z  Zo Wo2 ª1   Z  Z 2 W2 º o o» ¬« ¼ 'Z Wo2 ª1  'Z2 W2 º o¼ ¬

2

(L 7.20)

2

Dzout ª¬ j  Zo  'Z º¼

(L 7.21)

Dzin  jZo Dzout ª¬ j  Zo  'Z º¼ Dzout  jZo Dzout  jZo Dzin  jZo    

exp > j N 'Z@

Tz  jZo

ª g Lº exp > j N 'Z@ ˜ exp « o » ¬ 2 ¼ ª º « go L » 'Z2 Wo2  2 go L exp « » 2 « 2 ª1  'Z2 W2 º » o¼ » ¬ ¬« ¼

(L 7.22)

7.5 Literatur

219

Tz  j 'Z

ª 2 2 2º « go L 1  'Z Wo » exp « 2» « 2 1  'Z2 W2 » o »¼ ¬«

 



(L 7.23)

Diskussion: 1. Bei 'Z 0 ergibt sich die gewünschte Verstärkung Tz  j 'Z 0

2. Bei 'Z

ª g Lº exp « o » ¬ 2 ¼

(L 7.24)

1 ist die Verstärkung auf Wo

§ 1 · Tz ¨ j 'Z r j ¸ 1 Wo ¹ ©

(L 7.25)

abgesunken.

7.5 Literatur [7.1] Thiele, R.: Optische Nachrichtensysteme und Sensornetzwerke. Vieweg Verlag Braunschweig/Wiesbaden 2002 [7.2] Bjarklev, A.: Optical Fiber Amplifiers. Design and Systems Applications. Artech House, Boston, London 1993

220

8 Anwendungsbeispiel: Faseroptischer Stromsensor Im Anhang A 6 ist ein faseroptischer Stromsensor beschrieben, der auf der dargestellten Theorie beruht. Dabei spielt das Kompensationsprinzip zur Elimination der Doppelbrechung der auf der Grundlage des Faraday-Effektes wirkenden Anordnung eine große Rolle. Unter Benutzung eines Regelkreises tritt die einfache Beziehung

io

N i No

(8.1)

im Sinne eines „optischen“ Transformators mit x

i

Messgröße

x

io

Messwert

x

N

Windungszahl der Messspule

x

N o Windungszahl der Kompensationsspule

auf. Damit herrscht strenge Proportionalität zwischen Messgröße i und Messwert io . Mit der Erfindungsmeldung nach Anhang A 7 wurde der faseroptische Stromsensor in dem Sinne qualifiziert, dass nun beliebige Ströme beliebigen Vorzeichens innerhalb technischer Grenzen bei sehr kleiner Regelabweichung messbar sind, wenn der Stromsensor entsprechend dimensioniert wird.

221

9 Zusammenfassung Es wurde gezeigt, wie die dargestellte Netzwerktheorie zur Analyse von optischen Netzwerkelementen und zu deren Design eingesetzt werden kann. Mit einem Grundstock von Bauelementen könnten dann optische Netzwerke zusammengesetzt und sowohl einer Analyse als auch einer Synthese unterzogen werden. Damit eröffnen sich neue Möglichkeiten zur Lösung praxisrelevanter Probleme, die z. B. mit der x Polarisationsmodendispersion (PMD) x polarisationsabhängigen Dämpfung (PDL) x Modenkopplung und x Doppelbrechung in Zusammenhang stehen. Dabei spielt der hier neu eingeführte erweiterte Jones-Kalkül, vor allem im Zusammenhang mit orthogonalen oder unitären Transformationen zur Diagonalisierung der erweiterten JonesMatrix, eine fundamentale Rolle. In vielen Anwendungsfällen ist eine Beschreibung mit skalaren z-Komponenten-Übertragungsfunktionen auf einfache Art und Weise möglich, die wie die Jones-Matrizen alle relevanten Parameter enthalten. Mit dem hier ebenfalls neu eingeführten erweiterten Kohärenz-Matrizen-Kalkül ergeben sich einfache Sachverhalte für die Beschreibung von Rauschprozessen auf der Grundlage der erweiterten und skalaren Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich. Auch das für die optische Nachrichtentechnik wichtige Modulationsproblem wurde an die Gegebenheiten der so genannten zyklischen erweiterten Jones-Matrizen oder erweiterten periodischen Matrizenfunktionen im Zeitbereich gegenüber [7.1] angepasst. Insgesamt wurde eine für die lineare optische Nachrichtentechnik erweiterte optische Netzwerktheorie geschaffen, mit der man in der Lage ist, modernen Herausforderungen bei der Erhöhung der Bitrate gerecht zu werden.

222

10 Anhänge

A1 Ableitung der komplexen Dielektrizitätskonstanten Das Durchflutungsgesetz lautet G G G wD rot H S  . wt

(A 1.1)

Für ebene Wellen wird A 1.1 in der Form G G G G rot H S  jZ D jZ Dges

(A 1.2)

geschrieben. Mit G G G S NE, D

(A 1.3)

G HE

gilt

G Dges

§ N · G ¨H  ¸E jZ ¹ ©

G HE.

(A 1.4)

Unter Verwendung von H

§ Hx ¨ ¨0 ¨0 ©

0 Hy 0

0 0

· ¸ ¸, N H z ¸¹

§ Nx ¨ ¨ 0 ¨ 0 ©

0 Ny 0

0 · ¸ 0 ¸ N z ¸¹

(A 1.5)

folgt Hx Hy Hz

N Hx  j x Z Ny Hy  j Z Nz . Hz  j Z

(A 1.6)

A 1.6 definiert die komplexen Dielektrizitätskonstanten H x , H y , H z . G G Anstelle von Dges wird wieder D geschrieben, und anstelle von H x , H y , H z schreibt man Hx , H y , Hz .

A2 Ableitung der x-Komponenten-Übertragungsfunktion

223

A2 Ableitung der x-Komponenten-Übertragungsfunktion Ein optisches Bauelement werde durch § Dx"  y", z" · ¨¨ ¸¸ © D y"  y", z" ¹

§ J11  z" J12  z" · § Dx"  y", 0 · ¸¸ ¨ ¸ ¨¨ © J 21  z" J 22  z" ¹ © D y"  y", 0 ¹

(A 2.1)

Dz"  y", z" Tz"  z" Dz"  y", 0

(A 2.2)

in den Koordinatensystemen nach Bild A2-1a beschrieben. x"

x

x'

z'

z"

M" Lx

y'

z' M"

Mx

z"

a)

y'

y"

Bild A 2-1

z

b)

y

x"

y"

x' (Drehachse)

Koordinatensysteme für die x-KÜF a) ursprüngliche Systeme b) transformierte Systeme

Dabei gilt für die z" -KÜF: Tz"  z"

J 21  z"  J 22  z" F'inx cos M"

(A 2.3)

mit F'inx

D y'  y", 0 Dx'  y", 0

, M"

Mx 

S 2

(A 2.4)

Durch die Koordinatentransformation § x" · ¨ y" ¸ ¨ ¸ ¨ z" ¸ © ¹

§ 0 1 0· § x · ¨0 0 1¸ ¨ y ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨1 0 0¸ ¨ z ¸ © ¹© ¹

(A 2.5)

gemäß Bild A2-1b erhalten Sie folgende Beschreibung des optischen Bauelementes mit A2.1 bis A2.4 im x, y, z-Koordinatensystem. § Dx  z, Lx · ¨ ¸ ¨ D y  z, Lx ¸ ¨ ¸ © Dz  z, Lx ¹

§ 0 0 1 · § Dx"  z, Lx · ¸ ¨ 1 0 0¸ ¨ D ¨ ¸ ¨ y"  z, Lx ¸ ¸ ¨ 0 1 0¸ ¨ © ¹ © Dz"  z, Lx ¹

(A 2.6)

224

o

10 Anhänge § Dx"  z, 0 · ¨ ¸ ¨ D y"  z, 0 ¸ ¨ ¸ © Dz"  z, 0 ¹

§ 0 1 0 · § Dx  z, 0 · ¸ ¨ ¸¨ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ D y  z, 0 ¸ ¨ 1 0 0¸ ¨ ¸ © ¹ © Dz  z, 0 ¹

§ D  z, Lx · ¨ x ¸ ¨ D y  z, Lx ¸ ¨ ¸ © Dz  z, Lx ¹

0 · § 0 1 0 · § Dx  z, 0 · § 0 0 1 · § J11  Lx J12  Lx ¨ ¸ ¸ ¨ 1 0 0¸ ¨ J 0 ¸ ¨¨ 0 0 1 ¸¸ ¨ D y  z, 0 ¸ ¨ ¸ ¨ 21  Lx J 22  Lx ¨ 0 1 0¸ ¨ 0 0 Tx  Lx ¸¹ ¨© 1 0 0 ¸¹ ¨ Dz  z, 0 ¸ © ¹© © ¹

(A 2.7)

0 0 § Tx  Lx · § Dx  z, 0 · ¸ ¨ ¸¨ J11  Lx J12  Lx ¸ ¨ D y  z, 0 ¸ ¨ 0 ¨ 0 J 21  Lx J 22  Lx ¸¹ ¨ Dz  z, 0 ¸ © © ¹

(A 2.8) Damit lautet die x-KÜF: Tx  Lx

F'inx

J 21  Lx  J 22  Lx , F'inx sin M x

D y'  z, x

0

Dx'  z, x

0

Dz  z, x 0 D y  z, x 0 sin M x

(A 2.9)

(A 2.10)

Die „Koordinatentransformation“ A 2.6, A 2.7 und ebenso A 3.6, A 3.7 kann durch entsprechend ausgerichtete Spiegel realisiert werden.

A3 Ableitung der y-Komponenten-Übertragungsfunktion

225

A3 Ableitung der y-Komponenten-Übertragungsfunktion Ein optisches Bauelement werde durch § Dx"  y", z" · ¨¨ ¸¸ © D y"  y", z" ¹

§ J11  z" J12  z" · § Dx"  y", 0 · ¸¸ ¨ ¸ ¨¨ © J 21  z" J 22  z" ¹ © D y"  y", 0 ¹

(A 3.1)

Dz"  y", z" Tz"  z" Dz"  y", 0

(A 3.2)

in den Koordinatensystemen nach Bild A 3-1a beschrieben x"

x

x'

z' M"

z"

a)

y'

y"

Bild A 3-1

b)

y

x"

x' (Drehachse) z' z"  y M"  Ly y' My z y"

 z"

Koordinatensysteme für die y-KÜF a) ursprüngliche Systeme b) transformierte Systeme

Dabei gilt für die z" -KÜF: Tz"  z"

J 21  z"  J 22  z" F'iny cos M"

(A 3.3)

mit F'iny

D y'  y", 0 Dx'  y", 0

, M"

My 

S 2

(A 3.4)

Durch die Koordinatentransformation § x" · ¨ y" ¸ ¨ ¸ ¨ z" ¸ © ¹

§ 1 0 0· § x · ¨ 0 0 1¸ ¨ y ¸ ¨ ¸¨ ¸ ¨ 0 1 0 ¸ ¨ z ¸ © ¹© ¹

(A 3.5)

gemäß Bild A 3-1b erhalten Sie folgende Beschreibung des optischen Bauelementes mit A 3.1 bis A 3.4:

226

10 Anhänge

  



  

§ Dx z,  L y · ¨ ¸ ¨ D z,  L ¸ y ¸ ¨ y ¨ D z,  L ¸ y ¹ © z § Dx"  z, 0 · ¨ ¸ ¨ D y"  z, 0 ¸ ¨ ¸ © Dz"  z, 0 ¹

  



§D z,  L y · § 1 0 0 · ¨ x" ¸ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ D ¸  z, L y ¸ ¨ ¸ ¨ y" ¨0 1 0 ¸ ¨ © ¹ D z,  L ¸ y ¹ © z"

(A 3.6)

§ 1 0 0 · § Dx  z, 0 · ¸ ¨ ¸¨ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ D y  z, 0 ¸ ¨ ¸¨ ¸ © 0 1 0 ¹ © Dz  z, 0 ¹



§ Dx z,  L y · ¨ ¸ o ¨ D y z,  L y ¸ ¨ ¸ ¨ D z,  L ¸ y ¹ © z

 

§ J  Ly § 1 0 0 · ¨ 11 ¨ 0 0 1¸ ¨ J ¨ ¸ 21  L y ¨ 0 1 0 ¸ ¨¨ © ¹ 0 ©



§ J11  L y ¨ ¨ 0 ¨ ¨J  Ly © 21





(A 3.7)







0



· ¸ § 1 0 0 · § Dx  z, 0 · ¸ ¨ 0 0 1 ¸ ¨ D  z, 0 ¸ 0 ¸ ¸¨ y ¸ ¨¨ ¸ ¨ 0 1 0 ¹ Dz  z, 0 ¸ Ty  Ly ¸ © © ¹ ¹ 0



0

0 Ty  Ly

 J 22   L y J12  L y











J12  L y · § ¸ Dx  z, 0 · ¸ ¨ D  z, 0 ¸ 0 ¸ ¸¨ y ¨ ¸ J 22  L y ¸ © Dz  z, 0 ¹ . ¹

(A 3.8) Damit lautet die y -KÜF:



Ty  Ly







J 21  L y  J 22  L y F'iny sin M y





(A 3.9)

mit F'iny

D y'  z, y

0

Dx'  z, y

0

Dz  z, y 0 . Dx  z, y 0 sin M y

(A 3.10)

A4 Statistik des Laserrauschens

227

A4 Statistik des Laserrauschens A4.1 Phasenrauschdifferenz Das Laserrauschen wird durch spontane Emissionen mit der spontanen Verschiebungsflussˆ D  t1 und dichte-Amplitude D s verursacht, die sich den Feldamplituden D1 D2 D  t2 der Laserdiode gemäß Bild A4-1 überlagern. D2

Im ^D  t `

E ˆ D s

ˆ bD s

SJ

ˆ D o

J

ˆ aD s

)2

D

D1

)0

)1 Re ^D  t ` Bild A 4-1 Zum Laserrauschen

Dabei schwankt sowohl die Amplitude gemäß D1 und D2 als auch die Phase entsprechend )1 )  t1 und ) 2 )  t2 . Die Amplitudenschwankung heißt Amplituden- oder Intensitätsrauschen. Die Phasenschwankung bezeichnet man als Laserphasenrauschen. Aus dem Zeigerbild nach Bild A4-1 erkennt man, dass Amplituden- und Phasenrauschen gekoppelte Prozesse sind. Eine diese Kopplung beschreibende Näherungsgleichung soll jetzt abgeleitet werden. Dazu führen wir die Winkelhalbierende mit ) 0  )1

)2  )0

(A 4.1)

und die Amplitude ˆ | const . D o

(A 4.2)

ein. Die Bedingung A 4.2 ist gerechtfertigt, da für die Feldamplitude der spontanen Emission ˆ D ˆ D s o

gilt.

(A 4.3)

228

10 Anhänge

Aus A 4.1 erhält man die mittlere Phase )o

)1  ) 2 2

(A 4.4)

Mit A 4.4, A 4.1 und der Phasenrauschdifferenz entsprechend der Definition ')

(A 4.5)

)1  ) 2

gilt ) 0  )1

)2  )0



') 2

(A 4.6)

Außerdem gilt wegen ˆ D s

ˆ bD ˆ aD s s

(A 4.7)

die Bedingung (A 4.8)

ab 1

Aus dem Sinussatz gemäß ˆ aD s sin  ) 0  )1

ˆ D o sin D

D1 , sin J

ˆ bD s sin  ) 2  ) 0

ˆ D o sin E

D2 , sin J

ˆ D s sin  ) 2  )1

D1 sin E

D2 sin D

(A 4.9)

folgt mit A 4.6:



a

ˆ sin ') D 2 o D2 sin  ')

b

ˆ sin ') D 2 o D1 sin  ') .

(A 4.10)



Mit A 4.10 folgt a b

D1 D2

(A 4.11)

A 4.8 und A 4.11 bilden das Gleichungssystem § 1 ¨ D 2 ©

1 · §a· D1 ¸¹ ¨© b ¸¹

§1· ¨ 0¸ © ¹

(A 4.12)

zur Bestimmung von a und b mit der Lösung a

D1 , b D1  D2

D2 D1  D2

(A 4.13)

A4 Statistik des Laserrauschens

229

Für die Winkel gilt DJ

') 2

') EJ 2

S o D 0 o E

S  J  ') 2

(A 4.14)

J  ') 2

und für die Sinus von D und E : sin D

') · § sin ¨ S  J  ¸ 2 ¹ ©

sin E

') · § sin ¨ J  ¸ 2 ¹ ©

') · § sin ¨ J  ¸ 2 ¹ ©

(A 4.15)

Somit folgt ') · § ') · § sin ¨ J  ¸ sin ¨ J  ¸ 2 2 ¹ © ¹ ©

sin D sin E

(A 4.16)

| sin 2 J , ˆ D ˆ gilt. wobei diese Näherung für kleine ') wegen D s o

Aus A 4.9 erhalten Sie durch Produktbildung ˆ2 D o sin D sin E

D1 D2

(A 4.17)

sin 2 J

und mit A 4.16 folgt die Näherung ˆ 2 | D D | const . D o 1 2

(A 4.18)

Aus A 4. 10, A 4.13 und A 4.18 wird aus ab

2 ˆ 2 sin ') D 2 o D1 D2 sin 2  ')



D1 D2 ª¬ D1  D2 º¼

2

(A 4.19)

die Bedingung sin  ')



sin ') 2

|

D1  D2 . ˆ D

(A 4.20)

o

Unter Benutzung der Näherungspolynome sin  ') | ') 

1 ') 3 6

§ ') · ') sin ¨ ¸| 2 © 2 ¹

(A 4.21)

ergibt sich mit A 4.20 für das Quadrat der Phasenrauschdifferenz ª D  D2 º ') 2 | 6 «1  1 » ˆ 2D o ¼ ¬

( A 4.22)

230

10 Anhänge

A4.2 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion des Intensitätsrauschens Wie man aus A 4.22 erkennt, sind die Amplituden D1 und D2 mit der Phasenrauschdifferenz ') gekoppelt. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Phasenrauschdifferenz ') ist nach [4.4] durch f  ')

ª ') 2 º exp «  » 2S 'Z W ¬« 2 'Z W ¼» 1

(A 4.23)

mit den Parametern 'Z in Form der Laserlinienbreite und W t1  t2 als Gauß-Verteilung gegeben. Die Aufgabe besteht nun in der Herleitung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f  D1 , D2 des Intensitätsrauschens bei Berücksichtigung der allgemeingültigen Normierungsbedingung f f

³ ³ f  D1 , D2 d D1 d D2

(A 4.24)

1

0 0

für

0 d D1 d f

(A 4.25)

0 d D2 d f

und der Kenntnis der Näherung des Erwartungswertes von ˆ2 D1 D2 | D o

ˆ2 D o

(A 4.26)

Ko f  K1')

(A 4.27)

Als Ansatz wählen wir

f  D1 , D2



mit den Konstanten Ko , K1 bezüglich ') , D1 , D2 . Durch Einführung von A 4.22 und A 4.23 in den Ansatz A 4.27 erhalten Sie:

f  D1 , D2



ª 3K2 º Ko exp «  1 » 2 ª º ¬ 'Z W ¼ ˜ exp « 3 K1 ¬ª D1  D2 ¼º » ˆ « 2 'Z W D » 2S 'Z W o ¬ ¼

(A 4.28)

A 4.28, eingesetzt in die Normierungsbedingung A 4.24, ergibt: ª 3K2 º Ko exp «  1 » f f 2 2 ª º ª º ¬ 'Z W ¼ exp « 3 K1 D1 » d D ˜ exp « 3 K1 D2 » d D 1 2 ˆ » ˆ » «¬ 2 'Z W D «¬ 2 'Z W D 2S 'Z W o¼ o¼ 0 0

³

³

1

(A 4.29)

A4 Statistik des Laserrauschens

231

Für die Integrale in A 4.29 erhält man f

f

³

³

ª 3K2 D º 1 1 » exp « d D1 ˆ » 2 'Z WD «¬ o¼ 0

ª 3K2 D º 1 2 » exp « d D ˆ » > 2@ 2 'Z WD «¬ o¼ 0 ª 3K2 D º ˆ 2 'Z W D o 1 1 » exp « ˆ » 2 'Z WD 2 «¬ 3 K1 o¼

ˆ 2 'Z W D o 3 K12

f

(A 4.30) 0

mit K12  0.

Somit wird ª 3K2 º 2S 'Z W exp « 1 » ¬ 'Z W ¼ 2 ˆ2 2 4 'Z W D

9 K14

Ko

(A 4.31)

o

Damit gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte des Intensitätsrauschens f  D1 , D2



2 ª3K2 ª D  D ºº ª 3K2 º 1 ¬ 1 2 ¼» 1 ˜ exp « « » ˆ » ˆ 2 D 'Z W « » «¬ 2 'Z W D o¼ o ¬ ¼

(A 4.32)

oder mit dem Parameter O

3 K12

(A 4.33)

ˆ 2 'Z W D o

die Exponentialverteilung f  D1 , D2

für



O 2 exp ª¬ O  D1  D2 º¼

(A 4.34)

0 d D1 d f 0 d D2 d f

und

ˆ 2 | D D | const . D o 1 2

Mit ˆ2| D D D 1 2 o f

|

³

f

D1 O exp ¬ª O D1 º¼ d D1 ˜

o

o

2

|

erhalten Sie

1 O2

³

ª º « 2 'Z W » D ˆ2 o « 2 » «¬ 3 K1 »¼

D2 O exp ¬ª O D2 º¼ d D2

(A 435)

232

10 Anhänge

K12 |

2 'Z W 3

(A 4.36)

Durch Einsetzen von A 4.36 in A 4.33 folgt 1 O ˆ Do

(A 4.37)

und damit die endgültige Form der Wahrscheinlichkeitsdichte des Intensitätsrauschens f  D1 , D2



ª D D º exp «  1 ˆ 2 » Do ¼ ¬ 2 ˆ D o

(A 4.38)

A4.3 Kohärenzfunktion des Laserrauschens Somit ergibt sich für die Kohärenzfunktion des Laserrauschens D1 D2 exp >  j ') @ ˆ 2 exp >  j') @ | D o

ˆ 2 exp >  j ') @ |D o

| D1 D2

exp >  j ') @

(A 4.39)

f f

|

³³

f

D1 D2 f

 D1 , D2 d

D1 d D2 ˜

0 0

ˆ2 |D o

³

exp >  j') @ f  ') d  ')

f

f f

³ ³ f  D1 , D2 d D1 d D2

0 0  

1

f

˜

³

exp >  j') @ f  ') d  ')

f  

exp ª  ¬

'Z W 2

º ¼

ˆ 2 exp ª  'Z W º |D o « » 2 ¼ ¬ Man erkennt, dass die Näherung ˆ 2 | D D | const . D 1 2 o

zu statistisch unabhängigen Veränderlichen gemäß D1 D2 exp >  j ') @ | D1 D2

führt.

exp >  j') @

(A 4.40)

A5 Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers

233

A5 Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers A5.1 Ansätze Die Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers bestimmt das Verhältnis der Wirkungsquerschnitte der Emission Ve  Z und Absorption Va  Z gemäß [7.2] zu ª =  Z  Zc º exp «  » kT ¬ ¼

Ve  Z V a  Z

(A 5.1)

Dabei bedeuten: Z

Kreisfrequenz des optischen Eingangssignals,

Zc

Crossing-Frequency, entsprechend Ve  Zc

=

h 2S

Va  Zc ,

modifiziertes Plancksches Wirkungsquantum,

k

Boltzmann-Konstante,

T

Temperatur in Kelvin.

Aus [7.1], [7.2] folgt für das Verhältnis zwischen den Verstärkungskoeffizienten g  Z und dem Dämpfungskoeffizienten D  Z : g  Z D  Z

Ve  Z Va  Z

(A 5.2)

Mit A 5.1 wird aus A 5.2: g  Z

D  Z

(A 5.3)

ª =  ZZc º exp « » ¬ kT ¼

Der Verstärkungskoeffizient g  Z und ebenso der Dämpfungskoeffizient D  Z stehen in der Differenzialgleichung für die Leistungsänderung entlang der z-Achse der aktiven Faser gemäß dP  z dz

ª¬ g  Z  D  Z º¼ P  z

(A 5.4)

Aus der Lösung der DGL A 5.4:

P  L

Pout

Pin exp ª¬ g  Z  D  Z L º¼

(A 5.5)

gewinnt man die Leistungsverstärkung des faseroptischen Verstärkers der Länge L entsprechend G  Z

Pout Pin

exp ª¬ g  Z  D  Z L º¼

(A 5.6)

234

10 Anhänge

A5.2 Lorentz-Näherung für den Verstärkungskoeffizienten Mit der Näherung =  Z  Zc 1 ª =  Z  Zc º ª =  Z  Zc º exp «  « » | 1 » kT kT kT 2¬ ¬ ¼ ¼

2

(A 5.7)

wird aus A 5.3: 2 D  Z

g  Z |

=  ZZc ª =  Z  Zc º « » kT kT

22

¬

g  Z |

2

|

¼

2 D  Z ª =  ZZc º 1  «1  » kT ¬ ¼

2

2 D  Z ZZc  kT / = º 1 ª «¬ kT / = »¼

2

(A 5.8)

Durch Einführung der Größen x Dipol-Relaxationszeit Wo : Wo

= , kT

(A 5.9)

x Mittenkreisfrequenz Zo : Zo

Zc 

1 Wo

(A 5.10)

geht der Verstärkungskoeffizient g  Z über in die Lorentz-Näherung g  Z |

2 go

(A 5.11)

2

1   Z  Zo Wo2

Sie gilt außerhalb des Sättigungsbereiches des faseroptischen Verstärkers, wenn noch für die Dämpfung bzw. Mittenverstärkung D  Z | go

(A 5.12)

konst .

angenommen wird.

A5.3 Effektiver Verstärkungskoeffizient Aus A 5.5 entnimmt man den effektiven Verstärkungskoeffizienten geff  Z

g  Z  D  Z ,

(A 5.13)

der mit A 5.11 übergeht in 2

geff  Z | go

1   Z  Zo Wo2 2

1   Z  Zo Wo2

(A 5.14)

A5 Mc Cumber-Theorie des faseroptischen Verstärkers

235

A5.4 z-Komponenten-Übertragungsfunktion Nimmt man an, dass die Signalübertragung letztendlich durch die z-KÜF beschrieben wird, so folgt für den faseroptischen Verstärker bei Unterdrückung der Phasenterme: G  Z

Pout  Z Pin  Z

Dzout  jZ D*zout  jZ Dzin  jZ D*zin  jZ

Tz  jZ Tz*  jZ

(A 5.15)

ª geff  Z L º ª geff  Z L º exp « » exp « » 2 2 «¬ »¼ «¬ »¼ o Tz  jZ

ª geff  Z L º exp « » 2 ¬« ¼»

(A 5.16)

Mit A 5.14 erhalten Sie die z-KÜF des faseroptischen Verstärkers in der Form ª g L 1   Z  Z 2 W 2 º o o» Tz  jZ | exp « o « 2 1   Z  Z 2 W 2 » o o¼ ¬

(A 5.17)

Durch Vergleich von Tabelle 7-1 mit A 5.17 ergibt sich mit Z y

Z und M M y | konst. eine

Bedingung an die Ersatzabsorptionszahl n1" gemäß Z " n1 cos M c

o

n1"  Z

2

2 go L 1   Z  Zo Wo , 2 1   Z  Z 2 W 2 o

(A 5.18)

o

2

2 go Lc 1   Z  Zo Wo 2 Z cos M 1   Z  Z 2 W2 o

(A5.19)

o

Näherungsweise kann im Durchlassbereich mit der Absorptionszahl bei der Mittenfrequenz Z Zo gerechnet werden: n1"  Zo

go Lc 2 Zo cos M

(A 5.20)

236

10 Anhänge

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern

Beschreibung Die Erfindung betrifft eine Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern, enthaltend als Messteil x eine Lichtquelle zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, x einen Polarisator, der mit der Lichtquelle verbunden ist, x eine Lichtwellenleiter-Messspule, die den elektrischen Leiter umgibt, x einen Analysator, an den die Lichtwellenleiter-Messspule geführt ist, und x einen Lichtempfänger mit einer Auswerteeinrichtung, wobei der Lichtempfänger dem Analysator zugeordnet ist. Eine derartige Schaltungsanordnung mit Lichtwellenleitern zur Messung elektrischer Ströme in einem elektrischen Leiter ist in der Druckschrift US 3 605 013 beschrieben. Die Schaltungsanordnung besteht im Wesentlichen aus einer Laserdiode, einem Polarisator, einem Analysator und einem Lichtempfänger mit einer angeschlossenen Auswerteeinrichtung, wobei zwischen der Laserdiode und dem Lichtempfänger ein faseroptischer Lichtwellenleiter die dazwischenliegenden Bauelemente miteinander verbindet. Der den Polarisator und den Analysator verbindende Lichtwellenleiter umgibt spiralförmig mit mindestens einer Windung als Lichtwellenleiter-Messspule den elektrischen Leiter. Breitet sich linear polarisiertes Licht der Laserdiode in dem Lichtwellenleiter aus, so bleibt die Polarisation erhalten. Wenn im elektrischen Leiter Strom fließt, wird ein Magnetfeld erzeugt. Das Magnetfeld dreht die Polarisationsebene des linear polarisierten Lichtes aufgrund des Faraday-Effektes. Je größer der Wert des elektrischen Stromes, desto größer ist das Magnetfeld und je länger der Weg im Lichtwellenleiter ist, desto stärker ist die Drehung der Polarisationsebene. Folglich kann aus dem Drehwinkel D der Polarisationsebene der Wert des elektrischen Stromes i ermittelt werden. Es ist ein optischer Stromsensor in der Druckschrift EP 0 826 971 B1 beschrieben, der versehen ist mit x einer Lichtquelle zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, x einer Messspule aus einer optischen Faser mit vielen Windungen, die um einen elektrischen Leiter gewickelt sind, in dem der zu messende elektrische Strom i fließt, wobei die Windungen derart angeordnet sind, dass das von der Lichtquelle emittierte polarisierte Licht um den Leiter im Kreis geführt wird, so dass die Polarisationsebene des polarisierten Messlichtes durch das von dem elektrischen Strom erzeugte Magnetfeld gedreht wird, und x Messmittel zur Bestimmung des elektrischen Stromes durch Erfassen des Drehwinkels D der Polarisationsebene, wobei die optische Messspule ein mit der Lichtquelle verbundenes Eingangsende und ein mit dem Messmittel verbundenes Ausgangsende aufweist, wobei das Eingangsende und das Ausgangsende auf eine solche Art und Weise angeordnet sind, dass ein durch Betrachten der beiden Enden von der Mitte des Leiters erhaltener Winkel nicht mehr als 1 % von 2Sn ist, und

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

237

wobei das Eingangsende und das Ausgangsende in einem einzigen, aus einem magnetischen Material hergestellten Element enthalten ist. Dabei sind die optische Faser und die Lichtquelle miteinander durch ein erstes optisches Kopplungselement verbunden, während die optische Faser und das Messmittel miteinander durch ein zweites optisches Kopplungssystem verbunden sind. Ein Problem besteht darin, dass die ersten und die zweiten optischen Kopplungssysteme in einem Element enthalten sind. Des Weiteren sind ein Verfahren und eine Vorrichtung zur Messung von Störungsschwingungen mit faseroptischen Spulen, die zirkular polarisiertes Licht leiten, in der Druckschrift US 4 922 095 beschrieben. Eine zirkular polarisierte Lichtquelle breitet Licht in einer faseroptischen Messspule in einer störungsempfindlichen Umgebung und in einer faseroptischen Referenzspule in einer konstanten Umgebung aus. Das Licht von beiden Spulen wird ausgewertet durch eine Polarisations-Einrichtung, um den Grad der Polarisationsdrehung zu registrieren, um dabei eine Bestimmung der Frequenz und der Amplitude der Störungsschwingung zu ermöglichen. Ein Problem besteht darin, dass damit kein kontinuierlicher elektrischer Strom gemessen werden kann. Es ist ein faseroptischer Magnetfeldsensor zur Bestimmung elektrischer Ströme in der Druckschrift DE 37 26 411 A1 beschrieben, bei dem die magnetfeldabhängige Faraday-Drehung der Polarisationsebene eines linear polarisierten Lichtstrahls, der sich in einem Lichtwellenleiter ausbreitet, gemessen wird. Der durch das Magnetfeld verursachten Faraday-Drehung sind jedoch lineare und zirkulare Doppelbrechungseigenschaften des Lichtwellenleiters überlagert, die eine Messung der Faraday-Drehung erschweren und außerdem noch abhängig von Umgebungseinflüssen sind. Dazu gehört eine Anordnung mit Heterodym-Empfang und reziprokem Lichtweg, die eine Messung der Faraday-Drehung ohne Beeinflussung durch lineare und nahezu ohne Beeinflussung durch zirkulare Doppelbrechungsanteile des Lichtwellenleiters ermöglicht. Ein Problem besteht darin, dass mehrere Photodioden mit in der Praxis unterschiedlichen Eigenschaften Verwendung finden. Eine weitere Anordnung zum Messen von elektrischen Strömen aus wenigstens zwei Messbereichen in einem Stromleiter ist in der Druckschrift EP 0 776 477 B1 beschrieben. Die Anordnung weist folgende Bestandteile auf: x wenigstens zwei, dem Stromleiter zugeordnete Faraday-Elemente, x Mittel zum Einkoppeln von linear polarisiertem Messlicht in ein erstes der FaradayElemente, x optische Verbindungsmittel, über die das erste Faraday-Element mit einem zweiten der Faraday-Elemente optisch in Reihe geschaltet ist, und die das durch das erste FaradayElement gelaufene Messlicht in einen ersten Teil und wenigstens einen weiteren Teil aufteilen, x einer ersten Auswerteeinheit zum Auswerten der Faraday-Drehung der Polarisationsebene von dem ersten, nur durch das erste Faraday-Element wenigstens einmal gelaufenen Teil des linear polarisierten Messlichtes als Maß für einen Strom aus einem ersten Messbereich, x für jeden weiteren Messbereich jeweils einer Auswerteeinheit zum Auswerten der FaradayDrehung der Polarisationsebene von jeweils einem durch das erste Faraday-Element und wenigstens ein weiteres Faraday-Element wenigstens einmal gelaufenen, weiteren Teil des Messlichtes als Maß für einen Strom aus diesem weiteren Messbereich.

238

10 Anhänge

Ein Problem besteht darin, dass mehrere Photodioden Verwendung finden. Andererseits stellt die Messung elektrischer Ströme auf beliebigem Potenzial bei Einfügen der bekannten Schaltungsanordnung in den elektrischen Stromkreis ein grundsätzliches Problem der Messtechnik dar. Das Problem besteht darin, dass die bekannten Schaltungsanordnungen zur Messung des elektrischen Stromes nur durch eine aufwendige Signalverarbeitung und dann nur näherungsweise mit den Nachteilen, dass die schwankende Doppelbrechung selbst in der Näherung im Messwert enthalten ist oder der Zusammenhang zwischen Messwert und Messgröße nichtlinear ist, aufweisen. Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, eine Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern anzugeben, die derart geeignet ausgebildet ist, dass in einfacher Weise bei der potenzialgetrennten Messung elektrischer Ströme ohne Eingriff in den elektrischen Stromkreis der Messgröße eine schwankende Doppelbrechung und Temperaturschwankungen kompensiert werden. Die Aufgabe wird durch die Merkmale des ersten Patentanspruchs gelöst. Die Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme i in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern enthält als Messteil x eine Lichtquelle zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, x einen Polarisator, der mit der Lichtquelle mittels eines Lichtwellenleiters verbunden ist, x eine Lichtwellenleiter-Messspule, die den elektrischen Leiter umgibt, x einen Analysator, an den die Lichtwellenleiter-Messspule geführt ist, und x einen Lichtempfänger mit einer Auswerteeinrichtung, wobei der Lichtempfänger dem Analysator zugeordnet ist, wobei gemäß dem Kennzeichenteil des Patentanspruchs 1 die Lichtquelle schräg unter einem Winkel M an den nachfolgenden Polarisator, der für die z-Richtung favorisiert ist, angeschlossen ist sowie zwischen dem Polarisator und der Lichtwellenleiter-Messspule ein erster Koppler und zwischen der Lichtwellenleiter-Messspule und dem Analysator ein zweiter Koppler angeordnet ist, wobei die Koppler einem zum Messteil parallel gerichteten, beidendseitig reflexionsfreien Kompensationsteil zugeordnet sind, in dem sich zwischen den Kopplern eine Lichtwellenleiter-Kompensationsspule angekoppelt befindet, die einen zweiten elektrischen Leiter umgibt, wobei die Koppler jeweils zur Gegenseite der Ankopplung der LichtwellenleiterKompensationsspule reflexionsfreie Abschlüsse aufweisen, wobei dem zweiten elektrischen Leiter eine Auswerteeinrichtung zugeordnet ist, die mit dem Lichtempfänger des Analysators in Verbindung steht und einen Messwert i0 erzeugt, so dass die Messgröße i aus der Gleichung i0

N i N0

(I)

in der zugehörigen Auswerteeinrichtung ermittelbar ist, wobei der am Ende des optischen Teils angeordnete Analysator die x-Komponente Dx und die y-Komponente D y der elektrischen Verschiebungsflussdichte unterdrückt und nur bei deren z-Komponente einen Photostrom i ph liefert, der einen Regelkreis steuert, der der Kompensationsspule zugeordnet ist und den Messwert i0 liefert. Die Lichtquelle kann vorzugsweise eine Laserdiode sein.

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

239

Am Eingangstor des Polarisators weist ein Eingangssignal des Polarisators eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den zum zugehörigen Eingangstor parallelen Komponenten Dxin , D yin sowie der zu den parallelen Komponenten Dxin , D yin senkrechten Komponente Dzin auf. Der Polarisator besitzt eine erste Jones-Matrix J gemäß Gleichung J

1 § 0 1· ¨ ¸ 2 © 0 1¹

(II)

Am Ausgangstor des Polarisators weist ein Ausgangssignal eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den Komponenten Dxout , D yout , D' zout des Polarisators auf, wobei D' zout die z-Komponente der Verschiebungsflussdichte am Ausgang des Polarisators darstellt. Die beiden Koppler weisen jeweils zwei Eingangstore und zwei Ausgangstore auf, wobei sich die jeweils zugeordneten Eingangs-/Ausgangstore in Lichtwellenrichtung gegenüberliegen und die Eingangs-/Ausgangstore voneinander gleich beabstandet sind. Der erste Koppler ist vorzugsweise ein Drei-dB-Koppler mit 41

S , wobei 41 den zugehö4

rigen ersten Koppelwinkel darstellt. Der zweite Koppler ist ein Drei-dB-Koppler mit 42

S , wobei 42 wieder den zugehörigen 4

zweiten Koppelwinkel darstellt. Das Ausgangssignal am Ausgangstor des Polarisators entspricht dem Eingangssignal für den S . ersten Drei-dB-Koppler mit dem ersten Koppelwinkel 41 4 Alle Komponenten des Ausgangssignals lassen sich dabei jeweils als Funktion der zKomponente darstellen. Es sind an das zweite Eingangstor des ersten Kopplers ein reflexionsfreier erster Abschluss und an das erste Ausgangstor des ersten Kopplers ein um den zu messenden Strom i als Führungsgröße – die Messgröße i – gewickelter Lichtwellenleiter – die Messspule –, der eine zweite Jones-Matrix J J  D und eine erste z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz Tz  D in Abhängigkeit vom ersten Drehwinkel D der Polarisationsebene der nichtabgelenkten Lichtwelle sowie eine erste Windungszahl N zugeordnet sind, angeschlossen. An das zweite Ausgangstor ist ein um den zweiten elektrischen Leiter gewickelter Lichtwellenleiter – die Kompensationsspule – angeschlossen, der eine zweite Windungszahl N 0 , eine dritte Jones-Matrix J 0 J 0  D0 und eine zweite z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz 0 Tz 0  D0 in Abhängigkeiten vom zweiten Drehwinkel D0 der Polarisationsebene der abgelenkten Lichtwelle zugeordnet sind, wobei der Strom i0 durch den zweiten elektrischen Leiter der Kompensationsspule die Regelgröße – den Messwert i0 – darstellt. Die Messspule mit der Messgröße i sowie die Kompensationsspule mit dem Messwert i0 sind S an den zweiten Drei-dB-Koppler mit dem zweiten Koppelwinkel 42 angeschlossen, der 4 als zweites Ausgangstor einen reflexionsfreien zweiten Abschluss zum eingangsseitigen, gegenüberliegenden zweiten Eingangstor des zweiten Kopplers besitzt.

240

10 Anhänge

An das erste Ausgangstor des zweiten Kopplers ist als Analysator ein z-KomponentenAnalysator angeschlossen, der die von der Laserdiode erzeugten Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dxin , D yin , die über den Polarisator, den ersten Koppler, die Lichtwellenleiter-Spulen und den zweiten Koppler übertragen werden, unterdrückt und nur die z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dzout im zugehörigen Lichtempfänger in den Photostrom i ph wandelt. Zwischen der z-Komponente D' zout und der z-Komponente Dzin der elektrischen Verschiebungsflussdichte besteht folgende Gleichung: D' zout

1 2 Dzin

(III)

Für die gesamte z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tzges gilt die Gleichung: Tzges

Dzout / Dzin ,

(IV)

wobei auch die Gleichung Tzges

1 2 cos 41 Tz cos 42  1 2 sin 41 Tz 0 sin 42

(V)

gilt. Die Auswerteeinrichtung kann einen Integrator eines Regelkreises enthalten. Der den Photostrom i ph  t erhaltende Integrator kann derart ausgebildet sein, dass die bleibende Regelabweichung, d.h. die Differenz der Drehwinkel D  t  D0  t in Abhängigkeit von der Einschwingzeit t mit t gegen Unendlich, gegen Null geht und der Integrator ausgangsseitig den Messwert i0 liefert, um daraus die Messgröße i zu ermitteln. Gemäß der Gleichung i0

N i N0

(I)

liegt ein optischer Transformator vor, wobei in den beiden Lichtwellenleiter-Spulen der Faraday-Effekt zur Drehung der Polarisationsebenen der in den Lichtwellenleiter-Spulen laufenden Lichtwellen um den jeweiligen Drehwinkel D , D0 stromproportional der Messgröße i bzw. dem Messwert i0 entsprechend den Proportionalitäten D  i und D0  i0 sind. Die Schaltungsanordnung geht somit erfindungsgemäß von einer schrägen Anregung der Schaltungsanordnung durch eine Laserdiode aus, wobei die schräge Anregung durch die durch den vorgegebenen Winkel M dimensionierte geschlossene Einkoppelstelle zur Erzeugung einer z-Komponente Dz als Längskomponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte der ausgesendeten Lichtwelle führt. Die z-Komponente Dz der elektrischen Verschiebungsflussdichte wird durch die Festlegung eines x, y, z-Koordinatensystems, in dem die z-Koordinate als Längskoordinate wahlweise bestimmt ist, favorisiert. Letztendlich wird nur die z-Komponenten-Übertragungsfunktion für den optischen Teil der Schaltungsanordnung verwendet. Die Schaltungsanordnung sieht im Wesentlichen neben der faseroptischen Messspule eine faseroptische Kompensationsspule vor. Der am Ende des optischen Teils der Schaltungsanordnung angeordnete Analysator in Form des z-Komponenten-Analysators unterdrückt die xKomponente Dx und die y-Komponente D y der elektrischen Verschiebungsflussdichte und liefert nur für deren z-Komponente einen Photostrom i ph . Der Photostrom i ph steuert einen Regelkreis, der auf die Kompensationsspule zugeschnitten dimensioniert ist und den Messwert i0 liefert.

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

241

Bei der erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung ist somit wesentlich, dass nur die z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dz letztendlich Verwendung findet. Somit ist hier eine einfache skalare Kompensationsbedingung gegeben. Andere Lösungen sind dagegen schwierig zu erfüllen, weil diese dann auf der Kompensation aller vier Matrizenelemente der Jones-Matrix beruhen. Als Faraday-Effekt wird die Erscheinung bezeichnet, bei der die Schwingungsebene linear polarisierten Lichtes beim Durchgang durch ein Magnetfeld gedreht wird. Der Drehwinkel – der Faraday-Winkel – ist dabei proportional dem Skalarprodukt aus der Magnetisierung und dem Ausbreitungsvektor des Lichtes sowie der Länge des Magnetfeldes. Eine Jones-Matrix ist eine zweidimensionale Matrix, welche zur Repräsentation der Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen dient. Der Jones-Formalismus eignet sich insbesondere zur Analyse optischer Systeme in denen ein polarisiertes Lichtstrahlenbündel eine Kaskade von optischen Bauelementen durchläuft. Dadurch, dass nur die erzeugten z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte letztlich Verwendung finden, entsteht für die faseroptische Schaltungsanordnung eine einfache skalare Kompensationsbedingung. Die Erfindung ermöglich einen einfachen Aufbau einer Schaltungsanordnung, die auch zur potenzialgetrennten Strommessung einsetzar ist. Die erfindungsgemäße Schaltungsanordnung eignet sich sowohl zur Messung sehr kleiner Ströme im mA-Bereich als auch zur Messung sehr kleiner Ströme im kA-Bereich und ist auch in einem großen Frequenzbereich einsetzbar. Die Strommessung ist ohne Einfügung der Schaltungsanordnung in den elektrischen Stromkreis auf beliebigem, insbesondere auf Hochspannungspotenzial möglich, wobei zweckmäßige Nachrüstbedingungen an schon bestehenden Anlagen durchgeführt werden können. Gegenüber den herkömmlichen klassischen Wandlern bzw. Transformatoren ist eine Platzersparnis vorhanden und es braucht kein Öl oder andere kritische Materialien zur Isolation eingesetzt werden. Somit ergibt sich eine umweltfreundliche und explosionssichere Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme. Weiterbildungen und vorteilhafte Ausgestaltungen der Erfindung sind in weiteren Unteransprüchen angegeben. Die Erfindung wird anhand eines Ausführungsbeispiels mittels mehrerer Zeichnungen näher erläutert. Es zeigen: Fig. 1 eine schematische Darstellung einer Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleiter-Spulen sowie eines zugehörigen x, y, z-Koordinatensystems in Fig. 1a, Fig. 2

ein Schaltbild eines Integrators mit Kompensationsspule, wobei der von der Kompensationsspule umwundene elektrische Leiter einseitig an Masse angeschlossen ist, und eine Formelangabe in Fig. 2a und

Fig. 3

ein Schaltbild eines Integrators mit einer „schwimmenden“ Kompensationsspule, wobei der von der Kompensationsspule umwundene elektrische Leiter an den Ausgang eines zweiten Operationsverstärkers angeschlossen ist, und eine Formelangabe in Fig. 3a.

242

10 Anhänge

In Fig. 1 ist in schematischer Darstellung eine Schaltungsanordnung 1 zur Messung elektrischer Ströme i in einem elektrischen Leiter 6 dargestellt. Die Schaltungsanordnung 1 enthält als Messteil 11 x eine Lichtquelle 2 zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, x einen Polarisator 3, der mit der Lichtquelle 2 mittels eines Lichtwellenleiters 4 verbunden ist, x eine Lichtwellenleiter-Messspule 5, die den elektrischen Leiter 6 umgibt, x eine Analysator 7, an den die Lichtwellenleiter-Messspule 5 geführt ist, und x einen Lichtempfänger mit einer Auswerteeinrichtung 8, wobei der Lichtempfänger dem Analysator 7 zugeordnet ist. Erfindungsgemäß sind die Lichtquelle 2 schräg unter einem Winkel M an den nachfolgenden Polarisator 3, der für die z-Richtung favorisiert ist, angeschlossen sowie zwischen dem Polarisator 3 und der Lichtwellenleiter-Messspule 5 ein erster Koppler 9 und zwischen der Lichtwellenleiter-Messspule 5 und dem Analysator 7 ein zweiter Koppler 10 angeordnet, wobei die Koppler 9, 10 einem zum Messteil 11 parallel gerichteten, beidseitig reflexionsfreien Kompensationsteil 16 zugeordnet sind, in dem sich zwischen den beiden Kopplern 9, 10 eine Lichtwellenleiter-Kompensationsspule 12 angekoppelt befindet, die einen zweiten elektrischen Leiter 15 umgibt, wobei die Koppler 9, 10 jeweils zur Gegenseite der Ankopplung der Lichtwellenleiter-Kompensationsspule 12 reflexionsfreie Abschlüsse 13, 14 aufweisen, wobei dem zweiten elektrischen Leiter 15 eine Auswerteeinrichtung 8 zugeordnet ist, die mit dem Lichtempfänger des Analysators 7 in Verbindung steht und einen Messwert i0 erzeugt, so dass die Messgröße i aus der Gleichung i0

N i N0

(I)

in der zugerhörigen Auswerteeinrichtung 8 ermittelbar ist, wobei der am Ende des optischen Teils 11, 16 der Schaltungsanordnung 1 angeordnete Analysator 7 die x-Komponente Dx und die y-Komponente D y der elektrischen Verschiebungsflussdichte unterdrückt und nur für deren z-Komponente einen Photostrom i ph liefert, der einen Regelkreis steuert, der der Kompensationsspule 12 zugeordnet ist und den Messwert i0 liefert. Die Lichtquelle 2 kann eine Laserdiode sein. Am Eingangstor 17 des Polarisators 3 weist ein Eingangssignal eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den zum zugehörigen Eingangstor 17 parallelen Komponenten Dzin , D yin sowie der zu Dzin , D yin senkrechten Komponente Dzin auf. Der Polarisator 3 besitzt eine erste Jones-Matrix J gemäß der Gleichung J

1 § 0 1· ¨ ¸ 2 © 0 1¹

(II)

Am Ausgangstor 18 des Polarisators 3 weist ein Ausgangssignal eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den Komponenten Dxout , D yout , D' zout des Polarisators 3 auf, wobei gemäß Gleichung D' zout

ist.

1 2 Din

(III)

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

243

Die Koppler 9, 10 weisen jeweils zwei Eingangstore 19, 21 und zwei Ausgangstore 20, 22 auf, wobei sich die jeweils zugeordneten Eingangs-/Ausgangstore 19, 20 in Lichtwellenrichtung gegenüberliegen und die Eingangs-/Ausgangstore 19, 21, 20, 22 in Parallelität zueinander gleich beabstandet sind. Der erste Koppler 9 kann vorzugsweise ein Drei-dB-Koppler mit 41

S sein, wobei 41 4

einen ersten Koppelwinkel darstellt. Damit entspricht das Ausgangssignal am Ausgangstor 18 des Polarisators 3 dem EingangssigS . nal für den ersten Drei-dB-Koppler 9 mit dem ersten Koppelwinkel 41 4 Es sind an das zweite Eingangstor 21 des ersten Kopplers 9 ein erster reflexionsfreier Abschluss 13 und an das erste Ausgangstor 20 des ersten Kopplers 9 ein um den zu messenden Strom i als Führungsgröße gewickelter Lichtwellenleiter – die Messspule 5 – angeschlossen, der eine zweite Jones-Matrix J J  D , eine erste z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz Tz  D sowie eine erste Windungszahl N zugeordnet sind. An das zweite Ausgangstor 22 des ersten Kopplers 9 ist ein um den elektrischen Leiter 15 gewickelter Lichtwellenleiter – die Kompensationsspule 12 – angeschlossen, der eine zweite Windungszahl N 0 , eine dritte Jones-Matrix J 0 J 0  D0 und eine zweite z-KomponentenÜbertragungsfunktion Tz 0 Tz 0  D0 zugeordnet sind, wobei der Strom i0 durch den elektrischen Leiter 15 die Regelgröße – den Messwert i0 – darstellt. Der auf die Kompensationsspule 12 bezogene Regelkreis arbeitet auf der Grundlage eines integrierenden Operationsverstärkerprinzips. Der zweite Koppler 10 ist ein Drei-dB-Koppler mit 42

S , wobei bei 42 einen zweiten Kop4

pelwinkel darstellt. Allgemein gilt, dass der Koppelwinkel 4 V L ist, wobei V der Koppelkoeffizient und L die Koppellänge darstellen. Die Messspule 5 mit der Messgröße i sowie die Kompensationsspule 12 mit dem Messwert i0 sind eingangsseitig an den zweiten Drei-dB-Koppler 10 mit dem zweiten Koppelwinkel S 42 angeschlossen, der als zweites Ausgangstor 26 einen reflexionsfreien zweiten Ab4 schluss 14 zu seinem eingangsseitigen, gegenüberliegenden Eingangstor 24 besitzt. Vorzugsweise können die Messspule 5 und die Kompensationsspule 12 folgende Parameter aufweisen: x gleiche Länge L, x gleiche Hauptbrechzahlen n x , n y , x gleiche Verdetkonstante V x gleiche Doppelbrechung G und x unterschiedliche Windungszahlen N , N 0 .

244

10 Anhänge

Die beiden Koppler 9 und 10 können vorzugsweise auf gleiche Koppelwinkel 41 42

S und 4

S eingestellt werden. 4

Für die gesamte z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tzges gilt die Gleichung: Tzges

Dzout / Dzin ,

(IV)

wobei auch die Gleichung Tzges

1 2 cos 41 Tz cos 42  1 2 sin 41 Tz 0 sin 42

(V)

gilt. Die optischen Koppler 9, 10 in Fig. 1 haben folgende Funktionen: Der erste Koppler 9 bewertet alle Komponenten des Eingangssignals entweder mit der Kosinusfunktion oder der Sinusfunktion in Abhängigkeit vom eingestellten Koppelwinkel 41 . Damit die Eingangspolarisation an den Ausgängen – den Ausgangstoren 20, 22 – des ersten Kopplers 9 erhalten bleibt, muss er genauso wie der zweite Koppler 10 polarisationserhaltend sein. Der zweite Koppler 10 führt die Signale aus den Lichtwellenleiterspulen 5, 12 und bewertet mit Sinusfunktion oder Kosinusfunktion in Abhängigkeit vom eingestellten zweiten Koppelwinkel 42 zusammen für die Auswertung im z-Komponenten-Analysator 7. Mit den beiden Kopplern 9, 10 wird auch das Minuszeichen in der Differenz der gesamten z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tzges durch eine Ausnutzung der Eigenschaften der imaginären Einheit j bei den Sinusfunktionen der Koppler-Übertragungsfunktionen zwischen den einzelnen Toren der Koppler 9, 10 eingestellt. Des weiteren ist an das erste Ausgangstor 25 des zweiten Kopplers 10 der z-KomponentenAnalysator 7 angeschlossen, der die von der Laserdiode 2 erzeugten Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dxin , D yin , die über den Polarisator 3, den ersten Koppler 9, die Lichtwellenleiter-Spulen 5, 12 und den zweiten Koppler 10 übertragen werden, unterdrückt, wodurch nur die z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dzout im zugehörigen Lichtempfänger in den Photostrom i ph gewandelt wird Die Auswerteeinrichtung 8 kann vorzugsweise einen Integrator darstellen. Der zugehörige Regelkreis arbeitet in seinem Stabilitätsverhalten auf der Grundlage der „Harmonischen Balance“ mit Einschwingvorgängen, wobei final der Messwert i0 im Kompensationsteil 16 im eingeschwungenen Zustand gemessen wird. In Fig. 2 ist der Integrator 8 der Kompensationsspule 12 zugeordnet, die den einseitig mit Masse verbundenen zweiten elektrischen Leiter 15 umwindet. Der Integrator 8 in Fig. 2 besteht im Wesentlichen aus einem invertierenden Eingang 33 und seinem Ausgang 31 parallel geschalteten Kondensator 29 und einem an seinem Ausgang 31 angeschlossenen, in Reihe nachgeordneten Widerstand 30. Der Widerstand 30 steht mit dem der Kompensationsspule 12 zugeordneten zweiten Leiter 15 in Verbindung, der an Masse anliegt. Am Ausgang 31 des ersten Operationsverstärkers 28 wird die Messspannung U Mess abgegriffen. Unter Verwendung gleicher Bezugszeichen ist in Fig. 3 ein Integrator 8 vorhanden, dessen zugeordneter zweiter Leiter 15 im Unterschied zur Fig. 2 nicht an Masse, sondern an den Ausgang 34 eines zweiten Operationsverstärkers 32 zugeführt ist, so dass eine „schwimmende“ Kompensationsspule 12 vorliegt. Die Eingänge des zweiten Operationsverstärkers 32 sind

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

245

dessen invertierender Eingang 35, der mit dem Ausgang des Widerstandes 30 verbunden ist, und dessen nichtinvertierender Eingang 36, der an der Masse anliegt. Bei beiden Integratoren 8 können nach den Fig. 2a, Fig. 3a aus dem Widerstandswert R, dem Kondensatorwert C und dem zeitlichen Verlauf des Photostroms i ph  t der Messwert i0 gemäß der Gleichung i0

1 / RC

³

i ph  t dt  c

(VI)

ermittelt werden. Außerdem ist der Photostrom i ph  t im z-Komponenten-Analysator 7 proportional der Differenz der beiden Drehwinkel D , D0 gemäß der Beziehung:

i ph  t  ª¬ D  t  D0  t º¼

2

Der den Photostrom i ph  t empfangende Integrator 8 ist somit derart ausgebildet, dass die bleibende Regelabweichung, d. h. die Differenz der Drehwinkel D  t  D0  t in Abhängigkeit von der Einschwingzeit t mit t gegen Unendlich, gegen Null geht und der Integrator ausgangsseitig den Messwert i0 liefert, um daraus die Messgröße i zu ermitteln. Gemäß der Gleichung i0

N i N0

(I)

liegt in der Schaltungsanordnung 1 ein optischer Transformator vor, wobei der Faraday-Effekt zur Drehung der Polarisationsebenen der in der Messspule 5 und der Kompensationsspule 12 getrennt laufenden Lichtwellen um die Faraday-Winkel D , D0 – als erster Drehwinkel D und zweiter Drehwinkel D0 bezeichnet – vorhanden ist und die sich ausbildenden Drehwinkel D , D0 stromproportional der Messgröße i im Messteil 11 bzw. dem Messwert i0 im Kompensationsteil 16 entsprechend den Proportionalitäten D  i und D0  i0 sind. Im Folgenden wird die Funktionsweise der erfindungsgemäßen Schaltungsanordnung 1 zur Messung elektrischer Ströme i in einem elektrischen Leiter 6 mit Lichtwellenleitern erläutert: Wesentlich für die Ausgangslage ist eine schräge Anregung der Schaltungsanordnung 1 durch eine Laserdiode 2 und damit die Erzeugung der z-Komponente Dz als Längskomponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte. Die schräge Anregung wird durch eine geschlossene Einkoppelstelle 27 erreicht, in der unter einem bestimmten Winkel M die Lichtquelle 2 und der Polarisator 3 achsenbezogen miteinander verbunden sind. Daraus ergibt sich eine durchgängige und finale Verwendung der ersten z-KomponentenÜbertragungsfunktion Tz der Messspule 5 für den optischen Messteil 11 der Schaltungsanordnung 1. Die zweite skalare z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz 0 ist dem Kompensationsteil 16 zugeordnet. Dabei erfolgt eine Ausnutzung des Kompensationsprinzips für die beiden skalaren z-Komponenten-Übertragungsfunktionen Tz ,Tz 0 des Messteils 11 und des Kompensationsteils 16 der Schaltungsanordnung 1.

246

10 Anhänge

Dazu wird ein einfacher stabiler Regelkreis mit dem eingeschalteten Integrator 8 zur weitgehenden Elimination der bleibenden Regelabweichung D  t  D0  t mit t o f eingesetzt. Die Schaltungsanordnung 1 lässt sich durch die genaue Einstellung des Winkels M der schrägen Anregung relativ leicht abgleichen. Die Messwerte i0 sind unter den gegebenen Bedingungen schon nach einer Einschwingzeit t von weniger als 1 s verfügbar. Durch die Berücksichtigung des Faraday-Effektes zur stromproportionalen Drehung der Polarisationsebenen der in den gleichartigen Lichtwellenleiter-Spulen – der Messspule 5 und der Kompensationsspule 12 – getrennt laufenden Lichtwellen wird die Drehung der Polarisationsebenen längs der z-Richtung miteinander verglichen. Dabei wird ein einfacher linearer Zusammenhang zwischen der Messgröße i und dem Messwert i0 durch den Proportionalitätsfaktor – das Windungszahlenverhältnis N / N 0 – der beiden zugehörigen Lichtwellenleiter-Spulen 5, 12 vermittelt. Das bedeutet auch, dass die Erfindung es ermöglicht, dass die Schaltungsanordnung 1 alle nachteiligen Effekte, wie z. B. die Doppelbrechung gleichartiger Lichtwellenleiter eliminiert und somit ein linearer Zusammenhang zwischen der Messgröße i und dem Messwert i0 durch das Windungszahlenverhältnis in der Form i0

N i N0

gegeben ist. Bezugszeichenliste 1 Schaltungsanordnung 2 Lichtquelle 3 Polarisator 4 erster Lichtwellenleiter 5 Messspule 6 erster elektrischer Leiter 7 Analysator 8 Auswerteeinrichtung 9 erster Koppler 10 zweiter Koppler 11 Messteil 12 Kompensationsspule 13 erster Abschluss 14 zweiter Abschluss 15 zweiter elektrischer Leiter 16 Kompensationsteil 17 Eingangstor des Polarisators 18 Ausgangstor des Polarisators 19 erstes Eingangstor des ersten Kopplers

(I)

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor 20 erstes Ausgangstor des ersten Kopplers 21 zweites Eingangstor des ersten Kopplers 22 zweites Ausgangstor des ersten Kopplers 23 erstes Eingangstor des zweiten Kopplers 24 zweites Eingangstor des zweiten Kopplers 25 erstes Ausgangstor des zweiten Kopplers 26 zweites Ausgangstor des zweiten Kopplers 27 Einkoppelstelle 28 erster Operationsverstärker 29 Kondensator 30 Widerstand 31 Ausgang 32 zweiter Operationsverstärker 33 invertierender Eingang 34 Ausgang 35 invertierender Eingang 36 nichtinvertierender Eingang i

Messgröße – zu messender Strom im ersten elektrischen Leiter

J

erste Jones-Matrix

J D

zweite Jones-Matrix

Tz  D

erste z-Komponenten-Übertragungsfunktion

Tzges

gesamte z-Komponenten-Übertragungsfunktion

N

erste Windungszahl der Messspule

N0

zweite Windungszahl der Kompensationsspule

i0

Messwert – Strom durch den zweiten elektrischen Leiter

J 0  D0

dritte Jones-Matrix

Tz 0  D0

zweite z-Komponenten-Übertragungsfunktion

D

erster Drehwinkel in der Messspule

D0

zweiter Drehwinkel in der Kompensationsspule

41

erster Koppelwinkel

42

zweiter Koppelwinkel

M

Winkel

R

Widerstandswert

247

248

10 Anhänge

C

Kondensatorwert

U Mess

Messspannung

i ph

Photostrom

t

Zeit

Patentansprüche 1.

Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern, enthaltend als Messteil – eine Lichtquelle zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, – einen Polarisator, der mit der Lichtquelle mittels eines Lichtwellenleiters verbunden ist, – eine Lichtwellenleiter-Messspule, die den elektrischen Leiter umgibt, – einen Analysator, an den die Lichtwellenleiter-Messspule geführt ist, – einen Lichtempfänger mit einer Auswerteeinrichtung, wobei der Lichtempfänger dem Analysator zugeordnet ist, dadurch gekennzeichnet, dass die Lichtquelle (29) schräg unter einem Winkel M an den nachfolgenden Polarisator (3), der für die z-Richtung favorisiert ist, angeschlossen ist sowie zwischen dem Polarisator (3) und der Lichtwellenleiter-Messspule (5) ein erster Koppler (9) und zwischen der Lichtwellenleiter-Messspule (5) und dem Analysator (7) ein zweiter Koppler (10) angeordnet ist, wobei die Koppler (9, 10) einem zum Messteil (11) parallel gerichteten, beidseitig reflexionsfreien Kompensationsteil (16) zugeordnet sind, in dem sich zwischen den Kopplern (9, 10) eine Lichtwellenleiter-Kompensationsspule (12) angekoppelt befindet, die einen zweiten elektrischen Leiter (15) umgibt, wobei die Koppler (9, 10) jeweils zur Gegenseite der Ankopplung der LichtwellenleiterKompensationsspule (12) reflexionsfreie Abschlüsse (13, 14) aufweisen, wobei dem zweiten elektrischen Leiter (15) eine Auswerteeinrichtung (8) zugeordnet ist, die mit dem Lichtempfänger des Analysators (7) in Verbindung steht und einen Messwert i0 erzeugt, so dass die Messgröße i aus der Gleichung i0

N i N0

(I)

in der zugehörigen Auswerteeinrichtung (8) ermittelbar ist, wobei der am Ende des optischen Teils (11, 16) angeordnete Analysator (7) die x-Komponente Dx und die yKomponente D y der elektrischen Verschiebungsflussdichte unterdrückt und nur bei deren z-Komponente einen Photostrom i ph liefert, der einen Regelkreis steuert, der der Kompensationsspule (12) zugeordnet ist und den Messwert i0 liefert. 2.

Schaltungsanordnung nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, dass die Lichtquelle (2) eine Laserdiode ist.

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor 3.

249

Schaltungsanordnung nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass am Eingangstor (17) des Polarisators (3) ein Eingangssignal eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den zum zugehörigen Eingangstor (17) parallelen Komponenten Dxin , D yin sowie der zu den parallelen Komponenten Dxin , D yin senkrechten Komponente Dzin aufweist.

4.

Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der Polarisator (3) eine erste Jones-Matrix J gemäß Gleichung J

1 § 0 1· ¨ ¸ 2 © 0 1¹

(II)

besitzt. 5.

Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass am Ausgangstor (18) des Polarisators (3) ein Ausgangssignal eine elektrische Verschiebungsflussdichte mit den Komponenten Dzout , D yout , D' zout des Polarisators (3) aufweist, wobei gemäß Gleichung D' zout

(III)

1 2 Din

ist, wobei D' zout die finale z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte am Ausgang des Polarisators ist. 6.

Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass die Koppler (9, 10) jeweils zwei Eingangstore (19, 21) und zwei Ausgangstore (20, 22) aufweisen, wobei sich die jeweils zugeordneten Eingangs-/Ausgangstore (19, 20) in Lichtwellenrichtung gegenüberliegen und die Eingangs-/Ausgangstore (19, 21; 20, 22) in Parallelität zueinander gleich beabstandet sind.

7.

Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der erste Koppler (9) ein Drei-dB-Koppler mit 41

S ist, wobei 41 einen ersten 4

Koppelwinkel darstellt. 8.

Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der zweite Koppler (10) ein Drei-dB-Koppler mit 42 zweiten Koppelwinkel darstellt.

S ist, wobei 42 einen 4

250 9.

10 Anhänge Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass das Ausgangssignal am Ausgangstor (18) des Polarisators (3) dem Eingangssignal S für den ersten Drei-dB-Koppler (9) mit dem ersten Koppelwinkel 41 entspricht. 4

10. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass an das zweite Eingangstor (21) des ersten Kopplers (9) ein erster reflexionsfreier Abschluss (13) und an das erste Ausgangstor (20) des ersten Kopplers (9) ein um den zu messenden Stromes i als Führungsgröße – die Messgröße i – gewickelter Lichtwellenleiter – die Messspule (5) –, der eine zweite Jones-Matrix J J  D und eine erste zKomponenten-Übertragungsfunktion Tz Tz  D in Abhängigkeit von dem ersten Drehwinkel D der Polarisationsebene der nichtabgelenkten Lichtwelle sowie eine erste Windungszahl N zugeordnet sind, angeschlossen sind. 11. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass an das zweite Ausgangstor (22) des ersten Kopplers (9) ein um den zweiten elektrischen Leiter (15) gewickelter Lichtwellenleiter – die Kompensationsspule (12) – angeschlossen ist, der eine zweite Windungszahl N 0 , eine dritte Jones-Matrix J 0 J 0  D0 und eine zweite z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz 0 Tz 0  D0 in Abhängigkeit von dem zweiten Drehwinkel D0 der Polarisationsebene der abgelenkten Lichtwelle zugeordnet sind, wobei der Strom i0 durch den zweiten elektrischen Leiter (15) die Regelgröße , den Messwert i0 – darstellt. 12. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass die Messspule (5) mit der Messgröße i sowie die Kompensationsspule (12) mit dem Messwert i0 eingangsseitig an den zweiten Drei-dB-Koppler (10) mit dem zweiten KopS pelwinkel 42 angeschlossen sind, der als zweites Ausgangstor (26) einen reflexions4 freien zweiten Abschluss (14) zu seinem der Kompensationsspule (12) zugeordneten, eingangsseitigen, gegenüberliegenden zweiten Eingangstor (24) besitzt. 13. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass an das erste Ausgangstor (25) des zweiten Kopplers (10) ein z-KomponentenAnalysator (7) angeschlossen ist, der die von der Laserdiode (2) erzeugten Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dxin , D yin , die über den Polarisator (3), den ersten Koppler (9), die Lichtwellenleiter-Spulen (5, 12) und den zweiten Koppler (10) übertragen werden, unterdrückt, wodurch nur die z-Komponenten der elektrischen Verschiebungsflussdichte Dzout im zugehörigen Lichtempfänger in einen Photostrom i ph gewandelt wird.

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

251

14. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass die lichtwellenleiterbasierende Messspule (5) und die Kompensationsspule (12) wahlweise folgende Parameter: – gleiche Länge L, – gleiche Hauptbrechzahlen n x , n y , – gleiche Verdetkonstante V, – gleiche Doppelbrechung G und – unterschiedliche Windungszahlen N , N 0 besitzen. 15. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass für die gesamte z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tzges unter Berücksichtigung der z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz des Messteils (11) und unter Berücksichtigung der z-Komponenten-Übertragungsfunktion Tz 0 des Kompensationsteils (16) die Gleichung Tzges

1 2 cos 41 Tz cos 42  1 2 sin 41 Tz 0 sin2

(V)

gilt. 16. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass die Auswerteeinrichtung (8) einen Regelkreis einschließlich eines Integrators aufweist. 17. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der zugehörige Regelkreis ein Stabilitätsverhalten auf der Grundlage der „Harmonischen Balance“ mit Einschwingvorgängen aufweist. 18. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der Integrator (8) im Wesentlichen aus einem ersten Operationsverstärker (28), einem dazu zwischen dem invertierenden Eingang (33) und dem Ausgang (31) parallel geschalteten Kondensator (29) und einem am Ausgang (31) angeschlossenen, in Reihe nachgeordneten Widerstand (30) besteht, wobei der Widerstand (30) mit dem der Kompensationsspule (12) zugeordneten zweiten elektrischen Leiter (15) in Verbindung steht, der an Masse anliegt, und wobei am Ausgang (31) des ersten Operationsverstärkers (28) die Messspannung uMess abgegriffen wird.

252

10 Anhänge

19. Schaltungsanordnung nach Anspruch 18, dadurch gekennzeichnet, dass der zugeordnete zweite elektrische Leiter (15) dem Ausgang (34) eines zweiten Operationsverstärkers (32) zugeführt ist, wodurch eine „schwimmende“ Kompensationsspule (12) vorliegt und wobei die Eingänge des zweiten Operationsverstärkers (32) dessen invertierender Eingang (35), der mit dem Ausgang des Widerstandes (30) verbunden ist, und dessen nichtinvertierender Eingang (36), an dem die Masse anliegt, sind. 20. Schaltungsanordnung nach Anspruch 18 oder 19, dadurch gekennzeichnet, dass mit den Integratoren (8) aus dem Widerstandswert R, aus dem Kondensatorwert C und aus dem Verlauf des Photostromes i ph  t der Messwert i0 nach Gleichung i0

1 / RC

³

i ph  t dt  c

(VI)

ermittelbar ist. 21. Schaltungsanordnung nach einem vorhergehenden Anspruch, dadurch gekennzeichnet, dass der den Photostrom i ph  t empfangende Integrator (8) derart ausgebildet ist, dass die bleibende Regelabweichung, d.h. die Differenz der Drehwinkel D  t  D0  t in Abhängigkeit von der Einschwingzeit t mit t gegen Unendlich, gegen Null geht und der Integrator (8) ausgangsseitig den Messwert i0 liefert. 22. Schaltungsanordnung nach Anspruch 1 bis 21, dadurch gekennzeichnet, dass gemäß der Gleichung i0

N i N0

(I)

ein optischer Transformator vorliegt, wobei der Faraday-Effekt zur Drehung der Polarisationsebenen der in der Messspule (5) und der Kompensationsspule (12) getrennt laufenden Lichtwellen um den jeweiligen Drehwinkel D , D0 – den zugehörigen FaradayWinkeln – vorhanden ist, wobei die sich ausbildenden Drehwinkel D , D0 stromproportional der Messgröße i im Messteil (11) bzw. dem Messwert i0 im Kompensationsteil (16) entsprechend den Proportionalitäten D  i und D0  i0 sind. Hierzu siehe 3 Blätter Zeichnungen ab Seite 254.

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

253

Zusammenfassung Die Erfindung betrifft eine Schaltungsanordnung zur Messung elektrischer Ströme in elektrischen Leitern mit Lichtwellenleitern, enthaltend ein Messteil mit einer Lichtquelle zum Erzeugen eines polarisierten Messlichtes, einem Polarisator, einer Lichtwellenleiter-Messspule, die den elektrischen Leiter umgibt, einem Analysator, an den die Lichtwellenleiter-Messspule geführt ist, und einem Lichtempfänger mit einer Auswerteeinrichtung, wobei der Lichtempfänger dem Analysator zugeordnet ist. Es soll in einfacher Weise eine schwankende Doppelbrechung und Temperaturschwankungen kompensiert werden können. Die Lösung besteht darin, dass die Lichtquelle (2) schräg unter einem Winkel M an den nachfolgenden Polarisator (3), der für die z-Richtung favorisiert ist, angeschlossen ist sowie zwischen dem Polarisator (3) und der Lichtwellenleiter-Messspule (5) ein erster Koppler (9) und zwischen der Lichtwellenleiter-Messspule (5) und dem Analysator (7) ein zweiter Koppler (10) angeordnet ist, wobei die Koppler (9, 10) einem zum Messteil (11) parallel gerichteten, beidseitig reflexionsfreien Kompensationsteil (16) zugeordnet sind, in dem sich zwischen den Kopplern (9, 10) eine Lichtwellenleiter-Kompensationsspule (12) angekoppelt befindet, die einen zweiten elektrischen Leiter (15) umgibt, wobei die Koppler (9, 10) jeweils zur Gegenseite der Ankopplung der Lichtwellenleiter-Kompensationsspule (12) reflexionsfreie Abschlüsse (13, 14) aufweisen, wobei dem zweiten elektrischen Leiter (15) eine Auswerteeinrichtung (8) zugeordnet ist, die mit dem Lichtempfänger des Analysators (7) in Verbindung steht und einen Messwert i0 erzeugt, so dass die Messgröße i aus der Gleichung i0

N i N0

(I)

in der zugehörigen Auswerteeinrichtung (8) ermittelbar ist, wobei der am Ende des optischen Teils (11, 16) angeordnete Analysator (7) die x-Komponente Dx und die y-Komponente D y der elektrischen Verschiebungsflussdichte unterdrückt und nur bei deren z-Komponente einen Photostrom i ph liefert, der einen Regelkreis steuert, der der Kompensationsspule (12) zugeordnet ist und den Messwert i0 liefert.

254

10 Anhänge

A6 Erfindung: Faseroptischer Stromsensor

255

256

10 Anhänge

A7 Signalverarbeitung in faseroptischen Stromsensoren

257

A7 Signalverarbeitung in faseroptischen Stromsensoren A7.1 Beschreibung der Erfindung Der unter Anhang A6 angegebene faseroptische Stromsensor kann wegen des Einsatzes eines Integrators ohne Arbeitspunkteinstellung für die Photodiode nur positive Gleichströme sinnvoll messen. Durch die Erfindung wird das Problem der Messung von elektrischen Strömen i  t bei beliebiger Signalform, z. B. bei Überlagerung von Gleich- und Wechselanteil beliebigen Vorzeichens, gelöst. Dieses Problem wurde bisher durch eine aufwendige Signalverarbeitungseinheit mit mehreren Photodioden, z. T. auch Laserdioden und Installation bis zu vier Messkanälen ohne vollständige Kompensation der Doppelbrechung gelöst. Die bekannten Lösungen, außer die eigene, besitzen die Nachteile x hoher Aufwand in der Signalverarbeitungseinheit durch den Einsatz mehrerer Photodioden x keine vollständige Kompensation der Doppelbrechung der verwendeten Lichtwellenleiter x hoher Aufwand durch den Einsatz mehrerer Laserdioden Der vorgelegten Erfindung liegt die Aufgabe der Messung elektrischer Ströme beliebiger Signalform ohne Eingriff in den elektrischen Stromkreis der Messgröße zugrunde. Diese Aufgabe wird erfindungsgemäß durch den in Anhang A6 dargestellten optischen Teil des faseroptischen Stromsensors und durch den Aufbau eines Regelkreises für den Messwert i0  t als elektrischer Strom nach Fig. 1a oder Fig. 1b gelöst. In Fig. 1a und Fig. 1b ist dabei der optische Teil bis auf die Kompensationsspule nicht gezeichnet und das Differenzprinzip zur Kompensation der Doppelbrechung aus A6 wird beibehalten. Das wesentlich Neue und der Kern der Erfindung sind darin zu sehen, dass durch die Arbeitspunkteinstellung der Photodiode mit dem Gleichstrom I ph bei Aussteuerung durch den positiven Strom der Photodiode i ph  t positive oder negative Werte des Messwertes i0  t möglich sind und dass der entstehende DC-Offset

r K ph I ph

mit der Konstanten

K ph , ª¬ K ph º¼ 1A , zur Erzeugung einer messwertproportionalen Spannung uMess  t durch die in Fig. 1a oder Fig. 1b gekennzeichnete Baugruppe abgetrennt wird. Dabei kann die bleibende Regelabweichung, verursacht durch die endliche Spannungsverstärkung des linken Operationsverstärkers in Fig. 1a oder Fig. 1b durch Verwendung von Operationsverstärkern mit entsprechend hoher Spannungsverstärkung beliebig klein gemacht werden, sofern dadurch nicht die Stabilitätsbedingung bezüglich der optischen Rückkopplung verletzt wird.

Gegenüber der in A6 angegebenen Lösung werden folgende wesentlichen und zusätzlichen Vorteile erzielt: x Messung von elektrischen Strömen i  t beliebiger Signalform und beliebigen Vorzeichens bei vollständiger Kompensation der Doppelbrechung, x kein langsames Einschwingen des Sensors auf den Messwert i0  t und keine eventuellen Polstellen im Einschwingungsverhalten wie in A6, x einfacher unkomplizierter Aufbau der Signalverarbeitungseinheit,

258

10 Anhänge

x leichter Abgleich der Signalverarbeitungseinheit mit einem gegenläufigen Tandempotentiometer bezüglich der DC-Offset-Abtrennung x leichte Einhaltung der Konstanzbedingung des DC-Offsets durch Verwendung eines amplitudenstabilisierten Lasers im optischen Teil des Sensors bezüglich K ph und Einstellung des Gleichstromes I ph mit einer einfachen Stromquelle gemäß I ph

U R ph

const.

A7.2 Erläuterung der Erfindung Bedingt durch den in A6 angegebenen optischen Teil des faseroptischen Stromsensors entsteht im Zusammenwirken mit dem Regelkreis bezüglich der optischen Rückkopplung der Photostrom

i ph ( t )

ª N º « N i( t )  io ( t )» ¬ o ¼ K ph

2

(A7.1)

I ph

gemäß Fig. 1a oder Fig. 1b. In A7.1 bedeuten i ph  t I ph

Strom der Photodiode U R ph

Konstantstrom

const.

N N0

Windungszahl der LWL-Messspule Windungszahl der LWL-Kompensationsspule

i t

elektrischer Strom (Messgröße)

i0  t

elektrischer Strom (Messwert)

K ph

16 V 2 N o2 S E Pzin

const. Konstante

V SE

Verdet-Konstante Photoempfindlichkeit der Photodiode

Pzin

optische Eingangsleistung des faseroptischen Stromsensors in Form der z-Komponente (z-Längsrichtung in den LWL), herrührend vom amplitudenstabilisierten Laser mit der Bedingung Pzin const.

Die Lösung der quadratischen Gleichung A7.1 lautet N iN i ( t ) r K ph I ph o( t ) No  

  

Messwert DC-Offset messengrößenproportionaler Anteil

(A7.2)

A7 Signalverarbeitung in faseroptischen Stromsensoren

259

Der Widerstand R0 verhindert als Minimalwert einen Kurzschluss am Ausgang des linken Operationsverstärkers nach Fig. 1a und Fig. 1b und sorgt für eine genügend große Spannungsverstärkung dieses Operationsverstärkers. Der Maximalwert von R0 wird durch den Spannungsaussteuerbereich des linken Operationsverstärkers im Zusammenwirken mit der Messgröße i  t sowie des DC-Offsets gemäß A7.2 und damit i0  t bestimmt. Es gibt also einen Optimalwert für R0 . Aus Fig. 1a ergibt sich für die messgrößenproportionale Spannung umess ( t ) am Ausgang des rechten Operationsverstärkers uMess ( t )  R2 >i0 ( t )  I   I  @

mit

I

U R  R1

I



sowie U 

(A7.3) (A7.3a)

U R  R1

(A7.3b) (A7.3c)

U 

Durch Einsetzen von A7.2 in A7.3 erhalten Sie ª N º uMess ( t )  R2 « i( t ) r K ph I ph  I   I  » ¬ N0 ¼

(A7.4)

Die DC-Offset-Abtrennung erfolgt durch Einstellung des gegenläufigen Tandempotentiometers bezüglich R und R , so dass gilt I  I

(A7.5)

r K ph I ph

Damit ergibt sich gemäß A7.4 und A7.5: uMess ( t )  R2

N i( t ) ~ i( t ) . N0

(A7.6)

Der Vorteil der Gewinnung der Messspannung uMess  t gemäß A7.6 liegt darin, dass sie nicht von den Einstellwiderständen R und R abhängt. Nachteilig ist, dass die Messgröße invertiert vorliegt, wenn man aus Aufwandsgründen keine invertierende Operationsverstärkerschaltung an den rechts liegenden Ausgang gemäß Fig. 1a anschließt. Aus Fig. 1b ergibt sich für die messgrößenproportionale Spannung uMess  t am Ausgang des rechten Operationsverstärkers uMess ( t )

mit

U

R  R1 R  R1 º  »U    R R R R 2  1   R  2 R1 ¼ ¬  ª

 R  R1  R  R1 io ( t )  «

(A7.7)

U  .

Durch Einsetzen von i0  t gemäß A7.2 in A7.7 erhält man wieder die Bedingung A7.5 für die DC-Offset-Abtrennung unter Berücksichtigung von A7.3a, A7.3b und A7.3c. Damit gilt für die Messspannung uMess ( t )

 R  R1  R  R1 )

N i( t ) ~ i( t ) . N0

(A7.8)

260

10 Anhänge

Der Vorteil der Gewinnung der Messspannung gemäß A7.8 liegt in dem nichtinvertierten Auftreten der Messgröße i  t . Nachteilig ist, dass uMess  t von den Einstellwerten der Widerstände R und R abhängt. Ein weiterer Vorteil der Schaltung nach Fig. 1b gegenüber Fig. 1a ist, dass ein großer Strom i0  t bei großer Messgröße i  t nicht vom rechten Operationsverstärker, wohl aber vom Netzteil zur Erzeugung von U  und U  aufgebracht werden muss.

R1

U-

Fig. 1a

iph

Arbeitspunkteinstellung

R ph

U-

U+

Iph

+

R0

i0

LWL

Kompensationsspule

R-

R+

R1

DC-Offset-Abtrennung

-

U+

I+

I

+

R2

u Mess

Durch Einfügen der Widerstände, bezeichnet mit R1 , in den DC-Offset-Abtrennungen nach Fig. 1a und Fig. 1b wird verhindert, dass eine unzulässig große positive oder negative Spannung durch eine eventuelle Fehleinstellung des Tandempotentiometers an den Eingang des rechten Operationsverstärkers gelangt. Mit Hilfe des Widerstandes R2 wird im Zusammenwirken mit dem rechten Operationsverstärker in Fig. 1a eine Strom-Spannungswandlung durchgeführt. Die Spannungsverstärkung des rechten Operationsverstärkers in Fig. 1b ist gleich 1.

U-

+

R0

i0

Kompensationsspule

LWL

U-

-

I

+

DC-Offset-Abtrennung

R1

R-

I+

+I

Fig. 1b

iph

I ph

Arbeitspunkteinstellung

R ph

U+

R+

R1

U+

R2

uMess

A7 Signalverarbeitung in faseroptischen Stromsensoren 261

I+

262

Bildverzeichnis 2-1

Zu den Stetigkeitsbedingungen

5

2-2

Feldbilder

11

2-3

Zur Wechselwirkungsrelation

15

2-4

Grenzschicht isotrop o anisotrop

16

2-5

Grenzschicht anisotrop o isotrop

29

2-6

Optisches Bauelement mit Quer- und Längsgrenzflächen

37

3-1

Tandembetrieb zweier Laserdioden

73 O

3-2

Optischer Isolator, bestehend aus E0 -Polarisator und –45 -Rotator

108

3-3

RT-Zerlegung einer orthogonalen Transformationsmatrix A

116

3-4

RT-Zerlegung einer unitären Transformationsmatrix, B

122

4-1

Zur Nichtdiagonalform der verallgemeinerten Wiener-Lee-Beziehung

161

4-2

Zur Diagonalform der verallgemeinterten Wiener-Lee-Beziehung im Frequenzbereich mit eingangsseitiger Diagonalsierung der erweiterten Kohärenzmatrix

161

Zur Diagonalform der verallgemeinerten Wieder-Lee-Beziehung im Frequenzbereich mit ausgangsseitiger Diagonalisierung der erweiterten Kohärenzmatrix

162

Zur eingangsseitigen Jones-Matrix-äquivalenten Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

167

Zur ausgangsseitigen Jones-Matrix-äquivalenten Transformation der erweiterten Kohärenzmatrix

170

5-1

Signalflussgraphen für die z-KÜF

184

5-2

187

5-3

Aufbau eines z-Komponenten-Analysators G G Ringphotodiode mit Poynting-Vektor S p und differenziellen Flächenelement dF

191

5-4

Signalflussgraphen für die Betragsquadrate der z-KÜF

192

6-1

N-Tor

201

6-2

2M-Tor

204

4-3

4-4 4-5

A2-1, A3-1 Koordinatensysteme für die x-, y-KÜF A4-1 Zum Laserrauschen

223, 225 227

263

Tabellenverzeichnis 3-1

Modenanregungsbedingungen

73

3-2

Anisotroper LWL

75

3-3

Isotroper LWL

76

3-4

E0 -Polarisator

77

3-5

H 0 -Polarisator

78

3-6

O - Platte 4

79

3-7

O - Platte 2

80

3-8

Faseroptischer Verstärker

81

3-9

z-Komponenten-Übertragungsfunktionen bei diagonalem Dielektrizitätstensor

82

3-10

Näherung für den anisotropen LWL

99

3-11

Näherungen für den isotropen LWL

100

Abkürzungsverzeichnis DGL G div A

Differenzialgleichung G Divergenz des Vektors A

Aim a

Limes von a

LWL

Lichtwellenleiter

PDL

polarisationsabhängige Dämpfung

PMD G rot A

Polarisationsmodendispersion G Rotation des Vektors A

RT-Zerlegung

Rotationszerlegung

sp > a @

Spur von a

x-KÜF

x-Komponenten-Übertragungsfunktion

y-KÜF

y-Komponenten-Übertragungsfunktion

ZKA

z-Komponenten-Analysator

z-KIF

z-Komponenten-Impulsfunktion

z-KFK

z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten

z-KÜF

z-Komponenten-Übertragungsfunktion

264

Formelzeichen

Formelzeichen A

Transformationsmatrix

Aa

schiefsymmetrischer Teil der Matrix A

As G A A

symmetrischer Teil der Matrix A beliebiger Vektor, Jones-Vektor

a

Hyper-Jones-Vektor Schwankungsparameter

B

Transformationsmatrix

Ba

schiefsymmetrischer Teil der Matrix B

Bs G B

symmetrischer Teil der Matrix B Vektor der magnetischen Flussdichte

Bn

Normalkomponente der magnetischen Flussdichte

Bt

Tangentialkomponente der magnetischen Flussdichte

B x , B y , Bz

x-, y-, z-Komponente der magnetischen Flussdichte

c

1 Po Ho

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

G D

Vektor der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Dn

Normalkomponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Dt

Tangentialkomponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

D x , D y , Dz

x-, y-, z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte

ˆ ,D ˆ ˆ D xq yq , Dzq

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte der Quellenwelle

ˆ ,D ˆ ˆ D xR yR , DzR

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte der reflektierten Welle

ˆ ,D ˆ ,D ˆ D xT yT zT

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Verschiebungsflussdichte der transmittierten Welle

G E G e G G G e x , e y , ez

Basisvektoren des kartesischen Koordinatensystems

En

Normalkomponente der elektrischen Feldstärke

Et

Tangentialkomponente der elektrischen Feldstärke

Vektor der elektrischen Feldstärke Polarisationseinheitsvektor

Formelzeichen

265

Ex , E y , Ez

x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldstärke

Eˆ xq , Eˆ yq , Eˆ zq

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldstärke der Quellenwelle

Eˆ xR , Eˆ yR , Eˆ zR

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldstärke der reflektierten Wellen

Eˆ xT , Eˆ yT , Eˆ zT

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldstärke der transmittierten Welle

ex , e y

normierte Beträge der x-, y-Komponente des Polarisations-

F

einheitsvektors Fläche

G  t1 , t2

Kohärenzmatrix im Zeitbereich (2x2-Matrix)

G  Z1 , Z2

Frequenzdarstellung der Kohärenzmatrix (2x2-Matrix)

G erw  t1 , t2

erweiterte Kohärenzmatrix im Zeitbereich (3x3-Matrix)

G erw  Z1 , Z2

Frequenzdarstellung der erweiterten Kohärenzmatrix (3x3-Matrix)

G derw  t1 , t2

diagonale erweiterte Kohärenzmatrix (3x3-Matrix) im Zeitbereich

G derw  Z1 , Z2

diagonale erweiterte Kohärenzmatrix (3x3-Matrix) im Frequenzbereich

G  Z

Verstärkung eines faseroptischen Verstärkers

Gz  t1 , t2

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich

G z  Z1 , Z2

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich

G zd  t1 , t2

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

Gzd  Z1 , Z2

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

G H

Vektor der magnetischen Feldstärke

Hn

Normalkomponente der magnetischen Feldstärke

Ht

Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke

Hx , H y , Hz

x-, y-, z-Komponente der magnetischen Feldstärke

Hˆ xq , Hˆ yq , Hˆ zq

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der magnetischen Feldstärke der Quellenwelle

Hˆ xR , Hˆ yR , Hˆ zR

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der magnetischen Feldstärke der reflektierten Welle

266

Formelzeichen

Hˆ xT , Hˆ yT , Hˆ zT

Amplituden der x-, y-, z-Komponente der magnetischen Feldstärke

I

der transmittierten Welle Elektrischer Strom I

Erwartungswert der Intensität bei stationären ergodischen Prozessen

I t

I t I zd I zd

Intensität eines optischen Signals Erwartungswert der Intensität

z-Komponenten-Intensität bei stationären ergodischen Prozessen und diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität bei stationären ergodischen Prozessen und diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

I zd  t

z-Komponenten-Intensität bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

I zd  t

Erwartungswert der z-Komponenten-Intensität bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

i ph

Photostrom

J

Jones-Matrix (2x2-Matrix)

Jd

diagonale Jones-Matrix (2x2-Matrix)

J erw

erweiterte Jones-Matrix (3x3-Matrix)

J derw

diagonale erweiterte Jones-Matrix (3x3-Matrix)

R J erw

rechtsseitige erweiterte Jones-Matrix (3x3-Matrix)

j erw

erweiterte Fourier-Matrizen (3x3-Matrizen) der Ordnung n

Jn J

Bessel-Funktion der Ordnung n vom Argument J

jzn

z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten

d jzn

z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten bei diagonaler erweiterter periodischer Matrizenfunktion

n

G kq G kR G kT L

Wellenvektor der Quellenwelle Wellenvektor der reflektierten Welle Wellenvektor der transmittierten Welle Länge

Formelzeichen

267 Windungszahlen

N , No G n G G n' n

Eigenvektor nach der Schwankung

n

optische Brechzahl

nx , n y , nz

Hauptbrechzahlen

n"x , n"y , n"z

Hauptabsorptionszahlen

Q

Elektrische Ladung

q

Ortskreisfrequenz

R W

Kohärenzmatrix im Zeitbereich bei stationären ergodischen Pro-

Flächennormale, Eigenvektor

zessen (2x2-Matrix) R  Z

Kohärenzmatrix im Frequenzbereich bei stationären ergodischen Prozessen (2x2-Matrix)

R erw  W

erweiterte Kohärenzmatrix (3x3-Matrix) im Zeitbereich bei stationären ergodischen Prozessen

R erw  Z

erweiterte Kohärenzmatrix (3x3-Matrix) im Frequenzbereich bei

G r

stationären ergodischen Prozessen Ortsvektor

Rz  W

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich

Rz  Z

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich

Rzd  W

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Zeitbereich bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

Rzd  Z

z-Komponenten-Kohärenzfunktion im Frequenzbereich bei diagonaler erweiterter Kohärenzmatrix

S G S G Sp G S pV

Streumatrix

Sn

Normalkomponente der elektrischen Stromdichte

S  Z

Leistungsspektrum für stationäre ergodische Prozesse

SE

Photoempfindlichkeit

St

Tangentialkomponente der elektrischen Stromdichte

T erw G t

erweiterte Transfermatrix

Vektor der elektrischen Stromdichte Poyntingvektor für das Gesamtfeld Poyntingvektor für das Ladungsträgerfeld

Tangenteneinheitsvektor

268

Formelzeichen

T

Relaxationszeit

Tx ,T y ,Tz

Übertragungsfunktionen für die x-, y-, z-Komponente der jeweiligen elektrischen Feldgröße

Tzd  t2 , t1 Tz

2

z-Komponenten-Impulsfunktion Betragsquadrat der z-Komponenten-Übertragungsfunktion

ai ai ai TxR ,T yR ,TzR

Reflexionsfaktor

ai ,T ai ,T ai TxT yT zT

Transmissionsfaktor

ia ,T ia ,T ia TxR yR zR

Reflexionsfaktor

ia ,T ia ,T ia TxT yT zT

Transmissionsfaktor

t

Zeitvariable

V erw  t

erweiterte periodische Matrizenfunktion vom Argument t

für die x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldgrößen am Übergang isotrop o anisotrop

für die x-, y-, z-Komponente der elektrischen Feldgrößen am Übergang anisotrop o isotrop

(3x3-Matrix) V derw  t

diagonale erweiterte periodische Matrizenfunktion (3x3-Matrix)

Vo

konstante 3x3-Matrix

V

Verdet-Konstante

wE

Energiedichte des elektrischen Feldes

D

Faraday-Winkel

E'

Phasenkonstante der einfallenden Welle

E'x

Phasenkonstante der einfallenden Welle für den H 0 -Mode

E'y

Phasenkonstante der einfallenden Welle für den E0 -Mode

J

Eigenwert der Jones-DGL

Jx

Eigenwert der Jones-DGL für den H 0 -Mode

Jy

Eigenwert der Jones-DGL für den E0 -Mode

J'x

Eigenwert der Jones-DGL für den H 0 -Mode nach der Schwankung

J'y

Eigenwert der Jones-DGL für den E0 -Mode nach der Schwankung

Formelzeichen G 'B G 'D G 'E G 'A G 'S G 'S p G 'S V

269 magnetische Flussdichte elektrische Verschiebungsflussdichte elektrische Feldstärke

des Photenenfeldes

magnetische Feldstärke Stromdichte Poynting-Vektor für das Photonenfeld Vektor der Flächenstromdichte

'S V

Flächenstromdichte

'wE

Wechselwirkungsenergiedichte des elektrischen Feldes

'wM G 'V

Wechselwirkungsenergiedichte des magnetischen Feldes Vektor der Flächenladungsdichte

'V

Flächenladungsdichte

') 'Z

Phasenrauschdifferenz Frequenzschwankung

G

Doppelbrechung

Gn, k

Kroneckersymbol

G t

Dirac-Impuls

H

Dielektrizitätstensor

H

Dielektrizitätskonstante

Ho

Dielektrizitätskonstante des Vakuums

Hn

Dielektrizitätskonstante in Normalenrichtung

Hx , H y , Hz

Hauptdielektrizitäten

Hx , H y , Hz

komplexe Hauptdielektrizitäten

4

Erhebungswinkel

N

Leitfähigkeitstensor

N

Leitfähigkeit, komplexer Eigenwert

Nn

Leitfähigkeit in Normalenrichtung

Nx , N y , Nz

Hauptleitfähigkeiten

O

Eigenwert des Dielektrizitätstensors

O'

Eigenwert des Dielektrizitätstensors nach der Schwankung

Oo

Mittenwellenlänge

P

Permeabilität

Po

Induktionskonstante

270

Formelzeichen

S 3,14159 U

Raumladungsdichte

UK

Kernradius

W t1  t2

Zeitdifferenz

M

Einfallswinkel

Mx

Einfallswinkel des H 0 -Modes

My

Einfallswinkel des E0 -Modes

Mout

Brechungswinkel

F 'e

Eigenpolarisation

F'in

Polarisationsvariable auf der Eingangsseite

F'out

Polarisationsvariable auf der Ausgangsseite

\

Winkeldifferenz im Polarisationseinheitsvektor

\'

\x

\ x'

Polarisationswinkel der x-Komponente

\y

\ y'

Polarisationswinkel der y-Komponente

Z

Kreisfrequenz des Lichtes

Zo

Mittenkreisfrequenz

Zm

Modulationsfrequenz

Zx

Kreisfrequenz des H 0 -Modes

Zy G a'

Kreisfrequenz des E0 -Modes G transponierter Vektor von a

*

konjugiert komplexer Wert

³ ¨vF D

Integral G dF

G

der elektrischen Verschiebungsflussdichte

Flächenintegral über eine Hüllfläche

¨vr D dr

Umlaufintegral

³V D dV

Volumenintegral

dD dD , dt dy

gewöhnliche Differentation nach der Zeit t, dem Ort y

wD wD , wt wy G G a ub G G a ˜b

partielle Differentation nach der Zeit t, dem Ort y G G Vektorprodukt zwischen den Vektoren a und b G G Skalarprodukt zwischen den Vektoren a und b

271

Sachwortverzeichnis A Aktivität 202 f. Anfangswerte – der Jones-DGL 63 D Definitheit 84, 87 Dielektrizitätskonstanten – komplexe 222 Dielektrizitätstensor – hermitescher 86 – komplexer 89 – symmetrischer 83 Drehungsmatrix 95 E Eigenpolarisationen 102 Eigenvektoren 157 – Unitarisierung 158 Eigenwerte 155 – nach der Schwankung 211 – vor der Schwankung 211 Em -Moden – Ansatz 39 – Auswertung 39 E0 -Mode 42 – Eigenwertgleichung 41 – Parameterbestimmung 42 – Stetigkeitsbedingungen 40 Ergodizität 143, 148 Erwartungswert 144 – der Ausgangsintensität 146 – der Intensität 144 f. – der z-Komponenten-Intensität 148 f. F Faseroptischer Verstärker 81 – E0 -Mode 70 – H 0 -Mode 69 – Jones-Matrix 72 – Mc Cumber-Theorie 233 Feldbegriff 2 Feldverteilung – im Kern 44, 51 – im Mantel 43, 50 Flächladungsdichte 7

Flächenstromdichte 7 Fourier-Matrizen – erweiterte 125 ff. Fourier-Reihe 125 Frequenzänderung 212 G Gleichungen – charakteristische 210 f. Gleichungssysteme – der Em -Moden 38 – der H m -Moden 38 – für die Ladungsträger 9 – für die Photonen 8 Grenzflächen 5 H Hauptachsentransformation 85, 88 H m -Moden – Ansatz 47 – Auswertung 47 – Eigenwertgleichung 49 – H 0 -Mode 50 – Parameterbestimmung 49 – Stetigkeitsbedingungen 48 I Intensität 144 f. Isolator – optischer 108 J Jones-Differenzialgleichungen 62 – Lösung 62 Jones-Matrix 60 – äquivalente Form 163 – bei hermiteschem Dielektrizitätstensor 89 – bei symmetrischen Dielektrizitätstensor 88 – diagonale 64 – Eigenanalyse 212 – erweiterte 60 – nichtdiagonale 90 f. Jones-Matrix-Elemente – Differenzialgleichungen 61

272 K Kohärenzmatrix – ausgangsseitige Diagonalisierung 162 – bei Laserphasenrauschen 154 – diagonale 147, 158 – eingangsseitige Diagonalisierung 161 – erweiterte 143 f. – Frequenzdarstellung 143 – im Zeitbereich 143 – nichtdiagonale 150, 160 – Transformation 153 L Laserphasenrauschen 153 Laserrauschen 227 – Statistik 227 Leistungsspektrum 145 Lichtwellenleiter 99 – anisotroper 64, 75, 99 – isotroper 64, 76, 100 – Jones-Matrizen 100 – z-KÜF 101 Linkswelle 63 M Matrizenfunktion – periodische 125, 127 Maxwell-Gleichungen – Integralform 2 – Differenzialform 4 Medien - absorbierende 89 Modenanregungsbedingungen 72 f. – E0 -Mode 46 – H 0 -Mode 53 Modulatoren – Amplituden- 125 – optische 124 – Phasen- 127 N Normalkomponenten – Magnetische Flussdichte 5 – Magnetische Feldstärke 6 – Verschiebungsflussdichte 6

Sachwortverzeichnis O Orthogonalitätsrelation 14 P Parallelitätsrelationen – Parallelitätsrealation 14 – Antiparallelitätsrelation 14 Passivität 202 Photonenstromdichte – Divergenz 11 – Stetigkeitsbedingung 11 Photostrom 191 Polarisationsübertragungsgleichung 97 Polarisationsvariable 94, 96 Polarisator – E0 -Polarisator 64 f. , 77, 103 – H 0 -Polarisator 65 f., 78, 103 Poyntingscher Satz 13 Poynting-Vektoren – Divergenz 13 – für das Gesamtfeld 12 – für das Ladungsträgerfeld 12 – für das Photonenfeld 12 – Linkswelle 190 – Rechtswelle 190 Punktladung 10 Punktphoton 10 R Rechtswelle 63 Reflexionsfaktor 23, 26, 32, 35 Reflexionsfreiheit 203 Reflexionsmatrix 24, 34 Rekursionsformel – der z-Komponenten-Eigenanalyse 213 Relaxationszeit 12 Retarder – Jones-Matrizen 67 O – -Platte 67, 79 4 O – -Platte 68, 80 2 Ringphotodiode 191 Rotatoren – Jones-Matrizen 105 – z-KÜF 107 RT-Zerlegung – orthogonale 110 – unitäre 121

Sachwortverzeichnis S Spur der Kohärenzmatrix 145 Stationarität 143, 148 Stetigkeitsbedingungen 22, 31 – Differenzenform 8 – grundsätzliche 7 Streumatrix 201 Symmetrie 204 T Tandembetrieb – zweier Laserdioden 73 Tangentialkomponenten – elektrische Feldstärke 6 – magnetische Feldstärke 7 – magnetische Flussdichte 7 Transmissionsfaktor 23, 27, 32, 35 Transmissionsmatrix 24, 34 V Verlustlosigkeit 202 Verstärker – faseroptischer 69, 81 W Welle – ebene 15 – einfallende 17, 20 – Quellen- 29 f., 34 – reflektierte 18, 20, 29 f., 34 – transmittierte 18, 21, 30, 34 – übertragene 30 Wellengleichungen 61 Wechselwirkungsrelation 13 Wiener-Chintchin-Theorem 144 f.

273 Wiener-Lee-Beziehung 168 ff. – im Frequenzbereich 146, 164, 170 – verallgemeinerte 146, 164, 170 X x-Komponenten-Übertragungsfunktion 223 Y y-Komponenten-Übertragungsfunktion 225 Z Zeitmittelwert 144 z-Komponenten-Analysator 186 z-Komponenten-Eigenanalyse 210, 212 z-Komponenten-Fourier-Koeffizienten 128 ff. z-Komponenten-Intensität 148 – Erwartungswert 148 z-Komponenten-Kohärenzfunktion – Frequenzdarstellung 147, 150 – im Zeitbereich 147 z-Komponenten-Leistungsspektrum 149 z-Komponenten-Übertragungsfunktion 104, 150 – Ableitung 81 – bei diagonalem Dielektrizitätstensor 82 – bei nichtdiagonalem Dielektrizitätstensor 93, 96 – DGL 96 – Parallelschaltung 184, 193 – Reihenschaltung 183, 192 – Rückkopplungsschaltung 185, 193